/
Автор: Цлаф Л.Я.
Теги: математика
Текст
Л.Я.Цлаф
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Существующие справочники, рассчитанные на инженеров и студентов, не
содержат сведений по вариационному исчислению и интегральным уравнениям.
Между тем эти разделы высшей математики широко используются в
исследовательской работе и вошли уже в число математических дисциплин,
изучаемых в ряде технических учебных заведений. Данное справочное
руководство имеет своей целью восполнить указанный пробел.
Книга содержит основные сведения из вариационного исчисления и теории
интегральных уравнений и их приложений к некоторым вопросам механики и
математической физики. Даются также краткие сведения о принципе максимума
Л. С. Понтрягина, принципе оптимальности Р. Веллмана и др. Отдельные
положения теории поясняются примерами и решениями задач.
Предлагаемое издание содержит ряд дополнений по сравнению с
предыдущим: необходимые и достаточные условия экстремума в разрывных
задачах с подвижными концами в пространстве, сведения из теории экстремума
функционалов в линейных нормированных пространствах, экстремальные
свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма —
Лиубилля и др.
Книга предназначается для инженеров, экономистов, а также для студентов и
аспирантов высших технических учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
.Предисловие ко второму изданию 8
Предисловие к первому изданию 9
Глава I. Вариационное исчисление 11
§ 0. Введение 11
КОД. Функционал (И). КО.2. Предмет вариационного исчисления
(И). 1.0.3. Некоторые определении и обозначения (12).
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления. Необходимые условия 14
экстремума
1.1.1. Постановка задачи (14). 1.1.2. Первая и вторая вариации
функционала (11). 1.1.3. Первое необходимое условие экстремума.
Дифференциальное уравнение Эйлера— Лагранжа. Экстремали (15).
1.1.4. Регулярные (или неособенные) экстремали (16). 1.1.5. Случаи
понижения порядка уравнения Эйлера— Лагранжа (17). 1.1.6.
Условия Вейерштрасса— Эрдмана. Ломаные экстремали (18). 1.1.7.
Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (18).
1.1.8. Третье необходимое условие экстремума — условие
Вейерштрасса (19). 1.1.9. Четвертое необходимое условие экстремума
— условие Якоби (19). 1.1.10. Инвариантность уравнения Эйлера —
Лагранжа (20).
§ 2. Вариационные задачи с подвижными концами 20
1.2.1. Постановка задачи (20). 1.2.2. Вспомогательная формула (21).
1.2.3. Условие трансверсальности (22). 1.2.4. Трансверсальность и
ортогональность (23).
§ 3. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от 23
нескольких функций
1.3.1. Постановка задачи (23). 1.3.2. Первое необходимое условие
экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа. Экстремали (24). 1.3.3.
Условия Вейерштрасса— Эрдмана. Ломаные экстремали (24). 1.3.4.
Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра (24).
1.3.5. Третье необходимое условие экстремума — условие
Вейерштрасса (25). 1.3.6. Четвертое необходимое условие
экстремума—условие Якоби (25). 1.3.7. Условие трансверсальности
(25).
§ 4. Необходимые условия экстремума функционала, содержащего 26
производные высших порядков,
1.4.1. Постановка задачи (26). 1.4.2. Первое необходимое условие
экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера-Пуассона.
Экстремали (26). 1.4.3. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера-
Пуассона (27). 1.4.4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче на
условный экстремум. Дальнейшие необходимые условия (27). 1.4.5.
Условие трансверсальности (28).
§ 5. Вариационные задачи в параметрической форме 29
1.5.1. Параметрическое задание линий (29). 1.5.2. Функционалы от
линий. Сильные и слабые окрестности (29). 1.53. Первое необходимое
условие экстремума. Уравнения Эйлера — Лагранжа (30). 1.5.4.
Вейерштрассова форма уравнений Эйлера— Лагранжа. Экстремали
(31). 1.5.5. УсловиеВейерштрасса — Эрдмана(31). 1.5.6. Второе
необходимое условие экстремума (аналог условия Лежандра) (32).
1.5.7. Третье необходимое условие экстремума — условие
Вейерштрасса (32). 1.5.8. Четвертое необходимое условие экстремума
— условие Якоби 133). 1.5.9. Условия трансверсальности (33).
§ 6. Разрывные задачи. Односторонние экстремумы 34
1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего функционала
(34). 1.6.2. Разрывные задачи второго рода (35). 1.6.3. Разрывные
задачи для функционала, зависящего от нескольких функций (36).
1.6.4. Разрывные задачи с подвижными концами в пространстве (37).
1.6.5. Односторонние экстремумы (39).
§ 7. Канонические уравнения. Теория Гамильтона — Якоби 41
1.7.1. Каноническая или гамильтонова форма уравнении Эйлера (41).
1.7.2. Первые интегралы канонической системы (42). 1.7.3. Теорема Э.
Нётер (43). 1.7.4. Уравнение Гамильтона — Якоби. Теорема Якоби
(44). 1.7.5. Канонические преобразования (45).
§ 8. Некоторые сведения из теории поля экстремалей 46
1.8.1. Геодезическое расстояние и его производные (46). 1.8.2. Поле
экстремалей (48). 1.8.3. Выражение геодезического расстояния между
двумя точками через инвариантный интеграл Гильберта (48). 1.8.4.
Другие определения поля (50). 1.8.5. Условия Лежандра и Якоби
включения экстремамали функционала
в поле (50). 1.8.6.
Построение полей экстремалей для некоторых вариационных задач с
подвижными концами (51). 1.8.7. Определение поля для
вариационных задач в параметрической форме (52).
§ 9. Достаточные условия экстремума 52
1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса (52). 1.9.2. Упрощенное
достаточное условие сильного экстремума (55). 1.9.3. Достаточные
условия сильного экстремума в задачах с подвижными концами (55).
1.9.4. Достаточные условия слабого экстремума функционала,
зависящего от нескольких функций (56). 1.9.5. Достаточные условия
экстремума для вариационных задач в параметрической форме (57).
§10. Вариационные задачи с частными производными 58
1.10.1. Первое необходимое условие. Уравнение Эйлера —
Остроградского (58). 1.10.2. Инвариантность уравнения Эйлера —
Остроградского (59). 1.10.3. Второе необходимое условие для
экстремума двойного интеграла (аналог условия Лежандра) (59).
1.10.4. Вариация функционала с переменной областью
интегрирования (60). 1.10.5. Инвариантные вариационные задачи.
Теорема Э. Нётер (61). 1.10.6. Разрывная задача первого рода (62).
§11. Вариационные задачи на условный экстремум 64
1.11.1. Изопериметрическая задача (64). 1.11.2. Правило множителей
(65). 1.11.3. Условия трансверсальности (66). 1.11.4. Необходимое
условие Клебша (67). 1.11.5. Необходимое условие Якоби (67). 1.11.6.
Достаточные условия экстремума в изопериметрической задаче (69).
1.11.7. Задачи Лагранжа, Манера и Больца (69). 1.11.8. Связь задач
изопериметрической, Лагранжа, Майера и Больца (73). 1.М.9. Правило
множителей для задач Лагранжа, Майера и Больца (74). 1.11.10.
Условия трансверсальности (76). 1.11.11. Необходимые условия
экстремума Вейерштрасса и Клебша (76). 1.11.12. Вторая вариация в
задаче Больца (77). 1.11.13. Присоединенная или акцессорная задача
Больца (77). 1.11.14. Достаточные условия сильного относительного
минимума (78). 1.11.15. Условие Якоби положительной
определенности второй вариации (79).
§12. Оптимальные принципы 70
1.12.1. Принцип максимума Понтрягина. Постановка задачи (79).
1.12.2. Формулировка принципа максимума (81). 1.12.3. Принцип
максимума и вариационное исчисление (82). 1.12.4. Принцип
оптимальности Веллмана (динамическое программирование) (84).
1.12.5. Вариационное исчисление и принцип оптимальности Веллмана
(85). 1.12.6. Связь динамического программирования с задачами
условного экстремума и принципом максимума (86).
§13 . Линейное программирование 88
1.13.1. Постановка задачи (88). 1.13.2. Геометрическая интерпретация
(88). 1.13.3. Симплекс-метод (89). 1.13.4. Связь с динамическим
программированием (90).
§14 . Прямые методы вариационного исчисления 91
1.14.1. Постановка задачи (91). 1.14.2. Метод Ритца. Примеры (92).
1.14.3. Метод конечных разностей (96).
§15 . Некоторые сведения из теории экстремума функционалов в линейных 97
нормированных пространствах
1.15.1. Линейные нормированные пространства (97). 1.15.2. Фактор-
пространство (98). 1.15.3. Линейные функционалы (98). 1.15.4.
Билинейные и квадратичные функционалы (99). 1.15.5.
Дифференцируемые функционалы (99). 1.15.6. Второй дифференциал
функционала (101). 1.15.7. Необходимые условия экстремума (101).
1.15.8. Достаточные условия экстремума (102). 1.15.9.
Изопериметрическая задача. Правило множителей (202). 1.15.10.
Общая задача на условный экстремум (103).
Глава II. Интегральные уравнения 105
§ 0. Введение 105
2.0.1. Определение. Примеры (105). 2.0.2. Классификация
интегральных уравнений (107). 2.0.3. Сведения об интеграле Лебега
(108). 2.0.4. Последовательности и ряды ортогональных функций
(И2).
§ 1. Интегральные уравнения Вольтерра 114
2.1.1. Теоремы существования и единственности (114). 2.1.2. Метод
последовательных приближений (114). 2.1.3. Связь уравнения
Вольтерра с дифференциальными уравнениями (116). 2.1.4.
Уравнения Вольтерра первого рода (116).
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода 117
2.2.1. Теоремы существования и единственности решения (117). 2.2.2.
Метод последовательных приближений (118). 2.2.3. Уравнения
Фредгольма с вырожденным ядром (119). 2.2.4. Аппроксимация
невырожденного ядра вырожденным (120). 2.2.5. Теоремы
Фредгольма (122).
§ 3. Симметричные интегральные уравнения 123
2.3.1. Существование характеристического числа ( 1 23). 2.3.2.
Ортогональность собственных функций (123). 2.3.3. Действительность
характеристических чисел (124). 2.3.4. Ортогонализация собственных
функций (125). 2.3.5. Количество собственных функций,
соответствующих характеристическому числу, и распределение
характеристических чисел (126). 2.3.6. Билинейная формула (127).
2.3.7. Теорема Гильберта—Шмидта (129). 2.3.8.Билинейные ряды
итерированных ядер (129). 2.3.9. Решение неоднородного уравнения
(130). 2.3.10. Альтернатива Фредгольма для симметричных
интегральных уравнений (131). 2.3.11. Экстремальные свойства
характеристических чисел и собственных функций (131).
§ 4. Интегральные преобразования и интегральные уравнения 133
2.4.1. Преобразование Фурье (133). 2.4.2. Преобразование Лапласа
(136).
§ 5. Уравнения Фредгольма первого рода 138
2.5.1. Теорема Пикара (138). 2.5.2. Метод последовательных
приближений (138). 2.5.3. Решение некоторых интегральных
уравнений первого рода (139).
§ 6. Приближенные методы решения интегральных уравнений 140
2.6.1. Метод последовательных приближений решения уравнения
Фредгольма второго рода (140). 2.6.2. Метод механических квадратур
(140). 2.6.3. Метод наименьших квадратов и метод Галёркина (141).
2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел (142).
§ 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения 143
2.7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра (143). 2.7.2. Уравнения типа
Гаммерштейна (143). 2.7.3. Бифуркация решений (144).
§ 8. Сингулярные интегральные уравнения 145
2.8.1. Главное значение несобственного интеграла (145). 2.8.2.
Преобразование Гильберта — М. Рисса (146). 2.8.3. Сингулярное
интегральное уравнение Гильберта (147). 2.8.4. Сингулярное
интегральное уравнение с ядром Коши (148).
Глава III. Некоторые приложения вариационного исчисления и 149
интегральных уравнений
§ 0. Введение 149
3.0.1. Содержание главы (149).
§ 1. Задачи о геодезических 149
3. 1.1. Задача о геодезических в трехмерном евклидовом пространстве
(149 ). 3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверхность
задана параметрическими уравнениями (151). 3.1.3. Отыскание
геодезических на римановых многообразиях (152).
§ 2. Вариационнные принципы механики 153
3.2.1. Принцип Гамильтона— Остроградского (153). 3.2.2. Принцип
наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби (156). 3.2.3.
Принцип наименьшего действия и его связь с теорией геодезических
(157). 3.2.4. Вывод уравнения малых колебаний струны (157). 3.2.5.
Вывод уравнения колебаний мембраны (159). 3.2.6. Вывод уравнения
колебаний стержня, заделанного на концах (160).
§ 3. Задача Штурма — Лиувилля 161
3.3.1. Постановка задачи (161). 3.3.2. Задача Штурма — Лиувилля
(162). 3.3.3. Формула Грина. Самосопряженные краевые задачи (163).
3.3.4, Функция Грина самосопряженной краевой задачи Штурма —
Лиувилля (164). 3.3.5. Теорема Гильберта (167). 3.3.6.
Эквивалентность самосопряженной задачи Штурма— Лиувилля
симметричному интегральному уравнению (167). 8.3.7. Свойства
собственных значений и собственных функций самосопряженной
задачи Штурма — Лиувилля (168). 3.3.8. Знак собственных значений
(169). 3.3.9. Неоднородная краевая задача (170). 3.3.10. Обобщенная
функция Грина (170). 3.3.11. Экстремальные свойства собственных
значений и собственных функций (173). 3.3.12. Метод Ритца (176).
3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей задаче
вариационного исчисления (179).
Литература 181
Предметный указатель 185
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля задача 106
— интегральное уравнение 107
Альтернатива Фредгольма 123
— — для симметричных
интегральных уравнений 131
Банаха пространство 97
Веллмана принцип оптимальности 85
Бесселя неравенство ИЗ
Билинейная формула 127
Билинейные ряды 129
Билинейный функционал 99
Бифуркация решений 144
Больца задача 71—74
Вариационная задача в
параметрической форме 29, 52,
57
----инвариантная 62
----линейная 93
----на условный экстремум 64
----простейшая 14
----с подвижными концами 20—23
Вариационное исчисление И, 12, 83,
85
----, прямые методы 92
Вариация функционала вторая 15,
179
----первая 15
— — с переменной областью
интегрирования 60
Вейерштрасса условие экстремума
достаточное 53
-------необходимое 19, 25, 32, 76
Вейерштрасса условие экстремума
усиленное 69
— форма уравнений Эйлера—
Лагранжа 31
— формула 32
— функция 19, 32
Вейерштрасса—Эрдмана условия 18,
64
(аналог) Вольтерра уравнение 108 :
----второго рода 114, 115
----нелинейное 143
----первого рода 116
Галеркина метод решения уравнения
Фредгольма второго рода 142
Г амильтона — Остроградского
принцип 154, 155
Гамильтона—Якоби уравнение 44
Гамильтониан 41
Г амильтонова система уравнений
Эйлера—Лагранжа 41
— форма уравнений Эйлера—
Лагранжа 41
Гаммерштейна теорема 129
Гато дифференциал функционала 100
Геодезическая линия 152
— экстремаль 151
Геодезическое расстояние между
точками 46
-----от точки до поверхности 47
Гильберта инвариантный интеграл 49
— сингулярное интегральное
уравнение 147
— теорема 167
Гильберта—М. Рисса преобразование
146
—Гильберта—Шмидта теорема 129
Голокомная связь 70
Грина формула 163
— функция самосопряженной
краевой задачи Штурма—
Лиубилля 164, 166, 171
Данцига симплекс-метод 89—90
Дарбу сумма верхняя, нижняя 109
Действие по Гамильтону 154
— по Лагранжу 156
— по Якоби 157
Дифференциал Гато функционала
100
— Фреше функции 104
-----функционала 99
— функционала второй 101
-----сильный 99, 101, 104
-----слабый 100
Задача Абеля 106
— Больца 71—74
-----акцессорная 77
-----, вторая вариация 77
-----присоединенная 77
-----, условия трансверсальности 76
— вариационного исчисления
простейшая 14
— изопериметрическая 73
— Лагранжа 69, 72—74
— линейного программирования 88,
89
— Майера 70, 73, 74
— на условный экстремум общая 103
— о брахистохроне 11
— о геодезических 149, 151, 152
— о малых колебаниях струны 105
— об оптимальном быстродействии
80, 82, 87
— разрывная второго рода 34
-----для функционала, зависящего
от нескольких функций 36
-----первого рода 34, 62
— — с подвижными концами в
пространстве 37
— с подвижными концами,
достаточные условия сильного
экстремума 55—56
— транспортная 90
— Чаплыгина 72, 75
— Штурма—Лиу билля 162, 163
Изопериметрическая задача 64, 66, 73
— — , достаточные условия
экстремума 69
-----, необходимое условие Клебша
67
-----,----Якоби 67
— — , правило множителей
Лагранжа 103
-----, условия трансверсальности 66
Импульс 87
Инвариантность уравнения Эйлера—
Остроградского 59
Интеграл — см. соответствующее
название
Интегральное уравнение 105
-----Абеля 107
— — Вольтерра — см. Уравнение
Вольтерра
-----неоднородное 107,122,130
-----однородное 107,122
-----особое 146
— — , приближенные методы
решения 140—142
----симметричное 108, 123
----сингулярное 146
----союзное (сопряженное) 122
----типа Гаммерштейна 143
— — Фредгольма—см. Уравнение
Фредгольма
Интегрируемость по Риману,
необходимое и достаточное
условие 109
Итерированное ядро, билинейные
ряды 129
./-длина линии 46
./-прямая 46
7-расстояние 46
Каноническая система уравнений
Эйлера—Лагранжа 41
— форма уравнений Эйлера—
Лагранжа 41
Канонические переменные 41
Каноническое преобразование 46
Квадратический функционал 99
Квадратурная формула Чебышева
141
Кинетический потенциал 154
Класс измеримых функций 110
Классы функций 12
Клебша условие экстремума
необходимое 67, 76
-------усиленное 69
Колебание функции 109
Координатные функции 92
Координаты Лагранжа обобщенные
155
Косинус-преобразование Фурье 134
Коэффициенты Фурье 112
Кратность собственного значения 68
Кристоффеля символы первого рода
153
Критерий 84
Лагранжа задача 69, 72—74
— обобщенные координаты 155
— правило множителей для
изопериметрической задачи 103
— принцип наименьшего действия
156
— скобка 50
— функция 154
Лапласа преобразование 137
-----обратное 137
Лебега интеграл 110, 111
Лежандра условие включения
экстремали в поле усиленное 50
-----экстремума необходимое 19, 24
Линейное нормированное
пространство 97
— программирование $8
Линии сравнения "12 , л
Майера задача 70, 73, 74
— семейство экстремалей 50
Максимум функционала слабый,
сильный 12
Мерсера теорема 128
Метод конечных разностей 96
— разделения переменных 161
— Ритца 92, 176
-----, модификация 94
— следов 142
— Фурье 161
Минимум функционала слабый,
сильный 12
Многогранник решений 90
Многоугольник решений 88
Множество меры нуль 109
Морса теорема 69
Наклон поля экстремалей 48, 52
Неголономная связь 70
Неймана ряд 118
Неравенство Бесселя ИЗ
Несобственный интеграл, главное
значение 145
Нётер теорема 43, 62
Норма 97
— функции 112
— ядра 117
Нуль-элемент 97
Окрестность линии сильная, слабая
12, 30
— нулевого порядка 12
— первого порядка 12
Определенный интеграл Римана
108—110
Оптимальная, политика 84
— траектория 80
Оптимальное управление 80
Ортогонализация собственных
функций 125, 126
Ортогональность собственных
функций симметричного ядра
123
Особый интеграл 145
Параметр интегрального уравнения
107
Параметрическое задание линий 29
Парсеваля равенство ИЗ
Первый интеграл канонической
системы 42
Пикара теорема 138
Поле 78
— функционала 50, 52
— экстремалей для вариационных
задач с подвижными концами,
примеры построений 51—52
-----собственное (общее) 48
-----центральное 48
Политика 84
Полный интеграл уравнения в
частных производных 44
Понтрягина принцип максимума 79,
81—83
Последовательность ортогональная
112
— ортонормированная, орто-
нормальная 112
— , сходящаяся в себе 97
— , — в среднем 111
Правило множителей 65
— — для задач Больца, Лагранжа,
Майера 74
-----для изопериметрической задачи
103
Преобразование Гильберта—М.
Рисса 146
— Лапласа 137
-----обратное 137
— Фурье 133
— — , применение к решению
интегральных уравнений 134—
136
Преобразования Фурье взаимные 133
Принцип Г амильтона—
Остроградского 154, 155
— максимума Понтрягина 79, 81—83
— наименьшего действия, связь с
теорией геодезических 157
-------, форма Лагранжа 156
-------, —Якоби 157
— оптимальности 84, 85
Производная сильная функции 104
— Фреше функции 104
Производящая функция
канонического преобразования
46
Пространство Банаха 97
— полное 97
— типа В 97
Процесс TV-шаговый 84
Прямые методы вариационного
исчисления 92
Пуассона скобка 43
Равенство Парсеваля 113
Разрывная задача — см. Задача
разрывная
Распределение собственных чисел
127
Расстояние 97
Регуляризация сингулярного
уравнения 148
------- равносильная 148
Решение 84
— опорное 89
Римана интеграл 108—110
— пространство 152
Ритца метод 92, 176
Ряд Неймана 118
— Фурье 112
Самосопряженная краевая задача
Штурма—Лиу билля 164, 167,
168, 170
Самосопряженность оператора
Штурма—Лиу билля 164
Свободный член интегрального
уравнения 107
Связь голономная, неголономная 70
Силовая функция 153
Символы Кристоффеля первого рода
153
Симплекс-метод Данцига 89, 90
Сингулярное интегральное
уравнение Гильберта 147
-------с ядром Коши 148
Сингулярный интеграл 145
Синус-преобразование Фурье 134
Система уравнений Якоби 25
— функций полная 113
Скалярное произведение функций
112
Скобка Лагранжа 50
— Пуассона 43
След т-й 142
Собственная функция 122
----задачи Штурма—Лиубилля 163
----симметричного ядра 123
----, экстремальные свойства 132
Собственное значение задачи
Штурма—Лиу билля 163
----функционала 68
Сопряженное значение 68, 77
Спектральная функция 133
Стратегия 84
Сумма Дарбу верхняя, нижняя 109
Сходимость 97
— последовательности в среднем 111
Теорема Гаммерштейна 129
— Гильберта 167
— Гильберта—Шмидта 129
— Мерсера 128
— Морса 69
— Нётер 43, 62
— Пикара 138
— Фишера—Рисса 112
— Фредгольма вторая 122
-----первая 122
-----третья 122
-----четвертая 122
— Якоби 45
Точка бифуркации 145
— максимума абсолютного 101
-----относительного 101
-----условного 103
— минимума абсолютного 10
-----относительного 101
-----условного 103
— многообразия правильная 104
Точки сопряженные 19, 25, 33
— экстремали регулярные 17
Трансверсальность 23
Уклонение точки от прямой 88
Уравнение Вольтерра 108
— — второго рода, метод
последовательных
приближений 114
— — — — , связь с
дифференциальным
уравнением 116
----------, теорема существования
и единственности решения 114
-----нелинейное 143
-----первого рода 116
— Гамильтона—Якоби 44
— замкнутости 113
— колебаний мембраны 160
-----стержня 161
— малых колебаний струны 158, 161
— Фредгольма второго рода 107
—,--------метод Галеркина 142
----------механических квадратур
141
----------наименьших квадратов
142
----------, — последовательных
приближений 118, 140
----------, теоремы существования
и единственности решения 117
----------, формулы для отыскания
характеристических чисел и
собственных функций 142
-----первого рода 108,138, 139
----------метод последовательных
приближений 138
-----с вырожденным ядром 119
— Эйлера—Лагранжа 15—17, 20, 24,
30
--------в дифференциальной форме
15, 31
----------интегральной форме 15,
31
— — — , каноническая
(гамильтонова) форма 41
-------- , свойство инвариантности
20
--------, случаи понижения порядка
17
Уравнение Эйлера—Остроградского
58
— Эйлера—Пуассона 27
--------случаи понижения порядка
27
— Якоби 19
Уравнения движения в форме
Лагранжа 155
Условие Вейерштрасса достаточное
53
-----необходимое 19, 25, 32, 76
-----усиленное 69
— Клебша необходимое 67, 76
-----усиленное 69
— Лежандра необходимое 19, 24
— — усиленное, включение
экстремали в поле 50
— некасания 67, 70
— Якоби включение экстремали в
поле усиленное 51
— — положительной
определенности второй
вариации 79
— — экстремума необходимое 19,
25, 33, 67
-------усиленное 69
Условия Вейерштрасса—Эрдмана 18,
24, 31
— сильного минимума достаточные
69
— — относительного минимума
достаточные 78
— трансверсальности 22, 25, 26, 28,
33, 66
-----для задачи Больца 76
— экстремума достаточные 69, 78
-----необходимые 14, 18, 19, 24—
27, 30, 32, 67, 76
Фазовые переменные 84
Фактор-пространство 98
Фишера—Рисса теорема 112
Формула Вейерштрасса 32
— Грина 163
— обращения Фурье 133
— Фурье интегральная 133
-------в комплексной форме 133
Фредгольма альтернатива 123, 131
— теоремы 122
— уравнение второго рода 107, 117—
123
-----первого рода 108, 138, 139
Фреше дифференциал функционала
99
Функции координатные 92
— , равные почти всюду 111
Функционал 11, 98
— билинейный 99
— , зависящий от нескольких
функций, достаточные условия
слабого экстремума 56
— , инвариантный относительно
преобразования 43
— квадратичный 99
— линейный 98
— , максимальное значение 101
— , минимальное значение 101
— от линии 30
— положительный 99
— простейший 34
— сильно положительный 99
— , собственные значения 68
Функционалы линейно независимые
98
Функциональный множитель 87
Функция Вейерштрасса 19, 32
— влияния 106
— Грина самосопряженной краевой
задачи Штурма— Лиувилля
164, 166, 171
— дохода 84
— класса С [а, Ъ\ 12
-----Ci \а, Ь} 12
-----Ст [а, Ъ] 12
-----Z>1 [а, Ь] 12
— Лагранжа 154
— сравнения 12
— суммируемая 110
— , — вместе со своим квадратом
111
— целевая 88
Фурье косинус—преобразование 134
— коэффициенты 112
— метод 161
— преобразование 133
Фурье преобразования взаимные 133
— ряд 112
— синус-преобразование 134
— формула интегральная 133
-----обращения 133
Характеристическое число 122
-----симметричного ядра 124
-----, экстремальные свойства 132
Чаплыгина задача 72, 75
Чебышева квадратурная формула 141
Штурма—Лиувилля задача 162, 163
— — самосопряженная краевая
задача 164, 167, 168, 170
Эйлера—Лагранжа каноническая
система уравнений 41
-----уравнение 15—17, 20, 24, 27, 30
Эйлера—Остроградского уравнение
58
Экстремаль 16, 24, 32
— геодезическая 151
— ломаная 18, 24
— неособенная 17
— присоединенная 77
— регулярная 17
Экстремум двойного интеграла,
необходимые условия 58, 59
— функционала абсолютный 12
-----, аналог необходимого условия
Лежандра 32
— — , достаточное условие
Вейерштрасса 53
-----, достаточные условия 53, 55—
57, 101
— — , зависящего от нескольких
функций 23—26
— — , необходимое условие
Вейерштрасса 19, 25, 32
Экстремум функционала,
необходимое условие Лежандра
19, 24, 25
-----,---Якоби 19, 25,33
---------, необходимые условия 15, 19,
24—26, 30, 32, 33, 101
-----односторонний 39
-----относительный 12
-----сильный 12
---------, упрощенное достаточное
условие 55
-----слабый 12
— — , содержащего производные
высших порядков 26—29
— — условный, необходимое
условие Вейерштрасса—
Клебша 76, 83
Элемент противоположный 97
Элементы эквивалентные 98
Энергия кинетическая 153
— полная 156
— потенциальная 154
Ядро интегрального уравнения 107
-------вырожденное 119
-------итерированное 115
— — — невырожденное,
аппроксимация ядром
вырожденным 120
-------отрицательно определенное
128
-------повторное 115
-------положительно определенное
128
-------разрешающее 115
-------резольвентное 115
Якоби принцип наименьшего
действия 157
— система уравнений 25
— теорема 45
— уравнение 19
— условие включения экстремали в
поле усиленное 51
— — положительной
определенности второй
вариации 79
-----усиленное 69
— — экстремума необходимое 19,
25, 33, 67
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее— второе—издание добавлены сведения о необ-
ходимых и достаточных условиях экстремума в разрывных за-
дачах с подвижными концами, о теории экстремума функциона-
лов в линейных нормированных пространствах, расширен пара-
граф, посвященный экстремальным свойствам собственных зна-
чений и собственных функций.
Список литературы пополнен новыми монографиями по
вариационному исчислению и интегральным уравнениям, а также
учебниками по функциональному анализу и уравнениям мате-
матической физики, содержащими указанные выше разделы и
вышедшими в последние' годы.
Л. Цлаф
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Вариационное исчисление и интегральные уравнения являются
быстро развивающимися разделами анализа, охватить которые
с достаточной полнотой в книге небольшого объема невозможно.
В предлагаемое справочное руководство включены прежде
всего классические результаты и некоторые новые, уже вошед-
шие в обиход инженерной исследовательской работы, например,
оптимальные принципы в вариационном исчислении. В подобных
случаях приводится лишь постановка задачи, основные резуль-
таты и их связь с классическими результатами.
Книга предназначена для инженеров, экономистов, студентов
и аспирантов высших технических учебных заведений. Изложе-
ние материала проведено на основе обычного курса математи-
ческого анализа, изучаемого в высших технических учебных
заведениях. Исключения составляют весьма краткие сведения
об интеграле Лебега и его использовании, а также некоторые
начальные сведения из теории функций комплексного пере-
менного.
На русском языке имеется обширная литература по изла-
гаемым в книге вопросам, однако учебных руководств для высших
технических учебных заведений по вариационному исчислению
и интегральным уравнениям почти нет. Для удобства читателя
в книге дан подробный справочный материал по основам теории,
причем по каждому излагаемому вопросу указаны литературные
источники, а также учебная литература и монографии, в которых
содержится дальнейшее развитие теории.
В книге приведены также сведения о некоторых приложе-
ниях вариационного исчисления и интегральных уравнений к
вопросам, близко примыкающим к дополнительным главам высшей
математики, читаемым в настоящее время в высших технических
учебных заведениях.
10 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Это относится к выводу некоторых уравнений математи-
ческой физики, исходя из вариационных принципов механики,
а также к изучению задачи Штурма—Лиувилля.
Рамки книги не позволили расширить разделы, связанные
с приближенными методами решения вариационных задач и
интегральных уравнений. В книге даны лишь простейшие сведе-
ния об этих методах и приведены соответствующие примеры.
Читатель, интересующийся вычислительными методами, найдет
богатый материал в известной книге Л. В. Ка'нторо'вича и
В. И. Крылова «Приближенные методы высшего анализа»,
изд. 5, М., Физматгиз, 1962, а также в книге С. Г. Михлина
«Численная реализация вариационных методов», М., «Наука»,
1966.
Пользуюсь случаем выразить свою благодарность Л. А. Лю-
стернику, Н. И. Ахпезеру и С. Г. Михлину за большую помощь,
оказанную мне их советами и критическими замечаниями при
работе над рукописью.
Л. Цлаф
Глава I
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 0. Введение
1.0.1. Функционал. Если М — множество функций и каждой
функции <р (х), принадлежащей Л4, ? (-И £Д4, относится определен-
ное число, то говорят, что на множестве М задан функционал.
Пример 1.0.1. Ж — множество функций v (х), определенных на от-
резке [а, д] и обладающих на нем непрерывной производной. Длина I линии
у — у (х). а < х Ь, у (х) $ Ж, есть функционал
b __________'
i (>>) = J V 1 + У3 (л) ах.
а
Пример 1.0.2, А1 — множество функций у (.г), в область определения
которых входит точка Хц. Значения функций у (.г) в точке х,} образуют функ-
ционал J (у) = у (-Уц).
1.0.2. Предмет вариационного исчисления. Вариационное
исчисление устанавливает условия, при которых функционалы
достигают своего экстремума.
Одной из первых задач вариа-
ционного исчисления была задача
Ивана Бернулли о брахистохроне
(1696 г.).
В вертикальной плоскости даны
две точки, О и В (рис. 1.0.1). По какой
линии скатится тяжелая материаль-
ная точка, оставаясь в этой плоско-
сти, из верхней точки в нижнюю .в
наименьший промежуток времени?
Начальная скорость равна нулю. Со-
противление движению также пола-
минимума функционала
гается равным нулю.
Задача сводится к отысканию
ь
[V1+£*(*) rf.r,
j) ^2gy
12
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.0.3
Первое решение этой задачи принадлежало Якову Бернулли,
второе — Лопиталю, третье — Ньютону.
Наименование «вариационное» исчисление обязано методу
вариаций, при помощи которого решаются экстремальные задачи
и который будет применен ниже.
1.0.3. Некоторые определения и обозначения. Если функ-
ционал J (у) исследуется на экстремум и функция у (х) «подо-
зревается» в качестве «точки» экстремума, то значение функ-
ционала J (у) сопоставляется с его значениями на некотором
множестве (линий) у(х), называемых функциями (линиями)
сравнения, к которому принадлежит и у (х).
Если имеет место минимум (максимум) J (у) при-у(х), то
положительна (отрицательна) разность
Д/ = /(У)-/(У)
на указанном выше множестве функций сравнения.
Окрестностью нулевого порядка или сильной окрестностью
У (х) называется множество непрерывных функций сравнения
у(х) таких, что при некотором числе е, е > 0,
I у (х) — у (х) I <е, х.^хх^хх,,.
Окрестностью первого порядка или слабой окрестностью у (х)
называется множество кусочно-гладких функций сравнения у (х)
таких, что при некотором числе г, е > 0,
I У (*) — У (*) 1 + |у' (X) — У'(Х) | <е,
Минимум функционала J (у), достигаемый на у (х) в ее сильной
(слабой) окрестности, называется сильным (слабым) миниму-
мом функционала J (у).
Аналогично определяются сильный и слабый максимумы.
Всякий сильный экстремум является в то же время и сла-
бым экстремумом.
Сильный и слабый экстремумы являются относительными
экстремумами.
Экстремум функционала J (у) по всей совокупности функ-
ций, на которых он определен, называется абсолютным экст-
ремумом. Абсолютный экстремум является в то же время и
относительным.
В последующем будут использоваться классы функций:
С [а, Ь]—непрерывных на отрезке [а, Ь],
Ci [а, Ь] — гладких (имеющих непрерывную производную
на [а, />]),
Ст [°, Ъ\ — имеющих непрерывную т-ю производную на [a, J],
Di [а, Ь]— непрерывных, имеющих кусочно-непрерывную
производную, причем последняя имеет разрывы лишь первого
рода.
При постановке задач вариационного исчисления должно
указываться, какого характера экстремум разыскивается и в ка-
ком классе функций.
1.0.3]
$ 0. ВВЕДЕНИЕ
13
Пример 1.0.3. Функционал
к
J (У) = f J'2 (1 — У2) dx, у (0) = у (к) «= о.
о
Отрезок [0, ft] оси Ох дает слабый минимум, так как при | д’ (х) | 1 у' (х) | < t,
в Cl, подынтегральное выражение положительно и обращается в нуль
лишь при у = 0.
Сильный минимум не достигается, ибо, положив, например,
1
У = sin пх
V П
(рис. 1.0.2), получим
/(-V)==2ir Г
и7(у)<0 при п>4. При этом линии у =——х sin пх для достаточно больших п
V п
лежат в сколь угодно малой окрестности нулевого порядка линии у — 0.
В примере 1.0,3 функционал имеет
слабый минимум, принадлежащий классу
Ci [0, ft], но ие имеет в этом классе сильного
минимума.
Пример 1.0.4 (Вейерштрасс). Функционал
1
J(J)^= f Х^уЛ dX, >(— 1)^—1, у(1)=1
— 1
положителен. Он не имеет минимума в классе Ct [— 1, 1], но достигает его
в классе кусочно-гладких функций. Для функций сравнения (рис. 1.0,3)
arctg —
г ----------- а>0,
- а 1 ’
arctg-
1 1
7(.val= J х*у* dx< j (№ ~f- aS)y'3 dx =
— 1 —I
1
__ а2 (• dx ___ 2а
. ft 1 \ а*2 4- x- 1 9
arctgS- J arctg-^
J -► 0 при a -* 0.
В классе Cj минимум не достигается, поскольку это могло быть возможным
лишь при у' = 0, у =s const. Однако при этом не выполняются условия у (— 1)»
=---1, у(1)=1.
14
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.1.1
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления.
Необходимые условия экстремума
1.1.1. Постановка задачи. Требуется найти минимум функ-
ционала
J(y) = \ F(x,y,y')dx (I.I.l)
среди кусочно-гладких линий, соединяющих точки A (xt, yt) и
В (х2, у2), т. е. у(х1)=у1, y(xi)=y1, xt х ag х2.
Обычно предполагается непрерывность подынтегральной
функции по совокупности ее аргументов, а также существова-
ние и непрерывность всех ее частных производных до третьего
порядка включительно.
Считая, что функция у = у(х) доставляет слабый минимум
функционалу (1.1.1), находят условия, которым должна удов-
летворять указанная функция.
Эти необходимые условия слабого минимума будут тем более
необходимыми условиями сильного и абсолютного минимумов.
1.1.2. Первая и вторая вариации функционала. Если
т) = т| (х)— произвольная кусочно-гладкая функция, удовлетво-
ряющая условиям 1) (xt) = т; (xs) = 0, то однопараметрическое
семейство функций
У = У + (*),
при достаточно малых значениях параметра а, принадлежит некото-
рой окрестности первого порядка функции у ~у (х). Функционал
J(y)= 5 F ?') dx' У^х^—у^ y(x2)=ys,
на указанном однопараметрическом семействе функций является
функцией параметра а
*2
J (у) = Ф (а) = F (х, У 4- ат], у' -ф- ат;') dx,
имеющей минимум при а=0.
В силу необходимых условий обыкновенного экстремума
имеем
Ф' (0) — 0, Ф"(0)Хз0.
Дифференцирование J(у) по параметру даст
*2
Ф' (а) = у [Fy (х, у, у') I + Fy {х, у, у') у;'] dx,
Х1
*2
Ф" (а) Е [Fo, (х, у, У) 7)'2 4- 2Fyy [X, у, у') 7)7)’ 4-
•ч
+ Fyy (х, у, у') 7)«] dx.
1.1.31
§ 1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
15
Отсюда
Хц
Ф’(0)= $ [Лу (х, у, У) т) + Ру. (х, у, у') tj’] dx = 0, (1.1.2)
Л’1
ф" (0) = 5 [Ууу (х, у, У) у2 + Щу (*. у, у') ’1’1' +
+ Гуу(х,У, y')^]dx^0. (1.1.3)
Производная функции Ф (а) =7(у-|-<1’1) в точке а = 0 на-’
зывается первой вариацией функционала (1.1.1) и обозначается
символом 87:
T.J ЙФ I
« J = ~Т~
da ]«—,0
Вторая вариация §SJ функционала (1.1.1) определяется как
вторая производная функции Ф (а) в точке а = 0:
f2r_ ^(Ф) |
da2 |а = 0’
В ряде руководств первая и вторая вариации функционала (1.1.1)
определяются соответственно как первый и второй дифферен-
циалы функции Ф (а) в точке а = 0, т. е.
87 = -у а,
da к = 0
/Is Ф I
= as
act2 а = 0
Необходимые условия минимума (максимума) функционала
(1.1.1):
Первая вариация должна обращаться в нуль: 87 = 0.
Вторая вариация должна быть в случае минимума неотри-
цательной: 827^0, а в случае максимума—неположительной:
827s£0.
1.1.3. П.ервое необходимое условие экстремума. Диффе-
ренциальное уравнение Эйлера—Лагранжа. Экстремали. Ин-
тегрирование по частям выражения Ру (х, у, у') г; из (1.1.2) дает
х2 / х \
87 = § I Ру — § Ру dx | ф dx — 0,
*1 \ xt /
(1.1.4)
что в силу произвольности ц имеет следствием уравнение Эйлера—
Лагранжа в интегральной форме
Ру, — j Ру dx в С.
XI
(1.1.5)
Переход от (1.1.4) к (1.1.5) основан на лемме Дюбуа-Рей-
мона о том, что из соотношения ортогональности
$ М (х) ф (х) dx = 0,
16
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.1.4
где М (х)— кусочно-непрерывная, а ^(х)—произвольная ку-
сочно-гладкая функция, rj (xt) == (х2) = 0, следует М (.г) const.
Дифференцирование уравнения (1.1.5) приводит к диффе-
ренциальному уравнению Эйлера—Лагранжа
' <|л6>
впервые полученному в 1844 г. Эйлером и впоследствии (в 1859 г.)
Лагранжем.
По вопросу об истории развития вариационного исчисления см. Рыбни-
ков [1] 1).
Гладкое решение уравнения (1.1.5) или (1,1.6) называется
экстремалью.
Замечание. Терминология в курсах вариационного исчисления не еди-
нообразна. Так, Н. М. Гюнтер называет экстремалью линию (функцию), факти-
чески доставляющую экстремум исследуемому функционалу, а решения уравне-
ния Эйлера — Лагранжа называет лагранжевыми кривыми.
Аналогично выводу (1.1.5) можно убедиться, что экстре-
маль удовлетворяет уравнению
F — y'Fy - j Fxdx = C, (1.1.7)
Xi
или, в дифференциальной форме,
±[Л-УЛУ]-ЛЖ=О. (1.1.8)
1Л.4. Регулярные (или неособенные) экстремали. Из оп-
ределения производной и теоремы о среднем значении следует,
что
lira (х + Дх, Д’ + *У, У + *У) - Лу- (х, у, У) _
dx v дх —о Дх
(1.1.9)
= lim +
дх — о L х Дх уу \х у у J ’
где Fxy. = Fxy (х + 0t Дх, у + 02 Ду у' + 03 Ду), 0 < 01( 02, 03 < 1,
и аналогично определяются Fyy„ Fy,y,~
Если в точке (х, у) экстремали у=у(Аг)
Руу Ф 0,
то из (1.1.9) следует, что
, -V- Ру — Fxv. — Pv ..У
Ay „ dx y xy
hm У=р- = у =---------------------?--------------- (1.1.10)
Дл-->0 Дх Г у. у
1) При ссылках будет указываться автор руководства и номер. Например,
см. Лаврентьев и Люстерник [1|.
1.1.5] $ I. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 17
Таким образом, в каждой точке экстремали, в которой
F ,v, ^£0, экстремаль имеет непрерывную вторую производную.
Точки экстремали у = у(х), в которых т^О, называются
регулярными. Если все точки экстремали регулярны, то сама
экстремаль называется регулярной или неособенной.
Для регулярных экстремалей уравнению Эйлера — Лагранжа
можно придать вид
>"=/(%, у, у'). (1.1.11)
1.1.5. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера —
Лагранжа, a) F не зависит от у, т. е. Fy = 0, тогда — Fy, = 0
и, следовательно,
Fy, (х, у') = const. (1.1.12)
б) F не зависит от х, т. е. F = В (у, у’). Уравнение Эйлера —
Лагранжа имеет вид
Fy ~ ЕУУ'У' ~~ Еу'у’У" = °-
Замена у' — г, у" ---z zy дает
Fy ~ Fyy'z — Fy’y'zzy = 0 или d (У> z)-z Fy’ (У> Z)1 = °>
откуда
F (у, У') — y'Fy, (у, у') = const. (1.1.13)
в) Л зависит линейно от у', т. е. F (х, у, у') — А(х, у)+
-р В (х, у) У'- Уравнение Эйлера — Лагранжа приводится к виду
Если равенство (1.1.14) выполняется тождественно в некоторой
области D плоскости Оху, то F (х, у, y')dx=A(x, у) dx -f-
В ( х, у) dy — полный дифференциал и J (у) не зависит от пути
интегрирования, имея постоянное значение для всех у = у’(х).
Если же соотношение (1.1.14) выполняется не тождественно,
то оно определяет одну или несколько экстремалей.
Пример 1.1.1. Найти экстремали функционала
I
J(y)= J xty'Zdx, >(-1)=-1, У(1) = 1.
- 1
В силу соотношения (1.1.12) имеем
С
const, v=-------D.
Отсюда видно, что рассматриваемый функционал на отрезке [—1, 1] не имеет
экстремалей, т. е. гладких решений уравнения Эйлера — Лагранжа (ср. стр. 13).
18
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.1.6
Пример 1.1.2. Найти экстремали функционала
b
J V у
а
(см. задачу о брахистохроне, стр. И). В силу соотношения (1.1.13) имеем
3'(1+У2) = 2К.
ф
Подстановка У — ctgy дает
у = 2tf Sins К'(I — cos Ф), у’ = 2К cos ~ sin — , sins ~ ~ ,
Л 4- & (IX 4 Л1\
х = К (Ф — sin Ф) + С.
Таким образом, в параметрическом виде экстремаль за (ается уравнениями
л- = К (Ф — sin Ф) + С, у = К (1 — cos ф).
Найденные линии являются циклоидами.
1.1.6. Условия Вейерштрасса — Эрдмана. Ломаные экстре-
мали. Если уравнение Эйлера—Лагранжа имеет кусочно-гладкое
решение, т. е. у~у(х) имеет угловые точки (У (х) терпит раз-
рыв), то в каждой точке с, являющейся абсциссой угловой точки,
выполняются условия Вейерштрасса — Эрдмана:
Fy'(c, у(с), у (с - 0)) = F,„ (с, у(с), у' (с 4-0)), (1.1.15)
Р(с, У (с), у' (с — 0))— у’ (с — 0)У„, (с, У (с), у' (с — 0)) =
= F(c, у(с), У (с 4- 0)) — У (с 4- 0) Fy. (С, у (с), у(с4-0)), (1.1.16)
вытекающие из уравнений (1.1.5) и (1.1.7) в силу непрерывности
входящих в эти формулы интегралов.
Из соотношения (1.1.10) следует, что если F ,у, У- 0,
то уравнение Эйлера — Лагранжа имеет только гладкие решения.
Линии, составленные из кусков экстремалей и удовлетво-
ряющие в угловых точках условиям Вейерштрасса — Эрдмана,
называются ломаными экстремалями.
По поводу ломаных экстремалей см. п. 1.6.1.
Геометрическое толкование условий Вейерштрасса — Эрдмана см. Ахие-
зер Щ, Гельфанд и Фомин [I].
1.1.7. Второе необходимое условие экстремума —условие
Лежандра. В случае минимума функционала (1.1.1) должно вы-
полняться условие: 82J^0. Из (1.1.3) для второй вариации вы-
текает, что во всех точках линии, доставляющей минимум,
Fy'y’ (х, у, у) 0, х^х^х^ (1.1.17)
Предполагая противное, можно построить такую слабую окрестность ли-
нии у (х), в которой 5 J (у) < 0.
Для этого, если Fy’y' {х^, >(х0), Уг x1<xQ<xg> достаточно поло-
жить
f . _ « (X — Xq) , . _ ,
I sin2 --г—- при |х —х0|^А,
7) (х) ~ . Л
I 0 при (х — Хо | > А
и выбрать h достаточно малым.
1.1.9]
t 1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА
19
В случае максимума на экстремали должно выполняться
неравенство
Fyy (-V, .у, .y'JsgO, xi^x^xs. (1.1.18)
Условие (1.1.17) (или (1.1.18)) называют необходимым условием
Лежандра для минимума функционала (1.1.1). Условие Лежандра
было найдено в 1786 г.
Вывод см. Лаврентьев и Люстерник [1J, [2]. а также др. руководства.
1.1.8. Третье необходимое условие экстремума — условие
Вейерштрасса. Необходимое условие слабого минимума является
в то же время и необходимым условием сильного минимума, но
не обратно.
Если линия у = у(х) доставляет сильный минимум (макси-
мум) функционалу (1.1.1), то функция Вейерштрасса
Е (х, у, у’, k) = Е(х, у, k) — Е(х, у, у’) — (k — у') Еу, (х, у, у')
(1.1.19)
при произвольных конечных значениях k во всех точках (х, у)
экстремали неотрицательна (неположительна).
По поводу доказательства см., например, Лаврентьев — Люстерник [I], [2],
Блисс [1]. Условие Лежандра может быть получено в виде следствия условия
Вейерштрасса. Последнее было иайдено в 1879 г.
1.1.9. Четвертое необходимое условие экстремума —усло-
вие Якоби. Если у—у(х) доставляет минимум функционалу
(1.1.1), то
82J = И Руу Vs + v] dx 0, (1.1.20)
Ч (xt) = тд (х8) = 0. (1.1.21)
Те из функций тд(х), для которых 8V = 0 и выполняются усло-
вия (1.1.21), доставляют минимум функционалу 82У.
У равнением Эйлера—Лагранжа для последнего является урав-
нение
РууЧ + ГууЧ' -- (РууЧ + Руу^) =0, (1.1.22)
называемое уравнением Якоби.
При выполнении условия Лежандра: F , , ^6 0, xt^x ^х2,
из условий ч (Xi) = V (-*Т) = 0 следует, что г;(х)=.О. Точки
Mi(x, у (xt)) и АТ (х[, у (х()) на экстремали у = у (х) называются
сопряженными, если -q (xt) = 17 (х[) = 0, причем г[(х)=ё0, х, <
<-Х<Хр
Условие Якоби. Если экстремаль у —у (х), х, =Sxs<x2,
доставляет минимум функционалу (1.1.1), то она не содержит
точек, сопряженных точке (xb y(xt)).
Условие Якоби было найдено в 1837 г.
20
. ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.1.10
В случае существования сопряженной точки (х', > (х')) можно было бы
построить функцию
являющуюся решением уравнения (1.1.22), и для которой 5V —0, т. е. тц (х)
является ломаной экстремалью с возможной угловой точкой (х', vj (х')). Усло-
вия Вейерштрасса — Эрдмана приводят к равенству у' которое вместе
С 7‘1(ЛГ1) = 0 дает т}1(х) = 0, вопреки предположению.
Геометрическую теорию сопряженных точек см. Лаврентьев и Люстерник [1],
|2], Блисс [1].
1.1.10. Инвариантность уравнения Эйлера — Лагранжа.
Если функционал (1.1.1) преобразуется посредством замены пере-
менной или одновременной заменой искомой функции и неза-
висимой переменной, то экстремум функционала по-прежнему
находится из уравнения Эйлера — Лагранжа, но уже для преоб-
разованного подынтегрального выражения.
Пример 1.1.3. Семейство экстремалей функционала
J = У г- -j- г'- d?
определяется уравнением Эйлера — Лагранжа
- -г- - +А .<.._.=о
Vr2 + rr- df V +
Замена переменных x = rcos у = г sin у дает V r* 4~ r'~ dy ~ V 14~ У2 dx.
Для функционала
b _________________________________
JW^V'+y’^dx
а
уравнение Эйлера — Лагранжа имеет вид у'®0, откуда _у = ах-р(Э. Значит,
экстремали исходного функционала даются уравнением
г sin <р = ar cos ср 4~ ₽.
Имеются различные выводы свойства инвариантности уравнения Эйлера —
Лагранжа. См. В. И. Смирнов [1], Лаврентьев и Люстерник [1], [2].
§ 2. Вариационные задачи с подвижными концами
1.2.1. Постановка задачи. Рассматривается функционал, за-
висящий от линий Е,
J (Е)~ \F(x, у, у’) dx, (1.2.1)
£
где линия Е перемещается так, что ее концы движутся вдоль
двух заданных линий С и D (рис. 1.2.1). Требуется найти усло-
вия, которым должна удовлетворять линия, доставляющая мини-
мум (максимум) функционалу (1.2.1).
1.2.2] § 2. ЗАДАЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦАМИ
21
Предположения о функции F (х, у, у') такие же, что и в
п. 1.1.1. Впервые задача с подвижными концами рассматривалась
братьями Бернулли в 1697 г., затем
в 1744 г. Эйлером. В 1759 г. Лагранж
решил общую задачу с подвижными
концами,
1.2.2. Вспомогательная фор-
мула. Пусть перемещение линии Е
описывается при помощи параметра а
так, что однопараметрическое семей-
ство линий у=у(л', а) относит каж-
дому значению а одно из возможных
положений Е. Пусть, далее, пара-
метр t определяет положение точки
на линии С, тогда абсцисса этой
точки, а также параметр а становят-
ся функциями t. Это дает
ность считать линии С и D
нениями:
возмож-
заданными параметрическими
урав-
линия С: х = .с, (О,
линия О: х — х2 (t),
y=y(xt (0, »(0) =Ь (О-
у=_у(л-3(£), а(0)=У2(0>
tt г t t2.
На рассматриваемом однопараметрическом семействе линий
y = y(x, а) функционал (1.2.1) превращается в функцию t
xs(t)
J(E) — $(t) = j F (x, у lx, a), у'(x, a)) dx, (1.2.2)
xi (0
откуда
Ф’ (f) = F(x, у (x, a), у' (x, a)) |*’ +
+ - J J (Fx^ + dx- П-2'3)
Если при t = t,, линия E доставляет минимум функционалу
(1.1.1), то она должна выдерживать сравнение на минимум с ли-
ниями, имеющими с ней общие концы, т. е. быть экстремалью.
Поэтому
Fy9a + Fy^a = ^х FyFa + Fy'y<i =
Ф’ (/) = Р(х, у (х, а), у' (х, «)) ^ | ^ +
. „ , . . , , .. ду I ** da
Л-Ру'^’У^ a^\Xi-dt>
22
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИИ
[1.2.3
и так как
dy dx , da da dy ,dx „ ..
y-~dt^^t -ydi' (1-2'4)
TO
ф- (0 = ^(x, У, У) g + F, -У I X2 . (1.2.5)
di > i at dtj | ,v£
Тогда из (1.2.5) следует, что для интеграла (1.2.2)
rfj(£) = rf® (/) | t = to = F(x, у, у’) dx-y
+ Fy (х, у, у’) (dy - у dx) I х*; (1.2.6)
здесь дифференциалы dx и dy вычисляются вдоль линий С и D,
а у' — угловой коэффициент касательной к линии Е.
Вывод см. Блисс [1]. Смирнов В. И. [I].
1.2.3. Условие трансверсальности. Если линия Е достав-
ляет экстремум функционалу (1.2.1), то
ЙТ(£) = йФ(О|/==/о = О (1.2.7)
при любых dxi и rfx8, в частности, когда dxi — 0 и dxt ф О,
или dxt ф 0, dx^ — 0.
Из (1.2.6) вытекают условия трансверсальности:
F(xlt yt, у[) dxt 4- Fy, (хь ylt y'l)(dyl—y[dxl)=0, |
F(xt, уг, у’У) dx, 4- Fy. (xt, yt, y2) (dyt — y'sdxs) = 0. J
Если уравнение линии С есть > = 4%), то = ана-
Cl X £
логично, если уравнение линии D есть у = ф (х), то Т; = ф' (х),
dx2
и из условий (1.2.8) вытекают уравнения
Fix, у, У) + (у - У') Fy. (X, у, /)|())=о, )
F(x, у, у') + (ф' -у') Fy (х, у, у') | {2) == 0. /
Если линия С задана уравнением (х, у) = 0, а линия
О — уравнением ш£ (х, у)=0, то условия трансверсальности
(1.2.8) принимают вид
F-y'Fy. Fy,
-—— ------------на левом конце экстремали,
Ш1Х “1у
F — yFy, Fy.
----г.—i p- — на правом конце экстремали.
mSy
(1.2.10)
1.3.Ц
$ 3. ЗАДАЧА С НЕСКОЛЬКИМИ ФУНКЦИЯМИ
23
Если перемещение концов экстремали не обусловлено какими-
либо ограничениями, то на обоих концах экстремали выполняются
условия
F=0, /у=0. (Г.2.11)
Уравнение Эйлера — Лагранжа есть дифференциальное уравне-
ние второго порядка, его общее решение зависит от двух произ-
вольных постоянных, которые опре-
деляются из условий трансверсаль-
ности.
1.2.4. Трансверсальность и ор-
тогональность. Трансверсальность
есть обобщение понятия ортогональ-
ности.
Пример 1.2.1. Найти кратчайшее
расстояние от точки А (а, а^) до линии L-.
у = (х) (рис. 1.2.2).
Исследуем функционал
J = J.J/1 4-_у'2 dx,
вкстремали которого суть прямые. Условие
трансверсальности
превращается в 1 -|- у'у' в 0, т. е. в условие ортогональности. Аналогичное
соотношение получается для функционала
J A (х, 3') У 1 dx.
§ 3. Необходимые условия экстремума для функционала,
зависящего от нескольких функций
1.3.1. Постановка задачи. Рассматривается функционал
J(y)== $ F(x, уи...,уп,у[....y’n)dx, (1.3.1)
Xi
yi ^xs)^yit (/=1,2,...» n), (1.3.2)
где yti и y^ — заданные числа, а подынтегральная функция
непрерывна и обладает непрерывными частными производными
до третьего порядка включительно по всем аргументам. Тре-
буется найти условия, которым удовлетворяет вектор-функция
(Уп • • • >Уп)< Доставляющая функционалу (1.3.1) экстремум при
условиях (1.3.2).
В векторных обозначениях функционал (1.3.1) записывается
в виде
№
J (у) = § F (х, у, у’) dx.
24
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.3.2
1.3.2. Первое необходимое условие экстремума. Уравне-
ния Эйлера — Лагранжа. Экстремали. Рассмотрения, аналогич-
ные проведенным в пп. 1.1.1 — 1.1.3, приводят к первому необ-
ходимому условию экстремума — обращению в пуль первой
вариации, из которого вытекают уравнения Эйлера — Лагранжа,
сначала в интегральной форме, а затем в форме дифференци-
альных уравнений Эйлера — Лагранжа
(<=!, 2,..., п). (1.3.3)
Гладкое решение системы (1.3.3) называют экстремалью.
Вызол cv., например. Лаврентьев и Люстерннк |1], [2], Ахиезер [1].
1.3.3. Условия Вейерштрасса — Эрдмана. Ломаные экстре-
мали. Если х — С есть абсцисса угловой точки решения урав-
нений (1.3.3), доставляющего экстремум функционалу, то должны
выполняться условия Вейерштрасса — Эрдмана
г~ 2
i= 1
с-о = ^-- 2
i— 1
/?>;L=c-o ~ Fy'i\x=c+o.
с + 0, (i-3-4)
(1.3.5)
Они получаются тем же путем, что н в 1.1.6.
Если вектор-функция, доставляющая минимум функционалу
(1.3.1), состоит из кусков экстремалей, причем в точках стыка
этих кусков выполняются условия Вейерштрасса — Эрдмана, то
она называется ломаной экстремалью.
Вывод см. Ахиезер [1J, Блисс [1|.
1.3.4. Второе необходимое условие экстремума — условие
Лежандра. Так же, как и в 1.1.7, устанавливается условие мини-
мума (максимума), выражающееся в неотрицательности (неполо-
жительности) второй вариации 5=7 рассматриваемого функци-
онала.
Из этого условия вытекает необходимое условие Лежандра —
неотрицательность (неположительность) квадратичной формы
2 Fy'i о-3-6)
- . 1 J
в каждой точке экстремали в случае минимума (максимума).
В алгебре доказывается (ем. также Лаврентьев и Люстер-
ник [2], ч. 1), что для неотрицательности формы (1.3.6) должны
выполняться неравенства
Fy\ v'i Fy'iy':l ру\у\ру'Л ' py’iv'n
рУ\у’х 25 °’ Fy^ Fy'iy'i =s 0 Р\У\ P\v2 ' FV-2 F^'n РУпУ'п =s 0.
1.3.71 § 3. ЗАДАЧА С НЕСКОЛЬКИМИ ФУНКЦИЯМИ 25
Необходимое условие Лежандра может быть получено из
следующего ниже условия Вейерштрасса.
Определение регулярных или неособенных экстремалей (ср. п. 1.1.4) см.
Блисс [1], Ахиезер [1].
1.3.5. Третье необходимое условие экстремума — условие
Вейерштрасса. В каждой точке экстремали, доставляющей мини-
мум (максимум) функционалу (1.3.1), должна быть неотрицатель-
ной (неположительной) функция Вейерштрасса
F У, У'< k) = F (х, у, k) — F (.г, у, у') —
п
- 2 (*< -у'д у, У), (1.3.7)
1 = 1
где k — произвольный конечный вектор,
Доказате.и ст.ю см. Блисс [11, Ахиезер [1].
1.3.6. Четвертое необходимое условие экстремума — усло-
вие Якоби. Так же, как и в 1.1.9, вводится понятие сопряжен-
ной точки. Именно, системой дифференциальных уравнений
Якоби называют систему уравнений Эйлера — Лагранжа функци-
онала V-J-
Точка с называется сопряженной с точкой а, если сущест-
вует решение системы Якоби, обращающееся в нуль при х — а
и х = с и не равное тождественно нулю между а и с.
Если вектор-функция у доставляет минимум функционалу
(1.3.1), то интервал (,Vj, ,v2) не содержит точек, сопряженных
с точкой х = лу.
Подробно см. Блисс [1], Гельфанд и Фомин [1].
1.3.7. Условие трансверсальности. Дифференциал интеграла
ЛУ)=$ Р(х> УкУг.........Уп, y'v У'п) dx (I-3-8)
с переменными пределами в случае, если у = (ylt у2,..., уп)—
экстремаль, имеет вид
(п \ п х$
р- 2 y'iPv- \ dx+ 2 Ру- о-з.э)
1=1 / 1=1 Х1
(ср. (1.2.6)).
Отсюда, как и в п. 1.2.3, на концах экстремали должны
выполняться условия трансверсальности
п \ п
р- py'idyi = °- (i-з.ю)
i=i / >=1 \
Если, например, конец x = xL фиксирован, а второй конец распо-
ложен на гиперповерхности <р (х, yL, у2,..., ул) = 0, то условие
26
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [1.4.1
in >
(1.3.10) означает, что вектор Jf — Ру\,Ру'2...
ортогонален вектору {dx, dyit..., dyn} и, следовательно, кол-
линеарен градиенту функции <р (x,yt, ...,уп). Это дает следующую
форму условия трансверсальности:
F - S y'iFvi Fv\ р .
-----—---------=----- =...= — (1.3.11)
<Рх <Ру1
(ср. (1.2.10)).
§ 4. Необходимые условия экстремума функционала,
содержащего производные высших порядков.
1.4.1. Постановка задачи. Исследуется функционал’
J(y) = р(х, у, у', у"....у|га)) dx, (1.4.1)
рассматриваемый на функциях класса Сп [хп л"8], удовлетворяю-
щих условиям на концах:
у”’> (х,) = А;,
y(i> (хг)—В{
(1 = 0, 1, ...,n- 1).
(1.4.2)
Требуется найти условия, которым удовлетворяет функция,
доставляющая минимум (максимум) функционалу (1.4.1).
Предполагается, что функция F обладает непрерывными но
совокупности всех своих аргументов производными до(п-|-1)"го
порядка включительно.
1.4.2. Пгрвое необходимое условие экстремума. Дифферен-
циальное уравнение Эйлера — Пуассона. Экстремали. Если
функция у = у (х) доставляет экстремум функционалу (1.4.1), то
включение ее в однопараметрическое семейство
У = У (х) а. т; (х),
где л; (х) — произвольная функция, т; (х) £ Сп [лт, т)1*1 (*1) =
— т)1” (х2) — 0 (1 = 0,1.п— 1), приводит к выражению для
первой вариации:
f {Fvy + F/т/ + Fv< + ... + F/zW"1} dx. (1.4.3)
XI
Необходимое условие минимума — обращение в нуль первой
вариации
V = 0.
(1-4.4)
Т.4.4] § 4. ЗАДАЧА С ПРОИЗВОДНЫМИ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ
27
Посредством интегрирования по частям правой части {1.4.3)
можно получить, учитывая (1.4.4) в случае, если у(х')' имеет
производную порядка 2п, дифференциальное уравнение Эйлера —
Пуассона
d d2 d’ dn
- Tx - d^ = °’
(1.4.5)
являющееся обобщением уравнения Эйлера — Лагранжа.
Общее решение уравнения (1.4.5) содержит 2п произволь-
ных постоянных. Используя граничные условия (1.4.2), эти посто-
янные можно определить в предположении существования иско-
мой линии.
Вывод уравнения Эйлера — Пуассона в интегральной форме и получение
из него уравнения (1.4.5) см. Ахиезер |1|. Гюнтер (1J.
1.4.3. Случаи понижения порядка уравнения Эйлера —
Пуассона, а) Если F не зависит от у, Fy = 0, то уравнение
Эйлера — Пуассона принимает вид
d d2 ' dn
откуда, после интегрирования, получим
d dn~l
F-rX Гу" + -+
б) Если F не зависит от х, то, считая х функцией от у,
можно привести рассматриваемый функционал к виду
V1
( Ф (у, х', х",..., xlrai) dy
Уо
и тогда (см. случай а))
d dn~'
Фх'-4- фх"+ ••• + (— О'1”* ТГ-ТГг; Ф (га) = С.
х dy х v dyn 1
1.4.4. Сведение рассматриваемой задачи к задаче на услов-
ный экстремум. Дальнейшие необходимые условия. Если
в (1.4.1) положить
y' = z„ y’ = ^ — zs, у"' = z' = z3, .., у1га1 =(«„_!)' = z„,
то задача, сформулированная в п. 1.4.1, примет следующий вид.
Найти условия, которым удовлетворяет вектор-функция
(у, zt, z2.доставляющая минимум функционалу
х2
J— $ F (х, у, z;, ....... «'„.J dx,
*1
28
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.4.5
при дифференциальных условиях
y = z„ z;=za, ..., z'„_a = z„_,
и граничных условиях
У (*i) = Аи (хх) = А,, zn^ (xt) = An_lr
У (-^а) = ^о> 21 (*а) = • • • » ^п-1 (-^з) = Аг-Р
Так сформулированная задача есть задача Лагранжа на условный
экстремум (см. § 11; там же см, дальнейшие необходимые усло-
вия экстремума).
1.4.5. Условия трансверсальности. Задача о минимизации
функционала
№
/= j F (х, у, у', ... , у,п') dx,
когда за класс линий сравнения принимаются линии, концы
которых удовлетворяют соотношениям
<? (хп Л, X,..., У/1-1’) =0, ф (,va, _уа, у',.......Уга-1’) = 0,
сводится к общей вариационной задаче на условный экстремум.
Можно, однако, решить ее по схеме, примененной в п. 1.3.7,
что кратко показано в следующем примере.
Пример 1.4.1. Вывести условия трансверсальности для функционала
*2
J~ J F (х, у, у', у”) dx (1.4.6)
xL
при условиях
¥ (Xlt Д’ь =0, Ф (х2, у2, > ') =0, (1.4.7)
Пусть функция _у=у(лг) доставляет решение поставленной задачи; тогда
она удовлетворяет уравнению Эйлера — Пуассона. Если ее включить в семейство
экстремалей, однозначно определяемых величинами xlt yit у^, х2, у2, у'£ т0
на этом семействе данный функционал превращается в функцию переменных
х1< У1» у', х2, у2, y')t а вариация функционала — в дифференциал последней
функции:
dJ = ^F-y'^y,~^Fy,^-y’’Fy,^dx +
+ b'-^Fy")dy+Fy"dy'}w- (1Л8)
Первоначальная задача принимает следующий вид.
Найти минимум (максимум) функции
/ = /(хг V,, у{, xs. ,уа. у’)
при условиях (1.4.7). Согласно правилу множителей Лагранжа существуют такие
постоянные Xj и Х^, что для любых значений дифференциалов dX[, dy^, dy'f
dx2, dy2, dy'2
d[J+>-lt(.xt, v,, A>;) 4-Хаф (Жа _v2 ,y')J=O. (1.4.9)
1.5.2]
§ 5. ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
29
Из (1.4.8) и (1.4.9) следуют условия трансверсальности:
F~-v'(Fy' gr^1'') |(1) f.v' ~ |(1) |(1)
Vxt Ът
F~ У' ~ ~d^ Fy") ~ y"Fy" 1(2) = Fy' ~ Fy" 1(2) = Fy" 1(2)
4b “ 4v-
(1.4.10)
Условия (1.4.7) и (1.4.10) позволяют найти неизвестные величины _у', х%,
у у', определяющие концы искомой экстремали.
В случае, когда функционал (1.4.6) рассматривается на множестве линий,
соединяющих дв*3 данные гочки А (лг1т _1ц) и В (л-о, _у^), для определения посто-
янных в общем решении уравнения Эйлера — Пуассона служат условия
V(-4) = .'T. J' (.Vs) = 3’2, Fy" |.V1 = °, ^"1x2 = °-
Об условиях трансверсальности в рассматриваемых задачах см. Гюнтер [1|,
Лаврентьев и Люстерник [1J.
§ 5. Вариационные задачи в параметрической форме
1.5.1. Параметрическое задание линий. Во многих задачах
большие удобства, а иногда и единственную возможность рас-
смотрения представляет параметрическое задание линий. При
этом следует иметь в виду, что каждая линия допускает бесчис-
ленное множество параметрических представлений.
Пример 1.5.1. Уравнения эллипса
х ~ a cos t, y = b sin t
Этот же эллипс можег быть задан уравнениями
a (1 — z^) _ 2bz
х 14-г2 ’ У - 14*г2
(— it < t it).
(— со < /,< -j- со).
(1.5.1)
(1.5.2)
Уравнения (1.5.2) получаются из (1.5.1) посредством преобразования / = 2arctgz,
устанавливающего взаимно однозначную связь между z и /. Кроме того, благо-
даря монотонности возрастания функции f = 2arctg,z при возрастании обоих
параметров линия проходится в одном и том же направлении.
Ниже рассматриваются линии, задаваемые уравнениями
x = <f(t), у = ф (/), 1, 1 П, (1.5.3)
где 9 (<), ф (t)—непрерывные функции с кусочно-непрерывными
производными, не обращающимися в нуль одновременно: о'2 (£) -|-
—ф'2 fZ) 0. При этом t возрастает, когда точка (х, у) пробе-
гает линию в заданном направлении.
При переходе от параметризации (1.5.3) к другой парамет-
ризации посредством преобразования t = -у (т) будем считать,
что %(т) обладает непрерывной производной, причем у/ (т) > 0.
Тогда, при возрастании параметра, в любой параметризации
точка (х, у) пробегает линии в одном и том же направлении.
1.5.2. Функционалы от линий. Сильные и слабые окрест-
ности. Пусть дан функционал
/с = ( /’(/, х, у, л-, у) dt = ( F (t, х, у, х, у) dt. (1.5.4)
С /,
30 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [1.5.3
Здесь
dx . _ dy
dt ’ df
Для того чтобы функционал (1.5.4) зависел от линии, а не
от ее параметризации, подынтегральная функция не должна
зависеть от параметра явным образом и должна быть положи-
тельно однородной первой степени по второй паре аргументов:
F (х, у, kx, ky) — k F (x; у, x, $), fe>0. (1.5.5)
Дифференцируя (1.5.5) no k н полагая затем k = \, получим
F-x (x, у, x, $)x-\- F.> (x, У, x, у) у — F (х, у, х, у). (1.5.6)
Дифференцируя (1,5.6) по х и по получим
xF.. -4- yF. • = 0, xF- • + S’P- • = 0, (1.5.7)
XX ' ху ху уу ' '
что дает
откуда
Р~=^ F-xy=-^Fl’ Fyy=**F» (,Л9)
где Ft—общее значение отношений (1.5.8).
О свойствах, которым должна удовлетворять подынтегральная функция в
(1.5.4), см. Ахиезер [1], Блисс [1].
Сильной t-окрестностью линии у0 называется множество
линий у таких, что между всеми точками у0 и 7 можно устано-
вить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие
так, чтобы расстояние между соответствующими точками не
превосходило е.
Слабой ^.-окрестностью линии у0 называется множество
линий у'таких, что между всеми точками у0 и 7 можно устано-
вить взаимно однозначное и взаимно непрерывное соответствие
так, чтобы расстояние между соответствующими точками и угол
между касательными (меньший я/2) к 7 и 70, проведенными в
соответствующих друг другу точках, не превосходили е. Опре-
деление сильной и слабой e-окрестностей дает возможность дать
классификацию экстремумов, как и на стр. 12.
1.5.3. Первое необходимое условие экстремума. Уравне-
ния Эйлера — Лагранжа. Если линия С?х = <р(/), у = ф (О,
G -й! t 1-2, дает функционалу Jc экстремум в классе линий С,
идущих из заданной точки (щ, bt) в заданную точку (а2, />2),
то они удовлетворяют уравнениям
t
Py~\Fydt = B' С1-5-10)
Ц
t
Fx-\ Fxdt = А,
где А и В — константы.
1.5.5]
§ 5. ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
31
Это — уравнения Эйлера—Лагранжа в интегральной форме,
В дифференциальной форме они имеют вид
о,
аг х х •
F- — F
dt У У
= 0.
(1.5.11)
Одно из этих уравнений есть следствие другого,
тельно,
Fx - 4 F* = + i'FA - ^iFxx + 3>Fyx +
+ Х?хх + Ж-'') = 5* 1^; - Fxy ~ Fi (Xjj - л!у)],
Fy - 4 Ру = - “ F^. - F, (xy - ^)],
Действи-
(1.5.12)
1.5.4. Вейерштрассова форма уравнений Эйлера — Лаг-
ранжа. Экстремали. Из уравнений (1.5.12) получается вейер-
штрассова форма уравнений Эйлера—Лагранжа:
Fxy~ F^-FiW-X^b, (1.5.13)
или, учитывая, что радиус кривизны г выражается для парамет-
рически заданной линии формулой
1 ху — ху
получим
Вейерштрассова форма уравнения Эйлера — Лагранжа оста-
ется инвариантной ио отношению к преобразованию параметра.
Теорию Вейерштрасса параметрических задач вариационного исчисления
см. Гурса fjj, Блисс [1|.
1.5.5. Условия Вейерштрасса — Эрдмана. Если в качестве
параметра взята длина дуги, то
• dx а . dy . п
ds J ds
где ft — угол между касательной к кривой и осью Ох. При этом
на каждом гладком куске минимизирующей (максимизирующей)
линии
Л-Р--Р =0, Ар. Р=о, (1.5.15)
ds х х ’ ds У У '
а в каждой угловой точке s = s0 выполняются условия Вейер-
штрасса — Эрдмана
S==S°+°=0, F-! s = so + ° = o. (1.5.16)
I s = 0 |s = 5o4~O
32
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.5.6
Гладкое решение уравнений (1.5.15) называют экстремалью.
Условия (1.5.16) получаются из интегральной формы уравнений
Эйлера —-Лагранжа.
1.5.6. Второе необходимое условие экстремума (аналог
условия Лежандра). Вторая вариация в рассматриваемой задаче
имеет вид
И
^F, + F.w^dt, (1.5.17)
4
где w=y Ъх — х ty, a Ft— непрерывная функция параметра.
Формула (1.5.17) принадлежит Вейерштрассу. Из нее вытекает
необходимое условие минимума (если 8V[>0)
и необходимое условие максимума (из S27^0) —
F^O.
Вывод формулы (1.5.17) смч Гурса (1J.
1.5.7. Третье необходимое условие экстремума — условие
Вейерштрасса. Функция Вейерштрасса Е (х, у; pi q; р’, q') опре-
деляется как
Е {х, у, р, q; р’, q') =
^=F(x,y; Р', q') — P'F‘x(x,y, р, q) — q'F‘y(x, у, р, q). (1.5.18)
В силу однородности функции F формулу (1,5,18) можно
записать в следующих видах:
Е (х, у, р, q; Р', q') = F(x,y,p',q')-F (х, у, р, q) -
- (P'-Р) F-x (х, у, p, q) - (q' - q) F-y (x, у, p, q), (1.5.19)
E (x, y; p, q; p’, q') =p’ [F; (x, y, p', q') - F;. (x, y, p, q)] +
+ F [Fy (x, y, p', q') - F-y (x, y, p, q)]. (1.5.20)
В этих обозначениях необходимое условие Вейерштрасса в слу-
чае минимума заключается в выполнении неравенства
Е (х, у; cos®, sin 9; cos В', sin 9') 3=0 (1.5.21)
вдоль дуги, доставляющей минимум, при любых значениях угла
9'. В случае максимума должно выполняться условие
Е (х, у; cos 9, sin 9; cos 9', sin9')«g0. (1.5.22)
Здесь cos 9, sin 9—направляющие косинусы положительного
направления касательной к экстремали.
Имеет место формула Вейерштрасса
Е (х, у, cos 9, sin 9; cos 9', sin 9') =
== [ 1 — cos (9' — 9)] Fl (x, y; cos9j, sin 9^, (1.5.23)
где 9 < 9j < 9'.
Из формул (1.5.21)—(1.5.23) вытекают условия Лежандра.
1.5.9|
§ 5. ЗАДАЧИ В ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ
33
1.5,8. Четвертое необходимое условие экстремума —
условие Якоби. Уравнением Якоби для функционала (1.5.4)
называется уравнение Эйлера — Лагранжа для функционала
(1.5.17):
~dt (F‘ ~di] — F*U = °' (1.5.24)
Сопряженной точкой t’o к точке ta называется такая точка,
в которой обращается в нуль решение уравнения (1.5.24) и (t),
для которого и (Zo) = 0. При этом предполагается, что и (t) 0
для <7 Z < Z(|.
Условие Якоби заключается в том, что линия, доставляющая
экстремум функционалу (1.5.4), не содержит точек, сопряжен-
ных с точкой Zo.
Подробное изложение см, Блисс [1|, Гурса [1].
1.5.9. Условия трансверсальности. Если рассматривается
функционал
Jc = \ F (х, у, х, у) dx
на совокупности линий, один из концов (при t = ts) которых
фиксирован, а другой скользит по гладкой линии Д: х — ср(т),
у = ф (т), ср'2 (т) ф'2 (т) ^6 0, то для линии С :х =
= х (Z), у =у (Z), доставляющей экстремум этому функционалу,
во-первых, выполняются уравнения Эйлера — Лагранжа, и, во-вто-
рых, выполняется условие трансверсальности
^x?'(l: 2) + /7;4'(l:)|z = /1=0- /1.5.25)
Если координаты начальной точки С суть Г’х^у,), а их диф-
ференциалы вдоль С суть dxlt dyit а вдоль L суть Sx,, бу,, то
условие (1.5.25) принимает вид
F’x(xit Ун + Fy (xiy ylt dxt, rfy1)Sy, = 0. (1.5.26)
Если оба конца линии С подвижны, то на обоих концах вы-
полняются условия трансверсальности в форме (1.5.25) или (1.5.26).
- См., например, Ахиезер [I].
П р н м е.р 1.5.2. Исследовать функционал
U. у)
J y-y'-dx
(0, 0)
прн условии, что правый конец линий сравнения скользит по прямой
>=2 (3~л‘).
Так как возможны экстремали, которые пересекаются прямыми, параллель-
ными оси Оу более, чем в одной точке, то перейдем к рассмотрению этой за-
дачи в параметрической форме. Исследуемый функционал принимает вид
I e V2 • dx • dy
\ ys^dt- х = Яг
(0.0)
2 Цлаф Л. Я.
34
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.6.1
Из первого уравнения (1.5.11) следует, что
После интегрирования последнего уравнения получаем для экстремалей уравне-
ние у2 = 2рх -f- С, причем из условия прохождения экстремалей через начало
координат следует, что С — О,
Экстремали суть параболы у2 = 2рх.
Запишем уравнение прямой у=-1(3 —,v) в виде х = т, у = — (3 — т).
Тогда из (1.5.25) следует
у2у2 2 V / 1 \ |
X \ 2 ) |(Л-Х, >!)
нли
.пг0
и. учитывая, что уу' — р, имеем
Р (Р + .V1) = 0.
откуда вытекает, что либо р = 0 либо р = — _Vi, Если р = 0, то из у2 2рх
следует, что у^О и, значит, #1 = 3. В этом случае функционал имеет стацио-
нарное значение, равное пулю, и принимает его на отрезке оси Ох, соединяю-
щем точки (0, 0) и (3, 0).
Если же р == — 1’1, то в силу уравнений yf = 2 (—у-Ц и yj — ~ (3 — лу),
Xi — — 1, yj — 2 функционал принимает на дуге параболы, соединяющей точки
(0, 0) и (— 1, 2), стацйонарное значение —4 («правый» конец оказался левее на-
чала координат).
§ 6. Разрывные задачи. Односторонние экстремумы
1.6.1. Разрывные задачи первого рода для простейшего
функционала. Простейшие функционалы — это функционалы
вида
-Vo
J = j F (х, у, у') dx.
В задачах первого рода разыскиваются ломаные экстремали,
при этом функция F (х, у, У) непрерывна и обладает непрерыв-
ными частными производными до некоторого порядка по всем
аргументам.
Пример 1.6.1, Выяснить, имеются ли ломаные экстремали в задаче на
экстремум
2
J (у4 - бу’2) dx, .у (0) = 0 у (2) = 0.
0
1.6.2]
§ 6. РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ
35
Подынтегральная функция Г^у'4— 6_у'2 не содержит у, F =0. Экстре-
мали — прямые у — Сх + Ci. Если угловая точка имеется и ее абсцисса x~xQ,
то ломаная экстремаль имеет такой вид:
0<х^лг0, у = Щ}Х (экстремаль проходит через точку (0, 0)),
.v0<.v^2, v=r?i2(.v —2) (экстремаль проходит через точку (2, 0)).
В угловой точке экстремаль непрерывна
т^хо == m2 (л"о — 2).
(Ясно, что mi Ф т-2 в случае, если угловая точка
имеется.) Условие Вейерштрасса — Эрдмана (1.1.15)
дает
4т% — 12т£ -- 4m| — 12m2
или
(m1 - m2) (m| + mtm2 + m| - 3) = 0.
Условие Вейерштрасса — Эрдмана (1.1.16) дает
— 3m J 4- 6m2 = — 3mi -p 6m|
ил и
(m2 — mp (mJ 4- m2 — 2) = 0.
Значения mi и mo находятся из систем уравнений (на mi~ m2 7^ 0 полу-
ченные равенства сокращены):
1) mi4-m2 = 0,
m2 4- т£т8 4- m2 — 3 = 0,
откуда mi—"КЗ, m2 —— )л3 или mi = —Vr3, т2 = Уз^
2) m2 4-m2 4-тАт2 = 3,
т| 4- m2 — 2 = 0,
откуда mi = m2 — \, что исключено.
Таким образом, абсцисса угловой точки возможной ломаной экстремали
находится из формулы
2т2
X п =------- == I.
m2 — mi
Возможные ломаные экстремали суть (рис. 1.6.1)
( /3 х, 0г=х == 1,
•У = 1 г-
( _ /3 (х - 2), 1 г= х =£ 2,
и
( -V3 х, 0s=.v=sl,
•V = l г-
I У 3 (х — 2), 1«х«2.
1.6.2. Разрывные задачи второго рода. В этих задачах
предполагается разрывной подынтегральная функция функционала
J = 5 F у'}dx-
Xi
Если, например, F(x, у, у') претерпевает разрыв вдоль линии
_у = Ф(х), то в случае существования минимизирующей лома-
ной экстремали последняя состоит из кусков экстремалей, имею-
щих общую точку (х0, Ф (х0)), xt < х0 < х2.
2*
36
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.6.3
Если F(x, у, у') соответственно равна F, (х, у, У)
и F2 (х, у, У) по одну и по другую стороны линии у= Ф (х), то
J (У = 5 О (*> У> У)dx + 5 У У) dx = О) + 72 (У>
и варьирование данного функционала приведется к варьирова-
нию функционалов Jt (у) и (у), причем линии сравнения пер-
вого из них имеют подвижным правый конец, а линии сравне-
ния второго имеют подвижным левый конец. Из (1.6.1) следует,
что
67 = [О + (ф’ ~У) Гiy]x = x0 —о6л;о —
— [У2+ (ф' - У) ^')х = л-о +о8-У- (1.6.2)
Необходимое условие экстремума: Ь/(у)=0 имеет своим след-
ствием равенство
О + (Ф’ - У) = х0 - О = Fi + (Ф' - У) |х = х0 + о-
(1.6.3)
Пример 1.6.2. Для функционала
b _____
J (У) = J а (х, у) у 1 + У2 dx
а
условие (1.6.3) дает
Al U. У I = Аг (х, » . (1.6.4)
У 1 +У'3 |х = х0 — О У 1 +у2 |л- = хоУ О
Если а — угол между касательной к кривой у = Ф(х) и осью абсцисс, а углы
наклона к оси абсцисс левой и правой касательных к экстремали в точке
(-v0, Ф (х0)) суть pi и {32, то
•y'k-0 = tgP1’ yk + o=,g₽2’
Тогда из условия (1,6.4) получим
cos (« — Pl) (х, у)
cos (а — (32) “At (х, у) *
Если у — Ф (х) — линия раздела двух оптических сред, в которых свет распро-
страняется соответственно со скоростями zh= —— - и z>2 =-=— , то но-
, ; Ai (х,» а2 (л-, у)
следнее равенство выражает обобщение закона преломления света (закона Снел-
лиуса).
1.6.3. Разрывные задачи для функционала, зависящего
от нескольких функций. Если функция
F (х, У, У") = F(х, у2,..., уп, у, у,..., у’п)
непрерывна по всем аргументам и имеет частные производные до
третьего порядка, то при существовании ломаных экстремалей
1.6.4]
§ 6. РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ
37
в угловых точках должны выполняться условия Вейерштрас-
са— Эрдмана (1 = 1,2,..., п):
Если F(x, у, у') имеет разный вид по разные стороны поверх-
ности Ф (х, _у1( уг,..., уп) — 0 и
х_о
J (У) = $ Pi (х, yv yv У„, У[, У’2......У'п) dx +
Xi
+ $ (*, J’p У*...Уп, У\, y'v ..., У'п) dx,
XQ
ф (*о, УI (*о). Уз (Хо)..Уп (Хо)) SO,
то из V(y)=0 следуют условия
Г п -I г п л
I = 1 Jxo — О L i — 1 . х0 + 0_
/дФ \
\дх/х0
dFt I др2 I
----- д?п |Xo — 0 dyn |х0 о ,, с
_____ ldJL\ '
См. Гюнтер [1].
1.6.4. Разрывные задачи с подвижными концами в пространстве.
Пусть (х, yL, у2.уп) И (х,»-точка (п -|- 1)-мерного евклидова пространства
£л+1. В пространстве En+l дана область R с границей 5. Пусть внутри /? рас-
положена некоторая ломайая линия Eiog. состоящая из дуг Ею и £02. Линия
fii02 представлена уравнениями
(у. (х), х^х^хО,
</=1, 2, ... , п).
У^х), х°^х^х2
— +
Здесь у- (х) и у. (х) однозначны и имеют непрерывные первые производные.Линия
Eiq2 пересекается соответственно в точках 1,0,2 «-мерными многообразиями ДЛ,
7И°, Л12, причем В; указанных точках дуги, составляющие линию ci02 ие каса-
ются многообразий ЛИ, ЛЮ, ЛЮ.
38
ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.6.4
Многообразия All, Alo, А1- даны уравнениями
М1: х = х1(а), У;=у1щ, « = («,. а8..«„);
м“: x = x“(fi). У1=У1&), 3 = 1?,. ,32....
А13: х = №(7), = ....tn}'
а, (3, у принадлежат соответственно ограниченным и замкнутым множествам
Гр, Т^, на которых определены функции .vtl) (a), vj (а); л° (3), у? (р); х (у),
где
Т ,
« г »
yl (у). Точкам 1. О, 2 соответствуют значения =0. 3^=0, у =0 (Е = 1, 2....п).
Многообразия ЛИ, ЛЕ1, Л1- не пересекают себя л друг друга, а также ре-
гулярны для ас Г , рс Л., у сс Т : ЛИ расположено левее, а ЛЮ — правее ЛЮ;
и обозначают соответственно левую и правую подобласти, на
которые ЛЮ делит -ф- S, причем S- и S+ имеют общую часть вдоль ЛЮ.
Рассмотрим функцию
F (х, у, p) = F (х, д’.
' УП’ Pl-PS....Рп> =
F1 (х. у, р), Г1 £ С141. (Л-, .V) £ R~ 4. S', — со < р
Р*(х. у, р). Р^Са>, (х.у) € «+4-5+, -со<р
Функция F (х, у, р) принадлежит классу С 4 для всех (х, у) С /?+£, — со<р<
< -ф- оо, за исключением точек многообразия ЛЮ, на котором она претерпевает
разрывы первого рода. Пусть О — множество функции у. (х) таких, что линии
С102. определяемые этими функциями, лежат внутри /?, состоят из конечного
числа регулярных дуг и однократно пересекают многообразия М1, МО, ЛЮ,
причем на ЛЮ каждая из иих имеет угловую точку.
Пусть дана некоторая линия ЁюгсО с угловой точкой 0. Требуется найти
условия, которым должна удовлетворять Eil)2, чтобы функционал
хОф) Л<>(7)
7(J) = J F1 (х, у. у’) dx 4- [ рг (х, у, у') dx,
вычисленный вдоль Еюг« имел относительный минимум в классе допустимых
функции Q. Такими условиями являются:
1. Для того чтобы flog £ Q реализовала минимум функционала J(y), необ-
ходимо, чтобы дуги Ею и Е'о2 удовлетворяли уравнениям Эйлера в интеграль-
ной форме.
На дугах Е10 и Е02 линии Е'юз- удовлетворяющей этому условию, справед-
ливы уравнения Эйлера в дифференциальной форме, а в угловых точках (если
оии существуют) должны выполняться условия Вейерштрасса—Эрдмана.
Если вдоль дуг Ею и Е02 выполняется условие: определители
| ^у'.У. | 0 (i,/=1.2, ... п)
(k = 1 соответствует дуге Elo, a k = 2 — дуге Ео2), то на Ею и Е02 справедливы
также уравнения Эйлера в развернутой форме.
Далее необходимо, чтобы в точках 1, 2, 0 выполнялись соответственно усло-
вия трансверсальности и условие разрыва
1.6.51
§ 6. РАЗРЫВНЫЕ ЗАДАЧИ
39
2. На дугах Р10 и F02 должно выполняться условие Вейерштрасса
£* (.с, у, у', У') =: О
(k = 1 соответствует дуге Ею, а А: = 2 — дуге Еоа).
3. Должно выполняться условие Лежандра
ZjFy'y' (Х'У’У"1 1,2,..., в),
j ' < j
п
где £г- — числа такие, что (k = 1 соответствует дуге Ею, а
г=1
fe = 2 —дуге EOz).
См, Керимов [1] (формулировки), там же дан аналог условия Якоби; Ке-
римов [2] (доказательства).
1.6.5. Односторонние экстремумы. Ищется экстремум функ-
ционала
/(>) = = >(^2)==г»1, (1.6.8)
*1
при условии
у — о(лг)Э=0 (или у — о (х) 0). (1.6.9)
Ограничивающие условия могут быть более сложного вида.
В этом случае экстремаль может состоять из кусков, лежащих
в указанной области, для которых удовлетворяется уравнение
Эйлера—Лагранжа, и кусков границы данной области: у = е> (х).
В точках стыка указанных кусков экстремаль может быть глад-
кой, но может иметь и угловые точки.
Полагая, что у = у<х) доставляет минимум J (у), и принимая
У(х, «)=з>-|-«71, г; (хЛ = 7] (а2) — 0, 1 (16 10)
т;(х)^0, 0 \ я я0, у (л-, 0) = у (х), |
получим, что функционал (1.6.8) превращается в
/(J) = $ У< У) dx = Ф (а), Ф(0)=7(у’). (1.6.11)
•Ч
Имеем
Ф (а) — Ф (0)5:0, OOsOy,, (1.6.12)
и, следовательно,
Ф' (0)5:0, (1.6.13)
откуда обычными рассуждениями получаем
'т-и'т»0- ' “Д141
Условие в точке стыка имеет вид
[F(x, у, у') — F(x,y, o’) - Ср' — У) Fv. (х, У,У)]^ = Ло=О. (1.6.15)
40
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1.6.5
Оно вытекает из следующего представления для вариации дан-
ного функционала:
X» Х2
87 = 8 j F (х, у, /) + 8 $ F (х, у, у’) dx = 87, -|- 8J2 =
Xl Xt>
X<s +
= [F+(?'— У) Fr]Xo Sx0 - )’ F(x, <p(x), <p'(x))dx =
*0
= [F(x, у, У) — F(x,<? (x), <f’ (x)) + (У — У) Fy,]Xil 8x„.
Здесь имеется в виду, что для xt^x^xa линия у = у (х)
лежит в указанной области, и вариации сводятся к рассмот-
рению линий сравнений с подвижным правым концом, а при
вычислении 872 левый конец движется по линии у> = <р(х).
Из условия (1.6.15) следует, что если Fyy. 0, то куски
экстремали в точке стыка (на линии у — tp (х)) имеют общую
касательную.
В настоящее время появляется много исследований вариационных задач
с ограничениями в форме неравенств. См., например, Веллман, Гликсберг,
Гросс [1J.
Пример 1.6.3, Найти кратчайший путь из точки Д (—2, 3) в точку
В (2, 3), расположенный в области у =$х%
(рис. 1.6.2).
Исследуемый функционал
2 _______
J (у) = J у I -\~у'Г dx.
— 2
Его экстремали суть прямые у = тх-\-п.
В данном случае
у,*».
н поэтому линия, доставляющая минимум,
должна состоять из кусков прямых, каса-
тельных к параболе — х- и куска этой
параболы.
!, вследствие симметричности задачи имеют
Рис. 1.6.2.
Пусть точки касания, а их
абсциссы x = Xq и х — — х^.
Имеем в точке касания равенство ординат и равенство угловых коэффи-
циентов, т. е. обозначив угловой коэффициент касательной в точке х$ через fei,
имеем Л1 = (№)^_ =2*0- п = xg. т = 2л'о. откуда л<’4-п = 0. С другой
стороны, касательная проходит через точ1ту (2, 3), следовательно.
3 —2т-у^ или 3 = 4хо 4- п.
Таким образом, .v~ — -у 3 = 0 и интересующее нас значение есть
= 1 (— 2 < Xq <2). Тогда fei = 2. Аналогичные рассуждения приводят к заклю-
чению, что линия, подозреваемая на экстремум, есть
{— 2х-1, —
№, -1<х<1,
2х — 1, 1<л-^-2.
Этой задаче можно дать обобщенную постановку: найти кратчайшее рас-
стояние между точками А н В, если эти точки разделены каким-либо препят-
ствием. •>-
1.7.1)
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
41
§ 7. Канонические уравнения.
Теория Гамильтона—Якоби
1.7.1. Каноническая или гамильтонова форма уравнений
Эйлера. Уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала
J= $ F(x,yv у2..................Уп)ах О-7-’)
имеют вид
А/г Р, =0. (1.7.2)
dx -i >1
Если матрица || F,,.,,. || (1, k = 1, 2, ..., п) неособенная, то из
уравнений
(1=1,2.......п) (1.7.3)
можно выразить yj через х, yv у.2, .., уп, pv р2, ..., р^.
У! = Уу У2’--> УП’ Pv Pi.......Рп)-
(1.7.4)
Гамильтонианом Н для функционала (1.7.1) называется
функция И от х, yt, у.2, ..., уп, Pl, р-2.рп
Н (-с, У, Р) = [- F(.v, yv у.2, уп, yj, у'................у’п) +
п
+ S X Fy'. (х, yv у.2...........уп, Ур У.;,..., Уп)
f = 1 1
(1.7.5)
где у' = 0(х, ур у2, ..., уп, pv pv ...,рп). Для гамильтониана
имеют место соотношения, получающиеся дифференцированием,
<W 6F
dyt ~~ ду, ’
— = ?/ (х, ур у.2, ... , уп, Pl, Р3, • • • , Рп)
что дает
dpt___ дН
dx ~ dyi ’
d^^d^L
dx dpi ’
(1=1,2,..., n),
(1.7.6)
,n). (1.7.7)
(i = 1,2,
Уравнения (1.7.7) называются канонической или гамильто-
новой системой уравнений Эйлера—Лагранжа, при этом пере-
менные у,, у2, ..., уп, Pl, Pi, ••• > Рп называются каноническими
переменными. Они были введены Гамильтоном (1834—1835 гг.)
42
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1.7.2
и Якоби (1842—1843 гг.). Однако уже Лагранж использовал диф-
ференциальные уравнения в канонической форме.
Пример 1.7.1. Написать каноническую систему уравнений Эйлера для
функционала
Имеем
4=1 V.V- + J'-’ V1 +У2 tlx-
р = - /л-s + у* - рз.
/л-2 4-Д'2—р2
H = -F + y'Fv,
Искомая система
_ у
dx У х-+ у2 — р2
dy________р_____
dx Vx-y~y2--p2
в виде
Из (1.7.5) следует, что формула (1.3.9) может быть записана
п Lvo
dJ — — И dx + У Pi dyi .
i=I |лд
(1.7.8)
Условия трансверсальности (см. (1,3.10)) на концах линии, достав-
ляющей экстремум, имеют влд
~Hdx+ 2 Pidyt = Q. (1.7.9)
/= 1
1.7.2. Первые
экстремали
интегралы канонической системы. Вдоль
уН = д_Н_
dx дх ’
(1.7.10)
и если = 0, т.
дх
сит от х), то
е. /7 не зависит от х (значит, и F не зави-
Н — const.
Функция, сохраняющая постоянное значение вдоль каждой
интегральной линии заданной системы дифференциальных урав-
нений, называется первым интегралом этой системы.
Таким образом, Н — const есть первый интеграл канони-
ческой системы уравнений Эйлера—Лагранжа.
Если дана некоторая функция Ф (з»1,_М2, ••• , УтРк Р-и •>Рп)>
то вдоль экстремали
^='У УФ V УФ дФ /17 121
dx Zi \dy, dx ' dp, dxJ Zi \dyt dp-t dp, dy;) ' ' '
i=I 7=1
1.7.3]
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
43
Выражение в правой части (1.7.12) называется скобкой Пуассона
и обозначается символом [Ф, И]. При этом обозначении
Лф
= (1.7.13)
Для того чтобы функция Ф (yi, у2, ..., уп, р,, р2, ..., рп) была
первым интегралом канонической системы уравнений Эйлера—
Лагранжа, необходимо и достаточно, чтобы
[Ф, Н] = 0. (1.7.14)
Если не только И, но и Ф зависит от х явно, имеет место фор-
мула
</Ф дФ
= (1-7.15)
1.7.3. Теорема Э. Нетер. Пусть дано семейство обратимых
преобразований, зависящее от параметра а:
А-* = о0(АГ, У1, У2, ..., уп, а), ) ?
= а) (« = 1, 2, ...,n), /
где функции <р0 и о, дифференцируемы, причем значению а=0
соответствует тождественное преобразование
®о (x,ylt у2...уп, 0)=Х,
<Pi(X, л, у2, ...,Уп, W)=yt.
Функционал
ь
J (У) = (X, ylty2,..., уп, У'г, у*,..., уп) dx,
а
рассматриваемый на линии Z.: у,- = у, (х) (I = 1, 2,..., п), называ-
ется инвариантным относительно преобразования х* =
= <ро (х,у„у2,... ,уп, «о), У* ==?,(*> Л’Л, ••>.>% «о), переводя-
щего линию L в линию Z.*: yf = yf (х*), если
V»
аУ*
dx* ’
аУп\
dx*]
dx.
Каждому преобразованию (1.7.16), оставляющему рассматри-
ваемый интеграл инвариантным, соответствует некоторый пер-
вый интеграл канонической системы уравнений Эйлера — Лаг-
ранжа (теорема Э. Нетер).
44
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.7.4
Пример 1.7.2. Если в функционале
Ь
f Fix, у, у') dx
а
F не зависит от х, то функционал инвариантен относительно преобразования
Х* = Х-Ьа. y*=,V.
Следовательно, должен существовать первый интеграл канонической систе-
мы, соответствующий указанному преобразованию. Этим первым интегралом
является Н= const (ср. (1.1,13)).
По поводу теорем Э, Нётер см. ‘Курант и Гильберт |1 ],
т. I, Гельфанд и Фомин (1), а также в книге Полака [1].
1.7.4. Уравнение Гамильтона—Якоби. Теорема Якоби.
Каноническая система (1.7.7) является системой уравнений
Эйлера—Лагранжа для функционала
х 2
п
S Piy’i ~H(x,yv..., Уп, pv рг, ...,РП)
i— 1
dx,
(1.7.17)
если yi, pi рассматривать как неизвестные функции. Так как
п х%
dj = — И dx -J- 2 Pi dyi >
1=1
(1.7.18)
то при фиксированном л\, опуская индекс 2,
dj = -Hdx+^ Pidyi, i— J (1.7.19)
откуда
dj
дх — И (x, у, p),
dJ __ (1.7.20)
dyi ~~ Pl (1 = 1, 2,..., n).
Путем исключения р; в (1.7.20) получается уравнение
в частных производных первого порядка, называемое уравне-
нием Гамильтона—Якоби:
dJ . „/ ' , , dj dJ
дх "I- \ ......^п’ dyt ’ ду2 ’
".) = ». (1.7.21)
Полным интегралом уравнения в частных производных
первого порядка называется его решение, содержащее столько
произвольных постоянных, каково число независимых пере-
менных.
Для уравнения Гамильтона—Якоби, учитывая то, что оно
не содержит неизвестной функции (а содержит только ее част-
ные производные), полный интеграл можно взять в виде
V(x, ........уп, alt а2..ап)+а, (1.7.22)
где a, alt as, ..., ап—произвольные постоянные.
1.7.8]
§ 7. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ
45
Предполагается, что Г непрерывно дифференцируема по
ar dv. „
параметрам at и каждая частная производная (i = 1, 2,...
..., п) непрерывно дифференцируема по всем аргументам.
При дополнительном предположении о том, что определитель
I д-У I
Ат— 7е °,
Idyidan |
(1.7.23)
имеет место теорема Якоби'.
Если известен полный интеграл V уравнения Гамильтона —
Якоби, то равенства
дУ , дУ
dak~ k’ dyh Ph'
(1.7.24)
где ак, Ьь (й —1, 2, ..., я)—произвольные постоянные, дают
решение канонической системы (1.7.7), зависящее от 2я произ-
вольных постоянных.
Пример 1.7.3. Найти экстремали функционала
f V X* /Г+у5 dx.
Гамильтониан
Н = - +>’2 -Р2;
следовательно, уравнение Гамильтона — Якоби имеет вид
dJ ">
^ = - у
или
(Э’+®’=*2+^ ™
Решение можно искать в виде
J = 1 (Ах* + 2Вху + Сг2). (1.7.26)
Подстановка решения (1.7.26) в уравнение (1.7.25) дает
А2 4-в2 = 1. В(л + С) = о. В24-С2 = 1.
Полагая А = — С = sin ₽, В = — cos (i, получим решение уравнения (1.7.25),
в виде
J — g- (.г- sin ₽ — 2_v\' cos $ — у2 sin ₽).
Общий интеграл уравнения Эйлера — Лагранжа в силу теоремы Якоби
~ = const = а или х2 cos ₽ -}- 2ху sin (3 — _у2 cos (3 = а.
По поводу приведенной выше теории см. Гантмахер II], а также Уитте-
кер |1]-
1.7.5. Канонические преобразования. Если преобразования
Yt = Yt(x, _yr, у2, ..., уп, pt, р2.рп), 3
У (I = 1, 2, п)
Pi = Pi (х,'У1, у2....уп, pt, р2....Рп), )
(1.7.27)
46
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11.8.1
преобразуют каноническую систему
систему
dYi _дН dPt _ дН
dx дР[ ’ dx д Yi
(1.7.7) в каноническую
(1 = 1,2.....я) (1.7.28)
с новым гамильтонианом
Н — Й (х, Yt, Ys, ..., Yn, Plt Ps, ..., Pn),
то преобразование (1.7.27) называется каноническим.
Уравнения (1.7.28) являются уравнениями Эйлера — Лагран-
жа для функционала
j'— И dx + 2 Pt d Yt- (1.7.29)
Xi i— 1
Вариационная задача для функционала (1.7.29) эквивалентна
вариационной задаче для функционала
х% п
5 — Hdx + 2 pt dyt
Xi i—l
тогда и только тогда, когда подынтегральные выражения этих
функционалов отличаются на полный дифференциал некоторой
функции
2 Pi ^У‘ ~ Н dx — S Pt dYi — Н dx -[
i = 1 i = 1
+ <7Ф(х, у, Уп, Pi, ,?„) (1.7.30)
В этом случае функция Ф (х, ylt .... уп, р„ р,,', называется
производящей функцией данного канонического преобразования.
Из (1.7.30) следует, что
Цф г)Ф ~ 6Ф
А-=4-, Pi=~ тит-, 77=/7 + V-. (1.7.31)
' ду, ’ ‘ dYt ’ 1 dx v ’
§ 8. Некоторые сведения из теории поля экстремалей
1.8.1. Геодезическое расстояние и его производные. Зна-
чение интеграла
(В)
J (у) = \ F(x, у, у') dx, (1.8.1)
(И)
где ^={^(х)........Уп(х)}, у = {У(х), Уг(*)}, взятого
вдоль линии 7 от точки А до точки В, называют J-длиной ли-
нии (.
Если 7 — экстремаль, то J (у) называют геодезическим рас-
стоянием между точками А и В, или же J-расстоянием, а саму
экстремаль J-прямой.
1.8.1] § 8. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
47
Если точка А фиксирована, то для вариации функционала
(1.8.1) имеет место формула (1.7.19), а для производных геоде-
зического расстояния формулы (1.7.20). Из (1.7.21) следует, что
геодезическое расстояние, отсчитываемое от точки А, как функ-
ция координат переменной точки В, удовлетворяет уравнению
Г ами.тьтона — Якоби.
Если в (п 4- 1)-мерном пространстве дана гиперповерхность S
<f(x, yit У2, .... уп)=о,
то геодезическим расстоянием точки В, лежащей вне .S, до
этой поверхности, называют геодезическое расстояние точки В
до точки А, принадлежащей .S', такое, что функционал (1.8.1)
принимает стационарное значение (87 = 0). Это значит, что
функционал (1.8.1) вычисляется вдоль экстремали у, соединяю-
щей точки В и А, причем у пересекает поверхность .S в точке А
трансверсально.
Геодезическое расстояние, отсчитываемое от поверхности .S,
также удовлетворяет уравнению Гамильтона — Якоби, а произ-
водные геодезического расстояния от поверхности .S также на-
ходятся по формулам (1.7.20).
Пример 1,8.1 (см. пример 1.5.2), Пусть геодезическая длина и геоде-
зическое расстояние определяются с помощью функционала
J (О') = J y^y'-dx.
Геодезическое расстояние от точки А (0, 0) до точки В (1, 1) есть значе-
ние данного функционала на экстремали, соединяющей эти точки. Такой экст-
ремалью является парабола у% = х. В таком случае ‘2уу'^=[, уу' = \[<2,
у2у'2= 1/4 и геодезическое расстояние между точками А и В
1
ЛА, = =
о
Пример 1.5,2 показывает, что геодезическое расстояние начала коорди-
нат от прямой У = ~2 (3-~х) не определяется однозначно и, следовательно, не
существует. Однако если рассмотреть отрезок этой прямой, например, — 2^.v^2,
то геодезическое расстояние от начала координат до данной прямой равно — 4,
Пример 1.8,2. Найти уравнения геодезических окружностей — линий,
точки которых находятся на одинаковом геодезическом расстоянии от заданной
точки, равном
Пусть этой точкой является начало координат (0, 0), а геодезическое рас-
стояние измеряется посредством минимального значения функционала J y2y'2dx
от начала координат до рассматриваемой точки.
Экстремали функционала пересекают геодезическую окружность трансвер-
сально. Для экстремалей имеем у2 = 2рх, уу' = р и, следовательно, у' —
Из условия трансверсальности у2у' (2у’— у') <= 0 вытекает, что угловой коэф-
фициент касательной к геодезической окружности у' = у'/2 и, значит, диффе-
ренциальное
уравнение геодезической окружности есть у' =
откуда уравне-
ние геодезической окружности есть у^ = Сх. Для отыскания величины С заме-
тим, что на геодезической окружности jH = C.v лежит точка (С3, С); уравнение
48
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.8.2
геодезического радиуса, проходящего через эту точку, есть у2 — ^х. Отсюда
СЗ
^==2U> 5 ^=7 = ^*
о
Следовательно, С = 47? и геодезическая окружность радиуса 7? с центром в на-
чале координат имеет уравнение y* = 4Rx.
1.8.2. Поле экстремалей. Область D (я + 1)-мерного прост-
ранства, покрытая просто (т. е. без пересечений) семейством
экстремалей, трансверсальных некоторой поверхности, назы-
вается, собственным (или общим) полем экстремалей.
Область D (я -|~ 1)-мерного пространства, покрытая просто
семейством экстремалей, исходящих из одной точки, находящейся
вне области D, называется центральным полем экстремалей.
Фигурирующие в обоих определениях семейства экстрема-
лей являются я-параметрическими.
Имеет место теорема: Если J (х, ylt у.2, ..., уп) есть решение
уравнения Гамильтона—Якоби, то существует поле экстрема-
лей, трансверсальных по отношению ко всем поверхностям
J = const и, в частности, к начальной поверхности 7 = 0. В этом
случае J является геодезическим расстоянием от начальной
поверхности в рассматриваемом поле экстремалей.
Если поле экстремалей имеет в качестве начальной транс-
версальной поверхности S поверхность
<? (х, ylt у.2.у,г) = 0,
то J— длины отрезков экстремалей, заключенных между поверх-
ностями <р = С\ и а> = Са,— одинаковы.
Наклонам поля экстремалей функционала (1.8.1) называют
вектор-функцию U(х, у) =. {/ц (%, у), .... ип (х, у/)}, относящую
каждой точке (x,yt,у.,, ...,уп) поля вектор {yj (%), уГ (х),..., у^(х)},
1.8.3. Выражение геодезического расстояния между дву-
мя точками через инвариантный интеграл Гильберта. В поле
функционала (1.8.1) выражение
п
— Шх-у ^Pidyi,
1 = 1
где
п
— Н = Р(х, у, и (х, у)) — 2 Ру. (х, у, и (х, у)) U[ (х, у),
1=1 ‘
Л = Ру (х, у, и (х, у)),
i
(1.8.2)
(1.8.3)
является полным дифференциалом функции переменных х, ylt
у„.... уп. Последнее устанавливается проверкой выполнения
1Л.З] § 8. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
49
равенств
дН_____dpi (х, и (х, у))
dyt ~~ дх
др, _dPk
дУь dyi
(z = 1, 2, ..., я).
Функция, определяемая дифференциалом (1.8.2) с точностью
до постоянного слагаемого, есть
(В) п
- И (х, у, р) dx 4- ^pidyi, (1.8.4)
(X) i=l
и называется инвариантным интегралом Гильберта (инвариант-
ным, поскольку он не зависит от контура интегрирования, на-
ходящегося внутри поля). Этот интеграл был введен Гильбертом
в вариационное исчисление в 1906 г. В силу формул, выражаю-
щих частные производные геодезического расстояния от началь-
ной трансверсальной поверхности, с точностью до постоянного
слагаемого, это геодезическое расстояние выражается инвариант-
ным интегралом Гильберта. Так как геодезическое расстояние
между точками А и В можно вычислять как расстояние от
точки В до начальной трансверсальной поверхности .S' ноля, то,
предполагая для простоты, что точка А принадлежит .S’, из пре-
дыдущего находим
(В) (В)
п
(В) Г п
= ij F(x, у, и) — У1, UiFv. (х, у, и (х, у)) dx -f-
(A)L ''' J
п
п
(В)
zz,J Fv- (x, y, u) dx. (1.8.5)
В формуле
с(уг
чения,
dx
(1.8.5) выбор контура интегрирования не имеет зна-
вычисляются вдоль выбранного контура.
с- л с ду,
если точки А и В лежат на экстремали поля, то — ui
и из (1.8.5) получается введенное ранее выражение для геодези-
ческого расстояния между точками А и В. Теория поля в вариа-
ционном исчислении впервые была разработана Вейерштрассом.
Геометрическая теория поля, основанная на использовании гео-
дезического расстояния, впервые была дана Кнезером.
Изложение, данное выше, следует книге Куранта н Гильберта [1], т. II.
Геометрическая теория поля развита в книге Лаврентьева и Люстерника [1].
50
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (1.8.4
1.8.4. Другие определения поля. Полем функционала (1.8.1)
называется область D (n-f- 1)-мерного пространства вместе с век-
тор-функцией
« (X, у) {«! (х,у).и„ (.с, у)},
если в этой области D функции и; (х, у) имеют непрерывные
частные производные первого порядка и интеграл Гильберта
п
F (х, у, и) — uiFy (*, У< «)
С[_ «=1 «
п
dx + Fy (х, у, и) dyt
i=i ‘
не зависит от пути интегрирования С, а зависит лишь от началь-
ной и конечной точки линии С.
Это определение поля принадлежит Блиссу (1914).
Для того чтобы «-параметрическое семейство экстремалей
У1 = а>; (х, ?2, ..., ?„) (i = 1, 2, ..., я) (1.8.6)
образовывало поле в области D, необходимо и достаточно, чтобы
тождественно равнялись нулю все скобки Лагранжа
го oi_V/'d^^L д2удР^'=.П (1R71
(s, г = 1,2, ..., я); Pi = Fv,.
' i
«-параметрическое семейство экстремалей, для которого все
скобки Лагранжа равны нулю, называют майеровым семейством.
Они были введены Майером в 1905 г.
При я=1 всякое однопараметрическое семейство экстрема-
лей является майеровым.
Если все экстремали (1.8.6) выходят из одной точки, то та-
кое семейство экстремалей майерово, а порождаемое им поле —
центральное.
Теорию поля, развитую на основе данного выше определения, см, у Блис-
са fl] или Ахиезера [I].
Существенно иное определение поля дано Гельфандом и Фоминым [1].
1.8.5. Условия Лежандра и Якоби включения экстремали
функционала J (у) = $ F(x, уь ynt yj, y'n)dx в поле.
Усиленным условием Лежандра называется требование выпол-
нения неравенств
F , . 5’;>; Fy'y ГУпУ[
0,... F , yty's F , , у Л, F , , • 1 у' у П % >0
F . F .’ * F . ’
У1Уп УЛ’п УпУп
(1.8.8)
1.8.6] § 8. СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ ПОЛЯ ЭКСТРЕМАЛЕЙ
31
при sS х sg ,v2, т. е. во всех точках рассматриваемой экстре-
мали (ср. п. 1.3.4).
У силенным условием Якоби называют требование того,
чтобы отрезок [х1; х2] не содержал точки, сопряженной с точкой
х, (ср. п. 1.3.6).
Выполнение усиленных условий Лежандра и Якоби доста-
точно для включения экстремали в поле.
Для доказательство см. Лаврентьев и Люстерник ]1|, Ахчезер ]1].
Общий случай см. Гельфанд и Фомин [ 1].
. Если хотя бы в одной точке условие Лежандра не выпол-
няется, то экстремаль не всегда может быть включена в поле.
Пример 1.8.3. Дан функционал
1
J (х2у2 4. 12_V2) dx, у(-1) = -1, у
— I
Уравнение Эйлера—Лагранжа
24y-J^(2№y') = 0 или х^у" + 1ху’ — 12> = 0,
общее решение полученного уравнения
у = См'3 -|- С$х
краевым условиям удовлетворяет экстремаль y = xs, которую нельзя окружить
полем, ибо единственным однопараметрическим семейством экстремален, содер-
жащих ее, является у = рл-з. Это семейство экстремалей не покрывает области,
содержащей точку с абсциссой х = 0.
В данном примере = 2х2 и усиленное условие Лежандра не выпол-
няется при х — 0.
1.8,6. Построение полей экстремалей для некоторых ва-
риационных задач е подвижными концами. Ниже указаны
примеры полей, используемых при исследовании вариационных
задач с подвижными концами.
Пример 1.8.4. Дан функционал
х%
j(» = j ли, у, y'ydx, у2, ...ул}, y'={yj. у'....уЧ;
Xi 1 J
левый конец линий сравнения фиксирован, правый конец перемещается по данной
поверхности S.
Для изучения функционала рассматривается поле экстремалей, трансвер-
сальных поверхности S (см. п. 1.8.2), включающее в себя линию, подозреваемую
на экстремум.
Пример 1.8.5. Функционал тот же, что и в примере 1.8.4. Левый конец
линий сравнения перемещается по поверхности Si, правый — по поверхности S2.
Если линия Е подозревается на экстремум, то строится поле экстремалей,
включающее Е, трансверсальное к S2. Обычно требуется, чтобы часть поверх-
ности Si, содержащая левый конец линии Е, лежала бы внутри построенного
поля.
Пример 1.8.6. Функционал тот же, что и в примере 1.8.4, концы фикси-
рованы, линия Е, подозреваемая на экстремум, имеет угловую точку С (х*. у*).
Строится центральное поле с центром в лево.м конце линии Е, и какое-
нибудь нецентральное поле, содержащее правый конец линии Е. Трансверсальные
поверхности этих полей соответственно 0_ (лг, у) = const и 64- (х, у) = const.
Точка С лежит на поверхности 6-U, у) — 6+U, у) = 6_ U*. у#) — 6+U#, у*),
52
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.8.7
отделяющей построенные поля. Таким образом, одна часть линии Е принадлежит
одному полю, а Другая — второму пОлЮ'; точка С лежит внутри обоих полей.
ХЗ
Пример 1.8.7. Исследуется функционал J (у) ~ J F(x, у, у') dx при огра*
ннчении у — ср (х) 0. Линия Е, подозреваемая на экстремум, состоит из куска
экстремали AKi, куска границы KtKs (У = У (х)) и куска экстремали К%&‘, А и
В — конечные точки линии Е.
Для исследования данного функционала строится центральное поле с центром
в А, причем Ад/Сз принимается в качестве границы построенного поля, после
чего строится поле (правое) из экстремалей, касающихся границы. Обычно тре-
буется, чтобы правое поле содержало внутри себя точку В.
Подробное построение указанных выше полей см. Гюнтер [1].
1.8.7. Определение поля для вариационных задач в па-
раметрической форме. В соответствии с п. 1.8.4, полем функ-
ционала
Л (х,у, х у) dt
называют всякую область D (принадлежащую области G пло-
скости х, у, в которой функция F трижды непрерывно диффе-
ренцируема), вместе с непрерывно дифференцируемой в D функ-
цией 6 = 6 (.г, у), называемой наклоном поля, если в D интег-
рал Гильберта
F. (х, у, cos 0, sin 6) dx -f- F. (x, y, cos 0, sin 0) dy
Iх y
не зависит от пути интегрирования L, а зависит лишь от его
начальной и конечной точек.
Однопараметрическое семейство экстремалей
х = <р (t, В),
У = ф (А ?),
покрывающее односвязную область D плоскости х, у, образует
поле, если tp, ф, ф, ф непрерывно дифференцируемы в прямо-
угольной области (Ц --С t eg g, p sgi ps) и в этой области
<?(?,
d(i, 3)'
См. Ахиезер [1|. Блисс [1J, Лаврентьев и Люстерник [1].
§ 9. Достаточные условия экстремума
1.9.1. Достаточное условие Вейерштрасса. Если Е — экстре-
маль, о которой предполагается, что она доставляет экстремум
функционалу J(у), то для выяснения характера этого экстремума
исследуется знак приращения функционала
Д7= J(C)- ЦЕ),
1.9.1]
§ 9. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
63
где С — линия сравнения, принадлежащая сильной или слабой
окрестности Е, или же принадлежащая области определения J.
Имеет место формула
ij= f Е (х, у, и, у') dx, (1.9.1)
где Е (х, у, и, у') есть функция Вейерштрасса для поля
Е (х, у, и, у') = Е (х, у, у') — F (х, у, и) —
— S (У! — «i) Fy У’ и)< О-9-2)
i=i I
а и (х,у) — наклон поля экстремалей функционала J(у). Из (1.9.1)
и (1.9.2) следует достаточное условие Вейерштрасса: если линия
Е, подозреваемая на экстремум, может быть окружена полем
и в этом поле для всех точек (у, у) и произвольных конечных
значений у' функция Вейерштрасса неотрицательна (неположи-
тельна), то линия Е доставляет функционалу
Х2
J(y) = \ Е (х, у, у') dx, y(xl) = yl,y(xe) = yi,
сильный минимум (максимум).
Формула (1.9.2) получается посредством использования ин-
теграла Гильберта:
A J — J(C) — J(E)= j E (x, y, y') dx —
c
n
— Е (х, у, и) 4- 2 (у: - и,) Е , (х, у, и) dx =
с 1=1
= \Е (х, у, и, У) dx,
С
в предположении, что линия Е окружена полем с наклоном и (х, у).
Пример 1.9.1. Исследовать на экстремум функционал
b
J(y) = \y^dx, _у(0) = 0,
О
Уравнение Эйлера—Лагранжа
Зу'2 — о. у'2 = const.
dx л
следовательно, экстремали прямые. Экстремаль, удовлетворяющая краевым ус-
S £
ловиям, есть V—Условие Лежандра F =6у' = 6^->0 на экстремали
выполнено. Экстремаль включается в поле у —ах, наклон которого p — ylx. В
этом поле условие Якоби выполнено, так как экстремали нигде, кроме точки
(О, 0), не пересекаются. Функция Вейерштрасса имеет вид
Е (х, у, р, у') = у'3 — рЗ — Зр- (у' — р) = (у' - р)-’ (у' 4- 2р).
54
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П.9.1
Условие Вейерштрасса не выполняется, ибо можно так выбрать у', что функция
Вейерштрасса будет принимать положительные и отрицательные значения. Силь-
ного минимума нет, так как функция Вейерштрасса не сохраняет знак в точках
исследуемой экстремали. Однако слабый минимум имеется. См. пример 1.9.4.
Пример 1.9.2. Исследовать на экстремум функционал
2
/О')= J <.xy'i-2yy't)dx, = >(2) = 1.
1
Уравнение Эйлера—Лагранжа
— 2,г'3 — ~ (4xv'8 - бу v’2) = о
или у'у" (у — ху’) — 0, экстремали — прямые. Краевым условиям удовлетворяет
экстремаль у = х — 1.
Поле имеется, оно состоит из прямых, параллельных указанной экстремали.
Можно показать, что достаточное условие Вейерштрасса выполняется. В нали-
чии сильного минимума можно убедиться непосредственным подсчетом, а
именно,
2
Д/ = J(y 4- ш) — J (у = J о/З^л-о)'2 4- 2 (I X — ш) ш' -J- 6 (1 — <о)J dx.
Так как I х < 2, то
хш’- 4“ 2 (1 4~ X — со) ш' 4" 6 (I — со)< 2со'2 4- 2 (3 — со) со' 4" 6 (1 — со) е=
Последнее выражение будет положительным, если положительным будет выра-
(3 — со)2
жоние 3 (I — со) — —-—— . Решая неравенство
3(1-Ш)_(Ц4> О,
находим, что оно выполняется при — 2]/’3 — З^со <2 Уз — 3 и, во всяком слу-
чае, при | со | 1/3.
таким образом, Д/= /(д’-L со) — J(у > О при | со | 1/3 и наличие сильного
минимума установлено.
Пример 1.9.3. Исследовать на экстремум функционал
а
J (бу2 — yriyyr)dx, д>(0) = 0, y(a) — b, а>0, Ь>0
О
в классе Cj.
Экстремали — прямые у = С±х 4- Са. Краевым условиям удовлетворяет
у=-~ х\ эту экстремаль можно включить в поле у = — х4~р.
Функция Вейерштрасса
Е (х, у, у', р) = — (У — р)2 (У2 + 2ру — (6 — Зр2)].
Множитель, заключенный в квадратную скобку, обращается в нуль и может из-
менить знак лишь при переходе у' через значение У' = — — 2р2. При
р > УЗ и любом у'
уз у 2ру — (6 — Зр2) О,
при р<УЗ у2 4" 2р>'— (6 — Зр2) изменяет знак. При У, мало отличающихся
от р. исследуемое выражение положительно при р > 1 и отрицательно при
р<1. Отсюда, при р = 6/а<1 или В^О, имеет место слабый минимум.
При p — b/а^УЗ имеет место сильный максимум. При р — Ь/а <. УЗ нет ни
сильного максимума, ни сильного минимума.
1.9.31
§ 9. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА
55
1.9.2. Упрощенное достаточное условие сильного экстре-
мума. Если функция F (х, у, у') допускает разложение по формуле
Тейлора при любом у'
F О, У, У') = F (х, у, и) + 2 (у: — и,.) F^ (х, у, и) +
п
+ т 2 ~ “И рА - «н (*-Ь «),
г, *=1 ‘
и —и (х, у) 4- 9 [у' (х) — и (A'i У)]> 0 < 0 < 1,
то
п
Е (х, у, и, /)= у У [у: - и,.] [у; - uk\ F . . (х, у, и).
i, fe=l
Отсюда: линия у—у(х) доставляет функционалу
х2
) F (х, у, у') dx, У(Х1) = У1, У(а2)=Л>
сильный минимум (максимум), если она может быть окружена
полем, в каждой точке которого квадратичная форма
п
S Fv’A==FV-v' (-Х’ У’ ~ CO<T)<CO,
У1У/г У>УЬ УгУ/г
положительно определена.
Для случая п=1 последнее означает, что в некоторой об-
ласти, содержащей экстремаль, выполняется неравенство
EV'v (х, у, v) > 0, — со < v < со.
Можно показать, что упрощенное достаточное условие экстре-
мума не является необходимым для сильного минимума.
См. Ахиезер [1], Дополнения 14 и 11.
1.9.3. Достаточные условия сильного экстремума в задачах с подвиж-
ными концами. Ниже рассматриваются вариационные задачи, указанные в при-
мерах 1.8.4— 1.8.7.
1. Дан функционал
X*
•/(>') = J у, y’)dx, у = {У1, у2, ... , уп}, = ... -Уд};
левый конец линий сравнения фиксирован, правый конец перемещается по поверх-
ности S.
Линия Е, подозреваемая на экстремум, включается в поле, как указано
в примере 1.8.4.
Для того чтобы линия Е давала сильный минимум (максимум) данному функ-
ционалу, достаточно, чтобы функция Вейерштрасса построенного поля была не-
отрицательной (неположительной).
2. Тот же функционал, оба конца подвижны. Линия Е, подозреваемая на
экстремум, включается в поле, как указано в примере 1.8.5. Наклон поля (л:, у).
56
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.9.4
Для того чтобы линия Е давала сильный минимум данному функционалу,
достаточно, чтобы функция Вейерштрасса была неотрицательной и трансвер-
сальная поверхность, проходящая через левый конец Е, касалась поверхности S
изнутри, если F (х, у, и(х, у))<0 (извне —если Е(х, у, и(х,
о. Функционал и задача примера 1,8.6. Левому полю соответствует функция
Вейерштрасса £_, правому полю — £+.
Для того чтобы линия Е, подозреваемая на экстремум и имеющая угловую
точку С, давала сильный минимум, достаточно, чтобы точка лежала как внутри цен-
трального поля, исходящего из точки А, так н внутри поля, содержащего точку В,
и чтобы функции Вейерштрасса были неотрицательны каждая в своем поле.
Имеет место следующая
Теорема. Пусть — допустимая кривая, имеющая только одну угло-
вую точку, лежащую на кривой Lq, и имеющая только по одной общей точке
с кривыми £1 и Ze.
Если кривая £102 удовлетворяет достаточным условиям сильного относи-
тельного минимума для задачи с закрепленными концами, то она содержится при
/ —D в однопараметрическом семействе экстремалей, пересекающих линии Zi,
Zn, Zg. Исследуемый функционал J на этом семействе превращается в функ-
цию J(t) параметра t. Если функция J (0 имеет относительный минимум при
г? = 0, то £ю2 дает сильный относительный минимум функционала J в следующем
смысле: на плоскости л\г существует такая окрестность F кривой £?ю2, что для
всякой допустимой кривой С^, лежащей в F и пересекающей линии Zi, Zq, Za»
выполняется соотношение J (С^) > (£1Q0).
Если функция /(/) при г? = 0 имеет строгий минимум, то £102 также дает
строгий минимум. В случае, когда £'102 удовлетворяет достаточным условиям
слабого относительного минимума для задачи с закрепленными концами, все
утверждения, высказанные выше, сохраняют силу, если заменить в них слово
«сильный» на «слабый», а «окрестность Е» на «окрестность 7? множества элемен-
тов (*, .V, У') КрИВОЙ Ею2>.
4. Функционал и задача примера 1.8.7.
Для того чтобы линия £, подозреваемая на экстремум, давала сильный
минимум в задаче на односторонний экстремум, достаточно, чтобы точка стыка
экстремали с границей лежала внутри левого поля, точка В—внутри правого
поля и для обоих полей функции Вейерштрасса были неотрицательны.
Подробное изложение вопроса см. Гюнтер [1], Керимов [3|.
1.9.4. Достаточные условия слабого экстремума функ-
ционала, зависящего от нескольких функций. Рассмотрим
функционал
у, y')dx, у(Х1)=У1, у(х2)=у2.
Если экстремаль у = у(х) можно окружить полем и если
квадратичная форма
п
S Fy'iVk(x’ у’ (х)’ у' (x))T‘iT‘fe
l,k = l
положительно определенна при х1^х^х2, то экстремаль дает
слабый минимум.
При последнее условие имеет вид
f'yy (*> У, У') >0, Xi sg х х2
(неравенство выполняется в точках экстремали).
Учитывая сказанное в п. 1.8.5, можно утверждать, что экстре-
маль доставляет минимум, если вдоль нее выполняется усилен-
ное условие Лежандра, и замкнутый интервал [х1( х2] не содер-
жит значений, сопряженных с
1.9.5] § 9. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ ЭКСТРЕМУМА 57
Пример 1.9.4 (см. пример 1.9.1). Исследовать на экстремум функционал
b
J (у) = J уз dx, j(0) = 0, j(b) — g>0.
О
Исходя из
ваключить, что
Пример
сказанного выше, а также из результатов примера 1.9.1, можно
g
функционал достигает минимума на экстремали у = — х.
1.9.5. Исследовать на экстремум функционал
1
J (уг _ уу'З) dx, у (0) 0, у(1) = 0.
0
Уравнение Эйлера — Лагранжа для данного функционала есть
2уз _ (2 — буу) у" = 0.
Ему удовлетворяет функция у = 0. На прямой у —0 имеем
/7гг = 2-6>>’'|> = 0 = 2>0-
Уравнение Якоби (если учесть, что на линии \’ = 0 имеем F =Ъ, В’ = 0) дает
ig" = 0, откуда
т] = Ах 4“ В.
Так как т) (0) = 0, то тд = Ах, и ясно, что условие Якоби выполняется, ибо,
кроме №=0, нет точек, в которых было бы тд = 0. Таким образом,' прямая у = 0
доставляет данному функционалу слабый минимум.
Применяя функцию Вейерштрасса, можно показать, что сильного экстре-
мума данный функционал не имеет.
1.9.5. Достаточные условия экстремума для вариационных
задач в параметрической форме. Пусть L: x — x(s), у=у($’),
s, С s :< s2 — экстремаль функционала
Jc = j F (х, у, х, у) dt.
1”. Если L можно окружить полем с наклоном 0 (х, у), внутри
которого функция Вейерштрасса Е (х, у, 0 (х, у), tp) неотрица-
тельна (неположительна) для любого значения <р, то L доставляет
функционалу Jc сильный минимум (максимум).
2°. Если L можно окружить полем и для всех ее точек при
любом значении F, (х (з), у (s), cos <р, sin <р) > 0 (< 0), то L достав-
ляет функционалу Jc сильный минимум (максимум).
3°. Если на L имеет место неравенство
Fl (х (з), у (s), х’ (s), у' (s)) > 0 (СО), SjsgssSSa,
т. е. выполняется усиленное условие Лежандра в форме Вейер-
штрасса, то L доставляет функционалу Jc слабый минимум.
О достаточных условиях экстремума *^ля вариационных задач в параметри-
ческой форме см. Блнсс [1J.
58
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.10.!
§ 10. Вариационные задачи с частными производными
1.10.1. Первое необходимое условие. Уравнение Эйлера —
Остроградского. Рассматривается интеграл
J (и) = j \ F(x, у, и, их, иу) dxdy,- (1.10.1)
D
где Fix, у, и, р, q) дважды непрерывно дифференцируема по
совокупности своих аргументов для любых конечных р, q, когда
точка (х, у, и) принадлежит заданной пространственной области G.
В этой области О дана некоторая непрерывная замкнутая про-
странственная линия L, различным точкам которой соответствуют
различные проекции на плоскость х, у. Проекция этой линии на
плоскость х, у есть кусочно-гладкая линия I, ограничивающая
область D. Требуется найти функцию и(х, у), непрерывную
вместе со своими частными производными первого порядка в об-
ласти D, имеющую заданные значения на контуре в этой об-
ласти и дающую экстремум этому функционалу.
Если функция и = и (х, у) доставляет экстремум функцио-
налу (1.10.1), то из варьирования этого функционала на семей-
стве функций сравнения П = и (х, у) + (х, у), т, (х, у) \ : = 0,
следует
57 ~ П + ^Uyriy) dx dy, (1*10.2)
D
В предположении, что и (х, у) имеет непрерывные производные
второго порядка, применение к (1.10.2) формулы Грина—Остро-
градского дает
V = ) Ъи (FUxdy — FUvdx) 4-
+ И (Fa~iFux~^Fayyudxdy’
где = у), а / — контур области D.
Из условия (а:, у) |; = 0 и (1.10.3) вытекает первое необхо-
димое условие:
И (Fa--^Fax-^FayyUdxdy = 0 (1.10.4)
и, наконец, уравнение Эйлера—Остроградского
Fu-iFu--iFuy = 0’ (U0-5)
которому должна удовлетворять функция и — и (х, у), достав-
ляющая экстремум функционалу (1.10.1).
1.10.31 § 10. ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
59
Имя Остроградского присвоено последнему уравнению в свя-
зи с его важным мемуаром 1834 г., посвященным вариационному
исчислению кратных интегралов.
Пример 1.10.1. Дан функционал (интеграл Дирихле)
f f («!+«}) 4. dy.
D
Уравнением Эйлера—Остроградского для него является
"хл- + %г=°
— т. е. уравнение Лапласа.
По поводу возможности построения функций сравнения для рассмотренной
вариационной задачи см. Ахиезер [1]. Дополнения, 23.
Общая постановка вариационной задачи для л-кратного интеграла содер-
жится у Лаврентьева и Люстерника [1], а также у Гельфанда и Фомина [1].
1.10.2. Инвариантность уравнения Эйлера—Остроград-
ского. Если в функционале
\ j F (х, у, и, их, иу) dx dy
произвести замену переменных x = x (5, tj), у = y (5, *|), где напи-
санные функции имеют непрерывные частные производные и
д (х, У) лг. >
О, то экстремали преобразованного функционала полу-
чаются из экстремалей данного функционала посредством указан-
ной замены переменных.
Можно одновременно преобразовывать функцию и независи-
мые переменные и при этом уравнение Эйлера—Остроградского
данного функционала оказывается равносильным уравнению Эйле-
ра—Остроградского полученного функционала.
Пример 1.10.2.
др д
= cos о,
дх
Если № р cos 9, у — р sin 9, то
d° 1 • д др . fl
-- -- sin О, ~- = sin о,
дх---р ду
rl!i 1 n
— = — COS 0
dy P
f J(4 + 4) dxdy^
D
дВ V , / др , дО
'в Тх) +("р^ + "в^.
Уравнение Эйлера—Остроградского для подследнего функционала есть не
что иное, как уравнение Лапласа в полярных координатах
‘‘р + р“рр + 7 "ее= °'
1.10.3. Второе необходимое условие для экстремума двой-
ного интеграла (аналог условия Лежандра). Для того чтобы
функция и (х, у) доставляла хотя бы слабый экстремум функ-
ционалу
J (и) = у F(x, у, и, их, иу) dx dy,
60
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П.10.4
необходимо выполнение неравенства
Р р _ PS о
' рр‘ 99 1 Р9 и
в каждой внутренней точке области D. При этом для минимума
необходимо еще выполнение неравенства РррУхО, а для макси-
„ _ „ . ди ди
мума Здесь использованы обозначения р —
Доказательство см. Ахиезер [1].
1.10.4. Вариация функционала с переменной областью
интегрирования. В п. 1.10.1 варьировалась лишь функция ц(х,у),
область же интегрирования оставалась неизменной.
Пусть дано взаимно однозначное и непрерывно дифферен-
цируемое преобразование:
Х* = Х(х, у, а), у* = У(х, у, а), (1.10.6)
содержащее параметр а так, что х* = X (х, у, 0) = х, у* —
г. д(Х, У) , п
= У (х, у, 0)—у. Отсюда следует, что якобиан 0 и
для малых а имеет значение, сколь угодно близкое к единице.
Преобразование (1.10.6) переводит область D в некоторую
область D* и новая функция сравнения имеет вид
и* = и* (х*, у*, а), (1.10.7)
или, в исходных переменных,
U* = U\X, у, а), И* (X, У, «) = <7(Х, у, а).
Рассмотрим- функционал (1.10.1). Пусть исходная функция
есть и = и (х, .у) (х, у£_ D). Будем полагать, что поверхность и =
= а(х, у) содержится в однопараметрическом семействе поверх-
ностей (1.10.6), (1.10.7) при значении параметра а = 0.
Функционал
/ = J § F[X*, У*, U* (X*, у*, «), U*. (X*, J»*, а),
О»
а*»(х*, у*, а)] dx* dy* (1.10.8)
при а = 0 дает исходный функционал. Последнее выражение
можно преобразовать посредством замены переменной в
/(а) = Ц F[X, У, U* (X, У, а), U*,(X, У, a), U*, (X, У, а)] X
где интеграл распространен по неизменной (исходной) области D.
Положив
’ди* (X, У, я)\
, да /а = 0 ’
/<?Ц*. (X, У, «)\ /ди*, (X, У, а) \
Ъих= ------------------ а, SMj,= —-------------5-------- “•
\ да У \ да /а = 0 >
1.10.51 § 10. ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ
61
получаем искомую вариацию в виде
+ Fу^У + Fu8u + Fajux +
D
+ FuJ>tiy + F (8x).v + F (^.] dx dy. (1.10.10)
1“ fdtl* (x, У, a)\
Обозначая через 8u= ------ 4 —a (x и у неизменны,
\ да Д = 0 v
изменяется лишь а), получим
8и = 8и + ихЪх 4- иуЪу,
Ъих = (SK- + аххЪх +
= (jiU , у 4~ Иу^вх 4" Uyybyt
после чего (1.10.10) принимает вид
D
+ ^FUybu)v -j- (Fbx)x 4" dx dy
или, применив формулу Грина — Остроградского,
V = S S {^~fxF-X-TyF^udxd^
D
+ {FuJ^ + FaJ^\*ttds+ fsxf^ -f-ty^ds. (1.10.11)
1 J \ Ux dn ' “У dn) ' j \ dn ' dn) ' ’
l i
Формулы (1.10.3) и (1.10.4) являются частными случаями последней
формулы.
Если u — u(x, у)—экстремаль, то первый член фор-
мулы (1.10.11) исчезает и вариация 8J принимает вид
М= ( (fUx^ + Fubuds + £ F^x~ 4-V^Vs.
Л \ Ux дп 1 У dnj л \дп дп]
(1.10.12)
Приведенный выше вывод содержится в книге Кураита—Гильберта [1], т. 1.
Геометрический вывод формулы (1.10.11) и следствий из нее дан у Гюнтера [1].
Вывод формулы для вариации n-кратного интеграла см. у Гельфанда и
Фомина [1].
1.10.5. Инвариантные вариационные задачи. Теорема
Э. Нетер. Рассматривается преобразование
х* = X* (х, у, u, a), -j
у* = у* (X, у, U, а), I (1.10.13)
и* = U* (х, у, и, «), J
62
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1.10.3
зависящее от параметра а. Каждой поверхности и = и (х, у) пре-
образование (1.10.13) относит семейство поверхностей, завися-
щее от а,
X* = X* [х, У, U (X, У), а] = X (х, У, а),
У* = У* [х, у, U (X, У), а] = У (X, у, а),
и* = и* [х, у, U (X, У), а] = U (х, У, а).
Предполагается, что х* = X (х, у, 0) = х, у* = У (х, у, 0) = у,
и* = U (х, у, 0) = и.
Пусть при преобразовании (1.10.13)
J* = Fix*, у*, и*, и*„ u*t) dx* dy* = F dx dy (1.10.14)
D» ' D
(в этом заключается инвариантность вариационной задачи), тогда
fdJ*\
8J=ahH =°- (1.10.15)
\Оа /а=0 '
Из (1.10.15) и (1.10.11) в силу произвольности D следует, что
F“x~Ty F“y} Ги + + F8X) +
+ ^(^ + ^W = 0- (1-10.16)
Здесь
. fdX*\ fdX\ , [дУ*\ fdY\
\ Oa ja=t) \Oa/a=0 \Oa/a=0 \Oa/a=0
й =»®a=0 - (u* + ui 8x - W + ui 8у
Вывод соотношения (1.10.16) из свойства инвариантности вариа-
ционной задачи и составляет содержание теоремы
Э. Нётер (1918 г.)
Приведенный здесь вывод теоремы Нётер содержится в книге Куранта —
Гильберта |1].
Более общие рассмотрения и приложения см. Гельфанд и Фомин [1]. См.
также Полак [1].
1.10.6. Разрывная задача первого рода. Рассматривается
функционал
У(и) = ^ F(x, у, и, их, uy)dxdy. (1.10.17)
Требуется найти функцию и, принимающую на контуре I обла-
сти D данные значения и доставляющую экстремум функцио-
налу (1.10.17), причем частные производные искомой функции
могут иметь разрывы, на некоторой линии АВ, делящей область D
иа две подобласти, и £>2.
f. 10.61 § fO. ЗАДАЧИ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ 63
Функция, доставляющая экстремум функционалу (1.10.17)
в каждой из областей [)Y и О8, удовлетворяет уравнению
Эйлера—Остроградского. Если « — функция сравнения с част-
ными производными, имеющими разрыв на линии А’В', то, обо-
значая через и ф+ значения функции, определенной в обла-
сти D соответственно для левой и правой подобласти, будем
иметь на линии АВ (см. п. 1.10.4)
Ъи_=р_Ъх-{- д_Ъу^Ъи_, Ъи+=р+Ъх + <?+V + 5u+- (1.10.18)
Поскольку на АВ функция и (х, у) непрерывна, то Ви_ = Ви+.
Далее, обозначая через rfs элемент дуги АВ, Ъп—длину
нормали к АВ между АВ и AiSi, их—р, iiy — q, и учитывая,
что
dx \т ду
з— = cos Nx, 3- = cos Ny,
дп on
получим из (1.10.12) выражения для вариации функционала
(1.10.17)
В7 (и) = F_ — /%) Bn -j- cos Nx -j- cos Nyjbu_ —
AB
[dF dF \ — 1
— [^- cos Nx Д- cos Ny) 8 u+J ds, (1.10.19)
которое в случае экстремума должно быть равным нулю:
87 (и) = 0. (1.10.20)
Используя (1.10.18), получим
Bzz _ = Ъи_ — (р_ cos Nx cos Ny) Bn,
8u+ = Bu+ — (p+ cos Nx -j- <7+ cos Ny) Bn,
и (1.10.20) принимает вид
— F+] — cos Nx + cos Ny j (p_ cos Nx -j- <?_ cos Ny) +
(dF dF \
+ cos Nx -j- cos Ny) (p+ cos Nx -j- q+ cos АД’)} 8n -j-
+ ${fecosArx+^cos4_
(dF dF 1
— cos Nx -|- cos Ny) j ds=0. (1.10.21)
Ввиду произвольности Bn и 8и_ из (1.10.21) следует, что подын-
тегральные выражения в (1.10.21) равны нулю.
64
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.11.1
Таким образом, получаются условия
[dF dF \
F_— F+ — cos Nx -|- cos Ny J (p_ cos Nx + q_ cos Ny) +
[dF dF \
+ (cos Nx + cos Nyj (p+ cos Nx -|- q+ cos Ny) = 0,
[ dF dF\ [ dF dF\ r _
\dp_ dp+ \dq_ dq+
(1.10.22)
(1.10.23)
Условию (1.10.22) может быть придан вид
dF dF
F_-F+ = ^{p_-p+] + ^_{q_-qX (1-10.24)
Условия (1.10.22) (1.10.23) или (1.10.24) и (1.10.23) аналогичны
условиям Вейерштрасса—Эрдмана.
См. Гюнтер [Ц, Керимов [4]. У Гюнтера условия (1.10.23) и (1.10.24) выве-
дены в предположении существования вторых частных производных искомой
функции, непрерывных всюду в области D, исключая линию разрыва ее произ-
водных. М. К. Керимовым дан вывод указанных условий, испЪльзующий лишь
частные производные первого порядка искомой функции.
§ 11. Вариационные задачи на условный экстремум
Ниже приводятся основные сведения относительно вариа-
ционных задач на условный экстремум функционалов от функций
одной переменной. К этим задачам относятся: изопериметри-
ческая, задача Лагранжа, задача Майера, задача Больца. Пер-
вые три задачи могут рассматриваться как частные случаи по-
следней, что в известной мере будет использовано при их
изложении.
1.11.1. Изопериметрическая задача. Среди всех кусочно-
гладких вектор-функций
У = {Л (-V), уг(х), ..., уп(х)},
принимающих заданные значения на концах интервала [х1( хг],
найти ту, которая доставляет экстремум функционалу
ха
Jo (У) = ) /о (*, У, У)
при связях
Л (^) =$ л -V» У) dx — Li (i = 1, 2, ..., ft).
л-i
Предположения. Функции /0 (х, _у, г), fa (х, у, z) опре-
делены и имеют непрерывные по совокупности всех своих аргу-
ментов производные второго порядка, когда точка (х, .у) при-
надлежит некоторой области Q пространства (х, _у), а вектор z
1.11.2]
§ 11. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
65
пробегает любые конечные значения. Вариации функционалов
Ji (у), взятые на минимизирующем векторе, линейно независимы.
Замечание. Задача может быть лишена смысла, если
значения Li произвольны; при этом множество допустимых век-
тор-функцин может оказаться пустым.
Пример 1.11.1. Среди всех кривых длины I, соединяющих две данные
точки Д и В. найти кривую, ограничивающую вместе с отрезком АВ наиболь-
шую площадь.
Если А и В — точки оси абсцисс (а, 0) и 0, 0), то задача сводится к отыс-
канию максимума интеграла
b
J — J у dx
а
при условии
ь
J /1+ у’° dx—l
а
и у (а) =у (Ь) = 0.
Здесь следует считать I у> i b — а\.
Пример 1.11.2. Пусть ось Ох является срединной осью волнистого про-
филя железа, причем последний проходит через начало координат, а ординаты
принимают одинаковые значения в точках, абсциссы которых отличаются на
длину волны, равную 4xj. Длина четверти дуги волны:
51 _____
51 = J ds= J ]/]
0 0
Объем и вес соответствующего куска железа пропорциональны этой величине, а
жесткость профиля характеризуется моментом инерции
51 ’ Х1 --------
Л= J у2 ds'= [ у- у \-\-y'~dx.
0 0
Краевые условия: у (0) = 0, .у (Xi) = v'(xi) = 0.
Требуется: а) среди всех кривых, удовлетворяющих указанным выше усло-
виям и имеющим одинаковую длину, найти ту, момент инерции которой макси-
мален.
б) Среди всех кривых, удовлетворяющих указанным условиям и имеющих
фиксированный момент инерции, найти кривую минимальной длины.
1.11.2. Правило множителей. Если кусочно-гладкая кривая
у—у(х), лежащая (за возможным исключением концов) вну-
три G, дает функционалу Jo (у) экстремум при связях
ЛСУ) = Л; (1 = 1, 2, ..., к),
то существуют такие константы (Х* + ^/; = 0, что
кривая у =у (х) является для функционала
у,2
dofo + М/1 +
XL
обычной (безусловной) экстремалью, т. е. экстремалью, отвечаю-
щей свободному, не стесненному какими-либо связями варьиро-
ванию.
3 Цлаф л. Я.
66
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И.ИЗ
Если исключить случаи, когда множители обращаются
в нуль, то из указанного выше правила множителей вытекает
принцип взаимности: совокупность условных экстремалей не за-
висит от того, искать ли экстремум функционала Jo при фиксиро-
ванных J; (/=1,2, ..., k) или искать экстремум Jm при фикси-
рованных Jo и J, (/ т, IАу.
Правило мно кителей в применении к пример}' 1.11.1 приводит к варьиро-
ванию функционала
b
1 (г + >• У1 -|- v'O dx.
. а
Первый интеграл уравнения Эйлера—Лагранжа этого функционала
------------ у' X
у 4" у 1 + У' — ^У'— = а или у — а------
/ly-V'3 ' /1+уа
Полагая в последнем у' = tg<p, получаем у = а — X cos ср. и после дифференци-
рования этого соотношения: у = X sin = tg ср, откуда х = X sin ср -j- р. Урав-
нения экстремалей: № X sin ср 4~(3, у = —Xcos^-J-a, Таким образом, получено
семейство окружностей. Остается найти скружность, проходящую через точки А
и В с данной длиной дуги АВ. .Вывод правила множителей см. Лаврентьев и
Люстерник [2], Гюнтер [I], Ахиезер fl]. Вывод правила множителей, основанный
на методах функционального анализа," см. Лаврентьев и Люстерник [2], Ши-
лов [I]. См. также 1.15,9.
1.11.3. Условия трансверсальности. Изопериметрическая
задача может ставиться и следующим образом: среди всех ку-
сочно-гладких вектор-функций у(х) найти ту, которая достав-
ляет экстремум функционалу _J0 (у/) при связях
Х2
Ji (У) = gi [*i, У (-*1), х2, у (х2)] + $ fi (х, у, у') dx = Q
Xi
(7=1, 2,
В этом случае существуют такие постоянные Хо, Xkl
что искомая экстремаль является безусловной экстремалью функ-
ционала
F (х, у, у ) dx, F — Хо/о -|- + • • • + ^а/а,
причем концевые точки экстремали таковы, что тождественно
выполняется равенство
dx + 2 Fy'idyi + dK= 0
при всех dxi, dyn, dxs, dyia. Здесь X= + xsgs+• •• + W*-
Относительно функций gi предполагается, что они обладают
непрерывными частными производными третьего порядка,
а матрица Il dgi_dg[_ dgi_dgi_ |l II дх! ду}1 dxs dy/s ||
1.11.5] § II. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ 67
имеет ранг k в точках рассматриваемой области. Кроме того,
должно выполняться так называемое условие некасания, соот-
ветствующее в простейшей вариационной задаче условию нека-
сания экстремали и кривых, по которым скользят концы допу-
стимых линий.
См. Блисс [IJ.
1.11.4. Необходимое условие Клебша. Если вектор-функция
у (х) дает условный экстремум изопериметрической задаче, то
вторая вариация функционала
F (х, у, у') dx
неотрицательна: 8V>: 0, откуда следует, что
(1.11.1)
i. k
при любых (Jt, s2, ..., 0, 0...0).
См. Блисс [I].
1.11.5. Необходимое условие Якоби. Изопериметрическая
экстремаль является безусловной экстремалью функционала
Xi
( F (х< У< У'< dx<
F(x, у, у', X) = \ofo + Vi + ... + \kfk.
Если y(x)=y(x)-f-8y(x), у(х1) = /1, у (х2) = /3 —допустимая
кривая, находящаяся в £-окрестности первого порядка рассматри-
ваемой экстремали, то
Л (50 ~ Л (>) =
•Го
= Т J 2 (Г’Л,Л + + Fyb'k^ dx +а =
Xi I, k
1 F 7 I
"==: 'I 1 W ~т' °’
Л
где а —* 0 при е —< 0.
Пусть через R/, обозначено функциональное пространство,
элементами которого являются кусочно-гладкие функции у (х}-
удовлетворяющие условиям у (х,) = у <х«) = 0, и
^P/yt-cfx = 0, = — ^y2cfx = l. (1.11.2)
Xi Xl
3
68
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.11.5
Кривые, реализующие экстремум функционала
-V2
2о> dx (1.11.3)
V1
на Rk, удовлетворяют уравнению
х.> к
8 5 (“ + сАУэ + 2 2 '2p/.V'i) '-/л' = О,
х 1 i = 1
ИЛИ
— “у — 1АУ + '''Pi- (1.11.4)
i = 1
Значения р, для которых решение уравнения (1.11.4), обращаю-
щееся в нуль при х = хп обращается в нуль и при х = х2,
называются собственными значениями функционала (1.11.3) на
Каждому собственному значению соответствуют по крайней
мере одна собственная функция у (х), нетождественно равная
нулю на [Xj, xa], и сопровождающий вектор Д, при которых
удовлетворяются уравнение (1.11.4) и условия (1.11.2).
Каждому собственному значению р соответствует не более
k Д- 1 линейно независимых функций. Число этих линейно неза-
висимых функций называется кратностью собственного зна-
чения.
При переменном верхнем пределе х2 в интегралах z-c по
величине собственное значение становится функцией х2.
Все функции рг (х2) убывают с ростом х2, причем р,-(х2)^
2= Р-у(A's), i^j- При х2, достаточно близком к xlt все р поло-
жительны.
Значения х¥, удовлетворяющие одному из уравнений
Р; (**) = 0, называются значениями, сопряженными с хр
При t^j значение x?^xj.
Сопряженное значение имеет по определению кратность I,
если
= х(*_ !=...= х* (; = < + /— 1).
Для неотрицательности формы 2« на R^ необходимо и
достаточно, чтобы на интервале (х1т х2) не заключалось ни одной
сопряженной с точки.
k
Для того чтобы экстремаль у, вдоль которой У, F'v:y'^i^k >
i, k = I
> 0, давала слабый минимум интегралу при условии
(1=1, 2, ..., А), необходимо, чтобы открытый интервал (xlt х2)
не содержал значений, сопряженных с X; для функционала
Х2
j 2о> dx,
•Ч
1.11.7]
§ 11. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
69
Изопериметрическая экстремаль имеет порядок k, если для
нее вторая вариация на имеет k отрицательных собствен-
ных значений.
Для того чтобы экстремаль у (х) была экстремалью А-го
порядка, необходимо и достаточно, чтобы сумма кратностей всех
сопряженных к А точек, расположенных внутри х2], равня-
лась k (т е о р е м а Морса).
Подробно см. Лаврентьев и Люстерник {2]. См. также 3.3.II.
1.11.6. Достаточные условия экстремума в изоперимет-
рической задаче. Ниже усиленным условием Клебша будет
называться неравенство (1.11.1), в котором исключен знак ра-
венства; усиленным условием Якоби — отсутствие в замкнутом
интервале [лу, х2] точек, сопряженных к точке ду.
Если кривая Е удовлетворяет уравнениям Эйлера — Лаг-
ранжа, усиленному условию Клебша и усиленному условию
Якоби, то она является неособой экстремалью и существует
такая слабая окрестность кривой Е, что для всякой кривой С,
лежащей в указанной окрестности и не совпадающей с Е, выпол-
няется неравенство
Jo (С) > Jo (£).
Достаточные условия сильного минимума.
Пусть Е — гладкая допустимая кривая изопернметрической за-
дачи, удовлетворяющая уравнениям Эйлера — Лагранжа, усилен-
ному условию Вейерштрасса, усиленному условию Клебша и
усиленному условию Якоби, тогда она является неособой экстре-
малью, содержащейся в сильной окрестности, для каждой кри-
вой из которой, отличной от Е, выполняется неравенство
/0(С)>Л(Л).
Под усиленным условием Вейерштрасса здесь подразуме-
вается выполнение неравенства
£ (х, у', X, Y') = F (х, у, X) — F (х, у, yr, X) —
п
- 2 (y'i - У{) Fyl (X, у, у, X) > О
i= I
во всех точках указанной окрестности.
См. Блисс [1].
1.11.7. Задачи Лагранжа, Майера и Больца. Ниже даются
формулировки задач Лагранжа, Майера и Больца. Наиболее
общей из них является последняя, включающая в себя как част-
ные случаи изопериметрическую задачу (см. п. 1.11.1), а также
задачи Лагранжа и Майера. Ввиду распространенности прило-
жений этих задач каждая из них формулируется отдельно.
Задача Лагранжа. Среди всех кусочно-гладких вектор-
функций у найти ту, которая доставляет экстремум функционалу
ЫУ)^ \fAx,y,y')dx,
70
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
11.11.7
при связях
/р (X, У, У) = 0
и условиях на концах
Фа (xl, у (хД, х2, у (х2)) = О
(3=1, 2, , т <_ п)
(k = 1, 2, ..., psc2ra + 2).
Предположения. Функции f/(x, у, z) (7=0, 1,2,..., т)
определены и имеют непрерывные по совокупности всех своих
аргументов- частные производные третьего порядка. Матрица
I ^/в II
|| имеет ранг т во всех точках (х, .у), принадлежащих неко-
торой области пространства (х, _У), когда вектор г пробегает
любые значения на концах.
,, II дфь dilk ||
Матрица -У-5- имеет ранг р.
r || oxi ду-ц дх2 oyi2 || 1
Функции обладают непрерывными частными производ-
ными третьего порядка.
Далее предполагается, что рассматриваются такие линии
(вектор-функции) сравнения _у(-(х), для которых выполняется
условие — ранг матрицы
равен двум {условие некасания).
Замечание. Связь /г (х, у, у') — 0 называется голономной,
если она не содержит производных или может быть приведена
к виду, не содержащему производных; в противном случае она
именуется неголономной.
Задача Майера. Среди систем гладких функций _у0 (х),
yt (х), ..., уп(х), удовлетворяющих связям
(xi У, У') — 0 (< = 0, 1, 2, ..., т <п)
и условиям на концах
Л(-«1) = «о, Л(Х1) = а1; ..., у„(х1) = в„,
Л(х2) = &1.....уп (х2) = Ьп,
найти ту систему, в которой уа(х) имеет при х = х2 экстремум.
Задача Майера может ставиться и как задача с подвиж-
ными концами, например, среди систем гладких функций у0 (х),
yt (х),..., уп{х), удовлетворяющих связям и условиям на концах
<р; (х, у, у’) —0 {I = 0, 1, ..., т < п),
^0(Xi) = «0f (Л71) = «1, =
Фц (^2> Уо (*s), * • » Уп (*2)) = 0, о < п 1 >
найти ту систему, в которой >’о (х2) имеет максимум на правом
конце.
1.11.7|
§ 11. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
71
Предположения, при которых рассматривается задача Майера,
охватываются предположениями, приведенными ниже в задаче
Больца.
Задача Больца (первая формулировка). Среди всех
кусочно-гладких вектор-функций ys, .... уп) найти ту, кото-
рая доставляет экстремум функционалу
Л (У) = 5 / (М у, у') dx 4- g (,rn у (лд), х2, у (х2))
при связях
(У У У) — О (р= 1, 2, ..., т < п)
и условиях на концах
Фр. (м, У (-М), х2, у (х2)) = 0 (|Л = 1, 2.р sg 2п 4- 2).
Предположения. Функции срр и у имеют непрерывные
частные производные третьего порядка по совокупности всех
своих аргументов в некоторой открытой области (2п4-1)-мер-
ного пространства.
II 1|
Матрица || 1| (i =1,2,..., п) имеет ранг т во всех точках
указанной выше области.
Функции и g обладают непрерывными частными произ-
водными по совокупности всех своих аргументов в (2п 4~ 2)-
мерной области пространства точек (лу, у (,rj, х.,, _у(х2)), а мат-
рица
II дфр <fy|i I
II dxi dyti Ox, dyis |
имеет ранг р во всех точках указанной области.
Кроме того, должно выполняться так называемое условие
некасания, приведенное выше в задаче Лагранжа.
Задача Больца (вторая формулировка). Среди систем
параметров и функций wh = ah (й = 1, 2, ..., г), шг+1-— _у; (х)
найти ту, которая доставляет экстремум функ-
ционалу
J = g[a,xt,y (xt), х2, у (х2)] 4- $/ (а, х, у, у') dx
.Vi
при СВЯЗЯХ
х, у, У) = 0 (J = 1, 2, ..., т < п), а = (яъ а21..., аг),
Jk = gkla, x,y(xt), x2,y(xs)] +
x2
+ \fk (#> У У) dx = 0 (k = 1, 2, ..., р).
72
ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
И.11.7
Задача Больца (третья формулировка). Среди систем
параметров
“’/, = «л (й=1, 2, ..., г),
функций
wr + !=y, (х) (j = 1, 2, ..., п)
и функций
wr+n+/=6f(x) (7=1, 2, ..., т; x,^x^xs)
найти ту, которая доставляет экстремум функционалу
х%
J=g(.a) + $/(а, х, у, 9)dx
Л'1
При связях
y'i = pi (а’ х> у> 0)-
xs = xs (a), yt (xs) = Yis (о) (s = 1, 2),
Х%
Jk = gk (а) + j fk (а, х, у, 9) dx.
Xl
Ограничения на участвующие во второй и третьей форму-
лировках задачи Больца параметры и функции не отличаются
в существенном от ограничений, указанных в первой форму-
лировке.
Вторую и третью формулировку см. X е с т е н с [I].
Пример 1.11.3 (задача Чаплыгина). По какой замкнутой кри-
вой в горизонтальной плоскости должен двигаться центр тяжести самолета,
имеющего собственную скорость v0, чтобы за время Т облететь наибольшую
площадь, если дано постоянное направление и постоянная величина a <Z v0 ско-
рости ветра?
Пусть скорость ветра направлена по оси Ох, а — угол между направлением
оси самолета и осью Ox, х (t) и у (t) — координаты центра тяжести самолета.
Задача сводится к отысканию максимума функционала
Т
с I С / dy dx \ ..
s=2}\.x-dr-y-dT)dt
о
при неголономных связях
dx , dv
— р0 cos a-i-а, = v0 sin а.
Это — задача Лагранжа. Далее см. стр. 75.
Пример I.I1.4. Идеальная ракета движется в вертикальной плоскости.
Если рассматривать ракету как частицу, на которую действует сила тяжести и
реактивная сила постоянной величины F с переменным углом наклона ср (и не дей-
ствует сила сопротивления воздуха), то уравнения движения имеют вид (при
единичной массе)
d2* е d$y е .
-^-=fcos<p, =
Задача о нахождении пути, вдоль которого на полет затрачивается наи-
меньшее время при соответствующих начальных и конечных условиях, состоит
1.11.8]
§ II. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
73
в отыскании среди.всех функций
№-#(/),
при указанных дифференциальных связях функции, минимизирующей время
полета Г.
Это — задача Майера. В самом деле, заменив t, х, у, х, у на /, у^, у$,
Уз> У4‘ получаем дифференциальные связи в виде
j'l=>’S. y3=FcOStf, j'4 = fsin<? — g
и условия на концах /j =0, = Т, у^ (t } = Y. (s = I, 2).
Требуется найти такую систему функций уд, У2> Уз> УЧ, при которой вели-
чина Т была наименьшей.
Более подробные сведения по этой задаче см. Хестенс [1].
1.11.8. Связь задач изопериметрической, Лагранжа, Майе-
ра и Больца. Изопериметрическая задача может быть сведена
к задаче Лагранжа, если ввести функции
г,- = $ ft (х, У> У') dx (i= 1, 2, ..., m).
.Vl
Тогда изопериметрическая задача превращается в задачу Лаг-
ранжа отыскания' экстремума функционала
х2
Л (» = 5/о (х, у< У)dx
при дифференциальных связях
г/ = fi (*,ЬУ) (/ = 1, 2, ..., т),
условиях на концах г^х^ — О, zt(x2) = Li и условиях на концах
исходной изопериметрической задачи.
Изопериметрическая задача является частным случаем задачи
Больца (см., например, вторую формулировку).
Задача Больца эквивалентна задаче Лагранжа, в которой
среди всех кусочно-гладких вектор-функций
У,(х), Уп+Лх) (/ = 1,2,..., п; x^x^Xi)
отыскивается та, которая доставляет экстремум функционалу
№
•/== S
-и
при связях
/< = о, У„+1=0,
Ф* = 0, У п+1 (xi) — & — 0-
Л g ' Л £
Задача Майера приводится к задаче Лагранжа, в которой
среди всех кусочно-гладких вектор-функций у (х) отыскивается
74
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.11.9
та, которая доставляет экстремум функционалу
•*г
у’, (X) dx
*1
при связях
?< (х, У, У'') = О,
у0 (xt) = а0, у! (лу) = at....уп (лу) = ап,
yi (л-2) = , уп (xs)—bn.
1.11.9. Правило множителей для задач-Лагранжа, Майера
и Больца. Задача Лагранжа. Если при условиях, сформу-
лированных выше, кусочно-гладкая кривая у(х) доставляет экст-
ремум функционалу Jo (у) = \ f0 (х, у,у’) dx, то существует такая
постоянная Хо (вообще говоря, отличная от нуля) и такие множи-
тели что вектор-функция у(х) является безусловной экст-
ремалью для функционала
ха
j F(x, у, у', X) dx,
где
F(X, у, у', X) = х„/о 4-(х)?1 4-... 4-Хт (х)
ЗадачаМайера. Если у (х) доставляет экстремум в задаче
Майера, то существуют такие множители Хх(х),..., Хт (х), что
указанная условная экстремаль является безусловной экстремалью
функционала
j' А(х, у, у', X) dx,
где
F(х, У, у', X) = Xj (х) оу 4~ •• + Х,п
Задача Больца. Если при условиях, формулированных
выше, кусочно-гладкая кривая у(х) доставляет экстремум
в задаче Больца, то существует такая постоянная Хо. (вообще
говоря, отличная от нуля) и функции X,- (х), что вектор-функция
_у(х) является безусловной экстремалью для функционала
\ F (х, у, у’, X) dx,
XI
где
F(x, у, у, X) = Хо/о 4-Xj (х)<Pi + -..4-Xm (х)ч>т.
1.11.9]
§ 11. ЗАДАЧИ- НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
75
Условная экстремаль задачи Больца во второй формулировке
является безусловной экстремалью функционала
Д'2
§ F(x, у, у', р., X) dx,
Х1
где
F(х, У, У, I1, X) = K,f + ^-1/1 + ^2/а + • • + ^р/р + Р-i (х) ®i + ••
•• + Рт (*)?»!,
Хр — постоянные, ру(х)— функции.
Условная экстремаль задачи Больца в третьей формулировке
доставляет безусловный экстремум функционалу
( И (х, у, у', X, z) dx,
Xl
где Н (х, у, у', \ z) = Ло/ + XJ, + ... + Ар/р + «1 (*) Л + • - +
-\~zn (х)Рп, ХоЗгО, Хр — постоянные, z,- (х) — функции.
Для этого случая уравнения Эйлера — Лагранжа имеют
наиболее простой вид
™- = Нх, d^- = H2„ НВ/ = 0. ,
clx Л dx zi dx v
Вывод правила множителей см. Блисс [1]. Ахиезер [1J, Гюнтер |1|.
Вывод правила множителей, основанный на методах функционального ана-
лиза, см. Лаврентьев и Люстерник ]2). См. также 1.15.10.
Покажем на примере задачи Чаплыгина применение правила множителей.
С этой целью найдем безусловный экстремум функционала
Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид
-1^ = 0,
2 dt
Д,('1л-+л.Л+1 ах=0
2 dt ’
— XqZ/q cos a -j- XiT'o sin а = 0.
откуда Xi = r. X2 = — x (если произвольные постоянные интегрирования считать
равными нулю за счет параллельного переноса осей).
Используя найденные выражения для Xi и Хо. получаем
X cos а 4- у sin а = 0.
Положив x = rsin«, у = — г cos а и используя уравнения движения самолета,
имеем
-77 — a sin а = 0.
dt
dr _ a dy
dt vq dt ’
откуда после интегрирования получим
Vx^+y^^y+C,
т. е. получено уравнение эллипса с фокусом в начале координат, большой осью,
перпендикулярной к направлению ветра, и эксцентриситетом ajvQ.
76
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1-11.10
1.11.10. Условия трансверсальности. Для задачи
Больца 1. Существуют такие постоянные е„, что на концах
экстремали выполняются соотношения
[(F - Py'i) dx + ^Fy-dyt] * + Kdg + 0. = 0
при любом выборе дифференциалов dx„ dyilt dxs, dyia.
Для задачи Больца 2. Концевые точки экстремали
таковы, что тождественно для dxlt dy,,. dxa, dyia, dah выпол-
няется соотношение
l(F - \ dx + ^Py'idyi} [ + dQ + J^F^ dahd X = 0.
X 1
Для задачи Больца 3. Концевые точки экстремали
таковы, что имеет место соотношение
HXsh - 2 ztYlsh +ah+ f Hhdx = 0.
1=1 J Xi
Здесь нижний индекс h обозначает частные производные по ah.
Трансверсальные условия для задач Лагранжа и Майера
охватываются данными выше формулировками.
См. Блисс [1]. Понтрягин и др. [1].
1.11.11. Необходимые условия экстремума Вейерштрасса
и Клебша. Если экстремаль у (х) доставляет условный минимум
в задаче Больца (для определенности в первой формулировке),
то она является безусловной экстремалью функционала
$ Р (х, у, у', X) dx, F (х, у, у', X) = Хо/ -f- А; (х) ?1 Хот (х) <fm.
Х1
Функция Вейерштрасса
Е (х, у, у', X, У') — F (х, у. У, X) — F (х, у, у', X) —
-1] (Yi - У]) Py't (X, у, у', X)
-неотрицательна: Е (х, у, у', \ при всевозможных допусти-
мых (х, у, У) ф (х, у, у’), <рр = О, где (х, у, у’, X) — элемент кри-
вой у (х) (необходимое условие Вейерштрасса).
п
Если 5, (/=в1,2,..., п; У 0)— система чисел, удо-
i Я= 1
влетворяющая уравнениям
где (х, yt у', X) — элемент, реализующий минимум кривой Е, то
У Ру'(Ук (М у, У'> X) iAk > 0
i, k
(необходимое условие Клебша),
См. Блисс [1].
1.11.13]
§ 11. ЗАДАЧИ НА УСЛОВНЫЙ ЭКСТРЕМУМ
77
1.11.12, Вторая вариация в задаче Больца 1. Вторая вариа-
ция в задаче Больца имеет вид
SV = 2y [elt r]i (хД 68, г]; (x»)] + $ 2» (x, 7], 7]') dx,
Xi
где
2“ (*> '<) = S (Fviyii Wk + Fy-y’ tj/t;'),
2т = [(FZ - ^У-^) dx3 + 2_S dy( dx]; + 2? + 2^ W,,
dXi — Xib (0) db — hdb, dx.. = x2* (0) db -db,
tyi —Уlb W 0) db = rtl (x) db,
2q — квадратичная форма относительно dxlt dxs, dyilt dyi2 с коэф-
фициентами, равными вторым производным от g, 2q„ — то же
для ф^.
Если кривая Е неособенная, не имеет угловых точек, достав-
ляет минимум функционалу в задаче Больца, то вдоль экстре-
мали у (х) вторая вариация не отрицательна вдоль Е: о-у уд- 0.
См. Блисс [1].
1.11.13. Присоединенная или акцессорная задача Больца.
Задача Больца для функционала BSJ при связях
ф;-. = S (^у.ъУ1 + • ?<VP = °’
. i=l / i=l
называется присоединенной или акцессорной, а ее экстремали —
присоединенными экстремалями.
Уравнения Эйлера — Лагранжа в этом случае имеют вид
-Сй.-Й =0, Ф0 = О,
dx р
где
Q (*, ’i, 2 (x~) ф0-
3 = 1
Канонические переменные x, -cq, £(- связаны с переменными
xi "Qi W уравнениями
?< = 6v, у, у’, 7.), 0 = Фр (X, 7], 7]').
Значения Xi и х2, соответствующие концам Е, называются
сопряженными, если существует присоединенная экстремаль,
78
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
П.11.14
которая определяется функциями, обращающимися в нуль при
х = Xi и х = х2, но не тождественно равными нулю. •
1.11.14. Достаточные условия сильного относительного
минимума. Полем называется область Q пространства ху, кото-
рой соответствуют функции наклона pi (х, у] и множители Хо = 1,
(х, у) (3 — 1, 2,..., т), имеющие в G непрерывные частные
производные первого порядка и обладающие следующими свойст-
вами. Соответствующие элементы (х, у, р) удовлетворяют урав-
нениям связей Ф.. = 0 при любых (.г, 3) с: (3. Интеграл
не зависит от пути интегрирования в G, если аргументами
в Л(.г, у, y'f X) и се производных служат ,v, уг‘, pi (л*, у)г Х() — 1.
(*>>’)•
Всякое иоле однократно покрывается /г-иараметрическим
семейством экстремалей, определяемым дифференциальными
уравнениями
(Х,у).
На экстремали поля
Л (E) = J(E).
Пусть С — кривая, лежащая в поле и имеющая концы в точ-
ках хпу(х) и х2, у(х:). Тогда, учитывая свойство интеграла J*,
функция
W (л-J у (xj, х2, у(х2)) = /а:(С) +g-(-vi, Р'(-П), х2, у(хг))
зависит только от координат концов этой линии.
Если Е — экстремаль, испытываемая на минимум, то с по-
мощью функции w получаем
J(С) — J(Е) = Е [х, у, р (х, у), I (х, у), у] dx + [w (С) - w (£)|,
С
где
Е (х, у, р (х, у), X (х, у), у') = Е(х, у, у', X) - F (х, у, р (х, у), X) —
п
— S (X- - Pi (*> у)) F- (*> У’ Р ('> У), М
i=l '1
есть функция Вейерштрасса поля, содержащего испытуемую
экстремаль.
Будем предполагать, что выполняется усиленное условие
Вейерштрасса, т. е. в поле
Е (х, у, р (х, у), X (х, у), у') > 0.
Если экстремаль Е удовлетворяет правилу множителей, уси-
ленному условию Клебша (т. е. условию Клебша, в котором ис-
ключен знак равенства) и вдоль С вторая вариация положитель-
1.12.11
§ 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
79
но определенна (b3J обращается в нуль только при =
= 1](- (.г) ~ 0), то эти условия обеспечивают строгую положитель-
ность разности
w (С) — w (Е) > 0,
а вместе с усиленным условием Вейерштрасса являются доста-
точными условиями того, что Е является неособой экстремалью,
содержащейся в такой окрестности, что для всякой допустимой
линии С из указанной окрестности и не совпадающей с Е (кон-
цы которой лежат достаточно близко от концов Е) выполняется
неравенство
J (С) - J(E)>0.
См. Блисс [1].
1.11.15. Условие Якоби положительной определенности
второй вариации. Если вторая вариация положительно опреде-
ленна па классе присоединенных экстремалей, удовлетворяющих
присоединенным условиям для концов, и на интервале [Xj, х2]
нет точек, сопряженных с точкой хг, то вторая вариация поло-
жительно определенна вдоль экстремали Е.
См. Блисс [1].
Наиболее полное изложение задачи Больца см. Блисс [1].
См. также Гюнтер [1], Понтрягин [1]. Веллман и Дрейфус [1], Лаврентьев
и Люстерник [2].
§ 12. Оптимальные принципы
1.12.1. Принцип максимума Понтрягина. Постановка за-
дачи. Рассматривается система дифференциальных уравнений
dx*
(х1, xs, ..., хп, и1, и-, , W) ' (г = 1, 2,..., п.),
(1.12.1)
описывающая поведение некоторого объекта во времени. В мо-
мент времени t переменные х1, х2, ...,хп могут означать коор-
динаты точек, скорости и т. п.
Движением объекта можно управлять. Это управление харак-
теризуется точками и {и,, и2, ..., иг} некоторой r-мерной области
управления Е. В качестве и,, и2,..., иг могут служить количество
подаваемого в двигатель топлива, температура и т. д. По смыслу
этих параметров ясно, что они удовлетворяют некоторым огра-
ничениям.
Предполагается, что функции непрерывны по совокупности
всех аргументов и непрерывно дифференцируемы по совокуп-
ности «фазовых» координат х1, х2, ..^,хп.
Если задать (обычно кусочно-непрерывные, ограниченные
с разрывами первого рода) функции и1 (<), u2(t),..., ur (t) со зна-
чениями из U, то при заданных начальных условиях система
<1.12.1) имеет единственное решение.
80
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1.12.1
Наряду с системой (1.12.1) рассматривается интегральный
функционал
/1
J— J /° (х («), и (Q) dt == f> (л-1 (<),..., хп (i), щ (<).иг («)) dt,
ы to
(1.12.2)
где функция /° (х1, №, ... , хп, 1ц, и«, ... , и,) непрерывно диффе-
ренцируема по совокупности всех аргументов и для всех рас-
сматриваемых значений аргументов. В фазовом пространстве X,
образованном векторами (х’,х2, ..., хп), даны две точки х0 и х,.
Среди всех допустимых управлений и — и (t), переводящих точку
из положения х0 в положение хп надо найти такое, для кото-
рого функционал
J («) = \ f° (X и (О dt
Ы
принимает наименьшее возможное значение. Здесь х (/)— реше-
ние системы (1.12.1) с начальным условием х(<0)=х0, соответ-
ствующим управлению и (t), a — момент прохождения этого
решения через точку ху.
Таким образом, t0 и rt не задаются, а находятся из условий
х(/0) = х0, х(г‘1) = х1.
Управление и (t), дающее решение этой задачи, называется
оптимальным управлением, а соответствующая траектория —
оптимальной траекторией.
Важный частный случай, когда /®(х, и)=1, соответствует
задачам об оптимальном быстродействии.
Если ввести функцию х° (t) так, что
d у®
— = /°(x)U), х°(^о) = О,
то получающаяся при этом система дифференциальных уравне-
ний
^-=/‘(х, и) (1 = 0, 1,..., п) (1.12.1')
и функционал
(i
J(u) = j/°(х, «)Л = х(С) (1.12.2’)
>о
позволяют формулировать указанную выше задачу, как задачу
о розыскании управления и (<), при котором решение системы
(1.12.Г) при условиях х' (<0) = х< (1=1,2, ..., и), х° (£0) = 0, дает
наименьшее значение х° (<х).
Выше было указано, что из физических соображений сле-
дует ограниченность параметров и1, например, 1 Isgy 1. Если
имеет место случай строгого неравенства, । и' | < 1, то сформу-
1.12.2]
§ 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
81
дарованная задача есть частный случаи задачи Лагранжа, а сле-
дующий далее принцип максимума совпадает с необходимым
условием минимума Вейерштрасса.
Если же имеет место неравенство | и1 | 1, важное в при-
кладных задачах, то условие Вейерштрасса становится неприме-
нимым, тогда как принцип максимума работает.
Принцип максимума и его приложения разработаны Л. С. Понт-
рягиным и его учениками — В. Г. Болтянским, Р. В. Гамкрелидзе,
Е. Ф. Мищенко и др. (1956 г. и позднее). Он имеет большое
значение для решения проблем автоматического регулирования
и др.
1.12,2. Формулировка принципа максимума. Если выбрано
допустимое управление и (1) и получена фазовая траектория
х (t) с начальным условием .V (/,.)= .х'о, то система
Ф = (1 = 0, 1,..., п) (1.12.3)
а=0
имеет единственное решение ф (ф0, Ф1..фл) при любых началь-
ных условиях для ф;.
С помощью полученных функций ф; строится функция
п
(ф, х, и) = 2 ^(х, и). (1.12.4)
а=0
Для оптимальности управления и (t) и траектории х (1) необхо-
димо существование такой ненулевой непрерывной вектор-функ-
ции ф (t) — (ф0 (t), ..., ф„ (£)), соответствующей функциям и (1) и
х (t), что при любом 1, 10 -оу t ti, функция 0%^ (ф (t), х (t), и)
переменного и g U достигает в точке и = и (t) максимума.
В конечный момент tt
п
Фо^О'СО, 2 ^(^)/“(х(^, и(^)) = 0. (1.12.5)
Яа=0
Кроме того, если ф (1), х (t), и (t) удовлетворяют системам (1.12.1)
п
и (1.12.3), то функции фо (0 и У фа(0/н(х (0> “(0) переменного
а=0
t ЯВЛЯЮТСЯ ПОСТОЯННЫМИ И В условии (.1.12.5} точку ti можно
заменить любой другой.
Для оптимальных по быстродействию управления и (t) и
траектории х (t) необходимо существование такой ненулевой не-
прерывной вектор-функции ф (1) = (фх (/), . ..,ф„(1)), соответст-
вующей функциям и (1) и х (t), что для всех t
функция
п
Н (Ф, х, и) = У фал (X, и)
а=1
82
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.12.3
переменного и £ U достигает максимума в точке и = и (t). В ко-
нечный момент
H(i> (Л), x(tt), (1.12.6)
Если величины'ф (/), х (/), и (t) удовлетворяют системе
dx1 дН d^t дН • , о
= (: = 1-2.............................я)
и выполнено условие максимума, то функция Н (ф (t), х (t), и (t))
переменного t постоянна п неравенство (1.12.6) можно проверять
при любом другом значении t (t„ -ту t
Пример 1.12.1. Рассмотрим задачу об
d2x ,_ .
уравнения = и, i и , 1, в случае, когда
оптимальном быстродействии для
конечным положением служит на-
чало координат.
В этом примере
dx*
~dT
//= + ф2и.
х~
d^2
dt
dx2
~dT
—Ф1 = С1, ф2=-.С2 — C[t.
Н есть линейная функция от и, ее наибольшее значение достигается либо при
и = — 1 либо при и = 1, причем и = — 1, когда < 0, и и = 1, когда > О
(тогда > 0). Но это значит, что и (/)=•• sign ф2 (/) = sign (С2 — Cj/). Опти-
мальное управление найдено, это кусочно-постоянная функция с двумя интер-
валами постоянства, на которых и (/) принимает значения — 1 и +1.
'dx2
Если и~\к то = 1 (>0) и х'~ есть возрастающая функция от /.
dxi п 1 (№)2 . „
Так как = х2, то .v1 — 4- Cj, т. е.
ветствующий и~\, есть парабола.
. , dx2
Аналогично, при и = — 1, —
r fit
кусок фазовой траектории, соот-
1 « 0) и х2 есть убывающая функ-
ция от t, — х2, х1 = — -——t-Cg, т. е. кусок фазовой траектории,
соответствующий управлению и «—1, также есть парабола.
Оптимальная траектория, если она существует, состоит из кусков двух
парабол, принадлежащих указанным семействам парабол, причем вторая пара-
бола должна проходить через начало координат.
Можно показать, что найденные фазовые траектории действительно яв-
ляются оптимальными.
1.12.3. Принцип максимума и вариационное исчисление.
Из принципа максимума могут быть получены все необходимые
условия экстремума: уравнения Эйлера—Лагранжа, условие
Лежандра, условия Вейерштрасса, правило множителей для за-
дачи Лагранжа. Ниже дается краткий вывод условия Вейер-
штрасса для функционала, зависящего от нескольких неизвестных
функций
6
/== ^ /° (х1, №,..., и„ ..., ц„) dt,
to
dx1
dt ’
1.12.31
§ 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
83
Для этой задачи
п
ЕЖ' (ф, X, и) = ф0/° (Л-, и) + У ф,Ш;,
i~\
ЖГ (i', X, 2) - а%- (ф, X, X') - 2 (2/ - х‘') д-^- (6, X. X') =
п
фо/° (-V, Z) - V0 (X, .г’) + У ф,- (z; - %'') —
1=1
/1
— S (2z — Л'г) (Фо/г' + ф/) = W° Cv>z)~~
i=i
— W° (-^ *') - Фо E <Zi — фоЯ (Л A-', 2),
Z=1
где.Е (x, x', z) — функция Вейерштрасса.
Если функция достигает максимума при и = х', являю-
щихся внутренними точками U, то в этих точках
^=0
dui
и, учитывая, что ф(| <; 0, из неравенства
<2%"" (ф, X, Z) — ЕЖ’ (ф, Т, X') = ф„£ (х, X', з) О
следует, что вдоль оптимальной траектории
Е (х, х’, г) 0.
Это и есть условие Вейерштрасса.
Аналогично получается условие Вейерштрасса для функцио-
нала, зависящего явно от независимой переменной и нескольких
неизвестных функций, а также в задачах Лагранжа, Майера,
Больца.
Из данного вывода следует, что когда множество допусти-
мых значений управляющих функций открыто, то принцип макси-
мума совпадает с необходимым условием Вейерштрасса. Если же
оптимальное управление попадает на границу области U, то там,
- ’ л
вообще говоря, производные в нуль не обращаются и в
п
VI д ‘ТЕ"
разложении (Ф, х, и -j- Ди) = (Ф, х, и) ^и‘
4=1
-ф- члены второго и выше порядков относительно Ди вблизи
указанной точки имеются члены первого порядка малости отно-
сительно Ди. В этом случае неотрицательность функции Вейер-
штрасса, имеющей второй порядок малости, перестает быть
84
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
J1.12.4
необходимым условием максимальности функции фф#'— условие
Вейерштрасса, вообще говоря, не выполняется, тогда как принцип
максимума остается верным.
Изложение, данное выше, следует главе 1 книги Понтрягина, Болтянского,
Гамкрелидзе, Мищенко [1]. См. также Гельфанд и Фомин [1].
1.12.4. Принцип оптимальности Веллмана (динамическое
программирование). Пусть рассматривается физическая система
S, состояние которой в любой момент времени определяется
вектором р\ компоненты этого вектора называют фазовыми пе-
ременными. Обычно р — конечномерный вектор.
Кроме того, пусть имеется семейство преобразований
{Т (р, 9)}, где векторная переменная q играет роль параметра
и называется решением. В общем случае q есть функция р.
Выбор решения q изменяет состояние физической системы
S, а именно, изменяется определяющий ее вектор р, переходя-
щий в р':
Р’=Т (р, q).
Процесс, состоящий из выбора N решений, называется N-шаго-
вым процессом. Свяжем с ним скалярную функцию
F(Pv Р» >Pn, <?i, ?.2.qN),
с помощью которой оценивается конкретная последовательность
решений qv qit ..., qN и состояний pv р,2, ..., pN. Эту функцию
называют критерием или функцией дохода.
Ставится задача выбрать qt так, чтобы максимизировать
эти функции pt и qt.
Последовательность допустимых решений {qv q.,, ..., q.,:)
называют политикой (стратегией).
Политика, доставляющая максимальное значение функции
критерия, называется оптимальной.
Предположим, что после k шагов принятия решений влия-
ние оставшихся /V—/г шагов процесса на функцию критерия
зависит только от состояния системы в конце /г-го решения
и от последующих решений qk^, qk , qK,
Имеет место:
Принцип оптимальности. Оптимальная политика
обладает тем свойством, что, каковы бы ни были начальное
состояние и начальное решение, последующие решения должны
составлять оптимальную политику относительно состояния,
являющегося результатом применения первого решения.
Пример 1.12.2. Функция критерия;
2 S(Pk, Ч), (1-2.3.....N).
k=\
Если принять решение qi, то pi переходит в Т (рр qfi, а ТУ-шаговый процесс — в
(ТУ—1)-шаговый. Максимальное значение критерия от оставшихся (ТУ — 1)-шагов
1.12.5]
§ 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
85
будет /л, i(r(₽j’ ?j))' Тогда’ п₽и некотором д^,
^(р1) = г(рГ91) + ^-1[7'(₽г4)Г
Следовательно, q\ выбирается так, что
Ш)=т“т [Г(рг *i)]]-
1.12.5. Вариационное исчисление и принцип оптималь-
ности Веллмана. Задача минимизации функционала
ь
J(y) — ^F(x,y,y')dx, у(а) = с (1.12.7)
а
сводится к рассмотрению минимального значения функционала
в качестве функции начального значения переменной а и задан-
ного значения с:
f(a, с) — min J (у) (—оо < а < b, —-со<с<со). (1.12,8)
у —
При любом Д
а а <7 —Д
и из принципа оптимальности следует
f (af с) — min
у
а 4- Д
а
F(x,y, у') dx 4- Д, с (yi))
(1.12.9)
Здесь у=у(х), йОО-4 у(а)~с, с (у) = у (a -j- Д). Соот-
ношение (1.12.9) получается из следующих соображений: при
любом выборе Д наименьшее значение суммы
fl-j-A b
j F (х, у, у') dx -|- F (х, у, у’) dx
a a-j-Д
будет получено, если минимизировано второе слагаемое, после
чего полученная сумма минимизируется по всем .у, определен-
ным на отрезке [я, а -|- Д].
При малых Д
a-j-Д
J F (х, у, у') dx — F(a, с, у' (а)) Д 4-о(Д),
с О) = а + У' («) д + о (Д)
и при обозначении y'(a) — v
f (а, с) = min [Л(а, с, v) Д 4-/ (а 4- 4 с + ^)] + о
V
86
ГЛ I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1.12.6
что при А — 0 приводит к \равнению в частных производных
— = min Гл(й, с, v) + »У| (1.12.10)
да [ дс | ’
f(b,c) = 0 для всех с, а < Ь.
Замена а на х, v на у' дает
/(.г, У) = min [У(х,у, у') S + .f(x,y) + A-V -{-д/у'У -j-...]
у' |_ дх ду J ’
откуда
0 — min [(л", V, У) + 4- + V’]
yr L дх ду' J
и, слсдовате..ыю,
Fy +jv = 0- 0.12.11)
-FJr|J.+y|j, = 0- Д12.12)
Из (1.12.11) и (1.12.12) следует уравнение Эйлера—Лагранжа.
Получение необходимых условий минимума для исходного
функционала приведено к получению необходимых условии
минимума функции от у'-.
Ф (У) = F (х, у, у’) + Ц + ~ У. (1.12.13)
Необходимое условие минимума Ф"(У):>0 превращается в
условие Лежандра
Ру.у 5=0. (1.12.14)
Если Уфу', то
F (х, у, У) + у’’ F (х, V, У') + тр + У' f-,
л ' 1 дх 1 ду' ' дх ду1
что дает условие Вейерштрасса
1у(х,У,У, П =
= F (х, у, У') —F(x,y,y) —(Р —У) Fy.^0. (1.12.15)
Метод Веллмана распространяется и на все остальные задачи
вариационного исчисления, рассмотренные ранее.
1.12.6. Связь динамического программирования с зада-
чами условного экстремума и принципом максимума. Пусть
дана система дифференциальных уравнений
= S (У, Л, •,yy2't), yi(0) = ci (/=1,2.....М).
Требуется определить неизвестную функцию z (управление) так,
чтобы минимизировать время, требуемое для перехода системы
1.12.6]
§ 12. ОПТИМАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ
87
в состояние (rfj , d„ d^, т. е. функционал Т = Т (г) опреде-
ляется условиями
, yz(T) = dz (1=1,2, .... N).
Это — задача об оптимальном быстродействии.
Если f (у, t)—время, требуемое для перевода системы из
состояния у в момент t в желаемое конечное состояние, то из
принципа оптимальности следует
/(У, 0 = min [А / (у t 4- А)] + о (А),
г (б
откуда
(i. 12.16)
Из (1.12.16) следует, что
N
0 = 1 + 2 +Л- (1-12-17)
1 = 1
По определению функции f (у, t) имеем ft = 0 при t~T, слс-
N
довательно, fy#(Т) gt (Т) =—1. Если gi не зависит от
i — 1 1
N
имеет место первый интеграл системы —1 вдоль оп-
i=l *
тимальной траектории. Для функций у, значения которых в
точке Т не определены, fv — Если известны /<,, то из
i i
(1.12.17) находится z.
Для отыскания fy, называемых функциональными множит
щелями (а в работах, связанных с принципом максимума,— им-
пульсами), в тех случаях, когда g-t не зависят от t, служат
дифференциальные уравнения, получаемые из (1.12.17):
2
(i = 1, 2....N),
и совпадающие с уравнениями для функций 41 в принципе мак-
симума. Последняя система вместе с исходной и первым урав-
нением (1.12.17) определяет М функциональных множителей,
N величин ур у2, ..., yN и / (у, t).
Рассмотренные в этой главе задачи являются общими зада-
чами условного экстремума (Лагранжа, Майера, Больца) и, как
указывалось ранее, из принципа максимума и принципа опти-
мальности следуют все необходимые условия экстремума в этих
задачах.
88
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.13.1
Си. Веллман и Дрейфус [1J.
По вопросу об оптимальных принципах см. статью JIhiobsssjo [1].
По вопросу о ваобхадимоати и достаточности принципа маквймума и прин-
ципа оптимальности см. Болтянский [1], [2].
§ 13. Линейное программирование
1.13.1. Постановка задачи. Разнообразные вопросы, возни-
кающие в экономике, военном и инженерном деле, часто при-
водят к следующей задаче.
Найти максимум линейной формы (целевой функции)
z —ptXi -j-~p2.v2 -j- ... -\-рпхп (1.13.1)
при условиях
+ Uj.,xs -j- ... -j- alnxnsS;a: (I = 1, 2, ..., m; m>n)
или, что то же, при условиях
у, = — а[1х1 — ai2x2 — ... — airlxn 4- a; 0 (i — 1, 2, ..., т; т>п).
(1.13.2)
Ниже, в и. 1.13.4, приведена в качестве примера задача
линейного программирования, частный случай так называемой
транспортной задачи.
1.13.2. Геометрическая интерпретация. Из аналитической
геометрии известно, что геометрическое место точек, координаты
которых удовлетворяют неравенству Axt 4- Вх2 4- С 0, есть
полуплоскость, лежащая по одну сторону прямой Ах, -j- Вх2 4-
4-С = 0, причем для точки (хъ л\) число Axt 4- Вх2 4~ С, назы-
ваемое уклонением этой точки от указанной прямой, с точ-
ностью до множителя равно расстоянию от точки (х1; х,) до
прямой Axt 4- Вх2 4- С = 0. Задание неравенств
Д1.г1 4- Вгх2 4- С, 0,
^2-^1 4- В2х2 4" С2 0, /1 1 о о.
4- Bkxn 4- о, J
определяет некоторую выпуклую многоугольную область, кото-
рую будем называть просто многоугольником.
Задача линейного программирования может быть сформули-
рована как отыскание точки, принадлежащей многоугольнику
(1.13.3) и наиболее уклоняющейся от прямой
z=PiXi4-p2x2 = 0.
В зависимости от расположения многоугольника (1.13.3) и пря-
мой р,х. 4-P2ai2 = 0 задача имеет единственное решение, беско-
нечное множество решений или совсем не имеет решения.
В данном плоском случае ясно, что решения задачи, если они
существуют, даются точками, лежащими либо в вершинах мно-
гоугольника (1.13.3), называемого также многоугольником реше-
ний, либо на его сторонах.
t.13.3]
§ 13. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ
89
В частности, когда многоугольник (1.13.3) имеет сторону,
параллельную прямой ptxt -|-А-г2 = 0 и содержащую хотя бы
одну точку, дающую решение задачи, то любая точка указанной
стороны также дает решение этой задачи.
Если же многоугольник (1.13.3) бесконечен или же система
неравенств (1.13.2) противоречива, то задача не имеет решения.
Аналогичные соображения распространяются на общий слу-
чай, в котором вместо многоугольника (1.13.3) будет фигурировать
некоторый выпуклый многогранник, а вместо прямой— плоскость.
1.13.3. Симплекс-метод. Первым этапом решения задачи
линейного программирования является отыскание какой-либо
вершины многогранника решений. Решение системы (1.13.2),
соответствующее вершине, называется опорным', имея опорное
решение и отвечающее ему значение целевой функции, находят
направление к другой вершине многогранника, в котором целевая
функция возрастает и, таким образом, приходят ко второму опор-
ному решению. Повторение этого процесса приводит к оптималь-
ному решению (если таковое существует) поставленной задачи.
Пусть, например, требуется максимизировать целевую функцию
z =— 12X1 -f- 3X2
при ограничениях
!)>! —— *14-2ха 4- 8^0,
*1 4- *2 4“ 1 а- 0,
,П1)73= 3*1— *2— 1^0,
iV) у4 ~ — 2xi — 4" Ю 0,
V) v5 = - 2X1 4- Х2 4- 10 о.
(1.13.4)
Многоугольник решении, являющийся пересечением полуплоскостей (1.13.4)
показан на рис. 1.I3.I.
Перейдем от прямоугольных декар-
товых координат (xi, Хз) к косоугольной
системе координат (71, 72) по формулам
71== —*1 4-2*2 4~8- 7з = *1 4-*2 4-1
или
I ,2
*1 = — у 71 4“ у .У2 4~ 2,
1,1 ,
*2 —' у 5’1 4“ у Уа — 3.
В этой косоугольной системе координат
осями координат являются прямые 71=0
и 72 = 0. а началом координат — одна
из вершин многоугольника решений. Су-
щественным обстоятельством является
то, что координаты (71, 72) всех точек
многоугольника решений неотрицательны.
Целевая функция z = — 12xi 4- Зха принимает вид z = 671 — 1у-> — 33, причем
z
= — 33.
0
Целевая функция возрастает при движении точки (71, 72) в положительном
направлении оси 71 (72 = 0).
90
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
(1.13.4
Таким образом, найдено первое опорное решение и направление оптимиза-
ции целевой функции.
Решение задачи усложнилось бы, если за оси новой системы координат
были бы взяты прямые
.Vi =— Xi 4-2*2 8, у3 = 3xi — х-2 — 1.
Начало новой системы координат в этом случае лежит вне многоугольника ре-
шений и первым этапом решения задачи становится приближение к одной из-
вершин многоугольника решений, после чего процесс осуществляется по ука-
занному выше плану.
В общем случае, когда задан многогранник, в вершинах
которого (на ребрах или гранях) отыскивается решение задачи
линейного программирования, производится переход от исходной
декартовой прямоугольной системы координат к косоугольной,
в которой в качестве координатных плоскостей используются
и некоторые из гиперплоскостей, ограничивающих указанный
многогранник. При этом координаты всех точек многогранника
становятся неотрицательными. После этого отыскивается первое
опорное решение и направление, в котором целевая функция
возрастает. Отыскание второго опорного решения и повторение
процесса отыскания последующих опорных решений приводит к по-
лучению оптимального решения, если только задача разрешима.
Описанный способ решения задачи линейного программи-
рования носит название симплекс-метода Данцига.
В последние годы в качестве алгебраической основы сим-
плекс-метода успешно применяется указанный Штифелем аппа-
рат жордановых исключений.
Дальнейшая разработка и геометризация этого аппарата содержится
в книге Зуховицкого и Авдеевой [I].
1.13.4. Связь с динамическим программированием. Сообра-
жения, приведенные в п. 1.13.2, показывают, что методы диф-
ференциального исчисления неприменимы для решения задач
линейного программирования, в которых решение всегда нахо-
дится на границе области определения функции (1.13.1). Однако
задачи линейного программирования можно формулировать как
задачи динамического программирования, как это будет пока-
зано ниже, следуя Веллману и Дрейфусу, на примере одной
транспортной задачи.
Имеются два склада, содержащие соответственно xi и хо некоторого
ресурса, и W пунктов потребления с потребностями соответственно г , г
в этом ресурсе. Общий запас равен общему спросу;
Х1 + <2 = Г1 +Г2 + - + rN~
Пусть Хц—количество ресурсов, отправляемых из t-ro склада в /-й пункт
потребления и = йуХу— стоимость осуществления этой операции. Требуется
минимизировать функцию
У &цхн (в рассматриваемом случае / = 1, 2; /—1, N)
, V *7
ь/
при условиях
А' М
ху^0- S xtf=xv S xij-rr
j= i i=i
1.14.1]
§ 14. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
Р1
Пусть f^(xf х$) — величина затРат ПРИ исполозозаиии оптимальной политики,
когда начинают соответственно с количеств хр х2 при фиксированных потреб-
ностях .... rN-
Удовлетворение первого спроса в ЛГ-м пункте потребления дает затраты
g inkin') +g2/v(J1W
и уменьшает ресурсы на складах до л'| — х *дг и х% _ л’^дг. Из принципа оп-
/.V(AT Л'2)= min |Я(ЛЧЛ'1Л')-гЯзЛ'('-'УЛ')-гУу_| (-г, - xiN, х3-*2ЛГ)],
{М
где R—двумерная область, определяемая условиями
iNr 2.V N'
1ЛГ
°-\N^xi
при W =» 1 имеем f(xi, x2) = gii Un -hg2i (-v2).
Использование условия xi4-x^= r. позволяет исключить параметр
1 1
'2: тогда для /д^(ЛГ х%)^ f\) имест мест0 соотношение
•/Ar(’Vl)=vmin[t?l1v(Al1v) + t?bv(Z'№’VlA') + Av-l (*1”Х1Лг)]’
17/
к
о
IN OsSrN X1N
N
s ri
k = 1 ‘
о
В книге Веллмана и Дрейфуса [1] приведены вычисления для случая двух скла-
дов и десяти пунктов ......
потребления.
В приведенном
-функции х.^
Возможность
потребления, а также для трех складов и десяти пунктов
примере g.. можно рассматривать и в виде нелинейной
»7
формулирования задач линейного программи-
рования как задач динамического программирования не озна-
чает, что это необходимо делать, поскольку во многих случаях
вычислительные методы линейного программирования оказы-
ваются достаточно эффективными.
Литература по линейному программированию весьма обширна. Для сту-
дентов втузов и инженеров можно рекомендовать следующие книги: Карпелевич
и Садовский [1]; Зуховицкий и Авдеева (Ц; Юдин и Гольштейн (Ц.
§ 14. Прямые методы вариационного исчисления
1.14.1. Постановка задачи. Обычные методы вариационного
исчисления, при которых задача минимизации функционала сво-
дится к интегрированию уравнений Эйлера—Лагранжа, часто
приводят к очень трудоемким вычислениям; что делает эти ме-
тоды мало эффективными.
Большим распространением при решении теоретических и
прикладных задач пользуются прямые методы, заключающиеся
в следующем.
92
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.14.2
Пусть требуется найти минимум некоторого функционала
J (у), о котором известно, что точная нижняя грань его значе-
ний inf J (у) — т > — се. Пусть удалось найти последователь-
ность допустимых функций yt, у2,..., уп,..., такую, что
lim J (у„) = т.
п-^со
Во многих важных случаях при этом оказывается, что ми-
нимизирующая последовательность сходцтся к функции у/,
для которой J (у) = т, и тем самым вариационная задача решена.
С другой стороны, прямые методы вариационного исчисле-
ния доставляют решение тех краевых задач дифференциальных
уравнений, которые могут рассматриваться как совокупность
уравнений Эйлера—Лагранжа и краевых условий в задаче ми-
нимизации некоторого функционала.
1.14.2. Метод Ритца. Примеры. Пусть требуется найти ми-
нимум функционала
J (у) = $ F (х, у, у') dx, у(х1)=-а1 у(х2)—а2 (1.14.1)
*1
в некотором классе функций.
Рассматривается «-параметрическое семейство функций
у(п, х)=»0(х)4- 0<?>(х), (1.14.2)
i=l
где ер0 (хх) = «1, Yo (xs) = ag; (х), (хх) = (х2) = О (I = 0, 1, ...
...) — последовательность линейно независимых функций.
Взятые функции называют координатными.
На функциях (1.14.2) данный функционал превращается
в функцию п переменных
J (У (п, х)) = Ф (сп с2.сп). (1.14.3)
Выбираются те значения с,, с2,..., с„, которые доставляют функ-
ции Ф минимум. При найденных с, (Z=l, 2,..., п) функция
(1.14.2) обозначается через у п(х). Во многих практически важ-
ных случаях последовательность найденных таким образом функ-
ций уп (х) (я=1,2,...) является минимизирующей и дающей
решение поставленной задачи.
Указанный метод принадлежит Ритцу (1908 г.).
Существование абсолютного минимума функционала (1.14.1)
и достижение этого минимума посредством построения миними-
зирующей последовательности функций обеспечивается выпол-
нением следующих условий.
Обозначим через Q замкнутую область плоскости х, у, в ко-
торой лежат линии уп (х).
Функция Л(х, у, г) непрерывна по совокупности своих аргу-
ментов при (х, у) ( G и любом конечном z.
1.14.2]
§ 14. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
93
Существуют константы а ]> О, ру> 1, р, для которых
F (х, у, г) а | z -|- 3,
каково бы ни было z и для любой точки (.г, у) 4 G.
Функция F(x, у, z) имеет непрерывную производную
(х, у, г) и для любой точки (х, у) £ G эта производная есть
неубывающая функция от z(—со < z < ео).
При этом интегрирование понимается в смысле Лебега (см.
п. 2.0.3), а функционал рассматривается в классе абсолютно не-
прерывных функций.
Укатанные условия выполняются, в частности, для функцио-
налов вида
j {Р (х) у'2 + Я (х) у2 — 2g (х) у} dx, у (xj = а1( у (х2) = а2,
Х1
где р (х) > 0, q (х) и gi'.vi — известные непрерывные функ-
ции в конечном интервале [х1( х2].
См. Ахиезер [1].
Важное значение для применений имеют линейные вариаци-
онные задачи, т. е. задачи о минимизации функционалов, урав-
нения Эйлера — Лагранжа которых линейны.
Условием применимости метода Ритца к минимизации таких
функционалов является их положительная определенность, т. е.
существование положительной константы 7 такой, что
\ F (х, у, у') dx ( yr dx
Xi Xi
и соответственно
U F (х, у, и, их, иу) dx dyyy-'{ ? j и2 dx dy,
D ' 75
в классе функций, непрерывно дифференцируемых достаточное
число раз и удовлетворяющих краевым условиям задачи.
Подробное рассмотрение этого вопроса см. Михлин [1], [4].
Пример 1.14.1. Минимизировать функционал
1
+ + у (0) = у (1) = 0.
0
Пусть
<Р0 (X) = 0, ср1 (л) = Xs — X. (X) = х° — X2, , lfn (х) = xn+1 —хп,...
При п — 2
V (2, х) = Cl (х2 — х) С2 (-*3 — Х-),
у' (2, х) = ci (2х — 1) 4- сэ (Зх2 — 2х),
/ (у (2, х)) = Ф (СГ С2) = И сз + 11 + 1 С| - 1 С[ - 1
94
ГЛ.
I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
II.14.2
дФ
Используя условия 5^=0. = получим
11 , II 1 11 , 2 1
15С1+30Са~ 6’ '30 Cl + 7 С2 ~ 10‘
Отсюда
69 7
C1~47J’
И
77x3 — 8№ — 69х
У (2, х} =-------------.
В данном случае можно указать точное решение:
Нижеследующая таблица дает сопоставление
точного и приближенного решений:
X .V У (2f -v)
0,0 0,0000 0,0000
0,2 -0,0287 — 0,0285
0,4 — 0,0505 — 0,0506
0,5 — 0,0566 - 0,0563
0,6 - 0,0583 — 0,0585
0.8 — 0.0444 - 0,0442
1,0 0,0000 0,0000
Пример 1.14.2. Модиф и к а ц и я метода Ритца. Пусть требуется
минимизировать функционал
1
J(v)=j еУу'2ах, v(0)~0, 5- (1) = 2 In 2.
О
Решение этой задачи обычными методами приводит к функции
_у^2 1п(14-х).
Для приближенного решения выбирается последовательность, конструируемая
из многочленов третьей степени следующим образом.
1-е приближение. Многочлены третьей степени, для которых .у и у'
принимают при х = 0 и х = 1 заданные значения.
2-е пр иол ижение. Функции класса СД (0, 1] с заданными значениями у
и у' при х~0, х= 1/2, х== ( и кубических в каждом из двух интервалов.
ft-e приближение. Функции класса Ci [О, 1] с заданными значениями
для v и у' при х = -Лп- (/==0. 1, ...) и кубических в каждом из 2^ 1 малых
интервалов.
Для каждого k функционала J (у) заменяется значением ^ (>’). которое
вычисляется в каждом интервале по правилу Симпсона, причем необходимые
для этого средние значения у и у’ находятся по формулам
выражающим их через значения yt, у' на левом и у9, у' на правом концах ин-
тервала длины h.
Так как значения у заданы при х = 0 их=1, то функции из первого
приближения полностью определяются их производными у' при х = 0 и х = 1.
Эти значения, умноженные на постоянные множители, обозначены через
т]0 и и приняты в качестве независимых переменных в первом приближении.
1.14.3]
§ 14. ПРЯМЫЕ МЕТОДЫ
95
Первое приближение:
х0 = 0; л-j — 0,5; jc, = I,O; AJ=0,5; .1'0 = 0; j'3 = 2ln2; = A vj (i = 0, 1,2).
J1 W = T l-’o2 + ie V1'v?2] = 3^ Ho + 4еУ1г>1 + 4^]’
У1 = j b'o +.1’2) — (i)2 — %) = 0,69315 + 0,251)0 — 0.25i;2.
’ll = -4- (V2 — .1’0) —-J- +2+ до) = 1.039725 — 0,251)0 — 0.251);..
Берем 7jo и 7)g за независимые переменные и решаем уравнения
/„ = ЗЛ1 ,+Г = 2,)о + еУ1Г1~1 ~ 2еУ1^1 = Ч ~ (2~ Ч Ч/-1'1 = °'
/2 = ЗЛ! = 8Ч3 ~ - 2еУ1г11 = 8Ч2 - <2 + Ч,) V’’1 =0-
Решения последней системы (методом Ньютона) дают
?]о=1>ООб( т]1 = 0,663, т]2 = 0,501, ‘ 1’1=0,819,
тогда как точн’ое решение дает
7^ = 1,000, ?]! =0,667, т]2 = 0,500, yt =0,819.
Подробное решение этой задачи вместе со вторым приближением см.
М о р р е й [1].
Пример 1.14.3. Найти функцию и = и{х, у), гармоническую в области
Q: А’>0, у>0, йг~|-у<1 и удовлетворяющую на границе Г; х = 0, у = 0,
х у = 1 условию:
НГ=Х2+У<
Гармоническая функция удовлетворяет уравнению Лапласа, являющемуся
уравнением Эйлера — Остроградского для интеграла Дирихле:
(1.14.4)
Выберем координатные функции:
«О (ЛГ, >) = Л-i’ +у2, )
Bi(i, Я = ^(1-Х-Я. I
«2 (X, _у) = ^2_у(1— X — у), )
чп(х, у)^хпу(\— х — у}. ]
(1.14.5)
Функция
<Р (Л-, у) = № +у2 + cpvy (1 — х — У) + Cg№y (1 — X — У) + С3х3у (1 — X —у)
(1.14.6)
удовлетворяет краевому условию при любых значениях постоянных ci, cq, eg.
Подстановка (1.14.6) в (1.14.4) превращает интеграл Дирихле в функцию
Ф (ci, Сз, с8) переменных ci. eg. q, которые надо выбрать так, чтобы эта функ-
ция получила минимальное значение. Приравняв нулю частные производные
^Ф дФ <?Ф
дс~’ дс~’ дс~’ М0Ж1Ю найти, что ci^ 3,0401, eg = с8 = — 0,0562. Приближеннее
решение задачи
<Р (х, У) = № + у2 + ху (1 — X — у) [3,0401 — 0,0562 (х + у)].
О методе Ритца и других прямых методах см. Михлин [1], [4], [5], а так-
же Канторович и Крылов [1].
96
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
4.14.3
1.14.3. Метод конечных разностей. Этот метод, впервые
примененный Эйлером, заключается в том, что функционал,
например,
*2
J(y)= j f(x, y,y')dx,
Л';
рассматривается на ломаных, составленных из заданного числа п
прямолинейных звеньев с заданными абсциссами вершин.
При этом функционал превращается в функцию ординат
вершин указанных ломаных и дальнейшая процедура минимиза-
ции проводится так же, как и в методе Ритца (частным случаем
которого может считаться и сам метод конечных разностей).
Пример 1.14.4» Минимизировать функционал
1
J (>'2 + >2 + dx, у (0) = У (1) = 0.
0
Принимаем Д№^-~=0,2. Имеем
У (0) = 0. а'1 = е (0,2). .i’2=y(0,4), .V.3--=.1’(0,6), .1’4 =.е (0,-8), .v3 = y(l) = 0.
В качестве приближенных значений производных принимаем
>’'<0)=++ у (0'2> = у (0’4)
У (0'6> = ТГ' (0'8>= ++
Данный функционал заменяем суммой по формуле прямоугольников, тогда он
превращается в функцию четырех переменных
va — Vi
Ф(.1’1,У2, .V3, ^)-[(-+ ^(^oj
+ Уз + 0.8.V2 + 0
0,2 j “г
2 , ” , 1
“Ь 3'4 + 1 >6У4 0,2.
Имеем
ЙФ _ 2У1_ _ 2 (,У2 - У;)
<9.1’1 0,04 0,04
оФ _ 2 (Уз — J’i)
дуа 0,04
<?Ф _ 2 ф'з — .1'2)
0,04
2 0’4 — Уз)
+ 0,8 = 0,
<О'з 0.04 0,04 ’
<?Ф 2Ц'4 ->з) 2.1’4 , „
дГ4 ------0Л4-------5> + 2>'4+''6=0-
Отсюда
'! = - 0,0286,
— 0,0503, уз ----- — 0.0580, 1'4 = - 0,0442.
Точные (до четвертого десятичного знака) значения искомой функции
У (0,2) = - 0,0237, у (0,4) -= - 0,0505,
у (0,6) = - 0,0583, у (0,8) = - 0,0444.
1.15.11
§ 15. ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛОВ
97
§ 15. Некоторые сведения из теории
экстремума функционалов в линейных
нормированных пространствах
1.15.1. Линейные нормированные пространства. Линейным
нормированным пространством Е называется совокупность эле-
ментов х, у, ..., для которых установлены операции сложения
и умножения на число, обладающие такими свойствами:
1) х-\-у — у-\-х,
2) (x+y)+2 = X+(y-f-2),
3) существует нуль-элемент 0 такой, что х-|-0 = х для лю-
бого х^Е,
4) для каждого х^Е уравнение х + у=0 разрешимо. Эле-
мент у называется при этом противоположным элементу х,
5) X (рх) = (Хр) х, 1, р—действительные числа,
6) 1 • х — х,
7) X (х у) = Хх -j- Ху,
8) (X -|- р) х — Хх -j- рх,
9) для каждого х£Е существует число, называемое нормой
и обозначаемое || х||, для которого || х || > О,
х^О; ||0|| = 0; || Хх || = | X 11| х ||; ||х + у\\^||х|| +1|у||.
С помощью нормы можно мстризовать линейное нормированное
пространство с, введя понятие расстояния между элементами х
и у, как
Р (*> У) = ||х — у||.
Расстояние р (х, у) имеет следующие свойства:
Р (х, у) — р (у, х); р (х, х) = 0; р (х, у) ==щ р (х, z) + р (z, у).
С помощью нормы вводится понятие сходимости в про-
странстве Е. Последовательность элементов {хга}, хп^Е схо-
дится в себе, если
II ХП — Xm || —• 0, п —. оо, т —> со.
Если каждая сходящаяся последовательность сходится к некото-
рому пределу, являющемуся элементом того же пространства Е,
то пространство называется полным.
Полное линейное нормированное пространство называется
пространством Банаха или пространством типа В.
Примеры. 1. Класс функций С [а, Ь], непрерывных на интервале [а, Ъ],
является банаховым пространством. Сложение функций и умножение- на число
определяется обычным образом. Норма определяется как
шах ] х (/) |.
а t < Ъ
2. Класс функций Ст [а, (см. 1.0.3) после введения нормы
||х«)||= max (|х(/)|, ix'(9l..........I x(mi (/) I)
a =s b
становится банаховым пространством.
4 Цлаф Л. Я-
98
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[1.15.2
3. Рассмотрим множество /а числовых последовательностей № {М»
от
/=1,2, ... таких, что У < от. Определим в нем сложение элементов
i = 1
* = и 5- = {т].}, как
х + >’ = * = Н 2- • • •
Определим далее умножение элементов множества на число по формуле
X.v = р:.}. i = 1, 2, . . .
Имеем
v+.vCZo,
Все аксиомы, которыми определяется линейное нормированное пространство,
выполняются, если в качестве нормы элемента || х || принять
См. Люстерник и Соболев [1].
1.15.2. Фактор-пространство. Пусть L есть подпространство
линейного пространства Е,- Элементы хну называются эквива-
лентными относительно L, если х — y£L. Все пространство Е
разбивается на классы X, У, ... взаимно эквивалентных элемен-
тов. По определению X-f- У есть класс, содержащий x-f-yr,
х£Х, у£ У; УХ есть класс, содержащий Хх, хУХ. Классы X, У,...
образуют линейное пространство, называемое фактор-простран-
ством и обозначаемое EjL. Роль нуля в нем играет подпро-
странство L.
1.15.3. Линейные функционалы. Числовая функция /(х),
определенная на некотором линейном пространстве Е, назы-
вается функционалом. Функционал f (х) называется линейным,
если
/(х+ >)=/(•*)+/(>) Для любых х, у£Е',
/(Хх) = Х/(х) для любого х£Е и любого числа X.
Перечислим некоторые свойства линейных функционалов,
которые понадобятся нам в дальнейшем.
1. Если 0 при || х |] —. О, то /(х) = 0.
2. Множество нулей линейного функционала f (х) образует
подпространство Ео. Фактор-пространство Е{Е0 одномерно.
3. Линейный функционал g(x), обращающийся в нуль на
множестве нулей линейного функционала f (х), линейно зависит
от f(x), т. е. существует такое число X, что g (х) = X/(х).
4. Линейные функционалы ft (х), /а (х), ..., fn (х) называются
линейно независимыми, если из тождества
cj (х) + са/а (х) + ... + сnfn (х) = 0
следует с, = с2 = ... = сп — 0. Уравнениями
fi (х) = 0, /а (х) = 0... /„ (х) = 0,
1.15.5]
§ 15. ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛОВ
99
где функционалы Л(*), •••> fnXx) линейно независимы,
выделяется подпространство Еп. Фактор-пространство 1ЩЕп
п-мерно.
5. Линейный функционал g(x), обращающийся в нуль на Еп
(см. 4), имеет вид
g(х) = XJj (х) + Х2/2 (х) + ... + X„fn (х).
Пояснения к свойствам 4 и 5. Можно однозначно определить
g (х) иа классах элементов Е, эквивалентных относительно Еп, и тем самым
определить g (л) на В самом деле, если xlt то функционалы
/(д-) = для Xi и х$ [k = 1, 2..п). Тогда g (xi — ла) = 0 по условию
ибо А'1 —Хо^Еп- Таким образом, функционал g (х) однозначно определен на
конечно-мерном пространстве (п-мерном) ^1^п. что и дает утверждение 5.
См. Люстерник и Соболев [1], Шилов [1].
1.15.4. Билинейные и квадратичные функционалы. Функ-
ционал f (у, z) называется билинейным, если он является линей-
ным функционалом по каждому из своих аргументов.
Если билинейный функционал f (у, z) непрерывен при у =
= z = 0, т. е. по заданному е, е > 0 можно найти такое .8 > О,
что | f (у, г) | < е при |j у || < 6, || г || < 8, то для любых у и г
|/(у, z) I =g СII у Illi z II
с фиксированной постоянной С.
Если в билинейном функционале положить y = z, то функ-
ционал /(у, у) называется квадратичным.
Если /(у, У) — непрерывный квадратичный функционал, то
из того, что для последовательности {у*}, ||Уй1|—*0
следует /(у, у) = 0.
Непрерывный квадратичный функционал /(у, у) удовлетво-
ряет неравенству |/ (у, у) | sg С ||у ||2.
Квадратичный функционал/(у, у) называется положитель-
ным, если /(у, у)>0 для всех у, Ут^О.
Квадратичный функционал / (у, у) называется сильно поло-
жительным, если существует такая постоянная С > 0, что
/О’. У) СII Д’Г для всех у.
См. Гельфанд и Фомин [1], Шилов [1].
1.15.5. Дифференцируемые функционалы. Если J (у)—
— функционал, определенный на Е, и его приращение в точке у Gid
hj = J (у 4- Л) — J (у), hxE
может быть представлено в виде
А/ (у) = lth + а || h ||, а — 0 при || h || —» 0,
где lrh—линейный функционал, то последний называется силь-
ным дифференциалом или дифференциалом Фреше функцио-
нала J (у) в точке у.
4*
100
ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
II.15.5
Обозначение: dj (у, h).
Если существует предел в смысле сходимости по норме Е
и,,. 4)=^(,+<»)(,.с=
то он называется слабым дифференциалом или дифференциалом
Гато функционала J (у) в точке у.
Если существует сильный дифференциал функционала, то
существует и слабый дифференциал, причем DJ (у, h) = dj (у, h).
Обратное имеет место не всегда.
Сильный дифференциал обладает свойством линейности. Сла-
бый дифференциал однороден, но аддитивность его не предпо-
лагается.
Если в шаре || у — у„ || < г существует слабый дифферен-
циал DJ (у, h), равномерно непрерывный по у и непрерывный
по h, то в нем существует и сильный дифференциал dj(у, h),
причем dj (у, h) = DJ (>, h).
Примеры. 1. Вариация функционала (1.1.1), данная формулой (1.1.2) по-
лучена как слабый дифференциал указанного функционала.
Так как
b
J (у + Л) — J (у) = j [Л (.¥, у h, у' hr) — F (х, у, у')] dx,
а
то, применяя формулу Тейлора к подынтегральному выражению, получим
Ъ
j (Fy h + Fyh') dx у о (И Л И),
а
где !! h ’Л — норма функции h как элемента пространства (а, Ь).
Таким образом, мы получаем сильный дифференциал функционала
b
dJ (у, Л) = j (Fyh 4- Fyth') dx.
a
Он выражается той же формулой, что и слабый дифференциал.
2. В п. 1.10.1 получена вариация функционала (1.10.1) как слабый диффе-
ренциал этого функционала. Приращение указанного функционала может быть
чапнсано в форме
J (и + Л) — J (и) = j(j IF (х, V, и + Л, их + hx. uvyh\-
Ь
-F(x, у. и, их, ,^)1 dx dy = (Fuh + + ЯдД,) dx dy + о (||Л||),
где [|Л||— норма функции h (х, у), вычисляемая по формуле
ЦЛ|\ =тах h J, | hx I, | h
b y
Таким образом, сильный дифференциал рассматриваемого функционала есть
dJ h> = + FUxhx + dx dy.
Он выражается той же формулой, что и слабый дифференциал.
См, Люстерник н Соболев [1]»
1.15.7| § 15. ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛОВ Ю1 '
1.15.6. Biojwfl дифференциал функционала. Если при-
ращение функционала J (у) может быть представлено в виде
А/ДО = lth + lth + Р|| h II3, Р - О при || й || -о,
где lth—линейный, a l3h— квадратичный функционалы, то lth
есть ранее определенный сильный дифференциал, a Lh назы-
вают вторым дифференциалом (сильным) функционала J (у).
Указанным разложением приращения функционала его вто-
рой дифференциал определяется однозначно.
Обозначение второго дифференциала: d'2J (у, h).
1
Если d^J (^, h) существует, то существует и
причем
d* I
^J(y + th) j^o = d-7 0’, h).
Пример. Вторые вариации функционалов, рассмотренных в этой главе,
суть вторые дифференциалы этих функционалов.
См. Лаврентьев и Люстерник [I], Гельфанд и Фомин [I], Шилов П1.
1.15.7. Необходимые условия экстремума. Пусть J (у) —
некоторый дифференцируемый функционал, определенный на Е.
Точка у„ называется точкой относительного минимума
(максимума) функционала, если для всех у, достаточно близких
к у0, выполняется неравенство
М = J (у) — J (у0) 5=, 0 (М = J(y) — J ДО) sg 0).
Если указанное неравенство выполняется для всех у£Е, то
точка у0 называется точкой абсолютного минимума (макси-
мума) функционала.
Значение J (у„) называется минимальным (максимальным)
значением функционала.
Если точка у0 является точкой экстремума дифференцируе-
мого функционала J (у), то его дифференциал равен нулю:
dJ (Уо, h) — 0.
Последнее следует из того, что если dj (у0, h)z£Q при некото-
ром /г = й0, то при достаточно малых t приращение функцио-
нала
U = dj (у0, th) + O( IJ th \\) — tdJ (у0, h0) + о(| £ | II h0JJ),
имеет тот же знак, что и t dj ДО, h0).
См. Лаврентьев и Люстерник [1], Гельфанд и Фомин |1].
Если точка у0 является точкой минимума (максимума) дважды
дифференцируемого функционала J (у), то '
rEJ ДО, h) 5s 0 (d*J (уа, h) sgO).
В самом деле, если при некотором ha
<EJ(y9, he)=C<0,
102
ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
[I.I53
то приращение функционала
— J (у0 + th0) — J (yo)=dj (у0, th0) 4- d‘J (у0, th0) + о (|| tha ||2) =
= dV (уа, h0) + о (t2) = tsC + o (t2)
при достаточно малых t может быть сделано отрицательным.
См. Лаврентьев н Люстерник [I], Гельфанд и Фомин [1], Шилов [1|.
1Л5.8. Достаточные условия экстремума. Если точка у0
является стационарной точкой дважды дифференцируемого функ-
ционала J (у), т. е. dj (у0, /г) == 0, а второй дифференциал
в этой точке d*J (уа, h) является сильно положительным квад-
ратичным функционалом по h, то _у0 доставляет минимум функ-
ционалу J (у)-
Аналогично формулируется достаточное условие максимума.
Одной только положительности второго дифференциала
d2J (у, ft) в стационарной точке у0 недостаточно для обеспечения
минимума функционала / (у).
Примеры. I. Для функционала
1
J О) = J (* - Д’) dx,
0
рассматриваемого в классе С (О, I), точка >==0 является стационарной. Второй
дифференциал этого функционала в точке у = 0 равен
I
d'2J (О, Л) = J х№ dx. hz£O.
0
Однако в любой окрестности нуля функционал J(y) принимает и отрицательные
значения.
2. В пространстве Zg задан функционал
со со
2 2^- ....
п — 1 п= I
Точка л=0 является стационарной, а второй дифференциал равен
со
^(о,Л„)= 2S
п = I
н положителен для всех Л^О.
^11
Однако для х = (0, 0.0, I/л, 0, ...) имеем F (х) = —— — < 0.
/г5 /г4
Таким образом, Fix)<ZF(ty и минимум отсутствует.
Если же второй дифференциал d^J{y, Л) является для любой точки у
положительным квадратичным функционалом по Л, то точка ji0, такая, что
dJ{y$, Л)»=0, является точкой минимума функционала.
См. Гельфанд и Фомин [I]» Колмогоров и Фомин [Ц, Шилов [I], Михлии [6].
1.15.9. Изопериметрическая задача. Правило множителей.
Даны дифференцируемые функционалы Ja (у), J, (у).........Jk (у)
и постоянные Zp Ц,..., L^. Среди элементов ооласти определении
1.15.10]
§ 15. ТЕОРИЯ ЭКСТРЕМУМА ФУНКЦИОНАЛОВ
103
функционала Jo (у), удовлетворяющих уравнениям
Ji (y) = Li, (=1,2, ..., k,
требуется найти элемент, доставляющий Jo (у) наименьшее зна-
чение.
Предположения. Области определения функционалов
Jo (у), ..., Jk (у) имеют непустое пересечение.
Первые дифференциалы функционалов (у), Ja (у), .... У* (у)
линейно независимы, следовательно, существуют такие элементы
hlt /г2, ..., hk, для которых
Д =
dJAy^hi) dj3(yf),hl) ... djk(y„, ht)
dJ!(y0,h2) djs(yo,h,) ... djk(yo, ht) _^0
ddi(y0,^k) djs(yo,/i/t) ... djk(y„, hk)
Если элемент y0 доставляет минимум функционалу Jo (у) при
указанных выше уравнениях связей, то его дифференциал обра-
щается в нуль на пересечении множеств нулей дифференциалов
функционалов dJi(y0, h), (=1, 2...k.
В этом случае (см. 1.15.3) дифференциал djo (у0, Л) является
линейной комбинацией дифференциалов dJi(ya, h), i = I, 2, ..., k.
Таким образом, в точке экстремума
k
ddo (Уо, h) = Xi djj (у0, h) (Xi — числа)
ИЛИ
I k \
d[Jo - 2 (b> fl} = Q.
Мы получили правило множителей Лагранжа для изопери-
метрической задачи; ср. 1.11.1-2.
См. Шилов [1], Михлин [6|.
1.15.10. Общая задача на условный экстремум. Пусть
J (у) — функционал, определенный на банаховом пространстве Е,
<р (у) — функция, определенная на этом же пространстве с обла-
стью значений в банаховом пространстве
Если для всех у,\ (у) = 0, из некоторой окрестности точки у0,
<р (у0) = 0 выполняется неравенство
J(y)^J(y<>) (J(y)^J(yo)'),
то точка у0 называется точкой условного минимума (макси-
мума) функционала J (у) при условии <р (у) — 0.
Если точка у0 условного экстремума функционала J(у) при
условии <р (у) = 0 есть правильная точка многообразия <р (у) — 0,
104 ГЛ. I. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ [1.15.10
то существует такой линейный функционал I, определенный на
пространстве Elt что для функционала J (у)— !<р(У) имеем
d (J - ty) (Уо, Л) = 0
при любых h из Е.
Дадим определение правильной точки многообразия. Если
имеет место равенство
<? (Уо + h) - ? (Уо) = Л + « (Уо, h),
где th—линейная функция от h, зависящая, вообще говоря, от
_у(| и || <о (_у0, h) || = о(|| h ||), то th называется сильным дифферен-
циалом или дифференциалом Фреше функции <р (у) в точке _у0,
соответствующим приращению h аргумента, и обозначается
dtp (_у0, h). Линейный оператор (линейную функцию) /, вообще
зависящий от _у„, называют сильной производной или производной
Фреше функции <р (у) в точке _у0. Если 1 = у'(у0) отображает
пространство Е на все пространство Et, то точку _у0 называют
правильной точкой многообразия <р (у) — 0.
Правила множителей, приведенные в 1.11, являются част-
ными случаями приведенной выше теоремы.
См. Люстерник н Соболев [1J.
Глава И
ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
§ 0. Введение
2.0.1. Определение. Примеры. Интегральными уравнениями
называют уравнения, в которые неизвестные функции входят
под знаком интеграла.
Пример 2.0.1. Рассмотрим малые колебания струны длины I. Пусть
ОС — положение равновесия (рис. 2.0.1), Т — натяжение струны. Под действием
единичной силы, помещенной в точ-
ке х, смещение k (х, у) в точке у за-
дается формулой
х {I — у), х<у\
]
у (I - X), х>у.
(2.0.1)
Действительно, проектирование
сил на ось Ои в силу условий равно-
весия дает
Г sin а + Г sin 0 = 1. (2.0.2)
Вследствие малости колебаний sin а д» tg а
смещение струны в точке х.
Из (2.0.2) следует, что
Tk(x) [J-_|_ 1
А(Х) А, (у) С(О_
к(£)\
Я.
Рис. 2.0.1.
х (Z — х)
1.0.;
О
В
и
Рассмотрим случай х<у. Из подобия треугольников АВС н А^В^С сле-
дует, что
k (х) I — х J' Tl
Аналогично выводится вторая часть формулы (2.0.1).
Если на струну действует непрерывйо распределенная сила с плотностью
/ (у), то на интервал длины Ду действует сила У (у) Ду, которую при малом Ду
можно считать сосредоточенной в точке у, и тогда б точке х возникает смеще-
ние k (х, У) / (у) Ду. Под действием всей нагрузки отклонение и (х) будет при-
ближенно равно £k(x, у)/(у) Ду, что при Ду-> 0 переходит в •
I
U (х) = J k (X, y)/(y)rfy. (2.0.41
0
106
ГЛ. И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.0.1
Функция k (х, у) носнт название функции влияния. При выводе (2.0.4) была
использована симметричность этой функции: k(y. x) = k(x, у). Если на струну
внешние силы не воздействуют, то при нарушении ее равновесия возникают сво-
бодные колебания струны.
Пусть и(х, t) — отклонение от положения равновесия в момент времени /;
. д*и (х, /)
ускорение в точке х в момент времени / равно.—
Обозначая через р линейную плотность струны, получим массу элемента
струны dy в виде р dy. Из уравнения равновесия (2.0.4) получается уравнение
,, . д-и (у. t)
движения, если j(y)dy заменить на — р dy—~т. е.
а(х, Г) = - k U, v) Z>- P dy.
Il
(2.0.5)
Если колебание гармоническое: и (x. t) = и (.v) sin <nt, то, подставляя это
выражение в (2.0.5), получаем уравнение для определения и (х):
и(х) рщ2 J* k (.V, у) u(y)dy. ' (2.0.6)
0
Если на струну воздействует внешнее периодическое возбуждение
Q (х, t) = q (х) sin <0/.
то, предполагая, что и ртруна будет колебаться с тем же периодом, можно из
уравнения (2.0.4) получить, применяя принцип Даламбера,
I
и (х) sin со/ = | k (jt, у) [9 (у) sin со/ -f- р<о2 sin <о/] dy
0
или
I I
и (х) р<»2 J k {х, у) и (у) dy + J k (х, ^) q (у) dy, (2.0.7)
0 0
что можно записать в виде
I
и [х, *= ро>2 J k (х, _>) и (;) dy + h (х). (2.0.8)
0
Таким образом, н в случае свободных колебаний и в случае вынужденных
колебаний функция и (х) определяется из интегральных уравнений, соответ-
ственно (2.0.6) н (2.0.8).
Пример 2.0.2 (задача Абеля). Материальная точка под действием силы
тяжести движется в вертикальной плоскости (L т)) по некоторой кривой (рис. 2.0.2).
Требуется определить эту кривую так,
чтобы материальная точка, начав свое дви-
жение без начальной скорости в точке
кривой с ординатой у, достигла оси j за
время t — f(y), где функция / (у) задана
заранее.
Абсолютная величина скорости дви-
жущейся точки v=V2g(y —
а — угол наклона касательной к
т]). Если
оси то
= — I" 2^ (у — ч) sin о.,
л=- .... -J.4
(у — "П) sin а
(2.0.9)
. (2.0.10)
Интегрируя (2.0.10) в пределах от 0 ди у,
получим интегральное уравнение
2.0.2]
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
107
Абеля
( ^3= = (2.0.11)
J У у _ тп
о
где f (rf) = —— .
Sinn
2.0.2. Классификация интегральных уравнений. В данном
пункте даются сведения, главным образом о линейных интеграль-
ных уравнениях вида
ь
ср (х) — X /<(х, s) <р (s) ds =/(х), a<xgb. (2.0.12)
а
Здесь <р (х)— искомая функция, f (х) — данная функция, назы-
ваемая свободным членом интегрального уравнения; К{х, s),
пух. s xxb— данная действительная функция, называемая ядром
уравнения (2.0.12); X — параметр.
При /(х)^0 уравнение (2.0.12) называется неоднородным;
если же f (х) = 0, то уравнение (2.0.12) называется однородным.
Так, например, уравнение (2.0.6) — однородное линейное инте-
гральное уравнение, уравнение (2.0.8) — неоднородное линейное
интегральное уравнение.
Пример 2.0.1 показывает полезность введения параметра
в уравнения. Это дает возможность одновременного исследования
частот всех возможных колебаний струны.
Важным классом линейных интегральных уравнений является
класс интегральных уравнений Фредгольма второго рода. Это —
уравнения вида (2.0.12), в которых на ядро и свободный член
наложены специальные условия.
Так, в книге В. И. Смирнова ядро считается непрерывной
комплексной функцией переменных х, s, одределенной в квад-
рате а-ух, sy-bt где а и b—-конечные числа, свободный член
считается комплексной функцией, непрерывной в отрезке [а,,/»],
В книге Михлина [8] ядро — непрерывная комплексная функ-
ция переменных x, s, определенная в квадрате ахУх, s Ь, а и
b — конечные; если же ядро разрывное, то предполагается, что
ь ь
J J | К{х, s) I2 dx ds < со,
а а
свободный член — функция, интегрируемая со своим квадратом
на отрезке [а, 6].
В книге Михлина [9] ядро — комплексная функция перемен-
ных (х, s), суммируемая со своим квадратом при а^х, s^sxb',
а и b могут быть как конечными, так и бесконечными, свобод-
ный член — комплексная функция, квадратично суммируемая на
[а, 6].
В книге Трикоми ядро и свободный член — действительные
квадратично суммируемые функции, соответственно на квадрате
ахух, s^tb и иа отрезке [а, Ь]; а и b — конечные.
108
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.0.3
В настоящей книге ядро и свободный член — действитель-
ные функции, остальные ограничения приводятся по мере надоб-
ности.
Если ядро интегрального уравнения симметрично, т. е.
К(х, s) = K(s, х),
то интегральное уравнение называется симметричным.
В тех случаях, когда рассматриваются комплексные ядра,
симметричность определяется соотношением
К (х, s) = К is, х).
Основные результаты в теории симметричных интегральных
уравнений принадлежат Гильберту и Шмидту.
Уравнение Фредгольма первого рода имеет вид
ь
\К{х, s)o (s) ds —f(x). (2.0.13)
a
Ограничения, накладываемые на ядро и свободный член в урав-
нении (2.0.13), те же, что и в уравнении Фредгольма второго
рода.
При известной функции и (х) и искомой / (у») уравнение (2.0.4)
есть уравнение Фредгольма первого рода.
Частным случаем уравнения Фредгольма, имеющим само-
стоятельное значение, является интегральное уравнение Воль-
те рр а
х
о{х) — \^К(х, s) (s) ds =f (х). (2.0.14)
а
Как и выше, различают уравнения Вольтерра .второго и первого
родов.
2.0.3. Сведения об интеграле Лебега. Для дальнейших рас-
смотрений существенным является понятие определенного инте-
грирования по Лебегу.
В курсе математического анализа определенный интеграл
(по Риману) строился следующим образом.
Пусть дана функция /(%), определенная и ограниченная на
отрезке [а, Ь].
Обозначим через х,- (i = 0, 1...п) произвольные точки
отрезка [а, Ь], причем а = х0 < х, < х.> < ... < хп л < хп = Ь.
Обозначим далее через (1 = 1, ... , п) произвольные точки
отрезков [%/_!, Х(], причем а0 = х0 - xL sgx2 - ... sg
Определенный интеграл функции f(x)
ь
5 f (x) dx
2.0.21
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
109
определяется как предел (если таковой существует) интегральных
сумм
п
(ёг) &Xi = Xi — Xi^i
i= 1
при max Д.г; — 0, не зависящий от выбора точек х{ и ?г.
Пусть ttii и М; соответственно точная нижняя и точная верх-
няя грани функции f(x) на отрезке [л7_х, .V;] (для непрерывных
функций это соответственно наименьшее и наибольшее значе-
ния f (л) на отрезке л;]).
Нижней и верхней суммами Дарбу функции f (х) на от-
резке [а, Ь] называются соответственно интегральные суммы
п п
2 т^х{ и 2 М‘Ах‘-
1=1 1 = 1
Для того чтобы существовал определенный интеграл функ-
ции fix) на отрезке [а, Ь], необходимо и достаточно, чтобы при
max Дл,-— 0 суммы Дарбу имели общий предел.
Если ввести понятие колебания "ч функции f(x) на отрезке
лг] посредством формулы ш(- = Л1(- — mit то выполнение соот-
ношения
п
Игл УсогДлг=0
max Лх. — 0 ।
является необходимым и достаточным условием существования
определенного интеграла функции fix) на отрезке [а, й].
Указанным выше условиям удовлетворяют:
а) функции, непрерывные на отрезке [а, Ь];
б) функции, ограниченные на отрезке [а, Ь] и имеющие
конечное число тачек разрыва на этом отрезке;
в) функции, ограниченные и монотонные на. отрезке [а, Ь]
(в этом случае функции могут иметь бесконечное количество
точек разрыва).
Критерий интегрируемости функции по Риману можно сфор-
мулировать иначе, если воспользоваться понятием множества
меры нуль. Так называют множества, которые можно заключить
в конечное или бесконечное количество интервалов, сумма длин
которых может быть задана сколь угодно малой.
Множества точек разрыва функций, указанных выше, имеют
меру нуль.
Необходимым и достаточным условием интегрируемости функ-
ции по Риману является то, что множество точек разрыва имеет
меру нуль.
Приведем теперь пример ограниченной функции, неинтегри-
руемой по Риману. Это
( 1, если х — иррациональное число,
(х\ ~\
I 2, если х — рациональное число.
по
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(2.0.3
На любом частичном отрезке \xt
п п
= V ш;Алу = 1 и Пш У aiSxj = 1^0.
i = 1 max 0 i — ।
Таким образом, неинтегрируемость данной функции показана.
Покажем теперь, что эта функция может быть представлена
в виде предела неубывающей последовательности интегрируемых
функций.
Используя несократимые дроби, которые будем брать в по-
рядке возрастания знаменателя, занумеруем все рациональные
числа отрезка [0, 1]:
„ 112 13 1
П = 0, г2 = у, г3 = у, = г5 = -^, гв=-7, г7=у, ...
И положим
Функции fi (х) интегрируемы и образуют неубывающую
последовательность, причем
1
\fi(x)dx=\ и f (х) = lim ft (х).
6
Кроме того, существует предел
1
lim fi (х) dx = 1.
i — “ 0
Имея в виду этот пример, обобщим понятие риманова инте-
грала следующим образом:
Рассмотрим класс ограниченных на отрезке [а, Ь] функций,
являющихся пределами неубывающих последовательностей инте-
грируемых по Риману функций, а также пределами разностей
таких последовательностей. Этот класс функций, содержащий
в себе, в частности, все интегрируемые по Риману функции,
называют классом измеримых функций и обозначают L1 [а, 6].
В качестве интеграла в смысле Лебега ограниченной изме-
римой функции принимают предел интегралов последователь-
ности интегрируемых (по Риману) функций, определяющих рас-
сматриваемую функцию.
Указанным способом интеграл Лебега определяется одно-
значно, а для функций, интегрируемых По Риману, совпадает
с обычным определенным интегралом.
Таким образом, функции, принадлежащие классу L1 [а, Ь],
интегрируемы по Лебегу; их называют также суммируемыми.
Для интеграла Лебега используется обычное обозначение.
2.0.2]
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
11!
1
Для указанной выше функции у (х) имеем j у, (х) dx = 1.
Перечислим некоторые свойства интеграла Лебега:
b b ь ъ ь
\(f+g)dx = ^fdx-^gdx, ^cfdx — c^fdx,
а а а а а
b
\f dxy.-0, если /3^0,
а
& г*
j / dx \ g dx, ~ если f5^g,
а а
b '
j/„dx —0, если/я—-0.
а
Если fn(x)<^l}[a, b], {/п (х)} — неубывающая последова-
тельность, f(x) = lim fn {x), то /(х)£ А1 [а, Ь] и
Я —» со
b Ъ
f (х) dx — lim (fn (х)dx.
а а
Если функции f (х) и g(x) измеримы на отрезке [а, Ь] и
отличаются друг от друга лишь на множестве меры нуль (такие
функции называют равными почти всюду), то их интегралы
совпадают.
Понятия, указанные выше, распространяют и на интегриро-
вание по бесконечному интервалу, используя для этого последо-
вательности интегрируемых функций, равных нулю вне некото-
рого конечного интервала, своего для каждой функции.
Для приложений весьма важны функции, суммируемые вме-
сте со своим квадратом. Множество "уаких функций обозначают
Z.2 [а, Ь]. Произведение, сумма и разность двух функций, принад-
лежащих к Z.2 [д, а], также принадлежат Z.2 [а, Ь].
Если для последовательности {/„ (х)}, /„(x)g Z.2 [а, Ь] суще-
ствует такая функция /(x)g Z.2 [а, д], что
ь
lim \ [/„ (х) — / (х)]2 dx = 0,
а
то говорят, что данная последовательность сходится в среднем
к функции f (х), и записывают в форме
1. 1. т./„(х)=/(х)
п —> со
(1. 1. т—limes in medio — предел в среднем).
Если последовательность {/я(х)} сходится к /(х) равномерно,
то она сходится к /(х) и в среднем.
112
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.0.4
Имеет место важная
Теорема Фишера — Рисе а. Необходимом и доста-
точным условием сходимости в среднем йосйеДбвательйести
{fn (х)}, fn (х) С L* [°, Ь] к некоторой функции f(x)£U[a, b]
является выполнение равенства
ь
lira ? [/„ (х) — fm (.v)]2 dx = 0.
/I со •
т ОО “
Ниже при рассмотрениях квадратично-суммируемых функ-
ций используется обозначение
*
$/(x)g(x)rfx = (/, §),
а
в котором интеграл слева называется скалярным произведением
функций f (х) и g(x).
Далее, нормой функции f(x) называется выражение
у \f(x)dx,
которое кратко записывается в виде
Аналогично вводятся понятия, связанные с кратными инте-
гралами Лебега. Здесь важным оказывается тот факт, что из
существования двойного интеграла
ь d
\\f(x,y)dxdy
а с
следует существование функции
d
J/(x, у) dy,
С
принадлежащей L1 [а, Ь].
2.0.4. Последовательности и ряды ортогональных функ-
ций. Последовательность {<fm (х)} (т = 0, 1, 2,...), <fm(x)£
g If [а, b] называется ортогональной на (а, &), если \рг)=0
для Если, кроме того, Ц <pft Ц = 1 для любого k, то после-
довательность называется ортонормированной или ортонор-
мальной.
Если /(х)£ If [а, Ь] и последовательность срт (х) ортонорми-
рованная, то числа ak—(f, <р^) называются коэффициентами
Фурье функции /(х) относительно данной ортонормированной
системы.
Каждой функции/(x)g If [а, b] соответствует ее ряд Фурье'.
/ (х) ~ а„о„ (.v) -j- al^i (х) ak<?k (х) -j- , ак = (f ,^к).
2.0.4]
§ 0. ВВЕДЕНИЕ
113
Из всех линейных комбинаций первых п-j-l функций (х)}
°п W = со?о (х) + С1?1 (*)+•••+ (х)
при произвольном наборе коэффициентов с0, clt ... , сп наилучшее
приближение в среднем квадратичном функции f(x) дает отрезок
ряда Фурье этой функции.
Это значит, что Дя = ||/ ая |[2 имеет наименьшее значение,
если в качестве ая взять отрезок ряда Фурье.
Так как Дга sJ 0, то имеет место неравенство Бесселя
для всех п, а значит,
fe = 0
При п—>со величина Дя уменьшается и если при этом Дя —* 0,
то суммы
п
tn (х) = 2 °k’?k (X)
Л = 0
сходятся в среднем к f(x).
Таким образом, сходимость в среднем суммы fn(x) к функ-
ции f(x) равносильна наличию равенства, называемого равен-
ством Парсеваля:
S аъ = н/н2.
s = o
Равенство Парсеваля называют также уравнением замкнутости.
Ортогональная система функций называется полной,. если не
существует функции, отличной от нулевой, ортогональной ко
всем функциям системы.
Если ортонормированная система {<рга (х)} полна, то сумма
ряда Фурье любой квадратично-суммируемой функции /(х)
равна /(х).
Сходимость ряда
S a^k (X)
k = 1
следует из теоремы Фишера Рисса. В самом деле, если
8» (х) = 2 акП (х) и s„+p (х) = У а№ (х),
ТО
II Зп+р W - sn (X) Н3 =
п 1
114
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.1.1
В^дедотдре неравенства Бесседя црсдедцяя су(мма может быть
сделана Меньше сколь угодно’ малого числа, если только выбрать
п достаточно большим.
Пусть
00
2 akvk (х) = g (х), ak = (f, ak).
*=i
Тогда, если » (,r) =/(x) — g (x), to (», ?„) = (f, <p„) — (g, ®„) =
= an — an = 0 ив силу предположенной полноты системы
{?я(х)}, <o(x) = G.
Следовательно,
CO
2 ah<th(x)=f(x).
k={
Отсюда же следует, что
со со
!17!12 = (/-/)= Ц «И/>п) = S
*=1 *=i
т. е. для любой квадратично-суммируемой функции имеет место
уравнение замкнутости, если ортонормированная система полна.
§ 1. Интегральные уравнения Вольтерра
2.1.1. Теоремы существования и единственности. А. При
условиях, что ядро К(х, s) уравнения Вольтерра второго рода
® (х) — X К(х, s) <р (s) ds =/(х) (2.1.1)
а
ограничено по абсолютной величине в треугольной области
а^х, s^h, x^s и имеет лишь конечное количество точек
разрыва с одной и той же абсциссой х или с одной и той же
ординатой s, Ktx, s) = 0 при s > х, а свободный член f (х) —
непрерывная функция, существует непрерывное и притом един-
ственное решение уравнения (2.1.1).
Б. При условиях, что ядро К (х, s), ass,x, ss^h, К(х, s) = 0
при s > х, квадратично суммируемо и /(х) £ L2 [а, Л], существует,
и притом единственное, квадратично-суммируемое решение
уравнения (2.1.1).
Единственность в данном случае понимается с точностью
до функции, определенной на множестве меры нуль.
2.1.2. Метод последовательных приближений. Пусть
<Ро (Х)=/(Х),
X
<Р1 (х) = / (х) + X j АГ (х, s) ?0 (s) ds,
а
<?П (x)=f(x) + X j АГ(х,- s)<p„_! (s)rfs (n = 1, 2,...).
2.1.2]
§ 1. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЛЬТЕРРА
115
Последовательность (.<)} при любом X равномерно сходится
к решению уравнения (2.1.1). Функции -?,t (.<) являются последо-
вательными приближениями решения уравнения (2.1.1). Их целе-
сообразно выразить посредством итерированных (повторных)
ядер Кп (х, в), где Ki(x, s) = K (х, s) и
J<n+1 (х, s) — \К(X, Z) кп (z, s) dz
S
(п= 1, 2, 3,...),
следующим образом:
<ря (х) =/ w + 5
а
(х, s) f(s)ds.
Тогда
ср (а-) = f(x) — /. \ Н (х, s, "k)f(s) ds,
а
где
И (X, S, X) = - 2 *Wv+1 (X, S)
v = 0
— так называемое резольвентное или разрешающее ядро. Ряд,
определяющий резольвенту, сходится при всех значениях X.
Доказательства см. Привалов [I], Михлин [2], Трикоми [2].
Пример 2.1.1. Найти решения уравнения
<р (х) — X J е Х S ^(s'\ds~f (х).
О
Здесь
X —S
Ki (х, $) = е е
.. . х f x—z z—s . x—s,
(х, s) — J е е dz = e (x — s),
s
, ч ? х—z z—s x-s(x—s\-
Кз (*,£) = ]<? е (z - s)dz = e ,
о,
Н(х,5,Х) = - У ГПК (х, S) = - У |Л' 7 -S).
Я+1 п = 0 П!
Следовательно,
Cf> (X) ==/ U) + х J е(1+Х) l*~s) / (S) ds.
116
ГЛ. П. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.1.3
2.1.3. Связь уравнения Вольтерра с дифференциальными
уравнениями. Дифференциальное уравнение
dnu , . .d^u , , . . n
«i(x)^ri+•• + «» (х) а = Г(х), х>0,
с начальными условиями при х = 0
« (0) = е0, «' (0) = с1. (0) = cn_t
эквивалентно интегральному уравнению Вольтерра
<? (х) + (j К (х, s) <р (s) ds = /(х),
о
где
к (х, з) = 2 ак (х) ..>
f (х) = F(х) — cn_ia1 (х) — (еп^х + с„_2) а2(х)-...
[^сп-1 _ 1)[ + • • + С1Х + ап (х) .
См. Трикоми |1]. Гурса [1], а также Камке [1].
2.1.4. Уравнения Вольтерра первого рода. Интегральное
уравнение Вольтерра первого рода
jj К(х, s) <р (s) ds =f(x)
а
в предположении, что К (х, х) ф 0, К'х (х, s) и f (х) существуют
и непрерывны, дифференцированием приводится к уравнению
Вольтерра второго рода
* К'х (х, s) f (х)
В том случае, когда К{х, x)s0, дифференцирование (2.1.2)
приводит к уравнению
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
§ К'х (х, s) о (s) ds == f (х),
а
и, в предположении, что К’х (х, х) 0, К'хХ (х, s) и f (х) сущест-
вуют и непрерывны, дифференцирование (2.1.4) дает
* К"хх (х, s) f (х)
<р (х) 4- ( — --- <р (s) ds = -—г-—Ц
2^(Х,Х) Y КХ(Х,Х)
и т. д.
См. Гурса [1], Трикоми 12].
2.2.1] § 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
117
§ 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода
2.2.1. Теоремы существования н единственности решения.
А. При условиях, что ядро к (х, s), —со ^х, s^b^-\-со
интегрального уравнения Фредгольма второго рода
ь
<?(x) — h^K(x,s)<?(s)ds=f(x) (2.2.1)
a
есть кусочно-непрерывная функция переменных х и s такая, что
ь
J /С2 (х, s) ds < С, (2.2.2)
а
а функция fix) — кусочно-непрерывная и имеет интегрируемый
квадрат, существует, и притом единственное, кусочно-непрерыв-
ное решение уравнения (2.2.1) для всех X, для которых
. ъ ъ
IXIsg-g, ' А2 = Kf (х, s) dx ds.
а а
Число
Ль ь
В = 1/ j j К2 (х, s) dx ds
' а а
называют нормой ядра.
Ограничение (2.2.2) необходимо лишь в случае бесконечных
а, Ь.
Б. При условиях, чт,о ядро К (х, s), ас-'.х, s.-.b уравнения
(2.2.1) квадратично-суммируемо и | X | < B~i, где
ь ь
В2 = ^К2 (х, s) dxds, f (х) £ L2 [а, b],
а а
существует, и притом единственное, квадратично-суммируемое
решение уравнения (2.2.1).
См. Михлин [3], Трцкоми ]2].
Теоремы 2.2.1. А и 2.2.1. Б дают достаточные условия суще-
ствования решения и получены методом последовательных при-
ближений. См. п. 2.2.2.
Дальнейшие сведения о разрешимости интегральных уравне-
ний второго рода см. п. п. 2,2.5 и 2.3.10.
Более полное исследование множества значений X, при
которых разрешимо уравнение Фредгольма, проводится методами
теории функций комплексного переменного.
См. Гурса [1], Михлин [2], Привалов [1].
118
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.2.2
2.2.2. Метод последовательных приближений. Полагают
?о (х)=/(х),
?1 (x)=f(x)+^K(x, s)o0(s) ds,
а
b
?п+1 с*') =/(x) + А, к(X, s) (s) ds (n — o, ], 2,...).
„ a
Последовательность {<pre (x)} равномерно сходится к решению
уравнения (2.1.1) при |X|sgB~l.
Последовательные приближения и0 (х), ^(х),..., <р„(х),...
целесообразно выразить посредством итерированных ядер Кп (х, s),
где Ki (х, s) = К (х, s) и
ь
Кп+1 (х, s) = j /<„ (х, z) К (z, s) ds.
а
Тогда при малых значениях параметра X
ь
ф (х) ~f (х) — X Н (х, s, A) f (s) dsy
а
где резольвентное (разрешающее) ядро Н (х, s, X) определяется
формулой
— Н (х, s, X) = /6, (х, s) + X/<s (х, s) + ... + XreZCre+1 (х, s) +...
Таким образом, решение интегрального уравнения имеет форму
ряда
ср (х) =/ (х) 4“ (х) 4“ (X) 4~‘ • • • ~Ь (х) 4- •.
называемого рядом Неймана.
Пример 2.2.1. Найти решение уравнения
I _
ср (х) — X J е ср (s) rfs = / (.V).
О
Здесь все итерированные ядра совпадают с исходным. Например,
1
ч Г х~~г Z—s X~S
Ао (л, $) я J г е dz~e
О
Далее
x—s
— И (x, S, X) = К {х, s) (I -J- X , . -j- Л . . .) = —j-т.
В данном случае ряд для резольвентного ядра сходится при | X | <;1 и, следова-
тельно, для этих л имеется единственное решение
¥ U) = / (х) — —еХ J e~Sf (s) ds.
О
2.2.3| § 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА
119
Можно показать, что найденная функция является решением данного уравнения
при всех X -ф. 1. * ’
Пример 2.2.2. Найти три последовательных приближения решения инте-
грального уравнения
I ( х, 0 х < 5
(х) — 0,1 f К (х, s) (s) ds = 1, К (х, s) — {
J I 5, Х^ I.
Имеем
<Ро(л-)=1.
X 1
<pi (л”) = I -j- 0.1 J К (х, 5) • I ds -j- 0,1 J К (х, 5) 1 • ds ~
О х
X 1
= 1 + 0,1 jj s ds + ОД .V .s = l + р0 -
О х
л- 1
f 2 w=1 + о, 1 (1 + as+о. 4 ц 1 + а _ g ds=
О х
. 31 х- х3 х4
~_____300 Х “ ТО — 600 + 2400"
2.2.3. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром. Ядро,
которое является конечной суммой произведений функций от х
на функцию от s
к(х, s) = 2 "< (-v) bi (s)>
<=1
называется вырожденным. Здесь функции а( (х), а также функ-
ции bi (s) можно считать линейно независимыми.
Пример 2.2.3. К (х, S) — х -J- S, «1 = х, *, = 1; а, = 1, b2 = S.
Решение интегрального уравнения с вырожденным ядром
сводится к решению системы линейных уравнений.
В самом деле,
п b
? W - X S ai (•*) 5 bi (s) ? (s) ds =f(s)- (2-2-3)
i— 1 a
Обозначив
b
bi (s) <p (s) ds = Ci,
a
получаем
n
9(x)=/(x) + X (2.2.4)
120 ГЛ. IL ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2.2.4
Отсюда подстановкой в исходное интегральное уравнение полу'
чим требуемую систему
Ъ Г п
Cl — 5 bi (s) /(s) + х S ckak (s)
a L * = I
(i= 1, 2,
n) (2.2.5)
ds = O
или
n
Ci — 'b 2 <Wk=fi
b
aik = j bl (s) ak (s) ds,
(i= ], 2, .... n),
b
fi = jj bi (s)f(s) ds.
(2.2.6)
Найдя отсюда с,, получим решение <? (х) в форме (2.2.4).
Пример 2.2.4. Найти решение уравнения
ср (X) = J XS ср (5) ds~{- / (X).
о
Обозначив
42
J s<P (s) ds = ci,
О
получим
?(*) = С1*+/(Х).
Подстановка в уравнение дает
42 42
CjX + f (х)= л-slc^ + f (s)lds-l-f(x), ИЛИ Ci — — Cj = jj sf (s) ds,
0 0
откуда
42
24 C
C1 =-23 J sf(s}ds.
0
Таким образом,
Va
24 Г
?И = ’2з’л' \ s f (s) ds + f (х).
О
2.2.4. Аппроксимация невырожденного ядра вырожден-
ным. Решение уравнения Фредгольма с невырожденным ядром
может быть сведено к решению интегрального уравнения с вы-
рожденным ядром путем разложения данного ядра на сумму
вырожденного ядра и ядра с достаточно малой нормой.
См. Михлин [3], Трикоми [2], Вулих [I].
Имеет место следующая
Теорема. Если даны два ядра, К(х, s) и
ь
§ | К<х, S) -- k (х, s) | ds < Л,
а
k (х, s), причем
2.2.4| § 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 121
а для резольвенты Hi (х, s, X) ядра k (х, s) имеет место нера-
венство
ь
J | (х, s, X) | ds<B
а
и выполняется неравенство
1 _ х/2(1 +| Х|Я)>0,
то уравнение
ь
о (х) — X jj К (*, s) 7 (s) ds—f (х)
а
имеет единственное решение; уравнение
ь
о (х) — X j k (х, з) ср (s) ds — fix}
a
также имеет единственное решение, причем
«=sopl/wl.
1 — КП (1 + J A I В) [а, Ь]
Доказательство см. Канторович и Крылов [1].
Пример 2.2.5. В уравнении
Vs
<р(х)« J sin xs <? (<£) ds + f (х)
о
заменим ядро sin xs ядром xs.
Имеем A' (x, s) = sin xs, k (x, s) = xs и
Vs Ч2
[• r xW 1
\ |K(x, s) — k(x, s) I ds < J —6— dj =-5^2" <0,001 =h
0 0
(при вычислении положили №1/2). Для уравнения
V 2
(х) = J xs <? (s) ds + f (х),
О
24
согласно примеру 2.2.4, имеем резольвентное ядро (х, s, ^~~23xs и> следо-
вательно,
Vs
С 24 $2 3
i к>1^=4*Т о =«<0'й
о
(где положено х — 1/2). Приведенная выше теорема дает оценку
:уи)_?(х)1<^-.,.45<ю
По поводу этого примера см. также Вулих (Ц.
122
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(2.2.5
2.2.5. Теоремы Фредгольма. Ниже будет рассматриваться
неоднородное интегральное уравнение
ь
ср (х) — /. j К (х, s) ср (s) ds—f (х), (2.2.7)
а
соответствующее ему однородное уравнение
ь
с(х)-Х j/<(x, s)<? (s)ds = 0 (2.2.8)
, а
и союзное (или сопряженное) с уравнением (2.2.7) уравнение
ь
<Р (х) — X j К (s, х) о (s) ds=f (х). (2.2.9)
а
Если при некотором значении параметра X = ).о однородное
уравнение Фредгольма имеет нетривиальные решения (не равные
тождественно нулю), то Хо называется характеристическим
числом, а соответствующие ему решения (х), ср2 (х), ..., <?п(х)—
собственными функциями ядра К (х, з).
Первая теорема Фредгольма. Если X = Хо не яв-
ляются характеристическим числом ядра, то неоднородное урав-
нение (2.2.7) однозначно разрешимо при любой правой части
/(х).
Вторая теорема Фредгольма. Если X = Хо явля-
ется характеристическим числом однородного уравнения, то оио
будет также характеристическим значением и для союзного урав-
нения
ъ
ср (х) — X j К (s, х) ср (s) ds = 0.
а
Числа собственных функций уравнений (2.2.8) и союзного с ним
уравнения, отвечающих одному и тому же характеристическому
числу, одинаковы.
Третья теорема Фредгольма. Если однородное
уравнение имеет ненулевое решение, то неоднородное уравне-
ние, вообще говоря, неразрешимо. Оно будет разрешимо тогда
и только тогда, когда выполнены условия ортогональности
(/> Фй)=О (k = 1, 2, .... п),
где ф* = Фа (х) (й = 1, 2, ..., п) суть собственные функции
союзного ядра, принадлежащие данному характеристическому
числу Хо.
Четвертая теорема Фредгольма. Множество ха-
рактеристических чисел интегрального уравнения (2.2.7) не имеет
предельных точек па конечном расстоянии. Если множество
характеристических значений бесконечно, то его предельная
точка находится на бесконечности.
Доказательство см. Михлин (2].
2.3.2] § з. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
123
Содержание первой и третьей теорем составляют так назы-
ваемую альтернативу Фредгольма. См. также п. 2.3.10.
Для интегральных уравнений с вырожденным ядром теоремы
Фредгольма являются следствиями из свойств линейных систем
уравнений.
§ 3. Симметричные интегральные уравнения
2.3.1. Существование характеристического числа. Сим-
метричными интегральными уравнениями называются уравне-
ния, ядра которых симметричны, т. е.
К{х, s) = K(s, х).
Итерированные ядра симметричных уравнений симметричны.
Например,
ь ь
К, (x,s) = \K (х, 0 К (t, s) dt = J К (s, f) к (t, x) dt = К, (s, x).
a a
Каждое симметричное ядро, не равное тождественно нулю,
имеет по крайней мере одно характеристическое число.
Это утверждение справедливо как для непрерывных ядер,
так и для квадратично-суммируемых ядер.
Доказательства см. Привалов [I], Михлин [2], Трикоми [2].
2.3.2. Ортогональность собственных функций. Собствен-
ные функции симметричного ядра, соответствующие различным
характеристическим числам, ортогональны.
Действительно, если
b b
4=1 (х) = Xj | К (x, 5) (pi (s) ds, cps (x) = X2 J K(x, s) ($) ds, Xi Ф X2,
a a
TO
b b b
X2 J ?i?2d* = XiX2 | dx | К (x, 5) <pi U) (x) ds =
a a a
b b
= XxX2 | (5) ds | К (x, s)<?s(x)dx,
a a
b b b
Xi J mi ds = XiX2 J <px (s) dS J К (x, s) <p2 (x) dx,
a a a
откуда
b
(X£ — X2) J cpicp2rfx = 0,
a
И так как Xi^X2, то
b
f <pl<p2dx —0, (2.3.1)
124
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12.3.3
На основании полученного равенства в п. 2-3.3 будет доказана действительность
собственных чисел и собственных функций. Тогда (2.3.1) означает ортогональ-
ность собственных функций, соответствующих различным характеристическим
числам.
2.3.3. Действительность характеристических чисел. Харак-
теристические числа симметричного ядра действительны.
В самом деле, если Xi — комплексное характеристическое число,
с соответствующей собственной функцией <pi (х) = а (х) -|- Z0 (х), то ядро должно
обладать сопряженным характеристическим числом Х2 = $ —Ь). с собственной
функцией ср2 (л) =- а (х) — (л).
В силу (2.3.1) мы имеем для собственных функций cpi (х) и ср2 (х)
b b
J ср 1Р2 dx = J [«2 (х) + £2 dx = О,
а а
что возможно лишь тогда, когда а (х) и (В (х) тождественно (или почти всюду)
равны нулю. Последнее противоречит тому, что <pi(x)^0.
Пример 2.3.1. Уравнение
1
(х) = X J (х Н- s) ср (s) ds
О
— симметричное с вырожденным ядром.
Имеем
Г 1 1 1
ср (х) = X х J ср (s) ds + J sp (s) ds = CiX t c2.
L о о J
Из данного уравнения следует, что
1
CiX 4- с2 = X J (х + 5) (ci$4- с2) ds,
0
откуда
. 1 . , . 1 . , I
Cl = ACi • у 4- ACO, Cg = XCi • 3- + -y.
Условием совместности последних уравнений является обращение в нуль
определителя системы, что дает
Х24-12Х - 12 = 0,
откуда находим характеристические числа
Xi =1/3-6. Х2«= —4/3 — 6.
Соответствующие собственные функции:
Р1 (*) = (1 •+ /з л), ¥2 (л-) = (1 - /3».
У 24-/З г 2 — /з
Найденные собственные функции ортогональны:
I 1
(У!, у») ——- *- _ • 1 ( (1 + УЗх) (1 — УЗх) dx = ( (1 — 3№) dx = Q.
У24-/З F2-/3 J J
о о
2.3.4] § 3. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 125
Пример 2.3.2. Интегральное уравнение
1 ip(jr) —X J К(х, s)^(s)ds = 0 0
с ядром , X (l-s) _ f I ’ s’ К (л*, s) = J 1 s(l-x) I I • x-s’
симметрично. Найдем его характеристические
Имеем
числа и собственные функции.
(2.3.2)
(2.3.3)
4>" (•*) = — Щх).
Из (2.3.2) следует, что
т (0) = т (0 = о.
(2.3.4)
Общее решение дифференциального уравнения (2.3.3) есть
Ф (л) ~ a COS J^X X + С2 sin X.
Но ip(O) = ci=O, поэтому характеристические числа исходного интегрального
уравнения будут найдены из условия
ср (/) = 0= sin /X I,
откуда
I = nit н Х^ = (П-—1, 2, ...).
Соответствующие собственные функции суть
Чп (*) = Sin — X
и поэтому, учитывая, что
I
Г . о ПП . I
\ sin- — х dx—-^,
0
получаем нормированную систему собственных функций
. . 1 /~ 2 . zz~
?„(*) = У Ts,nV X.
Ортогональность этих функций на отрезке [0, 1\ легко проверить.
2.3,4, Ортогонализация собственных функций. Если не-
которому характеристическому числу принадлежит несколько
линейно независимых собственных функций, напр'имер, (х),
<?s (а), ,,, ,<f^(x), то каждая' их линейная комбинация также
126
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.3.5
является собственной функцией и эти двде£Щы.е комбинации
могут быть выбраны так, что полученные при этом собствен-
ные функции будут ортонормированы.
Действительно, функция ф, (•'')= имеет норму, равную
единице. Образуем комбинацию + и выберем а так, что
(«^ + <p2, Ф1) = О,
т. е. возьмем
__ _ (?г> Ф1) _ _ Ф1)
(Ф1Л1) — Ш12 •
Функция
ортогональна к фх (х) и имеет норму, равную единице. Далее
выбирается комбинация + ftyg + ?з и постоянные аир на-
ходятся из условий ортогональности
(аф1 Р?2 "Ь ?з, фт) — б, (аФ1 "Ь Г?2 ?з, фг) = 0.
С найденными таким образом коэффициентами а и {? функция
, _ а1Р1 Ч~ Р^2 Ч~ ?2
II ath + Р?2 + ?3 II
ортогональна к и имеет норму, равную единице, и т. д.
При помощи указанного процесса ортогонализации (Сонина—
Шмидта) последовательность собственных функций симметрич-
ного ядра можно ортонормировать, что впредь и предпола-
гается выполненным.
2.3.5. Количество собственных функций, соответствую-
щих характеристическому числу, и распределение характе-
ристических чисел. Каждому характеристическому числу ?.о
соответствует конечное число собственных функций.
Если обозначить это число через п, то имеет место нера-
венство
п^ВЧ1 (2.3.5)
Действительно, если зафиксировать s, то коэффициенты Фурье ядра
К (х, s) по ортонормированной системе его собственных функций суть
C ’’fe <s)
(А- (х, s), ?у = у К (х, s) fk (х) dx = —J—,
а
и вследствие неравенства Бесселя
п b
У, f? (2) s к2 (X, s) dx,
у = 1 а
а после интегрирования
b п п b b b
АЛ У ?hs) =A S ds=15 Пк* i-x' s>ах к»,
О * О А п *
a v = l 0 ^ = 1 а и (? я
2.3.К]' § 3. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
127
В каждом конечном интервале | X | < А < со может содер-
жаться лишь конечное число характеристических чисел. Если
обозначить это число через т, то имеет место неравенство
т А2В2. (2.3.6)
Считая, чю каждому характеристическому числу Хх.....Х^ принадлежит
по меньшей мере одна собственная функция (х), ? (х), получаем спо-
собом, использованным выше, неравенство
(2.3.7)
откуда, учитывая, что | X [-1 > Д-1, получаем неравенство (2.3.6).
Из неравенства
ряда
(2.3.7), в частности, следует сходимость
Из доказанного выше следует также, что все характери-
стические числа можно расположить в порядке возрастания абсо-
лютных величин и занумеровать. Соответственно характеристи-
ческим числам нумеруются собственные функции.
2,3.6, Билинейная формула. Пусть ядро ЛГ(х, s) допускает
разложение в равномерно сходящийся ряд по ортонормированной
системе своих собственных функций
К (х, = 5 aWk (*)
(2.3.8)
для каждого фиксированного значения х в случае непрерыв-
ного ядра или почти всех х в случае квадратично-суммируемо-
го ядра.
Имеем
ь
а* = ( К (х, s) (s) ds = (2.3.9)
а
и, следовательно,
со
К(х, s) = У . (2.3.10)
k
Обратно, если ряд
00
2 (S) (2.3.11)
fe—1 k
128 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.3.6 '
сходится равномерно или по крайней мере так, что любому по-
ложительному е соответствует такое целое положит&Льное число
«о, что
2
dx d s < s
П (-<) (8)
'к
(я>Яо),
то
Имеет место
Теорема. Ряд (2.3.11) сходится в среднем к ядру К(х, s)
К(х, s) = /. i. т. У (2.3.12)
n-*-co ЛяЛ
Й = 1
или, что то же
lim
п -> со
b b
п
К(х, «)- 2
*= 1
rfe (-у) (8)
2
dx ds — 0.
(2.3.13),
Доказательства см. Привалов [1], Михлин [2], Трикоми [2].
Если симметричное ядро АГ(х, s) имеет лишь конечное
число характеристических чисел, то оно вырожденное, ибо
в этом случае
п
К(х, s) = J
*= 1
(М (s)
(2.3.14)
Ядро К. (x, s) называется положительно определенным, если,
для всех функций ср (х), отличных от тождественного нуля,
ь ь
j К (х, s) ср (х) ср (s) dx ds > 0
а а
и лишь для ср(х) = О указанный выше квадратический функцио-
нал равен нулю. Такое, ядро имеет только положительные ха-
рактеристические числа.
Аналогично определяется отрицательно определенное ядре.
Теорема. Всякое симметричное непрерывное пеложи-
тельно определенное (или отрицательно определенное) ядро раз-
лагается по собственным функциям в билинейный ряд, абсо-
лютно и равномерно сходящийся относительно переменных х, s
(Мерсер).
2.3.8] § 3. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
129
Теорема остается верной, если допустить, что ядро имеет
конечное число отрицательных (соответственно положительных)
характеристических чисел.
Доказательство см. Привалов [I], Трикоми [2].
Теорема. Если ядро К\х, з) симметрично, непрерывно
в квадрате asgx, и имеет в последнем равномерно огра-
ниченные частные производные, то оно разлагается по собст-
венным функциям в равномерно сходящийся билинейный ряд
(Гаммерштейн).
См. Курант—Гильберт [1].
2.3.7. Теорема Гильберта—Шмидта. Если функцию /(х)
можно представить в виде
ъ
/’(x) = ^Af(xt s)g(s) ds, (2.3.15)
а
где ядро К>х, з)— квадратично-суммируемое, g(s)— некоторая
квадратично-суммируемая функция, то f(x) может быть пред-
ставлена своим рядом Фурье относительно ортонормированной
системы собственных функций ядра Kfx, s):
СО
f(X) = 2 аАП(х),
*=1
(2.3.16)
где
«* = (/, ?*) (й = 1, 2, ...).
Если, кроме того,
ь
§ № (х, з) ds =£ А < оо,
а
то ряд (2.3.16) сходится абсолютно и равномерно для каждой
функции fix) вида (2.3.15).
Доказательства см. Трикоми [2], Михлин [3], Привалов [1].
2.3.8. Билинейные ряды итерированных ядер. По опреде-
лению итерированных ядер
ь
Кт(х, з) = \К(х, z)Km_t(z, s)dz (т = 2, 3, ...). (2.3.17)
а
Коэффициенты Фурье ak(s) ядра Кт(х, з), рассматриваемого
как функция х, относительно ортонормированной системы соб-
ственных функций ядра К (х, з) равны
ь
«*(«) = Кт(х, s)<?k(x)dx
а
n(s)
Kk
(2.3.18)
Б Цлаф Л. Я.
130
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2.3.9
Применение теоремы Гильберта—Шмидта к (2.3.17) дает
00
Кт(х, з) = У n (S) (т = 2, 3, ...). (2.3.19)
А" А ь
* = 1 k
В формуле (2.3.19) сумма ряда понимается как предел в сред-
нем. Если же дополнительно
ъ
$ № (х, s)rfs</4<co, А = const,
а
то в формуле (2.3.19) ряд сходится равномерно,.
Доказательства см. Трикоми [2], Михлин [3], Привалов [1].
2.3.9. Решение неоднородного уравнения. Представим ин-
тегральное уравнение
ь
<р (х) — X $ АГ (х, s) ср (s) ds =f (х), (2.3.20)
а
где X не есть собственное значение, в виде
*
ср (х) — f(x) =f\ ^К(х, s)y (s) ds (2.3.21)
a
и применим теорему Гильберта—Шмидта к функции <р (х) —
—/(*):
СО
?W— /W = У ^(4
*=i
Ь
Ck = $ [? (*) — f U)] W dx =
a
b b
= $?(-*) (x) dx~\f (*) 'P* ,A'i dx = ~fk-
a a
По теореме Гильберта—Шмидта
b со
X ( К(х, s) <р (s) ds = У, <fk (х)
a k = 1
и, таким образом,
= = = (2Л22)
— Кг hfe—к 4
Следовательно,
QQ
<Р (х) =/ (х) + X 2 П (X). (2.3.23)
*=1
2.3.11] § 3. СИММЕТРИЧНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
131
Если же X — характеристическое число;
X = Хр = Хр+1 = ... = Х?, -(2.3.24)
то при k^tp, р -|- 1, ..., q члены (2.3.23) сохраняют свой вид.
При k=p, p-j-1, ..., q из формулы (2.3.22) следует Д =
__ и в сиду (2.3.24) Д =Д+1 = ...=Д = 0. Послед-
нее означает, что (/, еА,) = 0 при р+1, ..., q, т. е. сво-
бодный член уравнения должен быть ортогональным к собствен-
ным функциям, принадлежащим характеристическому числу X.
Решения уравнения (2.3.20) в этом случае имеют вид
со q
? (а) =/ (а) .+ х V _А_ (Х) + 2 Ск (2.3.25)
*=1 k—p
где штрих в первой из сумм (2.3.25) означает, что должны быть
опущены члены с номерами k = р, р1, ..., q, при которых
в этой сумме одновременно обращаются в нуль Д и X — Xft.
Коэффициенты с* во второй сумме — произвольные постоянные.
См. Михлип [3], Трикоми [2].
2.3.10. Альтернатива Фредгольма для симметричных ин-
тегральных уравнений. Результаты п. 2.3.9 можно объединить
в следующей альтернативной форме.
Симметричное интегральное уравнение
ь
<f(x) — X j К (a, s) tp (s) ds = f (a)
a
при заданном X либо имеет для всякой произвольно заданной
функции f (а) £ Z2 [«, Ь] одно и только одно квадратично-сум-
мируемое решение, в частности, <р — 0 для / = 0, либо соответ-
ствующее однородное уравнение имеет положительное конечное
число г линейно независимых решений <рх, <рг....срг.
Во втором случае неоднородное уравнение имеет решение
тогда и только тогда, когда заданная функция /(а) ортогональна
функциям ср1, ср2, ..., срг и решение определяется лишь с точ-
ностью до произвольной аддитивной линейной комбинации
Clfl + С2?2 + • • • + crfr-
2.3.11. Экстремальные свойства характеристических чи-
сел и собственных функций. В силу теоремы Гильберта —
Шмидта
Ь со
( К (х, s) <Р (s) ds = У <fk (a), ak — (<Р, %). (2.3.26)
a fe=l k
Б*
132
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12.3.11
Умножая это равенство на ср (х) и интегрируя, получим
b b оо
S § К (х, s) ср (х) ср (s) dx ds = (2.3.27)
a a k = 1
Полагая в (2.3.27) = будем иметь
ь ь
к (X, s) <fm (х) <fm (s) dx ds = Л , (2.3.28)
Лт
а а
а при т — 1
ъ ь
К (х, s) «pt (х) (s) dx ds = у . (2.3.29)
а а
С другой стороны,
(2.3.30)
и из (2.3.27) и неравенства Бесселя следует, что
ь ь
J j К (х, s) ср (х) ср (s) dx ds
а а
откуда
(2.3.31)
при || <р II = 1
"* b "1-1
I М =£ J J К (х, s) ср (х) ср (s) dx ds
а а
(2.3.32)
Таким образом,
ь ь
§ j К(х, s) ср (х) ср (s) dx ds
а а
достигает макси-
мума на множестве нормированных квадратично-суммируемых
функций; это максимальное значение достигается при <р = <рх и
равно | |-1.
Аналогично доказывается, что
| \т | 1 = max
ь ь
j J К(х, s) ср (х) ср (s) dx ds
а а
на множестве функции {ср} £ L2 [а, Ь} таких, что
II ? II = 1. (?> <Р1) = (?> <р2) = ... = (ср, cpm_j) = 0.
См. Курант — Гильберт 11], Привалов ]Ц, Михлии [2), Трикоми ]2).
2.4.1]
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
133
§ 4. Интегральные преобразования
и интегральные уравнения
2,4.1. Преобразование Фурье. Известно (см., например,
В. И. Смирнов [2]), что для функции f(x), удовлетворяющей
условиям Дирихле на любом конечном интервале и абсолютно
интегрируемой на всей числовой оси, имеет место формула
СО оо
da> /(^)созш(^— х) dt, (2.4.1)
О — со
ИЛИ
со со
/(Ar) = g!- da> f(t) cos а> (t — х) dt. (2-4.2)
— СО — со
Фурмулы (2.4.1) и (2.4.2) называются интегральными фор-
мулами Фурье.
Так как функция f (t) sin ш (t — х) нечетная относительно <о,
то
СО со
O — du> /(Z)sinw(Z— x)dt, (2.4.3)
и складывая (2.4.2) и (2.4.3), умноженное на I, получим инте-
гральную формулу Фурье в комплексной форме
СО оэ
/(х) = 2^- V/'1' \ /(0e''“l^'v’ dt. (2.4.4)
— ОС- — со
Обозначив
Д(<о)
1 £
j
— со
/(Z)e‘'“rrfi,
получим
f(x)
СО
= ? F e~ia>x d<s>.
/2тг J
— со
(2.4.5)
(2.4.6)
Формулы (2.4.5) и (2.4.6) образуют пару взаимных преобразова-
ний Фурье, причем функцию F (и>) называют преобразованием
Фурье функции /(.г) (или же спектральной функцией). Формула
(2,4.6) называется формулой обращения Фурье.
По поводу вывода формул (2.4,5) и (2,4.6) см. также И. М. Гельфанд [1].
134
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
[2:4:1
Формула (2.4.5) может рассматриваться как интегральное
уравнение первого рода относительно функции f(t). Формула
обращения (2.4.6) дает решение этого интегрального уравнения.
Из интегральной формулы Фурье можно получить так назы-
ваемые синус- и косинус-преобразования Фурье.
Так, считая f (t) нечетной на (—со, со), из (2.4.1) получаем
СО со
/(%) = — \ da> \ f (Л COS COS и>Х dt -f-
я J J
0 — co
co co co co
ICC 2 c c
-I----\ rfa> \ f (t) sin a>t sin iox dt — — \ d<o sin u>x \ f (t) sin iot dt.
Л J J J J
0 — co 0 , 0
Отсюда, обозначая
CO
Fs (to) = j/"~ /(/) sin co/ dt , (2.4.7)
о
получим
, co
f(x) — J/ ~ Ъ (“) sin шх du>. (2.4.8)
о
Формулы (2.4.7) и (2.4.8) образуют пару взаимных синус-преоб-
разований Фурье.
Аналогично, если f (х)—четная функция на интервале
(—со, со), получаются косинус-преобразования Фурье:
СО
Рс (°>) = f cos (2.4.9)
о
со
(со) cos со/rf/. (2.4.10)
о
Пример 2.4.1. Решить интегральное уравнение
со г те
J g(z) sin zxdz = f(x), где /(дг) = < 2 ’ ’
О I 0, х > те.
Переписав уравнение в виде
со
/(•«) = ]/" 7 S' Wsin lx
о
'2.4.1| § 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ 135
и рассматривая его как синус-преобразования функции g (z), при помощи
формулы обращения находим
К 7«'w = KlKsin-vsin"'/-lf=l/r7T=^
О
и, наконец,
, , sinrcz
*(г)=т^-
Для преобразования Фурье, а также синус- и косинус-преобразований
Фурье составлены таблицы. См. Диткин и Прудников [1], Бейтмен и Эрдейи [1].
Каждая пара взаимных преобразований дает решение двух взаимных инте-
гральных уравнений.
При помощи формул (2.4.9) и (2.4.10) можно построить пример нефредголь-
мова интегрального уравнения, собственному значению которого соответствует
бесконечное множество линейно независимых собственных функций,
Пример 2.4.2. Напишем (2.4.9) и (2.4.10) в виде
со со
F (-V) = J / (6 cos xt dt. f (x) = "|/^~ J F (?) cos xt dt.
0 0
Тогда функция F (x) -f- f (л) будет собственной функцией интегрального урбвнення
со
F (х) 4- / (л) = *|/"§ [F (?) + / (?)] cos xt dt,
0 ___
соответствующей характеристическому числу д=У2/к. Достаточно положить
j (х) = е~Рх, F (jc) = V2p {х- +р-’). Р>0, чтобы получить бесконечное множе-
ство собственных функций, принадлежащих указанному характеристическому
числу.
Преобразование Фурье применяется и для. решения инте-
гральных уравнений, отличных от рассмотренных выше.
Пример 2.4.3. Найти решение интегрального уравнения
ос
<рО) = /(х) + J k(x — y)4(y)dy.
— со
Обозначим преобразования Фурье функций /(х), k (х) и искомой <р (дг)
соответственно через F (а), К (и) и Ф (а). Имеем
со со
Ф («) = —=( [/(*) + ( к(х — >) <f> О’) rfvl e‘x"elx =
/2л J L J J
— co —co
co co
= S dy S к <x— y, f ly . e‘xu dx =>
—co —ОС
co __ co
= F(M) + -L ( <f(y)dy ( k(x-y)elxudx =
/2п J . J
—co —co
co co
= f («) + 4= \ e,yl1 V (y) dy f к О) е,71И(/71 =
/2п J J
—со —co
F (и) + /2Й" ф («) К («).
136
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12.4.2
Отсюда
f (и)
\-V^K (и)
и, следовательно,
со
<р (X) = -L f ---------------- е~ixu du.
I'-'c J 1 - /2it К (и)
—СО
Далее,
со
Т (Л-) - / W = -Ь f Г----------------- e~ixu - F (и} Г'-™1 du =
/•21T -’Ll- 4 2- К (и) J
— со
со
= 4 С F(„, е— аи,
V'2-к J \ ~У'2т: К (И)
—со
Обозначив
со
/?(«) = —!."— и г(х) = —L- 7? («) e~ixudu,
1 — А’ ш) зЛ2г: J
— оо
можно получить окончательный результат в виде
JP (Л-) = / (я) 4- J г(х —
—со
Приведенные выше вычисления носили формальный характер, поскольку
не указаны свойства, которыми обладают данные функции и класс функций, в
котором отыскивается решение.
В данном примере достаточно предположить, что /(л*) £ А2 (—со, оо),
k (х] £ L1 (— со, оо), К («) имеет верхнюю грань, меньшую—Полученное ре-
шение принадлежит Z,2 (— оо, со) и с точностью до функции, равной почти всюду
нулю, единственно.
См. Титчмарш [1J, Снеддон [1|.
2.4.2. Преобразование Лапласа. В интегральной формуле
Фурье положим
el<& It-Xi I £—7а> (t~X\
cos ш (t — x) =--------n--------;
тогда, предполагая дополнительно, что / (х) = 0 при х < 0, будем
иметь
со
e,aixdu> / (t) e~ila>dt, х > 0.
— со U
Пусть / (х) принадлежит к классу функций, для которых инте-
СО
rpa.i |/^)| сходится, если д выбрано достаточно большим
о
2.4.2]
§ 4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
137
положительным. Имеем
СО со
JL f (t) 1 dt = f (х).
— со О
г-т < dp л
Положив т) — = р, а<л~------1 будем иметь
-г] Ц- i со со
Д-. ? (/тг^л=/(4 (2.4.П)
ZTtl J J
т) — i со О
Функция
/(/?) = ( f(t\e~ptdt (2.4.12)
о
носит название преобразования Лапласа функции f (Л. Имеет
место формула обращения (обратное преобразование Лапласа)
V 4- i от
/(П = 2^ f{P}ePXdp- (2.4.13)
-г) — Г ОТ
В последней формуле применяется интегрирование функции
комплексной переменной f(p).
Для пары взаимных преобразований (2.4.12) и (2.4.13) составлены обширные
таблицы, которые полезны при решении некоторых интегральных уравнении.
См. Диткин и Кузнецов |1]. Диткин и Прудников [1], Бейтмен и Эрдейн j1|.
Преобразования Лапласа применяются и к решению ряда
других типов интегральных уравнений.
Пример 2.4.4. Найти решение интегрального уравнения Вольтерра
;с (х) = / (х) 4- [ k (х — /) (/) dt.
0
Ограничимся формальным решением. Обозначим преобразования Лапласа
функций f (х), k(x) и искомой <р (х) соответственно через f (р), fe(p). ср (р).
Тогда, повторяя вычисления примера 2.4.3, придем к уравнению
т (р)=7(р) + йр)т (р).
откуда
йр) = 7 (р) 4- — 'р'—7 (р).
। - k (р)
Решение получается посредством форм\'лы обращения.
См. Ден [lj, Диткин и Кузнецов {!]. Диткин и Прудников [1].
138 _ ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2.5.1
§ 5. Уравнения Фредгольма первого рода
2.5.1. Теорема Пикара. Пусть дано уравнение Фредгольма
первого рода
ь
\/< (х, s) <р (s) ds (х). (2.5.1)
а
Если ядро есть многочлен по х'.
К (х, s) = at (s) хт + а2 (s) хт~1 ат (s) х + am+l (з),
(2.5.2)
то левая часть (2.5.1) примет вид bLxm Ь.,хт~1 ••• + Ьт+1 и,
следовательно, такой же вид должна иметь и правая часть (2.5.1).
Отсюда следует, что если f (х) — произвольная непрерывная
на [а, 6] функция, то при данном ядре (2.5.2) уравнение (2.5.1)
не имеет решения.
Можно показать, что если К (х, з) — непрерывное ядро', а
f (х) — некоторая непрерывная функция, то в классе С [а, Ь]
уравнение (2.5.1) можетне иметь решения.
Если К (х, s) — симметричное ядро, квадратично-суммируе-
мое в квадрате акХ-х, s-s^b, f (х) квадратично-суммируема на
[а, Ь], то интегральное уравнение (2.5.1) имеет квадратично-сум-
мируемое решение тогда и только тогда, когда ряд
Х^ + ^ + - + ^ + -
сходится.
Здесь характеристические числа ядра К(х, s), fk —
коэффициенты Фурье функции f (х) по системе собственных
функций ядра (предполагается полнота указанной системы соб-
ственных функций).
В этом заключается теорема Пикара (1910 г.).
См. Привалов [I], Гурса [1], Трикоми [2J.
2.5.2. Метод последовательных приближений. Пусть
/< (х, s) — симметричное квадратично-суммируемое положительно
определенное ядро и пусть уравнение
ь
jj К (х, s) <р (s) ds =f (х), f (х) £ U [а, 6]
а
разрешимо. Тогда последовательность {ел (х)}, определяемая
рекуррентным соотношением
(х) = <[>„_! (X) 4- X [/ (X) — (X)],
где
ь
<р0 (х) С L2 \а, &], /«-i (x)=J/<(x, s) <[>„„! (s) ds, 0 < X < 2Хх
а
5.6.8] J 5. УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА 139
и - наименьшее характеристическое число ядра К(х, s); схо-
дится в среднем к решению уравнения (2.5.1).
Эта теорема принадлежит Фридману [1]. См. также Положий и др. [1].
2Л.З. Решение некоторых интегральных уравнений первого рода.
Пример 2.5.1. Уравнение
со
J К (.V — s) <р (s) ds = f (х)
—СО
может быть при помощи преобразования Фурье приведено к внду
F (а) = У 2л Ф (и) К (я),
где F(«), Ф («), К(«) — соответственно преобразования функций f(x), ? (я), k (У).
Имеем далее
Ф(ц) = _к^М,
и применение обратного преобразования Фурье дает
со
—со
Решение данного уравнения существует и принадлежит к £2 [— со, со],
если / (лг) С № (— со- с0)- k (•*) € (— со, со), С L2 (— со, со).
А (.//)
См. Титчмарш [1].
Пример 2.5.2. В уравнении
со
—СО
ядро является производящей функцией для полиномов Эрмита Hn(s), т. е. имеет
место соотношение
со
VI — s2 п
-,X-S^ Vе S Нп^х
п\ ’
71—0
причем
оо
11\е х dx— ‘2п n\'\rTtt
—со
Данное уравнение, если положить в нем
оз
?($) = S anHn{s),
n=0
сводится к виду
СО
2 алл”
' 71=0
и коэффициенты Укап2п определяются как коэффициенты степенного разло-
жения функции / (я). Последняя функция, таким образом, должна быть анали-
тической. Ъ
По поводу этого примера, а также других, в которых используются произ-
водящие функции, см. Морс и Фешбах |1].
140
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
12.8.1
§ 6. Приближенные методы решения
интегральных уравнений
2.6.1. Метод последовательных приближений решения
уравнения Фредгольма второго рода. Пусть дано уравнение
&
<р (х) — X j К (х, s) <р (s) ds =f(s). (2.6.1)
а
Если (х)— точное решение уравнения (2.6.1), а ея (х) есть п-е
последовательное приближение (см. пп. 2.2.1 и 2.2.2), то
I X in+inn
I ? (х) - Чп (х) - (2.6.2)
в предположении, что ядро кусочно-непрерывное,
ь
/С2 (х, s) ds < Сь Сх = const,
а
b b
$ j № (х, s) dx ds = В2,
а а
b
. (х) dx < D, D = const.
а '
(2.6.3)
Последовательные приближения сходятся к решению равномерно
при | X | В~‘.
См. Михлин [2].
Более грубая оценка может быть получена при следующих
предположениях: ядро непрерывно, причем [ К (х, s) | /И, функ-
ция /(х) непрерывна на [о, Ь] и |/ (х) | N; тогда
, , х , W(|X |W-a))ra+1
| ? (х) - <р„ (х) i • (2.6.4)
Сходимость приближений к решению равномерна.
См. Березин и Жндков [1].
Если ядро и свободный член квадратично-суммируемы и
почти всюду имеют место неравенства (2.6.3), то сохраняется и
оценка (2.6.2) почти всюду на отрезке [а, &].
Аналогичное замечание можно сделать и относительно оценки
(2.6.4).
. См. Трикоми [2], Михлин [3].
2.6.2. Метод механических квадратур. В интегральном
уравнении
ь
<р (х) — X ^ /< (х, s) <р (s) ds=f (х) (2.6.5)
а
2.6.3]
§ 6. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
141
предположим, что ядро и свободный член непрерывны. Заменим
в (2.6.5) интеграл квадратурной формулой Чебышева:
j ф (х) dx = А ф (х/г) dx + Р, (2.6.6)
а *=1
где
b — а . b — а . b — а
и х^ — точки Чебышёва, р — остаточный член. Формула Чебы-
шева применима при п=\, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9.
Точки Чебышёва табулированы. См., например, Березин и Жидков [1].
Там же приведены выражения для остаточного члена формулы Чебышёва.
Используя (2.6.6), заменим уравнение (2.6.5) системой урав-
нений
п
? (х;) - ХД 2 к(*» Хк) Ф (xft) =/ (х;) + Хрг (2.6.7)
й=1
(i= 1, 2..72),
где р; = р(х;).
Отбрасывая в (2.6.7) малые величины рг«, получаем систему
уравнений
п
^(.х^-УА^ K{xi,xk)~^{xk)=f{xk) (1 = 1, 2,..., /г). (2.6.8)
* = 1
Найдя из (2.6.8) значения ср (х,), ср (х2),..., ср (хга) при помощи
формул интерполирования, можно указать приближенное значе-
ние функции ср (х).
В случае, когда ядро и свободный член периодичны с перио-
дом Ь — а, рекомендуется использование формулы прямоуголь-
ников.
См. Канторович и Крылов [4J, где содержатся оценки погрешностей замены
интегрального уравнения системой линейных уравнений. См. также Михлин [3].
2.6.3. Метод наименьших квадратов и метод Галёркииа.
Приближенное решение Ф (х) уравнения
ь
ср(х) — X К(х, s) ср (s) ds —f (х) (2.6.9)
а
отыскивают в виде
ф (х) = 5 ащ (х), (2.6.10)
А = 1
142 ГЛ. И. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2.6.4
где <(>! (л), <р2 (л).. (х) — линейно независимые на [а, 6] функ-
ции. Коэффициенты а* находят из условия
ь ь
§ [Ф (х)— X К (х, s) Ф (s) ds —f (x)]2 dx = min, (2.6.11)
a a
ИЛИ
n / b
2 ak (*) — x \K (*, s) <f k (s) ds
£=1 \ a
\ 2
—/(.c)> rf.r = min.
Интеграл в левой части (2.6.11) есть функция от а., а2,..., ап.
Приравнивая пулю частные производные этой функции по aL,
а.,, .... ап, получаем систему уравнений для отыскания ah а2,ап.
В этом заключается метод наименьших квадратов,
В методе Галёркина коэффициенты ak находят из условий
ортогональности
Ь
Ф (х) — X jj К (х, s) Ф (a) ds — f (х)
а
t^k (х) dx —О
(ft = 1,2, ..., п). . (2.6.12)
Условия применимости этих методов и их обоснование см. Михлин [4].
2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел.
Методы, изложенные выше, позволяют находить характеристи-
ческие числа и собственные функции интегрального уравнения
Фредгольма второго рода.
Удобным является метод следов; т-м следом ядра К{х, s)
называется число
ь
Ат = j Кт (-£> s) ds,
а
(2.6.13)
где Кщ (х, s) есть m-е итерированное ядро.
Из формулы (2.3.19) следует, что
СО
(/п = 2, 3,...). (2.6.14)
Й=1
Для достаточно большого
лютной величине является
формулам
т преобладающим членом по абсо-
1/Хт. Это приводит к приближенным
\т+^Г+*’
откуда
I 1 I V А2т1 А2т+1‘
(2.6.15)
ь
а
Формула (2.6.15) дает значение | Хх ] с избытком.
• г.7.2]
§ 7. НЕЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
143
Имеют место формулы
II । _ . 1 1 / Ват
1 2ПМ V в2т+, >
где В^т — А%т Aim,
1 2т/ 2
|М~Гм)/^’ (2Л16)
См. Виарда Ц], Михлин [2], Трикоми [2],
§ 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения
2.7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра. Рассмотрим общее
нелинейное уравнение Вольтерра:
с (х) = /(х) + \ F (х, s, ds. (2.7.1)
О
Предположения:
1) для любой пары zt, z3
| F (х, s, Zj)— F (х, s, z2) | sga (x, s) |z£ — z21,
2)
j F(x, s, f (s)) ds ^nlx),
где
x h x
\ n-('s}dx--^ N'2, S dx j as (x, s) ds Л2, O^s^x^i
о oo
Здесь А и W—постоянные, n (s) и a (x, s) — функции, сум-
мируемые co своим квадратом. В этих предположениях метод
последовательных приближений приводит к решению уравнения
(2.7.1), причем последовательные приближения сходятся к реше-
нию почти всюду абсолютно и равномерно. Указанное решение
с точностью до функций, почти всюду равных нулю, единственно.
Доказательство см. Трикоми [2].
2.7.2. Уравнения типа Гаммерштейна. Каноническая форма
этих уравнений такова:
1
ф (х) + \ АГ (х, s) f (s, Ф (s)) ds == 0. (2.7.2)
о
В предположении, что выполнены указываемые ниже условия
1)—-3) метод последовательных приближений доставляет реше-
ние уравнения (2.7.^). Последовательные приближения сходятся
к решению почти всюду абсолютно и равномерно.
144
ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
(2.7.3
Эти условия таковы:
1) Функция
1
А2 (х) = j К* (х, s) ds
существует почти всюду на интервале (0, 1) и интегрируема на
этом интервале;
2) функция /(s, и) удовлетворяет условию Липшица
|/(s, ut) — f(s, и2) | < С (s)\ut — и21;
3)
1
$ А2(х) С2 (х) dx = M2 < 1.
о
Доказательство см. Трикоми [2].
Имеют место следующие теоремы.
А. Уравнение (2.7.2) имеет непрерывное решение, если
К(х, s) ~ кусочно-непрерывное, симметричное, положительно
определенное и ограниченное ядро; функция /(з, и)— непре-
рывная, суммируемая со своим квадратом по и (для любых
фиксированных значений s из рассматриваемого отрезка [0, 1]),
причем
и
С k
\ f (s, v) dv>:'— “2“ и2 — C, k = const,
о
С = const >0, k < Xb
где Xx есть наименьшее собственное значение ядра К (х, s).
Б. Уравнение (2.7.2) имеет непрерывное решение, если 1)
ядро К(х, s) кусочно-непрерывно, симметрично и положительно
определенно; 2) непрерывная функция f(x, и) удовлетворяет
условиям
и
(• k
\ / (х, ») rfo Э:-2“ и~ — Ci (0 < k < Xj),
0
|/(х, и) j Sg С3 [ и | -ь С3,
где С,, С2, С3 — постоянные числа.
Доказательство см. Н. С. Смирнов [I], Трикоми [2].
2.7.3, Бифуркация решений. Нелинейное интегральное урав-
нение
ь
<р (х) — X $ К (х, s)/('s, ф (s)) ds ~ 0
а
может иметь непрерывный спектр характеристических чисел и
в том числе такие* что при переходе через них количество ре-
2.8.1] § 8. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
145
шений уравнения меняется, оставаясь конечным. Такие значе-
ния X называются точками бифуркации.
Пример 2.7.1. Дано уравнение
1
<р (х) — X f (рЕ 2 (s) ds = 1.
О
1
Полагая J ср2 (s) ds ==£, получим р (х) ₽ 1-{-Х£, и исходное уравнение стано-
О
вится равносильным уравнению
Решая последнее уравнение, получим
Отсюда следует, что данное уравнение имеет вещественные решения лишь при
X 1 4. При Х</1;'4 уравнение имеет два решения, при Х = 1 4 одно решение
(кратности 2). при Х = 0 одно решение имеет вид ? (.v) — 1. а второе бесконечно.
Точка Х = 1/4 —точка бифуркации, точка Х = 0 — особая точка уравнения.
На примере рассматриваемого уравнения можно показать, чго в случае не-
линейных уравнений из существования решения однородного уравнения не сле-
дует существования бесконечного числа решений неоднородного уравнения.
Доказательство и примеры см. Трикоми [2]. См. также Красносельский [1],
Вайнберг [1].
§ 8. Сингулярные интегральные уравнения
2.8Л. Главное значение несобственного интеграла. Глав-
ным значением несобственного интеграла по отрезку [а, Ь\ функ-
ции f (лг), не ограниченной в окрестности точки с, а <_ с < Ь, на-
зывается предел (если он существует)
lim
6^0
С —£ Ъ
ij f (х) dx f (х) dx
а С е
(2.8.1)
Главное значение интеграла называют также особым или син-
гулярным интегралом. Для этого обозначения применяют сим-
волы
ь *ь ь
^f(x)dx, \f(x)dx, v. р. j/(х) dx,
а а а
(у. р. — начальные буквы слов value principale).
Пример 2.8.1. При а < х < b
Е + 1пИ-*1 |х + е] =
, Ь—х , , . Ь — х
= 1п-----р Пт Цпе — 1пе] = 1п-.
X Cl g , Q X Cl
146
ГЛ. II. интегральные уравнения
[2.8.2
Если функция f(x') удовлетворяет на отрезке [a, Z>] условию
Липшица
(х") | < К | х' - х" |", (2.8.2)
где К—постоянная, 0<asgl, х' и х"— произвольные точки
указанного интервала, то для любого х, а<х<Ь существует
ь
сингулярный интеграл^ Если функция f(t) удовлетворяет
а
на отрезке [0, 2тс] условию Липшица (2.8.2), то существует син-
2л
(* I — х
гулярный интеграл! f(t) ctg——dt,
О
Интегральные уравнения, в которых интеграл понимается в
смысле главного значения, называются особыми или сингуляр-
ными интегральными уравнениями.
2.8.2. Преобразование Гильберта — М. Рисса. Если/(.г)
удовлетворяет на (—со, с») условию Липшица с показателем
а > 0, меньшим единицы, и квадратичпо-интегрируема на (—со,
со), то имеют место двойственные соотношения
СО
gM = ~ $ 7=7 dt’ (2АЗ)
— со
со
/(х) = — i dt, (2.8.4)
— ОО
в которых интегралы понимаются в смысле главного значения.
При этом g(x) удовлетворяет тем же условиям, что и f(x).
Формулы (2.8.3) и (2.8.4) называют преобразованием Гиль-
берта— М. Рисса. Каждая из этих формул можёт рассматри-
ваться как интегральное уравнение первого рода, тогда вторая
формула дает решение этого уравнения.
Таблицы для указанного преобразования Гильберта можно найти в книге
Диткина и Прудникова [1]. Теория преобразований Гильберта (2.8.3), (2.8.4) из-
ложена в книге Титчмарша [1].
Преобразование Гильберта рассматривается и в иной форме.
Именно, интегральное уравнение
2л
1 (* /__х
2^ \ ?(z) ctg-у-dt = Ф(*)>
(2.8.5)
где <р (%) и ф (х) удовлетворяют условию Липшица с а, мень-
шими 1, на отрезке [0, 2~] и при условии
2п
ф (%) dx — О
(2.8.6)
8.8.3] $ 8. СИНГУЛЯРНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
147
имеет решение
2~
о
причем
2л
ср (.г) dx = О.
б"
(2.8.7)
(2.8.8)
По этому поводу см. Мусхелпшвили [I].
Посредством преобразования Гильберта — Рисса может быть
решено интегральное уравнение
? (-V) - rfy=/(х),
J у — л
— оо
где f (х) £ (— с», с»).
Решение этого уравнения имеет вид
»(х)
I
1 -j-
/(*) + > J
Здесь 1 -ф О, ср (х) g Z,2 (— со, со).
См. Трикоми [2].
2.8.3. Сингулярное интегральное уравнение Гильберта.
Так называют уравнение
2г.
а<? + ?(а) ctg^-4’rfo=/(s), (2.8.9)
о
в котором ядро и функция f (s) удовлетворяют условию Лип-
шица.
Если as -b‘‘ ф 0, то уравнению (2.8.9) эквивалентно урав-
нение Фредгольма
2~
Ъ2 С
{а2 4- b2} tp (s) — 2^ \ с (a) d<3 = F(s), (2.8.10)
О
решение которого есть
2"
/х а , к b С . z ч х а — s , ,
?(s) = ?+P^(s)-2K(Q2 + Z>2j VW ctg-2-Л-Ь
2“
Ь2 С
+ о А-, \ / (а) (2.8.11)
‘ 2па (а2 -\-Ъ2) л к '
148 ГЛ. II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [2.8.4
Если а2-|-62 = 0, то уравнение (2.8.9) в общем случае не-
разрешимо.
При а = О, Ь—1 получается уравнение
2~
1 Р д . с
2^ \ ? (а) ctg —у-=/(s), (2.8.12)
о
которое решается посредством применения преобразования Гиль-
берта.
Процесс приведения сингулярного уравнения к уравнению
Фредгольма называется регуляризацией сингулярного уравнения.
Если при этом исходное сингулярное уравнение и получен-
ное уравнение Фредгольма эквивалентны, то говорят о равно-
сильной регуляризации.
Так можно произвести равносильную регуляризацию урав-
нения, более общего, чем (2.8.9):
2л '2тс
(8) + ¥ (°) ctgda + § %(s> ? (а)6/0 —/(s)> (2.8.13)
о о
в котором ядро ЛГ(з,о) и f (s) удовлетворяют условию Липшица.
Регуляризуется, но не всегда, равносильно, уравнение
a(s)¥(s) + ¥ (а) Ctg da 4- AT(s, а) ср (а) da=f(s),
(2.8.14)
в котором a (s), b (s), К($, а), f (s) удовлетворяют условию
Липшица.
См. Михлин [2]. Гахов [I], Мусхелишвили [1].
2.8.4. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши.
Главное значение интеграла рассматривается и для интегралов
от функций комплексной переменной.
Сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши
называют уравнение вида
«¥(0 + -^ j уг7^ = /(0.
где L — замкнутый или незамкнутый контур, а и b—постоянные.
Интеграл понимается в смысле главного значения.
Теорию см. Мусхелишвили [I], Гахов [I], приложения —
Михлин (2), Мусхелишвили [1], Гахов Щ.
Глава 111
НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ И ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 0. Введение
3.0.1. Содержание главы. В настоящей главе излагаются
сведения о некоторых приложениях вариационного исчисления
и интегральных уравнений.
Сначала рассматриваются простейшие задачи о геодези-
ческих, затем вариационные принципы и их приложения к вы-
воду некоторых уравнений математической физики и, наконец,
приведены сведения о задаче Штурма—Лиувилля.
Соответственно рассматриваемым разделам ниже указы-
вается литература.
§ 1. Задачи о геодезических
3.1.1. Задача о геодезических в трехмерном евклидовом
пространстве. Из курса математического анализа известно, что
винтовые линии
h
х = a cos <р, у = a sin <р, z —
расположенные на цилиндре xs-!r-y2 = as, обладают геодези-
ческим свойством: расстояние между друмя точками винтовой
линии является кратчайшим расстоянием между этими точками
на цилиндре.
Ставится задача: дана поверхность
? (х, у, г) = 0 (3.1.1)
и на ней две точки А (хд, y(l, z0) и B{xlt yt, zt). Требуется про-
вести на поверхности линию, соединяющую точки А и В так,
чтобы по ней расстояние от А до В было наименьшим.
Эго—задача на условный экстремум функционала
Х1 ____________________
y^l _(-у2 (х) 4-z'2 (х) rfx (3.1.2)
150 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [алл
при условиях
<? (X, у, г) = 0,
У (хо) — Ут г (хо) = го>
z(x1) = z1.
Согласно правилу множителей Лагранжа минимизируем функ-
ционал
VI _____________
$ [ К1 + У"2 + z'2 + (*> Ук г)]
Хо
что дает уравнения
X --------, (3.1.3)
dy dx И1 4*У2 + z'2
X . Z’ . (3.1.4)
dz dx И1 +У2 + z'3
Учитывая, что фИ 4-У2 4- z'a dx = ds, получим
d<? _ d (dy ds( _d2y ds
dy ds \ds dx] — ds2 dx
и, аналогично,
.dtp d2z ds
dz ds2 dx'
Из тождества
ZdxV (dy\2 (dz\2 _
\ds] ~'~\ds) '[ds]
следует, что
dx d2x dy d2y dz d2z________
ds ds2 ' ds ds1 ' ds ds2
(3.1.5)
(3.1.6)
(3.1.7)
С другой стороны, дифференцируя (3.1.1) вдоль интересующей
нас линии, получим тождество
dtp dx dtp dy .dtp dz dx ds ' dy ds ' dzds (3.1.8)
Из (3.1.5) — (3.1.8) следует, что . dtp d2x ds dx ds2 dx ’ (3.1.9)
Из (3.1.5), (3.1.6) и (3.1.9) вытекает, что d2x d2y d2z ds2 ds2 ds2 dtp dtp dtp (3.1.10)
dx ду dz
3.1.2]
§ 1. ЗАДАЧИ О ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ
151
„ (dsx _d3v d2z\
Но вектор , - j-sf коллинеарен главной нормали, а
(сЬ ду cfe] , ,,
вектор есть вектор нормали к поверхности (3.1.1).
Следовательно, в каждой точке искомой линии направление
главной нормали совпадает с нормалью поверхности.
Для получения этого свойства главную роль играла стацио-
нарность функционала (3.1.2) при указанных выше условиях, а
не минимальность расстояния между точками А и В.
Впредь геодезическими будут называться экстремали функ-
ционала j ds, где s — длина дуги.
См. Ахиезер [1J, Лаврентьев и Люстерник [1], [2], Гюнтер {1], В. И. Смир-
нов [1].
3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверх-
ность задана параметрическими уравнениями. Пусть поверх-
ность задана уравнениями
x = ®(u, v), у = dr (и, v), z = a>(u,v). (3.1.11)
Для квадрата элемента дуги имеет место формула
ds2 = d.r2 4- dy- dz2 = Е du2 Д- 2F dudv^-G dv2, (3.1.12)
где
F — д (дУУ _L № V
[du) [du) ' [du) ’
F — d^dx дуду dz_dz^
du dv du dv ' du dv ’ ' ’ ’* '
М?У+&У<У.
\av J 1 \dvj \dvj
Геодезические определяются как, экстремали функционала
4- 2Ev' 4- Gw72 du. (3.1.14)
Пример 3.1.1, Дана сфера
х = sin б ccs ср, jy = sin 0 siп ср, z = cos 0, ds2 = d02 -f- sin2 0 dcp2.
Геодезические определяются как экстремали функционала
0i ___________
J /1+ Sin2 0 • y'V М.
00
Уравнение Эйлера—Лагранжа в данном случае есгь
Х _ sin2 0-у' _0
м V1 + sin2 e-y's
откуда
sin2 0 ср'________________________
/1 + sin2 -1’
Общий интеграл последнего уравнения имеет вид
Cl Cig 0 = cos (? + С2).
152 гл. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13.1.3
Если С1=0, то ср — const и геодезическими оказываются все меридианы сферы,
т. е. большие круги, проходящие через полюсы.
Если Ci ^0, то оэщий интеграл можно записать в виде
ctg 0 = a COS V + ₽ SIH tp«
Переходя к декартозым координатам по формулам
x = rcos^. у = г sin <р, z = rctg9 (г = Vx- j-s),
получаем
z = ах -}-
Следовательно, и в этом случае геодезическими оказываются большие круги,
получающиеся в пересечении сферы х2 * -J-у- -j- z'~ = 1 и плоскости z = ax±fiy.
См. Лаврентьев и Люстерник. Ц|- [2|.
3.1.3. Отыскание геодезических на римановых многооб-
разиях. В «-мерном евклидовом пространстве {.cb xs, ..., хп}
элемент длины дуги определяется формулой
ds2 = dx2-\-dx2-\-dx2n. (3.1.15)
Пространство, в котором элемент длины определяется формулой
п
ds2 = У *2> xn)dxidxki (3.1.16;
i, k = 1
где квадратичная форма справа — положительно определенная,
gtk—gki, gtk^xi,x^ > хп> — непрерывно дифференцируемые
функции своих аргументов, называется римановым.
Линии, вдоль которых
B$rfs=O, (3.1.17)
называются геодезическими.
Условие (3.1.17) может быть записано иначе, если геодези-
ческую параметризовать посредством параметра i:
6 Ц
« У 1 = 8 ^ = °- (З-1-18)
У» Т , '/о
Уравнения Эйлера—Лагранжа в данном случае суть
1 V 1 rf-Уг dxk_d_ \g<j_dxi~ n /4 1104
2 A*Vg dx) dt dt ^^Vg dt ~ ( ;
Если в качестве параметра взята длина дуги, то и (3.1.19)
примет вид
2 j_. dxj ds ds ds ds ' \ )
i.k i
3.2.1[ § 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ '53
Эти уравнения можно привести к виду
2d2 х, , 1 \ \i lT\dxtdxk п , оп
(зл-21)
i i, k
где
р й] _ dgn dghJ _ dgik п . 99.
L j J дхк dxi dxj- 17
Символы в левой части (3.1.22) называются символами Кри-
стоффеля первого рода.
Пример 3.1.2. Найти геодезические на цилиндре.
Пусть ось Oz параллельна образующим, а уравнения направляющей на
плоскости Оху суть х = <р (a), Y = 2(3L Выбрав в качестве параметра длину
дуги, будем иметь
ср'2 (а) + с/2 (а) = 1.
Координаты на поверхности цилиндра суть о и z, тогда
rfs2 = da% -|- dz2t
т. е. g‘n = g‘22 — I, gi2 = g"2i ~ 0- Символы Кристоффеля равны нулю, ибо все
g.^ постоянны.
Уравнения геодезических имеют вид а" = 0, откуда
o = 4j +Л,
и z” “ 0, следовательно,
z = Д1$ + Bi,
Если А ф 0, то
Z = Cg
и геодезические определяются уравнениями
х =>v (а), у — ф (ст), z — Cic-\-C2>
Это — винтовые линии.
См. В. И. Смирнов JI), Лаврентьев и Люстерник {!), [2].
§ 2. Вариационные принципы механики
3.2.1. Принцип Гамильтона—Остроградского. Пусть дана
механическая система без связей, состоящая из п точек, имею-
щих массы т2, , тп. Кинетическая энергия системы
равна
„ 1 V 17<М2 , ГаУ>\2 , tdzi\2'\
г=2-2'"4й) + т +U •
«•=1
Предположим, что система имеет силовую функцию U, завися-
щую от 3/г 1 переменных xt, щ, zt..хп, уп, гп, t, т. е. си-
ла, действующая на i-ю точку, имеет проекции на оси, соответ-
ственно равные
dU dU dU
dxi ’ dyt ' dzi'
154 гл. Ш. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.2.1
Силы инерции, имеющие проекции
dsxi с1!у, d2zi
~m‘~dt2’ ~m‘~dt2'’ ~mi~dt2
(i= 1, 2, n),
будучи приложенными к точкам системы, уничтожили бы уско-
рение системы.
Пусть движение системы определяется функциями
Х = Х{(Г), y=yi(t), Z=Z;(t) (Z = 1, 2, ..., n)
и каждая из точек получает смещение 8лг;, 8_у;, 8z,.
Вследствие принципа Даламбера совместная работа сил,
приложенных к точкам системы, и сил инерции вдоль любого
виртуального перемещения равна нулю:
Отсюда, учитывая, что
d ldxi » \ » 1
d^i
-d^'1X
(Гу, d2Zj „
и аналогичные формулы для и ог/, получим
“+,г=я i Ч-
i= 1
Если положения системы заданы для моментов t0 и tlt то вариа-
ции Ъх;, 8_у;, 8z; обращаются в нуль при t = t0 и t — t, и интег-
рирование последнего соотношения дает
ti
Ъ (T + U)dt = O. (3.2.1)
Г
Если ввести потенциальную энергию V, V =— U и функцию
Лагранжа L—T — V, именуемую также кинетическим потен-
циалом, то (3.2.1) принимает вид
t
8 ^Ldt=O. (3.2.2)
to
Мы получили принцип Гамильтона—Остроградского-, действи-
тельное движение системы выделяется из всех допустимых дви-
жений тем, что действие (по Гамильтону)
Н
$ L dt (3.2.3)
to '
3.2.1] § 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
155
имеет стационарное значение (т. е. вариация указанного функ-
ционала равна нулю).
В том случае, когда силовой функции нет, принцип Гамиль-
тона—Остроградского имеет вид
h
((8Т+М)Л = 0, (3.2.4)
'‘о
где через обозначена элементарная работа активных сил
{X;, Yi, Z,} на виртуальных перемещениях 6.г;, Ъу,, Sz;.
В той же формулировке, которая приведена выше, прин-
цип Гамильтона—Остроградского справедлив для случая, когда
движение системы подчинено голономным связям:
(*i, 5»i, ?i, • , хп, уп, zn, t) = 0 (s — 1, 2, ..., т; т < /г). (3.2.5)
Учитывая, что в формулировке принципа Гамильтона—
Остроградского фигурируют физические величины (кинетичес-
кая и потенциальная энергии, работа), его можно применять
к механическим системам с бесконечным количеством степеней
свободы, что будет иллюстрировано ниже на ряде примеров.
Здесь же покажем, что, исходя из принципа' Гамильтона—
Остроградского, можно получить уравнения динамики.
Действительно, если выполняется (3.2.2), то уравнения Эй-
лера—Лагранжа для функционала (3.2.2) суть
—~=0 (i = l, 2, .... л), (3.2.6)
dt dXi dxi 4 ’ ’ ’ ’ ’ 4 ’
и аналогично выписываются остальные уравнения. В простей-
шем случае, из которого мы исходили, получаем
dL
dxi
dL
dxt
uXi^xit
и, таким образом, получаем уравнения динамики
niiXi — Xi, mij}i=Yi, miZi = Zi. (3.2.7)
Если от декартовых координат перейти к обобщенным коорди-
натам Лагранжа
Xi=Xi(qi, qs, ..., qn, t), yl=yi(ql,qs......... 0. 1 „ e.
> (o.z.o)
^ — Zi(qi,q2,...,qn,t), J
то, учитывая инвариантность уравнений Эйлера—Лагранжа, по-
лучаем, аналогично (3.2.6), уравнения движения в форме Ла-
гранжа
dL d dL /• 1 о \ /о о
5-----г; д-г = 0 (i=l 2....п). (3.2.9)
dqi dtdq- v v '
См; Ахиезер [I], Лаврентьев и Люстерник [I], [2], Гельфанд и Фомин [1],
Курант—Гильберт [1].
156 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.2.2
3.2.2. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа
и Якоби. Допустим, что голономные связи (3.2.5) не содержат
времени t явно (голономные склерономные связи) и силовая
функция U также явно не содержит t, тогда подынтегральное
выражение функционала (3.2.2) не содержит независимой пере-
менной и потому уравнения Эйлера—Лагранжа функционала
(3.2.2) допускают первый Интеграл
п
T+U- 2 = const. (3.2.10)
i= I ‘
Так как в обобщенных координатах Лагранжа Т является одно-
родной квадратичной формой
т = S aik4i4'k (i, k=1, 2, п), aik = aki,
i, k
то имеет место соотношение
п
2’>S=2r' <3-2Л11
и (3.2.10) принимает вид
- Г-J-£7= const (3.2.12)
или
Т -|- V = const = h, (3.2.13)
т. е. сумма кинетической и потенциальной энергий (полная
энергия) сохраняет постоянное значение (имеет место закон со-
хранения энергии). Прн этих обстоятельствах, если функционал
L dt исследовать в классе линий, на которых полная энер-
гия сохраняет свое значение, имеем
L= T+U=2T-h, (3.2.14)
и принцип Гамильтона—Остроградского принимает форму прин-
ципа наименьшего действия Лагранжа- для движения рассма-
триваемой системы при заданном значении полной энергии h
имеет стационарное значение функционал (действие по Лаг-
ранжу)
dt, (3.2.15)
т. е.
ЦГЛ = О. (3.2.16)
Так как
2Тdt = /27 /27 dt = j/"dqk V2U-±2C,
3.2.4]
§ 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
157
то принципу наименьшего действия можно придать форму
Якоби
& $ УШ+h у 2 aik dqt dqk = 0, . (3.2.17)
в которой при помощи закона сохранения энергии исключено
время.
Если считать, что имеет место закон сохранения энергии,
то из (3.2.16), а также из (3.2.17) вытекают уравнения движения.
См. Ахиезер [1], Лаврентьев и Люстерник [1], [2], Курант—Гильберт [1].
3.2.3. Принцип наименьшего действия и его связь с тео-
рией геодезических. Принцип наименьшего действия в форме
Якоби, записанный в виде соотношения (3.2.17), может быть
трактован как задача о разыскании геодезических в римановом
пространстве обобщенных координат (q,, q2, ..., qn), в которых
элемент длины дуги определяется функцией
п
ds^(2U+h) 2 Sikdqidqk. (3.2.18)
i, й=1
Возможные траектории, определяемые принципом наименьшего
действия, совпадают с экстремалями функционала
j ds, (3.2.19)
т. е. с геодезическими. Так как форма
У. gik4i4h
i, k= 1
есть положительно определенная квадратическая форма, то для
функционала (3.2.17) выполнено усиленное условие Лежандра.
Если А— начальная точка геодезической, то сопряженная
с ней точка С (если таковая существует) находится от нее на
некотором, не равном нулю, расстоянии. Поэтому всякая дуга
АВ рассматриваемой геодезической, принадлежащая дуге АС,
будет давать действию по Якоби слабый минимум, и тем самым
оправдано название «принцип наименьшего действия».
Вместе с этим показано, что для достаточно малых дуг гео-
дезическая является кратчайшей линией.
См. Лаврентьев и Люстерник [I], [2], В. И. Смирнов [I].
3.2.4. Вывод уравнения малых колебаний струны. Гибкая материаль-
ная линия длины I с линейной плотностью р = р (х) закреплена в точках л‘ = 0
и х — 1. Колебания струны происходят в плоскости Охи (рис. 3.2.1), причем
в начальный момент времени форма и скорость струны известны:
« (*. = V (*)> (*. = ф (х).
158 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ |3.2.3
Струна работает на растяжение (но не на изгиб), причем работа деформа-
ции выражается произведением натяжения струны Tq на ее удлинение. Эта
работа равна
// ._______ \
т0 К 1 ^х — )'
\0 /
где интеграл в. скобке выражает длину деформированной струны, а вся скобка —
удлинение струны.
Учитывая, что колебания — малые,
член— J pFu dx. Таким образом,
О
пренебрегаем в биномиальном разложе-
нии радикала 1 членами, со-
держащими и в степени выше второй,
и получаем для потенциальной энер-
гии деформации струны выражение
I
7“ Если на струну воздейст-
0
вует внешняя сила F(x, t), рассчитан-
ная на единицу массы, то к потен-
циальной энергии следует добавить
потенциальная энергия струны равна
J и2х dx — J pFu. dx.
О О
Кинетическая энергия струны равна
I
I С . 2 .
~2 у put dx.
О
Согласно принципу Гамильтона—Остроградского
11
8 4 $ $ № ~ 7(>“х+2рЛм)dx dt==°-
to О
Отсюда следует уравнение Эйлера—Остроградского
2рр+2г°^-2^(ри/)=0
или
^(p«z)= r0l/xA.+ pf. (3.2.20)
т
Если плотность р постоянна, р(х) = ро, то получаем, обозначив — =а-,
Ро
^=as^+/r. (3.2.21)
dt- дх- 1
Если внешняя сила отсутствует, F=0, то получаем
Уравнения (3.2.20) или (3.2.21) дают уравнения вынужденных колебаний, а урав-
нение (3.2.22) — свободных колебаний струны.
3.2.5]
§ 2. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ МЕХАНИКИ
159
Мы приходим к краевой задаче:
Найти решение уравнения (3.2.20)
условиях
«U, /») = ?(*),
и краевых условиях
и (о, /) — 0,
или (3.2.21) или (3.2.22) при начальных
ut{x, /0) = <р(х)
«(/, 0) = 0.
Вывод уравнения колебания струны
Гельфанд и Фомин [1], Гюнтер [1], В.'ll.
3.2.5. Вывод уравнения колебаний
весия мембрана натянута в плоскости
Оху, ее плотность р — р (.v> г). Отклоне-
ние точек мембраны от положения рав-
новесия обозначим через и = и {х, у, t)
(рис. 3.2.2). Мембрана закреплена
вдоль своего контура; в начальный
момент t = 0 заданы положение мем-
браны
« = <р(х, у}
и скорости ее точек
дй , ,
Кинетическая энергия мембраны равна'
р и* dx dy.
при упругом закреплении концов см.
Смирнов [1], Курант—Гильберт [1].
мембраны. Пусть в положении равно-
D
Потенциальная энергия, происходящая от деформации растяжения, равна
k (х, у) 1 4- и£ и‘у — 1 ] dx dy^> J J k (u* -j- Uy') dx dy.
D D
Потенциальная энергия, происходящая от действующей на мембрану внешней
силы F(x, у, t), направленной перпендикулярно к плоскости Оху и рассчитаииой
на единицу массы, равна
— JJ pFw dx dy.
D
Таким образом, потенциальная энергия мембраны равна
D
Согласно принципу Гамильтона—Остроградского имеем
й
« J {If [р«?-*(«х + «?) + 2рЯ«]</л:^'}й = 0.
h ь
Отсюда получаем уравнение Эйлера—Остроградского
(р“/) + Д + (кПу) = °
или
г- д2и д / .ди\ , д f tdu\
+ <3-2-23>
160 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.2.6
Таким образом, уравнение вынужденных колебаний мембраны имеет аид
д2и___ 1 Г д / д_ (.
dt2 ~ р [дх \ дх j "Г ду \
а при р _ ро, ~ = а2.
Ро
д2и , /д~и , д-и\ ,
dt- \дх- д.у2 /
Уравнением свободных колебаний мембраны будет
О-и <>f<32u д2и\
dt2 а \дх- ‘ ду-J
(3.2.24)
(3.2.25)
(3.2.26)
Мы приходим к краевой задаче.
Найти решение уравнения (3.2.24)
или (3.2.25), или (3.2.26) при начальных
условиях
и (х, у, 0) = (х, V),
ди\ । /
di Ь = о=ф(^>
и краевом условии (закрепление мем-
браны вдоль контура)
и |s = °’
где S —контур мембраны.
См. Гельфанд и Фомин {И, Гюн-
тер [Ц, В. И. Смирнов [1[, Курант-
Гильберт [1|.
3,2.6. Вывод уравнения колеба-
ний стержня, заделанного на кон-
цах. Пусть стержень (рис. 3.2.3) имеет длину I, линейную плотность р (х); на стер-
жень действует сила F (х, /), направленная перпендикулярно к нему в положе-
нии равновесия, рассчитанная на единицу массы. Стержень работает на изгиб
(но не на растяжение).
Направим ось абсцисс по оси стержня и обозначим через и (х, Z) отклоне-
ние точки стержня от положения равновесия.
Начальные условия
« = ?(*), -ГТ = <Ш) “Ри < =
Краевые условия:
и (0, t} — и (/, /) = 0,
ди |
дх | х = 0
= 0.
Кинетическая энергия стержня равна
I
1 Г 2 .
J \ ptif dx.
0
Потенциальная энергия элемента стержня принимается пропорциональной
квадрату его кривизны
dx,
что для малых колебаний приближенно равно — k (х) uxxdx. Таким образом,
с учетом действия внешней силы потенциальная энергия стержня равна
I
$ [1 k (х) ихх — pFzzl dx.
0 L
3.3.11
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
161
В силу принципа Гамильтона—Остроградского
I
S J dt J (р«2 — ku3xx + 2рЛа) dx = 0.
6 0
Отсюда получаем уравнение Эйлера—Остроградского
?F-^ut}-^kuxx^’
что дает уравнение вынужденных колебаний стержня
д2и б2 / д^и\
dt2 ~~ р дх2 \ дх2)
(3.2.27)
Если р — ре* — fen»
— =а2, то (3.2.27) принимает вид
Ро
д2и
dt2
д*и
дх*
(3.2.28)
Из (3.2.27) и (3.2.28) можно получить соответствующие уравнения свободных
колебаний стержня
dt2 + р дх2 \ дх2)
<?2« , d4« п
дё+а-д^=°-
и
См. Гюнтер [I], Эльсгольц [I], Курант—Гильберт [1].
Применение принципа Гамильтона—Остроградского к выводу уравнения
колебаний пластины см. Курант—Гильберт [1], В. И. Смирнов [1], Гюнтер [1],
Гельфанд и Фомин fl]; к выводу основных уравнений динамической теории
упругости см. В. И. Смирнов [1]; к выводу основных уравнений гидродинамики
см. Вебстер [1].
§ 3. Задача Штурма—Лиувилля
3.3.1. Постановка задачи. Выше при выводе уравнений
колебаний струны, стержня, мембраны указывались те краевые
задачи, которые связаны с решением полученных уравнений.
Эти задачи решаются методом разделения переменных (ме-
тодом Фурье) следующим образом.
Пусть, например, дано уравнение
„ д'2и . -ди . ~ д2и /
Р --г + Р+ Q11 ~ > (3.3.1)
дх- дх дР ’ '
Р=Р(х)^ Ct[a, b], Q = Q(x)^C[a,b[, Р = Р(х)£ С [а, Ь].
Требуется найти решение и (х, t) уравнения (3.3.1)
^х-^Ь, удовлетворяющее краевым (граничным) условиям
аи(а, /) + ₽^^М = 0, tu(b, /) + 8^2) = 0, (3.3.2)
где а, (3, 7, 5 — постоянные, а2 -|- ₽2 0, Ф 0, и начальным
условиям
и(х, 0)=/(х), д±1^Л |^о =g(x), Hx),g(x)£C[a,b\.
(3.3.3)
162 ГЛ. Ш. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.3.2
Полагая
и = Ф (х) Т (t), (З.ЗА)
находят частное решение уравнения (3.3.1).
Подстановка (3.3.4) в (3.3.1) приводит к соотношению
+ = (335)
и так как левая часть (3.3.5) зависит только от х, а правая —
только от t, то равенство (3.3.5) возможно лишь, когда отноше-
ния постоянны:
РФ"+7?Ф' + 0Ф Г
.----! -г---—— = — = — X, X = const. (З.З.б)
Ф 7 v
Отсюда Ф и Т должны соответственно удовлетворять обыкно-
венным дифференциальным уравнениям
РФ" _|_^Ф'_|_(2Ф = —ХФ, (3.3.7)
Г" + Х7' = 0. (3.3.8)
Для того чтобы (3.3.4) удовлетворяло условиям (3.3.2), функция
Ф должна удовлетворять краевым условиям
аФ (а)+ ?Ф'(й) = 0, уФ (&)4-6Ф'(&) = 0. (3.3.9)
Мы приходим к краевой задаче (3.3.7), (3.3.9) для обыкновенного
дифференциального уравнения второго порядка, являющейся
частным случаем задачи Штурма—Лиувилля.
Ниже будут приведены условия, при которых последняя за-
дача имеет нетривиальные (ненулевые) решения Фо (х), Фх (х),...
..., Ф„ (х), соответствующие бесконечному множеству значений
параметра Хо, Хх,..., Х„, ...
Далее находят Т из уравнения (3.3.8). При Х„ > 0 это будет
Тп (t) = Ап cos |/*Хл t + Bn sin t, (3.3.10)
после чего составляется ряд
СО
2 Тп (t) Фп (X). (3.3.11)
п=0
Если этот ряд равномерно сходится и допускает почленное
дифференцирование по х и t (дважды), то его сумма и является
решением уравнения (3.3.1), удовлетворяющим условиям (3.3.2).
По заданным начальным условиям удается найти коэффициенты
Ап и Вп и, таким образом, найти решение уравнения (3.3,1),
удовлетворяющее условиям (3.3.2) и (3.3.3).
3.3.2. Задача Штурма—Лиувилля. Дано дифференциальное
уравнение второго порядка
Й + + = <ЗЛ12)
UA-
3.3.3|
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
163
где Р (х), Q (х), 7?(х)С С [a, Z>], X — параметр. Требуется найти
его решения, удовлетворяющие краевым условиям
7?! (U) = atu (а) + а2и' (а) + а3и (&) + ааи' (&) = 0, |
7?» (и) = (a) -|- ₽2и’ (а) (&) -f- fl4u' (&) = 0. J
Подстановка
f P rfx ! Pdx {Pdx
p = eJ , q = Qei , r = Pei (3.3.14)
приводит уравнение (3.3.12) к виду
W ^)+ ?(«) u = ^ («) u • (3.3.15)
Из (3.3.14) следует, что р (х) > 0 и р'(х.)б С [а, Ь]. Введем (опе-
раторное) обозначение (ср. 3.3.11).
Lu dx [Р Зх) + q (x) “ • (3.3.16)
Тогда (3.3.15) примет вид
Lu = ~t.ru. (3.3.17)
Впредь данное дифференциальное уравнение будет рассматри-
ваться в форме (3.3.15) или (3.3.17).
Из (3.3.17), (3.3.13) следует, что задача Штурма—Лиувилля
всегда имеет тривиальное решение и = 0.
Те значения X, при которых задача Штурма—Лиувилля имеет
нетривиальные решения, называются собственными значениями
этой задачи, а соответствующие им решения — собственными
функциями.
См. Привалов [1], Михлии [2], Трикоми [I], В. И. Смирнов [1|.
3.3.3. Формула Грина. Самосопряженные краевые задачи.
Проверкой легко убедиться в справедливости формулы Грина
(Lu, v) — (и, Lv) — р [u'v — uv’]\a (3.3.18)
где и = и (х) и v—v(x)— функции класса С2 [а, &]. Формула
Грина может быть записана и так:
, и (b) v(b) и (a) v (а\
(Lu, v) — (и, Lv)=p (b) — р (а) 7
У ’ и' (Ь) V (b) { ' и' (а) V (а)
(3.3.19)
Если и и v удовлетворяют краевым условиям (3.3.13), то имеют
место равенства
atU (а) + а2и' (а) + asU (b) -|- ааи' (&) = 0,
М (а) + ^и' (а) + ₽3и (Ь) + ^и' (Ъ) = 0,
«11» (а) -|- asv' (а) -|- a3v (b) + а41»’ (&) — 0,
(а) + ^v' (а) + (b) 4- (&) — 0,
164 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13.3.4
или в матричной форме,
ot; aJj||a(a) v (а)
₽i и'(а)
что дает
а4 cig и (a) v (а)
₽i ₽8 и'(a) v'(a)
— as — a4 || U (b) V (b) ||
— Зз — ы11“'(£) г',(6)1Г
“з “41 и (b) v (Ь) |
Зз ₽41 W (b) v' (b) I ’
(3.3.20)
Из (3.3.20) и (3.3.19) следует, что если
Р(») а, | ‘ = р(а) pi id “з “4 Рз ?4
(Lu, ц) = (и, Lv).
(3.3.21)
(3.3.22)
В свойстве (3.3.22) при указанных условиях заключается так
называемая самосопряженность оператора Штурма—Лиувилля.
Условие (3.3.21) выполняется для краевых условий:
А) и (а) = и (Ь) = 0.
Б) с^а (а)а2а'(а) = 0, $3и (Ь) + р4а' (&) = 0. В этом случае
«3 — = 31 — 3s = 0, «I + «I ф о, |3; + 31 Ф °-
В) и (Ь) = и (а), и' (V) = и' (а), р(Ь)=р(а) (условия перио-
дичности). Здесь а, =—1, <х3=1, 32 = — 1, 31 =1- На множе-
ствах функций, определяемых условиями А), Б), В), оператор
Штурма—Лиувилля является самосопряженным.
См. Привалов [1], Михлин [2], Трикоми Щ, В. И. Смирнов [I].
3.3.4. Функция Грина самосопряженной краевой задачи
Штурма—Лиувилля. Пусть дана самосопряженная краевая за-
дача
Lu — \ru, (3.3.23)
Ri (и) = 0, А» (а) = 0, (3.3.24)
где оператор L определен формулой (3.3.16), а выражения Ai (и)
и /?2(а) определены формулами (3.3.13). Кроме того, мы считаем,
что выполняется условие (3.3.21).
Предположим, что Х = 0 не является собственным значением
задачи (3.3.23), (3.3.24).
Функцией Грина этой задачи называется функция G (х, s),
которая, как функция х, при любом s, a^s^b, имеет следую-
щие свойства:
1) G (х, s) непрерывна на отрезке [а, Ь].
2) В каждом из интервалов a^x<s, s<x^l) функ-
ция G/x, s) имеет непрерывную вторую производную и удов-
летворяет уравнению Z.G = 0.
3) Функция G удовлетворяет краевым условиям (3.3.24).
3.3.4]
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
165
4) Первая производная функции G имеет при x = s скачок,
равный 7W:
G'(s + 0, s) — G' (s — О,
G’(S, s + o)-G'(s, s-0)=-
Функция Грина полностью определяется этими условиями.
Так как G является решением уравнений Z.G = O, то, если
известны линейно независимые решения и и v этого уравнения,
имеют место формулы
G (х, з) = Aiii BtV, a^x<s,
• G (х, s) = А2и 4- B2v, s<xtib,
где А2, Bi, В., суть функции s, подлежащие определению.
Из условия непрерывности G (х, s) и разрыва ее производ-
ной следует
A2u (s) B2v (s) = AiU (s) 4~ BiV (s),
Л2и' (s) -j- B2v’ (s) = AiU.' (s) + BiV' (s) -j- —J- .
Из этой системы однозначно определяются разности А2 — и
Д2— Bi- Подставляя теперь выражения для G(х, s) в краевые
условия, получим систему
(и) BiRi (v) — Ki,
AiR2 (и) -|- BiR2 (у) = Kb,
где Ki и K2 — известные функции, выражающиеся через найден-
ные величины А2 — Ai и В2 — Bt.
Определитель
д_ Ri(u)
отличен от нуля, так как в противном случае можно бьщо бы
найти константы Ci и С2, ие равные одновреМенКТо нул!Ь, та-
кие, что
CiRi (и) 4- C2Ri (ц) — 0, CiR2 (и) 4“ C2R2 (v) = О,
откуда
Ri (Gjiz 4“ C2v) ~ О, Rs (CjU 4“ C2v) = 0.
Таким образом, CiU-\-C2v является нетривиальной собственной
функцией, соответствующей X = 0, что противоречит предполо-
жении?..
Следовательно, Д^О и функции Вц а затем и Аг и В%,
определяются однозначно.
166 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ - [3.3.4
Функция Грина симметрична. Действительно, положив
G (х, «Д = и, G(x, s2) = t/ и учитывая (3.3.21), будем иметь
(Lu, v) — (и, Lv) — 0 =
= Р [u’v - uv'l j’1 [u’v - uv’} +p [u’v - uv’[ |*2 =
= v (Sj) — u (s2) — G (Sj, s2) — G (So, s,),
t. e. G(s„ s3) = G(s2, s,).
Если краевые условия не удовлетворяют условию самосо-
пряженности, то функция Грина не будет симметричной.
См. Привалов [1], Михлин [2], Трикоми |1], В. И. Смирнов [I].
Пример 3.3.1. Ly — у", .у (0) = у (1) = 0,
/.-О не /.вляется собственным значением. Имеем для построения функции
Грина следующие условия:
£G=0,
G (х, $) = Л1 4-при 0<х<5.
G (х, s) — Да 4" при
Utt условия непрерывности функции Грина при x — s имеем
До 4~ == Д14~ ^1-5»
из условия разрыва производной имеем В% — Bi — 1. Из краевых условий;
Д1 —0, Дз 4~ ^2 = о.
Итак. Д1 = 0, Bi = 5 — 1, Д2 = — s, B2 = sn, наконец,
(X- 1)5,
0 < X < 5,
5 < Х^ 1.
Пример 3.3.2. Ly — y’f — y, y(0)=j(l), yr (0) =у' (1).
Х=-0 не является собственным значением.
Из £_у = 0 следует у = С\ех 4~ С2в~х. Следовательно,
( Aiex A-Bie~x,
G (Х, 5) = к _
I А2ех + В2е х, 5<х<1.
Условие непрерывности G (х, 5) при x — s дает
A ,es + B!e~s = A»es + B2e~s.
Условие разрывности Gx(x, s) при x=s дает
д2е5 — B2e~s — Д^е5 4- Bie~s = 1,
Краевые условия дают
Д1 4-Bj = Дае 4" -^2® 1» Д1—Bi = Ase — В^е \
Найдя величины Д1, В^, As, В2, получим
G (хг 5)=
е-Г-5+1_|_е5-Х
2 (1-е)
eS-X-H+g-*-5
0 < X < 5,
5 < X < 1.
2 (1-е)
3.3.6] § 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛДя 167
3.3.5. Теорема Гильберта. Если f (xj £ С [а> то
ь
F(x) — G(x, s)/(s)ds - (33^5)
имеет непрерывную вторую производную, Уд0В1ртвпПя.т лн.
КГ“”,‘?л=Р""'""ю
Обратно, если функция F (х) обладает непрерывной второй
производной и удовлетворяет краевым условиям 7? (Л==0
/?2(^) = 0, то существует такая непрерывная функция/(х), что
ь
Л (а) = $ G(x, s)/(s) ds,
а
а именно, /= LF.
Доказательство проводится посредством проверки того, что
(3.3.25) действительно удовлетворяет указанным дифференциаль-
ному уравнению и краевым условиям.
Если в формуле (3.3.25) положить /(х) = X г (х) и (х),
/?(х)=п(х), то получим интегральное уравнение
ь
и (х) = X || G (х, s) г (s) и (s) ds, (3.3.26)
а
эквивалентное краевой задаче Lu — tru, /?, (и) = 0, /?2(п) = 0.
См. Привалов [1J, Михлин [2], Трикоми П], В. И. Смирнов [I].
3.3.6. Эквивалентность самосопряженной задачи Штур-
ма—Лиувилля симметричному интегральному уравнению.
Применяя формулу Грина с v = G (х, s), имеем
5 Ь
(Lu, G) = (Lu, G) - (и, LG) = + j {P (x) [u'G - uG']}' dx =
—pu'G I*— puG' |£ - puG' |s =
= pu'G J* - puG' \ba + p (s) и (s.) [G' (s + 0, s)—
— G' (s —0, s)] =
— p (u’G — uG'( j* + и (s). (3.3.27)
В силу самосопряженности краевых условий
p(u'G - uG') \ba = 0,
а так как Lu = Lru, то из (3.3.27) следует, что и удовлетворяет
интегральному уравнению
ь
- и (х) = X г (s) G (х, s) и (s) ds. (3.3.28)
а
168 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13.3.7
Последнее уравнение имеет несимметричное ядро. Однако в слу-
чае, когда г (х) > 0, уравнение
___ ь ________ _____
Yr-fx) и (х) = A G (х, s)Kr (х) г (s) Кг (s) a (s)ds (3.3.29)
а
является симметричным интегральным уравнением с ядром
К (х, s) = G (х, s') Yr (х) г (s) •
Обратно, решение уравнения (3.3.29) или (3.3.28) является ре-
шением самосопряженной задачи Штурма—Лиувилля.
3.3.7. Свойства собственных значений и собственных
функций самосопряженной задачи Штурма — Лиувилля.
Исходя из общих свойств дифференциальных уравнений второго
порядка и симметричных интегральных уравнений, можно уста-
новить следующее.
1. Существует бесконечное множество собственных чисел и
все они действительны.
2. Каждому собственному числу соответствует не более двух
линейно независимых собственных функций и все они образуют
ортонормированную систему с весом г (х):
ь
г (х) ип (х) ит (х) dx = 0, п^т,
а
b
j Г (X) ит (х) dx= 1 (от= 1, 2, ...).
а
3. Если ряд У --равномерно сходится, то его
п— 1
су-мма равна G(x, s).
Указанный ряд всегда сходится в среднем к G(x,s).
4. Всякая функция вида
t>
F (х) = G (х, s) г (s) Н (s) ds
а
разлагается в абсолютно и равномерно сходящийся ряд Фурье
по собственным функциям
F(*) = У, ^««(х),
п=1 п=I
где
ь ь
Fn = \r (s) F(s)un (s) ds, — (s) un (s) ds.
a a
3.3.8]
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
169
5. Если f(x)£C\a,b} обладает кусочно-гладкой (возможно,
разрывной) производной и удовлетворяет краевым условиям за-
дачи, то ряд Фурье по собственным функциям сходится к f (х)
абсолютно и равномерно.
6. Если /(х)—кусочно-гладкая иа [а, Ь] функция (разрыв-
ная или непрерывная), то ряд Фурье функции /(х) по собствен-
ным функциям сходится в открытом интервале а < х <Ь и
имеет своей суммой / (х) в каждой точке непрерывности и зна-
/(х + 0)+/(х-0)
чение -----1~' В каждой точке разрыва .
7. Система собственных функций полна в классе £! (а, Ь).
См. Привалов [I], Михлин [3], Трикоми [I], В. И. Смирнов [I], Толстов [1].
3.3.8. Знак собственных значений. Пусть рассматривается
самосопряженная задача
Lu=Xru, (3.3.30)
Rl(u) = 0, ^(и) = 0. (3.3.31)
Из (3.3.30) следует, что
ь ь ь
X ru2 dx = Lu и dx = [(pu’)' -f- qu\ и dx =
a a a
b b
— puu' \ pu's dx 4- \ qu“ dx. (3.3.32)
a a
Если Хл— собственное значение, а ип—соответствующая собст-
венная функция, то из (3.3.32) следует
ъ ь
- •/.„ = — рипи’п \ba + j ри'2 dx - j qu\ dx. (3.3.33)
a a
Из (3.3.33) следует, что при r(x)>0, q^O и Рипи'п\ьа^~0 все
Хл неположительны.
Если же r(x)>0, q (х) — произвольная непрерывная функ-
ция и рипи^ь — 0, то, учитывая непрерывность функции—qlr
на [а, Ь] и обозначая через т наименьшее значение этой функ-
ции, получим
ь ь ь ь
— Хл = pu'^dx4~ ------ • ru2n dx • pu'2dx4-т ru2ndx '• т,
а а а а
откуда Хл —т. В этом случае существует наибольшее соб-
ственное значение и, следовательно, конечное число положи-
тельных собственных значений.
Если г(х)<0 и рипи'п \ ь = 0, то имеется лишь конечное
число отрицательных собственных значений, а при г (х) < 0,
q (х) < 0, />илил|л=^0 все собственные значения положительны.
См. Привалов [1], В. И. Смирнов [1], Толстов [1].
170 гл. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.3.9
3.3.9. Неоднородная краевая задача. Пусть дано дифферен-
циальное уравнение
Lu = Xru g (3.3.34)
и самосопряженные краевые условия
LG (и) = О, R„ (и) = 0. (3.3.35)
Неоднородная краевая задача (3.3.34), (3.3.35) эквйвалентна не-
однородному интегральном)' уравнению
ь
и (х) = L f G (х, s) г (s) и (s) ds -\-f(x), (3.3.36)
а
b
где и (х) непрерывна и/(х) = ^ G(x, s)g(s)ds. Уравнение (3.3.36)
а
может быть симметризовано путем умножения обеих частей на
^(х) (предполагается, что г (х) > 0):
ь
У г (х) и (х) = X G (х, s) У г (х) г (s) У г (s) и (s) ds + У г (х)/(х).
а
(3.3.37)
Уравнение (3.3.37) есть симметричное неоднородное инте-
гральное уравнение.
На основании альтернативы Фредгольма можно утверждать,
что либо при данном X однородная краевая задача имеет лишь
тривиальное решение, и в этом случае неоднородная краевая
задача имеет решение, и притом единственное, при любой функ-
ции g; Либо для значения X = Х; однородная краевая задача имеет
нетривиальные решения (не более двух), и тогда для разрешимо-
сти неоднородной краевой задачи необходимо и достаточно, чтобы
выполнялись соотношения
ь
г (х) и, (х) g (х) dx = 0
1 а
для всех собственных функций цг, принадлежащих собственному
значению Х;.
См. Привалов [1]«
3.3.10. Обобщенная функция Грнна. Пусть самосопряжен-
ная задача Штурма—Лиувилля
Lu == Хги, (3.3.38)
Rt (и) = 0, /?2 (и) = 0 (3.3.39)
имеет своим собственным значением X = 0, т. е. система
Lu — О, /?,(и) = 0, /?2(и)=0 (3.3.40)
3.3.101
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
171
имеет нетривиальное решение. Обозначим это .решение и0(х).
В этом случае построение обычной функции Грина невозможно
и строится обобщенная функция Грина G* (.г, s), определяемая
следующими свойствами:
1. G* (х, s) непрерывна на отрезке [а, .£] при каждом фикси-
рованном значении s, а < s < b.
2. В каждом из интервалов a«gx<s, <<xF:fj функ-
ция G* (х, s) имеет непрерывные производные первых двух по-
рядков и удовлетворяет уравнению Lv=,— и„ (х) и„ (s).
3. G* (х, s) удовлетворяет краевым условиям (3.3.39).
4. Производная функции G* при x = s имеет скачок, рав-
ный —, т. е.
Р(«) ’
G* (s -f- 0, 8) — G* (8 — 0, 8) =-U-.
1 ’ х V ’ p(s)
5. Функция G* ортогональна к иа (х), т. е.
ь
§ G* (х, з) г (s) u0 (s) ds = 0.
а
Указанными свойствами обобщенная функция Грина опре-
деляется единственным образом.
Кроме того, имеет место симметричность обобщенной функ-
ции Грина.
В случае, когда собственному числу X —0 соответствуют
две собственные функции и„ (х) и и± (х), которые можно считать
ортонормированными, построение обобщенной функции Грина
несколько изменяется. Функция. Грина G* (х, s) должна удовлет-
ворять уравнению
Lv — — и,; (х) u0 (s) — щ (х) u, (s);
функция Грина G* (х, s) должна быть ортогональной к и0(х) и
u'l (х).
Если и (х) непрерывна, то утверждение, что и имеет непре-
рывную вторую производную, причем /.tt = Xru,
R2(u) — 0, X 0, равносильно утверждению, что
ь
и (х) = X G* (х, s) г (s) и (s) ds.
а
Теорема разложения имеет следующую форму. -
Если F(x) HMeeT непрерывную вторую производную, удов-
летворяет краевым условиям (и) = 0, /?,(и) = 0 и ортого-
нальна к и„ (х), то
Р(х> = У (х),
п = 1
где
, ь
Г'п = \г (х) F (X) ип (х) dx,
а
причем ряд сходится абсолютно и равномерно.
172 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.3.10
Наконец, неоднородная краевая задача
Lu — \ru -j- g, /?! (iz) = 0, R2(u) = 0,
где
ь
§ g(x) r (x) u0 (x) dx = 0,
a
а и (x) имеет непрерывную вторую производную, эквивалентна
неоднородному интегральному уравнению
ь
и (х) = X $ G* (х, s) г (з) и (s) ds + /(х),
а
ь
где и (х) непрерывна и /(х) =$G*(x, s) g(s) dx.
a
См. Привалов |1], Курант—Гильберт [1], В. И. Смирнов £1].
Пример 3.3.3. Lu = и", и (0) = и (1), и’ (0) = и' (I).
Х = 0 является собственным значением, соответствующая собственная функ-
ция z/о = const = с.
Обобщенная функция Грина должна удовлетворять уравнению и" = — с2,
и потому имеет вид
(Л1 В^х — у х2, 0 < х < $,
2
А 2 + &2Х — X2, 5<Х^1. Z
Из условия непрерывности G* (х, s) при х — s имеем
из условия разрыва производной G* (х, $) следует, что
В2-В1;= 1.
Из краевых условий следует
= Л2 -J- В2 — 2" ’ = В2 — с2.
Полученные соотношения дают: с2 = 1, Bi = s — 1/2, В2 = $4-1/2. Д2 — At =»
1
»—$. Условие ортогональности | G* (х, s)H(jds = O дает
0
!Н-4)Н 0 откуда и, наконец. ( — G* (х, s) = < 1 dx+ $ [Л2 + (s +4) х~ V’] ^- = о, S a. = _s2_± _1 2 2 2 12 0-=x<s 2 2 ' 12' " A
3,3.11]
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
173
3.3.11. Экстремальные свойства собственных значений и
собственных функций. Как указывалось выше, решение само-
сопряженной задачи Штурма—Лиувилля может быть сведено
к решению эквивалентного ей симметричного интегрального
уравнения. В п. 2.3.11 были приведены экстремальные свойства
характеристических чисел и собственных функций симметричных
интегральных уравнений. Этими же свойствами обладают соб-
ственные значения и собственные функции самосопряженной за-
дачи Штурма—Лиувилля.
Ниже приводятся экстремальные определения собственных
значений и собственных функций, использующие минимизацию
некоторых функционалов.
Пусть дана самосопряженная задача Штурма—Лиувилля:
Lu-\-'Kra — 0, Lu = (pu'y — qu, (3.3.41)
«!«'(“) + «2п(а) = °, “I+ “1^0,1
₽!«' (Й) + M (0 = 0, И + Pf^O, /
p=p(x), p' (x) С C [a, ft], q(x)£C[a,b], r(x)£C[a,b],
r (x) > 0.
Собственное значение Хл задачи (3.3.41), (3.3.42) равно наимень-
шему значению функционала
ь ь
(— Lu, и) — — uLu dx = — [рии']а (Ри'2 + ?п2) dx (3.3.43)
а а
на множестве функций, дважды непрерывно дифференцируемых
на отрезке [а, Ь] и удовлетворяющих краевым условиям (3.3.42),
а также условиям
ь
^ra2dx=\ (нормировка), (3.3.44)
а
а
ь
^ruUidx — 0 (Z=l, 2, ... , /2—1) (ортогональность). (3.3.45)
а
При этом
Хл = (—£ил, ип). (3.3.46)
Здесь ип обозначает собственную функцию, соответствующую
значению Хл.
См. В. И. Смирнов ,1].
Замечание. В ряде руководств в качестве оператора принимается либо
Lu = — (рп')г + qu,
либо
Lu (ри'У -|- qu.
Соответственно выбору оператора L изменяются1 приведенные выше формули-
ровки.
174 гл. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.3.11
Куранту принадлежит максимально-минимальное определение
собственных значений, не использующее последовательного оты-
скания собственных функций. Именно: пусть т (vt.....t^-i) есть
наименьшее значение функционала
Lu' “ (3.3.47)
(ги, и) '
'на множестве дважды непрерывно дифференцируемых функций,
удовлетворяющих краевым условиям (3.3.42) и условиям ортого-
нальности
ь
ruVj dx = 0 (i = 1, 2, ... , п — 1), (3.3.48)
а
где «1 (х), ... , (лг) — произвольные кусочно-непрерывные на
отрезке [в, &] функции с интегрируемым квадратом. Тогда п-е
собственное значение ?.я задачи (3.3.4]), (3.3.42) совпадает с наи-
большим значением величины т (vLl vs, ... , vn_1) при произволь-
ном выборе функций («п у2, ... , причем
Хя = т(и1, и.,, ... , un_t). (3.3.49)
См. Курант—Гильберт [I]. В. И. Смирнов [I], Ахиезер [I], Лаврентьев и
Люстерник [1], [2].
Исходя из экстремального определения собственных значе-
ний, можно получить ряд их свойств.
Рассмотрим задачу Штурма—Лиувилля:
£и-|-Хги = 0, (3.3.41)
а.и' (а) — адг (а) =0, )
- 7 ’ ’ ' 7 ’ J (3.3.42')
(&) -f- (b) = о, J
“1, ftiSsO, a®-f-zjzf: 0, ф 0.
При изменении коэффициентов р (х) и q (х) в определенную
сторону собственные значения меняются в ту же сторону.
При изменении коэффициента г (х) в определенную сторону
собственные значения меняются в противоположную сторону.
Из этих свойств вытекает возможность получить оценку для
собственных значений.
Пусть дана задача Штурма—Лиувилля
Lu 4- \ги = 0, (3.3.41)
и(а) = и(Ь)=0. (3.3.42")
Наряду с ней рассмотрим задачи
Ртах11 4“ = 0>
и (а) = и (Ь) = 0
й
РщР' ~ 9minu + Ч1ах« == °>
и (а) = и (Ь) — 0.
Здесь = max р (х), и т. д.
а^х^Ь
3.3.111
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
175
Обозначив собственные значения приведенных выше трех
задач соответственно через Х_, Х*11, X'2’, получаем
Х^’^Х^Х'О.
Но
Алях и2л2
Х<п — \ш-ах-______L п
П ''min
и, аналогично,
_____________________^min " 71 .
* “'"шах </ -
Следовательно,
/'min Апах
Снах (b-Oy-^q'™^ ^rmin {b — а)'2 ' qт'м'
Отсюда и из теоремы Штурма о разделении нулей следует су-
ществование бесчисленного множества собственных значений
у исходной задачи Штурма — Лиувилля, а также то, что
Хи — + оэ при п —> 03.
Здесь и далее рассматривается задача (3.3.41), (3.3.42). Вели-
чина собственных значений зависит от пределов интеграции.
При уменьшении отрезка [а, 6] собственные значения не убы-
вают. Из полученной выше опенки следует, что если собствен-
ное значение рассматривать как функцию правого конца интер-
вала [а, 6]
то
^л(^)-^ + оо при Ь~*а.
Если же b возрастает, то Х„ (Ь) при этом монотонно убывает.
Собственная функция ип (х), отвечающая ц-му по величине
собственному значению Х„ (Ь), обращается п—1 раз в нуль
внутри интервала (а, Ь).
Приведенная выше теория распространяется иа обобщен-
ную задачу Штурма — Лиувилля
J._ [р____— F У — /л>-
2k \ У dx У ) — У
У,<а)=У(Ь)=О,
где F(x, у, у') — однородная функция четной степени 2k. Пред-
полагается, что Fy,v, >0 при любых у и у' при 2k = 2 и
Fy,y. >0 при у--\-у'-рЬО для 2k >2.
В этом случае:
1) . Существует счетная последовательность Xt <; Х2 < ...
... <kn< ••• вещественных собственных значений.
2) Числа /„ растут как п-к.
176 гл. 111. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 13.3.12
3) Нули двух разных решений уравнения перемежаются.
4) Собственная функция уп(х), отвечающая n-му по вели-
чине собственному значению Х„, обращается п— 1 раз в нуль
внутри интервала (а, Ь).
5) Расстояние между двумя смежными нулями собственной
функции уп (х) заключено между cjn и c2/n, clt с2 > с, > 0.
6) Назовем «сопряженными» два нуля любого нетривиаль-
ного решения уравнения Fv — — Для того чтобы функ-
ционал
ь
= \ F(x, у, у') dx
а
был положительным, т. е. J (yi) > 0, у (х)^ёО, необходимо и до-
статочно, чтобы закрытый справа интервал (a, Z>] не содержал
значений, сопряженных к а.
7) Для того чтобы данное уравнение имело ровно k отри-
цательных собственных значений, необходимо и достаточно,
чтобы интервал (а, Ь) заключал ровно k значений, сопряжен-
ных к а.
8) Среди собственных функций уп (х) есть бесчисленное
множество линейно независимых.
См. Лаврентьев и Люстерник [1], Люстерник [1].
3.3.12. Метод Ритца. Используя экстремальные определения
собственных значений, приведем несколько примеров прибли-
женного вычисления их. Заметим, что фигурирующий в этих
примерах квадратический функционал—положительно опреде-
ленный, что обеспечивает применимость метода Ритца.
Пример 3.3.4. Найти приближенно первое собственное значение
задачи
у" + Х2> = 0,
У(-1) = v(I) = 0.
Заметим, что здесь Ly ==>", г (х) < 1,
1 1 1
(— Ly, у) = — J у"у dx = — уу' [ * Ч- J у'2 dx = J y'^d х.
-I -1 -1
Так как
х
У(х) = J у' (f) dt,
-1
то применение неравенства Буняковского — Шварца дает
/ X \ 2 X X
у2 (X) =I f у' и dt I 5g f у* И) dt f dt,
\— I / -1 -1
откуда
I 1 1
У2 (x) 2 J y2 (x) dx, J v2 (x) dx 4 J y'2 (X) dx.
-1 -1 . -1
3.3.12]
§ 3. ЗАДАЧА ШТУРМА - ЛИУВИЛЛЯ
177
Следовательно,
1
-1
y*dx,
1
(-Ly, dx,
— I
т. e. функционал (— Ly, у) — положительно определенный. В качестве прибли-
женного значения Х2 примем (ср. (3.3.47))
(- Ly, у)
(J.» ‘
Положим у = С (1 — х2). Эти функции удовлетворяют краевым условиям н
условиям дифференцируемости.
Имеем
I
J 4хI 2 dx
J (1 — x^dx
— 1
мизация
В данном примере точное значение Х2 есть (тс/2)2 2,46740.
К решению этой же задачи можно подойти и следующим образом. Мини-
I 1
функционала J y'2dx при условиях у (— 1) =у (1) = 0 и J y2dx~ 1
является
изопериметрической задачей и сводится к минимизации функционала
J = J (у'2 — UjS) dX.
О h_Q 9 b
последовательность функций = x — x (k = 1, 2, ... ) и будем
Возьмем
минимизировать J иа функциях
п
k = \
Ограничиваясь первым членом последнего выражения, получим
ЦЗ 15 J’ dct
О,
и так как должно быть ^5 0, то, как и выше, получаем
Х2 = 2,5.
Если ВЗЯТЬ у = C1U1 + CgWg» то
dJ
dci Ci
dJ
дсг C1
\ „ /8 16 , Л , s / 88
J+ 1СЦ15-Т05Х J + CS(i05
45 32kl j. и <16 32
J "I5X ) + C2 ( 15 — 105 X ) =
Is- 32 wk, 7176 32 M
15 T® Р + С2(чГб5 “315 X
0.
178 гл. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ’ИСЧИСЛЕНИЯ (3.3.12
Условием существования ненулевых решений ci, с% последней системы является
равенство нулю определителя полученной системы, т. е.
16 _ I2 (I™ _ 32 v\ _
3 15 / \105 315 } \15
откуда
Х4_ 28X2 4-63 = О
2,46744,
Х5 25,53256.
Полученное значение для Xj — весьма точное, тогда как для второго собствен-^
кого значения (= (3"/2)- 22.20661) получено грубое приближение.
Пример 3.3.5. Найти первое собственное значение задачи
У'4-.Х (1 4-л-2) у = о,
>’(-!)=> (1) = 0.
Имеем
!
Р W 1, q (л-) 0, Г = 1 4- х2, (—Ly, у) — J у'-'dx.
-1
Как н в примере 3.3.4, в формуле
1
J у'2 dx
. (- Lv, у) -1
1 (>. У) ~ 1
J U + X2) У2 dx
— 1
полагаем j = с (1 — л2) и получаем Х].^ 2,1875.
Если для отыскания X/ применить метод Ритца, используя последователь-
ность функций ~ I ~ x2k (А = 1, 2, ... ), то, принимая
У = cL (1 — xS)-|- с2 (1 — х*)
и минимизируя функционал
1
J == J (У2 — X (1 + х2) >2] dx,
-1
Из условия существования ненулевых решений ci, с$ последней системы
получим
(L „ 128 Л № 5888 \ _ /1? _ ~ хY
^3 105 А 7 3465 /"А 5 45 )
или
52Х2 - 1068Х 4- 2079 = 0,
откуда, взяв меньший корень, найделг Хх == 2,1775.
3.3.13] § 3. ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ
179
3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей
задаче вариационного исчисления. Вторая вариация функ-
ционала
J(y) = у, У) dx, у(а) = А, у (Ь)=В,
а
имеет вид
ь
S2J = (Рт? Л??]'2) dx, vj (а) = т] (b) = О,
а
где
Р = F , „ р— F------------— F ,
УУ’ уу dx ’
Пусть Р>0, а-У-хх'-Ь.
Для того чтобы функционал о2/ был положительным, не-
обходимо и достаточно, чтобы его наименьшее собственное зна-
чение было положительным: Д (Z>) > 0. Можно показать, что
в этом случае имеет место неравенство
й ь
dt j -rf dx + d2 j у;'2 dx, dY > 0, d2 > 0.
a a
Уравнение Эйлера—Лагранжа для функционала есть
уравнение Якоби и является частным случаем уравнения
Штурма—Лиувилля при 7 = 0. Пусть А (а, х) — нетривиальное
решение уравнения Якоби, для которого А (а, а) = 0, \'х (а, а) — 1.
Сопряженным с а значением называют корни уравнения
А (а, х) = 0, отличные от а.
Для того чтобы все собственные значения были неотрица-
тельными, 7-/г Д :: 0, необходимо и достаточно, чтобы интер-
вал (а, Ь) не заключал значений, сопряженных с а.
Для того чтобы все собственные значения (6) были
положительными, необходимо и достаточно, чтобы закрытый
справа полуинтервал (а, Ь] не заключал значений, сопряжен-
ных с а.
Последнее утверждение эквивалентно достаточному условию
Якоби для минимума функционала в простейшей задаче, вариа-
ционного исчисления.
Именно, если у — стационарная точка функционала J(у), то
ь ь
(у + tj) - J (у) = $ [Ртр + ру2] dx + [м2 + М'Ч dx = .
а а
Ъ
— irJ j [Sj-n2 г»7)'2] dx,
> а
где ef + e| —0 при |h 0, [h || = max ( Ы, I Д I )•
а^х^Ъ
180 ГЛ. III. ПРИЛОЖЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [3.3.13
Если интервал [а, А] не содержит сопряженных с а точек,
то 6V>0 для любого т; 0. В таком случае для достаточно
малых ||’ll!, в силу приведенного выше неравенства,
4/3:0,
т. е. у доставляет минимум функционалу J (>).
Связь между наличием сопряженных точек и существованием
отрицательных собственных значений функционала S2/ позволяет
установить необходимое условие Якоби для минимума функци-
онала J (у) (см. 1.1.9). Именно, если внутри интервала (а, Ь)
существуют значения, сопряженные а, то существуют отрицатель-
ные собственные значения функционала 82/, т. е. вторая вариация
может принимать и отрицательные значения. В таком случае
функционал Jlyt не имеет минимума в рассматриваемой точке.
См. Лаврентьев и Люстерник [1], Гельфанд и Фо*мин [1].
ЛИТЕРАТУРА
Арсенин В. Я.
1. Математическая физика, М., «Наука», 1966.
Ахиезер Н. И.
1. Лекции по вариационному исчислению, М., Гостехиздат, 1955.
Бейтмен Г. и Эрдейи А.
1. Таблицы интегральных преобразований, т. 1 (серия «СМБ»), М., «Наука»,
1969.
Веллман Р.
1. Динамическое программирование, М., ИЛ, 1960.
2. Процессы регулирования с адаптацией, М., «Наука», 1964.
Веллман Р., Гликсберг И., Гросс О.
1. Некоторые вопросы математической теории процессов управления, М.,
ИЛ, 1962.
Веллман Р., Дрейфус С.
1. Прикладные задачи динамического программирования, М., «Наука», 1965.
Березин И. С., Жидков Н. П.
1. Методы вычислений, т. П, нзд. 2, М., Физматгиз, 1962.
Блисс Г. А.
1. Лекции по вариационному исчислению, М., ИЛ, 1950.
Болтянский В. Г.
1. Достаточные условия оптимальности и обоснование метода динамиче-
ского программирования, Изв. АН СССР, серия матем. 28, № 3 (1964),
481—514.
2. /Математические методы оптимального управления (серия «Физико-матема-
тическая библиотека инженера»), изд. 2, перераб., М., «Наука», 1969.
Вайнберг М. М.
1. Вариационные методы исследования нелинейных операторов/М., Гостех-
издат, 1956.
Вайнберг М. М., Треногин В. А.
1. Теория ветвления решений нелинейных уравиений, М„ «Наука», 1969.
Вебстер А. Г.
1, Механика материальных точек твердых, упругих и жидких тел, М.—Л.,
ГТТИ, 1933.
В и а р д а Г.
1. Интегральные уравнения, М.—Л., ГТТИ, 1933.
Владимиров В. С.
1. Уравнения математической физики, М., «Наука», 1967.
В у л и х Б. 3.
1. Введение в функциональный анализ, М., Физматгиз, 1958.
Гантмахер Ф. Р.
1. Лекции по аналитической механике, М., Физматгиз, 1960.
Г а х о в Ф. Д.
1. Краевые задачи, М., Физматгиз, 1963.
Гельфанд И. М.
1. О формуле преобразования Фурье, «Математическое просвещение», вып.
Гольштейн Е. Г. и [Один Д. Б.
1. Задачи линейного программирования транспортного типа (серия «Эконо-
мико-математическая библиотека»), М., «Наука», 1969.
Г у р с а Э.
1. Курс математического анализа, т. П1, ч. 2, М.—Л., ОНТИ, 1934.
182
ЛИТЕРАТУРА
Гюнтер Н. М.
1. Курс вариационного исчисления, М.-Л., Гостехиздат, 1941.
Д е ч Г.
1. Руководство к практическому применению преобразований Лапласа, изд.
3. М., Физматгиз, 1958.
Диткин В. А., Кузнецов П. И.
1. Справочник по операционному исчислению. *М.—Л.. Гостехиздат,
1951.
Диткин В. А.. Прудников А. П.
1. Интегральные преобразования и операционное исчисление (серия «СМБ»),
М.. Физматгиз. 1961.
ЗабренкоП. 11.. Кошелев А. И.. Красносельский А.. М их-
л и н С. Г., Р а к о в гц и к Л. С., Стеценко В. Я»
1. Интегральные уравнения (серия «СМБ»), М., «Наука», 196S.
Зуховицкий С- Й., Авдеева Л. И.
1. Линейное и выпуклое программирование, изд. 2, перераб., М.. «Наука»,
1966.
Камке Э.
1. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям, изд. 2.,
М., «Наука», 1965.
Канторович Л. В., Крылов В. И.
1. Приближенные методы высшего анализа. М. , Физматгиз. 1962.
Канторович Л. В., Крылов В. И.. Смирнов В. И.
1. Вариационное исчисление. М. , «Кубуч», 1933.
Карпелевич Ф. И.. Садовский’Л. Е.
1. Элементы линейной алгебры н линейного программирования, изд. 2, М.,
«Наука». 1965.
Керимов М. К.
1. К теории разрывных задач с подвижными концами в пространстве. ДАН
СССР. 1961. т. 136, вып. 3.
2. То же (фр.). Чехословацкий математический журнал, т. 11 (86). 1961.
3. О достаточных условиях экстремума в разрывных вариационных задачах
с подвижными концами, ДАН СССР, 1952, т. 84, № 2.
4. О двумерных задачах вариационного исчисления. Труды Тбилисского
матсм. ин-та. т. 18, 1951.
К о л л а т ц Л.
1. За*ачи на собственные значения, М., «Наука», 1968.
2. Функциональный анализ и вычислительная математика, М., «Мир», 1969.
Колмогоров А. Н. и Фомин С. В.
1. Элементы теории функций и функциональногоанализа, М., «Наука», 1968.
К о р и Г. и К о р в Т.
1. Справочник по математике (для научных работников и инженеров), М.,
«Наука». 1968,
Краснов М. Л., Киселев А. И., Макаренко Г. И.
1. Интегральные уравнения, М., «Наука», 1968.
Красносельский М. А.
1, Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений,
М., Гостехиздат, 1956.
Курант Р., Гильберт Д.
1. Методы математической физики, т. 1 и II, М.—Л., Гостехиздат, 1951.
Куликовский Р.
1. Оптимальные и адаптивные процессы в системах автоматического регули-
рования, М., «Наука», 1967.
Леви П.
1. Конкретные проблемы функционального анализа, М., «Наука». 1967.
Л е й т м а н Д.
1. Введение в теорию оптимального управления, М., «Наука», 1968.
Летов А. М.
1. Динамика полета и управление, М., «Наука», 1969.
Литовченко И. А.
1. Сб. «Итоги науки», изд-во АН СССР, 1964.
Л о в и т т У.
I. Интегральные уравнения, М., Гостехиздат, 1957.
Люстерник Л. А.
1. Об одном классе нелинейных дифференциальных уравнений, Матем. сб.,
т. 2 (44): 6. 1937.
2. Замечания к некоторым вариационным задачам, Ученые зап. МГУ, вып 11,
1934.
ЛИТЕРАТУРА
183
3. Про деяк! нелшшш равнинна з осцилящйними розв'язками, Записки науково-
дослщного шституту математики й мехашки лДУ й Харк1вського матема-
тичного товариства, т. XIV, 1937.
Люстерник Л. А. и Соболев В. И.
1. Элементы функционального анализа, М., «Наука», 1965.
МерриэмК.
1. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью, М.,
«Л1ир», 1967.
Михлин С. Г.
1. Вариационные методы математической физики, М.. Гостехнздат, 1957.
2. Интегральные уравнения. М.—Л., Гостехнздат, 1949.
3. Лекции по линейным интегральным уравнениям, М., Физматгнз, 1959.
4. Прямые методы в математической физике, М.—Л., Гостехнздат, 1950.
5. Численная реализация вариационных методов, М., «Наука», 1966.
6. Курс математической физики, М., «Наука». 196S.
Михлин С. Г., Смолицкий X. Л.
1. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных урав-
нений (серия «СМБ»), М., «Наука», 1965.
Мор рей Ч. Б.
1. Нелинейные методы, в кн. под редакцией Э. Ф. Беккенбаха, Современная
математика для инженеров, гл. 14, М., ИЛ, 1958.
Морс Ф. М., Фешбах Г.
I. Методы теоретической физики, т. 1 и II, М.» ИЛ, 1958.
Мусхелишвили Н. И.
1. Сингулярные интегральные уравнения, М.—Л., Гостехнздат, 1946.
П е т р о в "Ю. П.
1. Вариационные методы ошимального управления, М.—Л., «Энергия»,
1965.
Петровский И. Г.
1. Лекции по интегральным уравнениям, изд. 3, М., «Наука», 1965.
Полак Л. С.
1. Вариационные принципы механики, М., Физматгнз, 1959.
П о л о ж и й Г. Н.
1. Уравнения математической физики, М., «Высшая школа», М., 1964.
Положим Г. К., Пахарева Н. А., Степаненко И. 3., Бонда-
ренко П. С., В е л и к о и в а н е н к о И. М.
I. Математический практикум, М., Физматгнз, 1960.
Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Ми-
щенко Е. Ф.
1. Математическая теория оптимальных процессов, М., Физматгнз, 1961.
Привалов И. И.
1. Интегральные уравнения, М.—Л., ОНТИ, 1937.
Романовский П. И.
1. Общий курс математического анализа в сжатом изложении, гл. VIII, М..
Физматгнз, 1962. v
Рыбников К. А.
1. Первые этапы развития вариационного исчисления, Историко-математиче-
ские исследования, вып. 11 (1949), 335—498.
Сансоне Дж.
1. Обыкновенные дифференциальные уравнения, М., ИЛ, 1953.
Смирнов В. И.
1. Курс высшей математики, т. IV, М.—Л., Физматгнз, 1958.
2. Курс высшей математики, т. 11, М.—Л., «Наука», 1965.
Смирнов Н. С.
1. Введение в теорию нелинейных интегральных уравнений, М.—Л., ОНТИ,
1936.
Снеддон И.
1. Преобразования Фурье, М., ИЛ, 1955.
Титчмарш Е.
1. Введение в теорию интегралов Фурье, М.—Л., Гостехнздат, 1948.
Трикоми Ф.
1. Дифференциальные уравнения, М., ИЛ, 1962.
2. Интегральные уравнения, М., ИЛ, 1960.
Толстов Г. II.
1. Ряды Фурье, Физмаггиз, 1960.
Уиттекер Е. Т.
1. Аналитическая динамика, М.—Л., ОНТИ, 1937.
184
ЛИТЕРАТУРА
Фридман В. М.
1. Метод последовательных приближений для интегрального уравнения Фред-
гольма первого рода. Успехи матем. наук, 11, вып. 1 (67) (1956), 233—234.
Хестенс М. Р.
1. Элементы вариационного исчисления, в кн. под редакцией Э. Ф, Беккен-
баха, Современная математика для инженеров, М., ИЛ, 1958.
Шилов Г. Е.
1. Математический анализ, М., Физматгиз. 1961.
Эльсгольц Л. Э.
1. Вариационное исчисление, М.—Л., Гостехиэдат, 1952.
2. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление, М., «Наука»,
1965.
Юдин Д. Б., Гольштейн Е. Г.
1. Линейное программирование (Теория, методы и приложения) (серия «Эко-
номико-математическая библиотека»), М., «Наука», 1969.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абеля задача 106
— интегральное уравнение 107
Альтернатива Фредгольма 123
----для симметричных инте-
гральных уравнений 131
Банаха пространство 97
Веллмана принцип оптимально-
сти 85
Бесселя неравенство 113
Билинейная формула 127
Билинейные ряды 129
Билинейный функционал 99
Бифуркация решений 144
Больца задача 71—74
Вариационная задача в пара-
метрической форме 29, 52,
57
---- инвариантная 62
линейная 93
на условный экстремум
64
----простейшая 14
----с подвижными концами
20—23
Вариационное исчисление 11,
12, 83, 85
---, прямые методы 92
Вариация функционала вторая
15, 179
----первая 15
---с переменной областью
интегрирования 60
Вейерштрасса условие экстре-
мума достаточное 53
-------необходимое 19, 25,
32, 76
Вейерштрасса условие экстре-
мума усиленное 69
— форма уравнений Эйлера-
Лагранжа 31
— формула 32
— функция 19, 32
Вейерштрасса—Эрдмана усло-
вия 18, 64 (аналог)
Вольтерра уравнение 108
-----второго рода 114, 115
----- нелинейное 143
----- первого рода 116
Галеркина метод решения урав-
нения Фредгольма второго
рода 142
Гамильтона — Остроградского
принцип 154, 155
Гамильтона—Якоби уравнение
44
Гамильтониан 41
Гамильтонова система уравне-
ний Эйлера—Лагранжа 41
— форма уравнений Эйлера—
Лагранжа 41
Гаммерштейна теорема 129
Гато дифференциал функцио-
нала 100
Геодезическая линия 152
— экстремаль 151
Геодезическое расстояние меж-
ду точками 46
----- от точки до поверхности
47
Гильберта инвариантный инте-
грал 49
— сингулярное интегральное
уравнение 147
— теорема 167
186
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Гильберта—М. Рисса преобра-
зование 146
•Гильберта—Шмидта теорема
129
Голономная связь 70
Грина формула 163
— функция самосопряженной
краевой задачи Штурма—
Лиувилля 164, 166, 171
Данцига симплекс-метод 89—90
Дарбу сумма верхняя, нижняя
109
'Действие по Гамильтону J54
— но Лагранжу 156
— по Якоби 157
Дифференциал Гато функцио-
нала 100
— Фреше функции 104
-----функционала 99
— функционала второй 101
-----сильный 99, 101, 104
-----слабый 100
Задача Абеля 106
— Больца 71—74
----- акцессорная 77
----- , вторая вариация 77
----- присоединенная 77
—.— , условия трансверсаль-
ности 76
— вариационного исчисления
простейшая 14
— изопериметричес1еая 73
— Лагранжа 69, 72—74
— линейного программирова-
ния 88, 89
— Майера 70, 73, 74
— на условный экстремум об-
щая 103
— о брахистохроне 11
— о геодезических 149, 151, 152
— о малых колебаниях струны
105
— об оптимальном быстродей-
ствии 80, 82, 87
— разрывная второго рода 34
-----для функционала, завися-
щего от нескольких функ-
ций 36
----первого рода 34, 62
----с подвижными концами
в пространстве 37
— с подвижными концами, до-
статочные условия сильного
экстремума 55—56
— транспортная 90
— Чаплыгина 72, 75
— Штурма—Лиувилля 162, 163
Изопериметрическая задача 64,
66, 73
---- , достаточные условия
экстремума 69
---- , необходимое условие
Клебша 67
----,-------Якоби 67
----, правило множителей
Лагранжа 103
----, условия трансверсально-
сти 66
Импульс 87
Инвариантность уравнения Эй-
лера—Остроградского 59
Интеграл — см. соответствую-
щее название
Интегральное уравнение 105
----Абеля 107
— — Вольтерра — см. Уравне-
ние Вольтерра
— — неоднородное 107,122,130
----однородное 107, 122
------ особое 146
----, приближенные методы
решения 140—142
----симметричное 108, 123
---- сингулярное 146
----союзное (сопряженное)
122
----типа Гаммерштейна 143
----Фредгольма—см. Урав-
нение Фредгольма
Интегрируемость по Риману,
необходимое и достаточное
. условие 109
Итерированное ядро, билиней-
ные ряды 129
7-длина линии 46
7-прямая 46
7-расстояние 4б
предметный указатель
187
Каноническая система уравне-
ний Эйлера—Лагранжа 41
— форма уравнений Эйлера-
Лагранжа 41
Канонические переменные 41
Каноническое преобразование
46
Квадратический функционал
99
Квадратурная формула Чебы-
шева 141
Кинетический потенциал 154
Класс измеримых функций НО
Классы функций 12
Клебша условие экстремума не-
обходимое 6.7, 76
----- — усиленное 69
Колебание функции 109
Координатные функции 92
Координаты Лагранжа обоб-
щенные 155
Косинус-преобразование Фурье
134
Коэффициенты Фурье 112
Кратность собственного значе-
ния 68
Кристоффеля символы первого
рода 153
Критерий 84
Лагранжа задача 69, 72—74
— обобщенные координаты 155
— правило множителей для изо-
периметрической задачи 103
•— принцип наименьшего дей-
ствия 156
— скобка 50
— функция 15'4
Лапласа преобразование 137
------ обратное 137
Лебега интеграл ПО, 111
Лежандра условие включения
экстремали в поле усиленное
50
----- экстремума необходимое
19, 24
Линейное нормированное про-
странство 97
— программирование 88
Линии сравнения 12 ,
Майера задача 70, 73, 74
— семейство экстремалей 50
Максимум функционала слабый,
сильный 12
Мерсера теорема 128
Метод конечных разностей 96
— • разделения переменных 161
— Ритца 92, 176
---, модификация 94
— следов 142
— Фурье 161
Минимум функционала слабый,
сильный 12
Многогранник решений 90
Многоугольник решений 88
Множество меры нуль 109
Морса теорема 69
Наклон поля экстремалей 48, 52
Неголономная связь 70
Неймана ряд 118
Неравенство Бесселя ИЗ
Несобственный интеграл, глав-
ное значение 145
Нётер теорема 43, 62
Норма 97
— функции 112
— ядра 117
; Нуль-элемент 97
Окрестность линии сильная,
слабая 12, 30
— нулевого порядка 12
— первого порядка 12
Определенный интеграл Римана
108—110
Оптимальная, политика 84
— траектория 80
Оптимальное управление 80
Ортогонализация собственных
функций 125, 126
Ортогональность собственных
функций симметричного
ядра 123
Особый интеграл 145
Параметр интегрального урав-
нения 107
188
ПРЕДМЕТНЫЙ указатель
Параметрическое задание ли-
ний 29
Парсеваля равенство 113
Первый интеграл канонической
системы 42
Пикара теорема 138
Поле 78
— функционала 50, 52
— экстремалей для вариацион-
ных задач с подвижными
концами, примеры построе-
ний 51—52
-----• собственное (общее) 48
----- центральное 48
Политика 84
Полный интеграл уравнения
в частных производных
44
Понтрягина принцип максимума
79, 81—83
Последовательность ортого-
нальная 112
— ортонормированная, орто-
нормальная 112
— , сходящаяся в себе 97
— , — в среднем 111
Правило множителей 65
-----для задач Больца, Лагран-
жа, Майера 74
— — для изопериметрической
задачи 103
Преобразование Гильберта—
М. Рисса 146
— Лапласа 137
----- обратное 137
— Фурье 133
-----, применение к решению
интегральных уравнений
134—136
Преобразования Фурье взаим-
ные 133
Принцип Гамильтона—Остро-
градского 154, 155
— максимума Понтрягина 79,
81—83
— наименьшего действия, связь
с теорией геодезических
157
-------, форма Лагранжа 156
------- , — Якоби 157
— оптимальности 84, 85
Производная сильная функции
104
— Фреше функции 104
Производящая функция канони-
ческого преобразования 46
Пространство Банаха 97
— полное 97
— типа В 97
Процесс М-шаговый 84
Прямые методы вариационного
исчисления 92
Пуассона скобка 43
Равенство Парсеваля 113
Разрывная задача — см. Задача
разрывная
Распределение собственных чи-
сел 127
Расстояние 97
Регуляризация сингулярного
уравнения 148
------- равносильная 148
Решение 84
— опорное 89
Римана интеграл 108—ПО
— пространство 152
Ритца метод 92, 176
Ряд Неймана 118
— Фурье 112
Самосопряженная краевая за-
дача Штурма—Лиувилля
164, 167, 168, 170
Самосопряженность оператора
Штурма—Лиувилля 164
Свободный член интегрального
уравнения 107
Связь голономная, неголоном-
ная 70
Силовая функция 153
Символы Кристоффеля первого
рода 153
Симплекс-метод Данцига 89, 90
Сингулярное интегральное
уравнение Гильберта 147
— —'— с ядром Коши 148
Сингулярный интеграл 145
Синус-преобразование Фурье
134
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
189
Система уравнений Якоби 25
— функций полная 113
Скалярное произведение функ-
ций 112
Скобка Лагранжа 50
— Пуассона 43
След т-й 142
Собственная функция 122
----задачи Штурма—Лиувил-
ля 163
----симметричного ядра 123
----, экстремальные свойства
132
Собственное значение задачи
Штурма—Лиувилля 163
----функционала 68
Сопряженное значение 68, 77
Спектральная функция 133
Стратегия 84
Сумма Дарбу верхняя, нижняя
109
Сходимость 97
— последовательности в сред-
нем 111
Теорема Гаммерштейна 129
— Гильберта 167
— Гильберта—Шмидта 129
— Мерсера 128
— Морса 69
— Нётер 43, 62
— Пикара 138
— Фишера—Рисса 112
— Фредгольма вторая 122
------- первая 122
---- третья 122
---- четвертая 122
— Якоби 45
Точка бифуркации 145
— максимума абсолютного 101
---- относительного 101
---- условного 103
— минимума абсолютного 10
---- относительного 101
— — условного 103
— многообразия правильная
104
Точки сопряженные 19, 25, 33
— экстремали регулярные 17
Трансверсальность 23
Уклонение точки от прямой 88
Уравнение Вольтерра 108
—• — второго рода, метод по-
следовательных приближе-
ний 114
------• — , связь с диффе-
ренциальным уравнением 116
----------, теорема суще-
ствования и единственности
решения 114
---- нелинейное 143
---- первого рода 116
— Гамильтона—Якоби 44
• — замкнутости 113
— колебаний мембраны 160
• стержня 161
— малых колебаний струны
158, 161
— Фредгольма второго рода 107
—-------- — , метод Галеркина
142
---------- , — механических
квадратур 141
----------, —наименьших
квадратов 142
---------, — последователь-
ных приближений 118, 140
----------, теоремы суще-
ствования и единственности
решения 117
----------г- , формулы для оты-
скания характеристических
чисел и собственных функ-
ций 142
----первого рода 108, 138, 139
---------- , метод последова-
тельных приближений 138
----с вырожденным ядром
119
— Эйлера—Лагранжа 15—17,
20, 24, 30
— -----в дифференциальной
форме 15, 31
— — — — интегральной фор-
ме 15, 31
-------, каноническая (га-
мильтонова) форма 41
-------, свойство инвариант-
ности 20
-------, случаи понижения
порядка 17
190
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Уравнение Эйлера—Остроград-
ского 58
— Эйлера—Пуассона 27
-------, случаи понижения
порядка 27
— Якоби 19
Уравнения движения в форме
Лагранжа 155
Условие Вейерштрасса доста-
точное 53
-----необходимое 19, 25, 32, 76
----- усиленное 69
— Клебша необходимое 67, 76
— — усиленное 69
— Лежандра необходимое 19,
24
-----усиленное, включение
экстремали в поле 50
— некасания 67, 70
— Якоби включение экстрема-
ли в поле усиленное 51
-----положительной опреде-
ленности второй вариации
79
-----экстремума необходимое
19, 25, 33, 67
------усиленное 69
У словия Вейерштрасса—Эрдма-
на 18, 24, 31
— сильного минимума доста-
точные 69
-----относительного миниму-
ма достаточные 78
— трансверсальности 22, 25,
26, 28, 33, 66
----- для задачи Больца 76
— экстремума достаточные 69,
-78
-----необходимые 14, 18, 19,
24—27, 30, 32, 67, 76
Фазовые переменные 84
Фактор-пространство 98
Фишера—Рисса теорема 112
Формула Вейерштрасса 32
— Грина 163
— обращения Фурье 133
— Фурье интегральная 133
------- в комплексной форме
133
Фредгольма альтернатива 123,
131
— теоремы 122
— уравнение второго рода 107,
117—123
---первого рода 108, 138,
139
Фреше дифференциал функцио-
нала 99
Функции координатные 92
— , равные почти всюду 111
Функционал 11, 98
— билинейный 99
— , зависящий от нескольких
функций, достаточные усло-
вия ^слабого экстремума 56
— , инвариантный относитель-
но преобразования 43
— квадратичный 99
— линейный 98
— , максимальное значение 101
— , минимальное значение 101
— от линии 30
— положительный 99
— простейший 34
— сильно положительный 99
— , собственные значения 68
Функционалы линейно незави-
симые 98
Функциональный множитель 87
Функция Вейерштрасса 19, 32
— влияния 106
— Грина самосопряженной
краевой задачи Штурма—
Лиувилля 164, 166, 171
— дохода 84
— класса С [а, й] 12
---Ci [а, Ь] 12
---Ст [а, Ъ] 12
---Dt [а, Ь] 12
— Лагранжа 154
— сравнения 12
— суммируемая ПО
— , — вместе со своим квад-
ратом 111
— целевая 88
Фурье косинус—-преобразова-
ние 134
— коэффициенты 112
— метод 161
— преобразование 133
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
191
Фурье преобразования взаимные
133
— ряд 112
— синус-преобразование 134
— формула интегральная 133
— — обращения 133
Характеристическое число 122
----симметричного ядра 124
, экстремальные свойства-
132
Чаплыгина задача 72, 75
Чебышева квадратурная форму-
ла 141
Штурма—Лиувилля задача 162,
163
---самосопряженная краевая
задача 164, 167, 168, 170
Эйлера—Лагранжа канониче-
ская система уравнений 41
----уравнение 15—17, 20, 24,
27, 30
Эйлера—Остроградского урав-
нение 58
Экстремаль 16, 24, 32
— геодезическая 151
— ломаная 18, 24
— неособенная 17
- — присоединенная 77
— регулярная 17
Экстремум двойного интеграла,
необходимые условия 58, 59
— функционала абсолютный 12
---- , аналог необходимого
условия Лежандра 32
-— — достаточное условие
Вейерштрасса 53
----, достаточные условия 53,
55—57, 101
----, зависящего от несколь-
ких функций 23—26
— — , необходимое условие
Вейерштрасса 19, 25, 32
Экстремум функционала, не-
обходимое условие Лежан-
дра 19, 24, 25
----,-------Якоби 19, 25, 33
— — , необходимые условия
15, 19, 24—26, 30, 32, 33, 101
---- односторонний 39
----относительный 12
----сильный 12
-------, упрощенное доста-
точное условие 55
----слабый 12
----, содержащего производ-
ные высших порядков 26—29
----условный, необходимое
условие Вейерштрасса—
Клебша 76, 83
Элемент противоположный 97
Элементы эквивалентные 98
Энергия кинетическая 153
— полная 156
— потенциальная 154
Ядро интегрального уравнения
107
-------вырожденное 119
------- итерированное 115
-------невырожденное, ап-
проксимация ядром вырож-
денным 120
------- отрицательно опреде-
ленное 128
-------повторное 115
-------положительно опреде-
ленное 128
-------разрешающее 115
------- резольвентное 115
Якоби принцип наименьшего
действия 157
— система уравнений 25
— теорема 45
— уравнение 19
— условие включения экстре-
мали в поле усиленное 51
— • — положительной опреде-
ленности второй вариации 79
— — усиленное 69
---- экстремума необходимое
19, 25, 33, 67