/
Автор: Левитин К.Е.
Теги: прочие литературные жанры математика геометрия естественные науки
ISBN: 5-9594-0023-5
Год: 2004
Текст
КАРЛ ЛЕВИТИН
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
РАПСОДИЯ
КАМЕРОН
ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ
МОСКВА
2004
ББК22.1
УДК 82-96
Левитин К.Е.
Л 36 Геометрическая рапсодия — 3-е изд., перераб. и доп. — М.: ИД «Камерон», 2004. — 216 с, с ил.
Перед читателем книги, написанной в доступном лишь очень немногим авторам
научно-художественном жанре, проходит история возникновения и развития основных идей
геометрии, которые и сегодня приводят к новым взглядам и открытиям в
кристаллографии, химии, геологии, генетике, микробиологии, архитектуре, дизайне, строительном
деле и даже в космологии. Плоское и объемное, свойства кристаллов и правильных тел,
симметрия, замкнутость и бесконечность Вселенной — эти и другие темы-мелодии
сливаются в «Геометрической рапсодии» в некий гимн во славу Геометрии.
Книга иллюстрирована работами художников, имеющими ярко выраженное
геометрическое звучание, главным образом гравюрами знаменитого голландского графика
Маурица Корнелиса Эшера. Она выдержала четыре издания — два на русском языке и по
одному на болгарском и чешском, общим тиражом около 200 тыс. экз.
«Геометрическая рапсодия» написана для самого широкого круга читателей, но в
первую очередь для старших школьников и студентов, поскольку главная ее задача — привить
любовь к красоте законов, правящих нашим миром, и интерес к их постижению
средствами и силами науки и искусства.
©Левитин К., 2004
ISBN 5-9594-0023-5 © Издательский дом «Камерон», 2004
Вдохновение нужно в поэзии,
как и в геометрии.
Александр ПУШКИН
Музыка есть радость души,
которая вычисляет, сама
того не сознавая.
Готфрид ЛЕЙБНИЦ
Наука позволяет нам
понимать многие сферы
материальной и динамической
стороны жизни, но великая музыка
находит самый близкий путь
к глубочайшим истокам
духовной жизни человека.
Леопольд СТОКОВСКИЙ
Так как вы сейчас изучаете
геометрию и тригонометрию, то
я хочу предложить вам одну
задачу. Корабль плывет в
океане. Он отплыл из Бостона с
грузом шерсти. Он весит
200 тонн. Он направляется в
Гавр. На борту 12 пассажиров.
Ветер дует на восток — северо-
восток. На часах четверть
четвертого. Месяц — май. Сколько
лет капитану?
Гюстав ФЛОБЕР
ПРЕДИСЛОВИЕ
Так же как поглощение пищи без
удовольствия превращается в
скучное питание, так занятие
наукой без страсти засоряет
память, которая становится
неспособной усваивать то, что
она поглощает.
Леонардо да ВИНЧИ
Своеобразие геометрии, выделяющее ее из других разделов
математики, да и всех областей науки вообще, заключается в неразрывном, органическом
соединении живого воображения со строгой логикой. В своей сущности и основе
геометрия и есть пространственное воображение, пронизанное и
организованное строгой логикой. В ней всегда присутствуют эти два неразрывно связанных
элемента: наглядная картина и точная формулировка, строгий логический
вывод. Там, где нет одной из этих сторон, нет и подлинной геометрии.
Наглядность, воображение принадлежат больше искусству, строгая
логика — привилегия науки. Сухость точного вывода и живость наглядной картины —
«лед и пламень не столь различны меж собой». Геометрия соединяет в себе эти
противоположности, они в ней взаимно проникают, организуют и направляют друг
друга. Это относится в конечном счете также к современным абстрактным
геометрическим теориям, которые при всей своей возвышенной отвлеченности вырастают
из той же геометрической интуиции.
Стоит лишь вспомнить классические творения архитектуры, начиная с
древнейших пирамид, как сразу становится очевидным, что геометрия в
некотором смысле относится к искусству. Предлагаемая вниманию читателей книга
Карла Левитина «Геометрическая рапсодия» представляет собой увлекательный
рассказ о геометрии главным образом в этом ее аспекте. Искусство лучше всего
воспринимать непосредственно. Тому способствуют гравюры М.К. Эшера, иллю-
стрирующие книгу, особенно в той ее части, где они образуют своего рода
художественно-геометрический фильм, дающий зрителю редкую возможность увидеть
геометрическое начало во многих явлениях природы и красоту в чисто
геометрических конструкциях и построениях.
Так что же от истинного искусства всегда присутствует в истинной
геометрии? Словами выразить это затруднительно. Но вглядитесь внимательно
в столь естественно вплетенные в ткань книги работы художника, прочтите в
ней о вышедших в последние годы трудах, где так неожиданно и оригинально
использованы геометрические идеи. Замысловато и любопытно... Не правда ли?
Так и книга, которую вы держите в руках, — я уверен, что она будет
прочитана с интересом и пользой.
Академик
Александр Данилович Александров
Довольно почестей Александрам!
Да здравствуют Архимеды!
Анри Клод СЕН-СИМОН
УВЕРТЮРА
Математику ошибочно
считают наукой трудной, а иногда
даже подозрительной только
потому, что она имела несчастье
быть неизвестной отцам
церкви. Между тем она и важна и
полезна.
Роджер БЭКОН
Что-то произошло в самом начале семидесятых годов недавно ушедшего
двадцатого века, отчего математика — не изысканно-утонченная и недосягаемо
сложная, почтительно называемая «высшей», а самая обычная, безо всяких
превосходных степеней геометрия — вновь оказалась в центре людских
интересов. То там, то тут стали появляться книги, в которых читателю
демонстрировались не одни лишь любопытные и занимательные черточки и штрихи, а
полный загадочной прелести облик древнейшей науки, ее строгая красота и
кристальной ясности логика.
Но несравненно более симптоматично, что слово «геометрия» стало
появляться в стихах самого тонко чувствующего веяние времени поэта Иосифа
Бродского:
Вечер. Развалины геометрии.
Точка, оставшаяся от угла.
Вообще: чем дальше, тем беспредметнее:
Так раздеваются догола.
Не отдернуть руки, не избежать ожога,
измеряя градус угла чужого
в геометрии бедных, чей треугольник кратный
увенчан пыльной слезой стоваттной
или, еще короче и безнадежнее:
Геометрия утрат, как безумие, проста.
Видимо, и я поддался этому искушению, растворенному в воздухе времени,
и, отложив другие дела, стал писать цикл статей, для которого придумал
название «Геометрическая рапсодия» — не потому даже, что оно красиво
звучало, а просто во всех этих построениях и рассуждениях мне постоянно
слышалась прозрачная хрустальная музыка, изящная и завершенная, хотя и
бесконечная мелодия.
Вышло уже четыре номера журнала, в котором я тогда работал и для
которого писал свои статьи, а собранного и продуманного материала
оставалось еще на столько же. Так родилась книга, впитавшая в себя и те
журнальные публикации, и, естественно, много другого материала*.
Мне приятно было увидеть рецензии на нее в «Комсомольской правде»,
«Науке и жизни», «Изобретателе и рационализаторе» и даже в «Гудке»,
сохранившем, видимо, традиции своих знаменитых сотрудников Ильфа и
Петрова откликаться на события, не имеющие к железным дорогам даже
отдаленного отношения. Порадовали меня и выпущенный в столице Болгарии перевод
книги** и появившаяся почти сразу же вслед за ним рецензия в болгарском
журнале «Математика».
Между тем общественный интерес к простейшей, но вместе с тем и
фундаментальнейшей геометрии отнюдь не снижался. Однажды в редакции появился
не знакомый никому из нас человек, во внешности которого явно
проглядывало нечто «художественное» и, очевидно, несовместимое с какими-либо
точными науками (как оказалось, Виктор Николаевич Гамаюнов и в самом деле
много лет посвятил профессиональным занятиям живописью, в
действительности же он был кандидатом технических наук). Он принес несколько страниц
машинописи и огромное количество фотографий, которые вместе и составили
опубликованный вскоре журнальный материал, начинавшийся словами:
«Дорогая редакция!
Человек, который в наше время все еще пытается найти что-то новое в
Платоновых телах, выглядит чудаком, особенно если он профессиональный
ученый. Но в том, что я оказался в этой роли, косвенно повинен ваш журнал.
Три года назад я защитил диссертацию и... продолжал выводить теорему за
теоремой. Занятие это привело меня в такой восторг, что я решил создать
даже эмблему этого события в моей жизни, некий прекрасный геометрический
символ. И вот в минуту особого удовлетворения проделанной работой я взялся
за строительство бумажной люстры, которая постоянно висела бы надо мной и
озаряла меня светом геометрических идей.
* Карл Левитин. Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1976.
** Карл Левитин. Геометрична рапсодия. — София: Народна просвета, 1980.
Разумеется, первыми в голову пришли Платоновы тела, и я безо всякого
труда раскроил их ножницами и склеил. Куб, тетраэдр, октаэдр, додекаэдр
и икосаэдр лежали передо мной, но их геометрическая правильность меня
не удовлетворила. Я взялся за тела Кеплера—Пуансо. Три из них —
большой додекаэдр, большой и малый звездчатый додекаэдры — я умудрился и
раскроить и склеить. Но с последним, четвертым — большим звездчатым
икосаэдром — ничего не получалось. Вместо него обычный икосаэдр,
который я использовал как исходный пункт, как некое ядро, давал самые
странные и необычные тела. Я долго бился над этой задачей, и число невиданных
геометрических созданий росло на моем столе. Во всех них просматривалась
некая система, какая-то скрытая закономерность. Надо было искать ее, а
это значило начинать новое исследование. Но мне было ясно — дело это
никому не нужное да и, пожалуй, бессмысленное: правильные тела
исследованы вдоль и поперек целой армией геометров.
Видимо, я так бы и оставил ножницы и клей в покое, если бы как раз в это
время не стали приходить номера журнала «Знание—сила», в которых
печаталась статья К. Левитина «И видны в саду даже формулы...» (№ 9, 10 и 11 за
1971 год). Я вдруг почувствовал себя не одиноким. Раз кому-то все еще
интересны эти знаменитые тела, значит, их еще стоит пробовать исследовать —
пусть даже в тысячу первый раз».
Мы с В.Н. Гамаюновым в те годы стали единомышленниками-«многогран-
цами» и часто встречались то на выставках архитекторов, художников и
дизайнеров, использовавших любимые нами геометрические фигуры для своих
суперсовременных проектов, то в мастерских, где клеились необычные макеты
совсем уже непривычных нашему глазу строений, а то и в киностудии, где по
моему сценарию снимался научно-популярный фильм, посвященный все тем
же Платоновым телам. Он назывался «Великолепная пятерка» и удостоился
нескольких похвал в связанных с киноэкраном изданиях.
Жизнь, таким образом, постоянно, хотя и по-разному, поддерживала во
мне интерес к геометрической тематике. Вестником следующего ее
напоминания явился доставленный в редакцию толстый пакет, обклеенный марками
авиапочты. В него была вложена книга Бруно Эрнста, название которой я
перевел так: «Волшебное зеркало М.К. Эшера». Она представляла собой
изложение любопытных взглядов на связь науки с искусством, подкрепленных
анализом геометрического и физического смысла гравюр голландского
художника-графика Эшера, которые я уже не раз использовал для иллюстрирования
своих журнальных публикаций по геометрии.
Книга, показалось мне, достойна не только моего внимания. Так она попала
в руки физиков, математиков, искусствоведов. Одним из первых отозвался о
ней академик Николай Васильевич Белов, крупнейший советский
кристаллограф. Вот что он написал:
«Рисунки голландского художника и графика М. Эшера заслуженно
пользуются мировой известностью. Необычная фантазия художника, его обостренное
видение позволили ему создать удивительные работы, необычайно образно и
наглядно иллюстрирующие многие глубокие законы окружающего нас мира,
ими пользуются математики, кристаллографы, химики и даже философы».
Были и другие отзывы, некоторые из них процитированы в «Вариациях» к
этой книге.
Естественно, все это усилило желание поподробнее рассказать читателям о
Маурице Корнелисе Эшере, даже не столько о нем, сколько о его необычном
творчестве, раскрыть связь его удивительных гравюр с геометрией нашего
мира.
Эту работу подтолкнул и Международный конгресс научного кино в Киеве,
на котором я увидел снятую голландцами небольшую ленту об Эшере и его
работах, названную «Приключения восприятия» (переработанная версия
которой в 1971 году завоевала высший кинематографический трофей, премию
«Оскар», за лучшую короткометражную картину). Видимо, именно тогда
родилась у меня мысль создать свой собственный фильм, пусть и воображаемый,
но зато на этот раз мультипликационный, где бы геометрическое и
философское начала его работ выступили на поверхность. Настроения тех лет нашли
свое отражение в одной из «Вариаций», получившей название «Букет из сада
Геометрии».
Еще одно обстоятельство, каким бы незначительным оно ни выглядело со
стороны, способствовало тому, что геометрическая тема все эти годы прочно
сохраняла свое место на моем письменном столе. Однажды я был приглашен
на математическую олимпиаду школьников, которую проводил Московский
областной педагогический институт имени Н.К. Крупской, где меня ждали два
приятных сюрприза: участники демонстрировали свои собственные способы
вписывания всех пяти милых моему сердцу правильных многогранников —
Платоновых тел — друг в друга, а в качестве призов победителям олимпиады
ее организаторы приготовили новое издание моей «Геометрической рапсодии»*.
Несколько позже состоялся вечер в Московском молодежном музыкальном
клубе (МММК), который к тому времени вот уже четверть века раз в неделю
собирался в Доме композиторов, чтобы обсудить нечто, имеющее отношение к
музыке. Его бессменный руководитель Григорий Самуилович Фрид, известный
композитор, художник и автор книг о музыке и живописи, их связи, сходстве и
различии, предложил мне рассказать столь взыскательной аудитории о
музыкальных аспектах творчества Эшера. В качестве иллюстрации к моему
сообщению прозвучал один из самых удивительных канонов «Музыкального
приношения» Иоганна Себастьяна Баха, в котором звуки выстраиваются в
«невозможный ряд»: кажется, что они идут все выше и выше, без конца и начала, как
люди на знаменитой эшеровской гравюре «Поднимаясь и опускаясь»**. Когда, к
немалому своему удивлению, я обнаружил, что даже далекие от математики
члены музыкального клуба с большим интересом и вниманием отнеслись к
моему выступлению, я отчетливо понял, что пора вновь браться за работу над
книгой.
Таинственные причины, побудившие меня в свое время стать «рапсодом»
геометрии, действовали, вероятно, одновременно во всем мире. Результатом
этого явилось необычно большое число изданных в разных странах книг, так
или иначе касавшихся увлекательных проблем этой мудрой науки, которые
* Карл Левитин. Геометрическая рапсодия. — М.: Знание, 1984.
** См. «Указатель работ художников, иллюстрирующих эту книгу и имеющих ярко
выраженное геометрическое начало», или просто «Указатель».
появились на полках магазинов к концу семидесятых — началу
восьмидесятых годов, отставая от времени выхода оригиналов на те несколько лет, что
потребовал их перевод.
Будучи лишенным возможности перечислить все замечательные работы,
имеющие отношение к красоте и изяществу геометрической мысли, которые
появились в последние десятилетия, я хочу назвать лишь те из них, что в
наибольшей мере подогрели мою решимость вернуться к геометрическим
увлечениям прошедших дней. Это — «Симметрия природы и природа
симметрии» Ю.А. Урманцева (М.: Мысль, 1974), «Жар холодных чисел и пафос
бесстрастной логики» Б.В. Бирюкова и В.Н. Тростникова (М.: Знание, 1977),
«Узоры симметрии» — сборник статей под редакцией М. Сенешаль и
Дж. Флекса (М.: Мир, 1980), затем «Флатланд» Э. Абботта и «Сферландия»
Д. Бюргера (М.:Мир, 1976), «Пространственные построения в живописи»
Б.В. Раушенбаха (М.: Наука, 1980), о которой рассказывается в одной из
«Вариаций» в этой книге, «Новые встречи с геометрией» Г. Коксетера и
С. Грейтцера (М.: Наука, 1978), «Симметрия в науке и искусстве»
А.В. Шубникова и В.А. Копцика (М.: Наука, 1972), «Этюды о симметрии»
Е. Вигнера (М.: Мир, 1971), «Россыпи головоломок» Ст. Барра (М.: Мир,
1978), третье издание «Наглядной геометрии» Д. Гильберта и С. Кон-Фоссе-
на (М.: Наука, 1981) и, наконец, «Модели многогранников» М. Веннинджера
(М.: Мир, 1974). Но, быть может, в наибольшей мере появлением своим
книга эта обязана серии переводов прекрасных книг Мартина Гарднера,
бессменного ведущего математического раздела журнала «Сайентифик Амери-
кэн», — «Математические головоломки и развлечения» (М.: Мир, 1971),
«Математические досуги» (М.: Мир, 1972) и «Математические новеллы» (М.:
Мир, 1973), а также совсем уж поразительной и по форме и по содержанию
книге «Гёдель, Эшер, Бах: вечная золотая цепь» Дугласа Хофштадтера,
который пришел на смену оставившему все-таки свой журнальный пост Гарднеру
(о ней речь тоже пойдет в «Вариациях»).
Это перечисление работ, оставивших свой след в предлагаемой вниманию
читателя книге, можно было бы без особого труда продолжить и тем самым,
пусть и в косвенной форме, выразить благодарность их авторам. С каждым
годом, однако, список этих книг (и, соответственно, общий объем
благодарности) рос. И вместе с тем ощущение сопричастности к всемирному эзотерическому
братству все более охватывало меня. Загадочные пересечения интересов
множества людей, удивительные сцепления обстоятельств, в центре которых всегда
были и геометрия, и красота, и парадоксальность, и закономерности
окружающего нас Космоса, и устройство человеческого восприятия, в какой-то мере
отражающее эти глобальные законы, все это не оставляло меня, так или иначе
втягивая в круг забот и исканий множества доселе мне незнакомых людей.
Так, вдруг пришло письмо из Варшавы, из Института биокибернетики и
инженерной биомедицины:
«Глубокоуважаемый Карл Ефимович!
Я прочитал с большим интересом Вашу очень занимательную
«Геометрическую рапсодию», где, между прочим, Вы написали также немножко о так
называемых «невозможных фигурах».
Я веду научную работу в области обработки, анализа и интерпретации
изображений при помощи вычислительных машин, где такие фигуры
употребляются как источник знаний о механизмах визуальной интерпретации. Я также
очень интересуюсь использованием этого рода эффектов в искусстве и собираю
все материалы и информацию по этой теме. Меня также интересуют работы по
многогранникам и проблеме зрительного представления многомерных тел...
Желаю всего хорошего и надеюсь на Ваше доброжелательное сотрудничество.
С глубоким уважением Зенон Кульпа».
А вскоре почтальон принес в редакцию статью доктора 3. Кульпы
«Возможны ли невозможные фигуры?». В списке использованных при ее написании
работ оказались вместе и голландец Бруно Эрнст со своим уже упоминавшимся
«Волшебным зеркалом М.К. Эшера», и неизвестный мне в тот момент
шведский ученый, художник и скульптор Оскар Рутерсвард, автор книги
«Невозможные фигуры», и давно знакомый мне англичанин Ричард Грегори, чей
«Разумный глаз» давно стоит на моей книжной полке, и академик Борис
Викторович Раушенбах, тридцатилетний юбилей сотрудничества с которым я мог
бы в те годы отпраздновать и книгу которого «Пространственные построения в
живописи» я как раз в это время штудировал.
Это совпадение показалось мне пророческим — словно некий указующий
перст направлял меня на создание еще одной «Вариации» к «Геометрической
рапсодии». Это намерение еще более укрепилось благодаря присланному мне
вскоре каталогу выставки «невозможных фигур», которая состоялась в Лодзи в
конце 1984 — начале 1985 года, где одновременно демонстрировались работы
Зенона Кульпы и Оскара Рутерсварда. Там я прочел весьма любопытные
рассуждения о причинах победы системы перспективы Ренессанса над ранее
царившими в изобразительном искусстве системами — а именно эта тема лежала в
основе работы Б.В. Раушенбаха. Когда же в руки мне попали «Невозможные
фигуры» A—6)*, то судьба еще одной «Вариации» к этой книге, названной
«Ретроспектива теории перспективы», решилась окончательно, ибо идея
взаимопереплетения мыслей и исследований, охвативших разные страны и времена,
прозвучала в устах Оскара Рутерсварда не по-скандинавски эмоционально:
«Публикация книги о моих «невозможных фигурах» в вашей огромной,
лежащей к востоку от нас стране, вызывает во мне особенное чувство
благодарности. К тому есть безусловные причины. Обе движущие силы создания
этих фигур — одна из них эмоциональная, другая техническая — пришли ко
мне с Востока. Мое тяготение к парадоксальному я унаследовал от бабушки с
отцовской стороны, родившейся и выросшей в Петербурге. Ее мягкий юмор
был исполнен пристрастия к противоречивому и абсурдному, отличавшему
русский поэтический мир. Эту эксцентричность она принесла с собой в
Швецию и передала членам всей нашей семьи. Другим источником моего
вдохновения был профессор Петербургской Академии художеств Михаил Кац, в классе
которого мы с сестрой в 1930 году обучались искусству изображения
человеческого тела. Он открыл мастерскую в Стокгольме, где, кроме всего прочего,
* Здесь и далее в скобках стоят номера рисунков, фотографий и чертежей, которые, если
взглянуть на них, порой могут доставить несколько секунд удовольствия, не говоря уже о
том, что они имеют самое прямое отношение к тексту этой книги.
работал над монументальными гранитными скульптурами для площадей и парков
шведской столицы. В течение двух семестров этот педагог, который со своим
голосом соблазнителя и пронизывающим взглядом был копией Распутина,
почти гипнотизируя, с неумолимой строгостью обучал нас способам и приемам
изображения, постигнутым им в Академии художеств».
Оскар Рутерсвард нигде в книге не упоминает о том, что сам он в 1934 году
открыл «невозможную фигуру», ставшую знаменитой, когда ее переоткрыли
много позже, — «пространственный треугольник», а также еще две такие
фигуры, изображенные на серии марок, выпущенных почтовым ведомством
Швеции уже в восьмидесятые годы прошлого века G).
Дело, таким образом, как бы независимо от моей воли шло к изданию той
книги, что вы держите сейчас в руках. В конце марта 1985 года в Риме
состоялся Международный конгресс по изучению творчества М.К. Эшера. Не
рассказать об этом читателям «Геометрической рапсодии» — значило бы утаить
от них нечто крайне важное: еще несколько неожиданных поворотов вечно
ищущей геометрической мысли, вступившей в зацепление с мыслью
эстетической, биологической и даже этнографической. И когда на мой стол лег том
«М.К. Эшер. Искусство и наука»*, содержащий труды участников конгресса,
я понял, конечно, что Провидение не оставляет меня своим вниманием.
Еще одно соображение, заставившее меня вновь взяться за эту книгу: из
Чехословакии, ставшей к тому времени Чехо-Словакией, но еще не распавшейся
на Чехию и Словакию, пришло письмо от доктора Антонина Верба,
переводчика «Геометрической рапсодии» на чешский язык. Года полтора назад он
приезжал в Москву, мы обсудили с ним все детали, и тут дело застопорилось. Но
теперь, как весьма элегантно излагал он суть событий, «ситуация с изданием
российских книг в Чехо-Словакии в целом отрицательная, но в отношении
«Геометрической рапсодии» — положительная»**. И мне подумалось: уж если
книга о красоте геометрии способна преодолеть политические и государственные
сложности, то ей просто необходимо появиться на свет в новом обличий.
* Рассказ о нем — в одной из «Вариаций» к этой книге.
** Karl Levitin. Geometricka rapsodie. — Praha: SNTL, 1991.
...Судьбы книг, как правило, счастливее судеб их авторов хотя бы потому, что
никому из нас не суждено второго издания, не говоря уж о третьем и
последующих. Ради одной только возможности когда-нибудь вновь сесть за свой
старый труд, право же, стоит писать и переписывать их.
К. Левитин
Добринка — Москва — Пятовское,
2004 г.
Ни днем, ни ночью не может
он перестать подгонять себя и
напрягаться, чтобы изучить в
совершенстве все, что было
сказано наиболее знаменитыми из
древних... Для такого человека,
я надеюсь, мой трактат
окажется очень полезным. До сих
пор, однако, такие люди
немногочисленны, в то время как для
других эта книга будет столь же
излишня, как история,
рассказанная ослу.
Клавдий ГАЛЕН
ИНТРОДУКЦИЯ
Все, что находится в природе,
математически точно и
определенно; и если иногда мы
сомневаемся в этой точности, то
наше невежество ничего не
отнимает от этой
достоверности; если бы весь мир сомневался
в том, что дважды два —
четыре, то все-таки у всех
сомневающихся дважды два дадут
четыре.
Михаил Васильевич
ЛОМОНОСОВ
I
«РАПСОДИЯ — ЭТО ВАРИАЦИИ НА
ИЗВЕСТНЫЕ ТЕМЫ», — утверждает «Музыкальный
словарь».
Темы бывают разные, в том числе вечные.
Устройство мира, его геометрия — одна из них.
II
«БОЛЬШИНСТВО ЛЮДЕЙ ПОЛУЧАЮТ
ОПРЕДЕЛЕННОЕ УДОВОЛЬСТВИЕ ОТ
МАТЕМАТИКИ, ТАК ЖЕ КАК БОЛЬШИНСТВО ЛЮДЕЙ
МОГУТ НАСЛАЖДАТЬСЯ ПРЕКРАСНОЙ
МЕЛОДИЕЙ, НО ПРИ ЭТОМ БОЛЬШЕ ЛЮДЕЙ
ИНТЕРЕСУЕТСЯВСЕ-ТАКИ МАТЕМАТИКОЙ,
А НЕ МУЗЫКОЙ», — это утверждение
принадлежит Годфри Харди, известному
современному математику.
Ill
Никто, конечно, не подсчитывал, сколько людей
интересуется математикой, а сколько музыкой, хотя на
интуитивной основе с Харди можно, вероятно,
согласиться: ведь математика не только доставляет
удовольствие, она еще и удовлетворяет практические
потребности людей. Однако природа удовольствия, которое
получают люди, увлекающиеся математикой, и
природа удовольствия, доставляемого музыкой, действительно
одна и та же. При этом изо всех многочисленных
разделов математики наиболее «музыкальной», вне
сомнения, геометрия. В доказательство тому — всего два
высказывания. «Живопись — это музыка для глаз», —
говорил французский живописец и график Эжен
Делакруа. «Ни один живописец не может писать, не зная
геометрии», — утверждал Леон Батиста Альберти,
видный итальянский ученый, архитектор и теоретик
искусства Раннего Возрождения.
IV
«ПОНИМАНИЕ МАТЕМАТИКИ НЕ ПРИОБРЕТАЕТСЯ
ТОЛЬКО БЕЗБОЛЕЗНЕННО РАЗВЛЕКАТЕЛЬНЫМИ
СПОСОБАМИ — КАК НЕЛЬЗЯ ОВЛАДЕТЬ
МУЗЫКАЛЬНОЙ КУЛЬТУРОЙ, ЧИТАЯ ЖУРНАЛЬНЫЕ
СТАТЬИ, ПУСТЬ ДАЖЕ ПРЕВОСХОДНО НАПИСАННЫЕ,
НАДО СЛУШАТЬ — ВНИМАТЕЛЬНО И
СОСРЕДОТОЧЕННО», — такого мнения придерживается Рихард Курант,
еще один известный современный математик.
V
«ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИКИ НАСТОЛЬКО СЕРЬЕЗЕН,
ЧТО ПОЛЕЗНО НЕ УПУСКАТЬ СЛУЧАЯ СДЕЛАТЬ ЕГО
НЕМНОГО ЗАНИМАТЕЛЬНЫМ», — повторял Блез
Паскаль, один из великих ученых прошлого.
VI
Паскаль и Курант не спорят друг с другом — в их
словах нет противоречия. Сама математика, особенно
часть ее, называемая геометрией, таит в себе массу
занимательных историй, которые хочется слушать
внимательно и сосредоточенно. К тому же, занятие это
несет в себе практическое начало — вот как предваряется
сборник переводов на русский язык статей видных
зарубежных математиков: «Современный мир
неожиданно обнаружил, что математика уверенно
расположилась в самых разных его частях и уголках ...
Распространение математики вширь сопровождается ее
проникновением вглубь; математика занимает теперь видное
положение в жизни общества. Все большее число
родителей желает определить своих детей в школы с
математическим уклоном». А вот что говорят о пользе
одного из самых важных разделов математики два
бессменных организатора Всеамериканских
математических олимпиад, известные математики Гарольд Коксе-
тер и Саму эль Грейтцер: «Геометрия сохранила всегда
присущую ей эстетическую привлекательность, не
поблекла и красота полученных ею результатов. Более
того, для специалистов в чистой и прикладной
математике геометрия стала еще более полезной и
необходимой, чем она была когда-либо раньше, — возьмите,
например, формы орбит искусственных спутников и
четырехмерную геометрию пространства—времени».
VII
...Вот вы и начали читать книгу, построенную так
же, как и эти несколько предваряющих ее фраз... Главы
ее — вариации на различные геометрические темы.
Каждые две из них, как кольца, «нанизаны» на третью,
связывающую воедино идеи, заключенные в «кольцах».
Тот же Харди писал: «Узоры математика так же, как
узоры художника или поэта, должны быть прекрасны;
идеи так же, как цвета или слова, должны
гармонически соответствовать друг другу. Красота есть первое
требование: в мире нет места для некрасивой математики».
Быть может, именно тут и следует искать объяснение
поразительной универсальности геометрических законов,
которые действуют с равной эффективностью в
кристаллах и в живых организмах, в атоме и во Вселенной, в
произведениях искусства и в научных построениях.
«Математика подобна искусству — и не потому, что
она представляет собой «искусство вычислять» или
«искусство доказывать», а потому, что математика, как и
искусство, — это особый способ познания», —
говорится в предисловии к книге «Математика в современном
мире», изданной совсем недавно.
«Наука и искусство так же тесно связаны между
собой, как легкие и сердце», — писал Лев Николаевич
Толстой теперь уже довольно давно. И ему, великому
писателю, и авторам сугубо научной монографии
вторят прославленные на весь мир ученые.
Александр Петрович Карпинский, геолог: «Связь
между научным открытием и творчеством в искусстве —
несомненна. И то и другое обуславливается вдумчивым
наблюдением и изучением действительности, и они идут
рядом к общей благородной цели».
Илья Ильич Мечников, биолог: «Великими
мастерами в искусстве становятся люди ученые, владеющие
математикой и измерительными методами, как,
например, Альберти, Леонардо да Винчи, Микеланджело».
Петр Леонидович Капица, физик: «Наука — дело
творческое, как искусство, как музыка».
Эти высказывания, касающиеся науки вообще, а
математики лишь в частности, особо применимы к геометрии.
Ее внутренняя гармония, строгая и законченная красота
не только делают геометрию наукой о фундаментальных
свойствах мира, но и дают каждому из нас возможность
пройти несколько шагов по геометрической стезе. «Если
бы только удалось преодолеть то недоверие, с которым
весьма многие под влиянием случайных школьных
впечатлений сторонятся всего, что связано с математикой, то
людей, склонных «импровизировать» в области
несложных произведений математического искусства, оказалось
бы не меньше, чем активных любителей музыки», —
пишут Ганс Радемахер и Отто Теплиц в своей книге «Числа и
фигуры», заочно полемизируя с Годфри Харди.
Попытка преодолеть это недоверие и есть основной
мотив предлагаемой вашему вниманию геометрической
рапсодии.
Предисловие можно назвать
громоотводом.
Георг Кристоф
ЛИХТЕНБЕРГ
I. ПОЦЕЛУЙ ПО РАСЧЕТУ
Высь, ширь, глубь.
Лишь три координаты.
Мимо них где путь?
Засов закрыт.
Валерий БРЮСОВ
«МАМОЧКА, ПОЧЕМУ Я ВСЕ ВРЕМЯ ХОЖУ ПО КРУГУ?» —
«ОТСТАНЬ, ГЛУПЫШКА, А ТО Я ПРИКОЛЮ К ПОЛУ И
ВТОРУЮ ТВОЮ НОГУ!» — так звучит старая детская шутка.
Ее, наверное, придумал древний математик, когда был
мальчишкой. Повзрослев, он сформулировал ее по-другому:
«Окружность — это совокупность точек на плоскости, одинаково
удаленных от какой-то одной точки на этой же плоскости».
(Взгляните, например, на фрагмент гравюры М.К. Эшера
«Завиток» — вы найдете ее, как и другие работы этого
художника, с помощью «Указателя», помещенного в конце книги.
Созданное воображением художника существо использует
основное свойство окружности для передвижения.) Подумав
немного, древний математик написал еще одну фразу: «Сфера — это
совокупность всех точек, равно удаленных от одной какой-то
точки». Прекрасные иллюстрации на тему «сфера» — еще две
гравюры того же автора: «Спирали на сфере» и «Буковый
шар».
С той поры прошло много лет, а новых хороших
геометрических шуток не появилось. Создавшееся положение,
конечно, беспокоило серьезных ученых, например Исаака
Ньютона. Мы бы, вероятно, никогда не узнали об этом, но, по
счастью, друг великого математика оксфордский астроном Дэвид
Грегори вел дневник. В один из дней 1694 года он
подробнейшим образом записал, как они с Ньютоном крупно
поспорили. Грегори по обыкновению размышлял вслух на свои
небесные темы — в этот раз о том, как звезды различной величины
размещаются на небе. И тут вдруг Ньютон перебил его: «Спорим, что
тринадцать одинаковых шаров, как их ни расположи, не могут касаться еще одного
шара!» Грегори немного подумал и принял спор. Но сколько друзья ни
изводили бумаги и слов, ни один из них не убедил другого. И лишь через
180 лет Рейнгольд Хоппе сумел доказать, что великий математик и в этом
научном споре оказался прав. Но доказательство Хоппе было таким
громоздким, а проблема настолько увлекала ученых, что до самого последнего
времени они без устали решали «задачу четырнадцати шаров». Самое простое
доказательство придумал англичанин Джон Лич в 1956 году. А в 1962 году в
«Трудах Нью-Йоркской Академии наук» появилась большая статья,
посвященная все той же задаче.
Но если считать — хотя это было бы большой ошибкой — все эти работы
чисто геометрическим юмором, то двум последним шуткам предшествовало
несколько более плоских острот. Плоских в прямом смысле этого слова,
В июне 1936 года читатели журнала «Нейчур» были приятно удивлены.
Известнейший английский химик Фредерик Содди, который получил
Нобелевскую премию за то, что открыл изотопы, на этот раз порадовал ученый
мир поэмой, состоящей из трех стансов. Она называлась (в моем вольном
переводе) «Поцелуй по расчету», и первый ее станс звучал приблизительно
так:
Когда к устам прильнут уста,
Быть может голова пуста.
Но если вдруг четыре круга
Решат поцеловать друг друга,
То лишь геометра расчет
Их к поцелую приведет.
Вариантов два, любой не плох:
Все три в одном, один средь трех (8).
Коль три в одном, то изнутри
К гиганту тянутся они (9).
Но и средь трех он рад вполне:
Три поцелуя — все извне.
В следующем стансе Содди в том же поэтическом ключе сообщает
выведенную им формулу: удвоенная сумма квадратов обратных радиусов равна
квадрату их суммы.
В этой несложной формуле Содди предусмотрел и тот случай, когда
больший круг охватывает три меньших: тогда надо просто брать величину радиуса
со знаком «минус». Всякому ясно, что теперь ничего не стоит вычислить
радиус четвертого круга, чтобы он смог «поцеловаться» с тремя другими.
Впоследствии выяснилось, что формулу эту знал еще Рене Декарт. Но
Содди открыл ее вполне самостоятельно. И, кроме того, он не удовлетворился
целующимися кругами. В третьей и последней части своего «Поцелуя по
расчету» Содди перешел с плоскости в пространство — от кругов к сферам. И тут
прежде всего обнаружилось, что в целовальном обряде участников уже не
четыре, а пять, а чтобы они могли коснуться друг друга, им надо, говоря
презренной прозой, подчиниться требованиям формулы: утроенная сумма
квадратов обратных радиусов равна квадрату их суммы.
Любители математических головоломок приуныли: все загадки о
соприкасающихся кругах и сферах стали решаться с удручающей легкостью. Ну вот, к
примеру, одна из них, просто так, чтобы лишний раз помянуть добром Содди. На столе
лежат три арбуза, каждый диаметром в тридцать сантиметров, а под ними —
апельсин. Конечно же, все фрукты, выращенные в садах геометрии, имеют
идеальную сферическую форму. А потому легкий вопрос: каков диаметр апельсина?
Но Нобелевский комитет не дал Фредерику Содди еще одну премию, быть
может, потому, что его формулы никак не помогали решать другие
геометрические задачи, которые отняли у мыслящего человечества не одну тысячу
человеко-часов. А именно — «упаковочные» головоломки. Формулируя задачу
на теперь уже привычном нам языке
геометрической эротики, мы поставим вопрос так: каково
максимальное число кругов (или сфер), которые могут
одновременно поцеловать один (одну) такой (такую)
же, целуясь при этом со своими соседями?
На плоскости задача элементарно проста: шесть
кругов касаются седьмого, центрального A0).
(В качестве таких кругов приятно взять четыре
гравюры М.К. Эшера, которые называются «Пределы на
круге».) Но со сферами дело обстоит куда сложнее —
недаром Ньютон так и не смог убедить своего друга
Грегори, что их может быть не больше тринадцати,
включая сюда и «целуемую».
В те годы пинг-понг еще не был в моде, а то бы
спорщики могли поставить любопытный эксперимент.
Отбросив предрассудок, им надо было взять «чертову
дюжину» шариков и сдавить их прозрачной
резиновой пленкой. Они могли бы убедиться, что «обычная»
дюжина охватывает «чертов» шарик таким образом,
что все двенадцать шариков располагаются в
вершинах воображаемого икосаэдра (правильного
двадцатигранника) и между ними остается небольшой зазор
A1). Но достаточен ли этот зазор, чтобы втиснуть еще
и четырнадцатый шарик? Вот в чем вопрос. Можно пробовать располагать шары
в самых различных комбинациях, но место для еще одного не высвобождается.
Это, однако, вовсе не доказывает, что такую удачную комбинацию найти
невозможно.
Но все-таки — да или нет? Как доказать строго? Хоппе придумал —
думайте, если это доставляет удовольствие, и вы.
Быть может, подобные головоломки вам, как и Исааку Ньютону,
покажутся трудными, но попытайтесь все-таки совершить над собой некое
интеллектуальное насилие. Все это не просто стандартные «вопросы на повторение
пройденного». Впереди космическое развитие темы круга и сферы, и к нему надо
подготовиться.
...По счастью, журнал «Нейчур», заложивший основы изучения
геометрических поцелуев, известен своей серьезностью. Серьезностью даже в
шутках. Напечатав стансы Содди о целующихся кругах и сферах, редакция
посчитала, что вопрос освещен недостаточно фундаментально. И в декабрьском
номере того же 1936 года опубликовало еще одно относящееся к этому сугубо
геометрическому вопросу стихотворное произведение Фредерика Содди,
названное (опять-таки в весьма вольном переводе) «Шестерелье», что означало
«шесть сфер, образующих ожерелье». Однако и этот поэтический опус не был
последней публикацией, посвященной проблеме геометрических поцелуев.
В январе следующего, 1937 года, появилась на свет прозаическая, но очень
объемная и насыщенная математическими формулами статья Содди, а в
феврале была напечатана развивающая тему заметка некоего Торольда Госсета
из Кембриджского университета и ремарка Содди, развивающая, в свою
очередь, результат, изложенный Госсетом. Однако Госсет не попытался
обобщить формулу Содди на случай /г-мерного пространства, в котором
целуются, естественно, /г-мерные сферы — гиперсферы, хотя именно такие
пространства его интересовали больше всего, как мы увидим, встретив его имя в
этой книге чуть позже.
Сейчас же нам предстоит справиться с совсем простым делом: представить
себе /г-мерную сферу.
«КОГДА НЕМАТЕМАТИК СЛЫШИТ О ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ВЕЩАХ, ЕГО
ОХВАТЫВАЕТ СВЯЩЕННЫЙ ТРЕПЕТ...», — так говорил Альберт Эйнштейн.
А Герман Гельмгольц считал, что представить себе четвертое измерение —
все равно что слепому от рождения вообразить краски. Заметьте, речь идет
всего лишь о четвертом измерении. Что же тогда сказать о пятом, шестом, а то
и вообще об тг-м?
И все-таки рискнем!
Впервые слова «тг-мерное пространство» прозвучали в 1854 году в речи
Бернгарда Римана при вступлении его на должность преподавателя Геттинген-
ского университета. Она называлась «О гипотезах, образующих основания
геометрии» и в самом деле провозглашала совсем новую, неожиданную и уж во
всяком случае неевклидовую геометрию, названную впоследствии «римановой».
Впрочем, и Евклид, создавая свою геометрию, возможно, размышлял о «мере
мира». «Точка — это то, что не имеет частей», — говорил он. Современный
математик посчитал бы эти слова пусть примитивным, но довольно точным
определением «объекта нулевого измерения». Точка, оставленная карандашом
на бумаге, острие булавки или башенного шпиля — вот эти «объекты» в
реальной жизни. Сфера нулевого измерения — это и есть точка.
Нить, проволока и любая иная линия — это уже одномерные предметы: у
них есть длина. Сфера в пространстве одного измерения — это две точки на
прямой: центр этой одномерной сферы лежит посередине между ними.
Представители двумерного мира имеют и длину и ширину — это ленты,
куски ткани, листы бумаги. Окружность, граница двумерного круга — вот что
такое сфера в пространстве двух измерений.
И, наконец, кубы, пирамиды, дома, корабли и самолеты так же, как и мы с
вами, входят в неисчислимую армию «трехмерцев», обладающих вдобавок к
длине и ширине еще и высотой. У них есть объем. Сфера в трехмерном
пространстве — это шар, «обычная» сфера.
Но вот что любопытно. Проволоку можно сломать, лист бумаги разрезать,
а куб распилить. И при этом получается, что одномерная поверхность, линия,
разделяется поверхностью нулевого измерения — точкой. Двумерная
плоскость делится надвое одномерной линией, а трехмерный куб — двумерной
плоскостью. Иными словами, границей «разлома» тела служит какое-то
другое тело, измерение которого на единицу ниже.
Что же тогда служит границей четырехмерного шара? Поистине прав
Эйнштейн: оторопь берет, когда пытаешься все это вообразить!
Но не будем отчаиваться и зайдем с другого конца.
Если точку «протащить» по бумаге, то получится линия. Линия, в свою
очередь, «заметает» плоскость — получается квадрат. Вытянем квадрат из
плоскости — сделаем куб. Это уже третье измерение. Но что же такое надо
сделать с кубом, чтобы обратить его в четырехмерное тело? И как его себе
представить?
А что мы делаем, чтобы изобразить на плоском
листе бумаги трехмерный куб? Мы проецируем его на
плоскость. Получаются два квадрата один в другом,
соединенные вершинами A2). Так спроецируем же и
четырехмерный куб! Мы получим по аналогии два куба,
один в другом, и снова вершины попарно соединены.
Вот он, посланец четвертого измерения, вернее, не сам
он, а его проекция на плоскость A3).
И точно так же, рассуждая по аналогии, мы можем
отдаленно представить себе четырехмерную сферу. Если
спроецировать глобус на плоскость, то проекции двух
его половин наложатся одна на другую, и Нью-Йорк
окажется где-то в центре нашей Сибири. Проецируя
глобус, мы пропускаем одну его полусферу сквозь
другую и соединяем их проекции, круги, только по
границе — окружности (как квадраты по вершинам).
Проекция гиперсферы — два шара, прошедшие один через
другой и соединенные только по внешним
поверхностям. Конечно, вообразить все это нелегко, но ничего
мистического тут нет.
Одно из наглядных доказательств тому — наглядных в прямом смысле
этого слова — представляет собой компьютерная программа, позволяющая
увидеть гиперкуб и гиперсферу. Слово А.К. Дьюдни, ведущему рубрики
«Занимательный компьютер» журнала «Сайентифик Америкэн»:
«Если говорить о происхождении этой программы, то вспомним, что еще в
середине 60-х годов А. Нолл, в то время работавший в фирме «Белл Лаборато-
риз», отснял фильм, в котором представлены двумерные тени, отбрасываемые
четырехмерными объектами, движущимися в четырехмерном
гиперпространстве. Однако в теперешнем виде программа была разработана Томасом Бэнкоф-
фом и его коллегами по лаборатории компьютерной графики в университете
Брауна, и настоящая статья была написана под впечатлением, которое
произвели на меня замечательные изображения, порожденные программой A4, 15 и
16). Бэнкофф, профессор математики, возглавляет визуальные исследования
поверхностей и пространств высших размерностей в дополнение к своим
геометрическим исследованиям. В 1978 году совместно с Ч. Строссом он
продемонстрировал генерируемый компьютером десятиминутный цветной фильм
«Гиперкуб: проекция и разрезы». Этот фильм уже успел стать классическим в
математическом подполье. Бэнкофф, вероятно, также является ведущим
исследователем жизни и творчества Эдвина Абботта, английского священника и
учителя, который в 1884 году написал сказку о воображаемой жизни в
двумерном мире.
Бэнкоффу и его коллегам удалось создать потрясающие изображения,
иллюстрирующие свойства четырехмерных объектов. Например, рисунки A4)
изображают вращение четырехмерного гиперкуба в четырехмерном
пространстве. Чтобы лучше понять эти картинки, рассмотрим тень, отбрасываемую
обычным кубом на плоскость: эта тень может напоминать квадрат,
заключенный в другом квадрате A2). Аналогично, когда гиперкуб освещен из точки,
расположенной «над» обычным пространством в четвертом измерении,
трехмерная тень, отбрасываемая гиперкубом, может напоминать куб,
заключенный в другом кубе. Так оно и есть на рисунке A4), где показан поворот
четырехмерного гиперкуба через размерности 2 и 4, спроецированный на обычное
наше трехмерное пространство. Внутренний куб окружен шестью
шестигранниками, которые можно рассматривать как искаженные кубы. Четыре
искаженных куба, прилегающих к граням внутреннего куба, образуют в
совокупности сплошное тело, торобразная поверхность которого показана на
изображениях Бэнкоффа. Когда гиперкуб вращается, возникает ощущение, будто
квадратное отверстие в видимом торе надвигается на зрителя.
Изображения, приведенные на рисунках A5) и A6), взяты из фильма
«Гиперсфера: расслоение и проекции». (На первом из них показана
последовательность вложенных торов, которые по аналогии с параллелями на обычной
сфере, являются проекциями гиперсферы на три измерения нашего мира; на
втором сделана попытка продемонстрировать, что проекция движения торов
во время вращения гиперсферы аналогична проекции движения параллелей во
время вращения обычной сферы.) Гиперсфера представляет собой гораздо
более сложный объект по сравнению с гиперкубом, и я не стану детально
описывать ее. Тем не менее, эти изображения можно в какой-то степени лучше
понять, воспользовавшись аналогией с обычной
сферой. Если в исходном положении сфера покоится на
плоскости, касающейся южного полюса сферы, а
источник света находится на северном ее полюсе, то
тень, отбрасываемая на плоскость линиями
параллелей сферы, будет представлять собой ряд
концентрических окружностей A7). Если сфера начнет
поворачиваться, а источник света останется в
фиксированном положении, то тени-окружности будут становиться неконцентрическими,
а теневое изображение любой окружности, целиком лежащей в плоскости
источника света, будет представлять собой прямую линию.
Аналогичным образом трехмерная «тень», отбрасываемая гиперсферой,
может рассматриваться как ряд концентрических торов A5). Когда гиперсфера
вращается, торы как бы раздуваются и проносятся один за другим перед
глазами зрителя фильма. При этом любой тор, проходящий через источник света,
становится бесконечно большим A6).
Рассмотрение аналогий в различных размерностях — ценное подспорье для
построения и понимания четырехмерных объектов. Например, гиперкуб
получается из куба точно так же, как куб получается из квадрата. Чтобы получить
куб из квадрата, будем поднимать квадрат в направлении, перпендикулярном
его плоскости, до высоты, равной его стороне A8). Полученный в результате
куб имеет 8 вершин (вдвое больше, чем у исходного квадрата) и 12 ребер —
4 стороны исходного квадрата и 4 стороны вновь появившегося верхнего
квадрата, а еще 4 получаются соединением вершин исходного квадрата с
вершинами верхнего квадрата. Кроме того, у куба 6 квадратных граней: одна —
совпадающая с исходным квадратом, одна — с поднятым и по одной грани-стене,
воздвигнутых между каждой из 4 пар сторон, принадлежащих исходному и
верхнему квадратам.
Если представить на мгновение, что у нас есть еще одно дополнительное
измерение, то ту же операцию можно повторить уже для куба. В самом деле,
«поднимем» куб из обычного пространства в направлении дополнительного
измерения на «высоту», равную грани куба A8, внизу). В результате
получится гиперкуб. Но каково же все-таки направление дополнительного измерения?
Я не могу этого объяснить. Даже фотография с изображением моей руки,
указывающей в направлении четвертого измерения, не помогла бы: на ней рука
эта была бы просто невидимой».
После этой пространной, но содержательной цитаты намного легче
представить еще одного гостя из иных миров, который носит имя «четырехмерный
симплекс». Симплекс — это простейшая из всех возможных фигур. Добавляя
каждый раз всего по одной точке, мы пробегаем по ступеням лестницы
размерностей. Одна точка — это нульмерный симплекс. Он живет, как уже
говорилось, в нулевом измерении. Две точки определяют отрезок — одномерный
симплекс. Измерение — первое. Третья точка превращает линию в
треугольник — двумерный симплекс. Еще точка — и вот перед нами пирамида. Это
уже простейшее из всех трехмерных тел — трехмерный симплекс. Но вот
добавлена пятая точка. Эта необычная конструкция состоит из пяти пирамид.
Все вместе они отделяют четырехмерный симплекс от остального
четырехмерного пространства точно так же, как шесть граней куба отделяют его от
остального трехмерного пространства, а три стороны треугольника
ограничивают его на плоскости.
Но что дает нам уверенность, что гиперкуб не принадлежит к нашему
трехмерному миру? Существует один простой тест, основанный на формуле,
выведенной еще Леонардом Эйлером*. Это удивительная формула. Она — истинно
топологическая, потому что имеет дело не с размерами, углами или
площадями, а лишь с числом граней, вершин и ребер любой геометрической фигуры.
Вот она:
То есть число граней (Г) плюс число вершин (В) равно числу ребер (Р)
плюс 2. Проверьте правильность этой формулы на какой угодно фигуре —
* До Эйлера эту формулу знали Декарт и Лейбниц.
кубе, пирамиде, тетраэдре, икосаэдре, произвольном многограннике, теле
самой замысловатой формы. При любых деформациях любой из них формула
Эйлера верна.
Но возьмите гиперкуб A8): 24 стороны, 16 вершин, 32 ребра и сверх того
8 трехмерных граней — вот то геометрическое богатство, которым он
обладает. Простейшие арифметические действия убедят вас, что гиперкуб пришел к
нам в гости из сложнейшего четырехмерного мира: для него формула Эйлера
не справедлива.
Итак, знакомство состоялось. Так и хочется задать «четырехмерцам»
традиционный вопрос: «Ну, как там у вас?». Но гиперкуб молчит всеми своими
восьмьюдесятью элементами, симплекс тоже безмолвствует, и нам остается лишь
еще раз прибегнуть к испытанному приему — разбежаться перед прыжком: раз
надо исследовать свойства четвертого измерения — отступим пока во второе.
«ГОРАЗДО ЛЕГЧЕ НАЙТИ ОШИБКУ, НЕЖЕЛИ ИСТИНУ», — писал
великий Гёте.
В 1884 году Эдвин Абботт издал книгу, где справедливость этих слов
доказывалась с наглядностью геометрического построения. Книга его
называлась «Флатланд» («Плосколяндия»), и хотя она была чисто
математической по содержанию, но вызвала много шума в разных кругах
общества — автора упрекали даже в женоненавистничестве. И в самом деле, в
воображаемой Плосколяндии, стране двух измерений, женщина была
простейшей из фигур — прямой линией. Все остальные обитатели
представляли собой различные многоугольники: рабочие и солдаты — треугольники,
ремесленники — квадраты, джентльмены — пятиугольники, а
священники были настолько многоугольными многоугольниками, что больше всего
походили на круг. И вот в этот плоский, плоский, плоский мир является
существо из третьего измерения — Сфера. Квадрат (рассказ ведется от его
лица) увидел перед собой священника, который вел себя самым
противоестественным образом: он то раздувался, то сжимался. Сколько ни пыталась
Сфера объяснить Квадрату, что все эти видимые им круги разного
диаметра — это все она одна, когда проходит сквозь Плосколяндию вверх или
вниз, он так и не смог вообразить себе трехмерную сферу, пронизывающую
его двумерный мир.
Как можно убедить разумное существо, что ты посланец иных миров?
Только продемонстрировав ему чудо. Здесь у нас с вами, как и у любого «трехмер-
ца», самые широкие возможности. Ну что нам стоит вынуть плоскатика из его
дома (а это просто замкнутая кривая), не разрушая стен? Извлечь содержимое
плоского яйца, не протыкая его скорлупы? Произвести трансплантацию
сердца любому гражданину Плосколяндии, не вскрывая его грудной клетки? Да
просто, наконец, приподнять любой предмет в этой стране над плоскостью и
тем самым «выключить» его из жизни и даже из поля зрения? И пусть плоска-
тики сочиняют свои басни о своих «летающих тарелочках».
Если две Плосколяндии удалены друг от друга на тысячи световых лет, но
плоская лента их мира извивается в пространстве так, что одни ее участки
оказываются поблизости один от другого как на гравюре Маурица Эшера
«Оболочка», то мы легко можем перенести плоскатика из одной галактики в дру-
гую со скоростью, в тысячи раз превышающей скорость света в его плоской
Вселенной: ведь мы пронесем его через третье измерение.
Такие сказочные возможности несет в себе увеличение размерности мира всего
на единицу. Это значит, что «четырехмерцы» так же всемогущи по отношению к
нам, как мы по отношению к «двумерцам». Скажем, нам не под силу надеть левую
перчатку на правую руку или правый ботинок на левую ногу. Но «четырехмерец»
без труда мог бы унести на мгновение и перчатку, и ботинок в свое «лишнее»
измерение и вернуть их оттуда симметрично отображенными. Первым до этого
додумался в 1827 году Август Фердинанд Мёбиус, человек, чье имя встретится нам
еще не раз. В чем тут фокус — вопрос особый, и мы к нему еще вернемся, а пока
подумайте: как бы вы могли помочь «двумерцам» обуться, если бы вдруг все их
сапожники стали делать туфли только на одну левую или правую ногу?
Новое измерение таит в себе такие невероятные возможности, что в
сознании людей, не обретших твердого философского материалистического
фундамента, не могло не вызвать потусторонних мыслей. В 1879 году вышла книга
астронома и физика Иоганна Карла Фридриха Цёльнера «Трансцендентная
физика». Он развил стройную теорию о том, что все покойники должны
встречаться в четвертом измерении, которое Цёльнер представлял себе как некую
комбинацию Элизиума и Валгаллы — рая и ада.
Этого немецкого ученого можно заподозрить в чем угодно, только не в
желании прослыть остряком — он все писал и делал всерьез, что ярко
проявилось в истории с Генри Слейдом. В то время Европа упивалась спиритизмом.
Слейд как раз и был одним из кумиров околонаучных гостиных. Сей
загадочный американец утверждал, что постоянно держит связь с четвертым
измерением и охотно демонстрировал свой любимый фокус: завязывал узел на
соединенной в кольцо веревке или ленте.
Как это может сделать существо «высшего порядка», видимо, вообразить
себе не так уж сложно, а технология, примененная Слейдом, подробно
рассмотрена в книге Гарри Гудини «Фокусник среди спиритов» и даже в «Трудах
Американского общества психиатров». Вместе с этими двумя
разоблачительными работами появилась и одна защитительная, написанная «отцом»
Шерлока Холмса Артуром Конан Дойлем. Она называлась «История спиритизма»,
и Слейд в ней выглядит не шарлатаном, а чудотворцем. Если добавить к
этому, что и «Труды...», и обе книги появились уже в двадцатых годах
двадцатого века, станет понятным, насколько глубокое и длительное впечатление
производили заигрывания Слейда с четвертым измерением.
Цёльнер решил организовать эксперимент по всем правилам науки. Он
предложил Слейду превратить морскую раковину, закрученную левой спиралью, в
точно такую же, но только зеркально отображенную — с правой спиралью.
Кроме того, Цёльнер принес на спиритический сеанс немного виннокаменной
кислоты с «правым» пространственным расположением молекул и попросил
преобразовать ее в кислоту с «левым» расположением тех же молекул.
Разумеется, для человека, который запанибрата с четвертым измерением, сделать все
это не сложнее, чем завязать узел на соединенной в кольцо ленте. Но, с точки
зрения фокусника, тут есть свои трудности — надо суметь синтезировать
новую кислоту или же, что еще сложнее, найти симметричную данной морскую
раковину.
Конечно, ничего у Слейда не получилось. Но Иоганн Карл Фридрих Цёль-
нер был слишком серьезным ученым (и слишком легковесным философом),
чтобы отказаться от своей теории потусторонней физики или заподозрить
всемирно известного спирита в элементарной подтасовке. Раз узел появлялся,
рассуждал он, значит, есть и контакт с четвертым измерением. А раз есть
четвертое измерение, то, значит, там обитают души умерших...
Вообще сама идея четвертого измерения не раз привлекала к себе внимание
крайних мистиков, служила пищей для самого дикого суеверия. Любопытно,
что происхождение ее связано с Платоном, самым крупным древнегреческим
философом-идеалистом, с именем которого нам много раз предстоит
встречаться на страницах этой книги, поскольку оно было присвоено целой группе
геометрических тел — вполне материальных, не несущих в себе даже тени
идеалистического мировоззрения. Так вот именно Платон в своей
«Республике» повествует о прикованных у входа в пещеру пленниках, которые могут
видеть лишь ее противоположную стену и на ней свои тени и тени предметов,
случайно оказывающихся у них за спиной. Эта невыносимая жизнь длится
столь долго, что несчастные в конце концов начинают считать тенями самих
себя, да и весь мир кажется им миром теней некоего иного внеземного и более
совершенного мира — мира идей.
Неоплатоники, черпавшие свои мистические воззрения не только у
своего учителя, но и из различных восточных религиозных учений, развили
представление о реальном мире как о тени, отбрасываемой миром
потусторонним. Есть мнение, что само выражение «четвертое измерение» (quarta
dimensio) появилось впервые в сочинении английского мистика,
кембриджского неоплатоника Мора в его книге «Энхиридион Метафизикум», изданной
в 1671 году.
Представители различного рода религиозных культов усердно заселяли
четвертое измерение (вообще говоря, с точки зрения строгой геометрии
правильнее было бы такое выражение: пространство, имеющее четыре измерения)
душами усопших. Верующим сообщались и многочисленные доказательства того,
что дело обстоит именно таким образом. При этом мистики иудаизма
приводили цитаты из каббалистических книг «Зохар» и «Сефер Ецира», где
повествуется о явлении душ умерших в наш мир и о творимых ими чудесах;
мусульманские проповедники ссылались на некоторые суры Корана и хадисов —
священных преданий; идеологи христианства находили неотразимые, по их
мнению, свидетельства в Евангелии и апокрифах — библейских книгах, не
признаваемых священными официальной церковью. К примеру, во «Втором
Послании апостола Павла к Коринфянам» речь идет о человеке, который был
«взят до третьего небосвода», что толковалось как безусловное и очевидное
перемещение его в четвертое измерение. В его же «Послании к Эфесянам»
говорится о «ширине, длине, глубине и высоте», другими словами, о всех
четырех измерениях «мира духов». А в «Откровении Иоанна» —
«Апокалипсисе» — сказано, что лично сам Иоанн был «вознесен в духе» и при этом
увидел «город четырехквадратный». Ясное дело, что перед его очами предстал
гиперкуб, притом именно четырехмерный!
Любопытно, что всего полвека назад, в 1954 году, Сальвадор Дали
затронул всю ту же тему в своем «Распятии», названным им также и «Corpus
Hypercubus» (см. «Указатель»). Один из комментариев к этой работе гласит:
«Картина представляет собой теоретически возможное представление
четырехмерного мира. В ней увлеченность Дали математикой соединилась с его,
католика, верой в загробную жизнь... убежденностью в том, что два, казалось бы,
диаметрально противоположных мира — наука и религия — МОГУТ
сосуществовать».
Нет, не математики или физики виновны в том, что идея четырехмерного
пространства дала пищу для всякого рода чертовщины. Забавно: Клейну
пришлось публично объяснять, что сделанное им математическое открытие (смысл
которого сводится к тому, что узлы замкнутой кривой в пространстве трех
измерений могут быть развязаны в пространстве четырех измерений) никакого
отношения к «миру духов» не имеет, хотя Цёльнер и ссылался именно на эти
работы Клейна. Позже даже Эйнштейну пришлось отмежевываться от разного
рода мистических спекуляций на понятиях о четырехмерном пространстве
Минковского, кривизне пространства-времени и других рожденных теорией
относительности представлений.
Громя в «Материализме и эмпириокритицизме» махизм за отрицание
объективной реальности, Владимир Ильич Ленин тоже не обошел вниманием этот
вопрос. По его мнению, австрийский физик Мах, пользуясь методами
«...молчаливых заимствований у материализма...», совершенно справедливо
защищает в своей «Механике» «тех математиков, которые исследуют вопрос о
мыслимых пространствах с п измерениями, защищает от обвинений в том,
будто они повинны в «чудовищных» выводах из их исследований». И далее
Ленин, цитируя и ссылаясь на Маха, пишет: «Новейшая математика...
поставила очень важный и полезный вопрос о пространстве с п измерениями
как о мыслимом пространстве, но «действительным случаем» (ein wirklicher
Fall) остается только пространство с 3-мя измерениями...». Поэтому
напрасно «многие теологи, испытывающие затруднения насчет того, куда им
поместить ад, а также спириты пожелали извлечь для себя пользу из четвертого
измерения...».
Ленин назвал «прекрасным аргументом» следующее утверждение Маха:
«Акушера такого еще не было... который бы помог родам при помощи четвертого
измерения». Но этот аргумент, продолжал он, прекрасен только «...для тех, кто
видит в критерии практики подтверждение объективной истины, объективной
реальности нашего чувственного мира. Если наши ощущения дают нам объективно
верный образ внешнего мира, существующего независимо от нас, тогда этот довод с
ссылкой на акушера, с ссылкой на всю человеческую практику, годится. Но тогда
весь махизм, как философское направление, никуда не годится».
Геометрическая идея ^-мерности, как видим, имеет длительную и бурную
философскую предысторию.
С помощью этой идеи и многие другие науки пытались разрешить свои
трудности и неясности. Например, протекание электрического тока до
открытия электрона некоторые физики объясняли некими четырехмерными
вихрями. Существовали одно время представления и о четырехмерной химии.
Английский химик Хинтон утверждал, что в молекуле алкоголя С5Н12О все пять
атомов углерода находятся на одинаковом расстоянии друг от друга, что,
разумеется, невозможно в нашем трехмерном мире, но зато легко осуществимо в
пространстве четырех измерений. На самом же деле, как теперь известно,
структурно молекула алкоголя выглядит так:
Те, кто верил в «четырехмерную химию», упорно считали, что оптическая
изомерия, т. е. существование соединений одинакового химического состава,
но имеющих кристаллы, зеркально расположенные в пространстве
относительно друг друга, свидетельствует о существовании четвертого измерения.
Любопытно и поучительно, что решительный шаг в научном объяснении
оптической изомерии был сделан крупным русским химиком Александром
Михайловичем Бутлеровым, который был ревностным сторонником спиритизма.
Однако, создавая свою теорию строения химических соединений, он ясно видел,
что для того, чтобы двум оптическим изомерам «поменяться местами», то есть
превратиться в зеркально отраженные, нет никакой необходимости в
четвертом или каком-либо ином измерении.
«ТЕМ, КТО ХОРОШО ЗНАКОМ С ПЯТЫМ ИЗМЕРЕНИЕМ, НИЧЕГО НЕ
СТОИТ РАЗДВИНУТЬ ПОМЕЩЕНИЕ ДО ЖЕЛАТЕЛЬНЫХ ПРЕДЕЛОВ.
СКАЖУ ВАМ БОЛЬШЕ, УВАЖАЕМАЯ ГОСПОЖА, ДО ЧЕРТ ЗНАЕТ КАКИХ
ПРЕДЕЛОВ!» — самодовольно вещает Коровьев в «Мастере и Маргарите».
Неуемная фантазия Булгакова не удовлетворилась даже четвертым
измерением — ему понадобилось пятое. Другие фантасты тоже не обошли «мир иной»
своим вниманием. Первым среди них был, видимо, Герберт Уэллс. Школьный
учитель Готфрид Платтнер, герой рассказа Уэллса «История Платтнера»,
изобрел желтый порошок, который, взорвавшись, забросил изобретателя в
четвертое измерение. Через девять дней жизни там Платтнер споткнулся, у него в
кармане разбилась бутылка с тем же порошком, и он очутился дома, без
потерь и происшествий, если не считать того, что сердце у него переместилось
в правую часть грудной клетки, а сам он стал писать левой рукой, да вдобавок
зеркально. «Люди как боги» — другое произведение Уэллса, в котором
«действует» четвертое измерение. Уэллс лишь открывает список фантастов,
которых увлекла эта тема. В нем стоят имена многих других знаменитостей этого
увлекательного жанра литературы.
Но попробуем остаться на почве реальных фактов. Наша мысль рвется в
четвертое измерение, а освоили ли мы свое собственное, третье? В полной ли
мере познали мы его геометрические свойства и все ли три пространственные
координаты — длина, ширина и высота — нам одинаково близки и понятны?
«ГЕОМЕТРИЯ — ЭТО ИНТУИЦИЯ», — определение Германа Гельмгольца не
претендует на строгость, но зато оно глубоко по мысли.
«Вообразить геометрические отношения интуитивно, — считал он, — это
значит выразить те следствия, которые встретятся в мире, где эти отношения
имеют силу». Но вот что пишет немецкий философ Ганс Рейхенбах:
«Пользуясь нашей геометрической интуицией, мы ограничены своим личным опытом:
точками, линиями, площадями, объемом и т. п. Более сложный опыт — это
положение точки на прямой или в объеме, пересечение линий в точке,
расположение сферы в объеме. Наша интуиция имеет вообразительную функцию,
связанную с нашим прошлым чувственным опытом, например, треугольник,
нарисованный на стене, дорожный знак или часть орнамента в виде
треугольника. Но вместе с тем у нее есть и нормативная функция, которая не
позволяет нам взглянуть на одну и ту же идею с разных сторон».
Вот простейший пример. Дана замкнутая кривая — круг или квадрат.
Требуется чисто умозрительно, без карандаша и бумаги, решить: можно ли
соединить две точки — одну внутри кривой, другую вне ее, но так, чтобы не
пересечь замкнутой кривой.
Представив себе этот элементарный чертежик и немного поразмыслив, мы
уверенно утверждаем, что задача невыполнима. Дело в том, что наш
«внутренний взор» несет в себе евклидову плоскость — лист бумаги. Конечно же,
на листе не соединишь две точки, не перечеркнув кривую, охватывающую
одну из них. Но кто говорил нам о типе поверхности, на которой предстоит
решать задачу? А если это не плоскость, а, скажем, бублик или
автомобильная шина — все получается легко и просто.
Человек слишком привык к двумерному миру. Наша «вообразительная»
интуиция тут никогда нас не подводит. Но как только дело доходит до
пространственных представлений, она начинает хромать. Высоту дома оценить
куда труднее, чем его длину или ширину. А сказать, как далеко находится
самолет или облако, неподготовленный человек не может даже
приблизительно. Третьей координатой — не то что четвертой! — нам еще овладевать и
овладевать.
Причина тут не психологическая, а чисто физиологическая. Все дело в
устройстве наших глаз. Когда мы смотрим на удаленный предмет, особые
мускулы изгибают хрусталик глаза — естественную линзу, чтобы изменить ее
фокусное расстояние и дать нам увидеть предмет отчетливо. Если же мускулы
устали, то приходится заводить очки и менять фокусное расстояние
искусственно. Наводка на резкость фотокамеры — полная аналогия этому процессу,
который в физиологии называется аккомодацией.
И еще в каждом глазе есть группа из шести мускулов, которые
поворачивают его таким образом, чтобы направления взгляда правого и левого глаза
пересекались в одной точке. Это называется конвергенцией. Так создается
бинокулярный эффект — мы видим мир объемным. Стереоскоп, в котором
рассматривают «выпуклые» картинки, построен по этому же принципу.
«ТРЕТЬЕ ИЗМЕРЕНИЕ МЫ ОБНАРУЖИВАЕМ С ПОМОЩЬЮ
АККОМОДАЦИИ И КОНВЕРГЕНЦИИ. ВОСПРИЯТИЕ ТРЕТЬЕГО ИЗМЕРЕНИЯ
СВОДИТСЯ К ОЩУЩЕНИЮ УСИЛИЯ, КОТОРОЕ МЫ ИСПЫТЫВАЕМ ПРИ
АККОМОДАЦИИ КАЖДОГО ГЛАЗА, И ОЩУЩЕНИЮ УСИЛИЯ, КОТОРОЕ
ВОЗНИКАЕТ В ОБОИХ ГЛАЗАХ, КОГДА ОНИ НАСТРАИВАЮТСЯ НА НУЖНЫЙ
УГОЛ СХОДИМОСТИ — ТО ЕСТЬ ПРИ ИХ КОНВЕРГЕНЦИИ. ОБА ЭТИ
ОЩУЩЕНИЯ МУСКУЛЬНЫЕ, ОНИ СОВЕРШЕННО НЕПОХОЖИ НА ЗРИТЕЛЬ-
НЫЕ ОЩУЩЕНИЯ, КОТОРЫЕ ПОЗВОЛЯЮТ НАМ ВОСПРИНИМАТЬ
ПЕРВОЕ И ВТОРОЕ ИЗМЕРЕНИЯ», — это пишет не физиолог, а математик,
притом известнейший — Анри Пуанкаре.
Впрочем, любой из нас сам мог бы прийти к подобным выводам на основе
собственного опыта. Мы видим плоскую картину, улавливаем игру света и
тени, краски, взаимное расположение фигур и цветовых пятен на ней — и все
это зрительные ощущения. Панорама же требует от наших глаз включить
мускульный аппарат аккомодации и конвергенции, и мы мгновенно ощущаем
его работу. Но интуиции на мускульные усилия, как и на пространственное
расположение фигур, у человека еще не выработалось.
Внимательно всмотритесь в гравюры Маурица Эшера «Куб с волшебными
лентами», «Выпуклое и вогнутое», «Поднимаясь и опускаясь», «Бельведер» и
«Водопад». Вы увидите, какие шутки способно сыграть с нами наше
восприятие пространства и объема.
Ленты поистине магические — «протуберанцы» на них вы можете по своему
произволу считать знаком и выпуклости, и вогнутости. Стоит изменить точку
зрения, и лента на рисунке вдруг на глазах перекрутится. Подобные же шутки
позволяют себе и целые архитектурные детали.
Улыбающийся юноша на приставной лестнице,
стоя у ее подножия, был «внутри» «Бельведера» —
удивительной, как мы немедленно убедимся,
конструкции. Теперь, когда он поднялся почти до самого
верха, он опять «снаружи» и должен преодолеть
еще несколько ступенек, чтобы вновь оказаться
«внутри» все того же «Бельведера». Как это могло
случиться?
Если вам не удастся разгадать эту геометрическую
шараду самому, обратитесь за помощью к человеку,
изображенному внизу гравюры сидящим на скамье.
Перед ним чертеж — проекция куба на плоскость.
Кружочками отмечены точки, где пересекаются проекции граней. Но какая из
них впереди, а какая сзади? Если отказаться от единственно возможного на
первый взгляд ответа на этот вопрос, то получится кубоид A9) — геометрическая
модель «Бельведера», которую Человек-на-скамейке держит в руках.
Еще ярче демонстрирует ущербность нашего восприятия трехмерного
пространства бесконечная лестница, по которой одни люди идут вверх, а другие —
вниз по одним и тем же ступеням! Или же
непрерывно бегущая вверх вода в «Водопаде».
Английский ученый профессор Е.Р. Лайтвейт
из Королевского колледжа науки и техники
пытался научить своих подопечных
изобретательству. Он считал, что главное — это развить
воображение, и прежде всего пространственное. Надо
уметь «видеть» невозможные вещи. Студентам
демонстрировали, например, пространственный треугольник, который не может
существовать в нашем мире B0). А уже знакомый нам кубоид выдавался за
коробку, в которую можно складывать эти геометрические призраки. Или же
будущим Эдисонам показывали совсем уж
чудовищный рисунок, придуманный Роджером Хей-
вордом B1), — на него даже смотреть несколько
секунд подряд невыносимо для здоровой
психики! Лайтвейт, видимо, не знал о работах Зенона
Кульпы, Оскара Рутерсварда и других импоссо-
билистов — творцов невозможного*, иначе
арсенал его экспериментальных орудий значительно
пополнился бы.
«УТВЕРЖДЕНИЕ О ТОМ, ЧТО ЧЕЛОВЕК
ОБЛАДАЕТ СПОСОБНОСТЬЮ ЗРИТЕЛЬНО ВОСПРИНИМАТЬ ПРОСТРАНСТВО, НА
ПЕРВЫЙ ВЗГЛЯД КАЖЕТСЯ СОВЕРШЕННО ОЧЕВИДНЫМ, ОДНАКО БОЛЕЕ
СЕРЬЕЗНЫЙ АНАЛИЗ ЭТОГО ВОПРОСА, НЕ ОБРЕМЕНЕННЫЙ
СТЕРЕОТИПНЫМИ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ОБЫДЕННОГО СОЗНАНИЯ, УБЕЖДАЕТ НАС
В ТОМ, ЧТО ИЗУЧЕНИЮ ПСИХИЧЕСКИХ МЕХАНИЗМОВ, ЛЕЖАЩИХ В
ОСНОВЕ НАШЕЙ СПОСОБНОСТИ ЗРИТЕЛЬНО ВОСПРИНИМАТЬ
ПРОСТРАНСТВО, ДОЛЖНО ПРЕДШЕСТВОВАТЬ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НАЛИЧИЯ ТАКОЙ
СПОСОБНОСТИ», — пишет в своей книге «Зрительное восприятие пространства»
А.Д. Логвиненко, психолог, изучающий именно этот способ постижения
человеком окружающего его мира.
Иными словами, не такой уж это простой вопрос — как мы видим
пространство.
В самом деле, мы живем в трехмерном мире, а мысль наша между тем
издавна привержена двум измерениям. Когда Зевс решил найти середину мира,
он поступил просто: послал двух орлов, летящих с одинаковой скоростью, к
дальним концам мира и стал ждать, когда они встретятся на обратном пути.
Точка их встречи — это и есть середина мира. Плоского двумерного мира,
каким он виделся Громовержцу.
Человечество пошло не по пути овладения третьим измерением, а по пути
его «приручения»: люди старались втиснуть объем в плоскость, изобразить
окружающий мир на скале, песке или папирусе.
«В НАШЕМ ТРЕХМЕРНОМ МИРЕ НЕТ ПО-НАСТОЯЩЕМУ НИ
ДВУМЕРНЫХ, НИ ЧЕТЫРЕХМЕРНЫХ ВЕЩЕЙ, НИЧТО НЕ АБСОЛЮТНО ПЛОСКО,
ДАЖЕ САМОЕ ТЩАТЕЛЬНО ОТПОЛИРОВАННОЕ ЗЕРКАЛО. НО БУДЕМ ПО
ПРИВЫЧКЕ НАЗЫВАТЬ СТЕНУ ИЛИ ЛИСТ БУМАГИ ПЛОСКИМИ. С
РАННИХ ЛЕТ ЧЕЛОВЕК РИСУЕТ НА ТАКИХ «ПЛОСКОСТЯХ», ЧТОБЫ ДАТЬ
ВПЕЧАТЛЕНИЕ О ПРОСТРАНСТВЕ, ГЛУБИНЕ И ОБЪЕМЕ — ТАК, СЛОВНО
ЭТО САМАЯ ПРОСТАЯ ВЕЩЬ НА СВЕТЕ. НО РАЗВЕ ЭТО НЕ АБСУРДНО —
НАРИСОВАТЬ НА БУМАГЕ НЕСКОЛЬКО ЛИНИЙ И СКАЗАТЬ: «ЭТО ДОМ»?» —
эти слова принадлежат Маурицу Эшеру.
Взгляните на его гравюру «Балкон» — эту удивительную попытку
вырваться в третье измерение. Вот что говорит о ней сам автор: «Будем помнить, что
пространственное изображение квартала домов и солнца, сияющего над ним, —
это чистая фикция: ведь бумага — не что иное, как плоскость, даже если она
* См. Увертюру к этой «Геометрической рапсодии».
состоит из светлых и темных участков. Но в порыве самонасмешки, словно
издеваясь над собственной беспомощностью, художник сделал попытку
разорвать единство плоской поверхности в центре рисунка. Он нанес по задней
стороне его удар такой силы, что явно проступило вздутие. Впрочем,
результат все равно равен нулю, потому что бумага так и осталась плоской...».
Попытки «разорвать единство плоской поверхности» сделаны и в других
гравюрах Эшера: «Рептилии», «Дорические колонны», «Три сферы I»,
«Дракон», «Освобождение» и даже в сделанной на заказ для городской ратуши
Лейдена стенной панели (см. «Интарсия» в Указателе). Третье измерение здесь
буквально вырастает из второго — взаимосвязь видна со всей графической
отчетливостью.
Вся беда в том, что мы сами живем в третьем измерении и поэтому смотрим
на него «изнутри», наш объемный мир мы видим как бы плоским. Звучит
парадоксально, но поместите лист бумаги с нарисованной на нем Плосколянди-
ей и всеми ее обитателями точно на уровне глаз — и вы на секунду испытаете
трагедию плоскатиков, обреченных жить в двух измерениях, но ощущать лишь
одно. Ведь чтобы увидеть фигуру — квадрат ли, круг — им надо хоть немного
«выскочить» из своей плоскости. Но это невозможно, и именно поэтому весь
мир они воспринимают как одну сплошную «женщину» — прямую линию.
Остается лишь обойти фигуру со всех сторон и ощупать ее, но только
представители «низших классов» в Плосколяндии могут позволить себе, да и то изредка,
столь вульгарное поведение. «Лучше плохо видеть, чем хорошо щупать!» —
одна из первых заповедей воспитанного человека в этой стране.
В предисловии ко второму изданию своей книги Эдвин Абботт отверг
обвинения в женоненавистничестве, хотя и согласился с критиками, что он обрек
плоскатиков на ужасную жизнь. Однако, заявил он, плосколяндцы обладают
третьим измерением, но только оно вне их восприятия — ведь их мир одной
толщины.
Так не обладаем ли и мы в зачаточной форме четвертым измерением,
несмотря на то, что даже третье не освоено еще нами полностью?
Вместо ответа на этот вопрос — несколько совсем уж поразительных
фактов, связанных с пространствами более чем четырех измерений.
Помните спор Ньютона и Грегори о тринадцати шарах, касающихся
четырнадцатого? Сколько таких целующихся гипершаров может быть в
четырехмерном пространстве? Оказывается, 24. А в пространствах пяти, шести, семи,
восьми измерений соответственно 40, 72, 126 и 240. Последнее число было
найдено в конце прошлого века русскими математиками А.Н. Коркиным и
Е.И. Золотаревым и уже известным нам англичанином Торольдом Госсетом.
В 1965 году Джон Лич, работавший тогда в университете города Глазго,
построил самую плотную из известных упаковку шаров в 24-мерном пространстве.
Она оказала неоценимую помощь специалистам по теории групп — одного из
бурно развивающихся разделов математики. Дело в том, что результаты
исследований в этой ранее считавшейся чисто абстрактно-математической области науки
оказались связанными с сугубо практическими и очень актуальными задачами
передачи информации без потерь. Если надо отчетливо различать какое-то
количество сигналов и при этом затрачивать на опознание каждого из них минимум
энергии (и времени), то можно представить себе каждый сигнал в виде точки
многомерного пространства. А чтобы точки эти не сливались, то есть отличались
одна от другой, между ними должно быть некое расстояние — не меньшее, чем
того требует надежность распознавания, но и не слишком большое, чтобы точки-
сигналы не очень-то разбегались по пространству, как того требует
экономичность их различения. Иными словами, проблема «целующихся шаров»
возродилась в новом виде, и упаковка Лича помогла найти многие важные решения. Она
тем более удобна, что позволяет оперировать гигантским числом точек — в этой
упаковке каждый из шаров касается еще 196 500 других шаров! Цифра
несколько большая, чем в споре между Ньютоном и Грегори...
Что же касается еще более высоких размерностей, то еще в 1905 году
Герман Минковский доказал, что в любом я-измерении всегда существуют
упаковки шаров, плотность которых больше 2~п. С другой стороны, как показал
спустя десятилетие Г.Ф. Блихфельд, плотность эта при больших п не может
превышать 2""°'5л. Математики не жалели усилий, чтобы сделать эту «вилку»
хоть немного уже, но лишь в семидесятых годах трое наших
соотечественников Г.А. Кабатянский, В.И. Левенштейн и В.М. Сидельников сумели
показать, что плотность упаковки в пространствах очень больших размерностей не
может превышать 2"~°'599л.
Вот как кончает свою статью «Упаковка шаров», опубликованную в
журнале «Сайентифик Америкэн» уже в 1983 году, Н.Дж. Слоэн, сотрудник
всемирно известной фирмы «Белл Лабораториз», специалист по теории связи (редак-
ция журнала представляет его еще и как альпиниста — быть может,
вкладывая в эту нестандартную информацию тот смысл, что автор статьи имеет тягу
к постижению трудно достижимых вершин):
«Э.С. Барнс из Аделаидского университета, Австралия, А. Бос из Эйндхове-
на, Нидерланды, Д. Конвей, Д. Лич и я построили несколько многомерных
упаковок, однако ни одна из них не является столь плотной, как обещает
теорема Минковского. Недавно Барнсу и мне удалось построить упаковки на основе
упаковки Лича вплоть до размерности 100 000. Плотность этих упаковок
равна, грубо говоря, 2~1>25л, и на первый взгляд кажется, что эта оценка близка к
оценке Минковского. Так, в пространстве размерности 65 536 наши упаковки
примерно в ю40000 раз плотнее, чем любая ранее известная.
К сожалению, эта запись в виде степени несколько затемняет тот факт, что мы
все еще весьма далеки от намеченной цели. По теореме Минковского существуют
упаковки, которые в Ю4000 раз плотнее наших. Их еще предстоит отыскать».
Но это не самое удивительное в парадоксах многомерности. Вот еще один —
и последний. Куб вместит в себя по диагонали квадрат, площадь которого
больше площади одной его грани. В четырехмерный куб впишется обычный
куб, объем которого больше объема одной гиперповерхности гиперкуба. А в
л-мерный куб с ребром в один миллиметр войдет океанский корабль и весь
наш трехмерный мир, если только п достигнет нужной величины.
Попытайтесь представить себе эти непредставимые вещи — и вы услышите
музыку сфер, о которой, собственно, и шла речь в этой главе. А пока, чтобы
подчерпнуть для этого вдохновение, всмотритесь повнимательнее в эшеровские
гравюры, где действующие лица — именно сферы, и притом чаще всего
зеркальные: «Натюрморт с зеркальной сферой», «Натюрморт, 1943»,
«Автопортрет в сферическом зеркале», «Три сферы I», «Три сферы II», «Рука с
зеркальным шаром» и «Сферическая поверхность с рыбами».
Математика — это большой
город, чьи предместья не перестают
разрастаться, в то время как
центр периодически
перестраивается, следуя каждый раз все более
ясному плану и стремясь к все
более и более величественному
расположению, в то время как...
старые кварталы с их лабиринтом
переулков сносятся для того,
чтобы проложить к окраине улицы все
более прямые, все более широкие и
удобные...
Никола БУРБАКИ
II. МЁБИУСИАНА
Геометрия есть
познание всего сущего.
ПЛАТОН
«УНИФОРМА, ПО МЕСТАМ! МАЭСТРО, ТУШ!» — на
арене фокусник.
Его инструментарий прост до крайности —
горизонтальная перекладина на двух стойках, в которую вбито
несколько гвоздей, и на каждом из них висит по длинной
яркой ленте, соединенной в кольцо. Все самое простое и
настоящее — любой желающий волен убедиться в этом
собственноручно. Маг закуривает сигарету и горящим
концом дотрагивается до первой ленты. Пламя бежит вдоль
нарисованной посередине ленты дорожки, вызывая
восхищение малышей. Но вот огненное кольцо замкнулось — и
тут уж крик удивления вырывается у взрослых: вместо
ожидавшихся двух тонких лент появляется одна
длинная. Прикосновение сигареты к другой ленте — снова взрыв
детского восторга и за ним озадаченное молчание
взрослых: теперь перед ними две ленты, продетые одна в
другую. Еще одна огненная дорожка — и лента делает еще
один неожиданный вольт: теперь она завязывается узлом*.
Детская радость понятна — им неведомо, что на свете
бывают химики и что те придумали калиевую селитру. Но
и недоумение родителей тоже идет от незнания —
топологии вообще и одной из ее излюбленных игрушек, «листа
Мёбиуса», в частности.
А игрушка эта полюбилась не одним лишь
математикам. У входа в Музей истории и техники в Вашингтоне
* Взгляните на гравюру М. Эшера «Лента единства» — она недаром украшает собой первую
страницу этой книги. Если же связь ее со сказанным выше все-таки ускользнет от вас,
внимательно перечитайте «Вариацию вторую» к этой книге.
медленно вращается на пьедестале стальная лента, закрученная на полвитка.
В 1967 году, когда в Бразилии состоялся Международный математический
конгресс, его устроители выпустили памятную марку достоинством в пять
сентаво. На ней была изображена все та же лента. И монумент высотой более чем
в два метра, и крохотная марка — своеобразные памятники немецкому
математику и астроному Августу Фердинанду Мёбиусу, профессору Лейпцигского
университета.
В своей работе «Об объеме многогранников» он описал геометрическую
поверхность, обладающую совершенно невероятным свойством: она имеет только
одну сторону! Самое же при этом удивительное, пожалуй, то, что сделать ее
своими руками не представляет решительно никакого труда: надо лишь взять
полоску бумаги и склеить ее концы, предварительно повернув один из них на
180 градусов. И тогда в ваших руках окажется лист, или лента, Мёбиуса.
Чтобы наглядно убедиться, что у вашей самоделки действительно всего одна
сторона, попробуйте закрасить перекрученную ленту в два цвета — одним с
внешней, а другим — с внутренней стороны. Что бы вы ни придумывали, вам
это не удастся. Но зато муравью, ползущему по листу Мёбиуса, не надо
переползать через его край, чтобы попасть на противоположную сторону, как это
видно на гравюре Маурица Эшера «Лента Мёбиуса II».
Итак, односторонность. В геометрическом, разумеется, понимании этого
слова, потому что в нашем общечеловеческом смысле трудно представить себе
более разностороннюю геометрическую фигуру. Теперь, когда вы
познакомились с ней, наверное, уже никакая сила не удержит вас от того, чтобы не
клеить все новые и новые ленты, закручивая их то на один, то на два, а то и
на три полуоборота, и потом беспощадно разрезать вдоль. И вы будете
вознаграждены за свою любознательность — полоска бумаги повторит все фокусы,
показанные в цирке.
Да что цирк! Патентные службы вынуждены были познакомиться с
поразительными свойствами ленты Мёбиуса — в разное время и в разных странах
зарегистрировано немало изобретений, в основе которых лежит все та же
односторонняя поверхность. В 1923 году знаменитый американский изобретатель
Ли де Форест, который придумал трехэлектродную лампу — триод,
предложил записывать звук на киноленте без перемены катушек, сразу «с двух
сторон». Ему выдали патент № 1442632. Изобрели магнитофон — и сразу же
нашлись сообразительные люди, которые придумали особые кассеты, где
магнитная лента соединяется в кольцо и перекручивается. Ясно, что тогда можно
записывать и считывать подряд с двух дорожек, не снимая кассеты с
магнитофона и не меняя их местами, а значит, время непрерывного звучания
увеличивается ровно вдвое. (Речь идет, разумеется, о так называемой «непрерывной
ленте», то есть замкнутой в кольцо, вроде автоматических телефонных часов
или лозунгов о безопасности движения, передаваемых через репродукторы
патрульных машин.) В 1969 году теперь уже наш отечественный изобретатель
А. Губайдуллин получил авторское свидетельство № 236278 на бесконечную
шлифовальную ленту, работающую обеими своими сторонами. Он предложил
натянуть сделанную из специального материала ленту Мёбиуса на два
вращающихся ролика и покрыть ее крупинками твердого абразива. Понятно, что
такая лента служит вдвое больше обычной. Ту же идею использовали сотруд-
ники НИИ автоматизации черной металлургии Г. Буйный и В. Изотов в своем
устройстве для магнитной дефектоскопии (им выдано авторское свидетельство
№ 259449).
Мысль использовать ленту Мёбиуса не оставляла изобретателей и в
последующие годы. В 1971 году П.Н. Чесноков из Уральского политехнического
института получил авторское свидетельство на фильтр непрерывного действия для
жидкости, «отличающийся тем, что, с целью интенсификации процесса
фильтрования и увеличения срока службы фильтрующего материала, лента
выполнена в виде листа Мёбиуса». Год спустя И.В. Киселев стал официально автором
устройства, про которое в авторском свидетельстве сказано: «Бесконечный
шлифовальный ремень, выполненный на гибкой основе с нанесенным на нее
абразивным покрытием и склеенный в кольцо с повернутой ветвью, отличающийся
тем, что, с целью увеличения стойкости, он имеет в сечении форму
многогранника с равными гранями, покрытыми абразивным слоем, а ветвь его повернута
на одну грань». Институт электродинамики Академии наук Украины
представил изобретение своих сотрудников Ю.И. Драбовича и И.А. Криштафовича.
Оно сформулировано так: «Магнитный сердечник, изготовленный из
ферромагнитной ленты с изоляционным покрытием, отличающийся тем, что, с целью
улучшения магнитных свойств сердечника путем создания равномерного
магнитного поля по его сечению, сердечник намотан в форме ленты Мёбиуса».
А вот один из примеров уже осуществленного
«практически-геометрического» решения — авторское сведетельство, выданное B.C. Кравченко и
В.А. Ткачеву: «Рабочий орган культиватора-плоскореза, включающий стойку,
в нижней части которой укреплена стрельчатая лапа, отличающаяся тем,
что, с целью обеспечения самоочистки стойки от растительных остатков,
последняя в нижней своей части изогнута по форме поверхности Мёбиуса».
Наконец, не были забыты и дети, для которых И.Е. Бурлак изобрел
замечательную забаву и получил на то в 1979 году соответствующее свидетельство,
в котором в тех же строгих правилах заявки описана «игрушечная
электрифицированная железная дорога, содержащая полотно железной дороги, модели
локомотива и вагонов с поворотными осями колес, отличающаяся тем, что, с
целью повышения занимательности, полотно железной дороги представляет
собой ленту Мёбиуса, рельсы выполнены из ферромагнитного материала, а
модели локомотива и вагонов снабжены магнитными башмаками,
закрепленными на поворотных осях колес».
В 1963 году патентное ведомство США зарегистрировало два «практически-
геометрических» изобретения. Некто Джакобс поставил свои знания топологии
на службу химчистке — он придумал самоочищающийся фильтр, который
представляет собой все ту же ленту Мёбиуса и беспрерывно освобождается от
впитанной грязи, работая при этом обеими своими сторонами. А Ричард Дэвис, физик
из американской корпорации «Сандиа» в Альбукерке, изобрел электрическое
сопротивление, обладающее нулевой реактивностью. О нем, пожалуй, стоит
поговорить подробнее и потому, что такое сопротивление — давнишняя мечта
радиотехников и физиков, и потому еще, что тут нам предоставляется
возможность увидеть нашу одностороннюю ленту Мёбиуса с несколько иной стороны.
Но сначала склейте еще один лист Мёбиуса и разрежьте его ножницами
вдоль не на две, а на три части, то есть не посередине, а отступив от любого из
краев на треть ширины ленты. Нечто похожее изобразил Мауриц Эшер на
гравюре «Лента Мёбиуса I». Вас снова ждет сюрприз: теперь получается еще
один лист Мёбиуса — поменьше, да и толщиной всего в треть от
первоначального, а в него продета длинная и тонкая лента, дважды перекрученная вдоль
своей оси. А теперь сделайте себе из всего этого геометрического изобилия
прекрасную игрушку на вечер-другой. Это, как и все предыдущее, просто.
Покрасьте «маленького Мёбиуса» в какой-нибудь цвет. И попытайтесь
уложить с обеих сторон от него ленту так, чтобы получился лист Мёбиуса
тройной толщины.
Рано или поздно вы справитесь с задачей, и наградой вам будет
удивительная фигура. Две ее крайние незакрашенные части, хотя они и сделаны из
одной длинной ленты, тем не менее нигде не смыкаются друг с другом, а
просто лежат вдоль сторон третьей, закрашенной. Но каких сторон? Ведь
центральная часть — это односторонняя поверхность! Да и крайние, раз они
повторяют ее форму, тоже не что иное, как два листа Мёбиуса, которые обрели
самостоятельность, обвившись вокруг своего цветного собрата.
Вот это и есть сопротивление с нулевой реактивностью. Но только
изготовляют его — для простоты технологии — немного по-другому: к резиновой
ленте с двух сторон приклеивают две тонкие алюминиевые полоски, а к ним
припаивают выводы, через которые можно подать электрический ток. Затем
всю конструкцию перекручивают на один оборот и соединяют в мёбиусов лист —
он, естественно, будет трехслойным. И вот теперь ток, проходя по полоскам,
встретит на своем пути лишь так называемое «активное» сопротивление, то
есть сопротивление самого материала — алюминия. «Реактивность»
проводника с током, имеющего форму листа Мёбиуса, равна нулю.
«ТО, ЧТО Я ПОНЯЛ, ПРЕКРАСНО, ИЗ ЭТОГО Я ЗАКЛЮЧАЮ, ЧТО
ОСТАЛЬНОЕ, ЧЕГО Я НЕ ПОНЯЛ, ТОЖЕ ПРЕКРАСНО», — высказался в свое время
Сократ по поводу неясностей у Гераклита.
Быть может, эти слова послужат неким утешением для того, кто не сумеет
одолеть суть радиотехнического дебюта листа Мёбиуса. Хотя понять ее не так
уж невозможно. Есть простой, но в данном случае неприятный для
радиотехников факт: каждое тело имеет какую-то форму и как-то располагается в
пространстве. А потому оно ведет себя либо как маленький конденсатор —
обладает собственной электрической емкостью и, значит, оказывает
переменному току емкостное сопротивление, либо поступает подобно крохотному
дросселю — тогда его сопротивление индуктивное. Оба эти сопротивления,
оказываемые телом электрическому току, называют реактивными. И избавиться от
них, как и от того, что у него есть какая-то форма, ни одно тело как будто не
может.
А теперь вспомним факт, в котором нам только что пришлось убедиться:
«трижды толстый мёбиус» можно сделать по-разному — и из трех отдельных
частей, и всего из двух: короткой центральной и особым образом уложенной
длинной заготовки, которая одна образует обе боковые стороны. Значит, ток в
безреактивном сопротивлении дважды проходит по одному и тому же месту в
пространстве, но оба раза в противоположных направлениях, пробегая по
длинной ленте — алюминиевым полоскам, уложенным «восьмеркой» с двух
сторон короткой резиновой полосы, служащей изолятором. Таким образом,
реактивность реактивностью же и уничтожается. И потому такое закрученное
сопротивление остается чисто активным, даже если изгибать его как угодно
или помещать в любое внешнее поле.
Конечно, радиотехники должны быть особенно благодарны Августу
Фердинанду Мёбиусу — ведь им приходится иметь дело с миллионами герц, а чем
выше частота, тем больше «реактивность» каждого элемента схемы и тем
больше помех вносят в ее работу нынешние «нечисто активные»
сопротивления. Но, пожалуй, с еще большим энтузиазмом встретят новое изобретение
физики, которые занимаются сверхпроводимостью. Как известно, при очень
низких температурах, близких к абсолютному нулю, сопротивление
электрическому току вдруг пропадает и он может течь неограниченно долго, не требуя
никакого притока энергии извне. Да, но речь идет об активном
сопротивлении. Реактивное же сопротивление сверхнизкой температурой и всей
невероятно сложной техникой, созданной для ее получения, не уничтожается. Зато
простейшее геометрическое преобразование обещает физикам скорую и
неожиданную помощь. Быть может, мечта о вечном электрическом двигателе, не
требующем никакой энергии для своей работы, теперь уже близка к своему
осуществлению...
До сих пор речь шла всего об одном свойстве листа Мёбиуса — о его
односторонности. А ведь у него есть еще и другие подобные свойства. Но какие
«подобные»? Математик назвал бы их топологическими.
Сама топология, можно сказать, началась именно с листа Мёбиуса. Слово это
придумал Иоганн Бенедикт Листинг, профессор Геттингенского университета,
который — и это далеко не всем известно — почти в то же время, что и его
лейпцигский коллега, предложил в качестве первого примера односторонней
поверхности уже знакомую нам единожды перекрученную ленту. Наука эта
молодая и потому озорная. Иначе не скажешь о тех правилах игры, которые в ней
приняты. Любую фигуру тополог имеет право сгибать, скручивать, сжимать и
растягивать — делать с ней что угодно, только не разрывать и не склеивать.
И при этом он будет считать, что ничего не произошло — все ее свойства
остались неизменными. Для него не имеют никакого значения ни расстояния,
ни углы, ни площади. А что же его интересует? Самые общие свойства фигур,
которые не изменяются ни при каких преобразованиях, если только не
случается катастрофы — «взрыва» фигуры. Потому иногда топологию называют
«геометрией непрерывности». Она известна и под именем «резиновая геометрия»,
потому что топологу ничего не стоит поместить все свои фигуры на поверхности
детского надувного шарика и без конца менять его форму, следя лишь за тем,
чтобы шарик не лопнул. А то, что при этом прямые линии, например, стороны
треугольника, превратятся в кривые, для тополога глубоко безразлично.
«Можно кивнуть и признать, что простой урок лобачевских полозьев ландшафту
пошел не впрок», — как сказано у Иосифа Бродского.
«СОТРИ СЛУЧАЙНЫЕ ЧЕРТЫ, И ТЫ УВИДИШЬ — МИР ПРЕКРАСЕН», —
писал Александр Блок.
Тополог всегда готов внять подобному призыву — во всех окружающих его
предметах он ищет некие важные только ему одному качества. Например,
непрерывность. Это еще одно топологическое свойство. Если вы сравните
схему самолетных маршрутов и географическую карту, то убедитесь, что масштаб
авиаторами далеко не выдержан — скажем, Екатеринбург может оказаться на
полпути от Москвы до Владивостока. И все-таки что-то общее между географи-
ческой картой и топологической схемой (а транспортники — бессознательные
топологи) есть. Москва действительно связана авиалиниями с
Екатеринбургом, а Екатеринбург — с Владивостоком. И потому тополог может как угодно
деформировать карту, лишь бы точки, ранее бывшие соседями, оставались
одна подле другой и дальше. А значит, с топологической точки зрения круг
неотличим от квадрата или треугольника, потому что их легко преобразовать
один в другой, не нарушая непрерывности. Взгляните с этой точки зрения на
нашего старого знакомца и увидите: на листе Мёбиуса любая точка может
быть соединена с любой другой точкой. И при этом муравью на гравюре Эшера
ни разу не придется переползать через край «ленты». Разрывов нет —
непрерывность полная.
Но куда интереснее другое свойство — связность. Если квадрат полоснуть
бритвой от стороны к стороне, то он, естественно, распадается на два отдельных куска.
Точно так же любой удар ножом разделит яблоко на две части. Но вот чтобы
располовинить кольцо, нужно уже два разреза. И два раза придется резать бублик,
если вы хотите угостить им двух друзей. А телефонный диск можно десять раз
рассечь ножом от одной замкнутой кривой до другой, а он все останется единым
целым. Поэтому любой тополог скажет вам, что квадрат и ромашка — односвязны,
кольцо и оправа от очков — двусвязны, а всяческие решетки, диски с отверстиями
и подобные сложные фигуры — многосвязны. Ну, а наш лист Мёбиуса? Конечно,
двусвязен, ведь фокус в том и состоял, что, будучи разрезан вдоль, он превращался
не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту. Впрочем (и на этом тоже были
построены фокусы), если перекрутить ленту на два оборота, то лист становится
односвязным. Три оборота — помните ленту, завязавшую саму себя в узел? —
связность снова равна двум. А четыре оборота? Да вы, верно, уже догадались, как
дальше станут развиваться события.
Связность принято оценивать числом Бетти, названным так в честь
известного итальянского математика и физика. Иногда пользуются другой
величиной — эйлеровой характеристикой — с той же целью: определить число
сквозных, от края и до края, разрезов, которое выдерживает фигура, не распадаясь
при этом на части.
«ОТ КРАЯ И ДО КРАЯ...» — эти слова из песни, известной нам с детства,
можно рассматривать не просто как несколько устаревший поэтический образ.
В них, как мы видим, заложен еще и глубокий топологический смысл. Лист
бумаги — модель двусторонней односвязной (число Бетти равно единице)
поверхности с одним краем. Его можно смять и бросить в урну, но все равно
число краев (и сторон) останется прежним. Но у сферы краев нет. Нет их и у
тора, говоря попросту, бублика. Зато нарисованное на бумаге кольцо имеет
целых два края. Один край и у мёбиусова листа, как одна у него и сторона.
И снова — сделайте его из какой угодно эластичной резины и растяните до
любых размеров — топологические свойства, этот незыблемый фундамент
самого естества геометрической фигуры, останутся неизменными.
Не много ли неожиданных и странных свойств? Тогда еще только два, быть
может, самых любопытных.
Первое — ориентированность. Конечно, можно было бы подробно
рассказать, что это такое. Но лучше дать определение «от противного»: это то, чего
нет у листа Мёбиуса! Вообразите, что в нем заключен целый плоский мир, где
есть только два измерения, а его обитатели — несимметричные рожицы, не
имеющие, как и сам лист, никакой толщины. Если эти несчастные создания
пропутешествуют по всем изгибам листа Мёбиуса и вернутся в родные пенаты,
то с изумлением обнаружат, что превратились в свое собственное зеркальное
отображение. Конечно, все это случится только если они живут в листе, а не
на нем.
Впрочем, это удивительное явление можно наблюдать и на действующей
модели плоского мира Мёбиуса — для этого надо сделать ленту из любого
прозрачного материала.
И, наконец, то, что носит название «хроматический номер». Он равен
максимальному числу областей, которые можно нарисовать на поверхности так,
чтобы каждая из них имела общую границу со всеми другими. Если каждую
такую область выкрасить по-разному, то любой цвет должен соседствовать с
любым другим. Так вот, на листке бумаги, даже если его склеить в кольцо,
еще никому не удалось расположить пять цветных пятен любой формы,
которые имели бы всеобщую границу. И на сфере, и на цилиндре их может быть не
более четырех. Это и значит, что хроматический номер этих поверхностей —
четыре. А на бублике число соседствующих цветов равняется семи. Каков же
хроматический номер листа Мёбиуса? Он, как это ни поразительно, равен
шести.
Конечно же, такое не укладывается в голове.
Ну в самом деле, не довольно ли этих мёбиусовс-
ких мистификаций? Видите ли, на ленте,
склеенной как положено, размещается всего четыре
цвета, а стоит соединить ее концы
шиворот-навыворот — и непонятно как находится место еще для
двух цветов! Но клин выбивают клином, одну
головоломку — другой. Есть древняя неразрешимая
задача. Надо соединить три дома с тремя
колодцами, но так, чтобы жители каждого из домов могли
ходить по воду в любой колодец и при этом пути
их нигде не пересекались. Сделать этого не
умудрился никто, но лишь сравнительно недавно
математики строго доказали, что задача
неразрешима (неразрешима на плоскости, а на торе, то есть
бублике, например, все получается просто). А
теперь взгляните на рисунок B2). Если склеить эту
полоску бумаги так, чтобы совпали одинаковые
буквы на ее краях, то проблема водоснабжения решается. Разумеется, вы
снова получите все тот же лист Мёбиуса. А теперь раскрасьте карту путей
водовозов — и вот вам шесть цветов, живущих в дружном соседстве. Но,
конечно, как и раньше, надо предполагать, что все события происходят не на
листе, а внутри него. Иными словами, краски должны проникать сквозь
бумагу, как чернила сквозь промокашку.
И напоследок возьмите еще раз в руки лист Мёбиуса — одностороннюю
неориентированную поверхность с одним краем, числом Бетти, равным двум,
и хроматическим номером, равным шести. Этот листок бумаги открыл
математикам мир новых возможностей, а вам доставил несколько приятных минут.
Но не спешите с благодарностью прощаться с ним. Он нам еще встретится — в
космических далях Вселенной.
...У Фридриха Дюрренматта, в его нашумевшей в свое время пьесе «Физики»,
трое абсолютно здоровых ученых сознательно изображают из себя
сумасшедших. Весь персонал дома умалишенных обращается к ним не иначе как
«господин Ньютон», «господин Эйнштейн» и «господин Мёбиус». Разумеется,
фантазия драматурга могла поместить в столь экзотические обстоятельства и
других каких-либо прославленных ученых — тем более что Мёбиус не такой уж
физик, каким он, видимо, казался Дюрренматту. И все-таки выбор его не
выглядит случайным. Вселенная Эйнштейна сменила вселенную Ньютона
благодаря тому, что удалось постичь некую глубокую внутреннюю
закономерность, свойственную природе. Вселенная Мёбиуса... Нет, конечно, ее не было,
нет и, наверное, не будет. Но мёбиусианские идеи касаются настолько
интимных свойств нашего мира, что они просто не имеют права как-то не проявить
себя в грядущих фундаментальных исследованиях окружающего нас
пространства.
Математика есть способ
называть разные вещи одним
именем.
Анри ПУАНКАРЕ
СПРАВА, ГДЕ СЕРДЦЕ
Мёбиус: А что вы сами обо мне
думаете?
Ньютон: Я полагаю, что вы
величайший физик всех времен.
Фридрих ДЮРРЕНМАТТ
«СЛОВО — НЕ ВОРОБЕЙ» — хотя такое определение и
называется отрицательным, но с ним не поспоришь.
Пришла пора сдержать данные обещания. Итак, чем же
мы сможем помочь несчастным плоскатикам, если их
сапожники в целях минимизации производственных расходов
станут делать обувь только на одну ногу? А мы просто
изымем ровно половину этой сверхрентабельной продукции и
подвергнем ее еще одной технологической операции:
перевернем и вновь положим на землю Плосколяндии. Теперь
зеркальный глянец будет уже на зеркально отраженных
туфлях, и останется лишь составить пары. Обратите внимание,
что «двумерец» точно так же может зеркально
преобразовать любую одномерную вещь — вынуть ее для этого из
Линеляндии в свою плоскую страну и, перекрутив, вернуть
обратно. Идучи по накатанной дорожке аналогий, следует и
за жителями четвертого измерения признать неоспоримое
право превращать любой предмет нашего мира в его
зеркальный двойник.
Идея зеркального преобразования мира давно увлекала
ученых и мыслителей. Так, Готфрид Вильгельм Лейбниц
много думал о том, что бы случилось, если бы вся наша
Вселенная вдруг отразилась в некоем сверхзеркале. В конце концов он пришел
к выводу, что ничего в ней не изменилось бы. До сравнительно недавнего
времени — до работ американских физиков Ли и Янга — современным ученым
нечего было возразить великому немецкому математику и куда менее великому
философу. Иммануил Кант, великий немецкий философ, сыгравший
выдающуюся роль в развитии диалектики, и куда менее великий физик (хотя он и
преподавал эту науку), тоже очень интересовался зеркальными отражениями.
В своем знаменитом труде «Пролегомены будущей метафизики» он писал: «Что
может быть больше похоже на мою руку или мое ухо, чем собственное
отражение в зеркале! И все же руку, которую я вижу в зеркале, нельзя поставить на
место настоящей руки...». Разумеется, — сказал бы на это современный нам
ученый, который отвык удивляться подобным пустякам, — ведь они энанти-
морфны. Если вам встретится это ученое слово, знайте: автор хотел сказать
«зеркально симметричные». Любые два энантиморфа различают, называя один
«левым», а другой «правым». Ботинки, перчатки, левый и правый винт, даже
целые автомобили — обычный, «континентальный», и сделанный специально
для островных стран Великобритании, Ирландии, Японии или Мальты, у
которого руль расположен справа, чтобы удобнее было водить его по дорогам с
левосторонним движением, — все это энантиморфы.
И энантиморфны два листа Мёбиуса, закрученные в разные стороны —
ведь, склеивая полоску, вы вольны сделать оборот и по и против часовой
стрелки. Но здесь позвольте прервать едва лишь наметившийся разговор о
левом и правом в этом мире (пусть пока поработает ваше воображение,
разбуженное зеркальными разговорами), чтобы сдержать еще одно обещание.
Лист Мёбиуса, выдумка кабинетных ученых, забавная безделушка,
вдохновляющая факиров и изобретателей, увлек и космологов. Одна из моделей
нашей Вселенной — это трехмерный лист Мёбиуса. Астронавт, проделавший
головокружительный путь вдоль такого космоса, вернется домой зеркально
отраженным — с сердцем справа — так же, как Готфрид Платтнер из
уэллсовского фантастического рассказа. (И в нашей реальной земной жизни
встречаются, хотя и крайне редко, люди, у которых сердце справа. Уж не пришельцы
ли, точнее, не ушельцы ли это?) Но способно ли наше
бедное воображение справиться с трехмерным мёбиу-
сом?
Оказывается, да. Возьмите трубу, вытяните у нее
один край и просуньте этот тонкий конец в
специально сделанную для него дырку в толстом конце. Теперь
склейте концы B3). А теперь примите поздравление.
Вы создали (правда, лишь мысленно) так называемую
«бутылку Клейна» (это имя нам уже встречалось —
Феликс Клейн, немецкий математик, почти наш
современник: он умер в 1925 году). Отчетливо видно,
что в эту одностороннюю посуду тем не менее можно
налить вино. Вот только вопрос: отчего больше
кружится голова — от самой бутылки или от ее
содержимого? А если голова у вас еще не кружится, то вот
еще один математический факт: в четырехмерном про-
странстве можно построить такую бутылку Клейна, что она не будет
пересекать сама себя (лист Мёбиуса, если делать его ленту все шире и шире, рано
или поздно неизбежно «самопересечется», но он, как мы видели, может жить и
без этого; бутылка же Клейна в нашем пространстве без самопересечения
никак не получается — попробуйте, убедитесь).
Мауриц Эшер, к сожалению, не нарисовал гравюры, подобной своей «Ленте
Мёбиуса II», посвященной этой удивительной замкнутой односторонней
поверхности. Но мы и без его помощи можем пустить муравья бродить по бутылке
Клейна и увидим, что, не переползая ни разу через край (края-то ведь и нет!),
путешественник побывает и вовне и внутри своего топологического
муравейника. Американские небоскребы породили новую профессию — высотные
мойщики стекол. Эти бесстрашные люди счищают грязь только с одной стороны —
снаружи, а их менее квалифицированные собратья по цеху — только внутри.
Представьте себе ужас «комнатного» мойщика, если, двигаясь вдоль стекла,
он вдруг окажется над Нью-Йорком на высоте тридцатого этажа! Хорошо, что
человеческие муравейники пока еще не используют фантазию топологов.
(Впрочем, фантасты и тут проложили дорогу. А. Дейч написал юмореску «Лента
Мёбиуса». Ее идея в двух словах: в некоем городе метрополитен развился до
такой степени, что топологическая сложность всех его пересекающихся линий
перешла некую допустимую границу — ив результате один за другим целые
поезда вдруг исчезали из трехмерного пространства, возвращаясь назад лишь
через месяц-другой.)
«ПРИРОДА ПОДОБНА ЖЕНЩИНЕ, КОТОРАЯ... ПОКАЗЫВАЯ ИЗ-ПОД
СВОИХ НАРЯДОВ ТО ОДНУ ЧАСТЬ СВОЕГО ТЕЛА, ТО ДРУГУЮ, ПОДАЕТ СВОИМ
НАСТОЙЧИВЫМ ПОКЛОННИКАМ НЕКОТОРУЮ НАДЕЖДУ УЗНАТЬ ЕЕ
КОГДА-НИБУДЬ ВСЮ», — эта смелая аналогия принадлежит Дени Дидро.
Ее можно было бы рискнуть продолжить. Пылкий влюбленный, увидев
лишь кончик стройной ножки, строит в своем воображении прелестную
незнакомку. Ученый по немногим известным ему фактам создает модель изучаемого
явления.
Итак, наш знакомец лист Мёбиуса — космическая модель. Какие
противоречия существующих теорий разрешает пространственный Мёбиус —
замкнутый, безграничный, бесконечный (как вселенная Эйнштейна), но вдобавок
односторонний, — это слишком длинный разговор, а обещана лишь краткая
встреча в далях Вселенной. Утешением разочарованному читателю-космологу
послужит наше намерение разочаровать и читателя-биолога.
Дело в том, что мёбиусианские идеи проникли в микрокосмос и тоже не
нашли себе законченного выражения. Еще в 1938 году московский цитолог
(ученый, изучающий жизнь клетки) Михаил Сергеевич Навашин задумал с
помощью парадокса топологии расправиться с одним из парадоксов генетики.
Наследственная информация, как известно, передается с помощью генов. Гены —
это участки длинных нитей, хромосом (точнее, не самих хромосом, а хроматид —
еще более тонких нитей, которые, соединяясь попарно, и образуют
хромосому). Разные виды животных и растений имеют разное число хромосом — у
человека их 46, а у ржи, например, всего 14. Но и число и, главное (для
тополога!), форма хромосом остаются строго постоянными от поколения к по-
колению. Но вот у бактерий и у некоторых растений встречаются так
называемые кольцевые хромосомы. Мало того, что они, как следует из названия,
замкнуты в кольцо в отличие от всех других, которые представляют собой
либо просто палочки, либо перекрещенные палочки с общей точкой —
центромерой. Мало этого, при размножении кольцевая хромосома изменяет свою
форму и превращается либо в кольцо, вдвое более длинное, чем
первоначальное, либо в два обычных по величине кольца, но продетых одно в другое. Но
значит...
Вы догадались! Навашин именно это и предположил. И не беда, что потом
нашлись другие объяснения нестабильности кольцевых хромосом, — все равно
мысль о том, что они свернуты в клетке в виде листа Мёбиуса, в свое время
оказалась плодотворной и до сего времени выглядит изящной. И — кто знает? —
быть может, она с последующими уточнениями все-таки сумеет еще
поработать в генетике. Ведь главное (если не единственное) возражение против
гипотезы Навашина состоит в том, что уже после второго деления (а многие клетки
делятся беспрерывно, всю жизнь) «тощий мёбиус», как мы прекрасно знаем,
не превратится в еще более тощего и длинного. Но что, если хромосома,
прежде чем располовиниваться вдоль, разрывается в какой-то точке,
перекручивается на один или два оборота, а затем соединяется вновь? С нею все может
статься: передавая наследственность, она ведь может и сама унаследовать
патологию хромосомы-родительницы. Впрочем, это уже даже не гипотеза, а
просто досужий вымысел.
Нам же пора вернуться к безусловно доказанным фактам. Здравствуйте еще
раз, господа Левый и Правый Мёбиусы!
А чем, собственно, они отличны друг от друга? Что дает нам право с
уверенностью называть один энантиморф «левым», а другой — «правым»?
Именно этот вопрос взволновал Иммануила Канта. Ему виделась страшная
картина. В совершенно пустом космосе появляется рука. Правая или левая?
Сказать невозможно, ибо нет ничего, с чем бы ее можно было сопоставить. Но вот
рядом с нею возникает человек, руки которого обрублены по запястье. Рука,
разумеется, подойдет лишь к одному запястью — правому, например. Значит,
она и есть правая. Но тогда получается, что рука была правой все время, еще
до того, как рядом с ней материализовался воображаемый инвалид? В чем же
тогда инвалидность рассуждений Канта?
Бедные, затрепанные нами «двумерцы» помогут и тут. Вырезанную из
бумаги фигурку человека мы можем положить на стол рядом с вырезанной
из бумаги же рукой и так и по-другому — перевернув «наизнанку». (Как
дубовый лист мог бы по-разному упасть на поверхность воды в гравюре
Эшера «Три мира».) И тогда рука подойдет в первый раз к его правому, а во
второй — к левому запястью. Значит, она не была ни правой, ни левой —
просто человек может явиться в свою двумерную Плосколяндию из нашего
трехмерного мира в двух энантиморфных модификациях — либо сам собой,
либо в зеркальном отражении. И точно так же любой предмет может быть
«вывернут» в пространстве высшей размерности. Это первым понял через
восемьдесят лет после того, как Кант высказал свои недоумения, Август
Фердинанд Мёбиус! (Однако свой знаменитый уже заранее перекрученный
лист, который позволяет, как мы теперь знаем, вывернуть лежащие в нем
предметы и без повышения порядка пространства, он описал лишь спустя
еще двадцать лет).
Известный американский популяризатор науки Мартин Гарднер написал
книгу, которую наше издательство «Мир» выпустило под заглавием «Этот
левый, правый мир». Там есть эпизод, заимствованный из комикса. Пещерный
человек радуется своему новому изобретению — барабану. Он ударяет по нему
палкой и говорит: «Это левая дробь», а затем берет палку в другую руку и
говорит: «Это правая дробь». И на вопрос: «Откуда ты знаешь?» — отвечает,
что у него на одной из ладоней есть родинка. Таким образом получается, что
все дело только в названии: хочу, назову так, хочу — наоборот. И ничто не
изменится. Прав Лейбниц: отрази мир в зеркале — никто и не заметит.
Вроде бы так.
Так? Да вот не так! Иначе Ли и Янгу не быть бы Нобелевскими лауреатами,
а нам бы не разувериться в симметричности Вселенной.
В 1956 году в Национальное бюро стандартов США обратилась профессор
Колумбийского университета By Цзяньсюн. Она просила дать ей возможность
воспользоваться криогенной установкой, чтобы охладить радиоактивный
изотоп кобальта, кобальт-60, до очень низкой температуры, почти до
абсолютного нуля. Это было необходимо ей, чтобы свести к минимуму тепловое движение
его молекул, а затем, наложив мощное электромагнитное поле, суметь
выстроить ядра так, чтобы они были направлены одноименными полюсами в
одинаковую сторону. (Ядро вращается вокруг своей оси: если смотреть с одного
конца его, то по часовой стрелке, а с другого — против часовой стрелки.
Значит, у него есть верх и низ, северный и южный полюс, или, что то же
самое, право и лево.) А дальше профессор By всего лишь хотела посмотреть,
одинаковое ли число электронов будет вылетать из северного и южного
полюсов при радиоактивном распаде.
«Я НЕ ВЕРЮ, ЧТО БОГ ОКАЖЕТСЯ ЛЕВШОЙ, И ГОТОВ ПОБИТЬСЯ ОБ
ЗАКЛАД НА ВЕСЬМА БОЛЬШУЮ СУММУ, ЧТО ЭКСПЕРИМЕНТ ДАСТ
СИММЕТРИЧНЫЙ РЕЗУЛЬТАТ!» — писал крупнейший физик-теоретик
Вольфганг Паули, с нетерпением ожидая, что же получится у By.
Паули проиграл свою весьма большую сумму.
Но несравненно больше проиграли представления физиков о природе: закон
четности нарушился, опыт дал несимметричный результат — из южного
конца ядра кобальта-60 вылетает намного больше электронов, чем из северного!
Это значит, что мир наш все-таки несимметричен. За такое открытие не
грех было присудить Нобелевскую премию. И ее получили в 1957 году Ли
Чжэндао и Янг Жэньпин — молодые американские ученые. Они, а не их
соотечественница By Цзяньсюн, потому что идея эксперимента была предложена
именно ими из чисто теоретических и даже скорее математических, нежели
физических соображений. Они первые придумали, как заставить природу
ответить на вопрос: равноправно ли в ней левое и правое, верх и низ? До них
никто не советовал физикам-экспериментаторам тратить время и силы на
подобные опыты — все были уверены, что закон сохранения четности незыблем.
Иными словами, любое направление в природе равноправно, и если в формуле,
включающей в себя все три координаты точки, поменять все знаки координат
на обратные, то она останется справедливой. И вот опыт By показал, что эта
самоочевидность была всего лишь самоубеждением.
И тогда, задним числом, стали вспоминать, что задолго до Ли и Янга
ученые покушались на закон сохранения четности.
Знаменитый немецкий математик Герман Вейль — знаменитый своими
глубокими и неожиданными идеями — в 1929 году высказал гипотезу о том, что
вращающаяся частица может быть в одной из двух зеркально сопряженных
форм — обладать левой или правой спиральностью. То есть откуда бы ни
смотрел на нее наблюдатель — «с носа» или «со спины» он видит ее
вращающейся вдоль линии своего движения либо по правому, либо по левому винту.
Вейль отнюдь не был физиком (и тем более физиком-ядерщиком), и у него не
было никаких опытных данных для такой необычной гипотезы. Он просто
построил изящную математическую теорию. Но в то время никто не отнесся к
ней всерьез, потому что она не согласовывалась с законом сохранения
четности и требовала от природы асимметричности. Вейль не дожил всего два года до
того дня, как закон этот был опровергнут и его теория получила титул
пророческой. В самом деле, из нее следовало, что у вращающейся частицы должен
быть зеркальный двойник — и его нашли!
В 1957 году почти одновременно физики в разных странах (у нас это был
Лев Давидович Ландау) предложили так называемую «двухкомпонентную
теорию нейтрино», согласно которой должно существовать антинейтрино —
частица, во всем ему подобная, но только закрученная вдоль оси своего
вращения в противоположную сторону. Потом оказалось, что существуют
разные типы пар нейтрино—антинейтрино, выяснилось немало любопытнейших
подробностей, но не об этом сейчас речь. «Связь между математикой,
естественными науками и философией нигде так не сильна, как в проблеме
пространства», — говорил Герман Вейль. И в самом деле слова пророка! Всего
лишь геометрическое, чисто пространственное отличие превращает частицу
микромира в своего антипода. А если уж и микромир так сильно зависит от
пространственной конфигурации, то и вся Вселенная в целом — объект
изучения геометрии.
Да, но почему и микромир? А потому, что о связи с геометрией макромира —
от молекул до галактики и Вселенной — было известно и раньше. Помните
ловкого спирита Слейда и незадачливого ученого Цёльнера? Кстати, Энгельс в
«Диалектике природы» посвятил ему несколько строк: «... если только верить
громогласным заявлениям господ спиритов, — и Германия выставила теперь
своего духовидца в лице г-на профессора Цёльнера из Лейпцига. Как известно,
г-н Цёльнер уже много лет интенсивно работает в области «четвертого
измерения» пространства, причем он открыл, что многие вещи, невозможные в
пространстве трех измерений, оказываются само собою разумеющимися в
пространстве четырех измерений. Так, например, в этом последнем пространстве
можно вывернуть, как перчатку, замкнутый металлический шар, не проделав
в нем дыры; точно так же можно завязать узел на не имеющей с обеих сторон
концов или закрепленной на обоих концах нитке; можно также вдеть друг в
друга два отдельных замкнутых кольца, не разрывая ни одного из них, и
проделать целый ряд других подобных фокусов. Теперь, согласно новейшим
торжествующим сообщениям из мира духов, г-н профессор Цёльнер обратился
к одному или нескольким медиумам, чтобы с их помощью установить
дальнейшие подробности относительно местонахождения четвертого измерения. Успех
при этом был поразительный. Спинка стула, на которую он опирался верхней
частью руки, в то время как кисть руки ни разу не покидала стола, оказалась
после сеанса переплетенной с рукой; на припечатанной с обоих концов к столу
нитке появились четыре узла и т. д. ... если предположить, что эти сообщения
верно передают результаты опытов г-на Цёльнера, то они безусловно
знаменуют начало новой эры как в науке о духах, так и в математике. Духи
доказывают существование четвертого измерения, как и четвертое измерение
свидетельствует о существовании духов».
Так вот, совсем недаром решительный эксперимент, задуманный Цёльне-
ром, состоял в том, чтобы превратить правую винную кислоту в левую.
Кислота эта явилась причиной первого крупного успеха великого французского
ученого Луи Пастера: «Я только что сделал гигантское открытие! Я так счастлив,
что меня бросает в дрожь, я больше не могу спокойно смотреть на
поляриметр!» — с такими словами выскочил он из своей лаборатории, когда
убедился, что кристаллы винной кислоты могут быть в двух энантиморфных видах.
И если под микроскопом отделить левые кристаллы от правых и составить
потом два раствора, то один из них будет вращать плоскость поляризации
света влево, а другой — вправо. И при этом даже самый тонкий химический
анализ не поможет отличить один раствор от другого.
Такие кристаллы, по-разному поляризующие проходящий через них свет,
называют оптическими изомерами. Голландский химик Вант-Гофф в 1874 году
объяснил это явление тем, что молекулы оптических изомеров — это
зеркальные отражения друг друга, как, например, у молочной кислоты, формула
которой СН3 • СН(ОН) • СООН и кристаллы которой тоже относятся к этому не
столь уж редкому типу. Однако несмотря на простоту объяснения, оптические
изомеры дали новый повод для спекуляций и домыслов о существовании
четвертого измерения, поскольку они объявлялись просто-напросто двумя
разными проекциями одного и того же вещества, «живущего» в невидимом нами
мире, размерность которого на единицу больше нашего, трехмерного.
«СЫНОК, Я ТАК ГЛУБОКО ЛЮБЛЮ НАУКУ, ЧТО СЕРДЦЕ МОЕ
ЗАМИРАЕТ!» — сказал молодому Пастеру его прославленный учитель Жан Батист Био,
повторив опыт с право-левыми кристаллами.
Неудивительно, что асимметричные молекулы на долгие годы увлекли
Пастера. Через десять лет он придумал новый способ разделить кристаллы:
оказалось, что плесень разрушает молекулы винной кислоты лишь одного из двух
возможных типов и оставляет зеркальных двойников нетронутыми.
«Асимметричный живой организм, — писал он, — выбирает для питания именно ту
форму винной кислоты, которая отвечает его требованиям и, несомненно,
соответствует какой-то собственной внутренней асимметрии». Пастер был
убежден (и тут он не ошибся), что лишь в живых организмах можно обнаружить
вещества, состоящие из асимметричных молекул только одного вида. Эта и
была, по его мысли, «...единственная четко установленная демаркационная
линия, которую можно в настоящее время провести между химией живой
материи и химией неживого». Он верил, что стоит узнать способ, которым при-
рода ввела асимметрию в органические соединения, и до разгадки тайны
жизни останется один шаг.
Так это или нет, но ведь факт, что аминокислоты всех природных белков
всегда левые, а могли бы с тем же успехом быть и правыми! В каждой живой
клетке на нашей планете правые спирали нуклеиновой кислоты. И снова —
выбор из двух возможных зеркальных форм. Нуклеиновые кислоты —
носители жизни — тоже родились благодаря право-левой асимметрии: все они
«левые», а их спирали всегда «правые».
Так ли уж не прав Пастер, утверждая, что тут, в геометрических глубинах
строения материи, и запрятан ключ к тайнам жизни?
Не только в спирали всем известной ДНК — на каждом шагу геометрия
молекул напоминает нам о себе. Лишь правизна отличает искусственно
созданное в лаборатории вещество декстраникотин («декстра» и значит по-латыни
«правый») от левоникотина, который входит в состав любого табака. Но про
первый медики не говорят худого слова, а второй чуть ли не враг номер один
современного человека (во всяком случае, по раковым болезням дыхательных
путей курильщики уверенно лидируют). Мы жить не можем без витамина С —
сразу же наступает цинга. Но точно такое же вещество — с одной лишь
разницей: молекулы его зеркально отражены — не оказывает на человеческий
организм вообще никакого влияния. А ведь химически они неразличимы.
Форма, геометрические свойства играют в нашем мире удивительную роль.
В нем царит таинственная асимметрия, а вовсе не прозрачная симметрия, и
потому идея Вселенной в виде трехмерного листа Мёбиуса имеет кое-какие
шансы оказаться жизненной. И не так уж она несовместима с привычным нам
образом мироздания. В доказательство последней мысли проделайте простой,
но прелюбопытный опыт. Погрузите окружность из мягкой проволоки в
мыльный раствор. На нее сразу же натянется круг из пленки. (Это будет, кстати,
так называемая минимальная поверхность, то есть поверхность минимальной
площади, которая может быть «надета» на данный каркас. Такие поверхности
используют в технике, потому что они обладают наибольшей возможной
жесткостью.) Начните постепенно его деформировать (для этого заранее припаяйте
к проволочной окружности две ручки). И что же? Можно, оказывается,
перевести двустороннюю мембрану в односторонний лист Мёбиуса. Поразительное
явление! А теперь на секунду перенеситесь мыслью в пространство трех, а то и
четырех измерений: что за превращения возможны там? Подумайте. Быть
может, вы сумеете почерпнуть для этого вдохновение, рассматривая гравюру
Эшера «Рыбы и чешуйки», полную геометрических «завихрений».
И заодно подумайте еще вот о чем. В каком же мире мы все-таки с вами
живем? Сколько в нем измерений? Конечен ли он? Имеет ли границы?
Разумеется, вы вправе создать свою собственную теорию. Но постарайтесь,
чтобы факты, известные сегодняшней науке, уложились в нее. А факты эти,
например, такие.
Все тела притягиваются друг к другу. С силой, пропорциональной
произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними.
Это закон, открытый Ньютоном.
Оставим пока в покое массы. Итак, гравитационное взаимодействие убывает
с расстоянием, и зависимость эта квадратичная. Но то же самое происходит и
с магнитными, и с электростатическими силами. И свет, и радиация
распространяются по этому же закону: интенсивность падает как квадрат расстояния
от источника. Так может быть только в трехмерном пространстве. Ведь
воздействие передается во все стороны равномерно, по все расширяющимся
сферам, площадь которых, как известно, равна 4nR2. Но если бы пространство
было, например, четырехмерным, то вместо квадрата в формулах физики
фигурировал бы куб. Мало того, планеты не вращались бы вокруг Солнца по
замкнутым траекториям, но двигались бы по спирали, либо приближаясь,
либо удаляясь от него. Ясно, что и в том и в другом случае жизнь во
Вселенной была бы невозможна.
Теперь, наоборот, оставим в покое расстояние между телами и подумаем об
их массе. Если наша Вселенная бесконечна и материя распределена в ней
равномерно, то в любой ее точке сила тяготения должна быть бесконечно
большой. Но это означает, что ни одна планета не могла бы существовать —
этот материальный остров в море пространства был бы растянут силами
гравитации. Значит... значит, Вселенная не бесконечна? Но что же тогда за ее
краем?
Альберт Эйнштейн нашел выход из этого логического тупика. Вселенная
хотя и конечна, но безгранична! С ней как раз все в порядке. Беда в нас самих —
в нашей слепой приверженности геометрии Евклида. Мы уверены, что
параллельные линии не пересекаются, что кратчайшее расстояние между двумя
точками — прямая. Но ведь этого никто и никогда не доказал. Мало того, все мы
знаем, что это вовсе не так.
Чтобы сократить дорогу от Москвы до Владивостока, летчик поведет
самолет вовсе не по прямой линии, а по дуге большого круга Земли — так
называемой геодезической линии. Если нарисовать на земной поверхности огромный
круг, то отношение его диаметра к длине окружности будет меньше п. Все это
из-за кривизны нашей планеты, из-за того, что она не плоская. Параллельные
линии — дуги большого круга — пересекаются. И узнали мы об этом задолго
до космических полетов, людям не пришлось глядеть на свою планету извне,
чтобы понять, какой она формы. Так и Эйнштейн, размышляя над
известными астрономическими фактами, пришел к мысли, что наша Вселенная
искривляется и в математическом смысле эквивалентна четырехмерной сфере.
(Слышно ли космическое звучание темы Круга и Сферы?)
«Достоевский дает мне больше, чем любой мыслитель...» — говорил
Эйнштейн. «Пусть даже параллельные линии сойдутся, и я это сам увижу: увижу и
скажу, что сошлись, а все-таки не приму», — говорил Иван Карамазов. И ему
же принадлежат слова о «малосильном и маленьком, как атом, человеческом
евклидовом уме», об уме, «созданном с понятием лишь о трех измерениях».
Да, нам кажется, что луч света пронизывает Вселенную по прямой, но ведь и
крот, сколько бы он ни рыл свою нору, будет уверен, что Земля плоская.
Массивные тела притягивают к себе все сущее и свет в том числе, раз он
состоит из материальных частиц — фотонов. («Не действуют ли тела на свет
на расстоянии и не изгибают ли этим действием его лучей?» — высказывал
гениальную догадку Ньютон.) Но если вблизи тел большой массы
искривляется абсолютно все, даже свет, то это значит, что искривляется само
пространство. И тут полная аналогия с Плосколяндией, расположенной на поверхности
большого шара, которая тоже искривляется в пространстве, но высшем, чем
то, что могут осознать плоские «двумерцы».
«КОГДА СЛЕПОЙ ЖУК ПОЛЗЕТ ПО ПОВЕРХНОСТИ ШАРА, ОН НЕ
ЗАМЕЧАЕТ, ЧТО ПРОЙДЕННЫЙ ИМ ПУТЬ ИЗОГНУТ, МНЕ ЖЕ
ПОСЧАСТЛИВИЛОСЬ ЗАМЕТИТЬ ЭТО», — так объяснил Эйнштейн своему девятилетнему
сыну, чем же он, собственно, прославился в науке.
Жаль, что он не мог для наглядности показать ему гравюру Эшера
«Спирали на сфере». Плоские «двумерцы», живущие на сфере, смогли бы
обнаружить, что их вселенная искривлена, если бы стали, например, строить заборы
вокруг какого-нибудь своего дворца — один за другим, каждый длиннее
предыдущего. В один прекрасный момент они бы обнаружили, что на новые
заборы идет все меньше материала. Какой-нибудь гениальный плоскатик
сообразил бы, что строители перешли за экватор сферы.
Нам, «трехмерцам», пришлось бы строить гигантские сферы вокруг Земли —
одну больше другой. Каждому ясно, насколько это сложное предприятие. Но ясно
ли каждому, что значило решить ту же задачу «на обороте старого конверта»?
Общая теория относительности — это открытие не физика, не астронома, а
математика. Во всяком случае, так считают многие физики и математики.
Один из них, академик Сергей Львович Соболев, говорил как-то в одном из
своих интервью: «В середине XIX века Лобачевский построил свою
«воображаемую геометрию», а затем Риман развил его идею и создал математическую
теорию пространства, обладающего переменной внутренней кривизной, то есть
имеющего различную кривизну в различных точках. Из этих исследований
возник великолепный математический аппарат — тензорный анализ.
Благодаря ему из трудов Пуанкаре и Эйнштейна родилась теория относительности...».
К этим словам можно только добавить, что теория относительности не
родилась бы в голове Эйнштейна, если бы с ранней юности в ней не поселилась
неотвязная мысль: как соотносится математика и реальный мир? Пуанкаре
считал — никак. То есть каждый волен выбирать себе любую математику,
произвольную геометрию — Евклида, Лобачевского, Римана или свою
собственную непротиворечивую систему аксиом, из которой логически строго
следуют все теоремы. Быть может, именно это заблуждение помешало Анри
Пуанкаре открыть теорию относительности, ведь математически он был подкован
лучше Альберта Эйнштейна. Сам же Эйнштейн считал, что ученый не волен в
выборе геометрии, его математика должна проверяться окружающим миром.
«... Геометрия сохраняет характер математической науки, — писал он, — так
как вывод ее теорем из аксиом останется по-прежнему чисто логической
задачей; но в то же время она становится и физической наукой, так как ее
аксиомы содержат утверждения, относящиеся к объектам природы, —
утверждения, справедливость которых может быть доказана только опытом».
Физический смысл аксиом геометрии, острый привкус реальности в самых
абстрактных математических выкладках — это и привело к созданию
величайшей теории нашего века.
«ВСЕЛЕННАЯ, ИЗОБРАЖАЕМАЯ ТЕОРИЕЙ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ЭЙНШТЕЙНА, ПОДОБНА РАЗДУВАЮЩЕМУСЯ МЫЛЬНОМУ ПУЗЫРЮ. ОНА —
НЕ ЕГО ВНУТРЕННОСТЬ, А ПЛЕНКА. ПОВЕРХНОСТЬ ПУЗЫРЯ ДВУМЕР-
НА, А ПУЗЫРЬ ВСЕЛЕННОЙ ИМЕЕТ ЧЕТЫРЕ ИЗМЕРЕНИЯ: ТРИ
ПРОСТРАНСТВЕННЫХ И ОДНО — ВРЕМЕННОЕ», — так писал некогда видный
английский физик Джеймс Джине.
Этот современный ученый (он умер в 1946 году) как бы возродил старую
идеалистическую идею последователей Платона и Пифагора о том, что все
вокруг — это чистая математика и творец этой математической Вселенной,
демиург, сам, стало быть, был математиком. (Тут, правда, следует заметить:
демиург Платона Вселенную творил все-таки из чего-то материального, более
поздние идеалисты превратили демиурга в бога, который, как известно, стал
творить в буквальном смысле из ничего; разница существенная.)
Эйнштейн, однако, тоже был математиком. Его формулы позволяют
вычислить радиус этой Вселенной. Поскольку кривизна ее зависит от массы тел,
которые ее составляют, то надо знать среднюю плотность материи. Астрономы
в течение многих лет изучали одни и те же маленькие участки неба и
скрупулезно подсчитывали количество материи в них. Оказалось, что плотность
равна приблизительно 100 г/см3 . Если подставить эту цифру в формулы
Эйнштейна, то, во-первых, получится положительная величина кривизны — то
есть наша Вселенная замкнута! — а во-вторых, радиус ее равен 35 миллиардам
световых лет. Это значит, что хотя Вселенная и конечна, но она огромна —
луч света, мчась по Большому Космическому кругу, вернется в ту же точку
через 200 миллиардов земных лет! В нашей гигантской гиперсфере хватает
места для миллиардов галактик, а в каждой из них — для миллиардов звезд.
Это не единственный парадокс Вселенной Эйнштейна. Она не только
конечна, но безгранична, она еще и непостоянна.
Свою теорию Альберт Эйнштейн сформулировал в виде десяти очень сложных,
так называемых нелинейных дифференциальных уравнений. Однако далеко не все
ученые отнеслись к ним как к десяти заповедям, допускающим лишь
одно-единственное толкование. Да это и неудивительно — ведь точно решить такие
уравнения современная математика не умеет, а приближенных решений может быть
много. И вот наш соотечественник Александр Александрович Фридман в 1922 году
предложил такое решение уравнений Эйнштейна, при котором получалось, что
галактики не могут находиться на зафиксированных расстояниях одна от другой,
они должны с течением времени разлетаться — и чем дальше, тем быстрее.
«Результаты относительно нестационарного мира, содержащиеся в
упомянутой работе, представляются мне подозрительными», — написал Эйнштейн
по поводу статьи Фридмана в научном журнале. Но очень скоро в печати
появились совсем другие его слова: «В предыдущей заметке я подверг критике
названную выше работу. Однако моя критика, как я убедился из письма
Фридмана... основывалась на ошибке в вычислениях».
А.А. Фридман погиб в 1925 году совсем молодым, продолжая считать свое
решение игрой ума — лишь одной из теоретически возможных моделей
Вселенной. Но уже через четыре года было открыто знаменитое красное
смещение: астрономы увидели по спектрам далеких галактик, что они удаляются от
нас с огромными скоростями, и действительно, чем дальше, тем быстрее.
Джеймс Джине не напрасно уподобил Вселенную Эйнштейна
раздувающемуся мыльному пузырю. Она и в самом деле расширяется на наших глазах. Но
если плотность материи в ней окажется достаточно большой, то силы
всемирного тяготения рано или поздно остановят «беглые» галактики и Вселенная
начнет сжиматься. (Взгляните на гравюру Эшера «Змеи» — последнюю его
работу, законченную незадолго до смерти. Быть может, она навеяна мыслями
о сложном устройстве нашего мира, где все связано, где расширение ведет за
собой сжатие, а оно — вновь расширение, и мудрые «Змии Познания»
стремятся проникнуть в эти вечно меняющиеся переплетенные Кольца Бытия...)
Вселенная пульсирует, и — теоретически — за этим можно следить точно с
тем же чувством, с каким герой абботтовской Плосколяндии наблюдал
пронзавшую плоскость его мира трехмерную сферу, думая, что проходящие перед
его взором то увеличивающиеся, то уменьшающиеся окружности — это
священник, который ведет себя неподобающим образом... Но в Плоско ляндии не
родился гений, способный проникнуть в геометрию трехмерного мира, увидеть
в разбегающихся и сбегающихся кругах следы Большого Космоса.
«ПОЧЕМУ ИМЕННО Я СОЗДАЛ ТЕОРИЮ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ? КОГДА Я
ЗАДАЮ СЕБЕ ТАКОЙ ВОПРОС, МНЕ КАЖЕТСЯ, ЧТО ПРИЧИНА В
СЛЕДУЮЩЕМ. НОРМАЛЬНЫЙ ВЗРОСЛЫЙ ЧЕЛОВЕК ВООБЩЕ НЕ
ЗАДУМЫВАЕТСЯ НАД ПРОБЛЕМОЙ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ. ПО ЕГО МНЕНИЮ,
ОН УЖЕ ДУМАЛ ОБ ЭТОЙ ПРОБЛЕМЕ В ДЕТСТВЕ. Я ЖЕ РАЗВИВАЛСЯ
ИНТЕЛЛЕКТУАЛЬНО ТАК МЕДЛЕННО, ЧТО ПРОСТРАНСТВО И ВРЕМЯ
ЗАНИМАЛО МОИ МЫСЛИ, КОГДА Я СТАЛ УЖЕ ВЗРОСЛЫМ», — рассуждал
сам с собой в письме к другу Альберт Эйнштейн.
Наверное, и Исаак Ньютон мог бы сказать, что лишь из детского
любопытства пытался он сперва решить задачу о целующихся сферах, а потом — о
вращающихся планетах. Да и Мёбиус, возможно, вспомнил детские игры с
ножницами и клеем, когда придумал свою удивительную поверхность. Так или
иначе, но их так же, как и других великих ученых, блестящая вереница
которых проходит через эту «Рапсодию», роднит особый, неожиданный и
глубокий подход к первоосновам жизни и мира. Это и есть математика. Говорят,
что летчики и моряки не могут быть счастливы без своих океанов, потому что
они дают им ощущение власти над тремя координатами. Но как же властно
должна тогда владеть человеком древнейшая из наук, если она позволяет
окунуться в пространства любых измерений, младенчески играя, познавать
законы Вселенной и атома, и любую сложнейшую мысль изложить легко и изящно,
как детскую игру. Чтобы проверить точность маятника, Галилей сравнивал
его ход с собственным пульсом. Как же спокойно билось сердце в те времена —
даже у великих ученых... Но как же должны тянуть к себе в наше бурное
время — даже самого обычного человека — наука, умеющая найти гармонию и
смысл в окружающем мире!
Если вы услышите, что кто-то не любит математику, не верьте. Ее нельзя не
любить — она и вовне и внутри нас. Ее можно только знать — или не знать.
Люди искусства, как правило, не хотят видеть в математике отражение
красоты нашего мира, напротив, они упрекают ее в сухости, расчетливости,
холодности — в противоположность, например, живописи. Между тем не так уж
очевидно, что подобное противопоставление имеет под собой достаточные
основания. В своей недавно вышедшей книге «Эйнштейн, Пикассо» Артур Миллер
пытается доказать, что Пикассо были известны математические и философские
идеи, которые привели Эйнштейна к созданию специальной теории
относительности. Более того, что его полотно «Девушки Авиньона», часто называемое
историками искусства первым крупным произведением кубизма и вехой в
развитии современной живописи, было написано под влиянием этих теорий. Конечно,
это не тот Артур Миллер, чье имя связано в общественном сознании с Мэрилин
Монро. Он не автор «Смерти коммивояжера», а физик и историк науки,
человек, который окончательно развеял миф о том, что будто бы не Альберт
Эйнштейн, а Анри Пуанкаре создал специальную теорию относительности. Он,
однако, признает, что Пуанкаре разработал математический аппарат для описания
хаотических явлений и очень близко подошел к созданию специальной теории
относительности. Но, очевидно,
Пуанкаре, в отличие от Эйнштейна, не
сумел в достаточной мере вырастить в
своем сознании некое существо, которое
можно условно назвать «Научным
Журналистом» и которое сумело бы
объяснить ему истинный смысл его
собственных работ и перспективы, открываемые
ими.
Любопытно, что Пуанкаре испытал
себя на ниве научной журналистики —
он опубликовал в 1902 году
рассчитанную на широкий круг читателей книгу,
в которой были такие слова: «В
Природе нет абсолютного пространства... Не
существует и абсолютного времени». Но
это ведь и есть главная мысль специальной теории относительности,
опубликованной в 1905 году Эйнштейном, который, как выяснилось, читал научно-
популярную книгу Пуанкаре. Артур Миллер утверждает, что ту же книгу
буквально проглотил и некто Морис Принсет, тогдашний приятель Пабло Пикассо,
который и поведал художнику о наиболее волнующих идеях, изложенных в
книге Пуанкаре, в то самое время, когда писались «Девушки Авиньона». «Этой
своей картиной Пикассо сделал для искусства в 1907 году почти то же самое,
что Эйнштейн сделал для физики в 1905-ом», — писал один искусствовед,
имевший некоторые знания и в области естественных наук. Объяснение, которое
дает этому факту автор книги «Эйнштейн, Пикассо» Артур Миллер вкратце
сводится к простой мысли: оба они, ставшие иконами нынешней культуры,
стремились в самой полной мере изучить следствия, вытекающие из новых
представлений о времени, пространстве и их измерениях, в то время как люди,
начавшие эту работу одновременно с ними, остановились на полпути.
Таким образом, противопоставление науки и искусства начинает казаться слегка
искусственным и надуманным. Становится очевидным, что оба эти вида
людской деятельности основываются на творчестве и открытости новому. У них
много точек пересечения и их интересы во многом совпадают. Прекрасной
иллюстрацией тому может служить гравюра Эшера «Относительность».
Подобно людям на гравюре, идущим по одной и той же лестнице, но по разным
сторонам ее ступеней, наука и искусство всегда движутся рядом, в
непосредственной близости, несмотря на тот факт, что векторы их «силы тяжести»
направлены в разные стороны. Если проанализировать это произведение
искусства более глубоко, то гипотеза о том, что специальная теория
относительности и кубизм имеют одни корни или, во всяком случае, одни источники, не
будет казаться такой уж странной.
Прогулка по зоологическому саду —
не зоология в учебном смысле
слова. Однако мне кажется, что
нужно сначала
заинтересоваться животными, а потом уже
заниматься их классификацией и
анатомией. Сад открыт для
всех, в том числе и тех, кто
смотрит на животных только
для развлечения. Поэтому не
беда, если кто-нибудь скажет,
что мои картинки — не
математика. Кто пересмотрит их с
начала до конца, тот, быть
может, подметит то общее, что
их объединяет. А это и есть
математика...
Гуго ШТЕЙНГАУЗ
IV. ВЕЛИКОЛЕПНАЯ ПЯТЕРКА
В огромном саду геометрии
каждый может подобрать себе
букет по вкусу... И ныне наглядное
понимание играет
первенствующую роль в геометрии.
Давид ГИЛЬБЕРТ
«ГРЕКИ — ЭТО НЕ СПОСОБНЫЕ ШКОЛЬНИКИ ИЛИ
ХОРОШИЕ СТУДЕНТЫ, НО СКОРЕЕ «КОЛЛЕГИ ИЗ
ДРУГОГО КОЛЛЕДЖА», — писал профессор Джон
Идензор Литлвуд, один из крупнейших современных
английских математиков.
Поверим ему и не станем с насмешливым
превосходством судить Платона за то, что он считал, будто атомы
четырех элементов, из которых строится мир (огня,
земли, воздуха и воды), имеют форму правильных
выпуклых многогранников тетраэдра, куба, октаэдра и
икосаэдра, а весь мир в целом построен в форме додекаэдра.
(На с. 75 пять Платоновых тел сопоставлены с
гравюрами Эшера «Фейерверк», «Рокко Империале, Калабрия»,
«Россано, Калабрия», «Второй день творения» и «Иной
мир. 1947».). Подумаем лучше, почему именно
додекаэдр, как показали раскопки в Монте Лоффа под Падуей,
был любимой игрушкой этрусских детей 2500 лет назад
B4)? И почему он же до наших дней остается
излюбленной побрякушкой для взрослых, которые делают из него
календарь — по месяцу на каждый из двенадцати его
граней. И, наконец, отчего именно додекаэдр избрал Саль-
ватор Дали для своей «Сарданы* пятиугольников» (Pentagonal Sardana) —
стереоскопической конструкции, составленной из двух очень похожих и очень
разных полотен, написанных маслом на квадратных холстах со стороной
ровно в один метр, предназначенной для рассматривания одновременно правым и
левым глазом? (см. Указатель).
Куб (или гексаэдр) и правильная пирамида (или тетраэдр) тоже верно
служили большим и малым людям — и их созидательной тяге к строительству, и
их разрушительной страсти азарта. Свидетельство тому — детские кубики и
пирамидки, а также вся архитектура конструктивизма. Но почему же не куб и
не пирамида, а совсем другой правильный многогранник — икосаэдр** —
* Сардана — народный каталонский танец.
** «Макет икосаэдра», покрытый эшеровской мозаикой из ракушек и морских звезд,
который можно найти с помощью Указателя, продемонстрирует особую красоту этой
геометрической фигуры.
хранится в Египетском зале Британского
музея, и удивленный посетитель может
узнать, что это — игральная кость
династии Птолемеев*? И почему октаэдр —
«пространственный ромб» — от древних
времен до наших дней неизменно служит
светильником, хотя «начинка» его
прошла путь от скоротечной плошки до
почти вечной галогенной лампы?
И наконец, главный вопрос: почему
Платоновых тел (это математический
термин) именно пять**? Постарайтесь
придумать шестое: выпуклый многогранник,
каждая грань которого — один и тот же
правильный многоугольник, то есть
фигура с равными сторонами и равными
углами между ними. Когда попытки ваши кончатся безрезультатно, попробуйте
найти способ доказать себе и другим известное любому математику
утверждение Евклида: существует только пять правильных выпуклых многогранников.
И вне зависимости от успеха этого предприятия вы, вероятно, с большим
пониманием, чем прежде, отнесетесь к словам профессора Литлвуда. И вне
сомнения, с большим, чем в первый раз, интересом станете рассматривать
гравюру Эшера «Звезды», а также эскиз к этой гравюре, на которых среди
прочих тел легко найти всю нашу «великолепную пятерку».
Тот же, кому посчастливилось оказаться весной 2004 года в Кембридже и
посетить выставку работ венгерского скульптора-новатора Аттилы Сцёргё
«Платоническая любовь», никогда не забудет ощущения полного слияния
геометрии и искусства в представленных в знаменитом университете двух необычных
устройствах. В каждом из них действо начиналось со скелетных конструкций
тетраэдра, октаэдра и куба, составленных из деревянных брусков. Затем неви-
* Одно из подобных творений древних ремесленников изображено на B5). Забавно, что
фигурка эта сорок лет пролежала в музее с табличкой «Додекаэдр» - никто не удосужился
разглядеть в ней икосаэдр, двадцатигранник, состоящий из правильных треугольников.
** Вот все они, добытые на раскопках в Шотландии, созданные древним камнетесом четыре
тысячи лет назад, в эпоху неолита B6). Они же - на обложке «Книги о перспективе» Жана
Кусена, изданной в средневековой Франции в 1560 году - вновь см. Указатель.
ТЕТРАЭДР
КУБ
ОКТАЭДР
ИКОСАЭДР
ДОДЕКАЭДР
димые глазу электромоторы через сложную систему нитей и противовесов
разъединяли эти правильные геометрические фигуры на отдельные части — их
ребра расходились в разные стороны, превращая на глазах зрителей
идеальный порядок в полный хаос. Но затем эти элементы столь же неожиданно
собирались в пространстве в еще более сложные и упорядоченные
геометрические фигуры: в додекаэдр в одном из устройств и в икосаэдр — в другом.
«РАЗЛИЧНЫЕ ВЕТВИ ГЕОМЕТРИИ НАХОДЯТСЯ В ТЕСНЫХ И ЧАСТО
НЕОЖИДАННЫХ ВЗАИМООТНОШЕНИЯХ ДРУГ С ДРУГОМ», — такими
словами Давид Гильберт предваряет одну из своих книг.
Любой рассказ о геометрии служит подтверждением их правдивости, в том
числе и история со скелетными конструкциями всех пяти Платоновых тел,
вдохновивших Аттилу Сцёргё.
Он, правда, не был тут первым. Леонардо да Винчи тоже любил
изготовлять из дерева каркасные модели многогранников B8). Когда его друг фра
Лука Пачоли* издал в 1509 году в Венеции книгу «О божественной
пропорции», иллюстрациями к ней послужили около шестидесяти рисунков»
сделанных Леонардо со своих моделей**. (Впрочем, Пачоли не остался в долгу: он
подсчитал для великого скульптора количество металла, потребного для
изготовления статуи всадника, — задача по тем временам нешуточная.)
Что же божественного нашел в простых геометрических фигурах Лука
Пачоли — человек, живший спустя два тысячелетия после Платона? Или это
отзвук, прошедший через века и народы, приписываемой тому Плутархом
крылатой фразы: «Бог всегда действует геометрически»?
Нет, фра Лука — монах-францисканец Пачоли —
мыслил реалистичнее: бог — геометр не всегда, но
в некоторых случаях. А именно когда речь идет о
«золотом сечении» — о таком делении отрезка на
две неравные части, чтобы отношение большей
части к меньшей равнялось отношению всего
отрезка к большей его части. Завяжите
простым узлом узкую полоску бумаги и осторожно
распрямите B7). Вы получите правильный
пятиугольник, а его диагонали как раз и делят друг
друга «в среднем и крайнем отношении» — так
еще по-другому называют «золотое сечение».
Пачоли нашел, что есть тринадцать «эффектов» этой
«божественной» пропорции — «ради нашего
спасения», как утверждал он. Он искал эти
«божественные эффекты» в самых совершенных созданиях математики — пяти
Платоновых телах, строил их из стеклянных плиток, а затем раздавал «для
коллекций разных вельмож». В главе «О двенадцатом, почти
сверхъестественном свойстве» речь идет о правильном икосаэдре — платоновом теле,
ограниченном двадцатью правильными треугольниками.
* Ныне более известный как отец современного бухгалтерского учета, автор «Трактата о
счетах и записях», изобретатель двойной итальянской бухгалтерии с ее дебетом и кредитом.
** Пять из них — на с.75.
Вглядитесь повнимательнее в эту древнейшую
игральную кость B9). К каждой вершине
сбегаются пять треугольников, свободные стороны
которых образуют уже знакомый нам правильный
пятиугольник. Если же соединить между собой
любые два противоположные ребра икосаэдра, то
получится прямоугольник, тоже имеющий
прямое отношение к «божественной» пропорции, —
его большая сторона так относится к меньшей,
как сумма сторон — к большей. И именно
икосаэдр связан с математической знаменитостью —
проблемой «целующихся сфер», которая
возникла в споре Исаака Ньютона с оксфордским астрономом Дэвидом Грегори A1).
Наконец, в самые последние годы это звучное греческое слово вновь
замелькало в научных статьях: выяснилось, что структура кристаллического бора —
идеальный икосаэдр. И даже вирусы, которые раньше так и назывались
«сферическими» — например, вирус полиомиелита, — и то, как удалось
обнаружить, имеют форму икосаэдра. Но об этом чуть позже.
«ЕВКЛИД ВОВСЕ И НЕ СОБИРАЛСЯ ВЫПУСКАТЬ СИСТЕМАТИЧЕСКИЙ
УЧЕБНИК ГЕОМЕТРИИ. ОН ЗАДАЛСЯ ЦЕЛЬЮ НАПИСАТЬ СОЧИНЕНИЕ
О ПРАВИЛЬНЫХ МНОГОГРАННИКАХ, РАССЧИТАННОЕ НА
НАЧИНАЮЩИХ, В СИЛУ ЧЕГО ЕМУ ПРИШЛОСЬ ИЗЛОЖИТЬ ВСЕ
НЕОБХОДИМЫЕ СВЕДЕНИЯ», — шутка известного английского естествоиспытателя и
геометра д'Арси Томпсона, как и всякая хорошая острота, содержит зерно
истины.
Ведь согласно Проклу, Евклид считал венцом всех тринадцати книг своих
«Начал» предложенные им способы построения пяти Платоновых тел —
недаром он поместил их в последнюю, тринадцатую книгу. Строить, в его
понимании, значило начертить, пользуясь только циркулем и линейкой.
Но прежде чем браться за правильные пространственные тела, Евклиду
пришлось «изложить все необходимые сведения» о правильных плоских фигурах.
В первой книге «Начал» он учит, как строить правильный треугольник, а в
четвертой — квадрат, пяти-, шести- и пятнадцатиугольник с равными сторонами
и углами при вершине. Но вот правильный семиугольник ни Евклиду, ни его
последователям построить не удалось, а пытались многие, потому что
семиугольная звезда играла определенную роль в астрологии. Однако только в 1796 году
Карл Фридрих Гаусс сумел выяснить, какие именно правильные многоугольники
могут быть построены с помощью циркуля и линейки, а какие — никогда. Ему
было тогда всего 19 лет, и он готовился стать филологом. Открытая
закономерность произвела на Гаусса такое сильное впечатление, что он не только забыл и
думать о филологии и не только с головой ушел в математику, но и всю жизнь,
уже став великим ученым, гордился своим юношеским успехом. И геттингенцы
поставили ему памятник, в пьедестале которого правильный 17-угольник.
Сограждане великого математика достойно почтили его память.
Установленный Гауссом закон связывает между собой две самые могучие ветви
математического древа — геометрию и теорию чисел. («Математика — царица наук,
теория чисел — царица математики», — писал Гаусс.) Закон этот гласит:
циркулем и линейкой можно построить правильный д-угольник в том и только в
том случае, если число его сторон п разлагается на простые множители, каждый
из которых является так называемым «простым числом Ферма», и вдобавок
множители эти не повторяются. Единственное исключение — числа, кратные 2.
Они могут, конечно, входить в состав множителей п — ведь нетрудно сколь
угодно раз удвоить число сторон уже построенного многоугольника.
«Простые числа Ферма» выражаются простой формулой, придуманной Ферма:
22 + 1. Вот первые пять таких чисел: 3, 5, 17, 257 и 65 537. Семерка не входит в
их число, и потому астрологам придется самим строить свой символ.
В «Математической смеси», переведенной на русский язык книге Литлвуда,
есть такая миниатюра:
«Один слишком навязчивый аспирант довел своего руководителя до того,
что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного
многоугольника с 65 537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через
20 лет с соответствующим построением». Это не совсем анекдот: некто
О. Гермес действительно потратил десять лет на такой бессмысленный труд.
Рукопись его, заключенная в большой ящик, до сих пор хранится в Геттин-
генском университете — памятником титанической усидчивости.
Счастье, что руководитель остановился на пятом простом числе Ферма.
Возьми он шестое (а вычислить его не так уж трудно: 22 + 1 = 232 + 1 =
= 4 294 967 297), бедняга аспирант до конца своих дней не оторвался бы от
чертежей. И дело не в гигантской величине числа сторон. Оказалось, что
Ферма ошибался: «шестое простое число Ферма» не простое, а составное: оно
разлагается на множители.
Доказать это удалось Леонарду Эйлеру.
«ЭЙЛЕР... НЕ ПРОГЛЯДЕЛ НИЧЕГО В СОВРЕМЕННОЙ ЕМУ
МАТЕМАТИКЕ, ХОТЯ ПОСЛЕДНИЕ 17 ЛЕТ СВОЕЙ ЖИЗНИ ОН БЫЛ СОВЕРШЕННО
СЛЕПЫМ», — писал один известный историк математики.
Не проглядел Эйлер и проблемы многогранников. Если бы Евклид и в
самом деле хотел написать многотомное сочинение о Платоновых телах, он все
равно не мог бы сделать этого, не
зная формулы Эйлера, с которой мы
уже встречались. А ведь она даже
проще, чем знаменитый «Понс аси-
норум» — «Мост для ослов», не
преодолев который, нельзя, по мнению
Евклида, считать себя разумным
человеком (перейдите ради
самоутверждения через него и вы: докажите,
что углы при основании
равнобедренного треугольника равны).
«Некоторые из его простейших
открытий таковы, — писал про Эйлера
Г.С.М. Коксетер, один из крупнейших
современных геометров, — что можно представить себе дух Евклида,
вопрошающий: «Почему при жизни на Земле я не додумался до этого?». Но когда слышишь
именно эту формулу, то досада «почему не я?!» невольно берет любого.
Послушайте:
«В любом простом выпуклом многограннике число вершин плюс число
граней и минус число ребер равно двум».
Проверьте (ещё раз):
на тетраэдре, кубе, октаэдре, на любой фигуре, которую способно
измыслить ваше воображение, с прямо- или криволинейными ребрами, с какими
угодно гранями (только без «дыр» — это и значит «простой» многогранник).
Убедитесь (окончательно):
формула Эйлера В + Г — Р = 2 справедлива в любом случае.
Эта прославленная формула не связана, как мы имели случай увериться, ни
с расстояниями, ни с углами, она предельно наглядна. Она буквально видна —
в прозрачном воздухе геометрического сада. Но эта простота и наглядность —
отражение фундаментальных свойств нашего трехмерного пространства. Именно
из-за своей фундаментальности формула эта стала основой для двух
математических дисциплин — топологии и теории графов.
Заставим же ее поработать и на нас — выясним, наконец, почему платоно-
вых тел пять, а не три или, скажем, восемь.
«В ГЕОМЕТРИЮ НЕТ ЦАРСКОГО ПУТИ!» — услышал могущественный
владыка Птолемей I, когда потребовал, чтобы Евклид обучил его своей науке как-
нибудь побыстрее.
А уж в наше время и вовсе нет иного способа понять некоторые
геометрические вещи, кроме пристального размышления над ними. В этом и
объяснение и оправдание тех крайне, впрочем, простых формул, к которым нам
придется прибегнуть, чтобы ответить на только что поставленный вопрос.
«Понимание математики не приобретается только безболезненно развлекательными
способами», — писал Рихард Курант, крупный американский ученый,
иностранный член нашей Академии наук, эмигрировавший в Америку из Германии,
когда там к власти пришел Гитлер.
Правильный многогранник тем и правилен, что каждая грань его —
правильный р-угольник и в каждой вершине сходится одно и то же число q таких
граней. (Математики обозначают это обстоятельство символом Шлефли {p,q}.)
Отсюда следует, что число всех ребер, которые составляют «каркас» Платонова
тела (иными словами, число брусков, которые пришлось заготовить Леонардо
да Винчи и его современным последователям для каждой из своих моделей),
можно подсчитать двояким путем. Оно равно произведению числа всех вершин
на число сходящихся к каждой из них ребер q, поделенному пополам, — ведь
при таком подсчете мы каждое ребро учитываем дважды, по одному разу
каждый его конец. Но, с другой стороны, те же ребра можно пересчитать Платонову
телу и по-другому, помножив число его граней на число сторон каждой грани
р и опять — по той же причине — разделив полученную величину на два. Если
подставить теперь найденные соотношения в формулу Эйлера и несколько
поразмыслить над получившимся результатом, то мы как раз и докажем
утверждение Евклида: Платоновыми телами могут быть лишь многогранники, символы
Шлефли которых {3,3}; {4,3}; {3,4}; {5,3} и {3,5}. Итого — пять! Четыре из них
Мауриц Эшер соединил в удивительную конструкцию, внутреннюю часть
которой составляет куб с прошедшим сквозь него октаэдром, а наружная
«оболочка» — это взаимопроникшие икосаэдр (светлые треугольные грани) и додекаэдр
(его грани более темные и пятиугольные). Называется эта конструкция «Четыре
правильных тела». Отсутствующий на ней тетраэдр художник изобразил на
гравюре «Двойной планетоид». Там их даже целых два: один прошел сквозь
другой, причем первый «цивилизован», а второй остался в первозданном, диком
виде.
«ТОЛЬКО ЗАБАВЛЯЯСЬ И УЧАТСЯ», — полагал Анатоль Франс.
Известный ирландский ученый сэр Уильям Роуэн Гамильтон в 1859 году
занялся математическим бизнесом: выпустил в продажу головоломку,
состоящую из деревянного додекаэдра, в каждую из двадцати вершин которого вбит
гвоздь с большой шляпкой, чтобы не соскакивала обернутая вокруг него
веревка. Под каждым гвоздем стояло название крупного города: Дели,
Филадельфия, Брюссель... Надо было продолжить веревочный маршрут,
проходящий через все центры цивилизации точно по одному разу.
Очевидно, новый товар не вызвал ажиотажа на рынке, а изготовлять
правильный двенадцатигранник не так просто, и потому Гамильтон
предложил другой вариант игры, технологически намного упрощенный. Роль
додекаэдра, пространственного тела, играло его плоское изображение — так
называемый граф, то есть фигура, составленная из вершин, соединенных
ребрами. (Все многоугольники, все мозаики, что мы рассматривали и еще
только будем рассматривать, несмотря на свой простецкий вид — типичные
графы.)
Граф, заменяющий собой
многогранник, повторяет его
архитектуру — столько же вершин, столько
же ребер и граней, тот же способ
соединения их друг с другом.
(Потому формула Эйлера, справедливая
для многогранников, верна также
и для графов.) Вот один из
способов получить такой граф: надо
спроецировать весь многогранник на
плоскость одной из его граней, а
центр проекции выбрать недалеко
от ее середины. Тогда для пяти пла-
тоновых тел получаются графы (см.
с. 75). Они называются диаграммой
Шлегеля. Таким нам увиделся бы
гигантский многогранник, если бы
мы удалили одну его грань,
забрались в образовавшуюся дыру и
стали рассматривать его изнутри.
Диаграммы эти очень удобны — они
позволяют на листе бумаги
производить манипуляции с объемным
телом, чем и воспользовался Гамильтон, чтобы упростить свою
нерентабельную головоломку.
Математика сохранила память о его поучительной игрушке — до сих пор
линия, проходящая по одному разу через все вершины графа, называется
гамильтоновой. Но и сейчас никто не может сказать, существует для того или
иного графа гамильтонова линия или нет. А это весьма обидно, ибо жизнь
часто требует ответа на подобный вопрос. Например, знаменитая «задача о
странствующем торговце» состоит в том, что он должен посетить несколько
городов и как можно скорее вернуться домой. В общем виде эта транспортная
проблема не решена. Можно, конечно, перебрать все варианты и выбрать
наилучший порядок обхода городов, но, если их много, за дело без мощных
вычислительных машин лучше не браться. Впрочем, кое-какие задачи
подобного типа все-таки решены — например, найдена кратчайшая авиалиния,
проходящая по всем главным городам Америки.
«СО ВРЕМЕН ДРЕВНЕГРЕЧЕСКИХ ФИЛОСОФОВ ПРАВИЛЬНЫЕ
МНОГОГРАННИКИ СЧИТАЛИСЬ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ИГРУШКОЙ ДЛЯ
МАТЕМАТИКОВ, НЕ ИМЕЮЩЕЙ НИКАКОГО ПРАКТИЧЕСКОГО ЗНАЧЕНИЯ. ВЕСЬМА
ЗАМЕЧАТЕЛЬНО, ЧТО КАК РАЗ ЭТИ ФИГУРЫ ОКАЗАЛИСЬ В ЦЕНТРЕ
ВНИМАНИЯ БИОЛОГОВ В ИХ ЯРОСТНЫХ СПОРАХ ОТНОСИТЕЛЬНО
ТОЧНОЙ ФОРМЫ ВИРУСОВ», — замечает в своей превосходной книге «Нить
жизни» крупнейший специалист в области структуры белка Джон Кендрью —
тот самый, который сумел определить пространственную конфигурацию
молекулы миоглобина, за что и получил Нобелевскую премию.
В этой книге помещена чрезвычайно
любопытная фотография вируса, поражающего
комара-долгоножку, так называемого иридесцентного вируса
Tipula C0). До того как его сфотографировали
под электронным микроскопом, на вирус этот с
двух разных сторон направляли атомы металла.
Поэтому позади него образовались своего рода
«тени». И вот этот метод двойного напыления
позволил разглядеть на фотографии, что тени
имеют острые углы! Значит, вирус не может быть
совершенно круглым, как считалось ранее.
Чтобы установить точную его форму, брали
различные многогранники и направляли на них свет под
теми же углами, что и поток атомов металла на частицу вируса. Оказалось, что
только один многогранник дает точно такую же тень. Имя его — икосаэдр.
Послушайте Джона Кендрью:
«Вы можете спросить: а почему обязательно правильный многогранник?
И почему именно икосаэдр? По-видимому, тут все дело в экономии — экономии
генетической информации. Вирусная частица должна весь обмен
клетки-хозяина перевернуть вверх дном; она должна заставить зараженную клетку
синтезировать многочисленные ферменты и другие молекулы, необходимые для синтеза
новых вирусных частиц. Все эти ферменты должны быть закодированы в
вирусной нуклеиновой кислоте. Но количество ее ограничено. Поэтому для
кодирования белков собственной оболочки в нуклеиновой кислоте вируса оставлено со-
всем мало места. Что же делает вирус? Он просто использует много раз один и
тот же участок нуклеиновой кислоты для синтеза большого числа стандартных
молекул — строительных белков, объединяющихся в процессе автосборки
вирусной частицы. В результате достигается максимальная экономия
генетической информации. Остается добавить, что по законам математики для
построения наиболее экономичным способом замкнутой оболочки из одинаковых
элементов нужно сложить из них икосаэдр, который мы и наблюдаем у вирусов».
Так решают вирусы сложнейшую (ее называют «изопиранной») задачу: найти
тело наименьшей поверхности при заданном объеме и притом состоящее из
одинаковых и тоже простейших фигур. Вирусы, мельчайшие из организмов,
настолько простые, что до сих пор не ясно — относить их к живой или
неживой природе, — эти самые вирусы справились с геометрической проблемой,
потребовавшей у людей более двух тысячелетий! Все так называемые
сферические вирусы, в том числе такой страшный, как вирус полиомиелита,
представляют собой икосаэдры, а не сферы, как думали раньше.
Эта внушительная и в то же время удивительно целесообразная
конструкция, состоящая из двадцати простейших одинаковых деталей — правильных
треугольников — и заключающая внутри себя наибольший возможный объем,
вновь наталкивает на мысль об изначальной простоте природы. Она строит все
свое богатство и разнообразие из простейших блоков. Недаром же Джон Кенд-
рью назвал вирусы «живой архитектурой». В свете последних научных
достижений платоновский четырехэлементный мир не кажется больше таким уж
абсурдным. И вслед за Адельбертом Шамиссо, немецким поэтом и ученым,
хочется повторить полушутливые слова: «Во мгле веков перед нашим взором
блеснула истина. Она, как теорема Пифагора, до наших дней еще верна».
Истина эта, как стало ясно в последнее время, связана с так называемым
экстремальным свойством правильных многогранников. То есть с их
способностью ограничивать собою объем больший, чем любое другое тело с тем же
числом граней. Или же, что то же самое, иметь наименьшую поверхность
среди всех тел с тем же объемом и числом сторон. Правильные многогранники
в некотором смысле самые «выгодные» фигуры. Природа пользуется этим
фактом шире, чем нам думалось.
«НА РАЗНЫХ ЭТАПАХ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИКИ ВПЛОТЬ ДО
НАСТОЯЩЕГО ВРЕМЕНИ ГЕОМЕТРЫ ВОЗВРАЩАЛИСЬ К ТЕОРИИ ВЫПУКЛЫХ
МНОГОГРАННИКОВ И ОТКРЫВАЛИ В НЕЙ НОВЫЕ ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ
ФАКТЫ», — писал известный геометр Лазарь Аронович Люстерник.
Экстремальное свойство правильных многогранников и есть один из таких
глубоких фактов. Проблема эта уходит корнями в седую древность.
...Финикийская царица Дидона отличалась невероятной прозорливостью —
она предугадала, что Марку Катону Старшему надо будет чем-то заканчивать
каждую из своих речей в сенате, и ради этого решила основать Карфаген.
Кроме того, Дидона была еще жадной и тщеславной, поэтому ей хотелось,
чтобы новый город занимал как можно больше места на земле. Но она же
вдобавок обладала хитростью и поразительной геометрической интуицией, и
только благодаря этому удался ее честолюбивый замысел. В обмен на
ничтожные безделушки Дидона выторговала у вождей племен, населявших север Аф-
рики, право владеть «клочком земли, который покроет воловья шкура».
Коварная финикийская царица и не думала класть шкуру на землю — нет, она
разрезала ее на тонкие ремни, связала их вместе и этой длинной веревкой
вознамерилась огородить свое будущее владение. И тут перед ней — впервые за
всю человеческую историю — встала задача, которую много веков спустя
назовут изопериметрической: какую форму должна иметь замкнутая линия, чтобы
площадь, заключенная внутри нее, получилась наибольшей из возможных?
Догадалась ли Дидона, что искомая фигура — круг? Кто знает... Известно
лишь, что легендарная царица и на этот раз сумела урвать лишний кусок —
она выбрала свой участок на берегу моря, так что вся морская граница
досталась ей даром. За этой женщиной придется признать крупный геометрический
талант: ведь изопериметрическая задача строго была решена лишь в
девятнадцатом веке швейцарским геометром Якобом Штейнером, а ее «карфагенский
вариант» — с учетом того, что часть замкнутой кривой представляет собой
прямую линию «побережья», — и того позже.
Штейнер доказал — притом сразу пятью разными способами, — что
именно круг охватывает самую большую площадь при данной длине замкнутой
линии. Вслед за этим удалось выяснить, что следующее слово — за
правильными многоугольниками: они «выгоднее» любой другой фигуры с тем же
числом сторон. Так была окончательно решена задача, которой, кроме
легендарной Дидоны, занимались реальные ученые — например, Зенодор и
Архимед. Но тут же возникла новая: а какое пространственное тело может
ограничить наибольший объем при той же поверхности? Или же какую форму
должна иметь наименьшая поверхность, заключающая в себе данный объем?
Ответ на оба вопроса почти очевиден: шар. Но что дальше? Кто следующий
претендент на решение изопиранной задачи?
Да, правильные многогранники. Они обладают — среди всех прочих
фигур с тем же числом граней — экстремальными свойствами. Это
предположение тоже принадлежит Штейнеру.
Но правильные многогранники разные: тетраэдр, октаэдр и икосаэдр
составлены из треугольных граней, куб ограничен квадратами, додекаэдр —
пятиугольниками. У тетраэдра — всего четыре грани, у куба — шесть,
октаэдра — восемь, додекаэдра — двенадцать, а у икосаэдра — все двадцать.
Значит, среди самих Платоновых тел существует конкуренция? Да, и
фаворит в ней — «многосторонний» икосаэдр. Вот его-то исключительностью среди
всех пяти героев нашего рассказа и воспользовались вирусы.
«ЖИВЫЕ ИСТОЧНИКИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ТВОРЧЕСТВА НЕОТДЕЛИМЫ
ОТ ИНТЕРЕСА К ПОЗНАНИЮ ПРИРОДЫ И ЗАДАЧАМ УПРАВЛЕНИЯ
ПРИРОДНЫМИ ЯВЛЕНИЯМИ»,— утверждает один из известнейших
математиков, академик Андрей Николаевич Колмогоров.
«Числа не управляют миром, но показывают, как управляется мир», — так
переработал пифагорианскую мудрость, избавив ее от идеалистического
звучания, один из величайших поэтов — Иоганн Вольфганг Гёте. Мысль о том, что
в первооснове вещей лежат некие простые математические соотношения,
крепко пустила корни на нашей планете и часто являлась в гениальные головы,
перелетая через тысячелетия и континенты.
Кристаллы в виде кубов, тетраэдров и октаэдров, вирусы, ныне обретшие
икосаэдрическую форму, — все это, очевидно, далеко не последние шаги
наглядных математических представлений в глубины нашего мира.
Впрочем, почему только «в глубины»? Почему речь все время идет лишь о
свойствах вещества? Зачем забывать о додекаэдре — платоновском символе
Вселенной*. Если справедлив платоновский принцип: «геометрия
приближает разум к истине», то он верен не только в микро-, но и в макрокосмосе.
Числа все-таки должны править миром — описывать законы движения
Вселенной.
«ГЕОМЕТРИЯ ДРЕВНИХ ГРЕКОВ СТАЛА КРАЕУГОЛЬНЫМ КАМНЕМ
НОВОЙ АСТРОНОМИИ» — это известное изречение больше всего относится к
астрогеометрическим экспериментам Иоганна Кеплера.
Открыв основные законы движения планет нашей Солнечной системы, он
задался следующим вопросом: а почему они находятся на том или ином
расстоянии от Солнца?
И тут сказалась приверженность Кеплера чистой геометрии. «Если бы
небесные движения были произведениями разума, можно было бы с основанием
заключить, что орбиты планет — совершенные круги... сам Господь, который
был слишком благ, чтобы оставаться праздным, затеял игру в символы,
посылая знаки своего подобия в мир. Поэтому и я осмеливаюсь думать, что вся
природа и благословенное небо записаны на языке искусства геометрии». Ясно,
что человек с такой идеологией должен был видеть торжество геометрии во
всем, в том числе и во Вселенной. Кеплер пытался найти смысл в
расположении планетных орбит, вписывая правильные многоугольники в окружности, а
сферы — в кубы, последовательно, одну за другой, все уменьшая их размер.
Но никакой аналогии с распределением планет на небесах не возникало.
* «В запасе осталось еще пятое многогранное построение», — пишет Платон в «Тимее», — его
бог определил для Вселенной и прибегнул к нему, когда разрисовывал и украшал ее».
И вдруг Кеплера осенило. Планет всего шесть и, следовательно, промежутков
между ними — пять. Но и Платоновых тел тоже пять — не больше и не меньше.
Не может быть, чтобы это совпадение оказалось случайным! И Кеплер стал
лихорадочно вставлять один правильный многогранник в другой, по-разному
комбинируя их и вписывая каждый в сферу — математический прообраз планетных
орбит. К его радости, эти построения, легшие в основу его книги «Тайна
Вселенной» (в других переводах — «Космографическая тайна» или «Тайна
мироздания»), обнаружили определенное сходство с небесным порядком, каким он
виделся астрономам в те годы. «Несравненное удовольствие, которое я испытал от
этого открытия, невозможно выразить словами», — писал он. В книге Иоганна
Кеплера есть чертеж C1), из которого видно, каким он представлял себе
механизм, ведающий размещением планет. Вокруг Солнца описан самый большой
шар, по нему движется Сатурн. Теперь в него надо вписать куб, а в куб этот —
снова шар, который определит собой орбиту Юпитера. Если в этот меньший шар
вписать тетраэдр, а в него — опять шар, то получится орбита Марса. Так, следуя
Кеплеру, и надо продолжать вписывать в шары правильные многогранники, а в
них — снова шары. Между Марсом и Землей окажется додекаэдр, между Землей и
Венерой — икосаэдр, а Венеру и Меркурий разделит октаэдр. Точные значения
орбит у Кеплера не получались, но он считал, что есть разница между «мыслимой
идеей круга и действительным путем планеты», поскольку «небесные движения
— произведения не разума, а природы». Поэтому ему пришлось подправлять
свою модель — шары на его чертеже имеют различную толщину. Но все это было
бы ничего, если бы не открыли новые планеты, а запас Платоновых тел,
разумеется, не пополнился: их как было, так и осталось пять.
«ПОГОНЯ ЗА ИДЕЕЙ — ЗАНЯТИЕ СТОЛЬ ЖЕ ЗАХВАТЫВАЮЩЕЕ, КАК И
ПОГОНЯ ЗА КИТОМ», — писал Генри Норрис Рассел.
Он не мог, конечно, сбросить со счетов те случаи, когда кит срывается с
гарпуна. Построение Кеплера рухнуло, но сами поиски геометрической
целесообразности устройства мира не становятся от этого менее привлекательными.
В саду геометрии все видно, все наглядно — ветви в нем не спрятаны под
листвой недоступных формул и абстрактных идей.
Но они переплетены. Вписывая, по-кеплеровски, правильные многогранники в
сферу, мы не только создаем красивое построение, но и вторгаемся в новую
область нашей «многогранной» темы. О том, что случается, когда правильный
многогранник вписывают в сферу — о сферических мозаиках, о
математических мозаиках вообще, которые есть не что иное, как вырожденные
многогранники, речь пойдет дальше. А пока — лишь один взгляд на гравюру М.К.
Эшера «Колючий цветок»: его лепестки так же переплетены, как и
геометрические проблемы, очередь которых впереди.
Мой дорогой отец!.. Как
поживают травы, кустарники и деревья?
Коровы, овцы, лошади, собаки и
люди?.. Я сделал тетраэдр,
додекаэдр и еще два эдра, для которых
не знаю правильного названия.
Джеймс Клерк
МАКСВЕЛЛ
V. СЕРЬЕЗНЫЕ ИГРЫ
Симметрия, как бы широко или
узко мы ни понимали это слово,
есть идея, с помощью которой
человек веками пытался объяснить
и создать порядок, красоту и
совершенство.
Герман ВЕЙЛЬ
«МАТЕМАТИК ТАК ЖЕ, КАК ХУДОЖНИК ИЛИ ПОЭТ,
СОЗДАЕТ УЗОРЫ, И ЕСЛИ ЕГО УЗОРЫ БОЛЕЕ
УСТОЙЧИВЫ, ТО ЛИШЬ ПОТОМУ, ЧТО ОНИ
СОСТАВЛЕНЫ ИЗ ИДЕЙ», — в книге «Апология математики»,
изданной в Кембридже, эти слова не относятся, конечно,
к такой малой частности, как геометрические мозаики.
Но, право же, и в этих узорах есть своя идея, не
лишенная ни красоты, ни глубины. В сущности, мы
живем среди мозаик. Кирпичная кладка домов, паркет
в них, стены в ванной комнате — все это они: одни и те
же фигуры раз за разом повторяют сами себя — одна к
одной, сплошняком. Гравюры Эшера «Всадники»,
«Лебеди», «Восемь голов», «Мозаика II», а также многие
другие из его работ тоже представляют собой плоскость,
полностью, без «зазоров» покрытую фигурами, которые
в то же время не налезают друг на друга. Это и есть то,
что геометр назовет мозаикой. А с точки зрения
портного или обувщика, математическая мозаика — это
выкройка без потерь. Впрочем, мозаичный узор — еще и
искусство. Оно достигло наивысшего расцвета восемь
веков назад в Испании. Правда, мавры не могли
заполнять свои плоскости изображениями зверей или птиц, а
тем более человека — Коран в ином, правда, смысле,
чем Библия, но тоже запрещает «сотворять себе
кумира», и потому дивная стенная роспись Альгамбры, дворца
арабских султанов в Гренаде, — мозаика из абстрактных фигур (часть из них
Эшер изобразил на своих зарисовках «Мозаики Альгамбры» — см.
Указатель). Но это как раз то, что нас сейчас интересует!
«МАТЕМАТИКИ — ВРОДЕ ФРАНЦУЗОВ: КОГДА ГОВОРИШЬ С НИМИ, ОНИ
ПЕРЕВОДЯТ ТВОИ СЛОВА НА СВОЙ ЯЗЫК И СРАЗУ ПОЛУЧАЕТСЯ ЧТО-ТО
СОВСЕМ ДРУГОЕ», — в шутке Гёте много смысла.
Да, математик вкладывает свою идею в прекрасное искусство мавров. Его
даже радует, что в Коране есть запрещение изображать живых тварей. Ближе
всего его сердцу узоры, составленные из одинаковых правильных
многоугольников, — правильные математические мозаики.
А какие они могут быть? Первое, что приходит в голову, — правильная
четырехугольная квадратная мозаика, порождение ограниченности нашей нынешней
строительной эстетики, преследующая нас дома и на улице. Какие еще мозаики могут
встретиться нам в этом мире? «Треугольная», — скажете вы и будете правы:
равносторонний треугольник заполнит собою всю плоскость. Двухугольных фигур
не бывает, и потому следующий претендент на роль мозаичного кирпича — ...?
«Правильный пятиугольник!» — возможно, скажете вы — и ошибетесь!
Правильные пятиугольники не
смогут встретиться в одной вершине:
втроем они не сомкнутся вокруг нее, а
вчетвером налезут друг на друга.
Следующий испытуемый — правильный
шестиугольник. Тут все в порядке: угол
между любыми двумя сторонами равен
120 градусам, значит, три их как раз и
образуют 360. Такая мозаика — она
называется гексагональной — часто
встречается в природе. Это пчелиные соты
C2) или, например, поверхность
жидкости, подвергнутой высокочастотной
вибрации, — такую мозаику можно
«остановить» с помощью стробоскопа C3).
Но шестиугольная мозаика —
последняя наша удача.
Право на праведную геометрическую
жизнь имеют мозаики только трех типов:
{4,4}, {3,6}, и {6,3}. Это опять символы
Шлефли, и они по-прежнему означают,
что в вершине мозаики могут сойтись либо
четыре четырехугольника, либо шесть
треугольников, либо, наконец, три
шестиугольника — и никаких иных
правильных многоугольников. Все эти мозаики,
переходящие благодаря воображению
художника одна в другую, вы увидите на
гравюре Эшера «Метаморфозы II».
Две последние мозаики очень похожи друг
на друга, хотя внешне у них все вроде бы
наоборот: вершины одной служат центрами
граней другой C4). Символы их {3,6} и {6,3}
совсем не случайно симметричны, и не случайно
треугольная и гексагональная мозаики
называются двойственными. Про квадратную же
мозаику {4,4} приходится сказать, что она
двойственна сама себе C5).
«ИСКУССТВО ОРНАМЕНТА СОДЕРЖИТ В
НЕЯВНОМ ВИДЕ НАИБОЛЕЕ ДРЕВНЮЮ
ЧАСТЬ ИЗВЕСТНОЙ НАМ ВЫСШЕЙ
МАТЕМАТИКИ», — пишет в своей прекрасной
книге «Симметрия» Герман Вей ль.
Его высказывание ни в явном, ни в
неявном виде не содержит гиперболы: среди
декоративных узоров древности, главным образом
в египетских орнаментах, дошедших до нас,
содержатся все возможные виды
симметричного расположения на плоскости любых
фигур, а таких видов, оказывается, всего
семнадцать. «Вряд ли возможно переоценить глубину геометрического
воображения и изобретательность, запечатленные в этих узорах, — продолжает Вейль. —
Их построение далеко не тривиально в математическом отношении... 17 видов
симметрии, в неявном виде известных еще египетским ремесленникам,
исчерпывают все возможные случаи. Довольно странно, что доказательство этого
факта было дано лишь в 1924 году Д. Пойя».
Еще более, пожалуй, странно, что такой крупный специалист, как Герман
Вейль, тут ошибается: все эти семнадцать расположений были найдены
известным русским ученым Евграфом Степановичем Федоровым и описаны в его
работе «Симметрия на плоскости», изданной в Санкт-Петербурге в 1891 году.
Впрочем, проблема эта интересовала многих ученых. Шестнадцать из
семнадцати групп указал француз Камилл Жордан в «Мемуаре о группах движения»
в 1869 году, тринадцать — немец Леонгард Зонке спустя еще пять лет.
И, надо сказать, было из-за чего тратить время и бумагу. Речь шла не просто
о математических курьезах — создавался подход к пониманию строения
кристаллов, «каменных цветов», удивительных созданий Природы.
Первое разумное суждение о том, в чем загадка правильной формы
кристаллов, было высказано, видимо, Иоганном Кеплером в трактате «О
шестиугольном снеге». Оно относится к снежинкам. «Почему они всегда шестилучевые
или шестиугольные?» — спрашивал он себя. И пришел к гениальному для тех
времен выводу: потому, что невидимые капельки водяного пара шарообразны
и на холоде приклеиваются друг к другу таким образом, что каждая
сцепляется с двенадцатью другими, «подобно зернам граната». Это было в начале
XVII века, и никто еще не сумел заглянуть внутрь вещества, и даже Ньютон
еще не затеял своего спора с Грегори о целующихся сферах.
«ЧТОБЫ ПОЗНАТЬ НЕВИДИМОЕ, СМОТРИ ВНИМАТЕЛЬНО НА ВИДИМОЕ», —
сказано в древней мудрой книге, называемой Талмуд.
Сознательно или подсознательно этому принципу следовали все ученые,
которым предстояло заложить фундамент новой науки — кристаллографии.
Французский минералог Рене Жюст Гаюи однажды случайно уронил кристалл известкового
шпата. Подобрав кусочки, он увидел, что они в точности повторяют форму
разбившегося кристалла. Заинтригованный, он стал один за другим разбивать кристаллы
из своей огромной коллекции и, как писал впоследствии его биограф, «продолжая
трудиться на этом поприще, сделался основателем кристаллографии».
Вместе с тем, правда, Гаюи получил и насмешливое прозвище «кристалло-
класт» — «разрушитель кристаллов», которое присвоили ему коллеги,
предпочитавшие умозрительный подход к проблеме кристаллов слишком уж, на их
взгляд, грубому натурному эксперименту. Но прошли долгие десятилетия,
прежде чем почти одновременно Е.С. Федоров в России и А. Шенфлис в Германии
независимо друг от друга вывели все возможные в пространстве группы
симметрии, которые определяют собой и все разнообразие кристаллических форм
в природе. Любопытно, что когда они сверили результаты своих работ, то
оказалось, что Федоров насчитал 229 возможных способов сочетания частиц в
кристалл, а Шенфлис — 227. Федоров пропустил один способ, замеченный
Шенфлисом, но тот зато проглядел целых три, указанных Федоровым.
Немедленный обмен письмами позволил исправить недосмотры, и с тех пор в
кристаллографии твердо установлено, что групп этих ровно 230.
«Подход двух ученых к созданным ими основам современной
микрокристаллографии был весьма неодинаков, — писал один из крупнейших отечественных
кристаллографов Николай Васильевич Белов. — Для математика Шенфлиса это
были новые страницы в математической теории групп... интересы же Федорова
были более кристаллографические и минералогические. Подобно тому, как
32 класса, 32 точечные группы в «каменных» науках не являются «вещами в
себе», но служат для наблюдателя и экспериментатора лишь рамками, хорошо
расчерченными сценами, полями, на которых разыгрываются
кристаллографические и минералогические микрособытия, так и весьма интересные сами по себе
230 групп должны быть, прежде всего для естествоиспытателя, детально
разграфленными аренами, на которых фиксируются во всяком случае начальные и
заключительные этапы микрокристаллических и микроминералогических
действий». Таким образом, в то время как Шенфлис строил свои умозаключения на
алгебраическом фундаменте, Федорова вела геометрическая звезда.
Сообщение о сделанном им открытии тогдашний делопроизводитель
Геологического комитета Е.С. Федоров сделал на заседании Императорского
минералогического общества в ноябре 1890 года. Он представил коллегам полный
список всех допустимых групп симметрии для любых возможных
кристаллических структур. Иными словами, из чисто геометрических соображений он
разделил все богатство известных и еще неведомых людям форм кристаллов не
по внешнему их виду, как привыкли делать до него, а по симметрии узоров
составляющих их атомов, что, разумеется, более соотносится со свойствами
вещества. Получилось, что специфика кристаллического строения материи
связана не с природой составляющих ее атомов, а только с их взаимным
расположением в пространстве, то есть с одной лишь геометрией — и ничем больше.
Минералогическое общество не смогло оценить глубины мысли
Федорова, для него приведенные им математические выкладки выглядели
ненужными, а геометрические построения — никак не связанными с реальной
минералогической практикой. Что же касается математиков, то им доклад
Евграфа Степановича представлялся крайне наивным. «Подобными
вопросами современная математика не интересуется», — таково было суждение
П.Л.Чебышева. И Федорову не оставалось ничего другого, как вследствие
возникших материальных затруднений и неопределенности своего
служебного положения принять предложение богатых промышленников отправиться
на поиски меди на Урал.
«ОЩУЩЕНЬЕ, БУДТО ВЫЧТЕН ЛОБАЧЕВСКИЙ ИЗ ПРОСТРАНСТВА», —
писал Иосиф Бродский по другому, естественно, поводу.
Но не все математики были столь высокомерны в своем отношении к
результатам, полученным Федоровым и Шенфлисом. В том же 1890 году Давид
Гильберт — в математическом отношении фигура уж никак не менее заметная,
чем Пафнутий Чебышев, — на Первом Международном математическом
конгрессе в Париже, очерчивая круг главных проблем, стоящих перед его наукой,
одну из них, восемнадцатую по счету, обозначил так: «Построение
пространства из конгруэнтных многогранников». Тем самым он обратил внимание
ученых на математическую глубину полученного Федоровым и Шенфлисом
результата и его связь с фундаментальными свойствами пространства, побудил
таких известных математиков, как Л. Бибербах и Г. Фробениус, вплотную
заняться «восемнадцатой проблемой», и они сумели обобщить выводы
Федорова—Шенфлиса на многомерные пространства.
Зарубежные кристаллографы тоже оказались более великодушны и
внимательны к трудам Федорова, чем отечественные. П. Грот поддержал его в
самый трудный момент жизни, добившись избрания Евграфа Степановича в
Баварскую академию наук, что резко, хотя и не мгновенно, изменило к
лучшему отношение россиян к своему соплеменнику. Если в 1908 году в
«Лекциях по физической кристаллографии» Владимир Иванович Вернадский
говорил: «Совершенно спокойно в области конкретных явлений можно обойтись
без федоровских групп и исходить из любого представления о структуре
кристалла, приводящего нас к 32 классам кристаллического вещества», то уже
несколько лет спустя он же писал: «Научное значение работ Федорова
недостаточно осознано в нашей стране. Имя его должно стоять рядом с именами
Менделеева и Павлова». И, хотя никакого особого осознания все равно не
произошло, в течение нескольких лет курьерский поезд Москва—Петербург—
Москва два раза в неделю всегда останавливался на станции
Петровско-Разумовское, чтобы забрать или высадить одного-единственного пассажира —
профессора Московского сельскохозяйственного института Е.С. Федорова,
читавшего лекции в Петербургском горном институте, ибо, согласно
заведенному порядку, для этого всегда приглашался лучший специалист по каждой
из специальностей. Есть, однако, основания полагать, что приглашавшие
Федорова лишь смутно догадывались, что им совершено нечто действительно
великое в науке — даже после того, как он, устав, видимо, от кочевой
железнодорожной жизни, стал директором Горного института.
Между тем, после того как П. Грот изготовил согласно теории Федорова—
Шенфлиса ряд моделей кристаллических структур, физик М. Лауэ, живший в
одном с ним городе Мюнхене, в 1912 году вдохновился ими на эксперимент,
который решил сразу две фундаментальные задачи: доказал решетчатость
кристаллических структур и выявил волновую природу рентгеновских лучей.
Всего через год этот эксперимент родил, благодаря английским физикам Брэггам,
метод определения пространственного расположения атомов в кристаллах —
метод, позволивший целой плеяде физиков, химиков и биологов стать
лауреатами Нобелевской премии.
С тех пор понимание внутренней жизни кристаллов приобретало все
большее и большее значение. Практически все крупнейшие научные и технические
достижения последних десятилетий — компьютерная революция, туннельная
электронная микроскопия, квазикристаллы, высокотемпературные
сверхпроводники и многое другое — напрямую связаны с кристаллографией. Впрочем,
и тут есть свои ограничения. Указал на них сам Федоров в своем чисто
философском произведении «Перфекционизм». «Смысл всех оптимистических
мировоззрений на почве естественно-исторической революции, — писал он, —
сводится к признанию наибольшей прочности кристалла... Но почему-то
творцы этих мировоззрений систематически просматривают тот факт, что это
достигается в момент смерти». И, действительно, природа продемонстрировала
нам в виде кристаллов модель системы, в которой все ее составляющие
абсолютно равноправны. Но такая идеально правильная система не способна
самосовершенствоваться, то есть не способна жить. Идеальный порядок, как
известно, возможен только на кладбище. И поэтому живая природа, несмотря на
ее постоянное заигрывание с упорядоченностью и законченностью форм,
всячески избегает кристаллизации.
«ВСЕ МОИ РАБОТЫ — ЭТО ИГРЫ, СЕРЬЕЗНЫЕ ИГРЫ», — любил говорить
о себе голландский художник Мауриц Корнелис Эшер, гравюрами которого
иллюстрирована не только эта, но и множество других книг, вышедших в
разных странах и так или иначе связанных с наукой.
Исследования Федорова и Шенфлиса тоже довольно долго рассматривались
как некие математические забавы и развлечения, не имеющие отношения к
правде жизни. Еще Рентген не открыл своих знаменитых лучей, Беккерель —
радиоактивности, Томсон — электрона и, наконец, Лауэ не обнаружил
рассеяния рентгеновских лучей кристаллами. Все эти события должны были
произойти для того, чтобы федоровские группы легли в основу точного и
математически строгого расчета архитектуры кристаллов.
«Федоровская группа — это лишь канва, по которой природа может
вышивать бесконечно разнообразные узоры атомных расположений. Но типов
канвы всего 230, и великая заслуга Федорова и Шенфлиса заключается в
том, что они установили этот факт и перечислили все возможные случаи.
Чтобы в полной мере оценить удивительную проницательность, которую
проявили эти ученые при выводе пространственных групп, нужно иметь в виду,
что в те времена действительное расположение атомов в кристаллах
совершенно не было известно». Цитата взята из книги П.М. Зоркого
«Архитектура кристаллов». В ней автор позволил себе любопытное признание: «По-
видимому, в последнее время несколько изменились функции
научно-популярной литературы. Стремительное увеличение объема научных знаний
часто не позволяет ученым и инженерам следить за развитием смежных областей
науки, пользуясь специальными статьями и монографиями. Слишком много
времени и сил требует основная работа. На помощь приходит
научно-популярная литература. Она дает возможность сохранять широту кругозора, а
иногда (автор знает об этом по собственному опыту) может пригодиться в
основной работе».
Слова эти, написанные в конце шестидесятых годов прошлого века, едва
ли вызвали бы возражение и в прежние времена. Евграф Степанович
Федоров начал работать над своей первой монографией «Начала учения о
фигурах», названной как бы в подражание «Началам» Евклида, будучи
шестнадцатилетним курсантом Военно-инженерного училища*. И еще
шестнадцать лет прошло, прежде чем он ее кончил. Причиной тому, видимо, не
одна лишь необычная фундаментальность мышления, которая замечалась у
будущего ученого. Виной тому и популярная литература, которая сбила его
с прямого математического пути, заставила заинтересоваться
кристаллографией, поступить в Горный институт, окончить его и потерять
возможность разграничивать математику и кристаллографию на «основную» и
«смежную» науки.
Нечто похожее случилось и с Маурицем Корне лисом Эшером.
«В НАШЕ ВРЕМЯ, КОГДА ИСКУССТВО И НАУКА ЖИВУТ В РАЗЛИЧНЫХ
ОБЛАСТЯХ ДУХОВНОЙ ЖИЗНИ И ПРИ ЭТОМ СТРЕМЯТСЯ РАЗОЙТИСЬ
ВСЕ ДАЛЬШЕ И ДАЛЬШЕ ДРУГ ОТ ДРУГА, СТОЛЬ УДИВИТЕЛЬНО ВДРУГ
ВСТРЕТИТЬ ХУДОЖНИКА, КОТОРЫЙ В СВОЕЙ ТВОРЧЕСКОЙ
ДЕЯТЕЛЬНОСТИ ЗАНЯТ ПРОБЛЕМАМИ, ЛЕЖАЩИМИ В ОСНОВАНИИ ЦЕЛЫХ НАУК
И НЕСКОЛЬКИХ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН. ПОДОБНОЕ НЕ
СЛУЧАЛОСЬ С ТЕХ ВРЕМЕН, КОГДА ХУДОЖНИКИ ОТКРЫВАЛИ ЗАКОНЫ
ПЕРСПЕКТИВЫ И БЫЛИ ПИОНЕРАМИ В АНАТОМИЧЕСКИХ
ИССЛЕДОВАНИЯХ», — пишет во введении к своей книге «Проблемы симметрии в
периодических рисунках М.К. Эшера» профессор Амстердамского университета
Каролина Генриетта Макгиллаври.
Книга эта, состоящая из более чем сорока работ Эшера и соответствующего
кристаллографического толкования их, служит учебным пособием для
студентов. «Я часто удивлялся своей мании создавать периодические рисунки, — писал
сам художник. — Однажды я спросил своего друга, психолога, в чем причина
моей увлеченности ими, но его ответ, что меня ведет здесь примитивный
инстинкт повторения сделанного, ничего не объяснил».
И в самом деле, каким инстинктом объяснить поразительную по плавности
перехода от рыбы, плывущей в темных глубинах моря, к птице, летящей в
прозрачной высоте, гравюру «Небо и вода I» или четкую в своем стремлении
* Р.В. Галиулин, сотрудник Института кристаллографии имени А.В. Шубникова и потому в
известной мере наследник идей Е.С. Федорова, полагал, что сама архитектура
Михайловского замка, в котором находилось училище, другими словами — геометрия его пространства, а
также «витающие в нем идеи абсолютного порядка, который хотел ввести в России Павел I,
настроили юного исследователя на изучение правильных систем».
связать живое с неживым гравюру «Рептилии»? А ведь обе они построены на
«повторении сделанного».
«Почему я одинок в этом деле? — продолжает Эшер. — Отчего никто из
моих коллег-художников не интересуется фигурами, которые входят одна в
другую? А ведь фигуры эти подчиняются неким вполне объективным законам,
которые всякий художник мог бы использовать в своей работе! Свой первый
рисунок такого рода я сделал в 1922 году. Он представлял собой соединение
восьми различных человеческих голов*. В последующие годы я нарисовал
около полутораста картинок такого типа. Я не мог удержаться от удовольствия
повторять на бумаге одни и те формы без зазоров между ними. Рисунки эти
поглощали у меня вначале массу времени, потому что я ничего не слышал о
кристаллографии и не знал даже, что мои игры основаны на правилах,
хорошо изученных учеными. Много лет спустя я впервые познакомился с
кристаллографическими теориями... Таким путем установился плодотворный контакт
между математиками и мною».
Мозаики Альгамбры пленили воображение молодого художника,
путешествовавшего по Испании. Но лишь знакомство с математической стороной
кристаллографии, с федоровскими группами в частности, помогло ему
осознать истоки собственной увлеченности. И то, что ему и окружающим
казалось игрой ума, стало вдруг учебным пособием, более того — предметом
изучения и причиной вдохновения математиков. Гравюра «День и ночь» —
лишь один из примеров тому. Удивительное дело! Эшер создал ее в 1938 году,
когда еще и в помине не было идеи антисимметрии (хотя высказана она была
Хеешем в 1929 году, но в науку вошла лишь после работ Алексея
Васильевича Шубникова, появившихся в конце сороковых годов), однако до сих пор
нет и не мыслится лучшей иллюстрации для этой важной и глубокой идеи
современной науки.
Гравюра «Восемь голов» — см. Указатель.
«В 1951 году и в последующие годы А.В. Шубников, Н.В. Белов и другие
расширили теорию кристаллографических групп, соединив периодическое
повторение форм с периодическим повторением цветов. Эта теория
полихроматической симметрии добавляет к 17 федоровским группам 46 двухцветных,
6 трехцветных, 6 четырехцветных и 3 шестицветных. Почти наверное русские
не знали, что Эшер, опираясь на одну лишь свою художническую интуицию,
безо всякой математики, предвосхитил многие из полученных ими
результатов. Например, очарование его знаменитых мотивов со всадниками
увеличивается благодаря тому, что фигуры на них либо белые, либо серые — в
зависимости от того, скачут ли они слева направо или справа налево»*, — пишет
неоднократно упоминавшийся в этой книге профессор Гарольд Скотт
Макдональд Коксетер.
* Мотив со всадниками — гравюру, так и названную «Всадники», вы найдете в этой книге,
пользуясь все тем же Указателем, помещенным в конце ее.
«Что такое красота? — спрашивал Александр Александрович Любищев
в своей статье, в которой он, биолог, размышлял о морозных узорах на
окнах. — Одно из самых загадочных явлений природы. И как в законах строения
и развития природных тел мы имеем разные уровни, так есть они и в
прекрасном. И на самом высшем уровне, может быть, находятся
абстрактнейшие математические теории и высшие музыкальные творения гениальных
композиторов. Не всем дано подняться на эти вершины, но, как в капле воды
отражается солнце, так некоторый намек на высшую красоту мы можем
постичь, внимательно рассматривая такое скромное явление, как ледяные узоры
на стеклах...»
«ВИДИМО, МЫСЛИМА КАКАЯ-ТО НОВАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ, КОТОРУЮ
С ПОЛНЫМ ПРАВОМ, ПО ОБРАЗЦУ НЕЕВКЛИДОВОЙ ГЕОМЕТРИИ,
МОЖНО НАЗВАТЬ НЕФЕДОРОВСКОЙ», — такова основная мысль статьи Люби-
щева.
«Я думаю, что физики обращали так мало внимания на ледяные узоры не
потому, что считали это пустяками (для истинного ученого нет пустяков в
природе), — пишет он, — а потому, что еще не наступил момент для
нарождения нефедоровской кристаллографии».
Такой момент, видимо, все-таки уже наступил. В классическом труде
Алексея Васильевича Шубникова «Симметрия и антисимметрия конечных фигур»
к геометрическим операциям симметрии — переносу, повороту, зеркальному
отражению — присоединена еще и операция «изменение цвета». Понятие
черно-белой симметрии, или антисимметрии, столь удачно иллюстрируемое
гравюрой Эшера «День и ночь», оказалось необычайно плодотворным в таких,
например, областях, как изучение расположения диполей в магнитных полях.
Николай Васильевич Белов со своими сотрудницами Н.Н. Нероновой и
Т.С. Смирновой доказал, что существует ровно 1191 двухцветная федоровская
группа.
Теория цветной симметрии развивалась и дальше. Одно из следствий,
выводимых из нее, гласит, что если пренебречь цветами и все темные тона
объединить в один черный, а все светлые — в один белый цвет, то мы сразу получим
все известные 46 черно-белых, то есть двухцветных, мозаик.
...Пожалуй, разговор о мозаиках, с которого началась эта глава, увел нас
слишком далеко. Впрочем, предощущения грядущих открытий в самых
фундаментальных областях знания не так уж необычны для науки. Задолго до
первых кристаллографических откровений не кто иной, как Исаак Ньютон,
писал: «Нельзя ли предположить, что при образовании кристалла частицы не
только становились в строй и в ряды, застывая в правильных фигурах, но
также посредством некоторой полярной способности повернули свои
одинаковые стороны в одинаковом направлении?». Не правда ли, удивительное
провидение? Быть может, спустя всего несколько лет мы с таким же чувством будем
перечитывать фразу из статьи Любищева: «Развитие биологии убедило
ученых, что есть в природе законы, ограничивающие многообразие форм и
регулирующие развитие...».
Кристаллографические
элементы организованности,
характерные для белков, обещают
нам наиболее глубоко
проникнуть в тайны управляемых
белками жизненных процессов.
Николай Васильевич
БЕЛОВ
VI. МИРОВАЯ ГАРМОНИЯ
Рано или поздно всякая
правильная математическая идея
находила применение в том или ином
деле.
Алексей Николаевич
КРЫЛОВ
«СИММЕТРИЯ... ОХВАТЫВАЕТ СВОЙСТВА ВСЕХ
ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ, С КОТОРЫМИ ИМЕЮТ ДЕЛО ФИЗИК
И ХИМИК», — считал Владимир Иванович Вернадский.
Но если уж речь идет о физике и химике, то что говорить о
математике?
Правильные геометрические мозаики, истинные
образцы симметрии, как мы имели удовольствие убедиться,
двойственны в том смысле, что центры составляющих их фигур
служат вершинами для других фигур. И точно так же дело
обстоит у правильных многогранников, только их в этом
случае называют взаимными. Октаэдр, например, взаимен
кубу* C6, 37), икосаэдр — додекаэдру C8), а вот тетраэдр
взаимен сам себе C9), как квадратная мозаика тоже сама
* «Среди правильных тел самое первое, начало и родитель остальных — куб, а его, если
позволительно так сказать, супруга — октаэдр, ибо у октаэдра столько углов, сколько у куба
граней, а центры граней куба соответствуют вершинам октаэдра», — писал Кеплер. Это
видно и на гравюре Эшера «Кристалл».
себе двойственна C5). Об этом говорит и симметрия
символов Шлефли — {4,3} и {3,4} у куба и октаэдра,
{3,5} и {5,3} — у икосаэдра и додекаэдра, {3,3} —
у тетраэдра и {4, 4} — у квадратной мозаики.
Именно поэтому родственные мозаики и многогранники
изящнейшим образом вписываются друг в друга.
Но вот что настораживает. Два тетраэдра,
прошедших один сквозь другой, образуют восьмигранник
— вы увидите его в правом верхнем углу гравюры
Маурица Эшера «Звезды»*. Эта фигура уже
встречалась нам в виде гравюры «Двойной планетоид». Лука
Пачоли, первым обнаруживший эту фигуру, назвал ее
«продолженным октаэдром», а его великий друг
Леонардо да Винчи сделал соответствующий деревянный
каркас, перерисовав его затем в их общую книгу «О
божественной пропорции». «Octacedron elevatus
solidus», то есть «продолженный октаэдр сплошной»,
написано там его рукой D0). Иоганн Кеплер
переоткрыл эту фигуру сто лет спустя и присвоил ей имя
«стелла октангула» — «восьмиугольная звезда». Она
встречается и в природе: это так называемый двойной
кристалл. Но она же перечеркивает все, что было
сказано до сих пор! Мы вынуждены признать «стеллу
октангулу» правильным многогранником: ведь все ее
грани — правильные треугольники одинакового
размера и все углы между ними равны!
Что же это — шестое платоново тело?!
Нет, просто удавшаяся провокация. В
определении правильного многогранника сознательно — в
расчете на кажущуюся очевидность — не было
расшифровано слово «выпуклый». А оно означает
дополнительное требование: «и все грани которого
лежат по одну сторону от плоскости, проходящей
через любую из них». Если же отказаться от такого
ограничения, то к Платоновым телам, кроме
«продолженного октаэдра», придется добавить еще
четыре многогранника (их называют телами Кеплера—
Пуансо), каждый из которых будет «почти
правильным». Все они получаются «озвездыванием» Платонова тела, то есть
продлением его граней до пересечения друг с другом, и потому называются
звездчатыми. Куб и тетраэдр не порождают новых фигур — грани их, сколько ни
продолжай, не пересекаются. Если же продлить все грани октаэдра до
пересечения их друг с другом, то получится та же знакомая нам фигура, что возникает
* На этой же гравюре внимательный глаз различит и все правильные многогранники.
В частности, нижний хамелеон держится передними лапами за октаэдр и тетраэдр, а хвостом
обвил другой октаэдр. Верхняя же тварь, наоборот, обвила хвостом ребро тетраэдра, а
лапами вцепилась в два октаэдра.
при взаимопроникновении двух тетраэдров —
«стел л а октангула», которую совсем недаром Лука
Пачоли называл «продолженным октаэдром».
Икосаэдр и додекаэдр дарят миру сразу
четыре «почти правильных» многогранника. Один из
них — малый звездчатый додекаэдр D1),
полученный впервые Иоганном Кеплером, вы видите
на эшеровских гравюрах «Силы гравитации» и
«Контраст (Порядок и хаос)».
«Я НЕДАВНО ВСТРЕТИЛ ЧЕЛОВЕКА, КОТОРЫЙ
СКАЗАЛ МНЕ, ЧТО НЕ ВЕРИТ ДАЖЕ В
СУЩЕСТВОВАНИЕ МИНУС ЕДИНИЦЫ, ТАК КАК ИЗ
ЭТОГО СЛЕДУЕТ СУЩЕСТВОВАНИЕ КВАДРАТ-
НОГО КОРНЯ ИЗ НЕЕ», — рассказывал
Э.Ч. Титчмарш, современный английский историк математики.
Подобная же история случилась и с кеплеровским звездчатым
додекаэдром. Открыв этот «колючий» многогранник, Кеплер так и назвал его «еж» и
поместил в свою удивительную по фантастичности идей книгу «Мировая
гармония», где космогонические и астрономические вопросы решались с
помощью соотношений, найденных в музыке и в формах правильных
многогранников и многоугольников*. Но ученые отказывались считать кеплеровского
ежа многогранником.
У этого упрямства была своя логика и своя предыстория. Столетиями
математики не признавали за всякого рода звездами права называться
многоугольниками из-за того, что стороны их пересекаются. А тут — геометрическое
тело, гранями которого служат пятиконечные звезды, да еще вдобавок
пересекающиеся! Какой же это многогранник?! Людвиг Шлефли, который был уже
настолько свободомыслен — все-таки XIX век! — что не изгонял
геометрическое тело из семейства многогранников только за то, что его грани
самопересекаются, тем не менее оставался непреклонным, как только речь заходила про
малый звездчатый додекаэдр. Довод его был прост и весом: это кеплеровское
животное не подчиняется формуле Эйлера! Его колючки образованы
двенадцатью гранями, тридцатью ребрами и двенадцатью вершинами, и,
следовательно, В + Г — Р вовсе не равняется двойке.
Шлефли был и прав, и не прав. Конечно же, геометрический ежик не
настолько уж колюч, чтобы восстать против непогрешимой формулы. Надо
только не считать, что он образован двенадцатью пересекающимися звездчатыми
гранями, а взглянуть на него как на простое, честное геометрическое тело,
составленное из 60 треугольников, имеющее 90 ребер и 32 вершины**.
* Полное название этой книги, вышедшей в 1619 году, — «О гармонии мира пять книг».
Разными авторами переводится как «Гармония мира» и как «О гармонии мира».
** На каждой из двенадцати пятиугольных граней «обычного» додекаэдра возводится по
пирамиде, следовательно, всего граней становится 5x12 = 60. Каждая пирамида добавит
додекаэдру по пять ребер — всего их станет 30 + E х 12) = 90. И, наконец, любая пирамида
увенчана вершиной, поэтому к двадцати вершинам додекаэдра добавится еще двенадцать,
итого 32. Все это хорошо видно на гравюре «Силы гравитации».
Тогда В + Г — Р = 32 + 60 — 90 равно, как и положено, 2. Но зато тогда к
этому многограннику неприменимо слово «правильный» — ведь грани его
теперь не равносторонние, а всего лишь равнобедренные треугольники.
Красоте малого звездчатого додекаэдра находится на удивление мало места
в нашей жизни: он служит разве что светильником, да и то очень редко. Даже
изготовители елочных украшений и то не додумались сделать трехмерную звезду,
а ею как раз и оказался бы этот многогранник.
И при том его еще и не надо было бы золотить, во всяком случае для
геометров: золотое отношение — «божественная» пропорция — связывает
любой «брусок» каркаса обычного додекаэдра с тем же «бруском», но
продолженным до точки встречи в вершине «колючки» кеплеровского ежа. Но Кеплер не
додумался, что у полученной им фигуры есть двойник. Это увидел наш старый
знакомый Август Фердинанд Мёбиус, а сам многогранник — он называется
«большой додекаэдр» — построил французский геометр Луи Пуансо спустя без
малого двести лет после кеплеровских звездчатых фигур. Если эти две
удивительно красивые фигуры расположить рядом, то станет видна их «взаимность»
D1, 42).
О двух других телах Кеплера-Пуансо (большом звездчатом додекаэдре D3)
и большом икосаэдре D4)) тоже можно было бы сказать немало интересного.
Но, может быть, лучше просто полюбоваться на них и подумать: ведь
удивительное дело, почему и в этой паре, «увидев» одну фигуру, Кеплер честь
открытия второй оставил Пуансо?
А теперь, для отдыха глаз и души, еще раз взгляните на гравюру Маурица
Эшера «Контраст (Порядок и хаос)». Вот что пишет о ней сам художник:
«Звездчатый додекаэдр, символ математической красоты и порядка, окружен
прозрачной сферой. В ней отражена бессмысленная коллекция бесполезных
вещей». Мы уже воспользовались одной из них — веревкой, когда говорили о
головоломке сэра Уильяма Гамильтона. Тогда же нам понадобился и сам
додекаэдр, но только не звездчатый, а обыкновенный — мы позаимствовали его с
другой гравюры того же автора — «Рептилии». Посмотрите на нее
внимательно, и вам представится случай полюбоваться еще одной мозаикой,
составленной на этот раз из одних крокодилов, поверх которой наложена обычная,
шестигранная.
«В МИРЕ НЕТ МЕСТА ДЛЯ НЕКРАСИВОЙ МАТЕМАТИКИ», — считал
Годфри Харди.
Обложку прекрасной книги Гарольда Скотта Макдональда Коксетера
«Введение в геометрию» украшает фигура, которую вычертил в 1932 году Джон
Флайндерс Петри, сын великого египтолога и — что гораздо интереснее —
один из очень немногих людей на Земле, кто умел строить в своем
воображении четырехмерные тела, подсчитывать в уме число их элементов и
отчетливо представлять себе их взаимное расположение. Вычерченная им
фигура, о которой идет речь, вполне земная, трехмерная, но и она была
получена довольно непросто. Вписанный в сферу правильный икосаэдр
спроецировали на эту сферу из ее центра D5). Все его ребра перешли в дуги
большого круга, которые разбили сферу на множество сферических
треугольников. (Дуги эти на плоскости изображаются эллипсами, в этом и была
основная сложность вычерчивания «фигуры Петри».) Таким образом,
правильный многогранник породил правильную сферическую мозаику — узор,
покрывающий всю сферу, составленный из одинаковых фигур. (Центральные
и периферийные треугольники выглядят разными только из-за того, что
спроецированный на сферу икосаэдр пришлось спроецировать еще раз — на
плоскость страницы этой книги, а при этом нельзя обойтись без
искажений.)
Но у «фигуры Петри» есть еще одно замечательное свойство. Вглядитесь
в нее повнимательнее, она того вполне заслуживает. Можно не только
получить сеть сферических треугольников из правильного многогранника, но и,
наоборот, этой сетью поймать платоново тело, да не одно, а целых два!
Шесть треугольников, окружающих вершину, образуют треугольную грань
раздувшегося до сферы икосаэдра, а десять треугольников, объединившихся
вокруг вершины в центре, — пятиугольную грань такого же додекаэдра.
Другие грани вы теперь увидите без труда. И, повинуясь вашей воле,
разбитая на черно-белые треугольники сфера, подобно оборотню зрительных
иллюзий, преобразуется то в двенадцати-, а то и в двадцатигранник. Ничего
удивительного в подобной двойственности нет, стоит лишь вспомнить, что
символ Шлефли у икосаэдра {3,5}, а у додекаэдра — {5,3}. То есть они
взаимные многогранники: середины граней одного служат вершинами для
другого C8).
«ТЕОРИЯ МНОГОГРАННИКОВ, В ЧАСТНОСТИ ВЫПУКЛЫХ
МНОГОГРАННИКОВ, — ОДНА ИЗ САМЫХ УВЛЕКАТЕЛЬНЫХ ГЛАВ ГЕОМЕТРИИ», —
таково мнение Л.А. Люстерника, ученого, много сделавшего именно в этой
области математики.
Не будем же лишать себя удовольствия познакомиться с еще одним —
самым многочисленным — отрядом многогранников, имеющих отношение к
нашим Платоновым телам. Для этого надо лишь быть последовательным:
отказаться еще от одного ограничения.
Почему правильные многоугольники, служащие гранями, так уж
обязательно должны быть все на одно лицо? И сразу же обретают право на жизнь
полуправильные многогранники, описанные еще Архимедом. Некоторые из
них, состоящие из правильных треугольников, четырехугольников,
пятиугольников и шестиугольников, изобразил Леонардо да Винчи в их общей с Лукой
Пачоли книге «О божественной пропорции» B8). Интересно, что две тысячи
лет считалось: архимедовых тел всего тринадцать, и лишь в 1957 году обнару-
жилось, что верхнюю часть ромбокубооктаэдра*, состоящую из пяти
квадратов и четырех правильных треугольников, можно повернуть на 45 градусов.
Так появился четырнадцатый полу правильный многогранник, который можно
было бы назвать ашкинузеэдром — в честь открывшего его московского
математика В.Г. Ашкинузе.
Итак, к пяти правильным Платоновым и пяти почти правильным, то есть
звездчатым, телам Кеплера—Пуансо надо прибавить еще четырнадцать
полуправильных тел Архимеда—Ашкинузе. Но тогда уж, по справедливости, надо
включить в этот реестр и «почти полуправильные», то есть звездчатые
полуправильные многогранники: например, звездчатый кубооктаэдр,
изображенный на гравюре М.К. Эшера «Кристалл». Тут, однако, есть одна тонкость.
Если про правильные — обычные и звездчатые — многогранники Огюстен
Коши в 1812 году строго доказал, что их может быть только десять, то
касательно полуправильных известно лишь, что 14 обычных дают 51 звездчатый.
Но исчерпывается ли этим «полуправильное многообразие» — этого
сегодняшние геометры не знают.
* На гравюре «Портрет фра Луки Пачоли», автором которой скорее всего является Джакопо
Барбари, эта фигура парит в верхнем левом углу D6). Она сделана из прозрачного стекла и до
половины наполнена водой. (Видимо, именно такие конструкции создавал Пачоли «для
коллекций разных вельмож».) Справа внизу виден додекаэдр. На переднем плане — сам Лука
Пачоли. Это не вызывает сомнений. Что же касается второй фигуры, то тут мнения
исследователей разделились. Одни считают, что это Альбрехт Дюрер и указывают на сходство с
известным автопортретом художника, который, кстати сказать, имел самое
непосредственное отношение к нашим пяти Платоновым телам, придумав их развертки — выкройки, из
которых их можно склеить. Другие исследователи полагают, что вторая фигура на гравюре —
это Гидобальдо, который хоть и был герцогом Урбино, но к Платоновым телам никакого
отношения не имел и в этом смысле не представляет для нас интереса. Но и те и другие
исследователи сходятся на том, что раскрытая на столе книга — это Тринадцатая книга
«Начал» Евклида, посвященная именно правильным многогранникам — пяти Платоновым
телам.
Впрочем, даже если и удастся доказать, что эти фигуры заполняют собой
всю «обойму», то и тогда никто не назовет суммарного числа полуправильных
фигур. Ведь в их число входят еще две бесконечные серии, описанные
Архимедом в трактате «О многогранниках». Это призмы и антипризмы — фигуры, в
основаниях которых лежат любые правильные я-угольники, а боковыми
гранями служат либо прямоугольники, либо равнобедренные треугольники D7,
48)*. Так, словно потешаясь над нашим вполне естественным стремлением
провести полную инвентаризацию всех ее тайн, природа приготовила для нас
целых две геометрические бесконечности. Но это не единственная из ее
геометрических шуток.
«ИЗО ВСЕХ ДВУХСОТ МИЛЛИАРДОВ МУЖЧИН, ЖЕНЩИН И ДЕТЕЙ,
КОТОРЫЕ КОГДА-ЛИБО ПРОШЛИ ПО ВЛАЖНОМУ ПЕСКУ С СОТВОРЕНИЯ
МИРА ДО СОБРАНИЯ БРИТАНСКОЙ АССОЦИАЦИИ В АБЕРДИНЕ В
1885 ГОДУ, СКОЛЬКО НАЙДЕТСЯ ТАКИХ, КОТОРЫЕ НА ВОПРОС: «СЖАЛСЯ
ЛИ ПЕСОК ПОД ВАШЕЙ НОГОЙ?» ОТВЕТИЛИ БЫ ИНАЧЕ, ЧЕМ «ДА!»?» —
вопрошал на лекции в Балтиморе лорд Кельвин.
И на самом деле, никто не усомнился бы в правильности такого ответа,
пока Осборн Рейнольде не доложил в Абердине о своих наблюдениях и
выводах. «Когда нога надавливает на песок, плотный после ушедшего прилива,
участок, находящийся вокруг ноги, тотчас же становится сухим, —
рассказывал он членам Британской ассоциации ученых. — Надавливание ноги
расплющивает, расширяет песок, и чем сильнее оно, тем больше воды выдавливается
из этого места в окружающее пространство... Поднимая ногу, мы видим, что
песок под ней и вокруг этого места через некоторое время снова становится
влажным. Это происходит потому, что песок снова сокращается после
удаления надавливающих сил и избыток воды выступает на поверхность».
Итак, песок не сжимается, а, наоборот, расширяется под ногой, а когда мы
ее убираем, он вновь «сокращается». Это удивительное явление, обнаруженное
физиком, могло бы быть предсказано математиком. Оно связано с проблемой
так называемой «плотной упаковки равных сфер». А эта проблема, в свою
* Такая призма, в основании которых лежат квадраты, есть и на гравюрах «Воздушный
замок» и «Тетраэдральный планетоид».
очередь, тесно связана и с нашими многогранниками, и с нашими мозаиками*.
На плоскости есть две возможности уложить круги: вписав их или в
квадратную или в шестиугольную мозаику. Интуиция подсказывает, а расчет
подтверждает: второй способ позволяет уложить круги более компактно, как
говорят, плотность упаковки тут выше. Можно доказать (это и сделал
венгерский математик Ласло Фейеш Тот), что более плотной упаковки придумать
невозможно. Впрочем, открытие это совершено миллионы лет назад. Его
коллективный автор — пчелы. (Взгляните еще раз на гравюру М.К. Эшера
«Метаморфозы II». На ней вы увидите, как квадратная мозаика переходит в
гексагональную — шестиугольную. «На этом месте, — пишет сам художник, —
возникает ассоциация «шестиугольники — соты», и мысль эта поддерживается
личинками, которые начинают шевелиться в каждой ячейке».)
Но в пространстве дело обстоит намного сложнее — вопрос о том, упакуются
ли сферы, помещенные в трехмерные соты самым плотным образом, остается
открытым. (То есть, поскольку центры их окажутся в вершинах куба, не ясно,
является ли простая кубическая упаковка самой компактной.) У подножия
старых военных памятников лежат обычно пушечные ядра в виде пирамиды —
верхнее ядро покоится на четырех других, те, в свою очередь, на девяти ниже
расположенных ядрах и т. д. Каждое попавшее внутрь пирамиды ядро касается
двенадцати других — четырех в своем слое, четырех внизу и вверху. Это так
называемая кубическая плотная упаковка, описанная Кеплером. Если
положить пирамиду набок, то получится другой способ упаковки ядер-сфер, но
плотность ее та же самая (точное ее значение 0,7408). Есть и еще варианты, но ни
один не гарантирует самое компактное расположение (в том числе и тот, «ико-
саэдрический» A1), все из того же спора Ньютона с Грегори).
Вопрос об упаковках — не праздный и не абстрактный. Он связан со
строением вещества, его прочностью, а потому кровно интересует специалистов в
разных областях науки. Джон Десмонд Бернал, крупный английский ученый,
который был к тому же еще и президентом Всемирного Совета Мира, считал,
например, что «текучесть жидкости есть результат ее молекулярной
неоднородности».
И потому начались эксперименты.
* Множество звездчатых тел получил уже встречавшийся в Увертюре к этой книге
В.Н. Гамаюнов - два из них изображены на D9) и E0). Фигуры эти, обладающие
своеобразной строгой красотой, легли в основу нескольких архитектурных проектов, разработанных
В.А. Сомовым и A.M. Бреславцем.
«ЗЕМЛЯНИКА РАСТЕТ И ПОД КРАПИВОЙ», — подметил Шекспир.
Геометрическая мысль плодоносит и в худших условиях. «Я сдавливал
свежий горох в одном и том же котле с силой в 1600, 800 и 400 фунтов, — писал
еще в 1727 году Стефан Хейлс в своей «Статистике растений», — при этих
опытах горох расплющивался, но его уровень не повышался, так как под
действием большого веса масса гороха заполняла промежутки между
горошинами, которые превращались в прелестные маленькие додекаэдры». Через
двести с лишним лет, в 1939 году, опыт этот повторили два ботаника —
Д. Марвин и Э. Мацке. Они заменили горошины свинцовыми пулями и
увеличили давление в десять раз. Получились неправильные четырнадцатигранные
тела. Грани были по преимуществу пятиугольными, хотя среди них
встречались и четырех- и шестиугольные. Далее было обнаружено, что внутренние
клетки растительных тканей тоже имеют в среднем четырнадцать граней.
Исследовали под микроскопом пену, состоящую из двух тысяч пузырьков.
Те шестьсот из них, что расположились в центре, имели в среднем по
13,7 касания с соседями, но чаще всего они превращались в тринадцатигран-
ник, составленный из одного четырехугольника, двух шестиугольников и
десяти пятиугольников. В 1959 году Джон Бернал изящнейшим образом показал,
что пятиугольная грань действительно имеет преимущество перед другими. Он
изготовил из пластилина массу одинаковых шариков, вывалял их в меловой
пудре, а затем спрессовал в сплошной ком. У получившихся фигур в среднем
было 13,3 грани, в большинстве своем пятиугольных.
И спрессованная случайная упаковка равных свинцовых пуль или
пластилиновых шариков, и приблизительно однородная ткань, состоящая из
растительных клеток, и пена, образованная примерно одинаковыми пузырьками,
как бы стремятся приблизиться к трехмерным пространственным сотам, в
которых число граней единичной ячейки находится где-то между пятью и
шестью. Это «между», то есть дробное число граней, означает, что соты
существуют в статистическом смысле: в каких-то ячейках четыре, в каких-то —
пять, в каких-то — шесть граней.
Соты, то есть пространство, заполненное многогранниками, позволяют
изучать пространственные фигуры, находясь между ними и миром плоскости. (Эта
идея пришла в голову в 1897 году Торольду Госсету, молодому английскому
юристу, который из-за отсутствия клиентов развлекался тем, что подсчитывал
правильные фигуры, имеющие вид на жительство в четвертом, пятом, шестом и
вообще любом измерении. Оказалось, что в четырехмерном пространстве их
шесть, а в пяти- и более мерном живут лишь три правильных выпуклых
многогранника — аналоги куба, тетраэдра и октаэдра. Правда, доказал это не Госсет,
а Стрингхэм еще в 1880 году*. Но мысли Госсета о многомерных сотах матема-
* Это если считать по дате опубликования работы. Но Людвиг Шлефли получил то же
доказательство раньше. Его рукопись долго пролежала в университетах Лейпцига и Берна и была
опубликована лишь в 1901 году, через шесть лет после смерти автора.
тики не оценили, и скромный юрист вернулся к своим законам. Однако когда в
журнале «Нейчур» в 1936 году появились стансы Ф. Содди «Поцелуй по
расчету», где речь шла о «целующихся» сферах, Госсет откликнулся: он изложил
часть тех выводов, что почти сорок лет пролежали в его архивах.)
Соты помогли найти точную цифру, а именно 0,7796 — ее получил
К.А. Роджерс из Бирмингемского университета в 1958 году — выше которой не
может быть плотность ни одной упаковки. (В статье, где сообщалось о
полученном им доказательстве, он заметил: «Многие математики полагают, а все
физики уверены, что правильный ответ — около 74 процентов»). И в то же время
очевидно, что любая меньшая плотность получается как бы сама собой, за счет
случайных причин. Об этом и говорит эксперимент Осборна Рейнольдса на
морском берегу: путешествуя по мокрому пляжу, мы изменяем упаковку песчинок,
делая ее менее плотной, а такие варианты всегда, что называется, «под ногой».
Под ударами волн или дождевых капель песчинки располагаются самым
плотным из возможных способов. Теперь уже любое воздействие извне, особенно
столь грубое, как давление ноги знаменитого ученого, не только не в силах
уплотнить песок, но неизбежно разрушает «наиплотнейшее» расположение
песчинок, и потому вода засасывается в поры между ними. Рейнольде,
разобравшись в сути явления, не советовал доверять продавцу, который, насыпав зерно
в меру, начинает ревностно уминать его, как бы демонстрируя свое
бескорыстие. На самом же деле при умелом уминании объем зерна может возрасти
процентов на десять, а то и больше.
Еще нагляднее иллюстрирует тот же принцип трюк, проделываемый
индийскими факирами. Они, тихонько потряхивая, наполняют кувшин с узким
отверстием невареным рисом, а затем несколько раз погружают в него нож —
как можно глубже. На десятый-одиннадцатый раз нож вдруг, на удивление
всем, не ведающим о наиплотнейших упаковках, застревает, и факир с
торжеством держит на нем весь сосуд!
Но, пожалуй, наиболее эффектен фокус, который сумели
продемонстрировать сотрудники Московского научно-исследовательского института
железобетона И.Г. Людковский и Ю.С. Волков. Колонны и опоры, придуманные ими,
намного прочнее, чем могло бы показаться на первый взгляд. Они словно
сделаны из специальных дорогих сплавов. А на самом деле их конструкция
представляет собой длинную спираль, свитую из провода, внутри которого
насыпаны шары из стекла или каменного литья. Промежутки между шарами
заливают бетоном. Как совершенно правильно пишут авторы сверхпрочной
колонны в февральском номере журнала «Бетон и железобетон» за 1971 год,
«при свободной укладке шары располагаются компактно, по так называемой
кубооктаэдрической системе, когда один шар соприкасается с двенадцатью
другими. Заполнение объема шарами составляет 74 процента». То есть одно из
уже известных нам расположений пушечных ядер с плотностью 0,7408.
Оказывается, ни материал самих шаров (их можно делать из стекла,
камня, шлакоситалла), ни исполнение окружающей их спиральной обоймы
(Людковский и Волков предлагают заменить прочную проволоку стеклопластико-
вой арматурой, которая, кстати, устойчива против коррозии), ни, наконец,
состав заполняющего промежутки между шарами раствора (марка бетона) не
слишком сильно влияют на прочность колонны. Одна лишь геометрия превра-
щает хрупкое стекло в безотказный металл, многотонным нагрузкам
противостоит одна лишь сила математической мысли.
«МОЙ ДОМ ПОСТРОЕН ПО ЗАКОНАМ САМОЙ СТРОГОЙ АРХИТЕКТУРЫ.
САМ ЕВКЛИД МОГ БЫ ПОУЧИТЬСЯ, ПОЗНАВАЯ ГЕОМЕТРИЮ МОИХ СОТ», —
говорит пчела в «Тысяче и одной ночи».
Она права: пчелиная ячейка представляет собой нижнюю половину
ромбододекаэдра, одного из полуправильных архимедовых тел, и это решение с точки
зрения экономии воска и строительных усилий настолько разумно, что в
академических кругах Франции возникла научная дискуссия, итог которой подвел
Бернар Фонтенель, заявив, что за пчелами нельзя признать геометрического
мышления на уровне Ньютона и Лейбница, хотя они и рассчитывают свои постройки
в полном соответствии с открытым этими учеными дифференциальным
исчислением и вытекающим из него принципом минимума, но они используют
достижения высшей математики, подчиняясь божественному указанию и руководству.
Строители и архитекторы издавна предпочитают геометрические
соображения даже самым очевидным и убедительным фактам. Они, например,
пренебрегают заветом предков и с охотой строят дома на песке. Более того, если
грунт не вызывает у них доверия, они выбрасывают его прочь и привозят на
это место песок, который затем утрамбовывают. После объяснений Рейнольдса
ясно, что песчинки приходят в состояние наиплотнейшего расположения и
грунт приобретает все свойства твердого тела. Именно поэтому до сих пор
прочно стоит «твердыня власти роковой» — Петропавловская крепость,
первое большое архитектурное сооружение, построенное на песке и на
геометрической идее, заложенной в ее фундамент.
«ЕСТЬ ТОНКИЕ, ВЛАСТИТЕЛЬНЫЕ СВЯЗИ», — говорил поэт.
Связь между правильными многоугольниками, мозаиками и
многогранниками слишком глубока, чтобы не быть явной — они дети одной и той же
математической идеи. Как плоскость можно покрыть некоторыми из правильных
многоугольников, так и пространство удается заполнить Платоновыми телами.
Случай с кубами тривиален. Но взгляните на гравюру Маурица Эшера «Плоские
черви», которой он предпослал такие слова: «Строительный кирпич имеет
форму прямоугольного параллелепипеда, и это логично, потому что такие кирпичи
соединять друг с другом проще всего. Но любой человек, любящий и
понимающий красоту правильных тел, может пожалеть, что строители не используют
другие формы. Например, тетраэдры, перемежающиеся с октаэдрами, могут
складываться один с другим не хуже традиционных кирпичей. Вот дом,
построенный из комбинаций этих двух форм. Он не имеет ни вертикальных, ни
горизонтальных поверхностей, ни полов, ни стен, ни потолка — в обычном понимании
этих слов. Вот почему он весь внутри заполнен какой-то жидкой средой, в
которой плавают существа, напоминающие плоских червей — планарий».
Эти плоские черви вновь возвращают нас к мозаикам — обитателям
двумерного мира.
Евклидову плоскость можно покрыть квадратами так, чтобы в каждой
вершине их сходилось по четыре, — это и будет мозаика {4,4}. Но стоит нам
захотеть объединить квадраты таким образом, чтобы к каждой вершине при-
легало лишь три из них, как фигура замкнется в пространстве и мы получим
куб {4,3}. Точно так же плоскость удается заполнить правильными
треугольниками, собранными по шестеркам в каждой вершине, — мозаика {3,6}. Но
если надо, чтобы вершину окружали три, четыре или пять таких
треугольников, то мы опять получим замкнутые пространственные тела — уже знакомые
нам тетраэдр {3,3}, октаэдр {3,4} и икосаэдр {3,5}.
Размышляя об этих превращениях, мы постигаем простейшие понятия
топологии. И вместе с тем становится ясным, насколько общи ее законы,
насколько универсален характер изучаемых ею зависимостей.
Первым, кто увидел глубокую общность мозаик и многогранников, был
Иоганн Кеплер. Именно он предложил рассматривать плоскость, заполненную
прилегающими друг к другу многоугольниками, как выродившийся
многогранник и потому смог применить к ним одну и ту же общую теорию. Потом
эта его мысль была продолжена в обе стороны: жалкая многократно
«надломленная» прямая линия стала выродившимся многоугольником, а
многогранники превратились всего лишь в трехмерных представителей неких
многомерных сверхтел — величественных «политопов», речь о которых впереди.
Что же касается великолепных сферических мозаик, то их положение в
известном смысле промежуточное — от плоскости ушли, а к многогранникам не
пришли. Но именно поэтому они оказались очень удобным инструментом для
исследования пространственных фигур. Кроме того, благодаря своей броской
красоте они были изучены давно — первым их описывал известный на Востоке
математик Абу-эль-Ваф, живший в X веке. И в наши дни сферические мозаики
притягивают к себе внимание художественных натур. Например, эшеровские
«Буковый шар», «Сфера с ангелами и дьяволами» и «Сферическая
поверхность с рыбами» — ювелирно вырезанные из дерева пространственные мозаики
так хороши, что легко могут стать источником вдохновения и фантазии.
И то и другое нам понадобится, когда речь пойдет о фигурах, живущих в
четвертом и более высоких измерениях, — сверхмногогранниках.
Высшее назначение
математики — находить порядок в хаосе,
который нас окружает.
Норберт ВИНЕР
VII. МУЗЫКА СФЕР
Несмотря на ту высокую
степень развития, до которой
доведены науки математические
трудами великих геометров
трех последних столетий,
практика обнаруживает ясно
неполноту их во многих отношениях.
Пафнутий Львович
ЧЕБЫШЁВ
«Я ТУТ НЕ ТАК ДАВНО РАЗРАБОТАЛ ОЧЕНЬ
ЛЮБОПЫТНЫЙ УДАР ЛАПОЙ ЭН В ИКС НАПРАВЛЕНИИ»,—
говорит Дракон в пьесе Евгения Львовича Шварца.
Очевидно, и омерзительный «Летун-Хлопотун» что-то
искал в многомерном пространстве — наверное, защиту от
неминуемой кары. Швейцарского математика Людвига
Шлефли, символами которого мы пользовались, говоря о
плоских мозаиках и трехмерных многогранниках,
интересовало другое. В своей книге «Теория многократной
непрерывности» он поставил такой вопрос: правильных
многоугольников на плоскости может быть сколько угодно,
правильных же многогранников существует только пять. Но
это в пространстве трех измерений, а что будет в
четвертом? Шлефли установил, что там имеют вид на
жительство шесть правильных гипертел — аналогов пяти плато-
новых. Эти правильные сверхмногогранники, или
политопы, состоят из Платоновых тел, которые называются
теперь «ячейками политопа», соединенных между собой так,
что каждая грань их принадлежит двум, а каждое ребро —
сразу нескольким ячейкам. Если, как принято, обозначить
это «нескольким» латинской буквой г, то символ Шлефли
для политопа будет выглядеть так: {p,q,r}.
Что он означает, наверное, ясно.
Итак, политоп — крайний член последовательности все усложняющихся
геометрических образов: точка — линия — многоугольник — многогранник —
политоп. Само это слово придумал в 1882 году Рейнгольд Хоппе — тот самый
немецкий математик, что пусть с опозданием на 180 лет, но сумел рассудить
спор Ньютона и Грегори, с рассказа о котором началась эта книга. Но в
научный обиход оно вошло только в прошлом веке благодаря Алисе Стотт,
родной сестре Этель Лилиан Войнич, автора романа «Овод», которым многие
из нас упивались в ранней юности. Их отец Джордж Буль, известный
математик, создатель целой науки — алгебры логики, сумел передать каждой из пяти
дочерей часть своих разносторонних талантов. Алиса, например, обладала
прекрасным пространственным воображением — она умела воображать
четырехмерные фигуры. Сделанные ею модели политопов и по сию пору можно
увидеть в Кембридже.
«ХОТЯ АНАЛОГИЯ ЧАСТО ВВОДИТ В ЗАБЛУЖДЕНИЕ, ЭТО
НАИМЕНЬШЕЕ ИЗ ТОГО, ЧТО ВВОДИТ НАС В ЗАБЛУЖДЕНИЕ», — писал Сэмюэл
Батлер в книге «Музыка, картины и книги».
Модели — это, конечно, лишь грубая аналогия. Но их несомненное
достоинство — подкупающая простота. Самую примитивную из самоделок,
подобных тем, что делала Алиса Стотт, может без труда изготовить любой из
подручных материалов, например из проволоки. Если рядом с тетраэдром,
правильной пирамидой, расположить некую точку так, чтобы она находилась ото
всех вершин пирамиды на расстоянии, равном ее ребру, то получится первый
из наших политопов — правильный симплекс, речь о котором уже шла, когда
мы делали свои первые шаги в четырехмерье. Его можно рассматривать пятью
разными способами как пирамиду, у которой любая вершина играет роль
«верхней», а остальные четыре определяют основание. Его проекция на плоскость
представляет собой уже не раз встречавшийся нам правильный пятиугольник
с вписанной в него пента-граммой — всем нам знакомой пятиугольной звездой.
Видно, что у симплекса пять вершин, десять ребер, десять «обычных»
двумерных граней и пять трехмерных сверхграней — четырехгранных пирамид,
слагающих его «тело». В вершине политопа, «верхней вершине», встречаются
три тетраэдра, то есть три трехгранные ячейки, в вершинах которых сходятся
по три треугольника. Потому и символ Шлефли выглядит однообразно: {3,3,3}.
Другой аналог Платоновых тел — снова наш старый знакомый гиперкуб,
или «тессаракт», или «измерительный политоп». Как куб можно получить,
перемещая квадрат по третьему измерению, так и сверхкуб образуется от
движения обычного куба вдоль четвертого измерения. В его вершине назначают
себе рандеву три обычных куба, а потому его символ: {4,3,3}.
Что же касается остальных четырех правильных политопов, то их
представить себе еще сложнее. И в самом деле, попробуйте вообразить фигуру, в
каждой вершине которой встречаются четыре и даже пять тетраэдров — {3,3,4}
и {3,3,5} или три додекаэдра — {5,3,3}. Внимательный глаз обнаружит, глядя
на символы Шлефли, что первый из этих политопов взаимен гиперкубу, два
последних — друг другу, а симплекс, как и слагающие его тетраэдры, обойден
по части взаимности: у него тут полное самообслуживание. Впрочем, эти сооб-
ражения куда меньше помогут вообразить облик политопов, чем фотографии
моделей двух из них — правильного 120-ячейника, имеющего символ Шлефли
{5,3,3}, и взаимного ему правильного 600-ячейника с символом, естественно,
{3,3,5} E1, 52). Модели эти представляют собой трехмерные проекции
четырехмерных тел и вместе с тем — чудо ювелирной точности и геометрической
интуиции. На выставке «Столетие прогресса» в Чикаго они постоянно
собирали вокруг себя восхищенных посетителей. Сделал их Поль Дончиян, армянин,
родившийся в Америке. Его прадед был придворным золотых дел мастером у
турецкого султана, и среди других его многочисленных родственников в
разных странах Востока многие тоже были умелыми ремесленниками. Сам Поль
Дончиян до тридцати лет управлял завещанной отцом ковровой фабрикой,
пока вдруг ему не начали сниться сны пророческого характера. Но Дончиян
не сделался ни предсказателем, ни мистиком. Он решил изучить четвертое
измерение, поскольку именно оттуда, по распространенному среди спиритов
убеждению, и вещали духи. Задача была: свести все вопросы к самым
простым, которые смог бы понять любой человек, не имеющий, как и он сам,
никакого математического образования.
«КАК ГЕОМЕТР, НАПРЯГШИЙ ВСЕ СТАРАНЬЯ... ТАКОВ БЫЛ Я», — в
последних строфах, подводя итог своему гигантскому труду, Данте Алигьери
этим сравнением решил дать читателю почувствовать, как много сил,
воображения и знаний потребовала от него «Божественная комедия».
Известно, — это подметил еще Галилей, а снова вернулся к этому вопросу
П.А. Флоренский в книге «Мнимости в геометрии», вышедшей в 1921 году, —
что геометрия Дантова ада — неевклидова. Но она все-таки трехмерная!
Чтобы вторгнуться в четвертое измерение наиболее ощутимым образом, Поль
Дончиян стал делать модели четырехмерных тел. Точнее, он спаивал из
тонких проволочек объемные проекции этих тел в наше, третье измерение. Видом
в плане и в профиле ему служили чертежи, полученные геометрами, —
например, тот, что создал голландский математик Ван Осе E3). И Дончиян, как
опытный строитель, воссоздавал по ним объемные фигуры.
Он не стремился покрывать грани каким-либо материалом — ведь тогда
ребра стали бы видимыми только для существ из четвертого измерения. Его
модели — это «скелеты» фигур, то, что Леонардо да Винчи на своих рисунках
к книге Луки Пачоли обозначил латинским словом «vacuus» — пустой,
полый.
«Соединяя части фигуры между собой, приходится постоянно сверяться с
известными проекциями на плоскость, но в то же время не забывать о здравом
смысле, — писал о своей работе сам П. Дончиян. — К счастью, модели
обладают тем, что в технике называется «защитой от дурака»: если допущена
ошибка, то она сразу видна и дальнейшая работа становится невозможной. Зато
последняя операция — соединение друг с другом внешних и внутренних
секций — таит в себе нечто от того волнения, что испытывают две группы
рабочих, пробивающих туннель с двух разных сторон горы, когда они наконец
встречаются и видят, что рыли точно по одной прямой».
Но минуты восторга были редкими, а работа требовала воображения,
необычайного терпения и кропотливого, тонкого труда. Зато и результаты ее
были намного более впечатляющими, чем даже фотографии получившихся
моделей — ведь как ни размести камеру, все равно какие-то из
многочисленных ребер обязательно перекроют друг друга.
«НО ЖИВУТ, ЖИВУТ В N ИЗМЕРЕНИЯХ ВИХРИ ВОЛН, ЦИКЛОНЫ
МЫСЛЕЙ, ТЕ, КЕМ СМЕШНЫ МЫ С НАШИМ ДЕТСКИМ ЗРЕНЬЕМ, С
НАШИМ ШАГОМ ПО ОДНОЙ ЧЕРТЕ», — писал Валерий Брюсов в хорошо
известном стихотворении «Мир N измерений».
И если сегодня удается несколько «приоткрыть засов», стерегущий наш
мир трех координат, наши «высь, ширь и глубь», то заслуга в том не поэтов,
а математиков — создателей я-мерной геометрии. Их трудами создано немало
ухищрений, с помощью которых случается иной раз проникнуть в
многомерность.
«Мы должны создавать бесконечное множество новых миров, законы
которых мы сможем постигнуть, хотя нога человека никогда не ступит туда», —
считал венгерский математик Л ас л о Фейеш Тот. Мы должны создавать эти
миры хотя бы уже потому, что, как считал Николай Иванович Лобачевский,
даже самая абстрактная математика когда-нибудь обязательно найдет себе
применение. Политопы, порождения изящнейших построений геометрического ума,
воспарившего к высшим измерениям, уже с лихвой отработали затраченные
на них усилия человечества. Они исправно трудятся в теории связи и
линейном программировании — практичнейших из практичных науках.
Отточенный на них математический аппарат, накопленный опыт и интуиция служат,
когда надо выбирать наибыстрейший способ соединения двух абонентов или
самый короткий маршрут, или наилучшую загрузку оборудования, — и
вообще во всех случаях, когда решается задача со многими связанными друг с
другом неизвестными, которые можно представить как элементы многомерного
политопа.
«МАТЕМАТИКА СОДЕРЖИТ В СЕБЕ ЧЕРТЫ ВОЛЕВОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ,
УМОЗРИТЕЛЬНОГО РАССУЖДЕНИЯ И СТРЕМЛЕНИЯ К ЭСТЕТИЧЕСКОМУ
СОВЕРШЕНСТВУ», — считал Рихард Курант, известный ученый, ныне
покойный, бывший иностранным членом нашей Академии наук.
Не одна лишь необычная страсть Поля Дончияна говорит о верности этой
мысли, таких свидетельств много. Вот одно из них. Авторское свидетельство,
выданное московским изобретателям В.В. Тишину и В.П. Леонову, называется
прозаично — «Строительный элемент». Но, быть может, оно несет революцию
в строительное дело. В самом деле, вместо огромного количества (сейчас их
около трех тысяч) деталей, из которых сегодня собирают здания, предлагается
всего два элемента: плита и рама, которые, по сути, представляют собой одну
деталь, только рама — полая, а плита — сплошная. Из них получаются и
стены, и крыши, и фундамент, и межэтажные перекрытия. Мало того, здание
можно потом разобрать, и все его детали использовать в другой стройке — не
обязательно дома, а, например, взлетно-посадочной полосы на аэродроме.
Но как же будут стоять дом без «коробки» — железобетонного скелета,
который глаз привык видеть на новостройке? Идея родилась у Василия Плато-
новича Леонова, когда он еще был студентом мехмата МГУ и изучал кристал-
лографию. Кристаллы ведь тоже сами себе служат каркасом и могут притом
расти в любую сторону. Конечно, это было лишь «умозрительное
рассуждение», вызванное «стремлением к эстетическому совершенству». Прошло много
лет, понадобилась огромная «волевая деятельность» и самого Леонова, и его
соавтора архитектора В.В. Тишина, и вмешательство нашей прессы, чтобы
авторское свидетельство, заявка на которое была послана еще в 1963 году,
было наконец выдано. Тому способствовало и то, что за эти семь лет на Западе
возникло целое направление в строительстве и архитектуре, названное
«Организация пространства». Его творцы — испанские архитекторы А. Карильо и
М. Ориоль и американский профессор К. Воксман. Один из основных выводов
создателей новой науки полностью совпадает с идеей Леонова и Тишина.
А именно: есть лишь один способ заставить здание расти, как кристалл, в
любом направлении и при этом строить его из одинаковых деталей. Для этого
надо, чтобы детали эти по всему своему периметру имели паз, в который мог
бы войти выступ от другой такой же детали. Но ведь это невероятно сложно —
окружить деталь одновременно и выступом, и
соответствующей ему впадиной... Или же это
невероятно просто! Придуманная Леоновым и
Тишиным конструкция решает эту проблему.
Да, это всего-навсего плита, два слоя которой
сдвинуты друг относительно друга по
диагонали так, что получается гребень. Соединяя
такие элементы друг с другом, можно строить
все что угодно, например фигуру, собранную
из рам — полых плит, идущих на оконные и
дверные проемы, внутренние перегородки, и
вообще во всех случаях, когда стена не
должна быть сплошной E4). Конечно, из таких же деталей лучше собирать не
абстрактные конструкции, а вполне конкретные здания. Их каркас
получается сам по себе, он просто следствие особой геометрии плиты.
Монтаж «коробки» благодаря одинаковости всех деталей и их соединений
убыстряется в четыре-пять раз, его можно без труда автоматизировать, плиты
и рамы Леонова—Тишина легки в изготовлении, их удается многократно
использовать при реконструкции зданий, да мало ли еще полновесной прибыли
несет людям «волевая деятельность», связанная со «стремлением к
эстетическому совершенству». А ведь это только один из множества примеров
плодотворного вторжения математической мысли в наиболее, казалось бы,
изученные области нашей жизни...
«ПРОЦВЕТАНИЕ И ИНТЕРЕСЫ МАТЕМАТИКИ ТЕСНО СВЯЗАНЫ С
БЛАГОСОСТОЯНИЕМ ГОСУДАРСТВА», — слова эти лишний раз доказывают, что
у воинственного Наполеона действительно был государственный ум.
И они же пусть отразят возможные атаки «а-зачем-это-нужно?» на наше
стремление предаться неспешным и чистым радостям геометрического
мышления в стремительно бегущем времени третьего тысячелетия. Наполеон, в
отличие от большинства известных государственных деятелей, был немного
математиком, причем интересовался главным образом именно геометрией. Ему даже
приписывают доказательство «теоремы Наполеона», которая гласит: «Если на
сторонах произвольного треугольника во внешнюю от него сторону построить
равносторонние треугольники, то их центры образуют тоже равносторонний
треугольник». Впрочем, некоторые математики считают, что геометрической
эрудиции императора вряд ли хватило бы для такого подвига, как и для
создания приписываемого ему палиндрома ABLE I WAS ERE I SAW ELBA* —
литературного упражнения, тоже не чуждого геометрического начала.
Другая история, столь же легендарная и столь же отчетливо
демонстрирующая выдающиеся задатки Наполеона Бонапарта как правителя государства,
связана со временем, когда он был всего лишь генералом. Он позволил себе
ввязаться в сугубо научный разговор с великими математиками Лагранжем и
Лапласом. «Менее всего мы хотим от вас, генерал, урока геометрии», —
довольно резко прервал его Лаплас. Прошло совсем немного времени, и Пьер
Симон Лаплас был назначен Наполеоном своим главным военным инженером.
Видимо, увлечение геометрией дало возможность самому знаменитому
корсиканцу уметь вычленять в любой ситуации главное и отбрасывать
несущественное — ради пользы дела.
«В ГОЛОВЕ АРХИМЕДА БЫЛО БОЛЬШЕ ВООБРАЖЕНИЯ, ЧЕМ В ГОЛОВЕ
ГОМЕРА», — говорил другой великий француз, насмешливый Вольтер.
Восхваления, которые можно произнести в адрес всей математики, трижды
верны по отношению к геометрии, ибо она, доступная живому созерцанию,
выковывает и архимедов и гомеров.
Правильные многогранники существовали на Земле задолго до появления
на ней человека — кубы поваренной соли, тетраэдры сурьмянистого
сернокислого натрия, октаэдры хромовых квасцов, икосаэдры бора и додекаэдры
радиолярий, микроскопических морских организмов... Но только геометр
усмотрел в них порядок и систему задолго до того, как физик проник в тайну
строения вещества. Геометрия с ее прозрачной логикой, с четкостью ее
построений позволяет увидеть первоосновы вещей.
Именно увидеть!
«Радость видеть и понимать есть самый прекрасный дар природы», —
говорил Эйнштейн...
«Наглядная геометрия» — так назвали свою замечательную книгу Давид
Гильберт и Стефан Кон-Фоссен. И это не литературная метафора, а
сложившееся научное понятие.
«В современной математике употребляется термин «наглядная геометрия».
Мы относим к ней те геометрические вопросы и теоремы, которые имеют
«наглядный» геометрический смысл. Теория выпуклых фигур, и в частности
выпуклых многогранников, относится к наглядной геометрии. Ее теоремы имеют
обычно элементарную формулировку и яркий геометрический смысл, хотя
доказательства часто бывают весьма сложными... Вопросами этой теории
занимались математики разных эпох, однако содержание этой теории не только не
исчерпано, но, наоборот, в последние десятилетия она послужила темой для
* «Я БЫЛ СИЛЕН, ПОКА НЕ УВИДЕЛ ЭЛЬБУ», — означают эти слова. По-английски текст
действительно звучит одинаково, если читать его слева направо или справа налево, то есть
является палиндромом.
выдающихся работ отечественных геометров», — так пишет один из этих
геометров Лазарь Аронович Люстерник в своей в высшей степени интересной
книге «Выпуклые фигуры и многогранники».
Но не одни лишь чистые геометры отдавали свое время, ум и сердце тем
мыслям и образам, что ясно просматриваются сквозь невесомую ткань
геометрии.
«ОДНА КАРТИНКА МОЖЕТ СКАЗАТЬ БОЛЬШЕ, ЧЕМ ДЕСЯТЬ ТЫСЯЧ СЛОВ» —
справедливость этой старинной китайской пословицы с почти математической
точностью подтверждается недавними научными исследованиями.
Физиологи установили, что словесный способ общения, к которому все мы
привыкли, позволяет передавать лишь 16 единиц информации, бит, в секунду.
То есть, слушая чью-то речь, даже те, кто обладает абсолютным музыкальным
слухом, способны воспринимать не более 16 бит в секунду, и если ваш
собеседник станет говорить быстрее, то вы совсем перестанете понимать его. А вот
зрительные сигналы, которые воздействуют на наши органы чувств
непосредственно, минуя вторую сигнальную систему, умеют передавать далее в мозг
миллионы бит в секунду — в десятки тысяч раз больше, чем позволяет
вербальный канал. Таким образом, картина, особенно хорошая, в буквальном
смысле говорит нам больше, чем десять тысяч слов.
Первой зафиксированной в анналах истории попыткой использовать
зрительные образы с научной целью — для образования людей и для
интерпретации некоторых относительно сложных идей — была сделана почти 350 лет
назад, в 1658 году, когда известный чешский мыслитель, писатель, один из
создателей современной педагогики Ян Амос Коменский выпустил книгу
«Видимый мир в картинках». Он исходил из той мысли, что специально
подобранная последовательность рисунков есть прямой путь к сознанию обучаемого и
использовал зрительные образы вместо слов, как несравненно более мощное
средство воздействия на мыслительные процессы ребенка.
В этом смысле не должен вызывать удивления тот факт, что простые и
понятные принципы начертательной геометрии, разработанные французским
математиком Гаспаром Монжем в XVIII веке, произвели революцию в технике
и инженерном деле. Его идея состояла в том, чтобы взглянуть на предмет
одновременно с трех сторон, создавая таким образом его расчлененный
зрительный образ, что нельзя было сделать при помощи слов. Рассматривая и
сопоставляя все три проекции тела, можно «увидеть» трехмерный объект.
Заменить такой способ представления пространственных объектов нечем и
сегодня. Во всяком случае, слова тут не в помощь ни конструктору, ни
рабочему, изготавливающему по его чертежам ту или иную деталь.
«ПРАВИЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГОГРАННИКОВ ВЫЗЫВАЮЩЕ МАЛО», —
заметил однажды Льюис Кэрролл.
Но и этот весьма скромный по численности отряд, великолепная пятерка,
сумел пробиться в самые глубины различных наук. Известный геолог профессор
Б.Л. Личков, друг и сотрудник академика В.И. Вернадского, написал научный
труд «К основам современной теории Земли». Он развил в нем ту точку зрения,
весьма популярную среди космологов, что планета наша сформировалась из скоп-
ления астероидов. Вначале она отнюдь не напоминала шар — это было некое
угловатое образование, несущееся в космосе. Но время и законы физики
постепенно превращали Землю в правильные геометрические тела, поскольку именно они
обладают особыми геометрическими свойствами, удобными для подобной
эволюции. Переходной формой к нынешнему геоиду мог быть, по мнению профессора
Личкова, додекаэдр, и части его граней до сих пор должны сохраниться в теле
планеты. По другим соображениям, приведенным в его книге, Земля должна
была напоминать октаэдр, и тогда геологам следует, по Личкову, искать именно
эти огромные грани.
Другой известный ученый, кристаллограф по специальности, профессор
И.И. Шафрановский предложил в 1962 году модель Земли в виде двух
тетраэдров, соединенных основаниями, а в конце прошлого века Л. Грин и А. Лап-
парент уподобляли земной шар тетраэдру в чистом виде.
Один лишь икосаэдр остался не вовлеченным в эти геогеометрические
рассуждения, но длилось это недолго. В 1973 году сразу трое ученых —
искусствовед Н.В. Гончаров, инженер-электронщик В.А. Макаров и
инженер-строитель B.C. Морозов выдвинули совместную гипотезу, которую они назвали доде-
каэдро-икосаэдровой. Они обратили внимание на любопытное совпадение:
Мохенджо-Даро, очаг древнейшей индийской культуры, и остров Пасхи, где тоже
в отдаленные времена существовала самобытная цивилизация, расположены
на концах оси, проходящей через центр Земли. Но несмотря на такую
диаметральную географическую противоположность, между ними наблюдается
удивительное лингвистическое единство: венгерский ученый Хевеши считает, что
среди иероглифов острова Пасхи и Мохенджо-Даро около сотни одинаковых
знаков. Вдобавок в знаменитых табличках ронго-ронго упоминается о
большом архипелаге, который опустился под воду в районе острова Пасхи, а в
Мохенджо-Даро в древности были сильные колебания почвы.
Эти не лишенные интереса (хотя и недостаточно проверенные) факты
явились толчком к дальнейшему «обшариванию» планеты в поисках новых
знаменательных совпадений. В поле зрения трех молодых исследователей попали
египетские пирамиды. Название древней столицы Египта — Мемфиса, где они
расположены, переводится как «Середина мира». От Гизы, района пирамид,
до Мохенджо-Даро — шестнадцать географических градусов, а от Мохенджо-
Даро до Северного полюса — ровно вдвое больше. Получается, что пирамиды
и в самом деле находятся если не в середине мира, то в центре гигантского
равностороннего треугольника.
Следующий шаг на пути авторов додекаэдро-икосаэдровой гипотезы
строения Земли был естествен и прост: продолжить стороны гигантского
треугольника вдоль земного шара. Мозаика, покрывшая глобус в результате этой
работы, состояла ровно из двадцати правильных треугольников. Иными
словами, она представляла собою икосаэдр. Соединив середины его граней между
собой, Гончаров, Морозов и Макаров получили, естественно, додекаэдр.
И тут выяснилось, что вдоль ребер двух замечательных фигур происходят на
Земле удивительные явления. Океанические подводные хребты и разломы
земной коры расположились строго параллельно ребрам, а часто и просто
вдоль них. Впрочем, это обстоятельство мало удивило авторов гипотезы: они
были уже знакомы с новым научным направлением, так называемой тектони-
кой плит. Ее сторонники утверждают, что земная кора состоит из огромных
плит, стыки между которыми они называют «швами на бейсбольном мяче
планеты».
«ЗЕМЛЯ, ЕСЛИ ВЗГЛЯНУТЬ НА НЕЕ СВЕРХУ, ПОХОЖА НА МЯЧ,
СШИТЫЙ ИЗ ДВЕНАДЦАТИ КУСКОВ КОЖИ», — писал Платон в своем
знаменитом диалоге «Федон».
Откуда мог он знать, к каким выводам придет геология через две с
половиной тысячи лет после его смерти? Но как представить себе изумление Платона,
если бы кто-нибудь рассказал ему в свое время об открытии, сделанном
математиками и радиоастрономами, из которого следует, что и вся наша
Вселенная, если взглянуть на нее откуда-то извне, тоже по форме неотличима от
мяча, сшитого из двенадцати одинаковых — а именно, пятиугольных, —
кусков?
«Ученые установили, что наша Вселенная по форме напоминает футбольный
мяч, то есть сферу, состоящую из пятиугольников. Научное название такой
формы — додекаэдр Пуанкаре»* — так начинались экстренные сообщения
информагентств 9 октября 2003 года. Все они ссылались на журнал «Нейчур»,
многократно уже упомянутый по разным поводам в этой книге, который
поместил статью, основанную на данных, полученных от американского
космического микроволнового зонда**. Он был запущен для изучения свойств радиации,
возникшей в космосе вскоре после Большого взрыва. Радиация — все, что
осталось от взрыва в только что возникшей Вселенной, по сути дела —
единственный наш источник знаний о самом «начале начал». Структура ее до сих пор
была неизвестна. А когда добытые
орбитальной обсерваторией данные были
проанализированы, стало ясно, что сделано одно из
величайших космологических открытий.
Вселенная, в которой мы живем, впервые предстала
перед нами совсем небольшой — всего 60
миллиардов световых лет в диаметре, конечной и
к тому же замкнутой. Доказательство
приводилось от противного: если бы наша
Вселенная была бесконечной, то в микроволновом
фоне наблюдались бы волны любых размеров.
Однако фактически этого нет: действительно
крупных волн орбитальный зонд ни разу не
обнаружил, а величины всех наблюдаемых волн
представляли собой довольно строгий и
ограниченный набор.
Французские математики Жан-Пьер Ла-
минет, Роланд Лехуак, Алан Риазуэло и Жан-
* Он уже встречался нам ранее D5), когда мы знакомились с фигурой Петри — сферой,
которую можно рассматривать как разбитую на сферические пятиугольники, так и на
сферические треугольники.
** Обложка журнала со схематическим изображением нашей Вселенной представлена на
E5).
Филипп Узан и их американский коллега Джеффри Уикс проанализировали
модель вселенной, составленной из сферических пятиугольников, и
обнаружили, что радиационные возмущения в такой модели без всякой специальной
подгонки совпадают с теми, что зафиксировал зонд. Обнаруженную картину
излучения невозможно совместить с представлением о бесконечной Вселенной.
«С античных времен люди размышляли о том, конечна или бесконечна наша
Вселенная. Сейчас, после более чем двух тысяч лет предположений,
конкретные научные данные могут положить конец сомнениям», — считает Джеффри
Уикс. Если выкладки У икса и его коллег верны, то получается, что
путешествие через всю Вселенную, начавшееся на Земле, на Земле же и завершится,
поскольку Вселенная представляет собой замкнутую фигуру. Но и не
отправляясь в столь дальние странствия, мы можем, оказывается, в нашей додекаэд-
рической Вселенной наблюдать наиболее удаленные от нас объекты сразу с
двух противоположных сторон, и вдобавок каждый такой объект будет виден
нам на разных этапах своей эволюции.
Правы все-таки, видимо, были и Платон и Кеплер, связывая строение
космоса с правильными геометрическими телами. Вообще, именно геометрию с ее
наглядностью, простотой и однозначностью выводов издавна предлагалось
использовать как универсальный язык для общения разумных существ во
Вселенной. В древней истории рассказывается о философе Аристиппе, который
после кораблекрушения был выброшен на остров Родос, и увидев начертанные
на песке геометрические фигуры, в радости вскричал: «Воспряньте духом,
друзья! Я вижу следы разума, оставленные человеком!» А вот что писал Жюль
Верн в романе «С Земли на Луну прямым путем за 97 часов 20 минут»,
живописующем путешествие землян к жителям Луны — селенитам:
«Несколько дней назад один немецкий математик предложил снарядить
ученую экспедицию в сибирские степи. Там, среди широких равнин, можно
было бы изобразить гигантские геометрические фигуры, и притом настолько
яркие, что они будут видны с Луны, среди них и пифагоров треугольник, в
просторечье называемый «Пифагоровыми штанами». «Всякое разумное
существо, — утверждал геометр, — должно понять научное значение этой фигуры.
Поэтому селениты, если только они существуют, ответят подобной же
фигурой, и тогда легко будет создать алфавит, который даст людям возможность
обмениваться людям с обитателями Луны».
Вернемся, однако, с небес на Землю, которая по некоторым представлениям —
такая же правильная геометрическая фигура, как и вся Вселенная в целом.
ЛЕКТОРЫ, КАК ИЗВЕСТНО, ДЕЛЯТСЯ НА ТЕХ, КТО ГОВОРИТ: «УЖЕ
ПЛАТОН И АРИСТОТЕЛЬ...», И ТЕХ, КТО ГОВОРИТ: «ЕЩЕ ПЛАТОН И
АРИСТОТЕЛЬ...», — любил повторять Альберт Макарьевич Молчанов.
И ему же, одному из крупнейших в стране специалистов по математическим
методам исследования живой природы, бывшему много лет директором
Вычислительного центра Пущинской группы биологических институтов Академии
наук, принадлежит крылатая фраза: «Биосфера многогранна».
Как ни соблазнительно представлять себе земную сферу в виде правильного
многогранника, Платонова тела, и какие бы дружеские чувства к Платону мы
ни питали, истина все-таки дороже. Да, многие залежи полезных ископаемых
тянутся вдоль ребер икосаэдро-додекаэдровой сетки. Да, еще более
удивительные вещи происходят в местах пересечения этих ребер — тут располагаются и
очаги древнейших культур и цивилизаций — Перу, Северная Монголия,
Таити, Обская культура, Камбоджа, Вьетнам, Ирландия, где есть памятники
постарше египетских пирамид; районы максимума солнечной активности;
максимумы и минимумы атмосферного давления; гигантские завихрения течений
мирового океана; шотландское озеро Лох-Несс со знаменитой Несси, скорее
всего отсутствующей в нем; остров Сахалин, где обычные растения
вытягиваются до невероятной длины. Да, все это странным образом попадает в
вершины додекаэдра и икосаэдра. Но и эти и многие другие совпадения (среди них
особенно поразительно, что «Бермудский дьявольский треугольник» и «море
Дьявола» южнее Японии, где загадочным образом пропадают корабли и
самолеты, не успев подать сигнал «SOS», — оба эти проклинаемые мореходами и
авиаторами района океана лежат точно в центрах пятиугольных граней
додекаэдра) еще не дают оснований для того, чтобы считать гипотезу Гончарова—
Макарова—Морозова научной теорией. Строгих ее доказательств пока нет, и
будут ли они — неизвестно.
«ЗАБЛУЖДЕНИЯ, ЗАКЛЮЧАЮЩИЕ В СЕБЕ НЕКОТОРУЮ ДОЛЮ
ИСТИНЫ, — САМЫЕ ОПАСНЫЕ», — Адам Смит хорошо разбирался не только в
политической экономии, но и в жизни вообще.
Увы, остроумная геогеометрическая гипотеза открыта для критики почти
со всех своих тридцати двух сторон. Но... но ведь и Кеплер пришел к своим
законам движения планет не сразу, а пройдя через искусы поисков гармонии и
красоты, воплощенных во все тех же Платоновых телах. Есть что-то
неотразимое в этих фигурах для людей определенного склада ума — для тех, чей
внутренний взор устремлен к первоосновам мира. «... Я сделал тетраэдр,
додекаэдр и еще два эдра, для которых не знаю правильного названия», — писал
своему отцу Джеймс Клерк Максвелл, и эти слова знаменуют собой, быть
может, рождение в ничем пока не примечательном английском мальчике
великого ученого, физика, по складу своего мышления оставшегося геометром.
«Джеймс покидает пору своего отрочества с картонными многогранниками в
руках», — комментирует этот момент его биограф Владимир Петрович
Карцев. И с любовью к геометрической строгости и целесообразности в сердце —
так и просится добавить.
Это чувство, для которого нет, вероятно, правильного названия,
способно овладеть людьми вне зависимости от их возраста, профессии или
гражданства.
Один из них — петербуржец Виктор Семенович Генель, автор
геометрической головоломки «змейка Генеля», на которую наш строгий Комитет по делам
изобретений и открытий не поскупился на авторское свидетельство.
Обязательная в таких случаях «формула изобретения» звучит так, что способна
усладить слух любого человека, отдавшего свое сердце Платоновым телам:
«Пространственная головоломка, содержащая игровые элементы в форме
правильных многогранников, соединенных между собой с возможностью поворота один
относительно другого и перемещения каждого игрового элемента с одной грани
соседнего игрового элемента на смежную ей грань, отличающаяся тем, что, с
целью повышения занимательности и
развития пространственного воображения,
часть игровых элементов выполнена в виде
правильных тетраэдров, а часть — в виде
правильных четырехгранных пирамид»
E6).
«Головоломки такого типа не
распространены, — писал изобретатель. —
Широко известна только одна — «змея Руби-
ка» . Однако они представляют собой очень
интересный класс игр — пространственных
конструкторов, который ярко
демонстрирует связь пространственных мозаик с
формами многогранников. Моя змейка
основана на мозаике тетраэдр-октаэдр
(четырехгранная пирамида — это ведь
половина октаэдра). При любых допустимых
относительных перемещениях элементы
всегда располагаются в ячейках
воображаемой тетраэдрически-октаэдрической
мозаики. Главная хитрость здесь в том, что благодаря использованию половин
октаэдров удается выдержать соотношение между октаэдрами и тетраэдрами
2:3 — такое же, как в мозаике.
Кроме того, квадратные сечения, служащие основаниями пирамид,
образуют плоскости, соответствующие граням кубической мозаики. В сочетании с
плоскостями граней октаэдров и тетраэдров они дают широчайшие
возможности объемного моделирования».
Любовь к геометрии владеет не одними лишь создателями развлекательных
головоломок, пусть даже придуманных «с целью развития пространственного
воображения». Химиков еще в начале нашего века увлекла идея создать
соединения, в которых молекулы держатся друг за друга без всякой химической
связи, исключительно благодаря тому, что они продеты одна сквозь другую как
кольца — наподобие той фигуры, что определяет собой структуру этой книги.
Для таких антихимических монстров придумали даже название — катенаны
(от латинского «катена» — цепь), но лишь в середине шестидесятых годов
Г. Шилл и А. Люттрингауз после десятилетней упорной работы и многих
тысяч неудачных опытов сумели наконец получить первый катенан. Синтез
его состоял из нескольких десятков стадий, и лишь на последней из них
разрывалась последняя химическая связь и кольца оставались соединенными
чисто механически. Однако понадобилось еще создать метод доказательства, что
все на самом деле обстоит именно таким образом: кольца продеты одно в
другое, но химически ничем не связаны. Его предложил Рэмир Григорьевич
Костяновский, доктор химических наук. Он придумал, как применить в этом
случае масс-спектральный анализ. Все эти сложные и сложнейшие приемы и
методы долгим и тернистым путем вели к получению катенана, состоявшего
всего из двух сцепленных колец. Но не прошло и десяти лет, как ту же
конструкцию химики получили совсем иным путем. Они использовали
удивительные свойства нашего старинного знакомого — листа Мёбиуса. Цирковые фоку-
сы, при которых разрезанное кольцо превращается в два сцепленных между
собой, заменили собой точнейшую аппаратуру.
А в канун 2004 года, в своем предновогоднем номере, журнал «Нейчур» —
снова он, как и положено самому авторитетному научному журналу! —
порадовал химиков-органиков тем, что сбылась их давняя мечта. Четырем ученым
из немецких институтов в Штутгарте и Киле удалось наконец синтезировать
первую стабильную молекулу ароматического соединения, топология которой
такая же, как и у нашего героя — листа Мёбиуса.
Но это просто химия — наша, земная. А есть ведь еще химия космическая.
«С НОВОЙ, ДО СИХ ПОР НЕИЗВЕСТНОЙ ФОРМОЙ ЭЛЕМЕНТАРНОГО
УГЛЕРОДА МЫ СТОЛКНУЛИСЬ, ПЫТАЯСЬ УЗНАТЬ, ИЗ ЧЕГО СОСТОИТ
ЗВЕЗДНАЯ ПЫЛЬ», — рассказывает о начале большого научного исследования
профессор Вольфганг Кречмер, сотрудник отдела космохимии Института
ядерной физики Общества имени Макса Планка, который многие годы был занят
лабораторным моделированием процессов, протекающих в межпланетном и
даже межзвездном пространстве.
И он же продолжает: «О ее существовании известно давно. Эта пыль
сконцентрирована внутри галактического диска и проявляется, например, в
«покраснении» света в межзвездном пространстве за счет его ослабления,
поглощения излучения в соответствующих участках спектра».
В спектрах поглощения света в межзвездной среде есть немалые
странности. Например, непонятным было происхождение сильнейшей линии
поглощения при длине волны 217 нм в ультрафиолетовой области — ее источником
обычно считают графитовые пылинки, и такое объяснение было бы правиль-
ным, если бы существовали сферические частицы графита. Но графит, как
известно, имеет слоистую структуру. На первый взгляд, это возражение
несущественно, однако оно оказалось решающим. Дело в том, что длина волны,
ширина и структура спектров поглощения пыли в случае графита сильно
зависят от величины и, главное, формы частиц. Данным, полученным в
результате астрономических исследований, могли бы соответствовать только
графитовые частицы шарообразной формы размером в несколько нанометров.
Возникла идея: не объясняется ли «странное» поглощение света в
межзвездном пространстве образованием крупных молекул фуллерена? Фуллерен —
это особый тип молекул углерода. Важнейший представитель этого семейства
молекула С60, или «фуллерен Бакминстера», названная так в честь
архитектора Ричарда Бакминстера Фуллера, создателя больших свободнонесущих
конструкций куполов. Эта молекула имеет замкнутую структуру, состоящую из
12 пятиугольников и 20 шестиугольников, в каждом из углов которых
находятся атомы углерода, при этом расстояния между соседними атомами
одинаковы E7). Именно наличие пятиугольников и делает возможным образование
объемных замкнутых структур. Кстати, необходимость ровно 12
пятиугольников для образования замкнутой объемной геометрической фигуры доказал еще
великий Эйлер.
Шестичленные кольцевые структуры на поверхности молекулы фуллерена
напоминают бензольное кольцо. Поэтому возникает заманчивое
предположение, что С60 — это своеобразный супербензол, который подобно обычному
бензолу мог бы стать основой целой отрасли
химии. Интересными должны быть
химические свойства не только наружных оболочек
фуллерена, но и внутренних его частей.
Большое внимание привлекли работы,
показывающие, что фуллерен с присоединенными
щелочными металлами становится
полупроводником. Мало того, при температурах в
несколько десятков градусов Кельвина он
приобретает свойства сверхпроводника.
Но вернемся к нашей собственной
области исследований и зададимся вопросом:
какую роль играют фуллерены в межзвездной
среде? Судя по оптическим спектрам, они не
очень-то распространены в космическом пространстве. Но из этого не следует
делать поспешные выводы. Ионы С60 и С70 или каких-то химических
производных фуллерена (вроде С60Н) могут на самом деле играть важную роль. Просто
спектры этих соединений исследованы не настолько хорошо, чтобы делать
однозначные выводы».
История фуллеренов или, шире, открытие углеродных многогранников
(их принято называть «кластерами») началась, как и эта книга, с
публикации в журнале «Нейчур». В 1985 году Г. Крото с соавторами сообщил о том,
что при лазерном испарении графита ими обнаружены очень большие
углеродные кластеры, имеющие структуру правильного 32-гранника. Именно они
и предложили назвать его в честь архитектора, построившего и
запатентовавшего геодезический купол — часть правильного многогранника,
украшавшего собой американский павильон на Всемирной выставке в Монреале в
1967 году. Спустя три года тот же Крото в той же «Нейчур» описал уже
целое семейство углеродных кластеров, составленных из углеродных пяти- и
шестиугольников: С28, С32, С50, С60 и С70 E8), а теперь уже известны
гигантские, сверхтяжелые фуллерены с числом атомов вплоть до 540. Но среди всех
их С60 остается самым стабильным: он не разрушается по крайней мере до
1000 °С.
Новейший период в истории фуллеренов начался в сентябре 1990 года,
когда «Нейчур» опубликовал работу немецких и американских
исследователей, синтезировавших кристаллическую форму фуллерена, позже получившую
имя «фуллерита». А в апреле следующего, 1991 года, они же сообщили о
настоящей сенсации: соединения фуллерита с некоторыми металлами
обладают свойствами сверхпроводимости при очень высокой температуре — всего
18 °К. Месяц спустя она поднялась уже до 30 °К, а сейчас уже идея получить
в ближайшее время на основе этих соединений сверхпроводник, работающий
при комнатной температуре, не кажется более фантастической.
Но и тут не конец геометрическому вторжению в жизнь живой и неживой
материи. Ведь если полоску бумаги — или длинную молекулу — повернуть перед
склеиванием не на один и не на два, а на три оборота, то, разрезав ее, мы получим
трилистник — такой, какие изображены на гравюрах Эшера «Узлы». Особенно
интересен левый верхний узел («Узлы», 1965): про него не просто сказать, что это —
односторонняя лента дважды, да еще вдобавок самопересекаясь, обегает
узел-трилистник или же два независимо существующих листа Мёбиуса?
«ТЕОРИЯ УЗЛОВ, ОДНА ИЗ САМЫХ СТАРЫХ ЧАСТЕЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ
ТОПОЛОГИИ, ПРИНАДЛЕЖИТ К ЧИСЛУ ТЕХ РАЗДЕЛОВ МАТЕМАТИКИ,
ГДЕ СТАВИТЬ «ЕСТЕСТВЕННЫЕ» ВОПРОСЫ ГОРАЗДО ЛЕГЧЕ, ЧЕМ
ОТВЕЧАТЬ НА НИХ», — пишут в предисловии к своей книге «Введение в теорию
узлов» Ричард Кроуэлл и Ральф Фокс.
И продолжают: «Поэтому, несмотря на то, что ею занимаются многие
математики уже почти девяносто лет, полученные в ней результаты довольно скромны и
многие основные проблемы все еще ждут своего решения. Особенно парадоксально
то, что в теории узлов зачастую проблемы многомерной топологии решаются
гораздо легче, чем аналогичные им проблемы в обычном трехмерном пространстве».
Сама же книга начинается такими словами: «Теория узлов представляет
собой часть геометрии, привлекательную тем, что изучаемые в ней объекты можно
воспринимать и осмысливать в обычном физическом мире. Она — место стыка
таких разных разделов математики, как теория групп, теория матриц, теория
чисел, алгебраическая и дифференциальная геометрия (мы называем лишь
наиболее важные разделы). Ее результаты лежат
в основах математической теории
электричества и элементарной атомной физике, а
недавно наметилась возможность ее новых
приложений в некоторых областях химии».
Таким образом, узлы — не только предмет
исследования для топологов, вещь первой
необходимости для такелажников и моряков и
обязательный инвентарь для
фокусников-спиритов вроде Генри Слейда. Они еще
оказались в фокусе внимания химиков и даже
медиков. Сразу несколько групп исследователей
в разных странах работают над тем, чтобы
создать искусственным путем заузленные
молекулы. В числе прочих, разумеется,
проверяется и «мёбиусный» путь. Усилия ученых
подогреваются тем сравнительно недавно
открытым фактом, что в клетках, пораженных
раком, резко повышено содержание катенановых — «скольцованных» —
молекул ДНК. В некоторых экспериментах почти случайно посчастливилось
обнаружить заузленную молекулу РНК. Встречаются в живой ткани и иные
топологические диковинки. Например, все тот же журнал «Нейчур», где
впервые публикуются большинство всех сколько-нибудь важных научных
открытий, в феврале 2004 года вышел с обложкой, на которой изображены
клонированные молекулы ДНК, имеющие форму так хорошо нам знакомого
правильного многогранника — октаэдра E9). Это результат научного исследования,
опубликованного в этом номере, у которого просматриваются фантастические
перспективы: используя свойства молекул ДНК повторять самих себя, быть
может, удастся наладить массовое производство микроскопически малых
деталей для самых различных применений. Все это говорит об одном: возможно,
многие проблемы медицины и биохимии, не говоря уж о наноэлектронике,
будут когда-нибудь решены благодаря геометрическому образу мышления, —
такому, какой был, например, у Джеймса Клерка Максвелла.
Пока же подход этот успешно реализуется в более «практичных» областях.
Р.Г. Костяновский полагает, например, что молекулы ряда полимеров могут
образовывать переплетающиеся между собой кольца. Эластичность такого
вещества перекроет все мыслимые рекорды: оно будет растягиваться во многие
тысячи раз и не рваться при этом.
...Нет, есть все-таки нечто бесконечно привлекательное в геометрии...
«ИСКУССТВО — ЭТО Я. НАУКА — ЭТО МЫ». «НАЦИОНАЛЬНОЙ НАУКИ
НЕТ, КАК НЕТ НАЦИОНАЛЬНОЙ ТАБЛИЦЫ УМНОЖЕНИЯ».
И то и другое высказывания принадлежат великим писателям: первое —
Виктору Гюго, второе — Антону Павловичу Чехову, и оба высказывания сделаны в то
время, когда еще и в помине не было ни многолюдных исследовательских
институтов и центров вроде Объединенного института ядерных исследований в Дубне, ни
гигантских ускорителей элементарных частиц, сравнимых разве что с
промышленными предприятиями, то есть в то время, когда коллективный и
интернациональный характер научной деятельности был далеко не очевидным. Однако и тогда с
относительно узким кругом геометрических проблем было связано довольно много
имен, и этот «невидимый колледж» рассеялся по всему миру. Вероятно, геометрия
как наука изначально обладает свойством, отвечающим за странное на первый
взгляд переплетение интересов и склонностей, которое с удивлением отмечает про
себя всякий, кто пытается проследить за ростом различных ветвей геометрического
дерева. Свойство это в том, что в ней самой все хитро переплетено.
Хоппе, немецкий математик, которому суждено было решить спор между
Ньютоном и Грегори о тринадцати шарах, занялся впоследствии
многомерными многогранниками. Мёбиус не только придумал свою прославленную
топологическую игрушку, но и написал работу «Барицентрическое исчисление»,
где речь шла о четвертом измерении. Анри Пуанкаре не только подготовил
математическую почву для теории относительности Эйнштейна, изменившей
наши представления о геометрии мира, но еще, например, знаменитейшую
«истинно топологическую» формулу Эйлера для вершин, ребер и граней
многогранников преобразовал таким образом, что она стала применима для
пространств любого числа измерений.
Тут, правда, уместно небольшое отступление. Когда в 1904 году Пуанкаре
занялся изучением таких фундаментальных топологических свойств как
«связность» и «заузленность» в пространствах разных измерений, он поначалу не
уделил должного внимания нашему привычному третьему измерению. Он
просто допустил, что если любая кривая на сфере может быть «стянута» в точку,
то эта сфера — трехмерная. Но потом Пуанкаре спохватился и понял, что
такое утверждение вовсе не очевидно, оно нуждается в доказательстве, более
того, может оказаться и вовсе неверным. Такого доказательства «гипотезы
Пуанкаре» до сих пор никто не получил, хотя пытались многие — в частности
и потому, что американский Институт математики Клэя назначил за него
премию в миллион долларов. И лишь в 2003 году сотрудник лаборатории
геометрии и топологии Санкт-Петербургского отделения Математического
института имени В.А. Стеклова Григорий Яковлевич Перельман предложил
доказательство, в котором, в отличие от предыдущих, математики не смогли —
на момент, когда пишутся эти строки — найти ошибки.
Отчего так случилось — почему Пуанкаре не смог доказать свое собственное
утверждение, а Перельман сумел сделать это? Думается, позволительно и нам
выдвинуть свою гипотезу, не надеясь, правда, что ее доказательство принесет
кому-либо столь крупную сумму денег. Как известно, Анри Пуанкаре был
очень близок к формулированию теории относительности, но ему не хватило
понимания истинного смысла сделанных им же самим математических
открытий. Другими словами, он не сумел вырастить в своем сознании Научного
Журналиста — существа, умеющего возвыситься над ежедневным трудом
ученого и оценить его результаты в наиболее широкой перспективе и связях с
другими науками. Что же касается Григория Яковлевича Перельмана, то он
просто не мог не читать книг замечательного Научного Журналиста —
«доктора занимательных наук» Якова Исидоровича Перельмана, и прежде всего
трех из них — «Занимательной арифметики», «Занимательной физики» и
«Занимательной механики», — на которых выросло не одно поколение
будущих российских ученых. Научный руководитель молодого Григория Перельмана
академик Александр Данилович Александров просто не допустил бы такого
зияющего пробела в знаниях своего аспиранта. Мысль, что для подлинного
проникновения в геометрию мало одной строгой логики ученого, нужно еще и
живое воображение художника, была ему близка, и именно об этом думал он,
когда работал над предисловием к этой «Геометрической рапсодии».
«Замысловато и любопытно...», — писал он о связи истинной геометрии с истинным
искусством, каковым, без сомнения, является и талантливая популяризация
науки Якова Перельмана, взрастившая Перельмана Григория.
Связь между искусством и наукой, в частности, математикой и в
особенности — геометрией, прослеживается тысячами различных способов. Вот еще
один — в нем вновь видно все то же переплетение интересов и склонностей
сразу нескольких из упомянутых в этой книге математиков, отдавших свое
сердце и ум геометрии.
«ЧТОБЫ ПРЕДСТАВИТЬ ПРИВЫЧНОЕ КРУПНЫМ ПЛАНОМ, НУЖНО УМЕТЬ
ОБЫЧНОЕ СДЕЛАТЬ СТРАННЫМ», — полагал Пит Хейн, голландский
изобретатель и поэт, наш современник.
С настоящим поэтом всегда лучше
согласиться, чем спорить — он складывает
слова в стихи, повинуясь голосу свыше,
который мы называем «Музыкой Сфер». Но
с признанием истинности музыкальных
гипотез геометров спешить не стоит. «Форму
барабана можно определить на слух», —
предположил в 1966 году американский
математик Марк Кац. До того было
известно, что зная спектр звуков, издаваемых
барабаном, можно однозначно узнать его
площадь и периметр. Но вот услышать форму
барабана — это совсем другое дело. И
действительно, позже оказалось, что Кац
ошибался — в 1991 году был найден
контрпример: два барабана разной формы, но с
одинаковым звучанием.
Идея о связи формы тела и его звучания
получила новое, поистине космическое
развитие в 2003 году, когда Жан-Пьер Люми-
нет и его коллеги по ту и по эту стороны Атлантики сообщили, что наша
Вселенная, если смотреть на нее откуда-то извне, более всего похожа на
додекаэдр Пуанкаре. По сути дела, они пришли к столь сенсационному выводу о форме
Вселенной прислушиваясь к мелодии, издаваемой ею. Сразу же после Большого
Взрыва по Вселенной действительно прокатывались акустические волны —
любопытно представить себе такой большой трехмерный барабан. Об этих волнах
можно многое узнать даже сегодня, когда она состарилась на 15 миллиардов
лет, изучая температурные флуктуации реликтового излучения внутри нее, так
как они несут информацию о ее юности, когда ей было всего 300 тысяч лет
отроду. Все это, конечно, поражает воображение, но вовсе не удивительно, что
мысль услышать звуки космического барабана пришла в голову таким людям,
как Жан-Пьер Люминет. Он — соавтор книги «Небесное сокровище: от музыки
сфер к покорению космоса», он — соавтор музыкальных произведений,
относящихся к жанру космической музыки, он — автор многих опубликованных
поэтических работ, и он же — художник, стремящийся графическим путем
выразить свое понимание устройства нашей Вселенной. Одна из его гравюр,
«Большой взрыв» (см. Указатель), соединяющая в себе науку и искусство в их
совместной попытке понять многомерное пространство, удостоилась в журнале «Ней-
чур» похвалы самого Мартина Кемпа*, профессора истории искусства
Оксфордского университета. Комментируя сенсационную статью о форме Вселенной, он
пишет: «Характерная для творчества Люминета литография «Большой Взрыв»
использует лексику перспективы, чтобы вызвать дух пространств, лежащих за
* Одного из тех немногих ученых, кто невзлюбил Маурица Эшера. Он ведет в журнале
рубрику «Искусство и наука» и, проанализировав с точки зрения взаимодействия этих двух типов
интеллектуальной деятельности творчество многих художников, близких его сердцу,
заявил, что к их числу не принадлежит «М.К. Эшер, любимец математиков и изобретательный
создатель мозаик и головоломок, стиль работ которого я считаю тяжелым и эстетически
выхолощенным ».
трехмерным. Там, где Эшер в своих графических работах полагается на
противоречия и колеблющуюся перед глазами неоднозначность, Люминет предлагает
устремленную вперед, всепроницающую и головокружительную алогичность
развивающегося пространства. Извергаясь из Большого Взрыва в верхнем левом
углу, материя организует сама себя в некие структуры в правой части
литографии; беспорядочно разбросанные игральные кости в левой ее части намекают на
необратимую дезорганизацию, возникающую по закону случая».
Удивительно, что профессор Кемп не вспомнил другого художника —
испанца Сальвадора Дали, который, можно сказать, предвосхитил открытие своего
французского коллеги: его «Тайная вечеря» (см. Указатель) изображена в
космическом интерьере Вселенной, и форма его — именно додекаэдрическая.
Работа эта по игре случая находится под одной крышей с коллекцией гравюр
Эшера — в Национальной галерее в Вашингтоне.
«Я НЕ ВЕРЮ, ЧТО ЧЕЛОВЕКУ С РОЖДЕНИЯ ДАЕТСЯ «СЕРДЦЕ
ХУДОЖНИКА» ИЛИ «СЕРДЦЕ УЧЕНОГО». ПРОСТО ВНУТРИ КАЖДОГО ИЗ НАС
ЖИВЕТ ВСЕПОГЛОЩАЮЩЕЕ ЛЮБОПЫТСТВО КАСАТЕЛЬНО НАШЕГО
МИРА. ИМЕННО ОНО И ТОЛКАЕТ НАС ИССЛЕДОВАТЬ ЭТОТ МИР,
ИСПОЛЬЗУЯ РАЗЛИЧНЫЕ ЯЗЫКИ И СПОСОБЫ ВЫРАЖЕНИЯ СВОИХ
МЫСЛЕЙ», — слова эти принадлежат Жан-Пьеру Люминету, французскому
математику, астроному, поэту, композитору и художнику.
Уж если все эти столь разные таланты и устремления переплелись в одном
человеке, стоит ли удивляться великому множеству подобного рода
переплетений в целой науке — геометрии, и внутри самой ее, и между нею и другими
проявлениями ищущей человеческой мысли. Вся эта небольшая книга, по
сути дела, тому иллюстрация. Как и иллюстрации к ней самой, взятые из
альбома художника, сумевшего проникнуться геометрическим видением мира.
И чтобы сделать расставание приятным, взгляните напоследок на гравюры
Эшера «Волшебное зеркало», «Всадники», «Иной мир», «Кубическое
пространство», «Все меньше и меньше», «Вавилонская башня» и «Картинная
галерея». Вы увидите, как зеркальность мира сочетается с проблемой плоского и
пространственного, а мёбиусианские мотивы — с мозаиками, еще раз защемит
сердце при мысли о безграничности нашей расширяющейся — или
сжимающейся? — Вселенной и, быть может, вдруг станет почти ощутимой идея о ее
замкнутости.
И тогда в вас на миг проснется никогда не умирающий Вечный Геометр,
наивно и мудро взирающий на окружающее его со всех сторон движение сфер, и,
прислушиваясь к вавилонскому многоязычию современной науки, вы сумеете
уловить Главные Слова.
Предмет математики
настолько серьезен, что полезно не
упускать случая сделать его немного
занимательным.
Блез ПАСКАЛЬ
ФИНАЛ
Музыка используется как
средство вызывать массовые
эмоции, и поэтому отсутствие
музыкальности считается слегка
дискредитирующим свойством;
с другой стороны, большинство
людей, не боясь общественного
осуждения, готовы сколь
угодно преувеличивать свою
математическую тупость.
Годфри Гарольд ХАРДИ
I
«ДОРОГАЯ ТЕТЯ, СООБЩАЮ ВАМ, ЧТО Я
НАМЕРЕВАЮСЬ ЖЕНИТЬСЯ... НЕ
БОЙТЕСЬ, ОНА НЕ МАТЕМАТИК»,— писал в свое
время знаменитый физик Джеймс Клерк
Максвелл.
II
«ЛЕКЦИИ, КОТОРЫЕ НА САМОМ ДЕЛЕ
УЧАТ, НИКОГДА НЕ МОГУТ БЫТЬ
ПОПУЛЯРНЫМИ; ПОПУЛЯРНЫЕ ЖЕ ЛЕКЦИИ
НЕ МОГУТ ОБЕСПЕЧИТЬ ПОДЛИННОГО
ОБУЧЕНИЯ», — говорил его не менее
прославленный соотечественник Майкл Фарадей.
Ill
Страх перед сухостью, строгостью,
неэмоциональностью математики — а эти качества
приписывают ей до того, как перевернут хоть одну
страницу математической книги, многих
людей лишил радости свободного, ничем не
стесненного полета мысли. А человека, который
мог бы — нет, не лекциями и речами, а самим
фактом своего существования — разрушить
этот стойкий антиматематический
предрассудок, рядом не оказалось... Что ж, не всем ведь
везет, да и не все везения заслуживают.
«...Миссис Сабин после того, как вышла замуж,
выучила математику своего мужа, а она, надо
полагать, не ради этого выходила замуж», —
писал Максвелл своей жене-нематематику
спустя год после свадьбы. Он вел борьбу за ее
душу — за то, чтобы им повезло.
IV
«МАТЕМАТИКА — НАУКА ТОЧНАЯ
ПОТОМУ, ЧТО ОНА НАУКА ТОЩАЯ», — не
отказал себе в парадоксальном высказывании
Георг Вильгельм Фридрих Гегель.
V
«ПРИРОДА ГОВОРИТ ЯЗЫКОМ
МАТЕМАТИКИ; БУКВЫ ЭТОГО ЯЗЫКА — КРУГИ,
ТРЕУГОЛЬНИКИ И ИНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ФИГУРЫ», — это весьма современно
звучащая фраза принадлежит Галилео Галилею.
VI
И в самом деле, математический язык —
предельно точный, четкий способ рассказать о
самых главных, существенных свойствах
природы. Именно потому, что он лишен
всяческих излишеств, язык этот может служить
скелетом мысли, какой бы сложной или
непривычной она ни была.
VII
Хорошо известная фраза Фарадея обычно
вырывается из контекста — не приводится ее
продолжение: «...И все же лекции могут
(вообще говоря) много дать уму». Хотелось бы
добавить «и сердцу», ибо мысли о том, как
устроен окружающий нас мир, не просто
развивают сознание — они делают человека иным
во всех сферах его жизни. Фарадей мог
позволить себе поворчать по поводу несовершенства
методов популяризации науки — сам-то он всю
жизнь вел ее пропаганду: например, по
собственной инициативе в течение нескольких лет
проводил две большие серии так называемых
рождественских чтений для детей: «О
различных силах в природе» и «История свечи».
Истинным гениям науки, сделавшим в ней
гигантские шаги вперед, было ясно, что порой
необходимо потратить силы и время на то,
чтобы рассказать людям о случившихся
переменах таким образом, который дал бы им
возможность понять смысл происходящего в
науке.
«Всякий, кто хоть раз пытался популярно
изложить какое-либо научное положение,
знает, какие огромные трудности стоят на этом
пути. Можно преуспеть в доходчивости, уйдя
от изложения сущности проблемы и
ограничившись лишь смутными намеками на нее, и
таким образом обмануть читателя, внушив ему
иллюзию понимания. Можно, наоборот,
квалифицированно и точно изложить проблему,
но так, что неподготовленный читатель скоро
потеряет мысль автора и лишится
возможности следовать за ней дальше.
Если исключить из сегодняшней
научно-популярной литературы эти две категории, то
останется на удивление мало. Но зато эти
немногие работы поистине неоценимы. Они
решают важнейшую задачу — дать возможность
широким слоям людей в полной мере осознать
движущие силы и результаты научных
исследований. Ибо никак нельзя мириться с тем,
чтобы каждое новое достижение в науке было
известно лишь нескольким ученым в этой
области, даже если им удастся вполне оценить
Чтобы написать иную книгу,
даже самому умному человеку
приходится прибегать к помощи
наемной кареты, т. е. посещать
всевозможных людей и
всевозможные места, бывать в
библиотеках, читать рукописи и т. д.
Себастьен-Рок-Никола
ШАМФОР
его, развить и применить в своей работе.
Ограничить круг посвященных небольшой
группой специалистов — это значит умертвить
философский дух народа, а отсюда прямой путь
к духовной нищете». Слова эти написаны
Альбертом Эйнштейном 10 сентября 1948 года.
Они служат предисловием к книге Линкольна
Барнетта «Вселенная и доктор Эйнштейн», но
могли бы наполнить смыслом любую
страницу любой книги, в которой делается попытка
просто рассказать о сложных вещах.
...Вот вы и близки к тому, чтобы кончить
читать книгу, построенную так же, как и эти
несколько заключающих ее фраз.
ВАРИАЦИИ
Геометрия и сейчас обладает
всеми теми достоинствами, за
которые ее ценили педагоги
прошлых поколений. На свете есть
еще геометрия, которая ждет,
чтобы ее познали и оценили...
Так давайте же вновь
перелистаем Евклида, познакомимся с
некоторыми новыми
результатами. Быть может, мы вновь
сумеем испытать тот же
восторг и трепет, как и при первых
встречах с геометрией.
Гарольд КОКСЕТЕР
Самуэль ГРЕЙТЦЕР
Книга задумана, написана, сдана в издательство, отредактирована,
проиллюстрирована, набрана, отпечатана, появилась в магазинах,
распродана, и только тут наступает новый момент в жизни ее автора.
С мучительной очевидностью предстает перед ним незавершенность
его труда. Запоздалые сожаления терзают его душу: как много
интересного, забавного, а порой и попросту важного и нужного осталось
за бортом. Нет, не сумел он проявить изобретательности,
настойчивости и остроумия, чтобы естественным образом вплести все эти
маленькие прелестные вещицы в ткань повествования, и тем лишил
своего читателя радости лишний раз улыбнуться или задуматься.
Когда книга переиздается, судьба дает автору редчайший шанс
исправить прошлые ошибки. И если он им не воспользуется, то после
винить уже будет некого.
Но включенные в очередное издание этой книги «Вариации» лишь
частично возникли как стремление досказать недосказанное. По
большей части они навеяны событиями, происшедшими уже после того,
как «Геометрическая рапсодия» перекочевала с прилавка книжного
магазина на читательскую полку. Таким образом, хотя в них звучат,
разумеется, все те же геометрические темы, но они дополнены
новыми, современными мотивами.
Беда с восприятием музыки
состоит в том, что людей учат
относиться к ней с уважением,
в то время как надо учить их
любить ее.
Игорь СТРАВИНСКИЙ
ВАРИАЦИЯ ПЕРВАЯ
БУКЕТ ИЗ САДА ГЕОМЕТРИИ
Лучше один раз увидеть,
чем сто раз услышать.
ПОСЛОВИЦА
Нет никакой случайности в том, что одна из лучших в мире книг,
посвященных древнейшей из математических наук, названа именно
так: «Наглядная геометрия». И Давид Гильберт, и Стефан Кон-Фос-
сен, ее авторы, да и любой другой, кто хоть раз задумался о том, чем
же геометрия отличается от своих математических сестер, не могли
не заметить главного: ее прозрачности, ясности, в известном смысле
кинематографичности. Поэтому во исполнение обещания, данного
читателю в «Увертюре», предлагается сценарий небольшого
мультипликационного фильма.
Крохотные «значки» гравюр на полях едва ли позволят даже при
самом развитом воображении увидеть взаимопереходы работ Эшера,
их связь и единство, основанные на единстве геометрии нашего мира, —
в чем, собственно, и состоит замысел сценария. Но ничто не мешает
читателю обратиться к разбросанным по разным страницам книги
иллюстрирующим ее гравюрам М.К. Эшера, воспользовавшись для
этой цели все тем же «Указателем», — так он сможет увидеть
некоторые из «значков» в увеличенном виде и сумеет их внимательно
рассмотреть во всех деталях.
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ РАПСОДИЯ
Одно за другим переплывали идут изображения
предметов, в которых запечатлена гармония нашего мира,
геометрия, лежащая в его основе, — кристаллы,
отражения в воде, капли росы, снежинки, раковины и пр.
— ВСЁ, ЧЕМ БОГАТ МИР, ДОСТУПНО НАШЕМУ
ГЛАЗУ, — слышен голос героя фильма. — А ВСЁ,
ЧТО ВИДИТ ГЛАЗ, РУКА НАША УМЕЕТ СОХРАНИТЬ
НА ВЕКА, НО ВОТ ВОПРОС: А УМЕЕМ ЛИ МЫ
ВИДЕТЬ ВСЮ КРАСОТУ И МУДРОСТЬ МИРА?
Затемнение.
Чередой проходят перед нами фигуры,
претерпевающие всевозможные геометрические превращения: от
плоского — к объемному, от нарисованного — к
«живому». Фигуры эти складываются в мозаику,
заполняют собой пространство*. И вот бегут по экрану
буквы...
Из-за края экрана появляется лупа в старинной
оправе с деревянной ручкой. Рука, держащая лупу,
доводит ее до центра экрана, и над увеличительным
стеклом склоняется лицо человека, правда, нам виден
лишь его глаз.
Этот глаз, напряженно всматривающийся в буквы
на экране, и рука, крепко держащая лупу, несколько
мгновений занимают собою все внимание зрителя.
И лишь затем сквозь линзу проступают титры фильма:
БУКЕТ ИЗ САДА ГЕОМЕТРИИ
Мультипликационный познавательный фильм
Титры кончаются, и мы видим ту же руку, которая
откладывает в сторону лупу и берет зеркальную сферу.
Одновременно рука эта и человек, которому она
принадлежит, отражаются в зеркале шара. Человек сидит
перед столом в кресле и, вертя шар, говорит —
энергично, напористо, продолжая прерванный на полуслове
разговор. Во время его монолога мы видим, как отра-
* Здесь читателю книги, чтобы стать зрителем фильма, надо найти гравюру «Метаморфозы
II».
жаются во вращающемся шаре стены комнаты,
мебель, окна. Но глаза говорящего — таково свойство
зеркальной сферы — все время остаются в центре
кадра, словно гипнотизируя нас. И рука его,
непомерно большая из-за искаженной перспективы, тоже
не выходит из фокуса внимания зрителя.
— ...БОЮСЬ, ЧТО НЕТ. МИР СИЯЕТ ВОКРУГ
НАС ТЫСЯЧАМИ КРАСОК, ОН ГОТОВ РАСКРЫТЬ
НАМ ТЫСЯЧИ ТАЙН. А МЫ СЛЕПЫ. МЫ ВИДИМ
ЛИШЬ МАЛУЮ ДОЛЮ ЭТИХ СОКРОВИЩ. ДА И
ЧЕМУ УДИВЛЯТЬСЯ, ВЕДЬ ЭТО ТОЛЬКО ГОВОРЯТ:
«ВЕНЕЦ ТВОРЕНИЯ, ВЕНЕЦ ТВОРЕНИЯ ...» А
ДАВНО ЛИ МЫ ПЕРЕСТАЛИ БЕГАТЬ НА
ЧЕТВЕРЕНЬКАХ?!
Все так же вертится шар, но его зеркальная
поверхность тускнеет. Проступают земные материки,
синеют океаны. И вся Земля, словно увиденная из
космоса, кажется голубым шаром.
Все ближе Земля, и вот уже перед нами одни лишь
волны.
Мерцает вода древнего моря. Одиноко стоит на
острове голая скала. Лишь удары волн да завывания
ветра — жизнь еще не начиналась на этой планете.
Медленно подымаются к поверхности моря
огромные рыбы. Пучеглазая голова одной из них
высовывается из воды. Опершись на плавники, рыба с
удивлением рассматривает скалу и весь остров. Мы
видим все это как бы ее глазами.
Гремят грозы, ливни низвергаются на море и сушу.
Сотни миллионов лет прессуются в доли секунды —
на Земле идет эволюция.
Перед камерой медленно проходит эволюция
жизни на Земле. Темные рыбы на фоне светлого моря
превращаются в светлых, плывущих в черных
глубинах океана; те, незаметно меняя свою форму,
преобразуются в темных амфибий, которые также
неумолимо переходят в светлых лягушек. Наконец, на
жизненной сцене появляются огромные черные
птицы, которые уступают место белым голубям. Еще
небольшой поворот, и вновь рыбы плывут по морю*.
Вот они выползают на берег острова. Плавники их
становятся лапами, головы вытягиваются. Крокоди-
лообразный зверь смотрит на ту же скалу. Он видит
ее нерезкой, искаженной — что-то между «рыбьим»
видением и нормальной перспективой.
Гравюра «Вербум» — см. Указатель.
Множатся земные твари. Скачет огромный
кузнечик. Он видит скалу вытянутой, как в «комнате
смеха». Проползает гигантский муравей, и, когда нам
приходится взглянуть на тот же пейзаж его
глазами, мы видим еще одно искажение.
Лезут и лезут рыбы на берег острова. Прямо на
глазах их плавники превращаются в перепончатые
лапы неведомых зверей и, постепенно меняясь,
становятся руками нашего общего предка.
Прикрыв глаза рукою от солнца, смотрит на
скалу человекообразное существо.
Сначала оно не умеет «установить фокус», и
знакомая нам картина выглядит нерезкой. Но вот лицо
стало собранным, совсем человеческим, и волосатая
рука, загораживающая глаза от яркого света, тоже
становится обычной рукой.
На берегу моря стоит тот самый человек (им
может быть и живой актер), чье отражение в
зеркальном шаре мы видели в предыдущих кадрах, его
глазами мы видим все тот же пейзаж.
Переплывами меняются горные пейзажи. По
крутым тропинкам поднимается наш герой и ведет свою
беседу столько же с нами, как и с самим собой. Мы
видим, как много дано человеческому глазу, как
открывается ему красота мира, и тем неожиданнее
звучат слова героя фильма:
— ЕСЛИ СМОТРЕТЬ В МАСШТАБЕ ВЕЧНОСТИ,
МЫ ТОЛЬКО ЧТО ВЫЛУПИЛИСЬ ИЗ ЯЙЦА, —
продолжает он свой страстный монолог, — И ЕЩЕ НЕ
НАУЧИЛИСЬ КАК СЛЕДУЕТ ВИДЕТЬ, А УЖ
ИЗОБРАЗИТЬ УВИДЕННОЕ — ТЕМ БОЛЕЕ.
Наш герой появляется на узкой улочке старого
города. Доходит до веревки с бельем,
перегораживающей улицу, останавливается.
— А Я — СТРОИТЕЛЬ, АРХИТЕКТОР, ЗОДЧИЙ —
НАЗОВИТЕ КАК ХОТИТЕ, НО ТОЛЬКО НАУЧИТЕ,
КАК МНЕ НАРИСОВАТЬ НА БУМАГЕ ТО, ЧТО Я
ХОЧУ ПОСТРОИТЬ! КАК, Я ВАС СПРАШИВАЮ?
КАК МНЕ ИЗОБРАЗИТЬ ОБЪЕМНЫЙ
ТРЕХМЕРНЫЙ ДОМ НА ПЛОСКОМ ЛИСТЕ? НУ ВОТ,
ПОЖАЛУЙСТА, НАУЧИТЕ... — говорит он, поднимая с
земли кусочек угля и быстро нанося им на
развешенной простыне четкие линии, изображающие
окружающие его дома.
— Я СТАРАЛСЯ, ВИДИТЕ, СТАРАЛСЯ ИЗО
ВСЕХ СИЛ СДЕЛАТЬ ЭТИ ДОМА ВЫПУКЛЫМИ,
НАСТОЯЩИМИ, А ЧТО ВЫШЛО?! КАК ТУТ СТРО-
ИТЬ, КОГДА НЕ ВИДИШЬ НИ ЛИНИИ СТЕН, НИ
ПОЛА, НИ ПОТОЛКА? — почти кричит Зодчий и в
гневе ударяет по простыне кулаком с задней
стороны, чтобы сделать свой чертеж выпуклым. В центре
его выпячивается балкон одного из домов. Зодчий,
обрадованный, отступает, проводя перед чертежом
рукой, словно призывая его сохраниться навеки.
И тотчас штрихи эскиза превращаются в
законченные линии гравюры. Полощется на ветру простыня с
изображенной на ней городской улочкой. И мы
вместе с Зодчим видим, что она вновь стала плоской, безо
всякого следа выпуклости на месте балкона.
— ВОТ ОНО, ПРОКЛЯТЬЕ МОЕЙ ЖИЗНИ! —
восклицает Зодчий. — Я ДОЛЖЕН УМЕТЬ УВИДЕТЬ
НА РИСУНКЕ ТО, ЧЕГО ТАМ И БЫТЬ НЕ МОЖЕТ:
МНЕ НАДО УЗНАТЬ ОБЪЕМНОЕ НА ПЛОСКОСТИ,
НО ВЕДЬ МОЙ ГЛАЗ К ЭТОМУ ЕЩЕ НЕ УСПЕЛ
ПРИВЫКНУТЬ. ПОЧУВСТВОВАТЬ ШИРЬ И
ГЛУБИНУ — И КАК? — С ПОМОЩЬЮ КАКИХ-ТО
ЦВЕТНЫХ ПЯТЕН, НАНЕСЕННЫХ НА ХОЛСТ!
А ЧТО ЕЩЕ ПРЕДСТАВЛЯЕТ СОБОЙ ЛЮБАЯ
КАРТИНА?
Безнадежно понурив голову, бредет Зодчий по
городским улочкам. И все, на что он ни взглянет,
стремительно приближается и становится как бы
нарисованным на поверхности стекла — реальная сочная
и объемная жизнь превращается в соединение
цветных пятен различной яркости, что, в сущности, и
представляет собой любая картина.
Зодчий бросает взгляд на двух жуков, катящих
шарик, и они сразу же уплощаются на том
мысленном холсте, что живет в воображении Зодчего. Но
вот он берет жука в руку, ощупывает его пальцами,
и на наших глазах скарабей становится объемным.
Так же точно рука рассказывает глазу Зодчего о форме
стрекозы, которую тот ловит, и цветка, который он
срывает. Предметы раскрывают Зодчему свои
размеры и формы: пальцы руки, обегая края их, учат
глаз видеть мир.
И, словно приветствуя прозревший глаз,
наплывают один на другой четкие, рельефные пейзажи.
Их чистая, прозрачная красота служит резким
контрастом сумрачному лицу Зодчего, который идет
навстречу нам по горной дороге.
— А Я ВАМ ВСЕ-ТАКИ ДОКАЖУ, ЧТО ГЛАЗ
НАШ НИЧЕГО НЕ ВИДИТ! — в запальчивости, с
фанатическим упорством твердит он. — ВОТ ТУТ Я
КОЕ-ЧТО ПОСТРОИЛ, СОБРАЛ КОЕ-КАКИЕ
ВЕЩИЧКИ, МИЛОСТИ ПРОШУ, ЗАХОДИТЕ,
БУДЬТЕ КАК ДОМА!
Перед нами два марша лестницы, уходящей вниз.
По ним быстро спускается Зодчий. Мы оказываемся
в подземелье, где бесчисленные колонны держат
полукруглые своды. Стремительно уходит вглубь их
Зодчий, камера мчится вслед за ним среди
расступающихся колонн. Направо, налево, вновь направо —
кажется, колонны кругом. И вдруг узкий коридор,
который перегораживают две оригинального вида
конструкции. Зодчий раздвигает их, и мы видим,
что нижний конец правой колонны и верхний конец
левой — это плоская лента, которая лишь
притворялась объемной*. На ленте надпись: «В
ОГРОМНОМ САДУ ГЕОМЕТРИИ КАЖДЫЙ НАЙДЕТ
БУКЕТ СЕБЕ ПО ВКУСУ. Давид ГИЛЬБЕРТ».
Зодчий распахивает дверь, которую скрывали
колонны, и в лицо нам ударяет солнечный свет.
Вдали — замок, черепичная крыша, башенка,
квадратный дворик. По окаймляющей его сверху лестнице
идут какие-то люди. Камера приближает к нам эту
лестницу, построенную по принципу так называемой
«фигуры Пенроузов», и то невероятное, что на ней
происходит, становится для нас реальностью. Идут
и идут люди по ступеням лестницы — все вверх и
вверх, без конца. И по тем же ступеням
непрерывной чередой движутся вниз другие, и тоже без
конца, по замкнутому кругу**.
— Я ГОВОРИЛ! — торжествует Зодчий. — ВОТ
ОН, ВАШ ПРЕВОСХОДНЫЙ ГЛАЗ, ОН ВИДИТ ТО,
ВО ЧТО ВАШ ЖЕ МОЗГ ОТКАЗЫВАЕТСЯ ВЕРИТЬ!
ЕЩЕ ХОТИТЕ? ПРОШУ! — и он театральным
жестом протягивает руку в другую сторону.
Камера наезжает на мельницу, но мельницу в
высшей степени удивительную. Нескончаемым потоком
падает на колесо вода, которая тут же сама
поднимается вверх, чтобы вновь вращать мельничные
жернова. (Это еще одна модификация той же
удивительной фигуры, которая использована в гравюре
«Водопад».) Вечный двигатель, химера изобретателей,
работает перед нами со всей убедительностью
действующей модели. Камера дает нам полюбоваться этой
неправдоподобной действительностью со всех сторон,
а Зодчий между тем увлекает нас дальше.
* Гравюра «Дорические колонны».
** Гравюра «Поднимаясь и опускаясь».
— А ВОТ САМОЕ УДИВИТЕЛЬНОЕ! — кричит
он, пробегая по дорожке сада между мельницей и
замком. Миг, и мы видим его спускающимся с горы
к воздушному сооружению, бельведеру,
напоминающему беседку. Вначале мы не находим в ней ровным
счетом ничего необычного — просто изящное
архитектурное сооружение.
— НУ НЕУЖЕЛИ НЕ ВИДИТЕ? — глумится над
нами Зодчий. — ЧТО ЖЕ ЭТО ВЫ? ГДЕ ЖЕ ВАШ
ЗОРКИЙ ВЗГЛЯД? БЕСЕДКА-ТО С СЕКРЕТОМ!
И по мановению руки Зодчего все, что внутри
бельведера, окрашивается в сине-зеленый цвет.
Беседка похожа теперь на аквариум причудливой
формы, а ее обитатели — на диковинных жителей воды.
И тут мы замечаем, с помощью укрупнения, что три
пары колонн окрашены странным образом: до
половины в один, «внешний» розовый цвет, а дальше —
в другой, «внутренний» сине-зеленый. Получается,
что необъяснимым образом колонны до середины
бельведера — внутри, а выше середины — снаружи
его!
Повинуясь молчаливому приказу Зодчего,
человек, стоящий внизу приставной лестницы,
окрашенный, как и положено «внутреннему» жителю, в сине-
зеленый цвет, начинает подниматься. И вот он на
наших глазах перекрашивается. Когда же человек
этот оказывается рядом с шутом на середине
лестницы, он уже весь розовый. Но вот они вдвоем
поднимаются выше и становятся «внутренними» — сине-
зелеными.
— МЫ ЖИВЕМ В ТРЕХМЕРНОМ МИРЕ, И ОН
ДИКТУЕТ НАМ СВОИ ЗАКОНЫ, — продолжает
Зодчий. — НИЧТО В ЭТОМ МИРЕ НЕ МОЖЕТ БЫТЬ
ОДНОВРЕМЕННО СПЕРЕДИ И СЗАДИ — ЭТО
ЗНАЕТ КАЖДЫЙ. А Я ВОТ ПОСТРОИЛ ИМЕННО
ТАКУЮ ШТУКУ — НЕЧТО, ЖИВУЩЕЕ В НАШЕМ
МИРЕ, НО НЕ ПОДВЛАСТНОЕ ЕГО ЗАКОНАМ!
Зодчий набрасывает на стене схему бельведера,
так называемый «кубоид», и отчетливо
прорисовывает этот «вывернутый» куб в руках у человека,
сидящего на скамейке рядом с бельведером*.
— Я ВЫВЕРНУЛ РЕБРА ОБЫЧНОГО КУБА,
И ВОТ ВАМ МОДЕЛЬ МОЕЙ БЕСЕДКИ. НИ ОДИН
САМЫЙ ИСКУСНЫЙ СТРОИТЕЛЬ НЕ СМОЖЕТ
Эта фигура уже встречалась нам в этой книге — см. A9).
ПОСТРОИТЬ ЕЕ В НАШЕМ ТРЕХМЕРНОМ МИРЕ,
И ВСЕ-ТАКИ ВЫ ВИДИТЕ ЕЕ! ЭТО ЧУДО ДАРИТ
НАМ НАШ ГЛАЗ ИМЕННО ПОТОМУ, ЧТО ОН
ПЛОХО ЧУВСТВУЕТ НА КАРТИНЕ ОБЪЕМ И ЕГО
ЛЕГКО ЗДЕСЬ ОБМАНУТЬ. ОН ЗНАЕТ О
ПРОСТРАНСТВЕ ЛИШЬ ТО, ЧТО РАССКАЖЕТ РУКА.
ЭТО ОНА ГОВОРИТ ЕМУ: «ТО — БЛИЖЕ, ЭТО —
ДАЛЬШЕ, ТАМ — ВЫПУКЛО, ТУТ —
ВОГНУТО». БЕЗ РУКИ ГЛАЗ НИКОГДА НЕ УЗНАЛ БЫ
О ТОМ, ЧТО ЕСТЬ ПРОСТРАНСТВО, ОБЪЕМ, ОН
ВИДЕЛ БЫ НАШ МИР ПЛОСКИМ,
РАЗДАВЛЕННЫМ...
Зодчий в раздумчивости рисует на полу
человечков с большими руками. Вот они образовали
плоскую мозаику, вот начинают «высовываться» из
плоскости.
— ВЫРВАТЬСЯ ИЗ ПЛОСКОСТИ —
ПОСТОЯННАЯ МЕЧТА ХУДОЖНИКА, — говорит Зодчий, и в
тоне его уже нет прежней горячности: он рассуждает
и сожалеет, а не спорит и убеждает.
Черные пессимисты и белые оптимисты стали
совсем «полнокровными». Идут друг другу навстречу,
пожимают руки, замирают так на мгновение —
живые, объемные, сумевшие выскочить из плоскости.
И, как мираж, начинают таять, отступая при этом
назад, в стену, становясь плоской мозаикой.
— ВСЕ НОВОЕ, НЕОБЫЧНОЕ, О ЧЕМ РУКА ЕЩЕ
НЕ УСПЕЛА РАССКАЗАТЬ ГЛАЗУ, МЫ ВИДИМ
СНАЧАЛА ПЛОСКИМ, — слышим мы голос
Зодчего, — ЭТО...ЭТО КАК ПОВЕРХНОСТЬ ПРУДА, —
продолжает он, подбирая точные сравнения.
Камера отъезжает, и мы сначала видим Зодчего
на берегу пруда, а затем — одно лишь зеркало воды.
— И РЫБА В ГЛУБИНЕ, И ВЕРХУШКИ
ДЕРЕВЬЕВ В ВЫСОТЕ — ВСЕ, КАК И ЛИСТЬЯ,
ОДИНАКОВО ПОКОЯТСЯ НА ЕГО РОВНОМ ЗЕРКАЛЕ, —
заканчивает свое сравнение Зодчий.
Камера наезжает на пруд. Мелькают очертания
рыб, они переходят в силуэты птиц. Птицы летят,
и, следя за самой верхней из них, мы оказываемся в
дворике средневекового города*.
— СМОТРИТЕ! — восклицает Зодчий. — ДАЖЕ
ВЕРХ И НИЗ В НАШЕМ МИРЕ ПОРОЙ
РАЗЛИЧИТЬ НЕЛЕГКО. ГЕОМЕТРИЯ ЕГО НЕПРОСТА. Я,
ЗОДЧИЙ, ЕЖЕЧАСНО ТВОРЮ ЕЕ ИЗ КАМНЯ, ДЕ-
* Гравюра «Вверху и внизу». — Примеч.режиссера.
РЕВА И СВОЕГО ВООБРАЖЕНИЯ, И УЖ КОМУ,
КАК НЕ МНЕ, ЗНАТЬ ЭТО...
Камера сдвигается вниз, и мы видим внизу точно
такой же дворик, для которого то место, где стоит
Зодчий, служит крышей...
— МЫ ВИДИМ ТОЛЬКО ТО, ЧТО ЗНАЕМ.
ОСТАЛЬНОЕ ДОМЫСЛИВАЕМ, УГАДЫВАЕМ,
ПЫТАЕМСЯ СРАВНИТЬ С ЧЕМ-НИБУДЬ ПОХОЖИМ...
В кадре — один и тот же пейзаж: город, река,
мельница, но зеркально отраженные, и вдобавок одно
изображение — позитив, другое — негатив. Когда
глаз свыкается с двумя городами и квадратами
полей между ними, эти квадраты, деформируясь,
переходят в летящих в разные стороны птиц*.
— ЧТО ЭТО — БЕЛЫЕ ПТИЦЫ НА ТЕМНОМ
ФОНЕ ИЛИ ЧЕРНЫЕ — НА СВЕТЛОМ? — говорит
Зодчий, и сам тон его речи изменился, стал
лиричным. — ЗНАТЬ ЭТОГО НЕЛЬЗЯ, НО МОЖНО
ВООБРАЗИТЬ И ПТИЦ, И ОБА ГОРОДА, И ВЕСЬ МИР.
И КОГДА Я ПОНИМАЮ ЭТО, Я ДУМАЮ: ПУСТЬ
ГЛАЗ НАШ НЕСОВЕРШЕНЕН, ПУСТЬ РУКА
НЕМОЩНА, НО ЗАТО НАМ ДАНО НЕЧТО БОЛЬШЕЕ —
ДАР ФАНТАЗИИ.
Круто «пикирует» камера на один из городов. Мы
видим Зодчего на ступеньках какой-то лестницы,
ведущей вверх**. Он поворачивает к нам лицо и
говорит, впервые улыбаясь:
— ВОТ ПОТОМУ МЫ И ВСЕМОГУЩИ!
«ВООБРАЖЕНИЕ ВАЖНЕЕ ЗНАНИЯ», — ГОВОРИЛ
ЭЙНШТЕЙН. И ОН ПРАВ, ТЫСЯЧУ РАЗ ПРАВ, —
продолжает Зодчий. — Я, ПЕСЧИНКА В
МИРОЗДАНИИ, МОГУ СТРОИТЬ МИРЫ, В КОТОРЫЕ НЕ
СТУПАЛА НОГА ЧЕЛОВЕКА. ИХ, МОЖЕТ, И НЕТ
ВОВСЕ, А МОИ РУКИ, МОИ ГЛАЗА СОЗДАЛИ ИХ —
ВОТ ЗДЕСЬ, В МОЕМ САДУ!
Камера отъезжает, чтобы показать нам, как
Зодчий входит в удивительную конструкцию,
состоящую из трех лестниц, расположенных под прямым
углом друг к другу — как координатные оси на
любом пространственном чертеже. Три несовместимых
мира, в каждом сила тяжести направлена в иную
сторону, соединились в этой конструкции. Зодчий
преодолевает марш лестницы, а в это время из сте-
* Гравюра «День и ночь», занимающая весь экран. —
Примеч. оператора.
** Я всегда улыбаюсь, когда рассматриваю гравюру
«Относительность». — Примеч. сценариста.
ны мимо него выходит и движется вверх к потолку
Человек-с-мешком-на-спине.
— В ЭТОМ СТРАННОМ МИРЕ, КОТОРЫЙ Я САМ
ПРИДУМАЛ, ДЕЙСТВУЮТ СРАЗУ ТРИ СИЛЫ
ТЯЖЕСТИ, И ПОТОМУ ЛЮДИ В НЕМ МОГУТ ИДТИ
ПО ОДНОЙ ЛЕСТНИЦЕ, ПО ОДНИМ И ТЕМ ЖЕ
СТУПЕНЯМ, НО ДАЖЕ НЕ ПОДОЗРЕВАТЬ О
СУЩЕСТВОВАНИИ ДРУГ ДРУГА. ВЕДЬ ТО, ЧТО ДЛЯ
ОДНИХ ПОЛ, ДЛЯ ДРУГИХ — ПОТОЛОК, А ДЛЯ
ТРЕТЬИХ — СТЕНА, — продолжает Зодчий
рассказывать нам о своем геометрическом саде.
Камера укрупняет двух человек в верхней части
гравюры, которые проходят друг мимо друга, но так,
что пол для одного служит стеной для другого.
— НОВАЯ ВСЕЛЕННАЯ, РОДИВШАЯСЯ В
МОЕМ ВООБРАЖЕНИИ, ЖИВЕТ ПЕРЕД ВАМИ —
ЗРИМАЯ, РЕАЛЬНАЯ НЕ МЕНЬШЕ, ЧЕМ ВЫ ИЛИ
Я, — продолжает Зодчий и уходит в полукруглую
арку.
— И НАШУ ОБЫЧНУЮ ВСЕЛЕННУЮ СО
ВСЕМИ ЕЕ СЛОЖНОСТЯМИ Я ТОЖЕ ПОСТРОИЛ
ЗДЕСЬ, В СВОЕМ ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ САДУ, —
слышим мы голос Зодчего, удаляющегося от нас по
дорожке сада. Зодчий доходит до глубокого оврага,
почти пропасти, через который переброшены
прямоугольные брусья, соединенные между собой
такими же балками. Он ступает на этот мост, а
камера поднимается в верхнюю точку и постепенно
снижается к Зодчему. «Мост» уже успел обрасти
брусьями, тянущимися во все стороны. Вся пропасть
заполнена кубическими ячейками, которым нет
числа.
— Я ЧАСТО СЛЫШУ, ЧТО УЧЕНЫЕ ГОВОРЯТ:
«НАША ВСЕЛЕННАЯ БЕЗГРАНИЧНА», — слышен
голос Зодчего, — И Я НЕ СПОРЮ, Я ПРОСТО БЕРУ
КАРАНДАШ И РИСУЮ...
Брусья изгибаются, и весь экран становится как
бы ассоциативной иллюстрацией к теме
«Искривленная Вселенная, какой рисует ее теория
относительности».
— Я СЛЫШУ: «ОНА ИСКРИВЛЕНА», НО И ЭТО
ВООБРАЗИТЬ МНЕ ПОД СИЛУ, — продолжает Зодчий.
Брусья распрямляются. Мы выбираемся на
поверхность из царства безграничности и видим
Зодчего, делающего последние шаги по мосту. Вот он уже
и на той стороне оврага, направляется к домику с
колоннами.
— ВОТ С ЗАМКНУТОСТЬЮ НАШЕЙ
ВСЕЛЕННОЙ, О КОТОРОЙ ПРОЖУЖЖАЛИ МНЕ УШИ
ДРУЗЬЯ-ФИЗИКИ, МНЕ ПРИШЛОСЬ ПОТРУДНЕЕ, —
говорит он. — НО И ТУТ Я СПРАВИЛСЯ, КОЕ-ЧТО
НАРИСОВАЛ, ЧТО МНЕ ЛИЧНО МНОГОЕ
ОБЪЯСНИЛО. ГЛАЗ И РУКА ВНОВЬ НЕ ПОДВЕЛИ МЕНЯ.
Зодчий приглашает нас в картинную галерею* —
это она разместилась в этом домике. Мы входим в
арку и движемся влево по коридору, где вывешены и
разложены на стендах в виде работ художника уже
виденные нами кадры фильма и некоторые,
представшие перед нами впервые, которые еще только
предстоит увидеть зрителю.
Вот юноша, рассматривающий картину. Вместе с
ним мы следим взглядом за изгибом реки,
переходящим в набережную, вот дома на ней, один из них
выдвинут на первый план — там в окошке
женщина, которая смотрит вниз, на колонны,
поддерживающие крышу. И вдруг нам становится ясно, что
именно между этими колоннами мы прошли в галерею!
Выходит, юноша видит на картине и то место, где
сама картина эта висит в галерее, и, значит, самого
себя на ней!
— ИНТЕРЕСНЫЙ РИСУНОЧЕК, НЕ
НАХОДИТЕ? — комментирует Зодчий наше путешествие по
этому замкнутому в самом себе миру. —
ПОСЕТИТЕЛЬ МОЕЙ ГАЛЕРЕИ САМ СТАНОВИТСЯ
ПРОИЗВЕДЕНИЕМ ИСКУССТВА. СМОТРИТЕ, ОН
ВИДИТ НА КАРТИНЕ ГОРОД И ТОТ ДОМ, ГДЕ
ВНИЗУ КАК РАЗ И ЕСТЬ ТА САМАЯ ГАЛЕРЕЯ, ГДЕ
ОН СЕЙЧАС СТОИТ И ЛЮБУЕТСЯ МОИМ
РИСУНКОМ! ВЫХОДИТ, ОН ВИДИТ НА ПОЛОТНЕ
САМОГО СЕБЯ И САМ ЯВЛЯЕТСЯ ЧАСТЬЮ
ИЗОБРАЖЕННОГО — МИР МОЕЙ КАРТИНЫ
ЗАМКНУЛСЯ! И ТЕПЕРЬ, КОГДА Я СЛЫШУ, ЧТО НАША
ВСЕЛЕННАЯ ЗАМКНУТА, Я БОЛЬШЕ НЕ
ПУГАЮСЬ, А ВСПОМИНАЮ ВОТ ЭТУ КАРТИНУ...
Картинная галерея очень медленным переплывом
переходит в схему, иллюстрирующую идею
конструкции этой галереи. Схема сделана в размер
гравюры, так что мы видим, как работала мысль
художника, какой геометрический заряд удалось вложить
ему в свой замысел.
Так же медленно зарисовка переходит снова в
эскиз, а тот — в гравюру.
* «Картинная галерея» — именно так называется гравюра
Эшера.
— ДА, НЕМАЛО Я ПОТРУДИЛСЯ, ЧТОБЫ
ПРЕДСТАВИТЬ СЕБЕ ЗАМКНУТОСТЬ... — говорит в это
время Зодчий, — НО ЗАТО Я ТЕПЕРЬ УБЕДИЛСЯ,
ЧТО ГЛАЗ И РУКА МОГУТ СОЗДАТЬ И
ОБЪЯСНИТЬ ВСЕ НА СВЕТЕ, ДАЖЕ БЕСКОНЕЧНОСТЬ
НЕ ПУГАЕТ ИХ...
Мы в это время прошли коридор галереи в
обратном направлении, скользнув взглядом по
развешанным гравюрам, но не вышли из нее, а углубились
мимо выхода вправо. Перед нами — новый кадр.
Камера наезжает и, все убыстряя свое движение,
движется «внутрь» мозаики, состоящей из одних
рептилий. Как волны, разбегаются кольца рептилий:
они5 все уменьшаясь, уводят нас в бесконечность.
Движение наше столь стремительно, что все
сливается в мелькании темных и светлых кругов*.
Затемнение.
ЭПИЛОГ
По темному небу, усеянному точками звезд,
движется лунная тележка.
Проплывают с обеих сторон
«космически-геометрические» тела.
Плавными переплывами каждое из них
переходит последовательно во все более схематичный
рисунок, медленно «тая» на экране.
Как миражи, возникают удивительная мельница
и бельведер, которые мы видели в геометрическом
саду. Соответствующие эскизы, возникая на
мгновение, проясняют нам их «кунштюк».
Но вот перед космической путешественницей
возникает препятствие — три круглые колонны
какого-то неизвестного сооружения, верх его не
помещается на экране. Тележка стремится пройти между
двумя из них, но упирается во что-то твердое — в
фонограмме скрежет и треск. Откатывается назад, и
мы видим верхнюю часть «Невозможной арки» —
самого, быть может, удивительного геометрического
монстра. Тележка пытается пробраться между
двумя прямоугольными колоннами, но тщетно. Крупно
камера показывает телеглаз, анализирующий
обстановку. Тележка, ведомая им, поднимается вверх и
облетает «невозможную арку» B1). И в этом дале-
* Здесь камера движется «внутрь» гравюры «Все меньше и
меньше».
ком, сложном мире, где геометрия столь отлична от
нашей, глаз тоже сумел найти верное решение.
Среди звезд, как след от улетающей вдаль
тележки, появляется полупрозрачная лента. По
переплетению ее колец, изображающих собой головы
девушки и юноши, перекатываются зеркальные сферы,
подчеркивая глубину космоса.
Камера наезжает на глаз юноши.
На месте зрачка появляется всем знакомое лицо
Эйнштейна.
«РАДОСТЬ ВИДЕТЬ И ПОНИМАТЬ — САМЫЙ
ПРЕКРАСНЫЙ ДАР ПРИРОДЫ» — это его слова.
Медленно исчезает лицо ученого.
Титр:
КОНЕЦ
Две последние буквы мерцают, меняются
местами.
Надпись:
«КОНЦА ПОЗНАНЬЮ НЕТ!»
Воображение — это великий дар,
так много содействовавший
развитию человечества.
Карл МАРКС
ВАРИАЦИЯ ВТОРАЯ
«НИ СЪЕСТЬ, НИ ВЫПИТЬ, НИ ПОЦЕЛОВАТЬ»
Обладая литературой более об-
ширной, чем алгебра и
арифметика, вместе взятые, и по крайней
мере столь же обширной, как и
анализ, геометрия в большей
степени, чем любой другой
раздел математики, является
богатейшей сокровищницей
интереснейших, но полузабытых
вещей, которыми спешащее
поколение не имеет времени
насладиться.
Э.Т. БЕЛЛ
Изо всех книг, о которых пойдет речь, пока переведена на русский
язык одна, самая, казалось бы, непереводимая. Почему они стали
предметом нашего внимания, читатели поймут из рассказа о них.
Предваряя его, можно лишь сказать, что эти книги — тоже о
геометрии и красоте мира, описываемой этой наукой. А если более
конкретно, то о связи между геометрией и искусством, между геометрией и
нашим зрительным восприятием, то есть нашим зрением.
* -к -к
Бруно Эрнст. ВОЛШЕБНОЕ ЗЕРКАЛО М.К. ЭШЕРА. — Нью-Йорк, 1976. —
112 с.
Bruno Ernst. THE MAGIC MIRROR OF M.C. ESCHER. — New York: Random
House, 1976. — 112 p.
«Книга Б. Эрнста — научная биография одного из наиболее интересных
графиков XX века, голландца М. Эшера. В последние годы творчество этого
художника возбудило большой интерес со стороны математиков и физиков. В его
графике оказались заложенными глубокие принципы симметрии, которые были
известны лишь кристаллографам. Оказалось, что многие работы Эшера могут быть
проанализированы математическими методами. Так в свое время были и изданы
паркеты Эшера, обсуждавшиеся на Всемирном съезде кристаллографов.
Симметрии Эшера оказались более богатыми, чем симметрии кристаллов.
В ряде работ, описанных в книге Эрнста, реализовались симметрии плоскости
Пуанкаре, модели релятивистского пространства скоростей. Переплетение
искусства графики и математической теории симметрии в той форме, в которой
оно представлено Эшером, — явление уникальное, но еще малоизвестное
нашему читателю.
Симметрия — не единственная отличительная черта графики Эшера.
Вторая, не менее важная черта — это глубокие по своим математическим и
физиологическим корням исследования принципов перспективы. Трехмерное
отображение двумерного чертежа в мозгу человека оказывается очень сложным и
далеко не до конца понятым процессом.
Автор, хорошо зная Эшера, сообщает читателю очень много сведений о ходе
мыслей художника и предоставляет большое собрание тщательно отобранных
примеров, каждый из которых может служить предметом обсуждения и дает
богатый материал для размышлений о разных вопросах, пограничных с теорией
симметрии и физиологией зрения. Книгу поэтому можно сравнить, с одной
стороны, со знаменитой работой Р. Грегори «Разумный глаз», в которой парадоксы
зрения нашли свое место, а с другой стороны, она примыкает к книгам по
занимательной науке, отражая неожиданным образом дух науки XX века.
Доктор физико-математических наук, профессор Я.А. Смородинский».
Книга и в самом деле неожиданна и необычна.
Прежде всего несколько слов о ее авторе. Бруно Эрнст — это псевдоним
Ханса де Рийка, преподавателя математики и физики в Амерсфорте,
небольшом городке провинции Утрехт. Он родился в 1926 году в Роттердаме и 26 лет
своей жизни провел в монастыре, но потом отказался от монашеского сана,
женился и самым активным образом занялся физико-математическим
образованием подрастающего поколения. Он много лет подряд руководил изданием
журналов, родственных нашему «Кванту», — сначала журналом «Пифагор»,
потом — «Архимед». Его перу принадлежит более сотни книг и статей,
посвященных астрономии, фотографии, истории письменности и каллиграфии и даже
графологии (разумеется, он не был специалистом ни в одной из этих областей,
но зато — талантливым популяризатором полученных учеными результатов).
Он много сделал для создания первой в Голландии общественной
астрономической обсерватории, которая теперь превратилась в некое подобие научно-
исследовательского института. Ханс де Рийк награжден Серебряной
Гвоздикой, высшим отличием, которое ежегодно вручается не более чем трем людям
лично принцем Бернардом в знак особых заслуг в развитии культуры страны.
«Неважно, известны ли вам уже изумительные работы М.К. Эшера или же
вы хотите познакомиться с ними впервые, — эта книга написана для вас», —
гласит надпись на суперобложке. Несмотря на ярко выраженное рекламное
звучание, слова эти абсолютно верны. Трудно представить себе читателя,
который останется равнодушным, хотя бы просто перелистывая ее страницы, где
гравюры соседствуют с геометрическими чертежами, объясняющими их
математический смысл или же послужившими источником вдохновения для
художника, где стенные росписи, марки и даже банкноты, созданные Эшером,
перемежаются с бесчисленными эскизами и заготовками, благодаря которым
становится ясно, каким путем шла его мысль.
Ханс де Рийк каждый воскресный день приезжал в Баарн к Маурицу Эше-
ру. Они подолгу разговаривали и вместе, не торопясь работали над книгой, в
которой творчество художника было бы не только понято, но и объяснено.
Эшер не дожил до ее выхода в свет, однако успел прочитать рукопись и
сделать немало замечаний, которые, естественно, были учтены автором. Таким
образом, «Волшебное зеркало М.К. Эшера» весьма авторитетно рассказывает
об истинных мотивах творчества художника. К концу своих дней Эшер
общался всего с несколькими людьми, среди них Ханс де Рийк был, пожалуй, самым
близким ему по духу. (Еще один парадокс в жизни
художника-парадоксалиста: убежденный атеист, Эшер находил много общего между своей философией и
взглядами глубоко верующего бывшего монаха. В то же время Рийк,
проведший большую часть своей сознательной жизни за монастырскими стенами, не
раз поражался поистине аскетическому образу жизни художника, который во
всем довольствовался самым малым и был совершенно безразличным к
богатству, признанию и почестям.) Недаром после смерти Эшера именно к нему
перешли многие вещи покойного, особенно тем ценимые, в том числе
старинный шкаф, на двери которого сохранился монтаж фотографий, очевидно,
дорогих для Эшера: его жены, их сыновей, Эйнштейна, Анны Франк — и
кристаллов, совершенных творений природы, которые он так любил.
Вообще же, хотя математическое начало, несомненно, весьма сильно в
гравюрах Эшера (именно поэтому художественные критики долго не признавали
его), они все-таки изображают не мир формул, а красоту мира.
«Чарльз Сноу отметил поистине странный факт, что искусство XX века так
мало усвоило достижения науки XX века. Это наблюдение дало ему еще одно
доказательство того, что наша цивилизация распалась на две различные
культуры, — писал в одной из журнальных рецензий на только что вышедший
альбом М.К. Эшера известный коллекционер эшеровских гравюр Корнелиус
Ван Шаак Рузвельт, который в 1973 году передал почти все собранные им за
долгие годы работы художника в дар Вашингтонской Национальной галерее
искусств, создавшей центр по изучению творчества художников XX века. —
Так же, как ранее Леонардо да Винчи, Эшер своим особым способом пытается
уменьшить этот разрыв, и в этом, вероятно, главная причина его
популярности не только среди молодых, но также и среди вполне уже зрелых ученых и
инженеров. И когда критик с раздражением заявляет, что он ни во что не
ставит Эшера, ему можно напомнить подпись под одной забавной
карикатурой: «Они все бегут туда! Надо бы и мне поторопиться, поскольку я их лидер».
«Книга Б. Эрнста об известном голландском графике М.К. Эшере
представляет большой интерес не только для математиков и физиков, но и для широ-
кого читателя. Автор книги очень ясно и убедительно комментирует и
разъясняет для неспециалистов иногда довольно сложный смысл и задачи той или
иной гравюры Эшера. Творчество этого художника действительно необычно и
требует таких дополнительных толкований, в отличие от обычных
произведений графиков-пейзажистов или жанристов, не ставящих перед собой никаких
других, сверх общепринятых, изобразительных задач.
Эшер стоит особняком среди своих западноевропейских собратьев. Его
творчество глубоко отлично по своему существу от произведений сюрреалистов, с
которыми, казалось бы, оно имеет некоторое внешнее сходство. Однако
интеллектуальный склад гравюр Эшера коренным образом противоположен
алогичным творениям сюрреалистов. Эшера всегда раздражало полное отсутствие
логики и связи с реальностью в их произведениях, принципиальная
неразрешимость их так называемых «загадок». У Эшера, если загадки зрителю и ставятся,
то только для того, чтобы продемонстрировать логические методы их
разрешения. Он как бы призывает нас восхититься сложностью путей построения
действительной жизни, так как показывает не только конечный результат, но и те
законы, при помощи которых он достигнут. Отсюда бесконечная тщательность
и детальность его гравюр, их глубокая продуманность. Работы Эшера носят
характер исследований, он делает гравюры, чтобы сообщить о своих
открытиях, о своих решениях тех или иных интеллектуальных проблем, связанных с
изображением трехмерного пространства на двумерной плоскости. Он
критически изучает законы классической перспективы и экспериментирует с
неевклидовой геометрией Лобачевского. Эшер занимается изучением структуры
пространства как в реальных пейзажах, так и в математических фигурах, например
кристаллах, а также структурой плоскостей, главным образом при сложных
орнаментальных построениях, и, наконец, отношениями между пространством
и плоскостью в изобразительном искусстве. Любопытны его гравюры,
изображающие на плоскости листа — и при этом очень убедительно — невозможные в
реальном пространстве архитектурные сооружения и другие виды оптических
иллюзий. Гораздо более «странными» кажутся как раз его безукоризненные и
совершенно точные с научной точки зрения фиксации отражений комнаты и его
самого на сферических выпуклых и вогнутых поверхностях.
Очень скромный в личной жизни, никогда не гонявшийся за легким
успехом и популярностью, Эшер тем не менее стал широко известен уже в 1950-х
годах, а в 1955-м французский художник Альбер Флокон восторженно писал о
его «удивительных открытиях, когда оказывается, что такие, казалось бы,
незыблемые понятия, как верх и низ, близкое и далекое, правое и левое, могут
меняться местами. Он показывает совершенно новые отношения между
точками, поверхностями и пространством, между причиной и следствием,
возникающими в его гравюрах, хотя и странными, но, по-видимому, вполне
возможными, мирами». При этом Эшер всегда старается использовать вполне
реальные и конкретные мотивы — птиц, рыб, пресмыкающихся или людей.
На большой ретроспективной выставке Эшера, устроенной к его
семидесятилетию в 1968 году, посещаемость не уступала выставке Рембрандта. Его
гравюры часто служили иллюстрациями для научно-популярных статей и трудов
по математике, физике, кристаллографии. Имя его часто встречалось в
научно-популярных изданиях и в нашей стране.
«Эшера никогда не покидало чувство восхищения перед бесконечной
способностью жизни творить красоту», — пишет Бруно Эрнст. Виртуозное
владение графическими техниками (в том числе гравюрой на дереве, литографией,
меццотинто, линогравюрой) позволило ему создавать не только головоломные
листы сложнейших орнаментальных замыслов, но одновременно творить
такие красивые вещи, как, например, линогравюра «Рябь на воде», где
отражения деревьев перебиваются расходящимися от начинающегося дождя кругами.
Хороши и ранние пейзажи, особенно ночные, итальянских городков и
скалистых гор. Математический аспект все же доминирует у Эшера, что, впрочем, не
умаляет его профессиональных достоинств.
Доктор искусствоведения Е. Некрасова».
Да, это так — математический аспект доминирует в работах Эшера.
«Волшебное зеркало...» рассказывает об этом убедительно и наглядно. Отчетливо
просматривается путь мысли художника, если взглянуть на серию эскизов к
гравюре «Картинная галерея». Точно так же становится ясной и внутренняя
суть эшеровской работы «Рыбы и чешуйки», стоит лишь внимательно изучить
приводимые Бруно Эрнстом чертежи.
Но вот придет ли на ум самостоятельно, без подсказки автора, что
математическая структура «Картинной галереи» представляет собой зеркальное
отражение той «сетки», на которой построены «Рыбы и чешуйки»? И так ли уж
очевидно, что «Дом лестниц» построен с помощью чисто геометрического
преобразования вертикальных и горизонтальных линий на поверхности
цилиндра? И логарифмические спирали, организующие гравюру «Путь жизни II»*,
тоже едва ли сами по себе стали видны неискушенному взгляду, если бы
математик не програнил их своим все на свете обнажающим пером.
Но всего, пожалуй, «математичнее» серьезные игры художника с
бесконечностью и с ее интерпретацией в различных геометрических построениях.
«Творчество знаменитого голландского «математического графика» Маури-
ца Корнелиса Эшера пользуется во всем мире широкой известностью у
любителей искусства и, вероятно, еще в большей степени у любителей науки; за
последние десятилетия этот интерес захватил и нашу страну. (Автор
настоящих строк также откликнулся в свое время на интерес к Эшеру, коснувшись
его творчества в статье «Симметрия и искусство орнамента», помещенной в
сборнике «Ритм, пространство и время в литературе и искусстве», Л., Наука,
1974; однако в этой довольно специальной и общей статье Эшеру возможно
было уделить лишь минимум внимания.) Связь творчества Эшера с наукой —
с математикой, физикой, кристаллографией — является совершенно
бесспорной; ее охотно подчеркивал и сам художник, выпустивший, например,
специально рассчитанный на кристаллографов альбом своих рисунков, призванный
проиллюстрировать все плоские кристаллографические группы: в качестве
наименования отдельных иллюстраций из этого альбома он указал принятые в
кристаллографии обозначения групп симметрии этих рисунков. Характерна
также тесная связь М.К. Эшера с одним из крупнейших современных геомет-
* Еще нагляднее они видны на гравюре «Путь жизни I».
ров, канадцем Гарольдом Скоттом Макдональдом Коксетером. Книги Коксете-
ра, в том числе и переведенные на русский язык, иллюстрировались
гравюрами Эшера, а Коксетер написал статью, сопровождающую один из последних
(и из самых лучших) альбомов Эшера. С другой стороны, некоторые из
эффектных «неевклидовых» гравюр Эшера развивают, как неоднократно указывал
сам художник, темы, заимствованные из «чисто геометрических»
иллюстраций к научным сочинениям Коксетера.
... Последняя глава книги посвящена прямой реализации «неевклидовых»
идей у Эшера, к слову сказать, возникших в его художественном творчестве в
разных вариантах еще до его прямого знакомства с гиперболической
геометрией Лобачевского. Дело в том, что в соответствии с известными идеями
Ф. Клейна различные «геометрии» различаются характеризующими их
группами симметрии, так что различие, скажем, между классической геометрией
Евклида и гиперболической геометрией Лобачевского связано не с разными
свойствами параллельных — второстепенные и малосущественные свойства! —
а исключительно с разным строением групп симметрии пространства или
плоскости. Возможно, что до знакомства с сочинениями Коксетера Эшер и не был
знаком с этими подходами к геометрии, но с его обостренным вниманием к
симметрии он, разумеется, не мог пройти в своем творчестве мимо попыток
модификации «евклидовой симметрии», что и приводило его к разным типам
«неевклидовых» пространств. При этом если в «модели Клейна» и в «модели
Пуанкаре» неевклидовой геометрии Лобачевского роль «абсолюта», то есть
множества «бесконечно удаленных точек», играет окружность или, реже,
прямая, то в конструкциях Эшера «точки схода» («бесконечно удаленные точки»)
могли заполнять границу квадрата или вовсе быть изолированными;
последние варианты эшеровских построений отвечали системам симметрии,
характеризующим, скажем, логарифмическую спираль Я. Вернул л и или так
называемую спираль Корню, играющую столь значительную роль в волновой оптике.
Наконец, последняя часть последней главы книги Бруно Эрнста посвящена
«змеиной теме» у Эшера*, в которой несколько неожиданным образом
сливаются сразу две глубокие математические идеи: учение об узлах, занимающее
столь заметное место в топологии, и та же тема о реализации «бесконечно
удаленных точек» плоскости.
Доктор физико-математических наук, профессор И.М. Яглом».
В книге приводится иллюстрация из работы Г.СМ. Коксетера, в которой
Эшер сразу же увидел новые возможности для своего художнического способа
«игры» с бесконечностью. Так в 1958 году появилась гравюра «Предел на
круге I». Сам художник был недоволен ею: «В этой работе, поскольку она
явилась первой попыткой, видны все недостатки. Не только форма рыб,
развившаяся из некой прямолинейной абстракции в какое-то вымершее существо,
но также и их расположение друг напротив друга оставляют желать лучшего.
Можно проследить три различных ряда рыб, уменьшающихся в размерах по
направлению осей, вдоль которых расположены их тела, но ряды эти состоят
из белых рыб, соприкасающихся головами, и черных, смыкающихся
хвостами. Таким образом, нет непрерывности, нет «транспортного потока», нет
единства цвета в каждом из рядов».
За этой гравюрой последовала другая, менее известная, «Предел на круге
II». По поводу ее Эшер в разговоре с де Рийком говорил в своей обычной
манере, когда шутку невозможно отличить от вполне серьезных слов: «На
самом деле этот вариант надо бы написать на внутренней поверхности
полусферы. Я предложил его папе Павлу, чтобы он распорядился украсить таким
образом внутреннюю часть купола собора святого Петра. Представьте себе
бесконечное число крестов, висящих у вас над головой! Но папе идея не
понравилась».
Автор «Волшебного зеркала М.К. Эшера» раскрывает «технологию»
создания многих удивительных гравюр художника, воспроизводя в своей книге
многочисленные эскизы, чертежи, а порой и специально сделанные макеты и
фотографии. Вот как, например, рассказывает он о замысле гравюры «Три
сферы I» и его исполнении:
«Верхняя часть гравюры состоит из большого числа эллипсов, или, если
хотите, большого числа маленьких прямоугольников, расположенных по
эллиптическим кривым. Но практически невозможно избавиться от ощущения,
что мы видим перед собой сферу. Эшер, однако, стремится внушить нам, что
никаких сфер на его гравюре вовсе нет, что она абсолютно плоская. Поэтому
^Имеется в виду последняя из созданных художником гравюр, названная им «Змеи», и
эскизы к ней. — К. Л.
он сгибает верхнюю часть гравюры и перерисовывает получившуюся фигуру
под так называемой сферой. И все-таки мы вновь не в силах отказаться от
трехмерной интерпретации изображенного: теперь мы видим полусферу с «крыш-
кой» наверху! Хорошо же, говорит Эшер, теперь я рисую верхнюю фигуру еще
раз уже совершенно плоской, лежащей внизу гравюры. И что же! Даже тут мы
отказываемся признать, что она плоская, и видим овальный надутый шар, а
отнюдь не плоскую поверхность с нарисованными на ней кривыми линиями.
Фотография иллюстрирует то, что сделано Эшером».
Эта фотография иллюстрирует собой и тезис, неоднократно выдвигавшийся
самим художником: «Рисовать — значит обманывать». Смысл, который он
вкладывал в эти слова, состоит в том, что всякое изображение заставляет
человека принимать воображаемое за реальность.
И в заключение, чтобы не оставить без ответа естественный вопрос о том,
какой смысл вложил Бруно Эрнст в название своей книги, цитата из нее,
относящаяся к гравюре художника, подарившей книге — имя, а ее автору —
вдохновение:
«Эшер в самом прямом смысле слова вызывает в сознании некие образы.
Он держит перед собой волшебное зеркало, чары которого неотразимы. Здесь
Эшер несравненный, уникальный мастер. Гравюра «Волшебное зеркало»
иллюстрирует это свойство его таланта особенно рельефно. С точки зрения
чисто художественной, она, возможно, и не является удачной. Она предстает
перед нами в виде запутанного клубка идей и образов. Конечно, на ней что-
то происходит, но это «что-то» совершенно непонятно. Очевидно, гравюра
содержит в себе некий рассказ о каких-то событиях, но начало и конец его
скрыты от взора.
Все начинается на ней в самом неприметном месте. На краю зеркала,
ближайшем к зрителю, прямо под наклонной перекладиной, мы видим кончик
маленького крылышка вместе с его отражением. По мере того как взгляд наш
скользит вдоль зеркала, оба они вырастают во вполне законченную крылатую
собаку и ее зеркальный образ. Коль скоро мы позволили уверить себя, что в
принципе возможна жизнь кончиков крыльев независимо от самих крыльев
какого-то живого существа, мы должны согласиться и с тем, что вся ситуация
в целом не лишена правдоподобия. Когда настоящая собака движется от
зеркала вправо, ее отражение уходит влево и выглядит при этом настолько
реальным, что у нас не вызывает ровно никакого удивления тот факт, что
отражение это движется за зеркалом, совершенно не обращая внимания на его раму.
Теперь уже крылатые гончие смещаются вправо и влево, дважды удваиваясь
на своем пути, и наконец встречаются друг с другом как две армии. Однако
прежде чем наступает конфронтация, они вдруг теряют свои
пространственные свойства и превращаются в плоский узор на мозаичном полу. Если
внимательно всмотреться, то видно, что черные собаки превращаются в белых в тот
миг, когда они проходят сквозь зеркало, при этом как раз заполняются
светлые промежутки между черными собаками. Эти белые промежутки затем
исчезают, и скоро от собак не остается никаких следов. Впрочем, они ведь никогда
и не существовали, поскольку крылатые собаки не рождаются в зеркалах!
И тем не менее загадка остается загадкой: перед зеркалом расположена сфера,
а в зеркале видна часть ее отражения, отклоненная на некоторый угол. За
зеркалом же мы вновь видим сферу — вполне реальный объект в самой
середине нереального зазеркального мира.
Кто этот человек, кто обладает волшебным зеркалом? Почему он создает
гравюры вроде той, что сейчас перед нами, явным образом не обращая никакого
внимания на вопросы эстетики?..»
Дорис Шатшнейдер и Уоллес Уолкер. М.К. ЭШЕР. КАЛЕЙДОЦИКЛЫ. —
Нью-Йорк, 1977. — 48 с.
Doris Schatschneider and Wallace Wolker. M.C. Escher. Kaleidocycles. — New
York: Ballantine Books, 1977. — 48 p.
И книга, и альбом, который составляет с ней одно законченное целое,
построены, в сущности, на одной счастливой находке.
Но сначала несколько слов об истории, про которую в книге ничего не
сказано. В ведущем американском научно-популярном журнале «Сайентифик
Америкэн» была напечатана статья Марианны Таубер, специалиста по
истории искусства: «Источники неоднозначности в гравюрах М.К. Эшера». Вокруг
нее неожиданно разгорелась полемика.
Смысл статьи сводился к тому, что Эшер будто бы творил под сильным
воздействием работ психологов, особенно тех из них, кто принадлежал к так
называемой школе гештальтпсихологии, считавших, что человек мыслит лишь
образами, воспринимая мир сразу всем своим существом, во всяком случае —
всем своим мозгом. Марианна Таубер с не совсем понятной для ученого
категоричностью утверждала, что Эшер был знаком с работой Курта Коффки
«Принципы гештальтпсихологии», что ему известны были труды Эдгара Рубина и
других психологов. Тон статьи был таким, будто речь идет не о гипотезе,
нуждающейся в проверке, а о безусловных фактах.
В редакцию «Сайентифик Америкэн» пришло письмо от сына художника
Джорджа Эшера, по профессии геолога и кристаллографа, в котором он самым
решительным образом возражает Марианне Таубер. Работы гештальтпсихоло-
гов не оказали практически никакого влияния на его отца просто потому, что
он их никогда не читал. Это доказывается, в частности, тем, что М.К. Эшер
вел очень подробные записи, касающиеся всех его занятий, и там отмечались
все источники, из которых он черпал свое вдохновение, однако ни слова в этих
многолетних и тщательно составленных бумагах не сказано о трудах хотя бы
одного из психологов. Образ человека, возникающий по прочтении статьи
Таубер, ничем не напомнил Джорджу Эшеру его отца — ищущего,
трудолюбивого, фанатически увлеченного своим делом художника, который никогда не
искал готовых схем для своих гравюр в научных и технических журналах.
Что же касается его постоянного интереса к проблеме «фигура-фон»,
которой действительно много занимались гештальтпсихологи, а также почти
болезненного стремления заполнять плоскость листа различными фигурами
вплотную, без зазоров примыкающими друг к другу, что само по себе тоже
имеет некоторое касательство к обсуждавшимся гештальтпсихологами
вопросам, то в одном из писем Джордж Эшер рассказывает о любопытном эпизоде.
Однажды его отец, будучи уже известным художником, ехал в трамвае, и
вдруг солидная дама окликнула его: «Маук Эшер?» Это было его школьным
именем, и, естественно, начались воспоминания двух уже немолодых
одноклассников. И первое, чем поинтересовалась дама, было — не изменилась ли
его детская привычка тщательно подбирать кусочки сыра и колбасы, прежде
чем положить их на хлеб, чтобы бутерброд получился с безукоризненным
«покрытием»? Оказалось, что хотя бы в этом отношении Маук совершенно
не изменился.
Вот эту самую «безнадежную манию», как сам Эшер называл свое
пристрастие к сочинению всякого рода мозаик, и использовали авторы книги-альбома.
Они поместили эти бесчисленные плоды его воображения и мастерства на грани
своего рода пространственных колец — калейдоциклов, создав тем самым
удивительные по красоте и необычности геометрические построения — «развитие
работ Эшера в третьем измерении», как сами они называют свое изобретение.
Калейдоцикл — кольцо, собранное из соединенных друг с другом вдоль своих
ребер тетраэдров. Оно способно к самым неожиданным превращениям, когда
звенья этого кольца, вращаясь, проходят через его центр. И совсем уж
редкостный эффект возникает, когда грани тетраэдров несут на себе одну из эшеровских
мозаик, о чем свидетельствует множество моделей, которые может построить
своими руками всякий, у кого есть книга-альбом «М.К. Эшер. Калейдоциклы».
Разумеется, авторы ее никак не могли пройти мимо героев «Геометрической
рапсодии» — Платоновых тел. «Великолепная пятерка» волновала и Эшера.
В числе самоделок, предлагаемых читателю, додекаэдр, построенный
художником, вращая который в любом направлении, мы постоянно видим
чередование морских звезд и ракушек. Есть там и куб, и икосаэдр, и октаэдр и
некоторые из полуправильных многоугольников, каждый из которых украшен
мозаикой. Но самое, быть может, сильное впечатление производит фотография
наиболее совершенного из всех геометрических тел — сферы, по поверхности
которой знаменитый японский резчик по слоновой кости Масаточи разместил
мозаику из рыб. Идея создать этот шедевр принадлежала Корне л иу су
Рузвельту, который коллекционировал не только работы Эшера, но и японские нецке —
миниатюрные изделия из кости или камня.
Читатель книги-альбома познакомится и со многими важными понятиями
кристаллографической симметрии, и с проблемой раскраски карт, и с другими
любопытными вещами. Но все это будет полезным приложением к долгим
часам наслаждения, когда он, с ножницами и клеем в руках, готовит
поразительные в своем разнообразии и изяществе калейдоциклы.
"к "к "к
Дуглас Р. Хофштадтер. ГЁДЕЛЬ, ЭШЕР, БАХ: НЕСКОНЧАЕМАЯ
ЗОЛОТАЯ ЦЕПЬ. — Нью-Йорк, 1979. — 777 с.
Douglas R. Hofstadter. GODEL, ESCHER, BACH: AN ETERNAL GOLDEN
BRAID. — New York: Basic Books, Inc., Publishers, 1979. —- 777 p.
Из всех пяти попавших в поле нашего внимания книг, раскрывающих
возможности искусства в выражении геометрических идей, эта самая объемная и,
пожалуй, самая глубокая и интересная.
Дуглас Хофштадтер, молодой инженер-компьютерщик, сын Нобелевского
лауреата Роберта Хофштадтера, получил весьма разностороннее, в том числе
языковое и музыкальное, образование. Наверное, именно поэтому он сумел
подметить еще одну «тонкую, властительную связь» — между знаменитой
теоремой Курта Гёделя, музыкой Иоганна Себастьяна Баха и гравюрами Мау-
рица Корнелиса Эшера.
Что касается связи между музыкой Баха и творениями Эшера, то она,
видимо, лежит в глубинах их творчества. И хотя можно строить лишь
предположения о том, что сказал бы Бах по поводу работ Эшера, если бы они ему были
показаны, с достоверностью известно, что любимым композитором Эшера был
именно Бах. «Он любил музыку, — вспоминает многолетний друг и
финансовый советчик Эшера Ян Вермеулен. — Если где-либо случался концерт Баха,
мы часто отправлялись туда вдвоем с ним. К Баху у него было особое
влечение. Он анализировал математическую сторону его композиций так же
скрупулезно, как изучал форму птицы или оптические свойства призмы. Гравюры
Эшера вдохновили голландского композитора Юриана Андриссена написать
произведение, которое сам Эшер весьма ценил».
Эшер, однако, не просто любил музыку. Как в литературе его вкусы
определились довольно рано и оставались неизменными (он любил Достоевского,
особенно «Преступление и наказание» и «Идиота», а «Война и мир»
Л.Н. Толстого была книгой, с которой он не расставался до последнего часа),
так и в музыке он принимал лишь ту ее часть, что не слишком справедливо
называется иногда «серьезной». Его неприятие суперсовременных ритмов было
столь велико, что Эшер в самой решительной и даже резкой форме отказал
Мику Джаггеру, одному из популярнейших певцов невероятно популярной
группы «Роллинг стоунз» и в то же время горячему почитателю таланта
Эшера, в разрешении поместить одну из своих гравюр (а именно гравюру «Вер-
бум», о которой Нобелевский лауреат Мелвин Кельвин сказал: «В ней в
художественной форме представлены те проблемы, о которых я думал, — сущность
эволюции и жизни на земле») на конверте с новой долгоиграющей пластинкой.
Впрочем, другие поп-группы оказались менее щепетильными и широко
использовали различные работы Эшера для рекламы своих дисков,
эксплуатируя любовь молодежи к его загадочным и в то же время прекрасным гравюрам
и при этом не спрашивая согласия художника.
Дуглас Хофштадтер выбрал лишь одно из произведений Баха —
«Музыкальное приношение», а из него — всего один из десяти канонов, который он
называет «Бесконечно Поднимающимся Каноном» (вместо простого и
скромного баховского «Canon per Tonos» — «Тональный канон»). Канон этот
«устроен» таким необычайным образом, что слушателю представляется, будто
мелодия поднимается все выше и выше, уходит в бесконечность, и вдруг, когда
пройдено шесть витков этой уходящей в небо спирали, оказывается, что канон
звучит точно так же, как и вначале (у Баха, правда, на октаву выше, но в
книге предлагается способ исправить это «упущение» великого композитора).
Для явлений подобного рода Хофштадтер придумал специальный термин
«странные петли». Феномен «странной петли» состоит в том, что, поднимаясь
вверх (или опускаясь вниз) по уровням некой иерархической системы, мы
неожиданно обнаруживаем себя на том же месте, откуда начали свой путь.
«Странные петли» существуют в «спутанных иерархиях» (это снова термин,
придуманный автором книги) — например, в науковедении, поскольку тут
наука изучает свои собственные закономерности, или же в созданных
правительственными органами институтах, занятых изучением деятельности
правительства, или же в попытках человеческого мозга познать свою собственную
структуру.
И здесь естественным и логичным путем перекидывается мостик к гравюрам
Эшера и его видению мира:
«На мой взгляд, самым прекрасным и мощным зрительным выражением
идеи «странной петли» является творчество голландского графика М.К.
Эшера. Его работы стимулируют деятельность интеллекта в большей степени, чем
любые другие из когда-либо созданных художниками. Многие из его гравюр
основаны на парадоксах, иллюзиях или неоднозначности. Математики были
первыми среди почитателей его таланта, и это понятно, поскольку гравюры
его часто несут в себе понятия математического толка — например,
симметрии... Но в его работах всегда присутствует нечто большее, чем, скажем,
просто симметрия. Они представляют собой скрытую идею, реализованную в
художественной форме. Среди других идея «странной петли» — одна из самых
частых в его творчестве. Взгляните, к примеру, на гравюру «Водопад» и
сравните ее шестизвенную бесконечно падающую петлю с шестизвенной бесконечно
восходящей петлей «Canon per Tonos». Совпадение знаменательное. По сути
дела, Бах и Эшер исполняют одну и ту же тему в двух разных «ключах» —
музыкальном и графическом.
Эшер реализовал идею «странной петли» несколькими различными
способами, их можно выстроить по степени «затянутости» петли. В гравюре
«Поднимаясь и опускаясь», на которой изображены монахи, навечно обреченные
тащиться по нескончаемым ступеням, дана самая свободная из петель,
поскольку здесь требуется совершить большое число шагов, прежде чем будет
достигнута начальная точка пути. Петля «Водопада» более узкая, так как
она, как уже отмечалось, состоит всего из шести звеньев-шагов... Затягивая
петлю дальше, мы получаем знаменитую работу «Рисующие руки», на которой
каждая рука рисует другую, — это петля из двух звеньев. И, наконец, самая
узкая из возможных петель реализована в гравюре «Картинная галерея»,
которая представляет собой картину, включающую в себя самою себя...
Неразрывно с понятием «странной петли» понятие бесконечности, ибо что
еще представляет собой петля, как не бесконечный процесс, изображенный в
конечном виде? Идея бесконечности играет большую роль во многих работах
Эшера. Вариации одной и той же темы часто включены одна в другую, образуя
таким путем изобразительную аналогию канонам Баха. К примеру, это легко
можно увидеть на знаменитой гравюре «Метаморфозы». Она в известной мере
напоминает «Бесконечно Поднимающийся Канон»: путешествуя по ней все
дальше и дальше, оказываешься вдруг в самом начале».
Дуглас Хофштадтер не просто подмечает аналогию, но и использует ее для
разрешения некоторых парадоксов познания. Он, в частности, приводит в
своей книге диаграмму, схематически иллюстрирующую «спутанность»
иерархий в системе «Рисующие руки». Тут нет обычных легкоразличимых уровней
«рисующая» и «рисуемая» рука. Парадокс разрешается благодаря тому, что
находится следующий, невидимый уровень, находящийся в ином по
отношению к гравюре измерении: это сам Мауриц Корнелис Эшер, ее создатель,
который является «рисующим» по отношению и к правой и к левой руке, да и ко
всей гравюре в целом. Ситуацию можно еще дополнительно «эшеризировать»,
как предлагает автор книги: стоит лишь сфотографировать руку человека,
рисующего гравюру «Рисующие руки».
Разговор о парадоксах подвел нас вплотную к смыслу аналогии между
трудами Гёделя — логика и Эшера — художника. Однако этот путь увел бы нас
слишком далеко от нашей геометрической темы, хотя, правда, пройдя его, мы
сумели бы вновь вернуться к начальной точке, совершив еще одну «странную
петлю». Поэтому, сознательно игнорируя серьезный разговор о теореме
Гёделя, позволим себе лишь высказать предположение, что и параллель «Гёдель —
Эшер» тоже вполне обоснована некими глубинными структурами сознания и
того и другого.
Ведь в чем суть гёделевской «теоремы о неполноте»? Она утверждает, что
система не может понять свое собственное устройство, если не поднимется на
следующий уровень (это одно из возможных толкований). В чем здесь главное?
В парадоксе. Сродни знаменитому высказыванию критянина Эпименида «Все
критяне лжецы», про которое нельзя сказать, истинно оно или ложно. Так
вот, именно парадоксами столь богата жизнь самого Эшера, а не только его
гравюры. В самом деле, в школе он не успевал по математике, оставался даже
на второй год — и именно математики находят в его гравюрах глубокий смысл
и источник вдохновения. До сорока лет он беспрерывно путешествовал, а
потом практически не покидал своего дома в Баарне до самой смерти. Он рисовал
левой рукой, а писал правой. Всю жизнь был убежденным атеистом и не раз
позволял себе антиклерикальные высказывания (даже знаменитая гравюра
«Поднимаясь и опускаясь» таит в себе плохо скрытое издевательство,
поскольку «монашеский труд» по-голландски означает пустую, бессмысленную
работу), но ближайшим другом его был бывший «брат Эрик» — монах-расстрига
Ханс де Рийк. Можно ли удивляться, что такого человека тянуло к
парадоксам и в искусстве? А если так, то незачем искать иные причины того, почему
творчество его оказалось сродни глубоким и парадоксальным идеям Гёделя —
идеям истинно философского звучания.
...И здесь, заключая рассказ о книге «Гёдель, Эшер, Бах: нескончаемая
золотая цепь», хочется сказать несколько слов о связи между математикой и
философией, потому что, быть может, именно углубленность в философию,
особенно в тонкости дзен-буддизма, позволили математику Дугласу Хофштад-
теру обнаружить не лежащую на поверхности близость образов, созданных
средствами музыки и графики, математическим идеям.
Математика и философия многие века шли рука об руку, более того, они
были, в сущности, нерасторжимы: философы считали себя математиками,
математики рассуждали как философы. Но и разойдясь, они не утратили
«взаимности»: философы по-прежнему находили в математических
абстракциях опору для своих выводов, а математики, как и раньше, нередко по
самым разным поводам обращались к философии. В наше время связь эта
приобрела особое значение. Приложимость законов математики к
физическому миру многих сбила с толку. Многие исследователи стали задаваться
вопросом: а не был ли прав Платон в своем объективном идеализме? В самом
деле: умозрительно разрабатывается некий математический аппарат, а затем
вдруг оказывается, что физическая реальность подчиняется его выводам и
законам!
Легендарная надпись на вратах Академии, основанной Платоном почти две
с половиной тысячи лет назад, гласила: «Негеометр да не войдет!» Казалось
бы, какое право было у Платона на такие слова: что уж такого существенного
сам он сделал для геометрии?
Но дело вовсе не в том, что Платон дал геометрии, а в том, что геометрия
дала Платону, чем была она для его учения, послужившего основой
философской системы объективного идеализма. Чтобы воочию увидеть зарождение и
обоснование темы, отраженной в надвратной надписи, стоит лишь прочитать
платоновский диалог «Менон». Ключевая сцена его — доказательство того,
что знание возникает в нас в результате не научения, а припоминания. Из
этого следует центральный пункт платонизма: существует мир идей, находясь
в котором до своего воплощения, душа приобрела свои знания. К этому
основному выводу своего диалога Платон подводит с помощью геометрического
доказательства. Он демонстрирует, что знания о геометрических фигурах не
приобретаются, а имеются в человеке в готовом виде, и их нужно только умело
извлечь.
Таким образом, первоначальной Платоновой идеей была математическая
идея. Поэтому нет резона удивляться надвратной надписи. Не знающий
геометрии не поймет, что такое геометрическая идея, а значит, для него
останется пустым звуком и понятие идеи вообще.
Логика рассуждений Платона была простой и понятной. Обычные
нематематические понятия — это как бы тени, отголоски реальных предметов,
воспринимаемых нашими органами чувств. Идея сосны в нашем сознании гораздо
бледнее, расплывчатее, прозрачнее, чем живой образ сосны, которую мы
непосредственно созерцаем. Поэтому, если ограничиваться только такими
идеями, то каждому ясно, что они «привязаны» к вещам, зависят от них и, не будь
вещей, не было бы соответствующих идей.
Но возьмем понятие треугольника. Математический треугольник в
некотором смысле обладает более четкими свойствами, чем любой конкретный
треугольник, сделанный из дерева, металла и т. п. Скажем, сумма углов
математического треугольника всегда точно равна 180 градусам, чего нельзя
сказать про вещественный треугольник, даже про тот, который мы с помо-
щью карандаша и линейки сверхаккуратно нарисуем на бумаге. И в первую
очередь потому, что мы не в состоянии с идеальной точностью измерить
углы такого треугольника — этого нам не позволит ни сам объект
измерения, ни приборы и способы измерений, имеющиеся в нашем распоряжении.
Отсюда и можно сделать умозрительное заключение об изначальной задан-
ности геометрических величин и фигур, то есть прийти к выводу о
«примате» математического треугольника над материальными, которые лишь
стремятся достигнуть свойств первого, но из-за сопротивления материи не
могут сделать этого.
Платон обладал свойственной всем великим мыслителям жаждой
цельности и последовательности, а поэтому, признав «самостоятельность
жизни» математических идей, он распространил это признание на все идеи
вообще.
Конечно, математика времен Платона и современная математика
отличаются друг от друга, но только в том смысле, что они — ступени, одна ниже,
другая выше, одного и того же процесса познания действительности путем
все большего отвлечения от конкретного содержания реальных объектов. Но
как бы ни меняла свой лик эта древнейшая из наук, на какую бы высоту
абстрагирования она ни поднималась, своими корнями она всегда была
связана с познающей и преобразующей деятельностью Человека. И в этом
видится смысл слов, которыми Дуглас Хофштадтер заканчивает предпоследнюю
главу своей книги: « ...Вот почему в моей книге идеи, касающиеся работ
Гёделя, Эшера и Баха, выстроены в единую линию и соединены в
нескончаемую золотую цепь».
И такой же нескончаемой золотой цепью предстает перед нами старая
мудрая наука геометрия...
Книга «Гёдель, Эшер, Бах» имеет подзаголовок «Метафорическая фуга о
разуме и машинах в духе Льюиса Кэрролла». Из-за этого «духа» ее, казалось
бы, почти невозможно перевести на какой-либо иной язык — во всяком
случае, сделать это еще сложнее, чем перевести «Алису в стране чудес». И, тем
не менее, в 2001 году в Самаре, в издательском доме «Бахрах-М» вышел
объемистый том в 700 с лишним страниц в переводе Марины Эскиной.
Историю этого литературного подвига излагает автор книги в «Праздничном
предисловии к русскому изданию». Оно само по себе — прелестная новелла
совершенно в духе Льюиса Кэрролла и самого Дугласа Хофштадтера, в
которой переплетено личное и научное, бытовое и философское, даже смешное и
трагическое. Няня, приглашенная в дом Хофштадтеров, чтобы смотреть за
двумя их детьми, случайным образом оказалась аспиранткой кафедры
лингвистики Индианского университета. Марина была родом из России. Она
давно прочла «Гёделя, Эшера, Баха», но не подозревала, что работает «бэйби-
ситтером» у ее автора.
Это лишь начало истории, но теперь, когда книга стала доступна
русскоязычным читателям, было бы нечестно лишать их удовольствия прочесть ее
самим.
-к -к -к
М.К. ЭШЕР. ИСКУССТВО И НАУКА / Под ред. Г.СМ. Коксетера,
М. Эммера, Р. Пенроуза и М.Л. Таубер. — Норт-Холланд, Амстердам, Нью-
Йорк, Оксфорд, Токио, 1986. — 402 с.
М.С. ESCHER. ART AND SCIENCE/ Ed. by H.S.M. Coxeter, M. Emmer,
R. Penrose and M.L. Tauber. — North Holland, Amsterdam, New York, Oxford,
Tokyo, 1986. — 402 p.
Эта книга — сборник статей, а точнее, докладов, сделанных участниками
Международного конгресса по изучению творчества Эшера, который проходил
в Риме с 26 по 28 марта 1985 года и собрал более 300 ученых из разных стран.
Среди них были математики, физики, кристаллографы, химики, биологи,
психологи, психиатры, историки науки и специалисты в области
компьютерной графики и методов зрительного представления информации. Многие из
этих людей уже знакомы читателям «Геометрической рапсодии», в частности,
трое из редакторов сборника. Четвертое же, новое имя — профессора Мишеля
Эммера — здесь ключевое: именно ему была поручена организация конгресса,
в которую он втянул и свою жену Валерию, и сыновей Маттео и Томмазо, и,
разумеется, своих студентов. Сам конгресс проходил в Римском университете
«Ля Сапиенца», что, естественно, означает «Разум». Столь же естественно
встреча исследователей творчества Эшера сопровождалась выставкой его
работ, которую почтила своим присутствием королева Нидерландов Беатрикс,
решившая таким образом поддержать проводимую Голландским институтом
Рима акцию.
«Оживленная дискуссия, которая следовала за каждым докладом участников
конгресса, подтвердила, что работы Эшера не только являют собой прекрасный
пример визуализации научных проблем, но и служат действенным стимулом
для развития истинно научных исследований», — против этих заключительных
слов краткого введения к книге возразить нечего. Листая эту объемистую книгу,
видишь, что большинство затронутых в ней тем только поставлены. Здесь не
место (а может быть, и не время — надо же что-то сохранить и для грядущих
переизданий «Геометрической рапсодии»!) входить в тонкости математических,
физических и прочих проблем, связанных с миром Эшера. Но об одном
умолчать не могу: не один и не два из выступивших на конгрессе ученых отмечали,
что Эшер сумел предвосхитить кое-что из того, к чему сегодняшняя наука
только подбирается.
«Хотя Эшер не был математиком в профессиональном смысле этого слова,
изучая возможные способы покрытия плоскости различными фигурами, он
предвосхитил некоторые направления исследований, которые впоследствии
развились в математические теории, — говорил в Риме профессор Бранко Брюнбаум
из университета Вашингтона американского города Сиэтл. — Более того,
несколько его работ ведут к задачам теории разбиения, к решению которых мы
приступили только сейчас и на которые и сегодня у нас нет полных ответов.
В большинстве мозаик Эшера их элементы однотипны. Но уже в 1938 году он
экспериментировал с мозаиками, состоящими из двух различных фигур.
Позже он использовал три, четыре и даже пять форм. Для современной
математики до самого последнего времени и «двухфигурные» мозаики были «терра ин-
когнита» — первые серьезные успехи в этой теории сделаны в семидесятые-
восьмидесятые годы. И неудивительно: вот некоторые цифры для
размышления. В то время как все «однофигурные» мозаики могут быть построены путем
видоизменения (в топологическом смысле) всего 11 различных «базовых»
разбиений плоскости, для «двухфигурных» мозаик это число уже во всяком
случае не меньше 508 (точного значения пока не знает никто). Что уж говорить о
«многофигурных» мозаиках...».
Здесь я вынужден воспротивиться искушению привести еще хотя бы два-три
примера провидческого дара Эшера, поскольку это означало бы существенным
образом нарушить законы жанра: внести элемент сугубой математики в книгу,
сознательно игнорирующую все сложности и изыски этой науки.
В утешение читателю, жаждущему конкретности, остается сам римский
сборник, где таких примеров множество, а также цитата из предисловия
М.К. Эшера к своей книге, которую в сборнике используют многие авторы
(Мишель Эммер именно с нее и начал свой доклад, а Эдвард Верслиуис из Южно-
Орегонского колледжа (США) именно ею заканчивает свое выступление):
«Внимательно вглядываясь в загадочный мир, окружающий нас,
обдумывая и анализируя свои наблюдения, я кончил тем, что оказался во владениях
математики. И хотя я не обладаю никакими знаниями в области точных наук
и никогда их не изучал, я часто ощущаю, что у меня больше общего именно с
математиками, чем с коллегами-художниками».
Между прочим, именно тут Эшер, может быть, и не совсем прав — во
всяком случае, такой вывод напрашивается, когда перечитываешь доклад
Р.Л. Пьерантони, сотрудника одновременно и Итальянского института
кибернетики и биофизики и генуэзской Академии изящных искусств,
названный «Эшер: между картографией и изобразительным искусством». Идея его
состоит в том, что Эшер наследовал традицию голландских картографов
изготавливать изумительные по совершенству карты — искусство,
считающееся одним из самых существенных интеллектуальных вкладов этой страны в
западную цивилизацию. Классическая карта местности, созданная
средневековым мастером, представляла собой как бы взгляд с высоты птичьего
полета, причем некоторые детали специально укрупнялись и обозначались более
подробно. По сути, карты тех времен являли собой пример «почти
вырожденного» пейзажа, нарисованного профессиональной, искушенной в
тонкостях изобразительного искусства рукой. Вот, например, карта Амстердама.
Она сделана так, что на множество улиц, каналов, площадей и переулков
города падает тень от проплывающих над ним облаков — у зрителя (или
путешественника?) создается ощущение объемности, совершенно чуждое
современным картам.
Мауриц Эшер, путешествуя в молодые годы по югу Италии и создавая свои
гравюры с изображением тех мест, по мысли Пьерантони, творил своего рода
карты местности, где одна деталь примыкала к другой, и тем самым готовил
себя к таким шедеврам, как «День и ночь», где картографическое искусство
сплавилось с магией трансформации зрительных образов, составляющей его
славу, и волшебством симметрии, роднящей его, творца Красоты, с
исследователями тайн Природы.
Перефразируя оруэлловский «Скотный двор», Бруно Эрнст, чье имя
читатель, несомненно, запомнил, говорил в Риме: «Все работы Эшера — это рабо-
ты Эшера, но некоторые из них — более «эшеровские», чем другие». К числу
их я отнес бы и гравюру «День и ночь» — даже и в том случае, если бы
гипотеза «картографического традиционализма» оказалась ошибочной*.
Два доклада вызвали у меня чувство, похожее на досаду. Артур Лоеб из
Гарвардского университета (его доклад назван был «Многогранники в работах
М.К. Эшера») подметил то, что прошло мимо моего внимания: в гравюре «Куб с
волшебными лентами» тетраэдр (хотя некоторые из его ребер не изображены
художником) вписан в куб. Но куда обиднее, что я проглядел увиденную Джин
Педерсен (университет Санта Клара, Калифорния) замечательную подробность:
сами ленты представляют собой ленты Мёбиуса, потому-то они, наверное, и
волшебные. И, наконец, Коррадо Мальтезе, сотрудник Института истории искусств
Римского университета, высказал вполне обоснованное предположение, что
гравюра «Лента единства» живописует «длинного Мёбиуса», получающегося, как
известно, если разрезать строго по середине обычного «широкого» Мёбиуса.
Сборник состоит из семи частей — по числу секций конгресса. Все они
называются однотипно: «Эшер и...». Вместо многоточия следует либо
«физический мир», либо «искусство», либо «математика и зрительное восприятие»,
либо даже «кино и компьютерная графика», не говоря уж о «симметрии» и,
конечно, «геометрии». В каждом из этих разделов немало интересного, но мне
хочется в заключение остановиться всего на одном выступлении, сделанном на
секции «Эшер и гуманитарные науки». Его автор — Сильвио Маркони,
римлянин, представлявший на конгрессе «Арчи Рагацци Национале»,
организацию, занятую образованием и просвещением — в истинном смысле этих ныне
порядком затрепанных слов.
Как следует из доклада, одна из ее целей — быть может, главная —
разрушить стену между миром детской игры и миром взрослой деятельности, иными
словами, соединить два способа постижения природы: фантазию, воображение,
свойственные наивному восприятию, и точность, доказательность,
характерные для научного подхода. Только на нынешнем этапе развития человеческой
цивилизации возникла реальная возможность задачу эту не только поставить,
но и решить: впервые со времен неолита люди стали использовать одни и те же
* Гравюра эта стала знаменитой совсем по другой причине — благодаря «мостостроительной»
особенности его творчества. Известно, как нелегко проложить мост между научным и
художническим видением внутри одного человеческого сознания, для этого надо соединить
эстетическое начало и строгую логику исследователя. Когда профессор кристаллографии
Амстердамского университета Каролина Макгиллаври впервые увидела «День и ночь», она была
поражена не только художественным совершенством гравюры, но и тем, насколько точно
они передают идею антисимметрии. «Черно-белая симметрия, или антисимметрия, была
введена в мировую литературу еще в 1930 году на симпозиуме по жидким кристаллам. Но в
последующие 20 лет ей был уготован сон спящей красавицы, из которого ее решительно
вывел русский ученый Шубников своей книгой о симметрии и антисимметрии A951)», —
писала соотечественница Эшера, которой удалось организовать выставку работ художника в
Кембриджском университете, приурочив ее к конгрессу кристаллографов. Более того, она
убедила Эшера выступить перед учеными с изложением своих взглядов на устройство
пространства. «Внимание, которое вы по доброте своей оказали моим фантазиям, доказывает,
хочется верить, что искусство и наука иногда могут соприкасаться как кусочки мозаики,
каковой по сути является наша человеческая жизнь, и что такой контакт возможен по всей
границе этих двух областей духа», — так завершил Мауриц Эшер эту свою лекцию на
конгрессе Всемирного союза кристаллографов в Кембридже в августе I960 года.
орудия для игры и для работы. Имеются в виду, естественно, компьютеры,
которые осваиваются крохами-несмышленышами чуть ли не раньше, чем они
научатся говорить. А затем, втягиваясь во все более и более сложные игры с
электронным партнером, ребенок незаметно для себя самого окунается в мир
интеллектуальной деятельности, в жизнь взрослых с ее строгими законами и
правилами. Это и создает перспективу «непрерывности» в образовании. Но
здесь необычайно важно возбудить, поддержать и развить в маленьком
человечке искру фантазии, привить ему взгляд на мир как на волшебную сказку,
где возможно все, что способно измыслить воображение. В этом смысле работы
Эшера — незаменимое средство для педагога.
Сильвио Маркони видит три различных пути к тому, чтобы использовать
это орудие наилучшим образом.
Прежде всего — «невозможная архитектура» эшеровских гравюр. Она учит
ребенка тому, что наша «нормальная» система правил — не единственная и не
лучшая из возможных и что вещь, которая выглядит необычной и странной, вовсе
не обязательно неправильна или абсурдна: она может принадлежать иной системе
правил, которую мы пока не постигли. Становится ясным (это показал Джанни
Родари в книге «Грамматика фантазии», изданной еще в 1973 году, но у нас
известной несравненно меньше, чем его сказки), что в «Стране фантазии» отнюдь
не царят произвол и хаос, но, напротив, действуют свои законы, хотя и отличные
от привычных нам. И как ни вольно человеческое воображение, ему дозволено
творить лишь то, что не нарушает эти законы. Конструируя эшероподобные
конструкции, ребенок начинает понимать, что законы науки не следует заучивать
наизусть и принимать как раз и навсегда заданные, что их можно оспаривать, создавая
мысленные «невозможные миры», и что каждое открытие, родившееся на этом
пути, отодвигает пограничную линию между фантазией и наукой.
Той же цели служат и многочисленные метаморфозы в работах Эшера: они
разрушают навязываемую средой модель статичного мира и подчеркивают его
изменяемость, пластичность.
И, наконец, многозначность многих работ художника — скажем, башня
городской стены в его «Метаморфозах» в то же время является ладьей на
шахматной доске — тоже служат идее привить ребенку понимание
множественности возможных миров. «Множество возможных миров» — именно так
назван доклад, сделанный С. Маркони на эшеровском конгрессе. «Все это
позволяет детям осознать возможность изменения правил любых игр, в том
числе даже тех, что определяют собой механизм действия человеческого
общества, — говорил он. — Зеркальные эффекты Эшера переносят нас в царство
самопредставления и самопостижения — здесь та же диалектическая связь
между реальностью и ее отображением, как и в компьютерных играх».
Невозможно организовать осмысленную деятельность детей без того, чтобы
в ее основе не лежала некая вселенная со своими героями, правилами, мифами
и тому подобным. Скаутское движение, основанное Баденом Пауэллом, в
качестве такой вселенной имеет мир, созданный Редьярдом Киплингом, и для
англо-саксонского общества того времени лучший выбор сделать было бы
невозможно. Но наступили новые времена, и они требуют новых вселенных.
«Наш выбор «Множества возможных миров во времени и пространстве»
связан с электронным и космическим веком, в котором мы живем, он нацелен
на то, чтобы помочь детям развить у
себя плюралистический взгляд на
действительность. Мы не должны и
не пытаемся найти нового
Киплинга. Наше «Множество возможных
миров» требует «множества
возможных авторов в пространстве и
времени». И мы адресуемся, среди прочих,
к Томасу Кампанелле, Джонатану
Свифту, Жюлю Верну, Льюису
Кэрроллу, Эдвину Абботту, Джанни Ро-
дари и — последнему по списку, но
не по важности — Маурицу Эшеру».
Этими словами заканчивает свою
статью в сборнике, о котором идет
речь, человек, стремящийся поставить
талант Эшера на службу будущему.
И мне тоже пришла пора ставить
точку в своем рассказе об этой книге. Думается, логично будет сделать это таким
же образом, как и ее составители, — привести в заключение опубликованную в
1986 году в «Кроникл Фитчерз» работу Дэна Пираро «М.К. Эшер и его собака
Лидия». И хотя славное животное вовсе не ирландский сеттер, а скорее уж
французский бульдог, моя рыжая вислоухая красавица Джулия с полным пониманием
отнеслась к идее соединить на одном рисунке и невозможные фигуры, и переход
плоского в объемное, и мозаику, и, главное, символ верности и любви — собаку.
А как постскриптум к своему далеко не полному отчету о сборнике «М.К. Эшер:
искусство и наука» я хочу привести слова Мартина Гарднера: «Есть иной, более
глубокий смысл термина «математическое искусство», базирующийся не на
технике или деталях изображения, а на самом предмете работы художника.
Иллюстратор, знающий кое-что о математике, способен создавать некую композицию на
математические темы так же, как мастера Возрождения делали это с религиозными
темами, а современные художники в России — с темами политическими. Но никто
из ныне живущих художников не преуспел на этом пути так, как Мауриц Эшер».
•к -к -к
Дорис Шатшнейдер. ВИДЕНИЯ СИММЕТРИИ (Записные книжки,
периодические рисунки и имеющие к ним отношение работы М.К. Эшера). — Нью-
Йорк, 1990. — 354 с.
Doris Schattschneider. VISIONS OF SYMMETRY (Notebooks, Periodic Drawings
and Related Works of M.C. Escher). — New York: W.H. Freeman and Company,
1990. — 354 p.
Эта книга — самая роскошная изо всех, посвященных М.К. Эшеру: на
прекрасной бумаге, альбомного формата, с великолепной суперобложкой и с
огромным количеством цветных иллюстраций. Среди них 137 мозаик Эшера,
многие из которых публикуются впервые и тем самым вводятся в широкий
читательский оборот. А кроме того — бесчисленные эскизы из его записных
книжек, не говоря уж о репродукциях гравюр художника.
Дорис Шатшнейдер — в известном смысле чемпион среди всех упомянутых в
«Вариациях» к «Геометрической рапсодии» ученых: в Риме ею сделан доклад, о
котором не рассказывалось лишь потому, что его можно рассматривать как
пролог к «Видениям симметрии», а написанные в соавторстве с Уоллесом Уолкером
«Калейдоциклы» нашли свое отражение чуть раньше, так что профессор
Шатшнейдер, по сути, является героиней трех последних вариаций. В этом одна из
причин, почему я не стану подробно знакомить читателя с этой книгой.
Другая, более существенная, состоит в том, что эту книгу надо не столько
читать, сколько рассматривать. Ядро ее составляет анализ записных книжек
Эшера 1941 — 1942 годов, где он создает свою «теорию неспециалиста»,
касающуюся правильного разбиения плоскости различными фигурами.
Художническое чутье подсказало ему, что всего лучше использовать язык образов —
диаграммы, чертежи, рисунки — и при этом обойтись минимумом слов.
Математическая интуиция вела руку Дорис Шатшнейдер, когда она построила свою
книгу в том же ключе: минимум необходимых комментариев к говорящему
самому за себя изобразительному ряду.
Есть и третья причина уклонения от сколько-нибудь детального изложения
содержания «Видений симметрии». Меня лично более всего затронуло не то, что в
книге есть, а то, чего в ней (во всяком случае, в явном виде) нет. Я получил
наконец ответ на долгое время мучавший меня вопрос: как мог Мауриц Корнелис
Эшер плодотворно работать в годы оккупации почти всей Европы гитлеровцами,
как пережил он гибель своего любимого учителя Самуила Джессурана де Мескви-
та, которого фашисты вместе со всей семьей уничтожили в концлагере, — его,
португальского еврея, не спасла даже приставка «де» ... До последнего дня жизни
у Эшера перед глазами был рисунок учителя, найденный им на полу его
разгромленной студии с отпечатком кованого солдатского сапога, — как же можно было
столь самозабвенно отдаваться радостям искусства все эти страшные годы?
Записные книжки Эшера, полностью воспроизведенные в книге, дают ответ на
этот вопрос. Каждый, как известно, борется со своим дьяволом по-своему.
Художник уходил в мир чуждой ему математики, строил свои гипотезы и теоремы. Он
не присоединился к Сопротивлению, но тоже воевал — внутри собственной души.
Сотни графиков, чертежей, геометрических построений — это была та стена, что
он воздвигал между собой и окружающей его реальностью. Изменить мир вокруг
себя не было в его силах, но эта жажда перемен перековывалась в его сознании в
почти навязчивую манию беспрерывно изменять формы предметов, подвластных
его рукам. Так рождались его «Метаморфозы», где геометрические фигуры
становились животными или птицами, плоское — объемным, реальное — физически
невозможным. И новым смыслом наполнились для меня воспоминания сына
художника Джорджа Эшера, приведенные в книге, где он рассказывает о стене в
ванной комнате дома в Уккеле, который семья снимала в те годы, стене,
первоначально представлявшей собой скучное сочетание случайных цветных пятен,
которые отец постепенно превращал в фигуры животных и людей.
В записных книжках, с которыми знакомит книга Д. Шатшнейдер, Эшер
переводит, «стараясь сделать это наилучшим образом», совет Леонардо да Винчи
художникам, заключающийся в том, чтобы внимательно смотреть на стены,
построенные из камней различной формы или покрытые пятнами, и искать там
сходство с горными пейзажами, реками и долинами, находить намеки на
изображения человеческих фигур, лиц, несущих на себе печать необычности, даже
целые батальные сцены. «Эти тронутые рукой времени стены подобны перезвону
церковных колоколов, в котором можно услышать любое, какое хотите, имя или
слово», — пишет Леонардо. И тут кроется еще одна, последняя и самая главная
причина сугубой краткости моего повествования о книге «Видения симметрии».
Дело в том, что я пишу эти строки в крохотной, всего в несколько домов
деревне Добринке, затерявшейся в лесах между Тулой и Калугой. По многолетней
традиции каждое лето мы со всеми нашими чадами и домочадцами — детьми,
внуками и собаками — совершали паломничество в расположенные поблизости
два замечательных места: знаменитую на весь мир Оптину пустынь, воспетую
Ф.М. Достоевским в «Братьях Карамазовых», и в мало кому известное Шаморди-
но, куда в последний раз направил свои стопы Л.Н. Толстой, чтобы навестить
свою сестру, бывшую настоятельницей расположенного здесь женского
монастыря. И надо же было случиться так, что и в той и в другой обители я услышал из
уст обращавшихся к своей пастве священников практически одну и ту же «эше-
роподобно» звучащую фразу, смысл которой в том, что икона — это дверь в Иной
Мир. Моей религиозности не хватает, к сожалению, для того, чтобы воспринять
эти слова в метафорическом смысле — я понимаю их буквально. Произведение
искусства — а икона для меня в первую очередь именно творение художника,
такое же, как, например, обе гравюры «Иной мир» М. Эшера, — приоткрывает
завесу над тайной бытия, позволяет увидеть и почувствовать нечто неподвластное
разуму и невыразимое словами. И потому работа, где Художник предстает
искателем Истины, — это пусть не дверь,
но все-таки окно или хотя бы
форточка в неизведанную область, и
такую книгу надлежит читать
самому, а не воспринимать в
пересказе.
...Впрочем, слова эти относятся и
ко всякой иной хорошей книге.
Хотелось бы, чтобы читатель смог
сказать их и по поводу той, что
он держит сейчас в руках.
Мечтатели, сивиллы и пророки,
Дорогами, запретными для мысли,
Проникли — вне сознания — далеко,
Туда, где светят царственные числа.
Валерий БРЮСОВ
ВАРИАЦИЯ ТРЕТЬЯ
РЕТРОСПЕКТИВА ТЕОРИИ ПЕРСПЕКТИВЫ
Разум является орудием
универсальным, которое может
служить при всякого рода
обстоятельствах.
Рене ДЕКАРТ
С Борисом Викторовичем Раушенбахом мне случалось беседовать по
разным поводам — главным образом о космических делах. О
достигнутых успехах и раскрывающихся перспективах в связи с запусками
«Лун», «Востоков», «Союзов», «Молний», «Венер». О том, что
способны дать людям или от чего их избавить результаты исследований,
которые он много лет вел под руководством М.В. Келдыша и
СП. Королева — их имена в то время скрывались под титулами
«главный теоретик» и «главный конструктор» космических систем. И хотя
разговор всегда шел о вещах важных и серьезных, каждый раз
находилась минута-другая, чтобы полистать очередной альбом любимого
нами обоими Маурица Корнелиса Эшера.
От встречи к встрече космическая тематика все больше
оттеснялась на второй план, а однажды наступил день, когда она вообще
ушла в фон, на котором стали разворачиваться события, от
космонавтики, на первый взгляд, весьма далекие: осмысление с позиции
математика особенностей пространственных
построений в изобразительном искусстве, или,
чтобы быть более точным, рождение общей
теории перспективы.
— Всякого, кто первый раз приходит ко мне в
гости, я привык спрашивать, как ему нравится вот
эта картинка, нет ли в ней, на его взгляд, чего-нибудь
необычного? И, представьте себе, в огромном
большинстве случаев в ответ слышу, что это хорошая,
интересная гравюра, но ничего особенного в ней нет.
Говоря это, Борис Викторович держал перед
собой новый альбом Эшера — самый полный,
посмертный, содержащий большинство его работ. Я только
что получил его по почте из США от Корнелиса Ван
Рузвельта, друга
художника и знаменитого
коллекционера его картин, и
принес с собой, чтобы
похвалиться удачей. Гравюра
«Бельведер», украшающая
множество научных и
научно-популярных книг и
статей, опубликованных
почти во всех странах
мира, — одна из самых
известных работ художника.
Она и была той
«картинкой», о которой говорил
Раушенбах. Но тут я хочу
сделать небольшое
отступление, оправдывающее
появление на страницах этой
книги двойника, пусть и
исправленного,
«Бельведера», имеющего отнюдь не
голландское, а вполне
отечественное происхождение.
Летом 1988 года в
различные порты
Средиземного и Черного морей
заходил теплоход «Лев
Толстой», зафрахтованный
международной организацией «Форум молодых архитекторов». Несколько сот
молодых людей почти из всех европейских стран, а также Турции и Японии,
сходя на берег, искали вдохновения для участия в конкурсе «Круиз»,
проходившем под девизом «Пространство цивилизации XXI века». И когда судно
готово уже было бросить якорь в Варне, конечном пункте путешествия,
международное жюри подвело итоги конкурса. Одной из наград была удостоена
работа московского архитектора А.Г. Зосимова, представлявшая собой
вариацию на тему «Бельведер», — она и есть тот самый «исправленный двойник»
(см. Указатель).
«Существует хорошо всем известный мир Эшера с его особым, необычным
пространством, — значилось в пояснительной записке, сопровождавшей
проект. — Предлагаемая работа — метафора пространства XXI века. Оно, как легко
видеть, отличается от пространства, созданного воображением художника».
Какое из них «правильное», а какое «искаженное» — этого Александр
Зосимов не говорил, но его изобразительная метафора наталкивала на мысль,
что в грядущем тысячелетии мир станет более естественным, более близким
нашему привычному человеческому способу воспринимать окружающую
действительность, в том числе ее пространственные свойства.
— Меня долго смущал узник внизу картины, — продолжал Раушенбах. —
Все казалось — с ним связана еще одна пространственная загадка гравюры.
А что если на самом деле тюремный подвал не замкнут и стены его, как
колонны бельведера, «неправильные»? Но потом я убедился, что с геометрией
все в порядке. Человек-за-решеткой — узник разума, не способного постичь,
как можно верно изобразить объемный трехмерный мир на плоскости, на
листе бумаги, холсте, стене... Ведь тут неизбежны искажения, ошибки,
неправильности, еще, может быть, большие, чем даже в этой странной,
невозможной в реальном мире «бельведерной» конструкции.
— Правильно ли я понимаю, Борис Викторович, что печаль о заключенном
на гравюре Эшера вызвана более общей вашей заботой, нашедшей отражение в
трех монографиях*, вышедших в последние годы. Ведь в них вы подвергаете
анализу методами точных наук именно эту удивительную способность
художника передавать пространство на плоскости. И сразу уж еще один вопрос:
отчего не полное игры с пространством современное искусство, а
древнерусская живопись, следующая строгим канонам иконописи, послужила, как
явствует из ваших книг, из той последовательности, в какой они появились на
свет, первым толчком для создания математической теории перспективы?
— Вы правы, конечно, я не стал бы беспокоиться о судьбе эшеровского
«человека-за-решеткой», если бы проблема передачи пространства в
изобразительном искусстве не владела мной в течение долгих лет. Что же касается
побудительного импульса к тому, чтобы окунуться в этот новый для меня круг
вопросов, то здесь известную роль сыграла простая случайность.
Хронологически дело происходит так. Еще работая у Королева, я
столкнулся с задачей, технической и научной одновременно: как дать возможность
космонавту производить сближение и стыковку кораблей, если сам
стыковочный узел скрыт от его глаз? Космический корабль «Союз», который мы в то
время конструировали, не имел переднего остекления. Впереди расположен
бытовой отсек, и произвести стыковку можно только с помощью перископов
* Раушенбах Б.В. Пространственные построения в древнерусской живописи. — М.: Наука,
1975; Раушенбах Б.В. Пространственные построения в живописи. — М.: Наука, 1980;
Раушенбах Б.В. Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы. —
М.: Наука, 1986.
или телекамер. Иными словами, космонавт должен ориентироваться в
трехмерном пространстве с помощью двумерного отображения его на экране.
И довольно скоро выяснилось, что восстановить объемность естественной
космической панорамы не удается. Вообразите, что вам надо въехать в узкие
ворота гаража «вслепую» — глядя на телевизионный монитор, где видна
«картинка», посылаемая телекамерой. Уверяю вас, долгое время ничего хорошего
из этого получаться не будет — без объемного восприятия среды даже такая
простенькая задача не решается.
Пришлось создавать дополнительные устройства, где нужно совмещать
разного рода метки, маркеры и т. п. — иными словами, вводить добавочные
признаки, по которым пилот способен, не имея адекватного зрительного
образа пространства, все же вести в нем корабль.
Тогда-то я и подумал, что раз невозможно абсолютно точно изобразить на
плоскости объемный, «настоящий» мир, то и художники тоже неизбежно
допускают ошибки в своих картинах. Но при Королеве и минуты ни для чего,
кроме непосредственной, прямой работы в конструкторском бюро, не было.
И лишь спустя некоторое время после его смерти я впервые оказался в Музее
имени Андрея Рублева, и великолепные иконы, созданные много веков назад,
поразили меня явным нарушением перспективы, заведомо «неправильным»
способом изображать глубину пространства, соотношение переднего и заднего
планов, горизонтальные и вертикальные линии.
Расхожие слова о том, будто древние живописцы чего-то не знали или не умели,
представлялись мне неубедительными: слишком высоким мастерством они
обладали, да ведь и церковь всегда втягивала в свою орбиту наиболее одаренных,
образованных, знающих людей, именно они писали для нее иконы, сочиняли гимны,
ваяли скульптуры, отливали и чеканили церковное убранство, возводили храмы,
монастыри и т. п. Передо мной, как уже не раз бывало в жизни, встала очередная
задача, требующая научного разрешения, — с точки зрения строгих
математических законов понять один из важных элементов того чуда, что называется
искусством живописи. А именно: проанализировать отражение пространства в работах
художников — для начала хотя бы только древнерусских иконописцев.
Очень скоро стало очевидным, что одной лишь математики недостаточно.
Мне пришлось заняться, пусть и не слишком глубоко, психологией
зрительного восприятия. Я осознал, что образ, появляющийся на сетчатке глаза, — это
еще даже не полдела. Дальше включается механизм обработки его мозгом, и
лишь тогда в нашем сознании делается вывод о той или иной структуре
пространства. Скажем, проволочная петля может проецироваться и в виде
прямой линии, и как окружность, и как эллипс. А системе «глаз—мозг»
предстоит разбираться в этой неоднозначности.
Глаз должен быть не только зорким, но еще и разумным. Ведь проекция на
плоскость любого объемного предмета — не только проволочной петли —
допускает бесконечное число интерпретаций, из коих надо выбрать единственно
верную. Экспериментальные исследования, начатые психологами еще в XIX веке,
очень помогли мне в попытках понять те принципы, которыми — осознанно
или подсознательно — руководствуются художники.
— Несколько лет назад судьба свела меня с одним из самых крупных
специалистов в области психологии зрительного восприятия — англичанином Ри-
чардом Грегори, на чьи работы вы неоднократно ссылаетесь в своих книгах.
Его волновал примерно тот же круг вопросов, что и вас, с той, конечно,
разницей, что математический анализ не входил в планы Грегори. В книге,
так им и названной «Разумный глаз», он пишет: «Картины ведут двойную
жизнь. С одной стороны, они — обычные объекты: узоры на плоских листах
бумаги, состоящие из пятен, линий, точек, мазков или фотографического
«зерна». Но эти же самые элементы складываются в лицо, дом, корабль средь
бурного моря. Картины — уникальный класс предметов, потому что они
одновременно видны и сами по себе, и как нечто совсем иное, чем просто лист
бумаги, на котором они нарисованы. Картины парадоксальны. Никакой объект
не может находиться сразу в двух местах, никакой объект не способен быть
одновременно двумерным и трехмерным. А картины мы видим именно так.
Картина имеет совершенно определенный свой собственный размер, и в то же
время она показывает истинную величину человеческого лица, здания или
корабля. Картины — невозможные объекты».
К нашей сегодняшней беседе я приготовил еще одну цитату из другой
книги Ричарда Грегори — «Глаз и мозг», тоже имеющей очень близкое
отношение к теме разговора. Вот она: «Фотограф точно воспроизводит
геометрическую перспективу, но, поскольку мы видим мир не таким, каким он
отображается на сетчатке или в камере фотоаппарата, фотография кажется
неверной».
Вам, человеку точного знания, привыкшему доверять только измерениям,
приборам, объективным методам наблюдения, взгляд на мир фотографа,
видящего его через объектив, должен быть, казалось бы, ближе, чем мало
поддающийся рациональному анализу художнический подход к действительности. Но,
похоже, это не совсем так?
— Вовсе не так. Фотография — это «неразумное изображение». Ведь
камера никак не обрабатывает то, что попало на светочувствительный материал и
превратилось там в черно-белые или цветные пятна. Другими словами,
фотоаппарат дает сетчаточное, а не мозговое изображение. Художник же
интуитивно вводит некоторые поправки, стремясь, исказив наблюдаемую картину с
точки зрения чистой геометрии, сделать ее точной для человеческого
восприятия. А как он количественно откорректирует изображение, то есть насколько
и где именно, это мне и удалось рассчитать математически. Если нужна более
строгая формулировка для сделанного, то вот она: выведены уравнения,
позволяющие математически описать особенности восприятия человеком
геометрических свойств трехмерного пространства. Если угодно, это «уравнение
работы мозга» при анализе им зрительных образов.
Из них впрямую следует, что художники отображают мир намного
«правильнее» фотографов. Строго математически доказано, что невозможно
абсолютно точно воссоздать на картине все, что находится в поле зрения
художника. Поэтому чем-то надо жертвовать, сохраняя нетронутым главное. Но
«главное» — понятие эстетическое, у каждого художника оно свое. В результате
одно и то же пространство, запечатленное несколькими живописцами, дает
основу для несхожих произведений изобразительного искусства. Как одно и то
же событие, воспетое различными поэтами или писателями, предстает перед
нами в мало схожих между собой литературных творениях.
Но вернемся к вопросу об изображении пространства. Пусть перед нами
пейзаж, где нет ярко выраженных вертикалей, — луг, поле, отмель на берегу
моря. Поскольку безошибочно все отобразить невозможно, то художник
стремится неизбежные искажения отнести за счет вертикальных линий, ибо их в
наблюдаемой им картине мало, да они и не существенны для его задачи.
Получается хорошее реалистическое изображение, совсем не похожее на
фотографическое, где и горизонтали и вертикали пострадали в равной степени,
поскольку камера действует строго «геометрически».
Таким образом, в паре художник—фотограф все преимущества на стороне
художника. Точно так же, как в паре художник—скульптор выигрывает
скульптор, ибо перед ним никогда не стоит задача передать объемный мир на
плоскости. Ему не надо специально увеличивать размер головы или уменьшать
размер ног фигуры, чтобы учесть относительную удаленность той или иной ее
части от глаз наблюдателя: человеческий мозг, получив с сетчатки глаза
соответствующие сигналы, сам сообразит, что голова и должна казаться меньше,
ибо она находится дальше от глаз. В привычном нам трехмерном мире
подобная коррекция вводится мозгом постоянно и автоматически. Психологи давно
изучают это явление и даже присвоили ему специальное имя — константность
величины.
Вот, скажем, в театре, когда обитатели «райка» смотрят на сцену, прима-
балерина не кажется им кукольно-игрушечной, хотя, конечно, ее сетчаточный
образ в глазу — крохотный, во много раз меньший, чем образ рядом стоящей
зрительницы такого же, как танцовщица, роста. Но мозг обе фигуры
воспринимает как приблизительно равные — действует закон константности восприятия
величины.
А есть еще и константность формы. К примеру, все окружности,
отпечатывающиеся на сетчатке нашего глаза в виде овалов, все квадраты, дающие
ромбический сетчаточный образ, все-таки «прочитываются» нами — основываясь на
прошлом опыте, наше сознание стремится сохранить геометрию известных ему
предметов постоянной, константной. И не случайно экран телевизора, столь
хорошо всем нам знакомый, с любого ракурса представляется нам одинаковым,
таким, каким мы видим его, когда сидим прямо перед телевизором, —
прямоугольником с горизонтально расположенной длинной стороной. Между тем, если
смотреть на него сбоку, то проекцией телевизионного экрана на сетчатку глаза
будет прямоугольник, вытянувшийся вдоль вертикали. Художнику необходимо
постоянно помнить об этом свойстве человеческого глаза и мозга. Скульптор же,
творящий трехмерные композиции в трехмерном пространстве, тем самым
оставляя зрителя в привычной для него системе восприятия, сложившейся
тысячелетиями, может и не думать о законах константности.
— Но тем не менее порой скульпторы все-таки вносят в свои творения
сознательные искажения. То же делали и архитекторы Возрождения, которые были
одновременно и скульпторами, и художниками. Например, Джотто, проектируя
свою прославленную кампанилу — колокольню Флорентийского собора, сделал ее
значительно шире вверху, нежели в основании, введя своего рода
«отрицательную перспективу», чтобы компенсировать недостаточные возможности глаза в
коррекции перспективы — иначе казалось бы, будто башня к верху суживается.
Есть примеры подобного сознательного искажения размеров и в
горизонтальной плоскости. Наиболее знаменитый из них — площадь Святого Марка в
Венеции: углы ее в действительности вовсе не прямые, поскольку стороны
площади расходятся по направлению к собору, но именно благодаря этому она
воспринимается нами как правильный прямоугольник.
Не логично ли предположить, что зодчие, скульпторы и художники
Ренессанса знали о тех закономерностях преобразующей работы мозга при
восприятии зрительных образов, которые вы стали учитывать сравнительно недавно?
А поскольку многие из этих титанов были еще и математиками, то, может
быть, они вывели для собственного употребления нечто похожее на ваши
«уравнения работы мозга».
— Уверен, что ничего подобного у них не было и быть не могло.
Художники Возрождения в самом деле произвели переворот в живописи — они решили
впервые возникшую перед обществом задачу передать на полотне «вид из окна» —
мир как он есть, во всей полноте красок и форм. С точки зрения формально-
математической великим мастерам Ренессанса нужно было от изображения
облика отдельных предметов перейти к изображению всего пространства. Это
потребовало известных математических знаний, но даже отдаленно не
приближающихся по сложности к тем, что нужны для написания «уравнений работы
мозга».
Как часто случается в точных науках, решение задачи «расширения»
живописных приемов было найдено при изучении прямо противоположной
проблемы: изображения предельно «сжатого» объекта — отдельной точки. Идея
заниматься подобными вещами была абсолютно чужда искусству,
развивавшемуся до Возрождения. Точка, не значащая абсолютно ничего абстракция, —
это ли повод для забот художника? Она еще вдобавок совершенно не
обязательно принадлежит какому-нибудь реальному предмету, попавшему в поле
зрения живописца или графика, — точка вполне может находиться в
«пустоте», «зрительном вакууме», где ничего не расположено. Но именно та
«рисовальная демократия», что уравняла в правах точки, принадлежащие
изображаемым предметам, и точки «пустоты», совершила гениальное открытие —
метод, получивший название «перспектива». Метод, позволивший художнику
передавать целостное пространство, любой его уголок безо всяких пропусков и
изъятий.
Ведь как обстояло дело раньше? Не только в средневековье, но даже и во
времена античности существовало множество совершенных приемов передачи
пространственного облика предметов. Художник, однако, поместив несколько
изображений рядом на картине, абсолютно не интересовался вопросом: а как
станет выглядеть пространство между ними? Мало того, каждый из предметов
автор картины считал себя вправе изображать по своим собственным
правилам. Единая геометрия произведения искусства — вот что явилось главным
достижением художников эпохи Возрождения.
Итак, было сделано допущение, что существуют некие правила, следуя
которым можно перенести не плоскость любую точку пространства, то есть
геометрически правильно передавать зрительные ощущения. Затем допущение
это было проверено и доказано, что оно верно. Так родилась система научной
перспективы — долгое время считалось, что она единственная, отсюда и столь
обязывающее название. И лишь теперь мы знаем, что она всего лишь одна из
многих равно истинных, и поэтому теперь употребляем более точный термин
«ренессансная система перспективы», так сказать, классический вариант.
Идею ее хорошо иллюстрирует известная гравюра Альбрехта Дюрера
«Рисование по сетке» (см. Указатель). Три главных правила следовало соблюдать
художнику: глаз его должен быть неподвижен (что обеспечивается визирным
устройством), смотреть необходимо одним глазом, к тому же строго
перпендикулярно плоскости картины (ее роль на гравюре выполняет вертикальная
сетка, натянутая между художником и натурой, которую и надлежит
перерисовать).
Как видно, изобретенный метод линейной перспективы носит объективный
характер, ибо он никак не связан с художественным образом, а основывается
только на законах геометрии и вместе с тем учитывает характер работы
человеческого глаза. Это обстоятельство выводит теорию перспективы из
области сугубо гуманитарной и делает ее, напротив, одной из математических
дисциплин. И в самом деле, «рисование по точкам» едва ли можно отнести к
чистому художеству, более того, изображение точки, соотношение плоскости и
пространства — проблемы истинно геометрические.
Для открытия геометрической перспективы человечеству понадобилось
больше времени, чем для приручения огня или изобретения колеса, — факт тем
более поразительный, что она всегда перед глазами. Лишь Леонардо да Винчи
четко сформулировал законы и принципы перспективы. В «Записных
книжках», где им изложена программа обучения художников, он называет
перспективу «уздечкой и рулем рисования» и определяет ее так: «Перспектива — не
что иное, как способность видеть пространство, находящееся за
воображаемым куском стекла, гладким и совершенно прозрачным, на поверхности
которого все предметы приближаются к нашему глазу в виде пирамид, и эти
пирамиды пересекаются на плоскости стекла»*.
Таким образом, Леонардо, как, по сути дела, и Дюрер, рассматривал
перспективу в рисовании как раздел геометрии. Но он, человек во многом
гениальный, более отчетливо, чем многие из его последователей, понимал, что в
* Такие гравюры Эшера, как «Вавилонская башня», «Иной мир. 1965», «Иной мир. 1966»,
«Иллюминатор», «Шествие в подземной часовне», «Лужа», «Деталь интерьера церкви
Св. Баво» служат примером неукоснительного следования этим заветам Леонардо да Винчи.
передаче пространства есть нечто большее, нежели чистая геометрия
видимого. В свое понимание перспективы Леонардо да Винчи включал и увеличение
туманности и синевы с увеличением расстояния, и размеры теней,
отбрасываемых предметом. Говоря современным языком, он стремился научить
художников использовать законы перспективы так, чтобы избежать
многозначности рисунка. Похоже, великий художник и ученый Возрождения понимал:
любая перспектива неоднозначна, правильная перспектива — всего лишь
необходимое, но отнюдь не достаточное условие передачи истинной глубины
предметов.
Несмотря на эти оговорки, новый подход к изображению пространства был
крупным шагом вперед. Ренессансная система перспективы как бы затмила
собой прошлые достижения изобразительного искусства в этой области.
Несовершенными, «неправильными» стали, например, выглядеть памятники
Древнего Египта, где вообще нет никакой перспективы — все близкие и далекие
предметы расположены рядом, как, скажем, на иллюстрациях «Книги
мертвых» (см. Указатель). Но теперь, с высоты нынешних знаний, видно, что и у
них были свои правила, в известном смысле столь же обоснованные, как и у
художников Ренессанса; точно так же, как и модернисты, не соблюдающие
установленные линейной перспективой законы, тоже творят «грамотно». Ведь
нелепо было бы оценивать танцевальное искусство с позиций оперного и с
ученым видом говорить: «В балете актриса уже умеет свободно перемещаться
по сцене, хотя еще не научилась петь».
То, что удалось сделать мне, — это показать: ренессансная система
перспективы — не верх совершенства, не единственно научная, ей не обязан следовать
любой художник. По сути дела, есть лишь одна всеобъемлющая система
перспективы — перцептивная, то есть учитывающая не только работу глаза, но и
мозга, а все остальные системы входят в нее в качестве частных случаев, не
перечеркивая и не отменяя друг друга. Так обстоит дело с точки зрения
математики, а ведь именно на нее ссылаются, объявляя тот или иной способ
построения «научным» или «ненаучным».
И вот теперь, впрямую отвечая на ваш вопрос, могу сказать, что даже
самые талантливые и образованные из гениев Возрождения не могли и думать
об «уравнениях работы мозга». И потому, что тут нужны не школьные
геометрия и алгебра, вполне достаточные для обоснования линейной перспективы, а
интегральное исчисление, а в некоторых случаях и геометрия Лобачевского.
И потому, главное, что о работе, выполняемой мозгом рассматривающего
картину человека, им ничего не было известно.
— А что известно по этому поводу нам?
— Прежде всего, человек смотрит на мир не одним, а двумя глазами, и одно
это создает известные сложности, не учитываемые классическим вариантом
теории перспективы. Но еще важнее, что мозг как бы «растягивает» или
«сжимает» изображение, возникающее на сетчатке. Причем делает это очень
неравномерно, деформация сетчаточного образа иногда бывает весьма
значительной. Выведенные формулы позволяют сказанные слова облечь в точные
цифры. Я не просто утверждаю, что в данном произведении живописи
пространство передано неверно, но всегда готов сказать, насколько именно. Точно так
же, анализируя фотографию, я могу предложить внести в нее те или иные
необходимые искажения, чтобы учесть особенности нашего зрительного
восприятия. И снова — рекомендация будет носить точный характер, в
конкретных цифрах: градусах, миллиметрах.
Искусствоведы любят говорить о «странностях» в творчестве того или
иного художника, отмечают те или иные особенности передачи им перспективы,
но не дают им какого-нибудь разумного объяснения. Или, точнее, их
толкование для человека естественно-математического склада звучит тавтологией, чем-
то вроде: «Это прекрасно, потому что это чудесно». Я же пытался создать
систему анализа живописи, которая исходит из теории зрительного
восприятия и вполне научно, то есть с позиций законов физики и математики,
объясняет те или иные «странности» великих мастеров.
Вот, например, долгое время бытовало мнение, будто у Сезанна была
больная сетчатка, поскольку он, с точки зрения классических искусствоведов,
искажает перспективу. Выпущен альбом, где рядом с каждым изображенным им
пейзажем дана соответствующая фотография. Да, разница очень велика. Но
если пропустить фотографию через функции работы мозга, то получается, что
Сезанн писал правильно, а фотографии ошибаются. Кроме тех, конечно,
случаев, когда художник сознательно, в рамках своей эстетической задачи,
вводил некие деформации.
Известно нам теперь и другое. Многие большие художники использовали
обратную перспективу — в их работах предметы (обычно те, что изображены
на переднем плане) не сужаются, как должны бы по законам линейной
перспективы, а, наоборот, несколько расширяются при удалении от зрителя. Вышло
немало искусствоведческих книг и статей, где художники, пользующиеся этим
приемом, объявляются чуть ли не неумелыми рисовальщиками.
На самом же деле оказывается, что близкие предметы мы часто
действительно видим в слабой обратной перспективе! Это и уловили чуткие к
мельчайшим особенностям человеческого восприятия пространства мастера живописи.
И формулы, которые мне удалось
получить, позволяют ввести количественные
оценки необходимых корректив, вносимых
художниками. Вот тут и понадобилась
современная математика, поскольку
выяснилось: в близкой от зрителя области
пространства, где определяющими
являются особенности бинокулярного зрения,
действует не обычная школьная
геометрия Евклида, а более общая геометрия
Лобачевского.
Любопытно, что в детских рисунках, как
правило, ясно видна обратная
перспектива. В чем тут дело? Дети всегда искренни в
творчестве — они рисуют так, как видят.
И лишь потом подвергаются
«дрессировке» — им разными способами внушается
«единственно верная перспектива», и они
научаются изображать мир не так, как он
им видится, а так, как «надо».
Эту естественную тягу человека к легкой обратной перспективе при
изображении близко расположенных предметов по-своему отметил К.Ф. Юон,
крупный художник. «Не знающий законов теории перспективы, — писал он, —
почти обязательно изобразит предметы в обратном виде, как это делалось
систематически во всех случаях восточного древнего народного искусства».
Примат «дрессировки» над естественным зрительным восприятием виден в
этих словах предельно отчетливо. Но, конечно, не надо упрекать Юона за
такую позицию — ему была известна лишь одна система научной перспективы —
ренессансная, «непогрешимость» которой держалась на солидном
математическом фундаменте проективной геометрии. Идея плюрализма, в том числе в
изображении пространства, в его годы не владела умами, и мы можем лишь
поблагодарить художника за
его тонкое наблюдение.
Но сегодня нам уже не к
лицу осуждать других
мастеров за то, например, что в
своих творениях они
одновременно пользовались и прямой, и
обратной перспективой. Дело
не в их непоследовательности,
эклектизме, как считалось
ранее, а в их умении передать
жизнь такой, какова она есть, —
точнее, такой, как она им
видится. Классический пример —
«Троица» Андрея Рублева (см.
Указатель), написанная им в
двадцатые годы XV века.
Подножие левого от зрителя ангела дано в слабой обратной перспективе, в то
время как подножие правого — в аксонометрии, то есть в параллельной
перспективе, принятой, скажем, в современном инженерном черчении.
Перемещающийся в пространстве человек именно так и видел бы изображенное на
иконе — то в слабо обратной, то в параллельной перспективе, в зависимости
от ракурса.
— Получается, что древние художники были, в известном смысле, более
свободными в изображении пространства — их не связывали ни обязательная
для того же Альбрехта Дюрера неподвижность взгляда, ни требуемая им «од-
ноглазость» художника, ни непременная параллельность «воображаемого
куска стекла, гладкого и совершенно прозрачного» (или же веревочной сетки)
плоскости картины. Они учитывали и бинокулярность зрения, и возможность
глядеть на мир под любым углом зрения, и даже динамичность восприятия.
— И еще многое другое, что делает их творчество особенно значимым, а для
меня лично — отнюдь не менее ценным, чем достижения эпохи Возрождения.
Они и в самом деле чувствовали себя вправе «управлять» пространством
картин, не придерживаясь строгих догм. Видимо, то, что разного рода
религиозные правила ограничивали сюжеты для изображения, толкало художников
искать выход творческой энергии и фантазии в иных направлениях — в
области формы, а не содержания, в поисках наиболее впечатляющих средств,
чтобы передать свои ощущения зрителям.
Вот мы начали свой разговор с загадочного «Бельведера» любимого нами
обоими Маурица Эшера. Да, действительно, конструкция необычная,
нарушающая привычные пространственные построения, хотя и не таким ярким
образом, как его же гравюры «Водопад» и «Поднимаясь и опускаясь», где
геометрическая несообразность изображенного особенно отчетлива. Но вот взгляните
на икону «Живоносный источник Богоматери» (см. Указатель), хранящуюся в
Музее им. Андрея Рублева в Москве. В клеймах, повествующих о чудесах у
этого источника, базы крайних колонн перенесены на передний план — как и
в «Бельведере». Так достигаются сразу два художественных эффекта: колонны
отделяют клейма друг от друга и, кроме того, словно бы включают
изображение источника во внутреннее пространство здания.
Еще один пример — находящаяся в том же музее икона «Параскева
Пятница» (см. Указатель). Тут и передние, и задние колонны, поддерживающие
потолок, имеют базы на переднем плане, в результате чего Параскева
отгорожена от нас колоннами; одна из них даже частично заслоняет святую. Ясно,
зачем нужно было строить столь необычную пространственную конструкцию:
чтобы показать темницу с заточенной в ней Параскевой — нечто прямо
противоположное эшеровскому узнику*.
В обоих случаях сознательное пренебрежение законами геометрии
пространства позволяет древнему художнику решать важные для него творческие
задачи — точно так же, как его отдаленному потомку, жившему четыре века
спустя, который тоже создавал «невозможные конструкции», преследуя свои
художнические цели.
Вот такой «обнимающей скобкой» мне бы и хотелось закончить нашу
беседу о математическом анализе пространственных построений в живописи.
— Это был бы, Борис Викторович, и в самом деле элегантный конец,
достойный темы и делающий нашу беседу композиционно безукоризненной, если
бы не оставался еще один вопрос, не имеющий прямого отношения к изящным
построениям. Вопрос сугубо прагматический: что выявил проведенный вами
анализ, что дает он математике и живописи, в какой мере ваш многолетний
труд способствует уничтожению пропасти, возникшей между «двумя
культурами» — естественно-научной и художественно-гуманитарной?
— Начну, ради оригинальности и простоты, с середины. Математика,
конечно, не получила ничего — изучались примитивные с ее позиции вещи.
Живопись? Ну разве что и без того интуитивно ясно осознаваемую всяким
разумным художником истину, что правил, общих для всех, в творчестве не
существует. Правда, для частного случая изображения глубины предметов —
перспективы — тезис этот теперь доказан строго математически. Тем самым
точные науки как бы в очередной раз протягивают руку дружбы наукам
гуманитарным — увы, опять без ответной реакции, ибо практически все
искусствоведы, с кем я обсуждал свои работы (за редчайшими исключениями — этих
немногих людей с особой и искренней благодарностью я отмечаю в книге), не
пожелали вникнуть в их существо, ссылаясь на незнание математики, хотя я
очень внимательно следил за тем, чтобы используемый аппарат был понятен
всякому интеллигентному человеку.
* Спустя некоторое время после бесед с Б.В. Раушенбахом я встретил еще один пример
создания древними художниками «невозможных фигур» — о нем рассказал на конгрессе,
посвященном творчеству М.К. Эшера, Бруно Эрнст:
« В 1902 году, при реставрации грота Керке в голландском городе Бреда, была обнаружена
хорошо сохранившаяся фреска размером 2,7 х 2,5 м. Это было «Благовещение». На фреске
изображены две арки, покоящиеся на трех колоннах. Две из этих колонн образуют
соответственно левую и правую вертикали фрески. Они находятся на переднем плане. Третья же
колонна, которой тоже следовало бы быть на переднем плане, уходит к задней стене
комнаты, ее основание скрыто от глаз зрителя столом. Такая ситуация нереальна: само устройство
конструкции из двух арок, ее пространственная жесткость и «прямота» вступают в
противоречие со способом соединения базы средней колонны и пола комнаты».
Так или иначе, как представитель естественно-научной среды еще раз
расписываюсь в своем восхищении трудом Художника, и все мои амбиции
сводятся к попыткам понять хотя бы небольшую часть законов, труд этот
определяющих. Но понять, конечно, в нашем физико-математическом смысле, то есть
на уровне формул, таблиц, графиков, на основе точного, доказательного
знания.
И, наконец, о том, что выявил проведенный анализ. В сущности, мы
именно об этом и вели речь. Остается лишь выделить главное. Внимательное
рассмотрение типичных методов пространственных построений, характерных для
разных стран, эпох и стилей, показало, что все они имеют под собой
рациональную основу. Это обстоятельство — и только оно — позволяет применять
при анализе живописи и графики точные методы естественно-научных
исследований. Конечно, они ни в коей мере не могут претендовать на раскрытие
художественного образа. Но вполне уместны при попытке более глубокого, чем
принято в классическом искусствоведении, осмысления геометрии
изобразительных средств. В частности, с помощью описанных методов полностью
«реабилитируются» такие врожденные творцы, как дети, а также художники
древности, Востока, примитивисты, не говоря уж о модернистах — все, кто видит
пространство мира по-своему и, не боясь вступить в противоречие с
непогрешимыми мэтрами, нарушая незыблемые каноны, находит свои способы
отобразить объемное пространство на плоскости картины.
— Сегодня едва ли уже есть нужда «реабилитировать» тот или иной
творческий метод. Постепенно умами начинает овладевать простая мысль:
искусство не ставит себе целью фотографически точно отразить мир. Об этом прежде
всего свидетельствует искусство фотографии, когда мастер меняет оптику от
«телевика» до «широкоугольника», а то и до «рыбьего глаза», ищет ракурсы,
ставит свет, использует светофильтры, дымки, увод в нерезкость и т. п., чтобы
передать мысль и чувство, а вовсе не цвет и форму.
Тем более художник: он владеет всего одним объективом — собственным
глазом, но в воображении волен трансформировать пространство любым образом.
Либо наивно выстраивая все предметы в один ряд, пренебрегая явно видными
перспективными искажениями, но зато показывая зрителю внутреннее родство
изображаемых объектов, их единство и равноправие. Так творили в далекой
древности, по этому пути к зрительскому сердцу идут и современные примитивисты.
Либо же, как это делают модернисты: превращая деформацию пространства в
мощный художественный прием, апеллируя к способности человека мысленно
исправить несуразности изображения и тем самым проделать нужный для
понимания замысла художника умственный труд. Одним словом, — это видишь,
читая ваши, Борис Викторович, книги по живописи, — и до создания ренессансной
системы перспективы, и после нее художники не прекращают поисков. Они ищут
свою дорогу к Храму, свой способ изобразить мир...
— А математика, наука строгая, при этом утверждает: таких абсолютно
точных способов просто не существует. Но зато приближенных в одной лишь
сфере чистой геометрии пространства — не один и не два, их гигантское
число, и все они равноправны. Видимо, в природе действует еще один закон
типа законов сохранения массы, энергии, импульса и т. п. Это закон сохране-
ния ошибок при передаче пространства: стремясь точно изобразить что-то
одно, мы неизбежно, и притом в строго определенной мере, искажаем что-то
другое, так что сумма ошибок остается прежней. Если и этот «закон
сохранения» окажется верным (в чем я убежден, в свое время написал даже
специальную статью, она так и называлась «Закон сохранения ошибок в
изобразительном искусстве»), то вот вам мой реальный вклад в общее дело соединения
«физиков и лириков», воспитания человека разносторонних интересов и
знаний, который только и сможет творить в завтрашнем мире.
Подобно тому, как люди
изначально сумели природными
орудиями.,, сделать некоторые
наиболее легкие... а сделав их, сделали и
другие, более трудные... так и
разум природной силой своей
создает себе умственные орудия, от
которых обретает другие силы,
для других умственных работ... и
так постепенно подвигается,
пока не достигнет вершины
мудрости.
Барух СПИНОЗА
ВАРИАЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ
«И ПРИМЕШЬ ТЫ СМЕРТЬ ОТ КОНЯ СВОЕГО...»
(Микродетектив в письмах и журнальных публикациях)
У Владимира Набокова герой его
«Защиты Лужина», полностью
погрузившись в мир шахмат,
изменяет этим законы геометрии
и времени в окружающем
пространстве.
Из ИНТЕРНЕТа
Эта вариация — результат архивных поисков, она состоит из
отдельных, но связанных между собой документов, имеющих известное
отношение к теме этой книги.
Когда проработаешь в одной редакции много лет, покидая ее,
находишь в скопившихся в шкафах и ящиках стола бумагах немало
полузабытого, хотя по-прежнему не лишенного интереса. Вот,
например, эти несколько писем, в которых говорится все о том же
любимом мною голландском художнике Маурице Корнелисе Эшере. Не
один десяток материалов, прошедших через мои редакторские или
авторские руки, был иллюстрирован его гравюрами. В этом я всегда
находил поддержку у Александра Михайловича Эстрина,
художественного редактора журнала «Знание — сила», где мы вместе работали,
героя предлагаемой вниманию читателей переписки.
Что же касается моего корреспондента Корнелиуса Ван Шаак
Рузвельта, то его имя уже знакомо читателю этой книги. Я же
познакомился с ним — правда, не лично, а только «письменно» — очень
давно. Летом 1971 года в редакцию пришло письмо в длинном и
узком заграничном конверте.
«Джентльмены! — говорилось в нем. — Я очень бы хотел
получить по два экземпляра каждого из следующих четырех номеров
«Знание — сила»: 1, 2, 9 и 12 за 1970 год». И далее, после обязательного
для делового американца упоминания о чеке, который он посылает в
уплату за журналы и их доставку, стояла подпись: «Искренне Ваш
К.В.Ш. Рузвельт».
Нельзя сказать, что послание было неожиданным. Скорее
наоборот. Я знал, что Корнелиус Ван Шаак Рузвельт — известный
коллекционер, собиратель произведений искусства, в частности и в
особенности гравюр Маурица Корнелиса Эшера. А именно ими были
иллюстрированы мои статьи. И я отправил в Вашингтон, округ Колумбия,
2500 Кью стрит, пакет с номерами журнала — не только теми, о
которых просил Рузвельт (он и в самом деле внук знаменитого
американского президента Теодора Рузвельта), но и к немалому его удив л е-
нию, поскольку в письме ни слова не говорилось о причинах его
интереса к нашему журналу, с теми, где вообще когда-либо
публиковались работы этого известнейшего голландского графика. А спустя год
за океан ушли еще четыре мои статьи, украшенные эшеровскими
гравюрами.
У меня с К.В.Ш. Рузвельтом все эти годы продолжалась самая
активная переписка: мы посылали друг другу все доступные нам
издания, где появлялись работы любимого нами обоими художника. Я
не вел строгого учета отправлений и получений, но думаю, что из
Москвы ушло по почте не меньше писем и бандеролей, чем из
Вашингтона. Но, быть может, наиболее любопытное в этой переписке — те
письма, что публикуются ниже, поскольку в них Мауриц Корнелис
Эшер проявляется вдруг с еще одной неожиданной стороны. Подарив
в том же году, когда отправлено первое из этих писем, свою
коллекцию работ художника Вашингтонской Национальной галерее, Корне-
лиус Ван Рузвельт с одной-единственной гравюрой расстаться не смог
и оставил ее себе. Это «Метаморфозы».
Вот о ней-то и идет речь в тех старых письмах, которым теперь уже
более тридцати лет.
Документ первый
М-ру Карлу Левитину 25 сентября 1973 г.
«Знание — сила»
2 Волконский переулок, 1
103473 Москва
Дорогой м-р Левитин!
Вместе с этим письмом я посылаю Вам ксерокопии двух материалов из
«Журнала Вашингтонской Академии наук», касающихся двух «длинных»
гравюр М.К. Эшера — «Метаморфозы-II» и «Метаморфозы-III». Если Вы играете
в шахматы (а я полагаю, что у Вас в стране все люди хорошие шахматисты),
материалы эти могут быть Вам интересны.
Искренне Ваш
К.В.Ш. Рузвельт
Документ второй
М-ру Карлу Левитину 23 ноября 1973 г.
«Знание — сила»
2 Волконский переулок, 1
103473 Москва
Дорогой м-р Левитин!
Не могу вспомнить, посылал ли я Вам две небольшие статьи, касающиеся
одной шахматной позиции, которая изображена на гравюре Эшера
«Метаморфозы». На тот случай, если я забыл сделать это, посылаю Вам копию каждой
из них. Если Вы шахматист, то они могут Вас заинтересовать.
Искренне Ваш
К.В.Ш. Рузвельт
Документ третий
Из «Журнала Вашингтонской Академии наук», том 62, № 4, 1972 г.,
с. 315—316.
Чарльз МИЛЬТОН,
профессор кафедры геологии
университета Джорджа Вашингтона,
Вашингтон, 20006
ЗАМЕТКИ ПО ПОВОДУ ГРАФИКИ М.К. ЭШЕРА
РЕЗЮМЕ
Гравюра «Метаморфозы» М.К. Эшера демонстрирует присущую лишь
этому художнику уникальную способность контакта с учеными.
Отсутствие общения между представителями точных наук и гуманитариями
отмечалось многими, немало сожалений было высказано по этому поводу.
Некоторые ученые-естественники, особенно физики и математики, склонны
порой предаваться развлечениям художественного толка, чаще всего
музицированию, но художник, имеющий стойкий интерес к науке, — это необычайная
редкость. Среди великих мастеров можно назвать всего несколько имен —
Леонардо да Винчи, Рембрандт, а в наше время Икинс, которые изучали
анатомию как основу своего искусства. Но М.К. Эшер — первый из крупных
художников, кто серьезно и систематически интересовался философскими
проблемами, которые стоят перед человеческим разумом, вследствие чего его
графические работы явились выражением глубокого и точного абстрактного
мышления. Благодаря такого рода трудам Эшер сумел установить контакт с
учеными, причем такой, что в истории ему, пожалуй, нет равных, о чем
свидетельствуют научные книги и статьи, в которых его работы
использованы в качестве иллюстраций в тексте или же для оформления обложки, или
же служат темой исследования и обсуждения. Таких работ к 1970 году
появилось около 70*. Вот лишь некоторые из них: Г.М. Коксетер,
«Введение в геометрию»: Нью-Йорк и Лондон, 1969; П. Терпстра и Л.У. Колд,
«Кристаллометрия», Лондон, 1961; К.Г. Макгиллаври, «Аспекты
симметрии в периодических рисунках М.К. Эшера», Утрехт, 1965.
Этот список отнюдь не ограничивается математическими дисциплинами, но
включает в себя труды по ядерной физике, физике твердого тела, химии,
межзвездным коммуникациям, оптическим иллюзиям и связанными с ними
психологическими проблемами, теории принятия решений, методам обучения,
дифракции рентгеновских лучей, офтальмологии. В их число входит даже
обложка брошюры, изданной Службой парков США, в которой описывается
национальный парк «Эверглэйд», где плывущие рыбы трансформируются в
летящих водоплавающих птиц** — своего рода символ экологического единства
земли и воды Флориды, символ, отличающийся и научной точностью, и
эстетическим совершенством. Именно сочетание глубокой интеллектуальности с
мастерством странной, западающей в память красоты характерно для
творчества Эшера.
Настоящие заметки посвящены, однако, лишь малой частности в трудах
Эшера: описанию шахматной партии, изображенной на одной из его гравюр,
названной «Метаморфозы». Она представляет собой некую фантазию, в
которой одна идея в потоке «свободных ассоциаций» следует за другой, причем
всякая тема вытекает из предыдущей и, в свою очередь, определяет собой
последующую. Одна из таких тем — шахматная игра. По словам самого
Эшера, «...кубические блоки дают начало городу на берегу моря. Башня,
стоящая в воде, является в то же время и шахматной фигурой на доске, которая
своими светлыми и темными квадратами вновь возвращает нас к буквам,
образующим слово «Метаморфозы».
* М-р К.В.Ш. Рузвельт, который любезно разрешил воспроизвести здесь гравюру
«Метаморфозы» из своей личной коллекции, сообщил мне, что число подобных публикаций сегодня
намного больше. В письме, датированном 22 октября 1972 года, он говорит о 200 названиях
на английском, голландском, французском, немецком, шведском, итальянском, датском,
русском, польском, венгерском и др. языках. — Ч.М.)
** Имеется в виду гравюра «Небо и вода I». — К.Л.
Мой друг м-р Дэвид Флейшнер, специалист в области шахматной игры,
указал мне на истинный смысл этой шахматной позиции, имеющий прямое
отношение к философскому духу, присущему всем работам Эшера. Стоит
отметить, между прочим, что шахматные фигуры на его гравюре — самые
обычные, общепринятого простого и строгого «стаунтонского» стиля, столь не
похожие на те намеренно вычурные, что используются, как правило, в разного
рода рекламных художествах, где они всегда показаны в совершенно
бессмысленных и абсурдных позициях.
Эшер же расположил свои шахматные фигуры таким образом, что партия
на доске имеет глубокий, можно даже сказать трагический, символизм.
М-р Флейшнер замечает (письменное сообщение, 1971 г.): «...Это так
называемый «спертый мат», известный как «наследство Филидора». Он был известен
уже в 1496 году и впервые опубликован неким Лусеной: белые ходят JI:gl, в
ответ черные: Kf2 Мат».
Таким образом, белый король с неизбежностью обречен: его собственная
ладья в попытке защитить его от вражеского ферзя закрывает собой
единственный путь к бегству от атакующего черного коня, который и наносит
роковой удар.
Эта тема неизбежной обреченности вновь появляется в гравюре
«Предопределение», где «агрессивная прожорливая рыба и нежная ранимая птица
являются актерами некой драмы. Столь контрастно различные черты
характера неизбежно ведут к развязке... черная сатанинская рыба и белая птица,
сама невинность, но, к сожалению, неминуемо обреченная на уничтожение»*.
Тема гравюры «Встреча» — вновь предопределенное заранее соприкосновение
белых и черных фигур, добра и зла, хотя здесь уже есть элемент
взаимоприемлемости или, во всяком случае, смирения с неизбежным. На гравюре
«Предел на круге IV, Небеса и Ад» перед нами еще раз предстает неотвратимая
переплетенность белого и черного, доброго и злого, которая с пугающей
ясностью проникает в самые глубины нашего естества, но по мере того как
наше видение мира расширяется до пределов нашего сознания и понимания,
все уменьшается и уменьшается и в конце концов исчезает в неразличимом
Ничто.
Доктор Чарльз Мильтон вновь цитирует М.К. Эшера. — К.Л.
Документ четвертый
Из «Журнала Вашингтонской Академии наук», том 63, № 2, 1973 г., с. 91.
Дорогой сэр!
Я пишу по поводу небольшой статьи, опубликованной в «Журнале
Вашингтонской Академии наук» доктором Чарльзом Мильтоном, названной им
«Заметки по поводу графики М.К. Эшера».
В течение почти 20 лет я восхищался необычными работами м-ра Эшера и
собирал их в свою коллекцию. Впервые я познакомился с ним по переписке, а
позже мы встречались по разным поводам. Одна из таких встреч состоялась в
Гааге в июне 1968 года, на праздновании семидесятилетия м-ра Эшера, когда в
честь него была проведена выставка-ретроспектива его графики в Гемеенте-
музее.
На следующий день после открытия выставки я посетил его в его доме
в Баарне, и между нами состоялся большой и долгий разговор. В ходе его
он спросил меня, слышал ли я о какой-либо публикации, касающейся
объяснения шахматной позиции, изображенной на его гравюре
«Метаморфозы».
Я ответил, что мне ничего об этом не известно. Он повторил слова, которые
часто говорил другим, о том, что его работы — это «игры, серьезные игры», а
после этого стал объяснять мне смысл ситуации, возникшей на шахматной
доске. Он просил меня никому не говорить об этом, поскольку ему любопытно
было узнать, когда же кто-нибудь заметит игру в игре, которую он изобразил
на своей гравюре.
Я обещал ему, что не выдам его тайну, но буду внимательно следить за
публикациями и немедленно сообщу ему, как только прочту, что кто-то
заметил позицию на шахматной доске и понял, что имел в виду художник.
М-р Эшер умер почти точно ровно год назад, так что я лишен возможности
написать ему и сообщить, что д-р Мильтон был первым, насколько мне
известно, кто заметил и правильно понял то, что происходит на шахматной доске
гравюры «Метаморфозы», созданной м-ром Эшером треть века назад.
Искренне Ваш
К.ВеШ. Рузвельт,
2500 Кью стрит, Норт Уэст,
Вашингтон, 20007
Документ пятый
М-ру Корнелиусу Ван Ш. Рузвельту 17 декабря 1973 г.
2500 Кью стрит, Норт Уэст,
Вашингтон, 20007
Дорогой м-р Рузвельт!
Спасибо за Ваше письмо, датированное 23 ноября, и за присланные в нем
материалы (честно говоря, Вы посылаете их мне во второй раз). Быть может,
Вас удивят мои слова, но я знаю человека, который сразу же заметил «игру в
игре». Это художественный редактор нашего журнала. Его зовут Александр
Эстрин, и на следующий день после того, как я показал ему «Метаморфозы»,
он сообщил мне, что увидел на этой гравюре шахматную позицию, называемую
«спертый мат». Поскольку случилось это намного ранее декабря 1972 года,
Эстрин, а не д-р Чарльз Мильтон — первый, кто разгадал замысел Эшера.
С Вашего позволения я подарю ему одну из двух присланных Вами копий
материалов, в которых речь идет обо всей этой истории.
Ваш искренне
Карл Левитин
Документ шестой
М-ру Карлу Левитину 20 декабря 1974 г.
«Знание—сила»
2 Волконский переулок, 1
103473 Москва
Дорогой м-р Левитин!
Мне было весьма любопытно узнать, что м-р Эстрин, художественный
редактор Вашего журнала, обнаружил «спертый мат» на гравюре Эшера
«Метаморфозы» до д-ра Мильтона. Все притязания д-ра Мильтона на славу состоят
в том, что он первый, кто опубликовал свое небольшое открытие. Как жаль,
однако, что Эшер не дожил до того, чтобы узнать о м-ре Эстрине, который
разгадал его игру.
Искренне Ваш
К.В.Ш. Рузвельт
Наверное, читатели без труда разгадали мою собственную «игру в
игре»: публикация всех этих писем затеяна главным образом для того,
чтобы дать возможность некоторому числу знакомых и незнакомых
мне людей еще раз полюбоваться гравюрами художника, близкого
моему сердцу и уму своим необычным отношением к пространству и
геометрии нашего мира, и оценить изящество еще одной связанной с
ним забавной истории.
После разрешения любой
проблемы всегда будет
оставаться великой загадкой вопрос: а
как поступить с другими
проблемами?
Поль ДИРАК
УКАЗАТЕЛЬ РАБОТ ХУДОЖНИКОВ,
ИЛЛЮСТРИРУЮЩИХ ЭТУ КНИГУ
И ИМЕЮЩИХ ЯРКО ВЫРАЖЕННОЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ НАЧАЛО
В каждом художнике заложен
росток дерзновения, без
которого немыслим ни один талант.
Вольфганг ГЕТЕ
Джакопо БАРБАРИ:
Портрет фра Луки Пачоли 107 справа
Сальвааор ДАЛИ:
Распятие (Corpus Hypercubus) 33
Тайная вечеря 136
Сардана пятигранников (Pentagonal
Sardana) 73 в середине
Альбрехт ДЮРЕР:
Рисование по сетке 191
Александр ЗОСИМОВ:
Исправленный бельведер 185 внизу
Жан-Пьер ЛЮМИНЕТ:
Большой Взрыв 135
Пабло ПИКАССО:
Девушки Авиньона 70
Дэн ПИРАРО
М.К. Эшер и его собака Лидия 181
Андрей РУБЛЕВ:
Троица (икона) 195 вверху
Неизвестные ХУДОЖНИКИ:
Живоносный источник Богоматери
(икона) 196
Параскева Пятница (икона) 195 внизу
Обложка «Книги о перспективе» Жана
Кусена 81
«Книга мертвых» — Суд Озириса
192
Мауриц ЭШЕР:
Автопортрет, 1923 148, вторая сверху
Автопортрет, 1943 16
Автопортрет в сферическом зеркале
212
Ангелы и дьяволы 183
Балкон 37; 148 внизу
Бельведер 47; 151 в середине; 185
вверху
Буковый шар 199
Воздушный замок 112 вверху
Вавилонская башня 145
Вверху и внизу 3; 153 вверху
Вербум 157 внизу
Водопад 39; 151 вверху
Волшебное зеркало 169
Восемь голов 98
Всадник 46
Всадники, мозаика 97
Все меньше и меньше 1-я обл.; 156 в
середине
Встреча 152 вверху
Второй день творенья 75 вторая снизу
Выпуклое и вогнутое 43
Геометрическая суть гравюры «Дом
лестниц» 167 слева
Глаз 157 вторая снизу
Глубина 3-я обл.; 147 вторая снизу
Город в Италии II 149 вторая снизу
Двойной планетоид 87
Дельфины в фосфоресцирующем море
147 в середине
День и ночь 96; 153 в середине
Деталь интерьера церкви Св. Баво 2
Дом лестниц 167 справа в середине
Дорические колонны 6; 150 вторая снизу
Дракон 38; 155 в середине
Завиток 20
Звезды 100; 156 внизу
Змеи 215
Изогнутая лестница 150 вверху
Иллюминатор 189
Иной мир, 1946 184; 156 вверху
Иной мир, 1947 30; 75 внизу
Интарсия (инкрустированная стенная
панель) с часами для конференц-
зала ратуши города Лейдена 86
Итальянский город II 148 в середине
Каланча, Корсика 147 вторая сверху
Капля росы 146 справа вверху
Картинная галерея 165 внизу; 155 вверху
Колючий цветок 149 внизу
Контраст (Порядок и хаос I) 104
Концентрические кольца 116
Кристалл 88; 146 слева вверху
Куб с волшебными лентами 50
Кубическое разбиение пространства
138; 154 внизу
Кузнечик 147 внизу
Лебеди 49
Лента единства 1; 157 вверху
Лента Мёбиуса 155
Лента Мёбиуса II 2-я обл.
Лошади и птицы 200
Лужа 194
Макет икосаэдра 79
Метаморфозы II 201—202
Мозаика II 144
Мозаики Альгамбры 91
Муравей 148 вверху
Натюрморт с улицей 210; 148 вторая
снизу
Натюрморт с зеркальной сферой 4
Небо и вода I 56; 152 внизу
Небо и вода II 204
Оболочка 1-я обл.
Освобождение 67
Относительность 68; 153 внизу
Плоские черви 110
Поднимаясь и опускаясь 10; 150 внизу
Портрет Г.А. Эшера 146 вторая снизу
Порядок и хаос II 137
Правильное разбиение плоскости VI158
Предел на круге 145
Предел на круге II 19
Предел на круге III 4-я обл.
Предел на круге IV 5
Предопределение 208
Прорисовка к гравюре «Путь жизни
II» 166 внизу справа
Путь жизни I 115
Путь жизни II 166 внизу слева
Путь жизни III 141
Разбиение пространства 143
Раковины 146 вторая сверху
Рептилии 105; 155 внизу
Рисующие руки 174 слева
Рокка Империале, Калабрия 75
вторая сверху
Россано, Калабрия 75 слева в середине
Рука с зеркальным шаром 146 внизу
Рыбы, виньетка, 1955 209
Рыбы и чешуйки 166 вверху
Рябь на воде 163; 146 вверху в середине
Сиена 149 вверху
Силы гравитации 112 внизу справа
Скарабеи 149 вторая сверху
Спирали 214
Спирали на сфере 71
Стрекоза 149 в середине
Сферическая поверхность с рыбами 99
Тетраэдральный планетоид 111
Три мира 60; 152 в середине
Три сферы I 168 слева
Три сферы II 216
Узлы, 1965 131 вверху
Узлы, 1966 131 внизу
Фейерверк 75 слева вверху
Фосфоресцирующее море 147 вверху
Фрагмент гравюры «Метаморфозы II»
206
Циклы 142
Человек-на-скамейке (фрагмент
гравюры «Бельведер») 151 внизу
Человек-с-мешком-на-спине (фрагмент
гравюры «Относительность») 154
вверху
Четыре правильных тела 15
Шествие в подземной часовне 52
Эскиз к гравюре «Звезды» 72
Эскиз к гравюре «Картинная галерея»
165 вверху
Эскиз к гравюре «Оболочка» 157
вторая сверху
Эскиз к гравюре «Путь к жизни II»
166 внизу справа
Эскиз к гравюре «Рыбы и чешуйки»
166 в середине
Эскиз к гравюре «Силы гравитации»
112 внизу слева
Эскиз к гравюре «Три сферы I» 168
справа
Все прекрасное так же трудно,
как и редко.
Барух СПИНОЗА
СОДЕРЖАНИЕ
Пусть никому не будет
позволено издавать книги поспешно
и преждевременно; наоборот,
все должны привыкать
оформлять и переоформлять свои
труды ... работать над ними и
перерабатывать их так долго,
пока каждая написанная книга
не будет отвечать нормам
гармонии и согласованности,.. Что
быстро возникает, то быстро
и погибает; над чем долго
и точно трудятся, то
переживает века.
Ян Амос КОМЕНСКИЙ
ПРЕДИСЛОВИЕ 4
УВЕРТЮРА 6
ИНТРОДУКЦИЯ 16
I. ПОЦЕЛУЙ ПО РАСЧЕТУ 20
И. МЁБИУСИАНА 46
III. СПРАВА, ГДЕ СЕРДЦЕ 56
IV. ВЕЛИКОЛЕПНАЯ ПЯТЕРКА 72
V. СЕРЬЕЗНЫЕ ИГРЫ 88
VI. МИРОВАЯ ГАРМОНИЯ 100
VII. МУЗЫКА СФЕР 116
ФИНАЛ 138
ВАРИАЦИИ 142
ВАРИАЦИЯ ПЕРВАЯ 144
ВАРИАЦИЯ ВТОРАЯ 158
ВАРИАЦИЯ ТРЕТЬЯ 184
ВАРИАЦИЯ ЧЕТВЕРТАЯ 200
УКАЗАТЕЛЬ ГРАВЮР ХУДОЖНИКОВ,
ИЛЛЮСТРИРУЮЩИХ ЭТУ КНИГУ
И ИМЕЮЩИХ ЯРКО ВЫРАЖЕННОЕ
ГЕОМЕТРИЧЕСКОЕ НАЧАЛО 210
К числу величайших открытий,
к которым пришел за последнее
время человеческий ум, бесспорно
принадлежит, по моему мнению,
искусство судить о книгах, не
прочитав их.
Георг Кристоф
ЛИХТЕНБЕРГ
КАРЛ ЕФИМОВИЧ ЛЕВИТИН
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ
РАПСОДИЯ
Корректор Постникова ЕЛ.
Компьютерная верстка Митрикова СВ.
ООО Издательский дом «Камерон»
107005, Москва, ул. Ф. Энгельса, д. 3/5, стр. 4
факс: 261-19-31
E-mail: redaktor@kameron.ru
Подписано в печать 23.06.2004.
Формат 70x108/16. Усл. печ. л. 13,5.
Печать офсетная. Бумага офсетная.
Гарнитура «JournalC». Тираж 3000 экз.
Заказ № 704.
Отпечатано с готовых диапозитивов издательства.
ОАО "Тверской полиграфический комбинат"
170024, г. Тверь, пр-т Ленина, 5. Телефон: @822) 44-42-15
Интернет/Home page - www.tverpk.ru Электронная почта (E-mail) -sales@tverpk.ru
Карл Ефимович Левитин родился в 1936 году. После окончания
Московского энергетического института работал в научно-
исследовательском институте электромеханики. В это же время
начал сотрудничать с "Литературной газетой", журналом "Наука
и жизнь" и научно-художественным альманахом "Пути
в незнаемое". С 1966 года в течение двадцати с лишним лет
заведовал отделом точных наук в журнале "Знание —сила",
потом недолгое время работал в академических журналах "Наука
в СССР" и "Природа". В течение десяти лет возглавлял
московское бюро самого старого и самого известного в мире
научного журнала "Нейчур" и был его российским
корреспондентом. Был президентом благотворительного и
научно-просветительного фонда "Дух науки" и председателем
московского отделения Международного фонда истории науки.
Тогда же он начал читать курс лекций по научной журналистике,
сначала в Открытом университете в Будапеште,
потом в Калифорнийском университете в Сан-Диего
и в Институте международного права и экономики
имени А.С. Грибоедова в Москве.
Автор десяти научно-художественных книг и более ста статей,
очерков, репортажей и сценариев, опубликованных на русском,
английском, болгарском, молдавском, монгольском, чешском,
сингальском и японском языках. Им написано несколько
фантастических рассказов и одна повесть.