СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ

НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ЖУРНАЛ

Издается с 1 января 1959 г.

Выходит один раз в два месяца

Учредитель: ФГУП «НИЦ «Строительство»

МОСКВА. ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко

1

2005

РЕДАКЦИОННАЯ
КОЛЛЕГИЯ

Главный редактор
НАЗАРОВ Ю. П.

Аббасов П. А.
Айзенберг Я. М.
Александровский С. В.
Алявдин П. В.
Александров А. В.
Андреев В. И.
Бондаренко В. М.
Городецкий А. С.
Горпинченко В. М.
Еремеев П. Г.
Игнатьев В. А.
Ильичев В. А.
Карпенко Н. И.
Колчунов В. И.
Курбацкий Е. Н.
Мухамедиев Т. А.
Немчинов Ю. И.
Обозов В. И.

Пятикрестовский К. П.
(отв. секретарь)
Расторгуев Б. С.
Травуш В. И.
Цейтлин А. И.
Чирков В. П.
Шапошников Н. Н.
Шугаев В. В.

Редактор выпуска Пятикрестовский К. П.

Корректор Рязанцева И. В.

Компьютерная верстка Севастьянова М. Г.

Журнал зарегистрирован Федеральной службой по надзору
за соблюдением законодательства в сфере массовых
коммуникаций и охране культурного наследия.

Свидетельство о регистрации средства массовой информации
ПИ №ФС77-19167 от 27 декабря 2004 г.

Адрес редакции:

109428, г. Москва, ул. 2-я Институтская, д. 6, стр. 1

Тел: 170-10-81

E-mail: sm@eurosoft.ru

stroymex@list.ru

Подписано в печать 23.08.2005. Формат 70x108 1/16.

Бумага офсетная. Офсетная печать.

Усл. печ. л. 7,0. Уч.-изд. л. 9,50.

Отпечатано в типографии ООО «Градация П»

109432, Москва, Нагатинская пойма,
Проектируемый проезд 4062, д. 6, стр. 1

Тел.: (095) 677-66-98

Перепечатка материалов журнала
«Строительная механика и расчет сооружений» допускается
только с письменного разрешения редакции.

При цитировании ссылка обязательна.

Представленные заказчиками готовые формы рекламных
материалов не подвергаются редакторской правке
и печатаются в оригинале.

© ФГУП «НИЦ «Строительство», «Строительная механика и расчет сооружений», 2005 г.
ТЕОРИЮ РАСЧЕТА И ПРАКТИКУ
СТРОИТЕЛЬСТВА — НА НОВЫЙ УРОВЕНЬ

Зацаринский
Николай Васильевич

и.о. генерального директора
ФГУП «НИЦ «Строительство»

Назаров
Юрий Павлович
главный редактор, зам. генерального
директора НИЦ по научной работе

Уважаемый читатель!

Мы рады поздравить Вас с воссозда-
нием журнала «Строительная механика и
расчет сооружений», который издается с
1959 года и всегда пользовался заслужен-
ным уважением научных работников и
специалистов любого уровня в нашей
стране (бывшем СССР) и за ее рубежами.
Авторами статей этого журнала в разное
время были крупнейшие ученые — меха-
ники и специалисты смежных областей
А.В. Александров, В.А. Балдин, В.В. Боло-
тин, В.М. Бондаренко, А.А. Гвоздев, Г.А.
Гениев, И.И. Гольденблат, В.А. Ильичев,
Б.Г. Коренев, Н.В. Никитин, Н.А.Никола-
енко, И.М. Рабинович, А.Р. Ржаницын,
А.Ф.Смирнов, И.К. Снитко, Н.С. Стрелец-
кий, А.И. Цейтлин, Н.Н. Шапошников и
многие другие, с именами которых связа-
но становление строительной механики. В
редколлегию журнала вошли лучшие спе-
циалисты вузов и НИИ, которые не дрог-
нули перед трудностями реформ, сохрани-
ли свои школы и продолжают воспиты-
вать новые поколения специалистов выс-
шей квалификации: докторов и кандида-
тов технических наук.

Учредителем журнала стал Научно-
исследовательский центр «Строитель-
ство» (ФГУП «НИЦ «Строительство»),
объединивший лучшие и авторитетные
институты - ЦНИИСК им. В.А. Куче-
ренко, НИИЖБ и НИИОСП им. Н.М.
Герсеванова.

Росстрой и ФГУП «НИЦ «Строитель-
ство» придают большое значение продол-
жению издания журнала «Строительная
механика и расчет сооружений» и в связи с
этим считают необходимым сформулиро-
вать важнейшие проблемы, решению кото-
рых должен способствовать журнал.

Необходимо обобщить многочислен-
ные новые достижения в области расчета
сооружений для создания нормативной
базы проектирования конструкций из раз-
личных материалов. Участившиеся случаи
аварий сооружений и конструкций в пос-
леднее время требуют возврата к единой
системе строительных норм и правил в
России, имеющей силу законов для всего
строительства на территории страны.

Требуется привести в соответствие
результаты прогрессивных расчетов на
ЭВМ с результатами расчетов согласно
нормам.

Этому должны способствовать как
улучшение структуры норм, так и упроще-
ние теории расчета, развитие аналитичес-
ких и инженерных методов расчета, сохра-
няющих ясный физический смысл иссле-
дуемых явлений.

В условиях возросших по количеству
природных и техногенных воздействий
большое значение приобрела проблема
обеспечения безопасного функционирова-
ния строительных объектов.

Реализация в строительстве измене-
ний к СНиП П-3-79* «Строительная
теплотехника» потребовала создания и
введения в хозяйственный оборот каче-
ственно новых строительных техноло-
гий, типов зданий и сооружений. Попыт-
ки быстро решить эту проблему, в том
числе путем адаптации зарубежных тех-
нологий без соответствующего научно-
технического сопровождения, включая
весь комплекс расчетной и эксперимен-
тальной проверки, уже на стадии проек-
тирования приводят к снижению эксп-
луатационных характеристик зданий, а
главное — к снижению их надежности и
конструктивной безопасности. Особен-
но остро проблема безопасности и каче-
ства встает при проектировании слож-
ных и ответственных конструктивных
систем на региональном уровне в связи с
резким сокращением в рыночных усло-
виях деятельности крупных специализи-
рованных НИИ и проектных институ-
тов, обеспечивающих ранее разработку и
научно-техническое сопровождение от-
ветственных и сложных проектов.

Перечисленные проблемы привели к
задачам, обозначаемым новыми термина-
ми «конструктивная безопасность» и «жи-
вучесть» зданий и сооружений. Эти тер-
мины включают в себя расчетный анализ
последствий выхода из строя отдельных
элементов сложных пространственных
или много связных систем с целью не до-
пустить лавинообразного разрушения
всей системы. Теоретические разработки в
этом направлении, начатые В.М. Бонда-
ренко, Г.А. Гениевым и представителями
их научных школ, заслуживают одобрения
и дальнейшего развития.

Строительная практика ожидает от уче-
ных в области теории сооружений разработ-
ки и обоснования расчетных моделей, дос-
таточно полно и однозначно соответствую-
щих исследуемым объектам, процессам и
явлениям, — физическим моделям, приво-
дящим теоретическое изучение инженер-
ных проблем к достоверным результатам.

Особенно важно построение теорий и
нормирование процессов ползучести,
усадки, температурных деформаций, ди-
намических, циклических и сейсмических
воздействий, в частности, моделирования
реакций сооружений на интенсивные сей-
смические воздействия с учетом нелиней-
ных факторов, включая пластическое де-
формирование, накопление усталостных
повреждений и деградацию жесткости не-
сущих элементов в процессе колебаний.

В связи со строительством высотных
зданий приобретают актуальность вопросы
динамического расчета на действие поры-
вов ветра, расчет и конструирование фун-
даментов нового типа, виброизоляция зда-
ний, расположенных вблизи линий метро-
политена, и других источников вибраций.

Требуют дальнейшего совершенство-
вания легкие ограждающие и несущие кон-
струкции из дерева, пластмасс, алюминия,
других новых материалов.

Должны совершенствоваться соеди-
нения элементов легких конструкций для
обеспечения их совместного участия в ра-
боте с несущими элементами из традици-
онных материалов. Необходимо изучать и
развивать теорию и методы повышения
огнестойкости конструкций, зданий и со-
оружений, теорию теплопроводности и
температурные расчеты зданий.

ФГУП «НИЦ «Строительство» орга-
низует регулярные заседания научно-тех-
нического совета вверенных ему институ-
тов, будут проводиться научные конфе-
ренции и совещания для выработки такти-
ки и стратегии развития строительства на
новом современном уровне, решения про-
блем подготовки новых поколений уче-
ных и специалистов.

Этому призван способствовать возро-
дившийся теоретический журнал «Строи-
тельная механика и расчет сооружений».

Желаем успехов ему, благородной и
полезной деятельности.
РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

А.С. ЗАЛЕСОВ, д-р техн, наук, проф., Т.А. МУХАМЕДИЕВ, д-р техн, наук,
Е.А. ЧИСТЯКОВ, д-р техн, наук, проф. (НИИЖБ)

УЧЕТ ФИЗИЧЕСКОЙ НЕЛИНЕЙНОСТИ ПРИ РАСЧЕТЕ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ
МОНОЛИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ ВЫСОТНЫХ ЗДАНИЙ

Железобетон, как известно, обладает ярко выраженными свойствами физической нели-
нейности, связанными с образованием и развитием трещин в бетоне, явлениями ползучести и
усадки, а также деструктивными процессами в бетоне под нагрузкой, неупругими и пластичес-
кими свойствами арматурной стали, нарушением сцепления арматуры с бетоном. Поэтому для
правильной оценки несущей способности железобетонных конструкций, в особенности строя-
щихся в настоящее время высотных зданий, требующих повышенной ответственности при про-
ектировании, расчет как конструктивных систем в целом, так и отдельных железобетонных
элементов должен производиться с учетом физической нелинейности железобетона.

В настоящее время расчет высотных зданий, и в особенности их конструктивных систем,
производится, как правило, методом конечных элементов (МКЭ) с помощью специальных
программных комплексов. При расчете конструктивных систем производится определение
усилий, действующих в элементах конструктивной системы, оценка деформативности (жес-
ткости) конструктивной системы в целом и отдельных ее элементов, а также оценка устойчи-
вости всей конструктивной системы в целом и отдельных колонн и стен. Кроме того, по но-
вым правилам должны производиться расчет на прогрессирующее разрушение от локальных
воздействий. При расчете отдельных элементов системы производится проверка их прочно-
сти и трещиностойкости.

На первом этапе расчета конструктивной системы, когда геометрические размеры эле-
ментов назначаются приближенно и неизвестно их армирование, учет физической нелиней-
ности может осуществляться только приближенным способом. В этом случае железобетон-
ные элементы принимаются сплошными (без трещин), а учет физической нелинейности осу-
ществляется путем корректирования наиболее значимых изгибных жесткостных характери-
стик с помощью детерминированных коэффициентов «k», обобщенно учитывающих факто-
ры физической нелинейности в железобетонном элементе и умножаемых на упругую изгиб-
ную жесткость элемента EL

Значение поправочных коэффициентов устанавливается в зависимости от рассматрива-
емой расчетной ситуации и характера напряженно-деформированного состояния элемента
конструктивной системы.

При определении усилий в элементах конструктивной системы величина этих усилий
зависит от соотношения жесткостей в элементах системы. В этом случае для всех элементов
системы коэффициент «k» может быть принят равным 1,0 либо, учитывая большее развитие
трещин в изгибаемых плитах перекрытий по сравнению с внецентренно сжатыми стенами и
колоннами, для плит перекрытий может быть принято пониженное значение коэффициента
«k», равное 0,8.

При определении деформаций конструктивной системы (горизонтальных перемещений,
прогибов плит перекрытий) величина этих деформаций зависит не только от соотношения,
но и непосредственно от значения жесткостных характеристик железобетонных элементов.
В этом случае коэффициенты «k» устанавливаются в зависимости как от характера напря-
женно-деформированного состояния элемента, так и от характера нагрузки (длительной и
кратковременной). При кратковременной нагрузке для внецентренно сжатых колонн и стен
коэффициент «k» принимается равным 0,8, а для изгибаемых плит перекрытий — равным 0,4.
При длительной нагрузке для колонн и стен коэффициент «k» принимается равным 0,6, а для
плит перекрытий — равным 0,2.

При расчете на общую устойчивость конструктивной системы здания, который свя-
зан с деформированием всей системы, принимается общий пониженный коэффициент
«k», равный 0,7.

При расчете на устойчивость отдельных колонн и стен, который также связан с дефор-
мированием этих элементов, причем рассматривается деформирование колонн в состоянии,
близком к предельному, коэффициент «k» принимается
равным 0,4.

При расчете на прогрессирующее разрушение, учиты-
вая низкую вероятность локальных воздействий, коэффи-
циент «k» может приниматься равным 1,0.

На втором этапе расчета, когда установлено армиро-
вание железобетонных элементов из расчета прочности
по полученным на первом этапе усилиям в элементах
конструктивной системы, физическая нелинейность же-
лезобетонных элементов может оцениваться более точ-
ными методами.

В настоящее время разработаны достаточно полные

Рис. 1. Зависимость между изгиба-
ющим моментом и кривизной

и точные методы учета физической нелинейности железобетона [1, 2] на основе так называе-

мых деформационных моделей, устанавливающих соотношение между усилиями и дефор-
мациями с помощью так называемой матрицы жесткости, учитывающей наличие трещин и
неупругие деформации в бетоне и арматуре железобетонного элемента.

Следует, однако, отметить, что такой подход достаточно трудно реализовать полностью с
помощью существующих компьютерных программ и современных ЭВМ для зданий боль-
шой высоты, обладающих подчас весьма сложной конфигурацией и большим количеством
разнообразных конструктивных элементов. Кроме того, отдельные жесткостные характерис-
тики, входящие в полную матрицу жесткости, имеют достаточно условный характер и требу-
ют дальнейшей проработки. Поэтому представляется более целесообразным на данном этапе
использовать для учета нелинейных свойств железобетона более простые приемы, но в то же
время позволяющие учитывать наличие трещин и неупругие деформации бетона и армату-
ры, причем там, где это действительно необходимо.

При упругом расчете конструктивной системы методом конечных элементов в плос-
ких плитах перекрытий у колонн получается резкое увеличение усилий (изгибающих мо-
ментов). В то же время упругий расчет конструктивной системы приводит к существенно-
му занижению прогибов плоских плит перекрытий. Очевидно, в этих случаях целесообраз-
но выполнить расчет с учетом физической нелинейности железобетона, принимая во вни-
мание возможное образование трещин в железобетонном элементе и неупругие деформа-
ции бетона и арматуры.

Расчет производится путем замены упругих изгибных жесткостных характеристик EI на
изгибные жесткостные характеристики Dcrc, учитывающие наличие трещин и неупругие де-
формации бетона и арматуры в железобетонном элементе. Величина Dcrc определяется со-
гласно [2] по общим правилам сопротивления материалов, рассматривая железобетонный
элемент состоящим из сжатой зоны бетона и растянутой арматуры в трещине и принимая
линейную зависимость между напряжениями и деформациями в бетоне и арматуре и линей-
ные деформации по высоте сечения. Влияние неупругих деформаций в бетоне учитывается с
помощью приведенного модуля деформаций бетона, а влияние работы растянутого бетона
между трещинами — с помощью приведенного модуля деформаций арматуры.

Расчет производится методом последовательных приближений. При этом в тех зонах
плиты перекрытия, где трещины по расчету не образуются, жесткостные характеристики при-
нимаются как для сплошного упругого тела, а в тех зонах, где расчет показывает образование

трещин, жесткостные характеристики определяются с учетом трещин, как указано выше.

Более полная оценка жесткостных характеристик железобетонного элемента может про-
изводиться с помощью диаграммы «момент—кривизна» (рис. 1), устанавливающей связь меж-
ду усилиями и деформациями вплоть до предельного состояния элемента по прочности и по-
лученной из общей деформационной модели [2].

В этом случае жесткостные характеристики определяют как отношение момента, полу-
ченного из расчета, к отвечающей ему кривизне согласно указанной диаграмме «момент-
кривизна».
Рис. 2. Эпюры изгибающих моментов в перекры-
тии: а — в продольном направлении по осям ко-
лонн; б — то же, между колоннами; 1 — расчет как
для упругого материала; 2 — расчет с неупругими
жесткостными характеристиками

Рис. 3. Прогибы плиты перекрытия: а — в сечении
по осям колонны; б — в сечении между колоннами:
1 — расчет как для упругого мате риала; 2 — расчет
с неупругими жесткостными характеристиками

Аналогичные диаграммы могут быть
также получены для вертикальных несу-
щих конструкций. Однако в связи со зна-
чительным усложнением расчета их при-
менение целесообразно в тех случаях,
когда в элементах образуются трещины
и могут существенно развиваться неуп-
ругие деформации материалов, влияю-
щие на перераспределение усилий, а так-
же на общие деформации конструктив-
ной системы.

На рис. 2 и 3 показано изменение из-
гибающих моментов и прогибов в плос-
кой плите перекрытий при учете физи-
ческой нелинейности железобетона.
Можно видеть, что распределение изги-
бающих моментов в плите у колонны су-
щественно сглаживается, что позволяет
более рационально размещать арматуру
в плите. Что касается прогибов, то при
учете физической нелинейности они су-
щественно увеличиваются, что позволя-
ет более правильно и надежно оценивать
деформативность плоских плит пере-
крытий.

В остальных случаях учет физической
нелинейности целесообразно производить
с помощью интегрального коэффициента
«Ь>, как указано выше.

Расчет прочности железобетонных
элементов в любом случае производится
с учетом физической нелинейности ис-
ходя из общей деформационной модели
либо на основе метода предельного рав-
новесия. В первом случае критерием
прочности является достижение пре-
дельных деформаций в сжатом бетоне
или растянутой арматуры, во втором
случае — достижении предельных уси-
лий в элементе.

В качестве примера приведем общую
расчетную систему уравнений, связываю-
щих усилия и деформации, для стержне-
вых железобетонных элементов [2]:

7ИЛ — Dn • + Dn • + D13'

Гх	Гу

— ^12	^22	*" ^23 ‘

Гх	Гу

N = Di3 h D23 I- D33  eo-
rx	ry

(1)

(2)

(3)
| РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ^

Жесткостные характеристики Dkn (k,n = 1,2, 3) определяются по формулам:

Ai = ХА/-Z2bxi-Еь-vbi+^Asj-Z2xj-Esj-vsj-	(4)

г	j

^22 = X ^bi ' %byi ' Eb ’ V bi + X ^sj ' ZSyj ' ESj ‘ V sj’	(5)

i	j

A2 - X Аы ' ^bxi ’ %byi ' Eb 'vbi + X AsJ • ZSXJ Zsyj • Esj • vsj;	(6)

i	j

Е\з ~^Abi • Zbxi • Eb -vbi + Х/Ду ' Zsxj ' ESj 'V Sj’,	(7)

i	j

^23 ~X^l)i ' ^byi ‘ Efr ’Vbi	' ZSyj ’ Esj 'Vsj',	(g)

E33 ~^AbiEb -vbi + ^Asj ' ESj 'VSj'	(9)

i	j

В вышеприведенных формулах (рис. 4): Мх, Му — изгибающие моменты от внешней на-
грузки относительно выбранных координатных осей, действующие в плоскостях XOZ и YOZ,
определяемые по формулам:

Мх =Mxd + N-ex;	(10)

Му = Myd+N-ey,	(И)

где Mxd, Myd — изгибающие моменты в соответствующих плоскостях от внешней нагрузки,
определяемые из статического расчета; N — продольная сила от внешней нагрузки, определя-
емая из статического расчета; ех, еу — расстояния от точки приложения силы N до соответ-

ствующих выбранных осей; -X, ----кривизна продольной оси в рассматриваемом попереч-

г г

х у

ном сечении элемента в плоскостях действия изгибающих моментов Мх и Му, £0 — относи-
тельная деформация волокна, расположенного на пересечении выбранных осей (в точке 0);

Еь — начальный модуль упругости бетона;
Esj — модуль упругости у-го стержня армату-
ры; у bi — коэффициент упругости бетона
z-ro участка; v SJ- — коэффициент упругости
у-го стержня арматуры.

Коэффициенты vbi и v sj определяются
по формулам:

vw=-z^—;	(12)

Еьхы

® bi sj

где --- и —-----соотношение напряжении

&sj

и деформаций для рассматриваемых участ-
ков бетона и стержней арматуры, определяе-
мое из соответствующих диаграмм состоя-
ния бетона и арматуры. При этом деформа-
ции участков бетона и стержневой армату-

Рис. 4. Расчетная схема нормального сечения
железобетонного элемента
[расчеты на прочность,

ры определяются исходя из их линейного распределения по сечению элемента. Остальные
обозначения видны из рис. 4.

В качестве диаграмм состояния бетона и арматуры могут приниматься двухлинейные,
трехлинейные и криволинейные, в том числе для бетона с ниспадающей ветвью, диаграммы,
связывающие напряжения и деформации и учитывающие упругие и неупругие деформации
бетона и арматуры.

Литература

1.	Карпенко Н. И. Теория деформирования железобетона с трещинами. — М.: Стройиздат, 1976. — 204 с.

2.	СП 52-101-2003. Бетонные и железобетонные конструкции без предварительного напряжения арматуры.
- М.: ГУП «НИИЖБ», ФГУП ЦПП, 2004. - 53 с.

© А.С. Залесов, ТА. Мухамедиев, ЕЛ. Чистяков

В.В. ШУГАЕВ, д-р техн, наук, проф., Б.С. СОКОЛОВ, канд. техн, наук (НИИЖБ)

РАСЧЕТ НЕСУЩЕЙ СПОСОБНОСТИ ГЛАДКИХ И РЕБРИСТЫХ
ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ ОБОЛОЧЕК МЕТОДОМ ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ
В НЕЛИНЕЙНОЙ ПОСТАНОВКЕ

При расчете несущей способности железобетонных оболочек кинематическим мето-
дом предельного равновесия предполагается, что к моменту исчерпания несущей способ-
ности железобетонная оболочка расчленяется пластическими шарнирами на несколько
жестких дисков.

Вид и характер пластического механизма, конфигурация и относительная величина дис-
ков в схеме излома зависят от вида нагрузки, свойств поверхности и условий закрепления
контура, и достаточно обстоятельно выявлены экспериментально.

Развитию кинематического анализа несущей способности оболочек различного типа по-
священо большое количество работ. Несмотря на значительный вклад, который они внесли в
развитие теории предельного равновесия, большинство из них ограничено рамками геомет-
рически линейной теории, основанной на концепциях жесткопластического тела. При этом
из рассмотрения совершенно выпадают деформации конструкции, влияние которых для не-
которых типов оболочек, особенно пологих, оказывается весьма существенным. Поэтому
столь важным является применение метода предельного равновесия не только для жестко-
пластических, но и для упругопластических оболочек, и на базе этого распространение его на
область геометрически нелинейных задач.

При расчете по деформированному состоянию задача предельного равновесия переходит
в задачу устойчивости в смысле разыскания предельной точки на кривой состояния равнове-
сия. Если представить, что в процессе пластического деформирования нагрузка способна
уменьшаться таким образом, что обеспечивается непрерывный процесс деформирования, мож-
но исследовать запредельное поведение конструкции как последовательность предельных со-
стояний, определяемых мгновенными конфигурациями деформированной системы [1].

При расчете по деформированной схеме изменение формы поверхности оболочки может
учитываться изменением аппликат Z. Рассмотрим механизм формоизменения, имеющий
одну степень свободы, определяемую параметром t. Например, предположим, что все проги-
бы w и углы поворота ф на контуре жестких дисков, на которые разделяется оболочка в про-
цессе образования пластического механизма, пропорциональны этому параметру:

w = w't; ф = л/t / г; dtp = л/ dt / г.	(1)

Здесь л/ — прогиб какой-либо точки оболочки при t = 1 (если параметру t придать раз-
мерность времени, то w' — скорость перемещений); г — расстояние от рассматриваемой точки
до опорного контура.

Впервые такой подход был предложен в работе А.Р. Ржаницына [2], а затем развит в ра-
ботах автора [3, 4].

В работе А.Р. Ржаницына [2] показано, что с увеличением t величина внешней нагрузки
убывает, что означает неустойчивость равновесия. Следовательно, жесткопластическая обо-
| РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ |

лочка после достижения предельной нагрузки Рцт, соответствующей нулевым деформациям
(t = 0), быстро переходит в иное состояние равновесия (прощелкивает) или разрушается. В
оболочке из упругопластического материала значение разрушающей нагрузки Р < РЬт, лежа-
щей на кривой «нагрузка—прогиб», может быть найдено для соответствующего деформиро-
ванного состояния, после чего можно также ожидать прощелкивания или разрушения.

В качестве примера рассмотрим пластическое деформирование и расчет несущей спо-
собности железобетонной оболочки положительной гауссовой кривизны в нелинейной по-
становке на действие сосредоточенной нагрузки.

Первоначально рассматривается сферическая оболочка с радиусом кривизны R [4].

В основу расчета положена полученная экспериментально локальная схема разрушения
оболочки в виде конуса с вершиной в месте приложения сосредоточенной нагрузки.

Зона разрушения окружена кольцевой трещиной, образовавшейся в результате внецент-
ренного сжатия сечений, перпендикулярных радиальным. В кольцевом направлении вблизи
края зоны разрушения и на некотором расстоянии от нее в предельном состоянии арматура
оболочки достигает предела текучести на растяжение.

При выводе расчетных формул рассматривают несколько стадий деформирования оболо-
чек, из которых наибольший интерес представляет стадия деформирования, при которой центр
оболочки касается плоскости осей взаимного вращения дисков ПОВ. Для этого случая:

Р, = 2лМ +	[1 + к' ~3к'к~3fcl],	(2)

1	3	2(1+^

где М = т + АГ/[1 — kr / (k + 1)].	(3)

Здесь f — стрела подъема оболочки в зоне вмятины радиусом

r=l,l JrW + Гш/2.	(4)

Для удобства расчета сфера заменялась параболоидом вращения, поверхность которого
описана формулой:

z = т| (х2 + у2), где т| = //г2.

В (2), (3): k = [Rb (5 — а') + As 7?s] / q$, kx = 1 + N / q^R — радиус кривизны срединной
поверхности оболочки; Dm — диаметр штампа, через который сосредоточенная сила пере-
дается на оболочку; 5 — толщина оболочки; т — предельный изгибающий момент в кольце-
вом шарнире на единицу длины; N — нормальное усилие, воспринимаемое внецентренно
сжатым сечением оболочки в кольцевом пластическом шарнире; qs — погонное усилие вос-
принимаемое арматурой оболочки (принимается армирование оболочки двумя слоями сет-
ки); k — соотношение между прочностью материала оболочки на сжатие и растяжение; Rb —
призменная прочность бетона; а' — расстояние от нижней поверхности оболочки до арма-
туры нижней сетки; As, Rs — площадь арматуры верхней сетки на единицу длины и ее рас-
четное сопротивление.

При прогибах центра оболочки w0' t больше расстояния до ПОВ она дважды пересекает
поперечное сечение оболочки и наступает стадия деформирования оболочки, для которой
выражение предельной нагрузки принимает вид:

Pn = 2it(m + Ntc) + 2nqs[k(k + 1) + yr] / г.	(5)

Здесь tc = f — Ct; X =	— а г) — ц (/t — /2)3 / 3 + a (/t + /2)2 / 2 + /2 (ц /2 / 3 — а /2); у =

= Т| г2 / 3 + аг / 2 — Ср а = (Ц — т| /22) / (г — /2); l^= г k^/ (k + 1); tc — расстояние от точки
приложения нормальной силы до ПОВ.

Зная прогиб оболочки w0't, найдем /2 и Ci из выражений:

/2 = w0't / (2 гц) — / 2; Ct = Т| /22 + w0' t(r — /2) / г.

На основе приведенных выше выражений для определения несущей способности сферичес-
кой оболочки в дальнейшем был построен расчет гладкой железобетонной оболочки положи-
тельной гауссовой кривизны с различными главными радиусами кривизны Ri и R2 [6] (рис. 1).

В качестве примера приведем результаты расчета несущей способности гладкой пологой
оболочки положительной гауссовой кривизны с соотношением радиусов кривизны R2 / Ri =
= 2(Ri = 2340 см и J?2 = 4680 см). Толщина оболочки 5 = 6 см. Армирована оболочка двумя
Рис. 1

слоями сварных сеток из проволоки Вр-1 04 мм, располо-
женной с шагом 100 мм в обоих направлениях (Л5 = А' =
= 0,0126 см2/см). Сетки расположены на равном расстоя-
нии 1,5 см от верхней и нижней поверхностей оболочки
(а' = 1,5 см, /г0 = 4,5 см). Оболочка выполнена из бетона клас-
са В25 с призменной прочностью Rb = 14,8 МПа. Коэффи-
циент условий работы бетона уЬ2 = 0,9.

Для основного варианта расчет показал несущую
способность Р = 72,05 кН. При этом составляющие пре-
дельной нагрузки составили / 2 = 38,57 кН и Р2 /2 =
= 33,48 кН. Размеры вмятины определены величинами
полуосей эллипса излома ri = 137,84 см и г2 = 191,84 см.

График зависимости величины предельной нагрузки Р
(кг) от соотношения радиусов кривизны R2 /Rr от 1 до 4
приведен на рис. 2, из которого видно, что с увеличением
соотношения радиусов кривизны R2 / Rr (Rr = const) несу-

щая способность оболочки уменьшается почти линейно до значения R2 / R} = 2,2. Далее увели-
чение R2 / не приводит к какому-либо заметному изменению предельной нагрузки. Это
связано с тем, что предельное состояние оболочки при R2 / R^ = 2,2 наступает при полном
исчерпании стрелы подъема оболочки в зоне вмятины, т.е. центральная точка оболочки под

силой касается плоскости осей вращения, совпадающей с опорной плоскостью в сечении, про-
веденном вдоль радиуса кривизны R2. Дальнейшее увеличение радиуса кривизны R2 лишь
приближает работу такой оболочки к цилиндрической с радиусом кривизны R = R{. Это под-
тверждено расчетом, который показал, что несущая способность цилиндрической оболочки
при R} = 2340 см составила Р = 68,15 кН, а для оболочки двоякой кривизны при R2 / Rr = 4
составила Р = 68,26 кН.

В случае приложения сосредоточенной нагрузки к ребристой оболочке напряженно-де-
формированное состояние в зоне разрушения существенным образом изменяется, поскольку
основную часть нагрузки принимают на себя ребра.

Экспериментальные исследования, проведенные на моделях ребристых оболочек поло-
жительной (ПК), нулевой (НК) и отрицательной (ОК) гауссовой кривизны, показали, что при
нагружении оболочек сосредоточенной силой, приложенной в месте пересечения ребер, наблю-
дается местное разрушение конической формы с вершиной в месте приложения силы [5].

Напряженное состояние ребер в зоне разрушения различно в зависимости от типа по-
верхности оболочек.

В оболочке ПК (рис. 3, а) кольцевая трещина, ограничивающая место разрушения, пере-
секает ребра, в которых образуются пластические шарниры, работающие на внецентренное
сжатие. При этом сжатая зона ребер, как правило, разрушается раньше, чем достигается теку-
честь в арматуре ребер. В месте приложения сосредоточенной нагрузки также образуется
пластический шарнир, однако здесь изгибающий момент играет более существенную роль и
работа сечения отвечает первому случаю внецентренного сжатия [3]. Схема взаимодействия

внутренних усилий в зоне приложения сосредоточенных
нагрузок приведена на рис. 4.

В цилиндрических оболочках НК также образуются
четыре пластических шарнира в местах пересечения ребер
с кольцевой трещиной (рис. 3, б), но пластические шарни-
ры в прямолинейных ребрах работают на изгиб.

В оболочках ОК образуются только два пластических
шарнира на пересечении выпуклого ребра кольцевой тре-
щиной (рис. 3, в). Вогнутое ребро оказывается растянутым
по всей длине, причем пластический шарнир образуется
только в центре ребра под силой. Вогнутое ребро и примы-
кающая к нему полка плиты оказываются пронизанными
трещинами по всему сечению.

Положение пластических шарниров в оболочке ПК
определяется угловыми координатами £ 0 и Если обо-
значить расстояние по дуге от места приложения силы до пластических шарниров через I
и 1Х, то угловые координаты оси z в радианах найдем из выражений:

t*-ly/Ry^~lx/R*	(6)

/,=1,71 4/47й,А,2/8„х; /х=1,714/4/„хА2/8й, ,

(7)

где 1пу и — моменты инерции на единицу ширины сечения оболочки; Ьпх и 8^ — приведен-
ные толщины оболочки в ее сечениях соответственно в плоскостях Z0Y и Z0X.

Величину части предельной нагрузки Ру, воспринимаемую ребром, расположенным в на-
правлении оси Y вместе с примыкающей к нему частью оболочки, находим по формуле:

^ = 2[27?/^0_sin^) +

+NyRy(i/C0S^-i)+RsAsyzsy+My+mkX\/(Ryt^).	(8)

Ребро другого направления воспринимает часть нагрузки Рх, которую определяют анало-
гичным способом по формуле (8) с заменой индексов, указывающих направление сил. Здесь:
Nx, Ny — предельные нормальные усилия, воспринимаемые сечениями ребер; qsy — погонное
усилие, воспринимаемое арматурой, расположенной в растянутой зоне поля оболочки; Asy —
площадь нижней арматуры ребра в сечении под силой; zsy — расстояние от арматуры ребра до
середины поля плиты; Му — предельный момент, воспринимаемый ребром в сечении кольцево-
го пластического шарнира при внецентренном сжатии; mk — величина погонного изгибающего
момента в кольцевом пластическом шарнире плиты; X, Y — параметры, определяющие размер
кольцевого шарнира и определяемые по формулам, приведенным в [3].

В случае образования кругового излома радиусом г0 принимаем х = у = г0. Полную нагруз-
ку Р на ребристую оболочку ПК находят как сумму Рх и Р Значение прогиба непосредственно
не входит в выражение для Рх и Ру, однако все геометрические параметры, а также значения М
и N отвечают деформированному состоянию оболочки в стадии, близкой к разрушению.

Значения MuN вычисляют одновременно с деформациями системы по методу последо-
вательных приближений к предельным значениям MhN, лежащим на кривой прочности обо-
лочки при внецентренном сжатии. Анализ напряженно-деформированного состояния обо-
лочки в зоне разрушения ведется для условных арок,
представляющих собой ребра оболочки в направле-
нии осей X и Y с примыкающими к нему частями поля
и стрелами подъема fx и fy [3]. Найденные значения
прогибов wx и wy в общем случае не равны между со-
бой. За критический прогиб всей системы принима-
ется максимальная величина прогиба. Угловые коор-
динаты ^х, Е®, и радиусы кривизны Rx и Ry пересчи-
тывают в соответствии с найденным критическим
прогибом и вместе с найденными значениями пре-
дельных усилий на контуре Мх, Му, Nx, Ny подставля-
ют в уравнение (8) и находят несущую способность
оболочки с учетом деформированного состояния си-
стемы к моменту разрушения.

Этот алгоритм был положен в основу разрабо-
танной компьютерной программы. Аналогичные про-
граммы были разработаны для расчета оболочек НК
и ОК. С использованием этих программ были выпол-
нены расчеты оболочек, в которых варьировались от-
ношения радиусов кривизны Rx/ Ry или радиуса кри-
визны Ry для оболочки НК.

В качестве базисного варианта были выбраны
железобетонные ребристые оболочки ПК, НК и ОК
размерами в плане 18x24 м, приведенные на рис. 5.
Радиусы кривизн для оболочки ПК Rx = 39,81 м и
Ry = 23,96 м (рис. 5, а); для оболочки НК радиус
R = 23,96 (рис. 5, 6) и для оболочки ОК радиусы

Rx =-39,01 м и Ry = 23,96 м (рис. 5, в) [7].	Рис- 3
Ребра оболочек в направлении оси
X имеют шаг 300 см, а в направлении оси Y
— 600 см. Продольные и поперечные ребра
имеют одинаковую высоту 250 мм (hx = hy)
с учетом высоты полки /у = 30 мм (рис. 5, г).
Ребра имеют трапециевидное очертание.
Во всех расчетах принято, что толщина ре-
бер обоих направлений снизу равна 120 мм
(Z>x = by), а сверху — 180 мм (bx = by). Реб-
ра оболочки, расположенные в направле-
нии оси X, армированы снизу двумя стерж-
нями из арматуры класса А-Ш диаметром
10 мм (Asx = 1,57 см2), а сверху — проволо-
кой 05 Вр-I (А'^ =1,14 см2). Ребра другого
направления армированы снизу двумя
стержнями 012 А-Ш (А^ = 2,26 см2), а
сверху — арматурой 08 (А' = 1,47см2).

Плита оболочки армирована в уровне срединной поверхности сварной сеткой из прово-

локи 04 Вр-I с ячейками 150x200 мм (qsx = 31,5 кг/см; qsy = 23,63 кг/см).

Сборные плиты оболочки изготовлены из бетона класса В25 (Rb = 148 кг/см2, Еь = 275000
кг/см2). Коэффициент условий работы бетона уЬ2 = ОД Расчетное сопротивление арматуры
класса А-Ш составляет Rs = Rsc = 3750 кг/см2, a Es = 2000000 кг/см2.

Для основного варианта оболочки ПК расчет показал несущую способность Р = 15495,7 кг.
При этом составляющие предельной нагрузки Рх = 6156,5 кг и Р' = 9339,2 кг. Размеры вмяти-
ны определены расстояниями до пластических шарниров: 1Х = Зо7,5 см и 1у = 294,7 см. Приве-
денные цифры показывают, что в направлении оси X зона разрушения захватывает попереч-
ные ребра оболочки, находящиеся вблизи границы зоны разрушения. Вовлечение этих ребер
в работу внутренних сил должно повысить величину предельной сосредоточенной нагрузки,

однако в запас прочности этот фактор не
был принят во внимание.

Для выявления влияния изменения
соотношения радиусов кривизны допол-
нительно к основному варианту (Rx/Ry =
= 1,628) рассмотрены оболочки с соотно-
шением радиусов Rx / Ry, равными 1; 2,5; 3
и 4. На рис. 6 пунктирной линией выделе-
ны результаты для основного варианта
расчета. Видно, что при Rx/Ry = 1 значения
Рх и Ру сближаются и отличаются лишь
благодаря различному армированию про-
дольных и поперечных ребер оболочки.

Из рисунка видно, что с увеличением
соотношения радиусов кривизны Rx /R
(Ry = const) несущая способность оболоч-
ки уменьшается почти линейно до соотно-
шения радиусов Rx/Ry, равного 2,5. Даль-
нейшее увеличение соотношения Rx /R ,
особенно в пределах от 3 до 4, не приводит
к заметному снижению предельной на-
грузки. Это связано с тем, что при Rx/Ry>
>2,5 предельное состояние связано с ис-
черпанием стрелы подъема оболочки в на-
правлении оси X. Для этого случая пре-
дельная нагрузка весьма близка к нагруз-
ке, воспринимаемой ребристой цилинд-
рической оболочкой с радиусом R =
= 2396,4 см с теми же геометрическими характеристиками ребер и армированием. Разница
между ними составляет всего 1,7 %.

Для оценки влияния радиуса кривизны поверхности в оболочках НК на несущую спо-
собность были выполнены расчеты оболочек, в которых отношение радиусов кривизны по-
верхности к постоянной величине 23,96 м составили 1; 2; 3; 4 (рис. 6, б).

Из рис. 6, б видно, что составляющая предельной нагрузки Рх почти не зависит от радиуса
кривизны оболочки Ry. Криволинейное ребро вместе с примыкающей к нему частью плиты обо-
лочки воспринимает основную часть нагрузки. Для очень пологой оболочки при Ry / 23,96 = 4
отношение Р /Рх составляет 1,54, а для базисного варианта — 3,63. Снижение влияния отно-
шения Ry /23,96 наблюдается после значения 2,5, при котором в предельном состоянии про-
гиб оболочки оказывается равным стреле подъема оболочки в зоне разрушения.

Для оболочек ОК влияние на несущую способность отношения радиусов кривизны обо-
лочек —Rx/Ry рассматривалось в пределах от 1 до 4 (Ry = const). Графики зависимости пре-
дельной нагрузки Р и ее составляющих Рх и Ру от отношений Rx / Ry приведены на рис. 6, в.
Наибольшее влияние на несущую способность наблюдается при изменении отношения
Rx/Ry от 2 до 1. В целом при изменении —Rx/Ry от 1 до 4 значение Р изменяется от 132,12 кН
до 109,31 кН, то есть на 17,2 %. При этом в направлении оси X величина полуоси эллипса
зоны разрушения изменилась от 245 см до 292,8 см. В очень пологой оболочке в направлении
оси X разница между несущей способностью оболочек НК и ОК составляет 3,22 %.

Выводы

Расчет гладких и ребристых железобетонных оболочек положительной, нулевой и отри-
цательной гауссовой кривизны методом предельного равновесия в нелинейной постановке
позволяет совместить решение задач прочности и устойчивости в едином расчетном цикле и
получить необходимые для проектирования значения несущей способности оболочек и кри-
тического прогиба, соответствующего расчетной схеме деформирования, а также провести
анализ влияния на несущую способность прочностных и геометрических параметров оболо-
чек с целью выбора оптимального конструктивного решения.

Литература

1.	Залесов В.Н. Обобщение методов предельного анализа на случай исследования пластического течения тел изменя-
емой геометрии // Инженерно-физический журнал, 1970. Т. XVIII. № 5. — С. 905—909.

2.	Ржаницын А.Р. Предельное равновесие пластинок и оболочек. — М.: Наука, 1983. — 288 с.

3.	Шугаев В.В. Учет деформирования поверхности при расчете железобетонных ребристых оболочек на сосредото-
ченные нагрузки методом предельного равновесия // Пространственные конструкции зданий и сооружений. — М.:
Стройиздат. - Вып. 2. — 1975. — С. 100—105.

4.	Шугаев В.В. К расчету несущей способности по деформированной схеме гладких пологих железобетонных оболо-
чек при действии сосредоточенной нагрузки // Пространственные конструкции зданий и сооружений. — М.: Стройиз-
дат. - Вып. 4,1985. - С. 43-47.

5.	Шугаев В.В. Инженерные методы в нелинейной теории предельного равновесия оболочек. — М.: Изд-во «Готика»,
2001. - 362 с.

6.	Shugaev V.V. Development of engineering approach to ultimate strength and stability analysis of RC shells using the limit
equilibrium method //Journal of the Int. Association for Shell and Spatial Structures. — 1999. Vol. 40. № 2. — P. 121—132.

7.	Shugaev V.V., Sokolov B.S. Nonlinear Analysis of R.C. Shallow Shells under Action of Concentrated Loads and Influence of
Different Factors on the Load-carrying Capacity, Proceeding of the IASS Int. Symp.’97 on shell and spatial structures, Vol. 2,
Singapore, 1997, pp 783—789.

© В.В. Шугаев, Б.С. Соколов
РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

В.А. ИГНАТЬЕВ, д-р техн, наук, проф., А.В. МАКАРОВ, канд. техн, наук
(ВолгГАСУ, Волгоград)

РЕШЕНИЕ НЕПОЛНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ СОБСТВЕННЫХ
ВЕКТОРОВ И СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ ДЛЯ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ
И УСТОЙЧИВОСТИ МЕТОДОМ ЧАСТОТНО-ДИНАМИЧЕСКОЙ КОНДЕНСАЦИИ

Современный уровень развития строительной механики и вычислительной техники сде-
лал возможным анализ колебаний и устойчивости сложных конструкций как единых про-
странственных систем. В большинстве случаев расчетные схемы сложных конструкций стро-
ятся на основе дискретных моделей (метод сеток, МКЭ, классические методы строительной
механики и т.д.), что позволяет свести задачу к решению алгебраической проблемы собствен-
ных значений (СЗ) и собственных векторов (СВ). Однако, когда исследуются большие сис-
темы, требуемое для достаточно полного их представления число степеней свободы может
достигать 104—106. Решение полной проблемы СВ и СЗ для таких моделей даже и на совре-
менных ЭВМ становится неэффективным. В то же время в большинстве практических задач
достаточно знать не весь спектр частот и форм собственных колебаний, а только ограничен-
ное число их наименьших значений из этого спектра. В связи с этим в настоящее время боль-
шое внимание уделяется разработке приближенных методов определения низших частот и
форм собственных колебаний сложных конструкций.

Решение задачи о свободных колебаниях и устойчивости конструкций в форме метода
сил сводится к решению системы однородных алгебраических уравнений следующего вида:

[5М-ХЕ]{у}=0-	(О

Здесь 8 — матрица податливости всей конструкции; М — матрица эквивалентных масс;
{у} — вектор узловых перемещений; X = 1/со2 — собственное значение; со — частота свобод-
ных колебаний конструкции.

Для решения задачи нахождения частот низшей части спектра свободных колебаний ис-
пользуется метод последовательной частотно-динамической конденсации (ЧДК) [1, 2].

В основе этого метода лежат следующие допущения:

—	равенство собственных значений характеристической матрицы конденсированной си-
стемы и соответствующего количества старших собственных значений характеристической
матрицы исходной системы;

—	равенство компонентов соответствующих собственных векторов исходной и конден-
сированной систем в узлах конденсации.

Алгоритм ЧДК
с использованием собственных векторов подсистем

Уравнение (1) для условной подсистемы после разделения неизвестных на основные и
второстепенные может быть записано в блочном виде:

8ГГ 8^*^ II А/)-* О
$sr $ss JLO

Er 0 I — О
0

(2)

Здесь индексы «г» и «5» относятся соответственно к основным (удерживаемым) и второ-
степенным (исключаемым) степеням свободы.

Из второго уравнения выражения (2) получаем зависимость перемещений во второсте-
пенных узлах от перемещений основных узлов:

ys=-$ssMs-XEs) hsrMryr-	(3)

Подставив это выражение в первое уравнение системы (2), получим:

(5ГГМГ -ХЕГ)УГ +[-brsMs^ssMs-’kEsYhsrMr\yr = 0	.	(4)

Преобразуем это уравнение к виду:

[игг(%)]{Уг} = {Уг}%,	(5)
где [Drr(X)] — 6rrMr brsMs(bssMs YES) bsrMr]Yr,	(6)

Равенство (5) выполняется для каждого собственного значения Хк и соответствующего ему
собственного вектора {Ук} исходного уравнения (2). Запишем выражение (5) для «п> собствен-
ных значений [X] и соответствующие им «г» компонентов собственных векторов [Уг]:

[5ГГ][УГ] = [УМ	(7)

где [£>гг] — аппроксимирующая матрица коэффициентов характеристического уравнения

конденсированной к основным степеням свободы системы; [X] =

— диагональ-

пая матрица первых старших собственных значений, общее число которых равно числу ос-
новных степеней свободы; [УГ] = [У1,...У/О...УГ] — матрица основных компонентов соот-
ветствующих собственных векторов размерностью (rxr); j — собственный вектор, вклю-
чающий только компоненты, соответствующие основным степеням свободы.

Из (7) получаем выражение для аппроксимирующей матрицы коэффициентов характе-

ристического уравнения:

[5ГГ] = [УГ][%][УГ]-1.

(8)

Подставив его в (5) и решив проблему собственных значений для уравнения

[Drr-'кЕ]{У} = 0,	(9)

получим г собственных значений и соответствующих им собственных векторов для конден-
сированной системы.

Алгоритм последовательной ЧДК
с использованием собственных векторов подсистем

Алгоритм ЧДК, изложенный в предыдущем пункте может быть положен в основу более
общего алгоритма ступенчатой (последовательной) конденсации, суть которого заключается
в разделении второстепенных неизвестных на блоки и поблочной их конденсации к основ-
ным неизвестным. Такой вид конденсации особенно эффективен при расчете систем высоко-
го порядка.

Уравнение (2) для случая конденсации г-го блока второстепенных неизвестных будет
иметь вид

° sr

с г

°rs

Mr

Er

(10)

^SS _



Используя (8) приведем выражение для аппроксимирующей матрицы г-й парциальной

системы к виду,

[5г(;+5)]/=[уг>г][%г][УГ!.]-1,	(И)

где [Уг,г]=|У1,г>--^Ук,р--^Уг,г] — матрица основных компонентов СВ г-й парциальной систе-
мы; [X/ ] — диагональная матрица СЗ порядка г.

Матрица	учитывает влияние неизвестных исключаемого г-го блока второсте-

пенных неизвестных на основные.

Исходя из физического смысла, ее можно записать в виде
[D^rr+s^]i =[БггМг]+\БГГМ^ ,

(12)

где АМ — матрица конденсации масс М г-го блока второстепенных неизвестных к мас-
сам Мг блока основных неизвестных.

Отсюда получаем:
Рис. 1. Зависимость погрешности вычисления
собственных значений от объема блока конден-

сации

дрггм^Л =	- [бггл/г]. (13)

Аппроксимирующая матрица коэффи-
циентов целой системы может быть получе-
на путем суммирования матриц конденсации
всех блоков второстепенных неизвестных:

Таблица 1

Но-  мер К	5	Собственные значения, полученные по		
		МКЭ	ЧДК с использов. Соб. форм	
		к	Рк	Л, %
1	1,07825	0,03  I	2	1,0779	1,07856	0,06  5	1,0788	0,08  1	0,06757	0,3  II	2	0,06737	0,06783	0,7  5	0,06806	1,0  1	0,01323	-0,6  III	2	0,01331	0,01347	1,2  5	0,0137	2,9  1	0,0043	2,1  IV	2	0,00421	0,00444	5,2  5	0,00453	7,6				
N= 104;n = 4;n/V = 4%				

[Дг] = [5ГГМГ]+ W5rrM^] = £[Д^+Л];- -(Г- 1)[5ггМг],
z=l	i=l

(14)

где t — количество блоков второстепенных неизвестных, т.е. рассматриваемых парциальных
систем.

Решив проблему СЗ для конденсированной системы

[Drr-pEr]{Zr} = 0,	(15)

получим г собственных значений, близких к старшим СЗ исходной системы (г>1), и г соб-
ственных векторов, компоненты которых будут близки к основным компонентам СВ исход-
ной системы [zr]^[yr].

Для численного исследования точности вычисления СЗ определены четыре старших СЗ
для шарнирно опертой по концам балки, несущей 7V = 104 равноотстоящие точечные массы.
Так как рассматриваются изгибные колебания, то число степеней свободы системы равно
числу масс. Параметры балки приняты безразмерными единичными: / = i,EI= 1,т{= 1. Ко-
личество блоков конденсации t и объем блока S варьировались. Результаты расчета приведе-
ны в табл. 1. По результатам вычислений построен график зависимости погрешности вычис-
ления собственных значений от объема блока конденсации (рис. 1).

Алгоритм энергетического варианта ЧДК

В настоящее время для расчета сложных континуально-стержневых конструкций при-
меняется метод конечных элементов (МКЭ). Точность расчета по МКЭ зависит от степени
разбиения конструкций на конечные элементы. Для достижения достаточной точности при-
ходится производить более детальное разбиение конструкции, что приводит к построению
матриц высоких порядков (N = 104—106).

Система разрешающих уравнений метода перемещений имеет вид

[К-Ш]{У} = 0.	(16)

В блочной форме она записывается следующим образом:

(17)

Из уравнения (17) следует зависимость второстепенных неизвестных от основных:
(18)

{УS	Й.Я' Г }’

где [Asr] = -(Kss - XMSSy\Ksr - Wsr).	(19)

Выражение (18) справедливо для всех собственных векторов конструкции. Тогда для
первых г собственных векторов можно записать:

Ы=[Лг1Ы-	(20)

Здесь [у^ ] = [у1, У,... У'] — мгприца второстепенных компонентов первых г собствен-
ных векторов порядка (sxr); [Уг]= [Уг\Уг2,...Угг ] — квадратная матрица основных компо-
нентов тех же СВ.

Матрица [И57. ] аппроксимируется осредненной матрицей-преобразователем для некото-
рого векторного подпространства, получаемой из выражения (18):

(21)

Полный вектор перемещений, выраженный через новые координаты — обобщенные пе-
ремещения [Уг ], имеет вид:

У =

Уг

У s _

= ВУГ

(22)

Е

где В —

[sr _

— матрица-преобразователь неизвестных при переходе к новым обобщенным
координатам.

Конденсированные матрицы жесткости и масс конструкции могут быть получены из ус-
ловия равенства кинетической и потенциальной энергий в исходном и конденсированном
состояниях с помощью конгруэнтного преобразования:

К* = ВТКВ,	(23)

М* = ВТМВ,	(24)

где К и М соответственно исходные матрицы жесткости и масс конструкции.

Блочная ЧДК в форме метода перемещений

Основные степени свободы (узлы конденсации) здесь следует выбирать так, чтобы блок
второстепенных степеней свободы распался на ряд независимых друг от друга блоков. Тогда
матрица второстепенных степеней свободы будет представлена в квазидиагональной форме.
Удаление масс и упругой связи в процедуре конденсации изменяет смежные элементы мат-
рицы жесткости. Поэтому для каждой парциальной системы необходимо корректировать
матрицу жесткости и матрицу масс (в случае распределенной массы).

Для конденсации первого второстепенного блока сначала строится матрица — преобра-
зователь Гайана порядка (г + s)x(7V), которая имеет вид:

E(r+s)

(25)

Этот преобразователь используется для получения матриц первой парциальной систе-
мы (блок основных степеней свободы плюс первый второстепенный блок) порядка (г + s)
т

КА$', (26)

Т
-МА®.	(27)

Далее решается проблема собственных значений для системы уравнений

[К* - Ш*]{У} = 0	(28)

и выполняется частотно динамическая конденсация первого второстепенного блока к блоку
основных переменных в соответствии с выражениями (20)—(22).

Матрицы жесткости и эквивалентных масс, соответствующие основным степеням свобо-
ды с учетом влияния первого второстепенного блока, получаются из следующих выражений:

к^=втк*в;	(29)

М^=ВТМ*В-	(30)

Конденсация второго второстепенного блока выполняется по аналогии с первым.

При этом матрица — преобразователь Гайана имеет вид:



^(г+5)

(31)

Далее повторяются преобразования (26)—(30) и строятся конденсированные матрицы с
учетом влияния второго второстепенного блока М$. Аналогично могут быть получе-
ны матрицы конденсации каждого второстепенного блока к блоку основных неизвестных.

Матрицы жесткости и масс конденсированной системы получаются суммированием мат-
риц конденсации всех парциальных систем за вычетом блоков Rrr , мгг , влияние которых
учитывалось на каждом этапе конденсации:

Кгг = Z Др - (t - \)Krr;	(32)

i=l

Mrr = z - (t - \)Mrr .	(33)

i=l

Алгоритм блочной ЧДК co статической подготовкой на уровне подсистем

Первый этап — получение конденсированных матриц Кгг и Мгг к основным степеням
свободы с помощью алгоритма последовательных преобразований Гайана, и не использую-
щего матрицы порядка N\

Krr = Krr - YKrSA$r ;	(34)

z=l
T	T

__	/	t г т z г • I • •

Mrr = Mrr — ^MrsAsr — X Asr Msr + X ^sr ss^sr >	(35)

z=l z=H -I z=H -I

где A\r = fcix - преобразование Гайана для z-го второстепенного блока.
Таблица 2

Номер СЗ	Собственные значения, полученные при				
	Результаты решения полной проблемы СЗ N= 142	Статической конденса- ции системы к 22 степеням свободы		Частотно-динамической конденсации системы к 22 степеням свободы 6 блоков сведения по 20 второстепенных масс	
	X	X 1	А, %	X	1	А, %
1	2	3	4	5	6
1	0Д86Е-4	0Д86Е-4	0,00	0Д86Е-4	0,00
2	0Д41Е-3	0Д41Е-3	0,03	0Д41Е-3	0,00
3	0.543Е-3	0,543Е-3	0,1	0,543Е-3	0,00
4	0Д48Е-2	0Д49Е-2	0,26	0Д48Е-2	0,00
5	0,331Е-2	0,ЗЗЗЕ-2	0,55	0,331Е-2	0,00
6	0,647Е-2	0,653Е-2	1,04	0,647Е-2	0,00
7	0Д14Е-1	0Д16Е-1	1,75	0Д14Е-1	0,00
8	0Д89Е-1	0Д94Е-1	2,68	0Д89Е-1	0,00
9	0,295Е-1	0,306Е-1	3,77	0,295Е-1	0,00
10	0,440Е-1	0,462Е-1	4,67	0,440Е-1	0,00
И	0,634Е-1	0,655Е-1	3,26	0,634Е-1	0,00
12	0,885Е-1	0,107	17,68	0,885Е-1	0,00
13	0,120	0,145	17,23	0,120	0,00
14	0,160	0,199	19,49	0,160	0,00
15	0,209	0,270	22,68	0,209	0,00
16	0,268	0,366	26,58	0,268	0,01
17	0,340	0,493	31,07	0,340	0,03
18	0,424	0,662	35,91	0,426	0,05
19	0,524	0,883	40,67	0,528	0,44
20	0,640	1,159	44,73	0,650	0,84
21	0,775	1,468	47,20	0,847	8,56
22	0,930	1,751	46,91	1,083	14,16

Матрицы первой парциальной системы имеют вид

К* =	1	]	; М* =	К к  м\г ML	(36)

где Kxss, M\s — матрицы жесткости и масс первого второстепенного блока; К\г, Мх — матри-
цы блока основных неизвестных при статическом сведении к ним всех второстепенных бло-
ков, кроме первого, могут быть получены из выражений (34)—(35) с помощью обратного
преобразования:

К\=Кгг+К\А^	(37)

т т

м}г = Mrr + m}.s А^г + [м^А^- ]	-	] MsrAsr •	(38)

Частотно-динамическая конденсация выполняется в соответствии с выражениями (28)—
(30). Аналогично строятся матрицы следующих парциальных систем: выполняется конден-
сация второстепенных блоков и получаются окончательные матрицы конденсации всей сис-
темы в соответствии с (30)—(31).

В качестве примера рассмотрим защемленную по концам балку с равномерно распреде-
ленной массой, дискретизированной в 71-й точках. Общее количество степеней свободы
N= 142. Конечный элемент: длина 1=1, жесткость £7=1.

Конденсация проводилась к двадцати двум основным неизвестным (п = 22) с делением
конструкции на подсистемы: количество второстепенных блоков t = 6, число неизвестных в
одном блоке 5 = 20. В табл. 2 представлены результаты, полученные с помощью предложенного
варианта последовательной частотно-динамической конденсации (гр. 5), статической конден-
сации (гр. 3), и решение полной проблемы СЗ (гр. 2).

Выполненные сравнения результатов, полученных на основе предложенных алгоритмов
с результатами решения по МКЭ показывают, что 70 % собственных значений из числа вы-
числяемых определяются с гарантированной точностью и при значительном снижении зат-
рат машинного времени. Использование алгоритма блочной ЧДК со статической подготов-
кой на уровне подсистем позволяет экономить оперативную память ЭВМ, так как не исполь-
зует матрицы высоких порядков.

Алгоритм ЧДК
в форме смешанного метода

При решении задач динамики смешанным методом основная система выбирается таким об-
разом, что ряд степеней свободы может оказаться безмассовым. В этом случае методика стати-
ческой конденсации позволяет удалить эти степени свободы и использовать для решения задачи
изложенные выше алгоритмы либо в форме метода сил, либо в форме метода перемещений.

Если исключить найденную часть спектра СВ и СЗ и понизить порядок исходной проблемы,
то изложенный алгоритм может быть использован для нахождения следующей части спектра и
после повторения этой процедуры может быть решена полная проблема, как это показано в [4].

Литература

1.	Игнатьев ВЛ. Редукционные методы расчета в статике и динамике пластинчатых систем. —Саратов: Изд-
во Саратовского ун-та, 1992. — 144 с.

2.	Ignatiev V.A., Sokolov O.L. Thin — walled cellular structures (methods for their analysis) Balkema /Rotterdam/
Brookfield. 1999. Pp. 210.

3.	Игнатьев ВЛ. Расчет стержневых систем на основе энергетического варианта метода частотно-динамической
конденсации с использованием собственных векторов подсистем / ВЛ. Игнатьев, А.В. Макаров, КЛ. Сухин // Гор.
Агломерации на оползневых территориях: Материалы междунар, научн. конф., Волгоград, 15—17 октября 2003 г./
ВолгГАСА.: Волгоград, 2003. - Ч. I. - С. 113-120.

4.	Игнатьев В.А., Галишникова В.В. Применения метода частотно-динамической конденсации для решения
полной алгебраической проблемы собственных векторов и собственных значений. Вестник ВолгГАСУ. Сер.
Естеств. Науки, 2004. Вып. 3 (10). —С. 3—6.

© ВЛ. Игнатьев, А.В. Макаров

С.С. НЕФЕДОВ, канд. техн, наук («РОСЭНЕРГОАТОМ», Москва)

ЯВЛЕНИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТИ ЖЕЛЕЗОБЕТОННОЙ ЗАЩИТНОЙ ОБОЛОЧКИ АЭС
ПРИ ВОЗДЕЙСТВИИ ВНУТРЕННЕГО ДАВЛЕНИЯ

Защитная оболочка (30) энергоблока АЭС с реактором ВВЭР-1000 (рис. 1) заключает в
своем объеме реактор, а также связанные с ним трубопроводы и сосуды. Они образуют замк-
нутый циркуляционный контур, заполненный водой с температурой более 300 °C под давле-
нием 15 МПа. Внутри 30 заключен основной объем радиоактивных веществ, используемых
на энергоблоке.

Характерным случаем нагружения 30 является воздействие внутреннего давления, ко-
торое возникает при разрыве трубопроводов циркуляционного контура и заполнении про-
странства внутри 30 истекающей паровоздушной смесью. В этом случае 30 испытывает
внутреннее давление, составляющее 0,4 МПа.

Основным аппаратом расчета 30 в настоящее время является метод конечного элемента
(МКЭ) в линейной или нелинейной постановке. В последнем случае он позволяет анализи-
ровать работу 30 при высоких уровнях нагружения с моделированием развития поврежде-
ний и выхода из работы различных зон конструкции. Особенности железобетона как матери-
ала учитываются при этом путем использования соответствующих диаграмм деформирова-
ния бетона и арматуры. Этот подход реализован в ряде универсальных программных комп-
лексов для анализа железобетонных конструкций, как западных (MARC, ADINA, DIANA,
ABAQUS), так и восточноевропейских (FENIX, CONT и др.).
Рис. 1. Компоновка здания реакторного
отделения [1]: I — фундаментная плита; II
— 30; III — обстройка, IV — опорная пли-
та; 7 — реактор; 2 — полярный кран; 3 —
бассейн выдержки отработавшего топлива

Рис. 2. Расчетная схема цилиндрической части 30:
а — выделение единичной полоски; б — равновесие
элемента единичной полоски

Практическое использование этого аппарата выявило, однако, характерные трудности,
возникающие в определении равновесных состояний конструкции при уровнях нагружения,
близких к моменту трещинообразования.

Анализ этих трудностей и выявление закономерностей поведения железобетона 30 в
зоне трещинообразования является задачей настоящего исследования.

Равновесные состояния растянутого железобетонного элемента 30

Рассмотрим полоску единичной ширины, выделенную из цилиндрической части 30
(рис. 2, я). При воздействии внутреннего давления элемент этой полоски (рис. 2, б) испыты-
вает двухосное растяжение с соотношением компонент

NJN2 =1/2.

Для упрощения анализа поставленной задачи можно принять меньшую из компонент
= 0, полагая, что полоска находится в состоянии одноосного растяжения.

На рис. 3, а показано сечение единичной полоски с двумя слоями арматуры. Аналогично
подходу многих конечно-элементных комплексов вместо реального железобетонного сече-
ния может быть рассмотрено эквивалентное слоистое сечение (рис. 3, б).

Продольная сила в этом сечении

^ = оЛ+(^А1+^2).	(1)

где ас — средние напряжения в бетоне; — напряжения в арматуре z-го слоя.

Применительно к оболочке в целом, данная продольная сила представляет собой погон-
ное кольцевое усилие N2.

В случае симметричного армирования полоски

г1=^2=^и^ = ал+и	(2)

гДе =tsi+tS2-

Выражение (2) приближенно может быть записано в виде:

N ^7(oc+|LioJ,	(3)

где ц — коэффициент армирования.

Анализируя процесс нагружения, необходимо рассматривать напряжения как функции
достигнутых деформаций е:

ос = ас(е);	(4)
Рис. 3. Сечение единичной полоски: а — реальное
(железобетонное); б — эквивалентное (слоистое)

os = os(e). (5)

Функции (4) и (5) описывают ди-
аграммы деформирования соответ-
ственно бетона и арматурной стали. В
настоящей работе в качестве функции
(4) была использована эксперимен-
тальная диаграмма растяжения бетона
ВЗО (рис. 4). В качестве (5) была ис-
пользована упруго-пластическая диаг-
рамма (рис. 5). Для описания разуп-
рочнения бетона при деформациях ра-
стяжения Е>300 10-6 надежные экспе-

риментальные данные отсутствуют. Поэтому для построения функции (4) в этом диапазоне
был использован прием, принятый в работах ряда отечественных и зарубежных авторов (см.,
например, [2]). В соответствии с этим приемом данный участок принимается в виде линей-
ной функции, достигающей значения ас = 0 при деформации е, равной деформации текучес-
ти арматурной стали гу = 2-10“3.

С использованием функций (4) и (5) продольная сила, воспринимаемая полоской, мо-
жет быть записана как функция ее деформаций: N(C). Для принятых диаграмм деформирова-
ния и ц = 1/150 эта функция приведена на рис. 6.

Характерной особенностью этой функции является наличие локального максимума в мо-
мент образования трещин (точка А). Образование этого локального максимума объясняется
тем, что после этой точки жесткость бетонной части сечения полоски резко убывает в соот-
ветствии с большим отрицательным значением касательного модуля деформаций бетона в
стадии трещинообразования (участок ab кривой на рис. 4). Несущая способность стальной

части сечения при этом растет, но значительно медленнее, в соответствии с постоянным моду-
лем упругости арматурной стали. Этот рост может компенсировать падение несущей способ-
ности бетонной части сечения только после достаточного развития деформаций полоски е.

Математически образование локального максимума несущей способности растянутой по-
лоски можно объяснить с помощью уравнения (3). На участке ОА (рис. 6) оба члена уравнения
(3) монотонно возрастают. На участке АВ кривой 1 первый член убывает, а второй продолжает

Е-106

Рис. 4. Диаграмма растяжения бето-
на ВЗО (по А.С. Залесову)

матурной стали АШ

возрастать. Однако при малых ц рост второго члена мо-
жет быть недостаточным для компенсации убывания
первого члена.

В эксперименте кривая ОАВС может быть реализо-
вана только при кинематическом способе нагружения с
монотонным возрастанием деформаций £ и измерением
соответствующих значений растягивающей нагрузки F
При силовом способе нагружения с монотонным возра-
станием нагрузки F процесс будет следовать кривой 1,
рис. 6, только на участке ОА. Для всех состояний, соот-
ветствующих точкам, лежащим на участке АВС, про-
дольная сила N будет меньше, чем в точке А. При нагру-
жении монотонно возрастающей силой F эти состояния
не будут удовлетворять условию равновесия N = F.

Жесткость конструкции в целом на участке АВС
оказывается отрицательной. В результате на этом уча-
стке возникает дисбаланс между монотонно возраста-
ющей внешней силой F и реальной несущей способно-
стью сечения N. В результате на участке АВС форми-
руется зона неустойчивости, характеризующаяся вре-
менным падением несущей способности сечения.

При нагружении монотонно возрастающими вне-
шними силами равновесие полоски на этом участке фи-
зически невозможно. Соответствующие состояния не
реализуются статически. Этот участок
может быть пройден конструкцией толь-

ко в динамическом режиме — путем
скачка АВ^С через неравновесную зону
до участка CD. В точке С накопление де-
формаций в арматуре оказывается доста-
точным для восстановления баланса. *
Дальнейшее нагружение полоски будет
следовать кривой CD.

С математической точки зрения
скачок АВ^С может рассматриваться
как большое приращение функции (де-
формации е) при малом приращении ар-
гумента (усилия N). В соответствии с
подходом А.М. Ляпунова такое поведе-
ние соответствует неустойчивости рас-
сматриваемой системы. В физическом и
математическом смысле это явление
аналогично известной неустойчивости
оболочек «в большом».

Рис. 6. Кривая равновесных состояний для растя-
нутой единичной полоски при различных законах
разупрочнения бетона: 1 — разупрочнение бетона
по экспериментальной диаграмме (рис. 4); 2 — ли-
нейное разупрочнение

Критерий неустойчивости

Как показывает анализ, зона неустойчивости возникает не во всех случаях растяжения
единичной полоски. Выше было показано, что физической причиной неустойчивости явля-
ется падение несущей способности полоски при растяжении.

Условие падения несущей способности полоски при растяжении может быть записано
в виде:

С использованием (2) условие (6) можно записать как:

d(5c < ts d(5s
dz tc dt

Учитывая, что = E (e),	= Es (e), где E„(e) — касательный модуль деформаций бе-

dz с dt

тона; Es(e) — модуль упругости арматурной стали (постоянный для принятой диаграммы Пранд-
тля), условие неустойчивости железобетонной полоски при растяжении можно записать как:

t

EC^X~ES.	(7)

С учетом (3) это выражение может быть представлено в более компактном виде:

Ес(е)<-ц^.	(8)

Все величины в правой части выражения (8) существенно положительны. Таким обра-
зом, неустойчивость железобетона при растяжении может возникнуть только в том случае,
если касательный модуль деформаций бетона Ес(е) является отрицательным, т.е. только на
стадии разупрочнения. Кроме того, выражение (8) показывает, что возникновение этого вида
неустойчивости тем более вероятно, чем меньше коэффициент армирования ц и чем резче
падает жесткость бетона на стадии разупрочнения для принятой диаграммы.

Приведенный выше анализ может быть применен не только к железобетону, но и к дру-
гим композитным материалам. В таких материалах также может возникнуть феномен неус-
тойчивости при растяжении.
Рис. 7. Альтернативные кривые разупрочнения
бетона

Влияние закона разупрочнения
бетона

Выше приведенный анализ основан на
использовании диаграммы разупрочнения
чистого бетона в соответствии с рис. 5. Од-
нако, как указывают многие авторы (см., на-
пример, [4]), наличие арматуры может су-
щественно изменить свойства бетона после
образования трещин. Арматура вовлекает
бетон в работу на растяжение между трещи-
нами. В анализе это явление может быть уч-
тено некоторым увеличением жесткости бе-
тона в зоне его разупрочнения при растяже-

нии. В настоящее время отсутствует единая
точка зрения о том, какова должна быть кривая разупрочнения бетона, адекватно описываю-

щая это явление. Рядом исследователей на основе проведенных ими экспериментов были пред-
ложены различные кривые для описания разупрочнения бетона при растяжении. Некоторые

из этих кривых показаны на рис. 7.

Для удобства анализа того, как влияет вид кривой разупрочнения на проявление рас-
сматриваемой неустойчивости начальные и конечные точки всех кривых совмещены: начало
ветви разупрочнения для всех кривых принято в точке с деформациями £ = £сг («точка рас-
трескивания»); конец ветви разупрочнения для всех кривых приведен к точке с деформаци-
ями £ = £v (деформация текучести арматурной стали). Анализ показывает, что использова-
ние той или иной кривой может либо сглаживать явление неустойчивости железобетона при
растяжении, либо усиливать его.

Кривая 7, которую предложил H.F. Halvarsen [4], была использована в ряде работ по ана-
лизу нелинейной работы железобетона (например, [5]), а также в некоторых предназначен-
ных для этого программах. Эта кривая представляет процесс разупрочнения бетона посред-
ством двух линейных участков, один из которых принят вертикальным. Для этого участка
касательный модуль деформаций бетона Ес —> —©о. С учетом критерия (8) можно заключить,
что при использовании этой кривой неустойчивость будет проявляться неизбежно при лю-
бых значениях коэффициента армирования ц.

Кривая 2 представляет линейное разупрочнение, которое используется в качестве опции
по умолчанию в таких программных комплексах, как ADINA [6], MARC, ABAQUS и других
товарных программных пакетах для нелинейного анализа железобетонных конструкций. При
использовании этой кривой скорость уменьшения первого члена в (2) и скорость роста вто-
рого члена оказываются эквивалентными. На рис. 6 кривая 2 показывает рост функции несу-
щей способности сечения полоски для этого закона разупрочнения. Видно, что в этом случае
феномен неустойчивости практически исчезает.

Некоторые исследователи предлагают более сложные законы разупрочнения, связывая их
с коэффициентом армирования ц и механическими свойствами материалов. Один из таких за-
конов предложили Del Grosso и др. [7]. Кривая 3 на рис. 7 представляет этот закон для рассмат-
риваемого сечения. Видно, что падение жесткости бетонной части сечения в этом случае про-
исходит даже медленнее, чем в случае линейного разупрочнения. Использование этой кривой
даст дальнейшее увеличение устойчивости расчета железобетона при растяжении.

Заключение

Неустойчивость, часто отмечаемая при численном анализе поведения 30 АЭС при внут-
реннем давлении в момент образования трещин, не всегда объясняется несовершенством
вычислительных алгоритмов. Она может отражать реальную неустойчивость железобетона
при растяжении. При образовании трещин растяжения усилия, воспринимаемые бетоном в
некоторой зоне оболочки, резко падают. В результате в этой зоне возникает дисбаланс между
внешними и внутренними силами. Если коэффициент армирования оболочки достаточно
велик, усилия, воспринимаемые арматурой в этой зоне, компенсируют этот дисбаланс, одна-
ко, только после соответствующего развития деформаций. В результате на кривой деформи-
рования оболочки возникает область деформаций, в которой статическое равновесие при мо-
нотонном силовом нагружении оказывается невозможным — зона неустойчивости. Эта зона
может быть пройдена конструкцией только в динамическом режиме — путем скачка. Явле-
ние неустойчивости при растяжении может возникать не только в железобетоне, но и в дру-
гих композитных материалах. Выполнен анализ условий, при которых проявляется данный
вид неустойчивости, и дан критерий его возникновения.

Литература

1.	Строительство атомных электростанций. Под ред. д-ра техн, наук, проф. В.Б. Дубровского. —М.: Энергоато-
миздат, 1987. — 368 с.

2.	Braam C.R. Finite Element Analysis of Reinforced Concrete Beams with Web Reinforcement. «Diana world»,
2000, No.l,p. 6-9.

3.	Пановко Я.Г., Губанова И.И. Устойчивость и колебания упругих систем. —М.: Наука, 1979, 384 с.

4.	Chen W.-F. Plasticity in Reinforced Concrete, McGrow-Hill, N.-Y. etc., 1982.

5.	Choi Ch. -K., Noh H. - Ch. Nonlinear Dynamic Analysis of Cooling Tower Shells. «Proc, of the International Colloquium
on Computation of Shell & Spatial Structures ICCSS’97. Taipei, November 5—7, 1997». Ed. by Yeong-Bin Yang.

6.	Bathe K.-J., Walczak J., Welch A., Mistry N. Nonlinear Analysis of Concrete Structures. «Computers & Structures»,
Vol. 32, No. 3/4, pp. 563—590.

7.	Del Grosso A., Lagomarsino S., Massarbo S. Nonlinear Finite Element Analysis of R.C. Shell Structures: Tuning of
Smeared Cracking Models. «Proc, of the Int. IASS Symp. 2—6 September 1991, Copenhagen, Denmark. — Spatial
Structures at the Turn of Millennium», Vol. Ill, pp. 321—328, pp. 321—328.

© C.C. Нефедов

Г.В. ВАСИЛЬКОВ, д-р техн, наук, проф., Ю.А. ЗАБАРА, инж.

(РГСУ, Ростов-на-Дону)

НОВЫЕ ЧИСЛА ЗОЛОТОЙ ПРОПОРЦИИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ СОРАЗМЕРНОСТЬ
ПЛИТ ПЕРЕКРЫТИЯ

Основной задачей строительной механики как науки является определение такой струк-
туры сооружений любого функционального назначения, чтобы минимизировать объем стро-
ительного материала при сохранении прочности, жесткости и устойчивости и одновременно
обеспечить возможность изготовления системы с наименьшими затратами. Этим противоре-
чивым требованиям отвечают структуры механических тканей живых организмов, на созда-
ние которых природа затратила миллиарды лет. Сознательная деятельность человека-строи-
теля возникает в верхнем палеолите, всего 30—40 тысячелетий до н.э., а теоретическое обо-
снование проектирования объектов строительства начинается около 300 лет назад — мгнове-
ние в истории развития живой природы. Во второй половине XX столетия сформулирована
новая парадигма глобального эволюционизма, синергетики. Суть ее заключается в разработ-
ке общих законов о процессах развития и самоорганизации сложных систем произвольной
природы. Одной из основных задач трансдисциплинарной науки — синергетики является
выявление закономерностей морфодинамики строения систем, развития и способов поддер-
жания сложных иерархически организованных структур [1]. Современные теоретические
представления о всеобщей системности, как основного свойства природы, всего мира, любой
самоорганизующейся, саморазвивающейся системы, включая самого человека, призывают
изучать и строить модели, не только исследуя причины явления и законы движения, но и
определяя цель функционирования. Синергетика, базирующаяся на идеях эволюционности
(изменчивость, отбор, наследственность, целеполагание), может быть использована в каче-
стве новой нетрадиционной методологии прогнозирования, предсказания будущего. Одна из
фундаментальных философских идей — непрерывное развитие, требующее постоянного пе-
рехода систем из одного состояния в другое, более совершенное, от простого к сложному, от
низшего к высшему, базируется на многовековом опыте наблюдения за природными явлени-
ями на всех уровнях мироздания. Для эволюционирующих систем строго выполняются за-
коны сохранения классической физики (законы сохранения энергии, массы, импульса, мо-
мента количества движения, электрического заряда), термодинамические законы, но для
объяснения поведения самоорганизации этого оказывается недостаточно [2]. Вопреки логи-
ке классической термодинамики, согласно которой Вселенная должна превратиться в равно-
мерный хаос, наш мир упорядочен и продолжает развиваться и усложняться.

1.	Гомеостаз, самоорганизация и управления

Физиологи дают следующее определение [3]: гомеостаз(ис) (гр. homoios подобный + гр.
statis стояние) — совокупность сложных приспособительных реакций живых систем, направ-
ленных на устранение или максимальное ограничение действий различных факторов внеш-
ней или внутренней среды, нарушающих относительное динамическое постоянство внутрен-
ней среды организма (например, постоянство температуры тела, кровяного давления, содер-
жания глюкозы в крови). По-видимому, впервые для живых систем понятие о внутренней
среде и относительном постоянстве ее параметров ввел французский физиолог Клод Бернар
(1813—1878). Начиная с 1935 г. российский физиолог П.К. Анохин разрабатывает теорию
функциональных систем, в которой рассматривается деятельность целостного организма по
поддержанию регулируемых процессов, показателей, параметров на оптимальном уровне. В
настоящее время широко известно, что в разнообразных самоорганизующихся системах су-
ществуют нормируемые параметры, которые определяют оптимальные процессы их функ-
ционирования.

Самоорганизация как процесс самопроизвольного (?) формирования регулярных струк-
тур в системах с нелинейными обратными связями, которые имеют стоки и источники энер-
гии, вещества, информации, и управление как функция систем различной природы, обеспе-
чивающая сохранение их определенной структуры, поддержание гомеостазиса, по своей сути
являются дополнительными понятиями. Первичной является самоорганизация, отвечающая
за возникновение и становление структур развивающихся систем, управление поддерживает
гомеостазис на любом этапе эволюции. В общепризнанном определении понятия самоорга-
низации у слова «самопроизвольный» был поставлен знак вопроса, т.к. при такой дефини-
ции возникает неопределенность, как бы отсутствие причины. Самопроизвольность, тракту-
емая в определении как спонтанность, неизвестная внутренняя причина должна быть опре-
делена в виде общего закона в каждом конкретном случае при моделировании поведения эво-
люционирующей системы. Различают стихийное и сознательное, слабое и сильное управле-
ние. При сильном управлении возникают объективные и некоторые другие виды неясных
отношений. В китайской философии и культуре, прежде всего даосизма, примером слабого
управления является категория «вэй у вэй» (деяния посредством недеяния). В теории функ-
циональных систем (ТФС), разработанной П.К. Анохиным при изучении живых организ-
мов, по сути дела определены подсистемы управления, которые практически повторяют ос-
новные положения категории «вэй у вэй»: управляющее устройство; выходные каналы уп-
равляющего центра; исполнительные органы, обеспечивающие гомеостазис; датчики, воспри-
нимающие информацию о параметрах отклонения регулируемого процесса от оптимального
уровня; канал обратной связи. В сороковые годы XX века появляются работы Н. Винера о
процессах управления машин, организмов, социумов; вводится новое название науки «ки-
бернетика». Последующее развитие теории управления и самоорганизации связано с имена-
ми Людвига фон Берталанфи (Общая теория систем. Критический обзор, 1969) и Г. Хакена
(Синергетика, 1978). Основательно сформировавшаяся теория самоорганизации и управле-
ния содержит длинный перечень физических условий, необходимых для процессов эволю-
ции. Главная позиция этих условий сформулирована И. Пригожиным: способность системы
к экспорту энтропии. Все последующие пункты, излагаемые в виде ключевых слов, являются
в сущности прямыми или косвенными следствиями первого: нелинейность; конечность вре-
мени жизни системы; мультистабильность; адаптивность; возникновение точек бифуркации
или полифуркации; существование знакопеременных обратных связей; способность к диф-
ференциации и интеграции подсистем; морфогенез; генерация интервальных констант; раз-
витие подсистем управления и мн. др. В последующих построениях принимается следующая
гипотеза: в самоорганизующихся системах в процессе эволюции все виды плотности энергий
стремятся к постоянным величинам, а точнее к интервальным константам. На основании вве-
денной гипотезы первое физическое условие процесса эволюции формулируется следующим
образом: система должна обладать способностью к экспорту беспорядка любых видов энер-
гии путем обменных процессов с окружающей средой. Все виды плотности энергии в самоорга-
низующейся системе стремятся к некоторым интервальным константам. В заключение это-
го пункта отметим, что перечень качественных свойств самоорганизующихся систем можно
существенно продолжить, а любая позиция может развиваться практически беспредельно,
так между начальными явлениями самоорганизации (расширение Вселенной, повышение эн-
тропии, стремление к изоэнергетичности) и качественнымй свойствами поведения систем на
разных этапах эволюции лежит громадный гетерогенный пласт различных физических, хи-
мических, биологических, социальных процессов.

2.	Законы сохранения механических самоорганизующихся, саморазвивающихся
систем, уравнение морфодинамики для тонких пластин

Для задач механики деформируемых твердых тел на период проектирования предпола-
гается, что система является открытой: в каждой точке среды существует сток и источник
вещества — «строительного материала», т.е. система наделяется свойством метаболизма, ха-
рактерным для живых организмов. Закон сохранения формулируется в виде [4, 5]:

3HdV' = odV ==> dV' = 33~ldV,	(1)

где э, эн — текущая и нормируемая плотность энергии деформаций в индивидуальных объе-
мах dV и dV . При выявлении скелетного каркаса несущих конструкций закон сохранения (1)
видоизменяется [4]:

Е' = ээ^Е,	(2)

где Е, Е' — текущий и оптимальный модули упругости среды в каждом индивидуальном объе-
ме. Законы сохранения в последующем используются при формулировке нелинейной на-
чально-краевой задачи морфодинамики. Покажем вывод уравнений текущего равновесия для
тонких пластин. Интенсивности изгибающих и крутящих моментов

Мх =-7)(С+ц®;); Му =-7>«+Кх); Н = -7)(1-ц)(0^,	(3)

где D = Eh?/V2(1 — р2) — цилиндрическая жесткость. В процессе адаптивной эволюции будем
предполагать, что структура системы изменяется либо за счет варьирования толщины пластины
h = h(x,y), либо по причине изменения модуля упругости Е = Е(х,у) при постоянной толщине. В
обоих случаях цилиндрическая жесткость D = D(x,y) переменная величина. Согласно закону со-
хранения потенциальной энергии деформаций для самоорганизующихся пластин [4],

Л' = (ээ^)7Л или Е' = (ээ~1)Е, у = 1/3,
следовательно, цилиндрическая жесткость в обоих случаях ЕУ= D(x,y). Уравнение равнове-
сия дифференциального элемента тонкой пластины

(4)

где Р — интенсивность внешней распределенной нагрузки, приложенной нормально к сре-
динной поверхности пластины; интенсивность поперечных сил

Qx=Wx+H'y- Qy = (М у)'у + Н'х.

После подстановки этих выражений в уравнение равновесия (4) и, принимая во внима-
ние (3) и зависимость D' = 33~lD, получим следующее нелинейное уравнение морфодина-
мики пластины

Э2 Э2 Э2	ч Э2 , Э2со Э2 ,( Э2 д2 _

л 2 л 2 л 2 0) + 2(1 —11)	Е I- Е |1 2 Л 2 р0 —

дх I дх ду I	дхду дхду ду I дх ду I

Краевые условия, например, при х = const для жесткого защемления: со = О, со'х = 0; для
свободного края: Мх - Ms = 0; Q^- Qs = 0, где Ms, Q. — заданные на границе усилия. В силу
специфики напряженно-деформированного состояния изгибаемых тонких пластин плот-
ность энергии деформаций осредняется по высоте э = (0,5 J(о%£% + Ov£v + Ъхуух^Е) / h. В пос-
ледующем принят следующий способ линеаризации задачи. В пределах достаточно малой
области (конечного элемента) пластины полагается, что э = эпср = зп, где эп — средняя плот-
ность энергии в пределах конечного элемента на п-м эволюционном шаге. При таком способе
линеаризации последовательность операций итерационного алгоритма, моделирующего эво-
люционный процесс, имеет следующий вид:

Knqn = Рп =>q" U" = 0,5[q^knrqnr => Эпг =Unr!Vr\

h"+' = (эг"(э„п)1/3h" или Е"+1 = эпг (э”Е",	(5)

п = 1, 2,..., г = 1, 2,..., k.

К, q и Р — матрица жесткости, векторы узловых перемещений и сил; г — номер конечного
элемента; п — номер итерации; k — число элементов; Vr — объем r-го элемента. В начальном
приближении назначается толщина, например, гладкой пластины h = const; нормируемая
плотность энергии деформаций принимается в виде э® = R2 / 6Е для цилиндрического из-
гиба плиты, R — нормативное сопротивление материала. На следующих шагах величина эн
корректируется. Например, после выполнения т?-го шага выявлятся наибольшее по абсолют-
ной величине главное напряжение 12/”1тах и прогиб |со”|тах • Определяется коэффициент про-
порциональности в зависимости =	==> Р” = |°Г |таХ(э« 1 на (п + 1)-м шаге полагает-

ся, наибольшее напряжение равно нормативному сопротивлению |<5^+1|та = R- Для нового
шага коэффициент пропорциональности приближению принимается в виде

Следовательно, =к|та,(э"^'э"+'; откуда af -	' э,".

Рассуждая аналогично, при выполнении ограничения по жесткости

Из двух величин э”+1 для следующего шага выбирается меньшее. Последовательность
операций (5) по сути приближенно отражает процесс самоорганизации при движении систе-
мы к состоянию изоэнергетичности.

При изменении внешних геометрических параметров системы (например, соотношение
глобальных размеров, положение опорных связей и др.) необходимо решать задачу управле-
ния. В рассматриваемом классе задач при изменении положения опор плиты лучшим сочета-
нием геометрических параметров а, фиксирующих координаты опор, будут такие, когда пол-
ная потенциальная энергия деформации системы достигает наименьшего значения

U = min 17(a).
а

Определение min U(a) производится, например, методом покоординатного спуска. Та-
ким образом, метод адаптивной эволюции для рассматриваемого класса задач содержит сле-
дующую последовательность операций самоорганизации и управления

^т,п^т,п _ рт>п ^т,п jjm,n

hr е [/>min)AnJ

или ЕГ+1 =(эГ/э"н)ЕГ,ЕГ е [Emin,Ешах],

Um = inf U(a), п = 1,2,..., Sj, т = 1,2,..., s2,
где — число итераций внутреннего цикла самоорганизации, определяется в процессе счета
по достижению заданной погрешности вычисления общего объема материала

I Vn+i - V" I / min{c”+1, V} < ц;

52 — число итераций внешнего цикла управления, задается априорно при разбиении отрезков
изменения глобальных параметров а-.
При решении эволюциональных задач определения рациональной структуры плит пере-
крытия обнаружено, что расстояния между возникающими утолщениями в структуре подчи-
няются закономерностям золотой пропорции. Прежде чем проиллюстрировать этот факт по-
кажем, что существует множество чисел золотой пропорции, лежащее на интервале (0,5; 1).

3.	Новые числа золотой пропорции

Известен ряд иррациональных чисел, которые относятся к константам мироздания. На-
пример, число я = 3,14159..., «неперово число» е = 2,71828..., число золотой пропорции
(р = 0,61803... и др. Число золотой пропорции определяется либо как предел отношения чисел
Фибоначчи, либо как деление единичного отрезка, при котором большая часть ф является
средней пропорциональной между всей длиной отрезка и меньшей его частью 1— ф. Предпо-
ложим, что единичный отрезок последовательно делится на два, три, четыре и т.д. отрезка,
так, что для любых трех смежных частей выполняется соотношение золотой пропорции

п

<рмФы = ф£; Фо = 1; £ф* = 1; k = 1,2,
к=1

Система алгебраических уравнений после исключения всех ф^ (k >1) сводится к одному урав-
нению относительно неизвестного ф! = ф

Хф" = 1.	(6)

к=1

Для частичных сумм в (6) при п = 2ф = 0,618..., при п = Зф = 0,543..., при п = °° ф = 0,5 (дихото-
мия). Для двумерной области в виде единичного квадрата (рис. 1, а) полагается

SrS3 = 522; S3 = (1 - ф)2; S2 = ф(1 - ф);	= ф2; 50 =	+ 2S2 + S3 = 1.

Уравнение баланса типа (6) принимает вид

ф + ф3 = 1 => ф = 0,682327...

При делении стороны единичного квадрата на п отрезков уравнение баланса имеет следую-
щий вид:

^ф2№-1н=1.	(7)

fc=l

Корни уравнения (7), числа золотой пропорции для двумерного
объекта записаны во второй колонке табл. 1. Для трехмерного объек-
та в виде единичного куба (рис. 1, б) корни уравнения баланса
п

^(p3(fc-1)+1 = 1 приведены в третьей колонке табл. 1. В общем случае
к=\

при делении каждого ребра единичного гиперкуба в m-мерном про-
странстве на п отрезков уравнение баланса имеет вид

fmn =Ф+ф"!+1+ф2'я+1+...= Хф'я<М)+1 =1.	(8)

fc=l

В табл. 1 приведены величины фти, вычисленные по (8). Анализ
результатов показывает, что числа золотой пропорции лежат на ин-
тервале ф е (0,5; 1). Кроме того, легко доказывается следующее ут-

	1 1	2	1	3 I .	..	|	49	|	50	|	1
2	0,61803	0,68232	0,72449	0,94398	0,94478	0,(9)
3	0,54368	0,63688	0,69287	0,94320	0,94442	0,(9)
4	0,51879	0,62449	0,68539	0,94316	0,94398	0,(9)
ОО	0,5	0,61803	0,68232	0,94315	0,94398	0,(9)
[расчеты на устойчивость]

V	У верждение: число золотой пропорции в m-мерном пространстве при

делении ребра на 2 отрезка фт2 равно числу золотой пропорции в
Q (т+1)-мерном пространстве при делении ребра единичного гиперку-
ба на бесконечное количество отрезков фт+1 ©о. Покажем, что при
(*	ь	6	больших т малое увеличение числа золотой пропорции приводит к

*----—-------#	катастрофическому нарушению баланса, представленному уравнени-

р ем (8). Например, пусть т = 9999, а число разбиений ребра гиперкуба
м м ; I и и	п = 100; при этом фти = 0,999277045... Предположим, что фти увеличе-

i	А	но примерно на 0,1 % (фтеи = 1,000277045). При таком искажении <ртп

РИС‘ 2	fm„ = 1,349-10119 » 1 (гугол).

Таким образом, в тонких структурах с большим числом элементов и большой размерно-
сти пространства малозначительное увеличение константы приводит к разрушению сораз-
мерности структуры. Отметим, что числа золотой пропорции в верхней и нижней строках
табл. 1 из иных соображений (как инварианты оптимальной организации информационных
систем) получены Э. Сороко [6]. Геометрически соразмерные несущие конструкции соору-
жений, состоящие из одно-, дву- и трехмерных частей, должны содержать пропорции, соот-
ветствующие числам в первых трех колонках табл. 1. Для двумерных объектов при большом
числе элементов Ф2оо ~ 0,618, вероятно поэтому на картинах великих художников, на черте-
жах известных архитекторов обнаруживается пропорция золотого сечения [7].

Численые эксперименты по расчету плит перекрытия показывают, что при стремлении к
изоэнергетичности в итоговых структурах проявляются эффекты геометрической соразмер-
ности — расстояния между характерными точками в плане плиты подчиняются соотношени-
ям золотой пропорции. При решении примеров, приведенных ниже, использован прямоу-
гольный КЭ тонкой пластины с двенадцатью степенями свободы.

Пример 1. Для пластины с точечными шарнирными опорами по углам при равномерном
нагружении определить рациональное отношение сторон (рис. 2). При сравнении вариантов
предполагается, что площадь постоянна А = k • а2 = const. Показатели сравнения — объем
материала, полная потенциальная энергия, максимальный прогиб ж’тпах- Исходная информа-
ция для расчета: а = 6 м, Р = 4,2 кН/м2, Е = 11,1 ГПа, [о] = 0,4- 7^ = 5,8, ц = 0,2. Пластина
разбивается сеткой КЭ 58x58 и для контроля точности 83x83.

По результатам расчета построены графики V~k, wmax~k (рис. 3, а). Обнаружено, что точ-
ки локальных минимумов возникают при к = Ы а = 2ф, 2д/ф, 2^Ф> •••( ф = 0>618...). Нижняя
граница объема материала достигается при к = 2д/ф ’> наиболее жесткой является пластина с
соотношением сторон к = 2д/ф = 1,572... На рис. 3, б приведены итоговые структуры опти-
мальных пластин, наиболее затемненные элементы имеют большую высоту. Отмечается, что
полученные структуры оребрения при различных k существенно разнятся. Для гладкой пла-

Рис. 3

6,67,1м pk=2 ср)

7,823 м (&=2Чр)

§

б
стины при изменении соотношении сторон ( V = const) функция U(k) (k> 1) монотонно возра-
стает, лучшей является квадратная пластина.

Пример 2. Определить наилучшее положение опор при их смещении к центру по диаго-
налям квадрата по критерию U = min 17(a). Принимаются исходные данные примера 1 при
а = Ь = 1= 6 м.	а

При изменении глобального параметра а обнаружено, что оптимум по объему, энергии,
жесткости достигается при а-0,241/, при отношении линейных размеров (рис. 1)
/(1 - 2а) //(1 - а) =ф2д, *$3 / $2 “ $2 /	~ Ф2 2 > гДе Фг 2 = 0,6823... — число золотой пропорции

(табл. 1). Оребрение оптимальной пластины показано на рис. 4, б. Более детальный анализ
полученной структуры показал, что пластина содержит четыре подструктуры со слабым вза-
имодействием по границам (осям симметрии).

В заключение отметим, что основные эффекты самоорганизации процесса эволюции в
полной мере проявляются в рассматриваемой теории — нелинейность уравнения морфоди-
намики, адаптивность — стремление системы к недостижимому идеальному состоянию изо-
энергетичности, возникновение узких временных областей ароморфизма, существование об-
ратной связи, которую обуславливают законы сохранения типа (1) [5], способность к диффе-
ренциации и интеграции подсистем (в приведенных примерах — квантование вещества, рас-
пад на слабовзаимодействующие подсистемы, повышение общей сопротивляемости) и др. В
процессе решения задач самоорганизации отмечается наличие трех укрупненных фаз адап-
тации — начальная, сопровождающаяся увеличением энергии деформаций (или объема),
фаза детерминированного хаоса и третья заключительная, в которой все значимые элементы
находятся в одном темпомире и приближаются к состоянию изоэнергетичности, замедляя
движение [4]. Неевклидова фрактальная геометрия, порожденная метрикой закона сохране-
ния (1), в неявной форме содержит математические фундаментальные константы — числа
золотой пропорции, которые проявляются в итоговых структурах гомеостатического равно-
весия. Гипотетически можно предположить, что числа золотой пропорции (табл. 1) могут
быть приняты за основу построения новой модульной системы геометрической соразмерно-
сти несущих конструкций, оптимальное состояние которых определяется методами теории
адаптивной эволюции механических систем.

Литература

1.	Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Темпоральные ландшафты коэволюции. Статья в кн. «Человек. Наука. Циви-
лизация. К семидесятилетию академика В.С. Степина». — М.: Канон+, 2004. — 816 с.

2.	Эбелинг В. Энгель А., Файстель Р. Физика процессов эволюции. Пер. с нем. Ю.А. Данилова — М.: Эдитори-
ал УРСС, 2001. - 238 с.

3.	Смирнов В.М., Яковлев В.Н. Физиология центральной нервной системы. — М.: Издательский центр «Акаде-
мия», 2002. — 352 с.

4.	Васильков Г.В. Эволюционные задачи строительной механики. Синергетическая парадигма. — Ростов-на-
Дону: Инфосервис, 2003. — 180 с.

5.	Васильков Г.В. Законы сохранения самоорганизующихся, саморазвивающихся систем // Научная мысль
Кавказа. Сев.-Кав. научный центр ВШ, приложение, № 14. — 2004. — с. 137—147.

6.	Сорока Э.М. Структурная гармония систем. — Минск: Наука и техника, 1984. — 365 с.

7.	Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. — М.: Изд. Ассоциации стр. вузов, 1998. — 372 с.

© ГВ. Васильков, Ю.А. Забара
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

В.И. Андреев, чл.-корр. РААСН, д-р техн, наук, проф. (МГСУ)

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
ТЕОРИИ УПРУГОСТИ НЕОДНОРОДНЫХ ТЕЛ.

Часть 1

1.	Введение. В статье рассматриваются задачи теории упругости непрерывно неодно-
родных тел, в которых деформационные характеристики материала (модуль упругости Е и
коэффициент Пуассона V ) являются непрерывными функциями координат. Приведены раз-
решающие уравнения в перемещениях для плоской задачи в полярных координатах, а также
для задач в цилиндрических и сферических координатах. Для частного случая одномерной
неоднородности, когда Е и V являются функциями одной координаты — радиуса, применя-
ется численно-аналитический метод, основанный на представлении перемещений в виде раз-
личных рядов. Такие представления позволяют свести задачу к решению систем обыкновен-
ных дифференциальных уравнений относительно функций, зависящих от радиуса. Учиты-
вая, что получаемые уравнения являются уравнениями с переменными коэффициентами,
структура которых зависит от вида функций неоднородности, их решение, как правило, осу-
ществляется- численно. Поскольку существующие программы численного решения систем
обыкновенных дифференциальных уравнений позволяют добиваться достаточно высокой
точности, можно сказать, что численно-аналитические методы являются весьма эффектив-
ными. При использовании численно-аналитических методов кроме требования одномерной
неоднородности имеется еще одно ограничение, относящееся к граничным условиям на час-
ти поверхности тела, что обсуждается на примере решения задачи в цилиндрических коорди-
натах. В первой части рассматривается непосредственно метод разделения переменных при-
менительно к трем системам координат и способ численной реализации получаемых систем
обыкновенных дифференциальных уравнений. Во второй части будут рассмотрены некото-
рые практические задачи.

2.	Плоская задача в полярных координатах. Разрешающие уравнения плоской задачи в
полярных координатах в перемещениях для плоского деформированного состояния при про-
извольных зависимостях механических характеристик от г и 0 имеют вид [1]:

/ д2и \ди	и j Ц д2и Х + ц d2v

+ ^уЭг2 + г дг г2 * г2 Э02 + г дгдд

Х + ЗцЭу Э(Х + 2ц) ди 1 Эц/Эм dv	у

г2 Э0 + дг дг + г2 Э0уЭ0 + Г дг	j

1 ЭХ( Эу ] д (	\

-у\и + ^ -Зу 7&в)+Л=0;
г dr I 30 J дг

| Э2у 1 Эу v Х+ ц д2и Х + Зц ди
дЭг2 + г дг г2 г ЗгЭ0+ г2 Э0 +

Х+2цЭ2у 1 Эц/Эм 3v 1 ЭХ ди

+ г2 Э02 + г дг уЭ0 + Г dr Vу г Э0 дг +

(2.1)

(2.2)

Здесь X, ц — коэффициенты Ляме; К — коэффициент объемного сжатия; R и 0 - компо-
ненты объемных нагрузок; 8g — вынужденные, например, температурные деформации.

При плоском напряженном состоянии в уравнениях (2.1), (2.2) Хи К должны быть заме-
нены соответственно характеристиками
. _ 2%р. _	2АЦ Е

Х+2ц 1-v1 2 ’	Х+2ц 3(l-v)’

В случае, когда механические характеристики материала %, р и К зависят только от
радиуса, используя аналогию с решением Мичелла для однородного материала [2], будем
искать решение уравнений (2.1), (2.2) в виде:

Фо Ф1 о Ф2 о . Q Фз К Q
+	-9+	-0sm0-i- -0cos0 +

Ф4 . a 4>5
• sin0 +
) h's

Ф™

sn

I . a M
sin И0 +

cos nd

(2.3)

• cos0+ /, ,
1

где Фо>---Уси - функции, зависящие только от радиуса. В приведенном равенстве объединены
разложения обоих перемещений: и - верхние выражения в круглых скобках, у - нижние.

Предполагается, что £в(г, 0), R(r, 0), 0(г, 0) также могут быть представлены рядами анало-
гичными (2.3). При этом далее функциями (г) обозначены коэффициенты разложения в
ряд объемной силы 0. Подстановка (2.3) в (2.1) и (2.2) после приравнивания нулю суммы
членов, не содержащих 0, а также сумм, умножаемых на 0, 0sin0 и т.д., приводит к системе
обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функций (р? \|/-. В качестве при-
мера приведем уравнения, содержащие функции ф672 и

х + ц , Х+Зр (	\|4	1 Х+2р 2

-—«с—^«фет + м[к+—V-

- у (ифст -	+vJ+~ ие«,« + = °;

(2.4)

1 . ф'ет фот 1 Ц"2 Х.+Ц J Х+Зц

(x+2n|y„+—---г J-—ф,„ +—и1|/от —р—+

+ (V + 2ц')ф'от + 7 (фс„ + nys„) - з(льв	= 0;	(2'5)

В приведенных уравнениях штрих означает дифференцирование по радиусу.

Следует отметить, что полученная система уравнений частично распадается. Например,
уравнения (2.4) и (2.5) представляют собой замкнутую систему относительно пары функций
(р5И и усл. Остальные функции, входящие в (2.3), также могут быть найдены из систем, со-
стоящих из двух или четырех уравнений.

К полученной системе уравнений должны быть добавлены граничные условия любого
типа, при этом напряжения сг,се и тг0 определяются из закона Гука в форме Ляме с учетом
соотношений Коши и выражений (2.3).

Ниже будет рассмотрен один из возможных способов численного решения систем обык-
новенных дифференциальных уравнений.

3.	Трехмерная задача в цилиндрических координатах. Разрешающие уравнения в пере-
мещениях для рассматриваемой задачи представляются в виде [3]:

\^£ср	р	Г Эу	ЭХ	Эр	Эм

pV п4-3(Х+р)— - — 2— + и +3—е +2——+
or	г	V Э0	)	дг	ср	dr	dr

1 3pf 1 Эм	Эу	у	3pf Эи’	дм	Э /	\	л

+	+	+ v -3—(7&)+Л=0;

г dm г Э0	Эг	г)	dz\dr	dz J	dr

(3.1)
p,V2y +

3 0Х

+----8

г эе

з(Х+ц) дгср	ц (	v 1 ди

г 00	r2[V	00 J+ dr I dr г + г 00

2 0р/1 0у
+ г 30\j ЭО +

т-,1 „к \^Еср	d[l(du ЗиЛ

hV2w+3X+h—-+з—Еср+^ —+— +
dz	dz р dr\dz or J

1 0ц/1 Эи’ 0yA 0li Эи’ d (	\

+ -^	+ Т +23^“3T^+Z=0’

г дд\г 00 dz J dz dz dz

(3-2)

(3.3)

1 [ du 1 0y и 0vv | Э2 13
где e- = з1эГ+7эе+7+эГ) v =^+;^+

i a2 a2
r2ae2+0Z2-

Уравнения (3.1) — (3.3) являются наиболее общими соотношениями метода перемеще-
ний в цилиндрических координатах. Из них могут быть получены различные частные слу-
чаи. Если, например, в (3.1) — (3.3) сохранить члены, содержащие механические характерис-
тики и их производные по радиусу, получим уравнения, соответствующие радиально неодно-
родному телу:

~ Л/Л \^гср Ц ( dv A dk
J1V и + 3(%+ц)—-р-Е—+ и 1+3—еср

dll ди d /	\

+ 2-^ —-3-Ю+Я=°;
dr dr dr

з(Х+ц)Эе Ц (	(ф/ 0у у 1 du

LlV У +	т~~ — у У — 2 у~ + ~~ I у- — + у~

г 00	г2{	00) dr I dr г г 00

3 08

--^-~у + 0=О;

г 00

,	/ xd&	dp (du 0иЛ	08

|1V w + 3(X + ц,)-т +	у + у- — ЗК~ + Z= 0.

dz	dr\dz dr J	dz

(3-4)

(3.5)

(3.6)

Выше было отмечено, что численно-аналитический метод, основанный на представле-
нии решений в виде рядов, накладывает некоторые ограничения на тип неоднородности и
граничные условия. В данном случае разделение переменных возможно при одномерной (ра-
диальной) неоднородности деформационных характеристик, чему соответствуют уравнения
(3.4) — (3.6), а также при некоторых ограничениях на граничные условия на торцах цилинд-
ра. Рассмотрим этот вопрос более подробно.

В уравнениях (3.4) — (3.6) удается разделить переменные, если торцы цилиндра нахо-
дятся между двумя жесткими абсолютно гладкими плитами или, что то же самое,— торцы
цилиндра шарнирно закреплены (рис. 1).

Для схемы, показанной на рис. 1, граничные условия на торцах цилиндра имеют вид

z = 0, Я; w = Trz = Tfe = 0.	(3.7)

Заметим, что при наличии периодических нагрузок вдоль оси z (рис. 2), вырезая из ци-
линдра слой толщиной Я, где Я — длина участка, соответствующая периоду нагрузки, мож-
но точно удовлетворить граничным условиям (3.7). Другой искусственный способ закрепле-
ния торцов цилиндра, при котором также удается разделить переменные, заключается в на-
личии на торцах нерастяжимой абсолютно гибкой мембраны. Мембрана не допускает пере-
Рис. 1. Цилиндр с шарнирным
(скользящим) опиранием торцов

Рис. 2. Цилиндр с периоди-
ческими нагрузками

мещений точек торца цилиндра в своей плоскости, а за счет свободных перемещений в осе-
вом направлении на торцах цилиндра отсутствуют нормальные напряжения. Таким образом,
граничные условия на торцах в данном случае представляются в виде:

z = ^H ,u = v = cz=O.	(3.8)

На практике обычно встречаются цилиндрические элементы конструкций, имеющие сво-
бодные или жестко защемленные торцы. Для этих двух случаев граничные условия соответ-
ственно записываются следующим образом:

Z = Q,H, xzr=TzQ=Gz=O;	(3.9)

z = О,Н, u = v = w = 0-	(3.10)

Граничные условия вида (3.7) или (3.8) достаточно редко встречаются в практических
задачах, в связи с чем рассматриваемый далее численно-аналитический метод расчета ради-
ально неоднородных цилиндров можно успешно применять при анализе напряженно-дефор-
мированного состояния цилиндра в зонах, достаточно удаленных от торцов, или использо-
вать дополнительные приемы [4], позволяющие приближенно удовлетворять реальным гра-
ничным условиям типа (3.9) и (3.10).

Решение уравнений (3.4) - (3.6) предлагается искать в виде

и(г, 0, z) = У, У, и,™ (г)  cos тв  cos knz;

т=0 п=0

v(r, 0, z) = У У vlm (г)  sin шО • cos knz;

т=1 п=0

(3.11)

w(r, 0, z) = У У	(г)  cos те • sin knz,

т=0 п=1

где кп = ил/ Н.

Такой вид решения обеспечивает автоматическое удовлетворение условиям (3.7), а
граничные условия на боковых поверхностях цилиндра

r = a;cr=-pa,Trz=qa,TrQ=ta;

1	.	(3.12)

г = b;ar =-pb,xrz =qb^A =*ь

могут быть использованы при нахождении функций , vBOT(r) и ^^(г). Для этого по-
верхностные нагрузки р, q и t следует также представить в виде двойных тригонометричес-
ких рядов:
ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

р(0, г) = XУ ртл •cos те cos k„z;

т=0 п=0

?(0,z) = XX^ cosm0sin£„z;

m=Q n=l

1(0, z) = У У tmn • sin me  cos kn z.

m=l n=Q

(3.13)

Коэффициенты разложений (3.13) определяются по известным формулам [5]. Объем-
ные нагрузки и вынужденные деформации также раскладываются в ряды Фурье типа (3.13).

Подстановка (3.11), а также разложений R,Q,Z и Eg в уравнения (3.4) - (3.6) позволяет,
группируя слагаемые при соответствующих тригонометрических функциях и приравнивая их
нулю, написать следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

+ 2^итп +

(3-14)

+ mvm„)+k„wm„ ~^gmn) +Rmn =0;

'	v'.,„ (1 + т2 ,2

2m

^тп 2 ^тп

(Х + ц)т

ЗКт

1 /	\ ЗКт

— (v^+ти^) +----gt

(3.15)

+ Т =0;

тп тп ’

+ М- Vmn

+ ~k„umn)+3Kkngmn + Z„,„ =0.

(3.16)

1 /



Таким образом, решение краевой трехмерной задачи для кругового радиально неодно-
родного цилиндра может быть получено на основании решения уравнений (3.14) - (3.16) с
граничными условиями (3.12).

В заключение данного раздела можно добавить, что, если в (3.11) поменять синусы и коси-
нусы аргумента knz , то полученное решение будет тождественно удовлетворять граничным
условиям (3.8) и, таким образом, можно получить другой способ решения трехмерной задачи.

4.	Осесимметричная задача в сферических координатах. Одним из широко распрост-
раненных классов практически важных задач в сферических координатах является случай,
когда механические характеристики являются функциями только одной координаты - ради-
уса. Это задачи, в которых неоднородность обусловлена, например, центрально-симметрич-
ным температурным полем или взрывным способом создания полости. В осесимметричной
задаче в сферических координатах при радиальной неоднородности разрешающие уравне-
ния в перемещениях можно записать следующим образом [6]:

nV „ - «Л + р ;'	;1 [а .	,	.

+ 2^ Л(й.М = 0;
дг дг дг

(4.1)
|iV2v +

з(х+ц)Эе^,

г Э0

LL | ди
+7Ц2 эё“

V

sin2 9 )

Эц| 1 ди dv v
dr I г Э0 dr г

ЗК Эеб
г Э0

+ 0=0.

(4.2)

Здесь

V2

1 д ( 2 д А 1 d

------г — Н-------------------
г2 dr I dr I г2 sin 0 Э0

sin0— j. Qc

Э0 ’

du 1 dv 2u v

---1-----1----1—

dr г Э0 r r

ctg0.

Рассматривая тела сферической формы (сплошные или полые), граничные условия в
напряжениях для осесимметричной задачи можно написать в виде:

^r=~Pa^	°r=-Pb>

г = а,	г = Ь,

(4.3)

где а и b - соответственно радиусы внутренней и внешней поверхностей толстостенного по-
лого шара (в частном случае может быть а = 0 нЬ —> <*>); ра, рь — нормальные; qa, qb - каса-
тельные поверхностные нагрузки.

Будем искать решение уравнений (4.1), (4.2) в виде разложений в ряды Фурье по поли-
номам Лежандра:

и(г,б)=

<4.4)

где Рп (cos 0) - полином Лежандра тг-й степени, являющийся решением уравнения [7]:

d2P(cos0) dP(cos0) л z	л

---------------------ctg0 + п(п + 1)Рп (cos0) = 0.
U\J	ил)

Для целочисленных значений п полиномы Лежандра образуют полную ортогональную
систему функций в интервале 0 < 0 < к, так что

j Рп (cos 0)- Рт (cos 0)70
о

0 при п^т'

2

.277 + 1

при п = т.

Из теории специальных функций известно, что разложение функции в ряд Фурье по
полиномам Лежандра обладает теми же свойствами, что и любое разложение в ряд Фурье,
например, по тригонометрическим функциям.

Входящие в уравнения (4.1), (4.2) объемные нагрузки и вынужденные деформации, а
также поверхностные нагрузки, входящие в (4.3), раскладываются в ряды типа (4.4).

Используя представления (4.4), из уравнений (4.1), (4.2) получим ряд систем (для
каждого 77) из двух обыкновенных дифференциальных уравнений относительно функ-
ций ип{г) и Уи(г):

^Й + (к + 2ц)'

(Х + 2Ик

и(и + 1)ц + 2(^ + 2|л) 2k'
> +

ип +

+ п{п +1)

А. + ц	(X + Зц

------<+ -----

г-----у г

(4-5)
и(л + 1)

Х+ц z 2(Х+2ц) ц'

Х+ 2ц

—---+ ~Un

г г

+ 7>о.

(4.6)

К уравнениям (4.5), (4.6) необходимо добавить граничные условия (4.3), которые для
функций ип(г) и vn(f) записываются в виде:

(% + 2ц)и„+ — ип------'vn-3Kgn=l ;

Г Г J

(4.7)

Таким образом, мы получили ряд краевых задач (для каждого п), описываемых внутри
области дифференциальными уравнениями (4.5), (4.6), а на поверхности - соотношениями
(4.7). Вопрос о выборе количества членов рядов Фурье, как и в рассмотренных выше задачах
в полярных и цилиндрических координатах, должен решаться на основе анализа разложений
поверхностных нагрузок в ряды Фурье.

5.	Численное решение систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого
порядка. Во всех рассмотренных выше задачах решение сводится к интегрированию обык-
новенных дифференциальных уравнений второго порядка или систем из двух или трех урав-
нений второго порядка. Учитывая произвольный вид коэффициентов рассматриваемых урав-
нений, что обусловлено большим разнообразием функций неоднородности, решение полу-
ченных уравнений, как правило, проводится численно. Одним из способов численного ин-
тегрирования является сведение полученных уравнений к системам уравнений первого по-
рядка — соответственно двух, четырех или шести уравнений. В настоящем разделе описан
алгоритм численного решения системы в общем случае произвольного количества обыкно-
венных дифференциальных уравнений первого порядка.

Сначала на примере уравнений (2.4), (2.5), содержащих две неизвестные функции фси и
\\fsn, покажем способ сведения этих уравнений к системе четырех уравнений первого порядка.
Введем обозначения:

= V™. У4 = К •	(51)

Тогда уравнения (2.4) и (2.5) можно записать в виде:

, л

ПУ1 + И У4 + — -

ц.' I	\ ЗК

- — (иу - гу4 + у3 Ц — пе, + Тт = 0;

(5.2)

,	/ Л 71^ ЦИ2 X+LL

(Х + 2|фу' +~~~р	У1 +—~

Л+Зц
иу4--р—иу3 +

+ (X/ + 2р.')у2 + “ (а + «Ь) - з(л£вс„) + Rcn = 0;

(5-3)

Добавляя к этим двум равенствам два уравнения

л = т2;т3 = ,

(5.4)

которые следуют из (5.1), получим систему четырех уравнений первого порядка.

Х + Ц Х.+ Зц

—7^-
Граничные условия любого вида (в напряжениях, в перемещениях, смешанные) для фун-
кций (рсп и могут быть получены с использованием формул для напряжений сг и ае, а
также формулы (2.3) для перемещений. Заметим, что выражения для напряжений будут со-
держать кроме самих функций (рсп и \|/те также их первые производные. Таким образом, мож-
но заключить, что граничные условия при использовании обозначений (5.1) содержат функ-
ции - у4 .

Переходя к общему случаю решения системы М уравнений первого порядка, краевую
задачу можно записать в матричном виде:

dY

-—= A(r)Y (г) + F (г); a<r<b;

dr	(5.5)

r = a,PaY(r} = fa- r = b,PbY(r) = fb,

где Y(r) = {ух(г),у2(г),...,ум(г)} - вектор неизвестных длиной M; A(r) - квадратная матри-
ца размером Мх М\ Ра и Рь - прямоугольные матрицы размером М} х М и М2 X М

+М2 =М); векторы fa,fb и F(r) считаются известными и имеют соответственно раз-
меры М^М2 и М.

Излагаемый ниже алгоритм решения краевой задачи основан на методе ортогональной
матричной прогонки [8], впервые предложенном в работе [9] и обладающем рядом преиму-
ществ по сравнению с широко известным методом ортогональной прогонки, изложенном в [10].

Вводя на интервале [а, Ь} равномерную сетку

= {г- = а + ih', i = 0,1,h = (b-a)/N},
краевой задаче (5.5) можно поставить в соответствие ее разностный аналог

YM-Q^t=hFM (0^<ДГ-1);

Poro=Fo; PnYn=Fn+x,	( )

где Г = Г1(г,),Fi = F^d’’ Fo=fa’

FN = fb; Qi = E + hAj-j) ( E - единичная матрица); Po = Pa; PN = Pb.

Формулы (5.6) представляют собой систему разностных двухточечных векторных урав-
нений, решение которой ищется методом матричной ортогональной прогонки.

На основании изложенного алгоритма была разработана программа MOPVU на языке
Фортран-IV решения краевой задачи для системы линейных алгебраических уравнений.

Литература

1.	Андреев В.И. Об одном методе решения в перемещениях плоской задачи теории упругости для радиально
неоднородного тела. Прикл. мех. Т. 23. № 4. 1987.

2.	Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. - М.: Наука, 1979.

3.	Андреев В.И. Метод решения некоторого класса трехмерных задач для упругого радиально неоднородного
цилиндра. Изв. вузов. Стр-во и архит. № 8. 1985.

4.	Андреев В.И. О краевом эффекте в жесткой заделке неоднородного цилиндра. Механика неодн. структур.
II Всес. конф. Тез. докл. Львов, 1987, т.1.

5.	Романовский П.И. Ряды Фурье. Теория поля. -М.: Наука, 1973.

6.	Андреев В.И., Фролова И.И. Температурные напряжения в неоднородном массиве со сферической полостью. - Сб.
тр. Высшей инж. школы, г. Ополе (Польша), 1991.

7.	Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. - М.: Физматгиз, 1958.

8.	Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. — М.: Наука, 1978. — 589 с.

9.	Годунов С.К. Метод ортогональной прогонки для решения систем разностных уравнний. Ж. вычислитель-
ной матем. и мат. физики. Вып. 2. № 6. 1962. С. 972-982.

10.	Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. - Успехи мат. наук, 1961. № 16. Вып. 3. С.171-174.

© В.И. Андреев
|Г.А. ГЕНИЕВ1, чл.-корр. РААСН, д-р техн, наук, проф.,

К.П. ПЯТИКРЕСТОВСКИЙ, канд. техн, наук (ГУП ЦНИИСК им. Кучеренко, г. Москва),
В.И. КОЛЧУНОВ, чл.-корр. РААСН, д-р техн, наук, проф., Н.В. КЛЮЕВА, канд. техн, наук (ОрелГТУ)

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ПРЕДЕЛЬНОГО СОСТОЯНИЯ ЛЬДА
ПРИ ПЛОСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ*

Рассматривается проблема, связанная с вопросами прочности льда и ледовых массивов с
учетом неоднородности последних (за счет переменного по их объему температурного поля). В
статье [1] сформулирован критерий прочности льда для общего случая трехосного напряжен-
ного состояния. В развитие этих исследований в публикациях [2, 3] приведены деформацион-
ные зависимости для льда, учитывающие его реологические свойства. Для плоского напряжен-
ного состояния получена система определяющих дифференциальных уравнений, в которой
искомые неизвестные и физические характеристики являются функциями температуры льда.
Настоящая статья посвящена дальнейшей разработке указанной проблемы. В ней рассмотрено
решение общей задачи теории предельного состояния льда с учетом его пластических свойств
при плоском деформированном состоянии и дан пример ее практического применения.

В работе [1] сформулирован критерий прочности льда для общего случая его трехосного
напряженного состояния:

о, + of + а3 - 0,5(ст,о2 + о2о3 + о3о,)- (Rc - Rp )(о, + о2 + о3)- RcRp =0,	(1)

где о- — главные нормальные напряжения; Rc и Rp соответственно пределы прочности льда
при одноосных сжатии и растяжении, являющиеся явными функциями его температуры [1].

Вводя потенциал текучести, равный левой части уравнения (1): F =0, получим следую-
щие выражения для деформаций:

3F 3F 3F

г2=с—-, г3=с^—,
С/СУ|	^3

(2)

где С — коэффициент пропорциональности, имеющий размерность (МПа)1. Для случая
плоской деформации при е3 = 0, на основании (1) и (2) получим зависимость напряжения о3
от значений и о2:

=^(О1 + <>2)+^fo-R„)	(3)

Подставляя (3) в уравнение (1), получим аналитическое выражение критерия прочнос-
ти льда для его плоского деформированного состояния:

|(o1-G2)2+G1G2-(zfc-/?/))(o1+G2)-l(z?c+Z?p)2 =0.

(4)

Плоская деформация (е3 = 0) реализуется в ледовом массиве при действии напряжений
Oj и о2 в системе координат х, у, совпадающей с его характерными направлениями.

Введем обозначения (новые искомые функции):

(5)

и будем считать положительными сжимающие напряжения (как и в [3]), что более удобно при
решении конкретных практических задач. Главные напряжения и о2 выражаются через пе-
ременные 5 и t очевидными зависимостями (^ = s + £; о2 = s - а само условие прочности
(пластичности) (4) определяет эквивалентное ему соотношение между переменными 5 и t —

2г2=|(/?с+яД+2(яс(6)

Напряжения ох, о , хху в произвольной ортогональной системе координат х, у определя-
ются следующими зависимостями:

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (РФФИ),
грант № 05-01-96406.
G, + <5\ G, —	n

—- cos 2(3 = s +t cos 2(3;

G, + G? G. — G?	n

6y =	— --------——- cos 2(3 = s -1 cos 2(3; >

g, — g9 .

Xxy =	~ sin 2(3 = t cos 2(3,

(7)

где P — угол между координатной осью х и направлением большего главного напряжения

Подставляя зависимости (7) в дифференциальные уравнения равновесия для двумер-
ной задачи, записанные для краткости без объемных сил, получим основную систему двух
квазилинейных дифференциальных уравнений первого порядка:

2/
(Rc-Rp)-s

+ cos2p

dt . Ddt । . Q Эр Эр | A
---bsm2p------2t\sin 2p — -cos2p — =0;

Эх Эу I Эх Эу

sin 2p — +
Эх

It
(Rc-Rp)-s

-cos2p

— + 2t\ cos 2p — + sin 2p — | = 0.
Эу I Эх Эу I

(8)

При выводе уравнений (8), при вычислении производных

ds dt Эз ds dt ds
Эх Эх dt Эу Эу dt

использовалась следующая из соотношений (6) зависимость между полными дифференциа-
лами функций 5 и t

ds = adt =

----------dt.

(Rc-Rp)-s

(9)

Система уравнений (8) является, вообще говоря, системой не с тремя искомыми функ-
циями (5, t, Р), а лишь с двумя, поскольку функции 5 и t связаны между собой соотношением
(6), из которого следует

5 = (^-jrJ±V2-Vd?

-Г2;

д2=| (л-^)2+|к+^)2

и величина а, согласно (9), в уравнениях (8) —

(Ю)

(И)

(12)

Получим уравнения полей направлений двух действительных семейств характеристи-
ческих линий (характеристик) z = z(x, у) = const, и = и(х, у) = const и соотношения на них
между искомыми функциями t и р. Следуя методу С.А. Христиановича, выражая производ-
ные dt/dx и Эр/Эх очевидными зависимостями

dt dt dt Эу	Эр _ Эр Эр Эу

Эх Эх Эу Эх	Эх Эх Эу Эх

подставляя их в (8), разрешая последние относительно dt/dy и Эр/Эг/ и приравнивая нулю
детерминант системы этих двух уравнений (знаменатель выражений для dt/dy и ЭР/Эг/), по-
лучим дифференциальные уравнения полей направлений характеристик z = const и и = const:
где tgy-

наг

на и

= z(x, у) = const —	s=,'s<|i+Y);	(13)
= и(х, у) = const —	ОХ	(14)
|2< + [^-(Л~^)]	l2t±V2-y/D2-I2	(15)
\ 2t— [s - (Rc — Rp)]	\2t + j2-jD2-t2 '	

Подставляя значения Ъу/Ъх (см. формулы (13) и (14)) последовательно в числитель вы-
ражений для dt/ty или ЭР/Эг/, приравнивая его нулю (условие неопределенности производ-
ных на характеристиках), с учетом (15), получаем зависимости между полными дифферен-
циалами функций t и 3

на z(x, у) = const:

3Z2 - D2 dt

СЮ

3t2-D2

на u(x, y) = const: J	—pn

у-2ф = 0.

(17)

Общие интегралы (16) и (17) соответственно имеют вид:

Л . (
— arcsm

Л . (3t2 -

— arcsm —--2

2 D2
k

arcsin

D2

. \ D2
arcsm —-—2
t2

+ 2₽ = C1(Z);

(18)

-2P = C2(M),

7

(19)

r

где Ct(z) и C2(u) - постоянные интегрирования, являющиеся константами соответственно
на линиях z = const и и = const.

Справедливость зависимостей (18) и (19) на этих характеристиках может быть подтвер-
ждена их непосредственным дифференцированием — обращением в (16) и (17).

На рис. 1 в системе координат и о2 представлено графическое изображение критерия
прочности (4), соответствующее температуре льда 0 = -20 °C, представляющее собой эл-
липс, большая ось которого является равнонаклонной к направлениям и о2. При этом Rc =
= 7,5 МПа, Rp = 1,5 МПа [1]. При о2 = 0 значение предела прочности при одноосном сжатии

- 2

а. составляет G, = R = —

1	з

к -RP)+ ^-7?Р)2+|(Л+^)2

= 10,15 МПа; о3,

согласно

уравнению (3), равно 5,54 МПа; max = 14,85 МПа, min = -2,83 МПа.

При 0 < у < я/2 характеристики являются действи-
тельными линиями, а система определяющих уравнений
(8) — системой гиперболического тела. Случай у = тс/2
соответствует значению тах; случай у = 0 — значению
°1 min- Эти экстремальные точки на эллипсе (см. рис. 1
(б/оу б/о2 = 0)) являются границами перехода от действи-
тельных характеристик к мнимым и обращения (8) в сис-
тему эллиптического типа. В точках, лежащих на концах
малых полуосей эллипса (dts^/dts^ = 1), у = я/4.

В общем случае, действительные характеристики
z = z(x,y) и и = и(х,у) представляют собой линии, сим-
метрично ориентированные относительно направления
в каждой точке, и составляют между собой угол 2у.
Используем полученные выше результаты для решения традиционной тестовой задачи о
действии равномерно распределенной полосовой нагрузки (штампа без контактных сил тре-
ния) на поверхности ледового массива - полупространства, находящегося в условиях плоской
деформации. На рис. 2 приведена геометрическая (расчетная) схема решения рассматривае-
мой задачи. Линия С С', совпадающая с осью х, соответствует прямолинейной поверхности ле-
дового массива. Решение задачи состоит из последовательного определения напряженного со-
стояния льда в трех характерных областях - I, II, III, с учетом симметрии ее относительно у.

В области I — ОВС (О'В'С') имеет место простейшее напряженное состояние: о2 =	= О

(из граничного условия на ОС), = Rc (из предельного условия (4).

При этом t = = Rc / 2; о = RJ2 и на основании (15)



-z2'

(20)

При Rc = 7,5 МПа, Rp = 1,5 МПа, Rc = 10,15 МПа значение D2 = 26,10 (МПа)2, tgy1 = 0,92, yt
= 42,5° = 0,236л = 0,742.

В области I характеристики z(x,y) = const и и(х,у) = const представляют собой прямые
линии, составляющие между собой угол 2у^ = 85°. Длина отрезка ОС может быть вычислена
только после проведения решений в областях II и III и определения длины отрезка rx = ОВ —
границы областей I и II.

В области II — ODB (O'D'B') целесообразно использовать полярную систему координат
ф, г с центром в точке О и отсчетом положительных значений углов ф от вертикальной линии
0—0 против часовой стрелки.

В системе ф, г определяющие уравнения на характеристиках имеют вид, аналогичный
зависимостям (18) и (19), с точностью до замены слагаемых в левой части ±2£ соответствен-
но на ±2(£+ф), где угол £ отсчитывается от направления радиуса г.

При этом в области II £ = л - у.

Вдоль характеристик z = const, представляющих собой систему радиальных прямых с
центром в точке О: <7ф = 0, t = const, 5 = const, у = const, £ = const.

На характеристиках и = const:

<7ф = —tg{0-y)=-—tg2y;	(21)

Г	г

43	. (3t2

— arcsin —-

2	^£>2

А 1	/ £)2 А

-2 +-arcsinI—-2 -2(л-у+ф)= С2(и).

(22)

Постоянная С2(г/) определяется из граничного условия на линии ОВ, где известны зна-
— /	— /	(71 1

чения tx = Rc /2,	= Rc /2, а также углы Ф1 = -4 — - У1 I и £1 = л - у1. Таким образом

3t2	I 1	(D2	|

—?-2 +-arcsin —^-2 -л.

D2	I 2	I t2	I

(23)
На основании (22) и (23), с учетом зависимости (15), для каждого значения ф можно
вычислить соответствующие значения t, s, о2. В приводимом числовом примере, в
соответствии с (И), величинаD2 = 26,10 (МПа)2, t2 = (10,15/2)2 = 25,76 (МПа)2 и отноше-
ние t2/ D2 ~ 1.

В области III — OAD ((TAD) имеет место простое напряженное состояние с = const,
о2 = const. При условии отсутствия сил трения по линии ОО', большее главное нормальное
напряжение имеет направление, ортогональное этой линии, и = q. Таким образом, из
очевидных геометрических зависимостей (рис. 2) ZODA = у3; ZAOD = я/2 - у3, и на границе
областей II и III ф3 = я/2 - (я/2 - у3) = у3. При этом последнее слагаемое левой части (22) —
-2(тс - у + ф) = -2(тс - Уз + Ф3) = -2л.

Таким образом, в области III искомое значение t3 определяется на основании (22) и (23)
из трансцендентного уравнения

Л  Гзг32 Л 1	.(d2 Л Л . (3t2 .Л . (d2 Л /9,ч

— arcsm —v - 2 + — arcsm —- -2 1= — arcsin —у - 2 + — arcsm —- - 2 + п. (44)

2 D I 2 Зл I 2	[D2 I 2	3r2

\	7	\ 3	)	v 7	\ 1 J

В числовом примере t3 = 3,2 МПа, o3 = 11,6 МПа, = 14,8 МПа, о2 = 8,4 МПа. На основа-
нии (15) —

?/ + л/2 • /Л2 - /2

tgr = tgy3 =	3 V 3 = 4,0; у3 = 76°; л/2 - у3 = 14”.

pi3- 42-^D 2-tf

На линии OD ф3 = у3 = 76°.

Величина радиусов г в области II от точки О до огибающей семейства характеристик
г/(ф) = const — линии BD, согласно (21) —

Г t sin 2у!

Ц sin 2у

где ту — длина отрезка О В при значении ф! =	— У1J.

Согласно уравнению (25), при ф = ф3, t = t3, у = у3, r3 = a/sin у3: г{=

(25)

а [ sin 2у31

sin у3 |j3 sin 2yt

В числовом примере, при а = 2 м (ОО' = 4 м) и siny3 = 0,970, sin2y3 = 0,996, t3 = 3,20 МПа,
= 5,075 МПа, т\ = 1,78 м, £ = r1siny1 = 1,32 м. Полная длина области предельного состояния
льда на границе массива (см. рис. 2) — С С' = 2(a+2fl) = 9,28 м.

Величина предельной нагрузки на ледовый массив, находящийся в условиях плоской де-
формации — q, приблизительно в 1,5 раза превышает значение Rc и в два раза — значение Rc.

Следует отметить, что протяженность поверхности массива в направлении оси х должна
на порядок превышать величину С С' для обеспечения возможности реализации в областях I
и I' горизонтальных напряжений = <зх =	. В противном случае, это условие за пределами

линий СВ и С'В' выполняться не будет.

Вывод. Полученные результаты могут служить теоретической основой для разработки
методов расчета и проектирования ледовых плотин, сооружений аэродромов на Севере, вод-
ного транспорта, лесосплава, орошения, продления навигации и др. Важной сферой прило-
жения разработанной теории является также ее использование для расчета ледовых соору-
жений, обеспечивающих регулирование весеннего паводка рек.

Литература

1.	Гениев ГА. и др. Критерий прочности льда для сложного напряженного состояния / Г.А. Гениев, К.П. Пяти-
крестовский, В.И. Колчунов, Н.В. Клюева // Изв. вузов. Строительство. — 2003. — № И. — С. 20—23.

2.	Гениев ГА. и др. Деформационные зависимости и определяющие уравнения для льда и ледовых массивов /
ГА. Гениев, К.П. Пятикрестовский, В.И. Колчунов, Н.В. Клюева // Изв. Вузов. Строительство. — 2004. — № 3.
- С. 14-19.

3.	Гениев ГА., Пятикрестовский К.П., Колчунов В.И., Клюева Н.В. Прочность ледовых массивов при плоском
напряженном состоянии. // Изв. Вузов. Строительство. — 2004. — № 9. — С. 15—20.

© ГА. Гениев, К.П. Пятикрестовский, В.И. Колчунов, Н.В. Клюева
Б.С. РАСТОРГУЕВ, д-р техн, наук, проф. (МГСУ), А.И. АДАМЕНКО, канд. техн, наук (МГСУ)

РАСЧЕТ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ЖЕЛЕЗОБЕТОННЫХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ДЕЙСТВИИ СТАТИЧЕСКОЙ И КРАТКОВРЕМЕННОЙ
ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

В последнее время расчет конструкций на действие кратковременных динамических на-
грузок становится все более актуальным в связи с угрозой террористических актов и непре-
рывным развитием химической, нефтяной, текстильной и других отраслей промышленнос-
ти, связанных с горючими газами и жидкостями. Взрывные воздействия характеризуются
высокими давлениями и малой продолжительностью действия. При интенсивных нагрузках
особенно эффективны пространственные конструкции, в том числе шатровые складки. При-
менение в строительстве прогрессивных пространственных конструкций позволяет улуч-
шить архитектурно-планировочные и конструктивные решения зданий и сооружений, со-
кратить расход строительных материалов и снизить их собственный вес.

В статически неопределимых конструкциях, к которым относятся шатровые складки,
распределение внутренних усилий зависит от соотношения жесткостей отдельных элемен-
тов конструкции. Для железобетонных статически неопределимых систем характерно пере-
распределение усилий в процессе нагружения, связанное с проявлением специфических
свойств железобетона - физической нелинейности и трещинообразования и, как следствие, с
изменением соотношения жесткостей элементов железобетонной конструкции.

В настоящее время расчет и проектирование зданий и сооружений, как пространствен-
ных систем высокой степени сложности, невозможны без применения современных про-
граммных комплексов. Некоторые из этих комплексов позволяют выполнять расчет желе-
зобетонных конструкций с учетом неупругих свойств бетона и образования трещин. Однако
удовлетворительно физически нелинейные расчеты реализованы лишь для стержневых эле-
ментов, подвергающихся действию осевых сил и изгибающих моментов. Большинство из этих
программных средств основано на реализации МКЭ в упругой постановке. К числу таких ком-
плексов относится программный комплекс SCAD (разработка SCAD Group, Киев) [1]. Возни-
кает задача учета в упругом расчете перераспределения усилий в процессе нагружения.

В большинстве оболочек, загруженных общими для покрытий нагрузками (собственный
вес, снег), почти по всей области возникает безмоментное напряженное состояние, а полное
- лишь в отдельных зонах, там, где происходит заметное искривление срединной поверхнос-
ти оболочки или скачкообразное изменение нагрузки.

Шатровые складки, являющиеся разновидностью пространственных конструкций по-
крытия, имеют форму усеченной пирамиды. В шатровых складках усилия моментного на-
пряженного состояния более существенны, чем в других оболочках, что требует их учета в
расчете.

Рассматривается метод расчета шатровых складок на действие кратковременной дина-
мической нагрузки с использованием программы SCAD с учетом трещиностойкости и физи-
ческой нелинейности бетона. Расчет шатровых складок на особое сочетание статической и
кратковременной динамической нагрузок выполняется последовательно в упругой и плас-
тической стадиях.

Для упругой стадии усилия и перемещения получаются суммированием их значений от
каждой нагрузки. Поэтому вначале проводится расчет на действие статической нагрузки.

Расчет шатров на статическую нагрузку выполняется методом конечных элементов с
использованием проектно-вычислительного комплекса SCAD. Расчет ведется методом пос-
ледовательного уточнения жесткостей.

Шатровая складка (рис. 1) состоит из плоских элементов: верхней горизонтальной пли-
ты и трапецеидальных наклонных граней, опирающихся на контурные балки, обеспечиваю-
щие восприятие распора шатровой складки. Контурные балки могут опираться по всей дли-
не на кирпичные стены или на колонны по углам и выполняются с предварительным напря-
жением или без него.

Складка, включая и контурные балки, разбивается на плоские конечные элементы, в каждом
узле которых учитываются в общем случае шесть степеней свободы: поступательные перемеще-
Рис. 1. Шатровая складка

ния вдоль осей OX, OY, OZ, а также углы поворота относи-
тельно этих осей. Если грани складки ребристые, то ребра
моделируются стержневыми КЭ. Число степеней свободы
складки будет 6 п , где п — число узлов модели. Граничные
условия задаются введением в узлы связей по соответству-
ющим направлениям.

Уравнение равновесия складки имеет вид:

R^ = Q^	(О

где Zst — вектор перемещений узлов модели; R — мат-
рица жесткости складки; — вектор узловых сил от
приложенной к складке статической нагрузки qst и уси-
лия предварительного напряжения.

Алгоритм расчета шатровой складки методом после-
довательного уточнения жесткостей следующий. На пер-
вом шаге итерационного процесса матрица R формирует-
ся в предположении отсутствия трещин в каких-либо эле-
ментах складки. Стержневым и пластинчатым КЭ в каж-
дом направлении назначается приведенный модуль де-
формации бетона:

где i = (^,Г|) — направление

=Еь — >	(2)

i,red b д ’	V /

местной оси координат пластинчатого КЭ; Аг • =

= 24+04^ + а — приведенная площадь поперечного сечения КЭ в i-том направлении;
Д - — площадь поперечного сечения уложенной в i-том направлении ненапрягаемой армату-
ры на каждый погонный метр ширины грани или контурной балки; Л^ f — то же, напрягае-

Es	Esp

мои арматуры; а = —; а = —.

Еь	Еь

В результате упругого расчета определяются перемещения, а также усилия и напряже-

ния в элементах складки.

По найденным усилиям анализируется напряженное состояние и уровень трещинообра-
зования в элементах складки [2]. Далее корректируется матрица жесткости R. Для внецент-
ренно растянутых КЭ с однозначной эпюрой напряжений модуль деформации после образо-
вания трещин назначается из условия эквивалентности погонной осевой жесткости КЭ и
осевой жесткости арматуры, уложенной в каждом погонном метре КЭ:

£(2) _ Им + 4sp,J ,	(3)

1	V.

где = 1 - 0,35 —*— - коэффициент, учитывающий неравномерность напряжений в арматуре

растянутого элемента складки в сечении с трещиной и между трещинами; <5hij — максимальные
растягивающие напряжения в нормальном сечении КЭ; А - площадь поперечного сечения КЭ.

Модуль деформации внецентренно сжатых и внецентренно растянутых элементов с дву-
значной эпюрой напряжений после образования трещин определяется из условия эквива-
лентности изгибных жесткостей условно упругого элемента и железобетонного элемента в
стадии с трещинами:

п(2)

(4)

*red

где изгибная жесткость КЭ принимается с использованием формулы (160) [3], представ-

1 М

ленной в виде - = —.
г R.
| ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ^

Модуль деформации внецентренно сжатых КЭ с однозначной эпюрой напряжений
на каждом шаге итерационного процесса уточняется с использованием зависимости, ре-
комендованной ЕКБ-ФИП [4]. Далее повторяется упругий расчет с учетом вычисленных
жесткостей КЭ.

Условиями окончания процесса итераций являются: 1) для внецентренно растянутых и
внецентренно сжатых с двузначной эпюрой напряжений КЭ — отсутствие новых зон образо-
вания трещин; 2) для внецентренно сжатых с однозначной эпюрой напряжений КЭ — выпол-
нение неравенства:

"V^0’03’	(5)

где j - номер расчетного цикла.

Для примера был выполнен расчет шатровой складки пролетом 2x2 м, испытанной в
НИИЖБе [5]. Горизонтальная плита шатровой складки толщиной 13 мм ребристая, с кре-
стообразными ребрами 57x58 мм. Наклонные грани толщиной 13 мм с ребрами 20x29 мм.
Плиты заармированы сеткой 01,4 с шагом 22x22 мм. Контурные балки, опирающиеся по
углам складки на колонны, таврового сечения 32х250(Л) мм, ширина нижней полки 52 мм.
Арматура контурных балок 2012AII и 606B-I. В расчетной схеме горизонтальная плита,
наклонные грани и контурные балки смоделированы плоскими КЭ, причем поперечное се-
чение контурных балок моделируется КЭ разной толщины, соответствующей ширине стен-
ки и нижней полки контурной балки, а крестообразные ребра горизонтальной плиты и реб-
ра наклонных граней — стержневыми КЭ. Призменная прочность бетона складки Rb =
= 25 МПа, модуль деформации Еь = 23866 МПа. По всей поверхности складка была загру-
жена равномерно распределенной нагрузкой 40 кН/м2. В первом приближении складка рас-
сматривалась без трещин. Модуль деформации плоских КЭ определялся по формуле (2). В
результате расчета по полученным напряжениям и усилиям было определено, что в кресто-
образных ребрах горизонтальной плиты, в пролете горизонтальной плиты между ребрами,
в нижних зонах контурных балок и в нижних зонах наклонных граней в направлении оси
OY’ образовались трещины.

Этим элементам во втором приближении были назначены новые модули деформаций с
учетом образования трещин. Жесткость отдельных элементов складки снизилась вследствие
образования трещин в 4—10 раз. Повторный расчет и анализ НДС показал, что в элементах
шатровой складки произошло новое перераспределение усилий и появились новые зоны об-
разования трещин в горизонтальной плите и наклонных гранях в направлении оси OY’. Для
КЭ горизонтальной плиты, в которых образовались трещины, были назначены новые моду-
ли деформации. Расчет в третьем приближении показал, что новых зон образования трещин
нет. Процесс итераций закончился. Вертикальные перемещения точек шатровой складки по
сечениям 1—1 и 2—2 представлены на рис. 2.

Анализ полученных результатов показывает, что расчет методом последовательного
уточнения жесткостей довольно точно отражает деформированное состояний конструкции,
особенно в отношении вертикальных перемещений.

Таким образом, представленная выше методика позволяет выполнять расчет сложных
пространственных железобетонных конструкций по деформациям и трещиностойкости с
использованием расчетных комплексов, базирующихся на методе конечных элементов в уп-
ругой постановке.

Расчет на действие кратковременной динамической нагрузки производится по несущей
способности при допущении деформирования в пластической стадии. Обычно расчет в уп-
ругой стадии сводится к расчету системы с одной (заданием формы прогибов) или несколь-
кими (применением решений уравнений движения в рядах или способа дискретизации масс)
степенями свободы. В пластической стадии пластические деформации сосредотачиваются в
пластических шарнирах, и конструкция представляется в виде механизма.

Динамический расчет пространственных железобетонных конструкций в литературе
рассмотрен в недостаточной степени. Среди известных работа [6], в которой рассматривает-
ся расчет оболочек двоякой кривизны упруго-пластическим методом и расчет куполов жест-
ко-пластическим методом.
[динамические расчеты

Расчет шатра в упругой стадии выполняется как системы с одной степенью свободы с
использованием программы SCAD. Воздействия приняты в общем случае в виде распреде-
ленных по поверхности складки динамической нагрузки pf(t) и мгновенного импульса i, на-
правленных по нормали к поверхности.

Уравнение движения складки имеет вид:

MZ+RZ=Pf(t\	(6)

где Z — вектор перемещений узлов элементов от действия динамической нагрузки; М - мат-
рица масс; Р - вектор узловых сил от распределенной динамической нагрузки Р; f(t) - функ-
ция изменения во времени динамической нагрузки.

Матрица жесткости принимается равной матрице, полученной в последнем приближе-
нии при расчете на статическую нагрузку.

Начальные условия:

при t = О Z(0) = О, AZZ(O) = Z,	(7)

где I - вектор сосредоточенных в узлах значений мгновенного импульса.

Для решения уравнения (6) применим метод Бубнова—Галеркина с использованием ста-
тической формы перемещений, который нашел широкое применение для расчета различных
конструкций [7] при динамических нагрузках, распределение которых по поверхности кон-
струкции не меняется во времени. Вектор перемещений представлен в виде:

Z= Z0?M	(8)

где = R ~1Р— вектор статических перемещений, соответствующих вектору Р, Т (t) — фун-
кция динамичности для упругой стадии.

После подстановки (8)в(6)и умножения обеих частей уравнения на Z^ слева получим
обычное уравнение:

f+co2T=co2/(z),	(9)

?

где со



(10)

Формула (10) определяет круговую частоту колебаний складки, соответствующую при-
нятой форме перемещений.

Согласно (7) начальные условия будут:



(11)

Решение уравнения (9) имеет вид:

T(t) = coj /(x)sinco(z-T)cZT

о

Т(0) .

+------sin cot

со

(12)

/ \	1

Для нагрузки вида p\t) = р\ 1 - -
\ О

получим:

T(t)

t	sin coz	T(0) .

= 1 - - - cos coz + ——- +----sin coz

0	co0 co

(13)

Время Z1 конца упругой стадии определяется из условия достижения арматурой контур-
ной балки предела текучести и находится из уравнения:

nM+ Uf + 4),	(14)

где N6 — растягивающее усилие в бортовом элементе от действия нагрузки Р; N6 st — растя-
гивающее усилие в бортовом элементе от действия статической нагрузки.

Динамические перемещения и усилия в складке в любой момент времени определяются
Рис. 2. Прогибы шатровой складки по сечениям 1 — 1, 2—2

м,

d

NL

Z' j
d

lz
а
L

Рис. 3. Совмещенная схема
излома шатровой складки

п



путем умножения перемещений и усилий, полученных из статического расчета на нагрузку Р,
на величину функции динамичности в данный момент времени.

Отметим, что приведенная постановка расчета справедлива для широкого класса конст-
рукций и любых граничных условий, например, для ребристой шатровой складки, опираю-
щейся по углам на колонны.

Расчет шатровых складок в пластической стадии базируется на основных положениях
метода предельного равновесия. В пластической стадии расчетная схема шатровой складки
принимается совмещенной, объединяющей линии излома шатровой и местной схемы излома
горизонтальной плиты (рис. 3). Такая расчетная схема рассмотрена впервые.

Перемещение любой точки складки в пластической стадии при принятой схеме излома
однозначно определяется с помощью величин углов поворота горизонтальной плиты <Pj W и
наклонных граней <p2(z). Эти величины принимаются в качестве обобщенных координат, и
расчетная схема складки принимается в виде системы с двумя степенями свободы. Из этой
схемы можно получить частные схемы: шатровую при ф1 = 0 и местную при ф2 = 0. Время
£12 конца упругой стадии для частной шатровой схемы излома определяется из условия дос-
тижения арматурой контурной балки предела текучести.

Вертикальные перемещения точек наклонных граней в местной системе координат BX’Y’
складки равны:

w2 = ф2<

(15)

Горизонтальные перемещения точек наклонных граней равны:

v2 = ф2Х1£ОС .

Перемещения точек горизонтальной плиты в общей системе координат равны:

а ( 2х ]

вертикальные: wl = (p2d + — фЛ 1 — — ;

2	1	а )

(16)

(17)

горизонтальные: Vj(х,z) = (хпр + fQ—z —

Ф1-

(18)

Уравнения движения складки, определенные с использованием уравнения Лагранжа вто-
рого рода, имеют вид:
ф, + а$2 — а$)х + а2 = dxpf(t)

<p2+Z>i(pi+Z>2=J2p/(O	(I9)

Начальные условия движения:

ф,(0) = ф2(0) = О, ф](0)=ф10, ф2(0)=ф20.	(20)

Начальные скорости определяются из условия равенства кинетических энергий складки
в конце упругой и в начале пластической стадии. Решение уравнений имеет вид:

/ —\	—	_	। _ t ।dy ci-id'j ci-ibr. dr.

(Pi (f) = Ashyt + Bckyt - p 8 - - ------------;

( i2 t3]	-	- f2

(p2(D = d2p\ 8y- — \-b\Ashfi + Bch{t)-b2 — + Ct + D.	(21)

Максимального значения углы поворота ф1>тах = Tifei) и Ф2,тах = Фг^г) достигают в мо-
мент времени, когда ф1(?21)= 0 и ф2(^22)=0.

Расчет шатровых складок в пластической стадии необходимо вести с учетом геометри-
ческой нелинейности, заключающейся в уменьшении стрелы подъема шатра вследствие уд-
линения контурных балок и в провисании горизонтальной плиты шатровой складки.

Зная уравнения движения складки по совмещенной схеме излома, легко получить выра-
жения движения по частным схемам излома. При изломе только по шатровой схеме <рг = 0 .
Это условие реализуется в том случае, если излом по местной схеме горизонтальной плиты
невозможен при соответствующем ее армировании. При изломе только по местной схеме
<р2 = 0. Это условие реализуется для шатровых складок, работающих в составе многопролет-
ного, многорядного перекрытия или покрытия в среднем пролете или ряду, т.е. ограничен-
ных со всех четырех сторон аналогичными шатровыми складками. Местная схема излома
может реализоваться и при других граничных условиях складки в случае слабого армирова-
ния горизонтальной плиты.

Оценка несущей способности складки производится по по величине относительного уд-
линения арматуры контурных балок и по условиям для углов раскрытия трещин в пласти-
ческих шарнирах в горизонтальной плите.

Таким образом, использование современных программных комплексов, основанных на
МКЭ в упругой постановке, при использовании предлагаемых способов учета трещинообра-
зования и нелинейной работы сжатого бетона позволяет решать задачи статического и дина-
мического расчета пространственных железобетонных конструкций, обладающих значитель-
ной физической нелинейностью.

Литература

1.	SCAD для пользователя / В.С. Карпиловский, Э.З. Криксунов, А.В. Перельмутер, МА. Перельмутер, А.Н.
Трофимчук. — К.: ВВП «Компас», 2000. — 332 с.

2.	Адаменко А.И. Применение шатровых складок в зданиях при взрывных воздействиях: —Дисс... канд. техн,
наук. - М.:МГСУ, 2004. - 204 с.

3.	СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции/ Госстрой СССР—М.:ЦИТП Госстроя СССР,
1989. - 80 с.

4.	Кодекс-образец ЕКБ-ФИП для норм по железобетонным конструкциям.— М.: НИИЖБ, 1984.— 284 с.

5.	Авдейчиков Г.В. Несущая способность железобетонных шатровых перекрытий. Дисс... канд.техн. наук. - М.:
НИИЖБ, 1990. - 215 с.

6.	Попов Н.Н., Расторгуев Б. С. Расчет железобетонных конструкций на действие кратковременных нагрузок.—
М.: Стройиздат, 1964. —150 с.

7.	Попов Н.Н., Расторгуев Б.С., Забегаев А.В. Расчет конструкций на динамические специальные нагрузки.—
М.: Высшая школа, 1992.—319 с.: ил.

© Б.С. Расторгуев, А.И. Адаменко
О.А. Егорычев, д-р техн, наук, проф., О.О. Егорычев, канд. техн, наук, проф.

(МГСУ)

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ПЛАСТИН НА ОСНОВЕ
РАЗЛИЧНЫХ ПРИБЛИЖЕННЫХ ТЕОРИЙ

При исследовании колебаний пластин задача определения перемещений сводится к ре-
шению интегро-дифференциальных уравнений гиперболического типа четвертого или более
высокого порядка по производным от искомых функций.

В данной работе излагаются математические приближенные методы решения задач ко-
лебаний прямоугольных в плане пластин, края которых произвольно закреплены или сво-
бодны от напряжений.

1. Собственные колебания прямоугольных пластин
при двух шарнирно опертых краях

Рассмотрим данную задачу при использовании общего уравнения поперечных колеба-
ний пластин, строго выведенного на основе математического подхода [1]. Для простоты, ма-
териал пластинки будем считать однородным и упругим.

Сформулированная задача сводится к решению уравнения:

X X kw- a]2 DQm+ [х« + д] У"+т) + 4Д D Qn Ут) }w(x, у, г)х

п=0 т=0

^2(п+т+1')	(1.1)

X 7-----Г7---Г = °>

(2и + 1)!(2т)!

где У1' =

±^-Д ;

„2 л ,2	’

a dt

1 а2

b2 dt2

-д ; е„=ХМл””1)Ми); 2о=°; а=1;

т-0

^’ =

£>=	1	; А = -^у

2(1-v) дх

а2

Э/’

а, b - соответственно скорость продольной и поперечной волны; 2h - толщина пластинки;
v - коэффициент Пуассона.

Общее уравнение колебаний пластин (1.1) содержит производные бесконечно высокого
порядка по координатам и времени, поэтому их нельзя напрямую использовать при решении
конкретных задач. Отсюда возникает необходимость ограничить количество членов ряда, а
значит решить вопрос об интервале сходимости двойного ряда [2].

Приближенное уравнение колебаний пластин, полученное из уравнения (1.1) при п =
= т = 0, запишем в виде:

л d4W л .d2W л d2W _п

Ап —-л— Ai А —-—ь А2 A W ч-— — 0,

° dt4 1 dt2 2 dt2

(1-2)

,	/z2(7-8v)	л 2h2(2—v)	л 2h2b2

где Ао = —; А. = —; А2 = х.
12£>2(1-v)	3(1-v)	3(1-v)

Если пластина шарнирно оперта по контуру, то задача имеет точное аналитическое реше-
ние и частотное уравнение имеет вид:

Ло|т Vл2 Y+1k2 +А2 л4 у2 =0,
п п

(1-3)
Рассмотрим задачу колебаний пластины, когда два противоположных края шарнирно
оперты, а два других имеют различные виды закрепления.

Пусть пластина шарнирно оперта при у = 0; у = 12, т.е.

Решение уравнения (1.2) запишем в виде:

Wk	(1-4)

\ К ) к=1	h

Тогда для Wk (х) получаем уравнение:

d4Wk
d х4

d2W

+ ^—^ + ^=0,
dx

(1.5)

Общее решение уравнения (1.5) будем искать в виде:



cos(axx) cos (ос 2 х)
ocf ос"

cos(axx)

cos (ос2х)
«2

sin (осхх) sin (ос2х)
af ос™

8ш(ахх) sin (a2х)
ocf + ос™

(1.6)

где С- - произвольные постоянные интегрирования; п,т - целые числа, которые выбираются
из вида граничных условий на краях х = 0; х = Z; ос- - корни характеристического уравнения

а4 +В0 а2 + В} =0.	(1.7)

Пусть края х = 0,жестко закреплены. Тогда из граничных условий

целые числа п, т удобнее положить равными п = 0, т = 1, при этом = С3 = 0.

Откуда получаем частотное трансцендентное уравнение:

ос2 + ос2

2----------- sin(a1 Zj sin(oc2 Z2)-2cos(oc1 Z,) cos(oc2 Z2) = 0.	(1.8)

axa2

Разлагая тригонометрические функции в степенные ряды, вместо (1.8) получаем:

(1.9)

где Z = —.
h

Корень 0^ 0, а корень ос2 приводит к частотному уравнению:

(7-8v)^4 -8

a

(2-v) у+ —(1-v)

V + 8у2 =0,

(1.10)

( nkh^

где у= —— .

\ 2 )

Так как ряды в уравнении (1.8) абсолютно сходящиеся, то при исследовании (1.9) мож-
но ограничиться конечным числом первых слагаемых.
Заметим, что корни трансцендентного уравнения (1.8) лежат между двумя корнями или
частотами, полученными в случае шарнирного опирания по всем четырем краям.

Примечание. Если материал пластинки вязкоупругий или она сложна по своей структу-
ре, т.е.кусочно однородна, анизотропна и т.д., то задачи решаются аналогично.

2.	Приближенный метод декомпозиций
в теории колебаний прямоугольной пластины

Если все четыре края произвольно закреплены, то получить трансцендентное частотное
уравнение не представляется возможным, тем более невозможно получить точное аналити-
ческое решение.

Для решения задач данного типа можно успешно применить приближенный метод полу-
чения частотных уравнений на основе метода декомпозиций, развитого в работах [3, 4] для
задач статики и обобщенного нами для задач колебаний [4].

Суть метода декомпозиций заключается в следующем.

Запишем уравнение (1.2) в виде

о	Э2	Э4ш d2W

A2W-Do-rAW + D1^- + D2^- = 0	(2.1)

dt	dt dt

и поперечное перемещение W будем искать в виде:

( h А

W = exp i— I W()(x, у)

I h I

Для Wq получаем уравнение:

A2Wo+Dop^ Л^о+Рг)
[ h	\ h ]

Введем новые независимые:

Wo=O.

Q	TT7	TT	Д

a = -x ;P = -y; Wo =	Vjt], = -X л2= “T

l2	71	l2	7th

В новых координатах уравнение (2.3) примет вид:

f з4 „ 2 э4 4 з4 U2 2f a2

[da д*2эр2 ap4	la%2

1 эр2

4„2Г7-8уе2 3(1-v)11 T7 .

+ t<2^ —tv = 0-

o	2 JJ

(2.2)

(2-3)

(2-4)

(2-5)



Для апробации приближенного метода выведем уравнение частот собственных колеба-
ний пластинки, шарнирно опертой по контуру (полученное в п. 1), и сравним полученные
результаты.

В соответствии с методом декомпозиций сформулируем три вспомогательные задачи:

Э4У z	d2V

1.	—У = Л(а,р); Vt=—-A = q, приа = 0,л.
За	За

(2-6)

~\ 4 тт	2тг

2-	П?^^ = А(а,Р); У2=Ч^Г = 0’ прир = 0,л.	(2.7)

ар	ар

о 4 э4у2 4t2 Л д2 2 а2

3.	W а 2.02 +(2~v) T~T+r>i АЗТ

За ар	13а Зр

К =

=-л-л-

+ л4^2

7-8уе2 3(1-

8	2

(2-8)
Будем приближенно полагать в заданных точках пла-
стины

V1SV2; V3=1(V1+V2).	(2.9)

Здесь/’, (а,р) — произвольные функции, имеющие вид:

fi («, Р) = У У sin (п, a) sin (т, 0), (2. ю)

п=1 т=1

где а^т — произвольные постоянные, i = 1,2.

Общее решение вспомогательных задач будем искать в виде:

оо оо	(1)	3	2

У1(«.Й=££ sin(na)sin(mP) + ^Y1(p)+^-v2(P)+aV3(P)+Y4(P);	(2.11)

п=1 т=1 И	О	2

00 00 а	В3	В2

V2(a,P)=XX sin(na)sin(mp)+^-(p1(a)+5-<p2(a)+p<p3(a)+v4(a)-
Т1Г "г	6	2

Используя граничные условия (2.6) и (2.7), находим, что все фу, равны нулю. Тогда,
используя соотношения (2.11), а также (2.8) и (2.9), получаем систему алгебраических урав-
□ к

нении, нетривиальное решение которой, при условии что ос = р = —, приводит к частотному
уравнению (1.3). Таким образом, приближенный метод декомпозиций для данной задачи при-
водит к такому же результату, что и прямой аналитический метод.

Рассмотрим решение задачи, изложенной в п. 1, т.е. два края пластинки при у = 0 и у = Z2
шарнирно оперты, а два других при х = 0 и х = Z1 жестко закреплены. В этом случае частотное
п л

уравнение при условии, что ос = р = — имеет вид:

(2-12)

Сравним расчет уравнений (1.10) и (2.12) для одной и той же пластинки при
Т|1 =0,1 , V = 0,2, Т|2 =0,05. Получим график сравнения частот в зависимости от толщины
пластинки, изображенный на рисунке ((1.10) — сплошная линия, (2.12) — пунктирная ли-
ния), из которого видно, что значения частот в заданных точках близки, но все-таки значения
частот, полученных аналитическим методом, несколько выше, чем частоты, определяемые
методом декомпозиций.

Литература

1.	Филиппов И.Г., Чебан В.Г. Математическая теория колебаний упругих и вязкоупругих пластин и стержней. —
Кишинев: Штиинца, 1988. — 190 с.

2.	Егорычев О.О., Егорычев О.А., Филиппов С.И. Область применимости усеченных уравнений колебаний
пластин. Доклады VI Российско-польского семинара «Теоретические основы строительства^. — Варшава,
1997.-41-44 с.

3.	Пшеничное Г.И. Метод декомпозиций решения уравнений и краевых задач. — М.: ДАИСССР, 1985. Т. 282.
№ 4. - С. 792-794.

4.	Егорычев О.О., Филиппов И.Г. Численный метод декомпозиций в исследовании колебаний пластин. Док. III
Российско-польского семинара «Теоретические основы строительства». -М., 1994. — С. 89—93.

© О. А. Егорычев, О.О. Егорычев
А.Б. Золотов, д-р техн, наук, проф., П.А. Акимов канд. техн, наук
(МГСУ)

О ЗАДАЧАХ РАСЧЕТА КОНСТРУКЦИЙ
С ПОСТОЯННЫМИ ФИЗИКО-ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ
ХАРАКТЕРИСТИКАМИ ПО ОДНОМУ ИЗ НАПРАВЛЕНИЙ
В АНАЛИТИЧЕСКИХ И ДИСКРЕТНО-КОНТИНУАЛЬНЫХ ФОРМАХ

1.	Дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций. Достигну-
тый в начале XXI века уровень мощности ЭВМ и современный инструментарий аналитичес-
ких математических средств в сочетании с разнообразием математических моделей позволи-
ли по-новому взглянуть на появившуюся несколько десятилетий назад идею создания так
называемых численно-аналитических или, следуя терминологии О. Зенкевича, полуанали-
тических методов расчета строительных конструкций [1]. Преимущества сочетания каче-
ственных свойств замкнутых решений и общности численных методов отмечались многими
исследователями, но большинство разработок прежнего времени были либо не реализуемы-
ми практически из-за отсутствия, по крайней мере, одного из перечисленных факторов, либо,
в той или иной мере, не учитывалась сложная вычислительная специфика соответствующих
задач и необходимость компьютерной реализации.

Разработанные авторами дискретно-континуальные методы расчета строительных кон-
струкций (дискретно-континуальный метод конечных элементов (ДКМКЭ) [2], дискретно-
континуальный метод граничных элементов (ДКМГЭ) [3], дискретно-континуальный вари-
ационно-разностный метод (ДКВРМ) [4]) относятся к классу полуаналитических методов.
Областью их применения являются конструкции, здания и сооружения, в которых имеется
постоянство физико-геометрических характеристик по одному из координатных направле-
ний при произвольно меняющихся внешних нагрузках и любом характере закреплений. При-
мерами таких объектов являются балки, балки-стенки, тонкостенные стержни, полосы, лен-
точные фундаменты, плиты, пластины, оболочки, высотные и протяженные здания, трубо-
проводы, плотины, рельсы, резервуары и другие. Методы являются дискретно-континуаль-
ными в том смысле, что по выделяемому направлению постоянства характеристик (основное
направление) сохраняется континуальный характер задачи и, соответственно, аналитичес-
кий вид получаемого решения, в то время как по остальным производится дискретизация
того или иного рода.

Дискретно-континуальные методы позволяют получать решения в аналитической фор-
ме, способствующей улучшению качества исследования рассматриваемых объектов. Найден-
ная с их помощью картина напряженно-деформированного состояния (НДС) развивает ин-
туицию расчетчика и понимание работы конструкций, характера влияния на них различных
локальных и глобальных факторов. Дискретно-континуальные подходы особенно эффектив-
ны в зонах так называемого краевого эффекта, там, где часть составляющих решения пред-
ставляет собой быстроизменяющиеся функции, характер изменения которых не всегда мо-
жет быть адекватно учтен традиционными численными методами. Кроме того, при числен-
ном решении сложных задач строительной механики предварительное аналитическое изуче-
ние отдельных локальных свойств проблемы может оказать значительную помощь. Сравне-
ние с аналитическими решениями сложной задачи в более простых и частных случаях позво-
ляет дать оценку принятой расчетной схемы конструкции, используемого метода, алгоритма
и полученного решения, в частности, его точности.

2.	Примеры континуальных постановок: задачи теории упругости. Вторая краевая за-
дача теории упругости записывается в виде [1]:

N	_	N	_

Lu= Z Э 7(Т z7 = -Fif xeQ; Ти- I V	z7 = -fif х е д&, i = 1, ..., N, (1)

7=1	7=1
где Q — область, занимаемая конструкцией; L — дифференциальный оператор условий внут-
ри Q; Г — оператор дифференциальных условий на границе области 3Q;x = fx7 ...	—

вектор координат точки; й = [и1 ... uN]r — вектор составляющих перемещений;
F =[Fj ... Fn]t ,f = [f1 ... fN}T — векторы составляющих нагрузок внутри Q и на 0Q соот-
ветственно; о — вектор компонент напряжений; п =[nj ... nN]T — вектор составляющих
внутренней нормали к поверхности; 0Z- = Э / 0xz-, i = 1,..., N.

Операторная постановка задачи после выделения основного направления (переменная
XN) может быть представлена в виде:

U'

LU +Лгде U =

О Е

L^L L'L

ГУ UU VV UV

(2)

где S =[5у ... SN]T\ Sj =QFj +6 rfft у = [y7 ... vN]T =dNu =u', v' = dNv;	(3)

Luv = Luv -L*v; 0(x) = 1, при	= при x ё Q; 6Г = 00/0Й;	(4)

0(х),6г — характеристическая функция области Q и дельта-функция ее границы [1];
Е — единичная матрица; индекс «*» обозначает сопряжение.

Для трехмерного случая ( N = 3 ) имеем:

о о

ц О

О X + 2ц

И
о

о

Lvv ~

(5)

2

Luu ~ 9уЦ0у

01

0 + Э1Ц02

1 о

Э2ЦЭ1
02^2
о

01Х02

02X02

о

(6)

1

О

О

О
1

О

о

о

о

где X, ц — постоянные Ламе; X = 9Х; ц = 0ц; 0* = -0/0xz, i = 1,..., N.

В двумерном случае (N = 2) операторы определяются формулами:

о

о j

ц 0

0 Х + 2ц

Х + 2р 0

0 р

д • L

Ul’ UV

LUV Luv

(7)



где X, ц — соответствующие параметры материала [1]; X = ОХ; ц = 0ц.

Вариационная постановка задачи записывается следующим образом:

ф(й) = 0,5 • (L и, U) - (S, U) = 0,5 • [(LvvV, у ) + 2(ZMVу, й) + {Luu й, й)] - (5, й),	(8)

где L =

LUu

L*
F'uv

LUv

LVv

LUu

Lyu

Т-'ум — Luv Luv ; (J —3n U.

(9)

LUv о _

J L»]

Решением данной задачи является точка (функция) условного экстремума функциона-
ла (8) с условием (3), связывающим вектор-функции й и у.

3.	Некоторые спектральные свойства определяющих операторов. Определяющий опе-
ратор (2), как для двумерной задачи теории упругости, так и для трехмерной, имеет важные
особенности качественного характера.
Спектр оператора (2) состоит, главным образом, из простых собственных значений раз-
ных знаков, которым соответствуют собственные функции, при этом в континуальном виде
спектр неограничен сверху и поэтому при аппроксимации оператору соответствует жесткая
система дифференциальных уравнений. Под понятием «жесткая система» понимается нали-
чие большого соотношения максимального и минимального из модулей ненулевых собствен-
ных значений соответствующей матрицы коэффициентов.

Кроме простых собственных значений в спектре присутствуют и кратные, которым соот-
ветствуют Жордановы цепочки, т.е. совокупность собственных и присоединенных функций.
При дискретизации, таким образом, в Жордановой форме матрицы коэффициентов системы
возникают жордановы клетки неединичного порядка и отвечающие им собственные и присо-
единенные (корневые) вектора. В [1] для двумерного случая показано, что у оператора (2)
есть только две цепочки собственных и присоединенных функций более чем единичной дли-
ны, причем они соответствуют нулевому собственному значению оператора (2) и имеют дли-
ны два и четыре соответственно. Вектора первой цепочки длиной четыре представимы в виде

, где w.(Z) = £ С/ ,х/; v,(i) = ’s С/}1*/, i =0,1, 2, 3.	(10)

j=0	j=0

Аналогично для векторов второй цепочки длины два имеем:

, где й^ = I Ci .х'; vf> = 'z г =0,1.	(И)

j=0	j=0 ,J

Здесь С/5 = [ СЦд СЦ2 ]г, 5 = 0,1; г = 0,1,2,3;	(12)

C2S = [ ^2 5 1	5 217’5 = 0’1'’ z = ОД - некоторые коэффициенты [1].	(13)

В трехмерных задачах теории упругости, как позволяет заключить опыт многочислен-
ных практических расчетов, у оператора (2) есть только четыре цепочки собственных и при-
соединенных функций более чем единичной длины, причем они опять соответствуют нуле-
вому собственному значению оператора (2) и две из них имеют длину два и две длину четыре.

В действительности построение присоединенных функций сводится к решению специ-
альных вспомогательных краевых задач. В трехмерном случае в роли последней выступает
двумерная задача Неймана для оператора Лапласа, в двумерном случае — одномерная задача
Неймана для оператора Лапласа. Постановка и решение вспомогательных краевых задач для
плоской задачи теории упругости представлены в [1], для пространственной задачи теории
упругости соответствующие постановки приведены статьях А.Г. Костюченко, М.Б. Оразова
[5], А.А. Шкаликова, А.В. Шкреда [6], где решалась близкая задача о спектральных свойствах
квадратичного операторного пучка.

Полученные результаты имеют наглядную и достаточно ясную механическую трактовку.
Вместе с тем об этой качественной стороне проблемы, возникающей, например, при расчете
трехмерного бруса произвольного сечения, как оказывается, известно относительно мало.
Выделенные подпространства собственных и присоединенных функций основаны на соб-
ственных функциях, соответствующих жестким смещениям, причем последние рассматри-
ваются как функции, зависящие только от координат, отвечающих неосновным направлени-
ям. Выявленная качественная сторона проблемы требует учета ряда важных вопросов при
численной реализации.

4.	Дискретно-континуальная постановка. Многоточечная краевая задача. Для поста-
новки и решения краевой задачи исходная область «поперечного» (по отношению к основно-
Пример схемы дискретизации конструкции в рамках ДКМКЭ

му направлению) сечения окаймляется расширенной со, имеющей произвольную форму в
том числе стандартную. На стандартной области задается сетка, топологически эквивалент-
ная прямоугольной и наилучшим образом соответствующая очертаниям поперечного сече-
ния конструкции. Это позволяет использовать регулярную нумерацию узлов, приводящую к
удобным математическим формулам, эффективным вычислительным схемам и алгоритмам,
упрощает сбор исходной информации и вывод результатов [1]. Далее, при использовании
ДКМКЭ или ДКВРМ для постановки и решения задачи принимается дискретно-контину-
альная модель следующего типа: по неосновным («поперечным») направлениям конструк-
ции производится сеточная аппроксимация, а в основном («продольном») направлении за-
дача остается континуальной (рисунок). Область со разбивается, таким образом, на дискрет-
но-континуальные элементы.

После формирования дискретно-континуальных аналогов соответствующих континуаль-
ных операторов [1] дискретно-континуальные методы расчета строительных конструкций, зда-
ний и сооружений сводятся в своем промежуточном итоге к решению многоточечных краевых
задач строительной механики для систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Под многоточечной краевой задачей понимается задача с «внутренними» граничными
условиями, т.е. совокупность обычных краевых задач, рассматриваемых на областях, имею-
щих общие границы:

_	_	- пк~^

y'-Ay=f, хе U (xk,xk+i);	(14)

к=1

ВкУ(хк-®) + вкУ(хк+Ъ) = 8к’ к = \,...,пк,	(15)

где у = у (х)-\У1(х) У2(х) ••• Уп(хЛ ~ искомая ?7-мерная вектор-функция;
f = f(x) = [fi(x)f2(x)...fn(x)]T — zz-мерная вектор-функция правых частей; xk, k-l,...,nk
— координаты граничных точек; А — матрица коэффициентов, квадратная zz-ro порядка;
В к, В — матрицы граничных условий, квадратные zz-ro порядка; — zz-мерный вектор
правых частей граничных условий.

5.	Специфические особенности многоточечных краевых задач при реализациях диск-
ретно-континуальных методов и пути их преодоления. В ходе разработки и исследования
дискретно-континуальных методов расчета строительных конструкций выполнялись теоре-
тические и практические изыскания в области анализа и аналитического решения получае-
мых многоточечных краевых задач. Выявлены их следующие специфические особенности:
система дифференциальных уравнений является жесткой, что обусловлено характерным яв-
лением краевого эффекта (эффектом малого параметра); матрица коэффициентов системы
имеет собственные значения разных знаков; в ее жордановом разложении имеются жордано-
вы клетки неединичного порядка; при практических расчетах количество дифференциаль-
ных уравнений в системе может быть большим, достигая нескольких тысяч.

Сами по себе перечисленные факторы, и тем более их неучет, предопределяют значи-
тельные трудности при практической реализации как аналитических, так и численных мето-
дов, выявляя порой недееспособность большинства из них. Так, например, метод начальных
параметров практически неприменим к изучаемым задачам, а методы прогонки не являются
аналитическими. Авторами предложен метод, позволяющий получить решение в удобной,
реализуемой на ЭВМ аналитической форме (с использованием обобщенных функций), учи-
тывающей сложности, отмеченные выше.

Перепишем (14)—(15) с использованием обобщенных функций:

Y' = AY +F, хе (-qo;+qo), где F = f + Z 6 (х-х^)Д^;	(16)

к=\

BkY(xk-Q) + B+kY(xk+Q) = gk, к = 1,....пк,	(17)

где 6(х) — дельта-функция; Y — обобщенная вектор-функция неизвестных;

=у(^к + ®)~У(хк ~0) ~ вектор разрывов вектор-функцииу(х) в точке

Жорданово разложение матрицы А имеет вид:

Л = Т7Г-1,	(18)

Т— невырожденная матрица, столбцами которой являются собственные и корневые векторы
матрицы A; J — матрица Жордана; J — жорданова клетка, соответствующая собственному
значению	dimJp = mp.

Наличие жордановых клеток неединичного порядка требует вычисления корневых век-
торов. В [7] доказывается, что в общем случае не может существовать ни одного численно
устойчивого способа вычисления жордановых канонических форм. Однако в задачах расче-
та конструкций, как установлено в ходе проведенных исследований, количество и размерно-
сти жордановых клеток неединичного порядка не меняются при сгущении сетки дискретно-
континуальных элементов, они соответствуют нулевым собственным значениям. Непосред-
ственное построение Жордановых цепочек собственных и присоединенных векторов, хоть и
является решаемым на основе полученных для континуального оператора соотношений, тем
не менее, на дискретном уровне относительно трудоемко и не всегда оправдано. Вряд ли мо-
жет быть рекомендовано и возможное в данном случае возмущение матрицы коэффициен-
тов системы. В силу жесткости системы здесь особенно рискован выбор параметров возму-
щения. В этой связи авторами, наряду с первыми двумя подходами, предлагается третий, ос-
нованный на построении прямого решения системы на подпространстве, соответствующем
нулевым собственным значениям, с использованием нильпотентности жордановых клеток.
Этот подход не предусматривает детального разбора и исследования характера присоеди-
ненных векторов, хотя, как отмечалось ранее, о них все известно и это сам по себе важный и
интересный качественный факт. Третий путь более прост и с той точки зрения, что не требу-
ется решать вспомогательных краевых задач (см. п. 3), оставаясь при этом в классе численно-
устойчивых дискретно-континуальных методов. Авторами предлагается так называемое час-
тичное жорданово разложение, основанное на применении правых и левых собственных век-
торов матрицы А, представимой в виде:

А = А1+А2, где At= А2 = А-Ар,	(19)

Т\ и Т\, — соответственно матрицы, содержащие правые и левые собственные векторы, соот-
ветствующие ненулевым собственным значениям матрицы А, расположенные по столбцам и
строкам; — диагональная жорданова матрица, отвечающая ненулевым собственным значе-
ниям; А2 — часть матрицы А, соответствующая кратным и простым нулевых собственным
значениям.
Пусть и — число различных собственных значений. Проведем такую сортировку
кр—\, ... и (и преобразование I\, что будет выполняться:

У^р> р = 1,...,1 Зтр=1	и	R если i = j

q . ргде l~ 1,тр; \j ={	.	..	(20)

уКр, р = 1 + 1,...,и Зтр>1	р=1 р [О, если i^j

Пусть Рг и Р2 — матрицы проектирования на подпространства левых и правых собствен-
ных и корневых векторов для ненулевых и нулевых собственных значений соответственно.
Их можно определить следующим образом:

Pt = Щ Гр Tj)-! Гр Р2 =£-/>!.	(21)

Построение фундаментальной матрицы-функции системы уравнений после сортировок
и биортогонализации собственных векторов и значений ведем в удобном для решения задач
расчета конструкций виде (именно здесь учитывается характерное явление краевого эффек-
та, наличие собственных значений разных знаков у матрицы коэффициентов и устраняются
соответствующие вычислительные трудности):

~	~	г mmax 1 х^

е(х) = Гje0(x)Т1 +х(х,0) [Р2 + Т	— А^ ],

к=1 к\

(22)

*0

где х(хХр) = <

sign(x)G(- Re(^)x),
0,5-sign(x), kp=0;

(23)

е0(х) = diag {%(х, exp(2i1, х),..., /(х, Xz) exp(Xz, х)}; ттах = max .	(24)

l<i<u

Отметим, что сумма, стоящая в правой части (22), содержит не более трех членов и соот-
ветствует «балочной» части решения системы.

Общее решение задачи (16)—(17) выражается формулой:

Y = е*F = £*f + Z £(x-x^)Ck,
k=i

(25)

где	= А у к — векторы коэффициентов; * — символ операции свертки.

Определение постоянных коэффициентов в общем решении из граничных условий (17)
производится методами, описанными в [1].

Литература

1.	Золотов А.Б., Акимов ПА. Некоторые аналитико-численные методы решения краевых задач строительной
механики: Монография — М.: Издательство АСВ, 2004. — 200 с.

2.	Сидоров В.Н., Золотов А.Б., Акимов П.А., Мозгалева М.Л. Дискретно-континуальный метод конечных эле-
ментов для расчета строительных конструкций, зданий, сооружений // Известия вузов. Строительство, 2004.
№10. С. 8-14.

3.	Золотов А.Б., Акимов П.А. Прямой дискретно-континуальный метод граничных элементов для определе-
ния напряженно-деформированного состояния трехмерных конструкций // НТТ — наука и техника транспор-
та, 2004. № 3. С. 70-77.

4.	Акимов П.А., Золотов А.Б. Численно-аналитические методы расчета строительных конструкций: перспек-
тивы развития и сопоставления // САПР и графика, 2005/ №1. С. 78—82.

5.	Костюченко А.Г., Оразов М.Б. Задача о колебаниях упругого полуцилиндра и связанные с ней самосопря-
женные квадратичные пучки // Труды семинара им. И.Г. Петровского. Т. 6. — М.: Издательство МГУ, 1981. С.
97-146.

6.	Шкаликов А.А., Шкред А.Б. Задача об установившихся колебаниях трансверсально-изотропного полуци-
линдра // Математический сборник, 1991. Т. 182. № 3. С. 1222—1246.

7.	Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. — М.: Мир, 1989. — 655 с.

© АБ. Золотов, П.А. Акимов
М.В. Белов, инж, А.Н. Раевский, д-р техн, наук, проф.

(ПГУАС, Пенза)

ИДЕЯ МЕТОДА ПРЕДЕЛЬНОГО РАВНОВЕСИЯ В КОНЕЧНО-ЭЛЕМЕНТНОЙ
ПОСТАНОВКЕ ЗАДАЧИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЛИНЕЙНОГО
ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Появление современной компьютерной техники и высокопроизводительных про-
граммных средств отразилось не только на видоизменении алгоритмов классических мето-
дов строительной механики, но и на формировании новых идей и методов. Для решения
задач на ПЭВМ потребовалось создание эффективных методов дискретизации расчетных
схем, сводящих исходную задачу к системе алгебраических уравнений. Одним из таких
методов, получивших большую популярность, является метод конечных элементов (МКЭ)
[6—8, 12]. Этот метод часто используют в различных расчетных комплексах, основываясь
на таких классических методах строительной механики как метод сил, перемещений или
смешанный метод для упругого расчета. Но расчет конструкций в упругом состоянии не
дает сведений о несущей способности конструкций, то есть о тех наибольших нагрузках,
при которых конструкция разрушается, и характере механизма разрушения, так как разру-
шение большинства строительных конструкций связано с появлением пластических дефор-
маций. Учесть пластические свойства материала конструкций [2—4, 9, 10, 12—15] можно,
используя метод предельного равновесия [2, 10, 12, 14], применяя методы математического
программирования [5], [11].

В данной статье описывается алгоритм расчета конструкций с учетом пластических
свойств материала, основанный на статической теореме метода предельного равновесия, ре-
ализованный на базе метода конечных элементов (МКЭ) с применением линейного програм-
мирования.

Сущность способа состоит в расчленении конструкции на простейшие элементы и узлы,
составлении уравнений равновесия для них в матричной форме и объединении их в виде
матрицы равновесия, формировании ограничений в виде условий прочности для элементов
системы и определении функции цели как предельно допустимой нагрузки. Тем самым полу-
чаем задачу линейного программирования, которую можно решить симплекс-методом
[5,10,11,14] (лат. simplex — простой) [3]. Симплекс-метод решения задачи линейного про-
граммирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значе-
ние целевой функции возрастают.

Условия прочности в опасных сечениях рамы принимают в виде

Si<{Sjnp=S°J)(j=i,2^,...,nOK),	(1)

где S°j - предельные значения усилий в опасных сечениях, определенные с использованием
геометрических параметров сечения и расчетного сопротивления арматуры Rs и бетона Rb
или предела текучести Ry = <зт — для металла.

Стержневая система делится на отдельные стержни (конечные элементы) с различными
условиями закрепления их концов, соединенных между собой в узлах, а за узлы принимается
шарнирное или жесткое их соединение и опорные сечения. В дальнейшем рассматриваются
условия равновесия и формируется статическая матрица [А], выражающая внешние силы F-
через искомые усилия S-.

[A]S = F.	(2)

Выражая внешнюю нагрузку через один искомый параметр

= PiF,	(3)

получаем

[A]S-pF = 0-	(4)

Функция цели имеет следующий вид:

F —> шах.	(5)
Это и есть математическая модель задачи предельного равновесия в статической форму-
лировке, которая представляет собой задачу выпуклого математического программирования.
Эта модель соответствует статической теореме А.А. Гвоздева [1], сформулированной в 1936
году: «Предельная нагрузка является наибольшей из всех нагрузок, при которых удовлетво-
ряются еще условия равновесия системы и предельные условия в любом (опасном) сечении».

Проведя расчет получаем значение предельной нагрузки Fnp и значения внутренних уси-
лий в узлах системы в момент предшествующий разрушению конструкции, а также опреде-
ляем места образования пластических шарниров и характер деформаций системы, т. е. полу-
чаем схему разрушения конструкции.

Остановимся на построении матрицы уравнений равновесия [А]. Она строится от-
дельно, последовательно по строкам в соответствии с порядком вырезания узлов. В гло-
бальной системе координат составляются уравнения равновесия узлов и элементов в
форме матриц [а], которые формируют матрицу равновесия всей конструкции [А].

Матрицы [«] строятся в системе координат, связанной с узлом. Для построения матрицы
[А] для всей системы необходимо использовать общую, или глобальную, систему координат.

Рассмотрим стержень в локальной системе координат. Начало стержня обозначим бук-
вой «н», а конец — «к». При узловой нагрузке продольная и поперечная силы одинаковы по
длине стержня и поперечная сила может быть найдена по формуле Q = ~(Мн +Мк)И , если
считать, что внутренний момент и поперечная сила вращают стержень относительно проти-
воположного его конца по часовой стрелке (рис. 1), а узел, следовательно, под действием
положительного момента вращается против часовой стрелки.

Внутренние силы в одном стержне будем характеризовать вектором s

1 = [NMHMK]T.	(6)

Вектор S всей системы состоит из множества векторов s отдельных элементов, уравне-
ние (7)

_.	—*7’ -*7’ ->7’

S =[£1 £2...£и]Г,	(7)

где п — количество стержней системы.

Наиболее наглядно рассмотрим формирование матрицы [А] на примере расчета П-об-
разной рамы (рис. 2).

Исходные данные для расчета из условия, что все стержни имеют одинаковые физичес-
кие и геометрические характеристики:

Сечения стержней: А = 4,25 см2;

Расчетное сопротивление: <зт = 240 МПа;

Момент сопротивления: WnjI = 42,524 см3.
в)

F2=2F

Q,2=-(M,+M)/4\

м |лг«

Q,=-(M3+Mj/3

М-

м,

F]=5F

Qu=-(M,+MJ/3

Q™=-(M7+M)/4

Q,t=-(M5+M)/3

Рис. 2

Предельно допустимые моменты и продольные силы для стержней рамы (рис. 2, а) опре-
деляем по формулам:

Мпр = Mf_j = <УТ Wju, и Nnp = N°_j = (FA, где i = 1,3, 5,7 и/ = 2,4, 6, 8.

Откуда и получаем:

М°_2 = М°_4 = М5°_6 = М7°_8 = 42,5 кН м, N°_2 = N°_4 = N°_6 =	= 102 кН.

Матрицы [«] формируются построчно из уравнений равновесия узлов (рис. 2, в):

ХМ=0;ХХ=0;ХУ=0.	(8)

А матрица [А] - также поэтапно из матриц [«] в зависимости от количества узлов системы.

Сформируем матрицу [А] и вектор F для данного примера (табл. 1). В столбцах табли-
цы расположены коэффициенты перед искомыми усилиямиMiiN, матрица [А]. В последнем
столбце — коэффициенты, выражающие внешнюю нагрузку через один параметр F, вектор F .
Построчно таблица формируется из уравнений равновесия узлов (рис. 2, в).

Решение этой задачи получаем на ПЭВМ по программе «StroiMAX», разработанной ав-
торами статьи на базе симплекс-метода (рис. 3).

В результате получаем значения предельной силы при исходном распределении Упр =
= 11,087 кН и значения усилий в момент перед разрушением конструкции, в период образо-
вания пластических шарниров:

Мх =-42,5 кН-м = М",
М2 = 38,804 кН-м,
Д\_2 =-27,101 кН,
М3 =-38,804 кН м,
М4=-42,5 кНм = М4°,
W3_4=-21,25 кН,

М5 =42,5 кН-м = М5°,
М6 =42,5 кНм = М6°,
^_6 =-21,25 кН,

М7 =-42,5 кНм = М7°

М8 =-42,5кНм = М7°
ДГ7_8 =-28,333 кН,

На рис. 4, а показана эпюра моментов в предельном состоянии рамы. При этом в шести
сечениях изгибающие моменты равны предельным значениям М-°. Будем считать, что рас-
		Стержень 1—2			Стержень 3—4			Стержень 5—6		Стержень 7			F
		Ml	м2	М-2	мз			м5	Ч М-6	м7	Мо  О	^7-8	
Узел 2-3	ЪМ  XX  XY	1 1  0,25 0,25	1	2  1	-1/3 -1/3											
Узел 4-5	ЪМ  XX  XY	-1 1  1 1  1/3	1/3	-1/3 -1/3	5											
о I .00 I >> <^>	ЪМ  XX  XY	1 1  1 -0,25 -0,25  -1/3 -1/3	1											
Примечание. «Пустым» клеткам соответствуют нули.													

.Xjf НАХОЖДЕНИЕ ПРЕДЕЛЬНОЙ СИПЫ И АНАЛИЗ ОПАСНЫХ I ЕЧЕНИИ ( НРЖ1Н ВПЙ ГИНЕМЫ

ФАЙЛ ОПЕРАЦИИ ПОМОЩЬ

Число знаков после запятой Р

АВТООБНУЛЕНИЕ|

"Г..... 0.000000 1.000000 0.000000 1.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 0.000000 85

""2  ... 0 250000 0.2500000 000000 0 000000 1.000000 0 000000 0.000000:0 000000 0.000000 0 000000 0.000000 2.000000 123 25

0.000000;0.000000И.000000 -0.333333-0.333333 0.000000 0.000000:0щ6о000щ.000000.0.000000:0.000000щ.000000:0.000000 7168668’

4	0 000000 0.000000 0.000000 0 000000 1 000000 0.000000 1 000000 0.000000,0 000000 0.000000 0000000 0.000000 0 000000 85

obooobo оообообГадооооо Ь.ооооЬо abooooobi oooooQo.oooobcHaoddobbFiTobooboToдооооою.оооооо10.000000 адооооо о...........

о 000000	0.000000: 0 000000	0 333333	0	333333 Зз.ОООООО	-0 333333 -0 333333 0 000000:0.000000	0 OOnDDO	Ij'nOOOOO	5 000000	0.?

~7	0.000000	0.000000 0.000000	0.000000	0.000000 0.000000	0.000000 1.000000 0.000000 1.000000	0 000000	0.000000	0.000000	85

0ООООООТО.ОООООО:0 000000 0 000000 0 000000 ЩООООООТОООоЬЬТ6Ьо6о6оГ-1 b0000da250000?0 250000h^00000:0 000000 -80 75....:

1	0 000000	0.000000 0.000000	0 000000	0	000000 0.000000	0.333333 0.333333 0 000000 0.000000	0.000000	1.000000	0.000000	130	33331

::гпа:-Г : 0 000000 j	0.000000 j 0 000000	0 000000	0	ООООООТО. 000000 j	0 000000:0.000000 [ 0 000000 • 0130000010 00000010.000000:	-1 000000 0 000000;

85	204	85	85	204	85	85	204 8д 85 ж 85.00000(0.000000

МАХ Значения

M(S)1 -42 5 *

M(S)2 38 804

M(S)3 -27101

M(S)4 -38 804

M(SJ5 -42 5 *

M(S)6 -21 25

M(S)7 42 5 *

M(S)8 42 5 *

M(S)9 -21 25

M(S)10-42 5*

M(S)11 -42 5 *

M(S)12-28 333

maxF 11 087

max

42.5	42.5	i102	И2.5	.42.5	П02	:42.5

ОТКРЫТЬ ФАЙЛ | СОХРАНИТЬ ФАЙЛ [ РЕШИТЬ ИЗ ФАЙЛА | MKO1.dat

СОХРАНИТЬ tekct|
ПЕЧАТАТЬ ТЕКСТ |
Д BAKPUTbl

Рис. 3
крылось 5 пластических шарниров, так как в сечениях 4 и 5 пластический шарнир раскрыва-
ется в узле из-за однородного строения стержня ригеля, а в сечениях 6 и 7 по краям от узла
из-за более прочного соединения в узле.

Этому соответствует разрушение рамы по комбинированной схеме (рис. 5) при избыточ-
ном числе пластических шарниров, так как ^ПЛП1 = 5 > (с +1).

Произведя расчет, не только определяем обычную задачу предельного равновесия, опре-
деление для заданной конструкции значения предельной нагрузки, но и находим распреде-
ление усилий в упруго-пластической стадии, предшествующих разрушению конструкции, а
также выясняем схему разрушения стержневой системы.

Описанная методика реализации метода предельного равновесия в конечно-элемент-
ном представлении стержневой системы, формализует процедуру расчета для применения
ЭВМ, базируясь на основных понятиях строительной механики и математического про-
граммирования.

Литература

1.	Гвоздев АЛ. Определение величины разрушающей нагрузки для статически неопределимых систем, пре-
терпевающих пластические деформации: Труды конференции по пластическим деформациям. — М., 1936.

2.	Гвоздев АЛ. Расчет несущей способности конструкций по методу предельного равновесия. — М.: Стройиз-
дат, 1939.

3.	Нил Б.Г. Расчет конструкций с учетом пластических свойств материалов: Пер. с англ. Лужина О.В. под ред.
Рабиновича И.М. — М.: Стройиздат, 1961. С. 316.

4.	Чирас А А. Методы программирования при расчете упруго-пластических систем. — Л.: Стройиздат, 1969,
С. 200.

5.	Лященко И.Н., Карагодова Е.А., Черникова Н.В., Шор Н.З. Линейное и нелинейное программирование. —
Киев: Изд. «Вища школа», 1975. С. 372.

6.	Розин ЛА. Стержневые системы как системы конечных элементов. — Л.: Изд. ЛГУ им. Жданова, 1976. С. 232.

7.	Покровский А.А. Определение усилий в статически определимых стержневых системах с использованием
матриц: Методическая разработка // Пенза: Изд. ПИСИ, 1984. С. 20.

8.	Дарков Л.В., Шапошников Н.Н. Строительная механика. — М.: «Высшая школа» 1986. С. 608.

9.	Мразик А., Шкалоуд М., Тохачен М. Расчет и проектирование стальных конструкций с учетом пластических
деформаций: Пер. с чешек. Поддубного В.П. под ред. Бельского Г.Е. — М.: Стройиздат, 1986. С. 456.

10.	Раевский А.Н. Примеры расчета балок и рам: Учебное пособие. — Пенза: Изд. ПИСИ, 1991. С. 100.

11.	Акулич И.Л. Математическое программирование в примерах и задачах . — М.: «Высшая школа» 1993.
С. 336.

12.	Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строительной механики стержневых систем. — М.: Изд-
во АСВ, 1996. С. 542.

13.	Раевский А.Н., Белов М.В. Качественный анализ предельного состояния рамных каркасов по прочности с
образованием пластических шарниров: Сборник материалов XXXII Всероссийской научно технической кон-
ференции, Часть 2. «Актуальные проблемы современного строительства». — Пенза: ПГАСА, Изд. ПГАСА, 25—
27 марта 2003. С. 79—80.

14.	Раевский А.Н. Расчет стержневых конструкций в предельном состоянии по прочности и устойчивости:
Учебное пособие. — Пенза: Изд. ПГУАС, 2004. С. 111.

Раевский А.Н., Белов М.В. Определение предельной нагрузки для металлических рамных каркасов из ус-
ловия прочности и устойчивости: Тезисы докладов Международной научно-технической конференции
Часть 1.«Актуальные проблемы современного строительства». — Пенза: Изд. ПГУАС, 11 — 15 апреля 2005.
С. 57-59.

© М.В. Белов, А.Н. Раевский
П.Д. Одесский, д-р техн, наук, проф. (ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко)

АВАРИЙНОЕ ПРЕДЕЛЬНОЕ СОСТОЯНИЕ И ТРЕБОВАНИЯ К СТАЛЯМ
ДЛЯ УНИКАЛЬНЫХ КОНСТРУКЦИЙ

В новых «Общих правилах проектирования
стальных конструкций» СП 53-102-2004 [1], раз-
работанных в развитие СНиП П-23-81* «Сталь-
ные конструкции» [2], прежде всего обращается
внимание на необходимость обеспечения надеж-
ности стальных конструкций в соответствии с тре-
бованиями ГОСТ 27751-88 «Надежность строи-
тельных конструкций и оснований». Согласно
этому стандарту к наиболее ответственным клас-
са «и» относятся объекты, имеющие уникальное
народнохозяйственное и/или социальное значе-
ние, здесь отказы могут привести к тяжелым эко-
номическим и социальным последствиям.

К уникальным объектам относятся возведен-
ные при участии автора за последние 10 лет в Мос-
кве крупные спортивные сооружения и гражданс-
кие здания, а именно надтрибунные покрытия
Большой спортивной арены в Лужниках, стадиона
«Локомотив», покрытие «Старого Гостиного Дво-
ра», несущие строительные конструкции крытого
конькобежного центра в Крылатском и «Альфа Ар-
бат Центра», конструкции ряда баскетбольных ста-
дионов, например, «Новатор» в г. Химки и др.

В последнее время актуальным становится
вопрос о недопущении разрушений подобных кон-
струкций при особых экстремальных воздействи-
ях — существенных отрицательных температурах,
сейсмических воздействиях, пожаре, сильном ди-
намическом воздействии, особенно при сочетании
названных факторов.

При этом, согласно ГОСТ 27751—88, при рас-
чете конструкций должна рассматриваться как рас-
четная ситуация аварийного состояния, имеющая
малую вероятность появления и небольшую про-
должительность. Например, в случае возникнове-
ния пожара допустимо развитие больших деформа-
ций, но недопустимо полное обрушение конструк-
ций в течение времени, необходимом для полной
эвакуации людей из зданий (часы, сутки и т.п.).

В данном случае, по нашему мнению, за расчет-
ное сопротивление проката следует принимать вели-
чину, основанную на нормативном сопротивлении
по временному сопротивлению т.е. расчеты ос-
новываются на расчетном сопротивлении по вре-
менному сопротивлению 7?и. При достижении на-
пряжений обсуждаемого порядка в элементах кон-
струкции может возникнуть равномерная относи-
тельная пластическая деформация до 5—10 %.

При подобной деформации в металле могут
возникать дефекты, в том числе трещиноподоб-
ные. Поэтому для обеспечения надежной эксплуа-
тации при экстремальных условиях при строи-
тельстве объектов со степенью ответственности
класса «и» следует применять разработанные в
последние 10 лет стали с высоким уровнем рабо-

чих свойств, так называемые стали нового поколе-
ния (см., например, [3, 4]).

Коротко охарактеризуем эту группу новых ма-
териалов в рамках проблемы, рассматриваемой в
статье. Это стали повышенной и высокой прочности
с су = 300—500 Н/мм2, поставляемые в больших тол-
щинах вплоть до 80—100 мм. От обычных стандарт-
ных сталей, поставляемых по ГОСТ 27772—88 и
ГОСТ 19281—89, эти материалы и соответствующие
сварные соединения отличаются прежде всего повы-
шенной пластичностью, вязкостью, трещиностойко-
стью и сопротивлением хрупким разрушениям раз-
личной природы. В ряде случаев обеспечивается по-
вышенное сопротивление специальным воздействи-
ям, например, стали повышенной огнестойкости [5].

Высокий комплекс рабочих свойств у этих
сталей обеспечивается прежде всего наличием
дисперсной структуры, во-первых как следствием
упрочняющей обработки на металлургических
предприятиях по той или иной схеме [6], при этом
зерно в стали измельчается буквально на порядок,
что ведет к повышению сопротивления проката
хрупкому разрушению. Далее, в сталях нового по-
коления с помощью специальных технологий, ос-
военных в последние 10 лет металлургами, содер-
жание вредных примесей (в первую очередь, серы
и фосфора), газов и неметаллических включений
понижено буквально на порядок: в стандартных
сталях 5 и Р < 0,035 % каждого, в современных ста-
лях нового поколения S < 0,005 %; Р< 0,010 %. При
этом одновременно используются технологии, на-
правленные на облагораживание, глобулирование
форм неметаллических включений. Эти меропри-
ятия ведут к существенному повышению вязкос-
ти проката и улучшению его свариваемости.

Наконец, стали нового поколения определен-
ным образом отличаются от стандартных по хими-
ческому составу: понижено содержание углерода
(С < 0,12, а лучше 0,10 %), снижено содержание мар-
ганца, чаще всего за счет использования имеющих-
ся в нашей стране руд, природнолегированных по-
лезными элементами — никелем и хромом, но, глав-
ным образом, эффективно используется микроле-
гирование ниобием, ванадием, титаном и алюмини-
ем в различном сочетании (в типичном случае сум-
марное содержание не более 0,1 %). Микролегиро-
вание способствует формированию в прокате дис-
персной структуры, а также позволяет получать в
стали заданный класс прочности. Наконец, при
применении микролегированных сталей в метал-
лургии реализуются энергосберегающие схемы уп-
рочнения проката на станах. Огнестойкие стали
также являются микролегированными по существу.

За последние 10 лет уникальные сооружения,
в том числе перечисленные в начале статьи, изго-
товлялись из стали нового поколения, прежде все-
го ЗАО «Ассоциацией Сталькон». При этом наи-
более часто применялась природнолегированная
сталь высокой прочности с бт = 390 Н/мм2 марки
10ХСНДА по ТУ 14-1-5120-92.

Вопросы применения нестандартных сталей
в конструкциях, а также вопросы контроля прока-
та обычно решались при научном сопровождении
строительства, часто эти задачи решались сотруд-
никами ЦНИИСК им. В.А. Кучеренко.

Прежде всего, ввиду требований к надежности
конструкций предложена (впервые при строитель-
стве в Лужниках [3]) трехуровневая схема контро-
ля проката: первый уровень — на металлургических
комбинатах — изготовителях проката, второй уро-
вень — на заводах-изготовителях металлических
конструкций, третий уровень — контрольные испы-
тания в ЦНИИСК им. В. А. Кучеренко, обычно
проводимые по специальной программе.

Рассмотрим основные методы и оценки меха-
нических свойств, позволяющие сделать вывод о
возможности сохранения «остаточной» несущей
способности уникальных сооружений при опаснос-
ти наступления аварийного предельного состояния.

При возникновении аварийной ситуации и
развитии пластических деформаций в системе, на
несущую способность начинают сильно влиять
концентраторы напряжений и дефекты, прежде
всего трещинообразные, как внешние, так и внут-
ренние. В таком случае прочность проката оцени-
вается на образцах с концентраторами напряжений.

В опасных с точки зрения хрупких разрушений
переходных условиях прочность элементов конст-
рукций начинает зависеть от микроструктуры про-
ката, при этом, согласно известному положению, раз-
работанному И.И. Ильюшиным и Я.Б. Фридманом
[7], достаточной чувствительностью к неблагопри-
ятному изменению микроструктуры при разруше-
нии будет обладать образец с концентратором, вели-
чина пластической зоны у вершины радиуса которо-
го, примерно равного этому радиусу, будет на поря-
док превосходить эффективный размер элемента
микроструктуры, ответственного за разрушение, на-
пример, диаметр зерна или субзерна, в некоторых
случаях размер карбонитрида или включения и т.п.

Стандартные отечественные стали при разра-
ботке в 50—60-х годах XX века могли иметь круп-
ный размер зерна 100 мкм по порядку и их переход в
хрупкое состояние хорошо описывался при испыта-
ниях на ударный изгиб так называемых образцов
Менаже — небольших надрезанных образцов с раз-
мером брутто 55x10x10 мм с глубиной надреза в цен-
тре образца 2 мм и с радиусом у дна надреза г = 1 мм
(образец типа 1 по ГОСТ 9454—78). В мелкозернис-
тых сталях, применяемых в уникальных сооружени-
ях, размер зерна на порядок ниже, поэтому здесь не-
обходимо применять образец с острым V-образным
надрезом с радиусом у дна надреза г = 0,25 мм (обра-
зец типа 11 по ГОСТ 9454—78). Такие образцы и со-
ответствующие нормы введены в новые «Общие

правила проектирования стальных конструкций»
(СП 53-102-2004) [1], согласно этому документу
ударная вязкость на поперечном образце с острым
надрезом при минус 40°С KCV-40 > 25 Дж/см2 для
сталей с от > 390 Н/мм2, для случая уникальных кон-
струкций KCV~40> 35 Дж/см2; в реальных случаях
ударная вязкость гораздо выше [4].

Опасным дефектом в сталях больших толщин,
особенно в сварных соединениях, могут быть рас-
положенные параллельно плоскости прокатки сло-
истые трещины, опасные при аварийных ситуаци-
ях. Возможность появления подобных трещин оце-
нивается по величине так называемых z-свойств, в
частности, по ГОСТ 28870—90 на цилиндрических
образцах, вырезанных по толщине листа по вели-
чине относительного сужения yz. Согласно СП 53-
102-2004, для рассматриваемых конструкций \|/z >
> 35 %. Эта величина в сталях нового поколения
обеспечивается высокой чистотой по вредным при-
месям и неметаллическим включениям. По сути
дела, \|/z является одним из важных параметров тре-
щиностойкости. При гарантированной величине \|/z
слоистые трещины при наступлении аварийного
предельного состояния возникать не должны.

Однако наиболее представительными в рас-
сматриваемом случае являются характеристики
трещиностойкости (вязкости разрушения), опреде-
ляемые на основании экспериментальных методов
механики разрушения по ГОСТ 25.506—85. При
этом при статических нагрузках испытываются об-
разцы, толщина которых равна толщине рассматри-
ваемого элемента конструкции, а концентратор на-
пряжения принят предельно жестким — в виде ус-
талостной трещины. Во-первых, подобные испыта-
ния позволяют оценить сопротивление разруше-
нию при наличии острых надрезов типа трещин,
которые могут быть при аварийном предельном со-
стоянии. Во-вторых, концентратор типа трещины
обладает высокой чувствительностью к неблагоп-
риятным изменениям в микроструктуре высокой
дисперсности, типичной для сталей нового поколе-
ния для уникальных конструкций. Полученные ха-
рактеристики могут быть напрямую использованы
для расчетов на прочность конструкций [8, 9], на-
пример, для оценки опасной длины трещины, что
может явиться количественным параметром при
оценке аварийного предельного состояния.

Чаще всего из этих характеристик на практи-
ке в нормативной литературе используются сило-
вые — критический коэффициент интенсивности
напряжений К1с и другие подобные коэффициен-
ты: Кс, KJ и т.п. и деформационные — раскрытие в
вершине трещины 8С, реже энергетические — Jc
или Jic, иногда Sc [10].

При большой длине трещины и небольшой
локальной пластичности материала выполняются
соотношения типа Kic = EaJ)c, Jc = AfoT8c (M =
= 1...2) и т.п.

За рубежом как нормативная величина прини-
мается 8/40 = 0,1 мм, в нашей стране из методичес-
ких соображений предпочтение отдается силовым
характеристикам, величина которых сильно зависит
от чистоты сталей по неметаллическим включениям.
У сталей нового поколения, чистых по вредным при-
месям, для проката с от = 320-450 Н/мм2 следует
нормировать А1с60 = 120-150 МПаТл/, в то время
как у стандартных сталей К1(Г40 = 70 MZIaVrz •

При этом следует добавить, что прокат из ста-
лей нового поколения обладает равно высоким со-
противлением к различным экстремальным воздей-
ствиям — динамическим, низкотемпературным, сей-
смическим (с некоторыми добавлениями [И]), час-
тным случаем этих материалов являются и огнестой-
кие стали, регламентированные в СП 53-102-2004.
По-видимому последним принадлежит будущее при
применении в уникальных сооружениях.

В заключительной части статьи отметим, что
применение расчетов прочности конструкций при
аварийных предельных состояниях методами меха-
ники разрушения, отсутствующими в СНиП П-23-
81* и СП 53-102-2004, в принципе разрешается
ГОСТ 27751-88 (п. 1.7). Кроме того, заметим, что
прочность элемента конструкции при наличии ост-
рых концентраторов, особенно трещиноподобных
дефектов, при развитии больших пластических де-
формаций начинает зависеть от структуры матери-
ала, в отличие от классических принципов расчета,
положенных в основу действующих норм. В случае
зависимости прочности тела на макроуровне от
микроструктуры методы механики сплошных сред
определенным образом распространяются на мик-
роуровень, такой прием называют методом аппрок-
симации [12]. Еще в начале XX в. братья Коссера
предложили теорию сплошной среды с микро-
структурой. Известное развитие этой и подобных
теорий изложено, например, в [12,13,14]. Развитие
подобных подходов улучшит понимание поведения
металлических конструкций при достижении ава-
рийного предельного состояния.

Выводы

1.	При расчете стальных конструкций в ава-
рийных ситуациях, предполагающих отсутствие
обрушения при небольшой продолжительности,
но важной, например достаточной, для эвакуации
людей из здания (часы, сутки и т.п.), за основное
расчетное сопротивление следует принимать Ru,
т.е. расчетное сопротивление по временному со-
противлению разрыву.

2.	При аварийном предельном состоянии мо-
гут развиваться существенные пластические де-
формации, вплоть до 10 %. При этом для предот-
вращения полного разрушения сталь должна об-
ладать высоким сопротивлением хрупким разру-
шениям различной природы и повышенной огне-
стойкостью, в частности, прокат должен иметь
ударную вязкость на образцах с острым надрезом
KCV-40 > 35 Дж/см2, гарантированные z-свойства
на уровне \|/z > 35 % (относительное сужение на
цилиндрических образцах, нормальных к повер-

хности проката), вязкость разрушения А’1с-60 =
= 120 МПаТл/.

3.	Перечисленными свойствами в достаточной
мере обладают стали с от = 345-450 Н/мм2 нового
поколения для металлических конструкций, вопро-
сы применения которых обычно решаются при на-
учном сопровождении проектирования и изготов-
ления уникальных конструкций. В первую очередь
применялась сталь ЮХСНДАпоТУ 14-1-5120—92,
из которой в последние 10 лет изготавливались
уникальные конструкции в Москве и северных рай-
онах страны, прежде всего ОАО «Ассоциацией
Сталькон», крупные мостовые конструкции и т.п.

4.	При расчете конструкций при аварийном
предельном состоянии полезны подходы теорий
прочности, учитывающие влияние микрострукту-
ры на несущую способность элементов.

Литература

1.	СНиП 53—102—2004 Общие правила проектиро-
вания стальных конструкций /Госстрой России. — М.:
ГУП ЦПП. - М., 2005. - 131 с.

2.	СНиП П-23—81*. Стальные конструкции /Гос-
строй России .— М.: ГУП ЦПП, 2000.—58 с.

3.	Покрытие Большой спортивной арены стадиона
«Лужники» г. Москва (проектирование, научные иссле-
дования, строительство). — М.: Фортэ, 1998. — 144 с.

4.	Строительство Крытого конькобежного центра в
Крылатском // Монтажные и специальные работы в
строительстве, 2005. № 3.

5.	Одесский П.Д., Кулик Д.В., Соловьев Д.В. Предель-
ное состояние стальных конструкций из проката с
обычной и повышенной огнестойкостью // Сейсмос-
тойкое строительство. Безопасность сооружений. —
2004 - № 6. - С. 41-48.

6.	Скороходов В.Н., Одесский ПД., Рудченко А.В. Стро-
ительная сталь — М.: Металлургиздат, 2002—624 с.

7.	Фридман Я.Б. Механические свойства металлов.
Часть вторая. Механические испытания. Конструкци-
онная прочность. — М.: Машиностроение, 1974,—368 с.
8. Москвичев В.В. Основы конструкционной проч-
ности технических систем и инженерных сооруже-
ний: В Зч. — Новосибирск: Наука, 2002.—4.1: Поста-
новка задач и анализ предельных состояний. — 106 с.
9. Махутов Н.А. Деформационные критерии разру-
шения и расчетов элементов конструкций на проч-
ность. — М.: Машиностроение, 1981. — 272 с.

10.	Одесский П.Д., Ведяков И.И. Ударная вязкость ста-
лей для металлических конструкций. — М.: Интер-
мент Инжиниринг, 2003—232с.

11.	Назаров Ю.П., Одесский ПД., Ведяков И.И. Требо-
вания к сталям для конструкций в сейсмоопасных
районах // Сейсмическое строительство. — 2003. — №
5. С. 3-6.

12.	Введение в микромеханику / Под ред. Онами
(пер. с япон.) — М.: Металлургия, 1987. — 280 с.

13.	Де Вит Р. Континуальная теория диспликаций /
Пер. с анг. — М.: Мир, 1977. — 208 с.

14.	Кунин И.А. Теория упругих сред с микрострукту-
рой. Не локальная теория упругости. —М.: Наука,
1975.-416 с.

© ПД. Одесский
П.Г. Еремеев, д-р техн, наук, проф.
(ЦНИИСК им. Кучеренко)

ОСОБЕННОСТИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ УНИКАЛЬНЫХ
БОЛЬШЕПРОЛЕТНЫХ ЗДАНИЙ И СООРУЖЕНИЙ

1.	ВВЕДЕНИЕ

В настоящей работе обобщен опыт проекти-
рования уникальных большепролетных зданий и
сооружений (далее - сооружений), возведенных
при участии ЦНИИСК им. Кучеренко за после-
дние 30 лет. В их числе крупнейшие в Европе —
универсальный стадион «Олимпийский», вело-
трек «Крылатский», Дворец спорта «Измайлово»,
светопрозрачное покрытие «Старого Гостиного
Двора», козырьки над трибунами стадионов
«Лужники» и «Локомотив», Крытый конькобеж-
ный центр в Крылатском, футбольно-легкоатлети-
ческий манеж в Казани и ряд других. Отметим воз-
растающий объем такого строительства у нас в
стране и за рубежом. В первую очередь, это стади-
оны, крытые спортивные и зрелищные залы, выс-
тавочные павильоны.

К уникальным большепролетным объектам,
как правило, следует относить сооружения с воз-
можностью одновременного пребывания в них
людей численностью более 300 человек и отвеча-
ющих следующим условиям:

—	пролет свыше 60 м при принципиально
новых конструктивных решениях, не прошед-
ших апробацию в практике строительства и экс-
плуатации;

—	пролет свыше 100 м при конструктивных
решениях, прошедших успешную апробацию в
практике проектирования, строительства и эксп-
луатации.

Уникальные большепролетные сооружения
имеют повышенный уровень ответственности по
назначению, отказы которых могут привести к тя-
желым экономическим и социальным последстви-
ям [1]. В этой связи возникают дополнительные
требования к номенклатуре и объемам изысканий
и проектных работ, изготовлению и монтажу кон-
струкций, правилам их приемки и эксплуатации.
При проектировании уникальных сооружений воз-
никают проблемы, выходящие за рамки существу-
ющих нормативных документов. Новизна техни-
ческих решений требует от инженера-конструкто-
ра глубоких специальных знаний, нужен опыт про-
ектирования сооружений подобного рода. Все это
определяет необходимость обязательного персо-
нального лицензирования инженеров на право про-
ектирования уникальных сооружений. Аналогич-
ные положения включены в ряд национальных
строительных норм. Например, в [2] отмечено:
«...важно, что уникальные проекты должны выпол-
няться специалистами, имеющими соответствую-
щую квалификацию и практический опыт». Требо-

вания документа [3] предназначены для гарантиро-
вания уровня безопасности, выполнения необходи-
мых этапов проектирования, минимизации челове-
ческих ошибок. Процесс проектирования должен
быть формализирован для обеспечения контроля
его качества, требований безопасности, эксплуата-
ционной надежности и долговечности.

Наиболее важной особенностью проектиро-
вания уникальных большепролетных сооружений
является генерирование идей, основанных на
творческом потенциале инженера, который дол-
жен объединить свои профессиональные знания и
опыт со способностью неограниченного созида-
ния. Этот процесс не может быть компьютеризи-
рован, так как творческий потенциал — привиле-
гия человеческого ума и он абсолютно необходим
для решения задач будущего проекта, тем более
уникального. Компьютеру следует отвести пра-
вильную роль — роль технического инструмента.

При проектировании уникальных большеп-
ролетных сооружений выдвигаемые идеи должны
быть технически и экономически обоснованы. Не-
обходим научный комплексный подход при реше-
нии задачи выбора приемлемых конструктивных
решений, увязанных с функциональным назначе-
нием, архитектурными решениями, методами из-
готовления и монтажа, условиями эксплуатации.
В полном объеме должны выполняться требова-
ния надежности, технологичности и экономичес-
кой эффективности, учитываться экологические и
социальные факторы.

При нарушении указанных правил возмож-
но возникновение аварийных ситуаций. Приве-
дем несколько известных примеров частичных
или общих отказов большепролетных покрытий:
Hartfort Coliseum (1978), Pontiac Stadium (1982),
Minnesota Metrodome (1983), купол испытатель-
ного центра в Истре (1984), Миланский велотрек
(1985), трансформирующееся покрытие Монре-
альского Олимпийского стадиона (1988), козы-
рек над трибунами футбольного стадиона в Ко-
рее (2002), аквапарк в Москве (2004) и т.д. Со-
гласно [4], главная причина отказов в строитель-
стве с вероятностью 50 % - ошибки проектирова-
ния. Другими причинами названы: нарушения
технологии монтажа (17,5 %); низкое качество
материалов и конструкций (14,5 %); недоработка
нормативных документов (4 %); прочие причины
и их сочетания (14 %). В работе [5] приведены
несколько иные данные: ошибки проекта - 25 %;
дефекты изготовления и монтажа - 48 %; низкое
качество материалов - 6 %; недоработка норм
проектирования - 4 %; неправильная эксплуата-
ция - 16 %; прочее - 1 %. Разница приведенных
данных может быть объяснена, по-видимому, не-
достаточностью статистических материалов, не-
совершенством методики оценки причин аварий
и т.п. Однако настораживает большая доля про-
ектных ошибок. Указанные факторы с определен-
ной погрешностью могут быть отнесены и к боль-
шепролетным уникальным сооружениям. Эти
случаи - уроки, на которых должны быть изуче-
ны причины и механизмы аварий в строитель-
стве, чтобы исключить возможность их возник-
новения в дальнейшем.

2.	ОСНОВНЫЕ ЭТАПЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ УНИКАЛЬНЫХ
СООРУЖЕНИЙ

При всей неповторимости уникальных боль-
шепролетных сооружений их проектирование
должно обязательно включать следующие стадии
[6]: постановка задачи, разработка и анализ вари-
антов технических решений, выбор окончатель-
ного варианта, разработка проектной документа-
ции с тщательной проверкой принятых решений.
Необходимыми документами, предшествующи-
ми проектным разработкам, являются «Техничес-
кое задание» и «Специальные технические усло-
вия на проектирование» [7]. В СНиП 11-01-95 до-
статочно подробно приведены требования к со-
ставу «Технического задания на проектирование»,
основными из которых являются: цели и задачи
проекта, функциональное назначение, объемно-
планировочные и архитектурные решения, осо-
бые условия строительства, исходные данные
проектирования, требования по вариантной и
конкурсной разработке и т.п. «Специальные тех-
нические условия на проектирование», разрабаты-
ваемые заказчиком совместно с научно-исследо-
вательскими и специализированными организа-
циями, должны отражать специфику их проекти-
рования, строительства и эксплуатации, опреде-
лять уровень ответственности и уникальность
сооружения, расчетный срок его эксплуатации,
требования по применению и объемам опытно-
конструкторских и исследовательских работ. Эти
документы должны четко формулировать поста-
новку задачи проектирования, определять пути
их решения и таким образом воздействовать на
качество проекта.

Наряду с обычными этапами двустадийного
проектирования («проект» и «рабочая документа-
ция») при разработке конструкций уникальных
большепролетных сооружений обязателен этап эс-
кизного (концептуального) проектирования, ко-
торый начинается с накопления максимальной,
разносторонней информации, связанной с поста-
новкой задачи. На этом этапе конструктор разра-
батывает и анализирует эскизные варианты техни-
ческих решений совместно с другими специалис-

тами (архитекторами, технологами, специалиста-
ми по изготовлению и монтажу конструкций, и
т.д.). Концепция проекта определяется опытом и
комплексным подходом, основанными зачастую
на интуитивной оценке надежности отобранных
моделей, которая должна быть подтверждена на
следующих этапах анализа. Концепция проекта —
знание, базирующееся в основном на индивиду-
альности авторов. В то же время успешное реше-
ние задач этого этапа прямо зависит от опыта и
способности работы участников проекта в коман-
де. Их участие на ранних стадиях проекта эквива-
лентно интуитивной стратегии проверки и «филь-
трованию» решений, которые могут исключить су-
щественную часть погрешностей. Сравниваются
различные решения, анализируются и откладыва-
ются для дальнейшего рассмотрения и разработки
с учетом разнообразных, зачастую противоречи-
вых требований. В этом процессе конструктор и
архитектор работают совместно. Задача проекти-
рования уникальных большепролетных сооруже-
ний настолько комплексна, что проект не может
быть выполнен единолично. Обсуждения с опыт-
ными специалистами на ранних стадиях проекти-
рования очень полезны для оценки вариантов про-
екта с различных точек зрения.

На стадии эскизного проектирования уни-
кальных большепролетных сооружений необхо-
димо максимально использовать современные до-
стижения: новые типы конструкций, материалы,
методы строительства. Этот этап предполагает
преодоление неопределенностей проектирования,
вызванных тем, что выбор решения, как правило,
происходит в условиях неполного знания проек-
тируемой системы; большого количества изменчи-
вых и противоречивых задач; субъективности лиц,
принимающих решения.

Вариантное эскизное проектирование вклю-
чает изучение и обобщение отечественного и зару-
бежного опыта строительства, инженерный анализ
большого количества аналогичных объектов, в ко-
торых применены разнообразные большепролет-
ные конструкции, разработку новых вариантов
конструктивных предложений (исключающих
неоправданные риски), выбор основных материа-
лов, согласование противоречий между различны-
ми разделами проекта.

Отбор рациональных решений - конечный
выбор лучшей идеи. Это может быть или спонтан-
ное решение, или трудоемкая разработка и оценка
накопленных идей, возможно проверка первого
вторым для оценки выполнимости. Здесь также
проявляется творчество, например для ограниче-
ния некоторых идей, разработки программы науч-
ных исследований или установления порядка важ-
ности требований. Когда найдена лучшая идея,
начинается ее проверка, которая обычно делается
в форме расчетов и чертежей.
3.	СТАДИИ «ПРОЕКТ»
И «РАБОЧАЯ ДОКУМЕНТАЦИЯ»

Разработка проектов уникальных большеп-
ролетных сооружений требует специальных зна-
ний, таких как: нагрузочные факторы, статическая
и динамическая реакция сооружений на различ-
ные сочетания нагрузок и воздействий, устойчи-
вость системы в целом и отдельных структурных
элементов, учет физической и геометрической не-
линейности, кратковременная и длительная пол-
зучесть, надежность и запасы прочности материа-
лов, параметрическая чувствительность конструк-
тивной системы в зависимости от типа и степени
статической неопределимости и т.п. Необходимы
опыт и четкая организация процесса проектирова-
ния, научно-техническое обоснование разработки
и реализации проекта, решение финансовых и
организационных вопросов, в том числе организа-
ция системы строгого контроля и приемки на всех
этапах проектирования, возведения и эксплуата-
ции уникального сооружения.

Стадия «Проект» включает разработку ос-
новных конструктивных решений, монтажных
схем, узлов и деталей, предварительных техничес-
ких спецификаций. На этой стадии рекомендует-
ся разработка нескольких вариантов для выбора
наиболее рационального по технике-экономичес-
ким и другим показателям. Технические решения
должны быть обоснованы достаточно подробными
расчетами, в том числе компьютерными, на основ-
ные сочетания нагрузок.

Состав, порядок разработки, согласования и
утверждения «Рабочей документации» установ-
лен требованиями [7] и включает подробную раз-
работку чертежей на стадии КМ, КЖ или КД. В
них входят: общие данные, сведения о нагрузках и
воздействиях, нагрузки на фундаменты, схемы
расположения элементов конструкций, чертежи
элементов и узлов конструкций, спецификации
материалов и изделий. Принятые проектные ре-
шения должны удовлетворять ряду ограничений,
обеспечивающих выполнение условий прочности,
устойчивости и деформативности отдельных эле-
ментов и системы в целом; требованиям норматив-
ных документов, сортаментов, технологических
регламентов на изготовление, транспортировку и
монтаж конструкций.

Отметим, что для стандартных объектов госу-
дарственная экспертиза выполняется только на
стадии «Проект». Для уникальных большепролет-
ных сооружений справедливо предложение [8]
обязательной независимой экспертизы (включая
выполнение полноценного поверочного расчета)
законченной рабочей документации перед сдачей
ее в производство. Цель такой экспертизы повы-
сить качество проекта, исключить возможные гру-
бые ошибки, снизить вероятность возникновения
аварийных ситуаций.

4.	НАГРУЗКИ
И ВОЗДЕЙСТВИЯ

Уникальные большепролетные сооружения
должны воспринимать любые виды нагрузок, опре-
деленных «Техническим заданием на проектирова-
ние», включая неравномерно распределенные вре-
менные нагрузки, статические и динамические на-
грузки в виде грузов — сосредоточенных, полосо-
вых, распределенных на небольшой площади, дина-
мические воздействия, в том числе сейсмические.
Зачастую большепролетные покрытия находятся
под действием только собственного веса, нагрузок
от снега и ветра. К ним могут добавляться: предва-
рительное натяжение, монтажные нагрузки, вызы-
вающие дополнительные усилия, суммирующиеся
с эксплуатационными, температурные воздей-
ствия, а также технологические нагрузки (от обо-
рудования, подвесных потолков и т.п.), для кото-
рых необходимо учитывать возможное их увеличе-
ние в процессе длительной эксплуатации, реконст-
рукции или модернизации сооружения.

В нормативных документах, как правило, от-
сутствуют данные по климатическим нагрузкам на
большепролетные покрытия с пространственной
формой поверхности. Для таких сооружений не-
обходима разработка специальных рекомендаций
по определению снеговых и ветровых нагрузок на
основании продувок макета сооружения в аэроди-
намической трубе. В большепролетных покрыти-
ях исключается вероятность сноса снега. Ввиду
того, что предполагаемый срок эксплуатации та-
ких сооружений более продолжителен, чем рядо-
вых построек, расчетные климатические нагрузки
следует принимать соответствующей обеспечен-
ности. Все это приводит к необходимости увели-
чения этих нагрузок по сравнению с данными дей-
ствующих норм.

Некоторые большепролетные покрытия (на-
пример, висячие) имеют относительно небольшую
собственную массу и незначительную изгибную
жесткость. В этом случае неравномерные снеговые
и ветровые нагрузки могут вызвать достаточно
большие локальные, в том числе кинематические,
деформации покрытия, привести к потере его ус-
тойчивости или к расстройству кровли.

Повышенный уровень ответственности таких
сооружений следует учитывать, применяя коэф-
фициент надежности не менее 1,2 [1]. Вопросы
аварийных воздействий рассмотрены в разделе 7.

5.	РАСЧЕТЫ

В расчетах уникальное большепролетное со-
оружение следует рассматривать как единую про-
странственную систему, включающую фундамен-
ты, каркас, покрытие, с учетом продольных, изгиб-
ных и крутильных жесткостей основных, а в ряде
случаев и второстепенных элементов; их проект-
ных связей, узловых эксцентриситетов. Расчеты
проводятся на статические и динамические на-
грузки и воздействия на конструкцию и ее элемен-
ты в процессе изготовления, транспортировки,
возведения и эксплуатации, подтверждающие на-
дежность и пространственную устойчивость сис-
темы на всех этапах.

На стадии концептуального проектирования
обычно не требуются какие-либо расчеты, так как
конструктивные размеры принимаются грубо,
исходя из существующего опыта. Но на следую-
щей стадии выполняются приближенные вычис-
ления, чтобы получить размеры сечений основ-
ных элементов. При вариантном и рабочем про-
ектировании для больших вычислений пользу-
ются компьютером. При вариантном проектиро-
вании обычно выполняется большое количество
расчетов для поиска оптимальной конструктив-
ной схемы, рациональных соотношений геомет-
рических и жесткостных параметров элементов
системы. На этом этапе расчетов рекомендуется
процесс понижения сложной, высоко избыточ-
ной структурной задачи к упрощенной схеме с
последующим усложнением системы за счет пос-
ледовательного присоединения новых элементов
и исследования их влияния на работу конструк-
ции. На стадии рабочего проектирования выпол-
няются поверочные расчеты с учетом всех воз-
можных сочетаний нагрузок. Составление рас-
четной схемы сооружения, представляющей иде-
ализированную модель, максимально прибли-
женную к натурной системе, - важнейший этап
проектирования, позволяющий отыскать наибо-
лее рациональные решения, обеспечивающие на-
дежность конструкции и экономию материалов.
Специальное внимание следует уделять расчетам
и конструированию узлов, выполняя их равно-
прочными сопрягаемым элементам.

Численные методы, ориентированные на
широкое использование современной вычисли-
тельной техники с высоким быстродействием,
большой памятью и развитой системой внешних
устройств, открывают возможности успешного
решения задач расчета сложных систем. Их ис-
пользование позволяет учесть различные виды
нагружений и воздействий, конструктивные осо-
бенности системы (геометрию поверхности, пере-
менные толщины, наличие элементов подкрепле-
ния, проемов, фактические свойства материалов,
местное изменение жесткости и т.п.). При этом в
большинстве случаев применяются апробиро-
ванные стандартные вычислительные комплек-
сы. Для повышения надежности результатов рас-
четы рекомендуется проводить с использовани-
ем различных программ с сопоставлением и ана-
лизом полученных данных.

Однако использование компьютера, позво-
ляющего оперировать с огромными массивами
чисел, имеет и обратную сторону, растет риск

ошибок. Молодым инженерам предлагают ре-
шать на компьютере сложные задачи без предва-
рительного анализа упрощенных схем прибли-
женными методами. Сегодня инженеры зачастую
пользуются компьютером прежде, чем они полу-
чают ясное понимание работы сооружения в це-
лом и отдельных его элементов в системе. В то же
время такое понимание, основанное на правилах
строительной механики, единственный путь бе-
зопасного взаимодействия инженера с компьюте-
ром. Вслепую расшифровывать численные ре-
зультаты без первоначальных знаний порядка
ожидаемых расчетных величин просто недопус-
тимо. Компьютер — несомненно огромная по-
мощь для инженеров на всех этапах проектиро-
вания. Однако приближенные вычисления дол-
жны использоваться и в будущем, в том числе для
быстрой достоверной проверки компьютерных
расчетов и оценки основных решений.

В большинстве случаев расчеты уникальных
большепролетных сооружений выполняются в
геометрически нелинейной постановке. Расчеты
рекомендуется выполнять с учетом неупругих де-
формаций, деформаций усадки и ползучести бето-
на, приводящих к изменению геометрии системы
в процессе длительной эксплуатации. Кроме того,
в железобетонных элементах следует учитывать
образование трещин на участках, где он работает
на внецентренное сжатие с большими эксцентри-
ситетами, приводящее к местному снижению его
изгибной жесткости и соответственно величин из-
гибающих моментов. При учете неупругих дефор-
маций расчет выполняется в физически нелиней-
ной постановке. В нелинейных расчетах не приме-
ним принцип независимости действия сил, систе-
му приходится рассчитывать на одновременное
совместное воздействие различных сочетаний на-
грузок, учитывающих в том числе последователь-
ность монтажа конструкций и изменяющуюся при
этом расчетную схему.

При расчетах следует учитывать статическую
и динамическую реакции большепролетных со-
оружений на воздействия ветра с учетом статичес-
ких, квазистатических и резонансных вкладов.
Динамический расчет таких систем усложнен вви-
ду их пространственной работы, геометрической и
физической нелинейности, существенного влия-
ния податливости основных элементов и т.д. От-
метим, что динамическую реакцию можно суще-
ственно снизить конструктивными мероприятия-
ми, например введением в систему дополнитель-
ных оттяжек или демпфирующих устройств.

Важным этапом расчета уникальных соору-
жений является проверка их общей и местной ус-
тойчивости. Вопросы аварийных расчетных ситу-
аций, в том числе при исключении из работы от-
дельных конструктивных элементов, рассмотрены
в разделе 7.
6.	НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ
СОПРОВОЖДЕНИЕ

Проектирование уникальных большепролет-
ных сооружений предполагает обязательное ком-
плексное научно-техническое сопровождение, ко-
торое включает: упомянутые ранее продувки ма-
кета сооружения в аэродинамической трубе и раз-
работку рекомендаций по назначению снеговых и
ветровых нагрузок; изготовление и исследование
физической модели сооружения; разработку мето-
дики расчета, составление и исследование расчет-
ной схемы сооружения, выполнение поверочных
расчетов. Кроме того, привлекаются научно-ис-
следовательские и специализированные организа-
ции для научного сопровождения при изготовле-
нии и монтаже конструкций, разработке рекомен-
даций по обеспечению жизнеспособности соору-
жения при экстремальных ситуациях, в том числе
противопожарные и антитеррористические ме-
роприятия; проведения мониторинга основных
несущих конструкций на стадии возведения и пер-
вых лет эксплуатации. Необходимо иметь адекват-
ную и систематическую обратную связь, контро-
лируя поведение конструкций, для обеспечения
долговечности проекта.

Экспериментальные исследования на крупно-
масштабных моделях, а в некоторых случаях на на-
турных объектах выполняются с целью выявления
действительного напряженно-деформированного
состояния рассматриваемых систем, оценки надеж-
ности методики расчета, обоснованности принятых
исходных предпосылок. Кроме того, ставятся зада-
чи экспериментального исследования таких сторон
работы конструкций, которые трудно поддаются
решению математическими методами, и необходим
синтез теории и эксперимента.

Важны исследования по оптимизации уни-
кальных большепролетных сооружений, которые
сводятся к подготовке рекомендаций по выбору
рационального варианта конструктивной схемы и
оптимальных геометрических соотношений и же-
сткостных параметров основных элементов по-
крытий. Комплексное проектирование уникаль-
ных сооружений можно представить как сумму
различных требований в виде показателей каче-
ства: конструктивно-технологических, экономи-
ческих, производственно-технических, функцио-
нальных и социальных.

Исследования уникальных сооружений с
большепролетными покрытиями выявили, что их
напряженно-деформированное состояние и техни-
ко-экономические показатели зависят от ряда ос-
новных варьируемых параметров проектирования:
толщины покрытия, его начальной геометрии, жес-
ткости элементов (геометрических размеров сече-
ния, физико-механических свойств материала, про-
цента армирования). Остальные параметры явля-
ются заданными: тип покрытия, габаритные разме-

ры здания (пролет, высота до низа покрытия), ве-
личины и характер распределения климатических,
технологических и других нагрузок и воздействий
и т.п. Варьируемые параметры проектирования в
силу статической неопределимости и геометричес-
кой нелинейности системы взаимоувязаны и ока-
зывают зачастую противоречивое влияние на эко-
номические показатели конструкции.

7.	НЕКОТОРЫЕ СПЕЦИАЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ

При проектировании уникальных сооружений
необходимо учитывать также аварийные расчетные
ситуации. Однако при буквальном соблюдении п.
1.10 [9], касающегося этого вопроса, реальное про-
ектирование становится невозможным в виду не-
четкости и неопределенности части требований
этого раздела нормативного документа. Так, если
пожарные воздействия достаточно полно определе-
ны нормативными документами, то ситуация со
взрывом может иметь весьма субъективное толко-
вание. Заметим, что ГОСТ 27751—88 составлялся в
СССР в 1984—1987 гг., когда рассматривались ава-
рийные воздействия только от промышленных
взрывов, требования к которым определяются нор-
мативными документами. Сегодня этот термин
(взрыв) некоторыми экспертами трактуется более
широко, включая террористические акты.

На основе анализа требований зарубежных
норм [3, 10, 11] по данному вопросу предлагается
следующая формулировка вместо существующей
(см. п. 1.10 [9]).

Аварийная расчетная ситуация, представля-
ющая исключительные условия работы конструк-
ции на аварийные воздействия (например, пожар,
промышленный взрыв, столкновение, авария обо-
рудования), имеющие малую вероятность появле-
ния и небольшую продолжительность, но приво-
дящие в большинстве случаев к тяжелым послед-
ствиям, если не принимаются специальные меры.
Аварийные воздействия регламентируются в соот-
ветствующих разделах нормативных документов.

Возможные повреждения конструкций от
аварийных воздействий должны предотвращаться
или ограничиваться за счет соответственного вы-
бора и проведения одного или нескольких пере-
численных ниже мероприятий:

•	предупреждение, исключение или сниже-
ние опасности, которой может подвергаться кон-
струкция или объект;

•	выбор конструктивного решения, которое
имеет малую чувствительность к учитываемым
опасностям;

•	выбор конструктивного решения, которое
при аварийном выходе из строя отдельного эле-
мента или примыкающих к нему частей либо при
наличии локального повреждения не приводит к
потере несущей способности всего сооружения;
•	применение конструктивных систем, по-
теря несущей способности которых сопровождает-
ся предупредительным проявлением внешних
признаков.

Перечисленные требования должны выпол-
няться за счет выбора подходящих стройматериалов,
квалифицированного выполнения проектных работ,
выбора метода контроля на всех стадиях проектиро-
вания, возведения и эксплуатации сооружения.

Отметим, что нормы РФ практически не рег-
ламентируют необходимость проверки несущих
конструкций на живучесть. Эта ситуация непос-
редственно связана с необходимостью учета в рас-
четах отказа какого-либо элемента конструкции.
Однако это требование не определено никакими
нормативными документами, что исключает воз-
можность их выполнения при проектировании.
Какие элементы следует при расчетах исключать,
в каком количестве, в какой последовательности,
какие расчетные сочетания нагрузок принимать
для этого случая? Следует ли при этом учитывать
причину отказа, вид отказа и возможные его по-
следствия? При этом необходимо иметь в виду, что
каждое сооружение имеет некоторую вероятность
разрушения. Попытка приблизить эту вероят-
ность к нулю сопровождается стремлением сто-
имости сооружения к бесконечности [12]. Повы-
шенный уровень надежности уникального соору-
жения и обеспечивающий его перечень дополни-
тельных мероприятий должен быть обязательно
оговорен в «Техническом задании на проектирова-
ние», утверждаемом заказчиком.

Обеспечить существование уникального
большепролетного сооружения после отказа любо-
го конструктивного элемента невозможно (напри-
мер, опорный контур висячих или выпуклых обо-
лочек, несущие пилоны или подвески вантовых си-
стем и т.п.). Очевидно, что живучесть таких слож-
ных систем должна достигаться, в первую очередь,
необходимыми запасами несущей способности ос-
новных элементов конструкций [13], включая эле-
менты, обеспечивающие общую устойчивость со-
оружения, исключением прогрессирующего обру-
шения системы вследствие отказа второстепенных
элементов конструкции, узлов и деталей, а также
комплексом антитеррористических организацион-
ных мероприятий, как это делается в авиационном
транспорте или при охране ряда объектов.

8.	ВЫВОДЫ И РЕКОМЕНДАЦИИ

1.	К уникальным большепролетным объектам
относятся здания/сооружения с возможностью
одновременного пребывания в них людей числен-
ностью более 300 человек и отвечающих следую-
щим условиям:

•	пролет свыше 60 м при принципиально но-
вых конструктивных решениях, не прошедших ап-
робацию в практике строительства и эксплуатации;

•	пролет свыше 100 м при конструктивных
решениях, прошедших успешную апробацию в
практике проектирования, строительства и эксп-
луатации.

Такие сооружения имеют повышенный уро-
вень ответственности, их отказы могут привести к
тяжелым экономическим и социальным послед-
ствиям. В связи с этим следует учитывать допол-
нительные требования к их долговечности, номен-
клатуре и объемам изысканий и проектных работ,
изготовлению и монтажу конструкций, правилам
их приемки и эксплуатации.

2.	Проектирование уникальных сооружений
должно основываться на комплексном подходе
выбора рациональных конструктивных решений,
увязанных с функциональным назначением, архи-
тектурными решениями, методами изготовления и
монтажа, условиями эксплуатации. В полном
объеме должны выполняться требования надеж-
ности, технологичности и экономической эффек-
тивности, учитываться экологические и соци-
альные факторы.

3.	При проектировании уникальных сооруже-
ний возникают задачи, не нашедшие отражение в
существующих нормативных документах. Новизна
технических решений требует от инженера-конст-
руктора глубоких специальных знаний, практичес-
кого опыта, подтвержденных обязательным персо-
нальным лицензированием на право проектирова-
ния уникальных сооружений. Наиболее важной
особенностью процесса проектирования является
генерирование идей, основанных на творческом по-
тенциале проектировщика. Этот процесс не может
быть компьютеризирован, так как компьютер не
может предлагать новые решения.

4.	Процесс проектирования должен быть фор-
мализирован для его четкой организации, реше-
ния вопросов строгого контроля и приемки, мини-
мизации человеческих ошибок, обеспечения тре-
бований безопасности, эксплуатационной надеж-
ности и долговечности объекта. При всей непов-
торимости уникальных большепролетных соору-
жений процесс их проектирования должен вклю-
чать ряд необходимых этапов.

Обязательными документами являются ^Тех-
ническое задание на проектирование» и «Специ-
альные технические условия на проектирование»,
которые разрабатываются и согласовываются все-
ми участниками процесса проектирования, возве-
дения, приемки и эксплуатации уникального со-
оружения, включая инвестора, заказчика, ген- и
субподрядчиков. Этапам двустадийного проекти-
рования («Проект» и «Рабочая документация»)
обязательно должен предшествовать этап эскиз-
ного (вариантного) проектирования, включаю-
щий инженерный анализ аналогичных объектов с
большепролетными системами, разработку вари-
антов конструктивных решений, выбор основных
материалов, согласование противоречий между
различными разделами проекта, предварительный
технике-экономический анализ.

5.	Разработка проекта уникальных большеп-
ролетных сооружений требует учета специальных
факторов, таких как: статическая и динамическая
реакция сооружения на различные сочетания на-
грузок и воздействий, включая монтажные; мест-
ная и общая устойчивость системы в целом и от-
дельных структурных элементов; учет физической
и геометрической нелинейности, кратковремен-
ной и длительной ползучести; надежность и запа-
сы прочности материалов, в том числе усталост-
ной и т.п. Расчет уникальных сооружений следует
выполнять как единой пространственной системы,
включающей фундаменты, каркас, большепролет-
ное покрытие.

6.	Повышенный уровень надежности уни-
кального сооружения и обеспечивающий его пе-
речень дополнительных мероприятий должен
быть обязательно оговорен в «Техническом зада-
нии на проектирование», утверждаемом заказчи-
ком. Обеспечить существование уникального
большепролетного сооружения после отказа лю-
бого конструктивного элемента невозможно.
Очевидно, что живучесть таких сложных систем
должна достигаться, в первую очередь, необходи-
мыми запасами несущей способности основных
элементов конструкций, включая элементы, обес-
печивающие общую устойчивость сооружения;
исключением прогрессирующего обрушения си-
стемы вследствие отказа второстепенных элемен-
тов конструкции, узлов и деталей, а также комп-
лексом антитеррористических организационных
мероприятий.

7.	Проектирование уникальных сооружений
предполагает обязательное научно-техническое
сопровождение. Перечень опытно-конструкторс-
ких и исследовательских работ, определяющийся
«Специальными техническими условиями на проек-
тирование», обычно включает: продувки макета в
аэродинамической трубе и разработку рекоменда-
ций по назначению снеговых и ветровых нагрузок;
исследование физической модели; разработку ме-
тодики расчета, составление и исследование рас-
четной схемы, выполнение поверочных расчетов.
Кроме того, должны привлекаться научно-иссле-
довательские и специализированные организации
для научного сопровождения при изготовлении и
монтаже конструкций, разработке рекомендаций
по обеспечению жизнеспособности сооружения
при экстремальных ситуациях, в том числе проти-
вопожарные и антитеррористические мероприя-
тия; проведения мониторинга основных несущих
конструкций на стадии возведения и первых лет
эксплуатации.

8.	Для уникальных большепролетных соору-
жений обязательна независимая экспертиза за-

конченной «Рабочей документации» перед сдачей
ее в производство с целью повышения качества
проекта, исключения возможных грубых ошибок,
снижения вероятности возникновения аварийных
ситуаций. Экспертиза должна выполняться спе-
циалистами, имеющими практический опыт про-
ектирования сооружений подобного рода.

9.	Комплекс работ по проектированию уни-
кальных большепролетных сооружений требует
достаточного времени и объемов финансирования
(существенно превышающих эти параметры для
традиционных объектов) для обеспечения их ка-
чества, безопасности, эксплуатационной надежно-
сти и долговечности.

Следует иметь в виду, что многие, в том числе
важные, вопросы и определения возможно не на-
шли своего отражения в настоящей статье. Ее цель
предварительная постановка проблемы для об-
суждения заинтересованными лицами и организа-
циями необходимости разработки нормативного
или иного документа, регламентирующего основ-
ные требования по проектированию уникальных
большепролетных сооружений.

Литература

1.	СНиП 2.01.07-85*. Нагрузки и воздействия / Гос-
строй России. - ГУП ЦПП, 2003.

2.	National Building Code of Canada, 1990.

3.	ENV1991-2-7:1998. Eurocode 1: Basis of design and
actions on structures. Accidental actions due to impact
and explosions. — Brussels: CEN, 1998.

4.	Majowiecki. M. Conceptual design of long span
structures: a knowledge based synthetical approach.
University of Bologna, Italy. Proceedings of the IASS
Symposium October 7—11,1996. Stuttgart/Germany vol.I.

5.	Перелъмутер A.B. Избранные проблемы надежно-
сти и безопасности строительных конструкций. —
Киев: Изд-во УкрНИИпроектстальконструкция, 2000.
6. Никонов Н.Н. Большепролетные покрытия. Ана-
лиз и оценка. — М.: Изд-во АСВ, 2002.

7.	СНиП 11-01-95. Инструкция о порядке разработ-
ки, согласования, утверждения и составе проектной
документации на строительство предприятий, зданий
и сооружений / Минстрой России, 1985.

8.	Савельев В.А., Павлов А.Б., Малый В.И., Калашни-
ков Г.В. Некоторые соображения по поводу организа-
ции экспертизы проектов // Промышленное и граж-
данское строительство, 2004, № 5.

9.	ГОСТ 27751-88. Надежность строительных конст-
рукций и оснований. Основные положения по расчету.
10. DIN 1055-100. Нагрузки и воздействия.

11.	ANSI/ASCE 7-95. Нагрузки для зданий и соору-
жений.

12.	Райзер В.Д. Теория надежности в строительном
проектировании. — М: Изд-во АСВ, 1998.

13.	Перелъмутер А.В. Прогрессирующее обрушение
и методология проектирования конструкций // Сей-
смо-стойкое строительство. Безопасность сооруже-
ний, 2004. № 6.

© П.Г. Еремеев
ПАМЯТИ УЧЕНОГО

ПАМЯТИ

Николая Станиславовича
СТРЕЛЕЦКОГО

Природа-мать! Когда б таких людей ты иногда
не посылала миру — зачахла б нива жизни.

Н.А. Некрасов

15 сентября 2005 года исполняется 120 лет
со дня рождения Николая Станиславовича
Стрелецкого, крупнейшего специалиста в обла-
сти металлических строительных конструкций,
выдающегося ученого, инженера-конструкто-
ра, организатора и руководителя научных кол-
лективов, профессора, педагога-новатора выс-
шей школы, общественного деятеля.

Широкая эрудиция, светлый ум, аналити-
ческое мышление и огромное трудолюбие снис-
кали ему славу корифея строительной науки и
мировую известность. Он являлся заслуженным
деятелем науки и техники Российской Федера-
ции, членом-корреспондентом АН СССР, дей-
ствительным членом Академии строительства и
архитектуры, Героем Социалистического Труда,
ученым, отмеченным многочисленными прави-
тельственными наградами, среди которых три
ордена Ленина и два ордена Трудового Красно-
го Знамени.

Профессор, доктор технических наук Н.С.
Стрелецкий по праву считается создателем оте-
чественной школы проектирования и исследо-
вания металлических конструкций, которой
присущи следующие характерные черты:

•	органическая связь проектирования с
технологией изготовления и монтажа конст-
рукций;

•	максимальное приближение расчетной
модели к действительной работе конструкций
путем статистического изучения расчетных на-
грузок и сопротивления стали;

•	широкая оптимизация конструктивных
решений с целью минимизации расхода метал-
ла при минимальной трудоемкости изготовле-

ния и стоимости в деле или по приведенным
затратам;

•	учет многовариантности возможных
конструктивных форм с максимальным удов-
летворением эксплуатационных требований;

•	широкое использование эксперимен-
тальных исследований для тщательного учета
действительной работы конструкций и прогно-
зирования дальнейшего развития нормативной
базы проектирования.

Окончив в 1911 году Петербургский ин-
ститут инженеров путей сообщения, он как от-
личник учебы был командирован на два года в
Германию для совершенствования знаний в мо-
стостроении и расширения научно-техническо-
го кругозора в области немецкой проектно-кон-
структорской школы. Впоследствии Н.С. Стре-
лецким были учтены положительные и отрица-
тельные стороны этого опыта при разработке
основных направлений советской школы про-
ектирования.

По возвращении в Россию Н.С. Стрелец-
кий руководит проектированием ряда мостов и
туннелей, внося при этом элементы научного
исследования, выполняя анализ конструктив-
ных решений и проводя обобщения. В этот пе-
риод появились в печати его первые труды по
расчету безраскосных ферм (1913 г.), по исто-
рии развития подводных туннелей (1914 г.), по
конструкциям раскрывающихся мостов
(1915 г.) и др.

Большую инженерную и научную работу
Николай Станиславович сочетал с педагоги-
ческой деятельностью на инженерно-строи-
тельном факультете МВТУ, ас!917по 1928 год
он преподавал также в Московском институте
инженеров железнодорожного транспорта.

С 1918 года Н.С. Стрелецкий возглавляет
исследовательскую работу по мостам в научно-
экспериментальном институте путей сообще-
ния НКПС. Благодаря его инициативе в усло-
виях экономической разрухи в нашей стране
были организованы экспериментальные иссле-
дования мостовых конструкций силами трех
подвижных мостоиспытательных станций, в
которых Н.С. Стрелецкий принимал непосред-
ственное участие, проявляя при этом организа-
торские и творческие способности.

Эти исследования, продолжавшиеся под
его руководством 12 лет, дали обширный экс-
периментальный материал для оценки факти-
ческой работы мостовых конструкций и от-
дельных их элементов при статических и дина-
мических нагрузках. Публикации результатов
25 исследований самого Николая Станиславо-
вича явились основополагающим материалом в
части создания отечественной школы экспери-
ментального изучения работы конструкций, их
фактического напряженного состояния, приро-
ды динамического коэффициента, декрементов
затухания, конструктивных факторов, допол-
нительных напряжений и пр. Обобщив резуль-
таты экспериментальных исследований, Н.С.
Стрелецкий использовал их в технических ус-
ловиях на проектирование мостов (1921 и 1925
гг.), определивших техническую политику в
мостостроении на четверть века.

В 1927 году им были разработаны проекты
железнодорожных мостов для Закавказской и
Китайско-Восточной железных дорог, а также ре-
кордные по величине пролета мосты через ста-
рый и новый Днепр. В этих сооружениях впер-
вые применены низколегированные стали повы-
шенной прочности, что определило важнейшее
направление в строительстве по повышению ка-
чества, снижению массы и стоимости сооруже-
ний. В эти же годы Н.С. Стрелецкий внес замет-
ный вклад в развитие вантового мостостроения.
По его проекту был сооружен 80-метровый авто-
дорожный мост в Закавказье (1930 г.).

Несмотря на большую занятость научны-
ми проблемами мостостроения, за период
1925—1931 годов Н.С. Стрелецкий написал
фундаментальный «Курс мостов» в трех томах,
где рассмотрены конструкции мостов различ-
ных систем и форм с использованием получен-
ных им экспериментальных данных. Среди бо-
лее чем 30 работ, опубликованных Н.С. Стре-
лецким в рассматриваемый период, следует от-

метить опубликованную в 1926 г. монографию
«Законы изменения веса металлических про-
летных строений мостов», где впервые им был
предложен аналитический метод изучения веса
мостовых конструкций с использованием тео-
ретических коэффициентов массы и поправоч-
ных конструктивных коэффициентов.

Следующий период деятельности Н.С.
Стрелецкого характеризуется широким кругом
вопросов, связанных с бурным развитием про-
мышленного строительства в годы первых пя-
тилеток. Под влиянием результатов, достигну-
тых в мостостроении, с 1927 года начали прово-
диться испытания и промышленных сооруже-
ний, для чего был организован научно-исследо-
вательский институт промышленных сооруже-
ний (ныне существующий ЦНИИСК им.
В.А. Кучеренко), директором которого в 1933—
1937 годах был Н.С. Стрелецкий.

В 1930 году на базе инженерно-строитель-
ного факультета МВТУ было создано Высшее
инженерно-строительное училище, преобразо-
ванное в 1932 году в Московский инженерно-
строительный институт (ныне МГСУ), кафед-
ру металлических конструкций которого воз-
главил Н.С. Стрелецкий и бессменно ею руко-
водил до конца жизни.

Сосредоточив свою научную деятельность
на этой кафедре, он продолжал развивать тема-
тику экспериментальных исследований метал-
лических конструкций. Учитывая важность за-
дачи подготовки высококвалифицированных
кадров инженеров-строителей, он уделял огром-
ное внимание становлению учебного процесса.

В связи с недостаточностью учебной лите-
ратуры и большими масштабами строитель-
ства, Н.С. Стрелецкий в соавторстве с А.Н. Ге-
ниевым написал в 1935 году первый в стране
учебник для вузов «Основы металлических
конструкций», получивший огромную попу-
лярность в инженерной среде.

Во второй половине 30-х годов работа по
созданию нового учебника по стальным конст-
рукциям была продолжена с использованием
последних достижений отечественной и зару-
бежной науки, завершившаяся опубликовани-
ем в 1940 году «Курса металлических конструк-
ций», являющегося настольной книгой инже-
неров-металлистов и в настоящее время. Про-
должение этого учебника в виде III части под
названием «Металлические конструкции спе-
циальных сооружений», подготовленное Н.С.
Стрелецким, было издано во время войны, в
1944 году.
В целом, написанный Н.С. Стрелецким в
соавторстве с А.Н. Гениевым и В.А. Балдиным
фундаментальный трехтомный труд объемом
115 печатных листов считается классическим
как в отечественной, так и в зарубежной техни-
ческой литературе. Принятые в нем методичес-
кие установки являются в настоящее время ос-
новой программы изучения металлических
конструкций в строительных вузах России.

В расцвете своих жизненных сил Н.С.
Стрелецкий активно работает над составлени-
ем норм и технических условий по проектиро-
ванию металлических конструкций (1930,1934,
1942 гг.) и дает глубокое и четкое аналитичес-
кое обоснование поднимаемых вопросов в сво-
их научных исследованиях, более половины
которых (около 40 публикаций) касаются ме-
таллических конструкций промышленных зда-
ний. Это и проблема коэффициента запаса,
учитываемого при расчете конструкций по до-
пускаемым напряжениям, и учет пластических
деформаций в оценке несущей способности
элементов, и вопросы оптимизации конструк-
тивной формы промышленных сооружений, и
проблема экономии металла.

В этот период Николай Станиславович со-
четает научную и педагогическую деятельность
с активной инженерной и общественной рабо-
той. Как ведущий консультант в области про-
ектирования стальных конструкций он поддер-
живает систематическую связь с институтом
Проектстальконструкция, руководя проекти-
рованием мостового перегружателя для Магни-
тогорского металлургического комбината
(1932 г.), металлических мостов через канал им.
Москвы (1933—37 г.г.), Б. Каменного, Б. Усть-
инского и Краснохолмского мостов (1936—
1938 гг.), типовых элементов для восстановле-
ния промышленных зданий (1941 г.) и пр.

Кроме того, еще в 1927 году с момента воз-
никновения научно-технического общества
строительной индустрии Николай Станисла-
вович был избран бессменным председателем
секции металлических конструкций и этой ра-
боте он уделял много времени, а с 1931 года
Н.С. Стрелецкий — бессменный председатель
комиссии по пересмотру и совершенствова-
нию норм проектирования металлических
конструкций.

Являясь председателем и участником мно-
гих советов, комиссий, научных конференций
и симпозиумов, он оказывал решающее влия-
ние на научно-техническую политику в облас-
ти металлостроительства нашей страны. Сам
Николай Станиславович считал, что этот «тре-

угольник» (МИСИ - ЦНИИСК - ПСК),
объединяющий подготовку кадров, науку и
проектирование, обеспечивает прогресс всего
металлостроительства, чему он уделял самое
пристальное внимание. Так, в монографии
«Новые идеи и возможности в металлических
промышленных конструкциях» (1934 г.) и в
ряде предшествующих работ Н.С. Стрелецкий
наметил возможные направления усовершен-
ствования и повышения эффективности конст-
рукций. По инициативе Н.С. Стрелецкого по-
явились прутковые и шпренгельные прогоны,
новые типы подкрановых балок и ригелей рам
промышленных зданий. В последующих рабо-
тах он существенным образом развил теорию
расчета ферм и детально исследовал процесс
разрушения статически неопределимых систем
при циклической нагрузке.

В годы Великой Отечественной войны Ни-
колай Станиславович внес обоснованное пред-
ложение о возможности повышения допускае-
мых напряжений в металлических конструкци-
ях, что привело к существенному снижению де-
фицита металла, остро ощущаемого в то время.

В этот период он ведет педагогическую ра-
боту в г. Новосибирске, куда был эвакуирован
институт. В трудных условиях, возглавляя
МИСИ, Н.С. Стрелецкий сумел организовать
непрерывную работу по подготовке и выпуску
нужных стране кадров инженеров-строителей.
Это он организовывает студенческие отряды
по строительству землянок под общежитие и
столовую и принимает непосредственное уча-
стие в сельскохозяйственных работах коллек-
тива летом 1942 года.

В послевоенные годы Н.С. Стрелецкий про-
должает сочетать научную и педагогическую де-
ятельность с активной инженерной работой. На-
учная деятельность Николая Станиславовича
завершается в 60-х годах созданием в нашей
стране нового метода расчета строительных кон-
струкций по предельным состояниям. В процес-
се разработки этого метода расчета
Н.С. Стрелецкий провел большую дипломати-
ческую работу в рамках комиссии «Междуна-
родного совета по строительству» с целью уре-
гулирования спорных вопросов методики расче-
та с иностранными специалистами, что позволи-
ло в кратчайшие сроки внедрить плодотворные
идеи во всемирную практику строительства. В
частности, в 1956 году Н.С. Стрелецкий высту-
пает с докладом на Международном конгрессе
по мостам в Лиссабоне, а в 1958 году — на Мос-
ковском международном симпозиуме, посвя-
щенном новым методам расчета конструкций.
Одновременно с этим Н.С. Стрелецкий
возглавляет работу по созданию норм и техни-
ческих условий по проектированию металли-
ческих конструкций, появившихся в 1946, 1955
и 1962 годах, и в то же время возглавляет ка-
федру металлических конструкций МИСИ. По
инициативе Николая Станиславовича при ка-
федре организовывается сварочная лаборато-
рия (1953 г.), выездная испытательная станция
(1958 г.), лаборатория долговечности (1960 г.)
и лаборатория прочности сварных соединений
(1961 г.). Эти структуры выполняли работы по
созданию новых форм металлических конст-
рукций, являлись экспериментальной базой
для совершенствования методов расчета и ре-
шения других вопросов проектирования, а так-
же изучения их действительной работы.

В результате кафедра превратилась в куз-
ницу научных кадров нашей страны, а также
молодых специалистов высокой квалификации
для зарубежных стран. Многие из учеников
Николая Станиславовича (только на кафедре
под его руководством защитили свои диссерта-
ции более 20 сотрудников) стали профессора-
ми, докторами технических наук, руководите-
лями кафедр вузов страны и других научно-ис-
следовательских учреждений.

Николай Станиславович осуществлял тес-
ную связь научной, педагогической и инженер-
ной деятельности всего коллектива возглавля-
емой им кафедры. Для этого систематически
проводились научно-технические семинары, на
которых работники научных, проектных и про-
изводственных организаций, а также сотрудни-
ки кафедры делали сообщения о своих работах,
что способствовало широкому ознакомлению с
достижениями в металлостроительстве всех
участников семинаров при многолюдном и ак-
тивном посещении. На кафедре также работал
и аспирантский семинар, на котором проходи-
ло обсуждение пробных лекций аспирантов и
контролировался ход выполнения научных ис-
следований. В результате только за период с
1959 по 1967 год защитили свои диссертации 34
аспиранта кафедры. Для углубления теорети-
ческой подготовки аспирантов были изданы
две монографии Н.С. Стрелецкого: «Работа
стали в строительных конструкциях» (1956 г.)
и «Работа сжатых стоек» (1959 г.).

В 1948 года выходит из печати первый пос-
левоенный учебник «Стальные конструкции»
под редакцией Н.С. Стрелецкого, а в 1952 году
— второе издание этого учебника, в котором
расчеты по новой методике предельных состо-
яний рассматривались наравне с официально

действовавшей до 1955 г. методикой допускае-
мых напряжений. Этот учебник был переведен
на китайский и несколько европейских языков.
В 1961 г. вышло в свет 3-е издание учебника
«Металлические конструкции» под редакцией
Н.С. Стрелецкого, в который вошла глава «Ос-
новы экономики стальных конструкций», пред-
ставляющая большую практическую и науч-
ную ценность. В ней излагается методика реше-
ния вопросов по снижению стоимости сталь-
ных конструкций с ясной аналитической фор-
мой зависимости параметров и указанием важ-
нейших закономерностей.

Освещению этой проблемы предшествовала
10 летняя научная деятельность Н.С. Стрелецко-
го в области типизации, оптимизации и экономи-
ки металлических конструкций. Более подробно
и всесторонне в обобщенной форме вопросы эко-
номики освещены в опубликованном труде Н.С.
Стрелецкого в соавторстве с Д.Н. Стрелецким
«Проектирование и изготовление экономичных
металлических конструкций (1964 г.).

В 1965 г. был выпущен спецкурс «Метал-
лические конструкции» под редакцией Н.С.
Стрелецкого, в котором сотрудниками кафед-
ры дано изложение сложных вопросов проек-
тирования, не нашедших отражения в основ-
ном учебнике. Несколько последних статей
Николая Станиславовича опубликованы в
сборниках трудов ЦНИИПСК за 1965, 1966 и
1967 годы.

В 1966 году Н.С. Стрелецкий организует в
МИСИ научный коллоквиум, на котором он де-
лает свой последний доклад «К вопросу развития
методики расчета по предельным состояниям».

Скончался Николай Станиславович 15
февраля 1967 года, оставив после себя огром-
ное наследство в виде построенных им соору-
жений, более 200 публикаций и тысячи своих
учеников и последователей. Все это и составля-
ет школу металлостроителей нашей страны.

Из представленного краткого и далеко не
полного описания жизненного пути Николая
Станиславовича, его более чем полувековой
опыт плодотворной научной, педагогической и
инженерной деятельности виден титанический
труд этого Человека, человека с большой бук-
вы. По прошествии почти 40 лет каждый, кто
был с ним лично знаком, ощущает его добрую
энергетику и вспоминает его ласковый прищу-
ренный взгляд, тихий голос, заливистый смех,
душевную доброту и щедрость могучего ума.

Коллектив кафедры металлических
конструкций МГСУ {МИСИ)
СОДЕРЖАНИЕ

Теорию расчета и практику строительства — на новый уровень..................2

РАСЧЕТЫ НА ПРОЧНОСТЬ

Залесов А.С., Мухамедиев Т.А., Чистяков Е.А. Учет физической нелинейности
при расчете железобетонных монолитных конструкций высотных зданий...........4

Шугаев В.В., Соколов Б.С. Расчет несущей способности гладких
и ребристых железобетонных оболочек методом предельного равновесия в нелинейной
постановке..................................................................8

РАСЧЕТЫ НА УСТОЙЧИВОСТЬ

Игнатьев В.А., Макаров А.В. Решение неполной алгебраической проблемы собственных
векторов и собственных значений для задач динамики и устойчивости методом частотно-

динамической конденсации........................................................14

Нефедов С.С. Явление неустойчивости железобетонной защитой оболочки АЭС
при воздействии внутреннего давления............................................20

Васильков Г.В., Забара Ю.А. Новые числа золотой пропорции и геометрическая
соразмерность плит перекрытия...................................................25

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ

Андреев В.И. Численно-аналитический метод решения задач теории упругости
неоднородных тел. Часть 1................................................32

Гениев Г. А., Пятикрестовский К.П., Колчунов В.И., Клюева Н.В. Общее решение задачи

теории предельного состояния льда при плоской деформации.................40

ДИНАМИЧЕСКИЕ РАСЧЕТЫ

Расторгуев Б.С, Адаменко А.И. Расчет пространственных железобетонных конструкций

при действии статической и кратковременной динамической нагрузок...............45

Егорычев О.А., Егорычев О.О. Методы исследования поперечных колебаний пластин
на основе различных приближенных теорий........................................51

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

Золотов А.Б., Акимов П.А. О задачах расчета конструкций с постоянными
физико-геометрическими характеристиками по одному из направлений

в аналитических и дискретно-континуальных формах.............................. 56

Белов М.В., Раевский А.Н. Идея метода предельного равновесия в конечно-элементной
постановке задачи с использованием линейного программирования..................61

В ПОМОЩЬ ПРОЕКТИРОВЩИКУ

Одесский П.Д. Аварийное предельное состояние и требования

к сталям для уникальных конструкций..........................................66

Еремеев П.Г. Особенности проектирования уникальных большепролетных
зданий и сооружений..........................................................69

ПАМЯТИ УЧЕНОГО

Стрелецкий Н.С. — 120 лет со дня рождения..............................76
ISSN 0039-2383

СТРОИТЕЛЬНАЯ МЕХАНИКА
И РАСЧЕТ СООРУЖЕНИЙ
Федеральное государственное унитарное предприятие
Научно-исследовательский центр

«СТРОИТЕЛЬСТВО»

г. Москва

И.о. генерального директора
Зацаринский

Николай Васильевич

ФГУП НИЦ «Строительство» выполнены работы по
реконструкции, повышению несущей способности и
обеспечению эксплуатационной надежности конструк-
ций уникальных объектов культурного и общественного
назначения:

Основными направлениями деятельности являются:

•	Развитие теории расчета конструкций, зданий и сооруже-
ний, их прочности и надежности;

•	Развитие теории динамики, решение практических задач
виброзащиты, сейсмостойкости зданий и сооружений;

•	Решение проблем строительства в экстремальных услови-
ях и защиты зданий и населенных пунктов от стихийных и
техногенных воздействий, в том числе пожаров;

•	Решение практических задач реконструкции и реновации
жилых, общественных и промышленных зданий и усиле-
ния их конструктивных элементов;

•	Создание новых технологий получения строительных
материалов, изделий и конструкций, в том числе защитных
огне- и биопокрытий, высокопрочных экологически чис-
тых клеев, эффективных утеплителей и т.п.;

•	газраоотка технических регламентов, государственных
стандартов и других нормативных документов;

Выполнение сертификационных испытаний и экспертиз, в
том числе для целей лицензирования государственными
органами;

Выдача сертификатов соответствия на строительные мате-
риалы, изделия и конструкции (по системам сертификации
ГОСТ РОССИИ и Мосстройсертификации);

Мониторинг;

Научно-техническое сопровождение строительства уни-
кальных зданий и сооружений.

Л ь

ЦВЗ «Манеж»;

Останкинская телебашня;

Государственный Кремле вский Дворец;

Театр драмы в г. Горно-Алтайск;

Скульптура «Рабочий и Колхозница»;

Театр им. Станиславского и Немировича-Данченко;

Петровский путевой дворец;

Резиденция посла США в Спасо-Песковском пер.;

Собор Сретенского монастыря;

Ледовый Дворец «Подмосковье», г. Воскресенск;

Колокольня Свято-Троицкой Сергиевой Лавры;

Московский планетарий и другие объекты.



В состав Федерального государственного унитарного
предприятия «Научно-исследовательский центр
«Строительство» входят следующие филиалы:

-	Центральный научно-исследовательский институт
строительных конструкций (ЦНИИСК)
им. В.А. Кучеренко;

-	Научно-исследовательский, проектно-
конструкторский и технологический институт
бетона и железобетона (НИИЖБ);

-	Научно-исследовательский, проектов- н. п
изыскательский, конструкторско-технологический
институт оснований и подземнгдестору ЖениЛ
(НИИОСП) им. Н.М. Герсеванона;

-	Завод «Зокио».

Адрес: Москвоская область, С$рг<йво-Г1осадйсий р-н,
Загорские дали, стр. 1-7. Тел. (0951170-15-48,172-43-80

B2J


ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ СТАТЕЙ

При подготовке статей, направляемых для опубликования в нашем журнале, необходимо
руководствоваться изложенными ниже рекомендациями:

1.	В статье расчетного характера, во вводной части, должно быть указано, в чем новиз-
на предлагаемого способа расчета и его преимущества по сравнению с известными спосо-
бами. При изложении материала следует описать применяемый метод решения и привести
основные формулы ( исходные и заключительные ) с минимальным количеством промежу-
точных выкладок.

2.	Все статьи должны заканчиваться выводами практического характера и указанием
области применения полученных результатов.

3.	К статье прикладывается реферат размером не более 1/3 страницы.

4.	Автор предоставляет оригинал статьи в электронном виде (Microsoft Word 2000 или
Microsoft Word 2002), шрифт «Times New Roman 10» через один интервал. Формулы реко-
мендуется набирать в стандартном «Редакторе формул», входящем в Microsoft Word. С
целью избежания опечаток, редакция рекомендует использовать настройки «Редактора фор-
мул» изображенных на рис.1. Для того чтобы войти в настройки, вам необходимо, при акти-
вированном «Редакторе формул», в верхнем горизонтальном меню выбрать пункт «Размер»
и выбрать в нем строку «Определить» рис.2

Размеры

Обычный	8,5 пт
Крупный индекс	6 пт
Мелкий индекс	6 пт
Крупный символ	15 пт
Мелкий символ	10 пт

L

Рис. 1

Применить
t Я t Я III 111П1111111 > 111ПII11111 liii 11.till

По умолчанию

^УАДАА*.ЛААЛАЛАА*AAAAZ—\ЛА/

Отмена

Формат Стиль Размер Окно Справка

ЖНШ4НИ1Ж1 1ФМ HI Ml ItH I WtmmililUllltlC

I Г .	. I . ч/ Обычный

°	Крупный индекс	।

------------------ Мелкий индекс

Крупный символ
Мелкий символ

Другой...

Определить.».

irZZZZZZZZZZZZZJ^ZZZZZZ ZZZ Z/Jf

*

5. Графический материал, по возможности, прось-
ба дополнительно записывать отдельными файлами
(tif, cdr, xls) и высылать их отдельным архивом вместе
со статьёй. Это позволит увеличить качество поясни-
тельных рисунков, во время печати.

Формула

аЪ

Рис. 2







6. На отдельном листе сообщаються сведения об авторах: фамилия, имя, отчество (пол-
ностью), ученая степень и звание, место работы, адрес, телефон, адрес электронной почты
(обязательно) для связи.

Наличие бумажного оригинала уменьшит возможность опечаток.

В случае невозможности передачи бумажного оригинала (статья отправляеться по элек-
тронной почте), сопровождайте файл Microsoft Word, файлом с расширением *.pdf. Вопросы
связанные с данным форматом присылайте на адрес stroymex@list.ru