Текст
Я.К.Трохименко, Ф.Д.Любич
Я.К.Трохименко. Ф.Д.Любич
РАДИОТЕХНИЧЕСКИЕ
РАСЧЕТЫ
НА МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРАХ
СПРАВОЧНОЕ ПОСОБИЕ
IE
МОСКВА,
„РАДИО И СВЯЗЬ"
1983
ББК 32.973
Т76
УДК 861.3:621.37(031)
Трохименко Я. К., Любим Ф. Д.
Т76 Радиотехнические расчеты на микрокалькуляторах: Спра-
вочное пособие. — М.: Радио и связь, 1983. — 256 с., ил.
В пер.: 1 р. 30 к.
Рассмотрены особенности вычислений на непрограммируемых и
программируемых микрокалькуляторах. Описаны алгоритмы модели-
рования сигналов и статистической обработки информации, анализа
линейных и нелинейных цепей, расчета усилителей, фильтров и уст-
ройств с распределенными параметрами. Приведено свыше 450 прог-
рамм на входных языках программируемых микрокалькуляторов
отечественного производства.
Для инженерно-технических и научных работников, будет полезна
студентам вузов.
2402000000-160
046(01) 83
ББК 32.973
6Ф7.3
Рецензент: доктор техн, наук, профессор Л. Я. НАГОРНЫЙ
Редакция литературы по кибернетике и вычислительной технике
Ярослав Карпович Трохименко
Феликс Дмитриевич Любич
Радиотехнические расчеты на микрокалькуляторах. Справочное пособие
Редактор И. И. Рюжина
Обложка художника В. П. Карпова
Художественный редактор Н. С. Шеин
Технический редактор 3. Н. Ратникова
Корректор Т. В. Покатова
ИБ № 421
Подписано в печать 20.06.83 г. Т-13636 Формат 60X90/16 Бумага кн.-журн.
Гарнитура «Пресс-роман» Печать офсетная Усл. печ. л. 16,0 Усл. кр.-отт. 16,125
Уч.-изд. л. 20,06 Тираж 60000 экз. Изд. № 20267 Зак. № 1399 Цена 1 р. 30 к.
Издательство «Радио и связь». 101000, Москва, Главпочтам пт, а/я 693
Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном
комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.
129041, Москва, Б. Переяславская ул., д. 46
С Издательство «Радио и связь». 1983.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Микрокалькуляторы значительно уступают универсальным ЭВМ в быстродействии
и емкости запоминающих устройств, а следовательно, и в предельной сложности реша-
емых задач. Однако микрокалькуляторы отличаются недостижимой для стационарных
ЭВМ доступностью (определяемой низкой стоимостью машинного времени, портатив-
ностью и простотой пользования) и существенно превосходят последние по экономичес-
кой эффективности решения относительно простых, но неотложных задач. Большинство
специалистов значительную часть рабочего времени затрачивают на решение именно та-
ких задач, в связи с чем перспективы существенного повышения производительности
труда инженерно-технических и научных работников при внедрении микрокалькуля-
торов трудно переоценить.
Однако для эффективной реализации потенциальных возможностей, связанных с
внедрением микрокалькуляторов, их пользователи нуждаются в пособиях по матема-
тическому (алгоритмическому и программному) обеспечению типовых инженерных
расчетов. Таким пособием для специалистов по радиотехнике и электронике, где удель-
ный вес математического моделирования особенно велик, и является настоящая книга.
В ней приведены алгоритмы решения типовых задач, которые могут быть использованы
для расчетов на непрограммируемых микрокалькуляторах, и свыше 450 программ ав-
томатических вычислений на входных языках микрокалькуляторов "Электроника
БЗ-21”, "Электроника БЗ-34” и других программируемых микрокалькуляторов (напри-
мер, "Электроника БЗ-54, "Электроника М К-46”, "Электроника МК-56”), построенных
на их элементной базе. В книге приведены лишь те программы, составление которых
связано с определенными трудностями и, в частности, с необходимостью выбора и пре-
образования методов и алгоритмов вычислений. При этом учтены особенности однотип-
ных микрокалькуляторов различных выпусков и в необходимых случаях приведены
возможные варианты программ.
Читатель может использовать материал книги в любой последовательности, но пре-
дварительно ему следует ознакомиться с содержанием гл. 1 и прежде всего § 1.3, где
описаны особенности применяемой в книге компактной записи программ
Авторы будут считать свою цель достигнутой, если книга поможет читателю в реше-
нии повседневных задач, и с благодарностью примут все замечания по ее содержанию.
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ВЫЧИСЛЕНИЙ НА МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРАХ
1.1. Непрограммируемые микрокалькуляторы
Микрокалькуляторы, автоматически выполняющие отдельные операции над числами
(операндами') только по командам, подаваемым нажатиями клавиш, называются непро-
граммируемыми. Простейшие из них выполняют лишь арифметические операции, но
для инженерно-технических расчетов более удобны специализированные инженерные
микрокалькуляторы (рис. 1), выполняющие не только арифметические операции, но
и вычисляющие часто встречающиеся при расчетах элементарные функции.
Рис. 1
Микрокалькуляторы - весьма сложные устройства, содержащие от нескольких ты-
сяч до нескольких десятков и даже сотен тысяч транзисторов в интегральном исполне-
нии. Однако пользователю нет необходимости подробно изучать конструкцию микро-
калькулятора - ему достаточно четко представлять себе связь между нажатиями кла-
виш и их последствиями. Для этого удобна упрощенная функциональная схема непро-
граммируемого микрокалькулятора (рис. 2), отображающая взаимодействие его основ-
ных узлов - пульта управления, индикатора, процессора, памяти, постоянного запоми-
нающего устройства (ПЗУ) и управляющего устройства (УУ).
Единственным устройством ввода информации в непрограммируеммых микрокаль-
куляторах является пульт управления с клавишами и переключателями для подачи ко-
манд. Символы команд (операторов) обозначены на клавиатуре пульта и определяют
операторы, относящиеся к нескольким основным группам, — набора чисел, функци-
4
нальных одноместных (выполняемых над од-
ним операндом), двухместных (выполняемых
над двумя операндами) и иногда многомест-
ных, а также обращения к памяти и управле-
ния вычислениями.
С целью сокращения общего количества
клавиш часть операторов обозначают над кла-
вишами и для их ввода необходимо предвари-
тельно ввести префиксный оператор (модифи-
катор), обычно обозначенный символом F.
При ошибочном вводе этого оператора его сти-
рают вводом оператора, обычно обозначаемого
символом CF. К префиксным относятся и не-
Рис. 2
которые другие операторы - например оператор аге, ввод которого перед оператором
вычисления тригонометрической функции обеспечивает вычисление соответствующей
обратной тригонометрической функции.
Индикатор предназначен для вывода информации в виде десятичных представлений
чисел и некоторых символов, характеризующих режим работы микрокалькулятора. Он
содержит ряд знакомест, из которых одно или два служат для индикации отрицатель-
ного знака числа и вспомогательных символов, а остальные - для индикации цифр де-
сятичных разрядов чисел. Каждое из цифровых знакомест содержит несколько (обычно
семь) световых элементов на светодиодах, жидких кристаллах или газонаполненных
трубках. Требуемый знак высвечивается при подаче напряжения на определенную ком-
бинацию таких элементов.
Индикаторы некоторых микрокалькуляторов обеспечивают представление чисел
только в естественной форме с запятой, фиксированной между целой и дробной частя-
ми числа. Диапазон представления чисел в естественной форме при к цифровых разря-
дах ограничен по абсолютной величине предельными значениями <4mjn = Ю1'^ иДтах=
=10 к 1. Результат вычислений, меньший по абсолютной величине числа A min; попадает
в область машинного нуля, и на индикаторе высвечивается нуль. Если же результат вы-
числений по абсолютной величине превышает число А тах, то он попадает в область ма-
шинной бесконечности, на индикаторе высвечивается сигнал переполнения запомина-
ющих устройств (стирание числа, высвечивание специальных символов и др.), и вычисле-
ния прекращают до устранения причин переполнения. Сигнал переполнения обычно воз-
никает и при попытке некорректно выполнить операцию - например, извлечь квадрат-
ный корень из отрицательного числа.
Индикаторы большинства инженерных микрокалькуляторов допускают представле-
ние чисел и в показательной форме а -М • 10” где число М мантисса, а целое число п -
порядок. Для микрокалькуляторов характерна стандартная показательная форма с од-
ной отличной от нуля цифрой в целой части мантиссы (1 < ] jW] < 10). Диапазон представ-
ления чисел в стандартной форме значительно шире, чем в естественной, и при к разря-
дах мантиссы и m порядка ограничен по абсолютной величине числами /4mjn - 101_lo,”
и Лтах= (10- Ю'ЛЮ10'"’1.
Процессор (вычислитель) содержит арифметико-логическое устройство, непосред-
ственно выполняющее операции над машинными (двоичными или десятично-двоичными)
кодами операндов, и операционное устройство, предназначенное для хранения кодов
операндов и результатов операций в процессе вычислений. С процессором обычно кон-
структивно совмещено управляющее устройство, согласующее во времени работу всех
узлов микрокалькулятора, а также постоянное запоминающее устройство (ПЗУ) для
хранения микропрограмм выполнения операций, записанных при изготовлении микро-
калькулятора.
Входной регистр (устройство для запоминания кода операнда или оператора) опера-
ционного устройства, называемый индикаторным регистром или регистром X, соединен
5
с индикатором через дешифратор. Последний преобразует код числа, хранящегося в ре-
гистре X, в напряжения, подаваемые на световые элементы знакомест индикатора, что
приводит к высвечиванию десятичного представления этого числа.
Группа операторов набора чисел содержит операторы набора цифр от 0 до 9, клави-
ши которых расположены одинаково практически во всех микрокалькуляторах (см.
рис. 1), оператор набора десятичного разделительного знака (точки или запятой) и опе-
ратор /-/ изменения знака числа, обозначаемый также символом +/- или CHS. Для ми-
крокалькуляторов, допускающих показательную форму представления чисел, характе-
рен оператор ввода порядка, обозначаемый символом ВП,п, ЕЕ или ЕЕХ. К этой группе
относится и оператор набора числа п = 3,1415927.
При вводе одного из этих операторов нажатием клавиши управляющее устройство
(см. рис. 2) вызывает из ПЗУ код соответствующего знака и засылает его в регистр X,
что приводит к высвечиванию этого знака на индикаторе.
Регистры памяти (обычно один или два) непрограммируемого микрокалькулятора
связаны с регистром X операционного устройства. При вводе оператора записи в память,
обычно обозначаемого символом ЗАП, П, х ->т или STO, содержимое регистра X за-
сылается также в регистр памяти. При вводе оператора вызова из памяти (обозначаемо-
го символом ИП, П ->Х, m — х или RCL) содержимое регистра памяти засылается также
в регистр X. Некоторые операторы (например, П +, П -, Пх, П П + х*) обеспечивают
выполнение двухместных операций над содержимым регистра X и памяти с засылкой ре-
зультата вычислений в память. В микрокалькуляторах некоторых типов предусмотре-
ны оператор СП стирания содержимого памяти и оператор X П обмена содержимым
регистра X и памяти.
Операционное устройство кроме регистра X содержит также регистр Y для хранения
второго операнда при выполнении двухместных операторов и иногда еще несколько ре-
гистров. Все эти регистры соединены так, что содержимое каждого регистра по специ-
альному сигналу засылается в другой регистр. Такое соединение называют стеком, при-
чем различают кольцевые и магазинные стеки.
При смещении кольцевого стека ’’вверх” содержимое последнего регистра засылает-
ся в регистр X (рис. 3, а), а при смещении ’’вниз" содержимое регистра X засылается в
последний регистр (рис. 3, б). Перемещение содержимого кольцевого стека удобно кон-
тролировать с помощью эквивалентной схемы (рис. 3, в), в которой смещение стека
’’вверх” и ’’вниз” заменено его "поворотом” по часовой стрелке или против нес.
Рис. 3
В операционных устройствах непрограммируемых микрокалькуляторов обычно ис-
пользуют магазинные стеки, при смещении которых ’’вверх” содержимое каждого
регистра засылается в ’’верхний” регистр, причем переполнение стека приводит к стира-
нию содержимого последнего регистра (рис. 3, г). При смещении магазинного стека
’’вниз” содержимое регистров засылается в соседние ”нижние” регистры (рис. 3, д').
Выполнение вспомогательных операций над содержимым операционного стека обес-
печивает оператор t смещения стека ’’вверх” или оператор = вывода результата, оператор
X Y или обмена содержимым регистров X и Y, оператор очистки регистра X, обозна-
чаемый символом Сх, СК или CLX, и оператор С или CL очистки всех регистров опера-
ционного стека.
Совокупность всех операторов микрокалькулятора данного типа образует словар-
ный запас или лексику его входного (внешнего) языка. Допустимый порядок ввода
операторов определен синтаксическими правилами входного языка, от выбора которых
6
существенно зависит сложность конструкции и, следовательно, стоимость изготовления
микрокалькулятора.
Последовательность операторов, вводимая согласно синтаксису входного языка и
приводящая к искомому результату, образует предложение (программу вычислений)
на этом входном языке. При нарушении грамматических правил такое предложение,
как и в обычных языках, не имеет смысла.и приводит к ошибочному результату.
Обычные правила записи расчетных формул, называемых арифметическими выраже-
ниями независимо от выполняемых операций, допускают символы с протяженными
элементами (например, радикалы или дробные черты), облегчающие образное воспри-
ятие формул человеком, например,
у = а - b/у/Inc. (1.1)
Для отображения такой формулы упорядоченным множеством операторов ее следует
представить без протяженных элементов как
а - Ь -г •У' 1л с = ,
где символы а, b и с обозначают последовательности операторов набора операндов, при-
чем оператор вывода результата записывают в конце предложения. Такую форму назы-
вают естественной алгебраической записью.
При вводе операторов по правилам алгебраической записи микрокалькулятор мо-
жет выполнить операцию только после ввода (набора или вызова из памяти) следующе-
го за ним операнда и получения сигнала об окончании ввода. Таким сигналом является
ввод следующего функционального оператора или в конце предложения оператора = .
Однако следующий двухместный оператор может оказаться старшим (например, опера-
тор умножения или деления по отношению к оператору сложения или вычитания) и
должен быть выполнен, если следующий за ним оператор не является старшим, до вы-
полнения предыдущего оператора.
Необходимость соблюдения старшинства операций и запоминания операторов перед
вводом операндов существенно усложняет конструкцию операционного стека. Напри-
мер, при вводе операторов слева направо при вычислении несложного арифметическо-
го выражения (1.1) перед началом собственно вычислений микрокалькулятор должен
запомнить коды всех трех операндов и четырех операторов.
В связи с этим недостатком естественной алгебраической записи во входных языках
микрокалькуляторов обычно предусматривается простая запись, отличающаяся вводом
одноместных операторов после операндов, например,
а - Ь + с In =
В некоторых микрокалькуляторах с простым алгебраическим синтаксисом входного
языка (например, в микрокалькуляторе ’’Электроника СЗ-15”) предусмотрен автома-
тический учет старшинства операций умножения и деления по отношению к сложению
и вычитанию. Однако большинство микрокалькуляторов допускает учет старшинства
операций лишь с помощью простой скобочной записи, например,
а - (Ъ -5- с In ) = .
В некоторых инженерных микрокалькуляторах с алгебраическим синтаксисом входно-
го языка операторы скобок отсутствуют и операционное устройство содержит только
регистры X и У. При таком простом бесскобочном алгебраическом синтаксисе для вре'-
менного хранения младших операндов приходится обращаться к памяти, например,
а ЗАП Ъ 4- с In х/~= - ИП = /-/
или, когда это возможно, предварительно преобразовывать арифметическое выражение,
например,
b -г с In \/~ — а = /-/ .
7
Примерами инженерных микрокалькуляторов с простым бесскобочным алгебраиче-
ским синтаксисом входного языка могут служить распространенный микрокалькуля-
тор ’’Электроника БЗ-18А” (см. рис. 1,а) и его модификации "Электроника БЗ-18М” и
"Электроника БЗ-37”. Работу операционных стеков большинства микрокалькуляторов
подобного типа можно отобразить эквивалентными схемами (рис. 4), соответствующи-
ми следующим правилам:
1. При вводе (наборе или вызове из памяти) операнда в начале предложения или
после первого двухместного оператора содержимое регистра Y не изменяется (рис. 4,а),
но в микрокалькуляторах некоторых типов ввод операнда после выполнения двух-
местной операции приводит к засылке в регистр Y предыдущего содержания регистра X
(рис. 4, б).
2. При первом вводе двухместного оператора его код и содержимое регистра X за-
сылаются в регистр Y (рис. 4, в), но при последующих вводах двухместных операторов
их код и содержимое регистра X засылаются в регистр У, а в регистр X заносится ре-
зультат выполнения предыдущего двухместного оператора (рис. 4, г).
3. При вводе оператора = выполняется двухместная операция, код которой хранит-
ся в регистре Y, результат операции заносится в регистр X, а прежнее содержимое по-
следнего в регистр Y (рис. 4, д). При повторных вводах оператора = выполняется
двухместная операция, код которой хранится в регистре Y, а результат операции над со-
держимым регистра X, вводимого в операцию первым, и содержимым регистра У, вво-
димого в операцию вторым, засылается в регистр X при сохранении прежнего содержи-
мого регистра У (рис. 4, е). Аналогично работает стек при повторных вводах двухмест-
ных операторов, но в этом случае код предыдущего оператора в регистре У замещается
кодом введенного оператора (рис. 4, ж).
4. При вводе одноместного оператора ч/ и, иногда, других одноместных операто-
ров содержимое регистра У обычно не изменяется (рис. 4, з).
5. В некоторых микрокалькуляторах после выполнения одноместных операторов
изменяется содержимое регистра У. Иногда после ввода таких операторов результат за-
носится в оба регистра (рис. 4, и).
6. При вводе оператора операнды в регистрах X и У меняются местами (рис. 4, к).
0
3)
Рис. 4
Таким образом, в соответствии с приведенными правилами вычисления по формуле
(1.1) на микрокалькуляторах рассматриваемых типов выполнимы без обращения к па-
мяти вводом предложения
с 1пчГ т i> « - а к = .
Во входных языках более совершенных инженерных микрокалькуляторов предус-
мотрен простой скобочный алгебраический синтаксис. Примером может служить микро-
калькулятор "Электроника БЗ-36” (см. рис. 1, 6), правила работы регистров X и У ко-
8
торого в основном (рис. 5, а и б) совпадают с описанными выше. Отличие заключается
в выполнении одноместных операций без изменения содержимого регистра У. Исключе-
ние составляет оператор х! вычисления факториала, после выполнения которого в ре-
гистр У заносится единица (рис. 5, в).
((
г)
))
д)
Операционный стек этого микрокалькулятора содержит четыре регистра, что обеспе-
чивает вычисление без обращения к памяти арифметических выражений со "скобкой в
скобках”. При вводе оператора (( открывающей скобки (рис. 5, г) содержимое ре-
гистра X и код оператора из регистра У засылаются в регистр Z, а прежнее содержимое
последнего - в регистр Т. При вводе оператора )) закрывающей скобки выполняется
двухместный оператор, код которого хранился в регистре У, и операционный стек сме-
щается ’’вниз” без сохранения содержимого последнего регистра (рис. 5, д).
Достоинства ввода одноместных операторов после операндов привели к использо-
ванию во входных языках некоторых инженерных микрокалькуляторов обратного
синтаксиса, при котором двухместные операторы также вводят после операндов пред-
ложениями вада a t Ь 0, где 0 - двухместный оператор. В этом случае для вычислений,
например, по формуле (1.1) вводят предложение
a t b t с In >/” -г —
Таким образом, если для словарей микрокалькуляторов с входным языком, отлича-
ющимся алгебраическим синтаксисом, характерен оператор = или заменяющие его опе-
раторы, то в словарях входных языков с обратным синтаксисом этот оператор отсут-
ствует, но обязательно имеется оператор t.
Обратный синтаксис входного языка упрощает конструкцию операционного устрой-
ства, где требуется хранить только операнды, и микрокалькулятора в целом, так как
микропрограмма выполнения любого оператора может быть вызвана из ПЗУ для немед-
ленного исполнения непосредственно после нажатия соответствующей клавиши (штри-
ховая стрелка на рис. 2).
Примером инженерного микрокалькулятора с обратным синтаксисом входного язы-
ка может служить распространенный микрокалькулятор ’’Электроника БЗ-19М” (см.
рис. 1, в). Он отличается трехрегистровым операционным стеком, обеспечивающим вы-
числение арифметических выражений с простыми скобками и работающим по следу-
ющим правилам:
1. При вводе оператора 1 стек смещается ’’вверх” (рис. 6,в).
2. При вводе операнда в начале предложения и после оператора t его код заносится
в регистр X без изменения содержимого остальных регистров, но при вводе операнда
после выполнения операции стек смещается ’’вверх" (рис. 6, б).
3. При вводе двухместного арифметического оператора результат операции над со-
держимым регистров X и У заносится в регистр X и стек смещается ’’вниз” (рис. 6, в).
4. При вводе двухместного оператора Х-У результат операции заносится в регистр X,
а в регистры У и Z заносится число 2,302585.
5. При вводе операторов V и 1/х результат операции замещает содержимое регист-
9
pa X без изменения содержимого остальных регистров, но при вводе других одноместных
операторов результат операции заносится в регистр X, а содержимое регистра Y засы-
лается в регистр Z (рис. 6,г).
6. При вводе оператора X £ Y содержимое регистров X и У меняется местами
(рис. 6, д).
В соответствии с этими правилами, например, арифметическое выражение (1.1) мож-
но вычислить без обращения к памяти.
Таким образом, различия в пользовании инженерными микрокалькуляторами раз-
ных типов в основном связаны с синтаксическими особенностями их входных языков и
соответствующими правилами работы операционных устройств. Это в особенности от-
носится к микрокалькуляторам (например, ’’Электроника БЗ-32”) с многорегистровы-
ми операционными устройствами, обеспечивающими выполнение многоместных функ-
циональных операторов. Поэтому пользователю следует тщательно (при необходимости
экспериментально) изучить особенности работы операционного устройства использу-
емого микрокалькулятора.
1.2. Программируемые микрокалькуляторы
Программируемые микрокалькуляторы работают как в обычном режиме вычисле-
ний с вводом операторов нажатиями клавиш, гак и в режиме автоматических вычислений
(программируемом режиме) по программе, предварительно вводимой (режим прог-
раммирования) в запоминающее устройство, называемое программной памятью (ПрП).
Наиболее совершенные программируемые микрокалькуляторы дополняют внешними
(периферийными) устройствами - накопителями информации на магнитных карточках
(МК), сменными модулями с постоянно хранящимися прикладными программами
(МПП), миниатюрными печатающими устройствами (ПУ) для вывода информации на
бумажную ленту (рис. 7).
Рис. 7
10
Программная память содержит фиксированное число ячеек для хранения кодов опе-
раторов программы и, независимо от реальной конструкции, может условно рассматри-
ваться как кольцевой стек, соединенный со счетчиком шагов (операторов) программы.
В режиме программирования при вводе оператора нажатиями клавиш этот стек поворачи-
вается на один шаг, код вводимого оператора заносится в его очередную ячейку, а со-
держимое счетчика шагов увеличивается на единицу. Если число введенных операторов
превышает число ячеек программной памяти, то она переполняется, и коды избыточных
операторов замещают коды начальных операторов программы.
В программируемом режиме код оператора, считанный из очередной ячейки прог-
раммной памяти, вызывает из ПЗУ соответствующую микропрограмму, после выпол-
нения которой стек программной памяти автоматически поворачивается на один или
(в рассматриваемых ниже случаях переходов) несколько шагов и выполняется следу-
ющий оператор. После выполнения программы повороты прекращаются и результат вы-
числений высвечивается на индикаторе.
Словари входных языков программируемых микрокалькуляторов содержат (кроме
операторов, используемых в обычном режиме) служебные операторы и операторы ав-
томатического управления выполнением программы.
Группа служебных операторов включает операторы перехода в режим программиро-
вания (РП, ПРГ или LRN) и выхода из него в рабочий режим (РР, АВТ или USER), а
также предназначенные для редактирования вводимой программы операторы стирания
ошибочно введенного кода операции НОП или NOP, поворота программной памяти на
шаг вперед (ШГ или SST) и шаг назад (ШГ или BST) и иногда некоторые другие.
Группа операторов управления обязательно содержит оператор ”стоп/пуск” (С/П
или R/ S), вводимый в программу для автоматической остановки программной памяти.
В рабочем режиме нажатие клавиши С/П приводит к началу выполнения программы
(программируемый режим) с места ее предыдущей остановки, а нажатие клавиши С/П
в программируемом режиме прекращает вычисления.
Необходимые изменения последовательности выполнения операторов программы
обеспечивают операторы условных и безусловных переходов и вводимые за ними опе-
раторы передачи управления (коды которых занимают одну ячейку программной памя-
ти независимо от числа нажимаемых при вводе клавиш). Передача управления реализу-
ется одним из двух способов.
При первом способе оператором передачи управления служит код порядкового но-
мера (адрес) оператора программы, который должен быть выполнен следующим. При
считывании такого адреса стек программной памяти в соответствии с содержимым счет-
чика шагов поворачивается на такое число шагов, при котором считывается оператор
с заданным адресом.
При втором способе оператор передачи управления, называемый меткой (например,
LBN, где N - номер метки), вводится также и перед оператором, которому передается
управление. В этом случае при считывании оператора передачи управления в виде метки
стек программной памяти поворачивается, пока не будет считана такая же метка, после
чего выполняется следующий оператор.
Операторы условного перехода (условные операторы) обычно обозначаются симво-
лом вида xQz, где Q - символ проверяемого отношения равенства или неравенства со-
держимого регистра X и некоторого числа z. При выполнении (в некоторых входных
языках - при невыполнении) проверяемого условия выполняется оператор программы,
следующий за условным оператором и оператором передачи управления. В противном
случае выполняется оператор, положение которого в программе определяется операто-
ром передачи управления.
Оператор безусловного перехода, обозначаемый символом БП или GTO, обеспечива-
ет выполнение следующим оператора, положение которого в программе определяется
оператором передачи управления. К операторам безусловного перехода относятся также
оператор обращения к подпрограмме (ПП, SBR или SRT) и оператор ’’возврат/очистка”
(В/О, RES или RST), после которого оператор передачи управления не вводится.
11
Фрагмент программы, оканчивающийся оператором В/О и предназначенный для мно-
гократного выполнения, называют подпрограммой. Оператор ПП и следующий за ним
адрес или метка передают управление любому оператору подпрограммы. При этом сме-
щается ’’вверх” внутренний стек подпрограмм магазинного типа, во входной регистр
которого заносится адрес оператора передачи управления. После вычислений по подпро-
1рамме выполнение оператора В/О увеличивает содержимое входного решетра стека
подпрограмм на единицу, управление передается по этому адресу оператору, следующе-
му за обращением к подпрограмме (’’возврат"), и стек подпрограмм смещается ’’вниз”
(’’очистка”). Число регистров этого стека определяет допустимое число вложений под-
программ - обращений из подпрограммы к подпрограмме. Если при выполнении опера-
тора В/О в программируемом режиме содержимое входного регистра стека подпро-
грамм равно нулю, то управление передается второму от начала оператору программы.
В рабочем режиме нажатие клавиши ПП приводит к повороту стека пршраммной
памяти на один шаг и выполнению считываемого оператора (что обеспечивает пошаго-
вую проверку выполнения программы), ввод оператора БП и оператора передачи управ-
ления поворачивает стек программной памяти в заданное положение, а ввод оператора
В/О — в начальное положение.
Рис. 8
В некоторых входных языках предусмотрены
дополнительные операторы управления програм-
мой - операторы-счетчики, при выполнении кото-
рых содержимое определенных регистров памяти
изменяется на единицу, операторы косвенной ад-
ресации с хранением адреса перехода в памяти,
операторы установки и проверки флага для про-
верки выполнения определенного условия в пре-
дыдущей части программы и другие.
Первый массовый отечественный програм-
мируемый микрокалькулятор ’’Электроника
БЗ-21” имеет программную память емкостью
60 шагов и индикатор для представления чисел,
содержащих до восьми разрядов1 мантиссы и до
двух - порядка. Память состоит из 13 регистров,
шесть из которых вместе с регистром X соедине-
ны в кольцевой стек, а остальные с номерами
2-8 образуют запоминающее устройство с произ-
вольной выборкой (ЗУПВ).
Входной язык этого микрокалькулятора имеет
обратный синтаксис одноместных и двухместных
операций. Кроме операторов, обозначенных на
клавишах (рис. 8) и вводимых при нажатии по-
следних, словарь входного языка содержит опера-
торы 1/х вычисления обратной величины, х1 воз-
ведения в квадрат и \! извлечения корня, вво-
димые после префиксного оператора F. Осталь-
ные операторы, обозначенные над клавишами, а
также операторы а г и i а поворота кольцево-
го стека памяти, обозначенные под клавишами, вво
1 В большинстве выпусков этого микрокалькулятора запятая индицируется в знако-
местах мантиссы и для высвечивания ее восьмой цифры следует вычесть содержимое
первого разряда. Например, при вводе оператора я высвечивается число 3,142592, но
при вычитании из него числа 3 индуцируется число 1,415927-КГ* с искомой восьмой
цифрой исходного числа.
12
дат после префиксного оператора Р. Операторы FN вызова в регистр X содержимого ре-
гистра N памяти и PN засылки содержимого регистра X в регистр Л памяти вводят нажа-
тием соответствующей префиксной клавиши и клавиши набора номера N.
Операционный стек микрокалькулятора, содержащий регистры X и У (им является
первый регистр ЗУПВ), работает согласно следующим правилам:
1. При вызове операнда из памяти он заносится в регистр X без изменения содержи-
мого регистра У (рис. 9,а).
2. При вводе оператора t и наборе операнда после выполнения операции стек смеща-
ется ’’вверх” (рис. 9, б).
3. При вводе двухместного оператора содержимое регистра X замещается результа-
том операции над содержимым обоих регистров с сохранением содержимого регистра
У (рис. 9, в).
4. При вводе одноместных операторов содержимое регистра X замещается результа-
том операции без изменения содержимого регистра У. Исключение составляет оператор
е^х, после выполнения которого в регистры X и У заносятся соответственно значения
cos хи sin х (рис. 9, г). В этом случае для вычисления tgx достаточно дополнительно
ввести оператор -г.
5. При вводе оператора XY содержимое регистров Хи Уменяется местами (рис. 9,д).
Рис. 9
Следовательно, арифметическое выражение (1.1) можно вычислить без обраще-
ния к памяти по предложению [ b 1 t 1 с 1 In 1 J =•) а ] xV 1 - ] или по предложению
1*1 t Jcl In] хЛ Plai-1/-/|.
Программная память микрокалькулятора разбита на 10 ’’страниц” по шесть ячеек с
адресами ab, образованными номером а = 0, 1, . . . , 9 ’’страницы” и номером Ь = 0,
1,. . . , 5 ячейки на этой ’’странице”. В режиме программирования в знакоместах мантис-
сы для контроля высвечиваются двузначные коды трех введенных последними операто-
ров программы, а в знакоместах порядка - содержимое счетчика шагов в виде адреса
ab оператора, вводимого следующим (при вводе 60-го оператора программы высвечива-
ется -0). Большинство операторов передачи управления (табл. 1) вводятся нажатиями
тех же клавиш, что и другие операторы с совпадающими кодами. Коды ab' = a (b + 1)
операторов передачи управления для удобства программирования будем называть ад-
ресами переходов (ab' = 01; 02; . .. ; 96) и использовать их вместо адресов (ab = 00;
01; . . . ; 95) соответствующих ячеек программной памяти.
Первым выпускам рассматриваемого микрокалькулятора присущи некоторые не-
достатки [20], затрудняющие вычисления, - невыполнение обращений к подпрограмме
с некоторых шагов программы, неконтролируемое переполнение некоторых регистров
кольцевого стека памяти при вычислении элементарных функций и неверные результа-
ты некоторых операций (например, при сложении чисел 9,9999999 и 10 высвечивается
120 вместо 20) • В последующих выпусках указанные недостатки устранены.
Большими вычислительными возможностями характеризуется программируемый
микрокалькулятор ’’Электроника БЗ-34” с более совершенным входным языком и
программной памятью емкостью 98 шагов. Индикатор высвечивает все восемь цифр
мантиссы и два порядка, а при переполнении индицируется символ ЕГГОГ (error - ошиб-
ка). Первым выпускам этого микрокалькулятора также присущи некоторые недостат-
ки, частично отмеченные в инструкции по эксплуатации. В частности, при записи в прог-
13
рамме оператора /-/ после арифметического оператора последний не выполняется в
программируемом режиме,хотя в обычном режиме и при пошаговой проверке програм-
мы результат вычислений оказывается верным.
ТАБЛИЦА 1
Адреса и коды операторов программ автоматических вычислений
для микрокалькулятора "Электроника БЗ-21”
Адрес перехода Код Клавиши Оператор Адрес перехода Код Клавиши Оператор
01 Р 0 52 52 F 5 F5
02 F0 53 53 Р /-/
03 03 Р 1 eJ* 54 54 5 5
04 04 0 0 55 55 F /-/ х’
05 F Г 56 (60) 56 /-/ /-/
06(10) 06 t t 58 БП БП
11 11 Р 1 Pl 59 Р БП х = 0
12 12 F 1 Fl 61 61 Р 6 Р6
13 13 Р XY in 62 62 F 6 F6
14 14 1 1 63 Р ВП
15 F XY 64 64 6 6
16(20) 16 XY XY 65 65 F ВП V
21 21 Р 2 P2 66 (70) 66 ВП ВП
22 22 F 2 F2 68 ПП ПП
23 23 Р X 7T 69 Р ПП х < 0
24 24 2 2 71 71 Р 7 Р7
25 F х 72 72 F 7 F7
26 (30) 26 X X 73 73 Р сх
31 31 Р 3 P3 74 74 7 7
32 32 F 3 F3 75 75 F Сх
33 33 Р 4- ex 76(80) 76 Сх сх
34 34 3 . 3 78 с/п С/П
35 F 4- 79 Р с/п х* 0
36 (40) 36 -г -Г 81 81 Р 8 Р8
38 ХУ ху 82 82 F 8 F8
39 р ХУ НОП 83 83 Р - cos
41 41 Р 4 P4 84 84 8 8
42 42 F 4 F4 85 F -
43 43 Р , 86 (90) 86 — —
44 44 4 4 91 91 Р 9 Р9
45 45 F , 1/x 92 92 F 9 F9
46 (50) 46 93 93 Р + sin
48 в/о B/O 94 94 - 9 9
49 Р в/о x > 0 95 F +
51 51 Р 5 P5 96(-0) 96 + +
Словарь входного языка с обратным синтаксисом рассматриваемого микрокальку-
лятора (рис. 10) содержит операторы входного языка микрокалькулятора ’Электро-
ника БЗ-21 ” (исключая оператор си операторы поворота кольцевого стека памяти), а
также операторы вычисления обратных тригонометрических функций, десятичных ло-
гарифма и антилогарифма и оператор CF для стирания ошибочно введенного префикс-
ного оператора F. Прямые и обратные тригонометрические функции можно вычислить
14
при выражении углов в градусах или радианах в
зависимости от положения переключателя Р-Г.
При вводе всех операторов, обозначенных над кла-
вишами, нажимают префиксную клавишу F.
Операционное устройство состоит из четырех
регистров X, У, Z и Т стека и дополнительного ре-
гистра XI. При наборе операнда после выполнения
операции, а также после его вызова из памяти и
после вызова постоянного числа я содержимое опе-
рационного стека смещается "вверх” (рис. 11,в).
Операнд, набираемый после выполнения оператора
засыпки t, заносится в регистр X без изменения со-
держимого остальных регистров стека (рис. 1.1,б).
При вводе оператора 1 стек смещается "вверх”
(рис. И, в), а при вводе оператора XY происхо-
дит обмен содержимым регистров X и У (рис.
11, г).
В остальных вариантах работы операционного
стека принимает участие регистр XI. После ввода
одноместного оператора результат операции зано-
сится в регистр X. прежнее содержимое которого
засыпается в регистр XI без изменения содержи-
мого остальных регистров стека (рис. 11, б).
После ввода двухместного оператора результат
операции заносится в регистр X, прежнее содер-
жимое которого засылается в регистр XI, и опера-
ционный стек смещается "вниз” (рис. 11, е).
При вводе оператора Qy операционный стек
работает в кольцевом режиме — содержимое ре-
-лгзч5Б7 - es
и| Р |г
ЭЛЕКТРОНИКА БЗ-34
х<0 х-0 х*0 х*0
ГП [шг[ [шт] [в/о] [с/п
. LO LI L2 L3
[~й~] [йп~| [~п~| [бп~| [пгП
Sin cos tg х2 Л
Й Й Й Й Й
arcsin arc cos arctg 1/x V~
Н0 0ЙЕ]
ex Ig Ln X* BX
H Я Ы H ГЛ
10х О АВТ ЛРГ CF
И Ш ED [ёп] ED
НОП А В С Д
Рис. 10
гистра X засылается в регистры XI и Т, и стек смещается "вниз” (рис. 11,ж). При вводе
оператора ВХ содержимое операционного стека смещается "вверх”, а содержимое ре-
гистра XI засылается в регистр X (рис. 11, з).
Память микрокалькулятора состоит из 14 регистров произвольной выборки с номера-
ми 0, 1,.... 9, А, В, С, Д. Засылка содержимого регистра X в регистр N памяти и вызов в
регистр X содержимого регистра/^обеспечивают соответственно операторы nN и ИП1Ч.
В программах автоматических вычислений операторами передачи управления служат
адреса шагов программы (ячеек программной памяти) от 00 до 98, вводимые набором
соответствующих цифр, что существенно упрощает программирование. Другая особен-
ность рассматриваемого входного языка по сравнению с входным языком микрокаль-
кулятора ’’Электроника БЗ-21" заключается в возможности использования в програм-
мах автоматических вычислений операторов цикла, а также косвенной адресации пере-
ходов и обращений к памяти.
При каждом выполнении оператора цикла LNH3 содержимого регистра Nпамяти вы-
читается единица и результат проверяется по условию х = 0. Если это условие не выпол-
няется, то управление передается по адресу, следующему в программе за оператором
цикла, в противном случае - оператору, следующему в программе за этим адресом.
Операторы косвенной адресации, коды которых занимают один шаг программы,
формируют вводом оператора-модификатора К, оператора перехода или обращения к
памяти и номером N регистра памяти. При каждом выполнении такого составного опе-
ратора содержимое регистра N модифицируется - уменьшается на единицу, если/У= 0,
1, 2 или 3, увеличивается на единицу, если N = 4, 5 или 6, и не изменяется, если /V- но-
мер одного из остальных регистров (регистрам памяти А, В, Си Дприсвоены номера-
коды 10, 11, 12 и 13 соответственно).
15
При выполнении оператора косвенного условного перехода (Кх = ON, Кх * ON,
Кх > ON или Кх < ON) или косвенного безусловного перехода (KBnN или KnnN) уп-
равление в другую часть программы передается по модифицированному адресу, храня-
щемуся в регистре N памяти. При выполнении оператора KnN косвенной засылки со-
держимое регистра X засылается в регистр памяти с модифицированным номером-ко-
дом, хранящимся в регистре N, а при выполнении оператора косвенного вызова из па-
мяти KHnN в регистр X вызывается содержимое регистра памяти, номер которого ра-
вен модифицированному содержимому регистра N.
Элементная база и входной язык программируемого микрокалькулятора ’’Электро-
ника БЗ-34” использованы в программируемых микрокалькуляторах других типов
(например, настольном микрокалькуляторе ’Электроника МК56” и карманном микро-
калькуляторе 'Электроника МК-54"). Поэтому в дальнейшем входной язык этих мик-
рокалькуляторов будем называть входным языком МК34.
Аналогично входной язык микрокалькулятора ’’Электроника БЗ-21” использован,
например, в специализированном настольном программируемом микрокалькуляторе
'Электроника МК46”. Поэтому в дальнейшем будем сокращенно называть его вход-
ным языком МК21.
Обратный синтаксис характерен и для многих зарубежных программируемых мик-
рокалькуляторов, например, болгарского производства и выпускаемых в ряде стран по
лицензии фирмы ’’Хьюлет-Паккард”. Реже в программируемых микрокалькуляторах
(например, фирмы "Тексас Инструменте”) используют входные языки с алгебраичес-
ким синтаксисом.
1.3. Представление алгоритмов программами
Решение задачи в общем случае состоит из ряда взаимосвязанных этапов: выбора
постановки (математической модели) задачи, выбора метода и алгоритма ее решения,
выполнения алгоритма и проверки точности результата решения.
Составление достаточно точных математических моделей физических объектов явля-
16
ется сложной проблсмой.и поэтому при решении инженерных задач обычно используют
готовые типовые модели физических объектов и рекомендуемые методики их приме-
нения.
Методом называют общий подход к решению определенного класса задач, тогда как
алгоритм решения конкретной задачи - конечная последовательность однозначных опи-
саний операций, выполнимых исполнителем алгоритма и приводящих к искомому ре-
зультату. Алгоритм представляют словесно-формульным описанием, схемой или про-
граммой.
Словесно-формульное описание содержит перечень описаний операций с указанием
порядка их выполнения. Форма такого описания, как и других представлений алгорит-
ма, зависит от выполнимости исполнителем описаний операций. Например, для математи-
ка алгоритм решения квадратного алгебраического уравнения а2х2 + а,х + а0 = 0 доста-
точно описать словами: ’’решить квадратное уравнение”. Однако при необходимости
указания на конкретный способ решения это описание уточняют, представив его, на-
пример, предложением: ’’вычислить корни квадратного уравнения по формуле
*1,1 = -в1/(2ва) * V (e1/(2eJJ1 - а0/а2 (1.2)
Для исполнителя, незнакомого с этой формулой, алгоритм целесообразно уточнить с
указанием последовательности выполнения операций, например, описав его следующим
образом:
1. Вычислить а = -ajla2.
2. Вычислить р = а0/а2.
3. Вычислить D = а2 - /3.
4. Если D < 0, то перейти к п. 5, иначе к п. 6.
5. Записать вещественную часть Rex, 2 = а комплексно-сопряженных корней, вы-
числить их мнимую часть 1тх1>3 = V -D и закончить вычисления.
6. Вычислить вещественные корни х, = а + vGO; х, = а — \/D и закончить вычис-
ления.
При необходимости каждое из описаний сложных операций в этом словесно-фор-
мульном описании алгоритма заменяют последовательностями описаний более простых
операций (например, автоматически выполняемых микрокалькулятором при вводе
соответствующих операторов).
Более наглядно представление алгоритма схемой, в которой каждое описание опера-
ции проверки заданного условия заключают в ромб или близкую по форме фигуру с вы-
ходами ”Да” или 1 при выполнении проверяемого условия и ’’Нет” или 0 при его не-
выполнении. Описания остальных операций заключают в прямоугольники, а окончание
выполнения алгоритма обозначают овалом. Все операционные блоки схемы соединяют
линиями со стрелками, указывающими порядок выполнения операций. Например,
рассмотренному словесно-формульному описанию алгоритма решения квадратного
уравнения соответствует схема, показанная на рис. 12.
Наиболее компактный способ представления алгоритма основан на отображении
каждой операции условным символом (оператором), а требуемой последовательно-
сти операций - последовательностью операторов, называемой программой. Разветвле-
ния алгоритмов обычно отображают в программах одним из ранее рассмотренных спо-
собов передачи управления. Например, обозначив оператором С/П прекращение вычис-
лений, а операторами О,- - операционные блоки показанной на рис. 12 схемы алгорит-
ма, можно представить его программой
О, О, О3 О4 08 О5 С/П 06 С/П
с передачей управления оператору О6 при невыполнении условия, проверяемого опера-
тором О4, с помощью адреса 08 или программой
О, О2 О3 04 Ml О, С/П Ml Об С/П
17
с передачей управления при невыполнении проверяемого условия при помощи метки
Ml.
Достоинство представления алгоритма программой заключается в его компактности,
но для составления и чтения программы необходим условный (алгоритмический) язык
с ’’толковым словарем”, определяющим назначение используемых операторов, и четки-
ми синтаксическим правилами, определяющими правйла составления программы. По-
этому это представление редко используют при решении задачи человеком, но оно явля-
ется практически единственным для ввода алгоритма решения задачи в цифровые ЭВМ
любых типов, в конструкции которых предусмотрено использование определенных
входных (внешних) языков программирования.
При составлении программ решения сложных задач для вычислений на микрокальку-
ляторе в обычном или особенно программируемом режиме часто оказывается необхо-
димым предварительно составлять более наглядное словесно-формульное описание или
более наглядную схему алгоритма решения задачи. Схема особенно удобна для отобра-
Вычислить
б)
жения разветвлений алгоритма, которые возникают, в
частности, при решении задач с повторными выполнени-
ями некоторой последовательности операций (итерации).
В этих случаях обычно формируют замкнутый цикл, охва-
тывающий итерацию, с выходом из него после выполне-
ния определенного условия, например, вычисления ре-
зультата с заданной точностью (рис. 13,а). Если число ите-
раций задано, то выход из цикла обеспечивают включени-
ем в него счетчика итераций вида к = к - 1, начальное со-
х1<г =<х. + 'Л)
Рис. 12
держимое которого равно заданному числу итераций и
уменьшается на единицу после каждой итерации. Выход
из цикла обеспечивает условный оператор х = 0, проверя-
ющий содержимое счетчика итераций (рис. 13, б). Много-
кратное выполнение программы (например, при измене-
нии исходных данных) также образует замкнутый цикл с
прекращением вычислений и регистрацией результата пос-
ле каждой итерации (рис. 13, в).
При решении задач с помощью микрокалькуляторов существенное значение имеет
форма записи программы вычислений в обычном и особенно программируемом режимах.
В инструкциях по эксплуатации микрокалькуляторов для программ с арифмети-
ческими операторами обычно используют запись вида
С 3,6 X
1,723 + 5,08
18
где операторы набора чисел записывают слитно, как и при обычной записи чисел, а ариф-
метические и другие операторы заключают в прямоугольники, символизирующие на-
жимаемые клавиши. При составлении программ подобную запись целесообразно упро-
стить, отделяя функциональные операторы пробелами или вертикальными линиями,
например,
| С | 3,6 | X | 1,723 | + | 5,08 | = |
или в общем случае произвольных значений операндов
I С | д | X | Ь | + | с | =|,
причем операнды, вызываемые из памяти, обычно обозначают операторами вызова, на-
пример,
| С | a I X | й | + | ИП | = | .
В записях программ с операторами, вводимыми после нажатия префиксной клави-
ши, иногда обозначают прямоугольниками как префиксную клавишу, так и вводимые
после ее нажатия и надписанные над клавишами операторы. Такую запись можно упро-
стить вводом разделителей, например
I С | а | F | sin | - | 0 | F | cos | = | F | In | - | а | = | ,
но она остается избыточной, так как содержит символы F нажатия префиксной клави-
ши, хотя следующий за ней оператор нельзя ввести без этого нажатия. Кроме того, сим-
волы префиксных клавиш не имеют отношения к алгоритму решения задачи.
В программах, приведенных в настоящей книге, префиксные операторы указаны
лишь в тех случаях, когда они являются необходимыми составными частями других
операторов (например, оператор аге для выполнения обратных тригонометрических
функций, префиксные операторы обращения к памяти и др.). Например, приведенная
программа принимает вид
I С | а | sin | - | р | cos | = | In | - | а | = |
и более наглядно отображает алгоритм вычислений.
Добавим, что префиксные операторы, не имеющие отношения к алгоритму вычисле-
ний и используемые лишь при вводе программы, не записывают и в программы, состав-
ленные на алгоритмических языках стационарных ЭВМ. Кстати, такие операторы не ука-
зывают и в машинописных текстах, хотя для ввода верхних символов, обозначенных на
клавишах пишущей машинки, необходимо предварительно нажать префиксную клави-
шу подъема каретки.
Особое значение имеет выбор формы записи программ автоматических вычислений
на программируемых микрокалькуляторах. Такая запись должна быть достаточно удоб-
ной для составления, чтения и выполнения программы вычислений. В пособиях по прог-
раммированию для записи программ часто используют таблицы, каждая строка которых
содержит информацию об очередном шаге программы, включающую символы операто-
ров и нажимаемых клавиш, коды и адреса операторов, описания операций и, иногда,
содержимое операционного стека. Последовательность описаний операций в такой таб-
лице образует словесно-формульное описание алгоритма вычислений, по которому не-
сложно составить схему с операционными блоками, соответствующими операциями, вы-
полнимым используемым микрокалькулятором.
Примеры подобной записи программ автоматических вычислений на входных язы-
ках МК21 и МК34 для решения квадратного уравнения по формуле (1.2) приведены в
табл. 2 и 3. После выполнения этих программ высвечиваются не результаты вычислений,
а условные коды (2 или 7), указывающие на характер полученных результатов (веще-
ственные или комплексно-сопряженные корни) и места хранения одного из них.
Подобная табличная запись удобна для хранения готовых программ при изучении
программирования. Однако она чрезмерно громоздка и практически непригодна для со-
19
ставления программ, когда приходится многократно изменять их текст в поисках на-
илучшего варианта. В этом случае запись программы должна быть предельно краткой
и обеспечивать минимальные затраты времени на определение адресов переходов при
разветвлениях алгоритма вычислений.
ТАБЛИЦА 2
Программа решения квадратного уравнения на входном языке МК21
Инструкция: Ввести программу, коэффициенты а„, а, на, занести соответственно в ре-
гистры 4, 5 и 6, нажать клавиши В/О и С/П. Если после выполнения программы высве-
чивается 7, то корни вещественны и хранятся в регистрах У (для вызова нажать клави-
шу X?) и 7; если высвечивается 2, то корни комплексно-сопряженные, их мнимая
часть хранится в регистре У, а вещественная - в регистре 2.
№ Адрес пере- хода Код опера- тора Клавиши Оператор Описание операции Содержимое операционного стека
X У
1 01 52 F 5 F5 Вызов из регистра 5 0
2 02 06 t t Засылка в регистр У а\ «1
3 03 62 F 6 F6 Вызов из регистра 6 а2
4 04 36 -Г -Г Деление “J0! а1
5 05 24 2 2 Набор цифры 2 2 ai/a2
6 06 36 -Г Деление «1/2лг
7 11 56 /-/ /-/ Изменение знака а= -aJ2at “1 /а1
8 12 21 Р 2 Р2 Засылка в регистр 2 а
9 13 42 F 4 F4 Вызов из регистра 4
10 14 06 t t Засылка в регистр У в. ао
11 15 62 F 6 F6 Вызов из регистра 6 «1 “о
12 16 36 -Г -г Деление е = /а* «в
13 21 06 t t Засылка в регистр У 0 0
14 22 22 F 2 F2 Вызов из регистра 2 а 0
15 23 55 F/—/• X» Возведение в квад- рат а* 0
16 24 86 — — Вычитание -D = 0 - а1 0
17 25 49 РВ/О х > 0 Проверка х > 0 -D 0
18 26 34 3 3 Переход по адре- су 34 —D 0
19 31 65 F ВП у/ Извлечение корня 0
20 32 24 2 2 Набор цифры 2 2
21 33 78 С/П С/П Стоп 2
22 34 56 /-/ /-/ Изменение знака D 0
23 35 65 F ВП Извлечение корня •JD 0
24 36 06 t t Засылка в регистр У '/D' у/d'
25 41 22 F 2 F2 Вызов из регистра 2 а xTD
26 42 96 + + Сложение х, = х/О+а у/d'
27 43 71 Р 7 Pl Засылка в регистр 7 /D
28 44 22 F 2 F2 Вызов из регистра 2 Xj x/ZF
29 45 16 XY ч XY Обмен содержимым регистров X и У х/7Г ot
30 46 86 — — Вычитание X, = а - \/D' a
31 51 7 7 7 Набор цифры 7 7 X,
32 52 78 С/П С/П Стоп 7
20
ТАБЛИЦА 3
Программа решения квадратного уравнения на входном языке МК34
Инструкция: Ввести программу, коэффициенты а0, а, иа2 занести соответственно в ре-
гистры 0, 1 и 2, нажать клавиши В/О и С/П. Если после выполнения программы высве-
чивается 7, то корни вещественны и хранятся в регистрах У (для вызова нажать клави-
шу XY) и 7; если высвечивается 4, то корни комплексно-сопряженные, их мнимая часть
хранится в регистре У, а вещественная - в регистре 4.
№ Адрес пере- хода Код опера тора Клавиши Опера тор Описание опера- ции Содержимое операционного стека
X Y z т
1 00 61 ИП 1 ИП1 Вызов из регист- ра 1 а\ 0 0 0
2 01 0L /-/ /-/ Изменение знака —а, 0 0 0
3 02 62 ИП 2 ИП2 Вызов из регист- ра 2 аг ~а, 0 0
4 03 13 -Г Ч- Деление ~aJa2 0 0 0
5 04 02 2 2 Набор цифры 2 2 ~а,/а2 0 0
6 05 13 -Г Ч- Деление а = —aj/2а2 0 0 0
7 06 44 П 4 П4 Засылка в ре- гистр 4 а 0 0 0
8 07 22 F х х3 Возведение в квадрат а3 0 0 0
9 08 60 ИП 0 ИП0 Вызов из регист- ра 0 ао а* 0 0
10 09 62 ИП 2 ИП2 Вызов из регист- ра 2 а1 а3 0
11 10 13 ч- ч- Деление 0 = а0/а2 а2 0 0
12 11 11 — — Вычитание D = а3 - 0 0 0 0
13 12 5( F ШТ х<0 Проверка х < 0 D 0 0 0
14 13 18 1 8 18 Переход по адре- су 18 D 0 0 0
15 14 0L /-/ /-/ Изменение знака -D 0 0 0
16 15 12 F - yj Извлечение корня •J-D 0 0 0
17 16 04 4 4 Набор цифры 4 4 y/^D 0 0
18 17 50 С/П С/П Стоп 4 у/-D 0 0
19 18 21 F - yj Извлечение корня х/п 0 0 0
20 19 43 П 3 пз Засылка в ре- гистр 3 хАо 0 0 0
21 20 64 ИП 4 ИП4 Вызов из регист- ра 4 » а V-o 0 0
22 21 10 + + Сложение х, = х/7) + а 0 0 0
23 22 47 П 7 П7 Засылка в ре- гистр 7 *> 0 0 0
24 23 64 ИП 4 ИП4 Вызов из регист- ра 4 а *1 0 0
25 24 63 ИП 3 ИПЗ ‘Вызов из регист- ра 3 x/D а *1 0
26 25 11 — — Вычитание х, = а - \/ D X, 0 0
27 26 QL 7 7 Набор цифры 7 7 Х2 *1 0
28 27 50 С/П С/П Стоп 7 xt х. 0
21
В рассмотренной табличной записи необходимым является лишь столбец операторов,
образующих программу (для ввода программы достаточно последовательности нажи-
маемых клавиш, но последняя не отображает алгоритма вычислений). Программа ста-
новится компактнее при записи операторов в строки с фиксированным числом операто-
ров, упрощающим определение адресов переходов. Наиболее просто определяются эти
адреса, когда число операторов в строке равно числу ячеек на странице программной
памяти.
Для большей компактности записи программы на входном языке МК21 будем запи-
сывать в строки по 12 (или меньше в последней строке) операторов. В этом случае ле-
вые полустроки (соответствующие страницам программной памяти) будут иметь номе-
ра а = 0, 2, 4, 6 и 8, а правые - а = 1, 3, 5, 7 и 9. Адрес перехода к любому оператору
программы несложно определить по номеру а полустроки и номеру b — 1, 2, . . . , 6
оператора в этой полустроке.
Затраты времени на запись программы сокращаются также при упрощении начерта-
ний сложных символов. Поэтому в дальнейшем символ XY будем заменять его упро-
щенным вариантом XY, а операторы * > и < ' поворотов стека памяти (в языке
МК21) или операционного стека (в языке МК34) - упрощенными символами «-и-*
соответственно.
Компактную запись программ следует дополнить и компактной записью инструкции
по выполнению программы со стандартными описаниями размещения в памяти и опера-
ционном устройстве исходных данных и результатов вычислений, а также указаниями
нажимаемых клавиш. В дальнейшем размещение исходных данных будем указывать в
инструкциях символами операторов присвоения вида а = PN, где А номер регистра
памяти или операционного стека, куда заносится число а. При этом регистры кольцево-
го стека памяти для микрокалькуляторов с входным языком МК21 будем обозначать
символами CNв соответствии со схемой, показанной на рис.14.
Например, запись а = Pl, b — С6, с - PY, d = РХ будет озна-
чать, что исходные числа a, b, с nd перед пуском программы
следует занести соответственно в регистры 7 ЗУПВ, С6 стека
памяти, Y и X операционного стека.
В процессе вычислений исходные данные могут замещать-
ся результатами промежуточных вычислений и перед повтор-
ными пусками программы их следует восстановить. Поэтому
в инструкциях исходные данные, которые не нужно восста-
навливать перед повторными пусками программы, будем
заключать в круглые скобки. Например, запись (а = Рг1,с =
= PY) b = С6, d = РХ будет означать, что перед повторным
пуском программы необходимо ввести лишь исходные данные Ь и d.
Размещение результатов выполнения программы будем описывать операторами
присвоения вида PN = а и, например, запись РХ = Р7 = Л, PY = g, Cl = q будет означать,
что результаты вычислений h , g и q размещены соответственно в регистрах X (и 7), У и
С1. Содержимое регистра X после выполнения программы высвечивается на индикаторе.
Служебные операторы, вводимые при первом пуске программы, будем заключать в
круглые скобки - например, запись В/О С/П будет означать, что соответствующие кла-
виши нажимают для каждого пуска программы, а при записи (В/О) СП клавишу В/О
нажимают только при первом пуске введенной программы.
В соответствии с рассмотренными правилами программа, записанная в табл. 2, в
компактной записи примет следующий вид.
22
Программа 1/21' . Решение квадратного уравнения
F5 t F6 * 2 4 /-/ Р2 F4 t F6 4
t F2 № - х>0 3 чЛ 2 С/П /-/ чЛ t
F2 + Р7 F2 XY - 7 С/П
Инструкция: (а0 = Р4, а, = Р5, а2 = Р6) В/О С/П РХ = 7, PY = х2, Р1 = х, или
РХ = 2,PY = Im х, 2,Р2 = Re х, ,.
В подобной записи отсутствуют коды операторов, но при внимательном нажатии кла-
виш в режиме программирования (наиболее частой ошибкой является пропуск опера-
тора) достаточно контролировать высвечиваемые адреса крайних правых операторов
строк (ab = 20, 40, 60, 80 и -0). В этом случае ввод программы с максимальным чис-
лом операторов занимает не более 1-1,5 мин.
При любой записи программ на входном языке МК21 в процессе их составления для
определения операторов передачи управления по нужному адресу и кодов вводимых
операторов приходится обращаться к табл. 1 или запоминать эти операторы и коды.
В последнем случае достаточно по расположению соответствующих клавиш запомнить
операторы A (t | XY I X | 4- | , | /-/ | ВП | Сх I - I +), передающие управление соответ-
ственно по адресам переходов вида аб = 06, 16, 26, 36, 46, 56, 66, 76, 86 и 96. Тогда ос-
тальные операторы передачи управления несложно определить как Ра и Fa для адресов
вида al и а2, РА и F/1 для адресов вида аЗ и а5, а также а для адресов видаа4. Запомнив
эти операторы, несложно определить и коды операторов, совпадающие с адресами (нап-
ример, операторы я и ч/~, вводимые нажатиями клавиш Р X и F ВП, имеют соответ-
ственно коды 23 и 65, совпадающие с адресами, вводимыми нажатиями тех же клавиш).
Программы на входном языке МК34 при компактной записи целесообразно распола-
гать по 10 операторов в строке. В этом случае адрес перехода ab к любому оператору
легко определить по номеру a = 0, 1,..., 9 строки и номеру Ь = 0, 1,.... 9 столбца, на
пересечении которых находится этот оператор. В подобной компактной записи програм-
ма, приведенная в табл. 3, примет следующий вид.
Программа 2/34. Решение квадратного уравнения
ИП1 /-/
ИП4 +
ИП2 4 2 4 П4
х<0 18 1-1 хГ 4
П7 ИП4 ИПЗ - 7
ха ИП0 ИП2
С/П чЛ~ ПЗ
С/П
Инструкция: (a0 = Р0, а, = Pl, а2 = Р2) В/О С/П РХ = 7, PY = х2, Р7 = х, или
РХ= 4,PY = Imx, 2,Р4 = Re х1>2.
Правильность составления и ввода программы целесообразно проверять с помощью
легко составляемых контрольных (тестовых) примеров, обеспечивающих проверку
всех разветвлений алгоритма. Примеры целесообразно сопровождать указаниями на
время их выполнения, что особенно существенно для программ с большим временем
счета в связи с возможностью ’’зацикливания” (невыполнения оператора остановки) не-
верно составленной или ошибочно введенной программы. В результатах выполнения
контрольных примеров высвечиваемые цифры двух последних разрядов мантиссы бу-
дем указывать лишь в необходимых случаях, так как для микрокалькуляторов раз-
личных типов и выпусков эти цифры могут отличаться.
Правильность ввода программ 1/21 и 2/34 легко проверить решением уравнения
2х’ + Зх - 4 = 0 с вещественными корнями х, = 0,850781; х, = -2,35078 (время
счета соответственно 5 и 7 с) и уравнения 2х2 + Зх + 4 = 0 с комплексно-сопряженны-
ми корнями х, , = -0,75 ± j 1,19895 (время счета около 4 и 6 с).
Приведенные далее программы читатель может самостоятельно представить в форме,
1 Программы решения типовых задач на входных языках МК21 и МК34 будем обоз-
начать порядковыми номерами с указанием через косую черту входного языка с добав-
лением символа С для программ, не выполнимых микрокалькуляторами первых вы-
пусков.
23
подобной табл. 2 или 3, но этого не потребуется при небольшом навыке в использовании
компактной записи. Если при составлении программы необходимо учитывать изменения
содержимого регистров операционного стека (аналогично табл. 2 и 3), то соответству-
ющие данные целесообразно выписывать в столбец над каждым оператором в черновом
тексте составляемой программы.
Простейшие вычисления на программируемых микрокалькуляторах целесообразно
выполнять в обычном режиме. Однако при вычислениях в обычном режиме по програм-
мам с большим числом операторов достоверность результатов вычислений оказывается
низкой в связи с возможными ошибками при вводе операторов, а исправление замечен-
ных ошибок связано с большими потерями времени. Поэтому такие программы (даже
если они выполняются однократно и не содержат замкнутых циклов) лучше вводить в
программную память, что обеспечивает возможность проверки правильности ввода и
выполнения программы, и выполнять пошагово или в программируемом режиме.
В книге не приведены программы решения рассматриваемых задач на непрограмми-
руемых микрокалькуляторах, отличающихся разнообразием входных языков, но чита-
тель может самостоятельно их составить на входном языке микрокалькулятора исполь-
зуемого типа по приведенным алгоритмам.
1.4. Погрешности результатов вычислений
Численный результат х решения инженерно-технической задачи с помощью микро-
калькулятора практически всегда отличается от точного значения х* соответствующей
физической переменной на величину х - х*, называемую истинной ошибкой или пог-
решностью результата вычислений. Однако точное значение х* обычно неизвестно, и
поэтому точность результата вычислений оценивают значениями предельных абсолют-
ной Ах и относительной t>x погрешностей. В соответствии с имеющейся информацией их
значения выбирают так, чтобы неравенства
Ах > I х - х* |; 6х = Ах/ | х | > | х - х* | / | х* | (1.3)
были как можно ближе к равенствам и, следовательно, оценка погрешности была близ-
кой к ее истинному значению.
Таким образом, точное значение х* лежит в интервале, середина которого совпадает
с вычисленным значением х, а границы - со значениями х±Ах=х(1± 6х). Оценки пог-
решностей, обеспечивающие безусловное выполнение неравенств (1.3), называют мажо-
ритарными, а оценки, обеспечивающие выполнение этих неравенств с определенной
вероятностью, — статистическими.
Точность результата вычислений часто связывают с цифрами его десятичного пред-
ставления. Первые п значащих1 цифр называют верными, если абсолютная погрешность
результата не превышает половины единицы n-го разряда, и верными в широком смыс-
ле, если эта погрешность не превышает единицы л-го разряда. Относительная погреш-
ность числа с л верными цифрами (А < 5 • 10" ”) при л > 2 определяется соотношением
«х « 1/2д, 10п-' , где о, - первая значащая цифра.
Основными источниками погрешности результата решения задачи являются погреш-
ности математической модели и погрешности вычислений. Математическая модель (со-
вокупность символов, отображающих числа и отношения между ними) любого физи-
ческого, или, другими словами, реально существующего объекта принципиально приб-
лиженна, что вытекает из следующих диалектических положений. Любое явление есть
следствие и причина других явлений, причем причиной явления со свойством, описан-
ным переменной х(Г), будет не координата отсчета Г, обычно имеющая размерность вре-
1 Значащими называют все отличные от нуля цифры десятичного представления чис-
ла, а также содержащиеся между ними и приписываемые справа (для указания сохра-
няемых разрядов) нули.
24
мени, а некоторое другое свойство этого же или другого явления, описанное перемен-
ной q(t) в той же системе отсчета. Связь между воздействием (причиной) <? = q(t) и
реакцией (следствием) х = x(t) на это воздействие моделируют функциональными за-
висимостями
x = x(q)=aq. (1.4)
Формально в канале связи между воздействием и реакцией на это воздействие над
переменной q выполняется некоторая операция, результатом которой является перемен-
ная х. Поэтому параметр передачи а = x(q)lq канала связи можно рассматривать как
оператор, ставящий число х в соответствие числу q. Математические модели таких опе-
раторов определяются свойствами реальных каналов причинно-следственных связей, ко-
торым (в силу их материальности) присущи все свойства каналов передачи энергии.
Влияние энергии, поступающей от источника воздействия <?, проявляется в измене-
нии свойств канала или нелинейности его параметра передачи а = a (q). Влияние мно-
жества z сторонних по отношению к q воздействий моделируют параметрическими из-
менениями оператора а = a(q, z). Всеобщая взаимосвязь явлений приводит к зависи-
мости реакции от бесконечного множества сторонних воздействий и, как результат,
к случайным изменениям параметра передачи а = a (q, z). Накопление энергии в канале
связи приводит к его инерционности, проявляющейся в зависимости реакции от значе-
ний воздействий в предыдущие моменты времени. Свойства инерционных каналов в
общем случае моделируют интегрально-дифференциальными уравнениями относи-
тельно независимой переменной t. Ограниченная скорость распространения энергии при-
водит к задержке во времени и распределенности реакции (отображаемой распределен-
ностью параметров) вдоль протяженных каналов связи. Свойства таких каналов моде-
лируют интегрально-дифференциальными уравнениями с частными производными по
времени и пространственными координатами.
Физический объект с и независимыми входами (местами приложения воздействий
и определения реакций) рассматривают как автономную физическую систему1, модели-
руемую в общем случае системой операторных уравнений
и
Xj = ai]4j> 1 = 1,2,...,», (1.5)
или в сокращенной матричной записи
X = AQ,
где Q и X - векторы-столбцы переменных воздействий и реакций соответственно; А -
квадратная матрица параметров передачи а(-.- каналов связи между /-ми ш z-ми входами.
Системы уравнений (1.5) можно преобразовать в другие уравнения, графы, схемы
замещения, частично упорядоченные множества и иные эквивалентные математические
модели [19]. Однако вследствие бесконечного многообразия свойств физических объек-
тов их точные модели построить невозможно, а учет даже рассмотренных свойств ка-
налов связи приводит к сложным моделям, часто непригодным для практических при-
ложений. Поэтому математические модели физических объектов упрощают, пренебре-
гая теми свойствами каналов причинно-следственных связей, которые при заданных ра-
бочих условиях достаточно мало влияют на зависимость реакции от заданного воздей-
ствия. В частности, каналы малой протяженности обычно рассматривают как сосредото-
ченные, а их параметры передачи как детерминированные. При медленных изменениях
воздействий пренебрегают инерционностью канала связи, описывая его нелинейные
свойства статическими характеристиками.
1 Системой называют множество связанных элементов (частей системы), характе-
ризуемое структурой, определяющей отношения между элементами, и параметрами,
определяющими свойства элементов.
25
При достаточно малых изменениях уровня воздействия q (слабых воздействиях) их
влиянием пренебрегают, рассматривая каналы связи как линейные (с независимым от
воздействия параметром передачи) и при учете инерционности описывая их линейными
дифференциальными уравнениями вида
„ d"X 4. 4. dX 4- - h dmq 4- 4. h dq 4- h Л Ы
« dtn ” ‘ dt a»~bm dtm Ь' dt b°' (L6)
Для удобства расчетов такие уравнения преобразуют по Лапласу в алгебраические урав-
нения (1.4) вида
х(р) =a(p)q(p) +х0,
где член х0 отображает начальные условия, а комплексную переменную р = о+ jo> на-
зывают оператором Лапласа или комплексной частотой.
При подстановке р = j ш и нулевых начальных условиях такие операторы уравнения
принимают вид
x(jw) = a(jw)q(>w),
где параметр передачи а (j о>) называют частотной характеристикой.
Приближенный характер структуры математической модели является одной из при-
чин погрешностей вычислений с помощью такой модели. Исходные данные (значения
воздействий и параметров модели) также имеют погрешности, определяемые возмож-
ной точностью измерения соответствующих физических величин и точностью изготовле-
ния физических объектов. Кроме того, на результат вычислений влияют операционные
погрешности, возникающие при выполнении отдельных операций, а также погрешности
выбранного метода вычислений.
Операционные погрешности вычислений на микрокалькуляторах связаны с ограни-
ченной разрядностью операндов, определяемой конструкцией запоминающих устройств.
В частности, индикатор микрокалькулятора высвечивает десятичные представления
чисел с фиксированным максимальным числом г разрядов мантиссы (рабочей разряд-
ностью). Результат вычислений, содержащий большее число разрядов, автоматически
округляется до г разрядов по способу, предусмотренному конструкцией микрокаль-
кулятора. Простейшими из них являются округление отбрасыванием и округление по
дополнению.
При округлении отбрасыванием в результате операции сохраняют без изменения пер-
вых г разрядов мантиссы, причем абсолютная погрешность округленного числа не пре-
вышает единицы последнего разряда (Д < 10* ~г). При округлении по дополнению со-
держимое г-го разряда увеличивают на единицу, если отбрасываемая часть больше поло-
вины этой единицы, и не изменяют в противном случае. Абсолютная погрешность округ-
ления по дополнению не превышает половины единицы последнего разряда округленно-
го числа (Д < 5 • 10"г ).
Несмотря на малость погрешности одного округления, ее влияние при последующих
операциях может привести к значительной погрешности результата вычислений. Напри-
мер, результат непосредственного вычисления арифметического выражения ((-100 : 3 +
+ 10) X 6 + 140) • 10’ на некоторых микрокалькуляторах с г = 8 равен единице, хотя
его точное значение равно нулю. Причина этой ошибки связана с погрешностью округ-
ления результата деления и устраняется при предварительном приведении выражения в
скобках к общему знаменателю и его сокращении.
Ограниченная разрядность операндов приводит к нарушению законов ассоциативно-
сти, коммутативности и Дистрибутивности, справедливых для точных чисел. Например,
при умножении на микрокалькуляторе с г = 8 и естественной формой представления
чисел, переставляя сомножители, получаем
I С | 0,001 I X | 0,002 | X | 0,004 | X | 1000 | X | 100 000 | = | (0);
I С I 1000 | X | 0,001 I X | 0,002 | X | 0,004 | X | 100 000 | = I (1);
I С | 1000 | X | 100 000 I X | 0,001 | X | 0,002 | X | 0,004 | = | (-).
26
Поэтому, умножая на микрокалькуляторе несколько отличающихся по порядку операн-
дов, целесообразно представить их в показательной форме, умножить мантиссы и сло-
жить порядки - в этом случае погрешность произведения будет минимальной. Сложение
нескольких операндов следует начинать с наименьших по порядку чисел. При сложении
двух операндов, отличающихся по порядку на г и более разрядов, результат будет равен
большему числу, по отношению к которому меньшее число можно рассматривать как
относительный машинный нуль.
Многие методы вычислений приводят теоретически к точному результату лишь при
бесконечном числе операций. Так как практически выполнимо конечное число опера-
ций, то возникает остаточная (методическая) погрешность результата вычислений. Ее
можно уменьшить, увеличив число операций, но при этом возрастет операционная со-
ставляющая погрешности результата. Кроме того, при любом числе операций их резуль-
тат не может содержать числа верных цифр, большего рабочей разрядности г .
Микропрограммы вычисления элементарных функций, хранящиеся в ПЗУ микро-
калькулятора, обычно составляют на основе методов последовательных приближений, и
погрешности вычисления таких функций в основном являются методическими. Однако
пользователь не может их уменьшить увеличением числа операций и должен рассматривать
эти погрешности как операционные. Обычно их указывают в паспорте микрокалькуля-
тора - они составляют несколько единиц последнего (иногда и предпоследнего) разря-
да мантиссы на индикаторе. Некоторые микрокалькуляторы (например, ’’Электрони-
ка БЗ-36”) вычисляют элементарные функции с высвечиванием числа значащих цифр,
меньшего рабочей разрядности г .
В некоторых микрокалькуляторах (например, ’’Электроника БЗ-19М” и ’’Электро-
ника СЗ-15”) вычисления выполняются с большим числом разрядов, чем высвечивается
на индикаторе. Эго существенно снижает операционные погрешности, в особенности при
выполнении последовательности операций. Однако вследствие накопления влияния
погрешностей при большом числе операций погрешность результата и в этом случае
может оказаться значительной.
Результат вычислений можно рассматривать как функцию х(а,, . . . , ап) операндов
<г(- и разложить в ряд Тейлора. Ограничиваясь линейными членами такого разложения
при малых погрешностях операндов, получают оценку относительной погрешности
Аг д. лх к
5х ® S И. 6а, = S S, 8а,-, (1.7)
(=1 х да/ 1 г=1 ' '
где величины S,- называют чувствителъностями результата к изменениям исходных дан-
ных (операндов).
Непосредственно по формуле (1.7) можно учесть лишь влияние малых изменений
исходных данных, но с ее помощью удобно оценивать чувствительности результатов
каждой операции к погрешностям операндов. Например, для суммы х = а + b чувстви-
тельности Sa = а/ (а + Ь) и S/,= Ь/ (а + Ь); для произведения х = ah чувствительности
Sa = 1 и S/, = 1; для логарифма х = 1па чувствительность Sa = 1/inc.
Наиболее чувствителен к погрешностям операндов результат вычитания двух близ-
ких чисел, так как в этом случае знаменатели чувствительностей Sa = а/ (а - Ь) н S/,=
= Ь/ (а - Ь) оказываются весьма малыми. Поэтому при вычитании близких чисел для
уменьшения погрешности результата стремятся так изменить арифметическое выраже-
ние, чтобы устранить это вычитание.
Примером может служить формула (1.2) при а’ > aoai- Запишем эту формулу в
упрощенной форме
*1,2 = ± (I а I ± -0),
где знак перед выражением в скобках выбирается в соответствии со знаком коэффи-
циента а. При а’ » 0 корни соответствующего квадратного уравнения вещественны, но
один из них равен результату вычитания близких чисел
х, = * (I а I - х/а2 - в),
27
и его относительная погрешность может оказаться чрезмерно большой. При а2 > 10*0
значение 0 является машинным нулем относительно а2, и при вычислениях на микро-
калькуляторе с г = 8 получим результаты вычислений по формуле (1.2), равные х, =
= 0 и х, = 2а.
Более точные результаты получим, домножив и разделив выражение для вычисления
х, на значение х2 = ± (| а | + V а’ - 0). В этом случае значение х, = 0/х2 всегда будет
отличаться от нуля при ненулевом значении 0 и погрешность определения корня суще-
ственно уменьшится. Поэтому при а2 > а0а2, когда значение одного из вещественных
корней квадратного уравнения близко к нулю, вместо программ 1/21 и 2/34 целесооб-
разно использовать следующие программы, составленные с учетом рассмотренного
преобразования.
Программа 3/21. Решение квадратного уравнения с повышенной точностью.
F5 t F6 + 2 4- /-/ P2 F4 t F6 +
РЗ t F2 х2 — x> 0 F+ 2 С/П /-/ чГ
Р8 F2 х<0 5 t F8 — БП P6 t F8 +
Р7 t F3 XY + 7 С/П
Инструкция: (а0 = Р4,а, = P5, a2 = = P6) B/O С/П PX = 7, PY = x,, Pl = x2 или
РХ = 2, PY = Im х, 2, Р2 = Re х, а
» *
Программа 4/34. Решение квадратного уравнения с повышенной точностью
ИП1 /-/ ИП2 + 2 + П4 X2 ИП0 ИП2
+ П5 - x<0 20 t /-/ yj 4 С/П
y/~ П8 ИП4 x<0 29 ИП8 — БП 31 ИП8
+ П7 ИП5 XY + 7 С/П
Инструкция: (a0 = P0, a 1 = W.‘, = P2) B/O С/П PX = 1,PY= x,, Pl = x2 или
PX=4,PY = Imx, ,,Р4= Re х2>2.
Комплексно-сопряженные корни или один из вещественных корней по этим прог-
раммам вычисляются с той же точностью, что и по программам 1/21 и 2/34, но вычисле-
ние близкого к нулю вещественного корня выполняется со значительно большей точно-
стью. Например, при решении уравнения х2 + 20 ОООх ± 1 = 0 по программам 1/21 и
2/34 получим х2 = -20 000; х, = 0, а по программам 3/21 и4/34 получим х2 = -20 000;
х, = ? 5 • 10*’. Для уравнения х2 + ЮООх + 1 = 0 по программам 1/21 и 2/34 вычисля-
ются корни х2 = -999,99899 и х, = -1,01 • 10*2 (с ошибочной третьей цифрой мантис-
сы), а по программам 3/21 и 4/34 вычисляются х2 = -999,99899 и х, = -1,000001 • 10*3.
Полную погрешность результата вычислений удобно оценивать с помощью графа
распространения относительных или абсолютных погрешностей. Вершинам-источникам
графа распространения относительных погрешностей соответствуют погрешности 8а(- ис-
ходных данных а(- и операционные или методические погрешности б результатов опера-
ций, вершине-стоку - полная погрешность результата вычислений, а промежуточным
вершинам - выполняемые операции. Веса дуг такого графа равны чувствительностям
результата операции к погрешностям операндов. Полная погрешность вычислений опре-
деляется суммой произведений погрешностей промежуточных результатов на веса схо-
дящихся к ним дуг графа.
Пример подобного графа для вычислений по (1.1) показан на рис. 15, а вычисленная
по этому графу полная погрешность результата
6х = (х64+а6а + (х - а) (63 + 6Z> - (62 + 0,5(6, + 6с/1пс)) ))/х.
Предположим, что операнды а = 7; b = 5 и с = 2 определены с точностью 1 %, а погреш-
ности операций (рис. 15) 6, = Ю*‘; 62 — 6, = 64 = 10*7.Вэтомслучае х = 7 -5/V 1п2 =
= 0,9943881 и 6х = 1,62 • 10*’. Следовательно, точное значение результата вычислений
лежит в интервале, ограниченном значениями xmjn = х - Дх = х (1 - бх) = 0,992771 и
хтах = х(1 + 6х) = 0,995999, а вычисленное значение х содержит только две верных
цифры.
Пусть а = 6 (1 ± 0,01) при сохранении прежними остальных исходных данных. В этом
случае х = -5,6119 • 10*’; 6х = 4,645, и точное значение результата лежит в интервале,
28
ограниченном значениями xmjn = -3,167917 • 10"3 ихтах = 2,045537 • 10"3. Основная
причина погрешности результата, не содержащего ни одной верной цифры, связана с вы-
читанием близких чисел.
Формула (1.7) справедлива только при весьма малых значениях приращений операн-
дов. Если это условие нарушается, то прибегают к учету большего числа членов ряда
Тейлора или используют другие способы учета полной погрешности, например вычис-
ляют граничные значения результата при наихудших сочетаниях знаков изменений ис-
ходных данных, приводящих к наибольшей погрешности результата.
В последнем случае влияние изменений операнда а(- на результат вычислений х оце-
нивают по знаку производной дх/да^ При положительной (отрицательной) производной
значение операнда а,- max(a, min) соответствует х^х и a, min(a(-тах) соответствует xmin.
Согласно этим соотношениям несложно определить интервал, в котором находится точ-
ное значение результата вычислений. Например, при вычислениях по формуле (1.1)
производные дх/да = 1, дх/дЬ = -1/ Vine < 0 и дх/дс — Ь) (2с In с \/1пс) > 0. Следова-
тельно, xmjn = х (cmjn, ^max,cmin) и •''max ~ x^amax,^min,cmax^ Прид = 6(110,01); b =
= 5 (1 ± 0,01); c = 2(1 ± 0,01) по формуле (1.1) вычисляем xmax = 6,01 -4,99/ V In 2,01 =
= 3,78456 • 10*’ и xmin = 5,99 - 5,01/In 1,99 = -4,95085 • IO"3. Оценив операцион-
ные погрешности результата вычислений по графу, представленному на рис. 15, при 8а =
= 6Ь = 6 с = 0 убеждаемся, что их влияние не сказывается на цифрах полученных гра-
ничных оценок. Сравнение этих результатов с полученными ранее свидетельствует о
том, что для рассмотренного примера вычисления по формуле (1.7) при изменении ис-
ходных данных на 1 % дают грубую оценку.
В заключение отметим, что число верных цифр в результате вычислений при решении
инженерных задач может оказаться большим числа верных цифр в измеренном значении
соответствующей физической величины. В этом случае в результате вычислений следует
сохранить число цифр, равное или на единицу большее числа верных цифр, которые
можно получить при измерении соответствующей физической величины или ее средне-
статистическом определении с учетом технологического разброса при изготовлении фи-
зических объектов.
1.5. Оптимизация программ вычислений
Любая задача, связанная с вычислениями, в принципе может быть решена с помощью
карандаша и бумаги, и вычислительные средства лишь ускоряют выполнение вычисле-
ний с заданной или достижимой точностью. Поэтому основной критерий эффективности
применения микрокалькуляторов определяется сокращением затрат времени на состав-
ление и выполнение алгоритма решения задачи. Затраты времени на составление прог-
раммного представления алгоритма на входном языке микрокалькулятора (включая
выбор метода, начального варианта алгоритма и оптимизацию программы) зависят от
сложности задачи, уровня математической подготовки пользователя и знания им при-
емов программирования. Эти затраты существенно сокращаются при наличии библиоте-
ки готовых программ решения типовых задач на входном языке используемого микро-
калькулятора.
29
В такую библиотеку не следует включать элементарные программы, составление ко-
торых требует меньше времени, чем их поиск. Программы библиотеки должны отвечать
основному критерию качества (оптимальности), соответствующему минимальным зат-
ратам времени на выполнение программы
Т = Т + Г + Т + Г
в к м д и1
состоящим из времени ввода операторов программы нажатиями клавиш Т , времени
Тм выполнения операторов микрокалькулятором, дополнительного времени Гд выпол-
нения вспомогательных операций и времени Ти исправления ошибок, допущенных при
выполнении программы. Составление оптимальной программы, особенно для програм-
мируемых микрокалькуляторов, связано со значительными затратами времени Тс, но
в общем времени решения задачи Т = Тв + Тс/к доля этих затрат тем меньше, чем боль-
шее число к раз выполняется программа.
Составляющие ТК, Тм и Г при вычислениях в обычном режиме уменьшаются при
уменьшении длины (числа операторов) программы, но иногда приходится увеличивать
длину программы для сокращения составляющей Г , например, при необходимости
регистрации результатов вычислений на вычислительных бланках и их считывании для
ввода в микрокалькулятор.
Значительное время затрачивается на ввод многозначных операндов, каждый знак
которых набирается нажатием клавиш. Поэтому сокращение числа вводов операндов
при использовании особенностей лексики и синтаксиса входного языка может значи-
тельно уменьшить время выполнения программы. Например, при построении зависимо-
сти f (ш) = о? + а/ы с переменной ш и коэффициентом а на входном языке с алгебра-
ическим синтаксисом можно составить программу |С|а|-ь|ш|+|о)|х2 | = |, длина
которой зависит от числа операторов набора коэффициента а и дважды набираемой пе-
ременной оз. Длину программы можно сократить, занося значение а в регистр памяти и
используя особенности входного языка для обеспечения однократного ввода перемен-
ной <д. Эти условия для микрокалькуляторов ’’Электроника БЗ-18М” и "Электроника
БЗ-37” реализует программа | С | о> | X | = |т|Х-П| + |«-|Х-П| = |, для микро-
калькулятора ’’Электроника БЗ-36”-программа | С | о> | х2 | + | ( | «• | т| ИП | «• | ) | = |,
а для микрокалькулятора ’’Электроника БЗ-19М” с обратным синтаксисом входного
языка - программа | о> | t.| m — х | XY | -г | XY | х1 | + |.
Иногда затраты времени уменьшаются (а точность результата повышается) при уве-
личении длины программы за счет ввода операторов, более быстро выполняемых мик-
рокалькулятором. Так, при возведении операндов в небольшие целые положительные
и отрицательные степени вместо оператора X-^ или Xх целесообразно вводить фрагменты
вида |а|х|=|=|... или | а | -г | = | = | . . . , допустимые в большинстве входных
языков с алгебраическим синтаксисом.
Таким образом, оптимизация программ для обычного режима вычислений в основ-
ном сводится к рациональному выбору алгоритма, обеспечивающего эффективное ис-
пользование лексики входного языка и его синтаксиса, определяющего правила работы
операционного устройства микрокалькулятора.
Значительно более сложна оптимизация программ автоматических вычислений, до-
пустимая длина которых ограничена емкостью программной памяти. Во входных язы-
ках предусмотрены различные средства управления программой, но время Тм непосред-
ственно не связано с длиной программы, определяющей время Гк ввода программы в
программную память. Длина неразветвленных частей программ автоматических вычис-
лений также сокращается использованием особенностей лексики входного языка и пра-
вил работы операционного стека микрокалькулятора. В частности, при использовании
микрокалькуляторов с входным языком МК21 следует учитывать сохранение содержи-
мого регистра У после выполнения всех функциональных операторов, кроме оператора
е J*. Например, арифметическое выражение о? + а/ы при а — Р2 и = РХ с учетом этой
особенности можно вычислить при помощи фрагмента | t | F2 | * I 1/х | XY | х2 I + |.
30
Особенности вычисления оператора eJ* также можно использовать для сокращения
длины программы, например, для вычисления выражения (sin а) b при а - РХ и b = Р2
вместо фрагмента | sin I t I F2 | X | целесообразно использовать фрагмент | е | F2 | X |.
Не следует забывать и о "пунктуационном” правиле смещения операционного стека
"вверх” при наборе операндов. Эго правило позволяет записывать однозначные (а на
входном языке МК21 и двузначные) операнды непосредственно в текст программы без
увеличения ее длины. Например, выражение (1,52х - 7) /6 при х = РХ на входном язы-
ке МК21 целесообразно представить фрагментом | t | F2 | X | 7 | - | 6 | т |, а на языке
МК34 - фрагментом | ИП2 I X | 7 | - I 6 | * |, где 1,52 = Р2.
Длина программы автоматических вычислений, содержащей п одинаковых фраг-
ментов из т операторов, сокращается при вынесении такого фрагмента в подпрограм-
му, если выполняется условие
rnn >т + 1 + 2л, (1.8)
так как каждая подпрограмма из т операторов оканчивается оператором В/О, а на мес-
те каждого из п исходных фрагментов записывают два оператора (ПП и передачи управ-
ления).
Длина программы с последовательностью и одинаковых фрагментов из т операто-
ров сокращается при охвате такого фрагмента замкнутым циклом, если выполняется
условие
тп>п + к, (1.9)
где к - число дополнительных операторов, необходимых для организации цикла. В прог-
раммах на входном языке МК34 охватываемый циклом фрагмент дополняют операто-
рами | LN | А | с адресом А первого оператора фрагмента и занесением числа л выпол-
нений вычислений в цикле (итераций) в регистр N = 0, 1, 2 или 3. В программах на вход-
ном языке МК21 подобный цикл организуют с помощью фрагмента | FN | 1 | — | PN j
х — 0 | А | с исходным содержимым счетчика итераций и = PN, оператором А передачи
управления началу охваченного циклом фрагмента и к = 6.
Длину программы на входном языке МК21 часто удается сократить при использо-
вании кольцевого стека памяти. Сохранение содержимого этого стека при повторных
выполнениях программы обеспечивает фрагмент вида | FN | —» | PN |, где N-й регистр
ЗУПВ предназначен для перезаписи содержимого регистров стека при его повороте и
может использоваться для хранения дополнительного операнда. Если после выполнения
программы стек повернулся не полностью, то в программу следует ввести дополнитель-
но соответствующее число операторов поворота стека. Значительные возможности сок-
ращения длины программы автоматических вычислений обеспечивают операторы кос-
венной адресации во входном языке МК34.
Об относительных затратах времени на выполнение микрокалькуляторами различ-
ных операторов можно судить по данным табл. 4, но они могут отличаться для микро-
калькуляторов различных выпусков и даже одного выпуска.
ТАБЛИЦА 4
Ориентировочное время1 выполнения основных операций микрокалькуляторами
"Электроника БЗ-21” и "Электроника БЗ-34” первых выпусков2
Операция Время, с
БЗ-21 БЗ-34
1 2 3
Набор десятичного знака 0,17 0,3
Обращения к памяти (вызов или засылка) 0,17 0,3
Операции над содержимым ОУ (XY, t, ВХ, —) 0,17(0,3’) 0,3
31
Окончание табл. 4
I 2 3
Арифметические операции 0,17 (0,33) 0,3
Вычисление х2, ул. 1 /х 0,15(0,4’) 0,3
Вычисление X? 2,8 2,5
Вычисление 1пх, ех, 1пх, 10х 1,7 0,9
Вычисление тригонометрических функций 1,4 1.3-1.54
Вычисление обратных тригонометрических функций — 1,3-1,54
Обращение к подпрограмме 0,6 0,8
Выполнение оператора условного перехода 0,3 0,4
Выполнение оператора безусловного перехода 0,2 0,3
Выполнение переходов в цикле с программной реализацией 1,0 1,45
счетчика итераций
Выполнение переходов в цикле с оператором цикла — 0,4
Косвенное обращение к регистрам памяти — 0,5
1 Возможны отклонения до 20 % для различных образцов микрокалькуляторов.
2 Данные таблицы можно использовать для оценки времени выполнения програм-
мы автоматических вычислений без циклов с неопределенным числом итераций.
3 При нулевых значениях операндов.
4 В зависимости от положения переключателя Р-Г.
При оптимизации разветвленных программ автоматических вычислений приходится
искать компромисс между минимальной длиной программы, обеспечивающей мини-
мальные затраты времени на ввод программы в программную память и исправление
возможных ошибок, и максимальной длиной, допустимой емкостью программной
памяти и обеспечивающей минимальное время выполнения программы. Следователь-
но, для программ, предназначенных для задач с однократным выполнением программы
за относительно небольшое время, критерием оптимальности является ее минимальная
длина, тогда как для программ, предназначенных для решения задач с многократными
повторными выполнениями программы или большим временем ее выполнения, крите-
рий оптимальности заключается в минимальном времени ее выполнения.
При пуске программы автоматических вычислений нажатием клавиши С/П вначале
"просматриваются” следующие свободные ячейки программной памяти (что приводит
к дополнительным потерям времени) и только после этого начинается выполнение прог-
раммы. Время вычислений в этом случае сокращают нажатием клавиш В/О и С/П, но
можно ограничиться нажатием клавиши В/О только для первого пуска. Для этого доста-
точно заменить оператор С/П фрагментом С/П БП ГО на входном языке МК21 или
фрагментом С/П БП 00 (или С/П БП в конце программы) на входном языке МК34.
В этом случае при повторных пусках программы оператор БП будет автоматически пе-
редавать управление первому оператору программы.
При многократных выполнениях программы с изменением переменных по заданно-
му закону их вычисление также целесообразно автоматизировать, вводя оператор при-
сваивания вида х — f(x) в начале программы или после оператора С/П. Например, при
равномерном изменении переменной х с шагом Дх в интервале х > х0 значения х„ и
Дх заносят в память (например, в регистры 7 и 8) и оканчивают программу фрагментом
| С/П | F7 | t | F8 | + | Р7 | БП | Р0 |. В этом случае для вычисления очередного резуль-
тата достаточно нажать клавишу С/П, после чего будет вычислено значение х,- = х, _, +
+ Дх и программа будет выполнена при этом значении переменной.
Потери времени на выполнение вспомогательных операций при использовании прог-
раммируемых микрокалькуляторов уменьшаются при повышении удобства пользова-
ния программой - рациональном размещении исходных данных и результатов вычисле-
32
ний в памяти и высвечивании на индикаторе информации о характере полученных ре-
зультатов. В частности, целесообразно размещать часто вызываемые или вводимые дан-
ные в регистры памяти, для обращения к которым необходимо нажимать клавиши, рас-
положенные близко друг к другу, при многократных повторных выполнениях програм-
мы целесообразно размещать исходные данные или результаты вычислений в регистрах
Хи У операционного стека — в этом случае для вызова содержимого регистра У доста-
точно нажать клавишу XY.
Иногда целесообразно объединять несколько несложных программ в одну- В этом
случае для пуска нужной части программы молено организовать автоматический поиск
се начала с помощью условных операторов, проверяющих коды частей программы, вво-
димые в регистр X В некоторых случаях целесообразно использовать полуавтомати-
ческий режим вычислений, при котором программа останавливается после каждого вы-
числения промежуточных результатов для их регистрации на вычислительном бланке.
В тех случаях, когда программу не удается разместить в программной памяти, при-
ходится использовать несколько последовательно выполняемых программ (пикет), что
увеличивает время решения задачи за счет увеличения времени ввода программ. Для
сокращения затрат времени при пакетном решении задачи следует так размещать в па-
мяти результаты вычислений, чтобы они могли быть непосредственно использованы при
выполнении следующей программы пакета в качестве исходных ,данных
Пакет программ приходятся использовать и тогда, когда число регистров памяти не-
достаточно для хранения исходных данных и результатов вычислений, и задачу прихо-
дится решать по частям с меньшими числами операндов. В подобных случаях следует
попытаться уменьшить количество программ в пакете, уменьшая требуемое число ре-
гистров памяти за счет уменьшения числа буферных регистров, максимально используя
регистры операционного стека, останавливая программу для вывода последовательно
вычисляемых результатов, записывая операнды в текст программы или нормируя их.
Число буферных регистров, нужных для хранения промежуточных результатов, мож-
но уменьшить, используя одни и те же регистры памяти или регистры операционного
стека для хранения последовательно вычисляемых промежуточных результатов.
В текст программы целесообразно заносить коэффициенты с небольшим числом зна-
ков, используя различные приемы для сокращения числа операторов набора операндов:
например, записывая операторы | 3 | 1/х вместо | О I, | 3 1 3 | 3 | . . . , операторы | 4 |
1/х | х1 | вместо | О |, | 6 | 2 | 5 I, операторы | 2 I -J~ | вместо | 1 |, I 4 | 1 | 4 |. . .,
операторы | 1 | ех I вместо | 2 |, | 7 | 1 | 8 | . . . и т. д. Подобные приемы целесообраз-
но использовать и при выполнении программ в обычном режиме или при вводе исход-
НЫХ данных,
Нормирование заключается в таком предварительном изменении значений операндов
(с учетом влияния этого изменения на результат вычислений), при котором уменьша-
ется число знаков (например, при удачном выборе размерности физических величин)
или уменьшается число исходных данных (например, при делении числителя и знамена-
теля отношения многочленов на один из коэффициентов). Нормирование целесообразно
использовать и при вычислениях в обычном режиме.
В качестве иллюстрации составления оптимальных программ рассмотрим вычисление
алгебраического многочлена вида
Л(х) =вях"+ял_1х"- +...+И.Х+И,
с вещественными коэффициентами и аргументом. Наименьшее число операций соответ-
ствует представлению такого многочлена арифметическим выражением
Л(х) = (-- + (1ЛО>
зычиспяемым л-кратным выполнением итерационного цикла по формуле
лк = ^k^ix + ан-к» =
гяс э4а — и Ая = А (х). Вычисления по формуле (1.10) на жженерных микрокальку-
| 2 **• им 33
к
ляторах с алгебраическим синтаксисом входного языка сводятся к записи в память зна-
чения х, коэффициента ап в регистр X и л-кратному выполнению программы | X | ИП |
+ | с набором _£ = яп_,, а»,..........ai>eo при каждом выполнении программы.
После набора а0 вводят оператор [ = I, что приводит к высвечиванию искомого значе-
ния А (х). Вычисления по этой формуле на инженерном микрокалькуляторе (например,
’’Электроника БЗ-19М”) с обратным синтаксисом входного языка сводятся к занесе-
нию ап и х соответственно в регистр X и память с последующим выполнением п раз
программы | т -* х | X | ап I + I-
Аналогичную программу, например, | t | F7 | X | ап | + | при х = Р7, ап — РХ,
можно использовать и для вычислений многочлена в обычном режиме на программиру-
емом микрокалькуляторе с входным языком МК21. Оптимальность программы авто-
матического вычисления многочленов зависит от ее назначения. Если критерием опти-
мальности является минимальное время выполнения программы, то ее следует состав-
лять без переходов. При выполнении этого условия вследствие ограниченной емкости
программной памяти можно вычислять многочлены с максимальной степенью л = 7.
Программа 5/21. Вычисление многочлена степени л = 7 вещественного аргумента с
минимальным временем счета
Р8 t F7 X t F2 P2 + t F8 X
t F2 - Р2 + t F8 X t F2 P2
+ t F8 X t F2 P2 + t F8 X
t F2 - Р2 + t F8 X t F2 P2
+ t F8 X t F2 P2 + С/П БП PO
Инструкция: (а0 = Р2, а . = Cl, a, = C2, . ..,e, = C6,a7 = Pl) X = РХ (В/О) С/П
РХ = А(х).
Контрольный пример’, многочлен А (2) = 7х’ + 6х‘ + 5х3 + 4х4 + Зх3 + 2х3 + х + 1 =
= 1539 по программе вычисляется за 9 с.
Эту программу можно использовать и при л < 7, приняв равными нулю коэффициен-
ты при высших степенях, но время счета (см. табл. 4) в этом случае возрастает, напри-
мер, при вычислении многочлена А (2) = 4х4 + Зх’ + 2х’ + х + 1 = 99 до 12 с. Поэтому
при л < 7 целесообразно сокращать программу, используя для хранения коэффициен-
тов регистры ЗУПВ.
Программа 6/21. Вычисление многочлена степени л = 4 с вещественным аргументом
при минимальном времени счета
Р6 t F4 X t F3 + t F6 X t F2
+ t F6 X t F8 + t F6 X t F7
+ С/П БП PO
Инструкция: (a0 = Pl, = P8, аг = P2, a} = P3, at = P4) x = РХ (В/О) С/П PX =
= Л(х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = 4х4 + Зх3 + 2х3 + х + 1 = 99 по программе
вычисляется за 4 с.
Если критерием оптимальности является минимальная длина программы (при ее
немногократных повторениях или возможности использования в качестве фрагмента
более сложной программы), то целесообразно организовать, в первую очередь, итера-
ционные циклы с вводом большего числа исходных данных перед каждым выполнени-
ем программы.
Программа 7/21. Вычисление многочлена степени л < 7 вещественного аргумента с
минимальным числом операторов
F7 t F8 X t < F2 - Р2 + Р7 F4 1
Р4 х=0 РО С/П
Инструкция : (а, = P2,al = С1, .. . , а, = СТ) 7 = Р4, в, = Р7, х = Р8 В/О С/П
РХ= 0,Р1 = Л(х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = 7х’ + 6х‘ + 5х3 + 4х4 + Зх3 + 2х3 + х + 1 =
= 1539 по программе вычисляется за 18 с. В связи с медленным выполнением операций
34
t
6
ПП
F8
F4
Р6
Р2
X
ПП
ПП
t
6
Р6
t
многочлена
F7
ПП
F2
F3
= Р2,а, = С1, .
ПП
Р6
X
.в,
степени п <
6
ПП
Р2
t
= С6, а
F6
Р6
11 вещественного аргумента
ПП
ПП
С/П
6
Р6
БП
F5
ПП
РО
В/О
= Р4, ав = Р5,
а, = Р6, а,„ = Р7,
над нулевыми значениями операндов многочлен А (2) = 4х4 + Зх’ + 2ха + х + 1 = 99 по
этой программе решается за 20 с, но при п < 7 сократить ее длину не удается.
При вычислениях многочленов степени п > 7 ограничения, накладываемые емкостью
программной памяти, можно устранить организацией циклов и обращений к подпро-
граммам, но в памяти микрокалькулятора с входным языком МК21 допустимо хранить
не более 12 коэффициентов, так как один регистр необходим для хранения значения ар-
гумента. Так как обращения к памяти выполняются быстрее, чем итерационные циклы
(см. табл. 4), то при п = 11 оптимальной по времени счета можно считать, например,
следующую программу.
Программа 8/21. Вычисление
РЗ
ПП
Р6
F2
Инструкция: (а
alt = РЗ) х= РХ (В/О) СЩРХ = А(х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = 11х“ + Юх10 + 9х’ + 8х’ + 7х7 + 6х‘ +
+ 5х’ + 4х4 + Зх’ + 2ха + х + 1 = 40 963 по программе вычисляется за 16 с. Отметим
для сравнения, что многочлен А (2) = 7х’ + 6х‘ + 5xs + 4х4 + Зх’ + 2ха + х + 1 = 1539
по этой программе вычисляется за 20 с, а многочлен А (2) = 4х4 + Зх’ + 2ха + х + 1 =
= 99 - за 22 с.
При необходимости дополнительного уменьшения времени счета в этой программе
операторы ПП 6 можно заменить фрагментами t F3 X t , что уменьшит время выпол-
нения программы при п = 11. Если п < 11, то для этой цели следует исключить фраг-
мент, начиная со второго оператора t программы и оканчивая оператором перед вызо-
вом из памяти n-го коэффициента, и соответственно изменить адреса обращений к под-
программе. При необходимости уменьшения числа операторов рассматриваемой прог-
раммы следует организовать вычисления в итерационном цикле, что приведет к увели-
чению времени счета.
Максимальную степень вычисляемого многочлена можно увеличить на единицу при
занесении коэффициента а13 в регистр X перед каждым выполнением программы, что
несколько увеличивает время ввода исходных данных при использовании следующей
программы.
Программа
t
ВП
РВП
БП
Инструкция: (а
ап = РЗ) х = РЗ, а,
Контрольный пример: многочлен А (2) = 12х‘а + Их11 + 10х‘° + 9х’ + 8х’ + 7х’ +
+ 6х‘ '+ 5х’ + 4х4 + Зх’ + 2ха + х + 1 = 90 115 про программе вычисляется за 18 с.
Степень вычисляемого многочлена можно увеличить еще на единицу при а13 = 1.
К такому виду можно нормировать любой многочлен степени 13 делением всех его ко-
эффициентов на а1} при вводе исходных данных.
Программа 10/21. Вычисление нормированного
= 13 вещественного аргумента
F3
F5
ПП
РО
9/21.
X
ПП
РВП
F2
Вычисление
t
ВП
ПП
многочлена
ПП
ПП
ПП
i степени п = 12 вещественного аргумента
F7
ПП
I F2
F3
= Св, а
вп
ПП
Р2
t
ПП
РВП
вп
вп
РВП
t
• >в6:
РХ = А (х).
F6
РВП
ПП
ПП
С/П
В/О
= Р5, а
X
= Р4,а
'и
F8
F4
РВП
Р2
= P2,al = С1, . .
= РХ (В/О) С/П
= Р6,а10 =Р7,
многочлена степени и =
(а
= 1)
t F3 XY + X t F8 ПП F7 F7 ПП F7
F6 ПП F7 F5 ПП F7 F4 ПП F7 ПП РВП ПП
РВП ПП РВП ПП РВП ПП РВП ПП РВП F2 —> Р2
+ С/П БП ГО F2 —♦ Р2 + t F3 X t
В/О
Инструкция: (а0 = Р2, а, = С1, . . . , at = С6, а, = Р4, а,
а„ = РЗ) х = P3,a{i = РХ (В/О) С/П РХ = А(х).
= PS.a, = Р6, а|0 = Р7,
2*
35
Контрольный пример: многочлен А (2) = х’3 + 12х” + Их" + 10х'* + 9х* +
+ 8х* + 7х’ + 6х* + 5xs + 4х* + Эх3 + 2х* + х + 1 = 98 307 по программе вычисляется
за 19с.
Если степень многочлена л > 13, то его можно представить разложением вида
Л(х) = ...+ (я2от + 1хот + - -+«„|+1)*Л‘*,+ Цпхж + ... + Я,), (Ill)
вычислить по приведенным программам множители в скобках, а затем сложить все
члены. Альтернативный способ заключается в вычислении многочлена по формуле
(1.10) в полуавтоматическом режиме с вводом в регистр X очередного коэффициента
перед каждым выполнением программы. Этот способ реализован в следующей про-
грамме со счетчиком вводимых коэффициентов для удобства их контроля.
Программа 11/21. Вычисление многочлена произвольной степени п вещественного
аргумента
Р2 F7 t F8 X t F2 + Р7 F4 1
Р4 С/П БП ГО
Инструкция: (л = Р4, ан = Р7, х = Р8) an_l - РХ В/О С/П РХ = п — 1, =
= РХ С/П РХ = я-2,...,в,=РХ С/П РХ = Ь,Р7 = Л(х).
В микрокалькуляторах с входным языком МК34 емкость программной памяти не
ограничивает длину неразветвленной программы, обеспечивающей вычисление много-
членов с минимальным временем счета, а использование регистров операционного сте-
ка д ля хранения значения аргумента позволяет разместить в памяти 14 коэффициентов
многочлена.
Программа 12/34. Вычисление многочлена степени л < 13 вещественного аргумента
t t ИПД X ИПС + X ИПВ + X
ИПА + X ИП9 + X ИП8 + X ИП7
+ X ИП6 + X ИП5 + X ИП4 +
X НПЗ + х ИП2 + х ИП1 + х
ИПО ♦ С/П БП
Инструкция: (яи = ГО, я, = Pl, . . . , я, = Р9, я,, = РА, я„ = РВ, а,г = PC, я1Э =
= РД)х = РХ (В/О) С/П РХ = А(х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = 13х13 + 12х13 + Их" + 10х'* + 9х’ +
+ 8х’ + 7хт + бх4 + Sx3 + 4х* + Зх3 + 2х3 + х + 1 = 196 611 по программе вычисляет-
ся за 14 с.
Максимальную степень многочлена можно увеличить, разместив еще два коэффици-
ента в регистрах операционного стека и несколько усложнив ввод исходных данных.
Программа 13/34. Вычисление многочлена степени л < 15 вещественного аргумента
X + X ИПД + X ИПС + X ИПВ
+ х ИПА + X ИП9 + X ИП8 +
X ИП7 + X ИП6 + X ИП5 + X
ИП4 + X ИЛЗ + х ИП2 + X ИП1
+ X ИПО + С/П БП
Инструкция: (я, = ГО, я, = Р1,.... я, = Р9, я„ = РА, я„ = РВ, я„ = PC, я1Э =
— РД)х = РХ t t я14 = РХ XY я15 = РХ (В/О) С/П РХ= А (х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = 15х“ + 14х'4 + 13х’3 + 12х13 + Их" +
+ IQx1* + 9х* + 8х‘ + 7х’ + 6х* + 5х* + 4х* + Зх3 + 2х* +х+ 1 = 917 507 по программе
вычисляется за 14 с.
Степень вычисляемого многочлена можно увеличить еще на единицу при его нор-
мировании. ,
Программа 14/34. Вычисление нормированного (яи = 1) многочлена степени и =
= 16 вещественного аргумента
XY + ВХ X XY + X ИПД + X
ИПС + X ИПВ + X ИПА + X ИП9
+ X ИП8 + X ИП7 + X ИП6 +
X ИП5 + X ИП4 + х ИПЗ + X
ИП2 + х ИП1 + X ИПО + С/П БП
36
Инструкция: (а0 = РО, а, = Р1, . . . ,а, = Р9, а1() = РА, а,, = РВ, а1г = PC, а,} =
= РД) х = РХ t t «14 = W XY 4„ = РХ (В/О) С/П РХ = А (х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = 16х“ + 15х” + 14х“ + 13х13 + 12х13 +
+ Их" + Юх10 + 9х’ + 8х* + 7х’ + 6х‘ + 5х’ + 4х‘ + Зх3 + 2ха + х + 1 = 983 043 по
про1раммс вычисляется за 15 с.
При необходимости составления программы минимальной длины целесообразно ор-
ганизовать циклы с использованием косвенной адресации, реализованной, например, в
следующей программе.
Программа 15/34. Вычисление многочлена степени п < 11 вещественного аргумента
при минимальном числе операторов
t КИПД ИПД 1 - ПД - X КИПД +
ИПД х = 0 03 С/П
Инструкция: (а0 = РО, а, = Р1....а, = Р9, а10 = РА, а,, = РВ) п = РД х -РХ
В/О С/П РХ = 0, PY = А (х).
Контрольный пример: многочлен А (2) = Их11 + 10х’° + 9х’ + 8х’ + 7х’ + 6х‘ +
+ 5х’ + 4х4 + Зх3 + 2х3 + х + 1 = 40 963 по программе вычисляется за 33 с.
Многочлены степени л > 16 можно вычислять в полуавтоматическом режиме.
Программа 16/34. Вычисление многочлена произвольной степени л вещественного
аргумента
ИП7 ИП8 X + П7 КИПО ИПО С/П БП
Инструкция: п = Р0, ап = Р7, х = Р8, ап_( = РХ В/О С/П РХ = л - 1,вл_, = РХ
С/П РХ = л - 1,. .. ,а0 = РХ С/П РХ = 0, Р7 = А (х).
Многие частные приемы оптимизации, не рассмотренные здесь, использованы при
составлении программ, приводимых далее.
1.6. Операции над комплексными числами
Во входных языках микрокалькуляторов не предусматриваются операторы, выпол-
няющие действия над комплексными числами. Поэтому рассмотрим программные
реализации таких операций, широко используемых в радиотехнических приложениях.
Комплексное число А представимо в алгебраической, тригонометрической или пока-
зательной формах;
А = ДсЛ +ДтЛ = |Л | е^л = е*П'Л (1.12)
где Re А и 1т А - вещественная и мнимая составляющие комплексного числа, а | А | и
рд = arg Л - его модуль и аргумент (фазовый угол).
Преобразование тригонометрической формы комплексного числа в алгебраическую
соответствует простым соотношениям Re А = | А | cos <рд; Im >1 = | А | sin , легко ре-
ализуемым на любом микрокалькуляторе с операторами вычисления тригонометри-
ческих функций.
Алгебраическая форма преобразуется в тригонометрическую по формулам | А | —
- \J Re3 Л + 1т3Л; <рд = arctg (1тЛ/ИеЛ) + ф, где дополнительный угол ^уточняет
значение аргумента в зависимости от знаков составляющих Re Л и Im Л.
При расчетах на микрокалькуляторах с входным языком МК21, не содержащим опе-
раторов вычисления обратных тригонометрических функций, для их аппроксимации
[20] наиболее удобны эмпирические формулы. Высокую точность (ограниченную лишь
операционными ошибками) обеспечивает аппроксимирующее выражение
р° = arctg х = 90х/ у/а + х* + у/р(у + х2) + >/р (1 + ха) (1.13)
с предельной погрешностью 0,05" при значениях коэффициентов а = 0,8114228, (? =
= 1,6211707, у = 1,056546, р = 0,403225. Если принять р = 0, то аппроксимирующее
выражение (1.13) упрощается и при значениях а = 1,2117, р = 1,622281,7 = 0,971533
абсолютная погрешность аппроксимации не превышает 2,2". Правая часть формулы
37
(1.13) при подстановке х = z/V 1 - z2 аппроксимирует функцию arcsin z, а при подста-
новке х = \/1 - z2/z функцию arccosz. При таких модификациях формулы изменяет-
ся операционная погрешность, но и в этом случае полная погрешность результата нс пре-
вышает долей секунды.
Обычно аргумент комплексного числа определяют в интервале [0; 360° [ или [0;
2я[. В этом случае минимальное число проверок знаков составляющих Re Л и Iin Л
обеспечивают соотношения
0 I 90 - arcsin (Re Л/|Л|) при Im Л > 0,
^А J 270+ arcsin (RcЛ/|л|) при Im Л < 0.
Эти соотношения совместно с модификацией формулы (1.13) использованы при со-
ставлении следующей программы.
Программа 17/21. Преобразование алгебраической формы комплексного числа в
тригонометрическую при вычислении аргумента в интервале [0; 360° [, или [0; 2я [
с предельной погрешностью 0,07", или
F8
X
t
3,4 ° 10"7 рад
x2 +
X
t -
4
С/П БП
Инструкция: (0,1885772 = Р2; 9,1670712 • 10"2
t
t
F8
F3
X
F7
X
X
t
F7
F5
Р8
[0; 360° [, или [0; 2я [
F2
t
F4
F8
t
t
1
XY
F8
X
p-
Р0
= РЗ, 17,684716 = Р4; 126,10829 =
= Р5; 90 или я/2 = Р6) Re А = Pl, Im А = Р8 (В/О) С/П РХ = | А |, PY = в граду-
сах или радианах в зависимости от содержимого регистра 6.
Контрольный пример: при Л = \/3 ± jl по программе вычисляется |Л| = 1,999999
4fA = 29,9999; 330 или ^рад = 0,5235987; 5,759586 (время счета около Юс).
В радиотехнических приложениях фазовый угол обычно определяют в интервале
] —180; 180°] или ]-я; я]. В этом случае минимальное число проверок обеспечивают
соотношения
t
90 - arcsin (Re Л/| Л |) при Im Л > 0,
-90 + arcsin (Re Л/1 Л |) при Im Л < 0.
Программа 18/21. Преобразование алгебраической формы комплексного числа
в тригонометрическую при вычислении аргумента в интервале ]-180; 180°], или
] -я; я] с предельной погрешностью 0,07", или 3,4
F8
X
t
F8
F3
X
F7
X
t
t
F7
F5
io-’
P8
рад
1
XY
F8
X
t
t
С/П
F6
Г>П
X
P0
t
t
t
t
F4
F8
F2
X
F— Fl
Инструкция идентична инструкции предыдущей программы.
Контрольный пример: при Л = у/Т ± jl по программе вычисляется \А | = 1,999999
и ч>°А = ± 29,99999 или ^Лрад = ± 0,5235987.
В большинстве практических задач достаточно вычислять фазовый угол с точностью
до сотых или даже десятых долей градуса. В этих случаях целесообразно использовать
упрощенный вариант формулы (1.13)
<р° = arctg х = 90х/ х/1,2 + х2 + V 1,62(1 - х2),
обеспечивающий погрешность аппроксимации не более 0,03° .
Программа 19/21. Преобразование алгебраической формы комплексного числа
в тригонометрическую при вычислении аргумента в интервале ]-180; 180°], или
]-я; я] с погрешностью не более 0,03°, или 5,3 • 10"* рад
F8 х2 t F7 х2 + Р2 + 5 + 8
1 X у/~ + 1 + t F2 X >/~ t F7
XY + t F6 X t F8 x<0 F6 Fl /-/
t F2 V С/П БП P0
38
Инструкция: (90 или я/2 = Р6) Re А = Pl, Im А = В8 (В/О) С/П РХ = | А |, PY =
= !рд в градусах или радианах в зависимости от содержимого регистра 6.
Контрольный пример: при А = >/3 ± j 1 по программе вычисляется | А | = 1,999999
и = ± 29,98036 или <рЛрад = ± 0,523598.
Для вычисления аргумента А в интервале [0; 360° [, или [0; 2я [ достаточно в этой
программе заменить фрагмент t .../-/ с адресами переходов 24 ... 36 фрагментом
4 - /-/ -» F8 х< 0 Р6 — t F6 X.
Преобразование алгебраической формы комплексного числа в тригонометрическую
на входном языке МК34 упрощается при вычислении аргумента по формуле
о _ f arccos (Rc/| А |) при 1m А > 0,
| -arccos (Re/1 А |) при Im А < 0.
Программа 20/34. Преобразование алгебраической формы комплексного числа в
тригонометрическую при вычислении аргумента в интервале [0; 360° [, или [0; 2я [
ИП7 t х’ ИП8 х* + V ПА - arccos
ПВ ИП8 х<0 21 1 arcsin 4 X ИПВ —
ПВ ИПА С/П БП
Инструкция : (Re А = Pl, Im А = Р8) (В/О) С/П РХ = РА = | А |, PY = РВ = <рА
в градусах или радианах в зависимости от положения переключателя Р-Г.
Контрольный пример: при А = \J 3 ± jl по программе вычисляется | А | — 1,9999999
и = 29,999995; 330 или у>Лрад = 0,52359869; 5,7595865.
Программа 21/34. Преобразование алгебраической формы комплексного числа в
тригонометрическую при вычислении аргумента в интервале ] -180; 180° ], или ] -я; я]
ИП7 t х* ИП8 х’ + V ПА т arccos
ПВ ИП8 х<0 17 ИПВ /-/ ПВ ИПА С/П БП
Инструкция идентична инструкции^нредыдущсй программы.
Контрольный пример: для А = V 3 ± jl по программе вычисляется \А | = 1,9999999
и = ± 29,999995 или ^Лрад = ± 0,52359869.
Представление комплексного числа в тригонометрической форме удобно для его
возведения в целую или дробную степень
Ак = \А \ке*рАк, (1.14)
а также для получения результата умножения и деления двух комплексных чисел
С=ЛХВ= (|Л | X С=А :В = (| А | : | В |)ej(*’>* '
Однако сложение и вычитание комплексных чисел в тригонометрической форме гро-
моздко, и удобнее получать результат этих операций для слагаемых в алгебраической
форме С А - В ~ Re Л ± Re В + j (Im А ± Im В).
Умножение двух комплексных чисел в алгебраической форме
С = А X В = Re Л Re В - Im Л Im B+j(ImЛReB+ReЛ Im В) (1-15)
реализуется простыми программами.
Программа 22/21. Умножение двух комплексных чисел
Р5 XY Р4 F7 X F8 t F4 X t 4—
+ Г F8 XY Р8 F5 X - F7 t F4 X
t - - Р7 С/П БП Р0 Программа 23/34. Умножение комплексных чисел П5 XY П4 ИП7 X ИП5 ИП8 X ИП8 X ИП5 ИП7 X + П8 - П7 БП Инструкция для обеих программ: Re Л = В7, Im Л ИП4 С/П = Р8, Re В = PY, Im В = РХ
(В/О) С/П РХ = В7 = Re С. Р8 = Im С.
Эти программы удобны для последовательного вычисления произведения несколь-
ких комплексных чисел, так как результат каждого умножения автоматически зано-
39
сится на место первого операнда и для следующего умножения достаточно ввести лишь
очередной второй операнд. Кроме того, эти программы пригодны для возведения комп-
лексного числа в целую положительную степень к; для этого следует ввести Re Л =
= pi = PY, Im А = Р$ = РХ и к раз выполнить программу, получив, например, (0,5 -
- jl)* = -1,375 - j0,25.
Результат деления двух комплексных чисел
Re Л + j Im Л _ (Re Л + jlm Л) (Re В - jlm В) _
С-А.В- ReB+jjmfi Re’B+lm’B
Re Л Re В + 1т Л 1т В л
Re’S+Im’B '
1т Л Reg - Re Л Im В
Re2g + Im’В
= Re С + jlm C
(1.16)
вычисляют по следующим программам.
Программа 24/21. Деление комплексных чисел
Р5 X3 XY Р4 X3 Р6 F7 t F5 X
F4 t F8 X t — t F6 -г t F8
XY Р8 F5 X . —► F7 t F4 X t +
t F6 + Р7 С/П БП Р0 Программа 25/34. Деление комплексных чисел П5 х3 XY П4 х2 + П6 ИП7 ИП8 ИП5 X + ИП6 + ИП8 ИП4 ИП5 X - ИП6 т П8 XY П7 Инструкция для обеих программ: Re Л = Р7, ИП4 X , С/П Im Л = X ИП7 БП Р8, Re В = PY,
Im В = PX
(В/О) С/П РХ = Р7 = Re С, Р8 = Im С.
Контрольный пример: частное (0,5 + jl):(l - jl) = -0,25 + j0,75 по программам
вычисляется примерно за 7 с.
Эти программы пригодны для деления нескольких комплексных чисел, а также для
обращения и возведения в целую отрицательную степень к комплексного числа. В пер-
вом случае перед очередным делением составляющие делителя вводят в регистры X и
Y, не изменяя содержимого регистров 7 и 8 после первого деления, и пускают програм-
му. Во втором случае вводят 1 = Р7, 0 = Р8, Re Л = PY, Im Л = РХ и пускают програм-
му, получая А~‘, после чего дополнительно к раз пускают программу.
Составляющие квадратного корня из комплексного числа в алгебраической форме
С= Re С + jlm С = у/~А = >/Re Л + jlm Л (1-17)
определяются формулами
Re С= ± х/ (V Re3 Л + Im 2 Л + Re Л)/2; Im С= ± Im Л/2Re С
(составляющие корня имеют различные знаки при Im Л < 0).
Программа 26/21. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебра-
ической форме
F7 х2 t F8 х3 + >J~ t F7 + 2 ♦
х/ Р7 2 X t F8 + 1/x Р8 С/П БП РО
Программа 27/34. Извлечение квадратного корня из комплексного числа в алгебра-
ической форме
ИП7 х3 ИП8 х3 + х/-. ИП7 + 2 +
П7 2 X ИП8 + ' 1/х П8 С/П БП
Инструкция для обеих программ: Re Л — Pl, Im А = PS (В/О) С/П РХ - Р8 =
= Im С. PI - Re С.
Контрольный пример: (0,5 - jl)1/2 = ± 0,899453 t j0,555892.
На практике часто приходится выполнять последовательности (цепочки) операций
над комплексными числами. Для этой цели удобны программы, обеспечивающие выпол-
нение всех необходимых действий. Примером может служить следующая программа,
при пуске которой для выполнения арифметической операции после клавиши БП на-
жимают клавишу с символом нужного оператора.
40
Программа 28/21. Выполнение арифметических операций над комплексными числа-
ми в алгебраической форме
Сх F4 /-/ F5 F8 t 4— + Р8 F7
t — Р7 С/П F5 БП РВП X БП F1 F5
X1 t F4 X» + 1/х t F4 X Р4 F5 X
1-1 Р5 t F8 X F7 X F4 t F7
X Р7 F8 БП Р+ F4 —> F5 /-/ БП t В/О
Инструкция: Re А = Pl, Im А = В8, Re В = В4, Im В = Р5 БП | +, X или т | С/П
РХ = Р~! = Re С, РЗ = Im С. Содержимое регистров 4 и 5 сохраняется после выполнения
всех операций, кроме деления, когда Р4 = Re (1/В), В5 = Im (1/В). Регистры 2 и 3 при
необходимости используют для хранения промежуточных результатов вычислений.
Контрольный пример: для вычисления арифметического выражения
(0,5 - j2) a - (1,2 + j0,5) + (4 _ ,3) _ 3 П549 _ j3 198039
О J 1 yJ
следует выполнить следующие операции: 0,5 = PI - Р4, - 2 = РЗ = PS БП X С/П РХ =
= -3,75; 1,2 =В4; 0,5 = Р5 БП - С/П РХ = -4,95; 6 = В4; 1,5 = Р5 БП + С/П РХ =
= -0,8745097; 4= Р4; -3 = Р5; БП + С/П РХ = В7 = 3,12549; РЗ = -3,198039.
Программа 29/34. Выполнение операций над комплексными числами в алгебраичес-
кой и тригонометрической формах
ИПО ИПА ПП 89 П5 XY П4 с/п ИП5 /-/
П5 ИП4 /-/ П4 ИП5 ИП8 + П8 ИП4 ИП7
+ П7 ИП8 ИП7 ПП 60 П2 ИПВ П1 С/П
ИП5 ИП4 ПП 60 ПА ИПВ ПО С/П ИПО 1/х
ПО ИПА /-/ ПА ИПА ИП2 + П2 ИПО ИП1
X Ш ИП1 ИП2 ПП 89 П8 XY П7 с/п
пв XY ПС X» ИПВ X* + у/~ ПВ =
arccos пд ИПС х<0 78 ИПД /-/ ПД ИПД в/о
ИП9 ИП2 X П2 ИП9 ИП.1 ХУ БП 51 пв
cos XY X ВХ ИПВ sin X В/О
Инструкция: Re А = В7, Im А = РЗ, Re В = Р4, Im В = PS или | А | = Pl, = Р2,
I В | = ВО, <pg = РА, при возведении в целую или дробную степень л = В9. Результат
арифметических операций заносится на место операнда А в алгебраической (регистры 7
и 8) и тригонометрической (регистры 1 и 2) формах. Выполняемую операцию определя-
ет выбор операторов пуска программы:
В/О С/П для перевода операнда В в алгебраическую форму;
БП 08 С/П для вычитания (в алгебраической форме);
БП 14 С/П для сложения (в алгебраической форме);
БП 30 С/П для перевода операнда В в тригонометрическую форму;
БП 38 С/П для деления (в тригонометрической форме);
БП 44 С/П для умножения (в тригонометрической форме);
БП 80 С/П для возведения А в степень (в тригонометрической форме);
БП 22 С/П для перевода Л или результата Св тригонометрическую форму;
БП 52 С/П для перевода Л или результата С в алгебраическую форму.
Аргумент вычисляется в интервале ]-180; 180°] или]-»; я] в зависимости от положе-
ния переключателя Р-Г.
Контрольный пример: для вычисления арифметического выражения
\/[(5 + j3) + 8 eJ30° ]/(4 + j8) - (10- j5) • 3,267 e J10’
следует выполнить следующие операции: переключить Р-Г в положение Г; 5 - Р1;
3 = РЗ; 3 = Р0; 30 = РА В/О С/П БП 14 С/П 4 = Р4; 8 = Р5 БП 30 С/П БП 38
С/П 10 = Р4; -5 = PS БП 08 С/П 0,5 = В9; БП 80 С/П 3,267 = ВО; 10 = ВЛ БП 44
С/П В1 = 10,3891; В2 = -63,9002°.
41
Степенные многочлены с вещественными коэффициентами при комплексном аргу-
менте р = о + jw удобно вычислять по формуле
Лд. = aRc Л^_1 - со Im + ап -к + Re -^k-i + °'nl ) > (1-18)
где к = 1, 2,. . . , п; А„ = ап и Ап = А (р).
Программа 30/21. Вычисление многочлена степени п < 7 комплексного аргумента
Р5 XY Р4 0 Р8 F7 ПП 5 ПП F, ПП F,
ПП F, ПП F, ПП F, ПП F, t F2 P2
+ С/П БП Р0 t F2 Р2 + Р6 t F5
X РЗ F8 1 F4 X t F3 + t F8 XY
Р8 F5 X РЗ F6 t F4 X t F3 — B/O
Инструкция : (а„ = Р2, а, = Cl, . . = С6, «7 = Р7) <7 = PY, ы=РХ (В/О) С/П
РХ = Re Л (р), Р8 = Im Л (р).
Контрольный пример: время вычисления многочлена Л (1 + jl) = 7р7 + 6р‘ + 5ps +
+ 4р4 + Зр3 + 2р’ +' р + 1 = 16 - jl 13 составляет около 40 с.
При некотором усложнении ввода исходных данных максимальную степень вычисля-
емого многочлена можно увеличить на единицу.
Программа
t F5
ПП F,
- Р2
X РЗ
Р8 F5
31/21. Вычисление многочлена степени п < 8 комплексного аргумента
X P8 F4 X t F7 ПП P/-/ ПП F,
ПП F, ПП F, ПП F, ПП F, t F2
+ С/П t F2 —> P2 + P6 t F5
F8 t F4 X t F3 + t F8 XY
X P3 F6 t F4 X t F3 — B/O
Инструкция: (а„ — Р2, а, = С1,. . . ,а6 = С6,д, = Р7) о— Р4, а> = Р5,ав = РХ В/О
С/П РХ = Re Л (р), PS = Im Л (р).
Контрольный пример: время вычисления многочлена Л (1 + jl) = 8р" + 7р7 + 6р6 +
+ 5р’ + 4р4 + Зр’ + 2р’ + р + 1 = 144 - jl 13 составляет около 40 с.
Многочлены комплексного аргумента степени л > 8 целесообразно вычислять в по-
луавтоматическом режиме.
Программа 32/21. Вычисление многочлена произвольной степени и комплексного
аргумента
P6 F4 t F8 X P3 F5 t F7 X t F3
+ t F8 XY P8 F5 X P3 F4 t F7 X
t F3 — t F6 + . P7 F2 1 — P2 С/П
БП РО
Инструкция: п = Р2, о = Р4, ы = Р5, ап = Р7, 0 = Р8, , = РХ В/О С/П РХ =
= п - 1, ап _2 = РХ С/П РХ = л - 2, . . . , а„ = РХ С/П РХ = 0, Pl = Re Л (р), РЗ =
= Im Л (р).
Контрольный пример: время вычисления двучлена Л (1 + jl) = р + 1 = 2 + jl состав-
ляет 8 с.
Входной язык МК34 обеспечивает вычисление в автоматическом режиме многочле-
нов комплексного аргумента с большей максимальной степенью.
Программа 33/34. Вычисление многочлена степени и <10 комплексного аргумента
ПС XY ПВ ИПА X ИП9 + ИПС ИПА X
ПД XY ИП8 ПП 42 ИЦ7 ПП 42 ИП6 ПП
42 ИП5 ПП 42 ИП4 ПП 42 ИПЗ ПП 42
ИП2 ПП 42 ИП1 ПП 42 ИП0 ПП 42 С/П
БП 00 ИПД ИПС X — XY ИПВ X +
XY ИПС X ИПД ИПВ X + ПД XY B/O
Инструкция: (а0 = Р0, а, = Р1, . . . ,а, = Р9, а10 = РЛ) а = PY, ы = РХ (В/О) С/П
РХ= Re Л (р) ,РУ = РД = Im Л(р).
Контрольный пример: время вычисления многочлена Л (1 + jl) = Юр10 + 9р’ +
+ 8р* + 7р7 + 6р‘ + 5р* + 4р4 + Зр’ + 2р’ + р + 1 = 288 + j351 составляет 67 с.
42
При некотором усложнении ввода исходных данных можно увеличить максималь-
ную степень вычисляемого многочлена на две единицы.
Программа 34/34. Вычисление многочлена степени п < 12 комплексного аргумента
t ИПВ X ИПД + XY ИПС X ПД XY
ИПА ПП 46 ИП9 ПП 46 ИП8 ПП 46 ИП7
ПП 46 ИП6 ПП 46 ИП5 ПП 46 ИП4 ПП
46 ипз ПП 46 иге ! ПП 46 ИП1 ПП 46
ИПО ПП 46 С/П БП 00 ИПД ИПС X -
XY ИПВ ПД X XY + В/О XY ИПС X ИПД ипв х
Инструкция = РО, а Р1, . . . •в» = Р9, а 10 = РА) а,, = РД,о= РВ, ш = PC,
а12 = РХ (В/О) С/П РХ = Re А (р),РХ = РД = Im А (р).
Контрольный пример: время вычисления многочлена А (1 + jl) - 12р12 + Ир" +
+ Юр10 + 9р’ + 8р“ + 7р’ + 6р‘ + 5ps + 4р4 + Зр3 + 2р2 + р + 1 = -832 + j703 составля-
ет 80 с.
Программа 35/34. Вычисление нормированного (aJ3 = I) многочлена степени л =
= 13 комплексного аргумента
t + ИПВ XY X ИПС ИПВ X X2 ИПС + ИПВ ИПС X X1 2 X ИПД +
ПД XY ИПА ПП 58 ИП9 ПП 58 ИП8 ПП
58 ИП7 ПП 58 ИП6 ПП 58 ИП5 ПП 58
ИП4 ПП 58 ИПЗ ПП 58 ИП2 ПП 58 ИП1
ПП 58 ИПО ПП 58 С/П БП 00 ИПД ИПС
X — XY ИПВ X + XY ИПС X ИПД
ИПВ X + ПД XY В/О
Инструкция : (а0 = Р0, в, = Р 1,... >а, = Р9, а ,0 = РА) а„ =РД,а= РВ, = PC,
= РХ (В/О) С/П РХ = ReA(p),PY = рд = 1m А (р).
Контрольный пример: время вычисления многочлена 4(1 + jl) = р” + 12р12 +
+ 11р" + Юр10 + 9р’ + 8р8 + 7р’ + 6р6 + 5р3 + 4р" + Зр3 + 2р2 + р + 1 = -896 + j639
составляет 87 с.
Вычисление степенных многочленов комплексного аргумента степени п > 13 в полу-
автоматическом режиме обеспечивает следующая программа.
Программа 36/34. Вычисление многочлена произвольной степени п комплексного ар-
гумента
ИПА ИПВ X ИПД ИПС X - + ИПА ИПС
X ИПД ИПВ X + ПД XY ПА КИПО ИПО
С/П БП
Инструкция: п = Р0,ап = РА. а = РВ, ш = PC, 0 = РД ап , = РХ В/О С/П РХ =
= п - = РХ С/П РХ = п - 2, . . . ,а„ = РХ С/П РХ = 0,РА = Re A (p),PY =
= РД= 1m А(р).
Контрольный пример: время вычисления двучлена А (1 + jl) = р + 1 = 2 + jl состав-
ляет 8 с.
При степени многочлена, меньшей максимальной для программ 30/21 и 33/34, вре-
мя счета можно уменьшить, устранив избыточные операторы обращения к подпрограм-
ме и соответственно изменив адрес перехода к ней. В этом случае окончание програм-
мы 30/21 следует дополнить операторами поворота стека в исходное положение. Длину
программ 33/34 можно уменьшить, использовав освободившийся регистр памяти для
организации вычислений в цикле.
43
Глава 2
МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
2.1. Представления сигналов
В общем случае реакции и воздействия (являющиеся реакциями на некоторые дру-
гие воздействия), связанные соотношениями (1.4) и (1.5), представляют собой сигна-
лы, характеризующие состояние физического объекта.
Сигналы описывают непрерывными и дискретными математическими моделями.
К первым относятся графические и буквенные модели в виде графиков или формул,
позволяющих определить значение сигнала х (у ) в любой точке заданного интервала не-
зависимой переменной и . Ко вторым относятся табличные модели в виде множества пар
значений Vj (называемых узлами) и х,- = х (vp при i = 0, 1,. .., N, а также цифровые
модели в виде программ работы ЭВМ, вычисляющих значения Xj для ряда заданных
значений Vp
В зависимости от задачи моделирования сигналы представляют во временной и опе-
раторных областях. Естественным является временное представление сигнала х (Г), но
при моделировании инерционных связей между воздействием и реакцией приходится
составлять и решать дифференциальные уравнения. Поэтому обычно прибегают к опера-
торным представлениям в частотной (спектральной) области или области оператора
Лапласа.
Спектральное представление сигнала x(jcu) связано с временным интегральным со-
отношением
x(jw)= J x(r)e-iw,cZr (2.1)
и является непрерывной комплексной функцией переменной со.
Обратное преобразование
x(O = r- 7 х()ш)с^ <1ш.
Z7T -оо
Периодические сигналы однозначно представляют дискретным спектром с комплекс-
ными амплитудами
t +Т
1 Q-X(j*a)=y 7 x(t)e-iknt dt, (2.2)
i
где Г, - любой удобный для вычислений момент времени t; Т - период рассматрива-
емого сигнала; П = 2тг/Т - круговая частота.
В этом случае обратное преобразование сводится к суммированию ряда Фурье
х(Г)= 2 Cke>ksu. (2.3)
к = -<»
Сигналы, заданные на временном интервале [0; ~ [, часто представляют их изобра-
жениями по Лапласу
х (р) = / х(Г)е-Р' dt,
О
являющимися непрерывными комплексными функциями комплексной частоты р = а +
+ ju>.
Обратное преобразование Лапласа
Х(О = у- / х(р)еР‘ dp,
2я1 е -j«
где значение е выбирают из условия сходимости модуля произведения х (г) на множи-
тель е*е<-
Сигналы в виде последовательности коротких импульсов, используемые в импульс-
ных и цифровых устройствах, во временной области описывают решетчатыми функци-
ями х (и) целочисленного аргумента л (нормированного времени). Часто функции х (и)
получают по непрерывной функции х(Г) дискретизацией, заключающейся в выборке
44
значений функции x(t) через равноотстоящие интервалы времени х(л) = x(t = пТ).
В этом случае значение Т, разделяющее два смежных отсчета, называют интервалом
дискретизации. •
Такое представление может быть взаимно-однозначным, если дискретизируемая
функция х (О относится к функциям с ограниченным спектром, а интервал дискретиза-
ции Т выбран в соответствии с теоремой отсчетов Котельникова как Т < 1/2/в, где
/в - верхняя граничная частота спектра функции х (Г). В этом случае справедливо соот-
ношение
“ sin (<оя (Г - ЛТ) )
X(О = s X(я)-----------g-1 , (2.4)
к-- — ыв (t ~ кТ)
называемое рядом Котельникова.
Временное и спектральное представление финитных решетчатых функций, описыва-
емых конечным множеством значений, связаны формулами дискретного преобразова-
ния Фурье (ДПФ)
ЛГ-1 .
х(*г) = X х(л)И^*;*е 0; Л-1 ;
л* •
1 N1 х
х(л) = J. xikvyw-^, (25)
N к-•
где V = 2x1 N — нормированная частота, связанная с частотой П спектральных составля-
ющих анализируемой функции соотношением П = vfT, N - заданное число отсчетов
функциих(л) и И,= = е"11>/-У
При вещественных значениях х (л) соотношение (2-5) избыточно, так как справедли-
во равенство x(kv) = х* ((N - it)и). Вместо формул (25) часто удобнеее использо-
вать z-прсобразование решетчатой функции
x(z) = £ х(л)х-и, (2.6)
Л = •
где z — комплексный аргумент, связанный с интервалом дискретизации соотношением
х = е₽Г.
Обратное ^-преобразование выполняют по формуле
х(") = 2»j #x<z>z"'1
где контур интегрирования должен охватывать все особые точки подынтегрального вы-
ражения (для ограниченных во времени функций эти точки лежат внутри единичной
окружности).
Иногда вместо полного описания сигнала достаточно ограничиться его некоторыми
характеристиками. К ним относятся среднее значение (постоянная составляющая)
1
x = Y J X(t)dt, (2.7)
среднее квадратическое (действующее) значение
хд=Р= фуг*,(ол),/’
и энергетический спектр сигнала
= x(jw)x*(j<-0 = Ix(jw) I1,
связанный с действующим значением соотношением
Хд=у / Wlu)dw.
Временной характеристикой случайного процесса (полезного сигнала или помехи)
является автокорреляционная функция
45
R(tt,ta) = f f [x(f2) — jc (r,) ] [x(r2) -x(t2)]p[x(rt); x(ti)]dx(tl)dx(t2'), (2.8)
*O0 aw
где p [x (t) ] и p [x (t,); x (r2) ] - одномерные и двумерные функции плотности вероят-
ности анализируемого сигнала, а средние значения х (Г,) их(Г2),в общем случае завися-
щие от времени, вычисляют по формуле
х(0 = J х(0 р [x(r) ] dx(r).
Для стационарных случайных процессов среднее значение и одномерная функция
плотности вероятности нс зависят от времени. В этом случае вместо (2.8) используют
соотношение
R (т) = J J [х(О - х] [х(Г + т) - х]р [х (Г); х(Г + т) ]dx(t)dx(t + т).
Автокорреляционная функция эргодического случайного процесса определяется по
достаточно длинной его реализации
Я (т) = lim 4; / x(t)x(t - r)dt
Т ♦ ~ ‘ о
и для решетчатых функций имеет вид
Rin) = lim £ х(к)х(к+п). (2.9)
JV <“£= о
Преобразование (2.1) автокорреляционной функции стационарного случайного про-
цесса в силу четности этой функции описывают формулой
B'(w) = 2 f R(t) cos wr • dr, (2.10)
0
определяющей энергетический спектр переменной составляющей процесса. С помощью
значения Я (0), соответствующего дисперсии а1 случайного процесса, часто нормируют
автокорреляционную функцию г (т) = Я (т) /Я (0) = Я (т) /о’.
Таким образом, практически все преобразования сигналов, выполняемые при анали-
зе радиотехнических устройств, связаны с операцией интегрирования, которую далеко
не всегда удается выполнить аналитически даже при аналитической модели преобразу-
емого сигнала. В этом случае приходится использовать методы численного интегриро-
вания, из которых наиболее употребителен метод Симпсона, основанный на приближении
Ъ
I = Sf(x)dx •> |/(а) + 4/(о + Л) + 2f(a + 2й ) + 4/(а + Зй ) + ...+ 2f(b -2й) +
+ 4/(6 - й)+/(6) ]й/3, (2.11)
где п — четное число разбиений интервала интегрирования, ай = (6 — а)! й — шаг ин-
тегрирования.
Для мажоритарной оценки методической погрешности интегрирования по формуле
Симпсона обычно используют соотношение
А/ <й S/IV (в)/90; ее [а; й].
При оценке погрешности интегрирования применительно к анализу сигналов более
удобен спектральный подход, при котором погрешность связана с искажением спектра
анализируемого сигнала [23]. Введя коэффициент, равный отношению комплексной
амплитуды, полученной в результате численного интегрирования гармонического сиг-
нала, к амплитуде, являющейся результатом точного интегрирования, для формулы
Симпсона получим
kj = ^ВЬИМТОЧ = о>Й (2 + cos wh)l (3sin сой). (2.12)
По (2.12) несложно выбрать значение й , обеспечивающее преобразование с требуемой
точностью спектра интегрируемого сигнала в заданном интервале частот от 0 до сов <
< я/й. Следует лишь учитывать, что при уменьшении й (и увеличении л) возрастают
операционные погрешности результата численного интегрирования.
46
В качестве базовых программ численного интегрирования примем следующие.
Программа 37/21. Интегрирование по составной формуле Симпсона
F3 Г F2 — t F4 -г P3 ПП PC* P8 ПП
6 4 X t F8 + P8 F4 2 — P4 ПП
6 t F8 + XY + P8 F4 x = 0 XY F3 X
3 -г С/П F3 t F2 + P2 F2 .♦. B/O
Инструкция: записать в программу вместо многоточия операторы вычисления функ-
ции при х = РХ (для хранения операндов можно использовать регистры 5, 6, 7 и стека
памяти); а = Р2, Ь = РЗ, п = Р4 В/О С/П РХ = I.
Программа 38/34. Интегрирование по составной формуле Симпсона
ИПЗ ИП2 - ИП4 -5- ПЗ ПП 40 П8 ПП
36 4 X ИП8 + П8 ИП4 2 — П4
ПП 36 t ИП8 + + П8 ИП4 x = 0 09
BX ИПЗ X 3 v С/П ИПЗ ИП2 + П2
ИП2 ... В/О
Инструкция отличается от инструкции к предыдущей программе только тем, что для
организации вычислений подынтегрального выражения можно использовать регистры О,
1,5, 6, 7,9, А,В,Си Д.
Если при использовании этих программ число свободных ячеек программной памяти
недостаточно для организации вычисления подынтегрального выражения, то можно сок-
ратить программу, вычислив предварительно в обычном режиме шаг h = (b - а)/п =
= Р4 и, после выполнения программы, умножив на Л/3 взвешенную сумму, хранящу-
юся в регистре Y после выполнения программы 37/21 и в регистре XI - после выполне-
ния программы 38/34. Приводимая ниже сокращенная версия программы 37/21 обеспе-
чивает 27 ячеек программной памяти для вычисления подынтегрального выражения
вместо 14 ячеек у исходной программы.
Программа 39/21. Упрощенное интегрирование по составной формуле Симпсона
ПП Р/-/ Р8 ПП 4 4 X t F8 + Р8 F4
2 - Р4 ПП 4 t F8 + XY + Р8 F4
х=0 О С/П F3 t F2 + Р2 F2 ... В/О
Инструкция: записать в програм у вместо многоточия операторы вычисления подын-
тегрального выражения (при х = РХ); а = Р2, h = РЗ, п = Р4 В/О С/П F3 X 3 +РХ = I.
При интегрировании сложных функций в связи с ограниченной емкостью запомина-
ющих устройств может оказаться необходимым предварительно преобразовать (в част-
ности, нормировать операнды) подынтегральное выражение. Необходимость в аналити-
ческих преобразованиях может возникнуть при стремлении подынтегральной функции
или ее производных к бесконечности в интервале интегрирования, что приведет к пере-
полнению или чрезмерной методической погрешности результата интегрирования. Такие
особенности можно устранить заменой переменных или интегрированием по частям.
Если в интервале интегрирования возникают неопределенности, то их следует рас-
крыть и ввести в программу разветвления для вывода соответствующих значений функ-
ции. Редактирование базовых программ может оказаться целесообразным и в других
случаях, например, когда подынтегральная функция имеет постоянный множитель или
когда один предел интегрирования или оба соответствуют особым точкам.
В качестве примера рассмотрим вычисление функции плотности вероятности адди-
тивной смеси гармонического сигнала с амплитудой А и случайным, равновероятным
в интервале [-я; я] распределением фазы с нормально-распределенным шумом, име-
ющим нулевое среднее и дисперсию о, описываемой сверткой
1 А
Р&) = —f== Г re-(x-z)’/2aJ /^/Л1 -x’ldx, (2.13)
ОМ 4 Я J 1 *
А
где интегрируемая функция обращается в бесконечность на границах интервала интегри-
рования.
47
Для устранения указанной особенности воспользуемся подстановкой х = A cosy, что
даст
₽(*) = —
о у/ 2» •
Для сокращения числа исходных данных примем нормировки В = A/о и { = z/o.
I »
c-(Bcosy-f)’/2 dy
функцию (2-13) приходится вычислять многократно при различных значениях ( и
фиксированных пределах интегрирования. Поэтому целесообразно изменить начало ба-
зовой программы, обеспечив при каждом выполнении программы автоматическое вос-
становление пределов и шага интегрирования. Сократить текст программы можно, пред-
варительно вычислив коэффициент 1/ (3 V 2жэ) и приняв его в качестве исходного опе-
ранда. Тогда на основе, например, программы 37/21 получим следующую.
Программа 40/21. Вычисление функции плотности вероятности смеси гармоническо-
го сигнала со случайной фазой и нормального шума
Ж 0 Р2 F4 4 РЗ ПП F7 Р8 ПП РВП 4
X t F8 ♦ Р8 F4 2 — Р4 ПП РВП t
F8 + XY + Р8 F4 х=0 1 F3 X t F7
X С/П F3 t F2 + Р2 F2 cos t F6 X
t F5 — х2 2 — е* 1/х В/О
Инструкция: (( = Р5,В = РЬ, 1/3 у/2к3 = Р7) п = Р4 В/О С/П РХ -pit).
Контрольный пример: при I = В 1 и л = 8 получим р(1) = 0,235893 примерно за
80 с, при л — 16 получим р(1) = 0,235891 примерно за 160 с.
При расчетах часто приходится интегрировать функции вида у (в), заданные графи-
ческими или табличными моделями. Если отсчеты у, = y(Vj) таких функций заданы,
начиная с уЛ - у (в,) при постоянном шаге h = Дв, их число четно, а интегрируемая
функция гладкая, то ее интеграл целесообразно вычислять по формуле Симпсона.
Программа 41/21. Интегрирование таблично заданной функции по формуле Симпсона
Р8 С/П t 4 X t F8 + Р8 С/П —» F2
2 — Р2 х*0 F4 t + t F8 + БП
Р0 4— t F8 + 1 F3 X 3 4- С/П
Программа 42/34. Интегрирование таблично заданной функции по формуле Симпсона
П8 С/П КИП 2 XY 4 X ИП8 ♦ П8 С/П
t ИП8 + + L2 00 BX ипз X 3
-=• С/П
Инструкция для обеих программ: (Л = РЗ) п = P2jr, = РХ В/О С/П у, — РХ С/П
у, = РХ С/П ..-уя = РХ С/П РХ=1.
Контрольный пример: при Л = ОД; л = 4; у,- = 1; 5; 8; 6; 2 получим / = 4,2.
При неравноотстоящих узлах табличной модели функции ее целесообразно интегри-
ровать по формуле трапеций
/ =1 "Ё‘ <дь. - Ф »/> *Л>
< • • 2
(2.14)
Программа 43/21. Интегрирование таблично заданной функции по формуле трапеций
Р2 XY РЗ Сх Р8 С/П Р4 F3 XY РЗ + Р5
F2 t F4 Р2 XY — t F5 X 2 t
F8 + БП Ft
Программа 44/34. Интегрирование таблично заданной функции по формуле трапеций
П2 XY ПЗ Сх П8 С/П ИП2 XY П2 -
XY ИПЗ XY ПЗ + X 2 = ИП8 XY
- БП 04
48
Инструкция для обеих программ: у, = PY, «, = РХ В/О С/П РХ = 0 у, = PY, v, =
= РХ С/ПРХ=/„у, =PY,u, =РХ С/П РХ = 1г,у, = PY,v3 = РХ С/П РХ
— .Уп = PY. vn — РХ С/П РХ = Jn, где Ij - текущее значение интеграла.
В качестве иллюстрации рассмотрим вычисление действующего значения периоди-
ческого импульсного сигнала по его осциллограмме. Поскольку в соответствии с фор-
мулой (2.7) необходимо интегрировать квадрат временной характеристики x(t), то в
программу целесообразно ввести оператор х2, обеспечивающий автоматическое выпол-
нение этой операции для каждого вводимого отсчета. Для полной автоматизации расчета
программу следует дополнить операциями деления на период Т (так как действующее
значение инвариантно относительно периода, то вместо h можно использовать значение
1/л, что будет эквивалентно этой операции) и извлечение квадратного корня.
Программа 45/21. Вычисление действующего значения периодического сигнала
х* Р8 С/П х’ 4 X t F8 + Р8 С/П х’
- F2 2 - Р2 х#0 4 t + t F8
♦ БП F0 «- t F8 + t F3 X 3 *
V- c/n
Инструкция: (1/л = РЗ) n = Р2, у„ = РХ В/О С/П у, = РХ С/П у, = РХ С/П ...
...у =РХ С/П PX=Ya.
Контрольный пример: для и (л) = 0; 4; 6,3; 7,8; 8,6; 3,2; 1,2; 0,4; 0,2; 0,1; 0 при
я = 10 после одиннадцатого выполнения программы получим (/д — 4,39416.
Заметим, что если интегрируемая непрерывная функция имеет изломы, то при ис-
пользовании формулы Симпсона для повышения точности результата интегрирования
координаты отсчета следует выбирать так, чтобы каждый гладкий участок между изло-
мами оказывался разбитым на четное число интервалов интегрирования.
2.2. Дискретное преобразование Фурье
При дискретных преобразованиях Фурье (ДПФ) последовательности импульсных
сигналов, моделируемых решетчатой функцией х (л) , с помощью микрокалькуляторов
соотношения (2-5) целесообразно представлять формулами
x(j*F) = Ak + )Вк, (2.15)
где
N-l N-t
Ak = S х(л) cos (2жЛл/А0; Вь = Е х(л) sin (2якп/М),
п=ь я=ь
. 1
Л. 23,. . 2ж*л 2жЬт cos як
N * В* ЯП У “уу--------------- ПрИ Че™0М М
х(л) =
N-1
й
2якп .
(4д cos+ Вк sin
2якп
~~N~
) при нечетном Л,
I *
где учтена избыточность х ( jkv) -
При прямом ДПФ проще всего реализовать последовательный анализ, при котором
за кйгды* цикл вычислений определяют одну пару коэффициентов Ак и Вк-
Программа 46/21. Вычисление отсчетов спектральной функции х (jfci>)
Р2 Сх Р5 Р7 Р8 Ж 2 X 1 F3 4- t
F4 X Р6 F5 ♦ F6 X ей F2 XY X
X t F7 + Р7 t F8 + Р8 F5
1 + Р5 t F3 — х#0 F8 XY С/П Р2 БП
2 F7 х1 t F8 X2 + С/П БП Р0
Программа 47/34. Вычисление отсчетов спектральной функции х (jiti»)
П2 Сх П5 П7 П8 я 2 X ИПЗ 4-
ИП4 X 116 ИП5 ИП6 X t cos ИП2 X
ИП7 + П7 XY sin ИП2 X ИП8 ♦ П8
КИП5 ИПЗ ИП5 — х#0 41 вх С/П П2 БП
13 ИП7 х2 ИП8 X2 + у/~ С/П БП
49
Инструкция к обеим программам: (N = РЗ, k = Р4) х(0) = РХ В/О С/П РХ = 1,
х(1) = PXCjn РХ= 2,х(2) = РХ С/П . ..x(N- 1) = РХ С/П РХ = | xfjkv) |, РУ =
= Ак, Р8 = Вк- Переключатель Р-Г должен находиться в положении Р.
Эти программы содержат счетчик номеров вводимых отсчетов на регистре 5. Измене-
ние содержимого счетчика позволяет ускорить вычисления, когда только часть вводи-
мых отсчетов отлична от нуля. В качестве примера рассмотрим решетчатую функцию
х(п), заданную отсчетами в 32 равноотстоящих узлах (от 0 до 31), из которых только
восемь (для узлов от 10 до 17) отличны от нуля и равны единице. Записав исходные
данные = 32 = РЗ, к = 1 = Р4 и выполнив программу для нулевого отсчета (х(0) =
= 0 = РХ В/О С/П РХ = 1), что необходимо для выполнения подготовительных опера-
ций, изменим содержимое регистра 5, вводя 10 = Р5, х(10) = 1 = РХ С/П и получив
РХ = 11. После этого выполняем х(11) = 1 = РХ С/П, повторяя подобные операции
для узлов от 12 до 17. Затем снова изменяем содержимое счетчика, выполняя N - 1 =
= 31 = Р5, 0 = РХ С/П, что приведет к результатам РХ = | х (jp) | = 7,21411; Р7 =
= Л, = -6,36228; Р6 = В, = 3,40071.
Если необходимо определить все значения x(jkv) или несколько из них, то приведен-
ные программы приходится использовать в рассмотренных циклах соответствующее
число раз. Анализ можно ускорить при параллельном вычислении нескольких значений
функции x(jkv). Емкость запоминающих устройств микрокалькуляторов с входным
языком МК21 допускает одновременное вычисление трех комплексных отсчетов функ-
ции х (jkv) для произвольных трех номеров kj.
Программа 48/21 С. Параллельное вычисление трех значений спектральной функции
xt.jkv')
Р8 я 2 X 0 Р6 F5 4- t F4 X Р4
F3 X РЗ F2 X Р2 F2 ПП /-/ F3 ПП /-/
F4 ПП 1-1 F6 1 + Р6 С/П Р8 БП РЗ t
F6 X е^ XY Р7 ПП Р8 F7 t ПП Р8 В/О
F8 X t 4— + t —► F1 4— В/О
Инструкция: к, = P2,kt= РЗ, к, = Р4, N = Р5, 0 = Cl = С2 = СЗ = С4 = CS = С6,
х (0) = РХ В/О С/П РХ= 1,х(1) = РХ С/П РХ= 2,х(2) = РХ С/П... х (Д'- 1) =
= РХ С/П РХ= N.C1 = Akl,C2 = Вк1,СЗ = Ак2, С4 = Вк2,С5 = Ак},С6 = Вкз (вре-
мя обработки одного отсчета около 20 с).
Эта программа содержит счетчик на регистре 6, изменение содержимого которого в
процессе вычислений также позволяет сократить время анализа при нулевых отсчетах
функции х (л). Например, для вычисления значений х (jp) ,х (j2i>) их()Зр) по функции,
заданной в примере использования предыдущих программ, следует выполнить следу-
ющие операции: kt = 1 = Р2, к2 = 2 = РЗ, к3 = 3 = Р4, N = 32 = Р5, х(0) = 0 = РХ
В/О С/П РХ = 1, 10 = Р6, х(10) = 1 = РХ С/П РХ = 11, ... РХ= 17,х(17) = 1 =
= РХ С/П РХ = 18, С1 = -6,36228, С2 = 3,40071, СЗ = 2,84775, С4 = -4,26197, С5 =
= -0,238760, С6 = 2,42417.
Программа 46/21 может оказаться непригодной для микрокалькуляторов типа
’’Электроника БЗ-21” первых выпусков с неконтролируемым переполнением стека па-
мяти. В этом случае можно использовать алгоритм Герцеля [24], согласно которому
значения Ак и Вк определяют по формулам Ак = ип _, cos (2-nk/N) - ип_2 + х (0); Вк =
— un_t sin (2itk!N) через вспомогательную функцию ип, вычисляемую по отсчетам
функции х (л), вводимым в обратном порядке согласно рекуррентному соотношению
Uj = 2uywl cos (2kitlN} -Uj.i +'x(N- j); u„ = 0; u, = x(N- 1). По этому алгоритму
в процессе вычислений выбранного множества значений Ак и Вк достаточно один раз вы-
числить значения функций cos(2-nkj/N) и sin(2wfcI-/7V), что позволит вынести эти опера-
ции за пределы многократно повторяемой части программы и уменьшить время счета.
Поэтому при обработке большого числа отсчетов приводимый далее пакет из двух прог-
рамм целесообразно применять для микрокалькуляторов всех модификаций с вход-
ным языком МК21.
50
Программа 49/21. Подготовка данных для анализа спектральной функции
t я XY 4- Р2 F3 ПП р, Р6 РЗ F4
ПП р, Р7 - Р4 F5 ПП р, Р8 Сх Р2
Р5 2 С/П X 0 В/О —+ F2 . X е* XY —► Fl
Программа 50/21. Вычисление значений спектральной функции x(\kv) по алгоритму Г ерцсля
ПП 7 F6 ПП Р6 F7 ПП Р6 F8 ПП Р6 С/П
ПП 7 F3 X РЗ F6 ПП 5 F4 X Р4 F7
ПП 5 F5 X Р5 F8 ПП 5 С/П X 2 1/х
X —► XY - + —► —► t В/О t F2 +
Р2 4— — 4— 4— — 4— 4— — 4— t В/О
Инструкция к обеим программам пакета. Ввести программу 49/21, к, = Р3,к2 =
= Р4, А:3 = Р5, N/2 = РХ В/О С/П (время счета около 15 с) (РЗ = sin (2-irkJN), Р4 =
= sin(2wAr3/A/), PS = sin(2itk3/N), P6 = 2cos(2wfc,/Л), KI = 2cos (2nk2/N), P8 =
= 2cos(2itk3/N)). Ввести программу 50/21 (сохранив в памяти результаты выполнения
программы 49/21) и последовательно вводить в регистр X отсчеты функции в обратном
порядке x(N - 1), x(N - 2) . . . х(1), нажимая после каждого ввода клавиши В/О и
С/П (время обработки каждого отсчета около 10 с). Ввести х(0) С/П Р2 = А„, РЗ =
= Р4 = В^2, PS = В^3, С2 = С4 = Сб = (содержимое регистров 6, 7
и 8 сохраняется).
Следует отметить, что при уменьшении общего времени анализа использование алго-
ритма Герцеля приводит к большей операционной погрешности результатов анализа
(в связи с итеративным накоплением погрешностей), чем при непосредственном выпол-
нении ДПФ по предыдущим программам.
Если вычисление трех значений спектральной функции приходится повторять нес-
колько раз, то подготовку исходных данных можно выполнить в обычном режиме
(сохраняя в программной памяти программу 50/21), вычислив и записав в память дан-
ные, вычисляемые по программе 49/21, и очистив регистр 5 и стек памяти.
При выполнении программы 50/21 можно начинать с ввода последнего ненулевого
отсчета, но необходимо вводить и все предыдущие отсчеты, включая нулевые.
Контрольный пример. Для вычисления трех первых значений спектральной функ-
ции по решетчатой функции х(п) с 32 узлами, имеющей единичные значения в узлах от
10 до 17 и нулевые значения в остальных узлах, ввести и выполнить программу 49/21
при исходных данных 1 = РЗ, 2 = Р4, 3 = Р5, 16 = РХ. Затем ввести программу 50/21 и
отсчеты х(17), х(16), . . . , х(10), х(9), . . . ,х(1) с нажатием клавиш В/О и С/П после
каждого ввода. Введя х (0) = 0 = РХ и нажав только клавишу С/П, получаем Р2 = А 0 =
= 8; РЗ = В, = 3,40076; Р4 = В2 = -4,26197; Р5 = В3 = 2,42417; С6 = Л, = -6,36225;
С4=А2 = 2,84775; С2 = А, = -0,238762.
Если интерес представляет только модуль спектральной функции, то можно окон-
чить вычисления вводом ненулевого отсчета (в рассмотренном примере*(10) = 1),на-
жав для его обработки только клавишу С/П. В этом случае значение модуля | х (jkv) I =
= V А^ + В^ будет вычислено верно, но соотношения между А/, и В% (фазовые характе-
ристики спектральной функции) будут нарушены. При вычислении только модуля от-
счеты анализируемой решетчатой функции можно вводить и в порядке возрастания но-
меров узлов.
Одновременное вычисление пяти смежных отсчетов спектральной функции при к,
к + 1,..., к + 4 и коэффициента А 0 обеспечивает следующая программа.
Программа 51/34. Вычисление пяти смежных значений спектральной функции х (j£i>)
ПО П1 ПЗ П5 П7 П9 0 П2 П4 П6
П8 ПА 1 + t С/П ПВ НПО + ПО
ПП 78 ИП1 + П1 ИП2 + П2 ПП
73 ИПЗ + ПЗ ИП4 + П4 ПП 73
ИП5 + П5 - ИП6 + П6 ПП 73 ИП7
51
+ П7
П9 -
- БП
ИПД X
ипв х
- ИП8 + П8
ИПА +
12 -
ИПС X
В/О
ПА -
ИПС 1
t sin
ПП 73 ИП9 +
ИПС 4 - ПС
+ ПС - t
ИПВ X XY cos
Инструкция: в зависимости от положения переключателя Р-Г 2ж/N или 36OIN =
= РД, k = PC, х(0) = РХ В/О С/П РХ = 1, х (1) = РХ С/П РХ = 2, х(2) = РХ С/П
. . . РХ = N- 1, х(Д- 1) = РХ С/П РХ= N, РО = А„ Р1 = Ак,Р2 = Вк,РЗ = Ak.t.
М = вк„- К = Ak.f * = ***>• ” = Ak.i- п = «*♦.- п = Ак.>- РА = Bk.f
Ввод нулевого отсчета даже при х(0) = 0 необходим, так как он обеспечивает ав-
томатическую установку исходного содержания регистров. В качестве счетчика номера
узла использованы регистры операционного стека, и для пропуска нулевых отсчетов
(кроме начального) достаточно ввести оператор XY и записать в регистры X и У номер
следующего ненулевого отсчета. Ввод нулевых отсчетов необходимо выполнять опера-
тором 0, а не Сх, и в том случае, когда значение вводимого отсчета случайно совпадает
с его высвеченным номером, следует ввести отсчет или дважды нажать клавишу t. Вре-
мя обработки одного отсчета по этой программе составляет около 1 мин.
Контрольный пример. Для вычисления первых пяти отсчетов спектральной функ-
ции по решетчатой функции, заданной в предыдущем примере, выполняем: 2*/32 =
= я/16 = РД, к = 1 = PC, 0 = РХ В/О С/П РХ = 1,10 = РХ t 1 = РХ С/П РХ= 11,
1 = РХ С/П РХ = 12, . . . , РХ = 17, РХ = 1 С/П РХ = 18; РО = А, = 8; Р1 = А, =
= -6,36227; Р2 = В, = 3,40071; РЗ = А2 = 2,84775; Р4 = В2 = -4,26197; PS = А, =
- -0,238759; Р6 = В, = 2,42417; РЗ = А, = 1 • IO"*; PS = 6,7 • 10"’; Р9 = А, =
= -1,15953; РА = В, = -0,951608.
Если требуется вычислить не более трех несмежных значений спектральной функции,
затраты времени можно несколько уменьшить, используя алгоритм Герцеля.
Программа 52/34. Вычисление трех значений спектральной функции х(jkv) по ал-
горитму Герцеля
П7 118 П9 2 * X ИПО 4 пд 1
ПП 86 П4 2 ПП 86 П5 3 ПП 86
П6 сх ПА ПВ ПС КИЛО КИП0 ИПО С/П ПД
ИПО х=0 57 ИП7 ИП4 X П4 ИП8 ИП5 X
П5 ИП9 ИП6 X 116 ИП1 2 4- П1 ИП2
2 •S. П2 ИПЗ 2 4- ПЗ ИПД ИПА —
ИП7 ПА ИШ X + П7 ИПД ипв — ИП8
ПВ ИП2 X + 118 ИПД ИПС — ИП9 ПС
ИПЗ X + П9 БП 26 ПА КИПА ИПД X
sin вх cos 2 X КПА XY В/О
Инструкция: N= Р0, к, = Р1,к2 = Р2,к3 = РЗ,х(Д - 1) = РХ В/О С/П PX = N- 2,
х(АГ- 2) =РХ С/П РХ= N- 3,x(tf-3) = РХ С/П ... РХ = 1,х(1) = РХ С/П РХ =
= 0, х (0) = РХ С/П РХ = -99999999, РЗ = Akl. П = Akj. П = Акз. Р4 = Bkl, PS =
= Bkt, Pf> = Bk}. Вычисления можно начинать с ввода последнего ненулевого отсчета,
как и при использовании программы 50/21.
Время обработки одного отсчета (кроме начального и конечного) по программе
52/34 примерно 15 с. Проверить эту программу можно по результатам предыдущего
контрольного примера.
При вычислении М значений спектральной функции при А^ отсчетах как при непосред-
ственном ДПФ, так и при использовании алгоритма Герцеля трудоемкость анализа про-
порциональна произведению MN (хотя коэффициент пропорциональности для алгорит-
ма Герцеля примерно в четыре раза меньше, чем при непосредственном ДПФ). При вы-
полнении полного спектрального анализа М = NI2, что резко увеличивает трудоемкость
расчета при увеличении N. Уменьшить время анализа в этом случае удается за счет орга-
низации вычислений (исключение повторений идентичных умножений при вычислении
52
различных спектральных компонентов и уменьшение общего числа операций до величи-
ны, пропорциональной /Vlog,7V). Алгоритмы, в которых реализована эта возможность,
получили название алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ) и применяются
практически во всех программах спектрального анализа на стационарных ЭВМ.
С помощью программируемых микрокалькуляторов можно исследовать особенно-
сти различных вариантов алгоритмов БПФ и изучить методы их программной реализа-
ции при анализе относительно небольших массивов данных с прореживанием по времени
(рис. 16, а) или по частоте (рис. 16, б) при вычислении вещественных коэффициентов
Рис. 16
Программа 53/21. Шеститочечное БПФ с прореживанием по времени
ПП Р6 Р5 F7 Р2 F6 Р4 ПП Р6 t F5 XY
— РЗ — + Р5 F6 t F4 + Р4 — +
Р6 F2 t F7 — Р7 — + Р2 С/П БП Р0
Р7 t 4— + РЗ — + t F8 X
Р6 F3 2 * —♦ F7 XY + Р7 4— — в/о
Инструкция: х(0) = С1, х(2Т) = С2,х(4Т) = СЗ,х(ЗТ) = С4,х(Т) = С5,х(5Т) =
= С6, V 3/2 = 0,8660254 = PS (В/О) С/П РХ = Р2 = а0, РЗ = а,, Р4 = b,, Р5 = аг.
Р6 = Ь„Р2 = а2.
Программа 54/21. Шеститочечнос БПФ с прореживанием по частоте
ПП F8 XY Р7 F6 Р2 ПП Р- XY РЗ F6 Р5
ПП Р- F3 + Р4 ПП — F7 XY 4 Р7 —4
— РЗ F5 t F6 — Р6 ПП — F2 XY +
Р2 — Р5 F8 t F6 X Р6 F4 X Р4
С/П t 4— + Р6 — + 2 4 4— В/О
Инструкция. х(0) = РХ, х(ЗТ) = С1,х(Т) = С2,х(4Т) = СЗ,х(2Т) = С2,х(5Л =
= С5, х/3/2 = 0,8660254 = Р6 В/О С/П РХ = Р4 = b,, Р2 = а0, РЗ = а,,Р5 = а2, Р6 =
~Ь2,Р1 = а2.
Контрольный пример. Для решетчатой функции времени х(лТ) = 16; 8; 4; 2; 1;
0,5 в результате выполнения каждой из программ получим а0 = 31; 5; а1 = 15,75;
bt = 9,09326; а, = 11,25; b2 = 3,897114; а, = 10,5. Для ввода х (пТ) для первой прог-
раммы используют операторы 16 «- 4«-1>-2«-8«-0,5-<- , для второй - операто-
ры 16 - 2 - 8 - 1 4 «- 0,5 -.
На входном языке МК34 можно реализовать БПФ с прореживанием по времени вось-
миточечного массива отсчетов (рис. 17).
53
Рис. 17
Программа 55/34. Восьмиточечнос БПФ с прореживанием по времени
П2 С/П П9 С/П П5 С/П П6 ИП2 С/П -
ПЗ ВХ ИП2 + П2 ИП9 С/П — П8 ВХ
ИП9 + П9 ИП5 С/П — П4 ВХ ИП5 +
П5 ИП6 С/П —У П7 ВХ ИП6 + ИП9 XY
— П6 ИП9 ВХ + П9 ИП7 ИП8 + П8
ИП7 ВХ -ё П7 ИП2 ИП5 — П5 ИП2 ВХ
+. П2 ИП9 ~- П9 ИП2 ВХ + П2 ИПЗ
ИП7 2 yj 4- + П7 ипз ВХ ПЗ
ИП8 2 yj 4- П8 ИП4 + П4 ИП8 ВХ
— П8 ИП2 С/П БП
Инструкция • х(0) = РХ В/О С/П Х(Г) = РХ С/П х(2Т) = РХ С/П х(37Э = РХ
С/П х(4Т) = РХ С/П х(5Т) = РХ С/П х(6Т) = РХ С/П х(7Т) = РХ С/П РХ = Р2 =
= я0, РЗ = в,, Р4 = b,, Р5 = а2, Р6 = Ь2, Р~! = а3, Р8 = Z>3, Р9 - а4. При нулевом значе-
нии отсчета необходимо вводить оператор набора нуля, а не Сх, даже в том случае, когда
в регистре X высвечивается нуль.
Контрольный пример: для функции времени х(пТ) = 16; 9,752108; 5,943979;
3,622897; 2,20818; 1,3459; 0,8203356; 0,5 получим а0 = 40,1934; а, = 17,5276; bt =
= 13,2759; а2 = 11,4438; Ь2 = 6,9751 1; а3 = 10,0559; Ь} = 3,02866; аЛ = 9,75159.
Программы ДПФ или БПФ с комплексным представлением отсчетов преобразуемых
функций пригоды для прямого и обратного преобразований при условии соответству-
ющего изменения знака поворачивающего множителя Wn* в формуле (2.5).
23. Спектральный анализ непрерывных сигналов
Если необходимо проанализировать спектр непрерывного сигнала, заданного буквен-
ным выражением, а выполнить интегрирование в замкнутом виде не удается, то прихо-
дится прибегать к приближенным методам анализа. Один из них основан на предельном
соотношении
x(jco) = lim x(jv)T
между спектрами непрерывного сигнала и полученного из него путем дискретизации с
интервалом Т„ решетчатого сигнала, ДПФ которого даст дискретные приближенные зна-
чения искомой спектральной функции1.
' Для сигналов х (Г) со спектром, ограниченным значением fB при Т < 1/(2/в) , спект-
ральная функция x(jy) отображает дискретные точные значения спектральной функции
X(jw).
54
Практическая реализация этого метода состоит из следующих этапов:
1. Построение табличной модели анализируемой функции x(t) при выбранном интер-
вале дискретизации Гд, что можно выполнить с помощью программы вычислений задан-
ной функции по се буквенной модели.
2. Выполнение ДПФ полученной табличной модели в предположении, что она являет-
ся моделью решетчатого сигнала с огибающей x(t), по программам, приведенным в пре-
дыдущем параграфе.
3. Денормировка вычисленных значений спектральной функции согласно соотно-
шениям
x(jw) = x(jfcft) ®эс(»Тд, (2.16)
где П - 2я/7'д для непериодических сигналов.
' Комплексные амплитуды составляющих спектра периодического сигнала (при вы-
борке W = Г/Т равной целому числу)
Ск= 2х(»Тд/Т = 2x(jv)/N, (2.17)
где Т — период анализируемого сигнала.
Особого внимания при реализации рассмотренного алгоритма требует выбор интер-
вала дискретизации, обеспечивающий заданную точность при минимальных затратах
времени. Строгая оценка методической погрешности в этом случае является сложной
задачей и необходимо максимально использовать имеющуюся информацию о реальной
ширине спектра анализируемого сигнала. Так, для "простых” сигналов [2] /тах »
= к/Тс, где Тс - длительность сигнала, а к - коэффициент, определяемый его формой,
со значением от единиц до десятков.
Выбор Тд упрощается, если задана полоса анализируемых частот. В этом случае Гд =
= 1/(2/П1ах), но по мере приближения к граничной частоте /п1ах анализа погрешность вы-
числения x(jw) для сигналов, ширина спектра которых превышает /1Пах’ резко воз-
растает.
Если при анализе спектров периодических сигналов для ДПФ выбирают N = Т/Тд,
то для непериодических сигналов /Vследует выбирать по значению частот ш = кп, на ко-
торых вычисляют х (jeo), связанных с интервалом дискретизации и числом /Уобрабаты-
васмых отсчетов функции х(п) соотношением Я= 1/(ЛТд). Если для финитных функ-
ций Я|пах определяют числом ее ненулевых отсчетов, то при введении дополнительных
нулевых отсчетов значение П можно сделать сколь угодно малым.
В качестве примера определим спектральную плотность прямоугольного импульса
х(Г) = 1 при 0 < t < т = 1 мкс и x(t) = 0 при 0 > t > т на частотах, кратных 250 кГц.
Полагая реальную ширину спектра примерно равной 4 МГц, выберем интервал дискре-
тизации 1/(2/в) = 0,125 мкс. Чтобы получить отсчеты спектральной функции на задан-
ных частотах, соответствующих спектральным составляющим периодического сигнала с
периодом Т = 1/(250 • 10’) = 4 мкс, найдем ДПФ решетчатой функции, заданной W =
= 4/0,125 = 32 отсчетами, из которых 1/0,125 = 8 будут равны единице, а остальные
нулю. Воспользовавшись для этого сигнала результатами ДПФ, выполненного в § 2.2,
после дснормировки получим следующие значения x(jw) : x(j250 кГц) = 9,017641 X
X 10*’ (точное значение 9,003162 - 10”’); x(j500 кГц) = 6,407288 • 10"7 (точно
6.366197 - 10”’); x(j750 кГц) = 3,044885 • 10"’ (точно 3,001054 • 10”7);. .. .
Если W велико, то полный спектральный анализ связан с большими затратами време-
ни и предпочтительнее может оказаться метод, основанный на аппроксимации анализи-
руемой функции x(t), позволяющей выполнить преобразование (2.1) и получить фор-
мулу, с достаточной точностью описывающую спектр анализируемого сигнала. Напри-
мер, при кусочно-линейной at тпроксимации
0 при t
а, П - G) +/з, при t, <t<t2.
X(t) « : ак<‘ ~‘к> * (*к при tk <t<fk.
0 S при tktl < t
55
после интегрирования по (2.1) находим
= । ыг
X(jw) =
где коэффициенты В,- = а, - ау _t, а Л, = 0(- — 0,- - «/_, (*, - ) отличны от ну-
ля только при наличии у функции х (Г) разрывов первого рода. Заметим, что при вычис-
лении значений А, и В, следует принять а, = 0О = 0.
Коэффициенты Aj и В( можно вычислить непосредственно по отсчетам функции х (Г).
Программа 56/21. Вычисление коэффициентов приближенной спектральной функции
РЗ Fl Р2 Р4 Сх Р5 t С/П Р6 F1 Р7 С/П
Р8 XY — F3 t F6 РЗ — —> F2 t
F7 — t F8 Р2 4- t F5 — XY Р5
F4 4— Р4 —► БП Fl
Программа 57/34. Вычисление коэффициентов приближенной спектральной функции
ПЗ XY П2 П4 Сх П5 С/П П6 XY П7
t С/П П8 XY П9 ИП2 ИП7 — ИПЗ
ИП6 ПЗ — + ПА ИП5 — ПВ ИПА П5
И118 П2 ИПВ ИП4 ИП9 П4 —♦ БП 06
Инструкция: х (Г,) = PY, Г, = РХ В/О С/П (РХ = 0) х(га - 0) = PY, t2 = РХ С/П
(РХ = х (Г2 - 0) ); если функция имеет разрыв в очередной точке, то х (t2 + 0) = РХ;
если разрыва нет.тоС/П РХ - А,, PY = В,,... ,С/П РХ = Ak t.PY-Bk ,.x(tktl-
-0) = PY,tktl = РХ С/П РХ= x(tktl - 0),х(ГЛ+1 + 0) =РХ С/П PX = Ak,PY =
= Вк. . . x(tn) = PY. tn = РХ С/П РХ = x(tn),0 = PX С/П PX = An_l.PY= Вп
0 = PY, = РХ С/П РХ = 0 С/П РХ = Ап, PY = Вп (где tn — конец последнего участ-
ка аппроксимации, a ts - произвольное значение, удовлетворяющее условию ts > tn).
временной характеристики, аппроксимированной ку-
сочно-ломаной функцией (рис. 18), выполняем: 10 t
0 В/О С/П (РХ = 0) 8 t 5 С/П (РХ =8)2 /-/ С/П
РХ = 10 = Л,,РГ= -0,4 = В,, 0 t 10 С/П (РХ = 0)
С/П РХ = -10 = А2, PY = 0,8 = В2, 0 t 20 С/П
(РХ = 0) С/П РХ = 0 = Л э , PY = -0,4 = Вэ. Следова-
тельно, x(jcu) = (-0,4+ jlOw + (0,8 - jl0a>)c~ J!GJ +
+ (-0,4)e-i,otJ)/a? = ((0,4 + 0,4cosl0o> -0,8cos5w +
+ 10u;sin5a>) + j(10o)cos5aj - 10o> + 0,8sin5u —
— 0,4sinl0w))/a)2. По этому выражению можно вычис-
лить Rex (о>) и Im х (ш) или | х (ш) | и <рх (о>) , но его це-
лесообразно преобразовать для уменьшения операцион-
ной погрешности и ускорения вычислений. Воспользо-
вавшись, например, формулами для кратных аргумен-
тов тригонометрических функций, получим расчетное выражение х ( jeu) = ((10wsin5o>
— 0,8cos5w(l cos5cu)) j(10cu - 0,8sin5w) (1 - cos5cu))/w’, где после раскрытия не-
определенности х (0) = 40. По этой формуле несложно вычислить составляющие спект-
ральной функции в обычном режиме или в режиме автоматических вычислений.
Многие задачи спектрального анализа связаны с вычислением различных специаль-
ных функций. Например, анализ распределения по спектру энергии (или мощности для
периодического) сигнала при кусочно-линейной аппроксимации сводится к вычислению
интегрального синуса
Si(x)=J-^dz- (2.18)
Так, для прямоугольного импульса W(u) - (4Tsin(uzr/2)/(u/r/2))1 и в полосе частот
от до энергия
56
Э = р w^=^f
” Я CUj C*>T/Z
или после интегрирования по частям
Э = 24k! [Si (^) - Si + Mbyiv _ ™^т12) ь
я 1 2 2 <j,t/2 с^т/2
(2.19)
Функция Si (х) встречается и в ряде других задач, например при описании переход-
ной характеристики идеального фильтра, с помощью которого моделируются реальные
фильтры. Вычислять интегральный синус можно по базовой программе численного ин-
тегрирования с учетом равенства нулю нижнего предела интегрирования и sinx/x = 1
при х = 0.
Программа 58/21. Вычисление интегрального синуса
РЗ 0 Р5 F2 Р7 -г Р4 1 Р8 ПП 6 4
X t F8 + Р8 F7 2 — Р7 ПП 6 t
F8 + XY + Р8 F7 х=0 1 F4 X 3 4-
С/П БП Р0 F5 t F4 + Р5 еИ F5 -5- в/о
Программа 59/34. Вычисление интегрального синуса
ПЗ ИП2 П7 ф П4 1 П8 Сх П5 ПП
38 4 X ИП8 + П8 ИП7 2 — П7
ПП 38 t ИП8 + + П8 ИП7 х=0 09
вх ИП4 X 3 -г С/П БП 00 ИП5 ИП4
+ П5 sin ИП5 -г В/О
Инструкция : (четное п - Р2) : с = РХ (В/О) С/П РХ = Si (х)
Контрольный пример: Si (2) = 1,605497 при л = 4, Si (20) = 1,548241 при л — 100.
Точность результата нс менее пяти верных цифр обеспечивает выбор п > 2х. Время
выполнения программы 58/21 примерно 4,3л с, а программы 59/34 - около 7,2л с.
При х > 1 время счета чрезмерно велико и в этом случае целесообразно использо-
вать асимптотическое разложение
... ж cosx у к (2*)! sinx „ (2Л+1)!
Si(x)=^---------X (-1) —tit-------------2 1 — .
2 х к=, X2* * к, х2**’
Вычисление первых четырех членов этого разложения реализовано в следующих прог-
раммах по формуле
si (х) - — <1-^ а --га - jr))) - р-
где для уменьшения остаточной погрешности изменены коэффициенты последних членов.
Программа 60/21. Вычисление интегрального синуса при х > 1
Р2 2 XY 4. X» РЗ 5 X 1 — X 1
+ 3 X t F3 X 2 — t F2 -г
F2 е* X P4 F3 3 X 1 — X 1
+ t F3 X 2 — t 4— X t F4 +
t F2 t я + 2 -г С/П БП Р0
Программа 61/34. Вычисление интегрального синуса при х > 1
ПО 2 XY т X1 t t t 5 X
1 — X 1 + 3 X X 2 —
ИП0 sin X ипо -Г П1 —> 3 X 1
X 1 + X 2 — ИПО cos X
ИП1 + ИП0 -г я + 2 -г С/П БП
Инструкция: х = РХ (В/О) С/П РХ = Si (х). Для программы 61/34 переключатель
Р-Г должен быть в положении Р.
57
Контрольный пример: время вычисления Si (20) = 1,54824 составляет менее 20 с.
Результат вычислений по этим программам имеет не менее пяти верных цифр при
х> 8.
Сигналы с угловой модуляцией x(t) = A cos (ш0Г + m sin Ш) отображаются в частот-
ную область дискретным спектром, составляющие которого определяют с помощью
функций Бесселя порядка п с аргументом, равным индексу угловой модуляции >п :
х(Т) = А {/„ (in) + 2 Jn (in) [cos (w0 - nll)t + (-l)"sin (u>or + nO)t]} .
л= i
Для вычисления функций Бесселя удобно воспользоваться их приближенным представ-
лением
JnW *
где = я (к - 1/4)Л.
Вычисления по этим формулам реализованы в следующих программах, обеспечива-
ющих точность результата не менее пяти верных цифр при выборе//большим большего
из значений хил.
N-t
2 cos л 0% cos (х sin в %) для четных и,
к- о
1 N-1
тг- 2 sinnej. sin (х sin вь) для нечетных п,
N к=а К К
Программа 62/21. Вычисление функций Бесселя
F2 0 Р8 «г X cos Р5 F4 1 — P7 4
1/х — t F4 4 t ar X P6 е* F3 X
t F6 XY Р6 F5 х> 0 6 F2 X cos t F6
cos БП РСх F2 X е* F6 sin X t F8 +
Р8 F7 х= 0 PXY F8 t F4 4 С/П БП P0
Программа 63/34. Вычисление функций Бесселя (переключатель Р-Г в положении Р)
ИП2 я X cos П5 cx П8 ИП4 1 —
П7 4 1/x — ИП4 я X П6 sin
ИПЗ X ИП6 ИП2 X ИП5 x> 0 34 —► cos
XY cos БП 38 -. sin XY sin X ИП8
+ П8 ИП7 x=0 08 ИП8 ИП4 4 С/П БП
Инструкция: (л = Р2, х = P3,N= Р4) (В/О) С/П РХ = Jn (х). Время счета прибли-
зительно 13jVc.
Контрольный пример: время вычисления J2 (5) = 0,046562 при N = 4 составляет
около 50 с.
Для х > 1 при условии х > л можно воспользоваться асимптотическим представлением
Jn (х) *х/2/(ях) cos (х - яи/2 - я/4) (2.20)
с погрешностью, примерно равной и3 / (2х).
Анализ спектра радиоимпульса с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ сигнала)
приводит к необходимости вычисления интегралов Френеля
х х „t*
5(х) = J sin (~)Л; С(х) = f cos (2.21)
О 2 о 2
При спектральном анализе обычно необходимы значения обоих интегралов, для вы-
числения которых базовую программу численного интегрирования приходится суще-
ственно изменить.
Программа 64/21. Вычисление интегралов Френеля
P3 -Г P4 + P5 Cx P7 1 P8 ПП 5 4
ПП 5 F3 2 — P3 x#0 4 2 БП 1 F4
3 t F8 X P8 F7 X С/П P6 F5 t
F4 — P5 X3 t F2 X ei* F6 X t
F7 + P7 —* t F6 X t F8 + P8 B/O
58
Инструкция: (я/2 = Р2) х = РУ, четное число разбиения интервала интегрирования
N= РХ В/О С/П РХ = S (х), Р8 = С(х). Время счета около 7Ас.
Программа 65/34. Вычисление интегралов Френеля
t ИПО П1 4- П2 + ПЗ сх П6 1
П7 ПП 36 4 ПП 36 ИП1 2 — П1
х*0 25 2 БП 11 ИП7 ИП2 3 4- X
ИП6 ВХ X С/П БП 00 П4 ИПЗ ИП2 —
ПЗ X1 я X 2 4- П5 cos X ИП7
+ П7 ИП5 sin ИП4 X ИП6 + П6 В/О
Инструкция: (N = РО) х = РХ (В/О) С/П РХ = S (х), РУ = С (х), время счета при-
близительно ILVc (переключатель Р-Г в положении Р).
Контрольный пример: при А = 16 получим 5 (2) = 0,343056; С(2) = 0,488150.
При фиксированном значении Ас ростом значения аргумента точность вычислений по
этим программам резко снижается. Так, при х = 2 для получения результатов с четырь-
мя верными цифрами необходимо выбирать N > 30. Поэтому при х > 3 целесообразнее
для уменьшения затрат времени использовать асимптотическое разложение
1 . sin (ях2/2) ,, 3,3-7 ч cos (ях2/2) ,, 5
CW“2 ях U (ях2)2 (ях2)4 я’х3 U (ях2)2
5-9
+ (ях2)4 "
1 cos (ях2/2) ,, 3 .3*7 „ sin (ях2/2) ,,
° " (ях1)2 (ях2)4 ~ " я’х3 U “
- 5 + 5 ' 9
(ях2)2 (ях2)4
Программа 66/21. Вычисление интегралов Френеля по асимптотическому разложению
t it X Р2 X РЗ 2 -г е j* P4 XY Р5
F3 х1 3 XY 4- 1 — t F5 X t F2
4* Р6 F3 X2 5 XY 4- 1 — t F4 X
t F3 + t F2 4- 2 1/X + t F6 —
С/П F4 /-/ t F5 /-/ Р4 XY P5 БП P2
Инструкция: х = РХ В/О С/П 1 РХ = С(х) С/П PX = S(x). . Время счета около 10 с
для С(х) и 8 с для 5 (х). При х > 1 методическая погрешность результатов не превыша-
ет 5/(я4х7).
Программа 67/34. Вычисление интегралов < Френеля по асимптотическому разложению
t я X ПО X П1 X2 1/х ПА 9
X 1 — ИПА X 1 0 X 2 +
ИПО 4- П2 7 ИПА X 1 — 6 X
ИПА X 2 + ИПО 4* ПЗ ИП1 2 4-
П4 sin П5 X 1 + ИП4 cos П6 ИП2
X ИП1 4- — 2 4" 1 ИПЗ ИП6 X
- ИП2 ИП5 X ИП1 т 2 4- С/П
Инструкция: переключатель Р-Г в положении Р, х = РХ В/О С/П РХ = S (х), РУ =
= С(х). Время счета около 20 с.
Контрольный пример: S (4) = 0,420516; С(4) = 0,498419.
Если в первой из этих программ вычисляются только первые два члена каждого ря-
да, то во второй программе учтены три члена каждого ряда разложения. Поэтому в прог-
рамме 67/34 методическая погрешность при х > 1 меньше и составляет А < 45/ (я‘х“ ).
Программы вычисления некоторых других специальных функций приведены далее
при рассмотрении соответствующих радиотехнических задач.
59
2.4. Цифровое моделирование сигналов во временной области
Составление npoi-раммы вычисления (цифровой модели) детерминированного сиг-
нала по буквенному выражению x(t) для его графического или табличного представле-
ния обычно нс вызывает затруднений. Однако в тех случаях, когда последовательность
значений функции х (л) отображает входное воздействие в цифровых моделях радиотех-
нических устройств, программа их вычислений должна удовлетворять жестким требова-
ниям минимальной длины и минимального количества используемых регистров памяти.
При несоблюдении этих требований может оказаться невозможным составление цифро-
вой модели устройства в связи с ограниченной емкостью запоминающих устройств
микрокалькулятора.
В большинстве случаев уровень воздействия несуществен (например, при анализе
линейных цепей) или может быть нормирован. Поэтому в приводимых далее фрагмен-
тах программ максимальное значение воздействия принимается равным удобному для
программирования целому числу. Кроме того, обычно временные отрезки генерируемо-
го сигнала, выраженные через интервал дискретизации, могут быть округлены до од-
нозначных или двузначных чисел. В этом случае их целесообразно записывать непосред-
ственно в текст программы, так как чаще всего ограниченная емкость памяти ограничи-
вает возможность цифрового моделирования радиотехнических устройств на програм-
мируемых микрокалькуляторах.
В приводимых далее фрагментах программ регистры памяти обозначены символами,
так как конкретный выбор их номеров зависит от структуры основного текста прог-
раммы. Предполагается также, что параметры сигналов (например, т или к) однознач-
ны и записываются непосредственно в текст программы.
Обычно фрагмент, моделирующий воздействие, помещают в начале программы, и
адреса переходов в приводимых далее фрагментах указаны для этого случая. Если запи-
сываемые в текст программы параметры неоднозначны или модель воздействия поме-
щена не в начале программы (например, после оператора С/П), то адреса переходов не-
обходимо соответственно изменить.
1. Последовательность прямоугольных импульсов длительностью т = кТа с перио-
дом Г= (т + к) Тд и максимальным значением 10 на входных языках МК21 и МК34 ге-
нерируются соответственно фрагментами:
FQ 1 + PQ т - х>0 F2 к х*0 0 1 0 . ..;
ИП(2 1 + ПО т - х>0 13 к х*о 03 1 0 ....
В этих фрагментах на регистре (/ организован счетчик нормированного (относитель-
но интервала дискретизации) времени, автоматически устанавливаемый в исходное
положение после окончания очередного периода (т + к) генерируемой последователь-
ности. Изменяя его начальное содержимое, можно начинать генерирование с любой на-
чальной фазы. Например, при Л=2;т=4;0 = Р0 приведенные фрагменты генериру-
ют последовательность х (л) = 0; 0; 0; 10; 10; 0; 0; 0; 0; 10; 10; 0 ... .
2. Пилообразный периодический сигнал с периодом Г = тТд и максимальным зна-
чением т — 1, где т — целое число, генерируется фрагментами
FQ 1 + PQ т х#0 0 FQ ... ;
ИПО 1 + nQ т - х#0 03 ИПО ...
При нулевом исходном содержимом регистра Q фрагменты генерируют последователь-
ность х (л) = 1; 2; 3; ...; т - 1; 0; 1; 2; —Если исключить последний оператор вы-
зова FQ или ИПО, то при 0 = PQ будет генерироваться последовательность х(л) =
= - (т - 1); - (т — 2); . . .; -2; —1; — ; т; -(«л — 1); ..., а при изменении мест
операторов + и - и замене оператора х * О оператором х > 0 получим генератор линей-
но-убывающего воздействия х(л) = (т - 1); (т- 2); ...; 2; 1; 0; т - 1; т - 2; ...
Если вместо последнего оператора вызова ввести операторы т/2 + х’ \J~ , то получим
генератор треугольного напряжения х(л) = m/2 — 1; т/2 — 2;_; 2; 1; 0; 1; 2; ...
...; (т /2 - 1); т/2; т/2 - 1; ... .
60
3. Экспоненциальный одиночный импульс х (л) — Ас ~ап проще всего получить при
помощи фрагментов FQ f FL X PQ ... или WIQ WIL X HQ .. . , где в регистре L
хранится значение е‘°. Для того чтобы первый генерируемый отсчет равнялся Л, в ре-
гистр Q следует занести значение А са.
Для формирования экспоненциального импульса вида X (л) = оле ~ап при а = PL
можно использовать фрагмент FQ t FL + PQ t e* -? ... или WIQ WIL + IIQ t
4. Функция отсчетов х(л) = sin ал/ал при а — PR генерируется фрагментами
FQ t FR + PQ ей FQ x=0 XY 1 t * ...;
WIQ WIR + IIQ sin ИП0 x=0 10 1 f *
Если выбором а и начального содержимого регистра Q исключить нулевое значение ар-
гумента, то эти фрагменты можно сократить на четыре оператора (х = 0 Л XY 1), из-
бежав раскрытия неопределенности. }
5. Колоколообразный импульс х(л) = е * при a = PR генерируется фраг-
ментами
FQ t FR + PQ х’ /-/ <й ...;
WIQ WIR + UQ х* е* 1/х ... .
При этом фрагмент на входном языке МК21 генерирует последовательность отсчетов
любой длины, тогда как для второго фрагмента число генерируемых отсчетов ограни-
чено возможным переполнением при условии (ал)1 > ln( 10'00 - 1).
6. Последовательность усеченных косинусоидальных импульсов
х(л) =
соз(2«лТв/Т) cos ф при соъ(2япТjjT) > cos ф;
О при cos (ЗияГд/Т) < cos ф
при 2жГд/Т = PR, cos ф = PS можно получить с помощью фрагментов
FQ Г FR + PQ ей FS - х<0 XY Сх
WIQ WIR + nQ cos WIS - x < 0 10 Cx ....
Первый фрагмент фактически генерирует импульсы вида х (л) = sin — cos Ф
при х (л) > 0 и нуль при отрицательных значениях х (л). Необходимая начальная фаза,
как и в предыдущих случаях, устанавливается начальным содержимым регистра Q.
7. Гармоническое колебание с периодом Т при 2яТд/Г = PR генерируется фраг-
ментами
FQ t FR + PQ ей ...;
WIQ WIR + HQ sin (или cos) — .
Начальную фазу определяет исходное содержимое регистра Q — при 0 = PQ первый от-
счет равен sin (2яяТд/7) (или cos (2жпТд/Т)). При использовании фрагмента на вход-
ном языке МК21 одновременно генерируются два квадратурных колебания PY =
= sin (2хлТд/Т) и РХ = cos (l^nT^T) ,чго позволяет выбрать более удобное из них при
составлении полной программы моделирования.
8. Амплитудно-модулированное (AM) колебание с тональной модуляцией представи-
мо решетчатой функцией
х (л) = (1 + m sin (2яяГд/Гм)) sin (2яяТд/Л,
где Ты — период модулирующего, а Т — модулируемого колебаний.
Обычно соотношения фаз модулируемого и модулирующего колебаний несуществен-
ны и для генерирования AM колебания при 2иТа/Тм = PR, T^JT = PL, m = PM можно
воспользоваться фрагментами:
FQ t FR + PQ FL X sin XY srn X XY - FM X t - +
WIQ WIR + HQ sin WIM X 1 + WIQ WIL X sin X ....
При 100%-ной модуляции (m = 1) эти фрагменты упрощаются:
FQ t FR + PQ FL X ей FQ sin X + ...;
WIQ WIR + HQ sin 1 ♦ WIQ WIL X sin X ....
Начальное содержимое регистра Q определяет начальную фазу несущего и модулиру-
ющего колебаний.
9. Сигналы с угловой (ЧМ или ФМ) тональной модуляцией
х(л) = sin ((2яиТд/Т) + (Psin (2ялТд/Гм))
при 2яГд/7’ = PR, Т/Тм = PL, Ф = РФ генерируются фрагментами
FQ t FR + PQ t FL X eJx F® X t FQ + e^
HIIQ HFIR + FIQ ИПБ X sin ИПФ X ИПО + sin ... .
Первый фрагмент генерирует обе квадратурные составляющие (в регистрах Y и X), вто-
рой одну - в зависимости от выбора последнего оператора.
10. Сигнал с линейной частотной модуляцией (ЛЧМ) u>(n) = о>, + кп, представлен-
ный функцией
х(и) = sin ((2япГд/7Э + кп2/2),
при Vк/2 = PR, 2яГд/ (Г Vк/2) = PS генерируется следующими фрагментами:
FQ t FR + PQ t FS + X eJ* ...;
ИПО t ИПК + ПО 1 ИП5 + X sin ... .
При моделировании импульса заданной длительности достаточно дополнить эти фраг-
менты операторами, стирающими содержимое регистра Q, если оно превышает заданное
число.
Для моделирования случайных сигналов или помех с заданными характеристиками
используют числовые генераторы квазислучайных последовательностей. Например,
формула
х,- = (я-2 + х,-.,)’ -Е[(я-2+ х,-_,)’], (2.22)
где символом £’[ ] обозначена целая часть содержимого в квадратных скобках, обеспе-
чивает получение достаточно длинной последовательности практически некоррелирован-
ных чисел с распределением в интервале [0; 1], близким и равномерному.
Программа 68/21. Генератор случайных чисел с равномерным распределением в ин-
тервале [0; 1 [
F2 t я + 2 - х’ Р2 1 ВП 7 XY
- - t F2 - Р2 С/П БП РО
Инструкция: записать любое число в регистр 2, (В/О) С/П РХ = X; . .. .
Контрольный пример: при 0 = Р2 генерируется последовательность х, = 0,6967662;
0,6204366; 0,8952528; 0,8512605; 0,0285362; ...
При использовании микрокалькулятора ’’Электроника БЗ-21” первых выпусков эта
программа генерирует квазислучайные числа в интервале [-5/9; 4/9 [.
Программа 69/34. Генератор случайных чисел с равномерным распределением в ин-
тервале [-5/9; 4/9 [
ИП2 я + 2 - х’ t t 1 ВП
7 + ВХ - - П2 С/П БП
Инструкция для этой программы совпадает с предыдущей. При 0 = Р2 генерируется
последовательность х,- = 0,3032336; 0,0875227; -0,4892756; 0,42551747; -0,544166;
0,35691854; ....
Теоретически максимальный период генерируемой последовательности может до-
стичь значения 10* — 1, но практически этот период меньше и зависит от выбора исход-
ного содержимого регистра 2. Более надежен реализующий метод Коробова [12] гене-
ратор квазислучайных чисел
xi = (<?x/.1)modp= ,/₽]]•
где p - большое простое число (например, 2027 или 5087), a q подбирают близким к
р/2 из множества целых чисел р — Зт для простых чисел т.
Следующие программы, реализующие этот метод, генерируют некоррелированные
62
квазислучайныс последовательности целых чисел, равномерно распределенных в интер-
вале [ 1; р - 1 ] с периодом р - I.
Программа 70/21С. Генератор Коробова
t F3 X Р4 t F2 4
XY - t F2 X t F4
1 ВП 7 XY 4
XY - С/П БП РО
Программа 71/34. Генератор Коробова
ИПЗ X t ИП2 4 5 19 4 —
1 1 ВП 7 + ВХ - ИП2 X
С/П БП
Инструкция: (р = Р2, q = РЗ) х„ = РХ (В/О) С/П РХ = xt ... С/П РХ = Xj .. . .
Контрольный пример: при р = 2027; q = 1298; х„ = 1 получим Xj = 1298; 367; 21;
907; .... Время счета соответственно около 5 и 9 с.
Для микрокалькуляторов ’’Электроника БЗ-21" первых выпусков программу 70/21
следует дополнить операторами 9 X 5 + 9 4, записанными между операторами 4 и 1.
Линейным преобразованием yj = ах; + b генерируемые этими программами числа
можно привести к любому требуемому интервалу, а с помощью нелинейного преобра-
зования - изменить закон распределения. Так, для получения распределения по закону
Рэлея, характерного для помехи у на выходе амплитудного детектора,
р(у) = уе~У212а^ /а2; х > 0,
можно использовать преобразование
Уп~ \J 2<Р\п(\1хп),
где хп — случайная величина, равномерно распределенная в интервале ]0; 1].
По значениям хп _, и уп с помощью преобразования
2п ~ XflSin ^nxw -1
можно получить нормально-распределенную случайную величину z с нулевым средним и
дисперсией о2 .
Приведенные соотношения совместно с реализацией генератора Коробова использо-
ваны в следующих программах.
Программа 72/21С. Генератор шума1 с нормальным распределением
1 F3 X Р4 t F2 4- 1 ВП 7 XY +
XY — t F2 X t F4 XY — t F6 XY
Р6 F2 4 t 1Г X 2 X sin P5 F6 t
F2 4 1/х In t F7 X t F5 X С/П
F6 БП Р0
Программа 73/34. Генератор шума с нормальным распределением
ИПЗ X t ИП2 4- 5 t 9 4 —
t 1 ВП 7 + BX — ИП2 X —
ИП6 ИП2 4 2 X It X sin XY П6
ИП2 4 1/X In ИП7 X X BX XY
С/П ИП6 БП
Инструкция: (р = Р2, q = РЗ, 2а’ = Р1), записать в регистры 6 и X любые числа, не
превышающие р - I и не равные нулю для регистра X, (В/О) С/П РХ = z,, PY =
Р6 = х0 С/П . . . С/П РХ = Zj, PY = yj, Р6 = Xj _t. . . . Время вычисления одного
отсчета соответственно около 15 и 20 с.
1 Для микрокалькуляторов первых выпусков эту программу следует дополнить опе-
раторами, указанными для программы 70/21.
63
Контрольный пример: при р = 2027; q = 1298; а1 = 1; 0 = Р6, 1 = РХ получим г- =
= 0; -1,4271179; 2,7439276; 0,0824949; . . - ,У, =0,94417391; 1,8487565; 3,0231737;
1,2682032; - - . Значения х,- совпадают с приведенными в контрольном примере для
предыдущих программ.
При надлежащем подборе нелинейного преобразования равномерно распределенных
случайных чисел можно моделировать случайные числа и с другими законами распре-
деления.
2.5. Элементы синтеза сигналов
Построение непрерывной функции x(t) по заданному частотному спектру называют
гармоническим синтезом сигналов. Он сводится к суммированию конечного числа Л'
членов усеченного тригонометрического ряда Фурье
. v , 2xkt . 2vkt - __
x(t)+ Z (e cos —=—+6ьяп - - ). (2.23)
2 , / I
При небольшом числе N членов такого вают следующие программы. । ряда автоматизацию их суммирования обеспечи
Программа 74/21С. Суммирование ряда Фурье с N < 5 t я X 2 X Р8 е^ Р6 F3 X Р7 F2
ПП 8 5 ПП F6 4 ПП F6 3 ПП F6 2
ПП F6 F7 . . . ее. ее. ее. ... • ее + С/П БП
РО X е* Р6 F5 —> Р5 X t F7 + Р7
F4 —♦ Р4 t F6 X t F7 + Р7 F8 В/О
Инструкция: записать в программу вместо многоточий значение а,/2, дополнив его
при необходимости нулями, чтобы не изменять адреса переходов к подпрограмме (а, =
= Р2, bt = Р3,а, - Р4,Ьг = Р5,а, = С1,й, = С2,а. = СЗ.Л, = С4,а$ = С5,й, = Об),
t/T-PX (В/О) С/П РХ=хЩТ).
Для микрокалькуляторов ’Электроника Б3-21” первых выпусков можно восполь-
зоваться программой 171 из [20 ], с помощью которой суммируется до трех членов ря-
да Фурье.
Программа 75/34. Суммирование ряда Фурье с N < 6
я X ПД 1 3 ПО Сх t XY КИЛО
ИПД ИПО X sin X + ИПД ИПО X cos
КИЛО X + ИПО 1 - х=0 08 XY ...
+ С/П БП
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р, записать в текст прог-
раммы вместо многоточия значение а,/2 (в, = Pl, b, = Р1, и, = РЗ, Ь2 = Л4,я, = Р5,
Ьг.= Р6, а4 = Р1,Ъ4= Pi, as = P9,bs = РА, at = РВ. bt~ PC) tfT = РХ (В/О) С/П
РХ= x(t/T).
Контрольный пример: при я,/2 = 2; а, = 10; Ь, = 5; в, = 8; Ь, = 2; в, = 4; Ь, =
= Г, я, = 1; Ь4 = 0,2; as = 0,1; Z>, = 0,05; t/T = 0,1 получим х(Г/Т) = 16,3268при
времени счета около 25 с и (при at = bt = 0) 55 с соответственно.
Суммирование большего числа членов ряда (2.23) в полуавтоматическом режиме
обеспечивают следующие программы.
Программа 76/21. Суммирование ряда Фурье с произвольным числом Y первых членов
Р2 XY РЗ F4 1 + Р4 t F7 X е** Р6
F2 X Р5 F6 t F3 X t F5 + t F8
+ Р8 F4 С/П БП Р0
Программа 77/34. Суммирование ряда Фурье с произвольным числом Л первых членов
П2 XY ПЗ ИП4 1 + П4 ИП7 X ПО
sin ИП2 X ИПО cos НПЗ X + ИП8 *
П8 ИП4 С/П БП
64
Инструкция: 0 = Р4, 2яГ/Г = P7,aJ2 = Р8, о, = PY,bt = РХ В/О С/П РХ = 1,а2 =
= PY, Ь2 = РХ С/П РХ = 2, . . . ,aN= PY. bN= РХ С/П РХ = N. Р8 = x(t/T). Перед
выполнением программы 77/34 переключатель Р-Г устанавливают в положение Р. Для
проверки можно использовать результаты предыдущего контрольного примера.
При суммировании косинусоидального усеченного ряда Фурье
a N 1-nkt
х(Г) =-у- + Ъ Ckcos (—— + .pk) (2.24)
с небольшим числом Wчленов можно использовать следующие программы.
Программа 78/21 С. Суммирование косинусоидального ряда Фурье c<V<5
t я X 2 X Р8 t F4 + cos t F3
X . t F2 + Р7 F8 5 ПП F/-/ 4 ПП F/-/
3 ПП F/-/ 2 ПП F/—/ F7 С/П БП Р0 X t
F6 Р6 + cos t F5 —> Р5 X t F7
+ Р7 F8 В/О
Инструкция: (а0/2 = Р2, с, = РЗ, = Р4,сг = Р5, <р2 = Р6, с, = Cl, = С2, с4 =
= СЗ, ^4 = С4, с, = С5, у>5 = С6) t/T = РХ (В/О) С/П РХ = х (t/T).
Программа 79/34. Суммирование косинусоидального ряда Фурье с 6
я X ПД 1 3 ПО Сх t XY КИПО
ИПД ИПО X + cos КИПО X + ИПО 1
х=0 08 XY ... + С/П БП
Инструкция: записать в программу вместо многоточия значение а0/2, установить пе-
реключатель Р-Г в положение Р, (с, = Pl, = Р2, с2 = РЗ, у>2 = Р4, с3 = Р5, <р3 = Р6,
с, = Р7, <р4 = Р8, с3 = Р9, = РА, сь = РВ, = PC) t/T = РХ (В/О) С/П РХ =
= x(t/T).
Контрольный пример: при а0/2 = 2; с, = 10; у. = 0; с2 = 8; <р2 = 0,5; с3 = 5;
ip, = 0,8; с4 = 2; <pt = 2; с5 = 0,5; = 3; с6 = <р4 = 0; t/T = 0,2 получим х (0,2) =
= —2,57664 соответственно за 25 и 45 с.
При необходимости суммирования большего числа членов ряда (2.24) можно ис-
пользовать полуавтоматический режим.
Программа 80/21. Суммирование косинусоидального ряда Фурье с произвольным
числом Nпервых членов
Р2 XY РЗ F4 1 + Р4 t F7 X t F2
+ cos t F3 X t F8 + P8 F4 С/П БП
P0
Программа 81/34. Суммирование косинусоидального ряда Фурье с произвольным
числом Nпервых членов
КИП4 - ИП4 ИП7 X + cos X ИП8 +
П8 ИП4 С/П БП
Инструкция : 0 - Р4, 2-nt/T = Р7,а„/2 - Р8, с, = PY,^t = РХ В/О С/П РХ — 1,с2 =
= PY, ^>2 = РХ С/П РХ = 2, . . . , cN = PY, vN= РХ С/П РХ = N, Р8 = х (t/T). Перед
выполнением программы 8J/34 переключатель Р-Г следует установить в положе-
ние Р.
Для проверки можно использовать результаты предыдущего контрольного примера.
При полностью автоматизированном вычислении ряда Фурье число суммируемых
членов ограничено емкостью запоминающих устройств. Число исходных данных можно
уменьшить, нормируя члены ряда и смещая начало отсчета аргумента на величину х0 =
= 2nt„/T = -ipt. Кроме того, число суммируемых членов ряда можно увеличить, запи-
сав немногозначные коэффициенты в текст программы и исключив равные нулю.
В качестве примера составим программу вычисления суммы членов ряда
3 Зак. 1399
65
x (t/T) = 0,2 + S 0,4 sln (”/c/5) cos (2nkt/T),
k- i я/с/э
полученного усечением разложения спектра периодической последовательности прямо-
угольных импульсов с максимальным значением 1 В, длительностью 2 мкс и периодом
10 мкс. Если записать коэффициенты 0,2 и 0,4 в текст программы и учесть, что фазы
всех гармоник равны 0 или 180° и равны нулю амплитуды гармоник с номерами, крат-
ными 5, то можно составить программу, обеспечивающую суммирование до 16 членов
рассматриваемого ряда.
Программа 82/34. Синтез прямоугольного импульса по дискретному спектру с /V =
= 16
Я X 2 X ПД cos ИПО X ИП1 2
ПП 70 ИП2 3 ПП 70 ИПЗ 4 ПП 70
ИП4 6 ПП 70 ИП5 7 ПП 70 ИП6 8
ПП 70 ИП7 9 ПП 70 ИП8 1 1 ПП
70 ИП9 1 2 ПП 70 ИПА 1 3 ПП
70 ИПВ 1 4 ПП 70 ИПС 1 6 ПП
70 2 X 1 + 5 4- С/П БП 00
ИПД X cos X + В/О
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р, (/(1) = sin (тг/5)/тг/5 =
= Р0, f(2) = sin (2я/5)/2я/5 = Pl, ДЗ) = sin (Зя/5)/Зя/5 = Р2,/(4) = Р3,/(6) = Р4,/(7) =
= Р5, Д8) = Р6, /(9) = Р7,/(11) = Р8,Д12) = Р9,/(13) = РА, /(14) = Р5.Д16) = PQ t/T =
= РХ (В/О) С/П РХ= x(t/T).
Контрольный пример: время вычисления х(0,1) = 0,504407 составляет около 50 с.
Рассматриваемую задачу можно решить и для произвольного числа членов ряда в по-
луавтоматическом и автоматическом режимах работы программируемого микрокаль-
кулятора. В последнем случае достаточно организовать цикл, охватывающий вычисле-
ние очередного члена ряда, его сложение с текущей суммой и выход из цикла после вы-
полнения заданного числа TV итераций.
Программа 83/21. Синтез прямоугольного импульса по дискретному спектру с про-
извольным числом N первых составляющих
t я X 2 X Р2 я 5 4 РЗ F4 1
+ Р4 t F2 X cos Р6 F3 X t sin XY
t F5 X t F6 X t F8 + Р8 F4
t F7 — х=0 FXY F8 С/П БП Р0
Программа 84/34. Синтез прямоугольного импульса по дискретному спектру с про-
извольным числом Wпервых составляющих
Я X 2 X П2 Я 5 -Г ПЗ ИП4
1 + П4 ИП2 X cos ИП4 ипз X t
sin XY -Г X ИП5 X ИП8 + П8 ИП4
ИП7 — х=0 09 ИП8 С/П БП
Инструкция для обеих программ: (0 = Р4, 0,4 = Р5; N = PJ) 0,2 = Р8, t/T = РХ
(В/О) С/П РХ = х (t/T). Перед выполнением программы 84/34 переключатель Р-Г сле-
дует установить в положение Р.
Время вычисления результата контрольного примера для программы 82/34 по этим
программам при N= 16 составляет соответственно около 2,5 и 3 мин.
В радиотехнических приложениях встречается задача построения непрерывной функ-
ции по ее табличной модели, которую в общем случае решают методами интерполя-
ции [20]. Значения непрерывной функции времени x(t) с ограниченным спектром
связаны с отсчетами х(ЛГд) ее табличной модели с постоянным шагом Гд рядом Ко-
тельникова
66
х(Г) = S x(kT_) ..ш ”(f/7Д—J2.
k^-~ a n(t/Ta-k)
В частности, с помощью этого ряда сравнивают реакции реального и идеального ин-
терполяционных фильтров аналого-цифровых систем на заданную последовательность
коротких импульсов. При решении такой задачи для уменьшения числа исходных дан-
ных целесообразно перейти к нормированному аргументу £ = Г/Тд и использовать усе-
ченный ряд Котельникова
sinwtt-A:)
х(£) = X х(к)——7Z—т-г- • (2.25)
к к >
При целых значениях аргумента значения функции х ((•) совпадают с отсчетами х(к) ив
использовании ряда нет необходимости. При нецелых значениях £ автоматизацию вычис-
ления х(£) по формуле (2.25) обеспечивают следующие программы.
Программа 85/21C. Вычисление суммы 11 членов ряда Котельникова
t я X ПП Р9 сх Р8 ПП РВП ПП РВП ПП
РВП ПП РВП ПП РВП ПП РВП F2 ПП F6 F3 ПП
F6 F4 ПП F6 F5 ПП F6 F6 X t F8 +
С/П X БП FCx ♦— XY X XY «— t F8
+ Р8 F7 t я — Р7 е* F7 -Г t В/О
Инструкция: (х(0) = Cl, х(1) = С2, х(2) = СЗ,... ,х(5) = С6,х(6) = Р2,х(7) =
= РЗ, х (8) = Р4, х (9) = PS, х (10) = Р6) £ = РХ В/О С/П РХ = х (£). Время счета око-
ло 1 мин.
Программа 86/34. Вычисление суммы N< 13 членов ряда Котельникова
я X ПД 0 ИПО ИПД ПП 51 ИП1 ПП
47 ИП2 ПП 47 ипз ПП 47 ИП4 ПП 47
ИП5 ПП 47 ИП6 ПП 47 ИП7 ПП 47 ИП8
ПП 47 ИП9 ПП 47 ИПА ПП 47 ИПВ ПП
47 ИПС ПП 47 С/П БП 00 ИПД я —
ПД sin ИПД ♦ X + В/О
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р, (х(0) = РО, х(1) =
= Р1.....х(9) = Р9, х(10) = РА. х(11) =РВ,х(12) = PC) $ = РХ (В/О) С/П РХ =
= х(£). Время счета около 70 с.
Контрольный пример: для х (Л) = 5; 6; 7; 8; 9; 10; 0; 1; 2; 3; 4; 0; 0 при £ =
= 5,5 получим х(£) = 5,0259.
При использовании приведенных программ суммирования членов ряда (2.25) следует
учитывать, что начало временной координаты соответствует первому отсчету х (0). Если
заданные отсчеты невозможно обработать одновременно, то можно разбить их на группы,
при обработке каждой из которых необходимо учесть соответствующее изменение аргу-
мента, обусловленное смещением начальных отсчетов каждой группы. Так, при обработке
с помощью программы 86/34 функции, заданной N = 26 отсчетами для значения f =
= 13,5 относительно отсчета х(0), для первой половины отсчетов программу выполня-
ют согласно инструкции. Однако для второй половины отсчетов отх(13) дох(25) сле-
дует принять £ = 13,5 - 13 = 0,5. Сумма результатов первого и второго выполнения
программы даст искомое значение х (13,5), определяемое всеми 26 отсчетами. Ограниче-
ния, связанные с емкостью запоминающих устройств, отпадают при суммировании чле-
нов ряда Котельникова в полуавтоматическом режиме.
Программа 87/21. Вычисление суммы произвольного числа N членов ряда Котель-
никова
Р2 F7 t F4 - t я х t sin XY +
t F2 X t F8 + P8 F4 1 + P4 С/П
БП P0
67
3*
Программа 88/34. Вычисление суммы произвольного числа 7V членов ряда Котель-
никова
ИП7 ИП4 - я X sin BX -е- X ИП8
+ П8 КИП4 ИП4С/П БП
Инструкция для обеих программ: ({ = t/T = Р1) 0 = Р4 - Р8,х(0) = РХ В/О С/П
РХ = 1,х(1) = РХ С/П РХ = 2,х(2) = РХ С/П РХ = 3....x(N- 1) = РХ С/П РХ =
= N, Р8 = х(£). Перед выполнением программы 88/34 переключатель Р-Г следует
установить в положение Р.
Для проверки можно воспользоваться результатами контрольного примера к прог-
рамме 85/34.
2.6. Корреляционный анализ и статистическая обработка информации
Типичной задачей статистической обработки информации является оценка моментов
случайной величины по ее выборке объемом N: начальных
или центральных
1 N ,
Мд- = % । (х j - m,) .
Обычно ограничиваются оценкой первого начального (среднего значения) и трех
центральных моментов, по которым находят оценку дисперсии а1 = NMJ (N- 1), асим-
метрии распределения у3 = М3/ VМ\ и коэффициента эксцесса ?4 = - 3. Пер-
вые центральные и начальные моменты связаны соотношениями
М2 = тг - т}\ М3 = т3 - 3m2m, + 2mJ = in3 - 3M2mt - mJ; = m4 - 4in3mx +
+ 6m2mJ — 3m\ = m4 - 4M3m2 - 6M2mJ - m‘, (2.26)
которые использованы в следующих программах статистической обработки выборки
х,, х2,.. ., Xfl случайной величины.
Программа 89/21. Оценка среднего значения и трех центральных моментов выборки
Р8 ПП Р9 ПП F- ПП F— ПП F- 1 ПП Р9
- С/П РЗ пп РСх Р4 ПП F6 F4 х’ +
Р8 + t F4 X Р4 F8 ПП F6 + t F4
+ 1 F3 X t 4— XY — t F2 4- С/П
3 X XY В/О F8 X t F2 4— + Р2 В/О
Инструкция: очистить Р1 ’, Cl, • • • » С4, х, = РХ В/О С/П РХ= 0, х2 = РХ В/О С/П
РХ = 1, х3 = РХ В/О С/П РХ = 2.....xN= РХ В/О С/П РХ = ./V- 1 - С/П РХ =
= т2 С/П РХ = М2 С/П РХ=М3 С/П РХ=М4.
Контрольный пример: для х/ = 1; 2; 3; 3 следует выполнить: Сх = Р2 -* Сх Сх
- СЛ - 1 = РХ В/О С/П РХ = 0, г = РХ В/О С/П РХ = 1; 3 = РХ В/О С/П РХ = 2;
3 = РХ В/О С/П РХ = 3, - С/П РХ= т, = 2,25 С/П РХ = М2 = 0,6875 С/П РХ =
= М3 = -0,28125 С/П РХ = М4 = 0,769532.
Программа 90/34. Оценка среднего значения и трех центральных моментов выборки
ИП5 х*0 46 ИП2 XY 4> ИП1 ИП5 4> П1
хг П6 — П2 3 X ИП6 + ИП1 X
ИПЗ ИП5 -Г XY — ПЗ 4 X ИП2 6
X ИП6 + ИП1 X + ИП1 X ИП4 ИП5
4- XY — П4 ИП1 С/П П1 П2 ПЗ П4
XY t г ИП1 4- П1 —► X t ИП2
+ П2 X t ИПЗ + ПЗ —> X
ИП4 + П4 КИП5 ИП5 с/п БП 51
68
Инструкция: 0 = Р5, xt = РХ В/О С/П РХ = I, х2 = РХ С/П, .... xN= РХ С/П
РХ = N В/О С/П РХ = Fl = mt. Р2 = М2, РЗ = М3, Р4 = М,.
Для проверки можно использовать предыдущий контрольный пример. Время обра-
ботки отсчета около 10 с, время вычисления моментов около 20 с.
При необходимости эту программу несложно дополнить фрагментами вычисления
оценок дисперсии, асимметрии и коэффициента эксцесса. Если требуется лишь оценка
и о3, то приведенные программы для уменьшения времени статистической обработ-
ки целесообразно соответственно сократить. Если для обрабатываемой выборки а ,
то определение центральных моментов по формулам (2.26) может привести к чрезмер-
ным операционным погрешностям [20]. Их можно избежать, вычитая из вводимых зна-
чений х, число а, близкое к ожидаемому среднему. Тогда после окончания вычислений
искомое значение т, = т\ + а, а в формулы определения остальных центральных мо-
ментов вместо т, следует подставить т\.
Программа 91/21. Оценка значений mt и а2
Р6 F7 х#0 F4 1 - - F4 XY Т Р2 X
t F5 XY — t - -г РЗ F2 t F8 +
с/п Р4 Р5 F6 t F8 - t F4 + Р4 F1
X t F5 + Р5 F7 1 + Р7 С/П БП F,
Инструкция: 0 = Р7,а = Р8, х, = РХ В/О С/П РХ= 1, х2=РХ С/П РХ= 2,. :XN-
= РХ С/П РХ = N В/О С/П РХ= mirP3 = аг,Р2 = т\,Р4= Z(Xj - а),Р5= Z(Xj -
-а)3. Для продолжения вычислений достаточно ввести Хдг,, = РХ БП Р4 С/П и про-
должить описанные операции.
Контрольный пример: для выборки х,- = 1000,8; 1001,2; 998,5; 999,4; 1000,5 при
а = 1000 получим т, = 1000,08 и о3 = 1,227, тогда как при а = 0 получим т1 = 1000,08
ио3 = 1,175 с погрешностью 5 %. Время обработки одного элемента выборки около 5 с.
Для реализации рассмотренного алгоритма на входном языке МК34 в программу
90/34 достаточно ввести операцию вычитания а из вводимых значений х,- с учетом а при
оценке выборочного среднего. Иногда удобнее получать текущую оценку числовых ха-
рактеристик выборки. Для этого можно воспользоваться соотношениями: т,,- =
= mi/-i + 8; 6 = (Xj - а* = ((/ - 1)<^_, + (xi - M2i =
= (i - 1) (Mjf.,/i + 63); M3i = (i - 1) + (i + 1)63) - 36M1/; Mti = (i -
~ 1) + (/*+/ + D6’) - 46 (Af3J- + 1,56M2|).
В следующей программе реализовано вычисление по этим формулам значений и
о* и грубой оценки дисперсии среднего a2mij = of! (i - 1) •
Программа 92/21. Текущая оценка значений т । г °] и ап
Р2 2 Р4 F2 с/п t F2 — t F4 -Г
X «— F2 + Р2 F4 1 + Р4 3
+ 4- t F3 X 1 + РЗ F4 1
t F3 XY -Г Р5 F3 t БП 0
XY
1
Инструкция: х3 — РХ В/О С/П
Р5 = a2ni> х3 = РХ С/П... xt = РХ
РХ = х3 = т„ х2 = РХ С/П РХ = т
С/П РХ= m3i,PY= o2i,P5= o2nii,..
PY = о2,
Контрольный пример: для х.- = 1000,8; 1001,2; 998,5; . . . последовательно полу-
чим ш,,- = 1000,8; 1001; 1000,166; . . . , а- = 0; 0,08; 2,123333; o2m,i =0; 0,04;
0,707777; ... Время обработки одного отсчета около 7 с.
Эта программа даже при а<т, обеспечивает незначительную операционную погреш-
ность, но время обработки одного отсчета примерно вдвое превышает это время для
предыдущей программы.
На микрокалькуляторе с входным языком МК34 практически все необходимые те-
кущие оценки можно вычислить с помощью одной программы.
69
Программа 93/34. Текущая оценка m (.М2 .м3.м о’. Тз и у.
П7 сх П9 ПА ПВ 1 ПО С/П ИП7 —
ИПО П6 1 + ПО 4- П5 ИП7 + П7
ИП9 ИГ15 х’ П2 ИПО X + П8 ИП6 X
ИПО — П9 ИП5 X 3 X III ИПА ИПО
-Г ИПО 1 + ИП5 X ИП2 X + ИП6
X XY — ПА ИПВ ИПО 4 ИПО X* ИПО
+ 1 + ИП2 X2 X + ИП6 X ИПА
2 X ИП1 + ИП5 X 2 X — ПВ
ИГ19 х2 4- 3 — ПД ИПА ИП9 t
X 4- пс ИП7 БП 07
Инструкция: х, = РХ В/О С/П РХ = х,, х, = РХ С/П ... х,- = РХ С/П РХ =
= m,, PS = а7, Р9 = М2. РА = М3, РВ = М,, PC - 73. РД = у,- Время обработки одного
отсчета около 30 с.
Для проверки можно воспользоваться контрольным примером к программе 89/21
со’ = 0,916666; 7э - -0,493382; = -1,37190.
В радиотехнике большое значение имеют корреляционные соотношения между раз-
личными случайными сигналами или между значениями одного и того же сигнала в раз-
личные моменты времени. Для определения корреляционого момента Rxy по экспери-
ментально полученной выборке значений случайных величин х; и у(- используют соот-
ношение д,
Rxy = kj?, °7 ~т>У^х) -т>х).
где оценки т,у и т,х обычно находят обработкой той же выборки значений у, и х(-.
При анализе корреляционной связи между двумя непрерывными процессами по их
реализациям последние предварительно дискретизируют. Чаще используют коэффици-
ент корреляции, связанный с корреляционным моментом соотношением
N N
Z х,- 2 7/
. _ Rxy
ХУ т/м2хмгу
N
= ( S Wi
)/V(.S х]
N
( Ё Xj )
А'
s у,)
= 1
—/V
)Х
(2.27)
Программа 94/21. Вычисление коэффициента взаимной корреляции
Р7 X ПП 6 VI t ПП 6 F2 t +
Р2 С/П ПП Р8 Р4 F7 Р6 ПП Р8 t F4
X yj РЗ F6 t F7 X t F2 XY — t
F3 4- С/П 4— + XY х’ XY 4— + В/О
4— t F8 yj 4- Р7 X2 1 4— — В/О
Инструкция: очистить Р2 и стек памяти, /V = PS, у, = PY, х, = РХ В/О С/П . . .у^ =
= PY, xN= РХ В/О С/П С/П РХ = г F8 + РХ = Rxy.
Контрольный пример: для (у;-; хД = (0,5; 3), (1; 2), (4; 1), (-2; 0), (3; -1) по-
лучим РХ = гху = 0,135457 (время обработки одного отсчета около 6 с, время вычис-
ления г „„около 8 с).
Программа 95/34. Вычисление характеристик совместной выборки
ИПО х*0 36 ИП1 ИПО -5- П6 ИПЗ ИПО 4-
П8 X ИП5 ИПО 4- XY - ПА ИП2 ИПО
4- ИП6 х’ - П7 ИП4 ИПО 4 ИП8 х’
П9 X \Г 4- С/П П1 П2 ПЗ П4
70
П5 —> t ИП1 + П1 —♦ t х’ ИП2
4 П2 —► XY t ипз + ПЗ —► t
X2 ИП4 + П4 -> X ИП5 + П5 ИПО
1 + по С/П ьп 42
Инструкция: 0 = Р2,у, = РУ, х, = РХ В/О С/П РХ = \,у2 - PY. х2 = РХ С/П
РХ = 2, у3 = PY. х, = РХ С/П РХ = 3......yN= PY. xN= РХ С/П РХ = N В/О С/П
РХ = гХу, Р(> = Р~1 - М2Х, РЗ = mty, Р9 = М2у, РА = Rxv- При необходимости
продолжения вычислений вводят: Удд7 = PY, xNti = РХ БП' 42 С/П у^2 = PY.
хдг>2 = РХ С/П . . . Время обработки одной пары значений около 13 с.
Для проверки программы можно использовать контрольный пример к предыдущей
программе.
Погрешности вычислений по формуле (2.27) можно уменьшить путем линейного
преобразования текущего массива или текущей оценкой корреляционного момен-
га Rxyi = <' - D (Лху(«-.)/' + 6х6у) п₽и «х = ~ wix(i-.)>/' » &у = О/ -
- 'Hty а также моментов М2Х и М2у.
Программа 96/21. Текущая оценка коэффициента корреляции
Р7 XY Р4 F8 1 РЗ + Р8 F4 ПП F, Р5
F7 ПП F, F5 X yj~ Р5 F3 Р4 F6 ПП РСх
Р6 F5 4 С/П t Р2 — t F8 4 t
X» Р4 F3 X РЗ F2 +• 4— t F8 4 t
F4 + t F8 X XY — t 4— Fl В/О
Инструкция: очистить регистры 2, 6 и стек памяти, у, = PY, х, = РХ В/О С/П РХ -
= ~ (переполнение), у2 - PY. х2 = РХ В/О С/П .. . у,- = PY, х; = РХ В/О С/П РХ =
= rXyj, Р6 = RXyj, Cl = m2y^, С2 = M2yi. С4 =in,х(-, С5 = • Время обработки од-
ной пары значений около 28 с.
Программа 97/34. Текущая оценка коэффициента корреляции
ИПО х*0 62 —* ИП1 — ИПО т П7 ИП1
+ П1 —► ипз — ИПО 4 П8 ИПЗ 4
ПЗ ИП5 ИПО 4 ИП7 ИП8 X 4 ИПО 1
— П9 X П5 ИП2 ИПО 4 ИП7 X1 4
ИП9 X П2 ИП4 ИПО 4 ИП8 X1 4 ИП9
X П4 X 4 С/П ИПО 1 4 ПО
БП 03 П2 П4 П5 -♦ П1 XY ПЗ 1
ПО Сх БП 55
Инструкция : 0 = Р0,у1 = PY. х, = РХ В/О С/П РХ = 0,у2 = PY. х2 = РХ С/П
у/ = PY. Xj = РХ С/П РХ = rxyi. Р\ = mlxi, Р2 = M2xi, РЗ = mlyi. Р4 = M2yi,. ..
Время обработки пары значений около 25 с.
Для проверки этих программ можно использовать контрольный пример к програм-
ме 94/21.
Отличие от нуля коэффициента корреляции свидетельствует о линейной зависимости
между средним значением одной из случайных величин и значением, принимаемым дру-
гой случайной величиной:
mlx(y) = т,х + Рх1у<У ~ miy> ~ +^х1уУ’
т1у(х) = т2у + Ру/х(х - т,х) = тгу(0) + 0у/хх.
В этом случае начальные моменты т1х(У) и )л1у(х) называют условными средними,а
коэффициенты = гХуОу/ах и &х/у = гхуах/оу - коэффициентами линейной регрес-
сии. Для вычисления этих коэффициентов обычно используют метод наименьших квад-
ратов, реализованный в следующих программах.
71
Программа 98/21. Вычисление коэффициентов уравнения линейной регрессии
Р2 F5 + Р5 F2 X t F6 + P6 F2 t
F7 + Р7 F2 X t F8 + P8 F4 1 +
Р4 С/П F8 t F7 -5- t F5 X P2 F4 X
t F7 — РЗ F2 t F6 — t F3 4- P2
t F4 X t F5 XY — t F7 4 P3 С/П
Инструкция: 0 = Р4 = PS = Р6 = РУ — P8,yt — PY, xt — РХ В/О С/П РХ — I,у2 —
= PY, х2 = РХ В/О С/П РХ = 2 ... yN= PY, xN= РХ В/О С/П РХ= N.C/П РХ =
= Р3 = 0 /х, Р2 = miy(0) (/’4 = N, Р5 = Xyz,P6 = Ъх^, РУ = Ххр Р8 = Ех/). Время
обработки пары значений около 5 с. Для вычисления 0Х]у и zn1JC(0) достаточно повто-
рить вычисления, поменяв местами у, и х(-.
Контрольный пример: для (у(-; х() = (0,5; 3), (1; 2), (4; 1), (-2; 0), (3; -1) по-
лучим 0у/х = -0,2 и (0) = 1,5. Поменяв местами вводимые значения, получим
0 . = -0,091743 и /л,х(0) = 1,119266. Следовательно, уравнения регрессии: mly (х) =
= 1,5 - 0,2х; mlx(y) = 1,119266 - 0,091743у.
Программа 99/34. Вычисление коэффициентов линейной регрессии
ИПО х= 0 41 П1 П2 ПЗ П4 П5 ПС
ИП1 + П1 XY ПД ИПЗ + ПЗ ИПС X»
ИП2 + П2 ИПД х’ ИП4 + П4 ИПС ИПД
X ИП5 + П5 ИПО 1 + ПО С/П БП
09 ИПЗ ИП2 X ИП5 ИП1 X — ИПО ИП2
X ИП1 X2 — П7 4- ПВ ИПО ИП5 X
ИП1 ИПЗ X — П6 ИП7 -Г ПА ИП1 ИП4
X ИП5 ИПЗ X • — ИПО ИП4 X ИПЗ х’
- 4- пд ИП6 вх 4- ПС ИПА 4-
ИПА X БП 38
Инструкция: 0 = РО, у t = PY.x, = РХ В/О С/П РХ = 1,у2 = PY, х2 = РХ С/П
РХ = 2 . . .у, = PY. х, = РХ С/П РХ = i В/О С/П РХ = г РА = 0 /х, РВ = т,у(0),
PC = 0х/у, РД = >п (°) (Р\ = Y.x^, Р2= Хх]. РЗ = Ху,-, Р4 - Ху]. Р5 = Хх/у,-) у,- +, _
= PY, Xjtl = РХ С/П . . . Время обработки пары значений около 10 с, время вычисле-
ния коэффициентов около 20 с.
Для анализа автокорреляционных функций г(т) случайных процессов по их реализа-
циям можно воспользоваться следующими программами вычисления нормированного
эмпирического значения функции г (л) для аргумента л, кратного интервалу дискрети-
зации Т , по формуле
N-S N
S Xj-Xj-.j - ^-S) ( S х()’/№
г (л) = у- '--------„-----------------—----------- . (2.28)
[S х? - ( S x.)’/7V] (N—S — 1)/(ЛГ- 1)
i= 1 1 г» 1
Для вычисления г (л) на микрокалькуляторе с входным языком МК21 предназна-
чен пакет из двух программ. С помощью первой вычисляются смешанные начальные мо-
менты 2-го порядка и первый начальный момент. С помощью второй по этим данным
вычисляется оценка г (л) для л = 0, 1,... ,5.
Программа 100/21. Оценка автокорреляционной функции
Р2 t F8 + Р8 F2 ПП Р6 F3 ПП Р6 F4
ПП Р6 F5 ПП Р6 F6 ПП Р6 F7 ПП Р6 F6
Р7 F5 Р6 F4 'Р5 F3 Р4 F2 РЗ С/П БП Р0
X XY 4— + t —► XY 4— В/О
72
Программа 101/21. Нормировка автокорреляционной функции
4— Р4 Р5 F8 t F7 -г X2 Р8 F5 t F7
-г t F8 — Р2 F7 1 — 4 t F2 X
Р2 F7 1 — Р7 F8 X t F4 XY — t
F2 4 1 F7 4 С/П 4— Р4 БП F4
Инструкция: ввести программу 100/21, очистить регистр 8 и стек памяти, х, = РХ
В/О С/П РХ = х„ х2 = РХ С/П РХ=х2,..., xN= РХ С/П PX=xN (Р2 = Ех,-, С1 =
= Ех?, С2 = Ех,х/ш1, СЗ = Exzx(_2, С4 = xz-xz_s, С5 = Exz-xz_4, С6 = Ех;х,_5); не
изменяя содержимого памяти, ввести программу 101/21,7V= Pl В/О С/П РХ = г (0) —
= 1,Р2 = а’ С/П РХ=г(\) С/П РХ=т(2) ... С/П РХ=г(5).
Если перед первым пуском программы 101/21 в регистр X ввести значение Ех(х,- _6,
перед следующим ввести Exz-xz- и т. д., то вычисления по этой программе можно про-
должить до определения значений г(п) для дополнительно вводимых значений Exzxz- _п.
Эти значения можно вычислить с помощью вспомогательной программы, например
следующей.
Программа 102/21. Вычисление значений EXjXj
t F8 X XY P8 F5 + P5 F8 t F7 X
t F4 + P4 F8 t F6 X t F3 + P3
F8 t F7 P8 F6 P7 Fl —> P6 X t F2
+ P2 С/П БП P0
Инструкция: очистить все регистры памяти, xz = РХ В/О С/П х2 = РХ С/П хэ =
= РХ С/П ... хщ-РХ С/П Р2 = Хх(х, _6,РЗ= Ехгх,-_,,/’4= Ех(х(-_я, Р5 = Ех,х;-
Контрольный пример: для проверки трех последних программ используем последо-
вательность х/ = 1; 3; —2; 1,5; -0,5; 0; 1; -1,5; 2; -1; 0,5; —1,5. По программе
102/21 вычисляем и записываем значения Хх,-х(-_6 = -9,25; ZXj X/= 8; Exz-xz-_e =
= -4,25; SXjXj _9 = 3,5. Вводим программу 100/21 и для заданной последовательности
выполняем ее, после чего вводим программу 101/21 и выполняем ^= 12 = Р7, - 9,25 =
= РХ В/О С/П РХ = г(0) = 1,Р2 = о2 = 2,429923,8 = РХ С/П РХ = г(1) = -0,616374;
-4,25 = РХ С/П РХ = г(2) = 0,391689; 3,5 = РХ С/П РХ = г(3) = -0,148699; С/П
РХ = г(4) = -0,196785 С/П РХ = г(5) = 0,527875 С/П РХ = г(6) = -0,782774 С/П
РХ — г(Т) = 0,800743 С/П РХ = г(8) = -0,6068243 С/П РХ = г(9) = 0,693394.
Вычисление функции г (л) для л = 0, 1, . . . , 6 можно выполнить с помощью одной
программы.
Программа 103/34. Вычисление автокорреляционной функции
ИП0 x=0 60 t t ИПД 4 ПД
x’ ИП0 + no ИПС X ИП6 4 П6
—> ИПВ ПС X ИП5 4 П5 ИПА ПВ
X ИП4 + П4 —► ИП9 ПА X ИПЗ 4
ПЗ —> ИП8 П9 X ИП2 4 П2 ИП7
П8 X ИП1 + П1 П7 С/П БП 04
XY ПС ИПД XY 4 x2 ПД ИПС X —
ИПС 1 — 4 no 1 ПВ С/П КИП8 ИПС
ИПВ — ИПД X — ИП0 4 ИПС ИПВ 1
+ ПВ — 4 БП 77
Инструкция: очистить все регистры памяти, х, = РХ В/О С/П РХ = х,, х2 - РХ
С/П РХ= х2.......xN=PX С/П PX=xn,N= РХ В/О С/П РХ = г(0) = 1 (Р0= а2)
С/П РХ = г(1) С/П . . . С/П РХ = г (6). Если перед выполнением второй части прог-
раммы (перед вводом /У = РХ) в регистры 7, 8....А ввести значения Exz-xz_,, . ..
. . . , Ех^х;_10 (для вычисления которых можно составить программу, аналогичную
программе 102/21), то их также можно нормировать с помощью этой программы.
73
В радиотехнических приложениях встречается задача оценки параметров известного
распределения по числовым характеристикам выборки. Для этого обычно используют
метод максимального правдоподобия, метод моментов или критерий х2. Эти методы
сводятся к решению системы линейных уравнений относительно оцениваемых парамет-
ров и отличаются лишь способом формирования такой системы. После определения па-
раметров искомого распределения для оценки надежности (уровня значимости) прове-
ряют (особенно в том случае, когда нет уверенности в правильном выборе закона рас-
пределения) полученные результаты, обычно используя критерий согласия х2- По этому
критерию согласие измеряется с помощью статистики
у = $ - ^к-пркУ = £ п^_п> (2 29)
Л=1 прк k-i прк
где г — число классовых интервалов, на которые разбивают интервал значений, прини-
маемых случайной величиной х; пк - частота попадания этой случайной величины в
к-Л классовый интервал при объеме выборки п; рк - вероятность попадания в этот ин-
тервал, соответствующая проверяемому закону р(х).
Распределение статистики у при п -*~ стремится к распределению у? ст = г — т — 1
степенями свободы, где s - число параметров распределения р (х). Подсчитав статисти-
ку у, по числу степеней свободы т и выбранному исходя из условий задачи уровню зна-
чимости 1 а квантиль х£ а определяют из уравнения
р(х2 >4,а)= Pi = 1-F, (х^а).
„ 2 2 . Хк,а
Если у > xjta, то х -критерий с уровнем значимости а отрицает правильность определе-
ния параметров закона распределения. В противном случае экспериментальные резуль-
таты не противоречат теоретическим.
Вычисления по формуле (2.29) при их автоматизации целесообразно дополнить опре-
делением значений рк для рассматриваемого закона распределения. Если принять, что
ширина всех классовых интервалов такова, что интегрирование по простой формуле
Симпсона в каждом из них приводит к допустимой методической погрешности, то мож-
но воспользоваться следующей программой, обеспечивающей автоматизацию проверки
по критерию х2 большинства встречающихся на практике распределений.
Программа 104/21. Проверка согласия по критерию х2
РЗ t F2 + 2 -г ПП Fcx Fl 4 X P7
F2 ПП Fcx F3 ПП FCX F2 t F3 P2 — t
F7 X t F8 X t F6 X P7 С/П t F7
XY — х’ XY + t —► + 4— С/П F7
Р7 В/О
Инструкция: 1. Записать в программу вместо многоточия операторы вычисления ана-
лизируемой функции р(х) при х = РХ и хранении параметров в регистрах 4, 5 и стеке
памяти; занести в регистр 6 с отрицательным знаком нормирующий множитель функ-
ции р(х), деленный на 6 (если этот множитель равен единице, то -1/6 = Р6); п = Р8,
О = С6, х, = Р2 (где X! — левая граница крайнего левого классового интервала).
2. Граница между крайним левым и следующим классовым интервалом х, = РХ
В/О С/П (РХ = npt), ввести число nt попаданий случайной величины в крайний левый
классовый интервал и нажать клавишу С/П.
3. Повторить п. 2 для остальных границ классовых интервалов, после чего вычислен-
ное значение статистики у = С6.
В качестве примера рассмотрим вычисление статистики у при проверке гипотезы о
нормальном законе ст, = 3,6 и а = 1,2 при группировании случайного процесса с вы-
1 Уровень значимости определяет вероятность отклонения правильной гипотезы
(ошибка первого рода по критерию Неймана - Пирсона) .
74
боркой п = 100 по шести интервалам. При -2а1 = Р4; = Р5; -1/(6 >/2яо) = Рв вы-
числение функции р(х) = (ехр(-(х - т,) 212а1))1(х/ 2по) обеспечивается фрагментом
. . . t F5 — х2 t F4 т ех t, помещаемым вместо многоточия в программу 104/21.
Допустим, что границы классовых интервалов х^ = -2; 2; 3; 3,5; 4; 5; 9 и в каж-
дый из них соответственно попало 3; 9; 30; 45; 9 и 4 значения случайной величины.
Тогда, после ввода программы с дополнительным фрагментом, следует выполнить:
-2 = Р2; -2,88 = Р4; 3,6 = PS; -1/6* 1,2 ч/2^ = Р6; 100= Р8; 0 = С6; 2 = РХ В/О
С/П (РХ = 10,0969) 3 = РХ С/П (РХ = 4,98829) 3 = РХ В/О С/П (РХ = 21,728)
9 = РХ С/П (РХ= 7,45602) 3,5 = РХ В/О С/П (РХ = 15,8259) 30 = РХ С/П (РХ =
= 12,6944) 4 = РХ В/О С/П (РХ = 16,3770) 45 = РХ С/П (РХ = 50,0257) 5 = РХ
В/О С/П (РХ= 24,7768) 9 = ЛГ С/П (РХ= 10,0460) 9 = РХ В/О С/П (РХ= 12,8243)
4 = РХ С/П (РХ= 6,07201) -+ РХ = 91,28259.
Для £=6-2-1 = Зи выбранного уровня значимости, например а = 0,05 по таб-
лице квантилей х2-распределения [9], находим xJ;O,oj = 7,815. Так как вычисленное
значение у превосходит эту величину, то гипотезу о нормальном распределении рассмат-
риваемой выборки следует признать несостоятельной с вероятностью 0,05 ошибки.
Методическая погрешность вычислений по программе 104/21 зависит от ширины
классовых интервалов и характера интегрируемой функции р(х). В следующей прог-
рамме при интегрировании функции р(х) каждый классовый интервал разбивается на
четыре части, в связи с чем методическая погрешность уменьшается в 32 раза.
Программа 105/34. Проверка согласия по критерию х2
П5 XY П2 сх П6 ИП2 ИПО — 4 4-
ПЗ ИПО ПП 57 ПП 53 4 ПП 50 2
ПП 50 4 ПП 50 ИП4 + ИПЗ X 3
т ИП1 X t ИП5 — X2 XY 4- ИП6
+ П6 ИП2 ПО С/П П5 XY П2 БП 06
X ИП4 + П4 ИПО ИПЗ + ПО ... в/о
Инструкция: записать в программу вместо многоточия операторы вычисления функ-
ции р (х) при х = Р0 (для хранения коэффициентов можно использовать регистры 7 . ..
. . . Д), х, = Р0, п = Р1, х, = PY, п, = РХ В/О С/П; повторить выполнение программы
для остальных классовых интервалов с вводом х^ = PY, = РХ С/П; зарегистриро-
вать Р6 = у.
В статистических расчетах часто встречается интеграл вероятности, определяемый
обычно формулой
Ф(х)=х/^-| e~,i,2dt.
п о
Программа 106/21. Вычисление интеграла вероятности
РЗ 3 + Р2 5 — х<0 FXY Сх Р2 F3 t
F2 — t F8 Р4 4- РЗ t ПП Р9 Р6 ПП
F8 4 X t F6 + Р6 F4 2 — Р4 ПП
F8 t F6 + XY + Р6 F4 х=0 4- F7 X
С/П F3 t F2 + Р2 F2 X* е* 4- в/о
Инструкция: (\/ 2/9я = Р7, п = Р8) х = РХ В/О С/П РХ = Ф (х) при х < 2 или РХ =
= Ф(х) - I при х > 2 (п -.четное число разбиения интервала интегрирования).
Контрольный пример-, при п = 8 получим Ф(1) = 0,6826907; при и = 8 получим
Ф(4) = 1 - 6,466332 • 10“’ = 0,9999353. Время счета Г, с * 15 + 5л. Максимальная
погрешность (для х * 2) не превышает 2 • 10“’ при п = 8 и 5 • 10“6 при л = 10.
При использовании следующей программы значение Ф (х) индицируется при любом
значении аргумента.
75
Программа 107/34. Вычисление интеграла вероятности
ПЗ 3 + П2 5 — х<0 10 сх П2
ипз ИП2 — ИП8 П4 -г ПЗ ПП 64 П6
ПП 60 4 X ИП6 + П6 ИП4 2 —
П4 ПП 60 ИП6 + + П6 ИП4 х=0 20
ВХ 2 я т 9 fr- х/- X ИПЗ X
по х<0 55 1 + ill ИП1 С/П БП 00
ИПЗ ИП2 + П2 ИП2 х2 6х 1/х х/ t
В/О
Инструкция: (четное число разбиения интервала интегрирования п = Р8) х = РХ
(В/О) С/П РХ = Ф (х), РО = Ф (х) - 1 при х > 2. Время счета t, с = 15 + 7,5л.
Контрольный пример: Ф(2) = 0,9544728; Ф(6) = 1 (Р0= -2,1452718 • 10“’) при
и = 8.
Иногда приходится вычислять квантили Хр нормального распределения при заданной
вероятности
e-t2/2dt.
п о
Программа 108/21. Вычисление квантилей нормального распределения
t 1 — 2 XY •fr x’ In 4 In
— Р8 t F4 X 1 + P7 F8 t F3 X
t F2 + t F7 fr t F8 X С/П БП P0
Программа 109/34. Вычисление квантилей нормального распределения
t 1 2 XY + х1 In х/~ 4
In V - П8 ИПЗ X ИП2 + ИП4 ИП8
X 1 + * ИП8 X С/П БП
Инструкция к обеим программам: (1,47 = Р2; 0,487 = РЗ; 0,482 = Р4) Р = РХ
(В/О) С/П РХ = Хр.
Контрольный пример: Хр (0,5) = 0,674253.
Для уменьшения времени счета в этих программах использована аппроксимация Хр
с относительной погрешностью не более I0"3.
Глава 3
АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
3.1. Методика анализа
Анализ радиотехнической цепи, образованной соединением реальных компонентов,
заключается в теоретическом определении ее свойств по реакциям на заданные воздей-
ствия. На первом этапе по известным математическим моделям компонентов составля-
ют математическую модель всей цепи, а на втором — рассчитывают по этой модели ис-
комые характеристики.
По отношению к слабым сигналам радиотехническую цепь рассматривают как линей-
ную, что существенно упрощает анализ, так как в соответствии с (1.4) постоянные па-
раметры w = x/q полностью определяют свойства линейных каналов связи между воз-
действиями q и реакциями х.
Свойства двухполюсных (одновходных) пассивных компонентов в зависимости от
выбора размерности воздействия описывают входной проводимостью или сопротивле-
нием zBX — 1/Увх = “вх/' вх’ являющимся в общем случае функцией комплексной ча-
стоты р = о + jw.
Модели линейных компонентов часто составляют в виде схем замещения из идеаль-
ных двухполюсников с сопротивлениями R, pL или 1/(рС),где R, L и С представляют
76
собой меру рассеяния энергии, накопления магнитной и электрической энергий соот-
ветственно. Схемы замещения активных' компонентов содержат идеальные независи-
мые или зависимые источники сигнала с размерностью тока или напряжения.
Компоненты с двумя независимыми входами рассматривают как 2 X 2-полюсники
или проходные четырехполюсники с определенным выбором положительных направле-
ний входных токов и напряжений (рис. 19,fl) и моделируют системой уравнений (1.5),
принимающей в соответствии с выбором независимых переменных одну из следующих
форм:
Рис. 19
По известным параметрам одной из этих систем несложно определить остальные пара-
метры, используя приведенные в табл. 5 формулы, где | w| = ivn wit - h>12w21 - опреде-
литель матрицы соответствующих параметров. Параметры S-матрицы в табл. 5 не приве-
дены, так как они совпадают с параметрами Л-матрицы при изменении на обратную ну-
мерации входов.
ТАБЛИЦА 5
Соотношения между параметрами линейного проходного четырехполюсника
Y D H г А
1 2 3 4 5 6
У Уи У,2 У 21 У 22 2| Я _ |5 •« |4з 'чз 1 1 _*U *и *и hu |Z> I *,. *,, ZM г13 |г| "ГН -TtT гн .1,= 1 ' =12 -| 2 <3 1 <3 ’ «3
D Ы У 1з Угг Угг _у_и — Угг Угг <*.. d12 агг di2 Л,, Л,2 |л | ТлТ *31 *н ТлТ |л | 1 _£u_ z>i г31 1г 1 2ц «и н|.= -=1.= 1 «%= “|«=
Н 1 _У1>_ Уи Уи Уз. и Уи Уи frr -rfr -fer frr л 11 Л12 Л31 *33 1г | z,2 z гг г за _£ai_ J— 2,3 z гг а,з lfl 1 ваз агг » «3. агг “гг
Активными называют компоненты цепи, преобразующие энергию источника пита-
ния в энергию сигнала.
77
Окончание табл. 5
1 2 3 4 5 6
Z ft -ft -ft ft 1 dn dn du ш du dn lil An h 22 h 22 A3. 1 A 23 A 33 211 *1» 2 21 2 23 g„ 1Д 1 fl21 °2l a2, «Ц
А _Лз 1 З’зз 1у1 Ун Л1 J>31 । । “I’tT •o’l’e' -1Л1 Au_ A 21 A 31 _L A 21 A31 2n I2 1 231 Z21 1 2» 231 23. an *12 *21 *22
Цепь передачи сигналов представляют нагруженным проходным четырехполюсником
(рис. 19, б), причем вход, на котором определены только реакции, называют выходом.
Параметры такого канала передачи сигнала, связывающего реакции и воздействия, на-
зывают функциями цепи или схемными функциями при описании цепи схемой. Свойства
линейной цепи передачи сигнала полностью определяются входным сопротивлением
ZBX = “вх/'вх и коэффициентом передачи напряжения Кн = uH/uBX (рис. 19, б), так
как с учетом уравнения связи iH = ~Унин1 по этим функциям можно определить все
остальные: входную проводимость Гвх = 1/ZBX, передаточную проводимость Упер =
= 'н/лвх = ->’НЛ’Н, передаточное сопротивление Zn = UH/' BX = УВХ^И и коэффициент
передачи тока Kr = iH/iBX = -У^вх^н-
Входное сопротивление и коэффициент передачи напряжения нагруженного проход-
ного четырехполюсника выражают через его параметры и параметр нагрузки:
2 = >'» +<н = fн = Ап>н+ |А । = г..*н+ М = Д.»
ВХ У „У,, + I>1 ^.1гн+1^1 А»+>'н г»+гн "1. ’
(3.1)
к _ ~Уп — *Л1 _ ~Аи _ 2 31 ______!_____
” -Уи^н i+d2iyH J’h + I Л I 2n + I2 Ьн Дц-Дпд'н
(3.2)
Следовательно, задачу анализа линейной цепи в основном можно свести к определению
параметров эквивалентного проходного четырехполюсника анализируемой цепи (без
учета нагрузки) и использованию формул (3.1), (3.2).
Один из методов определения этих параметров основан на представлении схемы
анализируемой цепи соединением проходных четырехполюсников с последовательной
заменой соединений из двух проходных четырехполюсников одним эквивалентным до
замещения всей цепи. При этом параметры параллельного (рис. 20, а), параллельно-
последовательного (рис. 20, б), последовательно-параллельного (рис. 20, в) и последо-
вательного (рис. 20, г) соединений определяют, суммируя соответственно матрицы
Y, D, Н или Z соединяемых проходных четырехполюсников. Параметры каскадных
соединений (рис. 20, д, е) определяют произведениями матриц А = А ХА или В =
= В ХВ , причем (в связи с выбранными на рис. 19 положительными направлениями
токов) знаки параметров ап и а21 или Ьп и b2i первой матрицы при умножении изме-
няют на обратные.
Метод проходных четырехполюсников достаточно громоздок и не всегда применим.
* Отрицательный знак указывает на направление тока /н через нагрузку, противопо-
ложное принятому за положительное.
78
Большей общностью отличаются матричные методы, основанные на непосредственном
составлении матрицы А системы уравнений (1.5) по схеме анализируемой цепи. Среди
них особенно удобен метод узловых напряжений с составлением матрицы Y проводи-
мостей в канонической системе координат по принципиальной или эквивалентной схе-
ме цепи с известными параметрами компонентов [14, 17]. При использовании этого ме-
тода п независимых входов цепи образуют парами узлов, включающими выбранный
общий (базисный) узел схемы анализируемой цепи и один из остальных п узлов, а
компоненты описывают матрицами проводимостей, составленными в той же системе
координат методом короткого замыкания входов. В этом случае компоненты, не соеди-
ненные с общим узлом, описываются неопределенными (плавающими) матрицами,
определители которых и суммы элементов строк и столбцов равны нулю. Например,
неопределенная матрица двухполюсника (рис. 21, а)
Yn
"Уа
Уа
трехполюсника (рис. 21, б)
Уаа УаЬ Уас
УЬа УЬЬ УЬс ’
Уса УсЪ Усс
четырехполюсника (рис. 21, в)
Уаа УаЬ Уас У ad
УЬа УЬЬ УЬс УЬд
Уса УсЪ Усс У cd
Уда УдЬ Уде Усс
а) б) б)
Рис. 21
При соединении компонента схемы с общим узлом в его неопределенной матрице
проводимостей вычеркивают строку и столбец, соответствующие ’’заземляемому” по-
люсу. Следовательно, для построения матрицы проводимостей компонента при измене-
нии выбора общего узла следует построить по исходной матрице неопределенную и вы-
черкнуть в ней строку и столбец, соответствующие требуемому выбору общего узла.
Построение неопределенной матрицы сводится к суммированию элементов строк и
79
столбцов исходной матрицы и для трехполюсника может быть автоматизировано с по-
мощью следующих программ.
Программа 110/21. Построение неопределенной матрицы третьего порядка
F7 t F8 + /-/ Р2 F4 t F5 + /-/
Р6 t F2 + /-/ РЗ F8 t F5 + /-/ Р2
F7 t F4 + /-/ С/П БП РО
Инструкция: (w^ = Р7, wab = РК, wba - Р4, wbb = Р5) (В/О) С/П РХ = Cl =
= wac, Р6 = wbc, Р2 = wcb, РЗ = wcc.
Программа 111/34. Построение неопределенной матрицы третьего порядка
ИП7 /-/ ИП8 - П9 ИП4 /-/ ИП5 - П6
ИП7 /-/ ИП4 - П1 ИП8 /-/ ИП5 - П2
ИП1 /-/ ИП2 - С/П БП
Инструкция: (waa = Pl, wab = PS, Wba = />4, wbb = PS) (B/O) С/П PX = wcc, P9 =
= wac P6 = wbc- = wca. П = ™СЬ-
Контрольный пример: при waa = 10, wab = -1, = 5, wbb = 2 получим wac = -9,
wbc = ~7> wca = ~15> wcb = -1-wcc = 16
Если параметры матрицы комплексные или являются степенными многочленами
комплексного аргумента р, то вычисления по этим программам повторяют для веще-
ственных и мнимых составляющих или элементов матрицы с одинаковыми степенями
аргумента р.
Матрицу проводимостей Y всей цепи составляют по ее схеме и матрицам компонен-
тов согласно следующим правилам: диагональные элементы матрицы Y приравнивают
суммам диагональных элементов уц матриц компонентов, соединенных с /-ми узлами,
а каждый недиагональный элемент матрицы уц приравнивают сумме элементов уц
матриц компонентов, через которые /-Й узел схемы соединен с/-м узлом. Составленная
матрица Y является матрицей коэффициентов системы уравнений узловых напряжений
I = YU в выбранной системе координат, и при заданном векторе входных токов реше-
ние этой системы определяет вектор входных напряжений (/= Y~'I. Если необходимо
определить связи между переменными на одном или двух входах цепи, то достаточно
по матрице У составить расчетные формулы для вычисления соответствующих функ-
ций цепи. Связь между переменными на двух любых независимых а-м и b-м входах
определяется формулами (рис. 22, а)
При независимости только входа, на котором определено воздействие (рис. 22, б),
7 - “а = • тс , . _ ubd _ да(6.4)
гвха ’ кна(,Ь*<1) 7. ддд ' ’
К t . - Ubd -
--- .а ’ AHa(6*d) ~
а при независимости только выхода (рис. 22, в)
7 - “ас Д(а»с) (а* с) . к - иЬ -
'вхвс iac Ь ' Кн(а.с)Ь Uac
д(а ♦ с)6
д(а*с)(а»с) ’
80
Если зависимы оба выбранных входа (рис. 22, г), то
7
вхас
иас _ д (g ♦ с) (g ♦ с) .
'ас д
(а • с) (b » d)
_ ubd _ д(а> c)(fr* d)
иас л(а.с)(а.с)
В этих формулах Д - определитель, Дао и Ло^ - алгебраические дополнения матрицы
Y, а суммарные алгебраические дополнения вида [14]
д (а+ с) (Ь♦ d) (а♦ с) (b» d)
(3.5)
могут лишь знаком отличаться от суммарного минора М<а t сч равного определи-
телю матрицы Y, в которой вычеркнуты строка с и столбец а, а их элементы добавлены
к соответственным элементам строки а и столбца Ь.
По матрице проводимостей Y можно определить и параметры проходного четырех-
полюсника, эквивалентного анализируемой цепи относительно двух ее входов а и Ь и
описываемого матрицей
у7 = Уаа УцЬ
/ba УЬЬ
^bbl^aa, bb ^ba/^aa, bb ! *
~^ah!^aa, bb ^аа^аа. bb I
где миноры Л/(у равны определителю матрицы Y с вычеркнутыми i-й строкой и /-м
столбцом, а кратный минор Маа вычеркнутымиа-ми и 6-ми строками и столбцами.
Эти соотношения используют для понижения порядка опре-
делителей при анализе и при преобразовании (свертывании)
схемы анализируемой цепи с последовательным устранением ее
внутренних входов. Например, четырехполюсник с внутренним
узлом Ь (рис. 23, а) и матрицей проводимостей
Уаа УаЬ У ас
У= УЬа Уьь >’Ьс
\_Уса УсЪ У сс
замещают трсхполюсником с устраненным узлом b (рис. 23, 6}
и матрицей проводимостей
у' = Уаа У ас
\_У са Усс,
где
Уаа = Уаа ~ УаЬУЬа/УЬЬ’ У ас = У ас ~ УаЬУЬс!УЬЬ: У са ~ Уса ~
~ УсЬУЬа/УЬЬ’ Усс~ Усс ~ УсЬУЬс^Уbb' (3.7)
О)
б)
Рис. 23
Основные трудности при составлении расчетных формул для функций цепи по соот-
ношениям (3.4) связаны с громоздкостью выражения их числителей и знаменателей
через исходные параметры компонентов. Для упрощения анализа обычно целесообраз-
но вначале разложить требуемые миноры и определитель матрицы Y по символам ее
элементов, а затем выразить эти символы через параметры компонентов.
Разложения определителя и миноров матрицы порядка п > 3 упрощаются при исполь-
зовании преобразований метода обобщенных чисел [16,20].
Для упрощения расчетов при анализе линейных цепей используют различное норми-
рование. Простейшее заключается в выборе рабочих размерностей, уменьшающих поря-
док операндов (например, пикофарад вместо фарад или килогерцов вместо герцов).
Часто для сокращения исходных данных нормирующие коэффициенты (например, =
= С/Сн или кд = Я/Ян) выбирают так, чтобы один из однородных операндов принимал
единичное значение. Подобный прием используют и при нормировании полных проводи-
мостей с помощью коэффициентов к у = У/Ун, когда Сн = С/ку,Рн - LKynRH= RKy.
Число коэффициентов степенного многочлена уменьшают нормированием частоты,
приравнивая, например, с подстановкой р = а~'1прн. При нормировании сте-
пенного многочлена делением на один из коэффициентов корни многочлена не измсня-
81
ются, что используют при решении алгебраических уравнений. Отношение степенных
многочленов не изменяется при делении числителя и знаменателя на один из коэффици-
ентов, что совместно с нормированием частоты позволяет сократить на два число исход-
ных операндов.
Иногда нормируют переменные, что не изменяет функций линейной цепи. Например,
при нормировании воздействия uBX = 1 выходное напряжение численно равно коэффи-
циенту передачи напряжения, а входной ток - входной проводимости. При нормирова-
нии выходного напряжения uBbIX = 1 входное напряжение обратно коэффициенту пере-
дачи напряжения, а входной ток - передаточному сопротивлению.
3.2. Анализ безынерционных цепей
В ряде случаев радиотехнические цепи допустимо рассматривать как безынерцион-
ные, что существенно упрощает расчет, сводящийся в основном к операциям над веще-
ственными числами. Анализ сложных безынерционных цепей методом проходных четы-
рехполюсников облегчается при использовании программируемых микрокалькулято-
ров для преобразования параметров согласно формулам, приведенным в табл. 5.
Программа 112/21. Преобразование вещественных параметров проходных четырех-
полюсников
Р6 F4 t F8 X F7 ♦ F5 X t
— Р2 F6 х=0 F-5- F2 ПП р/-/ БП ПП Р/-/
F2 X Р2 XY РЗ С/П- БП РО 1/х t F4 X
Р4 F5 X Р5 F7 X Р7 F8 X Р8 В/О
Программа 113/34. Преобразование вещественных параметров проходных четырех-
полюсников
П6 ИП7 ИП5 X ИП8 ИП4 X — П2 ИП6
х=0 17 ИП2 ПП 29 БП 26 ИП6 ПП 29
ИП2 ВХ X П2 ВХ ПЗ С/П БП 00 1/х
ИП7 XY X П7 ИП5 ВХ X П5 ИП4 ВХ
X П4 ИП8 ВХ X П8 В/О
Инструкция для обеих программ: wn = Pl, w12 = Р8, w2l = Р4, w22 = PS; если 0 =
= РХ (В/О) С/П,тоРХ=Р8= w1J/|w|)P7=w1I/|wLP4=»vJ1/|w|,P5 = w2a/|»v|;
если Wj.- = РХ (В/О) С/П, то РХ = РЗ = 1/w.-.-, Pl = w,, /w,- •, P8 = и'12/н’,- , P4 = w2,/w,-,-,
P5 = w11lwij,P2= \w\/w^.
Следовательно, при очистке регистра X перед пуском программ получим результат
взаимного преобразования матриц Y и Z или D и И, а при вводе одного из исходных
параметров также в регистр X получим параметры других матриц в соответствии с фор-
мулами табл. 5 (без учета отрицательных знаков, указанных в этой таблице).
Контрольный пример: при >>„ = 12 = Р1, уl2 = -1 = Р8,уа1 = 10 = Р4,_уаа = 5 =
= Р5, 0 = РХ получим zu = Р5 = 7,14285 • IO'2; -zla = Р8 = -1,42857 • IO*2; -zal =
= Р4 = 1,42857 • 10*‘; z22 = Р1 = 1,71428 • 10"‘. После ввода zal = -1,42857 • 10”‘ =
= РХ и выполнения программы получим au= Р1 = 1,199999; -а1а = Р1 = -9,99999 X
X 10*2; о„ = РЗ = -7; -а22 = Р5 = -0,5.
Суммирование матриц Y, Z,DhH соответствующих соединений проходных четырех-
полюсников целесообразно выполнять в обычном режиме, а для вычисления Л-матриц
каскадного соединения проходных четырехполюсников можно использовать следующие
программы.
Программа 114/21. Вычисление произведения IV = w' X w" вещественных матриц
2-го порядка
t F7 X F4 X —► F6 t . F4 X
F7 X —► F3 t F8 X F5 X —> F2
t F8 X t + Р7 F2 t F5 X t
+ Р4 Р2 t —► + Р8 —► t
F2 + Р5 С/П БП Р0
82
Инструкция: и^ = Р7, w12 = Р8, м^, = Р4, w22 = Р5, nj" = Р6, щ" = Pl, w22 = РЗ, и/' =
= РХ (В/О) С/П РХ = PS = w2J, Pl = wn, Р8 = w12. Р4 = w2l.
Программа 115/34. Вычисление произведения W = w' X w" вещественных матриц
2-го порядка
ПД ИП5 X ИПВ ИП4 X + ПО ИПА ИП4
X ИП5 ИПС X + П4 ИПО П5 ИПА ИП7
X ИПС ИП8 X + ПО ИПВ ИП7 X ИПД
ИП8 X + П8 ИПО П7 С/П БП
Инструкция: = Pl, = Р8, mj, = Р4, mj, = PS, w" = PA, w," = PB, w21' = PC,
w" = РХ (B/O) С/П PX = Pl =h»„,P8 = wI2,P4 = w2l,PS = w22).
Контрольный пример: при и^ = 7, и;2 — 8, и^1 = 4, и$2 = 5, и{1 = 11,и{2 = 12, --
= 21, w2J = 22 получим wu = 245, н>12 = 260, w21 = 149, w22 = 158.
Напомним, что в связи с выбранными положительными направлениями токов на вхо-
дах проходных четырехполюсников (см. рис. 19) при вычислении по этим программам
4-матриц каскадного соединения проходных четырехполюсников следует принимать
при вводе исходных данных - au = Р1 и -oal = Р4.
Параметры каскадного соединения проходных четырехполюсников можно также
определить в результате операций над их матрицами проводимостей в соответствии с
формулами (3.7). Для этого по матрицам У и У проходных четырехполюсников кас-
када следует составить матрицу их каскадного соединения (см. рис. 20, д)
(3.8)
и вычислить параметры эквивалентного каскаду проходного четырехполюсника по
формулам (3.7).
Программа 116/21. Вычисление резистивных проводимостей проходного четырехпо-
люсника, эквивалентного каскадному соединению
F8 t F4 X t F5 -? /-/ t F7 + P7
F8 t F6 X t F5 4- /-/ P8 F4 t F2
X t F5 4. /-/ P4 F6 t F2 X t F5
/-/ t F3 + P5 С/П БП PO
Программа 117/34. Вычисление резистивных проводимостей проходного четырехпо-
люсника, эквивалентного каскадному соединению
ИП7 ИП8 ИП4 X ИП5 4- — П7 ИП8 /-/
ИП6 X ИП5 4- П8 ИП4 /-/ ИП2 X ИП5
4- П4 ИПЗ ИП6 ИП2 X ИП5 4- — П5
С/П БП
Инструкция к обеим программа: у12 = Pl, y'l2 = P8,y2l = Р4, у22 + у'п = Р5, у22 =
= Р6,у2> =Р2,у"2=РЗ (В/О) С/П PX=PS = y22,Pl = yll,P9 = yi2,P4 = y2l.
Эти программы удобно использовать и для определения матрицы проводимостей
каскадного соединения из нескольких проходных четырехполюсников. В этом случае
после вычисления матрицы проводимостей соединения из двух проходных четырехпо-
люсников в регистры 2, 3 и 6 вводят проводимости следующего проходного четырех-
полюсника, его проводимость у12 добавляют к содержимому регистра 5 и вновь выпол-
няют программу, повторяя аналогичные операции до вычисления проводимостей матри-
цы, эквивалентной всему каскадному соединению.
Если известны параметры проходного четырехполюсника, эквивалентного ненагру-
женной цепи передачи сигнала, и проводимость нагрузки (см. рис. 19, б), то все функ-
ции цепи и коэффициент передачи мощности Км = -КтКа можно вычислить с помощью
следующих программ.
83
Программа 118/21. Вычисление функций цепи по проводимостям эквивалентного
проходного четырехполюсника и нагрузки
Р6 t F5 + t F4 XY т /-/ Р2 t F8
X t F7 + РЗ 1/х С/П t F2 X С/П t
F6 X /-/ С/П t F2 XY X /-/ С/П F6 X
/-/ С/П
Инструкция: (уи = Р7,у12 = Р8,у21 = Р4, у22 = Р5) ун = РХ В/О С/П РХ = ZBX
С/П РХ = Znen С/П РХ = К С/П РХ = К С/П РХ = Уг1еп, Р2 = Кн, РЗ = Увх.
IIVU 1 IV* 11VJ7 XI DA
Программа 119/34. Вычисление функций
цепи но проводимостям эквивалентного
проходного четырехполюсника и нагрузки
П9 ИП5 + ИП4 /-/ XY 4-
ИП7 + ПВ 1/х П1 ИПА X
ПС ИПА X ПД ИПС /-/ ПС
X ПЗ ИПА С/П БП
ПА ИП8 X
П2 ИП9 X
ИПА /-/ ИП9
Инструкция: (у12 = Р1, У12 = Р8,у31 = Р4, у22 = Р5) ун = РХ (В/О) С/П РХ =
= ра = к„. рв = увх, рс = кт, рд = км, pi = zBX, pi = z • Рз = Упер.
Контрольный пример: при ун = 500; у12 = -1; у2! = 50 000; у22 = 50; ун = 50
получимК = -500; К = 25; К = 12 500; Z„x = 0,001; У„„ = 1000; Z„,„ = -0,5;
Упер = 25 000.
Расчет функций линейной безынерционной цепи, описанной матрицей проводимостей
3-го порядка (учитывающей и проводимость ветви, через которую протекает ток наг-
рузки) при входе 1 и выходе 3 обеспечивает следующая программа. В ней реализованы
соотношения Кн = Л13МИ; Увх = Уц +у12Д12/Дп +у13К"н, позволяющие несколько
сократить число операторов.
Программа 120/34. Расчет функций безынерционной линейной цепи по матрице про-
водимостсй 3-го порядка при входе 1 и выходе 3
ИП4 ИП2 X ИП5 ИП1 X - ИП5 ИПЗ X
ИП6 ИП2 X ПД 4- ПА ИП9 X ИП6
ИП1 X ИП4 ИПЗ X - ИП8 X ИПД 4-
+ ИП7 + 1/х ПС ИПА X ПД ИПО /-/
ИПД X ПВ ИПС 4- ИПВ /-/ ИПА X С/П
Инструкция: (уп = Р1,у12 = Р8, у13 = Р9, у21 = 7’4, у23 = Р5,у23 = Р6,у31 =Р1,
Уз2 = П, Узз = «- = Р0) В/О С/П РХ = Км, PY = Y РА = К„, РВ = КТ, РС =
-гвх,рд=гпеЬ.
Контрольный пример: при уп = 10; у12 = 8; у13 = 9; у21 = 4; у22 = 10; у23 = 6;
УЭ! = у32 = 2; Узз = Ю; Ун = 5 получим (время счета около 18 с) Км = 3,85207 X
X 10"4; Кпер = 1.13636 • 10“'; Кн = -2,27272 • 10"’; Кт = 1,69491 • 10“2; ZBX =
= 1,491525 > IO"’; Znep=-3,38983 • IO"3.
Программа 121/21. Расчет безинерционной линейной цепи по матрице проводимости
3-го порядка при входе 1 и выходе 3
сх Р7 ПП 4 ПП 4 Р6 ПП 4 4 Р7 F6
t F4 4- Р4 t F7 ь Р6 t F3 X t
F4 X с/п F8 Р8 F5 t Р5 F2
XY X Р4 F2 XY Р2 F5 X t F4 — Р4
4— t —► X t F7 + Р7 t F4 В/О
Инструкция: (у,,. = С1,у21 = С2,у3) = С3,у12 = С4,у22 = С5,у32 = С6,у13 = Р8,
У2з = Р5, Узз = Р2> Ун = «) В/О С/П РХ = Км, PY = -Kr, Р4 = /С,,, Р6 = Z„ep, F7 =
— ^вх'
Для проверки можно воспользоваться предыдущим контрольным примером (вре-
мя счета около 12с).
84
Изменяя нумерацию узлов схемы и соответственно переформируй матрицу проводи-
мостей, с помощью программ 118/21 - 121/21 можно вычислить все функции цепи с
двумя или тремя входами, включая ’’выходные" сопротивления и проводимости. Одна-
ко трудоемкость анализа в этом случае возрастает.
Более общим является моделирование линейной цепи с п входами системой уравне-
ний (1.5) или
"и W4l
w21 w2i ... w2n
Qi
Ч2
,4n
(3.9)
wn> w„t ... wnn
результат решения которой определяется формулами Крамера
S q<; i — 1, 2,..., п,
(3.10)
где Д и Д.у - определитель и алгебраические дополнения матрицы W.
В частности, при п = 2 эти формулы принимают вид
Программа 122/21. Решение системы из двух линейных уравнений
F8 t F5 -Г t F3 X —► F4 X t F7
— t F2 — t —> P6 t F7 X
t F2 XY — t F8 t F6 С/П
Программа 123/34. Решение системы из двух линейных уравнений
ИП7 ИП5 X ИП8 ИП4 X - ПО ИП5 ИП2
X ИП8 ИПЗ X - ИПО v Ш ИП7 ИПЗ
X ИП4 ИП2 X - ИПО + ИП1 С/П
Инструкция к обеим программам: wH = Р7, w12 = Р8, и>21 = 7*4, w22 = P5,qt = Р2,
q2 = РЗ В/О С/П РХ = х,; PY = х2.
Контрольный пример: для системы уравнений 4х2 + 2х2 = 1; 5х, + 5х2 = 3 получим
х, = -0,1; х, = 0,7.
Эти программы применимы для решения любой из систем уравнений проходного
четырехполюсника относительно зависимых переменных, а также для вычисления его
функций при соответствующем нормировании воздействий. Например, нормировав
для системы узловых напряжений воздействия qt = 1, q2 = 0, получим ZBX1 = х,,
ZnepJ. = KH2i = x2/*i> rnep2i = ~Ун2Х^х2’ Kth = ~Ун2Х>’ a при нормировании
<7. = 0,q2 = 1 получим ZBXJ = x2, Z = x,, KH12 = х,/х„ Г = -yKixJx2,
^TU
Для автоматизации решения системы из трех линейных уравнений целесообразно
использовать метод Жордана - Гаусса [9], реализованный в следующих программах.
Программа 124/21. Решение системы из трех линейных уравнений
ПП РХ ПП F1 ПП F1 С/П Р4 F6 РЗ F5 Р2
ПП РЗ ПП РЗ ПП РЗ F2 Их t F5 X Р8
t F3 X t F6 XY — Р5 F8 t F4
X t F7 XY — ч— Р6 F8 4— Р7 В/О
Инструкция: wu = Р2, w2l — РЗ, w31 = Р4, wt2 = Р5, w22 = Р6, и>32 = Р7, w13 = Cl,
w23 = С2, w3} = СЗ, <7i = С4, q2 = С5, q2 = С6 В/О С/П РХ = Р1 = х3, Р5 = х,, Р6 =
= х2 (время счета около 60 с).
Программа 125/34. Решение системы из трех линейных уравнений
ИПЗ ИП6 ИП9 ПП 42 ПЗ XY П6 ИПД П9
3 ПО ИПС ИПВ ИПА ПП 42 ПВ XY ПА
85
ИПД ПС ИП2 ИП5 ИП8 ПП 42 П4 XY П7
ИПД П1 ИП9 П2 ИП6 П8 ИПЗ П5 L0 12
ИПА С/П ИП7 v ПД ИП4 X - XY ИПД
ИП1 X - В/О
Инструкция: w21 = Pl, wl2 = Р8, w13 = Р9, w21 = Р4, w31 = Р5, w13 = Р6, w3l = Pl,
w32 = Pl, w33 = P3, <?, = PA, qt = PB, q, = PC B/O С/П PX = PA = x,, PB = x3, PC =
= x3 (время счета около 30 с).
Контрольный пример: для системы уравнений
В автоматическом режиме решение систем уравнений с несимметричными матрицами
большего порядка ограничено емкостью запоминающих устройств микрокалькулято-
ров используемых типов. Однако при симметричной матрице коэффициентов (сим-
метричны матрицы Y и Z обратимой и, в частности, пассивной цепи) 4-го порядка при-
менима следующая программа.
Программа 126/34. Решение системы из четырех линейных уравнений с симметрич-
ной матрицей коэффициентов
ПП 10 ПП 15 ПП 20 ПП 25 ИПА С/П
ИП9 ИП6 ПП 91 П9 ИП5 ИПЗ ПП 91 П5
ИП2 ИП1 ПП 91 П2 ИПВ ИПА пв ИП1 ПП
92 ПА ИПС ИПВ ПС ИПЗ ПП 92 пв ИПД
ИПС ПД ИП6 ПП 92 ПС ИП8 ИП6 П8 ИПЗ
ПП 92 ИП4 ИП1 П6 ИПЗ ПП 92 П1 XY
П4 ИП7 ИП6 ИП8 ПП 92 ИПЗ ИПО а. П7
XY ПЗ ИП8 ИПО а. П8 ИП6 ИПО а- П6
ИПД ИПО ПД ИП2 ПО ИП5 П2 ИП9 П5
В/О t X ИПО т - В/О
Инструкция: = Л). *и = Pl, W 22 = = РЗ, w23 = Р4, w33 = PS, н>14 = Р6,
и *34 = Р8, = ^-<7, = РА, Я, = ЛЗ, <?3 = PC, qt = РД В/О С/П РХ = РА =
х,,РВ = х2, РС = х3,РД = х4.
контрольный пример: для системы уравнений
получим X, = -3,124098; хг - 3,6173765; х, = 10,262346; х, = 0,16301119.
При использовании метода оптимального исключения [3] и некотором усложнении
ввода исходных данных на микрокалькуляторе с входным языком МК34 можно решать
системы из четырех линейных уравнений и при несимметричной матрице коэффициентов.
Программа 127/34. Решение системы из четырех линейных уравнений
ИПА ПП 58 П6 ИПС ПП 76 П7 ИП2 П1
ИПВ ПП 76 П2 С/П ипв ПП 53 П7 ИПС
ИП4 ПП 73 ПЗ XY П1 ИП6 ИП7 ИП2 X
— П6 ИП4 ИПЗ ИП2 X — П2 С/П ИПС
ИПВ ПС ИПЗ X — ПП 53 ИП2 П7 XY
П2 БП 25 ИПА ПВ ИП2 X — ИПО ИП1
П8 X — ПА 5 П9 ИПД ИП7 П4 ИПС
X — ИП6 ИПВ X — ИПО КИП9 X —
ИПА а. t ИП8 X КИП9 XY — КП9 XY
ИП9 2 — П9 —► В/О
86
Инструкция: wl}/wu = Pl, w,3/wlt = P2, wl4/wu = P3, qjwn = P5, 0 = Pf> = P7,
Wji = PO, w3J = PA, wJ3 = PB, w24 = PC, q2 = РД B/O С/П (время счета около 35 с)
wu = Р®- wn = PA- w33 = PB- w3» = PC, <73 = РД С/П (время счета около 35 с) в>41 =
= РО, w42 = РА, w4J = РВ, и>44 = PC, qt = РД С/П (время счета около 25 с) РХ = Р2 =
= х3, Pl = х4, Р5 = х,, Р6 = хг.
Контрольный пример: для системы уравнений
получим х3 = -1,999996; х4 = 10,000002; х, = 0,99998; х3 = 2,99999.
Решать системы линейных уравнений на непрограммируемых микрокалькуляторах
целесообразно с помощью схемы единственного деления Гаусса [б]. Вычисления по
этой схеме выполняют с помощью вычислительного бланка (табл. 6) с п + 1 частями,
содержащими п + 2 столбцов. В первые п столбцов нулевой части бланка записывают
столбцы матрицы коэффициентов, в следующий - столбец свободных членов, а в по-
следний (л + 2)-й контрольный столбец — суммы элементов каждой строки. Каждая
последующая часть бланка содержит на одну строку меньше, чем предыдущая, а ее эле-
менты вычисляют по формулам прямого хода. Элементы первой (ведущей) строки р-й
части вычисляют по элементам первой (не считая ведущей) строки предыдущей части по
формуле
ар/ =“p(f“)/“ppl-/ >р’
а элементы остальных строк р-й части - по формулам
= аи" ~ а^р'а^-‘ >pi >р- (311)
Вычисленные элементы контрольного столбца должны равняться суммам остальных
элементов (включая Upp = 1) соответствующих строк - нарушение этого условия сви-
детельствует об ошибке в вычислениях.
ТАБЛИЦА 6
Решение системы линейных уравнений по схеме единственного деления Гаусса
р ) = 1 7=2 / = 3 . / = 4 i = s 7=6
1 2 3 4 5 6 7
0 10 2 4 1 18 35
1 6 10 1 9 27
5 5 10 0 0 20
6 2 6 2 20 36
1 1 0,2 0,4 0,1 1,8 3,5
5,8 9,6 0,9 7,2 23,5
4 8 -0,5 -9 2,5
0,8 3,6 1,4 9,2 15
2 1 1,6551724 0,15517241 1,2413793 4,0517241
1,3793104 -1,1206896 -13,965517 -13,706896
2,2758621 1,2758621 8,2068966 11,858621
87
Окончание табл. 6
1 2 3 4 5 6 7
3 1 -0,81249992 -10,124999 -9,9374992
3,1249998 31,249998 34,374998
4 1 1 1 1 10,00000 - 2,000000 3,000000 1,000000 И 1,000000 4,000000 2,000000
После окончания прямого хода в п-й части бланка оказывается вычисленным значе-
ние переменной хп = Остальные переменные вычисляют по формулам обрат-
ного хода
и -1
хр~ ар,пи ~ ар, п 11 - kxn -k'
где иар элементы р-н ведущей строки.
При вычислениях по схеме Гаусса (как и в других схемах последовательного исклю-
чения переменных) коэффициент wn и вычисляемые элементы а рр должны отличаться
от нуля и для уменьшения погрешностей быть по возможности большими. Поэтому це-
лесообразно переставить перед вычислениями уравнения системы так, чтобы на глав-
ной диагонали матрицы коэффициентов оказались наибольшие по модулю. Например,
уравнения системы, заданной в контрольном примере к программе 127/34, следует пе-
реставить следующим образом:
10 2
1 6
5 5
6 2
4
10
10
6
18
9
0
20
Решение такой системы уравнений по схеме единственного деления представлено в табл. 6.
При решении систем линейных уравнений высокого порядка с помощью програм-
мируемых микрокалькуляторов целесообразно использовать метод Жордана - Гаусса,
обеспечивающий вычисление искомых переменных в результате только прямого хода.
Для удобства вычислений схему этого метода целесообразно модифицировать так,
чтобы в каждой р-й части вычислительного бланка (табл. 7) строки циклически пере-
ставлялись и первой оказывалась ведущая строка.
ТАБЛИЦА 7
Решение системы линейных уравнений методом Жордана - Гаусса
с циклической перестановкой строк
Р / = 1 /=2 7=3 / = 4 / = 5 i = 6
1 2 3 4 5 6 7
0 10 2 4 1 18 35
1 6 10 1 9 27
5 5 10 0 0 20
6 2 6 2 20 36
1 5,8 4 9,6 8 0,9 -0,5 7 23,5 2,5
88
Окончание табл. 7
1 2 3 4 5 6 7
0,8 3,6 1,4 9,2 15
1 0,2 0,4 0,1 1,8 3,5
2 1,3793104 -1,1206896 -13,965517 -13,706896
2,2758621 1,2758621 8,2068966 11,758621
1 0,06896552 0,06896552 1,5517241 2,6896552
1 1,6551724 0,15517241 1,2413793 4,0517241
3 3,1249998 31,249998 34,374998
1 0,12499999 2,2499999 3,375
1 1,4999998 17,999997 20,499998
1 -0,81249992 -10,124999 -9,9374992
4 1 1 2,000000
1 2,9999999 4,000000
1 -2 -1,000000
1 10 11
Программа 128/21. Решение системы линейных уравнений порядка п < 7 методом
Жордана - Гаусса с циклической перестановкой строк
t F7 4- РЗ сх Р6 С/П Р4 F6 1 + P6
F8 — 1 + х*0 Р/-/ t —» XY t
F3 X t F4 XY — БП Pl -* t XY
t F6 1 — Р6 х=0 PI-1 4— F3 P5 F4
t F7 -4- РЗ F5 БП Р1
Инструкция. После заполнения нулевой части бланка вводят л = Р8 и, начиная с пер-
вой части, заполняют каждую р-ю часть по элементам (р - 1) -й части следующим образом:
1. В нижние р строк р-го столбца записывают единицы, верхний элемент р-го столб-
ца предыдущей части вводят в регистр 7, а остальные элементы этого столбца
азр~'^' • • • > вводят против часовой стрелки в регистры кольцевого стека па-
мяти, доворачивая его при п < 7 так, чтобы элемент ал'1^ оказался в регистре С1.
2. В регистр X вводят первый элемент (р + 1)-го столбца предыдущей части >
и нажимают клавиши В/О и С/П, что приводит к высвечиванию нуля.
3. В регистр X последовательно вводят по столбцам ’’сверху вниз” остальные элемен-
ты предыдущей части бланка, нажимая после каждого ввода только клавишу С/П и
регистрируя результат на месте, соответствующем в предыдущей части ранее введенно-
му элементу. После введения последнего элемента о^?л" Q и выполнения программы ре-
зультат регистрируют как nt2, после чего нажимают клавишу С/П для вычисле-
ния
После заполнения всех п + 1 частей бланка в (л + 1)-м столбце свободных членов
оказываются записанными искомые значения переменных X/, причем порядок их соот-
ветствует исходному порядку записи свободных членов Ц; в нулевой части бланка.
При расчетах на микрокалькуляторе с входным языком МК34 порядок системы
уравнений можно существенно увеличить.
Программа 129/34. Решение системы линейных уравнений порядка п < 11 методом
Жордана - Гаусса с циклической перестановкой строк
t Cx XY ИП1 -5- no XY 1 ПС XY
С/П ИПД ИПС 1 + ‘ ПС — x> 0 26 XY
кипе ИП0 X БП 10 XY ИП0 БП 02
89
Пользование этой программой отличается от предыдущей лишь размещением исход-
ных данных: п - РД, aip - Pl, ajp = Р2, . . . ,а,р= P9,aiap= РА, апр= РД. В каче-
стве контрольного можно использовать пример, приведенный в табл. 7.
С помощью этих программ можно решать системы уравнений и более высокого по-
рядка. Для этого при заполнении р-й части после вычисления элементов первых семи
или одиннадцати строк соответственно можно вычислить элементы остальных строк,
разбив их на блоки. Однако в этом случае более удобна схема единственного деления
Гаусса.
3.3. Анализ цепи в операторной области
Функции линейной цепи являются дробно-рациональными функциями комплекс-
ной частоты (оператора Лапласа) р = а + jcj в виде отношения степенных многочленов
п
S aiP
FW = ~-------- ’ '
S biP‘ bmJn +bm-iPm" + + blp + b0
i= i
с вещественными коэффициентами а(- и bj. При составлении формул для функций слож-
ных цепей по исходным моделям в виде схем замещения или матриц проводимостей
(сопротивлений) компонентов приходится выполнять арифметические операции над
коэффициентами степенных многочленов при буквенном представлении аргумента р.
Одна из часто встречающихся задач заключается в определении коэффициентов произ-
ведения многочленов ст *прт *" + ст tn _1Рт *п + . . . + с,р + с0 = (<г„р" +ап X
Хр"'1 + ... + а,р + а0) (bmpm +bm_lpfn-1 + ... + b,p + b0).
Программа 130/21. Вычисление коэффициентов произведения трехчлена Ь2р2 +
+ blP + Ьо на многочлен произвольной степени п
ап^ +ап-1 ₽" +---+а1р + а1
t -» F4 X t F7 + РЗ - t - F5
X t F8 + Р7 «- t F6 X Р8 F2 1
Р2 F3 t F2 С/П БП РО
Программа 131/34. Вычисление коэффициентов произведения трехчлена Ь2р2
+ Ь2р + Ь„ на многочлен произвольной степени п
П1 ИП4 X ИП7 + ПЗ ИП1 ИП5 X ИП8
+ П7 ИП1 ИП6 X П8 ИП2 1 - П2
ИПЗ XY С/П БП
Инструкция к обеим программам: л + 3 = Р2, Ь2 = Р4, bx — Р5, bQ = Р6, 0 = РУ, =
= Р8, ап = РХ В/О С/П РХ = п + 2, PY = с„ + 2, ап 2 = РХ С/П РХ = п + 1, PY =
= cn*i> ап.2 = РХ с/п РХ = п- PY = cn......а» = рх С/П РХ = 0,PY = с2,Р7 = с2,
Р8 = св.
Контрольный пример: (Зр3 + 2р + 1) (4р3 + Зр + 2) = 12р4 + 17р3 + 16р2 + 7р + 2.
При полном использовании емкости запоминающих устройств можно повысить мак-
симальную степень многочлена меньшей степени.
Программа 132/21. Вычисление коэффициентов произведения многочлена степени
m < 5 на многочлен произвольной степени п
Р2 ПП РВП F8 + t -» Fl - ПП F6 F7
+ Р8 ПП F6 F6 + Р7 ПП F6 F5 + Р6
ПП F6 F4 + Р5 ПП F6 Р4 F3 «- С/П БП
РО F2 t F3 - ' РЗ X t В/О
Инструкция: (b, = С1, Ь4 = С2, Ь, = СЗ, b2 - С4, bt - С5, b„ = С6) 0 = Р4 =
= Р5 = . . . = Р8,ап = РХ В/О С/П РХ = сп„, ап = РХ С/П РХ = сп,2 =
= РХ С/П РХ = cnf3........а2 =РХС/П РХ=с6,а0 = РХ С/П РХ = с„ Р8 = с4, РУ =
= с,, Р6 = с2, PS = с2, Р4 — с„.
90
Программа 133/34. Вычисление коэффициентов произведения многочлена степени
т < 6 на многочлен произвольной степени п
пд ИП6 X ИПС + ИПД ИП5 X ИПВ +
ПС —► ИПД ИП4 X ИПА + ПВ —> ИПД
ИПЗ X ИП9 + ПА - ИПД ИП2 X ИП8
+ П9 ИПД ИП1 X ИП7 + П8 —>
ИПД ИПО X П7 —* ИПД С/П БП
Инструкция: (fc0 = РО, Ъ1 — Р\,Ъ2 = Р1,Ь2 = РЗ, . . . , bt = Р6) 0 = Р7 = ... = Р9 =
= РА = РВ = PC. ап = РХ В/О С/П РХ = a,,, PY = cntf,afl_l = РХ С/П РХ = ап_2,
PY = сп -s’ ап -1 = рх С/П . . . а0 = РХ С/П РХ = а0, PY = с„, PC = с5, РВ = с,.
РА = сг,Р9 = с2,РЯ = с,,Р7 = с0.
Контрольный пример : время вычисления одного коэффициента произведения (6р6 +
+ 5р’ + 4р4 + Зр’ + 2р’ + р + 1) (5ps + 4р4 + Зр’ + 2р’ + р + 1) = ЗОр“ + 49р‘° + 58р’ +
+ 58р8 + 50р’ + 41р‘ + 30ps + 18р4 + Юр’ + 5р’ + 2р + 1 составляет около 15 с.
Эти же программы можно использовать и при вычислении коэффициентов произве-
дений многочленов больших степеней, используя разложение (1.11).
В некоторых задачах приходится отыскивать коэффициенты квадрата многочлена,
для чего при его небольших степенях можно использовать следующие программы.
Программа 134/21. Вычисление коэффициентов квадрата многочлена степени п < 5
F2 ПП -5- F3 ПП 4 F4 ПП 4 F5 ПП 4
F6 ПП 4- F7 ПП 4 Сх с/п БП РЗ Р8
F2 ПП FCX F3 ПП FC- F4 ПП FCr F5 ПП FCx
F6 ПП FCX F7 ПП FCX Сх 4— С/П В/О t F8
X t «- + t —> XY 4— В/О
Инструкция: (ап = «.«л.. = рз, аП-2 = Р4, ап.з = Р5,а П -4 = Р6,а„_5 =Р7)
В/О С/П РХ = сгп С/П РХ = с2П _1 С/П РХ=с2П С/П РХ = с„.
Программа 135/34. Вычисление коэффициентов квадрата многочлена степени п < 9
Сх ИПД ПА ПВ ПС КИПВ кипе X ИПВ
ИПС — х< 0 28 2 X + ИПВ 1
4 ПВ —► ИПС 1 — БП 04 х*0 32
сх XY + с/п ИПА 1 — ПА х > 0
46 ПВ Сх ИПД БП 04 ИПД + ПС Сх
ПВ БП 06
Инструкция: (а0 = РО, а, = Р1..п = РД) В/О С/П РХ = с2П С/П РХ = сгП
С/П РХ=с2П_2 ...С/П РХ = ct С/П PX=c„.
Контрольный пример: (Зр3 + 2р’ + р + 0,5)’ = 9р‘ + 12ps + Юр4 + 7р’ + Зр’ +
+ р + 0,25.
В некоторых задачах анализа и синтеза линейных цепей возникает необходимость
в вычислении произведения С (р) = А (р)А (-р).
Программа 136/21. Вычисление коэффициентов с,- произведения А (р) • А (-р)
многочленов степени п < 8
ПП 1 /-/ С/П ПП 1 С/П БП Р0 F6 ПП
Р9 F5 X ПП F- F4 ПП Р8 F3 ПП Р8 F2
ПП Р8 F5 XY х’ — + t F4 Р5 F3 Р4
F2 РЗ F6 Р2 F7 Р6 F8 Р7 сх Р8 F1 В/О
X t F5 - Р5 F6 —► Р6 t В/О
Инет рукция: а0 = = <71, а, , = С2, а2 -- = СЗ.а3 = C^ 1,а4 = С5,е5 = С6, аф =Р6,а, =Р7,
а8 = Р8, 0 = Р2 = РЗ = Р4 = Р5 В/О С/П РХ= с„ С/П РХ = с2 С/П РХ = сА .. .С/П
РХ = сгП (время счета около 20 с).
91
Программа 137/34. Вычисление коэффициентов произведения С(р) = А (р)А (-р)
многочленов степени п < 11
сх ПС пд кипе х’ ИПД х*0 32 1 —
пд XY ИПС 1 + ПС 1 2 — х*0
31 XY кипе КИПД X 2 X XY — БП
05 XY — ИПС ИПД + 2 -Г 1 +
XY С/П XY БП 01
Инструкция •во = Р0,я, = Р1,... ,в, = Т’Э, а10 = jR4, а,, = РВ (вместо отсутству-
ющих коэффициентов ввести нули) В/О С/П РХ = с0 С/П РХ = сг С/П РХ = с4 ...
С/П РХ = с1П. Время счета от 45 с до 6 с в зависимости от номера коэффициента.
Контрольный пример', для А (р) = Зр3 + 2р2 + р + 0,5 получим С(р) = А (р)А (-р) =
=-9р‘ - 2р4+р2 +0,25.
Формулы вида (3.12) для функций цепей определенных классов удобно составлять
непосредственно по схеме. Примером могут служить лестничные цепи (рис. 24), вход-
ные функции которых представимы разложениями в цепные дроби [11] по параметрам
схемы. В частности, если потери пренебрежимо малы, все продольные ветви индуктив-
ные (емкостные), а поперечные - емкостные (индуктивные), то автоматизацию состав-
ления формулы (3.12) для входной функции лестничной цепи, содержащей 13 или ме-
нее ветвей, обеспечивают следующие программы.
Рис. 24
Программа 138/21. Вычисление коэффициентов входной функции реактивной лест-
ничной цепи с к + 1 <13 ветвями
Р2 1 С/П t F8 ПП р- F8 - Р8 F7
ПП Р- F7 - Р7 F6 ПП р- F6 - Р6 F5
ПП Р- F5 - Р5 F4 ПП р- F4 - Р4 F3
ПП Р- F3 -+ РЗ F2 XY X Р2 XY -* С/П
БП Ft X XY -» + 4— t В/О
Инструкция: очистить память, Q = РХ (или L^ = РХ) В/О С/П ’ рх С/П
С^_2 = РХ С/П . . . (или С/(_1 = РХ С/П = РХ С/П ... ); если начальной яв-
ляется продольная индуктивность До или поперечная емкость Са, то коэффициенты ап,
ап-2' ап -ч ’ числителя нормированной (делением числителя и знаменателя на а0)
функции ZBX (р) или Увх (р) соответственно хранятся в регистрах 2, 3, . .., 8, а коэф-
фициенты знаменателя bm, bm_2, bm. ... - в регистрах стека С1.С6. Если же на-
чальной является продольная емкость Со или поперечная индуктивность L 0, то коэффи-
циенты числителя соответственно функции Квх (р) или ZBX (р) хранятся в стеке памя-
ти, а знаменателя — в регистрах ЗУПВ.
Программа 139/34. Вычисление коэффициентов входной функции реактивной лест-
ничной цепи с k + 1 <13 ветвями
П1 2 ПД ПО С/П 1 КИЛО X КПД XY
t КИПО XY КИПО X + ИПО х>0 28 2
+ ПО - КПО L0 09 + П1 ИПД 1
+ БП 02
Порядок пользования этой и предыдущей программами совпадает, но после выпол-
нения программы 139/34 коэффициенты числителя и знаменателя входной функции а,,
Ьг, а}, ... (или аг, Ь}, . . . ), кончая старшим, хранятся в регистрах 1,2.Д
92
(кроме а0 = 1), а на индикаторе высвечивается номер следующего (начиная с конца)
элемента.
Контрольный пример: для цепи с продольными индуктивностями L9 = L 2 = 2 и
поперечными емкостями С, = С} = 3 получим входную функцию ZBX (р) = (36р4 +
+ 18р* + 1)/ (18р3 +6р).
Комплексное значение функции (3.12) высокого порядка m + п для заданного зна-
чения аргумента р = о + j а> определяют, вычислив комплексные значения многочленов
числителя и знаменателя с помощью программ 30/21 - 36/34, частное от их деления - с
помощью программ 24/21 или 25/34 и при необходимости преобразования результата
в тригонометрическую форму с помощью программ 17/21 — 20/34.
Программа 140/34. Вычисление комплексного значения функции цепи произвольно- го порядка в алгебраической форме
ИП7 ПО сх ПВ ПП 40 ПС ипв ПД ИП8
ПО Сх ПВ ПП 62 Г хг ипв X1 +
ПА ИПВ ВХ -5- П6 ИПД X ИПА ИПС
X + по ИПА ИПД X ИПС БП 59 ИПА
+ ПА КИПО ИПО х > 0 67 ИПВ П6 ИП1 X
ИПА ИП2 X + ПВ ИПА иш X ИП2 ИП6
X — ПА ИПО с/п БП 39 ИПА В/О
Инструкция: (а = Pl, о> = Р2, п = Р2, m - РЗ) ап - РХ В/О С/П РХ = п — 1,ап _ 1 =
= РХ С/П РХ=п-2...а0 = РХ С/П РХ = m.bm = РХ С/П PX=m - 1 С/П Ьт~ ( =
= РХ С/П РХ = т - 2 . . . Ь„ = РХ С/П РХ = Re F (р), PY = Im F (р).
Контрольный пример: F (2 + j) = (pJ + 2р + 1)/(Зр3 + 2р2 + р + 0,5) = 0,1863999 -
— j0,12612384.
Вычисление комплексного значения функции цепи небольшого порядка можно пол-
ностью автоматизировать.
Программа 141/34. Вычисление комплексного значения функции цепи при п < 3,
т <4
пв XY ПА ИП7 ИП8 ПП 47 ИП6 ПП 54
ИП5 + ПС ИП9 пд ИПЗ ИП4 ПП 47 ИП2
ПП 54 ИП1 ПП 54 ИПО + t X1 ИП9
X1 + ПА ИП9 ВХ 4- пв ИПС П9
ИПД ПП 55 ИП9 С/П БП 00 t ИПВ X
П9 - ИПА X + t ИПВ X ИПА ИП9
X + ИП9 XY П9 —► ипв X XY ИПА
X XY - В/О
Инструкция: (Ь9 = Р0, 6, = Pl, b2 = Р2, Ь3 = РЗ, bt = Р4,а0 = Р5,а, = Р6,в, =
Р1) а, = Р8, 0 = Р9, а = PY, ш = РХ (В/О) с/п РХ = РА = ReF(p),PB = lmF(p),
PC = Re Л (р) ,РД = ЬпЛ (р). Время счета около 70 с.
Для проверки можно воспользоваться примером к предыдущей программе. При не-
обходимости получения результата в тригонометрической форме в программу 140/34
или 141/34 перед первым оператором С/П следует вставить операторы программы 20/34,
соответственно изменив в ней номера регистров памяти, а в дополненной программе —
адреса переходов.
Дробно-рациональную функцию (3.12) в ряде задач приходится представлять в фор-
ме отношения множителей корней г *
п г
П (Р-Рог) П («,/₽’ + <»1/Р + в((/)
F(p)=h —------------ = —--------------------, (3.13)
т s
П (р-рш) ,п (biiP2 +btip + boi)
1*1 1=1
93
где h = an/bm — постоянный множитель, г и s - соответственно суммы чисел веще-
ственных (аз|- = 0) и пар комплексно-сопряженных корней числителя и знаменателя, а
корни р0(. числителя и рга- знаменателя называют соответственно нулями и полюсами
функции.
Для уменьшения числа операндов во второй из этих формул целесообразно вынести
за скобки множители ао/-, получая
Л (“„/₽’+30/р + 1)
F (р) = Я у------------------, (3.14)
П (ап1р2 +(Зшр+1)
1= 1
где постоянный множитель И = а01а02 ... аоП/ (bal bQ2 ... bQm).
В этом случае уменьшается не только число исходных данных, но и число коэффици-
ентов в произведениях сомножителей, так как коэффициенты при нулевых степенях,
равные единице, не зависят от аргумента.
Для перехода от формулы (3.13) или (3.14) к исходной формуле (3.12) достаточно
найти коэффициенты произведений множителей корней с помощью программ 130/21 —
131/34, но для составления формулы (3.13) или (3.14) необходимо вычислить нули и
полюсы или, по крайней мере, найти разложения числителя и знаменателя функции
(3.12) на множители 1-го и 2-го порядков. Корни алгебраического уравнения 2-го по-
рядка несложно вычислить с помощью программ 1/21 - 4/34. Для вычисления корней
нормированного алгебраического уравнения 3-й степени р3 + а3р2 + а,р + =0 пред-
назначены следующие программы.
Программа 142/21. Решение нормированного
3-й степени
F6 2 ♦ Р6 F5 1 F2 +
t F5 X t F4 XY + Р8
XY х> 0 F6 t F5 + Р5
— х=0 РО F2 + Р6 X t
2 4- /-/ Р6 X» t F7 —
(а3 = 1) алгебраического уравнения
X t F3 +
X t F6 /-/
XY ? / +
F3 + Р7 F6
Р7 F5 С/П
Инструкция: а2 = Р2, а, = РЗ, и0 = Р4, ± |amax I = Р6 = Р7 (знак максимального
по модулю коэффициента «тах выбирают противоположным знаку а0) В/О С/П РХ =
= P5 = pl,Pl = D,P6 = r, где D - дискриминант, а г - вещественная часть корней
квадратного уравнения, полученного делением исходного на множитель вещественного
корня р - Для вычисления двух других корней достаточно по полученным данным
найти в обычном режиме р2 3 = г ± -J D .
Программа 143/34. Решение нормированного (а3 = 1) алгебраического уравнения
3-й степени ИПО 114 ИП4 2 4- П4 П5 ИПО t t
ИП1 + X ИП2 + X ИПЗ + ПА ипз
X х< 0 26 ИП5 /-/ П5 ИПО t ИП5 +
по — х=0 02 ИПО ИШ + П4 — 2
♦ П7 X» ИП2 ИП4 ИПО X + — х<0
56 /-/ П8 БП 67 ИП7 XY —
П8 ВХ ИП7 + П7 7 8 0 С/П БП
Инструкция: a, = Pl,at = Р2, а0 = РЗ, ± |атах | = РО (знак атах выбирают проти-
воположным знаку е0) В/О С/П РХ = 780, РО = pt, Р1 = р2, Р8 = р3 (все корни ве-
щественны) или РХ = О, РО = р (вещественный корень), Р7 = Rept 3, Р8 = Im р2
В регистре А хранится невязка первого корня.
Контрольный пример .рля уравнения Зр3 + 2р2 + р + 0,5 = О после ввода 2/3 = Р1; 1/3 =
= Р2; 0,5/3 = РЗ, -2/3 = РО получим р23 = -0,0411656 + jO,532475, р, = -0,58433545.
94
Время выполнения программ решения кубического уравнения зависит от времени
вычисления вещественного корня и составляет несколько минут.
Корни нормированного алгебраического уравнения 4-й степени
р* + а2р3 + а2рг +а,р +а„ = О
в обычном режиме вычисляют различными методами [20], а при использовании микро-
калькулятора с входным языком МК21 решение этой задачи обеспечивается совмест-
ным использованием следующих трех программ.
Программа 144/21. Разложение нормированного алгебраического многочлена 4-й сте-
пени на квадратичные множители'
ПП Р, С/П ПП р, х>0 Р2 F8 t F7 - Р8
F7 2 + Р7 t F8 XY + Р8 х=0 0
F8 С/П F8 t F3 — —> F5 — Р6 1/х —
F2 X Г F4 — х*0 F4 t t
F2 — X XY 4— — t F6 X 1 В/О
Программа 145/21 . Вычисление корней квадратичных множителей
Р7 2 4- /-/ РЗ X1 2 — F8 х< 0 Р5
/-/ Р4 0 3 4 С/П F5 t F8 + Р8
F2 t F7 — БП F0 t F3 х<0 F6 XY
/-/ + Р4 t F8 XY 4- РЗ БП FX
Программа 145а/21. Вычисление корней уравнения 4-й степени при изолированном
вещественном корне
F4 2 X t F2 4* t F3 — 4 X t
F2 X2 + у/ /-/ Р7 t F2 — 4 -г РЗ
X2 t F5 — х< 0 вп /-/ Р4 0 3
4 С/П F7 БП FX F3 х< 0 Р8 XY /-/
+ Р4 t F8 XY 4- РЗ БП /-/
Инструкция : 1. Ввести программу 144/21, исходные данные а, = Р2, а2 = РЗ, о, =
= Р4, с0 = Р5, \'<г0 = /’7 = 7’8 В/О С/П (время счета около 4,5 мин). Если РХ > 0, то
нажать клавишу С/П и после выполнения программы перейти к п. 2. Если РХ < 0, то
изменить на обратные знаки содержимого регистра 7 и 8, нажать клавишу С/П и после
выполнения программы перейти к п. 2. Если РХ = 0 или возникает переполнение, то
ввести предложение F 8 0.9999999ХР7 Р8 и нажать клавиши В/О и С/П;
если результат выполнения программы РХ > 0, то нажать клавишу С/П и после выпол-
нения программы перейти к п. 2, если же РХ < 0, то перейти к п. 3.
2. Ввести программу 145/21 и перейти к п. 4.
3. Ввести программу 145а/21 и перейти к п. 4.
4. Нажать клавиши В/О и С/П; если высвечиваются цифры 34, то в регистрах 3 и 4
хранится пара вещественных корней; если высвечиваются цифры 034, то в регистрах
3 и 4 хранятся вещественная часть и модуль мнимой части пары комплексно-сопряжен-
ных корней. Нажать клавишу С/П и аналогично определить вторую пару корней.
При использовании микрокалькулятора с входным языком МК34 решение урав-
нения 4-й степени обеспечивает одна программа.
Программа 146/34. Разложение многочлена 4-й степени на квадратичные множители
(х2 +|31х + т1) (х2 +(32х + 72)
ИПО х>0 34 V ПА ПП 66 ИП9 х#0 45
ПП 63 х>0 17 ИПД /-/ ПД ИПА t ИПД
1 Если выполнение этой программы при ее использовании для микрокалькулятора
типа ’’Электроника БЗ-21” последнего выпуска не заканчивается в течение 8 ... 10 мин,
операторы XY + Р8 с адресами 31 ... 34 следует заменить операторами + Р8 — sin, га-
рантирующими окончание вычислений, однако с меньшей точностью.
95
+ ПА — х = 0 10 ИПО ИПА ПС ИПЗ
ИПВ — ПД С/П /-/ у/ ПА ПП 66 х<0
10 ИПА /-/ БП 36 ИПЗ 2 4- t X»
ИПА 2 X + ИП2 — х> 0 10 4-
ПВ БП 25 ИПС 2 «Г ПС пд ИПА ИПВ
X ИП1 м П9 ИПА ипо ИПА 4- — х* 0
97 4- ПВ t ИПЗ — X ИПА — ИП2
+ ИПА X ИПО 4- 1 -* В/О
Инструкция : ("э = Р3,а 2 = Р2,а, = Р1.а0 = Р0) В/О С/П РХ= РД= 0,,РС =
РВ=0г,РА = у2.
Контрольный пример: рЛ + р3 + 4р2 + р + 1 = (р2 + 0,21995155р + 0,28197167) (р2 +
+ 0,7800475р + 3,5464555) - время счета около 7 мин; р4 + Зр3 + 2р2 - 4р - 12 = (р2 +
+ 0,8985298р - 3,408669) (р2 + 2,1014702р + 3,5204356) - время счета около 7 мин:
р4 + р3 + 0,2р2 + р +1 = (р2 + 1,931782Ip + 1) (р2 -0,9317821р+1) — время счета около
30 с; р4 + 4р3 - Юр2 + 2р - 1 = (р2 - 0,1654081р + 0,10618871) (р2 + 4,1654081р -
- 9,4171969) - время счета около 7 мин.
Алгебраические уравнения нечетной степени имеют нс менее одного вещественного
корня, который можно вычислить в обычном режиме методом последовательных при-
ближений [20] в интервале ] 0; ± laniax । Ь где знак максимального по модулю коэф-
фициента отах выбирают противоположным знаку а0. Разделив исходное уравнение на
множитель (р - р1) найденного вещественного корня, получают уравнение четной сте-
пени. Выделение вещественного корня уравнений нечетной степени упрощается при ав-
томатических вычислениях вещественного корня и коэффициентов <г(; четного норми-
рованного многочлена четной степени, корни которого можно найти с помощью дру-
гих программ.
Программа 147/21. Выделение вещественного корня нормированного алгебраическо-
го уравнения 5-й степени
F7 2 4- Р7 F6 Р8 5 РЗ 1 1 — РЗ F8
t F2 *- Р2 + t F6 X Р8 F3 х=0 PXY
F2 4— 4— F2 X t F7 /- •/ XY х> 0 F6 F7
t F6 + Р6 XY X2 \/~ + — х=0 Р0 F6
С/П 1 t F6 X t 4- + С/П БП Р-
Инструкция: at = С1, аэ = С2,а2 = СЗ, а, = : С4, aQ = С5, ± । “шах | = Р6 = Р7 В/О
С/П РХ = Р6 = р, (время счета около 9 мин) С/П РХ = = а'3 С/П РХ = а'2 С/П РХ =
= а\ С/П РХ = а'о С/П РХ = е (остаток от деления исходного уравнения на множи-
тель р - р,).
Программа 148/34. Выделение вещественного корня нормированного алгебраическо-
го уравнения 5-й степени
ИПД ПД ИПД 2 + ПД ПС ИПА t t
ИП4 + X ИПЗ + X ИП2 + X ИП1
+ X ИПО + ПВ ИПО X х<0 32 ИПС
/-/ ПС ИПА t ИПС + ПА - х=0 02
ИП4 ИПА + 3 П9 XY КИП9 XY КП9 ИПА
X + ИП9 1 - х<0 44 ИПА С/П БП
Инструкция: а„ = Р0, а, = Р1, а 2 = Р2,а3 = Р3,а„ = Р4, ± |cp,ax 1 = РА (В/О) С/П
РХ = РА = р2, РВ = 5, (невязка корня) ,Р0 = a'Q, Р\ = а\,Р2- а\, РЗ = а'3.
Контрольный пример: для уравнения р5 + 9р4 + 8р3 + 5р2 + 4р + 10 = 0 получим
р, = -8,0813971, 61 = -3,22 * 10"4, коэффициенты уравнения р4 + 0,9186029р3 +
+ 0,5764052р2 + 0,3418407р + 1,2374496 (время решения около 5 мин).
96
Программа 149/21. Выделение вещественного корня нормированного алгебраическо-
го уравнения 7-й степени
F7 2 4 Р7 F8 Р6 7 РЗ 1 — РЗ F6
t F2 4— Р2 + t F8 X Р6 F3 х=0 PXY
F2 X t F7 1-1 XY х> 0 F/-/ F7 t F8 +
Р8 XY х’ + — х=0 РО F8 С/П 1 t
F8 X t F2 4— + Р2 С/П БП Сх
Инструкция: а6 = С1,а5 = С2,а„ = СЗ,а3 = С4,а 2 = С5 >а\ - С6,ао =/2-±lemax
= РЗ = Р8 В/О С/П (время счета 10 . . . 14 мин) РХ = р, С/П РХ = а\ С/П РХ = а\
С/П РХ = а'3 С/П РХ = я' С/ПРХ = я* С/П РХ= о'о С/П РХ = е (остаток от деления).
Для решения полученного нормированного уравнения 6-й степени предназначены
следующие две программы, выделяющие квадратичный множитель, что позволяет най-
ти его корни и корни уравнения 4-й степени с помощью ранее приведенных программ.
Программа 150/21. Разложение на множители уравнения 6-й степени
F6 ПП F8 Р2 F7 X Р4 ПП Сх F7 — РЗ
t F7 X Р5 ПП Сх F4 — Р4 1 ПП Сх
F5 — Р5 t F8 Р8 XY + Р7 t F4
ПП Р8 F5 Р6 F8 4— F6 С/П БП РО F6
X t F8 4— Р8 XY — t В/О
Программа 151/21. Разложение на множители уравнения 6-й степени
Р8 t F7 4- Р5 ПП Сх F7 + Р4 ПП
Сх F5 — t F7 -г РЗ . ПП сх F4 — t
F7 а. Р2 t F8 Р8 — /-/ Р6 X t
F3 + ПП Р- Р7 F8 4— F6 С/П БП РО t
F6 X t F8 4— Р8 XY — t В/О
Инструкция: ввести программу 150/21, а5 = Cl, а4 = С2,а3 = С3,а2 = С4, а0 =
= С5, а, = С6, 0О = Р6, 70 =2’7 (0О и 70 - начальные приближения коэффициентов
квадратичного множителя) (В/О) С/П РХ = 0, С/П РХ = 0, ... с регистрацией 0,-.
Если разность 0, - 0/уменьшается, то вычисления продолжают до совпадения двух
очередных значений 0г- с требуемым числом значащих цифр и вызывают РЗ = у, Р2 =
= а’, РЗ = а\, Р4 = а', РЗ = а'о. Если вычисления не сходятся, то вводят программу
151/21, а0 = С1, а, = С2,а2 = СЗ, а3 = С4, а, = С5,а4 = С6, 0„ = Р6,70 = Р7 и повто-
ряют вычисления.
Эти программы могут не привести к желаемому результату при близости корней по
модулю. В этом случае следует предварительно преобразовать исходное уравнение 6-й
степени подстановкой х = р + f (можно принять f = -а0) с помощью следующей прог-
раммы и повторить вычисления по программам 150/21 или 151/21.
Программа 152/21. Преобразование аргумента многочлена степени п < 6
6 Р5 РЗ 1 Р4 F4 t F2 X t F8 4—
+ Р4 Р8 F3 1 РЗ х=0 t F5 7 —
Р6 F8 Р8 F6 1 + х=0 Р4 F5 1 —
х=0 F0 С/П БП РО
Инструкция: as = С1,а4 = С2,а3 = С3,а2 = С4,а1 = С5,е0 = С6,$ = Р2 (В/О) С/П
РХ = 0 (коэффициенты преобразованного многочлена хранятся в ’’своих” регистрах).
Контрольный пример: для уравнения р‘ + ps + р* + р3 + р1 + р + 1 = 0 получим при
х = р - 1 коэффициенты уравнения х6 - 5х3 + Их4 - 13х’ + 9х3 - Зх + 1 = 0 (время
счета около 2 мин).
Для решения нормированных алгебраических уравнений 6-й и 7-й степеней пред-
назначены следующие программы.
4 Зак. 1399 97
Программа 153/34. Выделение вещественного корня нормированного алгебраическо-
го уравнения 7-й степени
ИПА ПД ИП6 + ИПД X 2 ИП5 + пд X ПС ИП4 ИПА t t ИПЗ
+ X
+ X ИП2 + X ИП1 + X ИПО +
пв ИПО X х< 0 38 ИПС /-/ ПС ИПА t
ИПС + ПА — х=0 02 ИП6 ИПА + 5
П9 XY КИП9 XY КП9 ИПА X + ИП9 1
х<0 Инструкция 50 •ао = ИПА Р0, а. С/П = Р1,. БП ..,в. = Р6>± l°max 1 = РА (В/О) С/П РХ = РА =
= р>.рв = 6i> Р0 = а ;,п = а\.Р2 = <> РЗ = = а\, Р5 = в’5 (коэффициенты мно-
гочлена 6-й степени).
Контрольный пример: для уравнения р7 + р* + 2р5 + 4р4 + ЗОр3 + 2р2 + р + 1 = 0 по-
лучим р, = -0,31251376; 6, = 0; коэффициенты многочлена р‘ + 0,68744862р! +
+ 1,7851511р* + 28,924292р3 - 7,0392392р + 8,1908591 + 3,4421157р3.
Программа 154/34. Выделение квадратичного множителя уравнения 6-й степени
Сх П7 П8 П9 1 П6 5 пд ИП6 ИП9
ИПВ X ИП8 П9 ИПА X + — П8 КИПД
ИП7 ИПВ X ИП6 П7 ИПА X + П6
ИПД 1 — х= 0 07 ИПО ИП7 ипв X -
П7 ИП6 ИП8 X ИПА ИП6 X ИП7 ИП9
X + ИП8 ИПА ИП9 X + ИП8 X ИП9
х* ИПВ X + ПД + ИПА П6 + ПА
ИП7 ИП8 X ИП6 ИП9 X ИПВ X + ИПД
т ИПВ х=0 + 00 пв с/п ВХ БП — х=0 00 ИПС ИПА
Инструкция : (fl0 = Р0, а 4 =Р1,... = Р5) 0 0 = РА, = РВ (можно принять
начальные приближения (30 = ?0 = 0) В/О С/П РХ = 0,РА = {З.РВ = у. Время счета от
нескольких минут до нескольких десятков минут в зависимости от сходимости процес-
са, причем процесс может расходиться и вычисления можно прекращать после 40 мин.
Контрольный пример: для многочлена р6 + 2р’ + Зр4 + 4р3 + 5р2 + 6р + 7 через 12
минут получим множитель р2 + (Зр + у — р1 + 0,80501825р + 1,9620834.
3.4. Анализ цепи в частотной области
Задача анализа линейной цепи в частотной области заключается в вычислении для за-
данных функций цепи их частотных характеристик
Г(р)| . = ReF(w) + j ImF(w) = |F(w) | е^^ ,
p= jw
где зависимости |P'(w) | и ^уг(сэ) называют соответственно амплитудно-частотной
(АЧХ) и фазочастотной (ФЧХ) характеристиками, причем представление частотной ха-
рактеристики в алгебраической или тригонометрической формах определяется услови-
ями задачи.
Если исходной является эквивалентная схема анализируемой цепи с идеальными ре-
зистивными, емкостными и индуктивными ветвями или любая другая модель, пара-
метры которой — рациональные функции комплексной частоты, то обычно целесообраз-
но вначале составить выражение (3.12) для заданной функции, а затем подстановкой
р = jcj перейти к частотной характеристике и найти ее вещественную и мнимую части
или АЧХ и ФЧХ. Для этого достаточно вычислить комплексные значения многочле-
нов числителя и знаменателя функции при р = jej и найти частное от их деления в ал-
гебраической или тригонометрической форме.
98
Комплексные значения алгебраических многочленов мнимого аргумента удобно вы-
числять по итерационной формуле (1.18) при р = )ыкак
А% = -ccImA^., +<’п .к + ; к~ 1,2,...,л,
где А„ =ап и Ап = A (jw).
Программа 155/21. Вычисление вещественной и мнимой частей частотной характе-
ристики функции с произвольными степенями т и п
Р6 F7 1 F4 X F5 X /-/ t F6 +
Р4 Р5 С/П F4 X* t F5 X» + P6 F2
t F5 X Р8 F3 t F4 X t F8 — t
F6 -Г Р8 F2 t F4 X P7 F3 t F5 X
t F7 + t F6 + P7 С/П
Инструкция: w = Р"1, ап = Р4, 0 = Р5, _1 = РХ (если п = 0, то си = PI, 1 = Р4,0 =
= Р5,о0 = РХ) В/О С/П РХ = 1пъ4,,а„_2 = РХ В/О С/П РХ = 1тЛ,,ал_3 = РХ В/О
С/П . . . а, = РХ В/О С/П РХ = 1т А (о>) F4 Р2 F5 РЗ 0 = Р5, bm = Р4, bm.t = РХ
В/О С/П РХ = ImBlt bm_2 - РХ В/О С/П РХ = 1т В2,..., Ь„ = РХ В/О С/П РХ =
= ImB(w) С/П РХ=Р1= RcF(w),P8 = ImF(cc).
Контрольный пример: А (р = j 2) = (р3 + 2р + 1)/(Зр3 + 2р3 + р + 0,5) = -0,121240 -
— j0.177695.
При необходимости вычисления модуля и фазового угла частотной характеристики
следует дополнительно использовать одну из программ 17/21 - 19/21.
Программа 156/34. Вычисление вещественной и мнимой частей,модуля и фазового
угла частотной характеристики функции цепи при произвольных степенях п числителя
и т знаменателя
ИП9 ИП7 X — ИП8 ИП7 X П9 XY П8
ИП4 1 — П4 x*0 67 x<0 73 ИП5 1
— П5 x=0 73 ИПВ ИП8 X ИПА ИП9 X
— ИП8 X* ИП9 X3 + no 4- ПД ИПА
ИП8 X ИПВ ИП9 X + ИП0 -r ПС t
x’ ИПД X3 + П1 < arccos П2 ИПД
x< 0 64 ИП2 /-/ П2 ИП1 С/П ИП8 ПА ИП9
ПВ 0 П9 С/П БП
Инструкция: п = Р4, m = Р5, ш = Pl, ап = Р8, 0 = Р9,а„ — РХ (В/О) С/П РХ =
= п - 1,ел_2 = РХ С/П РХ = п - 2, . .. ,а0 = РХ С/П РХ = 0,bm = PS,bm_l = РХ
С/П РХ = m - 1, bm_2 = РХ С/П РХ= m - 2..........b„ = РХ С/П РХ = Pl = |>(а>) I,
РД= ImF(cj) (РА = Re Л (ш),РВ = 1тЛ (w),P8 = ReB(w),P9= ImF(cj) ,Р0 = | В (ш) |3,
Pl = w), PC = Re F (а>), Р2 = ipp в радианах или градусах в зависимости от положения
переключателя Р-Г.
Контрольный пример: А (р = j2) = (р3 + 2р + 1)/(Зр3 + 2р3 + р + 0,5) получим
ReF(w) = -0,121240; ImF(w) = -0,177695; |F(w)| = 0,215115; = -2,16953
или ip° = -124,305.
При расчетах с помощью непрограммируемых микрокалькуляторов целесообразно
в исходной функции (3.12) возвести р = jo> в соответствующие степени, получив
a incjn + ... + a,w4 - ja,w3 - а,щ’ +е, сс + а„
F(jw) = —---------------------------------—---------------!----- =
bnjncF + ... + Ъ4ы* — jft3u>3 - 62о)3 + Ь,ш +
_ (• .. + а4ы* -а2ы* +а0) + jta(. . + а,щ4 -а, с? +а,) 15^
(... + btw* — dao>’ + d0) + ju>(... + Ь{ы* - b,w2 + bt)
В подобной форме получим выражение F (jw) и в случае, если возведение в степень j =
= V-1 выполнялось в процессе составления формулы (3.15) по заданной схеме анали-
4*
99
зируемой цепи. Многочлены Р(ш2) степени q, взятые в скобки в этой формуле, удобно
вычислять как
Рк = <SPk .,+ап_к; к = 1, г....q, (3.16)
гДе Ро = о„, Рп = Р(^ ). <*л . к = 1 ап - к-
Эту рекуррентную формулу целесообразно использовать и для полной автоматиза-
ции вычисления частотных характеристик функций цепи небольшого порядка, например
функции, не имеющей нулей (называемой многополюсной),
F(p) = U(bmpPl + bm_lPm-, + ... + blp + b<)). (3.17)
Программа 157/21. Вычисление модуля, вещественной и мнимой частей частотной
характеристики нормированной (аа = 1) многополюсной функции при т < 10
Р8 ПП Р8 ПП р- ПП Р- ПП р- ПП р- ПП
Р- Р7 ПП Р8 F5 ПП Р9 F4 пп Р9 F3 ПП
Р9 F2 + t F8 X Р8 X1 t F7 X2 +
1/х t F8 X /-/ Р8 F7 X Р7 F1 С/П
сх t F6 —► Р6 + t F8 х2 X XY В/О
Инструкция : (ft. = ci, -ft, = С2, ft, , = СЗ, -ft. = С4, \ = С5,- ft,. = C6,ft, = Р2,
. = РЗ, bs = = Р4, = P5,ft, = Р6) СО = РХ В/О С/П РХ = |F(co)|,P7 = Re Г (со),
РЗ = Im F (ы).
Контрольный пример: для функции F (р) = 1/ (Зр3 + 2р2 + р + 0,5) при со = 2 полу-
чим |Р(со)| = 0,0430231; Re F(со) = -0,0138824; Imp (co) = 0,0407218 (время сче-
та около 40 с). При необходимости вычисления фазового угла следует обратиться к
программе 19/21.
При полном использовании емкости запоминающих устройств микрокалькулято-
ров с входным языком МК21 в памяти можно хранить 11 коэффициентов функции
общего вида.
Программа 158/21. Вычисление АЧХ функции цепи при л <4, m <5
X* Р8 ПП F8 Р7 ПП F8 XY 4 t F7 +
Р7 F4 t F8 X t F3 + ПП Р9 4- 1/х
Р8 F6 X t F5 + х2 t F8 + t F7
-Г С/П t F8 X t F2 - Р2 + t
В/О сх ПП 6 ПП 6 ПП 6 F8 XY х* В/О
Инструкция: (а0 = Р2, “"а = РЗ.а, , = Р4,в, = РХ В/О = Р5, -а3 = Р6, ft. = Cl, -ft, = Cl,
= сз.ь, = С4, -ft, = С5 Л 2 = С6) ш С/П РХ= |Г(со)|. Время счета око-
ло 25 с. Для проверки можно воспользоваться примером к программе 156/21.
Для функций меньшего порядка можно автоматизировать вычисление вещественной
и мнимой частей частотной характеристики (по которым с помощью программ 17/21 -
19/21 вычисляют модуль и фазовый угол), а также при необходимости автоматизиро-
вать приращение аргумента. Если степени числителя и знаменателя функции цепи не бо-
лее шести, то можно автоматизировать вычисление модуля и фазы ее частотной характе-
ристики.
Программа 159/21. Вычисление модуля и фазового угла многочлена мнимого аргу-
мента степени л < 6
X* Р8 Сх РЗ P4 7 P6 F3 t F4 P3 F8
X t F2 P2 + P4 F6 I x=0 Pl
F3 х2 t F8 X t F4 X» + P6 T 5
ч- t F5 X + 1 + t F6 X \T
t F4 - XY + 9 0 X P7 F6 хГ С/П
Инструкция: (8,1 = PS, O'.0 = Pl, a, , = Cl, -a, = Cl, -a, = C3, a, = C4, a, = C5,
Символами о, обозначены коэффициенты многочлена Р(р) комплексной частоты.
100
-at=Cf>)u = PX (B/O) С/П РХ = |Р(оэ)|,Р7 = в интервале [-180; 180° ]
со знаком, совпадающим со знаком РЗ = ImP(co)/(а»), при погрешности не более 0,03°
(время счета 30 с).
Контрольный пример: для функции F (р) = (рг + 2р + 1)/ (Зр3 + 2р2 + р + 0,5) при
ы = 2 получим для числителя | А (со) 1 = 5; — 126,8599 и для знаменателя В (со) =
= 23,24327; = -108,8089. Следовательно, \F (со) | = | А (со) |/ |В(со) | = 0,215115 и
f°F ~ 'fА ~ = 235,6688 или, после приведения в интервал [-180; 180°], <р°р =
= 235,6688 - 360 =-124,33.
Программа 160/34. Вычисление АЧХ и ФЧХ многополюсной функции при m < 12
ПД X» t t ипв X ИП9 XY — X
ИП7 — X ИП5 + X ИПЗ — X ИП1
+ ИПД X ПД —► ИПС X ИПА — X
ИП8 + X ИП6 — X ИП4 + X ИП2
— X ИПО + t ИПД t -* X* XY
х2 + д + ВХ XY arccos ПД XY
х< 0 66 ИПД /-/ ПД —* XY С/П БП
Инструкция: (Во = РО, b, = Р1....В, = Р9, В10 = РА, b,t — РВ, В12 = PC) ы= РХ
(В/О) С/П РХ = | F (со) |, РД = v>f (со) в градусах или радианах в зависимости от поло-
жения переключателя Р-Г.
Для проверки программы можно использовать контрольный пример к программе
157/21.
При необходимости вычисления многополюсной функции степени m < 14 можно раз-
местить один коэффициент в операционном стеке с его вводом перед каждым пуском
программы.
Программа 161/34. Вычисление АЧХ и ФЧХ многополюсной функции при m < 14
х* t ИПС —> X — X ИПА —
X ИП8 + X ИП6 — X ИП4 + X
ИП2 — X ИПО + XY t ИПД X ипв
ПП 75 ИП9 + ПП 76 ИП7 ПП 75 ИП5
+ ПП 76 ипз ПП 75 ИП1 + XY
X t X2 XY X» + ~ ВХ
arccos XY х< 0 69 сх XY — XY
XY —► С/П БП 00 XY X ВХ XY
В/О
Инструкция: (В, = Р0, bt = Pl....В, = Р9, В1о = РА, btl - РВ, В12 = PC, bl} =
= РД) blt = PY, со = РХ (В/О) С/П РХ = | F (ш) |, PY = ур в радианах или градусах.
В памяти микрокалькулятора с входным языком МК34 можно разместить коэффи-
циенты функции общего вида (3.12) при т + п <9.
Программа 162/34. Вычисление АЧХ и ФЧХ функции цепи при п < 4, т < 5
ПД X1 t t ИП5 X ИПЗ - X ИП1
+ X ИПД X ПС —* ИП9 X ИП7 —
ИПД X ПВ ИП4 X ИП2 — X ИПО
+ ПД ИПА X ИП8 — X ИП6 +
ПП 59 ИПС ПВ —► ПС ИПД ПП 59
ИПС XY — ПД —> 4- С/П БП 00 t
X2 ИПВ X2 + 4- ВХ XY arccos ИПВ
х< 0 76 Сх XY - t —► В/О
Инструкция. (Во = Р0, bt = Pl, . . . , В, = PS, я„ = Р6, я, = Pl, а2 = Р8, я, = Р9,
я4 = РА) ы = РХ (В/О) С/П РХ = |Р(со) |, PY = >рр(ы) в градусах или радианах.
Если м>/г(о>) > 180°, то фазовый угол следует привести в интервал [-180; 180° ] до-
бавлением или вычитанием 360°.
101
Контрольный пример: для функции F (р) = (р2 + 2р + 1)/(Зр3 + 2р2 + р + 0,5) при
ш= 2 получим | F(u>) | = 0,215115; РД = 235,69461° , откуда (ш) = 235,69461 -
- 360 =-124,305°.
Программу 162/34 можно использовать как исходную при построении программ с
различными соотношениями между /лил. При m + л = 9 для различных соотношений
между гл и л следует изменить размещение коэффициентов в памяти и отредактировать
текст программы. При «л + п < 9 следует также соответственно изменить адрес обраще-
ния к подпрограмме. Если m + л < 7, то для построения частотных характеристик целе-
сообразно автоматизировать изменение аргумента, как описано для программы 160/34.
Можно также увеличить m + п, размещая два коэффициента в операционном устройстве
по аналогии с подобной процедурой для программы 160/34, реализованной в программе
161/34.
Если требуется вычислить только АЧХ или ФЧХ, то можно пронормировать числи-
тель и знаменатель заданной функции делением на коэффициент Ьо и увеличить предель-
ную сумму степеней m + п до 11.
Программа 163/34. Вычисление ФЧХ нормированной (Ьо = 1) функции цепи при
л <4, m < 7
ПД х1 t t ИПВ X ИП9 + X ИП7
4 X ИП5 4 ИПД X ПС —> ИПА X
ИП8 4 X ИП6 4 X 1 + t X2
ИПС ПП 63 ПС ИПД X2 t t ИПЗ X
ИП1 4 ИПД X пд ИП4 X ИП2 +
X ипо + t X* ИПД ПП 63 ИПС —
с/п БП 00 t — X3 4 4 arccos
XY х< 0 77 сх XY - t —► В/О
Инструкция: (а0 = РО, а, = Pl, -а, = Р2, -а3 = РЗ, а4 = Р4, bt = Р5, -b, = Р6,
-b, = РУ,Ь4 = Р8, b, = Р9, -bf = РА, -Ь, = РВ) ы = РХ (В/О) С/П PZ= ^(ы).
Время счета около 60 с.
Программа 164/34. Вычисление АЧХ нормированной (i0 = 1) функции цепи при
л <4, m < 7
ПД X2 t t ИПВ X ИП9 + X ИП7
+ X ИП5 + ИПД X ПС —► ИПА X
ИП8 + X ИП6 + X 1 + X1 ИПС
х’ + ПС ИПД X1 t t ИПЗ X ИП1
+ ИПД X пд ИП4 X ИП2 4 X
ипо + х2 ИПД X* + ИПС -г С/П
БП
Инструкция: (а0 = РО, а, - Р1, -аг = Р2, -а3 - Р3,а4 = Р4, Ь, = Р4, -Ь, = Р6,
-b3 =Pl,b4 =P8,bs =P9,-bf = РА, -Ь, = РВ) ы = РХ (В/О) С/П РХ = |Р(ш)|.
Время счета около 30 с.
Размещая два коэффициента в операционном устройстве, как показано ранее, можно
повысить еще на две единицы сумму m + л. Если анализируемая функция представима
выражением (3.14), то при условии /3, > 0 удобно использовать следующие программы.
Программа 165/21. Вычисление модуля и аргумента нормированного квадратичного
множителя с автоматическим приращением частоты
Р6 t F3 X P4 F2 X X 1 — t X2
XY F4 X1 + t F4 4- P4 X2
t F7 + 1 6 2 X + 4 1/X
+ t F4 + XY 4 9 0 X t —►
С/П F6 t F8 + БП P0
Инструкция: (а = Р2, |3 = РЗ; 0,96573 = Р7, Дш = Р8) ш0 = РХ (В/О) С/П РХ =
102
= I P(w0 + 1Дш) I, PY = ip (ui0 + ЛД<а>) с погрешностью не более 12”. Время счета около
9 с. При значении <=>= 0 или 0 = 0 возникает переполнение - в последнем случае | Р(ш) | =
= 1/а и ip = 90°. Для изменения частоты по логарифмическому закону оператор + по
адресу 81 следует заменить оператором X, а в регистр 8 занести значение 101/*, где к
число отсчетов на декаду.
Контрольный пример: для Р(р) = 2рг + 4р + 1 при о> = 2 получим | Р(ш) | = 10,63014;
<Р = 131,1851.
При анализе цепи по функции, заданной формулой (3.15),
г s г s
|FMl= П |Р0/- (со)|/ П |РШМ|; p(<v)= S ipoi - ..
i= i i=i i=i »= i
Если необходимо найти только АЧХ, то можно одновременно вычислять модуль
произведения до пяти квадратичных нормированных сомножителей.
Программа 166/21. Вычисление модуля произведения до пяти нормированных квад-
ратичных множителей
Р8 1 ПП 2 ПП 2 ПП 2 ПП 2 ПП 2
С/П БП Р0 Р7 F2 4- t F4 Р2 F8 х2 XY
Р4 X 1 — х2 Р6 F3 t F5 РЗ F8
X х2 XY Р5 F6 + t F7 X В/О
Инструкция: (а. = Р2, 0, = РЗ, а2 = Р4, 02 = Р5, а3 = С1, 0, = С2,а4 = С3,04 =
= С4, а, = С5, 0, = С6) а>=РХ (В/О) С/П РХ = | II (а,р2 + 0(-р + 1) |. Время счета
около 30 с. 1 ’ 1
Контрольный пример: для произведения (0,9р2 +0,06р+ 1) (1,2р3 + 0,2р + 1)(2р2 +
+ 0,5р + 1) (4р2 + 1,4р + I) при ш= 2 получим | Р(о>) | = 1151466.
Если многополюсная нормированная (а0 = 1) функция содержит не более пяти
квадратичных множителей в знаменателе, то в программе 166/21 целесообразно заме-
нить адрес 2 обращения к подпрограмме адресом FX, а перед оператором С/П ввести
оператор 1/х, что обеспечит индикацию модуля функции | F(си) | = 1/| Р(ш) |.
Программа 167/21. Вычисление аргумента произведения до четырех нормированных
(•у; = 1) квадратичных множителей
Р7 сх ПП РХ ПП РХ ПП РХ ПП РХ 9 0
X С/П Р6 F7 t F3 РЗ X Р4 F2 —*
Р2 X X 1 — Р5 X2 t F4 X2 XY +
Р4 * 5 t F8 X ^/~ + 1 + t
F4 X V- t F5 + XY t F6 + В/О
Инструкция: (а, = Р2, 0 1, = РЗ, а2 = С1, 02 = С2, а3 = СЗ,03 = С4,а„ = С5,0
= С6; 8,1 = Р8) ш = РХ В/О С/П РХ = р (си) с погрешностью менее 0,03° для каждого
множителя. Время счета около 30 с.
Контрольный пример: для (2р2 + 4р + 1) (Зр2 + 8р + 1) (0,5р2 + Зр + 1) при ш = 2
получим р (ы) = 355,1299° •
Иногда вместо ФЧХ используют зависимость группового времени запаздывания
(ГВЗ) от частоты
тгр(ш) = (3.18)
Для представления функции цепи выражением (3.14) с нормированными множителями
т (w) = £ ------__________________£ ______13 ni (1 * _____
rp ’ i-> (1-ао1-ш2)2+02,.ш2 ,= . (1-аши,2)>+0>2
где индексами ”0” и ”п” обозначены коэффициенты множителей числителя и знамена-
теля функции.
103
Так как аргумент (о>) функции F(ju>) равен разности аргументов числителя и
знаменателя, то групповое время задержки для F (р) также равно разности тгр (и>) чис-
лителя и знаменателя. Последние значения можно вычислить раздельно для числителя и
знаменателя функции, представленной формулой (3.14).
Программа 168/21. Вычисление группового времени запаздывания произведения до
пяти квадратичных нормированных множителей Р8 Сг ПП 2 ПП 2 ПП 2 ПП 2 ПП 2
с/п БП РО Р7 F2 t F4 Р2 F8 X1 XY
Р4 X 1 X1 Р6 F3 t F5 РЗ F8
X X* XY Р5 F6 + Р6 F4 t F8 X1 X
1 + t F5 X t F6 t F7 + В/О
Инструкция: (а, = Р2, (3, = РЗ, а7 — Р4, /3, = Р5, а3 = С1,03 = С2,ал — СЗ,(34 =
= С4, as = С5, (3, = С6) со = РХ (В/О) С/П РХ = | тгр|. Время счета около 35 с.
Контрольный пример: (2р2 + 4р + 1) (Зр1 + 8р + 1) (0,5ра + Зр + 1) при а> = 2 имеет
тгр = 0,837689.
При числе нормированных квадратичных множителей, не превышающем 4, вычисле-
ние ГВЗ можно объединить в одной программе с вычислением модуля произведения
множителей.
Программа 169/21. Вычисление ГВЗ и модуля произведения до четырех нормирован-
ных квадратичных множителей
Р6 Сх Р8 1 ПП FX ПП FX ПП FX ПП FX
V С/П БП РО Р7 F6 t F3 P3 X P4
F2 Р2 X X 1 + P5 2 — X1 t
F4 X1 + Р4 t F5 XY — t F3 X t
F8 + Р8 F4 t F7 X B/O
Инструкция: (а, = Р2,01 = /*3, а2 = С1,02 = С2,а3=СЗ,Д3 = С4,а4=С5,04 =
= С6) а> = РХ (В/О) СП РХ = I P(oj) |, Р8 = тгр (<д). Время счета около 25 с.
Контрольный пример: для (2ра + 4р + 1) (Зр1 + 8р + 1) (0,5ра + Зр + 1) при <*> = 2
получим |Р(о») I = 1255,482; тгр (а>) = 0,8376893.
Входной язык МК34 обеспечивает составление более удобных программ одновремен-
ного вычисления АЧХ и ФЧХ (или ГВЗ) схемных функций, представленных произве-
дениями до шести квадратичных множителей.
Программа 170/34. Вычисление АЧХ и ФЧХ (или ГВЗ) функции цепи, представлен-
ной отношением произведений до трех квадратичных нормированных множителей
(г < 3, s < 3) х1 t 1 ПД Сх ПС -> 1 ИПО ИП1 ПП 45 ИП2 ИПЗ ПП 45 ИП4 ИП5 ПП 45 ИПС /-/ ПС - ИПД 1/х ПД - ИП6 ИП7 ПП 45 ИП8 ИП9 ПП 45 ИПА ИПВ ПП 45 ИПС ИПД С/П БП 00 х1 X 1 XY t X1 - - X ВХ - + V- 4- ВХ ИПД X ПД arccos ИПС + ПС - t В/О Инструкция : (аП1 = РО, 0П1 = />1, о- = Р2, (Зпа = РЗ, аПЗ = Р4, /Зпз = Р5, а01 -
= Р6, р0, = PI, а02 = Р8, = Р9, а„ = РА, р03 = РВ) ш = РХ (В/О) РХ= РД =
= | F (<д) |, PY = PC = ч>р (и>) в радианах или градусах.
Для вычисления АЧХ и ГВЗ подпрограмму следует заменить на
- X 1 + 2 XY - ВХ - х’
- - X ВХ х1 - XY - - X
ВХ - + * ВХ уГ ИПД X ПД -
ИПС + ПС - t В/О
104
В этом случае после выполнения программы получим РХ = РД = | F (ш) I, PY = PC =
= ’'го («•») •
Контрольный пример: для F (р) = (Зр2 + Юр + 1)/(2р2 + 4р + 1) (Зр2 + 8р + 1) X
X (0,5р2 +Зр+1) получим (время счета около 70 с) | F (gj) | = 0,018180597 и ^>р (о>) =
= -236,34598° или тгр (со) = -0,58816922.
Эту программу легко изменить для другого соотношения между числами множите-
лей г числителя и s знаменателя: достаточно соответствующим образом изменить чис-
ло обращений к подпрограмме до изменения знака содержимого регистра С, накаплива-
ющего сумму фазовых углов или ГВЗ.
Некоторые цепи удобно анализировать в частотной области методом свертывания
схемы без составления формул вида (3.12) - (3.15). Примером могут служить лест-
ничные цепи (см. рис. 24), для которых справедливы соотношения
'7-1 ~ Yi uj + '7 * i ’ “/ -> = Zj -1 '7-1 + “/ ’ (319)
Нормируя uBbIX = ик = 1, учитывая ik.t = 0 и последовательно подставляя в эти фор-
мулы Yk,Zk_t, Y/(._i....z„, если входная ветвь продольна (см. рис. 24, а), или Уо,
если входная ветвь поперечна (см. рис. 24, ff), получаем комплексные значения и„ =
= 1/Кн и /0 = 1/Z , по которым несложно вычислить = 1/K_V = u0/i., =
= -Yklu0HKr= -Yk/ia.
Программа 171/21. Вычисление комплексных значений 1/Кнн 1/Zn лестничной це-
пи с произвольным числом k + 1 ветвей
Р8 XY Р7 1 Р4 Сх Р5 F6 t — P6 С/П
РЗ XY Р2 F8 X F2 t F7 X t 4—
— t F4 + —► F8 t F2 X t F7
Р4 t F3 X t + F5 + t F8 P5
F1 Р8 4— Р7 БП XY
Программа 172/34. Вычисление комплексных значений 1/K„h 1/Zne лестничной це-
пи с произвольным числом к + 1 ветвей
П8 XY П7 1 П4 cx П5 ИП6 1 —
П6 С/П ПЗ XY П2 ИП7 X ИПЗ ИП8 X
— ИП4 + П1 ИП8 ИП2 X ИП7 П4 ИПЗ
+ П8 ИП5 БП + 07 П9 ИП8 П5 ИП1 П7 ИП9
Инструкция К < обеим программам: к + 1 = Pf>, Re У* = PY, Im Yk = PX B/O С/П
РХ = к, ReZjt., = PY, ImZ^_, = РХ С/П РХ = к - 1, Re Yk_t = PY, bn Yk 2 = PX
С/П PX = к - 2......Re Zo = ~PY, ImZ0 = РХ С/П PX = 0, P4 = Re 1/KH, P5 = "lm l/KH,
Pl = Re 1/Zne , P8 = Iml/Z или . . . Re Уо = PY, Bn Y„ = PX С/П PX = 0, P4 =
= Re 1/Znep, P5 = bn 1/Znep, Pl = Re 1/KH, PS = lml/KH.
Контрольный пример: при Y2 = 1 + jl; Z, = 2 + j2; Yo = 3 + j3 получим 1/Z_ =
= -8 + jl6; 1/KH= 1 + j4-
Выполнение этих программ приходится повторять к + 1 раз для каждого значения
частоты. Во многих случаях удается ускорить вычисления, более полно автоматизиро-
вав итерации (3.19). Например, при одинаковых продольных и одинаковых поперечных
ветвях лестничной цепи несложно организовать вычисления по (3.19) в замкнутом цик-
ле с выходом из него после выполнения заданного числа итераций. Когда значения пара-
метров ветвей лестничной цепи различны, их приходится хранить в памяти, что ограни-
чивает сложность автоматически анализируемой цепи.
Программа 173/21. Вычисление частотных характеристик 1/7С и 1/Z реактивной
лестничной цепи с числом к < 10 продольных и поперечных ветвей различного типа
P6 x2 t F3 X P8 t F4 X 1 — /-/
P7 F5 ПП P6 ПП 5 ПП 5 ПП 5 ПП 5
ПП 5 ПП 5 ПП 5 С/П БП P0 F2 P2
t F6 X t F7 X t F8 + t F7 P8
XY P7 B/O
105
Инструкция: если продольные ветви индуктивные, то Ск = РЗ, ~Lk^t = ?4, Ск =
= РЗ, -Lk.3 - Cl, Су_л = С2, -Lk_3 = СЗ, Су_6 = C4,-Lk_y = C5,Cy_s = С6,-Су_9 =
= Р2 или, если продольные ветви емкостные, ~^!Lk = РЗ, l/Cy 1 = Р4, -l/Ly , = РЗ,
1/Ck.3 = С1, -!/£*„, = С2, ЦСк„ = СЗ, -l/Lk_t = С4, 1/Q., = С5, -!/£*., =
= С6, 1/Ск_, = Р2 (на места параметров отсутствующих начальных ветвей заносят ну-
ли) о> = РХ (В/О) С/П РХ = РУ = Re 1//CH, Р8 = Im 1/Znep, если входная ветвь про-
дольная, или РХ = Р7 = Im 1IZцер, РЗ = Re 1/Кн, если входная ветвь поперечная.
Программа 174/34. Вычисление частотных характеристик 1/Кн и 1/Znep реактивной лестничной цепи с числом к < 12 продольных и поперечных ветвей различного типа
t t 1 ПС сх ПД ипв ПП 46
ИПА ПП 46 ИП9 ПП 46 ИП8 ПП 46 ИП7
ПП 46 ИП6 ПП 46 ИП5 ПП 46 ИП4 ПП
46 ИПЗ ПП 46 ИП2 ПП 46 ИП1 ПП 46
ИПО ПП 46 С/П БП 00 X ИПС X ИПД
+ ИПС ПД —* ПС В/О
Инструкция: если продольные ветви индуктивные, то Ск = РВ, -Lk t = РА, Ск 2 =
= Ck.t = Р7, -Lk.s = Р6, Ck.t = РЗ, -Lk_, = Р4, Ск_\ = P3,-Lk_, =
= Р2, Ck_l0 = Pl, ~Lk.n = РО, или, если продольные ветви емкостные, -lfLk = РВ,
1/СЛ., ='РА, -Шк.2 = Р9, 1/Cfc.j = РЗ, -l/lk.4 = Р7, HCk_s = Pf>,-ULk_b = РЗ,
ЦСк_у = Р4, ~ЦРк_, = РЗ, ЦСк_9 = Р2, -l/Lk.l0= Pl, 1/C*.’, = РО (на места пара-
метров отсутствующих начальных ветвей заносят нули) а> = РХ (В/О) С/П РХ = PC =
= l/KH = Re 1/Кн, РД = 1/Znep = bn 1/Znep, если входная ветвь продольная, или РХ =
= PC = 1 /Znep = Im 1/Znep, РД = l/KH = Re l/KH, если входная ветвь поперечная.
Подобные программы можно составить и для лестничных цепей других классов
(например, с поперечными резистивными и продольными емкостными ветвями). Ана-
логичные программы удобно составлять и для цепей других типов, параметры которых
являются функциями комплексной частоты в нулевой или первой (положительной или
отрицательной) степени. Однако для сложных цепей с нерегулярной структурой обычно
более удобны ранее рассмотренные методы частотного анализа с предварительным со-
ставлением формул (3.12) - (3.15) для функций цепи.
3.5. Вычисление временных характеристик
Общий метод вычисления реакции x(t) линейной цепи (временной характеристики)
на заданное воздействие q (Г) заключается в решении составленного по схеме замеще-
ния анализируемой цепи обыкновенного дифференциального уравнения
С(ПХ Лс _ , ^,ПД j. . г и. к
ап dt" dt а° ~ bm dtm " Ь' dt Ь<>'
(3.20)
Прямое преобразование такого уравнения по Лапласу приводит к описанию реакции це-
пи изображением х (р) = F (p)q(p) + F (0), оригиналом которого является временная
характеристика х(Г) = L~'x(p), а член F (0) отображает начальные условия. При воз-
действии единичным импульсом 6 с изображением q (р) = 1 временную характеристику
g (Г) = L~'F(p) называют импульсной, а при воздействии единичным включением с
изображением q (р) = 1/р временную характеристику й(Г) = L~'F(p)lp называют
переходной.
Изображение реакции в области оператора Лапласа
л . п , п ,
Ё dj-p' Ё аур' Ё ajpf
х(р) = -----=----------^-2------------ (3.21)
ш . rn S
2 biFf п (р-р ) П (Ь р’+Ь17р + Й •)
в общем случае может иметь совпадающие (кратные) полюсы. Однако каждый такой
полюс с практически допустимой точностью можно заменить близко расположенными
106
простыми (некратными) полюсами, что упрощает анализ. Для вычисления временной
характеристики функцию (3.21) с простыми вещественными полюсами рш- = аш- и па-
рами комплексно-сопряженных полюсов рш- |+1 = пП/~ ап/- *ju>ny при п < m 1 раскла-
дывают в простую дробь
/п
х(р) = Е Д{1(р-р^>. (3.22)
I = 1
где коэффициенты (вычеты в простых полюсах)
Д, = (р - рш)х(р) I = А <Р)1В'(р) |
Р'Рш Р~Рт
Оригиналом (3.22) является временная характеристика
х(Г) = S Д(е ш = X (Bj cosuyt + Д2у sinuyf)e = X Лу cos (оу7 + ^у )е П^.
(3.23)
Для вещественных полюсов уу = = 0; £ty = Д/ = Л,-, а для/-й пары комплексно-
сопряженных полюсов коэффициенты Д^ комплексно сопряжены и В^ = 2КеДр B^j=
- -2 Im Ду, Лу = 21 Ду |; = а^Ду, где Д2- - коэффициент того полюса/-й пары, у ко-
торого оу > 0. Автоматизацию вычисления коэффициентов Ду для функции, представ-
ленной выражением (3.21), обеспечивают следующие программы.
Программа 175/21. Вычисление коэффициентов разложения в простую дробь функ-
ции с п < т и простыми полюсами
F4 х#0 FXY 1 — Р4 4— X ПП 4
F5 X3 t F6 х» + 1/х f F5 X Р7 F6
X /-/ Р8 F2 t F7 X -ь F8 X —► F3
t F8 X Р2 F7 X t + РЗ 4— t
F2 — t 4— + Р2 С/П В/О
Инструкция: 0 = Р2 = РЗ, m = Р4, аш- = Р7, = Р8, bm = РХ В/О С/П =
= РХ В/О С/П ... й, = РХ В/О С/П F2 Р5 F3 Р6 0 = Р2 = Р3,ап = РХ В/о‘с/П
ап.х = РХ В/О С/П а„_а = РХ В/О С/П . . . а, = РХ В/О С/П а0 = РХ В/О С/П
РХ - Р2 = Re Ду, Р3= 1тДр Вычисления повторяют для всех полюсов заданной функции.
Контрольный пример: для полюса рП1 = -0,4 + jl ,2 функции х (р) = (90р3 + 188р2 +
+ 216р + 40)/(Юр4 + ЗЗр3 + 36р3 + 40р) получимД, = 1,499999 - jl,666666.
Программа 176/34. Вычисления коэффициентов разложения в простую дробь функ-
ции с п < m и простыми полюсами
П8 Сх П9 ИПА х*0 29 ПО С/П ИП8 ИПД
X ИП9 ИПС X + XY ИП8 ИПС X +
ИП9 ИПД X — П8 XY П9 L0 07 С/П
ИПВ X П6 СХ П7 ИПВ 1 — ПО С/П
ИПО X ИП6 ИПД X ИП7 ИПС X + XY
ИП6 ИПС X + ИП7 ИПД X — П6 XY
П7 L0 39 ИП6 ИП8 X ИП7 ИП9 X +
ИП6 х’ ИП7 X» + П5 -Г П1 ИП6 ИП9
X ИП7 ИП8 X — ИП5 т П2 ИП1 С/П
Инструкция: (п — РА, m = РВ) ош- = PC, = РД, аП = РХ В/О С/П ап t = РХ
С/П . . . е0 = РХ С/П bm = РХ С/П Ьт^ = РХ С/П . .. й, = РХ С/П РХ = Р1 =
= Re Др PY = Р2 = 1т Др Вычисления повторяют для всех полюсов анализируемой
функции.
1 При п = т числитель функции делятна знаменатель, получая х(р) = До + Л, (p)fB(p)
с п < т для остатка; оригиналом постоянной До является единичный импульс с весо-
вым множителем До. ] qj
Для проверки программы можно использовать условия предыдущего контрольного
примера, для которого должно получиться Д1 = 1,5 - jl ,666666. Программу 176/34
несложно преобразовать для автоматического вычисления коэффициентов Лу и или
Bvj и Вау . Например, введя в эту программу фрагмент ИПД x*0 82 -»2 + t-» меж-
ду операторами + и П5 по адресам 74 и 75 и используя при вычислениях только один
полюс с отрицательной мнимой частью из каждой пары комплексно-сопряженных полю-
сов, получим коэффициенты РХ = Р1 = В,у и PY = Р2 = В2]-, что ускорит вычисления.
Если изображение х(р) представлено выражением (3.13) с квадратичными множите-
лями нулей и полюсов, то коэффициенты вещественных полюсов
‘•I------------------------------------ •
включая полюс в начале координат ( 6J(- = />0(- = 0), а коэффициенты комплексно-со-
пряженных пар полюсов (при й .• < 46 2у 6Qy), включая полюсы на мнимой оси (bj =
= Oh-fij = Rex, (pj),B2j = —Imx, (py), где
П ( (ош. (а ,у ага- + aif) - аг/ + в#/) + j (2лау + в,у ) )
*1 (Pj) =-iyJ—; —г-----------------------------------------------------------
2‘“т 7П|((°"/ (Z’’/<7n2' +г>,/) +fto/) +j (2Ьз/°ш +*>/)wnf)
В этих формулах знаменатель вычисляют для всех квадратичных сомножителей, кроме
соответствующих i-му вещественному полюсу или i-й паре комплексно-сопряженных
полюсов.
Программа 177/21. Вычисление коэффициентов временных характеристик по отно-
шению произведений квадратичных множителей функции
F4 t F3 X2 X F2 X t F5 + XY
+ Р4 F2 X t F6 + t 4— — t F8
X 4— F7 X 4— F4 t F3 X t F7 X
Р4 F8 X t XY — P7 F4 t +
Р8 х’ t F7 х’ + 1/х t С/П БП P0
Инструкция: ввести составляющие корня очередного к-го квадратичного множителя
— Р2, = РЗ (для пары комплексно-сопряженных полюсов > 0). Если ко-
рень вещественный, то 6^ = Р7, 0 = РЗ, для комплексно-сопряженной пары полюсов
0 = Р7, b2 = апя кажД°Г0 квадратичного множителя с номером j Ф к выпол-
нить b2j = Р4, b^j = Р5, Ь: = Р6 (В/О) С/П с завершением вычислений в обычном
режиме вводом операторов F 7 X Р7 F8 /-/ X Р8; если числитель отличается от еди-
ницы, то повторить аналогичные операции для всех множителей числителя с регистра-
цией результатов Р7 = Р8 = Вычисления повторяют для корней всех множи-
телей знаменателя.
Контрольный пример: вычислить временною характеристику функции х(р) =
= 1/р(р + 1) (р’ + 0,618р + 1) (рг + 1,619р + 1) .С помощью программы 177/21 для по-
люса в начале координат выполняем: 0 = Р2 = РЗ = Р8, 1 = Р7, 0 = Р4, 1 = Р5 = Р6
В/О С/П (РХ =1) 1 = Р4, 0,618 = Р5,1 = Р6 С/П (РХ = 1) 1 = Р4; 1,618 = Р5, 1 =
= Р6 С/П (F7 X Р7 (Ви = 1) F8 /-/ X Р8 (В21 = 0).
Для вещественного полюса р = -1 выполняем: -1 = Р2, 0 = РЗ, 1 = Р7, 0 = РЗ, 0 =
= Р4, 1 = Р5, 0 = Р6 С/П (РХ= 1) 1 = Р4; 0,618 = Р5,1 = Р6 С/П (РХ = 0,523581)
1 = Р4; 1,618 = Р5, 1 = Р6 С/П (РХ= 3,588039) F7 X Р7 (В12 = -1,894212) F8
/-/ X Р8 (В„ = 0).
Для первого квадратичного трехчлена с корнями р3 4 = -0,309 ± j0,9510620 выпол-
няем: -0,309 = Р2; 0,951062 = РЗ; 0,951062 = РЗ, 0 = Р4,1 = Р5,0 = Р6 С/П (РХ =
108
= 1,105560) 0 = Р4,1 = Р5,1 = Р6 С/П (РХ = 0,7999717) 1 = Р4; 1,618 = Р5,1 = Р6
С/П (РХ = 0,7999717) F7 X Р7 (В1Э = 0,8944111) F8 /-/ X Р8 (Д„ = -4,003853 X
. Х10-’).
Для последнего квадратичного трехчлена с корнями р5 6 = -0,809 ± j0,5878096 вы-
полняем: -0,809 = Р2; 0,5878096 = РЗ = Р8, 0 = Pl = Р4 = Р6, 1 = Р5 С/П (РХ =
= 2,894197) 0 = Р4, 1 = PS = Р6 С/П (РХ = 7,576434) 1 = Р4; 0,618 = Р5; 1 =
= Р6 С/П (РХ= 19,8336) F7 X Р7 (В14 = -1,988814 • 10'4) F8 /-/ X Р8 (5„ =
= -2,752532).
Следовательно,*(Г) = (1 - 1,894212е'г + 0,8944111 e-°-J0’f cosO,951062г -4.003858Х
X 10-5e-°-’0’f sin 0,951062г - 1,989571 • 10-4е-“’809' cos 0,58780861 - 2,752532c-0'•09, X
X sinO,58780861) 1 (1). Для построения подобной характеристики по полученной форму-
ле последнюю целесообразно упростить, сокращая число многозначных операндов и пре-
небрегая членом с наименьшим значением: х(Г) = (1 - 1,8942 e*f + е”0,309f (0,8944 X
X cos 0,9510621 - (cos 0,58780861/5000 + 2,752 sin 0,58780861)e-°’5f)) 1(1). В этом
случае можно ввести в память коэффициенты -1,8942 = Р2; 0,8944 = РЗ; 0,951062 =
= Р4; 0,5878086 = Р5; 2,7525 = Р6, а остальные занести в текст программы вычисления
x(t) по заданному значению 1:
/-/ Р8 2 + е* Р7 F5 X ejx F6 X
5 ВП 3 — t — t F7 X P7
F8 t F4 X COS t F3 X t F7 — P7
F8 0 3 0 9 X е* t F7 X P7
F8 е* t F2 X t F7 + 1 + С/П
Функцию, заданную формулой (3.13) или (3.14), можно разложить на простые дро-
би по следующей более удобной программе.
Программа 178/34. Вычисление коэффициентов разложения в простую дробь по от-
ношению произведений квадратичных множителей
ИПЗ ИП1 х=0 21 X 0 П4 ИП2 2 4>
— ПС X2 — П5 ИП1 * ПЛ БП
29 П5 пд ИПЗ ИП2 П4 4. — ПС ИПВ
П8 ПО с/п ИПО х *0 32 ИПС ИП1 X t
ИП2 + П6 + ИПД X П7 ИП6 ИПС X
ИПД X2 ИП1 X — ИПЗ +• П6 ИП4 X
ИП5 ИП7 X — ИП4 ИП7 X ИП5 ИП6 X
+ П5 XY П4 L0 32 ИП8 х*0 32 ИП5
/-/ ИП4 X2 ИП5 X2 + * П5 ИП4 ВХ
П4 Сх П8 ИПА БП 31
Инструкция: (при числах ths множителей числителя и знаменателя соответственно
ввести г = РА, s - 1 = РВ) b2l = Р1, Ь,, = Р2, Ьо, = РЗ В/О С/П b22 = Pl, bl2 = Р2,
Ь02 = РЗ С/П ... b2S= Pl, btS = Р2, boS= РЗ С/П a2l = Р1, ди = Р2,а01 = РЗ С/П
. . . а2Г = Р1, а1Г = Р2,аоГ = РЗ С/П Р4 = ВП,Р5 = Ви,РС = аП1,РД = ыП1. Повто-
ряя вычисления при вводе первым очередного множителя знаменателя, найти коэффи-
циенты для вех этих множителей.
Контрольный пример: для вычисления коэффициентов временных характеристик по
данным предыдущего контрольного примера выполняем: 0 = РА, 3 = РВ, 0 = Pl, 1 =
= Р2, 0 = РЗ В/О С/П 0 = Pl, 1 = Р2,1 = РЗ С/П 1 = Р1; 0,618 = Р2,1 = РЗ С/П 1 =
= Р1; 1,618 = Р2,1 = РЗ С/П Р4= 1, Р5 = 0,PC = 0,РД = 0;
0 = Pl, 1 = Р2 = РЗ В/О С/П 0 = Pl, 1 = Р2, 0 = РЗ С/П 1 = Р1, 0,618 = Р2,1 =
= РЗ С/П 1 = Р1; 1,618 = Р2, 1 = РЗ С/П Р4 = -1,894212,Р5 = 0,РС = -1,РД= 0;
1 = Р1; 0,618 = Р2, 1 = РЗ В/О С/П 0 = Р1 = РЗ, 1 = Р2 С/П 0 = Pl, 1 = Р2 = РЗ
С/П 1 = Р1; 1,618 = Р2,1 = РЗ С/П Р4 = 0,89441108; Р5 =-3,9350558 • 10*s; PC =
= —0,309; РД= 0,951062;
109
1 = Pl; 1,618 = P2, 1 = РЗ B/O С/П 0 = Pl = РЗ, 1 = P2 С/П 0 = Pl, 1 = P2 = РЗ
С/П 1=Р1; 0,618 = Р2, 1 = РЗ С/П Р4 =-1,9888133 • 10*4; Р5 = 2,7525319; PC =
= -0,809; РД= 0,58780864.
Для вычисления временных характеристик по полученному выражению можно соста-
вить специальную программу или, в частности, воспользоваться следующей.
Программа 179/34. Вычисление временных характеристик многополюсных функций,
содержащих не более одного вещественного и трех пар комплексно-сопряженных полю-
сов, по коэффициентам разложения в простую дробь
ПД ИПЗ X cos ИПО X ИПД ИПЗ X sin
иш X + ИПД ИП2 X ех X ИПД ИП7
X cos ИП4 X ИПД ИП7 X sin ИП5 X
+ ИПД ИП6 X ех X + ИПД ИПВ X
cos ИП8 X ИПД ИПВ X sin ИП9 X +
ИПД ИПА X ех X + ИПД ИПС X ех
... X + С/П БП
Инструкция : для пар комплексно-сопряженных полюсов ввести Bti = РО, Bn = Р1,
= Р2 , Cl) П1 = РЗ, вп = Р4, В » = Р5' °п, = Pf>, со = П2 P1,B„ = PS,B„ =«.апз =
= РА, ыП} - РВ, для вещественного полюса ап = PC, значение Д записать в текст прог-
раммы вместо многоточия; выполнять t = РХ (В/О) С/ПР%=х(Т).
При анализе переходных характеристик по коэффициентам, полученным для полю-
сов функции цепи F (р), или в общем случае при анализе функции х (р) с п = т значение
До , дополненное оператором + , следует ввести в текст программы перед оператором
С/П. Например, для расчета переходной характеристики по данным, полученным в пре-
дыдущем примере, следует окончание программы 179/34, начиная с многоточия по ад-
ресу 70, записать следующим образом:
1 8 9 4 2 1 2 X -
1 + С/П БП
Введя дополненную программу в программную память, следует ввести исходные дан-
ные 0,8944111 = Р0; -4,003858 • 10*5 =Р1; -0,309 = Р2; 0,951062 = РЗ; -1,989571 X
X 10-’ = Р4; -2,752532 = Р5; -0,809 = Р6; 0,5878086 = Р7; 0 = Р8 = Р9 = РА = РВ-,
-1 = PC и начать выполнение программы со значения t = 0.
Описанный традиционный метод вычисления временных характеристик связан с не-
обходимостью нахождения корней определителя матрицы У или Z анализируемой цепи
(полюсов ее функции). Более простым может оказаться способ, основанный на опреде-
лении решетчатой функции х(л), соответствующей с требуемой точностью отсчетам не-
прерывной функции х(Г) через отрезки временнбй оси, равные интервалу дискретиза-
ции. Функцию х(л) определяют, применяя обратное z-преобразование функции x(z),
полученной по изображению искомой временнбй характеристики цепи х (р).
Программное обеспечение преобразования функции х(р) в функцию x(z),называе-
мого билинейным, описано в § 6.6, где приведены и программы обратного z-преобразо-
вания дробно-рациональных функций x(z), которое сводится к разложению функции
x(z) в ряд по убывающим степеням переменной z.
3.6. Анализ влияния обратной связи
Причинно-следственная связь, моделируемая функциональным или операторным
соотношением (1.4), является результатом последовательности таких связей. Приме-
ром может служить цепочка связей х, (ха) = 0хг; х, (х,) = д°х|; х, (<?) = 9° q (рис.
25, а), эквивалентная связи х3 (q) = 0 в°q. Иногда такие последовательности образу-
ют замкнутые контуры (рис. 25, б), описываемые системой уравнения вида
X! = 9q + (?х3; х, = дх,
НО
или в матричной форме записи
Г<?]_ Г1/в Гх.1
LoJ - L-м i J Lx,]’
В системе с подобным контуром зависимости реакций х, и х2 от независимого воздей-
ствия q определяются входными и выходными функциями
р _ _ дп _ <> . р _ Х2 = = п w
F> ~ q ~ д " (1 - 0ц) ’ ~ q Д (1 -0ц) ' (3 24)
Эти формулы справедливы лить при условии необратимости (невзаимности) хотя бы
одного из каналов прямой ц или обратной 0 передачи (д * О при 0 = 0). В этом случае в
моделируемой физической системе возникает явление, называемое обратной связью и
вызванное зависимостью причины х, от ее следствия х .
ус- в° г£1'“° И
а)
Рис. 25
Если каналы 0 и д обратимы (например, в пассивной цепи) и, следовательно, суще-
ствует единственный общий канал, связывающий х, и х2, то в этом случае х, = eq,
X; = дх, = uOq, обратная связь не возникает, а формулы (3.24) неприменимы. Напри-
мер, для трансформатора с малыми потерями можно измерить д = uBblx/wBX = п и 0 =
= ивх/ивь1х = 1/и> но подстановка этих значений в формулы (3.24) приведет к явно не-
верным результатам.
Влияние элемента цепи с параметром w, при равенстве которого разрывается контур
обратной связи, часто оценивают по величине возвратной разности V(w) — или
возвратного отношения T(w) = K(w) - 1 = (Д - Д°)/Д°, где Д° равен Д при w= 0.
Однако если числитель заданной функции цепи зависит от параметра w, то возвратная
разность лишь приближенно отображает влияние элемента с параметром w (в частности,
элемента, при удалении которого разрывается цепь обратной связи) на заданную функ-
цию. В общем случае влияние элемента физической системы (в частности, радиотехни-
ческой цепи) с параметром н> на некоторую функцию F = D/Д определяется коэффи-
циентом влияния [16 ]
Ap(w) = F°IF = D° &ID&° = D° F(w)/D, (3.25)
где индексом 0 обозначены значения функции, ее числителя D и знаменателя Д при
и» = 0.
Если при н> = 0 разрывается канал обратной передачи (0 = 0), то коэффициент
Ap(w) определяет и влияние обратной связи, контур которой замыкается через этот
канал. Например, для функций (3.24)
Л, (0) = х°/х, = 0° (1 - 0д)/0; Л2 (0) = х°2/х2 = 0°д° (1 -0д)/0д. (3.26)
Обратную связь называют отрицательной, если при ее устранении (0 = 0) значение
функции F° больше значения этой функции F при наличии обратной связи, и положи-
тельной в противном случае. Следовательно, обратная связь отрицательна при Ар (w) >
> 1 и положительна при Ар (w) < 1. Иногда обратную связь и ее влияние оценивают
только по величине (1 - 0д) или 0ц, полагая, например, обратную связь положительной
при 1 - 0ц < 1 или > 0. Однако такая оценка справедлива лишь при необратимости
каналов прямой и обратной передачи и в общем случае может привести к принципиаль-
ным ошибкам.
Для иллюстрации оценим влияние обратной связи через проводимость g3K биполяр-
ного транзистора с общей базой в эквивалентной схеме низкочастотного усилителя,
показанной на рис. 26, а, для которой матрица проводимостей
111
gc + #i + 1#ээ
-1гкэ1
1#эК1
£2 + '^кк'
0)
Рис. 26
Обозначим в = Квх = и /ес = uBXgJie = gj (gc + gBX) = gc (g3 + |g |)/((gc+^ +
+ I g 33 I ) ^2 + ’ ^KK I I g ЭК ’ ' К КЗ I ) ’ “ ^ВЫХ^ВХ Д12 / Д11 I #кэ^ ^2 + I g KK I ) ,
0 = “вх/“вых = f^3Kl/^c + gi + 1^ээ1)• Следовательно, в рассматриваемом случае
(Зд > 0, но вывод о положительности обратной связи был бы ошибочным. Действитель-
но, коэффициент влияния проводимости #эк (при g3K = 0 обратная связь отсутствует)
на коэффициент передачи напряжения Кис = “BbIX/«c = ?сдц/д определяется соотно-
шением
ЛК^эк) = । ^кэ1 Г<£эк>/<1 «кэ1 ~ 1£эк।) »
возвратная разность с учетом параметров транзистора |^эб1 = 1^ээ1 - |g3K|; I ggK । =
= |gKKl - I £эк1 выражается формулой
у(„ \ — & = 1 + ' ^ЭК ' (К С + gl + 1^эб' + ^бк I + 1^ЭК ' ~ I ^КЭ I)
эк Д° (?с +gi + 1яэб1) (g} + I£бкI)
и всегда больше единицы, так как в биполярном транзисторе 1#кэ1 < 1#ээ1 = |?эб1 +
+ 1?эк1- Так как 1#кэ1 > I £эк I, то дополнительный множитель коэффициента влияния
близок к единице и его влияние сказывается лишь при очень большой проводимости
нагрузки, когда коэффициент передачи напряжения меньше единицы и влияние обрат-
ной связи проявляется в его увеличении ближе к единичному уровню.
Формальный подход к оценке влияния обратной связи приводит и к ряду других
ошибочных заключений. Примером может служить распространенное утверждение о
"100%-ной обратной связи" в катодном (рис. 26, б) или эмиттерном повторителе.
Для его обоснования ссылаются на равенства ивх = иск + ивых и ивх = Киск, откуда
“вых/“вх = + Ю или> ПРИ -1 ~ & “вых/“вх = Kl V ~ РК). Однако исходные ра-
венства не имеют отношения к обратной связи, так как первое следует из уравнения
Кирхгофа для напряжений между выводами любого трехполюсника, а второе указыва-
ет, что отношение ивх/иск обозначено буквой К. Между тем обратная связь в повторите-
ле определяется лишь влиянием проводимости участка сетка — катод лампы или убэ
биполярного транзистора, а р > 0 и значительно меньше единицы (кстати, при обычном
для ламп допущении ic = 0 на низких частотах обратная связь вообще не может суще-
ствовать, так как в этом случае (3 = 0).
В общем случае, как следует из (3.25), анализ влияния обратной связи в оператор-
ной, частотной или временной областях сводится к вычислению многочленов числителя
и знаменателя коэффициента влияния параметра цепи, при равенстве нулю которого
разрывается контур исследуемой обратной связи, с последующим вычислением при не-
обходимости оригинала коэффициента влияния. Если анализируемая цепь устойчива при
w = 0, но при увеличении этого параметра коэффициент влияния становится равным
нулю, то в анализируемой цепи возникает самоподдерживающийся (от сторонних источ-
ников энергии, в частности источников питания активных компонентов) физический
процесс, называемый самовозбуждением. Этот процесс ограничивается нелинейностью
параметров цепи и при потере устойчивости цепь перестает быть линейной даже при са-
мом малом входном сигнале.
112
Инженер оценивает свойства проектируемого и еще не существующего в природе
объекта по его математической модели. Устойчивость проектируемой цепи является ос-
новным показателем физической реализуемости ее модели в виде устройства, работа-
ющего в линейном режиме. Основным свидельством устойчивости анализируемой цепи
является затухание временной характеристики после прекращения воздействия. Как
следует из (3.23), это условие соответствует расположению всех корней определителя
матрицы К или Z цепи (полюсов функции) слева от оси jw на плоскости Лапласа, где
вещественные части корней отрицательны. В связи с громоздкостью вычисления корней
многочлена
Д= bmpm + bm_lpm“ + ... + btp1 +blP + ba
для оценки его устойчивости (и устойчивости соответствующей цепи) используют бо-
лее простые алгебраические или частотные критерии.
Согласно критерию Рауса - Гурвица алгебраический многочлен устойчив, если по-
ложительны коэффициент , определитель и главные миноры матрицы
bm-i ьт
ьт-з ьт-г
О О
О О
О О
О О
bt bt
Для составления такой матрицы порядка т -1 достаточно записать на главной диагона-
ли коэффициенты bm w1, bm ,... , b3, Ь3, Ь,, справа от них - коэффициенты при стар-
ших, а слева - младших степенях переменной р многочлена.
При решении многих задач проще использовать критерий Гурвица, основанный на
представлении анализируемого многочлена Д = М (р) + N(p) суммой четной М(р) =
= . . . + btp* + Ь3р* + Ьо и нечетной N(p) = ... + btps + b}p3 + blP частей и разложении
в цепную дробь отношения М (р) /Nip) при четной степени т многочлена или N(p) /М(р)
при нечетной степени. Анализируемый многочлен устойчив, если положительны все ко-
эффициенты Cj такой дроби, например,
М(р)
Н(Р)
сгр+ -----
с3р + .
1 _________________
1
стР
(3.27)
Как следует из (3.27), многочлен второй степени устойчив при а0 > 0; а1/аг > 0. Для
оценки устойчивости многочленов высшей степени по критерию Гурвица можно вос-
пользоваться следующими программами.
Программа 180/21. Разложение в цепную дробь отношения четной и нечетной частей
многочлена степени т <12
F2 t F8 Р2 4- Р8 F3 4— РЗ ПП F7
F4 Р4 ПП F7 F5 Р5 ПП F7 F6
Р6 ПП F7 F7 - Р7 ПП F7 4— 0 —► F8
XY XY 4— Р8 4— XY В/О С/П БП РО t F8 X t —►
Инструкция: Ьт = Р2, Ьщ-г ~ Р^' Ь, 71-4 = Р4... “ьт -и — Р8,Ьт wl = С1, Ь1П_3 —
С2, Ь, П-s “ СЗ,.. • ’Ьт .„ = С6 В/О С/П РХ=с, С/П РХ = с, ... С/П РХ=ст_,
С/П РХ^ст.
Анализируемый многочлен устойчив, если все вычисленные коэффициенты с,- поло-
жительны. Эту программу можно полностью автоматизировать, включив проверку зна-
ка вычисляемого многочлена.
113
Программа 180а/21. Проверка устойчивости многочлена степени т < 12
F2 t F8 4— Р2 х*0 7 -Г Р8 F3 РЗ
ПП F8 F4 Р4 ПП F8 F5 4— Р5 ПП F8
F6 Рб ПП F8 F7 4— Р7 ПП F8 0
F8 XY Р8 XY х<0 сх —> С/П БП
РО t F8 X t —► XY 4— В/О
Исходные данные вводят для этой программы, как и для предыдущей, но при устой-
чивости многочлена после выполнения программы высвечивается нуль. При высвечива-
нии положительного (с,- = 0) или отрицательного числа (с, < 0) многочлен неустойчив.
Время выполнения программы зависит от степени анализируемого многочлена, но не
превышает 4 мин.
Контрольный пример: для многочлена р’ + 2р* + 2р3 + 4р’ + р + 1 получим РХ =
= 0,5 (многочлен неустойчив), для многочлена р’ + 21р‘ + 196р5 + 910р4 + 2359р’ +
+ 3388р’ + 2484р + 720 получим РХ = 0 (многочлен устойчив), для многочлена 2р4 +
+ Зр*+р’+5р + 1 получим РХ = -1,2857 (многочлен неустойчив).
Программа 181/34. Проверка устойчивости многочлена степени т < 11
t 1 + ПД 1 + ПО КИПО КИПО +
КПД </“ КИПО КИПД КИПО X - ИПО 2 +
ПО XY КПО КИПО ИПО 3 - х<0 12 ИПД
2 - х=0 01 С/П
Инструкция: = Р1, Ь, = Р1,Ьг - РЗ, ... , b, = P9,b, = РА, Ь19 = РВ, bu = PC,
И = РХ В/О С/П РХ= 0,Р2 = ct,P3 = ct..........Р9 = с,,РА = с,,РВ= с,„,РС= cllt
если многочлен устойчив, или РХ = ЕГГОГ, если многочлен неустойчив.
Программа 182/34. Проверка устойчивости многочлена степени т < 12
ИПД 2 + ПД КИПД ПС ИПД 1
КИПД ПВ ИПД 2 —
ИПС КИПД X ИПД 1 + ПД —►
X XY — ИПВ + кпд yj
— х <0 18 —> 3 — х=0 01
ПД
ПД -
ИПВ КИПД
ИПД 3
С/П БП
Инструкция: Ь„ = PO.bt = Pl, . . . , b, = Р9, Z>10 = РА, bti = РВ, Ь1г = PC, т - 2 =
= РД (В/О) С/П РХ — 0, если многочлен устойчив, или РХ = ЕГГОГ, если многочлен
неустойчив. Время счета при т = 12 около 6 мин.
Если не требуются коэффициенты разложения в цепную дробь, то устойчивость мно-
гочленов целесообразно проверять с помощью программы 182/34, которая при одинако-
вой степени т выполняется дольше предыдущей, но с более точным результатом вы-
числений.
В радиотехнической практике обычно используют частотные критерии устойчивости,
основанные на построении частотных годографов — геометрических мест комплексных
значений функции аргумента jo>. Рас-
стояние от начала координат до точ-
ки годографа, соответствующей ча-
стоте ы, равно модулю функции на
этой частоте, а угол между положи-
тельным направлением веществен-
ной оси и направлением на эту точ-
ку - фазовому углу на частоте и.
Условно принято, что частотный го-
дограф охватывает область комплек-
сной плоскости, остающейся при уве-
личении частоты справа от годографа (рис. 27). Цепь устойчива, если годограф не охва-
тывает критическую точку на комплексной плоскости функции цепи, причем запас
114
устойчивости определяется кратчайшим расстоянием от критической точки до годогра-
фа функции устойчивой цепи.
Согласно известному критерию Найквиста система с обратной связью (см. рис. 25,6)
устойчива, если частотный годограф 0ц (jcu) не охватывает точки с координатами (1, 0),
в которой 0м = 1 (рис. 27,а). Этот критерий имеет ограниченное применение и справед-
лив, если функции ц и 0 имеют полюсы в левой полуплоскости Лапласа.
Более универсален и пригоден также для анализа цепей с двухполюсными активными
компонентами обобщенный критерий Найквиста, согласно которому цепь устойчива, если
частотный годограф возвратной разности V(Wj) = A(jo>)M° (jo>),rfle Д° соответству-
ет заведомо устойчивой цепи, не охватывает начала координат, или частотный годограф
возвратного отношения не охватывает точки с координатами (-1, 0). Этот критерий
пригоден и для случая, когда возвратная разность (или отношение) определена для
множества параметров, при равенстве нулю которых цепь заведомо устойчива.
Если требуется лишь оценка устойчивости анализируемой цепи, то можно принять
А ° = 1 и свести исследование к построению частотного годографа определителя А (jcj).
Цепь будет устойчивой, если этот годограф не охватывает начала координат (рис. 27, ff).
Для построения частотных годографов многочлена определителя можно использовать
следующие программы.
Программа 183/21. Вычисление многочлена степени т < 10 мнимого аргумента
РЗ X2 t F5 X /-/ t F8 + t F3 X
Р6 F3 X2 t F4 X /-/ t F7 + ПП 6
ПП 6 ПП 6 ПП 6 ПП 6 ПП 6 ПП 6
С/П БП /-/ t Р0 F2 t —► F3 Р2 X + t В/О F6 XY P6 F3 X
Инструкция bl(l = Р5) w= J : (* аХ о = « (В/О) , b, = Cl, b, = С2, С/П РХ= Re В (си), Pf> = Z>6 = C6, Z>, Ini В (o>). = F7, i>, = PS, b, = P4
Контрольный пример: время вычисления многочлена В (р = j2) = Юр10 + Эр’ +
+ 8р* + 7р’ + 6р‘ + 5р* + 4р4 + Зр3 + 2р3 + р + 1 = -8519 + j3850 составляет около 23 с.
Программа 184/21. Вычисление многочлена степени т < 12 мнимого аргумента
T F3 X t F6 XY P6 F3 x2 X /-/ t
F5 ПП FCX F4 ПП FCX F8 ПП FCX F7 ПП FCX
ПП F7 ПП F7 ПП F7 ПП F7 ПП F7 ПП F7
F2 —> P2 + С/П БП P0 F2 -» P2 + t
F3 X t F6 XY P6 F3 x /-/ t B/O
Инструкция: (,b„ = P2, bt = Cl, . . .,bf = C6, 6, = Pl = F8, b, = P4,ft10 =P5)
w = P3, b 13 - P6,b„ = PX (B/O) С/П PX = RcB(w),P6 = ImB(w).
Контрольный пример: время вычисления многочлена В(р = j2) = 12р13 + 11р“ +
+ Юр10 + 9р’ + 8р' + 7р7 + 6р‘ + 5р5 + 4р4 + Зр3 + 2ра + р + 1 = 40633 - jl 8678 состав-
ляет около 30 с.
Программа 185/21 . Вычисление нормированного (bl3 = 1) многочлена степени m =
= 13 мнимого x’ - аргумента t F3 X t F6 XY Р6 F3 X2 X
/-/ t F5 ПП FCX F4 ПП FCX F8 ПП FCx F7
ПП FCX ПП F7 ПП F7 ПП F7 ПП F7 ПП F7
ПП F7 F2 Р2 + С/П F2 Р2 + t
F3 X t F6 XY Р6 F3 X /-/ t В/О
Инструкция: (t„ = Р2, 6, = С1, . . . , bt = С6, 6, = Р7, b, = Р8, Z>, = Р4, bl0 = Р5)
Ь1г = Р6,Ьи = РУ,ы=РЗ = РХ В/О С/П РХ= ReB(w),P6 = ImB(w).
Контрольный пример: время вычисления многочлена В (р = j2) = р” + 12р12 +
+ 11р‘* + Юр10 + 9р’ + 8р’ + 7р’ + 6р6 + 5р! + 4р4 + Зр3 + 2р3 + р + 1 = 40633 —
- jl0486 составляет около 30 с.
115
Программа 186/34. Вычисление многочлена произвольной степени мнимого аргумента
Р2 F7 t F3 X t F8 XY Р8 F3 X /-/
t F2 + Р7 F4 1 - Р4 С/П БП РО
Инструкция: ы = РЗ, m = В4, bm = Р7, 0 = Р8, bm , = РХ В/О С/П РХ = m - 1,
Ьт_г = РХ С/П РХ = т - 2, . . . , Ъ, = РХ С/П РХ = 1, = РХ С/П РХ = 0.Р1 =
= Re В (ш), Р8 = 1тВ (ы).
Контрольный пример: время вычисления В(р = j2) = 2p + l = l+ j4 составляет
около 5 с.
Особенности входного языка МК34 обеспечивают повышение максимальной степени
вычисляемых по следующим программам многочленов.
Программа 187/34. Вычисление многочлена степени т < 11 мнимого аргумента
ПС ИПО ИПД 1 + ПО Сх I КИПО х*0
22 + ИПС X XY ИПС X О XY -
БП 08 + - - - ПО + С/П БП
Инструкция: (Ь„ = РО, b, = Р1..b, = Р9, blQ = РА, Ьи = РВ,т= РД) ш= РХ
(В/О) С/П РХ= ReB(u>),PY= ImB(w),PC= w.
Контрольный пример: время вычисления многочлена В(р = j2) = Пр11 + Юр” +
+ 9р’ + 8р" + 7р’ + 6р‘ + 5р* + 4р4 + Зр3 + 2р3 + р + 1 = -8519 - jl8678 составляет око-
ло 47 с.
Программа 188/34. Вычисление многочлена степени т < 15 мнимого аргумента
ПС хг X ИПД XY — ИПС X ПД
ИПС X1 X XY — ИПС хг X ипв ПП
56 ИПА ПП 56 ИП9 ПП 56 ИП8 ПП 56
ИП7 ПП 56 ИП6 ПП 56 ИП5 ПП 56 ИП4
ПП 56 ИПЗ ПП 56 ИП2 ПП 56 ИП1 ПП
56 ИПО + С/П БП 00 + ИПС X ИПД
XY пд XY ИПС X 0 XY - в/о
Инструкция • (Ь. = во, ь, = В1, . . = = Р9,Ь 10 = PA.b„ =РВ) bi2 = РД, Ь13 =
= РХ t Ь„ = РХ t 614 = РХ t ы = РХ (В/О) С/П РХ= ВеВ(Д),РД= ImB(w),
РС= ш.
Контрольный пример: время вычисления многочлена В(р = j2) = 15р15 + 14р” +
+ 13р” + 12р” + Пр” + Юр” +9р’ + 8р’ + 7р7 + 6р6 + 5р3 + 4р* + Зр3 + 2р2 +р +
+ 1 = -188743 - J403702 составляет около 60 с.
Программа 189/34. Вычисление нормированного (blt = 1) многочлена степени т =
= 16 мнимого аргумента
ПС X X* ПД XY ИПС ИПС X3 X1 X X XY ипд + + ИПС ИПС X»
X ИПВ ПП 59 ИПА ПП 59 ИП9 ПП 59
ИП8 ПП 59 ИП7 ПП 59 ИП6 ПП 59 ИП5
ПП 59 ИП4 ПП 59 ИПЗ ПП 59 ИП2 ПП
59 ИП1 ПП 59 ИПО + с/п БП 00 +
ИПС X ИПД XY пд XY /-/ ИПС X В/О
Инструкция к этой программе идентична предыдущей.
Контрольный пример: время вычисления многочлена В (р = j2) = р” + 15р” +
+ 14р” + 1 Зр13 + 12р” + 11р“ + Юр” + 9р’ + 8р’ + 7р’ + 6р‘ + 5р5 + 4р" + Зр3 + 2р5 +
+ р + 1 = -123207 - J403702 составляет около 60 с.
Программа 190/34. Вычисление многочлена произвольной степени мнимого аргумента
ИП9 /-/ ИП8 X + ИП7 ИП9 X П8 XY
П7 ИП4 1 - П4 С/П БП
116
Инструкция: m = Р4, bm = Pl,0 = РЗ, ы = Р9, bm_l = РХ (В/О) С/ПРХ=ш-1,
bw_, = РХ С/П РХ — m - 2,.=РХ С/П РХ= 0,Р1 = Re5(a>),P8= ImB(w),
Р9 = со . Время счета около 6 с.
При m < 10 или m < 11 соответственно программы 183/21 или 187/34 для сокраще-
ния времени счета можно сократить, устранив излишние обращения к памяти и изменив
адреса переходов и начало программ.
При практическом исследовании устойчивости радиотехнических цепей следует не
забывать о возможности самовозбуждения за пределами рабочей полосы частот и учиты-
вать те паразитные параметры компонентов и их соединений, которые могут привести к
неустойчивости. Неустойчивость может возникнуть и на очень низких частотах (на по-
стоянном токе) в цепях питания. В этом случае при учете соответствующих параметров,
включая и внутреннее сопротивление источника питания, условием устойчивости явля-
ется положительность определителя цепи для постоянного тока.
Обратная связь существенно влияет на зависимость нестабильности функций цепи от
нестабильности параметров цепи, охваченной контуром обратной связи. В общем случае
любую функцию цепи можно рассматривать как функцию ее параметров w,, . . . ,
и представить разложением в ряд Тейлора
к ЛР к к АЗ р
5=7 "<*.?,
где Fa - значение функции при номинальных значениях параметров, а Д»,- - отклоне-
ние i-го параметра от номинального значения.
При анализе цепи с достаточно малыми изменениями параметров ограничиваются
учетом лишь линейных членов рассмотренного ряда, откуда относительное изменение
функции
= Д _^L = E sf(b-,.)5W/, (3.28)
гае = ^Wjlwj — относительное изменение (-го параметра.
Величины Sp(Wj) = (WjlF)dF/dWj называют чувствителъностями (1-го порядка)
функции F к изменениям i-ro параметра. На практике удобно оценивать чувствитель-
ность при достаточно малом (например, на 0,1 %) изменении параметров. Заменив про-
изводные отношением приращений, получим расчетную формулу
SF(Wl.) = (W./F) (Fo -F)/F= 100(F0/F- 1), (3.29)
где F - значение функции при изменении i-ro параметра на 0,1 %. Для вычисления чув-
ствительности достаточно дважды повторить вычисление значений функции F и Fa.
Глава 4
АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
4.1. Аппроксимация нелинейных характеристик
Нелинейные цепи анализируют в основном численными методами, поскольку ана-
литическое решение практических задач удается найти крайне редко. Исследуя поведе-
ние нелинейной цепи, инженер прежде всего сталкивается с задачей аппроксимации не-
линейных характеристик (в основном характеристик нелинейных компонентов цепи),
часто задаваемых экспериментально полученными табличными или графическими мо-
делями. Для упрощения последующего анализа к аппроксимации прибегают и тогда,
когда известно аналитическое выражение характеристик нелинейных компонентов.
При выборе аппроксимирующего выражения и способа аппроксимации учитывают
необходимую точность и требуемый интервал аппроксимации, а также цель и методику
последующего использования аппроксимирующего выражения. Нелинейные характе-
117
ристики обычно аппроксимируют степенными многочленами, надлежащий выбор степе-
ни п которых и значений коэффициентов обеспечивает требуемую точность аппрокси-
мации в заданном интервале. Простейший способ аппроксимации заключается в состав-
лении интерполирующего выражения. В этом случае задача аппроксимации сводится к
определению л + 1 коэффициентов многочлена степени л путем решения системы линей-
ный уравнений, составленных для условия точного совпадения аппроксимирующего
выражения с заданной характеристикой в л + 1 точках (узлах интерполяции).
Обычно узлы интерполяции располагают через одинаковые интервалы (шаг h ) аргу-
мента, причем начало координат часто выбирают в центре интервала аргумента, в кото-
ром выполняется аппроксимация. В этом случае для определения коэффициентов ап-
проксимирующих степенных многочленов степени л < 8 достаточно использовать фор-
мулы при четной степени л (нумерация отсчетов указана на рис. 28, а):
а. = (О, + У-< - 2у0) - 8 (Уз + У-з “ 2у0) + 28 О, + у.3 - 2у0) - (у, + у_, -
- 2уо))/4О 320Л»;
а, = (О, ~У.,) - 6(у, -Л.») + 140, ~У.г) - 14О. -у_1))/10080й7;
а, = (Оз + У-, - 2УО) “ 6(у3 + у., - 2у0) + 15 (у, + у_, - 2уо))/720й‘ - 14а,Л1;
а, = ((Уз — У-з) — 4 (уа -у_2) +5 (у, -y.t))l2AW - 14а,й2;
о, = (О, + У., - 2у„) - 4 (у, + у_, - 2у0))/24й4 - 5а,й2 - 21л,й4;
а3 = (Оз -У.,) - 201 -У.,))/12йэ - 5а,й2 - 21а,й4;
а, = О! + У., ~ 2у0)/2й2 -е,й2 -а.й4 -е.й4;
а, = 01 - У-i )/2Л - аэй2 -алН* -а,№;
“о = У о
и при нечетной степени л (рис. 28, б) :
= (О, ~У.,) -70,-У.з) +210, -У.,) - 35(у, -у.,))/5040й’;
а, = (О, +У-,) ~ 5 (Уз + у.,) +9(у2 +у_2) - 5 (у, + у., ))/1440й6;
а, = (О, -У.,) -5(Уз -у.,) + 10(у, -у.|))/120й’ - 35а,й2/4;
а, = (О, +У-.) " 30, +У.,) + 2(у, +у.,))/48й* - 35а,й2/4;
»з = (О, — У-з) -30. - У-,))/6А3 -5а,к2/2-91а,к*Ц6-,
а, = (О, +У.,) - О, + У.,))/4й2 -5а,й2/2-91а,й4/16;
а. = 01 -y.t)lt> -а,й2/4-а5й4/16-а,й‘/24;
а„ = (у, + у.,)/2-е,й2/4-a,^/16-е,й‘/24.
Например, при пяти значениях у(- аппроксимируемой характеристики, принимая у. э =
= у_4 = Уз = У, = 0, по приведенным формулам получаем:
а, = (Оз +У.з -2у„) -4(у, +у.,‘-2y0))/24^;
а, = (Оз -У.,) ~2(У, -У.,))/12й3;
а3 = 01 + У-1 - 2у<,)/2й2 - е,й2;
ei = 01 -У.1)/2й -а,й2;
«о =Уо-
Автоматизацию вычислений по этим формулам обеспечивает следующая программа.
118
Программа 191/21. Вычисление коэффициентов интерполирующего многочлена сте-
пени л = 4
F2 1 F3 ПП /-/ F6 t F2 ПП /-/ 4
ПП ^х Р4 XY 2 ПП сх XY F4 —*
F8 1/х XY X С/П F8 -г t БП 4 Р7
— 2 4- t 4— F7 + t F4 — В/О 4-
1 —> —► Р2 — 3 -г t F2 — /-/ В/О
Инструкция: у_2 = Р2, у., = РЗ, у0 = Р4,у, = Р5,у, = Р6,й = Р8, В/О С/П РХ =
= в, С/П РХ = а2 С/П РХ = а3 С/П РХ = ал (а„ = у0).
Контрольный пример: для у_2 = е“‘ = 0,3678794; у_, = е*0’5 = 0,6065307; yQ =
= е’ = 1; у, = е0’8 = 1,648721; у2 = е‘ = 2,718281; Л = 0,5 получим (время счета
около 15 с) о„ = у„ = 1; а, = 0,9978533; а2 = 0,4996442; а, = 0,1773476; а, =
= 0,0434361.
Аналогичные программы для п < 4 несложно составить и на входном языке МК34,
но при л > 4 для вычисления коэффициентов аппроксимирующего многочлена по при-
веденным формулам нужен пакет программ, что увеличивает время вычислений. В этом
случае целесообразнее использовать интерполяционный многочлен Ньютона [б], записав
его в виде
Р(х) = а0 + а, (<? - <?0) + a, (q - <?0) (<? - <?0 - 1) + ... + (<? - <?0) (q - q„ - 1) ...
л / -1
• • (<7 - <7о ~ " + 1) = S <*1 П (<? - q„ - Л,
i = о ] - о
где а, (коэффициенты интерполирующего многочлена Ньютона) определяют через на-
чальные разности (-го порядка оц = й1уа11'., причем значения интерполируемой функ-
ции и узлов интерполяции пронумерованы в порядке воз-
растания положительных значений аргумента (рис. 29): q =
= x/h - нормированный аргумент, а 0 = х„1И - его зна-
чение в первом узле (если начало отсчета совпадает с пер-
вым узлом, то q0 = 0) •
Преобразуя многочлен Ньютона, составим алгоритм
вычисления коэффициентов а, аппроксимирующего сте-
пенного многочлена по коэффициентам а/ многочлена
Ньютона:
1. ПрИНЯТЬ 0’ = Uj.
2. Для к = 1,2....л-1 вычислить
вк = !131~‘ к пРи/<*>
1 (0/ ' ~ too + ” _ При 1 * к-
3. Вычислить a-t = (з”“‘ /h‘.
Вычисление коэффициентов многочлена Ньютона по отсчетам у,- аппроксимируемой
функции и коэффициентов аппроксимирующего многочлена в соответствии с приведен-
ным алгоритмом обеспечивают следующие программы.
Программа 192/21. Вычисление коэффициентов интерполяционного многочлена
Ньютона степени л < 6
Р2 РЗ Сх Р8 F8 1 + Р8 Р6 7 — Р7
F2 t F3 *- Р2 XY — t F8 4- РЗ F7
1 + х= 0 XY F3 4— Р2 РЗ F6 1 — Р6
х< 0 F, F8 6 — х=0 Ft F2 С/П
Инструкция: у, = Cl, у, = С2,... ,уб = С6,у0 = РХ В/О С/П РХ= Р2 = at,Cl =
= а0, С2 = а,, СЗ = а2,. .. , С6 = а3.
119
Программа 193/21. Вычисление коэффициентов д, аппроксимирующего многочлена
степени п < 6 по коэффициентам а.- многочлена Ньютона «— t F4
F6 - Р2 F7 Р4 1 Р6 Р5 F2
X XY - XY — Р2 F5 1 — Р5 *=0
PXY F4 1 — Р4 F6 6 — **0 Р8 7 +
Р6 Р5 F2 Р2 F5 1 — *=0 F6 F6 БП
F1 1 t F2 4— X Р2 с/п F8 4 БП Р-
Инструкция: 5 - Qo = Р7, й = Р8, “о = С1,а, = С2,.. . ,а5 = Сб.а , = Р2 В/О С/П
РХ = а„ С/П РХ = ах С/П РХ=аг ... С/П PX = at.
Контрольный пример: при ух — 5; 10; 30; 50; 55; 57 и й = 0,2 с выбором начала
координат в середине интервала аппроксимации 0?о = 2,5) по программе 192/21 полу-
чим (время счета около 2 мин) аб = Р2 = РХ — -0,1694444; as = С6 = 0,225; а4 =
= С5 = 0; а, = С4 = -2,5; а2 = СЗ = 7,5; а, = С2 = 5; а0 = С1 = 5. Так как коэфи-
циент а6 вычислен в предположении наличия седьмого узла со значением у6 - 0, то его
следует стереть (С* Р2), не изменяя содержимого остальных регистров памяти, ввести
программу 193/21; 2,5 = Р1; 0,2 = Р8. После выполнения программы (время счета око-
ло 3 мин) получим коэффициенты аппроксимирующего многочлена Р(х) = 41,25390 +
+ 103,7578л - 128,9062*’ - 382,8125*’ + 351.5625*4 + 703,125*’.
При автоматической фиксации начала координат в середине интервала аппроксима-
ции (?0 = л/2) с помощью следующей программы можно значительно повысить степень
интерполяционных многочленов.
Программа 194/34. Вычисление коэффициентов интерполяционных многочленов
степени п < 9
С* пд КИПД ПВ ИПД 1 4 ПС ИПД 1
+ пд ИПВ КИПД ПВ XY — ИПС 4 КПД
ИПД ИПА — *=0 08 ИПС пд ИПА — *=0
02 ИПА 2 't- ПС ИПА 1 — пд ПВ
ИПС 1 4. ПС ИПВ 1 4 ПВ КИПВ ИПС
X ИПВ 1 — ПВ XY КИПВ XY — кпв
ИПВ 1 4 ПВ ИПА — *=0 44 ИПД *=0
36 ПД 1 ПС с/п ПВ КИПД ИПС 4 с/п
ИПС ИПВ X ПС ИПД 1 + пд БП 76
Инструкция: у, = Р0, у, = Р1, .... у, = Р9,п = РА В/О С/П РХ = 1, й = РХ С/П
РХ = а„ С/П РХ = а, ... С/П РХ = ап- Время счета зависит от степени многочлена.
Для изменения положения интервала аппроксимации относительно начала координат
следует делитель 2 по адресу 32 заменить делителем 1/й = л/(п - <?„) (например, при
совпадении начала координат с первым узлом интерполяции к — 1,а с последним узлом
к = 0) и уточнить адреса переходов. Если <?0 = 0, то целесообразно использовать следу-
ющую более короткую программу.
Программа 195/34. Вычисление коэффициентов интерполяционных многочленов сте-
пени п < 9 при q0 = 0 КИПД ИПВ ПВ КИПД ИПД ПВ 1 XY + ПС ИПС ИПД 1 кпд
с* пд пд
ИПД ИПА — *=0 08 ИПС пд ИПА — *=0
02 ИПА 1 — ПС ПВ ИПВ 1 + пд
КИПВ КИПД ИПС X — кпв ИПВ 1 + ПВ
ИПА — *=0 36 ИПС 1 — *=0 34 пд
1 П6 с/п ПВ КИПД ИПС т С/П ИПС ИПВ
X ПС ИПД 1 4 пд БП 64
Инструкция к этой программе идентична предыдущей.
120
Если степень выбранного для аппроксимации многочлена меньше числа узлов аппрок-
симируемой функции более чем на единицу (п < N- 1), то коэффициенты аппроксими-
рующего многочлена часто определяют методом наименьших квадратов. Минимум сум-
марного квадратичного отклонения многочлена от заданной табличной модели достига-
ется при определении коэффициентов многочлена д, решением системы линейных
уравнений
л Exz- Ex? 1 ГдЛ 'еу,.
Exf
Ex? Ex? *1 ... s*;"] [«nJ
При квадратичной аппроксимации у = д 0 + д,х + д,х2 вычисления автоматизируют с
помощью пакета программ 196/21 и 124/21.
Программа 196/21. Формирование системы уравнений для определения коэффици-
ентов аппроксимирующего квадратичного многочлена методом наименьших квадратов
Р7 XY Р8 F2 х=0 X РЗ Р5 7 Р6 сх 4—
F6 1 — х=0 1 1 + Р2 F7 f F3 +
РЗ ПП Р- Р4 ПП Р- 4— ПП Р- F8 t F5
+ Р5 ПП Р- ПП Р- 4— F4 Р7 F3 Р6 С/П
БП Р0 F7 X t F6 4— + Р6 В/О
Инструкция к пакету из программ 196/21 и 124/21: ввести программу 196/21; 0 = Р2,
Уо = PY, х0 = РХ В/О С/П у, = PY, х, = РХ С/П yt = PY, хг = РХ С/П ... yN=
= PY, хщ= РХ С/П ; не изменяя содержимого памяти, ввести программу 124/21; В/О
С/П РХ = Р8 = д,, Р7 = д,, Рб = д0.
На микрокалькуляторе с входным языком МК34 те же результаты можно получить
с помощью одной программы.
Программа 197/34. Вычисление коэффициентов квадратичного аппроксимирующего
многочлена методом наименьших квадратов
ПА XY ПВ 1 ПС пд ПП 79 ИПЗ П4
5 ПД ПП 81 ИПВ ПС ПП 79 С/П ПП
26 ПП 32 ПП 37 с/п ИП6 ИП4 t ПП
74 П6 ИПЗ ИП2 ПП 73 ПЗ ИП8 ИП7 ПА
ПП 73 П7 ИП9 ИПА ИП4 ПП 74 П8 ИПА
ИП1 4- П9 ИП5 ИП4 ПП 73 ПА ИП4 ИП1
4- П5 ИП2 ИП1 4- П4 ИПА П2 ИПЗ П1
ИП6 ПЗ В/О ИП2 X ИП1 4- — В/О ПП
83 ПС ПП ИПД 83 1 ИПС + КИПД ПД + В/О кпд ИПС ИПА X
Инструкция : 0 = Р1 = РА = .. . = /* = PY, х, , = РХ В/О С/П (время счета око-
ло 45 с) у, = PY, xt = РХ В/О С/П у, = PY, х, = РХ Ъ/О С/П .. .уд,= PY, xN= РХ
В/О С/П; после обработки последней пары отсчетов выполнить С/П Р7 = До, Р8 = д|(
Р9 = а2 (время счета около 60 с).
Контрольный пример: при (х,-; у() = (1; 5), (2; 10), (3; 2) с помощью программ
196/21 и 124/21 получим коэффициенты многочлена у = -13,00001 + 24,50012х -
- 6,50003ха, а с помощью программ 197/34 - многочлена у = -12,999988 + 24,499985х -
- 6.4999967Х1.
Вычисление методом наименьших квадратов коэффициентов аппроксимирующего
кубического многочлена обеспечивают пакеты из программ 198/21 и 128/21 или 199/34
и 126/34.
121
Программа 198/21. Формирование системы из четырех уравнений для вычисления
коэффициентов аппроксимирующего многочлена методом наименьших квадратов
Р7 F2 + Р2 ПП F7 F3
+ Р4 ПП F7 F5 + Р5
6 ПП 6 ПП 6 ПП 6
С/П БП РО F8 + <- Р8
+ РЗ ПП F7 F4
1 t ПП 6 ПП
ПП 6 ПП 6 F8
F7 X t В/О
Инструкция к пакету из программ 198/21 и 128/21. ввести программу 198/21 и очис-
тить все регистры памяти, включая стек; у0 = PY, х0 = РХ В/О С/П РХ = 1,у, = PY,
х, = РХ С/П РХ = 2 ... yN= PY, xN= РХ С/П РХ = PS = N. Cl = Хх,-, С2 = Хх/,
СЗ = Хх/, С4 = Хх/, С5 = £х/, С6 = Хх/, Р2 = Ху,-, РЗ = Ху,-х,-, Р4 = ZyjX-, Р5 =
= Ху,х/; зарегистрировав полученные результаты на вычислительном бланке, вычис-
лить искомые коэффициенты с помощью программы 128/21.
Программа 199/34. Формирование системы из четырех уравнений для вычисления
коэффициентов аппроксимирующего многочлена методом наименьших квадратов
ИПО х=0 22 XY ПД 1 3 ПО П1 Сх
КП1 L0 10 ИПД ПО П2 сх ПД П1 ИПО
С/П t П6 иш + П1 XY П7 ИПА
+ ПА ИП6 t х’ t ИПЗ + ПЗ —►
X t ИП4 + П4 —> X t ИП5 +
П5 X t ИП8 + П8 X ИП9
+ П9 —* t ИП7 X t ИПВ + ПВ
X t ИПС + ПС X ИПД +
пд L0 19 ИП2 ПО ИПЗ П2 ИП4 П6 ИП5
П7 сх С/П
Инструкция к пакету из программ 199/34 и 126/34: ввести программу 199/34; 0 =
= РО, N = РХ В/О С/П у, = PY, х, = РХ С/П у, = PY, х, = РХ С/П ... yN = PY,
xN = РХ С/П (РО - N, Р1 = Хх,-, Р2 = РЗ = Хх/, Р4 = Р6 = Хх/, Р5 = Р7 = Хх/, Р8 =
= Хх/, Р9 = Хх/, РА - ^yj. РВ = ^yjXj, PC = SyjX-, РД = Ху,-х/); не изменяя содер-
жимого памяти, ввести программу 126/34; В/О С/П РХ = РА = а0, РВ = а,, PC = аг,
РД=а3.
Если при аппроксимации нелинейной характеристики по ее графической или таблич-
ной модели с постоянным шагом выбирать начало координат так, чтобы узлы модели
образовывали относительно него симметричные пары, то система управлений (4.1)
вырождается в матричное уравнение
п 0 Хх/ 0 X' ъу.
0 хх/ Хх/ 0 0 хх/ Хх/ . . . 0 а1 «а Wixi ^У,х1 (4.2)
Это уравнение объединяет две независимые системы уравнений относительно четных и
нечетных коэффициентов аппроксимирующего многочлена, что существенно упрощает
вычисление последних, позволяя автоматизировать вычисление коэффициентов аппрок-
симирующих многочленов до 5-й и 6-й степеней.
Программа 200/21. Формирование уравнений методом наименьших квадратов для
вычисления коэффициентов аппроксимирующего многочлена 5-й степени при сим-
метричном интервале аппроксимации
Р8 ПП F8 ПП F8 ПП F8 ПП F8 ПП F8 ПП
F8 F8 X1 Р8 t F3 + РЗ F8 X t F4
+ Р4 F8 X t F5 + Р5 F8 X t F6
+ Р6 F8 X t F7 + Р7 F2 1 + Р2
С/П 4— + XY —► F8 XY 4— X t В/О
122
Инструкция: очистить регистры ЗУПВ, у„ - PY, х0 = РХ В/О С/П РХ = Р2 - 1,
У, = PY. х, = РХ В/О С/П РХ = Р2 = 2 ... yN= PY. xN= РХ В/О С/П РХ = Р2 =
= N. РЗ = Ex?, Р4 = Ех/, Р5 = Ex?, Р6 = Ех?, Р1 = Ex/0, Cl = Zy{, С2 = Е^-х,-, СЗ =
= Еу,-х?, С4 = Eyfx-, С5 = Еу,-х?, С6 = Еу,х/.
После выполнения программы 200/21 следует зарегистрировать полученные резуль-
таты, ввести программу 124/21, W = Р2, Ex’ = РЗ = Р6 Ex? - Р4 = РЗ = С1, Ех? =
= С2 = СЗ, Ex? = С4, Zy{ = PS, Zyrf = С5, Еу,х? = С6 В/О С/П РХ = а„. С6 = а„
С5 = «,; Ex? = Р2, Ех? = РЗ = Р6, Ex? = Р4 = Р7 = Cl, Ex? = С2 = СЗ, Ex/0 = С4,
ZyjXj = PS, ZyjXj = С5, Еу(-х/ = С6 В/О С/П РХ = а,, С6 = а„ С5 = а,.
Аналогично можно найти коэффициенты аппроксимирующего многочлена 6-й степе-
ни, составив на входном языке МК34 программу для формирования методом наимень-
ших квадратов системы уравнений и использовав ранее приведенные программы для ее
решения (при раздельном решении системы из трех и четырех уравнений).
Распространенный способ приближенного моделирования нелинейных характеристик
заключается в их кусочно-линейной аппроксимации, при которой на каждом из выбран-
ных интервалов (их ширина определяется требуемой точностью аппроксимации) не-
линейную характеристику заменяют линейной функцией у(х) = а,-ф1х + (3,-Ф1 ; хе
е [х,; х(- ], коэффициенты которой вычисляют по формулам
легко реализуемыми программами автоматических вычислений.
Программа 201/21. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных характеристик
4— F8 XY P8 F7 — XY P7 XY
4- Р2 t F7 X t F8 XY — P3 t F2
с/п t F2 X t F3 + БП P4
Программа 202/34. Кусочно-линейная аппроксимация нелинейных характеристик
ИП7 XY П7 - XY ИП8 XY П8 - XY
-Г П2 ИП7 X ИП8 XY - ПЗ ИП2 С/П
ИП2 X ИПЗ + БП 19
Инструкция к обеим программам: у„ - Р8, х0 = РЗ,
у, = PY, х, = РХ В/О С/П РХ= Р2 = а,, PY = РЗ = (3,,
у, = PY, х, = РХ В/О С/П РХ = Р2 = аа, PY = РЗ =
= 01 • • -
Контрольный пример: по графику, приведенному на
рис. 30, при отсчетах (у,-;х,-) = (0; 0), (4; 1), (1; 3),
(5; 5) получим
у(х) =
4х
5,5 - 1,5х
2х -5
при 0 < х < 1,
при 1 < х < 3,
при 3 < х < 5
иу(0,5) = 2; у(2) = 2,5; у (4) = 3.
Часто в качестве аппроксимирующей используют те-
оретическую буквенную модель характеристики нелиней-
ного элемента с коэффициентами, значения которых опре-
деляют по результатам экспериментальных измерений.
В качестве примера рассмотрим методику определения па-
раметров модели полупроводникового диода по его ста-
тической характеристике ((«с. 31). Учитывая, что реаль-
ный диод можно рассматривать как последовательное со-
единение идеального диода с характеристикой i - /0 (е7^ -
- 1) и сопротивления потерь RQ, составим уравнение,
связывающее ток и напряжение на выводах диода:
и (I) = R,i + (1/Л)1п(0 +/0)//0). (4.4)
в которое входят неизвестные параметры R„, Л и /0.
—i___। : । ! ।_
о X, 2 Xj 4 Xj 6 X
Рис. 30
123
По трем точкам характеристики со значениями и^, iy можно составить систему из
трех нелинейных уравнений, решение которой и даст значения трех неизвестных пара-
метров. Однако при произвольном выборе этих точек решение такой системы с помо-
щью микрокалькулятора может оказаться затруднительным. Поэтому обычно вводят
упрощающие предположения, вытекающие из реальных соотношений между рассматри-
ваемыми величинами. Например, при выборе значений целесообразно обеспечить не-
равенство ifc > 4, что позволит заменить уравнение (4.4) упрощенным:
и (i) ~R„i + (1/Л)1п(«/4). (4.5)
Если выбрать i2 = 2i3,i3 = 4i[, то система уравнений
и'. = R^i'i + (1/Л) ln(l 3/Zo );
и\ = 2R„i\ + (l/A)ln(2i’,/4);
и’, = 4R„i'l + (1/Л) In (4/'/4)
имеет решение: Яо = (и’ - 2и'3 + u'3)/i',; Л= 1п2/(3и' -2и’ -и',); 4 = i\ е"Л^2и’ ).
Программа 203/21. Определение параметров и построение статической характеристи-
ки полупроводникового диода
F3 t F4 — + P6 t F2 XY — P7 t
F3 XY — t F2 — 2 In XY 4 P8 t
F6 X ex t F5 XY 4- P6 F7 XY 4. P7
С/П t F7 X F6 XY + XY 4 t
—► In XY F8 4 t + БП P6
Программа 204/34. Определение параметров и построение статической характеристи-
ки полупроводникового диода
ИП4 ИПЗ t + — по ИП2 + ПА ИП2
+ ИПЗ — 2 1/X In XY 4 П8 ИПО
X ex ИП5 X П6 ИПА ИП5 4 П7 С/П
ИП7 XY X ВХ ИП6 -г 1 + In ИП8
4- + БП 29
Инструкция к обеим программам: = Р2, и\ = РЗ, =
Р4, i\ = Р5) В/О С/П
РХ = Pl = R„, Р6 = /0, Р8 = Л, I, = РХ С/П РХ= u(i,),i2 = РХ С/П PX=u(i2),
i3 = РХ С/П PY=u(i3) ...
Контрольный пример: по характеристике, показанной на рис. 31, выбираем i\ —
= 0,02 А; и\ = 0,4 В; и2 = 0,5 В; и3 = 0,68 В
и по одной из приведенных программ находим
= 4 Ом; 4 = 3,051758 • 10"’ А; Л =
= 34,65736 1/В, а также и (0,01) = 0,34;
и (0,02) = 0,4; и (0,03) = 0,451699; . . ., что
практически точно совпадает с эксперименталь-
ной кривой.
В описанном методе требуется достаточно
точное определение значений и2, которое не
всегда удается обеспечить. Требования к точ-
ности снижают, описав коэффициент Л его те-
оретическим значением Л= q/кТ^Х 1 608/(273 +
+ Т° С). В этом случае параметры Ro и 4 опре-
деляют по двум точкам характеристики для /’ и i'2 = 2i*, что соответствует системе
уравнений м' = Roi\ + (1/Л)1п(('/4); uj = 2/?oi* + (1/Л)1п(2(* /70) с решением Ло =
= (и, - и\ - 1п2/Л)/('; /0 = i\ exp (Л(и\ - 2ц')). Для рассмотренного примера (Т =
=; 25°С) при и* = 0,4; i\ = 0,02; и' = 0,5; f, = 0,04 получим Л= 38,95302; 4 = 1,68 X
X 10"’; R„ = 4,11, что достаточно хорошо совпадает с ранее полученными данными. Ав-
томатизировать решение в этом случае еще проще, чем в предыдущем.
124
В заключение рассмотрим методику определения коэффициентов выражения
i(u) = Atue~a'u + Аг (е“’“ - 1), (4.6)
моделирующего статические характеристики туннельных диодов (рис. 32). Для аппрок-
симации характеристики целесообразно выбрать и* ; im в точке первого максимума,
и2 ; i0 в точке минимума и и3; im на восходящей ветви кривой. Четвертым условием,
требуемым для формирования полной системы уравнений, примем
di (и)! du = A j (1 - alu)e*ai“ + а2А2еази = 0 при и = и\ .
Для упрощения примем допущения: А2 (e“aui - 1) « 0, Л1и'е“а1“э »0и е01*"’ > 1,
получим систему уравнений
4, (1 - OjuJ )e"a»ui = 0; Alu'Ie~ai “i = iт;
Alu'ie~aiu2 +А2еаги2 = i„; А2еагиз = im-t
решение которой дает значения: а, = 1/и'; А, = ime/u’; а2 = ln(i0/i' - (и' /и\) X
X e(“i -иг)!и1 )/(«' - и,); А2 = ime.~a3u3.
Программа 205/21. Аппроксимация статической характеристики туннельного диода
F4 F3 t F5 - P4 XY - in t Fl X F4 4- 1 P8 t ex F5 X t 6х
t F2 XY v P6 F7 X 1 ex X P5 С/П
t F8 X ex P4 F7 X ex 4- t F5 X
4— F4 1 - t F6 X t —► + БП /-/
Инструкция: (im = P2,i„litn = P3, Ци\ = “i = Pl) u'2 -- = P4, «» = PS B/O C/П PX =
= PS = 4,, P6 = A2, Pl = a,, PS = “к “i = PX C/П PX = i (и,), и i2 = PX C/П PX =
= |(иа) ...
Программа 206/34. Аппроксимация статической характеристики туннельного диода
ИП5 ИП4 -5- ИП1 1/x ПС ИП2 X t t
1 - ex т — In ИП2 ИПЗ - +
ПД ИПЗ X ex ИП4 XY 4- ПВ ИП4 1
Vх X ИПС X ПА С/П П0 t ИПС X
ex ИПВ + ИПА X + X ИП0 БП 35 ИПД X ex 1 —
Инструкция: (u\ = Pl, u2 = P2, u3 = P3, i m~ ~ P5) B/O C/П PX= PA =A,,
PB = a2 , PC = а,, РД = a2, u, = PX C/П PX= i(ut),u , = PX C/П PX= i(u,),u3 =
= РХ С/П PX=i(u3) ...
Контрольный пример: выбрав на характеристике (рис. 32) im = 2 мА; /0 = 0,2 мА;
и* = 0,1 В; и, = 0,55 В; и’3 = 1,05 В, получим а, = 10 1/В; а2 = 6,493498 1/В,4, =
= 5,43656 • 10“’ А, А2 — 2,18743 • 10“‘ А. Результаты вычисления статической харак-
теристики показаны на рис. 32 штриховой линией.
Аналогично можно использовать буквенные модели и для составления программ
(цифровых моделей) построения нелинейных характеристик других компонентов цепи.
4.2. Расчет статических режимов нелинейных цепей
Анализ статического режима нелинейной цепи сводится к формированию и решению
системы уравнений равновесия, составляемой на основании законов Кирхгофа. Учиты-
вая ограниченные возможности микрокалькуляторов, на этапе формирования такой
системы следует максимально использовать упрощающие допущения, нормировку пе-
ременных и преобразование уравнений для уменьшения числа исходных данных. Эта
приемы часто позволяют свести задачу к решению одного нелинейного уравнения чис-
ленными методами, так как аналитическое определение корней таких уравнений воз-
можно лишь в исключительных случаях. Поиск решения нелинейного уравнения сводит-
ся к определению интервалов аргумента, в которых находятся корни (отделению кор-
ней), и сокращению этого интервала (уточнению корней) до достижения требуемой
точности.
При анализе нелинейных устройств интервал нахождения корня часто приближенно
известен из физических условий задачи, но приходится анализировать эти условия, осо-
бенно тогда, когда возможна многозначность решения. В таких случаях удобно прибли-
женное графическое представление уравнения, позволяющее рационально выбрать алго-
ритм уточнения корня. Среди этих алгоритмов простотой реализации отличается метод
простых итераций, при котором решаемое уравнение предварительно представляется
в виде
х = /(х) (4.7)
и последовательно вычисляют значения х% = /(*&_>) 1 к = 1,2,... при начальном при-
ближении х0. Решение сходится к искомому корню х*, если на интервале [х0; х*] вы-
полняется условие/'(х) < 1.
В качестве иллюстрации определим напряжение ид на выводах полупроводникового
диода, подключенного к источнику напряжения Е через элемент цепи с сопротивлением
R. Используя рассмотренную в § 4.1 модель диода, составим уравнение
Е = iR + ид = iR + iR„ + (1/Л) 1п( (« + /0 ) //0 ),
решение которого позволяет найти ид — Е - iR-
Составленное уравнение представим в общем виде
х = A + Bln(x+fl), (4.8)
гдех = 1,Л = (£ + ЬтД/Л)/(Л + Л„); В = 4/Л(Я + Я0); а = /0.
К такому виду сводятся многие уравнения, отображающие работу полупроводнико-
вых приборов в статическом режиме. Продифференцировав эго уравнение f'(x) =
= В/(х + а), получим условие сходимости | х + а | > | В |. В рассматриваемой задаче
это условие соответствует неравенству i > 1/Ai.R + Ro) - 70 и, следовательно, метод
простых итераций применим лишь при Е > £mln> где напряжение £тд1 соответствует
предельному значению тока z’min = 1/Л (Л + Ло) -1„.
Метод простых итераций для решения рассматриваемой задачи можно применить и
при Е < £min> если уравнение (4.8) представить уравнением (4.7) обратным преобра-
зованием
I = [ехр(Л(£ — i (R + Rq))) - 1],
когда сходимость обеспечивается при Е < £mlrr
Программная реализация метода простых итераций сводится к повторным вычисле-
ниям правой части уравнения (4.7) со значением х, полученной на предыдущей итера-
ции. По мере увеличения числа итераций методическая погрешность уменьшается, но
влияние операционной огбибки может привести к ’’зацикливанию” вычислений вблизи
корня. Поэтому целесообразно прекращать вычисления после каждой итерации для
сравнения значений x;t и х^_1 и принятия решения о дальнейших приближениях. Этот
способ реализован в следующих программах, обеспечивающих результаты при Е >
и при Е <
Программа 207/21. Расчет рабочего режима диода методом простых итераций
t F6 + 1 + In t F5 4- t F2 XY
— t F4 4- Р7 t F3 X t * F2 XY —
Р8 F7 С/П БП РО t F4 X t F2 XY —
t F5 X е* 1 — t F6 X P7 t F3
X t F2 XY — Р8 F7 С/П БП »
Инструкция: Е = P2,R = £3,Л + ЛО = P4, Л = P5, Л = P6,i0 = PX (B/O) C/П PX =
= i,, Р8 = цд, /, = РХ (для сохранения i^B регистре Xперед следующим пуском прог-
раммы можно выполнить РХ = ik t F8 = ид XY) С/П РХ = и,, Р8 = ид, i2 = РХ ...
С/П РХ = i\, Р8 = ид. Если результат вычислений не сходится, то следует перейти к
вычислениям при Е < £тц,: • •. i, = РХ БП , С/П РХ = », ... Время выполнения од-
ной итерации около 5 с.
126
Контрольный пример: при R = 1 кОм; Ло = 4 Ом; Л = 35 1/В; i0 = 1; /0 = 2 X
X 10"4 мА; Е = 1 В получим i, = 0,7536313; ...;(,= it = 0,7613874 мА; ид =
= 0,2386126. При Е = 0,1 и вычислении i возникает переполнение - процесс не сходит-
ся; продолжаем вычисления по второму варианту: 0 = РХ БП , С/П РХ = 6,423088 X
X 10"’ = /„ = 5,298026 10"’; ид = 0,09470197 В.
Рассмотрим использование приведенной программы для вычисления передаточной
характеристики двустороннего диодного ограничителя (рис. 33), описываемого (с уче-
том рассмотренной ранее модели диода) системой уравнений
“вх= Лс(‘> + /з +'з) +“выХ; '1 =/о [ехр(-Л(ивых -»,Л0)) - 1];
Ч = 4 [ехр(Л(ивых -1,Я0)) - 1J; I, = ивых/Лн-
Можно избежать решения этой системы уравнений
(составленной для одинаковых диодов с равными
значениями /0, Ло и Л), если при вычислении пере- Л z J z J 1
даточной функции задаваться значениями ивых и и ' I 2 I 3 |
для каждого из них с помощью программы 207/21, ? я„П а,им
приняв R = 0, вычислять токи /, и После этого, fY') еС'У Т
определив ток /3 и полный ток через сопротивление V s
Лс, несложно найти значения ивх, соответствующие ---------- 11---------------о
заданным значениям «вых, и построить переда-
точную характеристику ивых = /(ивх) •
При расчетах на микрокалькуляторе для реше-
ния нелинейных уравнений удобен метод половинного целения, не требующий проверки
сходимости и позволяющий на каждой итерации сокращать интервал, в котором нахо-
дится искомый корень. Один из вариантов этого метода реализован в следующих базо-
вых программах.
Программа 208/21. Решение уравнений методом половинного деления
F7 2 ч- Р7 t F8 + Р8 -г sin х=0 Рх
F8 С/П ... xYO Р0 F8 t F7 - Р8 БП Р0
Программа 209/34. Решение уравнений методом половинного деления
ИП7 2 * П7 ИП8 + П8 ВХ - х=0
13 ИП8 С/П ... xYO 00 ИП8 ИП7 - П8
БП 00
Инструкция: записать в программу вместо многоточия операторы вычисления пра-
вой части решаемого уравнения 0 = fix) при х = Р8, записать вместо xYO оператор х <
< 0, если на левой границе исходного интервала невязка f (х,) > 0, или оператор х >
> 0 в противном случае; ширина исходного интервала Дх0 = Р1; его левая граница
х, = Р8 В/О С/П РХ = F7 = х* (искомый корень).
В этой программе для автоматического прекращения вычислений использован кри-
терий ’’максимальной точности”, по которому сокращение интервала нахождения кор-
ня прекращается, если Дх0/х < 10”'. Это позволяет оценить число требуемых итераций
по формуле k = 1 + (8 + lg (Ax0/x*)/lg2), где Дх0 - начальная ширина интервала, а
х* - искомый корень уравнения. Определив время выполнения одной итерации и ожи-
даемое значение корня, с помощью этой формулы можно оценить полное время реше-
ния уравнения.
В качестве иллюстрации рассмотрим задачу вычисления статической зависимости
Ц<Э = 717111 биполярного транзистора в схеме с общим эмиттером (рис. 34,а).
Описывая транзистор упрощенной моделью Эберса - Молла’ (рис. 34, б), составим си-
стему уравнений цепи
1 Значения параметров оу и адг модели Эберса — Молла, приводимые в справочниках,
отличаются от параметра й12 g транзистора.
127
' = 7Э0 (еЛ^БЭ'^Б^б) -1)- а/7К0 (еЛ(1/БЭ“ UK3~^BR6> _1).
3 1 ~ “Л“/ 1 - а№1
Рис. 34
JKO (еЛ(7/БЭ* иКЭ-1БЯб) -1);
- aNaI
E-IKRK. (4.9)
При решении этой системы уравнений
ее обычно упрощают исходя из реаль-
ных соотношений между значениями
токов и напряжений. В рассматрива-
емом случае для иллюстрации путей
алгоритмизации решения нелинейных
уравнений попытаемся решить задачу,
не прибегая к подобным упрощениям.
Обозначив х - еЛ ^Б«б) э Из вто-
рого и четвертого уравнений (4.9)
составим выражение
х = (А - Л1/кэ) /В (С - е 'ЛУКЭ) t
где Л — ЛЕ + В (С — 1) ; В — (1 » С ~ аЛ^ЭО^КО*
Учитывая, что /Б = (VB3 - 1пх/Л)/Яб и подставив значение х в разность первого и
второго уравнений, определяющую ток базы, получим уравнение с одним искомым
неизвестным
G(D +e‘AtZK9)x + inx-F = О,
где G = ARg/K0(l - огу)/(1 - одгоу); D = 1^0(1 - адг)/УК0(1 - оу); F = Л(/БЭ +
+ G(D + 1).
При решении этого уравнения на микрокалькуляторе с входным языком МК21 воз-
никают затруднения с размещением в памяти исходных данных. Эти затруднения можно
преодолеть, пронормировав напряжение у = Л1/КЭ, как это реализовано в следующей
программе.
Программа 210/21. Расчет статической зависимости (7КЭ = f ((/БЭ) для биполярного
транзистора в схеме с общим эмиттером
F7 2 -Г Р7 t F8 + P8 -Г sin x=0 PX
F8 С/П t —► F8 /-/ ex XY + —> F4
— t F3 X F8 t F2 — t 4.
t In X t F5 X t F6 — t —►
+ х<0 Р+ F8 t F7 — P8 <— БП P0
Инструкция: (А = Р2, В = РЗ, С = Р4, G = Р5, F = Pf>, D = Cl) ЛЕ = Pl, 0 = Р8 В/О
С/П рх=ликэ.
Контрольный пример: при ZKO(1 - aNaf> ~ 5 * А; Лэо^1 ~ = 10”* А;
aN= 0,98; ay = 0,8; Е = 10 В; Лк = 1 кОм; Лб = 100 Ом; Л = 39 1 /В, вычислив пред-
варительно В = 0,0195; С= 1,96; А = 390,01872; D= 0,2; G = 0,00039; F= 39(/БЭ +
+ 0,000468 для 1/БЭ = 0,2; 0,21; 0,22 В последовательно вычисляем икэ = 7,96540
(РХ = 310,6506); 7,17424 (РХ = 279,9195); 6,156339 (РХ = 240,09722). Время выпол-
нения программы около 4 мин.
На входном языке МК34 можно составить более удобную программу без нормирова-
ния вводимых и выводимых переменных. Заметим, однако, что при решении нелиней-
ных уравнений с экспоненциальными членами возможно переполнение при больших
начальных отклонениях от искомых корней. Во входном языке МК34 диапазон значе-
ний функции ех ограничен не только сверху, но и снизу, когда ех -*0, а попытка вычис-
лить значение е* при х < -230,2583 рассматривается как некорректная операция (с
128
высвечиванием символа ЕГГОГ), в отличие от входного языка МК21, где нижняя грани-
ца аргумента ех обусловлена лишь рабочей разрядностью. Это заставляет вводить в
программу проверку значений аргумента при вычислении члена е "Л^КЭ,принимая его
равным нулю при Л1/кэ > 99. Для сокращения времени вычислений в приводимой
ниже программе вычисления прекращаются при выполнении условия ЬЪ’^/Е < Ю*8,
что обеспечивает постоянную абсолютную погрешность решения независимо от началь-
ного значения С/Кэ.
Программа 211/34. Расчет статической зависимости 1/кэ = f для биполярного
транзистора в схеме с общим эмиттером
П9 ИП4 ИПЗ 1 + X + ПА ИПО П7
ИП1 ИП2 1 — X + ПВ Сх П8 ИП7
2 4- П7 ИП8 + П8 ИПО ИП7 + ИПО
— х=0 41 ИП9 ИПС — ИП6 4- ПД ИП8
с/п Сх ПД 9 9 ИП8 ИП5 X — х> 0
55 ВХ е* 1/х пд ИП8 ИПВ — ипд ИП2
— -Г ИП1 -Г t In ИП5 4- ПС XY
ИПЗ ипд + X ИП4 X + ИПА — х< 0
19 ИП8 ИП7 — П8 БП 19
Инструкция : (Е = РО, В’ = Я^к^/(1 ~ aJVa/> = El, С = “/у/эо^КО = П, D =
~ ^ЭО^1 ~ “Л^КО^1 - а1> = W-G’ = - су)/(1 ““№/) - ^4,Л= Р5,Аб =
= Р6) С/Бэ = РХ В/О С/П РХ = Р8 = Укэ; PY = РД = 7g.
Контрольный пример: при 10 = РО; 5 • 10"4 = Pl; 1,96 = —j- ----------j-—«
= Р2; 0,2 = РЗ; 10"’ = Р4; 39 = Р5; 100 = Р6; 0,24 = РХ Z, |П/?> £
получим (время счета около 7 мин.) (7^ = 3,312982 В;
/Б = 0,1363596 мА.
Для сравнения рассмотрим анализ более сложной схе-
мы с непосредственной связью двух биполярных транзисто-
ров с общим коллектором и общим эмиттером (рис. 35).
Используя модель Эберса - Молла, пренебрежем влиянием
сопротивления Лб, весьма незначительным в этом случае,
и составим систему уравнений -₽ис- 55
_g-“, _ 'эо*1 А (еЛ(И|-иг) _п А(1~Ф (ел(Ц, -£) _1}.
1 Л1 1 — 1 - a'fja'j
i = /’ + i" = —ZX° , (ел(“> -“>> - 1) - -K1L°L (eA(u, -£) _ =
1 - aNaj 1 - aNar
= (еЛм» - 1) + "K°(1 “/ - (ел<“з -“>) - 1) +u2//?2;
1 * aN aI 1 “ aHaI
i = E~U> = (еЛ«, _ 1}-----fKO ( A(u,-u3) _ 1}
’ i - 1 - w
Учитывая, что при A(u> - Е) << 0 коллекторный р-и-переход первого транзистора на-
дежно заперт, примем exp(A(u, - Е)) « 0 и тогда для токов i2 и /, справедливо соот-
ношение/, ® (1 - <уу)г2 - 7^0' Задаваясь значением и3, из последнего уравнения опре-
делим х = е Л"» = ((£ - и3 + А)/В(С- е ‘^з.гдеЛ = (оу/эо“ /^0)Я3/(1 - ;
& = 1КОЕ>1- aNaJ> ’ С~ aNl3ol!K0'
Воспользовавшись вторым уравнением системы и установленной связью между то-
ками i, и i2, запишем
г1Л1 =Z>(F + e-Au3)x- С + Я1пх,
где D = I’^R, (1 - а/ ) (1 - cfa)/ (1 - ofta}’ ); F = /"Q (1 - <$)//£„ (!-«>’); G =
5 Зак. 1399
129
= Vico* U30<*-a'& +/KO<1 -a^/(l -cftc^R, ; H = (l-a^RjAR,.
Согласно первому уравнению системы должны выполняться равенства и2 = Е -
-i^RC, и, = (1/Л) In (((«,/?> +NMM+ l)x),meN= l'K0R, (1 -а})/(1 - а^о}); М =
= U - °W>/ <* - °W“'P •
Следовательно, выбранное значение и3 должно удовлетворять уравнению Е - ilRl -
- (1/Л) In ({(z,Л, + 7V)/W+l)x) = 0, по знаку невязки которого можно судить о пути
дальнейшего уточнения корня. Так, если реальное значение и3 меньше выбранного, то
вычисленные значения х и ilRl окажутся больше истинных, а невязка - отрицательной.
Программа 212/34. Расчет статического режима в схеме на транзисторах с общим
коллектором и общим эмиттером
ИПО П7 ИПО сх П9 х*0 81 ИП7 ИП9 2 + П9 П7 5 ИПО
0 XY х<0 30 ИП9 ИП1 X е* 1/х XY
t ИП2 + ИПД X XY ИПС — ИПВ
X ИП9 ИПО — ИПА — XY 4- П8 X
ВХ In ИП4 X + ИПЗ — t t ИП6
+ ИП5 + 1 + ИП8 X In ИП1 4-
+ ИПО — х<0 04 ИП9 ИП7 БП
03 XY ИПО XY — П7 ИП8 In ИП1 4-
П8 ИП9 С/П БП
Инструкция : (£ = Р0, Л = 2>1, F = P2,G = РЗ,Н = Р4, М= Р5; N= Р6,А = РА,В =
= РВ, С = PC, D = РД) (В/О) С/П Р1 = и1,РЯ = и1,РХ=Р9 = и3.
Контрольный пример: при 1'ЭД (1 - a'jya[) = 2 • 10” А; 7и0/(1 - “дг“/) = Ю"6 А;
a’N= 0,98; а} = 0,8; /'^/(1 - о^а'/) = 10” А; 2^(1 - ofitf ) = 2 • 10” А; а%=
= 0,95; aj — 0,8; Л= 39; Л, = 2 МОм; R3 = 20 кОм; R3 = 1 кОм; Е = 5 В, вычис-
лив F = 1,25, G = 0,468; Н = 0,05128051; М= 0,08; N= 0,4; А = 7,5 • 10”; В = 2 X
X 10"’; С = 4,75; D = 1,6 • 10“2, получим (время счета около 15 мин) и, = 0,248442;
и3 = 0,141251; и3 = 2,662398.
Аналогично можно составить программы анализа статического режима и для других
схем включения транзисторов. Заметим, что достигаемая при вычислениях по таким
программам точность результата избыточна и достаточно определять значения напряже-
ний с точностью до 1 % от Е, для чего при исходном интервале напряжений [0; А'] не-
обходимо выполнить лишь 7 итераций. Поэтому при наличии свободного регистра памя-
ти целесообразно организовать счетчик итераций с прекращением вычислений после
достижения числа итераций, соответствующих требуемой точности.
Среди других методов решения нелинейных уравнений наиболее известны методы
хорд и касательных Ньютона, программная реализация которых на входном языке
МК21 рассмотрена в [20]. Иногда применение этих методов приводит к уменьшению
времени вычислений, но их программная реализация требует большей (чем для метода
половинного деления) емкости запоминающих устройств и связана с необходимостью
дополнительного аналитического исследования решаемого уравнения.
4.3. Анализ нелинейных цепей при гармонических воздействиях
В радиотехнике для преобразования спектра сигналов, рассматриваемых во многих
задачах как гармонические, широко используют безынерционные (для рассматриваемо-
го диапазона частот) нелинейные цепи. Реакция x(q) такой цепи на гармоническое воз-
действие q (t) = A cos (cot + <р) будет периодической функцией времени, а составля-
ющие ее дискретного спектра в общем случае определяют формулой (2.2). Эту форму-
лу можно упростить, приняв у = 0. В этом случае1 в силу четности функции q (t) неза-
висимо от вида нелинейности реакция также будет четной функцией
1 При необходимости фазовые сдвиги щ гармоник можно вычислить после
определения спектральных составляющих реакции.
130
A °°
•*(0 — + S Htcosfccor,
2 k--i K
(4.10)
2 f.+T ,
гдеЛь= — J x(A cos o>f) cos ka>t dt.
1 t,
При известной характеристике x(q) нелинейного канала передачи сигнала после под-
становки q(t) = Л cos сэ/ коэффициенты Ак (амплитуды гармоник) можно вычислить
с помощью одной из базовых программ численного интегрирования (см. гл. 2). Зада-
ча упрощается, если характеристика канала передачи аппроксимирована степенным мно-
п
гочленом х (<?) = S ajq‘. В этом случае для вычисления амплитуд гармоник можно
воспользоваться формулами:
хо (О = аП’ *1 <0 ~ ап -I + coswr)a„; ...,
J- к к
xk(t) = ап _к + A cos со/ S Л. *cos(a>f = S A;Cosiwt. (4.11)
i = о 1 г = о ‘
к
Коэффициенты Aj этого разложения связаны с полученными на предыдущей итерации
коэффициентами А ^к ~1) соотношениями:
=ап_к + А -A^-'f/l; А^ = А (А<к“) + А$к/2);
Ар) = Л (Л/*-’)+Лз<Л-‘))/2; ...,А^ =Л(Л^1',)+
= Л •Л(.*",)/2; А^к) =А •а11с~')12.
К "1 К —2 К * К 1
При к = п коэффициенты А^ равны искомым амплитудам гармоник спектра реакции.
Описанный алгоритм реализован в следующих программах, отличающихся степенью
многочлена, аппроксимирующего нелинейную характеристику канала передачи.
Программа 213/21. Вычисление спектра реакции на гармоническое воздействие при
аппроксимации нелинейной характеристики многочленом степени п > 5
F7 ПП F3 F6 ПП РЗ F5 ПП РЗ F4 ПП РЗ
F3 ПП РЗ F2 + . С/П + - F8 1 ПП ВП
ПП ВП 2 X t 4— 4- XY + ПП Р8 t
ПП Р8 t В/О —> X -♦ X -> X В/О
4— 4— XY + 4— 4— XY 4— 4— В/О
Инструкция : («, fll = ( 03, а2 = Р4, а, = Р5, а, = Р6,л5 = Р1,АЦ = />8)0 =
С1 = . . . = С6 В/О С/П РХ = А. , С1 = А,, С2 = At, СЗ = А„ С4 = Л4,С5 = А-
Время счета около 1 мин.
Контрольный пример: при А =4их(?) = 1 + 1000с? + 200<?2 + 100<73 + 20с?4 + 10<?5
получим А„ = 3521; А, = 15 200; Аг = 4160; А, = 4800; At = 640; А, = 640. При
вычислении спектра для нескольких значений амплитуды воздействия целесообразно
очищать регистры стека после вызова и регистрации очередного вычисленного коэффи-
циента ( <- РХ = А, Сх *- РХ = Л2 Сх «-...).
Программа 214/34. Вычисление спектра реакции на гармоническое воздействие при
аппроксимации нелинейной характеристики многочленом степени п < 6
ПД ИП6 X П8 ИП5 П7 ИПД 2 -Г ПД
Сх П9 ПА ПВ ПС ИП8 ПП 78 ИП4 +
П7 ИП9 ПП 70 ИПЗ + П7 ИПА ПП 62
ИП2 ПП 51 ИП1 ПП 51 ИПО + П7 ИПД
t t X X хг 2 X ИП6 X ПД
С/П + П7 ИПД ИПВ X ИПС XY ПС XY
ИПА + ИПД X ИПВ XY ПВ XY ИП9 +
5*
131
ИПД X ИПА XY
ИП9 XY П9 XY
ИП8 XY П8 XY
ПА XY ИП8 +
ИП7 2 X +
ИПД X B/O
ИПД X
ИПД X
Инструкция-. (а0 = РО, о, = Р1.а6 = Р6) А = РХ В/О С/П РХ = РД = А6;
Р1 = А(1,Р8 = А1,Р9 = А2,РА=А3,РВ = АЛ,РС=А,. Время счета около 70 с.
Контрольный пример: при А = 4 и х (q) = 1 + 1000<? + 200q2 + 100г?3 + 20<?4 + 10<?5 +
+ 2q6 получим Ао = 6081; Л, = 15 200; Л2 = 8000; Аг = 4800; А, = 2176; As = 640;
Л6 = 256.
Эти программы особенно удобны при вычислении реакции заданной цепи на воздей-
ствия различной амплитуды. При вычислениях по следующим программам приходится
вводить значения коэффициентов перед каждым пуском.
Программа 215/21. Вычисление спектра реакции на гармоническое воздействие при
аппроксимации нелинейной характеристики многочленом степени п <. 11
С/П Р7 F2 ПП — t F7 + 2 X
Р7 F2 ПП ВП Р2 F4 ПП ВП РЗ F4 t F5
ПП F7 Р4 F5 t F6 ПП F7 Р5 F6 ПП РСх
Р6 F7 ПП — В/О t F3 + t F8 X 4—
t F7 XY Р7 + t F8 X В/О
Инструкция : 0 = Р2 = РЗ = . . . = Р7 = Cl = С2 = .. .= С6,Л/2 = Р8, ап = РХ В/О
С/П а„_1 = РХ С/П ап_2 - РХ С/П а„_3 = РХ С/П а„ _4 = РХ С/П ... а, = РХ
С/П а„ = РХ С/П С1 = Ло, С2 = Аг, СЗ = Л4, С4 = Л6, С5 = Л,, С6 = Л10, Р2 = Л,,
РЗ = Л3, Р4 = Л 5, Р5 = Л7, Р6 = Л,, Р7 — Л12 . Время обработки одного коэффициента
около 30 с.
Программа 216/34. Вычисление спектра реакции на гармоническое воздействие при
аппроксимации нелинейной характеристики многочленом степени п < 10
ИПД X П1 С/П по ИПД 2 ПС 4- ПД
Сх кпе с/п ИП1 ИПД X + ИПО XY ПО
XY 2 X 2 ПВ XY КИПВ + ИПД X
ИПВ 1 — ПВ ИПС — 1 + х*0 50
XY КИПВ XY кпв XY ИПВ 2 + БП 24
XY КИПВ XY кпв XY ИПД X КПС ИПС 1
+ ПС БП 10
Инструкция: А = РД, а„ = РХ В/О С/П ап _, = РХ С/П ... а, = РХ С/П а0 = РХ
С/П Р0 = Ло, Р1 = Л,,. . . , Р9 = Л,, РА = Л,„. Время выполнения программы зависит
от номера коэффициента и лежит в пределах от нескольких секунд до 1 мин.
Программа 217/34. Вычисление спектра реакции на гармоническое воздействие при
аппроксимации нелинейной характеристики многочленом степени л < 12
ИПД X П1 С/П ПО ИПД 2 + ПД С/П
ИП1 ПС ИПД X + ипо XY ПО XY 2
X ИП2 + ИПД X П1 ИПЗ ИП2 ПП 82
П2 ИП4 ИПЗ ПП 82 ПЗ ИП5 ИП4 ПП 82
П4 ИП6 ИП5 ПП 82 П5 ИП7 ИП6 ПП 82
П6 ИП8 ИП7 ПП 82 П7 ИП9 ИП8 ПП 82
П8 ИПА ИП9 ПП 82 П9 ИПВ ИПА ПП 82
ПА ИПВ ИПД X ИПС ИПД X ПВ XY ПС
БП 09 ИПС XY ПС + ИПД X В/О
Инструкция : 0 = Р0 = Р1 = . .. = 1 °9 = Р Л = РВ = . PC, А = РД, ап = РХ В/О С/П
а„_, = РХ С/П . . .а, = РХ С/П а„ = РХ С/П Р0 = А„,Р1 = Л,,..., Р9 = Л,, РА =
= Л10, РВ = Л(1, PC = Л12. Время обработки каждого коэффициента около 1 мин.
Проверить последние четыре программы можно с помощью данных контрольного
132
примера к программе 214/34. Программу 217/34 целесообразно использовать лишь при
10 < и < 12, а при однократном вычислении амплитуд гармоник даже при п < 6 наибо-
лее удобна программа 216/34.
Рассмотренные программы применимы также для разложения функции cos^a на
сумму косинусов кратного аргумента. Для этого достаточно в исходных данных при-
нятья, = 0, кромес^ = 1.
Если характеристика x(q) задана табличной или графической моделью, то спектр
реакции можно определить, не вычисляя коэффициенты аппроксимирующего многочле-
на. Например, при ’’слабой” нелинейности по пяти отсчетам функции в равноотстоя-
щих узлах с шагом А/2 коэффициенты первых четырех гармоник и постоянную состав-
ляющую вычисляют по формулам (рис. 36, в).
Ао = +Лт> + 2(х4 + х2))/6; А, = ((х5 - х,) + (х4 — х2))/3;
А2 = <<*5 +*i) “2х3)/4; А3 = ((xs -х2) -2(х4 -х2)/6;
А4 = ((х, +х,) -4(х4 +х2) + 6х3)/12. (4.12)
Эти значения позволяют оценить нелинейные искажения по коэффициенту гармоник
Кгар = \/А22 +А23 + А4 /А,. (4.13)
Программа 218/21. Вычисление спектра реакции и коэффициента гармоник методом
пяти ординат - Р5 - + 2 4- t F6 F7 4-
t F8 + 3 ч- Р2 <- 2 4- Р4 t F2
. — t F6 + Р6 F8 t F7 Р7 t F5
+ 3 + РЗ t F7 - 2 4- Р5 х’ t
F6 х’ + t F4 х> + V t F3 4- С/П
Инструкция: х3 = Р6, Р2 = 4О,РЗ = Д,,Р4 = А2 х2 = , Р5 = Р7, х, = Р8, х, = PY, х, = РХ В/О А э, Р6 = А „. Время счета около 10 с. С/П РХ = кгар,
Программа 219/34. Вычисление спектра реакции и коэффициента гармоник методом
пяти ординат
ИП4 ИПО + 7 ИШ ИПЗ + П7 2 X
+ 6 -Г П9 ИП2 2 X — 4
& ПВ ИП7 4 X — ИП2 6 X
+ 1 2 4- ПД ИП4 ИПО — t ИПЗ
иш — П8 + 3 4- ПА ИП8 2
X — 6 4- ПС Ха ИПД X» + ИПВ
х’ + ИПА 4- С/П БП
Инструкция: (х, = РО, х2 = Pl, х3 = Р2,х4 = Р3,х5 = Р4) (В/О) С/П РХ -- Кгар,
Р9 = Аа, РА = Л,, РВ = А3, PC = А3, РД = At. Время счета около 25 с.
133
Контрольный пример, при х, = 0,5; х3 = 4,5; х3 - 9; х4 = 10; х, = 8 получим
К = 0,570962; А„ = 6,25; А, = 4,33333; А3 = -2,375; А3 = -0,5833333; А, =
= 0,375.
Приведенные программы особенно удобно использовать при многократных повтор-
ных вычислениях, например, для выбора рабочей точки активного компонента по ми-
нимуму нелинейных искажений. Точность анализа повышается с увеличением числа от-
счетов нелинейной характеристики. Так, при семи отсчетах характеристики в равноот-
стоящих узлах с шагом Л/3 (рис. 36, б) спектральные составляющие реакции на гармо-
ническое воздействие:
А„ = х. + (-270а, + 756а, + 334а,)/2560; А, = (—180/3, + 1008(3, + 6680,)/2560;
Л, = (-1215а, + 486а, +559а3)/2560; А3 = (-630/3, - 360(3, + 450(3,)/2560;
А, = (270а, - 756а, + 306а3)/2560; А, = (810(3, - 648(3, + 162(33)/2560;
А6 = (1215а, -486а, +81а,)/2560, (4.14)
где а, = х, + х3 — 2х4 ; а, = хб + х, — 2х4; а3 = х, + х, - 2х4; 0, = х, - х,; (3, =
= х4 -х,; (3, = х, -х,.
Программа 220/21. Вычисление спектра реакции методами семи орцинат
ПП F5 ПП РВП ПП РВП F8 t F2 ПП РВП ПП
Р4 ПП РСХ ПП рсх F8 t F2 ПП Р(-х ПП Р4
—-► 2 5 6 0 -г С/П Сх 4— F6 t
F4 В/О + t F5 — t F5 - t X
t —» + t 4— Fl <- F7 t F3 В/О
Инет рукция: (х, = Р2, = РЗ, х, = Р4, х , = Р5, х, = Р6,Х4 = Р7. ,х, =Р8) 334 =
= СЗ; 756 = С2; -270 = С1 В/О С/П РХ = А„ - х4; 668 = СЗ; 1008 = С2; -180 =
= С1 С/П РХ = А,; 559 = СЗ; 486= С2; -1215 = С1 В/О С/П РХ = Л,; 450= СЗ;
-360 = С2; -630 = С1 С/П РХ = Л3; 306 = СЗ; -756 = С2; 270 = С1 В/О С/П РХ =
= Л4; 262 = СЗ; -648 = С2; 810 = С1; С/П РХ = А3; 81 = СЗ; -486 = С2; 1215 =
= С1 В/О С/П РХ = Л4. Время выполнения программы около 20 с.
Программа 221/34. Вычисление спектра реакции методом семи ординат
ИПЗ ИП5 + ИП4 2 X по — ИП8 X
ИП6 ИП2 + ИПО — ИП9 X + ИП7 ИШ
+ ИПО — ИПА X +• 2 5 6 0
ПО ч- ИП5 ИПЗ — ИПВ X ИП6 ИП2 —
ИПС X + ИП7 иш — ИПД X + ИПО
С/П БП
Инструкция, (х, = Р1, х, = Р2, . . . , , х7 = Р1) -270 = Р8; 756 = Р9; 334 = РА;
-180 = РВ; 1008 = PC; 668 = РД В/О С/П РХ = A,,PY = Л„ - х4; -1215 = Р6;
486 = 7’9; 559 = РЛ; -630 = РВ; -360 = PC; 450=РД С/П РХ=А3; PY = A3; 270 =
= Р8; -756 = Р9; 306 = РА; 810 = РВ; -648 = PC; 162 = РД С/П РХ = Л,; PY = Л4;
1215 = Р8; -486 = Р9; 81 = Р4 С/П PY=A(.
Контрольный пример: при значениях х, = х, = х, = 0; х4 = 1; х, = 2; х4 = 3;
х, = 4 получим Ло - х4 = 0,55625 илиЛ„ = 1,55625; Л, = 2,084375; Л, = 0,6265625;
Л, = -0,2109375; Л4 = -0,05625; А, = 0,1265625; Л6 = -0,1265625.
При кусочно-линейной аппроксимации характеристики х(<?) с углом отсечки 9 вход-
ного сигнала q = Л cos шГ спектральные составляющие связаны с максимальным значе-
нием реакции хтах (рис. 36, в) соотношением Ак = <^(в)*тах- В этом случае для вы-
числения коэффициентов Берга а0 (0) = (sin0 - 0cos0)/(ir(l - cos0)); а^(0) =
= [(sin (k - 1)0)/(k(k - 1) — (sin (k + 1)0)/(Л(Л + 1))]/(я(1 - cos0)) следует вос-
пользоваться программой 222/21.
134
Программа 222/21. Вычисление коэффициентов Берга
РЗ 1 8 0 4- t я XY X Р4 COS X
— Р5 F2 х=0 р, F4 t cos X XY sin XY
БП F7 1 + ПП Р8 Р8 F2 1 — х=0 6
F4 БП ВП ПП Р8 t F8 — t F5 4- С/П
Р7 1 F4 X eJ* F7 а- t F2 а- В/О
Инструкция: (k = Р2), 0° = РХ В/О С/П РХ = а^(0) . Время счета около 15 с.
Контрольный пример: а0 (30°) = 0,110598; а, (30°) = 0,215223; а2(90°) =
= 0,2122065.
Иногда удобнее непосредственно вычислять амплитуды Ак гармоник реакции на воз-
действие q(t) = A cos о>Г при отсечке в или коэффициенты 7^(0) = (1 - cos0)a^(0)
при заданной крутизне S = Дх/Д<7 прямой ветви (см. рис. 36,в) аппроксимированной
характеристики.
Программа 223/21. Вычисление амплитуд гармоник при отсечке гармонического воз-
действия
Р2 х *0 FB11 1 — x*0 PI-1 P6 2 + t F3
X sin XY -г P7 F6 t F3 X sin XY a.
1 F7 — t F2 a. БП F8 F3 e* X t
F3 XY — БП F8 F3 t cos X XY sin XY
- t F4 X t F5 X t я -r С/П
Инструкция ' (®рад РЗ, S = P4, A = />5) , к = PX B/O С/П PX = Ak. Для вычисле-
ния коэффициентов у^(в) достаточно принять 0 = РЗ, 1 = Р4 = Р5, к = РХ н после вы-
полнения программы получить РХ = ук (0).
Контрольный пример: при 0 = я/3; 5 — я; А = 1 получим Ао = 0,3424266; А, —
= 0,6141847; Л2 = 0,4330126.
При использовании микрокалькулятора с входным языком МК34 для одновремен-
ного вычисления коэффициентов а^(0) и 7^(0) можно воспользоваться следующей
программой.
Программа 224/34. Вычисление коэффициентов ак (0) и ук (0)
Я X 1 8 0 а. ПЗ COS 1 XY
— П4 ИПО х= 0 24 ИПЗ sin ИПЗ t cos
X — БП 53 1 + П5 ИПЗ X sin
ИП5 ИПО X + П6 ИПО 1 — х=0 43
ИПЗ БП 51 П5 ИПЗ X sin ИП5 ИПО X
-г ИП6 — я 4- t ИП4 V с/п БП
Инструкция : переключатель Р-Г установить в положение Р, (к = Р0), 0° = РХ (В/О)
С/П РХ = ак (0), PY = у/. (0). Время счета около 15 с. Для проверки программы мож-
но воспользоваться данными предыдущих контрольных примеров.
Анализ воздействия гармонического напряжения на полупроводниковые приборы,
идеализированные р-«-переходы которых описывают показательными функциями, при-
водит к задаче определения спектра функции
eA4coswf = /о(л4) +2 £ 1к(М) cosfajf,
где Jk - модифицированные функции Бесселя, разлагаемые в ряд
1 (х) = — (—)” [I + 7 +--------(х/2)4---- + 1
л! ' 2 7 1 1!(л + 1) 2! (л + 1) (л + 2)
Программа 225/21. Вычисление модифицированных функций Бесселя
РЗ 1 Р6 F3 х*0 FX Р8 t F6 X Р6 F8
1 - х=0 Pl F2 2 v 1 ? Р5 F3 XY
135
ху 0 Р4 F6 т Р7 Р8 F4 1 + Р4 t
F3 + X 1 F5 а- t F7 XY -г Р7 t
F8 XY + Р8 - х=0 F5 F8 С/П БП Р0
Программа 226/34. Вычисление модифицированных функций Бесселя
ПЗ х=0 04 1 по 1 ИПО X L0 06
П7 ИПЗ ИП2 2 а. X1 П5 хУ ИП7
а- П7 П8 П4 КИП4 ИП4 t ИПЗ +
X ИП5 а. ИП7 XY а. П7 ИП8 + П8
вх — х=0 25 ИП8 С/П БП
Инструкция к обеим программам: (х = Р2) п = РХ (В/О) С/П РХ = 1п (х) . Время
счета зависит от значений х и и.
Контрольный пример: время вычисления /, (0,39) = 0,198731 составляет около 20
и 35 с по программам 225/21 и 226/34 соответственно.
При расчете смесителей и анализе побочных каналов приемных устройств оказывает-
ся необходимым определять спектр реакции при одновременном воздействии на нели-
нейную цепь двух гармонических колебаний. В этом случае спектр реакции наряду с
гармониками каждой из частот воздействия содержит комбинационные составляющие
с частотами |иа), ± ото>2|. При полиномиальной аппроксимации нелинейной характе-
ристики смесителя спектр можно рассчитывать аналогично расчету спектра реакции на
монохроматическое воздействие. Однако при такой схеме вычислений ограниченная
емкость памяти микрокалькуляторов не позволяет использовать аппроксимацию ха-
рактеристики полиномом больше 3-й степени.
Программа 227/21. Определение комбинационных частот при аппроксимации нели- нейной характеристики кубическим многочленом
F7 X1 XY F8 X1 + 2 а- f F5 X Р6
F4 X t F2 + С/П F6 2 + + •t F3
+ t F7 X С/П F7 2 а. X t F4 X
С/П F5 X 2 а- t F7 X С/П F8 X 3
X С/П F7 t F8 Р7 X XY Р8 F4 X С/П
Инструкция : (а0 = Р2, а, - РЗ, а2 = Р4, = РЗ, амплитуды воздействий А, = Р7,
А2 = Р8) В/О С/П РХ = А„ С/П РХ = Ли,1 С/П РХ = Л2и1[ С/ПР2Г=ЛЭШ1 С/П
РХ = А2Ш1±Ш2 С/П РХ-АШ1±Шг В/О С/П РХ = Аа С/ПРХ = АШ2 С/Т['РХ =
= A2CJi СЩРХ = АЗШ2 С/п РХ = Аы>±2Шг С/П РХ = АШ1±Ш2...
Программа 228/34. Определение комбинационных частот при аппроксимации нели-
нейной характеристики кубическим многочленом
ИПО П4 ПП 32 ИП5 П6 ИП7 П8 —♦
ИП9 ПА ИПД ПС ПП 32 X ИП2 X
ПВ ИП5 ИПС + П5 ИП6 ИПД + П6 С/П
БП 00 t ИП1 X П5 t х’
ИП2 X 2 а. П7 ИП4 + П4 t
t х’ X ИПЗ X 4 а. П9 3 X
ИП5 + П5 —♦ t —» Ха X 11113 X
3 х Инструкция 4 : (<з0 = Р0, ПД о, = —> Р1.д2 В/О = Р2, а3 = РЗ) л, = PY, Л2 = РХ (В/О) С/П
РХ = Р6 = А^2. Р^ = А,. Р5 = Л^, Р1 = Л2Ш|, Р8 = Л2Ш1, Р9 = Л,^, РА = Л,^,
РВ = АШ1 ± ы2’РС- А ы, ± за>2- РД = А21л>1 ±ц>2- Время счета около 40 с.
Контрольный пример: при x(q) = 3 + 5<? + 10<?2 + 2<?3 и<? (Г) = 3 cosw, t + 0,5cosw2f
получим Ло = 49,25; ЛШ] - 56,625; AU} = 9,4375; Л2Ш[ = 45; А,Ы} - 1,25; ЛЗШ| =
= 13,5; АЗШ2 = 0,0625; Ли>1 ± ш2 ~ 15; А^ t зи>2 = 1>125; Л2Ы1 ± oj2 = 6,75.
В общем случае амплитуды комбинационных составляющих Апт приходится искать
с помощью преобразования Фурье
2 Ч2
Апт= ton -=г J x(At cosw3r + Л3со5щ.Г) cos ((no>, ± ma>.)t)dt
T->°° 1 -T/2
с учетом четности функции x(q) при нулевых начальных фазах воздействующих коле-
баний.
Пределы интегрирования становятся конечными, если частоты и ц>3 имеют общий
период Иы1 = 2к-п/Т0; ы2 = Ir-nlT^ при целых числах к и г . В этом случае
2 Ч'2
Апт~ ~т~ ’ Х<-А 1 cos kcjot + А 3 cos г cos ((.пк t mr )a>„ t)dt =
0 -То/2
1 л
= — J x(y) cos (ti')di’,
" - я
где и = uj0/, £ = nk ± mr.
Переходя к ДПФ и учитывая четность интегрируемой функции, получаем
N-t
Апт = у I Л хО'д") cos (£’ Ду) + ]>
rneW= я/Др - число разбиений общего полупериода 0,5То.
Программа 229/21. Вычисление амплитуд комбинационных составляющих в спектре
реакции безынерционной цепи на бигармоническое воздействие
ПП F4 я f F8 -5- Р7 ПП F4 - 2 -г
- F8 1 - Р8 х*0 '* ПП F4 БП F2 -
С/П F7 t F8 X ... В/О
Инструкция: записать в программу вместо многоточия операторы вычисления
ЕхО'Др) cos (£/Дг) по значению iДм = РХ: N = Р8, 0 = С6 = Р7 В/О С/П РХ =
= ^Л„т/2.
Программа 230/34. Вычисление амплитуд комбинационных составляющих в спектре
реакции безынерционной цепи на бигармоническое воздействие
ПО П1
я ПП
ПП 30
П2 ...
С, ПД
30 2
L0 17
ИПД +
ПП 30 я ИПО 4 ПЗ
* ПД КИПО ИПО ИПЗ X
ИПД 2 X ИП1 т С/П
ПД В/О
Инструкция : записать в программу вместо многоточия фрагмент вычисления х (/Дм) X
X cos (£|Дм) по значению аргумента / Дм = Р2 с использованием при необходимости
регистров 4,.... 9, Л, В, С; N= РХ В/О С/П РХ = Апт.
В качестве примера рассмотрим расчет амплитуд гармоник на выходе транзисторно-
го смесителя с характеристикой х(и) = е^ при воздействии в виде суммы сигнала с
частотой Д = 765 кГц и амплитудой А, и напряжения гетеродина с частотой /3 =
= 615 кГц и амплитудой А2. Частоты возбуждения: ш, = 51сэ0; <д3 = 41w0, где/0 =
= о>0/(2я) = 15 кГц и q = A, cos51m + Л3со$41м. При использовании программы
229/21 занесем в память $ = Р2, 51 = РЗ, 41 = Р4, ЛЛ3 = Р5, Л3/Л, = Р6 и заменим в
программе многоточие фрагментом
t F2 X cos *- F3 X cos «- F4 X cos
tF6Xt-»+tF5Xe*t-*
X t - + -
Выбор числа .V разбиений полупериода должен обеспечить ортогональность (по отноше-
нию к вычисляемой) остальных составляющих анализируемого спектра. Предположим,
что в рассматриваемом случае допустимо пренебречь комбинационными составляющи-
ми выше 4-го порядка для напряжения гетеродина и 1-го — для напряжения полезного
137
сигнала. Тогда спектр будет содержать составляющие с частотами 0; 10; 31; 41; 51;
72; 82; 92; 113; 123; 133; 164; 174; 215. Для вычисления, например, нормированной
частоты 31 (соответствующей сумме частот сигнала и 2-й гармоники гетеродина) необ-
ходимо выбрать нормированную частоту дискретизации 27Утак, чтобы с учетом преобра-
зования мпр j = | Vj ± 2AJV | (fc - целое число) не совпала с выделяемой частотой. На-
пример, при = 16 необходимая частота будет вычислена верно (достаточно принять
£ = 31 или £ = 1). Следует добавить, что для безынерционных преобразователей ампли-
туды составляющих с частотами | nfc + mfT | и | nfc — щ/г| всегда равны и выбранное
значение N позволяет рассчитать все гармоники рассматриваемого комбинационного
спектра. Так, при £ = 31; Л4, = 0,01; Az/Ai = 100 по составленной программе (время
счета около 8 мин) получим РХ = 0,0108498 или Л31 = 0,001356552 после деления на
N/2 = 8.
Отметим, что при полосе Д/пч последующего тракта изменение комбинационной
частоты кратности п в этой полосе на величину ± &fml (2л) сохранит ее в полосе. В этом
случае очевидно и без анализа дискретизованных частот, что выбор значения У >
> <*>max/CJo = + tJc/u’o позволит правильно определить все учитываемые состав-
ляющие комбинационного спектра.
В заключении приведем программы анализа взаимных побочных каналов приема,
попадающих в полосу пропускания преселектора /mjn < /с < /тах. выполненного в
соответствии со следующим алгоритмом:
1. Принять лг+л=1;л1=0;л=1.
2. Принять т + п = т + п + I; т = 0; л — (л; + л) — т и вычислить f = | mfc ±
± fm |/л. Если условие /тах > fQ >/mjn выполняется, закончить вычисления; иначе пе-
рейти к п. 3.
3. Принять гл = т + 1; п = т - 1; если (mfT - /пч)/л < /тах, то перейти к п. 4,
иначе к п. 2.
4. Если л = 0, то перейти к п. 2, иначе к п. 3.
Программа 231/21. Вычисление частот побочных каналов приема
F8 1 — Р8 0 Р6 t F8 + /-/ Р7 х*0
Р0 F2 X t F3 — х> 0 > ПП Р7 F5
а х< 0 Р0 БП Р/-/ /-/ ПП Р7 —> t F3 +
ПП Р7 1 + БП t t F7 4- t F4 —
х> 0 Р+ F5 — х< 0 Р+ XY С/П F6 В/О
Программа 232/34. Вычисление частот побочных каналов приема
ИП8 П7 1 х*0 00 П8 ИП6 Сх ИП2 П6 X ИП8 ПД + ипз X1 х> 0
30 ПП 43 XY ИП5 — х< 0 00 БП 34
ПП 43 ИПД ипз + ПП 43 1
+ БП 05 ИП7 * t ИП4 — х> 0 58
XY t ИП5 — х< 0 58 XY С/П XY ИП6
В/О
Инструкция к обеим программам: /г = Р2, fm = РЗ, /mjn = Р4, /тах= РЗ, 0 = Р8
В/О С/П РХ = /С1, Р6 = т,, Р1 = л, С/П ... С/П РХ = /ск, Р6 = тк,Р1 = пк.
Контрольный пример: при fr = 3500 кГц; /пч = 465 кГц; /тц1 = 2985 кГц и /тах =
= 3085 кГц получим /С1 = 3035 кГц (л1 = т, = 1) соответственно через 10и40с; / =
= 2994,166 кГц; т2 = 5; л, =6 (приблизительно через 5 и 10 мин соответственно) ит.д.
Таким образом, время анализа согласно выбранному алгоритму оказывается доста-
точно большим.
4.4. Нелинейное программирование
Численному результату решения многих задач можно поставить в соответствие не-
отрицательную вещественную функцию, называемую целевой и принимающую мини-
138
мальное значение при значениях искомых переменных, удовлетворяющих условиям за-
дачи, включая требования качества (оптимальности) решения. Целенаправленный поиск
таких оптимальных значений переменных по минимуму целевой функции относится к
разделу математики, называемому математическим программированием.
Основная задача математического программирования (задача оптимизации) форму-
лируется следующим образом: найти оптимальные значения переменных х,, хг, . . .
.... хп, соответствующие минимуму целевой функции Ф(х...хп) = Ф(Х) при огра-
ничениях в виде равенств Яг- (X) = 0, i = 1,2...........ш, и неравенств Gj(X) > О,/ = 1,
2....I. При отсутствии ограничений решение рассматриваемой задачи называют безус-
ловной оптимизацией. Если целевая функция или хотя бы одно из ограничений нели-
нейны относительно оптимизируемых переменных, то задачу решают методами нели-
нейного программирования [18, 24].
В пространстве оптимизируемых переменных каждой точке X с проекциями х,, ...
.... хп на координате оси соответствует направленный в эту точку из начала коорди-
нат вектор X = [х, . . . хп] и значение целевой функции Ф(Х). Большинство итераци-
онных методов нелинейного программирования основано на выборе на каждой итера-
ции определенного направления в пространстве переменных и одномерного поиска
вдоль выбранного направления значения вектора X, соответствующего ближайшему
минимуму целевой функции. Многократное повторение таких итераций приводит к ло-
кальному или глобальному (наименьшему из локальных) минимуму целевой функции
min Ф (Д') = Ф(Х*), которому соответствует искомый оптимальный вектор (опти-
мум) X*.
Простейшая задача одномерного поиска заключается в минимизации функции Ф(х)
одной переменной и обычно состоит из трех этапов: выбора начального значения аргу-
мента х0, поиска интервала, в котором находится оптимум, и сокращения ширины это-
го интервала до заданного значения е, определяющего требуемую точность вычисления
оптимума х*. Время оптимизации существенно зависит от выбора начальной точки, но
твердых правил этого выбора для произвольных функций не существует. В лучшем слу-
чае удается методами математического анализа определить область монотонного измене-
ния функции и выбрать начальную точку х0 на границе этой области.
Границы интервала, в котором находится оптимум, определяют, вычисляя значения
функции Ф(х,) для ряда значений аргумента, начиная с начального, с постоянным
(равномерный поиск) или увеличивающимся (ускоренный поиск) шагом й;- = x|tI -
- Xj. Поиск прекращают при увеличении очередного значения функции согласно соот-
ношению
...>Ф(хк _,) >Ф(хк) <Ф(хк,,), (4.15)
причем в качестве интервала, содержащего оптимум, выбирают [хд._ ,; xk.t ], так как
меньший интервал [х^; xktI ] может не содержать точки оптимума.
Среди различных методов минимизации функции одной переменной для вычислений
на микрокалькуляторах удобен метод последовательного равномерного поиска, харак-
теризующийся малым числом операций на каждой итерации и обеспечивающий совме-
щение этапов поиска и сокращения интервала оптимума. При использовании этого мето-
да на р-й итерации последовательно вычисляют значения Ф (х,) с постоянным шагом й^
до выполнения условия (4.15) и на следующей итерации для поиска другой границы
интервала оптимума принимают hptl — ~^р/а' где а ~ вещественный положительный
делитель. Вычисления прекращают при выполнении условия | й^ | < е, где е - наперед
заданное число, определяющее требуемую точность вычисления оптимума х* ± е. Этот
алгоритм реализован в следующих базовых программах.
Программа 233/21. Минимизация функции одной переменной последовательным
равномерным поиском
F7 + Р7 ...t F6 XY Р6 - х<0
а + /-/ Р4 х2 t F5 - х<0 РО
139
г4 t
РО F4
С/П
Программа 234/34. Минимизация функции одной переменной последовательным рав-
номерным поиском
ИП4 ИП7 + П7 ... ИП6 XY П6 - х<0
00 ИП4 /-/ а 4- П4 х2 ИП5 - х<0
00 С/П
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо символам делитель
шага, а вместо многоточия фрагмент вычисления минимизируемой функции при х =
= РХ=Р1, (е/а)2 = Р5,х0 = Р7,й0 = Р4,Ф(х0) = Р6 В/О С/П РХ = (h*/a)2 - (е/а)2,
Р1 = х* Р4 = Л* Р6 = Ф (х*). Если функцию Ф (х0) вычислить сложно, то можно ввести
10” = Р6.
В качестве примера использования этих программ рассмотрим определение мини-
мального по модулю отрицательного сопротивления туннельного диода на падающем
участке его статической характеристики (см. рис. 32) и соответствующего напряжения
на диоде.
В искомой точке производная i' (и) = -g достигает максимального отрицательного
значения. Воспользовавшись аппроксимацией'(4.6) статической характеристики и выра-
жением ее производной
i'(и) =А, (1 -atu) e”“,u+Л2а2 eQ,u,
примем в качестве целевой функцию Ф(и) = [1/('(и) ]2 = | Яд |2, достагаюшей мини-
мального значения в искомой точке интервала [и,; и'2 ].
Приняв а = 2, на основе программы 234/34 составим следующую рабочую программу.
Программа 235/34. Вычисление максимального сопротивления туннельного диода на
падающем участке статической характеристики
ИП4 ИП7 + П7 ИП2 X ех ИП2 X ИПЗ
X ИПО ИП7 X П8 ех ИП8 1 + X
ИП1 X + х2 1/х ИП6 XY П6 - х< 0
00 ИП4 /-/ 2 * П4 х2 ИП5 - х<0
00 ИП6 х/~ С/П
Инструкция, (-а.
= Р0, А, = Р1, а2 = Р2,А2 = РЗ, (е/2)2 = Р5) и', =P7,fi0 = Р4,
10” = Р6 В/О С/П РХ = I Ra I, Pl = и* Р4 = h*.
По данным контрольного примера к программе 206/34, введем исходные данные
-а, = -10; 4, = 5,43565 • Ю-2; а, = 6,493498; А2 = 2,18743 • 10"‘; (е/2) = 10“;
и\ = 0,1; Ло = 0,05 и после выполнения программы 235/34 (время счета около 3 мин)
получим I Яд I = 136,8897 « 137 Ом; и*= 0,1984 ± 0,00078 В.
В связи с простой реализацией последовательного равномерного поиска его целе-
сообразно использовать и при одномерном поиске минимума функции нескольких
переменных. В этом случае существенное значение приобретает методика выбора на-
правления поиска на каждой итерации. Простейшие методы нелинейного программиро-
вания [19, 23] основаны на одномерном поиске по направлениям координатных осей
(координатный спуск) или антиградиента, соответствующего направлению максималь-
ного уменьшения функции (скорейший спуск). При вычислениях на программируемых
микрокалькуляторах целесообразен координатный спуск, реализуемый небольшим
числом операторов.
При координатном спуске число операций можно уменьшить, ограничившись на каж-
дой итерации поиском одной границы интервала оптимума по каждой координате.
В этом случае траектория поиска напоминает спираль, направление которой зависит от
знака начального шага.
Программа 236/21. Минимизация функции двух переменных методом спирального
координатного спуска
F4 t F7 + Р7 ПП Р5 х< :0 Р0 F4 t F8
+ Р8 ПП Р5 х< 0 1 F4 а + /-/ Р4 х2
t F5 — х<0 Р0 С/П t F6 XY Р6 —
В/О
140
Программа 237/34. Минимизация функции двух переменных методом спирального
координатного спуска
ИП4 ИП7 + П7 ПП 27
+ П8 ПП 27 х<0 08
П4 х2 ИП5 - х<0 00
П6 - В/О
х<0 00
ИП4 /-/
С/П ...
ИП4 ИП8
а т
ИП6 XY
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо символа а операто-
ры набора делителя шага, вместо многоточия операторы минимизируемой функции
(при х, = Р7, х, = Р8) х10 = Pl, х20 = K,hc = Р4, (е/а)2 = Р5, Ф(Х0) = Р6 В/О С/П
РХ = (h*/a)2 - (е/а)2, Р1 = xf, Р8 = xj, Р6 = Ф(Х*). Вместо Ф(Х0) можно принять
1 •10”.
Контрольный пример. Минимизируем функцию Ф (х,, х2) — (х] +х2 - И)2 + (х2 +
+ х2 — 7)2, используемую [23] в качестве тестовой для сравнения качества алгоритмов
нелинейного программирования при Х„ = [1; 1], что при Ло = 1 приводит к Ф(Х*) =
= 0 с Х*= [3; 2]. При той же исходной точке, в = 3, (е/3)2 = 2,5 • 10"’ программы
236/21 и 237/34 минимизируют эту функцию до значений Ф(%*) = 1,88064 • 10"’ и
Ф(Х*) = 1,87361 • 10'7 за 7 и 11 мин соответственно при х* = 2,99994hxJ = 1,99994.
Существенные трудности возникают при минимизации функций с ’’крутыми овра-
гами” - вытянутыми областями в пространстве переменных с резким возрастанием
значения целевой функции по обе стороны от оси оврага. В случае овражных функций
целесообразно автоматизировать лишь поиск границ области минимума по каждой
переменной с прекращением вычислений после каждой итерации для регистрации ре-
зультатов и выбора направления и шага поиска в соответствии с имеющейся информа-
цией о поведении минимизируемой функции.
Программа 238/21. Поитерационная минимизация функции двух переменных по-
иском границ интервала оптимума F4 t F7 + Р7 ПП Р-s- х<0 Р0 С/П F8 + Р8 ПП Р-ь х< 0 FXY С/П ... t Р6 - В/О F4 F6 t XY
Программа 239/34. Поитерационная минимизация функции двух переменных по-
иском границ интервала оптимума
ИП4 ИП7 + П7 ПП 18 х< 0 00 С/П ИП4
ИП8 + П8 ПП 18 х< 0 09 С/П ... ИП6
XY П6 - В/О
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо многоточия опера-
торы вычисления минимизируемой функции (при х, = Р7, х2 = Р8); х10 = Р7, х20 =
= Р8, h0 = Р4, Ф(Х0) = Р6; при оптимизации по х, пускать программу нажатием кла-
виши В/О С/П, при оптимизации по х2 - нажатием клавиш БП F XY С/П или БП 0
9 С/П соответственно (при переходе к оптимизации х2 после оптимизации х2 достаточ-
но нажать клавишу С/П).
Программы 238/21 и 239/34 удобны для оптимизации овражных функций при раз-
личном выборе стратегии поиска оптимума и допускают изменение h и при необходи-
мости х2 и х2 перед каждым пуском программы. Если вычисления прекращаются че-
рез один шаг после начала поиска, то в выбранном направлении значения функции воз-
растают и нужно изменить знак шага Л перед следующим пуском программы. По мере
явного приближения к минимуму уменьшают шаг h поиска, прекращая вычисления
после достижения оптимума с требуемой точностью.
Среди тестовых функций, используемых для сравнения алгоритмов минимизации
овражных функций [23], наиболее известна функция Розенброка Ф(х,, х3) = 100 X
X (х[ - х2)2 + (1 — х,)2 с изогнутым крутым оврагом, минимумом Ф(Х*) = 0 при
Х* = [1; 1] и началом поиска минимума из точки Хй = [-1,2; 1].
141
Поиск минимума вдоль оврага этой функции с помощью, например, программы
238/21 при х10 = -1,2; х30 = 1; Ф(Х0) = 25 можно начать следующим образом: 0,2 =
= Р4 В/О С/П Р~1 = -0,8; К = 16,2 С/П Р8 = 1,2; Р6 = 34,6; -0,2 = Р4 БП FXY
С/П Р8 = 0,4; Р6 = 9; 0,2 = Р4 В/О С/П Р1 = -0,4; Р6 = 7,72 С/П Р8 = 0,6; Р6 =
= 21,32; -0,2 = Р4 БП FXY С/П Р8 = 0; Р6 = 4,52; 0,2 = Р4 В/О С/П Р7 = 0,4;
Р6 = 2,92 С/П Р8 = 0,4; Р6 = 6,12 ...
Таким образом, данный алгоритм обеспечивает достаточно быстрый спуск вдоль
крутого оврага функции Розенброка. Благодаря небольшому числу операторов, необ-
ходимых для реализации этого алгоритма, с его помощью можно минимизировать
функции с большим числом переменных. Программная реализация алгоритма на вход-
ном языке МК21 для минимизации функции трех переменных сохраняет свободным 24
ячейки программной памяти для организации вычисления функции. Значительно больши-
ми возможностями отличается, например, следующая программа на входном языке
МК34.
Программа 240/34. Поите рационная минимизация функции шести переменных
поиском границ интервала оптимума
ИПО иш + П1 ПП 54 х< 0 00 С/П ИПО
ИП2 + П2 ПП 54 х< 0 09 С/П ИПО ипз
+ ПЗ ПП 54 х< 0 18 С/П ИПО ИП4 +
П4 ПП 54 х< 0 27 С/П ИПО ИП5 + П5
ПП 54 х< 0 36 С/П ИПО ИП6 + П6 ПП
54 х< 0 45 С/П ИПД XY ПД — В/О
Инструкция : записать в программу вместо многоточия операторы вычисления мини-
мизируемой функции (при х1 = Р1, х, = Р2.....х6 = Р6); х10 = Р1, х20 = Р2, . . .
• • • , хи = Р6, h = Р0, Ф(Х0) = РД; пускать программу при оптимизации переменной
х, нажатиями клавиш В/О и С/П, переменной х3 — БП 09 С/П, переменной х3 - кла-
виш БП 18 С/П, переменной х, клавиш БП 27 С/П, переменной х, - клавиш ЬП 36
С/П, переменной хб - клавиш БП 45 С/П; при спиральном спуске нажимать клавишу
(В/О) С/П; после каждого выполнения программы РД = Ф (X*), Pl = xf, Р2 = хJ,...
..., Р6 = х*
Контрольный пример: минимизировать функцию шести переменных
Ф(Х) = ехр( I хЛ/ И х'
i=i i = i '
с ограничениями х(- > 0 и оптимумом Х*= [1; 2; 3; 4; 5; 6].
Запишем в программу 240/34 фрагмент вычисления заданной функции
ИП1 ИП2 + ИПЗ + ИП4 + ИП5 + ИП6
+ е* ИШ S- ИП2 х’ + ИПЗ t X»
X * ИП4 X1 х’ т ИП5 1 х2 X»
X + ИП6 х’ t X» X +
при х10 ~ хы = хзо = *40 = хк — Х60 = й = 0,1; Ф(Х0) = 1,8221188 • 1021 на первом
витке спирального спуска получим: В/О С/П Р1 = 1,1; РД = 4,50275 • 1О20 С/П Р2 =
= 2,1; РД= 7,54447 • 10” С/П РЗ = 3,1; РД = 5,08659 • 10”; С/П Р4 = 4,1; РД =
= 9,82810 • 1010 С/П Р5 = 5,1; РД= 4,2275731 С/П Р6 = 6,1; РД = 3,3103895 • 10"’.
Время первого выполнения программы около 190 с, последующих - приблизительно
190/, где/ - номер переменной.
При выборе на следующих витках й3 = -0,02; й3 = 0,005; й4 = -0,001 после четвер-
того витка получим Ф (X*) = 3,2716195 • 10"4 при Х* = [0,999; 1,999; 2,999; 3,999;
4,999; 5,999].
Если фрагмент вычисления целевой функции не помещается в свободной части прог-
раммной памяти, то достаточно автоматизировать только вычисление функции с регист-
рацией в вычислительном бланке результатов для выбора направления и шага поиска на
142
каждой итерации в соответствии с накапливаемой информацией о поведении функции.
Следует отметить, что при поиске оптимальных значений переменных методами не-
линейного программирования приходится многократно повторять вычисления миними-
зируемой функции, что связано со значительными затратами времени. Поэтому к таким
методам следует прибегать лишь тогда, когда решение задачи нельзя найти другими ме-
тодами с меньшими затратами времени.
4.5. Расчет динамических характеристик нелинейных цепей
При анализе нелинейной цепи в динамическом режиме в общем случае приходится
решать систему нелинейных дифференциальных уравнений, обычно представляемую в
нормальной форме Коши.
x\=dxxldt = fx(xx....»n,t),...x'n = dxn/dt = fn(xx.xn, f).
В простейшем численном методе решения такой системы, называемом методом Эйле-
ра, каждое последующее значение х.- ktx переменной вычисляют через интервал време-
ни (шаг интегрирования) h по предыдущим значениям х2 к:
xi,k*i ~ xt,k+f,^l^xi.k..xn,k’,k>’---xn,k,i =хп,к +^n^xlfkхп,к' 1к^-
Простота программной реализации метода Эйлера позволяет с помощью программиру-
емых микрокалькуляторов автоматизировать решение систем, содержащих до трех или
даже четырех несложных уравнений.
Программа 241/21. Решение системы из двух дифференциальных уравнений методом
Эйлера
... t F2 X t F7 + Р6 ... t F2 X
t F8 + Р8 F2 t F3 + РЗ F6 Р7 С/П
Программа 242/34. Решение системы из двух дифференциальных уравнений методом
Эйлера
... ИП2 X ИП7 + П6 ... ИП2 X ИП8
+ П8 ИП2 ИПЗ + ПЗ ИП6 П7 С/П
Инструкция: записать в программу вместо первого и второго многоточий соответствен-
но фрагменты вычисления правой части второго и первого уравнений (при t = Р3,х2 =
= Р7, х, = Р8); = РЗ, Л = Р2, xJ0 = Р7, х, 0 = Р8 С/П РХ = Р7 = х2Х, Р8 = х1 ,,
РЗ = t, В/О С/П . . . В/О С/П РХ = Р7 = х2 к, РЗ = х] д, РЗ = tk. Если имеются сво-
бодные ячейки программной памяти, то целесообразно заменить оператор С/П соответ-
ственно операторами С/П БП РО или С/П БП.
Программа 243/21. Решение системы из трех дифференциальных уравнений методом
Эйлера
... t F2 X t F6 + * ... t F2 X
t F7 + — ... t F2 X t F8 + P8
F2 t F3 + P3 -► P7 - P6 С/П
Программа 244/34. Решение системы из трех дифференциальных уравнений методом
Эйлера
ИП2 X ИП6 + П9 ... ИП2 X ИП7
+ П5 ИП2 X ИП8 + П8 ИП2 ИПЗ
+ ПЗ ИП5 117 ИП9 П6 С/П
Инструкция : записать в программу вместо многоточий соответственно фрагменты
вычисления fx (х,, х,, х3, t), f2 (х,, х3, х3, г) и f3 (хх, х2, хэ, Г) при t = РЗ, х, = Р6,
х, = Р1, х, = Р8; ввести h = Pl, t„ = РЗ, хх „ - Р6, х2 0 = Р1,х3 0 = РЗ В/О С/П ...
В/О С/П РХ = Р6 = хь к, Р1 = хг к, РЗ = х, к, P3-tk.
В качестве примера рассмотрим переходный процесс в цепи, эквивалентная схема
которой приведена на рис.37, при включении гармонического сигнала. Необходимость
143
Рис. 37
в таком анализе возникает при детектиро-
вании широкополосного сигнала, когда из-
вестные приближенные методы линеариза-
ции приводят к значительной погреш-
ности.
Составив систему уравнений равновесия
'вх(^=,£ + uJR + Cdujdt - «»); ut-LdiLldt\
~ “j) = u1/Rlt + CHdu2/dt
и воспользовавшись экспоненциальной аппроксимацией характеристики диода /д(и1 -
- иг) = /0 (exp(A(U] -u2)) - 1), приведем систему к нормальной форме:
dujdr - р(/'вх(1) -/0 (ехр(л(и, -и,)) - 1)) -uJQ; di{/dr = и,/р;
dujdr = apZ0 (exp(A(u, - и,)) - 1) - и,/(шрЯнСн)',
где р — \/L/C, Q = cupRC, ыр = 1/ х/LC, а = С/СИ и "безразмерное” время т = шрд
Составляя рабочую программу, учтем, что при использовании метода Эйлера шаг ин-
тегрирования h должен быть достаточно малым, но регистрация чрезмерно большого
числа точек затруднит анализ. Поэтому введем в программу счетчик, выводящий ре-
зультаты вычислений после заданного числа шагов. Для этого ограничимся случаем сов-
падения частоты воздействия с резонансной частотой контура и примем Л = 39 1/В.
Программа 245/34. Анализ переходных процессов в амплитудном детекторе
ИП6 — 3 9 X е* 1 —
ПО ИП7
ИП4 X
ИП2
sin ИП1
ИП2
X ИП8 +
ИП9 П6 L0
ИПД ИПА X X ИП6 ИПС -5-
ИП6 + П9 XY ИП8 + ИПЗ
XY — ИПА X ИП7 ИПВ -г
ИП7 + П5 ИП7 ИПА 4- ИП2
П8 ИП2 ИПЗ + ПЗ ИП5 П7
01 С/П 1 0 ПО БП
Инструкция: амплитуда /вх = Pl, h =
= Р2,т„ =РЗ, 1„ = Р4,и2<) = Р6,и1<) = Р1,
iL><>= Р8, p = PA,Q = РВ. и RHC„ = PC.
а = РД, 10 = РХ В/О С/П РХ = и, (ЮЛ)
В/О С/П РХ = и2 (20/1) В/О С/П ... В/О
С/П РХ = и2 (fclOh), РЗ = u, (kl0h),P8 =
= iL(k\0h),P3 = tq + klOh.
При h = тг/50; JBX = 0,2 мА; /0 =
= 10"3 мА; р= 1 кОм; (2= 10; ырЛнСн =
= 100; а — 0,1 и нулевых начальных усло-
виях получим и2 (Т/10) = 3,28061 • 10*’;
и, (775) = 1,05032 • IO"3; .... где Г =
= 2я/а) . Время выполнения программы
около 4 мин.
Результаты вычислений приведены в
виде графиков на рис. 38.
В рассмотренной задаче резкое изменение значения экспоненциального члена при на-
растании входного напряжения заставляет для уменьшения методической погрешности
выбирать очень малый шаг интегрирования, что, в свою очередь, приводит к увеличению
операционной составляющей погрешностей результатов расчета.
Меньшей методической погрешностью отличается модифицированный метод Эйлера,
согласно которому
*1, к * = к + hfi <-xh k + h х\, к'2> •>xn,k + hx'n,kl2>tk + h /2) »
хп, k>t хп, к + ^xi,k + *>, к^2, • • • хп, к* h хп, к^2,1к+ /2)
144
Реализовать этот метод на микрокалькуляторах с рассматриваемыми входными языка-
ми в автоматическом режиме удается не более чем для двух уравнений, образующих
систему.
Программа 246/21. Решение системы из двух дифференциальных уравнений модифи-
цированным методом Эйлера
ПП Р4- X Р2 F3 + РЗ ПП Р* 4 Р2 t
F3 + РЗ F7 Р8 F5 Р6 С/П ... t F2 X
t F6 + t F2 X t F8 + Р7
—» Р5 F2 2 В/О
Программа 247/34. Решение системы из двух дифференциальных уравнений модифи-
цированным методом Эйлера
ПП 22 ИПЗ + ПЗ ИП2 2 X П2 ПП
22 2 -5- П2 ИПЗ + ПЗ ИП7 П8 ИП5
П6 С/П ... ИП2 X ИП6 + П4 ИП2
X ИП8 + П7 ИП4 П5 ИП2 В/О
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо многоточий фраг-
менты вычисления соответственно (х,, х2, t) и (х,, х}, t) по значениям х, = Р5,
х, = Р7, Г = РЗ, ввести h /2 = Р2, Го = РЗ, х, „ = Р5 = Р6, х3 „ = Р7 = Р8 В/О С/П ...
... В/О С/П РХ = PS = Р6 = xt k,Pl = P8 = 'xik,P3 = tk.
Эти программы существенно упрощаются при решении одного дифференциального
уравнения. В качестве примера рассчитаем переходные процессы в цепи, образованной
последовательным соединением полупроводникового диода, резистора R и идеального
источника напряжения ивх (Т). С учетом нелинейных емкостей диода с несимметричным
резким р-и-переходом составим дифференциальное уравнение
ивх(0 = “Д(О + Л [Л (ехр(Лнд(Г)) - 1) + (Л/отехр(Лдд(/))/2 +
+ а! ч/ил -“д(О) dua (О ldt ] >
где цд(г) - напряжение на диоде, а остальные обозначения соответствуют общеприня-
тым для полупроводниковых приборов.
Для сокращения числа исходных данных обозначим А = -J9R,0 = Л7от/2а, у = aR,
x = ua(t),q= uBXU) Тогда
dx/dt = (q-x+A(e^ -1))1&еМ+11^~^)у.
Составляя программы, учтем, что при вводе воздействия перед каждым выполнением
программы правая часть уравнения не зависит в явном виде от t, а шаг интегрирования
в процессе вычислений делится на коэффициент у. Записав Л = 39 1/В в текст, с учетом
приведенных замечаний составим следующую программу, обеспечивающую достаточно
точное решение рассматриваемой задачи.
Программа 248/21С. . Анализ переходных процессов в цепи с инерционным диодом
- ПП X X Р2 Р8 ПП X у Р2
F7 Р6 с/п БП Р0 F7 3 9 X е* 1 —
- F4 X F5 t F7 — 1/х t 4—
+ 4- 1 F3 X Г F8 + t F7 — t
—► -J- t F2 X t F6 + Р7 F2 2 В/О
Инструкция: h /2у = Р2, А = РЗ, 0 = Р4, и^ = PS, х„ = Р6 = PI, q0 = Р8, qt = РХ
В/О С/П РХ = х,, q2 = РХ С/П РХ = х,.......qn = РХ С/П РХ = х„. Время счета
около 20 с.
Контрольный пример: для А = -10-4,р= 2,Uf,= 1,й/2т= 0,005 и нулевых начальных
условий при воздействии q, = 1 получим х,- = 0,00333333; 0,00624377; 0,00892702; . ..
При решении одного дифференциального уравнения 1-го порядка целесообразно ис-
пользовать метод Рунге - Кутта 4-го порядка, характеризующийся высокой точностью
и широко используемый при расчетах на ЭВМ. Согласно этому методу каждое последу-
ющее значение искомой функции вычисляют по формуле
145
xk*t = 4+ + 2£2 + 2g3 +^4)/6; Л= 0,1,2,...,
где яi = hf(xk, tk); g2 = hf (xk + g2/2, tk + h /2); g3 = hf (xk + g2/2,tk + h/2); gt =
= hf (xk +g3,tktl).
Программа 248/21. Решение дифференциального уравнения методом Рунге - Кут-
та 4-го порядка
ПП F4 ПП pt + Р4 ПП F4 + Р4 F7 +
Р7 ПП Рт 3 -i- Р7 Р8 С/П F2 t F3 +
РЗ - ... t F2 X t F8 + Р7 F4 + Р4
В/О
Программа 249/34. Решение дифференциального уравнения методом Рунге - Кут-
та 4-го порядка
ПП 27 ПП 23 + П4 ПП 27 + П4
XY ИП7 ♦ П7 ПП 23 3 + П7 П8
С/П БП 00 ИП2 ИПЗ + ПЗ ... ИП2 X
t ИП8 + П7 XY t t ИП4 + П4
В/О
Инструкция к обеим программам: записать вместо многоточия фрагмент вычисле-
ния правой части уравнения по значениям t = РЗ, х = Р1; ввести Л /2 = Р2, ta = РЗ,
Зх0 = Р4,х„=Р1 = Р8 В/О С/П РХ = х, С/П РХ = х2 ... С/П РХ = хк (при исполь-
зовании программы 248/21 .для каждого пуска нажимать клавиши В/О и С/П).
В качестве примера исследуем процесс опрокидывания триггера на туннельном диоде
(рис. 39, а) при С > Сд. Аппроксимируя статическую характеристику диода выраже-
нием (4.6), на основании баланса токов гд- (Еа - и)/R - (и, - и)/Я0 + Cdu/dt = О,
обозначая х = а, и, у — au3RJR^, R3 = RRal (R + Ra), т = t/CR3, A = AXR3, В = A2R3a,
13 = «,/<^,.0 = а(Л,/?з +R3E0IR), получаем
dx/dr = у - x (1 + Ae ~x) - Be@x + D.
Для анализа поведения триггера при произвольном воздействии значение у нормирован-
ного запускающего напряжения будем вводить в регистр X перед каждым пуском прог-
раммы. В этом случае правая часть уравнения окажется независимой в явном виде от
времени, что позволит исключить из базовой программы фрагмент, вычисляющий изме-
нение переменной т. Обеспечив запись значения h /2 = 1/20 в текст и запись вводимого
воздействия в стек памяти, составим следующую рабочую программу.
Программа 250/21С. Анализ режима запуска триггера на туннельном диоде
4— ПП 3 ПП 3 + Р4 ПП 3 + Р4 F7 4
+ Р7 ПП 3 3 4 Р7 Р8 С/П F7 t Vх
4— F6 X ех t F3 X t + t
F2 X t F7 + t F5 — 2 0 XY
— XY 4— + t F8 + Р7 F4 + Р4 В/О
146
Инструкция: А = Р2, В/А = РЗ, D = Р5,0 = Р6, х0 = Pl = Р8, Зх0 = Р4,у0 = РХ В/О
С/П РХ= х1,у1 = РХ В/О С/П РХ=х2,у2 = РХ В/О С/П РХ=х, ...
Контрольный пример: при В = R„ = 1 кОм; С= 100 пФ; Е„ = 1,8 В; At = 0,05 А;
Л, = 2,2 • IO- А; а, = 10 1/В; а, = 6,5 1/В и вычислив А = 25; В/А = 4,4 • 10"*;
D = 9,011; 0 = 0,65, а также приняв х = 10и; у = 5и3,т = 2 • 10’Г (в этом случае Л =
= 5 • 10"’ с), получим оценку процесса установления после включения источника пита-
ния: 0 = Р4 = Р7 = 'РЪ В/О С/П РХ = 0,430988 Сх В/О С/П РХ = 0,5324294 ... В/О
С/П РХ = 0,626000 (первое устойчивое состояние). При подаче положительного им-
пульса длительностью 10 • 10"’ с и напряжением 2 В находим; 10 = РХ В/О С/П РХ =
= 1,527229 10 = РХ В/О С/П РХ = 2,552498 Сх В/О С/П ... Сх В/О С/П РХ =
= 7,481831 (второе устойчивое состояние).
Результаты расчета приведены на рис. 39, б (восходящая начальная часть характе-
ристики - кривая 0). Там же показана расчетная реакция триггера на опрокидывающий
импульс напряжением -2 В с длительностью 10 нс (ветвь 1) и 40 нс (ветвь 2), соответ-
ствующей интервалам [r3; t4 ] и [г3; г5 ]. В рассматриваемой цепи динамическая посто-
янная времени существенно зависит от уровня сигнала, и для уменьшения времени вы-
числений целесообразно изменять шаг интегрирования в процессе вычислений, сохраняя,
однако, его значение таким, при котором методическая погрешность остается достаточ-
но малой (о чем можно судить по приращению переменной Xj на каждой итерации).
В некоторых случаях удается уменьшить объем вычислений, учитывая особенности
анализируемой цепи. Так, если итерационная цепь содержит только безынерционные не-
линейные элементы при кусочно-линейной аппроксимации их характеристик, то анализ
реакции цепи на произвольное воздействие сводится к расчету процессов в линейной
цепи, параметры которой изменяются при каждом изломе кусочно-линейных характе-
ристик. Получив аналитические выражения для каждого из линейных участков и ’’сшив”
решения на их границах, можно составить расчетные выражения для решения задачи.
Однако при практической реализации этого метода могут возникнуть затруднения в
определении моментов времени, соот-
ветствующих переходу от одного ли-
нейного участка характеристик к дру-
гому.
Проиллюстрируем особенности это-
го метода на примере анализа двусто-
роннего диодного ограничителя с ем-
костной нагрузкой (рис. 40, а) при ап-
Рис. 40
проксимации характеристик диодов от-
резками прямых с Яд = ~ при и д < 0 и Яд = const при ид > 0 и пренебрежении ем-
костью диодов.
При воздействии гармоническим напряжением и, (Г) = (/, cos (u>t + у>) с амплитудой
{/, > Е V 1 + ш2т2, где т = RC, в анализируемой цепи возможны два режима:
1. При | u3 (r) I < I E I оба диода смещены в обратном направлении и справедлива
эквивалентная схема, показанная на рис. 40, б, где i(t) = (/, cos a>t/R. В этом случае
«а (О = (^1 / х/Т+ТЛт2) {(cos [(сэ (Г - Г()) +ч> - 1Д) ] -cos (^ - ДО} ехр(-(Г -
- 7/)/т) +u3 (Г,)ехр(-(Г - ^-)/т),
где t е [г,; Г(- + 1 ], ф= arctg gjt, tj - момент перехода цепи в рассматриваемое состояние.
2. При | и2 (Г) I > I Е I один из вентилей открыт и цепь описывается эквивалентной
схемой (см. рис. 40, б), при / (Г) = /, (г) = I/, cos cjt/R2 ± E/Ra, aR^ = ЛЛД/ (Л + Лд);
“а = (ЦЯД/(Я +ЛД) V1 + w’tJ) (cos (ш(Г - Г. ) + - ^) - cos (ч> - i₽()X
X ехр(—(Г - Гу )/т,)) ±ER/(R+Rn)+ (17, (Гу) TER (R + Лд))ехр(-(Г - t^/r,),
где т3 = Я,С; Ф, = arctg u>r,, ti - момент перехода цепи в рассматриваемое состояние.
Приняв обозначениях, = (7,/V 1 + ш’т2; А2 = (7,ЯД/(Я + Лд) х/ 1 + w’rj; в, =
147
= <р - ф; 02 = ; В, = 0; В2 = ER/ (R + АД); £), = и2 (t,); D, = (С, (Гр -В2);
/3, = 1/о>т, (?а = 1/а>т2, х = о>Г, выражения для обоих режимов можно обобщить:
и2 (х) = А'^(cos (х - х^ + д/J - cos 0^.ехр(~5^ (х - x^)) + 8^+ ехр(-0^(х - x^))).
Программу для вычисления по этой формуле несложно составить на входном языке
программируемого микрокалькулятора любого типа. Алгоритм вычислений при допу-
щении и2 (0) = 0 можно описать следующим образом:
1. Принять Х£ = 0; к = 1, = Df. = 0 и, последовательно вычисляя значения и2 (х),
определить момент времени х,, при котором впервые выполнится равенство | и2 (х1) | =
= |£|.
2. Принять х* = х,; А^ = А2; 9% = 0 2; = 02; В^ = ± ER/ (R + Ад); D = ± ZT (1 -
- R/ (R + Ад)) > выбрав знаки, соответствующие знаку напряжения и2 (х,), и повторяя
вычисления и2 (х) до момента времени х2, при котором и2 (х2) = и2 (х3).
3. Принять xj(= х2,Л^ = Л1,0^=й1,/3^ = /31,5^=0; = ± Е (со знаком, совпа-
дающим со знаком и2 (х2)) и определить х3 по условию и2 (х3) = -и2 (х2), после чего
перейти к п. 2.
Степень автоматизации вычислений можно повысить при резерве памяти микро-
калькулятора, но в рассматриваемой цепи уже после одного периода воздействующего
напряжения устанавливается режим, представляющий практический интерес. Значитель-
но больших затрат времени (как при решении дифференциальных уравнений, так и при
использовании кусочно-линейной аппроксимации нелинейных характеристик) требует
анализ установления процессов в нелинейных цепях, содержащих высокодобротные ко-
лебательные контуры.
4.6. Анализ автоколебаний в нелинейных цепях
Анализ устойчивости нелинейной цепи начинают с определения се возможных состо-
яний статического равновесия. Для этого решают нелинейное уравнение, получаемое из
дифференциального уравнения, описывающего поведение цепи при dnXj/dtn = 0, п > 1.
Методы решения таких задач и их программные реализации рассмотрены в § 4.3.
Последующий анализ связан с определением дифференциальных (слабосигнальных)
параметров нелинейных элементов в каждом из найденных состояний равновесия.
В связи с большой операционной погрешностью при вычислениях на ЭВМ численное
дифференцирование используют редко. Однако в инженерных приложениях, когда точ-
ность моделирования нелинейных характеристик низка и они относительно гладки, вы-
числения при восьмиразрядных операндах обеспечивают приемлемую точность численно-
го дифференцирования: обычно три-четыре верных цифры.
Программа 251/21. Вычисление диффе ренциальных парам егров нелинейных эле-
ментов
t F2 — + 2 4- ПП Р4 Р4 F3 I F2
+ ПП Р4 t F4 t F2 4- С/П БП Р0
РЗ В/О
Программа 252/34. Вычисление диффе ренциал ьны х параметров нелинейных эле-
ментов
t ИП2 — + 2 4- ПП 21 П4 ИПЗ
ИП2 + ПП 21 ИП4 - ИП2 4- С/П БП
00 ПЗ ... В/О
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо многоточия фраг-
мент вычисления нелинейной функции х(<?) по значению аргумента, хранящемуся в ре-
гистрах X и 3; Д<? = Р2, q = РХ (В/О) С/П РХ = bx(q) / Д<? « dx(q) /dq, Р4 = х (<? -
- Д<?/2). Точность результата оценивают по его изменению при изменении Дф
Контрольный пример', для зависимости г'д(и) = Аие~аи + В(е@и - 1), записав А =
148
= PS, a = P6, В = PT, 0 = P8 и составив фрагмент вычисления функции, например, на
языке МК21С,
t F8 X ех - F6 X е* 4- t F5 X
- 1 - t F7 X t - + В/О
при А = 0,05; а = 10; В = 2,2 • 10“‘; /3 = 6,5; Ди = 0,001; и = 0,05 получим =
= di/du = 0,0151832 (См) или Яд = 1/кд = 65,86226 Ом.
Полученные значения дифференциальных параметров позволяют построить линейное
приближение характеристики в окрестности точки равновесия и проанализировать
устойчивость методами, рассмотренными в § 3.6. Если цепь устойчива во всех состоя-
ниях статического равновесия, то автоколебания не возникают. Если же цепь неустой-
чива во всех состояниях равновесия, то в ней возникают автоколебания. Когда цепь
устойчива лишь в некоторых состояниях равновесия, необходим анализ ее поведения
вблизи каждого неустойчивого состояния с учетом нелинейности.
Анализ формы автоколебаний, строго говоря, требует решения нелинейных диффе-
ренциальных уравнений, описывающих рассматриваемую цепь, например, рассмотренны-
ми в § 4.5 методами. При практическом применении программ, реализующих эти мето-
ды, следует учитывать, что автоколебания исследуют в пренебрежении внешними воз-
действиями (исключением являются задачи синхронизации автогенераторов и анализ
параметрических систем) и решаемое уравнение является однородным, а его коэффици-
енты явно не зависят от времени. Это позволяет упростить базовые программы, рас-
смотренные в § 4.4, исключив фрагменты автоматического вычисления значений не-
зависимой переменной и освободив регистр 3 для его использования при вычислении
функции.
Остановимся на практических трудностях, с которыми приходится встречаться при
анализе автогенераторов различных типов.
Поведение релаксационных автогенераторов обычно описывают нелинейным диф-
ференциальным уравнением 1-го порядка F (х, dx/dt) = 0, которое не всегда удается
привести к нормальному виду. Если же это и удается, то правая часть уравнения в нор-
мальной форме при некоторых значениях переменной становится бесконечно большой,
что препятствует ее интегрированию с приемлемой точностью. Например, параллельное
соединение емкости и безынерционного двухполюсника с характеристикой вида и (Г) =
= -ai + /313 при а > 0 приводит к уравнению, неразрешимому относительно uq, или с
особой точкой при I = ± \/ а/30 для переменной i: di/dt = i/C (а - 3(3i2). Однако после
возникновения релаксационных колебаний ток i в течение всего периода отличен от
нуля (ввиду мгновенного изменения полярности /), что допускает интегрирование об-
ратной производной dt/di = С(а Зф'2)/», выполняемое в данном случае точно.
При более сложной зависимости и (i) для вычислений можно воспользоваться базо-
выми программами, допускающими изменение шага в процессе интегрирования по
формуле Симпсона.
Программа 253/21. Анализ процессов в релаксационном генераторе
РЗ ПП 3 ПП FX + + + Р8 ПП FX t
F3 С/П БП F0 F2 t F3 + РЗ ... t F2
X 3 ч- t F8 + Р8 В/О
Программа 254/34. Анализ процессов в релаксационном генераторе
ПЗ ПП 23 ПП 16 4 X ПП 16 ИП8
4. П8 ИПЗ С/П БП 01 ИП8 + П8 ИП2
ИПЗ + ПЗ ИП2 X 3 4- В/О
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо многоточия фраг-
мент вычисления правой части уравнения dt/dx = f (х) (при х = РЗ); h /2 = Дх/2 = Р2,
t„ = Р8,х0 = РХ В/О С/П РХ = х„ PY = t, С/П PX=x3,PY=t3 С/П РХ = x3.PY =
= t3 ...
149
j Вычисления по этой программе продолжают, пока увеличива-
// ется tj. Максимальному значению Г(- соответствуют точки Г или
2' (рис. 41) нелинейной зависимости «£(-/) = u^i-Cduc/dt)
для рассматриваемого ранее релаксационного генератора с емко-
। if-----стью (фазовой траектории в системе координат uq и du^/dt).
В момент времени, соответствующий максимуму Г(- (для его точ-
, I , < j ного определения можно изменять шаг интегрирования в процес-
। / । и се вычислений), скачкообразно изменяется переменная i = х с
2'(___I' 1 переходом в точку 1" или 2". Значения /’, i\, i" определя-
X. ют по нелинейной характеристике, и при продолжении вычислений
। изображающая точка будет смещаться по другой ветви до нового
скачкообразного перехода. При использовании программ 253/21
или 254/34 после определения момента скачка значение х' = i*
Рис 41 следует заменить значением i", записав его в регистр X, и продол-
жить вычисления, нажимая для первого пуска клавиши В/О и С/П.
Контрольный пример: записав в программу фрагмент вычисления выражения С(а -
- 30/’)// при а= 12; 0 = 1; С= 0,12; i' = ± 2; /" = ± 4; А/2 = 0,1; /0 = 0; /0 = 0,2,
получим i, = 0,4; Г, = 0,9784; /, = 0,6; Г, = 1,5264;...; /, = 2; Г, = 2,604953; /10 =
= 2,2; Г1о = 2,590999. Так как Г1(| < t,, выполняем F2 /-/ Р2 и снова получаем i, и
t,, продолжая /" = -4 = РХ В/О С/П i 10 = -3,8; Т10 = 2,81889; in = -3,6; Zu =
= 3,000432;...
Во многих случаях при анализе релаксационных генераторов оправдана кусочно-ли-
нейная аппроксимация (особенно при ключевом режиме, характерном, например, для
мультивибраторов), позволяющая получить формулы, связывающие параметры типо-
вых схем с параметрами генерируемых колебаний. Составление программ по таким
замкнутым формулам обычно не вызывает затруднений. Автоматизация вычислений в
этом случае целесообразна, например, при необходимости оптимизации параметров
схемы для получения колебаний заданной формы, когда расчет приходится многократ-
но повторить.
Автогенераторы, моделируемые дифференциальными уравнениями 2-го порядка,
также могут генерировать автоколебания, близкие по форме к релаксационным. В этом
случае для определения параметров генерируемых колебаний приходится решать нели-
нейное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Заменой dx/dt = у, d2x/dt2 = dy/dt
его можно представить системой из двух дифференциальных у равнений 1-го порядка. Для
решения этой системы пригодны программы 241/21 и 242/34 или 246/21 и 246/34, кото-
рые при анализе автогенераторов, как уже отмечалось, можно упростить, исключив авто-
матическое вычисление переменной т. В качестве примера рассмотрим автогенератор на
туннельном диоде (рис. 42, а), исходная рабочая точка которого выбрана на падающем
участке статической характеристики. Аппроксимируя статическую характеристику тун-
нельного диода вблизи рабочей точки многочленом 3-й степени/(и) = в0 +ахи +а2и2 +
+ <гэи’, коэффициенты которого несложно определить по ранее приведенным програм-
мам с учетом уравнения и = Е - ид, связывающего напряжения на выводах диода и
контура. Составим дифференциальное уравнение цепи на основании первого закона
Кирхгофа
1 (и) + Cdu/dt + u/R + (1/Z,) J udt = 0,
после его дифференцирования получим
d2u 1 du 1 di (u) du , _
dt2 RC dt C du dt w°“ “ °’
где o>0 = I/х/LC,di(u)/du = at + 2a2u + 3a }u2.
Для сокращения числа операндов обозначим т = o>0t, у = ( | 3a2R) (1 + a, R) |)"|/2и,
е = (1 + atR)/oj0RC, b = 2atR/ (| 3a,R (1 +a,R) | )1/2 и уравнение примет вид
d2y/dT2 + е(1 ± by ±y2)dy/dr +у = О,
150
где знаки членов в скобках совпадают со знаком подкоренного выражения для пере-
менной у. Приняв х = dy/dt, представим это уравнение системой из двух дифференци-
альных уравнений 1-го порядка
dx/dt = -е(1 ± Ъу ± уг)х - у; dy/dt = х,
содержащих всего два коэффициента. На основании базовой программы 246/21 соста-
вим следующую рабочую программу.
Программа 255/21. Анализ автоколебаний в ЛС-генераторе на туннельном диоде
ПП 2 X Р2 ПП 2 4 Р2 F7 Р8 F5 Р6
с/п БП Р0 F7 t F2 X t F6 + F5
t F3 + X 1 — t F4 X t F7 X
t • F5 — t F2 X t F8 + Р7 —> Р5
F2 2 В/О
Инструкция: h/2 = Р2, Ь = РЗ, е = Р4, у„ = Р5 - Р6, х0 = Р7 = Р8 В/О С/П РХ =
= у2 С/П РХ = у2 С/П РХ = у3 ... Время счета на каждом шаге около 15 с.
Контрольный пример: при R = 0,25 кОм; L = 50 мкГн; С = 800 пФ; i = 30 - 10u +
* 2u’ + 0,8и3 (/', мА; и, В); ы0 = 5 • 106 1/с; е = -1,5; Ь = -1,054092 (с учетом зна-
ка подкоренного выражения); у = 1,265и; h /2 = я/40; х0 — 0; у0 = 0,1 получим у,- =
= 0,09876; 0,094402; ... Результаты вычислений отображены в виде графикана рис. 42, б.
б)
Рис. 42
Распространенным методом исследования автогенераторов, описываемых дифферен-
циальными уравнениями 2-го порядка, является отображение их поведения на фазовой
плоскости с координатами х и у = dx/dt. Анализ процессов в такой системе координат
позволяет свести исходное нелинейное уравнение вида d1x/dti + /(х; dx/dt) = 0 к урав-
нению 1-го порядка dy/dx = -f (х, у) /у, заменив dx/dt = у, d'x/dt* = (dy/dx)y.
Для построения фазовых траекторий эффективен 6-метод [8], согласно которому
на каждом (/ + 1)-м шаге построения траектории элементарный участок рассматривает-
ся как дуга окружности с центром в точке , +, = -6,- = - (х(- - f (Хр у,))- Задавшись
углом поворота Д^> вокруг этого центра, координаты изображающей точки на (/ + 1)-м
шаге
Xjt1 « (.Xj + bj) cos Д^ +yf- sin Д^> - 6j,
у^, “Д’/cos Д^ - (x(- +6(-) sin Д^
выражают через координаты, вычисленные на предыдущем шаге.
Программа 256/21. Построение фазовых портретов автогенераторов
t F4 + XY Р4 F3 X F2 X 1
F4 — Р4 F5 t F2 X F3 X t F4
+ Р4 4— t 4— — Р5 t F4 С/П БП Р0
151
Программа 257/34. Построение фазовых портретов автогенераторов
... t ИП4 + П4 ИП2 X XY - ИП5
ИПЗ X + ИП5 ИП2 X ИП4 ИПЗ X
П5 XY П4 С/П БП
Инструкция к обеим программам: записать в начале программы фрагмент вычисле-
ния функции 6 (х.-, yj) решаемого уравнения (по значениям х,- = Р4,У[ = Р5); cos Ду? =
= Р2, sin Ду> = РЗ, х0 = Р4,у0 = Р5 (В/О) С/П РХ = Р4 = xf, PY = Р5 = yj.
В качестве примера рассмотрим анализ колебаний в автогенераторе, моделируемом
уравнением Ван-дер-Поля
d^x/dr* +е(1 - x’)dx/dr +х = 0,
или, после замены dx/dr = у,
dy/dx = -(х + 8(х,у))/у,
где 6 (х, у) = е (1 - хг)у.
Составив фрагмент вычисления функции 6 (например, F4 ? 1 XY - t F5 X
t F8 X), получим рабочую программу, по которой при е = -2 = Р8; х„ = 0,001; у0 =
= 0; Д>р = я/24 последовательно вычислим (время одного выполнения программы око-
ло 10 с) (xf; у,-) = (9,91444 - 10”4; -1,30526 • 10"4); (9,63692 • 1 О*4; -2,9289 X
ХЮ*4); (9,12206 • 10-4; -4,92634 IO'4);. .. Графи-
ческое представление результатов вычислений (рис. 43)
показывает, что изображающая точка выходит на пре-
дельный цикл практически за один период, максималь-
ное значение колебаний близко к 2, а их форма суще-
ственно отличается от гармонической.
Движение изображающей точки можно ’’развернуть”
во времени, ввеця приближенное вычисление интервала
ДГ прохождения каждого элементарного участка фа-
зовой траектории по формуле r|tt = /.• + 2(х.-+1 -
- Xj)l (уj,! + У()< и организовать вывод значений х,- и
ь после каждого выполнения программы. Следует быть
особенно внимательным в моменты прохождения участ-
ков с yj » 0, когда возможна большая операционная
погрешность, особенно в случае случайного совпадения
З’/*! “ ~У( (избежать которого в подобной ситуации
можно изменением Д<р).
Если есть основания предполагать, что в установив-
шемся режиме форма колебаний близка к гармониче-
ской, то рассмотренные методы анализа могут потребо-
вать чрезмерных затрат времени. В этом случае обычно используют квазилинейные ме-
тоды расчета, основанные на замещении всех нелинейных элементов цепи линейными
(относительно мгновенного значения гармонического колебания) моделями, параметры
которых зависят от амплитуды воздействий. Эти параметры, называемые средними,
определяют отношениями амплитуды 1-й гармоники реакции к амплитуде воздействия.
Для практических целей на этом этапе применимы программы § 4.3.
При оценочных расчетах средних параметров по аналитическому выражению стати-
ческих характеристик, отличающемуся от полиномиальной аппроксимации (в этом слу-
чае применимы формулы кратных дуг) целесообразно использовать следующие базовые
программы, обеспечивающие приемлемую точность при достаточно гладкой харак-
теристике.
Программа 258/21. Оценка средних параметров нелинейных элементов
РЗ 0 Р5 F2 XY /-/ ПП F, ПП 4 /-/ Р5
F3 ПП Р, ПП -г 3 -Г t F3 * С/П F3
2 т t F4 + Р4 . . . t F5 + Р5 В/О
152
Программа 259/34. Оценка средних параметров нелинейных элементов
ПЗ Сх П5 ИП2
/-/ П5 ИПЗ ПП
ИПЗ -г С/П БП
П4 ... ИП5 +
ИПЗ — ПП 30 ПП 25
28 ПП 25 3 4- t
00 ИПЗ 2 -г ИП4 +
П5 в/о
Инструкция к обеим программам: записать в программу вместо многоточия фраг-
мент вычисления аппроксимирующей функции по значению аргумента, хранящемуся в
регистрах 4 и X; постоянная составляющая q0 = Р2, амплитуда воздействия q.n - РХ
В/О С/П РХ = Fcp = xmJqm, PY = х,П1- При использовании программы 259/34 клави-
шу В/О достаточно нажать лишь при первом пуске.
В качестве примера рассмотрим вычисление средней крутизны S =
биполярного транзистора при использовании аппроксимации <к « /оехр (Л(7Б/(1 +
+ Вехр(ЛиБ)).
Записав в программу 259/34 фрагмент ИП6 ИП8 ИП4 X ех X ВХ ИП7 X 1 + -г
при Zo = Р6, В = Р7, Л= Р8, получим рабочую программу, по которой при /0 = 10"’ мА;
В = 2 • IO’4; Л = 30 получим 5 ((/Бо = 0; UB)n = 0,05 В) = 0,039322 мА/B; S’ X
X <УБ0 = °-2; иЪт = °'2 В) ~ 13,20336 мА/B и т. д.
Дальнейший расчет выполняют методами анализа линейных цепей, включая анализ
устойчивости и определение зависи-
мости корней определителя матрицы
коэффициентов уравнения равнове-
сия цепи от амплитуды автоколеба-
ний (если они возникают) для опре-
деления стационарной амплитуды.
Проиллюстрируем рассматрива-
емый подход на примере автогенера-
тора (рис. 44, а), эквивалентная
схема которого (рис. 44, б) содержит
средние значения крутизны и входной проводимости транзистора. Полагая на рабочих
частотах coCg > g (А) и учитывая проводимость резистора R5 в величине g (А), полу-
чим квазилинейное уравнение автогенератора
£(4) + рС+1/р£а -рС 1 _ ’•
S (А) - рС G0+pC+l/p£1j u, _i2
с определителем матрицы коэффициентов
Д(р) = p3LtL2C(g(A) + 5(4) + G0) + ра (LiL2G<2g(A) +C(L, +L2)) +
+ p(L2g (А) + + 1,
где A - амплитуда колебаний (в данном случае - амплитуда напряжения на базе).
По критерию Раусса - Гурвица находим, что автоколебания могут возбудиться при
выполнении неравенства
5(4) >k(4)G„ (L2g(A) +L,G„)IC+ L2g(A)/L2 +LlGJL2.
Выполнение этого неравенства при 4 = 0 (в этом случае средние значения параметров
равны дифференциальным) свидетельствует о мягком возбуждении автогенератора.
Стационарная амплитуда соответствует превращению рассматриваемого неравенства
в равенство. Если же неравенство выполняется только при А > 0, то возможно жесткое
самовозбуждение, соответствующее одному из двух условий равенства, при котором
выполняется условие устойчивости амплитуды dRep/JdA < 0.
Частоту автоколебаний можно определить при подстановке в определитель Д (р) зна-
чений 5 (4СТ) и g (4СТ), учитывая, что он будет иметь пару корней на оси jo> и поэтому
должен делиться без остатка на рг + сэат. Так, при Д (р)/(ра + шат) = (а3р3 + а2рг +
+ а, р + я0) / (р’ + w’т) остаток от деления должен обращаться в нуль при р = jcoCT.
153
Все расчеты при использовании квазилинейного метода могут быть выполнены с по-
мощью программируемых микрокалькуляторов, но допустимость применения этого
метода иногда требует дополнительной проверки.
Квазилинейный метод позволяет приближенно анализировать и процесс установле-
ния амплитуды автоколебаний. Если, например, в правой полуплоскости расположена
пара полюсов определителя, то оригиналом будут устанавливающиеся автоколебания
Xj(t) = A (г) cos + ф,-(Г)). При медленном изменении амплитуды, определенной
для времени Г,, A (tl + ДГ) « A (t,) exp (Rep(- (А (f1)) ДГ), где Re pj (A (G)) - веще-
ственная часть полюса в правой полуплоскости. Тогда Д4/ДГ = (A (tj + ДГ) -Л (Г, ))/ДГ «
» Л (rj (exp(Rep;-(Л (Г,) ДГ) - 1))/ДГ,что при ДГ-»0 приводит к дифференциальному
уравнению относительно исходной амплитуды dA/dt = A RepjfA), которое несложно
решить рассмотренными методами.
В данной цепи (см. рис. 44) влияние емкости С и проводимости g (А) проявляется
в эффекте детектирования автоколебаний, что может привести к "прерывистой” автоге-
нерации. Это явление также можно анализировать квазилинейными методами, если свя-
зать изменение постоянного напряжения на базе с амплитудой автоколебаний.
Во многих случаях анализ установления автоколебаний можно упростить, используя
методы цифрового моделирования [20], рассмотренные в последующих главах.
Глава 5
РАСЧЕТ УСИЛИТЕЛЕЙ
5.1. Особенности расчета
Отношение полезной мощности в нагрузке проходного четырехполюсника к полез-
ной мощности, поступающей на его вход от источника сигнала (см. рис. 19,6), называют
коэффициентом передачи входной полезной мощности
Км = Re (uHiH*)/ Re (uBX«B*x) = Re Ун | XH| 2/Re Увх, (5.1)
где звездочкой отмечены комплексно-сопряженные величины, Кн = и„/ивх - коэффи-
циент передачи входного напряжения, Увх = г'вх/ивх - входная проводимость проход-
ного четырехполюсника.
Реальные источники сигнала характеризуются конечной внутренней проводимостью
Ус = 1/ZC (рис. 45,а, 6), и коэффициент передачи полезной мощности сигнала
Re (ui J) Re У„ , „ ,,
Кмс- Re(eciB*x) " RerBXC 1 нс1 “*мвх*м« <5-2>
где коэффициент передачи напряжения сигнала Кнс = ии/ес = 2СНВХ/СН, коэффициент
передачи напряжения входной цепи Ки вх = ивх/ес = Ус/ (Ус + Увх), коэффициент пере-
дачи полезной мощности входной цепи Км вх = Re Увх | Кн вх |2/Re Увх с и эквивалент-
ная проводимость на выводах идеального источника напряжения сигнала Р = г’ =
ВХ С вх с
= J'cyBx/O,c+l,Bx)-
а) б)
Рис. 45
Отражения сигнала от входа проходного четырехполюсника отсутствуют при комп-
лексном согласовании на входе (Увх = Ус), но коэффициент передачи полезной мощ-
ности сигнала достигает располагаемого (достижимого) значения /Г = 0,5Км при со-
154
пряженном согласовании на входе (Увх = I'*). Это значение максимально при одновре-
менном сопряженном согласовании на входе и выходе (Увх = У*, Увых — ^)- Выход-
ную проводимость Увых = >вых/иВЬ1Х определяют при ес = 0 и замене нагрузки иде-
альным источником напряжения нВЬ1Х.
Коэффициент передачи полезной мощности часто выражают в десятичных единицах
отношения мощностей (децибелах)
*мс дБ = *м вх ДБ + 10 lg (Re Уд/Re Увх) + 201g I Кн I.
(5.3)
Если цепь передачи сигнала образована кас-
кадным соединением п проходных четырех-
полюсников (рис. 46), то ее коэффициент
передачи мощности
*мс дБ = вх дБ + 10 ‘g (Re rH/Re Увх.) +
+ 2 201g|KH/ |, (5.4)
1
Рис. 46
где Увх Кн|- - входная проводимость 1-го и коэффициент передачи входного напря-
жения i-го проходных четырехполюсников.
Частотная характеристика коэффициента передачи напряжения в этом случае опреде-
ляется амплитудно-частотной характеристикой
I tfHC (ш) I = | К„вх (со) |11 | Кш. (щ) | (5.5)
I- 1
и фазо-частотной характеристикой
п
4>нс (w> = вх М + Л Рш М • (5-6)
«= ।
Влияние проходного четырехполюсника на передачу сигнала оценивают также отно-
шением /Сим полезной мощности I «Н12 Re Ун в нагрузке проходного четырехполюсника
к мощности | uH0 |2 Re Ун> выделяемой в нагрузке при непосредственном присоедине-
нии к ней источника сигнала. Если Re Ун = и Re Ус = gQ (мнимые части полных про-
водимостей могут быть отнесены к проходному четырехполюснику), то | ино |2g^ =
= |ес1’фн/(£с +V2 « *им = 1*ин1’ = ((^с +«н^,1*НС1г’где*ин=°“н/“но-
При согласовании (с помощью трансформатора без потерь) проводимостей источни-
ка сигнала и нагрузки в последней выделяется максимальная мощность I “нос 13^ =
= ((^+^1)/^),1Л'нс1’ и
*имс= 1*1’ = 4ЦДс)1*нс1’- (5-7)
где К — ик1иНйС-
Следовательно, функции К(р), (р) и Кнс (р) различаются лишь постоянным мно-
жителем, с точностью до которого они характеризуются одинаковой частотной харак-
теристикой /С (ju).
В случае пассивного четырехполюсника предельное значение КИМС = 1 достигается
при отсутствии потерь в четырехполюснике. Если К"имс < 1 и влияние проходного четы-
рехполюсника проявляется в уменьшении мощности в нагрузке, то передачу сигнала
называют затуханием. Амплитудно-частотную характеристику затухания обычно оценива-
ют в децибелах согласно соотношению
4= 101g (1/1/С(ш) |2) = -201g|K(w)|. (5.8)
Если /Симс > 1, то передачу сигнала называют усилением, а нагруженный проходной
четырехполюсник - усилителем. Усилители обязательно содержат активные компонен-
ты, преобразующие энергию источника питания в энергию сигнала, выделяемого в на-
грузке под воздействием входного сигнала. Для обеспечения заданного усиления мощ-
ности усилителя обычно собирают из нескольких соединенных каскадно усилительных
ступеней, образованных активными компонентами с цепями их питания и элемента-
ми связи.
155
Расчет усилителя с заданными характеристиками чаще всего сводят к ориентировоч-
ному выбору его схемы, расчету характеристик по этой схеме и (при их несовпадении
с заданными) уточнению выбора компонентов и схемы их соединения. Пассивные ком-
поненты обычно моделируют схемами замещения с учетом рабочих и при необходимо-
сти паразитных параметров. Основные трудности при расчете усилителей связаны с мо-
делированием свойств активных компонентов, существенно зависящих от режима пи-
тания. При этом используют различные модели для постоянного тока, сильных и сла-
бых сигналов. При расчете усилителя на постоянном токе и при сильных низкочастот-
ных сигналах свойства активных компонентов описывают графическими или буквен-
ными моделями статических характеристик. Такие модели для туннельных диодов и
биполярных транзисторов рассмотрены в гл. 4.
Статические характеристики Iq = /("зц- "си) полевых транзисторов с р-л-затво-
ром в области малых напряжений бгси < (/отс - 1/зи моделируют [10] выражением
'С = 'max [3 - 2 ) 3/2 ♦ 2 (^И-)3/2], (5.9)
VOTC Уотс Чэтс
а в области £/си > (70ТС - £/зи - формулой
где ток /тах определяют при 1/зи = 0 и £/си = (70тс-
Статические характеристики МДП-транзисторов с учетом влияния напряжения под-
ложки в области (/си < 17отс - Сзи моделируют выражением
'С = Sy I2 <"зИ 4 "отс " ”"п) "си " О - *») "си ] • <51 »
а в области (7СИ > 1/отс - 1/зи - выражением
'С = Sy ("зи*"отс-”"П2>>
где г; - коэффициент влияния напряжения 1/п подложки, Sy = ^max/t^TC - Удельная
крутизна, знак минус выбирают для транзисторов с индуцированным каналом, а знак
плюс - с встроенным каналом.
При необходимости построения статических характеристик по взятым из справочни-
ков значениям параметров "0TC./max. Sy и ц для формул (5.9) - (5.11) несложно со-
ставить программы, упрощающие вычисление тока стока при различных напряжениях
"зи' "си и "п-
Для расчета усилителей при слабых сигналах повышенной частоты используют моде-
ли компонентов в виде схем замещения с частотно-независимыми (например, R, Си L)
параметрами или операторными параметрами Z и У, описываемыми в рабочем диапазо-
не частот графиками частотных характеристик или рациональными функциями комп-
лексной частоты.
Компонент цепи при слабых сигналах представим на каждом к-м независимом вхо-
де параллельным соединением проводимости У^ и идеального источника тока =
= y^xu, + . . . + Y^nun, управляемого напряжениями на остальных входах. Подобную
модель двухвходного (в частности, трехполюсного) компонента (рис. 47,а) несложно
эквивалентно преобразовать в удобную для расчета модель с одним зависимым источ-
ником (рис. 47, 0).
Свойства дискретных активных компонентов с двумя входами при слабых сигналах
описывают в паспортных данных параметрами эквивалентного линейного проходного
четырехполюсника, измеренными относительно одного из выводов компонента, напри-
мер, Л- или у-параметрами для биполярного транзистора в схеме с общей базой или об-
щим эмиттером. По известным Л-параметрам транзистора в соответствии с формулами
табл. 5 несложно определить у-параметры для той же схемы включения. Для определе-
ния параметров других схем включения и расчета усилителей удобно использовать не-
определенную матрицу (3.3), принимающую при обозначении выводов эквивалентного
транзистору трехполюсника буквами б, э и к вид
156
БТ “
Убб
У эб
^кб
У бэ
Уээ
Укэ
^бк
У эк
Укк
(5.12)
Если, например, известны слабосигнальные (дифференциальные) проводимости тран-
зистора для схемы с общим эмиттером Уп э = уб5, Г,2 э = убк, Г21 э = укб и У„э =
= укк, то в обычном режиме или с помощью программ 110/21 или 111/34 несложно
вычислить остальные элементы матрицы (5.12). Эта матрица содержит 9 элементов (из
них 4 независимых), но она определяет все параметры транзистора, измеряемые при
различном выборе общего узла, так как у5б = Уи э = Yn к, Узэ = Yll6 = Г22К и
укк = Y12 б = У22 э. При расчете усилителей, в которых ни один из выводов транзисто-
ра не соединен с общим узлом, приходится одновременно использовать все 9 проводи-
мостей матрицы (5.12).
Рис. 47
Для расчета отдельных усилительных ступеней обычно используют схемы замещения
активных компонентов с частотно-независимыми параметрами, например, показанную
на рис. 47, в схему замещения биполярного транзистора или схему замещения (рис. 47, г)
биполярного транзистора, аналигочную схеме замещения электронной лампы. В рабо-
чем диапазоне частот интегральных активных компонентов влияние внутренней обрат-
ной связи через проводимость У12 мало и обычно учитывают лишь паразитные входное
и выходное сопротивления. Иногда приходится учитывать и частотные свойства пара-
метра прямой передачи, например, У21 = So/ (jo>r + 1).
При анализе цепи методом узловых напряжений все параметры должны иметь разме-
рность проводимостей. Затруднения возникают при моделировании активных компо-
нентов, если в справочнике приведены параметры идеализированных моделей с зависи-
мыми источниками напряжения и нулевыми входными или выходными сопротивле-
ниями. В таких случаях достаточно ввести фиктивное сопротивление г, достаточно ма-
лое по сравнению с последовательным ему сопротивлением цепи. Это практически не
повлияет на рассчитываемые ха-
рактеристики, но обеспечит пре-
образование источника напряже-
ния (рис. 48, а) в источник тока
i = Sut = iaijr (рис. 48, б) или
источник тока, управляемый то-
ком (рис. 48, в), в источник то-
ка i - Su, — аи Jr, управляемый
напряжением.
Рабочую область частот широ- о-
кополосных усилителей для упро-
щения расчета разбивают на об-
157
ласть низших (где учитывают лишь инерционные элементы цепи питания), средних (где
пренебрегают влиянием инерционных элементов) и высших (где учитывают паразитные
инерционные параметры) частот. В диапазоне частот, где допустимо пренебрежение ре-
активными составляющими параметров, их измеряют на низких частотах или определя-
ют по статическим характеристикам для заданного режима питания с помощью графи-
ческих построений [17] или дифференцированием их буквенных моделей. Так, для при-
ближенной оценки проводимостей транзистора с общей базой можно упростить уравне-
ния (4.9) с учетом неравенств /БЯб < 1/ЭБ и СКБ > 1/ЭБ, получив
Уп б = *ээ = dI3ldU3h I i/KE = const = ^эо ехР <л£/ЭБ> !А >
Yn 5 = gK3~ dIK^dC/3B I (А-- = const = ~aN^30 exP(sU3B^A'<
yi»6 = g3K = ^э/^КБ I I/ = const = -“/^KO exp(At/KB)M;
Y22 6 = gKK = dIKjdUKB 1 (/_ _ = const ~ ^KO exP (AtZKB^ lA •
J D
где Л = 1 - а в формулы подставляют модули а^и aj.
Эти формулы отличаются значительной погрешностью при определении параметров
У 2 б и KJ2 б, но удобны для оценки зависимости слабосигнальных параметров от выбо-
ра постоянных токов и напряжений на выводах транзистора.
Программа 260/21. Вычисление слабосигнальных низкочастотных проводимостей би-
полярного транзистора с общей базой
Р7 F6 XY X ex P8 F7 X e* F2 t
F3 X 1 XY — t F6 XY * t F8 X
X t F5 X P7 t F3 X /-/ P8 4—
t F4 X t F2 X /-/ С/П БП P0
Программа 261/34. Вычисление слабосигнальных низкочастотных проводимостей би-
полярного транзистора с общей базой ИП6 X ех XY ИП6 X ех XY ИП2 ИПЗ
X 1 XY - ИП6 * ПО 4* ИП5 X
П7 0 ИПЗ X П8 XY ИПО — ИП4
X t ИП2 0 XY - X с/п БП
Инструкция к обеим программам: (а/у = Р2, aj = РЗ, /30 = Р4, /ко = Р5, Л= Р6)
(/ЭБ = PY, иКБ = РХ (В/О) С/П РХ = Г,1б = PY = Г„б = g3V Р1 = У„б =
— %кк' — 1\2б ~ ^эк
Контрольный пример: при Л = 39; а^= 0,995; aj = 0,75; 1Э0 = /ко = 1 • 10'!;
1/ЭБ = ®’1> Чсб = получим (время счета около 15 с) ^11б = ^ээ= 7^928 • 10"’;
упб= *эк= -1.33117. 10-»»; Г316= -7,55492.10-’; У„б = gKK = 1.7749 • 10'».
Рабочую точку полевых транзисторов в усилителях обычно выбирают в пологой об-
ласти стоковых характеристик (ССц > С7отс - £/зи). Дифференцируя (5.10) по напря-
жению С7ЗИ, получаем для этой области параметр прямой передачи (крутизну стоково-
затворной статической характеристики)
* = *тах О - Vt73H/%c >’
где значение Smax = 37тах/£7ОТС соответствует С/Зи = 0 и Сси = (70тс
На начальном крутом участке стоковых характеристик (иногда используемом для
регулировки усиления) согласно выражению (5.9) получаем
Syntax (х/^си+Цзи - хД^)/Ч>тс.
Программа 262/21. Вычисление крутизны $ полевого транзистора с общим истоком
F4 t F8 - t F7 - х>0 4 F7 t F8
+ t F8 / - t F5 X t F4 V
-г БП РВП F8 t F4 + / 1 - /-/ t
F5 X С/П БП Р0
158
Программа 263/34. Вычисление крутизны 5 полевого транзистора с общим истоком
ИП4 ИП8 - ИП7 - х>0 21 ИП7 ИП8 +
у/~ ИП8 - ИП5 X ИП4 5/“ * БП
29 1 ИП8 ИП4 + 7" - ИП5 X С/П
БП
Инструкция к обеим программам; (Сси = Pl, U3vf = Р8, </отс = Р4, 5m = Р5)
(В/О) С/П РХ= S.
Контрольный пример: при Smax = 0,15 мСм; (/отс = 3 В; 1/с„ = 2 В; С/Зи = 1,5 В
(1/си > Цэтс — ^зи) получим S = 0,0439 мСм и при (7ЗИ = 0,1 в (^СИ < Ц>тс -
- 1/зи) получим 5 = 0,09811 мСм.
Подобные программы применимы лишь для оценки зависимости параметров актив-
ных компонентов от режима питания. Для расчета характеристик усилителя приходит-
ся использовать более точные значения параметров, измеренные и статистически обра-
ботанные или взятые из справочников для выбранного режима питания.
Расчет каскадного усилителя после выбора его структурной схемы в соответствии
с заданными мощностью в нагрузке, коэффициентом усиления мощности и частотной
характеристикой усиления начинают с оконечной ступени (нагрузка которой известна),
и вычисляют для каждой ступени коэффициент передачи напряжения и входную прово-
димость, являющуюся проводимостью нагрузки для предыдущей ступени. После расчета
всех ступеней по (5.5), (5.6) вычисляют частотную характеристику коэффициента уси-
ления напряжения, по которой определяют (при известных проводимости источника
сигнала и входной проводимости 1-й ступени) коэффициент усиления полезной мощ-
ности в заданном диапазоне частот.
Уровень мощности сигнала максимален в нагрузке оконечной ступени (мощного
усилителя), потребляющей основную часть энергии от источника питания. Поэтому
оконечную и иногда предоконечиую ступени на средних частотах рассчитывают с помо-
щью статических характеристик активных компонентов с обеспечением допустимого
уровня нелинейных искажений при максимальном уровне входного сигнала и макси-
мального КПД = Рк/Р0, где Рн — полезная мощность в нагрузке, Ро - мощность потреб-
ления. Вычисления в этом случае несложны и в настоящей книге не рассматриваются.
5.2. Расчет усилителя в статическом режиме
Расчет статического режима усилителя с заданной схемой заключается в определении
постоянных токов и напряжений на выводах активных компонентов, а также потребля-
емой мощности. При проектировании усилителя задача расчета сводится к определению
с помощью вычислений схемы питания активных компонентов, обеспечивающей тре-
буемые характеристики усиления и их стабильность при максимальном в общем случае
КПД. Решение этой задачи упрощается при разделении по постоянному току активных
компонентов (для повышения стабильности режима питания) с помощью разделитель-
ных конденсаторов или трансформаторов.
Расчет цепи питания активного компонента начинают с выбора рабочей точки по ста-
тическим характеристикам [17] или паспортным данным. Рабо-
чая точка однозначно задается двумя постоянными токами или
напряжениями на выводах трехполюсного компонента, и для
определения остальных токов и напряжений приходится исполь-
зовать графические или буквенные модели статических харак-
теристик.
Рассмотрим обобщенную схему питания биполярного тран-
зистора, размыкая или закорачивая элементы которой (рис. 49)
можно получить практически все схемы питания от одного ис-
точника. Представив уравнения (4.9) в приближенной форме
*6
К
<5 /5
К
'3
/?4
Лэ - Д (ехр (ЛС/ЗБ) - 1); /к - <5у/3>
(5.13) Рис. 49
159
где /0 = /эо/ (1 - адгсу), составим уравнение [20] (/ЭБ = (1/Л) In (АЕ + В1 'ЭБ + 1), свя-
зывающее напряжение Ugg с параметрами обобщенной схемы питания. В этом уравне-
нии приняты обозначения: А = (af - Ъ) 1с1„ (f - од,); В = (1 - /А) / (с/0 (f - оу)); а =
= 1 + G,/?, = 1 + R3/R,; 6=1+ C3Rt = 1 +Л4/Л2; d = 1 + GtR( = 1 + Л6/Я,; с =
= aR, + bR3 + abRt-, f = bd + Gsc + G,Rt = bd + c/Rs + R4/R3; A = G3R3 + a(l +
+ G2Rt) = R3/R3 + a (1 + Rt/R3); /0 = I30l (1 - aNaf) После вычисления £/ЭБ реше-
нием этого уравнения и значений /э и /к по уравнениям (5.13) можно найти
С/кб = С£ + ПС/эб,
гдеС = (aaN- b)/(f - aN), D = (1 - aNh) I (f - Oy).
Программа 264/21. Расчет статического режима биполярного транзистора по задан-
ной схеме питания
F8 t F3 X t F2 + In 3 9 4- t
F8 XY Р8 — Xi t F7 — x< :0 P0 F8 3
9 X ех 1 — t F6 X t ♦— X С/П
F8 t F5 X t F4 + С/П
Инструкция : (А | £| + 1 = Р2, В = РЗ, С| £| = Р4, D = Р5, /0 = Р6, квадрат допусти-
мой погрешности 1/ЭБ при вычислениях еа = Pl) «у = Cl, I Е I > ^эБнач =
С/П РХ = /к, PY = 1Э С/П РХ = С/КБ, Р8 = иэъ.
Программа 265/34. Расчет статического режима биполярного транзистора по задан
ной схеме питания
ИП8 ИПЗ X ИП2 +
П8 - х’ ИП7 -
ех 1 - ИП6 X
ПС ИП8 ИП5 X
1л ИП1 + ИП8 XY
х<0 00 ИП8 ИП1 X
ПА t ИПО X ПВ
ИП4 + ПД С/П БП
Инструкция: (оу = РО, Л = Р1.АЕ+ 1 = Р2, В = РЗ, СЕ = Р4, D = Р5,Ц = Р6,е2 * =
= иЭБ нач. = PS <В/°> С/П рХ=РД= UKb, Р8 = (/ЭБ, РА = 1Э. РВ = IK, PC = 7g.
В связи с приближенностью модели (5.13) и исходных данных, определяющих свой-
ства транзистора, точность результатов вычислений мала, но достаточна для сравнитель-
ной оценки влияния параметров цепи питания на изменения постоянных токов и напря-
жений на выводах транзистора.
Контрольный пример, при Л, = 100 кОм; R3 = 20 кОм; R3 = 1 кОм; Л4 = 1 кОм;
Rs = 50 кОм; Rt = 0,5 кОм; Л = 39 1/В; оу = 0,99; /0 = 0,01 мА; Е = -10 В, пред-
варительно вычислив а = 1,01; b = 1,05; d = 1,005; с = 2,59025; f = 1,117055; h —
= 1,08525; £| А1 + 1 = 238,6921; В = -64,50334; С| £| = -3,943174; D = -0,5855535,
получим С/ЭБ = 0,139 В (при е = 0,001) ; иКБ = -4,025 В; 1Э = 2,287 мА; 1К = 2,264 мА;
/Б = 0,023 мА.
Полученные по этим программам результаты могут служить исходными данными
для приближенного вычисления слабосигнальных проводимостей транзистора в расчет-
ной рабочей точке с помощью программ 260/21 и 261/34.
Мощность, потребляемая от источника питания при рассматриваемой схеме,
Р9 = ((J3R< + U3B)/R3 + /э)£, (5.14)
где все величины приняты положительными независимо от типа транзистора и полярно-
сти напряжения питания.
Стабильность режима питания в рассматриваемой схеме увеличивается при увеличе-
нии глубины отрицательной обратной связи по постоянному току. Стабильность режима
можно оценить по чувствительности SK (В) тока коллектора к изменениям статическо-
го коэффициента усиления тока В 1 = 7j^//g- Для этого по уравнениям Кирхгофа, свя-
1 Символом В обозначено отношение токов, устанавливающихся в зависимо-
сти от параметров цепи для постоянного тока, отличающееся от параметра AJ2g, изме-
ряемого при фиксированном напряжении на коллекторе.
160
зывающим постоянные токи и напряжения при исключении GKB, мало влияющего на
изменения тока коллектора в рабочей области статических характеристик, составим
уравнение 1К = В1Б (/к), откуда получим
5К(В) = Bdl^I^B^ 1/(1 +/К//Б(1 + I/(R3G3 + RtG3 (1 + B3GS) + (Я4 +Я4 +
+ B4B4G2)(G, + GS + G,G,R})))),
где G2 = 1/B,,G2 = 1/B2,G, = l/R3.
По этой формуле можно определить чувствительность SK (В) для любой схемы пи-
тания биполярного транзистора, полученной из рассматриваемой обобщенной схемы
размыканием или закорачиванием ее резистивных двухполюсных элементов.
При синтезе цепи питания на все или некоторые сопротивления накладываются огра-
ничения, связанные с влиянием этих сопротивлений на усиление сигнала. В усилителях
слабых сигналов чаще всего используют схему питания (рис. 50,а -в), обеспечивающую
достаточно высокую стабильность режима питания вследствие последовательной отри-
цательной обратной связи, петля которой замыкается через сопротивления Л2 и Rt.
Рис. 50
В наиболее распространенной схеме включения транзистора с общим эмиттером
(рис. 50,а) для устранения обратной связи на частоте сигнала резистор Rt шунтируют
конденсатором большой емкости, а в ЛС-усилителях цепь питания изолируют раздели-
тельными конденсаторами на выходе и входе (входной конденсатор обычно относят к
схеме предыдущей усилительной ступени).
При расчете рассматриваемой схемы питания задаются сопротивлением R3, шунти-
рующим нагрузку усилительной ступени, и R3, уменьшение которого повышает ста-
бильность режима питания, но уменьшает усиление и увеличивает мощность потребле-
ния. Значения остальных сопротивлений при заданном режиме питания транзистора и
напряжении источника Е определяют по формулам
Я4= (E-IKR3 -£7кэ)/(/б+/к);
Я. = (£- УБЭ-7^4)/(аэЯ4 +£/БЭ)/Я2 +/Б).
При этом мощность потребления рассматриваемой стандартной схемы питания опреде-
ляется формулой (5.14), а чувствительность
SK(B) = 1/(1+/кЯ4 (G, +G2)/ZB(1+ (G, +G2)«4))).
Выбрав исходными напряжения (/БЭ и GK3, сопротивления Л2 и R3 резисторов и па-
раметры /0, оу « h 21Б и Л модели Эберса - Молла для биполярного транзистора, можно
определить по приведенным формулам и уравнениям (5.13) все остальные величины,
характеризующие статический режим.
Программа 266/21. Вычисление значений /э, /Б, Ро, Л, и Л4 для стандартной схемы
питания биполярного транзитора
t F5 X е* XY — F6 X t F6 — С/П
t <— F4 X /-/ XY + С/П F3 X t
F8 — t F7 + t —♦ —► P8 4- С/П —>
6 Зак. 1399
161
+ t F2 -i- XY — F8 + <- + - t
F7 XY X С/П - - t «- «- + С/П
Инструкция: (Яг = P2. R} = РЗ, ayy = P4, A = PS, /„ = P6, E - PT) t/K3 = P8, =
— PX B/O С/П РХ = 1Э С/П PX = /B С/П РХ=Я,,С1П РХ=Ра С/П РХ=Я{.
Контрольный пример: при Я3 = 10 кОм; R} = 3 кОм; = 0,98; Л= 30; /0 — 1 X
X 10“ мА; Е = 10 В; (/кэ = 4 В; С/БЭ = 0,08 В получим /э = 1,0023 мА; /Б =
= 0,0200 мА; R, = 3046 Ом; Р„ = 13,156 мВт; Rt = 20,6 кОм.
Программа 267/21. Вычисление чувствительности SK(.B) для стандартной схемы пи-
тания биполярного транзистора
F5 1/х t F2 1/х + t F4 X 1/х 1 +
t F7 X 1/х t F8 X . 1 + 1/х С/П БП
Р0
Инструкция: (/Б = PT IK = Р8> Л4 = Р4, Я, = PS, R2 = Р2) (В/О) С/П РХ= SK (В).
Контрольный пример : при /Б = 0,1 мА; 1К = 2 мА; Rt = 200 кОм; Я2 = 20 кОм;
Rt = 2 кОм получим SK (В) = 0,3354.
Программа 268/34. Расчет стандартной схемы питания биполярного транзистора
ИП6 ИП7 X Vх 1 — ипо X ПА ИП5
X ПВ ИП9 ИПВ ИПЗ X — ИП8 — ИПА
+ П4 ИПА X ИП7 + ПС ИП2 4- ИПА
+ ИП9 X пд ИП9 ИПС — ИПС ИП2 4-
ИПА ИПВ — ПС + П1 1/х ИП2 Их
+ ИП4 X t 1 + XY ИПА X ИПС
1 + + С/П БП
Инструкция : (Jo = Р0, я2 = К, К3 = РЗ, “ст “ : Р5, Л = РВ, иъэ = PJ, икэ = Р8,
| £ | = Р9) (В/О) С/П РХ = SK(B),Pl = Я,, Р4 = R,, РА = /э, РВ = 7К, PC - /Б,
РД = Яо. Время счета около 25 с.
Контрольный пример, при 70 = 0,02 мА, Я2 = 5 кОм, Я3 = 7 кОм, аст = 0,95, Л =
= 39 1/В, £/бэ = 0,1 В, <7КЭ = 2 В,Е = 9 В получим 8К (В) = 0,00673; R, = 46,1 кОм;
Я4 = 5,81 кОм; /э = 0,968 мА; /к = 0,919 мА; /Б = 0,048 мА; Ро = 9,9 мВт.
Рассмотренные формулы и реализующие их программы пригодны для расчета стати-
ческого режима и при других схемах включения транзистора на частоте сигнала, но в
этом случае изменяются требования к значениям сопротивления резистивных двух-
полюсников.
При включении транзистора на частоте сигнала по схеме с общей базой (см. рис. 50,6)
в усилителях с ЯС-связью сопротивление Я4 шунтирует вход усилителя, а увеличение
сопротивлений Я, и Я2 снижает потребляемую мощность, но уменьшает стабильность
статического режима. При включении транзистора в схеме с общим коллектором (см.
рис. 50, в) сопротивление в цепи коллектора закорочено и в приведенных выше форму-
лах достаточно принять Я3 = 0. В этом случае стабильность режима питания возрастает
при уменьшении сопротивления Я2, но снижается входное сопро-
тивление. Иногда для повышения входного сопротивления прини-
мают 1/Я, = 0, но в этом случае разрывается цепь отрицательной
обратной связи и стабильность режима питания уменьшается.
Иногда вводят параллельную отрицательную обратную связь,
которая снижает входное и выходное сопротивления усилителя на
транзисторе с общим эмиттером, но приемлема при включении
транзистора с общей базой. Примером может служить схема с ком-
бинированной параллельной и последовательной отрицательной об-
ратной связью по постоянному току (рис. 51), получающаяся из
обобщенной схемы питания при 1/Я2 = 0. Мощность потребления
в этом случае определяется формулой (5.14), а токи и напряже-
ния связаны системой из уравнений (5.13) и уравнений
Рис. 51
162
Л4 = ((Е- UK3)R2 - ((/Бэ+/эЯ2)Л3)//э(Л3 +Л3); )/аБ +
“ УБЭ
SK(5) = (Л, + R3 +R, +Я4 (Л3 + Л,)/Л2)/(Я5 + (Я3 +Л4 +Я4 (Я3 +Я3)/Л3)/Э//Б).
Программа 269/34. Расчет комбинированной схемы питания биполярного транзистора
ИП1 ИП7 X ех 1 ИПО X ПА t
ИП6 X ПВ ИП9 ИП8 ИП7 ИП2 -г
ИПА + ИПЗ X ИПЗ ИП2 -ь 1 +
ИПА X -= П4 ИПА X ИП7 + ИП2 4-
1 ИПА + ИП9 X ПС - ИПВ + ИП8
ИП7 - XY •? П5 ИПЗ + ИП4 X ИП2
ИП4 + ИПЗ + ПД ИП5 + ИПД ИПА
X ИПВ -5- ИП5 + т С/П БП
Инструкция: (J, = РО, Л = Pl, R2 = Р2, R3 = РЗ, а = Р6, | (УБЭ I = Р7, | {/кэ | = Р8,
|£|=Р9) (В/О) С/П РХ=5К(Р),Р4 = Р4,Р5 = Л5,РЛ = /э,РВ = /Б,РС=Р0.
Контрольный пример: при 70 = 0,02 мА; Л, = 5 кОм; Я3 = 7 кОм; а= 0,95; Л =
— 39 1/В; С/БЭ = 0,1 В; UK3 = 2 В; Е= 9 В получим (время счета около 30с) SK(В) —
= 0,190398; Л4 = 0,036 кОм; R, = 25,2 кОм; 1Э = 0,968 мА; 1Б = 0,0484 мА; Ро =
= 8,96 мВт. Для получения этих результатов с помощью микрокалькулятора с входным
языком МК21 приходится использовать пакет из трех программ.
Относительной простотой отличаются схемы питания полевых транзисторов. Наибо-
лее распространенная схема питания от одного источника с последовательной отрица-
тельной обратной связью по постоянному току (рис. 52) обеспечивает удовлетворитель-
ную стабильность статического режима при изменениях температуры. Одной из основ-
ных причин температурной нестабильности является падение напряжения теплового то-
ка затвора /3 на сопротивлении R3, приводящее к дрейфу тока стока. В усилителях ра-
бочую точку полевых транзисторов обычно выбирают на пологих участках стоковой
статической характеристики при (/си > Uorc - 1/зи- В рабочем диапазоне напряжения
£/зи имеется две термостабильные точки &ЗИ0 и £/зи ;, обеспечивающие соответствен-
но постоянство тока стока или крутизны характеристики прямой передачи при измене-
ниях температуры в широком диапазоне частот.
Температурный дрейф снижается при уменьшении сопротивления R3, но при этом
уменьшается и входное сопротивление в схеме усилителя с общим истоком или общим
стоком. Поэтому величину R3 выбирают [10] в пределах от нескольких десятков ки-
лоомов до нескольких мегаомов.
При изменениях теплового тока затвора /3 изменяется падение напряжения на вели-
чину Д/3Л3, что приводит к изменениям тока стока Д7С = 5Д(/ЗИ- В рассматриваемой
схеме эти изменения связаны соотношениями Д1/Зи = Д/3Я3 - Д/СЯИ = А/з^э ~
- 5Д(/зиАи или Д</Зи = El3R3/ (1 + SR„). Следовательно, зависимость стабильности
режима питания от сопротивлений R3 и 7?и можно приближенно оценить по чувствитель-
ности напряжения между затвором и истоком к изменениям тока затвора
6*
163
с и > = ^^ЗИ = --------------
ЗИ 3 W'3 W1 + Vmax) (1 + VCWq»Tc) ’
В рабочем режиме токи и напряжения полевого транзистора связаны уравнениями
^СИ = Е - IC(RC + Л4); Цзи = Лз^э - /еЛс и (5.10), а мощность потребления Ро =
=/Со-
программа 270/34. Расчет стандартной схемы питания полевого транзистора с р-п-
затвором
ИП9 ИП7 — ИП8 — х<0 । 63 ИП7 ИП9 -г
П2 2 X 3 — ИП2 X 1
ИП6 X ПО ИП5 X ПС ИП7 ИПО 4 ПА
ИП5 ИП7 ИП8 + — ИПО 4- пв ИП2
1 + 3 X ИП6 X ИП9 4- ПД ИПА
X 1 + ИП7 X 1/Х ИШ X ИП4 X
С/П БП 00 0 С/П БП
Инструкция . (/3 = Р1, *з = 7’4, I Я| = «>^шах= \иЗИ\ = Р1,\иСИ\= Р^,
Цзтс = Р9) <В/°) С/П РХ= 5зи(/3),/>0 = /с, РА = RwPB = Rc,PC=P<),Pa=S. Если
рабочая точка выбрана ошибочно при С/Си < Ц>тс — ^ЗИ’то после выполнения програм-
мы высвечивается нуль.
Контрольный пример: при /3 = 10"э мА; R3 = 100 кОм; Е — 9 В; /тах = 1 мА;
£/зи = 2 В; С7СИ = 4 В; UQrc = 5 В получим 5ЭИ(/3) = 6,75 • 10'3; /с = 0,305 мА;
RH = 6,536 кОм; Rc = 9,8 кОм; Р„ = 2,75 мВт; S = 0,979 мСм.
При расчетах статических режимов затруднения могут возникнуть при непосред-
ственном соединении нескольких активных компонентов. Если режим питания каждого
активного компонента может быть выбран независимо, то, задавшись двумя постоянны-
ми токами или напряжениями для каждого транзистора, следует определить по уравне-
ниям (5.13) или более точным уравнениям, рассмотренным в гл. 4, остальные токи и
напряжения на выводах транзистора. После этого достаточно составить и решить ли-
нейную относительно всех переменных систему уравнений, связывающую токи и напря-
жения транзисторов с сопротивлениями резистивных двухполюсников схемы.
В качестве примера рассмотрим схему, показанную на рис. 53, а, при R, = 200 кОм;
R2 — 20 кОм; R, - 10 кОм и однотипных транзисторах со слабосигнальными проводи-
мостями у11Э = Хбб = 1 мСм; у1аэ = g6K = -2 мкСм; >мэ, £кб = 40 мСм; у„э =
= gKK = 0,1 мСм. По эквивалентной схеме (рис. 53, б) для медленных изменений токов
и напряжений составим матрицу проводимостей
Si + ^бб ^бк
Sk6 gKK+g66+g2
0 *Кб
Si ~gt
0 Si 1 005
^бк -Si 40 000
gKK. + g3 Si 0
-«3 Si +S, +g3 +G -5
-2 0 5
1150 -2 -50
40 000 200 -100
-50 -100 160+ G
где все величины выражены в микросименсах, = l/fl,,g2 = 1/Я2,#э = 1//?3,G = 1/Я.
Рис. 53
164
Из условия самовозбуждения (потери устойчивости) Д = Д° + бД44 — 0 для опреде-
лителя составленной матрицы, находим G ит = -Д°/Д44 = 1,702 мСм и, следователь-
но, для устойчивости режима питания необходимо выбрать Л < 580 Ом или изменить
другие параметры.
5.3. Расчет усилителя на средних частотах *
В основной части полосы пропускания (на средних частотах) широкополосных уси-
лителей влияние паразитных инерционных параметров пренебрежимо мало и все пара-
метры усилителя вещественны. В некоторых случаях (например, на частоте резонанса)
допустимо пренебрежение реактивными параметрами и при расчете некоторых характе-
ристик узкополосных усилителей.
При анализе методом узловых напряжений в цепи передачи сигнала целесообразно
источник сигнала заменить эквивалентным источником тока с ic = (см. рис. 45, 6}.
В этом случае на средних частотах такая цепь представима вещественной матрицей
у=
S3i
где ненагруженный усилитель описан слабосигнальными проводимостями gH, g12,
£31 и^2а-
Подобная модель справедлива как для усилителя в целом, так и для любой его сту-
пени; в последнем случае проводимость gc источника сигнала будет выходной прово-
димостью предыдущей ступени, а проводимость gH - входной проводимостью после-
дующей ступени. При непосредственном присоединении идеального источника напряже-
(5.15)
^Н + &22
ния ивх к входу усилителя (l/gc = 0) по матрице (5.15) получим
А"н ^H^BX ” 413^11 ~ ~^31 / (^Н + ^33 * (5.16)
*м ~ “н^н^вх^вх — «н^н^вх’ (5-17)
Kj— 'н/’вх и н^н/ивх^вх Км/Кн, (5.18)
?ПХ *ВХ^ВХ /^11 ~ + (5.19)
где определитель Дс равен Д при gc = 0.
При конечной проводимости gc получим
^НС ~ ^CUh/ZC &С&22 1 & ~ ~£ С&31 / ( (£с + 1 ) + *33 ) ~ ^13^31 ) >
Кмс = КМВХКМ’ (5.20)
где с учетом схемы с источником напряжения (см. рис. 45, а) при ic = e(gc коэффици-
ент передачи мощности на входе Кмвх = gc/ (gc + gBX). В этом случае располагаемый
коэффициент усиления мощности, соответствующий номинальной мощности источника
сигнала 0,25е£#с при согласовании на входе,
кр = 4^н^с^с = <5.21)
и выходная проводимость
^ВЫХ “ ^ВЫХ^ВЫХ А /^22 ~ %22 “ ^12^21 / (^с + ^11 ) »
где Дн соответствует определителю Д при gu = 0-
Программа 271/21. Расчет усилителя на средних частотах
F5 t F3 + t F4 * /-/ 1/х Р6 t F8
X t F7 XY + Р7 F2 + t F8 XY +
t F4 X t F5 XY - P5 F3 t Fl *
t F6 /-/ XY X P8 X P4 F2 t F7 +
-5- P2 t F6 X P3 F4 X С/П БП P0
Инструкция: glt = Pl, gl2 = P8, g,, = P4,ga2 = P5, gc = P2, gH = РЗ (B/O) С/П
= V P4 = Км- M = Kw P» = KVP1 = gBX, P5 = gB.IX, P2 = KHBX
165
Программа 272/34. Расчет усилителя на средних частотах
ИП7 ПС ИП4 ИП2 ИП5 XY ИП2 + 't- ИПА X ПА ПВ ИП8 ИПА X X 1g
1 0 X ПО ИПА /-/ ПА ИП5 ИП4 ИП8
X ИП1 ИП7 + 4" — ПЗ ИП1 t ИПС
+ 4- П9 ИПА X ПД ИП9 1g 1 0
X ИПО + С/П БП
Инструкция • («п = РУ, «12 «21 1 ^4, «22 = P5,gc = P1,£H =Р2) (В/О) С/П
РХ = Кмс (дБ), Р0 = (дБ), РА = РВ = К, ГРС gBX' ^нс’ *вых'
Контрольный пример: при gn = 1 мСм; g12 = -1 • 10“3 мСм; g21 = —100 мСм;
g22 = 0,1 мСм; gc= 0,1 мСм; £и = 0,2 мСм получим Кмс = 36,387 дБ; К"м= 45,229 дБ;
К = 333,33; Кт = -100; g„* = 0,6666 мСм; gB.lx = 0,00909 мСм; KHBJ. = 0,1304;
Н Т Вл МЫл Н Мл
Кнс = 43,478.
При выборе структурной схемы усилителя по заданному усилению мощности прихо-
дится оценивать располагаемый коэффициент усиления мощности каждой ступени. Его
максимальное значение на средних частотах
*ртах = («»/(^..«22 + V а'))’, (5.22)
где д' = glx g22 - gl2g2l, соответствует оптимальным проводимостям источника сигна-
ла и нагрузки ________ ___________________
«с opt = '/^«и/«2з' «нopt— "'J(5.23)
При полном согласовании по условиям (5.23) коэффициент передачи входного на-
пряжения Кн 0_t = -g22 I (g22 + gH Opt) и коэффициент передачи напряжения сигнала
^нс opt ~ °'5^н орг
Программа 273/21. Расчет согласованного усилителя на средних частотах
F8 t F4 РЗ XY X -» F5 t t F7 F4 XY X t x’ P6 1л
4 , 3 4 3 X - F7 t F5 4.
t F3 X P2 F3 XY 4 P3 t F5 + t
F4 /-/ XY 4- 2 4- t - С/П БП P0
Инструкция: (gu = Pl,gl2 PF=KHc”p6 = ^pmax”ra = «c = ^.«2> opt1 ~ = P4,g12 - «н opt" F5) (B/O) С/ПРХ=Кртах (дБ),
Программа 274/34. Расчет согласованного усилителя на средних частотах
ИП5 ИП7 X П9 ИП8 ИП4 X — у/ П6
ИП9 yj~ + ИП4 XY 4- х’ по ИП4 /-/
ИП6 ИП7 ИП5 yf~ X ПА вх X* 4-
ПВ ИП5 + 4- 2 4- ПС ИПО /-/ ИПС
4- ПД ИПО 1g 1 0 X С/П БП
Инструкция • («11 = РУ, -«12 = n.g» = Р4, '«22 — Р5) (В/О) С/П РХ=Кртах (дБ),
Кр max’ ^4 «copt’^ «н opt> opt' ^торГ
Контрольный пример: при gtl = 1 мСм; = -10"3 мСм; g21 = 40 мСм; g22 =
= 0,1 мСм получим Кртах(дБ) = 35,259 дБ; /Cpmax = 3356,8; «copt = 1,1832 мСм;
«Hopt = 0,П832 мСм; Кнсopt= -91,608; KTopt = 36,643.
С помощью приведенных программ удобно оценивать предельные характеристики
ЛС-ступсней с различным включением активного компонента. Например, если для тран-
зистора с общим эмиттером при У э = 1 мСм; У э = 10"3 мСм; У}) э = 40 мСм;
У2а э = 0,1 мСм получим предельные характеристики, вычисленные в последнем конт-
рольном примере (в пренебрежении влиянием цепей питания), то для того же транзи-
стора в схеме с общей базой по матрице (5.12) получим Уи б = g33 = 41,099 мСм;
У12 б = «эк = -°-099 мСм! У21 б = gK3 = ~40>1 мСм; Г22 б = ?кк = 011 мСм и по ПР°’
166
грамме 273/21 или 274/34 вычислим Кр тах = 24,453 дБ; gc opt = 7,585 мСм; £и t =
= 0,0185 мСм. При включении такого транзистора в схему с общим коллектором
(у.ж = «бб = 1 мСм; у„к = *бэ = -°-999 мСм; у2, к = «эб = ~41 мСм; у„к =
= g33 = 41-099 мСм) получим Ктах = 15,625 дБ; gcopt = 0,05836 мСм; gHOpt =
= 2,3987 мСм.
По вычисленным оптимальным проводимостям нагрузки и источника сигнала опре-
деляют коэффициенты трансформации nRt = uBX/uc = V«c/JfCOpt 4ля согласования
на входе и пвых = «н/ивых — opf/^н для согласования на выходе.
При проектировании усилителей существенна оценка влияния нестабильности пара-
метров, связанной с изменением рабочих условий и технологическим разбросом. Вли-
яние малых изменений параметров на функции цепи оценивают по (3.28), вычисляя
соответствующие чувствительности. Параметры #1а и g3l проходного четырехполюсни-
ка, эквивалентного ступени ЯС-усилителя, обычно равны соответствующим параметрам
активных компонентов, но параметры и g23 ступени и активного компонента не-
сколько отличаются вследствие влияния цепей питания.
Нестабильность усиления в основном определяется изменениями параметраg2I .вли-
яние которого оценивают чувствительностями коэффициента передачи напряжения
сигнала SHC С?21) = (g2,/^HC)dKHC/dg3l = 1 + glagal/A = (gc + g,,)/Uc + квх), входной
проводимости SBX(g21) = 1/(1 - gn (gH + g23)/gl2g3l = ^laKH/gBX,выходной проводи-
мости SBbIXU„) = Г.ЛбДых’ где Л'обр = “вх/“н = +«„)• Влияние неста-
бильности параметра „?1а оценивают чувствительностями SHC(g12) = 1 - 5HC(gn)
5вх(?1а) ~ $вых^п) = ^вых^и)' При отсутствии обратной связи (gia =
= 0) вес зти чувствительности равны нулю, кроме SHC (gal) - SH(g21) - 1.
Программа 275/21 . Вычисление К , К , К G g , g S te21), M nv UUp 1>A DDIA nt •SBX(S2i) насред-
них частотах t F5 + 1/x t F4 /-/ X P3 t F8 X
t F7 + P6 F2 t F7 t t F8 /-/ •T
1/х t F3 X /-/ 1 + l/x -» t
F4 X t F5 + - F8 t F3 X t F6
4 - F2 t F6 + 4- t F3 X С/П
Инструкция. (gn = P7> gi2 = P%’ S21 ~ g22 = P^> ~ P2^ „ = PX B/O С/П
PX = KHC. P3 = Kn, 1 ’б — gBX, Cl — 5BX (g2l) — Sgx (g22). C2 — gBbtx, СЗ = *обр. C4 =
— SHC (Х21) 1 5НС (g 12)
Программа 276/34. Вычисление Хнс, Ки, Ко6р, gBX, £ВЬ1Х и их чувствительностей к
изменениям gl2 и#21 на средних частотах
МП 8 /-/ ИП7 ИП1 + а. ПВ ИП4 X ИП5
+ ПД ИП4 /-/ ИП5 ИП2 + X. ПА ИП8
X ИП7 + ПС ИП1 t ИПС + Э. ИПА
X ПО 1 ИПА ИПВ X — 1/х ПЗ ИП8
ИПА X ИПС П6 ИП4 ипв X ИПД V
П9 1 ИПЗ - С/П БП
Инструкция. (glt = Р7, #12 — ^•К21 = p^.g» = Р5, g, c = Pl,gH = P2) (В/О) С/П
ппи ' » А 12 * 0 21 л * ° 22 — 1 5q ~ <5Н “ х *>/ \l»i v-r j '-/ll
РХ = SHC (gla), Р0 = /Снс, РА = ка, РВ = коб PC = gBX, РД = gBbIX, РЗ = sHC feal),
- 5ВХ ten) — SBX(g13),Р9 - SBbIX С?21) — 5ВЫХ С?12) •
Контрольный пример: при = 1 мСм; g,2 = -10"3 мСм; gai = 50 мСм; g23 =
= 0,2 мСм; gc = 0,05 мСм; gH = 0,3 мСм получим КИС = -4,34782; Кн= -100; К"обр =
= 0,0009523809; gBX = 1,1 мСм; гвых = 0,247619 мСм; SHCU21) = 0,9130434;
^Bxten) = SBX(gl2) = 0,090909; SBbIX(gal) = SBbIxte12) = 0,1923076; SHC(f12) =
= 0,0869565.
Основной способ уменьшения влияния нестабильности параметров заключается во
введении отрицательной обратной связи. Усилитель с простейшей параллельной цепью
167
обратной связи через резистивный двухполюсник с проводимостью g0 (рис. 54, а) опи-
сывается матрицей
у_ + Кн ~ Ёо ! (5 24)
— ?о £н+£ц+£о]
причем обратная связь отрицательна при (g21 - g0) (g la - g0) < 0 и положительна в
противном случае. Параллельная обратная связь мало влияет на Кп и ее влияние в ос-
новном оценивают по изменениям Кис = (gcl (gc + ) )КН/ (1 - К’нК’обр) •
Рис. 54
Программа 277/21. Оценка влияния параллельной обратной связи на средних частотах
t F7 + P6 F4 — P3 F8 — /-/ F5
+ t F3 * 1/x t —> XY P3 X XY *-
F6 XY + P6 F2 + «— F6 t F2 + t
-» -r 1/x -► t F3 X t F6 b - F2
t F6 + -5- t F3 X С/П БП P0
Инструкция: (gn = Pl,gl2 = P8, &21 ~ ^,g33 + g = SH P5,g c = P2) g„ = PX (B/O)
C/П PX = кнс, P3 = KH, P6 = ?BX’ Cl = ^BX )>C2 = 5HCte31) = 1 -
^hc ^ij) '
Программа 278/34С. Анализ усилителя с параллельной цепью обратной связи на сред-
них частотах
no ИП7 + ПЗ ипо ИП5 + П9 ИП8 ипо
— П6 ИП4 uno — ПО /-/ ИП9 ИП2 +
4- ПА ИП6 X ИПЗ + ПС ИП6 /-/ ИП7
ИП1 + = ПВ ипо X ИП9 + ПД ипо
ИПВ X ИПД + П9 ИП6 ИПА X ИПС 4-
П6 ИП1 ИПЗ + ИП1 ИПС + 4- ПЗ ИП1
t ИПС + ИПА X ПО 1 ИПЗ —
С/П БП
Инструкция: (g,, = Pl, g i2 = PS, g2l = P4, g22 = P5, gc = Pl,gH = Pl) g0 = PX
(B/O) C/П PX = 5HC (g13), P0 = 7CHc. PA = Kw PB = JCo6 PC = gBX, РД = gBbIX, P3 =
— SHC (&2i) > Pf> — 5BX (?ai) — 5BX (gla) > P9 — SBb]x (#21) — ‘5ВЫХ feu) -
Контрольный пример: при gn = 1 мСм; gI2 = -10*’ мСм; g2i = 50 мСм; g33 =
— 0,2 мСм; gc — 0,05 мСм; gH = 0,3 мСм; g0 = 0,01 мСм (l/g0 = 100 кОм) получим
Кнс = -2,92208; КИ = -98,0196; Коб = 0,01047619; gBX = 2,088215 мСм; £вых =
= 0,7337047; SHC(g>3) = 0,504259; SHC(gal) = 0,4957404; $вх0?а1) = SBX(g13) =
= 0,516334; SBblxfe2I) = SBblxfe12) = 0,7137813.
Усилитель с простейшей цепью последовательной обратной связи через резистивный
двухполюсник с сопротивлением г 0 = l/g0 (рис. 54,6) описывается матрицей прово-
димостей
У =
£ п +
&2i
8 1»
% 22 +
— (^12 + #23)
+?12)
~ C?2i + #32)
g0 +8х
(5.25)
(?п +l>3i)
Taegz= gc+gll + gl2 +g2l +g22 +gH.
168
Анализировать рассматриваемый усилитель можно различными способами. Расчет-
ные формулы, составленные по матрице (5.25), оказываются достаточно громоздки-
ми, а устранение обратной связи (r0 = l/g0 = 0) требует перехода к матрице 2-го поряд-
ка, что усложняет автоматизацию анализа. Поэтому целесообразно воспользоваться фор-
мулами (3.7), вычислив проводимости проходного четырехполюсника, эквивалентного
анализируемому усилителю
^’1= ten +ro 1)/Л; = ten-'о 1я1)М;
g'ti = ten -r0 lg I)/А; g’, = (g„ +r0 |g|)/4,
где A 1 + Tq (g, j + g j j + g g3^), |g | gilg 22 £12^21 *
Программа 279/21C. Вычисление эквивалентных проводимостей усилителя с после-
довательной обратной связью
Р2 F7 t F8 + t F4 + t F5 + t
F2 X 1 + РЗ F4 t F8 X F7 t
F5 X t — t F2 X Р2 F5 ПП —
Р5 F8 ПП F- /-/ Р8 F4 ПП F — /-/ P4 F7
ПП — Р7 С/П /-/ t F2 + t F3 4- B/O
Программа 279а/34. Вычисление эквивалентных проводимостей усилителя с последо-
вательной обратной связью.
no ИП7 ИП8 + ИП4 + ИП5 + X 1
+ П9 ИП7 ИП5 X ИП4 ИП8 X — ИПО
X П6 ИП5 ПП 44 П5 ИП8 ПП 43 /-/
П8 ИП4 ПП 43 /-/ П4 ИП7 ПП 44 П7
С/П БП 00 /-/ ИП6 + ИП9 4- t В/О
Инструкция к обеим программам: £11 ~ P1.gl2 = Р8,^21 = W,g3a = F5,r0 = РХ
(В/О) С/П РХ = Р7 = g22, PS = g[2, Р4 = g2l, Р5 = g22. Для первой программы клавишу
В/О нажимать перед каждым пуском.
Контрольный пример: при gu = 1 мСм, gl2 = -1 • 10*3 мСм, g2i = 50 мСм, g22 =
= 0,1 мСм, г0 = 0,1 кОм получим g’, = 0,166123 мСм, gl2 = -2,6187 • 10‘3 мСм,
g21 = 8,18098 мСм, g22 = 0,0188219 мСм.
После вычисления проводимостей эквивалентного усилителю с последовательной об-
ратной связью проходного четырехполюсника характеристики усилителя можно найти
по любым формулам и программам (например, по программам 275/34 и 276/21) рас-
чета усилительной цепи общего вида.
При расчете каскадных усилителей возникает необходимость в расчете каждой уси-
лительной ступени и усилителя в целом. При отсутствии контура обратной связи, схва-
тывающего весь усилитель или несколько ступеней,целесообразно представить каждую
усилительную ступень эквивалентным проходным четырехполюсником со слабосигналь-
ными проводимоегями и воспользоваться следующими программами для последова-
тельного (начиная с оконечной ступени) вычисления характеристик каждой ступени и
их каскадного соединения.
Программа 280/21. Анализ каскадного усилителя на средних частотах
F5 t F6 + t F4 4- 1/х /-/ Р2 t
X F8 X t F7 + t F6 XY Р6 4-
t F2 хг X In 4 3 4 X РЗ t
+ 4- F3 С/П БП P0
Инструкция: ввести параметры последней ступени и нагрузки gH = Р6, £ п = Р^,
«12п = S2,n = = -Р5, 1 = С1 В/О С/П РХ = РЗ = Кмп (дБ), Р2 = КИП,
Pf> = gBX„, • • , ввести параметры очередной ступени = P1<g,2n-i =
^21 n-i = g22n-i ~ Р$ С/П ~ ~ ^мп-i (ДБ)>Р2 ~ KHn-i- Р& = saxn-i'
С1 = 7СН, С6 = КМ (дБ).
169
Программа 281/34. Анализ каскадного усилителя на средних частотах
ИП4 /-/ ИП5 ИПО + -5- ПА ИП8 X ИП7
+ ИПО XY ПО * ИПА х’ X 1g 1
О X ПВ ИПД + ПД ИПА ИПС X ПС
ИПВ С/П БП
Инструкция: ввести параметры оконечной ступени и нагрузки = P0,glin — PI,
^Л = 'га-^1Л=«-«„П = 'Р5-1 = РС В/° С/П РР = Кмп, РО = gBxn, РА =
- Кнп, , ввести параметры очередной ступени п j = P7<gl2 n-i = n-i =
= Р4’ S22 n.i = Р5 С/П PX = PB = Кмп_{ (дБ), PO = gBxn.', PA = PC =
В качестве примера рассмотрим усилитель, схема которого показана на рис. 55,а,
с одинаковыми параметрами транзисторов (при измерении в схеме с общим эмитте-
ром) : э = З-бб = 0,9 мСм; Y(J э = Убк = ~2 мкСм- Г2> э = •’'кб = 40 мСм; Угг э =
= укк = 0,8 мСм.
На средних частотах анализируемый усилитель можно представить эквивалентной
схемой (рис. 55, б) с проводимостью нагрузки gH = 0,05 мСм и слабосигнальными па-
раметрами оконечной ступени g, t = g33 = g66 + Кбк + ^кб + гкк = 41-698 мСм, g13 =
= - (gKK + £бк) = -0,798 мСм, g2, = - teK6 + gKK) = -40,8 мСм, g22 = gKK + g\ =
= 0,85 мСм. Параметры предоконечной ступени gtl - g66 + g2 = 1,1 mCm,£12 = ggK =
= -2 • 10"’ мСм, g2l = gKg = 40 мСм,£„ = gKK = 0,8 мСм, а параметры первой ступе-
ни g„ = g’, + ggg = 0,905 мСм, g„ = g63= - (gg6 + J?6k) = -°-898 mCm1 = «эб =
= -&бб + £кб) = ~40’9 мСм,гп +^33= 42,198 мСм.
Введя в запоминающие устройства микрокалькулятора программу 280/21 или
281/34, проводимость нагрузки и слабосигнальные параметры оконечной ступени, а
также очистив регистр Д и записав единицу в регистр С, после выполнения программы
получим КМ2 = 12,69 ДБ,£вх} = 5,522 мСм, KHJ = 45,3333. Введя слабосигнальные
проводимости предконечной ступени (не изменяя содержимого остальных регистров
памяти), после выполнения программы получим /Сма = 22,97 ДБ,£ВХ1 = 1,114 мСм,
КН2 = -6,327. Введя слабосигнальные проводимости первой ступени, после выполнения
программы получим К.., = 12,4 дБ, g_v, = g_v = 0,057 мСм, = 0,944, =
= 48,1 ДБ,КН= -270,8.
Расчет каскадного усилителя усложняется при охвате двух или нескольких его сту-
пеней обратной связью. Методика анализа в этом случае существенно зависит от выбран-
ной схемы обратной связи. Для параллельной обратной связи (см. рис. 54, д), охватыва-
ющей каскадный усилитель или несколько его ступеней, достаточно с помощью прог-
рамм 116/21 или 117/34 вычислить параметры проходного четырехполюсника, эквива-
лентного охваченной обратной связью части усилителя при g„ = 0, с последующим ис-
170
пользованием программы 277/34 или 278/21. Оценить характеристики отдельных сте-
пеней каскада, охваченного обратной связью, можно с помощью программы 280/21 или
281/34 при проводимости нагрузки gH = + g, с вычислением g£x и К^. В этом
случае с учетом влияния обратной связи Кн = + g0 / (g0 + g2}n + gH), где gJ2 „ - экви-
валентная проводимость выходной ступени, gBX = g“х + g0 (g^ „ + gH)/ (g0 + gH + g22 „)
и KM = £1ГК^/£ВХ- По этим данным в соответствии с формулами (5.2) и (5.5) вычисля-
™Кнс"Кмс-
5.4. Расчет усилителя на границах полосы пропускания
Рис. 56
Полосу пропускания широкополосных усилителей определяют верхней и>в и нижней
сэн граничными частотами, на которых усиление мощности уменьшается по отношению
к усилению на средних частотах на определенную величину (обычно на 3 дБ).
В области нижних частот влияние паразитных реактивных параметров компонентов
усилителя пренебрежимо мало и усиление изменяется лишь
под влиянием разделительных и шунтирующих элементов
цепей питания активных компонентов. Если необходимо °"
точно знать частотную характеристику усилителя в области
нижних частот, то эквивалентную схему усилительной
ступени для нижних частот целесообразно представить
каскадом из двух проходных четырехполюсников, обозна-
ченных штриховыми линиями на рис. 56. В этом случае для
оконечного проходного четырехполюсника
Увх = А’н = (w’C1 + jwCfH)/U„ +ш’С1),
а при устранении узла 3 согласно формулам (3.7) для первого четырехполюсника
^.«иУо + l« I
У о ★«£
«пУ» — 1g I
Уо + «г
«ai>'o - III
У о +
g . W, + 1«1 + „ х
’ Уо+gx
где gjj - параметры активного компонента при общем узле 5; |g | = gng22 - g12g2I и
«£ ~ g 11 + gи + «31 + g33 •
По этой матрице несложно составить выражения для вычисления КН1 и увх = уВХ1,
по которым определяют Кв = ТСН1/СН2.
Усиление в области высших частот иногда уменьшается вследствие преобладающего
влияния емкости, шунтирующей нагрузку и не зависящей от частоты. При этих услови-
ях усилитель отображается матрицей слабосигнальных проводимостей
Г =
«с+«и
«31
«13
«Н «33 +
и частотными характеристиками /CH(ja>) = (-g21 (gH + g22) - jwCfc21)/((gH + g22)2 +
+ w1C1); yBX(j<^) = gu + £i27CH(jw)» причем граничная частота по уровню 3 дБ опре-
деляется простым выражением о>в = (gH + g22)/С. Проанализировать такую цепь вблизи
граничной частоты шв несложно с помощью микрокалькулятора любого типа.
В общем случае нагруженного проходного четырехполюсника с комплексными па-
раметрами матрицы проводимостей
УпУ12
У21У22 +Ун
«и + J*n
«31 + 1*31
«13 + 1*13
«33 + «Н + i (*33 +
коэффициент передачи входного напряжения
кн= Rc/CH+ jbnKH= ~(£а1 (g22 +gH) +ft21 (bi2 +ЬН))/Л + j((621 (g22
+ «H)
-«31 (*33 + *H) ) M > где Л = (gn +gH)1 + (b12 +Z>H)’, (5.26)
171
а входная проводимость
Хвх = Re?BX + j lmyBX = gu + g12 ReKH-b12 Im/CH+ j(fc„ + g12 ImKH + 612 ReKH).
(5.27)
Программа 282/34. Анализ каскадного усилителя в области высших частот
ИП2 ИПЗ + ПЗ X2 ИПА ИПВ + ПВ X2
+ t /-/ ПД ИП1 ИПЗ X ипо ИПВ X
+ ИПД 4- ПС иш ИПВ X ипо ИПЗ X
— ИПД 4- пд ИП7 ИП8 ИПС X + ИП5
ИПД X — ПЗ ИП8 ИПД X ИП5 ИПС X
+ ИП4 + ПВ ИПС ИП9 X ИПД ИП6 X
— ИПД ИП9 X ИПС ИП6 X + П6 XY
П9 с/п БП
Инструкция. ввести 0 = Р6, 1 = Р9, параметры нагрузки gH = РЗ, Ьк = РВ; перед
каждым i-м выполнением программы (; = 0, 1, 2,.. .) ввести (нс изменяя содержимого
других регистров) параметры очередной (л - Г)-Й ступени, начиная с оконечной,
gnn-i = n-i ~ gnn-i = ^8’ ^nn-i ~ g2\n-i = Ьг\ п -i =
g2in-i = b2in-i = Л4 и выполнить (В/О) С/П РХ = Р9 - ReКн, PY = Р6 - \тКИ,
PC = ReKHn_j, РД = РЗ = Reувхи_(-, РВ = 1тувх„_,-. Время выполнения
программы около 25 с.
В качестве контрольного примера определим коэффициент передачи напряжения и
входную проводимость усилителя, схема которого приведена на рис. 55, а, и его ступе-
ней в предположении, что на заданной частоте проводимость (все проводимости выража-
ем в миллисименсах) нагрузки уп = 0,05 + j0,05, параметры транзисторов одинаковы
(для схемы с общим эмиттером Ун э = убб = 1,2 + j0,2; У12 э = убк = -4 • 10"’ -
- j2 • 10“’; Y2I э = укб = 40 - j0,05; Ги э = укк = 0,1 + j0,l), а реактивными пара-
метрами остальных элементов можно пренебречь.
Определив с помощью матрицы (5.12) слабосигнальные проводимости оконечной
ступени в соответствии с эквивалентной схемой усилителя (рис. 55, б) уп = уэз =
= З'бб + Т'бк + ^кб + Т'кк = 41 >296 + j0,23; у12 = уэк = -(Убк + укк) = -0,096 -
- j0,08; У» = З’кэ = "<>кб +>’кк) = -40*1 “ J1-15! Уп = g3 +УКК = 0,15 + )0,1,при
заданной нагрузке по программе 282/34 получим Кн = КН} = 131,08 + j92,56; _увхз =
= 36,11712 - jl9,14216.
По проводимостям прсдоконечной ступени у12 = g'2 + убб = 1,4 + j0,2; у12 = убк =
= -0,004 - j0,02; у21 = укб = 40 -j0,05; _у22 = укк = 0,1 + j0,l после выполнения
программы получим КИ = 1СНЗКН1 = -155,50082 -j20,649969; KHJ = -0,86582512 +
+ j0,45385112; yBX2 = 1,4125403 + jO,2155011.
Определив проводимости первой ступени = g\ +убб = 1,205 + j0,2; у 12 = у6э =
= "(Убб + ^бк) = -1’196 ~ 1°>18; Уп =>'эб = -<>'бб + >'кб) = -41,2+j0,195; у22 =
= g'2 + уээ = 41,796 + j0,23, после выполнения программы получим К* = К„3КН2КН1 =
= -147,95321 - j21,917303; КН1 = 0,95336728 + j0,014342678; увх = увх, =
= 0,067354382+ j0,01124005.
При расчетах на микрокалькуляторе с входным языком МК21 вычисления по (5.26)
и (5.27) приходится выполнять с помощью пакета из нескольких программ. В этом слу-
чае, для вычисления комплексных чисел Кн = -у21 / (у22 + ун) и увх = у,, + у12 Кн це-
лесообразно использоватьпрограммы, приведенные в § 1.6.
Для вычислений по (5.26) и (5.27) в диапазоне высших частот необходимо предва-
рительно определять вещественные и мнимые части слабосигнальных проводимостей.
Трудоемкость решения этой задачи зависит от схемы усилителя и свойств его активных
компонентов. Емкости и резистивные проводимости схемы замещения биполярного
транзистора (см. рис. 47, в) практически не зависят от частоты в диапазоне, ограничен-
ном частотой о>$ = (1 + r6g3)/ (г6Сэ) • Однако проводимости эквивалентного проход-
ного четырехполюсника, используемые в (5.26) и (5.27), зависят от частоты вследствие
172
влияния распределенного сопротивления области базы гб. Приводимые в справочниках
параметры схемы замещения (см. рис. 47, в) обычно соответствуют определенному ре-
жиму питания, который может отличаться от режима питания транзисторов в проекти-
руемом усилителе. Поэтому при определении проводимостей эквивалентного транзисто-
ру проходного четырехполюсника (см. рис. 47, а) целесообразно учитывать зависимость
параметров от режима питания.
В наибольшей степени зависит от режима питания слабосигнальная проводимость
g3 = а также параметры С3 = rg3 и gr = 0g3, в меньшей степени зависят от
режима gK и Ск, а величину г& обычно считают не зависящей от режима питания. Зная
параметры g3, Ск и gK для заданного режима питания, по измерениям токов /э и /к
можно определить коэффициенты у, т и /3 и оценить зависимости слабосигнальных про-
водимостей транзистора от режима питания.
Частотные характеристики эквивалентного транзистору проходного четырехполюс-
ника [17] представимы выражениями
Уи э =-^бб = «бб + ^бб “ + + >0 -о))Лб(1 +«'*);
Упэ = ->'бк = ^бк + J*6k “-((^бк (0) +р2Ск/ат) + jp(CK/flr -£бк(0)))/(1 +р2);
1'!,э = >’кб=«кб+1/’кбй (! - »^Лб(1+ •’’);
У» э = Л-кк = gKK + j\K * <*эк (°) + fCK)/(r (1 + »2)) + jpfCK/(T (1 + р2)) ,
(5.28)
где низкочастотные значения #бк (0) = gK/ (1 + rQ(g3 + gK)); g3K (0) = йбк (0) + 1/гк;
гк = !/?к; » = а = r6g3/(l + r,g3).
Вычисления по этим формулам обеспечиваются следующей программой, содержащей
общую часть для выполнения подготовительных операций и ’’сменные” части для вы-
числения искомых значений эквивалентных проводимостей.
Программа 283/21. Вычисление частотных характеристик мостей биполярного транзистора с общим эмиттером эквивалентных проводи-
F7 t F2 X t F3 X 1 + -r t 4-
F8 X t я X 2 X t F4 X t 4—
Fl х2 1 + 1/х —> -* ...
Инструкция: дополнить npoi'paMMy фрагментом для вычисления У 3 = У 66
... P6 + P5 F6 1
XY — t - X t F3 -Г t F5 X
- X t - С/П БП Р0 »
для вычисления У21 э = убк XY —> F6 XY JL
t F5 - - X t F5 + —> t 4- 4—
X -I- t - X —► X t «- XY С/П »
для вычисления У21 3 = ук6 t F5 X t F3
-5- X2 Р6 уГ t X t F6 X yj~
Р6 - X - X t XY С/П БП P0 »
или для вычисления У22 3 = укк F6 XY X 4— X
«- t - X -* С/П БП Р0 X t F5 + t 4— XY 9
записать исходные данные у = = РЗ, т = Р4,1К ~ РУ,f = Р8; при вычислении убк
дополнительно записать £бк (0) = Р5, Ск/т = Р6; при вычислении jk6 дополнительно
записать 3 = Р5; при вычислении укк дополнительно записатьg3K (0) = Р5, вСк/т = Р6;
выполнить В/О С/П РХ = Rejty(/), РУ = Imyjj(f). Результаты программавычисля-
173
ет в миллисименсах, причем составляющие убк и укк высвечиваются с обратным зна-
ком. После вычисления проводимости укб ее модуль хранится в регистре 6.
Программа 284/34. Вычисление у-параметров биполярного транзистора в области
высших частот
ИП7 ИПО X t ИП1 1/х + 4 П9 ИП8
я X 2 X ПА X ИП2 X ПВ х’
1 + ПС ИШ X ПД ипв 1 ИП9 —
X ИПД ь ИП9 ИПВ хг + ИПД 4- С/П
ИПА ИП4 X ИП5 ИПВ X * ИПС 4- ИПА
ИПВ X ИП4 X ИП5 + ИПС + С/П ИПЗ
ИП9 X t ИПВ X 0 XY — ИПД ♦
XY ИПД 4- С/П ипз ИП4 X ИП2 4 ипв
X ИПС + t ипв X ИП6 + С/П БП
Инструкция : (7 = Р0. г, б = « , т = Р2, 0 = = РЗ, ск = Р4, g5K (0) = P5,g3K (0) = PC
ZK = Pl, f = Р8) (В/О) С/П РХ = Rey66, РУ = 1тубб С/П РХ = Rey6K, РУ =
= 1тубк С/П РХ = ReyK6, РУ = 1тукб С/П РХ = ReyKK,PY = 1тукк. После
первого выполнения программы Р9 = а, РА = а>, РВ = v, PC = 1 + »’. Время вычисления
каждого параметра около 30 с.
Контрольный пример: при гб = 50 Ом, (3 = 50, #бк (0) = 10"2 мСм, g3K (0) «= 0, Ск =
= 5 пФ, С3 = 10 пф,#э = 0,5 мСм, /к = 1 мА определим коэффициенты у = g3/IK = 0,5,
т = C^g3 = 0,02 мкс и вычислим для тока 7К = 5 • 10*’ А и частоты/= 10 МГц пара-
метры Гпэ = убб= 2,56218 • 10*’+ j2,43477 • 10*’; Г = убк = - (9,5860957 • 10*4 +
+ j6,1493381 •10*4); Уа1Э = Хкб = 0,10898 - j0,015217; Уааэ = З’кк = 4-780677 " 1 °’“
+ j3,4239077 • 10*’.
Параметры транзистора для других схем включения можно определить по результа-
там вычислений с помощью матрицы (5.28).
Значительно проще задача анализа усилителей на высоких частотах при использова-
нии полевых транзисторов или электронных ламп, эквивалентные параметры которых
в схемах замещения (см. рис. 47, г) практически не зависят от частоты в рабочем диапа-
зоне частот. Зависимость параметров S и gj от режима питания можно определить с по-
мощью программ 262/21 или 263/34, а эквивалентные емкости при изменении режима в
линейной области выходных характеристик изменяются не более чем на 10%. Эквива-
лентные емкости в аналогичной схеме замещения электронной лампы также мало за-
висят от режима питания, а зависимость параметров S и gj от напряжений питания не-
сложно оценить по статическим характеристикам или аналитическим выражениям ’’за-
кона трех вторых”.
Таким образом, ступень широкополосного усиления на электронной лампе или по-
левом транзисторе представима матрицей проводимостей
у_ + - jwCn , (5 29)
_£ai — ^С1а g22 +8H+ jw (Caa + CH)
в которой от частоты обычно зависят лишь параметры gH и Сн ступеней предваритель-
ного усиления, соответствующие параметрам входной проводимости последующей
ступени.
В этом случае коэффициент передачи входного напряжения
V- _ Ш Caa (С22 + ~~&ai (ffaa + + j1*2 (ffn (Саа + £*H) +£\а (8 22 + 8Н)~)
" 6н + 1?аа)’+ш’(Саа+Сн)2г———
и входная проводимость
Увх. ~ + 812 + j (g|2 ЬпК’ц + u> (Cu + Cj 2 Re Кн)) .
174
Программа 285/34. Анализ усилителя на электронной лампе или полевом транзисто-
ре в области высших частот
ГГ X 2 X П9 X* ИП2 X» X ИП1
х’ + ПД ИП2 ИПО X ИШ ИП5 X +
ИП9 X ИПД 4. ПВ ИП9 X3 ИП5 X ИП2
X ИПО ИШ X — ИПД -Г ПА ИП4 X
ИП7 + ИП9 ИП5 X ИПВ X — ПС ИП8
ИПА ИП5 X + ИП9 X ИП4 ипв X +
ПД ИПА х3 ИПВ X3 + С/П БП
Инструкция: <£п = Р7, Сп = Р8, gl2 - Р4, С12 = Р5, gH + g22 = Pl, Сн + С22 = Р2,
g2l = РО) f = РХ (В/О) С/П РХ = |Кн(ш) |, РА = ReKH(w),PB = lm/CH(w),PC =
= ReyBX(w), РД = Im>BX(w), P9 = w (проводимости в миллисименсах, емкости в
нанофарадах, частота в мегагерцах). Время счета около 20 с.
Эта программа, в отличие от универсальной программы 282/34, удобна для постро-
ения частотных характеристик усилителя без предварительного вычисления слабосиг-
нальных параметров активных компонентов на заданных частотах. Исключение состав-
ляет вычисление частотно-зависимых параметров предыдущих ступеней gHI (^) =
•= ^З'вх/ч (cj) и Сн/ = ^вх/ч М/ш.
При включении активных компонентов с различным выбором общего узла возника-
, необходимость в определении их параметров по известным параметрам gjj и Су ис-
х аной схемы включения. Для решения этой задачи можно использовать программы
11"/21 или 111/34 или вычислить требуемые параметры в обычном режиме в соответ-
-ин с их положением в неопределенной матрице полевого транзистора (или Электрон-
H. к дампы при замене индексов, соответствующих затвору, истоку и стоку, индексами,
соответствующими сетке, катоду и аноду)
о
1 пт-
0
-S
$
о
S + gj
~(S+g{)
+ jw
^зи * ^зс
-^зи
~^ЗС
С
'"си <'зи
-Сси
^зс
_сзс
сси
: + Сси
(5.30)
В качестве примера рассмотрим каскодный усилитель на электронных лампах
(рис. 57,а) с одинаковыми параметрами 5=8 мСм; gj — 0,05 мСм; Сск = 10 пФ;
С,,а 5 пФ; Сак = 8 пФ при проводимости нагрузки усилителя ун= (0,1 + jo>0,02) мСм.
а)
Рис. 57
По эквивалентной схеме усилителя для высших частот (рис. 57, б) и матрице (5.30)
находим параметры матрицы (5.29) для оконечной ступени: g2l = gKK = 5 + X/ =
= 8,05 мСм; Cn = Сак + Сск = 0,018 нФ; g12 = gKa = -gj = -0,05 мСм; С,2 = Сак =
- 0,008 нФ; g21 = gaK = -($ + gj) = -8,05 мСм; g22 + gH - gaa + g'2 + gH = gj +g'2 +
+ gH = 0,35 мСм; C22 + CH = Cac + CaK + CH = 0,033 нФ.
С помощью программы 285/34 на частотах f (МГц) = 0; 0,5; 1 получим |Л"Н21 =
= 23; 22,053; 19,789, КИ2 = 23 + j0; 21,164 - j6,1972; 17,088 - j9,9795, yBX2 = 6,9 +
175
+ jO; 7,1575 + jO,89833; 7,6972 + jl; 4710 и CBX2 = lmyBX2/w = 0; 0,28595 нФ;
0,234118 нФ.
По параметрам первой ступени = g{ = 0,02 мСм; С,, = Сса + Сск = 0,015 нФ;
gtl = 0; Сц = Сса = °’005 нф; = S = 8 мСм; я22 + gH = gj + g’ + ReyBX1; C22 +
+ Си = Сас + Сак + СВХ2 с помощью программы 285/34 на тех же частотах вычисляем
|КН1 I = 1,1188; 1,0728316; 0,98797, КН1 = -1,1188; -1,0640 + jO,13721; -0,96888 +
+ jO,19325, у = v = 0,02; 0,017845 + jO,030410; 0,013929 + jO,0063809. Для уси-
лителя |/Сн| = ]КН) ПК-Н21 = 25,734; 23,695; 19,551.
На микрокалькуляторе с входным языком .МК21 аналогичные результаты вычисля-
ются с помощью пакета из нескольких программ. Поэтому на таких микрокалькулято-
рах целесообразнее вычислять Кн = -у21/(у22 + Ун) и удх = у,, + у12Кн для каждой
ступени каскада с помощью программ, реализующих операции над комплексными
числами, приведенных в § 1.6.
Сравнительно просто анализируются усилители без обратной связи (у12 = 0), т. е.
в случае использования активных компонентов с пренебрежимо малой внутренней
обратной связью. К ним относятся многие интегральные активные компоненты (в част-
ности, операционные усилители), для которых достаточно учесть входные и выходные
резистивные проводимости и емкости, не зависящие от частоты. Расчет несколько ус-
ложняется при частотной зависимости параметра прямой передачи, обычно описываемой
выражением у21 = S0/(l + jo>r) = S0/(l + jw/coj), где т = l/o^; <*>5= 2nf$ - частота,
на которой квадрат модуля параметра у21 уменьшается в два раза по сравнению с низ-
кочастотным значением. В этом случае усилительная ступень с таким активным компо-
нентом представима матрицей
Y = I +j“C4 0 (5 31)
L50/(l+jwr) gH+g22 + jcu(C22 +CH)J ’ P ?
а расчет усиления ступени сводится к вычислению коэффициента передачи напряжения
К = S [ U Т н + ~ + Кд) + + С22) 1
н 01 (1 + ш2т2) (<£н+#22)2 + w2(CH + C„)2 b
так как входная проводимость ступени равна = gu + ju>C
Программа 286/34, Расчет Ки усилительной ступени приу12 = 0 иу21 = 50/(1 + ju>r)
я X 2 X х2 пд ИП8 X1 X 1
+ ИП1 ИП4 + ПЗ х2 ИП5 ИП2 П6
X2 ипд X + X ИП7 4- П9 ИП6 ИП8
X ипд X ИПЗ — ИП9 ПО ИПЗ ИП8
X ИП6 + ипд хЛ X ИП9 -Г ПА X»
ИПО X* + С/П БП
Инструкция : (S„ = Р7, 7 = 1/о>5 = Т’в, g22 = Сг2 = P5.g„ = И,СН = Р2) f =
= РХ (частота в мегагерцах, емкости в нанофарадах, проводимости в миллисименсах)
(В/О) С/П РХ = |КН (/) |, Р0 = Re Кн (/) ,РА = ImКн (f), РД = ш1. Время счета око-
ло 20 с.
Программа 287/21. Расчет Kt , усилительной ступени приу12 = Оид-,, = Sol (1 + jeer)
t я X 2 X х2 Р6 t F5 X2 X t
F4 х2 + РЗ F8 X» t F6 X 1 + t
F3 X t F7 j. Р2 F4 t F8 X t F5
+ t F6 V” X t F2 — РЗ F6 t F8
X t F5 X t F4 — t F2 + Р2 С/П
Инструкция: (So = Pl, т = P8,g22 + ~ Р4,С„ + Сн = Р5) f=PX В/О С/П РХ =
= Р2 = Re КН(Г) ,РЗ = Im Кн (f), РЬ = и2. Время счета около 20 с.
Контрольный пример-, при 50 = 100 мСм; т = 0,2; g22 = 1/100 Ом = 10 мСм; С22 =
176
= 20 нФ = 0,02 нФ; gH = 1/1 кОм = 1 мСм; Сн = 50 пФ = 0,05 нФ получим |КН(0) | =
= 9,0909; Кн(0) = -9,0909; IКн (0,5 МГц) | = 7,696; Кн (0,5 МГц) = -6,433 +j4,224.
Если в основной схеме включения активного компонента у12 = Ои_уп = 0, то приве-
денные программы пригодны для анализа каскадного соединения с любой схемой вклю-
чения активных компонентов. Однако при * 0 для основной схемы включения в дру-
гих схемах включения у12 отличается от нуля и приведенные программы неприменимы.
5.5. Расчет резонансных усилителей
В низкочастотных узкополосных усилителях необходимую избирательность обычно
обеспечивают с помощью активных фильтров, дополняя их для получения требуемой
мощности сигнала в нагрузке ступенями широкополосного усиления. По аналогичной
схеме чаще всего собирают и высокочастотные узкополосные усилители, в которых тре-
буемая избирательность достигается с помощью пассивных фильтров, рассмотрен-
ных в гл. 6.
В радиотехнических устройствах используют резонансные усилители, активные ком-
поненты которых связаны между собой и с внешними цепями с помощью резонансных
/.С-контуров высокой добротности. Типовая схема ступени резонансного усилителя с
инвертирующим напряжением активным компонентом показана на рис. 58,а. Характер-
ной особенностью такой схемы является наличие ЛС-фильтра, развязывающего общие
цепи питания по высокой частоте. Выбор сопротивлений Лф и /?„ определяется компро-
миссом между требуемыми стабильностью режима питания и развязкой общих цепей
питания на частоте сигнала. Характерно и частичное включение в контур, определяющий
частотные свойства рассматриваемой ступени, полных проводимостей нагрузки и прово-
димости y2i активного компонента, которые для упрощения записи обозначим симво-
лами у22 = g, + иун = g2 + jb2.
Рис. 58
Рассматриваемую ступень резонансного усиления удобно представить эквивалентной
схемой (рис. 58, б) с приведенными резистивной проводимостью и емкостью контура
g3- g0 + k*gt + Сэ= C+ (к*Ь2 + Л’62)/щ0,
где ш0 - резонансная частота; g0 - проводимость ненагруженного контура, определя-
емая в основном потерями в катушке; С = С*С"/(С’ +С" ); к, И кг - коэффициенты
включения соответственно выходной цепи активного компонента и нагрузки. В общем
случае при емкостной связи с контуром к = С" / (С’ + С" ) = С/С', при автотрансфор-
маторной связи к = (/.’ + M)!L и при трансформаторной связи к = M/L, где М - коэф-
фициент взаимоиндукции.
Следует отметить, что по приведенным выше формулам не всегда можно с требу-
емой точностью определить вносимые в контур проводимости и емкости. Это прежде
всего относится к емкостной связи, при которой точность приведенных формул удов-
летворительна, если отношение С' /С меньше некоторого значения, зависящего от коэф-
фициента включения. Так, при к2 <; 0,2 погрешностью расчета можно пренебречь, если
С /С < 1, но при к2 < 0,8 требуется отношение С'/С < 5.
Коэффициенты передачи напряжения в рассматриваемой цепи связаны с параметрами
эквивалентной схемы соотношениями
177
К' = и2/и2 = k1ly2I/(g0 (1 + Д) +**g, +^£,);
K" = uH/u, = k2/k2 и Кн = ии/иах = К'К" = К,
где £ = 2bfQI f - обобщенная расстройка, выраженная через относительную расстрой-
ку и добротность Q ненагруженного контура.
По отношению к коэффициенту передачи напряжения К на частоте резонанса К„ =
= kik2y2l/gop частотная характеристика ступени определяется формулой
К(М =к0/(1 +
где /3 = = 1 + (k\gl + A?g2)/g0 - коэффициент, характеризующий расширение
полосы пропускания контура (по уровню 3 дБ относительно усиления мощности) с уче-
том вносимых проводимостей.
На практике обычно gH > g, и максимальный коэффициент усиления Ктях =
= |уп 1/(2 V (g> + ?0)?н) соответствует выбору Л, = 1, к2 = V (g0 + g,)/g3 и (3 =
= 2 (1 +£,/£„)• Если полоса пропускания в этом случае больше требуемой, то коэффи-
циенты включения следует определять из соотношений
< (Дтр - и к2 = к2 s/gjgt,
при соблюдении которых К = у2, (ртр - 1)/ (/Зтр x/g^j).
Программа 288/21. Расчет характеристик резонансного усилителя
х=0 FXY F3 t F4 + XY 4 2 X P8_ 1
— t F3 X 2 4- XY F5 4 yf P7
F4 4 P6 1 — x< 0 FCX F7 X t F2
X t F8 4 t F3 4 С/П БП P0 1
F4 — t F5 4 P7 1 P6 БП 5
Инструкция. (|у31 | = Р2, g0 = РЗ, gt = Р4, g2 = PS) (Зтреб = РХ (В/О) С/П РХ =
= К, Рв = kt. Pl — к2, РЗ = р. Для вычисления 2<тах перед выполнением программы
следует очистить регистр X.
Контрольный пример: при |у311 = 50 мСм g0 = 0,1 мСм,£, = 0,2 мСм,£3 = 5 мСм,
0 = РХ получим Ктзх = 20,41241; kt = 1; к2 = 0, 2449489; Р = 6; при Ртреб = 2
получим К = 12,5; к2 = 0,5; к2 = 0,1.
После выбора оптимальных значений коэффициентов включения по заданной индук-
тивности L контура определяют остальные его параметры: С — С'С"1(С' + С") ~
= ((l/wp£) -k\b2 -k2b2)/wpL; С = С/к2; С" =СС'КС' -С).
Число витков w, катушки, от которых необходим отвод для полученного заданного
коэффициента к2, когда коэффициент связи витков катушки между собой близок к
единице, примерно равно к2 w, где w - число витков катушки.
Программа 289/21. Расчет параметров контура резонансной усилительной ступени
F8 t ir X 2 X t X 1/x
F6 X» t F4 X —* F7 X1 t F5 X t
♦— + t XY — t 4 t P3 F7
4- P2 F7 1 4— XY t F3 XY 4 P3 XY
С/П БП Р0
Инструкция : (Ъ2 = Р4, b2 = Р5, kt = Р6, к2 = PT, f = Р8) L = РХ (В/О) С/П
РХ= С,Р2 = С. РЗ=С".
Контрольный пример: при Ь2 = 2,5 • 10"’ См, Ь2 — 3 • 10"* См,£ = 1 мкГн; к2 =
= 0,8; к2 = 0,2; fp = 10 МГц получим С = 2,259283 - 10'4 нФ «22 пФ; С' = 1,129641 X
X 10"’ нФ « ИЗО пФ; С" = 2,844103 • 10*4 нФ * 284 пФ. При L = 10 мкГн получим
С < 0, что свидетельствует о нереализуемое™ контура при заданных исходных данных.
Если использовано только индуктивное включение, то в качестве емкости контура
следует принимать вычисленное значение С, при емкостном включении со стороны ак-
тивного компонента в последней из программ при вводе исходных данных к2 и к2 их
следует поменять местами.
178
Программа 290/34. Расчет резонансного усилителя
х=0 09 ИПЗ ИП2 у 1 + 2 X П8
1 — ИП2 X пд 2 4- П9 ИП5 4-
д ПВ ИП9 ИПЗ + ПА 1 — х< 0
43 ИПА ИПВ X ИП7 X ИП8 4- ИП2 4-
С/П БП 54 ИПД ИПЗ — ИП5 4- у/~ ПВ
1 ПА БП 33 ИПО я X 2 X 1/х
t ИП1 4- ИПА X* ИП4 X — ИПВ X*
ИП6 X — X П9 ИПВ 4 ПС ИП9 1
ИПВ — 4- пд ИП9 БП 40
Инструкция = РО. L = PJ 1.^0 = Р2, g । — P3,g, = Р4,Ь1 =Р5,Ь2 = Р6, |у„| =
= Р7) 0 б или при вычислении /Стах 0 = РХ В/О С/П РХ = К, Р8 = 0, РА = к,,
РВ = кг. Если при заданном 0треб полученные результаты неудовлетворительны, подби-
рают 0треб, повторяя вычисления до получения оптимальных результатов. После этого
выполняют С/П РХ = С, PC = С', РД = С". Если изменяют только один из параметров
(например, L), то для пересчета емкостей достаточно нажать клавишу С/П.
В связи с относительно большим коэффициентом усиления /С, резонансного усилите-
ля существенно сказывается обратная связь через активный компонент, которая может
привести к искажению частотной характеристики и самовозбуждению усилителя. Коэф-
фициент усиления напряжения с учетом обратной связи
-^и/З'сэ)’
где усэ = ус + уи - проводимость на входе усилителя с учетом проводимости источни-
ка сигнала. Если, как обычно, сигнал на вход усилительной ступени поступает от вход-
ного колебательного контура, то
Усз = «сз+ ~ to)/7).
где #сэ - эквивалентная проводимость входного контура, приведенная к входу рассмат-
риваемой ступени; ?„ = 2 (/р -/рс)С//рс - обобщенная расстройка входного контура
относительно выходного контура с добротностью Q; у = д/СЭ/Д/О - коэффициент, рав-
ный отношению полосы пропускания входного контура к полосе пропускания выход-
ного ненагруженного контура. С учетом этих соотношений
l*HC/*ol = Id +jf.)/((l+^-l,G) + jtti + +^))l.
где 4 = Re(-Ar?ynyai/go0gC3),B = 1т(-Л2упуа1/^0^сэ), = £/0,£a = (£ -f0)/7.
Эта величина возрастает при приближении к самовозбуждению (режим регенерации),
стремясь к бесконечности при потере устойчивости.
Программа 291/21. Расчет АЧХ резонансного усилителя с учетом влияния обратной
связи
t F4 * Р7 F6 -i t F5 -Г Р8 t F7
X 4— F7 + t F3 + X2 t F2 —
1 — X2 t 4- 4— F8 X2 1 + t
—> -г С/П БП РО
Инструкция (А = Р2, В = РЗ, 0 = Р4, у = Р5, = Р6) £ = РХ (В/О) С/П РХ =
= IV.I-
Программа 292/34. Расчбт АЧХ резонансного усилителя с учетом обратной связи
ПД ИПЗ 4- ПА ИПД ипо — ИП2 -Г ПВ
ИП1 х2 ИП9 1-1 ИПЗ ИП6 X X -г ПД
ИП7 ИП4 X ИП8 ИП5 X — X 1 4-
ИПА ИПВ X — X2 ПС ИП8 ИП4 X ИП7
ИП5 X 4- ИПД X ИПА + ИПВ + X2
ИПС + ИПА X» 1 4- -г 1/х С/П
БП
179
Инструкция: (f0 = РО, kt = Pl, 7 = Р2, 0 = РЗ, #а1 = Р4, 6а1 = Р5, g„ - Р6, gn =
= P1,b„ =P8,gC3=P9) ? =РХ (В/О) С/П РХ= |КНС/КО|.
В качестве примера применения этих программ исследуем влияние внутренней об-
ратной связи биполярного транзистора в схеме резонансного усилителя, показанной
на рис. 59 при параметрах транзистора для частоты 10 МГц и выбранного режима пита-
ния У1|Э = (2,6 +j2,4) *10“’ См; У = -(5,3 + j3O,7) - 10"s См; KJ13 = (0,1 -
- j0,015) См; У2аЭ = (1 + jl,6) • 10*’ См; параметрах входного контура Q = 100;
g„ = 5 • 10*s См; / = Ю МГц; V, = 0,15; к\ = 0,2; параметрах выходного контура
/р = 10 МГц; Q = 100; g„ = 5 • 10"s См; к, = 0,25; к2 = 0,1 и проводимости нагрузки
У„ ~ gH = 5 * 10"’ См-
По исходным данным вычисляем для выходного контура коэффициент 0 = 1 +
+ (k*gKK + k2gH)/gQ = 3,25; коэффициент усиления входного напряжения транзистора
на частоте резонанса контура Ко = ин/и1 = к2кг | У э|/g0^ « 15,56 и приведенную к
входу транзистора проводимость эквивалентного источника сигналаgC3 = (g0 + к\ 2gc +
+ *',*£11)/*':’ «5,26 • ПТ3 См.
С помощью программы 292/34 или (после вычисления величин А и В) программы
291/21 строим зависимость |К с//С0 | от расстройки £ (кривая 1 на рис. 60) с макси-
мальным значением | Кнс тах /к0 | ® 4,05. Для сравнения вычисляем зависимость
|КНС/КО I при у12 = 0 (в этом случае для программы 291/21 следует принять А = В =
= 0), отображенную кривой 2 на рис. 60. Полученные результаты свидетельствуют о
близости режима работы усилителя к самовозбуждению, так как отношение | К9 /А"нсI =
= 1/4,05 » 0,25, тогда как для устойчивой работы усилителя эта величина должна быть
более 0,8. Кроме того, при расстройке входного контура на Д/ = -125 кГц (что соот-
ветствует / = 9,875 МГц и £„ = 2,5) максимальное значение отношения |/Снс/К’0|
возрастает до 4,73 (кривая 3 на рис. 60) и, следовательно, обратная величина уменьша-
ется до 0,211. Как следует из этого, необходимо принять дополнительные меры для по-
вышения устойчивости.
Глава 6
РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВ
6.1. Основные этапы проектирования фильтров
В заданиях на проектирование фильтров основным обычно является требование к
АЧХ передаточной функции, задаваемое граничными частотами /П1 и / полосы про-
пускания, в которой затухание (5.8) не превышает заданного значения Ап, и граничны-
ми частотами полосы задержания /31 и /за, в которой затухание должно быть не
меньше заданного значения А3. При этом для полосового фильтра (ПФ) f3l < /П1, / >
180
> fni (рис. 61,a), для режекторного фильтра (РФ) /31 > /nj, f3j < /п2, для фильтра
нижних частот (ФНЧ) /П1 = 0; /П2 = /п < f3, для фильтра высших частот (ФВЧ)/31 =
= 0; /31 = f < f . Расчет фильтра в основном обычно сводят к расчету фильтра-прото-
типа (ФП) с последующим преобразованием схемы физически реализуемого ФП к схе-
ме заданного пассивного, активного или цифрового фильтра с заданными характери-
стиками (рис. 62).
Рис. 62
Рис. 61
Фильтром-прототипом называют ФНЧ с нормированной полосой пропускания с рп —
= 1, нагруженный на единичное (в выбранной расчетной системе единиц) сопротивле-
ние. Текущая частота f и частота в масштабе ФП связаны соотношениями v — f/fn для
ФНЧ, v =/„//для ФВЧ, v = (f1 - fnifn2) If (fn2 -fni)a^^«i>=f(fn2-fni')l(.f1-
- /П1/П2) Для РФ. По этим формулам и требованиям к затуханию фильтра определяют
требования к АЧХ фильтра-прототипа (рис. 61,6). Например, если проектируемый
фильтр должен обеспечивать затухание А > А3 = 60 дБ в полосе /31 < 92 кГц и f >
> 108,24 кГц при неравномерности затухания не болееЛп = 1 дБ в полосе пропускания
от /П1 = 96 кГц до /П2 = 104 кГц, то v’3 = (922 - 96 • 104)/92 (104 - 96) = 2,065217;
v"3 = (108,4а - 96 • 104)/108,24 (104 - 96) = 2,000061. Следовательно, ФП должен
иметь затухание А > 60 дБ на частотах v > v = 2 и не более 1 дБ в полосе частот v е
е [0; 1].
Программа 293/21. Прямое преобразование частоты для ПФ и РФ
Р4 F8 t F7 - - F7 X t F4 х2 -
t -4- t F4 4- х* sj~ t 1/x С/П БП
P0
181
Программа 294/34. Прямое преобразование частоты для ПФ и РФ
ПО х* ИП7 ИП8 X - ИП8 ИП7 - ИПО
X * х2 хЛ t 1/х С/П БП
Инструкция к обеим программам. /п, = Р1, /П2 = Р8, f = РХ (В/О) С/П РХ = v
для РФ, PY = и для ПФ. Время счета около 5 с.
Контрольный пример', при /п, = 461,/П2 = 469,/ = 450 получим v = 0,2626012 для
РФ и и = 3,808055 для ПФ.
Обратное преобразование частоты для ФНЧ и ФВЧ легко выполнить по приведенным
ранее формулам в обычном режиме. Для ПФ обратное преобразование частоты выража-
ется формулой /12 = V [г (/nj -/П1)/2]‘ + /П,/П2 ± f(/n2 -/П1)/2, адля РФ в этой
формуле достаточно заменить v на 1/г.
Программа 295/21. Обратное преобразование частоты для ПФ и РФ
Р4 F8 t F7 X - F7 - t F4 X 2
-г Р5 х2 t - + хЛ t F5 - -* F5
+ t «- С/П БП Р0
Программа 296/34. Обратное преобразование частоты для ПФ и РФ
ИП8 ИП7 - X 2 -г ПО t х2 ИП7
ИП8 X + х/~ + ВХ ИПО - С/П БП
Инструкция: /П1 = P7,/nj = Р8, для ПФ v = РХ или для РФ 1/v = РХ (В/О) С/П
РХ = /,, PY = /2. Время счета около 6 с.
Контрольный пример, при /п, = 140, /П2 = 150, v = 1,05 для ПФ получим /, =
= 139,7588; /, = 150,2588, а для РФ/, = 140,2300; /2 = 149,7538.
После определения требований к фильтру-прототипу выбирают его тип и порядок,
проверяя соответствие характеристик выбранного ФП заданным. Расчет ФП (см. рис. 62)
упрощается при использовании справочников, например [1, 22] при расчете АС-фи л ьт-
ров или [7] при расчете активных ЯС-фильтров. Подобные справочники целесообразно
использовать и на следующем этапе синтеза фильтра с заданными свойствами, но при от-
сутствии справочных данных пригодна описываемая далее методика.
После определения схемы и параметров ФП их преобразуют в схему проектируемого
фильтра заменой каждой ветви ФП соответствующей ветвью проектируемого фильтра
и вычислением (денормировкой) параметров ветвей. Структура соответствующих
ветвей ФП и проектируемых фильтров различных типов, а также расчетные формулы
приведены в табл. 8. Денормировку параметров ФНЧ или ФВЧ несложно выполнить в
обычном режиме по формулам, приведенным в табл. 8. Определение параметров поло-
совых и режекторных фильтров упрощается при использовании следующих программ.
Программа 297/21. Денормировка параметров ПФ и РФ
t F8 X Р2 1 Р4 F8 С/П X х*0 Р/-/ t
F2 X 4 X /-/ 1/х 1 + XY +
t 1/х Р4 F5 X С/П F4 X2 1 + t F2
X ПП F6 X Программа ИП8 X ИП4 X хЛ XY Xs 1 1/х ПП 52 ИП6 Сх х2 XY 4- /-/ ПП Сх . х>0 Р9 F7 X С/П F4 В/О 298/34. Денормировка параметров ПФ и РФ П4 1 ПО ИП8 С/П X х*0 х2 V 4 X 1/х t ИПО хЛ + 1/х ПО ВХ ИП5 ПП + ИП4 ПП 45 х2 ИПА /-/ 45 БП 24 х ПА ИП7 XY X С/П ИПО В/О БП 31 + 52 ПА х<0 Р4 t
182
ТАБЛИЦА 8
Преобразование фильтра-прототипа
Тип проектиру- емого фильтра Элемент ФП Преобразованный элемент фильтра Расчетная формула
ФНЧ —Н—>с' 0 II °с L = KLL' C=KcC'
ФВЧ о-гугу-^L' о 1| о С' ° II 0 £ о—0 L C= Kc/L' L = KL/C
o-r^-oil-e 0 1| оС'-в 1 II Г~°г-и H=KAKHB-, Q = kq/kab
ПФ <П_||—Г°С-В L'-B С'-В 1г 6 Lj^Qf L2 = Q2 Ct=H, C2~HZ Lt‘Hj C,-Q, l2~h2 "c2=a2 К^ = КАКНВ(\^ + (/o//.,,)1); Cl,J = КцКп*. X (Л/Л иуя.,? Ла =Л(\/1 *U*KaBD t l/Кд J~BD)
o-^^-oL'=D L=H c-a L-Q C-H H=KAKH/B-,
РФ о 11 о о -D ||—гс'* в L'*B C'-D L,-«l f,-H, 4^4. L-orwJLj^ L2S @2 C2 = H2 ^1 = н1 l2’h2 Cf=Q] C2*Q2 Q = KqB/ka- = KAKH( I + + (Л/Л.,)’)/О; c i,a = KffKfj X X (/о/Л.,)*»,^
Кд — ~J foif oil (foi ~/01) — Л/ДЛ ! KL — /?н/2я/„ ; Kg — 1/2я/ОЯН
183
Инструкция к обеим программам: /По = V/n,/nj = РЗ, Kq — Р6, К, — Pl, Кд =
= Р8; для денормировки параметров ветвей с одиночными элементами /? или -С' =
= РХ В/О С/П Сх С/П РХ = L или -С С/П РХ = -С (или £); при денормировке
параметров ветвей с параллельными контурами -С' = РХ В/О С/П L' = РХ С/П
РХ = /01 С/П РХ=-С2 С/П PX=Ll С/П PX=f02 СЩРХ=-С1 С/П PX=L2
(foi - резонансные частоты контуров); при денормировке параметров последователь-
ных контуров L' = РХ В/О С/П -С = РХ С/П РХ = Д, С/П PX=Lt С/П РХ =
= -С,, С/П РХ — fa2 С/П РХ = £ 2 С/П РХ = -С2. При определении параметров ре-
жекторного фильтра вводят обратные значения параметров ФП с обратным знаком
(для преобразования нажимают клавиши 1/х /-/).
В качестве контрольного примера приведем результаты преобразования ФП, схема
которого приведена на рис. 63,а с параметрами L\ = 1,02; С' — 0,98; L\ = 1,25;
С’ = 0,25; £' = 0,98; Сэ' = 1,1; L\ = 0,69; С4' = 1.
Рис. 63
При преобразовании заданного ФП в ФНЧ с fn = 10 кГц и RH = 2 кОм (К/ =
= 31,83098 мГн; Kq = 7,957747 нФ) по формулам табл. 8 получим (рис. 63, а): L \ =
= 32,46760 мГн; С, = 7,798592 нФ; £, = 39,78873 мГн; С, = 1,989436 нФ; L3 =
= 31,19436 мГн; С, = 8,753521 нФ; L, = 21,96338 мГн; С4 = 7,957747 нФ.
При преобразовании ФП в ФВЧ с теми же значениями / и Лн (рис. 63,6) по форму-
лам табл. 8 получим: С, = 7,801712 нФ; L,= 32,48059 мГн; С2 - 6,366197 нФ; L, =
= 127,3239 мГн; С3 = 8,120149 нФ; L, = 28,93726 мГн; С4 = 11,53296 нФ; £„ =
= 31,83098 мГн.
При преобразовании ФП в ПФ с /П1 = 461 кГц; /nj = 469 кГц; R* = 2 кОм (К^ =
= 0,6845627 мГн; Кс = 0,1711406 нФ; КА = 58,12284; /по = 464,9827 кГц) полу-
чим (рис. 63, в): £, = 40,58450 мГн; С, = 0,002886729 нФ; Д, = Д} = Д4 = fM =
= 464,9827 кГц; £а = 0,01201822 мГн; С2 - 9,748239 нФ; Д, = 472,1931 кГц; £3 =
= 0,02319327 мГн; Сэ = 4,898224 нФ; Д, = 457,8824 кГц; £„ = 0,02391815 мГн;
С4 = 5,051313 нФ; £, = 0,01070714 мГн; С, = 10,94190 нФ; £ъ = 38,99295 мГн;
Св = 3,004555 • Ю-3 нФ; Д, = 469,8230 кГц; £, = 54,34567 мГн; С, = 2,111574 X
X 10-’ нФ; Д, = 460,1923 кГц; £, = 55,483 мГн; С, = 2,155764 • 10"’ нФ.
При преобразовании ФП в РФ с теми же значениями /П1 ,/П2 и RH получим (рис. 63, г):
£, = 0,01201341 мГн; С, = 9,752140 нФ; Д, = Д3 = Д5 = = 464,9827 кГц; £г =
= 40,60074 мГн; С, = 0,002885575 нФ; Д, = 467,2241 кГц; £3 = 0,007325763 мГн;
С, = 15,83932 нФ; Д4 = 462,7521 кГц; £„ = 0,007396559 мГн; С4 = 15,99239 нФ;
£, = 0,0115423 мГн; С, = 10,15018 нФ; £6 = 36,17157 мГн; С6 = 0,003238911 нФ;
Д, = 468,3172 кГц; £, = 79,01288 мГн; С, = 0,001461712 нФ; Д, = 461,6720 кГц;
£, = 80,15016 мГн; С8 = 0,001482752 нФ.
Следует учитывать, что расчетные параметры узкополосных полосовых и режектор-
ных фильтров иногда оказываются практически нереализуемыми. Так, в рассмотренном
184
примере первый контур полосового фильтра должен содержать индуктивность L, =
= 40,5845 мГн и емкость С] = 2,8867729 пФ, но при самом рациональном изготовлении
катушки ее собственная емкость окажется больше расчетной. В некоторых случаях
(например, при проектировании пьезоэлектрических фильтров) к параметрам резонато-
ров фильтра предъявляются еще более жесткие требования.
В подобных ситуациях фильтры реализуют введением инверторов сопротивлений,
преобразующих имитанс нагрузки согласно соотношению ZBX = № YH или Увх = ZH/№,
где постоянная К зависит от параметров инвертора. Часто приходится прибегать к кас-
кадному включению нескольких инверторов, влияние которых учитывают согласно сле-
дующим правилам: при четном числе инверторов (их нумеруют, начиная от входа фильт-
ра) структуру и тип реактивных элементов не изменяют, а реактивные параметры уточ-
няют в соответствии с формулами L’ = LK\K}K\ . . . К\п о1/. Л^л); С =
= СК\К\ . . . К^/К^К] . . . Кг2П _1; при нечетном числе инверторов последовательные
соединения и индуктивности заменяют соответственно параллельными соединениями
ветвей и емкостями и наоборот, а параметры элементов вычисляют по формулам L' =
= СК\К\ . . . K\n_JK\K\...K\nC' =ЬК}К}...К\пКК}К}...К\п,1).Ъкл^спе
примере на рис. 64, а показана схема фильтра, содержащая четыре инвертора, а на
рис. 64, б - эквивалентная ей схема после преобразования без инверторов.
Эквивалентные схемы часто используемых инверторов показаны на рис. 64, в. При
правильном выборе типа и места включения инвертора реализация отрицательных пара-
метров сводится к уменьшению на соответствующую величину параметров ветвей
фильтра, последовательных или параллельных ветвям инвертора. Однако зависимость
коэффициентов преобразования от частоты приводит к отличию характеристик фильтра
с инверторами от характеристик исходной цепи. Это отличие тем меньше, чем узкопо-
лоснее фильтр, и при Д/о//о < 0,05 становится пренебрежимо малым. Использование
фильтров с равным числом инверторов индуктивного и емкостного типов позволяет
сохранить практически неизменными характеристики исходной цепи и при больших
расстройках. Фильтры, содержащие инверторы рассмотренного типа, называют квази-
полиномиальными .
185
Программа 299/21. Преобразование параметров фильтра при q < 6 инверторах
XY Р8 F1 1 — х*0 РВП 1 х*0 FZ- / 1
— х*0 P/-I 1 — х*0 F, 1 х*0 Р. F7
ПП РСХ F6 ПП Кх F5 ПП РСХ F4 ПП РСх F3
ПП РСх F2 ПП рсх С/П БП Р0 х2 t F8 х>0
8 XY 1/х X /-/ Р8 В/О
Инструкция .К, = Р2,К2 = РЗ, К, = Р4, К, = P5,KS = Р6,К-б = Р7, А,- или -С,-
= PY, число инверторов между входом и преобразуемым элементом п = РХ (В/О)
С/П РХ= L} или -С/.
Программа 300/34. Преобразование параметров фильтра при q < 12 инверторах
ПО XY ПД Сх КИПО х#0 17 х2 ИПД х>0
13 XY 1/х X БП 02 ИПД С/П БП
Инструкция: К, = Р1,К2 = Р2.....К, = Р9, К, 0 = РА, К,, = РВ, К,, = PC, А,- или
-С, = PY, п + 1 = РХ (В/О) С/П РХ = L'i или -С/. Для резистивного сопротивления
нагрузки Лн = РХ (В/О) С/П РХ = /?н или -GH.
Контрольный пример: для схемы, показанной на рис. 64,6, при L, = 1 мГн; С, =
= 1 нФ; L2 — 1,25 мГн; С2 = 0,8 нФ; Ls = 2 мГн; Сэ = 0,5 нФ; Lt = 4 мГн; С4 =
= 0,25 нФ; RH = 1 кОм; К, =5 кОм; К2 = 8 кОм; К2 = 10 кОм; К, — 4 кОм получим
эквивалентную схему (см. рис. 64, в) с параметрами: С2 = 0,05 нФ; L\ = 25 мГн; С’} =
= 1,28 нФ; L\ = 0,78125 мГн; С4 = 0,1024нФ; L\ = 9,765625 мГн; Ян= 2,441406кОм.
При переходе к квазиполиномиальному фильтру часто приходится определять пара-
метры инверторов при наложении определенных ограничений на параметры фильтра с
инверторами. Например, при проектировании Z-C-фильтров часто стремятся выбором ин-
верторов добиться равенства параметров однотипных элементов (например, индуктив-
ностей) резонаторов фильтра для повышения его технологичности.
Программа 301/21. Вычисление постоянных преобразования инверторов квазиполи-
номиального фильтра с одинаковым параметром резонаторов
t F8 XY Р8 х>0 Fl XY + /-/ t
Fl С/П БП Р0
Инструкция: сохраняемый параметр первого резонатора А, или -С, = Р8, А; ,
-С; = РХ В/О С/П РХ= С1 = К,, L, или -С, = РХ С/П РХ= С1 = -К2 . . .
Программа 302/34. Вычисление постоянных преобразования инверторов квазиполи-
номиального фильтра с одинаковым параметром резонаторов
t 1 ПД XY ИПО XY ПО х>0 10 XY
+ х2 Т- КПД С/П ИПД 1 + БП
02
Инструкция: сохраняемый параметр L, или -С, = Р0, -С2 или А 2 = РХ В/О С/П
РХ = Л = К,, А3 или -Cs = РХ С/П РХ = Р2 = К2 . ..
Эти программы несложно дополнить фрагментами для вычисления вторых элемен-
тов резонаторов и постоянных преобразования инверторов по значениям средней часто-
ты полосы пропускания ПФ или задержания РФ. При этом следует учитывать, что пре-
небрежение потерями в элементах АС-фильтров может привести к существенным отли-
чиям реальных характеристик от расчетных. Потери прежде всего приводят к увеличе-
нию затухания в фильтре на величину ДА, которая при одинаковых нагрузках для ФВЧ
при f -> °° и ФНЧ при f = 0 определяется формулой
к
ДЛяБ= 201g (1+0,5 S OjlQj),
где aj — параметр (-го элемента фильтра-прототипа, — добротность этого элемента.
186
Дополнительное затухание в полосовом фильтре определяют по формуле
к
д4дБ = 201g (1 + (/оп/2д/) ai/Qi),
где Лп ~ средняя частота полосы пропускания, Д/ - ее ширина.
Вычисления по этим формулам несложно автоматизировать, но учет лишь дополни-
тельного затухания оказывается недостаточным - потери также приводят к смешению
полюсов передаточной функции фильтра и, как следствие, искажению его характери-
стик. Эго особенно опасно при проектировании узкополосных фильтров, но именно в
этом случае влияние потерь может быть достаточно точно учтено при использовании ме-
тода предыскажений [1], справедливого в случае ’’однородных” потерь - равенства
добротностей всех элементов фильтра. Так как при этом условии все полюсы переда-
точной функции смещены влево от оси jw на величину ат, то их предварительным сме-
щением вправо на ат = l/Qm удается сохранить неизменными все характеристики
фильтра (для полосовых фильтров на от = /0П/Д/2ш) Для этого, подставив р = q -
- от в передаточную функцию фильтра К (р), находят функцию К (<?), по которой и
определяют параметры реактивных элементов фильтра без учета потерь.
При практическом использовании метода предыскажений следует проверить физи-
ческую реализуемость фильтра при заданных ограничениях на добротности его элемен-
тов. Эта проверка сводится к определению положения крайнего правого полюса, для че-
го следует по наименьшему из модулей вещественных полюсов передаточной функции
ФП (| о)п I) определить добротность элементов фильтра, минимально необходимую для
его реализации. Например, если /оп = 465 кГц; Д/ = 8 кГц, то при от = 0,1 фильтр ре-
ализуем, когда 2(- > Qm = 465/8 • 0,1 = 581,25.
После проверки реализуемости вычисляют коэффициенты многочленов В(р + от)
при смещении аргумента исходных многочленов А (р). Эту операцию можно выполнить
по следующим специализированным программам, в которых исходный многочлен А (р)
преобразуется в многочлен В (р + аот), нормированный относительно коэффициента
Ь„ (Ъ, = 1).
Программа 303/21. Преобразование многочленов степени /п< 7 при использовании
метода предыскажений
Сх F7 Р4 1 Р5 F3 Р7 7 F2 Р7 —► F8 Р2 X F6 t t F2 F7 + Р6 х=0 Р1
F7 1 + Р7 F2 X 1 F3 Р2 F1 РЗ
F7 9 — х=0 Р4 F4 1 + Р4 F5 X х = 0
Р- F6 Р5 F6 t F5 4- С/П БП 0
Инструкция : Ьо = С1, Ь j = С2, . . . • bs = С6, ь„ Р2, Ь, = РЗ, от = Р8 В/О С/П
РХ = b'o/b'o = = у*/^.ps = 1, Р5 = Р6 = 6’0 k\b’B, Р6 = к\Ъ'к. С/П РХ = Ь\1Ь’Л,Р5 = = 2Ь ,а.Р6 = 2Ь\ С/П ... С/П РХ =
Программа 304/34. Преобразование многочленов степени т < 9 при использовании
метода предыскажений
Сх ПД сх ИПА ПС - КИПС + ИПВ X
кипе ИПД 1 + 4 ИПС ИПД - X КПС
ИПС 1 ПС ИПД х=0 05
КИПД + КПД ИПД 1 + ПД ИПА — х=0
02 ИПА ПС КИПС ИПО 4 С/П ИПС 1 —
БП 42
Инструкция: Ь, = Р0, Ь, = Р1 b i = Р9, п = РА, ат = РВ В/О С/П РХ = Ь'п/Ь'в
С/П РХ = b’n_Jb'o ... С/П РХ = b'0/b'Q = 1,Р0 = b'Q,Pl = b\........Р9 = Ь'„. При ат>
> 0 увеличивается затухание, при ат < 0 вносятся предыскажения (полюсы смещаются
вправо).
187
Контрольный пример, для многочлена 7р’ + 6р6 + 5р’ + 4р4 + Зр’ + 2р’ + р + 1 при
om = 1 получим Ьо = 29 и коэффициенты нормированного многочлена 0,24137931г?7 +
+ 1.8965517?6 + 6,4827586?’ + 12,5517 24?4 + 14,965517г?3 + 11,103448г?3 + 4,8275862? +
+ 1. Время счета около 4 мин.
По абсолютной величине коэффициента />'о можно судить о дополнительном затуха-
нии, вносимом потерями в реактивных элементах. При представлении синтезируемой
функции формулой (3.14) удобны следующие программы, по которым одновременно
вычисляется суммарное дополнительное затухание ХАЛ,дБ, вносимое преобразуемыми
сомножителями функции.
Программа 305/21. Преобразование множителей передаточной функции при исполь-
зовании метода предыскажений
F8 t F4 X t F5 + XY + P5 F8 X
1 + Р2 In t F7 X t F6 + P6 F2
1/х t F5 X P5 F4 X P4 С/П БП P0
Программа 306/34. Преобразование множителей передаточной функции при исполь-
зовании метода предыскажений
ИП5 ИП4 ИП8 X + t ВХ + XY ИП8
X 1 + + П5 ИП4 ВХ t 1g 2
0 X ИП6 + П6 - + П4 С/П БП
Инструкция: ак = Р4, 0к = Р5, 0 = Рв, onl = РЗ (только для программы 305/21 вве-
сти 20/1п 10 = Р7) (В/О) С/П РХ= a’k,P5= 0к, Р6 = ХАЛ,дБ.
Контрольный пример: для трехчлена 4р2 + 8р + 1 при от = 0,1 получим 2,17391 Зр3 +
+ 4,782608р + 1 и АЛ = 5,296359 дБ.
Для вычисления произведений квадратичных множителей следует воспользоваться
программой 130/21 или 131/34.
При автоматизации проектирования фильтров с помощью ЭВМ наиболее серьезной
является проблема точности результатов вычислений, так как положение корней степен-
ных многочленов может существенно измениться даже при незначительном округлении
их коэффициентов. Поэтому все вычисления на микрокалькуляторах при расчетах
фильтров следует выполнять с максимальной точностью.
6.2. Определение типа и передаточной функции фильтра-прототипа
Определение передаточной функции фильтра-прототипа К(р) = А (р) /В (р) начинают
с определения квадрата модуля частотной характеристики
|Л-(»13 = К(р)/С(-р)| , (6.1)
р= >
удовлетворяющей требованиям к проектируемому фильтру. Обычно передаточную
функцию нормируют так, чтобы ее максимальное значение равнялось единице. Тогда
|Л-(» Г = 1/(1 + I ГО) |3), (6.2)
где функцию Т(р), связанную с | T(ji>) |* соотношением, аналогичным (6.1), называют
характеристической [15]. Так как Т(р) = Q(p)/B(p) - дробно-рациональная функция
комплексной частоты, то многочлены Л (р), В (р) и Q (р) связаны соотношением
В(р)В (-р) = А (р)А (-р) +Q(p)Q (-р), (6.3)
и по любым двум из этих многочленов можно определить третий.
При анализе избирательных свойств фильтров формулу (6.2) часто записывают в виде
I *(»!’ = l/d + еаФ(р2)), (6.4)
где коэффициент е характеризует постоянство затухания в полосе пропускания v е
е [0; 1 ], а дробно-рациональная функция Ф(и2)< 1 в полосе пропускания и > 1 за ее
пределами при и > 1.
188
Рассмотрим основные формулы и программы для выбора порядка и определения
передаточных функций фильтров основных типов.
1. Фильтры Баттерворта с максимально гладкой АЧХ отличаются передаточной функ-
цией с квадратом ее модуля
|К(»1* = 1/(1+е’р’"), .(6.5)
где величина е связана с допустимой неравномерностью затухания в полосе пропуска-
ния/! , дБ, соотношением f—;--------
е < Ук/п/10 - 1 . (6.6)
По заданному минимальному затуханию А3 на частоте р3 > 1 необходимый порядок
фильтра определяют по формуле
л = Еу(1п((10Лз/‘*-_ 1)/(1(Г4п/“’ _ 1))/21пм3),
где Ev (х) - целая часть с избытком или Ev (х) = Е (х) +1 при нецелом х и Ev (х) = х
при целом.
Корни знаменателя передаточной функции вычисляют по формуле
рк = (Xle)'ln(sm (п(0,5—к)/п) + jcos (я(0,5 - к)/п))
при к = 1,2,..., 2л. Отобрав л корней с отрицательными вещественными частями, пе-
редаточную функцию фильтра Баттерворта определяют по формуле К(р) = 1/(р -
-Pni) (P-PnJ ••• (Р-Рпл)-
Программа 307/21С. Расчет фильтра Баттерворта in t
F3 ПП F— Р5 F4 ПП F - t F5 4
F2 1П т 1 ВП 7 XY — Р6 1/х t
F5 1/х ХУ Р7 2 1/х 1 — Р8 t я X
f F6 v е* F7 XY X «- X t —►
С/П F8 БП Р5 1 0 ХУ 1 — В/О
Инструкция: и3 = Р2, А „(дБ)/10 = РЗ,А3 (дБ)/10 = Р4 В/О С/П РХ= Rep,, PY =
= Imp,, PS = в, Р6 = п С/П РХ = Repa, PY = Imp, С/П РХ - Rep3, РК= Imp,,...
. ...С/П РХ= Rep„,PY = Ьпр„.
Контрольный пример: при и3 = 2; АП = 1 дБ; А3 = 20 дБ получим е = 0,5088468;
л = 5; р, = -0,3537242 + jl,088651; рг = -0,9260622 + jO,6728234; р, = -1,144675;
р4 = -0,9260622 - jO,6728234; ps = -0,3537242 - jl,088651.
Если вместо полюсов желательно вычислять квадратичные множители знаменателя
передаточной функции акр2 + 0^р + 1, то это можно сделать по следующей программе,
автоматизирующей вычисление ак и /Зд. для комплексно-сопряженных пар полюсов и
ак = 0, (3^ для вещественного полюса.
Программа 308/21С. Расчет фильтра Баттерворта с вычислением квадратичных мно-
жителей знаменателя передаточной функции
F3 ПП F- Р5 F4 ПП F- t F5 In t
F2 1П т 1 ВП 7 XY — — Р6 1/х t
F5 ХУ Р7 2 1/х Р8 t я X t F6 +
е* х*0 FCX F7 X 2 X t F7 X* С/П F8
1 + БП , 1 0 ХУ 1 — В/О
Инструкция: v3 = Р2,А п/Ю = P3.AJ10 = Р4 В/О ап рх = a,,PY= 0,,Р5 = е
РЬ = п . . . С/П РХ = ak, PY = 0к (Если РХ = 0, то Р7 = 0к, а ак = 0).
Контрольный пример: при i>3 = 2,АП = 1 дБ,А3= 20 дБ получим множители переда-
точной функции/С(р) = 1/(0,7631935ра + 0,5399201р + 1) (0,7631935р2 + 1,413529р +
+ 1) (О,8736О9р+ 1).
При использовании микрокалькуляторов "Электроника БЗ-21” первых выпусков в
программах 307/21С и ЗО8/21С следует заменить операторы 1 ВП 7 XY - - операто-
ром С/П и соответственно изменить адреса переходов. В этом случае порядок л опре-
189
деляют по содержимому регистра 6 округлением его до ближайшего большего целого
числа.
Программа 309/34. Расчет фильтра Баттерворта
ИП2 ПП 61 ИП1 ПП 61 4. In ИПО In
4. П4 1 — х< 0 18 1 П4 КИП4 ИП4
1/х ИПЗ ху ПД X* ПС 2 Их 1 —
П5 1Г X ИП4 4. П6 sin ИПД 4- ПА
ИПА /-/ П8 1/х ИП6 cos ИПД < пв х*0
57 ИП8 ИПС X 2 X ИПС С/П ИП5 БП
28 1 О 4- 10х 1 — ПЗ В/О
Инструкция; установить переключатель Р-Г в положение Р; и3 — Р0,Ап = Р\,А3 =
= Р1 В/О С/П РХ=РС= а,,РУ= /З^РЗ = е, Р4 = п, РА = RePi,PB = Impl С/П...
С/П РХ = PC = а^, РД = (Sfc, РА = Re р^, РВ = Im р^.
Для проверки программы можно воспользоваться данными двух предыдущих конт-
рольных примеров.
Характеристический полином для фильтра Баттерворта Q (р) = ер” имеет л-кратный
корень в начале координат. Для вычисления АЧХ согласно формуле (6.1) можно ис-
пользовать выражение | К (у) | = 1/ >/1 + е’к2” или А (к) = 4,34295 In (1 + е1 к’”), ав-
томатизируемое следующей программой.
Программа 310/21. Построение АЧХ фильтра Баттерворта
Р8 t F4 XY Х.У t F5 X X2 1 + In
4 3 4 2 9 5 X С/П F8 t F7
+ БП РО
Инструкция: (п = Р4, е = Р5, Ли = Р1) р0 = РХ В/О С/П РХ = А(у„) С/П РХ =
= А (и + Др) С/П РХ = А (р0 + 2Др) С/П .. . Для вычисления Л (р) при произвольном
значении р достаточно ввести его в регистр X перед пуском программы. Если желатель-
но изменение частоты в логарифмическом масштабе, то следует заменить в программе
оператор + (после F7) оператором X и занести в регистр 7 множитель частоты.
2. Фильтры Чебышева отличаются равноволновым приближением в полосе пропуска-
ния и монотонно возрастающим затуханием за ее пределами. Квадрат модуля передаточ-
ной характеристики фильтра
|К(»Р = 1/(1+е’7^(р)), (6.7)
где Тп (и) - полином Чебышева л-го порядка, коэффициенты и корни которого можно
вычислить с помощью программ 73 и 74 из [20].
Коэффициент е определяют по (6.6), а затухание на частоте и3 по выражению
I К(у3) |« = 1/(1 + e2ch (narchp3)).
По заданным значениям и3, А3 и Ап порядок фильтра определяют по формуле
п = Ev [arc ( х/ 10^з/10 — 1/ е )/archv3]. (6.8)
Программа 311/21С. Определение е и п фильтра Чебышева F2 ПП РВП Р6 F3 ПП F, Р5 F4 ПП F, t
F5- * ПП РВП F6 -Г Р6 1 ВП. 7 XY —
С/П БП Р0 1 0 * 1 0 ХУ 1 —
\Г в/о X1 1 x/~ XY V + In t B/O
Инструкция: и3 = Р2, Ап = РЗ, А3 = Р4 В/О С/П РХ = п, Р5 = е. Неокругленное
значение п хранится в регистре 6.
При расчете на микрокалькуляторе "Электроника БЗ-21” первых выпусков целесо-
образно увеличение п до выполнения неравенства Лзист > А3- Время вычислений в
этом случае возрастет; но составленная по этому алгоритму следующая программа
будет пригодной для всех выпусков микрокалькулятора ’Электроника БЗ-21” и обес-
печит вычисление истинного значения А3 при целом значении п порядка.
190
Программа 312/21. Вычисление п, е нА,нст фильтра Чебышева
F3 1 О Ху 1 хГ Р5 Сх Р6 F2 х1
1 хГ XY хГ + In Р8 F6 1 + Р6
t F8 X ех t 1/х + 2 + t F5 X
х2 1 + In 1 0 In + t F4 — х>0
Р+ F1 С/П БП РО
Инструкция: v3 = Р2,Ап/10 = РЗ,Л3/1О = Р4 В/О С/П РХ = 0,1А3 ИСТ,Р5 = е.РЬ = п.
Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева определяют по формуле
. , к - 0,5 , , , 1 , 1, , . , к - 0,5 , , , 1 , 1 ч
рк = ± sin (—-------w)sh ( — arsh —) + jcos (—------n)ch arshy),
реализованной следующей программой.
Программа 313/21. Вычисление полюсов передаточной функции фильтра Чебышева
2 1/х P4 F2 1/x X2 1 + xT XY xT +
In t F3 •r e* t 1/x P8 + 2 + P7
t F8 — P8 F4 1 — P4 t я X t
F3 ejx F8 x 4— t F7 X t
С/П БП F,
Инструкция: е = Р2, п = РЗ В/О С/П РХ = Re р,, PY - Imp, С/П РХ = Re р2,
РГ=1тр3 С/П ... С/П РХ= Repk,PY= Im рк.
При вычислении вместо полюсов передаточной функции коэффициентов квадратич-
ных множителей акр2 + [ikp + 1 ее знаменателя можно воспользоваться следующей
программой.
Программа 314/21. Вычисление коэффициентов квадратичных множителей знамена-
теля передаточной функции фильтра Чебышева
F2 1/x x’ 1 + хГ XY + In t F3
— ex t 1/x — 2 + P8 2 1/x P4 t
F3 — t n X e* F8 X 1/X 2 +
4— x*0 P- X2 t F8 x’ + 1/x t —♦ 1/x
X XY С/П F4 1 + БП F+
Инструкция: е = Р1, п = РЗ В/О С/П РХ = a,,PY= 0, С/П РХ = а2, PY = 03 . .
С/П РХ - ак, PY = 0к-
Контрольный пример: при v3 = 1,3; Ап = 1 дБ; А3 — 20 дБ по программе 311/21
получим и = 5 (Р6 = 4,845989); е = 0,5088468 по программе 313/21 получим р, =
= -0,08945813 + j0,9901068; р2 = -0,2342044 + j0,6119196; рэ = -0,2894925; р4 =
= -0,2342044 - j0,6119196; р, = -0,08945813 - j0,9901069 и по программе 314/21
получим коэффициенты множителей знаменателя передаточной функции К(р) =
= 1/(1,011823р2 + 0,181017р + 1) (2,329386pJ + 1,091105р + 1) (3,454318р+ 1).
Все эти результаты можно получить с помощью одной следующей программы.
Программе 315/34. Расчет фильтра Чебышева
ИП2 ПП 89 ИП1 ПП 89 + t X2 1
— + In ИП0 t X» 1 —
+ In -r П4 КИП4 ИПЗ 1/X t X2 1
+ + In ИП4 e* t 1/x П9
+ 2 -r П5 ИП9 — П6 2 1/X 1
— П7 n X ИП4 + П8 sin X ПА
ИПА /-/ ПД 1/x ИП8 cos ИП5 X ПВ x*0
83 X» ИПА X2 + 1/X ПС ИПД 2 X
X ПД ИПС ПС С/П ИП6 ИП7 БП 49 1
0 -r 10х 1 — ПЗ B/O
191
Инструкция : установить переключатель Р-Г в положение Р; »3 = РО,ДП = Р1, А3 =
= Р2 В/О С/П РХ = PC = а,, ПД = р,, РА = Re р,, РВ = Imp,, РЗ = е, Р4 = п С/П
РХ = PC = а2, PY = р2, РА = Re р2, РВ = Imp, ...
Характеристику затухания целесообразно строить по формуле
... j 101g (1 + e’cos2 (п arccosv)) при v < 1;
| 101g (1 + e’ch2 (л archv)) при v>l,
реализованной в следующих программах.
Программа 316/21. Вычисление затухания фильтра Чебышева
хг 1 х> 0 3 XY V” + In t F2
X е* t 1/х + 2 * БП Р7 /-/ Р7 F4
X + 5 XY + т 1 F7 X t
F6 X 1 F2 X cos t F3 X х* 1 +
In t F5 X С/П БП Р0
Инструкция: п = Р2, е = РЗ; 4,34295 = Р5, и = РХ (В/О) С/П РХ = А (и) . В прог-
рамме использована аппроксимация функции arccos х, обеспечивающая погрешность
не более 0,0004 рад.
Программа 317/34. Вычисление затухания фильтра Чебышева
ПО х» 1 — х> 0 21 ИПО + In
ИП2 X ех t 1/х + 2 ь БП 25
ИПО arccos ИП2 X cos ИПЗ X X1 1 +
1g 1 0 X С/П БП
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р; (л = Р2, е = РЗ), v =
= РХ (В/О) С/П РХ = А (р) .
3. Обращенный фильтр Чебышева обеспечивает равноволновую аппроксимацию ха-
рактеристики затухания в полосе задержания и монотонно возрастающее затухание в
полосе пропускания. Для такого фильтра
А (и) = 101g (1 + 1/е’7^(р3/р))). (6.9)
При расчете этого фильтра по заданному значению А3 (определяющему минимальное
затухание в полосе задержания) находят коэффициент
е = 1/ч/10о-,Лз_ j, (6.10)
а по допустимому затуханию в полосе пропускания
Лп < 101g (1 + 1/(е’7£(р3)))
определяют необходимый порядок фильтра
п= Ev [arch (1/е х/10°-,Лп - l)/archi>3].
После округления значения п до ближайшего большего целого из неравенств -4П ист <
<ЛП и А3 ист > А3 второе становится равенством. На практике чаще стремятся обратить
в равенство первое отношение, что увеличивает затухание за пределами полосы пропуска-
ния. В этом случае при расчете фильтра целесообразен следующий алгоритм. 1) принять
п= 1; 2) из условия А ПИС1 = Ап определить значение е = ch (л archv3)/(10°-,y4” -
— 1); 3) если Лзист = In (1 + 1/е’) < А3, то принять п = п + 1 и перейти к п. 2, иначе
закончить вычисления.
Программа 318/21. Вычисление е и порядка л обращенного фильтра Чебышева
сх Р6 F2 X* 1 — XY + In Р8
F3 1 0 т 1 0 ХУ 1 — Р7 F6 1
+ Р6 t F8 X е* t 1/х + 2 4- t
F7 X 1/х Р5 X» 1/х 1 + In 0
2 3 4- t F4 — х> 0 F+ Fl С/П БП Р0
192
У
Программа 319/34. Вычисление е ил обращенного фильтра Чебышева
сх П6 ИП2 t X* 1 — 4 In
П8 ИПЗ 1 0 4 10х 1 — П7 ИП6
1 4 П6 ИП8 X е* t 1/Х + 2
4- ИП7 X 1/Х П5 хг 1/Х 1 +
1g 1 0 X t ИП4 — х> 0 19 XY
С/П БП
Инструкция к обеим программам: (р = Р2, Ап — РЗ, А3 = Р4) (В/О) С/П РХ =
= исг F5 = е , Р6 = и. Время вычисления зависит от п.
Контрольный пример: при и3 = 1,2; Ап = 1 дБ; А3 = 20 дБ получим ЛЗИС1 =
= 20,6 дБ; е = 0,09385773; и = 6.
Программа 320/21. Вычисление затухания обращенного фильтра Чебышева
t F8 XY 4 X2 1 — x> 0 F4 XY
4 In t F2 X e* t 1/x 4 2 4 БП
FCX /-/ P7 F4 X + 5 XY + 4 t
F7 X t F6 X t F2 X cos t F3
X X2 1 + 4 In t F5 X С/П БП P0
Инструкция: (n = Р2, е = РЗ; 40,5 = Р4; -4,34295 = Р5; я/2 = Р6, р3 = Р8),и =
= РХ (В/О) С/П PX = A(v).
Программа 321/34. Вычисление затухания обращенного фильтра Чебышева
ИП2 XY 4 ПЗ t x’ 1 — x> 0 24
+ In t ИП0 X e* t 1/x 4
2 4 БП 29 ИПЗ arccos ИП0 X cos ИП1
X X1 1/x 1 4 1g 1 0 X С/П
БП
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р (л = Р0, е = Pl,v3 =
= P2),v = PX (В/О) С/П РХ = А (р).
Контрольный пример: при л = 10; е = 0,05; р3 = 1,2 для и = 1,0 получимЛ (р) =
= 0,0272.
Полюсы передаточных функций р' обращенного и р обычного фильтров Чебышева
связаны соотношением р' = рэ/р и для вычисления р' можно воспользоваться програм-
мами 313/21 или 315/34 с последующим преобразованием р. Нули передаточной функ-
ции обращенного фильтра Чебышева, равные корням многочлена Тп (р3/р) , можно вы-
числить по программе 76, приведенной в [20].
4. Фильтры Бесселя отличаются максимально-плоской зависимостью группового
времени задержки (ГВЗ) ргр от частоты. При п > 3 и р - 1 затухание фильтра удовлет-
ворительно аппроксимируется выражением
Л (р) «1О(рто)2/(2л - 1) 1п10, (6.11)
где начальное время задержки т0 связано с ГВЗ соотношением
тгр ®’ro (1 - (2лл!/(2л)!)’(рт0)’+ ...). (6.12)
При расчете фильтров Бесселя обычно задают допустимые значения Лп и Атгр/т0,
по которым можно вычислить л, т0 и истинное значение Дтгр/т0.
Программа 322/21. Вычисление n, т0 и Дт /т0 фильтра Бесселя
Сх Р4 1 Р5 1 0 In t F2 X 5 —
Р6 F4 1 + Р4 4 X 2 - Р7 X2 t
F5 X Р5 F7 t F6 X 4 4 V" Р8 F4
XY ХУ t F5 БП Р0 — t F3 х<0 F2 F4 С/П
Программа 323/34. Вычисление Сх П4 1 П5 1 4 П6 ИП4 1 + т„ 0 П4 , Дтгр/т0 фильтра Бесселя In ИП2 X 5 4 X 2 -
7 Зак. 13»9
193
П7
х1 ИП5
sT П8
х<0 12
X П5 ИП7 ИП6 X
ИП4 ИП9 ХУ ИП5 4-
XY ИП4 С/П БП
П9 4
t ИПЗ
Инструкция к обеим программам: (Ап = Р2, (Дтгр/т0)доп = РЗ) (В/О) С/П РХ =
= Р4 = n, PY - Дтгр/т0, Р8 = т0.
Если заданы абсолютное значение допустимого изменения ГВЗ фильтра-прототипа
Дтгр и допустимое значение 4П, то параметры фильтра можно вычислить с помощью
следующих программ.
Программа Сх Р4 Р6 F4 F5 X XY ХУ F2 F4 324/21 1 1 Р5 С/П . Вычисление п, т„ Р5 1 0 + Р4 4 F7 t F6 F8 X t БП Р0 и Дтгр in X X F5 фильтра Бесселя t F2 X 2 - Р7 4 v v t F3 5 X* Р8 t F4 х<0
Программа Сх П4 + П6 П7 х* t ИПЗ 325/34 1 ИП4 ИП5 П8 . Вычисление л, т0 П5 1 0 1 + П4 X П5 ИП6 ИП4 ИП9 ХУ х<0 12 XY иДтгр In 4 ИП7 ИП8 ИП4 фильтра Бесселя ИП2 X 5 X 2 - X П9 4 X ИП5 -5- С/П БП
Инструкция: <АП = Р2, Дтгр „оп = РЗ) (В/О) С/П РХ = Р4 = n.PY^ Дтгр,Р8 - т„.
Контрольный пример: при = 1 дБ и Дтг /т0 < 0,01 по программам 322/21 и
323/34 получим п = 3; т0 = 1,072982; Дтгр/т0 = 0,006782252, а при Ап
Дт < 0,05 по программам 324/21 и 325/34 получим л = 5; т0 = 2,493387;
= 0,02593102.
Вычисление коэффициентов знаменателя передаточной функции фильтра
К(р) = l/(Z>npz’ + + ... + J,p+ 1) по формуле
= (2л-г)!л!(2т0)///!(2л)!(л-7)
обеспечивают следующие программы.
= 3 дБ и
Дтгр =
Бесселя
(6.13)
Программа 326/21. Вычисление коэффициентов знаменателя К (р) фильтра Бесселя
Сх Р5 1 Р2 С/П F5 1 + Р5 F7 XY -
XY + 4 t F5 * t F8 X 2 X t
F2 X БП 0
Программа 327/34. Вычисление коэффициентов знаменателя/С(р) фильтра Бесселя
Сх П5 1 П2 С/П ИП7 ИП5 - t ИП7
+ -Г КИШ XY ИП5 4 ИП8 X 2 X
ИП2 X БП 03
Инструкция: (n = Р7, т0 = Р8) В/О С/П РХ = Ь„ С/П РХ= Ь, ... С/П РХ = Ьп.
Контрольный пример: при п = 5; т„ = 2,493387 получим Ьо = !;/>,= 2,493387;
Л, = 2,763101; Ь, = 1,722370; Ь, = 0,613505; bs = 0,1019803.
Для вычисления полюсов передаточной функции фильтра Бесселя приходится обра-
щаться к общим методам решения алгебраических уравнений, но для фильтров с п <
11 проще воспользоваться данными табл. 9, полученными для фильтра Бесселя с нор-
мированным значением т0 = 1. По известному значению т0 достаточно денормировать
коэффициенты квадратичных множителей = т’а^; 0^ = то0£ по значениям и
/3^, приведенным в табл. 9. Например, для фильтра 5-го порядка цолучим при т0 =
= 2,493387 коэфаигменты 0, = 0,27421763 • 2,493387 = 0,6837306; а2 = 0,070064906 X
X 2,493387* = 0X355920; 0t = 1,171166; аэ = 0,3424172; 03 = 0,6384899; откуда
/<(р) = 1/(0,68373061 + 1) (0,435592р* + 1,171166р+ 1) (0,3424172р* + 0,6384899р +1).
194
ТАБЛИЦА 9
Коэффициенты разложения на квадратичные множители (а р2 + р + 1) знаменателя нормированной передаточной функции
фильтра Бесселя
Значения l-х коэффициентов чО 0,010565187 0,068245233
IZ) 0,016182596 0,096040998 0,015967914 0,15604647 0,016132397 0,22772145
* 0,027324805 0,14677119 0,029468327 0,30675590 0,020084958 0,18632574 0,018235146 0,21763750 0,016940188 0,25356852
со 0,055077755 0,25607336 0,037715887 0,18978123 0,034558375 0,28131479 0,025927388 0,22651666 0,022911268 0,25680882 0,019769737 0,26156513 0,012969004 0,13268973
г» 0,15481236 0,56937112 0,087048867 0,36626497 0,070064906 0,46970902 0,047955137 0,35829281 0,038961376 0,37077909 0,020647498 0,117235831 0,024637054 0,30201914 0,012912773 0,080289457 0,014804933 0,18658176
0,333333333 1,000000000 0 0,43062884 0,10940762 0,63373504 0 0,27421763 0,053188291 0,45192595 о 0,20113493 0,031272257 0,34949162 0 0,15880530 0,020547573 0,28446244 0 0,13119331
Коэффици- 4 С 1> ёГ <хГ ёГ ёГ ёГ ёГ ёГ ёГ ох* ёГ ёГ <*Г ёГ
Порядок фильтра сч со чО Г- оо о
195
В пределах полосы пропускания затухание фильтра Бесселя при п > 3 хорошо ап-
проксимируется выражением
Л(р) = 10(рто)’18е/(2л- 1), (6.14)
но вычислять затухание при v > рп следует общими методами анализа линейных цепей.
5. Фильтры Кауэра.или эллиптические фильтры, имеют равноволновое приближение
затухания как в полосе пропускания, так и в полосе задержания. Квадрат модуля пере-
даточной функции такого фильтра
к к
|K(jp)|’ = П (р»-р’)’/(П (р> -р’)‘ + е’(£ (р)),
i * 1 i ж 1 1 п
где к - число полюсов затухания (нулей передаточной функции), а числитель дроби Че-
бышева определяют соотношениями
Un(y) = 2рЦ,_, (р) (р) (6.15)
по числителям иПш1 (р) и t/n_a (р) двух младших дробей для выбранного числа к по-
люсов затухания (табл. 10).
ТАБЛИЦА 10
Определение числителей младших дробей Чебышева
Число к полюсов затухания Числители двух младших дробей Чебышева Коэффициенты младших дробей Чебышева
1 U2 (”) = Та”* - U, О') = (Т> +61)>'3 - (к? + + 6,)р У к = 2ик “Д 6к ~ 2vk 'J vk ~ 1 ("it > D
2 Ut (р) = а0Р* — oijP* + а4 Us (v) = (а0 +а1)р5 - (о, + + а, + а3)р’ + (а, + а4)р “о = 71 Ta +6i6a; “ = 7i6a + T,«, I “a = p?Ta + "?7i +Мг; “з = "?6a +"a6i a4 = p?Pj
3 Ut (р) = 0ор* -0a"4 + + М2 -0. С/, (р) = (00 +Р, )"’ ~ (0, + + 0J +0,)"’ + (0, +04 + + 05)«'3 - (0, +0«)" 0o = У»ао +5a“i 1 0i=sa“o+7a“i 0a = "з“о +6a“i +7з“а + бз“з 0з = v*ai +6э“а +7з<»э 04 = >'з“а + 6з“з + Тз“<; 0з = vlai + 63“4 (36 = pja4 (afc, Ук'^к ~ см' ВЬ1Ше)
Вычисление коэффициентов многочленов Un (р) по формуле (6.15) автоматизируют
следующие программы, выполняемые п - к раз для определения коэффициентов числи-
теля степени п по коэффициентам Ц^(р) и (р). Многочлены имеют только четные
или только нечетные степени аргумента р.
Программа 328/21. Вычисление коэффициентов числителя дроби Чебышева порядка
л<12 •
F2 t + Р2 F3 ПП F5 РЗ F4 ПП F5 Р4
F5 ПП F5 Р5 F6 ПП F5 Р6 F7 ПП F5 Р7
F8 ПП F5 Р8 С/П БП РО XY 4— — + В/О
Инструкция : ввести коэффициенты £/^(р), начиная со старших степеней, в регистры
2, 3, . . . , 8 и коэффициенты (*')> начиная со старших степеней, в регистры С1,
С2, ..., С6; после выполнения п - к раз программы искомые коэффициенты хранятся,
начиная со старших, в регистрах 2, 3.8.
196
Программа 329/34 . Вычисление коэффициентов числителя дроби Чебышева порядка
л < 13
ИП6 ПД 2 X ИПС — П6 ИП5 ПС 2
X ИПВ — П5 ИП4 ПВ 2 X ИПА —
П4 ипз ПА 2 X ИП9 — ПЗ ИП2 П9
2 X ИП8 — П2 ИП1 П8 2 X ИП7
— П1 ИПО П7 2 X ПО С/П БП
Инструкция: занести, начиная со старших членов, коэффициенты в регистры
О, 1,... , 6, а коэффициенты (и) в регистры 7,8...С, Д. После дл-го выполнения
программыРО = а/^^.Р! - akt/n-2’ • • Р6 = aktm-i2' Время счета около 16 с.
Контрольный пример. Для двух полюсов затухания на нормированных частотах
р, = х/Т и v2 = х/Т для функции 17п (р) из табл. 10 получим ?, = 3; б, = 2 >/2 ;
7» = 9; 8, = 4 x/J; а, = 27 + 8 V Ю = 52,29822; а, = 12 х/5 + 18 х/2 = 52,28865;
а, = 18 + 15 + 8хД0 = 58,29822; а} = 8 х/Т + 10 V2 = 32,03067; а4 = 10, откуда
t/4 (р) = 52,29822р4 - 58,29822р’ + 10; Us (р) = 104,5868р5 - 142,6175р3 + 42,03067р.
После семи выполнений программы получим коэффициенты многочлена {/,, (р) =
= 13387,1 1р‘*-41682,79р10 + 49044,37р' - 26874,99р6 +6754,849р’ -634,5435р’ +10.
Для фильтра с одним полюсом затухания вычисление коэффициентов числителя дро-
би Чебышева, включая и подготовительные операции, может быть автоматизировано с
помощью следующей программы.
Программ! i 330/21 . Вычисление коэффициентов числителя дроби Чебышева порядка
л < 12 при одном полюсе затухания хг 1 - РЗ X / Р2 F3 + XY /-/
F2 + XY —> F2 + Р2 t F3 XY — РЗ
С/П F2 Г + Р2 F3 ПП F9 РЗ F4 ПП F9
Р4 F5 ПП F9 Р5 F6 ПП F9 Р6 F7 ПП F9
Р7 F8 ПП F9 Р8 БП Р4 XY 4— — + В/О
Инструкция: очистить регистры памяти, и, = РХ В/О С/П Р2 = а3, РЗ = а, С/П
Р2 = а4, РЗ = а,, Р4 = а0 С/П ... С/П Р2 = а,,, РЗ = а10, Р4 = а,, Р5 = а6, Р6 = а4,
Р7 = а,, Р8 = а0.
Контрольный пример: при и, = 1,2 после шести выполнений программы получим
коэффициенты многочлена Ut (р) = П1,1033р‘ - 238,2067р6 + 163,4552р* -
- 37,35187р4 + 1,44.
Аналогичную программу несложно составить и на входном языке МК34. Для этого
следует заменить в программе 329/34 адрес безусловного перехода на 24 и ввести в
начало программы фрагмент
ПО 2 X 1 П7 1 - ИПО
X 2 X х/“ ИПО /-/ П8 XY - Ш
ИП7 ВХ + ПО ...
В выражение для квадрата модуля передаточной функции входит квадрат числителя
дроби Чебышева. Для возведения Un (р) степени л < 10 и л < 16 следует соответствен-
но использовать программы 134/21 и 135/34.
Расчет затухания фильтра Кауэра в полосе пропускания нецелесообразен, так как ха-
рактеристика затухания в этом случае заведомо равноволновая с числом л максимумов.
Равноволновое затухание в полосе задержания обеспечивают выбором частот полюсов
затухания, например, по методике, описанной в [7]. Однако равноволновая аппрокси-
мация затухания в полосе задержания не всегда оптимальна, а использование упомяну-
той методики связано с трудоемкими вычислениями. Поэтому часто задаются располо-
жением полюсов затухания и по расчету АЧХ корректируют это положение до получе-
ния требуемых результатов.
197
Программа 331/21. Расчет затухания в полосе задержания фильтра Кауэра с одним
полюсом затухания на частоте
X2 Р8 1 — 7" XY / + In t F2 X
Р7 F4 t F8 — F8 X XY — t —►
4- 2 X 1 + x2 1 - XY +
In t F7 + ex t 1/x + t F3 X x2
1 + In t F5 X С/П БП P0
Инструкция : (п — 2 = Р2, е/2 = РЗ, vj = Р4, 4,342945 = PS), v = РХ (В/О) С/П
РХ = А (р). Значение е определяют по формуле (6.6).
Контрольный пример: при л = 12; е = 0,1; р, = 1,2 для р = 1,15 получимЛ =
= 45,964 дБ.
Программа 332/21. Расчет затухания в полосе задержания фильтра Кауэра с полюса-
ми затухания на частотах и, и и 2
X» Р8 ПП Сх F2 X Р7 F4 ПП F5 Р7 F5
ПП F5 ех t 1/х + t F3 X X2 1 +
In t F6 X С/П БП Р0 t F8 - F8
X XY - t -♦ 4 2 X 1 + X2 1
sT XY Инструкция : (п -4 = + Р2,е/2 In = РЗ, t р? = F7 Р4, р2 + В/О = Р5; 4,342945 = Р6), р = РХ (В/О)
С/П РХ = А (р) . Контрольный пример: при л = 8; е = 0,1; р , = 1,2; р2 = 1,4; р = 1,1 получим
А (р) = 18,415 дБ.
Программа 333/21. Расчет затухания в полосе задержания фильтра Кауэра с полюса-
ми затухания на частотах р j v,
х2 Р8 ПП F8 F2 X Р7 F4 ПП 5 Р7 F5
ПП 5 Р7 F6 ПП 5 ех t F3 X X2 1
+ In 4 3 4 3 X С/П t - F8 -S
- F8 X XY — t —♦ 4- 2 X 1 +
х2 1 хЛ XY V + In t F7 + В/О
Инструкция: (л - 6 = Р2, е/2 = РЗ, р2 = Р4, р* = Р5, р3 = Р6), р = РХ В/О С/П
РХ = А(и).
В этой и следующей программах принято приближение ch х =» е^/2, что приводит к
методической погрешности ДЛ, которую в зависимости от значения е и Л можно оце-
нить по графику, показанному на рис. 65. Например, при л = 8; е = 0,6; и, = 1,2;
р, = 1,3; р3 = 1,5 для р = 1,01 по программе 333/21 получимЛ (р) = 5,982541 и с уче-
том поправки Л (р) = 5,241465 + 0,21 дБ.
Программа 334/21. Расчет затухания в полосе задержания фильтра Кауэра 9-го поряд-
ка с четырьмя полюсами затухания
X2 Р8 ПП Р8 F3 ПП р/-/ F4 ПП Р/-/ F5 ПП
р/-/ F6 ПП Р/-/ ех 0 Р7 F2 X *х2 1 4-
1л 4 3 4 3 X С/П t F8 —
F8 X XY — t —> 4- 2 X 1 4- X2
1 — XY + In t F7 4- Р7 В/О
Инструкция: (е/2 = Р2, р2 = РЗ, р2 = Р4, р2 = PS, р2 = Р6), р = РХ В/О С/П РХ =
= Л (р).
Контрольный пример: при е = 0,2; р, = 1,05; р2 = 1,15; р3 = 1,3; р4 = 1,5; р =
= 2 получим Л (р) = 48,02342 дБ.
198
Рис. 65
Программа 335/34. Расчет затухания фильтра Кауэра произвольного порядка при
к < 7 полюсов затухания во всем диапазоне частот
ИПА 1 ИПВ по х> 0 2 44 X + In —♦ X X1 П9 пд ПП
68 х» 1 — + х< 0 29 1/х X2
у/~ In ИП9 + L0 18 еж t 1/х +
2 4- БП 56 arccos X П9 ПП 68
arccos ИП9 + L0 47 COS ИПС X X2 1
+ 1g 1 0 X С/П БП 00 ИПО 1
+ ПО КИПО хг t ИПД 2 X X XY
— ИПД — XY ИПД — -г t В/О
Инструкция. установить переключатель Р-Г в положение Р; (л = РА, к + 1 = РВ, е =
= PC, р, = Pl, v2 = Р2.р, = P1),v = РХ (В/О) С/П РХ = А (р).
Расчет фильтра Кауэра с полюсами затухания целесообразно выполнять в следующем
порядке; 1) по результатам расчета затухания с помощью программ 331/21 - 335/34
определить частоты полюсов затухания, удовлетворяющие предъявляемым к фильтру
требованиям; 2) с помощью программ 328/21 - 330/34 при выбранных значениях р(-
вычислить коэффициенты числителя дроби Чебышева и определить квадрат модуля
/С(р); 3) вычислить корни знаменателя передаточной функции, отнеся к искомой
функции К(р) корни с отрицательными вещественными частями.
6.3. Синтез £С-фильтров
В процессе синтеза ДС-фильтра (в частности, фильтра-прототипа) по заданной переда-
точной функции необходимо определить параметры эквивалентного проходного реак-
тивного четырехполюсника при сопротивлениях RH нагрузки и Rc источника сигнала.
С этой целью по характеристической функции Т(р), определяемой соотношением (6.2),
и нормированному коэффициенту передачи напряжения К (р) = 0,5 VRH/RC Кнс (р)
для такого четырехполюсника находят [15] матрицу
1
= ((1/К(р))ч+Г(р)ч)Яс ((l/A’(p))H + T(p)H)AcAH
[((1/К-(р))н-Т(р)н ((1/К(р))ч-Г(р)ч)Ян
, (6.16)
Л11
_ Л А 22
где индексами ”ч" и "И” обозначены четные и нечетные части соответствующих функций.
По Л-параметрам определяют используемые при синтезе проводимости проходного
четырехполюсника
^вхкз Ам/А1г, ^выхкз ^выххх
(6.17)
199
соответствующие условиям короткого замыкания для холостого хода на другой сто-
роне.
При проектировании фильтров Баттерворта и Чебышева функция Т(р) известна, а
при расчете фильтров других типов ее определяют согласно (6.3). Иногда приходится
решать обратную задачу определения функции К (р) по известной функции Г(р), своди-
мой к аналогичным вычислениям, облегчаемым программами 136/21 и 137/34.
В качестве примера определим параметры реактивного четырехполюсника, реализу-
ющего функцию К (р) = (0,5р* + 1)1 (р3 + 2рг + 2р + 1) при RH = Rc = 1.С помощью
программ 136/21 или 137/34 находим (р3 + 2р* + 2р + 1) (-р3 + 2р3 — 2р + 1) = -р6 +
+ 1; (0,5р3 + 1) (0,5ра + 1) = 0,25р4 + р3 + 1. Из соотношения (6.3) следует Q (р) Q (-р) =
= (-р‘ + 1) -(0,25р4 + р2 + 1) = -р‘ - 0,25р4 - р’. Определив корни этого многочле-
на р, а = 0; рЭ 4 S 6 = ± (х/7 * j3)/4, находим, что одним из четырех возможных ва-
риаитов многочлена Q(p) будет р(р - (-ч/Т + j3)/4) (р - (->/7* — j3)/4) = р3 +
+ (х/772)р’ + 1. В этом случае Т(р) = 2(р)/М(р) = (р’+ ( >/?/2)р3 + 1)/(0,5р2 + 1)
и согласно формуле (6.16)
Г и ,1 Г((4+ х/7)/2)р’ + 1 2р3 + Зр Л
“ 13 = 0,5р3 + 1 О,5р3 + 1
А л Р ((4- х/~7)/2)р* + 1
L 31 33 J L 0,5р3 +1 0,5р3 +1 -1
По (6.17) находим Гвхкэ= (((4 - х/г7)/2)р2 + 1)/(2р* + Зр); Увх хх = р! (((4 +
+ \/7)/2)р3 + 1); Увыхкз = (((4+ Т7)/2)р3 + 1)/(2р3 +3р); Увыххх = р/(((4-
- х/7)/2)р’+ 1).
Если источник напряжения сигнала близок к идеальному и сопротивление Rc доста-
точно мало, то У„ = Увых кз = NH (р) /N4 (р) или У„ = Увых кз = N4 (р) /NH (р) [11].
Так как при Rc = 0 проводимость Уп четырехполюсника не влияет на передаточную
функцию, то однозначно определяется лишь параметр У22 и для синтеза этого доста-
точно. Иногда желательно определить значения остальных проводимостей реактивного
четырехполюсника. Для этого следует найти коэффициенты вспомогательного много-
члена Q (р), удовлетворяющего уравнению
N(p)Q(-p) + Q(p)N(-p) = 2М(р)М(-р), (6.18)
где М(р) и ?V(p) - многочлены числителя и знаменателя реализуемой передаточной
функции К (р).
Минимальная степень многочлена Q (р), равная минимальному числу элементов
фильтра без потерь, на единицу меньше степени многочлена N(p), а коэффициенты
bj многочлена Q (р) связаны с коэффициентами в,- многочлена W/pj и коэффициентами
для синтезируемого фильтра с минимальным числом элементов и Лн = 1 получим
Ап А12
А 21 ^23 .
Г(1/К(Р))Ч (1/ЛГ(р))н I
L«2(p)/Af(p))H (<2(P)/Af(p))4j ’
Н
после чего искомые параметры несложно определить по (6.17). Так, для рассматрива-
емого примера, составив матричное уравнение
1
2
0
0
-2
-1
0
1
2
6,
ь
1
1
.0,25.
200
получим К(р) = (р’/2 + Зр/4 + 1)/(0,5р2 + 1) и матрицу Л-параметров синтезируемого
проходного четырехполюсника
’-4ч ^.а] = Г(2р’ + 1)/(0,5р2+1) 2р
А» L Зр/(2р’+4) 1
По (6.17) находим Г = 1/2р; Гвх хх = Зр/(8р2 +4); Увыхкз = (2ра + 1)/(рэ +
+ 2₽); J'bmxxx=3p/(2p1+4).
Из возможных схемных реализаций реактивного четырехполюсника с требуемой
входной функцией чаще всего используют лестничные цепи (см. рис. 24). Автоматиза-
цию вычисления параметров такой цепи по коэффициентам в,- числителя степени п и
bj знаменателя степени m = л - 1 входной функции Увх или ZBX = 1/Гвх обеспечивают
следующие программы.
Программа 336/21. Определение элементов лестничной цепи по заданной входной
функции при п < 12
F2 t F8 <- Р2 т Р8 F3 - РЗ ПП F7
F4 «- Р4 ПП F7 F5 «- Р5 ПП F7 F6 «-
Р6 ПП F7 F7 <- Р7 ПП F7 *- 0 - F8
XY - Р8 XY С/П БП РО t F8 X t
XY - - В/О
Инструкция: а„ = Р2,ап_2 = РЗ,an_l2 = Р8, b„,t =Cl,b„_3= С2 b„.tl =
= С6 (незанятые регистры очищают) (В/О) С/П РХ = С\, или L, С/П РХ = L,, или
С, ... С/П РХ = Сп, или Ln-
Программа 337/34. Определение параметров лестничной цепи по заданной входной
функции при п < 11
t 1 + ПО КИПО КИПО * t t ИПО
ПД - С/П - КИПО XY КИПО X - ИПО
2 + ПО - КПО ИПО 2 - х*0 33
-> L0 13 ИПД БП
Инструкция: а„ = /»!,*, = Р2, а, = РЗ, = Р4.......blt = PC, п + 1 = РХ В/О С/П
РХ = С„ или L, С/П РХ = L а, или С,.....С/П РХ = Сп, или
В качестве примера определим параметры лестничной цепи, реализующей фильтр
Баттерворта 9-го порядка по функции входного сопротивления:
z = 5,7587708р8 + 31Д63439Р11 + 41,986389р4 + 16,581719р2 + 1
вх W ” 2р’ + 16,581719р7 + 41,986389р’ + 31,163439рэ + 5,7587708р *
Так как у заданной функции п < /и,то будем синтезировать обратную функцию Увх (р) =
= l/ZBX(p). В этом случае первым элементом лестничной цепи будет поперечная ем-
кость С,, вторым - продольная индуктивность L 2 и последним - поперечная емкость
С,. По программе 336/21 вычислим параметры фильтра, приведенные в табл. 11, где да-
ны значения параметров с четырьмя верными цифрами [22] и относительные погрешно-
сти вычислений.
ТАБЛИЦА 11
Результаты вычислений параметров фильтра
Параметр Точное зна- чение Расчет по задан ному Z (р) Погрешность, % Расчет при семи знаках Погрешность, %
1 2 3 4 5 6
С. 0,3473 0,3472963 — 0,347283 —
1,000 0,9999997 — 0,9999661 -
201
Окончание табл. 11
1 2 3 4 5 6
ct 1,532 1,532087 — 1,532049 —
1,879 1,879377 — 1,879348 —
с, 2,000 1,999914 — 2,001127 0,06
Lt 1,879 1,878441 -0,03 1,888439 0,5
с, 1,532 i,525744 -0,4 1,596829 4,06
1,000 0,9864432 -1,34 1,176672 17,67
С, 0,3473 0,3537277 1,85 0,2817014 -18,86
Следует подчеркнуть, что обеспечение требуемой точности результатов при синтезе
фильтров высокого порядка является сложной задачей, а известные методы снижения
погрешностей, применяемые при расчетах на ЭВМ, неприменимы для микрокалькулято-
ров с фиксированной разрядностью. Между тем уже при расчете с семью значащими циф-
рами погрешность вычислений (см. табл. 11) быстро возрастает. Поэтому ограничимся
следующими рекомендациями:
1. При расчете симметричных фильтров (например, Баттерворта и Чебышева) целе-
сообразно вычислять только первые п/2 параметров, определяя остальные параметры
из условия симметрии схемы.
2. При расчете несимметричных фильтров целесообразно выполнять вычисления
дважды для функций ZBX (р) и 2ВЫХ (р) или Увх (р) и Увых (р) и сравнивать результа-
ты. Степень их расхождения позволит, по крайней мере, оценить погрешности реализации.
Кроме того, определив с помощью программы 138/21 или 139/34 входную функцию
реализованного фильтра, можно сравнить ее коэффициенты с коэффициентами исход-
ной функции, что также позволит оценить погрешность.
Например, для параметров, приведенных в третьем столбце табл. 11 (с учетом корот-
кого замыкания емкости С,), по этим программам получим Увхкз(р) = (5,651237р8 +
+ ЗО,65956р‘ + 41,54414р4 + 16,4964р’+ 1)/(2р’ + 16,27209р7 +41,42706р5 + 30,91866р’ +
+ 5,743324р).
Точность вычислений по программам 138/21 и 139/34 значительно выше, чем по
программе 336/21 и особенно 337/34, в которой вычитаются близкие числа. Поэтому
программы 138/21 и 139/34 пригодны и для оценки влияния погрешностей вычисления
параметров фильтра на коэффициент передачи напряжения.
Согласно формулам (6.16) и (6.17) Гвхкз = ((1/К(р)ч - 7* Ср) ч) / ((1/FC (р) „ +
+ Т(р)„); Увххх = ((1/К(р)н - T(p)H/((l/tf(p)4 + Т(р)ч) и при /С(р) = 1/Л(р),
М(р) = 1 функции 1/К(р) и Т(р) - многочлены, причем N(p)4 - Т(р)ч = FK3(p);
ЛЧр)ч + Т(р)ч = Gxx; N(p)H + Т(р)И = GK3(р); N(p)H + Т(р)И = Fxx (р), где FK3 и
Fxx - числители функций Увхкз и Увххх, a GK3 и Gxx - их знаменатели. Из этих со-
отношений следует
К(р) = 2/(FK3(p)+Gxx(p)+GK3(p) +Fxx(p)). (6.19)
Для рассматриваемого фильтра, определив Увххх(р) с помощью программы 138/21
или 139/34, по формуле (6.19) получим К(р) = 1/(0,999495р’ + 5,755802р8 +
+ 16,5734 7р7 + 31,14931р‘ + 41,96992р’ + 41,97291р4 + 31,15584р3 + 16,5 79р2 + 5,7583р +
+ 1). Сравнение подобного результата с исходным выражением дляЛ"(р) позволяет су-
дить о точности определения параметров фильтра и необходимости их уточнения.
Для более полного представления о погрешностях синтеза в табл. 12 приведены
вычисленные по предложенной методике коэффициенты К (р) рассматриваемого фильт-
ра Баттерворта 9-го порядка. Столбцы этой таблицы содержат (в порядке нумерации):
1) значения коэффициентов с восемью верными цифрами; 2) значения, полученные при
выборе элементов фильтра (параметры, приведенные в первом столбце табл. 12) сог-
ласно [22]; 3) значения, полученные при расчете с восемью значащими цифрами; 4) зна-
202
чения, полученные при округлении промежуточных результатов до семи значащих цифр;
5) значения, полученные при вычислении первых пяти параметров схемы с максималь-
ной точностью и определении остальных параметров по условию симметрии схемы;
6) то же, но при округлении промежуточных результатов до семи значащих цифр. Эти
результаты подтверждают приведенные ранее рекомендации о возможных путях повы-
шения точности синтеза.
ТАБЛИЦА 12
Коэффициенты передаточной функции синтезированного фильтра
ai 1 2 3 4 5 6
а9 1 0,999495 0,9999975 0,9999975 0,9999445 1,000326
а* 5,7587708 5,755802 5,704997 6,429339 5,758452 5,760873
а1 16,581719 16,57347 16,42688 18,51261 16,58083 16,58801
31,163439 31,14931 30,91147 34,30360 31,1619 31,17499
в» 41,986389 41,96992 41,70669 45,46826 41,98456 43,00064
а. 41,986389 41,97291 41,76523 44,73418 41,98487 41,99853
аз 31,163439 31,15584 31,04103 32,67870 31,16257 31,17044
а2 16,581719 16,579 16,53905 17,11693 16,58140 16,58424
ai 5,7587708 5,7583 5,751046 5,851707 5,758716 5,75920
При синтезе фильтров с передаточной функцией К (р), имеющей нули (полюсы зату-
хания) , кроме операции разложения в цепную дробь входной функции приходится вы-
делять полюсы затухания, реализуемые для функций У (р) и Z (р) звеньями, показан-
ными соответственно на рис. 66, а и б- Алгоритм вычисления параметров таких звеньев
следующий:
1. Вычисление индуктивности L„ при синтезе ZBX или емкостиСо при синтезе Увх по
формуле для £ 0 или Со = М (р)/ (pN(p)) при р = jp,-, где М(р) IN(р) - синтезируемая
функция, а V/ - частота выделяемого полюса затухания.
2. Вычисление остаточной функции Z* (р) = Z (р) - pLa = (А(р) - pL0М (р)) 1М(р)
или У* (р) = У (р) - рС0 = (N(p) - рС0М(р))!М (р).
3. Разложение числителя остаточной функции на сомножители (р! + v? ) и N' (р) =
= (А(р) - рС0Л/(р)) / (р1 +р?).
4. Вычисление £, или С, = pN'(р)!М(р) при р = jpy и С, = 1/м,- L, или £, =
= 1/м?С,.
5. Вычисление остаточной функции Z"(p) = (М(р) - pN' (р) /£,) /N' (р) или У" (р) =
= (М(р) -pA'Cpj/CJ/JV'tp)..
После этого переходят к выделению следующего полюса затухания или после выде-
ления всех полюсов раскладывают остаточную функцию в цепную дробь.
Программа 338/21. Выделение полюса затухания при реализации входной функции
до десятого порядка
4- t XY ПП F8 С/П Сх Р8 F2
ПП F8 F3 ПП F8 F4 ПП F8 F5 ПП F8 F6
203
ПП F8 - 0 *- +
t t F7
F5 t F8 + t F7
P8 C/П t F8 X *-
X XY - + - БП
X P8 B/O
Инструкция: 1) ввести an = Cl, = C2............an-io ~ ^n-i = ^п-з ~
= Pi, ... , bn_2 = P6, -M? = Pl, Q = P& = PX; 2) выполнить программу пять раз, нажи-
мая клавиши В/О и С/П (что приведет к вычислению Д'(р) при р = >,•); 3) нажать кла-
вишу С/П и зарегистрировать РХ = С„ или/,,; 4) выполнить F2 С/П F3 С/П F4 С/П
F5 С/П F6 С/П «- Р8 (что приведет к вычислению коэффициентов многочлена N’(p) и
очистке регистра 8; 5) повторить выполнение пп. 2 и 3, зарегистрировав высвечиваемое
значение £, или С,; 6) выполнить 1/х Р8 t F7 + /-/ (РХ = С, или С,); 7) поменять
местами коэффициенты числителя и знаменателя, выполнив F2 «- Р2 F3 <- РЗ F4 ♦-
Р4 F5 •»- Р5 F6 «- Р6; 8) выполнить п. 4; 9) перейти к п. 1 для выделения следующе-
го полюса затухания, поменяв местами коэффициенты числителя и знаменателя и вво-
дя = Р7, 0 = Р8 = РХ, или вызвать из памяти коэффициенты Р2 = ап_2, Pi =
_ an-f • • • > С1 = ЬПш3, С2 = bn_s, . . . остаточной функции и зарегистрировать их.
Выделение каждого звена цепного фильтра уменьшает на два число коэффициентов
его схемной функции, но вследствие операционных погрешностей содержимое соответ-
ствующих регистров памяти отличается от нуля. Для предотвращения накопления пог-
решностей при повторении программы целесообразно очищать эти регистры после вы-
полнения п. 7 инструкции.
Эту программу можно использовать и при определении параметров простых звеньев
лестничного фильтра, для чего следует выполнить пп. 1-3 инструкции, приняв к,- > 1
(но при anv*n < Ю”), очистить регистр 7, повернуть стек памяти на один шаг по часо-
вой стрелке и выполнить пп. 4 и 7. После этого можно повторить вычисления или перей-
ти к выделению полюса затухания.
В качестве примера синтезируем лестничный фильтр 5-го порядка с полюсом затуха-
ния на частоте v = 2,125 по входной функции
_ 110,23086р‘ + 172,82389р3 + 61,498228р
вххх“ 71,898712р4 + 85,417022р3 + 13,530435 ‘ (’ '
Введя программу 338/21 и исходные данные (110,23086 = С1; 172,82389 = С2;
61,498228 = СЗ; 71,898712 = Р2; 85,417022 = РЗ; 13,530435 = Р4; -2,125’ = Р1; 0 =
= С4=С5 = С6 = Р5 = Р6 = Р8 = РХ),выполняем: В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О
С/П В/О С/П (РХ= -140762) С/П РХ = Со = 1,397513 F2 С/П F3 С/П F4 С/П F5
С/П F6 С/П - Р8 В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О С/П (РХ = -14387,33)
С/П РХ= С, = 0,1428402 1/х Р8 t F7 + РХ = -Lt = -1,550356 F2 *- Р2 F3 -
РЗ F4 - Сх F5 *- Сх F6 <- Сх Р6 - F2 С/П F3 С/П F4 С/П F5 С/П F6 С/П
<- Р8 (Р1 = д'" = 9,75147; РЗ = а'[’ = 9,431489; С1 = Ь'” = 3,63037; С2 = Ь'” =
= 2,885422).
Для вычисления остальных параметров фильтра вводим, не выключая микрокальку-
лятор, программу 336/21, очищаем регистр 7 и выполняем: В/О С/П РХ= С2 = 2,686081
С/П РХ = L2 = 2,620181 С/П РХ = С, = 0,4625529. Синтезированная схема фильтра
показана на рис. 67, а.
При синтезе возможны различные схемные реализации, при выборе которых прихо-
о-
1,550356
Lz-2,620181
-о
Lr1,63Ml L2*2,56261
=t= м/«м=г
Cq-1,397513 0_
а)
С2=2,68608!
^0^0,4625528 =7= Со-/,53314
L,-0,08667724
-.0,-2,556818
~б)
Cz-0,i57l568
Рис. 67
204
дится учитывать дополнительные критерии оптимальности фильтра. Для примера реали-
зуем еще одну схему фильтра, отличающуюся местом включения контура, формиру-
ющего полюс затухания.
После ввода программы 338/21 и исходных данных начинаем синтез с вычисления
емкости Со, формирующей полюс затухания в бесконечности. Для этого выполняем:
-р’ = -ю” = 7>7; 0 = РХ В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О С/П (РХ =
= -1,102308 ’ 10”) С/П РХ= Со = 1,53314 Сх Р7 F2 С/П F3 С/П F4 С/П F5
С/П F6 С/П - Р8 F2 - Р2 F3 «- РЗ F4 <- Сх Р4 F5 «- Сх Р5 F6 Сх Р6 -
2,125 х’ /-/ Р7 Сх Р8 В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О С/П В/О С/П С/П РХ =
= L„= 1,633447 F2 С/П F3 С/П F4 С/П F5 С/П F6 С/П - Р8 В/О С/П В/О С/П
В/О С/П В/О С/П В/О С/П РХ= -5334,764 С/П РХ = I, = 0,08667724 1/х Р8 1
F7 4- РХ = -С, = -2,554918 F2 *- Р2 F3 - РЗ F4 f Сх Р4 F5 «- Сх Р5 F6 -
Сх Р6 *- F2 С/П F3 С/П F4 С/П F5 С/П F6 С/П (Р2 = 3,510262 РЗ = 2,996346
С1 = 1,369799).
Остаточную функцию Z'(p) = (3,510262р’ + 2,996346)/1,369799р несложно реализо-
вать, выполнив в обычном режиме деление с результатом Z’(p) = 2,56261р+1/0,4571568р,
откуда £, = 2,56261 и С, = 0,4571568. Реализованный вариант фильтра показан на
рис. 67, б.
При расчетах на микрокалькуляторе с входным языком МК34 можно воспользовать-
ся более удобной программой.
Программа 339/34. Синтез лестничного фильтра до 10-го порядка с полюсами за-
тухания ИПВ ИПА 4. ПП 53 ИПД х=0 19 ПП 59
КИПО КИПО пп 91 L0 11 ИПС БП 35 ПП
38 ПП 59 ПП 38 1/х ПС ПП 81 ПП
59 пп 81 ипд т С/П БП 00 сх t
t —* XY КИПО + ИПД X ИПО х=0 41
4- С/П ПС 1 2 ПО ИПС В/О КИПО
КИПО ИПС X — пв ипд X КИПО х *0 54
КИПО ИПС X — + пп 91 L0 65 БП
54 КИПО КИПО х*0 54 пп 91 XY КПО БП
81 ИПО Инструкция: а 2 „ = РВ, + ЬП-1 ~ ПО Л4, ап - кпо ЬП.З = в/о П>ап. 4=Р7, ••••= Р2,
an-io = ~vi = (ПРИ выделении полюса затухания) или 0 = РД (при реализации
простого звена) В/О С/П РХ = L„ или Со С/П РХ = L, (или С,) С/П РХ = -С,
(или -L,) при реализации полюса затухания или (В/О) С/П РХ = (или С,) С/П
РХ = С2 (или L}) при выделении простого звена (р;. = 0),...
Контрольный пример, после ввода коэффициентов функции (6.20) и очистки неза-
нятых регистров выполняем: —2,125’= РД В/О С/П РХ = Со = 1,3975668 С/П РХ =
= С, = 0,14276847 С/П РХ = -1,5511358 Сх П1 П2 ПЗ П4 П5 П6 П7 ПД В/О С/П
РХ= С2 = 2,690433 С/П РХ= L2 = 2,643947 ИПВ = С3 = 0,4573391.
Напомним, что при проектировании LC-фильтров после синтеза фильтра-прототипа
выполняют преобразование схемы и денормировку ее параметров в соответствии с
формулами, приведенными в табл. 8.
6.4. Практический расчет фильтров
Рассмотрим возможности описанного программного обеспечения на примере расчета
полосового фильтра с АП < 1 дБ, А3 S> 60 дБ, /П| = 96 кГц, fnj = 104 кГц,/31 =
= 92 кГц, /3 = 108,24 кГц. В соответствии с алгоритмом расчета (см. рис. 66) с по-
мощью программы 293/21 или 294/34 находим, что ФП должен обеспечить затухание
60 дБ на нормированных частотах v = 2,065217 и v = 2,000061, из которых выбираем
меньшую, приняв »3 = 2.
Так как требования к временным характеристикам и ФЧХ не оговорены, попытаем-
205
ся синтезировать фильтр Чебышева. С помощью программ 311/21 и 313/21 или програм-
мы 315/34 находим, что требуемую АЧХ обеспечит фильтр Чебышева 7-го порядка с
А(у3У = А (2) = 68,18371 дБ. Это позволит улучшить АЧХ в полосе пропускания
при уменьшении Ап до 0,5 дБ при А3 = 64,91622 дБ и координатах полюсов р, , =
= -0,05700306 ± jl,006408; р3 4 = -0,159719 ± j0,8070769; pit =-2,308007 ±
± j0,4478939; р, = -0,2561693.
Предположим, что необходимо реализовать ДС-фильтр с добротностью контуров
Q < 150. При преобразовании ФП в полосовой фильтр его ветви представляют собой
контуры примерно одинаковой добротности. Влияние потерь учитывается по методу
предыскажений, но при Стах = 150 смещение полюсов ат = folbfQmax= 1ОО'<8 х
X 150) = 0,08333, что свидетельствует о нереализуемости фильтра Чебышева по исход-
ным данным, так как требуется минимальная добротность Qmln — /0/A/(Re р(-) mjn «
«220.
Попытаемся реализовать фильтр Баттерворта. С помощью программ 307/21 и 308/21
или программы 309/34 получим (при Ап = 1 дБ, А3 = 60 дБ и и3 = 2) е = 0,5088468;
п = 11 при р, а - -0,1513294 + jl,052520; р} 4 = 0,441729 ± j0,9672519; р5>4 =
= -0,6963422 + j0,8036217; р7, = -0,8945419 ± j0,5748873; р,.,0 = -1,020271 +
+ j0,2995786; ри = -1,063343. Для реализации такого фильтра достаточна доброт-
ность контуров Q > 100/(8 • 0,1513294) « 82,6, но порядок фильтра относительно
большой, а запас по и А3 практически отсутствует.
При одинаковой неравномерности в полосе пропускания расстояние между мнимой
осью и ближайшим полюсом увеличивается с уменьшением порядка фильтра, а сниже-
ние затухания на частоте i»31 можно скомпенсировать введением полюсов затухания
(нулей передачи). Поэтому попытаемся синтезировать фильтр Кауэра 5-го порядка с
одним полюсом затухания.
Задавшись е = 0,4 (что соответствует Лп « 0,645), и = 5 и подбирая частоту и,
полюса затухания, с помощью программы 331/21 или 335/34 определяем, что требуемая
АЧХ обеспечивается при i>3 = 2,125. Для определения коэффициентов К(р) использу-
ем сначала программу 330/21 или 329/34 с дополнительным фрагментом. Вводя i>3 =
= 2,125 = РХ и трижды выполнив программу, вычисляем коэффициенты дроби Чебы-
шева Ut (у) = 64ps - 82мэ + 21,515625р. Затем с помощью программы 134/21 или
135/34 после умножения коэффициентов дроби на е2 получаем | К(у) |2 = (4,51565 -
- р’)’/(655,36м*0 - 167,36р* + 1516,48г4 - 563,57г4 + 65,03628г2 + 20,790869) или
после перехода к переменной р и нормирования функции по свободному члену К (р) X
X К(-р) = (1 + 0,22145329р2)2/(1 + 3,1894809р2 - 27,638351р4 - 74,370543р‘ -
- 82,358432р‘ - 32,139876р,°).
Обозначим х = 1/р2, составим уравнение Xs - 3,1894809л4 - 27,638351л3 -
- 74,37054л’ - 82,358432л - 32,139876 = 0 и с помощью программы 147/21 или
148/34 получим л, = 7,9860304, откуда рч, = ± ll\fx3 = ±0,35386247. Разделив ис-
ходное уравнение на (л - л,) и разложив частное на квадратичные множители с помо-
щью программы 144/21 или 146/34 отнесем к функции К(р) корни левой полуплос-
кости и составим ее знаменатель (1 + 0,18351866р + 0,98273208р2) (1 + 1,103614р +
+ 2,041364р2) (1 + 2,8259565р). Ближайшая пара полюсов отстоит от мнимой оси на
расстоянии Rep1>a = -0,09337174, откуда QTJ>e6 = 100/(8 • 0,09337174) = 134 и, сле-
довательно, при Q = 150 фильтр реализуем. С помощью программы 130/21 или 131/34
окончательно находим К(р) = (1 + 0,22145329р2)/(5,669191 lps + 6,1297082р4 +
+ 10,577501рэ + 6,8640103р2 + 4,1130891р + 1).
Выполнив смещение полюсов на расстояние ат = -1/12, с помощью программы
303/21 или 304/34 (можно вначале преобразовать множители по программам 305/21 и
306/34, а затем их перемножить) получим функцию, в которой смещены только полюсы
(учет потерь в контурах, формирующие полюсы затухания, выполняют отдельно):
К(р) = (1 + 0,22145329р2)/(5,6691911р* + 3,7675451р4 + 8,927958рэ +
+ 3,1766298р+0,6990609). (6.21)
206
Частотная характеристика квадрата модуля
этой функции (штрих-пунктирная линия на
рис. 68) значительно отличается от требуемой
(сплошная линия на рис. 68) и нереализуема
в пассивной цепи. Сместив полюсы на рас-
стояние ат = 1/12, получим функцию (ее АЧХ
показана на рис. 68 штриховой линией) К(р) =
= (1 + 0,22145329ц2) / (5,6691911р5 +
+ 8,4918709р4 + 13,0144р3 + 9,7965979р2 +
+ 5,4930115р + 1,3968637), соответствующую
фильтру с Q = 150, синтезированному без уче-
та потерь.
Функция (6.21) имеет максимум около
19 дБ на частоте р » 1, тогда как в реактив-
ном фильтре | К (у) |max = 1. Поэтому следу-
ет с максимальной точностью найти максимум
модуля функции (6.21), равный |К(р) lmax =
= 9,730755 при v = 1,00393. Введя постоян-
ный множитель, равный этому значению моду-
ля, в знаменатель, получаем реализуемую
функцию
/С(р) = (1 +0,22145329р2)/(9,730755 (5,6691911р‘ + 3,7676451р4 + 8,9279580р3 +
+ 4,4422321р2 + 3,1766298р + 0,6990609) ).
Для вычисления функции Г(р) с помощью программы 136/21 или 137/34 по знаме-
нателю передаточной функции (6.21) находим
Л(р)Л(-р) = —3043,2339Р10 - 8241,0607р’ - 7788,4019р6 - 3003,5592р4 -
-367,40639р2 +46,272521.
Для числителя функции аналогично находим Л7(р)Л7(-р) = 1 + 0,44290658р3 +
+ 0,04904155р4 ина основании соотношения (6.18) получаем Q(p)Q(-p) = 3043,2339р'° +
+ 8241,0607р8 + 7788,4019р6 + 3003,6082р4 + 367,8493р2 - 45,272521. Подставив х =
= 1/р1 и решив полученное уравнение, запишем многочлен <2 (р) = 55,16535р5 +
+ 35,237651р4 + 86,948109р* + 42,1900747р2 + 30,58722р + 6,728044, все корни которо-
го расположены в левой полуплоскости.
Выделив (1/К(р))ч= (36,661061р4 + 43,226275р2 +6,8023909)/(1 +0,22145329р2);
(1/^(P))H= (55,165511р3 + 86,875772р + 30,911006)/(1 + 0,22145329р2); (Т(р))ч =
= (35,237651р4 + 42,190747р2 +6,728044)/(1 +0,22145329р2); (Т(р))н= (55,16535р5 +
+ 85,948109р3 + 30,58722р) / (1 + 0,22145329р2), найдем в соответствии с (6.16) и
(6.18) функцию (6.19),цве схемных реализации которой показаны на рис. 67.
В общем случае в схему лестничного фильтра входит идеальный трансформатор
(рис. 69, а) и для определения его коэффициентов трансформации необходимо повто-
рить синтез по выходной функции. Сформировав по (6.17) функцию Квых хх и синте-
зировав ее с помощью программы 338/21 или 339/34, получим параметры фильтра с
идеальным трансформатором, приведенные в табл. 13.____
Коэффициент трансформации п = ч/С" /С- = VL’JL" определяют по значениям
L'i и L" или С- и С", полученным соответственно при реализации функций Увххх и
Увых хх- Сравнение значений п в обоих случаях позволяет оценить погрешности синтеза
и выбрать среднее значение. Величину п определяют также из формулы К(0) = л/(1 +
+ л2), где А (О) = 0,5Кн(0). В нашем случае Кн(0) = 1/(9,730755 - 0,6990609) =
= 0,1470071, что соответствует значению и = 13,53087, отличающемуся лишь на 1,2%от
усредненного по данным табл. 13 значения п = 13,37. Учитывая минимальную погреш-
ность параметров первых звеньев, примем л = 13,53; Lin= 1,633; С1Я= 1,533; Ljn =
= 0,089; Сгп = 2,489; L,„ = 2,845; С}П = 0,4115.
207
ТАБЛИЦА 13
Результаты синтеза фильтра по функциям YBX хх и Квых хх
Пара- метр Значение параметра при синтезе по функциям п
у ВХ XX у ВЫХ XX
С, 1,53314 312,6528 14,28
1,633447 0,008414342 13,97
0,08667724 0,0004993538 13,17
с, 2,554918 443,4797 13,17
L, 2,56261 0,01555009 12,84
с. 0,4571568 75,32320 12,84
Пусть сопротивление источника сигнала Rc = 10 кОм. Так как сопротивление нагруз-
ки не задано, примем Ян = п2 Rc = 1,83 МОм. Определив при f0 = 100 кГц коэффици-
енты преобразования Ку = 1О3Лс/2я/о = 15,91549; Кс~ Ю*13/(2тг/0Яс) = 159,1549;
208
= 100/8 = 12,5, с помощью программы 297/21 или 298/34 найдем параметры схемы
фильтра (рис. 69, 6) : С, = 3,049806 нФ; £, = 0,8305541 мГн; £2 = 324,875 мГн; С2 =
= 7,796935 нФ; L, = 32,64733 мГн; С, = 65,47299 пФ (f0, = 108,8591 кГц); L, =
= 38,68815 мГн; С4 = 77,58762 пФ = 91,86178 кГц); С, = 4,475358 пФ; Ls =
= 565,9947 мГн; С6 = 818,6532 пФ; Lt - 3,094142 мГн.
Полученная схема практически нереализуема в связи с большой собственной ем-
костью катушек большой индуктивности, нс учитываемой при расчете. Чтобы обеспе-
чить реализуемость фильтра, преобразуем его в квазиполиномиальный, введя два ин-
вертора емкостного типа (рис. 69, в), при расчете которых следует стремиться к обеспе-
чению наименьшего разброса параметров индуктивных катушек. Обозначив параметры
схемы, показанной на рис. 69, б штрихами, получим для схемы с инверторами (рис. 69,в)
индуктивности. £, = £’ = 830,5541 мкГн; £2 - К\Сг = 7,796935*"J мкГн; L, =
= К*С} = 65,47299/CJ мкГн; L, = K*CS = Lt = K\LJK\ = 3,094142*7/*^ мкГн;
Lt = K\Ct = 77,58762*7 мкГн. Приравняв £max = kL, и£, K£min = полу-
чим 77,58762*^/830,5541 = 830,5541/(4,475358*£) , откуда с учетом используемых
размерностей *\ = 6,676193» 103; С= 1/(2я/0*,) = 10”/(2я • 105 • 6,676193 • 103) =
= 238,3917 пФ.
Выбрав из ряда номинальных значений С' = 240 пФ и уточнив К, = 6,63146, находим
параметры (см. рис. 69, в): L, = 830,55 мкГн; £3 = 342,88 мкГн; £3 = 2879,25 мкГн;
£4 = 3412 мкГн; Ls = 196,8 мкГн; С, = 3049,8 пФ; С2 = 7387,5 пФ; С} = 742,4 пФ;
С4 = 879,75 пФ; С5 = 12870,5 пФ. При определении постоянной преобразования второ-
го инвертора следует учесть возможность согласования с нагрузкой. Например, при
*н = 150 кОм из условия *н = *7*н/*2 находим К, = у/ (1,83 • 1О‘/150 • 103)*", =
= 23,31893. Определив С" = 68,25136 » 68 пФ и уточнив К2 = 23,405, определяем
Lt = 248 мкГни С„ = CtK\/K\ = 10 197 пФ.
Компенсируя отрицательные емкости инверторов уменьшением соответствующих
емкостей фильтра и округляя результат до ближайших номинальных значений, получа-
ем (рис. 69, г): С, = 3049,8 - 240 = 2700 пФ; С, = 7387,5 - 240 « 7200 пФ; С} =
= 750 пФ; С4 = 810 пФ; С5 = 12 870,5 - 68 « 12 000 пФ; С4 = 10 197 -68 «10 000 пФ
(С* = 240 пФ; С" = 68 пФ). Для сохранения резонансных частот контуров примем
£, = 1/(4я2/’(С, + С*)) = 861,6 мкГн; £, = 1/(4я’/7 (С2 + С')) = 340,5 мкГн;
L, = 1/(4я»/» (Cs + С")) = 209,9 мкГн; £6 = 1/(4я2/2 (С6 + С")) = 251,6 мкГн.
По резонансным частотам = 108,8591 кГц и /04 = 91,86178 кГц вычисляем £3 =
= 1/(4я’/7,С3) = 2850 мкГни£4 = 1/(4я2/?4С4) = 3705,8 мкГн.
Следует отметить, что разброс индуктивностей (£max/£mjn = 17,7) у синтезирован-
ного фильтра достаточно велик, хотя и меньше, чем у полиномиального. Поэтому в
том случае, когда фильтр предназначен для серийного изготовления, целесообразно рас-
смотреть и другие возможные реализации, выбрав из них оптимальную.
Приведем еще один метод, позволяющий удовлетворить заданные в рассматрива-
емом примере требования при п = 8. Задавшись v3 — 2; А3 = 30 дБ и Ап = 0,5 дБ, с
помощью программы 311/21 или 315/34, найдем, что такие характеристики обеспечива-
ет фильтр Чебышева 2-го порядка. Определив по программе 313/21 или 315/34 веще-
ственную часть Rep, = -0,1753532 ближайшего к мнимой оси полюса, убеждаемся в
реализуемости такого фильтра при добротности контуров Q > 71,3. Каскадное соеди-
нение двух таких фильтров обеспечит выполнение исходных требований.
При реализации этого варианта следует предусматривать включение развязывающей
ступени (например, усилителя без обратной связи) между частями фильтра, так как
практически невозможно реализовать пассивный фильтр с кратными полюсами. Однако,
представив синтезируемую функцию К (р) двумя множителями 3-го и 5-го порядков,
можно реализовать фильтр без развязки между его частями. Так, если для множителя
5-го порядка принять Ап = 0,26 дБ, а для множителя 3-го порядка Ап = 0,74 дБ, то на
частоте v = 2 такой фильтр имеет А3 = 60,1 дБ при добротности контуров Q > 93,5.
При поиске оптимального разбиения передаточной функции фильтра на множители
209
приходится многократно вычислять вещественную часть полюса, ближайшего к мнимой
оси и затухание на частоте i>3, для чего целесообразно использовать следующую прог-
рамму.
Программа 340/21. Вычисление | Re pj |min и A (i>3) для фильтра Чебышева
t F8 ХУ 1 - Р5 1/х 1 + ПП F7 Р6
я t F2 X 2 4-
1 — ПП F7 X* 1
1л t F7 X С/П БП
t F2 1/х Р2 X ех
ejx F6 X С/П F3 хг
+ t F5 X 1 +
Р0 XY + 1л
t 1/Х — 2 -г В/О
Инструкция: (л = Р2, р3 = РЗ, 10°'' = 1,258925 = Р8, 10/1п10 = 4,342944 = Р7)
А„ = РХ (В/О) С/П РХ = |ReP/ lmin С/П PX = A(v3).
Программа 341/34. Вычисление | Re Р/ lmjn и А (р3) для фильтра Чебышева
t 1 0 4- ВХ ХУ 1 ПЗ — П2
ИП1 пп 38 X* 1 ♦ X 1 + 1g
1 0 X ИП2 1/х yj— пп 38 1Г ИПО
4 2 4- sin X С/П БП 00 t ж*
ипз /-/ ПЗ + yj— + 1л ИПО 1/Х по
4- 6х t 1/х — 2 4- В/О
Инструкция, установить переключатель Р-Г в положение Р; (и = РО, р - Pl) Ап =
= РХ (В/О) С/П РХ = I Rep,- lmin; PY= А (м3) .
Контрольный пример: при л = 5; i>3 = 2; Ап = 0,26получим | Re р,- 1тц,= 0,133703;
А (р3) = 39,077 дБ.
Правильность результатов синтеза и влияние разброса параметров удобно оценивать,
построив АЧХ по вычисленным значениям параметров.
Программа 342/21. Расчет АЧХ лестничных ФНЧ до 6-го порядка по параметрам
элементов
Р2 F8 Р5 0 Р6 F7 + X* РЗ 6 Р4 F5
пп Р8 РЗ F5 X Р5 F6 X Р6 F7 Р7
t F2 X t F6 — Р6 F4 1 — х=0 FXY
F7 Р7 t F5 + ПП Р8 с/п БП РО
X1 t F6 X» ♦ 1/х t F3 X в/о
Инструкция: (£, = С1, С, = С2, = СЗ, С, = С4, L 5 = С5, Ct = С6, Rc - Pl,
RH = Pi для фильтра с продольной начальной ветвью (рис. 70,а) или С, = Cl, L г =
= С2, С, = СЗ, L, = С4, С, = С5,= С6, Gc = Pl, GH = Pi для фильтра с поперечной
начальной ветвью (рис. 70, б) (если порядок фильтра менее 6-ти, в соответствующие ре-
гистры памяти вводят нули); о> = РХ (В/О) С/П РХ= | К(ш) /К(0) |,Р5 = ReZBX (u>)
или Re Увх (ш), Р6 = Im ZBX (со) или Im Увх (ш) . Время счета около 45 с.
Рис. 70
Программа 343/34. Расчет АЧХ лестничных ФНЧ до 8-го порядка по параметрам эле-
ментов
ИП9 ПА ИПО + X» ПС Сх ПВ 8
ПД ИПА х’ ИПВ X* 1/х t ИПС
X ПС -► t ИПА X ПА —> ипв X
210
XY КИПД X XY - ПВ - ИПД 1
х=0 10 ИПС ИПА ИПО + х’ ИПВ х2 +
* 1g 1 О X С/П БП
Инструкция : (Rc = PO.L. = Р1, С, = Р2, L, = РЗ, С, = Р4, L, = Р5. С6 =P6,L,=
= Pl. С, = Р8, Лн = Р9 или Gc = РО, С. = P1,L2= Р2, С, = РЗ, L, = Р4, С, = Р5,
Lt = Р6,С, = P1,L,= P*,GK = Р9) w = РХ (В/О) С/П РХ = (А (си) - А (0)) дБ;
РА = Re ZBX (gj) или Re YBX (o>); PB = ImZBX (си) или Im Увх (w).
Контрольный пример: при L. = 0,51; С, = 2,9; L, = 0,98; Ct = 3,3; Ls = 0,98;
Ct = 2,5; Rc = 0,5; RH =1 (Z, = C, = 0) получим |K(0,3)//C(0) | = 1,02608;
ZBX(0,3) = 0,298299+ jO,014357.
6.5. Расчет активных ЯС-фильтров
Активные RC-фильтры строят в виде каскадного соединения развязанных звеньев,
каждое из которых соответствует множителю (ао1р3 + 0о(р + 1)/(c^jp3 + 0njp + 1) пе-
редаточной функции (3.14). Различные множители 1-го (а0(- = апу = 0) и 2-го поряд-
ков реализуют звеньями шести основных типов: 1) низкочастотное звено 1-го порядка
(НЧ1) с передаточной функцией КН1 (р) = KJ (ар +1); 2) низкочастотное звено 2-го
порядка (НЧ2) с KHi = KJ (ар2 + (Зр + 1); 3) высокочастотное звено 1-го порядка
(ВЧ1) с Кв (р) = pKJ (ар +1); 4) высокочастотное звено 2-го порядка (ВЧ2) с
КВ2 (р) = p2KJ(ap2 + (Зр + 1); 5) полосопропускающее звено (ПЗ) с Кпз(р) =
= pKJ (ар2 + 0р + 1); 6) режекторное звено (РЗ) с К (р) = К„ (р2 + ы2)!(ар2 +
+ 0Р+1).
Звенья развязывают, включая между ними буферные ступени или обеспечивая для
каждого звена выполнение неравенства УВЬ1Х ► Кн, при котором влияние входной про-
водимости следующего звена пренебрежимо мало. Активные компоненты в звеньях
RC-фильтров не предназначены для усиления мощности и лишь обеспечивают необходи-
мый для обратной связи невзаимный канал прямой передачи^ Обычно активными ком-
понентами RC-фильтров служат операционные усилители с глубокой отрицательной об-
ратной связью, характеризующиеся высокой стабильностью коэффициента передачи
напряжения м холостого хода при достаточно малом выходном сопротивлении. При не-
стабильности ц и других параметров фильтра существенно изменяются его частотные ха-
рактеристики, в связи с чем оценка стабильности характеристик по чувствительности
к изменениям параметров имеет важное значение при проектировании RC-фильтров.
Активные RC-фильтры обычно проектируют по заданной передаточной функции в
реальном масштабе частот. Поэтому после определения передаточной функции фильт-
ра-прототипа преобразование и денормировку частоты удобно выполнять с помощью
(3.14) для функции K(s) прототипа, где s - нормированная комплексная частота.
В этом случае преобразование каждого множителя K(s) позволит получить искомую
функцию К(р) также в форме (3.14), удобной для последующего синтеза.
Переход от ФП к фильтру низших или высших частот соответствует элементарным
преобразованиям р = wns и р = wn/s. Поэтому рассмотрим только преобразования,
необходимые для расчета полосовых фильтров. Для такого фильтра связь между часто-
тами в комплексной области описывается выражением s = (р2 + conio>nj)/(p(a>nj -
- “nJ) = (Р3 + (рЬы), которое преобразует множитель (0’s + 1) в множитель
(ар2 + (Зр + IJpK. с коэффициентами а = 1/о>£, 0 = К„ = Дш/ (cuJjS’). Множитель 2-й
степени (a's2 + p's + 1) с комплексно-сопряженными корнями соответствует преоб-
разованному множителю (а4р‘ + о}рэ + а2р2 + а.р + \)!Кар2, где at = l/uj, аэ =
= а’Ды/ш’, аг = (2u)J + (3’Да?)/ш$; а. = аЬы/ы*, К„ = (Дю)’/ш£.
В процессе преобразования частоты многочлены 4-й степени целесообразно раскла-
дывать на квадратичные множители согласно следующей методике. Трехчлен (s’ +
+ a.s + aj преобразуют в отношение (р’ + (3,р + т,) (р’ + 0}р + т,)/(Ди>’р’) с ко-
эффициентами
Is 1,а = <ei 1 >/2(4 — x-e0) +af) Дш/2;
211
Т1>3 = (A +a„ ±a, (А -х+д0)/ч/2(Л -x-a0) +л?) (Дщ)’/4,
где/1 = \/ (x + e0)’ - ojx ; х = 4со’/(Ди)2.
Программа 344/34. Преобразование квадратичного трехчлена
F5 t F2 /-/ Р2 X» X F3 + t X
XY —> — ч/ . t «— — 2 X t F2 x’
+ Р8 t F2 + t F4 /-/ P4 . X С/П
t F3 + t F5 — XY 4— F8 v t
F2 X t —> + t F4 X2 X С/П БП P0
Инструкция: (а, = Р2, а„ - РЗ, Ды/2 = Р4, (2ш0/Дш)’ = PS, w’ = Р6) В/О С/П
РХ = 0. С/П РХ = у, С/П РХ = /32 С/П РХ= у2.
Контрольный пример: для s’ + 4s + 13 при ширине полосы пропускания До> =
= 2 и средней частоте v„ = 10 получим коэффициенты отношения (р2 + 2,830829р +
+ 54,76302) (рг + 5,16917р + 182,6039)/4р2.
Преобразование стандартного трехчлена (a’s2 + 0's + 1) в функцию (а,р’ + 0,р +
+ 1) (а3р* + 02р + О/Х^р’ выполняют по формулам
а1|2 = (В + 1 ± р' (В - а'х + 1))/ 7 2а' (В - а'х - 1) + 0”/(а'хо>’) ;
01,2 — (0' 1 V2а' (В - а'х - 1) + 0*’) 2/ (а'хДа>) ; Ка = (Да>)’/(а’<о£) ,
гдеВ= \/(а’х+ 1)’ -0”х ; х = (2со0/Ди>) 2.
Программа 345/34. Преобразование стандартного трехчлена
ИП2 ИПЗ 4- 2 X x’ П4 ИПО X П5
1 + x’ ИП4 ИП1 x’ X — 1
+ П6 ИП5 — 2 — ИП0 X 2 X
ИП1 X» + П7 ИП6 ИП5 — ИП1 X
ИП7 П8 ИП6 + ИП5 я ИП2 X X’
4 X X П9 4- С/П ИП1 ИП7 + ИП5
n X ИПЗ X ПА 4. с/п ИП6 ИП8 —
ИП9 4- С/П ИП1 ИП7 — ИПА 4 С/П 4
ИП9 + С/П БП
Инструкция : (а' = РО, 0' = Р1,/о = Р2, Д/ = РЗ) В/О С/П РХ = а, С/П РХ =
= 0, С/П РХ=а, С/П РХ=0, С/П РХ=К0-
Контрольный пример, для ?/13 + 4s/l3 + 1 при f„ = 5/я и Д/= 1/я получим коэффи-
циенты преобразованного множителя (0,01826039р’ + 0,0516917Ip + 1) (0,005476303р2 +
+ 0,02830829р + 1)/(5,2 • 10'3р2).
После несложных изменений эти же программы пригодны и для преобразования мно-
жителя режекторного звена.
Представив заданную функцию К(р) множителями звеньев, приступают к синтезу
каждого звена. При расчете звена по нескольким заданным параметрам и заданной
функции звена определяют остальные параметры, проверяя допустимость принятых
упрощений сравнением с экспериментальными данными, и оценивают коэффициенты
чувствительности к изменениям параметров.
Известно много схемных реализаций активных ЯС-фильтров. Поэтому ограничимся
методикой расчета наиболее распространенных звеньев каждого типа на операционных
усилителях.
1. Звено НЧ1 обычно строят по схеме, показанной на рис. 71,а, с использованием
не инвертирующего напряжение операционного усилителя. Его параметры можно рассчи-
тать в обычном режиме по коэффициентам передаточной функции ХН1 (р) согласно со-
отношениям Ко = м, 0 = RC в пренебрежении влиянием входной проводимости увх =
= £вх + ju>CBX = 1/Явх + jwCBX операционного усилителя. При больших значениях 0 для
выполнения условий R < RBX может потребоваться большая емкость С. В этом случае
либо принимают К„ = uRBXl (R + RBX) и 0 = RRBXC/ (R + R вх), либо используют схе-
212
Puc. 71
му, показанную на рис. 71, б, для которой Ко = д, 0 = ЯС(1 + д) при R <RBll или Ко =
= ЯВХ/(Я + Лвх), 0 = ЯЯВХС(1 + д)/(Я + Лвх) с учетом входного сопротивления актив-
ного компонента. Если необходимо учесть выходное сопротивление источника сигнала
для звена, то вместо R принимают R + Явых, выполнив соотношенияЛвых < Я,ЯВХ> R,
С > Свх для уменьшения влияния нестабильности параметров активных компонентов.
При Ко = 1 передаточная функция рассматриваемого звена реализуема простейшей
пассивной цепью (рис. 71, в) с 0 = RC.
2. Звено НЧ2 чаще всего собирают по схеме,
показанной на рис. 72, параметры которой свя-
заны с функцией КН2 (р) звена соотношениями:
К, = дЯ0/(Я0 + Я, + Я2),а = Я0Я1Я2С,С2(1 +
+ ЛВЬ1Х/Л, + Явых/Я2)/д, 0 = Ka(Ci(RI +
+ Я2) - С2Я2(д - 1 - Я,/Я0))/д + С2ЛВЫХ.
Если можно пренебречь Явых, то а = K<)Rl X
X Я2С,С2/д, 0 = К„ (С, (Я, + Я2) - С2Я2 (д -
-1 -Я,/Яо)).
Программа 346/21. Анализ звена НЧ2 активного ЯС-фильтра
/?2 Я]
o-
fy-t- *0
“P7
Puc. 72
F2 t F3 + t *- F4 XY + -г Р8 t
F7 X С/П F2 X t F3 X t F6 X t
F5 XY X С/П - X - F2 t F4 v 1
+ t F7 t F3 X t F6 X t —>
+ t F8 X С/П БП Р0
Инструкция: (R , = Р2, Я, = РЗ, Яо = Р4, С, = Р5, С2 = Р6, д = Р7)
С/П РХ = а С/П РХ = 0.
(B/O) С/П
РХ
Контрольный пример', при R2 = 2 кОм, Я2 = 5,1 кОм, R„ = 10 кОм, С, = 1 нФ,
С2 = 5 нФ, д = 0,95 получим К„ = 0,5555555; а = 29,82456 (10"”/с2); 0 = 7,880116
(10-‘/с).
Программа 347/34. Анализ звена НЧ2 с учетом Явых
ИПО t ИП1 ИП2 + П7 + -г П8 ИП6
X С/П ИПЗ ИШ 1/Х ИП2 1/Х + X 1
+ ИШ X ИП2 X ИП4 X ИП5 X ИП8
X ПА с/п ИП7 ИП4 X ИШ ИПО + 1
+ ИП6 — ИП2 X ИП5 X + ИП8 X
ИП2 ИПЗ X + ПВ С/П БП
Инструкция: R, = РО, Я, = Р1, Я2 = Р2, Явых = РЗ, С, = Р4, С, = Р5, д = Р6 (В/О)
С/П РХ = К„ С/П РХ = а С/П РХ = 0.
С помощью этих и других программ анализа несложно определить чувствительность
результата Р анализа к изменениям исходного параметра w. Для этого согласно форму-
ле (3.29) достаточно повторить выполнение программы при и»' = 1,001 w, вычислив в
обычном режиме чувствительность Sp(w) = (Р* - Р) 1000/Р. Например, повторив вы-
полнение программы 346/21 при Я, = 1,001 *2 = 2,002, получим а = 29,83947, откуда
^(Я,) = 29,85089 - 29,82456)1000/29,82456= 0,882788.
213
Программа 348/34. Анализ звена НЧ2 с вычислением чувствительностей
ПД ПП 42 ПА ИП8 ПВ ИП9 ПС К ИПД 1
0 0 1 X кпд ПП 42 ИПА ПП
33 П7 ИП8 ИПВ ПП 33 П8 ИП9 ИПС ПП
33 П9 С/П — вх -Г 1 0 0 0
X В/О ИПО t ИП1 ИП2 + П8 + а.
П7 ИП6 X П9 ИП1 ИПО 4- 1 + ИП6
— ИП2 X ИП5 X ИП8 ИП4 X + ИП7
X ИПЗ ИП5 X + П8 ИШ 1/х ИП2 1/х
+ ИПЗ X 1 + ИП1 X ИП2 X ИП4
X ИП5 X ИП7 X П7 В/О
Инструкция : (RQ = РО.Я, = P1,R2 = Р2, Явых = РЗ, С, = Р4, С, = Р5, д = Р6), но-
мер регистра, в котором хранится параметр, относительно которого определяют чув-
ствительности, п = РХ В/О С/П РХ = Р9 = S/c (wn) , РА - а, РВ = (3, PC = 7С0, Р7 =
= Sa(H’„),P8=S(}(lv„).
Для решения задачи синтеза звена НЧ2 необходимо по заданным значениям /Со, а
и (3 определить параметры схемы. Так как заданы три величины, то для расчета шести
параметров звена тремя из них следует задаться. Если заданы д, Яо и отношение m =
= R2/Rt, то остальные параметры определяют по формулам. Я, = (А - 1/(1 + щ))Я0;
Ri = mRt', С, = т,/Я,; С2 = т,/Я„, где А = и1(К„ (1 + ш)); т, = RtC, = А (0,50 ±
* V (0/2)’ +а(д - 1 - RJR0)IA) т2 = Я,С, = ад/ (Кот,) .
Программа 349/21. Синтез звена НЧ2
F7 1 + 1/х t <- F6 X Р8 t —
1 + - F4 X С/П t -» F7 X С/П 4—
t F5 XY t F3 X t F8 -Г t
F2 X1 + t F2 + t F8 X t
4- С/П F3 XY -Г t F6 X t —► -Г С/П
Инструкция : ((3/2 = Р2, а = РЗ,Я0 = Р4, д = PS, д/Я, = P6, m = P1) B/O C/П PX
= Rt С/П PX = R2 С/П РХ= С, С/П РХ=С2.
При выполнении неравенства -Ар2 /4а < (д - 1 - Rl/Rl)') < 0 результаты програм-
мы соответствуют одному из решений, и для получения второго достаточно изменить
знак 0, введя -(3/2 = Р2 и повторив выполнение программы - в этом случае С, и С, по-
лучаются с обратным знаком. Вывод отрицательных параметров или переполнение сви-
детельствует о нереализуемости звена (как и в последующих программах синтеза) при
исходных условиях.
Контрольный пример: при (3 = 7,880116; а = 29,82456; Ra = 10; д = 0,95; К„ =
= 0,5555555; m = 2,55 получим Я, = 2; Я, = 5,1; С, = 0,9999986; С2 - 5,000005
и после изменения знака (F2 /-/ Р2) Я! = 2; Я2 = 5,1; С2 = 0,8978883; С2 = 5,56862.
Влияние выходного сопротивления можно оценить по формулам Ьа = Да/а= Явых X
X (Я, + R2)/RlR2-, &{3 = Д(3/(3 = 2?ВЫХС,/(3 или при использовании следующей прог-
раммы.
Программа 350/34. Синтез звена НЧ2 с учетом Явых
ИПЗ ИП4 + ИП5 1 + ПД v П7 ИПД
1/X ИП0 X П8 С/П ИП5 X П9 С/П
ИПЗ ИП6 ИП0 v — ИП8 ИП0 + 1 +
ИП6 ИП9 + 1 + X ИП1 ИП6 ИПД
X ИП9 + 1 + a. ПД X ИП7 4-
ИП2 2 t ПА x’ + пв ИПА +
ИП7 X ПС ИП8 -Г С/П ИПД ипз X ИПС
+ ИП4 + ИП9 -r С/П ипв /-/ БП 57
Инструкция; Яо = РО, а = Р1,0 = Р2. и = РЗ, К„ = Р4, m = Р5, Явых = Р6 В/О С/П
214
PX = Я, С/П РХ = Я2 С/П РХ = С, С/П РХ= С, (первый вариант) С/П РХ = С,
С/П РХ = С, (второй вариант).
Если, кроме д, Яо, а и 0, удобнее задавать С, и С2, то расчет звена сводится к реше-
нию уравнения № (1 - и + mA) - х (fi/rQ - ац/т% + В (д - 2)) + а/т’ + В (В - Р1т9) =
= 0, где m = CJC^, А = 1 - 0/то + а/т%, т0 = Я0С2, В = ЯВЬ1ХС2/т„. После решения
этого уравнения Я2 = xR0C,/Clt Я, = (а(Я0 + Я2) - ЯвыхЯ0Я2С,С2)/((Я0С, С2 X
X + Явых = мЯ0/(Я0 +Я1 + Я2).
Если допустимо пренебречь влиянием Явых, то расчетные соотношения упрощаются
и реализуемы следующими двумя программами.
Программа 351/21. Вычисление Я2 звена НЧ2
F7 t F6 X 4— F5 X 1/x t «- F4 X
t F2 — 2 — P8 t F2 - t
+ —> F5 t F6 -s- t F4 - 1 + t
F3 4- t 4— + t F8 x’ XY - yj t
/-/ —* F8 - t F6 X 1/x С/П - БП Cx
Инструкция : (р/а = Р2, а = РЗ, к = Р4, С, = Р5, Ct = P6,R0 = Pl) В/О С/П РХ =
= Я2 (первый вариант) С/П PX=R2 (второй вариант).
Контрольный пример: при а = 10; 0 = 2; С, = 1,5; С2 = 2; Яо = 50; д = 1,75 полу-
чим Я2 = 2,678571 и R" = -50, следовательно, второй вариант нереализуем; при тех
же исходных данных и д = 1,7 получим Я2 = 3,176007 и Я'2 = 25,12186 (реализуемы
оба варианта), а при д = 1,6 произойдет переполнение, т. е. звено нереализуемо.
Для вычисления и оценки погрешности пренебрежения ЯВЬ[Х после выполнения
программы 351/21 и сохранения содержимого памяти следует ввести следующую прог-
рамму и исходные данные Явых = Р8 и Я2 = РХ.
Программа 352/21. Вычисление Я,, К„, 6а и 60 звена НЧ2
t 1/x F7 + F7 X t F5 X t
F6 X t F3 -Г 1 — t XY С/П
XY + XY —► F7 XY 4- t F4 X С/П
1/x t + t F8 XY X С/П F6 X t
F2 * t F3 4- С/П БП P0
После первого пуска программы (В/О С/П) высвечивается Я,, после следующих
пусков нажатием клавиши С/П последовательно высвечиваются Л"о, 6а и 60.
Контрольный пример: после выполнения программы 351/21 при д = 1,7; Явых =
= 0,05; Я2 = 3,176007 и сохранившимся в памяти исходным данным предыдущего
контрольного примера получим Я, = 1,140134; К„ = 1,564912; 6а = 0,0595976; 80 =
= 0,05; введя второе значение Я" = 25,12186,получаемЯ, =0,1998836; Ко — 1,128492;
6а = 0,2521357; 60 = 0,05.
Программа 353/34. Синтез звена НЧ2 по заданным Ct и С2 *
ИП6 ИП4 ИП2 ИП7 X ИШ П9 ИПО X X П7 ИПЗ ИП7 П8 х» t
ПА + BX ИП9 — 1 + ИШ ИП2 4
X ИП5 — 1 ♦ ПД 4- ПС ИП8 ИП5
2 — X ИП9 + ИПА ИП5 X — ИПД
4 2 4 ПД X» ИПС — ПС ИПД
4 ИП7 X ПА ИП2 4 П9 ИПО 4 ипз
X ИПА ИП7 X ИП6 X — ИП9 ИП6 +
ИП7 X ИП2 X ИПЗ — 4- С/П ИП9 С/П
ИПС /-/ БП 58
Инструкция : (Я» = ро, С. = Р1, С2 = Р2, а = РЗ, 0 = Р4,д = Я5,Явых = Р6) В/О
С/П РХ = R\ С/П РХ= Я2 С/П РХ = R" С/П РХ= R" .
215
Контрольный Пример: При Я„ = 10; Ct = 1; С, = 4; а = 52; (3 = 1; д = 3,8; Явых =
= 1 получим R\ = 8; R'2 = 1,999999; R" = -11,40845; Я',’ = -0,8179959 (реализуем
лишь первый вариант).
Рис. 73
При проектировании фильтров для низких ча-
стот (до сотен герц) часто используют схему с ин-
вертирующим операционным усилителем (рис.
73), отличающуюся меньшей чувствительностью
характеристик к изменениям параметров, но тре-
бующей больших значений д. Параметры схе-
мы связаны с коэффициентами передаточной
функции КП2(р) соотношениями а = C,C2l(g2 X
X + g2 + ug3) + g„ (g, + g2 +?э)); 0 =a(U, + + g3)/C1 + (g2 + gt)/C2); K„ =
= — aug,gi/CiCi. Если задаться значениями проводимостей резисторов звена, то для
вычисления С2 и С2 можно воспользоваться одной из следующих программ.
Программа 354/21. Вычисление С, и С2 звена НЧ2 с инвертирующим активным ком-
понентом
F6 t F5 X t F3 4 t F4 XY X
F3 + t F5 + t F2 X XY —► + t
4— X 4— F8 X 4- F2 t F4 + 1/x t
X —* X t F7 X *— 2 -Г t X1
XY —* — t 4— XY 4 С/П — + c/n
Инструкция: gQ = Р2, g, = P3,g2 = P4,g3 = Р5, д + 1 = Р6, а = Р1,0 = Р8 В/О С/П
РХ = С2 В/О С/П РХ = С". Значения С2 = -apg lg2/ClKl) вычисляют в обычном режиме.
Программа 355/34. Вычисление емкостей звена НЧ2 с инвертирующим напряжение
активным компонентом .
ИП4 1 + ЙПЗ 4 ИП1 1/x + ИП2 4
ИП1 1/x ИП2 1/x ИПЗ 1/x + + П7 ИП0
4. + П8 ИП1 /-/ ИП2 X X ИП4 XY
+ С/П ИП8 ИП0 1/x ИП2 1/x + 4. П9
ИП7 X ИП5 X ПА ИП9 ИП6 X 2 4-
ПВ X* ИПА — yj ПА ИПВ + С/П ИП8
XY + ИП5 X c/n ИПА /-/ БП 55
Инструкция. (Ко = РО, R, = Pl, R2 = P2,R3 = РЗ, д = Р4, а = PS, 0 = Р6) В/О
с/п рх = к„ с/п рх = с; с/п рх = с;’ с/п рх = с'2 с/п рх = с".
Контрольный пример: при g2 = 5; g2 = 1; g2 = 2; g3 = 3; д + 1 = 100; a = 0,1;
0 = 0,2 получим С,' = 14,25768; С' = 4,432696; С" = 3,799454; С” = 16,63396; К„ =
= -0,31329113.
3. Высокочастотное звено ВЧ1 обычно строят на активном нсинвертирующем компо-
ненте (рис. 74, а), а при К„ = 1 на пассивной ЯС-цепочке (рис. 74, б). Для этого звена
0 = RC, К„ = д.
4. Высокочастотное звено ВЧ2 чаще всего реализуют с помощью неинвертирующего
операционного усилителя (рис. 75) по соотношениям
а=Я1Я2С,С2; (? = Я,(С, 4 С2) -Я. С, (д-1); К„ = да.
Рис. 74
Рис. 75
216
При необходимости влияние активных компонентов учитывают изменениями сопротивле-
ний Л, = RBXRJ (Двх - Я,) и Я2 = Я2 - Явых. При значительном сопротивлении Яс
источника сигнала а = Я1Я2С,С2(1 + Rc(l/Ri + (1 - д)Я2)); 0 = Я, (С, + С2) +
+ RlCl (1 - д) + ЯсС2. При заданных коэффициентах функции К (р) и параметрах
и, С, и С2 сопротивления звена рассчитывают по следующим программам.
Программа 356/21. Расчет Я, иЯ, звена ВЧ2
F5 f F4 -+ XY -г ч— F6 1 — Р7 t
—► X t F2 X 4 X t F3 X» +
t /-/ F3 + t F4 t F7 /-/ 4 -
2 т С/П t F2 XY т t F4 -г t F5
-г с/п БП Р4
В/О С/П РХ = R\
Инструкция: а = Р2, 0 = РЗ, С, = Р4, С3 = Р5, и = Р6
= Я2 С/П РХ = Я'' С/П РХ = R" .
С/П РХ =
• Программа 357/34. Расчет Я, и Я, звена ВЧ2
ИП1 ИП2 + ИПО 1 - X 4 X
X ИП2 * ИП4 х’ + П6 ИП4
2 + ИП1 4- 1 ИПО - -5- С/П
XY т ИП1 -г ИП2 4- С/П ИП6 /-/
17
ИПЗ
+
ИПЗ
БП
Инструкция: д = РО, С, = Р1, С2 = Р2, а = Р3,0 = Р4 В/О С/П РХ = Я' С/П РХ =
= я; С/П РХ = R" С/П РХ = R" .
Контрольный пример: при д = 0,8; а = 0,01; 0 = 0,5; С! = 0,03; Сг = 0,07 получим
R\ = 82,36981; R\ = 0,05781128; R" = 0,9635216; R" - 4,942187.
Программа 358/21. Вычисление а и 0 звена ВЧ2
F7 t 1 XY F4 X P8 t 1 + t F3 F2 X t t F2 F3 1/x X + t
F5 X t F6 X С/П F6 t F4 X F5
+ t F3 X t - + F8 t F2 X
t F5 X t «- + c/n БП P0
Инструкция: Rt = P2, Rt = РЗ,ЯС = P4, c, = C5, C2 = P6, д = P7 B/O C/П PX =
= а С/П РХ = 0.
Программа 359/34. Вычисление а и 0 звена ВЧ2
ИП1 1/X 1 ИП0 — ИП2 4- + ИПЗ X
1 + ИП1 X ИП2 X ИП4 X ИП5 X
c/n ИП4 ИП5 + ИП2 X 1 ИП0 — • ИП4
X ИП1 X + ИПЗ ИП5 X + c/n БП
Инструкция: д = Р0, Я, = Р1, Я2 = Р2, Яс = РЗ, С, = Р4, С2 = Р5 В/О С/П РХ =
= а С/П РХ = 0.
Контрольный пример: при С, - 0,03; С2 = 0,07; д = 0,8; R, = 82,36981; Я2 =
= 0,05781128; Яс = 0,1 получим а = 0,01347167; 0 = 0,5069999, а при Я, = 0,9635216
и Я2 = 4,942187 получим а = 0,01107832; 0 =-
= 0,5069998. Сравнение с исходными данными для
синтеза звена свидетельствует о том, что при вы-
боре второго варианта звена влияние Яс оказыва-
ется меньшим.
5. Полосовое звено (ПЗ) со схемой, показанной
на рис. 76, характеризуется соотношениями: а =
= Я0Я1Я2С,С2/(Я, + Я2),0 = Я0(С, +С2Я2(1 +
Рис. 76
217
+ RJR^+RJRj - n))l(Rt + R2),KQ = RQRxC2u0l (Я, + R2). Для расчета по заданным
значениям а, 0, ц, R„, С, и С, используют формулы Я, = nR„ (Я0С, (R^C, + Я0С2 -
- (3)/а - 1), Я, = aRj (.R„RXCIC2 - а), К„10 = Я0Я1С2д/(Я1 + Я2), реализуемые
следующими программами.
Программа 360/21. Синтез ПЗ
F4 t F5 + t F6 X t F3 — t F4
X t F6 X 1 F2 4. 1 + t F6 XY
ч- t F7 X P8 С/П F5 t F6 X t
F4 X t F2 4* t F8 1/X — 1/x С/П t
F8 XY + 4- t F7 X t —> X С/П
Инструкция: а = Р2, 0 = РЗ, С, = Р4, С2 = PS, R„ = Р6, д = Р7 В/О С/П РХ = Я,
С/П РХ = Я2 С/П РХ = К„/0 (коэффициент передачи звена на частоте резонанса).
Программа 361/34. Синтез ПЗ
ИП5 ИПО X ИП1 ИП2 + ИПО X ИП4 -
ИПО X ИП1 ИПЗ * X 1 + -5- П6
С/П ИП6 t ИП1 X ИП2 X ИПО X ИПЗ
4- ИПЗ X С/П ИП6 + 1/х ИП6 X
ИПО X ИП2 X ИП5 X С/П БП
Инструкция: (Яо = Р0, С, = Р1, С2 = Р2, а = РЗ, 0 — Р4, д = Р5) В/О С/П РХ =
= Я, С/П PX=R2 С/П РХ = К„/0.
Контрольный пример: при а = 0,8; 0 = 0,2; С, = 0,5; С2 = 0,25; Яо = 3; д = 1,2
получимЯ, = 0,7432257; Я, = -1,140594 (звено нереализуемо); при выборе д = 5 по-
лучим Я, = 3,096774; Я2 = 6,857143; К„10 = 1,1666666.
Программа 362/21. Анализ ПЗ
F2 X t t F3 F7 +' X P8 4— 1/X F4 X X t t F6 F3 X X t С/П F5 F6
Их t F3 1/x + t F2 X 1 + • t F7
— f F3 X t F5 X t F8 t F4
+ t F6 X С/П t F7 X С/П БП P0
Инструкция а С/П РХ = : (Я, = P2,R2 = 0 С/П PX= Ka. P3,C, = P4, P5,Ro — P6, Д = Я7) B/O C/П PX =
Программа 363/34. Анализ ПЗ
ИПЗ t ИП4 + T ИП0 X ИП2 X П6
ИП1 X ИП4 X С/П ИПЗ ИП0 Т ИПЗ ИП4
4- + 1 + ИП5 — ИП4 t ИПЗ +
4. X ИП2 X ИП1 + ИП0 X С/П ИП6
ИП5 X XY + С/П БП
Инструкция: (R„ = P0, c, = P1,C2 = P2,R , =яз,я2 = P4,.
= а С/П РХ = 0 С/П РХ=Ка.
На низких частотах (до сотен герц) часто используют звено ПФ с инвертирующим
активным компонентом (рис. 77,а), рассчитываемое по формулам а = Я1Я2С1С2 (1 +
+ д); 0 = Я,С, + Я, С2 + Я2С2; К„ = -дЯ2С2 или при заданных значениях а, 0, д, С,
и С2 по формулам Я, = (0С, + (0JCJ - 4аС, (Сх + С2) / (1 + д))'7’) / (2(С, + С2)СХ);
R2= (0 -R, (С, +С2))/С2.
Низкой чувствительностью к изменениям параметров отличаются характеристики
ПЗ, схема которого показана на рис. 11,6 [15]. Для составления программ вычислений
можно использовать формулы анализа а = (1 - д1д2)Я1С,Я2С2; 0 = Я1С1 +Я2С2;
К„ = Д|Д2 и формулы синтеза (при заданных а, 0, цхц2, С, И С2) т х = RXCX = (0 ±
± (01 - 4а/ (1 — Д 2 Д 3)),/а)/2; Т2 = Я2С2 = 0 - т,.
218
Рис. 77
6. Режекторные звенья (РЗ) обычно собирают на основе двойного Т-моста, схема ко-
торого приведена на рис. 78,с передаточной функцией
/С(р) = (1 + рЯ2(С, + С3) + р’С,С3Я2(Я1 + Я3) + р3С1С2С3Я,Я2Я3)/(1+р(Я,С2 +
+ Я2(С, + С.) +С3(Я, + Я3)) + р> (С,С3Я2(Я1 + Я3) + Я,Са(Я3С3 + Я3(С, + С3))) +
+ р3Я1Я2Я3С,СаС3) + >-н((Я1 + Я3) + р(Я1Я3С3 + Я2 (Я, + Я3) (С, + С3) +
+ р’Я1Я2Я3Са(С, + С3)).
Эта функция обращается в нуль на частоте о)0, если одновременно выполняются усло-
вия со0С|С3Я2 (Я। + Я3) 1 и С, + С3 = <л>оС|СаЯ,Я3С,. fl^ fl 1
При синтезе фильтра обычно принимают т = Я 2 С, =
= Я 3 Са и задают значения С, - С3 Тогда Я, =
= У((С,+С3)/С,)~/(щ,С,),Я2 = <С2/(С,+Са)3/<о0;
Я3 = ч/((С, + С3)/С2)/(C3w0) и К(р) = (р2 +
+ ^?)/(р2 (1 + Сн/С, + Сн/С3) + pwj (Я, (С. + С, +
+ С3 + Сн) + Я,СН + Я,Я2Са/Ян) + со2(1 + (Я, +
+ Я,) /Ян)), где 1 /ян + jwCH = Y„.
Погрешности в подборе параметров моста приво-
дят к его разбалансу. Для максимального прибли-
жения к балансу значения чувствительностей модуля передаточной функции на частоте
ш0 к нестабильности параметров рассчитывают по формулам (Я,) = ((С, + С3) Са +
+ С*)''г/М; SK(Rt) = (С, + С,)/М; 5а-(Я3)= ((С, + С,)С, + SK(C3) =
= ((С, + С3? + C2q/(C, + C3))l/2/Af; SK(C3) = ((С, + С3)Са)’/2/Л/;5к(С3) =
= ((С, + С3)’ +СаС’/(С, + С3))1/2/Л7, где М = (С, + С3) ((С, + Са + С3) 3/CJC2)1/2.
Рис. 78
Программа 364/21. Вычисление чувствительностей двойного Т-моста
F2 t Fl F3 Р6 + Р5 t F4 + t X
X t F3 + х/~ t F2 Ф t F5 X Р8
F4 ПП ВП сх ПП 7 F2 ПП ВП F3 t F5
Р6 4- Р7 БП Р4 х2 t F7 X F6 t
F5 X t -* + чЛ t F8 + С/П В/О
Инструкция •t-. = Р2, С2 = РЗ, С, = Р4 В/О С/П РХ С/П PX=SK(C2)
С/П РХ - S/((R,) С/П РХ= SjctCJ, С/П РХ = SK(R3) С/П РХ = SK(C3).
Контрольный пример: при С, = С, = 1; С2 = 10 получим S (Я!) = 5(Я3) = 0,0728613;
$(С3) = 0,07253236; $«?,) = S (С3) = 0,07635781; 5 (Я3) = 0,0767258.
Параметры моста несложно вычислить в обычном режиме, введя в память С, = Р2,
С3 = РЗ, С, = Р4, С, + С, = Р5, си0 = Р8 и выполнив: F5 t F3 + t F8 + (РХ =
= т, = т2) t F2 * (РХ= RJ F4 + . (РХ=Я3) F8 х2 X t F5 X 1/х (РХ=Я2).
При расчете РЗ с двойным Т-мостом обычно известны коэффициенты числителя пе-
редаточной функции К(р) = Ко (7р2 + 1)/ (ар2 + (Зр + 1) и по расчетным формулам
7= 1/wJ; К„ = 1/(1+ (Я, +Я3)/ЯН); а= (1 +СН(1/С, + 1/С3))/(1 + (Я, + Я3)/Ян) X
X си2; 0 = (Я, (С, +С2 +С3) +СН(Я, +Я3) +Я1Я3Са/Ян)/(1 + (Я, +Я3)/ЯН) можно
найти составляющие проводимости нагрузки моста, обеспечивающие заданный К(р) :
gK = 1/Ян = -С3 (С, (а - fi/A) + С2 + С3)/(С, + Сэ) (аА - 0 + 1/Л); С„ = aAgH -
-С,С3(1 -аш’)/(С2 +С,),гдеЛ = ш0((С, +С3)/С2)1/2.
219
Программа 365/21. Расчет нагрузки двойного Т-моста
F2 t t F4 F7 X <- F4 + X уГ t t - F5 X P3 P4 XY F3 1/x
+ t F6 XY - - + f F7 XY X —>
F5 X 1 - P2 - t F8 . + t
-г t F4 + C/П F3 X t F2 + БП F8
Инструкция: С\ = Р8) В/О С/П РХ = P2, C2 = РЗ, C3 = P4, = gH C/П PX= CH. (a = PS, 0 = Я6, w? =P2. , (С2+С3)1С2 =
Контрольный пример: при С, = 5; С2 = 100; С3 = 20; <*>0 = 0,2; а = 4,6875; 0 =
= 18,80208 получим gH =8; Сн = 0,5.
Программа 366/34. Расчет двойного Т-моста
ИП1 ИПЗ + П6 ИП2 + ИПО х уГ П7
ИП0 а. пд ИШ + С/П ИП7 Их ИП6 а.
С/П ИПД ИПЗ * С/П ИП4 ИП5 ИП7 + *•
ИПО X иш X ИП2 + ИПЗ + ИПЗ X
ИП5 ИП4 ИП7 X ИП7 1/х — + ИП6
С/П ИП4 X ИП7 X ИПО ИП4 X 1
— ИШ X ИПЗ X ИП6 а. + С/П
Инструкция: = Р0, С, = Р1, С2 = Р2, С3 = РЗ, а = Р4, 0 = Р5 В/О С/П РХ =
= я, с/п px=r2 с/п px = r3 с/п PX = gH с/п рх = сн.
Коэффициенты а и 0 только при опреде-
Программа 367/21. Синтез РЗ при а > у
F7 1 + Р8 t F3 XY
X С/П F2 t F8 а- 1
С/П F4 t F8 т t F6
F5 а. t F7 X С/П
а. t F7 а- С/П t F7
ленных их значениях могут быть реализова-
ны пассивным звеном. В общем случае
приходится использовать активное звено,
типовая схема которого приведена на рис. 79.
Если а > 7, то принимают 1/Я„ = 0 и синте-
зируют звено по значениям а, 0, у, С,, С2 и
С3 согласно формулам: п = CJC3; m = п X
X («/7 - 1)/(л + 1); С„ = тС3; ц = 1 +
+ (м/л - 0/ урт (1 + л))/2 = Ко; Я3 = л X
X (7/СаС3(1 +и))‘/’; R3 = Я,С,/С1;Я1 =
= R3/n.
Т 2 4- «- F5
Т t F7 X t
t F6 X t F5
+ С/П БП P0
Инструкция: 0/2 у/~у = Р2, а/у - 1 = РЗ, у = Р4, С, = Р5,С, — Р6, п = С, /С3 = Р1
В/О С/П РХ= С„ С/П РХ= и С/П R2 С/П РХ = R3 С/П РХ = R,.
Контрольный пример: для Крз(р) = К3 (1 + 0,2р2)/(1 + 0,1р + 5р2) при С, = 0,2;
С2 = 0,5; С3 = 0,4 получим Со = 3,2; Ко = м = 8,925464; Я, = 4,082482; Яа =
= 0,4082482; Я3 = 2,041241.
Если а .< 7, то принимают Со = 0 и ведут расчет по формулам: л = CJC3; m =
= RjRa = (7/0 - 1)/(л+1); д = 0(м + 1/(1+л))/2>/7 -м/2+1; R2 = n(y/C2C3 X
X (1 +Л)1'2 ; Я3 = C2R2!nC2; Я, = Яэ/л; Яо = RJm; К, = 1/(1+ (1+л)м).
Программа 368/21. Синтез РЗ при а < у
F7 1 + Р8 + X X
+ t F6 + уГ С/П t
t F4 X t F5
F6 X t F5 +
220
t F7 4- С/П t F7 4- С/П - F3 t F8
v 2 4- -» -г 1/х С/П F8 1/х + t F8
X 1/х С/П F2 X t - 1 + С/П
Инструкция: /3/2 = Р2, у/а - I = РЗ, у = Р4, С, = Р5, С2 = Р6, С\/С}=П = Р1
В/О С/П РХ = R3 С/П РХ = R3 С/П РХ = R, С/П РХ = Ro С/П РХ = /Ср С/П
РХ = ц.
Контрольный пример: для К (р) = KQ (1 + 16р’) (1 + 2р + 4р2) при С, = 1; С2 =
= 2; п — 1/3 получим Я, = 0,4714045; R3 = 2,828427; Я, = 8,485281; Яо = 3,771236;
Ко = 0,25; м = 0,625.
При расчетах на микрокалькуляторе с входным языком МК34 целесообразно ис-
пользовать одну следующую программу, в которой алгоритм вычислений выбирается
в зависимости от соотношений аи у.
Программа 369/34. Синтез РЗ
ИПО ИП1 ИПЗ -Г П6 1 4- П8 4- ИП2
+ ИПЗ 4 ИП6 X ПА ИП2 X ИП1
4* ИП6 4- ПВ ИП6 4- П9 ИПО ИП4 —
ИП8 4- х> 0 68 ИП4 4- П7 ИП8 1/х +
ИП5 X ИПО 4- ИП7 — 2 4- 1
+ ПС ИП8 ИП7 X 1 + 1/х пд ИП9
ИП7 4- П8 сх П7 С/П БП 00 t /-/
ИПО 4- ИП6 X П7 ИП6 4- ИП5 ипо
4- ИП8 4- — 2 4- 1 + ПС пд
ипз ИП7 X П7 Сх П8 С/П
Инструкция 7 = Р0, С, = Р1 С, = Р2, С3 = РЗ > о = Р4, 0 = Р5 В/О С/П РХ = 0
= с0. Р8 = / г0, Р9 = Л.- РА = R3.PB = R3. рс=, Ч,РД = к0.
Автоматизацию вычислений коэффициентов Крз(р) при 1/Я0 = 0 и Ко = д по фор-
мулам у = С,С3 (Rt + R3)R3; п = С,/С3 = R3/R2; m = Со/С3; а = 7(1 + (1 + 1/л)т);
0 = х/7(1 + «) (и/п - 2 (д - 1)) обеспечивает следующая программа.
Программа 370/21. Анализ РЗ при 1/Я0 = 0
F3 t F2 + -Г —> F4 t F2 4. t F8
/-/ XY + + 2 + t -r —► F2 1/x
t F3 1/x + t F4 X 1 + F5 t
F7 + t F6 X t F2 X t F3 X С/П
t 4— X X С/П 4— X С/П БП P0
Инструкция: С, = Р2, С3 = РЗ, C„=P4,R2= P5,R2 = P6,R3 =Р1,ц = Р8 В/О С/П
РХ= у С/П РХ= а С/П РХ= 0.
При Со = 0 вычисления по формулам у — С,С3 (Я, + Я3)Я3; п = С, /С3 = R3/Rt;
m = RJR,; а = у/(I + (1 + n)m); 0= >Л(щ + 2(д - l)/(m + 1/(1 +n)); ZC0 = 1/(1 +
+ (1 + n)m) реализованы следующей программой.
Программа 371/21. Анализ РЗ при Со = 0
F5 t F7 + F7 4- 4- t F4 X t
F5 + 4— F8 1 — 2 X t F4 X t
F5 + t 4- t F4 4. I 4-
1/x С/П 4- t F6 X t F2 X t F3 X
С/П t —> X X С/П 4— 4— X С/П
Инструкция: (С, = Р2, С3 = РЗ, Ro = Р4, R, = PS, R2 = P6.R, =Р7,ц = РЪ) В/О
С/П РХ = Ко С/П РХ = у С/П РХ = а С/П РХ = 0.
Контрольный пример: при С2 = 1, С3 = 2,С0 = 3,Я, = 10, Я, = 8,Я3 = 5; д = 1,5
и 1/Я0 = 0 по программе 370/21 получим 7= 240; а = 1320; 0 = 46,47579, а при Со =
= 0; С, = 1; С3 = 3; Яо = 3,771236; Я, = 8,485281; R2 = 0,4714045; Я3 = 2,828427;
д = 0,625 получим/С„ = 0,25; у= 15,99999; а = 3,999999; 0 = 1,999999.
221
Программа 372/34. Анализ РЗ
ПД ИП4 ИП5 X ИП1 ИПЗ + X ИП2 X
П6 С/П ИП1 ИПД х>0 51 + ПА ИП4 ИП5
-г 1 + ПВ X 1 + ПС + с/п
ИП6 хЛ ИПА ИПО 1 - 2 X + X
ИПВ 1/х ИПА + * С/П ИПС 1/х С/П БП
00 t /-/ ИП5 * ПА ИП5 ИП4 Л ПВ
1 + X 1 + ИП6 X С/П ИПА ИПВ
X ИПО 1 - 2 X - ИПВ 1/х 1
+ X ИП6 х/~ X С/П ИПО С/П БП
Инструкция: д = РО, R, = Р1, Я, = Р2, R} - РЗ, С, = Р4, С, = Р5,Я0 или -Со =
= РХ В/О С/П РХ = т С/П РХ = а С/П РХ = (3 С/П РХ =
Для построения частотных характеристик активных и пассивных фильтров следует
использовать общие программы анализа, приведенные в гл. 3.
6.6. Расчет цифровых фильтров
Цифровым фильтром называют вычислительное устройство, реализующее заданный
алгоритм селективной обработки сигналов в реальном масштабе времени. Известно
множество алгоритмов фильтрации во временнбй области при различных системах ба-
зисных функций. Поэтому при проектировании цифровых фильтров возникает необхо-
димость как в определении параметров алгоритма фильтрации (коэффициентов цифро-
вого фильтра), так и в проверке особенностей алгоритма, и в частности, оценке уровней
шума квантования. Для решения этих задач часто достаточно программируемого микро-
калькулятора, обеспечивающего не только выполнение необходимых расчетов, но и мо-
делирование простейших цифровых фильтров. Непосредственное использование микро-
калькулятора допускает лишь ручной ввод информации, но при его сопряжении с анало-
го-цифровым преобразователем возможно выполнение алгоритмов фильтрации и в ре-
альном масштабе времени.
Наибольшее распространение нашли цифровые фильтры, работающие во временнбй
области и моделирующие решение разностного уравнения
М N
y(i)= S акх (i -к) + S Ь^у (i - к) \ i = 0,1, 2,..., (6.22)
к= о к• 1
где у(() - отсчеты искомой реакции, ax(i) — отсчеты воздействия, причем y(i) =
= х (i) = 0 при к > i.
Это уравнение всегда можно привести к форме
L
y(i) — S c/^d -k),i =0,1,2........................... (6.23)
к - о
гаеск= ^<>пЬп
В общем случае верхний предел суммы L в (6.23) может быть бесконечным. Такой
фильтр называют фильтром с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильт-
ром). Фильтр с конечным пределом L называют КИФ-фильтром.
При ограниченных аппаратурных ресурсах БИХ-фильтр реализуем лишь в рекурсив-
ной структуре, где в соответствии с выражением (6.22) искомая реакция определяется
как взвешенная сумма отсчетов предыдущих входной и выходной последовательностей.
КИХ-фильтры обычно реализуют в соответствии с выражением (6.23) в виде нерекур-
сивного или трансверсального фильтра, вычисляющего реакцию суммированием взвешен-
ных отсчетов только входной последовательности.
Расчет цифрового фильтра сводится к определению коэффициентов в (6.22) или
(6.23) по заданным требованиям к фильтру. Если вместо последовательностей у (() и
х (|) рассматривают их а-преобразования, то определению подлежит передаточная функ-
ция фильтра
222
М . N
K(z) = y(z)/x(z) = S flfcz"*/(l+ S
к-о к• о
.Методы расчета зависят от типа фильтра и требований к нему. Метод инвариантного
преобразования импульсной характеристики (метод стандартного z -преобразования)
используют тогда, когда необходимо точное совпадение непрерывной импульсной ха-
рактеристики фильтра с ее дискретизованной последовательностью. Согласно этому
методу преобразование Лапласа G(p) заданной непрерывной функции g (f) представля-
ют, объединив комплексные полюсы в пары, выражением
G(p) =
М
S
к- о
вкР + Ск
Рг +^кР + Ук '
N
S
к = о
Ак ч-
₽ + <Ч
Каждый член этого выражения преобразуют по формулам А/(р + a) -*AT(/l + 6z"‘);
(fip + 0/ (рг + (Зр + у) -> (В + Dz~l )Т/(1 + oz-‘ + tj№) , где Т - период дискретизации,
а коэффициенты 6 = -ехр(-аГ); D = -exp (-(ЗТ/2) (Bcos(\/~7 - (32/4 Т) + ((/ЗД/2 -
- О/ >/ 7 — (За /4 ) sin ( у/у - 0’/4 Г)); о = -2ехр(-(ЗГ/2) cos ( х/у - 0’/4 Г); п =
= ехр(-(37Э- Преобразование членов, соответствующих вещественным полюсам, не-
сложно выполнить в обычном режиме, а для определения квадратичных членов целесо-
образно использовать следующие программы.
Программа 373/21. Стандартное z-преобразование квадратичных членов передаточ-
ной функции
F4 хг 4 + t F5 XY — Р7 t F8
X Р6 F4 t F8 X /-/ е* Р5 F2 X 2
+ „ t F3 — t F7 + Р7 F6 е* F7
X Р7 t F2 X t 4— + t F5
/-/ XY t X С/П F7 X 2 X С/П F5 С/П
Инструкция : (В = Р2, С РЗ, Р = Р4, Т = Р8), 7=Р5, В/О С/П РХ = D С/П РХ
= а С/П РХ = г).
Программа 374/34. Стандартное z-преобразование квадратичных членов передаточ-
ной функции
ИП2 ИП4 X 2 * ех П5 ИПЗ ИП2 х’
4 + - V П6 ИП4 X ' П7 sin ИП2
ИПО X 2 4 ИП1 — X ИП6 4 ИПО
ИП7 cos П7 X + ИП5 /-/ П5 4 С/П
ИП7 ИП5 4 2 X С/П ИП5 х’ 1/х С/П
Инструкция: (В = Р0, С = Р1, 0 = Р2, у = РЗ,Т = Р4) В/О С/П РХ = D С/П РХ =
= а С/П РХ = п-
Контрольный пример: для (6р + 20,6)/(р2 + 0,2р + 4,01) получим коэффициенты
члена (6 + 10,48693г"1)Г/(1 + 0.7530901Z"1 + 0,818730г"2) при времени счета соот-
ветственно 15 и 20 с.
Если преобразованную функцию необходимо привести к отношению многочленов,
то можно воспользоваться программами 130 - 133 вычисления коэффициентов произ-
ведения многочленов, приведенных в гл. 3.
Если техническое задание регламентирует только АЧХ цифрового фильтра, то обыч-
но используют билинейное преобразование. В этом случае расчет фильтра начинают с
определения характеристических частот аналогового фильтра-прототипа Vj по заданным
частотам цифрового фильтра, используя соотношение и/ = tg (ш,- Т/2). Затем по тре-
буемым характеристикам выбирают класс фильтра-прототипа, определяют его порядок
и передаточную функцию (по программам, приведенным в предыдущих главах). Послед-
ний этап расчета заключается в замене переменной р в функции К(р) аналогового
фильтра выражением р = (2/Т) (z - l)/(z + 1) и приведении полученной передаточной
функции К (z) к форме, удобной для синтеза цифрового фильтра.
223
Если передаточная функция К(р) представлена выражением (3.14), то для билиней-
ного преобразования каждого квадратичного множителя пригодна формула (ар2 +
+ /Зр + 1) - (4zJ +Bz +O!(z + 1)2,гдеЛ = (2/7}2 а + (2/7}f3 + 1; В = 2 (1 + (2/7}а);
С = (2/7} 2а - (2/7}/3 + 1, а при а = 0 коэффициенты 4 = 0;
= 1 - (2/7}/3.
Программа 375/21. Билинейное преобразование трехчлена
1
+ (2/7}/3 и С =
В =
F2 4 X t F4 х2 ч- Р8 F3 2 X t
F4 Ч- 1 + Р6 t F8 + Р5 F8 XY —
2 + P7 F8 F5 P5 C/П F6 2 С/П X 2 F7 С/П XY БП х*0 F6 РО — Р6
Инструкция: (a = P2, /3 = РЗ, T = P4) (B/O) С/П PX = P5 C/П PX = Pl = C. Программа 376/34. Билинейное преобразование трехчлена ИПО 4 X ИП2 х1 Ч- П6 ИП1 2 X ИП2 Ч- 1 + П4 ч- ПЗ ИП6 ИП4 - 2 + П5 ИП6 х*0 33 1 XY - 2 X П4 ИПЗ ПЗ С/П ИП4 С/П ИП5 С/П БП = А С/П РХ = Р6 = в
Инструкция: (а = РО, р = Р1, Т= Р2) (В/О) С/П РХ = РЗ = А С/П РХ = Р4 = В
С/П РХ = Р5 = С.
Контрольный пример: при Т = 0,5 программа преобразует трехчлен 4р2 + Зр + 1 в
выражение (77za - 126z + 53)/(z + 1) 2, двучлен Зр+ 1 - в выражение (13z - 11)/(z +
+ D-
При необходимости трехчлены от z умножают с помощью программ 130/21 или
131/34, что позволяет привести функцию к виду K(z) = A (z) (z + (z). Пред-
ставление такой функции отношением многочленов упрощается при использовании сле-
дующих программ.
Программа 377/21. Умножение многочлена A (z) на множитель (z + 1)^ прил + Л< 13
F2 t F3 XY + РЗ F4 XY + Р4 F5 XY
+ Р5 F6 XY + Р6 F7 XY + Р7 F8 XY
+ Р8 «- XY + 4— XY + 4- XY + 4-
XY + 4- XY + 4— XY + 4- XY С/П БП
РО
Инструкция: ап = Р2, а ’ 1 П -1 = РЗ, . . •ап -t=P»’an- , = ci> • • • <ап -п ~ С6 (неза'
нятыс регистры очистить) (В/О) , пустить программу к раз нажатием клавиши С/П,
Р2 = “'п. к< р2 ~ an*k~i ’ • . . , Р8 = ап *к-б- C1 ~ ап*к. 7,... (при п + к = 13 получим
РХ=а\)
Программа 378/34. Умножение многочлена A (z) на множитель (z + 1)^ при и +
+ к < 14
ИПО ИП1 + П1 ВХ ИП2 + П2 ВХ ИПЗ
+ ПЗ ВХ ИП4 + П4 вх ИП5 -+ П5
вх ИП6 + П6 вх ИП7 + П7 ВХ ИП8
+ П8 ВХ ИП9 + П9 вх ИПА + ПА
вх ИПВ + ПВ вх ИПС + ПС ВХ ИПД
+ ПД ВХ С/П БП
= P0, an^t = Pl,an_2 = P2........ви_1з = (незанятые регистры
Инструкция: ап
очистить) (В/О), пустить программу it раз нажатием клавиши С/П, РО = п'п^, Р1 =
= an^k.l-P2 = a'n,k.2...™ = an.k-„ (еслил + Л= 14,тоРХ=<).
Контрольный пример: для (25z2 - 30z + 9) (z + 1)5 после трехкратного выполнения
программы получим коэффициенты многочлена 25z5 + 45z4 - 6z3 - 38z2 - 3z + 9.
224
Если функция невысокого порядка К(р) представлена отношением многочленов, то
для непосредственного билинейного преобразования каждого из них можно воспользо-
ваться следующими программами.
Программа 379/21. Билинейное преобразование многочлена степени п <6
Р2 Сх РЗ 1 + Р7 С/П Р5 7 Р4 F3 1
F2 РЗ XY — t F8 4 Р2 F4 1 —
х = 0 1 РЗ F5 t F2 + Р2 F7 Р6 F6 1
— Р6 F5 X t F4 4 Р5 t F2 +
Р2 F4 1 + Р4 8 — х=0 F/-/ F7 БП 0
Инструкция : очистить регистр 2 и стек памяти, выполнить Т/2 = Р8, ап = РХ В/О
С/П ап_, = РХ С/П . . . а„ = РХ С/П Р2 = а'п, Cl = С2 = а’п_6,... Время сче-
та после каждого ввода (кроме первого) от 80 до 50 с.
Программа 380/34. Билинейное преобразование многочлена степени п < 8
ПО 1 П9 с/п ПА сх КП9 ПС ПВ ИПС
кйпв ПС XY — ИПД КПВ ИП9 ИПВ 1
+ ПВ — х< 0 09 сх ПС ИП9 ПВ ИПА
КИПС + кпс ИПА ИПВ X ИПС 1 + ПС
4- ПА ИПВ 1 — х< 0 28 ИП9 1 +
БП 02
Инструкция: (Т/2 = РД) ап = РХ В/О С/П ап_1 = РХ С/П а„_2 = РХ С/П ...
а0 = РХ С/П РО = а^, Р1 = а'п _ 1, Р2 = а'п _ 2,... Время счета после каждого ввода уве-
личивается от 20 с примерно до 2 мин.
Для проверки программ можно воспользоваться данными контрольного примера к
программам 375/21 и 376/34.
Приведенные программы обеспечивают вычисление преобразованного многочлена
(a'nzn + a'n^lzn-‘ + . . , + а’0)/(1 + z)n. Для преобразования многочленов степени до
п < 12 или л < 14 применим следующий алгоритм: 1) представить преобразуемый мно-
гочлен формулой А (р) =А1(р)р^+Аг(р) так, чтобы степень каждого из многочле-
нов удовлетворяла ограничениям для программы 379/21 или 380/34; 2) выполнить с
помощью этих программ преобразование к многочлену A (z) = (A, (z) (z — 1)* +
+ А2 (z) (z + l)n~k)/(z + 1)”, где к - степень многочлена Л, (z); 3) с помощью 376/21
или 377/34 вычислить коэффициенты произведения At (z) (z + 1)л"^ и, заменив в этих
программах операторы + операторами - , найти коэффициенты произведения At (z) X
X (z - 1)^; 4) сложить коэффициенты при одинаковых степенях z обоих слагаемых.
При расчете цифровых полосовых фильтров вместо отображения р = (z - 1) / (z +
+ 1) используют [13] преобразование
р= (z2 - 2zcosw„r+ l)/(z2 - 1), (6.24)
обеспечивающее непосредственный переход от аналогового фильтра-прототипа к цифро-
вому полосовому фильтру. При таком преобразовании частоты fj цифрового фильтра
связаны с частотами V; аналогового ФП соотношением
Vj = (coswoT-cos UjT) /sin u)(- T. (6.25)
Для преобразования граничных частот / и / цифрового фильтра в одну граничную
частоту рп прототипа значение о>0 выбирают из соотношения coscl>0T = cos (</П2 +
+/ni)r/2)/cos((fnj-/ni)T/2).
Программа 381/21. Преобразование частот при расчете цифрового полосового фильтра
F3 /-/ ПП F5 F7 Р8 F3 ПП F5 F7 t F8
4- Р8 F2 ПП Р6 Р2 F3 ПП Р6 РЗ F4 ПП
Р6 Р4 F5 ПП Р6 Р5 С/П 1 F4 + 2 4-
t F6 ч- t я X 2 X ei* Р7 XY
F8 XY — t 4— В/О
8 Зак. 139»
225
Инструкция: f3l = P2,fni = P3,fn2 = P4,f32 = P5 (1/T= P6) B/O С/П PX = P5 =
= p31, P2 = p31, РЗ = рП1, P4 = РП1, 7*8 = cosu>0 T.
Программа 382/34. Преобразование частот при расчете цифрового полосового фильтра
ИПЗ ИП2 + ИП5 + я X cos ИПЗ ИП2
— ИП5 + л X cos 4- ПО 1 ПД
кипд ИП5 + 2 X я X t cos ИПО
XY — XY sin 4- кпд ИПД 1 + ПД
5 — х = 0 20 С/П БП
Инструкция: /31 = Р1, /п, = Р2, /nj = РЗ. /3J = Р4 (1/Г = Р5) (В/О) С/П Р1 =
= ^31,Р2= кП1.РЗ = рП2,Р4= рза,Р0= cosw0T.
Контрольный пример: для границ полосы пропускания /П1 = 1,8 кГц и / = 2кГц
и границ полосы задержания /3( = 1,5 кГц и /Зз = 2,5 кГц при частоте дискретизации
1/Г = 100 кГц получим рП( = -0,006283; 1>П1 = 0,06282; и3, = -0,02826; к3, =
= 0,03332; coso>0T = 0,9929. Сравнивая модули результатов, выбираем кп = 0,02826 и,
нормируя эту величину по частоте 0,006282 (граничная частота полосы пропускания
ФП после нормирования = 1), получаем v3 = 4,4979.
При задании функции (р) прототипа отношением квадратичных множителей
преобразование (6.24) целесообразно выполнять так, чтобы Кц(г) также получалась в
виде отношения произведений квадратичных множителей. Это облегчит синтез цифро-
вого фильтра, часто реализуемого каскадным соединением звеньев 2-го порядка. Подоб-
ное преобразование можно описать формулой
(р2 + 0Р + т) - (1 + 0 + v) (z2 + A,z +BJ (z2 + A2z + B2)l(z2 - I)2,
где
A,. = -((2 + 0)(со5шоГ± V (Af-P)/2+ V (47-p1)(M + P)/2))/(l+U + 7);
Bi2 = ((cos cj0 Г)2 + 2 (cos o!0 7) \J (M - P) /2 + ЛГ)/ (1 + 0 + 7);
M = ((sin2o>0 T+ 7)2 + (fi sinш0 T)2); P = sin2 w0T + 7 - ^2/2.
Программа 383/21. Преобразование ФНЧ-прототипа в полосовой Цифровой фильтр
F4 t F7 + Р4 X2 t F5 + V 7 F8
X2 + Р5 F4 + 2 4. I F3 х хГ РЗ
F4 — V /-/ Р4 t F8 — t F2 X t
F3 /-/ РЗ + 1 F6 4 С/П F4 /-/ t F8
X t F5 + + t F6 + С/П F4 БП 4
Инструкция : 2 + 0 = Р2, 47 - 02 = Р3.7- 02/2 = = Р4, (Т -02/4)0 2 =/>5, 1+0+ 7 =
= Р6, sin РХ — В2. 2ш0Г = Р7, coso>0 Т = Р8 В/О С/П РХ = А 1 С/П РХ = В. С/П РХ = А2 С/П
Программа 384/34. Преобразование ФНЧ-прототипа в полосовой цифровой фильтр
ИП1 1 ИПД х2 — П2 + ПЗ X2 ИП2
ИПО X2 X П4 ИПЗ ИПО X2 2
-г — П5 - 2 + П6 ИП5 + ИП1
4 X ИПО х2 — X у/~ П7 ИП6
П6 ИПО ИП1 + 1 + П8 ИП6 1-1 П6
ИПД — ИПО 2 + X ИП7 /-/ П7 +
ИП8 ИПД X С/П ИПД ИП8 X2 ИП4 С/П + БП ИП6 47 2 X
Инструкция: (0 = P0, 7 = Pl, cos ш0 Г = РД) B/O С/П PX = A, С/П PX = Bx С/П
PX = A2 C/П PX = B2.
Все более широкое применение находят КИХ-фильтры, основное достоинство кото-
рых заключается в простоте получения линейной фазовой характеристики. Такие фильт-
ры обычно рассчитывают методом взвешивания, согласно которому требуемую частот-
226
ную характеристику (являющуюся для цифрового фильтра периодической функцией
частоты с аргументом е J1^) аппроксимируют взвешиванием отсчетов импульсной ха-
рактеристики
g'(n) = 5- f K?(eV')ejnv dv,
Ш -тг
где v = vT, a K'(e Jp) — требуемая частотная характеристика.
Взвешивание заключается в умножении значений g' (п) на весовую последователь-
ность w(n) конечной длительности, называемую окном, g (п) = g'(n)w(n). Изменение
функции w (л) позволяет управлять сходимостью ряда Фурье
n = ((V-*)/a
К(еП = S g(n)e-inv,
описывающего частотную характеристику КИХ-фильтра, причем здесь и далее число N
предполагается нечетным. При реализации КИХ-фильтра методом взвешивания часто
используют обобщенное окно Хэмминга
а + (1 - сг) cos (2im/N) при | л | < (N - 1 )/2,
0 при I л | > (N- 1)/2,
где 0 < а < 1. В этом случае значения g(n) можно вычислить по значениям g' (п) с по-
мощью следующих программ.
Программа 385/21. Взвешивание
ра с обобщенным окном Хэмминга
Р8
отсчетов
импульсной характеристики КИХ-фильт-
сх р4
х> 0 X
X -
F3
Сх
t
2
Р8
I- 2
Р5
X
t
F4
1
F8
отсчетов
1
F5
X
С/П
импульсной
+ Р4
т COS
С/П Р8
F5
t
БП
РХ = g(0),g'(l) = РХ С/П
характеристики КИХ-фильт-
<~х
14
ИП2
БП
П4
Сх
X
07
ИПЗ 2
П8
ИП4 it
ИП2 +
П5
X
ИП8
ИП4
ИП5
X
ИП5
С/П
cos
П8
W (л) =
РХ = g(0),g'(l) = РХ С/П
С/П
F2
F1
Инструкция: (а = Р2, N = РЗ) g'(0) = РХ В/О
PX = g (1),я'(2) =РХ С/П РХ = g (2) ...
Программа 386/34. Взвешивание
ра с обобщенным окном Хэмминга
П8
х> 0
t
КИП4
Инструкция : (а = Р2, N = РЗ) g'(0) = РХ В/О
РХ = g (1) ,g'(2) = РХ С/П РХ = g (2) ...
При нумерации отсчетов значению л = 0 соответствует центральный отсчет симмет-
ричной импульсной характеристики.
Контрольный пример: при а = 0,54; N= 7 для g'(п) = 1; 0,9; 0,6; 0,2; -0,1; . ..
получим£(л) = 1; 0,7441248; 0,2625842; 0,02511087; 0; ...
Если значения g'(п) вычисляют по известной формуле, то фрагмент ее реализации
целесообразно включить в программу взвешивания отсчетов. Например, при проектиро-
вании ФНЧ с g'(п) = sin (па>0Т)/(пп) на базе программы 384/21 несложно составить
следующую.
Программа 387/21. Расчет КИХ-фильтра низких частот
F7 Р8 сх Р4 F3 2 -Г Р5 F4 1 + P4
F5 — х> 0 РЗ Сх Р8 7Г X t F5 -r cos
t F2 X — t F2 + t F8 X t Я
•ь С/П F4 t F7 X е* F4 + Р8 БП PXY
Инструкция: (а = P2,N= РЗ,ы0Т= РТ) В/О С/П РХ = g (0) С/П РХ = g (1) ...
С/П РХ = g (к).
227
8*
Контрольный пример' при а = 0,57; ^= 257; со0Т = 2тг0,1245 = 0,7822565 получим
g(n) = 0,248999; 0,224342; 0,159069; . ..
Иногда используется метод частотной выборки [5], основанный на реализации рав-
ноотстоящих отсчетов требуемой частотной характеристики К(п) функциями вида
S (со, п) = е *j’rzI/^vsin (coNT/2) /sin (шГ/2 - ял/Л).
Частотная характеристика фильтра, рассчитанная этим методом,
• т e-jo>T(7V-i)/2 К(п)е>1тП^sin (coTN/2)
К(е^Т) = --------tv------------------sin (шТ/2 - ял/TV)- •
Для фильтра с симметричной импульсной характеристикой при нечетном /V, когда часто-
ту отсчитывают в точках соТ = 2-п/Т и справедливы соотношения | К(п) | = K(N- п);
^(и) = -ял (N - 1)/Д'при п = 0, 1, . . . , (N - 1)/2и^(и) = я(1У-л)(№- 1) /7V при
п = (У+ 1)/2,... ,N- 1, частотная характеристика
К(е)шТ) = (sin (w7W72)/tfsin (шГ/2))К(0) +
N-i
+2sinwT 2 |К(л) | (-l)”sin (ял/Л)/(cos (2ял/Л) - cos w7) .
n= 1
Программа 388/21. Расчет АЧХ КИХ-фильтра с симметричной импульсной характе-
ристикой при нечетном N < 13
t 7Т X 2 X P4 F8 X sin XY sin 4-
Р5 F2 Р7 6 t 1 — P3 IT X t F8
4- 2 X cos XY sin P6 F4 cos — t F6
XY -Г t F4 sin X t F2 —* P2 X t
F7 + Р7 t F3 x< 0 X F5 X С/П БП P0
Инструкция: (\K(0)\/N = Р2, -2|К(1)|/Л = Cl, 2|/C(2)|/W= С2..........N= РК)
fT=PX (В/О) С/П РХ = К(e ')2lTfT)...
В связи с симметрией значений К (л) относительно частоты f = 1/(2Т) в память зано-
сят лишь половину отсчетов от нулевого до К( (N — 1)/2).
Программа 389/34. Расчет АЧХ КИХ-фильтра с симметричной импульсной характе-
ристикой при нечетном N < 19
я X 2 X cos ПВ ипд 1 + 2
4* по Cx ПС КИП0 я ипд -Г ИПО х*0
35 X sin BX 2 X cos ипв — 4-
X ИПС + БП 13 ИПС 2 X ипв arccos
ПВ sin X ИПА + ипв 2 -Г пв ИПД
X sin X ИПВ sin 4- ИПД -Г с/п БП
Инструкция: (|К(0)| = РА, -|7C(1) |. = Р\, |7С(2)| = Р2, -|К(3)| = РЗ, . . . ,N=
= РД) fT=PX (В/О) С/П РХ =/С(е^^Ъ -Время счета зависит от и при ^= 13
составляет около 80 с.
При попытках вычислить по этим программам АЧХ на нормированных частотах
/Г = л возможно переполнение, но в таких вычислениях нет необходимости, так как
результат совпадает с известными значениями К (л).
Контрольный пример: npnW = 13; К(0) = К(1) = К (2) = 1; К(3) = 0,5; К(4) =
= К (5) = К (6) = 0 для значений fT = 0,1 и 0,4 получим значения К(0, 1) = 0,8824098
и К(0,4) = -0,03857367.
Если расчет АЧХ подтверждает выполнимость требований технического задания, то
искомую передаточную функцию фильтра определяют по формуле
ЛГ-1 ,кг
K(z) = ((1 -z)'N/N) 2 К(л)/(1-Z-1 eJ2wl/'v).
Л = о
В противном случае, изменяя значения К (п), пытаются оптимизировать АЧХ по требу-
228
емому критерию. Для решения задачи оптимизации обычно привлекают методы линей-
ного программирования, реализация которых на микрокалькуляторах рассмотрена
в [20].
После расчета функции K(z) цифрового фильтра необходима проверка его характе-
ристик. Для вычисления частотной характеристики достаточно в функции K(z) принять
z = = coscoT + jsincor. В этом случае достаточно модифицировать программы
30/21 - 33/34. Примером подобной модификации может служить следующая программа.
Программа 390/21. Вычисление нормированного (а8 = 1) многочлена 8-й степени
аргументам = ехр()шГ)
eJX Р2 Р4 XY РЗ Р5 ПП F, ПП F, ПП F,
ПП F, ПП F, ПП F, ПП F, F4 t F8 +
Р4 С/П БП РО F7 Р7 t F4 + t F2
X Р4 F3 X Р6 F5 t F2 X Р5 F3 X
t F4 XY — Р4 F5 t F6 + Р5 В/О
Инструкция : <ао = Р8, а 1 — Р7, а2 = С6, а3 = С5, at = С4, а> = СЗ, а6 = С2, а
= С1) шТ = РХ (В/О) С/П РХ = Р4 = Re А (о>Т),Р5 = ЬпЛ (и>Т). Время счета око-
ло 40 с.
Контрольный пример: для A (z) = z8 + 7z’ + 6z‘ + 5zs + 4z4 + 3z3 + 2za + z + 10
при ljT= 0,1 получим Re4 (coT) = 34,8959; 1тЛ (ыТ) = 13,95325.
При расчете на микрокалькуляторах с входным языком МК34 достаточно в начале
программы 33/34 включить фрагмент cos ВХ sin и изменить адрес обращения к под-
программе на 45. Вычислив числитель и знаменатель функции K(z) с помощью таких
программ, несложно определить ее АЧХ и ФЧХ на заданной частоте.
При анализе АЧХ КИХ-фильтров для упрощения расчетов целесообразно использо-
вать симметрию или антисимметрию коэффициентов многочленов передаточной функ-
ции. Так, для "симметричного” КИХ-фильтра (без учета задержки) расчет сводится к
суммированию членов косинусоидального ряда с вещественными коэффициентами.
Если коэффициенты КИХ-фильтра непосредственно описывают его импульсную ха-
рактеристику, то для анализа БИХ-фильтра приходится прибегать к обратному преобра-
зованию функции K(z) или в более общем случае к обратному z-преобразованию
отклика фильтра на заданное воздействие. При численном анализе эта операция заклю-
чается в разложении в ряд по убывающим степеням z преобразуемой функции
п . m .
F(z) = S a(zll i bjZl = S
i - » i - о k= о
оригиналом которого является
/(и) = S C^(n -fc).
К= о
Вычисление коэффициентов разложения Q функции F (z) до 6-го порядка обеспечи-
вают следующие программы.
Программа 391/21. Анализ БИХ-фильтров до 6-го порядка во временнбй области
t F2 * t F3 ПП F, F4 ПП F, F5 ПП
F, F6 ПП F, F7 ПП F, F8 ПП F, XY С/П
сх 4— БП РО X XY 4— XY — 1 —> XY
<- В/О
Инструкция: Ъп = П,Ьп„ = РЗ....bn_6 = P8,afl^i = С1,ап_г = С2....а„.6 =
= С6, ап = РХ (В/О) С/П РХ = С„ С/П РХ = С, С/П РХ = Сг ... С/П РХ = Ск . ..
Время счета около 15 с.
Программа 392/34. Анализ БИХ-фильтров до 6-го порядка во временнбй области
Сх ИПО ИП7 -г - t t ИП8 X ИП1
+ ПО - ИП9 X ИП2 + П1 - ИПА
229
X ИПЗ + П2 -* ИПВ X ИП4 + ПЗ
- ИПС X ИП5 + П4 - ИПД X ИП6
+ П5 Сх П6 XY - С/П БП
Инструкция. ап = РО,ал_, = Р1,ал_2 = Р2, ...,ял_в = Р6, bm = Р7, Ь/л_, = Р8,...
..., Ът_" = РД (В/О) С/П РХ = Со С/П РХ = С, ...
Контрольный пример: для функции К(z) = (z3 + 3z2 + 3z + 1)/ (100z3 - 200z2 +
+ lOOz - 50) получим Ck = g (it) = 0,01; 0,05; 0,12; 0,205; 0,315; 0,485; 0,7575; ...
Для моделирования простых цифровых фильтров, обычно выполняемого на ЭВМ,
можно использовать программируемый микрокалькулятор. При моделировании транс-
версальных К ИХ -фильтров необходимо запоминать М предыдущих значений входной
последовательности и хранить в памяти И + 1 весовых коэффициентов импульсной ха-
рактеристики. С учетом буферного регистра на микрокалькуляторе с П регистрами па-
мяти можно моделировать произвольный трансверсальный фильтр порядка М =» (Я —
-2)/2.
Программа 393/21. Моделирование произвольного трансверсального фильтра поряд-
каМ <6
t F8 X -* t F7 ПП Р5 F6 ПП Р5
F5 ПП Р5 F4 ПП Р5 F3 ПП Р5 F2 X 4—
XY -► + С/П БП Р0 X 4— XY + —►
t В/О
Инструкция: (Со = Р2, С, = РЗ, Сг = Р4, С3 = Р5, с4 = Р6, с, = Р7,С, = Р8)
х(п) = РХ (В/О) С/П РХ = у (п).
Программа 394/34. Моделирование произвольного трансверсального фильтра поряд-
ка М < 7
XY - XY ИПД ИП7 X ИПС ПД - ИПВ
ПС - ИПА ПВ - ИП9 ПА - ИП8 П9
- XY П8 ИШ X + ИП2 ИП9 X +
ИПЗ ИПА X + ИП4 ИПВ X + ИП5 ИПС
X + ИП6 ИПД X + XY ИПО X +
С/П БП
Инструкция: (Со = Р0, С, = Р1 С, = Р7) 0 = PY = PZ = РТ, х (0) = РХ В/О
С/П РХ = у(0), х(1) = РХ С/П РХ = у(\) ... (нулевые отсчеты вводить только на-
жатием клавиши GJ).
Контрольный пример: для Со = 0,152; Ct = 0,184; Сг = 0,167; С, = 0,135; С4 =
= 0,103; С, = 0,075; С6 = 0,053 при х(л) = 1; 1; 1; ... получим у (л) = 0,152; 0,336;
0,503; ...
Обычно коэффициенты КИХ-филыров симметричны относительно центрального от-
счета, соответствующего значению i = (Я - 1)/2 при нечетном N и i = N/2 при четном.
Это позволяет примерно вдвое уменьшить число требуемых регистров памяти и соот-
ветственно повысить предельный порядок М моделируемого фильтра. Если коэффици-
енты Cj- являются немногозначными целыми числами, то их можно записать в текст
программы, дополнительно повысив значение М. Например, при выполнении операции
’’скользящего” интегрирования, записываемого в дискретной форме у (iT) = S X
/ = п-М
X x(i - j), все М + 1 коэффициентов нерекурсивного фильтра равны единице. Другим
примером является нерекурсивный фильтр, выделяющий кодовую последовательность
Баркера [2] из ее смеси с помехой. Для последовательности 1; 1; 1; 1; 1; -1; -1; 1;
1; -1; 1; -1; 1 порядка 13 коэффициенты такого согласованного фильтра С„ = С3 =
= С4 = С5 = Се = С, = С,о = С„ = С12 = 1, а С, = Cj = с, = С7 = -1. Программная
реализация такого фильтра на входном языке МК21 приведена в [20], а на входном
языке МК34 отображается следующей программой.
230
Программа 394/21. Моедль согласованного нерекурсивного фильтра
ПД ИПВ + ИПА ПВ + ИП9 ПА + ИП8
П9 + ИП7 П8 + ИП6 П7 - ИП5 П6
ИП4 П5 + ИПЗ П4 + ИП2 ПЗ -
ИП1 П2 + ИПО П1 - ИПД ПО XY С/П
БП
Инструкция ; 0 = Р1 = Р2 = .. . = РВ = PC х(0) = РХ В/О С/П РХ = у (0) ,х (1) =
= РХ С/П РХ = у(1) ...
Контрольный пример; при вводе последовательности Баркера порядка 13 получим
у(п) = 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 1; 0; 13.
При моделировании рекурсивных фильтров, рассчитанных методом билинейного
преобразования по аналоговому прототипу с равным единице числителем передаточной
функции К(р) коэффициенты числителя функции /Сц(г) равны целым членам биноми-
ального разложения, что позволяет ввести их значения непосредственно в текст прог-
раммы. В этом случае на программируемом микрокалькуляторе с /7 регистрами памяти
возможно моделирование цифровых фильтров максимального порядка М « (П — 1)/3
(точное значение М зависит от особенностей работы операционного устройства).
Звено цифрового рекурсивного ФНЧ 2-го порядка с передаточной функцией К^(г) =
= (l + 2z"‘ + z"2)/(b0 + Z>,z"’ +ft,z*2) моделируется следующей программой.
Программа 395/21. Модель цифрового ФНЧ 2-го порядка
t - XY + + XY - + - t F4 X
«- t F3X-»-XY-~t--
t F2 + t - Fl <- - - Fl С/П БП
P0
Инструкция; очистить стек памяти; (Ьо = Р2, Ь1 — РЗ, b2 = Р4) х(0) = РХ (В/О)
С/П РХ = >-(0),х(1) =РХС/П РХ = >'(1) ...х(к) = РХ С/П РХ = у (к).
Контрольный пример, (при 60 = 10; Ъх = -2; 5, = -0,5 и вводе х (и) = 1; 1; 1; . ..
получим у (п) = 0,1; 0,32; 0,469; 0,5098; ...
Для моделирования этой npoi-раммой звена ФВЧ 2-го порядка с передаточной функ-
цией Кц(г) = (1 - 2z*‘ + z*2)/(Z>0 + b,z~' + Z>2z*2) операторы + + с адресами 04 и
05 следует заменить фрагментом - + /—/.
Цифровой резонатор с передаточной функцией Ku(z) = (1 - z~2)/(b2 + btz~' +
+ b2z~2) моделируется следующей программой.
Программа 396/21. Цифровая модель резонатора
t - t, F3XXY-+ t
F4X t -» - + t F2-5- t - -
- XY С/П БП P0
Инструкция; (bt = P2, bjb2 = P3, -b2 = P4) x(0) = PX B/O С/П PX = у (O'),
x (1) = PX С/П PX = у (1) ... x (к) =PX С/П PX = у (к).
Контрольный пример; при й0 = 35; 6, = -55; Ь2 = 33 для х (л) = 10; 0; 0; 0; ...
получиму(л) = 0,2857142; 0,4489795; 0,1504372; -0,1869222; ...
Цифровой ФНЧ 3-го порядка с передаточной функцией Ku(z) = (1 + 3z”‘ + 3z'2 +
+ z*’)/(fe(l + blz~l + b2z~2 + b3z~2) моделируется следующей программой.
Программа 397/21. Цифровая модель ФНЧ 3-го порядка
t —F + t F5 X P7 t F7 -
+ + P7 F4 XY —► XY X XY —► XY -
+ + P8 F3 XY XY X XY —F -> XY
— t F7 + t F8 + t F2 •T t -
Fl С/П БП P0
231
Инструкция: очистить стек памяти; (ft0 = Р2, ft, = РЗ, Ь2 = Р4, b3 = Р5) х (0) = РХ
В/О С/П ЛГ = у(0),х(1) = РХ С/П РХ = у(Х) ...х(к)=РХ С/П РХ = у(к).
Контрольный пример, при Ьо = 100; ft, = -10; b2 = 5; b3 = -2 и воздействии
х(л) = 1; 0,5; 0,2; 0,1; ... получим у (л) = 0,01; 0,036; 0,0501; 0,03541; ...
Эту программу несложно модифицировать для моделирования фильтров 3-го поряд-
ка с простым или кратным нулем в начале координат.
Цифровой рекурсивный ФНЧ 4-го порядка с передаточной функцией Кц(г) = (1 +
+ 4z"‘ + 6г"2 + 4z'3 + z"4)/(b0 + b,z~' + b2z~* + b3z~3 + ft4z"4) = (1 + 2z"‘ + z"2) X
X (1 + 2z"‘ + z"2)/(ft’o + b\z~l + b'2z~3)(b" + b" z“' + ft*’z"2) реализуем либо одним
звеном 4-го порядка (программа 398/21 или 400/34) или каскадным соединением двух
звеньев 2-го порядка (программа 399/21).
Программа 398/21. Цифровая модель ФНЧ 4-го порядка
t -» XY ПП 8 + ПП 8 ПП 8 t F7
XY Р7 F6 ПП 7 «- t F5 ПП 7
F8 t F3 ПП 7 t F8 - P7 XY P8 F4
X t F8 + t F2 4- P8 С/П X t F7
+ P7 B/O + + + + XY —» XY + B/O
Инструкция: (Ьо = P2, -ft, = P3, -ft, = P4, - ft, = P5, -Л = P6) x (0) = PX B/O
С/П РХ = у (0).... х (к) = РХ В/О С/П РХ = у (А). Время счета около 20 с.
Контрольный пример: Ь° = 100; ft, = -40; Ь, = -6; Ь3 = 2; bt = 0,25 длях(л) =
= 1; 1; 1; .. . получиму (л) = 0,01; 0,054; 0,1322; 0,20592; ...
Программа 399/21. Цифровая модель каскада из двух ФНЧ 2-го порядка
ПП 4 F3 X Р8 F4 ПП РВП F2 -Г ПП 4
F6 X Р8 F7 ПП РВП F5 -Г t 4— 4— Fl
С/П БП Р0 t* XY + + XY +
t В/О XY XY X XY —> —► XY — t
F8 — 1 В/О
Инструкция: (ft’o = Р2, Ь\ = РЗ, Ь\ = Р4, ft" = PS, Ь” = Р6, b"2 = Р7) х(0) = РХ
В/О С/П РХ = у (0), х (1) = РХ С/П РХ = у (1) ... х (к) = РХ С/П РХ = у {к}.
Контрольный пример: при й'о = Ь’’ = 10; Ь\ = Ь" = -2; Ь\ = Ь" = -0,5 днях (л) =
= 1; 1; 1; ... получим у (л) =0,01; 0,054; 0,1322; ...
Составление подобных программ упрощается при использовании микрокалькулято-
ра с входным языком МК34.
Программа 400/34. Цифровая модель ФНЧ 4-го порядка
ИП8 ИП7 П8 4 X + ИП6 П7 6 X
+ ИП5 П6 4 X + XY П5 + ИПС
ИП4 X — ИПВ ПС ИПЗ X — ИПА пв
ИП2 X — ИП9 ПА иш X — ИПО 4-
П9 с/п БП
Инструкция: (ft, = Р0, ft, = Р1, Ь2 = Р1,Ь}= РЗ, b, = Р4) х(0) = РХ В/О С/П
РХ = у (0), х (1) = РХ С/П РХ = у (1) ... х (к) = РХ С/П РХ = у (Л). Время счета
около 12 с.
В качестве примера применения программ рассмотрим расчет и моделирование циф-
рового ФНЧ 4-го порядка с полосой пропускания 1 кГц при допустимой неравномер-
ности затухания не более 0,5 дБ и частоте дискретизации 20 кГц. Определив границу
полосы пропускания аналогового прототипа Пп = tg (2тг103/(2 • 2 • 104)) = 0,1583846
по передаточной функции фильтра Чебышева K(s) = 1/(0,94035s2 + 0,32972s + 1) X
X (2,8064s2 + 2,37565s + 1), после денормировки частоты прототипа (подставив р =
= s/0,1583846) находим/С (р) = 1/(111,8734р2 + 14,99977р + 1)(37,48566р2 + 2,082403р +
+ 1). Выполнив с помощью программы 375/21 или 376/34 замену р = (z - l)/(z + 1)
232
и умножив многочлены с помощью программы 377/21 или 378/34 (при использовании
программ, подобных 399/21, в умножении нет необходимости), получим K(z) = (1 -
- z"1)4/(5187,466 - 18326,73г-1 + 24806,7z"2 - 15214,45г-’ + 3862,999г-4). По вы-
численным значениям коэффициентов bj с помощью программы 397/21 или 399/34
для х(п) = 1; 1; . . . ; 1; ... получим переходную характеристику фильтра h (л) =
= 1,927723 «Ю-4; 1,644904 • 10"7,00991 • 10*’; . . . ; h (10) = 0,5855593; . . .
По приведенным или подобным им программам можно исследовать влияние округ-
ления коэффициентов цифрового фильтра (влияние разрядности) на его характеристи-
ки и решить другие практически важные задачи.
Процесс моделирования реакции фильтра на заданную входную последовательность
облегчается при дополнении программной модели цифрового фильтра фрагментом,
автоматически генерирующим требуемое воздействие. Примеры таких фрагментов-ге-
нераторов для наиболее распространенных видов тестовых последовательностей приве-
дены в гл. 2. Вычисление последовательности у (л) для цифрового фильтра, построен-
ного по аналоговому прототипу, обес-
печивает определение временной ха-
рактеристики аналогового прототипа
при дискретизации входного сигнала.
Это можно с успехом использовать
для построения временных характе-
ристик аналоговых линейных и, в
особенности, нелинейных избиратель-
ных цепей, включая автогенераторы.
Примеры подобного цифрового моде-
лирования аналоговых цепей, и в
частности моделирование процесса
установления колебаний в автогене-
раторах, рассмотрены в [20].
Для иллюстрации приведем лишь
модель автогенератора с прерыви-
стой генерацией, эквивалентная схема
которого показана на рис. 80, в, а
нелинейные свойства активного ком-
понента отображены зависимостью
г (u,) = S„u,l V1 + “? • По прово-
димой ниже программе вычисляют
((!<,)/$(, и поэтому значение $0 учи-
тывают при расчете коэффициентов
передаточной функции цифрового ре-
зонатора ba = (1 + со2 + w </)/(о> X
Xd«50),b, = 2(а,’ - 1)/& dflS0),
Ь2 = (* + ~ Wprf)/(wp<7/?50), где
смещения ис на конденсаторе Cq за интервал дискретизации Т учитывается выражением
uc(n) = ис(п - 1) + (ис(л) -ис(л - 1)) (1 -ехр(-Т/т) «ис(л - 1) + (ис(л) - ис(п -
- 1))Г/т, где т = тзар = CqRnp, если и, (л) - ис(л - 1) > Оили т - траз = CqRq при
и, (л) — ис (п — 1) <0, где /<пр - сопротивление открытого диода Д.
С учетом принятых приближений процессы в рассматриваемой цепи моделируются
следующей программой.
Программа 401/34. Цифровая модель автогенератора
ИПЗ XY ИП5 - ПА х<0 08 ИП4 X ИП5
+ П5 ИПА t х2 1 + т ПД
ИП7 - ИП9 ИП2 X - ИП8 П9 ИП1 X
ИПО т П8 ИП6 П7 ИПД П6 ИП8 С/П
БП
233
Инструкция: (Z>0 = РО, b2 = Pl, b2 = P2, Т/т = РЗ, Т/т = P4) uc(0) = PS,
Z(-l) =P6,Z(-2) =P7,u,(-l) =P8,«,(-2) =P9,u, (0) =PX (B/O) С/П PX = 7*8 =
= ua (0) С/П PX = u, (1) ... C/П PX — u2(k). Значение постоянной составляющей
uc (л) хранится в регистре 5.
Контрольный пример, при Q = 5; /р = 10 МГц; R = 1 кОм; S„ = 10 мСм;т =
= 0,1 мкс; т = 2,5 мкс и Г = 10 нс, предварительно вычислив gj = tg (u> Т/2) =
= tgO,ln= 0,32492; b0 = (1 + + u> d) / (u>pdRS0) = 1,8013; b, = 2 (сэ* - 1)/(Ыр X
X dRS,,) = -2,7528; b2 = (1 + w ’ - ccpd)/(w dRS0) = 1,6013, приняв начальные
условия 0 = Р5 = Р6 = />7 = Р8 = Р9ии1(0) = 0,01,получим результаты, показанные
графически на рис. 80, б (где зависимости и2 (I) и ис (t) показаны соответственно кри-
выми 1 и 2), свидетельствующие о возникновении прерывистой генерации. Цепь обрат-
ной передачи реализуется сохранением в регистре X значения и, (к), принимаемого при
следующем выполнении программы в качестве напряжения и, (к + 1).
Подобная приближенная модель (как и модель на входном языке МК21 [20]) поз-
воляет качественно оценить процессы в исследуемой цепи.
Глава 7
РАСЧЕТ УСТРОЙСТВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
7.1. Расчет эквивалентных параметров проводников
Иногда приходится учитывать распределенные параметры проводников, образующих
или соединяющих компоненты цепи передачи сигнала, вычисляя их эквивалентные со-
средоточенные параметры (в частности, индуктивность и емкость), зависящие от мате-
риала и конфигурации проводников и заданных рабочих условий (например, частоты
сигнала).
В большинстве случаев эквивалентные параметры проводников типовых конфигура-
ций целесообразно вычислять в обычном режиме по формулам, приведенным в спра-
вочниках. Применение программируемого режима целесообразно при необходимости
решения уравнений, расчетах по сложным формулам и аппроксимации функциональ-
ных зависимостей.
Например, индуктивность (в микрогенри) круглого прямого провода длиной I и
диаметром d (размеры в миллиметрах) вычисляют по формуле
L = 2- 10-"/(ln(4//d) -0), (7.1)
где в = 1 - 0,25д (для немагнитных материалов в = 0,75) на низких частотах и стре-
мится к единице при повышении частоты, ад- относительная магнитная проницаемость
материала провода. Для коротких проводов длиной I < 10(М коэффициент 0 в этой
формуле дополняют слагаемым d/2l.
Для обеспечения требуемой индуктивности при заданной длине провода в соответ-
ствии с формулой (7.1) необходим диаметр провода d = 4Z/exp (5 • IO3 L/l + 0), а при
заданных значениях L и d требуемая длина провода Z = 5 • 103L/(ln(4Z/<Z) - 0) может
6biij> вычислена методом простых итераций с прекращением вычислений, когда модуль
разности двух очередных значений правой части уравнения становится меньшим наперед
заданного малого числа е. Эти вычисления несложно выполнить в обычном режиме, но
при необходимости многократных вычислений целесообразно использовать программи-
руемый режим.
Программа 402/21. Вычисление L, I и d круглого провода
F6 t х*0 F7 F7 х*0 Р5 4- 4 X In 1
F4 ПП Сх F6 — х’ XY Р6 F5 — х<0 Р0
F6 С/П F6 X Р8 С/П ПП СХ F4 + е* t
F6 XY -Г 4 X Р7 С/П F7 Р6 БП Р0 —
5 ВП 3 t F8 х*0 Р, XY -г t В/О
234
Инструкция. I — Pf>, d = Pl,L = P& (вместо неизвестного значения x вводят 0), в =
= Р4, е2 = Р5 В/О С/П РХ = х.
Программа 403/34. Вычисление L,l и <1 круглого провода
ИП9 х=0 08 ПП 42 X П9 С/П ИП7 х*0
26 5 ВП 3 X ИП5 + ех ИП7
XY 4 X П8 С/П ИП8 П7 ПП 42
ИП9 XY 4 П7 — X2 ИП6 — х< 0 28
ИП7 С/П ИП7 t ИП8 4 4- 4 In ИП5
— 5 ВП 3 + В/О
Инструкция; I - Pl,d= Р8, L = Р9 (вместо неизвестного значения х ввести 0), в =
= PS, е2 = Р6 В/О С/П РХ = х.
Контрольный пример: при I = 1000 мм; d = 0,5 мм; 0 = 0,75 получим L =
= 1,647439 мкГн; при указанных значениях I и L получим d = 0,5 и при указанных
значениях d и L и е = 10"3 получим I = 1000 мм.
Эти программы и формула (7.1) пригодны также для расчета параметров одновитко-
вых петель, периметр которых значительно больше диаметра провода, при 0 = 2,451
для круглого, в = 2,561 для правильного восьмиугольного, 0 = 2,636 для правильно-
го шестиугольного, в =2,712 для правильного пятиугольного, 0 = 2,853 для квадрат-
ного и 0 = 3,197 для равностороннего треугольного витков на низких частотах.
Программируемый режим целесообразен и при расчетах по громоздким формулам.
В качестве примера рассмотрим вычисление взаимной индуктивности (в микрогенри):
М = 2- 10"*(2/11п(4/Й) + (1, +/,)1п(Л/В) +С-П),гдеЛ = /, +/,+£>, В = 1г -12 + С.
D= ((/, + Z,)2 + h2) 1/2, С = ((/, -/,)2 + й2)|/2, для двух параллельных проводов с
длинами 2Zt и 21,, расположенными на расстоянии h (все размеры в миллиметрах) с
центрами на перпендикуляре к проводам (/, > /,).
Программа 404/21. Вычисление вэаимоиндуктивности параллельных проводов
F8 t F7 + P2 X2 4— F7 — P3 X2 t
F6 X2 XY + P5 —> + t F2 +
Р4 F5 XY — P5 F3 + t F4 4 In t
F2 X P2 F4 t F6 4 In t F7 X 2
X t F2 — t F5 + 5 ВП 3 = С/П
Программа 405/34. Вычисление взаимоиндуктивности параллельных проводов
6 no ИП8 ИП7 /-/ П7 + t X2 ИП6
X2 + КП0 4 КП0 L0 02 ИП6 4-
In ИП7 X ИП7 ИП8 + ИП1 ИП4 4 In
X + С/П + БП ИП5 + ИП2 — 5 ВП 3
Инструкция к обеим программам: (Л = Р6,/, = Pl,l2 = Р8) В/О С/П РХ = М.
Контрольный пример: при /, = 100 мм; /, = 500 мм; й = 10 мм получим М =
= 0,200156 мкГн (время счета около 20 с).
При расчете параметров проводников часто используют номограммы, графики и
таблицы для аппроксимации зависимостей параметров от геометрических размеров и
рабочих условий. В этом случае программируемый микрокалькулятор позволяет из-
бежать обращения к справочникам, но если не удается найти простую аппроксимацию,
обеспечивающую требуемую точность расчета во всем интервале изменения аргумента,
то последний целесообразно разбивать на несколько частей, составляя аппроксимиру-
ющие формулы для каждой из них.
В качестве примера аппроксимируем известную формулу для вычисления индуктив-
ности однослойной катушки L = Fn2d, где п - число витков, F = я2 (d/Г)k,l - длина
и d - диаметр катушки (размеры в миллиметрах, индуктивность в микрогенри), а за-
висимость к = к (d/Г) в справочниках задают в виде таблиц или графиков.
235
При малых значениях d/Z = х коэффициент к можно аппроксимировать рядом к -
= 1 + 4х/3я + х’/8 - х4/64 + ... ,но при увеличении аргумента х сходимость этого ряда
быстро ухудшается. Поэтому разобьем интервал х на несколько частей и попытаемся с
помощью табличных данных и микрокалькулятора подобрать простые аппроксимаци-
онные формулы для каждого участка интервала.
Так как при х = 0 коэффициент к = 1, то при малых значениях х целесообразно ис-
пользовать формулу вида к = 1/(1 + ах). С помощью микрокалькулятора после не-
скольких проб находим аппроксимацию к « 1/(1 + 0,45х) .обеспечивающую вычисление
к с погрешностью менее 1 % в интервале 0 < х < 4. Подберем подобным образом выра-
жение к = 1/(1,33 + 0,36х) с погрешностью менее 1 % в интервале 4 <х < 10 и при необ-
ходимости выражения для более широкого интервала значений аргумента, удобные при
составлении программ. В начальной части подобных программ необходимо ввести фраг-
мент, выбирающий нужную аппроксимацию в зависимости от значения аргумента.
Программа 406/21. Вычисление индуктивности однослойной катушки с погреш-
ностью менее 1 % при d/Z <10
я t F4 X 1 0 V х1 t F7 XY X
Р2 F8 т 4 х<0 , Fl 1 0 0 XY
+ 4 5 БП 6 + 1/х t F6 Fl 1 3 3 XY -5- 3 F2 X С/П БП Р0
Программа 407/ 34. Вычисление индуктивности однослойной катушки с погреш- ностью менее 1 % при d/Z <10 ИП7 ИП8 v ПО 4 - х<0 16 4 5 t 1 0 0 БП 22 3 6 t 1 3 3 ИПО * + 1/х я 1 0 ИП4 X х* X ИП7 X С/П БП
Инструкция к обеим программам: (п = Р4, d = Pl, I = PS) (B/O) С/П PX = L.
Контролъный пример: при d = 100 мм; I = 100 мм; п = 100 получим L =
= 680,6623 мкГн; при d = 500 мм; I = 100 мм; п = 100 получимЛ = 7883,07 мкГн.
7.2. Расчет параметров линий передачи
Рассмотрим расчет электрических параметров линий передачи по их геометрическим
размерам при распространении поперечных или квазипоперечных электромагнитных
волн. При отсутствии специальных оговорок в расчетных формулах физические величи-
ны будем выражать в следующих единицах измерения: волновое сопротивление Zo в
омах, фазовую постоянную 0 в радианах на метр, постоянную затухания а в неперах на
метр, частоту в мегагерцах и геометрические размеры в миллиметрах.
Рис. 81
1. Коаксиальная линия передачи
(рис. 81, а) с малыми потерями
(выполненная из меди) имеет прак-
тически вещественное волновое
сопротивление
Zo = 601n(P/d)/>/7, (7.2)
где е - относительная диэлектри-
ческая проницаемость заполнения,
и постоянную распространения с
составляющими
0 = я/>/7/150, (7.3)
а = (1/0 + 1/d) уИЦМ, +
+ G3tg6)/2. (7.4)
236
Распространение в коаксиальной линии только поперечной электромагнитной волны,
для которой справедливы формулы (7.2) - (7.4), обеспечивают выполнением условия
f< 6« lO’/frrCD+d) ч/7). (7.5)
Кроме того, при оценке затухания в линии предполагается выполнение условия о < d,
где о — глубина проникновения тока в проводники линии. Поэтому формула (7.4)
обеспечивает достаточную для практических целей точность вычисления при условии
Автоматизацию вычислений электрических параметров рассматриваемой линии
обеспечивают следующие программы.
Программа 408/21. Вычисление параметров коаксиальной линии
по ее геометри-
ческим размерам
Р6 F3 Р8 t С/П F2 F6 1 In F4 6 0 X X t t я F4 X 1
5 0 4 С/П t F5 X 2 . 4 4— F2 1/Х
t F3 1/х + t F6 X t F8 4 2
4 4 t —► 4 С/П Р6 БП 2
Инструкция : (d = = Р2, D = РЗ, е = Р4, tgb = F5) /, = РХ В/О С/П PX = Z„ С/П
= 0 С/П РХ= а, ,f2 = РХ С/П РХ = 0 cm рх = а ..,
Программа 409/34. Вычисление параметров коаксиальной линии
П4 ИП1 ИПО 4- In 6 0 X ИП2
4- П5 С/П ИП4 ИП2 у/~ X я X 1
5 0 4- С/П ИПЗ X 2 -г ипо 1/Х
ИШ Их 4 ИП4 X 2 4 4- ИП5
4 + С/П П4 БП 13
Инструкция: (d = РО, D = Р1, е = Р2, tg6 = РЗ) /, = РХ В/О С/П РХ = Zo С/П
РХ = 0 С/П РХ = а,Л = РХ С/П РХ = 0 С/П РХ = а . . .
Контрольный пример: при d = 0,72 мм; D = 4,8 мм; е = 2,3; tg6 = 4 • 10"4 на ча-
стоте f = 1 МГц получим Z а = 75,05543 Ом; 0 = 0,03176307 рад/м; а = 8,930427 X
X 10*4 Нп/м; на частоте f = 100 МГц получим 0 = 3,176307 рад/м; а= 9,502163 X
X 10"э Нп/м.
Теоретически погрешность вычисления Zo и 0 для поперечных волн определяется
округлением коэффициентов в формулах (7.2) и (7.3) и составляет около 0,02 %.
Поэтому практически эти формулы можно считать точными, оценивая погрешность
результата только по погрешностям исходных данных. Погрешность определения а
существенно зависит от частоты, состояния поверхности и ряда других факторов. Поэто-
му выражение (7.4) в большей мере пригодно для сравнения затухания в линиях раз-
личных размеров при прочих равных условиях, чем для точного вычисления параметра а-
Иногда приходится рассчитывать размеры коаксиальной линии по заданным зна-
чениям Zo, а, е и f. Для этого можно воспользоваться следующими программами,
обеспечивающими вычисление d = (1 + A) \/ f l(2AZ„ (а — 0tg«)/2)), D = d/A,rneA =
= exp (-Zo VT/60), а значение 0 определено формулой (7.3).
Программа 410/21. Расчет размеров коаксиальной линии
Р6 t Я X t F3 V X t F4
0 0 -г t F5 XY - t F2 X
X Р8 F3 6 0 + f F2 X
Р7 1 + t F6 хЛ х t F8 4
F7 4 С/П БП Р0
Инструкция: (Z„ = Р2, е = РЗ, tgS - Р4, а - PS) f = РХ
X 3
2 4
/-/ ех
С/П . t
(В/О) С/П РХ = d СЩ
РХ= D.
237
Программа 411/34. Расчет размеров коаксиальной линии
П4 ИПО ИШ х/- X 6 0 -5- t /-/
е* П5 1 + ИП4 хГ X 2 4 4-
ИПО + ИПЗ ИП4 ИП1 X я X 3
О 0 v ИП2 X - С/П ИП5 4
С/П БП
Инструкция: (Z л = РО, е = Pl, tg« = Р2, а = РЗ) f = РХ (В/О) С/П РХ = d С/П
РХ= D.
Контрольный пример: при Zo = 150 Ом; е = 2,3; tg6 = 4 • 10"*; а = 10*’ Нп/м;
f = 100 МГц получим d = -5,306665, что свидетельствует о нереализуемости линии в
связи с потерями в диэлектрике; приняв а = 0,01, получим d — 0,3033136 мм, D =
= 13,44286 мм.
2. Двухпроводную линию используют практически только на относительно низких
частотах. Волновое сопротивление такой линии в однородной диэлектрической среде без
учета потерь ___ __________________
Za = 4я2сх/м7^ ln(//d + х/ (W - 1 ), (7.6)
где d — диаметр проводников, I — расстояние между ними, с - скорость света.
Для расчета реальных конструкций двухпроводных линий (рис. 81,6) в формуле
(7.6) значение е заменяют эффективным значением, лежащим в пределах 1 < «эф <
< е. Это значение обычно оценивают эмпирически, что приводит к значительным пог-
решностям. С учетом ц = 1, dH <1 формулу (7.6) упрощают, заменяя ее расчетным
соотношением
Zo =»1201n(2//d)/V^- (7-7)
Для инженерной оценки погонного сопротивления двухпроводной линии, работающей
в диапазоне частот, на которых не выполняется неравенство a <d, можно воспользовать-
ся асимптотически верным приближением
Л’ «2х/др//4я’d1 + 4рг/n’d4,
где р - удельное сопротивление проводников.
В случае медных проводников
Л' « (4d2/+1) ,/2/(24d2). (7.8)
Зависимость волнового сопротивления от потерь возрастает с уменьшением частоты,
и на относительно низких частотах может возникнуть необходимость в учете комплекс-
ного характера волнового сопротивления. В этом случае, пренебрегая потерями в ди-
электрике, можно записать
Z = Zo Vl - j48^7Zof <7 ;
а+ jp = я/х/Г >/-1 +j48^7Z0/x/T /150,
где Zo вычислено по формуле (7.7), a R' - по формуле (7.8).
Расчет по этим формулам автоматизирован следующими программами, где использо-
ван алгоритм извлечения корня из комплексного числа, реализованный программами
26/21 и 27/34.
Программа 412/21. Вычисление волнового сопротивления двухпроводной линии на
низких частотах
Р5 t F2 X2 X 8 X 2 + t F2 X2
X2 4- 1 F5 X2 v t F4 4- Р6 F3 t
F2 4- 2 X In 6 0 X X2 t F4 4-
2 X Р7 t F6 + X t F7 +
- F7 - х/~ /-/ t —► С/П БП Р0
Инструкция: (d = Р2, / = РЗ, е = Р4) f = РХ (В/О) С/П РХ = ReZ(/),PK =
= ImZ(/)-
238
Программа 413/21. Вычисление постоянной распространения двухпроводной линии
на низких частотах
t F4 чЛ X F2 х’ X Р5 4 X 1
+ - F3 t F2 4- 2 X In 3 0 X
t F5 X х’ t - XY 4 4 + 2
+ Р6_ 4 — Р7 -*• 9 5 5 4* t
F7 v х Р7 F6 ч/~ х t F7 С/П БП Р0
Инструкция: (d = Р2.1 = РЗ, е =Р4) / = РХ (В/О) С/П РХ = а , PY = р.
Программа 414/34. Расчет параметров двухпроводной линии на низких частотах
ПЗ ИПО ха X 114 4 X 1 + ИШ
ИПО 4- 2 X In 3 0 X П5 ИП4
X х’ 4 4 + ч/~ 2 + П6 4
— П7 \Г ИП5 2 X ИП2 V 4 П5
X t /-/ ИП5 ИП6 чЛ X С/П ИП6
ипз ИП2 уГ X я X 3 0 0 4
X ВХ ИП7 чЛ X С/П БП
Инструкция: (d = Р0, / = Р1, е = Р2) f = РХ (В/О) С/П РХ = Re Z (/), PY =
= Im Z (/) С/П РХ = a, PY = 0.
Контрольный пример: при d = 2 мм; 1 = 8 мм; е = 4; f= 0,001 МГц получим Z =
= 159,1374 - j98,78296 Ом; а= 3,3162* 10'5 Нп/м; 0 = 5,342337 * 10's рад/м.
3. Полосковые линии обычно используют для передачи электромагнитной энергии
на небольшие расстояния, и при решении большинства практических задач достаточно
оценить волновое сопротивление такой линии. Наиболее распространены симметричная
(рис. 81, в) и несимметричная (рис. 81, г) конструкции полосковых линий. Для сим-
метричной линии с бесконечно тонким центральным проводником (Л -> 0) известна
[4] точная формула.
Zo = 29,976я/С(х)/х/7К(х') ®94,17К(х)/7C(x'), (7.9)
где К - полный эллиптический интеграл 1-го рода аргумента х = sech (яЯ/(2d)) или
х' = V 1 - х’ • Отношение К(х)/К(х') можно вычислить с погрешностью менее 8 X
X 10"6 по формуле
К(х) I ln(2 (1 + ч/х)/(1 ~ х/Т))/я при 1/ч/2 <х <1;
К(х') [я/1п(2(1 + Vx')/(1 - ч/х7)) при 0<х <1/2.
Программа 415/21. Вычисление волнового сопротивления симметричной полосковой
линии с бесконечно тонким центральным проводником
F2 t IT X ex P5 t F8 — P6 x < o ,
F5 1 + t F5 4 2 -r 1 4*
2 — v БП F6 F5 X» 1 — t F5
+ 2 X In 1 я 4 t F6 x > 0 P- Fl
1/х t F3 4- t F7 X С/П БП P0
Инструкция: (И/d = Р2; е = РЗ; 94,17 = Pl; (1 + ч/2 )’ = 5,828426 = Р8) (В/О)
С/П РХ = Zo.
Программа 416/34. Вычисление волнового сопротивления симметричной полосковой
линии с бесконечно тонким центральным проводником
ИП0 ИП1 4- it X ex ПЗ 2 \T 1
4- X1 — П4 x< 0 33 1 ИПЗ 1 +
ИПЗ -Г 2 -Г 4 BX 1 —
4 БП 40 ИПЗ t x’ 1 + +
2 X In я -j- П5 ИП4 x>0 52 ИП5
1/x П5 ИП5 ИП2 4 9 4 1
7 X С/П БП
239
Инструкция: (Н = PO,d = Pl, е = Р2) (В/О) С/П РХ = Zo.
При Н = 5; d = 0,5; е = 2,5 получим Zo = 5,70412 Ом, а при Н = 1; d — 5; е =
= 2,5 получим Zo = 96,7713 Ом.
Заметим, что во избежание чрезмерной операционной погрешности (или даже пере-
полнения) , возникающей при вычислениях для Н/d > 1 за счет погрешности вычита-
ния близких чисел 1 - л/х7 , в программах 414/21 и 416/34 сначала вычисляется значе-
ние z = ея^/ (2t0, которое сравнивается с числом 1 + >/2. Если г < 1 + ^'2, то
Z„ = 94,17 1п2 ((х/ (а2 + 1)/2а + 1)/(х/(а2 + 1)/2л - l))/irx/7,
иначе Zo = 94,17я(х/Л71п(2 (а2 + у/а* - 1)). ПогрешностьZ0 при вычислениях по при-
веденным формулам возрастает при увеличении толщины центрального проводника и
уменьшении отношения H/d. Так, при H/d = 10 и h/d = 0,01 погрешность составляет
около 1,2 % а при h/d = 0,1 возрастает до 13 %. При H/d — 0,2 и h/d = 0,1 погрешность
превышает 100%. Поэтому при h/d > 0,001 лучшее приближение дает [4] формула
Z„ = 94,17/(х/Т (x(H/d) + (lnF(x))/n)),
гдеР(х) = (х + 1)х+1/(х - 1)**‘,ах= 1/(1 - h/d). При H/d > 0,35(1 -h/d) и h/d <
<0,25 погрешность расчета по этой формуле не превышает 1 %.
Вычисления по этой формуле реализованы следующими программами, в которые
включен блок проверки погрешности, т. е. выполнения неравенств, при соблюдении
которых погрешность не превышает 1 %. Если хотя бы одно из приведенных неравенств
не выполняется, то после пуска программы на индикаторе высвечивается 0. При необ-
ходимости вычисления можно продолжить, нажав клавишу С/П, но погрешность резуль-
тата в этом случае может оказаться значительной.
Программа 417/21. Определение волнового сопротивления симметричной полоско-
вой линии
F3 t F4 — Р6 4- Р7 F2 t F6 -Г
F6 0 3 5 X t F2 — х< 0 P5 F7
3 X 4 — х> 0 р/-/ С¥ С/П F7 1 + 2
— Р6 4- ХУ t F6 Х{ X In t я ч-
t —► + t F5 ч- t F8 XY 4- С/П
Инструкция: (Н = Р2, d = РЗ, h = Р4, е = Р5, 94,172 = Р8) В/О С/П РХ = Zo.
Программа 418/34. Определение волнового сопротивления симметричной полоско-
вой линии
ИП1 t ИП2 — П4 ч- П5 ИПО ИП4 ч-
П6 ИП4 0 3 5 X ИПО — Х<1
28 ИП5 3 X 4 — х> 0 30 сх С/П
ИП5 1 + 1 In X ИП5 1 t
In X — It ч- ИП6 + ИПЗ yj X
9 4 • 1 7 2 XY ч- с/п БП
Инструкция: (Н = PQ,d= Pl,h =Р2,е = РЗ) (В/О) С/П PX=Z0.
Для оценки точности результатов вычислений по этим программам сравним их с
приведенными в [4] точными значениями Zo при d - 1,е = 1 в случаях:
1. Н = 8,86585; Л = 0,01. По приведенным программам получим Zo = 10,00031 с
погрешностью 0,0032 %.
2- Н = 5,56278; h — 0,35. После пуска программы на индикаторе высвечивается 0 и,
следовательно, не гарантируется погрешность менее 1 %. При дополнительном пуске
программы получим Zo = 10,00027 с погрешностью 0,003 %.
3. Н = 0,18936; Л = 0,01. После пуска программы высвечивается 0, а после повтор-
ного пуска нажатием клавиши С/П получим Zo = 144,265 с погрешностью 3,8 %.
4. Н = 0,06705; h = 0,35. После пуска программы высвечивается 0, а после дополни-
тельного нажатая клавиши С/П получим Zo = 97,895 с погрешностью около 2,1 %.
240
Если выполняется неравенство I > 2d, то в симметричной полосковой линии волны
высших порядков практически отсутствуют. В этом случае фазовая постоянная опреде-
ляется формулой
0 «я/х/7/150. (7.10)
Для оценки затухания в полосковой симметричной линии с медным полосковым про-
водником практически пригодно приближение
а= k^ff/HZ, + (3tgS/2, (7.11)
где к зависит от геометрических размеров линии; для грубой оценки можно принять
к = 0,2.
Вычисления по этим формулам можно включить в программу 417/34, а при исполь-
зовании микрокалькулятора с входным языком МК21 составить отдельную программу.
Волновое сопротивление несимметричной полосковой линии (рис. 81, г) [4]
’ ;Л\/ттт + ФЧг-тЙт (Ч^ш^приж^,
z0 =
376^7. [Яс + о,441 + 0,082-^-+ (е/( 1,451 + ln(HJ2d + 0,94) ]-1
2^/е 2d е 2пе с
при И > d,
(7.12)
где Нс = Н + h (1 + 1п(2х/Л)) /я,а х = d при Н> d/ (2я) > 2h и х = 2-пН при <7/2я > Н > 2Л.
Эта формула обеспечивает хорошее совпадение с экспериментальными данными [4]
при 2 < е < 10 и 0,Id < Н < 3d. Вычисления по этой формуле автоматизируются по сле-
дующим программам (при использовании микрокалькуляторов первых выпусков в
процессе выполнения первых двух из этих программ возможно переполнение регистров
кольцевого стека памяти при вычислении логарифма).
Программа 419/21. Вычисление Zo несимметричной полосковой линии при И < d
F5 1 - 2 + Р8 4- «- F5 4- t F7
ХУ 2 X In t - X - F6 t F4 4-
In 1 + t F4 X t я 4- t F2 +
t F3 * 8 4- x2 4 X XY In - t
- - t F8 >/“ 4- 4 2 , 4 X С/П
Инструкция: (H = P2,d = P3,h = P4, e = P5, 2x = P6, я/4 = 0,7853981 = P7) B/O
C/П PX = Z„.
Программа 420/21. Вычисление Z„ несимметричной полосковой линии при Н > d
F5 1/х 1 - X 6 , 1 + F6 t
F4 4- In 1 + t F4 X t F2 + t
F3 4. t <- F7 X 4 + In t F5 1/x
X + tff4-t->+t--t
F8 + t F5 хГ X 3 7 7 XY 4- С/П
Инструкция: (Я = P2, d = P3, h/rr = P4,e = PS, 2х/я = P6; 2,134 = P7; 0,882 = PS)
B/O C/П PX=Z„.
Программа 421/34. Вычисление волнового сопротивления несимметричной полоско-
вой линии
ИП0 ir X 2 X П4 ИП1 — x> 0 12
ИП1 П4 ИП4 2 X ИП2 + In 1 4-
ИП2 X я + ИП0 + ИП1 4- П5 1
— 62 ИП9 ИП5 ИПА X 4 + In
я -Г t ИПЗ П8 X + ИПС + ИПС
ИПЗ -Г — ИПЗ 4- ИПВ + ИП5 + 4-
241
БП 94 4 ИП5 8 4- х3 X ВХ In
- я 4 4- In t ИПЗ 4- - 2
In + ИПЗ 1 + П8 2 - ИП8 4-
X - ИПД X ИП8 х/- 4 С/П
Инструкция; (И = РО; d = Pl; h = Р2; е = РЗ; 376,687 = Р9; 2,134 = Р4; 0,882 =
= РВ; 0,164 = PC; 42,4 = РД) В/О С/П РХ = Zo.
Контрольный пример; при Я = 1; 2; й = 0,1; е = 2,4 (так как Н > d/2-л, то х =
= d = 2) по этим программам получим Zo = 116,3575 Ом, а при II = 10; d — 0,5; й =
= 0,1; е =2,4 (х = d = 0,5) получим Zo = 10,64091 (или 10,63207 - по программе
421/34).
Вычисления в программах 419/21 - 421/34 ведутся по формулам (7.12), преобра-
зованным следующим образом.
7^7 t4 Ф ’ - *“<Ф ’ - 1п(2 1 при Н < d’
Zo =
—+С+пН^ + -£^1п(К-^-+4)]-' при Я > d,
\/ е 1 d e ited
где Яс = Я + й (1 + in (2х/й)) /я; х = d при Я > В/ (2я) > 2й или х = 2ттН при d/2it > Н >
> 2h\ А = 376,687/(2 >/2я) * 42,4; В = 376,687 (в программе 274/21 принято В =
= 377); С= 0,882; D = 0,164 (в программе 274/21 принятое = 1/6,1); К= е1’*’1/2.
Составляющие постоянной распространения а и 0 для несимметричной полосковой
линии можно вычислять по (7.10) и (7.11).
7.3. Расчет режима работы линий передачи
К типовым вычислительным задачам, связанным с расчетом режима работы линий
передачи, можно отнести: расчет распределения токов и напряжений вдоль линии переда-
чи, нагруженной на известную нагрузку; расчет модуля и фазы коэффициента отраже-
ния от известной нагрузки; расчет сопротивления нагрузки по известным КСВ и поло-
жению минимума напряжения или тока в линии и расчет входного сопротивления от-
резка линии длиной /, нагруженного на известную нагрузку.
Распределение напряжения вдоль линии, нагруженной на сопротивление ZH — RH +
+ jXH, описывается выражением
u(x)/uH= ((ЯнсЬ(ох) +Zosh(ax) -2fHsh (ах) sin (Дх)) + j(RHsh(ax) +Z„ch (ах) +
+XHch(ax) cos ((Зх)))/(Ян + jXH). (7.13)
Программа 422/34. Расчет распределения амплитуд и фаз напряжения вдоль нагру-
женной линии передачи
П9 ИПЗ X ех ПА t 1/Х 4- П6 ИП1
X ИПА t 1/х — П7 ИПО X 4- ИП9
ИП4 X П9 cos X ИП2 ИП7 X ИП9 sin
X — ПВ ИП1 X ИП1 ИП7 X ИПО ИП6
X 4* ИП9 sin X ИП2 ИП6 X ИП9 cos
X + ПС ИП2 X + ПА ИПС ИП1 X
ИПВ ИП2 X — ПВ X3 XY X3 +
пд 4- arccos П9 ИПС х<0 80 ИП9 /-/ П9
ИП9 ИПД ИП1 X2 ИП2 X3 4- 4- 2 4.
ИП5 X ПД С/П БП
Инструкция; установить переключатель Р-Г в положение Р; (Zo = Р0, RH = Pl,
Хн = Р2, а = РЗ, 0 = Р4, |ин | = Р5) х = РХ (В/О) С/П РХ = |и (х) |,РУ= =
= arg (и (х) /ин). Время счета около 35 с.
При использовании микрокалькулятора с входным языком МК21 приходится огра-
ничиться вычислением только модуля напряжения в линии.
242
Программа 423/21. Расчет распределения модуля напряжения вдоль нагруженной ли-
нии передачи
t F4 X е* Р8 F5 X F3 X 2
X Р7 F2 хг t F3 X2 + Р6 1 — 2
+ —> X t F7 + Р7 F8 t 1/х + Р8
— + t F2 X t F7 + 2 X 4— 1
F8 X t —► + t F6 -г 2 -г С/П
Инструкция: (RH/Z„ = Р2, XHIZ„ = РЗ, а = Р4, 0 = Р5) 2х = РХ В/О С/П РХ =
= | и (х)/ин |.
Контрольный пример: при Zo = 150 Ом; Ян = 75 0м; Хн= -750Ом; а = 0,01 Нп/м;
0 = 15 рад/м и х = 2 м получим |и (2) | = 0,35216|ын|.
При вычислении коэффициента отражения по напряжению
Р = (((Ян-г0)’ +Х’)/((Ян+20)’ +Х’и)*/’)е-*’Р
на микрокалькуляторе с входным языком МК21 фазовый угол можно вычислять в
интервале [-180; 180°] по приближению
arctgx = 90^1 (х22 + 1), (7.14)
обеспечивающему при а = 1,2128 погрешность не более 0,57°, приемлемую для боль-
шинства практических приложений.
Программа 424/21. Вычисление коэффициента отражения по напряжению
F3 X1 1 Р7 F2 х2 + 1 + 2 ч- 1
— Р5 F2 + F2 — t —► ч- С/П
F3 t F5 х*0 F8 х#0 РВП X2 t F4 XY
ХУ 1 + ч- Р7 F5 х< 0 F8 F7 2 XY —
Р7 F3 х<0 F9 F7 /-/ Р7 F7 9 0 X С/П
Инструкция: (RK/Z„ = P2,XH/Z0 = P3,a/2= 0,6064 = Р4) В/О С/П РХ = |р| С/П
РХ= Гу
Контрольный пример: при R^Z,, = Хн№й = 0,1 и д/2 = 0,6064 = Р4 получим | р| =
= 0,819836; / = 168,5667° ± 0,57°.
Значение фазового угла можно вычислить точнее по программе 17/21 или по следу-
ющей программе.
Программа 425/34. Вычисление коэффициента отражения по напряжению
иш х’ ИП2 х1 + ИПО X2 — ИПО ИП2
2 X X X2 XY X2 + пд ч-
arccos ПВ ИП2 х< 0 29 ИПВ /-/ ПВ XY X2
ИШ ИПО + X2 + ИПД XY -г С/П БП
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Г; (Z, = Р0, RH — Pl,
Хн = Р2) (В/О) С/П РХ = | р |, PY = <р°р.
При экспериментальных исследованиях, связанных с одномернораспределенными па-
раметрами, часто возникает задача определения сопротивления комплексной нагрузки
ZH = ян+ й'н линии передачи по известным значениям КСВ (К^у) и расстоянию пер-
вого минимума распределения амплитуды напряжения в линии от нагрузки Zo. Для это-
го обычно по диаграмме Вольперта — Смита графически (и с соответственно большими
погрешностями) находят искомые значения, связанные с исходными данными соот-
ношениями
RH= (1 ~ I pl2) / (1 - 21 р| cos + | p|2 )Z0; X„ = 21 p| sin <₽/ (1 - 2|p|cos^> + I pl2 )Z0,
где | p| = (,Kcry- 1)/(KCTy+ 1) ; <p = 20ZO - я.
Следующие две программы полностью заменяют диаграмму Вольперта - Смита, обеспе-
чивая высокую точность определения Ян и Хн.
243
Программа 426/21. Вычисление сопротивления нагрузки линии
Р4 F3 X 2 X t я — el* F1 —►
F4 1 *- 2 + 4- Р5 2 X t ♦— X
4— X — F5 х2 1 + 2 — Р5 —
t XY Р6 4- t F2 X Р7 F5 t F6
-г t F2 X t F7 XY /-/ С/П БП Р0
Инструкция: (Z„ = Р2, 0 = 2я/Хл = РЗ), /0 = PY. KctU= РХ (В/О) С/П РХ = R*
PY^XK.
Программа 427/34. Вычисление сопротивления нагрузки в линии
П2 1 — t t 2 + 4- ПЗ XY
2 X ИП1 X я — П4 cos X 2
X ИПЗ X1 XY — 1 + П5 ИПЗ XY
4. 2 X ИП4 sin X ИПО X 1 ИПЗ
X1 — ИП5 т ИПО X С/П БП
Инструкция : установить переключатель Р-Г в положение Р;
(Z„ = РО, р = 2я/Хл = Р\) /0 = PY, Кст у= РХ (В/О) С/П РХ = R„. PY = Х„.
Контрольный пример: при Ксгу= 2; /0 = 0,4 м; Zo = 75 Ом; 0 = 0,6283185 (Хл =
= Юм) получим RH = 39,32404; Хн = -14,20836.
Для расчета входного сопротивления линии без потерь с комплексной нагрузкой
ZH = /?н + согласно соотношению
z j(X„ cos 20/ + ZO(1 - (X^R^/Z^^plH
BX 1 -XHsin20//Zo - (1 - (Я2 +X2)/ZJ)sin20/
можно воспользоваться следующими программами.
Программа 428/21. Расчет входного сопротивления линии без потерь
F4 х2 t F5 х2 + t F2 X2 * 1 —
t F3 sin х2 X P7 F2 X 2 •5- P8 F3
2 X ei* P6 F8 X P8 F5 X t F2 4-
1 XY - t F7 + P7 F6 t F5 X t
F8 - t F7 = P5 F4 t F7 -5- P4 С/П
Инструкция: (Z 0 = P2, pl = = ^BX' РЗ) Ян = P4 • = P5 B/O C/П PX = = P4 = PBX, P5 =
Программа 429/34. Расчет входного сопротивления линии без потерь
t ИПЗ X П4 sin X2 ИП1 X2 ИП2 X2
+ ИП0 X2 4- 1 — П5 X ИП4 2
X П4 sin ИП2 X ИП0 4. — 1 +
П6 ИП2 ИП4 cos X ИП0 ИП5 X ИП4 sin
X 2 4- — ИП6 4. П8 X2 ИП1 ИП6
П7 X2 + yj ПА ИП8 t ИП7 4-
arctg ПВ —► ИП7 С/П БП
Инструкция. (Zo = РО, R = Pl, Хн = Р2, р = РЗ), I = РХ (В/О) С/П РХ = Р1 =
= Явх, PY = Р2 = Хвх, РА = [Zвх|, PR = ^вх в градусах или радианах в зависимости от
положения переключателя Р-Г.
Контрольный пример: при Zo = 75; RH = 100; Хн = -50; 0=3;/ =0,5 получим
Явх = 43,28655; Хвх = 18,62691.
Для расчета входного сопротивления линии с потерями
(1 - |р|2е~<а^) - 2j|p|e~2t2/ sin (20/ - ¥>р) £
(1 + |р|1 е-“/) - 2|p|e-,<rfcos(»/ -
244
г
по известному модулю |р| и аргументу коэффициента отражения можно воспользо-
ваться следующими программами.
Программа 430/21. Вычисление входного сопротивления линии с потерями
F2 t F5 - P7 F3 X /-/ e* t F4 X
P6 2 X t F7 sin X /-/ P8 F7 cos X
P7 F6 Xs 1 + P6 2 — /-/ F6 t
F7 P6 - t F6 4 P7 F8 t F6 4
P8 x’ t F7 x2 + P6 С/П БП P0
Инструкция: 2.(31 = P2, a/0 = Pl, lpl = P4, , (рад) = P5 (B/O) C/П PX = Pf> =
= lZBX |/Z0,P7 = RBX/Z0, P8 = ^bx/2 O’ r
Контрольный пример, при а = 0,01; 0 = 1; / = тг/10; |р| = 0,3037835; <р„ =
= 2,0299896 получим |ZQX/Z0 | = 1,097909; «BX/Z0 = 0,918506; ZBX/Z0 = 0,6014585.
Более удобно вычислять ZBX, | р| и непосредственно по заданным значениям R
иХн-
Программа 431/34. Вычисление входного сопротивления и коэффициента отражения
линии с потерями
ИП1 X1 ИП0 x2 — ИП2 X2 + BX ИП1
ИП0 + X2 + ПА 4 ИП0 ИП2 2 X
X ИПА 4- ПВ x2 XY X2 + П7
4 arccos П8 ИПВ x<0 39 ИП8 /-/ П8 ИП7
ИПЗ ИП6 2 X ПА X e* 4- ПВ X2
1 4 ИП8 ИПА ИП4 X — ПД cos ИПВ
X 2 X — ИП0 4 П9 1 ИПВ X2
— ИП9 4 ПС Xs ИПД sin ИПВ X 2
X ИП9 4 ПД x’ 4 y/~ С/П П6 БП
39
Инструкция : установить переключатель Р-Г в положение Р; Zo = Р0, RH = Pl, X ' =
= Р2, а = Р3,0 = P4,l = Р6 (В/О) С/П />Х= |ZBX|,PC=«BX,P4= ЛГВХ,Р7= |р|.
Р8 = в радианах. При повторных вычислениях с изменением исходных данных (кро-
ме / = РХ) для пуска программы нажимать клавиши В/О С/П.
Если вычисления ведут по заданным значениям проводимости нагрузки Ун = GH +
+ j£?H, то по программам 428/21, 429/34 и 431/34 будет вычислена входная проводи-
мость, а по программам 423/34, 424/21 и 425/34 - коэффициент отражения по току, от-
личающийся знаком, соответствующим изменению аргумента на 180°.
7.4. Расчет элементов устройств с распределенными параметрами
Проектирование устройств с распределенными параметрами часто связано с расчетом
согласующих элементов: реактивностей, реализуемых отрезками линий передачи (шлей-
фами) , четвертьволновыми трансформаторами и т. п. При согласовании заданной наг-
рузки с проводимостью Ун = GH + j/?H и линии передачи с помощью реактивного эле-
мента прежде всего определяют расстояние до согласующего элемента х0 из условия
Re Увх (х0 ) = Уо, откуда следует
tg3x = B^i^Y^-Y,)'^)
GH + BH~GHYb
после чего определяют проводимость реактивного согласования элемента, необходимую
для согласования
ДНУ„ (1 - tg20xo) + tg0xo (У% ~ Gh ~ Вн>
GH(1 + tg20xo)
5x=“Im М.И
245
Программа 432/21. Расчет согласования с помощью шлейфа
F2 X2 t F3 X2 + 1 — P4 F2 — P5
t F2 — 1 + t F2 X /-/ t
F3 + t F5 + P8 t F4 X —► F8 X»
1 — 2 + P7 F3 X t + /-/ t
F2 4- t F7 -r /-/ t F8 c/n 4— БП 3
Инструкция: RH/Z0 или GH/F0 = Р2, X„/Z , или Вн/У0 = РЗ, В/О С/П РХ = tg(3Z,
РУ= X^/Z, илиЯ^./Г. С/П PX=tg0l,.PY = X^/Z, или B^JY,.
После выполнения этой программы для каждого из двух найденных значений tg/З/
определяют точку включения согласующей реактивности
, _ ( arctg (tg0/z)/0 при tgp/y > 0, (7.16)
1 [ (arctg (tg^Zy + я))/(3 при tg(3Z(- < О
и выбирают меньшее значение Z(-.
Например, если GH/K0 = 0,1; B^Y,, = -0,8, то, вычислив по программе 432/21
значения tg₽Z1 = -2,146888; BUUJ/Y0 = -3,807886; tggZ, = -0,7622024; =
= 3,807887, по (7.16) при значении 0 = 10 найдем Z, = (arctg (-2,146888) + я)/10 =
= 0,20067036 и Z, = (arctg (-0,7622024) + я)/10 = 0,24903276.
Программа 433/34. Расчет согласования с помощью шлейфа
ИП1 x2 ИП2 x2 + П4 ИП1 ИП0 X —
П5 BX ПД — ИП0 x’ + ИПД X yj
П6 ИП2 ИП0 X + ИП5 4 П7 arctg x<0
33 я + ИПЗ -Г ПА ИП4 ИП0 X2 —
ИП7 X ИП0 ИП2 X ИП7 x’ 1 — X
+ ИП7 X* 1 - + т ИП1 - ИПА c/n
ИП6 /-/ БП 20
Инструкция : установить переключатель Р-Г в положение Р; ZQ или Y„ = P0,RH или
G„ = Pl, Х„ или В = Р2, 0 = РЗ В/О С/П РХ= l.,PY= В,„„ , С/П РХ = Z,, PY =
Н п П * ШЛ 1 л
_ О
шл а*
Правильность расчета согласования можно проверить с помощью программы 428/21
или 429/34. Эти же программы могут быть с успехом использованы при анализе частот-
ных характеристик, например, ступенчатых переходов. Пусть, например, необходимо
определить входное сопротивление двухступенчатого перехода, согласующего линии с
ZQBX = 50 Ом и 2овых = 75 Ом (рис. 82) и состо-
ящего из двух отрезков линии равной длины с вол-
новыми сопротивлениями Z01 = 67,36096 Ом и Z„ =
= 55 Ом на частоте, при которой равны электри-
ческие длины отрезков 0l2 = 0l2 = 1,5.
Введя программу 428/21 и 429/34 в программ-
ную память микрокалькулятора и приняв, что вы-
ходная линия идеально согласована, определим соп-
ротивление на входе согласующего отрезка /,, подключенного к выходной линии, по
следующим данным: Zo = 55 Ом; RH = 50 Ом; Хн = 0; 01 = 1,5. Результаты выполне-
ния программы (Явх = 60,4365 Ом и Хвх = 0,8141124 Ом) хранятся в регистрах, со-
держащих до выполнения программы значения ZH, что позволяет непосредственно пе-
рейти к расчету входного сопротивления первой ступени согласующего перехода с до-
полнительным вводом в регистр 2 или 0 (в зависимости от типа микрокалькулятора)
только нового значения Zo = 67,36096 и, в случае 01, * 012, значения электрической
длины первого отрезка перехода в соответствующий регистр. После этого с помощью
программы вычисляется Явх = 75,13333 и X = 0,1495476 и по этим данным при необ-
ходимости несложно вычислить коэффициент отражения или КСВ в первой линии. При
ZOtM
I/
Рис. 82
246
использовании микрокалькулятора с входным языком МК34 эти вычисления можно
также автоматизировать, дополнив соответствующим фрагментом программу 428/34.
Часто волновое сопротивление многоступенчатого перехода изменяют по показатель-
ному закону, а электрические длины всех отрезков перехода выбирают одинаковыми.
В этом случае нумеруют отрезки, начиная от нагрузки, Z01 = Лн ч/Л"; Z02 = KZ01; . ..
. . . ; ZoJ- = KZoi , где К= (ZоВХ/Лн)'^’,aZ0BX - волновое сопротивление питающей
линии.
Если п — число ступеней перехода - велико, то целесообразно модифицировать
программы 428/21 и 429/34 для большего удобства решения рассматриваемой задачи.
Программа 434/21. Расчет многоступенчатого перехода
F2 t F8 X Р2 ПП 8 t F5 X P4 F6
X F3 X1 XY X1 + 1 — 2 4- 1
+ Р7 F5 X F6 X t F4 XY — P4
F7 t — t — t F2 4* ПП 8
С/П БП Р0 1/х t F3 X РЗ F4 X P4 B/O
Инструкция: Z01 / = P2,RH = РЗ, Хн = Р4, cos (2/3/) = PS, sin (2/3/) = Р6, К = Р8
(В/О) С/П РХ = Р4 = ХЙХ1; РЗ = Rt; Р2 = Zol С/П РХ = Р4 = X , РЗ = ЯВХ2;
Р2 = Z02.....С/П РХ = Р4 = Хвх/, РЗ = RBxj, P2 = Zoi.
В этой программе реализовано последовательное вычисление входного сопротивле-
ния каждой ступени перехода по следующему алгоритму:
oi ^вых (i-i )/Zoi > 'н ^вых(/-i )/Zol ’ +
+ Xfr) + (1 - - х^)cos(2/3/))/2 - Уш. sin (2/3/); /?’ XI- = R’^ /At; Гвых,• =
- (А ш-cos (2/3/) + (1 -RjJ -)cos(2^/)/4(-; Явых|- — RBblxjZ„j ; Хвых)-~ -^выхГ^о/-
В качестве примера рассмотрим расчет входного сопротивления четырехступенчатого
перехода, согласующего выходную линию с Z0BbIX = 75 Ом с питающей линией, име-
ющей Zo = 150 Ом. Предварительно вычислив К = (150/75) = 1,189207 и х/ЯГ =
= 1,090507, рассчитаем входное сопротивление перехода на частоте, для которой 2/3/ =
= 0,9я, для чего введем предложение я 0 , 9 X elx + Р5 XY Р6 и занесем 0 = Р4;
75 = РЗ, 75/1,090507 = Р2, К = Р8. После первого пуска программы нажатием кла-
виш В/О и С/П получим РХ = РЗ = 2,379984, Р4 = 88,77948, Р2 = 81,78806 или Zol =
= 81,78806 Ом и ZBX1 = 88,77948 + j2,379984 Ом. Последующее трехкратное выпол-
нение программы дает значения:
Z„ = 97,26294 Ом; ZBX2 = 106,9285 + jO,2826974 Ом;
Z03 = 115,6657 Ом; Zвхз = 124,7071 + j2,716235 Ом;
Zonep= 137.5505 0м; ZBxnep= 151,9690 + jl,452527 Ом.
Повторяя описанную процедуру при других значениях 2(3/, получаем результаты, позво-
ляющие оценить частотные свойства перехода.
Для аналогичных расчетов на микрокалькуляторе с входным языком МК34 пользо-
вателю достаточно дополнить программу 429/34 фрагментом вычисления нового значе-
ния Z0J на каждом итерационном цикле.
Отрезки линий передачи часто используют в качестве
резонаторов, перестраивают которые изменением вели-
чины реактивного элемента (обычно емкости), подклю-
ченного к одному из концов линии (рис. 83). При
расчете резонансных частот такого резонатора при-
ходится решать трансцендентное уравнение
-<*>CZ otg(3/ +1 = 0.
Заметим, что к решению уравнения вида/lxtgx +1 = 0 сводится и задача определения
резонансных частот объемных резонаторов.
247
Программа 435/21. Вычисление резонансных частот нагруженного емкостью отрезка
линии
сх Р4 Р7 я 2 + Р6 1 /-/ Р8 F6 2
Р6 t F7 + Р7 -Г sin х = 0 PI-I F7 t
F3 X С/П F4 1 я + В/О F7 eJ* 4- t
F7 X t F2 X 1 — t F8 XY Р8 X
х< 0 FXY F6 /-/ Р6 БП FXY
Инструкция: (А = 3Z0C/(104Z ч/Т) = Р2, В = 150/я/ у/Т = РЗ; представлять ем-
кости в пикофарадах, I в метрах, Zo в омах) В/О С/П РХ = f С/П РХ = f С/П
Программа 436/34. Вычисление резонансных частот нагруженного емкостью отрезка
линии
ИПО ИШ X 3 X 1 ВП 4 4- ИПЗ
ИП4 X 4* П5 ВХ я X 1 5
0 XY 4- П6 Сх П7 П8 я 2 -Г
П9 /-/ ПА ИП9 2 4* П9 ИП8 + П8
ВХ — х=0 53 ИП8 ИП6 X С/П ИП7 я
+ БП 25 ИП8 t tg X ИП5 X 1
— ИПА XY ПА X х<0 33 ИП9 /-/ П9
БП 33
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р; (Zo = РО, С = Pl, I =
= РЗ, е = Р4) В/О С/П РХ = f С/П РХ = /р2 С/П РХ = fp3 ...
Контрольный пример: при Zo = 75 Ом, е = 2,5, I = 1 м, С = 10 пФ получим/ =
= 41,58989 МГц,/рг = 126,110 МГц . . .
Остальные параметры рассматриваемого резонатора (в пренебрежении потерями в
конденсаторе) вычисляют по формулам
Qt = 0,-/2 (а,- + (P/2Z0 - GZ0/2) sin 20,Z/20,Z) ; Д/р = /p,-/G,-;
Лвых рез = zo sin20fZo/ [(a,- + (P/2Z0 - GZ0/2)sin 20,Z/20,-Z)Z ].
Определив 0; = \/~ё /С с учетом зависимости от частоты постоянной затухания
a(f) = a, \/Tpi + “»/р/> по приведенным соотношениям можно определять доброт-
ность, полосу пропускания и входное сопротивление на расстоянии Zo (см. рис. 83) для
любой резонансной частоты. Значения коэффициентов а, и а2, аппроксимирующих за-
висимость постоянной затухания от частоты, определяются конструкцией резонатора
и материалом, из которого он изготовлен. Например, для резонатора в виде отрез-
ка воздушной коаксиальной линии, изготовленной из меди, можно принять а, = (1 +
+ cZ/D)/(24dZ0); а2 = я ^7tg (6/300).
Программа 437/21 . Вычисление Qj, Д/,-, Z?BX j резонатора
Р7 t F4 X Р8 t еИ F8 4 1 - 2
+ - F7 X t F3 X -» t F7 y/~ X
t F2 X t - t - F8 XY 4- 4
4- С/П t F7 XY 4- C/П F6 t • F8 X 2
4- е^ F5 X X t - 4- С/П БП P0
Инструкция: а,1 = P2, a3l = РЗ, я/ V7/75 = P4, Zo = P5, IJl = P6, f ,- = PX
(В/О) С/П РХ = Qi C/П PX = bfi C/П PX = явх,-.
Программа 438/34. Вычисление £/-, ДЛ- и R j резонатора
П6 я X ИП4 V X ИПЗ X 7 5
4- П7 t sin XY 4- 1 + П8 2
ИП2 X ИП6 X ИП8 ИШ X ИП6 V
X XY - ИПЗ X П9 ИП7 XY 4- 4
248
* С/П ИП6 XY 4- С/П ИП7 ИПЗ * ИПО
X 2 + яп х’ ИП5 X ИП9 т С/П
БП
Инструкция: 19 = РО, а, = Pl, а, = Р2,1 = РЗ, е = Р4, Zo = P5,fni = РХ (В/О)
С/П РХ = Qj С/П РХ = С/П РХ= Явх). Р
Контрольный пример: при Z9 = 75 Ом; 7 = 1 м; С= 10 пФ; е = 2,5; 10 = 0,2 м;
а, = 0,0005; а, = 1,6 • 10"‘ для резонансных частот, найденных в предыдущем приме-
ре, получим: (f = 41,58989 МГц) С, = 184,9259; ДГ, = 0,2249002 МГц; RBblxt =
- 1489,887 Оми (f = 126.1195 МГц) 0, = 327,0036; Д/, = 0,3856822 МГц; /г =
= 6457,29 Ом.
Программы 437/21 и 438/34 можно использовать и для расчета параметров резонато-
ра в виде отрезка линии, закороченного
ривать как предельный случай резона-
тора, нагруженного емкостью С -» °°,
то fpi = 150//(>/7/,) (МГц), Q{ =
= in/(2^1); = /^/2,-; RBxi =
= Z, w^20jll)l (а^Г) и легко составить
более простые программы с меньшим
временем счета.
С помощью программируемых мик-
рокалькуляторов можно успешно рас-
считывать и достаточно сложные уст-
ройства, например, анализировать диаг-
раммы направленности многоэлемент-
ных антенн. В качестве примера рас-
смотрим пятиэтажную антенную систе-
му, содержащую по семь диполей с реф-
лекторами на каждом этаже (рис. 84).
По приведенным на рис. 84 обозна-
чениям размеров и фазам питания элементов антенны для напряженности поля в даль-
ней зоне рассматриваемой антенны (без учета влияния Земли) можно записать
Я£(г, *,«)= S S (£^(r)+Fpj7(r)e^»cos*cose)coS^e^</B/si^^sine) ,
где Epj и Еру — парциальные значения напряженности поля, создаваемые каждым дипо-
лем и рефлектором системы в точке с полярными координатами г, ф ив.
Если принять равенство амплитуд токов, питающих все элементы системы, опереже-
ние токов, питающих рефлектор, на 90° от токов, питающих соответствующие диполи,
равенство расстояний /в между этажами и равенство расстояний /г между элементами в
каждом этаже и симметричность фазовых сдвигов относительно центрального элемента
= V j) = *>оо + дМ>вл + д*гт > где п = ' - 4, m = / - 3, причем Д^ =
= -Д^в и й<ргт = ) > то напряженность поля антенны
2
(г, 0) = Ео (г) cosi//cos(n/4 - 0lQ cosflcos (V/)/2) (1 + 2 2 cos (Д^^ +
m s i
3
+ n0/Bsin0)) (1 + 2 2 cos (Д^>гЛП + m 0/psin ф)).
m - i
Если питать антенну с фазовым сдвигом, изменяющимся по линейному закону, то
Д^ал = лД^в; д^гот = и при выборе/, = я/ (20) диаграмма направленности
рассматриваемой антенной системы
R(t,e) = Е^(г,ф,в)/Е9 (г) = cosV'COsUl - cos Seos ^)n/4)(4cos2(A¥’B+ <3/Bsin0) +
249.
+ 2cos(A.pB + 0ZBsinO) - l)(8cos’(Aipr + (3/rsinip)+ 4cos’(A^r + 0/rsin^)-
- 4cos(A,pr + plT sinO) - 1).
Программа 439/21. Расчет диаграммы направленности антенной системы
F2 eJx F6 X t F4 + cos 4 X X +
+ 1 Р8 F3 eJ* F7 X t F5 + cos
2 X X + X XY — 4 X 1 — t
F8 X г F3 cos XY X P8 F2 cos X 1
— t п X 4 + cos t F8 X c/n
Инструкция: (0 = Р2, Ф РЗ, Av>B = P4 = P5, /3/ в — P6, plT = P7) B/O С/П
РХ = RM-
Контрольный пример: при 0lr = 1,5я; 0lB= я/2; Ду>г = 0,5; А<рв= 0,2 в направлении
= -0,15; 0= -0,12 получимЯ(^.в) = 31,78222, адля ф = 0,6; 6=0 получимR (ф,6) =
= -3,917536, где отрицательное значение результата означает отличие на я фазы волны,
излучаемой по заданному направлению и по направлению основного лепестка антенны.
7.5. Расчет ЯС-цепей с распределенными параметрами
В волновых уравнениях при анализе ЯС-цепей с распределенными параметрами при-
нимают//^ G' = 0. В этом случае постоянная распространения у = а + 13 = (1 +
+ ')) sJwR'C* 12 и входное сопротивление линии Zo = yjЯ'/(ju>C') = (1 - j) у/Я'/(2о>С’)
являются функциями погонных параметров Я' и С' линии, а процесс передачи воздей-
ствия вдоль линии является диффузионным. Однако уравнения, описывающие распре-
деление комплексных амплитуд тока и напряжения в £С-линиях через приведенные зна-
чения у и Zo, можно использовать при анализе режима работы этих линий. Необходи-
мость в таком анализе возникает прежде всего при проектировании трансверсальных
фильтров на основе отрезков ЯС-линий.
Для расчета распределения комплексных амплитуд напряжения вдоль однородной
ЯС-линии в стационарном режиме целесообразно использовать программы, выпол-
няющие вычисления по формуле |и (х)/ин| = (chax + ,4shax) cosax + fichaxsinax +
+ j((shax +/lchax)sinax - Bshaxcosax). В этой формуле учтено равенство фазовой
постоянной и постоянной затухания, принято обозначение А = (GH + Ян) у/R'/2C'
В = (GH - ВИ) у/R'I2C' , а координата х отсчитывается от конца линии, нагруженной
на проводимость /н = GH + jBH.
Программа 440/21. Расчет распределения амплитуд напряжения в нагруженной
ЯС-линии с распределенными параметрами
P2 ex t 1/x + P7 — + t P8 F4 X
P5 F3 X t F7 XY + P7 F4 X P6 F3
X t F8 + P8 F2 e-i* F6 X P6 F8
X t F5 X P5 F7 X t F6 + 4—
t F5 — P8 x’ t —> P7 x’ + c/n
Инструкция : (А = РЗ, В - Р4), ах = РХ В/О С/П РХ = 2 |и (х)/ин |, Р7 =
= 2Rc (и (х) /ин), Р8 = 21m (и (х) /ин).
Контрольный пример: при Я* = 100 кОм/м, С' = 2 нФ/м, GH = 1 кОм"1, Вн = 0,
предварительно вычислив А = В = 100/4 = 5, для ах = 0,1 получим 2 | и (х)/ин| =
= 4,000045 или |и (х) | = 2,0000225 |«н|. При необходимости по содержимому регист-
ров 7 и 8 несложно определить фазовый сдвиг с помощью программ, приведенных в
§ 1.6.
Программа 441/34. Расчет распределения амплитуд напряжения в нагруженной ЯС-
линии с распределенными параметрами
ПД ИП4 ИПО X ИШ X я
ИПО ИП1 v 2 = уГ t
X П6 - ИП2 ИПЗ - X
X 7“ П5
ИП2 ИПЗ +
П7 ИПД ИП5
250
X П8 е* t t 1/x — 2 — П9
— пд ИП6 ИП9 X + ИП8 cos X ИП7
ипд X ИП8 sin X + ПА ИП9 ИП6 ИПД
X + ИП8 sin X ИП7 ИП9 X ИП8 cos
X — ПВ t X2 ИПА X2 + J ПД
+ arccos ПС ИПВ x> 0 90 ИПС /-/ ПС ИПС
ипд С/П БП 29
Инструкция: (установить переключатель Р-Г в положение Р; R' = РО, С' = Р1,
GH = Р2, Вн = РЗ, f = Р4), х = РХ (В/О) С/П РХ = |u (x)/uH|, PY = .р(х), РА =
= Re (и (x)/uH), РВ = Im (и (х)/ин).
Контрольный пример, при R' = 100; С' = 2; GH = 1; Вн = 0; f = 2/п, х= 0,005
получим |u(x)/uH| = 2,0000246; у>° = -1,5641296 рад; Re (и (х)/ин) = 1,9999802;
Im (и(х)/ин) = -0,01333331.
Вычисление гиперболических функций произвольного комплексного аргумента [20 ]
в приведенных программах сведено к вычислению функций
sh>/jx= sh(l + j) х/2 = shz cosz + jchzsinz;
Эти функции приходится вычислять и при решении других задач расчета устройств
с распределенными ЯС-цепями. В таких случаях целесообразно использовать следующие
программы с минимальным числом обращений к памяти, что упрощает их применение
в качестве фрагментов более сложных программ.
Программа 442/21. Вычисление функции sh (1 + j)z
P8 ex t 1/x P7 - 2 -5- t F8 cos X P6 F7 t F8 sin X БП P0 F7 t + F6 P7 С/П
Программа 443/34. Вычисление функции sh (1 + j)z t ex t t 1/x - 2 -r - -► XY sin X -• cos X XY -► БП Инструкция к обеим программам, z = РХ (В/О) BX c/n C/П PX = Re sh (1 +
Imsh(l + j)z. Программа 444/21. Вычисление функции ch(l + j)z Р8 е* 1 1/х Р7 + 2 v t F7 P7
F 8 cos X Р6 F 7 t F 8 sin X t F6 С/П
БП P0 Программа 445/34. Вычисление функции ch(l + j)z t ех t t 1/x - 2 + - XY cos X - sin X XY - С/П БП BX XY
j)z. PY =
Инструкция к обеим программам: z = РХ (В/О) С/П РХ = Rech(l + j)z, PY =
= Imch(l + j)Z.
Контрольный пример: при z = 0,5 получим (время счета около 10 с) sh (1 + j)z =
= 0,457304 + jO,540612 и ch(l + j)z = 0,989584 + jO,249826.
При возбуждении теоретически бесконечной ЯС-линии с распределенными параметра-
ми от источника единичного напряжения на ее входе переходная характеристика по нап-
ряжению на расстоянии х от входа [9] Лн(х, Г) = 1 - Ф(х VЯ'С'/2Г), где интеграл ве-
роятности Ф = Ф(г) = V2/я J (exp(—Zа/2))dr, а переходная характеристика по току
251
(токовая реакция на воздействие единичным скачком напряжения) Лт (х, t) = \[C‘lnR't X
X exp (-x3R'C'/4r) Вычисления по этим формулам обеспечивают программы, где чис-
ленное интегрирование выполняется методом трапеций с шагом ДГ.
Программа 446/21. Вычисление переходных характеристик по напряжению и току
в RC-линии с распределенными параметрами
сх Р6 Р7 Р8 F5 t F6 + P6 t F2 XY
t F4 х3 X 2 4- /-/ e* 2 ♦ t
я 4- V” t F7 XY P7 + t F5 X t
F8 + Р8 F2 t F6 4- 2 X v t F3
т t F7 X t F8 С/П БП Ft
Инструкция: R'С' =P2,R' = P3, x = P4, St = P5 B/O С/П PX = йн(х, St),PY =
= йт (х, ДГ) С/П РХ = h* (X, 2ДГ), РГ = лт (х, 2ДГ) ... С/П РХ = Лн (х, ЛДГ), PY =
= Лт(х, к St).
Программа 447/34. Вычисление переходных характеристик по напряжению и току в
RC-линии с распределенными параметрами
Cx П4 П5 П6 ИП0 ИП1 X ИП2 X3 X
ИПЗ ИП4 + П4 4- 2 4- 1/X 2
4 W 4- v ИП5 XY П5 + ИПЗ X
ИП6 + П6 ИП1 ИП0 4- ИП4 4 2 X
y/~~ ИП5 X ИП6 С/П БП 04
Инструкция: R’ = P0, c - Pl, x = P2, St = P3 B/O С/П PX= Лн(х, ДГ),РУ =
= йт(х, ДГ) С/П ... С/П РХ = h*(х, kst) ,PY=hT(х, kst).
контрольный пример: при R' = 100 кОм/м; С’ = 2 нФ/м; х = 0,01 м и ДГ =
= 0,05 мкс получим ^(х, 1ДГ) = 0,018048895; 0,055072071; . . . ; Лт(х, ГДГ) =
= 0,32286844; 0,24000779 ... (в микровольтах и миллиамперах соответственно).
Обычно распределенные RC-цепи используют в гибридных устройствах, содержащих
также активные и пассивные компоненты с сосредоточенными параметрами. В матрицу
слабосигнальных параметров системы уравнений равновесия, описывающей такие уст-
ройства, входят гиперболические функции аргумента VpR'C' , и поэтому функции гиб-
ридной цепи оказываются трансцендентными. При ее анализе следует прежде всего из-
бавиться от иррациональности, используя замену s = \Гр, которая приводит к двузнач-
ности отображения плоскости переменной р = о + jw в плоскость переменной s = и +
+ jv , хотя обратное преобразование р = s’ однозначно.
При синтезе гибридных устройств по координатам нулей и полюсов передаточной
или входной функции, заданной в одной из комплексных плоскостей, приходится
определять их координаты в другой плоскости, используя соотношения s = и + jv =
= ± (((V»3 + + о)/2)‘/2 + j(w( Vо3 + ш3 - а)/2) 1,3/| и |), р = о+ jw = (и’ -
- v2) + 2juv. Вычисления по первой из этих формул можно выполнить с помощью прог-
рамм извлечения корня из комплексного числа, приведенных в § 1.6, но их целесооб-
разно дополнить обратным преобразованием, составив следующие универсальные прог-
раммы. По этим программам при преобразовании р в s вычисляют только одно значение
s, а координаты второго значения определяют изменением знаков вычисленных значе-
ний составляющих s.
Программа 448/21. Прямое и обратное преобразования s = Vp
F7 X3 t F8 X3 + x#=0 F, V~ t F7 -
2 4 t v P5 F7 + y/~ P4 F8 x<0 F7
F5 /-/ P5 БП F7 F4 X3 t F5 X3 P7
F4 t F5 X 2 X P8 С/П БП P0
Программа 449/34. Прямое и обратное преобразования s = Vp
ИП7 x3 ИП8 x3 + x*0 27 ч Г ИП7 +
2 4 П4 BX ИП7 - x, Г П5 ИП8
252
х<0 39 ИП5 /-/ П5 БП 39 ИП4 х2 ИП5
х’ - П7 ИП4 ИП5 X 2 X П8 С/П
БП
Инструкция к обеим программам: о = Р7, ш = Р8 (или и = Р4, v = Р5, 0 = Р7 =
= Р8) (В/О) С/П РХ = а Р4 = и, Р5 = V (или Р8 = о, Р1 = со).
Контрольный пример: при р = -0,5 + j2 получим з = 0,88361552+ jl,1317139 (вто-
рое значение з = -0,8836155 - jl,131713), а при обратном преобразовании результата
р = -0,49999999 + jl ,9999999.
В качестве примера синтеза гибридных цепей рассмот-
рим расчет звена активного фильтра, схема которого при-
ведена на рис. 85. Передаточная функция такого звена в
виде коэффициента передачи напряжения К(р) = 1/(д +
+ (1 - д)сЬ VpR'C'l) имеет в плоскости р дискретное
множество полюсов. Первая их пара, называемая домини- ruc' aj
рующей, определяется выражением р = (ln(M + \JМ2 - 1))2/т, где М = -д/(1 - д) и
т = R'C'l2.
Поскольку избирательные свойства такого звена в области низших частот практи-
чески определяются доминирующей парой полюсов, то остальные полюсы можно учиты-
вать лишь при сот > 1 и при синтезе фильтра с каскадным соединением звеньев рассмат-
ривать данное звено как звено НЧ2, реализующее заданную пару комплексно-сопряжен-
ных полюсов pj ,-+1 При расчете параметров такого звена следует с помощью програм-
мы 443/21 или 444/34 определить координаты доминирующей пары полюсов на плоско-
сти з, после чего из уравнения для мнимой части знаменателя передаточной функции
sh(Uj \Гт) sin(v(- т ) = 0 найти т = (ir/Vj)2, а из уравнения д + (1 - д)сЬ(и|х/т ) X
X cos(vi '/t") = д - (1 - u)ch(irUi/Vi) = 0 определить д = ch(?ruz-/vI-)/(l + chjirUj'/v,-))
Например, для-реализации передаточной функции К(р) = 1/(р2 + 0,4р+ 1,04) по значе-
ниям р, г = -0,2 + j следует найти т, 3 = ± (0,64023586 + j0,78096219) ,т = 4,02272042 =
= 16,182279 и д = 0,868541.
Для построения АЧХ рассматриваемого звена, описываемой выражением К (jeo) =
= 1/(д + (1 - д)сЬ ыт!1 cos Vсот/2 + j(l - д) sh х/ сот/2 sin х/сот/2) можно вос-
пользоваться следующими программами.
Программа 450/34. Вычисление частотных характеристик звена НЧ2 активного фильт-
ра с распределенными параметрами
t X2 F3 1 X Р4 t ех F4 t cos 1/x X 1 2 t P5 F2
X — 1 + Р7 F4 eJ* F5 X t F2 X
— Р8 х2 t F7 X2 + In 4 Э 3 4
3 X С/П БП Р0
Инструкция': д = Р2, ят = P3,f = PX (B/O) С/П PX = -А яБ,Р1 = Re 1/K(co),
Р8= Iml/K(co).
Программа 451/21. Вычисление частотных характеристик звена НЧ2 активного фильт-
ра с распределенными параметрами
ИП1 X х/ П2 ех t 1/х — 2 4-
ПЗ X2 1 + х/ ИП2 cos X 1 ИПО
— X ИПО + П4 ИПЗ ИП2 sin X 1
ИП0 — X П5 X2 ИП4 х’ + х/ П6
1 Для расчета АЧХ звена в нормированном диапазоне частот достаточно принять
т/2 = РЗ (При использовании программы 450/21) или т/2 = Р1 (при использовании
программы 45 1/21) и v = сот = РХ.
253
+ arccos П7 ИП5 x < 0 49 ИП7 /-/ П7 ИП7
1 8 О X я -5- ИП6 1g 2 О
X С/П БП
Инструкция': установить переключатель Р-Г в положение Р; и = РО, ят = P\,f =
= РХ (В/О) С/П РХ = -А (и>) дБ,РУ = у>^.
Воспользуемся одной из этих программ для построения АЧХ и ФЧХ рассчитанного
звена и сравнения их с характеристиками нормированного прототипа Кн (р) = 1,04/ (р1 +
+ 0,4р + 1,04). При вычислениях целесообразно принять т/2 = 8,091139, что позволит
непосредственно вычислять К (jv) без дополнительного вычисления v = о>/сэп.
Построим по результатам анализа характеристики фильтра в полосе пропускания
(рис. 86, а) и за ее пределами (рис. 86,5), обозначив сплошной и штриховой линиями
АЧХ соответственно звена с распределенными параметрами и прототипа, а ФЧХ - соот-
ветственно штрихпунктирной линией и штриховой линией с двумя точками. Результаты
вычислений свидетельствуют о том, что в полосе пропускания АЧХ практически совпа-
дает для обеих реализаций, а в полосе задержания затухание звена с распределенными
параметрами больше, чем у прототипа. Групповое время за-
паздывания у звена с распределенными параметрами боль-
ше, чем у прототипа, но ФЧХ более линейна и, следова-
о___। ] ЛЪ» 1 ° тельно> изменение ГВЗ меньше у звена с распределенными
/f параметрами.
j о Пренебрежение выходным сопротивлением активного
компонента с повышением частоты становится неоправ-
Рис. 87 данным, так как с учетом этого сопротивления (при обоз-
начении а = Я Х/Я7) передаточная функция (рис. 87)
К(р) = (1 + а \/ рт sh \fpr)l (м + (1 — p)ch \рт + а \/рт sh V рт) при р = | jo_> | “
стремится к единице независимо от значения а.
Для построения частотных характеристик звена с учетом выходного сопротивления
представим передаточную функцию выражением
1 Для расчета АЧХ звена в нормированном диапазоне частот достаточно принять
т/2 = РЗ (при использовании программы 450/21) или т/2 = Р1 (при использовании
программы 45 1/21) и v = шт — РХ.
254
K(jw) = ((1 + Л) + Д?)/((д + (1 - д)chzcos z + .4) + j((1 - д)shz sinz + .S)),
гдеЛ = az (shzcosz -chz sinz);R = az(shzcosz+ chzsinz); z = Vcjt/2.
Программа 452/34. Вычисление АЧХ и ФЧХ эвена активного фильтра с распределен-
ными параметрами при учете выходного сопротивления
ИП2 X V пз П6 е* t 1/х П4 4
2 4 П5 ИП4 — П4 ПП 82 П8 ИП4
ПП 82 1 ПП 62 ПВ ИПС ПА ИПЗ sin
ИП4 X 1 ипо — X ИП8 4 П8 ИП5
ИПЗ cos X 1 — 1 ИПО - X ИП7
ПП 62 ИПВ — ИПА ИПС 4 1g 2 0
X С/П + П7 t X2 ИП8 X2 4
ПС 4 arccos ПД ИП8 х> 0 80 ИПД /-/ пд
ИПД В/О ИПЗ COS X ИП5 ИП6 /-/ П6 sin
X - ИШ X ИПЗ X В/О
Инструкция: установить переключатель Р-Г в положение Р; (д = РО, а = Р1, ггт =
= Pl) f = РХ В/О С/П РХ = -А (ш) дБ = IPC(oj) | дБ,РГ= у>к рад.
При расчетах на микрокалькуляторе с входным языком МК21, отличающимся мень-
шей емкостью запоминающих устройств, комплексные значения числителя Л и знамена-
теля М передаточной функции можно вычислять раздельно. В этом случае для вычисле-
ния АЧХ и ФЧХ следует воспользоваться программами деления комплексных чисел,
приведенных в § 1.6.
Программа 453/21. Вычисление комплексных значений числителя N и знаменателя
М передаточной функции звена с распределенными параметрами 1
Р5 ел t 1/х 4 Р6 — 4 Р7 F5
«— F6 X Р8 F7 X t F3 X —► t F7
X Р7 F6 X t F3 X t F2 + -> ПП
РСХ Р6 ПП РСХ Р5 С/П БП Р0 F7 t F8 /-/
Р8 4 t F5 X t F4 X t <— + В/О
Инструкция: для вычисления числителя 2 = Р2, 0 = РЗ, а — Р4, шт/2 = РХ (В/О) С/П
РХ = PS — ImN, Р6 = Re/V; для вычисления знаменателя 2д = Р2, 1 - д = РЗ, а - Р4,
шт/2 = РХ (В/О) С/П РХ = Р5 = Im.tf, Р6 = ReAf.
Контрольный пример: для д = 0,868541; a = 10*4; шт/2 = 8,091139 получим
К()ш) = (1,993903 - j0,003223888) /(-0,4374598 + j0,6561936).
Если ограничиться вычислением АЧХ и учесть, что влияние выходного сопротивле-
ния проявляется лишь на высоких частотах (г > 1),то, приняв shz «chz «е2/2,полу-
чим I A"(ja>) | * (az (cosz - sin z) + e*z + a2z2ez/2)/ ((1 - д) д cosz + агд (cosz - sinz) +
+ (1 - д + az)2 + a2z2)ez/4)1/2.
Программа 454/21. Расчет АЧХ звена активного фильтра с распределенной RC-цепью
при учете входного сопротивления2
Р4 t F3 X Р6 XY е* X Р5 2 4
XY 1/х + Р7 F2 1 t F6 4 Р8 1
— х2 1 4 t F5 X 4 4 Р6 F4 е^
XY Р4 F8 X . t F4 — t F6 XY —
Р6 F7 t F4 + t F6 -г С/П БП Р0
Инструкция: (ц = Р2, a = РЗ) РХ = шт/2 В/О С/П РХ = |А-(ш)| (время счета око-
' По программе 453/21 вычисляется удвоенное значение числителя и знаменателя.
2 См. примечание к программе 450/21.
255
по 15 с). Для вычисления -A (gj) = | К (w) | в децибелах достаточно после окончания
вычислений по программе ввести в обычном режиме предложение In 8 , 6 8 6 X .
Эта программа обеспечивает методическую погрешность результата вычислений, не
превышающую десятых долей децибела для частот, больших частоты среза звена в 2 -
5 раз в зависимости от значений а и ц. Попытка вычисления |/С(о>) | на частотах, не
удовлетворяющих этому соотношению, может привести к переполнению.
Контрольный пример: при р = 0,868541, а = 10"4, а»т/2 = 16,18227 (что соответ-
ствует v = 2) получим |K(gj) | = 0,3359123 или -9,475615 дБ (при точном значении
-10,09574 дБ).
Программы, подобные приведенным, можно составить и для расчета других типов
звеньев с распределенными ЛС-структурами, что существенно облегчит их проектиро-
вание в соответствии с методикой, рассмотренной в гл. 6.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Альбац М. Е. Справочник по расчету фильтров и линий задержки. - М.: Госэнерго-
издат, 1963. - 200 с.
2. Варакин Л. Е. Теория сложных сигналов. - М.: Сов. радио, 1970. - 376 с.
3. Воеводин В. В. Численные методы алгебры. Теория и алгорифмы. - М.: Наука,
1966.- 248 с.
4. Ганстон М. А. Справочник по волновым сопротивлениям фидерных линий СВЧ. -
М.: Связь, 1976. - 150 с.
5. Голд Б., Рэйдер Ч. Цифровая обработка сигналов: Пер. с англ./Под ред. А. М. Трахт-
мана. Т. 2. - М.: Мир, 1971. - 547 с.
6. Демидович В. П., Марон М. А. Основы вычислительной математики. - М.: Наука,
1966. - 664 с.
7. Знаменский А. Е., Теплюк И. Н. Активные ЯС-фильтры. - М.: Связь, 1970. - 280 с.
8. Каннингхэм В. Введение в теорию нелинейных систем. Пер. с англ./Под ред. Е. Б. Па-
стернака. - М.; Л.; Госэнергоиздат, 1962. - 455 с.
9. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике: Пер. с англ./Под ред. И. Г. Араманови-
ча. - М.: Наука, 1974. - 831 с.
10. Немчинов В. М., Никитаев В. Г., Ожогин М. А., Ляхович В. В. Усилители с полевыми
транзисторами. - М.: Сов. радио, 1980. - 192 с.
11. Ортюзи Ж. Теория электронных цепей. Т. 2.: Пер. с франц./Под ред. Л. Р. Явича. - М.:
Мир, 1971. - 547 с.
12. Программное обеспечение ЭВМ МИР-1 и МИР-2. Т. 1: Численные методы/ В. М. Глуш-
ков, И. Н. Молчанов, Б. Н. Брусникин и др. - Киев: Наукова думка, 1976. - 280 с.
13. Рабинер Л., Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов: Пер. с
англ./Под ред. Ю. Н. Александрова. - М.: Мир, 1977. - 848 с.
14. Сигорский В. П. Анализ электронных схем. - Киев. ГИТЛ, 1960. - 176 с.
15. Темеш Г., Митра С. Современная теория фильтров и их проектирование: Пер. с
англ./Под ред. И. Н. Теплюка. - М.: Мир, 1977. - 560 с.
16. Трохименко Я. К. Метод обобщенных чисел и анализ линейных цепей. - М.: Сов.
радио, 1972. — 312 с.
17. Трохименко Я. К. Радиоприемные устройства на транзисторах. — 5-е изд. - Киев:
Техшка, 1972. - 352 с.
18. Трохименко Я. К., Каширский И. С. Обобщенная оптимизация электронных схем. -
Киев: Техшка, 1979. - 192 с.
19. Трохименко Я. К., Каширский И. С., Ловкий В-. К. Проектирование радиотехниче-
ских цепей на инженерных ЭЦВМ. — Киев: Техшка, 1976. — 272 с.
20. Трохименко Я. К., Любич Ф. Д. Инженерные расчеты на микрокалькуляторах. - Ки-
ев: Техшка, 1980. - 394 с.
21. Трохименко Я. К., Тараненко 3. И. Замедляющие системы. - Киев: Техшка, 1965. —
308 с.
22. Ханзел Г. Справочник по расчету фильтров: Пер. с англ./Под ред. А. Е. Знаменско-
го. - М.: Сов. радио, 1974. - 288 с.
23. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование: Пер. с англ./Под ред.
М. Л. Быховского. - М.: Мир, 1976. - 620 с.
24. Хэмминг Р. В. Численные методы: Пер. с англ./Под ред. Р. С. Гутера. - М.: Наука,
1968. - 268 с.
ОГЛАВЛЕНИЕ
гг Стр.
Предисловие......................................................... 3
Глава 1. ОСОБЕННОСТИ ВЫЧИСЛЕНИИ НА МИКРОКАЛЬКУЛЯТОРАХ
1.1. Непрограммируемые микрокалькуляторы ........................... 4
1.2. Программируемые микрокалькуляторы...............................Ю
1.3. Представление алгоритмов программами...........................16
1.4. Погрешности результатов вычислений.............................24
1.5. Оптимизация программ вычислений ...............................29
1.6. Операции над комплексными числами..............................37
Глава 2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ И ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ
2.1. Представление сигналов.........................................44
2.2. Дискретное преобразование Фурье................................49
2.3. Спектральный анализ непрерывных сигналов.......................54
2.4. Цифровое моделирование сигналов во временной области ... 60
2.5. Элементы синтеза сигналов......................................64
2.6. Корреляционный анализ и статистическая обработка информации . 68
Глава 3. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
3.1. Методика анализа...............................................76
3.2. Анализ безынерционных цепей....................................82
3.3. Анализ цепи в операторной области..............................90
3.4. Анализ цепи в частотной области................................98
3.5. Вычисление временных характеристик............................106
3.6. Анализ влияния обратной связи..................................ПО
Глава 4. АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ
4.1. Аппроксимация нелинейных характеристик........................117
4.2. Расчет статических режимов нелинейных цепей...................125
4.3. Анализ нелинейных цепей при гармонических воздействиях . . 130
4.4. Нелинейное программирование...................................138
4.5. Расчет динамических характеристик нелинейных цепей .... 143
4.6. Анализ автоколебаний в нелинейных цепях.......................148
Глава 5. РАСЧЕТ УСИЛИТЕЛЕЙ
5.1. Особенности расчета...........................................154
5.2. Расчет усилителя в статическом режиме.........................159
5.3. Расчет усилителя на средних частотах..........................165
5.4. Расчет усилителя на границах полосы пропускания...............171
5.5. Расчет резонансных усилителей.................................177
Глава 6. РАСЧЕТ ФИЛЬТРОВ
6.1. Основные этапы проектирования фильтров........................180
6.2. Определение типа и передаточной функции фильтра-прототипа . . 188
6.3. Синтез £С-фильтров............................................199
6.4. Практический расчет фильтров..................................205
6.5. Расчет активных ЯС-фильтров...................................211
6.6. Расчет цифровых фильтров......................................222
Глава 7. РАСЧЕТ УСТРОЙСТВ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ
7.1. Расчет эквивалентных параметров проводников...................234
7.2. Расчет параметров линий передачи..............................236
7.3. Расчет режима работы линий передачи...........................242
7.4. Расчет элементов устройств с распределенными параметрами . . 245
7.5. Расчет /?С-цепей с распределенными параметрами................250
Список литературы..................................................256