/
Текст
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
ДОРОГА-ШИНА-
АВТОМОБИЛЬ-ВОДИТЕЛЬ
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
Под общей редакцией
заслуженного деятеля науки
и техники РСФСР д-ра техн, наук
проф. А. А. ХАЧАТУРОВА
ДОРОГА-
ШИНА-
АВТОМОБИЛЬ •
ВОДИТЕЛЬ
МОСКВА* «МАШИНОСТРОЕНИЕ» *1976
6Т2.1
Д44
УДК 531 :[625.5 + 629.11.012.551 + 629.113 + 656.071.7]
Д44 Динамика системы дорога — шина — автомобиль — водитель. Под ред.
А. А. Хачатурова. М., «Машиностроение», 1976.
535 с. с ил.
На обороте тит. л. авт.: А. А. Хачатуров, В. Л. Афанасьев, В. С. Васильев и др.
В книге описаны новые направления теории автомобиля, обусловленные созданием до-
статочно точных математических моделей отдельных звеньев системы дорога — шина — ав-
томобиль — водитель и изучением динамики этой системы как единого целого при случайных
воздействиях дорожных неровностей. Исследованы основные эксплуатационные свойства
автомобиля: плавность хода, устойчивость и управляемость движения при помощи методов
современной теории случайных процессов и теории автоматического управления.
Монография предназначена для лиц, связанных с конструированием, исследованием и
эксплуатацией автомобилей. Она может быть полезна также специалистам отраслей, смеж-
ных с транспортным машиностроением.
д
31803-533
038(01 )-76
237-75
6Т2.1
© Издательство «Машиностроение», 1976 г.
Авторы А. А. ХАЧАТУРОВ,
книги: В. Л. АФАНАСЬЕВ,
В. С. ВАСИЛЬЕВ,
Г. В. ГОЛЬДИН,
Б. М. ДОДОНОВ,
В. П. ЖИГАРЕВ,
В. И. КОЛЬЦОВ,
В. С. ЮРИК,
Е. И. ЯКОВЛЕВ
Рецензент
д-р техн, наук проф.
А. А. ЛАПИН
ПРЕДИСЛОВИЕ
Метод аналитического 1 расчета некоторых конструктивных параметров
автомобиля, изложенный в монографии, основан на теоретико-вероят-
ностном подходе к исследованию таких эксплуатационных свойств
автомобиля, как плавность хода, устойчивость и управляемость движе-
ния. Создание этого метода базируется на современной теории случай-
ных процессов, теории автоматического управления и применении
электронных вычислительных машин [1—5].
Исследованию динамики системы дорога — шина — автомобиль —
водитель как единого целого предшествовало создание представитель-
ных математических моделей отдельных звеньев системы. Разработка
этих моделей, их исследование и уточнение — следствие многолетних
трудоемких работ коллектива кафедры теоретической механики Мос-
ковского автомобильно-дорожного института [7, 19, 24, 39, 41, 42].
Результаты аналитического решения задач, которым посвящена
книга, с достаточной точностью совпадают с данными натурных
испытаний. Можно считать, что создан аппарат для аналитического
расчета плавности хода, устойчивости и управляемости движения
автомобиля.
Необходимость аналитических расчетов такой достоверности давно
назрела, так как во время стендовых испытаний, проводимых на заво-
дах при проектировании и создании первых образцов, невозможно
полностью определить их эксплуатационные свойства, проявляющиеся
в различных условиях работы. Поэтому приходится проводить длитель-
ные натурные испытания опытных образцов автомобиля для выявления
и устранения недостатков конструкции, что приводит к существенному
увеличению сроков создания нового автомобиля.
Изложенные в книге методы исследования движения автомобиля
могут быть использованы для аналитического решения следующих
задач:
1) определения параметров колебаний автомобиля при различных
видах возмущений от дорожных неравностей;
2) оптимизации по различным критериям плавности хода парамет-
ров и характеристик элементов подвесок и шин автомобиля;
3) синтеза оптимальной по плавности хода схемы подвески с уче-
том ограничений, вызванных условиями ее работы;
4) установления динамических характеристик автомобиля по от-
ношению к внешним воздействиям от дорожных неровностей и к уп-
равляющему воздействию водителя;
5) определения собственной устойчивости неуправляемого движе-
ния автомобиля;
6) расчета параметров собственной стабилизации автомобиля при
криволинейном движении;
7) расчета степени нагруженности деталей подвески и рулевого
управления с учетом горизонтальных реакций дороги;
8) выбора рационального сочетания типов передней и задней под-
весок и их параметров, обеспечивающих заданные показатели устойчи-
вости и управляемости автомобиля;
9) изучения влияния привода на устойчивость и управляемость
автомобиля;
1 Расчеты на основе дифференциальных уравнений будем называть аналитически-
6 ми независимо от способа их решения.
10) расчета выходных показателей, определяющих «держание»
автомобилем дороги при управляемом и неуправляемом движении.
Решение этих задач дает возможность при проектировании или
модернизации автомобиля придавать ему желаемые свойства, а при
испытании более уверенно определять недостатки конструкции и при-
чины, вызвавшие их.
Сроки доводочных испытаний и работ сократятся, если эксплуата-
ционные свойства проектируемого автомобиля определять аналитиче-
ски, начиная со стадии эскизного проектирования. Аналитические
расчеты могут быть полезны и в дальнейшем при неизбежных доводоч-
ных работах. Прежде чем вносить какие-либо изменения в конструкцию,
можно предварительно аналитически просчитать различные варианты
проектируемых изменений и затем осуществить в металле только
наилучшие, выявленные расчетом.
При отборе материала для книги имелось в виду ознакомление
читателя с тщательно разработанными математическими моделями от-
дельных звеньев системы и некоторыми примерами их применения для
решения ряда вопросов плавности хода, устойчивости и управляемости
автомобиля. Это дает возможность решать различные задачи (помимо
указанных выше) специалистам не только автомобилестроения, но и
других областей техники.
Освоение материала книги может встретить затруднения из-за
сложности математического аппарата исследования. Как уже отмеча-
лось ранее, применение современной теории случайных процессов,
теории автоматического управления и использование вычислительных
машин необходимо для аналитического решения задач, составляющих
один из основных разделов теории автомобиля. Знание указанных
дисциплин необходимо для понимания материала книги и его практи-
ческого применения. Для лиц, не изучавших их, следует предваритель-
но познакомиться с гл. 2, где рассмотрен и доведен до конечных резуль-
татов ряд задач, относящихся к изучению плавности хода автомобиля.
Можно рекомендовать следующий порядок работы над книгой.
Сначала бегло ознакомиться с первыми шестью параграфами гл. 1, не
вникая глубоко в математические выкладки, но обратив особое внима-
ние в § 4 на разделы 7 и 8, в которых приведены спектральные плотно-
сти возмущающего воздействия дорожной поверхности. Затем внима-
тельно изучить весь материал гл. 2, детально разобравшись во всех
подробностях решения отдельных задач. И только после этого перейти
последовательно к гл. 4, 5 и 6.
Полное ознакомление с содержанием гл. 1 и 3 рекомендуется при
повторном изучении книги.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ДОРОЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. ДОРОЖНАЯ ПОВЕРХНОСТЬ
1. Рельеф, профиль и возмущения
Первичной абстракцией дорожных неровностей является поверхность
дороги. Эта абстракция совершенно очевидна, по крайней мере для
достаточно твердой малодеформируемой дороги, конкретный участок
которой считается реализацией случайной поверхности. Совокупность
таких реализаций представляет собой рельеф дороги, служащий исход-
ным понятием для определения характеристик или моделей дорожных
неровностей. Рельеф является также наиболее общей моделью дорож-
ных неровностей, хотя и может быть дополнен характеристиками
податливости грунта, сцепления и т. п.
Профиль дороги —сечение рельефа в направлении движения
транспорта. Сечение поверхности конкретного участка дороги является
реализацией профиля, а совокупность таких реализаций представляет
собой профиль дороги как случайный процесс. Профиль дороги, есте-
ственно, зависит от выбора сечения, поэтому его проводят обычно по
колее движения. Профиль дороги по нескольким колеям считается
многомерным (или векторным) случайным процессом.
Рельеф дороги можно приближенно представить как совокупность
параллельных сечений, достаточно близко расположенных друг от дру-
га. Такое представление поверхности (функции двух переменных)
обычно применяется при использовании аналоговых вычислительных
машин (АВМ). Для цифровых вычислительных машин (ЦВМ) поверх-
ность приближенно выражается в виде сетки, что соответствует дис-
кретному представлению случайного процесса.
Рельеф и профиль дороги в дальнейшем изложении принимают
функциями расстояния I (пути). Рельеф представляют в виде одно-
родного изотропного нормального двумерного случайного поля или его
простейших преобразований (растяжение в одном из направлений,
добавление составляющей, зависящей только от одной из координат,
или периодической составляющей и т. п.), а профиль — в виде регуляр-
ного нормального стационарного случайного процесса.
Рельеф дороги, выраженный в функции не расстояния, а времени,
называется возмущением. Термин «возмущение» относится к конкрет-
ной расчетной схеме автомобиля. Поэтому вопрос о том, что прини-
мается в качестве возмущения, зависит от имеющейся расчетной схемы
и задачи исследования. Так, например, при исследовании вертикаль-
ных колебаний в ряде задач используется простейшая двухмассовая
расчетная схема (рис. 1), в которой в качестве возмущения q(t) можно
использовать или профиль дороги по одной колее, или полусумму про-
филей по левой и правой колеям.
В этой схеме предполагается точечный контакт шины с дорогой.
При определении рельефа (профиля) дороги также предполагается
точечный контакт шины или контакт по площадке, размеры которой
намного меньше размеров действительной площадки контакта шины
с дорогой. Таким образом, если в качестве возмущения используют
профиль дороги, то сглаживание неровностей шиной или их осреднение
по площадке контакта практически не учитывают. Поэтому для расчет-
ной схемы с'точечным контактом более целесообразно использовать
в качестве возмущения сглаженный профиль или профиль, осредненный
по площадке контакта. При этом операцию осреднения проводят для 9
Рис. 1. Простейшая двухмассовая расчет-
ная схема:
М и т — подрессоренная и неподрессоренная
массы; и сш — жесткости рессоры и шины;
Гр — коэффициент сопротивления амортизатора;
Zi и z2 — ординаты подрессоренной и неподрес-
соренной масс; q — ордината микропрофиля
рельефа дороги, а осредненный профиль является сечением осреднен-
ного рельефа (подробнее об этом см. § 3, гл. 1).
Возмущение, действующее на одно колесо, довольно полно можно
выразить как векторный случайный процесс, осредненными компо-
нентами которого являются: возмущение от профиля дороги ft(f),
углы наклона площадки контакта соответственно в продольном а(/)
и боковом р(/) направлениях и кривизна площадки контакта k(t).
Эта математическая модель возмущения позволяет определить
вертикальную, горизонтальную и боковую реакции дороги на колесо
учетом перекатывания отпечатка шины в зависимости от угла а,
ияния кривизны k на жесткость шины и т. п. Однако в этом случае
не принимается во внимание изменение размеров площадки контакта,
обусловленное колебаниями колеса.
В ряде задач, где исследуется работа отдельных элементов шины
(и контакт уже не считается точечным), в качестве возмущения может
использоваться совокупность параллельных сечений рельефа по ширине
площадки контакта, т. е. практически сам рельеф. Это будет наиболее
полная модель взаимодействия шины с дорогой, в которой учитывается
не только изменение формы площадки контакта, но и напряжение в ней
и в отдельных элементах шин.
Если учитывать изменение только длины площадки контакта (счи-
тая ширину постоянной), то можно использовать плоскую модель шины.
В этом случае возмущением является профиль дороги, осредненный
только по ширине площадки контакта.
Приведенные примеры наглядно показывают, насколько разнооб-
разными могут быть возмущения, действующие как на простейшую
расчетную схему (рис. 1), так и на отдельное колесо. Для многоопор-
ных автомобилей расчетные схемы и соответствующие им возмущения
оказываются еще более разнообразными.
В отличие от рельефа и профиля возмущение, как правило, прини-
мается функцией времени, хотя в отдельных случаях при движении
10 автомобиля с переменной скоростью возмущение удобно считать
Функцией расстояния, чтобы оно оставалось стационарным про-
цессом.
В ряде задач, в которых исследуются лишь динамические нагрузки,
при определении возмущений вместо профиля (рельефа) можно ис-
пользовать микропрофиль (микрорельеф), отличающийся от профиля
в первом приближении тем, что в нем отсутствует самая низкочастотная
составляющая (спуски, подъемы, косогоры).
2. Микропрофиль
Профиль дороги делится на три составляющие — макропрофиль, мик-
ро'профиль и шероховатости, что обусловлено различньш воздействием
их на автомобиль. Макропрофиль, состоящий лишь из длинных
плавных неровностей (длина волны 100 м и более), практически не
вызывает колебаний автомобиля на подвеске, но заметно влияет на
динамику автомобиля, режим работы двигателя и трансмиссии.
Микропрофиль состоит из неровностей (длина волны от 10 см до 100 м),
вызывающих заметные колебания автомобиля на подвеске, но не содер-
жит длительных спусков и подъемов, изменяющих режим работы дви-
гателя. Шероховатости (длина волны менее 10 см) сглаживаются ши-
нами и не вызывают ощутимых колебаний автомобиля, но влияют на
работу шин (сцепление, износ и т. п.).
Использование в качестве возмущения микропрофиля вместо про-
филя дороги имеет следующие преимущества:
1. Микрошрофиль не содержит медленно меняющейся составляю-
щей, и его можно считать стационарным случайным процессом с быстро
убывающим показателем регулярности. Это имеет большое значение
для статистического анализа реализаций. Так, любые два отрезка
микропрофиля, расположенные на расстоянии нескольких десятков
метров друг от друга, можно считать практически независимыми, в то
время как профиль — процесс со стационарными приращениями.
2. У микропрофиля ограничена амплитуда: ее максимальные зна-
чения не превышают 1 м, что очень важно при использовании АВМ,
а у профиля дороги разница высот достигает нескольких километров.
3. Вследствие отсутствия шероховатостей существенно умень-
шается поток информации при передаче возмущения по каналам связи.
При использовании АВМ полоса пропускания частот меньше, а при
применении ЦВМ допускается квантование микропрофиля по длине
с шагом примерно 10 см.
С методической точки зрения было бы весьма желательно дать
однозначное определение микропрофиля, т. е. стандартизовать его.
На основе частотного состава микропрофиля q(l) его можно определить
как линейное преобразование Hq профиля ft(/), выполняемое фильтром
с прямоугольной передаточной характеристикой
q(l)=Hqh(ly,
(1-1)
я,(/ч =
0 при | X | < %н;
1 при ХН<|Л|<ХВ;
О при Хв < |Л|,
т. е. фильтр пропускает без искажений только полосу дорожных частот
< | А, | < А,в. Здесь
Хн = 2л/£тах, А.в = 2n/Lmin, 11
где Lmax и Lmin — максимальная и минимальная длины волн, входя-
щих в микропрофиль.
Однако при таком определении микропрофиля имеются два серь-
езных затруднения.
Первое состоит в задании определенных значений Lmax и Lm{n.
Например, на автомагистрали неровности длиной около 20 м, несом-
ненно, следует относить к микропрофилю, так как они при высоких
скоростях движения вызывают наиболее интенсивные колебания авто-
мобиля, почти не меняя скорости его движения. В то же время на
тяжелой грунтовой дороге, где по условиям плавности хода возможно
движение лишь с малыми скоростями, подъем длиной 20 м и высотой
в несколько метров воспринимается как длительный подъем, требую-
щий включения низшей передачи и почти не влияющий на плавность
хода. В этом случае такую неровность следует отнести к макропрофилю.
Поэтому в последующем величину Lmax целесообразно задавать
в зависимости от реальных скоростей движения по дороге данного
типа или от уровня неровностей. Величина £тт для разных дорог так-
же должна различаться. Так, например, для дорог с преобладаниехМ
коротких неровностей (булыжник, кочки) большое влияние на коле-
бания автомобиля могут оказывать неровности длиной порядка 10 см.
Однако при движении по автомагистрали, как правило, можно прене-
бречь.неровностями длиной менее 1 м. __
Второе затруднение заключается в том, что фильтр Hq с прямо-
угольной передаточной характеристикой практически нельзя изготовить.
Фильтр с характеристикой, близкой к прямоугольной, чрезвычайно
сложен. Сравнительно простой фильтр с частотной характеристикой,
близкой к прямоугольной, дает большие фазовые искажения и имеет
длительный переходный процесс, вследствие чего также неудобен для
практического употребления. Значительно целесообразнее использовать
фильтры Hq с простой дробно-рациональной передаточной характери-
стикой. Оптимальный вид такой характеристики будет описан ниже.
Преобразование Hq назовем преобразованием микропрофиля.
К микропрофилю предъявляются определенные требования:
1. Минимальное различие колебаний автомобиля (прогибы рессор
и динамические перегрузки) на профиле и микропрофиле.
2. Ограниченная величина амплитуды микропрофиля.
3. Ограниченная величина максимальной частоты сигнала микро-
профиля.
Последнее требование тесно связано со сглаживающей способностью
шины и будет рассмотрено ниже. Определим вид оптимальной переда-
точной характеристики преобразования Hq в области низких частот.
Предположим, что Д& — некоторый параметр колебаний автомобиля
(например, прогиб рессоры) при движении по профилю ft, а_Л — преоб-
разование, соответствующее автомобилю, тогда Д& = Ah. Пусть
Д7 — тот же параметр колебаний автомобиля при движении по микро-
профилю q, тогда Д9 = Aq. Примем, что микропрофиль q определяется
как некоторое преобразование Hq профиля ft, т. е. q = Hqh. При нахож-
дении вида Hq в области низких частот зададимся следующими двумя
условиями*
|<7|<<7тах; I Ah—A?| = min,
12 где <7гаах — заданная величина.
Эта вариационная задача решается сравнительно просто, если
предположить, что Л(£) — нормальный стационарный обобщенный слу-
чайный процесс, А и Hq — линейные преобразования.
Методы решения этой задачи подробно излагаются в гл. 3, а также
описаны в литературе [7].
Условия, определяющие вид Hq, записываем следующим образом:
Dq = M{\q^}<DqmaK
и
М{|А„—AJ2} = min, (1.2)
гдеРдШах= (0,05 ч-0,1)/у max в зависимости от того, какая вероят-
ность превышения <7тах считается допустимой.
После введения неопределенного множителя Лагранжа эта изо-
периметрическая задача принимает вид
/ = M{|Aft-Aj2 + ei<7|2} = min> (1.3)
где М — оператор математического ожидания; 0 — неопределенный
множитель Лагранжа, который находится после решения задачи (1.3)
из условия (1.2), а функционал f имеет безусловный минимум.
Решение задачи (1.3) усложняется незначительно, если дополни-
тельно принять, что преобразование Hq физически осуществимо (в этом
случае Hq обозначают через Hq). В последующем это намного упростит
реализацию преобразования Нч, например с помощью АВМ.
Для решения задачи (1.3) задаемся видом преобразования и спек-
тральной плотностью возмущения от профиля h(t), которая в области
низких частот достаточно точно может быть определена как
Kft(®) = Dnor'/®n,
где о — угловая частота процесса h(t); Dn — коэффициент; уа — ско-
рость автомобиля; 2 п 4.
В дальнейшем будем рассматривать два крайних случая:
KA(®) = D2oa/®2 (1.4)
и
Kh(M) = D4ol'a>4. (15)
Поскольку преобразование Hq сводится к срезанию низких частот,
то вид преобразования А достаточно задать только для них. Тогда дл_я
прогиба рессоры 6Р передаточная характеристика преобразования А
имеет вид
4(М) =-----Т-----------г- <'-6)
(/в>Г + 21р0<о0/<о + ш0
где / = У —1; фо — коэффициент относительного затухания колебаний
кузова; <о0 — наименьшая частота собственных колебаний кузова.
Варьируя функционал
f = — Т (| А |2 + | Afiq |2-| A |22Re Яв+ + 01 Hq \2)K(l da
2л J
13
по Я+, получаем ^функциональное уравнение, определяющее неизвест-
ную передаточную характеристику Н + :
Я,+(| A |S + 0)КЛ—IА |2 Kh = ф- (1.7)
где Ф~ — вспомогательная функция, аналитическая в верхней полу-
плоскости [7}.
Если не накладывать условие физической осуществимости, то урав-
нение (1.7) упрощается:
Я?(|Л|2 + 0)КЙ-|4|2КЙ = О,
откуда
Н - |л|2
4 |4|2 + 0
Для спектральной плотности (1.4) и передаточной характеристики
(1.6) уравнение (1.7) принимает вид
(1 + 0)(/<о)4 + о (2<Ор—44>о<»о) (/<о)2 + 0<1>о_D1______
[О®)2 + 2ф0ш0/и + о)§] [(/©)2 — 2ф0®0/ш + О® + 0) (—/<о + О)
_______________(4- О)2 (— /<о + О)2_________ _______Рг______=
[(/со)2 + 2ф0й)0/со + cog] [(/(о)2 — 2ф0ю0/ю + ш2] (/© + °)(—> + 0)
Учитывая далее, что 0 << 1 и
(1 + 0)(/со)4 + 0 (2соо—4фо®о) (М)2 + 0g>o ~
Ж [(/G))2 + J/2 1^0 (D0/(D + J/0 (Во] [(/(О)2— V2^0 <D0J(D + VO<j)o] ,
окончательно получаем
~----------------------— • (1-8)
(/о)2 4- У 2 У0 G)0/(0 + У 0 (Оо
Приближенная формула (1.8) справедлива и в том случае, когда
спектральная плотность профиля дороги имеет вид (1.5), из чего можно
сделать вывод о том, что передаточная характеристика вида (1.8)
близка к оптимальной для всех спектральных плотностей вида Dco-n
при 2 4. Если вместо прогибов рессоры минимизировать раз-
ность вертикальных ускорений при воздействии профиля и микропро-
филя, то в области Яизких частот можно принять
(2 W<s + сор)(/со)2
(/<о)2 + 2ф0О)07(О Ч- GJ2 ’
и для спектральной плотности возмущения вида (1.5) формула (1.8)
также остается справедливой при 0 <С 1, т. е. колебания автомобиля на
профиле и микропрофиле различаются мало (одно из требований,
предъявляемых к микропрофилю).
Дисперсия <?(/) определяется по формуле
ZJv «/
—оо
* Обобщенные функции (/со 4-О)-1 и (—/со + О)-1 описаны в гл. 3 данной книги
14 ив литературе [8].
Для спектральной плотности вида (1.4)
п___
Ч~ r-ir- ’
2/2 /0<оо
а для спектральной плотности вида (1.5)
4 2 /2 Уе3 <0q
Для более общего вида передаточной характеристики
=________(М)2_______
(/о)2 + 2ф1со1/а) + (dj
соответственно имеем
D< = ОгРа 1 _ 2 2ф1й)! р2 1 2 2ф)Х] (1.10)
И
_ М 1 2 2ф]®| 1 2 2ф,Л? (1.11)
где M=e>i/»a.
Величину (или coi) снизу оценивают из условия ограничения Dq:
va z ^<Pi^max
x1=-^l>i3/ —, (1.13)
ya r 2-2lfiD^max
где i|)i ~ V0,5, a Dq max — допустимое значение дисперсии микро-
профиля.
На этом решение вариационной задачи (1.2) заканчивается.
Однако следует вычислить погрешность определения параметров
колебаний автомобиля (например, прогибов рессоры бр) при замене
профиля на микропрофиль. Надо отметить, что исходную вариацион-
ную задачу (1.2) можно сформулировать иначе: ограничить «погреш-
ность» (Дд — Дд) и минимизировать дисперсию микропрофиля, т. е.
Л1{|Дй-Д^Ь<едопМ{|ДЛ|2};
М (| ^ |2} = min,
где едоп — допустимая погрешность.
При этом решение задачи, начиная с условия (1.3), не-Изменяется.
Дополнительно введем следующие обозначения:_6р(й) = Ah — прогиб
рессоры при воздействии профиля дороги; 6p<g) = Aq — прогиб рессоры
при воздействии микропрофиля; S Р(Д) = (бр<ь) — бР(д>)/ у D6p(h} — по-
грешность определения прогибов при замене профиля на микропро-
филь.
Найдем дисперсии этих величин. Для передаточной характеристики
автомобиля (1.6) и спектральных плотностей видов (1.4) и (1.5) они
соответственно составляют:
1 .
2 2ф0(д0
1
(114) *
(1.15)
15
Для передаточной характеристики Нд вида (1.9)
Р2уа 2Ф1©о + 2Я>о<*>Т + 2Ф1й)|2Фо<0о(2Ф1Ц>о+ 2^o<°i)
2 ЗФо2’!’ t [(«о — ®?)2 + <oo“i С2*iwi + 2ll’o“o) (2* iwo + 2to®i)]
°4Va 2ф1<00 + 2^0(0!
(1.16)
{Ч) 2 24)024>( [(<^—^)2 + wo<’h(24h“i + 2*o%)(2^i“o + 2'l’owi)]
Дисперсия относительной погрешности 6 Р(Д)
+ °°
D«PW=4- f и I211 Г ** d<*-
С учетом (1.6), (1.9) и (1.14) для спектральной плотности профиля
дороги вида (1.4) получаем
D6 ю‘ foiM2*»”»+ 2%Ю1) + Ю1 (2<M1 + 2%mo)] ц 18)
₽<Л> 2$! [(©о —®|)2 + ®o“l(2*lWl + 2%<oo)(2’l’l<,)o + 2%®1)]
а для спектральной плотности вида (1.5) с учетом (1.15)
О6р(Д) = [4i|>i®i®o(2i|Ji©i + 2i|>o®o) + ®2 (2ф]® 1 + 2фо®о) +
4-®12,ф1®12'фо®о(2'ф1®о + 21|)о®о)]. (Ы9)
где Е = 2-фt®i [(®о—®2)2 4-®0®1(2ф1и1 + 2фо®о)(2ф1®о + 2фо®!)].
Как уже указывалось, ф1 ~ У 0,5. Формулы (1.16) — (1.19) упро-
щаются, если принять ф1 = фо = У"0,5. Кроме того, вместо Двр(())
удобнее рассматривать отношение ^бр(,)/^вр(Л)-
Тогда для спектральной плотности профиля дороги вида (1.4)
= ©g+©i©,+©0©i . (j 20)
Р«р(Л) “о + “o“i + wo“i + »1
а для спектральной плотности вида (1.5)
P6pW ___________; (1-22)
Рвр(Л) (®o + ®i)(wo + ®i)’
п, <0» 3m^ + ©0<o,+<of
©о+ш, W2+<o|
На рис. 2 даны зависимости Овр(1г)'Рбр(А) и Обр(Д) = D(6p(<J)_5p(h));D«p(,0
от ®!/®0 при ф = ф1 — фо = Кб^5 и ф = ф, = фо = О,5 для спектральных
плотностей профиля дороги
16 КА(®) =О2иа/м2 и Кп(ы) =D4o2/®4.
Рис. 2. Погрешность определения прогибов рессор при замене профиля микропро-
филем:
1 и 2 — соответственно £>£ р(Д) и Од р($)/^д р(Л) ПРИ спектре КЛ((0)-О2иа<в-2; 3 и 4 — соот-
ветственно Од р(Д) и Од piqi/DQ P(h) ПРИ спектре КЛ((о)- О^иГ"4- ----ф-
------ф — 0,5
Рис. 3. Квадрат модуля передаточной характеристики HQ:
------ф - /0Т5;-------ф -0.5
Из приведенных кривых следует, что уже при coi/wo = 0,3 4-0,2
(частота среза преобразования микропрофиля Hq в 3—5 раз меньше
частоты собственных колебаний кузова автомобиля) для спектральной
плотности профиля дороги вида D2vJ(d2 колебания автомобиля на про-
филе и микропрофиле отличаются незначительно:
^р(<7) 1’ 4(A) Ь
При этом дисперсия q(t) всего в 3—5 раз больше дисперсии
6p(h)(/). В данном случае для ом можно рекомендовать следующие
пределы: wi (0,2 4- 0,3) о)0-
Однако для спектральной плотности профиля дороги вида D4v^/^
эта оценка имеет значительные недостатки. Так, например, при
= 0,2 wo погрешности определения прогибов все еще очень велики
DePU)/DeP(h) ~°’8; D«p(A) ~0,5’ но Дисперсия q(t) уже в 125 раз
больше дисперсии 6₽<л) (0.
Отношение ^6p{q} Овр(/1) можно улучшить, уменьшая i|>i в (1.9) до
0,5 (рис. 2). Это улучшение достигается вследствие того, что при <о >
+ | становится больше 1 (рис. 3), однако разность др<9> — 6р<л>
практически не умдтошвегея. Следует отметить, что большое значение 17
2 Заказ 3363
Dbpw—bpih) ПРИ физически осуществимой передаточной характери-
стике преобразования микропрофиля Я+ вида (1.9) получается в основ-
ном из-за сдвига фазы на низких частотах. Если пренебречь сдвигом,
т. е. в качестве передаточной характеристики преобразования Hq
принять | и*(/(о) |, то J^dp(7)-dp(/l) будет немного меньше, чем при Hq.
Еще лучшие результаты дает преобразование с передаточной харак-
теристикой (1.7). Однако такое усложнение часто оказывается неоправ-
данным. Значение показателя п — 4 в формуле для спектральной
плотности профиля дороги в области низких частот [9]
Ft ~.п—1
для реальных дорог встречается очень редко. Для подавляющего
большинства дорог п-2-?3 (для со порядка coi). Подробнее об этом
будет сказано в § 6 этой главы.
Таким образом, для передаточной характеристики преобразования
микропрофиля Hq можно рекомендовать простое выражение (1.9) при
0,5 ф 0,5 и coi = (0,2 4-0,3)(Оо.
3. Запись микропрофиля
Методы записи микропрофиля. Методы записи микропрофиля делятся
на непосредственные и косвенные. В первом случае записываются
ординаты профиля дороги, во втором — колебания некоторой динами-
ческой системы при проезде по неровностям. Затем эти колебания
пересчитывают для определения микропрофиля пройденного участка
дороги. В обоих случаях запись может производиться как непрерывно
(аналоговые способы), так и дискретно (с определенным шагом).
Непосредственная запись проводится или методом нивелирования
с шагом 10—50 см [10], или путем прокатывания щупа по неподвижной
балке с последующей ее перестановкой [11]. Такая запись дает наиболее
точную информацию о длинных и очень коротких неровностях, однако
отличается чрезвычайно большой трудоемкостью. Низкая производи-
тельность непосредственных методов вынуждает записывать лишь
короткие участки дорог длиной 100—200 м [10]. При этом из-за большой
погрешности конечной выборки почти полностью теряется информация
о низких частотах микропрофиля. Кроме того, естественное стремление
уменьшить трудоемкость работ часто приводит к выбору слишком
большого шага записи. При этом полностью теряется информация
о коротких неровностях. Например, при шаге записи 50 см отсутствует
информация о неровностях с длиной волны менее 1 м, а практически
спектральную плотность невозможно оценить уже для длины волны
менее 2 м из-за сложности определения влияния коротких неровностей
на результаты записи. Таким образом, потенциальные преимущества
малой аппаратурной погрешности непосредственной записи микро-
профиля реализовать практически не удается.
Основным преимуществом косвенных методов записи является
большая производительность. Запись обычно проводится при эксплуа-
тационных скоростях движения автомобилей. Сущность косвенных
методов состоит в том, что по исследуемому участку прокатывается
некоторая динамическая система (автомобиль или специальное устрой-
ство), колебания которой
18 Азап(0 = 77дЛ(/) (1.24)
Рис. 4. Прибор фирмы Дженерал Моторе для записи микропрофиля
записываются. В этой формуле Д3ап*(0—сигнал на выходе динамиче-
ской системы (относительные перемещения или ускорения); Яд — пре-
образование динамической системы.
Динамическую систему выбирают с таким расчетом, чтобы преоб-
разование Яд было близким к линейному и имелось физически осуще-
ствимое обратное преобразование Тогда микропрофиль q полу-
чают, пропуская записанный сигнал Дзап через фильтр Нф с передаточ-
ной характеристикой Нф =
9 =ЙфДзап = Азап = = = q. (1.25)
Сказанное выше можно проиллюстрировать следующим образом.
Известен способ записи микропрофиля с регистрацией вертикальных
ускорений специального «пятого колеса», крепящегося к автомобилю
[12]. Для уменьшения вероятности отрывов колеса от дороги оно
прижимается пружиной (рис. 4). Если пренебречь прогибами шины, то
можно считать, что записанный сигнал Дзап представляет собой вторую
производную от профиля дороги:
А3ап = P2h,
где р = d/dt — оператор дифференцирования.
Передаточная характеристика фильтра в этом случае
яф = HqH~' = ——----------------- (/(О)-2 = —---!----------,
(jay + 2-ф ] <о, /со + со ( (/со) + 2ф, со, /со + со,
где Hq — принята согласно (1.9).
Однако этот способ имеет два существенных недостатка: не учиты-
ваются прогибы (отрывы) шины и на низких частотах записываются
19
2*
Рис. 5. Схема медленного маят-
ника, разработанного в МАДИ:
/ — корпус; 2 — маятник; 3 — датчик;
4 — пружина; 5 — опора; 6 — демпфер
очень слабые сигналы, что неизбежно приводит к большим погрешно-
стям при их воспроизведении.
Первый недостаток можно устранить, применяя более сложную
передаточную характеристику //д, учитывающую прогибы шины. Вто-
рой недостаток более серьезный. Например, для надежной записи
микропрофиля в диапазоне частот 0,5—20 Гц (длина волны 0,5—20 м
при скорости записи 10 м/с), когда максимальные вертикальные
ускорения колеса составляют около 10g (в основном за счет высоких
частот), погрешность записи ускорений не должна превышать 0,01g
(примерное значение ускорений на низких частотах), что практически
недостижимо для датчиков ускорений*.
Хорошую точность записи низких частот обеспечивают приборы,
основной частью которых является «медленный маятник» (с частотой
собственных колебаний около 0,5 Гц). В некоторых конструкциях
медленный маятник в виде довольно массивного груза, подвешенного
на мягких пружинах, монтируется на автомобильном прицепе [13].
В этом случае записывается расстояние от маятника до поверхности
дороги, измеряемое бесконтактным способом (например, с помощью
ультразвука). Однако такая конструкция маятника чрезвычайно гро-
моздка и неудобна в эксплуатации.
Известны также приборы, в -которых медленный маятник одновре-
менно играет роль прижимающего груза для «пятого колеса». С по-
мощью такого прибора записывается перемещение груза относительно
колеса.
Недостатки такой конструкции обусловлены тем, что к прижи-
мающему грузу и медленному маятнику предъявляются несовмести-
мые требования. Чтобы прижимающий груз препятствовал отрыву ко-
леса от дорожной поверхности, требуется достаточно большое сопро-
тивление амортизатора, которое, как и жесткость пружины, может
быть и нелинейным, а чтобы груз выполнял функции медленного маят-
ника, необходимы линейность и постоянство характеристик пружины
и амортизатора, что практически недостижимо в подвеске прижимаю-
щего груза.
Значительно удобнее в эксплуатации медленный маятник [14].
являющийся малогабаритным измерительным прибором (рис. 5). Он
состоит из герметически закрытого корпуса 1 и маятника 2 с закреп-
ленными на его концах грузами т{ и /и2. В приборе обеспечивается
малое сухое трение и хорошая линейность характеристик, по крайней
мере при малых углах наклона прибора. Взаимный центр качания
маятника (точка Л) находится за пределами корпуса прибора. По-
ложение центра определяется соотношением
20 АО ОС = р2,
Рис. в. Схема установки медлен-
ного маятника с центром качания
на оси колеса автомобиля
где ОС—расстояние от оси маятника до его центра тяжести; АО —
расстояние от точки А до оси маятника; р — радиус инерции маятника.
Незначительно перемещая груз /п2, можно в широких пределах
изменять положение точки А.
Если поставить прибор на балку DB, то колебания маятника
(относительно корпуса) будут зависеть только от вертикальных пере-
мещений конца В балки, совпадающего со взаимным центром кача-
ния Л маятника, и не изменятся от перемещений другого ее конца.
Используя этот эффект, можно построить ряд приборов для записи
микропрофиля. Если, например, закрепить конец В балки DB на оси
колеса автомобиля (рис. 6), то медленный маятник М дает сигнал
о вертикальных перемещениях колеса безотносительно к колебаниям
кузова. Прогиб шины также нетрудно учесть, записав известными
способами вертикальную реакцию, действующую на колесо [15, 16].
Полученный сигнал представляет собой сглаженный .реальной шиной
микропрофиль в условиях реальных нагрузок. Такой способ позволяет
очень точно записать действительные возмущения, действующие на
колесо, даже в условиях движения по сильно деформируемой поверх-
ности (густая трава, болото, кустарник и т. п.), когда другие способы
записи микропрофиля не применимы.
При записи микропрофиля дорог с твердым покрытием целесообраз-
•нее использовать специальное «измерительное» колесо вместо медлен-
ного маятника, присоединенного к колесу автомобиля, что позволяет
расширить диапазон записываемых частот. Подробно этот способ
описан ниже.
При записи микропрофиля с использованием медленного маятника
преобразование Нл динамической системы, прокатываемой по участку
дороги, как правило, оказывается близким к преобразованию микро-
профиля Hq вида (1.9). Поэтому в ряде случаев обратное преобразо-
вание (1.25) не производится, а записанный сигнал Дзап считается
микропрофилем. Часто так же поступают (с меньшим на то основани-
ем) и при записи микропрофиля с помощью многоопорных бесподве-
сочных тележек (рис. 7), которые широко использовались как в
СССР, так и за рубежом. Записываемым сигналом служит перемеще-
ние среднего колеса относительно рамы. Передаточная характеристи-
ка такой динамической системы
а^ + Ь^ ,
Яд
а + Ь
В частности, при а = Ь‘
|f/J = 2sin2
21
Рис. 7. Многоопорная бесподве-
сочная тележка для записи мик-
ропрофиля
Такая характеристика совершенно непригодна, так как пересчет
записанного сигнала в микропрофиль невозможен из-за того, что ин-
формация о неровностях с частотами X = 2лп/а (п — целое число)
полностью теряется. При а =/= Ь вид характеристики остается также
очень сложным и пересчет чрезвычайно затруднен.
Известны конструкции бесподвесочных тележек, в которых исполь-
зуется 16 балансирно связанных колес. Однако и в этом случае вид
Ид далек от требуемого вида Нд, а пересчет еще более усложняется.
Кроме того, такая система, так же как и короткобазная бесподвесочная
тележка с гироскопическим датчиком, не позволяет вести запись при
большой скорости движения.
Микропрофиль обычно записывают для определения его статисти-
ческих характеристик, чаще всего спектральной плотности. При этом
пересчет записанного сигнала Дзап в микропрофиль q не обязателен.
Можно определить спектральную плотность сигнала Дзап и пересчитать
ее в спектральную плотность микропрофиля. Известна, например,
попытка определения корреляционной функции микропрофиля по за-
висимости средних квадратических перегрузок автомобиля от скорости
движения [17] и др.
Запись микропрофиля дорог с твердой поверхностью. Рассматривае-
мый метод записи разработан в МАДИ. Динамический преобразова-
тель, включающий в себя медленный маятник, буксируется автомоби-
лем. Записанный на магнитограф сигнал колебаний маятника с помо-
щью АВМ пересчитывается в микропрофиль.
Динамический преобразователь профиля изображен на рис. 8.
Если взаимный центр медленного маятника (а также внутренней
и наружной ферм) совпадает с осью колеса, то перемещения маятника
(относительно внутренней фермы) не зависят от вертикальных коле-
баний сцепки и для малых колебаний расчетная схема принимает вид,
показанный на рис. 9.
При последующих расчетах трением в шине можно пренебречь.
Учитывая, что тм <С (где тм и тк — массы маятника и колеса),
можно пренебречь влиянием колебаний маятника на колебания колеса
(и груза). Система считается линейной.
Уравнения колебаний имеют следующий вид:
/Пг^г 4- cr(zr zK) + 2 гг (zr zK) = О,
™KZK + ^ш(^к ^0 ^г(^г ^к) 2fr(zr ZK) = О,
22 ~~ (^м ^к) “Ь 2гм (zM ZK) = 0,
где тг—масса прижимающего груза; zr, zK и zM — вертикальные коор-
динаты прижимающего груза, оси колеса и маятника; сг, сш и см —
жесткости прижимающей пружины, шины колеса и маятника; гг и
гм — коэффициенты сопротивления амортизатора прижимающего груза
и демпфера маятника; h— ордината профиля.
Введя новые переменные хь х2, х3, А и А3ап, приведем эти уравнения
к виду, удобному для набора на АВМ:
dzrjdt = —2фгсогА + xt;
dxjdt = —(ОрА;
А = —zu\
Г К’
dzyjdt = a2i|)r(i)rA + х2;
dx^dt = ©к (А—zK) + асог Д;
dzjdt = — 2г|)м(омДзап + х3;
dx^ldt= (омДзап,
^зап = ^-к-
(1-26)
Для изготовленной конструкции
а = -^Ь_^9; Ш2Г = _Д_~ Ю2; фг= ,2_ -як0,18;
тк тг У тгсг
(Ок = — SK 712; (о; = « 2,92; % = 0,441.
тм у тмсм
Рис. 9. Расчетная схема динами-
ческого преобразователя профиля
Численные значения этих параметров найдены экспериментальным
путем по известным методикам.
Выходной сигнал Дзап определяется передаточной характеристикой
динамического преобразователя профиля, которая имеет вид
н (рч _____________________(тгр24-2ггр4-сг)ск_________________х
А + 2гг (mr + mK) р3 4- (mrcr 4- mKcr 4- mrcK) p2 4- 2rrcKp 4- crcK
x • m"P2
mMp2 + 2rMp + cM
ИЛИ
X
P + 2*r (®r + awr)/’ + (a“? + “Г + ®к) p + 4W + 0>-<d-
x ------- (1.27)
/> 4- 2фмшмр 4- <o“
Для дальнейшего анализа удобно представить (1.27) в виде произ-
ведения передаточных функций трех колебательных звеньев, имеющих
частоты собственных колебаний со3, (02, сом и коэффициенты относитель-
ного затухания ф3, фг и фм, которые определяются через параметры
динамического преобразователя профиля:
им- —__—е!-----------(1.28)
р2 + 2ф3<о3р + <о3 р2 + 2ф2ш2р + <о2 р2 + 2фисомр + <о2
В области низких частот
Яя(р) =
Ра
р2 +
(1.29)
а в области высоких
НЛ(Р)
9 л 9
р4 + 2я|)2<1>2р + <о2
(1.30)
24
Во время дорожных испытаний записывается сигнал у = Дзап 4- б,
где б — шум, наложенный на полезный сигнал Дзап = Яд(р)й. Сигнал у
пропускают через фильтр Яф и получают сигнал q3an = Н^(р)у,
Фильтр Яф выбирают так, чтобы полученный сигнал 9зап как можно
меньше отличался от сигнала q = Hqh, т. е.
М{|<7—<7эап I2} = min. (1-31)
Если пренебречь шумом б, то
ЯФ = Я«/ЯД,
или
н /?2 + 2^м(Ом^ + (Ом р24-2ф3(о3р4-(о; р2Ц-2ф20)2р + <0^ 32)
Ф р2 4- 2^&{р 4- (о2 р2 4- 2фг<огр 4- ю2 (о2
Если спектральную плотность шума Xs (со) считать известной, то,
варьируя (1.31) по Я+, получаем уравнение, определяющее оптималь-
ную передаточную характеристику Я+ :
//ф(|яд|2/<Л + к6) + я;ял = ф_1 п-33)
(знак * вверху обозначает комплексно-сопряженную функцию или
матрицу).
Приближенное решение уравнения (1.33) имеет вид
и + 2W’ + WM р2 + 2ф3<о3р + <ojj р2 + 2ф2<о2р + <1>5 ы2
П ф .— --------------;------------------— , (1.ОЧ)
р2 + 2ipH<oHp + w2 р2 + 2фг<дгр + <о2 р2 + 21|>в<овр + <о2 о)2
где фн ~ 4>в ~ 1/0,5, а шп определяется из выражения <Ок<оГ2 Кл(<р) =
= К5(ш).
Если на частотах, больших «ь полезный сигнал превышает шум,
т. е. |//д(/<о) 12Кл(<о) » К»(<о), то в (1.34) w„ « юь в противном случае
(он определяется из равенства
с0н(0Й2Т<й((о);е/С8(и)-
Практически
(oH^sO,5(oM; (ов^:2<ок; фн « 0,6 ~ 0,7; фв^0,7. (1.35)
Преобразование профиля h(t) при этом имеет вид (без учета шу-
ма б)
<7л(0 = МЖ
где
9
2 (О*
НфЯд = ------- (1.36)
Р~ 4- 2фн(онр + со- р“ 4- 2фвй)вр 4- ©в
Поскольку (оп ~ о)|, то это преобразование в рабочем диапазоне
частот практически не отличается от преобразования Hq вида (1.8)
или (1.9). Разница имеется только в последнем множителе (1.36).
В отличие от (1.9) фильтр ЯФЯД отбрасывает не только низкие, но и
очень высокие частоты. Поэтому в качестве преобразования микро-
профиля вместо (1.9) можно принять (1.36).
Рис. 10. Осциллограмма записи микропрофилей двух сечений бетонного шоссе
Рис. 11. Динамические преобразователи профиля при записи двух сечений булыжной
дороги
В дальнейшем удобно ввести в рассмотрение преобразование,
обратное (1.34):
9 / 2\ 2 9 \ ГР2 + 2^—Р +о)к
! Р +(2%%Р + (ОН) Р +2фг(0гр + ^ <°в J
Ф ~ - ~--------------------------------• (1 •3О
р 4- 2фм<омр 4- р2 + 2i|)3(d3p + (Од р2 4-2ф2(о2р 4-со^
Выражение (1.37) отличается от (1.28) только членами, заклю-
ченными в скобки, причем эти члены влияют лишь на самые низкие и
высокие частоты, которые практически не вызывают колебаний авто-
мобиля. Действительно, если принять НФ = Н~^1, то q = НФНRh =
— = й, т. е. при отсутствии шума после обратного преобразо-
вания будет получен не микропрофиль, а полный профиль дороги,
включая спуски, подъемы и шероховатости. Обратное преобразование
удобнее всего проводить следующим образом. На АВМ набирают схему
колебаний динамического преобразователя с передаточной характери-
26
i) V V
Рис. 12. Осциллограмма записи искусственной неровности треугольной формы
Рис. 13. Осциллограммы микропрофилей, записанные при движении с различными
скоростями:
а — 30 км/ч; 6 — 60 км/ч
стикой и включают в обратную связь решающего усилителя.
Полученная схема имеет передаточную характеристику H~l (jw) ина
выходе сигнал h(t).
Чтобы при наличии шума (погрешностей) выделить хотя бы сигнал
*7зап(0» необходимо иметь пересчетную схему с передаточной характе-
ристикой Н$ [см. (1.34)]. При этом, как уже указывалось, преобразо-
вание /7ф(/со) мало отличается от преобразования H~l (/ш), и схему
набора с передаточной характеристикой Яф(/со) можно получить добав-
лением нескольких элементов к модели динамического преобразо-
вателя.
Для устранения «плавания нуля» и высокочастотного фона маг-
нитографа в схему набора добавлен элемент, имеющий
Н = 150р(р + 1)”1(Р + 150)’1.
На рис. 10 в качестве примера приведена осциллограмма записи
микропрофилей двух сечений бетонного шоссе, а на рис. 11 показаны
динамические преобразователи профиля при записи двух сечений бу- 27
лыжной дороги. Для определения совместных статистических харак-
теристик микропрофиля по двум колеям используют одновременно два
прибора, причем расстояние между записываемыми колеями можно
изменять в широких пределах.
Тарировку прибора производят путем проезда по искусственным
неровностям известных размеров. На рис. 12 приведена запись искус-
ственной неровности треугольной формы. Хорошей проверкой точности
записи является запись одного и того же участка дороги при различных
скоростях движения. Если преобразование микропрофиля остается
неизменным относительно длины неровностей (но не по времени), то
записанный микропрофиль остается неизменным, хотя колебания
медленного маятника (сигнал, записываемый на магнитограф)
меняются. На рис. 13 показаны осциллограммы записи при скоростях
движения 60 и 30 км/ч. Их некоторое расхождение объясняется не-
точным совпадением колеи при повторном проезде. Надо также иметь
в виду, что при малой скорости движения увеличиваются погрешности
записи длинных неровностей, а при большой — коротких.
Полученные записи микропрофиля использовались или непосред-
ственно в качестве возмущения при моделировании колебаний автомо-
биля, или для определения статистических характеристик неровностей
дорожной поверхности.
§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
ДОРОЖНЫХ НЕРОВНОСТЕЙ
1. Первичные и вторичные характеристики
При анализе дорожных неровностей на конкретном участке дороги или
маршруте движения автомобиля весь маршрут предварительно разби-
вается на отдельные однородные участки так, чтобы в пределах одного
участка профиль дороги можно было считать реализацией нормального
стационарного случайного процесса. Практически такое деление не
вызывает затруднений и может быть проведено на основе визуальной
проверки типа и состояния покрытия при проезде по интересуемой
дороге. Длина однородных участков колеблется обычно в пределах от
нескольких сот метров до нескольких десятков километров.
Окончательная градация на однородные участки проводится на
основе статистического анализа их микропрофиля: оценки статистиче-
ских характеристик и определении погрешности конечной выборки для
всего участка и отдельных его частей при использовании различных
статистических критериев. Фактически оказывается, что для участка
дороги с покрытием одного типа и примерно одной степени изношен-
ности различные статистические критерии не противоречат гипотезе
нормальности и стационарности процесса. Лишь в редких случаях
приходится использовать простейшие преобразования нормального
стационарного случайного процесса. Так, например, пахоту удобно
представить в виде суммы нормального процесса и чисто периодической
составляющей.
Чередование коротких разнородных участков на реальных'дорогах
наблюдается редко. Значительно чаще встречаются отдельные крупные
неровности или группы неровностей: пересечение дорог, переезд, русло
ручья и т. п. Если имеются такие неровности, их следует дополнительно
28 накладывать на однородные участки. Неровности существенно влияют
на режим движения автомобиля, так как преодоление особо крупных
неровностей возможно лишь при малой скорости, в то время как на
однородном участке скорость движения может быть высокой. Однако
к выделению отдельных крупных неровностей надо подходить осторож-
но. Нельзя предполагать, что при движении по однородному участку
в реальных условиях скорость автомобиля будет оставаться примерно
постоянной.
Если возмущение является нормальным стационарным случайным
процессом, то при движении с постоянной скоростью недопустимо боль-
шие перегрузки могут возникать не настолько редко, чтобы ими можно
было пренебречь (в среднем 1 раз за несколько минут), но и не так
часто, чтобы водитель не успевал увеличить скорость движения там,
где это возможно по условиям плавности хода. Реальное движение
автомобиля будет неравномерным, оно будет состоять из последова-
тельных циклов разгона на сравнительно ровных участках и притор-
маживания перед крупными неровностями (по сравнению с движением
с постоянной скоростью здесь существенно увеличивается средняя
скорость движения при тех же максимальных перегрузках). Такое
движение автомобиля наблюдается, например, на участках разбитых
грунтовых дорог. Однако эти участки будут считаться однородными,
если экспериментальные данные явно не будут противоречить гипотезе
нормальности и стационарности процесса.
Итак, структура длинных дорожных участков—маршрутов
движения предполагается следующей: маршрут состоит из отдельных
однородных участков, длина которых достаточна для определения
статистических характеристик каждого участка по одной реализации
конечной длительности. Кроме того, на участках могут встречаться
крупные одиночные или групповые неровности и препятствия, располо-
женные достаточно далеко друг от друга. В подавляющем большинстве
случаев микропрофиль однородного участка можно считать реализа-
цией нормального стационарного случайного процесса, а поверхность —
однородным изотропным нормальным двумерным случайным полем
(для дорог с твердым покрытием это поле равномерно сжато в продоль-
ном направлении).
Такая структура маршрутов предопределяет естественное деление
статистических характеристик микропрофиля маршрутов на первичные
и втрричные. К первичным относятся характеристики микропрофиля
отдельных однородных участков, а ко вторичным — характеристики,
определяющие длину и чередование этих участков, а также распреде-
ление отдельных неровностей — препятствий на них.
Для определения полных статистических характеристик микро-
профиля однородного участка достаточно иметь сравнительно короткие
участки (от нескольких сот метров до нескольких километров). Если,
кроме того, этот случайный процесс считается нормальным, то первич-
ные статистические характеристики исчерпываются оценками спек-
тральной плотности или корреляционной функции. В более сложных
случаях, а также при проверке гипотезы нормальности и стационарно-
сти приходится определять и другие статистические характеристики:
математическое ожидание, функции распределения, моменты высших
порядков и т. д.
Спектральные плотности однородных участков в настоящее время
изучены достаточно полно и поддаются естественной классификации
(см. следующий параграф). Каких-либо данных об однородных участ-
ках дорог, профиль которых отличается от нормального случайного
процесса, в настоящее время практически не имеется.
29
Для выявления вторичных статистических характеристик точное
знание микропрофиля участков не обязательно, необходимо лишь
отнести участки к определенному типу. Трудность оценки этих харак-
теристик заключается в том, что требуется анализ маршрутов чрезвы-
чайно большой протяженности (порядка многих тысяч километров), так
как отдельные виды дорог могут встречаться чрезвычайно редко.
Одной из основных задач является определение вероятности движения
по дороге того или иного типа (среднего состава маршрутов по дорогам
различного типа). Естественно, желательно иметь настолько подробную
классификацию дорог, чтобы тип дороги практически однозначно
определял колебания автомобиля. Однако при сколько-нибудь подроб-
ной классификации число типов дорог оказывается слишком большим,
что весьма затрудняет определение вторичных статистических характе-
ристик и даже отнесение каждого конкретного участка к тому или ино-
му типу. В настоящее время средний состав маршрутов по дорогам
различного типа определяется по простейшей классификации (дороги
с твердым покрытием, грунтовые, местность), при которой ровность
дорог одного типа может быть самой различной.
Практически отсутствуют данные по длинам однородных участков
и их чередованию, а также о расположении и величине отдельных
неровностей-препятствий. Такие данные необходимы при анализе
самонастраивающихся и регулируемых подвесок.
2. Свойства оценок
Пусть x(t) —эргодический случайный процесс, а х(/) при (О, Т) —
его реализация, известная в интервале времени (О, Т).
Оценкой численной статистической характеристики процесса х(/)
(среднего значения, дисперсии и т. п.) называется любое преобразова-
ние реализации [функционал от х(/)], которое может быть принято
в качестве приближенного значения искомой статистической характе-
ристики. Например, для математического ожидания m = Л4{х(/)} в ка-
честве оценки принимается следующее среднее арифметическое:
т
ш = -у- j* x(t)dt. (1.38)
о
Оценка (1.38), конечно, не является единственной оценкой матема-
тического ожидания, более того, она и не самая точная. Если задана
спектральная плотность процесса x(t), то по известному значению x(t)
в интервале (О, Т) можно построить наилучший линейный прогноз для
x(t) вне интервала (О, Г) и при оценке среднего значения использовать
этот прогноз. Такая оценка, естественно, оказывается более точной [18].
Чтобы выделить из всех возможных оценок наилучшие или под-
ходящие простые, их наделяют рядом свойств, к важнейшим из кото-
рых следует отнести состоятельность, несмещенность и эффективность
Разберем эти свойства на примере оценки среднего значения.
Оценка пг называется состоятельной, если lim m = m.
Оценка (1.38) является состоятельной, если процесс x(t) эргодиче-
ский. Несмотря на всю очевидность требования состоятельности оценки,
его не следует считать тривиальным. Например, при анализе микро-
30 профиля до сих пор часто встречаются оценки спектральной плотности,
которые не являются состоятельными (подробно это будет рассмотрено
ниже).
Оценка т называется несмещенной, если М{т} = т при любом Т.
Оценка (1.38) является несмещенной. Однако требование несмещен-
ности не является столь же необходимым, как требование состоятель-
ности. На практике часто рассматриваются смещенные оценки (с не-
большим смещением), если они проще несмещенных. Например, оценка
корреляционной функции
Т— х
k(x) =—!— f x(t + x)x(t)dt—m2 (1.39)
T—x J
о
(t — сдвиг во времени) чаще всего используется на практике, хотя и
является смещенной. Можно также отметить, что при достаточно боль-
ших длинах реализаций Т оценка (1.39) практически не отличается от
несмещенной
Т—х
k(x) = y 1 J х(/ 4- x)x(t)dt~m2. (1.40)
о
Оценка m называется эффективной, если она имеет наименьшее
среднее квадратическое отклонение от истинного значения среди всех
возможных оценок
М {(/Пэф—tn)2} = min.
Для несмещенных оценок тЭф будет иметь наименьшую дисперсию.
Дисперсия (погрешность) любой другой оценки будет заведомо боль-
ше. Чтобы определить, насколько принятая оценка близка к эффек-
тивной (наилучшей), вводят так называемый показатель эффектив-
ности
ет- м №”эФ-т)2}. (1 41)
М {(т—т)2\
Естественно, еТ 1 для любой принятой оценки т. В ряде случаев
простые оценки обладают тем свойством, что lim еТ = 1, т. е. при
Т —>ос
достаточно большом времени наблюдения принятая оценка почти не
отличается от наилучшей. При выполнении последнего условия при-
нятая оценка пг называется асимптотически эффективной.
Эффективная оценка, как правило, довольно сложна и редко ис-
пользуется на практике. Например, эффективная оценка среднего
значения нормального эргодического случайного процесса может быть
получена путем построения указанного выше наилучшего линейного
прогноза [18]. Если процесс не является нормальным, то эта оценка
будет эффективной в классе линейных оценок. Однако эффективные
оценки имеют очень большое значение, так как позволяют оценить
предельно достижимую точность независимо от того, каким способом
была получена оценка.
Используемые на практике оценки часто оказываются асимптоти-
чески эффективными. Известно, например, что для регулярного нор-
мального стационарного случайного процесса z(t) оценки (1.38) — (1.40)
асимптотически эффективны [18], а если процесс отличается от нормаль-
ного, то они являются асимптотически эффективными в классе
линейных. 31
3. Оценки статистических характеристик
микропрофиля
Основной статистической характеристикой микропрофиля однород-
ного участка является его спектральная плотность или корреляционная
функция. С целью проверки гипотезы нормальности и стационарности
процессов могут определяться также функции или плотности распре-
деления, моменты третьего и четвертого порядков и т. п.
Здесь и далее микропрофиль по двум колеям
<7(0 =
будет считаться двумерным регулярным случайным процессом. Его
корреляционная функция (матрица)
Л(т) = Л1{<7(/ + т)<?*(/)} =
6ц(т)
^21 (т)
^,2 (т)
Л22(т)
(1-42)
а спектральная плотность
е—/шт .
/Сц(й)) Kj2((0)
^21 (<а) ^22 (<°)
(1.43)
где Ац(т) и /<ц(со), £22 (т) и К22М—корреляционные функции и
спектральные плотности одномерных случайных процессов соответ-
ственно qi(t) и <?2(0; *1г(т) = *2i(—т) и Л12(со) = /<2i (<°) —взаимные
корреляционная функция и спектральная плотность, при этом
4-оо
612(т) = М{<?,(/ + т)?2(0); К|2(®)= J £12('г)е-'<йМт.
— 00
В общем случае взаимная спектральная плотность является ком-
плексной величиной:
Л12(ш) = 1/(ш)4-/У(ш), (1.44)
где
U(<a) = Re[tf12(w)] = J dv,
V(w) = Im [#!,(<.))] --/ J Л|г(т)~2Л|2(---) е-'“Мт
—сю
или
К|2(ю) = |К12(<1))|е'<'’, (1.45)
где | Л'|2(со)| = Уи2(&) + V2(w), ф = arctg-£^-.
Целесообразно ввести коэффициент корреляции процессов qi(t) и
<72(/) на частоте ы [19]
р(Ю) =... . (1-46)
32 ’ ГКн(<о)Кг2(<о)
Поскольку оценить спектральную плотность в точке теоретически
невозможно, то рассматривают осредненные спектральные плотности.
Пусть Н — узкополосный фильтр, H(jv)—его передаточная характе-
ристика, а соф — средняя частота фильтра. Тогда осредненной по филь-
тру Н спектральной плотностью называют функцию
+ оо
к(®ф)=4- f |я(М1а(1 -t
—ао
(О I /
(1-47)
+ » ___________________________________________________________
где А = J | Я(/а)|2</<о— нормирующий множитель по фильтру Н.
—ао
Обычно фильтр Н выбирают так, чтобы его характеристика была
близкой к прямоугольной:
|ад12Ч
1 при (Оф
А со
А(о
О в остальных случаях.
< | ® | < (оф
В этом случае А = 2Лсо, а /С(соф) называют спектральной плотно-
стью, осре^дненной по интервалу До. Часто применяются полосовые
фильтры Я, характеристики которых отличаются от прямоугольных.
Согласно равенству (1.47) определяют также осредненную взаимную
спектральную плотность, ее действительную и мнимую части, осреднен-
ный коэффициент корреляции по частотам и т. п.:
К|2(®ф) = ^(<Оф) + /У(®ф), (1.48)
где
+ оо
^(®ф) = -J- J Iн I2 Ki2(o»)d<a;
--00
+ <50
*>ф)=“ f -^-1 Я(/(о) |2 К12(ш)Ло;
1А J I (О I
—00
К12(®ф)
р((Оф) = —г . (1.49)
Аналогично можно определить и осредненную плотность распределе-
ния процесса 7i(/):
q.+ 4£
f(Qo)---f f(Q)dQ, (1.50)
где f(Q) — плотность распределения a Qo — среднее значение
в принятом интервале. 33
3 Заказ 3363
Оценки искомых статистических характеристик строятся как оценки
среднего значения вспомогательных случайных процессов
2л11(0 = ?1(^+т)Ы0;
+ %) <7г(0; 2к.,(0 = -^HqiWHqdtY,
Zu(t) = ^Hq,(t)Hq2{t)- Zv(t) = Tfqx(f)Hq'2(t)-
Л rt
Z/(O J -sir "ри 6(Q«—Q"+-T-);
0 в остальных случаях.
Здесь фильтр Н' имеет передаточную характеристику
Непосредственно проверяют, что
M{Zftll(0} = ^u(T); М{2£/(0} = С/(®ф); '
М {Zftls(0} = *12СО; М {Zv(t)} = У((оф);
М{2К11(0} = ^11(®Ф); M{Zf(t)} = f(Qj.
(1.51)
|<о|
(1.52)
Пусть q(t)—реализация случайного процесса </(/), заданная
в интервале (0, Т), тогда, согласно (1.52), оценка, например, корреля-
ционной функции &п(т) строится как оценка среднего значения процес-
са Z,n (0 [см. (1.51)]:
Г—т
*и(т) = —!- f ZkAtydt,
1 —т J
о
где Zkn (t)—реализация процесса Zk,,(t), соответствующая реализа-
ции q(t),
При этом q(t) определена в интервале (0, Т), a Z*,, (t) —в интервале
(0, Т—т). Совершенно аналогично согласно равенствам (1.51) и
(1.52) строят оценки других статистических характеристик.
Все оценки являются состоятельными и несмещенными, если при
оценке спектральных плотностей учитывается время тф переходного
процесса фильтров
Ки(®ф) =rL- [
7-гф .)ф
Если случайный процесс q(t) нормальный и регулярный, то оценки
корреляционных функций и спектральных плотностей являются асим-
птотически эффективными.
При практическом определении <7((0ф) и У(соф) требуются по мень-
шей мере два фильтра, настроенные на одну и ту же частоту (Оф.
Однако для получения оценок достаточно одного спектрального. ана-
лизатора, если использовать следующие соотношения:
^о,5(^,4-^)(ю) =-—’Кц(®) Kzzt®) + —
4 4 2
Ko,5(<Zi—<h) (®) = ~ ^11 (®) + ~ ^22 (®)-
^1+^) = ТХ,,(в>) +TK4(<e)+TV(<0);
^o.5(.1_90(“) =т*и(“)+4а>)-ту(ю)’
где q'2(t) = Ф7г(0« а передаточная характеристика преобразования
Ф=—. Тогда, зная осредненные спектральные плотности случайных
Iш I
процессов 0,5 (<71 + <7г); 0,5(qi— дг)‘, 0,5 (<h + q2) и 0,5 {q\ — q2),
можно найти £7(®ф) и К(<Оф):
(7(®ф) =Ко,5(<71+<Ь)(®ф)—Ком<ь-<н)(®ф)> I
V<^ = *o,5(<1+90«M -^о>5(в1_^)(“ф)- / ° -53)
Если известны Лц((0ф) и ЛггСсоф), то
Щюф) = 2Ко,5<<п+?2)(®ф)-^-А'пСОф)--------КггС^ф);
^(<°ф) = уШ +-^"^2г(“ф) —2Ко.5и,-</2)(®ф);
У(®ф) = 2К0 5^1+?^(©ф) —1- Кц(®ф) —1-К^(а>ф);
У(®ф) =-|-Кп(<Вф) +-у (“ф)—2^0,5(«1-?')(®ф)-
Следует отметить, что при определении процесса q'2(t) используют
фильтр с передаточной характеристикой /со/| <о |. Поскольку его синтез
представляет значительные трудности, то для узкополосного фильтра Н
вместо /<о/|о>| можно применять преобразование /<о/(оф, т. е. диффе-
ренцирование. При этом qi(t) и q2 (t) должны быть сдвинуты на 90°
в пределах полосы пропускания фильтра.
Если заведомо известно, что /Си(со) = Кгг(со), т. е. колеи одинаковы,
то можно получить
К]1(®ф) в ^22(®ф) = ^0.5(91+<?2)(<Оф) + Ко.5(Ч1—<72)(<Оф). (1.54)
При оценке спектральной плотности процесса x(t) фактически
надо провести оценку дисперсии D случайного процесса U(t) = Hx(t),
где Н — узкополосный фильтр. Как уже указывалось, асимптотически
эффективной оценкой D является оценка
D=^U\t)dt, (1.55)
о
где U(t) —реализация U(t).
По этому принципу выше и построена оценка спектральной плот-
ности. Однако для центрированного нормального процесса U(t) иногда
сначала удобнее провести оценку не дисперсии, а значения среднего
модуля процесса
т
о
35
з*
после чего оценка дисперсии
D'= (0,5л)|(/|ср. (1.56)
Естественно, оценка D' будет иметь большую погрешность конечной
выборки, чем оценка D, которая почти совпадает с наилучшей. Однако
это увеличение погрешности оказывается небольшим (примерно
в 1,05 раза) и часто вполне окупается уменьшением аппаратурной
погрешности и упрощением аппаратуры.
4. Погрешности оценок
Погрешности оценок делятся на погрешности конечной выборки и
аппаратурные, которые в свою очередь разделяются на случайные и
систематические. При оценках спектральной плотности специфической
является погрешность осреднения, которая проявляется как в конечной
полосе пропускания фильтров, так и в смещении осредненной спек-
тральной плотности от истинной. , Определяющими, как правило,
являются погрешности конечной выборки.
Интересующие нас оценки в предыдущем разделе были сведены
к среднему арифметическому (1.38). Поэтому погрешности конечной
выборки можно определить, используя погрешности этой оценки. Изве-
стно, что среднее квадратическое погрешности оценки (1.38) опреде-
ляется по формуле [4]
т
D~ = M {(m-/n)2j = -^ J (1 —у) k(x)dx, (1.57)
О
где k(x) —корреляционная функция процесса Z(t).
Если время наблюдения Т намного больше, чем время существенной
корреляционной связи ординат процесса Z(t), то
(1,58)
—оо
где Лг((о) —спектральная плотность Z(t).
Итак, для определения дисперсии рассмотренных выше оценок
достаточно выявить значение в нуле спектральной плотности процессов
Z(t) (1.51). Зная лишь спектральную плотность микропрофиля q(t)
[ом. (1.43)], определить значения Лг(0) для процессов Z(/) [см. (1.51)]
удается практически только в том случае, если процесс q(t) нормаль-
ный. Этот случай и рассматривается ниже.
Для оценки корреляционной функции
т
о
где Zftu(0 — qi(t + x)qi(t), а корреляционная функция процесса
Z*.. (О
kz(t) kh(t) + kn(t + x)kn(t—т),
4-to
при этом *11(т) = /И{91(/ + т)^1(/)1; Kz(0) = J kz(t)dt, дисперсия
—»
36 D[*u(T)] «Kz(0)/T.
(1.59)
При малом времени интегрирования следует воспользоваться точ
ной формулой (1.57) или приближенной
D[£u(t)]^
Kz(0)kz(0)
Kz(0)+kz(0)T ’
(1.60)
которая по сравнению с формулой (1.59) дает более точные резуль-
таты при малых Т.
Для оценки взаимной корреляционной функции
т
ki2(x) = ^Zk,t(t)dt,
о
где
2ftl2(0 = <7i(<+T)92(0; МО = +
Выбор максимального значения т и шага Дт при оценке корреляци-
онных функций определяется фактически требованиями к оценке
спектральной плотности, которые приведены в следующем разделе.
Погрешность оценки нормированной корреляционной функции рассмот-
рена в литературе [20]. _
Для оценки спектральной плотности, сглаженной по фильтру Н,
т
К(®ф) = -L рк(Ш
о
+ оо
где ZK(0 = ~-[Hqx(Z)]2; А = (’ | Я (/<о) [2d<o, имеем
КДО) =— f | Н(/©)|Ж(ffl)d®; kz(0) = 2Kl (®ф).
Л t/
(1.61)
Дисперсия оценки К(шф) при любом Т довольно точно определяется
выражением
Р№Ф)1=
* Кг(О)+*г(0)Г
Для прямоугольного полосового фильтра И
Яг(0)>(2л/Д®)Я?(®ф),
причем равенство достигается в том случае, если Ki (со) = const в поло-
се пропускания фильтра, откуда следует фундаментальное соотношение
спектрального анализа
D Г *(<>♦)
2л
К(<0ф) ] А со Г
т. е. погрешность конечной выборки обратно пропорциональна полосе
пропускания фильтра (интервалу сглаживания спектральной плотно-
сти) Дю. 37
(1.62)
Для оценки действительной части осредненной взаимной спектраль-
ной плотности [21]
т
о
где процесс Zv(t) = (2nlA)Hql(t)Hq2(t), имеем
4-оо
Кг(0)>[К1(еф)К2(®ф)+С72((0ф)-У2(®ф)]^- f
** е/
Для фильтра с прямоугольной характеристикой и примерно посто-
янных в полосе Дсо спектральных плотностей
W) ~ [Я. (®Ф) к2(®Ф) + и2 (®Ф) - И<М;
ЩЩ<оФ)1 ~ + ^2(®ф)-Р(®ф)]-
Д(д/
(1.63)
Для оценки мнимой части осредненной взаимной спектральной
плотности аналогично [21]
D [V (®ф)] « [А?! (соф) К2 (®Ф) - и^Ф) + ^(®ф)].
Д(02
При оценке коэффициентов корреляции по частотам
~ £/(<оф)
Рс/= i/~-----~—....
V К1(©ф)к2(©ф)
и
~ У(<оф)
pv— ---------------
г К1 (<0ф)К2(фф)
(1-64)
(1.65)
(1.66)
выкладки оказываются более громоздкими. В этом случае получаем
°[р</]~-т^7(1—Ру—-pv)(l— ро);
Д(о/
(1.67)
D[PJ^-^F(1-P2-P2)(1-P^
(1.68)
Оценку осредненной плотности распределения определяют по фор-
муле (1.50):
т
?((&)= ~^Zf(t)dt,
о
где Zf(t) =
-77 при (О С (Qo
&Q \
f.Qo4
до. у
2 /’
О в остальных случаях.
В этом случае получаем
до до
<?»+ Q»+
= "лп2 f Г <Px(QiQ2)rfQ[rfQ2 f2(Qo),
O_*QO AQ
Qo—г Q°-~
38
где <Pt(Qi, Q2)—совместная плотность распределения случайных ве-
личин <71 (0 и <71 (/ — т).
Для нормального процесса qi(f)
ФТ(Р1» Q2) — 1/~'2 2
2л У *1(0)— *2 (т)
Ovn *i(0)(Q? + Q|)-2*,(t)Q,Q2
exp <v,o -------—
*1(0)- *I(T)
где Ai (t) — корреляционная функция q\ (/).
Если случайный процесс q(t) является процессом с сильным пере-
мешиванием (вполне регулярным), то согласно центральной предель-
ной теореме все рассмотренные оценки будут иметь асимптотически
нормальное распределение, и для определения доверительных границ
при достаточно большом времени наблюдения можно пользоваться
таблицами нормального распределения. Оценка спектральной плотно-
сти имеет распределение %2. Точнее, случайная величина Л1(®ф)/К1(®ф)
имеет распределение %2/п с числом степеней свободы п & Т&ы/я,.
Поэтому при малом времени наблюдения (га < 10) для определения
доверительных границ можно использовать таблицы распределения %2.
Следует особо отметить, что оценки спектральной плотности, осред-
ненной по непересекающимся интервалам частот, являются независи-
мыми случайными величинами (для нормального процесса). Это свой-
ство существенно упрощает анализ погрешностей и позволяет исполь-
зовать известные статистические критерии для проверки гипотез о виде
спектральной плотности. К этому надо добавить, что погрешность
оценки этой плотности (в отличие от других оценок) не зависит от ее
вида и практически однозначно определяется полосой пропускания
фильтра Дю и временем наблюдения Т (1.62).
Специфической погрешностью спектрального анализа является
«погрешность осреднения» спектральной плотности. Эта погрешность
обусловлена тем, что вместо истинного значения спектральной плот-
ности получают ее значение, осредненное по интервалу Дш. Погреш-
ность сглаживания характеризуется шириной полосы пропускания Д<о
или относительной полосой Дш/шф. Часто узкополосность фильтра ха-
рактеризуют отношением максимальной частоты пропускания сотах =
— (Оф + Д(о/2 к минимальной <amm = <оф — Д<о/2. Чем шире полоса про-
пускания, тем больше погрешность сглаживания. Поэтому полосу
пропускания выбирают настолыко малой, чтобы сглаживание не при-
водило к существенным искажениям спектральной плотности, которые
будут малыми, если в пределах полосы пропускания Д<о спектральная
плотность изменяется незначительно или монотонно без резких всплес-
ков или спадов. Естественно, осредненная спектральная плотность
теряет информацию о сингулярной составляющей (чисто периоди-
ческая составляющая процесса). Эти составляющие проще выявить
путем оценки корреляционной функции.
Слишком малый интервал осреднения Дш также нежелателен: при
Д<о->0 погрешность конечной выборки стремится к бесконечности
[см. (1.62)]. При выборе интервала осреднения Дш всегда приходится
идти на компромисс между погрешностями осреднения и конечной
выборки.
Для определения полной погрешности оценки к погрешности конеч-
ной выборки следует добавить аппаратурную, которая состоит из по-
грешностей датчиков, регистрирующей аппаратуры и анализатора (или
погрешности вычислений). Аппаратурная погрешность состоит из слу-
чайной составляющей (аддитивной и мультипликативной), частотных
(или фазовых) и нелинейных искажений. Поскольку они, как правило, 39
точно неизвестны, то компенсировать их при нахождении оценок
статистических характеристик удается лишь частично. Например, при
оценке спектральной плотности можно учесть аддитивный случайный
шум (если известна его спектральная плотность), ввести поправочные
коэффициенты для известных частотных искажений, однако компен-
сировать нелинейные искажения и мультипликативный шум почти
невозможно.
Специфической аппаратурной погрешностью спектрального анализа
является нестабильность передаточных характеристик фильтров. Это
объясняется тем, что инфранизкочастотные узкополосные фильтры,
изготовление и настройка которых весьма трудоемки, как правило,
включают в себя электронные усилители. Нестабильность может про-
являться в изменении формы частотной характеристики и полосы
пропускания фильтра, но особенно сказывается нестабильность инте-
гральной чувствительности
+ оо
А= j |Я(/<й)|Ш,
—оо
которую проверяют тарировкой с помощью прецизионного генератора
«белого» шума или генератора качающейся частоты.
5. Спектральный и корреляционный анализы
Спектральный и корреляционный анализы фактически эквивалентны,
так как корреляционная функция и спектральная плотность жестко
связаны между собой преобразованием Фурье. Однако их техника
существенно различается.
Спектральный анализатор обычно используют при аналоговой
форме представления сигналов. Если анализатор имеет только п
фиксированных узкополосных фильтров, занимающих общую полосу
частот (comin, сотах), то их обычно располагают так, чтобы (условная)
максимальная частота пропускания каждого фильтра совпадала с ниж-
ней частотой пропускания следующего, т. е. чтобы в полосе определе-
ния спектральной плотности не было пропусков и перекрытия частот.
Относительная узкополосность фильтров обычно принимается одина-
ковой. Например, спектральный анализатор типа СИЧ содержит 22
треть-октавных фильтра в полосе частот от 0,8 до 140 Гц. В результате
спектрального анализа в этом случае получается п точек осредненной
спектральной плотности. Эти данные называются выборочной спек-
тральной плотностью.
Корреляционный анализ обычно проводят с помощью ЭЦВМ. Оцен-
ка корреляционой функции проводится в интервале t0 с шагом Д/. При
этом получается /о/Д^ точек выборочной корреляционной функции.
Наиболее просто определяются требования к точности определения
выборочной спектральной плотности и назначаются ширина полосы
анализируемых частот (<0тш, (Отах), интервалы осреднения (или число
фильтров), погрешности конечной выборки и необходимое время на-
блюдения Г, допустимая аппаратурная погрешность. Для микропро-
филя эти требования определяются требованиями к точности выявления
статистических характеристик колебаний автомобиля, а также типом
автомобиля и видом спектральной плотности. В большинстве случаев
спектральную плотность микропрофиля достаточно определить в полосе
частот 0,5—20 Гц. Поскольку она обычно выражается довольно плав-
40 ной кривой (без резких подъемов и спадов), то интервалы осреднения
могут быть выбраны достаточно широкими. Интервалы в 7з октавы не
приводят к большим погрешностям осреднения. Для того чтобы по-
грешность оценки средних квадратических значений перегрузок и
прогибов рессор не превышала 10—15%, длительность реализаций
должна продолжаться несколько минут (при эксплуатационных ско-
ростях движения). Аппаратурные погрешности оценки спектральной
плотности не должны превышать 5—10%. Этим практически исчерпы-
ваются требования, предъявляемые к спектральному анализу микро-
профиля, причем их можно легко выполнить и проконтролировать.
Требования, предъявляемые к выборочной корреляционной функции,
намного сложнее и определяются в конечном счете требованиями,
которым должна отвечать выборочная спектральная плотность. Если
£(т)—оценка корреляционной функции, то оценку спектральной плот-
ности можно дать в виде
/С(юф) = J Л(т)А(т)соз((ОфТ)</т, (1.69)
—То
где А (т) — «окно» интегрирования [5].
Используют, например, «окна» вида
cos2при | т | < тф;
А (х) = 2 ТФ
0 при | х | > тф,
где 2тф — ширина «окна» интегрирования.
Оценка К(соф) [см. (1.69)] будет оценкой спектральной плотности,
сглаженной фильтром Н с передаточной характеристикой
Ч-оо
|Я(/<|))|2= J A(t)cos[(<b—(Оф)т]с/т.
—00
При этом оценка К(соф) совпадает с оценкой, полученной методом
спектрального анализа, и погрешность конечной выборки легко опре-
деляется. Надо иметь в виду, что при определении k(x) предъявляются
исключительно высокие требования к точности вычислений (аппаратур-
ной погрешности корреляционного анализатора), так как даже незна-
чительная ошибка может привести к большим погрешностям определе-
ния спектральной плотности.
К сожалению, в ряде опубликованных работ не имеется серьезного
анализа погрешностей выборочной корреляционной функции микро-
профиля. Вместо этого проводится аппроксимация выборочной корре-
ляционной функции аналитическими выражениями вида
k(x) = Se“,T,<z<(a£cos + &£ sin0£| т |)
без должного обоснования точности аппроксимации в отношении
точности получаемой спектральной плотности. В этой формуле аг-—ко-
эффициенты, характеризующие затухание; 0г- — коэффициенты, харак-
теризующие колебательный процесс.
Такой подход может привести и действительно приводит к серь-
езным ошибкам. Это, конечно, не означает, что такую аппроксимацию
корреляционной функции проводить нельзя. Следует проводить анализ
погрешностей, вызванных такой аппроксимацией, а также учитывать
41
основные особенности погрешности выборочной корреляционной
функции.
В отличие от оценок спектральной плотности оценки соседних точек
корреляционной функции сильно коррелированы так, что выборочная
корреляционная функция даже для малого времени реализации полу-
чается довольно плавной. Известно, например, что если реализации
случайного процесса непрерывны, то выборочная корреляционная
функция оказывается дифференцируемой [22]. Поэтому она легко под-
дается аппроксимации аналитическими функциями, и по внешнему
виду такая аппроксимация представляется удобной. Особенно тщатель-
но следует аппроксимировать корреляционную функцию в окрестности
точки т = 0. Здесь А(т) и Л(т) практически совпадают с точностью до
постоянной составляющей. Например, известно, что —А(т) =— k(x)
dx dx
при т->-0 [23]. При этом именно поведение А(т) в окрестности нуля
определяет спектральную плотность процесса в области высоких
частот. Заметим также, что малый шаг Дт оценки корреляционной
функции и очень высокие требования к точности вычислений (аппа-
ратурной погрешности) требуются фактически лишь при оценке k(x)
с малыми х. При больших значениях т шаг Дт может быть увеличен,
так как значения k(x) фактически используются лишь для оценки
низкочастотной составляющей сигнала.
Примерные требования к выборочной корреляционной функции
определяются из следующих соображений. Поскольку полоса частот
микропрофиля составляет примерно 0,5—20 Гц, то шаг Дт (по крайней
мере при малых значениях т) должен быть не менее 0,01 с, а для
обеспечения эквивалентного интервала осреднения спектральной плот-
ности Дю (узкополосность анализа) хотя бы в */з октавы, надо опреде-
лять k(x) в интервале 0 х [6 4- 10] с. Высокочастотная составляю-
щая спектра, например в диапазоне 10—20 Гц, фактически определяется
значениями k(x) при х < 0,1 4- 0,2 с. В этом диапазоне k(x) изменяется
очень мало, но это изменение должно быть определено как можно
точнее.
6. Проверка гипотезы нормальности
и стационарности
Известные важнейшие свойства нормальных стационарных случайных
процессов следуют только из свойства строгой нормальности. Но на
основе статистического анализа реализаций можно сделать вывод лишь
о приблизительной нормальности процесса, точнее, о том, что по приня-
тым критериям гипотеза нормальности и стационарности не противо-
речит экспериментальным данным. Однако необходимо иметь в виду,
что по другим критериям она может не подтвердиться, поэтому следует
проверять те свойства нормальных стационарных случайных процессов,
которые используются в данной задаче.
Применительно к микропрофилю эти свойства можно разделить
на две группы1
1) свойства нормальности распределений (нормальность линейных
преобразований, соответствующих автомобилю, вероятность больших
отклонений, частость превышения заданного уровня и т. п.);
2) свойства стационарности (точнее — свойства регулярности),
42 которые заключаются в том, что статистические характеристики, опре-
деленные для любой части анализируемого участка дороги, не должны
выходить за доверительные границы, высчитанные по статистическим
характеристикам всего участка в предположении нормальности
процесса.
Разумеется, такое деление является условным, так как обе группы
свойств определяются в равной степени гипотезами нормальности и
стационарности процесса. Здесь эти гипотезы рассматриваются одно-
временно. Вообще проверять гипотезу стационарности без дополнитель-
ных гипотез бессмысленно (как минимум необходимо достаточно
быстрое убывание показателя регулярности). Практически же доста-
точно точные критерии удается построить только для нормального
стационарного процесса или для простейших его преобразований
(добавка периодической составляющей, простейшие нелинейные
преобразования и т. п.).
Из свойств нормальности нас интересует не столько нормальность
самого микропрофиля, сколько линейных преобразований, соответ-
ствующих автомобилю. При исследовании «нелинейной» модели
автомобиля важно точно знать, что 'отличие колебаний от нормального
процесса обусловлено именно нелинейностью, а не особенностями
микропрофиля (возмущений). В этом случае достаточно проверить
нормальность одномерных распределений следующих линейных пре-
образований микропрофиля:
------г * О-70)
р2 + 2ф0ш0р + <о2
И
р2 + 2ф ,<о,р + <в2
где фо и соо — коэффициент относительного затухания и частота соб-
ственйых колебаний подрессоренных масс, а фц и оц— то же, неподрес-
соренных.
Преобразования (1.70) и (1.71) примерно соответствуют прогибам
рессоры и ускорениям неподрессоренных масс.
Чаще всего из свойств распределений на практике используют
лишь вероятности больших отклонений и частость превышения задан-
ного уровня (пробой подвески, отрывы шины от дороги). В этом случае
целесообразно для записанного микропрофиля найти число N пробоев:
Д > Ддоп (где Ддоп — допустимый прогиб) и сравнить полученное зна-
чение с теоретическим средним, подсчитанным по формуле Райса,
y=7'_Ll/-^2_exp(—2О5г1- U-72)
2л г *д(°) I 2ЛД(°) ]
Поскольку пересечения большого уровня являются асимптотически
пуассоновским потоком событий {22], то
D[N]xN. (1.73)
Поток пересечений должен быть близким к пуассоновскому, иначе
равенство (1.73) будет не выполнено. Для этого необходимо, чтобы
£>[Д2] = k'^ (0) была конечной величиной. Кроме того, желательно иметь
йд (0)/г~'(0) < Ю(оо2 и коэффициент относительного затухания фо > 0,2. 43
Вместо выражения (1.70) целесообразно использовать тогда преобразо-
вание вида
р2 + 2ф0ю0р + (Oq р2 + + «2
Проверка свойств стационарности сводится к экспериментальной
оценке погрешности конечной выборки и сравнению ее с теоретической,
вычисленной на основе гипотезы нормальности и стационарности. По-
скольку основной статистической характеристикой является спектраль-
ная плотность, то для нее и следует проводить оценку погрешности.
Весь исследуемый участок дороги можно разбить на несколько частей.
Оценка спектральной плотности может быть проведена как для всего
участка, так и для отдельных его частей. Если считать процесс нормаль-
ным и стационарным, то, зная спектральную плотность всего участка,
можно вычислить погрешность конечной выборки и доверительные
границы оценки плотности по его части. Если экспериментально
определенные оценки не выходят за доверительные границы, то процесс
можно считать стационарным.
Для спектральной плотности нетрудно построить и единый критерий.
Всю реализацию продолжительностью Т разбиваем на N интервалов
продолжительностью T/N каждый. Если построить оценки спектральной
плотности Лг(<о) по каждому интервалу, то оценку по всему участку
можно дать в виде
/V
i= 1
если интервалы T/N достаточно велики, то оценки Kt(<o) практически
независимы. Если спектральный анализатор имеет п фильтров с непе-
ресекающимися интервалами частот пропускания, то будем иметь Nn.
оценок K,(wj), которые являются независимыми случайными величина-
ми. Образуем теперь случайные величины
9 = ( feH)-Л д/
° \ Л(<о;) / У 2nN
где Acoj — полоса пропускания /-го фильтра.
Очевидно, что М {0ij} = 0; D{0ij} = 1, и если ГДсог7(М2л;) > 10, то
имеют приблизительно нормальное распределение. Тогда случайная
величина
/V п
б2=220?/ (1,74)
1=1 / = 1
должна иметь распределение х2 с n(N—1) степенями свободы.
Критерий 02 [см. (1.74)] является наиболее полным критерием ста-
ционарности по спектральной плотности, однако его практическое
использование затруднено ввиду громоздкости вычислений. При анали-
зе микропрофиля достаточно разбить сигнал на два диапазона частот,
выбор которых определяется передаточной функцией самого автомо-
биля. Например, можно исследовать стационарность процессов Д(/)
44 [см. (1.70)] и 1(f) [см. (1.71)] путем оценки их средних квадратов.
Можно также разбить всю реализацию на /V равных интервалов и дать
оценку дисперсии по каждому из них. Например, для процесса Д(/)
(1.75)
Оценка дисперсии процесса Д(/) по всему участку определяется как
у
1=1
а оценка дисперсии случайной величины .
D{Da.} =-Ц У (Da-Da)2. (1-76)
I ДГ— 1 I
i=-1
Полученное экспериментально значение D{Da(. } сравнивают
с теоретическим
D{Da.} = -^-/<a.(0),
гдедляД(/) вида (1.70)
/<А«(0) = — f I--------------------I4 К- (<o)d<D.
Я Д (/0)) + 2*о(°о +
Например, для спектральной плотности микропрофиля
Если разность D{b& } — D{D±. } несущественна, то процесс Д(/)
можно считать стационарным.
Вместо разбивки на интервалы можно использовать скользящее
суммирование.
7. Аппроксимация спектральной плотности
микропрофиля
В результате спектрального анализа получают оценку нескольких
точек осредненной спектральной плотности. Если анализ ведется
с помощью третьоктавных фильтров в диапазоне частот 0,5—20 Гц, то
оцениваются .18 точек спектральной плотности. Чтобы получить
непрерывную кривую плотности, можно просто соединить эти точки.
Однако в ряде задач, связанных с аналитическими расчетами, необ-
ходимо представить спектральную плотность микропрофиля хотя бы
приближенным, но аналитическим выражением. При этом необходима
не только интерполяция этой плотности внутри диапазона анализируе-
мых частот, но и экстраполяция на .весь диапазон частот от 0 до
бесконечности: спектральная плотность регулярного случайного 45
процесса не может быть равна нулю ни в .каком конечном интервале
частот.
Спектральная плотность микропрофиля *как регулярного случайного
процесса хорошо аппроксимируется дробно-рациональными функ-
циями. Удобно аппроксимировать сразу спектральную плотность про-
филя дороги (продольного сечения) Кл(со), так как она имеет более
простой вид. Спектральная плотность микропрофиля при этом
(1-77)
где Hq(ja>)—преобразование микропрофиля (см. раздел 2 в § 1);
ад®)« —5—-------------г ’ (1 • 78)
’ ’ (/®)2 + /2“»м/<0 + 0)2
®м ад - 3) 1/с.
Результаты многочисленных исследований, проведенных в СССР
и за рубежом, показывают, что спектральная плотность продольного
сечения дороги почти всегда может быть представлена в виде [24, 25]
D2 со2 4- о2 со2 + со|
0)2 СО2 + ©2 <°2 + 03 4
(1.79)
где cof — частота среза.
Экстраполирование спектральной плотности микропрофиля в об-
ласть очень низких частот (макропрофиль) рассматривается в § 4.
В этой области ее уровень определяется в основном характером
местности.
Спектральная плотность продольного сечения (при точечном кон-
такте) в области очень высоких частот (шероховатости) обычно имеет
вид D^"2. Однако при задании возмущений (см. § 1) такой вид непри-
емлем (в этом случае возмущение не имеет, например, производной),
тогда в качестве возмущения следует задавать профиль (или микро-
профиль), осредненный по площадке контакта
(7(0 =HK(p)h(t),
где Нк(р) — передаточная функция осреднения.
Спектральная плотность возмущения будет иметь вид
Ки(<л) =\Нк{](л)\2Кн(а>) (1.80)
при использовании профиля или
Кой=I ад®) I21 ад®)12клй (1.81)
при использовании микропрофиля. Вид преобразования Як(/®) для
различных площадок контакта определяется в § 5.
Увеличение числа сомножителей в формуле (1.79) может потребо-
ваться лишь в случае, когда профиль имеет ярко выраженную преоб-
ладающую частоту (резонансную составляющую). Тогда спектральная
плотность профиля
JC (©) — Di ю2 + <0» ю2 + юз (/<о)2 + 2ф5а>5/а> + а>| 2
<а2 ©2 + ©2 ©2 + ©2 (j©)2 + 2t|)6<o6/(o + <о|
где последний множитель дает резкое увеличение спектральной плот-
ности на частоте ше при фв 1- Такое увеличение соответствует грун-
товым накатанным дорогам, где имеются ярко выраженные волны,
46 длина которых обусловлена колебаниями движущегося транспорта.
Чисто периодическую составляющую (пахота, стыки плит и т. п.)
лучше выделить из микропрофиля и в спектральную плотность регу-
лярной составляющей не включать.
Для многих дорог выражение (1.79) можно упростить. Тогда
спектральная плотность продольного сечения выражается форму-
лой [26]
КЛ(®) = —
СО2 + СО2
(1.82)
или
Kh(<o) = D2/co2.
(1.83)
Часто спектральная плотность микропрофиля в рабочем диапазоне
частот (0,5—20 Гц) довольно точно может быть представлена в виде
\ (О4 (J)2 / 9 9 СО 4-
или
Кд((д) = D4/G)4 + D2M2,
(1.85)
или
K»=D4/co4. (1.86)
Надо иметь в виду, что спектральные плотности вида (1.84) — (1.86)
справедливы лишь в ограниченном диапазоне частот; если распростра-
нить эти выражения до нулевой частоты, то окажется, что профиль
дороги будет иметь 'бесконечное значение углов спусков-подъемов.
Поэтому выражения (1.84) — (1.86) можно использовать для прибли-
женных аналитических расчетов (во всем диапазоне частот) при
определении лишь ускорений и относительных перемещений (но не
углов наклонов автомобиля). Если спектральная плотность микро-
профиля представлена в виде (1.84) — (1.86), то спектральная плот-
ность профиля может быть выражена как
KA(®) = |Hft(/<o)P^(fi>), (1.87)
где | ЯА(/и)|2 = о2/(со2 + <о2м).
Величина <ом определяется по характеристикам местности
(см. § 4).
В литературных источниках встречается также аппроксимация
спектральной плотности микропрофиля в виде [27]
(1.88)
где обычно 2 < п < 4.
Однако следует иметь в виду, что выражение. (1.88) справедливо
лишь .в определенной' полосе частот. Нами оно использовано для ап-
проксимации спектральной плотности в области низких частот
микропрофиля (см. раздел 2 в § 1).
В общем случае выборочную спектральную плотность можно аппрок-
симировать дробно-рациональной функцией общего вида
п
1=1
/со + pf 2
/ш + а,
(1-89)
где вместе с каждым комплексным значением коэффициентов щ и 47
Рис. 14. Оценки спектральной плотности
микропрофиля по левой и правой колее:
о —(<*>); А — К^2(<о); / — аппроксимирую-
щая кривая; 2 — границы допустимого интервала
определяющих форму спектральной плотности, необходимо иметь и
комплексно сопряженное; Ко — коэффициент уровня. Если число сомно-
жителей п в выражении (1.89) принять большим, чем число фильтров
(число точек в выборочной спектральной плотности), то кривую (1.89)
можно провести точно через экспериментальные точки спектральной
плотности. Однако такое усложнение аппроксимации является излиш-
ним. Следует взять минимальное число сомножителей (обычно доста-
точно трех), которое позволяет провести аппроксимацию в пределах
погрешности оценок.
Аппроксимацию удобно проводить графическим методом при
построении спектральной плотности в логарифмических координатах.
Для каждой оценки откладывают доверительный интервал, например,
с уровнем значимости 0,02. В общем случае его строят с учетом
погрешности как конечной выборки, так и аппаратурной. Кривую
аппроксимации спектральной плотности проводят так, чтобы она про-
48 ходила внутри доверительных интервалов.
а) б)
Рис. 15. Оценки спектральной плотности (расстояние между колеями 1,8 м):
а — полусуммы микропрофилей; б — полуразности микропрофилей; / — цементобетон на
жестком основании, длина участка L — 8000 м, скорость записи 80 км/ч; 2 — асфальт в хо-
рошем состоянии, L - 2000 м, оа- 80 км/ч; 3 — асфальт в удовлетворительном состоянии,
L - 2000 м, оа - 80 км/ч; 4 — булыжник в удовлетворительном состоянии, L — 2000 м, v а —
- 30 км/ч
Рис. 15. Оценки спектральной плотности микропрофиля; позиции те же, что и на
рис. 15
В качестве примера на рис. 14 приведены оценки спектральной
плотности микропрофиля по левой и правой колее движения, а также
показана аппроксимирующая кривая и границы допустимого интер-
вала (допустимые интервалы откладывают от кривой аппроксимации,
а доверительные — от оценок). Оценки получены для участка Киевско-
го шоссе (асфальт) длиной 2000 м при скорости записи оа = 80 км/ч.
Так как оценки для левой и правой колеи лежат в пределах допустимо-
го интервала, то спектральные плотности микропрофиля ио обеим
колеям можно считать одинаковыми. Аппроксимирующая кривая имеет
вид (1.85)
К,(о) = (2,5-104/©<) + (130/со2).
Дополнительную проверку аппроксимации можно провести по
критерию х2, аналогичному критерию 02, описанному выше,
x2 = se?,
49
4 Заказ 3363
где
0 __ / К foi)__J \ “1 Гto>jT
1 \ Kfo/) /г 2л ’
a K(oj) —принятая аппроксимация.
Число степеней свободы следует принять равным числу оценок
(фильтров) за вычетом числа сомножителей (членов) в выражении
аппроксимации (1.89).
8. Спектральные плотности микропрофиля
по двум колеям
Поскольку спектральные плотности микропрофиля по обеим колеям
практически совпадают, то целесообразно проводить оценку спектраль-
ных плотностей полусуммы и полуразности микропрофилей:
Ко>5(^1+^)(<д) и ^o.5(<7i—<72)(<°)- На рис. 15, а и б показаны эти оценки
для четырех участков дорог с разным покрытием. Оценки спектральных
плотностей получены с помощью спектрометра СИЧ и двух дополни-
тельных фильтров со средними частотами 2,8 и 4,5 с-1.
Оценка спектральной плотности микропрофиля по одной колее
(рис. 16) вычислялась по формуле (1.54).
Аппроксимация спектральной плотности микропрофиля для четырех
участков дорог дается в виде (1.84) и (1.85):
для участка 1
К-(<о) = (4200/to4) + ( 13,6/gj2);
для участка 2
К-(а) = (21 ООО/to4) + (68/со2);
для участка 3
К-(<о) = (25 000/to4) + (130/to2);
для участка 4
„ , ч / 11 000 , 1280 \ о2 4-275
Л-(<о) = |-------1-----)----------•
4 \ со4 со2 / со2 4-1100
Эксперименты показали, что мнимая часть взаимной спектральной
плотности микропрофилей по двум колеям, вычисляемая по форму-
ле (1.53), равна нулю, так как
•^0,5(1/1+172) ^0.5(1/!—q2) fo)
(для участков 2 и 4 это видно из рис. 17). Поэтому оценки взаимной
спектральной плотности (рис. 18) содержат только действительную
часть и вычислены по формуле (1.53).
Вместо аппроксимации взаимной спектральной плотности значи-
тельно удобнее проводить аппроксимацию коэффициента корреляции
по частотам, оценки которого вычисляются по формуле
р(®) =
и для тех же четырех участков дорог показаны на рис. 19.
Вид аналитического выражения для аппроксимации коэффициента
корреляции по частотам р(<в) подсказан анализом параллельных сече-
ний однородного изотропного нормального случайного поля. В § 7
50
Рис. 17. Оценки спектральных
плотностей сигналов 0,5(41 +
+ q2) и 0,5(<7i — qt)‘
2 и 4—см. рис. 15;----Kb.5fot+4»);
^О.5(<7!—q2)
Рис. 19. Оценки коэффици-
ента корреляции по часто-
там; позиции те же, что и
на рис. 15
Рис. 18. Оценки взаимной
плотности микропрофиля;
позиции те же, что и на
рис. 15
будет показано, что р(со) является функцией от (ыи~{В)2 и что простей-
шая аппроксимация имеет вид
(1.90)
где В — ширина колеи (расстояние между сечениями); 0 — коэффици-
ент, зависящий от вида спектральной плотности.
Для дорожной поверхности коэффициент корреляции по частотам
будем аппроксимировать формулой, аналогичной (1.90) для изотроп-
ного поля, но сжатого в с раз в направлении, перпендикулярном
направлению движения,
р(<о) = Г1 + ('_^у1-1.
L \ Wa / J
(1.9D „
4*
Коэффициент п связан с коэффициентом сжатия с соотношением
п = 0/с. (1.92)
В применимости выражения (1.91) можно убедиться на основе
анализа оценок р(со) при различных расстояниях между сечениями
(колеями). На рис. 20, а и б приведены оценки р(со) для участка 3 (см.
подпись к рис. 15) при различных расстояниях В между ’ колеями
и -скоростях записи 80 и 40 км/ч. На рис. 21, а и б приведены те же
зависимости при скоростях записи 30 и 15 км/ч для участка 4 (см. под-
пись к рис. 15).
Для указанных участков дорог коэффициент п в формуле (1.91)
имеет следующие значения: 40 для участка /; 5,8 для участка 2; 5,4
для участка 3 и 4,5 для участка 4, Более наглядным показателем
является коэффициент сжатия с [см. (1.92)], однако для его определе-
ния необходимо знать поправочные коэффициенты 0, которые изме-
няются в пределах 1,2—2,0. Тем не менее можно указать, что для всех
рассмотренных участков коэффициент сжатия с<1. Это означает, что
неровности на дорожной поверхности имеют форму, преимущественно
вытянутую в поперечном направлении, т. е. на дорожной поверхности
корреляция между колеями сильнее, чем на изотропном поле.
Зная спектральную плотность одного сечения /С? (со) и коэффициент
корреляции р(а>), остальные спектральные плотности можно вычислить
по формулам:
(®) = (“) р (®); (193)
*o.5«,l+?s>(°) = КДш) 1 + Р2((й) ; (1.94)
(1.95)
Формула (1.91), аппроксимирующая коэффициент корреляции р(со),
дает хорошие результаты при вычислении взаимной спектральной плот-
ности и спектральной плотности полусуммы микропрофилей по левой
и правой колее по формулам (1.93) и (1.94). Однако аппроксимация
полуразности микропрофилей по формуле (1.95) не всегда оказывается
удачной в области низких частот. Если нас интересует спектральная
плотность полуразности, то лучше аппроксимировать непосредственно
оценки Ко.5 (<?! - q2) . Надо также иметь в виду, что формула (1.90) дает
лишь приблизительное значение коэффициента корреляции параллель-
ных сечений изотропного поля. Для лучшего согласования с экспери-
ментальными данными надо применять более сложные выражения для
коэффициента корреляции.
Если все же модель изотропного поля не соответствует эксперимен-
тальным данным (например, для грунтовой дороги с глубокими колея-
ми), то можно использовать более общую модель
Я(х, у) = q„(x, у) + qt(x) + q2(y), (1-96)
где qn(x, у)—деформированная (сжатая) изотропная случайная по-
верхность; qi(x) и q2(y)—цилиндрические случайные поверхности
(зависящие от одной переменной).
Однако и в этом случае, как правило, коэффициент корреляции
микропрофилей левой и правой колеи приближенно может быть выра-
52 жен формулой (1.91).
L,M 50201S101 S JI 1
I 1,1 "Г* I I I Г I I n
L,M 2015 10 15 3 1 1 OJ
t I I Г' I I I I I
Рис. 20. Коэффициенты корреляции по частотам для участка асфальтированного
шоссе при различных скоростях записи:
а — Ра — R0 км/ч; б — иа — 40 км/ч
Рис. 21. Коэффициенты корреляции по частотам для участка булыжной дороги при
различных скоростях записи: -
а — иа— 15 км/ч; б — иа — 30 км/ч
§ 3. КЛАССИФИКАЦИЯ СПЕКТРАЛЬНЫХ
ПЛОТНОСТЕЙ МИКРОПРОФИЛЯ
Выше микропрофиль исследовался как функция времени q(t). В даль-
нейшем для сопоставимости данных он будет рассматриваться как
функция расстояния q(l). Отметим, что функция q(l) характеризует
собственно неровности, а функция q(t) —воздействие этих неровностей
на автомобиль. Спектральные плотности процессов q(l) и q(t) связаны
соотношениями:
= vaKt(^va) и Kt(a) = — Ki(w/va).
va
Функцию q(l) часто отождествляют с функцией q(t) при va = 1 м/с,
в этом случае Ki(k) и К<(<о) различаются только размерностью.
В настоящее время спектральные плотности микропрофилей
однородных участков различных дорог изучены достаточно подробно.
На рис. 22 показана область дорожных частот и уровней спектральной 53
Рис. 22. Классификация спектральных плотностей микропрофилей дорог (позиции
в кружках):
/ — одна из лучших взлетно-посадочных полос; 2 —скоростное кольцо автополигона; 3 — Мос-
ковская кольцевая автомобильная дорога; 4 — автомагистраль; 5 — асфальтированное шоссе
в плохом состоянии; 6 — гравийная дорога; 7 — ровная грунтовая дорога автополигона;
8 _ булыжная дорога в удовлетворительном состоянии; 9 — контрольно-испытательная трасса
автополнгона; 10 — грунтовая дорога; // — разбитая грунтовая дорога; 12 — поверхность Луны;
13 — тяжелая дорога в карьере; 14 — искусственная ухабистая дорога автополнгона
плотности, соответствующая неровностям микропрофиля. Границы этой
области обозначены буквой q. Кроме того, на рисунке изображены
также зоны, в пределах которых могут находиться спектральные плот-
ности микропрофиля автомобильных дорог, условно разделенных на
пять групп: / — лучшие взлетно-посадочные полосы и скоростные авто*
магистрали; //—автомагистрали; ///—булыжные и гравийные доро-
ги; IV — грунтовые дороги; V — местность.
Местность (бездорожье) включена в понятие «микропрофиль
дороги», так как автомобили эксплуатируются и вне дорог. На рис. 22
показаны также экспериментальные графики спектральной плотности
различных дорог.
Область q разделена по дорожной частоте (длине неровностей) и по
уровню спектральной плотности (высоте неровностей). Это деление,
отражающее характер воздействия неровностей на автомобиль, пока-
зано координатными линиями вида X2 и Х~2.
По дорожной частоте область q разбита на три интервала:
б — коротких неровностей; в — средних неровностей; г — длинных не-
ровностей. К этим интервалам примыкают интервалы: а — шерохова-
тостей (очень короткие неровности); д — макропрофиля (очень длин-
ные неровности).
По уровню спектральной плотности область q и интервалы а и д
разбиты на пять диапазонов: 1 — очень малого уровня; 2 — малого
уровня; 3 — среднего уровня; 4 — большого уровня; 5 — очень большого
уровня.
Делению спектральной плотности по частоте и уровню не соответ-
ствует однозначно деление неровностей по длине и высоте — классифи-
кация неровностей зависит еще и от скорости движения автомобиля
по ним.
При классификации неровностей по длинам (спектральной плотно-
сти по частоте) средними считаются те неровности, частоты воздействия
которых при средних эксплуатационных скоростях движения по дорогам
определенного типа примерно соответствуют полосе частот собственных
колебаний подрессоренных и неподрессоренных масс. Так, например,
неровности длиной 3—6 м (X = 1 -4- 2 рад/м) считаются короткими для
скоростных автомагистралей (аа > 100 км/ч), но длинными для очень
тяжелых грунтовых дорог (иа = 3~6 км/ч). Для автомагистралей,
булыжных и ровных грунтовых дорог эти неровности считаются
неровностями средней длины.
При классификации по уровню спектральной плотности принято,
что очень малый уровень имеют неровности, при движении по которым
колебания автомобиля почти не ощущаются даже на большой скорости,
а очень большой уровень характерен для неравностей, по которым
движение автомобиля почти невозможно даже с малой скоростью.
Классификация по уровню также не является однозначной, а зависит
от длин (частоты) неровностей. Например, уровень спектральной
плотности К = 10“4 м3/рад при частоте к = 0,1 рад/м будет очень ма-
лым, а при частоте Л = 10 рад/м — очень большим.
В интервале коротких и очень коротких неровностей микропрофиля
диапазонам уровней примерно соответствуют следующие материалы и
состояние дорожной поверхности: 1 — асфальт и бетон в отличном
состоянии; 2 — бетон в удовлетворительном состоянии, укатанный
грунт; 3 — гравий, разбитый грунт, сильно изношенный бетон; 4 — бу-
лыжник, каменистый грунт; 5 — крупный булыжник, камни.
В интервале длинных и очень длинных неровностей микропрофиля
диапазонам уровней примерно соответствуют местности: 1 — очень
55
ровная; 2—равнинная; 3 — умеренно холмистая; 4 — холмистая, уме-
ренно пересеченная; 5 — сильно пересеченная.
График на рис. 22 позволяет прогнозировать спектральную
плотность микропрофиля дороги по ее качественному описанию без
измерения на ней микропрофиля. Для дорог, зоны спектральной плот-
ности которых достаточно узки, можно представить и аналитическое
выражение для нее. Например, для автомагистрали в области частот
микропрофиля можно принять
Я,(М = » + (Ш
Коэффициент D2 зависит от состояния и качества дорожного по-
крытия и меняется в пределах от 5-Ю-6 (хорошее состояние покрытия)
до 5-10~5 м (плохое). Коэффициент О4 зависит от состояния и качества
основы и грунта, а также от характера местности и меняется в пределах
от 3-10-6 до 3 • 10-4 1/м.
§ 4. МАКРОПРОФИЛЬ И ПРОФИЛЬ
1. Спектральные плотности макропрофиля и профиля
В области длинных неровностей макропрофиля (длина волны при-
мерно несколько километров) спектральная плотность профиля дороги
приближенно может быть выражена формулой
Kk(X)=DuK~2, (1.97)
где DM — постоянная, зависящая в основном от характера местности.
Пусть Aft(L) = h(l)—h(l — L)—приращение высоты дороги (над
уровнем моря) на расстоянии L. Определяя дисперсию этого прира-
щения и применяя (1.97), получаем
+р sin2 —
D,A(L)=M{W} = -^
Чо \ 2 /
Задавая примерные значения D±h (L) для дорог данного типа при
различных расстояниях L, можно оценить постоянную
D^-^D^L). (1.98)
Если принять, что максимальное значение равно примерно трем
средним квадратическим, то
(1.99)
3
или
П ~0 1 (Aftmax)2
“ L
Простая зависимость (1.97) дает реальные значения Д/imax (см. (1-99)]
при различных длинах участка дороги вплоть до L « 1000 км.
Если дорога имеет явно выраженные спуски-подъемы, то в области
коротких неровностей макропрофиля с длиной волны порядка 100 м
спектральная плотность
56 КА(Х)~ D4/V.
Если в макропрофиль не включать более короткие волны, то
спектральную плотность во всем диапазоне частот макропрофиля мож-
но задать в виде
М м
ад)
(1.100)
где
В этом случае спектральная плотность продольного угла наклона
дороги а(/) = dh(l)/dl имеет вид
п Л2
ад) = —(1.101)
х2+х2
а его дисперсия
Da = M{a2} = -L f Ka(k)dk=-^
(1.102)
Так как величины Da для различных дорог оценить сравнительно
нетрудно, то определяем
(1-ЮЗ)
ИЛИ
AM^0,2aLx/DM- (1.104)
На рис. 23 показана область дорожных частот и уровней
спектральной плотности, соответствующая неровностям макропрофиля.
Границы этой области обозначены буквой М.
По дорожной частоте (длине) область М разбита на три интервала:
д — коротких неровностей; е — средних неровностей; ж — длинных
неровностей.
По уровню спектральной плотности область М делится на пять диа-
пазонов: 1—очень малого уровня;. 2 — малого уровня; 3 — среднего
уровня; 4 — большого уровня; 5 — очень большого уровня.
В интервале коротких неровностей макропрофиля диапазонам уров-
ней примерно соответствуют следующие типы дорог: 1 — скоростные
автомагистрали; 2—автомагистрали; 3— булыжные и гравийные
дороги; 4 — грунтовые дороги; 5 — очень тяжелые грунтовые дороги.
В интервале длинных неровностей макропрофиля диапазонам уров-
ней примерно соответствуют местности: 1 — очень ровная местность
(DM = 10”4 м, Дйтах 1 м); 2 — равнинная местность (DM = 10~3 м,
Айшах 3 м) ; 3 — умеренная холмистая (DM = 10~2 м, Дйтах 10 м);
4 — холмистая и сильно пересеченная (DM = 10-1 м, ДйШах 30 м);
5 — горная (DM = 10° м, ДЛтах Ю0 м).
Для волн длиной больше 1 км уровень спектральной плотности
определяется почти исключительно характером местности и не зависит
от типа и состояния дороги. На холмистой и горной местностях умень-
шение спектральной плотности дороги (по сравнению со спектральной
плотностью поверхности земли) достигается путем соответствующего
выбора трассы дороги в плане.
Для волн длиной около 1 км уровень спектральной плотности
также определяется почти исключительно характером местности, хотя
57
Рис. 23. Спектральные плотно-
сти макропрофиля дороги на
местности различного харак-
тера
этот уровень может быть уменьшен. При строительстве автомагистра-
лей проводится большой объем грунтовых работ для выравнивания
профиля, при прокладке грунтовых дорог выравнивание профиля осу-
ществляется выбором трассы дороги в плане (дорога более извилистая,
идет в обход оврагов и холмов).
Из рис. 22 и 23 следует, что спектральная плотность профиля
дороги может быть задана в виде
£>2 X2 + xf X2 + X2
х2 + х2 х2 + х2
(1.105)
В области очень коротких неровностей (шероховатостей) она имеет
вид
Kft(X)^D2/X2,
а в области очень длинных неровностей (макропрофиль)
K(X)^DM/X2,
где
58 DM = D2(X?/X|) (Xi/Xl). (1.106)
Как уже указывалось, параметр DM почти не зависит от вида дороги
и определяется характером местности.
Для дорог, имеющих ярко выраженные спуски-подъемы, не замас-
кированные короткими неровностями (например, для дорог с твердым
покрытием), параметры Ль Лз и Л< определяют по спектральной плот-
ности микропрофиля. Однако параметр Л2 обычно находится за
пределами частотного диапазона микропрофиля (Л2 « 0,14-0,01 рад/м).
Спектральная плотность микропрофиля тогда может быть задана при-
ближенно в виде
Dw К2 + Х? х2 + М
A-lAlss-------------------
’ М * Л2 + Л2
где по сравнению с формулой (1.105) принято Х2 = 0. Величина А,2
в формуле (1.105) определяется из соотношения (1.106):
Л| = (П2/Дм)Л?(М/Л1).
В широком диапазоне длин волн от 10 м до 1 км спектральная
плотность профиля дороги зависит как от типа дороги, так и от харак-
тера местности. На рис. 24 показаны область спектральной плотности
дорог на равнинной местности и область спектральной плотности
автомагистралей на разных местностях. На рисунке видно, что в обла-
сти неровностей микропрофиля спектральные плотности автомагистра-
лей примерно одинаковы, а в области макропрофиля значительно
разнятся. С другой стороны, микропрофили дорог разных типов весьма
Рис. 24. Области спектральной
плотности дорог на равнинной
местности и автомагистралей на
местности различного характера
различны, но макропрофили этих же дорог на одной местности при-
мерно одинаковы.
Для дорог с твердым покрытием спектральная плотность в области
макропрофиля (длина волны более 100 м) выражается формулой
(1.100), однако для грунтовых дорог, имеющих большой уровень неров-
ностей средней длины (порядка 10 м), формула спектральной плотности
может отличаться от этого выражения. Кроме того, спектральные
плотности микропрофиля для грунтовых дорог и местности весьма
разнообразны и, как показывают исследования [28], различаются
характером неровностей: преобладают длинные (плавные или гладкие),
средние (типа «валы») или короткие (типа «кочки») неровности.
Поэтому спектральные плотности профиля грунтовых дорог и местно-
сти нуждаются в дополнительной классификации, более подробной, чем
те, которые приведены на рис. 22 и 23.
2. Спектральные плотности грунтовых дорог
и местности
Классификация спектральных плотностей профиля грунтовых дорог и
местности производится по трем основным показателям: уровню неров-
ностей макропрофиля (длина волны более 100 м); уровню и характеру
неровностей микропрофиля (примерно 10 м); уровню коротких неров-
ностей микропрофиля (менее 1 м).
Неровности макропрофиля имеют спектральную плотность вида
(1.107)
причем формула (1.107) для грунтовых дорог и местности может быть
применена при длине волны более 100 м. Деление местностей на пять
видов и соответствующие значения коэффициента Ом приведены в пре-
дыдущем разделе.
Для неровностей средней длины спектральную плотность прибли-
женно можно представить в виде
К(Х)^ОС/Г (0<п<4).
(1.108)
Различным значениям Dc соответствуют следующие уровни спек-
тральной плотности неровностей длиной порядка 10 м: Dc ~ 3-10-44-
4- 10“3 — малый (мало изношенная грунтовая дорога, ровное поле или
луг); £>с ~ 3 • 10"3 — средний; Dc 10-2 — большой; Dc « 3 • 10-2 4-
4-10“1 — очень большой (из-за валов длиной около 5 м движение
автомобилей почти невозможно).
Следует отметить, что приведенное деление на «уровни неровностей»
грунтовых дорог и местности несколько отличается от деления на уров-
ни спектральной плотности дорог разных типов (см. рис. 24).
Разным значениям показателя п [см. (1.108)] соответствует различ-
ный характер спектральной плотности в области волн длиной около
10 м (в диапазоне средних частот): п~0— явное преобладание
более коротких неровностей («преобладание» в смысле воздействия на
автомобиль); и « 2—по воздействию на автомобиль короткие и длин-
ные волны примерно одинаковы («равномерный спектр»); п»4 — яв-
ное преобладание длинных волн (преимущественно низкочастотные
колебания автомобиля).
В области коротких неровностей спектральная плотность грунтовых
60 дорог может быть задана в виде К(X) ~ Dv/k2.
Различным значениям DK соответствуют разные уровни коротких
неровностей: DK = Ю“5 4-10~4— очень малый (укатанные грунтовые
дороги); Ок = 10~4 4-10~3— малый (грунтовые дороги удовлетвори-
тельного качества, ровное поле или луг без кочек и явно выраженных
коротких неровностей); Ок = 10~3 4- 3-10“3 — средний (разбитые
грунтовые дороги, поле, луг без явно выраженных кочек); Z)K =
= 3-10~3 4-10~2—большой (сильно разбитые грунтовые дороги, луг
с явно выраженными, но не очень высокими кочками, поле с большим
уровнем коротких неровностей, местность с неоднородным грунтом и
каменистыми включениями, пахота); DK = 10-2 4-3-10”2— очень боль-
шой (луг с очень высокими кочками, крупные камни).
Из всего многообразия спектральных плотностей грунтовых дорог
и местности, имеющих разные уровни неровностей и характер спек-
тральной плотности, можно выделить следующие четыре вида,
соответствующие дорогам: с преобладанием длинных неровностей, типа
«валы», типа «кочки», с однородными неровностями (без преобладания
волн определенной длины).
Дороги с преобладанием длинных неровностей. Спектральная плот-
ность профиля дороги задается в виде
Р2(3,12 + Л2)
Х2(Х2 + Х2
Дороги этого типа обозначаются буквой Д. По уровню спектральной
плотности микропрофиля (средние и короткие неровности) дороги
разбиты на пять групп:
Д1—укатанные грунтовые в удовлетворительном состоянии, ров-
ные поля или луга с очень малым уровнем коротких неровно-
стей; допускаются большие углы спусков-подъемов;
Д2 — грунтовые, поля и луга со средним уровнем средних неровно-
стей и малым уровнем коротких с явно .выраженными
спусками-подъемами;
Дз — разбитые грунтовые с преобладанием длинных неровностей,
поля и луга без кочек на холмистой местности с большим
уровнем длинных и средних неровностей и сравнительно
малым уровнем коротких;
— сильно разбитые грунтовые на пересеченной местности, поля
и луга без явно выраженных кочек на пересеченной местности
с большим и очень большим уровнем длинных и средних
неровностей и средним уровнем коротких;
Дз — сильно пересеченная местность с очень большим уровнем
спусков-подъемов и коротких неровностей.
Таблица 1
Тип дороги Местность
разнинная умеренно холмистая и пересеченная холмистая и сильно пересеченная горная
/?2 А.2 О, | Л.2 о2 I 1 d2 1 | ^2
д. 10-4 1 10“4 0,316 10-4 0,1 10“4 0,0316
Дз 3,16-10-4 1,78 3,16-Ю-4 0,56 3,16-10~4 0,178 3,16-10~4 0,056
Дз 10~3 3,16 10~3 1 10-3 0,316 ю-3 0,1
д< — — 3.16-10-3 1,78 3,16-10~3 0,56 3,16-Ю-3 0,178
Дз — — 10~2 3,16 ю-2 1 10~2 0,316 gj
Рис. 25. Спектральные плотно-
сти грунтовых дорог и мест-
ности
Коэффициент D2 зависит только от вида дороги, а коэффициент
Х2 — как от типа дороги, так и от типа местности. Значения коэффици-
ентов D2 и Х,2 для дорог типа Д приведены в табл. 1, а кривые спектраль-
ных плотностей — на рис. 25.
Характерной особенностью дорог типа Д являются явно выражен-
ные спуски-подъемы, которые не замаскированы более короткими
неровностями.
Дороги типа «валы». Спектральная плотность профиля задается
в виде
к(м = — <t0+*2)(*i+x2)
' 1 V (1 + Х«) (1+ Х2)
На этих дорогах преобладают неровности средней длины. Дороги
62 типа «валы» обозначаются буквой В и рассматриваются только на
равнинной местности (без длительных спусков-подъемов). Все дороги
этого типа имеют малый уровень длинных неровностей (местность 2)
и различный уровень средних; уровень коротких неровностей несколько
ниже, чем средних.
Дороги типа «валы» разбиты на пять групп:
Bi—дороги, характеристика которых совпадает с характеристика-
ми дорог групп Д1 и Д2;
В2, Вз, В4 и В5— дороги, имеющие соответственно малые, средние,
большие и очень большие валы.
Для .волн длиной менее 10 м спектральные плотности дорог Bi — В5
совпадают со спектральными плотностями дорог Д1 — Д5, но для волн
длиной более 10 м дороги типа «валы» имеют меньший уровень спек-
тральной плотности, а для волн длиной более 100 м спектральная
плотность всех дорог типа «валы» имеет вид К(Л) « 10~3/Х2.
Параметры D2 и Xi приведены в табл. 2, а кривые спектральных
плотностей — на рис. 25.
Таблица 2 Таблица 3 Таблица 4
Тип дороги d2 Xi Тип дороги d2 м Тип дороги d2
В. 10~4 1 к. 10“3 10 О, 3,16-10“4
в2 3,16-10“4 0,56 К2 3.1610-3 5,6 О2 10“3
В3 10“3 0,316 Кз 10“2 3,16 Оз 3.16-10-3
в< 3.16-10-3 0,178 К4 3,16-10“2 1,78 О4 10“2
В5 10“2 0,1 К5 10“' 1 Os 3.16-10-2
Кб 3,1610“' 0,56
Дороги типа «кочки». Спектральная плотность дорог типа «кочки»
имеет вид
ед = _5г._*2— (Х,<Ю).
' X2 102 + Х2 ’
На этих дорогах преобладают короткие неровности. Дороги типа
«кочки» рассматриваются только на равнинной местности (местность 2).
Они имеют малые уровни длинных неровностей, спусков-подъемов и
неровностей средней длины. Уровень коротких неровностей может быть
очень большой. Дороги типа «кочки» разбиты на шесть групп:
К,, Кг, Кз, К4, К5 и Кб — луг или ровное поле соответственно с ма-
лыми, явно выраженными, небольшими, средними, большими и очень
большими кочками.
Значения постоянных Di и X. приведены в табл. 3, а кривые спек-
тральных плотностей — на рис. 25.
Дороги с однородными неровностями. Спектральная плотность дорог
с однородными неровностями
K(X)=D2/V
во всем диапазоне частот. Эти дороги разбиты на пять групп:
□1, Оз, О3, О4 и Оз — дороги с соответственно очень малым, малым,
средним, большим и очень большим уровнем спектральной плотности.
Однородные неровности характеризуются тем, что все неровности
действуют на автомобиль примерно одинаково в отношении интенсив- 63
ности его колебаний (если они попадают в «рабочий» диапазон
частот). Постоянная D2 для дорог О\—0$ приведена в табл. 4, а кривые
спектральных плотностей — на рис. 25.
§ 5. РЕЛЬЕФ
1. Случайные поля и их сечения
Пусть q(x, у) —однородное центрированное двумерное случайное поле
с корреляционной функцией
гч(хь ух) = М {q(x, y)q(x—xit y—yx)}
и спектральной плотностью
^(v> Н) = J J e~'vx'~illy'rq(xl, yi)dXjdyi.
—90
Функции rq(xi, y\) и Rq(y, ц) связаны соотношением
rq(xx, ух) =—1— I
J J
—90
и случайное поле допускает спектральное представление [29]
Q(х, dp,),
— 90
где случайная мера z(dv, dp,) определяется равенством
Vi — Vo — V’
M{z(dvx, dni)z*(dv2, ф2)}= ^V’ ^dvdl1 при p,l = |X2 = kl;
О в остальных случаях.
Стационарное линейное преобразование поля q(x9 у) с ядром A(%i, yi)
имеет вид
“(*. У) — fj h(xi, yx)q(x—xx, y—yjdxidyi
или
u(x, y) = -£~ fi)z(dv, du),
где
Н(у, |х) — j f e-ivx-ii4>h(x, y)dxdy.
Спектральная плотность поля и(х, у)
64 Ru(y, (i) = |//(v, ц),
а корреляционная функция
гп(х, у) —
4-оо
JJ eivx+‘wRu(y, y)dvdp.=
—оо
4-00
f j e/vx+zn//1 u (V> и) |2 tfjv, g)rfv d[l.
J J
— oo
В дальнейшем нас будут интересовать сечения q(x, 0) = q(x) и и(х,
(0) = и(х) случайных полей q(x, у) и Щх, у). Эти сечения (процессы)
q(x) и Щх)—стационарные случайные процессы. Корреляционная
функция сечения совпадает с корреляционной функцией поля в том смы-
сле, что
(х) ~rq(x, 0); ku(х) = ru(х, 0).
Спектральные плотности сечения и поля связаны несколько более
сложной зависимостью:
Kq(k) = j t~iukq(x)dx = J e-^rr9(x, O)dx =
—oo —oo
4-oo 4-00
= “^Аг e-'X*e'v^(v’ v№d\i.dx =-}— f Rq(K,
4-oo
Ku(4=~ f l#(^. n)l2 Rq(K nW.
2л J
—oo
В важном частном случае, когда поле является однородным и изо-
тропным, корреляционная функция поля определяется корреляционной
функцией сечения
rq(xt, y\) — kq(p).
где р = V x2i + yf, а спектральная плотность поля
Rq(y> И) =yj e-'w-'gl% (ИХ2 + у‘^ Ух dy.
—оо
Переходя к полярным координатам р, а и т), £ и записав
x = pcosa; y = psina; v=rjcosP; ц = т] sin Р; r] = j/v2 + p2,
получим
4-ao 2л
Rq{y, Н)= J j* e“/OTICOS(a“P^(p)p Jpda.
о о
Учитывая далее, что
2л
_L J е-/РП cos(a-P) = /0(рП),
О
65
5 Заказ 3363
будем иметь
^(v, И)-ЗД) = 2л j /о(рп)^(р)р^р,
где /о(рп) —функция Бесселя.
Формула обращения имеет вид
М>)“ "Г" ( Jo(pn)/?7(n)n dr\.
о
Для практических расчетов по этим формулам можно пользоваться
таблицей интегральных преобразований (табл. 5).
Для случайного поля и(х, у)
Ru(y> P) = |tf(v, и)|2Я,(п).
Таблица 5
Я(1) 1 +°° А(р) = — С K(X)cos(Xp)dX 2л J 00 00 Я(т|) = 2л J £(p)J0(pt])P d9 0
2а К2 + а2 е~ а 1 р 1 ___L 2ла (а2 + т)2) 2
4а3 (Х2+а2)2 (1 + а | р |)е“ а 1 р 1 5^ 2лЗа3 (а2 4- т)2) 2
16а5 (V + a2)3 (3 + За | р | + а2р2)е““ 1 р 1 __2_ 2л15а5(а2 +т)2) 2
32а7 (Х2 + а2)< — __9_ 2 л35а7 (а2 + т]2) 2
X2™ (X2 + z)-"-1 (_iy«+« X / 2П!! . . ( т 1 р I z 2 ) X .„ \2 2 е ) d^1 —
| р Г е—а 1 Р» 2„f_j_y+7 । ) \ da / \]^а2 + т)2 /
4аХ2 (Х2+а2)2 (1—а|р|)е~ а|р1 __5_ 2ла (2т]2—а2) (а2 + т)2) 2
к~2* -0,5|р| 2jt0.5tf“3
X-4* -^IPI3 „ 3 _5 2л—П 5
2 (2л—-1)! 1р|2""‘ 2ЯЛ <2п~0 11 п-<2/1+ 1) 2ЯЛ (2п)!! Л
|Х|~** — 2п~2
1 к I-3* 1 4q—4
Обобщенные функции.
66
Поле и(х, у) будет изотропным только в том случае, если | Н (v, р.) |2
будет функцией от я = у\2 4- ц2. В частности, это случится, если
H(v, р,) = Я(я)
или, что то же самое,
h(x, y) = h(p).
Определяя спектральную плотность сечения и(х), запишем
ки(к) =4- [ |Я(Х, ц)|2Rq dv. =
—оо
= J J|#(k, н)12А>(р /А,2 + ц.2) ^(р) р dp dp =
—оо О
= f f J p)l2/o(pK^TiI2)^(O)cos(p0)pdedpdp.
—оо 0 —оо
Важным для практического применения обобщением изотропного слу-
чайного поля является сжатое изотропное поле. Будем считать, что поле
сжато в с раз в направлении оси у. Тогда
Гд(хь yt) = kq Х\ + -у ;
Rq(v, y) — cRqK (У^+с^У,
4-oo
Ku(1) = 4- f | Я(%, P)I2 Rq „ (/X2 + C2P2) dp =
2л J
где /?ди(т|)—спектральная плотность недеформированного (изотропно-
го) случайного поля.
2. Спектральная плотность
изотропного случайного поля
Если мы говорим об изотропном случайном поле со спектральной плот-
ностью /?д(т]). то возникает вопрос о существовании такого поля. Этот
вопрос отнюдь не является чисто теоретическим и, тем более, праздным.
Далеко не всякий случайный процесс может быть сечением изотропного
случайного поля, и часто оказывается, что аналитические выражения,
которыми обычно аппроксимируются экспериментальные корреляцион-
ные функции (например, сечения дороги на местности), вообще не могут
быть корреляционными функциями изотропного поля, в то время как по-
ле считается (и действительно является) изотропным. Подобные аппрок-
симации, даже «совпадающие» с экспериментальными данными, приво- 67
5*
дят к серьезным ошибкам вплоть до того, что средние квадраты некото-
рых линейных преобразований могут оказаться отрицательными.
Функция /?д(т]) является спектральной плотностью некоторого одно-
родного и изотропного случайного поля только в том случае, если /?д(т])
не отрицательна.
Условия, накладываемые на корреляционную функцию и спектраль-
ную плотность сечения, намного сложнее: kq(p) и /Q(X) должны быть
представлены в виде
оо
2л J
о
—оо к
где /?д(т]) —неотрицательная функция.
Так как
оо
Кд(0) =-£-
о
и Rq(x]) 0 и не равно тождественно нулю, то получаем простое необ-
ходимое условие Лд(0) > 0, согласно которому, например, случайный
процесс со спектральной плотностью вида
4 (Х2 + Х2)(Х2 + Л2)
не может быть сечением однородного изотропного случайного поля.
Для практических целей целесообразно обращение приведенных вы-
ше соотношений
/?<7(т1) = 2л J J0(pii)*(p)pdp= J J/0(pn)pdpKff(Mcos(Xp)dl.
О —оо О
Проводя интегрирование по частям и учитывая, что в смысле обоб-
щенных функций
f Zo(pn)Pcos(A.p)rfP = -^“ f zo(Pn)sin(Xp)dP = -^-'l’W»
J ак J ак
о о
получим
Я<,(П)=--2 f—К,(Х) .
9 J /X2 —Т]2
где
1р(Х) = .
у Л2 —I]2
о
-ед.
при X > ту,
при X < т);
Для того чтобы стационарный случайный процесс со спектральной
плотностью Kq(X) и корреляционной функцией kq(p) являлся сечением
некоторого однородного и изотропного случайного поля, необходимо и
достаточно выполнение следующих эквивалентных условий:
00
2л J /0(rip)^(p)pdp = 0;
О
—2 f К'(Х) d'K = (n) > 0.
J /Х2-т]2 q
Из последнего условия вытекает, что всякий стационарный случай-
ный процесс с невозрастающей спектральной плотностью [К'(X) ^0] мо-
жет быть сечением однородного изотропного случайного поля. Сечением
такого поля могут быть также процессы и с возрастающей спектральной
плотностью, хотя и не всякие. Рассмотрим некоторые из них.
Пусть спектральная плотность процесса q(x) имеет вид
(X2 + X2)(X2 + X2)’
Если процесс q(x) есть сечение изотропного поля, то Kq(h) должна
быть положительной и при X = 0. Поэтому коэффициент Xi не может
быть равен нулю. Однако следует дать более точную оценку Xi снизу.
Для спектральной плотности поля в нуле имеем
Г К'(X) 0 xf (х2 + х2х3 + х3) х2х|
I -----и, К = /л------------------------------
J Х2Х3 (х2 + х3)-1
Отсюда следует, что при
^2 < Х2Х2
х2 + х2х3 + X2
процесс q(x) не может быть сечением изотропного поля. Разложив Kq(K)
на элементарные дроби и воспользовавшись табл. 5, получим
Л 2 Л 2 ____1 0.2-12 L
n / X Л1“Л2 /12, 2\ 2 , _ Л1 Л3 /12 , 2\ 2
Rq(^) = я (Лг + П ) + я —?2-----г (Лз + П )
Л3 Л2 Л2 Л3
Теперь можно непосредственно проверить, что при
1 21 2
^2 >Л2Лз
X2 + XgXg + X2
спектральная плотность Rq(т)) > 0 при всех т) и q(x) может быть сече-
нием изотропного поля.
Очень часто корреляционная функция сечения q(x) задается в виде
^(p) = e-«,p,cos(₽p).
Определим, при каких соотношениях между аир сечение q(x) может
быть сечением однородного изотропного случайного поля. Корреляцион-
ную функцию запишем в виде
^(Р) = 0,5е- * I р I + 0,5е~’ р
где s = a + P/, s* = a—р/. 69
Теперь можно воспользоваться табл. 5, учитывая, что она остается
верной и для комплексных значений. При этом следует только иметь в
виду, что функция (s2 4- т]2) 2 двузначна, и следует выбирать «положи-
тельный» квадратный корень, т. е. ту ветвь функции от 0, которая стре-
мится к положительному числу, когда р->0. При этом получим
[— — 1
(« + /₽) («2 + п2—Р2 + 2а₽/) 2] =
,_____t________________i (Ф1—-
= 2л )Ла2 + р2 )/(а2 4-т]2—р2)2 + 4а2Р2 е V 2
где
. р . 2ар
<Р1 = arctg -L-; <р2 = arctg 1
а а2 + г]2—р2
(но нельзя Arctg). Условие Rq 0 эквивалентно условию |ф] —
— (3/2)ф21 л/2, которое, очевидно, выполняется только в том случае,
когда а р.
Для практических приложений часто оказывается вполне достаточ-
ным рассматривать только невозрастающие спектральные плотности се-
чений. В частности, это имеет место для неровностей дорожной поверх-
ности, если только эта поверхность является изотропной.
Практически используются дробно-рациональные спектральные плот-
ности:
А> .
Л,2 ’
D2
№ X2 4- X2
d2 х~ 4- X2 X2 -F Хд
№ X2 + Х2 X2 +
к2
При применении последней формулы исключаются случаи, когда Xi
и Лз одновременно меньше Хг и Х4 (т. е. когда спектральная плотность
на некотором отрезке частот возрастает).
70
3. Параллельные сечения
Пусть q(x, у) —однородное случайное поле, a qi(x) = qi(x, bi) (i =
= l,n) —его параллельные сечения. Далее q(x) будет обозначать век-
торный случайный процесс, представленный в виде матрицы-столбца,
компонентами которого являются qi(x).
Коррелляционная функция (матрица) процесса q(x)
k(xt) = М {q(х—Xi)q*{x)} = || £,/(*1)11 1 ~
j = 1, п,
где взаимная корреляционная функция i-го и /-го параллельных сече-
ний kij(x\) = rq(x\, Aij) и зависит только от расстояния между сечения
ми Ац = |Ьг- —
Если поле однородное и изотропное, то, введя коэффициент корре-
ляции по частотам
(л) =----,
получим
К(М«^(Х)||р</(Х)||/-^;
/ — L п.
В табл. 6 приведены выражения взаимной корреляционной функции
kiiixi), взаимной спектральной плотности Ktj(А) и коэффициента кор-
реляции по частотам р«(Х) двух сечений на расстоянии Лу для спек-
тральных плотностей сечения Л9(%), имеющих разный вид. В этой таб-
лице Kn(z), п — 1, 2, 3... — функция Ганкеля (функция Бесселя 3-го ро-
да) чисто мнимого аргумента.
Из табл. 6 видно, что для спектральных плотностей с четными пока-
зателями коэффициенты корреляции по частотам выражаются функция-
ми вида
f!(z) = zKi(z); f2(2) = ~-K2(z) и т. д.
&
В ряде случаев важно знать поведение этих функций при малых зна-
чениях z, при этом удобно пользоваться асимптотическими представле-
ниями
zKx(z)=\——/б,5“ С—
-^K2(Z)= 1~^. + 0(г2),
где С — 0,577215...“ постоянная Эйлера.
Графики функций ft(z) и fa(z) показаны на рис. 26.
С помощью табл. 6 можно найти взаимные спектральные плотности
и коэффициенты корреляции по частотам параллельных сечений для лю-
бой дробно-рациональной спектральной плотности, представив ее сна-
чала в виде суммы простейших дробей. Однако точные выражения
табл. 6 неудобны для практического применения, целесообразно дать для
них простые дробно-рациональные аппроксимации. Для коэффициента
корреляции по частотам простейшая аппроксимация имеет вид
pw,„(U) = [l+(-^.yp', (1.109)
где Дц — расстояние между сечениями, а п = натуральное число. Коэф-
фициент 0 введен для лучшей аппроксимации.
На рис. 27 приведены графики точных значений коэффициента кор-
реляции р(ХД^) s Л(ХДо) — кривая / и р(ХД^) sh(^w =кривая 2,
для спектральных плотностей сечения вида V2 и Аг4 соответственно. На
этом рисунке показаны также графики аппроксимации р(АД^) вида
(1.109) для л 1, 2, 3, 4 и для предельного случая п «в оо (кривые 3, 4,
5, 6 и 7 соответственно) при 0-1.
Из рисунка следует, что аппроксимации для всех п > 1 весьма близ-
ки между собой, но смещены относительно кривой 1 на 0,25 декады, а
относительно кривой 2 на 0,4 декады. Поэтому при аппроксимации
р(ХДо) вида (1.109) для спектральной плотности Аг2 надо принять 0 =
» 1,8, а для Аг4 следует принять 0 — 2,5.
Вычисляя аппроксимацию (1.109) для п = оо, получим
L \ / J
|/?v7|-’(|A'VYl + l) |/.ir.<|_3(l /?VYl+ l)£-l Yl — e-l Yl
1 '’vY 1 -Э — ,_l Y I
И +;Y д/’у) "y'Jz^ + zY 4 •'•’?) TIL— . , . „ . I/v An + 4\ iife—»z) (z”+;Y4 Z'V) "V — A / i — »(z»+;Y) I
(z»+zY4 /?У)гУ 4z»+zY,4 •/,V)5*0 z” + ?y г (г» + zY 4л'У)гУ jV A^7l” + ') 7 z(z»+zY) 1
(1 /?vy l)"x «1 /?vyI - (б t "г) ,,,, y ii(s—«г) (l/?VYl)wX „ /’v I HS-Y
(1 °VY 1)г>/ г| "VY IS‘0 (I '-'VY l)2v — г 1 £ t-Y
(1 '?VY D'V I /?VY 1 1 Y 1 (1 Z’VY 1) 'Я •''v •^V + 'xy[5‘0—
(z» + ;Y4 '’V)')/ | г» + ;Y 4 Z?V | / , t 11 x.v z”+zY4 (г» + zYyl /?V)’y — l-^z !?У+1Х /1°- z» + ;Y
(Y) '’У <xp('x)!!>/lxrl_9 J =(Y)/'y oo + (rv + Iх y|) ¥ = (Y)1’)/
9 vhm-gvi
CM
Рис. 26. График для рас-
чета спектральных плот-
ностей изотропного поля
Этот результат позволяет несколько упростить вычисление коэффи-
циента корреляции по частотам, если параллельные сечения расположе-
ны с одинаковым шагом Л. Если между сечениями т шагов, то До- = /пЛ.
В этом случае
р(ХпгЛ) = е ' в ' = е V е ) = [р (ХА)]"1,
где р(ХЛ) —коэффициент корреляции по частотам между соседними се-
чениями.
Пронумеруем сечения подряд, т. е. тзк, чтобы соседним номерам со-
ответствовали соседние сечения. В этом случае т = \j— /| и ptj(XA) =
= p(XA)(/-t)2, а спектральная плотность процесса q(x)
Ри Р12 Р13 Р14- • •
Р21 Р22 Ргз Р24• • •
Р31 Р32 Рзз Р34• • •
Р41 Р42 Р43 Р44• • •
зависящая только от вида спектральной плотности сечения Kq(?.) и ко-
эффициента корреляции между соседними сечениями p(Z), запишется
так:
р
р4
р9
р
1
р
р4
р4 р9-
р р4-
1 р •
р 1 •
1
73
Рис. 27. График для ап*
проксимации коаффнци*
ентов корреляции парал-
лельных сечений
где коэффициент корреляции между соседними сечениями может быть
принят в виде (1.109) при любом п > 1.
Более удобные для практических приложений аппроксимации спек-
тральной плотности Л(Х) основаны на аппроксимации коэффициента
корреляции по частотам функцией вида е“1г|. Аппроксимация
pz/ = e=l^/l/0
при 0 «и 1 точно соответствует спектральной плотности сечения вида
|Хр* (см. табл. 6). Однако и для других спектральных плотностей та-
кая аппроксимация является достаточно хорошей при надлежащем вы-
боре коэффициента 0.
Коэффициент корреляции p/j = ев,ХА</1/6 обладает тем свойством,
что для любого числа сечений, проведенных не обязательно на одинако-
вых расстояниях друг от друга, он между крайними сечениями равен
произведению коэффициентов корреляции между промежуточными сече-
ниями. Пронумеровав неравноотстоящие сечения подряд, запишем спек-
тральную плотность в виде
1 Pi PiPa PiPsPa- • •
Pi 1 Ра РаРз • • •
PiPa Ра 1 Рз • • • 9
PiPaPa РаРз Рз 1 • • •
где pi — коэффициент корреляции между первым и вторым сечениями;
Р2 — то же, между вторым и третьим; рз — то же, между третьим и чет-
74 вертым и т. д.
Обозначим матрицу в правой части последней формулы через /?, а ко-
рень из нее через Н, тогда
1 0 0 0...
Р1 V 1 -pi 0 0...
н = УЯ = Р1Р2 р21 1— pi —pi 0...
Р1Р2РЗ P2P3V i— pi рзТ i—pH 1/ 1 2 1 1 — рз - • •
Здесь НН* = 7?, и под У 1—р2 можно понимать любую функцию,
для которой V1 — р2 (— р2) * = 1 — р2.
Матрицу Н можно преобразовать в матрицу физически осуществимо-
го линейного преобразования Я+, необходимого для получения матема-
тической модели воздействия дорожной поверхности на автомобиль. Для
преобразования матрицы Н в матрицу Н+ надо сначала принять подхо-
- II Л|
дящую дробно-рациональную аппроксимацию функции р=е 0 . Вы-
ражение р = [1 + (ХД О)2]-1 вполне достаточно для аппроксимации ко-
эффициента корреляции по частотам, по крайней мере для весьма важ-
ного случая четырех параллельных сечений. При этом рн « рфгрз или
где Дм — Д12 + Л23 + Дз4-
Найдем, например, матрицу физически осуществимого линейного пре-
образования Н+ для четырех параллельных сечений. Записав коэффи-
циент корреляции по частотам в виде
Р.- = т4-7 (' = 1.2,3),
1-(а.-р)2
где af = Af/0 и р = /Х, получим для И 1 — р/ выражение
1/~1 __ а,7> (а,-+ />/2)
(l+arP)2
Используя это соотношение, запишем матрицу Н = У R так:
1 0 0 0
1 ещем+у/г) rt п
1-<з,гр1 1 и лгр(агр^) и 0 <*3p(W*fl)
[ г а,р(агр+^Т) (1^агр)г Wfap+V?)
(1-а3р)г(1*а2р)г (1^зР)!
Полученная матрица не является матрицей физически осуществимо-
го линейного преобразования, так как ее элементы содержат полюсы
/7,= аГ'в правой полуплоскости комплексной плоскости. Теперь матри-
75
цу Н можно преобразовать в матрицу физически осуществимого линей-
ного преобразования, используя то обстоятельство, что представление
R = НН* определяет матрицу Н не однозначно, а с точностью до умно-
жения справа на произвольную унитарную матрицу Ф, для которой
ФФ* = Е, где Е — единичная матрица. Поэтому
R = НФФ*Н* = Н+,(Н+)*.
Зададим унитарную матрицу в следующем виде:
(i-^PXi-diPXi-diP) (1+<*1Р)(1+<12Р)(1+а3р) 0 0 0
0 ({-ЧгР)(1-азР) (1 + dzP)(1+<i3p) 0 0
0 0 1-<*зР И-а3р 0
0 0 0 1
Тогда после умножения получим
(t-a,p)(1-a2p)(1-ct3p)
(1-агр)(1-азР) д д
(1+а,р) 2(’+<*!Р)(1*«зР) (1 +<W)2('+ ЪР)( » ЧзР)
'Ф=
_________1-<ЪР___________ aiP(l-<hpX«iP*\fl) <*гР(1-<ЬР)(<*гР + У2) 0
(1+<11Р)г(1+«гР)г(<+<*зр) P^iP^azlfCI^P) (^агр)г(И-азр)
I а2р(а2р+\/2) а3р(<1зр+у/2)
(J+M2P*M2P*c,j/92 P+<W)2(’*+<M2(/*c,J/,J2 (*+<*гР/(,+0М2 (Ч+йзР)2
или
Рп 0 0 0
н.= 1 Р21 Pzz 0 0
(1 ^р)г(на2р)2(иа3р)г Рл Р32 Рзз 0
Р41 Р42 Р43 Р44
где
р„ = (1-а^р2)(1-а^р2)(1-<ХзРг); р21 = (1-а1рг)(1-а$рг);
р22 = а1р(а1р + К2)(1— а2р2)(1 — а|р2); р31 = 1 —а3р2; P4i = h
Р42 = «1Р («iP + /2); р43 = а2р (а2р + /2 )(1 4- сцр)2;
Р44 = «зР(азР + 1/2)(1 +а|р)2(1 + а2р)2.
Чтобы определить матрицу физически осуществимого преобразова-
ния для получения микропрофиля четырех сечений с помощью четырех
76 независимых белых шумов, надо матрицу Я+ умножить на передаточную
характеристику преобразования К + , соответствующего спектральной
плотности одного сечения. Эту характеристику можно найти из представ-
ления спектральной плотности сечения в виде
При симметричном расположении сечений матрица физически осу-
ществимого преобразования для получения четырех сечений от четырех
независимых белых шумов оказывается более простой (удобной), если
вместо прямого определения сечений сначала найти их попарные полу-
суммы и полуразности. Пусть расстояния между первым и вторым сече»
ниями Д1 и между третьим и четвертым сечениями Д3 равны. Введем в
рассмотрение процесс
0 1 10
10 0—1
Спектральная плотность процесса v(x)
ад=4-ад
1 + Рг
Р1(1 + Рг)
о
о
P1U + Рг) 0
1 + Р?Рг 0
0 1— р2
0 Pi(l — р2)
0
0
Р1(1 — Рг)
1 —Р?р2
где Kq(k) — спектральная плотность сечения.
Тогда
У 1 + р2 0 0 0
1Л—г- -.Гкч(к) Р! 1/^1 + р2 V 1 — pl о 0
у к0 X = V —
v 7 у 2 0 0 Ю—р2 0
0 0 Р1/1— р2 V 1— Pi
Если принять р£= 1/(1 — cttp2), то матрица физически осуществимого
линейного преобразования будет иметь вид
± (иу/^а^-щр)
(1*«грХ1*<Ы)
Н?(р)=К{(р)
+ п^агр
0
(1**,р)г
д + \^Дагрр-а,р)
и^гР)(^»1Р)г
0 0 0 . (1.110)
При числе сечений больше шести простейшая аппроксимация коэф-
фициента корреляции по частотам является недостаточной, так как при- 77
водит к существенной погрешности. Более точная аппроксимация опреде-
ляется выражением
78
где k\ = 0,125, k2 = 0,1 и = 1. При этом с помощью матрицы R можно
аппроксимировать коэффициенты корреляции по частотам нескольких
десятков параллельных сечений.
4. Осреднение по площадке контакта
Выделим в заданном поле q(x, у) произвольную площадку S, которую
назовем площадкой контакта. При решении ряда задач требуется знать
среднее значение ординат точек этой площадки. Осредненное по площад-
ке S поле ?(х, у) назовем осредненным полем м(х, у), тогда операции
осреднения соответствует линейное преобразование
и(х, y) = ^h(Xi, yi)q[(x—Xi), (y—yi)]dXidy
где
h(X\, У\) =
— при (хь y,)6S;
0 при (х,, y,)€S
^dxtdyt — площадь площадки
S.
В этом случае осредненное поле
«(*. У)=~ xi)’ (y—yi)]dxtdy
s
спектральная плотность осредненного поля
Ra(y, p) = |tf(v, r)|2/?9(v, ц),
где
Н(у, (1) = JJ t~ivx'~i>iy'h(xl, yi)dx\ dyi = — J J e—ivxt—nwidxi dy{\
—oo S
спектральная плотность сечения u(x) = u(x, 0) осредненного поля
Ордината и осредненного поля соответствует центру тяжести площад-
ки контакта.
Для прямоугольной площадки со сторонами 2а и 2Ь
—г ПРИ | Xt | < а и | yi | < Ь-
tab
О при | Х[ | > а и | ух | > Ь\
И S
=
h{xi, (/,) =
b a
H(v, h) = —— C t-i^-i^dxdy
4ab J J
—b —a
sin va sin
va цЬ
Для нахождения H(v, ц) в случае эллиптической площадки с осями
2а и 2Ь сделаем замену переменных y = (bfa)z, тогда
Н(у, ц) = —dx dy = —J J e /v* f a dxdz.
\s S'
где S' — круг радиусом a.
Переходя к полярным координатам
р = ]/х2 4- z2 и я = Л/ v2 + ц2,
Г Л2
получаем
H(v, g) = — fр/0(pn)dp = _ 27,(riWW ,
a2 J ат) /a2v2 + d2p2
где JQ и Ji — функции Бесселя первого рода нулевого и первого поряд-
ков.
Для винеровского поля спектральная плотность поля и спектральная
плотность сечения имеют вид
В этом случае для прямоугольной площадки
ки(Х) = (7 р2 +
J \ Ла / \ /
о
или
оо 3
где 0 = ji/X.
о
Для эллиптической площадки
ад)={
о
2Ji(Va^ + ^)
VaW + b^
2 — —
(X2 + у2) 2
или
ад-44
О
?<-^Хаг-±А2±112(1 +е^)~ме,
l/a2 + W J
Представим сечение осредненного поля и(х, у) в виде эквивалентно-
го преобразования сечения q(x) заданного поля q(x, у), записав и\(х) =
= H3q(x). Это преобразование надо понимать в том смысле, что про-
цесс Ui(x) имеет такую же спектральную плотность, что и сечение и{х),
т. е. Kui(M = |^э (A) |2Kg(M - Ku (Л). 79
Рис. 28. График [Яэ(/А)|2 для осреднения по площадке контакта
Передаточная характеристика Яэ(/Л) зависит не только от площадки
контакта, но и от вида Л9(Л).
При однородном изотропном винеровском поле для эллиптической
площадки
|ЯЭ(/Х)Р= у
о
27, (X /аI 2 + fe262) ~
X У а2 + Ь202
2 ——
(14-02) 2J0.
На рис. 28 показан график |ЯЭ(/Х) |2 для двух частных случаев: кри-
вая 1 для а = b = R (круглая площадка) и кривая 2 для Ь-+0 (эллипс
вырождается в прямую). В последнем случае
|^э(/М12=Г—^0) Г-
L Ла J
Для прямоугольной площадки удобно |ЯЭ(/Л)|2 представить в виде
|яэ(/х)|2 = |//эа(/х)|2|яэ6(Д)|2.
В этой формуле Яэа(/Х) зависит только от длины площадки контакта.
На рис. 28 график
представлен кривой 3. Функция Нэь(А) зависит не только от ширины
площадки контакта, но и от вида спектральной плотности сечения /СДА,).
Для некоторых видов спектральной плотности сечения функция
|Мэб(А)|2 определяется следующими формулами:
для =
I нэ b(/X)|2 = — f ( sinX6e Y(1 + е2)-1 de = ,е72Ц,-(»-2^> ;
1 V л л Ш) / ' ' 2Х262
о
«о
oo
|яэ6(/М12= П sinX,f>e
ДЛЯ К,(Х) = |Х|-2
_________3_
2(1+02) 2d0;
О
для К„(Х) = |Х|-з
оо
I Нэ6(А)|2 = -t f ((1 + 02)-2 de = -L-[е-2^(2М + 3) + 4М>-3].
О
Графики этих функций показаны на рис. 28 соответственно кривы-
ми 4, 5 и 6.
Используя приведенные зависимости, можно найти передаточную ха-
рактеристику «эквивалентного фильтра» Нэ для заданных размеров пло-
щадки контакта а, 6 и заданной спектральной плотности сечения К9(Л).
Для изотропного поля q(x, у), сжатого в с раз в направлении оси у,
надо во всех приведенных формулах вместо ширины площадки контак-
та 26 подставлять 2Ьс.
5. Осредненные углы наклона и кривизна
площадки контакта
Осредненные углы наклона площадки контакта определим на основе
простой физической модели: жесткая пластина, совпадающая по конту-
ру с площадкой контакта, равномерно распределенной нагрузкой рв при-
жата через упругое основание к рельефу дороги, причем элементарные
реакции упругого основания пропорциональны деформациям элементар-
ных пружинок (рис. 29). Осредненные углы наклона площадки аир
соответственно в продольном и поперечном направлениях определяются
из условия равновесия этой пластины:
axt)xidxidyi = e и &У1)У^х^у{ = 0,
s s
где S — площадка контакта, a xi и y\ отсчитывают от ее центра тяжести.
Отметим, что рассмотренное выше осреднение ординат по площадке кон-
такта также следует из условия равновесия пластины.
Ординаты полей а(х, у) и 0(х, у), так же как и ордината осреднен-
ного поля и(х, у), соответствуют центру тяжести площадки.
Случайные поля а(х, у) и р(х, у) являются линейными преобразова-
ниями поля q(x, у):
а(х, у) = Jj*Mxi, yt)q[(x—Xi), (y—y^dx^yc,
—oo
₽(x, У) = /р₽(*ь У1)Ч[(х—Xi). (У—yi)]dxidyh
где
M*i, yi) = ’ ’ X1 ^УУ при (xi, уд € S;
0 при (xb yt) T S;
t/0 = f У' Jxx при (xi, yi)$S;
0 при (xi, yi) TS.
G Заказ 3363
81
Рис. 29. Расчетная схема
для осреднения по площад-
ке контакта
В этих формулах Jvv = JJ x2dxdy и Jxx = j j y2dxdy — осевые мо-
s s
менты инерции площадки контакта относительно ее центра тяжести. Ес-
ли у(х, у) —однородное случайное поле, то а(х, у) и ₽(х, у) также бу-
дут однородными случайными полями. Их спектральные плотности опре-
деляются соотношениями:
^a(v, H) = |tfa(v, Ц)|2 Rq(v, ft);
#₽(*. H) = l#p(v, H)l2^(v, |X),
где
H«(v, p) = —J— ff x dxdy,
Jyy J J
о
Яр (у, p) = -у— JJ у dx dy.
s
Спектральные плотности сечений a(x) = a(x, 0) и 0(х) = ₽(х, 0) на-
ходятся по формулам:
00
Ла(Х) = ±- f Ra(K, p)dp;
2л J
оо
/Cp(X) = -J_ f p)dp.
2л J
—oo
Для однородного изотропного поля q(x, у) случайные процессы а(х)
и Р(х) оказываются некоррелированными.
Для прямоугольной площадки длиной 2a и шириной 2Ь получаем
Я/.. 3/ / sinav \ sinbu
a(v, р) = —i— (------cos av )-----— ;
a2v \ av J fep
ц \ 3/ / sin feu . \ sin av
Hp(v, ц) = —(-------£ cos bp )------.
fe2p, \ bp J av
Спектральные плотности случайных процессов a(x) и £(х), являю-
щихся сечениями осредненных полей а(х, у) и р(х, у), имеют вид
Ka(X)=r_3_fJiH^—cosa^l2-l- f
I. \ аХ / J 2л J к Ьц J 4 '
82
sin 6ц
---------COS
6ц
Если заданное поле q(x, у) однородно и изотропно, то удобно спек-
тральную плотность Ка (X) сечения а(х) поля а(х, у) выразить через
спектральную плотность Л9(Х) сечения ^(х) заданного поля q(x, у), введя
эквивалентные преобразования Наа и Наь аналогично, как в преды-
дущем разделе. Эти преобразования надо понимать в том смысле, что
процесс
ai(x) = HaaHa6-^
имеет такую же спектральную плотность, что и сечение а(х):
Ка,(Ц = I Наа(/Х)|2 I Яаь (/X)I2 Х,(Х)Х2 = Ка(Х).
В этом равенстве
|Яаа(/-Л)|2 = ГЦ- piH£L_Cos aXY|2,
а |Наб (/X) |2 совпадает с функцией |Нэь(М |2, подробно рассмотренной
в разделе 4 для Кд(Х) = |Х|-1, К<,(Х) = Х|-2 и К7(Х) — |Х|_3 (см. рис.
28, кривые 4—6). Зависимость |Н<ш(М 2 показана на рис. 30 (кри-
вая /).
Случайные процессы Ui(x) = Нэа Hsbq(x) и щ(х) связаны между со-
бой соотношением
«i(x) = W„a{fai(x)dx},
где передаточная характеристика преобразования Ниа
График |Ниа(/'Х) |2 показан на рис. 30 (кривая 2).
Для определения спектральной плотности процесса р(х) через
спектральную плотность процесса dq(x)/dx, так же как и раньше, вве-
дем эквивалентные преобразования Нца и . Тогда
IW = I н₽а(/Х)|21 н рь (Ml2
где
|Я₽а(А)|2 = (^-)2;
\ ПЛ /
| Я™ (Ml2 =-----5------
К9(Х)Х2 2л
sin 6ц
\12
cos ftp, Rq(K ц)</(л.
Если, например, Кд(Х) = 111”1, то
sin6X0 Иа\12 О2 ja
---------cos 6X0 -------dQ =
6X0 /] 1 + 02
9
|Я₽(,(М12 = ^-]
о
2W[T<i’43-('A’!+1-e^<'’X+I>!]'
Эта зависимость приведена на рис. 30 (кривая <?).
6*
83
Рис. 30. Частотные харак-
теристики эквивалентных
фильтров
Угол поперечного наклона площадки контакта р(х) удобно для це-
лей моделирования приближенно выразить через разность параллель-
ных сечений
Р(х)^ЯрЛэЬ-5-[?(х, b3)—q(x, -&,)],
где передаточная характеристика преобразования Н$а
H&Aity = sin аХ/(аХ);
НэЬ— преобразование осреднения по ширине площадки контакта (см.
предыдущий раздел и рис. 29), а 26э — эффективная ширина площадки
контакта:
26Э «(1,5—1,6)6.
Спектральную плотность процесса р(х) теперь можно записать
в виде
W«| НЭо(Д)р | Н3 6(/Х)|22
где р(1) — коэффициент корреляции по частотам параллельных сече-
ний q(x, Ьэ) и q(x, —Ьэ), находящихся на расстоянии. Д = 26э Друг от
друга (см. табл. 6);
для v и,_’
р(ХД) = е-|ЛМ;
р(ХД) = |ДХИ1(|ДХ|);
р(ХД) = (1 +|ДХ|)е-|АХ|;
р(ХД)=^-|ДХ|2К2(|А^1).
W-I4
7ЦХ) = Х-2
*,(*) = РГ3
для
для
84 ДЛЯ
Функции 2-^^||— = |^₽л(/А)|2ДЛЯ спектральных плотностей сечений
с показателями степени 2 и 4 выражаются через функции
Fx = (\lz2)[\—zKx(z)} и Г2 = (1/г2)[1-(г2/2)К2(г)],
графики которых приведены на рис. 31.
Вид функций
|ЯрД(/А)|2 = 2[1 — р(АХ)]/(ДХ)2
для этих же спектральных плотностей приведен на рис. 32 (кри-
вые 1—4). Поскольку |Яаа (/А) | ~ 1 для низких частот (А <С а-1), то
|Я₽д (/А) |2 показывает для этих частот примерное отношение
спектральных плотностей процессов р(х) и а(х):
Кривые на рис. 32 свидетельствуют, что это отношение существенно
зависит от вида спектральной плотности и изменяется в очень широких
пределах.
Определим вид спектральной плотности процесса р(х) в области
низких частот для различных видов спектральной плотности сечения.
Если спектральная плотность сечения
к (А) =------!---,
4 а2(а2+а2)
то представим ее в виде суммы простейших дробей
/С(А) =—— f—---------!----
4 А2 V А2 + А2 )
Рис. 31. График для расчета коэффициентов корреляции по частотам
Ряс. 32. График передаточных харак-
теристик для поперечного угла на-
клона площадки контакта
Используя табл. 6, находим
р(ХД) = Л +-^Л|1Д|К1(|ХД|)——дКх2+л|л,(дКх2+^).
\ *2 / М
Для Д V X2 + X2 1 можно использовать асимптотическое пред-
ставление
z*i(z)~ l-(z2/2)ln(2/z).
Тогда
|НРд(/Х)Р = 2±=^-)^Л+-^'\1п'|/ 1+А;
х2д2 ч / *
Kp(X)«(i/xi) in F i + x!/x2.
Для спектральной плотности сечения
Я,(Х)=(Х2+Х?)/Х4
получим
р(“) —V+xf [х21 дх | К, (| дх |) + х! м хдI) ].
I Яи(/Ч1! » Inпри X < Д-'
Х2 + Х| 1ДМ хг+х, 2
и
К6(Х)^1п—— + —.
₽ч ' | Д1| 2Х«
86
Для спектральной плотности сечения
К,(Х) = (Х2 + Х?)М2
имеем
I2
х2+х?
2 [ХД |
и
Д2 I лД I
Для спектральной плотности сечения
— л д 2 , 12
можно написать
12 Л г2 л2
1п^-----hzh.
₽ ' X2 |ХЛ1 X2
In----2—
д /х2+х2
или
М
X2
+ In
*2
2
12+Х|
Отметим, что во всех рассмотренных примерах спектральная плот-
ность процесса ₽(х) в отличие от спектральной плотности процесса а(х)
не возрастает.
Осредненную кривизну поверхности поля q(x, у) внутри площадки
контакта будем характеризовать кривизной kx в продольном направле-
нии и кривизной ky в поперечном. При этом kx и kv зададим так, чтобы
поверхность и 4- ах + ру + 0,5 kxx2 + 0,5 kvy2 наименьшим образом
отличалась от поверхности заданного поля внутри площадки контакта.
Можно, например, для симметричной площадки контакта 5 ее кривизну
в продольном направлении принять пропорциональной величине
JjУ1)~u]xldxidylt
а ее кривизну в поперечном направлении — пропорциональной
ff[q(xlt yi)—u\y2idxidyi.
s
Тогда поле кривизны в продольном направлении kx(x, у) будет
линейным преобразованием поля q(x, у)
kx(x, y) = Hkxq(x, у).
Передаточная характеристика Нк
н)-----2—H)[l-tf2(v, ц)],
1 УУ ‘УУ
87
где
/<? = Jf x^dxdy, I yy = x1 2 dx dy,
s s
H\(y, |i) = j* J x2 e—ivx—itty dx dy, H2(v, |i) = J J e—>vx~№ dx dy.
s
s
Спектральная плотность сечения
теперь как
kx(x) = kx(x, 0) определится
4-оо
= J |я^(1,р)|2^(Х,И)ф,
—оо
где /?д(Х, ц) — спектральная плотность поля q(x, у).
Аналогично можно найти и кривизну в поперечном направлении
ky{x,y) = Hkyq(x,y).
Практически осредненную кривизну площадки контакта в продоль-
ном направлении можно определить из одного сечения, например по
соотношению kx(x) = где «(*)—о-средненный угол наклона
площадки контакта. Осредненную кривизну площадки контакта в по-
перечном направлении можно найти из трех продольных сечений,
проведенных внутри площадки контакта.
§ 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И МОДЕЛИРОВАНИЕ ВОЗМУЩЕНИИ
1. Спектральная плотность возмущения
Для расчетных схем с точечным контактом шины с дорогой практи-
чески используют следующие возмущения по одной колее: вертикаль-
ное которое представляет собой осредненный по площадке кон-
такта профиль дороги или микропрофиль; угловые а(0 и 0(0 —осред-
ненные углы наклона площадки контакта; кривизну площадки контакта
krx(t) и ky(t) в продольном и поперечном направлениях (осредненную).
Если расчетная схема колебаний автомобиля предусматривает
контакт шины по площадке, то в качестве возмущения следует исполь-
зовать действительные сечения рельефа (или микрорельефа).
Спектральные плотности процессов <?в(х), а(х), 0(х), kx(x) и ky(x)
как функций расстояния определены в § 5. Для однородного изотроп-
ного поля q(%, у) эти процессы являются стационарными. Если рас-
сматривается движение с постоянной скоростью иа, то возмущения
обычно считают функциями времени. Тогда спектральную плотность
возмущения, например a(f), вычисляют по формуле
/со(©) = (1/Оа) Ка(/) (ш/уа), (1.111)
где Ka(i) (М—спектральная плотность процесса а(х) (как функции
расстояния).
При переменных скоростях движения возмущение удобнее считать
функцией расстояния. При исследовании плоской модели автомобиля
88 в качестве возмущения можно использовать полусуммы соответствую-
щих возмущений по левой и правой колеям. Например, в качестве
вертикального возмущения можно принять
<7ср(О = ^-9л(О+4-^(О,
(1.112)
где </л(0 и <7п(0—возмущения соответственно по левой и правой
колеям.
Спектральная плотность возмущения qcp(t)
*,ср(<о) = v WU + рИЬ (1 •пз)
где Лд(<о)—спектральная плотность возмущения по одной колее,
а р(<о)—коэффициент корреляции (по частотам) между возмущения-
ми qn(t) и qn(t).
Для процессов ал(0, ап(0 и kXJl(t), kxa(t) коэффициенты корре-
ляции по частотам можно принять одинаковыми и равными коэффици-
енту корреляции между сечениями поля q(x, у) по колеям.
В первом приближении можно задаться
р(®) =----’ О-И4)
/ (оД \2
1 + (---)
\ Qcva /
где А — расстояние между сечениями, с — коэффициент сжатия изо-
тропного поля в поперечном направлении, а 0 = 1 -4- 3 в зависимости
от вида спектральной плотности рельефа q(x, у) (см. § 5).
Для среднего угла наклона площадки в поперечном направлении
также можно принять
₽сР(0=0,5рл(/)+0,5рп(0
и
ЧР(°>) =-^-ад[1 + рз (<>)]• (1-Ц5)
Однако рз(со) можно считать равным р(о>) лишь в том случае,
когда спектральная плотность сечения q(t) всюду убывает быстрее,
чем со-2. В противном случае р /з (0) <С 1.
Коэффициент корреляции рр (со) между поперечными углами накло-
на площадок контакта для двух параллельных сечений в общем случае
определяют по спектральной плотности случайного пол'я р(х, у):
+ оо
р₽(®) = Кё' (—) — f W— > eWg, (1 • 116)
\ va J 2л J \ va J
где K(i (X)— спектральная плотность процесса р(х).; (X, р)—спек-
тральная плотность поля р(х, у).
При исследовании пространственной модели автомобиля, у которо-
го колеи левых и правых колес совпадают, возмущение задается по
двум колеям. Если ширина площадки контакта намного меньше рас-
стояния между колеями, то случайные процессы рл(0 и рп(0 можно
считать независимыми от <?л(0 и qn(t).
Если возмущение задается по нескольким колеям или в качестве
него используют несколько параллельных сечений, то возмущение
удобно представлять в виде векторов, а спектральные плотности —
в виде матриц. Следует заметить, что аппроксимация коэффициента
корреляции р(со) по формуле (1.114) дает хорошие результаты только 89
в том случае, когда спектральная плотность сечения q(t) во всем рабо-
чем диапазоне частот убывает быстрее, чем ®-2. Спектральные плот-
ности профиля дороги чаще всего имеют именно такой вид, но если
спектральная плотность убывает медленнее, чем <о~2, или требуется
высокая точность при оценке спектральной плотности разности сечений,
то необходимо проводить аппроксимацию величины [1—р(со)] или этой
плотности.
Спектральная плотность вертикального возмущения qs(t)
Kft(®) = |/fK(/®)|2|H,(/®)|2/<ft(6)), (1 • 117)
где —передаточная характеристика линейного преобразования,
соответствующего осреднению по площадке контакта; Яд(/ш)—пере-
даточная характеристика преобразования микропрофиля; /Сл(со) —
спектральная плотность профиля дороги.
Если для профиля дороги как функции пути
. ^2 Х2 + Х? Х2 + Х2
Л/. (Л) = ----------------,
V х2 хЧх2 12 + 12
(1.118)
то для профиля дороги как функции времени
Dtva со2 + <о^ <в2 + <о|
Ля (СО) —-------------------,
®2 ©2 + О)2 + (О2
где со»- = vaXf.
В § 1 было показано, что передаточная характеристика преобра-
зования микропрофиля
ЗД'о)-----------, (1.119)
(/со)2 + у2 ин/<о + ©н
где (он = 2 4- 3 рад/с.
Для упрощения аналитических расчетов и схемы моделирования
выражение (1.119) можно записать так:
#,(/<») = /®/(/® + ®н). (1 • 12°)
Передаточная характеристика осреднения по площадке контакта,
соответствующая сглаживающей способности шины, приближенно
задается в виде
2
ВД®)» 2 „ в----------------- , (I • 121)
(/со) + V 2 сов/со + <о‘
где ©в = (0,9 4- 1,3)иа/а в зависимости от соотношения длины и шири-
ны площадки контакта и вида спектральной плотности профиля.
Выражение (1.121) также можно упростить, приняв
Як(/ш)~®в/(/®+ “>«)• (1.122)
Углы наклона площадки контакта в продольном направлении
можно получить в виде
?.(<). (1123)
иГ
где aq(t) определяется для микропрофиля, т. е. спуски-подъемы не
90 учитываются.
Углы наклона площадки контакта для профиля
ah(t)---(1.124)
va dt
Спектральные плотности процессов ct5(O и ал(0 определяются
соотношениями:
Кай(®) = (®2/у 1) | Нк(/®) |2Kh (о); (1.125)
К%(е) = (е2/^2)! Як(/<»)|2 |H?(/©)|2/<h(o>). (1.126)
При моделировании колебаний автомобиля удобно получать воз-
мущение qB(t) из процесса ал(0 согласно формуле
qM = vaHua^ah(t)dt}. (1.127)
2. Численные характеристики возмущений
Спектральная плотность является наиболее полной характеристикой
возмущений, позволяющей определить другие, более наглядные
численные статистические характеристики, к которым относятся сред-
ние квадратические следующих процессов: продольных углов наклона
площадок контакта ал и ад соответственно по полному профилю дороги
и по микропрофилю; поперечного угла наклона р, угла ам спусков-
подъемов (только по макропрофилю); микропрофиля qB, осредненного
по площадке контакта, и т. п.
Кроме того, средние квадратические этих процессов удобно рас-
сматривать в определенном диапазоне частот. Для всех перечисленных
выше процессов можно рассматривать также их «максимальные»
значения, которые можно принять равными, например, трем средним
квадратическим значениям.
В качестве примера в табл. 7 приведены средние квадратические
значения q, ач, ам для дорог типа Д, В, К. и О. Спектральные плотности
этих дорог приведены в § 4.
Таблица 7
Тип дороги Средние квадратические значения
рад ам’ рад <7В. см
Д. 0,0513 0,0717 50,0
Д, 0,0782 0,0717 56,5
Дз 0,115 0,0717 61,5
д« 0,168 0,0717 65,1
Дз 0,240 0,0717 67,5
Bt 0,0240 0,0126 6,8
В2 0,0386 0,0126 7,15
Вз 0,0650 0,0126 8,3
В< 0,1135 0,0126 10,7
Вз 0,201 0,0126 16,3
Тип дороги Средние квадратические значения
рад, ам’ рад см
Kt 0,0495 0,0126 7,0
кг 0,0650 0,0126 7,02
к 0,0977 0,0126 7,10
0,167 0,0126 7,31
Кз 0,292 0,0126 8,06
Кз 0,516 0,0126 10,0
ot 0,0279 0,0071 3,94
ог 0,0495 0,0126 7,0
о. 0,0881 0,0223 12,4
о. 0,157 0,0397 22,1
О, 0,279 0,071 39,4
Приведенные в табл. 7 численные характеристики возмущений дают
достаточно полное представление о характере и уровне неровностей
этих дорог. Следует отметить, что эти характеристики существенно
зависят от принятых определений: q(x) —от определения микропро-
филя, а а — от определения макропрофиля. Наиболее объективными 91
численными характеристиками возмущений являются средние квадра-
тические значения а/Дх) и 0л(х), но они существенно зависят от разме-
ров площадки контакта шины с дорогой. Поэтому в целях сопостави-
мости различных данных целесообразно стандартизовать численные
характеристики возмущений от дорожных неровностей.
3. Моделирование возмущений
При моделировании на АВМ колебаний автомобиля возмущение
в модели определяется принятыми масштабами. Например, для нату-
рального возмущения q(t) машинное возмущение определяется по
формуле
<lM = (WW (1.128)
где tM — машинное время; Мд = q/qM — масштаб возмущения; Mt =
= t/tM — масштаб времени (t — натуральное время).
Спектральная плотность К.Чы (Q) процесса qK{tM) и спектральная
плотность Кд (со) процесса?^) связаны соотношением
=Ч~\(ЧгУ (1.129)
M2qMt \ J
где Q — машинная частота.
Например, спектральной плотности натурного возмущения
2 2 2 9 2
D2va + о)24-о>з со;
ЛДСО) =----------------------------
Чх 7 9 9 9 9 9 9 9 9
(О +(d„ (О 4-й>2 +й>4 (О" + (ОВ
соответствует спектральная плотность машинного возмущения
/Оч 1 D2vaMt &24-Qi й2ч-^5 й2
----------------------------------, (1. loU)
Mq q2 + q2 q2 + «2 q2 + q2 й2 + й2
где Qi = Л4<(Ог.
Соотношения (1.128) и (1.129) обобщаются и на случай векторных
процессов:
IRmOIHIAM-1 II <7 (ад||; (1.131)
II ^M(Q)[| = M7l || Mq 1Г' II Kq (-£-\ II11 Mq 1Г1. (1.132)
В этих формулах матрица масштабов представляет собой диаго- нальную матрицу вида
11411 = Мя> 0 ; 0 о 4-о о о ; 4„ , (1.133)
92 где Mq. — масштабы по i-му компоненту векторного процесса ||?(/)||.
Если возмущение является векторным нормальным случайным
процессом, то в модели его можно получить путем пропускания нор-
мального белого шума ||6(/м)П через линейный фильтр с матрицей
передаточных характеристик ||/7 +1|.
Спектральные плотности векторного процесса ||</м(^м) II и белого
шума ||6(/м)П связаны соотношением
II ^М(Я)|| = II Hi(/£2)11 II Кв(£2)IIII Hi (/£2)|Г, (1.134)
где ||/<8 (Q)|| — спектральная плотность шума ||6(/м)ll-
в. рабочем диапазоне частот генератор белого шума дает постоян-
ную спектральную плотность /Сг.ш, поэтому для векторных случайных
процессов
||№(Й)1НКг.шЕ,
где Е — единичная матрица.
Чтобы найти Я+ . перепишем соотношение (1.134):
II я:(/£2)11 II Hi(/£2)|Г = КГА II К,м(£2)||. (1.135)
Теперь надо найти любую матрицу \\Н + (jw) ||, удовлетворяющую
условию (1.135). Синтез схемы фильтра проводится по виду найден-
ной передаточной характеристики [32].
Для одного случайного процесса с дробно-рациональной спектраль-
ной плотностью передаточная характеристика Н+ (/Q) находится
сравнительно просто. Так, например, для спектральной плотности
достаточно общего вида (1.130)
#+(/Q) = 4----------/fl±Q| -/Q Ф йз —
/52 52ц /52 4" 522 /52 4" 52^ /52 4”-52ц
(1.136)
где
а из знаков ± может быть принят любой в любом сомножителе.
Если наряду с вертикальным возмущением </M(/M) надо определить
и углы наклона площадки контакта ам(М, т0 целесообразно сначала
найти ам(/м). Для спектральной плотности вертикального возмущения
вида (1.130) спектральную плотность ам(М можно задать в виде
Ка (Q) = —Q2 + Q‘ ------------------EL_ , (1.137)
м 522 4-Q| 522 4-£22 Й2 4- 522
где Ma = a/aM — масштаб a.
По сравнению с выражением (1.130) в формуле принято QH = 0,
т. е. углы наклона площадки контакта определяются по профилю, а не
по микропрофилю. Процесс ам(М можно получить из белого шума
««(/«) =яаб(и,
где передаточная характеристика преобразования На
Hi(iQ) = ± k, /Q±Q‘- iQ ±Qj---. а _ л f---------
/Q 4“ Q2 4- 4”
(1.138)
93
Рис. 33. Блок-схема для получения на АВМ вертикального возмущения и угла на-
клона площадки контакта (над входными резисторами приведены коэффициенты пе-
редачи по соответствующим входам):
/, 2, 4 и 6 — интеграторы; 3 и 5 —- сумматоры
Рис. 34. Блок-схема для получения на АВМ возмущений для четырех параллельных
сечений:
дь 62, дз и д4 — выходные сигналы соответствующих генераторов шума; /, 3, 5, 7, 9, 11, 13 и
15 — интеграторы; 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14 и 16 — сумматоры; 17 — фильтр с передаточной харак-
теристикой //+(/«) - У —±— <
Вертикальное возмущение находят из aM(4i):
<7M(U=^aaM(Q, (1.139)
где передаточная характеристика преобразования Нqa
= fe2/(/Q + QH); k2 = MaMtMqlvA.
Схема получения сигналов aM(M и <?м(Аи) на ABM показана
на рис. 33.
Представление матриц в виде (1.135) проводится несколько слож-
нее, чем функций. В общем виде представления (1.135) рассмотрены
в литературе [33]. Представление спектральной плотности параллель-
ных сечений в виде (1.135) подробно рассмотрено в разделе 3 в § 5.
Для четырех симметрично расположенных параллельных сечений
матрица передаточных характеристик определяется формулой (1.110).
Схема получения полусуммы и полуразности сечений приведена
на рис. 34.
ПЛАВНОСТЬ ХОДА АВТОМОБИЛЯ
Одним из важных качеств автомобиля является плавность хода,
характеризующая способность длительного движения автомобиля в ин-
тервале эксплуатационных скоростей без неприятных ощущений и
быстрой утомляемости людей или повреждений перевозимого груза,
обусловленных колебаниями автомобиля [34].
При изучении плавности хода основное внимание было обращено
на исследование колебаний автомобиля при случайном возмущении от
дороги, в меньшей степени рассмотрены колебания, вызванные редко
встречающимися единичными и периодическими возмущениями, так
как указанные вопросы подробно освещены в литературе [34, 35].
§ 1. РАСЧЕТНАЯ СХЕМА
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ ДВУХОСНОГО АВТОМОБИЛЯ
Аналитическое исследование и расчеты на ЭВМ колебаний автомобиля
проводятся на основе математического описания его упрощенной схемы,
которая отражает с некоторыми допущениями особенности конструкции
автомобиля и взаимодействие отдельных его частей. В зависимости
от целей исследований могут приниматься различные схемы, отличаю-
щиеся точностью представления в них частей и агрегатов автомобиля.
Однако любая схема должна соответствовать рассматриваемым коле-
баниям автомобиля и обеспечивать совпадение с заданной точностью
результатов расчетов с данными натурных испытаний.
При исследовании плавности хода обычно ограничиваются рас-
смотрением колебаний в диапазоне 0—15—20 Гц, поэтому расчетная
схема должна достаточно точно описывать колебания масс автомобиля
в этом диапазоне. Исследование только низкочастотного диапазона
позволяет существенно упростить расчетную схему и представить авто-
мобиль в виде динамической системы, состоящей из ряда сосредоточен-
ных масс, соединенных безынерционными упругими и демпфирующими
элементами. На относительное перемещение масс накладываются
ограничения, характер которых зависит от конструкции направляющего
устройства подвески. Правильный учет ограничений (геометрических
связей) необходим для корректного составления уравнений движения.
При составлении расчетной схемы вводим следующие понятия
(рис. 35):
1. Горизонтальная плоскость Н — плоскость дороги, от которой
отсчитываются ординаты высот микропрофилей.
2. Ось дороги.
3. Продольная вертикальная плоскость Г, проходящая через ось
дороги (продольная плоскость).
4. Поперечная вертикальная плоскость Я, проходящая через центр
тяжести автомобиля перпендикулярно продольной плоскости.
5. Подвижная система координат С0ХоУо2о; началом системы служит
точка Со — проекция центра тяжести кузова С на горизонтальную
плоскость Я, осями СоХо, Cof/o и Cozo — линии пересечения плоскостей Я,
Г и Я.
6. Подвижная система координат Ст)££, неизменно связанная
с кузовом автомобиля; начало этой системы находится в центре тяжести
кузова; оси ориентированы таким образом, что при отсутствии колеба-
ний автомобиля оси CJj и Ст] горизонтальны и лежат в продольной Я
и поперечной Г плоскостях, а ось С£ совпадает с осью CqZ.
97
7 Заказ 3363
Рис. 35. Расчетная схема колебаний автомобиля с зависимой передней и задней под-
весками
7. Вспомогательные подвижные системы координат, оси которых
параллельны осям главной системы, а начало находится в центрах
тяжести соответствующих масс автомобиля (кузова, неподрессоренных
масс или колес); вспомогательные подвижные системы координат дви-
жутся поступательно.
При составлении пространственной схемы колебаний примем
некоторые допущения:
1. Кузов автомобиля — твердое тело, имеющее продольную плос-
кость симметрии, т. е. деформациями рамы на кручение и изгиб
пренебрегаем.
2. Центр тяжести кузова все время находится в продольной
плоскости и движется так, что проекция его скорости на плоскость Н
остается постоянной.
3. Отсутствует влияние продольных и поперечных реакций дороги
на колебания масс автомобиля.
4. Оси мостов движутся в плоскостях, перпендикулярных к плос-
кости Ст)£ (плоскости рамы); траектории движения центров масс —
прямые, нормальные к плоскости Ст)|.
5. Моменты инерции мостов относительно осей вращения колес
равны нулю.
6. Неуравновешенность и гироскопические моменты вращающихся
масс трансмиссии и двигателя равны нулю.
7. Колебания масс автомобиля малы.
8. Контакт шин с дорогой точечный.
Подобные допущения обычно принимают при исследовании плав-
ности хода автомобиля, но четко их не формулируют и, кроме того, не
указывают границы применимости принятой расчетной схемы. Поэтому
остановимся подробнее на каждом из допущений.
Первое допущение о наличии в автомобиле плоскости симметрии
вполне оправдывается для большинства легковых и грузовых автомо-
98 билей. Ниже будет показано, что для автомобиля, имеющего линейные
характеристики упругих и демпфирующих элементов такое допущение
приводит к взаимной независимости угловых колебаний в продольной
и поперечной плоскостях 1 2 [34].
Пренебрежение при расчете колебаний нзгибными деформациями
рамы вполне допустимо для большинства автомобилей, за исключением
длиннобазных. При снятии амплитудно-частотных характеристик
у грузового длиннобазного автомобиля на барабанных стендах
возникали заметные изгибные деформации рамы при частоте 6,5—7 Гц.
при этом перемещение задней стенки кабины относительно рамы со-
ставляло до 10 мм. Если пассажир прижимался к спинке сиденья, то
возникающие продольные колебания были практически непереносимы-
ми. По-видимому, в этом случае при исследовании случайных колебаний
автомобиля целесообразно было бы уточнить расчетную схему, учтя
изгибную податливость рамы и представив кабину в виде твердого
тела, связанного с рамой. Исследование расчетной схемы, не учиты-
вающей указанных факторов, .позволяет получить результаты, удов-
летворительно согласующиеся с данными натурных испытаний лишь
по вертикальным и угловым ускорениям в вертикальной продольной
плоскости.
Несколько меньше оснований исключать из расчетной схемы
податливость рамы на кручение, особенно при исследовании попереч-
ных угловых колебаний длиннобазных автомобилей. У грузовых авто-
мобилей даже с нормальной базой отмечалась заметная разница
в поперечных угловых ускорениях, определенных в разных сечениях.
Например, у автомобиля ЗИЛ-130 среднее квадратическое ускорений,
измеренных на раме у переднего бампера, на 30—50% больше такового
над задней осью. Удовлетворительное совпадение результатов расчета
с данными натурных испытаний получается только для сечений, близко
расположенных к задней подвеске. Для легковых и короткобазных гру-
зовых, а также для других автомобилей с большой жесткостью рамы и
кузова пренебрежение податливостью рамы или кузова вполне
допустимо.
В настоящее время недостаточно экспериментального материала по
исследованию крутильной жесткости рам автомобилей и по ее влиянию
на поперечные угловые колебания, чтобы можно было построить
модель, одинаково пригодную для исследования колебаний различных
автомобилей. Можно лишь утверждать, что при исследовании колеба-
ний в диапазоне 0—15 Гц допустимо рассматривать систему со сосре-
доточенными параметрами и выделять при учете податливости рамы
при кручении (и изгибе) только основную форму колебаний. Возни-
кающую при этом задачу распределения подрессоренных масс следует
решать в каждом отдельном случае. Учет крутильной жесткости рамы
приводит к исследованию динамической системы из двух твердых тел,
соединенных упругим элементом, который работает на кручение, и
расположенных над передней и задней подвесками [36]. Например,
у автомобиля «Урал-375» массы, расположенные до задней стенки
кабины, были отнесены к переднему твердому телу, а массы, располо-
женные за нею,— к заднему.
1 В дальнейшем такой автомобиль будем называть «линейным» в отличие от «нели-
нейного», т. е. автомобиля, характеристики элементов которого нелинейны.
2 При этом предполагается, что продольная плоскость является плоскостью мате-
риальной симметрии автомобиля и характеристики подвесок и шин справа и слева от
нее одинаковы. Если же при симметричном распределении масс они различны, то рас-
сматривать отдельно продольные и поперечные угловые колебания нельзя. 99
7*
В некоторых трудах отмечается необходимость включения
в расчетную схему крупных узлов и агрегатов (в первую очередь, дви-
гателя и кабины) в виде отдельных масс, имеющих упругую подвеску
на раме автомобиля [37]. Такую схему целесообразно применять лишь
в специальных случаях, например при решении задачи вторичного
подреосоривания кабины, когда ее крепление заведомо делается не-
жестким. В обычных конструкциях автомобиля «крепление кабины и
двигателя к раме таково, что частоты их собственных колебаний выхо-
дят из диапазона 0—15 Гц или лежат на его границе, а амплитуды
колебаний незначительны [38]. Поэтому при исследовании плавности
хода необходимость рассмотрения колебаний этих узлов как упруго
закрепленных масс вызывает сомнение. Уточнение расчетной схемы
целесообразно при расчете динамических нагрузок на элементы кон-
струкции автомобиля (рамы), а также при рассмотрении высокочастот-
ной вибрации, вызванной, например, неуравновешенностью масс двига-
теля и трансмиссии, и решении задачи виброизоляции и снижения
шума. В этом случае учет указанных факторов, в частности подвески
двигателя, может иметь большое влияние.
Второе допущение подразумевает, что при расчете плавности хода
рассматривается установившееся прямолинейное движение автомобиля,
при котором его скорость постоянна, а центр масс кузова движется по
отношению к плоскости С0Хо£/о (горизонтальной плоскости) только по
нормали, т. е. исключаются продольно-поступательные колебания
кузова. Это допущение оправдано, если плавность хода автомобиля
оценивать по вертикальным и угловым колебаниям. Если принимать
во внимание еще продольные ускорения, вызывающие малые откло-
нения скорости движения от ее среднего значения, то от указанного
допущения следует отказаться. В этом случае невозможно пренебречь
инерционностью вращающихся масс двигателя и трансмиссии. Рас-
четная схема колебаний автомобиля в продольной плоскости, учиты-
вающая указанные флуктуации скорости движения, рассмотрена
в литературе [39].
Расчеты показали, что среднее квадратическое ускорений подрессо-
ренных масс в продольно-поступательном движении составляет 0,1—0,3
вертикальных ускорений, что хорошо согласуется с экспериментальны-
ми результатами. Особенно сильно проявляются продольные ускорения
при малых скоростях движения и на участках дорог с неровностями
типа «кочки» и «валы» (см. гл. 1).
Третье допущение непосредственно связано со вторым и вполне
целесообразно, поскольку при прямолинейном и равномерном движении
автомобиля нормальные силы существенно больше поперечных и про-
дольных сил.
Четвертое допущение исключает из рассмотрения возможность
поворота мостов относительно осей, перпендикулярных к плоскости
рамы автомобиля. Отметим, что траектория центра тяжести мостов
относительно кузова может быть сложной и только в первом прибли-
жении ее можно считать прямой, нормальной к плоскости Ст]|.
Пятое допущение вполне приемлемо, так как моменты инерции
мостов относительно осей вращения колес малы и практически не влия-
ют на плавность хода автомобиля.
Шестое допущение — пренебрежение гироскопическими моментами
вращающихся масс — общепринятое при исследовании колебаний авто-
мобиля, за исключением случая, когда рассматриваются колебания его
управляемых колес [40]. Неуравновешенность масс двигателя и транс-
100 миссии проявляется только при рассмотрении высокочастотных
Л
вибраций, анализ которых входит в задачу исследования не плавности
хода автомобиля, а более широкой его характеристики — комфорта-
бельности.
Седьмое допущение не следует понимать как линеаризацию
дифференциальных уравнений колебаний динамической системы отно-
сительно положения равновесия. Уравнения остаются нелинейными.
Из них только исключаются члены, имеющие вторую степень малости
относительно обобщенных координат и скоростей, а тригонометрические
функции углов наклона кузова и мостов заменяются самими углами.
Восьмое допущение заключается в том, что вместо распределенного
по площадке контакта шины воздействия к ней прикладывается одна
сила, определяемая ординатой дорожной поверхности под центром
колеса. Такая замена возможна при движении автомобиля по асфаль-
тобетонным и грунтовым дорогам, однако при движении по дорогам
с большим уровнем высокочастотных возмущений (крупный булыжник)
в точечный контакт шины надо подавать некоторую осредненную по
площадке контакта ординату. Методы такого осреднения приведены
в § 5 гл. 1.
Расчетная схема колебаний, соответствующая принятым допущени-
ям, показана на рис. 35. Дифференциальные уравнения движения масс
составим для главной подвижной системы координат С0х0уог0
с помощью уравнений Лагранжа 2-го рода
d дТ дТ_
dt dq, dqj
Положение автомобиля определяется обобщенными координатами:
расстоянием Zc от горизонтальной плоскости Н до центра тяжести
кузова; расстоянием от горизонтальной плоскости Н до центров колес
(для колес передней оси используется индекс 1, для колес задней
оси — индекс 2, а для левой и правой колеи — соответственно индексы
л ип): z^, Zin, £2л, z2n; углом а между проекцией оси С£на вертикальную
плоскость Г и осью Сг (угол продольного крена); углом <р между про-
екцией оси Ct, на .вертикальную плоскость П и осью Cz (угол попереч-
ного крена).
Для вычисления кинетической энергии Т определим угловые
скорости колебаний подрессоренных и неподрессоренных масс автомо-
биля и линейные скорости их центров масс:
угловую скорость кузова <о; ее проекции на оси вспомогательной
подвижной системы Cxyz составляют: ©х = Ф—угловая скорость
поперечного крена; оу = а— угловая скорость продольного крена;
<лг — ф — угловая скорость рыскания;
скорость центра масс кузова v; ее проекции на оси системы Cxyz
будут следующими: vx = Хс = оа = const (эта проекция соответствует
скорости автомобиля); vy = 0; vz =₽ zc;
_ угловые скорости соответственно переднего и заднего мостов си и
©г; их проекции на оси вспомогательных подвижных систем Cxxyz
и C2xyz составляют:
= (21л ~“ ^1п)/(2^к)> ®2л = (22л— ^2п)/(2^к)
®|у = <й2у = 0; ©1г = ©2г = ф;
(2.2)
101
скорости центра масс переднего Vi и заднего v2 мостов; их проекции
на оси C\xyz и C2xyz определяются по следующим формулам:
»ь = - <хЯ; »1р = <рЯ + фа;-Р1г=(;г1л4-г1п)/2; |
и2х = —(iff; v2y = 4>ff—ф&; U2z = (г2л + z2n)/2. /
Кинетическая энергия автомобиля складывается из:
кинетической энергии кузова (индекс «п» вверху означает, что
параметры относятся к подрессоренным (массам)
Л4П ?2 /п /п П2 /п ih2
Гп = М *с . 7ххФ Jyya Z22*
2 2 2 "* 2
/«ФФ
(2-4)
2
и кинетической энергии мостов
2 М,Я»ф2 /хх1
2 2
Г,=~г
Af^2a2 .
2
г1л I 21п
2 2
2dK
4г.Ф2
2
т М2
Тг~~
М2Н2а?
2
*12
г2л + Z2n
2
М2Нф Ixx2
2 2
2dK
12
/222Ф2
2
т. е. кинетическая энергия всей системы
8 8dK /
' ' , At-HP2 , /4'«“2 , / М2 1Ххг\(;1 , -2'
j 2,-г'-+~ + ~ +(г1‘+г“
ZXX2 \ \
г" )
*4 )
T --- ----*+
Mj I хх\
м2
4
где
Iyy = I",У + М1Я2 + М2Н2-, lxx = IL+ MiH2 + м2н2-,
*ZZ - 1 ZZ ' 221 । 1222*
Обобщенные силы вычислим по формуле
Q/ = 2 ^Fid'rildcii>
i=* 1
(2.5)
(2-6)
(2-7)
(2-8)
где Fi — сила, приложенная в z-й точке; гг- — радиус-вектор i-й точки.
В соответствии с расчетной схемой на массы автомобиля действуют
следующие силы: Gn, Gb G2 —силы тяжестц кузова и мостов; Nln, Nin,
М2л, Nan — нормальные реакции дороги (силы, действующие на шины);
Fin, Fiu, F2n, F2n — силы, действующие со стороны подвесок.
Так как все эти силы направлены вертикально, то
102 Fidrildqi = Fz.dzlldqi. (2.9)
^1л ^1п
г2л Z2n
4
2
Определяя вертикальные координаты точек приложения перечис-
ленных выше сил, получаем:
для кузова
г" 1л = zc—««—ф<*р; (2.Ю)
z"m = zc—«« + ф^р; (2.H)
ZF2j=zc + ab—<?dp‘, (2-12)
ZF2n^zc + ab + ffdp; (2-13)
ДЛЯ мостов
_ <*к + <*р , ^p (2-14)
'1л ~ 2dK ~1л ' 2dK Zln’
_ <*к+<*р _ (2.15)
F,n ~ 2dK ~'п ' 2dK Z,J”
_ dK + rfp dK '^p (2-16)
'2л 2dK "2л ’ 2d.
ZF - dl( + rfp-3, +. dp 2dK 22л’ (2-17)
f2n ’ 2dK **n +
Подставив (2.10) — (2.17) в (2.9), получим следующие выражения
для обобщенных сил:
Q<p — F 1л^р "I” F2ndp F\ndp ^*2п^р; Qa — F(jla F]nG +
+ ^2л^ + ^2п^!
Qzc ~ Fu + Fln + F2ji + F2„—G"; Q^ = 0;
ф*1л— dp 2dK Fia~ dp 2dK Fin- 2 ’
Q«in — ^ln dK + dp 2dK Fin- d\a dp 2dK Fu- Gt 2 ’
Фг2л — ^2л dK + ^p 2dK Р2л~ dyi dp 2dK f2„- g2 . 2 ’
Q22n ^2n dK + dp 2dK F2tt- d* dp 2dK F2a~ g2 2
(2.18)
Подставив (2.6) и (2.18) в (2.1) и проведя преобразования, полу-
чим систему дифференциальных уравнений, описывающих колебания
двухосного автомобиля с зависимой подвеской переднего и заднего
мостов:
ф =----7—^* + ^-FIn-F2n); (2.19)
‘XX ,
‘zz
а =----Г~(Р1л + F,n) + -±-(F2„ + F2п); (2.20)
Jyy ‘УУ
^=^(Fu + Fln + F24 + F2n)-g; (2.21) 103
(2.22)
(2.23)
(2.24)
(2.25)
В систему уравнений (2.19) — (2.25) не включено уравнение для угла
рыскания ф, так как этот вид колебаний в данном случае однозначно
связан с поперечными колебаниями.
Наложение дополнительных ограничений к перечисленным выше
изменяет вид уравнений (см. гл. 5).
Нетрудно убедиться, что независимая подвеска при тех же огра-
ничениях является частным случаем. При этом предполагается, что
реакции рессоры и амортизатора независимой подвески приложены
в центре колеса (dp = dK), т. е. параметры упругих и демпфирующих
элементов приводятся к этому центру; массы мостов сосредоточены
в центрах колес, т. е. IXxi = Mid2K и /х«2 = М<£2.
Дифференциальные уравнения движения для автомобиля с неза-
висимой передней подвеской имеют следующий вид:
ф =--------------(^1л + F2ji—Fln—F2n);
а = — (а//то) (Р1л + F,„) + (b/IyU) (F2„ + F2n);
zc = (1/Aln) (FtJI 4- Fln 4- F^ + F2n) —g;
z^ = (2/M1)(^1JI-F1JI)-g;
*in = (2/M2) (A/\n—Fin)—g;
(2.26)
(2.27)
(2.28)
(2.29)
(2.30)
(2.31)
/ 1
^2п +
.2 X
-л) ^2л
\ _, / 1
) ^2п ("ТГ
ZXX2 / \ М2
ZtX2
Fza—g.
(2.32)
В общем случае в расчетной схеме приняты реальные нелинейные
упругие характеристики рессор с подрессорниками и ограничителями
прогибов и шин (с учетом возможности потери контакта колеса с доро-
гой), а также нелинейные характеристики демпфирования в рессорах,
амортизаторах и шинах. Поэтому уравнения (2.19) — (2.32) являются
нелинейными.
Вертикальную составляющую полной силы можно определять по
следующим выражениям:
в подвеске
Ftp — Fzcp + ^ггр + ^ггр»
где FZCp = Србр — вертикальная составляющая упругой силы в рессоре
[ср = tp(6p)—жесткость рессоры; др — деформация рессоры]; Fzrp =
— гр^р — вертикальная составляющая силы сопротивления в амортиза-
торе, приведенная к плоскости рессоры [гр = гр(др)—коэффициент
сопротивления амортизатора; др — скорость деформации рессоры];
Fzrp = F°sign др — вертикальная составляющая силы сухого трения
в рессоре;
в шине
= Ргсш + F2rm,
где FZCm = Сщдш—вертикальная составляющая упругой силы в шине
[сш — сш(дш) —жесткость шины; бш — радиальная деформация шины’];
= гшдш — вертикальная составляющая силы сопротивления в шине
[гш = гт(дш)—коэффициент вязкого трения в шине: дш — скорость
радиальной деформации в шине].
Деформации рессор определяют по следующим формулам:
« dK + dp , dK dp
d , =zP —znF =-----Z[. d-----zln—z~ + aa—wdB\
₽1л г1л 2dK л 2dK ln c * p
„ „ ^к + rfp dK dp
S„. = *F, ,.-1 2Jt. = ^-2'" + ^rzb,-^c+Ua + ^p; (2зз)
6O = z„ —znP =-----z2jl 4----z2n——ab—wd-
Р2л г2л р2л 2dK л 2dK п c p
я + ^p ^p , , -
----+
Отсчет координат zc, г1л, zia, згл, z2n может быть сделан от любого
фиксированного положения масс. При моделировании на АВМ неко-
торые удобства дает отсчет от положения, соответствующего недефор-
мированному состоянию рессор и шин. При аналитических расчетах
отсчет координат целесообразно вести от положения масс, соответ-
ствующего статическим деформациям рессор и шин.
1 Если с каждой стороны моста установлено несколько колес, то сш и гш—сум- 105
марные жесткости их шин и коэффициенты трения в них.
Деформацию шин находят по формуле
л _____ ( 7<’л. п—2|л, п При (9<л, п— 2|Л, п)>0;
иш«л, п — <
I 0 при (9.л, п —2,л. „)< О,
где 91л, 9in, 92л, Яга — ординаты высот неровностей под соответствую-
щим колесом.
Применяя АВМ для расчета плавности хода автомобиля, целесооб-
разно пользоваться дифференциальными уравнениями в форме
(2.19) — (2.25). Для аналитического расчета, который можно провести
только для «линейного» автомобиля, их следует записать так:
Г (1п )2 1 ..
/хх—4^ Ф + 2 [(dpl)2rpl + (dp2)2rp2] ф + 2 [(dpl)2cpl + (dp2)2cp2] ф —
lzz J
- 2(dpI)2rplp! -2(dp2)2rp2₽2-2(dpl)2cplpI-2(dp2)2cp2₽2 = 0; (2.35)
Iyya + 2(a2rpl + 62rp2)<x + 2(a2cpl + &2cp2)a 4- 2(acpl — bcp2)zc 4-
+ 2(arpi 4- brp2)zc + 2acplzl 4- 2arpXz1—2brp2z2—2bcp2z2 = 0-, (2.36)
Mnzc + 2(rpi + rp2)'zc 4- 2(cpi + cp2)zc 4- 2(acpl—bcp2)a + 2(arpl — 6rp2)a—
—2rplzt — 2rp2z2—2cpXzx—2cp2z2 = 0; (2.37)
Mxzx + 2(rpi + гшХ)гх + 2(cpl + cml)Zi —2rpXzc 4- 2arpXa—2cpXZc +
+ 2осР1а=сш1(91л + 91п) +гш1(91л + 91п); (2.38)
M2z2 + 2(rp2 + гш2)г2 + 2(cp2 + cm2)z2 —2rp2zc—2brp2a— 2cp2zc—
—2bcp2a — сш2(92л + 92n) 4- гШ2(<72Л 4- ЯгпУ, (2.39)
7i₽i + 2 [rpl (</pl)2 + гШ1 (</K1)2] p, + 2 [Cpl (dp,)2 + сш1 (dKl)2] p, -
—2сР1(</р1)2ф — 2гр1(йр1)2ф = сШ141(91л—9in) + ^141 (<71Л— ЯтУ (2.40)
/2р2 + 2 [г р2 (</р2)2 + гш2 (</к2)2] р2 + 2 [ср2 (dp2)2 + сш2 (dK2)2] Р2—
2ср2((/р2)2ф—2гр2(</р2)2ф = cm2dK2{q2jl 9гп) 4" гш2</к2 (*?2л ^2п)> (2-41)
где pi = (zin — £1л)/2</к1 и р2 = (z2a — z2n)/2dK2 — углы наклона
мостов в поперечной плоскости; zx — (zLa 4- zXn) /2 и z2 — (г2л 4- z2n)/2 —
вертикальные перемещения центров тяжести мостов.
Если считать, что колеи задних и передних колес одинаковые
(</к1 ^кг), то
<?2Л(0 = <71Л(/—Т) = q„(t—т); q2n(t) = qin(t—т) = q„(t—т). (2.42)
В этом случае динамическая система «автомобиль» имеет только
два входа 9л(0 и 9п(0- Задержку подачи возмущения под заднюю ось
по сравнению с передней можно считать элементом системы.
Из уравнений колебаний «линейного» автомобиля видно, что для
него в качестве возмущений можно принять полусумму и полуразность
ординат микропрофиля по левой и правой колеям. При этом полу-
разность является возмущением для поперечных угловых колебаний
подрессоренных и неподрессоренных масс, а полусумма — для их
вертикальных колебаний и угловых колебаний подрессоренных масс
в продольной плоскости. Из уравнений (2.35) — (2.41) следует, что при
106 сделанных допущениях эти колебания оказываются независимыми.
Рис. 36. Расчетная схе-
ма колебаний автомоби-
ля в продольной плос-
кости
Если микропрофиль дорожной поверхности таков, что
<71л(0 = <71п(0 И /?2л(0 = <?2п(0.
то для симметричного автомобиля
q> = const; 0! = const; р2 = const;
г1л(0=г,„(0=|1(0;
г2л(0=г2п(0 = Ы0,
(2.43)
(2.44)
т. е. автомобиль будет колебаться только в продольной плоскости.
Расчетная схема этих колебаний показана на рис. 36, а дифферен-
циальные уравнения будут иметь вид
21 = ^-Fpi + -^rFp2—g', z2 = -\- Fp2 + -^-Fvl—g-,
m\ m3 m2 m3
~ ~ ^pl + ~77“ ?2=----ГГ“^р2+~^ш2
M j All М2 М2
(2.45)
где
trii = M Рпр/(Рпр"t*о )> tn2 — M Рпр/(рпр4" Ь~)', Пз = М Рпр/(ab—Рпр); (2.46)
рпр — приведенный радиус инерции подрессоренных 'масс автомобиля,
учитывающий влияние инерционности мостов на угловые колебания
кузова;
Рп2р = lyylM" = (/£, + + м2Я2)/М";
Fpi,2 — сила, действующая от подвески соответствующего моста на
кузов; fpi>2 = /?pii2(6pi,2, бР1>2); Nmit2 — нормальная реакция, действую-
щая на колеса соответствующего моста; Мщ,2 = Мт,2(61111,2, 6ш1,г).
В (2.45) вместо ранее использовавшихся обобщенных координат
zc, a, Zi, z2 взяты координаты zb z2, |2, где Zi и z2—вертикальные
перемещения точек кузова, лежащих на осях подвесок:
Z\=zc—аа\ z2 = zc+ba. (2.47) 197
Рис. 37. Расчетная схема вертикаль*
иых колебаний передних и задних
подрессоренных масс автомобиля
Как известно, эти координаты можно использовать при исследовании
вертикальных колебаний автомобиля только в продольной плоско-
сти [34].
Если р2р — ab1, то система (2.45) распадается на две независимые
группы уравнений, каждая из которых описывает колебания одной из
подвесок (рис. 37):
^=(l/mi)Fpi—g; ii=(l/tnl)Fpi+(l/mi)Nuli—g. (2.48)
В приведенных уравнениях не учитывается влияние колебаний
пассажира на колебания автомобиля. Предполагается, что подобное
представление динамической системы ‘возможно, т. е. принимается, что
масса пассажиров мала по сравнению с подрессоренной массой
автомобиля. В некоторых случаях («автомобили особо .малого и малого
классов) независимое рассмотрение колебаний автомобиля и пассажи-
ров приводит к заметным погрешностям. Тогда расчетные схемы
и уравнения необходимо уточнять.
На рис. 36 показана расчетная схема вертикальных колебаний
человека на упругом сиденье. При этом тело человека представлено
в виде сосредоточенной массы (см. подробнее § 3 этой главы). Уравне-
ние колебаний пассажира имеет вид
4 = (l/mB)FB-g, (2.49)
где тв — масса пассажира, приходящаяся на сиденье; FB = Fcc+Fcr—
сила, действующая в подушке сиденья; Fc с = ссбс — упругая сила в по-
душке сиденья; сс = сс(6с)—жесткость подушки сиденья; 6c=(zD—zB),
6с = (zd — zB) —деформация и скорость деформации подушки сиденья;
Fcr — Гсбс — демпфирующая сила в подушке сиденья; гс = гс(6с, 6С) —
коэффициент вязкого трения в подушке сиденья; zB и Zd — вертикальное
перемещение пассажира и точки кузова под сиденьем.
1 Обычно это условие формулируется так: коэффициент распределения подрессо-
ренных масс е = р2/ab = 1^х/МпаЬ равен единице [34]. В данном случае это условие
можно сформулировать как равенство единице коэффициента распределения приведен-
ных подрессоренных масс автомобиля еПр, подразумевая, что еПр = Pffp/(a&) >
108
Точное аналитическое решение уравнений колебаний автомобиля
с учетом реальных нелинейных характеристик упругих и демпфирую-
щих элементов его подвесок, шин и сидений невозможно. Однако
приведенные выше уравнения могут быть решены с использованием
ЭЦВМ или АВМ [41,42].
§ 2. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
КОЛЕБАНИЙ АВТОМОБИЛЯ
Для оценки свойств автомобиля как динамической системы наиболь-
ший интерес представляют следующие статистические характеристи-
ки: а) функции распределения вертикальных и угловых ускорений и
перемещений подрессоренных и неподрессоренных масс, деформаций
и скоростей деформаций упругих элементов; б) математическое ожида-
ние прогибов упругих элементов; в) среднее квадратическое различных
линейных преобразований обобщенных координат кузова и мостов;
г) вероятность отрыва колес от дороги; д) спектральные плотности и
взаимные спектральные плотности ускорений и скоростей масс,
спектральные плотности прогибав упругих элементов; е) вероятность
пробоя подвески.
Получение этих характеристик возможно и при натурных испыта-
ниях и при расчетах на ЭВМ. Соответствующие методики подробно
описаны в специальной литературе. Оссбое место занимает определе-
ние вероятности пробоя подвески, для чего в отличие от других харак-
теристик требуется реализация очень большой длины, так как пробой
подвески — явление редкое, единичное. Однако, если известен закон
распределения прогибов подвески, то оценить вероятность пробоя
можно расчетным путем, определив параметры этого закона распре-
деления на небольших длинах реализации. Так, если случайный
процесс х(/) имеет нормальный закон распределения, то вероятность
того, что x(t) больше уровня X, определится формулой
Р [*(/) > X] = [1—Ф(Х/ах/2)10,5, (2.50)
и
где Ф (U) = —^=- f sT^dt — интеграл вероятностей.
у Л J
о
Следовательно, если достаточно точно выявить среднее квадратиче-
ское деформаций рессор, то, зная динамический ход подвески, можно
оценить вероятность ее пробоя.
Оценить пробиваемость подвески можно и по математическому
ожиданию числа ударов об ограничители в единицу времени. При
задании возмущения от генератора шума, когда можно получать
реализации большой длины, число пробоев подвески фиксируют спе-
циальным счетчиком импульсов. Если вид законов распределения и
скоростей деформаций подвески известен, то получить число пробоев
за единицу времени можно и по реализации относительно малой длины.
Как известно, математическое ожидание числа превышений случайным
процессом x(t) уровня X в единицу времени в одном направлении
определяется соотношением [2]
n(X) = j*xf (X, x)dx, (2-51)
о
109
(2.52)
а средняя продолжительность выброса
т(Х) = J f(x)dx
J xf(k, x)dx,
где f(x)—плотность распределения случайного процесса; f(x, х) —
совместная плотность распределения процессов x(t) и x(t).
Если процесс x(t) нормальный, то вместо (2.51) и (2.52) можно
написать
___(^—fftx)21.
2^
n(X) =-2S—!— exp
<sx 2л н
т(Х) = Л -^2-
CF-
1 _ф (3-ОТЛ.Л ] ехр Г— ^~тх)г
q 2а2
(2.53)
(2.54)
Приведенные выше формулы могут дать лишь приближенную
оценку вероятности пробоев. Точная их статистика еще не установлена,
и требуется проведение соответствующих расчетных и эксперименталь-
ных работ.
Рассмотрим подробнее вопрос о законах распределения ускорений
масс и деформаций упругих элементов при движении автомобиля по
реальной дороге.
Выяснение истинных законов распределения случайных процессов
имеет первостепенное значение при исследованиях динамических
систем, находящихся под действием этих процессов, так как позволяет:
а) рассчитать нелинейные динамические системы; б) существенно
упростить схему получения статистических характеристик случайных
процессов; в) сократить объем вычислений.
В гл. 1 отмечалось, что микропрофили участков дорог с одинаковой
степенью износа покрытия являются стационарными случайными
процессами с нормальным законом распределения. Большинством
исследователей установлено, что законы распределения деформаций
рессор и ускорений кузова на таких участках дорог также близки
к нормальному [43—50}.
Если бы автомобиль был строго линейной динамической системой,
то закон распределения любых параметров его колебаний был бы
нормальным, так как линейная динамическая система не меняет нор-
мальный закон распределения входного сигнала [2]. Наличие нелиней-
ности может привести к отклонениям от нормального закона. Вопрос
состоит в том,, насколько велики отклонения и можно ли ими прене-
брегать. Если отклонениями можно пренебречь, то задачи анализа и
синтеза подвески автомобиля были бы значительно облегчены и их
можно было бы решать, находясь в рамках сравнительно простой
корреляционной теории стационарных случайных процессов.
Для выяснения степени отклонения законов распределения коле-
баний автомобиля от нормального определялись законы распределения
колебания ряда автомобилей (ЗИЛ-130, ЗИЛ-130Д, ЗИЛ-131, ЗИЛ-133,
«Москвич-408») при разных скоростях движения для дорог двух типов:
асфальтированной и булыжной в удовлетворительном состоянии. Рас-
сматривались колебания порожних и груженых автомобилей при
различных параметрах подвесок.
Полученные результаты подтверждают, что с достаточной точно-
стью закон распределения ускорений масс и деформаций упругих
элементов (кроме шин) можно принимать нормальным. При этом
110
Рис. 38. Интегральные функции распределения параметров колебаний порожнего ав-
томобиля ЗИЛ-130 (булыжная дорога в удовлетворительном состоянии, -
- 55 км/ч):
а — вертикальных ускорений точек кузова, лежащих в продольной плоскости над осями под»
весок (т£ — - 0; - 3,28 м/с*; — 4,6 м/с*); б — деформаций передних и задних рес-
сор Onftpj - 1.5 мм; тбр2 0; о$р1 - 15,7 мм; а^р2 - 12,4 мм);--------расчетные кривые;
теоретические кривые
относительное расхождение между точками нормальной и эксперимен-
тальной функций распределения находится в пределах аппаратурной
погрешности и погрешности конечной выборки и в большинстве случаев
не превышает 10—15%. Исключение составляют точки, соответствую-
щие максимальным значениям переменных, для которых F(x) <
< 0,01 4- 0,005. В этом случае отклонения иногда достигают десятков
процентов и превосходят погрешность конечной выборки, что
объясняется двумя причинами: а) наибольшая аппаратурная относи-
тельная погрешность в определении точек функции распределения
процесса получается для тех значений переменных, вероятности появ-
ления которых малы (менее 1%); б) наличие нелинейностей в подвеске
автомобиля в первую очередь сказывается именно на распределении
максимальных значений переменных.
На рис. 38, а и б показаны полученные электромоделированием
колебаний автомобиля ЗИЛ-130 функции распределения ускорений то- 111
Рис. 39. Интегральные функции распределе-
ния деформаций шин задних колес порож-
него автомобиля ЗИЛ-130 (булыжная до-
рога в удовлетворительном состоянии):
/ — иа - 25 км/ч; 2 — «а — 40 км/ч; 3 — и а—
— 55 км/ч; статическая деформация ши-
ны
чек кузова и деформаций передних и задних рессор. Для удобства
сравнения графики построены в специальном масштабе (на нормально-
вероятностной бумаге). Графики теоретической функции, соответ-
ствующей нормальному закону распределения,— прямые, поэтому
отклонение бт нормального закона видно четко.
Изменение нагрузок на автомобиль и параметров его подвесок по
сравнению с серийным ‘практически не влияло на законы распределения
ускорений масс и деформаций рессор. Исключение составляют лишь
случаи, когда .или динамический ход подвесок, или демпфирование
заведомо очень малы. В этих случаях при больших уровнях возмущений
закон распределения ускорений из-за частых ударов об ограничители
(среднее число пробоев в секунду равнялось 0,25—0,3) отличался от
нормального.
При обычном демпфировании нелинейный характер сил сопротив-
ления практически не приводит к отклонению закона распределения
параметров колебаний автомобиля от нормального. При нелинейной
упругой характеристике подвески, вызванной наличием подрессорника,
закон распределения ускорений подрессоренных масс и деформаций
рессор также остается нормальным, за исключением случая частичной
нагрузки на автомобиль (20—30% номинальной), когда точка стати-
ческого равновесия совпадает с моментом включения подрессорника
[43]. В этом случае закон распределения может отличаться от нор-
мального.
Отметим, что несимметричность характеристик демпфирования и
упругих характеристик подвески, шин и сидений автомобиля приводит
к смещению нулевой линии колебаний масс [51, 52]. При случайных
возмущениях это смещение меньше, чем на регулярном микропрофиле.
Выражается оно в том, что математическое ожидание деформаций
упругих элементов не совпадает с их статической деформацией. Для
автомобиля ЗИЛ-130, например, это различие составляет несколько
процентов от статической деформации упругих элементов при движении
с оа = 40 км/ч по булыжной дороге в удовлетворительном состоянии.
С увеличением уровня возмущений различие возрастает, особенно это
112
Рис. 40. Зависимость вероятности отрыва
передних ОтР и задних Р2 отр колес по-
рожнего автомобиля ЗИЛ-130 от скорости
движения по булыжной дороге в удовлет-
ворительном состоянии
заметно на деформациях шин (рис. 39), для которых математическое
ожидание возрастает от 0,04 бш.ст до 0,08 бш.ст при увеличении иа от
40 до 55 км/ч на булыжной дороге в удовлетворительном состоянии.
Отметим, что смещение нулевой линии колебаний масс может сказаться
на вероятностях пробоя подвески и отрыва колес от дороги.
Закон распределения деформаций шин из-за наличия отличной
от нуля вероятности отрыва колес от дороги может не совпадать
с нормальным. При этом вероятность Ротр отрыва колес от дороги зави-
сит от параметров подвески, нагрузки на автомобиль и уровня возму-
щающего воздействия от дороги. Для грузовых автомобилей с полной
нагрузкой вероятность отрыва колес передних и задних мостов неболь-
шая (для автомобиля ЗИЛ-130 Ротр ^24-3%) даже при сравнительно
больших уровнях возмущений (движение со скоростью 50—60 км/ч по
булыжной дороге в удовлетворительном состоянии). С уменьшением
нагрузки вероятность отрыва возрастает в первую очередь для колес
задних мостов, нагрузка на которые уменьшается быстрее, чем на
передние. Для порожних автомобилей РОтР задних колес в 4—6 раз
больше, чем у груженых (например, у порожнего автомобиля ЗИЛ-130
при иа = 55 км/ч на булыжной дороге Ротр = 10 4- 13%, а на отдельных
участках даже больше).
Из параметров подвесок на Ротр в основном влияет коэффициент
сопротивления амортизатора гр, и существует такое значение гр, при
котором Ротр минимальна при прочих равных условиях. Жесткость рес-
сор практически не влияет на отрыв колес и только при очень сильном
ее уменьшении Ротр несколько возрастает. Вероятность отрыва колес от
дороги в значительной степени зависит от жесткости шин, с ее увели-
чением Ротр возрастает главным образом вследствие уменьшения
статического прогиба шин, а также из-за ухудшения их сглаживающей
способности. Очень сильно влияет на Ротр уровень возмущений от
дороги и его спектр. Чем выше уровень возмущений и чем больше
в спектре высокочастотных составляющих, тем РОтР больше.
На рис. 39 показано изменение функции распределения деформаций
шин с увеличением скорости движения автомобиля по булыжной 1К.
8 Закач 3W
дороге. Как видно, повышение скорости приводит к резкому увеличению
вероятности отрыва (с 2% при иа = 25 км/ч до 13°/0 при va = 55 км/ч).
Зависимость РОтр от оа практически линейная (рис. 40), и можно ука-
зать ту минимальную скорость, при которой начинается отрыв колес
(например, для автомобиля ЗИЛ-130 это 18—20 км/ч при движении по
булыжной дороге).
Обобщая результаты исследования интегральных функций распре-
деления параметров колебаний автомобилей, можно сказать, что
применение методов корреляционной (или спектральной) теории при
анализе и расчете колебаний автомобиля не приводит к существенным
погрешностям в результатах. Эти методы широко применяются в нашей
стране и за рубежом.
Сделанный ранее вывод о близости законов распределения пара-
метров колебаний автомобиля к нормальному закону относится к дви-
жению автомобиля по участку дороги с однородным покрытием и
одинаковой степенью износа. Поэтому законы распределения парамет-
ров колебаний, соответствующие всей дороге, состоящей из набора
однородных участков, будут существенно зависеть от статистики
участков. В настоящее время еще нет данных о распределении участков
с одинаковыми статистическими характеристиками на дорогах большой
протяженности, имеющих однородное покрытие (см. гл. 1). Исследова-
ния по определению законов распределения параметров колебаний
автомобиля на таких дорогах проводились. Например, дорожные
испытания на долговечность автомобилей позволяют получить опре-
деленную информацию. Анализ этих данных показывает, что с увели-
чением длины пробега от нескольких километров до десятков и более
законы распределения прогибов упругих элементов и нагрузок элемен-
тов шасси начинают отличаться от нормального. К недостаткам этих
экспериментов следует отнести то, что скорость движения на всей
дороге не поддерживалась постоянной.
Специальный эксперимент по определению законов распределения
параметров автомобиля (ускорений подрессоренных масс и деформа-
ций упругих элементов) на участках дорог большой протяженности
с твердым покрытием и при поддержании постоянной скорости движе-
ния был выполнен в НАМИ. Его результаты показывают, что на каж-
дом мерном участке (500 м) закон распределения близок к нормаль-
ному, но с увеличением числа участков он существенно отклоняется от
нормального, особенно если осреднить результаты по всем дорогам
одного класса. При этом средние квадратические ускорения масс
отличались в 1,8—2 раза, а прогибов упругих элементов — в 2,5 раза,
что примерно в 1,5—2 раза больше разброса, который может быть
обусловлен погрешностью конечной выборки при такой продолжитель-
ности реализации. Это означает, что уровень возмущающего воздей-
ствия на одной дороге и на различных дорогах одного класса может
изменяться в достаточно широких пределах, даже если длина мерного
участка будет более представительна, чем в эксперименте НАМИ. В то
же время следует полагать, что вид спектра возмущения Кд((о) сильных
изменений претерпевать не будет.
Рассмотрим подробнее общие результаты анализа спектров коле-
баний автомобиля.
Спектры являются основным выходным параметром, характеризую-
щим работу подвески и позволяющим оценивать влияние элементов
подвески на плавность хода автомобиля. Кроме того, они могут быть
применены и для других расчетов. Например, спектры деформаций
114 рессор и шин используются для расчетов долговечности узлов авто-
мобиля [48, 49, 53], спектры ускорений кузова — для оценки долговеч-
ности кузова [54] и так далее.
В соответствии с принятыми в § 1 этой главы допущениями верти-
кальная координата некоторой точки кузова Е с координатами
г) = аЕ, § == ЬЕ, £ = hE определится следующим образом (см. рис. 35):
z£ = zc + a£a—6£<р. (2.55)
Для спектральной плотности вертикальных ускорений точки Е
получим
Kz£(<0) = Kic(<t>) + а2ЕКа (®) + Ь2еК* (“) + ((©) +
"I" ^Е^гС9 E^t ^£&E^a<p(®) ОЕЬЕК9 (2.56)
Для «линейного» автомобиля колебания в продольной и поперечной
плоскостях независимы [см. уравнения (2.35—2.41)]. Следовательно,
Kici’ = К, гс = 0; a = Ка ф = 0. (2.57)
Рис. 41. Спектральные плотности некоторых параметров колебаний:
а — полусуммы \и полуразности вертикальных ускорений центров тяжести и поперечных угловых
ускорений кузова; б — полусуммы и полуразносгн вертикальных ускорений центров тяжести и
скоростей поперечных угловых перемещений кузова; — — — асфальтированное шоссе,
и&— 80 км/ч; ---- булыжная дорога в удовлетворительном состоянии, оа—30 км/ч; / —
К0.5(гс + ф): 3-К<Ь5(гс + ^.<-К0.5(гс-9)
8*
Рис. 42. Спектральные плотности полу-
суммы и полуразности вертикальных ус-
корений центров тяжести и продольных
угловых ускорений кузовов различных
автомобилей;
-------асфальтированное шоссе. иа - 80 км/ч;
--------- булыжная дорога в удовлетвори-
тельном состоянии. иа-30 км/ч; о — авто-
мобиль * ЗИЛ-130; А — автомобиль «Мос-
квич-408»; 1 - Ко,5(zc + dj: K0.5(iC-dj
При моделировании колебаний «нелинейного» автомобиля
(ЗИЛ-130, «Москвич-408») определяли взаимные спектральные плот-
ности /Саср (со), ^dv(co), KZ(y (<о) и (со) процессов а, ф, а, ф,
и zc.
Анализ результатов (рис. 41, а и б) показывает, что с точностью до
аппаратурной погрешности (5%) действительные и мнимые части этих
спектров равны нулю, следовательно, колебания -нелинейного авто-
мобиля в поперечной и продольной плоскостях можно считать некорре-
лированными. Поэтому формулу (2.56) можно записать так:
А2£(со) = Kzc(<o) + (со) + (со) + 2аЕ Re К2са (со),
(2.58)
где Re/Q^d —действительная часть функции /Gcd (со).
Взаимные спектральные плотности процессов а и zc— Ка zc (со),
а и zc—Ка zc (со) существенно отличаются от нуля (рис. 42), т. е.
независимое рассмотрение вертикальных колебаний центра тяжести
кузова и углов его наклона в продольной плоскости невозможно. Эти
колебания оказываются коррелированными при любых параметрах
подвески автомобиля и распределении его подрессоренных масс. Кор-
реляция объясняется не только взаимосвязью дифференциальных
уравнений движения (можно подобрать такие сочетания параметров,
когда ze и а станут нормальными координатами, т. е. уравнения
распадутся), но и коррелированностью возмущений под колесами
автомобиля.
Возможность независимого рассмотрения колебаний в продольной
и поперечной плоскостях для «нелинейного» автомобиля позволяет при-
ближенно представить его в виде динамической системы, состоящей из
116 двух более простых: системы с четырьмя степенями свободы, описы-
Рис. 43. Распределение вертикальных ус-
корений точек кузова порожнего автомо-
биля ЗИЛ-130 в зависимости от их поло-
жения в продольной плоскости:
1 — разбитая булыжная дорога, иа - 30 км/ч;
2 — булыжная дорога в удовлетворительном
состоянии, оа - 45 км/ч; 3 — асфальтирован-
ное шоссе, иа- 60 км/ч
вающей колебания в продольной плоскости (см. рис. 36), и системы
с тремя степенями свободы, описывающей колебания в поперечной
плоскости. За обобщенные координаты второй системы следует при-
нимать угол поперечного крена кузова и углы поперечных наклонов
мостов. Однако это представление справедливо, когда колебания груза
(или пассажиров) относительно кузова не рассматриваются. Если груз
может перемещаться, то независимо рассматривать угловые колебания
нельзя, так как соответствующие уравнения движения даже «линейно-
го» автомобиля оказываются связанными. Если при этом масса груза
соизмерима с массой кузова, то колебания первого существенно
влияют на колебания второго.
В соответствии с формулой (2.58) для дисперсии вертикальных
ускорений произвольной точки кузова получим
= D'z'c + + bgDy + . (2.59)
Зона комфорта, т. е. зона, где среднее квадратическое ускорений
точек кузова не превышает ао, определится из (2.59), если принять
#о-
Так как Оф > 0, то из (2.59) следует, что минимальные вертикаль-
ные ускорения получаются при ЬЕ = 0, т. е. у точек £>, лежащих в плос-
кости продольной симметрии автомобиля.
Спектр этих ускорений и их дисперсии определятся следующим
образом:
KiD(co) = Кгс(<й) 4- а2Г}Ка (со) + 2а D Re К^(со);
— Dzc + a^Da + 2aDDzca •
(2.60)
(2.61) Ц7
Рис. 44. Спектральные плотности продольных угловых ускорений кузовов порожних
автомобилей при движении по различным дорогам:
а — автомобиль <Москвич-408»; б — автомобиль ЗИЛ-130; ------ булыжная дорога в удов-
летворительном состоянии;-----асфальтированное шоссе; / — t>a — 20 км/ч; 2 — va ~ 40 км/ч;
3 — va - 80 км/ч
Если в качестве обобщенных координат, характеризующих поло-
жение кузова в продольной плоскости, взяты не а и Zc, a Z\ и z2
(см. рис. 36), то формулы (2.60) и (2.61) запишутся так:
KZD(o) = (1 -₽)2Кг,(ш) + №(ко) + 2р(1 -p)Re Кг,й(о)); (2.62)
DZd = (1 -Р)2Рг; + рог! + 2р(1 -р)Ог,гг,
(2.63)
где р = lD/L; lD — расстояние от оси передней подвески до точки D.
Рассматривая £>г D как функцию параметра р, характеризующего
положение точки D по длине автомобиля, заключаем, что распределе-
ние дисперсии вертикальных ускорений точек кузова, лежащих в про-
дольной плоскости, будет квадратическим (рис. 43). Минимальные
ускорения имеет точка кузова, для которой р определится по формуле
В ^р,- Ргс°- , (2.64)
Ц8 РтШ Р aD- D-+D--2D--
Рис. 45. Спектральные плотности поперечных угловых ускорений кузовов порожних
автомобилей при движении по различным дорогам:
а — автомобиль «Москвич-408>; б — авюмобиль ЗИЛ-130; ------ булыжная дорога в удов-
летворительном состоянии;-----асфальтированное шоссе; / —--— 20 км/ч; 2 — va в 40 км/ч;
3 — va - 80 км/ч
где Pc = a/L — параметр, характеризующий положение центра тяже-
сти кузова по базе автомобиля.
Анализируя (2.64), можно показать, что точка О, имеющая мини-
мальное ускорение, лежит внутри базы и смещена в сторону более
мягкой подвески. Такое распределение ускорений подтверждается
экспериментально [43, 55]. Если динамические характеристики (частоты
собственных колебаний и коэффициенты апериодичности) обеих
подвесок одинаковы, то ртщ = 0,5.
По мнению некоторых авторов, точка кузова, имеющая минималь-
ное ускорение, совпадает с его центром тяжести, однако полученные
результаты показывают, что в общем случае центр тяжести кузова не
является такой точкой. Например, для автомобиля ЗИЛ-130 при на-
грузке 4000 кгс динамические характеристики подвесок практически
одинаковы и при расчетах на АВМ получилось, что ртш = 0,5, тогда
как центру тяжести соответствует рс = 0,74.
Для совпадения центра тяжести и точки с минимальным ускорением
необходимо, как видно из (2.64), чтобы взаимная дисперсия вертикаль-
ных ускорений центра тяжести кузова и продольных угловых ускорений
кузова равнялась нулю, но, как отмечалось выше, это не выполняется. 119
Рис. 46. Спектральные плотности поперечных углов наклона кузовов порожних авто-
мобилей при движении по различным дорогам*
а — автомобиль «Москвич-408»; б — автомобиль ЗИЛ-130; — - булыжная дорога в удов-
летворительном состоянии;-----асфальтированное шоссе; / — оа - 20 км/ч; 2 — иа - 40 км ч;
3 — v а - 80 км/ч
,Из формулы (2.58) следует, что спектры вертикальных ускорений
различных точек кузова отличаются друг от друга. Но спектры про-
дольных К хЕ (со) и поперечных К уЕ (со) ускорений одинаковы для всех
точек кузова, лежащих в плоскости £ = hE.
Если пренебречь поступательными колебаниями кузова, то эти
спектры определяются так:
(О), ' (2.65)
т. е. при этих условиях для всех точек кузова спектры линейных
продольных и поперечных ускорений определяются спектрами соот-
ветствующих угловых ускорений. Более того, нормированные спектры
одинаковы и совпадают с нормированными спектрами угловых
ускорений.
На рис. 44, а и б и 45, а и б показаны спектры продольных и попереч-
ных угловых ускорений автомобилей ЗИЛ-130 и «Москёич-408» при
движении с разными скоростями по различным дорогам. Как видно,
они в значительной степени зависят от уровня действующих возму-
120
Рис. 47. Спектральные плотности углов наклона мостов порожних автомобилей при
движении по различным дорогам:
а заднего моста автомобиля «Москвич-408»; б — переднего моста автомобиля ЗИЛ-130;
------- булыжная дорога в удовлетворительном состоянии;-------асфальтированное шоссе;
/ — г>а » 20 км/ч; 2 — va -40 км/ч; 3 — иа - 80 км/ч
щений. Если для легкового автомобиля эта зависимость проявляется
только в изменении ординат спектров и в относительном изменении
уровня высокочастотных и низкочастотных составляющих в спектре,
то для грузового автомобиля меняется форма спектра. Это объясняется
наличием большого сухого трения в подвеске грузового автомобиля,
что приводит к ее блокировке при малых возмущениях. Максимум на
спектре при этом соответствует частоте колебаний кузова на шинах
(для автомобиля ЗИЛ-130 эта частота равна 4,5—5 Гц). При увеличе-
нии уровня воздействия на спектрах ускорений образуются два четко
выраженных максимума. Их положение на шкале частот определяется
в основном параметрами подвесок и в значительно меньшей степени
зависит от спектра микропрофиля дороги и скорости движения.
Поэтому области максимумов совпадают с низкочастотной и высоко-
частотной резонансными зонами колебаний подрессоренных масс ав-
томобиля.
Спектральные плотности углов наклона кузова автомобиля /(ср (со)
имеют только один максимум, расположенный в низкочастотной зоне
(рис. 46, а и б). Спектральные плотности углов наклона мостов 121
Рис. 48. Спектральные плотности вертикальных ускорений точек кузовов порожних
автомобилей, расположенных в продольной плоскости над осями задних подвесок:
а — автомобиль «Москвич-408»; б — автомобиль ЗИЛ-130; ----------- булыжная дорога в удов-
летворительном состоянии; — — — асфальтированное шоссе; 1 — иа — 20 км/ч; 2 — иа —
— 40 км/ч; 3 — va — 80 км/ч
Kfi (со) имеют два максимума — низкочастотный и высокочастотный,
причехМ первый выражен более четко, особенно при движении по
асфальтированному шоссе (рис. 47, а и б).
Общие закономерности спектров вертикальных ускорений центра
тяжести кузова автомобиля близки закономерностям спектров угловых
ускорений. При достаточном уровне возмущений спектр вертикальных
ускорений также имеет два максимума, лежащие в обеих зонах, на
частотах, близких к низкой coi и высокой сог частотам собственных
колебаний подвески. Изменение микропрофиля дороги и скорости
движения мало влияет на положение этих максимумов (пока уровень
возмущений достаточен). При очень малых возмущениях на спектре
ускорений центра тяжести грузового автомобиля из-за блокировки
подвески силами сухого трения образуется только один максимум,
соответствующий частоте, близкой к частоте колебаний автомобиля
на шинах.
122 В большинстве случаев ординаты низкочастотного максимума
Рис. 49. Спектральные плотности вертикальных ускорений точек кузовов порожних
автомобилей, лежащих над задними колесами:
а — автомобиль «Москвич-408»; б — автомобиль ЗИЛ-130; ------ булыжная дорога в удов-
летворительном состоянии; — — — асфальтированное шоссе; / — иа — 20 км/ч; 2 — —
= 40 км/ч; 3 - v& =80 км/ч
больше ординат высокочастотного, но на их соотношение влияют спектр
микропрофиля дороги, скорость движения, параметры подвески и т. д.
Это соотношение в значительной степени зависит от нагрузки: для
груженого автомобиля ЗИЛ-130 отношение этих ординат спектра мо-
жет достигать 10, для порожнего — всего 1,5—2,0 [43], т. е. у порожнего
автомобиля спектр обогащается средними и высокими частотами. Для
легковых автомобилей это отношение более стабильное (4—8 у авто-
мобиля «Москвич-408»).
При увеличении уровня возмущений вследствие повышения
скорости движения ординаты спектра К гС( со) в высокочастотной зоне
возрастают относительно быстрее, чем в низкочастотной. Доля высоких
частот возрастает и при переходе с асфальтированного шоссе на
булыжную дорогу. При достаточном уровне возмущений на всех
спектрах К гс (со), Kd(co), Кф(со) образуется один минимум при частоте
СОз ~ C0JC02* 123
Все сказанное выше относительно спектра К '?с (со) применимо и
к спектрам вертикальных ускорений других точек кузова KzD(co),
лежащих в плоскости его симметрии (рис. 48, а и б). Следует только
отметить, что для порожних грузовых автомобилей положения низко-
частотных максимумов на спектрах вертикальных ускорений точек,
близких к задней или к передней подвеске, несколько отличаются из-за
различия частот собственных колебаний подвесок. Иногда у порожних
грузовых автомобилей на спектрах вертикальных ускорений точек,
близких к передней подвеске, образуется второй низкочастотный
максимум [43]. Это происходит, с одной стороны, из-за влияния коле-
баний задней подвески на переднюю при епр =# 1, а с другой (и это,
по-видимому, более существенно) — из-за того, что согласно (2.62)
спектр K ‘zD((o) определяется одновременно колебаниями точек кузова
над передней и задней подвесками. Хотя коэффициент р для точек,
близких к передней подвеске, мал, но ускорения точек кузова над
задним мостом большие. Наоборот, для точек кузова, близких к задней
подвеске, доля составляющих в спектре ускорений от колебаний перед-
ней подвески относительно мала и второй низкочастотный резонанс не
появляется. При полной нагрузке низкие частоты собственных колеба-
ний подвесок автомобилей примерно одинаковы, поэтому на спектрах
вертикальных ускорений всех точек имеется лишь один максимум
в низкочастотной зоне.
Для точек кузова, не лежащих в плоскости симметрии, спектр вер-
тикальных ускорений формируется в соответствии с (2.58). Поэтому
для этих точек из-за влияния поперечных угловых колебаний соотно-
шение между высокими и низкими частотами в спектре K'zE№) отли-
чается от спектра К zD(co) для точек, лежащих в плоскости симметрии.
Так как частоты собственных поперечных угловых колебаний кузова
в большинстве случаев не ниже частот его собственных колебаний
в продольной плоскости, то уровень средних и высоких частот может
быть выше (рис. 49, а и б).
Для решения некоторых задач желательно иметь аналитические
выражения для спектров колебаний точек кузова. Например, если
масса груза (пассажира) мала по сравнению с подрессоренными мас-
сами автомобиля, то, зная эти спектры, можно рассчитать колебания
груза, ограничиваясь анализом только системы подрессоривания
в кузове (так называемой системы вторичного подрессоривания) L
Анализ нормированных спектров вертикальных ускорений точек
кузова K zD (со), полученных экспериментально и при расчетах на АВМ,
показывает, что в общем случае эти спектры можно аппроксимировать
выражением
+ ------- (2.66)
[((О2 — о2)2 + (О2] [((О2—(Од)2 + 4ф2со2с°2]
Это выражение можно использовать и для аппроксимации спектров
продольных и поперечных линейных ускорений точек кузова.
Коэффициенты (фь фг, <oi, сог, аь аг, а), входящие в (2.66), различны
для разных точек кузова и зависят от спектра микропрофиля дороги и
скорости движения. Для точек, близких к передней или задней подвеске
автомобиля, коэффициенты coi и сог определяются практически только
1 Таким образом могут быть определены оптимальные параметры сиденья и его
124 подвески на автомобиле [56].
Рис. 50. Спектральные плотности деформаций упругих элементов порожнего автомо-
биля ЗИЛ-130 при движении оо различным дорогам:
а — передние ресдоры; б — шины; / — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии.
va * 45 км/ч; Т и 3 — асфальтированное шоссе, соответственно vg — 40 ж 60 км/ч
параметрами подвесок, и их можно принять (при достаточном уровне
возмущений от дороги) равными низкой и высокой частотам собствен-
ных колебаний передней или задней подвески.
Коэффициент оц зависит от параметров подвески автомобиля и
в меньшей степени от уровня действующих возмущений. Он определяет
поведение функции К zD(co) в области низких частот (до низкочастотной
резонансной зоны) и может быть принят равным 3—6 с-1. Коэффициент
аг зависит только от скорости движения и микропрофиля дороги и из-
меняется пропорционально скорости: аг = (0-?l)va. В большинстве
случаев его можно принять равным нулю.
Таким образом, все изменения нормированного спектра вертикаль-
ных ускорений точек кузова автомобиля, связанные с переменой скоро-
сти движения и категории дороги, можно свести к изменению трех
коэффициентов: ф1, фг. Эти коэффициенты могут быть найдены из
условия минимума средней квадратической погрешности аппроксима-
ции экспериментальной кривой. Так как коэффициенты фь ф2, а входят
в (2.66) нелинейно, то вычисления по методу наименьших квадратов
становятся весьма громоздкими. Учитывая, что основная масса диспер-
сии вертикальных ускорений точек кузова приходится на сравнительно
узкие резонансные зоны и что главное влияние при выборе параметров
вторичного подрессоривания имеют именно эти области, можно упро-
стить определение коэффициентов а и фг- и находить их из условия 125
прохождения аппроксимирующей кривой через экстремальные точки.
Следует иметь в виду, что использование выражения (2.66) обеспечи-
вает при этом не только прохождение аппроксимирующей кривой через
экстремальные точки, но наличие экстремумов в точках оз ~ cdi, со ~ сог,
(О ~ (О3 ~ (01(02*
Коэффициент ai можно также выбирать из условия прохождения
аппроксимирующей кривой через какую-либо точку экспериментально-
го спектра, лежащую в дорезонансной зоне, а аг — из условия, что пло-
щадь кривой нормированного спектра вертикальных ускорений дол-
жна равняться единице.
Если пренебречь поведением функции KzD(&) в области низких
частот, то выражение (2.66) можно упростить, приняв ai = аг = 0.
Для аппроксимации спектров ускорений точек бесподвесочных
транспортных машин в общем случае можно пользоваться следующей
функцией:
д2 (<о2 + a2)(<o2 + ai>)
D [(d)2 — (О2)2 + 4ф^О)2СО2]
(2.67)
При этом в ряде случаев коэффициенты а, можно принимать
равными нулю. Такие же функции можно применять для аппроксима-
ции нормированных спектров вертикальных ускорений точек кузова
автомобиля при малых уровнях возмущений, когда имеется только один
максимум на спектре и когда высокочастотным максимумом можно
пренебречь (груженый автомобиль, грунтовая дорога и так
далее).
На рис. 50, а и б приведены графики спектральных плотностей
дисперсий деформаций передних рессор К8Р1(<о) и шин КбШ1 (со)
автомобиля ЗИЛ-130, из которых видно, что основная масса дисперсии
деформации рессор приходится на низкочастотные колебания, но
в спектре деформаций шин доля высокочастотных колебаний не меньше,
чем низкочастотных.
§ 3. КРИТЕРИИ ПЛАВНОСТИ ХОДА АВТОМОБИЛЯ
И БИОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕЛА ЧЕЛОВЕКА
1. Критерии плавности хода
Для решения задач анализа и синтеза подвески автомобиля необходи-
мо выбрать некоторый оценочный параметр — критерий, характеризую-
щий плавность хода автомобиля, по которому оценивают качество
подвески и сравнивают ее различные варианты. Подвеска, у которой
этот критерий имеет минимальное значение, считается наилучшей.
В настоящее время еще не выработано единое мнение относительно
критерия плавности хода. Предлагаются различные критерии и разные
их допустимые значения, например в качестве критерия принимают
скорость перемещений, ускорение, третью производную перемещений,
мощность колебаний и т. д. [34, 35, 37, 57—63]. Это связано с тем, что
однихМ параметром очень трудно учесть все особенности восприятия
вибраций человеческим организмом. Если оценка ведется не по влия-
нию вибраций на человека, а по перегрузкам, действующим на груз,
то вопрос решается однозначно — оценку необходимо вести по
126 ускорениям [34, 35].
Однако в большинстве случаев оценивать плавность хода приходит-
ся по действию вибраций на человека. Иногда при этом предлагаются
очень сложные критерии [58], для определения которых необходимо
фиксировать биологические реакции человека (кожно-гальваническую,
пульс, состав крови и т. д.). Подобные критерии мало пригодны для
оценки плавности хода автомобиля, так как, во-первых, трудоемко их
определение, во-вторых (и это главное), они субъективны и отражают
действия на человека не только самих вибраций, но всей гаммы раздра-
жителей, сопутствующих эксперименту.- Тем более трудно использовать
эти критерии при расчете новой подвески автомобиля (по крайней мере
до тех пор, пока не будет установлена зависимость между параметрами,
характеризующими колебания автомобиля, и биологическими реакция-
ми человека).
В настоящее время применяют в качестве критерия плавности хода
автомобиля параметры, которые непосредственно связаны с колеба-
ниями динамической системы и могут быть вычислены по данным
эксперимента или расчета.
Анализ результатов исследований действия вибраций на человека
позволяет сформулировать ряд основных требований к параметру,
принятому в качестве критерия плавности хода. Он должен учитывать
характер действующих возмущений; зависимость влияния вибраций на
организм человека от частоты возмущения; зависимость действия
вибраций от амплитуды и направления линейного перемещения; одно-
временность действия не только линейных, но и угловых колебаний по
всем направлениям; явления типа «морская болезнь».
Наиболее изучено влияние маногармонической вибрации на чело-
века. Результаты этих исследований обобщены в рекомендациях по
нормированию его механических колебаний, три основных из которых
приведены ниже:
1. Нормы международной организации по стандартизации (ISO),
предложенные на основании проекта Комитета стандартов ФРГ.
2. Нормаль VDI-2057 «Исследования восприятий механических
колебаний организмом человека», разработанная Обществом немецких
инженеров.
3. Санитарные нормы и правила № 1102—73, разработанные Киев-
ским институтом гигиены труда и профессиональных заболеваний.
В нормах ISO оценка ощущений проводится, по средним квадра-
тическим ускорений с учетом продолжительности колебаний. Колебания
рассматриваются в диапазоне частот 1—90 Гц, который разбит на
двадцать треть-октавных полос. В каждой полосе дается весовой
коэффициент для приведения средних квадратических ускорений в ней
к полосе частот, при которых организм человека наиболее чувстви-
телен к колебаниям (4—8 Гц для вертикальных колебаний, 1—2 Гц —
для горизонтальных). Весовые коэффициенты аы приведены в табл. 8.
Для каждой полосы частот имеются три уровня ускорений, обеспе-
чивающих безопасность здоровья, производительную работу и комфорт.
На рис. 51 приведены средние квадратические вертикальных и гори-
зонтальных ускорений при гармонических колебаниях, соответствующие
уровню, обеспечивающему производительную работу (граница допу-
стимой утомляемости) при различной продолжительности колебаний.
Предельно допустимые ускорения для границы комфорта в 3,15 раза
меньше, а для границы безопасности для здоровья в 2 раза больше
значений, приведенных на рис. 51. Если человек испытывает колебания
в горизонтальной плоскости, то поперечные и продольные ускорения,
соответствующие тому или иному уровню, одинаковые.
127
Рис. 51. Средние квадратические ус-
корений, соответствующие пределу
снижения производительности труда
(граница допустимой утомляемости)
при гармонических колебаниях в за-
висимости от продолжительности и
частоты колебаний:
------ вертикальные колебания;-------
горизонтальные колебания; / — 8 ч; 2 —
2,5 ч; 3 — 1 ч; 4 — 1 мин
Таблица 8
Среднее геомет- рическое частоты треть-октавной полосы, Гц Весовой коэффициент
Вертикаль- ные колебания Горизон- тальные колебания
ГО 0,5 1,0
1,25 0,56 1,00
1,60 0,63 1,00
2,0 0,71 1,00
2,5 0,80 0,80
3,15 0,90 0,63
4,0 1,00 0-50
5,0 1,00 0,40
6,3 1,00 0,315
8,0 1,00 0,25
Среднее геомет- рическое частоты треть-октавной полосы, Гц Весовой коэффициент
Вертикаль- ные колебания Горизон- тальные колебания
10,0 0,80 0,20
12,5 0,63 0,16
16,0 0,50 0,125
20,0 0,40 0,10
25,0 0-,315 0,08
31,& 0,25 0,063
40,0 0,20 0,06
50,0 0,16 0,04
63,0 0,125 0,0315
80,0 0,10 0,025
По нормали VDI ощущения человека во время колебаний оцени-
ваются по ускорениям при колебаниях большой амплитуды и частотах
0,5—5 Гц и по скорости при колебаниях малой амплитуды и частотах
15—80 Гц. Диапазон 5—15 Гц является переходным, в нем ощущения
обусловлены участием в восприятии колебаний различных рецепторов.
Ощущения оцениваются коэффициентом интенсивности восприятия
Кинт- Если коэффициенты интенсивности восприятия одинаковы при
разных колебаниях, то считается, что восприятие этих колебаний тоже
одинаково. Коэффициент КИнт зависит от частоты колебаний, ускорения
или скорости, направления (вертикальные, горизонтальные) и длитель-
ности воздействия. Через среднее квадратическое а г вертикальных
ускорений при гармонических колебаниях коэффициент интенсивности
восприятия выражается следующим образом:
128
где (оо = 62,8 с-1 — частота приведения; со — частота колебаний.
В табл. 9 приведены значения коэффициента Кит, допустимые при
различных условиях работы.
Таблица 9
Допусти- мое значение ^инт Восприятие колебаний Характер работы
0,1 0,25 0,63 1,6 4,0 10 25 63 Не ощущаются Едва ощущаются (порог чувствитель- ности) Слабо ощущаются Весьма ощущаются Неприятные ощущения Весьма неприятные ощущения Постоянная С перерывами Физическая без перерыва Физическая с короткими перерывами При длительной поездке в транспорт- ном средстве При кратковременной поездке в транс- портном средстве
В нормах. № 1102—73 ощущения человека при колебаниях оцени-
вают по среднему квадратическому скорости колебаний в девяти
октавных частотных полосах (табл. 10). Допустимые скорости колеба-
ний устанавливаются для вертикальных и горизонтальных вибраций,
непрерывно действующих в течение 8-часовой рабочей смены.
Таблица 10
Средние геометрические частоты октавных полос, Гц Граничные частоты октавных полос, Гц Допустимые средние квадратические скорости колебаний, м/с
Вертикальная вибрация Горизонтальная вибрация
1 0,88—1,4 0,126 0,050
2 1,4—2,8 0,071 0,035
4 2,8—5,6 0,025 0,032
8 5,6—11,2 0,013 0,032
16 11,2—22,4 0,011 0,032
31,5 22,4—45,0 0,011 0,032
63 45,0—90,0 0,011 0,032
125 90,0—180,0 0,011 0,032
250 180,0—355,0 0,011 0,032
Сравнение рекомендаций ISO, VDI и норм № 1102—73, основанных
на осреднении субъективных ощущений человека при гармонических
колебаниях, показывает, что эти рекомендации согласуются друг
с другом.
Для транспортных машин основным видом колебаний являются
случайные широкополосные колебания. Критерий плавности хода при
таких колебаниях должен быть вероятностным. Больше всего подходит
и в настоящее время широко применяется критерий средних квадратов.
Чаще всего это среднее квадратическое абсолютных ускорений, иногда
среднее квадратическое третьей производной абсолютных перемещений
подрессоренных масс и т. д. При вероятностном подходе к решению
задачи о принципиальных возможностях подвески только этот критерий
дает положительные результаты, приемлемые и в отношении других
критериев (7]. Критерий средних квадратов обладает свойством, 129
9 Заказ 3363
значительно облегчающим его определение и состоящим в том, что
средний квадрат суммы независимых случайных величин (процессов)
при любом законе их распределения равен сумме средних квадратов
этих величин («процессов).
В рассмотренных выше нормах ощущения человека при широкопо-
лосных случайных колебаниях оценивают также критерием средних
квадратов. В этом случае отождествляются допустимое среднее
квадратическое ускорения (‘скорости) при монога|рмоническом колеба-
нии в какой-либо полосе частот со средним квадратическим ускорения
(скорости), допустимым при узкополосном случайном колебании.
Последнее получают путем фильтрации широкополосных случайных
колебаний через фильтры с полосами пропускания, равными полосам,
в которых задаются ограничения при гармонических колебаниях. При
этом предполагается, что ощущения человека при узкополосных
случайных колебаниях адекватны его ощущениям при гармонических
колебаниях с соответствующими частотами и что вклад отдельных
спектральных составляющих широкополосных случайных колебаний
эквивалентен по физиологическому действию моногармоническим
колебаниям.
При использовании норм VDI для случайных колебаний необходимо
на основе спектрального анализа определить частные значения коэф-
фициента Кг инт Для каждого диапазона частот, а затем определить
коэффициент интенсивности восприятия по формуле
^инт — "|/ 2 ^инт*
В нормах ISO приведение среднего квадратического вертикальных
ускорений в различных полосах при случайных колебаниях к эквива-
лентному ускорению в полосе 4—8 Гц производят по формуле
^3=}/ 2
В нормах № 1102—73 скорость колебаний в различных полосах
частот не приводится к какому-либо одному показателю, т. е. при
случайных колебаниях необходимо вести оценку по спектру их
скорости.
В первом приближении линейные и угловые перемещения по всем
трем направлениям можно считать взаимно независимыми. Поэтому
в общем случае единый критерий плавности хода автомобиля можно
задавать в виде суммы средних квадратов преобразований обобщенных
координат подрессоренных масс автомобиля [64]:
Т = 2М{|Л^(012}, (2.68)
где Ai — оператор линейных преобразований обобщенных координат;
Qi(t) —вектор-столбец обобщенных координат.
В частности, при qi = z в формулу (2.68) входят наиболее часто
используемые сейчас критерии плавности хода — среднее квадратиче-
ское вертикальных ускорений характерных точек кузова при Ai = р2
и третьих производных их перемещений при Ai = р3. Можно подобрать
такие А{, которые позволяют достаточно точно учесть требования норм
ISO и VDI.
130
Если плавность хода оценивать только линейными перемещениями
кузова автомобиля, то критерий плавности хода (2.68) принимает вид
Т = Л4{| A\Z |2} + М {| А2у |2} + М {| А3х |2}. (2.69)
Если при оценке плавности хода учитывать вертикальные ускорения,
поперечные и продольные угловые ускорения, то формула (2.68)
запишется следующим образом:
Т = М{ | z |2} + ОаМ {| а |2} + йфЛ1 {| ф |2}.
Выбирая преобразование Аг в формуле (2.68), можно учесть
особенности восприятия колебаний человеком. Как показывают экспе-
риментальные исследования, с изменением частоты колебаний меняется
параметр, на который ^реагирует организм человека, и степень неже-
лательности тех или иных частот [34]. При малых 'частотах возмущений
человек реагирует в первую очередь на третью производную переме-
щений, при средних — на ускорение и при высоких — на скорость пере-
мещений и сами перемещения.
Если принять во внимание только линейные перемещения кузова
автомобиля, то для операторов А^ входящих в (2.68) и (2.69), можно
предложить линейное преобразование
А. =------------( (2.70)
(р + “О (р + и2)
в котором учтена зависимость степени воздействия колебаний от
направления перемещений и частоты колебаний.
Из формулы (2.70) следует, что при со < cdi человек реагирует на
третью производную абсолютных перемещений, при coi < со < сог— на
ускорение, при со > (Ог — на скорость перемещений. Анализ данных по
влиянию линейных колебаний на человека позволяет дать коэффициен-
там, входящим в (2.70), значения, приведенные в табл. 11.
Таблица 11
Линейные перемещения а0 (01, с—1 (О2, С-1
Вертикальные Поперечные Продольные 1 3,5—4,0 2—2,5 10—30 10—20 10—20 120—300 60—150 60—150
При исследовании плавности хода автомобиля рассматриваются
частоты до 20 Гц, поэтому оператор (2.70) можно упростить, приняв
Ai = a0^/(p + &i). (2.71)
Оператор (2.71) показывает, что в этой полосе частот достаточно
принять во внимание вторую и третью производные абсолютных пере-
мещений подрессоренных масс автомобиля.
Коэффициент Оо, входящий в (2.70) и (2.71), учитывает разницу
в ощущениях человека при вертикальных, продольных и поперечных
линейных перемещениях. Данные о степени влияния линейных колеба-
ний в различных направлениях противоречивы. Например, согласно
нормам ISO уровни поперечных и продольных ускорений, вызывающих
одинаковые ощущения у человека, равны, но в 1,41 раза меньше уров-
ней вертикальных ускорений, вызывающих те же ощущения. В то же
131
9*
Рис. 52. Предельные значения среднего
квадратического вертикальных ускорений
ахгол головы, переносимых человеком при
гармонических колебаниях различной ча-
стоты:
/— среднее значение; 2 — 90%-ный доверитель-
ный интервал
время по некоторым экспериментальным данным порог раздражения
при продольных линейных колебаниях в 3—5 раз, а при поперечных —
в 5—7 раз меньше порога раздражения при вертикальных колебаниях.
Р. В. Ротенберг и В. Н. Сиренко на основании анализа ускорений
головы человека при различных режимах его движения предложили
значения предельных средних квадратических вертикальных ог;
продольных вх и поперечных ускорений, которые приведены
в табл. 12.
На рис. 52 приведен график, иллюстрирующий зависимость влияния
вертикальных колебаний на человека от частоты f. Из него следует,
что «предельно переносимое ускорение головы человека, сидящего на
жестком сиденье, существенно зависит от частоты вынужденных
колебаний. При этом оказывается, что максимальная чувствительность
приходится на частоты, соответствующие резонансным частотам коле-
баний органов тела человека [34, 64, 71]. Такой же вывод следует
из норм ISO и норм № 1102—73. Это позволяет учесть степень нежела-
тельности тех или иных частот в спектре колебаний введением в опе-
ратор Ai(p) 'множителей Я(р), соответствующих передаточным
функциям от перемещения сиденья к перемещению тех или иных
органов человека (как правило, головы или туловища), т. е. принять
степень нежелательности частоты в спектре колебаний пропорциональ-
ной динамическому коэффициенту усиления на этой частоте [59].
Передаточные функции динамической системы «человек» могут быть
определены экспериментально или аналитически по расчетной схеме,
соответствующей принятой биодинамической модели человека.
Установлено, что вертикальные ускорения, направленные вверх и
вниз, влияют на человека по-разному: первые переносятся хуже [60].
Это обстоятельство можно учесть, если преобразование А для коорди-
наты z сделать нелинейным. Следует отметить, что при этом критерий
плавности хода автомобиля уже не является критерием средних
квадратов.
При построении критерия плавности хода, учитывающего углевые
колебания автомобиля, надо иметь в виду, что человек реагирует не
только на угловое перемещение, скорость и ускорение, но и на связан-
ные с ними линейные ускорения [34]. Поэтому для угловых колебаний
критерий плавности хода можно задать в следующем виде:
132 Т = a2М {| а |2) + а22М {| pa |2} + М {| Да |21.
(2.72)
Таблица 12
Таблица 13
Режим движения м/с’ °х\ м/с’ о'у\ Угловые движения м/с’ вокруг оси (Ц а2 Оз (Ob 1/С
Медленная ходьба . . . Обычная ходьба .... Непродолжительный бег со скоростью 8—9 км/ч со 2,5 4,0 0,6 СО 2,0 0,5 т, 0 7 Поперечной . . . ’ Продольной . . . । 0 Вертикальной . . 12 20 0 2 3 4 4 6 12 60—100 60—100 60—100
Первые два члена в (2.72) учитывают угловые перемещения и
скорости, а третий — угловые ускорения и связанные с ними линейные.
Линейное преобразование можно задать следующим образом:
А = а3ш1р3/(р + <д1). (2.73)
Согласно данным о inopore раздражения человеческого организма
коэффициентам, входящим в (2.72) и (2.73), можно дать значения,
приведенные в табл. 13х
Обычно плавность хода автомобиля оценивается пассажирами
тем выше, чем меньше «трясет», что соответствует автомобилю
с относительно мягкой подвеской. Однако замечено, что некоторые
люди, склонные к морской болезни (укачиванию), легче переносят
езду по плохим дорогам в автомобиле с жесткой подвеской, чем езду
по хорошей дороге в автомобиле с мягкой подвеской. По-видимому,
укачивание возникает тогда, когда почти весь спектр колебаний сосре-
доточен в области низких частот.
Если же в спектре колебаний имеются еще и средние частоты, то
морская болезнь не возникает. Учет этого явления критерием (2.68)
практически невозможен, так как приходится оценивать не абсолютные
значения, а соотношение амплитуд низких и средних частот колебаний
органов тела человека иди характерных точек кузова автомобиля.
В этом случае оценку нужно вести по форме графика спектральной
плотности.
2. Биодинамические модели тела человека
Выше отмечалось, что для учета при оценке плавности хода автомобиля
различия в восприятии организмом человека колебаний различной
частоты нужно знать передаточные функции динамической системы,
которую представляет собой сидящий на сиденье человек. Знание
биодинамической модели (расчетной схемы) тела человека необходимо
также и при расчете некоторых элементов конструкции автомобиля
(например, автомобильного сиденья).
В настоящее время советскими и зарубежными учеными проведено
много исследований по определению биодинамических моделей тела
человека и его отдельных органов. Основная трудность три выборе
биодинамической модели заключается в том, что тело человека являет-
ся системой с распределенными параметрами и представление его
в виде колебательной системы, состоящей из конечного числа пассив-
ных элементов, всегда будет в какой-то мере условным. Стремление
моделировать колебания всех основных органов тела приводит к очень
сложным расчетным схемам [65, 66]. Если биодинамическую модель
использовать лишь для оценки плавности хода автомобиля и расчета
параметров сиденья, то, как показали экспериментальные исследова-
ния, она может быть значительно упрощена.
133
Другая трудность при выборе биодинамической модели человека
состоит в том, что человеческое тело является самонастраивающейся
системой, параметры которой меняются в широких пределах в зависи-
мости от характера и направления действующих возмущений, положе-
ния тела в пространстве и т. д. Например, параметры стоящего или
спокойно идущего человека значительно отличаются от параметров
человека, бегущего или спрыгивающего с небольшой ступеньки [60],
а параметры человека, сидящего на сиденье в неудобном положении,—
от параметров человека с естественной или свободной посадкой [66].
Естественная поза может быть определена как посадка человека,
при которой он свободно, не напрягаясь, опирается на спинку сиденья,
смотрит прямо перед собой и не тратит дополнительных мускульных
усилий на то, чтобы удержаться на сиденье; ноги при этом слегка
выставлены вперед. При свободной посадке тело человека максимально
расслаблено, голова опущена под действием собственного веса, руки
свешиваются вдоль тела, грудь пассивно наклонена вперед. Неудобная
посадка характеризуется тем, что человек упирается ногами в пол
и сильно прижимается к спинке сиденья, его шейные мышцы напря-
жены и т. п. В обычных условиях движения автомобиля водитель и
пассажир принимают естественную позу, поэтому при исследовании
плавности хода рассматриваются параметры человека, имеющего
такую посадку.
Третья трудность состоит в том, что изменение параметров сидящего
человека в зависимости от уровня и характера действующего на него
возмущения приводит к нелинейности динамической системы, модели-
рующей колебания человека.
Однако исследования, проведенные с большой группой людей
разного возраста (19—41 год), различной массы (60—НО кг) и роста
(169—192 см), показали, что в некотором диапазоне амплитуд возму-
щения, зависящим от частоты, сидящий человек может считаться
практически линейной динамической системой [64]. Существенное
отклонение от линейности наблюдается только тогда, когда ускорения
головы превосходят некоторые предельные значения. Уровень этих
предельных ускорений связан с появлением у испытуемых ощущения
боли.
При эксперименте замерялись вертикальные ускорения головы
человека, сидящего на жестком сиденье, которое приводилось в вер-
тикально-колебательное движение синусоидальной или случайной
формы. При синусоидальных колебаниях определялось соотношение
между амплитудами вертикальных ускорений головы и сиденья; при
случайных, имеющих спектр D0<oi/(<о2 + cof) с частотой среза он =
= 2 4-10 Гц,— соотношение между средними квадратическими верти-
кальных ускорений человека и сиденья. На рис. 53 показана
имеющая линейный характер зависимость между вертикальными уско-
рениями головы Az гол/g и сиденья A'zc/g при колебаниях разной
частоты [64].
Используя данные различных исследований, можно построить не-
сколько биодинамических моделей тела человека [59, 64, 65].
В самом первом приближении человека можно .представить в виде
сосредоточенной массы, помещенной на упругом основании. Жесткость
основания и затухание колебаний в такой системе определяются
жесткостью сиденья и затухания в нем, т. е. жесткостью ягодиц и их
демпфированием пренебрегают. Последнее, как показывают экспери-
134 менты [66, 67], вполне допустимо, особенно если имеется сравнительно
Рис. 53. Зависимость амплитуды ус-
корений головы человека от амплиту-
ды ускорений жесткого сиденья при
гармонических колебаниях различной
частоты
мягкое сиденье. Вес частей тела, приходящихся на сиденье, прини-
мается в этом случае равным 55—57 кгс при полном весе человека
75 кгс. Плавность хода автомобиля оценивают по параметрам движения
туловища. Такая модель принимается в большинстве исследований
[34], она соответствует принятой методике экспериментальных иссле-
дований плавности хода автомобиля (отраслевая нормаль
ОН 025-332—69). Наконец, подобная модель полностью отвечает
задаче об определении характеристик подрессоривания контейнера,
если его вместе с перевозимым грузом можно считать одним твердым
телом. Отметим, что одномассовая модель наиболее соответствует напря-
женной посадке [66], при которой действие человека на сиденье ближе
всего к действию одной сосредоточенной массы.
Более полной моделью человека является система грудь — таз,
состоящая из двух масс (рис. 54): массы таза /ит, включающей в себя
часть массы нижних конечностей, и массы груди гигр, в которую вхэдит
также масса головы, плеч и части верхних конечностей [59, 66]. Первую
массу можно принять равной 29,5 кг, а вторую 27,5 кг. Первая масса
помещается на упругом основании, характеристики демпфирования и
жесткости которого определяются характеристиками сиденья; вторая
связана с первой упругими и демпфирующими элементами, параметры
которых зависят от характеристик тела человека. Парциальная частота
колебаний второй массы равна 4,5—4,8 Гц (т. е. жесткость С\ —
= 22,4 4-24,4 кгс/см), а затухание соответствует коэффициенту апе-
риодичности, равному 0,20—0,25 (т. е. коэффициенту сопротивления
Г1 = 0,32 4- 0,40 кгс-с/см). Указанные величины являются средними и
могут меняться в относительно широких пределах. Особенно большой
разброс дает затухание в системе, которое меняется от эксперимента
к эксперименту у одного и того же человека при одинаковых условиях
опыта.
Отметим, что рост и масса человека мало влияют на частоты
колебаний и затухания в биологической системе, какой является систе-
ма таз — грудь [66].
На рис. 54 показаны также амплитудно-частотные характеристики
системы таз — грудь. По оси ординат отложены отношения амплитуд
ускорений груди к амплитудам ускорений таза Дгр/Лт. Кривая 1
135
Рис. 54. Двухмассовая динамическая модель тела сидящего человека и ее ампли-
тудно-частотные характеристики
соответствует экспериментально полученной амплитудно-частотной
характеристике при возбуждении синусоидальных колебаний человека
на жестком сиденье [66], кривая 2 — линейной двухмассовой системе.
Передаточная функция системы таз — грудь имеет следующий вид:
НФ(«--------г, (2.74)
(/шГ + 2фошо(/ш) + (до
где coo = 28,8 с-1; фо = 0,25, что соответствует следующим параметрам
системы: /пгр = 2,8 кгс-с2/м, сх = 23,4 игс/см, гх = 0,4 кгс-с/см.
Как видно, амплитудно-частотная характеристика двухмассовой
модели тела человека с передаточной функцией (2.74) удовлетворитель-
но согласуется с такой же экспериментальной характеристикой системы
таз — грудь в диапазоне частот 0—10 Гц. Некоторая разница наблю-
дается лишь в области 0—2 Гц, где ординаты характеристики модели
больше ординат экспериментальной характеристики.
В двухмассювой модели учитывается основная резонансная частота
органов тела человека fo = «о/(2л) =4,54-5,0 Гц, а также вторая
резонансная частота^ определяемая параметрами как сиденья, так и
человека. Эта модель удовлетворительно описывает воздействие чело-
веческого тела на сиденье ‘при колебаниях автомобиля.
Если не строить механическую модель системы таз — грудь,
а определять ее «передаточную функцию, аппроксимируя эксперимен-
тальную амплитудно-частотную характеристику, то можно получить
аналитическое выражение передаточной функции, которое более точно,
чем (2.74), описывает экспериментальную амплитудно-частотную
характеристику в области цизких частот (f = со/(2л) ^2,5 Гц). Для
этого необходимо ввести в (2.74) множитель
= (/© + <х!)/(/о> + а2), (2.75)
где ai = 23,5 с-1, а аг = 29,4 с-1.
Тогда передаточная функция будет иметь вид
+ . (2.76)
136 + “2 (7®)2 4- 2ф0<о0 (7<0) + й>0
Введением множителя (2.75) учитывается влияние низкочастотных
угловых колебаний головы на вертикальные колебания туловища.
Этого нельзя сделать, если использовать двухмассовую модель тела
человека. Амплитудно-частотная характеристика, соответствующая
(2.76), показана на рис. 54, б (кривая 3).
Поскольку главный орган, служащий для распознавания направ-
ления и скорости движения,— вестибулярный аппарат находится
в голове человека, то желательно учесть ее в биодинамической модели.
Если считать, что при вертикальных перемещениях туловища голова
имеет только вертикальные перемещения, то биодинамическая модель
системы таз — грудь — голова будет трехмассовой. Последовательно
ко второй массе /игр, показанной на рис. 54, надо добавить еще массу
ЩГОл, колебания которой будут моделировать вертикальные колебания
головы. Как показывают экспериментальные исследования, парциаль-
ная частота этих колебаний равняется 20—30 Гц, а коэффициент
апериодичности 0,1—0,15 [59, 64, 68]. Передаточная функция системы
грудь — голова имеет при этом следующий вид:
“1гол —----------------9 ♦ -
(]<&) +2фjWj (» +(0{
где (01 = 140 — 200 с-1, а ф1 = 0,1 4- 0,15.
Так как масса головы (ib среднем 5 кг) мала по сравнению с массой
туловища, то в первом приближении можно не учитывать обратное
влияние колебаний головы на колебания груди и принять передаточ-
ную функцию системы таз — голова в виде произведения передаточной
функции системы таз — грудь (2.74) и передаточной функции системы
грудь — голова (2.77).
Очевидно, что (2.77) целесообразно учитывать только при рассмот-
рении высокочастотных вибраций (f > 20 Гц). При анализе плавности
хода автомобиля (f 15 Гц) можно приближенно принять Я1гол(/о>) ~
~ 1,0, т. е. считать, что параметры колебаний головы совпадают
с параметрами колебаний груди.
В рассмотренной трехмассовой биодинамической модели тела
человека не учитывают особенности соединения головы с туловищем.
У человека, сидящего в естественной и особенно в свободной позе, при
вертикальных перемещениях возникают и угловые перемещения
головы. При продольных перемещениях сиденья возникают вертикаль-
ные и угловые перемещения головы [34, 66]. В результате этого на
амплитудно-частотной характеристике системы голова — грудь обра-
зуется дополнительная резонансная зона с максимумом при частоте
1,8—2,0 Гц [34, 66]. Поэтому модель колебаний головы должна иметь
две степени свободы, и в этой модели следует учесть особенности
кинематики крепления головы к туловищу (рис. 55).
Построить передаточную функцию трехмассовой биодинамической
модели тела человека, показанной на рис. 55, затруднительно. Вслед-
ствие этого для определения вертикальных ускорений головы с учетом
низкочастотного резонанса ее угловых колебаний целесообразно непо-
средственно аппроксимировать экспериментальную амплитудно-
частотную характеристику и использовать полученную передаточную
функцию в качестве оператора преобразования. На рис. 56 приведена
экспериментальная амплитудно-частотная характеристика системы
грудь — голова, соответствующая вертикальным колебаниям (кри- 137
Рис. 55. Трехмассовая биодинамическая модель тела сидящего человека
Рис. 56. Амплитудно-частотные характеристики системы голова — грудь
вая /) [66], и аппроксимирующая ее кривая 2, соответствующая
передаточной функции
Н2т(,»)---------------------............., (2.78)
(/со)2 + 2»р2<о2 (/со) + со| (/со)2 + 2ф3С03 (/со) + cog
где <1>2 = 12,56 с-1, фг = 0,3, <оз = 37,70 с-1 и фз = 0,15.
Как видно, формула (2.78) удовлетворительно согласуется
с экспериментальной амплитудно-частотной характеристикой в диапа-
зоне частот 8—10 Гц.
Передаточную функцию системы таз — грудь — голова по верти-
кальным перемещениям можно получить, умножая передаточную
функцию системы таз — грудь на передаточную функцию системы
грудь — голова. Если не учитывать высокочастотный резонанс колебаний
головы (частота 25 Гц), получим
Я0(/(0) = (2 • 79)
При принятии во внимание этого резонанса необходимо ввести
множитель (2.77).
§ 4. АНАЛИТИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ПАРАМЕТРОВ КОЛЕБАНИЙ АВТОМОБИЛЯ
Получить формулы для аналитического расчета параметров колебаний
даже «линейного» автомобиля по полной расчетной схеме не удается.
Однако существует ряд частных задач, которые могут быть решены
138 аналитически. Для «линейного» автомобиля такое решение оказы-
вается точным, а для «нелинейного» — приближенным. В этих задачах,
как правило, достаточно ограничиться рассмотрением одно- или
двухмассовой расчетной схемы колебаний автомобиля 1 (см. рис. 37 и
57), но методика расчета применима и к более сложным расчетным
схемам.
Ниже дан расчет колебаний «линейного» автомобиля при случай-
ных возмущениях, а затем результаты распространяются на расчет
колебаний «нелинейного» автомобиля. Расчеты колебаний «линейного»
автомобиля при детерминированных возмущениях достаточно полно
освещены в литературе [34, 35]. В настоящее время появились работы,
в которых приводятся аналитические расчеты колебаний «нелинейного»
автомобиля при детерминированных возмещениях. Основным методом,
которым при этом пользуются, является метод гармонической
линеаризации.
1. Расчет колебаний «линейного» автомобиля
при случайных возмущениях
Дисперсия случайного процесса на выходе линейной динамической
системы определяется следующим образом [2]:
п п о°
D“ = 2 2 4“ J (2.80)
fc=l /=1 Л —оо
где D х.— дисперсия сигнала по f-у «выходу системы; п—число входов
динамической системы; ЯлД/со) — передаточная функция от Л-го входа
к /-у выходу системы; Htf(jto) —-передаточная функция от /-го входа
к f-у выходу системы; Kqkqe (<о) —взаимная спектральная плотность
дисперсий стационарных сигналов qk и qi, приложенных к k-y и /-у вхо-
дам системы.
Для системы с одним входом вместо (2.80) можно написать
4-оо
= f |Я,(/ш)|2Кв(®)^. (2.81)
—оо
При одинаковых колеях задних и передних колес автомобиль
представляет собой динамическую систему с двумя входами. При этом
запаздывание подачи возмущения под задние колеса по сравнению
с передними можно рассматривать как внутренний элемент системы,
т. е. считать, что она включает два звена чистой задержки с переда-
точной функцией е~рт. Колебания «линейного» автомобиля в попереч-
ной и продольной плоскостях являются независимыми. Поэтому систему
«автомобиль» можно расчленить и рассматривать две независимые
динамические системы, каждая из которых имеет один вход и одно
звено запаздывания. В этом случае рассчитывать дисперсии параметров
колебаний автомобиля можно по формуле (2.81), применяя ее к каждой
системе отдельно*
1 Одномассовая расчетная схема иногда применяется при анализе низкочастотных
колебаний подрессоренных масс, когда пренебрегают колебаниями неподрессоренных
масс, а также при анализе высокочастотных колебаний неподрессоренных масс, когда
пренебрегают колебаниями подрессоренных. Такая модель соответствует также коле-
баниям бесподвесочной машины при 8=1. 139
Подынтегральные выражения в (2.81), которые можно представить
в виде |Ф(/<о)|2*, в общем случае не являются дробно-рациональными
функциями от со, так как в передаточные функции Нх. (ja) входит
трансцендентный член Поэтому аналитическое вычисление (2.81)
затруднено из-за необходимости раскладывать эти выражения на эле-
ментарные дроби и определять корни стоящего в знаменателе полино-
ма высокой степени относительно /со. Если подобное разложение
проведено и подынтегральное выражение записано в виде
т п
|Ф(/Ч12 = У—V + y-A-e-/“T, (2-82)
/<0—х,- /<0—%к
• 1=1 «=1
то, используя известные формулы теории вычетов функции комплексно-
го переменного, можно легко определить соответствующие интегралы:
оо т п
— J I ф (/CD) |2d© = 2 ai + 2 bk е~Кк
--------00 1 1
(2.83)
Поскольку в общем случае корни полинома, имеющего порядок
выше третьего, не определяются, то разложение (2.83) можно выпол-
нить лишь в редких случаях.
Дисперсию выходного сигнала можно определить с заданной
точностью, если представить |Ф(/со) |2 в виде дробно-рациональной
функции. Для этого необходимо функцию е~/С0Т разложить в ряд.
Обычно используют следующее разложение (ряд Падэ):
VI (/<отГ(-1)»п!
(2п)!
=--------!--------------. (2.84)
VI ( —1Г/г!
(2п)!
1
В зависимости от частотного состава процесса и необходимого
времени задержки т в (2.84) следует учесть то или иное число членов.
Расчеты показывают, что при исследовании колебаний автомобиля для
определения с удовлетворительной точностью дисперсий перемещений,
скоростей и ускорений масс достаточно в (2.84) принять п = 3.
Если подынтегральные функции в (2.81) представлены в виде
дробно-рациональных функций от /<о, то для вычисления интегралов
(т. е. дисперсий соответствующих параметров) можно воспользоваться
известными формулами [69]. Для этого запишем несобственный
интеграл
= |Фх(/<о№ (2.85)
в следующем виде:
1 Г gn (/'<>)
2л J (—/ю)
— 00
(2.86)
г/(й =
* Записать подынтегральное выражение в виде |Ф(/(о)|2, очевидно, можно, так
как (со) —четная функция:
но v®)=|к;(/<о)|2-
где
gM = М/®)2* 2 + bi(j&)2n 4 4- ... + Ьп_\\
hn(ja) = aQ(j(d)n + ai(/cof~l + ... + ап
и все нули функции hn(jto) лежат в левой полуплоскости. Тогда
Л=(-1)п+1^—^’ <2-87>
2а0 Dn
где Dn — определитель Гурвица для полинома ftn(/(o), т. е. Dn = |dmr|;
dmr = ci2m-r\ Nn— тот же определитель с заменой первого столбца на
йо, й>,..., Ьп-\.
Вычислив (2.85), будем иметь формулы для расчета колебаний
автомобиля в функции различных его параметров. Это позволяет
аналитически решать задачу оптимизации параметров системы с задан-
ной структуройПолучив выражения для вычисления дисперсий
соответствующих параметров колебаний автомобиля и подставив их
в (2.68), найдем критерий комфортабельности Ч1* в функции парамет-
ров автомобиля, скорости движения и статистических характеристик
микропрофиля дороги, т. е.
Ч^ЧДАь А2, А3, ..., Ал), (2.88)
где А; — ьй параметр.
Значения параметров Аг- = Аг-0, определяющих минимум Чг, находим
обычным образом [69], приравняв к нулю частную производную от Чг
по Хг-:
п • 1 о
0; 1=1,2, .. ., п.
(2.89)
дКс
Система уравнений (2.89) есть в общем случае система нелинейных
алгебраических уравнений относительно Аг*. Она определяет не мини-
мум, а стационарные значения Ч^. Чтобы убедиться, что найденные
значения Аг- соответствуют минимуму ЧГ, необходимо определить знак
второго дифференциала, т. е. квадратичной формы
i, k=\
где
д2Т |
aik
(2.90)
(2-91)
dkidkk
Если (2.91) окажется определенно положительной, то значения
Аг = Аго соответствуют -собственному минимуму функции Т = Ч'(Аг) .
Для положительной определенности квадратичной формы (2.90)
необходимо и достаточно выполнения следующих неравенств:
0, .
а11а12- • -а\п
а21а22- • • а2п
0.
(2.92)
а21а22
^п1^л2 • • • &nn
1 Более сложной является задача отыскания оптимальной структуры динамической
системы. Она рассматривается в гл. 3. 141
Если вычислить вторые производные (2.91) и определители Силь-
вестра (2.92) окажется сложно, то надо проверить поведение функции
(2.88) в окрестности Хг- = ХгО.
Известно, что система (2.89) может иметь решение, а может быть
несовместной. В последнем случае не будет сочетания параметров,
обеспечивающих минимум критерия комфортабельности. Но это не
значит, что функция Ч^Хг) не принимает наименьшего или наибольшего
значения в замкнутой области D допустимых значений Х;. Наименьшие
или наибольшие значения Т будут достигаться на границах D, а не
внутри ее, как это было бы возможно, если бы система (2.89) имела
решение. Заметим еще, что определение множества точек, в которых
Ч^Хг) принимает минимальные значения, не позволяет утверждать,
что эти значения являются также и наименьшими. Чтобы убедиться
в этом, необходимо определить минимальные значения Т(Хго) и зна-
чения Чг на границе области D*.
Уравнения (2.89) определяют безусловный экстремум критерия
плавности хода Чг(Хг). Однако при его получении не учитывается влия-
ние параметров автомобиля на другие характеристики его колебаний:
на деформацию рессор и связанную с ней вероятность пробоя подвески,
имеющей ограниченный динамический ход; на деформацию шин и
связанную с ней вероятность отрыва колес от дороги; на деформацию
сиденья и т. д. Значительно больший интерес может иметь задача
определения минимума Чг(Хг) при условии, что деформация упругих
элементов не должна превосходить заданных (для данной скорости
автомобиля и категории дороги) значений.
Учесть ограничения на деформации можно двумя способами.
При первом способе деформации непосредственно вводят в критерий
комфортабельности
(М = (м + 2 [б?], (2.93)
1
где Л4[6 ?J = (Хг) —дисперсия деформации /-го упругого элемента;
aj — весовой коэффициент.
Весовые коэффициенты характеризуют признанные наилучшими на
основании экспериментальных данных соотношения между ускорениями
масс и деформациями упругих элементов (при их задании можно
сначала ориентироваться на соотношения, которые имеются у лучших
современных автомобилей).
После определения критерия 4ri(Xj рассчитывают параметры,
обеспечивающие безусловный минимум YJXi).
Второй способ состоит в том, что отыскивают условный минимум
критерия (2.68) при условии, что
D8.<62 (/=1,2, ...,г), (2.94)
где е? — допустимые значения дисперсии деформаций /-го упругого
элемента (при данной скорости автомобиля и категории дороги).
* Очевидно, например, что если за критерий плавности хода принять вертикальные
и угловые ускорения масс, то его наименьшее значение (равное нулю) получится при
нулевых значениях жесткостей упругих и сопротивлений демпфирующих элементов,
хотя минимальное значение этот критерий (не равное нулю) может иметь при ненуле-
142 вых параметрах этих элементов.
Как известно, эта задача сводится к определению безусловного
минимума функции [69]
Т2(Ху) = Т(Ху) + 2 0АУ(М, (2• 95)
/=1
где Oj — неопределенные множители Лагранжа, находимые из усло-
вий (2.94).
Система нелинейных алгебраических уравнений, которую необхо-
димо решить, имеет вид
^21 = 0; Do.<e2 (i = 1, 2, ...,n; / = 1, 2, ...,r).
dki I 1 v '
(2.96)
Уравнения (2.96) определяют оптимальные параметры Zi0 как
функции, заданные на некотором множестве г-мерного пространства
{9j} неопределенных множителей Лагранжа. Для нахождения точки
множества, обеспечивающей минимум Т, необходимо исследовать на
этом пространстве поведение функции Чг2 = 4r2(0j) - Задача облегчается
тем, что, как правило, эта точка лежит на границе множества, т. е.
в (2.94) неравенства можно заменить равенствами. Основная математи-
ческая трудность при определении оптимальных параметров состоит
в решении уравнений (2.89) и (2.96). В общем случае их решение
можно получить приближенным методом с использованием ЭВМ.
Вместо решения уравнений (2.89) и (2.96) можно отыскивать минимум
Ч^Хг) и Чг2(^г) каким-либо другим путем, например методом последова-
тельного выбора параметров или методом наискорейшего спуска [70].
Последний обеспечивает более быструю сходимость вычислений. Если
количество неизвестных мало, то можно использовать и первый способ.
Перейдем к вычислению параметров колебаний автомобиля для
некоторых случаев.
Двухмассовая, расчетная схема. Определим дисперсии параметров
колебаний для двухмассовой расчетной схемы, изображенной
на рис. 37.
Передаточная функция от дороги к вертикальному перемещению
подрессоренных масс Hzq(p) имеет следующий вид:
Яг,(р)=Аг(р)/Д(р), (2-97)
где
А =
[W2 + Грр + ср] — [грр + ср]
— кРР + сР] [тр2 + (гр + гш) р + (ср + сш)]
= а0р4 + aip3 + а2р2 + а3р' + а4;
а0 = Мт-, а| = М(гр + гш) + тгр, а2 = М(ср + сш) + срт + гргш;
«3 £pGu ^4 ^р^цр
Дг(р) = ° — крР + Ср]
[СщР 4" сш] [тр2 + (Гр + гш)р 4- (Ср + сш)]
= Ь0р2 + btp + b2,
Ьа сшГр, Ь\ Ср/*ш + сшГр, Ь2 — СрСш.
(2.98)
(2.99)
(2.100)
(2.101)
В формулах (2.98) — (2.100) М — (подрессоренная масса (на рис. 37
она обозначена т. ); т — неподрессоренная масса. 143
Передаточную функцию от дороги к перемещениям центра тяжести
мостов H^q (р) можно записать так:
Яе,(р)=Де(р)/Д(р), (2.102)
где
Д5(р) = [Mf + rpp1+Cpl . ° =b0p3 + b^ + b2p + b3-,
—kpP + Cp] кшР + Сш]
(2.103)
&о — Ь\ — Л^Сщ 4" грГщ, Ь2 — СрГш 4- сшгр, Ь3 — СрСш. (2.104)
Зная передаточные функции от дороги к обобщенным координатам
системы, можно определить передаточные функции к скоростям и
ускорениям подрессоренных и неподрессоренных масс, к деформациям
упругих элементов и т. д.
Так, передаточная функция от дороги к деформациям рессор
Hbpq (р) определится с учетом (2.97) и (2.98) следующим образом:
As nq(p)
Н‘гМ~~й\рГ' <2',05>
где
д8р?(р) = р2М(ргш 4- сш). (2.106)
Передаточная функция от дороги к деформациям шин
Аб а(р)
—ЙГ’ (2Л07)
где
д8ш?(р) = Р2 tM.mP2 + Prv(M + т)+ с9(М 4- т)]. (2.108)
Передаточная функция по n-й производной от обобщенной коор-
динаты получается умножением передаточной функции по этой
обобщенной координате на рп.
Если учитывать все элементы динамической системы (см. рис. 37),
то вычисление дисперсий параметров колебаний приводит к сложным
выражениям. Конечные формулы значительно упрощаются, если прене-
бречь в расчетах демпфированием в шинах, приняв гш = 0. Для
автомобилей с обычными шинами такое упрощение расчетной схемы
вполне допустимо и принято в ряде работ [34, 35, 71, 72]. Установлено,
что для некоторых специальных шин, имеющих большие значения гш,
демпфирование в шинах заметно влияет на колебания автомобиля [73].
Такое же положение имеет место, если рассеивание энергии колебаний
определяется только сопротивлением в шинах (беоподвесочные
машины).
Как показывают расчеты (см. § 7 данной главы), для автомобилей
с обычными шинами принятие гш = 0 приводит к погрешности в опре-
делении среднего квадратического ускорений масс и деформаций
упругих элементов, не превосходящей 5—10% в зависимости от типа
дороги и скорости движения. При указанном допущении увеличиваются
все перечисленные выше параметры.
Передаточные функции автомобиля по соответствующим выходам
при гш = 0 имеют следующий вид:
передаточная функция от дороги к абсолютным перемещениям
кузова
н (2.109)
где
Д(р) = Мтр* + (М + т)грр3 + [Л4(ср + сш) 4- тср] р2 +
4” £щГрр 4- (2.110)
передаточная функция от дороги к абсолютным перемещениям
мостов
НМ = (р2Мсш + ргрст + срсш)/Д (р); (2-111)
передаточная функция от дороги к деформациям рессор
Н^(р)=р2Мсш/М-, (2.112)
передаточная функция от дороги к деформациям шин
р2[Мтр2 + гр(М + т)р + ср(М + m)J
VI------------------------------------ <2”3)
В качестве спектральной плотности дисперсии возмущающего воз-
действия примем выражение
со2 4- о?
К» = Dova----...4; , (2.114)
or (со2+ ©2)
где <oi = иаМ; 0)2 = па^г; М и Хг — дорожные частоты, м-1.
Оно является достаточно общим, и из него легко можно получить
ряд частных спектров (см. гл. 1), например:
если <1)1 = 0, то спектр, соответствующий экспоненциальной корре-
ляционной функции,
^(й)=о0Уа/(®2+®2); (2.115)
если (о2 — 0, то выражение, хорошо аппроксимирующее спектры воз-
мущения для большинства типов дорог,
/(„(©) =D0»a ((О2+ (0t)®-4; (2.116)
если ал = (1)2, то получим часто используемый спектр возмущения от
дорог, для которых высота неровностей пропорциональна их длине,
(2.117)
если провести вычисление с использованием (2.116), легко можно
выделить члены, соответствующие спектру,
K9((o)=D1ul(o-4. (2.118)
Подставив выражение для квадратов модулей передаточных
функций по соответствующим параметрам и спектр (2.114) в (2.81) и
проведя согласно (2.86) и (2.87) вычисления, получим выражения [74]:
для дисперсии ускорений подрессоренных масс
= I [СшГ₽ + ^4- т)ср] + (®i—
2М2Гр I д0 )
где
Д1 = (alMm [грСш 4- (ЛИ- т) Ср] + гр<л2(М + /п)[грсш 4- (М + т)ср] 4-
4- (М 4- щ)грсрсш 4- (Л4 4- т)2ср 4- Л42срсш;
До = Мтаг 4- (Л4 4- т)®2Гр 4- (М 4- т)а>2Ср 4- Л4сш(о2 4- й)2грсш 4- срсш; 145
Ю Заказ 3363
для дисперсии третьей производной абсолютных перемещений под-
рессоренных масс
К 2 2 \ 1
7W / До *
где
Д2 == (^ш^*Р 4”тСр) 4” р^ш [гР^ш 4" 4” 4“
4” £рСщ р^ш 4” 4” ^7i)Cp],
До = Мгп®2 + (М 4- т)гр(02 4- 4- (М 4- /п)&2СР 4- (й2грсш 4- срсш;
для дисперсии относительных перемещений подрессоренных и непод-
рессоренных масс автомобиля (деформаций рессор)
Лр-^-[(М + я>) +
+ (о>1 со2) Мт + т) “2 + (^ + m)2<a2rp + (М + mfcp + М2сш 1
До J
°6Ш— 2
для дисперсии скорости относительных перемещений подрессорен-
ных и неподрессоренных масс автомобиля
Ds Р,расш Г1 + (ю2_ю2) А-1,
Р 2Гр До _
где
Д3 = Mnva2 + (М + m)®2fp + (Л1 + т)ср;
для дисперсии деформации шин
Dova ([ (М + тфСр (М+т)ггр
м2грсш + М2сш
У,—1) д. I
М\сп д° Г
т (М + т) 2тср'
Л1сшгр
р
где
Д4 = [М3т2с2ш + (М + т)2Л1/пГрСш—2М2т2(М + т)срсш +
+ Мт(М + /п)3Ср]й»2 + <агГр {[Мтсш— (М + m)2cp]2 + (М + т)3ГрСш} +
+ ср [М2т2Сщ + (М + т)3ГрСш + (М + т)4Ср—2тМ (М + т)2срсш +
+ М2(Л1 + щ)2срсш];
для дисперсии ускорений неподрессоренных масс автомобиля
n £»oVa /Г(Л«сш—2тср)сш сшгр (М+ m)c2 1 (<в?—<о|) Д5 1
е 2 IL «Мгр Л«2 №гр J Жр До I
где
Да = «о2 [(Л4сш—тСр)2М + МпгстГр + М2тср] + <о2гр {[Л4сш—
— (М 4- т)Ср]2 + (М + т)ГрСш} + ср {[Мсш— (М + /п)ср]2 +
+ (М + "г)ГрСш + Л12срсш}.
Формула для дисперсии линейного преобразования (2.73) абсолют-
ных перемещений подрессоренных масс в этом случае громоздка и здесь
146 не приводится.
Для спектра (2.115) формулы (2.119) упрощаются:
D —Я»£асш_ х
2 2ЛРгр
{ а>22М (+ тс2р) + <Ур [сшг* + (М + т)с2] + ср [сшгр + <** + т)ср]
Х ( Ао Г
£)... 0|)t,aCm А6
2 2Мгтгр Ао ’
где Д6 = согМр + ©2M (срг₽ + сшг₽ + mcp) + (OzMVp + тс?) +.
+ сР( V₽ + "iCp);
£)- ____ ^7
Р 2г р Aq
где Д7 = Mnvul + (®2^Р + сР) (М + т)\
£).- D0VaCm (Mfi>2+m2rp + cp\
®Р 2гр \ Ао J'
JJ _ Ро^а Ag
8““ 2ЛРгрсш До ’
где Д8 = (О2Л43/псшср + ®2 [Мт(М + т)2ср + (М + пг)2грсш +
+ тМ3Сш—тМ3сшср] + а>2гр [(Л1 + zn)3cp + (М + zn)2rpcm + тМ2с2ш—
— 2т(М + т)ЛГсшср] + ср [(М + т)3с2р + тМ2с2ш + (М + ш)2грсш—
— 2щ(Л4 + т)Л1СрСш];
D = _Р_о»аСш _Д» . (2.120)
£ 2Мгтгр Ао
где Д9 = (д3сшМ3гр+со2 (М2срсш + М2Сш + т2с2р + тгр—2Мтсрсш) М +
+ <л2гр(Мсш—2тср)[Мсш + тгрсш+ (М +т)тСр] + ср[(Мсш—
— 2тср)Мсш + тг1сш+ (М + т)тср].
Для спектра (2.116) из формул (2.119) .получаем
D = РрУа сшгр (Л1 + т)с2\
2 2 К Л12 грЛ<2 ) Л12
^Р^а I Сш f СщГр Ср \
2 2~ Ems’ т + ~ J +
п Dova | М + т , ©i(Af + m)2 f
Р 2 ( гр сшг р
Dj =_Dp£a_/^.+tt)2 Af + OT у
р 2 ЕР гР 7
фМ + m)2 М^ср 1
-2------— 4-------- + (М + т)гр >;
ГрСш Гр JJ
с2 1]
Vp + (^ + т)— к
Гр JJ
сш ~П
(Af + rn)2 ср JJ’
_ Do«a (Г (М +т.уср (М + тугр т
&ш = 2 11 Л12грс2 + мчш + 7Р
2т (М + т) ср"
р
2 Г m2 (М + т)4с2 ( (М + тЩМ— 2т)ср (М + т)3гр
грсш М2с3шгр Мгрс^ М2с^
(2.121)
147
10*
_____4-А
М2 • Мгр
(M + m)2cg
М2грсш
" (Мсш —тср)2 сшгр
М2тгр
(Л4 + т)гр
L 'р М2 М2ГрСш Mrp JJ
Для диоперсии линейного преобразования (2.73) абсолютных пере-
мещений подрессоренных масс получаем следующее выражение:
А10
Df
2
2
Сщ
(M + 2m)Cp
(2.121)
DT = DaVa
2М2Гр |_ Л!та4 4- (М 4- т) гра3 4- (Л1ср 4- Л4сш 4- тср) а2 4- агрсш 4- срсш J
где Дю = сш [а2 (тс2р + ГрСш) М + а [г2сш + Ср(Л4 + т)] гр + ср[грСш +
-1- (М + /п)Ср] + о)2 а2Мт [сшГр + (М + т)Ср] + а(Л1 + т)гр [ГрСш +
+ (М + т)Ср] + Ср[(М + т)ГрСш + М2СрСш + (М + т) 2с₽].
Для спектра (2.117) получаем [75]
Dova / сшгр М + т с2\
~2 \ М2 М2 77/’ г 2
^О^а М 4- /71 р. Сщ
------------, L/g =------------»
2 rD Р 2 Гр
?шгР . ср
М2 "Г Mr р.
D-
, (2.122)
DqV& Сш / СШГр । Ср
М2 \ т Гр
р
^O^a 1
,2
mcp)2
M2mrp
2М2гр Х
гРСш+ (М + т)с2р
( Мта4 4- (М 4- т) гра3 4- (Мср 4- Мсш + niCp) а2 4- агрсш 4- срсш
D,
ш 2
и для спектра (2.118)
с2(М + /п)2
г рсш
D,
* 2
; Dv =
(2.123)
_ Dv3a
D ——LA.
г 2Л42
d2
Ds =
Ш
(М + /п)3Ср (Af4-m)2rp т 2m(Af4-m)cp
Л42Сш г р Л4сщГ р
---L+(Af+zn)r ;
ГР-J
С2 '
2Л1, LvP + (M + m)^];
Яра Г m2 (Al + m)4cp
2 I госш Л12с®Гр
(М + mfrp
m2
Г рСш
(М + т?(М—2m)cp
(2.124)
Мгрсш
Сщ
м24 1
(Af + m)rp (М + т)2с2
М2 + Л42грсш
Ап
D.v3
D,= —La
* 2
DlUa
D^r =-------1 ,
2Л12гр |_Л1/па4 + (Л1 + m) гра3 + (M + m) а2ср + Мсша2 + грсша + срсш_
где Дп = а2Мт [сшГр + (М + m)Cp] + а(М + т)гр [грСш + (М + т)
+ ср [(Л4 + ги)грсш + М2срсш + (М + т)2Ср];
De =D.p3 м + т ,
р 1 a 2rp
(Af + 2m)cp
p
Mrp
I
D. =0,о><«±Л>1
р 2г осш
148
Рис. 57. Одномассовая расчет-
ная схема колебаний бесподве-
сочной машины
Одномассовая расчетная схема. Определим дисперсии параметров
колебаний для расчетной схемы, шоказанной на рис. 57 (одномассовая
система). Передаточные функции можно «получить из (2.102) и (2.107),
если ср = со. В этом случае они имеют следующие выражения:
по абсолютным перемещениям
Н^р) = (гшр + сш)/ (Мр2 + гшр + сш); (2.125)
«по деформациям шин
Я8ш<?(р) = Мр2/(Мр2 + гшр + сш). (2.126)
Непосредственное использование этих выражений для определения
дисперсии ускорений масс и скоростей деформаций упругого элемента
(шины) «при спектре возмущения (2.124) невозможно, так как интеграл
(2.86) при этом расходится. Последнее объясняется тем, что (2.86)
вычисляется в бесконечных пределах, а принятые модели автомобиля
и дороги соответствуют натуре только в ограниченной полосе частот.
Чтобы и для одномассовой модели рассчитывать параметры колебаний
согласно (2.86), надо уточнить или описание спектра Kq(a>) в высоко-
частотной области, или модель автомобиля (шины). С такой проблемой
приходится сталкиваться всегда при расчете реакции динамической
системы на случайное возмущение, когда оно задается своими статисти-
ческими характеристиками, определенными экспериментально [2].
Чтобы получить конечную дисперсию, введем в выражение спектра
возмущения множитель ©|/(®2 + <of), который можно считать учиты-
вающим сглаживающую способность шины в формировании возмуще-
ния от дороги (см. § 7 этой главы).
Таким образом зададим следующий спектр возмущения:
= DqV3-
О)2 + со2
СО2 ((D2 + )
(О2
5 2
О) + (О3
(2.127)
Вычисляя (2.86) с учетом (2.125), (2.126) и (2.127), получим выра-
жения для параметров колебаний бесподвесочной машины [76]:
для дисперсии ускорений кузова
D = Ро°аю3 Ав
2 2Л7гш (g>2 4-<1>в) Д01
где Д12 = (Мео? + сш) (<о2 + ®з)сш(Гщ + Мсш) + Мгш(<о2со3 + of) (Сщ +
+ ОгСОзГш) + ГшО2®з(®2 + ®з) "I" 7шСщ(<й2 + ®з) »
149
Д01 = ММ®! + Л1сш(©2 + ®з) + Сш + ГШСШ(®2 + ®3) + ГшМ<й#йг(<й2 +
+ ©з) + Сш®2®з;
для дисперсии деформации шин
D8 Уа^2 Л»
ш 2гш(ш2 + <а3) Д01
где Д13 = сш(©2 + ©3) + гш(®2®з + ®?) + <о 1 Л1(©2 + ®з)1
для дисперсии скорости деформации шин
_ ®|Л1 Д14 _ . _
Ds =—-------------(2.128)
Ш 2гш ((|>2 + ®з) ^01
где Д14 = гшсш((1)2 + ®з)2 + СШ(Ш2 + ®з) (сш 4- Мео?) 4- Мгш(д2а>3(а)^3 4- ©i) 4-
4“ гш®2®з(®2 4” <°з) •
Выражение для дисперсии преобразования (2.73) не приводится
из-за его громоздкости.
Если в спектре возмущения от дороги принять со2 = 0 [см. (2.116)],
то формулы (2.128) упростятся:
D- = D°Va0>i + Сщ) ( Гш + Мсш) + Мгша1 сш + ГШЮ3 .
2МГш Л1®з + Сш + Гш®3
D8 УаУ*2 ^з + 'нХ + ^З^! . (2.129)
2гшсш + сш + гш<1)з
D0vaw3M гш®| + <в3(сш + лМ) ^0»а®з дв
£/§ =------------------------------, Uyr —------------------,
ш гш Afco? 4- с 4- г co, 2Л4гш(а 4-со3) А02
о Ш Ш О I
где Д]5 = (М©2 + сш) (а + ®3)сш(Гш + Мсш) + Мгш(а©3 + ю2) (с^ + а©3Гш) +
+ Гш(а + ©з)^ + dLcm(a + ®з)2!
Дог = [Л42а2©| 4- Л1сш(а2 + ©3) + + гш^ш(а + ®з) "I- гш<^ийз +
+ гшЛ1а©з(а + ©з)]-
Если в спектре возмущения (2.127) принять ©i = ©2 [см. (2.116)], то
D0t)a<B3 Сщ0>з(Гш + Мсш) + Гш(>)3 .
2Л4гш Л1ш| + сш4-гш©3
',ш(«®з + си+гш“з) ’
O0t>aM|Al(rm©3 + Cm) .
(2.130)
Dot>a®i Д1«
-----------------------,
2Мгш(а + <о3) Двд
где Д16 = (а + ю3)Сш (/"ш + Мсш) + Мгша©3 (с^ + а©3Гш) +
150 + г^а©3(а + ©3) + ГщСш(а + ®з)2 •
Рис. 58. Расчетная схема коле-
баний одноосного прицепа
Если в спектре возмущения (2.127) принять <x>i = 0 [см. (2.115)], то
D Др^а^З^1 2 . D Д»в .
ш 2гш(с)2 + <1)3) До1 z 2Л1гш ((О2 + G)3) Д01 ^2 131)
D. ДрЦаЫ3М Д19
6ш 2гш(о2 + <о3) Д01
где Д17 = сш(©2 + ©з) + гш©2©3;
Д]8 — Сщ(Гш + Мсш) (©2 + ©з) + Л4гш©2©з(Сш ©2®3^ш) + Гш©2®з(®2 + ®з) +
+ ГшСш(©2 + ®з)2;
Д19 = гшСш(®2 + ©з)2 + сш(©2 + ©з) + A4f шм2©3-
Если первую дробь в спектре (2.127) принять соответствующей
(2.118), то дисперсии параметров колебаний бесподвесочной машины
будут следующими:
D.. 2^1 <йз(''ш + ЛЧп) + гЦ|Сщ .
2гш Л1©з + сш+гшшз
Ds д^з^о-щ+дч) .
2^шсш(Л1ш1 + сш + гш<йз)’ (2.132)
д2о
г\. ] а о гх 1 а о
=------------------,
Ш 2ГШ (^Шз + Сш + Гш<оз) 2Мгш(а + (д3) Д02
где Д2р = Л1(а + шз)(Л1сш + Гш)Сш + Л4гш(сш + <х©3Гщ).
Двухмассовая расчетная схема одноосного прицепа. Определим дис-
персии поперечных угловых ускорений для расчетной схемы, изобра-
женной на рис. 58 (одноосный прицеп) *.
1 Эту расчетную схему можно рассматривать и как приближенную схему попереч-
ных колебаний автомобиля. Следует иметь в виду, что при этом увеличиваются попе-
речные угловые ускорения кузова на 20—30% [35, 77, 78].
151
(2.135)
Передаточная функция от дороги к углам наклона кузова в попе-
речной плоскости имеет следующий вид (при гш = 0):
и / ч ______________________(Pr<p + C<p)fe<p________________________1 (2.133)
Л)Лр4+ (/о + Л)'-фр3 + р2[/1Сч> + /°(сч> + М] + ргч>Ч + сфЧ 24к
где гф = 2rpd2; £ф = 2сшс?2; сф = 2cpd2.
Спектр возмущающего воздействия дороги примем следующим:
2 . 2
Лм(<а) = ОЛ^!-Р,(«». (2.134)
(0*
где р! = 1—р(со) = й)2/(<о2 + св о); р(©) —коэффициент корреляции по
частотам (см. гл. 1).
Учитывая (2.133) и (2.134) и проведя согласно (2.81) и (2.86) не-
обходимые вычисления, получим [79]
___ ВрУа ^21
* "" 2(2dK)2 Д03 ’
где Д21 = 7о®оГф&ф + (ОоГфйф 4- IqI 1О)о&фСф 4“ (/о 4" /i)®o^ф&ф^ф 4"
4" IqI 1© 1(ОоГф^ф 4" (Iq 4" 11)® 1®оГф£ф 4" (/о 4" /i)®iGpAp^p 4~ /оЛ (^с 4~ /1)со 1 сооСф 4"
4" (Iq 4" /1)2g> 1(Оогф£ф 4" (Iq 4“ Д)2®1£ф 4" /ойНСфйф 4- ГфСф^ф 4- (Iq 4~ /\)c<pkq>\
Доз = /оГф [/оЛ®о 4" (Iq 4" Л)®оЛр 4" (Iq 4" 11)о>о£ф 4" <OorqAp 4" 4- Ддоо^ф].
Для частных случаев спектров возмущающего воздействия
/С9(<в) =D0oa<o_2pl(©) и Кч(<л) =Dpi©“4pI(©),
соответственно
[) __ BqV& ^22
Ф ~ 2(2dK)2 Д03 ’
где Д22 = Iо^огф&ф 4~ ф&ф 4" IqI 1<Во£фСф 4" (Iq 4" Д)g\Zф^ф^ф 4~
4" ГфСфйф 4" (Iq 4" 1])Сукф\
D P|V°
ф 2(2dK)2 Д03 ’
где Дгз ~ 7оЛ®оГф&ф + (Jo -Ь 1)<РоГф^ф + (/о "Ь 7|)ГфСфА?ф +
+ ШЛ) + Д)©оС<р + (7о + /)) (AqTфСф + (Iq + /])~Сф Ч- loCffkg,.
(2.136)
(2.137)
2. Расчет «нелинейного» автомобиля
при случайных возмущениях
Приведенные выше формулы позволяют при принятых допущениях
рассчитать колебания «линейного» автомобиля, движущегося по дороге
случайного профиля. Чтобы учесть основные нелинейности, применим
метод статистической линеаризации.
Математически задача статистической линеаризации ставится
следующим образом: пусть f(x)—заданное нелинейное преобразова-
ние входного сигнала x(t)\ требуется найти такое линейное преобразо-
вание 1л(х), чтобы его выходной сигнал ул = fn(x) наилучшим образом
приближался к выходному сигналу нелинейного элемента y = f(x).
152 В зависимости от того, в каком смысле следует понимать приближение
сигнала yn(t) к сигналу y(t) наилучшим, можно получить различные
результаты.
В рассматриваемой задаче будем исходить из требования, чтобы
дисперсия разности между выходными сигналами в нелинейном и эк-
вивалентном ему линейном элементе была минимальной. Это позволяет
получить сравнительно простые формулы, при использовании которых
результаты расчетов параметров колебаний автомобиля удовлетвори-
тельно согласуются с данными натурных экспериментов.
Таким образом,если
y(O = f[x(O. *(0];
y“(t) = c3xo(t) + гэх°(/) + f0 и = y(t) —yn(t),
где x°(/) = x(t)—tnx— центрированный стационарный случайный
процесс; тх— математическое ожидание сигнала x(t), то коэффициен-
ты статистической линеаризации сэ, гэ, f0 находят из условия минимума
дисперсии разности Ду(/)
M[|Ay(0|2] = min. (2.138)
Для M(|At/(/) |2] можно написать [80]
+ оо
М[| At/(0|2] = JJ[f(x, x)—c3(x—mx)—r^o—fopw(x, x)dxdx, (2.139)
—00
где W(x, x) —совместная плотность вероятности процессов x(t) и x(t).
Условие (2.138) приводит к следующим выражениям для коэффици-
ентов сэ, Гэ, Аь
+ 0°
f° = J J f(x, x)W(x, x)dxdx; (2.140)
—oo
4-oo
сэ =—у JJf(x, x)(x—tnx)W(x, x)dxdx\ (2.141)
x —oo
4-oo
r3 = —у f(x, x)xW(x, x)dxdx. (2.142)
Применительно к задаче линеаризации характеристики подвески
(шин) автомобиля условия (2.138) соответствуют требованию мини-
мума дисперсии разности полной силы в линейной и нелинейной подвес-
ке (шине). Таким образом, безынерционными звеньями, характеристики
которых линеаризуются, являются параллельно соединенные пружины
и демпферы. Входами этих звенцев являются деформации и скорости
деформаций рессор (шин), а выходами — упругие и демпфирующие
силы.
Требование минимума дисперсии разности полной силы в подвеске,
очевидно, эквивалентно требованию минимума дисперсии разности
между ускорениями кузова для «линейного» и «нелинейного» автомо-
биля. Что касается аналогичного требования для шины, то здесь
непосредственной связи с показателями плавности хода нет.
Учитывая сказанное выше, в (2.139) — (2.142) следует рассмат-
ривать /о как математическое ожидание полной силы в подвеске
дигр (в шине дигш), сэ — как эквивалентную жесткость линейной
рессоры Ср.э (шины сш.э), Гэ— как эквивалентный коэффициент 153
сопротивления в линейной подвеске гр.э (в шине гш.э), *(0 и x(t) — как
деформацию и скорость деформации рессоры 6Р, др (шины бш, бш),
f(x, х) —как сумму упругой и демпфирующей силы в подвеске ^р(др,
бр) (в шине ГшСбш, бш)].
Из формул (2.139) — (2.142) следует, что для определения жестко-
стей упругих элементов и коэффициентов сопротивлений демпфирую-
щих элементов необходимо знать совместные плотности вероятностей
деформаций и скоростей деформаций рессор и шин, т. е. бр)
и 1Г(бш, бш). Дальнейшие выводы основываются на долущении, что
закон распределения входных сигналов линеаризуемых звеньев нор-
мальный, т. е.
(х—mxy______х^
2(Г? 2а2.
(2.143)
Это допущение вполне оправдано, поскольку, как было показано
в § 2 этой главы, законы распределения деформаций рессор и шин (при
отсутствии частых отрывов колес от дороги) близки к нормальному.
Вместе с тем установлено [80], что изменение формы закона распреде-
ления существенно не влияет на коэффициенты статистической линеари-
зации. Значительно больше они зависят от математического ожидания
и дисперсии входного сигнала. Поэтому приближенно допустимо опре-
делять коэффициенты линеаризации, заменяя действительный входной
сигнал эквивалентным нормально распределенным входным сигналом,
у которого математическое ожидание и дисперсия равны аналогичным
параметрам действительного сигнала.
При принятых расчетных схемах колебаний автомобиля выражение
для полной силы в подвеске (шине) может быть представлено так:
F(x, х) = Fx(x) + ^2(х)*, (2-144)
где Fx(x)—сила в упругом элементе, зависящая только от его дефор-
мации; F2(x) —сила в демпфирующем элементе, зависящая только от
скорости деформаций упругого элемента.
Используя очевидные соотношения
(х—тх)ехр
(х—тх)2
2®х
4-оо
dx = 0 и J х ехр
—оо
X2
2а?
X
dx = О,
(2.145)
легко показать, что вместо (2.140) — (2.142) можно написать
1
ог^
f F'wexp
—эо
i^^L]dx+
2а2
хг ] г
ах\
2а?
(2.146)
* Для шины такая запись справедлива только в том случае, когда вероятность от-
рыва- колес от дороги мала. Если пренебречь влиянием демпфирования в шинах на ко-
лебания автомобиля, то Г(бш, бш) =/71(бш). Для подвески такая запись справедлива,
если величина силы сухого трения принимается постоянной и не зависящей от силы
в рессоре. Эксперименты по снятию упругих характеристик рессор показывают, что си.
ла трения зависит от их деформации, причем эта зависимость в первом приближении
линейная.
154
Ч-оо
С9 = ' з" f Fi(x)(x—mjexp
У 2л J
_(х=т£Г
_ a 7
(2.147)
(2.148)
Из (2.146) — (2.148) следует, что коэффициенты линеаризации яв-
ляются функциями Ох, тх, <гх:
fo = fo(mx, ох, oj; сэ = сэ(ох, tnx\,
r3 = гэ(ох).
Рассчитывая линеаризованную систему, определяют
Ох = Сэ); Ох = СТх(Гэ. с,); | (2 л 50)
тх = тх(гэ, сэ, f0). /
Подставляя (2.150) в (2.146) — (2.148), получаем систему уравне-
ний для нахождения гэ, сэ и /о- Получить решение системы уравнений
(2.150) и (2.149) в виде формул удается лишь в исключительных
случаях. Как правило, решать эту систему уравнений приходится мето-
дом последовательных приближений.
Проведя линеаризацию дифференциальных уравнений колебаний
автомобиля (например, соответствующих двухмассовой модели, изобра-
женной на рис. 37) и выделяя уравнения для -постоянной и центриро-
ванной случайной составляющих, получим
mFp = 0 (2.151)
и /Пгш = 0, (2.152)
(2.149)
т. е. математические ожидания полных сил в подвеске и шине равны
нулю.
Этот результат физически очевиден, так как в противном случае при
/пгш =/= 0 автомобиль должен был бы со временем полностью потерять
контакт с опорной поверхностью, а при те =# 0 расстояние между его
подрессоренными и неподрессоренными массами должно было бы
неограниченно увеличиваться 1.
Условия (2.151) и (2.152) служат для нахождения математических
ожиданий деформаций рессор zn8p и шин т^ш .
Используя общие соотношения (2.146) — (2.148), определим гр.э и
гр.э Для некоторых наиболее распространенных характеристик рессор,
шин и амортизаторов [75].
Эквивалентное сопротивление амортизатора. Определим эквивалент-
ное сопротивление амортизатора гр.э и математическое ожидание его
силы ^ггр для характеристики демпфирования в подвеске, показанной
на рис. 59. Эта характеристика соответствует сочетанию несимметрич-
1 Колебания масс автомобиля рассматриваются относительно их статических
положений, поэтому tnF и mF не равняются весам подрессоренных и неподрессо-
ренных масс. Если уравнения, описывающие колебания, составлены так, что все обоб-
щенные координаты отсчитываются относительно свободных состояний упругих эле-
ментов, то для mF и mF вместо (2.151) и (2.152) получаем tnF — (М 4- m)g и
mFp = Mg. ₽ " 155
Рис. 59. Характеристика демп-
фирования в подвеске автомо-
биля
ной силы сухого трения с несимметричной силой сопротивления нели-
нейного амортизатора и аналитически может быть записана следующим
образом:
^р(бр) =
ai + fi^p
01 +Г 161 + Гз(бр—61)
—Oz + Г2®р
— 02—Г262 + Г<(бр + 62)
при 0< бр 6ь
при б,<бр < оо;
при—бг^Сбр^О;
при—оо < бр •< б2.
(2.153)
Подставив (2.153) в (2.148) и проведя вычисления, получим
У2я ст8- 2 2 ( 1^2 aj 1
+ f2~r< Ф ( Л А
2 ^2С6Р/
(2.154)
где интеграл вероятностей
и
Ф(и) = f
у л J
о
(2.155)
Подставив (2.153) во второй интеграл в (2.146), получим математи-
ческое ожидание силы в амортизаторе
Я1 — fl2 asn fz
mFrР = ~— + (r,-f2) + <гз-П)ехр
_ Г*)^2 |___ф f ^2
2 I °8 /2
L \ р
(2.156)
Формулы (2.154) и (2.156) могут быть записаны иначе, если учесть,
что вероятность события а < x(t) < р
>56 '>(»О=(')<₽)-°,5 Ф(Ч#)Г (2157)
ч
поэтому
гР.э--+ ПР(О < бр < 6.) + г2Р(-б2 < бр < 0) +
/2л ag
р
+ ГзР(&1 < бр < оо) + г4Р(— ос < бр < —б2);
"ЧР = |(П—г2) + (гз—П)ехр
р z У 2л I
6f 1
^2“ +('3~
«Р J
—г4)ехр
---? + (ri—гз)^1Р(^1 < бр < оо) —
Ч л
— (<*2—г4)62Р( — оо <бр< — S2).
(2.158)
(2.159)
Полученные для гр.э и выражения соответствуют общей
характеристике (2.153) демпфирования в подвеске. Из них можно по-
лучить ряд соотношений для частных случаев.
1. Если характеристика демпфирования будет симметричной, т. е.
= а2 = F0; 6t = б2 = б0; r{ = r2 = rQ\ rz = r4 = г0,
то вместо (2.154) можно написать
/1+ '°+ф (vtt) <2-160>
Р \ р /
ИЛИ
Гр.э--— V — + Г0Р(-60 < бр < б0) +
ajr У n i
+ г'0Р(—со < бр < бо) + го/>(бо < бр < оо). (2.161)
Для тггр вместо (2.156) получаем соотношение
mFp = 0. (2.162)
2. Если демпфирование осуществляется только силой сухого трения
(at — а2 = F°), то
'р-э = (F°/<Jg )К2/л и mF = 0. (2.163)
р и
3. Если демпфирование осуществляется только силой сопротивления
амортизатора, то
Г = -Д±Д_ + „С.'-.Ч. ф (—51—\ + Гг~г< ф (—51—\ (2.164)
2 2 <п У 2 I 2 I <rg У 2 I v
или
гр.э = ^р < ®1) + г2^( — ^2 < Sp < 0) +
+ rzp(b, < 6Р < оо) +г4Р(—oo < Sp < — 62). (2.165)
Из формулы (2.165) следует простое правило для нахождения
эквивалентного коэффициента сопротивления «нелинейного» аморти-
затора: Гр.э равняется сумме коэффициентов сопротивлений каждого
из рабочих участков амортизатора, взятых с весом, равным вероятно-
сти работы амортизатора на этих участках. 157
Для математического ожидания демпфирующей силы в рассматри-
ваемом случае имеем
ч
mFr« = ГтМ (r‘ + <r3—П)ехр —
r P у 2Л I
+ (r2—г4)ехр
r2—
2
62 1—Ф
Л2 "П
— U
Ч-П
,/ «
I <*8 /2
\ р
— 61
2 1
Ч J
i—ф(—4—
(2.166)
ИЛИ
6?
(
—- 1 (Г1—Г2) + (r3—n)exp
L 2% .
+ ta—^exp
2oS2 u
р
6.
J + O-i-^Wi
-62).
не учитывать предельных клапанов (т. е.
получается простое выражение, широко
6р < °°) —
— (Г2 — Г4)б2Р( — ОО up
4. Если в амортизаторе
Г3 = И, Г4 = Г2), TO ДЛЯ Гр.э
используемое в практике:
/•р.э = 0,б(Г1 + Г2),
где Г1 и г2—сопротивление
и отбое;
(г2—и)
Frp /2 л %
5. Если сопротивление амортизаторов в клапанном режиме
настолько мало, что им можно пренебречь (т. е. гз = /4 = 0), то
гр э=ф f-4^- V—ф (——
2 l/2a8 I 2 1|Л2<т8- I
\ р / \ р /
Ч ( Г 6? '
/п„ =-—-{(Г2—Г))— г,ехр ——— —
гр /2л 2ог§
L р J
амортизатора соответственно при
—г2ехр
(2.167)
(2.168)
сжатии
(2.169)
работы
(2.170)
%
6~2
л 2
2а»р
+ts
1 — ф(~
\ У2а8-
\ р
--J-62 1-Ф
62
(2.171)
амортизатор «линейный», то из (2.154) получаем
= 0. (2.172)
6. Если
Гр.э = г; fnFrp
7. Характеристика демпфирования (2.153) соответствует случаю,
когда сила сухого трения не зависит от нагрузки на рессоры. Пусть
сила сухого трения пропорциональна деформации рессор 6Р, отсчитан-
ной от положения, соответствующего недеформированной рессоре. Для
158
простоты примем, что демпфирование осуществляется только силой
сухого трения, тогда
п»0 г?0 I I ь
Fr — F ст”т sign бр,
фр.ст
(2.173)
где F"T — сила трения в положении, соответствующем статической
деформации рессор бр.Ст-
Подставив (2.173) в (2.148), получим
2f^°8n Г ( т\\ гт( тч
-----ехр М + 1/ ——L<D|-------------7-
я%вР.ст[ \ 2%7 V 2 <тБ Vs V2
(2.174)
Так как математическое ожидание деформации рессор (при выб-
ранном начале отсчета бр) мало отличается от статической деформации
mgp « бр ст и, кроме того, ogp < /nsp, то
0 ть
ст р
ip ^рст
(2.175)
Таким образом, учет зависимости F° от бр в виде (2.173) мало
влияет на гр.э, значение которого оказывается практически таким же,
как и при F° = Fct sign бр (см. (2.163)]. Поэтому при практических
расчетах вполне допустимо принимать силу сухого трения постоянной
и соответствующей статической нагрузке на рессоры. Этот результат
легко объяснить физически тем, что за полный период колебаний
энергия, рассеиваемая в обоих случаях, практически одинакова.
Разница может возникнуть только из-за смещения положения динами-
ческого равновесия от статического. Как показывают расчеты, это
смещение в реальных условиях не превосходит 5—7%.
Эквивалентная жесткость рессоры. Определим эквивалентную жест-
кость рессор ср.э и математическое ожидание силы в них /п/у,р для
общей характеристики, показанной на рис. 60, а. Аналитически ее мож-
но записать так:
FcP(6p) =
Собр + С1(бр—«О
Србр + С] (бр—б]) + с3(бр — б3)
<*обр + С2(бр + б2)
србр + Сг(6р + 6г) + ^ч(бр + 64)
при—б2 < бр < б^
при б! < бр < б3;
при б3 < бр < оо;
при—б4< бр <—б2;
при—оо < бр <—б4.
(2.176)
Подставив (2.176) в (2.147), получим
//61-твр
1 — ф ——-
I ’/2Ч
Ct
ср.э — со + 2 - -
+ _^_ 1—ф
2
+ — 1—ф
2
+ _£i. 1—ф
2
62 + твр
’-'Ч
Мтв„ у
(2.177)
или
Ср.э = со +£1^(61 < бр < оо) + С2Р( — оо <бр<—б2) +
+ £3^(63 < бр < оо) + С4Р( — оо < бр < — б4).
(2.178)
159
Рис. 60. Упругие характеристики.
а — подвески; б — шины
Из (2.178) следует правило нахождения ср.э, аналогичное правилу
для нахождения гр.э: эквивалентная жесткость рессоры равна сумме
жесткостей каждого из участков ее упругой характеристики, взятых
с весом, равным вероятности работы рессоры на соответствующем
участке.
Для математического ожидания силы в рессоре, имеющей характе-
ристику (2.176), получим
°6р
тРср = Сотбр + с1-^. ехр
Г. _ /61-твр
(6-m6p) I (6-^)
Ч
~Cl 2
X 1-Ф
(6з-"Ч)
“СЗ 2 [
(62 + Ч) Г
1—ф
+ С2 2
(64-4)
2
или
/Прср = сот6р + Cl
аб
+ Сз —— ехр
/2л
ч
—с2—— ехр -
/ 2л
ч г
+ с4 —— ехр
1 —Ф
1—Ф
ч
+ Сз —
У 2л
/6з-тб„
। |_____L
(^ч
/»г+
6< + ”*«р
7^,
(5-”«р)2
% Г
---ехр —
/ 2л
ч
(62 + т«р):
ехр
(6з-Ч)2
_с s
2 /2л
г
--С4
ч
ехр
ехр
/ 2л
2а|р
(6< + Ч)2 '
Чр
(2.179)
—с,^—т6р)Р(6р
2Ч
—Сз(Ь3—т6р)Р(др > б3) —
121
— + с2(62 + пг5р)7>(6р <—^2) +
ч
-km. V
+ С4(64 4- ГП5^Р(6р < —64).
Ч
(2.180)
160
Формулы (2.177) и (2.179) получены для достаточно общей харак-
теристики (см. рис. 60). Они существенно упрощаются для частных
случаев.
1. Если не учитывать ограничения при ходе отбоя с2 = с4 = 0, то
можно записать
Л.э = Со + -у 1-Ф
бз~Ч
^Ч
(2.181)
Ч Г (S1-4)21
= Wp + — exp ----------
%
7^ехр
(6з~Ч)2
2Ч
(2.182)
Такую упругую характеристику можно принять при расчете ср.э и
для большинства передних и задних подвесок грузовых авто-
мобилей и задних подвесок легковых.
2. Если определять коэффициенты линеаризации для упругих
характеристик рессор порожнего автомобиля, то, поскольку вероятность
вступления в работу ограничителей хода в подвеске мала, можно
считать с3 = 0. Тогда
(2.183)
Шр
ср
— Ci
= с0т6р—с
(61-Ч)
2
(2.184)
3. Для передних подвесок легковых автомобилей упругая харак-
теристика часто может быть представлена в виде трех участков:
линейного, соответствующего основному упругому элементу, и двух
участков с большей жесткостью, соответствующих работе ограничите-
лей при ходе отбоя и сжатия. Для этого случая имеем
6 ~ч у
^Ч )
% г 1
mr = corn« + Ci —— ехр —
р р /2л [
(О.-Ч) Г,
1—ф
V /2Ч
£р.Э
= й, + -Ь- 1--Ф
-С1 2
(в2 + Ч) Г
1—Ф
в2 + /"вр
Ч
С2°6
----7= ехР
/2л F
(6=+ч)’
(2.185)
(2.186)
161
+ *_ 1—ф
2
Ч
+ с2' 2
П Заказ 3363
4. Если упругая характеристика подвески линейная, а ее динами-
ческий ход настолько велик, что вероятность включения в работу
ограничителей мала, то
сР.э = ее, mFcp == com6p. (2.187)
Эквивалентная жесткость шины. Определим эквивалентную жест-
кость шины сш.э и математическое ожидание упругой силы в ней т гсш.
Упругая характеристика шины показана на рис. 60, б. Ее аналитическое
выражение запишется так:
С()61 ^1(^2 ^1) при 61 — 6Ш.СТ,
^1(^ш "Ь 62) При —< 6щ 62,
при 6щ 62•
(2.188)
Подставив (2.188) в (2.147) и проведя необходимые вычисления,
получим
61 +тб
ш
Сш.э = ^° 1+Ф
. ( в.+Мб \ ( 62 + тв \
£1_ ф — -HL | — ф| — -2. )
2 I /2аб I I /2<тв J
_ \ иш / \ ш 7
и
(2.189)
61 (Со—СО
Шр =---------------
с.ш 2
уч
2
/ 6, +т6 ХП
1 + Ф I - *..
/2о6ш /
(61+”Ч)2]
/ 6. +тЛ \ 1 „ х
1 _ф / 1 I I С1О2
\ )
с1тб
1 иш
2~
( 6, + me XI
1—Ф ’ ш ч
I ^2’«. л
ГЧ.
сосвш
---ехр------
/2л
(61+”Ч
м
—ехр
М
иш
| ^16щ
/2л
2
/ 62 + тб
ф/ — ф
I ^ш)
(e2 + WdJ2'
Ч
иш J
ехр
(2.190)
или
Сш.э = Со^(бш >— б1)— С1₽( — 61 < 6щ < — 62)
и
/ПГс.ш= —(с°—ci)6ip(fim < —fii)—С1б2^(6ш
со°в
+ Cim6 Р (—S, < 6Ш < — б2) + -—г- ехР -
ш /2л
I2]
- —ехр
(62 + ^ш)
: — S2) + сотвшР(бш
(*<+ff4)2l ,
2ав
иш
(б1 + ”Ч
2ог6
ш
с>% (
Ч----— (ехр
/2л I
Отметим, что, если не учитывать затухание в шинах, то на осно-
вании (2.152)
те = 0.
сш
(2.191)
м
ш
Этим условием пользуются для нахождения математического
ожидания деформаций шин.
В некоторых случаях выражения (2.189) и (2.190) упрощаются.
162
1. Если можно пренебречь уменьшением жесткости на начальном
участке (т. е. 61 = 62), то
с =
щ.3 2
1 + Ф L—
к
(2.192)
с<^вш
тг =--------—
сш 2
_ cqO1 1_________ф / 1 °ш I
2 I 1'5Ч, /
со%
г— ехр
/2л н
(2.193)
или
^ш.э = (®ш > ®1)>
соаб Г (61+тб)2’
трсш =с0т6шР(Ьш>— ЙО—соб1Р(бш<— 6J + —7=гехр — А__ш_ .
2. Если можно не только пренебречь уменьшением жесткости, но
и считать, что статическая деформация шины значительно больше
динамической (бш.ст о8ш), то
сш.э = со; , (2.194)
пггсш =^о/Пбш. (2.195)
Выведенные формулы для эквивалентных жесткостей упругих эле-
ментов и сопротивлений демпфирующих нелинейных элементов подве-
сок и шин автомобиля охватывают достаточно широкий круг возмож-
ных вариантов их характеристик. Если характеристики имеют более
сложную форму, то для получения сш.э, £р.э и Гр.э следует воспользо-
ваться общими соотношениями (2Л46) — (2.148), аппроксимировав
соответствующие характеристики с нужной точностью. Желательно
при этом использовать кусочно-линейную аппроксимацию, так как
в этом случае можно сразу написать окончательные формулы, анало-
гичные приведенным выше.
3. Применение формул
приближенного аналитического расчета
к решению некоторых задач теории подвески
Используя полученные выше формулы, можно в первом прибли-
жении решить ряд задач, возникающих при исследованиях плавности
хода автомобиля. Эти формулы позволяют: а) рассчитать среднее
квадратическое параметров колебаний автомобиля при известных
упругих и демпфирующих характеристиках подвесок и шин; б) оценить
степень влияния любого параметра подвески на колебания автомобиля;
в) определить оптимальные параметры подвесок «линейного» автомо-
биля с классической схемой подвески, обеспечивающие минимальное
значение выбранного критерия комфортабельности при ограниченных
прогибах рессор и шин; г) приближенно определить характеристики
упругого и демпфирующего элементов подвески, обеспечивающих
минимальное значение принятого критерия плавности хода автомобиля
при ограниченных прогибах рессор и шин. 163
11*
Рассмотрим методику решения первых трех задач применительно
к схеме, изображенной на рис. 37.
Вычисление среднего квадратического ускорения масс, деформаций
упругих элементов и т. д. сводится к совместному решению уравнений,
определяющих эти значения для эквивалентного «линейного» автомо-
биля, с уравнениями для сш.э, £Р.э, гр.э • Так как в выражения для
£р.э и сШфэ входят математические ожидания деформаций рессор и шин,
то решаемая система уравнений должна быть дополнена условиями
(2.151) и (2.152). Последние превращаются в следующие уравнения:
/raFcp + /nfrp = 0’ (2.196)
тгсш = 0. (2.197)
Таким образом, для расчета динамической системы необходимо
решить следующую систему уравнений:
^бр = сгбр(^р.э» ^ш.э, ^р.э)> O8p=<Tsp(Cp.9, ^ш.э» ^р.э)»
а8ш = °8ш(ср.э> сш.э> '•р.э); mrcp(%. m5p) + mfrp(OSp) = °; (2 J98)
^сШ(ст8ш- /nU = 0; ср.э = Ср.э(а8р, /и8р);
^Ш.Э == £ш.э(^&ш» ^бш)» ^р.э ~ Гр.э(&$р)’
Поскольку в общем случае это система трансцендентных уравнений,
то решать ее приходится методом последовательных приближений.
Опыт расчетов показывает, что в качестве первого приближения сле-
дует брать жесткости упругих элементов ср.Ст и сш.ет, соответствующие
статическим деформациям. В первом приближении коэффициент сопро-
тивления берут таким, при котором коэффициент апериодичности
колебаний подрессоренных масс равняется 0,2—0,3. Если рассеивание
энергии колебаний в подвеске происходит только за счет нелинейного
амортизатора, то в качестве гр.ст лучше брать полусумму сопротивле-
ний при ходе отбоя и сжатия.
Расчеты следует начинать с наименьшей из рассматриваемых
скоростей, последовательно переходя к более высоким. При этом для
каждой последующей скорости первым приближением параметров
автомобиля нужно брать значение последнего приближения для
предыдущей скорости. При такой методике удается значительно
сократить время решения уравнений и оказывается достаточным двух-
трех приближений для каждой скорости.
В отдельных случаях система уравнений (2.198) может быть
решена аналитически. Остановимся на этих случаях.
1. Если упругая характеристика рессор и шин линейная и демпфи-
рование в подвеске осуществляется только за счет силы сухого трения
F0, то
сР.э = ср = const; = сш = const; г„.э = 1/ ———. (2.199)
г л
р
Когда спектр микропрофиля дороги имеет вид (2.114),
164 r"-=-v- + l/(-Г-У+-Г-' (2-200)
Д04 F \ ^04 / Д04
где
Д24 = nDouacm [Мсши2 + сРсш + ®1(Мты22 4- (М + т)ср)]—
_4(fo)2 [(Д| _|_ т)щ| + <а2сш];
Д04 = 2О0УаСш®2 (сш 4- (М + /п)©?] л;
Д25 = 8(F0)2 [Mm®4 4- (М 4- m)®2cp + Мсш®2 + cpc,J.
Когда спектр микропрофиля имеет вид (2.115),
гр.э = — (Дгб/Доэ) + V (Агв/^оз)2 + ^25/^05» (2 • 201)
где Д26 = л/)0оаСш [М®| + ср]—4(F°)2®2 [(М 4- т)®2 4- Сщ];
До5 = 20о1»аСш®2Я-
Когда спектр микропрофиля дороги имеет вид (2.116),
гр.э = ±--------. (2.202)
П D0va [сш + ®?<Л1 + т)]
Формулы для вычисления среднего квадратического параметров
колебаний автомобиля в этих случаях получим при подстановке
(2.200) — (2.202) в (2.119) — (2.122) соответственно. Они громоздки,
поэтому при практических расчетах целесообразнее определять грл
по (2.200) — (2.202), а затем уже вычислять параметры, используя
формулы (2.119)—(2.122).
Когда спектр микропрофиля дороги имеет вид (2.117), эквивалент-
ное значение коэффициента вязкого трения
rp.,-A_J£T_. (2.203)
Л ь/о^а^ш
Подставив (2.203) в (2.123), получим формулы для среднего квад-
ратического параметров колебаний автомобиля:
D& = D2y2 <-ш(М4-т) я . л V’
р 0 a (f0)2 8 ’ л M2m M2(F0)2
Dz- A + -fpfHL 2L ; Dj = D2-v2 .
л M2 ' M2 (f0)2 8 P 0 a (F'O)2 8
A л M2 (F°)2 Г сш(Л1сш—2mcp) (M + m)c? T n L Mm ' M2 J 8
D8 = л f mc,„ Cp(M-Fm)r(M +nipcp 8 | (Fo)2 (Fo)2 [ М2сш 2mr
ш Dqr = J A27 8n(F°)2M2 Дее ’ ML
(2.204)
где Д27 = а2[ОоУа/исшСрЛ24- 16(Fo)4]Do^Mcm4-[4a(F°)24-
4- лОоСрСаСш] [16(Г°)4 4- Dovl(M 4- т)л2СрСш] сш;
Д06 = Mma'cJJ^n 4- 4(М 4- m)a3(F0)2 4- (Мср 4- Мсш 4-
4- тср)а2О0цасшл 4- 4a(F«)2 сш 4- £>оцалсрСш. 165
Когда спектр микропрофиля имеет вид (2.118),
. _ 4 (F»r .
Р.Э - Q >
51 DyV^M + m)
Dz _ A W. + 2L Г J + CP(M + OT)2 1;
я АРП“' 8 (F»)2 [1+ М2сш J
D = _2_ _(Роусш z з)2 _я (M + 'rfcl
л МЦМ + т) v ' 8 М2(Г°)2
Ds =(D]Oa)2 —
p v 8 (F9V
... 2<f0)2 , fn з\2 я (M + m) Г , (M + m)2Cp (M + 2m)cp
* + -------------------------------------------------------------
( = (Fo)2(M + m)2 2 я /D 3\2 Г (M + >n)4Cp
8ш М2с2ш л 8 1 lVa) М2сш
(M + trif(M—2m)cp
Мсш
tn2 М +т
(f°)2 ’
(2.205)
(2.206)
Dxp =---------!------,
8nM\M + m)(Foy Дог
где Д28 = Mma2nD\u3(M + tn)[ 16(F0)4 сш + (M + tn)3c2n2D2Va] + 4(М + tn) X
X a(F°)2[16(F0)4 сш + (М + /п)3л2ср2ПМ] +с2 [М2сш + (М + /п)2ср] X
X n3D3vl(M + tn)3 + (М + т)2 срсш16(Г<>)4 nD^3;
Д07 = Мта4(М + m)nDivl + 4(Л4 + m)a3(F°)2 + л (М + tri)2 a2CpDxvl +
+ (М + т)Мсша2D{vln + 4acm(F0)2 + срсш(Л4 + m)nDivl-,
D6 =(^а3)2^
Р о
(М + т? П + / М V Сш 1
(^°)2сш _ \ М + т ) ср J
Из формул (2.204) и (2.206) видно, что для указанных спектров
возмущения дисперсии ускорений и третьих производных перемещений
подрессоренных и неподрессоренных масс автомобиля не могут быть
меньше некоторых значений. Так как при нулевой скорости движения
Dz, Dz, D$9 Dy должны равняться нулю, то полученный результат
следует интерпретировать так: с ростом скорости движения ускорения
масс и третьи производные их перемещений быстро возрастают, дости-
гая уже при малых с/а указанных значений. Физически быстрое
возрастание этих параметров объясняется тем, что сила сухого трения
блокирует подвеску и резко меняет частоту собственных колебаний
подрессоренных масс: она становится близкой к частоте колебаний
подрессоренных масс на шинах. Вследствие этого резко увеличиваются
ускорения и третьи производные перемещений масс, а также обога-
щаются их спектры средними и высокими частотами (см. § 2). Резуль-
таты расчетов по формулам (2.204) и (2.206) хорошо совпадают
с результатами моделирования на АВМ в широком диапазоне скоростей
движения, за исключением малых скоростей. Погрешность, получаемая
при расчете по этим формулам при малых скоростях, является факти-
чески погрешностью статистической линеаризации нелинейного
элемента с характеристикой = F°sign 6Р.
166
(2.207)
Чтобы улучшить точность расчетов в области малых уровней
возмущения, целесообразно принять характеристику не идеального
нелинейного элемента типа «сухое трение», а характеристику линейного
элемента с ограничением
Fr = | Г°^р при I К
Р I ± f°= ±Г0б! При|6р|
При этом коэффициент Го выбирают так, чтобы уже при сравнитель-
но малых скоростях бр = di, Frp = F°.
Отметим, что такая характеристика лучше соответствует действи-
тельной характеристике трения в листовых рессорах (еще более
полная модель листовой рессоры и трения в ней описана в литерату-
ре [81]).
2. Если, как и в предыдущем случае, упругие характеристики
рессор и шин линейные, но демпфирование в подвеске осуществляется
не только силой сухого трения, но и силой сопротивления линейного
амортизатора с коэффициентом сопротивления Го, то уравнения (2.198)
также могут быть решены аналитически. При этом получаем
£р.э — £р>
£щ.Э --
(2.208)
Запишем выражение для гр.э при рассматриваемых вариантах спек-
тра микропрофиля дороги Ч
для спектра (2.116)
г __________2(FQ)2 J- 1/ - ^Уа[сш + ^(М + т)]
₽’Э ^Л[сш + ^ + т)]1 Г <f°)1 2
_у0/>0Уа[сш4-а>?(Л1+т)] ) .
2(fo)2 J ’ v '
для спектра (2.117)
2(F°)2 j
+
ЛГ о^оиасш
(F0)2
2(f0)2
(2.210)
для спектра (2.118)
р.э
2(f0)2
4-ти)
лг0Р{у3а(М + т) +
(F0)2 2(F0)2
Определив по одной из формул гр.э, можно рассчитать среднее
квадратическое параметров колебаний автомобиля при движении по
дороге с соответствующим микропрофилем.
3. Аналитическое решение системы уравнений (2.198) возможно
и в случае, когда упругие характеристики рессор и шин линейные,
а демпфирование в подвеске осуществляется силой сухого трения и
1 При спектрах (2.114) и (2.115) для нахождения гр.э необходимо решать кубичес-
кое уравнение, что возможно только в численном виде.
167
силой сопротивления несимметричного амортизатора без ограничитель-
ных клапанов. Тогда получаем
ср.э = Ср = const; = сш = const;
^Р.Э л I 1 / о > Щ8
2 |/ «а|р р у^Ср
Последняя формула в (2.212) определяет дополнительную
к статической постоянную составляющую деформации рессор, возни-
кающую из-за несимметричности характеристик амортизаторов. Если
обозначить r0 — 0,5(r2 -I- и), то формулы для определения гр.э совпадут
с формулами (2.205).
4. Когда при линейных упругих характеристиках рессор и шин
демпфирование в подвеске осуществляется силой сухого трения и силой
сопротивления нелинейного амортизатора с ограничительными кла-
панами, решение системы (2.198) хотя и нельзя получить аналитически,
но задача существенно упрощается. Методом последовательных при-
ближений нужно решать не всю систему (2.198), а только уравнение,
определяющее гр.э, в которое подставляется выражение для о8р. Тогда
уравнение принимает следующий вид:
Гр.3 = fz(M, т, оа, О0, сш, о)а, гр.э). (2.213)
Уравнение для определения математического ожидания деформаций
рессор запишется так:
т8р = т^/Ср. (2.214)
5. Для спектров (2.115) — (2.118) решение (2.198) может быть
существенно упрощено и тогда, когда линейной является только
характеристика шины. В этом случае уравнение для определения гр.э
может быть решено независимо от остальных уравнений системы
(2.198), которые решаются после решения (2.213).
На рис. 61 и 62 показаны результаты расчетов среднего квадрати-
ческого параметров колебаний автомобилей ЗИЛ-114 (задняя подвес-
ка) и ЗИЛ-131 (передняя подвеска). Расчеты выполнены по изложен-
ной выше методике. Здесь же даны результаты натурных испытаний
этих автомобилей, проведенных лабораторией подвески Московского
автомобильного завода им. И. А. Лихачева. Спектр микропрофиля
контрольных участков дорог был определен с помощью аппаратуры,
описанной в гл. 1.
Сравнение результатов аналитических расчетов с данными моде-
лирования на АВМ расчетной схемы, изображенной на рис. 36, показало
хорошее совпадение по всем параметрам. Как видно из рис. 61 и 62,
аналитические результаты согласуются и с экспериментальными как
качественно, так и количественно.
Следует отметить, что наибольшая разница получается по дефор-
мациям рессор при малых уровнях возмущений от дороги. Это связано,
по-видимому, с недостаточно точным описанием работы рессоры и силы
сухого трения. Для автомобиля, имеющего большое сухое трение
в подвеске, при движении по асфальтированному шоссе на малых
скоростях (до 40 км/ч) о8 , определенное расчетом, оказывается мень-
р
ше значения, полученного экспериментально, разница может дости-
гать 30%.
При рабочих скоростях движения автомобиля (20—70 км/ч
168 по булыжной дороге и 45—120 км/ч по асфальтированному шоссе)
Рис. 61. Изменение параметров колебаний задней подвески автомобиля ЗИЛ-114
в зависимости от скорости движения:
а и в — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии; б и г — асфальтированное шоссе;
------экспериментальные данные; -------- расчетные данные
Рис. 62. Изменение параметров колебаний передней подвески автомобиля ЗИЛ-131
в зависимости от скорости движения по булыжной дороге в удовлетворительном со-
стоянии:
—-----экспериментальные данные; ---------расчетные данные
формулы позволяют достаточно точно рассчитать среднее квадратиче-
ское параметров колебаний автомобиля (с погрешностью 15%).
Оптимальные значения параметров подвески Х;о могут быть опре-
делены по общей методике расчета «линейного» автомобиля. Для
этого, используя аналитические зависимости между параметрами авто-
мобиля kj и показателями его плавности хода Ч'ь необходимо решить
уравнения (2.89). Под оценкой степени влияния того или иного пара-
метра на колебания автомобиля подразумевается следующее: если
известно Xjo, обеспечивающее минимальное значение критерия плав-
ности хода Ч'г, то следует определить, в какой степени на него влияет
отклонение Х> от Xj0. Для выяснения последнего достаточно подставить
Ajo в выражение для рассматриваемого критерия Т; и найти его наи-
меньшее значение: = ЧМ^о)- Решая неравенство
ТДМ<^О(Х/О), (2.215)
где WfofXjo) —допустимое отклонение Ч7; от наименьшего значения
Чгго, можно определить допустимый разброс значений Xj.
Задача определения оптимальных параметров «линейного» автомо-
биля при ограниченных прогибах рессор и шин сводится к решению
системы уравнений • (2.96). При этом для определения Чгг, Osp и
в функции параметров подвески следует воспользоваться полученными
выше формулами. 1
§ 5. ВЛИЯНИЕ ДЕМПФИРОВАНИЯ В ПОДВЕСКЕ
НА КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Демпфирование колебаний в подвеске осуществляется за счет трения,
имеющего различную физическую природу. Различают следующие виды
трения:
1. Трение, зависящее от скорости относительных перемещений
подрессоренных и неподрессоренных масс (вязкое трение). Этот вид
трения в подвеске обеспечивается гидравлическими амортизаторами.
В подвесках с пневматическими упругими элементами аналогичные
по закону изменения силы трения создаются при дросселировании
проходов для воздуха.
2. Постоянное (сухое) трение, которое возникает между листами
рессор, в ее шарнирах, в шарнирах рычагов подвески и рулевого при-
вода. Различают трение покоя (статическое) и трение скольжения.
Иногда сухое трение принимают не постоянным, а пропорциональным
нагрузке. В § 4 этой главы было показано, что учет последнего
фактора не приводит к существенным поправкам при расчете парамет-
ров случайных колебаний автомобиля по сравнению со случаем, когда
трение принимается постоянным.
3. Межмолекулярное (внутреннее) трение, возникающее главным
образом в резиновых упругих элементах. Учесть этот вид трения при
расчете колебаний довольно трудно. В настоящее время существуют
различные методы описания внутреннего трения, и общего мнения по
этому вопросу еще не выработано. Например, Жюльен предлагает
считать силу трения в резине пропорциональной скорости ее деформа-
ций, при этом коэффициент пропорциональности принимают обратно
пропорциональным частоте колебаний. Межмолекулярное трение за-
метно влияет на рассеивание энергии колебаний автомобиля только
170 при наличии в подвеске больших объемов резины.
Четкую границу между действием трения различных видов
в подвеске автомобиля провести трудно, так как они действуют одно-
временно. Речь может идти лишь о преобладании одного из видов
трения в конкретном случае, и в соответствии с этим проводят расчеты.
Ниже исследуется влияние первых двух видов трения на колебания
автомобиля. При этом вначале рассматривается влияние вязкого тре-
ния на колебания «линейного» автомобиля, а потом — вязкого и сухого
трения на колебания «нелинейного» автомобиля.
Отметим, что некоторые положения и выводы описаны в технической
литературе [34, 35, 51, 52, 63, 82—98].
1. Влияние демпфирования на колебания
«линейного» автомобиля
Оптимальный коэффициент сопротивления амортизатора. Определим
оптимальный по плавности хода и безопасности движения автомобиля
коэффициент сопротивления амортизатора гр.о и оценим влияние на не-
го спектра микропрофиля дороги и скорости движения, для чего решим
уравнение (2.89).
Если спектр возмущающего воздействия от дороги имеет вид (2.114),
то для двухмассовой модели колебаний автомобиля уравнение (2.89)
имеет четвертый порядок относительно гр.о и его решение можно полу-
чить только численно для конкретных параметров системы. Для более
простого, но достаточно общего спектра вида (2.116) конечный резуль-
тат можно определить, если в качестве критерия плавности хода взять
дисперсию ускорений Dz* , или дисперсию третьей производной абсолют-
ных перемещений D- или их линейную комбинацию
Dy = aj)z + a2D'z. (2.216)
Для последнего наиболее общего случая, решая (2.89) с учетом
(2.121), получйхМ
р.Оф*
g1ffi[(M + m)cpcin+ <о^ср(Л1 + т)2+ <о‘/сшЛ12[ cp + ayncmcp[cm+<of(M+m)
а1тсш [“ I (М + т) + сш| + а2сш [ сш + “21т\
(2.217)
Если в (2.217) принять а2 = 0, то оптимальный по Dz коэффициент
сопротивления амортизатора
(2.218)
а при а{ = 0 по Dz
•р [сш+ ®1(Л1 + т)
сш(сш+“1т)
(2.219)
Так как частота coi пропорциональна скорости движения, то из
формул (2.217) — (2.219) следует, что оптимальные по плавности хода
значения коэффициента сопротивления зависят от скорости (увеличи-
ваются с. ее ростом), хотя рассматриваемая динамическая система
линейная. Линейность системы сказывается в независимости гр.о от
абсолютных значений ординат ЛДсо), т. е. от £>0. 171
Для других частных случаев спектров получим из (2.217):
для спектра (2.117)
a (М + т) + аупсш .
(Oj/n + Огсш) сш
^*р.о — Ср
М + т
Сш
(2.220)
(2.221)
(2.222)
для спектра (2.118)
а1тср [ СР (^ + от)2 + сшЛ(2] + а^сш СР (М + от)
а1тсш (М + т) + а2с^т
-]/” c2(M-j-m)2+ срсшМ2
' сш(М + т)
Гр’о г = срУ (М + т)/сш.
(2.223)
(2.224)
(2.225)
гр.о <Р =
Как видно из (2.200) — (2.225), при однородных спектрах возму-
щений оптимальные по плавности хода сопротивления амортизаторов
не зависят от скорости движения.
Анализ показывает, что для спектра (2.117) оптимальное по любо-
му из критериев плавности хода [включая и дисперсию преобразования
(2.71)] сопротивление амортизаторов меньше, чем для (2.118). Для
спектров (2.114) и (2.116) значение гр.Ог с ростом скорости изменяется
от rp.oi для спектра (2.117) до Гр*о f —для (2.118), т. е. оптимальный
коэффициент сопротивления линейного амортизатора при всех спектрах
и скоростях движения находится в пределах
rр.о i Гр.о i р.о 6 (2.226)
Из условия (2.226) могут выпадать только дороги, имеющие спектры
микропрофиля с ярко выраженным подъемом при каких-либо частотах.
Движение по таким дорогам сопровождается резонансными явлениями
при определенных скоростях. Поскольку водитель, изменив скорость,
всегда может не допустить возникновения статистического резонанса,
то расчет параметров автомобиля на такое возбуждение, по-видимому,
не является целесообразным.
Предельные значения оптимального по плавности хода коэффици-
ента сопротивления амортизатора различны при разных критериях
плавности хода. Например, для передней подвески автомобиля ЗИЛ-131
в случае, когда критерием плавности хода служит Dz, получаем rp,Q"z =
= 12,7 кгс-с/см и /*Р.о’г= 25,2 кгс-с/см. Если в качестве критерия взять
Dz’, то для этого же автомобиля rp.o i> 6,85 кгс-с/см и Гр.о’г =
= 12,7 кгс-с/см. Таким образом, верхнее предельное значение гр.о по D‘z
является нижним предельным значением по Dz . Это следует непосред-
ственно из сравнения формул (2.221) и (2.225). Если критерием плав-
ности хода служит линейная комбинация D?n Dz' или дисперсия
преобразования (2.71) абсолютных перемещений подрессоренных масс,
то в зависимости от того, что предпочтительнее — обеспечить меньшее
172 значение D-или меньшее значение D- получим значения, лежащие
между Гр.о г и Гр.о г ДЛЯ ДОрОГ СО Спектром (2.117) И между Гр.о г
и Гр.ог для дорог со спектром (2.118).
При всех изменениях скорости движения, спектров микропрофилей
дорог и критериев плавности хода значения гр.о г- находятся в пределах
* ... ' * *
р.о г р.о i р.о г-
(2.227)
Поэтому для обеспечения наилучшей плавности хода автомобиля
сопротивление амортизаторов следует регулировать в указанных
пределах.
Если зависимость критериев плавности хода от гр имеет зону опти-
мума, то, как следует из (2.119), деформации и скорости деформаций
рессор с увеличенйем сопротивления амортизаторов уменьшаются при
любом виде спектра Кд(со). В частности, при спектрах (2.116) — (2.118)
деформации и их скорости уменьшаются пропорционально 1/гр.
Зависимость деформации шин от гр имеет оптимум. При оптималь-
ном значении гр.О8ш дисперсия а следовательно, и дисперсия
нормальной реакции от дороги DN, а также вероятность отрыва колес
Ротр будут при прочих равных условиях минимальными, т. е. суще-
ствует оптимальный по безопасности движения коэффициент сопро-
тивления амортизаторов. Определить его можно, решая уравне-
ние (2.189) с учетом выражений для £>8Ш (см. § 4 этой главы).
Для общего вида спектра возмущения (2.114) уравнение (2.189)
имеет четвертый порядок и может быть решено только численно. Для
спектра (2.116) получим
^р.озш = У А29/А08, (2.228)
где Д2э = [(М + /п)3СрСш + M2mc^—2т(М + т)МерСщ] +
+ ©i {[(М + т)2ср—тМсш]2 + М2(М + /и)2 срсш);
Aos = (А1 + т)2 сш [сш + и? (М + т)].
Из (2.228), как частные случаи, получим следующие выражения
гр о8ш :
для спектра возмущения (2.117)
(М + т) с2 2Мтср М2тсш
сш (М+т) + (JW + m)2
(2.229)
для спектра возмущения (2.118)
»» Г [(М + т)2ср—тМсш]2 + М2(М + т)2срсш
Гр.о 6 — 1/ . \2. хОм)
₽ ш У (М + т)Зсш ' ’
Анализ формул (2.229) и (2.230) показывает, что гр.о 8Ш в зависимо-
сти от параметров автомобиля может быть как меньше, так и больше
гР.о8ш , причем при реальных значениях параметров разница между
гр.о8ш и гр.*08ш небольшая. Эти значения сопротивления амортизаторов
можно рассматривать как пределы изменения гр.о 8Ш , связанные с из-
менением va и Kq(<o), т. е. для всех скоростей движения и спектров 173
возмущения -от дорог в зависимости от параметров автомобиля будем
иметь
ГР-о 8Ш ГР ° 5ш < ГР-° 8ш
ИЛИ
ГР.° ГР.о 8Ш > Гр.о 8Ш-
(2.231)
Например, для передней подвески порожнего автомобиля ЗИЛ-131
24,1 кгс-с/см гр.о8ш$5 21,8 кгс-с/см. Оптимальный по прогибам шины
коэффициент сопротивления амортизатора для спектров (2.117) и
(2.118) не зависит от скорости va, а для спектров с перегибами зависит
от нее. Так как различие между Гр.о8ш и Гр.о8ш мало, то согласно
(2.231) диапазон изменения гР.о8ш при возможных изменениях va
и (со) гораздо уже, чем соответствующий диапазон изменения коэф-
фициента сопротивления, оптимального по плавности хода.
Сравнение сопротивлений амортизаторов, оптимальных по плавно-
сти хода грог- и безопасности движения Гр.О8ш , показывает, что на
дорогах со спектром (2.117) Гр.озш больше fp.Oz в 1,5—3 раза.
На дорогах со спектром (2.118), наоборот, fp.oz больше Гр.о8ш, но
в этом случае разница незначительна. Поэтому для автомобилей,
предназначенных для движения по грунтовым дорогам [спектр (2.118)],
следует выбирать сопротивление амортизаторов, ориентируясь на
плавность хода. При этом автоматически будет обеспечиваться и на-
дежный контакт колеса с дорогой.
Для характеристики демпфирования колебаний лучше использовать
не абсолютные значения коэффициента вязкого трения, а обобщенный
показатель — коэффициент апериодичности. Парциальные значения
коэффициентов апериодичности колебаний:
прдрессоренных масс
tn = 0,5rp//M^; (2.232)
неподрессоренных масс
Фн = 0,5 (гр + гш) /V т(ср + сш). (2.233)
В табл. 14 приведены коэффициенты апериодичности колебаний
подрессоренных масс, соответствующие оптимальным по Dz, D -,
значениям гр, вычисленным по формуле (2.232), а также этот коэф-
фициент для существующих подвесок. Расчетные параметры подвесок
и шин автомобилей приведены в табл. 15.
Анализ этих данных показывает, что у легковых автомобилей
оптимальный по ускорению коэффициент апериодичности колебаний
подрессоренных масс фп.о г = 0,15 4- 0,22 для спектра возмущения
(2.117) и фп.ог =0,5 4-0,55 для спектра (2.118). Для грузовых авто-
мобилей общего назначения фп.о'г = 0,24 4-0,3 и фп.о'г = 0,45 4-0,55.
У грузовых автомобилей повышенной проходимости, имеющих большие
неподрессоренные массы и меньшие жесткости шин по сравнению
с жесткостями рессор обычных автомобилей, указанные параметры не-
сколько больше: ф„.о г = 0,25 4- 0,4 и ф„.о г = 0,5 4- 0,6. Для всех
автомобилей и спектров возмущений оптимальные по третьей произ-
водной значения фп меньше оптимальных значений по ускорениям
174 в 2—4 раза.
Таблица 14
Коэффициенты апериодичности колебаний подрессоренных масс
оптимальные при оптимальные 3 при 4
Автомобиль Подвеска сущест- вующей к, «» = о0‘ Kq «о) = D{va (0
подвески по по D'z ПО/Ч по D” по Dz по ш
0,200 0,073 0,206 0,410 0,206 0,511 0,470
«Волга» ГАЗ-21 Передняя — 0,068 0,204 0,390 0,204 0,514 0,480
Задняя 0,200 0,089 0,194 0,531 0,194 0,485 0,451
— 0,071 0,186 0,473 0,186 0,498 0,462
«Москвич-407» Передняя 0,185 0,055 0,154 0,539 0,154 0,492 0,470
Задняя 0,189 0,082 0,198 0,474 0,198 0,497 0,456
0,270 0,061 0,176 0,459 0,176 0,501 0,469
«Победа» М-20В Передняя — 0,056 0,174 0,437 0,174 0,504 0,474
0,200 0,082 0,184 0,551 0,184 0,484 0.456
Задняя 0,066 0,177 0,488 0,177 0,496 0,464
0,350 0,057 0,173 0,450 0,173 0,502 0,472
ЗИЛ-НО Передняя 0,053 0,171 0,431 0,171 0,505 0,476
0,290 0,071 0,170 0,561 0,170 0,486 0,462
Задняя — 0,062 0,167 0,517 0,167 0,494 0,466
ЗИЛ-114 Передняя 0,283 0,037 0,140 0,453 0,140 0,502 0,482
Задняя 0,275 0,070 0,208 0,390 0,208 0,515 0,476
0,320 0,098 0,205 0,516 0,205 0,485 0,445
УАЗ-69 Передняя 0,312 0,093 0,203 0,505 0,203 0,488 0,447
0,312 0,085 0,164 0,721 0,164 0,458 0,494
Задняя 0,318 0,058 0,152 0,590 0,152 0,486 0,471
0,220 0,127 0,257 0,418 0,257 0,505 0,435
ЗИЛ-130 Передняя 0,210 0,120 0,254 0,412 0,254 0,508 0,441
0,300 0,139 0,233 0,535 0,233 0,464 0,428
Задняя 0,230 0,119 0,290 0,353 0,290 0,540 0,479
0,250 0,143 0,288 0,382 0,288 0,521 0,440
ГАЗ-66 Передняя 0,205 0,118 0,276 0,366 0,276 0,530 0,466
0,310 0,167 0,300 0,387 0,300 0,513 0,418
Задняя 0,320 0,109 0,273 0,359 0,273 0,533 0,475
0,175 0,156 0,290 0,392 0,290 0,512 0,424
ГАЗ-63А Передняя 0,175 0,140 0,282 0,387 0,282 0,518 0,439
Задняя 0,144 0,155 0,269 0,432 0,269 0,489 0,410
0,145 0,139 0,358 0,355 0,358 0,583 0,526
ЗИЛ-131 Передняя 0,480 0,450 0,133 0,123 0,245 0,240 0,466 0,457 0,245 0,240 0,487 0,493 0,424 0,431
ЗИЛ-157К Передняя 0,292 0,163 0,320 0,363 0,320 0,535 0,444
«Урал-375» Передняя 0,253 0,228 0,390 0,348 0,390 0,562 0,439
0,263 0,211 0,380 0,352 0,380 0,563 0,452
Примечание. В числителе указаны параметры автомобиля с полной нагрузкой, в знаменате-
ле — автомобиля без груза. 175
Таблица 15
Автомобиль Передняя подвеска Задняя подвеска
/»1, кгс-с2/м б * € V10-3’ кгс/м С1Ш- 10“3 * * * * * *’ кгс/м т2, кгс-с2/м М2, кгс-с2/м V10-3’ кгс/м С2Ш’10 3’ кгс/м
«Волга» ГАЗ-21 10 81 4,9 33 15 88 5,9 37
68 56 4,4
«Москвич-407» 8,2 57 3 36 и,з 55 4,7 36
«Победа» М-20В 9 78 4,8 44 14,5 90 5,3 49
67 58
ЗИЛ-110 132 5,1 48 23 145 4,9 51
14 114 ПО
ЗИЛ-114 п,з 150 4,8 65 20 156 10 65
УАЗ-69 74,5 ПО 18,5 108 8 102
20 67,5 12 92 50
ЗИЛ-130 55 190 ОО 140 105 520 84 300
170 2о 190 42
ГАЗ-66 53 238 оо 80 49 257 20 80
161 20 110
ГАЗ-63А 175 24 100 51 288 54 124
57 141 102 24
ЗИЛ-131 95 270 29 170
230
ЗИЛ-157К 71 200 30 100 — — — —
«Урал-375» 123 275 40 100
235
Примечание. В числителе указаны параметры автомобиля с полной нагрузкой; в знаменате-
ле — автомобиля без груза.
Как уже отмечалось, оптимальные по деформациям шин значения
^п.о зш для всех автомобилей при спектре (2.118) меньше, чем значения
'Фп.о г , оптимальные по ускорениям, но разница составляет не более
10—15%. Для спектра (2.117) фп.о8ш существенно больше фп.ог : Для
легковых автомобилей в 2—3,5, для грузовых — в 1,5—2,5 и для
автомобилей повышенной проходимости в 1,3—2 раза. Чем меньше
неподрессоренная масса по сравнению с подрессоренной, чем больше
жесткость шины по сравнению с жесткостью рессор (т. е. чем больше
разница между частотами собственных колебаний подрессоренных и
неподрессоренных масс), тем сильнее разнятся оптимальные по плавно-
сти хода и оптимальные по безопасности движения значения фп.
Изменение нагрузки на автомобиль мало влияет на оптимальные
значения фп. При спектре возмущения (2.117) с увеличением нагрузки
уменьшаются оптимальные, как по плавности хода, так и по безопас-
176 ности движения, значения фп. При этом различие коэффициентов апе-
риодичности колебаний подрессоренных масс, оптимальных по z, для
порожнего и полностью груженого автомобиля составляет всего 2—5%,
а различие этих коэффициентов, оптимальных по z и по дш, не превосхо-
дит 10—20%. При спектре возмущения (2.118) нагружение автомобиля
приводит к увеличению фп.ог и фп.о8Ш на 2—5% у легковых и на 5—15%
у грузовых автомобилей. Однако фп.ог и в этом случае уменьшается,
хотя и в меньшей степени, чем при спектре возмущения (2.117): всего
на 5—7%.
Допустимые отклонения оптимального коэффициента сопротивления
амортизатора. Оценим допустимые отклонения оптимального коэффици-
ента сопротивления линейного амортизатора, при которых изменения
критериев плавности хода и безопасности движения автомобиля не
превысят заданных пределов, т. е. оценим ширину зоны оптимума.
Если за критерий плавности хода принята Dz или Dz *, или их комби-
нация axD 'z+ a2Dz n если отношение критерия плавности хода Y к его
значению Vo при оптимальном коэффициенте сопротивления амортиза-
тора задано (474% = k > 1,0), то можно показать, что в случае
спектров возмущения (2.116), (2.117) <и (2.118) отношение гр/гр.оф
должно удовлетворять условию
k—VW^A < гр/Гр.оЧт< k + (2.234)
Аналогичное соотношение получим и для (коэффициентов сопротив-
ления амортизатора, при которых дисперсия деформаций шин будет
отличаться от ее значения при гр.озш в k раз.
Если допустить 5 %-ное отклонение среднего квадратического
показателей плавности хода и безопасности движения автомобиля от их
минимально возможных значений (принять k= 1,1), то: 0,64гр.Ог^
гр 1,56 гр.о i, т. е. допустимое уменьшение составляет 36%,
а увеличение 56%.
Таким образом, неравенство (2.234) показывает, что зона оптимума
зависимости критериев плавности хода и безопасности движения от
сопротивления амортизаторов достаточно широка и изменение гр
в больших пределах сравнительно мало влияет на эти критерии.
Следует отметить несимметричность этой зоны, проявляющуюся в том,
что уменьшение гр <по сравнению с гр.о может быть меньше, чем его
увеличение. Учитывая, что .при увеличении сопротивления амортизато-
ров значительно уменьшается деформация рессор, следует гр брать
больше, чем гр.о г.
Если критерием плавности хода служит дисперсия преобразования
(2.71) или опектр возмущения имеет вид (2.114), то и в этих случаях
пределы допустимого отклонения гр от гр.о как показывают расчеты,
в первом приближении определяются соотношением (2.234). Рис. 63
иллюстрирует рассмотренные положения применительно к подвескам
автомобиля ЗИЛ-114.
Следует отметить, что требования обеспечения максимальной
плавности хода и минимальной вероятности отрыва колес от дороги
(требование минимальной деформации шин) являются в большинстве
случаев противоречивыми [исключение составляет лишь движение ав-
томобиля по дороге со спектрбм возмущения (2.118) при критерии
плавности ходаО^]. Для удовлетворения этих требований сопротивление
амортизатора выбирают в диапазоне между значениями гр, определяе-
мыми из условий обеспечения максимальной плавности хода и надеж-
ного контакта колеса с дорогой. Например, для передней подвески 177
12 Заказ 3363
Рис. 63. Зависимость безразмер-
ных параметров колебаний перед-
ней подвески автомобиля ЗИЛ-114
от коэффициента апериодичности
колебаний подрессоренных масс
[Kg ((d) = Do^a(O“2]:
°6 ш/а06 ш» 2 °z ’ 3 ~
°'zпри (Oj-lOc—1;
5 аф/аОф ПРИ <•>» = 5 с-1
автомобиля «Москвич-407» (рис. 64 и 65) rp.Oz = 1,3 кгс-с/см и гр.О8ш =
= 4,8 кгс-с/см. Если принять гр = 2,1 4- 2,2 кгс-с/см, то при этом ог и
оъш увеличатся всего на 7—10% по отношению к их минимально
возможным значениям, а о8 уменьшится на 25—30% по сравнению
с существующими значениями.
Сравнение оптимальных коэффициентов апериодичности колебаний
подрессоренных масс с имеющимся у существующих автомобилей
показывает, что для легковых автомобилей принимаются, как правило,
значения фп, большие, чем это требуется по плавности хода для дорог
со спектром возмущения, близким к (2.117), на которых преимуще-
ственно эксплуатируются такие автомобили. Для грузовых автомобилей
(особенно автомобилей повышенной проходимости) значения фп
в 1,8—2 раза меньше оптимальных по ускоренияхм и деформациям шин
для дорог со спектром возмущения (2.118).
Зависимость оптимального коэффициента сопротивления амортиза-
тора от дорожных условий и других факторов. Рассмотрим, как следует
менять сопротивление амортизаторов при изменении дорожных условий,
скорости движения, подрессоренной массы и жесткости рессор, чтобы
обеспечить оптимальное по плавности хода и безопасности движения
демпфирование в системе.
Выше было показано, что изменение микропрофиля дороги и скоро-
сти движения существенно влияет на оптимальное по плавности хода
сопротивление амортизаторов. Чтобы проанализировать, как при этом
следует изменять гр, рассмотрим коэффициенты Xi и Х2, входящие
в выражения (2.114) для Кд(со) (см. гл. 1).
На асфальтированных и цементно-бетонных дорогах коэффициент
Х2, характеризующий частоту перехода (о2 = Х2уа спектра возмущения
от со*4 к со-2, настолько мал (Х2 0,1 м-1), что лишь при очень высоких
скоростях ( va ) частота собственных колебаний подрессоренных
масс <оо (<оо = 6-?-12 с-1) может приблизиться к частоте <о2 в спектре
возмущения от дороги. Другими словами, для таких дорог при реальных
скоростях движения современных автомобилей хорошим приближением
178 является спектр (2.116). Поэтому с ростом иа следует непрерывно
увеличивать rp от r*oi,' оптимального для спектра (2.117) до г’* G
оптимального для спектра (2.118). Этот переход следует проводить уже
со скорости
Va ^(®oAi), (2.235)
где X] — 0,5 4- 1,0 м-1 — дорожная частота, характеризующая переход
от спектра <о-2 к спектру о-4.
Так, если ©о = Ю с-1, то v* 10 4- 15 м/с. Такое же положение
наблюдается на ровных грунтовых дорогах с той разницей, что v*
в данном случае в 2—3 раза меньше, т. е. уже при v* 5 м/с сопро-
тивление амортизаторов следует увеличивать от оптимальных для
спектра а>~2 значений.
На неровных грунтовых дорогах о* =14-2 м/с. Так как на этих
дорогах скорости автомобиля обычно больше, то сопротивление аморти-
заторов следует выбирать из условий движения по дороге со спектром
о-4. Изменение его можно проводить лишь при скорости
Va* Х^оАг).
(2.236)
Рис. 64. Влияние коэффициента гр на дисперсию вертикальных ускорений передних
подрессоренных масс автомобиля «Москвич-407» при различных жесткостях рес-
сор (Кв(<о) = Dotfa<o~2]:
/ — ср= 42 кгс/см; 2 — ср - 30 кгс/см; 3 — ср=» 21 кгс/см; 4 — ср — 15 кгс/см; / — при гр—
“ rp.0z » ~~ Для серийной подвески
Рис. 65. Влияние коэффициента гр на дисперсию деформаций шин передних колес
автомобиля «Москвич-407» при различных жесткостях рессор [Х9(<о) = Л0^а(0“2]:
1 — сп— 90 кгс/см; 2 — с — 30 кгс/см; 3 — с_ - 15 кгс/см; / — при г_ - го пл ; II — для
р р р р
серийной подвески
12*
где Z>2 — дорожная частота, характеризующая переход от спектра со-4
к спектру со-2.
Так как для неровных грунтовых дорог Хг = 1,0 м-1, то при со© =
а= 10 с-1 у**> 10 4- 12 м/с, что для таких дорог является высокой
скоростью. Поэтому при движении по ним предусматривать изменение
гр с изменением скорости нецелесообразно.
Для булыжной дороги удовлетворительного качества (Xi «Хг)
коэффициент сопротивления амортизатора, выбранный из условия
движения по дороге со спектром со-2, менять практически не требуется.
Только в узком интервале малых скоростей (2 м/с < иа < 5 м/с), когда
спектр возмущений приближается к спектру «белого шума» (К9((о) =
= со°с = const), коэффициент сопротивления амортизаторов можно
уменьшить по сравнению с г*о . . При движении по дороге со спектром
возмущения, близким к белому шуму, оптимальное по z значение гр
равно г* о-- , а оптимальное по z очень мало — меньше г*о- в 2—4 ра-
за. Следует отметить, что при движении с такими скоростями будет
заметно сказываться сглаживающая способность шиньк поэтому спектр
возмущения будет ближе к спектру со-2, чем к со0. Для шоссе с очень
крупным булыжником (типа специальных трасс автополигонов) полоса
частот в спектре возмущения, в которой К9(со) = const, оказывается
более широкой, чем для булыжной дороги в удовлетворительном со-
стоянии. Расширение этой полосы происходит за счет высоких частот,
которые хорошо сглаживаются шиной, так что и в этом случае можно
считать, что сопротивление линейного амортизатора следует выбирать
исходя из спектра возмущения со-2 и изменять его с изменением оа
нецелесообразно.
Обобщая сказанное выше, можно утверждать следующее: для
обеспечения лучшей плавности хода «линейного» автомобиля сопротив-
ление амортизаторов желательно устанавливать в зависимости от
дорожных условий и скорости движения. Практически будут охвачены
все случаи, если предусмотреть изменение сопротивления амортизато-
ров в пределах между оптимальными значениями для спектров со-2
и со-4. Конкретные значения гр (рис. 66) в большой степени зависят
от принятого критерия плавности хода. Если, как этого требует суще-
ствующая методика оценки плавности хода, в качестве последнего
принято среднее квадратическое ускорений подрессоренных масс, то
изменения гр должны обеспечивать фп = 0,25 -4- 0,6 для грузовых авто-
мобилей и фп = 0,15 -4- 0,5 чля легковых.
Если критерий плавности хода учитывает и третью производную
перемещения подрессоренных масс, то диапазон регулирования сопро-
тивления амортизаторов должен быть значительно (в 2—2,5 раза) рас-
ширен в сторону меньших значений гр.
Отметим, что, как следует из (2.231), для обеспечения оптимальных
по безопасности движения (по деформациям шин) гр не требуется
регулирования сопротивления амортизаторов из-за изменения дорож-
ных условий и скорости движения. Оптимальный по z (плавности хода)
коэффициент сопротивления на дорогах со спектром со-4 будет опти-
мальным и по бш (по безопасности движения). На дорогах со спектром,
отличным от со-4, требования плавности хода и |безопасности движения
становятся противоречивыми, так как они приводят к существенно
различным значениям гр. Поэтому приходится принимать компромис-
сное решение и выбирать коэффициент сопротивления амортизаторов
180 в зависимости от того, что важнее: обеспечить оптимальную плавность '
Рис. 66. Зависимость оптимальных
коэффициентов гр.о от скорости дви-
жения v& автомобилей по дороге со
спектром возмущения К9(<о) =
— Do^a((O2 + (О 2 )<о~4:
------ задняя подвеска ЗИЛ-131;
------задняя подвеска ЗИЛ-114
хода или безопасность движения. С ростом скорости на дорогах со
спектром (2.116) это противоречие уменьшается (рис. 66).
Для получения оптимального по плавности хода коэффициента гр
при изменении скорости движения требуется непрерывное регулирова-
ние сопротивления амортизаторов. Однако, учитывая ширину зон
оптимума, можно вместо непрерывного регулирования применять более
простое в наполнении дискретное регулирование. Достаточно иметь
две-четыре ‘ступени регулирования амортизатора. Переключать со
ступени на ступень надо лишь при значительном изменении скорости
движения или спектра дороги, как это осуществляется у некоторых
автомобилей высшего класса [82, 86].
Андлмз формул для Гр.о показывает, что изменение подрессоренных
масс мало влияет на оптимальные по ускорениям подрессоренных масс
и по деформациям шин коэффициенты апериодичности их колебаний
при всех спектрах возмущений, так как всегда М > т. Оптимальные по
третьей производной значения ф**^ для спектра возмущения (2.118)
также мало зависят от М. При спектре (2.117) ф*.^ изменяется
пропорционально 1/ ]ЛЛ4.
Большей частью для обеспечения оптимального демпфирования
в подвеске «линейного» автомобиля с изменением М сопротивление
амортизатора надо менять пропорционально "ИМ1 [84, 85]. При этом
на дорогах со спектром, близким к (2.117), деформации рессор будут
4/------------------------------
изменяться пропорционально у Л1, а со спектром, близким к (2.118),—
4/-------------------
пропорционально у М3.
Таким образом, при постоянных коэффициентах апериодичности
колебаний подрессоренных масс с их увеличением необходимо увели-
чивать динамический ход подвесок, чтобы не увеличивалась вероятность
их пробоя.
1 Если критерием плавности хода служит и спектр возмущения от дороги
имеет вид (2.117), то г» не зависит от М. 181
z
Рис. 67. Двухмассовая расчетная
схема, учитывающая конечную жест-
кость крепления амортизаторов к ку-
зову автомобиля
Если при изменении подрессоренных масс жесткость ср упругого
элемента меняется так, что частота их колебаний соо = ср/Л1 == const,
то для достижения оптимального демпфирования в подвеске необходимо
значительней менять гр. Оптимальный по плавности хода коэффициент
сопротивления амортизаторов должен быть пропорционален Мп, где
1 п 1,5. В этом случае с увеличением М деформации рессор на
дорогах со спектром возмущения, близким к (2.117), будут даже
уменьшаться, а на дорогах со спектром, близким к (2.118), будут воз-
растать, но в меньшей степени, чем при постоянной ср. Отметим, что
оптимальные по безопасности движения гр изменяются при рассматри-
ваемом изменении ср и М в ту же сторону, что и оптимальные гр по
плавности хода, но степень их изменения значительно меньше.
Влияние конструкции крепления амортизаторов на колебания. При
анализе влияния на колебания автомобиля сопротивления амортиза-
торов принимается, что последние жестко прикреплены к подрессорен-
ным и неподрессоренным массам. При наличии резиновых втулок
в монтажных узлах амортизаторов это крепление не является абсолют-
но жестким: жесткость втулок свт = (3-4-5) сш. В связи с этим
возникает вопрос, как резиновые втулки влияют на колебания автомо-
биля. Кроме того, интересно оценить возможность улучшения плав-
ности хода и безопасности движения автомобиля' путем подобного
изменения конструкции. Отметим, что речь идет о низкочастотных
колебаниях (0—20 Гц), а не о высокочастотных вибрациях, которые
эффективно поглощаются такими резиновыми втулками.
Для оценки влияния конечной жесткости крепления амортизаторов
к кузову примем расчетную схему, изображенную на рис. 67. В этом
случае дисперсии параметров колебаний будут следующими:
для спектра возмущения (2.117)
2
п - - D°v* Г( <М+ОТ)СР
г 2 L\ М2гр
ср rpgui
Л42тсвТ
(2.237)
D*
182 р
Dova Г М + т грсш I * *•
~2 "г с2 ’
*• ГР свт J
D&
Ш 2
р
4
т ( Гр(Л! + т)2 (M + m)3Cp 2m(M+m)cp
М2сш Л12грСщ Л1грсш
ГрСш Vp (М + т/ / Ср \ (М + 2m) гр (ср + свт) ] )
—2----1----7Z-----I •
Свт Л1тСщСвт Свт
(2.237)
М&
для спектра возмущения (2.118)
= Р1ра Г( ср(^ + т)2 Ср Гр(М + т) \ !
z 2 [ \ ЛР/рСщ Гр М2 /
(М + т)гр ср s ср V
( ' 4" 2 I \
Свт \ С’вТ / _
Ср (М 4- т) грСш \ грСрСш / Ср
+ № J + Л12с2т +
D]»3 Г/(М + т)2 ЛР\ гр(ЛЦ-т)
2 L \. сосш госо/ ^2^
гр
Dz
М2
2
рсш
РСР
(2.238)
Diva (Г т2 (М + т)2(М—2т)ср (М + т)4с2
2 (|урсш Мгрс2ш Л12с^гр
(М + т)3Гр 1 г тгр 2т (М + т)гр(ср + свт)
М2 с2 с2 Мс с2
11 Ш J L Свт 2К1СШСВТ
(M + m)3rpCp / ср
м2сшсвт \ Свт /J
Дисперсии параметров колебаний для более общего спектра
возмущения (2.116) можно получить из (2.237) и (2.238). Анализ
формул (2.237) и (2.238) показывает, что любое уменьшение жесткости
крепления амортизаторов отрицательно сказывается на ускорениях,
третьих производных перемещений подрессоренных масс и деформаци-
ях рессор. Оптимальным значением является сВт = 00 [99]. Этот вывод
справедлив при обычной схеме подвески для всех дорог и скоростей
движения. Что касается деформаций шин (вероятности отрыва колес
от дороги), то, используя нежесткое крепление амортизаторов, можно
несколько уменьшить £>зш, т. е. повысить безопасность движения, под-
бирая определенные соотношения между параметрами системы (ср, сш,
^вт» р) •
Проведенные расчеты колебаний автомобиля ЗИЛ-114 подтверж-
дают сделанные выводы: использование резиновых втулок в монтаж-
ных узлах несколько ухудшает плавность хода автомобиля, но
уменьшает вероятность отрыва колес от дороги вследствие уменьшения
диапазона частот, при котором происходит отрыв, и смещения этого
диапазона в сторону больших частот возбуждения [91].
Влияние гр на пробои подвесок и угловые колебания автомобиля. Под
вероятностью пробоя подвески «линейного» автомобиля будем
понимать вероятность превышения деформацией рессоры некоторого
значения X, соответствующего ходу подвески «нелинейного» автомобиля
до ограничителей. Следует иметь в виду, что установка ограничителей
хода подвески может изменить эту вероятность, так как система станет
нелинейной. Если ход до ограничителей у подвески автомобиля доста-
183
точно большой, то вероятность пробоя Рпроб невелика и оценка ее по
линейной системе будет достаточно точной.
Оценить Рпроб можно по формуле (2.50)
/\Роб[^>*] = 0,5Г1-Ф
X \
8Р /
(2.239)
Так как А, 2,5 <тзр» то, используя асимптотическое разложение для
интеграла вероятностей
X
Ф(х)=-^Ге-^«
V Я J
о
+ ... , (2.240)
X У я
можно оценить Рпроб с погрешностью не более 10—13% по формуле
а8
^проб (^р Л- ехр
Л» у zJt
A2 I
Если оценивать пробиваемость подвески по
времени (в секунду), то в соответствии с (2.53)
(2.241)
числу ударов в единиц)'
8р 1 Г А,2 1
п =-------ТГ ехр--------Т~ '
«8 2 2а8
р L р J
Учитывая формулы для Dgp и Dgp
получим
(2.242)
при спектре возмущения (2.117)
У., 1
—-----ехр
М + т 2 л
А2гр -
Dova(.M + m) J’
(2.243)
при спектре (2.118)
(М + т)срсш j
(М + /п)2ср + Л42сш 2л
Х2гр
(М + т)2ср + М?сш
£рСщ
(2.244)
О^а3
На рис. 68 приведены рассчитанные по формулам (2.243) и (2.244)
значения п для передней подвески автомобиля ЗИЛ-130. Как видно,
увеличение сопротивления амортизаторов приводит к значительному
уменьшению числа пробоев подвески. При этом уменьшение п идет
экспоненциально. Следует отметить, что особенно эффективно увели-
чение гр на дорогах со спектром, близким к со-2. На дорогах со спектром,
близким к <о-4 (грунтовые дороги), влияние гр на п меньше. Например,
у автомобиля ЗИЛ-130 увеличение сопротивления передних аморти-
заторов в 1,5 раза снижает п на «булыжной дороге в 26 раз, а на
грунтовой — только в 4,5 раза. Это объясняется тем, что на дорогах со
спектром (о-4 существенно меньше высокочастотных составляющих, чем
на дорогах со спектром ш-2. Поэтому при одинаковых прогибах рессор
скорости относительных перемещений подрессоренных и неподрессо-
ренных масс (и силы в амортизаторе) во втором случае будут
значительно больше, чем в первом. Одинаковые демпфирующие
силы получаются во втором случае при меньших деформациях рес-
сор, чем в первом.
Таким образом, для автомобилей, предназначенных для эксплуа-
тации по грунтовым дорогам, или для автомобилей с низкой частотой
184
Рис. 68. Зависимость числа пробо-
ев п в секунду передней подвески
автомобиля ЗИЛ-130 от различных
параметров:
/ — от коэффициента сопротивления а мор*
тизаторов Гр, грунтовая дорога. К^(<о) -
— D|Ua(o-« при Di - 5-10-3 м-‘ и оа—
= 40 км/ч; 2 — от г, булыжная дорога.
А’а(<о) - D0va<o-2 при Do — 4,8-10-4 м и
иа - 70 км/ч; 3 — от динамического хода
подвески бд. грунтовая дорога, -
— при Dj — 5«10-3 м-’ и va —
- 70 км/ч
собственных колебаний следует, по-видимому, вводить регулирование
сопротивления амортизаторов в зависимости не от скорости относи-
тельных перемещений масс, а от перемещений, снижая тем самым веро-
ятность пробоя.
Для анализа влияния сопротивления амортизаторов на угловые
колебания автомобиля в продольной плоскости воспользуемся фор-
мулой, связывающей дисперсию продольных угловых ускорений Da
с дисперсиями ускорений точек кузова над осями (см. § 2),
% = (D2i + D- -2рг;г.аг1Ог;)/£2, (2.245)
где L — база автомобиля.
Расчеты показали, что коэффициент корреляции ускорений точек
кузова над осями pi; z2 весьма мало зависит от демпфирования в под-
весках и определяется соотношением частот собственных колебаний
передних и задних подрессоренных масс, скоростью движения автомо-
биля и его компоновочными параметрами. При этом в большинстве
случаев для обычных автомобилей, имеющих 0,7 е 1,3, коэффи-
циент pi, ij < 0. Только при Va 30 км/ч pi, i2 может быть положи-
тельным, а именно: pi; у2 0,2 4- 0,3.
Отрицательные значения коэффициентов корреляции показывают,
что имеется тенденция к различию в знаках ускорений над осями
подвесок, т. е. к тому, что мгновенные центры колебаний будут нахо-
диться преимущественно внутри базы автомобиля, а не вне ее, как
это получается при pi, i2 > 0.
На рис. 69 приведены зависимости pi;i; от va, экспериментально
полученные А. А. Барановым для порожнего автомобиля ЗИЛ-130.
Для обычных автомобилей зависимость угловых ускорений от
сопротивлений амортизаторов аналогична зависимости от них верти-
кальных ускорений, т. е. имеется оптимальное по Оа сопротивление гр, 185
Рис. 69. Зависимость коэффициента корре-
ляции от скорости движения порожнего ав-
томобиля ЗИЛ-130 при различных статиче-
ских прогибах подвесок:
1 — бр! в 67 мм. бр2“ 35 мм; 2 — мм’
бр2 - 35 мм; 3 — 6р1 — 67 мм, бр2= 70 мм
Рис. 70. Зависимость среднего квадратического продольных угловых ускорений ку-
зова автомобиля ЗИЛ-114 от коэффициентов сопротивления амортизаторов
(гР|С и гр2с — коэффициенты сопротивления серийных передних и задних амортиза-
торов):
а — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии, va — 50 км/ч; б — асфальтированное
шоссе, иа - 120 км/ч; 2 - гр2 - 3 - - 1 . бг^; 4 - - 2^; 5 -
“ ГР1 = kr^\C* Гр2 “ krp2C
практически совпадающее со значением, оптимальным по Dz г Влияние
изменения коэффициента сопротивления на продольные угловые уско-
рения автомобиля ЗИЛ-114* показано на рис. 70.
При больших коэффициентах распределения подрессоренных масс
(е > 1,5), характерных для автобусов и некоторых автомобилей спе-
циального назначения, продольные угловые колебания имеют низкую
частоту, и поэтому сопротивления амортизаторов, оптимальные по£>а,
будут больше, чем это требуется для обеспечения минимальных верти-
кальных ускорений над осями.
Влияние сопротивления амортизаторов на поперечные угловые
ускорения автомобиля можно оценить в первом приближении по форму-
лам (2.135) — (2.137), а для определения оптимальных значений гр
необходимо решить уравнения четвертого порядка относительно гф =
= rpdp (гДе — расстояние между рессорами). Выполнить это можно
* При проведении этих расчетов на АВМ модель колебаний автомобиля была не-
линейной, поэтому четко видно большое влияние уровня возмущений на оптимальные
значения rpoi. Характеристики амортизаторов изменяли так, что соответственно изме-
нялись сопротивления всех участков характеристик, т. е. как бы увеличивалось или
уменьшалось число амортизаторов.
186
только при конкретных значениях параметров, поэтому рассмотрим
качественный характер зависимости Оф от гф . Если коэффициент
корреляции по частотам р(со) близок к нулю, что справедливо лишь
для разбитых асфальтированных и булыжных дорог, поверхность
которых имеет коэффициент анизотропности с, близкий к 1,5—2
(см. гл. 1), то выводы, которые были сделаны для зависимости D z от
Гр, можно автоматически перенести на зависимость D ф от гф, проведя
соответствующую замену параметров системы.
В большинстве случаев коэффициент анизотропности с > 4 4- 5,
поэтому коэффициент корреляции по частотам не равен нулю и спектр
возмущений поперечных угловых колебаний отличается от спектра
возмущения вертикальных. Множитель pi (со) = -— в формуле
(О2 + (Од
(2.134) учитывает это обстоятельство. Поэтому требования по демпфи-
рованию поперечных колебаний кузова автомобиля существенно
отличаются от требований по демпфированию его вертикальных и
продольных угловых колебаний. Чтобы пояснить это, будем считать
сначала, что спектр возмущения от одного сечения поверхности дороги
имеет вид со-2. При с = 5иВ=2м только при малых скоростях дви-
жения автомобиля (иа<5-г-7 м/с) частота среза wo = (cva)/B
в спектре K&qfa) возбуждения поперечных угловых колебаний будет
меньше частоты собственных поперечных колебаний автомобиля
(<Ьф ~ 10 4- 15 с-1), и этот спектр можно будет считать соответствую-
щим со-2. С увеличением скорости движения этот спектр будет прибли-
жаться к спектру белого шума, и при уа > 20 м/с вся амплитудно-
частотная характеристика автомобиля по поперечным угловым
ускорениям (fa) будет лежать слева от частоты среза соо, т. е. в зоне
спектра белого шума.
Таким образом, при малых амортизаторы должны обеспечивать
на данной дороге одинаковые коэффициенты апериодичности попереч-
ных и вертикальных колебаний кузова. С ростом уа и приближением
возмущения к спектру белого шума сопротивление амортизаторов
должно изменяться так, чтобы коэффициенты апериодичности имели
значения, характерные для вертикальных колебаний при таком спектре
возмущений, т. е. убывали.
Такое же положение получается, когда Kqfa) имеет вид со-4; в этом
случае при малых уа оптимальный по ф коэффициент апериодичности
поперечных угловых колебаний равен оптимальному коэффициенту по г.
С ростом иа он должен уменьшаться (а не оставаться постоянным)
и приближаться к коэффициенту апериодичности вертикальных
колебаний кузова, оптимальному по г, но для спектра со-2, т. е. к гр * o z
При спектре (2.117), когда оптимальный по z коэффициент аперио-
дичности вертикальных колебаний кузова увеличивается с ростом
от Фпог Ао Фпо'й » оптимальный по ф коэффициент апериодичности
поперечных угловых колебаний кузова должен практически оставаться
постоянным и соответствовать ф*ог . Таким образом, коэффициент
апериодичности поперечных угловых колебаний кузова, оптимальный
по ф, должен быть в большинстве случаев меньше оптимального по z
и с повышением скорости движения оставаться постоянным или умень-
шаться. В этом отношении современные амортизаторы имеют харак-
теристики, более соответствующие оптимальному демпфированию
поперечных угловых колебаний, чем демпфированию вертикальных. 187
Рис. 71. Зависимость среднего квад-
ратического поперечных угловых ус-
корений кузова автомобиля «Моск-
вич-408» от скорости движения по
булыжной дороге при различных со-
противлениях амортизаторов:
1 Гр1л “ Гр1п Гр1С* Гр2л “ Гр2п “ Гр2С»
2 ~ Гр1л “ °’ Гр1п " Гр1С* Гр2л гр2п Гр2С»
3 ~~ Гр1Л " rpln “ rpiC* Гр2л °* Гр2п " Гр2С»
4 Гр1л " Гр2л “ °* Гр1п " Гр1С’ Гр2п — Гр2С
Что касается ширины зоны оптимума зависимости £>ф(гф), то выводы по
Dz' (гр) справедливы и для данного случая.
На рис. 71 показано влияние выхода из строя амортизаторов на.
поперечные угловые колебания автомобиля «Москвич-408». Если
отсутствует один передний амортизатор, то при движении автомобиля
по булыжной дороге оф возрастает на 10—15%• При отсутствии обоих
амортизаторов с одной стороны оф и <уФ увеличиваются в 2—3 раза.
Расчеты колебаний автомобиля, выполненные на АВМ, проводились по
пространственной модели с учетом всех нелинейностей динамической
системы.
2. Влияние нелинейного демпфирования
на колебания автомобиля
Типичная характеристика демпфирования показана на рис. 59. Она
соответствует совместному действию силы сухого трения
F° = F°sign6p (2.246)
и силы вязкого трения в амортизаторе.
Характеристики амортизаторов имеют различный вид.. На них
выделяют начальный участок (S2 бр 6i), соответствующий тече-
нию жидкости через калиброванные отверстия, и примыкающие к нему
клапанные участки (бр < д2 и 6j>>6i), характеризующие течение
жидкости через разгрузочные клапаны.
На начальном участке характеристики сила в амортизаторе связана
со скоростью движения штока относительно корпуса амортизатора
(т. е. со скоростью деформаций рессор, если характеристики рессор и
амортизаторов приведены к колесу) следующим образом:
ГГр = г'б£\ (2.247)
где г' — коэффициент, характеризующий сопротивление начального
188 участка.
На клапанном участке эта зависимость имеет вид
Frp = г' 6? + г" (бр—, (2.248)
где г" — коэффициент, характеризующий сопротивление клапанного
участка; di — скорость, соответствующая началу открытия клапана.
Характеристики амортизаторов принято делить в зависимости от
показателя степени т на линейные (т = 1), прогрессивные (т > 1) и
регрессивные (m< 1). В зависимости от соотношения коэффициентов
сопротивления на ходах сжатия Г\ и отбоя г2 различают характеристики
односторонние (и = 0 или г2 = 0), двусторонние (и #= 0, г2 =/= 0),
симметричные (и = г2) и несимметричные (г{=£г2). Кроме того, ха-
рактеристики могут иметь или не иметь клапанный участок, на который
распространяются признаки симметричности и прогрессивности [86].
Для задних подвесок грузовых автомобилей наиболее типичной
характеристикой демпфирования является характеристика (2.246), так
как в большинстве случаев гидравлические амортизаторы на эти
автомобили не ставятся.
Зависимость эквивалентного коэффициента сопротивления от уров-
ня возмущений. Приведенный выше анализ влияния демпфирования на
колебания «линейного» автомобиля не отражает зависимости эквива-
лентного коэффициента сопротивления от уровня действующих
возмущений. На рис. 72 показано влияние уровня возмущений на
эквивалентный коэффициент српротивления подвески гр.э для автомо-
билей ЗИЛ-131 и ЗИЛ-114. Как видно, гр.э для задней подвески
Рис. 72. Зависимость эквивалентного коэффициента сопротивления демпфирующих
элементов подвески от скорости движения:
а — передняя подвеска автомобиля ЗИЛ-131; б — задняя подвеска автомобиля ЗИЛ-114;
----г— булыжная дорога в удовлетворительном состоянии;--------асфальтированное шоссе;
/ — Гр.э для всех демпфирующих элементов подвески; 2 — составляющая Гр э от силы сухого
трения; 3 — составляющая Гр Э от силы вязкого трения
Рис. 73. Зависимость эквивалентной жесткости шин и рессор от скорости движения
автомобилей по различным дорогам (ср.Ст и сш.ст — жесткости рессор и шин в точ-
ках упругой характеристики, соответствующих статическим деформациям):
а — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии; б — асфальтированное шоссе;
------ задняя подвеска автомобиля ЗИЛ-114;----------передняя подвеска автомобиля ЗИЛ-13!
ЗИЛ-114 уменьшается на 40% в случае увеличения va с 60 до 120 км/ч
при движении по асфальтированному шоссе и с 25 до 70 км/ч при
движении по булыжной дороге. Абсолютное значение гр.э для булыжной
дороги почти в 3 раза меньше, чем для асфальтированного шоссе (при
одинаковых va). Еще больше меняется эквивалентный коэффициент
сопртивления передней подвески ЗИЛ-131: с увеличением va с 20 до
70 км/ч он уменьшается почти в 3 раза.
Для сравнения рассмотрим, как при тех же условиях изменяется
эквивалентная жесткость рессор и шин (рис. 73, а и б). Например,
в случае движения по асфальтированному шоссе сш.э задней подвески
автомобиля ЗИЛ-114 уменьшается всего на 1% при увеличении va до
120 км/ч, а в случае движения по булыжной дороге сш.э задней подвески
автомобиля ЗИЛ-114 и передней автомобиля ЗИЛ-131 снижается на
4—6% при повышении va до 70 км/ч. Эквивалентная жесткость перед-
них рессор автомобиля ЗИЛ-131 постоянна при всех рассматривавшихся
скоростях движения по дорогам обоих типов, а для задней подвески
автомобиля ЗИЛ-114 увеличение ср.э при больших уровнях возмущения
довольно заметно: 10% на асфальтированном шоссе при va = 120 км/ч
и 20—25% на дороге с булыжном покрытием при va = 70 км/ч.
Это объясняется тем, что ход сжатия подвески до упора в ограничи-
тель у автомобиля ЗИЛ-114 всего 45 мм, а у автомобиля ЗИЛ-131
90 мм. Но в целом можно считать сш.э = const и ср.э = const. Естествен-
но, что это заключение не может быть автоматически перенесено на
все случаи движения. Например, для передней подвески того же
автомобиля ЗИЛ-114 из-за недостаточного хода отбоя эквивалентная
жесткость подвески на 25—40% больше жесткости основного упругого
элемента (торсиона) уже при рабочих скоростях движения (80—
100 км/ч) по асфальтированному шоссе.
Таким образом, если оценивать нелинейность элементов подвески
190 по степени изменения эквивалентного параметра, то нелинейность
демпфирующих элементов оказывается более существенной и ее
непременно надо учитывать при расчетах колебаний современных ав-
томобилей.
В том случае, когда демпфирование осуществляется только силой
сухого трения, гр.э уменьшается с ростом уровня возмущений еще
быстрее, чем в рассмотренном примере совместного действия сухого и
вязкого трения. Это непосредственно следует из формул для гр.3, выве-
денных в § 4 гл. 2. Например, на дорогах со спектром (2.117) гр.э
меняется обратно пропорционально Do и ца, а на дорогах со спектром
(2.118) — обратно пропорционально и v%.
Из рис. 72, а и б следует также, что составляющая гр.э от силы
сухого трения изменяется в большей степени, чем составляющая от
силы вязкого трения: последняя меняется в 1,25—1,6 раза, а первая
в 2—3 раза. Приведенные данные показывают, что пренебрегать, как
иногда рекомендуют (87], действием силы сухого трения на колебания
автомобиля нельзя.
При всех рассматриваемых иа и категориях дорог составляющая гр.3
от силы сухого трения не только соизмерима с составляющей от силы
вязкого трения, но при малых возмущениях заметно превосходит ее
даже для автомобиля ЗИЛ-114, у которого приняты специальные меры
для уменьшения силы сухого трения в подвеске. Из-за совместного
действия сил сухого и вязкого трения коэффициент гр.э весьма часто
больше полусуммы коэффициентов сопротивления амортизатора при
ходе отбоя и сжатия и только при больших уровнях возмущения при-
ближается к ней. Поэтому расчет колебаний автомобиля, при котором
пренебрегают силой сухого трения и принимают гр.э = 0,5(fi 4- г2), дает
в большинстве случаев неточные результаты, особенно по деформациям
рессоры.
Отметим, что демпфирование, осуществляемое совместно силами
сухого и вязкого трения, значительно эффективнее. Это видно из
анализа формул (2.205) — (2.207) для гр.э и может быть легко объясне-
но: при вязком трении более эффективно гасятся колебания с большой
амплитудой (их амплитуда уменьшается в геометрической прогрес-
сии), а при сухом трении — колебания с малой амплитудой. При этом
эквивалентное сопротивление с изменением уровня возмущений изме-
няется в относительно меньших пределах, чем при действии только
силы сухого трения. Например, если спектр микропрофиля имеет вид
(2.116), то гр.э при действии только силы сухого трения изменяется
обратно пропорционально и", где 1 п 3, а при совместном дей-
ствии сил сухого и вязкого трения степень уменьшения гр„э с ростом иа
меньше (см. рис. 72, а и б).
В принципе из-за большой зависимости гр.э, соответствующего силе
сухого трения, от уровня действующих возмущений, а также из-за
блокировки подвески при малых возмущениях и нестабильности силы
сухого трения желательно вообще избегать сухого трения, заменив его
вязким трением. По такому пути идут конструкторы в первую очередь
легковых автомобилей. Поэтому в последнее время были проведены
исследования по распределению сухого трения между элементами под-
вески с тем, чтобы принять меры для его стабилизации и уменьшения
[100]. Но, как следует из приведенного выше, даже при принятии
специальных мер у автомобилей высшего класса влияние сухого трения
на колебания автомобиля все-таки очень велико, поскольку даже в этом
случае сила сухого трения составляет не менее 5—7% статической
нагрузки на подвеску [83, 84]. Особенно велико влияние сухого трения
191
у грузовых автомобилей, где демпфирование осуществляется в основ-
ном И'М.
Демпфирующая способность существующих амортизаторов значи-
тельно меняется с изменением уровня возмущений. При этом гр.о
в любом случае не может стать меньше 0,5(п + г2), если отсутствуют
разгрузочные клапаны, или меньше 0,5(г3 + г4), если они имеются. Так
как (fl + г2) > (г3 + г4), то очевидно, что установка клапанов увели-
чивает зависимость гр.э от уровня возмущений.
Если характеристика амортизаторов регрессивная (т < 1 и п < 1),
то зависимость гр.э от уровня возмущений еще больше возрастает и
приближается к зависимости, характерной для сил сухого трения:
пр.и малых уровнях возмущения гр.э будет большим, при их увеличении
уменьшается. При совместном действии сил сухого и вязкого трения
эта закономерность проявляется еще резче. Если характеристика
амортизатора прогрессивная (т > 1, n> 1), то с ростом возмущений
гр.э прогрессивно возрастает. При совместном действии сил сухого
и вязкого трения эквивалентный коэффициент сопротивления всех
демпфирующих элементов изменяется с изменением уровня возмущений
в меньшей степени, так как при больших возмущениях уменьшение
демпфирования силой сухого трения компенсируется увеличением
демпфирования силой вязкого трения. При малых возмущениях
демпфирующее действие амортизатора с прогрессивной характеристи-
кой несколько меньше, чем у амортизатора с линейной характеристи-
кой, и значительно меньше, чем у амортизатора с регрессивной харак-
теристикой [86].
Эти выводы можно подтвердить точными аналитическими
зависимостями, связывающими эквивалентный коэффициент сопротив-
ления демпфирующих элементов подвески со средним квадратическим
скоростей деформации рессор о5 (скоростей относительных переме-
щений подрессоренных и неподрессоренных масс). Если в амортизаторе
отсутствуют разгрузочные клапаны, а его характеристика имеет вид
(2.247), то формулы получаются простыми. Проведя для этого случая
в соответствии с (2.148) необходимые вычисления, получим
+й у^'г йтй (2-249)
где Ш\ и т2 — показатели степенной зависимости силы в амортизато-
ре от бр на ходе отбоя и сжатия; Г(х) — гамма-функция.
Формулу (2.249) можно рассматривать как обобщение формул для
гр.э в случае действия только сил сухого трения или только сил вязкого
трения с кусочно-линейной характеристикой без клапанных участков.
Действительно, если вместо г\ и г2 написать F0, принять пц — т2 = 0
и учесть, что Г( 1,0) = 1,0, то получим формулу (2.163).
Если принять тх = т2 = 1 и учесть, что Г (1,5) = 0,5 У^л, то полу-
чим формулу (2.168).
При одновременном действии силы вязкого трения, имеющей ха-
рактеристику без клапанных участков, и силы сухого трения формулу
(2.249) удобнее записать так:
192
(2.250)
Y л v 5p \ 2 /
Выбор характеристики амортизатора. Рассмотрим, насколько удов-
летворяют существующие характеристики амортизаторов требованиям
плавности хода и безопасности движения автомобиля и какую харак-
теристику амортизатора желательно иметь.
Изменяя характеристику амортизатора, можно влиять на зависи-
мость эквивалентного коэффициента сопротивления демпфирующих
элементов подвески от уровня действующих возмущений. При этом,
выбирая характеристику, необходимо обязательно учитывать силу
сухого трения в подвеске [84, 88].
Поскольку для обеспечения оптимальной плавности хода с ростом
скорости движения автомобиля требуется по крайней мере неубывание
эквивалентного коэффициента сопротивления подвески, то регрессив-
ная характеристика амортизатора может быть сразу же признана не-
пригодной [88].' В меньшей степени противоречит требованиям плав-
ности хода линейная характеристика, так как при малых скоростях
движения к силе сухого трения добавляется небольшая сила вязкого
трения, мало влияющая на гр.э. Наиболее целесообразной является
прогрессивная характеристика амортизатора, при которой можно
добиться, чтобы при малых скоростях движения (малых уровнях воз-
мущений) к силе сухого трения добавлялась еще меньшая, чем при
линейной характеристике, сила вязкого трения. При этом с увеличением
(уровня возмущений) гр,э несколько возрастает. В определенном
диапазоне скоростей можно обеспечить практическое постоянство гр.э.
Показатели степени тх и т2 и коэффициенты и и г2 для данного
автомобиля могут быть выбраны на основании формулы (2.250)
с учетом расчетных значений уа, категорий дорог и силы сухого трения.
В ряде работ, посвященных расчету характеристик амортизаторов,
рекомендуется гпг = 1,5 4-2,0 [84, 88]. Анализ (2.250) -показывает, что
принимать mi > 2 нецелесообразно, так как при этом гр.э растет быстрее,
чем это необходимо для повышения плавности хода и безопасности
движения. Чтобы обеспечить постоянство гр.э в возможно более широ-
ком диапазоне уровней возмущений, следует брать Шг = 1,5 4-1,7.
Многочисленные исследования, посвященные анализу влияния
степени несимметричности характеристик амортизаторов на колебания
автомобиля при детерминированных и случайных возмущениях, пока-
зали, что никаких существенных преимуществ у несимметричного
амортизатора по сравнению с симметричным нет [84, 85, 89, 90, 93,
95, 98].
Единственное преимущество амортизаторов, имеющих коэффициент
сопротивления .при сжатии меньше коэффициента сопротивления при
отбое Г2, состоит в ограничении максимальной силы, передающейся
на кузов при переезде одиночных бугров. При этом желательно иметь
kr = r2i'ri = 34-4 [72, 89, 93, 98]. В случае переезда единичных впадин,
наоборот, надо иметь > г2. В обычных условиях движения возмуще-
ния носят случайный характер и несимметричный амортизатор
с 0,3 kr 4 практически не отличается от симметричного с коэффи-
циентом сопротивления rp = 0,5(fi 4- г2). Очень большая несимметрич-
ность (kr > 5 4- 6) отрицательно сказывается на безопасности движе-
ния автомобиля из-за увеличения О8Ш и вероятности отрыва колес от
дороги. При этохм также возрастает и среднее квадратическое дефор-
маций рессор (до 20% при kr = 0 или kr = оо [85, 89, 98]).
Отрицательное действие значений kr > 1 проявляется еще в том,
что математическое ожидание деформации рессор при этом отличается
от статической деформации [см. (2.209)]. Дополнительная к статической
13 Заказ 3363
193
Рис. 74. Зависимость эквивалентной
жесткости рессор передней подвески
сР1э автомобиля ЗИЛ-114 от скорости
движения по асфальтированному
шоссе:
/ и 2 — соответственно без учета и с уче-
том смещения положения динамического
равновесия от статического
деформация рессор уменьшает динамический ход подвески бд, что
особенно заметно у автомобилей с мягкими рессорами. Это может
привести к увеличению вероятности пробоя подвески [52, 90] из-за боль-
шого влияния бд на эту вероятность (см. рис. 68).
Однако можно указать случаи, когда несимметричная характеристи-
ка амортизатора является оптимальной: например, при существенно
несимметричной характеристике рессор. Если при статическом прогибе
рессор остается малое расстояние до ограничителей хода подвески, то
установка такого амортизатора позволяет сместить нулевую линию
колебаний (положение динамического равновесия) и улучшить тем
самым плавность хода. Например, в передней подвеске автомобиля
ЗИЛ-114, у которой ход отбоя мал (~35 мм) и амортизатор с несим-
метричной характеристикой заметно его увеличивает (на 8—12% при
движении по асфальтовому шоссе со скоростью 100—120 км/ч). При
этом значительно уменьшается вероятность включения жесткого
ограничителя хода отбоя (подхвата переднего моста), так что экви-
валентная жесткость передних рессор ср.э, рассчитанная согласно
(2.198), уменьшается (рис. 74). Поскольку нецелесообразно исправлять
недостатки упругой характеристики характеристикой демпфирования,
то применение амортизаторов с несимметричной характеристикой для
таких целей рекомендовать, по-видимому, нельзя.
Таким образом, для обеспечения хорошей плавности хода и безопас-
ности движения следует устанавливать амортизаторы с симметричной
характеристикой или с несимметричной, но с kr = r2/rl ^2-4-3.
Установка разгрузочных клапанов не только не вызывается требо-
ваниями плавности хода и безопасности движения автомобиля, но
большей частью противоречит им (за исключением переезда единичных
неровностей большой высоты или движения по дорогам типа «крупный
булыжник», когда спектр возмущения приближается к спектру белого
шума). Тем не менее разгрузочные клапаны необходимы для надежной
работы амортизатора, уменьшения его массы и габаритов. Если при-
менять амортизаторы с прогрессивной характеристикой без разгрузоч-
ных клапанов, то в элементах конструкции его могут возникать очень
большие силы. Вероятность появления их мала, но даже их разовое
действие может вывести амортизатор из строя. В то же время эти
силы практически не влияют на гр.э, поэтому без ущерба для плавности
хода и безопасности движения автомобиля их можно уменьшить, введя
разгрузочные клапаны. Момент включения клапанов следует выбирать
так, чтобы при расчетных режимах движения коэффициент гр.э был
194
близок к оптимальному по плавности хода и чтобы включение клапанов
не приводило к существенному уменьшению гр.э.
На рис. 75 показана зависимость отношения эквивалентного
коэффициента сопротивления симметричного амортизатора к гх от
отношения скорости относительных перемещений подрессоренных
и неподрессоренных масс, соответствующей открытию клапанов, к сред-
нему квадратическому ее значению для случаев, когда коэффициент
сопротивления амортизатора в клапанном режиме уменьшается в 5 и
10 раз. Как видно, если принять 61 = (1,4 -4- 1,8)а; , то установка
р
клапанов, снижающих гх в 5—10 раз, уменьшает гр.э всего на 5—12%
по сравнению с Гь В то же время максимальные значения силы в амор-
тизаторе, соответствующие 6p = 5,5og (вероятность возникновения
°р
такой силы при расчетных условиях движения равняется 10~7), на
которые необходимо рассчитывать элементы конструкции, уменьшают-
ся на 50—70%.
Расчет параметров амортизаторов выполняют в следующем по-
рядке.
1. Для расчетных условий движения (скорость и тип дороги)
определяют оптимальное по принятому критерию плавности хода
сопротивление Гр.оф* .
2. Находят среднее квадратическое скоростей относительных
перемещений подрессоренных и неподрессоренных масс в расчетных
УСЛОВИЯХ ДВИЖеНИЯ ПрИ Гр.э = Гр.оф*.
3. Вычисляют коэффициент сопротивления, эквивалентный приня-
тому расчетному значению силы сухого трения, г®.
4. Определяют коэффициент сопротивления, эквивалентный дей-
ствию амортизаторов га.э = —г°-
5. Задаются степенью уменьшения коэффициента сопротивления
амортизаторов (5—10) в клапанном режиме и определяют гх исходя из
условия, что включение клапанов должно происходить при скорости
6i~l,5agp и при этом эквивалентный коэффициент сопротивления
должен равняться га,э.
Рис. 75. Зависимость эквивалент-
ного коэффициента сопротивления
симметричного линейного аморти-
затора от скорости относитель-
ных перемещений, соответствую-
щей включению ограничительных
клапанов, и от коэффициента со-
противления амортизатора в кла-
панном режиме
13*
Например, если для автомобиля ЗИЛ-114 принять за расчетные
условия движение по асфальтированному шоссе со спектром возмуще-
ния (2.116) (£>о = 5,4 • 10“5 м, Xi = 0,6 м-1) при скорости va = 120 км/ч,
силу сухого трения в задней подвеске F° = 60 кгс, критерий плавности
хода Dz ,то для задней подвески получим следующее Ч Ogp = 30,5 см/с,
/’р.ог’ - 6,4 кгс-с/см, Г 0 = 1.6 КГС-С/СМ, Га.э = 4,7 КГС • с/см, 61 = 40,7 см/с,
Г\ =5,4 кгс’с/см при уменьшении коэффициента сопротивления амор-
тизатора в клапанном режиме в 10 раз и = 5,3 кгс-с/см — при
уменьшении его в 5 раз.
Характеристики амортизаторов современных автомобилей в основ-
ном соответствуют рассмотренным выше.
Следует иметь в виду, что вынужденная установка ограничитель-
ных клапанов сужает диапазон уровней возмущений, в котором
обеспечивается демпфирование, удовлетворительное по плавности хода
и безопасности движения. При этом не удается, используя лишь одну
регулировку амортизатора, выполнить одновременно требования в от-
ношении плавности хода и безопасности движения не только для всех
дорожных условий, но даже для одной дороги при различных скоростях
движения. Как при очень малых, так и при очень больших скоростях
движения гр>э выходит как за границы зоны оптимальности по плавно-
сти хода, так и за границы зоны оптимальности по безопасности движе-
ния 1 2, хотя эти зоны достаточно широки (рис. 76, а и б). Противоречия
между существующими характеристиками демпфирования и требова-
ниями плавности хода возрастают еще более, если автомобиль имеет
такую характеристику упругого элемента, при которой эквивалентная
жесткость рессоры увеличивается с повышением уровня возмущений
(рис. 76, б).
Оптимальное демпфирование в подвесках автомобилей может быть
достигнуто при использовании полуавтоматического регулирования со-
противления амортизаторов. При этом можно учесть существенную
разницу в Гр.о i Для спектров со-2 и со-4, необходимость увеличения гр.э
с ростом уа в отношении как плавности хода, так и безопасности дви-
жения, нелинейность характеристик упругих элементов и т. д. Число
ступеней регулирования может быть небольшим (две-три), если
использовать амортизатор с прогрессивной характеристикой. Переход
от одной ступени регулирования к другой будет соответствовать изме-
нению расчетных условий движения.
Мощность, рассеиваемая амортизатором. Мгновенная мощность, рас-
сеиваемая всеми демпфирующими элементами подвески,
^ = ГГр(бр)бр. (2.251)
Математическое ожидание этой мощности
mN = M{N} = y Frp(dp)6pf(6p)d6p, (2.252)
-OO
где f(6p)—одномерная плотность распределения скоростей относитель-
ных перемещений подрессоренных и неподрессоренных масс бр.
1 Считаем, что характеристика амортизатора симметричная кусочно-линейная
(mi = т2= 1).
2 Напомним, что под зонами оптимальности подразумевается диапазон значений
Гр.э, при которых Оцг и ст 5 отличаются от минимально возможных величин при
196 Грэ==Гро4. не более чем на 5%.
Рис. 76. Зависимость эк-
вивалентного коэффици-
ента сопротивления всех
демпфирующих элемен-
тов подвески гр.э и его
значений, оптимальных
по деформациям шин
Гр.о«ш» ускорениям Гр.о^
и третьим производным
перемещений гр.0*г под-
рессоренных масс от ско-
рости v& при движении
по разным дорогам:
а — передняя подвеска ав-
томобиля ЗИЛ-131. булыж-
ная дорога в удовлетвори-
тельном состоянии; б — зад-
няя подвеска автомобиля
ЗИЛ-114. асфальтированное
шоссе; / и 2 — верхний и
нижний пределы отклонения
гр от гр.об » "Ри вторых
^бш^ 1 • min*» 9 и 4
верхний и нижний пределы
отклонения гр от rpо "г, при
которых Dz < 1, lD*z min;
5 — верхний предел отклоне-
ния Гр от Гр.ог ’ П4И к°т°Р°м
D’z*< l.lD’z’min ।
Учитывая выражение (2.148) для гр.э, вместо (2.252) можно
написать
= ^р.э^бр • (2.253)
Мощность, рассеиваемая амортизаторами,
^ = ^.3^, (2.254)
где га.э = (Гр.э — гг°э ) — составляющая эквивалентного коэффициента
сопротивления подвески от действия амортизаторов.
Если учесть выражение (2.119) для £>ёр в случае наиболее общего
вида спектра возмущения от дороги (2.114), то получим
[l+W-иЭх
(M + m)G)2r + (Af + m)cp 1
X----------------------------------~------------ • (^.2о5)
Мпш* + (М + т) со2 гр + (М + т) с^2 + Мсш<ь22 + о)2 гр сш + ср сш_
В формуле (2.255) под ср, гр и подразумеваются эквивалентные
жесткости рессор и шин и сопротивления амортизаторов «нелинейного»
автомобиля. Поэтому даже при линейных упругих характеристиках шин
и рессор (ср = const, сш = const) mN несколько зависит от гр.э (от фор-
мы характеристики амортизаторов). При спектре возмущения
вида (2.116)
mN = Dm. (2.256)
2 \ Gh /
В этом случае средняя мощность, рассеиваемая демпфирующими
элементами подвески, определяется только дорогой и скоростью дви-
жения автомобиля, жесткостью его шин и величинами подрессоренных
и неподрессоренных масс.
При спектре возмущения вида (2.117) mN не зависит от масс
автомобиля, а определяется только жесткостью его шин:
tnN = 0,5О0уасш. (2.257)
Наоборот, при спектре возбуждения (2.118) mN не зависит от
жесткости шин, а определяется только массами автомобиля:
mN = 0,50^3 (М + т). (2.258)
Рассчитывая, например, мощности, рассеиваемые передней подвес-
кой автомобиля ЗИЛ-131, получим при движении по:
а) булыжной дороге (DQ = 4,8-10-4 м) при уа = 15 м/с, mN =
= 610 кгс-м/с = 8,2 л. с.;
б) грунтовой накатанной дороге = 2,5-10~3 м-1) при аа =
= 7,5 м/с, mN = 175 кгс-м/с = 2,30 л. с.;
в) асфальтированному шоссе (О0 = 1,70-10~5 м, М = 0,6 м-1) .при
и& = 20 м/с, mN = 59 кгс-м/с — 0,78 л. с.
Если по формулам (2.255) — (2.258) рассчитать математические
ожидания мощностей, рассеиваемых передней и задней подвесками
автомобиля, и затем суммировать их, то можно оценить среднюю мощ-
ность, затрачиваемую двигателем на поддержание вертикальных
колебаний автомобиля при движении с постоянной скоростью по неров-
ной дороге.
С ростом скорости движения рассеиваемая мощность mN увеличи-
вается на дорогах со спектром (2.117) пропорционально уа, на дорогах
со спектром (2.118)—пропорционально а на дорогах со спектром
(2.114) и (2.116)—пропорционально где 1 п 3. Следует от-
метить, что мощность, затрачиваемая на поддержание вертикальных
колебаний, составляет 10—50% мощности, расходуемой на преодоление
сопротивления качению. Зная среднюю мощность, можно рассчитать
температурный режим работы амортизаторов, оценить стабильность
характеристики и т. д. [86].
Если амортизатор имеет линейную характеристику Fra = то
можно определить дисперсию мощности
Dn = М [N2} -т2ы = М { г26р } т2 ж 2r2D? = 2т2„, (2.259)
т. е. среднее квадратическое мощности, рассеиваемой амортизатором,
(2.260)
Закон распределения мощности в этом случае является законом
распределения квадрата нормального случайного процесса ор, т. е.
плотность распределения [2]
f(/V)=—l^expf---------(2.261)
CFO У ( 2<r § j
где Go — tfSpK r-
Тепловой расчет амортизатора. Используя приведенные выше форму-
лы, можно провести тепловой расчет амортизатора, имеющего данные
198 габаритные размеры, и найти температуру его рабочей жидкости, или,
наоборот, определить габаритные размеры, задавшись допустимой
температурой. Отметим, что речь идет о расчете только установивше-
гося теплового режима амортизатора, поскольку выведенные выше для
/ил/а формулы относятся лишь к установившемуся режиму колебаний
автомобиля.
В таком режиме вся энергия, рассеиваемая амортизатором, полно-
стью передается окружающей среде. Уравнение теплового баланса
имеет следующий вид [86]:
m^ = P(Ta-rB)IF, (2.262)
где р — коэффициент теплопередачи конвекцией; Та и Тв — абсолют-
ные температуры поверхности амортизатора и окружающей среды
(воздуха); W — площадь наружной поверхности амортизатора.
И. Г. Пархиловский предложил следующее выражение для коэффи-
циента р, справедливое при числе Рейнольдса 10 < Re< 105:
g = , (2.263)
XOiSnv/D
где Л/ — коэффициент теплопроводности воздуха, ккал/(м-ч-°);
vB — скорость потока воздуха, обдувающего амортизатор, м/с;
V/ — кинематическая вязкость воздуха, м2/с; D — наружный диаметр
цилиндра амортизатора, м.
Подставляя (2.263) в (2.262) и учитывая все переводные коэффици-
енты, получим
m _°-8^21У... ]/7B(Ta—Гв). (2.264)
а 3600 V0,5nvfD а V ’
Если пренебречь теплопередачей через торцовые поверхности, то
площадь наружной поверхности амортизатора [86]
№ = nD(tf + /K), (2.265)
где Н — ход поршня, а /к — конструктивная длина амортизатора.
Основной размер амортизатора—диаметр рабочего цилиндра йц.
Рекомендуется принимать следующие соотношения между W и с1ц
для амортизаторов [86]:
короткоходных
W = (ЗОн- 35)^; (2.266)
длинноходных
W= (45н-50)</ц. (2.267)
Рассчитав по методике, приведенной выше, среднюю мощность,
можно по формулам (2.264) — (2.267) определить среднюю температуру
амортизатора или выбрать диаметр рабочего цилиндра.
Скорость обдува амортизатора воздухом в первом приближении
можно принять равной скорости движения автомобиля vB « i>a. При
этом для расчета температуры рабочей жидкости или габаритных
размеров амортизатора следует исходить из средней для данных
дорожных условий скорости движения автомобиля.
На рис. 77 приведены результаты расчета разности температур
воздуха и поверхности амортизаторов автомобилей ЗИЛ-130 и ЗИЛ-114
при следующих расчетных данных: температура воздуха Тв = 293 К, 199
Рис. 77. Зависимость разности температур ДТ воздуха и поверхности амортизатора
от скорости движения:
а — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии; б — асфальтированное шоссе; / и
2 — амортизаторы передней подвески соответственно автомобилей ЗИЛ-130 и ЗИЛ-114
диаметр рабочего цилиндра = 40 мм, сила сухого трения в перед-
них «подвесках F° = 240 кгс (ЗИЛ-130) и F° = 60 кгс (ЗИЛ-114), спектр
возмущения от дороги (2.116) при Do = 5,4-10“5 м, coj = 0,6 уа (асфаль-
тированное шоссе) и £>о = 3,2-1О~4 м, coj = 0,6уа (булыжная дорога).
Принимая среднюю скорость движения автомобиля ЗИЛ-130 по бу-
лыжной дороге = 40 км/ч (по данным завода), получим, что при
перепаде температур 80К диаметр рабочего цилиндра амортизаторов
передней подвески (1Ц = 50,6 мм (у существующих амортизаторов
du = 40 мм).
Отметим, что основные погрешности предлагаемой методики расче-
та температуры амортизаторов заключаются, во-первых, в принятии
равенства скорости обдува амортизатора воздухом и скорости движе-
ния автомобиля и, во-вторых, в том, что выражение (2.263) для
коэффициента теплопередачи между амортизатором и воздухом
приближенное. По-видимому, целесообразно провести эксперименты
для уточнения коэффициентов, входящих в расчетные формулы.
§ 6. ВЛИЯНИЕ ЖЕСТКОСТИ РЕССОР
НА КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Упругие элементы -подвесок современных автомобилей имеют разно-
образную конструкцию: металлические рессоры, пружины и торсионы,
пневматические и .гидр©пневматические упругие элементы. В отношении
плавности хода автомобиля конструктивное выполнение упругого
элемента, способ его установки в автомобиле не имеют значения, важен
вид упругой характеристики подвески, т. е. зависимость вертикальной
нагрузки Fc р на подвеску от ее деформации бр:
Л:р = FCp(6p).
Производная ср = dFc p/dt^ называется жесткостью подвески. Если
ср = const, то считают, что подвеска имеет линейную упругую характе-
ристику, если ср зависит от деформации, то упругая характеристика
200 подвески — нелинейная. Во многих случаях упругие характеристики
подвесок близки к линейным (по крайней мере в области их рабочих
прогибов).
При анализе влияния жесткости подвески на колебания автомобиля
конструкция ее упругих элементов не рассматривается и под «жестко-
стью рессоры» понимается жесткость подвески, приведенная к колесу.
1. Оптимальная жесткость рессоры
Анализ формул (2.119) — (2.124), определяющих зависимость показа-
телей плавности хода (ускорений, третьих производных перемещений)
от параметров «линейного» автомобиля, показывает, что при всех видах
спектров возмущения от дороги 1 и прочих равных условиях уменьшение
жесткости рессор ср «линейного» автомобиля благоприятно сказывается
йа его плавности хода. Для спектров возмущения (2.116), (2.117) и
(2.118) это видно непосредственно из выражений, определяющих дис-
персии указанных величин. В случае более общего спектра (2.114)
следует более подробно анализировать соответствующие формулы.
С уменьшением ср непрерывно снижаются £>”И D~- стремясь к наимень-
шему значению, которое получится, если принять ср = 0. При этом
сначала D-и ростом статического прогиба рессоры значительно
уменьшаются, а затем интенсивность уменьшения падает и дальнейшее
снижение жесткости рессор уже не приводит к заметному повышению
плавности хода при постоянстве прочих параметров подвески. Этот
вывод подтверждается экспериментальными исследованиями. На рис. 78
приведены результаты расчетов на АВМ колебаний автомобиля
ЗИЛ-130 с учетом всех нелинейностей динамической системы. Варь'иро-
вались жесткости передней подвески при силе сухого трения fi =
= 160 кгс и коэффициенте сопротивления, равном гс (сплошные линии)
или rc V Cv'iCp, с (штриховые линии).
Существующие тенденции в развитии конструкций подвесок авто-
мобилей, направленные на повышение плавности хода, в первую оче-
редь характеризуются снижением жесткости рессор и соответствующим
повышением статического прогиба бр.ст, т е. уменьшением частоты соо
1 Возмущающее воздействие с преобладающей частотой, когда может возникнуть
статистический резонанс при определенной скорости автомобиля, в данном случае
не учитывается.
Рис. 78. Зависимость параметров
колебаний передней подвески гру-
женого автомобиля ЗИЛ-130 от
статического прогиба ее рессор
при движении по булыжной доро-
ге в удовлетворительном состоя-
нии (иа = 55 км/ч, F? = 160 кгс,
статический прогиб серийной рес-
соры dpicT.c =«66 мм)
собственных колебаний подрессоренных масс Л1п, которая в первом
приближении может быть определена по формуле
©о = =/Ж- (2 • 268)
Если учесть особенности восприятия человеком вибраций различ-
ного частотного состава и, в частности, явление типа «морской болезни»,
то чрезмерное уменьшение ср может оказаться нежелательным
в отношении плавности хода, если в спектре колебаний человека, еду-
щего в таком автомобиле, не будут присутствовать вибрации со сред-
ними частотами. У автомобиля с хорошей плавностью хода необходимо,
чтобы частота колебаний подрессоренных масс fo = O,9-?l,2 Гц [34].
Некоторые исследователи считают, что нижним пределом для fQ
является 0,5 Гц [102]. Указывая эти границы, исследователи учитывают
не только особенности восприятия вибраций человеком, но и возмож-
ности осуществления конструкций таких подвесок.
Наилучшая плавность хода получилась бы. как было показано
выше, при жесткости рессор, равной нулю. Выясним, насколько, при
прочих равных условиях, отклонение жесткости рессор от нуля может
ухудшить показатели плавности хода автомобиля Dzm Обозначив
отношение критерия плавности хода при ср =# 0 к его значению при
ср = 0 через = Чг/Ч/‘о, получим, что предельная по ускоренияхМ жест-
кость рессор, при которой Т Ч'о, определится по следующим
формулам:
для спектра (2.116)
2(М + т) [(M + m)cof + сш]
X + 1)сшГр(М + т)[(М + т)со/-ьсш]2 — со2М2сш}; (2.269)
для спектра (2.117)
<пр Z = Гр У1); (2.270)
для спектра (2.118)
СР"Р * = OZM1 « [КМ4Сш + 4(fev- 1)сшгр(Л1 + т)3-М2сш]. (2.271)
2 (Л1 + m)2 L J
При 1 < 1,5 член
4 (fem—l)rnc„i (М + т)3
----—--------------- <1,0 и формулу (2.271) можно упростить:
п М + т 2
Ср.пр г — («Т 1) —----Гр.
Предельное по третьей производной значение ср, при котором
D-k^Dz0, определится по формулам:
для спектра (2.116)
- г, 1/; (2.272)
Г т [сш+®1(л1+от)]
для спектра (2.117)
с;пр2- = гр V(Jb- 1)-^-; (2.273)
г т
для спектра (2.118)
W = rp ~\/\ky- 1 . (2.274)
Г М + т
Анализ формул показывает, что при одинаковых значениях ky для
всех спектров возмущений cp.npz’> Ср.прй’ , т. е. ускорения подрессоренных
масс зависят от жесткости рессор в большей степени, чем третья про-
изводная перемещений этих масс. Из анализа следует также, что
Ср.пр > Cp.*ip, т. е. при спектре возмущения вида со~4 влияние жесткости
рессор на плавность хода больше, чем при спектре вида со-2.
Значения Ср.прг и Ср*Пр‘й являются пределами отклонения жестко-
стей рессор от нуля, при которых рассматриваемые измерители плав-
ности хода будут отличаться от их значений при ср = 0 в kx? раз при
всех спектрах возмущений от дорог 1 и любых скоростях движения.
В табл. 16 даны результаты расчетов ср.пр по приведенным выше
формулам для ряда отечественных автомобилей. При этом принима-
лось kx$r = 1,2, т. е. полагалось, что при с =# 0 допустимо 10%-ное от-
клонение gzh от их наименьших значений при ср = 0. Кроме того,
приведены данные, характеризующие эффект, достигаемый по плавно-
сти хода, если вместо существующих рессор поставить рессоры с жест-
костью Cp.npz ИЛИ Ср.пр z •
Расчеты показывают, что для грузовых автомобилей, имеющих
статические прогибы подвесок 6Р.СТ =70-4- 100 мм (соо = 10-4- 12 с-1)
и эквивалентное демпфирование в подвесках, характеризующееся
коэффициентами апериодичности колебаний подрессоренных масс
фи = 0,25 -4- 0,30, предельные по Dz' жесткости рессор для спектра
(2.117) соответствуют прогибам 6Р.СТ= 150-4- 200 мм (соо = 7-4-8 с-1).
Если рессоры с такой предельной жесткостью поставить на автомобиль,
то среднее квадратическое вертикальных ускорений подрессоренных
масс Uz уменьшилось бы на 25—30% по сравнению с их значением
для существующих автомобилей, т. е. в этом случае имеется возмож-
ность повысить плавность хода грузовых автомобилей, уменьшив
жесткость подвесок.
Для легковых автомобилей, имеющих эффективные прогибы
бР.ст = 200-4- 300 мм (соо = 6-4-7 с-1) и фп = 0,20, возможности умень-
шения ускорений путем смягчения рессор при спектре (2.117) значи-
тельно меньше, чем для грузовых; прогибы, соответствующие предель-
ным жесткостям рессор, 6P.CT = 300 -4- 400 мм (соо = 5,34-6 с-1), а а ?
снижается на 10—15%.
Если критерием плавности хода служит третья производная, то
оказывается, что при спектре (2.117) у всех автомобилей возможность
уменьшения ст/только путем смягчения рессор практически исчерпана:
рассчитанные предельные жесткости рессор получаются больше жест-
костей существующих рессор и соответствуют статическим прогибам,
равным 70—90 мм для грузовых автомобилей и 150—180 мм для
легковых.
1 Спектр возмущения от дороги, близкой к спектру белого шума, накладывает на
изменения ср менее жесткие ограничения, чем спектр со-2. 203
Таблица 16
204 Автомобиль Подвеска Жесткость су- ществующей под- вески, с , кгс/см Спектр возмущений Kq <“) =tDo'’a0-2 Спектр возмущений Kq «о) = DjUa(o“4
* ср.пр Z ’ кгс/см Eaz, % * Ср.Пр Z’ кгс/см % ‘.Z.D3 * * Ср.Пр Z’ кгс см : n о со ♦ ♦ ср.пр Z » КГС/СМ cP : n о со
«Волга» ГАЗ-21 Передняя Задняя 49 44 59- 21,2 —30,0 59,3 3,0 1,8 —57 21,2 —30,0
21,5 20,3 —30,0 —21,0 64,7 44,1 з.о 0 1,8 1,8 —57 —55 21,5 20,3 —30,0 —21,0
24,4 —21,0 64,0 0 2,2 —55 24,4 —21,0
«Москвич-407» Передняя Задняя 30 47 16,0 20,0 — 15,0 —24,0 45,3 48,5 6,0 0 1,00 1,6 —58 —58 16,0 20,0 — 16,0 —24,0
«Победа» М-20В Передняя Задняя 48 53 32,9 —7,0 95,8 8,0 3,15 —46 32,9 —7,0
33,3 25,8 —7,0 — 18,5 103,3 57,6 8,0 0 3,10 2,1 —46 —53 33,3 25,8 —7,0 1Q £
26,8 — 18,5 71,8 5,0 2,0 26,8 1о ,□
ЗИЛ-110 Передняя Задняя 51 49 46,2 —2,0 139,7 9,0 5,5 —41 46,2 —2,0
46,6 37,3 —2,0 —5,0 150 89,7 9,0 7,5 5,5 4,0 —41 —41 46,6 37,3 °, °. СМ ио 1 1
38,1 —5,0 103 7,5 3,8 —41 38,1 -5,0
ЗИЛ-114 Передняя Задняя 48 100 43,10 59,0 —2,0 — 12,0 163 175 9,0 7,0 3,3 6,7 —49,5 —45 43,1 59,0 —2,0 — 12,0
УАЗ-69 Передняя Задняя 120 80 83,5 — 18,0 175 5,0 12,5 —36 83,5 —8,0
82,3 68,1 — 18,0 —3,0 179 131 5,0 7,0 11,6 8,4 —36 —34 82,3 68,1 о о 00 00 1 1
75,1 — 1,0 196 8,0 7,5 —38 75,1 — 1,0
ЗИЛ-130 Передняя Задняя 280 420 840 107 —29,0 216,6 —3,5 14,1 —51 107 -29,0
103,5 242 —20,0 — 14,0 218,6 405 1 1 О ОО СЛ СЛ 12,6 45,3 —53 —35 218,6 242 —29,0 — 14,0
298 —32,0 727 —2,5 42,0 —51 298 —32,0
ГАЗ-66 Передняя Задняя 200 200 77,6 —28,0 156 —5,0 13 —47,5 77,6 —28,0
66,2 92,3 —35,0 —21,0 154 166 1 1 со сл сл о 8,1 21,1 —69,0 —35,0 66,2 92,3 —35,0 —21,0
105 — 17,0 262 4,° 19,0 —37,5 105 — 17,0
ГАЗ-63А Передняя Задняя 240 240 540 64,7 —33,0 121 — 18,0 8,1 —58,0 64,7 —33,0
66,6 57,4 —33,0 —48,0 134,4 99,4 — 14,0 —33,0 7,7 5,9 —58,0 —64,0 66,6 57,4 —33,0 —48,0
98 —58,0 252 —21,0 10,6 —67,0 98 —58,0
ЗИЛ-131 Передняя 290 254 243 —3,0 469 6,0 69,8 — 18,5 254 —3,0
—3,0 476 6,0 59,7 —22,0 243 —3,0
Продолжение табл. 16
Автомобиль Подвеска Жесткость су- ществующей под- вески/ с , кгс,см Спектр возмущений Kq (со) = D0uaco“2 Спектр возмущений Кд (со) = DjVaCd”"4
Ис ср.пр Z ’ кгс/см : n о со * Ср.пр Z’ кгс/см О СО * * ср.пр Z» кгс/см : n о со Ср.пр Z ’ кгс'см : n о со
ЗИЛ-157К Передняя 300 123 — 16,0 240 —4,5 26,5 —40,0 123 — 16,0
«Урал-375» Передняя 400 116 124 —40,5 198 —19,0 29,2 —33,0 116 —40,5
—37,5 222 — 14,0 30 „1 —32,5 124 —37,5
Примечания: 1. Относительное изменение о по сравнению с его значением ос для существу
ющей подвески определяли по формуле еа
2. В числителе указаны параметры для
автомобиля с грузом.
автомобиля без груза, а в знаменателе — параметры для
При спектре (2.118) предельные по Dz жесткости рессор грузовых
автомобилей соответствовали бы частотам собственных колебаний под-
рессоренных масс со о = 3,5 4- 4 с-1 (6Р.СТ = 600-4-700 мм), а легковых —
(Оо = 1,5 4-2 с-1 (бр.ст = 2500 мм), т. е. прогибы должны были бы быть
в этом случае в 6—8 раз больше, чем у существующих автомобилей.
Ускорения подрессоренных масс снижаются при этом на 50—70%. Пре-
дельные по оу жесткости рессор равны предельным по назначениям для
спектра (2.117).
Приведенные данные показывают, что эффект от уменьшения
жесткости рессор может быть получен при спектре возмущения (2.117)
лишь по ускорениям подрессоренных масс для грузовых автомобилей,
а при спектре (2.118) —по ускорениям подрессоренных масс для грузо-
вых и легковых автомобилей и по третьей производной — только для
грузовых. При этом практически целесообразно увеличение статиче-
ского прогиба в 2—4 раза по сравнению с прогибами существующих
подвесок автомобилей, поскольку дальнейший рост ар.ст приводит
к незначительному уменьшению а2(а тем более а2).
Для достижения большего эффекта по улучшению плавности хода
автомобилей необходимо не только уменьшать ср, но одновременно
изменять жесткости шин и сопротивление амортизаторов. При этом
для спектра возмущения, близкого к спектру (2.118), при уменьшении
ср следует изменять только сопротивление амортизаторов. Для спектра
возмущения, близкого к спектру (2.117) и спектру белого шума, осо-
бенно эффективным является уменьшение жесткости шин в сочетании
со снижением сопротивления амортизаторов.
Снижение жесткости рессор при постоянстве других параметров
динамической системы при спектрах возмущения, близких к (2.117),
практически не влияет на прогибы подвески [см. формулы (2.123)], т. е.
при сохранении динамических ходов бр.д на уровне, характерном для
существующих автомобилей (бр.д = 150 4- 200 мм для грузовых авто-
мобилей общего назначения [34, 35] и 6Р.Д = 100 4- 140 мм для легковых
[34]), вероятности пробоя подвесок будут теми же, несмотря на умень-
шение динамической энергоемкости подвесок. То же получается при
спектрах возмущения, близких к спектрам (2.115) и спектру белого
шума. Это объясняется тем, что с уменьшением ср низкочастотная 205
резонансная зона амплитудно-частотной характеристики по деформа-
циям рессор Н (со) расширяется и сдвигается в область низких
частот, где выше уровень возмущений от дороги. Однако при этом
коэффициент апериодичности колебаний подрессоренных масс фп уве-
личивается пропорционально ]/ср, что приводит к уменьшению орди-
нат Я^5р (со) и компенсирует увеличение возмущений от дороги.
При спектре (2.118) уменьшение ср приводит к росту среднего
квадратического деформаций рессор asp, так как уменьшение ординат
figs? (со) при увеличении фп не может компенсировать увеличение
уровня возмущений от дороги в области низких частот и расширения
полосы пропускания системы.
Для более общего спектра возмущения (2.116) при уменьшении ср
значительно возрастает crsp, если частота собственных колебаний под-
рессоренных масс соо приближается к частоте coi = характеризую-
щей при данной скорости движения переход от спектра со-2 к спек-
тру со~4.
Таким образом, в последних случаях (грунтовые, асфальто- и
цементно-бетонные дороги при больших скоростях движения) при
большом увеличении статических прогибов требуется или увеличение
бр.д с тем, чтобы сохранить вероятность пробоя подвески на допустимом
уровне, или повышение гр с уменьшением ср.
Дисперсия деформаций рессор согласно (2.121) и (2.124) изме-
няете^ пропорционально 1/ср, а динамический ход — пропорционально
1/ ]/ср. Поэтому при увеличении статических прогибов в 2—4 раза
бр.д следует увеличивать лишь в 1,4—2 раза. Этот вывод хорошо согла-
суется с результатами экспериментальных исследований, выполненных
при разработке длинноходовых подвесок [103].
На рис. 79 показано, насколько следует увеличить динамический
ход передней подвески автомобиля ЗИЛ-130 при увеличении ее стати-
ческого прогиба, чтобы отношение 6Р.д/о8р и, следовательно, вероятность
пробоя подвески (2.50) оставались постоянными. Приведенная на
рис. 79 зависимость рассчитана на АВМ для дорожного участка со
спектром, близким к (2.116) при Xi = 0,6 м. Как видно, при постоянстве
демпфирования в подвеске (FQ = 160 кге, rp = гр.с = const) при увели-
чении бр.ст в 3 раза требуется повысить 6р.д только на 20% (кривая /).
При уменьшении гр пропорционально ]Arp/Cp.c (т. е. при сохранении
фп = const) необходимое приращение бр.д должно быть в 3 раза больше
(кривая 2) L В то же время, как следует из рис. 78, в рассматриваемом
диапазоне изменения статических прогибов разница в уменьшении Oz
невелика.
Отметим, что с увеличением статических прогибов динамическая
составляющая силы в рессорах уменьшается с понижением жесткости
рессор. Для спектра наиболее общего вида (2.114) дисперсия этой
силы
(М + т) + (о?—съ) X
rp L
Мт(М + т)(аг2 + (М + т)ю2гр + (М + т)2 ср + М2 сш
Мпил2 + (М + т)гр^2 + Мсша>1+ (М± т)<а22ср + ы2грсш + срсш
(2.275)
1 При расчете сухое трение в подвеске не изменялось, поэтому г|)п с ростом бР Ст
несколько увеличивался. Если точно поддерживать г|)п = const, то разница в значениях
206 динамических ходов будет еще больше.
Рис. 79. Зависимость динамического
хода передней подвески груженого
автомобиля ЗИЛ-130, при котором
вероятность пробоя равна вероятно-
сти пробоя серийной подвески, от
статического прогиба при движении
по булыжной дороге в удовлетвори-
тельном состоянии (иа 39 55 км/ч,
F? ==160 кгс, статический прогиб се-
рийной подвески др.ст с == 56 мм, ее
динамический ход др.д.с = 84 мм)
Деформации шин в меньшей степени зависят -от жесткости рессор,
особенно мало влияет на них уменьшение ср. Например, увеличение
статического прогиба передних рессор автомобиля ЗИЛ-130 в 3 раза
практически не сказывается на среднем квадратическом деформаций
шин общ и на вероятности отрыва колес от дороги Рогр при условии,
что прочие параметры системы (гр и сш) не меняются (см. рис. 78).
Однако уменьшение сопротивления амортизаторов пропорционально
У ср приводит к засметному росту овш и особенно Р0Тр, так как в этом
случае гр существенно выходит из зоны оптимальности зависимости
%, (Гр)-
При спектре (2.117) имеется оптимальная по прогибам шины жест-
кость рессоры, которая определяется формулой
ср.о8ш = + /и)2. (2.276)
У существующих автомобилей это соотношение между ср и сш
приблизительно выдерживается. Если ср равна значению, определяе-
мому формулой (2.276), то дисперсия деформаций шин может быть
вычислена по формуле
г (7И + т)2гр т т2
srn.o оуа + Гр (М + т)Гр_’
Границы допустимого отклонения ср от ср.0&ш, при котором
k^rDb^ о, определяются формулой
;р пбш = -тМСш + 1 )Ь-р + отУИЗСш 1 • (2 • 277)
р ш (М + т)2 “ У L +
Ее анализ показывает, что зона оптимальности зависимости О8ш (ср)
достаточно широка и несимметрична (увеличение ср по сравнению
с ср.о&ш сказывается на деформациях шин сильнее, чем уменьшение).
Если принять ср = 0, то при существующих соотношениях между т и
М увеличение О8ш по сравнению со случаем ср ~ ср.О8ш не превышает
5-15%.
Таким образом, при спектре, близком к со-2, снижение ср (при по-
стоянстве прочих параметров системы) 'практически не влияет на О8ш и
Р отр.
Если спектр возмущения от дороги соответствует (2.118), то при
существующих соотношениях между подрессоренными и неподрессо- 207
ренными массами (точнее, при М > 2т) любое уменьшение ср умень-
шает и вероятность отрыва колес от дороги [см. (2.124)].
Таким образом, в большинстве случаев уменьшение жесткости
рессор или незначительно увеличивает деформации шин и вероятность
отрыва колес от дороги, или даже уменьшает.
2. Влияние прогибов подвесок
на угловые колебания автомобиля
При анализе влияния демпфирования в подвесках на продольно-
угловые колебания автомобиля отмечалось, что при их расчете нельзя
пренебрегать взаимной корреляцией колебаний передних и задних
подрессоренных масс, если даже их коэффициент распределения
е=1. Демпфирование в подвесках практически 'мало влияет на коэф-
фициенты корреляции перемещений р21?2 и ускорений рг;?2 подрессо-
ренных масс, и изменением этих коэффициентов при варьировании
сопротивлений амортизаторов можно пренебречь. Однако при измене-
нии жесткости рессор этого уже сделать нельзя. С изменением прогибов
подвесок (частот собственных колебаний подрессоренных масс) pZ1z2
к pZlz2 варьируются; с увеличением разницы в статических прогибах
подвесок они практически монотонно возрастают. Например, для гру-
женого автомобиля ЗИЛ-130 увеличение статического прогиба передней
подвески в 3 раза приводит к изменению pZld2 от —0,25 до +0,1 при
движении по булыжной дороге (иа = 55 км/ч) и от —0,4 до +0,15 при
движении по асфальтированной дороге = 80 км/ч).
Таким образом, изменение статических прогибов подвесок вызывает
изменение среднего квадратического угловых ускорений <jG (перемеще-
ний da ) подрессоренных масс не только из-за изменения вертикальных
ускорений Gz'i (перемещений $Zi) точек кузова над осями подвесок, но
и из-за изменения коэффициента корреляции между ускорениями
(перемещениями) этих точек рг{г2 (р21г2 ). Последнее может усилить
или ослабить влияние увеличения прогиба подвески на od и оа
в зависимости от того, как при этом изменяются р2{?'2 и pZlz2 , которые
зависят как от абсолютных значений прогибов подвесок, так и от их
• соотношения. Поэтому при анализе влияния прогибов подвесок на
угловые колебания возникает вопрос о выборе оптимального по угло-
вым колебаниям соотношения между ними.
При сближении прогибов подвесок коэффициент корреляции умень-
шается для автомобилей общего назначения с базами 2,5—4,5 м. Если
уменьшение жесткости какой-либо подвески сопровождается сближе-
нием прогибов подвесок, то угловые ускорения а из-за снижения
Pz+’2 будут уменьшаться меньше, чем вертикальные z2.
При изменении жесткостей подвесок изменяется их суммарная
вертикальная жесткость, определяющая вертикальные ускорения цен-
тра тяжести кузова, и продольная угловая жесткость (са = ср[а2 +
+ Ср2^2), от которой зависят продольно-угловые ускорения кузова.
Изменение соотношения прогибов подвесок при са = const влияет на
продольно-угловые колебания в меньшей степени, чем изменение са.
На рис. 80 и 81 приведены результаты расчетов на АВМ угловых
колебаний груженого автомобиля ЗИЛ-130 при различных статических
прогибах подвесок. Из графиков следует, что с увеличением прогибов
продольно-угловые ускорения уменьшаются. Это происходит, когда
прогиб задней подвески больше прогиба передней (если 6P2/6pi^
208 1,4+- 1,5, рис. 80, а), а также когда передняя подвеска мягче задней
Рис. 80. Зависимость среднего квадратического некоторых параметров колебаний
груженого автомобиля ЗИЛ-130 от скорости движения:
с — продольных угловых ускорений; б—углов наклона кузова; / — булыжная дорога в удов-
летворительном состоянии; 2 — асфальтированное шоссе; ----8раст “ 62 мм;------®раст“
- 94 мм
Рис. 81. Зависимость среднего квадратического некоторых параметров колебаний
груженого автомобиля ЗИЛ-130 от статического прогиба передней подвески (эффек-
тивный статический прогиб рессор бр2ст.эф = 62 мм, F® = 160 кгс):
/, 2 и 3 — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии, соответственно va — 25; 40 и
55 км/ч; 4, 5 и 6 — асфальтированное шоссе, соответственно va—40, 60 и 80 км/ч; ..
V*pi ст.с
—
бр1
14 Зак. 3363
(если 6pi/6P2 2,5 4-3,0, рис. 81, а). Однако среднее квадратическое
углов наклона кузова имеет меньшее значение в том случае, если прогиб
передней подвески больше прогиба задней (рис. 80,6 и 81, б).
По литературным данным, считается, что оптимальное по плавности
хода соотношение между прогибами подвесок следующее: прогиб
передней должен быть больше прогиба задней в 1,1 —1,4 раза [34].
При этом меньшие значения отношения 6pi/6P2 более благоприятны при
малых скоростях движения (уа 30 км/ч). Этот вывод был сделан
на основании анализа динамики переезда автомобилем единичной
неровности. Однако расчеты и экспериментальные данные1 показы-
вают, что при случайном возмущении от дороги углы наклона кузова
автомобиля имеют минимальные значения при отношении прогибов
подвесок 6pi/Sp2 = 1,4 4- 1,6. Ускорения уменьшаются при смягчении
как передней подвески по сравнению с задней (по крайней мере до
отношения 6р1/6р2 = 2,5 4-2,7), так и задней по сравнению с передней.
Для того чтобы выявить в чистом виде влияние соотношения
прогибов подвесок, моделировались колебания автомобиля ЗИЛ-114
при различных сочетаниях ср г-. Характеристики рессор были линейными,
и в качестве нормального варианта был принят вариант, при котором
передняя и задняя подвески одинаковы по характеристикам рессор, шин
и демпфирования. Жесткости рессор варьировались от сРг = 0,5ср.с до
ср г = 1,5ср.с (сР.с = ЮО кгс/см — жесткость серийной задней подвески
ЗИЛ-114), все прочие параметры не менялись. Брались всевозможные
сочетания ср! и ср2 в указанном диапазоне их изменения. Результаты
расчетов приведены на рис. 82, а и б, где жирная сплошная линия
соответствует cPi = ср2, а штриховая — cpi + ср2 = const. Так как у ав-
томобиля ЗИЛ-114 расстояния от центра тяжести кузова до осей
подвесок практически одинаковы (а « б), то вариант cpi + сР2 = const
соответствует случаю, когда продольно-угловая жесткость подвесок не
менялась и изменение угловых колебаний происходило только из-за
изменения соотношения 6pi/SP2- Случай cpi = сР2 соответствовал наибо-
лее сильному изменению са.
При движении со скоростью иа — 25 км/ч по булыжной дороге (по
асфальтированному шоссе в диапазоне скоростей 60—120 км/ч)
изменение только отношения 6Р1/бР2 мало влияет на <ja’ которое остает-
ся практически постоянным при всех значениях этого отношения.
/Можно только отметить слабо выраженный максимум, при 6pi/6P2 = 1
и va = 25 км/ч. При скорости va = 50 км/ч при движении по булыжной
дороге предпочтительность более мягкой передней подвески проявляет-
ся достаточно четко, хотя эффект по о а получается не очень большой:
уменьшение аа‘ при срг/сР1 = 3 составляет 6—8% по сравнению с о а
при срг/сР1 = 1 и несколько больше (10—12%) юо сравнению с od* при
£p2/^pi = 0,33.
Приведенные данные показывают, что предпочтительнее делать
более мягкую переднюю подвеску при условии сохранения постоянства
как собственной частоты продольно-угловых колебаний, так и суммар-
ной жесткости подвесок.
Таким образом, уменьшение прогибов передней и задней подвесок
благоприятно влияет не только на вертикальные, но и на угловые
колебания автомобиля в продольной (плоскости. При выборе жесткостей
рессор следует исходить из обеспечения минимальных вертикальных
ускорений точек кузова над осями. При этом будут выполнены условия.
1 Подробные исследования этого вопроса провел А. А. Баранов в лаборатории под*
210 вески Московского автомобильного завода им. И. А. Лихачева.
Рис. 82. Зависимость среднего квадратического продольных угловых ускорений ку-
зова автомобиля ЗИЛ-114 от отношения жесткостей передней и задней подвесок при
движении по булыжной дороге в удовлетворительном состоянии:
а —25 км/ч; б - иа - 50 км/ч; /-^-<>.5^; 2 - - 0,75ср2с; 3 - ср2 = ср2с; 4-
Ср2 “l * * ’ 25fp2C; 5 ~ Ср2 в 1 ’ 5ср2С
близкие к оптимальным по угловым ускорениям. При постоянстве
продольно-угловой жесткости подвески равенство прогибов передней
и задней подвесок не является оптимальным соотношением по угловым
перемещениям и угловым ускорениям. Для уменьшения этих перемеще-
ний и ускорений статический прогиб передней «подвески можно делать
в 2,5—2,7 раза больше, чем задней подвески, т. е. больше, чем иногда
принимают.
Влияние поперечной угловой жесткости сф подвесок автомобиля
на его поперечные угловые колебания показано на рис. 83, а и б на
примере автомобиля «Москвич-408» Ч Как видно, изменение сф в 3 раза
сравнительно мало отражается на оф и зависимость оф(сф) имеет
минимум, который соответствует угло!вой жесткости стандартной под-
вески. Среднее квадратическое поперечных угловых ускорений с увели-
чением с ф растет.
Анализ формул (2.135) — (2.137) 'показывает, что наименьшее зна-
чение о ф достигает при сф = 0.
На разбитых асфальтированных и булыжных дорогах, (поверхность
которых близка к изотропному случайному полю, и при малых скоро-
стях движения на других дорогах, когда автомобиль реагирует на
короткие, практически некоррелированные неровности [ip(co) = 0],
спектр возмущения поперечных угловых колебаний (со) близок
к спектру возмущения от одного продольного сечения поверхности
дороги Кд (со). Поэтому зависимость о<р(сф) в первом приближении
будет повторять зависимость аДср), если не учитывать запаздывания
подачи возмущения под задние колеса по сравнению с передними
(одноосный прицеп). С повышением скорости движения различие
в характере этих зависимостей возрастает, так как при спектре
1 При варьировании угловой жесткости подвески все прочие параметры системы,
включая динамический ход подвесок, не изменяли. Варьирование сводилось к про-
порциональному изменению вертикальных жесткостей рессор cPi и ср2. 211
14*
0,5 0,15 1fi
4
Рис. 83. Зависимость не-
которых параметров уг-
ловых колебаний автомо-
биля «Москвич-408» от
поперечной угловой же-
сткости его подвесок
(сфС — угловая жест-
кость серийных подве-
сок):
а — поперечные угловые
ускорения; б — перемеще-
ния кузова; / и 2 — асфаль-
тированное шоссе, соответ-
ственно va — 40 и 80 км/ч;
3 и 4 — булыжная дорога
в удовлетворительном со-
стоянии, соответственно va—
- 15 и 30 км/ч
Кд (со) ~ со-4 спектр Кдд(со) будет приближаться к со-2, а при спектре
К9(со) ~ со-2— к спектру белого шума.
Отметим также следующее: в отличие от вертикальных ускорений
подрессоренных масс поперечные угловые ускорения с ростом скорости
движения не всегда непрерывно возрастают. Если спектральная плот-
ность одного продольного сечения дороги близка к спектру (2.117), то
спектр возмущения поперечных угловых колебаний в области низких
частот оказывается срезанным и стремится к постоянному значению.
Дисперсия полуразности ординат двух сечений микропрофиля дороги
при этом будет постоянной. Поэтому Оф с ростом оа начнет увеличи-
ваться, а затем убывать, так что на определенной скорости зависимость
сГф (уа) будет иметь максимум. Проведенные расчеты показали, что,
например, у автомобиля ЗИЛ-130 эта скорость равна 30—35 км/ч при
движении по булыжной дороге.
В том случае когда спектр возмущения одного продольного сечения
микропрофиля близок к спектру (2.118), спектр возмущений в попе-
речной плоскости уже не будет иметь постоянного значения при малых
частотах, а будет стремиться к спектру (2.117), вследствие этого оф
с повышением оа будет монотонно увеличиваться. Если спектр одного
сечения имеет вид (2.116), то, хотя общая тенденция такова, что Оф с
ростом скорости оа возрастает, у зависимости о ф (оа) возможно появ-
ление максимума. В общем случае спектра (2.114) таких максимумов
может быть два.
3. Влияние ограничения хода подвески
на колебания автомобиля
В приведенном выше анализе влияния жесткости рессор и сопротивле-
ния амортизаторов на колебания автомобиля не учитывалось, что ход
подвески автомобиля ограничен. Общая методика решения задачи
оптимизации параметров «при ограниченном ходе подвески дана в § 3,
ниже будут выведены соотношения для ряда возмущений от дороги и
212 проанализированы полученные результаты [104].
Требуется определить ср и гр, оптимальные по плавности хода, при
условии, что все прочие параметры автомобиля заданы и на дисперсию
относительных перемещений подрессоренных и неподрессоренных масс
наложено ограничение [см. (2.94) и (2.96)]:
DSp<e|. (2.278)
Минимизируемая функция 'Fi — T'jcp, гр) имеет следующий вид
[см. (2.95)]:
rp) + 0DSp, (2.279)
где Чг=Чг(ср, гр)—критерий плавности хода автомобиля; 0 — неоп-
ределенный множитель Лагранжа, находимый по условию (2.278).
Уравнения (2.96), определяющие искомые значения ср и гр,
имеют вид
д^/дср + 0 dD&p/dcp = 0; dW/drp + 0 dD&Jdrp = 0. (2.280)
Решая уравнения (2.280) с учетом условия (2.278) и формул
(2.120) — (2.124), получим формулы для оптимальных значений ср
и гр.
При спектре (2.117) независимо от того, принята ли в качестве
критерия плавности хода дисперсия ускорений или дисперсия третьей
производной перемещений подрессоренных масс, имеем срл = 0 и
rp.o = (M + m)D0oa/2ef. (2.281)
Если ограничения на прогибы принимаются зависящими от скорости
автомобиля е 2 = е2 DQva (где — коэффициент пропорциональности),
то оптимальные параметры системы постоянны и не зависят от иа и £>о-
ср.о = 0; rp.0 = ^L. (2.282)
Отметим, что хотя решение (2.280) получается в виде неравенства,
но оптимальные значения лежат, как правило, на границе области
допустимых значений, поэтому в (2.282) при нахождении ср.о и гр.о
неравенства заменяются равенствами.
В табл. 17 приведены результаты расчетов ср.о, гр.о и параметров
колебаний передней подвески автомобиля ЗИЛ-130 при различных
допустимых значениях вероятности пробоя (разных Хр = бд/о8р).
Спектр возмущения от дороги /Сд(со) = —где £>о = 4,8-1О-4 м,
скорость автомобиля иа = 19,4 м/с. Этот спектр соответствует в первом
приближении спектру возмущения от дороги с булыжным покрытием
в удовлетворительном состоянии. Динамический ход принят равным
ходу подвески серийного автомобиля (бд = 10 см при сжатии и отбое).
Для сравнения в табл. 17 приведены параметры различных подвесок:
а) серийной ср.с = 280 кгс/см, гр.с = 9,7 кгс-с/см; б) с жесткостью,
равной жесткости серийной подвески и с оптимальным демпфировани-
ем, определенным без учета ограничений на ход подвески; в) с предель-
но допустимой жесткостью ср.Пр(^т = 1,2) и коэффициентом -сопротив-
ления серийных амортизаторов. Вероятности отрыва колес от дороги
рассчитаны для статического прогиба шины 2,5 и 1,75 см. 213
Таблица 17
Передняя подвеска автомобиля ЗИЛ-130 Ср, кгс/см ГР’ кгс-с/см ф„ хр ко ‘d9p О2 , М/С2 Ця , СМ ХЭ О сх е ft. ft?
С оптимальными параметрами, вы- численными с учетом ограниченности динамического хода (ср.о и гр.о) 0 0 9,7 13,9 — 2,92 3,5 3,43 2,86 4,18 5,0 1,78 1,61 0,18 0,025 8,1 16,2 6,0 13,8
0 18,3 — 4,0 2,50 5,75 1,55 3,2-10“3 5,3 13,0
0 28,5 — 5,0 2,0 7,17 1,58 ЗЮ""6 5,7 13,6
Серийная (ср.с и гр.с) 280 9,7 0,210 2,92 3,43 6,55 1,6 0,18 5,93 13,6
С жесткостью серийной подвески и оптимальным по ускорениям коэф- фициентом сопротивления амортиза- торов (ср. с и гр, о) С предельно допустимой по ускоре- ниям жесткостью подвески и коэффи- циентом сопротивления серийных амор- тизаторов (ср пр и гр с) 280 104 11,7 9,7 0,254 0,345 3,2 2,92 3,13 3,43 6,45 4,6 1,53 1,67 0,069 0,18 5,20 12,7 6,7 14,7
Примечание. Параметры в числителе определены при 6Ш.С =2,5 см, а в знаменателе — при
вШ.С=1’75сМ-
При спектре (2.118), если критерием плавности хода является
дисперсия ускорений, имеем
Л42сш + (М + т)2ср.о Г 2ср.о
гр-°=------й--------V т;—;
Мсш У М±т
= МЦМ + т).
(2.283)
(2.284)
Если ограничения на прогибы принять зависящими от скорости
автомобиля е/ = efDtvf, то оптимальные параметры системы можно
записать так:
ср.о = у/ М2(М + т)/8е1: (2.285)
214
Если критерием плавности хода служит дисперсия третьей
производной абсолютных перемещений подрессоренных масс, то конеч-
ные формулы Ср.о и Гр.о получить невозможно, но решение уравнений
(2.280) можно упростить. Для нахождения ср.о необходимо решить
следующее уравнение:
5 4 3 М2сш 2 М2(М+т)Р^а6 ...л
Ср.о СР °2 (М + тУ Ср'° 8е| Ср’° 4ef (М + т) 8е|(Л4 + т)3
(2.286)
Оптимальное сопротивление амортизатора определится через гр.о*
гр О ——VЗМ2(М + т)сш + 2(М + /п)3ср.о. (2.287)
Мсш
Приняв е'| = ₽iD1ya, вместо (2.286) можно написать
5,43 ЛГсш 2 МЦМ + т) М4сш
Cpo + C₽-°TW^ ₽° 8ef P-°M(M + m) 8e|(MW ’
(2.288)
т. е. Ср.о и гр.о при этом не зависят от скорости движения и категории
дороги.
В табл. 18, аналогичной табл. 17, приведены результаты расчетов
Гр.о и Ср.о Для передней подвески автомобиля ЗИЛ-130 при его движе-
нии со скоростью va = 10 м/с по грунтовой дороге со спектром возму-
щения К9(<о) = £>1У3<о-4 (£>i = 2,90-10-3 м-1).
Таблица 18
Передняя подвеска автомобиля ЗИЛ-130 V кгс/см гр’ кгс • с/см ♦п хр см о- Z , м/см2 см р проб’ % р отр’ %
С оптимальными пара- 113 196 20,7 29,6 0,707 0,765 1,98 3,0 5,06 3,33 5,4 6,4 0,95 1,07 2,4 0,14 0,43
метрами, вычисленными с учетом ограниченности динамического хода (ср.о 4,90 0,96
И Гр.о) 5,2
-287 39,0 0,835 4,0 2,50 7,25 1,20 3,2-10~3 1,88
7,20
387,5 49,4 0,908 5,0 2,00 8,1 1,36 3-10—6 3,19
10,00
Серийная (ср.с и гр.с) 280 9,7 0,210 1,98 5,06 8,20 1,26 2,4 2,4
8,2
С жесткостью серийной 280 26,8 0,508 3,23 3,1 6,8 1,08 0,06 1,0
подвески и оптимальным по ускорениям коэффи- циентом сопротивления амортизаторов (ср.с и гр.о) 5,25
С предельно допусти- 13 9,7 0,970 0,455 22,0 3,6 0,80 32,5 0,1
мой по ускорениям жест- костью рессор и коэффи- циентом сопротивления серийных амортизаторов (cp.np’z и гр.с) 1,5
Примечание. Параметры в при 5Ш.СТ = f.75 см. числителе определены при &ш.ст=2,5 см, а в знаменателе —
При спектре (2.116), с помощью которого можно аппроксимировать
спектры возмущения большинства типов дорог, если критерием плав-
ности хода служит дисперсия ускорений, то уравнения решаются и
Г -| / ^Р-0 (м + т)сРосш + м! [М2Сш + (М+т)2Сро] . /2 2891
г [сщ + (М + т)(1>2] Мсш<01
215
£р.о
М2со? [сш + (M + /п)(й1] .
(2.290)
Если ef = efDova, то вместо (2.290) получим
£р.О --
/" —[сш + (М+ m)(i)f].
г 8е ।
(2.291)
В отличие от предыдущих случаев ср.о и гр.о зависят от скорости
автомобиля (так как <oi = М^а), но не от уровня возмущения Do. Для
того чтобы оптимальные параметры не зависели от скорости движения,
необходимо принимать более сложную зависимость от нее допустимого
среднего квадратического прогиба подвески еь
Если критерием плавности хода служит третья производная пере-
мещений (подрессоренных масс, то оптимальная жесткость рессор оп-
ределяется .уравнением пятого порядка:
2ср.от(Л4 + /п)еj [сш + со2 (М + /и)]2 + Зср.0<в2щМ2сше4 [сш + со2(М + т)] —
—0,25cp.oDofaAl2(Al + /п)2 [сш + <в2(Л4 + щ)]2(сш-|-/п(1)?)со?—
—0,5cp oDoVaAl4(M + tn) [сш + <в2(Л1 + /«)] (сш + /?мо?)©1Сш—
—0,25Р^1®?М6Сш(сш + тсо?) = 0, (2.292)
Таблица 19
Передняя подвеска автомобиля ЗИЛ-130 V кгс/см ГР’ кгсх ХС/СМ фп ’V см хр а •, Z м/с2 » ш см ^проб’ % ^отр’ %
С оптимальными пара- 167 20,0 0,562 1,48 6,76 2,17 0.46 ЗЮ-6 7,2-10—3
метрами, вычисленными с учетом ограниченности хода (ср.о и Гр.о) 10~6 8,7-10~3
93,5 12,3 0,469 2,0 5,0 1,74 0,47 310~6
10-6 1.8-10~2
70 9,85 0,425 2,5 4,0 1,58 0,50 3,210~6
3-10“6 3,5-10~~2
51,2 7,9 0,401 3,33 3,0 1,43 0,54 1.35-10-1
2-10~4
Серийная (ср.с и гр.с) 280 9,7 0,210 1,48 6,75 2,56 0,52 10~6 3,4-10~2
1,2-IO--4
С жесткостью серийной 280 15,2 0,329 1,33 7,52 2,42 0,47 10—6 9-1Q—3
подвески и оптимальным 1 —6
по ускорениям коэффици- ентом сопротивления амортизаторов (ср.с и гр.о) 10
С предельно допусти- мой жесткостью рессор 38,7 9,7 0,564 2,92 3,42 1,46 0,50 0,034 1,8-10~3
и коэффициентом сопро- тивления серийных амор- тизаторов (Ср.пр и гр-с) ЗЮ-6
Примечание. Параметры в числителе определены при &шст =1,75 см, а в знаменателе —
ПРИ бш.ст = 2’5 см‘
216
а оптимальное сопротивление амортизаторов
гр.о = 2т(М + т)сшсро + 2<а2т(М + т)2 сро + 3(л2тМ2сш. (2.293)
В табл. 19 и 20 приведены результаты расчетов соответственно
''р.о и Ср.о для передней подвески автомобиля ЗИЛ-130 при его движе-
нии со скоростью иа = 25 м/с по асфальтированному шоссе в удовлет-
ворительном состоянии (DQ = 2,70-10~5 м, Xi = 0,6 м-1) и со скоростью
va = 15 м/с по ровной грунтовой дороге (Do = 3,0-10-5 м, = 2,0 м-1)-
Спектр возмущения имеет вид Кд(со) = £>оиа(со2 + )со~4.
Анализ полученных для ср.о и гр.о формул и результатов выполнен-
ных расчетов позволяет сделать следующие выводы:
1. Если ограничения на деформации рессор не зависят от дороги
и скорости движения (Do, уа), т. е. принята вероятность пробоя подвес-
ки постоянной, то оптимальные значения жесткости рессор и сопротив-
ления амортизаторов существенно зависят от Do и уа, поэтому при значи-
тельном изменении скорости движения и ровности дороги подвеску авто-
мобиля необходимо регулировать как по Гр, так и по ср.
Если потребовать, чтобы вероятность пробоя определенным обра-
зом снижалась с уменьшением DQ и уа, то гр.о и ср.о должны быть по-
стоянными. Второй подход представляется более логичным, .так как
Таблица 20
Передняя подвеска автомобил я ЗИЛ -1 3 0 V кгс/см v КГСХ хс/см % см хр <5 •• , Z М/С2 < ш см р 0/ проб’ /0 '’отр’ %
С оптимальными пара- 120 91 18,9 15,1 0,625 0,572 2,05 2,05 4,88 4,0 2,42 2,2 0,48 0,47 2,5-10“5 0,0032 2 10~2
метрами, вычисленными с учетом ограниченности динамического хода (ср.о и Гр.о) 10“6 1 • 10~2
10“6
67 12,40 0,549 3,33 3,0 2,0 0,475 0,135 2-10~2
10“6
49 10,3 0,534 4,00 2,5 1,84 0,49 0,62 2,5-10~2
10-6
Серийная (ср.с и гр.с) 280 9,7 0,210 2,05 4,88 3,35 0,59 2,5-10—5 1,5-КГ*
1,810“6
С жесткостью серийной 280 18,5 0,400 1,48 6,76 3,0 0,52 10“ 6 4-10“2
подвески и оптимальным по ускорениям коэффици- ентом сопротивления амортизаторов (ср.с и гр.о) 2-10-4
С предельно допусти- мой жесткостью подвески и коэффициентом сопро- тивления амортизаторов (ср-прг и гр с) 20 9,7 0,789 6,25 0,625 1,08 0,49 26,5 2,5-10—2
10-6
Примечание. Параметры в числителе определены при &ш<ст =1,75 см, в знаменателе — при
Бщ.ст = 2,5 см-
217
Рис. 84. Зависимость от скорости жесткости рессор и коэффициента сопротивления
амортизаторов передней подвески автомобиля ЗИЛ-130, оптимальных по ускорени-
ям подрессоренных масс (дд.отб = бдсж = 10 см):
а—спектр К^(со) — Dova<o"“2 при DQ — 4,8 • 10““4 м; б —спектр Кд (со) — при Df*
« 2,9 • 10-3 м-1; ------ограничение хода не зависит от скорости;------ограничение хода
2
зависит от скорости; 1 —et 3,43 см — ccnst; 2 —8| ~~ Dova; 3— — 5,06 см — const;
4 —«I
в нем лучше сочетаются требования плавности хода и долговечности
подвески. В первом случае можно, меняя гр.о и ср.о с изменением уа,
добиться лучшей плавности хода при любой скорости, но деформации
рессор окажутся при этом одинаково большими на всех скоростях
(рис. 84 и 85).
2. Если при расчетах гр.о и ср.о брать вероятности пробоя, соответ-
ствующие вероятностям пробоя подвесок существующих автомобилей,
то оптимальные жесткости рессор, определенные для спектра возму-
щения (2.118) с учетом ограниченности хода подвески, оказываются
(по крайней мере для грузовых автомобилей общего назначения)
близкими к предельно допустимой жесткости рессор с* ~ для спектра
(2.117). Это позволяет достичь удовлетворительной плавности хода
одновременно на асфальтированной, грунтовой и булыжной дорогах,
если выбрать жесткость рессор, равную оптимальной по ускорениям
для дороги со спектром (2.118). Но демпфирование в подвеске, как
правило, нельзя выбрать одинаковьш для всех дорог. Его следует
менять с изменением спектра возмущения.
Например, для передней подвески автомобиля ЗИЛ-130 можно
принять ср = 100 4- ПО кгс/см (6piCT = 140 4- 160 мм). Жесткость под-
вески (с учетом ограниченности ее хода) будет оптимальной на дорогах
со спектром, близким к (2.118), и предельно допустимой по вертикаль-
ным ускорениям при = 1,2 на дорогах со спектром (2.118). Для
более общего вида спектра (2.117) жесткость подвески также будет
близка к оптимальной при больших скоростях движения или к предель-
но допустимой при малых. Сопротивление амортизатора следует брать
равным 20 кгс-с/см при спектре (2.118) и в 2 раза меньше при спек-
тре (2.117).
4
218
Рис. 85. Зависимость среднего квадратического ускорений передних подрессоренных
масс и деформаций передних рессор автомобиля ЗИЛ-130 от скорости:
а —спектр (й)) = b0va(i)““2 при DQ = 4,8 • 10““4 м; б — спектр Кд (<о) — DjUaco““4 при
=-2,9-10-3 м“"Ц / и 2 — соответственно о2 и од при сро=0, гр “= rp.o(fp.o и гр.о вычисле-
ны при С| — 3,43 см — const); 3 и 4 — соответственно о2 и °б ПРИ ср — 280 кгс/см; гр —
«9,7 кгс • с/см (серийная подвеска); 5 и 6 — соответственно о2 и при ср — ^р.пр’й» 'р®3
— г (г вычислено при е( «^3,43 см — const, ^р.Пр’2”“пРи k 1»2 и гр — гр о); 7 и в —
соответственно о‘2' и Од при ср — 0 » const, гр — 9,7 кгс • с/см — const; 9 и 10 — соответст-
венно о 2 и од при c^np’z’"104 кгс/см — const, Гр-9,7 кгс • с/см — const; //и 12 — соот-
ветственно Ог и Одр при Ср - Ср о, Гр - Гр о (Ср о и Гр о вычислены при О8р - 5,06 см - const);
13 и 14 — соответственно о2 и °б <ПРИ ср “ 280 кгс/см и гр — 9,8 кгс * с/см (серийная Под-
веска); 15 и /6 — соответственно о4" и о* при с — 113 кгс/см, г —20,7 кгс • с/см (значе-
п Р Р
2 3\
ния оптимальные по о2‘ при gj DyV^)
При таком изменении параметров подвески по сравнению с суще-
ствующими уменьшается вертикальное ускорение на 25—35% при всех
условиях движения (рис. 84 и 85). При этом вероятности пробоя под-
вески и прогибы рессор в одинаковых условиях движения будут рав-
ными вероятностям пробоя и прогибам существующей передней
подвески автомобиля ЗИЛ-130.
Следует отметить, что параметры передней подвески автомобиля
ЗИЛ-131 более близки к желаемым, чем у автомобиля ЗИЛ-130. Если
исходить из вероятностей пробоя существующей подвески автомобиля
ЗИЛ-131 (ср = 290 кгс/см, гр = 26 кгс-с/см, груженый автомобиль), то
на дороге со спектром (2.118) должно быть гр.о == 33 кгс-с/см и ср.о =
= 190 kdc/cm, а на дороге со спектром (2.117) —гр.о = 26 кгс-с/см и
Ср.пр г = 240 КГС/СМ (рис. 86).
4. Влияние нелинейности упругих характеристик рессор
на колебания автомобиля
Упругие характеристики подвесок автомобиля всегда нелинейны, так
как в любой подвеске есть ограничители хода. Поэтому о линейных
характеристиках можно говорить или при отсутствии пробоя подвесок,
или когда вероятность этого события не может заметно повлиять на
эквивалентные значения жесткости подвесок. Но упругие характери-
стики могут иметь нелинейный характер и в рабочем диапазоне
прогибов рессор. В зависимости от того, уменьшается ли, остается
постоянной или увеличивается жесткость рессор с ростом их деформа-
ции, упругие характеристики делятся на регрессивные, линейные и
прогрессивные (рис. 87).
В реальных конструкциях подвесок используются, как правило,
прогрессивные или линейные характеристики подвесок [34, 35], так как
при регрессивных, если малы уровни возмущений, возникают ускоре-
ния, большие, чем при линейных и прогрессивных, а при средних и
больших уровнях возмущений большими получаются прогибы подвесок
и вероятности их пробоя.
Рессоры с линейными характеристиками применяют в том случае,
когда статическая нагрузка на рессоры изменяется незначительно
(передние подвески грузовых автомобилей, подвески некоторых легко-
вых). Упругие элементы ^прогрессивными характеристиками широко
применяют в задних подвесках грузовых автомобилей, автобусов и
легковых автомобилей, т. е. тогда, когда статическая нагрузка может
значительно изменяться. Это позволяет поддерживать частоту собствен-
ных колебаний подрессоренных масс постоянной при различных
нагрузках на автомобиль. Одновременно прогрессивная упругая ха-
рактеристика подвески дает возможность уменьшить изменение высоты
автомобиля при изменении нагрузки и иметь малый динамический ход
при достаточной энергоемкости подвески. Наиболее полно эти возмож-
ности реализуются при регулируемых упругих элементах (пневмати-
ческих, гидропневматических и т. п.) с нелинейными характеристиками
которые все шире применяются в подвесках грузовых автомобилей
(особенно большой грузоподъемности), автобусов и даже легковых
автомобилей высокого класса.
Рассмотрим, как изменяется эквивалентная жесткость рессор при
нелинейной (прогрессивной) упругой характеристике подвески.
Если характеристика линейная (в рабочем диапазоне прогибов
220 рессор), то эквивалентная жесткость подвески может увеличиваться
Рис. 87. Упругие характеристи-
ки подвесок:
1 — линейная; 2 — регрессивная;
3 — прогрессивная (бр - 0 соответ-
ствует статическому положению)
лишь вследствие работы упругого элемента в режиме пробоя, когда
деформируется ограничитель хода подвески. В этом случае [см. (2.177—
2.180)]
£р.Э = ^ОСН 4” ^огр^проб» 294)
где Сосн — жесткость основного упругого элемента;
Corp — жесткость ограничителя хода.
При правильно спроектированной подвеске вероятность пробоя
должна быть не -более 0,01. Если жесткость ограничителя даже на
порядок больше жесткости основного упругого элемента, то эквива-
лентная жесткость будет превосходить жесткость последнего не более
чем на 10% (см. рис. 73 и 74). Поэтому при расчетах изменением
эквивалентной жесткости вследствие вступления в работу ограничи-
телей хода в первом приближении можно пренебречь.
Иногда ограничители хода являются фактически дополнительными
упругими элементами, которые часто включаются в работу, имеют
значительные деформации и существенно влияют на упругую харак-
теристику подвески в рабочем диапазоне прогибов рессор. Такие
ограничители — дополнительные упругие элементы ставятся, например,
в подвесках легковых автомобилей. В этом случае при расчете ср.э
пренебрегать работой ограничителя хода нельзя (см. рис. 73 и 74).
Если характеристика упругих элементов подвески в рабочем диа-
пазоне прогибов нелинейная и может быть достаточно точно аппрокси-
мирована кусочно-линейной функцией, то эквивалентная жесткость
определяется по формулам, приведенным в § 4 гл. 2.
Наиболее часто нелинейность создается введением дополнительного
упругого элемента (подрессорника), имеющего линейную характеристи-
ку. В этом случае
ср.э = Сосн + сп? 1» (2 • 295)
где са — жесткость дополнительного упругого элемента; Pi—вероят-
ность вступления в работу дополнительного упругого элемента.
По формуле (2.295) можно не только определять ср.э для известной
упругой характеристики, но и выбирать при проектировании подвески
момент включения дополнительного упругого элемента. Для этого
необходимо задать допустимую степень отклонения ср.э от с0, т. е.
вероятность включения дополнительного элемента в расчетных усло-
виях движения автомобиля. 221
Если упругая характеристика
Fp(6р) = ! С°6р + C‘6p" П₽И 6р > °; (2.296)
I с06р—с2|6рГ2 при <5р<0,
то, принимая mgp = 0 (деформацию рессор бр отсчитывают от
положения статического равновесия), можно определить ср.э по фор-
муле
с. (<тй /2)"11-1
с с I р г ( mi Ч-2 \ .
ср.э — со Н 77= 1 т-------- ) + С2
У Л \ 2 J
Для наиболее часто используемых
упругих элементов можно написать:
р.э
(gr /г)"12-1
—Р----------(2.297)
характеристик (т,- = 2; 3)
£р.э
(2.298)
ср.э — со + + fy) а&р — •
Сравним подвески с линейной и
упругими характеристиками, которые при прогибе 61 (отсчитываемом
от положения статического равновесия) обеспечивают одинаковые си-
лы Fq в упругом элементе (см. рис. 87), т. е. подвески, имеющие при
одинаковых динамических ходах одинаковые коэффициенты динамич-
ности Кд *. Примем, что нелинейные упругие характеристики симмет-
ричные (гщ =* т2 = тр> 1,0; С\ = с2 = с) и имеют вид (2.296) при
со = 0.
Если обозначить жесткость линейной рессоры через ср = F0/6i, то
коэффициент
(2.299)
прогрессивной нелинейной
с = ср6Г'”р+1. (2.300)
В соответствии с формулой (2.297) получим, что эквивалентная
жесткость нелинейной рессоры
• Ч / ]/2 \тр—1 /т₽ + 2\
р э /л \ Лр ) Ц 2 ) ’
(2.301)
где Л.р = fii/aSp—параметр, характеризующий вероятность появления
перегрузки Fo = 7<Д6СТ.
При спектре возмущения (2.117), когда не зависит от жестко-
сти рессор (жесткость шин и сопротивление амортизаторов постоян-
ные), эквивалентная жесткость рассматриваемых нелинейных упругих
элементов может быть рассчитана по формуле
тр-1
2с Г (М+ m)Dova-i 2 /тр + 2\
Ср э = —т=~ ------------ Г ( —---------)..
/л L гР J \ 2 /
(2.302)
Дисперсия вертикальных ускорений
РрУа
Сшгр t (М + т) 4с2
М2 + М2гр
тр-1
(М + т)Роуа
гр
(2.303)
* Под коэффициентом динамичности подвесок понимается отношение максималь-
ной силы в упругом элементе при его деформации до упора в ограничитель к статиче-
ской нагрузке GCT.
222
Для спектра (2.118) эквивалентная жесткость
У-1
2с Гп з/(Л4 + т)2 , Л42 XT 2 / тр + 2 ч
ср.э — -Г— Ь'ра I I 1 I I - )•
Г L \ 1РСШ 7"рСр-Э / J \ 2 /
(2.304)
Это уравнение в общем случае можно решить методом последова-
тельных приближений. В частных случаях
при тр = 2
з 4с2 (М+т) 4с2 м2 з
Ср.э-----г=----------------ср.э------------Ора = 0;
V л ГрСш л Гр
при /Пр = 3
2 3cDlva (M-f-m)2 Зс DifaM2
Ср.э £р.э —
2 г рсш 2 Гр
(2.305)
(2.306)
Определим, при каком показателе степени тр упругий элемент
с прогрессивной нелинейной характеристикой при расчетных условиях
будет иметь эквивалентную жесткость, равную жесткости линейной
рессоры (т. е. одинаковые плавность хода и прогибы подвесок). В этом
случае для нахождения тр необходимо решить уравнение •
/л = / /2 у^р"1 г / ^р + 2 \
2 < Хр ) I 2 )
(2.307)
и взять корни, для которых тр > 1,0.
Можно поставить задачу, если Лд прогрессивной характеристики
такой же, как у линейной характеристики, то при каком тр прогрес-
сивная характеристика будет иметь минимальную эквивалентную
жесткость. Такая задача имеет смысл для спектров возмущений от
дороги, при которых деформации рессор не зависят от их жесткости
[спектр вида (2.117), белый шум], и означает, что отыскивается
величина тр, при которой в расчетных условиях движения плавность
хода автомобиля с нелинейной прогрессивной характеристикой подвес-
ки будет наилучшей по сравнению с плавностью хода «линейного»
автомобиля (при тех же прогибах). В этом случае необходимо
решить уравнение
21"(-Йг)=’’р7±)- ' (2'3°8’
где ф(и)—логарифмическая производная гамма-функции.
Отметим, что вычислить <р(и) можно, ‘пользуясь следующим рекур-
рентным соотношением:
<p(u + 1) = ф(и) 4- 1/и, (2.309)
с»
учитывая, что <р(1) = —с, где с = — J e~z In tdt 0,577 — постоян-
0
ная Эйлера-Маскерони.
На рис. 88 показано влияние показателя степени тр прогрессивной
нелинейной упругой характеристики на эквивалентную жесткость
подвески при различных параметрах Хр. Для удобства сравнения по
оси ординат отложено отношение эквивалентной жесткости нелинейной
рессоры к жесткости линейной (см. рис. 87). Значения /пр, при
которых отношение ср.э/ср минимально или равно 1, существенно зави- 223
Рис. 88. Влияние показателя
степени нелинейной упругой
характеристики рессоры на ее
эквивалентную жесткость
сит от Хр, т. е. от заданного динамического хода подвески бд = 6ь Чем
параметр Хр больше, тем выше может быть степень 'нелинейности упру-
гой характеристики подвески. Если расчетные условия (тип дороги,
скорость движения и ход подвески) таковы, что Хр 1,5-=- 1,7, то
в этих условиях эквивалентная жесткость прогрессивной нелинейной
подвески больше, чем линейной. Поэтому при одинаковых коэффици-
ентах динамичности плавность хода автомобиля с нелинейной
характеристикой подвески в расчетных условиях будет хуже, чем плав-
ность хода автомобиля с линейной характеристикой подвески.
При уровнях возмущений, меньших, чем в расчетном режиме, ср.э
для нелинейной прогрессивной упругой характеристики может быть
меньше, чем жесткость ср сравниваемой линейной характеристики, что
видно из рис. 89, а и б График на рис. 89, а построен для спектра воз-
буждения (2.117) при £)0 = 4,8-10~4 м (дорога с булыжным покрыти-
ем), а на рис. 89,6 для спектра (2.118) при Di =2,9-10—3 м-1 (грунто-
вая дорога). Расчетные параметры соответствовали параметрам
передней подвески автомобиля ЗИЛ-130: М = 200 кгс-с2/м, т =
= 50 кгс-с2/м, гр = 10 кгс-с/см, сш = 1200 кгс/см, 61 = 8 см для дороги
с булыжным покрытием и 61 = 10 см для грунтовой дороги. Жесткость
линейной рессоры ср = 300 кгс/см, т. е. для дороги с булыжным покры-
тием принимался коэффициент динамичности Кд = 1,2, для грунтовой
дороги Лд =1,5. На рис. 89, а и б отмечены жесткости ср>пр- и c**np^,
при которых среднее квадратическое вертикальных ускорений подрес-
соренных масс отличается от минимально возможных при ср = 0 не
более чем на 10%. На р»ис. 89,6 показана также оптимальная жест-
кость, определенная с учетом ограничений на ход подвески по форму-
лам (2.283) и (2.284) (сопротивление амортизаторов равно 23 кгс-с/см).
Среднее 1квадр этическое деформаций рессор овр и вертикальных
ускорений подрессоренных масс рассчитанное для вариантов жест-
костей рессор, приведенных на рис. 89, а и б, показано на рис. 90, а—в.
Анализ формул эквивалентной жесткости рассматриваемых рессор
с нелинейной характеристикой, дисперсий деформаций этих рессор и
ускорений подрессоренных масс, а также результаты расчетов, изобра-
женные на рис. 90, а—в, позволяют сделать следующие выводы.
1. При одинаковых допустимых ходах и коэффициентах динамич-
ности плавность хода автомобиля лучше при подвеске с прогрессивной
характеристикой, чем при подвеске с линейной характеристикой. Если
224 показатель степени тр выбрать по формуле (2.307), то подвески
Рис. 89. Влияние показателя степени нелинейной упругой
скорости движения на эквивалентную жесткость:
а — Кд((л) - £>0va(o”“2; б — Кд (<о) - D1Vg<o“’4
Рис. 90. Влияние показателя степени нелинейной упругой характеристики рессоры и
скорости движения на среднее квадратическое деформаций рессор и ускорений под-
рессоренных масс (гр = 10 кгс-с/см):
а - спектр Kq (о>) - D0va<o~2 при DQ - 4.8 . 10~4 м, 6,-8 си, с£.пр-95 кгс/см, cj о~-
- 0; б и в —спектр КдМ - при D, - 2,9 • 10—3 м-1# « ю см. 15 кгс/см.
гр.о г“ 23 кгс/см 15
15 Заказ 3363
с прогрессивной и с линейной характеристиками обеспечат одинаковые
плавность хода и деформации рессор при расчетном уровне возму-
щений. Однако при уровнях возмущений, меньших расчетного,
подвеска с прогрессивной характеристикой обусловит лучшую плав-
ность хода, чем подвеска с линейной характеристикой, хотя деформа-
ции рессор могут быть и больше. Если же показатель степени /пр
выбрать по формуле (2.308), то подвеска с прогрессивной характери-
стикой даст лучшую плавность хода, но не меньшие деформации
рессор, чем линейная подвеска при расчетном и меньших уровнях
возмущений.
2. Целесообразные значения показателя степени тр нелинейной
упругой характеристики зависят от расчетных условий, динамического
хода подвески и ее коэффициента динамичности. Чем больше параметр
Хр, тем большее значение /пр можно брать, но уже при тр 4 суще-
ственного повышения плавности хода не получается. Поэтому
наиболее приемлемо /ир = 3 ч- 4.
3. Если при линейной упругой характеристике не требовать
обеспечения определенного коэффициента динамичности, а ограничить
только среднее квадратическое прогибов рессор, то нелинейная
подвеска при одинаковых прогибах будет обусловливать худшую
плавность хода, чем оптимальная линейная подвеска (рис. 90, а и б).
Улучшение плавности хода автомобиля путем использования подвески
с прогрессивной характеристикой может быть достигнуто в этом случае
лишь увеличением деформаций рессор (рис. 90, а и в). Отметим, что
последний вывод получен для нелинейных характеристик вида (2.296);
в гл. 3 будет показано, что он может быть распространен на любой
класс нелинейных характеристик.
§ 7. ВЛИЯНИЕ ПАРАМЕТРОВ ШИН
НА КОЛЕБАНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Шина является одним из важнейших звеньев динамической системы,
которую представляет собой автомобиль, и во многом определяет
ее качество. В частности, следующие параметры шины влияют на
плавность хода автомобиля: радиус шины, длина и ширина ее
отпечатка; демпфирующая способность; радиальная жесткость.
1. Сглаживающая способность колеса
с пневматической шиной
Конечность радиуса автомобильного колеса приводит к тому, что даже
при абсолютно жестком колесе траектория его центра будет отли-
чаться от профиля дороги. Следовательно, и возмущение от дороги
будет отличаться от ее профиля. Это отличие зависит от радиуса
колеса, и с его увеличением возмущение от дороги, действующее на
автомобиль, будет уменьшаться. На рис. 91, а и б показаны схемы
переезда жестким колесом через прямоугольный выступ и впадину.
В первом случае траектория центра колеса — условная неровность
имеет длину So, большую, чем истинная длина неровности SH. Длина
условной неровности зависит от высоты q истинной неровности и
радиуса колеса г0 (рис. 92) и растет с их увеличением. Такое увеличе-
ние длины неровности повышает плавность хода автомобиля.
При переезде жестким (колесом впадины (рис. 91,6) условная не-
226 ровность, описываемая его центром, имеет ту же длину, что и истинная
Рис. 91. Переезд жестким колесом препятствий:
а — прямоугольного выступа; б — прямоугольной впадины
Рис. 92. Увеличение длины условной неровности при переезде жестким колесом ра-
диусом го прямоугольного выступа
Рис. 93. Уменьшение высоты условной неровности при переезде жестким колесом
радиусом го прямоугольной впадины (высота неровности q « 3 см):
/ — г0- 33 см; 2 — г0 - 48 см
неровность, но меньшую высоту зависящую от r0, SH и q (рис. 93).
Особенно значительно сглаживаются короткие впадины. Увеличение
радиуса колеса ведет также к уменьшению горизонтальных возму-
щающих сил, вызывающих продольные горизонтальные колебания
автомобиля, плохо переносимые человеком.
Свойство жесткого колеса уменьшать возмущения, передаваемые
на транспортное средство, будем называть сглаживающей способно-
стью колеса, учесть которую при расчете «колебаний автомобиля
довольно сложно, так как соответствующее преобразование профиля
дороги нелинейное (34]. Если запись профиля проводилась нивелиро-
ванием через конечный интервал, то сглаживание выполняется тогда,
когда дискретное множество точек преобразуется в непрерывную
функцию тем или иным интерполяционным преобразованием. Выбрать
способ интерполирования можно только путем сравнения результатов
расчетов колебания автомобиля при таком возмущении с данными 227
15*
эксперимента. Проведенные расчеты показали, что при нивелировании
через 0,25 м на булыжной дороге и простом линейном интерполирова-
нии возмущение получается больше, чем на дороге: расчетные вели-
чины среднего квадратического ускорений подрессоренных масс и
деформации рессор были значительно выше полученных при экспери-
менте *.
При методе записи микропрофиля дороги, описаннОхМ в гл. 1,
сглаживание происходит автоматически, так как при записи исполь-
зуется колесо конечного радиуса (г0 = 35 см). Небольшая разница
радиусов колеса прибора записи и колес автомобиля не может
отразиться на расчетах. Если радиусы колес автомобиля отличаются
от радиуса колеса прибора, то следует проводить корректировку.
Колесо с эластичной шиной кроме конечного радиуса имеет
конечную длину и ширину отпечатка. Это вызывает дополнительное
сглаживание мелких неровностей, размеры которых соизмеримы с раз-
мерами отпечатка шины. Поэтому возмущение от дороги, действую-
щее на автомобиль, оказывается еще более сглаженным в области
высоких частот. Будем называть это свойство шины сглаживающей
способностью шины [34].
При исследовании плавности хода автомобиля основное влияние
(для обычных шин) имеет сглаживание возмущений вследствие конеч-
ной длины площадки контакта. Поэтому в дальнейшем будем рас-
сматривать влияние этого фактора на плавность хода. Сглаживание
профиля сечения дороги по длине площадки контакта получается как
частный случай сглаживания рельефа по площадке контакта (см.
гл. 1). Это преобразование профиля сечения дорожной поверхности
является оператором текущего среднего:
/+/о
?i(0 = -4" f ЯШ1Х, (2.310)
zZo J
/-/о
где q(li) —микропрофиль сечения дороги; qi(l) —сглаженный микро-
профиль сечения; 2/0 — длина площадки контакта.
Частотная характеристика преобразования (2.310) имеет следую-
щий вид (рис. 94, кривая 1) :
НШ(Щ= , (2-311)
Мо
где X = 2л//— дорожная частота, м"1; / — длина волны неровности, м.
В формуле (2.310) предполагается, что длина отпечатка
2/0 = const. Однако вследствие вертикальных колебаний она меняется
в широких пределах около среднего значения, соответствующего ста-
тической нагрузке на колесо и определяемого по формуле
(2/0)ср (2-312)
где бш.ст — деформация шины под действием статической нагрузки,
приходящейся на колесо.
Вследствие этого колебательный характер частотной характери-
стики (2.311) сглаживается. Учитывая это, в первом приближении
ее можно принять следующей (рис. 94, кривая 2):
Яш(/М = *»/(/* +М, (2.313)
где Хв==1,1//0.
228
1 Эти расчеты выполнены А. А. Барановым.
Рис. 94. Частотная характерис-
тика сглаживающей способно-
сти шины
Целесообразность учета сглаживающей способности шины зависит
от передаточной функции динамической системы, эквивалентной
реальному транспортному средству. Например, если сравнить длины
волн неровностей, которые сглаживаются шиной автомобиля (они не
зависят от иа), с теми, ‘которые можно срезать из-за ограниченности
полосы пропускания динамической системы (они зависят от иа), то
оказывается, что:
а) при малых иа сглаживающая способность шины влияет на
некоторые параметры колебаний (ускорения масс, деформации шин
и др.);
б) при больших иа сглаживающая способность шины практически
не отражается на колебаниях автомобиля, так как он реагирует на
неровности, длина которых больше /в = 2z/XB.
Скорость, до которой следует учитывать сглаживающую способ-
ность шины,
^о —(ом/оО,9, (2.314)
где (1)м — максимальная частота в спектре возмущения, на которую
реагирует система.
Например, при 2/0 = 0,2 м и <ом = 125 с-1 получим v0= 11 м/с.
На рис. 95 показано влияние сглаживающей способности шины на вер-
тикальные ускорения точки кузова над задней осью порожнего авто-
мобиля ЗИЛ-130. При расчете на АВМ было принято 2/0 = 0,32 м.
Как видно, учет сглаживающей способности шины при иа 35 км/ч
уменьшает среднее квадратическое вертикальных ускорений. При этом
сходимость результатов расчета и эксперимента при малых скоростях
улучшается.
2. Демпфирующая способность шины
Демпфирующая способность шины обусловлена межмолекулярным
трением в резине и внутренним трением между элементами шины.
Наличие трения приводит к появлению петли гистерезиса на упругой
характеристике шины (рис. 96). Площадь петли, т. е. энергия, рас-
сеиваемая при деформации шины, зависит от скорости деформации и 229
Рис. 95. Влияние сглаживающей способности шины на ускорения передних подрес-
соренных масс автомобиля ЗИЛ-130:
/ — разбитая булыжная дорога; 2 — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии; 3 —
асфальтированное шоссе;------и ------- соответственно без учета и с учетом сглаживаю-
щей способности шины
Рис. 96. Упругая характеристика шины 12,00—20 при давлении воздуха в ней
3 кгс/см2 (^сш—упругая сила шины):
1 — нагрузка; 2 — разгрузка
угловой скорости колеса [34, 35]. При снятии статической упругой
характеристики шины гистерезисная петля 'получается сравнительно
большой, особенно у многослойных шин грузовых автомобилей. Если
экспериментально определять динамические силы трения по затуханию
свободных колебаний автомобиля с заблокированной подвеской или
одного нагруженного колеса, то они оказываются небольшими —
в 3—5 раз меньше статических.
Кривые затухания свободных колебаний показывают, что модель
шины по демпфированию в ней близка к линейной. В среднем коэф-
фициент апериодичности колебаний колеса на шинах легкового
автомобиля 4 = 0,05 — 0,10 [34], а подрессоренных масс грузового
автомобиля при заблокированной подвеске ф = 0,03 4- 0,05 [35].
При исследовании свободных колебаний нагруженного вращаю-
щегося колеса установлено, что коэффициент колебаний затухания
в шине значительно меньше, чем в шине невращающегося колеса.
Коэффициент вязкого трения в шине гш зависит от давления воздуха
в ней. С понижением давления этот коэффициент возрастает.
Наличие трения в шинах благоприятно сказывается на плавности
хода автомобиля, хотя это влияние и невелико. Наиболее сильно оно
230 проявляется на дорогах, в спектре возмущения которых доля высоко-
частотных составляющих относительно большая (булыжная дорога).
Из параметров колебаний автомобиля в наибольшей степени от гш
зависят деформации шин и связанные с ними вероятности отрыва ко-
лес от дороги.
На рис. 97 приведены результаты расчета среднего квадратиче-
ского деформаций рессор и шин, ускорений подрессоренных масс
автомобилей ЗИЛ-130 и «Москвич-407» при различных значениях гш-
Расчеты выполнялись для «линейного» автомобиля при спектре возму-
щения (2.117). Для удобства сравнения по оси ординат отложены
отношения среднего квадратического указанных параметров <ух к их
значениям при номинальном сопротивлении в шине сгхо- Последние
определялись как сопротивление, при котором коэффициент аперио-
дичности фн колебаний неподрессоренных масс на шинах равняет-
ся 0,05.
Влияние демпфирования в шинах на колебания «нелинейного»
автомобиля показано на рис. 98, а и б на примере задней подвески
груженого автомобиля ЗИЛ-130 (приведены результаты моделирова-
ния на АВМ).
Если учитывать реальные значения гш, то пренебрежение затуха-
нием в шинах приводит к небольшому (на 5—10%) завышению сред-
него квадратического деформаций упругих элементов и ускорений
подрессоренных масс. Поэтому при аналитических расчетах такое
упрощение расчетной схемы вполне допустимо. При расчетах на ЭВМ
для повышения точности решения демпфирование в шинах целесооб-
разно учитывать, ссобенно при расчетах колебаний нелинейной
подвески и при определении Ротр.
Следует отметить, что степень влияния гш зависит также от величи-
ны и вида трения в подвеске. При увеличении трения это влияние
заметно уменьшается. Например, если в задней подвеске автомобиля
ЗИЛ-130 принять силу сухого трения FQ = 720 кгс вместо 480 кгс, то
относительное изменение параметров колебаний автомобиля при
варьирования гш в пределах, указанных на рис. 98, а и б, уменьшится
на 25—30%. Влияние гш меньше тогда, когда демпфирование в под-
веске осуществляется силой вязкого или одновременно силами сухого
и вязкого трения. Большее .влияние гш на демпфирование колебаний
автомобиля при действии в подвеске только сухого трения объясняется
тем, что гашение колебаний силами сухого трения в значительной сте-
пени зависит от частоты и амплитуды возмущений.
Рис. 97. Зависимость параметров
колебаний передних подвесок от
коэффициента вязкого трения
в шине:
-------автомобиль ЗИЛ-130; — ав-
томобиль «Москвич-407»; / — <г--/сг
Z 0Z
2-в«р/Ов8Р: 3 /и
// — при номинальном коэффициенте
вязкого трения гш - гиьо
Рис. 98. Зависимость параметров колебаний задней подвески груженого автомобиля
ЗИЛ-130 от суммарного коэффициента вязкого трения в шинах (нагрузка 4000 кгс,
F® -480 кгс):
а — среднее квадратическое ускорений подрессоренных масс и деформаций рессор; б — среднее
квадратическое деформаций шины и вероятность отрыва колес от дороги; 1 и 2 — булыжная до-
рога в удовлетворительном состоянии, соответственно иа— 40 и 50 км/ч; 3 — асфальтирован-
ное шоссе t>a- 70 км/ч
Эквивалентный коэффициент сопротивления гр.э, соответствующий
силе сухого трения, при высокочастотном возмущении с большой
амплитудой становится настолько малым, что его влияние оказы-
вается соизмеримым с влиянием гш. Особенно это проявляется при
гармоническом возмущении с частотой, соответствующей высоко-
частотному резонансу. Как показали эксперименты, проведенные
с рядом автомобилей на барабанных стендах, в этом случае из-за
понижения Гр.э и увеличения отрыва колес в системе могут развиваться
колебания большой амплитуды с частотой, равной частоте собственных
колебаний подрессоренных маге. Подробный анализ явления на АВМ
показал, что демпфирование в шинах имеет большое значение
в формировании условий возникновения этого явления.
3. Потери энергии в шинах автомобиля
при вертикальных колебаниях
Рассуждая так же, как при определении энергии, рассеиваемой в амор-
тизаторах, получим, что математическое ожидание мощности потерь
в шинах при вертикальных колебаниях
rtlNUi = г1и^8ш» (2.315)
232 гДе — дисперсия скорости деформации шины.
Учитывая, что скорость деформации шины дш определяется глав-
ным образом высокочастотными .колебаниями неподрессоренных масс,
можно вычислить, пренебрегая колебаниями подрессоренных
масс. Если еще пренебречь влиянием затухания колебаний в шинах
и жесткости рессор на частоту собственных колебаний и на коэффици-
ент апериодичности колебаний моста (при неподвижном кузове), то
при спектре (2.114)
. Ор^З Азо
ш 2гр (а>2 4-о)3) Д09
(2.316)
где
А30 = + ®з)Сш + т2а>22&згр + + ®3)Гр + + ®3)2грсш] +
+ ©1 [т2Ю2(ОзГр + т2(и2 + ю3)сш + тг2р (co2 + <о3) + гр]; Л09 = /п2(о2® 3 +
+ /П(О2(Оз(сО2 + ®з)Гр + ®2®з{р + ^(®2 + ®з) Сш + (®2 + ®з)^ р^ш + Сш-
Для спектров (2.117) и (2.118) соответственно
О,- _ О0«.»> + (2.317)
2гр т«5 + «агр+сш
_ Di Уд (о о m2c0nC„T 4-Гп Л
D 6 = —L2-3-------—-------. (2.318)
2грсш т<^ + о>3гр + сш
В формулах (2.316) — (2.318) (о3 = ’ 1г*а учитывает сглаживаю-
^0
щую способность шины, длина отпечатка которой 2Z0. Учет этого
фактора при спектрах (2.114) — (2.117) имеет принципиальное значе-
ние, обеспечивая сходимость интеграла (2.85). При спектре (2.118) —
грунтовые дороги
D- °^(тСт + Г1)
дш ог г
zr рсш
(2.319)
Эта формула, не учитывающая сглаживающую способность шины,
дает завышенный результат (до 25% при va = 10 м/с).
Расчеты средней мощности потерь в шинах автомобиля, выполнен-
ные по (2.315) с учетом (2.316) — (2.318), показали, что она
в 4—10 раз меньше мощности, рассеиваемой в амортизаторах. При
этом чем больше высокочастотных составляющих в спектре возмуще-
ния от дороги, тем относительно выше доля потерь в шинах по срав-
нению с потерями в амортизаторах. Например, для шин передних
колес автомобиля ЗИЛ-131 при коэффициенте сопротивления каждой
шины гш = 1,5 кгс-с/см мощность потерь составляет:
а) = 2,0 л. с. при движении по дороге с булыжным покры-
тием (Do = 4,8-10~4 м) с va = 15 м/с;
б) mjv = 0,2 л. с. при движении по грунтовой дороге (D^ =
= 2,5-10~3 м”1) с va = 7,5 м/с.
Напомним, что мощность потерь в демпфирующих элементах под-
весок для этих случаев соответственно равна (см. § 5) 8,2 и 2,3 л. с.
Мощность, дополнительно рассеиваемая .в шинах вследствие
вертикальных колебаний, составляет не более 5% мощности, затра- 233
чиваемой на преодоление сопротивления качению колес NK, которая
также теряется в шинах, вызывая их нагрев. Эта мощность
— /сш6ш^а, (2.320)
где f — коэффициент сопротивления качению; N — нормальная реак-
ция дороги.
Среднее значение NK достаточно точно определяется по формуле
(2.321)
где Сщбш.ст — статическая нагрузка на шины.
4. Влияние радиальной жесткости шин
на колебания автомобиля
Сначала проанализируем влияние радиальной жесткости шин на
колебания автомобиля при спектре возмущения (2.117). В этом случае
при уменьшении жесткости шин улучшается плавность хода вследствие
снижения вертикальных ускорений [см. формулы (2.123) и рис. 99] и
в еще большей степени в результате уменьшения третьей производной
перемещений подрессоренных масс (ее среднее квадратическое
изменяется практически пропорционально сш). В последнем случае
значение шины оказывается решающим, и очень трудно, не меняя сш,
сколько-нибудь заметно уменьшить а-. Наименьшая величина о-и
достигается при сш = 0. Предельное значение сш, при котором Dz
в k раз больше, чем при сш = 0, определится при спектре (2.117)
по формуле
Сш.пр = (*-Ч {М + ")с2р . (2.322)
гр
Радиальная жесткость шин влияет также на ускорения неподрес-
соренных масс, и с ее уменьшением о| уменьшается практически
пропорционально сш. Деформации рессор не зависят от жесткости шин,
а среднее квадратическое скоростей этих деформаций пропорциональ-
но
Анализ формулы (2.117), определяющей зависимость дисперсии
деформации шин, показывает, что в большинстве случаев из ее четы-
v /(М+т)2Гр т ч
рех членов основное влияние имеют второй и третий I ——-----и — L
Удельный вес каждого из них зависит от величины неподрессоренных
масс и трения в подвеске. Два других члена по величине значительно
меньше второго и третьего членов и часто компенсируют друг друга.
Таким образом, с уменьшением сш деформации шин возрастают, но
увеличение о&ш не приводит к повышению вероятности отрыва колес
от дороги, так как рост статического прогиба шины с уменьшением сш
происходит быстрее, чем увеличение о§ш .
При анализе влияния гр и ср на колебания автомобиля не различа-
лись зависимости от этих параметров деформаций шины дш и нормаль-
ной реакции JV, так как N = сшбш и сш принималась постоянной.
В рассматриваемом случае жесткость шин изменяется, поэтому
234 качественный характер зависимости N и бш от сш может быть
Рис. 99. Зависимость параметров ко-
лебаний задней подвески «линейного»
автомобиля ЗИЛ-114 от суммарной
радиальной жесткости шин (спектр
К9(ю) » Dot>a(o~*, у серийного авто-
мобиля сш « 660 кгс/см):
I - Vd^D^; i - /о8ш/Ов₽а;
J-]Zz>j7I>0va; < - У O- /D0va
различным. При спектре (2.117), несмотря на увеличение овш при
уменьшении сш, среднее квадратическое нормальной реакции
«№Сшовш (2.323)
уменьшается.
Среднее квадратическое скоростей деформаций шин о^ш в соответ-
ствии с (2.317) уменьшается с уменьшением сш, поэтому среднее
число отрывов Иотр в единицу времени (в секунду) также будет
меньше:
„отр = ^А_ехРГ_-^1. (2.324)
(Ус ZJI xOjs I
ш L mJ
Средняя продолжительность отрыва
а8
’отр= л—— ехр
ш
^ш.ст
ш
1—ф
(2.325)
может возрастать, т. е. при спектре [2.117] с уменьшением сш отрывы
будут более редкими, но могут быть более продолжительными.
Иной получается зависимость некоторых параметров колебаний от
сш при спектре возмущения (2.118) [см. формулы (2.124)]. Ускорения
кузова в этом случае не понижаются, а растут с уменьшением сш.
Дисперсия третьей производной, как и при спектре (2.117), убывает
с уменьшением сш, но ее изменение происходит пропорционально сш,
а не с^. Немонотонной становится зависимость между ускорениями
мостов и сш. Пр>и сш = (М + т)с^1М достигается минимум зависимо-
сти о j (сш).
Дисперсия деформаций рессор увеличивается с уменьшением сш,
а не остается постоянной, дисперсия скоростей деформаций рессор не
зависит от сш. Деформации шин возрастают с уменьшением Сш, но
Обш увеличивается больше, чем при спектре (2.117). Зависимость 235
дисперсии нормальной реакции дороги от жесткости шины имеет
минимум при значении, определяемом формулой
Gh.o N = (Л4 + т)2 Ср/Mtn. (2.326)
Отметим, что у автомобилей повышенной проходимости, предна-
значенных для работы преимущественно на дорогах со спектром,
близким к (2.118),— грунтовые дороги, жесткости шин приблизительно
соответствуют значениям, определяемым по формуле (2.326). При
этом значении жесткости шины достигается и минимум РОтр- Можно
легко убедиться, сопоставляя (2.124) и (2.324), что, несмотря на рост
, с уменьшением сш, среднее число отрывов в единицу времени
будет уменьшаться, а средняя продолжительность отрыва может
увеличиваться, как и при спектре (2.117).
Качественное различие между влиянием жесткости шины на
колебания автомобиля при разных Кд(со) объясняется уменьшением
затухания низкочастотных колебаний при уменьшении отношения
Сш/Ср [34]. Амплитуда низкочастотных перемещений кузова увеличи-
вается при этом настолько, что, несмотря на смещение резонансных
зон в область более низких частот, соответствующие ускорения
несколько возрастают. Амплитуда ускорений кузова в высокочастот-
ной резонансной зоне убывает с уменьшением сш по линейному закону.
Для получения дисперсии ускорений при возбуждении колебаний
случайным сигналом с тем или иным спектром необходимо умножить
квадрат модуля частотной характеристики на ординаты Кд(со).
В низкочастотной области вследствие постоянства модуля амплитудно-
частотной характеристики при уменьшении сш увеличиваются уско-
рения, так как ординаты Кд(со) возрастают с уменьшением частоты.
В высокочастотной зоне результат получается неоднозначным: если
ординаты Кд(со) возрастают быстрее, чем уменьшается квадрат
модуля амплитудно-частотной характеристики, то ускорения увели-
чиваются; если квадрат модуля уменьшается быстрее ординат Кд(со),
то ускорения уменьшаются. Суммарный эффект зависит от того, что
преобладает: уменьшение ускорений в высокочастотной зоне или
возрастание их в низкочастотной. Для спектра (2.117) уменьшение сш
приводит к уменьшению о2 , но для спектра (2.118) увеличение ординат
(со) оказывается настолько большим, что о- в конечном счете
возрастает.
Аналогичные зависимости имеют место и для других параметров
колебаний автомобиля. Приведенный выше пример хорошо иллюстри-
рует недостаточность исследования плавности хода только по
амплитудно-частотной характеристике, так как в зависимости от Кд(<о)
получаются противоположные результаты по влиянию одного и того
же параметра.
Таким образом, движение автомобиля с мягкими шинами по
дорогам со спектром (2.118), т. е. по грунтовым дорогам и дорогам
с тщательно отделанной зеркальной поверхностью, может оказаться
менее комфортабельным, чем движение автомобиля с более жесткими
шинами. Следует, однако, иметь в виду, что в формулах (2.124) не
учитывается трение в шинах и их сглаживающая способность. При
обычных жестких шинах это вызывает некоторое завышение
параметров колебаний автомобиля. Уменьшение сш приводит к увели-
чению гш и 2/о, и влияние последних может быть более сильным, чем
при больших жесткостях шины. Прежде всего влияние гш может
236 отразиться на низкочастотных колебаниях, демпфирование которых
от суммарной радиальной жесткости шин (спектр = йцил(шг + e>f)w~4 при
Do = 2 W-s м. Xi-М м-'):
а — «линейный» автомобиль: б — «нелинейный» автомобиль; ----------оа — 20 м/с; — — —
оа - 30 м/с
амортизатором недостаточно из-за малых значений сш (малых 6Р).
Поэтому уменьшение сш не сопровождается увеличением о* в такой
степени, как это следует из (2.124).
Сглаживающая способность шины из-за малости высокочастотных
составляющих в спектре возмущения проявляется на указанных выше
дорогах в значительно меньшей степени, чем на булыжных дорогах.
При спектре (2.116), равного сумме спектров (2.117) и (2.118),
действие жесткости шины на колебания автомобиля оказывается
средним между действием этого фактора при каждом из указанных
спектров в отдельности. Степень приближения к одному из этих
спектров зависит от скорости и параметров автомобиля, длины не-
ровностей Li = —, начиная с которой дорожный спектр от вида со~4
переходит к виду со-2 (рис. 100,а и б).
Так как при спектре (2.117) ог снижается с уменьшением сш, а при
спектре (2.118) увеличивается, то при спектре (2.116) жесткость шины
имеет значение, зависящее от скорости движения *и li и оптимальное
по ог :
Сш.ог = Ма("1 + М)Ср/Гр. (2.327)
Например, для передних колес автомобиля ЗИЛ-131 при М =
= 0,6 м_| и гр = 20 кгс-с/см получаем сш.ог= 30 оа кгс/см (оа задана 237
в м/с), и даже при скорости = 30 м/с оптимальная жесткость шины
почти в 2 раза меньше существующей. Из (2.327) следует, что имеется
оптимальное по Oz отношение между жесткостями шин и рессор. Оно
зависит от сопротивления амортизаторов, и чем больше их сопротив-
ление, тем меньше должно быть отношение сш/Ср-
Дисперсии третьей производной и скорости деформаций рессор
с уменьшением сш монотонно убывают. Практически также меняется
и дисперсия ускорений мостов, так как оптимальное по о£ значение
сш получается очень малым и недостижимым при реальных скоростях
движения автомобиля.
Дисперсия деформаций рессор, напротив, при уменьшении сш воз-
растает, хотя и не так сильно, как при спектре (2.118). Аналогичным
образом меняется и деформация шин.
Следует отметить, что характер зависимостей о-и а8р от ПРИ
заданных дорожных условиях определяется скоростью автомобиля.
Например, для автомобиля ЗИЛ-114 при va = 20 м/с они практически
постоянны во всем рассмотренном диапазоне жесткостей шин
(рис. 100, а), но при уа = 30 м/с их увеличение при уменьшении сш
становится заметным, хотя оно сравнительно небольшое.
Рассмотрим, как влияет нелинейность характеристик подвесок и
шин на зависимость от сш параметров колебаний «нелинейного»
автомобиля.
Нелинейность упругих характеристик шин приводит к тому, что их
эквивалентная жесткость сш.э оказывается меньше значения сш.ст,
определяемого в точке упругих характеристик, соответствующей ста-
тической нагрузке (см. рис. 75,а и б). Значение сш.э можно определить
по формулам (2.189) и (2.190) при кусочно-линейной аппроксимации
(2.188) реальной характеристики шины. Эквивалентную жесткость
шины можно определить в первом приближении также по формуле
Сш.э = Сшл:Т[1-Л)Тр], (2.328)
из которой следует, что заметное уменьшение сш.э по сравнению с сш.ст
и, следовательно, влияние Нелинейности упругой характеристики воз-
можно только при больших вероятностях отрыва колес от дороги,
т. е. для порожних автомобилей, движущихся с большими скоростями
по дороге с булыжным покрытием. При снижении жесткости шины
отличие Сщ.э от сш.ст уменьшается из-за уменьшения РОтр-
Все указанные моменты практически не сказываются на колебани-
ях автомобиля при его движении в обычных дорожных условиях
и проявляются лишь в резонансных режимах колебаний, иногда
возникающих из-за местных особенностей дорожных условий (напри-
мер, движение по сборному дорожному покрытию). То же самое
можно сказать и о влиянии нелинейной характеристики рессор на
зависимость параметров колебаний автомобиля от сш-
Для спектра возмущения, близкого к виду.(2.117) или к белому
шуму, при нелинейной характеристике демпфирования в подвеске
зависимость параметров колебаний автомобиля от радиальной жест-
кости шин может значительно отличаться от таковой для «линейного»
автомобиля. Из формул (2.123) видно, что в этом случае при повыше-
нии сш существенно увеличивается среднее квадратическое скоростей
деформаций рессор и уменьшается эквивалентный коэффициент сопро-
тивления демпфирующих элементов подвески гр.э. Это приводит к раз-
личию средних квадратических значений параметров колебаний для
линейных и нелинейных подвесок (см. рис. 100, а и б). Более того,
238 меняется характер зависимостей параметров колебаний от сш. Напри-
мер, для автомобиля ЗИЛ-114 даже при va = 30 м/с снижение сш уже
приводит не к увеличению, а к уменьшению о2 и osp •
Особенно усиливается эффект от снижения жесткости шин, если
демпфирование в подвеске осуществляется только силой сухого трения
(задние подвески грузовых автомобилей с листовыми рессорами).
Согласно формулам (2.204) в этом случае прогибы рессор, например,
не остаются постоянными, как в случае «линейного» автомобиля,
а изменяются пропорционально J/ сш-
Расчеты на АВМ колебаний автомобиля ЗИЛ-130 с шинами раз-
личной жесткости (рис. 101) показали, что если снизить жесткость
задних шин на 25—30%, то это позволяет улучшить плавность хода
и безопасность движения, так как в зависимости от скорости движения
и категории дороги среднее квадратическое ускорений точек кузова
над задней подвеской ог2 уменьшается на 15—20%, деформаций
задних рессор овр2— на 10—25%, ускорений задних мостов о^2 и
третьей производной абсолютных перемещений задних подрессорен-
ных масс о- —на 30—35% (рис. 102, а—в). Среднее квадратическое
деформаций задних шин <У8ш2 возрастает на 10—15%, но вероятность
отрыва колес от дороги уменьшается в 2—3 раза. При этом наиболь-
шее улучшение плавности хода и безопасности движения автомобиля
наблюдается на булыжных дорогах.
При уменьшении жесткостей шин улучшается плавность хода авто-
мобиля также вследствие снижения угловых ускорений кузова.
Например, при одновременном уменьшении на 25% жесткостей шин
передних и задних колес автомобиля ЗИЛ-114 (рис. 103, а и б)
среднее квадратическое продольных угловых ускорений при
прочих равных условиях уменьшается на 8—15% в зависимости от va
и категории дороги. В такой же степени уменьшается ой и для
автомобиля ЗИЛ-130.
Жесткость шин, так же как и жесткость рессор, влияет на взаимо-
связь колебаний передних и задних подрессоренных масс, и пренебре-
гать изменением коэффициента корреляции рё,^ при варьировании
жесткостей шин нельзя. С уменьшением сш этот коэффициент воз-
растает. Особенно это проявляется при больших скоростях движения,
поэтому при одновременном снижении жесткости шин передней и
239
Рис. 102. Зависимость среднего квадратического параметров колебаний задней под-
вески груженого автомобиля ЗИЛ-130 от суммарной радиальной жесткости шин (на-
грузка 4000 кгс» = 480 кгс):
а — вертикальные ускорения точки кузова, лежащей в продольной плоскости над осью под-
вески, и деформация рессор; б — деформация шин и вероятность отрыва колес от дороги;
в — ускорения центра тяжести моста и третьи производные перемещений точки кузова, ле-
жащей в продольной плоскости над осью подвески; / — асфальтированное шоссе, va — 70 км/ч;
2. 3 и 4 — булыжная дорога в удовлетворительном состоянии, соответственно va * 20; 40
и 50 км/ч
Рис. 103. Зависимость среднего квадратического параметров колебаний автомобиля
ЗИЛ-114 от суммарной радиальной жесткости передних и задних шин:
а — продольных угловых ускорений кузова; б — перемещений кузова; / и 2 — булыжная
дорога в удовлетворительном состоянии, соответственно va - 35 и 70 км/ч; 3 и 4 — асфальти-
рованное шоссе, соответственно оа «• 60 и 120 км/ч
задней подвесок степень уменьшения оа оказывается иногда несколь-
ко больше изменения вертикальных ускорений точек кузова над осями
подвесок (например, у автомобиля ЗИЛ-114 при движении с va =
= 70 км/ч по булыжной дороге).
Углы наклона кузова автомобиля зависят от жесткостей шин (и от
жесткостей рессор) в меньшей степени и определяются в основном
микропрофилем дороги и скоростью движения. С уменьшением сш их
среднее квадратическое возрастает.
Таким образом, для многих категорий дорог при снижении
жесткости шин путем уменьшения давления или изменения их кон-
струкции улучшается плавность хода автомобиля и контакт колес
с дорогой [99, 102, 104—107]. Особенно эффективно это при движении
по дорогам с большим уровнем высокочастотных возмущений. В то же
время для некоторых условий движения (дороги с зеркально гладкой
поверхностью, накатанные грунтовые дороги) с уменьшением радиаль-
ной жесткости шин может ухудшиться плавность хода автомобиля
из-за увеличения ускорений подрессоренных масс.
При всех спектрах возмущений от дороги снижение радиальной
жесткости шин вызывает увеличение их деформаций, которые при
мягких шинах приближаются к деформациям рессор. Это является
основным препятствием для уменьшения жесткостей шин. По-видимо-
му, только при условии увеличения радиуса и ширины профиля шины
можно увеличить их статические прогибы по сравнению с прогибами
существующих шин.
§ 1. ЗАДАЧА О ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ
ВОЗМОЖНОСТЯХ ПОДВЕСКИ
1. Постановка задачи
Под принципиальными возможностями подвески понимается наилуч-
шая плавность хода, которой можнб добиться, не считаясь с матери-
альными затратами на подвеску.
Выводы, получающиеся при решении задачи о принципиальных
возможностях подвески, применимы, естественно, не только к авто-
мобилю, но и к другим транспортным средствам. Единственное усло-
вие, которое необходимо иметь в виду, обусловлено тем, что рассмат-
ривается автомобиль. Оно состоит в том, что перемещения между
отдельными звеньями и дорожной поверхностью должны находиться
в определенных пределах. Следует отметить, что никаких предполо-
жений о схеме подвески не делается. Может оказаться, например, что
для обеспечения наилучшей плавности хода в качестве подвески нужно
поставить идеально быстродействующую систему автоматического
регулирования положения кузова со сложным программным управле-
нием, а может быть наилучшей окажется обычная подвеска, состоящая
из рессоры и амортизатора.
Качество подвески в данной задаче оценивается только в отноше-
нии плавности хода при ограниченных прогибах. При этом на
преобразование, осуществляемое подвеской, накладывается условие
физической осуществимости, которое означает, что подвеска должна
реагировать только на известный профиль дороги. Если автомобиль
не имеет специального локационного устройства для определения
профиля дороги впереди, это условие означает, что подвеска должна
реагировать только на пройденный участок дороги. Плавность хода
оценивается единым критерием, учитывающим все виды колебаний.
Ограничение прогибов задается несколькими критериями безопасно-
сти, для каждого из которых назначается предельная величина.
Компоновка автомобиля и кинематика подвески (величина и
моменты инерции подрессоренных и неподрессоренных масс, располо-
жение колес, допустимые относительные перемещения и т. п.) счи-
таются заданными. Неизвестной является только подвеска.
Задача о принципиальных возможностях подвески может быть
решена лишь при теоретико-вероятностном подходе. В качестве
математической модели профиля дороги (дорожных неровностей)
следует использовать только регулярный случайный процесс, а не
отдельную его реализацию. Если подвеска реагирует только на прой-
денный участок дороги, то случайность, органически присущая работе
подвески, обусловлена тем, что профиль дороги впереди движущегося
автомобиля просто неизвестен. В такой постановке задачи работа
подвески рассматривается в отношении качества обработки поступаю-
щей информации о профиле дорожной поверхности. В этом смысле
задача о принципиальных возможностях подвески является частью
общей теории информации и управления. В частности, эта задача для
линейной подвески почти полностью совпадает с известной задачей
Винера — Колмогорова о наилучшем линейном многомерном прогно-
зировании (фильтрации).
Характеристики наилучшей подвески (математическое преобразо-
вание Я, выполняемое подвеской) зависят не только от наложенных
на нее ограничений, но и от характеристик дорожной поверхности.
16*
243
Подвеска является наилучшей только для дороги данного профиля.
Чтобы подвеска автомобиля была наилучшей для всех дорог, ее ха-
рактеристики должны изменяться при изменении характеристик
дорожной поверхности. Поскольку предсказать заранее переезд
автомобиля с одной дороги на другую невозможно, то наилучшая
подвеска должна быть самонастраивающейся. В первом приближении
при этом можно принять, что профиль дороги состоит из достаточно
длинных участков, каждый из которых можно считать стационарным
вероятностным процессом. В этом случае автомобиль с самонастраи-
вающейся подвеской должен иметь подвеску с такими характеристи-
ками, чтобы практически для любой дороги она была близка к наилуч-
шей. Эти характеристики следует просчитать заранее для заданных
статистических характеристик дороги.
При движении автомобиля действительные характеристики дорож-
ной поверхности под ним должны быть определены экспериментально
с точностью, позволяющей считать эту дорожную поверхность реали-
зацией стационарного вероятностного процесса. Затруднения состоят
в том, что точность экспериментального определения статистических
характеристик этого процесса по одной реализации резко падает
с уменьшением времени наблюдения.
Решение задачи о принципиальных возможностях подвески — опре-
деление математического преобразования //, которое осуществлялось
бы подвеской и обусловливало бы наилучшую плавность хода. При
решении этой задачи вопросы экономики, технологичности и т. п. не
рассматриваются. Однако создание конструкции подвески, близкой
к наилучшей, заслуживает специального рассмотрения, так как оно
имеет большое самостоятельное значение. Наилучшая подвеска всегда
может быть реализована с помощью быстродействующей системы
автоматического регулирования положения кузова, управляемой
вычислительной машиной, которая снабжена датчиками для опреде-
ления профиля дороги. Однако если по условию задачи система
должна реагировать только на пройденный участок дороги, то наилуч-
шая подвеска, как правило, оказывается настолько простой, что почти
всегда можно построить близкую к ней подвеску только из пружин и
амортизаторов. Быстродействующая система регулирования положения
кузова при этом не нужна. Требуется только медленнодействующая
система автоматической оптимизации. Эта система работает только
тогда, когда меняются статистические характеристики дороги или
параметры автомобиля: нагрузка, скорость и т. п.
Если плавность хода должна быть лучше той, которую обусловли-
вает подвеска, реагирующая на прошлое, то надо проектировать под-
веску, реагирующую на будущее (впереди лежащий участок дороги).
Такая подвеска при тех же ограничениях может обеспечить в десятки
раз меньшие ускорения кузова, чем подвеска, реагирующая только
на пройденный участок дороги. При этом 'необходимо иметь установку
для определения профиля дороги впереди движущегося автомобиля,
а в качестве подвески должна стоять быстродействующая система
автоматического регулирования положения кузова. Вопросы реализа-
ции наилучших подвесО'К рассматриваются в § 6 настоящей главы.
2. Математическая формулировка задачи
Задача определения принципиальных возможностей подвески сводится
к математической задаче, которая имеет однозначное решение и состоит
244 в отыскании такого физически осуществимого преобразования И, при
котором случайный процесс y(t) = Hx(t) обеспечивал бы минимум
заданного функционала f = f[y(t)] при условии, что заданные функцио-
налы Чгг = *(0] (где Лг — заданные числа); стационарный
случайный процесс x(t) считается заданным. Эта математическая
задача названа изопериметрической задачей приближения случайных
процессов, так как она имеет много общего с изопериметрической
задачей вариационного исчисления. Для определенного класса функ-
ционалов f и Ч^ она заключается в отыскании минимума функционала
k
<₽=f+2№
i=>l
где 0i — неопределенные множители Лагранжа.
Применительно к задаче о принципиальных возможностях подвески
величины в изопериметрической задаче приближения случайных процес-
сов соответствуют: х(/)—профилю дороги; И — преобразованию, осу-
ществляемому подвеской; y(t)—траектории кузова; f — критерию
плавности хода и Тг — критерию безопасности движения._
Наилучшая подвеска (наилучшее преобразование Н) и соответ-
ствующая ей траектория y(t) зависят от вида критериев f и ЧЛ-, а также
от величин Лг, ограничивающих критерии безопасности движения, и от
характеристик профиля дороги. Вид критериев f и Ч^- существенно влия-
ет на возможность решения задачи в общем виде.
3. Линейная система
Пусть x(t) —нормальный стационарный регулярный процесс, а крите-
рии плавности хода и безопасности движения заданы в виде средних
квадратов:
т
(з.1)
1=1
и
= Af{.|A.f/(0-G£x(0|2}, (3.2)
где Ai, Gi — матрицы-строки линейных преобразований, a y(t) —
вектор-столбец случайного процесса. В этом случае наилучшее преоб-
разование Н будет линейным [33]. Эго наилучшее линейное преобразо-
вание будет наилучшим в классе линейных преобразований и для
процесса x(t), отличного от нормального при тех же критериях f и Ч^.
Если наилучшее преобразование И ищется среди класса линейных
преобразований, то любые критерии плавности хода и безопасности
движения могут быть приведены к виду (3.1) и (3.2).
В общем случае, когда критерии f и Чгг- не являются средними квад-
ратами или когда входной сигнал отличен от нормального, наилучшее
преобразование может оказаться и нелинейным.
4. Нелинейная система
Критерий средних квадратов весьма удобен с математической точки
зрения, но не всегда может служить подходящей мерой качества
системы. Более оправдано в качестве критериев безопасности принять
вероятности превышения допустимых относительных перемещений. 245
В этом случае наилучшая подвеска оказывается нелинейной. В качестве
критерия плавности хода можно использовать функционал вида (3.1)
или любой другой от случайного процесса y(t). Однако неудачный
выбор критерия плавности хода может привести к результатам, мало
согласующимся с практикой.
Определение наилучшей нелинейной подвески — довольно сложная
задача. Профиль задается при этом как диффузионный процесс x(t),
а преобразование профиля дороги в траекторию кузова — системой
дифференциальных уравнений
^- = F(x,yi), (3.3)
at
где F(x, yi)—неизвестная матрица, которую следует выбирать так,
чтобы обеспечить минимум критерия плавности хода; yi(t) —векторный
случайный процесс, первые k компонентов которого определяют траек-
торию кузова y(t), а остальные — вспомогательные. К этим уравнениям
надо добавить уравнения, определяющие x(t) как диффузионный
процесс:
^/Л = Л(х) + /2(х)В(0, (3.4)
где х = x(t) и fi(x) —векторы-столбцы; f2(x) — матрица; —и-мер-
ный нормальный белый шум. Уравнения (3.3) совместно с уравнениями
(3.4) определяют диффузионный процесс z(t), первые п компонентов
которого являются профилем дороги x(t), следующие k компонентов —
траекторией кузова #(/), а остальные компоненты — вспомогательные.
Увеличивая число вспомогательных компонентов, можно найти пре-
образование, как угодно близкое к наилучшему нелинейному. Критерии
плавности хода и безопасности движения определяются как функцио-
налы от переходной плотности p(t, zb z2), определяемой уравнением
Колмогорова [108].
§ 2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ
О ПРИНЦИПИАЛЬНЫХ ВОЗМОЖНОСТЯХ ПОДВЕСКИ
для ЛИНЕЙНОЙ системы
1. Изопериметрическая задача
Пусть x(t)—стационарный в широком смысле линейно регулярный
n-мерный обобщенный действительный случайный процесс максималь-
ного ранга. Матрица спектральных плотностей этого процесса
^(®) = ||Кж(а>0)((о)||^
положительно определенная и допускает факторизацию
Кх(<») = (1/2л)КЯ®ИГ(®), (3.5)
где матрица К+ (со) —граничное значение матрицы, аналитической
в открытой нижней полуплоскости, на границе которой матрица имеет
только полюсы конечного порядка. При этом detK+ (<о) есть функция,
которая не имеет нулей в открытой нижней полуплоскости, а на ее
246 границе имеет только нули конечного порядка.
Факторизации (3.5) соответствуют спектральное представление
оо
*(0=4" f e'“X+(a)dg(®)
2л J
—оо
и представление в виде скользящего суммирования
00
*(0= J т),
--00
где £(/)—некоррелированный n-мерный белый шум; |(ш)—его фор-
мальное преобразование Фурье, а
k* (т) = J е^т/<х == 0 при т < 0.
Спектральная плотность процесса £(/)—единичная матрица Е.
Пусть y(t)—^-мерный случайный процесс, являющийся физически
осуществимым линейным преобразованием процесса x(Q:
г/(/)= J h+(x)dxx(t—т) = J j й+(ц) ^(т—т) =
—30 —оо —оо
оо 00
= _2_ С е/^+(®)Кх+(ш)4(И)=4- [
2Л J 2Л J
где
(®)=Н+(©)/<+(®); /г+(т)= ||/г^,3)(т)||^112 = О при т<0
матрицей импульсных переходных характеристик и
Я+(а)= J е(-'шт,А+(x)dT.
Преобразование (3.6) может быть и необратимым.
Зададим функционал
(3.6)
является
а= 1
(3-7)
где fa = M{|za(0|2}, а za(t) = J b%(x)dxy(t—т) =
= _L_ 7 e/^Bj((o)/<+(«)<(«)= f e^B:(©)/f+(®)^((o)dg(®).
2Л J 2tc J
—00 oo
Здесь ba(x) = ||6а(3>(т)||,3=1'k — 0 при т < 0 — матрица-строка
импульсных переходных характеристик и
ОО
в+(» = J e^bt(x)dx.
—оо
Поскольку M J = Eda, to
.—oo - ]
tn oo
= ’S f В^(/ю)я+(/®)^(/®)Я+‘(»ВГ(/ш)б/о. (3.8)
a= 1 —oo
Зададим функционалы
Y3 = M{|^(0i2}, (P = T7), (3.9)
где
M0 = J a?(x)dxy(t—r) + J g$(x)dxx(t —t) =
—oo —00
= ~ f е/“ЧД^(<о)Я+(®) +Gp+(<o)]K+(®)d|(®).
2Л J
—oo
В этой формуле 4(т) =||aJ(V)(T)||v==1,A и gp (т) = |^т(т)||7“‘’
матрицы-строки импульсных переходных характеристик, а
Лр(ю) = J e“/<eW(x)dx и Gt(w)= J е-/<вт^(т)(/т.
—оо —оо
Тогда
Тр = — f [Л^(®)Я+(®) + Gp (<о)]Кх(®)[Л^(й)//+(©) + Grt(®)]’ Ло. (3.10)
2л J
-----00
Изопериметрическая задача линейного приближения стационарных
случайных процессов состоит в отыскании линейного преобразования Я,
обеспечивающего минимум функционала f при условии, что функцио-
налы Тр ограничены сверху величинами Хр:
ч'зСХр, (₽=Т7).
2. Уравнения, определяющие экстремум
В вариационном исчислении доказывается следующее правило множи-
телей в изопериметрической задаче. Пусть
ь ___
4>i М = J fi(x, y)dx, (i = 0, р),
а
где функции fi(x, у) имеют непрерывные по совокупности всех своих
аргументов производные. Если кусочно-непрерывная вектор-функция
248 у = у(х) дает функционалу ф0[у] экстремум при связях <рг{г/] = то
существуют такие константы Ор, где р = 1, р, что вектор-функция у =
= у(х) является для функционала
ь
<Р = j (fo + + ... + Opfp)dx
а
обычной (безусловной) экстремалью. Согласно этому правилу множи-
телей для изопериметрической задачи функционал
р
T = (3.11)
3=1
допускает обычное варьирование. Подставляя выражения (3.8) и (3.10)
в (3.11) и варьируя <р по //+(со), получаем сравнительно простое урав-
нение, определяющее экстремум ср,
0(и)Я+(и)^(и) + У(©)Кх((о) + Ф“(со) =0, (3.12)
tn р
где 0(о) = УВв+‘(Щ)В+(И) + Т03ЛГ(©)Д^(©), (3.13)
а=1 3=1
N (©) = 2 МГ (®) Gft (<о). (3.14)
3=1
Матрица Ф~(о), аналитическая в открытой верхней полуплоскости,
появляется в результате того, что Л+(т) варьируется только при т > 0,
так как Л+(т) = 0 при т < 0.
3. Решение краевой задачи
Уравнение (3.12) представляет собой краевую задачу Гильберта-
Привалова теории функций комплексного переменного. Матрицы £>(со),
Хх(со) и N(со) считаются заданными на действительной оси. Нужно
найти матрицы H+(z) и Ф~(г), аналитические в открытых соответственно
нижней и верхней полуплоскостях, такие, чтобы их граничные значения
Н+((я) и Ф~(со) на действительной оси удовлетворяли равенству (3.12).
На границе областей аналитичности матрицы H+(z) и Ф_(з) могут
иметь только полюсы конечного порядка.
Для решения краевой задачи можно использовать факторизацию
матриц О(со) и Лх(со). Положительно определенная матрица Хх(со) по
условию имеет максимальный ранг и допускает факторизацию. Матрица
£>(ю) является суммой положительно определенных матриц и, следо-
вательно, сама является положительно определенной. Предположим,
что матрица О (со) также имеет максимальный ранг и допускает факто-
ризацию
0(со)=0~(со)0^(со), (3.15)
где матрица £>~(со)—граничное значение матрицы, аналитической
в открытой верхней полуплоскости, на границе которой матрица имеет
только полюсы конечного порядка. Функция det£>~(co) не имеет нулей
в открытой верхней полуплоскости, а на ее границе может иметь нули
конечного порядка.
Используя факторизации (3.5) и (3.15), граничное условие (3.12)
можно переписать так:
D~‘ (о))Я(и)К+(и) + [D-(®)]-'/V(®)^((o) + ФГ(ш) = 0, (3.16) 249
где Ф~(со) — граничное значение матрицы, аналитической в открытой
верхней полуплоскости, на границе которой матрица имеет только
полюсы конечного порядка.
Введем матрицу
Т(®) = (®). (3.17)
Если эту матрицу представить в виде
Ф (и) = Т+ (о) + Ф- (<о), (3.18)
где V+fco) — граничное значение матрицы, аналитической в открытой
нижней полуплоскости, а Ч^со) —то же в верхней, то уравнение (3.16)
можно переписать так
D“‘(co)/7+((o)Kx (®) + 4f+(®) = —'F-(со) —ФГ(©). (3.19)
Поскольку левая часть (3.19) является граничным значением мат-
рицы, аналитической в открытой нижней полуплоскости, а правая
часть — в верхней полуплоскости, то равенство этих матриц возможно
лишь в том случае, если каждая из них равна некоторой матрице М((о),
аналитической во всей комплексной плоскости, за исключением дей-
ствительной оси и точки, оо, где она может иметь полюсы конечного
порядка. Из соотношения
D~* (©) Н+(<о) Ki (<о) -h ’F+ (<о) = М (о>)
получаем
Я+(©) = [D-*(©)]-’ (М(<о)-Т+ (со)] [/С(со)]-1. (3-20)
В частном случае, когда матрица Ч'Хсо) интегрируема и удовлетво-
ряет условию Гельдера, представление (3.18) можно провести следую-
щим образом. Интеграл типа Коши [109]
оо
^,(г)=-Ь £ Т(<о)-^-
2л/ J со—z
—оо
определяет матрицу Ч^г), аналитическую в открытых нижней и верх-
ней полуплоскостях. На действительной оси матрица 4Ji(z) терпит
разрыв. Граничные значения этой матрицы на действительной оси
соответственно Чг^(<а>) при приближении снизу и Чг[’(ш)—сверху
даются формулами Сохоцкого:
(Х>
¥/(«,)==—+v- \ (3.21)
2 / v А (О
—00
оо
ТГ(®)=^-Ч» +-Ь [ Т(%)-^. (3.22)
2 2л/ J л —со
—оо
Так как ЧТС®)—'F^(co) =Чг(а>), то матрица Чг+(а>) в представлении
(3.18) дается равенством
Т+(и) = — ¥?(©) = Д-Ч»------У ^(Х)-^ . (3.23)
—00
Интегралы в равенствах (3.21), (3.22) и (3.23) понимаются в смысле
250 главного значения.
Матрицу Чг+(со) можно найти также по формуле
iy+(a) = _2_ Je-'wxdT J T(X)e/XTdX,
О —oo
(3.24)
если интегралы в этой формуле однозначно определены хотя бы в смыс-
ле обобщенных функций.
Если матрица Т(со) имеет полюсы на действительной оси или
в точке оо, то формулы (3.23) или (3.24) использовать нельзя. В этом
случае матрицу Ч^ш), допускающую аналитическое продолжение,
можно представить в виде
Т(©) =¥„((»)+%,(©). (3.25)
где элементы матрицы
задаются равенствами
s га
Wnw (®) = с0 + Ci© + ... + сга>г + У —--------------------------“3 Z
(3.26)
га
Здесь
(3=1
ё — главные члены ряда Лорана для Tnuv) (©)
в ок-
(w-ba(i)
рестности a-го полюса; га— кратность полюса; (со + Ci<o + ... + cr(or) —
главные члены разложения в окрестности бесконечно удаленной точки.
По условию задачи матрица Т(<о) на действительной оси может
иметь только полюсы конечного порядка. Поэтому матрица 4*^(0)) не
будет иметь особенностей и разложение
Тр(ш) = ^(со)+Тр-(®)
можно осуществить, например, по формуле (3.24). Для решения краевой
задачи при этом безразлично, принять ли (со) = Ч^со) или Ч^Цсо) =
= Чг + (со) +4^(со). Однако для решения изопериметрической задачи
линейного приближения стационарных случайных процессов такой
выбор не безразличен.
Вместо факторизации матриц для решения краевой задачи (3.12)
можно использовать и другие представления матриц £>(ю) и Кх((о).
Пусть, например,
О(<о) =ОТ(и)О^(а), (3.27)
где
D7(©)=D~(©)V; (3.28)
D3’(©)=V“1D"*((b), (3.29)
а V — произвольная невырожденная постоянная матрица. Тогда реше-
ние (3.20) краевой задачи (3.12) не изменится, если в выражениях
(3.15) — (3.20) заменить матрицу D~* (и) на матрицу D+*, а матрицу
£)-(©)— на матрицу О0“(ю). Для выполнения условий (3,28) и (3.29)
надо найти матрицы (г) и DJ (z), аналитические соответственно 251
в открытых нижней и верхней полуплоскостях и удовлетворяющие
граничному условию вида (3.27), такие, чтобы det D~ (ш) = U det (ш),
где U — некоторая постоянная, имел на действительной оси (включая
бесконечно удаленную точку) только нули конечного порядка. На гра-
ницах областей аналитичности матрицы D^(z) и D + (z) могут иметь
полюсы конечного порядка. Такая задача решается несколько проще,
чем задача факторизации матриц.
Обычно при решении краевой задачи Гильберта — Привалова
вместо факторизации матриц используется так называемое канониче-
ское решение однородной краевой задачи [109]
£>(<о)0+(ш) ==D7(co) (3.30)
или
D(«>)=D7(«))[D+(®)]-1. (3.31)
Представление (3.31) эквивалентно представлению (3.27), если
detD7(G))detDr((D) = U. (3.32)
В работе Н. И. Мусхелишвили приводится полное решение краевой
задачи Гильберта — Привалова для случая, когда матрицы £>(<о)
и Лх(<о) ограничены, удовлетворяют условию Гельдера и нигде не
особенные.
4. Решение изопериметрической задачи
Для решения изопериметрической задачи надо сначала выделить только
те решения краевой задачи, которые обеспечивают минимум функцио-
нала вида (3.11). Решение краевой задачи (3.12) не является одно-
значным, и не все ее решения обеспечивают минимум функционала <р.
Неоднозначность в решении краевой задачи появляется при: 1) реше-
нии однородной краевой задачи (3.31); 2) выполнении представления
(3.18); 3) произвольном выборе матрицы Л1(со) в окончательной фор-
муле (3.20).
Чтобы устранить эту неоднозначность, найдем дополнительные
условия, используя результаты решения задачи линейной фильтрации
[33]. Эта задача сводится в этом случае к минимизации функционала
такого же типа, как и функционал (3.11). При этом оказывается, что
для процессов максимального ранга решение задачи линейной филь-
трации является единственным решением соответствующей краевой
задачи Гильберта — Привалова, если принять, что в формуле (3.20)
матрица Af(co) =0. Другими словами, если матрицы О(ш), М(со) и
/<х((о) краевой задачи (3.12) интегрируемы от —оо до оо и интеграл
имеет конечное значение, если, кроме того, матрицы О (со) и Кх(ш)
имеют максимальный ранг и допускают факторизацию, то единственная
матрица //+(<о), обеспечивающая минимум функционала (3.11), если
этот минимум существует, дается формулой (3.20) при М(ш) = 0.
Матрица Ч^со) определяется однозначно по формуле (3.23). Вместо
факторизации матриц можно использовать любое каноническое реше-
ние однородной задачи сопряжения (3.31) при условии (3.32).
Общий случай приближения обобщенных случайных процессов мож-
но свести к только что рассмотренному приближению обычных случай-
ных процессов, если построить их последовательность, сходящуюся
252 к заданным обобщенным случайным процессам. Наилучшее прибли-
жение обычных случайных процессов будет сходиться к наилучшему
приближению обобщенных случайных процессов. Рели x(t) = x[cp(Z)] —
обобщенный случайный процесс, a Xi(t), (j — 1, 2...)—последователь-
ность обычных случайных процессов, то для любой функции <р(/) из
основного пространства, на котором определен обобщенный случайный
процесс x(t),
lim М
l—too
I*[<pG)1— J т)|2
—00
= 0.
Используя этот предельный переход, можно показать, что для обоб-
щенных случайных процессов единственная матрица //+(<о), обеспечи-
вающая минимум функционала <р (если этот минимум существует),
дается формулой (3.20) при Л1(<о) = 0. Матрица Ч^со) определяется
по формуле
(со) = W + (о) + («>), (3.33)
где матрицы Чгр(ш) и даются равенствами (3.25) и (3.26):
Чг+(М)=_1_ °^<rib>xdx J 4rp(X)e'?-TdA.,
О —оо
а матрица Ч'^со) определяется суммой в выражении (3.26). В этой
сумме оставляются только те полюсы матрицы Чгп((о), которые являют-
ся полюсами матриц Л+ (со) и Gf (со), (0 = 1, р).
Матрица /7+((о), обеспечивающая минимум функционала <р, зависит
от р неизвестных параметров 0Ь ..., 0Р. Поэтому в дальнейшем будем ее
обозначать через //е+(ш). Совокупность чисел {0ь ..., 0?} будем считать
точкой р — мерного пространства и обозначать через 0. Если подставить
матрицу //е+(ш) в (3.10), то функционалы Чг3 будут определены как
функции параметра 0: Чгр = Чгз(0), (р = 1, р).
Каждое из условий
^з(0)<Х3, (0 = Гр) (3.34)
определяет множество 0/з тех и только тех точек 0, для которых удов-
летворяется неравенство (3.34). Через 0 обозначим пересечение мно-
жеств 0з :
0= П00. (3.35)
Условие Чгг(0) М будем называть несущественным, если 0 =
р
= 0 6р= П 9?, т. е. если при данной матрице Н+ (ш) это условие
р=1 3=£»
выполняется для всех точек 0, удовлетворяющих всем остальным усло-
виям (3.34) при 0 = 1,..., i—1,..., i + 1,...,р. В противном случае
условие (3.34) будет называться существенным.
Если подставить матрицу //^(<о), обеспечивающую минимум
функционала <р, в выражение (3.8), то функционал f будет определен
как функция 0. Для решения изопериметрической задачи линейного
приближения стационарных случайных процессов надо найти точку 0',
принадлежащую множеству 0 и дающую наименьшее значение функции
f(0). Это наименьшее значение inf{f(0)} = f(0') = f(0',...,Q'p) является
минимальным значением функционала f при условии, что функционалы 253
Тз ограничены сверху заданными величинами Хр . Стационарный слу-
чайный процесс у(0, являющийся решением изопериметрической
задачи линейного приближения стационарных случайных процессов,
дается линейным преобразованием (3.6), где матрица /7+(со) = Н+ (со)
получается путем подстановки в решение (3.20) краевой задачи (3.12)
координат точки 0'= {0р..., 0^}, обеспечивающей минимум функцио-
нала f на множестве 0.
При определении точки 0' надо отметить, что если условия (0)
(Р = 1, 2,...,//) являются несущественными, то они оказываются
следствием остальных условий. В этом случае координаты 0 [ ,..., 0^,
точки 0' равны нулю, а вместо матрицы Н+(со) далее используется ее
предельный вид при 01 ->0, 02->О..., 0Р' ->О, содержащий только р — р'
неизвестных параметров. Для определения этих параметров имеется
р — р' существенных условий
(Р = р'+1, р). (3.36)
В общем случае inf{f(0)} является невозрастающей функцией мно-
жества 0. Поскольку последнее однозначно определяется условиями
(3.36), то inf{f(0)} можно рассматривать как функцию от Х/з:
inf{f(0)} =f'(A,p, + 1 ,..., Лр). Можно показать, что для существенных
условий (3.36) функция Г(^Р'+1 > •••» М>) является убывающей функцией
всех аргументов. Тогда оставшиеся р—р' неизвестных координат точки
можно найти из системы уравнений
T3(0pz+I,...,0p)=X3, (р = р'+1, ..., р). (3.37)
Вопрос о том, является ли условие Ч'р существенным, не может
быть решен заранее. На него можно ответить лишь после решения
краевой задачи и нахождения множеств 0 з, определяемых условия-
ми (3.34).
Если множество 0 пусто, то это означает, что заданные условия
несовместимы (в задаче о принципиальных возможностях подвески
примером несовместимых условий может служить требование того,
чтобы четыре точки жесткого кузова транспортного средства точно
следовали за профилем дороги под этими точками).
По условию задачи случайный процесс x(t) является линейно
регулярным процессом максимального ранга. В практических прило-
жениях может, однако, встретиться случай, когда n-мерный случай-
ный процесс x(t), например профиль дороги, имеет ранг п' < п. В этом
случае надо найти n'-мерный процесс x'(t) максимального ранга такой,
чтобы исходный процесс x(t) являлся физически осуществимым линей-
ным преобразованием процесса x'(t).
Задачу приближения случайных процессов следует с самого начала
решать для случайного процесса x'(t), имеющего максимальный ранг,
поскольку любое линейное физически осуществимое преобразование
процесса x(t) является линейным физически осуществимым преобразо-
ванием процесса x'(t).
В задаче о принципиальных возможностях подвески можно указать,
например, на многоосное транспортное средство, у которого колеи левых
и правых колес совпадают. Если п—число осей, то 2п— мерный
случайный процесс, представляющий собой профиль дороги под всеми
2п колесами, является линейно регулярным процессом второго ранга,
так как профиль дороги под всеми левыми колесами есть физически
254 осуществимое линейное преобразование (преобразование чистой
задержки) профиля под левым передним колесом; то же самое относит-
ся и к правым колесам. Поэтому профиль дороги следует рассмат-
ривать как двумерный линейно регулярный случайный процесс
максимального ранга, компонентами которого являются профили дороги
под левым и правым передними колесами.
5. Порядок расчета при рациональных
спектральных плотностях
Задача о принципиальных возможностях подвески решается сравни-
тельно просто при следующих условиях:
1) процесс х(/) имеет дробно-рациональную спектральную плотность;
2) преобразования определяющие критерий плавности хода
и преобразования Лг-, определяющие критерий безопасности движения
Т, имеют дробно-рациональные передаточные характеристики;
3) преобразования бг, определяющие критерий безопасности движе-
ния, имеют дробно-рациональные передаточные характеристики
с чистыми задержками.
Эти условия чаще всего встречаются на практике и представляют
наибольший интерес. Если окажется, что в преобразования Лг- и Вг-
входят чистые задержки, то необходимо провести аппроксимацию пере-
даточной функции чистой задержки дробно-рациональным выражением.
Ниже приводится порядок расчета оптимальной передаточной
характеристики подвески при выполнении трех указанных выше
условий.
1. Задаются компоновкой автомобиля с указанием всех необходи-
мых размеров, связей, ограничений и т. д. при неизвестной подвеске.
2. Выбирают k обобщенных координат автомобиля у' = {г/',..., y'k]
и k определяющих параметров у = {у^ ..., уь} так, чтобы в стационарном
установившемся режиме (при надлежащем выборе начальных условий)
y'(t) однозначно определялось функциями y(t). В качестве определяю-
щих параметров могут быть выбраны, например, силы, передаваемые
подвеской. В дальнейшем обобщенные координаты и определяющие
параметры не различаются, при этом параметры условно называются
обобщенными координатами, а вектор-функция y(t)—траекторией
автомобиля, которая считается ^мерным действительным стационарным
обобщенным случайным процессом и представляется в виде матрицы-
столбца
л-
3. Спектральную плотность профиля дороги х(/), который полагают
n-мерным действительным стационарным обобщенным процессом,
задают (или вычисляют по дополнительным данным) в виде
где /Сх(со)—квадратная положительно определенная неособенная мат-
рица. Ее элементы задаются в виде дробно-рациональных функций
где P(ja)) и Q(/co)— полиномы от /ш,*имеющие действительные коэф-
фициенты. Первый индекс в скобках обозначает номер строки, второй —
номер столбца матрицы Кх((о). 255
256
4. Принимают критерий плавности хода в виде суммы средних
квадратов одномерных стационарных случайных процессов Za(t), а =
= 1, т
т т
Г = 2 fa = 2M{|Z“(0|2}- (3’38)
а=1 а=1
Случайные процессы Z a(t) задаются как линейные преобразования
траектории автомобиля £/(/):
Za(t) =
оо
2л J
—оо
(3.39)
где _
Ва (/со) = || Ba(?)(/G>)||V=I,A: — матрица-строка (передаточная характери-
стика) линейного преобразования (3.39), а //(со)—формальное преоб-
разование случайного процесса y(t), который допускает спектральное
представление
оо
2л J
—оо
Элементы ^a(v)(/w) матриц В+(/ю) задаются как дробно-рациональ-
ные функции от /со с действительными коэффициентами. Функции
fij(v)(/w) не должны иметь полюсов в открытой правой полуплоскости
по условию физической осуществимости преобразования (3.39).
5. Задаются критериями безопасности движения в виде средних
квадратов относительных перемещений vp(t):
^₽ = м{|Ур(Ш (₽=Т77). (3-40)
Одномерные случайные процессы (/) задаются как разность ли-
нейных преобразований процессов y(t) и x(t):
о
оо
где у(<£>) и х(ю)—формальные преобразования Фурье процессов y(t)
и x(t).
Матрица-строка
=н д₽+(т)(/®)1г=777. (₽=га)
МО =
2Л
J- [ e^Gjf/W),
2л J
(3.41)
является дробно-рациональной относительно /со матрицей с действи-
тельными коэффициентами и не имеет полюсов в открытой правой
полуплоскости.
Только в элементах матрицы-строки
о?(/ъ)=||оэ+(8)(»|р=~ (₽=га
могут быть в качестве множителей функции е'“т. Это соответствует
чистым задержкам случайного процесса x(t) на время т. Итак,
функции Gp(8) (/ю) задаются в виде
б₽(8) (/<•>)
Q(/<o)
где Q (/<х>) —полином, -содержащий степени только /со с действительными
коэффициентами, не имеющий нулей в открытой правой полуплоскости,
a P(j(a, e/ft)T) —полином с действительными коэффициентами, содер-
жащий степени /<о и е/шт. Такое допущение не усложняет решение
задачи о принципиальных возможностях подвески по сравнению со
случаем, 'когда все матрицы являются рациональными относительно
(/со), но существенно расширяет круг решаемых задач, поскольку для
многоосных автомобилей часто колея задних колес совпадает с колеей
передних.
6. Формулируют задачу о принципиальных возможностях линейной
подвески следующим образом: найти передаточную характеристику
Я+(/<о) физически осуществимого линейного преобразования Н
оо
У«) = 17 J (3.42)
—эо
обеспечивающего минимум функционала f при условии Ч'р где
функционалы Ч'а даются формулами (3.40) и (3.41), а Хр —заданные
положительные числа.
По условию задачи прямоугольная матрица
Я+(/(о)=||Я^. ₽)(»||2^
не должна содержать полюсов в открытой правой полуплоскости, а на
ее границе могут быть только полюсы конечного порядка.
7. Составляют краевую задачу Гильберта — Привалова, определяю-
щую оптимальную передаточную характеристику Н+(]<л),
D(ja)H+(j(d)Kx(ja>) — N (3.43)
где
т р
D(j&) = 2 ВГ(/®)# 0®) + 2 (;<о)Л£ (/.«о); (3.44)
а=1 0=1
Кх(/<о) — спектральная плотность процесса х(/);
р
= (3.45)
з=1
Ф"(/ш)—вспомогательная матрица, аналитическая в открытой левой
полуплоскости -и имеющая на ее границе только полюсы конечного
порядка: 0з(р = 1, р) —неизвестные положительные постоянные. Мат-
рицы В + (/(о), Л^-(/<о) и G+(/g>) даются в формулах (3.39) и (3.41),
а значок * означает комплексно-сопряженную и транспонированную
матрицу.
Матрицы D(jto) и Кх(/(о) являются положительно определенными
рациональными относительно /со матрицами с действительными коэф-
фициентами. Для последующего изложения существенно, чтобы эти
матрицы имели максимальный ранг. Если det/Q (/со) = 0, то число ком-
понентов процесса x(t) может быть уменьшено в связи с тем, что они
являются линейно зависимыми. Если det D (/со) =0, то может быть
уменьшено число обобщенных координат, так как критерии безопасности
движения и плавности хода от некоторых из них не зависят.
17 Заказ 3363
257
8. Записывают представление
D(/®) = [О-(/®)Г*О+(/а>); (3.46)
матрицы и Z>+(/®) не имеют полюсов, а их определители — нулей
соответственно в открытых левой и правой полуплоскостях, и
detD“(j(o)detD+(/(o) =V, (3.47)
где V — некоторая постоянная.
Представление О(/ю) в виде (3.46) удобно провести методом
получения канонического решения однородной задачи сопряжения.
А. Записывают представление
Рар(/м) Р=Т7*
а-ГД
где Р и Q — полиномы.
Б. Находят все нули полиномов Qa/з (/е>).
В. Находят наименьшее общее кратное Q(/<o) полиномов Qap (/со).
Г. Записывают представление
Q(/®) ==Q+(/®)Q+‘(/©),
где все нули полинома Q+(/<o) расположены в замкнутой левой полу-
плоскости, а Q+*(/<o)—полином, комплексно сопряженный с Q+(/<o).
Полином Q+(/co) имеет действительные коэффициенты, так как полином
Q (/со) является четной действительной неотрицательной функцией.
Д. Записывают представление
D(/®) =
где в первом приближении можно принять P^(ja>) = Е; Р(]ч>) =
= Q (/<»)£> (/<о). Все элементы матрицы Р(/<о) являются полиномами.
Е. Находят нули det Р (До), который является четным неотрицатель-
ным действительным полиномом от со.
Ж. Выбирают нуль р полинома det Р (/«>), лежащий в замкнутой
правой полуплоскости. Поскольку detP(p) =0, то найдется по крайней
мере одна строка Ра матрицы Р(р), которая является линейной ком-
бинацией остальных строк. В этом случае существует такая матрица-
строка L = И/,,...,/кН, не равная нулю, что LP(p) = 0.
3. Составляют матрицы Ро(/<о) и P(ja>), которые получаются из
матриц P^-(j<a) и Pfja) заменой a-й строки на строки £Ру(/<в) и
LP(ja>) соответственно. Матрица Р(До) содержит множитель (До— р)
во всех элементах a-й строки. Поэтому матрицы
РГ(/®) =Ea(/co)P7(/o>) и PJ/w) =Еа(/Ъ)Р(До),
где £а(До)—матрица, полученная из единичной матрицы Е заменой
a-го диагонального элемента на элемент (До— р)~1, удовлетворяет
равенству
£>(/«>) = [РТ№+Ч1<»УГ'Р1 (/®)[Q+(»r1.
при этом полином det Pi (До) содержит в правой полуплоскости на один
нуль меньше, чем det Р(До).
И. Выбирают другой нуль полинома detР(/со), лежащий в правой
258 полуплоскости, и повторяют операции, приведенные в пп. «Ж» и «3».
После того как эти операции будут повторены г раз, где 2г — степень
полинома detP(/<o), записывают
D(/®) = [P7(h)Q+'
что соответствует искомому представлению (3.46), если принять
D“(/®) = Р7 (ja>)Q+* (/©);
П+(/®)=Рг(/<й)[р+(/®)Г1.
Для того чтобы выполнилось соотношение (3.47), надо из каждой
пары нулей detD(/co) один нуль отнести к D“(/co), а другой — к £Н(/со).
9. Представляют матрицу спектральной плотности случайного про-
цесса x(t) (профиля дороги) в виде
Кх(/®) = К* (/©ИЛЛ/®)]-1. (3 • 48)
где матрицы /<+(/<») и К;"(7<о) не имеют полюсов, а их определители —
нулей соответственно в открытых левой и правой полуплоскостях, а из
каждой пары полюсов (нулей), расположенных на мнимой оси или в точ-
ке оо, один полюс (нуль) относится к матрице К+(/<о), а другой — к мат-
рице /С~(/о). Представление (3.48) проводится аналогично представле-
нию (3.46). Однако в представлении (3.48) достаточно найти только
матрицу /<+(/(0), а матрицу К~(/<в) можно не определять.
10. Переписывают краевую задачу (3.43) в виде
D+(/®)//+(/®)[K+(Jw)]-* =Т(/<») +Ф-(/®),
где
Т (/со) = D“(/co) W (/со) Kt (3.49)
а матрица N(jto) дается формулой (3.45).
Отметим, что вместо представления (3.46) можно использовать
представления
£>(/<o)=DF(/<o)[D^(/<o)r1
или
D(/g)) = DT (j(d)Dt (/со),
или факторизацию
D(/(d) = О? (/co)DT* (/со).
Аналогичные представления можно использовать и для матрицы
Ях(/со). Все эти представления равносильны при решении краевой
задачи, однако технически проще всего проводится представление в фор-
ме деления матриц. Несколько сложнее представление в форме умноже-
ния матриц и самое сложное — факторизация матриц.
II. Записывают элементы матрицы (3.49) в виде
Ч%/?(/со) = at(/co—a/*e/<dTs (3.50)
i-i
где аг — полюсы функции Wvjb (/со), a Si—их кратность. Если полюс аг-
находится в точке оо или ¥?/з (/со) принимает конечные значения в бес-
конечности, то Si 0. Если полюс находится в открытой полуплоскости, 259
17*
то Si —1. Множители входят в элементы G$\j(d) (р = 1, р),
которые по условию задачи могут содержать чистые задержки по вре-
мени. Если полюс <Хг расположен на мнимой оси, т. е. Refa;] = 0, то
необходимо выяснить, является ли он полюсом передаточной характе-
ристики физически осуществимой системы или нет. Если полюс щ
есть полюс матриц G^(jto) или т. е. является полюсом переда-
точных характеристик физически осуществимых систем, и если
Re[aJ = 0, то вместо аг- пишется (а<— 0). Если щ является полюсом
матриц D~(jd)) или 4+*(/©) и если Re[at] = 0, то вместо си пишется
(аг- + 0). Точный смысл этих обозначений будет объяснен ниже, и их
следует придерживаться при определении всех передаточных характе-
ристик и особенно при выполнении представлений (3.46) и (3.48).
12. Записывают представление
Y(/(o) =Ч'+(» +4'“(/(D). (3.51)
Для этого каждый член суммы (3.50) представляют суммой
(/®—= &+(/ш) + 6“'(/w). (3.52)
В дальнейшем достаточно знать только матрицу ЧГ+(/(о). Функции
в представлении (3.52) находятся по следующим формулам:
- е/<ох
_(/<о—а)"
е'“т
(/©—а)п
е'™ еат у т3(/<о—а)3
(/®—а)" (/<о—а)" р!
еат "у т3 (/to—а)3
при Ке[а]<-0;
т-<0;
при 0’
т-<0;
при Re[a]<0;
т > 0;
при ReIa]>°;
г т >0.
(3.53)
(
В том .случае, когда Re[a] = 0, передаточная характеристика вида
(3.53) может быть физически осуществимой и неосуществимой. Для
того чтобы устранить эту неопределенность, выше были введены сле-
дующие обозначения: (а — 0)—полюс передаточной характеристики
физически осуществимой системы и (а + 0) — полюс физически неосу-
ществимой. Точный смысл, например, выражению (/со + О)-1 можно
придать в рамках теории обобщенных функций [8]:
(/<0-1-О)-1 ---lim(/(o—a)-1 = (1//<в)—л6(<о),
а^0
где б(ш) —б-функция, упоминавшаяся выше.
В смысле обобщенных функций
J-?(/<» + 0)-'е'“Л= ( 1 при />0;
2л J v ( 0 при t < 0,
—оо
т. е. (/(1)4-О)-1 является передаточной характеристикой физически
осуществимой «системы. В то же время
— f = ( °’5
260 2я -До I—0,5 ПРИ < 0,
т. е. передаточная характеристика (/<о)—1 физически неосуществима,
поскольку соответствующая ей импульсная переходная характеристика
не равна нулю при t < 0.
Таким образом, формулы (3.53) остаются справедливыми для
Re(aJ = 0, если условно считать Re[a + 0] > 0 и Refa— 0] < 0. Например,
согласно (3.53)
Г е'“г 1+ е'“г
------- —-------- при т<СО.
(/а+ 0)" J (/<» + 0)"
Когда полюс расположен в бесконечности или когда в бесконечности
передаточная характеристика принимает конечные значения, будем
пользоваться следующими формулами:
/• \„ ((/®)"е/<от при т<0; ,Q
(/(о)"е/<йТ = { (3.54)
( 0 при т > 0.
Однако надо заметить, что различные предельные построения, направ-
ленные на то, чтобы оставаться в рамках теории функций, суммируемых
с квадратом, могут привести к результату, существенно отличному от
(3.54) при т = 0. Но предельный переход т->-0 является наиболее наг-
лядным с физической точки зрения и дает результат (3.54). Вообще для
задачи о принципиальных возможностях подвески, по-видимому, без-
различно, рассматривать профиль дороги точно под колесом или
сдвинутым вперед или назад на несколько миллиметров. Поскольку
этот сдвиг определяется величиной т в выражении (3.54), то при т = 0
практически равнозначно относить полюс (/со)” к матрице Ч,+(./о>) или
к матрице 4f_(/ci)). Если же результаты будут существенно различны,
то задача поставлена неправильно.
13. Находят в функции р неизвестных параметров 0ь..., 0Р оптималь-
ную передаточную характеристику линейного преобразования Н:
=[О+(»Г1'1г+(»[Кх+(/®)Г1> (3-55)
где матрицы D+(j<&), V+G’oo) и К+(/<о) найдены в представлениях (3.46),
(3.48) и (3.51). ____
14. Вычисляют критерии безопасности Т/з (0 = 1, р) в функции
неизвестных параметров 0р. Согласно формуле (3.40)
Ч'з = — f Kvp(/<o)d©, (р = ТГр), (3.56)
2л J
—оо
где Кур (/©) —спектральная плотность процесса V’p (/)• С учетом (3.41)
и (3.42) находим
= [А|Г(/®)Я^(>) -G^(/(o)J Кх(/®) х
X [А₽+(/©)Н^ (/©) -G3(/©)f, (3.57)
где Я^(/(о) задается формулой (3.55).
Спектральная плотность (j<&) является действительной четной
неотрицательной функцией от «о.
Поскольку Kv$ может содержать только рациональные и экспо- 261
ненциальные функции (в качестве сомножителей), то она име-
ет вид
п
(/«) = V Р|'(м2,-------COS (сот,), (3.58)
Q+(/w)Q+ (/<о)
где
mi
Qt (/w) = П (/w—aiv)S;v, Re [<xtV] < 0,
V=1
a /\(co2) —неотрицательный полином от co2 -с действительными коэф-
фициентами. Поскольку интеграл (3.56) может принимать только ко-
нечные значения, то степень полинома Рг(со2) должна быть меньше
степени полинома Qi(/<o) и полюсы alv не могут лежать на мнимой оси.
Все полюсы а£? уже найдены, поэтому вычисление (/со) по формуле
(3.57) непосредственно приводит к виду (3.58). Для этого следует
только оставить знаменатели в виде произведения биномов, но не
производить умножение. Вычисление интеграла (3.56) можно провести,
используя теорему о вычетах. После того как выполнено умножение
матриц по формуле (3.57), непосредственно получаем
п
=^R{(i^\ (3.59)
i-l
где Ri(jto)—дробно-рациональная функция (комплексная), у которой
степень знаменателя больше степени числителя, а тг- может иметь любые
значения.
Теорему о вычетах удобно применять непосредственно к выражению
вида (3.59). При этом вычисляются вычеты в полюсах, расположенных
в левой полуплоскости, если т; > 0, и в правой—если тг-< 0. Если
Хг — 0, то вычеты можно брать по любым полюсам, расположенным или
в правой, или в левой полуплоскостях, так как /?;(/«) оказывается
действительной четной функцией от со. Вычисление ведется по формуле
/оо т
- J /?(/(!)) e'“Td(/(0) = — ^^res[/?(/<o)e'“T]av,
—/оо v= 1
а вычет функции R(j(d) в полюсе а кратности s определяется как
I ds-[
res [R(jn)]a = --- lim-----— {(/ю — a)5/?(/ю)}.
(s — 1)! jW_>a d(/(0)s-~l
Выражение (3.56) определяет критерий безопасности движения Уз
как функцию р неизвестных параметров 0Ь ..., 0Р:
УР = УР(0ь ...,0Р).
15. Из р условий
Wi, ...,0р)<Хэ, р=1, ...,р
выделяют р' несущественных условий.
Тогда оставшиеся р — р' существенных совместимых условий
Ур(0„ ...,0р)=%₽, ₽= 1, (3.60)
определяют по крайней мере одну точку 0р, для которой удовлетворяют-
ся соотношения (3.60), причем все Qu 0 (для несущественных условий
262 0р=0).
16. Определяют оптимальную передаточную характеристику
(3.55) как функцию (р — р') параметров 0/з.
17. Находят критерий плавности хода как функцию (р — р') пара-
метров Bp:
оо
f(0p)=J- С В+(/м)Я^(/(0)Кх(/(0)ЯГ(>)В+*(/©)</®. (3.61)
2л J
----00
Интеграл в (3.61) вычисляется аналогично интегралу (3.56).
18. Из всех точек 0(3, удовлетворяющих равенствам (3.27), выбирают
точку 0', обеспечивающую наименьшее значение функции f(0p). Это
и будет искомое наименьшее значение критерия плавности хода, опре-
деляющее принципиальные возможности подвески. В практических
задачах точка 0', удовлетворяющая равенствам (3.60), как правило,
оказывается единственной.
19. Определяют оптимальную передаточную характеристику под-
вески из выражения
Я+(/<о) = lim /7^(/оэ).
§ 3. РАСЧЕТ ОПТИМАЛЬНОЙ ПЕРЕДАТОЧНОЙ
ХАРАКТЕРИСТИКИ ПОДВЕСКИ
1. Вертикальные колебания кузова
Одномассовая расчетная схема с одной степенью свободы приведена
на рис. 104, где М—масса кузова; Н — подвеска автомобиля, схему ко-
торой надо найти; x(t) —профиль дороги; y(t) —вертикальное переме-
щение кузова; критерий плавности хода задается как средний квадрат
вертикального ускорения кузова
2Л/ J
—/оо
где В+(/ю) = (/со)2, а Ky(jw) —спектральная плотность случайного
процесса y(t).
Критерий безопасности движения задается как средний квадрат
перемещений массы М относительно профиля дороги .(прогибов под-
вески) и ограничен сверху
Т = М {|у(0-х(0|2}<Х.
Скорость автомобиля иа считается постоянной. Требуется найти
передаточную характеристику H+fjw) подвески такую, чтобы линейное
преобразование
оо
«/(/) = J- f e'“<B+G®)dx(e>)
—оо
обеспечивало минимум критерия плавности хода f. Расчет проводится
в том порядке, который описан в § 2.
I. Спектральная плотность профиля дороги
Х*(<о) = D2va<i>~2. 263
Рис. 104. Одномассовая расчет-
ная схема с одной степенью
свободы
Краевая задача имеет вид
D(/®)H+(/<o)/<x(/®) = W (/©)Кх(/<о) + Ф~(]'а),
где D(ja) = (ja)4 + 0t; N(/©) = 0,.
Здесь 0i — неизвестная постоянная изопериметрической задачи.
Факторизация функций D(/<o) и проводится в данном случае
очень легко:
\ /2 /2/\ /2 /2/
Kt№) = VD^a^—.
/о + 0
Смысл обозначения (/<о + 0)~1 был объяснен в п. 5 § 2 этой главы.
Краевая задача приводится к виду
D+(/©)H+(/«)K+(/w) =T(/G)) +ФГ(/©),
где
Чг(/о)) =-------; 'Г4'(/и) = ^-2Ра6 .
(7®)2—У201/4/<о + 01/2 7®+0 /<0 + 0
Передаточная характеристика подвески определяется форму-
лой (3.55):
4- О,0
Н +(ja) =---:? ,
(/<о)2 + V2 <о0/<о + <ojj
01 /4
Вычисляем критерий безопасности как функцию неизвестной соо‘.
1 Р [—(Л0)2 + 2(0q1 D2V fyfla 3 1
2я/ Joo I (М2+ /2<00/<D4-O)2|2 2 /2 <о0
Определяем критерий плавности хода:
/оо 3
f=^~ J (Н4|я+(м)|2^/о)ад=-^-^=-.
—/оо
Условие Т Z является существенным при любом X, поэтому
со0 = 3D2va/2 ]/ 2 к.
264
Наименьшее значение среднего квадрата ускорений кузова при
условии V X
f0= (27/64) D^a4/V. (3.62)
II. Спектральная плотность профиля дороги
Кх(<й) = DiV^aT4.
Проведя факторизацию, получим
Кх+(М) = /о^1/(/® + 0)2.
Решение краевой задачи дает
(/<о)2 + У 2 <о0/<о + ©о
где <оо = 0,/4 — неизвестный .множитель.
В этом случае
Д 3; t-00-
2 2/2<о^ 2 2V2
Условие Т < Л является существенным при любом к, поэтому
< М 1 V
“° \ 2 2У2к)
и
,=I D^a Y 3 1 * III. IV.
г V 2 J 2н/6 к
III. Спектральная плотность профиля дороги
Kx(ti>) = D2Oa®—Ч®2 + р2®2)-
Факторизация функции Кж(<о) дает
/</(/(о) = К D2va(i<n + роа)/(/(о + О)2.
Решив краевую задачу и вычислив функционалы f и получим
+ t°o|Wa /<0 + <°°ИРа •
(/« + ЦУа) [ (/<о)2 + /2 <о0/о> + а>0]
¥ = --Уа3 [<оВ + (iwa + ®о V 2)2];
2/2<og
/ = -^^((оо + цоаГ2)2.
Неизвестный параметр соо определяется из условия которое
является существенным при любом X.
IV. Спектральная плотность профиля дороги
Кх((д) = О4Уа®~2/((02 + УаЦ2)-
265
В этом случае оптимальная передаточная характеристика подвески
дается формулой
. а®0 V2/<o + <og
Я (/©) =---------------------,
(/<о)2 * * * * * В + ]^2 w0/<o +
______ П1/4 „ „ /0^иа|М00 + ®0
где ©о = 0 , а а = —.
t’atM»O + Ш0
Критерии безопасности движения и плавности хода имеют следую-
щий вид:
jp. _ £)4t,a 1 2(1 — g)2(Va|X + У 2 <0о) + t>aH .
2 У2 (Dogfa <Bg + У2 <U0Uafl + °11*2
f = (l+2a)2<o0+2t>a(x/2
2 У 2 ш2 + у 2 <o0ua(t + v2p,2
Параметр <oo определяется из условия T = Л.
V. Спектральная плотность профиля дороги
Кх (со) = 2 (® + ®2)/ (®2 + ®г).
В этом случае оптимальная передаточная характеристика и критерии
безопасности движения и плавности хода имеют вид
а(/й>)+©! й>о
/<о + (й1 (jay + У 2 <оо (/<о) + й>0
_2.а 1 (1 + 2а)й)о+(1+2Ь2)|<2<о0<о2 + <О1+2&2<о|
2 К2<о0 <о| + 1^2 <в2ш0 + ©о
£)2t>a <0q а2(й>о+ у 2 <ооы2) 4-cof
2 V2 о)2 + У 2 о>2шо + “о
н+ (/(О)
D2t>a
где
©2 + 1^2 ©2ю0 + ю0
(OjCDg-H 1^0,5 (OjCOq + УО,5(д2(д04-(Оо
& ---------------------------------------
<о2 + У 2 <о2шо + “о
Значение параметра <»о находится из условия 4f = X, существенном
при любом Л.
VI. Спектральная плотность профиля дороги
Кж(и) — D02a/ (со2 4- а2).
В этом случае
9
©О
Я+(/<о)=а ----- ,
(/W) + /2 (O0/w + <0g
аа
4f = D0—^=—
/2<оо
2(1+1 + 1/2^
со0
4
«О
а2 ;
266
f = Doa -£=r <»o (K2 a + co0),
r 2
где (oo = 0l/4, a = ©o/(a2 + j/2a(d0 + coo).
Условие Y X оказывается несущественным при X Do, так как
в этом случае оно выполняется при любом 0^0. Физически этот резуль-
тат ясен: средний квадрат Do высоты дорожных неровностей и средний
квадрат Чг прогиба подвески не будут превышать X при любом значении
(Оо- Оптимальное значение соо равно нулю.
VII. Спектральная плотность профиля дороги такая же, как и в п. 1,
но в выражении критерия плавности хода
В+(/св) =-------200(jwP------
v (/<о+ 10) (/<о +200)
Функция (3.46) краевой задачи (3.43) имеет теперь вид
0(/о) =
200 (/<о)3
(/со 4- 10) (/со + 200)
+ 0.
Факторизацию функции D(j<o) можно было бы провести в общем
виде, но поскольку последующие выкладки очень громоздки, вычисления
удобнее вести в численном виде. Для неизвестной постоянной 0 надо
задать конкретные численные значения и построить графики зависимо-
сти Ч1* от 0. Затем по заданным значениям X можно найти значения 0.
Принимая, например, 0 = 4, получаем
D^f/co) = ^8) (/<о + 1,39 + 2,35/) (/со 4- 1,39—2,35/) 2qq.
U 7 (/й)+ 10)(/со + 200)
^+(/(0)= ;
и ’ /Ш + 0
Я+ (/со) =_______________(/со + 10) (/со + 200)__________.
и ’ (/со+ 2,68) (/со + 1,39+2,35/) (/со + 1,39—2,35/) 100 ’
Критерий безопасности движения (средний квадрат прогиба
подвески)
/оо
Т = — f I-----------</(й>2.+ 5-45^+ 12-8---\2 D2vad(ja>) = 0,518D2ya.
2л/ J I (/<0 + 2,68)[(/Ы)2+ 2.78/СО + 7,46] | u
—/оо
Критерий плавности хода
/°0
f = — f I----------------------------------|2D2oad(/co) = 0,485D2va.
' 2л/ J I (/co + 2,68)[(/<o)2+2,78(/<o) + 7,46] I u
—/QO
Принимая далееD2 = 6-10~5 m и ya = 20 м/с, получаем 4r=6,23-10“4 m2;
f = 5,82-10-4 m2/c4.
Теперь можно дать другое значение 0 и повторить выкладки. Огра-
ничимся следующей интерпретацией полученного результата: если
средний квадрат прогиба подвески не может быть более 6,23-10"4 м2,
то наименьшее (среди всех физически осуществимых подвесок) значе-
ние принятого критерия комфортабельности составляет 5,82-10~4 м2/с4. 267
2. Вертикальные и продольно-угловые
колебания кузова
Одномассовая расчетная схема с двумя степенями свободы изображена
на рис. 105, где x(t) —профиль дороги; zx(t) и z2(0 —вертикальные
перемещения передней и задней частей кузова; zc(t)—вертикальные
перемещения центра кузова; a(t)—угловые перемещения кузова;
и Н2 — соответственно передняя и задняя подвески; L — база транспорт-
ного средства.
Критерии безопасности задаются как средние квадраты прогибов
передней и задней подвесок:
4S = м {1^(0-х(0|2}; (3.63)
4'2 = M{|z2(0-xG-t)|2}. (3.64)
Критерий плавности хода задается как сумма средних квадратов
вертикальных и угловых ускорений
f -М { I Zc(t) |2} + ^L2M { | а (/) |2}. (3.65)
Весовой коэффициент р характеризует различие в восприятии людь-
ми (грузом) продольно-угловых ускорений по сравнению с вертикаль-
ными ускорениями. В качестве обобщенных координат выберем Zi и z2,
тогда (3.65) перепишется в виде
f = M{|u,(0|2) + М {|и2(012}, (3.66)
где
оо
ui(0 = ~| Biijaijtito'dzfa) (1=1,2).
2л J
—оо
В этой формуле
В,(/со) = II 0.5(/<0)2 0.5(/<о)21|, В2(/ш) = IIр(/<0)2 — р(/<0)2||,
a z(<o) —формальное преобразование Фурье процесса
г(0- 2,(() .
Z,(0
Критерии безопасности движения (3.63) и (3.64) запишем в следующем
виде:
'¥p = M[Vl(l)} (0 = 1,2), (3.67)
где
ОО ОО
Vp(0=-^- ( A₽(/co)e'“'dz(<o)
—оо
Л, = ||1 0||; Д2 = ||0 11|;
С,= 1; G2 = e-’/<1>T
Задача формулируется теперь следующим образом. Найти линейное
преобразование
оо
z(t) =—— f /Г!'(/ю)е'“0/х(<о),
2л J
268 -эо
Gp(/®)e'“'dx(®) (0= 1, 2);
Рис. 105. Одномассовая расчет-
ная схема с двумя степенями
свободы
обеспечивающее минимум функционала (3.66), при условии, что функ
ционалы (3.67) ограничены: ЧЛ Ч^ Х2.
Краевая задача записывается в виде
D(ju)H+ (/со) Kx(j<a) = W4- Ф (/«),
где £>(/<о) =
(0,25+ р2) (z^ + e,
(0,25—р2) (&)*
(0,25—р2) (/о)4
(0,25 + р2) (/ш)4 + е2
W(/со) =
0.
е2е-/шт
Факторизация матрицы D(j(a) проводится следующим образом:
det £>(/<») = р2 (До)8 4- (0,25 4- р2) (0, + 02) (/со)4 + 0,02,
откуда нули detD(/w) определяются равенствами
(/со)4 = bl и (/со)4 = Ь2,
где
6. = 1- (0,25 + Р2) (0, + 02) + Г(0,25 + р2) (0, 4- 02)2-4р20,02];
62 = _!_ [- (0,25 4-р2) (0, 4- 02) -К(0,25 4- Р2) (0! 4- 02)2-4р20,02].
/ц/12
^21^22
Матрица D(/co) записывается в виде
4(/0))4+<oi 0
0 (/о))4+(о42
&П&12
^21^22
О(/ш) =
где
Ьп = — (0,25-p2)6i; 612=(0,25 + р2)&14-01; Ь21 = (0,25 + fP)b2 + 02;
&22= — (0,25—Р2)Д2; /п = -Ма-/12;
0|2О2
41 = ^22(0,25—р2) 4- Ь21 (0,25 4- Р2); /12 = &и(0,25-р2) + &12(0,25 4- р2);
; ^22^2 / . ^12^2 . „4 ^21^1
*22 Q *21» » 0)2----\ '
P2ith *12 *21
Теперь представление
D(/a>) = [D-(/®)F,D+(/e>)
269
дается равенствами
D-(/®) =
[(/со)2 — УЪ (01/й) + (0f ] 1
О
О
[(/со2)—У 2(О2/(О + <в2]-1
6ц 612
&21 ^22
П+(/®) =
(/и)2 + y2&1ja + (о?
О
О
(/(о)2 + у 2(01/(0 + (О?
4г
^21 ^22
Краевая задача переписывается в виде
D+(/(o)H+(/(o)K+(/(o) = Т(/(о) + ФГ(/(о),
где
Т(/<в) =
».101 + М2е~/от
(/ш)2—К2(0(/(0 + (0|
ЬддОд С + 6210[
</(0)2— У 2 (02/(0 + в»2
К+(/<0).
Представление
Т(/(о)=Т+(/(о)+У-(/(о)
проводится непосредственно по формуле (3.53).
Наилучшая передаточная характеристика подвески определится те-
перь по формуле (3.55).
Пусть, например, 0 = 0,5 и Кх((о) = Рг^аМ-2- При этом решение
проводится до конечных формул относительно просто:
D+(/(o) =
(/со)2 + У 2 (ох/(о + со I
О
(/СО) + У 2 + (В2
О
Y(/(o)=2/D2oa —
е.
(/со)2—у 2 (О | /(0 + (О,
0ге~,а>т
(/W)2 — V2 + (t>2
9
®i
Т+(/(0)=Г^а
/ш + 0
(О2 е-'“т
/(о + 0
+- Яо(/(о)
4 _____ 4 ,-------
где (01 = у 291’, (о2 = у 202;
о2 е—,а>х е ~(1 “ii:
Но(/®) = _1 + / + уо^<о2
<о2> e“;WT____е“(.0^075 ш2т
— 1 —/ /со—(1 — /) /0,5(о2
270
Окончательно для наилучшей
получим
передаточной
характеристики
// (М) -
(/ы)* 2 3 + У 2 о> । /<о + ©2
©1е~/от+Я.(М)
(/со)2 + У 2 и2/® + °>2
Рассмотрим частный случай, когда передаточная характеристика
подвески Я+(/о) должна иметь вид
О
g—/(ОТ
Я+(/<•>) =
/#(/<»),
где Я^(/©) —передаточная характеристика физически осуществимой
системы.
Для определения матрицы краевая задача записывается
в виде
(/о)^(/©) = N(jti>)Kx (ja) + Ф“(/©),
где
£>(/<») =
(0,25 + р2) (/м)4 + 0!
(0,25—р2) (/e)4*/*’
(0,25—р2)(/й)4е-^ют
(0,25 + р2) (/«►>« + 02
ад =
II 01
||02е-/шт
В общем случае для выполнения факторизации матрицы D(ja) надо
приближенно представить функцию ех,р{—/®т} в виде дробно-рацио-
нальной функции, для чего используется, например, представление [НО]:
т т2
Г/Ш+-1Г(/Ш)2
е-/(вт _ 2_______12
1+~7Г »‘>» + _7г(/®)2
ля 12»
Тогда при р = 0,5 и Кж(<в) = £Ма®-2 для наилучшей передаточной
характеристики получим
а>1 0
(/со)2 + У 2 со, (/©) + cof w2
0 (/©)2 + у 2 со 2 (/со) + со2
где неизвестные постоянные <oi и <о2 определяются из условий X]
и Ч^2 Хг-
Используя результаты п. 1, можно записать
D2va 3 D2va 3
-------7=—, ®2 —-------— •
2 ^2Х! 2 /2Хг
(3.68)
Минимальное значение .критерия плавности хода (3.65)
3 3
f-0,5M{|z1(<)l2) + 0,5M{|z,(i)|2)-
Ля Ля W ЛЯ л Ля jf
271
или с учетом (3.68)
27
64
1
2Х3
Используя результаты п. 1, аналогичные формулы можно получить
и для других видов спектральной плотности профиля дороги. Например,
для Кх(со) = £>4у^(о“4 получим
Я-(/<о) =
У 2 (о^со 4- (di
(/со)2 + V 2 ©j/co 4- (of
(/2 (о2/(о 4- (o|)e“'WT
(/со)2 4- /2 (о2/ш 4- ш2
где
п 1 Р^3 1 V
= I-------тт=— ; (02 = |-----—
\ 2 2/2 2 \ 2 2/2 Х2/
4
£ р4иаА3 3 / JL \
'р 2 J _LpM 3 4-212 3Л
2 6
3. Вертикальные и поперечно-угловые
колебания кузова
Одномассовая расчетная схема показана на рис. 106, где хл(0 и хп(0 —
профили дороги соответственно под левой и правой подвесками; гл(/)
и £ц(0 —вертикальные перемещения точек кузова соответственно над
левой и правой подвесками; zc(t)—вертикальное перемещение центра
кузова; <р(/) —угол наклона кузова в поперечной плоскости; Ял и Нп —
левая и правая подвески; В — колея автомобиля.
Критерии безопасности задаются как средние квадраты прогибов ’
обеих подвесок:
Тл = М{|гл(/)-хл(/)|2}; ‘Рп = М{|гп(/)-хп(0|2}. (3.69)
Критерий плавности хода задается как сумма средних квадратов
вертикальных и угловых ускорений кузова:
f = M{|ic(OH + v2B2M{|<p(0l2}.
Весовой коэффициент у характеризует различие в восприятии людь-
ми (грузом) поперечно-угловых ускорений по сравнению с вертикаль-
ными ускорениями.
Поверхность дороги считается двумерным нормальным однородным
изотропным случайным полем со спектральной плотностью сечения вида
D2}~2. Тогда, как показано в гл. 1, спектральная плотность возмущения
по двум колеям Hi иеет вид №
**(/<») = (/®)2 — Цо>)2 + у1/В2 (3.70)
272 — (/W)2 + У2а/В2
Рис. 106. Одномассовая расчет-
ная схема поперечных колеба-
ний кузова на подвеске
В качестве обобщенных координат кузова примем z(t) = .
М" I
Тогда выражение для критерия плавности хода запишется так:
f - м {I |2} + М {I В2г(0|2}, (3.71)
где передаточные характеристики линейных операторов В1 и В2 даются
равенствами:
В1(/а>) = ||0,5(/®)2 0,5(/<о)2||;
В2 (/<>) = || у (ja)2 — у (/а)21|.
Критерии безопасности (3.69) записываются в виде
^л = миДлг(0-Слх(0|2};
’Fn = M{| Лпг(0- Gnx(0l2},
где Лл = ||1 0||; Лп = ||0 11|; Ол = ||1 01|; Gn = ||0 11|.
Задача формулируется теперь следующим образом: найти линейное
преобразование
z(t) = H+x(t),
обеспечивающее минимум функционала (3.71) при условии ограниче-
ния функционалов (3.69) сверху Ч'л ^л, Ап.
Краевая задача, определяющая оптимальную передаточную харак-
теристику подвески Н+(]ы)9 имеет вид
D(ja)H+(ja>)Kx(j<a) = /V(/w)Kx(/(o) + Ф“(/<о),
где
D(/®) = b'i + В2(/<о)в2(» + еллХ + епл:лп —
(0,25 + V2) + ел (0,25—у2) (/®Г . (3 72)
(0,25—т2)(/со)4 (О,25 + 72)(/<й)4 + 0п ’
ЛГ(/о>) = 0Хсл + 0плХ = || о° ;
II U
0л и 0п —неизвестные постоянные. 273
18 Заказ 3363
Факторизация матрицы D(j(o) (3.72) в общем виде дана в разделе 2.
Здесь проведем факторизацию матрицы D(jto) для случая 0., = 0П = 0
(автомобиль симметричен относительно своей продольной плоскости и
имеет одинаковые левую и правую подвески). Тогда
D(/to) =
1 1
— 1 1
О,5(/и)4 + 0 О,5(/©)4 + 0
— 2у2 (/w)4—0 2у2 (/to)4 + 0
Откуда представление D(ja>) = [D-(/to)]-1£>+(/to) дается равенствами:
о-(» =
(j ю)2—4Л2 to j /<о +
0
________________1_______________
(/to)2 — ) 2 to,/to + to2
1 1
— 1 1
(/to)2 + У 2 (dja + и/
0
где toj — 'У20, too = 1/ ——.
D+(/«) =
0
(/co)2 + ]/ 2 too/w 4 too
0,5 0,5
—2y2 2y2
Факторизация матрицы /<Л(/м) (3.70)
проводится также просто:
Хл+(» =
/<о + У"2 уа/в
j4> + vaIB
ju + va/B
^(» =
где
(i)i V2 (of a.
—------+------!——
/(D + 0 jco + ua/B
0
0
2у2(ОоаТ1
j<$ + va/B
ai = + J/2G), —+ coi; a2 — —+ 1^2 (o2 + <d].
кУ D LJ D
Окончательно
7/+(/to) = [D+ (/to)]-|T+(/to)[Kx+(/to)]-1
X 0,5/7!(/и)
1
1
1
1
<|)|
— 0,5Я2(/и)
a2
1
— 1
r- \ r- va
t-Уг l/to + /2-f-
/
/ - Va
jti)+ у 2——
D
— 1
1 ’
где
Я1(/и)
о/
7; ^2(»
(/to)- + V2 toj/w + <07
®2
(/w)2 + У 2 w2/to + to2
274
4. Вертикальные, продольно-угловые
и поперечно-угловые колебания кузова
Одномассовая расчетная схема с тремя степенями свободы, когда
колея задних колес равна колее передних, показана на рис. 107.
На схеме хл(0 и xn(t)—профили дороги под левыми и правыми
колесами; (/) — вертикальные перемещения геометрического центра
кузова; г2(0 и z3(/)—угловые перемещения кузова соответственно
в продольной и в поперечной вертикальных плоскостях; Н[Л, Я!п, #2л
и Н2п — подвески.
Поверхность дороги считается двумерным нормальным однородным
изотропным случайным полем со спектральной плотностью сечения ви-
да D2I№.
Критерии безопасности задаются как средние квадраты прогибов
подвесок, критерий плавности хода — как сумма средних квадратов ли-
нейных и угловых ускорений кузова:
f = М {|г,(0|2} + -у-Р2М {|г2(/)|2} (|г3(Л
где весовые коэффициенты р и у характеризуют различие в восприятии
людьми (грузом) угловых ускорений по сравнению с вертикальными.
В качестве обобщенных координат выберем
2(0 =
21(0
z2(0
23(0
В качестве функции воздействия
х(0 =
Х1(0
Х2(0
0,5 0,5
0,5 —0,5
*л(0
*п(0
Такой выбор удобен тем, что Xi(0 и х2(0 оказываются статистически
независимыми. Спектральная плотность случайного процесса I
II I
была определена в гл. 1 и имеет следующий вид:
Kx(/(d) = P2va —0,5(jq,)2 + vllB2 o (3.73)
—(/<B)2 —(jvf + v2iB2 0 Dj^a
-(/ш^+^/В2
Критерий плавности хода запишется в виде
f = м {|В,г(0|2} + М {| B2z(0|2} + М {| В3г(0|2},
(3.74)
где передаточные характеристики операторов Bi, В2 и В3 даются равен-
ствами: Bi(j<a) = ||(/«)2 0 0||;
B2(/w) =
0 -^(»2 0
В3 (/<!)) =
0 0 ^-(/<0)2
Критерии безопасности записываются в виде
Т£ = М {| Afz(0—G£x(0|2} (t = 1, 2, 3, 4), (3.75)
18*
275
Рис. 107. Одномассовая расчет-
ная схема с тремя степенями
свободы
где передаточные характеристики операторов и 6,- имеют следующий
вид:
Задача формулируется теперь следующим образом. Требуется найти
линейное преобразование z(t) = обеспечивающее минимум
функционала (3.74) при условии
(1=1, 2,3, 4),
(3.76)
где функционалы Y, заданы равенствами (3.75).
Краевая задача имеет вид (3.43), где
^(et^2-gj-e4) ^(9,-ez-e3+eJ i (3.77)
^(вг8г*вз~^) (вг<>г~вз *вь) ^[fz(Jlf','ei+8Z*831'lg]
91+82-re3e'J,^-te4e'JuT 8,-в2 + -04e~JuT
N(ju}= -z (eeere}e-iut-e4C-JuX) к(вгд2.взе-^+ в*е-з<Л) , (3.78)
j(9,-eee3e-Jut-e4eM) j(e^ez^je-^e4e-Jut)
где 61, 02, 0з. 04 — неизвестные постоянные изопериметрической задачи,
соответствующие четырем условиям (3.76).
Матрица К» (/со) дается формулой (3.73). Решение краевой задачи
проводится по методу, изложенному в § 2.
276
Выражения (3.77) и (3.78) значительно упрощаются, если тран-
спортное средство считать симметричным относительно продольной вер-
тикальной плоскости. Кроме того, примем, что допустимые прогибы
передних и задних подвесок приблизительно равны.
В этом случае 0, = 02 = 0з = 04 = 0и
D(/w) =
(/(О) =
-£-[№)<+ 40]
4
о
о
4-[?2(/®)4+40]
4
20(1 +е-/“х)
£0(1—е~'“х)
О
О
О
В0(1
Выполнив факторизацию, получим
D(/<o) = D-(/w)D-* (/со),
где
n~(ju)=
^[(Ju)1-tfz Uzju + Vz]
(Ju)z- \fz и, Ju +uf
0 UjJa+aj]
В этой матрице
Ю1=|/’40; <о2 = -^-; <о3
У Р
Краевую задачу переписываем в виде
D~* (/®)Я+ (/а)Кх+ (/ю) = Т (/со) + ФГ(/<о),
где
Т(» = [D-d^NU^Kt (jv),
1 . , Ра
/2 /<0+ В 1
va j© + О
/0»+ —
О
О
1
• , °а
277
Тогда
ад----
/Ш + —
278
/0.5;« + -у- »<(1+е-/«Ч
/© 4- 0 (/со)2 — ©j/© 4- <о j
vo/®+4г
в' <)!?(!-е-'**)
/ф 4- 0 (/со)2—1/2 (о2/со 4-
О
О
О
<»зТ(1+е—,<ЙТ)
(/ю)= Т21(/ю)
О
О
О
^(М)
(/<о)2— /2<о3/и + (о^
(3.79)
где
(Г 1
/® + о
(1—/0,5)^
w+z- \ Y<03
4f32(/fi>) = ——
• . Va
/®+—
„ 1 । (l-VQ)^/'
/<о 4- О va
1а+—
(1 +е-/шх) + ^(/®) ;
(1-е-'“Э + №2+(/®) ;
ызаз ‘
• . °а
/® + —
(1 + е-'“т) + 1П(/«>) ;
аА=(-^-)2 + /2а>й-^ + «)1 (6=1, 2,3).
\ в / в
Передаточные характеристики ^^(/’w), и W^(ja)) являются
физически осуществимой составляющей передаточных характеристик
WA(>) = (Pk + m)(-7® + /О®к + 7 /О®,)-1 е-'“т +
+ (pk—Mk)(—/w + /0,5tt)A—//0,5 ©J-1 (£= 1, 2, 3),
гдеР1=у 1-(1-/O^)^l
1.
B2ai J ’
01
Р2 =
' 2
1 ( “з
<7з = — \ —
2 \ а3
Согласно формуле (3.53)
, /ю*_«—Т'оГб (/+1)ЮьТ
^(/B) = (pi+№)^s77WTw
е~ ,-<вт_ е- Г °, 5 (J -/ > <оАт
+ (Pk—Mk) _/(B+|<o^(1_/)(0ft
1
2
Рз=т11
1— (1— /0,5) (j
у
В2а3 J ’
(*=1, 2, ...).
(3.80)
<о|
02
(3.81)
Оптимальную передаточную характеристику подвески получаем те-
перь в виде
ЯГ1(/<о)
//2+,(/<о)
О
О
О
//32(/<О)
Н+(/«) =
(3.82)
где
/ /2—1
\ Г 2 а.
“01ь>+-г!1+*-^4-+ь^-^\^4
/ ° 2 \ о / 2
г___ 1»я
/0,5/w-f--^-
[(/«)2 + /2<oj/w + ®i|
(1 +~^ (0А + о (1 —е /<,и)—— + ( j«y + -W’i (/«>)
«-;,(/«) =LV 1" ? _ J „--------------------—---------—---------L;
| To.s/w + “^"J ' + I 2 Wj/W + W^]
= “ B-------------v........... , 7------------
(/0))2+ I 2(.)3/ю + (05
Функции Wi (До), Wj (До) и UZj(/(o) даются формулами (3.81), a
постоянные —a3, px—p3, qx — q3 в объяснении к формулам (3.79)
и (3.80).
По формулам (3.81) получают точное значение передаточной функ-
ции, когда спектральная плотность профиля дороги х(/) определяется
по (3.73) и в (3.77) принято 0| = О2 = Оз = 04 = 0, т. е. когда со2 =-^=-
I Р
и (о3 = . При этом формулы (3.82) содержат только одну неизвест-
F Y
ную постоянную G)i, которая определяется, например, из условия
4S X/ Средние квадраты прогибов задних подвесок оказываются
примерно такими же. Случай, когда допустимые прогибы передней и
задней подвесок неодинаковы, был рассмотрен в разделе 2.
5. Вертикальные колебания подрессоренных
и неподрессоренных масс
Двухмассовая расчетная схема с двумя степенями свободы приведена
на рис. 108, где М— подрессоренная; т — неподрессоренная масса;
сш — жесткость шины; 2гш — коэффициент вязкого трения в шине;
x(t) —профиль дороги; Н — часть подвески, расположенная между
массами Мит; z{(t) и z2(0 —перемещения соответствующих масс.
В отличие от условий раздела 1 часть подвески, расположенная
между массой m и дорогой, считается заданной.
Критерий плавности хода задается как средний квадрат вертикаль-
ных ускорений подрессоренных масс
279
Рис. 108. Двухмассовая расчет-
ная схема с двумя степенями
свободы
критерии безопасности движения — как средние квадраты прогибов
подвески и шины:
= м{| 21(0-z2(/)|2}; ЧС, = М {| z2(0-x(/)|2}.
Кроме того, будем считать, что массой подвески Н можно прене-
бречь, т. е. силы, передаваемые подвеской на подрессоренные и непод-
рессоренные массы, равны по величине (и обратны по направлению).
Если допустить, что подвеска может иметь собственные подвижные
массы, например динамический гаситель колебаний колес, то решение
задачи будет другим.
В качестве определяющего параметра выберем z(t) —силу, пере-
даваемую подвеской Н на подрессоренную массу М. Тогда критерий
плавности хода
f = Л4 {| Bz(/)|2}, (3.83)
где
в-в+<М“4г
Учитывая, что
2><()-4rdrz<'’;
М р2
2гщр + сш 1
тр2+2гшр + сш тр2+2гшр + сш
можно записать:
V, = м1 (3 84)
^2 = м fH2(p)z2(0-G2(p)x(0l2}, J
d
где р = —, а передаточные характеристики, соответствующие опера-
dt
торам Ai и Gi, имеют следующий вид:
Д, (/©) --!_ +--------!------; + .
Af(/'w)2 т(1ы)2+2гш]& + сш тЦш)2 + 2гш/<о + сш
„о» Л(/®) =-----------5------; g2(/®)=—-от(/ы)2—.
280 Z7Z (/со)2 4- 2гш/ш 4- сш т (/со)2 4- 2гш/ш 4- сш
Затем найдем линейное преобразование z(t) = //+%(/), обеспечиваю-
щее минимум функционала (3.83) при условии
и Ч^2<Х2, (3.85)
где функционалы и Ч'г даются формулами (3.84).
Краевая задача имеет вид
D (/©)#+(/©) ЯД/®) = W (/®)/Сх(/со) + Ф-(»,
где
D(>) = + 0> I I2 + °21А2(/®)I2;
/И2
N(ia) = 0,Д1(—/«OG^/ca) +
01 и 02 — неизвестные постоянные изопериметрической задачи, соответ-
ствующие условиям (3.85).
С учетом (3.84)
D(/w) = + в <м + от)</<0>2.+.. |2 0 ---------------------!-------12; (3.86)
М2 [т (/со)2 4- 2гш/со 4- сш] М (/со)21 т (/со)2 4- 2гш/со 4- сш |
= 0! —— Г---------------------!-----|_---------!-------- +
m(/w)2 4- 2гш/со 4- сш М( — /со 4- О)2 т(/со)2—2гш/со 4- сш ]
+ 02-------------------------Z11--------. (3.87)
m(/co)2 4- 2гш/со 4- m(/co)2 — 2гш/со 4- сш
Выполнив факторизацию, получим
_ т [(/^)2 —2g1^i/^ + co|] [(/со)2 —2g2co2/co4-col]
° М [т(/со)2 —2гш/со4-сш] [—/СО4-0]2
где постоянные £2, coi и со2 определяются из условия £)(/со) =
= D-(jco)D_(—/со). Эти постоянные являются действительными и по-
ложительными. Поэтому их определение более просто, чем определение
нулей О (/со), которые оказываются комплексными. Постоянные и
меньше единицы.
Передаточная характеристика подвески
Я+(/ш) = [Е> (/<о)] ' Ч'+(/Ш) [К+(/®)Г'. (3.88)
Если спектральная плотность профиля дороги дается формулой
Кх(/со) = О2уа(о_2, то передаточная характеристика подвески имеет
вид
„4-.. . М(М)2 |А (М)2 4- k2(/со) 4- со jсо2]
П (/СО) = ----;------------------------------------.
[(/со)2 4- 2^ (/со) 4- СОП [(/со)2 4- 2£2со2/со 4- со2]
В частности,
k.p2 4- kQp 4- со?со?
Z1 (0 =-----------LLZ-2T..T.. 1 2------х(/). (3.89)
(р2 4- 2gjCOjp 4- G>1) (р2 4- 2g2co2p 4- со|)
Постоянные и k2 определяются при выполнении выкладок (3.86).
Следует отметить, что все постоянные, входящие в выражение (3.89),
зависят от двух неизвестных постоянных 01 и 02 изопериметрической
задачи. Зависимость эта весьма сложная, поэтому иногда более целесо-
образно определять оптимальные значения параметров, входящих
непосредственно в выражения (3.89), хотя их больше, но они имеют
более простой вид, чем параметры 01 и 02. 281
Рассмотрим подробнее частный случай, когда ограничены только
прогибы шины, т. е. отбросим условие ЧК] Ль При этом 01 = 0. Кроме
того, положим, что коэффициент вязкого трения в шине пренебрежимо
мал: гш = 0. Тогда выражения (3.86) и (3.87) примут вид:
о(/ю) = от2(/<0)4+2отсш0'(|))2 + сш+М12 .
Л12 [т2 (/со)4 + 2тсш (/со)2 + с2 ]
лг(/®) = е2--------------—от(./ы)2-----------------.
[сп (/со)2—0 • /со + cUI] [т (/со)2 + 0 • /со + сш]
Факторизация функции D(jw) проводится легко:
= т(/0))г—2гп(/ы) + ^п
М [т(/со)2—0-/со + сш]’
где
сп = У Сш + 0гМ2; 2гп = У2тУсп—с{
Принимая
ЗД = Ж,
/со 4- 0
(3.90)
получаем
D-(-/<o)H+(/«)/<+(/«) = V(/®) + ФГ(/®),
где
=____________—Q2Mm )/ Р2уя ___________
[т (ju>Y—2гп/со + с„] [т (/со)2 + 0 /со + сш]
По формуле (3.53) находим
(/о)) = ________________________т
. . о сш т(/со)2 + 0 /со + сш
(Сц-'-Гш)- + 4г- —
tn
Для наилучшей передаточной характеристики подвески получаем
выражение
Н + (М) =
02Л12м
(с —с 1" + 4G —~
' 11 " т
— (сц— t'ui) (/о>)2 + 2г„ /со
т
m(juy + 2rajw + ca
где неизвестные постоянные 02, сп и 2гп связаны соотношениями (3.90).
Выражая 02 и сп через 2гп, получаем
Н+ (/©) = 2г„/®---------2г„/ео + Сш---
m (/со)2 + 2гн/со + си1 + 2г2т~1
Теперь передаточная характеристика имеет одну неизвестную по-
стоянную 2гп-
Для перемещений неподрессоренных масс имеем выражение
= = cai—H+(p) x{t)
тр2 + сш тр2 + Сш
(3.91)
282
Учитывая (3.93), можно записать:
z2(0 = 2 Сш + 2г",п~1 х(/). (3.92)
тр 2 * * + 2гпр + сш+2г^т
Для прогиба шин получаем уравнение
х(0-^(0 —2 тр2+2г-р 2 х(0.
тр 2+2гпр + сш + 2г^т
Неизвестную постоянную 2гп находим из условия Л2,
где
Д2Уа т тсш + 3г2а
2 2г" тсш + 2г*
Поскольку это условие является существенным при любом 2^, то
можно записать:
2r DiV* т ОТСш+8г"
" 2 Х2 mcm+2rl
Если то 2гп^-^-^-.
м Л2 « Л2
В этом случае
Поэтому вместо (3.92) можно приближенно записать:
z2(t) --х (/), (3.93)
' тр2 + 2гпр + Сш 7 В
тогда
¥ ~ 2L (1(3.94)
2 2гп \ тсш } 7
Приближенное выражение (3.93) имеет то преимущество перед
точным выражением (3.92), что оно позволяет легко построить схему,
имеющую передаточную характеристику (3.93). Передаточная харак-
теристика (3.92) содержит неминифазную составляющую (3.91), и
практически для ее реализации требуется система автоматического
регулирования.
Из выражения (3.94) следует, что соотношение (3.93) не может обе-
спечить значение меньше DzViVntc-'. Это минимальное значение
достигается при g = 2гп(^сш)“0’5 * = 0,5.
Приближенному соотношению (3.93) соответствует
Я+ (/©) = 2гп/(й
_______Сщ_______
т(/ы)2+ 2гп/ю + сш
тогда критерий плавности хода
DjOa Сш2г,
2 М2
283
Для того чтобы было Ч'г Х2, надо принять согласно (3.94)
1+К1 — (О2Уа)2(Х2<11шГ2
где <вш = jX сш/п-1.
Допустимое значение среднего квадратического прогиба шины
можно определить из условия^ что вероятность отрыва шины от дороги
не должна превышать, например, 0,01.
Тогда
^2 ~ (V®) /ст,
где fст = g(M + т)/сш — статический прогиб шины.
6. Вертикальные колебания кузова при наличии
локационного устройства
Расчетная схема изображена на рис. 109, где М — кузов; z(t) —его
вертикальная координата; х(£)—профиль дороги; Л — локационное
устройство; 6(0 —шум (погрешность) локационного устройства; y(t) =
= x(t) + 6(t) —сигнал на выходе локационного устройства. Критерий
плавности хода задается как средний квадрат ускорений подрессорен-*
ных масс:
где
В(Р) = Р2,
а критерий безопасности движения — как средний квадрат прогиба
подвески:
¥=M{|2(0-G(p)x(0l2},
где G(p) =е~’п.
Задача формулируется следующим образом. Найти линейное преоб-
разование
z(t) = H+y(t),
обеспечивающее минимум функционала f, при условии Ч7 X.
Краевая задача имеет вид
D(ja>)H+ W (/©) КХу(&) + Ф“(/®),
где D (/©) = (До)4 + 0,
АГ (/со) = 0
Примем КД<о) — DiVaor2 и спектральная плотность шума локацион-
ного устройства К8(<в) = е2. Случайные процессы x(t) и 6(0 будем
считать некоррелированными. Тогда
284 Ку (jot) = — О2Уа (/®)~2 + 6 2; КХу (i°>) = — D2va
Рис. 109. Расчетная схема вер-
тикальных колебаний кузова
при наличии локационного уст-
ройства
Факторизация функций D(j&) и Ky(j(&) записывается в следующем
виде:
К+(/(й) = + ;
/со 4- 0
_ 1 1
D-(/<o) = (/w)2—V2 0 4 /со + 0 2 ;
краевая задача
D-(-/©)//+ (/й>) К+(/ш) = Ч'(/и) + ФГ(/«),
где
W®) =-----------------.
(/ы + 0)(-е/со + /Щ£)1(/©)2-/204 /ш + 02]
я+(7®)= [£>-(—М)]-1 т+(/<о) [/С(М~‘
При е-^0 и т—><х>
//+(/«)->---?---. (3.95)
’ (/«р + 0
__1_
При этом уже при т > 30 4 можно принимать (3.95) в качестве
равенства. Тогда
f = —-— I I ——— 12 D2vad (/®) =
' 2л/ ,) | (/co)* + 0 I '
—/оо
1 'r -WfflWW _ /2 n ft|.
” 2л/ I -L -L J. I2 “ 16 2 a ’
J | (/co)4 + 2 /2 0 4 (/co)3 4- 40 2 (/co)2 + 2 /20 4 /co + 01
—JOO
¥ = — f I (M- I2 D2t>ad(/(o)=-^-D2va0~~.
2л/ J I (/<o)4 + 0 | a v ' 16
—/оо
Из условия Ч7 Z находим
0,'4 = (3K2/16)D2uaX“‘.
Окончательно минимальное значение критерия плавности хода
f = (27/2l4)(D2oa)4X-3.
285
Сравнивая это выражение с формулой (3.62), находим, что при
наличии системы для определения профиля дороги впереди движущего-
ся транспорта средний квадрат ускорений кузова может быть
в 256 раз меньше, чем при отсутствии такой системы (при одинаковых
допустимых прогибах рессор).
§ 4. НЕЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА
Линейная подвеска является наилучшей по плавности хода подвеской,
если в качестве критерия безопасности принят ограниченный средний
квадрат прогиба подвески. Если же в качестве критерия безопасности
движения принята ограниченная вероятность превышения заданного
прогиба, то наилучшей по плавности хода оказывается нелинейная
подвеска, при которой средний квадрат ускорений лишь на 40—50%
меньше, чем при линейной подвеске.
Использование информации о профиле дороги перед автомобилем
с линейной подвеской позволяет, как было показано в предыдущем
параграфе, уменьшить средний квадрат ускорений в 256 раз. Но такая
информация при нелинейной подвеске дает возможность уменьшить
средний квадрат ускорений в несколько тысяч раз. Поэтому ниже рас-
сматривается решение задачи о принципиальных возможностях нели-
нейной подвески с «упреждением».
Пусть автомобиль имеет нелинейную подвеску и пусть известен
профиль дороги впереди него. При этом предполагается, что на автомо-
биле имеются локационное устройство для определения профиля дороги
впереди и быстродействующая система автоматического регулирования
положения кузова, имеющая ряд управляемых параметров, задание
которых однозначно определяет движение автомобиля.
В этом случае вертикальные колебания автомобиля описываются
системой дифференциальных уравнений:
dyildt^fttyx...уп, Ui....ur) (i=l, п), (3.96)
где г/1,..., уп — переменные, определяющие состояние системы (это
могут быть и обобщенные координаты, и их производные — обобщенные
скорости); ..., иг — управляемые параметры, в качестве которых
следует выбирать силы, передаваемые подвеской. Тогда критерий
плавности хода задается в виде
f=4"f•••* Ui.............u^dt- <3-97)
Т о
Функция fo(y\t...»уп, может, например, означать квадрат
ускорения в какой-то точке автомобиля, и тогда критерий плавности
хода (3.97) будет представлять собой средний квадрат ускорений.
Вообще в виде (3.97) могут быть представлены почти все критерии
плавности хода. Движение любого автомобиля с управляемой системой
автоматического регулирования положения кузова может быть описано
достаточно точно уравнениями (3.96).
Ограничения, накладываемые на движение автомобиля, можно раз-
бить на две группы: ограничения, накладываемые на управляемые
параметры, и ограничения, накладываемые на траекторию. Ограниче-
ния первой группы обусловлены в основном особенностями примененной
системы автоматического регулирования положения кузова, такими, как
быстродействие, максимальная сила и т. д. Если система достаточно
286 высокого качества, то этими ограничениями можно пренебречь. Вообще
для каждой конкретной системы может быть указана область U допу-
стимых управлений. Тогда ограничения первой группы исчерпываются
тем, что выбранное управление Wi(/),..., wr(/) должно принадлежать
области U. Ограничения второй группы вызваны в основном тем, что
расстояния от элементов автомобиля до поверхности дороги не могут
быть любыми. Эти ограничения исчерпываются тем, что траектория
z/i(/), •••> Un(t), соответствующая выбранному управлению их (/),...,
должна принадлежать области Y допустимых траекторий. В этой обла-
сти прогибы подвески ограничены сверху и снизу заданной величиной.
Задача формулируется следующим образом: среди допустимых
управлений найти такое управление (/),..., ur(t), обеспечивающее
минимум функционала (3.97), чтобы соответствующая ему траектория
£/i(/),..., £/п(/) лежала в области допустимых траекторий (управление
и траектория в этом случае называются оптимальными).
Однако оптимальную траекторию определяет не весь профиль
дороги, а только отдельные его точки, в которых оптимальная траек-
тория касается границы области допустимых траекторий и которые
называются определяющими точками (наиболее глубокие выбоины и
высокие неровности).
Если найдены определяющие точки профиля дороги, то можно
определить координаты элементов автомобиля, так как в этих точках
прогиб подвески равен максимально допустимому. Неизвестными
остаются обобщенные скорости, однако их можно первоначально задать
произвольно (или в общем виде) с тем, чтобы в последующе^м найти
оптимальные значения. Задача определения этих скоростей является
более простой, чем задача отыскания оптимальной траектории. Послед-
няя сводится к тому, чтобы найти оптимальную траекторию между
двумя соседними определяющими точками. Точнее, среди допустимых
управлений U найти управление щ (/),..., ur(t), обеспечивающее мини-
мум функционала f (3.97), если //ДО) = Хг0, Ус(Т) = XiT (i = 1, 2, ..., и),
где yi(t) определяются уравнениями (3.96).
Решение этой задачи дает теорема, получившая название «Принцип
максимума Л. С. Понтрягина». Для ее формулировки введем в рассмот-
рение дополнительные переменные уо, Ч^, ^Fi, ..., Чг?г. Переменные
Ув,..., уп, То, ..., Ч^, /0, •••,/п и Wi, ..., иг будем считать компонентами
векторов у, Т, f, и. Определим функцию .7^ формулой
п
•#(ф, У> «) = ф/ = и), (3.98)
a=0
тогда уравнение (3.96), критерий (3.97) и уравнения, определяющие
Т(/), запишутся в виде одной гамильтоновой системы
dtji/dt 1 (3 99
d^ildt=—d^ldtji (i = 0, 1, 2, ..n). J
При фиксированных значениях ф и у функция rff (3.98) является
функцией управляющих параметров u^U. Точную верхнюю грань ее
значений обозначим через ц(ф, у):
У) = sup г?С (ф, у, и)
В этих обозначениях принцип максимума для рассматриваемого
случая формулируется следующим образом [111].
Пусть и(/), 0 t Т — такое допустимое управление, что соот-
ветствующая ему траектория //(/), исходящая в момент t = 0 из точки
287
Ао, приходит в момент Т в точку Кт. Для того чтобы управление u(t) и
траектория y(t) обеспечивали минимум функционала f (3.97), необходи-
мо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функции ф(/)
[см. (3.99)), при которой
Фо (0 = const <. 0;
ft(ф, у, и) = |Х (ф, у). (3.100)
В частном случае, когда управления не ограничены, (3.100)
принимает вид
dW/du^O (/=1,2, ...,г). (3.101)
Рассмотрим применение принципа максимума на простейшем при-
мере одноколесного велосипеда. Расчетная схема приведена на рис. 109.
Профиль дороги впереди движущегося транспортного средства счи-
тается известным. Примем, что в качестве подвески установлена
быстродействующая система автоматического регулирования положе-
ния кузова, а управляемым параметром и является сила, передаваемая
подвеской на кузов. Тогда уравнения движения системы (3.96) запишут-
ся в виде
dy^dt = и/М\ dy2/dt = уъ
где у\ — вертикальная скорость кузова; у2 — вертикальная координата
кузова; М — масса кузова; и — сила, действующая на кузов (управляе-
мый параметр).
Критерий плавности хода (3.97) зададим как средний квадрат
ускорения кузова
т
f = —^ — u2dt.
Т J М2
о
Функция Гамильтона
^==^о~^Г + ^1~ТГ +
М2 м
тогда уравнения (3.99), определяющие ф, запишутся в виде
d^dt = 0; d^Jdt = —ф2; d^/dt = 0.
Откуда
% = Ci; Ф| = с2—с3/; ф2 = с3;
t/2
ft(ф, у, и) = сх— + (С2—СзО — + czy{.
где сь с2 и с3 — произвольные
постоянные и согласно принципу макси-
подвеской, не ограничена, то соглас-
Если сила, передаваемая
но (3.101)
и/М = — (с2—c3t)lc{.
Обозначим вертикальное ускорение кузова — через w. Учитывая,
М
что постоянные сь с2 и с3 выбраны произвольно, окончательно можно
записать
w(t) = WQ+---^-5- /,
где Wo — ускорение в момент t = 0, a Wt — ускорение кузова в момент
288 t = Т (в момент прохождения через определяющую точку).
Таким образом, при движении автомобиля между двумя соседними
определяющими точками оптимальное вертикальное ускорение кузова
w(/) является линейной функцией времени /, т. е. на всем отрезке дви-
жения функция w(t) есть кусочно-линейная. Нетрудно также показать,
что минимальный критерий плавности хода f [см. (3.97)] обеспечивает
непрерывная кусочно-линейная функция w(t).
Примем, что в начальный момент tQ автомобиль находится в со-
стоянии f/i(/o) = Vq, #2(/о) = $о, а в моменты времени t2,... проходит
определяющие точки с координатами $2, — • Траектория автомобиля
однозначно определяется ускорением кузова в момент t = tQ и в опре-
деляющих точках Wq, w2,..., так как ускорение кузова при движении
между определяющими точками меняется по линейному закону. Для
определения ускорений в определяющих точках имеем систему линей-
ных алгебраических уравнений:
2 = — и0;
W1 + W2 А ±
Ш2 = ^2---
4- д^ _____ Д$2 ___
6 2 “ д/2
где vlt v2,...— вертикальные скорости кузова в определяющих точках;
AG = t{ — ti-i, Ast = s, — Sj-v. Исключая vi, v2..., получаем
2А/]йу0 + А^о»! = 6 (------1>0
\ AG
А^ш0 4- 2 (А/, + Д/2) 0)j + &t2w2 = 6 (-----—
\ Д/2 ДЛ
А/20У1 + 2 (A/2 + A?3) w2 + А/3ш3 = 6 ( ----
\ Д^З Д^2
Проще всего эта система
приближений:
первое приближение
решается методом последовательных
3 / As 1 \
— (-7Г-°”);
----3—1-^-—
Д/1 + Д^2 \ Д^2 Д^1 /
гя, 3 / Д$3 Д$2 \.
W2i 1) -----1----------];
Д/2 “Ь Д/з \ Д^з ^2 /
второе приближение
^0(2) =доо(1)—
0 5
0)1(2) = и»1(1)------- ’ (AftO)0(l) + ^2^2(1));
Д/| + Д<2
О 5
и>2(2) =М>2(1)-----’ (А/2^!(1) 4“ Д/з^з(1));
Д^2 + Д^з
19 Заказ 3363
289
£-е приближение
1
=И>0(1)----
= OJt(t)—А/ +*ЛГ"7" (Af I (^—1 > -Н (fe-1)) (i«h 2, 3, ..,).
Уже в третьем приближении получается результат, очень близкий
к наилучшему, причем используются только три определяющие точки.
Действительно,
/< , 0,25^ \А ПЕ-Г. . °*25 (к/ . Л/2 Мл ।
лул/лч = ( 1 -|-------] А»—0,5 I 1 + ......—1 ДЛ -j----------) Д2 +
\ Д^ + Д^2 / L Л/1Ч-Д/2 \ Д^г + Д^з /J
0,25Д;2 д 0,125Л/2Д;3 д
Д^4-Д/2 (Д/1 + Д/2)(Д/2 4- Д^з)
где
А 3 / Д$1 \
Ai =--1 —1;
дб \ Д6 /
д __ 3 / Ast- М
1”~ Д^ + Д^ Mi м,
(1 = 2, 3, ...).
Видно, что влияние четвертой определяющей точки на w уже очень
мало и составляет 1—3По-
оптимальнее вертикальное ускорение в первой определяющей
точке теперь можно определить по формуле
w = 2(&{ —wQ).
После прохождения первой определяющей точки вновь рассчиты-
вается оптимальная траектория до следующей точки. При этом может
оказаться, что действительное ускорение несколько отличается от
расчетного. Изменять ускорение скачкообразно, по-видимому, нежела-
тельно, лучше ввести коррекцию путем добавки квадратической состав-
ляющей ускорения так, чтобы прийти в следующую определяющую
точку с расчетными значениями ускорения и скорости.
Для построения оптимальной траектории достаточно, таким образом,
знать профиль дороги впереди движущегося автомобиля на отрезке,
имеющем в среднем три-четыре определяющие точки.
На рис. ПО показана область допустимых траекторий (заштрихо-
ванная область). Определяющие точки обозначены цифрами 1—7. При
расчете были приняты: vQ = —1,20 см/с, v7 = 1,31 см/с.
По приведенным выше формулам были получены оптимальные
ускорения и скорости в определяющих точках (см. табл. 21).
Таблица 21
№ точки (см. рис. 110) t, с S, см w, м/с2 V, см/с
0 0,91 — 1,20
1 1,2 —0,17 3,50 1,44
2 1,7 0,54 —7,31 0,49
3 4.1 — 10,3 2,09 —5,75
4 5,8 — 15,6 5,08 0,37
5 6,5 —14,0 -1,23 2,12
6 8,0 — 11,0 3,42 3,55
7 8,7 —8,8 —9,85 1,31
290
Рис. ПО. Область допустимых траекторий кузова
Рис. 111. Зависимость отношений средних квадратов ускорений кузова от времени
упреждения:
• г-°Тн'аОл
На рис. НО оптимальное ускорение обозначено через а опти-
мальная траектория — через y(t). Эта траектория обеспечивает наи-
меньшее значение среднего квадрата ускорения кузова по сравнению
с другими траекториями, проходящими-внутри заштрихованной области.
На рис. 111 показана зависимость отношений средних квадратов
ускорений кузова а^л и а^н соответственно наилучшей линейной й нели-
нейной подвесок к среднему квадрату ускорения Одл линейной подвески
без упреждения в зависимости от времени упреждения Т.
§ 5. САМОНАСТРАИВАЮЩАЯСЯ ПОДВЕСКА
В том случае, когда подвеска реагирует только на пройденный профиль,
наилучший алгоритм ее работы существенно зависит от статистических
характеристик дороги. При изменении этих характеристик должны
меняться и характеристики подвески. Поскольку чаще всего характери-
стики дороги бывают неизвестны, наилучшая подвеска должна быть
самонастраивающейся. Это означает, что автомобиль должен иметь
какую-то систему для определения статистических характеристик про-
филя дороги, и в соответствии с ними перестраивать алгоритм работы
подвески. При этом подвеска должна иметь ряд регулируемых парамет-
ров, чтобы практически для любой дороги быть близкой к наилучшей.
В самой постановке задачи о самонастраивающейся подвеске пред-
полагается, что профиль дороги — нестационарный случайный процесс,
поэтому прежде всего следует построить его математическую модель.
Будем считать, что профиль дороги состоит из достаточно длинных
участков, каждый из которых является реализацией какого-то
стационарного случайного* процесса с неизвестными статистическими
характеристиками. В этом случае задача сводится к определению
статистических характеристик стационарного случайного процесса по
одной его реализации. Однако, когда о виде спектральной плотности 291
19*
профиля дороги не делается никаких предположений, ее непосред-
ственная оценка в процессе движения получается очень неточной из-за
большой погрешности конечной выборки.
Например, для того чтобы иметь 10%-ные доверительные границы
для оценки спектральной плотности даже при таком широком интер-
вале осреднения, как 1—2 Гц (одна октава), время наблюдения должно
быть равно 900 с. Осреднение спектральной плотности в более широком
диапазоне частот не имеет смысла, так как при этом резко возрастает
погрешность осреднения и полученная оценка уже ничего общего со
спектральной плотностью не имеет. Вследствие этого лучше вести
оценку того осреднения, которое производит сама подвеска, т. е. оцени-
вать средний квадрат прогиба подвески.
Рассмотрим в качестве примера оценку среднего квадрата прогиба
наилучшей линейной подвески, найденной в п. 1 § 3. Оценка имеет вид
т
Dy = — ^z(t)dt,
о
где z(t) = у2(t), а у (t) — прогиб подвески.
Для погрешности оценки имеем формулу
где Dy — средний квадрат прогиба подвески; К2(0)—спектральная
плотность процесса z(t) = y2(t).
Для нормального процесса y(t)
К2(0) = -^ J
—оо
где Ку(о>) —спектральная плотность процесса y(t).
Из результатов п. 1 § 3 следует, что
Л" ла _ п „ + 0)0 2
у 2 а (/<о)2 +/2 <оо/и +
откуда
К2(0) = /2 • 17Dl»l/8©t
Учитывая, что
Dy = (3 2/4ш0)Р2уа’
окончательно находим
м( —— 1
I Du
2}^ 17]/2/9<д0Г. (З.Ю2)
Для того чтобы случайная величина DyiDy имела доверительные
границы 1 ± е, необходимо время наблюдения
Тх 17|/2/(о0е2.
Принимая во внимание, что частота собственных колебаний под-
рессоренных масс wo имеет порядок 5—10 с-1, находим, что для обеспе-
чения 10%-ных доверительных границ необходимо время наблюдения
292 240—480 с.
Оценка среднего квадрата прогиба рессор имеет следующие
преимущества по сравнению с непосредственной оценкой спектральной
плотности профиля дороги: она технически проще; имеет меньшую по-
грешность конечной выборки; дает непосредственное представление об
угрозе пробивания подвески, более точное, чем оценка вероятности
превышения допустимого прогиба, так как указывает на тенденцию
к увеличению прогиба, когда превышения допустимых прогибов еще не
произошли.
Для самонастраивающейся подвески очень важно правильно
выбрать время наблюдения (осреднения) Т. При малом времени
наблюдения оценка имеет большую погрешность конечной выборки,
так что для стационарного процесса оценки значительно отличаются
друг от друга. При этом невозможно определить, является ли это
отличие случайным или изменились статистические характеристики
дороги. При большом времени наблюдения оценка получается доста-
точно точной, но автомобиль тогда может длительное время ехать
по «булыжнику» с подвеской, настроенной на «асфальт», прежде чем
она будет перестроена. Чтобы удовлетворить этим требованиям, авто-
мобиль должен иметь по крайней мере две системы для оценки стати-
стических характеристик дороги: быстродействующую и медленнодей-
ствующую.
Наиболее трудной задачей является построение быстродействующей
системы, так как при стационарном профиле дороги характеристики
наилучшей подвески должны оставаться постоянными. Поэтому даже
быстродействующая система настройки подвески не должна реагиро-
вать на изменение мгновенных значений прогибов рессор и т. п., она
должна реагировать только на изменение статистических (осреднен-
ных) характеристик и в то же время обладать достаточной быстротой.
Эта задача подробно рассматривается в теории обнаружений сигналов
на фоне случайных помех [18, НО]. В приложении к самонастраиваю-
щейся подвеске для точного решения этой задачи необходимо задать
частоту изменения статистических характеристик дороги, значения
параметров, приближенно характеризующих процесс, и корреляцион-
ную связь между ними.
Следует, однако, иметь в виду, что выбор на первый взгляд вполне
подходящей математической модели профиля дороги может привести
к ошибочным результатам. Если принять, например, что профиль
дороги состоит из достаточно длинных участков, являющихся реализа-
цией нормального стационарного случайного процесса, имеющего
спектральную плотность
Kx((d) = Dg)“2. (3.103)
где при переходе от одного участка к другому меняется только посто-
янная D, то оказывается, что за малый промежуток времени можно
определить D как угодно точно. Но постоянная D полностью определяет
случайный процесс. Этот парадокс показывает, что модель профиля
дороги -выбрана неверно вследствие принятия ошибочных предполо-
жений.
1. Согласно формуле (3.103) принята функциональная зависимость
между спектральной плотностью в области высоких и низких частот.
В действительности она является лишь корреляционной. Например,
булыжная и асфальтированная дороги могут иметь одинаковый уровень
неровностей по средним и низким частотам, но булыжная дорога
будет отличаться более высоким уровнем высокочастотной состав-
ляющей.
293
2. Малооправданным является также предположение о том, что
профиль дороги может быть измерен как угодно точно. Любой прибор
имеет по крайней мере абсолютную погрешность измерения, которая
эквивалентна белому шуму, и, следовательно, определить спектраль-
ную плотность на сколь угодно высокой частоте невозможно. Кроме
того, колебания (вибрации) транспортного средства с частотой выше
20 Гц зависят не столько от профиля дороги и подвески, сколько от
работы трансмиссии и двигателя.
В дальнейшем будем считать, что спектральная плотность профиля
дороги в простейшем случае зависит от двух параметров: Di и Ь2. Эти
параметры удобнее всего выбирать так, чтобы спектральную плотность
профиля дороги в диапазоне частот 0,3—5 Гц можно было бы прибли-
женно представить в виде
Кх(<д)^ Dxva(d—29 (3.104)
а в диапазоне 5—30 Гц — в виде
Кх (со) = D2uaG>“2. (3.105)
Более высокие и низкие частоты для работы подвески практически
значения не имеют. Будем считать, что настройка подвески зависит
только от этих двух параметров. Параметр D\ определяет в основном
колебания подрессоренных масс, a D2— неподрессоренных (на пневма-
тической шине). Для подвески, имеющей существенно нелинейные
характеристики затухания, параметр D2 может, кроме того, существенно
влиять и на колебания подрессоренных масс с низкой частотой
(0,5—2 Гц), так как интенсивные высокочастотные колебания могут
значительно уменьшить затухание колебаний с низкой частотой. Воз-
можно, что оптимизация подвески по двум параметрам окажется
достаточной для практического применения.
Простейший (по идее, но не для практического применения) метод
определения параметров Di и D2 состоит в том, что профиль дороги
x(t) пропускают через прямоугольный фильтр с полосой частот 0,3—5
или 5—30 Гц. Затем находят средний квадрат отфильтрованного сиг-
нала. Однако этот метод обладает двумя недостатками: во-первых,
фильтр с прямоугольной характеристикой физически неосуществим, и,
во-вторых, крайние частоты диапазонов влияют на колебания транспор-
та, по-видимому, меньше, чем средние. Среди физически осуществимых
фильтров лучше всех учитывает относительную значимость частот
сама подвеска. При этом низкочастотному фильтру (0,3—5 Гц)
соответствуют прогибы рессор или ускорения подрессоренных масс,
а высокочастотному (5—30 Гц) —прогибы шин или ускорения непод-
рессоренных масс. Измерение прогибов дает более непосредственное
представление о текущем значении критерия безопасности движения,
т. е. о близости возможного превышения допустимых прогибов рессор
и шин, однако ускорения неподрессоренных масс измерить проще
в техническом отношении. Поэтому будем одновременно оценивать
средние квадраты прогибов рессор и ускорений неподрессоренных масс.
Оценка среднего квадрата прогиба ресссор была рассмотрена выше.
Для ускорений неподрессоренных масс приближенно примем
2 2
w (0 о——--------г х (0. (3 •106)
р + 2ф2ш2р + <Й2
где x(t) — профиль дороги. С учетом (3.105) находим
294 Dw = М {| w (/) |2} = D2ya®г/4ф2»
откуда
D2va = 4i|>2Da,o>T3.
Оценку Dw строим как оценку среднего значения случайного про-
цесса u(<t) — w2(t):
т
о
Погрешность конечной выборки для этой оценки
где Ли(0) — спектральная плотность процесса u(t).
Для нормального процесса
оо гх 2 5
к.(0) = 2- f л>)Лй=_?л^.
поэтому
J 1|?2©2^'
(3.107)
Сравнивая (3.102) и (3.107) и учитывая, что со2 « Юсоо и грг =
= 0,2 4- 0,3, находим, что при одном и том же времени наблюдения
погрешность оценки среднего квадрата ускорений неподрессоренных
масс примерно в 10 раз меньше погрешности оценки среднего квадрата
прогибов рессор. Соответственно для оценки Dw требуется примерно
в 10 раз меньшее время наблюдения. Время, необходимое для оценки
высокочастотной составляющей спектра дорожных неровностей, можно
еще уменьшить, построив специальный фильтр, имеющий передаточную
характеристику (3.106) при ф2 ~ 1.
Обозначим через Р' вероятность того, что в течение времени наблю-
дения Т изменяются статистические характеристики дороги. При малом
времени наблюдения
Р'~Т/хср,
где тср — среднее время, в течение которого профиль дороги можно
считать реализацией некоторого стационарного процесса. Обозначим
через Р" вероятность того, что случайная величина
превысит величину е из-за погрешности конечной выборки, тогда
е
где
(3.108)
Dq=M{q2} = M
Dw
Dw
Положим, что отклонение случайной величины q от 0 произошло
за счет погрешности конечной выборки, если Р" > Р'. Если Р" < Р', то
295
будем считать, что изменились статистические характеристики дороги.
Перестройка подвески должна производиться только в том случае, если
<з-1о9>
е
Учитывая, что Р' 1, формулу можно переписать так:
_ ________________ ₽2
е у л
Тогда с учетом (3.107) условие (3.109) принимает следующий вид:
1g —-Тср (3.110)
Если Г/тср « 0,001, то условие (3.109) может быть записано так:
3 1/ —— < е или Т > —. (3.111)
V ^2^2Т
Здесь использовано правило «трех средних квадратических откло-
нений», которое уже применялось при построении доверительных
границ.
Условия (3.109) — (3.111) показывают, насколько быстро система
автоматической оптимизации подвески может реагировать на изменение
статистических характеристик дороги; точнее, на изменение параметра
D2 (3.105) в (1 + е) раз. Например, если принять ф2 = 0,8 и со2 = 100,
то изменение спектральной плотности профиля дороги на 50% будет
зарегистрировано согласно (3.107) в среднем за 1,2 с. В то же время
оценка среднего квадрата прогиба рессор при соо = 5 позволит заре-
гистрировать это изменение согласно (3.109) в среднем за 19,2 с. Таким
образом, уже через 1,2 с можно начинать перестройку подвески. При-
мерно через 7,5 с новое значение параметра D2 будет определено
с погрешностью 20%. Погрешность определения параметра Di (3.104)
за то же время составит 80%. Если корреляционная связь между пара-
метрами Di и D2 является настолько сильной, что условное математи-
ческое ожидание D{ при известном D2 даст меньшую погрешность,
то вместо оценки по прогибам рессор первоначально можно исполь-
зовать это условное математическое ожидание. Оценка по прогибам
рессор даст 20 %-ную погрешность только через 120 с наблюдения.
§ 6. СИНТЕЗ СХЕМЫ ПОДВЕСКИ,
БЛИЗКОЙ К НАИЛУЧШЕЙ
1. Синтез простейшей схемы
В п. III § 3 было выведено следующее выражение для оптимальной
передаточной характеристики подвески:
Н+(р) = + + , (3.112)
(р2 + /2 рш0 + + цоа)
полученное для спектральной плотности возмущения вида
296 Kx((o) = D2va<o-4(©2 + И2Уа)- (З.-ПЗ)
Рис. 112. Расчетные схемы под-
вески:
а — с последовательным соединением
рессоры и амортизатора; б — с парал*
лельным соединением рессоры и
амортизатора
Выражением вида (3.113) очень хорошо аппроксимируются спек-
тральные плотности практически всех дорог с твердым покрытием
и большинства грунтовых. Исключение составляют сильно разбитые
дороги на равнинной местности.
Нетрудно проверить, что передаточную характеристику вида (3.112)
имеют схемы, показанные на рис. 112, а и б. Для схемы на рис. 112, а
надо принять:
Cpi _ СОрЦЦа .
М (до У 2 + |Wa ’
сР2 = у2 (00 <ао + /2<аоШ>а + Н2ра.
М (до V 2+ IWa
2г , /-<5- *>о + /2 <oo{wa + p.2v2
М ~V ° (coo^ + fWa)2 ’
а для схемы на рис. 112, б
с, _ (<o0 + Hfa/2)<ognva
М (“о + /2 ыоциа + |Ла2) У 2
-^-=d)0(a0 + nvayr2y,
м
2г _ <Ор(со0 Ч- /2)2
М (<og + V 2 (doiwa + ц2у2) V2
Передаточная характеристика, приведенная в п. I § 3, получается
путем предельного перехода в (3.112). Поэтому в схемах на
рис. 112, а и б следует принять Ci->0: пружина должна быть очень
мягкой и служить только для передачи статической нагрузки. В этом
случае спектральная плотность возмущения
Кх(ы) = D2ya®-2-
Выражением такого вида хорошо аппроксимируются дороги с бу-
лыжным и гравийным покрытиями, разбитые грунтовые и полевые
дороги с кочками и камнями.
297
Рис. 113. Общепринятая расчетная схема подвески
Рис. 114. Зависимость оптимального статического прогиба от допустимого среднего
квадратического ускорений и прогибов
При сю спектральная плотность возмущения
=Р41>аСГ’4.
Такую спектральную плотность имеют накатанные сравнительно
гладкие грунтовые дороги на холмистой и пересеченной местности.
Оптимальная передаточная характеристика подвески при этом имеет
вид (см. п. II § 3)
я+(р|_
Р2 + /2ю0р + <о£
В схеме, показанной на рис. 112,6, надо принять с4->оо. В этом
случае схема принимает вид общепринятой расчетной схемы (рис. 113),
для которой согласно результатам п. П § 3 ct = Afoio и 2r = М ]/2и0.
Если далее расчеты вести для случая предельно большого уровня
возмущения, когда прогибы и ускорения одновременно равны предель-
но допустимым, т. е. V = £>бПр и f — D - , то для ©о получаем выра-
жение
П2
©о =——
3De „
пр
ИЛИ
X gM /3g
Up.CT.O — —
n
Пр
Cl О
пр
где бр.ст.о — оптимальный статический прогиб рессоры для заданных
допустимых средних квадратических ускорений и прогибов ой пр и
°5пр • Зависимость бр.ст.о от этих величин показана на рис. 114.
Приведенные примеры интересны тем, что легко проводится синтез
оптимальной схемы подвески, причем она является исключительно
298 простой: состоит только из пружин и амортизаторов.
В более общих случаях, когда спектральная плотность возмущения
или критерий плавности хода имеют более сложный вид, синтез схемы
затруднен или просто невозможен. Как уже указывалось, оптимальная
передаточная характеристика подвески может быть реализована
с помощью быстродействующей системы автоматического регулирова-
ния положения кузова. Однако если по условию задачи подвеска
должна реагировать только на пройденный участок дороги, то
результаты, близкие к наилучшим, как правило, можно получить, ис-
пользуя схемы, приведенные на рис. 112, а и б, так как спектральные
плотности возмущений для различных дорог почти всегда хорошо
аппроксимируются формулой вида
к й_ 02(о>2 + <о|)<о|
со2 (io2 + со2) (со2 4- СО3)
а критерий плавности хода имеет вид, указанный ранее. В частности,
схема на рис. 113 дает результаты, близкие к наилучшим при условиях
пп. IV—VI (§ 3).
Несколько лучшие результаты можно получить с помощью схемы,
показанной на рис. 115. В частности, при Ci—>0 эта схема оказывается
оптимальной для условий п. IV § 3. Действительно, при Ci->0
+ l^r2P + ^2 (2г! 4- 2г2)_
2/ {Мр2 4- (с2М 4- 2r jr2) р 4- с2(2г! 4- 2г2) ’
что совпадает с передаточной характеристикой, полученной в п. IV § 3,
при
-£- = ®о [(1 — «)2 + а2]; Al = Г(1-а)
м м L * —а _
где
а /O75|iva(o04-(0o
^2 + /2^a<% + <*o
Следует отметить, что принятой формулой
Кх(со) = D4Ua<0”2 (со2 4- иар,2)
Рис. 115. Расчетная схема под-
вески с последовательно-па-
раллельным соединением рес-
сор и амортизаторов
Рис. 116. Зависимость минимального среднего квадратического прогибов рессоры от
скорости движения по разным дорогам
Рис. 117. Зависимость допустимого уровня возмущений от допустимого среднего
квадратического прогибов рессоры:
а — для дорог типа О; б — для дорог типа Д
очень хорошо аппроксимируются спектральные плотности накатанных
грунтовых дорог на равнинной и умеренно холмистой местности.
Приведенные решения задачи о принципиальных возможностях
подвески можно использовать также для оценки минимального сред-
него квадратического прогибов рессор при условии ограничения
средних квадратических ускорений кузова. На рис. 116 показана
зависимость минимального среднего квадратического прогибов от ско-
рости движения для дорог типа О и типа Д9 описанных в гл. 1, при
допустимых средних квадратических вертикальных ускорениях <jznp —
= 5 м/с2. Штрихпунктирной линией ограничена область наиболее часто
встречающихся грунтовых дорог и местности, для которых спектраль-
ная плотность ограничена величиной 10-2/Х2. Штриховой линией показана
зависимость <тбпр от иа для дороги Дз на умеренно холмистой местности.
На рис. 117, а и б дана зависимость допустимого уровня возмущений
от допустимого среднего квадратического прогибов при различных
значениях <jznp для дорог типов О и Д со спектральной плотностью
возмущения Кх(ш) = О2Уа<0-2 и Кх(<а) = Dtvfa-t соответственно.
300
2. Синтез схемы подвески с учетом
угловых колебаний
В разделах 2—4 § 3 были построены оптимальные передаточные
характеристики подвески при одновременном воздействии вертикаль-
ных и угловых колебаний в продольной и поперечной плоскостях. Кри-
терий плавности хода имел вид
f = М {|г(П|2} + P2L2M {]а(П|2} + Т2В2М {|ф(/)|2}, (3• 114)
где z(/), а(0 и <p(Z) —вертикальные и угловые ускорения в продольной
и поперечной плоскостях; L и В — база и колея автомобиля; р и
у — коэффициенты, определяющие конкретный критерий плавности
хода. Вы^ор коэффициентов р и у существенно влияет на оптимальное
соотношение между различными колебаниями. Если принять р = 0,5
и считать, что задняя подвеска должна реагировать только на профиль
дороги под задними колесами (см. раздел 2 § 3), то оптимальные коле-
бания передней и задней части автомобиля оказываются незави-
симыми. При этом передаточные характеристики для вертикальных
колебаний имеют вид (3.112). Если выполняется соотношение р2 = ab,
где р — радиус инерции подрессоренных масс, а и b — расстояние от
центра тяжести соответственно до передней и задней осей, то опти-
мальная схема подвески оказывается очень простой (рис. 118).
Однако коэффициент р = 0,5 для критерия плавности хода (3.114),
по-видимому, не является наилучшим. Коэффициент р следует принять
равным 4—6. В этом случае колебания передней и задней частей
автомобиля оказываются сильно связанными.
Оптимальные передаточные характеристики подвески, полученные
в разделах 2—4 § 3, являются довольно сложными даже для простей-
ших случаев. Однако в каждом конкретном случае можно построить
простые передаточные характеристики, близкие к оптимальным. Кроме
того, на основе результатов, полученных в разделах 2—4 § 3, можно
сделать общие выводы о построении схемы подвески, близкой
к наилучшей.
1. Вертикальные перемещения центра тяжести (или геометрического
центра) автомобиля могут быть приближенно заданы в виде
z, (О « Я, (р) [0,5 (1—0,) (х1я + х1п) + 0.50, (х2л + х2п)], (3.115)
где Н\(р)—рассмотренная выше передаточная характеристика про-
стейшей схемы; %1Л, Xin, х2л, *2п — профиль дороги соответственно под
Рис. 118. Оптимальная расчет-
ная схема подвески при
р* » ab
Рис. 119. Кинематическая схе-
ма подвески с гидравлически-
ми упругими элементами
передними левым и правым, задними левым и правым колесами;
О < 01 < 0,5 — параметр, зависящий от профиля дороги, компоновки
и скорости автомобиля, а также от хода подвески. Если vJL с <оо, то
01 « 0,5, если va/L <оо, то 01 «« 0. Величина wo определяется условием
ограничения прогибов рессор.
При движении с большей скоростью оптимальная подвеска должна
реагировать на профиль дороги под передними колесами в большей
степени, чем на профиль под задними. Когда нагрузка приходится
в основном на задние колеса автомобиля, то обеспечить значение
01 ~ 0 можно только с помощью быстродействующей системы автома-
тического регулирования положения кузова. Если от такой системы
отказаться, то 01 ~ 0,5, однако ухудшение плавности хода будет не
очень большим, во всяком случае, его можно компенсировать увели-
чением хода подвески на несколько процентов, что почти всегда выгод-
нее, чем установка быстродействующей системы автоматического
регулирования. Кроме того, следует иметь в виду, что принятое
выражение (3.115) является приближенным. Точные выражения для
оптимальных передаточных характеристик линейной подвески были
найдены в § 3.
2. Угловые колебания автомобиля в продольной плоскости могут
быть приближенно заданы в виде
г ®2®2 1
(X (/) ~ - — - — (Х1л + Х]П + Х£л "Ь ^2п)"
р2 + /2ш2р+<о| 21.
При этом 0 < 02 < 1 и (02 < wo, где ыо — частота собственных вер-
тикальных колебаний. С увеличением скорости движения автомобиля
параметр 02 должен уменьшаться. Если va/L соо, то 02 « 0, если
va/L «о, то 02 ~ 1. Уменьшение угловых колебаний можно было бы
получить только за счет уменьшения ©г, оставляя 02 = 1. Но оказывает-
ся, что при уменьшении 02 улучшается плавность хода.
Однако в конструкции обеспечить 02 < 1 можно только с помощью
системы автоматического регулирования. Если ее не применять, то
02 > 1 из-за обусловленного силой тяжести дополнительного наклона
автомобиля. Учитывая, что частота собственных угловых колебаний
(02 невелика, можно, по-видимому, создать экономичную систему авто-
матического регулирования, при которой плавность хода будет близка
к наилучшей.
Можно построить схему подвески на одних пассивных элементах
так, что угловые колебания в продольной плоскости будут близки
к оптимальным. Параметр 02 при этом будет примерно равным единице,
но это увеличение можно компенсировать уменьшением «2 по сравне-
нию с оптимальным значением. Очень низкая частота собственных
угловых колебаний ыг может привести к сильным «кивкам» автомобиля
302
при резком торможении. Однако этого можно избежать, если
использовать специальную кинематику подвески без применения
системы автоматического регулирования (рис. 119). Колеса устанав-
ливают на рычагах, качающихся в продольной плоскости автомобиля.
Если ось качания рычага (точки или Ог), точка контакта колеса
с дорогой (точки Ki или К2) и центр тяжести подрессоренных масс Ц.т
находятся на одной линии соответственно для передних и задних колес,
то кивков при резком торможении не возникает. Если линия, проведен-
ная через точку контакта колеса с дорогой и ось качания рычага, про-
ходит выше центра тяжести кузова, то при торможении передняя
часть автомобиля поднимается. Гидравлические упругие элементы
(на рис. 119 схематически показаны элементы телескопического типа)
одновременно являются гасителями колебаний (амортизаторами).
Гидравлическая связь между передней и задней подвесками обеспечи-
вает низкую частоту угловых колебаний при достаточно высокой
частоте вертикальных. На рис. 120, а и б показаны два варианта
эквивалентной расчетной схемы для вертикальных и угловых колебаний
в продольной плоскости автомобиля, подвеска которого изображена
на рис. 119. Эта подвеска нуждается только в медленно действующей
системе автоматической стабилизации среднего прогиба.
3. Оптимальные угловые колебания автомобиля в поперечной плос-
кости приближенно могут быть заданы в виде
бз^з
р2+ KSwgp + wl
*1п)
в
где В — колея транспортного средства; 0 < Оз < 1; соз < <оо [см. (3.112)];
04 « 01 [см. (3.115)]. При большей скорости движения автомобиля зна-
чения оптимальных параметров 03 и со3 очень малы. Если подвеска
построена только на пассивных элементах, то 0з ~ 1, а малая со3 неиз-
бежно приводит к недопустимо большим наклонам автомобиля на
поворотах. Используя специальную кинематику подвески, можно
уменьшить наклоны автомобиля на поворотах при том же значении со3,
но при этом появляются большие боковые реакции на колесах при
Рис. 120. Расчетные схемы колебаний кузова автомобиля, соответствующие схеме
на рис. 119
движении по прямой, что увеличивает износ шин и ухудшает устой-
чивость и управляемость автомобиля (вертикальные колебания приво-
дят к значительным поперечным линейным колебаниям). Применение
стабилизаторов поперечной устойчивости по существу означает
увеличение частоты собственных поперечных угловых колебаний соз-
По-видимому, без использования быстродействующей системы
автоматического регулирования положения кузова приблизить попе-
речные угловые колебания к оптимальным (в отношении плавности
хода) невозможно. В особенности это относится к автомобилю с малой
колеей и высоко расположенным центром тяжести.
3. Учет неподрессоренных масс
Если уровень высокочастотных возмущений сравнительно мал, то
колебания колес мало влияют на плавность хода и прогибы рессор. Это
возможно, когда спектральная плотность возмущения в рабочеьд диапа-
зоне частот имеет вид £ко~п при п > 2. Например, для накатанных
грунтовых дорог на холмистой и пересеченной местности и ~ 4. В этом
случае результаты, близкие к наилучшим, дают схемы, полученные без
учета неподрессоренных масс (см. пп.П—IV, §3), а с учетом последних
схема имеет вид, показанный на рис. 121.
Если спектральная плотность возмущения имеет вид D^~n и п < 2,
то колебания колес в значительной мере влияют на плавность хода.
Поскольку трение в катящейся шине очень мало, необходимо принимать
специальные меры для гашения этих колебаний: устанавливать
специальные динамические гасители колебаний колес (рис. 122, а) или
дополнительный амортизатор, если основной не может обеспечить
достаточного затухания колебаний неподрессоренных масс (рис. 122,6).
Рис. 121. Расчетная схема колебаний подвески при движении по дорогам с большим
уровнем высокочастотных возмущений
Рис. 122. Расчетные схемы вертикальных колебаний:
а — с динамическим гасителем колебаний колес; б —с дополнительным амортизатором — гаси-
телем колебаний колес
Рис. 123. Зависимость параметров колебаний шин от допустимого среднего квадра-
тического прогиба шины:
а — оптимального статического прогиба шины; б — отношения 2г /т(; /—о - — 3 м/с2;
Однако в последнем случае ускорения подрессоренных масс могут
значительно возрасти.
Можно показать, что для мягкой длинноходной подвески с относи-
тельно жесткими шинами на дорогах с большим уровнем коротких
неровностей (булыжник, кочки) установка специальных динамических
гасителей колебаний колес может в десятки раз уменьшить ускорения
кузова. Если динамические гасители отсутствуют, то при мягкой под-
веске мероприятия, ведущие к уменьшению прогибов шин, неизбежно
приводят к увеличению ускорений кузова.
На основании формул, полученных в разделе 5 § 3, можно показать,
что схема, приведенная на рис. 122, а, дает результаты, близкие
к наилучшим (при условии, что динамические гасители колебаний колес
отсутствуют) почти для всех реальных возмущений.
Решение задачи о принципиальных возможностях подвески позво-
ляет также обосновать рациональный выбор жесткости шины для дорог
с повышенным уровнем коротких неровностей. Так, для обычной рас-
четной схемы на дорогах типа Д наилучшие результаты получаются при
Ci 0. В этом случае
О2иа 2грсш D2ua М + т
1J •• =---------------; b's —-------------------
2 2 Af2 2 2гр
Очевидно, что, изменяя только коэффициент сопротивления амортиза-
тора 2гр, можно добиться как угодно малых ускорений за счет увели-
чения прогибов, и наоборот. Но произведение
£)..£) —. / ^2va сш(М Ч- Ш)
28 \ 2 J М2
от 2гр не зависит. В то же время согласно результатам, полученным
в п. I § 3,
о-п8 = /-^-У—
г 8 \ 2 / 2
20 Заказ 3363
305
2 A 2
где coq определяется для предельно большого возмущения:шо = — ------—.
*пр
Если теперь потребовать, чтобы обычная схема давала такие же ре-
зультаты, что и оптимальная (не считая того, что прогибы определяются
по-разному: для оптимальной бш = <7 — 2, а для обычной бш = t — г), то
необходимо выполнение равенства
сш(М 4* т) 3 /3 пр
Л*2 ~ 2
пр
или
s = 2g gs"p /1 [ m V
где бш.ст = g(M + rn)/cm — статический прогиб шины. Далее это значе-
ние прогиба называется оптимальным бш.ст.о-
Оптимальное сопротивление амортизатора можно найти из соотноше-
ния
Di/D8 - 4грСш/М2 (М + т),
а для случая предельно большого уровня возмущения
„ ..2
/ 2гР \2 = м + т стгпр
\ М / сш ®8пр
„ Л!» 3/3 ®znp
Подставляя сюда сш — сш.о ---------г------—-, получаем
2гр ° _ /1 , т X1 / 2 gz"P
~М k + ~М ) V 3 /3 а8 •
' ' пр
2гр.о т
Графики зависимости 6ш.сто и-------от а8 ш.пр при — — 0,15 и раз-
м м
личных значениях ai пр показаны на рис. 123. При рассмотрении этих за-
висимостей следует иметь в виду, что различным значениям огпР и
о8 ш.пр соответствуют разные уровни допустимого возмущения, показан-
ные на рис. 117, а и б.
4. Подвеска с «упреждением»
Если подвеска, реагирующая только на пройденный участок дороги, не
может обеспечить требуемой плавности хода, то приходится строить под-
веску, реагирующую на профиль дороги впереди движущегося автомо-
биля. При этом автомобиль должен иметь специальную систему для оп-
ределения профиля впереди. В качестве подвески может быть исполь-
зована только быстродействующая системы автоматического регулиро-
вания положения кузова.
На рис. 124 схематически показана реагирующая на будущее система
автоматического регулирования положения кузова, применяемая в ка-
честве подвески. Локационное устройство Л определяет профиль дороги
впереди движущегося автомобиля. Сигнал поступает в запоминающее
вычислительное устройство ЗВУ, которое определяет значение желатель-
ного ускорения кузова зж. Датчик ускорений кузова УК дает действи-
тельное ускорение кузова 2Д. Разница между желательным и действи-
тельным значениями, снимаемая с сумматора С, через корректирующий
306 усилитель КУ подается на серводвигатель СД, который приводит в дви-
Рис. 124. Схема системы авто-
матического регулирования по-
ложения кузова с локатором
жёние золотник. В зависимости от положения золотника воздух (или
жидкость) втекает в цилиндр с поршнем или вытекает из него. Посколь-
ку небольшие ошибки в определении ускорения могут привести к значи-
тельным линейным отклонениям, в схеме предусмотрена также обратная
связь по прогибам рессоры. Сигнал от датчика прогиба рессоры Пр по-
дается в ЗВУ, где проводится корректировка гж.
Если упругий элемент устроен так, что сила, передаваемая им, почти
не зависит от прогиба, то мощность (количество воздуха или жидкости),
затрачиваемая на регулирование, оказывается не очень большой. Рас-
смотренная подвеска может обеспечить в тысячи раз меньший средний
квадрат ускорения кузова по сравнению с подвеской, реагирующей толь-
ко на прошлое.
Однако в разделе 6 § 3 было показано, что даже при линейной подве-
ске, реагирующей на будущее, может быть получен в сотни раз меньший
средний квадрат ускорений. Результаты, близкие к наилучшим, может
дать простая подвеска с передаточной характеристикой
н-------------------
(/®)2 + /2о0/сд + (до
(3.116)
Это такая же передаточная характеристика, как в п. I § 3, но реак-
ция происходит на время т вперед. Критерий плавности хода аналогичен
рассмотренному в этом пункте, а критерий безопасности движения
оо
*v = Л4{ 1(1—77)х(012} —-1- f |i-tf|2-^d© =
2Л J ttr
—оо
L 4<оо <о0 \ /2 /J
Минимум имеет место при т ~ <do/V"2. Тогда ~0,146(]/2/©0)D2fa>
т. е. при одинаковых допустимых прогибах передаточная характеристика
(3.116) обеспечивает примерно в 140 раз меньший средний квадрат ус-
корений (по сравнению с п. I § 3) при времени упреждения т Это
очень близко к предельно достижимому уменьшению в 256 раз при бес-
конечно большом времени упреждения (см. раздел 6 § 3). 307
20*
МОДЕЛИ КАЧЕНИЯ КОЛЕСА
С ЭЛАСТИЧНОЙ ШИНОЙ
Большая потребность в теоретическом объяснении процесса качения ко-
леса с эластичной шиной, связанная с разнообразными инженерными
задачами о колебаниях и курсовой устойчивости автомобиля и других
транспортных средств, а также сложность физических процессов, про-
исходящих как в площадке контакта шины с дорогой, так и в теле шины,
обусловили создание ряда теорий качения колеса с эластичной шиной.
Наибольшее распространение получила простейшая гипотеза увода,
которая состоит в том, что поперечная горизонтальная реакция, действу-
ющая на колесо, пропорциональна углу бокового увода б:
(4.1)
где /С§ —коэффициент сопротивления уводу, а под углом увода б по-
нимают угол между плоскостью колеса и вектором скорости центра ко-
леса (наклоны и вертикальные колебания колеса в этой гипотезе не
рассматриваются).
Более полная теория увода получается в том случае, если ввести по-
нятие угла увода площадки контакта бп, определив его как угол между
плоскостью колеса и вектором скорости площадки контакта. Тогда по-
перечная горизонтальная реакция определяется следующими уравнения-
ми:
У=-К86п;
— бп + б„-б,
vcl
где v — скорость центра колеса, а —его боковая жесткость. Уравне-
ния (4.2) чаще записывают так:
Y = c&
—1 + ^4=-6,
П As
(4.2)
(4.3)
где g — поперечная деформация пневматической шины.
Такая модель бокового увода по сравнению с простейшей гипотезой
(4.1) дает существенное уточнение при быстроменяющихся углах увода,
например при колебаниях колес, обусловленных дорожными неровностя-
ми и кинематикой подвески. Однако для решения ряда задач динамики
автомобиля при быстроменяющихся нагрузках требуется более точная
модель качения колеса с эластичной шиной.
Весьма полная и последовательная дискретная модель колеса с пнев-
матической шиной построена М. В. Келдышем (см. § 1 данной главы)
[6]. В теории М. В. Келдыша рассмотрена сложная деформация шины,
получены уравнения связей при качении колеса без проскальзывания по
плоской поверхности при постоянной нагрузке и предложена система
экспериментов для определения всех необходимых характеристик шины.
Вместе с тем при таком построении теории предусматриваются различ-
ные уточнения и обобщения, необходимые для построения модели каче-
ния колеса с эластичной шиной по неровной поверхности при быстро-
меняющихся нагрузках.
С помощью различных упругих моделей шины можно уточнить ха-
рактер и основные закономерности ее деформации, установить зависи-
мости между деформациями шины и реакциями дороги, определить ос-
новные характеристики колеса с эластичной шиной, используемые в мо-
дели качения (см. § 2). Кроме того, упругие модели позволяют устано-
вить зависимость основных характеристик шины от ее конструктивных
параметров.
309
Обобщение уравнений связи на случай качения колеса с эластичной
шиной с проскальзыванием необходимо в тех случаях, когда боковая
сила по величине близка к силе сцепления колеса с дорогой. Это наблю-
дается как при больших боковых силах (движение на повороте), так и
при малых нормальных нагрузках на колеса (интенсивные вертикальные
колебания вплоть до отрыва колес от поверхности дороги). Модель ка-
чения колеса с учетом полного и частичного проскальзывания довольно
сложна. Так, при движении на повороте даже при самом кратковремен-
ном отрыве колес от дороги деформации шины полностью исчезают и
она опускается на дорогу уже в недеформированном состоянии. Далее
быстро нарастает лишь радиальная деформация, а боковая деформация
и закручивание отпечатка происходят медленнее.
При отрыве колес от дороги ведущие колеса автомобиля раскручи-
ваются, поэтому при возобновлении контакта с дорогой они пробуксовы-
вают. Тангенциальные реакции, крутильные колебания трансмиссии и
продольные колебания автомобиля обусловлены также изменением ра-
диуса качения колеса при увеличении или уменьшении радиальной на-
грузки. Вследствие этого переменные тангенциальные реакции при нали-
чии вертикальных /Колебаний возникают также тогда, когда нет отрывов
колес от дороги или полного проскальзывания отпечатка. Модель каче-
ния колеса с эластичной шиной при воздействии быстроменяющихся
продольных и вертикальных нагрузок как в ведомом, так и в ведущих
режимах распространена на случай криволинейной опорной поверхности
произвольной формы. При этом были определены основные численные
характеристики площадки контакта с неровной поверхностью: средняя
ордината площадки контакта, ее осредненные (по площадке) углы на-
клона в продольном и поперечном направлениях, осредненная кривизна
площадки контакта и т. п. В дискретной модели шины на криволиней-
ной поверхности фактически заново приходится определять такие основ-
ные понятия, как радиальный прогиб, боковая деформация и т. п. Сле-
дует отметить, что такие основные характеристики шины, как радиаль-
ная жесткость и др., существенно зависят от осредненной кривизны пло-
щадки контакта, размеры которой, в свою очередь, меняются в широких
пределах при вертикальных колебаниях. В этом случае боковая реакция
определяется не только угловыми и линейными перемещениями колеса,
но и углами наклона площадки контакта в поперечном направлении.
Продольная реакция зависит также и от угла наклона площадки контак-
та в продольном направлении.
§ 1. ТЕОРИЯ КЕЛДЫША
Рассмотрим качение колеса с эластичной шиной по плоской опорной по-
верхности при постоянной вертикальной нагрузке без проскальзывания
отпечатка, что соответствует малым деформациям шины. Продольные
нагрузки при этом не учитываем.
При заданной радиальной реакции /? деформация шины характери-
зуется тремя параметрами: боковым смещением отпечатка £, углом на-
клона площадки контакта в боковом направлении <р и углом поворота
площадки контакта относительно вертикальной оси у. Такую деформа-
цию (рис. 125) для неподвижного колеса при отсутствии скольжения
можно получить перемещением опорной плоскости на величину h в вер-
тикальном направлении, соответствующую заданной радиальной реак-
ции /?, перемещением на величину § в горизонтальном направлении и
- поворотом на углы ф и у вокруг осей, проходящих через центр площадки
310 контакта О в продольном и вертикальном направлениях.
Рис. 125. Схема деформаций
неподвижной шины
Если далее пренебречь потерями энергии в шине, то реакции дороги
можно выразить через потенциальную энергию деформации шины U(h,
Ь ф» Y):
dh dtp ду
где R и F — радиальная и осевая реакции, приложенные в центре пло-
щадки контакта, a L и Мъ —опрокидывающий и стабилизирующий мо-
менты. Смещения £, ф и у считаются бесконечно малыми, а смещение h—
конечным и постоянным с точностью до малых второго порядка. Учи-
тывая, что F, L, Мъ равны 0 при g, <р, у равных 0, можно записать:
= + + + M8 = cv6g + cv^ + cvT, (4.4)
где Cik — коэффициенты, зависящие от /?, причем Cik = сьи G 0 и вслед-
ствие симметрии шины с^у = = cV4> = сфт = 0. Таким образом,
реакции опорной плоскости на шину связаны с деформациями форму-
лами:
F = + £== + Сф<р; Ms = cvy. (4.5)
Коэффициенты c^k могут быть определены теоретически на основе
рассмотрения упругой модели шины (см. § 2). Однако теоретическое оп-
ределение этих коэффициентов весьма затруднительно и для конкретной
шины их проще определить путем простых статических испытаний.
На рис. 126,а и б показана зависимость коэффициентов и cv от
радиальной нагрузки R для авиационной шины размером 400 X 150 мм.
Поскольку коэффициенты с^ф , сф и су стремятся к нулю при умень-
шени радиальной нагрузки, то их удобно представить в виде с^ф =
= а^ф₽, сф = аФ R, Су = ayR, где коэффициенты а^ф, аф, а7 уже
мало зависят от R.
Если пренебречь сопротивлением качения, то для колеса, катящегося
без проскальзывания с постоянной скоростью под постоянной радиаль-
ной нагрузкой R, реакции опорной плоскости приведутся к осевой силе
F и моментам L и Л4б , как и в рассмотренном выше случае неподвиж-
ного колеса. Однако для катящегося колеса деформация шины опреде-
ляется смещением всех точек поверхности контакта и зависит не только
311
Рис. 126. Зависимость коэффициентов и с? от радиальной реакции R и давле-
ния воздуха в шине р
от системы сил F, L, Мь в настоящий момент, но и от всех преды-
дущих состояний колеса. Вообще форма поверхности контакта не может
быть определена конечным числом параметров. Однако если ограничить-
ся введенными выше тремя показателями деформации ф и у, то связь
между реакциями F, L и Л4& и деформациями можно оставить в виде
(4.5), пренебрегая местными искажениями поверхности контакта. Пара-
метры деформации М. В. Келдыш определяет следующим образом.
Пусть 17 — диаметральная плоскость обода колеса, a Ai—линия пе-
ресечения ее с опорной плоскостью (рис. 127). Рассмотрим материаль-
ную среднюю линию поверхности шины, лежащую в диаметральной плос-
кости обода при недеформированной в боковом направлении шине. Точ-
ку О, являющуюся серединой отрезка этой линии, расположенного на
поверхности контакта, назовем центром контакта, а касательную А к
этой линии в точке О — осью поверхности контакта. Тогда параметр |
определится как расстояние от точки О до линии Дь ф— угол между
плоскостью 77 и перпендикуляром к опорной плоскости, а у — угол между
линиями Ai и А.
Геометрическое место центров контакта называют линией качения
шины. Условие отсутствия скольжения шины, по крайней мере по сред-
ней линии, состоит в том, что материальная средняя линия поверхности
шины должна все время совпадать с линией качения в пределах пло-
щадки контакта. Тогда в каждый момент времени известен отрезок ли-
нии качения, совпадающий с отрезком средней линии шины, лежащим
на поверхности контакта. Однако рассмотрение задачи о качении ко-
леса при отсутствии проскальзывания хотя бы по средней линии требует
в общем случае учета бесконечного числа степеней свободы. Поскольку
деформация шины характеризовалась выше лишь тремя параметрами, то
желательно выразить приближенно условие отсутствия скольжения че-
рез эти параметры. Вместо отсутствия скольжения по всей площадке кон-
такта при этом можно потребовать, чтобы отсутствовало скольжение в
малой окрестности центра контакта, другими словами, в каждый фикси-
312 рованный момент времени должны выполняться два условия: 1) каса-
тельные к линии качения и к средней линии поверхности шины в точке О
должны совпадать; 2) в той же точке кривизна линии качения должна
совпадать с кривизной средней линии поверхности шины. Эти два усло-
вия соответствуют случаю, когда отсутствует линейное и угловое про-
скальзывание окрестности материальной точки О поверхности шины:
оо = 0; (0д = 0, (4.6)
где Vo — скорость материальной точки О, а шд —угловая скорость ма-
териальной окрестности этой точки.
Обозначим через уд поперечную составляющую скорости точки О
диска колеса, а через ф — угловую скорость диска вокруг вертикальной
оси. Предположив, что проскальзывание отсутствует как в поперечном,
так и в продольном направлениях, условия (4.6) можно записать в сле-
дующем виде:
!/д + £ + аТ = 0; 4> + V—vko = O. (4.7)
Для того чтобы получить замкнутую систему уравнений, надо выра-
зить кривизну средней линии шины через параметры деформации. Учи-
тывая малость деформаций, из общих соображений упругости можно
принять
k0 = a£—а2у—а3ф;
тогда уравнения связи (4.7) принимают вид:
1/д + £ + а? = 0; 4> + т—а2т—а3ф) =°
или в операторной форме
| = Д(р)Г_^±^уд + _+ ? =
L y2fli vai ai J
+-^ч>+-*М].
v2cii a{v J
Рис. 127. Схема деформаций
катящейся шины
Рис. 128. Схема эксперимента
по определению коэффициен-
тов кривизны а2» аз
Рнс. 129. Зависимость коэффи-
циента at от радиальной, на-
грузки R и давления воздуха
в шине р (авиационная шина
400 X 150 мм)
где
л / ч v2ai d
А(р) ----------!; р =---------.
' p2 + va2p + v2a! dt
Отсюда следует, что коэффициент относительного затухания переход-
ного процесса в шине
•фш = аг/2 Vai-
Коэффициенты кривизны а\9 а2 и а3 можно определить с помощью про-
стой системы экспериментов по качению колеса в установившемся режи-
ме. Пусть колесо закреплено на стержне, вращающемся в горизонталь-
ной плоскости вокруг точки С, причем плоскость обода вертикальна и со-
ставляет угол у + — со стержнем (рис/128). Обозначим через р длину
стержня. При движении колеса, вызванном вращением стержня относи-
тельно точки С, имеем уд = yv\ ф = и/p и согласно (4.7) в установившем-
ся режиме 1/р = flig + а2у. Так, при у = 0, измерив деформации g, мож-
но определить
01 = 1/£р-
Если колесо установлено под некоторым углом у, то, снова измерив
деформацию g, можно найти
«2 = (1/V)l(l/P)— Oil]-
Для определения коэффициента аз надо установить плоскость обода
под углом <р к вертикали и при качении снова измерить смещение. Если
при этом у = 0, то
«3= (1/Ч>)[(1/р)—«1Э-
314
Прямолинейное качение колеса под углом б к плоскости обода поз-
воляет определить отношение коэффициентов а> и а2. В данном случае
ф = 0, а t/д = ди. Тогда в установившемся режиме у = —б и при <р = О
получаем
g=—(дг/аОб.
Откуда следует
й2/а1 =
Отметим, что отношение a2/ai мало зависит от нормальной нагрузки
и давления в шине, хотя коэффициенты а\ и а2 меняются при этом в ши-
роком диапазоне. На рис. 129 приведена зависимость коэффициента
от радиальной нагрузки и давления в шине.
Чтобы оценить коэффициент ai для автомобильных шин, воспользуем-
ся результатами обработки другими исследователями экспериментов
для шин трех типов: 14,00 — 22eHD\ 9,00 — 2QeHD\ 9,00 — 2QeHDx
(первые две шины с диагональным кордом, последняя с радиальным)
при различной радиальной нагрузке [113]. Эти данные приведены в
табл. 22, из которой видно, что коэффициент а\ существенно зависит от
радиальной нагрузки и конструкции шины (ai = 10,3-н 39,1). Однако ко-
эффициент относительного затухания переходного процесса в шине от
нормальной нагрузки практически не зависит. Величина его определяет-
ся конструкцией шины и изменяется в узких пределах: фш = 0,917 н- 1,28.
Таблица 22
Шина , КГС/М Kg, кгс рад аь м“2 ф
14,00—22eHD 60700/60700 22900/18100 23,8/37,9 0,917/0,918
9,00—20e/W 39500/39500 17200/14900 28,2/39,1 1,15/1,18
9,00—2beHDx 28500/28500 20400/16300 10,3/20 1,15/1,28
Примечание. Для шины 14,00—22eHD в числителе указаны величины при R = 4500 кгс, а
в знаменателе—при R = 2500 кгс; для остальных шин в числителе указаны величины при R —
— 2500 кгс, а в знаменателе — при R = 1500 кгс.
§ 2. УПРУГИЕ МОДЕЛИ
Реакции опорной плоскости можно определить через потенциальную
энергию деформации шины. Потенциальную энергию, в свою очередь
можно вычислить, рассматривая упрощенные упругие модели шины, до-
статочно точно отражающие картину деформации реального колеса с
эластичной шиной.
Потенциальную энергию воздуха в шине легко вычислить, например,
при следующих допущениях: боковины шины считаются абсолютно эла-
стичными при изгибе и нерастяжимыми, форма брекера в поперечном
сечении шины не меняется при изменении нагрузки. Такие допущения
при вычислении потенциальной энергии воздуха позволяют ограничить
поперечные сечения шины двумя прямыми и двумя дугами окружно-
стей (рис. 130), причем при всех деформациях длины дуг окружностей и
прямых не меняются.
Потенциальная энергия воздуха, как известно, равна произведению
занимаемого им объема на давление. Объем воздуха можно найти ин-
тегрированием площади поперечного сечения шины по длине ее средней 315
Рис. 130. Схема для расче-
та потенциальной энергии
воздуха в шине:
а — поперечный разрез шины;
б — схема поперечного сечения
шины; / — Обод; 2 — боковина;
3 — объем, изменяющийся при
деформации шины; 4 — брекер;
5 — протектор; 6 — объем, не
изменяющийся при деформации
шины
линии, учитывая закон изменения поперечного сечения по длине площад-
ки контакта и за ее пределами. Площадь поперечного сечения можно
найти на основании геометрических соотношений (рис. 130,6). Попереч-
ное сечение шины разобьем на два сегмента окружности и четырехуголь-
ник. Площадь четырехугольника вычисляется элементарно, а для площа-
ди сегмента с длиной дуги Lq и хордой / воспользуемся приближенной
формулой
Sc^(///6)/L6(L6-0,
(4-8)
асимптотически точной при /->£б и дающей хорошее приближение
вплоть до / = 0,5 £б- Деформации бш, В и ф будем считать малыми перво-
го порядка, а в выражении для площади поперечного сечения шины S
оставим лишь члены до второго порядка малости, тогда
<55/д6ш= — 2b + IIllhQ—Л7пбш; '
dS/dl= by—LUfc
dS/dq) = — bhq>—ШпЬ2^,
(4.9)
где с учетом (4.8)
Ш. = —L- 1/——(З—2-^-\ Ши = -1^ tAZZZI _4£б—; (4.10)
1 /6 Г L6—h\ h J 11 2/6 У L6—h L6—h
остальные обозначения приведены на рис. 130.
Если далее предположить, что боковина передает силы только в ра-
диальном сечении колеса, и выделить элемент шины, расположенный
между двумя поперечными сечениями на малом расстоянии dx, то при
давлении р воздуха в шине
dS
dS
dS
д<р
представляют собой распределенные нагрузки на брекер — результат
действия на него боковин и воздуха (индекс х указывает, что нагрузка
распределена вдоль оси х). При сделанных выше допущениях эти рас-
пределенные нагрузки можно найти непосредственно. Обозначим через
Гб радиус боковины в поперечном сечении. Тогда сила натяжения боко-
вины (отнесенная к единице длины средней линии) Тх = ргб и будет на-
316 правлена под углом а = £б/(2гб) к хорде, связывающей верхний и ниж-
ний конец боковины (рис. 131, индексами 1 и 2 отмечены величины, от-
носящиеся соответственно к правой и левой боковинам). Далее силу Тх
удобно разложить на составляющие Т"9 направленную по хорде /, и Т'х—
перпендикулярную к ней. При этом Тх = pl/2\ =p(//2)ctga,
где угол а, длина хорды '/ и длина боковины (в поперечном сечении) Lq
sin а I
связаны соотношением -------=---.
а Ьб
Сила давления воздуха на брекер (отнесенная к единице длины сред-
ней линии) Рв = р2Ь. Теперь можно найти главный вектор и главный мо-
мент сил воздействия боковин и воздуха на брекер. Считая по-прежнему
деформации g и <р малыми, находим формулы, эквивалентные формулам
(4.9):
Zx = — p2b + рШ^т,
Ух = рЬч-рШ&
Lx = рЫ-—pbhtf—рШп&ч
и получаем точные значения коэффициентов:
cos а + asin а
Ш, = ctg а; Шп ----------,
sin а—a cos а
(4.П)
(4.12)
sin a h
где а определяется из соотношения —~
Значения функций Ш1 и Шц в зависимости от параметра Л/£б приве-
дены в табл. 23.
Следует заметить, что приближенные формулы (4.10) дают хорошее
совпадение с точным выражением (4.12) во всем рабочем диапазоне ве-
личин hjLs, как это видно на рис. 132, где сплошные линии соответству-
ют точным значениям, а штриховые — приближенным.
Если принять, что h = й0 — бш, где бш— малая величина, то первое
из уравнений (4.11), поскольку—^- ИЦИ = Шц, принимает вид
dh
ZX= —p2b 4- pUlfa—ршп6ш.
С учетом этого выражения (4.11) совпадают с выражениями (4.9).
Для того чтобы построить деформации всей шины, надо задать или
определить деформации бш, g и ф по длине площадки контакта и рас-
Рис. 131. Схема сил, действую-
щих в поперечном сечении
шины
Рис. 133. Схема радиальной де-
формации шины
Л/1б Ш1 ши ft/I6 Д/ц 141-6 Ш1 шп Л/Аб Ш1 шп
0,60 —0,0896 1,367 0,71 0,1891 2,130 0,81 0,5082 3,651 0,92 1,1839 11,114
0,61 —0,0654 1 ;419 0,72 0,2167 2,230 0,82 0,5480 3,908 0,93 1,3017 13,283
0,62 —0,0410 1,473 0,73 0,2450 2,338 0,83 0,5902 4,200 0,94 1,4444 16,358
0,63 —0,0163 1,531 0,74 0,2741 2,454 0,84 0,6351 4,534 0,95 1,6239 20,988
0,64 0,0083 1,592 0,75 0,3040 2,580 0,85 0,6831 4,919 0,96 1,8614 28,586
0,65 0,0332 1,655 0,76 0,3348 2,718 0,86 0,7349 5,369 0,97 2,2004 42,787
0,66 0,0583 1,723 0,77 0,3667 2,869 0,87 0,7910 5,900 0,98 2,7613 76,625
0,67 0,0836 1,794 0,78 0,3998 3,035 0,88 0,8530 6,543 0,99 3,9930 210,311
0,68 0,1094 1,870 0,79 0,4343 3,218 0,89 0,9212 7,320 1,00 оо оо
0,69 0,1354 1,951 0,80 0,4704 3,422 0,90 0,9974 8,285 — — —
0,70 0,1620 2,038 0,91 1,084 9,511
считать их за ее пределами. Однако для этого требуется дальнейшая кон-
кретизация упругой модели, т. е. новые допущения или предположения.
Например, для определения радиальной деформации дш по длине
брекера можно представить его в виде гибкого кольца, находящегося
под распределенной радиальной нагрузкой Zx- Тогда согласно выраже-
нию (4.11) брекер в свободном состоянии (бш == 0) будет растянут силой
Л$р = Р(2Ь—Ш\Но)г^
318 где го — радиус шины в свободном состоянии.
В пределах площадки контакта радиальную деформацию можно най-
ти на основании геометрических соотношений (рис. 133), а за ее преде-
лами равновесие брекера определяется условием
^бр^бр + = О,
где при малых деформациях кривизна брекера
Йбр«(1/Го) +
Тогда условие равновесия принимает вид
(d26m/d*2) - (рД/„/Гвр)бИ1 = 0.
Единственным решением этого уравнения, исчезающим на бесконеч-
ности, является
бш = 6ш.нехр{— х/10},
где бш.н — радиальный прогиб на границе площадки контакта, коорди-
ната х отсчитывается по длине брекера от границы контакта, а /о =
= ]/ Т^1рШп. Величина дш.н и длина площадки контакта 2/к связаны
соотношением
^ш.н 0к/2го)>
где дш.о — радиальный прогиб в середине площадки контакта. Для оп-
ределения ZK и 6ш.н следует использовать условие, при котором отсутст-
вует перелом брекера на границе площадки контакта:
= ®ш.н/4ь
откуда
ZK == ]/ 2бш ог0 + /о — /о»
и, в частности, для малого прогиба дш.о
/к Ж бш>0Гq/Zq.
Радиальную нагрузку R можно определить исходя из условия равно-
весия отрезка брекера, находящегося в контакте с опорной плоскостью:
о
/? = 2 J Zxdx.
“ZK
В частности, для малого прогиба дш.о
R = 2lKp(2b-IH,h) а 2бш.о УТб9рШи,
откуда получаем выражение для радиальной жесткости
сш^2РУ7^> д/ (2-Ш^Ш".
Описанная выше модель допускает ряд обобщений. Например, мож-
но учесть жесткость протектора, боковин и брекера при изгибе. Возмож-
но некоторое уточнение расчетов, если принять во внимание изменение
длины брекера при деформации.
Для расчета боковых деформаций за пределами площадки контакта
можно воспользоваться простейшей моделью балки на упругом основа-
нии (рис. 134). Пренебрегая влиянием закручивания брекера на его бо- 319
ковые /деформации, можно принять согласно (4.9), что жесткость осно-
вания су = рШ\. Тогда упругая линия балки определяется уравнением
E/(d^/dx4)+pZZZig = 0,
где EI — изгибная жесткость балки.
Решение этого уравнения, затухающее на бесконечности, имеет вид
В = е-р*(Д cos Р* + В sin £х),
где
р=1 рШ,/4£/.
Коэффициенты А и В находятся из условий качения колеса. Так, при
качении колеса по прямой без проскальзывания с углом бокового уво-
да д отрезок средней линии протектора, находящейся в контакте с опор-
ной плоскостью, должен иметь вид прямой, показанной на рис. 135. Угол
наклона этой прямой к плоскости колеса должен быть равен 6, а кри-
визна набегающих волокон в точке О должна быть равна нулю:
В'(0) = -б, Г(О) = о.
Откуда А = —, В = 0. Здесь и далее используются выражения:
Р
1(0) = Д; Г(0) = (—А + В)Р; g"(0) = — 2Вр2; Г'(О) = 2 (Д + В)рз.
Боковая деформация в центре площадки контакта
£о = — + б/к,
ZJ 1 К’
р
а в конце площадки
320 ^ = у + 2/к6-
Тогда для выбегающей линии брекера
Л = —+ 2/кб; В = 2 А + 2/к6.
Р к Р
Боковую реакцию и стабилизирующий момент можно найти из усло-
вия равновесия отрезка брекера, находящегося в контакте с опорной
плоскостью, учитывая, что в сечении балки действуют изгибающий мо-
мент Mq = ЁГ^" и поперечная нагрузка Qo =
Обозначим через и gK боковую деформацию шины в начале и кон-
це площадки контакта. Тогда перер'езывающие силы в начале и конце
площадки контакта определяются выражениями:
QH = Е7£н ; QK = ,
где gH , £к — значения третьих производных боковой деформации шины
в начале и конце площадки контакта.
Изгибающие моменты в начале и конце площадки контакта
Ма=ЕП', МК=Е1&,
где gH и gK — значения вторых производных боковой деформации шины
в начале и конце площадки контакта.
Вторая и третьи производные боковой деформации в начале и конце
площадки контакта зависят от б, р и ZK
£н = 0; & = -4р2 (-1-+ lA 6;
X р /
lA = 2₽26; & = 2p3f3 -I- + 4/к) 6.
X р /
Тогда осевая реакция дороги
F = 2рШ, (-L + ho = (2- + /к У6,
\ Р / X Р /
а стабилизирующий момент
*-^(^+2^+24+т'О6-
В обозначениях, приведенных в § 1, коэффициенты и су имеют
вид:
Ъ = 2рШ, (4- + /Л су = (1 + 2/кр + 2/2р2 + 4- /3кр3У
\ Р / Р3 X з J
а коэффициент сопротивления боковому уводу
/1 \ 2
к, = 2Ршх(^+1Л .
X Р /
Поскольку при произвольных значениях g0 и б кривизна набегающих
волокон по средней линии шины
g"(O) = -2₽2go + 2p(l + ZK₽)6,
то в обозначениях § 1 коэффициенты кривизны имеют следующий вид:
а,=2р2; а2 = 2р(1 + /кр).
В данном случае также выполняется соотношение
= а2/а, = (1 /Р) + /к. 321
21 Заказ 33G3
Однако при качении колеса по кругу выражения для коэффициента
кривизны а.} и боковой жесткости шины значительно отличаются от вы-
ражений, полученных для движения по прямой. Это следует учитывать
при обработке результатов экспериментов. В рассматриваемом случае
кривизна волокон по средней линии шины внутри площадки контакта
отлична от нуля при значительной длине площадки контакта. Так, при
движении колеса по кругу радиусом р кривизна средней линии шины в
зоне площадки контакта и на ее границах |"(0) = — и поскольку £'(0) =
Р
1 1 ZK
= -/ку иНО)=?о-т-^, ТО
t (1 + Р/к)2 1
S° 202 р '
Откуда в соответствии с § 1 коэффициент кривизны
_J------2У_
pgo (1+/к0)2
осевая реакция при этом
F = (pZZZj/03) (1 + 20/к + 202I2 + А 03 /3)/р = ст/р,
а боковая жесткость
Ci = (2рШ^) (1 + 20/к + 202/2 +2-03/3)7(1 + 0/к)2.
О
Некоторое уточнение упругой линии брекера, коэффициентов кривиз-
ны и коэффициентов жесткостей, определяемых ею, можно получить,
учитывая силу растяжения брекера ТбР. Тогда уравнение упругой линии
балки принимает вид
Eimdx^) — T6p(d2^/dx2) + рШ& = 0.
Для шин с высоким рисунком протектора следует учитывать боковую
жесткость протектора в пределах площадки контакта. Модель балки
на упругом основании для расчета боковых деформаций, показанная на
рис. 136, соответствует прямолинейному движению колеса с углом боко-
вого увода б. Упругая линия брекера в пределах площадки контакта не
задается, а рассчитывается по уравнению
ElWdx*) + рШ&- (gH-6x-g)cnp = 0,
где сПр — распределенная по длине боковая жесткость протектора.
Для расчета деформаций шины при качении колеса с углом наклона
Ф в качестве модели можно выбрать балку, на которую действуют рас-
пределенные нагрузки Yx и Lx, Балку можно считать упругой в попе-
речном направлении, но эластичной в плоскости колеса. При этом мож-
но пренебречь жесткостью брекера при кручении, но учесть силу рас-
тяжения Тбр, препятствующую его закручиванию. При этих предполо-
жениях уравнения упругой линии можно записать так:
El^y/dx*) - T6p(d2l/dx2)—Y х = 0;
— T6p&2(d2<p/dx2) — Lx = 0,
где у — составляющая боковой деформации, обусловленная только из-
гибом брекера в поперечном направлении; полная боковая деформация
322 | = у + у v , где yv —составляющая боковой деформации, вызванная
Рис. 136. Модель балки
на упругом основании
для расчета боковых де-
формаций с учетом эла-
стичности протектора
закручиванием брекера. При этом можно принять, что (d2y^ /dx2) = Аф,
где k 1/г0 — кривизна брекера в плоскости колеса. Тогда с учетом вы-
ражений (4.9) для распределенных нагрузок Yx и Lx уравнения упругой
линии примут вид:
Е‘ -2—S-+рША~ kE,^-^=°-
- Тбр&2-^- + pbfup + рШцЬ^-рЫ = 0.
ах2
Если $i, s2 и s3 — корни характеристического уравнения, у которых
Re Si < 0, то решения имеют вид:
В = es»x + d2 &гХ 4- d3 е5зХ; ф = eSi* + c2 e92* + c3 es»*,
где di и Ci связаны соотношениями
pbdt= (pbh + рШпЬ2—T6pb2 s?)c{
и определяются тремя начальными условиями: В'(0), g"(0), <р(0).
Эта модель позволяет определить коэффициенты , с Y и . Кро-
ме того, она дает возможность уточнить коэффициенты кривизны ai и а2
и вычислить коэффициент а3.
Рассмотренные выше модели могут быть использованы для опреде-
ления расчетным путем упругих характеристик шины. Однако при при-
менении формул данного параграфа необходимо обращать внимание на
те допущения, которые были приняты при их выводе. Например, форму-
ла радиальной жесткости дана без учета изгибной жесткости брекера и
боковин в радиальном направлении. Эту жесткость можно учесть, ис-
пользуя модель балки на упругом основании, как было сделано при рас-
чете боковых деформаций. Жесткость основания в этом случае дается
формулой cz = рШп.
Применяя формулы для боковой и угловой жесткостей, коэффициен-
та сопротивления боковому уводу и т. д., следует помнить, что они полу-
чены при постоянной жесткости основания, поэтому значение Шъ входя-
щее в них, надо считать постоянным, соответствующим шине в свобод-
ном состоянии.
В том случае, когда для некоторых параметров, входящих в расчет-
ные формулы, известны экспериментальные значения, для повышения
точности расчета следует использовать их.
Расчет рекомендуется начинать с простейших моделей. Если резуль-
таты будут расходиться с экспериментальными данными, то надо пере- 323
21
ходить к более сложным моделям, учитывающим большее число факто-
ров. Особое внимание надо уделять исходным данным: геометрическим
размерам, изгибной жесткости и т. д., так как неточное их задание при-
ведет к существенным погрешностям при определении упругих парамет-
ров шины.
В качестве примера рассмотрим результаты расчета упругих пара-
метров шины типа 260—508Р. Размеры hQ = 17 см и Lq = 18,84 см (см.
рис. 130) определены по чертежу шины. Были приняты изгибная жест-
кость брекера EI = 1,512-106 кгс-см2, а жесткость протектора сПр =
= 137 кгс/см. Давление в шине р = 6 кгс/см2.
Расчет радиальной жесткости проводился на основании модели эла-
стичного кольца, а расчет боковой жесткости и коэффициента сопротив-
ления боковому уводу — на основании модели балки на упругом осно-
вании без учета жесткости протектора. Угловая жесткость определялась
с учетом жесткости протектора по формуле
с __________L_ +_____________Ё____________\->
r I 9 /3 9 1
cnpZK p/zzI(i + 2zKp + 2/2p2 + — /У)]
Результаты расчета приведены в табл. 24.
Таблица 24
Результаты сщ, кгс/см кгс'см , кгс • /° Су, КГ-СМ.'0
Расчетные 485 202 195 1600
Экспериментальные 486 240 170 1500
Процент расхождения 0,2 16 8,8 6,7
§ 3. ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЕ ОТПЕЧАТКА
Обычно различают частичное и полное проскальзывание отпечатка. Про-
скальзывание называют полным, если скольжение шины происходит по
всей площадке контакта, и частичным, если оно происходит на ее части.
При таком определении, строго говоря, практически для любого режи-
ма качения колеса проскальзывание будет частичным, поскольку, с од-
ной стороны; проскальзывание отдельных элементов площадки контакта
имеется даже при отсутствии боковой нагрузки на колесо, а с другой сто-
роны, даже при очень больших углах бокового увода небольшая зона на-
бегающих волокон шины благодаря эластичности протектора сохраняет
сцепление с поверхностью дороги. Однако деление проскальзывания на
полное и частичное удобно для практического приложения и с методо-
логической точки зрения. В дальнейшем под «полным проскальзывани-
ем» будем понимать такое качение колеса, при котором в конкретной за-
даче можно пренебречь зоной сцепления шины с опорной поверхностью,
а под «проскальзывание отсутствует» такой режим, при котором мож-
но пренебречь зоной проскальзывания. Под режимом «частичного про-
скальзывания» понимается режим, существенно отличающийся как от
режима «проскальзывание отсутствует», так и от «полного проскальзы-
вания».
Характер и основные закономерности проскальзывания можно рас-
смотреть на простых упругих моделях шины. Простейшую модель можно
получить, пренебрегая податливостью брекера и относя боковые дефор-
324 мации только к эластичному протектору. Эту модель будем называть
Рис. 137. Схема нагрузки на
шину для модели проскальзы-
вания — контакт по упругому
основанию
X
«контакт по упругому основанию». Расчетная схема нагрузок на шину
при качении с постоянным углом увода показана на рис. 137. Пусть спр
кгс/см2 — жесткость упругого основания, х— угловая деформация про-
тектора, а #0 кгс/м — интенсивность распределенной силы сцепления.
Если считать угол бокового увода малым, то осевую силу F и стаби-
лизирующий момент Мъ можно представить в следующем виде:
F = qo(2k---5-); M6 = q0 --------
где х — длина непроскальзывающего участка отпечатка (этот участок
находится со стороны набегающих волокон шины), если только х<2/к,
т. е. если имеется проскальзывание. Отпечаток проскальзывает в том слу-
чае, если угол бокового увода
® = х > хпр = <7о/ (2/rGip)-
Зависимость F и М & от угла
определяется формулами:
бокового увода для принятой модели
</о1к(2----— ) при и > хпр;
\ х /
1 X .
qolK------- при х < хпр;
хпр
1 Z7 /2
о
2 хПр \ Хпр
------------- при х > х ;
3 х / х
при X < хпр.
Кривые на рис. 138 построены для трех значений радиальной нагруз-
ки, что соответствует трем значениям длины отпечатка: /К' = 0,7 /о’, /к =
= /0 и /к = 1,4 Iq. В качестве аргумента принято отношение угла боково-
го увода б к углу х0 = —, при котором начинается проскальзывание
2/0спр
отпечатка при /к = /о. Характер зависимости осевой силы и стабилизи-
рующего момента от угла бокового увода довольно хорошо соответствует
экспериментальным данным, приведенным на рис. 139 [113].
Лучшее качественное и количественное совпадение расчетных и экс-
периментальных данных можно получить при учете боковой деформа-
ци брекера. Так, например, если характеризовать боковую деформацию
двумя параметрами (линейной деформацией § и угловой у), как это бы-
ло принято в § 1, то нагрузки, действующие на брекер со стороны доро- 325
Рис. 138. Зависимость безразмерных осевых сил и стабилизирующего момента от
безразмерного угла бокового увода:
О—о—О —F/(^o/0); -------------------------неустойчивые участки характеристик; / —/к~
— О,7/о; 2 — — /0; 3 — /к — 1,4Z0; А — простейшая модель — контакт по упругому основанию;
Б — модель, учитывающая деформацию брекера
Рис. 139. Экспериментальные зависимости осевой силы F и стабилизирующего мо-
мента Mg от угла бокового увода б при различной радиальной реакции R:
-------- осевая сила; — — — стабилизирующий момент; / — R — 272 кгс; 2 — R — 453 кгс;
3 — R = 635 кгс; 4 — R — 815 кгс
ги, и деформации протектора остаются такими же, как и на рис. 137 (по-
скольку кривизной брекера в данном случае пренебрегаем). Угол боко-
вого увода складывается из угловой деформации протектора и и угловой
деформации брекера у:
б = у + х,
где у = Ms /с у , а су —угловая жесткость шины без учета жесткости
протектора.
На рис. 138 приведены зависимости F и Ms от 6 при cv =0,2 Сдр/о
для трех длин отпечатка. Обращает на себя внимание неоднозначная за-
висимость F и Ms от 6 при больших радиальных нагрузках (/к = 1,4 /о).
Это явление обычно называют «срывом».
Однако для большинства .испытываемых шин явление «срыва» при
качении колеса с постоянным углом бокового увода не наблюдается (см.
рис. 139). При малой длине площадки контакта, как было показано вы-
ше, явлению «срыва» препятствует эластичный протектор, а при большой
длине площадки контакта значительное влияние на характеристики бо-
кового увода оказывает кривизна брекера в зоне контакта, которая резко
увеличивается при проскальзывании.
Вполне удовлетворительное совпадение расчетных и эксперименталь-
ных данных дает упрощенная упругая модель, в которой учитывается
эластичность протектора, а боковая деформация брекера характеризу-
326
ется тремя параметрами: линейной и угловой деформациями, а также
осредненной кривизной брекера k в зоне площадки контакта. Схема на-
грузок, действующих на брекер со стороны дороги, показана на рис. 140.
Сначала рассмотрим деформацию брекера при полном проскальзывании,
когда нагрузка на него со стороны дороги постоянна и равна предельной
по сцеплению <7<>(х = -у)- При этом приближенно кривизна брекера в
центре площадки контакта
/гп.пр~-^2/(1 + /к₽ + /к₽2),
где
₽=>/рД71/(4/£).
При сцеплении шины с дорогой по длине х площадки контакта осред-
ненная кривизна в центре последней
, ^п-пр
К " ’ •
1 +[сПр/(96Е/)] х*
Исходя из деформации протектора (рис. 140), осевую силу можно
представить в виде
F = <7о(24—х/2) —Лспрх3/12.
Исходя из деформации брекера, ту же осевую силу можно предста-
вить по-другому:
F = QS +
где с ъ — боковая жесткость шины без учета эластичности протектора,
а коэффициент характеризует зависимость осевой силы от кривизны
брекера в зоне площадки контакта. Согласно результатам § 2 можно
принять
q = ^TL( 1 + 4₽): Ск=/к₽ (1 + /к₽+т
Рис. 140. Упругая модель, в
которой деформация брекера
характеризуется тремя пара-
метрами g, у, k
На основании равенства обоих выражений для осевой силы получаем
(1—г)
k= ТПЦ5 ’
где
о - (1 + W) (1 + Ц1 + Й»2) (1 + йр,е*) -
е = х/ (2 /к) — относительная длина зоны сцепления.
Тогда
F = 2qQl( 1—М (1-----5*
\ 2 / \ PUIt 3D J
Стабилизирующий момент
г) + 'к“'
\ £ О / *" \ /
или
Л1б == Qq^kA9
где
л f 1 2 \ ,/< 8\/1 \ Спр 2/Зр3 3
А = ( 1---8 ) 8 + I 1-) (1 —е) —777---е3.
\ 3 / \ 2 / ’ РШ1 3D
Угол бокового увода можно определить исходя из угловых деформа-
ций протектора хи брекера у:
б = у + х,
где х = —+ k (lK----— А
спр* \ 2 /
Угловая жесткость шины без учета эластичности протектора соглас-
но § 2 определяется как
Cv=(1+2i&+2/«02+4 z«₽3 )>
р \ /
откуда
6=«ЧЖ_^ + _^(1^е)х
'’“l L 2IK₽S о ’
х(1-П +__________________
2 ' 1 + 2ZkP + 2Z^2 + ^- /Зр3
Таким образом, безразмерные величины F/(2 qolK), ЛГь /(<?о/2) и
ЪрШх/ (qofi) при заданной относительной длине зоны сцепления е зависят
только от двух параметров: /1(р и——. На рис. 141 приведены зависимо-
pZZZ,
328
Рис. 141. Зависимость безразмерных осевой силы и стабилизирующего момента от
безразмерного угла бокового увода для модели, показанной на рис. 140 при различ-
ных отношениях сПр/ (рШt) ’•
---------------------'-спр'(₽/И1)-24; г-СпрЧрШ^-бО; з-спр(ршр-
- 120; 4240; 5 - с^ЦрШ^- 600
сти осевой силы и стабилизирующего момента от угла бокового увода для
/кр = 0,5 при различных отношениях сп^/(рШт)9 а на рис. 142 — для
cnp/(pllli) = 60 при разных /ь-0. Поскольку величина /к пропорциональна
радиальной нагрузке, кривые, изображенные на рис. 142, можно рас-
сматривать как зависимости F и ЛЬ от б при различных радиальных
нагрузках. Сравнивая эти зависимости с экспериментальными, показан-
ными на рис. 139, можно отметить хорошее совпадение. Совпадение бу-
дет еще лучше, если учесть зависимость pILIf от радиального прогиба
(см. рис. 132).
Тем не менее эта модель дает некоторое искажение протекания про-
цессов, особенно в зоне малого проскальзывания, что находит отражение
в изломе характеристик F(d) при е = 1. Согласно этой модели проскаль-
зывание отпечатка начинается при осевой силе, равной примерно 0,4 от
предельной по сцеплению. В действительности проскальзывание отпечат-
ка начинается гораздо раньше, на что указывают экспериментальные
данные. Это расхождение объясняется тем, что в рассмотренной модели
боковая деформация характеризовалась только тремя параметрами и
не учитывалось изменение кривизны брекера по длине площадки кон-
такта.
Точный расчет балки на упругом основании с контактом по другому
упругому основанию не намного сложнее, чем расчет предыдущей моде-
ли. Упругая модель шины при качении по прямой с постоянным углом
329
Рис. 142. Зависимость безраз-
мерных осевой силы и стаби-
лизирующего момента от
bplllil (qjfr) при различных
— F'(2’o'o> ~
/ - /fl- 0.35jL$; 2 - / 3 - O.5/oP;
3-/K3-°,7/o0
Рис. 143. Схема упругой моде-
ли шины в виде балки на уп-
ругом основании с контактом
по другому упругому основа-
нию (качение с постоянным
углом бокового увода)
бокового увода для этого случая показана на рис. 143. Упругая линия
балки имеет вид:
e~^(gHcosPx + BiSinPx) при *>0;
g= (£н — 6х)е+ e(5'*(a1cospiX—fejsinPpc) +
+ е-0‘<2'к+*> [д2 cos pj (2/к + х) + Ь2 sin ₽! (2/к + х)] при—2/к < х < 0;
e₽(2zK+x)[^cosp(2/K + x)— B2sin₽(2/K + x)] при х<—2/к,
где ₽ = УрПЦ^ЁГ}, Pi = V(рЙЦ + спр)/(4£7), е= сар/(спр + рШ^.
Если угол бокового увода б принять заданным, то неизвестные кон-
станты £н, щ, bi, 02, b2, и B2 находятся из условия непрерывности
упругой линии вплоть до третьих производных. Максимальная нагрузка
протектора при этом всегда наблюдается в конце площадки контакта
шины:
330 <7тах = ^пр (?н + 2/кб £к).
Проскальзывание отпечатка начинается в том случае, если ^тах > <7о.
При проскальзывании отпечатка брекер приходится делить по край-
ней мере на четыре участка: два участка за пределами площадки кон-
такта, проскальзывающий участок контакта и непроскальзывающий уча-
сток контакта. При этом расчет можно вести тем же методом, который
был использован выше. Однако при жестком протекторе проскальзыва-
ние происходит по всей длине отпечатка, и расчет следует вести иначе:
за исходный режим принимают режим полного проскальзывания. Де-
формация брекера и реакция дороги при этом схематично показаны на
рис. 144, а. С уменьшением б полное проскальзывание сменяется частич-
ным. Схема нагружения брекера показана на рис. 144, б. При дальней-
шем уменьшении угла бокового увода эпюра нагрузок принимает вид,
изображенный на рис. 144, в.
При качении колеса в неустановившемся режиме с проскальзывани-
ем боковую деформацию шины будем характеризовать тремя парамет-
рами: боковой деформацией £, угловой деформацией у и углом наклона
колеса к площадке контакта ф. Последний существенно влияет на вели-
чины осевой силы и стабилизирующего момента. Однако проскальзыва-
ние площадки контакта зависит лишь от реакций в ней и практически
не зависит от угла наклона колеса. Поэтому в последующих построениях
угол ф не рассматривается.
Уравнения кинематических связей (4.6) естественным образом обоб-
щаются для качения с проскальзыванием:
Ц) Цтр» <*Д = ®пр»
где Удр и (оПр — скорости линейного и углового проскальзывания отпечат-
ка; в развернутом виде
Ул +1 + vy = vnp; Ф + у—V (а&—а2у) = <опр.
При этом логично считать, что скорость линейного проскальзывания
определяется боковой деформацией £ или осевой силой F, а скорость уг-
лового проскальзывания — угловой деформацией у или стабилизи-
рующим моментом Мь . Поскольку проскальзывание обязательно при-
водит к уменьшению деформаций, то знаки Удр и соПр должны быть обрат-
ными знакам g и у соответственно. Кроме того, иПр и ©пр, очевидно, дол-
жны быть пропорциональны скорости качения колеса v (характеристики
F и Мь практически не зависят от скорости и).
Рис. 144. Схемы деформаций брекера при жестком протекторе для различных стадий
проскальзывания
л
2,8
Рис. 145. Графики функций про-
скальзывания fl и f2
В этом случае
Упр= — v —f& шПр= — va2f2y,
а2
где fj и /2 — функции линейного и углового проскальзывания. Можно
предположить, что fi и f2 зависят только от коэффициента касательной
нагрузки о, который при отсутствии продольной реакции зависит от ко-
эффициента сцепления фСц, радиальной реакции /?, осевой реакции F
и стабилизирующего момента Мь . Но при качении колеса с достаточно
большой скоростью влиянием стабилизирующего момента Мъ на коэф-
фициент касательной нагрузки можно пренебречь. Тогда можно принять
о = F/ (г|?сцЯ); fi = fi (ст); f2 = f2 (ст).
Функции проскальзывания fi и f2 определяются весьма просто. На-
пример, при установившемся качении с постоянным углом увода д(£ =
= ф = у = 0, уд = —иб)
fi=^v(6-v) = Ke-^; =
01 I Q 02 Y AfiY
На рис. 145 показаны зависимости fa и f2 от о, построенные по экспе-
риментальным данным, приведенным на рис. 139, при номинальной ради-
альной нагрузке R = 635 кгс и коэффициенте сцепления фсц = 0,97.
Поскольку было принято, что fi и f2 зависят только от о, то, зная
функции fi (су) и f2(o), можно построить зависимости jF(6) иЛ1б (6) при
других значениях радиальной нагрузки и коэффициента сцепления:
б = +ттг): т = '7Г"7ТТ;
Afi \ 1 4“ / 2 / Afi 1+^2
При этом следует учитывать зависимость угловой жесткости шины
cv от радиальной нагрузки R. Построенные таким образом графики
F(6) и Мь (б) при различной радиальной нагрузке приведены на рис.
146. Значения о? при этом определялись по экспериментальным дан-
ным при малых углах бокового увода. Сравнение расчетных зависимо-
332
стей (рис. 146) с экспериментальными (см. рис. 139) показывает, что
функции проскальзывания fi и f2 можно считать зависящими только от
коэффициента касательной нагрузки о.
Характер зависимости F или Мъ от б может быть различным; он опре-
деляется соотношением функций f\ и f2- Так, например, если функция
1/(1+f2)
монотонно возрастает, то коэффициент сопротивления боковому уводу с
увеличением б будет монотонно падать, как это имеет место для зависи-
мостей, приведенных на рис. 139 или 146. Если с увеличением боковой
деформации g функция f2 возрастает быстрее функции h так, что f при
некоторых значениях g уменьшается, то коэффициент сопротивления бо-
ковому уводу на этом участке характеристики F(6) будет возрастать.
Если с увеличением g значение gf будет убывать, то характеристики F(6)
и Мъ (б) имеют неустойчивые участки, соответствующие явлению «сры-
ва» (см. рис. 138).
Уравнения связи при проскальзывании можно получить также исхо-
дя из предположения, что часть площадки контакта сохраняет сцепле-
ние с опорной поверхностью, как это наблюдается у упругой модели, учи-
тывающей эластичность протектора. В этом случае уравнения связи сле-
дует записать так: ин = 0; (он = 0, где под vH и (ои понимается линейная
и угловая скорости непроскальзывающего участка площадки контакта
относительно опорной плоскости. В развернутом виде уравнения связи
имеют вид:
Уд + 1н + ^н = 0; ’I’ + Th—У(а^н—*пр) =0,
где In и ун — линейная и угловая деформации непроскальзывающего уча-
стка площадки контакта, a fcnp — величина, учитывающая изменение кри-
визны средней линии шины, вызванное деформацией протектора. Исклю-
чая из уравнений связи ун, получаем
1я + + ^2£Пр = + v2a26—аф.
Величину Лпр удобно задать в следующем виде:
^пр “ ^2?н>
где k\ и k2 зависят от коэффициента поперечной нагрузки о. Тогда урав-
нение связи можно записать так:
L + v (а2 + k2) in + v2 (аг + kr) -= уб + + k2)6—vty.
Для установившегося режима
~ (а2 + ^г)/(а1 + ^i)»
и поскольку |н->0 при то должно выполняться соотношение
fl2 * ~ > 0, т. е. —> оо , ——> 0. Вместе с тем для обеспечения апериоди-
а2+^ 1 k{ F
ческого переходного процесса при /?->0 необходимо, чтобы k2 так же
стремилось к бесконечности, по крайней мере, как ]/k\. В установившем-
ся режиме обе модели эквивалентны.
§ 4. ПРОДОЛЬНЫЕ НАГРУЗКИ
Модель качения эластичного колеса по восприятию продольных на-
грузок можно построить примерно тем же методом, каким строилась мо-
дель Келдыша (см. § 1), описывающая боковой увод.
Деформацию шины будем характеризовать двумя параметрами: про-
дольной деформацией шины и коэффициентом сжатия набегающих во-
локон. Под продольной деформацией X будем понимать смещение мате-
риальной точки 0, шины совпадающей с центром площадки контакта в
свободном режиме (Р ~ 0), относительно диска колеса при действии
продольной касательной реакции Р (рис. 147). Зависимость Р от X мож-
но считать практически линейной для всех режимов, тогда
Р = сЛ
где —продольная жесткость шины, которую для конкретной шины
можно считать зависящей лишь от радиальной нагрузки и давления в
шине. Под коэффициентом сжатия £сж набегающих волокон будем по-
нимать относительное сжатие волокон в продольном направлении в точ-
ке Е, обусловленное радиальной R и продольной касательной Р реакция-
ми. В линейной зоне
Йсж= 1— SrR — 8p(Vr0)sign(DK,
где &R — коэффициент относительного сжатия от вертикальной нагрузки,
а ер — то же, от продольной. Однако коэффициент eR существенно за-
висит от радиальной нагрузки, поэтому лучше ввести нелинейную зави-
симость
ксж= 1—eP(%//-0)sign<BK,
334 где функция = erR.
Рис. 147. Схема качения коле-
са в продольном направлении
Условие качения колеса без проскальзывания состоит в том, что ско-
рость отпечатка равна нулю. В этом случае уравнение связи имеет вид
vE~ О
или
v + X—ЛСЖГО(ОК = о,
или
V + к—Го(Ок + |Л(7?)Го®к + I ©к I = °-
При проскальзывании отпечатка уравнение связи выглядит так:
— ^пр>
где уПр—некоторая осредненная скорость продольного проскальзывания
находящихся в соприкосновении с опорной поверхностью элементов ши-
ны, условно приведенная к точке соприкосновения с поверхностью ка-
чения набегающих волокон по средней линии (к точке Е). Для этой ско-
рости предлагаются следующие выражения:
Цч>= — ^прккН (413)
и
vnP = — ^пр | <0к I г0 Sign Л, (4.14)
где коэффициенты Лпр и Л*р можно считать зависящими только от ко-
эффициента касательной нагрузки о.
При отсутствии боковых реакций
С учетом (4.13) уравнение связи примет вид
Л + (еР + Кп?) | ©к IX = ^0©к—V—Г0й)кЦ (/?).
Построенная модель продольных нагрузок вполне определяется тре-
мя числовыми параметрами (го, и ер) и двумя функциями КПр(а) и
ц (/?). Все эти параметры и функции можно определить по эксперимен-
тальным данным по качению колеса в установившемся режиме при
335
Рис. 148. Экспериментальная
зависимость функции ц от
R для шины 12,00—18 при
давлении воздуха в ней
= 2,8 кгс/см*
различных значениях радиальной и продольной нагрузок. В установив-
шемся режиме (при л = 0) уравнение связи принимает следующий
вид:
V
-----= Го
(0к
L скго
или
''к='о 1— Н(Я)
ер + Кпр
скго
(4.15)
поскольку отношение у/<ок по определению является радиусом качения
колеса гк. Выражение (4.15) представляет собой зависимость гк от R и
Р. Имея экспериментальные зависимости гк(/?, Р), можно непосредствен-
но найти функцию ц(/?) и (ер + Лпр), предварительно определив сво-
бодный радиус Го и продольную жесткость с^.
Зависимость ц(7?) можно рассчитать по формуле
где гск—радиус качения колеса в свободном режиме (при Р = 0).
На рис. 148 показан пример функции р(/?) для шины 12,00—18 при
давлении р = 2,8 кгс/см2.
Продольная жесткость определяется по экспериментальным дан-
ным при статическом нагружении колеса. Если ось колеса установить не-
подвижно и закручивать колесо на угол ак, то при отсутствии проскаль-
зывания отпечатка продольная деформация
X = г как
и
336
Ск = Р/(гскак).
Экспериментальные зависимости ак от Р для этой же шины при вну-
треннем давлении 0,5 и 2,8 кгс/см2 приведены на рис. 149. При обработ-
ке таких графиков следует учитывать лишь начальный участок, так как
при больших углах закручивания (или при большой силе Р) отпечаток
проскальзывает. При больших деформациях более точные результаты
дает непосредственное измерение деформации А, хотя это сопряжено с
известными трудностями. Зависимость от радиальной нагрузки R,
как правило, незначительна. Определенных указаний на зависимость ск
от продольной реакции Р не имеется (некоторая нелинейность зависимо-
стей, показанных на рис. 149, обусловлена, по-видимому, частичным про-
скальзыванием отпечатка).
Определить еР и Кщ, в отдельности по экспериментальным данным по
зависимости rK от R и Р невозможно. Однако для построенной модели это
и не нужно, так как во все уравнения эти величины входят в виде суммы
(ер 4- Кпр), которая определяется однозначно. На рис. 150 приведена за-
висимость радиуса качения колеса гк от продольной нагрузки Р (шина
12,00—18, р = 2,8 кгс/см2, R = 1500 кгс, сухой бетон, глубина протектора
12 мм) и показаны составляющие радиуса качения: г0 = 0,52 м, гон(Л) =
= 0,02 м и (еР + K^PIck •
Величины еР и Лпр все же удобнее разделить, считая, что ЛПр = 0 при
Р = 0, а ер не зависит от Р. Тогда для принятой шины (при давлении воз-
духа в ней 2,8 кгс/см2) получаем = 50 000 кгс/м, еР — I. Зависимость
Лир (о) показана на рис. 151.
Теоретическая зависимость радиуса качения колеса от радиальной и
продольной нагрузок, а также от коэффициента сцепления в нелинейной
зоне оказывается разной при различном определении скорости проскаль-
зывания. Если скорость проскальзывания определена равенством (4.13),
то зависимость гк(Р) при различных коэффициентах сцепления фсщ <
< Фсц2 < фсцз имеет вид, показанный на рис. 152, а, т. е. зона частично-
го проскальзывания при уменьшении фСц сжимается как по горизонтали,
так и по вертикали. Если оПр определяется равенством (4.14), то зависи-
мость гк(Р) имеет вид, изображенный на рис. 152, б, т. е. зона частично-
го проскальзывания при уменьшении коэффициента сцепления сжимает-
ся только по горизонтали. Характер экспериментальных зависимостей
оказывается обычно промежуточным между характерами зависимостей
в этих двух случаях. При обработке экспериментальных данных следует
учитывать.также то обстоятельство, что при интенсивном проскальзыва-
нии (особенно с большими скоростями) коэффициент сцепления может
быстро и значительно меняться в процессе эксперимента из-за нагрева
резины.
Определим смещение Ля вертикальной реакции (см. рис. 147), кото-
рое входит в уравнения движения колеса:
/ксок = Л4кр —Ргл—R\Ri (4.16)
где /к— момент инерции колеса; 7Икр — внешний момент, подводимый к
колесу (тяговый или тормозной); гд — динамический радиус колеса.
Рис. 149. Экспериментальные зависимости
ном давлении в ней:
1 — р — 0,5 кгс/см2; 2 — р — 2,8 кгс/см2
аи от Р для шины 12,00—18 при различ-
Рис. 150. Экспериментальная зависимость радиуса качения колеса от продольной
реакции Р
22 Заказ 3363
Рис. 151. График функции КПр
Рис. 152. Расчетные зависимости ра-
диуса качения колеса гк от продоль-
ной реакции Р при одинаковой ра-
диальной реакции R и различных
коэффициентах сцепления фсц:
а — скорость буксования определяется
равенством (4.13); б — то же, равенством
(4.14)
О)
о)
338
Смещение Ля вертикальной реакции проще всего определить исходя
из мощностного баланса колеса в установившемся режиме:
ЛГМ =/VT + ^n,
где NM = ЛТкрСОк — мощность, подводимая к колесу, NT = Tv — полезная
мощность (см. рис. 147), снимаемая с колеса; Л/п — мощность потерь ко-
леса.
Мощность потерь в свою очередь следует разделить на мощность по-
терь в теле шины Nm и пробуксовки отпечатка Nnp: Nn = Л/ш + Nnp. По-
тери в теле шины, по крайней мере для свободного или ведомого режи-
ма, определяются коэффициентом трения качения fK: Л^ш = RfH(oK. По-
скольку интенсивные деформации тела шины обусловлены в основном
радиальной нагрузкой и при передаче тяговой силы характер деформа-
ций его существенно не изменяется, то в первом приближении приведен-
ное выражение для потерь в теле шины можно оставить без изменений
и для общего случая Р =/= 0. Исходя из простых физических соображе-
ний, мощность потерь пробуксовки можно представить в виде
N„p = (ер + Кпр)®кКР = ерокХР + t»npP.
В установившемся режиме Т = Р, поэтому уравнение мощностного
баланса можно записать так:
Мкр«к = Pv + RfKaK + (еР + К„р)икА,Р,
откуда
Л4кр = Pr.K + PfK + (ер + Кпр) АР;
учитывая, что
+ (еР + Адр) = Гк,
получаем
Л4Кр = Ргк + /?Гк.
Кроме того, согласно уравнению (4.16) для установившегося режима
имеем
Мкр = Ргл + /?Др-
Сравнивая два последние выражения, находим
А/? = (Р//?)(Гк-гд) + Гк.
Подставив это выражение в (4.16), получим
4<»K=MKP-Pr‘-fK/?. (4.17)
Выражение (4.17) 'намного проще выражения (4.16), поскольку ко-
эффициент fK в выражении (4.17) можно считать не зависящим от/? и Р,
а смещение Дд в выражении (4.16) сложным образом зависит от этих
сил.
В связи с явным преимуществом уравнения движения в форме (4.17)
по сравнению с уравнениями в форме (4.16) целесообразно изменить
первоначальную расчетную схему нагрузок, действующих на колесо, так,
чтобы уравнение движения (4.17) вытекало непосредственно из расчет-
ной схемы. Такая схема показана на рис. 153. Реакция дороги сводится
к радиальной реакции R (проходящей через ось колеса), моменту тре-
ния качения Mf = fKR и продольной реакции Р, действующей не в плос-
кости контакта, а на расстоянии гс = г£. Величину гс называют силовым
радиусом колеса. В литературе имеются различные предложения по вы-
бору силового радиуса, но при гс = уравнение движения колеса при-
нимает простейший вид (4.17), так как только в этом случае коэффи-
циент трения качения можно считать не зависящим как от R, так и от Р.
Рис 153. Нагрузки, действующие на
катящееся колесо, при расчетной схе-
ме, соответствующей уравнению
(4.17)
22*
§ 5. КАЧЕНИЕ ПО НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Произвольную криволинейную опорную поверхность в пределах площад-
ки контакта всюду в дальнейшем будем характеризовать следующими
пятью параметрами: и — средняя ордината площадки контакта; а —
средний угол наклона площадки контакта в продольном направлении;
Р — то же, в поперечном направлении; kx — средняя кривизна площадки
контакта в продольном направлении; ky— то же, в поперечном направ-
лении.
Эти параметры можно определить с помощью простой физической
модели. Рассмотрим жесткую пластину, по форме соответствующую пло-
щадке контакта, равномерно нагруженную распределенной нагрузкой р
по всей поверхности и имеющую контакт через упругое основание с за-
данной криволинейной опорной поверхностью. Согласно этой модели па-
раметры, характеризующие криволинейную поверхность контакта, опре-
деляются следующим образом: и—ордината центра пластины; аир —
углы наклона пластины в продольной и поперечной плоскостях; kx и ky —
величины, пропорциональные изгибающим моментам пластины в цен-
тральной продольной и поперечной плоскостях.
Коэффициенты пропорциональности определяются из условия контак-
та пластины с поверхностью заданной кривизны 1/7?. Считая далее пло-
щадку контакта прямоугольной (длина 21 и ширина 2Ь),-находим
и
₽
bl bl
= -^_[ J?(x, y)dxdy; а = -^- Jq(x, y)ydxdy,
—b —Z —b —I
bl bl
J kx=^T y)—u—axlxdxdy'’
—b — I —b 0
/ b
ky =-^r (* J [?(*> y)-u—^y]ydxdy,
o —ь
где координаты x и у отсчитываются от центра площадки контакта.
В различных моделях колеса с эластичной шиной, служащих для рас-
чета вертикальных колебаний, как правило, предполагается так называ-
емый точечный контакт шины с дорогой. Эта полезная абстракция зна-
чительно упрощает расчеты. Однако при качении колеса по неровной
поверхности с большим уровнем коротких неровностей существенно про-
является сглаживающая способность шины, обусловленная конечными
размерами радиуса колеса и площадки контакта. Схему точечного кон-
такта удается сохранить и в этом случае, если учесть три обстоятельст-
ва: осреднение неровностей по площадке контакта; смещение площадки
контакта в продольном направлении, обусловленное углом наклона а ее
в этом направлении; изменение радиальной жесткости шины в зависимо-
сти от кривизны опорной поверхности в зоне контакта.
Смещение площадки контакта при наклоне ее в продольном направ-
лении приводит к изменению радиальной нагрузки по направлению и ве-
личине. Так, например, если плоская опорная поверхность наклонена под
угломуа (рис. 154, а), то площадка контакта будет смещена на величину
аго в атродольном направлении и радиальный прогиб при заданном по-
ложении колеса будет определяться не высотой опорной поверхности под
осью колеса q(x), а ординатой смещенного центра площадки контакта.
340 Если рассматривать модель колеса с точечным контактом, где продоль-
Рис. 154. Схемы для определения эквивалентной высоты неровности:
а — опорная плоскость наклонена в продольном направлении; б — опорная поверхность накло-
нена в поперечном направлении
ное смещение площадки контакта непосредственно не рассматривается,
то все-таки можно учесть изменение ординаты центра площадки кон-
такта, обусловленное его продольным смещением. В этом случае вместо
ординаты q(x) следует использовать ординаты q3 = q(x) + А?, где Aq =
= гоа2/2 (рис. 154, а).
Переходя к произвольной опорной поверхности в соответствии с при-
нятыми параметрами, характеризующими площадку контакта, для экви-
валентной ординаты неровности следует принять
<7э = ы + (1/2)гоа2.
Эквивалентная высота неровности должна зависеть также от кри-
визны площадки контакта. Исходя из простых геометрических соображе-
ний, можно принять
q3 = и + (l/2)r0a2-(l/6)fex/2-(l/6)^fe2.
При постоянной кривизне в пределах площадки контакта и a = О ор-
дината q9= q, а начало контакта точечной модели шины с эквивалент-
ной неровностью q3 довольно точно соответствует началу контакта ре-
альной шины с действительной неровностью q и в общем случае (а =/=
=И= 0, & =/= 0).
Если, кроме того, учитывать боковые деформации шины g и угол на-
клона колеса <рн (рис. 154,6), то в качестве эквивалентной высоты не-
ровности следует принять
Яэ = и + (1/2)г0а2-(1/6)&х/2_(1/6)^2 + g (р_ фн). (4.18)
Радиальная жесткость шины, опирающейся на криволинейную по-
верхность, определяется вполне корректно, если известна площадка кон-
такта. Плоскость жесткой пластины по форме, соответствующую пло-
щадке контакта, назовем плоскостью контакта. Эта плоскость наимень-
шим образом отклоняется от опорной поверхности в зоне площадки кон-
такта. Центр площадки контакта назовем центром контакта. Расстоя-
ние от центра контакта до оси колеса назовем динамическим радиусом
колеса гд. Тогда радиальная жесткость шины
== dR/drд,
где R— радиальная реакция. Радиальная жесткость зависит практиче-
ски только от кривизны площадки контакта в продольном направлении.
Однако если заданы лишь опорная поверхность и положение колеса,
341
Рис. 155. Зависимость ради-
альной реакции R от радиаль-
ной деформации шины 6Ш при
различной кривизне опорной
поверхности kx
342
то реальные математические затруднения возникают при определении
действительной площадки контакта. В этом случае удобно использовать
приближенное, но легко выполнимое построение, основанное на использо-
вании приведенных в начале параграфа пяти параметров, характеризую-
щих произвольную опорную поверхность и эквивалентную неровность
для точечного контакта.
Вертикальной поперечной плоскостью колеса назовем вертикальную
плоскость, перпендикулярную плоскости колеса, а линию пересечения
этих плоскостей — радиальной осью. Точку, находящуюся на радиальной
оси на расстоянии динамического радиуса гд от центра колеса, назовем
точкой контакта, а проекцию этой точки на горизонтальную плоскость —
центром площадки осреднения. Площадку осреднения можно задать, на-
пример, в форме прямоугольника, длина которого соответствует средней
длине площадки контакта, а ширина — ее ширине. Направление площад-
ки осреднения определяется плоскостью колеса. Теперь динамический ра-
диус колеса можно определить (при малых углах наклона колеса <рн) как
^*д % к ?э»
где zK — расстояние от центра колеса до горизонтальной плоскости, a
дается равенством (4.18). Осредненный радиальный прогиб шины
бш = г0—гд = г0—гк + q3.
Как показывают эксперименты, характеристика шины по восприятию
радиальной нагрузки на криволинейной опорной поверхности /?(6Ш) ос-
тается прямолинейной примерно в той же степени, что и на плоской опор-
ной поверхности (см. рис. 155) при kx > 0, kx = 0 и kx < 0. Поэто-
му в первом приближении радиальную жесткость можно считать не за-
висящей от радиального прогиба шины бш, но зависящей от осредненной
кривизны опорной поверхности kx. Эту зависимость -можно приближен-
но представить в виде
Ср (kx) = Ср.о (1 + гг<М, (4.19)
где коэффициент е = 0,3-=-0,7.
Если радиальную характеристику шины считать линейной согласно
данным рис. 155, то можно принять
/? = сш(йх)бш. (4.20)
Однако это равенство справедливо лишь при соответствующем выбо-
ре [например, согласно (4.18), чтобы отрыв шины от реальной неров-
ности соответствовал отрыву точечной модели от эквивалентной неров-
ности].
Приведенную модель качения эластичного колеса по неровной поверх-
ности можно проиллюстрировать на примере переезда единичной неров-
ности цилиндрической формы (£ = 0, ky = 0):
q(x) =
- у (/2—х2) при | х | < /;
0 при | х | I.
При этом
и(х)=-^-(2/-|х|)2(/ + |х|), 0 < |х| < 2/;
2/;
а(х) =
k{x) =
- -^-x(2/-|x|)2(4Z + |x|), 0 < |х|
lb/'5
- А_(2/-|х|)2(-2/2 + 2/|х| + х2), I
А-[—(2/—| х |)2 (2/2 + 6/1 х | + х2) + 2/2 (3/2 + 8/1 х |—6х2)], 0< | х |</.
Графики q(x), ы(х), а(х) и kx(x) показаны на рис. 156. Там же
показан график
<7э = и + -уГоа2-l-kxl2
при г = 0,5 м, I = 0,2 м и k = 2 м-1 и траектория оси колеса zK(x) при
постоянной радиальной нагрузке (/? = const) для случая, когда зави-
симость радиальной жесткости от осредненной кривизны имеет вид
(4.19) при е = 0,5.
Если при описании бокового увода учитывать лишь осредненный
угол наклона площадки контакта в поперечном направлении р, то мо-
дель Келдыша можно полностью сохранить при соответствующем
определении деформаций и реакций опорной поверхности. Так, если
под углом ф понимать угол между плоскостью колеса и плоскостью
контакта (рис. 157), то реакции опорной поверхности будут связаны
с деформациями шины формулами (4.5). Уравнения связи (4.7), оче-
видно, также сохраняются, но под уд следует понимать поперечную
(к плоскости колеса) составляющую скорости точки диска колеса,
совпадающей с точкой контакта. Следует, однако, иметь в виду, что
коэффициенты сгФ, cv, сф и аь «2, Яз в общем случае зависят от
кривизны площадки контакта, и в первую очередь от kx,
В операторной форме осевая реакция F связана с кинематическими
параметрами уравнением
f = Д(р)Г—Q
Г-^-ф] + Гс6Л(р) — + с^1 Ф.
vai J L ai J
где
Д(р) = — 1,201 --
р +va2p + v
d
343
Рис. 156. Характеристики качения колеса при переезде им неровности
Рис. 157. Схема поперечных реакций, действующих на колесо, катящееся по неров-
ной поверхности
В частности, в установившемся режиме при <р = const
Р=Л(р)[-сЕ-^
а\
ф.
Надо отметить, что при радиальных нагрузках, близких к номи-
нальным, для большинства шин
Маз/а1) + СбФ~0. (4.21)
Это соотношение, по-видимому, следует считать оптимальным для
автомобильных шин, поскольку при движении, например, по глубокой
колее автомобиль сохраняет управляемость (при отсутствии скольже-
ния) такую же, как и на ровной дороге: реакция дороги на шину остает-
ся чисто радиальной (рис. 158), и автомобиль не стремится «выско-
чить», из колеи или «свалиться» в колею. Вообще при выполнении
соотношения (4.21) автомобиль слабо реагирует на наклоны площадки
контакта. Так, при качении наклоненного колеса без бокового увода
(Уд = 0, ф = 0)
^==[Маз/а1) + с&ф]ф-
Поскольку нормальная N и поперечная касательная Q реакции связаны
с радиальной /? и осевой F реакциями соотношениями
N = R—Гф; Q = /?ф + Г,
то
Q = [Q (Лз/«1) + С6ф] <р + /?Ф-
В табл. 25 приведены экспериментальные данные по определению
поперечной касательной реакции Q при качении колеса с шиной
344 7,60—16 с углами наклона <р = 1 и 2° без бокового увода при различных
Таблица 25
R, кт с ф° Q, кгс Яф, кгс R, кгс ф° Q, кгс /?ф, кгс
815 1 13,6 14,2 453 1 11,3 7,9
2 28 28,4 2 22,7 15,8
635 1 13 ил 272 1 10,6 4,7
2 26 22,2 2 20,4 9,4
радиальных нагрузках. Там же для сравнения приведены значения /?ф.
Из таблицы видно, что при радиальной нагрузке, близкой к номиналь-
ной, Q /?ф.
Соотношение (4.21) служит также основой для построения упрощен-
ных моделей качения колеса (см. § 6).
При учете проскальзывания отпечатка реакцию опорной поверхно-
сти /?ДОр следует разложить на нормальную к плоскости контакта
составляющую /V и поперечную касательную Q (рис. 157). Тогда урав-
нения связи в соответствии с результатами § 3 запишутся так:
Уд + i; + vy = опр;
i|) + у—v (а£—а2у—а3<р) = <опр,
где t>np = — v—^— ; ®пр.= — va2f2y.
^2 % n
Функции проскальзывания Л (о) и f2(n) здесь те же, что и в § 3.
Причем о зависит от поперечной касательной и нормальной нагрузки
о=——. При малой величине ф функции и f2 от него практически
фсцМ
не зависят.
Вместо радиальной и поперечной касательной реакций в конкрет-
ных задачах удобно рассматривать вертикальную Z и поперечную гори-
зонтальную Y реакции (см. рис. 157):
Z = Z? + F(p—ф); Y = F—/?(₽-ф).
Рис. 158. Схема качения авто-
мобиля по глубокой колее
Рис. 159. Расчетная схема ка-
чения колеса в продольном на-
правлении по неровной поверх-
ности
Поскольку точка приложения реакций 7? и F зависит от радиальной
и боковой деформаций, то эти реакции удобнее привести к центру
колеса. Тогда реакции опорной поверхности сведутся к силам Ro и Fo,
приложенным в центре колеса (по модулю и направлению Ro = R
и Fo = F), опрокидывающему моменту Lo = Q<p £ + ср + R^
+ — 6ш) и стабилизирующему моменту Мьо = Л1б = cvy.
Если при описании продольных нагрузок, действующих на колесо,
опирающееся на неровную поверхность, в качестве характеристики
последней использовать лишь осредненный угол наклона площадки
контакта в продольном направлении, то, согласно данным § 4, расчет-
ная схема качения колеса принимает вид, показанный на рис. 159 (эта
схема соответствует схеме на рис. 153). Реакции дороги сводятся
к радиальной реакции /?, моменту трения качения Mf и продольной
касательной силе Р, приложенной на расстоянии от оси колеса.
Продольная касательная реакция Р = здесь определяется урав-
нением связи
X + (еР + Кпр) | сок I % = rowK—Vo—roaKn(R),
где Vo — проекция скорости центра колеса на продольную ось, на-
правленную параллельно площадке контакта, а остальные величины
определяются так же, как и в § 4. Если, например, заданы горизон-
тальная составляющая скорости оси колеса vx и вертикальная uz, то для
малых углов а
v0~vx + v2a.
Вертикальная и продольная горизонтальная составляющие реакции
опорной поверхности связаны с радиальной и продольной касательной
реакциями соотношениями
Z^R + Рщ X^P—Ra.
Если учитывать также осредненную кривизну площадки контакта,
то прежде всего надо принять во внимание зависимость коэффициентов
ск и £р от кривизны. Кроме того, следует принимать во внимание
продольное смещение площадки контакта аналогично тому, как это
делалось при описании радиальных деформаций шины с эквивалентной
ординатой неровности дэ. Если центр площадки осреднения выбирают
под осью колеса (продольное смещение площадки контакта не учиты-
346
вается), то в качестве эквивалентного угла наклона площадки контакта
следует принять
аэ^а(1 + гоу,
где а и kx — угол наклона и кривизна несмещенной площадки кон-
такта.
§ 6. УПРОЩЕННЫЕ МОДЕЛИ
Если пренебречь продольными касательными реакциями, то уравнения,
определяющие поперечные реакции, имеют следующий вид:
i + vy + v—Уь, Y—и(а&—a2y—а3ф) + va2f2y = — 4>;
fi = fi(a); f2 = /2(<0; o = —f==c^ + c6<₽<p;
фсцЛГ
L = <Чф£+М’+Я£+^0о—бш); M = cvy, N = R—Fy,Q = R<p+F,
(4.22)
где в общем случае коэффициенты зависят от радиальной нагрузки,
осредненных характеристик площадки контакта, траектории отпечатка
и т. д. Функции проскальзывания fa и довольно сложным образом
зависят от коэффициента касательной нагрузки о. Радиальная реакция,
определяемая радиальной деформацией шины при движении автомо-
биля, не остается постоянной, а колеблется в широких пределах
(см. гл. 2).
Решение этой системы даже для одиночного колеса представляет
собой очень сложную задачу, не говоря уже о движении многоопорного
автомобиля. Поэтому при решении конкретных задач динамики системы
дорога — шина — автомобиль — водитель целесообразно пользоваться
упрощенными моделями, учитывающими лишь наиболее существенные
стороны процесса качения эластичного колеса. Эти упрощенные модели
могут быть получены из системы уравнений (4.22).
Упрощение модели может быть достигнуто различными способами:
снижением порядка дифференциальных уравнений, упрощенным опи-
санием проскальзывания, учетом лишь части составляющих реакций
дорожной поверхности. В ряде случаев можно пренебречь углами
наклона колеса и площадки контакта. Модель значительно упрощается,
если все или часть коэффициентов принимаются постоянными и соот-
ветствующими некоторому номинальному режиму. Можно пренебречь
зависимостью этих коэффициентов от одного фактора и учитывать
зависимость от другого и т. д.
Следует отметить, что различные упрощения можно проводить
независимо друг от друга. Так, в одном случае можно полностью
пренебречь проскальзыванием отпечатка, но в остальном сохранить
уравнения (4.22), в которых коэффициенты считаются переменными.
В другом случае можно предельно упростить уравнения связей
(ограничиться гипотезой увода), но учесть как частичное, так и полное
проскальзывание отпечатка. Таким образом может быть получено
большое число упрощенных моделей. Рассмотрим лишь нетривиальные
упрощения модели, описываемой уравнениями (4.22).
Если пренебречь частичным проскальзыванием отпечатка, то функ-
ции проскальзывания fi и f2 следует задавать в следующем виде:
fl = f2 = ( 0 ПРИ Q
I оо при Q = грсцЛГ,
347
а если полностью пренебречь проскальзыванием, то эти функции
следует принять равными нулю: f\ = /2 = 0. В остальном уравнения
(4.22) сохраняются.
Другие упрощения уравнений (4.22) очевидны. Например, если пре-
небречь наклоном площадки контакта, то следует принять ф = 0.
Однако даже при максимальном упрощении уравнений (4.22), которые
будем называть уравнениями (или моделью) второго порядка, их
применение при исследовании движения многоколесных автомобилей
значительно усложняет задачу из-за резкого увеличения порядка
получаемой системы дифференциальных уравнений. Трудности, связан-
ные с повышением порядка уравнений, значительно уменьшаются, если
пренебречь запаздыванием угловой деформации шины у по отношению
к линейной g, что для ряда задач вполне допустимо. В этом случае
связь колеса с дорогой описывается дифференциальным уравнением
первого порядка
6 + » —<4-23)
а2 1+Ь а2 СЪ> 0г(1+Аг)
Линейная g и угловая у деформации шины и угол наклона колеса <р
связаны соотношением
«1£—а2(1 +f2)V—а3ф = 0.
а реакции и функции проскальзывания определяются так же, как
в уравнениях (4.22).
Полученную модель назовем моделью первого порядка. Если
принять Q/c^ g, то получим
(4.24)
а2 02(1 + /г)
W fnp = fl + -J---1.
* + 12
Если пренебречь проскальзыванием отпечатка (fi = f2 = 0), то
модель еще более упрощается, так как на основании соотношения (4.21)
можно пренебречь влиянием угла наклона колеса ф на управляемость.
Модель в этом случае имеет следующий вид:
i + v ^=-ул; F = c£.
а2
Если в нелинейной модели (4.24) пренебречь углами наклона колеса
(ф = 0), то получим
g4- у —Ч 1 + /пр)g = -уд; F = с& (4• 25)
а2
Функцию проскальзывания /Пр можно определить по эксперимен-
тальным данным при качении колеса с постоянным углом увода при
различных нормальных нагрузках. В этом случае g = 0, уд = —ид и
fnp = (Ks6/Q) — 1 (здесь учтено, что а{/а2 = с^/Къ и Q = F). Функция
fnp в зависимости от коэффициента касательной нагрузки о = Ф/(фСцЛ0>
построенная по графику Q(6), приведенному на рис. 139, показана
на рис. 160. Из графика видно, что функция проскальзывания fnp
практически не зависит от нормальной нагрузки.
Следует отметить, что уравнение (4.25), которое достаточно
348 точно описывает процесс качения колеса с эластичной шиной, исклю-
Рис. 160. График функции fnp:
X — N — 272 кгс; □ — /V — 453 кгс; А — N » 635 кгс; о — /V — 815 кгс
Рис. 161. Схема моделирования уравнения (4.25) на АВМ
чительно просто моделировать на АВМ: для его реализации требуется
всего один операционный усилитель (рис. 161). Число диодных цепочек
равно числу участков в кусочно-линейной аппроксимации характери-
стики Q(6).
Если пренебречь запаздыванием боковой деформации g по отноше-
нию к углу бокового увода б, то получим безынерционную модель
шины, которая для случая ф = 0 имеет вид
e=-Q(l + fnpW (4.26)
Зная для конкретной шины fnp, можно рассчитать зависимость Q(6)
для различных нормальных нагрузок и коэффициентов сцепления.
Если пренебречь частичным проскальзыванием и учитывать только
полное, то в формулах (4.23) и (4.26) следует принять
(° при Q < ФсцА/";
п₽ | со при <2 = фСцЛЛ
Если пренебречь проскальзыванием отпечатка и считать, что
fnp = 0, то получаем простейшую модель, соответствующую гипотезе
бокового увода,
При исследовании прямолинейного движения автомобиля под
действием возмущений от неровностей дорожной поверхности можно 349
пользоваться простейшей линейной моделью, если нелинейную зависи-
мость Q от б и N заменить линейной методом статистической
линеаризации.
Пусть зависимость Q от б и N дается формулой
-/Q6
при |/Сб6| < фсцЛГ;
при | К6в | > фсц/У,
т. е. учитывается лишь полное проскальзывание. Угол бокового увода
считаем стационарным нормальным центрированным случайным про-
цессом, и пусть нормальная реакция N задана нелинейным преобразо-
ванием стационарного нормального процесса N', который считается
независимым от б:
( N' при
N = I г
I 0 при N' < 0;
при этом средние квадратические значения и математические ожидания
процессов N и N' примерно одинаковы (см. гл. 2): одг и
mN ~ mNr .
Эквивалентный коэффициент сопротивления боковому уводу Къз
определяется из условия минимума среднего квадратического погреш-
ности в величине боковой силы при замене нелинейной характеристики
линейной, тогда
/<6э = M{6Q(Z, б)2}/о62,
где
М — оператор математического ожидания.
Проведя вычисления, получим эквивалентный коэффициент сопро-
тивления боковому уводу
где
^6а6 gN
х
Ф(х) = -J— J ехр dt—интеграл вероятности,
о
При а = 1 результаты расчета по двум формулам разнятся не более
чем на 5% (это связано с приближенными вычислениями при выводе
формулы). Для большей точности следует брать среднее по двум
формулам.
Графики зависимости /СбЭ/^б от параметров а, b и с приведены
350 на рис. 162.
Рис. 162. Зависимость эквивалентного коэффициента сопротивления боковому уводу
от параметров fl, b и с
§ 7. БОКОВОЙ УВОД ПРИ ТОРМОЖЕНИИ
При неустановившемся движении автомобиля с переменной скоростью,
особенно при торможении, в контакте колеса с дорогой возникают
значительные продольные и поперечные реакции. Наибольший интерес
представляют режимы, когда эти силы близки или равны предельным
по сцеплению (юз, буксование, занос). Модель качения колеса с элас-
тичной шиной, учитывающую одновременно и продольную и поперечную
деформации шины, можно построить как естественное обобщение
упрощенных моделей качения в продольном (см. § 4) и в поперечном
(см. § 6) направлениях.
Рассмотрим качение эластичного колеса по плоской опорной
поверхности без наклона. Если ограничиться упрощенной моделью
бокового увода, не учитывающей запаздывание поворота отпечатка по
отношению к боковой деформации (см. § 6), то деформация шины
будет характеризоваться двумя параметрами: боковой g и продоль-
ной X деформациями. Условие качения колеса без проскальзывания
состоит в том, что скорость материальной точки Е шины, совпадающей
с точкой набегающих волокон, равна нулю: vE = 0. При этом согласно
§ 4 продольная составляющая скорости точки Е
VEx = V—Гк«к + X + Ер | (|)к | X,
где г^М1—И (Я)].
а поперечная составляющая скорости точки Е (см. § 6)
°Еу = Уд + £+ v — I-
351
В последнем уравнении скорость качения v целесообразно заменить
на ^(Ок. Тогда уравнения связи при отсутствии проскальзывания
принимают вид:
X + еР | сок | X = — V + Гк®к; ' t + '’к— | «к R = — уа<
а продольная касательная Р и осевая F реакции определяются равен-
ствами: Р = F
Условие качения колеса без проскальзывания состоит в том, что
горизонтальная составляющая реакции опорной поверхности /?г должна
быть меньше силы сцепления /?Сц‘
При полном проскальзывании vE Ф 0 и представляет собой скорость
проскальзывания. Горизонтальная составляющая реакции
Рг = VEVE
и поскольку теперь
VE . VE t
VEx — VEy — ~
АСЦ Асц
то уравнения связи при полном проскальзывании принимают вид:
+ (&Р | I + Q • = — v +
\ аСц /
с. , / с Oi 1 I , VE \ с.
£ + ( Гк--I ®к I + — ) £ = У В.’
\ ^2 АСЦ /
где модуль скорости проскальзывания иЕ определяется условием
к,=у =Г(^)2+(са)2=^Сц='ФсЛ-
Нетрудно заметить, что это условие будет соблюдено, если скорость
проскальзывания vE задать как функцию о = Pn'Rcu, например, в виде
, . 10 при о < 1;
иЕ(о) =
I оо при 0=1.
Удобнее задать иЕ так:
V Е (^) = (^cii/^Z.) I | ^пр-
Тогда уравнения связи принимают следующий вид:
4 (бр + Лпр) I &>к Р' — — V + Гк®к‘»
i + ( гск —- Ч-/<ПЛ | сок | § = —Уд.
\ а2 у
(4.27)
Первое из этих уравнений полностью совпадает с уравнением связи
в продольном направлении (см. § 4), а второе — с упрощенной моделью
бокового увода первого порядка [см. (4.25)], если
£ _ а2 СЪ. 1 17 _ К
/пр— с z'np с пр-
352 а.
(4.28)
Если в уравнениях (4.28) принять Клр = 0, то они описывают качение
эластичного колеса, когда нет проскальзывания. Если учитывается
лишь полное проскальзывание, то следует принять
«л ( 0 при о < 1;
Апр — <
[ оо при 0=1.
В общем случае уравнения (4.27) описывают как полное, так и частич-
ное проскальзывание, по крайней мере с точностью до выполнения
соотношения (4.28), которое имеет смысл лишь для случая частичного
проскальзывания.
§ 8. ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Исследуем процесс качения колеса с эластичной шиной на основании
упрощенных моделей, приведенных в § 6. Основное внимание обратим
на влияние параметров шины на процесс качения и сравнение между
собой различных моделей шины (второго порядка, первого и безынер-
ционной), чтобы выяснить, для решения каких конкретных задач
динамики системы дорога — шина — автомобиль — водитель применять
ту или иную модель.
Процесс качения колеса без проскальзывания и без наклона опре-
деляется заданием коэффициентов кривизны аь а2 и боковой жесткости
шины . Экспериментальных данных по коэффициентам а{ и а2
в литературе имеется недостаточно1, поэтому удобнее вместо них
использовать другие, им эквивалентные: коэффициент сопротивления
боковому уводу Кь и относительное затухание переходного процесса
в шине фш, при этом
Oi/a2 = Cfc/Ла; = 4фщ (с|//Се).
Коэффициент сопротивления боковому уводу для автомобильных
шин обычно бывает известен (он определяется при стандартном экспе-
рименте на барабанном стенде), а относительное затухание переходного
процесса в шине изменяется в узких пределах (0,9—1,3).
В математической модели шины используется звено с передаточной
функцией (см. § 1 и 5)
д(Р)=—
р2 + va2p 4- u2ai
которую можно записать в виде
А(р)~-----------------
р2 + 2фши v2ai
Изменение i|)m в указанных выше пределах мало сказывается на
динамике процессов в шине, что видно из графиков переходных про-
цессов fBbix (рис. 163, а) и амплитудно-частотных характеристик
(рис. 163,6) этого звена, построенных для различных фш. На движение
автомобиля эти изменения влияют еще меньше. Поэтому в дальнейших
исследованиях можно принимать фш = 1.
Рассмотрим качение вертикального колеса, площадка контакта
которого наклонена в поперечном направлении на угол р. Будем счи-
1 Эти коэффициенты можно определить расчетом (см. § 2), однако для этого не-
обходимо знать характеризующие жесткость шины параметры, которые в большинстве Q
случаев неизвестны.
23 Заказ 3363
Рис. 163. Переходный процесс и амплитудно-частотные характеристики звена с пе-
редаточной функцией
Л( ч ___________Р*Д;________
Р' = p3+2^>UJvyratp + v2al
тать, что угол увода равен нулю, а радиальная реакция постоянна.
Осевая реакция дороги определяется выражением
Г = сбФ₽ + Л(р)-^-₽.
Д1
CfcOL
Исследуем влияние коэффициента--------—
а.
1
в шине для 1|)ш = 1 • В этом случае
на динамику процессов
F _ 1 + р2Д1 Чаз
L (p + v/oi)2 с6<₽а1
₽•
354
Передаточные функции от р к F/c^ при различных значени-
с.а,
ях-----и переходные процессы при ступенчатом изменении р
c&₽at
приведены в табл. 26.
Таблица 26
Передаточная функция
Переходный процесс
р2 4- 2а j/bi р 4- 0,5u2fli
(р+ v у а[)2
0,5 [1 + е“oV~ait (l + o/ain]₽l +
р(р + 2яУа\)
(p + p/aj)2
e-u/a,t (1 + и /а1)р.1 +
р24- 2а р—v2ai
(p + v Vai)2
— [1—2е-о/а1/(1 + р Vai Г)] Р-1 +
Пр имечание. Здесь 1 + — ступенчатая функция:
{1 при t > 0;
О при t < О,
a p=const.
Графики переходных процессов приведены на рис. 164, а, а ампли-
тудно-частотных характеристик на рис. 164, б. Из них следует, что
при —c^a^l(с^фai) = 1 установившееся значение боковой силы равно
нулю, а амплитудно-частотная характеристика имеет «завал» на низких
частотах. Это позволяет при рассмотрении низкочастотных процессов
в системе дорога — шина — автомобиль — водитель, например при
исследовании управляемости, не включать в расчетную схему возму-
щений наклоны площадки контакта, вызванные неровностями дорож-
ной поверхности, имеющими в основном высокочастотный характер
(см. гл. 1).
Пусть колесо катится без развала по горизонтальной плоскости
с боковой скоростью диска уд и углом поворота диска ф. Модель шины
второго порядка определяется уравнениями:
t + fY=—уд; у —Ш2у = ф; F = c^,
а первого порядка — уравнениями:
i + v-^l= —Ук F = cg.
Можно заметить, что процессы в шине согласно модели второго
порядка определяются как боковой скоростью диска уд, так и угловой
скоростью диска относительно вертикальной оси ф, а согласно модели
первого порядка — только боковой скоростью. Однако, как будет
показано в дальнейшем, это различие заметно лишь на высоких
частотах.
Рассмотрим процесс качения колеса при ступенчатом изменении
угла бокового увода 6 = const-1+ Это можно осуществить двумя спо- 355
23*
Рис. 164. Переходный процесс в шине при скач-
кообразном изменении угла наклона площадки
контакта и амплитудно-частотные характери-
стики Г/(с£ф0); числа над кривыми —значения
отношения / (с^а t:
1 — ^aa/(^vai)-0,6; 2 — с^а^с^а^)- 1; 3 —
Рис. 165. Различные случаи качения колеса с
постоянным углом увода:
а — Ф — О, уд — б — Ф — 5, Уд — —Л
собами (рис. 165,а и б). В первом случае колесо не поворачивается,
а угол увода образуется вследствие того, что траектория центра колеса
имеет излом под углом 6. Во втором случае траектория центра колеса
является прямой, однако колесо поворачивается вокруг вертикальной
оси на угол ф = 6.
Таким образом, возможны три случая: два из них описываются
моделью второго порядка и один — первого. Передаточные функции от
угла бокового увода б к безразмерной боковой силе с^/Къ и переход-
ные процессы в этих трех случаях приведены в табл. 27. При получении
этих формул учитывалось, что с^/Кь = )Azi/2 при фш =1.
Переходные процессы для этих трех случаев показаны на рис. 166, а.
Характер протекания переходных процессов в начальной фазе различен.
Если в первом и третьем случаях боковая сила растет сразу, то во вто-
ром начальная скорость изменения боковой силы равна нулю. На это
Таблица 27
Модель шины Задание угла увода Передаточная функция Переходный процесс —2—
Второго порядка Боковой скоростью центра колеса 0,5и Уai(p + 2uyai) (p+Vj^Oi)2 — [1—e~‘’1<S'/(i + 0,5ti/oI0] 61 +
Поворотом диска колеса у2аг (p+v^a,)2 — [1—+ 61+
Первого порядка Любым способом 0,5» Va? р + 0,5ц У а\
обстоятельство следует обращать внимание при аппроксимации экспе-
риментально снятых переходных процессов в шине. Первый случай
соответствует эксперименту, когда ненагруженное колесо поворачивает-
ся на угол увода, затем прижимается к барабану, второй — эксперимен-
ту, когда колесо сначала прижимается к барабану, а затем поворачивает-
ся. Если обратиться к амплитудно-частотным характеристикам
(рис. 166,6), то видно, что характеристики 1 и 3 практически не
отличаются во всем диапазоне частот, а характеристика 2 на высоких
частотах (<о > «заваливается» более круто. Это позволяет при
исследовании управляемости автомобиля применять более простую
модель первого порядка. Однако при исследовании динамики рулевого
привода, колебаний управляемых колес (шимми), когда угол поворота
колес имеет высокочастотный характер, следует применять модель
второго порядка.
Для решения некоторых задач можно использовать простейшую
безынерционную модель
Q = ^£ = — Кеб,
которая соответствует гипотезе бокового увода.
Следует отметить, что различие между моделями уменьшается
с ростом скорости движения, так как частота среза моделей первого
и второго порядка пропорциональна скорости. Найдем диапазоны ско-
357
1 — модель шины второго порядка Id — yjv, ф — 0); 2 — модель шины второго порядка
(0 ж $); £ — модель шины первого порядка
ростей, в которых можно применять конкретные модели. Для этого
рассмотрим двухколесную расчетную схему автомобиля (см. рис. 213
в § 1 гл. 6). Там же даны дифференциальные уравнения движения,
полученные с использованием модели шины второго порядка.
Передаточные функции от угла поворота управляемых колес к бо-
ковому Ai(p) и угловому Лг(р) перемещениям при так называемой
нейтральной поворачиваемости автомобиля имеют следующий вид:
А .__________<0,^? [р4 + й>1Р3 + (<0,1+ М) Р2 + Ю1^2Р + X2fc~1 ]_.
1 Р Lp2 [р3 + ©,р2 + (<>?,+ Х1)Р + <°Л1 ] [Р3 + “|Р2 + (“11 + Х!)Р + “Al]
Л2(р) = --------------L_-----:---;
358 LP p3 + aiP2+(а2ц+Ц)р + а>1к1
где Xi = )Л£с^/(ЬЛ1а) —частота собственных поперечных колебаний
центра тяжести автомобиля в горизонтальной плоскости при иа = 0;
Аг = YaLc^JIzz — частота собственных угловых колебаний автомоби-
ля в горизонтальной плоскости при va = 0; <01 == (Kst !с ); <оп =
= L— база автомобиля; а и Ь — расстояния от центра тяжести
соответственно до передней и задней осей; Л4а — масса автомобиля;
Izz — момент инерции автомобиля относительно вертикальной оси,
проходящей через его центр тяжести.
Характер движения автомобиля определяется распределением
корней знаменателя передаточных функций в комплексной плоскости.
Так как структура передаточных функций Ai и А2 одинакова, то иссле-
дуем А2 как более простую.
Рассмотрим также передаточные функции, аналогичные А2, но
полученные на основе модели шины первого порядка А 2 и безынерцион-
ной модели Д" . Первая из них получается, если в А2 принять Я1->оо:
ЬР Ct
Р2 + Va f,1 Р + А2
а вторая при дополнительном условии оо:
№
л " = va____^zzva
2 Lp K6La *
Прежде всего следует отметить, что все передаточные функции
являются устойчивыми при любой скорости. Кроме того, на больших
скоростях все они эквивалентны, так как при 00 первые две можно
ассимптотически точно представить в виде:
А2^А2(р)
9
mll
p* 2 + <otp 4-Wij
А2 ~А2(р)
„4-
Р+
причем
Ю11
p2 + ®lp + <dfI
при р = /<0
2
<Va
, %Va
*1,
на частотах, меньших юг = V a i-
При малых скоростях движение
2
1
При малых скоростях движение автомобиля должно носить колеба-
тельный характер из-за боковой эластичности шин. Очевидно, что А"2
непригодна для малых скоростей движения автомобиля.
Корни передаточной функции А'2 при уа->0 становятся чисто
мнимыми
Pl, 2= ± Л2,
что соответствует действительности, так как не учитывались потери
в материале шины. 359
Передаточную функцию А2 при малых скоростях можно приближен-
но представить в следующем виде:
а2
д ____________________
Lp р + ш/ С.
Р2 + va ~ Р + М
K6i
Из формулы видно, что она также отражает колебательный харак-
тер движения на малых скоростях; однако А2 более' точно описывает
движение автомобиля, чем А %-
Таким образом, движение автомобиля с малыми скоростями имеет
колебательный характер и должно описываться передаточной функцией
А2 или А г- При больших скоростях движение носит апериодический
характер и может быть описано передаточной функцией Л".
Найдем значение скорости, при которой колебательное движение
переходит в апериодическое. Если принять фш =
(это
значение лежит в указанных выше пределах), то при некоторой скоро-
сти, определяемой формулой
• 8 Л Кв-
иа------— л>2----,
зуз %
корни знаменателя передаточной функции А2.становятся кратными
ААР)~ Lp (р + УЗкУ
Значение скорости va = v* можно считать границей, отделяющей
зону колебательного движения от апериодического.
Несколько большее значение скорости получается для передаточной
функции А 2 • При va = ^(Kst/c^)
А2(р) =
i2
t>a Л2
Lp (р + Kif
Эти результаты иллюстрирует корневой годограф (рис. 167) знаме-
нателя передаточных функций А2, А 'г, А"2 , рассчитанный для автомо-
биля, имеющего следующие параметры: Мя = 100 кгс-м_|с2;
Izz — 144 кгс-м-с2; а = b = 1,2 м; Ks, = Ks2 = 3000 кгс/рад; =
— с1г = 9000 кгс/м; фш = 1^27/32.
Если расчетная схема автомобиля при движении по неровной дороге
включает неподрессоренные массы и оценочным параметром является
среднее квадратическое значение или дисперсия боковых сил (боковых
ускорений), то использование безынерционной модели шины (Q =
— —J(s6) дает завышенные результаты по сравнению с моделью пер-
вого или второго порядка. Покажем это на примере. Пусть кузов
автомобиля движется прямолинейно. Рассмотрим движение нераз-
резного моста. Поперечная скорость его определяется формулой
Уя = фй.
где q> — угол наклона моста к плоскости дороги; h — расстояние от
360 дороги до так называемой оси крена.
/(;(©) ~
Рис. 167. Корневой годограф передаточных функций автомобиля:
а — действительные,ветви: б — мнимые ветви; / — передаточная функция Д2; 2 — передаточ-
ная функция Д'; 3 — передаточная функция
£ £
При движении автомобиля с постоянной скоростью процесс <р
является стационарным случайным процессом (см. гл. 2), и его спек-
тральную плотность можно приближенно задать в виде
fe2<oj<o2
|(/<1))2-Ь2ф0<1)0/<о + <о§ |2
где k — коэффициент, характеризующий дорогу; «о — частота соб-
ственных колебаний моста; фо — относительное затухание колебаний
моста.
Учитывая, что угол увода
б = ya/va,
получим дисперсию боковой силы для безынерционной модели
(0) K26hW0
D° =-^~
361
и для модели шины первого порядка
Du> ___________1___________
Q , 2|Ь У
1 + ТО-----+ I ----- |
Vi; \ Vac6 /
Тогда получим, что отношение
nU) \ 1
*^Q a s \ а 5 /
Если ©о = 50 с-1; ф0 = 0,5; —— = 0,2 м, то при = 10 м/с
СЪ
DqQ} /D{q'} = 3, а при v* = 20 м/с /Dq* = 1,75.
Рассмотрим нелинейные модели шины, описывающие процесс
качения колеса с переменной нормальной реакцией при проскальзы-
вании отпечатка. В этом случае боковая деформация шины определяет-
ся не только углом бокового увода, но и нормальной реакцией. Пусть
качение колеса определяется моделью первого порядка, учитывающей
только полное проскальзывание отпечатка:
S + tfa-jM 4-/пр)В=Уд; Q = C^.
где
, ж I О при Q < я|5сцЛ/;
пр I оо при Q=tyCIIN-
При качении колеса с постоянным углом увода (6 — const) боковая
сила определяется только характером протекания нормальной реакции
(рис. 168). Криволинейные участки зависимости Q(t) представляют
Рис. 169. Расчетная зависи-
мость безразмерной боковой
силы Q/(Я>«ц^) от угла бо-
кового увода б при различных
нормальных реакциях, если
/С$= 10 фсцА^о*
/ — Н - 0.5 No; 2 - N - Af0; 3 —
N - 2No
собой отрезки экспоненты с показателем—coi£(<coi = Штрихо-
вой линией на рис. 168 показан процесс изменения боковой силы
в безынерционной модели шины:
Q = | ПрИ ^в6 <
1 фсцД( при /Свб > фсцА(.
Видно, что среднее значение силы Q меньше, чем при постоянной
нормальной реакции. Безынерционная модель дает завышенное по
сравнению с моделью первого порядка значение силы Q.
Нелинейную модель следует применять, когда движение автомобиля
сопровождается интенсивными вертикальными колебаниями с отрывом
колес от дороги. Частичное проскальзывание можно учесть, если задать
U = fnp М; o=Q/(^caN),
как это предлагается в § 6 этой главы. При о — 0 /пр = 0, при а = 1
fnp = оо, а в диапазоне 0 < о < 1 fnp — возрастающая функция.
Чтобы получить возможность провести теоретический анализ
влияния частичного проскальзывания, зададим fnp (ст) аналитически
в виде
fnp (ст) = о/(1— о).
В этом случае зависимость боковой силы Q от угла бокового увода
б в установившемся режиме определяется выражением
ГХ _ ___ФсцМ___
v *+V/(W
На рис. 169 эта зависимость показана для трех значений нормаль-
ной реакции. Следует отметить, что такой вид fnp соответствует интен-
сивному проскальзыванию, что возможно, например, при очень жестком
протекторе.
Рассмотрим переходный процесс в нелинейной модели с частичным
проскальзыванием, который возникает, если свободное колесо, повер-
нутое на угол б, мгновенно прижимается к опорной поверхности силой
N = const. Дифференциальное уравнение этого процесса имеет вид
x + (B1x(l + fnp) = (0I,
363
Рис. 170. Переходные процессы в шине при качении с постоянным углом увода и
мгновенном радиальном нагружении (числа у кривых соответствуют значению
4>сцЛ7(М):
fl-^cuWKR«)> I; б-ФсцМ(К*М< 1
где
X = QI(K66); fnp = 0/(1—о); coj = c^y/Kt,',
о = x/y; у = ^CVN/(Kt,f>).
Решение этого уравнения при нулевых начальных условиях, опреде-
ляющее переходный процесс, записывается так:
е>1^ = —— х—(—— У 1п (1 дЛ
1 + у \1 + у J ш\ у )
для х < у Ку + 1).
На рис. 170, а изображены графики переходных процессов при
Ка б фсцМ, а на рис. 170,6 при Кьд > фСцМ Штриховыми линиями
обозначены переходные процессы в модели, учитывающей только пол-
ное проскальзывание.
При малых поперечных силах по сравнению с вертикальной реак-
цией (у = 5 4- 10) различие переходных процессов в двух моделях
незначительное. Наиболее существенно различие при больших
поперечных силах (у = 0,5 4- 2). Кроме того, в начальной фазе
((01/ < 0,5) переходный процесс мало зависит от нормальной реакции.
При малом уровне боковых сил их среднее значение при движении
колеса с переменной вертикальной реакцией уменьшается в основном
вследствие запаздывания боковой деформации шины по отношению
к углу увода, определяемого боковой эластичностью, и в значительно
меньшей степени из-за частичного проскальзывания. При большом
уровне боковых сил, наоборот, решающее значение имеет частичное
проскальзывание, а не боковая эластичность. К такому же выводу
приводят результаты моделирования управляемого движения автомоби-
ля на АВМ.
В заключение в табл. 28 приведены рекомендации по выбору
модели шины для конкретных задач динамики системы дорога —
шина — автомобиль — водитель. Так как в таблице уравнения даны
без учета наклона колеса, то в том случае, когда он должен учитывать-
ся, в уравнения надо ввести соответствующие члены, как это
364 предлагается в § 5 и 6.
Таблица 28
Предмет исследования
Движение автомобиля Управляемое и неуправляемое движение автомобиля-
Колебания управляемых колес. Динамика рулевого привода с малой скоростью (t>a < о*). Боковые нагрузки с большой скоростью
Прямолинейное и криво- линейное с малым уровнем поперечных сил (Qmax < < 0,25фсцМ) по неровной до- роге: с малым уровнем воз- мущений (Од, < 0,25rnN) 1 + «у = —уд; у + i»a2y—t>aig = —ф; Q = ^; Als = cTy I (ПгТ- + <3 «о п II ‘ 5 " СП* £ II 1 * Q = -K86 VII
с большим уровнем воз- мущений (Од, >0,25mN) а\ g + vy + » /15= — </д; a2 у—v(O|g—а2у) + »а^2у= —ф; f _ f _ / 0 при С<фсцМ; '* '2 |оо при О = фСцЛ^; Q = c.g; jM8 = cvy // 6 + v £0 + /пр) = — f _/0 при <2<фсцЛ'; '"Р 1 со при О = фсцЛГ Q = ^£; M8 = cvy V f—K6d при К8б<фСцЛГ; ’I’cn'VsignS при K8d > фСцМ Vlll
- Криволинейное с большим уровнем поперечных сил (Qmax > 0>251|)СцМ) Д1 | + пу + п— fig= — </д; у—v(a^—а2у) + vaj2y = — Ф; О h-fita); а- ; tycuN Q= М8 = с?у /// I ixfi д x ; S O' + **7 I M 1 J1 .•UH 60 *** 1 II a t> + .MJ) л Q[»+/np(g)l ®- Л, • Q ^CU.^1 IX
Примечание: / — модель шины второго порядка без учета проскальзывания; // — то же с учетом полного проскальзывания; /// — то же с учетом полного
и частичного проскальзывания; /V — модель шины первого порядка без учета проскальзывания; V — то же с учетом полного проскальзывания; V/ — то же с уче-
том полного и частичного проскальзывания; VII — безынерционная модель шины без учета проскальзывания; V/// - тоже с учетом полного проскальзы-
вания; IX — то же с учетом частичного и полного проскальзывания
GO
Ci
Си
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
ЗВЕНА "АВТОМОБИЛЬ:*
МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
КУРСОВОГО ДВИЖЕНИЯ —
.оХ°ХпЖоЖо
о 0
оооо»«о
А < 0
♦
о •
оооооо
Одним из важнейших разделов теории автомобиля является теория
устойчивости и управляемости его движения, базирующаяся на анализе
курсового движения. Большей частью такой анализ проводился на
основе весьма простых расчетных схем автомобиля, охватывающих
только частные случаи его движения. С их помощью были изучены
некоторые закономерности неуправляемого прямолинейного и криволи-
нейного движений автомобиля без учета возмущений от дорожной
поверхности.
Для выяснения закономерностей возмущенного управляемого
движения автомобиля необходимо рассмотрение не отдельных частных
случаев, а всей замкнутой системы дорога — шина — автомобиль —
водитель. Основные предпосылки теоретического анализа упомянутого
общего случая движения автомобиля описаны в литературе [115—129].
§ 1. ОБЩАЯ СТРУКТУРНАЯ
И ПРОСТРАНСТВЕННАЯ РАСЧЕТНЫЕ
СХЕМЫ АВТОМОБИЛЯ
Для исследования устойчивости и управляемости автомобиля требуется
подробное математическое описание его как объекта регулирования
в системе дорога — шина — автомобиль — водитель. В этой системе
объединены в едином процессе как механические колебания отдельных
масс (кузов, неподрессоренные массы и т. п.), так и другие физические
процессы, сопровождающие работу различных систем автомобиля и
влияющие на характеристики его движения (взаимодействие автомоби-
ля и водителя при управляемом движении, работа систем управления
автомобилем и взаимодействие его с внешней средой и поверхностью
дороги).
Для системного исследования общего случая движения автомобиля
необходимо принятие единой методики для описания взаимодействия
различных частей изучаемой системы. Наиболее подходящей является
методика, в основу которой положены представления теории автома-
тического управления, при которой исследуемая система «автомобиль»
представляется совокупностью взаимодействующих динамических
звеньев. Отдельные звенья этой системы не являются обязательно
какими-либо изолированными и материальными ее частями. Это
связано, в частности, с тем, что одна и та же материальная часть общей
системы выполняет различные функции и характеризуется соответ-
ственно различными группами переменных величин. Например, колесо
является элементом расчетной схемы вертикальных колебаний и одно-
временно элементом расчетной схемы рулевого управления, а также
элементом расчетной схемы трансмиссии (у автомобиля, имеющего
привод на управляемые колеса, все эти функции колеса совмещены).
К внешним воздействиям на автомобиль относятся дорожные неров-
ности, воздействие воздушной среды, внешние активные силы, а также
заданная в плане форма проезжей части и проектные наклоны дороги.
Совокупность выделенных динамических звеньев составляет струк-
турную схему системы дорога — шина — автомобиль — водитель, кото-
рая показана на рис. 171. Каждое звено этой системы совершает
определенное преобразование величин и, следовательно, характеризует-
ся входными и выходными параметрами, а также связывающими их
уравнениями. Эти величины в соответствии с их физической природой
разделены на группы, характеризующие тип взаимодействия между
звеньями системы. Выделены следующие группы переменных величин 367
Рис. 171. Общая структурная схема системы дорога — шина — автомобиль — води-
тель
и соответствующие им типы взаимодействия между звеньями системы:
1) кинематическое (линейные и угловые перемещения); 2) силовое
(силы, действующие между частями автомобиля при их относительном
перемещении, а также реакции дороги); 3) информационное (кинема-
тические и силовые факторы, воспринимаемые водителем); 4) сигналь-
ное (величины, которые задает водитель и которые определяют
положение органов управления автомобилем); 5) инерционное (кине-
матические ограничения, наложенные на относительные перемещения
различных масс автомобиля конструкцией направляющих устройств).
В систему дорога — шина — автомобиль — водитель водитель вклю-
чен как звено обратной связи. Функции водителя как динамического
звена сводятся в данной задаче к преобразованию поступающей к нему
информации о действительном движении автомобиля в определенное
положение органов управления в звеньях «рулевое управление»,
«трансмиссия и двигатель» и «тормозная система». Это преобразование
водитель производит, сообразуясь с заданной программой движения ав-
томобиля.
Звенья «увод колес» и «вращение колес» преобразуют входные
кинематические параметры, характеризующие движение кузова, непод-
рессоренных масс и колес, в выходные кинематические параметры,
которые определяют реакции дороги, действующие в горизонтальной
плоскости. В этих звеньях учитываются кинематические связи,
накладываемые конструкцией направляющего аппарата подвески на
перемещение колес относительно кузова.
При исследовании устойчивости и управляемости автомобиля
изучается движение автомобиля в плоскости дороги, которое в даль-
нейшем будем называть курсовым движением, распространяя этот
термин как на прямолинейное, так и на криволинейное движение.
368
Форма дороги в плане, ширина проезжей части и организация
движения транспортного потока накладывают ограничения на курсовое
движение автомобиля. В общем случае движения автомобиля (рис. 172)
на дороге задается коридор, внутри которого должен находиться
автомобиль, или задается непосредственно траектория движения
какой-либо точки автомобиля, например центра масс кузова или
точки С' — проекции этого центра на горизонтальную плоскость. За-
данную траекторию движения точки С' представим функцией кривизны
этой траектории, зависящей от расстояния S, измеряемого вдоль траек-
тории, р = p(S). В частном случае прямолинейного движения р= 0.
Свяжем с заданной траекторией движения естественную систему
координат 01Х1Г/12ь относительно которой будем изучать действитель-
ное движение автомобиля. Для этого достаточно задать положение
подвижной системы координат C'x'y'z', связанной с автомобилем,
относительно естественной системы координат, связанной с заданной
траекторией. Так как начало координат С' подвижной системы C'x'y'z'
находится на оси О\ух естественной системы координат, то положение
автомобиля определяют две координаты: ус — смещение точки С'
в поперечном от заданной траектории направлении и ф — угол поворота
подвижной системы координат, связанной с автомобилем, относительно
естественной системы координат.
Величины ус и ф получаются из решения уравнений:
Ус=1'у~
Ф = <02— vxp,
где vy и vx — проекции скорости точки С' соответственно на подвиж-
ные оси С'у' и С'х'\ (о2 — угловая скорость автомобиля относительно
вертикальной оси (угловая скорость рыскания). Если движение авто-
мобиля происходит с переменной скоростью, то вычисляется также
координата S из уравнения S = vx.
Рис. 172. Элементы курсового движения автомобиля:
З.т.— заданная траектория; Д.т.— действительная траектория; Д.к,— динамический коридор дви-
жения
24 Заказ 3363
Таким образом, кинематика курсового движения автомобиля опре-
деляется четырьмя функциями vv(t)y vx(t)y coz(O, p(S).
В общем случае движение автомобиля происходит по неровной
дороге и криволинейной траектории, повторяющей в общих чертах
форму дороги в плане. Курсовое движение автомобиля связано
с другими видами движения кузова и неподрессоренных масс. Поэтому
для исследования курсового движения требуется более полная расчет-
ная схема автомобиля по сравнению с той, которая использовалась
для исследования плавности хода (см. гл. 2). Расчетная схема авто-
мобиля должна включать все колебательные системы и учитывать их
взаимодействие. Для правильного описания курсового движения нужно
подробно изучить действие связей, наложенных на относительное пе-
ремещение неподрессоренных масс.
Основным элементом расчетной схемы автомобиля является
изображенная на рис. 173 пространственная модель, включающая
кузов и неподрессоренные массы. Для определенности рассматривается
автомобиль, имеющий распространенную компоновку: передняя
подвеска — независимая, задняя — зависимая, ведущий мост — задний.
Для того чтобы задать в пространстве положение всех масс авто-
мобиля, необходимо задать положение кузова относительно дороги и
неподрессоренных масс относительно кузова.
Выберем горизонтальную плоскость Я, относительно которой будем
отсчитывать ординаты микропрофиля. Положение масс автомобиля,
стоящего неподвижно на этой плоскости так, что его шины и рессоры
недеформированы, назовем начальным. Положение, которое занимают
массы неподвижного автомобиля под действием силы тяжести, назовем
статическим. В этом положении автомобиля свяжем неизменно с кузо-
вом подвижную систему координат Cqc£c£c, начало которой поместим
в центр тяжести кузова. В статическом положении автомобиля с осями
Ст)с|-с£с совпадает система координат Cxcyczc. При движении автомобиля
Рис. 173. Пространственная расчетная схема автомобиля
Рис. 174. Возмущения от дорожной поверхности; л0 — нормаль к поверхности дороги
оси Схс и Сус остаются параллельными опорной плоскости Н, причем
ось Сус лежит в вертикальной плоскости Пс, проходящей через ось С£с,
а ось Схс находится в вертикальной плоскости Гс, которая перпендику-
лярна поперечной плоскости Пс.
Для записи уравнений движения системы примем, как й ранее,
индексы лип для обозначения переменных величин и постоянных
параметров, относящихся соответственно к левой и правой колеям,
и индексы 1 и 2 для обозначения тех же параметров, относящихся
к передней и задней подвескам.
В качестве обобщенных координат, описывающих вертикальные
колебания кузова, примем следующие: zc — вертикальное смещение
центра тяжести кузова, отсчитанное от положения центра тяжести
в точке Со, в котором он находится в статическом состоянии автомоби-
ля; а — угол продольного крена (угол между осью С£с и поперечной
плоскостью /7С); <р—угол поперечного крена (угол между осями С|с
иС#с).
Обобщенными координатами для задания положения неподрессорен-
ных масс являются абсолютные вертикальные перемещения центров
колес 2К1Л, гК1п, 2К2л и zK2n, отсчитываемые от тех положений центров
колес, которые они занимают в статическом состоянии автомобиля.
Возмущающее воздействие от дорожной поверхности (рис. 174)
представим ординатами микропрофиля под колесами <7п и углами
поперечного наклона площадок контакта 0Л, Рп-
Введем также обозначение
<Р<7= (?л ?п)/(2^к)>
где 2dK — колея автомобиля.
§ 2. КИНЕМАТИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО
И АБСОЛЮТНОГО ДВИЖЕНИЯ КОЛЕСА
Абсолютное движение колеса слагается из переносного движения
вместе с кузовом и движения относительно кузова. Движение колеса
характеризуется движением подвижной системы координат, связанной
с диском колеса. В дальнейшем движение точек этой системы координат
называется движением точек диска. Характеристики относительного 371
24*
движения колеса определяются конструкцией направляющего аппарата
подвески.
Конструкции направляющего аппарата зависимых и независимых
подвесок некоторых типов показаны на рис. 175.
1. Кинематика относительного движения точек диска
для независимой подвески
Рассмотрим независимую подвеску колеса (рис. 176). Не уменьшая
общности выводов, касающихся анализа кинематических характеристик
подвесок, примем, что кузов и неподрессоренные массы находятся
в статическом положении.
Введем следующие геометрические понятия: геометрическая ось
колеса (поз. 2), центральная плоскость вращения колеса, средняя линия
колеса (поз. /), центральная поперечная плоскость колеса (плоскость
Дк), центральная продольная ось колеса (поз. 3)—горизонтальная
прямая, расположенная в центральной плоскости вращения колеса и
проходящая через его центр /<о. Средняя линия колеса пересекает
в точке К центральную поперечную плоскость Дк. В статическом со-
стоянии автомобиля и при нейтральном положении управляемых колес
точки Ко и К находятся соответственно в точках K'Q и К'. Геометриче-
ская ось колеса пересекает в точке А ось шкворня (ось вращения
поворотной цапфы).
Через точку Л', в которой находится точка А в статическом
положении кузова и неподрессоренных масс и при нейтральном поло-
жении управляемых колес, проведем две вертикальные плоскости —
плоскость ПА, параллельную поперечной плоскости Пс (см. рис. 173),
и плоскость ГА (рис. 176), параллельную продольной плоскости Гс
(см. рис. 173). По линии пересечения этих плоскостей направим ось Он1>
(рис. 176) связанной с кузовом системы координат ОнТ]££, начало кото-
рой лежит в горизонтальной плоскости Но, касающейся средней линии
недеформированного колеса в положении, когда его геометрическая ось
совпадает с поперечной плоскостью ПА- Будем считать, что при движе-
нии колеса относительно кузова точка А перемещается по траектории,
лежащей в плоскости Др, которая расположена под углом 0Р к попе-
речной плоскости ПА (на рис. 176 изображено положение плоскости Др,
соответствующее отрицательному углу 0Р). Выберем в качестве неза-
висимых обобщенных координат следующие параметры: — верти-
кальное перемещение точки А, отсчитанное от положения статического
равновесия, и 0 — угол поворота колеса, равный углу между плоскостями
ПА и Дк.
На движение т:очек диска колеса направляющим аппаратом под-
вески наложены геометрические связи. Для дальнейшего исследования
требуется определить функции
г К. = ~rK(U 0); <Рк= Фк(?А> 0)>
где гк — радиус-вектор точки К пересечения средней линии колеса
с плоскостью Дк; фк — угол наклона оси колеса к горизонтальной плос-
кости (угол развала).
Радиус-вектор гк разложим на составляющие по осям Онх, Ани и
Он£:
372 г % = хл + + Zk
1
2
5
Рис. 175. Основные типы направляющего аппарата
подвески:
1 — независимой двухрычажной с поперечной плоско-
стью качания рычагов; 2 — независимой однорычаж-
ной с продольной плоскостью качания рычага; 3 — за-
висимой с направляющим штанговым аппаратом; 4 —
зависимой с полуэллиптическими рессорами; 5 и 7 -
независимых однорычажных соответственно с диаго-
нальной и поперечной плоскостями качания; 6 — не-
зависимой рычажно-свечной (типа Мак-Ферсона)
Рис. 176. Обобщенные
координаты для задания
положения колеса отно-
сительно кузова
и по осям Он& ОнТ) и OHt,:
Гк = Ik + Лк + £/<•
Проекции векторов хл = ОНАН, хк = АнКнЛк = КнК, = ОнКа
и т)к — КаКн обозначим теми же буквами, но без черточек:
1к = «KCOS 0 + ха cos 0р
и
Лк—хк sin 0—Ха sin 0р.
Так как поперечные перемещения точек колеса и оси шкворня
значительно меньше вертикальных, то последние можно считать оди-
наковыми для всех точек, лежащих на оси шкворня, и равными верти-
кальным перемещениям центра колеса Ко и точки К (?д = $к0 =
= Zft = • Функции вида
&=Ы£.9); Фк=фк(С. 9);
Лк = Лк (С. 0); Ха = ХлЮ; «к = «к(С. 0)
называются кинематическими характеристиками подвески.
Точные аналитические, выражения для кинематических характери-
стик подвески получаются, как правило, очень громоздкими. Для
практических расчетов уравнения кинематических характеристик пред-
ставляются в виде степенных рядов, число членов в которых опреде-
ляется условиями конкретной задачи:
В дальнейшем для сокращения записи коэффициенты степенного
ряда записываются со скобками: (д%,к/д£), (dq>K/d£) и т.‘д. Функции
д^ц/dt,, д(рк/д^ и т. д. записываются без скобок.
Для вычисления коэффициентов (дхк/dt,), (д2хк/д£,2), (Оик/дО),
(д2ик/дд2), (д2у,к/д^д8), которые определяют аналитический вид функ-
ции хк = хк(£, 0), надо иметь в виду, что величина хк изменяется
только вследствие изменения угла поперечного наклона колеса <рк-
Поэтому дик/dt, = —Год<рк/д£; дхк1д® = — годсрк/де. Заметим также, что
при малых углах поворота 0 колес (движение автомобиля, близкое
к прямолинейному) используется зависимость
dlff/dZ = — год(рк/д^ + (cos 0р) <?ха/<^?.
Анализ кинематической характеристики подвески заданного типа
374 сводится к определению коэффициентов соответствующего степенного
Рис. 177. Двухрычажная подвеска:
а — проекция элементов подвески на горизонтальную плоскость; б — расположение рычагов
в плоскости качания
ряда исходя из конструктивных параметров направляющего аппарата
подвески.
Рассмотрим кинематику двухрычажной подвески с поперечным
качанием рычагов. Эта подвеска имеет два поперечных рычага. Примем,
что они перемещаются в параллельных вертикальных плоскостях Дп
и Дв (рис. 177, а). Эти плоскости параллельны вертикальной плоскости
Др, проходящей через точку А и расположенной под углом 0Р к попереч-
ной плоскости автомобиля. Плоскость Др назовем плоскостью качания
рычагов.
Поворот колеса задается углом 0Ш между центральной поперечной
плоскостью Дк и вертикальной плоскостью’ Дш, проведенной через ось
шкворня. Плоскость Дш составляет с поперечной плоскостью ПА угол
0д, который в общем случае является переменным. Между углами 0,
0Ш и 0Д имеется соотношение 0 = 0Д — 0Ш-
Определим параметры кинематических характеристик подвески
этого типа. Так как координата ха определяется по координатам Хв и
Хн концов соответственно верхнего и нижнего рычагов (рис. 177,6), то
Параметр рА = (1/2) — (/А//ш) определяет положение точки А на
оси шкворня.
Вполне очевидны следующие соотношения, которые справедливы
при достаточно малых углах ун и ув наклона нижнего и верхнего
рычагов:
f ,, . / д2Хн ______1_. / дХв \ . / д2Хв \______L
к ) Vh0> к д? ) /н ’ к / 7в0’ к д? ) I» 9
где уно и уво — углы ун и ув в статическом положении автомобиля.
Найдем функцию <рк(£, 0), определяющую угол поперечного наклона
колеса (рис. 178). Если известен угол уш наклона оси шкворня в плоско- 375
Рис. 178. Расчетная схема
для определения угла раз-
вала
сти Дш и угол поворота 0Ш, то угол фк развала колеса найдется из
условия неизменности угла фшк между осью колеса и осью шкворня.
Проведем из точки А единичные векторы Sm и S°, параллельные осям
шкворня и колеса. Проекции этих векторов на оси Лт]ш£шСш имеют
следующие значения:
5ш(0,—sinym, cosyj;
5к°(5КТ1ш, 5к£Ш),
причем между проекциями и SKt)I1I существует соотношение
5кТ)ш "Ь 1-*кУп = О*
Так как скалярное произведение
•Ь ш ’ к = COS фщк
И
= I И = sin фк,
то получим
376 Т = sin уш cos фксоз 0Ш + cos уш sin фк + cos фшк = 0. (5.1)
дфк \ __ sin уш sin Од _ л .
------------------~ I ш°д>
деш / cos уш
Представим функцию фк(0ш, ?) в виде ряда
фк=ф:+-^(0ш-0д) +4-^тН0ш-0д)2’
где ф* , <9фк/<50ш, д2фк/<Э0щ —функции вертикального перемещения
колеса £.
Рассматривая Чг[уш(?), 0ш(?, 0), фк] как неявную функцию фк =
= фк(£, 0). можно вычислить коэффициенты разложения ее в ряд. Про-
ведя вычисления при 0Ш = 0д, получим приближенные численные значе-
ния коэффициентов:
дЗфк \ _ sin Уш cos 0д __
dO2 J C0SVui
Если углы уш и 0д мало изменяются, то в этих формулах можно при-
нять их значения постоянными: уш = ушо и 0Д = 0дО. Для определения
угла развала колеса получим формулу
Фк = Фк — (Тшобдо) 0-~ Тшо02,
где ф * — угол развала колеса при 0 = 0, и его величина зависит от
вертикального перемещения колеса. Угол развала ф^ изменяется при
вертикальных колебаниях колеса вследствие изменения угла уш, кото-
рый можно выразить через координаты Хн и Хв нижнего и верхнего
концов шкворня:
Уш = Хн7Хв соз(0д 4- 0р).
В дальнейшем примем /ш/соз(0д + 0Р) = . Функцию уш(£) можно
представить в виде
Уш = У шо + (ду ш/д£) С + -у («52 у ш/<5£2) £2
Используя найденные ранее значения d^/dt, и д%в/<К,
получим
/ дУш \ _ Удо Уно . / д2уш \ _ 1Н 1В
\ f \ dt? ) III*'
ш н в ш
Для того чтобы найти функцию ф* = ф* (£), напомним, что
<Эфк/д£= (дфк/дТш) (дТшТО
Функцию дф* /душ определим из выражения (5.!), полагая в нем
фк = ф* . При малых угле поворота 0 и начальном угле развала фк0
приближенное значение функции
дфк/дТш^ — cos0aO.
Рассмотрим кинематику рычажно-свечной подвески (типа Мак-
Ферсона) (рис. 179). Примем, что плоскость качания рычагов располо-
жена параллельно поперечной плоскости автомобиля; в его статическом
положении нижний рычаг ОнН занимает горизонтальное положение
ОнН'. При этих допущениях уравнения связей, наложенных на угловые 377
Рис. 179. Расчетная схема
подвески с качающейся
свечой (типа Мак-Ферсона)
перемещения стойки и нижнего рычага, имеют вид (обозначения указа-
ны на рис. 179):
sin (ут + Тн) + (WZH)cos(?m + Тш) = L/l„-,
sin(Tm + T„) + (/л//н)со8(тт + Тш) = (С//н) + (£'//н);
cos (?,„ + Тн) — (/ш/4) sin (ут + у'ш) = £>//„,
(5.2)
где Yh и Уш — углы отклонения соответственно нижнего рычага и
стойки от их положения ОнНтОв, которое они занимают, будучи
взаимно перпендикулярными. На рис. 179 текущие положения нижнего
рычага и стойки соответствуют отрицательным значениям вертикаль-
ного перемещения % и углов и у'. Длина стойки /ш = ОВН
является переменной. Уравнения (5.2) представляют собой заданные
неявным образом функции
Тш=Тш(£'); Тн=Тн(?');
Из чертежа видно, что £'= £—Zm, причем « ут1а- Двукратно
дифференцируя уравнения (5.2) по аргументу и решая при t,' —
полученную алгебраическую систему, можно найти (ду ш /dt,') — 0;
(д^уш/д(т = --гт-
*Ш0*Н
Последняя формула является приближенным выражением, выведен-
ным из точного выражения, если учесть, что угол ут обычно мал. Угол
развала колеса определяем по формуле
378 Фк = фк0 + (дфк/^) Z + 0,5(д2фк/д£2) С2.
при этом (дфк/д£) =
и (д2фк/<?(£)2)= -(^W)2).
Кинематические характеристики рассматриваемой подвески, задаю-
щие поперечные перемещения точек диска, определяются так же, как
и двухрычажной.
Для однорычажной подвески, плоскость качания рычага которой
расположена под углом 0Р к поперечной плоскости, расчетные формулы
имеют вид:
(д£к/д£) = — (r0//p)cos6p;
(д2^да = -(1//р)С08ер;
(Эфк/dS) = — (1//P)cos6p,
где /р — расстояние от оси качания рычага до центра колеса.
2. Кинематические характеристики зависимых подвесок
с неразрезной осью
Рассмотрим кинематику зависимой подвески на полуэллиптических
рессорах (рис. 180, а—в). Примем, что жесткость рессоры в боковом
направлении намного больше, чем в вертикальном, а угловая жесткость
крепления рессоры к раме намного меньше жесткости крепления ее
к мосту. При этих предположениях можно считать, что на относитель-
Рис. 180. Расчетная схема подвески на полу- ---------------------
эллиптических рессорах:
а — проекция элементов подвески на поперечную -лС <
плоскость; б — проекция элементов подвески на го- <
а)
S)
ное движение неразрезной оси накладывается кинематическое ограни-
чение, заключающееся в том, что плоскости рессор остаются перпен-
дикулярными к оси моста, а перпендикуляр, проведенный к оси моста
из его центра и расположенный в поперечной плоскости, пересекает
продольную плоскость симметрии автомобиля в точке В, которая не
смещается относительно кузова.
Исходя из сделанного предположения об относительном движении
моста, для угла <рв имеем выражение
Запишем уравнения для определения углов поворота колес относи-
тельно кузова в поперечной плоскости в виде
Фк.л = 0Фк.л/5Сл)Сл+ (дфк.л/д£пКп. Фк.п = (дфК.|Мл)£л+ 0фк.п/^Ьп)?п-
Легко видеть, что
(дфк.1Мп) = 0фк.л/^^л) = — (<5фк.лЖп) = — (Зфк.пЖ) = — V24-
Расстояние от центра тяжести моста до точки В, которая является
мгновенным центром скоростей моста в его движении относительно
кузова, определяется соотношением
Ан=Ан0- (£л + £п)/2.
Боковые перемещения нижних точек колес относительно кузова
£к.л = (Ан “И Ч фВ> ?к.п = (Ан 4" г0) фв*
Для того чтобы найти угол 62 поворота моста относительно верти-
кальной оси, рассмотрим схему, иллюстрирующую появление продоль-
ных перемещений центров колес (рис. 180,6). Эти перемещения про-
исходят по криволинейным траекториям ВЛВ^ и ВПВП' относительно
кузова. Аналитическая зависимость, определяющая продольное пере-
мещение т] центра колеса при его вертикальном перемещении, может
быть найдена теоретически или экспериментально. Предположим, что
она выражена для каждого колеса линейной функцией
П = (df]/dQ £.
Тогда угол поворота моста относительно кузова
02=0n/5O(^-S2n)/24. (5.3)
Рассмотрим кинематику зависимой подвески с неразрезной осью
и штанговым направляющим аппаратом (рис. 181). Кинематические
характеристики этой подвески получим при расположении поперечной
реактивной штанги ВРВМ в вертикальной плоскости /7Р, проходящей
через ось моста. Продольные перемещения точек моста рассматриваем
независимо от поперечных. Используя формулы, выведенные для двух-
рычажной подвески, получим для продольных перемещений т/ точек
оси моста, лежащих в плоскостях Дл и Дп качания рычагов, выражение
г)'= (drf/d£')£'>
где t,' — вертикальные перемещения точек оси моста, а коэффициент
(дг]7д£') рассчитывается по формуле
380 (дт/да = —[(0,5 + р) ун0 + (0,5—р) тв0].
Рис. 181. Расчетная схема подвески с направляющим штанговым аппаратом
Угол поворота моста
02= (l/W/^-U
На движение моста в поперечной плоскости наложены геометриче-
ские связи, определяемые системой.уравнений:
Zp sin фр + 4,л sin фВ + £л = Лн;
/р cos фр + с?к.л cos фв—r0 sin фв—л = 2dK— D;
Zp sin фр ^к.п sin фв + Сп =
Zp cos фр + dKn cos фв + rQ sin фв—%к п = D.
Дифференцируя эту систему по аргументам £л и £п и решая полу-
ченную систему шести алгебраических уравнений, найдем, имея в виду,
что фк.л = —Фк.п = фв, коэффициенты кинематических характеристик:
(дфкл/д£л); (d<pK.n/dCn); (дфк.л/д&.); (дфк.|Л);
(д&Л); МкМ-, (д^кМ-, (dUn/ЭСл).
В табл. 29 и 30 приведены основные формулы для определения ко-
эффициентов кинематических характеристик подвесок рассмотренных
типов.
3. Линейные кинематические характеристики подвесок
Кинематические характеристики подвески задаются линейными функ-
циями от вертикальных перемещений неподрессоренных масс, если
исследуется движение автомобиля по траектории достаточно малой
кривизны при малых углах поворота управляемых колес. В этом
случае кинематические характеристики подвесок всех типов можно за- 381
Независимая подвеска
Параметр
двухрычажная с поперечными
рычагами
Таблица 29
рычажно-свечная
(типа Мак-Ферсона)
YbQ YhQ л
COS 0до
^н ^в л
777 СО5ед0
— tgYmoSin 0дО
__ Yzn
^шо
1
о
--tg Ушо
— tgYmoCOS0AO
Ут ^дУт
1 1
*'Ш0 *шо
^шо + 1д 1
^шо^н ° 4и(/н
Таблица 30
Параметр Зависимая подвеска
на полуэллиптических рессорах пружинная с направляющим аппаратом
/ дфк.л > \ <??л ) / дфк । _ ( дфк.п \ _ 1 1
•л \ _ / дфк п \ , / \ ^л / 2dK ^к-л + ^к-п
( ^Кл ' fo 4~ hHo ^к*п sin фро + Гр cos фро
\ Кл ) 1 \ Кл J 2dK 2dK cos фро
( ' д^кл \ *о 4- httQ с?к«л sin Фро "Ь Го cos фро
\ <КП > > \ di„ } 2dK 2dKcos<ppo
писать в виде функций, которые имеют одинаковый вид для зависимой
и независимой подвесок:
поперечные углы наклона колес относительно кузова
Фк.л = (<Зфк/<5£)Сл — 0Фк/<??)* U фк.п = (<3фк/д£)Сп— (<Эф>Ж)* Сл; (5 •4)
поперечные перемещения точек Кл и колес относительно кузова
382 1Кл = (д^д^-01к/<3?)* £л- (5-5)
Дополнительные углы поворота колес относительно кузова, вызван-
ные вертикальными перемещениями неподрессоренных масс:
0к.л= (двк/д^л- (<адо* Сп; 0к.п= 00к/дО?п-(30к/^)*?л- (5.6)
При записи этих уравнений введены обозначения
(д<М)* = - (<Эфк.лШ = - 0Фк.п/^л); (дШ)* = - 0^/dQ =
= - ЖКп/д^ 00 М* = - 00к.л0£п) = - 00к.п/^л).
4. Кинематические характеристики абсолютного
движения колес
Абсолютное движение колес характеризуется относительными скоро-
стями поперечного скольжения 6К, углами наклона геометрических осей
колес к опорной плоскости фи и относительными скоростями продоль-
ного скольжения 6С. Для определения этих величин рассмотрим рас-
четные схемы на рис. 182, а и б.
Относительная скорость поперечного скольжения колеса опреде-
ляется как отношение проекции на ось абсолютной скорости точки К,
которая находится на расстоянии KKq = rQ от оси вращения, к проекции
скорости центра колеса на центральную продольную ось. Абсолютная
скорость точки К складывается из переносной скорости движения Vе
этой точки вместе с кузовом и относительной скорости vr. Относитель-
ные скорости поперечного скольжения колес задаются соотношениями:
с _ <1 л + а(1 л cos 0л + А1 л si" 0л . S _ ^2л + и(2л .
°К1Л , °К2Л »
%1лсо80л-а^1л5>п0л + ^1л %2л + уП2л
о *xln + ^lncos0n + <lnsin0n . с +
°к1п---~ ~ » °к2п ~ •
%1п cos 0п-^1п sin 6п + atln vn2n + иц2п
Углы наклона геометрических осей колес к опорной плоскости
определяются углом ф поперечного крена кузова и углами поперечного
наклона колес относительно кузова фк (на рис. 182 изображено поло-
жение подвижных систем координат, связанных с кузовом, при ф = 0):
Фя1л=фкхл—ф; фя2л = Фк2л—ф;
фшп = Фк1п + ф; ФЯ2П = фкгп + Ф-
Относительная скорость продольного скольжения определяется как
отношение проекции на центральную плоскость вращения колеса аб-
солютной скорости той его точки, которая совпадает с наинизшей
точкой диска, находящейся в этой плоскости на расстоянии, равном
радиусу качения в ведомом режиме г^, к проекции скорости точки К
на центральную продольную ось:
я <1л + Ллсо®0л-1<1л®«п0л-®к1л'к .
°С1Л-------'г-------------I---------- ’
«Пл + C0S 9л~Ч1 Л sin 0л
х ^ln + an>nCOS0n-”(lnsin0n-®Kln'K
yTln + <lncos0n-^lnsin0n
Я %2л 4" ит|2л ^кёл^К е %2п4"уг|2п ®к2пгХ
°с2л ------------’----; °с2п =---------;------•
%2л 4" ит|2л %2п4_уп2п 383
Рис. 182. Расчетные схемы для определения углов увода и относительных скоростей
скольжения:
а — одиночного колеса; б — передней и задней осей
Вычислим для каждого колеса составляющие переносной и относи-
тельной скоростей точек К. Переносная скорость определяется движе-
нием подвижной системы координат Ст)с|с£с, связанной с кузовом.
Из рис. 182 находим:
£4) 1 л = ^Т)2л == Vx а^С ^1)1п = ^П2п = &х 4"
г&л = vy 4-фЛс + «га; v|in = — vy—ifhc—
384 и|2л = vy + <рйс—е>гЬ; v(2n = ——<fhc + юг&,
где hc — расстояние от опорной плоскости до центра тяжести кузова
в статическом положении автомобиля; а и Ь — расстояния от попереч-
ной плоскости Пс до центров колес соответственно передней и задней
осей.
Относительные скорости определяются на основе анализа кинема-
тических характеристик подвески:
для управляемых колес и независимой подвески
vk1 = (dg/</dOiCos0 + (dx]K/dt)i sin0; = (dru/dOicos0 — sin0;
для неуправляемых колес зависимой подвески
^2= (dgK/d£J2ti + №к/д^№п, ^2= («ЗПкЖЫл + (dW^nbtr
Общие формулы для бк, <ря, дс используются при исследовании тех
случаев движения автомобиля, когда не накладывается ограничений
на величину кривизны траектории и скорости. При решении частных
задач эти формулы можно упростить. Так, для исследования движения
автомобиля по траектории малой кривизны (прямолинейное движение)
со скоростью vx = va + Дух (где Дих— малое отклонение скорости vx
от ее среднего значения va) при условии, что |vy|, | <о2а |, | | значи-
тельно меньше va, формулы для расчета кинематических характеристик
абсолютного движения колес принимают следующий вид.
Формулы для относительных скоростей поперечного скольжения
колес:
1 1 г / \ • / v • 1
6к1л= — (Ру + аа>г) +— (-£-} с;1л-(-^) +
Va Va \_\ dt, Ji \ dt, /t J
йс •
+ — ф + 9Л;
Va
0к1п ^+®®г)т ( ) С1п I □» )
Va va L\ dt, /1 \ д? /I J
Ax' • _
-----~ Ф + 0ni
Va
1 1 / \ •
^к2л = fay “I ( ZZ- ) ?2л
Va Va \ /2
/ \ * • "1 ~
--( ~' ) ?2п H-------ф + 02!
\ h va
к. —' i и \ I ' Г / \ * i- 1 • a
^к2п ”1 II 7T-) t>2n ( TZ ) ^2л Ф ®2’
Va Va [\ /2 \ dZ /2 J Va
1
(5-7)
Формулы для углов наклона колес:
ф//1л = Фк01 + (5<рк/5С)1С1л— (дфк/д£)1£1п + (дфк/д0)ел—ф;
ФН1П = Фк01 + 0Ф.Ж) 1С1П— (дфк/д£)|£1л + (дфк/д0)0п + ф;
ФН2л = фк02 + (дфк/дБЬ&л— 0Фк/^С)2?2п —ф;
фЯ2п = фк02 + (<?фк/^)2?2п— (дфк/ЭД&л + Ф.
где <рК01 и фк02 — углы развала колес в статическом положении
автомобиля. 385
25 Заказ 3363
Формулы для относительных скоростей продольного скольжения
колес:
6с1л = — [Аол—+ (дх\к/д^1^1л—ahc—ГкАш1л];
уа
6С1п = — [А^х + соА + (dnK/dg)itln—ahc—rxA®m];
7 . . (5-9>
бс2л =--[Ai>x—©А + (дПк/д£)2£2л—а^с—гкА®2л];
уа
бс2п = — [Аох + + (дПк/дОг^п—ahc—гдА®2п],
уа
где Дю = юк — Юко- В этой формуле юк — угловая скорость колеса,
а юко — угловая скорость колеса при невозмущенном движении авто-
мобиля, когда \vx = 0, vy = 0, ю2 = 0, а = 0, ф = 0,tia = tin = £2л =
= £гп = 0 и, следовательно,
^к1л “ <0к1п = ЮК2л = (0к2п == ^аЛ*£ •
В уравнения (5.7) — (5.9) входят в качестве аргументов перемеще-
ния £1л, £ш, £2л, tzn, которые связаны с независимыми обобщенными
координатами уравнениями вида:
С1л = гк1л—гс + аа—ф4; £1п = гк1п—zc + аа + фйк;
^2л “ ^к2л ф^к, ^2п = ^к2п && “Ь ф^к*
Для анализа курсового движения автомобиля в горизонтальной
плоскости используют углы увода осей 61 и б2 (рис. 182, б),_т. е. углы
между продольной плоскостью и векторами скоростей иА и vb точек А
и В, лежащих на оси Ст]с над серединами мостов:
угол увода передней оси
Й! = arctg ( vy + a^.\ ;
\ VX J
угол увода задней оси
S2= arctg ( vy'~‘b^z.\t
\ vx /
При малых углах увода можно принять tg ~ di и tg б2 « 62-
§ 3. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ
КОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
Исходя из общей структурной схемы звена «автомобиль», в нем могут
быть выделены три основные колебательные системы: 1) кузов
и неподрессоренные массы; 2) колеса ведомого и ведущего мостов
(включая и трансмиссию); 3) управляемые колеса и рулевое управле-
ние. Движения масс указанных колебательных систем связаны, так как
эти движения вызваны общими для всех колебательных систем внеш-
ними силами. Другим видом связи между движением масс различных
колебательных систем является инерционная связь, обусловленная
действием кинематических связей, наложенных на относительное
перемещение масс. При большой сложности многомассовой простран-
386 ственной расчетной схемы автомобиля учет всего многообразия инер-
ционных связей чрезвычайно затрудняет вывод и анализ уравнений.
Без большой погрешности можно рассматривать движение каждой
колебательной системы отдельно. Следует заметить, что все кинемати-
ческие связи между массами колебательных систем сохраняются, не
учитывается только непосредственно динамическое влияние некоторых
из этих связей.
Рассмотрим вывод уравнений движения для каждой из колебатель-
ных систем.
1. Кузов и неподрессоренные массы
Движение кузова (рис. 183) происходит под действием реакций дороги,
внешних активных сил и сил в подвеске. Проекции равнодействующих
реакций дороги на каждом колесе на оси Схс, Сус и Czc обозначим
соответственно через Qy и Nz. Без большой погрешности можно
считать, что эти силы приложены в точках контакта недеформирован-
ных колес с поверхностью дороги при статическом положении автомо-
биля и при нейтральном положении управляемых колес.
Для вывода уравнений движения кузова используем общее урав-
нение динамики
Q* + Qf + Q/=O (/ = 1,2,3,4,5,6), (5.10)
где Q? — обобщенная сила сил инерции кузова; Q? — обобщенная
сила реакций дороги и внешних активных сил; Q< —обобщенная сила
консервативных и диссипативных сил подвески.
В данной задаче кузов считается свободным твердым телом и
поэтому имеет шесть независимых вариаций обобщенных координат,
а именно: бхс, бус, 6zc, бф, бф, ба (рис. 183). 387
25*
Силы инерции приводятся к главному вектору, приложенному в цен-
тре тяжести кузова, и к главному моменту (их составляющие показаны
на рис. 183). Проекции главного вектора и главного момента сил инер-
ции выражаются через проекции wCx, wCy, Wcz = zc ускорения точки С,
производные (ог, <ра и инерционные параметры автомобиля: массу Л1а
и соответствующие статическому его положению моменты инерции
Ixxi Iyy, Izz, txz-
Обобщенные консервативные и диссипативные силы в подвеске,
соответствующие обобщенной координате описываются с помощью
потенциальной энергии U и диссипативной функции /?дис, причем
р/ = -0^)-(^дис/^/).
Потенциальная энергия и диссипативная функция в общем случае
выражаются через обобщенные координаты, ординаты высот неровно-
стей и производные от этих величин. Однако удобнее U и /?дис выразить
сначала через перемещения и скорости неподрессоренных масс относи-
тельно кузова.
Имея в виду, что dU/d^ = сР, dR^ldt, = гр и dU/d(t,a — £п) = ^стаб,
выражение для потенциальной энергии можно записать так:
U = 0,5 [Ср1 (t01 + С1Л)2] + 0,5 [Ср1 С01 + ?1п)2] +
+ 0,5 [ср2 (Со2 + ^2л)2] + 0,5 [сР2 (Со2 + Сгп)2] +
+ 0,5 [сстаб (£1Л - Cin)2] + 0,5 [сстаб (U - :2п)2] + Gnzc,
где ср— жесткость рессоры; = Gnb/[2(a + &)cpi] и £02= Gna/[2(a +
+ b)cp2]— перемещения центров колес, соответствующие перемещению
неподрессоренных масс из начального положения в статическое; сСтаб —
жесткость стабилизатора поперечного крена; Gn — вес кузова.
Диссипативная функция
^дис 0,5 (гр^ 1 л "4“ Гр1 п + Гр2^2л + ^*р2^2п)*
Для записи уравнений движения в форме (5.10) необходимо вы-
числить обобщенные силы Qxc , QyC , Qzc , Q4, , Q<p , Qa • Первые
четыре из них определяют по формулам:
Qxc = + ^xin + Тх2л + Тх2п—MawCx;
QyC = Qyla + Qpln + Qy2n + Q</2n MaWCy,
0 = dU д^л____dU djm_______dU д^2л
ЧгС <??1л dzc dzc д^л dzc
__ dU ________д7?дис д/?дИс d£in
дгС___________dzC atm dzc
__ д^дис ________dRjmc <7 Can nzc'
<Э?2Л дгс dt2a dzc
Qi], — (Qpi л + Qyin)a (Qy2n + Qp2n) b (T х\л + Tx2ddK +
+ (Txin + Tx2n)dK—lz^z + Ix^f-
Остановимся подробнее на определении обобщенных сил Q<p и Qa.
В общем виде
388 <Э£1Л <?<р <?gln <Э<р <?<₽
Рис. 184. Расчетная схе-
ма для определения
обобщенной силы Q^.
П'П' и Л'Л' — траектории
перемещений точек Кп иКл
относительно кузова
dU д$2п____ д#дис д£1л___ д^дис ___________
<3?2П дф <?£1Л дф <?tin дф
___ дЯднс ____________dRg^c д&п । Q *^У1Л |
<??2Л дч <?Ьп дф 1л <Эф
+ Q1 п + <?2л + Сгп 1ХХЧ> + 1хг<*г,
о<р дф оф
(5.П)
где У1л, У2л, Ут, У2а — координаты в поперечном направлении точек
приложения боковых реакций дороги Qyi л, <2у2л, Qyln, Qj/2n-
На рис. 184 показано положение поперечного сечения кузова
и элементов неподрессоренных масс в поперечной плоскости после
изменения независимых обобщенных координат zc, ф, гк.л, zK.n. Под пе-
ремещениями гк.л и zK.n понимаются вертикальные перемещения
нижних точек Кл и Кп недеформированных колес. Предположим, что
поперечные смещения этих точек и £кп относительно кузова выра-
жаются линейными функциями от прогибов рессор [см. (5.5)].
Непосредственно из рис. 184 можно видеть, что величины ул, уп,
гк.л, zK.n> £л> £п, ф связаны уравнениями:
£л cos q> 4- 5кл sin ф + dK sin ф—йс(1 —cos ф) —zKJI + zc = 0;
?псо5ф—|кп sin ф—dK sin ф + ftc(l — соэф) — zK.n 4- zc = 0;
л cos ф—£л sin ф 4- dK cos ф 4- hc sin ф—ул = 0;
—|кп cos ф—£п sin ф—dK cos ф 4- hc sin ф—ya = 0.
Решая эти уравнения совместно с (5.5), можно получить выражения
для абсолютных поперечных смещений точек Кл и Ка в следующем
виде:
ул=ул(гк.„, ф. 2С); ya = ya(zK_„, ф, гс).
389
Вычислим производные д£л/дф, dt^/dtp и дул1д<р, дуа/дср, учитывая
в них только линейные члены, при условии гс = £к.л = ^к.п — 0:
^Ф = -dK-[hc-2dK(dlM)-2dK(dlKm Ф;
д£п/<Эф = dK-[hc-2dK(dlKldQ-2dK(dlKm Ф;
дул/д<р = hc-№K/dQdK- (dl№}*dK + {dR [1 + (a^)2]-
-hc[(dlK/d$ - (dlKm-2dK(dlKm ф;
дуп/д<р=hc- (diK/d^dK- (аВк/^)Ч-{4[1 + (а^/ад-
-hc[(dlK/dt) - (dlKm-2dK(dlKm Ф-
Введем обозначения
дул1д<р = Лл; дуп/дФ = йп; h\ = +
+ (<э^М4; (М)А+(д^^,
hi = hc—h\-, h2 — hc—h*2.
Этим параметрам иногда придается геометрический смысл, а имен-
но, считается, что они определяют положение оси крена. Из проведен-
ных выкладок следует, что для составления уравнений поперечных
угловых колебаний кузова задание оси крена не нужно. Во-первых,
существующее определение оси крена некорректно, а во-вторых, при
введении оси крена приходится искусственно учитывать зависимость ее
положения от угла крена кузова. Величины Лл, Лп, д£л/дф, <Чп/д<р, вы-
численные для передней и задней подвесок, подставляют в форму-
лу (5.11) для определения обобщенной силы . Для упрощения
расчетов можно ограничиться линейными членами относительно <р.
В этом случае
Qcp — (ср1 4“ 2сстаб1)б/к(^1л £1П) + (ср2 + 2сстаб2)б/к(£2л ^2п) 4” ^р1^к(£1л Sin) 4”
4“ ^р2^к(?2л ?2п) 4" (Qt/Ln 4" Qyin)h], 4" (Qx/2ji 4" Qy2n)^2 @ 1xxty 4“ ^xz^z'
Аналогичные операции проводятся для вычисления обобщенной
силы Qa , которая в общем виде вычисляется по формуле
Q dU dU dU dU dR™
“ <?£1л да д£1п да д£2л да д£2п да dgw да
__ д/?дис d£in_д/?Дис д^2л_д/?дИс д^2П . у д*1Л . dxln .
<?tin да д^2п да, dt,2a да Х1Л да х1п да
1 у д%2л । у дХ2п т '
+ х2л да + Х2П да уу '
где %1л, *ш, х2л и х2п— координаты точек К1Л, Kin, Кгл и К2п в продоль-
ном направлении.
Функции дх1л/да, дх1п/да, дх2л/да, дх2п/да могут быть приближенно
приняты постоянными:
дх1п1да = дх1п/да = hc— = Ла1; дх2л/да = ^х2п/йа =
= hc— (ду\к1д^Ь = Ла2.
Коэффициенты (дт)я/д£)1 и (^Лк/^)2 характеризуют связи, накла-
дываемые направляющим аппаратом подвески на относительные про-
390 дольные перемещения точек приложения продольных реакций при
Рис. 185. Расчетные схемы для составления уравнений неподрессоренных масс:
а — зависимая подвеска; б — независимая подвеска
вертикальных перемещениях колес. Формула для вычисления обоб-
щенной силы Q а имеет вид
Qa ~ £р1Я(С1Л 4” С1п) + ^р2^(Сгл *4" ?2п) ^р1^(£1л 4“ С1п) 4" ^р2^ (?2л 4"
4" ?2п) (ГХ1Л 4" Л1п) hai (Тх2л + Тх2п) ha2 Gnhad IууО,.
Параметры Лф и ha в выражениях для Qq, и Qa определяют по
следующим формулам:
йф= (Лс-2/и)—Ц-+ (hc-2h2)
а + Ь
a .
a + 6 ’
„1 “
L \ /2 J a + b
Для вывода уравнений движения неподрессоренных масс делаем
допущения: 1) массы неподрессоренных частей сосредоточены в цен-
трах колес; 2) эти массы движутся только в поперечных плоскостях;
3) силами инерции, соответствующими крену кузова и его движению
в горизонтальной плоскости, пренебрегаем.
Расчетные схемы для составления уравнении движения неподрессо-
ренных масс, соответствующие сделанным допущениям, показаны
на рис. 185, а и б. Дифференциальные уравнения движения неподрес-
соренных масс получаются для координат zK с помощью общего урав-
нения динамики
Q?K + QfK + QlK = O. (5.12)
При подсчете обобщенных сил для моста с неразрезной осью
(рис. 185, а) для упрощения окончательных формул принято
В общем случае обобщенную силу, соответствующую вертикальному
перемещению какой-либо неподрессоренной массы А1н, можно записать
в виде
QZK = - (M«/2)iK + Nz + Qy л(дЕкл/д£) (d£/dzK) +*
+ QunWKn/dQ WzK) - (dC//<5£) W/dzJ - (dRwJdQ Югк).
391
Ниже приводятся дифференциальные уравнения движения автомо-
биля в окончательном виде. Для упрощения записи уравнений введем
следующие обозначения:
7 7 _/2 7 7 _/2 7 7 _/2
7* _ * 22* XX XZ . 7* _ *22* XX 1XZ . _ *22 XX XZ
Lzz-----“ , 1 XX---- , *xz--------~ •
*ХХ *ZZ . *XZ
Уравнения, описывающие вертикальные колебания кузова и непод-
рессоренных масс:
гС = -^“(Ср1С1л + CplCln + ^р2?2л + Ср2?2п + гр1С1л + r plCln + г р2?2л +
+ г ргСгп)»
ф = 7~[(Cpl 4” 2cCTa6l) ^к(С1л С1п) 4” (^р2 + 2сста бг) (?2л ?2п)]
IXX
I / ^1л t а \ n I f | а \ Л . / ^2л & \ л |
+ ( —— + Ч/1л + —— + — ) Wt/ln + ( —---------— Чу2л +
\ *хх *xzj \ *ХХ Ixz/ \ * XX ‘XZ /
+ (+гх2п-
\ txx 1хг) txz
1 • • • •
ГХ1Л Тх2л) 4 ^“[^р1^к(?!л £1п) 4“ ^р2^к(?2л ?2п)1 4 J Ф> /е 1 Q\
1хх !хх <5-13)
а= —-—P*ai (T’xIji 4- rxin) 4- ha2(Tx2jl4“ Гх2п) 4-Cpi(£1л 4-Sin) а
*УУ
—срг(?2л4- ?2п)^ 4- rpi (С1л 4- С1П)а—гРг(С2л 4- ?2п)^ 4- ЛаСпа;
2к-л - м»
^рСл ^стаб(Сл Сп) ^р*
^стаб (Си Сл) ^рСп 4“
^к.п
Уравнения, описывающие курсовое движение автомобиля:
&х — м (Тх1л 4- ТХ2Л 4“ ГХ1П 4“ Тх2п) 4“
Afa
Vy = “^7”(^1л 4- Qt/гл 4- Q^ln 4" Qy2n)—^O2УX^
/Иа
(а । ^1л \Л । / а । ^1п \л
* ’ Г” )^1л 4” j ;; г ф )4f/in
ZZ XZ J \ zz IXZ )
- + V) - (-?-+’Т’')с’2"+
\ 'гг XzJ \ ‘zz ‘XzJ
d Gnha
+ + Тх2п-Тх1л-Тх2л] + +
392 hz ^z
(5.14)
I
(Cpi + 2cCTa6i)^K (Cp2 + 2cCTa62) y
--------;-----(51л—bln) +,------------;--------(Ь2л~ Ъ2п) +
I xz xz
‘Xz lXz
(5.14)
2. Колеса и трансмиссия
Расчетная схема для описания вращательного движения колес изо-
бражена на рис. 186. Для общности рассмотрим ведущий мост. Реакции,
действующие на колесо от поверхности дороги, приводим к продольной
силе 7\, нормальной силе и моменту сопротивления качения Mf.
При исследовании режима торможения будем учитывать действую-
щий на колесо тормозной момент Мт. При движении с включенным
двигателем подводимый к трансмиссии момент задается по внешней
характеристике двигателя:
Мд = Мд ((Од).
Для вывода дифференциальных уравнений вращения колес приме-
ним уравнения Лагранжа 2-го рода. Кинетическая энергия вращающих-
ся масс
у»__ ^к^к.л . ^к^к.п . ^д^д
~~~ 2 2 2 ’
причем угловая скорость маховика двигателя
(Од = 0,5 ((ок л 4- (ок п) frfK.
В приведенных выше формулах /к — момент инерции колеса отно-
сительно его геометрической оси; /д — момент инерции вращающихся
масс двигателя и трансмиссии, приведенный к маховику; ir и iK — пере-
даточные числа главной передачи и коробки передач.
Для сокращения записи уравнений обозначим
Дифференциальные уравнения вращения колес составим для раз-
ностей угловых скоростей возмущенного (ок и невозмущенного (око
движений:
А(0л= —(------—— + -77—+ Мт.л + MfjI) +
\2/к+/; 2/к;
+ (-т;----------——(пД'пп + Мт.п + Mfn) 4----й__;
V 2/к 2/K+/J 2/к+/;
Awn= —(-------*—Г + (/'оЛ1п + Мт.п + М/п) 4-
I 2/к +1. 2/к I I 2/к
\ к. А ' \
(5.15)
-----——А (го^пл + Мт.л + М/л) 4 М*
21К + 1Л J 2/к + /д
Уравнения вращения колес ведомого моста записываем в такой же
форме, полагая I д = 0 и Мд = 0. 393
Рис. 186. Расчетная схе-
ма для ведущих колес
и трансмиссии
3. Управляемые колеса и рулевое управление
Расчетная схема рулевого управления, учитывающая наличие зазора
в рулевом механизме, упругость тяг рулевого привода, сухое и вязкое
трение в элементах рулевого управления, инерционность подвижных
деталей, приведена на рис. 187, а.
Однако в зависимости от конкретной задачи расчетная схема
рулевого управления может быть несколько упрощена. Некоторые част-
ные случаи расчетной схемы показаны на рис. 187,6—г. Для наглядно-
сти они имеют лишь динамическое подобие с оригиналом. Несмотря на
то что звенья этих упрощенных расчетных схем совершают поступатель-
ное движение, для задания их положения условно используем угловые
координаты, а действующие силы считаем моментами.
Внешние силы, действующие на управляемые колеса и рулевое уп-
равление, представляем моментами реакций дороги относительно оси
шкворня Л4ш.л, Л4Ш.П; гироскопическими моментами Мг.л AfT.n; момен-
тами сил трения в рулевом управлении, приведенными к колесам
и рулевому колесу, Л1тр.л, Л1тр.п, Мтр; моментом, приложенным водите-
лем к рулевому колесу, Мр.
Положение управляемых колес зададим углами их поворота 6Л, 0п-
Для симметричной записи формул примем, что положительный отсчет
этих углов соответствует повороту левого колеса по часовой стрелке,
а правого — против нее, если смотреть сверху.
Рассмотрим основные варианты расчетных схем.
1-й вариант — трехмассовая расчетная схема, в которой учтены
жесткости поперечных тяг ст.л и ст>п (рис. 187,6). Угол поворота рр
является приведенным к управляемым колесам углом поворота руле-
вого колеса ₽р.к(₽р = ₽P.K/ip). За расчетное передаточное число tp
принято его значение при нейтральном положении управляемых колес.
Обозначим: /ш — момент инерции управляемого колеса относительно
оси шкворня и /р — момент инерции рулевого колеса, приведенный
к оси шкворня. Уравнения движения имеют вид:
А Ст.л Q Ст.л о Мтр.л 1 .. . 1 АХ
®л ~ ®л ”1 7 Рр Z । ". Мш.л Ч ~ Л^г.л»
/ ш < ш * Ш *Ш 'Ш
394
21ш +^р И гл
Мг.л -----------------
777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777,
»)
Рис. 187. Расчетные схемы рулевого управления:
а — общий случай; б — трехмассовая модель; в — двухмассовая модель; г — одномассовая
модель (штриховой линией показана кинематическая связь)
;т.п л cT.n Q Мтр-п 1 л. , 1 ЛЛ
"7 ®п . Рр 7 I 7 2^ш.п Н 7 ^г.п»
Ли 'Ш ' Ш *Ш * Ш
СТ.Л + ст.п о СТ.Л Q Л.п Q ^тр Л4|
Рр + ~7— 0л-— 0п--7“ + —
р-----------------------------------ур 7Р 'р
2-й вариант — двухмассовая, расчетная схема, в которой управ-
ляемые колеса соединены абсолютно жесткими поперечными тягами и
поворот колес задается углом 01 (рис. 187, в). Рулевой вал обладает
крутильной жесткостью. В рулевом механизме имеется зазор, рав-
ный 20* .
с
Дифференциальные уравнения запишутся так:
Мш.л
2/ш
Мш.ц । ^Г-Л ^Г-ГЬ
2/ш 2/ш 2/ш
AfTpi
~2U
Мс
^-;₽р=
ш
I I ' I
ур 2Р ур
В этих уравнениях для учета зазора введен момент Л4С, являющийся
функцией относительного перемещения 0С звеньев в рулевом механизме.
Вид этой функции показан на рис. 187, в.
3-й вариант — одномассовая расчетная схема (рис. 187, г). Предпо-
лагается, что положение управляемых колес однозначно задается
углом поворота рулевого колеса и вертикальными смещениями колес
-относительно кузова.
Уравнения кинематических связей, определяющих положение управ-
ляемых колес, имеют вид:
0л = 00 + Рр + 4"020/д₽2)р₽+ (W ?ш;
0п = 0о-Рр+} Ж2)₽р + (<Э0/едп- £1Л
Перемещение движущихся масс определяется дифференциальным
уравнением
Р = (1//*)(Мш.л-Мш.п + Мг.л-Мг.п-Мтр + Мр),
где /* = 2/ш -4- /р—приведенный к оси шкворня момент инерции дви-
жущихся масс рулевого управления.
Для некоторых простых задач возможно применение одномассовой
расчетной схемы, в которой не учитываются кинематические связи, на-
ложенные на движение управляемых колес. Для исследования рулевого
управления по линейной одномассовой расчетной схеме уравнение его
движения записывается в следующем виде:
Рр = (1/7*) (Мш.л-Мш.п + Мг.л-Мс.п) —2прРр,
где 2и/з — коэффициент вязкого сопротивления в рулевом управлении.
В уравнения движения масс рулевого управления входят моменты
реакций дороги относительно оси шкворня и гироскопические моменты.
Действие реактивных сил в контакте колеса с дорогой сводится к состав-
ляющим Nv , , Т т и упругому стабилизирующему моменту Afs . Рас-
четная схема для определения моментов этих сил относительно оси
шкворня приведена на рис. 188. Вычисления удобно вести в следующем
порядке: а) определить координаты точек Д, Ош и К в системе коорди-
нат ; б) определить проекции сил на оси этой системы ко-
ординат; в) вычислить моменты сил относительно точки Д; г) найти про-
екцию момента всех сил относительно точки А на направление оси
396 шкворня.
Рис. 188. Силы и моменты, действующие на управляемое колесо
Рис. 189. Гироскопические моменты, действующие на управляемые колеса
Момент реакций дороги относительно точки А определяется следую-
щим векторным равенством:
Мд — (АОШ + ОШК) X (Qx + + Тх) + Мб.
Момент реакций относительно оси шкворня определяется скалярным
произведением
Мш=М4-$ш.
Приближенно функция Мш = M11I(QX t Nv , Тх , 0, Ms ) представля-
ется в следующей форме:
__ ( * \ т \ ( \ \
м- - {~7г)т ’+ + rssrrv +
/ N Q М
Л dNdQ ) ст
где NCx — нагрузка на колесо в статическом положении.
Значения постоянных коэффициентов определяют по формулам:
(дМш/дТ) =/"оТшо cos 0до—Лк0; (dMJdN) = — йк0 sin 0дОушО;
= —'oYmoSin 0дО; ( - Л - = Лк0 cos 0дОТшо,
\ оЦ / \ oNov /
где
Лк0 = ^цСО5фК0—Го sin <рк0 /ц—ГоФко; 1ц=АК0- 397
Схема, поясняющая возникновение гироскопических моментов, пока-
зана на рис. 189. Гироскопические моменты на левом и правом колесах
находятся из выражений:
^г.л = ^к^к.лФ// л 5 Мг.п = ^к^к.пфя п,
где фи л и фнп — абсолютные угловые скорости поворота управляемых
колес относительно их центральных продольных осей.
4. Задание реакций дорожной поверхности
Выведенные дифференциальные уравнения всех колебательных систем
включают реакции дороги как силы, определяемые кинематикой абсо-
лютного движения колеса.
Реакции дороги, действующие на одиночное колесо (рис. 190, а), при-
водятся к трем силам У, X, Z, приложенным в точке К, и моменту Ms.
Опрокидывающий момент и момент сопротивления качению здесь не учи-
тываются. Сила Z— вертикальная составляющая реакции дороги; сила
X — продольная реакция дороги, направленная по линии пересечения
центральной плоскости вращения колеса с горизонтальной плоскостью
/71, проходящей через точку К; сила У — горизонтальная поперечная ре-
акция дороги, направленная перпендикулярно линии действия реакции X.
Основываясь на модели качения колеса с эластичной шиной, реакции до-
роги выражают через кинематические характеристики абсолютного дви-
жения колеса. В зависимости от конкретной задачи используют различ-
ные модели качения колеса, описанные в гл. 4. Применяя для исследо-
вания курсового движения автомобиля безынерционную линейную мо-
дель шины и не учитывая проскальзывание в контакте, реакции дороги,
действующие на колесо, задаются следующими выражениями:
поперечная реакция
У=-^ббк + КФ(фн-Р)+/₽,
где Къ —коэффициент сопротивления уводу; /Сф —коэффициент со-
противления развалу; р— угол наклона площадки контакта в попереч-
ном направлении;
вертикальная реакция
продольная реакция
Х= -(дХ/д6с)6с-(дХ/д6ш)6ш + (q/va)Z\
последнее слагаемое в этой формуле учитывает продольную составляю-
щую нормальной реакции, возникающую вследствие наклона площадки
контакта в продольном направлении;
стабилизирующий момент шины
Мб = (6М6/66)6К.
Для исследования динамики колебательных систем используются про-
екции реакций дороги на соответствующие оси:
для исследования движения кузова — проекции реакций дороги на
оси Схс, Сус, (рис. 190, б):
<2</1л= У1лcos9Л—Х1л8шОл; 7\1л= У1Л зт0л + Х1лсозОл;
Qz/in== У1п cos 0П + Х1П sin 0П, ГХ1П— У1П sin 0П + Xin cos 0П,
ФУ2л=^2л; Qy2n= Угп’, тХ2л = Х2л\ Тх2п = Х2п;
398 Afzln = Zin; Nz2n = Z2n\ N гХл = ZXn\ Nz2ji = Z2ji
Рис. 190. Составляющие реакций до-
роги:
а — для одиночного колеса; б — для ис-
следования движения кузова; в — для ис-
следования динамики рулевого управления
(в дальнейшем там, где это не вызывает недоразумений, индекс z в обо-
значении вертикальной реакции опускается);
для исследования движения масс рулевого управления — проекции
сил 7\ , Qx , Nv , определяемые в системе координат /Ihtxv (рис. 190, а
и в). Полагая угол поперечного крена кузова и углы поворота управляе-
мых колес достаточно малыми, эти проекции находим по формулам:
Сх1л=У1л Qxln = У1П 21пФ; ^1л = 21л+У1лФ;
А\?1п — Zin У1пф; ^т!л = Х1л; T'xln — Хщ.
5. Линейные уравнения движения автомобиля
Многие задачи теории устойчивости автомобиля могут быть решены при
исследовании его линейной расчетной схемы. При выводе линеаризован-
ных дифференциальных уравнений движения автомобиля сделаем следу-
ющие предположения: 1) автомобиль движется с малыми отклонениями
скорости vx от средней скорости невозмущенного движения va\ 2) про-
дольные реакции дороги и поперечный наклон площадок контакта не
учитываются; 3) рулевое управление описывается одномассовой расчет-
ной схемой.
При исследовании движения автомобиля по линейной расчетной схе-
ме уравнения, описывающие вертикальное перемещение центра тяжести
кузова и его продольный крен, решаются независимо от остальных. В ли-
нейной расчетной схеме возмущающее воздействие, вызывающее откло-
нение автомобиля от траектории невозмущенного движения, характери-
зуется величиной
399
Для записи уравнений движения целесообразно перейти от коорди-
нат гк.л, 2к.п к координатам cpi и ф2 в соответствии с соотношениями
™ 2К1Л 2к1п . 2к2л 3К2п
Ф1 —----~, Ф2 =---------~-----•
2t/K 2dK
Введем следующие кинематические величины:
средний суммарный ^гол наклона колес
Афк == — (фк.п Фк.л)>
средний суммарный угол поворота колес
Д0 к=—(6 кп — 0К л).
С учетом этих обозначений кинематические характеристики подвески
для линейной расчетной схемы записываются так:
Д<рк= (<5Д<рк/дф) (ф—ф,); Д0К= (<9Д0к/дф) (ф—ф7).
Коэффициенты (дДфк/Лр) и (дДОк/Лр) выражаются чер’ез параметры
кинематических характеристик подвески. Для упрощения записи урав-
нений введем следующие обозначения:
= (<ЗДфк/дф) = [(5фк/д^) + (дфк/д£)*] 4;
Хе= (дД0к/дф) =[(<Э0к/<ЭС) + (<50к/^)*]4-
Линейные дифференциальные уравнения движения автомобиля, ре-
шенные относительно старших производных, имеют вид:
vy= + ^12wz+ ^1зРр + ^14Ф + ^1бФ1 + ^1бф2 + С\зРр + С14ф +
+ + ^1бф2 + r I 1 ф«71 + r 12ф<Д + Г1 Зф<72 + г 14ф</2»
(д2 = K2{Vy + К22(Ог + К2зРр + К24Ф + К25ф1 + ^2бф2 + ^2зРр + ^24ф +
+ С25Ф1 + С*2бф2 + Г2 1фдН+ ^*22ф^1 + ''гзф^г + г24%2>
Рр “ ^31vу + ^32Мг + *ЗзРр + ^34ф + ^Збф! + ^Збф2 + ^-ЗзРр + ^34Ф +
+ С35Ф1 + Сзбф2 + г3 1ф<71 + г 32ф^1 + Г 33ф<72 + r 34T<72i
. . } (о. lb)
ф — ^4\Vy + К42Ю2 + ^43рр + ^44ф + ^45Ф1 + ^4бФ2 + С4зРР + ^44Ф +
+ С45Ф1 + С4бф2 + г4 !фд! + Г42ф<71 + Г43ф?2 + г44ф^2^
Ф1 = K$\vy + ^52^2 + ^5зРР + ^54Ф + ^55ф 1 + ^5бф2 + СбзРр + С54Ф +
+ С55Ф1 + СббФг + г51ф^1 + /* 52ф^1 + Г 53Ф42 + г 54ф(?2*,
Ф2 = у + ^62юг + ^63РР + ^64Ф + ^65Ф1 + ^6бф2 + ^бэРр + Сб4ф +
+ Сб5ф1 + Сббф2 + г61ф<71 + ^62ф^1 + /“бЗф^г + г64ф<?2‘
Выражения для коэффициентов системы уравнений (5.16) приведе-
ны ниже. Для записи коэффициентов введены следующие обозначения:
~ 2(Ср| + ср2 + 2сстаб1 + 2сстаб2)^к^
Сф —-- Сф h ф G ,
(дМ Ш/<ЗР) = (д*Мш/дМ <Э6) /VCT;/
Яц= -[2/(Maua)](K6l +K62j; Ki2 = [2f(Mava)](K62b-K^a)^va;
400
Ki3 = (2/Ma)/<6i; KI5 = - (2/Ма) (Л'б > *ei - 1 ); К21 = [2/(/гл)](Кв2&-Кв1а); К23 = К612а/1гг-, К23 = —(2Ь/12г)(К6^—КМ; K3l^[2/(rva)][K6t(dMm/dQ) + + (дМш/д6)]; /<зз = -(2//*)[(амш/^)/св1 + + (дМ1а/дЬ) + (<?Мш/др)]; /<з5 = - (2//*) {(dMJdQ) [/СрХф. - —К61М-(дМш/<Э6) Wk + + (2dK/I^(dMJdN)cm^ Л'и = - [2/(Wa)J (h, Kei + й2Яв2); /<43 = 2h{Kf) \/lxx\ Ki3 — (2//хх)[/г1^фХф|—Ksi^ei)+ 4“ du (Cpi т 2cCTa6])], K3i = -[2/Cei/(Af,varf*)] h\-, ^5з = [2К6./(</кМ1)]/г;; /<зз = —(2/Al|)(cp| + 2сстаб1 + сш1) — [2/(Л4 xt/к)] (^eiAei — /<ф^ф i) /i 1; К61 = -(2/М2)[К61/(г»Х)]Л2; Ktt3 = 0; /<65 = 0; CI3 = 0; С15= -[2/(МаУа)]/С61л;; Лл4 = —(2/7Иа)(КфХФ1—Кб2^81 + + /Сф^ф2 — ^62^02 + 2АФ); Aj6 = —(2/Л1а) (Кб2^б2—АфАф2); А22 = -[2/(/2Л)](Аб1а24-А62&2); А24 = (2/72г) [Аф (Ь—а) 4- а (Ла Aei — — Кф^ф I) Ь (Лб2^02 — АфА/ф2)]* А26 = (2&//2г) (Аб2^02 Кф^ф2); Аз2 = [2а/(/*аа)] [Аб1 (dMJdQ) + + (дМш/<36)]; Аз4 = (2//*){(5Mm/aQ)[Av(4i + 1)- —ЛбЛо1]—(дМш/д6) Хе1}; Азб = 0; Л^42 = [2/(/xxva)](ft2^62b — AiAeia); А44= -(2//хх)[А1(АфХф1-КбД01) + + Аг(Аф^ф2 — Лб2^02) 4* + Аф (Й1 + Л2) + ^ф/2]; А46 = (2//хх)[Л2(АфАф2 — Кб2А/02) + + (ср2 + 2естаб2)4]; ^2=-[2a/C61/(M1uadK2)] й’ь • А54 = (2/М1) (ср1 + 2сстаб1) + + [2/(^Л11)][Х01^1 — — Аф (1 + ^-ф 1)] h 1; А56 = 0; Аб2=(26/М2)[Аб2/(иа^)]Л;; Аб4 = (2/М2) (с р2 + 2сстаб2) + + [2/(М2^)][Ае2А62- -АФ(1Ч- Ч2ЛЛ2; А66 = —(2/М2)(ср2 + 2сстаб2 + сш2) — -[2/(/W2dK2)](X02A62- АфХф2) ^2» С14= —[2/(Л1а^а)](Аб1Л1 4-Аб2Л2); C16 = -[2/(Mava)]A62^; 401
26 Заказ 3363
Сгз = О»
С25=-[2аК61/(/2Л)]/п;
С33 = 2пр;
С35 = [2Л;/(/*па)] [/Cci (dMm/dQ) +
+ (дМш/д&)] + (2/куа//%) Хф1;
С43 = 0;
С45=(2rpld2K)//xx-[2hl/(/xxva)] ^h\-
С53 = О;
С55=-(2/М1)[гр1 +
+ МХ61/(<&а)];
Свз = О;
С65 = 0;
Гц == 0; /j 2 = Oj f 21 = г22==
С24 = —[2^ia/ (/22fa)] Л1 +
+ [2Кб2б/(^а)]Л2;
с26 = [2&К62/(/^а)]Л;;
С34 = [2/11/(/Ч)][(^ш/^)^1 +
+ (^ш/^)] + [2/киа/(/%)]Х
X (1 + ^Ф1);
Сзб = 0;
С44 = -[2/(/^а)](Й?/<61 + й^62)-
(2б/к//хх)(г pi + г рг);
С46 = (2Гр2Йк)/^-[2й2/(^а)] /<62/12
с54=
С 56 = 0;
Сб4= (2/Л42)[гР2—йг^г^бг/^к^а)];
Сбб = — (2/М2) [гР2 +
+ ЙгЙ2/<62/(^кУа)];
Гз1 = (2//*)(5Мш/^)сш1;
г32 —0; r4i=0; Г42-О; ^51— (2/М\) сш1; г52 = 0;
r6i — (2/Л42) сш2; гб2 = 0.
В частных задачах теории устойчивости автомобиля можно прене-
бречь влиянием неподрессоренных масс на курсовое движение, а также
временем запаздывания прохождения неровностей задними колесами по
отношению к передним и считать, что
ф! = ф2 = = ф^2 = ф<?-
В этом случае расчетная схема автомобиля учитывает четыре степени
свободы, в том числе: две степени свободы по курсовому движению, ко-
торые определяются поперечной скоростью центра тяжести vy и угловой
скоростью рыскания со2, и степени свободы, определяемые углом попе-
речного крена ф и углом поворота управляемых колес |3Р. Расчетная схе-
ма описывается уравнениями:
Vy = Kl[Vy + + /<13₽р + /<14ф + С 13рр + С14Ф + Г11Ф<7 + Г 12ф^;
Wz = /<21у[/ + /<22W2 + /<2зРр + /<24<Р + ^2зРр + ^21Ф + r2l% + r22^q\ ^5
Рр = /<31Уг/ + /<32Q)2 + /<33рр + /<34<Р + СззРр + Сз4ф + Г31Ф</ + r&№q\
Ф = /<41У[/ + ^42^z + /<4зРр + /<44ф + СчзРр + <?44ф + Г41Ф</ + Г42ф<г
Коэффициенты этой системы совпадают с коэффициентами системы
уравнений (5.16), за исключением коэффициентов, стоящих при фд и фд
402 и вычисляемых по формулам:
rll = (^15 + ^1б); r 12 — (С15 + С1б); r21 = (^25 + ^2б)‘, r22 — (^25 + с2б);
Г31 = (^35 + ^Зб);
г32 = (С35 + Сзб); /*41= (К45 + г42 = (С45 + С4б).
Для учета перераспределения нормальных реакций на управляемых
колесах при крене автомобиля в системе дифференциальных уравнений
(5.17) надо принять
(ф1 Ф<у) = (^pl 4" 2сстаб1) (ф Ф?)*
Вследствие этого в указанной системе дифференциальных уравнений
*34 = -4- {(^Л1Ш/<5(2ЖФ(1 + м -к6 д01]_ (<ЭМш/д6) х01-
(dM^/dN} (cpi + 2cCTag])dK).
Исходя из структуры выражений для коэффициентов линейной систе-
мы уравнений движения автомобиля, можно ввести обобщенные коэф-
фициенты, характеризующие влияние кинематики подвески на движение
автомобиля:
М = Х01 —ХФ1 (/СФ/^б)г, ^2 = ^02 — ^ф2 (Лф/Лб)г-
Физический смысл введения этих коэффициентов состоит в приве-
дении угла развала колеса к эквивалентному углу поворота.
Для количественного анализа устойчивости движения автомобиля
должны быть заданы численные значения параметров автомобиля. Для
целей проектирования используют непосредственно конструктивные па-
раметры, а для исследовательских задач удобнее задавать обобщенные
параметры системы, характеризующие некоторые комплексы конструк-
тивных параметров. Для дальнейших расчетов приняты следующие но-
минальные значения параметров автомобиля:
Ма=130 кгс/(м-с-2); dK = 0,61 м;
Ga= 1100 кгс; /* = 5,8 кгс - м-с2;
1хх = 50 кгс • м • с2; rpi = rp2= ЮО кгс-с/м;
/2г = 202 кгс • м • с2; 2пр = 8,56 1/с;
ср1 = Ср2 — 2Ю0 кгс/м; Xi = 0;
Сстаб! = 600 КГС/м; Х2=0;
^стаб2 = Qi /и = 0;
а— 1,18 м; h*2 = 0;
Ь — 1,18 м; (dMm/dQ) = 0,06 м;
he = 0,76 м; (дМш/д6) =75 кге-м;
Д’б = 2300 кге/рад; (дМш/д£) = 0.
= 500 кге/рад;
Расчетная схема автомобиля, соответствующая дифференциальным
уравнениям (5.17), символически обозначается {у^согРрф}. Частные вари-
анты этой расчетной схемы, учитывающие меньшее число степеней сво-
боды, обозначим: {уусо2ф}, {fyCo^Pp} и {vyaz}.
Основной вариант расчетной схемы {^усо2₽рф} можно использовать
для исследования движения автомобиля, когда внешним входным воз-
26*
403
действием является возмущение от дорожной поверхности <pg или внеш-
ние активные силы. В последнем случае они должны быть учтены в пра-
вых частях уравнений (5.17).
Расчетную схему {уусо2ф} целесообразно применять при исследовании
движения автомобиля, когда входными воздействиями служат величины
и рр. Уравнения движения автомобиля в этом случае принимают вид:
Vy KllVy ^12^— ^14Ф----£14<Р — г\ 1Ф<71 + г 12фд1 + г 1зФ<?2 + Г 14Ф<?2 + ^1зРр*>
%2\0у--------А24Ф--С24Ф = Г21Ф<71 + г22ф<?1 + >*23ф?2 + Г24Ф<?2 + ^2зРр*>
Ф ^4lVy---^42^z--А44Ф--С44Ф = г 41Ф</1 + г42ф<?1 + Г43ф<?2 + г44фд2 + ^4зРр-
Коэффициенты этой системы дифференциальных уравнений совпада-
ют с коэффициентами системы (5.17).
Расчетную схему {vyCOzpp} можно использовать для исследования дви-
жения автомобиля по горизонтальной ровной поверхности без учета по-
перечного крена кузова при воздействии внешних активных сил.
Расчетная схема {vy($z} является классическим объектом исследова-
ния в теории автомобиля. Ее можно применять для качественного изуче-
ния простейших случаев курсового движения автомобиля.
Все перечисленные выше варианты линейных расчетных схем авто-
мобиля можно использовать для исследования как его прямолинейного
движения, так и криволинейного. В обоих случаях применение линейных
расчетных схем допустимо, когда можно пренебречь нелинейностью ха-
рактеристик подвески и шин. В противном случае потребуется приме-
нить для исследования движения автомобиля уравнения (5.13) и (5.14),
описывающие самый общий случай движения автомобиля, и соответ-
ствующую модель качения колеса.
§ 4. МЕТОДЫ АНАЛИТИЧЕСКОГО ИССЛЕДОВАНИЯ
ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК
ЗВЕНА «АВТОМОБИЛЬ»
Комплексному исследованию выходных эксплуатационных характери-
стик всей замкнутой системы дорога — шина — автомобиль — водитель
должен предшествовать подробный анализ динамических свойств отдель-
ной ее части — собственно автомбиля. Под динамическими характери-
стиками автомобиля, определяющими его устойчивость и управляемость,
будем понимать следующие: статические коэффициенты передачи, час-
тотные характеристики, условия устойчивости и критические скорости
движения автомобиля, переходные функции и импульсные переходные
функции, реакцию системы на типовые возмущения.
Динамические характеристики автомобиля удобно исследовать, ис-
пользуя передаточные функции этой системы, которые получаются на
основе дифференциальных уравнений движения, приведенных в § 3 этой
главы для расчетных схем различных вариантов. В общем случае линей-
ные уравнения движения автомобиля можно записать в матричной фор-
ме 1:
п е п й+н с н м + н к н м=р?; ] Ф?1+[/?;] ф„+
+ [^з] Фд2 + [^4] Фд2» (5 • 18)
1 Квадратные матрицы обозначаются символами ||Л||, ||В|| и т. д. Там, где это не
404 вызывает недоразумений, для обозначения матриц используются символы Л, В и т. п.
где [х] — вектор-столбец переменных, определяющих движение автомоби-
ля (%1 = ус, х2 = Ф, х3 = vy, х4 = coz и т. д.); ||£|| — единичная матрица;
||С||, НКЦ, [/?,], [/?з], U?4]— матрицы, составленные из коэффициен-
тов уравнений.
Преобразуя эти уравнения по Лапласу, находят передаточные функ-
ции от воздействия ф7 к выходным кинематическим параметрам движе-
ния автомобиля ф, ус, ф, vy, <oz и к углу 0Р, т. е. соответственно
н.УС(Р), H'WiSp}*
ч р Ч Ч Ч ЧУ Ч ~
Дорожное воздействие на задние колеса сдвинуто во времени относи-
тельно воздействия на передние, поэтому передаточные функции содер-
жат трансцендентный член , где т = (а + b)/v9 — время сдвига.
Если этот сдвиг не учитывать, то фд1 = фд2 = Ф<? и передаточные функ-
ции являются дробно-рациональными выражениями относительно ком-
плексной переменной р.
Для изучения управляемости автомобиля требуется знание передаточ-
ных функций от угла поворота управляемых колес к выходным кинема-
тическим параметрам автомобиля. В этом случае, исходя из уравнений
движения автомобиля для варианта расчетной схемы {^т/о2ф} и полагая
в них ф71 = ф92 = 0, получаем передаточные функции (р), #ppcoz (р)
и Н зрФ(р). Упомянутые выше передаточные функции содержат исчер-
пывающие сведения о динамических свойствах линейной разомкнутой си-
стемы.
1. Статические коэффициенты передачи
Полагая в передаточных функциях р = 0 получим простейшие характе-
ристики системы — статические коэффициенты передачи. Будем разли-
чать статические коэффициенты передачи от входного воздействия ф7 к
, выходным параметрам движения автомобиля и к углу рр:
Vy'^q = H*qvy (0)’ ®z*q = ^^q^z = ^ф^р = (0)
и от входного воздействия рр к выходным параметрам движения автомо-
биля
= °Мр = //рр(о2(0), фрр = ЯРрФ(0).
Для расчета статических коэффициентов передачи линейной разомк-
нутой системы требуется решить соответствующую систему алгебраичес-
ких уравнений:
при входном воздействии фд _ _
*11 *12 *13 *!4 Гц
^21 *22 *23 K2i Г21 ; (5.19)
К31 *32 *33 *34 0P<P9 Г31
*41 *42 *43 *44 ^41
при входном воздействии fjp
*11 *12 *14
*21 *22 *24
/С41 *42 *44
*13
*23
*43
(5.20)
^р
405
Решения уравнений (5.20) описывают установившееся движение автомо-
биля по окружности с постоянной скоростью при постоянном угле пово-
рота управляемых колес. При этом автомобиль имеет свойство увеличи-
вать, не изменять или уменьшать кривизну траектории после некоторого
увеличения скорости, что определяет его поворачиваемость, которая на-
зывается соответственно избыточной, нейтральной или недостаточной.
Величиной, характеризующей поворачиваемость автомобиля, является
статическая чувствительность к управлению
w = <o2(3p/ya. (5.21)
Решая систему уравнений (5.20), получим следующую формулу для
расчета:
(а + 6) + {а + Ь} (2дб1)(2/(82)
где
2Кб1 2K6i(^—K*/K6i) b
А= 0 сф —(h{b + h2a)
2К^2 2Кб2(^2—Кр/^аг) а
Другой величиной, характеризующей поворачиваемость автомобиля,
является отношение разности углов увода осей Ad = di— дг к попереч-
ному ускорению wCy'-
Связь между двумя величинами, характеризующими поворачивае-
мость автомобиля, задается формулой
1
со =-----------.
(а + />) +
При нейтральной поворачиваемости автомобиля со = 1/(а + Ь),ц = 0,
при избыточной со > 1/(а + &), ц < 0 и при недостаточной со < 1/(а + &),
ц > 0. Величины (о и р зависят от массы и геометрических размеров ав-
томобиля, параметров шин, жесткостных параметров подвески, парамет-
ров кинематических характеристик подвески и скорости движения. За-
висимость оэ от скорости движения автомобиля при различных кинемати-
ческих коэффициентах показана на рис. 191.
Основные закономерности влияния параметров кинематических ха-
рактеристик подвески на поворачиваемость можно изучить, рассмотрев
частный случай: а = b и Кв, = К з2 . В плоскости параметров XJ1 —
— h\ /(2ЛС) —h^/(2hc)] и Хг[1 — h*i /(2йс) — h*/(2hc)] построены прямые,
удовлетворяющие условию
(М—Ь2) 1——
v 2'\ 2hc 2hc J лл
ц ==--------—тт— ------Мя = const
с Ф
406 и показанные на рис. 192.
Рис. 191. Статическая чувствительность к управлению:
/ — А, = —0,1, Л2 - 0 И = О, А2 = 0,1; 2 — А( = —0,05; Х2 - 0 и Л| = О, Z2 - 0,05;
3 — Aj = 0,05, А2 = 0 и Л| = 0, Аг = —0,05; 4 •— At =° 0,1, А2 = О и Zi =• О, А2 ~ —0,1
Рис. 192. Диаграмма областей поворачиваемости:
А — недостаточной; Б — избыточной
Пользуясь этой диаграммой, можно определить, какой поворачива-
емостью обладает автомобиль с заданными параметрами кинематичес-
ких характеристик Х2, h\y h*2- Эти четыре параметра характеризуют
влияние на поворачиваемость конструкции направляющего аппарата
подвески.
Статические коэффициенты передачи могут быть вычислены не толь-
ко для линейной системы, но и для нелинейной. Определим статическую
чувствительность к управлению, исходя из расчетной схемы, учитываю-
щей проскальзывание шины и нелинейные характеристики подвески и
шин. Для определения статической чувствительности к управлению в
этом случае требуется решить совместно для случая установившегося
движения автомобиля уравнения (5.13), (5.14) и (5.15) и уравнения, оп-
ределяющие величины реакций дорожной поверхности.
Для вычисления статической чувствительности к управлению зада-
дим ее выражение в более общем виде
6r~62
₽₽(«+*)
(5.23)
Для линейной расчетной схемы автомобиля эта формула эквивалент-
на (5.21). Определим величину со по нелинейной расчетной схеме, пре-
небрегая продольными реакциями. Суммарные поперечные реакции на
мостах Qr/i и Qy2 можно выразить через поперечное ускорение wCy и ве-
личину О).
Так как
WCy = Ю^аРр,
407
то
✓л Л^яЬ 2д
Qyi = —7-7- = -у- ®оарр;
QAfa6Z Afgfl '"' 2л
* = ~^b WCy = 77Г ®Uapp’
С другой стороны,
Q«/l == [(^бIЛ + Аб 1п)61 + ^ср!лфк1л — Кф1п<Рк1п +
“I" ^61Л0Л *61 A] COS PpJ
Qz/2 — (*62л + *62п)62 + Кф2лфк2л--*₽2пфк2п +
+ (*62л + ^62п)02*
(5.24)
(5.25)
В этих формулах коэффициент сопротивления боковому уводу зави-
сит от нормальной реакции и функции fnp(Q/Af), учитывающей проскаль-
зывание (см. гл. 4).
Кб = [Кб0 + (<?K6/<W) ДАГК + 4 (<52К6Ж2) ДАТ2] т--1;—. (5 • 26)
2 i + fnp(QM0
Коэффициенты сопротивления развалу Кфл и КфП зависят от нор-
мальной реакции:
*Ф = <?<Э/дфк = КфО 4- (д2(?/дМЭфк) ДЛГК. (5.27)
В этих уравнениях ДАГК = N— МСт, т. е. ДМК представляет собой при-
ращение вертикальной реакции на колесе при движении автомобиля с
поперечным ускорением по отношению к статической нагрузке на колесе
А лг л Ср4-2сСТаб ^ср^а /с оо\
АЛГК = ± 4-----------------2-77Г wCy, . (5.28)
1 + J1_
Сц1
причем знак ( + ) соответствует наружному колесу, а знак (—) внутрен-
нему. Углы наклона и поворота колес выражаются через угол попереч-
ного крена кузова:
Фк.л = Фко — (<?Ф.М) 4<р + -у (д2фкда 4ф2 — ф;
Фк.п = Фко + (дфк/ЗД 4ф + (д2фк/д£2) ^кф2 + ф;
0л = 0о-₽р + -у (<э20/<5Р2)₽р- («)4ф;
0п = 00 + Рр + -у (<э20/<эр2)р2 + (<эвдакф-
Угол поперечного крена кузова автомобиля
Ь cpl+2cCTa6i CL * Ср2 + 2сСТаб2
----- h i------------4--------h2--------------
d 4- b Cmi4-Cpi cl 4* b Сщ2 4* Срг
2 Г Ср I 4- 2сСТаб1 Ср2 4- 2сстабг
2^к (cpi4“ 2сстаб1) 4- (срг4- 2сстабг) “ ~ ^ф^
L Ср14~сШ1 Ср2 4" сШ2
(5.29)
MawCy.
408
Рис. 193. Влияние нели-
нейности характеристик
подвески и шины на при-
ращение статической
чувствительности к уп-
равлению:
а — при d2Q/(dNdq>) —
= 1 рад-'; 6 — при ₽р=
- 0,02 рад; / — 0р-
- 0,02 рад. (д2фк/'дфП - -30.
2 — Р р“ 0.0! рад, (<?2фк/дф2) -
- —30; 3 — 0,01 рад.
(д2Фк/<Эф2) -15; 4 — Рр-
- 0.02 рад, (д2фк/дф2) 15;
5 — Фк0 - 0,03 рад; 6 —
Фк0- —0.03 рад
Если пренебречь дополнительным креном <из-за конечной жесткости
шин, то эта формула примет вид
Ф ==---— MawCy, (5 • 30)
c^—h^G"
где —суммарная угловая жесткость подвески, определяемая по фор-
муле
Сф = 2(Ср| Ср2 4~ 2сотаб1 + 2сстаб2)^к •
Решая совместно уравнения (5.24) — (5.30) и приняв для упрощения
расчетов cos рр= 1, получим углы увода осей:
— —ft--Т”77- Г--ЮУаРр ^Ср!лфк1л 4" ^Ф1пфк1п “Ь Кб1п9л /Wnl;
ЛМл + Л61п L Я4-6 J
62 — —-------- I ’ (О^аРр---Кф2лфк2л + ^Ф2пфк2п + (^62л + Kfi2n) 021 •
^2л + К62п L а 4-6 J
В этих уравнениях К&, <рн, 0, /пр выражены через искомый параметр
о). Таким образом получено нелинейное алгебраическое уравнение вида
- б2(«^а)—61(S, Ua, Рр) л
to----------------------— о.
Рр(0 4-Ь)
Решение этого уравнения относительно си в общем случае возможно
только численное.
Параметр, характеризующий поворачиваемость по линеаризованной
расчетной схеме, обозначим сол, а по нелинейной расчетной схеме <он.
Влияние нелинейностей на статическую чувствительность к управлению
можно охарактеризовать отношением
е~= 100%,
которое назовем относительным приращением статической чувствитель-
ности к управлению.
График на рис. 193, а характеризует зависимость е<^ от скорости при
нелинейной зависимости углов наклона колес фк от угла поперечного
крена кузова <р. На рис. 193,6 показано влияние начального угла разва-
ла колес <рир на е£Г .
409
Заметим, что нелинейность кинематической характеристики подвески
влияет на ем только при нелинейной зависимости коэффициента сопро-
тивления развалу от нормальной реакции, что характеризуется коэффи-
циентом (d2Q/dNdq>).
Как следует из анализа данных, приведенных на рис. 193, а и б, нели-
нейность кинематической характеристики подвески может несколько
влияГь (до 20—30%) на статическую чувствительность к управлению при
достаточно больших углах поворота рулевого колеса рр и поперечном ус-
корении WCy
Результаты расчета статической чувствительности к управлению по
нелинейной расчетной схеме могут быть использованы для обоснования
границ применимости линейной схемы, по которой можно получить до-
статочно точные результаты, если движение автомобиля происходит с
небольшими поперечными ускорениями (до 1—2 м/с2).
2. Частотные характеристики автомобиля
Многие важные свойства автомобиля могут быть получены из анализа
амплитудно-частотных характеристик
l^pv!/(/®)|. |я₽рф(/<о)1-
Амплитудно-частотные характеристики от угла поворота управляе-
мых колес при малой частоте со соответствуют движению автомобиля по
«змейке».
Амплитудно-частотные характеристики, определяемые для некоторых
сочетаний параметров кинематических характеристик подвесок, показа-
ны на рис. 194 для расчетной схемы без учета запаздывания
воздействия на колеса заднего моста.
Один из выводов, который можно сделать из анализа приведенных
амплитудно-частотных характеристик, состоит в том, что вследствие свя-
зей, наложенных направляющим аппаратом подвески, существует вза-
имодействие между угловыми поперечными колебаниями кузова и кур-
совым движением автомобиля. Это взаимодействие существенно как при
малых частотах, так и при тех, которые близки к частоте собственных уг-
ловых поперечных колебаний (6—10 с-1). На рис. 194 штриховой линией
нанесена амплитудно-частотная характеристика автомобиля, рассчитан-
ная по уравнению
। #₽рус । (а + 6)ю2 ’
которое соответствует передаточной функции автомобиля с абсолютно
жесткими колесами
- . Л*
ь
-------—vab
Р₽с (а + Ь)р2
при (О < Va/b.
Отклонение амплитудно-частотной характеристики | НррУС | от
\Н *УС | при низких частотах объясняется тем, что на угол между про-
дольной осью автомобиля и касательной к траектории центра тяжести
410 существенно влияет поперечный крен кузова. Из анализа амплитудно-
Рис. 194. Амп литу дно-
частотные характерис-
тики (va — 20 м/с):
В -1 Яр „ I; 1 - М - 0.
Л2- о, |;₽ 2 -X, - 0,1,
А>2 в 0; 3 —К| ш О, М в О
(абсолютно жесткие колеса)
частотной характеристики следует, что амплитуда поперечных отклоне-
ний автомобиля при малых частотах зависит от статической чувствитель-
ности к управлению (кривые Б1 и Б2).
Подробное представление о количественных соотношениях, определя-
ющих механизм трансформации вертикальных возмущений от дорожной
поверхности в горизонтальные перемещения автомобиля, дают амплитуд-
но-частотные характеристики, построенные от входа <p9 к выходным па-
раметрам курсового движения ]Яф^)2| и |Я<р^ус|. Эти характеристики
показаны на рис. 195, а для движения с закрепленным рулевым колесом
автомобиля, обладающего различной статической поворачиваемостью,
а на рис. 195, б — для движения автомобиля с незакрепленным рулевым
колесом. Из рассмотрения этих графиков можно сделать вывод, что вы-
ходные параметры курсового движения изменяются в широких пределах
при изменении конструктивных параметров автомобиля, в частности па-
раметров кинематических характеристик подвески и параметров руле-
вого управления.
Анализ графика амплитудно-частотной характеристики | | (рис.
195, а) показывает, что существует заметное обратное влияние курсового
движения на поперечный крен. Физическая причина этого влияния состо-
ит в том, что поперечные угловые колебания кузова зависят не только от
деформации упругих элементов подвески и шин, но и от поперечных ре-
акций на колесах. Влияние этих реакций можно оценить, сравнивая ам- 411
Рис. 195. Амплитудно-частотные характеристики от возмущения <р9 при движении
автомобиля (уа = 20 м/с):
а — с закрепленным рулевым колесом; б — с незакрепленным рулевым колесом;
Н Г~,ЯфА,; "°’ Ха"0,1;
Ха — 0; 5—без учета боковых реакций2 Р
плитудно-частотную характеристику |, рассчитанную без учета
влияния поперечных сил (кривая БЗ), с амплитудно-частотной характе-
ристикой |, определенной с учетом боковых сил (кривые Б1 и Б2).
Основной вывод, который следует сделать из анализа всех приведен-
ных амплитудно-частотных характеристик, состоит в том, что взаимодей-
ствие между курсовым движением автомобиля и угловыми поперечными
колебаниями кузова является самой существенной особенностью рас-
сматриваемой расчетной схемы автомобиля.
3. Условия устойчивости
и критические скорости движения
При некоторых сочетаниях параметров автомобиля и скорости его дви-
жения возможно нарушение устойчивости неуправляемого движения да-
же при отсутствии постоянно действующих внешних возмущений. В дан-
ном случае имеется в виду нарушение условий устойчивости решений
тех дифференциальных уравнений, которые не включают в явном виде
циклические обобщенные координаты ус и ф. Обычно при этом ищется
критическая скорость движения автомобиля, при достижении которой
движение автомобиля становится неустойчивым.
Вычисление критической скорости автомобиля основано на теории ус-
тойчивости Ляпунова для линейных систем. Для простейшей расчетной
412
схемы, имеющей две степени свободы, соответствующие скоростям vy и
(о2, Я. М. Певзнер [122] получил формулу, определяющую критическую
скорость
(а + &)2(2^-)(2^ . (5.31)
У Ма[(2Ке1)а-(2Кв2)6]
Формула для вычисления критической скорости движения автомобиля
при учете поперечного крена кузова приведена в литературе [123]. Чис-
ленные значения критической скорости получаются различными для раз-
ных вариантов расчетных схем автомобиля. Для ее вычисления требует-
ся проанализировать характеристическое уравнение соответствующей
расчетной схемы автомобиля. Если ее передаточная функция может быть
представлена в виде
H(p) = M(p)/D(p),
где М(р) и D(p) —степенные многочлены относительно р, то уравнение
D(p) = 0 называется характеристическим. Для 1-го и 2-го вариантов
и {^yCOzPp} расчетной схемы характеристическое уравнение име-
ет вид
а0р4 + GiP3 + 02Р2 + а3р + а4 == 0.
Критическую скорость для расчетных схем этих двух вариантов на-
ходят при проверке двух условий, которым должны удовлетворять коэф-
фициенты характеристического уравнения: а4>0и —аоа^ — а^а4 +
4~ &1#2#3 >
Критические скорости, полученные исходя из первого условия, обо-
значим v'Kр1 и и'р2 соответственно для расчетных схем 1-го и 2-го вари-
антов. Критические скорости, полученные для расчетных схем тех же
вариантов, исходя из второго условия, обозначим^ "р1 и ^к"р2 .
Рассмотрим вариант расчетной схемы {uy(o2(p}. Коэффициенты харак-
теристического уравнения связаны с коэффициентами исходной системы
дифференциальных уравнений следующими формулами:
#о — 1; — —А’п — К22—С*44;
а2 — С44(КН + К22) —К44 4- КцК22—C14K4i—С24К42 — Ki2K21;
а3 = ^44(^11 + ^22) —1^22^44 — ^12^41^24 — C’i^21/f42 4" (K22Ci4-Ki4)/f41 4“
+ (С24 — —-^24)^42 + C44K12K2i;
#4 — —^11^22^44—^24^12^41— ^14^21^42 + ^12^21^44 + ^14^22^41 + ^11^24^42*
Для выяснения влияния кинематики подвески на критическую ско-
рость и'р1 приведем формулу для ее вычисления при К51 = К52] = К5:
/ 2^ (о + Ь)2 + 2(h+ /12^2) (л 4- Ь)
vKp|= I/ Мл (й1 + ft2) (аА,!—Я2)2КбФ ’ (5.32)
г (а—Ь) +----------------------
сф
Результаты вычислений критической скорости по формуле (5.32) по-
казаны на рис. 196, а, на котором построены графики зависимости кри-
тической скорости у'р1 от положения центра тяжести автомобиля по дли-
не базы при нескольких сочетаниях параметров кинематической харак-
теристики подвески. 413
При малой суммарной угловой жесткости подвески сФ и коэффици-
енте апериодичности поперечных угловых колебаний фф величина г/'р1
оказывается в зоне эксплуатационных скоростей.
Особенность критической скорости и"р1 состоит в том, что она непо-
средственно не связана с избыточной поворачиваемостью автомобиля.
При равенстве приведенных коэффициентов кинематических характери-
стик Xi = Л,2 автомобиль имеет нейтральную поворачиваемость и v 'р1
отсутствует при а b. С уменьшением расстояния от центра тяжести до
передней оси устойчивость движения автомобиля нарушается при иа >
><Р1‘
Критическая скорость и'р1 изменяется при изменении статической
чувствительности к управлению, которая в свою очередь зависит от па-
раметров Xi и Хг- Следует отметить интересную особенность: критическая
414 скорость ц'р| понижается, если уменьшается статическая чувствитель-
ность к управлению вследствие повышения коэффициента Хг, при этом
поворачиваемость вместо избыточной становится недостаточной. Иллю-
страцией к этим выводам служит рис. 196, б.
Учет в расчетной схеме угла поворота управляемых колес приводит
к новому значению критической скорости, и она обычно оказывается в
зоне достижимых эксплуатационных скоростей автомобиля. Критичес-
кие скорости и t/p2 Для Данной расчетной схемы автомобиля зави-
сят от параметров рулевого управления. Расчет критической скорости
также сводится к проверке устойчивости системы четвертого порядка.
Коэффициенты характеристического уравнения вычисляют по формулам:
Яо = !;
— —К\\—К22—С33;
а2 ~ С33(Кц + К22) — *33 + *11*22—С13*31-С23К32-*12*211
#3 = (*11 +*22) *33— *11*22^33-*12*31^23-^18*21*32 + (*22^*13 +
+ *1з) *31 + (^23*11— *2з) *32 + C33*i2*2b
а4 = —*11*22*33— *23*12*31— *13*21*32 + *12*21*33 + *13*22*31 + *11*23*32*
Приняв Ksi = Кз2 = *8 и а = ft, из условия сц > 0 можно получить
простую формулу для критической скорости
Из этой формулы следует, что действительное значение возмож-
но, если весовой стабилизирующий момент является дестабилизирую-
щим, т. е. (дЛ4ш/др) < 0. Анализ формулы (5.33) дает возможность сде-
лать некоторые важные с методологической точки зрения выводы:
а) анализ динамических характеристик какого-либо звена системы «ав-
томобиль» изолированно от всей системы может привести к качественно
неправильным выводам; в частности, движение масс рулевого механизма
нельзя изучать изолированно от движения всей системы (если это сде-
лать, то получим, что движение масс рулевого управления может быть
неустойчивым, хотя в целом система «автомобиль» может быть устойчи-
вой); б) качественное и количественное влияние различных составляю-
щих общего стабилизирующего момента управляемых колес на движение
автомобиля неодинаково [в числителе стоит коэффициент (дЛ4ш/др), ха-
рактеризующий весовой стабилизирующий момент, а в знаменателе —
коэффициенты (дМщ/dQ) и (дМш/М), которые характеризуют стабилизи-
рующий момент от боковой реакции и упругий момент шины].
Так как обычно (с?Л1ш/с?р) >0, то анализ критической скорости дви-
жения автомобиля с незакрепленным рулевым колесом следует произво-
дить по значению и"р2- На рис. 196, в дан пример расчета критической
скорости в функции коэффициента вязкого сопротивления в рулевом уп-
равлении 2/гз при изменении скоростного стабилизирующего момента.
Отметим особенность этих графиков — неоднозначную качественную
зависимость а"р2 от коэффициента 2п$. При некоторых сочетаниях па-
раметров критическая скорость и"р2 увеличивается при уменьшении это-
го коэффициента. Кроме того, система «автомобиль» в целом остается
устойчивой, даже при отрицательном коэффициенте вязкого сопротив-
ления.
415
При проверке устойчивости автомобиля расчет критической скорости
должен проводиться для движения как с закрепленным, так и с незакре-
пленным рулевым колесом.
4. Переходные и импульсные переходные
функции
Типовыми динамическими характеристиками автомобиля как объекта
регулирования в системе дорога — шина — автомобиль — водитель явля-
ются переходные функции, которые могут быть рассчитаны для угла по-
ворота управляемых колес; возмущения боковой силы; момента от-
носительно вертикальной оси; начальных значений каких-либо фазовых
координат; управляющего воздействия водителя на рулевое управление,
тормозную систему или трансмиссию.
Рассмотрим более подробно переходную функцию при боковом си-
ловом воздействии. Такое воздействие может характеризовать динамику
курсового движения, например, при боковом ветре. Воздействие ветра
можно представить силой приложенной в боковом метацентре ав-
томобиля. Положение этой точки зададим координатами х* (расстояние
в продольном направлении от метацентра до центра тяжести) и z* (рас-
стояние в вертикальном направлении от оси метацентра до центра тяже-
сти) .
Уравнения движения автомобиля для варианта расчетной схемы
{Уу(о2рр<р} при действии силы Q* имеют следующий вид:
от боковой силы Q* к выходному параметру курсового движения — по-
перечному смещению ус-
(5.34)
Hq*УС ~ 2 '- —
р2 р
Воздействие силы Q* (/) может быть кратковременным и ступенча-
тым. Кратковременное воздействие можно приближенно представить в
виде расчетного воздействия, имеющего вид 6-функции Qg (/) = Qq6(/).
Величину Qq определяют исходя из равенства импульсов заданного кра-
тковременного воздействия I q* и расчетного воздействия:
<2о = | Q*(0^ = /q’,
б
где /q* —время действия боковой силы Q*.
Закон усs (0 изменения выходной координаты ус при кратковремен-
ном воздействии на автомобиль можно получить, проведя обратное пре-
образование передаточной функции (5.34). По истечении некоторого вре-
мени после кратковременного воздействия движение автомобиля станет
416 прямолинейным. В этом случае в качестве оценки устойчивости можно
Рис. 197. Скорость поперечно-
го смещения автомобиля при
действии единичного бокового
импульса:
/ _ X» - О. к» - 0.2; • 2 - A.I - 0.
Ав - 0.1; 3 — Xi - 0,1, А» — О
принять установившуюся скорость смещения автомобиля в поперечном
направлении
Усд ~ I (0) Hq* •
Статический коэффициент передачи co2q* = (0) | опреде-
ляется из решения системы алгебраических уравнений
IIКII
-1/Л4а
— х*11гг
Р<?» 0
Ф<2‘ г*Ихх
При движении автомобиля с закрепленным рулевым колесом при
значениях параметров автомобиля Кы = К&2 = Къ , х* = 0, а = &, г* =
= йф = hi = ft2 = hc получим формулу для вычисления скорости усъ
при единичном значении импульса /<?* :
~ hc(k2—М
2а
Графики зависимости уСъ от скорости уа приведены на рис. 197.
При
^а>
(сф —— Йф G п )
— ^2)
движение автомобиля становится неустойчивым. Действие Кратковремен-
ного бокового возмущения на автомобиль с недостаточной поворачива-
емостью приводит к тому, что он начинает двигаться в сторону действия
боковой силы. При действии боковой силы на автомобиль с избыточной
поворачиваемостью он движется в сторону, противоположную действию
силы. Зная импульсную переходную функцию усъ (0» можно получить
переходную функцию */c(i) = #с(1)(0» характеризующую движение авто-
27 Заказ 3363
417
мобиля при действии на него ступенчатого бокового возмущения
Q<i)(0 = Qq1 + (O- Переходная функция yC(i)(O получается как обратное
преобразование передаточной функции
и , 1 ( V*HQ’<*Z , „ \
Пл v----------I Г *7 Q*v | •
Q(l)yC р2 \ р У)
Приближенно можно принять
/2
Ус{\)= Qo |^*<о2(0)| уа~-
5. Реакция автомобиля на возмущения
от продольных сил при торможении
Некоторые качественные особенности динамики курсового движения ав-
томобиля в режиме торможения можно изучить с помощью переходных
функций для простых расчетных схем автомобиля. Определим прираще-
ние курсового угла при кратковременном торможении, когда можно пре-
небречь изменением продольной скорости за время торможения /т и по-
перечным креном. В этом случае воздействие продольных реакций сво-
дится к моменту относительно вертикальной оси, возникающего вслед-
ствие неравенства продольных реакций на левых и правых колесах.
При сделанных предположениях преобразованное по Лапласу урав-
ние угловой скорости (nz имеет вид
+ _± + в + 4 _ 2 [1 —е_р'т],
ua UaMa^zz
где
л _ 9 Ма(Кб1а2+ Кб2*2) + ZJK6I + Кб2)
/1 — £ ~Z Z «
^a^zz
в__2 . р. 4 Кб1Кб2(а + ^
^zz ^a^zz
\Т = (7\1п + Т\2п) — (ГХ1л + Тх2л) — разность продольных реакций на пра-
вых и левых колесах.
По известному изображению со2(р) можно легко найти оригинал для
функции курсового угла ф = ф(/). Ограничимся только определением то-
го курсового угла, которое соответствует установившемуся режиму ф(/->
-^оо):
limip(Z) = lim<o2(p).
/-►оо Р-+-0
Вычислим этот предел, используя правило Лопиталя:
Нт,(0 .2 и™ -------.
t->oo у&Мл1гг я , о , D
р2 + — р + В + —
"а V2
Окончательно получим
We, + K82)
ф (t —> оо) =-----
Л1п_
а а
Кв1К62(а + &)2-|
Кй2Ь Кб1а + 2
^ava
418
Практически это значение курсового угла достигается за несколько
секунд, поэтому величина ф(/->оо) характеризует курсовую устойчи-
вость автомобиля при кратковременном торможении.
Определим приращения курсового угла, когда разность продольных
реакций дороги на левых и правых колесах остается во время торможе-
ния постоянной и изменение продольной скорости автомобиля происхо-
дит по линейному закону
их = VQ—WQt,
где — начальная скорость автомобиля; Wo — замедление автомобиля.
Если наложить определенные ограничения на параметры автомобиля,
а именно
K^\CL = K&zb,
что соответствует автомобилю с нейтральной поворачиваемостью, и не
учитывать поперечный крен, то получим следующее дифференциальное
уравнение для определения угловой скорости:
о ---------------- о =----.
22 (У0 W) ^22
Это уравнение может быть решено до конца в квадратурах, и при
этом может быть найден закон изменения курсового угла ф(/) во время
торможения
§ 5. ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ РЕАКЦИИ НА КОЛЕСАХ,
ВЫЗВАННЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯМИ
ОТ ДОРОЖНЫХ НЕРОВНОСТЕЙ
Основной причиной, вызывающей отклонение автомобиля от заданной
траектории, является действие на него возмущений от дорожных неров-
ностей. Различают следующие виды возмущений: 1) боковые силы, вы-
званные колебаниями кузова автомобиля в поперечной плоскости (попе-
речный крен); 2) боковые силы, обусловленные перемещениями колес
относительно кузова и вращением их вокруг продольной и вертикальной
осей; 3) боковые силы, возникающие вследствие наклона площадки кон-
такта в поперечном направлении; 4) продольные силы.
Ниже дается оценка абсолютных величин возмущающих сил, дейст-
вующих на колеса в горизонтальной плоскости, при прямолинейном дви-
жении автомобиля.
Зададим боковую силу линейной функцией от угла крена и угловой
скорости крена кузова
о -К , к Л Кф \ m
Укр Аб "Ь Аб I I ф»
\ Дб J
419
27*
Для расчета поперечных угловых колебаний кузова примем спек-
тральную плотность возмущения <рд в виде
Kq^(<o)
<(<*2+*Ч2) *
Если пренебречь запаздыванием действия возмущений на колеса зад-
него моста и влиянием неподрессоренных масс, то для принятого спектра
возмущений получаем следующие формулы:
для расчета дисперсии угла поперечного крена
“о (4^ + 2ф -^-+ 1) £>0%2va
£><₽ =-----------;
йк4Фф [“о + 2фф<»0Лоа + X2 v2]
для расчета дисперсии угловой скорости поперечного крена
р _ ___________ы0__________£о^а_
ф 4%> (“о + 2ффо>оХаа + X2»2) d2
В этих формулах • <b0 = 2dK "1/ -2-; фф =—-—- .
' Лгх 2 Ср
Формулы для расчета поперечных угловых колебаний в случае более
общей расчетной схемок приведены в гл. 2. Дисперсию суммарной боко-
вой силы при крене можно рассчитать по формуле
(К \ к2
Х9--5. Dv + -^(hc-h^Dv.
ДЙ J v‘
Для предварительного анализа составляющих боковых сил, обуслов-
ленных движением колес относительно кузова, примем, что кузов дви-
жется поступательно без вертикальных колебаний и поперечного крена.
Боковая реакция на колесе
Из этого выражения следует, что боковая возмущающая сила опре-
деляется нелинейным преобразованием величин /V, £ и £. Если не происхо-
дит пробоя в подвеске и отрыва колес от дороги, то эти процессы можно
считать нормальными. Тогда дисперсии боковых сил могут быть рассчи-
таны по формулам' для смешанных центральных моментов систем нор-
мальных случайных величин.
Вычислим дисперсию составляющей боковой силы QK = QyB + Qp
вследствие бокового увода, действующей на одно колесо независимой
подвески. Составляющая этой боковой силы QyB является центрирован-
ным случайным процессом, и ее дисперсия
2^2
0<?ув = -Г + (dnKm2D^},
420 где и — дисперсии случайных процессов £ и £.
Вычислим дисперсию боковой силы от угла развала, действующей на
одно колесо независимой подвески. Для удобства представим нормаль-
ную силу в виде
N = Ng + ты,
где Л/а —отклонение величины нормальной реакции от ее математиче-
ского ожидания; mN— математическое ожидание нормальной силы.
Боковая сила при изменяющемся угле развала
Q₽ = (<?QMp)<₽Ko + (dQ/Лр) (<Эф1МК + (д2фк/д£Н2 +
+ (d2QldNd<f)mN<fK0+ (d2Q/dNd<f) (дфк/д^) mN$ +
+ -L^Q/a^cp) (d^Jd^m^2 + (d2Q/dNd<p)4K0Ma +
+ (d2Q/dNdq>) (dVJd^Not + -^{d2Q!dNd<f) (d^Jdt2)^.
Боковая сила Qp не является центрированным случайным процессом,
ее математическое ожидание
М{Qp} = 0Q/5<p)<pKo +-y(5Q/d(p) (д2ф/д£2)О£ + (d2Q/dNdt)tnN(pK0 +
+ -L(d2Q/dNdq>) (d2<fK/dt,2)inND^ + (d2Q/dNdq>) (dcpK/dg)DNZ,
где Dn^ =M{Nq —взаимная дисперсия нормальной силы и дефор-
мации рессоры.
Обозначим
&i= (dQ/d<p) (дфк/д?) + (dQ/dq) (dqK/dQmN-, b2= (d2Q/dM^) фк0;
b3 = -у- (<Э2Фк/^2) [(<Wp) + (d2Q/dNd<?) mN]-,
bi = (d2Q/dNdy) (dQ/дф); b5 = -±- (d2Q/dNdq) (d^Jdt2).
2
Дисперсию центрированной составляющей боковой силы, вызванной
изменением угла развала и нормальной нагрузки, вычисляют по фор-
муле
DQp = b2D^ + Ь2Оы + 26i62D^ + 26|D^ + (64 + 26265)ОдгО£ +
+ (64 + ^6265) Оы^ + (бб^з + 46364) + ЗббОуО^ + 12О^Одг^.
Определим дисперсию боковой силы, действующей на неразрезной
мост. Суммарная боковая сила
QH = + с2Щ + (ЛГа 1 + No2) (d2Q/dNdq),
где
С2 = ад9/д£) + (dQ/dcp)^- + ~(d2Q/dNd(p)mN-,
Va 2uK uK
Д£ и At — разность прогибов рессор и скоростей прогибов рессор.
Вводя коэффициент корреляции между нормальными реакциями на
левом и правом колесах p/vHv2 , формулу для вычисления дисперсии
можно записать в виде
Dqh = +- c2D^ 4- 2(д2 Q/dNdq>)2Dы (1 + p#^)- 421
Численные расчеты по приведенным выше формулам показывают, что
различные составляющие горизонтальных сил, действующих в контакте
шины с дорогой, имеют среднее квадратическое значение от одного до не-
скольких десятков килограмм-сил. Следует, однако, заметить, что по
величине дисперсий сил трудно судить о степени их влияния на курсовое
движение автомобиля. Достаточно очень небольшой по величине силы,
действующей на автомобиль в поперечном направлении, чтобы вызвать
значительное отклонение автомобиля от заданной траектории. Очень ва-
жен также частотный состав возмущающего воздействия, причем на кур-
совое движение основное влияние оказывает низкочастотная составляю-
щая возмущений. Поэтому по дисперсии боковой реакции оценивать вли-
яние возмущений на курсовое движение автомобиля можно лишь ориен-
тировочно. Расчет дисперсии боковых сил имеет вместе с тем и самосто-
ятельное значение для определения нагруженности деталей ходовой ча-
сти автомобиля, износа шин и т. п.
§ 6. КУРСОВАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ
НЕУПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
ПРИ ДЕЙСТВИИ СЛУЧАЙНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
При действии на автомобиль случайных возмущений от дорожных не-
ровностей его движение происходит с отклонениями от заданной траек-
тории. По величине отклонений автомобиля можно судить об устойчиво-
сти его движения относительно заданной траектории. Количественная
оценка устойчивости движения автомобиля может быть дана как для
замкнутой системы дорога — шина — автомобиль — водитель (управляе-
мое движение автомобиля), так и для разомкнутой системы, которая не
включает звена обратной связи — водителя (неуправляемое движение
автомобиля).
При рассмотрении неуправляемого движения получаем количествен-
ные оценки устойчивости движения автомобиля, определяемые в основ-
ном его конструкцией. Можно выделить два предельных случая неуправ-
ляемого движения: движение с закрепленным рулевым колесом и движе-
ние с незакрепленным рулевым колесом.
Для исследования обоих случаев можно использовать одинаковые
критерии. Вводя вероятностную оценку тех параметров, которые обла-
дают свойствами стационарности, получаем достаточно простой критерий
для практических расчетов. В качестве такого критерия можно было бы
принять, например, дисперсию угловой скорости рыскания. Но она вклю-
чает как низкочастотную, так и высокочастотную составляющие угловой
скорости рыскания, а на курсовое движение автомобиля влияет только
низкочастотная составляющая. Поэтому применение в качестве оценки
устойчивости движения автомобиля дисперсии угловой скорости может
привести к ошибочным результатам.
Корректный путь получения количественного критерия устойчивости
неуправляемого движения автомобиля относительно заданной траекто-
рии основан на представлениях технической теории устойчивости. Пред-
положим, что в начальный момент времени, который условно примем за
t = 0, автомобиль находится внутри заданного коридора движения и его
продольная ось совпадает с осью коридора (ус = 0, ф = 0). Вследствие
действия случайных возмущений от дорожной поверхности автомобиль
будет двигаться по случайной траектории (рис. 198). Имея семейст-
во этих траекторий, можно оценить «быстроту» отклонения автомобиля
422 от заданной траектории. Поперечные отклонения любой точки автомо-
6yt6yt6y
Рис. 198. Определение устойчивости движения автомобиля в конечном интервале
времени:
/ — 6 — семейство реализаций действительных траекторий при I > О
биля можно считать распределенными по нормальному закону в любой
момент времени. Дисперсия поперечных отклонений и их среднее квадра-
тическое зависят от времени [Dy — Dy(t) и ау = о!/(/)] и могут быть ис-
пользованы для оценки устойчивости движения автомобиля в конечном
интервале времени. Отклонения, которые будет иметь автомобиль при
t > 0, обусловлены двумя причинами: наличием при t = 0 ненулевых зна-
чений всех фазовых координат (это вызвано действием возмущений при
t < 0); действием стационарного возмущения при t > 0. Приняв, что воз-
мущения при t > 0 не коррелированы с начальными условиями при t = О,
дисперсию отклонений можно получить в виде двух слагаемых:
Dy=Dy + Dy.
Рассмотрим общий план решения задачи. Примем, что известна пере-
даточная функция Hfpqyc(p) от воздействия к выходному параметру
курсового движения автомобиля — поперечному смещению у центра тя-
жести или другой точки автомобиля. Передаточной функции Hqqyc(p)
соответствует импульсная переходная функция г/(т). Дисперсия
t _ _
О> = J J У (t—п)У (t—т2) k<f4 (т 1—т2) rfridr2, (5.
О
где k qq (т) — корреляционная функция возмущения. Во избежание не-
доразумений при проведении расчетов заметим, что импульсная переход-
ная функция £/(т) имеет размерность м/с.
Дисперсия отклонений, вызванных ненулевыми значениями фазовых
координат,
п п
^УУу.уРф (5-36)
<Т1 ±i 423
где уг и уз — решения системы дифференциальных уравнений по выход-
ной переменной ус, соответствующие единичному значению фазовых ко-
ординат Xi = 1 и Xj = 1; Dij — вторые корреляционные моменты i и / фа-
зовых координат; Z, / = 1, 2, п, где п — число фазовых координат.
При расчете по (5.36) принимают во внимание только те процессы,
которые обладают свойствами стационарности. В число фазовых коор-
динат, рассматриваемых при расчете £>"(/), не включают курсовой угол
ф и поперечное смещение ус, так как при t = 0 ф = ус = 0.
Для частных случаев спектральной плотности возмущений формула
упрощается:
для спектральной плотности, заданной в виде
^0^2ра
дисперсия
(5.35)
а)
Кф9(й)
У+хЧ2) ’
(5.37)
(5.38)
D° = —
—izi + f yidtl;
2»ак J
о J
здесь импульсная переходная функция yt соответствует передаточной
функции
б) при достаточно большом значении граничной дорожной частоты Л
вместо формулы (5.35) можно использовать более простую:
t
Ли-
<А J
о
Эта формула дает точный результат, если возмущение имеет постоян-
ную спектральную плотность (белый шум)
^Ф^С®) = ^о/(^а^к)*
Передаточная функция от возмущения к выходному параметру кур-
сового движения может быть представлена в виде
-----^~ + ^—
Из рассмотрения структуры этой передаточной функции видно, что
импульсная переходная функция может быть получена в виде
У = У*(О +ао*,
где функция у* (t) ->0 при оо. Такую же структуру имеет и импульс-
ная переходная функция у\. Структура функции, описывающей измене-
ние во времени дисперсии D ® поперечных отклонений, может быть в об-
щем случае следующей:
D’ = D®. + — f +——/2 +_LJ!L/3
у у dt 2 dfi 6 dt3
424
где составляющая £>®. (/) ограничена при /-> оо.
При вычислении составляющей D" следует найти семейство решений
Z/i, Уъ, —, Уп для выходной координаты при единичном начальном значе-
нии последовательно каждой из фазовых координат. Для этого надо ре-
шить систему дифференциальных уравнений (5.17). В общем случае эти
решения можно представить в виде
у{=у.’ + о,<
где функция y*t —> 0 при /-*• оо. Кроме того, согласно принятой постанов-
ке задачи при t = 0 г/г= 0. Таким образом,
п п п п п п
= 2 2 aiDii + 2 2
i-4-i »=u-i t=i i=i
Рассматривая совместно формулы для и D®, можно заключить,
что дисперсия поперечных отклонений изменяется по закону, который
в общем случае имеет следующую структуру:
п п । / । 1 d^D in . 1 d3D /g
Du = Dy* (t) H---14---------t2 4--------i ,
y y V J dt 2 dP 6 dt3
причем Dy* (/) ограничена при оо.
Пример. Примем, что движение автомобиля происходит с закрепленным рулевым
колесом и параметры автомобиля удовлетворяют соотношениям
^61 = ^62 = ^б» а ~ = ^2 ~ 0-
Последнее соотношение означает, что угол наклона колес автомобиля равен углу
поперечного крена кузова и колеса не поворачиваются при крене кузова. В этом слу-
чае (Oz = рр = 0 и передаточная функция автомобиля
г. _ Ма^к________МаОа
VC“ р(р + со^)
где
4*б
Маоа‘
Пусть спектральная плотность возмущений задана в виде (5.37).
Этой спектральной плотности соответствует корреляционная функция
2dK
При таком задании спектральной плотности возмущения обеспечивается конечное
значение дисперсии
DVy —
' *к6 ,
~ + Хиа
Afava
Импульсная переходная функция по боковому смещению центра тяжести, соот-
ветствующая единичному значению поперечной составляющей скорости центра тяже-
сти, имеет вид
425
Следовательно,
у d2
к
2 ^At’a+ MaVJ
В рассматриваемом примере эта составляющая дисперсии поперечных отклонений
ограничена. Вычислим составляющую дисперсии Dj. Для передаточной функции
4Кф 4*6/»с
н, 1 ИА + Р Мауа
VC р (р + о>Оу)(р + К)
импульсная переходная функция
4Кф Mava 4KV , Mava
_ MadK ~а°У4К6Ьс _ш f J_ MadK~kVa4Wc _Kv t 4КФ
У ”1" dK ^vu hva dKMa(i)v 2k
У У Л У
Подставив эту функцию в (5.38), получим зависимость Опустим неслож-
ные, но громоздкие вычисления, отметим только, что при достаточно большом време-
ни дисперсия возрастает пропорционально времени
Функция Dy = Dy(t) достаточно полно характеризует устойчивость
автомобиля относительно заданной траектории и позволяет ввести про-
стой и наглядный критерий устойчивости неуправляемого движения ав-
томобиля, непосредственно связанный с условиями безопасности дви-
жения. Естественно считать лучшим в отношении устойчивости тот ав-
томобиль, который дольше находится внутри коридора движения без
корректировки его движения водителем. Ширина динамического коридо-
ра движения зависит от габаритов автомобиля и скорости и может быть
вычислена по формуле, предложенной Д. П. Великановым,
Ш = 24 + Ш0 + уЛ,
где Шо и уд—коэффициенты, которые получаются экспериментально
при наблюдении транспортных потоков.
В дальнейшем будем рассматривать только динамическую ширину
коридора
\Ш = Ш— 24 - ZZ70 + уд^а. (5.39)
Исходя из условий безопасности, можно установить соотношение
между динамической шириной и средними квадратическими отклонения-
ми автомобиля
псовых) = &Ш/2,
где параметр п зависит от принятой вероятности того, что при t /вых
отклонения автомобиля не превзойдут значений, заданных динамической,
шириной коридора. Для определения п по заданной вероятности Р надо
воспользоваться уравнением
Р = 2Ф(п),
426 где Ф(п) —интеграл вероятности.
Определив D® и О", получим уравнение
2n +d;«) = ш0+yava.
Решая это уравнение относительно параметра t, получаем значение
t = ^вых> которое удовлетворяет следующему условию: при движении ав-
томобиля в интервале времени от t — 0 до t /вых отклонения автомоби-
ля не превышают с заданной вероятностью Р допустимых значений, оп-
ределяемых шириной, динамического коридора. Величина /вых является
оценкой устойчивости неуправляемого движения автомобиля, зависящая
от параметров автомобиля, спектра возмущающего воздействия, скоро-
сти движения, заданной ширины динамического коридора и принятого
значения вероятности Р. В практических расчетах можно задаваться Р =
= 0,9973, при этом п = 3.
Применим описанную методику расчета устойчивости движения ав-
томобиля к анализу расчетной схемы {^о)2ррср}. Спектральную плот-
ность возмущений примем в виде (5.37). При достаточно большом вре-
мени t (т. е. в интервале времени, большем времени переходных процес-
сов) можно приближенно принять
У =
= (/=1, 2, 3, 4, 5, 6).
В этом случае дисперсию поперечных отклонений рассчитывают по
формуле
Dy=DQ —[—
6 6 2
i— I / = I
где ог0 = Уа|//<р ш (0)|.
*7
Для определения
уравнений
коэффициентов решают систему алгебраических
К21
о
о
К12
К22
%32
А42
0
0
С13
С 23
с 33
С43
1
0
С 14
С24
Сз4
С44
о
(.Ozi И
полагая
Найдя
= /, и Hj = 0, если i j, получим
из этой
системы
в правой части = 1, если i =
Определение /Вых при изменении параметров автомобиля позволяет
изучить их влияние на свойство автомобиля «держать» дорогу, если во-
дитель в течение некоторого времени не участвует в процессе управления.
Для того чтобы выяснить некоторые основные закономерности, рассмот-
рим результаты расчетов по определению /вых для автомобиля, имею-
щего численные значения параметров, приведенные в § 3. Параметры
427
Рис. 199. Время движе-
ния автомобиля внутри
коридора:
а — с закрепленным руле-
вым колесом; б — с неза-
крепленным рулевым коле-
сом; ----------с учетом со-
ставляющей D”;---------без
учета составляющей /
и 2 — — 0, — 0,1; 3 и
4 — X, - 0,1, К, - 0
спектра возмущающего воздействия приняты следующие: Dq = 20X
X Ю-6 м3, X, = 0,1 м-1. Динамическая ширина коридора задана функци-
ей (5.39), причем Ше = 0, уд = 0,054 с.
На рис. 199 приведены данные, полученные соответственно для дви-
жения автомобиля с закрепленным и незакрепленным рулевым колесом.
Из анализа приведенных результатов и результатов других аналогич-
ных расчетов можно заключить, что для движения автомобиля с неза-
крепленным рулевым колесом со скоростью, далекой от критической,
а также для всех случаев движения автомобиля с малыми скоростями
величину /вых можно достаточно точно рассчитать, пренебрегая составля-
ющей О", по формуле
3 /" Зо.^ДШ2
t =1/ —__________
^ВЫХ I/ /09*
У 4£>о<То«
В этом случае удается получить простые формулы, из которых видно
качественное влияние различных конструктивных параметров автомоби-
ля и скорости движения на устойчивость его неуправляемого движения:
движение автомобиля с закрепленным рулевым колесом
3vad>/2l ЛсЛ4а(^-М+^-(Сф-Мп) I2
4Do«2 (Лв-МАф00 ’
движение автомобиля с незакрепленным рулевым колесом при Xi =
— == 0, h ф = h\ = h2 = he
428 где Л4Ш — момент сил относительно оси шкворня.
Приведенный выше анализ курсовой устойчивости автомобиля был
сделан для линейной расчетной схемы автомобиля. Курсовая устойчи-
вость может быть оценена по параметру /вых и для нелинейной расчетной
схемы. В последнем случае необходимо использование АВМ для расче-
та функции Dy (/) по методу статистических испытаний.
§ 7. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ
КУРСОВОГО ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Одним из необходимых элементов исследования курсового движения ав-
томобиля является натурный эксперимент, который имеет целью реше-
ние следующих задач:
1) исследование влияния каких-либо конкретных конструктивных
или эксплуатационных параметров автомобиля на его курсовое движе-
ние;
2) сравнительные исследования устойчивости и управляемости авто-
мобилей различных типов;
3) получение возможно большей информации о работе и взаимодей-
ствии различных звеньев системы «автомобиль» в различных режимах
курсового движения. Основной объем этой информации используется для
уточнения расчетных схем и для отработки моделирования движения ав-
томобиля.
Решение первых двух задач осуществляется или стандартными мето-
дами по разработанным нормалям (например, нормаль ОН 025 319—68),
или с помощью оригинальных методик [124—126]. При этом обычно не
стремятся вскрыть физическую сущность явлений, происходящих при
движении автомобиля. Экспериментальное исследование влияния кон-
структивных параметров автомобиля на его курсовое движение связано
с решением сложной инженерной задачи по разработке и изготовлению
автомобиля со сменными элементами подвески и трансмиссии. Такая ра-
бота проведена в НАМИ [127].
При решении третьей задачи, необходимой для разработки теорети-
ческого аппарата исследования курсового движения автомобиля, требу-
ется применение большого комплекса аппаратуры, устанавливаемой на
автомобиле.
Научно-исследовательская лаборатория — автомобиль оснащена раз-
личными приборами и оборудованием (рис. 200) \
Кинематические и динамические параметры движения автомобиля
регистрируются тремя осциллографами К-12-22, имеющими по 12 шлей-
фов и питающихся от отдельных аккумуляторных батарей. Синхрониза-
ция записей процессов на осциллографах производится с помощью реле,
контакты которого одновременно замыкают и размыкают цепь лампы
«отметка явления» на каждом из трех осциллографов. Реле управляется
специальным датчиком импульсов. Подача отметки начала торможения
на осциллографы осуществляется концевым выключателем, срабаты-
вающим при нажатии на педаль тормоза.
Всей аппаратурой управляет оператор с общего пульта управления,
на который выведены балансировочные потенциометры мостовых схем
датчиков, выключатели питания аппаратуры и осциллографов, переклю-
чатели масштабов, регуляторы стабилизированного питания мостовых
1 Эта лаборатория была изготовлена на кафедре теоретической механики МАДИ.
В 1967—1970 гг. с ее помощью проводились натурные испытания на автополигоне
НАМИ.
429
Рис. 200. Общая компоновочная схема размещения аппаратуры на автомобиле-лабо-
ратории:
/ — пульт управления; 2 — шлейфовый осциллограф; 3 — датчик угла поворота рулевого ко-
леса; 4 — датчик давления в тормозной системе; 5 — приборы для контроля скорости дви-
жения автомобиля; 6 — датчик курсового угла; 7 — датчик угловой скорости поворота кузова
относительно вертикальной оси; 8 — датчик углов поворота левых и правых передних колес;
9 и 16 — датчики поперечного ускорения соответственно переднего и заднего мостов; 10 и 15 —
датчики прогибов соответственно передних и задних рессор; 11 — датчик продольного и по-
перечного крена кузова; 12 — датчик продольного ускорения кузова; 13 — датчик угловой
скорости колеса; 14 — датчик боковой деформации шин; 17 — датчик тормозных моментов;
18 — блок электропитания аппаратуры
схем датчиков и управление гирополукомпасом. Предусмотрена возмож-
ность подключения сигнала любого датчика к стрелочному индикатору.
Об отклонении скорости движения автомобиля от заданной сигнали-
зирует специальное устройство, которое работает следующим образом.
Напряжение с одного тахогенератора, пропорциональное скорости дви-
жения автомобиля, подается на транзисторный усилитель. К выходу это-
го усилителя подключены два поляризованных реле. Схема настраива-
ется так, что при превышении заданной скорости движения срабатывает
одно поляризованное реле и включается красная лампочка. Если ско-
рость меньше заданной, то срабатывает другое поляризованное реле и
включается зеленая лампочка. Сигнальные лампочки установлены на
приборном щитке перед водителем, и он добивается такой скорости дви-
жения, при которой ни одна из лампочек не горит. В этом случае авто-
мобиль движется со скоростью, отличающейся от заданной не более чем
на 5%. Режим работы устройству оператор задает на пульте управления.
Для получения данных о курсовом движении автомобиля при посто-
янной и переменной скоростях, для проверки и уточнения принятых рас-
четных схем, а также для определения некоторых параметров автомоби-
ля проводятся следующие эксперименты: движение по «змейке»; «бро-
сок» рулевого колеса; «рывок» рулевого колеса; переезд через единичную
неоовность; притормаживание автомобиля; неуправляемое движение по
дороге с покрытием заданного типа; управляемое движение автомобиля
по заданной траектории.
Перечисленные эксперименты составляют лишь примерную програм-
430 му исследований. Конкретная программа должна планироваться с уче-
том специфики поставленных задач. Особое место занимает эксперимент
по определению параметров передаточной функции водителя, который
описан в гл. 6.
Ниже дается краткое описание некоторых экспериментов и методика
обработки осциллограмм.
1. Движение по «змейке»
«Змейка» представляет собой синусоидальную траекторию, нанесенную
краской на поверхность дороги. На дороге размечается несколько сину-
соидальных траекторий. Для легкового автомобиля удобно принять дли-
ну одной волны в пределах 25—50 м, амплитуду — до 1,5 м. Во время это-
го эксперимента водитель должен вести автомобиль таким образом, что-
бы средняя точка передней подвески двигалась по нанесенной на дорогу
синусоидальной траектории.
Из осциллограммы определяют: амплитуду углов поворота рулевого
колеса р* к и управляемых колес 0*. 0*, курсового угла ф*, поперечных
ускорений , wy2, угловой скорости со* и боковой деформации шины
g*. Амплитуды этих процессов находят осреднением за несколько полу-
периодов в середине участка. Амплитуды первого и последнего полупери-
одов, соответствующие началу и концу движения по заданной траекто-
рии («входу в траекторию» и «выходу» из нее), из рассмотрения исклю-
чаются. Кроме амплитуды определяют также круговую частоту процесса
2л
(О =---- ,
^пер
где /пер — время одного периода.
Поскольку возмущение и реакция на него близки по форме к синусо-
иде, то в качестве оценочных параметров принимаются отношения ам-
плитуды измеряемых в данном эксперименте кинематических парамет-
ров движения автомобиля к амплитуде полусуммы углов поворота уп-
равляемых колес:
^t/l/9cpj ^j/2/9cpl ®z/9cpi Ф /бср» S /6ср> ф /вер*
Таким образом, при обработке осциллограмм получают соответствую-
щие амплитудно-частотные характеристики автомобиля.
2. «Бросок» рулевого колеса
Для исследования параметров стабилизации управляемых колес прово-
дится эксперимент «бросок» рулевого колеса, в котором водитель ведет
автомобиль по окружности постоянного радиуса R = const. В определен-
ной точке траектории и при достижении автомобилем заданной скорости
водитель отпускает рулевое колесо. Под действием стабилизирующих
моментов передние колеса и рулевое колесо поворачиваются в нейтраль-
ное или близкое к нему положение, совершая колебательный процесс.
Начальную угловую скорость автомобиля <d2o определяют по показаниям
датчиков угловой скорости и курсового угла и принимают среднее этих
двух значений.
Линейную скорость автомобиля вычисляют по формуле
Для предварительной обработки Осциллограммы этого эксперимента
можно использовать одномассовую расчетную схему рулевого управле- 431
ния, приняв следующие допущения: а) силой сопротивления является су-
хое трение; б) перераспределение нагрузки на колесах не учитывается;
в) продольными реакциями дороги можно пренебречь; г) стабилизирую-
щий момент, действующий на передние колеса автомобиля, линейно за-
висит от угла поворота колес.
При сделанных допущениях уравнения движения масс рулевого уп-
равления имеют следующий вид:
ёСр= -(^пр//*)0ср-(Л1тр//*),
где сПр — коэффициент пропорциональности между средним углом пово-
рота колес и суммарным стабилизирующим моментом; I*—приведенный
момент инерции масс рулевого привода и передних колес; Л4тр— приве-
денный момент сухого трения.
Движение исследуемой системы описывается решением этого диффе-
ренциального уравнения со следующими начальными условиями:
0ср L —0 0срО> 9ср |/=о = 0»
Из осциллограммы записи процесса 0ср(/) можно определить пара-
метры и Л4тр//* из уравнений
^прД* = 4л //пер, МТр// = Д0ср2л //пер,
где Д0ср — уменьшение максимального значения среднего угла поворота
колес за половину периода.
3. «Рывок» рулевого колеса
В эксперименте «рывок» рулевого колеса исследуются различные реак-
ции автомобиля на возмущение, близкое к скачкообразному повороту ру-
левого колеса (переходная реакция системы). Автомобиль разгоняют до
заданной скорости, которая затем поддерживается постоянной. В опре-
деленный момент водитель резко поворачивает на некоторый угол руле-
вое колесо и удерживает его в этом положении. Угол поворота рулевого
колеса задается в зависимости от скорости автомобиля в пределах 10—
100°. Эксперимент заканчивается после достижения автомобилем уста-
новившегося движения по окружности с постоянной угловой скоростью.
Установившуюся угловую скорость определяют осреднением показаний
датчиков курсового угла и угловой скорости. Угловую скорость по пока-
заниям датчика курсового угла находят графическим дифференцирова-
нием соответствующей кривой.
Точно линейную скорость автомобиля и радиус окружности устано-
вившегося движения вычисляют по формулам:
£>а = ^y2^z\ % =
По найденным из осциллограмм установившимся значениям реакций
автомобия подсчитывают отношения этих реакций к среднему углу по-
ворота управляемых колес 0ср и линейной скорости автомобиля. Так, на-
пример, для определения статической чувствительности к управлению
автомобиля строят график (Dz/(0Cpt>a) = f(^a)«
4. Переезд через единичную неровность
Единичная неровность изготовляется треугольной формы длиной 1 м
и высотой 4—8 см. В этом эксперименте водитель ведет автомобиль по
432 прямой так, чтобы колеса одной колеи проезжали через середину искус-
ственной неровности. Непосредственно перед въездом на неровность во-
дитель отпускает или «закрепляет» рулевое колесо. Эксперимент закан-
чивается после переезда неровности, как только установится движение,
вызванное этим возмущением.
Точно скорость определяют непосредственно из осциллограмм:
где L — база автомобиля; т — время между наездами на неровность пе-
редними и задними колесами. Моменты наезда на неровность определя-
ются по времени начала срабатывания датчика продольных ускорений.
Непосредственно из осциллограмм находят приращения: угла пово-
рота рулевого колеса Дрр.к, углов поворота колес Д0Л и Д0П, а также кур-
сового угла Дф, если движение автомобиля после проезда неровности
было прямолинейным. Если движение автомобиля после проезда неров-
ности было не прямолинейным, то определяют угловую скорость устано-
вившегося движения.
По данным эксперимента рассчитывают: а) импульс бокового ускоре-
ния на переднем мосту за время проезда неровности передним колесом
/2
I^=^wyXdt\ б)импульс бокового ускорения на переднем мосту за
время проезда неровности задним колесом I^) = wyX dt\ в) импульс
У V
бокового ускорения на заднем мосту за время переезда неровности пе-
/2
редним колесом 1&у2 = J г) импульс бокового ускорения на зад-
л
нем мосту за время переезда неровности задним колесом /^2) =
Ц у2
= §wy2dt-t д) импульс боковой деформации шины заднего колеса за
h
h,
время переезда неровности передним колесом /|!) = Jgd/; е) импульс
t\
боковой деформации шины заднего колеса за время переезда неровности
задним колесом /(2) = J gdt
Для предварительной обработки осциллограмм можно принять упро-
щенную расчетную схему автомобиля {U|/<o2}, полагая в ней 1гг = МаяЬ-
Это позволяет предварительно оценить также импульсы боковых сил,
действующие на передний и задний мосты:
a + b У' у' a + b У'
М = — Ма1"- Ма1™ .
4у2 a + b У2 4у2 a + b У2
По известной величине импульсов определяют средние значения со-
ответствующих величин за то же время:
А" 'о' /<*> /<2>
= ч</1 . п(2) Чу1 . = » Чи 1 — » ti-tl h-h q1*2’ = Qy2 /2 А
28 Заказ 3363
433
Рис. 201. Осциллограмма экс-
перимента — переезд через
единичную неровность с неза-
крепленным рулевым колесом
На рис. 201 показан пример осциллограммы, полученной в одном из
экспериментов. Для наглядности все кривые выполнены в виде отдель-
ных графиков.
5. Притормаживание автомобиля
Эксперимент — притормаживание автомобиля проводится для определе-
ния: 1) статических характеристик тормозной системы; 2) действительно-
го поворачивающего момента, возникающего вследствие разности тор-
мозных сил на колесах в условиях эксплуатации; 3) связи между дав-
лением в гидросистеме и замедлением автомобиля; 4) характеристик ус-
тойчивости и управляемости автомобиля в режиме кратковременного
торможения.
При торможении у автомобиля обычно тормозные моменты и танген-
циальные силы на колесах несколько различаются. Кроме того, при ис-
следовании тормоза специально регулируют неодинаково. В результате
434 этого автомобиль при торможении отклоняется от заданной траектории.
Эксперимент проводится по следующей методике. Автомобиль дви-
жется по ровной горизонтальной поверхности с постоянной скоростью.
По команде оператора начинается торможение с одновременной регистра-
цией всех измеряемых параметров или некоторых из них. Во время тор-
можения автомобилем управляют обычным образом или закрепляют ру-
левое колесо. Эксперимент повторяют 8—10 раз. Осциллограммы, полу-
ченные при экспериментальных заездах, при обработке накладывают од-
ну на другую. Совмещение осциллограмм проводится по отметке тормо-
жения. По ансамблю отдельных реализаций каждого эксперимента их
усредняют.
Тангенциальные силы вычисляют по формуле
Т = мт/го—[как/го,
где <ок — угловое ускорение колеса, определенное по осцилограммам уг-
ловых скоростей.
Статические характеристики тормозной системы определяют, вы-
числяя отношение момента, действующего на колесо, к среднему давле-
нию в тормозной системе. Таким образом, получают достаточно досто-
верные данные, так как тормозная система испытывается в реальных ус-
ловиях эксплуатации.
Для определения работы водителя по стабилизации движения авто-
мобиля во время торможения подсчитывают путем планиметрирования
осциллограмм среднеинтегральное значение угла поворота рулевого ко-
леса.
6. Неуправляемое движение по дороге
с покрытием заданного типа
Эксперимент — неуправляемое движение по дороге с покрытием задан-
ного типа позволяет получить одну из оценок устойчивости неуправляе-
мого автомобиля — дисперсию поперечных отклонений (см. § 6). Для ре-
гистрации поперечных отклонений автомобиль оборудуют прибором для
нанесения отметок на проезжей части [125]. Более производительна ре-
гистрация поперечных отклонений с помощью электрического кабеля,
проложенного вдоль испытательной трассы по оси коридора, и датчиков,
устанавливаемых на автомобиле.
При подъезде с заданной скоростью к началу измерительного участка
водитель в соответствии с программой испытаний или фиксирует руле-
вое колесо, или освобождает его. Вследствие действия возмущений от до-
рожной поверхности автомобиль смещается относительно оси заданного
коридора. Для проведения этого эксперимента требуется безветренная
погода и сухая трасса без поперечного уклона. Эксперимент повторяют
несколько раз на различных участках дороги с одинаковым покрытием.
Регистрируют отклонения автомобиля на отрезке 200—500 м через 25—
50 м. В каждом сечении (i = 0, 1,2 ...) вычисляют выборочное среднее
отклонение у и выборочную дисперсию oj; по совокупности пг опытов (/ =
= 1,2,3...):
m m л
~ i 74 о :_1
Величина yQ = 0, так как при вычислении yi все процессы центрируют
по i/o, что соответствует принятой в § 6 оценке поперечных отклонений <435
28*
автомобиля. По значениям уг- и о^. определяют доверительные интервалы
при заданной вероятности Р = 1 — а нахождения внутри этих интерва-
лов истинных среднего отклонения yi и дисперсии а2у.:
Hi min Hi Hi max> &yi min Gyi & yi max,
где
.x ayit\t al
_ _д |<—1>- vj . - [(m ’ Tj
ytmin-yt y- ’ Z/tmax-Z/i+ y-
2 _ m—1 Л2, 2 _ m—1 Л2
Gyi min----- & у i\ Gyi max — " &yi*
X[<m-.), I] (l-f)]
В этих формулах aj —коэффициент распределения Стьюдента с п
степенями свободы, а х(2л> а] — коэффициент распределения х2 с п степе-
нями свободы, причем плотности распределения р(х2) и p(t) удовлетво-
ряют соотношениям
ОО 00
J />(Х2Их2 = а. f p(t)dt = a.
х[л, a] ([п. a]
Величины /[ло] и х (2tO] можно найти в таблицах [128].
В экспериментах, описанных в разделах 1—6, исследуются такие ре-
жимы движения автомобиля, при которых действия водителя сводятся
к выполнению точно предписанной программы. Это дает возможность в
«чистом» виде изучить динамику собственно автомобиля. Одним из спо-
собов экспериментального изучения динамики замкнутой системы доро-
га — шина — автомобиль — водитель является постановка эксперимен-
тов, в которых автомобиль, управляемый водителем, движется по задан-
ной траектории. Наибольшее распространение получили маневры «пе-
реставив» и «объезд препятствия». Близким к маневру «переставка» яв-
ляется движение автомобиля по S-кривой [126]. Активная роль водителя
в таких экспериментах зависит от «жесткости» требований, которые
предъявляются в отношении точности следования по заданной траекто-
рии и времени выполнения маневра. При учете этих требований постав-
ленные эксперименты характеризуют управляемость автомобиля как в
обычных, так и в режимах, предельных по возможностям автомобиля и
водителя.
§ 8. ПРИМЕНЕНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ МАШИН
ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
Для исследования общего случая движения автомобиля требуется при-
менение математических машин, которые используются как для модели-
рования системы дорога — шина — автомобиль — водитель, так и для
расширения возможностей аналитического расчета.
Для моделирования на математических машинах движения автомо-
биля характерно то, что в структуре исходных дифференциальных урав-
нений движения отражается отдельно каждое динамическое звено ис-
следуемой системы. При этом имеется возможность проанализировать
протекание во времени всех процессов, соответствующих изменению
436 входных и выходных величин. В отличие от математического моделиро-
вания при аналитическом расчете, который проводится с применением
математических машин, обычно отсутствует физическая картина явлений
и расчет ведется формальными методами.
Для моделирования движения автомобиля возможно применение как
АВМ (машины непрерывного действия), так и ЭЦВМ (машины дискрет-
ного действия).
При моделировании движения автомобиля решаются следующие ос-
новные задачи: 1) воспроизведение с помощью математической модели
результатов натурного эксперимента для отработки расчетной схемы ав-
томобиля; 2) изучение с помощью математической модели динамических
характеристик движения автомобиля; 3) расчет статистических характе-
ристик колебаний при движении автомобиля, когда на него действуют
случайные возмущения от неровностей дорожной поверхности; 4) иссле-
дование влияния конструктивных параметров автомобиля на характери-
стики курсового движения и оптимизация этих параметров; 5) воспроиз-
ведение с помощью математической модели работы отдельных принци-
пиально новых устройств автомобиля, находящихся в стадии проектиро-
вания, для обоснования целесообразности их установки на автомобиль;
6) изучение динамики отдельных звеньев системы дорога — шина — ав-
томобиль— водитель с целью получения для описания их работы более
простых эквивалентных расчетных схем; 7) соединение в едином ком-
плексе некоторых отдельных реальных объектов системы дорога — ши-
на — автомобиль — водитель (водитель, подвеска, рулевое управление
и т. п.) с набранными на АВМ математическими моделями остальных
звеньев этой системы.
1. Моделирование на АВМ движения автомобиля
Для решения первой задачи на АВМ набирают достаточно полную мо-
дель автомобиля. Модель пространственной расчетной схемы автомоби-
ля включает 400—500 операционных усилителей и может быть осущест-
влена на средних АВМ типа МН-14, МН-17 и др.
Работа по моделированию такой сложной системы, какой является
автомобиль, требует очень тщательной подготовки. Воспроизведение на
АВМ натурных экспериментов едва ли не самая существенная и важная
часть работы. Следует добиваться не только совпадения осредненных по-
казателей курсового движения, определенных при обработке осцилло-
грамм, полученных в натурном эксперименте и на модели, но также и
близкого графического совпадения этих осциллограмм. Пример такого
сопоставления показан на рис. 202.
В процессе моделирования на АВМ удается выяснить, какие допол-
нения и изменения следует внести в расчетную схему автомобиля, а так-
же определить области и границы применимости той или иной частной
расчетной схемы. Исходя из этих соображений, блок-схема набора на
АВМ модели автомобиля должна быть достаточной «гибкой». Наилуч-
шие результаты получаются при одновременном проведении натурного
эксперимента и моделировании его на математических машинах.
Практика решения на АВМ сложных нелинейных задач показывает,
что процесс моделирования должен обязательно сопровождаться кон-
тролем точности решения путем его сопоставления с данными, получен-
ными аналитическим путем. Для этого модель набора на АВМ должна
допускать возможность достаточно простого переключения ее на линей-
ный режим работы.
Методы использования АВМ для расчета статистических характери-
стик колебаний зависят от расчетной схемы.
437
Для нелинейной расчетной схемы автомобиля применяют метод ста-
тистических испытаний. Возмущающее воздействие вводится в виде не-
прерывного процесса с магнитной записи или формируется с помощью
генераторов шума и формирующих фильтров. На АВМ набирают схемы
для статистической обработки [129], а именно, для получения интеграль-
ной функции распределения; среднего модуля; дисперсии; спектральной
плотности. Иногда используют и другие схемы для статистической обра-
ботки результатов решения.
Основу всех схем составляет схема интегрирования. Для анализа
больших по длительности реализаций процессов необходимо, чтобы от-
сутствовал дрейф схемы интегрирования. С этой целью можно использо-
вать интеграторы с малой постоянной времени (0,5—1,0 с) и разрядкой
конденсатора в цепи обратной связи при достижении напряжением на
выходе усилителя постоянного тока установленного максимального зна-
чения. Величина интеграла от измеряемого процесса пропорциональна
числу циклов, регистрируемому счетчиком.
При использовании АВМ для расчета статистических характеристик
колебаний автомобиля с заданием возмущения от генератора случайно-
го шума надо иметь в виду, что результат вычислений также является
случайной величиной. Это определяет время решения одной реализа-
ции. Подобные сведения о применении АВМ для анализа случайных про-
цессов можно найти в книге Дж. Бендата и А. Пирсола [128].
Для расчета статистических характеристик стационарных процессов
колебаний, соответствующих линейной модели автомобиля, имеющей пе-
редаточные функции Hai(p) и Haj(p) от возмущения к выходным пара-
метрам Xi и Xj, и по известной передаточной функции фильтра, формиру-
ющего возмущение, Н$(р) на АВМ набирают модель с передаточными
функциями H^i = рНагНф и Нм j = рН^Нф. На модели легко реализуют-
ся переходные функции хг- и Xj путем подачи на ее вход постоянного на-
пряжения.
Дисперсию определим по формуле
_____________
^xixi~ j* XjXjdt)
о
где постоянный коэффициент k вычисляют по выбранным масштабам и
коэффициентам передачи модели и схемы интегрирования. Интегриро-
вание ведут в течение времени tu протекания переходных процессов
и Xj. При обычных значениях параметров автомобиля время составля-
ет несколько секунд, что обеспечивает очень быстрый расчет на АВМ
дисперсий для линейной расчетной схемы автомобиля.
Наиболее сложной частью модели автомобиля, реализуемой на АВМ,
является модель шины — динамическое звено, преобразующее кинема-
тические параметры движения колеса в реакции дороги: боковую У, про-
дольную X и нормальную Z. Сложность моделирования шины состоит в
том, что все составляющие реактивных сил взаимосвязаны. В гл. 4 были
приведены модели качения колеса с эластичной шиной для исследования
различных случаев движения автомобиля. Схема набора на АВМ одной
из возможных моделей шины показана на рис. 203. Эта модель реализует
нелинейную зависимость нормальной реакции от прогиба шины. В не-
линейной зависимости боковой силы от угла увода учитывается частич-
ное и полное проскальзывание колеса в поперечном направлении и за-
висимость предельной силы по сцеплению от переменной нормальной на-
438 грузки.
Рис. 202. Результаты на-
турного эксперимента —
переезд через единичную
неровность и его моде-
лирования на АВМ (ф —
курсовой угол, g — бо-
ковая деформация ши-
ны):
/ — экспериментальные ре-
зультаты; 2 — результаты
моделирования на АВМ
Рис. 203. Блок-схема на-
бора модели шины на
АВМ:
БУ — блок умножения;
БН — блок нелинейности
Рис. 204. Противоблокировочное устройство:
а — диаграмма работы; б — блок-схема модели, набранная на АВМ; ОР — объект регулиро-
вания (колесо); РЦ — рабочий цилиндр; ГЦ — главный цилиндр; И У — исполнительное уст-
ройство; ПУ — программное устройство; ЧЭ — чувствительные элементы; PI, Р2, РЗ и Р4 —-
поляризованные реле
Большие перспективы имеет применение математического моделиро-
вания для создания и отработки принципиально новых устройств авто-
мобиля и конструктивных решений при его проектировании. С помощью
математического моделирования можно с успехом проверить, какое вли-
яние на движение автомобиля окажет применение устройств, которые
еще не выполнены в металле. Рассмотрим пример такого использования
АВМ для исследования работы противоблокировочного устройства.
В условиях эксплуатации часто наблюдается торможение автомобиля
при разных коэффициентах сцепления по колеям. В этом случае весьма’
велика вероятность заноса, если при торможении колеса окажутся за-
блокированными. Bartle может возникать также вследствие неодинако-
вости тормозных момейтов на осях.
Колесо теряет сцепление с поверхностью дороги, если относительное
продольное скольжение дс превышает некоторое его максимальное зна-
чение (бетах = 0,1 -=-0,2). Можно рассчитать, что угловое ускорение ко-
леса при торможении пропорционально относительному продольному
скольжению и нормальной реакции:
«к= WMarQ)(dT/d&№
Для ограничения скольжения необходимо, чтобы угловое ускорение
не превышало определенного значения соКтах- Эту задачу выполняет про-
тивоблокировочное устройство, основанное на инерционном принципе.
Датчик простого противоблокировочного устройства состоит из махови-
ка и фрикционной муфты. Если ускорение колеса превышает значение,
на которое отрегулирован инерционный датчик противоблокировочного
440
устройства, то последний выдаст сигнал на отключение тормозного мо-
мента.
Диаграмма, поясняющая принцип работы инерционного противобло-
кировочного устройства, показана на рис. 204, а. Пусть в момент вре-
мени t\ резко уменьшился коэффициент сцепления. Ускорение колеса,
начиная с момента Л, возрастает, и в некоторый момент /2 достигает зна-
чения (ок max, на которое отрегулирован датчик. Тогда датчик выдает сиг-
нал исполнительному устройству, отключающему рабочий тормозной ци-
линдр от главного. Тормозной момент Л4Т начинает уменьшаться, и в мо-
мент времени /3 угловая скорость колеса вновь начинает возрастать. В
момент времени Z4, когда угловая скорость колеса сок станет равной угло-
вой скорости маховика соСр, который вращается с постоянным замедле-
нием, заданным регулировкой фрикционной муфты, вновь включается
рабочий тормозной цилиндр и тормозной момент начинает увеличивать-
ся. Далее цикл работы повторяется с периодом tn.
Для исследования работы противоблокировочного устройства в ре-
жиме торможения автомобиля используется его математическая модель,,
реализуемая на АВМ.
Блок-схема противоблокировочного устройства с указанием функци-
онального назначения отдельных ее частей изображена на рис. 204, б.
Для объяснения работы этой схемы будем пользоваться физическими
терминами для всех величин, которые при моделировании задаются со-
ответствующими напряжениями на выходах операционных блоков АВМ.
Основной частью модели противоблокировочного устройства является
триггерное устройство, состоящее из трех поляризованных реле, отрегу-
лированных на работу в двух устойчивых состояниях.
Если ускорение колеса превышает заданное, то срабатывает реле Р2
и через контакты Р2/1 этого реле проходит импульс тока разрядки кон-
денсатора С2, что заставляет перейти триггерное устройство в другое по-
ложение. Исполнительный механизм (аналог реального исполнительно-
го механизма—сливного клапана) отключает подвод жидкости от глав-
ного тормозного цилиндра. Давление в рабочем тормозном цилиндре на-
чинает падать, и соответственно уменьшается действующий на колесо
тормозной момент. Одновременно с включением исполнительного меха-
низма в работу включается программное устройство, которое имитирует
вращение маховика противоблокировочного устройства с постоянным за-
медлением. Скорости ускоренного вращения колеса и замедленного вра-
щения маховика в некоторый момент времени вновь становятся одина-
ковыми, и операционное реле Р\ выдает импульсный сигнал, переводя-
щий триггерное устройство в другое устойчивое состояние. Опять вос-
станавливается подвод жидкости к рабочему тормозному цилиндру, и
тормозной момент начинает возрастать. Программное устройство обес-
печивает в это время равенство угловых скоростей маховика и колеса,
для чего оно автоматически включается в режим задания начальных ус-
ловий.
На рис. 205 показан пример решения уравнений движения автомобиля
на АВМ в режиме кратковременного торможения. Автомобиль двигался
с разными коэффициентами сцепления по колеям (0,25 и 0,50). Противо-
блокировочные устройства были включены на задние колеса и действо-
вали независимо. Вследствие перераспределения нормальных реакций
при торможении изменяется предельная по сцеплению сила на каждом
колесе.
Из приведенного решения видно,, что противоблокировочное уст-
ройство поддерживает величину продольной реакции, близкой к предель-
441
Рис. 205. Решение уравне-
ний движения автомобиля
в режиме кратковременно-
го торможения:
---- движение с противо-
блокировочны м устройством;
----— движение без противо-
блокировочного устройства; *т—
время работы главного цилин-
дра; — время блокировки ко-
леса
ной. Сравнивая это решение с тем, которое получено при отключении
противоблокировочного устройства, видно, что применение противобло-
кировочного устройства не допускает блокировки колес и скольжения и
значительно уменьшает занос автомобиля.
2. Применение ЭЦВМ для исследования
движения автомобиля
При анализе движения автомобиля ЭЦВМ используют для получения
численных значений параметров передаточной функции автомобиля; рас-
чета динамических характеристик движения автомобиля; построения об-
ластей устойчивости движения автомобиля; расчета статистических ха-
рактеристик процессов в линейных колебательных системах; подбора па-
раметров линеаризованных систем при гармонической и статистической
линеаризации модели автомобиля; решения дифференциальных уравне-
ний движения для линейных и нелинейных расчетных схем автомобиля
при заданных детерминированных воздействиях; моделирования системы
дорога — шина — автомобиль — водитель; оптимизации параметров ав-
томобиля по заданным критериям устойчивости, управляемости и плав-
ности хода. Для этих же целей возможно применение ЭЦВМ совместно
с АВМ.
442 Рассмотрим вкратце некоторые типичные случаи применения ЭЦВМ
для расчета параметров движения автомобиля по тем методам, которые
изложены в этой главе.
Анализ на ЭЦВМ динамических и статистических характеристик дви-
жения автомобиля по линейным расчетным схемам производится на ос-
нове матричного представления уравнений движения. Уравнения движе-
ния приводятся к виду
1|£|1Й=1И||И + [В]<Л
где [х]— вектор-столбец выходных параметров; ||А|| и [В] — матрицы ко-
эффициентов, полученные из исходной системы дифференциальных урав-
нений; q*— воздействие на автомобиль.
Для получения характеристического уравнения
| А—ВХ|=0
используется метод Фадеева. Характеристический многочлен записыва-
ется в виде
f (М = + а А + + ... + ап.
Коэффициенты вычисляют по следующим формулам:
п0 = 1;
ai = —Sp Аь
п2 =----Sp А2,
и,/—i = —Sp Ап—1,
ап =---~SpA„,
п
где Ai = А;
где А2=АВЬ В{ = А{ + а{Е\
где Аи-i = АВи-2, В„-2 = Ан-2 + ап_2Е\
где А„ = АВп-ь Вп-{ =АЛ-1 +an_{E.
В этих выражениях SpA — след матрицы; SpA =
Описанный метод построения характеристического многочлена с ус-
пехом можно применить и для расчета передаточной функции, представ-
ленной в виде дробно-рационального выражения
_ bi(j(d)n 1 4- b2(j(d)n 2 4- ЬзЦаУ1 3 4- ... 4-
a0(j(d)n 4- 4- a2(j(a)n^2 + ... +an f (M)
Числитель этой передаточной функции представляет собой определи-
тель матрицы А = А —Е (ja), в которой i-й столбец заменен на [В]. Рас-
крывая определитель по элементам столбца [В], получим
п П
~ 2 1 ак/0®)" 2 + • • • + апц\ bj,
j=*i
где Ац — алгебраическое дополнение элемента аг;- матрицы А. Для вычи-
сления многочлена ОчнД/со)”-1 + вцД/ш)”-2 + ... + апц используем метод
Фадеева. Таким образом, получаем матрицу числителей передаточных
функций
443
Для расчета на ЭЦВМ дисперсий процессов при постоянной спек-
тральной плотности воздействия, приведенного к ее входу, используется
формула
— Т—--------•
В этой формуле Dn — определитель, составленный из коэффициентов
характеристического уравнения:
rfll ^12: . . .
^2] d2z . . .
^31 ^32 ^зз . . .
... . . . ... . . . ...
^п2 ^n3 . • . &пп
где dtnr = а2т-г при п^>2т—и dmr=0 при п<2/и—г<0,
a Nn— определитель, полученный из Dn заменой 1-го столбца коэффи-
циентами при четных степенях аргумента (/со) в многочлене
+ bzti®) 2 + Ь3(](й)п 3 + ... + .
Условия устойчивости движения автомобиля определяются путем про-
верки знаков определителей Дь Дг, ...» Дп-ь которые выделены в опреде-
лителе Dn штриховыми линиями. Необходимые и достаточные условия
устойчивости имеют следующий вид:
Д} Oj Д2 0; ... ДЛ j Oj
ао>О; ах > 0; ... ап > 0.
Для расчета на ЭЦВМ частотных характеристик автомобиля преоб-
разованные по Лапласу уравнения движения представляются в виде
Р2||Д||И + р||С||[х] + |^||[х] = [В1]<7* + р[В2]^ +
+ [В3] q* е-Р* Ч- р [В4] q* е-”*.
Проведем Фурье-преобразование соответствующей системы диффе-
ренциальных уравнений и получим матрицы
Л = -0>2||£|| + И||; Р=<в||С||.
Вычислим матрицы
G = (A + PA~'P)~'; D=—GPA~>.
Действительную Re (со) и мнимую Im (со) части матричной частотной
характеристики автомобиля вычисляют по формулам:
Re (со) = G [В J—coD [В2] + G [В3] cos сот + D [В3] sin сот +
+ <oG [В4] sin сот—coD [В4] cos сот;
Im (со) = D [BJ + <aG [В2]—G [В3] sin сот + D [В3] cos сот +
+ coG [В4] cos сот + со£) [В4] sin сот.
Моделирование на ЭЦВМ курсового движения автомобиля сводится
к решению системы дифференциальных уравнений с помощью стандарт-
444 ных программ. Существенной особенностью модели автомобиля, которая
может быть исследована на ЭЦВМ, является возможность включения в
нее логических переходов, позволяющих в зависимости от режима дви-
жения автомобиля изменять структурную схему модели. Так, например,
можно значительно уточнить описание модели колеса, учитывая в ней
возможность перехода от режима качения без скольжения к режиму ка-
чения со скольжением в продольном и поперечном напряжениях, блоки-
ровки колес и т. д.
Исследование нелинейной модели при действии случайных возмуще-
ний возможно при задании конкретной реализации случайного возмуще-
ния или с помощью алгоритма получения псевдослучайного возмущения.
Работы по моделированию движения транспортных средств на мате-
матических машинах, сопряженных с физической моделью рабочего ме-
ста оператора (водителя), ведутся во ВНИИСтройдормаше. Применяе-
мые в этих работах методы позволяют исследовать некоторые вопросы
взаимодействия машины и человека в отношении виброзащиты рабочего
места и управляемости [130].
Известны примеры использования аналого-цифровых комплексов для
моделирования движения автомобиля. В аналоговой машине ведется не-
посредственно интегрирование дифференциальных уравнений, а цифро-
вая машина служит для задания нелинейных функций, программы рабо-
ты и обработки результатов. Применение ЭЦВМ для обработки резуль-
татов очень эффективно даже в том случае, если моделирование движе-
ния автомобиля проводится на АВМ.
В заключение отметим, что математические машины находят все
большее применение для исследования движения автомобиля. Это каса-
ется как аналоговых, так и цифровых вычислительных машин. Выбор
конкретного метода решения задачи должен определяться исходя из спе-
цифики применяемой расчетной схемы, количества вариантов, возмож-
ности повторения аналогичных расчетов, требуемой точности и наглядно-
сти. а также стоимости исследовательской или конструкторской работы.
в.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ
МОДЕЛЬ ВОДИТЕЛЯ.
МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОГО
§ 1. АНАЛИЗ СИСТЕМЫ АВТОМОБИЛЬ — ВОДИТЕЛЬ
1. Приведение системы автомобиль — водитель
к эквивалентной одноконтурной схеме
регулирования
При управлении автомобилем водитель производит весьма сложные
действия. Он осуществляет как непрерывные, так и дискретные
операции. Оценка допустимого коридора движения, выбор наилучшей
траектории движения, оценка отклонения автомобиля от нее и так далее
производятся почти непрерывно, но решение на проведение маневра
принимается тогда, когда водитель почти уверен в том, что автомобиль
отклоняется от наилучшей траектории в определенную сторону. При
этом прогнозируется движение автомобиля, рассчитывается траектория
движения и соответствующий поворот управляемых колес так, чтобы
выйти на наилучшую траекторию при наименьшей работе рулевым
колесом, оставаясь в пределах допустимого коридора движения.
Развернутая структурная схема управляемого движения автомобиля
показана на рис. 206. Центральная нервная система водителя получает
самую разнообразную информацию о движении автомобиля, допусти-
мой ширине коридора, отклонении автомобиля от его средней линии
и т. п. Эта информация, идущая от различных органов чувств водителя,
передается по разным каналам так, что сигналы, поступающие
в центральную нервную систему, имеют различные задержки во време-
ни и ошибки (погрешности оценки той или иной величины водителем).
Так, например, оценка линейного отклонения \у автомобиля от средней
линии коридора г/0 складывается из многих сигналов: зрительной
оценки величины Аг/ (задержка ti и погрешность 61); зрительной
оценки скорости линейного отклонения \у (задержка т2 и погрешность
б2); оценки поперечных ускорений у и третьей производной от попереч-
ных перемещений автомобиля у на основе вестибулярных ощущений
(тз, т4 и дз, б4); зрительной оценки кривизны дороги в плане kQ и т. п.
При оценке величин у и у «учитывается» также составляющая попереч-
ных перемещений, вызванных вертикальными колебаниями z автомоби-
ля на подвеске (точнее, угловыми колебаниями в поперечной плоско-
сти). Кроме того, оценка линейных отклонений уточняется на основе
оценки угловых отклонений Дф и их скоростей Дф, а также угловых
ускорений ф и третьих производных углов поворота автомобиля отно-
сительно вертикальной оси ф.
Оценка угловых отклонений Дф проводится аналогично оценке
линейных.
Оценка ширины допустимого коридора движения и его средней
линии г/о производится на основе только зрительных ощущений и
отличается от остальных оценок тем, что делается с упреждением на
некоторое время Т, так как водитель видит дорогу впереди движущего-
ся автомобиля.
Центральная нервная система вырабатывает сигнал 0', который
с задержкой тп подается мышцам водителя Af; бц — ошибка исполне-
ния мышцами водителя команд центральной нервной системы.
Информацию о действительном угле поворота рулевого колеса 0
447
центральная нервная система получает почти исключительно посред-
ством проприоцептивных ощущений.
Линейное у и угловое ф перемещение автомобиля определяются
углом поворота рулевого колеса р и внешними возмущениями di2 и di3,
вызванными в основном вертикальными колебаниями автомобиля.
Другими источниками возмущений являются ветер, поперечные уклоны
дороги и т. д.
На рис. 206 показаны не все сигналы, поступающие в центральную
нервную систему водителя, и не все «внутренние связи». Однако опре-
деление этих параметров является неразрешимой задачей. Тем не менее
на основании приведенной схемы при общих допущениях можно сделать
ряд важных выводов относительно модели управляемого движения
автомобиля. Наиболее важный вывод — возможность сведения общей
схемы к двух- и одноконтурной схемам регулирования.
Рассмотрим приведение системы к двухконтурной схеме. Прежде
всего следует отметить, что, оценивая своими органами чувств вели-
чины Ду, Ду, Дф, Дф и т. д., водитель фактически оценивает непрерыв-
ные функции времени, довольно жестко связанные между собой (хотя
центральная нервная система, может быть, воспринимает эту инфор-
мацию в некотором смысле «дискретно»).
Две функции будем считать жестко связанными, если одна из них
является некоторым преобразованием другой. Например, функции
Ду(0 и Ду(/) связаны соотношением (по определению)
Ду (/) = рДу (/), где р = d/dt.
Рассмотрим сигналы, поступающие в центральную нервную систему
водителя. Все погрешности do, др ...» дн будем считать случайными про-
цессами, независимыми друг от друга, от dj2, 613 и у0. Такое предполо-
жение вполне оправдано, так как процесс самообучаемости водителя
приводит к тому, что в оценке той или иной величины остается только
случайная погрешность, а систематическая отсутствует.
Сигнал z, содержащий информацию о вертикальных колебаниях,
позволяет несколько уменьшить погрешность оценки величин Ду, Ду, у
и т. д. При наличии вертикальных колебаний эта погрешность стано-
вится намного больше, чем при их отсутствии. Дополнительная
информация о вертикальных колебаниях, получаемая центральной
нервной системой, позволяет уточнить оценку боковых отклонений
путем вычитания перемещений, вызванных наклонами кузова при вер-
тикальных колебаниях, из полных боковых перемещений. Таким обра-
зом, сигнал z влияет только на уровень погрешностей до, др..
В дальнейшем сигнал z рассматривать не будем, но примем, что
погрешности до, др., зависят от интенсивности вертикальных колебаний.
Сигнал у будем считать поперечным ускорением той точки кузова,
ускорение которой в наименьшей степени зависит от вертикальных
колебаний автомобиля на подвеске. Кроме того, учтем, что сигнал ф0
(угол наклона касательной к средней линии коридора у0) может быть
получен из сигнала у0 с помощью преобразования Ф:
4>0 = Фг/0.
Тогда система автомобиль — водитель, изображенная на рис. 206,
элементарным преобразованием приводится к двухконтурной схеме ре-
448 гулирования, показанной на рис. 207.
Рис. 207. Двухконтурная структур-
ная схема управляемого движения
автомобиля
Рис. 208. Эквивалентная двухконтур-
ная схема
29 Заказ 3363
(6.1)
Эквивалентная двухконтурная схема регулирования изображена
на рис. 208. Сигнал 0 (проприоцептивные ощущения) на схеме не
показан, так как является сигналом внутренней обратной связи.
Преобразование В\ — нелинейное преобразование трех полезных сиг-
налов уо, у, -ф и шума б(,) — эквивалентно преобразованию, осуществляе-
мому элементом схемы на рис. 207, обведенным штриховой линией.
Однако для ряда случаев последняя схема допускает дальнейшее упро-
щение и приводится к эквивалентной одноконтурной схеме. Предвари-
тельно рассмотрим сигналы на выходе автомобиля. Из-за наличия
внешних возмущений 6t2» 613. обусловленных в первую очередь верти-
кальными колебаниями, процессы 0(0» #(0» М>(0 не имеют жесткой
связи. Однако в общем случае можно указать такие преобразования Л,
и Л 2, что
У = Л1 [Р + бр];
ф = Лг [Р + бр] + Ди
где бр = Лр’би — внешние возмущения, приведенные к эквивалент-
ному (по линейным перемещениям) углу поворота рулевого колеса;
Ан = би — ЛгЛ7*612 — угловые отклонения, не приведенные к углу
поворота рулевого колеса (Л71 — преобразование, обратное Л^; про-
цессы 6р и Ан почти независимы. Если внешние возмущения не слиш-
ком интенсивны, то за преобразования Л] и Лг в первом приближении
можно принять те преобразования, которые имеются при отсутствии
внешних возмущений. Лишь при очень интенсивных возмущениях (на-
пример, при частых отрывах шины от дороги) и при движении автомо-
биля, близком к заносу, преобразования At и Л2 начинают заметно
изменяться. Таким же образом к эквивалентному углу поворота управ-
ляемых колес можно привести угловые перемещения, вызванные
внешними возмущениями. Тогда
У == Л1 [0 + бр] + Дн; ф = Лг [0 + бр].
Из (6.1) следует, что сигналы у и ф связаны соотношением
Ф=Л2Л7‘[у] + Ди- (6-2)
Согласно выражению (6.2) сигнал яр определяется сигналом у
с точностью до Дн, т. е. до отклонений, вызванных внешними возмуще-
ниями, не приводимыми к эквивалентному углу поворота рулевого
колеса.
Учитывая (6.2), схему (рис. 207) можно преобразовать так, как
показано на рис. 209.
Согласно сделанным предположениям Дн, 65, бе, 67, бе можно считать
независимыми. Если погрешностями Дн, Дн, Дв, Дн можно пренебречь
по сравнению с 65, бе, 67, бе соответственно, то приведение системы
к одноконтурной оказывается вполне корректным при любом преоб-
разовании, производимом центральной нервной системой. Это пред-
положение вполне допустимо, если внешние возмущения полностью
определяются вертикальными колебаниями и движение происходит
без заносов.
Эквивалентная одноконтурная схема управляемого движения
автомобиля показана на рис. 210. Здесь предполагается, что преобра-
зование В2 является однозначным. Все погрешности работы водителя
450 определяются случайным шумом б(2), который может накладываться
Рис. 209. Одноконтурная структур-
ная схема управляемого движения
автомобиля
Рис. 210. Эквивалентная одноконтур-
ная схема
на полезные сигналы аддитивно (абсолютная погрешность), мульти-
пликативно (относительная погрешность), проявляться, например,
в случайном изменении времени задержки сигнала в звене В2 и т. п.
Однако преобразование В2 является нелинейным преобразованием трех
сигналов: шума б(2) и двух полезных сигналов уо и у. Поэтому опреде-
ление этого преобразования по экспериментальным данным без
специальных дополнительных предположений представляет собой почти
неразрешимую задачу. Предположение о линейности преобразования В2
радикально разрешает математические затруднения, хотя и может пока-
заться на первый взгляд слишком грубым.
Реакция водителя в общем случае не является линейным преобра-
зованием входных сигналов. Но нелинейности носят очень сложный
характер, и эффект, обусловленный нелинейностью водителя, чаще
всего почти полностью «маскируется» чисто случайной ошибкой работы
водителя, не зависящей от входных сигналов. По-видимому, опытный
водитель может осуществлять операции над входными сигналами, близ-
кие к наилучшим линейным операциям в присутствии шума. Эквива-
лентная линеаризованная одноконтурная система показана на рис. 211,
где Ai и А2 — передаточные функции автомобиля по линейным y(t) и
угловым ф(/) перемещениям; до(О и 6y(t) —случайные шумы — экви-
валентные погрешности оценок соответственно средней линии коридора
и линейных отклонений автомобиля Ду == уо — у. Передаточные функ- 451
29*
Рис. 211. Эквивалентная линеаризованная одноконтурная система
Рис. 212. Эквивалентная линеаризованная одноконтурная система при //[ s О
ции «водителя» по yo(t) (разомкнутая часть системы) и по Д//(0
(замкнутая часть) условно разбиты на чистые сдвиги по времени
и передаточные функции:
е+рт, Н? и е—₽т, Н}.
Если кривизна средней линии коридора практически равна нулю,
что соответствует движению автомобиля по автостраде (без обгонов),
то разомкнутая часть системы оказывается лишней и можно принять
Н+ = 0. Эквивалентная схема для этого случая движения показана
на рис. 212, где Н2 = ъ~рХН2—эквивалентная передаточная функция
водителя по линейным отклонениям Д#.
2. Математическая модель автомобиля
При построении модели водителя будем считать и Д2 известными
линейными преобразованиями. Ниже будет получен конкретный вид
этих преобразований, соответствующий расчетной схеме автомобиля,
изображенной на рис. 213, где Сх'у'— подвижная система координат,
неизменно связанная с автомобилем; Охххух — подвижная система коор-
динат, связанная со средней линией коридора (ось Охух является нор-
малью к средней линии коридора в точке Ох и проходит через центр
тяжести автомобиля С, а ось Оххх направлена по касательной к средней
линии в сторону движения автомобиля); Оху — неподвижная система
координат, неизменно связанная с дорогой; \у — линейное отклонение
452
автомобиля от средней линии коридора; фо — угол наклона касательной
к средней линии коридора; ф — курсовой угол автомобиля (угол между
осью Ох и продольной осью автомобиля); Дф — угловое отклонение
продольной оси автомобиля от касательной к средней линии коридора;
vc — скорость центра тяжести автомобиля; vy' —проекция vc на ось
Су'; va — проекция vc на ось Сх'; |i и — боковые деформации шин
передних и задних колес; yi и у2 — углы наклона набегающих волокон
средней линии шин передних и задних колес; 0 — угол поворота управ-
ляемых колес; Qi и Q2 — боковые реакции на передней и задней осях.
Кроме того, введем следующие обозначения: р — угол поворота
рулевого колеса; <р = (3/0 — передаточное число рулевого привода;
Afa — масса автомобиля; Izz — момент инерции автомобиля относитель-
но вертикальной оси, проходящей через его центр тяжести; Q, и с$2 —
боковые жесткости шин передней и задней осей; Kg, и Кь2 — коэффи-
циенты сопротивления уводу шин передней и задней осей; ах и а2 — ко-
эффициенты кривизны набегающих волокон шин передних и задних
колес: kQ — кривизна средней линии коридора в точке О{.
Будем рассматривать движение автомобиля с постоянной скоростью
(va = const).
Положение автомобиля в системе координат, неизменно связанной
с дорогой, определим тремя координатами: х = х(/); у = y(t); ф = ф(0,
а в системе координат, связанной с траекторией,— двумя координатами
Ау = Д//(0 и Дф = Дф(/).
Углы 0, Дф, у1 и у2 будем считать малыми, кроме того, примем, что
Дг/ мало по сравнению с радиусом кривизны средней линии k~l. Тогда
с точностью до малых второго порядка скорость центра масс и скорость
точки 01 будут равны скорости va. Кривизну средней линии коридора
будем считать известной функцией времени k0(t).
Движение автомобиля будет описываться следующей системой
линейных дифференциальных уравнений:
Vy' = 'тМ1 +~%Г^~ рай
Л1а
ас* be* ~
’P=-7k-gi---^2,
l22 1 22
ti= — Vy'— аф + 1»а0 +vaYb
|2 = —Vy, + + Uay2;
Vi = — Ф—6—ЦА +-— ;
к cs. J
/ Ke \
T2 = — Ф— Vaa2 h + —2- ?2 •
\ cb /
(6.3)
Определив из этих уравнений vy< и ф(/), найдем обобщенные коор-
динаты автомобиля:
t t
ДФ(/)=Ф(О-»аро(0Л; Ду = р^'(0 + (6-4)
О о
Если угол ф мал, то обобщенные координаты у и х с точностью
до малых высших порядков будут также линейно связаны с решением
системы (6.3):
J = + (65)
х = На-
следует подчеркнуть, что требование малости Дф при управляемом
движении всегда удовлетворяется, в то время как фо (а следовательно,
и ф = фо + Аф) мало только для некоторых конфигураций средней
линии коридора. Поэтому уравнения (6.4) пригодны в любом случае,
а уравнения (6.5) —для определенных вариантов. Кроме того, вели-
чина Аг/ в отличие от у мала, поэтому уравнения (6.4) удобны при
моделировании управляемого движения на АВМ.
Уравнения (6.5) могут быть получены из уравнений (6.4), если по-
ложить kQ(t) = 0, ф0 = 0, поэтому преобразования А\ и А2, описывае-
мые уравнениями (6.3) и (6.4), тождественны преобразованиям (6.3)
и (6.5). Вводя оператор дифференцирования р = djdt, преобразования
Ai и А2 можно записать в следующем виде:
А1(р) = (OjUa рРгг(Р) +Vafin (р) . (6.6)
р2 (р) Dzdp) + ^1г(р)^21(р)
А2(р) = <О1Уа &21 (Р)
р ^11 (р)^22(р) + Аг(р)^21(р)
где
£>11 (р)— 1с р^\(р) + р + ®1,
(6.7)
D12(p) = /ггР^Маи? Slip) + ар + а®! + va,
454
Du (p) = r c a P$2 (P) + P + ©2’>
52
DM = IzzP^MaVa S2(P) + bp + &a>2- va;
Ke, 4
Ю1 = Vadi ----— ; ®2 = Vafl2---- ;
% %
$\(р) — Р +®iP + ©iG S2(p) = p2 + ®2p + ®2i;
2 2 2 2
©11 = ©21 = ^аП2»
(6-7)
(6.8)
(6.9)
Преобразования (6.6) достаточно сложны для использования, од-
нако они допускают ряд существенных упрощений:
1. Если
с^а^с^Ь-, 31(р) = 52(р) = 5(р) = р2+Ю1Р + «>?1, (6.10)
ТО
0>,VafeA| [р4+ + + ^2)р2 + юЛ2Р+у^2ь~‘] ,g ц.
Lp2 [p3 + <oIp2+(<i>f| +Л.|)р + ю1х|] [р3+а>1р2+ (<°11 +М)р + ш1М]
(o.v X? 1
л2 = —La-2---------------1------------, (6.12)
LP p3 + tt)1p2 + ((i)f ! Ч-Х^р + СО^2
где Xi = У Lc^ /(ЬМа) и Х2 = VaLc^ jlzz — частоты собственных коле*
баний соответственно линейных центра тяжести автомобиля и угловых
автомобиля в горизонтальной плоскости при иа = 0.
2. Если скорость движения достаточно велика, то влиянием боковой
жесткости шин можно пренебречь, т. е. принять £1,2—> оо и q1>2 ->оо,
тогда преобразования и Д2 примут вид:
Ч 2 *М* к<М
J_____________________ма Р + Mal22va Р + Ма122___________________.
р* , ^б^ + К6гЬ2) + 1М, + К6г) Кб1К6гЬ2-МаУ2а(К6а-КйЬ) '
Malzzva
(6.13)
J__________________________[гг_____MaI;,zVa_____________________
Р МЛ^а2 + ^2) + ^(К6{ + Кб2) K6lK61L2-Mav2a(K6a-K6b) ’
М I V2
а 22 а
(6-14)
Анализ формул (6.6) показывает, что передаточную функцию Ai,
соответствующую преобразованию Ai, можно приближенно выразить
так:
Р2(р + Юо)
Ао(р),
(6.15)
455
где
«alMt + K6t) + «aMa(K6a^+K6^ ’
______________________
fMl+K62)+Ma(K6a^+ K6by
(6.16)
(6.17)
| До(/<о) | ~ 1 — для частот меньше 1 Гц.
Поскольку управление автомобилем производится в основном на
частотах меньше 1 Гц, то передаточную функцию автомобиля можно
задавать в виде
Д>(р)~
ftp______
р2(р + <о0)
(6.18)
При скорости, равной критической, <оо = 0. Если о>о > 0, то скорость
ниже критической, а при юо < 0 скорость выше критической.
Если скорость автомобиля намного ниже критической или если та-
ковой не существует, точнее, если юо 1, то передаточную функцию
автомобиля можно задать в виде
где
A1==_^=2Lr!
(do L
^а(К6а-К6Ь)
(6.19)
(6.20)
Если поворачиваемость автомобиля близка к нейтральной, то
(6.21)
При приведении системы к одноконтурной большое значение имеет
преобразование Д2Л71 . Анализ формул (6.6) показывает, что для
частот, на которых происходит управление (меньше 1 Гц), справедливо
соотношение
а2ат'^-^-.
(6.22)
§ 2. ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛИ ВОДИТЕЛЯ
1. Экспериментальное исследование управляемого
движения автомобиля
Передаточную функцию водителя Н2 и спектральные плотности шумов
в схеме (см. рис. 212) можно определить экспериментально.
Если условия эксперимента таковы, что неприводимыми возмуще-
ниями можно пренебречь (Дн ~ 0), то достаточно записать угол пово-
рота рулевого колеса 0(f) и курсовой угол автомобиля ф(/).
Для движения автомобиля по прямой дороге (г/о = 0)
Р = Я2б9-Я2!/;
у = + Л]Р;
456 ф = Л 2 Л Г1 у + Ди.
(6.23)
Решив эту^ систему относительно 6^, 63, Ди, найдем спектральные
плотности и взаимные спектральные плотности этих процессов:
КЪу = I н2 Г2К₽₽ + Куу + Н'г'Кьу + Я^Ч; (6.24)
Ч = Ч +1 л, ГЧ-ДГ'Ч-ЛГ'Ч; (6.25)
Ч=Ч+1 а2ат' Г Ч-л24г'ч-(л24г')’Ч; (6.26)
К6^у=-Н2'К^ + А'г'Куу-К^ + НТ'А]-1Ку^ (6.27)
Ч«, = Я?'Ч + Ч-(42ДГ*)‘ Куь~(А2АТ'У Куу, (6.28)
где Ч = 4; Ч=4- (6-29)
Вследствие независимости процессов 6y(t) и дз(0 их взаимная
спектральная плотность К^ьу =0. Используя (6.29) и решив уравне-
ние (6.27) относительно H2t получим
Я2 = Ч~Л!..-Ч (6.30)
Ч = I н2 г2 Ч + Куу + 2Re {ЯТ'Ч}; (6.31)
Ч = К№ + | Д, I2 4-2Re {ДГХр) (6.32)
Ч = Ч + ИгДГ112 Куу-2Re {Д2ДГ'Ч). (6.33)
Приняв Д„ = 0, из (6.23) получим
г/= 41474,
откуда
Ч=1>МгТЧ; к^а^'УКы, (6.34)
где Кфр —взаимная спектральная плотность процессов ф(/) и р(/).
Подставив (6.34) в (6.30), (6.31), (6.32), будем иметь:
я2 -------; (6.35)
4] * | 2 4,42 '^4>р
К6у = \Н2Г2К№ +|4147l|2Kw + 2Re^7I(4147,)t/<4)p); (6.36)
Ч = + |42r24t-2Re МГЧ). (6.37)
Формулы (6.26), (6.30) — (6.33) позволяют определить Я2, Хб^, Кез ,
Кдн. если известны спектральные плотности Куу, Ку^
К^у процессов y(t), ф(0» ₽(0, а формулы (6.35) — (6.37) — если из-
вестны Кфф, процессов t|)(/) и р(/). Оценки спектральных
плотностей могут быть получены экспериментально по реализациям со-
ответствующих случайных процессов.
Таким образом, формулы (6.26), (6.30) — (6.33) и (6.35) — (6.37)
делают принципиально возможным экспериментальное определение
необходимых характеристик управляемого движения автомобиля. Так
как запись и обработка линейного отклонения автомобиля на участках
большой протяженности (несколько километров) практически невоз-
можны, то для определения передаточной функции Н2 следует восполь-
зоваться системой (6.35) — (6.37).
457
Рис. 214. Примеры осциллограмм
Следовательно, при экспериментальном исследовании необходимо
получить запись процессов -ф(0 и р(/). Для проведения экспериментов
использовался автомобиль «Москвич-423».
Угол поворота рулевого колеса измерялся датчиком потенциомет-
рического типа, укрепленным на рулевой колонке, а курсовой угол —
гирополукомпасом ГПК-52. Процессы регистрировались шлейфовым
осциллографом типа К-12-21.
Эксперименты проводились на динамометрической дороге автопо-
лигона НАМИ с группой водителей, состоящей из 5 человек. Водители
проезжали прямолинейный участок длиной 4 км с постоянной скоро-
стью. Диапазон скоростей движения 30—100 км/ч. Все заезды были
разбиты на две группы: с «узким» и «широким» коридорами движения.
В первом случае коридором служила половина полосы движения,
ближайшая к осевой линии, во втором — вся полоса. Примеры осцилло-
грамм приведены на рис. 214.
На основании экспериментальных данных были определены стати-
стистические корреляционные функции. В качестве оценок корреляци-
онных функций использовались следующие:
т J [t(0— 'йф] [м—6)—/Пф] dt; (6.38)
0 т
&w(6) — _Х_ j* [Р(0—[р(/_0)_т3]Л; 0 (6.39)
т —— f [4(*—6)—[Р(0—dt при 0 > 0; Т—0 J
= т (6.40)
- f [4(0 —"ч] [₽(^—16D—dt при 0 <0, Т-101 J
458
Рис. 215. Схема получения корреляционных функций на АВМ
где &до(0) и ^(0)—оценки корреляционных и взаимной
корреляционной функций стационарных и стационарно связанных эрго-
дических случайных процессов ф(0, ₽(0> вычисленные по их реализа-
циям ф(/) и р(0, заданным на конечном интервале времени 0—Т\ m ф
и тр —оценки математического ожидания т± и тр этих процессов,
вычисленные по тем же реализациям:
т
/Пф = -^-J
о
т
о
(6.41)
(6.42)
Вычисления по формулам (6.38) — (6.42) для процессов ф(/) и р(/)
проводились при помощи АВМ и специального прибора, преобразую-
щего график осциллограммы в непрерывный электрический сигнал.
Схема получения взаимной корреляционной функции согласно
формуле (6.40) показана на рис. 215. Ее вычисляют для дискретных
значений аргумента 0. Напряжения U\ и U2 моделируют процессы р(/)
и ф(/). Сдвиг одного процесса на время 0 осуществлялся блоком
постоянного запаздывания БПЗ. Операция умножения производилась
сервомультипликационным блоком умножения БУ. Операционный уси-
литель У4 использовался для интегрирования, а остальные для измене-
ния масштабов. Чтобы вычислить ординаты взаимной корреляционной
функции при 0 < 0, необходимо поменять местами входы схемы.
При определении собственных корреляционных функций &фф(0) и
(0) использовался только один вход. В этом случае сигнал после
усилителя Уб (или У 2) подавался на блок постоянного запаздывания. 459
После вычисления корреляционных функций определялись стати-
стические нормированные функции по формулам:
р^(0) = Л*^==Л±^_; (6.43)
(0)
fcftR(0) £>й(0)
p₽p(0)=-#LL = -e?r-L; (6.44)
*рц(°) °р
-в(е)_ м<»> =_WL. (6.45)
V ^,ф(0)^р(0) V
где £>ф и —статистические дисперсии процессов ф(/) и р(0-
Примеры корреляционных функций приведены на рис. 216 и 217.
2. Определение структуры эквивалентной передаточной
функции водителя
В предыдущем разделе были получены формулы (6.35) — (6.37) для
определения передаточной функции Н2 и спектральных плотностей
шумов Кьу и . Однако непосредственное их использование затруд-
нено, так как на основании экспериментальных данных нельзя абсолют-
но точно определить спектральные плотности случайных процессов или
их корреляционные функции вследствие неизбежной погрешности
конечной выборки. Погрешности приводят к недостаточно точному
определению передаточной функции Н2. Небольшие погрешности
в определении передаточной функции Н£ могут привести к тому, что
характеристики модели замкнутой системы будут существенно отли-
чаться от характеристик реальной системы. Поэтому желательно
предварительно найти структуру звеньев Н{ и Н2, для чего можно
использовать такие условия, как устойчивость системы, физическая
осуществимость Я2, конечность дисперсии р(/) и \y(t) и т. п. Если
структура звеньев Н{ и Н2 задана, то экспериментальные данные можно
использовать только для оценки неизвестных коэффициентов, между
которыми имеются дополнительные связи.
Структуру звеньев Н\ и Н2 найдем на основании принципа наимень-
шей затраты сил. Точнее, примем, что из всех возможных способов
управления водитель выбирает такой, который обеспечивает наимень-
шую утомляемость при нахождении автомобиля в пределах допустимо-
го коридора движения.
Можно предположить, что утомляемость водителя определяется
следующими факторами:
1. Погрешностями оценок линейных отклонений автомобиля и
средней линии коридора. Работа с меньшими погрешностями 6о(О и
бу(/) требует большего напряжения.
2. Временем задержки т. Работа с наименьшим временем реакции
является чрезвычайно напряженной.
3. Сложностью преобразований и Н2.
4. Интенсивностью поворота рулевого колеса и усилиями, при-
кладываемыми к нему (физической работой).
Согласно принципу наименьшей затраты сил задачу по определе-
нию Н{ и Н2 поставим следующим образом. Преобразования Ai и А2
460 будем считать заданными и линейными, а внешние возмущения д/з(О
Рис. 216. Экспериментальные нормированные корреляционные функции (первый во-
дитель, t»a = 25 м/с)
и Дн(0 и среднюю линию коридора у0(/) —заданными стационарными
случайными процессами.
Зададим спектральные плотности шумов до(О и 6y(t), задержку т
и время упреждения Т. Тогда неизвестными будут только передаточные
характеристики Нх и Н2, которые определяются из условия минимума
физической работы водителя
M{|B[₽]|2} = min (6.46)
при дополнительных ограничениях:
М{|Ду|2}<е1; М{| Ду|2} <е2; М{|₽|2}<е3, (6.47)
т. е. ограничиваются отклонение автомобиля от средней линии коридора
движения, скорость отклонения и углы поворота управляемых колес;
преобразование В определяет физическую работу водителя. Кроме того,
на преобразования Я+ и Н£ накладывается условие физическом
осуществимости.
Можно показать, что для любых еь е2, ез найдутся такие постоянные
Ль Л2, Лз, при которых условие (6.46) при дополнительных ограничениях
(6.47) оказывается эквивалентным условию
<р = М {| В [₽] |2} 4- Л,М ' | Ду |2} + Л2М {| Ду р} + Л3М {| ₽ = min (6.48)
без дополнительных ограничений (если не считать условия физической
осуществимости).
Уравнения системы, показанной на рис. 211, имеют вид:
у = Л1 (₽ 4- 6р);
р = грнГ (у0 + б0) + <ГХРН1 (у0-у + 6У)
или
у = G^yo 4- б0) 4- б2(у0 4- 4- Д16р; |
Р = Д( 1 б।(у0 4” 60) 4~/11 б2(у04-б(/—/116р), J
где передаточные функции соответственно разомкнутой и замкнутой
частей системы определяются по формулам:
g еТрН^(р)Лх(Р)
l+e-^f(rt41(rt' (6.50)
е-"Н?((>)Л1И
б 2 =-----------------.
1+е-^/7+(р)Д1(р)
Поскольку время упреждения Т достаточно велико, (водитель видит
поворот намного раньше, чем нужно начинать на него «реагировать»),
то на передаточную функцию G\ условие физической осуществимости
не накладывается. Передаточную функцию б2 удобно представить
в виде
G2 = e-T₽G?, (6.51)
где на передаточную функцию 6J накладывается только условие
464 физической осуществимости.
Подставив (6.49) и (6.50) в (6.48) и проведя варьирование по
и G2, получим функциональные уравнения Винера — Хопфа, определяю-
щие Gi и G + :
|ар + Хз+МЧ4и2+Х,|Д,р + Кб) + e-^GjК,о]-
I 1 г
-(X, + ^®2)KFo = 0;
-L8ii±.h+^i4H2+4H.ji2. [о? (л;о + к6 у +1 а , |2 к6 р) +
I Л ! г у
+ еХ1>"ОхКУо] -(Х1 + М2)/^. = ф-(ш),
(6.52)
где Кбо, К& , /Сбр, КУй— спектральные плотности стационарных слу-
чайных процессов до(О» бу(0» бр (0» #о(О» которые считаются незави-
симыми, а Ф“(<о)—вспомогательная функция, аналитическая в
открытой верхней полуплоскости. Из уравнений (6.52) следует
G = (Х1 + Х2со2)|41р
1 [ |В|2 + х3+М2М||2+^|И|12
DC*,— Л/ = Ф~((1)),
S
(6.53)
(6.54)
где
D____ | В |2 4~ ^-з А,2<о2 |Д 1 j2 + |Д 112
Mil2
N = ег'“(Х1 + Х2ю2)
КбЛ‘'0 +Кб + |Л1|2К6в
Ч+^о у 3
(6.55)
(6.56)
Если функция 0(<о) допускает факторизацию
D = D+(w)D+’((o),
где все нули и полюсы D+ расположены в верхней полуплоскости, то
решение уравнения (6.54) имеет вид
оо оо
G2+= [d+]-'J-Je-'--»' J (6.57)
0 —oo
Требование физической осуществимости преобразования G +
является необходимым, но недостаточным условием того, чтобы преоб-
разование Н + было физически осуществимым, а система в целом
устойчивой, что обязательно. Согласно выражению (6.49) для устойчи-
вости системы необходимо, чтобы устойчивыми были также и преобра-
зования A^Gz и Д1(1 — G2). Если преобразование А{ устойчивое и
минифазное, то устойчивость системы следует из устойчивости G2. Мож-
но также показать, что физическая осуществимость преобразования
Н+ в этом случае также следует из физической осуществимости GJ:
Я+ = ДГ'О?(1—e-'QTGj)-'. (6.58)
Если же преобразование Aj неустойчиво (скорость автомобиля выше
критической), то из физической осуществимости G} устойчивость
преобразования /41(1 — G2) уже не следует и на G} должны быть
наложены дополнительные ограничения, значительно усложняющие
решение. Таким образом, формула (6.58) является справедливой лишь 465
30 Заказ 3363
в случае устойчивости преобразования Формула (6.53) справедлива
в любом случае, так как на преобразование G{ условие физической
осуществимости не накладывается.
Теперь зададим конкретный вид спектральных плотностей 2Q0, КУо,
K6fi.
Эквивалентные погрешности оценок средней линии коридора и
линейных отклонений бо и 6У в первом приближении можно считать
белым шумом, так как абсолютная погрешность измерений ему экви-
валентна. Разумеется, погрешность бо зависит, например, от кривизны
средней линии: прямую дорогу трудно перепутать с кривой, но мы
считаем все процессы стационарными и принимаем, что спектральная
плотность бо зависит от спектральной плотности yQ. Вообще погрешно-
сти б0 и 6У складываются из многих погрешностей и зависят от многих
факторов (и, в частности, от интенсивности вертикальных колебаний),
но все это не противоречит тому, чтобы бо и бу считать белым шумом.
Итак, примем:
/Сбо = const; (6.59)
Къу = const. (6.60)
Внешние возмущения, действующие на автомобиль в боковом на-
правлении, определяются почти исключительно вертикальными коле-
баниями. Действие внешних возмущений проявляется в том, что авто-
мобиль как бы получает толчки или импульсы ускорений в боковом
направлении, действующие случайным образом со сравнительно
высокой средней частотой (1 —10 Гц) почти независимо друг от друга.
Их спектральная плотность (по ускорениям) в области низких частот
примерно постоянна. Ускорения в боковом направлении примерно
эквивалентны некоторому углу поворота управляемых колес [по край-
ней мере для передаточной характеристики (6.19)]. Поэтому в даль-
нейшем примем
= const. (6.61)
Спектральная плотность кривизны &0 средней линии коридора дви-
жения может быть приближенно задана в виде
JT 2^с.к
L v2 ’
С₽
где &с.к— среднее квадратическое кривизны; LCp — приблизительно
соответствует средней длине участка дороги, на котором кривизна со-
храняет знак. Величины &с.к и LCp можно приближенно задать. Тогда
для спектральной плотности средней линии коридора yQ
выражение
к ”«
У° icp®4 и-л
“2 + -ТГ
ьср
Можно также задать спектральную плотность КУо в виде
^о~М“2Л.
2А£к
с.к
получаем
(6.62)
(6.63)
где
466 k2 = const
(n=l, 2).
Рассмотрим подробно движение автомобиля по прямой неровной
дороге, т. е. КУо = Къ0 =0. В качестве передаточной характеристики
41 примем выражение (6.19)
Л, = ^/р2. (6.64)
Кроме того, будем считать, что физическая работа водителя опре-
деляется средним квадратическим скорости поворота рулевого колеса,
т. е. В = р. Тогда (6.53) и (6.54) примут вид
ОС+_Д/ = ф-
где
/ Ь2 \ / . д2 fe2
D(co) = ( ((о2 Н- Х3 + Х2 —j- + М—-- .
\ У р (О4 J \ (О2 (О4 / ь?
\ / \ / «1
(6.65)
<о4
(6.66)
Л/(<о) = (^ + <в2Х,,)е/Ш1:Кб«---------------•
' ' 1 ' Р (/<0 + 0)2 (/©-0)2
Точный смысл обозначений (/© + О)-1 и (/со — О)-1
в рамках теории обобщенных функций, где показывается, что
1 Г / • . а\ । j I 1 при t > 0;
----- I (/<о + О)-1 e'®z d<i)=--/ г
2л---I 0 при t < 0,
т. е. (/<о + 0)-1 является физически осуществимой передаточной
характеристикой.
Факторизация функции D(<o) имеет вид
(1 + Т,/®) [1 + т2/® + 7'2(/ft>)2] Г1 + Г4/2/® + т2(/(й)21
D (/<о) =---------------------------------------------------------------—
объясняется
(/® + 0)2
(6.67)
где
Л =
(6.68)
(6.69)
(6.70)
S
а постоянные Ть Г2, определяются постоянными Xi, Хг, Хз и k\. Под-
ставив эти результаты в формулу (6.57), получим
q+ _ _____________1 + (т + Т1 + Г2+ Т4 Уг2)/(0______
(1 + Т,/<0)[1 + r2/<D + r2(/(o)2] [1 + r^/W + T-l^
Эта формула очень важна для последующего изложения, так как
в рассматриваемом случае она дает строгий оптимум и вместе с тем
является исключительно простой. Согласно (6.58), (6.64) и (6.69)
искомая передаточная характеристика водителя дается формулой
я+ =____________(/(о)2[1+(т + 71+72+74 /2)/ш]__________
(1 + Т!/<о)[1 + Т2/<о + Т2 (/<о)2] [1 + т4 v 2 /и + Т2 (До)2]-
-е-'“т [1 + (т + Tf + Т2 + Т4 /2)/<о]
Эта передаточная характеристика, так же как и (6.69), обеспечивает
строгий оптимум, но очень сложна в реализации из-за наличия е-'®’’ 467
30*
в знаменателе. Найдем простую передаточную характеристику водителя
Я+, дающую результаты, близкие к результатам наилучшей характе-
ристики (6.70). Сначала проанализируем физическую сущность пара-
метров, входящих в выражения оптимальных передаточных характери-
стик (6.69) и (6.70).
Оптимальная передаточная характеристика замкнутой системы Gf
[см. (6.69)] однозначно определяется пятью постоянными времени: т,
^2, Т3, Т4; т — время реакции водителя. Для одного и того же води-
теля это время может меняться в широких пределах в зависимости от
состояния водителя и условий движения. Работа с малым временем
реакции требует от водителя большого внймания, является напряжен-
ной и приводит к быстрой утомляемости. В свою очередь именно время
реакции в значительной степени определяет предельные возможности
водителя: чем оно больше, тем большими будут отклонения автомобиля
от средней линии коридора при любой передаточной характеристике.
Точнее, речь идет о том, что при наличии случайных (непредсказуемых)
возмущений, действующих на автомобиль, предельное быстродействие
замкнутой системы водитель — автомобиль — дорога определяется
временем реакции водителя, и отклонения автомобиля, вызванные
внешними возмущениями с частотой более 1/т, в принципе не могут
быть уменьшены водителем. Поэтому время реакции водителя для тя-
желых условий движения составляет 0,3—1 с, для легких 1—3 с.
Физический смысл постоянной времени Т4 ясен из формулы (6.68):
при частотах выше Т~[ погрешность оценки водителем отклонений
автомобиля от средней линии больше самих отклонений, поэтому при
этих частотах необходим «завал» передаточной характеристики.
Несколько сложнее объясняется физический смысл постоянных
времени Ть Тг, Т3, которые определяются неопределенными множите-
лями Лагранжа Xj, Х2, Х3 [см. (6.48)]. Эти множители ограничивают
отклонение автомобиля от средней линии, скорость этого отклонения
и угол поворота управляемых колес [см. (6.47)]. Если ограничить
только линейные отклонения автомобиля от средней линии и найти
передаточную характеристику Gf, обусловливающую минимум скоро-
стей поворота управляемых колес, то углы их поворота и скорости
линейного отклонения автомобиля оказываются конечными. Если при
этом углы поворота управляемых колес находятся в допустимых пре-
делах, то принимается Х2 = Х3 = 0. Тогда согласно (6.66) и (6.67) при
Х2 = Х3 = 0 имеем
Т1 = Т2 = Т3= (6.71)
Практически для всех случаев движения автомобиля 1\ Т2 « Т3.
Физическая сущность постоянных Ть Т2, Т3 состоит в том, что допол-
нительно к ограничению линейных отклонений Дг/ они ограничивают
также Дг/ (или ф), р, р.
Упростим выражение (6.70). Прежде всего избавимся от члена
e-jcoT в знаменателе, для чего представим его в виде дробно-рациональ-
ной функции. Учитывая, что частота среза системы лежит левее т-1,
можно ограничиться первым приближением
т
----2--- (6.72)
468 l + ~i&
Подставив (6.72) в (6.70), получим
[1 + (т + Ti + Т2 + 7\ У 2) /со] (1 + “Т” /со
Hi = --------------------------—2—L,
ki До + 01/® 4- a2(jtoy + а3(/(о)3 + а4(/ш)4
где
а0 = Tl + ТХТ2 + Т24 + ТХТ4 /2 + Т2Т4 /2 + Г1Т +
+ Т2т + Т4т1/2 + -у-;
а, = TxTl + ТХТ2Т4 }/2 + Tl Т4 /2 + ТХТ24 + Т2Т24 +
+ TlT2^- + Tl^-+TlT4x^- + T2Tir^- + T24^--,
а2 = ТХТ3Т4 /2 + ТХТ2Т2 + Т3Т4 4- ТХТ23 -j- 4-
+ TtT2T4r + Г|Т4т-^- + Т,Г24-^- + Т2Т24 ;
а3 = ТхТ23Т24 + 7’1Г|г4т-^- + ТХТ2Т4-j- 4- Т3Т24 -j-;
а4=ТхТ3Т4—-.
(6.73)
(6-74)
Передаточная функция (6.73) является простейшей среди всех
передаточных функций, при которых система будет устойчивой и ско-
рость поворота управляемых колес будет конечной. Покажем это.
Поскольку передаточная функция автомобиля для низких частот
имеет вид &i(/(o)“2, то для устойчивости системы в том случае, когда
частота среза близка к т"1, необходимо, чтобы передаточная функция
Яг имела, как минимум, два «форсирующих» звена в числителе. Для
обеспечения конечности скоростей поворота управляемых колес тре-
буется, чтобы на бесконечности частотная характеристика водителя
убывала не медленнее, чем со~2 (на входе звена «водитель» имеется бе-
лый шум), т. е. степень знаменателя должна быть не менее 4. Именно
такой вид имеет передаточная функция (6.73), удовлетворяющая
принципу наименьшей затраты сил.
Приняв передаточные функции (6.69) и (6.73) в качестве первого
приближения для модели управляемого движения автомобиля, опре-
делим на основании экспериментальных данных постоянные времени.
Учитывая, что их численные значения отличаются незначительно, для
простоты расчетов можно принять
Л = Г2 = 2фГэ; ф = 0,5~-1. (6.75)
Значение ф = 0,5 соответствует случаю, когда ограничения на углы
поворота управляемых колес и скорости линейных отклонений автомо-
биля не вводятся [см. (6.71)].
Введем обозначение
Т4=Гб. (6.76)
Учитывая (6.75) и (6.76), передаточную функцию G} запишем
в следующем виде:
q+ ____________1+(т4-7р.+ 2фТр+ y2T6)jto________ @
(1 4-Гэ/ю) [1 Ч-rg(/<o)2] [1 + Тб/2/ш + Т2(/<о)2] ’ 469
Рассмотрим несколько примеров по определению передаточных
функций G J и Я2+ при различных сочетаниях параметров.
Пример 1. Прит = Тр, ф = 0,5, Гб=0 получим
1 + ЗТр/ш 2 U + ЗГр/ш) (14-0,5Гр/(о)
2 (1 + Гр/®) (l + Tp/0 + TgG©)2] ’ 2 Гр (/®)2 + 4Гр/ю + 9
Пример 2. При т = Тр, ф = 0,5, Гб = }^2получим
1 + 5Гр/(д
Gt =
(1 + Гр/®) [ 1 + Гр/ш + Гр (/®)2J [ 1 + 2Гр/® + 2Гр (/®)2]
н+___________________(1 + 5Гр/ш) (1 +0,5Гр/®)_____________
2 ^]Гр [Гр(/®)4 + 5Гр(/®)3 + 10,5Гр(/®)2 + 13,5Гр/® + 12,5j
1 (1 + 5Гр/®) (1 + 0,5Гр/ш)
fciTl [г|(/®)2 + 0,59Гр/® + 2,19] [г|(/®)2 + 4,41Гр/®+ 5,708]
Пример 3. При т = Гр, ip=l, Гр = 0 получим
, 1+4Гв/ш 1
G2=---------Г ; #2 ---------7
O + tp/®)3 А(Гр
(1+4Гр/со)(1 + 0,5Тр/(о)
(/со)2 + 5Г р/(о +13
Пример 4. При т = Гр, ф = 1, Гб — }^2 Гр получим
1 + 6Г p/ft>
в+ =----------------------------------,
(1 + Гр/®)3 [ 1 + 2Гр/® + 2Гр (/®)2]
1 (1 + 6Гр/ш) (1 + 0,5Гр/м)
2 ~ А,Г2 [Гр(/®)2 + Гр/® + 2,29] [Гр(/ш)2 + 5Гр/® + 7,21]
Пример 5. При т = Гр, ф=1, ^ = 0,5^2^ получим
g+ =_____________1 + 5гр/<а___________
2 (1 + Гр/®)3 [1 + Гр/® + 0,5Г|(/®)2] ’
+____4__________________(1 + 0,5Гр/®)(1+5Гр/®)_____________
2 - Vf$ [r2(/®)2+ Гр/® + 4][Г2(/®)2 + 6Гр/®+ 11]
Согласно этим формулам были рассчитаны амплитудно-частотные
характеристики |Д1|, |G2|, |//2|, |Gp| = |Я2^1| (рис. 218). Как видно
. из этих графиков, изменение параметра ф от 0,5 до 1 незначительно
сказывается на виде амплитудно-частотных характеристик, поэтому
в дальнейшем полагаем ф = 1. Для этого случая передаточная функция
имеет вид
G+_________1 + (т+ЗГр + Гд/2)/®
(1 + Гр/®)3 [ 1 + Гр г 2 /® + Гр (/®)2]
(6.78)
3. Экспериментальное определение параметров модели
Как указывалось выше, после построения модели экспериментально
остается определить только неизвестные параметры модели, которыми
470 являются т, Г/з и Ть- Для каждого конкретного эксперимента можно
Рис. 218. Амплитудно-частот-
ные характеристики |АJ, |62|,
a—t — Tp, ф — 0,5, 7*$ * 0; б —
Т - Тр, Ф - 0,5, Т8 - /2 Гр; а —
T-Гр, Ф-1.0, 7j = 0; <?-т~
= Т3. Ф- i.о, Tt-V2 T# д-
Т - т3. ф - 1.0, Т9 - 0,5 У? Гр
определить значения этих параметров. Используя данные всех заездов,
можно получить диапазоны изменения этих параметров.
Неизвестные параметры т, 7 р и Ts определяются сравнением теоре-
тических нормированных корреляционных функций рфф, рдд> рфД
с экспериментальными.
Теоретические нормированные корреляционные функции рассчиты-
ваются согласно построенной модели, которая определяется передаточ-
ной функцией GJ[см. (6.78)].
Уравнения системы, изображенной на рис. 212, имеют вид:
Р =62(47’6^—63); y = G2(HTlfyl + 6y); ty = py/va,
где р = d/dt.
Из уравнений получаем выражения для спектральных плотностей
сигналов:
IG214, г2 + 1]; (6.79)
= K6^2vT21G212 [lff21"2 + K6K$]-, (6.80)
= I G*\2 . (6.81)
Зная спектральные плотности, можно, используя соотношения
Винера — Хинчина, пересчитать их в корреляционные функции по
формулам:
йэр(0) =-L f Kpp(<o)e/“6d<o; (6.82)
2л J
—оо
few(0)=JL J КфМ,(<о)е/“Ш; (6.83)
—оо
&4>р(0) =-7— ( /СфР((о)е'“0</<1>. (6.84)
2л J
—оо
Нормированные корреляционные функции определяются так:
Ррв(0)=*р₽(0)А; (6.85)
Рфф(0)=йфф(0)/О*; (6 86)
РФР(0)=^р(0)/Гад- (6-87)
Проведем, например, расчет нормированной корреляционной
функции угла поворота рулевого колеса ррз. Согласно выражению
(6.79) с учетом формул (6.78), (6.76) и (6.68) спектральная плотность
угла поворота рулевого колеса
Крр = Кбр (1 + 627>2)/(1 + Трсо2)3, (6.88)
где 6 = Т71(т + ЗТр + К2Гв).
Вычислив преобразование Фурье от этого выражения согласно (6.82),
получим формулу для корреляционной функции угла поворота рулевого
колеса
. К’« + /, . I 0 |\ , I—S" / в VI (6.89)
W)—I—(1+М) + ~Ыг
Приняв 0 = 0, найдем дисперсию угла поворота рулевого колеса
К6д 3 + 62
Ор = ^(0) = ^Д—(6.90)
1 р 16
Нормированная корреляционная функция угла поворота рулевого
колеса
16 ।
^1Г1 +
L
h I
3 + *2
(6.91)
Выражения для остальных нормированных корреляционных функ-
ций не приводим ввиду их громоздкости, которая объясняется сложной
зависимостью их от параметров т, Тр, Ts -
Анализ выражения (6.91) показывает, что вид графика нормирован-
ной корреляционной функции угла поворота рулевого колеса практи-
чески не зависит от значения параметров т и Tg и почти целиком опре-
деляется параметром Т/з, изменение которого приводит к изменению
масштаба графика ppg (в) вдоль оси 0. Этот факт позволил определить
по графикам экспериментальных функций ррр (0) значение параметра
Тр . На рис. 219 показана кривая теоретической нормированной корре-
ляционной функции, построенная в зависимости от безразмерного пара-
метра 0/Гр, и нанесены точки, соответствующие экспериментальным
данным.
Небольшой разброс в области 0 < 0/Т/з < 2 находится в пределах
погрешности конечной выборки. В области О/Тр > 2 разброс более
существен. Кроме погрешности конечной выборки, которая в этой
области больше, разброс вызван высокочастотной составляющей, обна-
473
S)
Рис. 220. Теоретические и экспериментальные кривые:
а — нормированных корреляционных функций курсового угла; б — нормированных взаимных
корреляционных функций; / — Г5/Г3 — 0: 2 — - 0,5 V*2; 3 — Г^/Гд « 3 1^2; 4 —
«2/2; 5 — экспериментальные кривые
руженной на корреляционных функциях, соответствующих заездам
в узком коридоре (об этой составляющей более подробно будет сказано
в§ 3).
Значения параметра Тр, зарегистрированные в экспериментах,
находились в пределах 0,33—1,7 с (меньшие значения соответствуют
более тяжелым условиям движения).
Для определения параметра Т& использовались статистические
нормированные корреляционные функции курсового угла рФФ (0).
Определив параметр Тр , их удобно построить в функции безразмерного
параметра G/Tp . Анализ графиков теоретической нормированной кор-
реляционной функции рфф (О/Т’р) показал, что их вид в основном
определяется отношением Тъ/Тр.
474
На рис. 220, а приведены экспериментальные кривые и теоретиче-
ские, рассчитанные при различных отношениях Т&/7У Характер экспе-
риментальных кривых хорошо соответствует теоретическим, а поскольку
первые заключены между последними, то легко определить границы,
в которых находятся значения отношения Т$/Т0 < (Ть/Тр) 3.
Несколько сложнее определить параметр т. Изменение его от 0 до
Гр практически не влияет на вид нормированных корреляционных
функций, в том числе и взаимной.
Однако, как говорилось в разделе 2, значения постоянной времени
т одного порядка с постоянной времени и для нормальной работы
водителя т не должны превышать . С этим выводом хорошо согла-
суются значения т, полученные непосредственно из осциллограмм
процессов р(/) и ф(/) по сдвигу одного процесса относительно другого,
откуда для т получены следующие границы: т/Г /з = 0,5 4-1. Меньшее
значение этого отношения соответствует легким условиям движения,
большее — тяжелым.
Графики нормированных взаимных корреляционных функций
использовались для окончательной проверки модели.
На рис. 220, б показаны статистические нормированные взаимные
корреляционные функции курсового угла и угла поворота рулевого
колеса рфр (0/Г/з) и теоретические, рассчитанные при различных
Tg/Гр . Характер этих кривых хорошо совпадает, однако максимальные
значения нормированной взаимной корреляционной функции, получен-
ные экспериментально, несколько ниже расчетных, что является след-
ствием наличия высокочастотной колебательной составляющей в про-
цессах р(^) и ф(/) в экспериментах с узким коридором движения.
В целом построенная модель достаточно хорошо соответствует
экспериментальным данным и может быть принята в качестве первого
приближения для математического описания процесса управляемого
движения автомобиля.
§ 3. УТОЧНЕНИЕ МОДЕЛИ ВОДИТЕЛЯ
1. Линейная модель
Получим эквивалентную передаточную функцию Н2 для более общего
случая в сравнении со случаем, рассмотренным в § 2 (раздел 2). Пере-
даточная функция Д1 = ki/p1 2 хорошо совпадает с передаточными
функциями автомобиля, определяемыми (6.6), (6.11) и (6.13) лишь
в области сравнительно низких частот, а в области высоких заметно
отличается от нее. Это хорошо видно на рис. 221, где показаны лога-
рифмические амплитудно-частотные характеристики автомобиля с па-
раметрами, соответствующими автомобилю «Волга» ГАЗ-21 для скоро-
сти иа = 10 м/с, рассчитанные по формулам (6.11), (6.13) и (6.19).
Точное аналитическое решение уравнения (6.54), определяющего
оптимальную передаточную функцию замкнутой системы G+ в том
случае, когда передаточная функция автомобиля задается выражением
более сложным, чем (6.19), в общем виде практически невозможно, хотя
конкретная задача допускает численное решение. Однако в первом
приближении передаточную функцию замкнутой системы GJ можно
задавать в виде (6.78) и для более сложных, чем (6.19), передаточных
функций. В этом случае задача может быть сформулирована следую-
475
Рис. 221. Логарифмические ам-
плитудно-частотные характе-
ристики автомобиля «Волга»
ГАЗ-21, рассчитанные по раз-
ным формулам:
/ — (6.19); 2 — (6.13); 3 — (6.11)
щим образом. Передаточные функции замкнутой системы и автомобиля
считаются известными. Необходимо найти передаточную функцию Я+,
обеспечивающую заданную функцию GJ в определенном диапазоне
частот (в том, в котором значения |G2| можно считать существенными).
В таком виде задача близка к задаче синтеза регулятора, которая
решается в теории автоматического управления с помощью графо-
аналитических частотных методов с использованием логарифмических
амплитудно-частотных характеристик. При решении сразу же потребу-
ем, чтобы структура передаточной функции Н + соответствовала струк-
туре формулы (6.73), т. е. чтобы порядок Н + был не выше четвертого.
Анализ примеров в § 2 показывает, что передаточная функция во-
дителя Н2 в эквивалентной одноконтурной системе (рис. 212) для ре-
альных условий движения может быть записана в виде
(1 + Гор)(1 + ТзР)
1-тр
f]2 = k z_____________________________5
1+^-р (1 + 2ф1Г,р+ГУ)(1+2ф2Т2р+ф2) ’
(6.92)
где т — время реакции водителя; Го и Г3 — постоянные времени фор-
сирующих звеньев {(Го ~ (4 4-8)т)]; Т\ и Г2— постоянные времени
колебательных звеньев (Т\ 2Тг)\ и ф2 — коэффициенты относитель-
ного затухания (ф| ~ 0,2; ф2 « 0,5 -е- 1); k — коэффициент усиления.
Для дальнейшего изложения вместо системы, показанной на
476 рис. 212, удобно рассматривать систему, изображенную на рис. 222.
Две эти системы эквивалентны, т. е. процессы ₽(0» #(0 и 4>(0 в них
совпадают, если
Н2 = Н2(1+1А2АТ1)-'-, (6.93)
б1Г-(1+И2АГ'К-/Д|1. (6.94)
В последней формуле можно принять Дн = 0.
Поскольку для частот, на которых происходит управление автомо-
билем,
A2AT'^p/va, (6.95)
то, выбрав I = Тоиа, получим, что Н'2 можно определить по формуле
1““7" Р
H2=k----------•--------------ЩзР---------------г (6 96)
1+-1- р (1 + 21|>1Т1р + ГУ)(1+2ф2Т2р + Т22рг)
а спектральная плотность «шума» водителя должна иметь следующий
вид:
4, = 40 + тХн 4(1 +/2(0 W <6’97)
где Кьу = const — спектральная плотность «шума» 6^(0-
Рассмотрим конкретный пример и покажем, что передаточная
функция Н2 (см. (6.96)] обеспечивает заданную передаточную функцию
замкнутой системы GJ[cm. (6.78)]. Пусть передаточные функции авто-
мобиля Д1 и Д2 заданы формулами (6.13) и (6.14) и его параметры
имеют следующие значения: Л4а = 190 кгс-с2/м; Izz = 323 кгс-м«с2;
а = 1,35 м; b = 1,35 м; L = 2,7 м; Kg, = Kg2 = 5700 кге/рад; иа == 20 м/с
(эти параметры соответствуют автомобилю «Волга» ГАЗ-21).
Зададим параметры передаточной функции G2 (§2, пример 5) Т^ =
= 0,5 с и получим параметры передаточной функции Н2 Т\ = 0,25 с,
Т2 = 0,151 с, То = 2,5 с, ф1 = 0,25, ф2 = 0,904. Тогда параметр 1 =
= vaT0 — 50 м.
Остается определить постоянную времени Т3 и коэффициент усиле-
ния k. Отметим, что поскольку в примере используются передаточные
функции Ai и А2 от угла поворота управляемых колес соответственно
Рис. 222. Эквивалентная
одноконтурная схема с
регулируемым парамет-
ром у + /ф
к линейному и угловому перемещениям, то сначала находим коэффици-
ент усиления
k' ® k/ip<
где > 1 передаточное число рулевого привода, а затем и коэффици-
ент k. Для этого используем логарифмическую амплитудно-частотную
характеристику разомкнутой системы
Сраз = G2/(l -G2) = Я2д1 = Н2(А{ + М2).
Последовательность решения:
1. Находим передаточную функцию разомкнутой системы, соответ-
ствующую заданной G2,
q _ 256(1 + 2,5р) (1 + 0,25р)
ра3 ~ Р2(Р2 + 2р + 16) (р2 + 12р + 44)
и строим соответствующую ей логарифмическую амплитудно-частотную
характеристику (кривая /, рис. 223).
2. Находим передаточную функцию
Ло = А, + 1А2 = ^СЛ<а~1 + alI~W + К6, + ООУгА)-1? + ,
До
где До = р2 {р2 + 1 [MJ/Qja2 + Кь2Ь2) + +
+ ^62)] P + (M/zzya) 1 [Кб.^бЛ2 — Mavl(KbiU — Kfi2&)] } J
в данном случае
д _ 1220р2+3670р + 1429
° рЦр + 3,215) (р + 3) ’
затем строим соответствующую ей логарифмическую амплитудно-
частотную характеристику (кривая 2).
3. Записываем заданную часть Ф передаточной функции Я2':
ф = Hik~l (1 + Т3р)~1 =---------------------5----------------------
(0,252р2 + 2 0,25-0,25р+ 1) (0,1512р2+2 0,904 0,151р+ 1)
и строим для нее логарифмическую амплитудно-частотную характери-
стику (кривая <3).
4. Строим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику
произведения функций Ф40 (кривая 4).
5. Строим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику
отношения передаточных функций Сраз/(Ф^о) (кривая 5).
Величину Т3 находим из условия, что логарифмическая амплитудно-
частотная характеристика передаточной функции 1 4- Т3р должна быть
близка к кривой 5. Отсюда определяем Т3 = 0,5 с.
6. Строим логарифмическую амплитудно-частотную характеристику
произведения Ф(1 + Т3р)40 (кривая 6).
7. Определяем частоту среза по логарифмической амплитудно-
частотной характеристике передаточной функции разомкнутой системы
Gpa3; <оСр = 1с-1. Исходя из этого, находим коэффициент усиления
k' = 0,0025.
На рис. 223 штриховой линией нанесена кривая логарифмической
амплитудно-частотной характеристики полученной передаточной
функции разомкнутой системы
478 с;аз = Н2А<у
Рис. 223. График для определения параметров k' и Т3 эквивалентной передаточной
функции водителя Н 2
Рис. 224. Логарифмические амплитудно-частотные характеристики автомобилей:
--------автомобиль «Волга» ГАЗ-21;---автомобиль ЗИЛ-130; / — иа“ 5 м/с; г ~ ° а"
— 10 м/с; 3 — va — 15 м/с; 4 — »а — 20 м/с
В области частот, для которых |Gpa3| имеет существенное значение
(1Gpa3| Ю-1), | Gраз | незначительно отличается от |Gpa3|.
Логарифмические амплитудно-частотные характеристики Ао для
всех автомобилей по форме незначительно отличаются одна от другой.
Это видно из рис. 224, где приведены характеристики весьма отличаю-
щихся друг от друга автомобилей «Волга» ГАЗ-21 и ЗИЛ-130 для
широкого диапазона скоростей движения. Поэтому изложенный выше
расчет передаточной функции Н ' пригоден для любого автомобиля.
В реальной системе процессы содержат высокочастотную колеба-
тельную составляющую с частотой о)в.ч, источником которой является
водитель, причем сов.ч ~ 1,5 Tjf1. Для того чтобы учесть этот фактор
в изучаемой модели, примем, что Т\ = , а коэффициент ф1 искус-
ственно уменьшим до 0,1—0,2. Тем более, что «резонансный» пик на
этой частоте отчетливо виден и на оптимальной передаточной функции
водителя (см. рис. 218, г).
479
2. Нелинейная модель. Моделирование на АВМ
Результаты, получаемые с помощью линейной модели, хорошо совпа-
дают с результатами натурного эксперимента лишь в рамках корре-
ляционной теории случайных процессов (т. е. с точностью до корреля-
ционных функций, спектральных плотностей или «средних квадратов»).
Если бы процессы в реальной системе были нормальными, то можно
было бы ограничиться линейным приближением, однако, как показыва-
ют эксперименты, при движении автомобиля в легких условиях процесс
изменения угла поворота рулевого колеса существенно отличается от
нормального. Это проявляется в том, что на кривой р(/) имеются гори-
зонтальные отрезки, протяженность которых соответствует нескольким
секундам. В это время водитель не поворачивает рулевое колесо, хотя
автомобиль имеет линейное и угловое отклонения. При движении
в тяжелых условиях этого не наблюдается (см. рис. 214). Следователь-
но, преобразование, осуществляемое водителем над входными сигнала-
ми, носит существенно нелинейный характер и приближается
к линейному при движении автомобиля лишь в тяжелых условиях.
Поэтому для лучшего соответствия модели и реальной системы надо
учесть данную нелинейность с помощью нелинейного элемента. Исходя
из условий работы водителя и анализа осциллограмм процессов
в системе автомобиль —* водитель, следует ввести нелинейный элемент
типа «люфт», величина которого равна ±Л0 (рис. 225, а). Этот элемент
помещен после линейного элемента с передаточной функцией Н'2(р).
Если Др -+ 0, то модель приближается к описанной выше линей-
ной.
Для проверки этой модели уравнения, описывающие систему
автомобиль — водитель, были запрограммированы на АВМ типа МН-7.
Для математического описания автомобиля применялись уравнения
(5.13) и (5.14), коэффициенты которых соответствовали параметрам
экспериментального автомобиля.
Блок-схема модели водителя, соответствующая рис. 225, показана
на том же рисунке. Здесь элемент А имеет передаточную функцию
т т 2
(1--— р)/(1 + — р) и коэффициенты а4 = а$ = —; а6 = 2; а7 = 1.
Элемент В имеет передаточную функцию (1 4- Т3р)/(1 4- 2ф1Т1р +
4- Tfp2) и коэффициенты а8=а9= 1; аю = 2ф1/Т1; аи = 1/Т2; Д12 = Т3/Т2;
А13 — 1.
Элемент С имеет передаточную функцию £/(14- 2ф2Т2р 4- Т2р2)
и коэффициенты а{4 = k; — 1; Я16 = йфг/ТУ, «п = 1/Т|.
Нелинейный элемент D имеет характеристику типа «люфт». Опор-
ные напряжения диодов соответствуют величине «порога» ±Др.
Остальные коэффициенты этой схемы а\ = /; а2 = 1; а3 = 1.
В качестве источников «шума» водителя by'(t) и возмущений
приведенных и неприведенных к углу поворота управляемых колес
(t) и Дн(0 использовались генераторы белого шума с набором
фильтров.
Регистрировались те же процессы, что и в натурном эксперименте:
угол поворота рулевого колеса 0(/) и курсовой угол автомобиля ф(/)
По их реализациям вычислены корреляционные функции ррр (9); рфф (0),
РфЗ (0). На рис. 226 приведены эти функции, полученные эксперимен-
тально и при моделировании, а также соответствующие осциллограммы
480 процессов р(/) иф(/).
Рис. 225. Нелинейная модель водителя и блок-схема набора ее на АВМ
Как видно, графики, построенные по данным моделирования и
результатам натурного эксперимента, совпадают достаточно
хорошо.
Таким образом, при исследовании управляемого движения авто-
мобиля в качестве модели водителя может быть принята модель, блок-
схема которой показана на рис. 225, б.
Параметры этой модели следует выбирать в следующих пределах:
т = 0,3 4- 3 с; сов.ч = 2,54-6 с-1 или (ов.ч = 1,5 т-1; Тх = ; Т2 «
« 0,5 Л; ф! = 0,1 4- 0,3; ф2 = 0,5 4- 1; То = (4 4- 8)т; Т3 = (6,54- 2)т;
I = Тоиа.
Коэффициент усиления k и постоянную времени «форсирующего»
звена Т3 выбирают так, как было показано в разделе 1 этого
параграфа.
Полученная модель водителя может работать с любой сложной
моделью автомобиля. 481
31 Заказ 3363
Рис. 226. Результаты моделирования и эксперимента:
/ — экспериментальные данные; 2 — данные моделирования
Моделирование
§ 4. НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МОДЕЛИ
УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
1. Движение автомобиля со скоростью, равной
или выше критической
Оптимальная передаточная характеристика (6.69) была получена для
частного случая, соответствующего условиям (6.60), (6.61), (6.64) и
движению автомобиля по прямой дороге. В других случаях оптималь-
ная передаточная характеристика замкнутой системы отличается
от (6.69). При критической скорости автомобиля соглас-
но (6.18) Xi(p)=feo/P3.
Условие минимума скоростей поворота управляемых колес при
ограниченных отклонениях автомобиля записывается в виде
DG| —АГ = Ф“,
где
D(co) = [К&у + Kgp (Z^o/co6)] [со2 + Х2 + Xj (йо/со6)] co6/feo;
k2
AZ (cd) = X! e/^K6ft--5------.
' 3 (/<o +0)3(—/со + 0)3
Факторизация D (co) имеет вид
[l + T./CD + TfO®)2] [ц-г3/<о + г2(/и)2] [1 + Гб/<в]х
+ /. й — X [1 + ^б/“ + ^(/ю)2] k0 K6(i
(/co+ 0)3
где
_ / ° и
а постоянные T\ — T4 определяются величинами Xi, Хг и k$. Выражение
для передаточной характеристики замкнутой системы получаем
по формуле (6.57):
G* =------------1+(7’1 + гз + 27’б + ^Р + У2------, (6 98)
(1 + т, р + т 2Р2) (1 + т3р + т 2Р2) (1 + т6р) (I + т6р + Т2р2)
где Доо = Tj + Т2 + TJ3 + 2Т2 + 2TtT6 + 2Т3Т6 +
+ TiX + Т3х + 2Т&т + 0,5т2.
Здесь также Ti ~ Т2 « Т3 « Т4, причем Т2 + Г2 = Г2 + Т2. Эти
параметры обозначим через Тр, тогда формулу (6.98) можно записать
несколько проще:
1 + (2ТЭ + 2Т6 + х)р + (зГ2 + 4Т„Т6 + 2Т2 + 27\т + 2Т6хр2
-----------------2---------------------------U—. (6.99)
(‘ + V + Ф2)2 0 + тьР) (1 + тбР + т1р2) 483
31*
Величина Тр имеет порядок Твт т. Движение автомобиля изменится
мало, если вместо (6.99) записать
1 + (4Гр + ЗТ6 + т) р + ( 6Т| + 12ТрГ6 + ЗТ2 + 4ГрТ + ЗТ6т + -£-) р2
G+ —--------------------i.
(l+rpp)«(l + r6p)3
(6.100)
Формулу (6.100) можно было получить и как строгое оптимальное
значение GJ при несколько видоизмененном условии задачи. Для этого
с самого начала надо задать спектральную плотность процесса бр(О
в виде
Кбэ = М1+37>2 + ЗГ4<о4)
и кроме ограничения у ввести ограничения также у и у.
В частном случае при Т$ = Т & (эти величины, как уже указывалось,
имеют примерно один порядок, обозначим их через Го)
1 4- (7Г0 4-х)р 4- f 21Гд 4- 7Т0т 4-~т— р2
G? =----------------
(1 + Гор)7
Искомую передаточную характеристику водителя получаем из фор*
мулы
. р3 Gt
и + г
П2 =—-------------,
*о 1—e_ptGf
используя (6.72), получим
X
l+Yf
При подстановке
результат имеет вид
Я2+ = 2!----------21------. (6.102)
Gt
!
в (6.102) любой из формул (6.98) — (6.101)
(1 + Ь1Р + Ь2р2) (1 + — р )
Ht = —--------------------------—-— •
feo а0 + а# + вгр2 + а3р3 + а4р4 + а5р5
В частности, при подстановке формулы (6.101) будем иметь:
б^ТГо + т; а2 = 21Т05 +357’^ ;
Ь2 = 2171+7Тот + -^-;
а0 = 35 То + 21 Tlx + 4- Т0х2 + 4- т3;
2 4
аз = 77’§ + 217'о-у;
а^т1 + 7Т60^- ;
484
а, = ЗбТо + ЗбТо-у;
т*7
а5 = ГоТ •
Рассмотрим движение автомобиля со скоростью выше критической.
В этом случае согласно (6.18)
А ,(/<о) =-----------т-. (6 • ЮЗ)
Как уже указывалось, обобщенная функция ~.^'о является пре-
образованием Фурье функции
1 + /А _J 1 ПРИ Z>0’
1 0 при t < 0.
Обобщенная функция --------—г— является преобразованием Фурье
(/со—а)+
функции
[е«1+ = (е<н при(>0;
(0 при t < 0.
Вместо рассмотрения обобщенной функции —-— можно было бы
7« + 0
везде рассматривать функцию —-—, которая интегрируема в класси-
/w + р
ческом смысле, и только в конечном результате принять р-»-0. Таким
образом можно было вообще избежать рассмотрения обобщенных функ-
ций, правда, ценою гораздо более громоздких выкладок. Но последо-
вательности обычных функций, которая бы сходилась к обобщенной
функции 1/(/<о — а)+ (а > 0), не существует. Вообще из представления
[еа/]+ = 1+(0 + [/]+ + 4- [а<2]+ + V №31+ + • • •
2 О
следует представление
1 _ 1 д а _|_ а2 । а3
(/со—а)+ /со 4-0 (/со + 0)2 (/со-ЬО)3 (/со -Ь О)4
(6.104)
и ряд (6.104) сходится в смысле обобщенных функций, но эта сходи-
мость очень мало похожа на обычную сходимость. Функцию, комплексно
сопряженную с 1/(/со— а)+, будем обозначать через 1/(—/со — а)~.
В теории наилучшей линейной фильтрации все формальные выкладки
для функции 1/(/со — а) + совпадают с выкладками для функции
1/(/со — а), кроме преобразования Фурье:
Заметим также, что
(6.105)
Г 1 1 = _ г _ «я - | 0 при t > 0;
L (—/со—ct)— j e~aZ при t < 0
и
1
/со + а
е_<м при t > 0;
0 при (<0,
где F-1 — обратное преобразование Фурье.
485
Уравнение, определяющее оптимальную передаточную характери-
стику замкнутой системы, с учетом равенства (6.103) записываем в виде
DGt—У = Ф~,
где
D(a)= К6 + K6f>---------------------------------
L » Р (/со + 0)2(— /со + О)2 (/со—а)+(—/со—a)- J
1
X СО + Х2 + ^1 + 0)2 + Ор (/ш_а)+ (_/ш_а)
*0
со4 (со2 + а2) .
ь2 ’
«о
(6.106)
7V(co) ^e'^/Qu--------- ------
0 (/со + О)2 (—/со + О)2 (/со + а)+ (— /со— а)
В этих формулах учитывается, что передаточная характеристика
(/со — а) является обратной как для —-—, так и для ---------—г . Ф'акто-
/со— а (/со—а)ф
ризация Л) (со) в общем случае имеет вид:
D+(W) = [l+^+^з(М)2] [1 + r4/co+rh»2] [1+Г6/о>+Г?(/со)2]
(/co-t-0)2(/co—а)+
X ко
Несколько видоизменив условие задачи (введя дополнительное
ограничение по углу поворота автомобиля и незначительно изменив
спектральные плотности шумов), можно с самого начала принять
D+(co)^ (6-107)
(/со-Ь О)2 (/<о—a)^ p
поскольку величины — T7 имеют один порядок.
Чтобы избежать в последующем громоздких выкладок, заменим
И-'-у/со
в выражении (6.106) е'ют на----------. Тогда по формуле (6.57) с уче-
том (6.105) — (6.107) получаем
q+ 1 + (т + 77*0) /со + В (/со)2
• (6.108)
(1 + То
где
1
а2
В
— 1—та — 7Г0а Ч-------
т (l-W
(6.109)
1—/со
Очевидно, 4toG?--------= 1 при /со = а: передаточная характери-
1 + — «со
z т х
/ *-т/ю^
стика Ли 1 — Gt-------------| должна быть физически осуществимой.
\ 1 + “j- 7® /
486
Поэтому вместо (6.109) точнее записать
в = —
а2
— 1—та—7Т0а
-—(! + Тоау
т
(6.110)
При малых значениях а вместо (6.110) удобнее использовать раз-
ложение В в ряде Тейлора по а:
В ж (21 То + 7Т0т + —+ (3571 + 2171т + 7Г0— + —а +
\ 2 / \ 2 4/
+ (3571 + 35ГоТ + 21Г0 + 7Т0
Теперь видно, что при а-*0 из формулы (6.108) следует форму-
ла (6.101).
Передаточную характеристику водителя вычислим по формуле
Gt
(6.111)
а2 + ...
Ht = A7l
1-“Г'®
1—--------Gt
т 2
1+т/ш
с учетом (6.103), (6.108) и (6.110) получим
[1 4- (т 4- 7Т0)/ш -ь В(/со)2] 6
Н t = —----------------------------------------<----, (6.112)
k0 а0 + ^1/(0 4- а2(М)2 + М/®)3 + «4 (М)4 + а5(jcrf
где
а5 — То-^-- а2 = 2171 + 3571-у+ а3а;
a4 = T’o + 7?1 -у + a5a; a, = 35 To + 357’o + a2a;
a3 = 7Tq + 2171-^- + a4a; a0 = 35?1 + 21?1 у + B^- + а{а.
Передаточная характеристика (6.112) может оказаться физически
неосуществимой, если а велико, т. е. если скорость автомобиля намного
выше критической. Можно, однако, показать, что при та > 2 движение
автомобиля будет неустойчивым при любой передаточной характеристи-
ке /72+. Если учесть, что передаточная характеристика замкнутой систе-
мы должна иметь резкий «завал» на частотах выше т-1(То ~ т), то ока-
зывается, что движение автомобиля можно сделать устойчивым лишь
при та < 0,5. Поскольку при управляемом движении требуется не толь-
ко устойчивость, но и малое отклонение от средней линии, то, по-види-
мому, при скорости выше критической автомобиль можно вести лишь
при значениях та < 0,1 —0,2. При этих условиях передаточная харак-
теристика (6.112) также имеет вид простейшей передаточной характе-
ристики, обеспечивающей конечные отклонения- и скорости поворота
управляемых колес.
Полученные выше формулы проиллюстрируем конкретными при-
мерами. 487
Пример 1. Рассмотрим движение автомобиля с критической скоростью. Согласно фор-
муле (6.101) при То = 2т
. 14-15тр 4- 98,5т2р2
и о =-----------------.
2 (1+2тр)2
Тогда по формуле (6.102) получим
+_____1______________(1 + 15тр + 98,5т2р2)(1 +0,5тр)__________
2 “ /г0т3 371,25 + 700тр + 952т2р2 + 784т3р3 + 365т4р4 + 64т5р5
пли
______1___________________(1 4- 15тр 4- 98,5т2р2)(1 4- 0,5тр)________
2 = 371,25Л0т3 (1 + 0,42тр)(1+0,97тр+1,125т2р2)(1+0,49тр + 0,365т2р2) ’
Пример 2. Скорость автомобиля выше критической. Передаточная характеристика ав-
томобиля имеет вид (6.103). В частном случае при а = 0,2т-1 и То = 2т согласно
(6.108) имеем
. 14- 15тр 4- 223т2р2
2~ (1+2тр)’
По формуле (6.112) получим
____1___________(1 4- 15тр 4-223т2р2)(1 4-0,5тр)_______
2 kox3 619 4- 925тр 4- 1124т2р2 4- 858т3р3 4- 369т4р4 4- 64т5р5
или
4. 1____________________(1 + 15тр + 223т2р2) (1 + 0,5тр)__________________
2~ 619Л0т3 (1 + 0,385тр)(1 + 0,880тр + 0,884т2р2)(1 + 0,23тр + 0,304т2р2)’
2. Движение автомобиля под действием медленно
меняющихся возмущений
Выше рассматривалось движение автомобиля при действии на него
возмущений, имеющих постоянную спектральную плотность (по край-
ней мере в полосе частот, пропускаемых системой автомобиль — води-
тель). Возмущения с такой спектральной плотностью достаточно хоро-
шо соответствуют возмущениям от микропрофиля дорожной
поверхности.
Однако действие бокового ветра и поперечных уклонов дороги,
хотя и носит случайный характер, отличается от действия микропро-
филя дороги. Отличие заключается в том, что эти возмущения
сравнительно долго действуют в одном направлении. Спектральную
плотность таких возмущений можно задать в виде
Обозначив спектральную плотность возмущений от неровной
дорожной поверхности Л8" = const, получим следующее выражение
для спектральной плотности возмущений, приведенных к эквивалентно-
му углу поворота рулевого колеса:
S = = (К + Кбэ<о2)/®2.
Уравнения, определяющие оптимальную передаточную функцию
замкнутой системы Gf когда передаточная функция автомобиля задает-
ся формулой
Д1 = М/®)2.
имеют следующий вид:
488 DG? —ЛГ = Ф“,
где
/ / к+С®2 й2\/ й, й2
D = I Kg 4-----------— I (со2 + А.3 + %2 —~
\ у СО2 (О4 / \ (О2
7 й?
(О2 (О4 )
к+к; <о2
У = + <о2Х2)----------------------------,
' ' <1)2 (/<0 + 0)2 (/О) —0)2
с учетом результатов § 2
К6 <о6 + Клай?<02 + Кй?
0^,-^----------------------L|TJ+ !];
к+к: со2
= е/штМ(1 + ЗТасо2)--------&—
4 р (О2 (/(О 4-О)2 (/соО)2
В общем виде решение этого уравнения, определяемое формулой
(6.57), сопряжено с громоздкими выкладками, поэтому
рассмотрением конкретных примеров, достаточно полно
специфику этого случая.
Пусть — 0, т. е. возмущения от микропрофиля
Кьу = const, тогда
Kk]k
<1)6
k*
ограничимся
выявляющих
отсутствуют,
(тХ+ 1)(ф2+ I)3;
К = е'шт (1 + ЗГ|<о2)---,
v р (/ю + 0)2(/<в-0)2’
где
D
.2 '
Факторизация D имеет вид:
d+= + 1)Гб2(/®)2 + т<№ + W<* +1)3.
(/(О + О)3
Оптимальная передаточная функция замкнутой системы дается
формулой
(2Т^ + 6Г6Тр+ 2Г6т + ЗГр + ЗГрТ + 0,5т2) р2 + (2Г6 + ЗГр+ т)р + 1
Gt
Gt
(Г6р+1)(г62р2+г6рчи)(Грр+93
В частном случае при Тъ = Тц = т = То
16,57-2р2 + 6Г0р+1
(ГоР + I)4 (?оР2 + Тор+1) ’
а передаточная функция водителя определяется формулой
(16,5Г2р2 + 6Гор + 1)(0,5Гор+1)1
Ht =
Гор(О,5ф4+ З,5ф3+ 10,5Т2р2.+ 18Гор + 27,5) й^2
к"
, где Г? = -^., Кв =0, т = 0.
Л у
Пусть К6в = К---------
р (О2
489
В этом случае
q+ . 37р(Л+r0)P2+(ri+37р)Р+1 .
2 (Т^р+ 1)3(Т1Р+ 1)
н+ = 3W+W+(ri + 3rp)p+i 1
Гт I (*> I \ т ^1^*6
Т^Р + \3+~) Т'Р
Сравним этот пример со случаем, когда медленно действующие возму-
щения отсутствуют. При имеем
= 37РР +1 • зт$Р+{ 1
2 (7>+1)3 ’ 2 7>+3 kJ*'
Таким образом, при действии на автомобиль медленно меняющихся
возмущений порядок передаточной функции замкнутой системы повы-
шается, форсирующее звено также имеет более высокий порядок и, что
особенно важно, для компенсации этих возмущений амплитудно-
частотная характеристика «водителя» должна иметь подъем в области
низких частот (множитель — в передаточной функции Н+).
Р
3. Выбор модели управляемого
курсового движения автомобиля
для различных задач
При моделировании управляемого движения автомобиля на основании
одноконтурной схемы (см. § 1) необходимо выбрать параметр, по
которому будет проводиться регулирование. Как указывалось выше,
этим параметром может служить боковое перемещение центра тяжести
автомобиля у или линейная комбинация этого перемещения и курсового
угла ф:
Уо = У + /ф.
В этой формуле уъ соответствует отклонению некоторой точки,
жестко связанной с автомобилем и находящейся на расстоянии / от
центра тяжести. Однако выбор величины / связан с рядом тонкостей,
определяемых структурой передаточной функции автомобиля. Так, при
I = 0 передаточная функция автомобиля (6.13) содержит в числителе
звено второго порядка, коэффициент относительного затухания кото-
рого обратно пропорционален скорости движения. При скоростях
20—30 м/с этот коэффициент становится значительно меньше единицы,
что приводит к «провалу» амплитудно-частотной характеристики при
частоте <оо = VKs2 L/Izz, которая равна 5—15 с-1.
С увеличением I коэффициент относительного затухания этого звена
приближается к единице и даже становится больше ее, но при этом
возрастает ширина коридора движения автомобиля , так как ограни-
чиваются отклонения одной точки, которая в этом случае оказывается
далеко впереди автомобиля.
Кроме того , если в одноконтурной схеме регулирование осущест-
вляется по параметру уо = у + /ф, то возмущения, длительное время
действующие в одну сторону, приведут к одностороннему смещению
490 коридора. Например, при действии на автомобиль постоянного боково-
го возмущения с главным вектором У и главным моментом Mz отно-
сительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести, центр
тяжести автомобиля смещается относительно заданной траектории
на величину
в то время, как точка на расстоянии I от центра тяжести будет двигать-
ся строго по заданной траектории.
Учесть эти и другие особенности передаточной функции можно,
задав ее более точно в уравнении, определяющем оптимальную пере-
даточную функцию замкнутой системы G2 [см. (6.65)]. Можно ограни-
чить не отклонения одной точки автомобиля, а ширину динамического
коридора, задав отклонения двух крайних точек автомобиля и
Л#2) и заменив первое неравенство (6.47) следующим:
М{|ДУ1|2} + М{| Ау2|2}<81
и приняв в качестве передаточной функции автомобиля выраже-
ние (6.13).
Однако все эти уточнения значительно усложняют отыскание
передаточной функции замкнутой системы, которая теперь может быть
определена численно. Кроме того, передаточная функция водителя бу-
дет в значительной мере зависеть от передаточной функции автомобиля
и получится очень сложной, поэтому она вряд ли может быть «реали-
зована» средним водителем. По-видимому, лишь очень опытный
водитель может при управлении автомобилем в тяжелых условиях
движения (высокая скорость, малые допустимые отклонения) учиты-
вать эти тонкости поведения автомобиля, да и то непродолжительное
время, так как это вызывает сильное утомление.
Если не рассматривать такую усложненную задачу, то следует
ограничиться простейшей передаточной функцией водителя, описанной
в § 2 и 3. Приемлемые результаты получатся в том случае, если
в качестве регулируемого параметра взять боковое отклонение сере-
дины передней оси автомобиля, т. е. выбрав I = а, и сохранить в пере-
даточной функции «водителя» четвертого порядка (см. (6.92)] форсирую-
щее звено с постоянной времени То. Модель с передаточной функцией
четвертого порядка дает хорошие результаты, если до частоты среза
v)cp амплитудно-частотная характеристика автомобиля не имеет «за-
валов» третьего и выше порядков. Это соответствует движению или
с малыми скоростями, или с относительно большим временем запазды-
вания (т 1с). Если же эти условия не соблюдаются, то в передаточ-
ной функции следует добавить еще одно форсирующее звено и
увеличить на единицу порядок знаменателя, т. е. принять
/Л+ = /г-----------<1 Н- Гор)(1 4- Г3р)(1 + Т4р)____ (6
(1 + + Т^р2) (1 +21|>2Т2р + Г22р2)(Ц- Т5р)
Именно такой вид имеет оптимальная передаточная функция води-
теля, когда передаточная функция автомобиля дается формулой
Wp3.
Постоянные времени должны удовлетворять неравенствам: TQ >
> Т3 > Т4, Л > Т2 > Т3, причем Г3, Т4 и k следует подбирать так, 491
чтобы передаточная функция замкнутой системы была близка
к простейшей оптимальной.
В задачах исследования влияния параметров автомобиля на
устойчивость управляемого движения следует стремиться к тому,
чтобы при варьировании его параметров передаточная функция
замкнутой системы оставалась неизменной. Это необходимо для того,
чтобы на результаты расчетов не влияла «несогласованность» переда-
точных функций автомобиля и водителя, эффект которой может ока-
заться очень значительным. Добиваться этого можно «подстройкой»
параметров Тз, Т4 и k, оставляя неизменными остальные параметры
передаточной функции водителя.
При моделировании на АВМ контроль можно осуществлять по
осциллограммам переходного процесса, а при использовании ЦВМ —
по амплитудно-частотным характеристикам замкнутой системы. Про-
цесс подбора параметров Т3, Г4, k на ЦВМ может быть автомати-
зирован.
В заключение дадим некоторые рекомендации по применению
линейной и нелинейной моделей водителя. В тех случаях, когда рас-
сматривается линейная модель автомобиля, безусловно следует поль-
зоваться линейной моделью водителя. Кроме того, если исследуется
динамический коридор движения, а колебания управляемых колес не
рассматриваются, то даже при учете таких нелинейностей, как про-
скальзывание отпечатка шины, нелинейные члены в кинематической
характеристике подвески и т. п., целесообразнее использовать линей-
ную модель водителя.
Однако при анализе колебаний управляемых колес, динамики
рулевого привода, особенно если последний представляем нелинейной
моделью, учитывающей зазор, упругость, наличие рулевого усилителя
и т. д., надо обязательно применять нелинейную модель водителя
с высокочастотной колебательной составляющей (см. § 3).
§ 5. КРИВОЛИНЕЙНОЕ ДВИЖЕНИЕ
При криволинейном управляемом движении автомобиля его поло-
жение может задаваться как в системе координат, связанной с землей,
так и в системе координат, связанной с заданной траекторией, которой
может быть, например, средняя линия коридора (§ 1, раздел 2). В пер-
вом случае средняя линия коридора уо, от которой отсчитываются
отклонения автомобиля ку, задается в декартовой системе координат
как функция х. Этот способ удобен лишь тогда, когда угол фо между
касательной к средней линии коридора и осью х мал. Тогда при дви-
жении автомобиля с постоянной скоростью его продольная координата
х ~ vAt, а отклонения от заданной траектории
У о-
Когда угол фо не является малым, последнее линейное соотношение
уже не выполняется и должно быть заменено более сложным нелиней-
ным. Чтобы этого избежать, можно определять положение автомобиля
относительно заданной траектории координатой Ау (см. рис. 213), ко-
торая при управляемом движении мала. Тогда единственной харак-
теристикой заданной траектории будет ее кривизна kQ в функции
перемещения автомобиля или в функции времени для движения авто-
492 мобиля с постоянной скоростью.
1. Исследование криволинейного
управляемого движения
для простейших моделей автомобиля
Рассмотрим движение автомобиля с постоянной скоростью, когда его
передаточная функция задается в виде (6.18).
Пусть уо(О—стационарный случайный процесс, причем фо(О ~
~ _!—Ё^2_Мало (в смысле средних квадратов). Тогда положение авто-
ра dt
мобиля можно задавать в неподвижной системе координат. Блок-схема
для этого случая описана в § 1 и показана на рис. 211. Оптимальные
передаточные функции разомкнутой Gx и замкнутой GJ[cm. (6.50)]
частей системы определяются уравнениями (6.53) и (6.54). Тогда
передаточные функции водителя даются формулами:
= Gi eT/“(G?)-*Я2; Н2 = * АТ1,
1—
из которых следует, что Н{ явно зависит от Н2. Чтобы этого избежать,
рассмотрим схему на рис. 227. Уравнения для передаточных функций Gi
и G + при этом не изменяются, однако Н'{ в этом случае не зависит
явно от Н2:
Выражения Gi и G2 определяются конкретным видом передаточной
функции автомобиля А{ и спектральных плотностей процессов у о, бо, бр
и 6У.
Пусть = 0 (ошибки водителя по оценке средней линии коридора
можно приближенно учесть, увеличив уровень шума бу). В этом случае
передаточная функция замкнутой части системы G2+ имеет такой же
вид, что и для прямолинейного движения, и определяется форму-
лой (6.69).
Передаточная функция разомкнутой части системы
Gi = M—e-T/a)G?,
где
ц (X, +Х2^)| д, |*
ISP + Xs + b^MiP+^Mil2
и
у = Муо.
k\
Пусть теперь At = ——, В = ia>, тогда
(/и)2
1 + Тп®2
М ------------------------------------------,
(1 + 7>2) [ 1 + Т2/<о + Т2 (/со)2] [ 1 —Т2/со + Т2 (/со)2]
где постоянные времени Го — Т3 определяются неопределенными мно-
жителями Лагранжа Ai — Хз и коэффициентом k\. Причем, как это
принималось в случае прямолинейного движения, 7\ = Т2 = Т3 = . 493
Рис. 227. Блок-схема криволинейного движения, когда движение автомобиля задано
в декартовой системе координат
Тогда
(1 + Т'р/со) (1 — [1 + Tfri® + (/<й)*'] [1 — Тр+ Тр0°)2]
Пусть средняя линия коридора задается формулой
Уо(О =
Уо = const
о
при t > 0;
при t < 0,
что соответствует смене полосы движения. Тогда координата автомо-
биля
У(() =
Уо — (е//Г(3 + 2е//2ГР cos при t < 0;
6 к 2 н
у о 1------—f е~</гР + 2e~f/2 ГР cos — -J— 1 при t > 0.
L 6 \ 2 ур /J
Траектория движения показана на рис. 228, а (кривая /).
Зададим у0 формулой
_ ( avat при t > 0;
1 0 при t < 0,
что соответствует повороту дороги на малый угол а; тогда
avaT$ —-1 е//7₽ + ez/27₽ (cos + ]/3 sin при ^<0;
/(0 = 1 6 *- ' 2 ₽_ 2 _₽ /J
ааа7р(-4—Ге-z/rP + е—/,2ГР (cos --4--]/3sin — ^-^1)при />0.
( 6 L \ 2 'р 2 1 p/JJ
Траектория движения автомобиля показана на рис. 228, б
(кривая 3).
Если Т1 = Т3 = 7'р, 7'2 = 2Тр, то
1 + зг2®2
М -----------.
‘ (4-W(,-7’e/w)3
494
Координата у автомобиля для рассмотренных выше конфигураций
коридора определяется следующими формулами:
для смены полос движения
при t
при t
0;
0;
для поворота дороги на угол а
J асЛ-1-е"т»[з+^— (-/-у] при ( <0;
Траектории автомобиля приведены на рис. 228, а и б (кривые 2
и 4). Из этих графиков видно, что процессы в системе для двух соот-
ношений между постоянными времени близки, и поэтому дальнейшие
выкладки будут проводиться для случая 1\ = Tz = , Т2 = 2Т(з.
Отметим, что аналогичный вывод был сделан ранее для прямолиней-
ного движения (см. § 2).
В программу экспериментов по исследованию управляемости авто-
мобиля обычно входит маневр «переставка», и коридор движения
в этом маневре иногда задается так, как показано на рис. 229, а.
У
а)
У
Рис. 228. Траектории автомобиля:
а — при смене полосы движения; б — при повороте средней линии коридора на угол а
Рис. 229. Маневр «переставка»:
а — коридор движения; б — траектория автомобиля
Рис. 230. Зависимость угла поворота рулевого колеса £ и курсового угла ф автомо-
биля при выполнении маневра «переставив»:
а — расчетные данные; б — экспериментальные данные
Среднюю линию коридора удобно задавать в виде
= (Д"-I-г/?,
где
(। > ( при t > 0;
f/o = <
I 0 при t < 0;
— аиа ( t------) при t >-------;
„(2) \ va / va
У° I I
0 при t <------.
va
496
Расчетная траектория автомобиля для случая I — 40 м, а = 0,1 рад,
v& = 10 м/с, ki = 1 м/(с2-рад) показана на рис. 229,6, а угол поворота
рулевого колеса и курсовой угол — на рис. 230, а. На рис. 230, б нане-
сены кривые, обычно получающиеся в эксперименте. Видно, что
простейшая модель достаточно хорошо описывает криволинейное
движение. Отклонения от эксперимента могут быть объяснены влияни-
ем «шумов» 6 р, бо, 6У и неточностью задания
Рассмотрим случай, когда движение автомобиля задается в системе
координат, связанной с траекторией. Блок-схема управляемого движе-
ния автомобиля показана на рис. 231.
Здесь
Н . °* Н' U •
3 (/<о)2 Я'’ (i®)2 ’
л 1 <Р л
Ок =------------Oq*
„2 dfl
а
Реакция системы на кривизну траектории определяется формулой
At/ = [/73G2 + G(l-G2)]feo,
а в случае /<вк = Квэ = 0
t»2
Рассмотрим реакцию системы на воздействие
= const при t > 0;
0
k0(t) =
при t < 0,
т. е. найдем траекторию автомобиля, его курсовой угол и угол поворо-
та рулевого колеса при въезде в окружность радиусом /?. Пусть А] =
= —-, тогда
Р2
\у =
vlTl±-^
0,125
+ 0,375^-1
'Р J
при t > 0;
— oa27j — e'/rP Го,125 f-J—Y — 0,375-=^—1 при t <0
Л L \ J
(кривая 1, рис. 232).
Отложив At/ по нормали от заданной траектории, найдем траекто-
рию движения автомобиля. Она показана на рис. 233 для 7? = 20 м и
vaT^ = 10 м. Угол между продольной осью автомобиля и касательной
к средней линии коридора определится соотношением
Аф = —----%— Ау
va at
(кривая /, рис. 234), а угол поворота рулевого колеса
2
р = АГ*Ьу + АГ'^о = 4" Г^- Ду + Va*0
(кривая 1, рис. 235). 497
32 Заказ 3363
Рис. 231. Блок-схема криволинейного движения, когда движение автомобиля задано
относительно средней линии коридора
Рис. 232. Отклонения автомобиля от заданной траектории при въезде в окружность
Рис. 233. Траектория автомобиля
Рис. 234. Угол между продольной осью автомобиля и касательной к средней линии
коридора при въезде в окружность
Рис. 235. Угол поворота рулевого колеса при въезде в окружность
Рассмотрим случай, когда скорость автомобиля равна критической,
т. е.
Р3
Тогда
1 + 47'|<о2+ 6Грй>4
М =
(1 + 7>2)4
И
А// =
327? L
при t > 0;
при t < 0
499
32*
(кривая 2, рис. 232). Угол Ляр и угол поворота рулевого колеса 0 в этом
случае приведены на рис. 234 и 235 (кривые 2).
Следует отметить, что в установившемся движении автомобиля по
окружности угол поворота рулевого колеса равен нулю в отличие от
движения со скоростью, меньшей критической.
Въезд с прямолинейного участка в поворот обычно осуществляется
по переходной кривой. Найдем реакцию системы в этом случае. Пусть
кривизна переходной кривой линейно зависит от пути, тогда ее удобно
представить в виде
Ло(О = + ^2),
где
при t > 0;
при t < 0;
_£а_
Rs
0
при t >--------;
*>а
при t < — ,
*>а
500 где R — радиус окружности, s — длина переходной кривой.
Предварительно найдем реакцию системы от воздействия
М0= { Q
при t > 0;
при t < 0.
Отклонение автомобиля от заданной
формулой
Ду =
- vlTl -1- е-'/гР f f 4-Y + 5 J- + 51
8 1Л '₽ / '₽ J
—^4е</гр IY4-Y—5т-+5]
8 L\ / 7Р J
траектории определяется
при t > 0;
при t < 0.
Теперь можно найти отклонение автомобиля при движении по .
переходной кривой, вычтя из ординат этой кривой ординаты той же
кривой, но смещенной в положительную сторону на $/иа, и умножив
результат на vJRs. Кривые Ду и р показаны на рис. 236 для s/v& =
= 10Тр . При наличии переходной кривой отклонения автомобиля от
средней линии коридора существенно меньше, чем в случае, когда
переходная кривая отсутствует.
2. Моделирование криволинейного
управляемого движения
В том случае, когда передаточная функция автомобиля описывается
более сложным выражением, чем (6.18), оптимальные передаточные
функции Я3) и Н2 получаются более сложными, чем в рассмот-
ренных выше простейших случаях. При построении модели управляе-
мого движения с самого начала было принято, чтобы Н\ и Н2 имели
простейший вид, так как сложность преобразований сигналов, выпол-
няемых водителем, в значительной степени определяет его утомляемость
(напомним, что в основу построения модели управляемого движения
был положен принцип наименьшей затраты сил). Поэтому следует
сохранить для Gi h,G2 простейшие выражения, как это было сделано
для прямолинейного движения, а структуру Нх и Н2 также оставить
простейшей. Передаточную функцию замкнутой части системы G2 при
криволинейном движении можно оставить такой же, как и при прямо-
линейном, а схему прямолинейного движения дополнить звеном Нх
или Н{, или Я3.
При определении оптимальных передаточных функций G\ и G2
(см. § 2) на Gi не накладывалось условие физической осуществимости.
Это было сделано с целью упрощения решения. Однако это не слишком
грубое допущение. Один довод в пользу этого был высказан выше:
водитель видит поворот намного раньше, чем на него нужно реагиро-
вать. Кроме того, импульсные переходные функции физически неосу-
ществимой части системы очень быстро затухают при —оо. Уже при
t —(Зн-5)Т/з .они практически равны нулю. Однако моделирование
на АВМ физически неосуществимых систем представляет большие труд-
ности. Поэтому ближайшей задачей является приближенная замена
физически неосуществимой передаточной функции Н\ или Я3 физически
осуществимой совместно с оператором чистого упреждения. Проделаем
это для передаточной функции Я3, так как Н{ = —— - Я3.
«2
501
Проще всего замену можно осуществить, аппроксимируя импульс-
ную переходную функцию звена Н3.
Рассмотрим несколько примеров:
1. Если т = Тр, Тв=О» то
н = 2 2 -2Г3(/®)3 +9,5Г|(/®)2- 17Гр/® + 6,5
3 Va ₽ (1-Гр/®)3(1 + Тэ/®)3(1 + 4Т₽/<о)(1-0>5Тр/<о)
2. Если т = Тр, Тц =0,5}/2Тр, то
= 2 2 -3,25Т3(/®)3+ 9Г2(/®)2-24,25Тр/®+11
3 Va р (1—Тр/®)3(1+Гр/<о)3(1 + 5Гр/®)(1—0,5Тр/ш)
3. Если т = Тр, 7'б = '|/2Гр, то
я 2 2 -6Г|(/СР)3 + 5,5Г|(»2-31Тр/® + 16,5
3-Va ” (1-Тр/<0)3(1+^/(0)3(1 +бТр/®)(1-0,5Гр/Ш)
Найдем реакцию звена Н3 на импульс по кривизне, что соответству-
ет повороту средней линии коридора на угол а:
^о(О = (а/^а)б(О,
где 6(0 —дельта-функция.
Для рассмотренных выше примеров искомая импульсная переход-
ная функция <р(/) определяется формулами:
(aoaTpl,294e“°125z/r₽
auaTp (1,222 е2 //ГР + е</7₽ Г0,072— 1,84 - J-0,6
I L
при t > О;
при t < О
1. ф =
2. <р ==
(кривая /, рис. 237).
аоаГр1,708е—°-2i/T»
ауаТ|з(5е2 *'т^ —et/T* Гз,292 + 5,75-^-
I L
при t > О;
2]] при t < О
3. ф =
(кривая 2),
[аоаТр2,117е-0’1б7'/г*
avaTCi file2 [8,883 — 11,47 + 2,143
I L
2
О
(кривая 3),
Достаточно хорошее совпадение импульсных переходных функций
достигается, если заменить передаточную характеристику Н3 передаточ-
ной характеристикой W:
IT cr/(l> Уа2(б.5Т|+Гд2 + Г2ГрГ6)
(1 + Т3/<о)2 [ 1 + (ЗГр + Г 2 Т6 + т) /®]
где* Т для рассмотренных выше случаев принимает значения ЗТ^,
3,5Гр и 4Тз .
Импульсные переходные функции звена с такой передаточной функ-
502 цией показаны на рис. 237 штриховыми линиями.
Рис. 237. Импульсные переходные функции звеньев:
------я3;------w
Заменив передаточную функцию //3 передаточной функцией ТГ, най-
дем реакцию системы при въезде в окружность. Отклонения автомо-
биля от заданной траектории определяются формулой
&y = [WG2 + U(\-G2)]k0.
Пусть т = Тр, ?б = 0, тогда
W2 = e2^-7^L;
0+М5
ua-G \- ^(~6-5+2-5У+0'5грр2)
U 2,~ (1 + 0,5Тэр)(1+Тэр)3
Кривизна траектории задается в виде
k0(t) =
-£ = const при t > 0;
0 при t < 0.
Графики Д«/(0 и р(0 для этого случая приведены на рис. 238.
Их можно использовать при отладке модели управляемого движения
на АВМ.
Перейдем к методике моделирования управляемого движения.
Движение автомобиля наиболее целесообразно рассматривать в систе-
ме координат, связанной с траекторией. Блок-схема показана на
рис. 239. Здесь А обозначает звено «автомобиль», движение которого
описывается некоторой системой дифференциальных уравнений
(см. гл. 5). Внешние возмущения, действующие на автомобиль, уже не
приводим к эквивалентному углу поворота управляемых колес;
ду — по-прежнему ошибки водителя по оценке отклонений от заданной
траектории, а 6К — ошибки по оценке кривизны заданной траектории.
В качестве регулируемого параметра лучше всего выбрать откло-
нение середины передней оси от заданной траектории. Передаточная
функция водителя в замкнутой части системы подробно была описана 503
Рис. 238. Въезд автомобиля в окружность:
а — отклонения автомобиля от заданной траектории; б — угол поворота рулевого колеса
Рис. 239. Блок-схема моделирования криволинейного управляемого движения авто-
мобиля
Рис. 240. Задание траектории при
моделировании маневра «пере-
ставив»
Рис. 241. Результаты моделирова-
ния и эксперимента:
а — угол поворота рулевого колеса;
б — курсовой угол; в — траектория
середины передней оси; ————
данные моделирования; —-------------
экспериментальные данные
в § 3 и 4. Поэтому только укажем, что Н2 определяется формулами
(6.92) и (6.113). Передаточная функция 1Г характеризует реакцию
водителя на кривизну средней линии коридора (заданной траектории.)
впереди автомобиля. Для W можно рекомендовать следующее
выражение:
(тр+1)2(Т0р + 1)(ГзР+1)(Т4р+1) ’
где k = |(/со)2AК/co)H2(j&)\-{ при /со = 0;
т — время реакции водителя; То, Т3 и Т4 — постоянные времени форси-
рующих звеньев передаточной функции Н2, задаваемой выражениями
(6.92) и (6.113) [для (6.92) Т4 = 0].
Кривизна траектории в функции времени подается в две точки схемы:
на вход звена W и в звено «автомобиль». Следует отметить, что для
удобства моделирования отказались от операции чистого упреждения
на время Т в звене W, подав при этом кривизну в звено «автомобиль»
с чистой задержкой на то же время. Для времени сдвига можно реко-
мендовать значения Т = (3 4- 5)т.
При варьировании параметров автомобиля передаточная функция
замкнутой части системы, как уже было сказано выше (см. § 4), дол-
жна оставаться неизменной, это, естественно, относится и к передаточ- 505
ной функции разомкнутой части системы. Этого можно достигнуть
подстройкой параметров k, Т3, которые изменяются при варьирова-
нии параметров автомобиля. Контроль лучше всего производить по
осциллограммам какого-либо стандартного маневра, например въезда
в окружность.
При моделировании выражения для кривизны заданной траектории
можно представлять различным образом, что, конечно, зависит от
конкретного вида траектории. Например, часто криволинейную траек-
торию можно заменить дугами сопряженных окружностей различных
радиусов. В этом случае кривизна является ступенчатой функцией.
Такую функцию на АВМ удобно моделировать на блоках переменных
коэффициентов. Иногда кривизну задают в виде «кусков» синусоиды,
иногда в виде кусочно-линейной функции.
В заключение приведем результаты решения конкретной задачи
моделирования криволинейного движения и сравним их с эксперимен-
тальными данными.
Рассмотрим управляемое движение автомобиля ЗИЛ-130 при
выполнении маневра «переставка». Задача решалась на аналоговых
машинах типа МПТ-9 и МН-7. Средняя линия коридора, показанная
на рис. 240, а, представляет собой сочетание двух прямых и двух дуг
окружности радиусом R = 75 м. Кривизна в функции времени
(рис. 240, б) моделировалась с помощью блока переменных коэффи-
циентов. Причем на одном блоке набиралась и функция, которая по-
давалась на вход звена W, и другая функция, сдвинутая на время
Т = Зт и подаваемая в звено «автомобиль». Решение проводилось для
скорости = 10 м/с, соответствующей эксперименту. Время реакции
водителя в эксперименте и при моделировании составляло 0,25 с.
В эксперименте регистрировались угол поворота рулевого колеса р,
курсовой угол ф и траектория середины передней оси автомобиля. Эти
же показатели регистрировались при моделировании. Результаты
эксперимента и моделирования, приведенные на рис. 241, свидетель-
ствуют о хорошем соответствии модели реальному управляемому
движению.
§ 6. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ
ПРЯМОЛИНЕЙНОГО УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ
АВТОМОБИЛЯ ПО НЕРОВНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Рассмотрим применение созданной модели управляемого движения для
решения конкретной задачи о влиянии некоторых параметров автомо-
биля на устойчивость его движения. Исследуем влияние характеристик
подвески и определим ее значение как звена, передающего возмущения
от дорожной поверхности на автомобиль. Исходя из этого, ограничимся
рассмотрением прямолинейного движения.
В качестве основного показателя, характеризующего устойчивость
движения, примем ширину динамического коридора автомобиля, кото-
рая определяется дисперсией поперечного отклонения середины перед-
ней оси от прямолинейной средней линии коридора. Вспомогательным
показателем, который в какой-то мере характеризует физическую
работу водителя, будет служить дисперсия угла поворота управляемых
колес.
Блок-схема управляемого движения показана на рис. 242. Ма гема-
506 тическая модель звена «автомобиль» включает математические модели
Рис. 242. Блок-схема для исследования влияния параметров подвески на устойчи-
вость прямолинейного управляемого движения автомобиля
Рис. 243. Некоторые результаты расчета устойчивости управляемого движения авто-
мобиля (время запаздывания водителя т = 1 с):
а — дисперсия отклонения середины передней оси; б — дисперсия угла поворота управляемых
колес; / — Xi - —0,1. Х2 - 0; 2 — Л0, Л2 = 0; <3 — Л| = +0,1. Х2 - 0
механических перемещений кузова, подвески и шины. Уравнения,
описывающие механические перемещения кузова, составленные на
основании расчетной схемы, учитывающей три степени свободы:
поперечное смещение, поворот вокруг вертикальной оси и крен, приве-
дены в гл. 5. Неподрессоренные массы и динамику рулевого привода во
внимание не принимаем.
Работа передней и задней подвесок определяется приведенными
коэффициентами кинематических характеристик Xi и Х2 (см. гл. 5),
которые принимаем в качестве основных варьируемых параметров.
В качестве модели взаимодействия колеса с дорогой примем безынер-
ционную модель шины (см. гл. 4), учитывающую увод и наклон колеса.
Неизменяемые параметры автомобиля соответствуют основному рас-
четному варианту, принятому в гл. 5. В качестве возмущений от
дорожной поверхности принимаем полуразность ординат микропрофиля
под левым и правым колесами автомобиля (см. гл. 1). Спектральную
плотность возмущений примем такой же, как и в примере гл. 5.
Уравнения, описывающие движение звена «автомобиль», линейные,
вследствие чего модель водителя принята также линейной.
Передаточная функция замкнутой системы такая же, как и в при-
мере 5 § 2. Она соответствует движению в узком коридоре при сравни-
тельно малых внешних возмущениях и ошибках водителя. Именно
такие режимы характерны при некоторых испытаниях курсовой устой-
чивости автомобиля. Передаточная функция водителя определяется
формулой (6.92).
Кроме основных параметров, характеризующих кинематику подвес-
ки, варьировались также скорость движения и время реакции
водителя.
Задача решалась на ЭЦВМ в следующей последовательности.
Сначала для каждого конкретного варианта автомобиля, его скорости
движения и времени реакции водителя определяли требуемые парамет-
ры передаточной функции водителя так, как это описано в § 3. Их грубо
определяли по амплитудно-частотной характеристике разомкнутой
системы, а более точно — по амплитудно-частотной характеристике
замкнутой системы, причем в том и другом случае сравнение проводили
с оптимальной простейшей системой, соответствующей примеру 5 § 2.
Все эти операции осуществлялись автоматически, благодаря специаль-
ному алгоритму. После этого рассчитывали дисперсии отклонений
автомобиля и угла поворота колес от внешних возмущений. Затем
определяли уровень спектральной плотности внешних возмущений,
приведенных к эквивалентному углу поворота управляемых колес
(см. § 1), и уровень спектральной плотности ошибок водителя согласно
формуле (6.68), а также рассчитывали дисперсии оценочных парамет-
ров от ошибок водителя. Окончательно дисперсии отклонения автомо-
биля Dy и угла поворота управляемых колес D/з определяли суммиро-
ванием дисперсий от внешних возмущений и ошибок водителя, так как
эти процессы считаются независимыми (см. § 1). Некоторые результаты
расчета приведены на рис. 243.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1— 3. Техническая кибернетика. Теория автоматического регулирования. В 3-х т. Под
ред. В. В. Солодовникова. М., «Машиностроение».
Т. 1. Математическое описание, анализ устойчивости и качества систем автомати-
ческого регулирования. 1967, 768 с.
Т. 2. Анализ и синтез линейных непрерывных и дискретных систем автоматическо-
го регулирования. 1967, 679 с.
Т. 3. Теория нестационарных нелинейных и самонастраивающихся систем автома-
тического регулирования. В 2-х частях. 1969, ч. 1-я 607 с., ч. 2-я 367 с.
4. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. М., Физматгиз,
1968, 464 с.
5. Корн Г. А. Моделирование случайных процессов на аналоговых, аналого-цифровых
машинах. М., «Мир», 1968, 315 с.
6. Келдыш М. В. Шимми переднего колеса трехколесного шасси. М., Бюро новой
техники НКАП, 1945, с. 1—32.
7. Кольцов В. И., Хачатуров А. А. Применение статистических методов к синтезу и
анализу самонастраивающихся подвесок автомобиля.— «Применение математиче-
ских машин при конструировании и испытаниях автомобилей и двигателей».
МОНТИ НАМИ, 1962, с. 85—112.
8. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Обобщенные функции и действия над ними. М., Физ-
матгиз, 1959, 470 с.
9. О замене профиля дороги микропрофилем при исследовании вертикальных колеба-
ний автомобиля.— В кн.: Устойчивость управляемого движения автомобиля. М.,
1971, с. 112—115 (Труды МАДИ). Авт.: В. Л. Афанасьев, В. И. Кольцов, А. А. Ха-
чатуров и др.
10. Певзнер Я. М., Тихонов А. А. Исследование статистических свойств микропрофиля
основных типов автомобильных дорог.— «Автомобильная промышленность», 1964,
№ 1, с. 15—18.
11. Установка для обмера микропрофиля покрытия.— «Автомобильные дороги», 1966,
№ 12, с. 18—19. Авт.: Н. Н. Яценко, В. С. Шупляков, Р. К. Матуляускас и др.
12. Kohr R. Н. Analysis and simulation of automobile ride.— SAE Preprint, 1960,
N 144a, p. 20—22.
13. Астров В. А., Филина Г. П. Прибор для измерения ровности и скользкости дорож-
ных покрытий.— «Автомобильные дороги», 1960, № 1, с. 19—20.
14. Афанасьев В. Л., Кольцов В. И., Хачатуров А. А. Запись микропрофиля автомо-
бильной дороги и способ оценки ее ровности.— В кн.: Доклады и сообщения на на-
учно-техническом совещании по строительству автомобильных дорог. М., Союздор-
НИИ, 1963, с. 110—120.
15. Кольцов В. И., Ковицкий В. И. Метод экспериментального определения вертикаль-
ной реакции, действующей между колесом и дорогой.— «Изв. высш. учеб, заведе-
ний. Машиностроение», 1968, № 8, с. 123—127.
16. Иванов Н. Н„ Поройков И. В. Применение достижений физики в строительстве
автомобильных дорог. М., Автотрансиздат, 1960, 147 с.
17. Пархиловский И. Г. Спектральная плотность распределения неровностей микропро-
филя дорог и колебания автомобиля.— «Автомобильная промышленность», 1961,
№ 10, с. 25—28.
18. Гренандер У. Случайные процессы и статистические выводы. М„ «Иностранная
лит.», 1961, 167 с.
19. Об оценке взаимной спектральной плотности.— В кн.: Устойчивость управляемого
движения автомобиля. 1971, с. 134—139. (Труды МАДИ). Авт.: В. Л. Афанасьев,
В. С. Васильев, В. И. Кольцов и др.
20. Кольцов В. И., Хачатуров А. А., Яковлев Е. И. О свойствах непрерывности выбо-
рочной корреляционной функции и о погрешности ее определения.— В кн.: Теорети-
ческая механика. 1972, с. 55—60 (Труды МАДИ; Вып. 41).
21. Погрешность конечной выборки оценки взаимной спектральной плотности и коэф-
фициента корреляции по частотам.— В кн.: Устойчивость управляемого движения
автомобиля, 1971, с. 140—148 (Труды МАДИ). Авт.: В. Л. Афанасьев, В. С. Ва-
сильев, В. И. Кольцов и др.
22. Крамер Г., Лидбеттер М. Стационарные случайные процессы. М., «Мир», 1969,
398 с.
23. Прохоров Ю. В., Розанов Ю. А. Теория вероятностей. М., «Наука», 1967, 495 с.
24. Определение спектральных характеристик дорожных поверхностей по их оценкам.
М., 1972, с. 134—142. (Труды МАДИ). Авт.: В. Л. Афанасьев, В. С. Васильев,
В. И. Кольцов, А. А. Хачатуров.
25. Афанасьев В. Л., Васильев В. С., Хачатуров А. А. Определение оценки спектраль-
ной плотности случайного процесса с помощью АВМ. М., 1972, с. 115—120. (Труды
МАДИ).
509
26. Афанасьев В. Л., Васильев В. С., Хачатуров А. А. Спектральные характеристики
поверхностей некоторых участков дорог. М., 1972, с. 120—133. (Труды МАДИ),
27. К заданию макропрофиля дороги.— В кн.: Устойчивость управляемого движения
автомобиля. М., 1971, с. 107—111. (Труды МАДИ). Авт.: В. Л. Афанасьев, В. С. Ва-
сильев, В. П. Жигарев и др.
28. Барахтанов Л. В., Ершов В. И. Исследование статистических характеристик мик-
ропрофиля пересеченной местности. 1969, с. 31—36. (Труды ГПИ. Вып. 25. № 9).
29. Бартлетт М. С. Введение в теорию случайных процессов. М., «Иностранная лит.»,
1958, 384 с.
30. Янке Е., Эм де Ф., Леш Ф. Специальные функции. М., «Наука», 1968, 344 с.
31. Градштейн И. С., Рыжик И. И. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.
М., Физматгиз, 1963, 1100 с.
32. Построение модели дорожной поверхности с помощью генераторов случайных
сигналов. 1972, с. 142—151. (Труды МАДИ). Авт.: В. Л. Афанасьев, В. С. Васильев,
В. И. Кольцов, А. А. Хачатуров.
33. Розанов Ю. А. Стационарные случайные процессы. М., Физматгиз, 1963, 284 с.
34. Ротенберг Р. В. Подвеска автомобиля. М., «Машиностроение», 1972, 392 с.
35. Яценко Н. Н., Прутчиков О. К. Плавность хода грузовых автомобилей. М., «Ма-
шиностроение», 1969, 220 с.
36. Яценко Н. Н., Митянин П. И., Жогов Л. А. Поперечные колебания автомобиля
с учетом упругости несущей системы. М., ОНТИ НАМИ, 1968, с. 3—16. (Труды се-
минара по подвескам автомобилей. Вып. 16).
37. Fine R. Car tests incicate comfort acceration tie.— SAE Journal, 1964, N 1, p. 23—31.
38. Латышев Г. В., Тольский В. Е. Экспериментальное определение нагруженности
подвески силового агрегата автомобиля.— «Автомобильная промышленность», 1971,
№ 12, с. 21—24.
39. Гончаров С. А., Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Расчетная схема и дифференци-
альные уравнения колебаний двухосного автомобиля, учитывающие его продоль-
но-поступательные колебания.— В кн.: Устойчивость управляемого движения авто-
мобиля, 1971, с. 98—106. (Труды МАДИ).
40. Дербаремдикер А. Д., Бородин Ю. П. К вопросу о колебаниях управляемых колес
автомобиля.— «Автомобильная промышленность», 1970, № 6, с. 26—29.
41. Григорян Г. П., Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Электромоделирование колебаний
автомобилей при учете ограничителей хода рессор, возможности отрыва колес от
дороги и движения с «реальным» микропрофилем.— В кн.: Применение математи-
ческих машин при конструировании и исследовании автомобилей и двигателей. М.,
ОНТИ НАМИ, 1966, с. 164—176 (Материалы Второго Всесоюз. совещ. Т. 1).
42. Васильев В. С., Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Расчетная схема и моделирование
колебаний трехосного автомобиля с балансирной задней подвеской.— В кн.: Теоре-
тическая механика, строительная механика, высшая математика. 1969, с. 35—42.
(Труды МАДИ).
43. Певзнер Я. М., Плетнев А. Е. Статистические характеристики динамических нагру-
зок в кузовах и кабинах грузовых автомобилей. М., ОНТИ НАМИ, 1971, с. 3—23.
(Труды НАМИ. Вып. 180).
44. Пархиловский И. Г. Об определении эксплуатационных требований к плавности
хода автомобиля.— «Автомобильная промышленность», 1966, № 1, с. 1—3.
45. Юдин Б. В., Меркулов И. Л. Экспериментальные методы оценки плавности хода
автомобиля в дорожных условиях. М., ОНТИ НАМИ, 1964, с. 42—59. (Труды семи-
нара по подвескам автомобилей. № 10).
46. Bobbert G. Evaluation of vibration disign data by statistical means.— «Advances in
automobile engineering». P. III. Pergamon Press. 1965, p. 13—21.
47. Chiesa A., Oberto L. Amplitudenverteilung bei Fahrzeugschwingungen.— ATZ, 1966.
N 2, s. 27—32.
48. Шупляков В. С., Яценко Н. Н. Влияние подрессоривания на нагруженность транс-
миссии при движении автомобиля по неровной дороге. М., ОНТИ НАМИ, 1968,
с. 3—21. (Труды семинара по подвескам автомобилей. Вып. 15).
49. Силаев А. А. Спектральная теория подрессоривания транспортных машин. М., «Ма-
шиностроение». 1972, 192 с.
50. Пархиловский И. Г., Цхай Ф. А. Результаты статистического исследования плавно-
сти хода автомобилей в естественных дорожных условиях. М., ОНТИ НАМИ, 1964,
с. 18—29. (Труды Всесоюз. семинара по подвескам автомобилей. № 10).
51. Григорян Г. П., Хачатуров А. А. Влияние различных сочетаний коэффициентов со-
противления амортизаторов на вынужденные колебания автомобиля. М., ОНТИ
НАМИ, 1962, с. 98—107. (Труды НАМИ. Вып. 48).
52. Певзнер Я. М. Влияние характеристики амортизатора на ходы подвески.— «Авто-
мобильная промышленность», 1966, № 8, с. 31—34.
53. Яценко Н. Н. Формирование нагруженности рамы грузового автомобиля от воз-
действия неровной дороги.— «Автомобильная промышленность», 1970, № 11,
510 с. 22—28.
54. Акопян Р. А. Исследование влияния колебательных параметров и условий эксплуа-
тации на нагрузочный режим несущей системы кузова автомобиля. М., ОНТИ
НАМИ, 1967, с. 19—37. (Труды Всесоюз. семинара по подвескам автомобилей.
Вып. 13).
55. Mitschke М. Influence of road and vehicle dimenstions on the amplitude of body
motions and dynamic whell loads. (Theoretical and experimental vibration investig-
nations). — «SAE Preprint», 1963, N 630310, p. 67—89.
56. Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Исследование влияния характеристик автомобиль-
ного сиденья и его подвески на комфортабельность езды пассажира. М., ОНТИ
НАМИ, 1967, с- 54—76. (Труды Всесоюз. семинара по подвескам автомобилей.
Вып. 13).
57. Певзнер Я. М., Тихонов А. А. Методика дорожных испытаний плавности хода ав-
томобилей’, прицепов и полуприцепов. М., ОНТИ НАМИ, 1964, с. 3—47. (Труды Все-
союз. семинара по подвескам автомобилей. № 10).
58. Цимберов П. И. Оценка плавности хода автомобиля с учетом влияния колебаний
на человека методом электронно-натурного моделирования.— «Автомобильная про-
мышленность», 1968, № 4, с. 8—И.
59. Дербаремдикер А. Д., Островцев А. Н. О проблеме оптимизации взаимодействия
человека и автотранспортной техники.— «Автомобильная промышленность», 1970,
№ 7, с. 12—15.
60. Ротенберг Р. В., Бурлаченко Н. И. О физиологических критериях плавности хода
автомобиля.— «Автомобильная промышленность», 1966, №2, с. 27—30.
61. Певзнер Я. М., Тихонов А. А. К вопросу об оценке плавности хода автомобилей.
М., ОНТИ НАМИ, 1964, с. 23—43. (Труды НАМИ. Вып. 66).
62. Пархиловский И. Г. Аналитический критерий объективной оценки плавности хода
транспортных и сельскохозяйственных машин. Горький, 1970, с. 91—113. (Труды
ГСХИ. Т. 32).
63. Фурунжиев Р. И. Проектирование оптимальных виброзащитных систем. Минск,
«Вышэйшая школа», 1971, 318 с.
64. Pradko F., Огг I. К., Lee R. A. Human vibration analysis. —«SAE Preprint», 1965,
N 650426, p. 109—117.
65. Radke A. O., Simons A. K. Schwingungstechnische Betrachtungen liber einem LKW-
Fahrersitz.— «Automobil Industrie», 1963, N 1, s. 117—129.
66. Wisner A., Donnadieu A., Berthos A. Abiomechanical model of man for the study of
vechicle seat and suspension.— «Internal Journal of Product Research», 1964, N 4,
p. 131—148.
67. Hermann B., Berd R. Untersuchung des Einflussen regelloser mechanischer Schwin-
gungen auf den Menstren im Hinblick auf den Fahrkomfort in Strassenfahrzen-
gen.— «Automobil Industrie», 1969, N 2, s. 63—70.
68. Christ W., Dupuis H. Beanspruchung des Menschen durch Fahrzeugschwingun-
gen —ATZ, 1962, N 12, s. 112—119.
69. Пугачев В. С. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматиче-
ского управления. М., ГИТТЛ, 1957, 660 с.
70. Андреев Н. И. Корреляционная теория статистически оптимальных систем. М.,
«Наука», 1966, 454 с.
71. Певзнер Я. М. Расчет колебаний автомобиля при различных статистических харак-
теристиках дорожного микропрофиля. М., ОНТИ НАМИ, 1964, с. 3—23. (Труды
НАМИ. Вып. 66).
72. Григорян Г. П., Хачатуров А. А. Колебания автомобиля с нелинейной несимметрич-
ной характеристикой амортизатора. /М., ОНТИ НАМИ, 1962, с. 97—114. (Труды
НАМИ. Вып. 53).
73. Влияние демпфирующих свойств шины на параметры колебаний автомобиля.—
«Автомобильная промышленность», 1966, № 12, с. 16—18. Авт.: Ю. Б. Беленький,
Н. П. Имашева, Р. И. Фурунжиев и др.
74. Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Расчет параметров колебаний «линейного» авто-
мобиля при случайных возмущениях.— В кн.: Устойчивость управляемого движения
автомобиля. 1971, с. 76—82. (Труды МАДИ).
75. Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Приближенный метод аналитического расчета ди-
намической системы, эквивалентной подвеске автомобиля, при случайных возму-
щениях.— В кн.: Теоретическая механика, строительная механика, высшая матема-
тика. М., МАДИ, 1969, с. 27—35.
76. Васильев В. С., Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Расчет параметров колебаний бес-
подвесочной машины при случайных возмущениях от дороги.— В кн.: Устойчивость
управляемого движения автомобиля. 1971, с. 88—97. (Труды МАДИ).
77. Жуков А. В. Влияние запаздывания воздействия неровностей дороги на попереч-
ные колебания полуприцепа.— «Автомобильная промышленность», 1971, №6,
с. 16—19.
511
78. Жуков А. В., Беленький Ю. Ю. Оценка поперечно-угловых колебаний двухосного
прицепа с учетом нелинейности характеристики подвески.— «Автомобильная про-
мышленность», 1971, № 12, с. 12—14.
79. Расчет дисперсий поперечных угловых ускорений автомобиля.— В кн.: Устойчи-
вость управляемого движения автомобиля. 1971, с. 83—87. (Труды МАДИ). Авт.:
В. Л. Афанасьев, В. С. Васильев, В. И. Кольцов и др.
80. Статистические методы в проектировании нелинейных систем автоматического уп-
равления. Под ред. Б. Г. Доступова. М., «Машиностроение», 1970, 408 с.,
81. Кольцов В. И., Пирковский Ю. В., Ковицкий В. И. Модель листовой рессоры.—
«Автомобильная промышленность», 1970, № 10, с. 14—16.
82. Дербаремдикер А. Д. К вопросу об автоматическом регулировании сопротивления
амортизаторов.— «Автомобильная промышленность», 1964, № 11, с. 18—22.
83. Дербаремдикер А. Д., Соловьев И. К. Исследование сил сопротивления в подвесках
легковых автомобилей высшего класса.— «Автомобильная промышленность», 1970,
№ 5, с. 23—26.
84. Michke М. Nichtlineare Feder und Dampferkenmungen in Kraftfahrzeug—ATZ, 1969,
N 1, s. 64—71.
85. Певзнер Я. M., Конев А. Д. Исследование на ЭВМ влияния характеристик аморти-
заторов на колебания автомобиля.— «Автомобильная промышленность», 1969, № 11,
с. 8—11.
86. Дербаремдикер А. Д. Гидравлические амортизаторы автомобилей. М., «Машино-
строение», 1969, 238 с.
87. Скиндер И. Б. К вопросу о действии в подвеске сухого и вязкого трения.— «Авто-
мобильная промышленность», 1969, № 12, с. 20—23.
88. Дербаремдикер А. Д. О расчете характеристики гидравлического амортизатора
с учетом трения в подвеске.— «Автомобильная промышленность», 1962, № 6,
с. 19—24,
89. Thompson A. G. Optimum damping in a randomby excited non-linear suspension.—
«Proc. Inst. Meeh. Eng.», 1969—1970, 184, Part 2A, N 8, p. 168—184.
90. Григорян Г. П., Хачатуров А. А. Колебания легкового автомобиля при симметрич-
ной и несимметричной характеристиках амортизаторов. М., ОНТИ НАМИ, 1962,
с. 75—98. (Труды НАМИ. Вып. 43).
91. Влияние конечной жесткости крепления амортизаторов на колебания автомобиля.—
В кн.: Теоретическая механика. 1972, с. 24—30. (Труды МАДИ. Вып. 41). Авт.:
Г. П. Григорян, В. П. Жигарев, В. Т. Панков, А. А. Хачатуро^.
92. К вопросу о затрате энергии на колебания автомобиля.— «Автомобильная промыш-
ленность», 1968, № 9, с. 14—18. Авт.: Ю. Б. Беленький, И. П. Имашева, Р. И. Фу-
рунжиев и др.
93. Конев А: Д. Исследование влияния характеристик амортизаторов и методов их ре-
гулирования на колебания автомобиля. М., НАМИ, 1971, 143 с.
94. Мельников А. М. Некоторые вопросы совершенствования подвески автомобилей.
М., ОНТИ НАМИ, 1970, с. 40—62. (Труды семинара по подвескам автомобилей.
Вып. 17).
95. Агеев М. Д. Нелинейное демпфирование подвески автомобиля. М., ОНТИ НАМИ,
1968, с. 50—64. (Труды семинара по подвескам автомобилей. Вып. 14).
96. Пархиловский И. Г., Мусарский Р. А. К вопросу влияния характеристики сопро-
тивления гидравлических амортизаторов подвески на колебания автомобиля. М.,
ОНТИ НАМИ, 1968, с. 65—70. (Труды семинара по подвескам автомобилей.
Вып. 14).
97. Певзнер Я. М., Гридасов Г. Г. Исследование влияния сухого трения в подвеске на
колебания автомобиля при сложном возмущении.— «Автомобильная промышлен-
ность», 1970, № 5, с. 19—23.
98. Chenchanna Р. Ride-confort and road holding.— «Automobile Eng.», 1969, 59, N 8,
p. 296—300.
99. Behles F. Federung und Dampfung under den Gesichtspunkten der Fahrsicherheit
und des Komforts.— ATZ, 1970, 72, N 5, s. 179—183.
100. Вахламов В. К., Бучин А. И. Экспериментальное исследование трения в подвесках
малолитражных автомобилей.— «Автомобильная промышленность», 1965, № 4,
с. 29—32.
101. Зимелев Г. В. Теория автомобиля. М., Воениздат, 1957, 455 с.
102. Behles F. Moglichkeiten und Grenzen der Verbesserung der Federweichheit Kraft-
fahrzeugen.— ATZ, 1963, N 12, s. 320—381.
103. Елисеев Б. M. Возможности длинноходной подвески.— «Автомобильная промыш-
ленность», 1961, № 4, с. 19—22
104. Жигарев В. П., Хачатуров А. А. Аналитический расчет оптимальной жесткости рес-
сор и сопротивления амортизаторов «линейного» автомобиля с учетом ограничен-
512 ности динамического хода подвески. 1972, с. 105—115. (Труды МАДИ).
105. Певзнер Я. М., Плетнев А. Е., Тихонов А. А. Об уровне вибраций легковых автомо-
билей с шинами разных типов.— «Автомобильная промышленность», 1966, № 6,
с. 15—19.
106. Акопян Р. А. Сравнительная оценка колебаний автобуса с пневматической подвес-
кой и подвеской на листовых рессорах.— «Автомобильная промышленность», 1969,
№ 4, с. 17—19.
107. Акопян Р. А. Оценка влияния колебательных и эксплуатационных параметров ав-
тобуса на плавность хода.— «Автомобильная промышленность», 1969, № 5, с. 8—11.
108. Дынкин Е. Б. Марковские процессы. М., Физматгиз, 1963, 859 с.
109. Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. М., Физматгиз, 1962,
599 с.
ПО. Лэннинг Дж. Л., Бэттин Р. Г. Случайные процессы в задачах автоматического уп-
равления. М., «Иностранная лит.», 1958, 387 с.
111. Вайнштейн Л. А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех.
М., «Советское радио», 1960, 447 с.
112. Marquard Е. Zur Frage der Verbindungsfederung.— ATZ, 1957, N 11, s. 321—324.
113. Певзнер Я. M. О качении автомобильных шин при быстроменяющихся углах уво-
да.— «Автомобильная промышленность», 1968, № 6, с. 15—19.
114. Nordeen D., Cortese D. Force and moment characteristics of railing tires.— SAE-
Preprints, s. a. N 713A, p. 1—13.
115. Аналитический метод расчета возмущений от неровностей дорожной поверхности,
действующих на автомобиль в горизонтальной плоскости.— В кн.: Устойчивость уп-
равляемого движения. М., 1971, с. 15—33. (Труды МАДИ). Авт.: Г. В. Гольдин,
Б. М. Додонов, А. А. Хачатуров, Е. И. Яковлев.
116. Гольдин Г. В., Додонов Б. М., Хачатуров А. А. Устойчивость управляемого движе-
ния автомобиля. М., 1969, с. 1—41. (Труды МАДИ).
117. Додонов Б. М., Кольцов В. И., Хачатуров А. А. Исследование устойчивости и уп-
равляемости автомобиля с учетом вертикальных колебаний. М., НАМИ, 1969,
с. 18—28. (Труды семинара по устойчивости и управляемости автомобиля. Вып. 3).
118. Дифференциальные уравнения, описывающие линейную расчетную схему авто-
биля, и исследование на их основе амплитудно-частотных характеристик автомоби-
ля — В кн.: Теоретическая механика. М., МАДИ, 1972, с. 30—48. Авт.: Г. В. Голь-
дин, Б. М. Додонов, Е. И. Мокин и др.
119. Кинематический анализ независимой подвески легкового автомобиля.— В кн.:
Устойчивость управляемого движения автомобиля. М., 1971, с. 3—14. (Труды
МАДИ). Авт.: А. А. Асриянц, Г. В. Гольдин, Б. М. Додонов, А. А. Хачатуров.
120. Оценка устойчивости движения автомобиля на конечном интервале времени при
действии случайных возмущений от дорожной поверхности. Сб. трудов Мин. выс-
шего и ср. спец, образ. СССР. М., 1972, с. 4—12. Авт.: Г. В. Гольдин, Б. М. Додо-
нов, Е. И. Мокин и др.
121. Расчет статической поворачиваемости автомобиля с учетом кинематических пара-
метров подвески.— В кн.: Устойчивость управляемого движения автомобиля. М.,
1973, с. 4—10. (Труды МАДИ. Вып. 68).
122. Певзнер Я. М. Теория устойчивости автомобиля. М., Машгиз, 1947, 154 с.
123. Горелик А. М. Условия устойчивости движения автомобиля.— В сб. Исследование
устойчивости автомобиля. М., НАМИ, 1953, 26 с.
124. Гинцбург Л. Л. К вопросу об оценке управляемости автомобиля при прямолиней-
ном движении.— «Автомобильная промышленность», 1966, № 8, с. 15—18.
125. Добрин А. С., Гришкевич А. И. Экспериментальное исследование движения авто-
мобиля по заданной траектории. М., с. 3—66. (Труды семинара по устойчивости и
управляемости автомобилей. Вып. 2).
126. Фалькевич Б. С., Мирзоев Г. К., Кушвид Р. П. Исследование управляемости авто-
мобиля при криволинейном движении. М., 1968, с. 85—90. (Труды семинара по ус-
тойчивости и управляемости автомобилей* Вып. 2),
127. Кадырханов М. А., Абдуразаков А. А., Диваков А. Н. Экспериментальный автомо-
биль для исследования устойчивости и управляемости легковых автомобилей. М.,
1971, с. 32—38. (Труды НАМИ. Вып. 133).
128. Бендат Дж. и Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М., «Мир»,
1971, 408 с.
129. Афанасьев В. Л., Васильев В. С., Хачатуров А. А. Метод записи микропрофиля ав-
томобильных дорог и математическая обработка результатов с применением АВМ.
Применение математических машин при конструировании и исследовании автомоби-
лей и двигателей (Материалы Второго Всесоюзного совещания БПИ). М., НАМИ
НТО Машпром, 1966, с. 155—163.
130. Малиновский Е. Ю., Гайцгори М. М. Динамика самоходных машин с шарнирной
рамой. М., «Машиностроение», 1974, 175 с.
33 Заказ 3363
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение к гл. 2
1. РАСЧЕТ ДИСПЕРСИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ ПОДРЕССОРЕННЫХ МАСС
АВТОМОБИЛЯ ОТНОСИТЕЛЬНО ДОРОЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
При решении некоторых вопросов конструирования автомобиля
необходимо уметь рассчитывать перемещения подрессоренных масс от-
носительно дорожной поверхности. Будем рассматривать двухмассовую
расчетную схему колебаний автомобиля (см. рис. 37). По перемещениям
подрессоренных масс относительно поверхности дороги d = z — q пере-
даточная функция системы имеет следующий вид:
rr t _ Мтр2 + Гр(ЛЦ-т)р + (М4-т)ср + Л1сш
Пъа(р) = р2--------------------------------------------.
Мтр4 + (М + т) Грр3 + [(М + т) ср + Мсш] р2 + грсшр + срсш
Зададим спектральную плотность возмущающего воздействия дороги
в виде
G)2 + (О?
Ко (©) = О2иЛ-------------.
4 <02(<02 + <0*)
Тогда для дисперсии перемещений подрессоренных масс относитель-
но поверхности дороги получим выражение
В6 = В2оа—2-82 ,
2Л12гр4д5
514
где
Д5 = Мта4 + (М + /п)гр©3 + Мсша>% + (М + т) ср©2 4- грсш©2 + срсш,
М5 = [(М + т)2грсш + (М + /п)3ср + 2М2(М 4- т)срсш + Л43Сш] срсш +
+ грсш [(Л4 + /п)2грсш 4- (Л4 4- т)3ср + 2М2(Л4 + т)срсш + M3<4] ©г 4-
+ сш [М (М + »г)2ГрСш + М (М + tri)2 тср + М3тсрсш] ©i + M3mrpclfi>3 4-
+ [(Л4 + /п)3грсрсш + (М + /п)4ср + (ЗМ + 2/п)Л43срСщ + Л14Сщ +
+ ЗЛ4 (М 4- tn) срсш] © । 4- гр [(Л4 + tn) грсш 4- (Л4 4- tn) ср 4- М Сщ 4*
4- 2М2(М 4- tn)2 срсш] ©i©2 4- [Мт(Л4 4- т)2грсш 4- Мт(М 4- т)3с2р 4-
4- М4тсш 4- 2М3т(Л4 4- /п)срСщ] ©2©2.
Для более простых видов спектральных плотностей микропрофиля
это выражение существенно упрощается. Например, для спектральной
плотности
// _
(О2
дисперсия перемещений подрессоренных масс
D6 = — [(м + т)2г2рсш 4- (М 4- т)3с2 4- 2М2 (М 4- т) срсш 4- М3с2 ],
2М гр 4
а для
к
(1)
(2)
D рЗ
De =----—----[(M + т)3ГрСреш + (М + m)4Cp + (ЗМ 4- 2т)Л13срс1 +
2М2гр4%
+ М4с3 + ЗМ2(Л1 + /п)2СрСш].
Используя эти результаты, можно получить формулы для расчета
взаимной дисперсии процессов дш и 6Р
О6швр = М{бшбр},
так как S = Sp + бш, то
°6рЬт = Т —D«p~°бш)-
Формулы для расчета Dsp и D &ш приведены в гл. 2.
Для спектральной плотности микропрофиля (1) взаимная диспер-
сия определяется формулой
Обрбш = -7^а [(М + т)2гр + 2(М + т)2 Мср-2М2тсш],
р 4/И ГрСш
а для спектральной плотности (2) формулой
Чвш = + т)3 СР +
Р 2Mrcf„
2. РАСЧЕТ ОДНОМАССОВОЙ МОДЕЛИ КОЛЕБАНИЙ АВТОМОБИЛЯ
ПРИ НЕЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ ПОДВЕСКИ
Приближенный метод расчета колебаний автомобиля при нелинейных
характеристиках подвесок и шин, основанный на статистической лине-
аризации этих характеристик, изложен в гл. 2. Точный расчет может
быть выполнен, если представить возмущающее воздействие от дороги
и обобщенные координаты системы в виде многомерного марковского
случайного (диффузионного) процесса Z(/), компоненты щ которого
удовлетворяют системе стохастических дифференциальных уравне-
ний [108}:
п
= uit Un)+\\gim(t, Ui, un)x\m(t) (i=l...............n), (3)
ar
m= 1
где цт(/) —взаимно независимые нормальные белые шумы; <рг-, gim —
известные непрерывные неслучайные функции.
Как отмечалось в § 1 гл. 3, в этом случае критерии плавности хода и
безопасности движения определяются как функционалы от переходной
плотности вероятностей W*(t, Zh Z2), определяемой уравнением Колмо-
горова:
п п п
+ Хт-(а'Р)“7 X {blkW*'> = °’ (4)
д/ dui 2 duk dui
/=i ы /=1
где
at(t, uit un) = 4i(t, ui, .... u„);
n
bi(t, Ut, 2 Ui, .... U„)gkm{t, Ui.Un) (5)
tn= I
(I, k = I, 2.n) 515
33*
Решение уравнения (4) представляет основную сложность этого ме-
тода расчета колебаний нелинейного автомобиля. Оно может быть вы-
полнено лишь с использованием ЭВЦМ. Ниже будет рассмотрен частный
случай, который допускает аналитическое решение этого уравнения. Этот
случай имеет важное практическое приложение для теории подвески ав-
томобиля, так как соответствует движению автомобиля по грунтовым
дорогам.
Рассмотрим одномассовую расчетную схему вертикальных колебаний
автомобиля (см. рис. 38). Будем считать, что амортизатор имеет линей-
ную характеристику (гр = const). Характеристика упругого элемента не-
линейная ср = ср(бр). Если за обобщенную координату принять переме-
щение массы Л4 относительно дороги, т. е. прогиб упругого элемента бр,
то уравнение движения запишется так:
Мбр + грбр + Fc р(бр) = —Mq, (6)
где q(t) —возмущающее воздействие микропрофиля дороги.
Микропрофиль дороги будем считать обобщенным нормальным ста-
ционарным случайным процессом со спектром
Тогда двумерный процесс {«i = бр, и2 = бр} является марковским
(диффузионным) процессом и описывается стохастическими уравне-
ниями
-^-бр= —п06р—а0(6р)—*11(0;
<яр х
где
_ Гр /Л \ fcp(6p) .
----------
(8)
т)1(0—нормальный белый шум со спектральной плотностью =
= DiVa — Const.
Стационарное решение уравнения (4) для переходной плотности про-
цесса {бр, бр} представляет собой совместную плотность распределения
случайных величин бр и бр — №(бр, бр). Оно найдется, если в (4) фор-
мально положить dW*/dt = 0. Учитывая (5) и (8), получим
^-[(-Побр-Оо(йр))Я+ бр =4--^-Г. (9)
dOp оо 2 £6р
Известно, что решение уравнения (9), удовлетворяющее условию
нормировки,
JJ^(6p, 6p)d6pd6p=l (10)
--00
имеет вид:
516 г(бр, 6р)-А(бр)Ыбр), (11)
где
1 ( «о
fi (бр) = —----ехр /------
у 2л Qi I 2сН
р 4 бр
fz(6p)= j ехр(—n(6P))d6P
_—QO
*fp ч«;)
И (бр) — I д2
О *Р
2 К4 _ к<м
Од ———
°р 2п0 2гр
ехр[—ц(бр)];
d6p;
(12)
(13)
(14)
(15)
K4 = D^a.
Согласно (11) при любом фиксированном t случайные величины
бр(/) и др(О являются независимыми. Закон распределения fi(dp) ско-
рости прогибов др(/) упругого элемента нормальный и не зависит от
характеристики элемента. Закон распределения f2(6p) прогибов опреде-
ляется этой характеристикой.
Среднее квадратическое скоростей др, определяемое формулой (15),
не зависит от характеристики упругого элемента, а мощность, затрачи-
ваемая на вертикальные колебания (потери в амортизаторе), зависит от
уровня возмущений и от массы Л4*:
а 2
(16)
Таким образом, если характеристика упругого элемента известна
?с р = Fс р(^р)>
то, используя формулы (11) — (15), можно вычислить все параметры,
характеризующие плавность хода автомобиля, прогибы упругого эле-
мента и т. д. В частности, среднее квадратическое значений прогибов
подвески и ускорений массы М определяется по формулам:
olp = +f 6pf2(6p)d6p; (17)
а-- = jJ[Mp + ao(6p)]2fi(6p)f2(6p)4rf5₽- (I®)
—оо
Вероятность пробоя подвески
Pnp = Jf2(6p)d6p, (19)
di
где di — допустимый прогиб.
Вероятность появления ускорений (перегрузок), превышающих допу-
стимый уровень Zo,
^0 = И (20)
z> z0
где интегрирование проводится по области [побр + а0(dp)] > z0.
* Аналогичный результат получается при спектре (7) и для двухмассовой модели
колебаний автомобиля (см. § 5 гл. 2). 517
Используя соотношения (17) — (20), можно решать различные за-
дачи. Например, зная упругую характеристику и допустимую вероят-
ность пробоя Рпр, можно из формулы (19) определить требуемый ход
подвески. Для заданной упругой характеристики можно выбрать сопро-
тивление амортизатора гр, обеспечивающее минимум Оапри ограничении
о&-р (или, наоборот, минимум osp при ограничении а - ).
Рассмотрим случай, когда характеристика упругого элемента имеет
вид (см, § 6 гл. 2):
ст6“при 6р>0;
1 ср \ 1I
I —ст|бр| при 6р < 0,
где т^>0.
Тогда Оо(бр) = атбр, (22)
где ат = ст/М;
т 1
/ 1 \ т+1 / подт \ 1
Ь(бР) = 1 2 \ I *4 — ехР[-ГТ77Гб"+‘1; (23)
г Л 1 \ I (т + 1)л« J
\т+1/
г
а2 = Г 2п*ат 1 т+1 \ + 1 / . (24)
бР L(^ + 1)kJ г/ 1 \ ’
\ т + 1 )
2т /2т+1\
_ т+1 Г ( ~ I
02 _ прК4 . д2 Г 2п0ат 1 \т+ \ ! (25)
2 2 т1И+1)К41 г/ 1 V
\ т + 1 )
Вероятность пробоя подвески определится в этом случае соотноше-
нием
Рпр—f exP<-xm+,)dx’
2Г \ т + 1 ) б,
(26)
где
бр
х =—— ;
Y-4 . -
<. 1 I
Приближенно Рпр можно вычислить, представив функцию ц(бР) при
бр > 61 первыми двумя членами ряда Тейлора. Учитывая (19) и (23),
получим
Pnp^(fft+1)C+1 Г ехр[—-0тбГ+1 — (т+ 1)0тбГбр] </бр,
2Г ( —— .!•
518
о
где
т ~ (т+1)К/
Таким образом,
Рпр ~--------5-----— ехр(—гт),
(27)
где
_ О 1
(28)
Если допустимая вероятность превышения хода 61 подвески задана,
то, используя (27) и (28), можно вычислить величину хода подвески.
Согласно (28)
6j = Г(т + 1)К41'"+1 , (29)
L 2п0ат J
где zm находится из решения уравнения (27) при заданных т и РПр.
Определим для подвески с упругой характеристикой (21) значения
параметров и0 и ат (т. е. коэффициент сопротивления линейного амор-
тизатора и коэффициент ст упругой характеристики), обеспечивающих
минимальное значение среднего квадрата ускорений с>| « min при огра-
ничении среднего квадрата прогибов о&р = ов2рдоп • Учитывая это ог-
раничение, в соответствии с формулами (24) и (25) получим
2n0am = (т + 1) /С4 Обр доп
(30)
2
а2-
Г
П0К4 , „2
—------Ь ат —
Г
Г
2
Одр доп-
\ (31)
г
т
Используя (30), выражаем о| через nQ и находим оптимальные зна-
чения этого коэффициента
1
Л0опт ~ (^^брДоп^у) 3 (32)
и коэффициента ат
m-Ь1
1
ат опт = (К4ДуОдрдоп) (W + 1)К4
г —
2 \ т +
Одрдоп - ~
г|—
(33)
где
г /2m+J\ г / 3 \
д _ \ т + 1 / \ т+ 1 /
7 Г2 fm + 2 \
\ 1 /
519
Минимальное значение среднего квадрата ускорений
1
° г min = ~ (^MvOep доп) . (34)
Определим для подвески с упругой характеристикой (21) значение
параметров и0 и ат, обеспечивающих минимальное значение среднего
квадрата прогибов подвески (о|р = min) при ограничении среднего
квадрата ускорений а?- = <^z\On-
Проведя выкладки, аналогичные предыдущим, получим
„ 3 2 ГЛ--1
«Оопт— 4 ОгдогЛ4 »
„2 _ 27
Qdp min — § Av,
az доп
(35)
(36)
(37)
(21) с
линей-
Сравним нелинейную подвеску с упругой характеристикой
подвеской, имеющей линейную характеристику Fc р = CiSp. Для
ной характеристики будем иметь (эти соотношения можно получить
из приведенных выше формул, приняв т = 1)
О2 = =
р 2rpCt 2fiiat
(39)
Значения и аь обусловливающие минимумы о-при условии, что
2 «,2
о8р ограничено величиной О8рДОп , получаются следующими:
1 2
П1опт = (^4Оврдоп)3; (38) а^0,5(к4о1рлоау. (40)
При этом минимальное значение среднего квадрата ускорений
^т^0,75(К^лоаУ. (41)
В гл. 3 было показано, что при заданном доп никакая подвеска, не
реагирующая на «будущее», не может обеспечить значение среднего
квадрата ускорений меньше, чем (41). При любой нелинейной подвеске
получим
1
а?>0,75(^4стГр2доп)3 (42)
или
где равенство достигается лишь для оптимальной линейной подвески
520 (см. § 3 гл. 3).
Отношение минимального среднего квадратического ускорений к
среднему квадратическому ускорений кузова при линейной характе-
ристике
а.. . (т) А
(44)
при одинаковых as доп • Наоборот, при одинаковых допустимых сред-
них квадратических ускорений отношение минимальных средних квад-
ратических прогибов сравниваемых нелинейной и линейной подвесок
^6- min __
—--------=/л?.
*врпйп(1)
(45)
Соотношение (44) показывает, насколько хуже по среднему квадра-
тическому ускорений оптимальная нелинейная подвеска, имеющая
упругую характеристику вида (21), тю сравнению с оптимальной ли-
нейной подвеской при одинаковых средних квадратических прогибов.
Соотношение (45) показывает увеличение среднего квадратического
прогибов рассматриваемой нелинейной подвески по сравнению с опти-
мальной линейной подвеской при одинаковых допустимых средних
квадратических вертикальных ускорений. Для оптимальной линейной
подвески при фиксированных о - и osp коэффициент характеризую-
щий уровень спектра возмущения от дороги, при котором получаются
такие прогибы и ускорения [см. формулу (44)],
1)
А4тах
(46)
Для рассматриваемой нелинейной подвески при оптимальных ее
параметрах имеем [см. (37)]
(47)
(48)
показывает, во сколько раз следует уменьшить уровень неровностей
профиля дороги, чтобы можно было получить для нелинейной подвес-
ки значения о&р и а-такие же, как и для оптимальной линейной. Из
(48) следует, что на одной и той же дороге скорость движения автомо-
биля с нелинейной подвеской будет в Д~1/12 раз меньше. Таким обра-
зом, использование нелинейной подвески неизбежно ухудшает средние
квадратические показатели ее качества. Однако при прогрессивной
упругой характеристике (т > 1) в случае ухудшения показателя о |р
можно ожидать некоторого уменьшения вероятности пробоев [см. (19)],
вместе с тем, по-видимому, ухудшается показатель Р- [см. (18)]. При
регрессивной упругой характеристике (т < 1,0) наряду с увеличением
4р возрастет и РПр, но следует ожидать некоторого улучшения пока-
зателя Р±- по сравнению с показателем оптимальной линейной под- 521
34 Заказ 3363
вески при одинаковых расчетных условиях (скорость движения,
дорога).
Приведенные выше соотношения справедливы при любом показа-
теле степени т нелинейной упругой характеристики подвески. Наибо-
лее часто используются показатели т = 2 и т = 3. Чтобы получить
расчетные формулы для этих случаев, необходимо в (23) — (27),
(32) — (37), (44) — (45), (47), (48) подставить т = 2 или т = 3.
Приложение к гл. 3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ ПОДВЕСКИ,
ОПТИМАЛЬНОЙ ПО ТРЕТЬЕЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ
ПОДРЕССОРЕННОЙ МАССЫ
Рассмотрим одномассовую схему автомобиля, представленную на
рис. 104. Пусть критерием плавности хода будет средний квадрат тре-
тьей производной перемещений подрессоренной массы
/=М{|^)|2}, (1)
а критерием безопасности — средний квадрат перемещений подрессо-
ренной массы относительно поверхности дороги
<К = М{|у(0-<7(012}- (2)
Оптимальная передаточная функция подвески обеспечиваю-
щая минимум критерия плавности хода f при ограничении критерия
безопасности
(3)
находится из решения краевой задачи
Р(/со)Я+(»К(7(/(о) = W (/©)/(,(/©) + Ф-(/«),
где
D(/co)= — (/<о)6 + 0;
N (jay) =0 — неизвестная постоянная изопериметрической задачи;
Ф“(/ш)—вспомогательная функция, аналитическая в открытой левой
полуплоскости.
Спектральную плотность возмущений зададим в виде
<4>
— (/<0)2 <02 —(/(О)2
Проведя факторизацию функций
D(/(o) = D+ (j®)D+* (»
и
получим
522 D+ (jv) = (/и + 01/6) [(/<о)2 + 01/6/(о + 01 3],
К+(/м) = /£)2аа— /<0 + и>1- .
(/и + 0) (/со + (Bj)
Теперь найдем оптимальную передаточную функцию
е>о (а/ш + и,)
Я+(/<о)= . 2
(/® + и,) (/© + <00) [(/и) + ®0/в> + <о;
(5)
где
©1
о
(<о2—<»,)<о0
а =---j------------------------,
“2 И2(Ш2 + »0)(и| + 0>2И0 + О,;)
ш0-е1ге.
Неизвестный параметр «о находится из условия (3). Отметим, что
для данного общего вида спектральной плотности возмущений этот
параметр может быть определен только численно.
Для более простых видов спектральной плотности возмущений ре-
шение может быть доведено до конца в общем виде. Пусть
К __
Я -W
Оптимальную передаточную функцию получим из (5) при условии,
«>о
Я+(/и)
(/® + ®0) [О’®)2 + “о/® + ®о]
Для определения (оо вычислим
f _ ^2^0
' 3
(6)
и
5£>г°а
3<оо
Условие Т X является существенным при любом X, и из условия
Ч1* = X находим
__ 5D2^a
tt>0 -----.
зх
Предельно достижимое значение критерия плавности хода
f=_£hl
' V З6
Интересно сравнить средний квадрат ускорений кузова, который
получается при передаточной функции (6), со средним квадратом ус-
корений, получающихся в случае подвески с передаточной функцией,
оптимальной по ускорениям (см. § 3 гл. 3). Для подвески с передаточ-
ной характеристикой (6)
М{|у(012} = -^^- = 4^-4г-’
а для оптимальной но среднему квадрату ускорений
11 7 J 64 X3
523
34*
т. е. подвеска, оптимальная по среднему квадрату третьей производ-
ной (6), обеспечивает средний квадрат ускорений, который в 2 раза
больше минимально достижимого.
£>4»3
Пусть Ка =----------тогда
(/«)4
Н+ (»= 2^(/т + о,5<о0) .
(j<0 + <й0) [(/и)2 + <В0/<0 + о2] ’
f ... 3М*>0 . у _ Wa3
2 ’ 2<»з
Условие Т < л является существенным при любом X, поэтому
Минимально достижимое значение критерия плавности хода
9 Р2А
4 X
Средний квадрат ускорений
(Г) \ 4/3 л 3/"75
| 2 ]/3
~Т~ I
* J _/ч
что в 4 раза больше минимально достижимого для этого спектра:
. _ I У'3 36/2
V 2 / «К
Пусть теперь
£>2аа[—(/ы)2 + со2]
’ (М)4
тогда
Н (/(0) =------------------------------7—;------------------$7
(/<» + «Oj) (/g> + <оо) [(/®г + <о0/<о + а>3 ]
(8)
и
' 6 Д ’
где
Д’2' = 2(0о + 12со1(о0 + 29(d j too 4~ 36to iCDq 4- 26to i cdq 4- 9toi;
Л = 6)1 + 2to itoo + 2coito0 + too; —--;
6(0* A
Ag = lOtoo + 36tojtoo + 61to?too 4" 50toito0 + 34coitoo 4" 9toi.
Средний квадрат ускорения кузова для передаточной функции под-
вески (8) оказывается в 2—4 раза больше, чем для подвески, оптималь-
524 ной по ускорениям.
Приведенные примеры показывают, что выбор критерия плавности
хода имеет очень большое значение. Подвеска, оптимальная по одному
критерию, может оказаться неудовлетворительной по другому.
В заключение отметим, что в рассмотренных случаях коэффициент
апериодичности оказывается ниже, а собственная частота выше, чем в
подвеске, оптимальной по среднему квадрату ускорений. Некоторые
передаточные функции легко реализовать с помощью пассивных эле-
ментов (пружин и амортизаторов).
Приложение к гл. 5
АНАЛИЗ ПЕРЕХОДНОГО ПРОЦЕССА ПО ЛИНЕЙНОЙ МОДЕЛИ АВТОМОБИЛЯ
Анализ переходного процесса дает возможность выявить связи между
различными колебательными системами. Эти данные используются
при выборе расчетной схемы для исследования различных режимов
движения. Предварительно сделаем некоторые замечания об анализе
качества переходного процесса линейной системы по ее характеристи-
ческому уравнению. Для этого должны быть получены корни харак-
теристического уравнения (действительные или комплексные):
p^ReCpO-h/ImCp,);
р2 = Re(p2) + /Im(p2) и т. д.,
причем для дальнейшего корни располагают в порядке возрастания
модулей | Re(pi) | ^ | Re(p2) | и т. д. Вид переходного процесса в ос-
новном определяется корнем (или корнями) с наименьшей по модулю
действительной частью.
Если этот корень действительный отрицательный, то переходный
процесс близок по форме к апериодическому с эффективной постоян-
ной времени
т = 1
эф !Re(Pl)| '
Если корни с наименьшей по модулю действительной частью ком-
плексные, то переходный процесс по форме близок к колебательному
с эффективной частотой
“эф = |1т(р1.2)|
и эффективным коэффициентом апериодичности
Фэф =
Re(Pi,2)
Im(Pi ,2)
Используя приближенные методы *, можно получить значения ТЭф,
(Оэф и фЭф, близкие к Тэф, <оЭф, фЭф соответственно, исходя только из про-
стых алгебраических соотношений между коэффициентами характери-
стического уравнения.
1 Проектирование и расчет динамических систем. Под ред. В. А. Климова. Л., «Ма-
шиностроение», 1974, 356 с. 525
Для характеристического уравнения четвертого порядка ,
а0р4 + aiP3 + а2р2 + а3р + а4 = О
в зависимости от значений коэффициентов возможны два случая:
1-й случай: ~2°4' <1 — переходной процесс близок к апериодическо-
За|
му и Тэф = <z4/a3;
2-й случай: ~?1а4 ^>1— переходной процесс близок к колебатель-
За| __________________
ному и ©эф = 2л/р/ГД!«_, ^эф = a3/2j/a4a2.
Используя приведенные соотношения, проанализируем некоторые
случаи движения автомобиля.
I. Исследуем взаимосвязь движения управляемых колес и курсо-
вого движения автомобиля по расчетной схеме {yv<ozpp}. Для этой си-
стемы при Лб1 = Кз2 = К& и а = b характеристическое уравнение
имеет вид
р4 + [(2яр) + 2©0] р3 + [(2«р) 2й)0 + + ®р] р2 +
+ [(2гар)®и + <вр<о0] р + ®р®а = 0.
В этом уравнении (см. гл. 5)
Для апериодического переходного процесса получим
(2”р) 0)2 +
Для колебательного переходного процесса получим
Уа . _ (2гер)ю2+Mpmu _ .
(2пр)2шо + 0)2 + 2 [(2пр)2ши + + <о|] о|о)2
Несколько примеров расчета даны в табл. 1. Точные значения кор-
ней характеристического уравнения приведены в этой таблице для ана-
лиза приближенных характеристик переходного процесса.
И. Исследуем взаимосвязь движения управляемых колес с попе-
речными угловыми колебаниями и курсовым движением по расчетной
схеме {согррф} с учетом влияния гироскопических моментов.
Таблица 1
526 Характер переходного процесса °а Результаты расчета при = 20 с-1, сор = 4,15 с””1
Апериодический 10 м/с Pi = — 0,546; р2=—4,97; р3= —10,45 р4=—18,21; Тэф = 2,17 с; 7^=1,83с
Колебательный 20 м/с р{ 2 = —0,829 ± 1,856/; Рз=—6,69 —18,74; (оэф = 1,70 с-1 соэф = 1,856 с““!; *фэф = 0,52; 'фэф = 0*44
В данной задаче рассматривается безынерционная модель курсо-
вого движения, в которой передаточные функции от угла поворота уп-
равляемых колес к выходным параметрам (угловая скорость рыска-
ния, поперечный крен) принимаются постоянными и равными стати-
ческим коэффициентам передачи при данной скорости движения
автомобиля. При сделанных предположениях характеристическое
уравнение имеет второй порядок и параметры колебательного переход-
ного процесса рассчитывают по формулам:
Наглядным практическим приложением выведенных формул для
анализа колебательных систем {t^cozPp} и {со2ррф} может явиться иссле-
дование с их помощью характеристик процесса самовозврата управ-
ляемых колес в нейтральное положение после снятия с рулевого
колеса постоянного момента. Из анализа приведенных формул можно
заключить следующее.
1. Процесс самовозврата управляемых колес определяется не толь-
ко динамикой собственно рулевого управления, но в значительной
степени и динамикой движения автомобиля в горизонтальной плоско-
сти (курсовое движение). В зависимости от скорости движения
изменяется вид переходного процесса самовозврата управляемых
колес.
2. На процесс самовозврата управляемых колес значительное
влияние оказывают гироскопические моменты и поперечный крен ку-
зова, а также вызванные им дополнительные поперечные реакции.
III. Исследуем поперечные угловые колебания с учетом влияния
поперечных реакций дороги по плоской расчетной схеме с двумя
степенями свободы.
Для расчетов использовались две модели шины: безынерционная
и модель шины, описываемая дифференциальным уравнением первого
порядка, связывающим угол увода и поперечную реакцию,
— Q + Q-Ke6,
где Иш — параметр, характеризующий переходный процесс в шине
при ее движении в поперечном направлении и определяемый коэффи-
циентами кривизны упругой линии шины и скоростью движения авто-
мобиля (см. гл. 4).
Кроме расчетной схемы с двумя степенями свободы, анализиро-
валась расчетная схема {<р} с одной степенью свободы, в которой не
учитывалось поперечное поступательное движение автомобиля, т. е.
полагалось vv = 0.
Результаты аналитического расчета параметров колебательного
процесса приведены в табл. 2. Для записи формул в этой таблице ис-
пользовались обозначения: <вф = угсф//хж — частота собственных 527
Таблица 2
Расчетная схема Модель шины Эффективная частота * Эффективный коэффициент апериодичности
Безынерционная (Оэф = const я я 3 S ПЗ <2 S « । е : ! II О ° го а Ql QJ ц> g -L е е -е 1 =е s а 8 •е -е
{<р} Модель шины 1-го порядка ЮФ ®эф г -££- 1/ 1+ Ф к (Ош при va = 0 (1>Эф = 0; при Ua-> ОО (Оэф->(дф 2„ф+^Л(^2(^ ф (0ш (0ш \ рхх 1 \ "с / фэф_... — „ 1 Л 2пф 2шФ V 1+ <0 Г Ц>Ш при Уа -» 0 Фэф -* ос; ПФ при Va -» оо фэф -> ШФ
Фэф =
“ф
при Ua -* оо фэф ----
2 V 2"ф%
при fa — О шэф — при fa = 0 1рэф =
528
(О
при «а - <*> ®эф“* О 0 ф . Х
2У2У%
поперечных угловых колебаний кузова на подвеске; пф = 4rprf2//xx —
коэффициент демпфирования поперечных угловых колебаний; (оу =
= 4c$/Afa — частота собственных поступательных поперечных коле-
баний автомобиля на шинах; Л — линейный параметр, характеризую-
щий направляющий аппарат подвески (см. § 2 гл. 5), причем для
принятой плоской расчетной схемы автомобиля h = h\ = й2; Рхх =
= IxxIM* — радиус инерции.
Из анализа формул табл. 2 следует, что поперечные реакции и
поперечное перемещение автомобиля значительно влияют на парамет-
ры колебательного процесса. Как показывает дополнительный анализ
корней характеристического уравнения, с ростом скорости движения
автомобиля при достаточно малых ее значениях эффективный коэф-
фициент апериодичности увеличивается, а при дальнейшем повышении
скорости достигает максимума и затем начинает уменьшаться.
Качественное объяснение этого явления для малой скорости дает рас-
четная схема {ф}, а для большой скорости — расчетная схема {ууф}.
Другими словами, влияние поперечного перемещения существенно для
анализа поперечных угловых колебаний на малой скорости движения
автомобиля. В среднем диапазоне скоростей автомобиля (10—20 м/с)
эффективный коэффициент апериодичности на 50—100% больше коэф-
фициента апериодичности поперечных угловых колебаний, равного
Лф/шф, что согласуется с приведенной на рис. 195 амплитудно частотной
характеристикой |//ф^ф |. На параметры колебательного процесса
влияет также направляющий аппарат подвески.
Из анализа примеров I—III можно заключить, что при выборе
расчетной схемы той или иной колебательной системы надо тщательно
изучать ее связь с другими колебательными системами.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Амортизатор, сопротивление оптималь-
ное 171, 213, 214
----эквивалентное 155, 189
Баланс мощностной колеса 338
Блок переменных коэффициентов 506
Вектор-столбец случайного процесса 245
Время упреждения 307, 447, 464
Вычеты функции 262
Давление воздуха в шине 315, 317
Движение курсовое 368, 386, 490
----моделирование 436, 444
----неуправляемое, управляемое 422
Демпфирование нелинейное 188
— эквивалентное 155, 189, 192
Дельта-функция 416, 502
Деформация шины боковая 319, 362
----продольная 334, 336
----радиальная 105, 318
Диск колеса 371, 372
Дисперсия, деформаций, скоростей, ус-
корений 146, 150, 182
— оценок 36
— поперечных отклонений 423, 425
Жесткость подвески угловая суммар-
ная 409
— протектора боковая 322, 324
— рессоры оптимальная 201, 213
----эквивалетная 159, 190, 221
— шины боковая 309, 326, 353
----продольная 334, 336
----радиальная 234, 319, 341
------оптимальная 236
------эквивалентная 162, 190, 238
----угловая 323, 328, 332
Звено динамическое 367
— форсирующее 469
Задача изопериметрическая 245, 252, 276,
281
— краевая 249, 264, 273, 285
Клапан разгрузочный 188, 194
Колесо с эластичной шиной 309. 310
Контакт по упругому основанию 325, 340
— шины точечный 9, 340
Кривизна брекера 319, 327
— линия качения 313
— средней линии поверхности шины 312
Критерий безопасности движения 245,
261, 275, 307
— плавности хода 245, 256, 273, 288, 301
— стационарности 44
Координаты автомобиля обобщенные
369, 387, 388
— фазовые 423
Коридор движения 492, 495
----ширина 426
Коэффициент апериодичности колебаний
174, 187
— касательной нагрузки 335
е<эл — корреляцн по частотам 50, 70
— кривизны 314, 321, 353
— относительного затухания 13, 314, 353
— передачи статический 405, 407
— сопротивления развалу 398
---уводу 309, 353, 398
— сцепления 332, 362, 440
— усиления 476
Линеаризация статистическая 152, 154
Линия качения шины 312
— колеса средняя 372
— упругая балки 320, 322
---брекера 322, 323
Матрица комплексно-сопряженная 257
— линейных преобразований 245
Матрица-строка 245, 248, 256
Модель биодинамическая человека 133
— двухмассовая колебаний вертикальных
108, 182
------поперечных 151
— трехмассовая колебаний вертикальных
107
— шины 348, 355
Момент опрокидывающий 311, 346
— стабилизирующий 311, 321, 328, 346
Мощность рассеивания амортизатора 196
---шины 232
Неровность, высота эквивалентная 341
— длина 12, 60
— классификация 55
Ордината осредненная 78, 81
Ось колеса 346, 372
— крена 390
— шкворня 372, 396
Отрыв колеса от дороги 113, 363
Оценка вероятностной характеристики
30, 34
— спектральной плотности 35, 41
Параметры деформации шины 310, 313,
316
— определяющие 255, 280
— управляемые 286, 288
— управляющие 287
Плавность хода автомобиля 97, 126, 241
Плоскость вращения колеса 372
Плотность спектральная деформаций 126
---углов наклона кузова 121
---ускорений вертикальных 115, 124
------угловых 120
Площадка контакта 78, 309, 340
---кривизна осреднения 87, 342
---угол наклона осредненный 81, 310,
343
---центр 312, 341
Поворачиваемость 406, 419
Погрешность конечной выборки 36, 292
— осреднения 39, 292
Подвеска зависимая 379
— независимая двухрычажная 375
— принципиальные возможности 243
— пробой 184, 213
—прогиб статический 201, 208
— рычажно-свечная 377
— самонастроивающаяся 291
— с реактивной штангой 380
— с упреждением 306
Поле случайное изотропное сжатое 67
— осредненное кривизны поверхности 87
----угла наклона 81
Преобразование микропрофиля 12, 14
Преобразователь профиля динамический
22, 27
Принцип максимума Л. С. Понтрягина
287
Проскальзывание отпечатка шины 324,
347, 349
Процесс переходной в шине 353, 364
Радиус колеса свободный 318, 336
----динамический 342
— качения 336, 337
Распределение вероятностей деформаций
111
----ускорений 112
Реакция вертикальная 345, 346
— осевая 311, 344, 354
— поперечная горизонтальная 309
---- касательная 344
— продольная горизонтальная 339
----касательная 334, 346, 352
Сила натяжения боковины 316
— растяжения брекера 318, 322
Система автомобиль — водитель 447
Скорость проскальзывания 331, 352
— скольжения относительная 383
Смещение отпечатка боковое 310
Способность сглаживающая колеса 226
Схема расчетная движения кузова 387
----неподрессоренных масс 391
----рулевого управления 395
— регулирования эквивалентная 450
— трансмиссии 394
— управляемого движения автомобиля
449
Траектория заданная 369, 492, 503
— оптимальная 287, 290
Трение в подвеске 170
— в шине 229, 282
Увод боковой при торможении 351
Угол крена 371
— наклона оси колеса 383
— увода 309, 315, 326, 328
---- оси 386
Уравнение кинематических связей 313,
331, 345, 352
----характеристик подвески 374
— характеристическое 413
Устойчивость системы 465
Устройство противоблокировочное 440
Факторизация 249, 259, 465, 486, 489
Функция корреляционная нормированная
472, 480
— передаточная 358, 405, 503
----«грудь — голова» 137
----«дорога — деформация» 144
----«дорога — наклон кузова» 152
----«дорога — перемещение кузова» 149
----«дорога — ускорение кузова» 144
----«таз — грудь»
----«таз — грудь» 136
— переходная 416, 418
----импульсная 423, 502
— проскальзывания 332
Характеристика движения колеса 372, 383
— подвески кинематическая 374, 381
— упругая рессоры 159, 220
----шины 162, 230
— частотная курсового движения 410
---- матричная 444
Ход динамический 205, 213
Центр тяжести автомобиля 359, 452, 490
Частота дорожная 11, 57
— среза 46, 357, 468
Чувствительность к управлению статиче-
ская 406, 409, 432
Шина, боковина 315
— брекер 315, 325, 331
— площадка контакта 309, 321
—прогиб статический 163, 241
— проскальзывание отпечатка 324
— протектор 322, 326
— сглаживающая способность 9, 228
— энергия деформации 311
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
• ДОРОЖНОЙ ПОВЕРХНОСТИ
§ 1. Дорожная поверхность 9
1. Рельеф, профиль и возмущения 9
2. Микропрофиль 11
3. Запись микропрофиля'' 18
§ 2. Статистические характеристики дорожных неровностей 28
1. Первичные и вторичные характеристики 28
2. Свойства оценок 30
3. Оценки статистических характеристик микропрофиля 32
4. Погрешности оценок 36
5. Спектральный и корреляционный анализы 40
6. Проверка гипотезы нормальности и стационарности 42
7. Аппроксимация спектральной плотности микропрофиля 45
8. Спектральные плотности микропрофиля по двум колеям 50
§ 3. Классификация спектральных плотностей микропрофиля 53
§ 4. Макропрофиль и профиль 56
1. Спектральные плотности макропрофиля и профиля 56
2. Спектральные плотности грунтовых дорог и местности 60
§ 5. Рельеф 64
1. Случайные поля и их сечения 64
2. Спектральная плотность изотропного случайного поля 67
3- Параллельные сечения 70
4. Осреднение по площадке контакта 78
5. Осредненные углы наклона и кривизна площадки контакта 81
§ 6. Статистические характеристики и моделирование возмущений 88
1. Спектральная плотность возмущения 88
2. Численные характеристики возмущений 91
3. Моделирование возмущений 92
2 ПЛАВНОСТЬ ХОДА
• АВТОМОБИЛЯ
§ 1. Расчетная схема и дифференциальные уравнения колебаний двухос-
ного автомобиля 97
§ 2. Статистические характеристики колебаний автомобиля 109
§ 3. Критерии плавности хода автомобиля и биодинамические модели
тела человека 126
1. Критерии плавности хода 126
2. Биодинамические модели тела человека 133
§ 4. Аналитический расчет параметров колебаний автомобиля 138
1. Расчет колебаний «линейного» автомобиля при случайных возмущениях 139
2. Расчет «нелинейного» автомобиля при случайных возмущениях 152
3. Применение формул приближенного аналитического расчета к реше-
нию некоторых задач теории подвески 163
§ 5. Влияние демпфирования в подвеске на колебания автомобиля 170
1. Влияние демпфирования на колебания «линейного» автомобиля 171
532 2. Влияние нелинейного демпфирования на колебания автомобиля 188
§ 6. Влияние жесткости рессор на колебания автомобиля 200
1. Оптимальная жесткость рессоры 201
2. Влияние прогибов подвесок на угловые колебания автомобиля 208
3. Влияние ограничения хода подвески на колебания автомобиля 212
4. Влияние нелинейности упругих характеристик рессор на колебания ав-
томобиля 220
§ 7. Влияние параметров шин на колебания автомобиля 226
1. Сглаживающая способность колеса с пневматической шиной 226
2. Демпфирующая способность шины 229
3. Потери энергии в шинах автомобиля при вертикальных колебаниях 232
4. Влияние радиальной жесткости шин на колебания автомобиля 234
ПРИНЦИПИАЛЬНЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ
ПОДВЕСКИ НАЗЕМНЫХ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ
§ 1. Задача о принципиальных возможностях подвески 243
1. Постановка задачи 243
2. Математическая формулировка задачи 244
3. Линейная система 245
4. Нелинейная система ‘ 245
§ 2. Решение задач о принципиальных возможностях подвески для ли-
нейной системы 246
1. Изопериметрическая задача 246
2. Уравнения, определяющие экстремум 248
3. Решение краевой задачи 249
4. Решение изопериметрической задачи 252
5. Порядок расчета при рациональных спектральных плотностях 255
§ 3. Расчет оптимальной передаточной характеристики подвески 263
1. Вертикальные колебания кузова 263
2. Вертикальные и продольно-угловые колебания кузова 268
3. Вертикальные и поперечно-угловые колебания кузова 272
4. Вертикальные, продольно-угловые и поперечно-угловые колебания ку-
зова 275
5. Вертикальные колебания подрессоренных и неподрессоренных масс 279
6. Вертикальные колебания кузова при наличии локационного устройства 284
§ 4. Нелинейная система 286
§ 5. Самонастраивающаяся подвеска 291
§ 6. Синтез схемы подвески, близкой к наилучшей 296
1. Синтез простейшей схемы 296
2. Синтез схемы подвески с учетом угловых колебаний 301
3. Учет неподрессоренных масс 304
4. Подвеска с «упреждением» 306
МОДЕЛИ КАЧЕНИЯ КОЛЕСА
С ЭЛАСТИЧНОЙ ШИНОЙ
§ 1. Теория Келдыша 310
§ 2. Упругие модели 315
§ 3. Проскальзывание отпечатка 324
§ 4. Продольные нагрузки 334
§ 5. Качение по неровной поверхности 340
§ 6. Упрощенные модели 347
§ 7. Боковой увод при торможении 351
§ 8. Переходные процессы 353 533
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЗВЕНА «АВТОМОБИЛЬ*.
• МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ КУРСОВОГО ДВИЖЕНИЯ
§ 1. Общая структурная и пространственная расчетные схемы автомобиля 367
§ 2. Кинематика относительного и абсолютного движения колеса 371
1. Кинематика относительного движения точек диска для независимой
подвески 372
2. Кинематические характеристики зависимых подвесок с неразрезной
осью 379
3. Линейные кинематические характеристики подвесок 381
4. Кинематические характеристики абсолютного движения колес 383
§ 3. Расчетные схемы и дифференциальные уравнения движения колеба-
тельных систем 386
1. Кузов и неподрессоренные массы 387
2. Колеса и трансмиссия 393
3. Управляемые колеса и рулевое управление 394
4. Задание реакций дорожной поверхности 398
5. Линейные уравнения движения автомобиля 399
§ 4. Методы аналитического исследования динамических характеристик
звена «автомобиль» 404
1. Статические коэффициенты передачи 405
2. Частотные характеристики автомобиля 410
3. Условия устойчивости и критические скорости движения 412
4. Переходные и импульсные переходные функции 416
5. Реакция автомобиля на возмущения от продольных сил при торможении 418
§ 5. Горизонтальные реакции на колесах, вызванные возмущениями от
дорожных неровностей 419
§ 6. Курсовая устойчивость неуправляемого движения автомобиля при
действии случайных возмущений - 422
§ 7. Экспериментальное исследование курсового движения автомобиля 429
1. Движение по «змейке» 431
2. «Бросок» рулевого колеса 431
3. «Рывок» рулевого колеса 432
4. Переезд через единичную неровность 432
5. Притормаживание автомобиля 434
6. Неуправляемое движение по дороге с покрытием заданного типа 435
§ 8. Применение математических машин для исследования движения ав-
томобиля 436
1. Моделирование на АВМ движения автомобиля 437
2. Применение ЭЦВМ для исследования движения автомобиля 442
6 МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОДИТЕЛЯ.
• МОДЕЛИ УПРАВЛЯЕМОГО ДВИЖЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ
§ 1. Анализ системы автомобиль — водитель 447
1. Приведение системы автомобиль — водитель к эквивалентной однокон-
турной схеме регулирования 447
2. Математическая модель автомобиля 452
§ 2. Построение модели водителя 456
1. Экспериментальное исследование управляемого движения автомобиля 456
2. Определение структуры эквивалентной передаточной функции водителя 460
3. Экспериментальное определение параметров модели 470
§ 3. Уточнение модели водителя 475
1. Линейная модель 475
534 2. Нелинейная модель. Моделирование на АВМ 480
§ 4. Некоторые обобщения модели управляемого движения 1. Движение автомобиля со скоростью, равной или выше критической 2. Движение автомобиля под действием медленно меняющихся возму- щений 3. Выбор модели управляемого курсового движения автомобиля для раз- личных задач § 5. Криволинейное движение 1. Исследование криволинейного управляемого движения для простейших моделей автомобиля 2. Моделирование криволинейного управляемого движения § 6. Исследование устойчивости прямолинейного управляемого движения автомобиля по неровной поверхности 483 483 488 490 492 493 501 506
Список литературы Приложения Приложения к гл. 2. 509 514
1. Расчет дисперсии перемещений подрессоренных масс автомобиля относи- тельно дорожной поверхности 2. Расчет одномассовой модели колебаний автомобиля при нелинейной уп- 514
ругой характеристике подвески 515
Приложение к гл. 3. Определение передаточной функции подвески, опти- мальной по третьей производной перемещений подрессоренной массы Приложение к гл. 5. Анализ переходного процесса по линейной модели ав- 522
томобиля 525
Предметный указатель 530
Абгар Альбертович Хачатуров, Владимир Ле-
онтьевич Афанасьев, Владимир Семенович
Васильев, Григорий Вениаминович Г о л ь д и н,
Борис Михайлович Додонов, Виктор Петрович
Жигарев, Владислав Иванович Кольцов,
Виталий Соломонович Юрик, Евгений Иосифо-
вич Яковлев
ДИНАМИКА СИСТЕМЫ
ДОРОГА — ШИНА
АВТОМОБИЛЬ — ВОДИТЕЛЬ
Редактор издательства Л. И. Егоркина
Художник М. М. Занегин
Технический редактор Л. П. Гордеева
Корректоры И. М. Борейша и А. П. Озерова
Сдано в набор 26/11 1975 г. Подписано к печати З/XI 1975 г.
Т-18180 Формат 70 X 100’/i6 Бумага люксопринт
Усл. печ. л. 43,55 Уч.-изд. л. 42,35
Тираж 5000 экз. Заказ 3363
Цена 4 р. 61 к.
Издательство «Машиностроение*, 107885, Москва Б-78,
1-й Басманный пер., 3
Экспериментальная типография ВНИИ полиграфии
Москва К-51, Цветной бульвар, 30