Текст
DISCOVERING
RELATIVITY
FOR YOURSELF
with some help from
SAM LILLY
Cambridge University Press
Cambridge
London New York New Rochele
Melbourne Sydney
1981
с.лилли ТЕОРИЯ
ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
ДЛЯ ВСЕХ
Перевод с английского
канд. физ.-мат. наук
3. А. Штейнграда
лод редакцией
д-ра физ.-мат. наук
Л. П. Грищука
МОСКВА «МИР» 1984
ББК 22.313
Л57
УДК 530.1
Лилли С.
Л57 Теория относительности для всех: Пер. с англ.
3. А. Штейнграда/Под ред. Л. П. Грищука. —М.: Мир,
1984, 503 с, ил.
Книга преподавателя факультета образования для взрослых Ноттингемского
университета (Великобритания) представляет собой своего рода самоучитель по
теории относительности. Она дает доступное изложение знаменитой теории
А. Эйнштейна без использования сложного и громоздкого математического аппа-
аппарата, поэтому для ее чтения не требуется практически никакой математической
подготовки. Рассмотрены физические основы и следствия как специальной, так
и общей теории относительности.
Рассчитана на широкий круг читателей, желающих познакомиться с теорией
относительности.
„1704620000-309 ББК 22.313
Л 041@1)-84 61"84 ч- * 530Л
Редакция литературы по космическим исследованиям,
астрономии и геофизике
Cambridge University Press 1981
Перевод на русский язык «Мир>, 1984
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Книги по теории относительности пользуются все возрастаю-
возрастающей популярностью. Это объясняется фундаментальной ролью
этой теории в современном естествознании и интеллекту-
интеллектуальной глубиной ее понятий. Теорию относительности принято
разделять на специальную (частную) и общую. Специальная
теория относительности лежит в основе описания физических
явлений, происходящих при больших скоростях, сравнимых со
скоростью света. Центральное место в ней занимает идея объ-
объединения пространства и времени в единый четырехмерный
мир — пространство-время. Эта теория надежно установлена и
проверена, но к некоторым ее выводам нелегко привыкнуть, по-
поскольку с релятивистскими явлениями не приходится сталки-
сталкиваться в повседневной жизни. Общая теория относительности
обобщает специальную теорию относительности на случай опи-
описания гравитационных явлений (отсюда ее название), т. е. она
является релятивистской теорией тяготения. Ее идеи приводят
к понятию искривленного пространства-времени. В настоящее
время релятивистская теория тяготения наиболее активно ис-
используется и развивается в связи с задачами астрофизики и
космологии. Можно без преувеличения сказать, что в настоящее
время теория относительности становится достоянием общече-
общечеловеческой культуры. Она необходима не только узким специа-
специалистам, но и всякому образованному человеку как важный эле-
элемент его мировоззрения.
Написано много научно-популярных книг по теории относи-
относительности. Пожалуй, все они, рассказывая о наиболее ярких
выводах этой теории, не предназначались для сколько-нибудь
систематического и самостоятельного изучения предмета. В этом
отношении предлагаемая книга С. Лилли занимает особое по-
положение. Не случайно дословный, но несколько неуклюжий пе-
перевод ее названия звучит так: «Открывая теорию относительно-
относительности для себя». В своем предисловии автор рассказывает о том,
как у него возник замысел написать книгу на основе своих лек-
Ций для взрослых людей самых разнообразных специальностей.
Эта книга действительно для всех. Она может рассматриваться
как своего рода самоучитель по теории относительности.
Книга никого не оставит равнодушным. Кому-то очень
понравится простой, неторопливый, подробный стиль изложе-
От редактора перевода 6
ния, хотя кому-то она может показаться скучной, а ее объем —
неоправданно большим. Достоинство книги в том, что она по-
построена в виде непринужденной беседы с читателем. Она рас-
рассчитана на тех, кто знает лишь арифметику, но столь сильно
желает разобраться в специальной и даже общей теории относи-
относительности, что будет готов по ходу дела потратить много вре-
времени на изучение математики самой по себе. Автор исходит из
того, что он имеет дело с читателем, которому следует разъяс-
разъяснить содержание теоремы Пифагора и правила обращения с
отрицательными числами. Описание этих простых вещей сосед-
соседствует с изложением сведений о физических экспериментах и
принципах теории относительности. В этом, кстати, кроется не-
немалая опасность. Создается впечатление, что усвоение физиче-
физических идей теории Эйнштейна требует примерно таких же интел-
интеллектуальных усилий, как и изучение школьного курса матема-
математики. К сожалению, это не так. Далеко не все прекрасно усво-
усвоившие школьный курс математики понимают теорию относи-
относительности. Математически подготовленному читателю не следует
слишком поверхностно относиться к тем разделам книги, где
излагаются физические принципы предмета. Между прочим, в
книге найдет много интересного и студент университета, и ква-
квалифицированный инженер.
Автор подчеркивает, что он педагог, а не специалист, рабо-
работающий в области теории относительности. Некоторые из его
педагогических приемов действительно великолепны. Правда, в
последних разделах книги все-таки чувствуется, что они напи-
написаны неспециалистом и не на современном математическом
уровне. Стремясь избежать тензорного анализа и дифференци-
дифференциального исчисления, автор вынужден проводить элементарные,
но довольно трудоемкие и утомительные вычисления там, где
владение современной математикой делает все простым и яс-
ясным.
Рекомендуем читателю несколько научно-популярных книг
по теории относительности, хотя и иного плана:
Л. Д. Ландау, Ю. Б. Румер. Что такое теория относительно-
относительности.— М.: Советская Россия, 1959?
Г. Бонди. Относительность и здравый смысл. — М.: Мир.
1967.
П. Бергман. Загадки гравитации. — М.: Наука, 1969.
Э. Тейлор, Дж. А. Уилер. Физика пространства-времени.—
М.: Мир, 1969.
Д. Сиама. Физические принципы общей теории относительно-
относительности.—М.: Мир, 1971.
Л. Я. Грищук
Моим слушателям в Бостоне, Дерби,
Линкольне, Лафборо, Мансфилде,
Ноттингеме, Скегнессе, Слифорде,
Стамфорде, научившим меня, как
учить теории относительности
ПРЕДИСЛОВИЕ
Еще одна книга по теории относительности для неспециали-
неспециалиста! Зачем? Что в ней нового?
Теории Эйнштейна уже посвящено множество книг, напи-
написанных корифеями в этой области физики. Они приложили ог-
огромные усилия, чтобы изложить теорию относительности с
большой логической стройностью, простым языком, понятным
любому смышленому человеку, даже если у него нет специаль-
специального образования. И тем не менее, прочитав эти книги, боль-
большинство читателей остались озадаченными. Почему? Думаю,
что после обсуждения с десятками слушателей моих лекций я
могу ответить на этот вопрос. Трудности, с которыми сталки-
сталкивается неспециалист, связаны вовсе не с тем, что можно было
бы ожидать исходя из логического анализа. Специалист по тео-
теории относительности, каким бы усердным и доброжелательным
он ни был, вряд ли вникал в эти трудности, более того, едва ли
он имеет представление о том, как их преодолеть.
Я вовсе не отношусь к этим специалистам. Все, что я знаю
о теории относительности, — результат усердного изучения их
работ. Зато я могу претендовать на то, чтобы называться спе-
специалистом в другом — в искусстве учить науке людей от нее
далеких. Это мое основное занятие с 1950 г.
Теорию относительности я ввел в читаемые мною курсы лек-
лекций в 1958 г., и с тех пор я преподавал ее плотникам, мелким
служащим, домохозяйкам, шахтерам и страховым агентам —
всем тем, кто не имеет специальной подготовки для изучения
этого предмета (а также группам людей, имеющим кое-какую
подготовку, например учителям и инженерам). Поначалу я обу-
обучал этой науке плохо. Но слушатели факультета образования
для взрослых дали мне возможность учиться на своих ошибках.
На моих лекциях всегда очень много дискуссий. Слушатели без
стеснения выкладывают возникшие перед ними проблемы, что
приветствуется и всячески поощряется, и обсуждают их до тех
пор, пока я не найду способа преодолеть то или иное препятст-
препятствие. Поощряются даже попытки опровергнуть самого Эйнштей-
Эйнштейна (или меня). Только после того как достигается полная яс-
ясность, мы продолжаем двигаться дальше.
Уж и не знаю, много ли усвоили слушатели первых групп,
зато я сам научился многому. Находясь в гуще дискуссий и спо-
Предисловие 8
ров, я понял, что главные трудности состоят не в том, чего
разумно было бы ожидать, и не в том, с чем можно справиться
с помощью чисто логического объяснения. Здесь требовался
обходной маневр. Поэтому я стал записывать на магнитофон
все свои лекции, прослушивать записи, анализировать возникав-
возникавшие перед слушателями проблемы и выявлять свои огрехи.
Я завел дневник, в который систематически заносил сделанные
выводы. С осени 1963 по весну 1970 г. я проводил весь этот
комплекс для каждого читаемого мною курса теории относи-
относительности, так что у меня накопились магнитофонные записи
продолжительностью 650 часов, а на их прослушивание я потра-
потратил около 2000 часов.
Мало-помалу я пришел к пониманию тех особенностей вос-
восприятия, с которыми связана каждая трудность. И тогда шаг за
шагом я разработал соответствующую методику преподавания,
благодаря которой мои теперешние слушатели легко и быстро
преодолевают трудности. Поэтому я решил, что стоит приспо-
приспособить эту методику для заочного обучения с помощью книги.
Разумеется, книге, в основе которой лежит курс общедоступных
лекций, неизбежно будут свойственны некоторые стилистические
особенности, но это простительно, если книга, как я надеюсь,
поможет многим людям хорошо разобраться в теории относи-
относительности— одной из самых замечательных научных теорий
XX в.
Чтобы легче было выявить, а затем и преодолеть реальные
проблемы, возникающие леред слушателями, необходимо ис-
исключить трудности чисто технического характера, в особенности
математические. Поэтому я постепенно разработал методику, в
которой математика используется минимально. Кроме того, раз-
разработана схема, дозволяющая даже этот минимум вводить шаг
за шагом, по мере необходимости. Бегло пролистайте книгу, и
вы увидите, как медленно внедряется в изложение математика.
Этот упрощенный математический подход тем не менее
позволил мне вывести основные следствия общей теории отно-
относительности элементарными методами. Вместо наводящего ужас
тензорного исчисления я использую только весьма упрощенный
вариант исчисления бесконечно малых, которое ввожу по мере
надобности. (Между прочим, есть один момент, который мог бы
представить интерес даже для специалиста по теории относи-
относительности: пп. 32.26, 32.27, 32.31—32.33.)
Я в долгу у многих и прежде всего у Германа Бонди (не-
(несмотря на то, что я давно не пользуюсь его методом). Прочитав
его статью, опубликованную в декабре 1957 г. в журнале
Discovery, я понял, что теория относительности — вполне под-
подходящий предмет для факультета образования для взрослых.
Кроме того, большое стимулирующее влияние на меня оказали
Предисловие 9
телевизионный цикл лекций, прочитанный Бонди в 1963 г.,
и вышедшая вслед за тем книга по теории относительности.
Я также обязан многим другим авторам, результатами которых
я пользовался. Среди них хочу особо отметить Л. Д. Ландау и
Ю. Б. Румера, авторов книги «Что такое теория относительно-
относительности?» и Дж. Шварца, автора книги «Теория относительности в
картинках». Я благодарен Д. Чепмену за помощь в подготовке
рукописи и чтении корректур. Я также признателен своей жене
за долготерпение. Но больше всего я в долгу у тех, кому посвя-
посвятил эту книгу.
Ноттингемский университет, Сэм Лилли
факультет образования
для взрослых
1980 г.
ВВЕДЕНИЕ
Вам наверняка хотелось бы знать заранее, сможете ли вы
одолеть эту книгу. Больше всего вас, вероятно, беспокоит во-
вопрос, справитесь ли вы с математикой, занимающей заметное
место в последующем изложении. Смею вас заверить, что эта
книга предназначена для тех, кто, приступая к ее чтению, зна-
знаком только с арифметикой. Я буду обучать вас тем или иным
математическим премудростям по мере необходимости. Если
этих заверений недостаточно, наберитесь терпения и, прежде чем
решать, стоит ли продолжать дальше, дочитайте хотя бы до
14 стр.
Специальная и общая теории относительности. Прежде всего,
что такое теория относительности? Она подразделяется на две
части, наиболее важная из которых — специальная теория отно-
относительности. Это, в общих чертах, теория, из которой можно
узнать, как выглядит мир для людей, мчащихся по свету с
чрезвычайно высокой скоростью. Причем его движение должно
быть равномерным и прямолинейным •—не допускается никако-
никакого увеличения или уменьшения скорости и никакого отклонения
от прямолинейного пути.
В основе специальной теории относительности лежит очень
простая идея: никаким способом невозможно узнать, действи-
действительно ли вы движетесь или нет. «И это все?» — подумали вы.
Но если развить эту идею, то выяснится, что следствия такого,
казалось бы, безобидного начала ошеломляющи. Оказывается,
мир коренным образом отличается от того, каким вы его до сих
пор себе .представляли.
Рассмотрим одно из самых поразительных утверждений.
Предположим, что расстались два брата-близнеца: один остал-
остался на Земле, а другой отправился на субсветовом космическом
корабле в длительное межзвездное путешествие и затем вер-
вернулся обратно. Так вот, теория относительности утверждает, что
при встрече астронавт окажется моложе своего брата, остав-
оставшегося на Земле. Но даже в тех случаях, когда специальная
теория относительности не поражает наше воображение, она
всегда модифицирует, а иногда производит коренной переворот
старых теорий. Некоторые ее следствия имеют большое прак-
практическое значение для электроники, для ядерной энергетики.
Введение 11
В целом она необходима для реального понимания пространст-
пространства и времени, в которых мы живем.
Другая часть — общая теория относительности — начинается
с того, что в ней отбрасываются ограничения, связанные с рав-
равномерным и прямолинейным движением, и изучается опыт на-
наблюдателей, движущихся в некотором смысле произвольно. Из
этих обсуждений в конце концов возникает новая теория тяго-
тяготения, которая несколько точнее ньютоновской в обычных ус-
условиях и, вероятно, значительно превосходит ее в экстремаль-
экстремальных условиях. Она пока еще не имеет большого практического
применения и, может статься, никогда не будет его иметь. Тем
не менее изучение общей теории относительности — это одно из
самых увлекательных занятий, выпадающих на долю любозна-
любознательного человека. Она дает нам ощущение истинного понима-
понимания свойств пространства и времени, в которых мы живем.
Сложна ли теория относительности? «Теория относительности»—
многих эти слова отпугивают, а сама теория приобрела репута-
репутацию чего-то невероятно сложного, поэтому вас наверняка вол-
волнует, способны ли вы одолеть ее.
Конечно, способны, я в этом нисколько не сомневаюсь. Разу-
Разумеется, нужно настроиться на то, что придется хорошенько
поработать. Но то же самое можно сказать и о садоводстве,
однако никто ведь не считает садоводство чем-то непостижи-
непостижимым. Трудно пробежать милю за четыре минуты — это требует
определенных способностей и тренировки. Теория относительно-
относительности таких требований не предъявляет, в этом отношении она
не сложна. Нужно лишь привлечь скрытые в нас способности.
Правда, необходим некоторый минимальный уровень интеллек-
интеллекта; у обезьян способности к теории относительности еще не на-
наблюдалось. Но из длительного опыта преподавания я знаю, что
многие люди, не обладающие особыми способностями, с весьма
заурядным уровнем образования в состоянии успешно изучать
теорию относительности и испытывают от этого занятия огром-
огромное удовольствие.
Конечно, в этой теории есть сложные моменты. Когда я го-
говорю, что тот из братьев-близнецов, который на огромной ско-
скорости путешествовал по просторам Вселенной, будет моложе
своего брата, вы можете возразить: «Я не могу себе это пред-
представить». Так ведь и я тоже не могу! Но если вы не можете
себе чего-нибудь представить, дает ли это право говорить, что
вы этому не верите?
Есть множество вещей, которые мы не в состоянии вообра-
вообразить потому, что они слишком малы или слишком велики либо
находятся далеко за пределами нашего повседневного опыта, но
в существование которых мы тем не менее верим, поскольку
Введение 12
имеются убедительные свидетельства того, что так должно быть.
Вы же верите тому, что известно о звездах, галактиках и ква-
квазарах, или тому, что этот лист бумаги в основном состоит из
пустоты, разделяющей крошечные атомы.
То же самое и с теорией относительности. Мы не можем
представить себе, что произойдет с космическим путешественни-
путешественником, потому что наш жизненный опыт не содержит ничего, пусть
даже отдаленно напоминающего такое путешествие. Ведь нам
никогда не доводилось летать с такой скоростью. Вот почему
воображение подводит всех нас.
Тем не менее я верю — и Эйнштейн верил — и, надеюсь со
временем поверите и вы, что астронавт состарится меньше, чем
его брат, оставшийся на Земле. Почему? Да по той причине,
что есть свидетельства: эксперименты, наблюдения, логические
рассуждения и математические расчеты, которые в совокупно-
совокупности вынуждают согласиться, что так и должно быть.
К тому же всегда нелегко изменить устоявшиеся взгляды.
Поэтому препятствия, с которыми вы столкнетесь при изучении
теории относительности, связаны с необходимостью забыть то, в
чем вы, на ваш взгляд, разбираетесь, и научиться тому, чего,
как вы полагаете, вы не знаете. Все мы пропитаны многими
идеями, которых придерживались столь долго, не пытаясь серь-
серьезно вдуматься в их содержание, что возникло ощущение, буд-
будто их справедливость очевидна. Более глубокий анализ показы-
показывает, что эти представления не верны, а только кажутся очевид-
очевидными в рамках нашего ограниченного жизненного опыта. Но эти
устоявшиеся взгляды так глубоко проникли в сознание, что
трудно от них отказаться даже спустя много времени после то-
того, как разум доказал их ошибочность.
Итак, нас подстерегают трудности, связанные как с необхо-
необходимостью избавиться от старых представлений, так и с ограни-
ограниченностью воображения, свойственной даже специалистам. Но я
верю, вы согласитесь, что следует отказаться от каких-то пред-
представлений, если можно доказать, что они ложны, и поверить в
другие, если можно доказать, что они верны, даже в тех случа-
случаях, когда они не поддаются воображению. Сам же ход доказа-
доказательства тех или иных следствий теории относительности не
представляет особых трудностей. В принципе все они просты,
хотя часть из них сложна в методологическом отношении. Мы
сконцентрируем внимание на простых разделах, хотя и будем
по ходу дела совершенствовать наши методы.
Но в заключительных главах книги эти методы включают
изрядную долю математики. Это наверняка вас встревожило, вы
боитесь, что не справитесь с математикой. Уверен, что справи-
справитесь. Большинство из нас учили математику либо очень плохо,
либо вообще не учили. В результате теперь мы разбираемся в
Введение IS
математике с большим трудом или вообще не разбираемся. Нам
кажется, что в этом наша вина — у нас нет способностей к ма-
математике. Но это не так. Каждый может постичь математику
настолько, чтобы справиться с этой книгой, хотя для одних она
будет легче, чем для других.
Загляните вперед. На стр. 24—25 и 53—62 нам встретит-
встретится небольшое число арифметических операций и простая геомет-
геометрия. Однако вплоть до стр. 137 никакие алгебраические симво-
символы не используются (правда, они мимоходом употребляются и
ранее). Но постепенно математических формул становится все
больше. Не волнуйтесь, я обещаю научить вас всему необходи-
необходимому, как только это понадобится.
Вы сомневаетесь в своих математических способностях? Это
просто потому, что у ваших учителей была плохая методика
преподавания. Математика (в той мере, в какой она нас инте-
интересует) — это всего лишь язык. Но вы уже продемонстрировали
способности к изучению языков, поскольку одолели, как мини-
минимум, два: разговорный язык и грамматику, два разных языка,
которым обучают раздельно (или вы сразу научились читать и
писать, как только начали говорить?). Поэтому не уклоняйтесь
от изучения еще одного языка, особенно если учесть, что путь от
грамматики к математике короче, чем путь от разговорного язы-
языка к грамматике.
Математика — это своего рода стенографический язык, спе-
специально предназначенный для лаконичной и точной записи осо-
особого рода утверждений. Все, что можно выразить математиче-
математическим языком, можно сказать и на обычном языке, но фраза ока-
оказалась бы столь длинной, что в ней можно было бы запутаться.
Математический язык очень краток и компактен и позволяет
выполнять цепочки рассуждений, которые иначе были бы длин-
длинными и громоздкими.
Каждый вид деятельности имеет свой собственный профессио-
профессиональный язык. Попробуйте, к примеру, объяснить, как завести
автомобиль и разогнать его до высокой скорости, избегая спе-
специальных терминов, таких, как руль или педаль сцепления.
Попытайтесь также объяснить что-либо из своей работы, не
пользуясь профессиональным жаргоном специалиста. Обязатель-
Обязательно проделайте эти упражнения.
Всякий род деятельности имеет свой собственный язык, и
если его не использовать, то это сильно усложнит жизнь. В то
же время любой человек с легкостью овладевает профессиональ-
профессиональным языком.
Также обстоят дела и с математикой. Многие рассуждения,
если попытаться сформулировать их на обычном языке, стано-
становятся столь длинными, что в них легко запутаться. Но стоит
только перевести такое рассуждение на математический язык—
Введение 14
и сразу задача проясняется. Для этого и надо познакомиться с
математикой — языком, много более простым, чем французский,
для человека, говорящего по-английски. Мы будем изучать ее
не торопясь, по мере необходимости. Надеюсь, я убедил вас от-
отказаться от предвзятых опасений по поводу математики.
Как пользоваться этой книгой. Обратите внимание: как ею поль-
пользоваться, а не как ее читать.
Пассивного чтения не достаточно. Вам предстоит многое
продумать, преодолевать трудности, решать задачи. Книгу сле-
следует рассматривать в основном как руководство, направляющее
и помогающее в процессе более активного обучения.
В большинстве случаев, читая, вы тут же улавливаете смысл,
поэтому вы привыкаете к непрерывному чтению в постоянном
темпе. При очном обучении я излагаю рассматриваемую тему
довольно пространно, прибегая к повторениям, пока все слуша-
слушатели не поймут. Но для книги это слишком большая роскошь,
так что мне пришлось сократить объем лекций в четыре-пять
раз. Поэтому приготовьтесь к тому, что придется читать медлен-
медленнее и более внимательно, останавливаться, чтобы фраза успела
запечатлеться в памяти, перечитывать трудные параграфы
и т. п.
Не следует слепо принимать все на веру. Мне хотелось бы,
чтобы вы спорили, возражали, искали изъяны в моих рассуж-
рассуждениях. Разумеется, вы должны убедиться в правильности своих
доводов, поэтому спорьте сами с собой. Только серьезно пораз-
поразмыслив над этими строками, можно извлечь пользу из этой
книги в дальнейшем. Из своего педагогического опыта я доволь-
довольно хорошо знаю все возникающие проблемы и постараюсь ос-
основное внимание сосредоточить на тех моментах, где возникно-
возникновение таких проблем наиболее вероятно. Но всего охватить не-
невозможно, так что будьте готовы к самостоятельной борьбе с
трудностями.
Я часто буду давать вам задание поработать кое над чем
самостоятельно. Это задание будет набираться жирным шриф-
шрифтом. Всякий раз, когда увидите фразу, напечатанную жирным
шрифтом, знайте, вам предстоит самостоятельная работа. Отне-
Отнеситесь к ней серьезно.
Обычно тут же вслед за вопросом будет приводиться ответ.
Поэтому не спешите заглядывать вперед. Советую использовать
почтовую открытку в качестве закладки, и, как только, перево-
переворачивая страницу, вы увидите жирный шрифт, сразу же при-
прикройте ответ открыткой, до тех пор пока все хорошенько не
обдумаете. Не расстраивайтесь, если ваш ответ будет невеп-
ным. Очень часто задача действительно будет очень трудной,
но мне хотелось бы, чтобы вы основательно поразмышляли,
Введение 15
прежде чем мы примемся за решение общими усилиями. (Во-
(Вопросы, напечатанные обычным шрифтом, в основном риториче-
риторические. Можете двигаться дальше, как только поймете их смысл.)
Даже когда я не буду давать вам задания, чем активнее вы
будете учиться, тем лучше усвоите материал. Например, вам
встретится много чертежей. Вы разберетесь в них гораздо луч-
лучше, если будете перерисовывать их, следуя данному в тексте
описанию (обычно будет вполне достаточно сделанного от руки
наброска,) Пометьте свои рисунки соответствующим образом и
сохраняйте их. Мы будем часто обращаться к ним вновь, и это
освободит вас от излишнего перелистывания страниц.
Ваши занятия не следует воспринимать как от начала и до
конца размеренный процесс. Скорее это набор задач, подлежа-
подлежащих завершению. Нумерованные параграфы будут служить вам
грубым ориентиром. В конце каждого из них спросите себя, что
вы должны были из него узнать, в какой мере вам это удалось и
справились ли вы со всеми содержащимися в нем задачами.
Конец главы — место для более основательного подведения ито-
итогов.
Но не следует слишком усердствовать. Излишнее упорство
в попытках полностью разобраться в каждом параграфе, преж-
прежде чем переходить к следующему, может вообще застопорить
продвижение вперед. Если встретится «неподдающаяся» про-
проблема, отметьте ее, прочтите еще несколько страниц (а то и
больше) и вновь вернитесь к «крепкому орешку».
Вы убедитесь, что эту книгу с ходу не одолеть. Не пытай-
пытайтесь сделать слишком много за короткий орок. Ограничьтесь
часом или двумя сосредоточенных занятий в день, затем «пере-
«переварите» полученную информацию, а дня через три «примите»
новую порцию «релятивистской пищи». Не пытайтесь «прогло-
«проглотить» эту книгу за одну или две недели. Вы сможете одолеть ее
не менее чем за три месяца, а то и больше. Не будет зазорным
потратить два или даже три года на то, чтобы все усвоить как
следует.
Нам часто придется возвращаться назад, поэтому каждая
глава разделена на пронумерованные разделы — параграфы.
Иногда я буду вас просить перечитать что-то специально, а
иногда ссылки на предыдущие разделы предназначены для того,
чтобы помочь вам вспомнить что-то. Если вам все понятно, не
тратьте попусту время на просмотр этих разделов. Иногда удоб-
удобнее разъяснить тот или иной трудный вопрос немного погодя,
после того как он возник. Поэтому, прежде чем беспокоиться
из-за какой-нибудь неясности, загляните на один раздел вперед.
Обучению математике обычно будут отводиться отдельные
разделы, к номерам которых добавлена буква М. Если у вас до-
достаточная математическая подготовка, просмотрите их мельком.
Введение 16
Чтобы помочь вам вспомнить что-то важное, но ускользнувшее
из памяти (если я не сделал соответствующей ссылки), книга
снабжена предметным указателем, который позволяет найти в
тексте (например) определения элементарных математических
понятий, которые обычно не включаются в указатели, таких, как
«пропорциональность» и «произведение». Если вы забыли гре-
греческий алфавит, найдите в указателе «греческие буквы». Спи-
Список математических знаков приведен в конце предметного ука-
указателя.
Чего вы сможете достигнуть? Вы, конечно, будете менее сведущи
в теории относительности, чем выпускник университета, прослу-
прослушавший курс лекций по этому предмету, в том смысле, что вы
будете менее подготовлены к применению теории относительно-
относительности в практических целях. Однако вы можете превзойти этого
выпускника в понимании того, что следует из теории относи-
относительности о природе окружающего мира, так как мы рассмот-
рассмотрим ряд интересных проблем философского характера, которые
профессионал обычно предпочитает обойти.
Как ни парадоксально, но такая ситуация возникает из-за
того, что у вас нет профессиональных навыков и знаний. Про-
Проведу такую аналогию. Производитель мебели, естественно, стре-
стремится использовать наиболее совершенные из существующих
станков. Допустим, что вы решили забавы ради сделать стол и
четыре стула, но у вас под руками есть только несколько при-
примитивных инструментов. Конечно, профессиональный мебель-
мебельщик несравненно квалифицированнее вас. Но вы изучите свой-
свойства дерева, гвоздей и клея. Способность работать с характер-
характерными особенностями используемого материала уже заложена в
машине. Но если у вас что-то не будет получаться, то вам при-
придется разобраться в свойствах инструментов и материалов.
Точно так же всякий изучающий теорию относительности на
профессиональном уровне стремится использовать самые изощ-
изощренные математические методы, чтобы поскорее освоить интере-
интересующие его разделы теории. Его не волнует «внутреннее устрой-
устройство» этой математической «машины». Мы будем пользоваться
только самым примитивным математическим аппаратом. Разу-
Разумеется, наш подход не столь эффективен, как профессиональ-
профессиональный, и, чтобы получить тот или иной результат, придется усерд-
усердно потрудиться. Это вынуждает более скрупулезно анализиро-
анализировать все свои действия. Поэтому, несмотря на отсутствие мате-
математической подготовки, вы можете достичь более глубокого, чем
лучшие специалисты, понимания того, что такое теория относи-
относительности.
Счастливого пути!
ПРИСТУПИМ К ДЕЛУ
1,1* Когда находишься в вагоне поезда, трудно сказать, дейст-
действительно ли он движется или стоит на месте. С обсужде-
обсуждения этого факта, следующего из повседневного опыта, мы
и начнем изучение теории относительности.
Конечно, в окне вагона мелькают телеграфные столбы.
Но то, что мы видим, моЖ(Но истолковать по-разному. На-
Например, мы вправе считать, что столбы движутся, а поезд
стоит на месте. На самом же деле здесь следует говорить
об относительном движении столбов и поезда — это един-
единственное бесспорное утверждение. Чтобы наши рассужде-
рассуждения стали более понятными и убедительными, вспомните,
что происходит на киноэкране, когда действие фильма
переносится в купе скорого поезда. И подумайте, как
именно достигается иллюзия движения. (Напоминаю: над
тем, что выделено жирным шрифтом, вам следует порабо-
поработать самостоятельно, см. с. 14).
Подобные повседневные впечатления и размышления
над ними наводят на мысль, что наблюдение за окружаю-
окружающими нас предметами дает информацию только об отно-
относительном движении. Из этих наблюдений невозможно
узнать, движемся ли мы или окружающие предметы (или
и мы, и они).
1.2. Нельзя ли в таком случае в самом вагоне поставить экс-
эксперимент, который позволил бы определить, движется ли
поезд? Чтобы ответить на этот вопрос, вообразим, что мы
находимся в вагоне поезда, движущегося равномерно и
прямолинейно, т. е. с постоянной скоростью и на прямоли-
прямолинейном участке пути. Я утверждаю, что в этом поезде все
должно происходить точно так же, как если бы он стоял
на месте. В самом деле, при равномерном и прямолиней-
прямолинейном движении поезда пассажиру не требуется никаких до-
дополнительных усилий для сохранения равновесия. Он будет
стоять так же прямо, как в неподвижном поезде. А как
будет выглядеть движение предмета, выпавшего у него из
рук?
Он будет отвесно падать и приземлится прямо у ног пас-
пассажира— так, будто бы это произошло в стоящем поезде.
Попробуйте придумать эксперимент, выполняемый в ваго-
вагоне, который давал бы различные результаты для движу-
2-1653
1.3 18
щегося и неподвижного поездов. Никому еще не удалось
этого сделать.
Обратите внимание, во всех случаях рассматривалось
движение только относительно поверхности Земли. Сама
же Земля довольно быстро движется вокруг Солнца. Од-
Однако наши эксперименты не обнаруживают никаких при-
признаков ни движения Земли, ни собственного движения
Солнца. Как видно, равномерное прямолинейное движение
вообще нельзя зарегистрировать.
1.3. Разумеется, все выглядит иначе, если движение неравно-
неравномерное, например если поезд набирает скорость или за-
замедляет ход. Чтобы сохранить равновесие при резком тор-
торможении поезда, нужно отклониться назад. Любой пред-
предмет, оброненный пассажиром, упадет немного позади него
в поезде, прибавляющем скорость, и немного впереди в
поезде, снижающем скорость. Да и вообще существует
множество экспериментов, позволяющих отличить ускорен-
ускоренное движение, подобное разгону или торможению, от рав-
равномерного. Возвращаясь теперь к описанию равномерного
и прямолинейного движения поезда, можно сказать, что
нет способа обнаружить различия между таким движени-
движением и состоянием покоя. Поэтому бессмысленно говорить,
что данный предмет «действительно» движется, а другой
«действительно» неподвижен. Бессмысленно, ибо это не
поддается проверке. А что же можно утверждать? Только
следующее: данный предмет движется или неподвижен по
отношению к другому.
1.4. Ученый XIX в. возможно согласился бы с этими доводами,
но с оговорками. «Все, что говорилось, касается механи-
механических экспериментов», — сказал бы он, — «и я согласен,
что с их помощью невозможно узнать, действительно ли
вы движетесь или покоитесь». «Но», — возразил бы он,—
«ведь существуют и другие типы экспериментов, в частно-
частности оптические, которым это под силу». Говоря так, он бы
ошибался. Однако мы лучше поймем основы теории отно-
относительности, если потратим немного времени и выясним,
что же он на самом леле думал и почему ошибался. Но
прежде нам необходимо познакомиться с некоторыми свой-
свойствами света.
Наверняка вы и без меня знаете, что свет обладает вол-
волновыми свойствами. Заметьте, я предусмотрительно не го-
говорю, что свет — это и есть волны. Со временем станет
понятнее, к чему такая острожность. Слова «свет обладает
волновыми свойствами» означают, что задачи о распрост-
распространении света можно решать, рассматривая его как волны,
которые мы будем называть световыми волнами.
1.7 19
1.5. Любой цуг волн характеризуется определенным числом,
называемым частотой. Частота равна числу горбов или
впадин цуга волн, прошедших через данную точку за одну
секунду.
Частота световых волн непосредственно связана с на-
нашим восприятием цвета. Низким частотам соответствует
красный цвет, а высоким — фиолетовый. В интервале меж-
между этими частотами расположены хорошо знакомые цвета
радуги — целый спектр.
Разумеется, цвет — это просто наша субъективная ре-
реакция на свет. Совсем другое дело частота: она сама имеет
важный физический смысл.
1.6. Заканчивается ли спектр красным цветом при низких ча-
частотах и фиолетовым при высоких? Конечно, нет. Сущест-
Существуют и другие виды излучений той же природы, что и свет,
с такими же волновыми свойствами, но обладающие боль-
большими или меньшими частотами. Так уж устроен глаз, что
он чувствителен к небольшому интервалу частот, которому
мы поэтому дали специальное название «свет».
Рассматривая частоты, более высокие, чем частота
фиолетового света, мы сначала приходим к ультрафиоле-
ультрафиолетовым лучам (которые вызывают загар), затем — к рентге-
рентгеновским и, наконец, к гамма-лучам (испускаемым, к при-
примеру, радиоактивными веществами). А при частотах, бо-
более низких, чем частота красного света, мы обнаружим
инфракрасное (тепловое) излучение, затем микроволновое
и наконец радиоволны. Для теории относительности несу-
несущественно, имеем ли мы дело с видимым светом, рентге-
рентгеновскими лучами, радиоволнами или другими видами из-
излучения. Поэтому договоримся всю их совокупность и каж-
каждое в отдельности для простоты называть одним словом
«свет».
1.7. Очень важно следующее обстоятельство: в вакууме, т. е.
в пустоте, световые волны любой частоты распространя-
распространяются с совершенно одинаковой скоростью. Как мы только
что условились (п. 1.6), будем именовать ее скоростью
света, даже если придется рассуждать о радиоволнах или
рентгеновских лучах. Скорость света очень близка к
300 000 км/с.
Необходимо подчеркнуть, что это — значение скорости
света в вакууме. В материальной среде (такой, как воз-
воздух или стекло) скорость света всегда меньше и зависит
от частоты. Но с распространением света в веществе нам
почти не придется сталкиваться. Так что, если не будет
оговорено особо, под «скоростью света» мы всегда будем
1.8 20
подразумевать скорость в вакууме, — скорость, которая
всегда одинакова.
1.8. Иногда удобнее считать, что эта огромная скорость равна
300 метрам в лш/сросекунду (миллионную долю секунды).
Кроме того, она составляет 1080 млн. км/ч, т. е. в милли-
миллион раз больше скорости реактивного самолета. Еще одно
полезное сравнение: Земля вращается вокруг Солнца со
скоростью, равной одной десятитысячной доле @,0001)
скорости света.
И наконец, еще одно равноценное выражение для ско-
скорости света — 9,5 миллиона миллионов километров в год.
Когда приходится иметь дело с очень большими расстоя-
расстояниями, это значение скорости света позволяет ввести удоб-
удобную единицу измерения — световой год, который по опре-
определению равен пути, проходимому светом за один год. За-
Запомнить будет проще, если принять, что световой год со-
составляет примерно 10 миллионов миллионов километров.
1.9. Утверждая в п. 1.7, что скорость света всегда одна и та
же, мы, естественно, имели в виду свет, приходящий от
неподвижного источника, — неподвижного по отношению к
тому, кто ее измеряет. А если источник движется? По-
Повлияет ли это на скорость света?
Мы уже отмечали, что свет во многих отношениях ве-
ведет себя как волна. Но для волн другой природы как тео-
теория, так и эксперимент показывают, что движение источни-
источника не влияет на скорость волн (можете это проверить в
ванне). Поэтому резонно ожидать, что то же самое верно
и для световых волн. Однако, прибегая к аналогии, нуж-
нужно быть осмотрительным. Все следующие из нее выводы
необходимо проверять экспериментально.
Такой эксперимент был поставлен несколько лет назад.
В нем использовались нейтральные пи-мезоны — элемен-
элементарные частицы (крупицы вещества, уступающие по раз-
размерам даже атомам), рождающиеся в ускорителе при со-
сокрушительных столкновениях других элементарных час-
частиц, разогнанных в нем до огромных скоростей. У ней-
нейтрального пи-мезона очень короткое время жизни, в сред-
среднем оно составляет около пяти тысячных миллионной мил-
миллионной доли секунды. В момент гибели нейтральный
пи-мезон испускает две вспышки света, или, точнее, гам-
гамма излучения (п. 1.6).
В принципе эксперимент весьма прост. Он состоял в
измерении скорости гамма-лучей, пришедших от заканчи-
заканчивающих свое существование пи-мезонов, двигавшихся со
скоростями, равными 0,99975 скорости света. Эксперимент
был настолько точен, что если бы к скорости гамма-лучей
/.// 21
добавлялось всего лишь десять тысячных долей от скорости
источника, то это все равно было бы обнаружено. Но ни-
никаких изменений в скорости гамма-лучей не наблюдалось.
Вывод ясен:
на скорость света не влияет движение источника.
1.10. Все, что мы до сих пор говорили о свете, совершенно бес-
бесспорно. Другими словами, рассмотренные свойства света
не противоречат ни представлениям теории относительно-
относительности, ни прежним взглядам на природу вещей. Ученый
XIX в. был бы полностью согласен со всеми приведенными
выводами. Но сейчас мы подходим к критическому рубежу,
отделяющему современные релятивистские представления
от всего, что им предшествовало. Кризис возникнет, если
задать другой вопрос, казалось бы такой же безобидный,
как и предыдущий: как зависит скорость света от движе-
движения измеряющего ее наблюдателя?
Суждение о свете как о волновом движении (п. 1.4) по-
позволило предположить, что движение источника не влияет
на скорость света (п. 1.9), — плодотворное предположение,
если учесть, что экспериментальная проверка подтвердила
его справедливость. И во многих других, подчас весьма
каверзных ситуациях, аналогия с волновым движением
приводит к правильному ответу. Тем не менее аналогии не
надежны: они могут много раз приводить к верным резуль-
результатам и внезапно подвести. Именно это происходит в рас-
рассматриваемом случае.
Физики XIX в. неоднократно получали правильные вы-
выводы с помощью волновой теории света и поэтому не проя-
проявили должной осторожности. Вместо того чтобы осмотри-
осмотрительно сказать: «Свет обладает волновыми свойствами»,—
они -прямо заявляли: «Свет —это волны».
1.11. Но волны в чем? Морские волны — это волны на воде.
Звук — волны в воздухе. Свет — это волны, но не в каком-
либо из известных веществ, таких, как вода или воздух,
поскольку он может распространяться в вакууме. Значит,
решили они, свет — это волны в какой-то более загадоч-
загадочной среде, которую они договорились называть эфиром.
Ученые прошлого века только предполагали существо-
существование эфира, основываясь исключительно на вере, что
должна быть какая-то среда — носитель световых волн.
В определенном смысле такая гипотеза оказалась полез-
полезной, так как позволила создать теорию, объединившую в
единое целое учения об электричестве, магнетизме и опти-
оптических явлениях. Кроме того, эта гипотеза имела и прак-
практические следствия, в частности создание радио.
1.12 22
Но в то же время она привела и к серьезным трудно-
трудностям.
1.12. Как уже отмечалось, скорость света всегда одна и та же.
Она не зависит от частоты (п. 1.7), и на нее не влияет дви-
движение источника (п. 1.9).
Всегда одна и та же по отношению к чему? Теория
волн в эфире дает очевидный ответ. Ведь для волновых
процессов иной природы скорость волн всегда постоянна
по отношению к среде, в которой они распространяются,—
представьте себе волны на реке, т. е. в текущей воде. Со-
Согласно теории, такое свойство присуще всем волновым
движениям. Поэтому физик XIX в., конечно, должен был
бы прийти к выводу, что скорость света постоянна относи-
относительно эфира. Весьма правдоподобный вывод, не правда
ли?
1.13. Теперь снова вернемся к вопросу, поставленному в п. 1.10:
как зависит скорость света от движения измеряющего ее
наблюдателя? Как бы вы ответили на этот вопрос, если
считать выводы п. 1.12 верными?
Пусть на рис. 1.13 лист бумаги выступает в роли эфира,
а тонкие стрелки изображают свет, распространяющийся
вдоль страницы со скоростью 300 000 км/с независимо от
направления. Если наблюдатель А (представленный на ри-
рисунке точкой) покоится по отношению к листу бумаги, то
безотносительно к направлению, в котором распростра-
распространяется свет, его скорость, измеренная этим наблюдателем,
будет равна 300 000 км/с.
Предположим, что наблюдатель В движется со ско-
скоростью 1000 км/с в направлении жирной стрелки. Если он
измеряет скорость света (относительно самого себя).
Рис 1.13.
1.14
23
пришедшего с направления Р, то получит значение, равное
300 000+1000 = 301000 км/с. А для света, пришедшего с
направления Q, значение скорости составит 299 000 км/с.
Примечательно, что на основании таких измерений
можно было бы узнать, движетесь ли вы относительно
эфира или нет. Измерьте скорость света в различных на-
направлениях. Если она для всех направлений одинакова, то
вы покоитесь по отношению к эфиру, а если меняется при
изменении направления, то движетесь.
Нельзя ли аналогичным методом обнаружить движение
Земли через эфир? Не совпадает ли оно с годичным дви-
движением Земли вокруг Солнца? А собственное движение
Солнца,— вносит ли оно дополнительный вклад? Чтобы
ответить на эти вопросы, Альберт Майкельсон в 1881 г.
поставил знаменитый эксперимент, повторенный в более
усовершенствованном виде в 1887 г. в сотрудничестве с
Морли.
1.14. Эксперимент не мог быть поставлен в столь простой, как
описано выше, форме — со светом, приходящим от внешне-
внешнего источника. Приведу схематическое описание более слож-
сложного эксперимента, который и был осуществлен.
Установка (рис. 1.14) состояла из источника света S
и двух зеркал Mi и М2, расположенных на одинаковых
расстояниях от S и установленных так, чтобы отражать
свет обратно в S. Линия SMi совпадает с направлением
движения Земли, a SM2 перпендикулярна (расположена
под прямым углом) этому направлению. Замысел опыта
заключался в сравнении времени прохождения света туда
и обратно в направлении движения Земли и в поперечном
/////////
Рис. 1Л4.
1.15
24
направлении. Движение источника света не имеет значения
(п. 1.9). Не смущает ли вас что-нибудь в этом экспери-
эксперименте?
1.15. Может показаться, что любое ожидаемое различие во вре-
временах должно исчезнуть, поскольку эффект, достигнутый
при движении света от источника к зеркалу, будет компен-
компенсироваться на обратном пути. Предлагаемая ниже анало-
аналогия поможет убедиться в несостоятельности этих опасений»
I
I {положение
|<—J края PR
i L
1 Путь
Второго
| I делырина
к
Злг
Рис. 1.15.
Рассмотрим 40-метровый квадратный плот (рис. 1.15),
буксируемый со скоростью 3 м/с по неподвижной морской
глади (будем считать, что поверхность моря этим движе-
движением не возмущается). Плот соответствует установке Май-
кельсона, вода — эфиру, а пучкам света —два дрессиро-
дрессированных дельфина. Один дельфин плавает от Р к Q и об-
обратно, т. е. в направлении движения плота, в то время как
другой — от Р к R и обратно, т. е. поперек движения пло-
плота. Каждый дельфин должен придерживаться своего борта
плота, так что, с точки зрения наблюдателя, находящегося
на плоту, они просто плавают от одного угла к другому и
обратно точно так же, как световые лучи в опыте Майкель-
сона — Морли (п. 1.14). Скорость каждого дельфина 5 м/с
относительно воды (что соответствует постоянной скорости
света относительно эфира).
1.16. Попытайтесь рассчитать время, необходимое дельфину на
путь от Р к Q и обратно.
1.18 25
За одну секунду дельфин проплывает 5 м, но за то же
время плот пройдет в том же направлении 3 м. Так что, с
точки зрения наблюдателя, находящегося на плоту, дель-
дельфин покрывает расстояние всего лишь в 2 м вдоль борта
плота, и его фактическая скорость по отношению к плоту
будет равна 5 м/с—3 м/с=2 м/с. Таким образом, путь от
Р до Q дельфин преодолеет за 20 с. Можете убедиться, что
движение в обратном направлении происходит со ско-
скоростью 5 м/с+3 м/с=8 м/с относительно плота и занимает
5 с. Тогда на весь путь туда и обратно требуется 25 с.
1.17. Расчет движения в поперечном направлении более сло-
сложен. Давайте посмотрим, что произойдет в первую секун-
секунду. В течение этого промежутка времени корма плота пе-
переместится в положение UV, точнее, на 3 м вправо (в этой
части рисунка масштаб не соблюдается). Чтобы все время
оставаться рядом с кормой, дельфину приходится плыть
вдоль диагонали PW. Поэтому расстояние от Р до W
равно 5 м A секунда плавания со скоростью 5 м/с).
Итак, теперь известны три параметра треугольника
PUW: 1) угол с вершиной в U — прямой; 2) длина сторо-
стороны PU равна 3 м; 3) длина стороны PW равна 5 м. Раз-
Раздел геометрии, который, полагаю, вы знаете (а если не
знаете или забыли, то проверьте окончательный ответ с
помощью выполненного в соответствующем масштабе чер-
чертежа), позволяет показать, что длина стороны UW равна
4 м.
Таким образом, за одну секунду дельфин проходит
вдоль кормы плота путь длиной 4 м. Разумеется, точно та-
такие же рассуждения применимы и для каждой последую-
последующей секунды. Поэтому скорость дельфина относительно
кормы плота равна 4 м/с. Следовательно, весь путь в 80 м
займет 20 с.
Стало быть, возникшее вначале опасение об отсутствии
различия во временах движения света не подтвердилось.
Плавание дельфина в оба конца поперек направления дви-
движения плота занимает меньше времени, чем плавание туда
и обратно вдоль направления движения.
1.18. Чтобы убедиться, что все рассуждения и выводы пп. 1.16
и 1.17 понятны, проделайте точно такие же расчеты для
случая, когда квадратный плот со стороной 36 м букси-
буксируется со скоростью 4 м/с, а скорость дельфинов пусть
остается равной 5 м/с. А если вы сильны в алгебре, разбе-
разберите общий случай. Обозначьте скорость света буквой с,
скорость движения Земли через эфир буквой v, а расстоя-
расстояние от источника света до зеркала буквой /. (Ответ — в
конце главы.)
1.19 26
1.19. Такие основанные на представлениях прошлого века рас-
расчеты были применены для анализа эксперимента Майкель-
сона — Морли (п. 1.14). Цифры, конечно, были другие. Мы
уже знаем, что, согласно этим расчетам, свету требуется
больше времени на преодоление пути SMiS (рис. 1.14),
чем на преодоление пути SM2S. Ожидаемое различие меж-
между временами, которое надеялись обнаружить, было чрез-
чрезвычайно малым. Но будь оно даже еще в сто раз меньше,
прибор все равно мог бы его зарегистрировать. Однако,
когда эксперимент был завершен, оказалось, что не было
зарегистрировано вообще никаких различий во временах
распространения света, (Такой исход эксперимента не был
случайным. Он повторялся неоднократно вплоть до 1930 г.
и каждый раз со все возрастающей точностью, но резуль-
результат оставался тем же. В 1972 г. эксперимент с лазерами
подтвердил этот вывод с еще большей точностью.)
Майкельсона, надеявшегося обнаружить движение Зем-
Земли относительно эфира, такой исход эксперимента сильно
разочаровал. Другие воспринимали полученный результат
как нелепость, которая ждала своего объяснения. Эйнштей-
Эйнштейну же он дал возможность создать новое представление об
окружающем нас мире.
1.20. Может возникнуть идея: а что если бы Земля при своем
движении через эфир, вместо того чтобы просто проходить
сквозь него, увлекала бы его за собой? Ведь тогда резуль-
результат эксперимента Майкельсона — Морли подтверждал бы
именно то, чего следовало ожидать (так как прибор поко-
покоился бы по отношению к той части эфира, которая увле-
увлекается Землей). Однако есть веские причины (основанные
главным образом на явлении аберрации света) считать,
что эфир не увлекается Землей. Объяснение этого явления
потребовало бы изложения тех разделов теории, которые
нам впоследствии больше не понадобятся, поэтому при-
примите приведенное утверждение на веру. Во всяком случае,
ученые XIX в. были с ним согласны.
1.21. Теперь вспомним, с чего все началось. В п. 1.12 было вы-
высказано предположение, что скорость света постоянна по
отношению к эфиру. Отсюда последовал вывод о зависи-
зависимости этой скорости от движения наблюдателя, измеряю-
измеряющего ее (п. 1.13). Эксперимент Майкельсона — Морли был
поставлен с целью обнаружить этот эффект. Но не обна-
обнаружил. Эксперимент показал, что свету требуется одина-
одинаковое время как для распространения вдоль направления
движения Земли, так и для распространения в поперечном
направлении. Какой отсюда следует вывод о скоростях
света в этих направлениях?
1.22 27
Оба луча проходят одинаковые пути (SM1==SM2). Зна-
Значит, если им для этого нужно одинаковое время, то и ско-
скорости у них равны. Похоже, мы приходим к выводу, что
скорость света (относительно Земли) в направлении дви-
движения Земли и в поперечном направлении одинакова. Чу-
Чудеса да и только! Продумайте все это и разберитесь, как
полученный вывод связан с рассуждениями, которые мы
развивали начиная с п. 1.12.
Обратите внимание, что заключение, к которому мы
только что пришли, прямо противоречит доводам п. 1.13,
где, казалось бы, удалось доказать, что измеренная наблю-
наблюдателем скорость света должна зависеть от его движения
относительно эфира. Все это выглядит так же, как если
бы скорости обоих дельфинов по отношению к плоту
(пп. 1.15—1.17) оставались равными 5 м/с, даже когда
плот движется. Абсурд, не правда ли? Здесь нужно как
следует поразмыслить.
Как следует из эксперимента Майкельсона — Морли,
движение Земли не влияет на скорость света относительно
земного наблюдателя. Но сама Земля в данной ситуации
особой роли не играет. Принимая это во внимание, можно
сказать, что на скорость света не влияет движение на-
наблюдателя, причем любого наблюдателя.
Но ведь в п. 1.13 как раз утверждалось, что такая за-
зависимость должна быть. Можно ли примирить эти выво-
выводы? Научный мир был встревожен. Чтобы обойти эту
трудность, были использованы самые изощренные приемы
и методы из арсенала физических наук, однако ни один из
них не сработал. Стало ясно, что эту проблему невозмож-
невозможно обойти.
1.22. Именно Энштейн в конце концов предпринял смелый шаг
и заявил: следует прекратить бесплодные попытки обой-
обойти эту трудность. Нужно принять результаты эксперимен-
эксперимента такими, какие они есть, а затем посмотреть, куда такой
путь может привести. Иными словами, он предложил по-
построить новую теорию, основанную на предположении, что
скорость света (приходящего с любого направления)
относительно любого наблюдателя (вне зависимости от
того, как он движется) всегда одинакова.
(Не забывайте, что речь идет о скорости света в вакууме,
а движение наблюдателя предполагается равномерным и
прямолинейным.) Эту гипотезу можно записать в более
кратком виде:
скорость света инвариантна,
1.23 28
т. е. остается той же самой независимо от скорости изме«
ряющего ее наблюдателя.
(Эйнштейн знал, что теории XIX в. сталкивались и с
другими трудностями. Поэтому он изложил свою револю-
революционную концепцию в более общей форме, с которой мы
познакомимся ниже.)
1.23. Хорошо ли вы осознали, насколько точка зрения Эйнштей-
Эйнштейна противоречит нашим обыденным представлениям о ско-
скоростях? Ведь, согласно его теории, скорость света имеет
необычное свойство по сравнению со скоростями всех дру-
других объектов. Предположим, я стою неподалеку от желез-
железной дороги и на глазок определяю, что скорость проходя-
проходящего мимо поезда равна примерно 80 км/ч. Пассажир в
автомобиле, движущемся в том же направлении, что и
поезд, со скоростью 50 км/ч, найдет, что скорость поезда
составляет 30 км/ч. Значит, скорость поезда в значитель-
значительной степени зависит от скорости и направления движения
измеряющего ее наблюдателя.
Из всех наблюдений, проведенных вплоть до 1880 г.,
следовало, что скорость любого объекта относительно на-
наблюдателя зависит от скорости и направления движения
наблюдателя. Естественно было предположить, что то же
самое справедливо и для света. Но когда представилась
возможность проверить это экспериментально, оказалось,
что на скорость света такой вывод не распространяется.
Если в предыдущем примере заменить поезд светом, то в
результате измерения будет установлено, что его скорость
равна 300 000 км/с. Если наблюдатель мчится со ско-
скоростью 100 000 км/с, то, как это ни странно, он также об-
обнаружит, что свет распространяется относительно него со
скоростью 300 000 км/с.
Скорость света уникальна. Скорости других объектов
относительны, ибо зависят от скорости и направления дви-
движения измеряющего их наблюдателя. Скорость же света
не относительна. Она не зависит от движения наблюдате-
наблюдателя— она абсолютна. В этом и состоит поразительная идея,
выдвинутая Эйнштейном. Он вполне мог бы дать своей
теории название «теория неотносительности света».
1.24. Может показаться, что такое представление о свете слож-
сложно для восприятия, более того, оно просто невероятно, так
как противоречит обычному «здравому смыслу». Не удив-
удивлюсь и реплике: «Невозможно поверить, что скорость све-
света одинакова для всех наблюдателей независимо от того,
как они движутся. И потому нельзя согласиться ни с одной
теорией, основанной на подобном предположении».
Что ж, оставайтесь при своем мнении! Вы вправе не
1.24 29
верить в это или во что-нибудь еще до тех пор, пока вас
не убедят факты. Наука не апеллирует к слепой вере. Ре-
Результат эксперимента Майкельсона—Морли позволяет
предположить, что скорость света инвариантна. Но от
предположения до доказательства справедливости этого
утверждения еще далеко, так что пока еще рано верить в
непогрешимость этой необычной идеи. Все, что от вас тре-
требуется, — всерьез воспринять лишь возможность существо-
вания такого свойства света и присоединиться ко мне, что-
чтобы вместе выяснить, чего следует ожидать, если это дей-
действительно так.
Именно этим мы теперь и займемся. Постараемся разо-
разобраться в следствиях этого нового кажущегося абсурдным
представления о скорости света. В результате в наших ру-
ках окажется ряд таких следствий, которые можно будет
проверить экспериментально. И если результаты экспери-
экспериментов будут согласовываться с теорией, в основе которой
лежит одинаковость скорости света для всех, но не будут
согласовываться с теориями, основанными на других пред-
представлениях, то вам, вероятно, придется изменить свои
убеждения. В этом состоит обычный научный метод, с по-
помощью которого некоторые теории принимаются, а многие
другие отвергаются.
Но прежде чем сделать окончательный вывод, мы про-
проведем предварительный анализ того, что следует ожидать
от этой необычной идеи. На первых порах ограничимся до-
довольно грубыми, но доступными методами, принося стро*
гость в жертву простоте. Если же в конце концов экспери»
мент подтвердит правильность новых представлений о све-
свете, то, если понадобится, мы всегда сможем вернуться
назад и усовершенствовать выбранный метод.
Ответы к п. 1.18. Дельфины затрачивают на заплывы
вдоль и поперек движения плота 40 и 24 с соответственно.
В общем случае эти промежутки времени равны
2ct/{c2—v2) и y
О ТЕОРИИ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
БЕЗ ОСОБЫХ ПОДРОБНОСТЕЙ
2.1. Если верно, что скорость света, независимо от направле-
направления распространения, одинакова для всех наблюдателей,
то, как сейчас будет показано, мир должен сильно отли-
чаться от того, каким мы привыкли его себе представлять.
Например, нетрудно убедиться, что
наблюдатель не может двигаться со скоростью света
(к примеру относительно вас).
В самом деле, пусть вспышка света распространяется в
том же направлении, что и наблюдатель. Тогда, обладая
скоростью света, этот наблюдатель двигался бы вместе со
вспышкой света, оставаясь все время рядом с ней. Поэто-
Поэтому ее скорость относительно наблюдателя была бы равна
нулю, что противоречит выводам п. 1.22. Чтобы устранить
это противоречие, приходится предположить, что наблюда-
наблюдатель не может двигаться со скоростью света.
2.2. Рассуждения, несколько более сложные, чем приведенное
выше, позволяют разобраться со многими проблемами тео-
теории относительности. Рассмотрим ситуацию, в которой
два наблюдателя (условимся называть их А и В) обсуж-
обсуждают два события, Р и Q. Наблюдатель А утверждает, что
события Р и Q произошли одновременно, т. е. в один и тот
же момент времени. Предположим, что оба наблюдателя
одинаково добросовестны и точны. Что в этом случае ска-
скажет наблюдатель В?
Всегда считалось очевидным, что два события происхо-
происходят либо в один и тот же момент времени, либо в различ-
различные моменты. Так что никаких разногласий по поводу от-
ответа на поставленный вопрос не может быть. Наблюда-
Наблюдатель В должен утверждать то же, что и А. Именно так
мы и думали до сих пор. Ну что ж, посмотрим.
Чтобы избавиться от прежних представлений, давайте
предположим, что события происходят в космическом про-
пространстве в полной темноте. Событиями могут быть взры-
взрывы. Свидетельством регистрации взрывов следует считать
заявления наблюдателей А и В, что они увидели вспышки
света, пришедшего из точек, где произошли эти события.
5.3. Наблюдатель А исходит из следующих двух фактов:
2.5 31
1) взрывы произошли на одинаковом расстоянии, но в про*
тивоположных направлениях от него;
2) он видит их в один и тот же момент времени, т. е.
вспышки света, испущенные при взрывах, достигают era
одновременно.
Постарайтесь проследить за ходом моих рассуждений,
не пользуясь вспомогательным чертежом. Если же это ока-
окажется затруднительным, то вам поможет рис. 2.5. Будем
полагать, что скорость света инвариантна (п. L22). Поэто-
Поэтому, с точки зрения наблюдателя А, обе вспышки света рас-
распространяются от местонахождений взрывов к нему с оди-
одинаковой скоростью. Поскольку им нужно преодолеть оди-
одинаковые расстояния (факт 1), они затратят на это одина-
одинаковое время. И если они достигают наблюдателя А одно-
одновременно (факт 2), то и отправиться в путь они должны
были в один и тот же момент времени. Отсюда следует
вывод, что,
с точки зрения наблюдателя А, взрывы произошли од-
одновременно.
2.4. Может возникнуть вопрос, откуда наблюдатель А знает,
что расстояние от него до обоих взрывов одинаково? От-
Ответ таков: у него есть очень длинный измерительный
стержень, который простирается в обе стороны от него к
пунктам взрывов и за их пределы. Во время взрывов на
стержне остаются обожженные отметины. С их помощью
наблюдателю А позднее не составит труда определить, на
равных ли расстояниях от того места, где он держал стер-
стержень, произошли эти взрывы.
2.5. Теперь обратимся к рис. 2.5. На рис. 2.5, а звездочки, от-
отмеченные буквами Р и Q, — это взрывы в тот момент, ког-
когда они произошли. Расстояния от Р и Q до наблюдателя А,
представленного точкой, одинаковы. Тонкие стрелки озна-
означают вспышки света, отправляющиеся к А. Рис. 2.5, a
частично иллюстрирует факт 1 п. 2.3, а частично вывод
наблюдателя А об одновременности взрывов. Рис. 2.5,6
Р a q
а * > • < *
Рис. 2.5.
2.6 32
иллюстрирует факт 2, согласно которому вспышки дости-
достигают наблюдателя А в один и тот же момент времени.
Если вам не все ясно в п. 2.3, просмотрите его теперь еще
разок.
2.6. Пусть в тот момент, когда вспышки света достигают на-
наблюдателя А, он пролетает мимо наблюдателя В (или,
наоборот, В пролетает мимо А). Заметьте, здесь ничего не
говорится о том, движется или покоится наблюдатель Ё,
точно так же как ничего не говорится о движении наблю-
наблюдателя А. Если потребовать, а это необходимо, чтобы ско-
скорость движения была постоянной, то нет смысла говорить,
кто именно из них движется (п. 1.3). Все, что можно сде-
сделать,— это установить факт их относительного движения.
Предположим, что наблюдатель В движется относи-
относительно А со стороны взрыва Р. Иными словами, если на-
наблюдатель А считает себя неподвижным, то он скажет, что
наблюдатель В при своем движении мимо него переме-
перемещается в том же направлении, что и свет из точки Р. (Как
описал бы это относительное движение наблюдатель В?)
в
Рис. 2.6.
Рис. 2.6, б отличается от рис. 2.5, б только тем, что на
нем показан наблюдатель В, поравнявшийся с А как раз
в тот момент времени, когда обе вспышки достигают по-
последнего. Поскольку рисунок выполнен в предположении,
что наблюдатель А покоится, то В следует изобразить дви-
движущимся в указанном выше направлении. Это сделано с
помощью жирной стрелки.
Теперь у нас есть все необходимые сведения о наблю-
наблюдателе В. Вспоминая выдвинутую в п. 1.22 гипотезу, по-
попробуйте разобраться, будут ли взрывы одновременными
для наблюдателя В.
2.7. Ясно, что наблюдатель В, так же как и А, увидит эти взры-
взрывы одновременно. С точки зрения А обе вспышки света,
прежде чем достигнуть его, проходят одинаковые расстоя-
расстояния. Остается ли это справедливым и для В?
2.8 33
Нет. Поскольку, когда они оба видят взрывы, наблюда-
наблюдатель В находится рядом с А (рис. 2.6,6) и движется впра-
вправо, нетрудно понять, что в момент взрыва он был ближе к
Р, чем к Q, как показано на рис. 2.6, а. Таким образом, по
мнению наблюдателя В, взрыв Q происходит дальше от
него, чем взрыв Р. (Если вас одолевают сомнения, пред-
представьте себе, что у наблюдателя В есть такой же измери-
измерительный стержень, каким мы снабдили в п. 2.4 наблюда-
наблюдателя А. Теперь легко убедиться, что след, оставленный на
стержне взрывом Q, будет дальше от точки, где наблюда-
наблюдатель В держит стержень, чем след, оставленный взрывом Р.
Таким образом, по мнению наблюдателя В,...)
А теперь сможете вы что-нибудь сказать по поводу од-
одновременности рассматриваемых событий с точки зре-
зрения В?
Для наблюдателя В, как и для А, скорость света в
обоих направлениях одна и та же. Такой вывод следует из
приведенной в п. 1.22 революционной идеи Эйнштейна.
Итак, чтобы достигнуть наблюдателя В, вспышке света от
взрыва Q нужно пройти больший путь, чем вспышке от Р,
но с той же скоростью, значит, и времени ей потребуется
больше. Поэтому, раз вспышки достигают наблюдателя В
одновременно, вспышка света от взрыва Q должна про-
произойти раньше. Такова цепочка рассуждений наблюдате-
наблюдателя В, из которых следует вывод, что,
с точки зрения наблюдателя В, взрыв Q происходит
раньше взрыва Р.
2.8. Наперекор этому результату рис. 2.6 навязывает нам мне-
мнение, что взрывы произошли одновременно. На этом рисун-
рисунке все выглядит так, будто вспышкам света от взрывов Р
и Q нужно пройти одинаковые расстояния как до наблю-
наблюдателя А, так и до наблюдателя В, что противоречит
п. 2.7. Единственное различие как будто состоит только в
том, что наблюдатель В оказывается в то\чке прихода
вспышек света в результате движения, а А всегда нахо-
находится в этой точке. Есть ли у вас критические замечания
по поводу этого высказывания?
Как мы уже знаем (п. 1.3), бессмысленно говорить о
движении именно наблюдателя В к точке встречи с А.
Рис. 2.6 здесь, очевидно, вводит нас в заблуждение. Все
неприятности таятся в приведенном варианте изображе-
изображения происходящего, когда наблюдатель А покоится, а В
движется, что в конце концов заставляет нас отдавать
предпочтение точке зрения наблюдателя А.
Восстановим справедливость, рассмотрев те же собы-
события с точки зрения наблюдателя В. Для этого обратимся
3—1653
2.8 34
к рис. 2.8, на котором наблюдатель В неподвижен, а на-
наблюдатель А движется справа налево, так что их относи-
относительное движение остается таким же, как и раньше. Да-
Давайте вместе с наблюдателем В рассмотрим три следующих
события. Сначала (рис. 2.8, а) происходит взрыв Q, и по-
порожденная им вспышка света отправляется в путь по на-
направлению к В. Затем (рис. 2.8, б) происходит взрыв в
А
В ^-* Q
а • ,• *
в
Рис. 2.8
точке Р, расположенной к наблюдателю В ближе, чем Q.
Свет из Р начинает распространяться позднее, чем из Q.
Но если расстояние, которое ему нужно преодолеть, будет
соответственно короче, то обе вспышки света, обладая оди-
одинаковыми скоростями, придут к В вместе (рис. 2.8,в).
Рис. 2.8 — просто наглядное изображение того, что мы уже
знаем о наблюдателе В из пп. 2.6 и 2.7.
Несмотря на то что рис. 2.8 иллюстрирует точку зрения
наблюдателя В, его можно использовать для объяснения
вывода, к которому пришел наблюдатель А. Расстояние от
А до Q на рис. 2.8, а равно расстоянию от А до Р на
рис. 2.8,6. Поэтому, снова используя доводы, приведенные
в п. 2.3, можно показать, что взрывы относительно А про-
произошли одновременно, даже если кажется, что рис. 2.8
позволяет утверждать обратное.
Рис. 2.6 и 2.8 в некотором смысле сходны с двумя сде-
сделанными по законам перспективы изображениями одной и
той же сцены. Чертеж в перспективе показывает только,
как выглядят предметы, если на них смотреть из какой-ни-
какой-нибудь одной точки. Для человека неискушенного то, что на
нем изображено, — явное искажение действительности.
Например, дальний берег озера при таком способе изо-
изображения всегда выше, чем ближний! Чтобы извлечь ра-
разумную информацию, нужно знать правила и уметь их
2.10 35
применять. Точно так же рис. 2.6 и 2.8 приведут к оши-
ошибочным выводам, если их использовать неумело. Чтобы из
того, что на них изображено, извлечь истину, необходимо
логическое мышление.
Теперь, пожалуйста, удостоверьтесь в том, что вы
усвоили аргументацию, изложенную в пп. 2.3—2.8, даже
если у вас осталось ощущение, что она ведет к неправдо-
неправдоподобным выводам.
2.9. Подведем итоги. Мы выяснили, что два взрыва произошли
одновременно, по мнению наблюдателя А, и в различные
моменты времени, с точки зрения наблюдателя В. Вероят-
Вероятно, возникает впечатление, что один из них ошибается.
Однако существует изрядное количество проблем, по по-
поводу которых мнения разных людей не совпадают и тем
не менее каждый из них прав. Например, люди в разных
частях земного шара совершенно расходятся во мнениях
по поводу того, когда наступает полдень. В нашем случае
дело обстоит точно так же — наблюдатели А и В имеют
разные точки зрения, но, несмотря на это, оба они правы.
Единственное существенное различие между ними —в их
движении. Итак, мы приходим к выводу, что
не существует единственного правильного ответа на
вопрос о том, произошли ли два события одновременно
или в разные моменты времени. Ответ зависит от дви-
движения наблюдателя. Наблюдатели, движущиеся отно-
относительно друг друга, дадут разные ответы на этот во-
вопрос, но все они будут одинаково верны.
Это утверждение носит специальное название: относи-
относительность одновременности.
2.10. Обратите внимание на то, что все наши доводы самым ре-
решающим образом опираются на предположение об инвари-
инвариантности скорости света (п. 1.22). Если же предположить,
что скорость света постоянна по отношению к (воображае-
(воображаемому) эфиру, то в конце концов мы придем к заключению,
что справедливы прежние представления об окружающем
мире.
Рассмотрим случай, в котором наблюдатель В покоится
относительно эфира (рис. 2.8). Тогда наблюдатель А дви-
движется относительно эфира. Следуя выводам п. 1.13, можно
было бы показать, что для наблюдателя А скорость света,
пришедшего из точки Q, должна быть меньше скорости
света, пришедшего из Р. Поскольку свету, идущему из
точки Q, нужно было бы преодолеть то же самое расстоя-
расстояние, что и свету из Р, но с меньшей скоростью, то в отли-
отличие от п. 2.3 оказалось бы, что... Довершив это рассужде-
3*
2.11 36
ние, докажите, что если наблюдатели А и В опираются на
теорию эфира, то их точки зрения совпадают.
Причина возможного неприятия относительности одно-
одновременности кроется в том, что, даже когда разум готов
рассматривать идею инвариантности скорости света в ка-
качестве краеугольного камня всех рассуждений, наша ин-
интуиция отказывается следовать по этому пути. Роль интуи-
интуиции не следует недооценивать, она часто помогает сфор-
сформулировать хорошую идею. Но когда интуиция приходит
в противоречие с логикой, то следует полагаться (как ми-
минимум в данной области) на логику.
2.11. Почему в повседневной жизни никогда не бывает разногла-
разногласий по вопросу об одновременности?
Потому что при обычных скоростях движения различие
столь мало, что его практически невозможно обнаружить.
Между двумя ситуациями, изображенными на рис. 2.6, а
и б, наблюдатель В успел бы переместиться относитель-
относительно А только на очень малое расстояние. Так что свет из
точки Q (с его точки зрения) должен был пройти чрезвы-
чрезвычайно малый дополнительный путь по сравнению со све-
светом из Р. Отсюда следует, что для наблюдателя В собы-
событие Q происходит на ничтожные доли секунды раньше со-
события Р — слишком непродолжительный промежуток вре-
времени, чтобы его можно было заметить.
2.12. У вас почти наверняка сложилось впечатление, что все эти
рассуждения об относительности одновременности ошибоч-
ошибочны. В таком случае я попрошу вас попытаться найти
изъяны в приведенных выше рассуждениях. В процессе
таких поисков можно узнать очень многое.
У каждого из нас есть представления об окружающем
мире, которые кажутся настолько очевидными, что и в го-
голову не приходит усомниться в них. Но прежде чем за-
заняться критическим разбором этих представлений, необхо-
ходимо их осознать. Один из лучших способов — тщатель-
тщательно взвесить все за и против такого понятия, как относи-
относительность одновременности.
Теперь, чтобы найти уязвимые места в пп. 2.2—2.9, нам
предстоит усердно поработать. Если покажется, что ошиб-
ошибка обнаружена, не следует откладывать ее анализ на по-
потом. Постарайтесь сразу же ее четко сформулировать
(лучше в письменном виде). И тогда вдруг обнаружится,
что множество вроде бы внушающих доверие идей ока-
окажутся совершенно пустыми, когда вы попытаетесь придать
им точный смысл. Примите добрый совет: убедитесь, что
ваши аргументы одинаково хороши как для случая, изо-
изображенного на рис. 2.6, так и для случая, изображенного
2.14 37
на рис. 2.8, иначе один из наблюдателей будет иметь пре<-
имущества перед другим.
Убедившись, что возражения сформулированы вполне
четко, сделайте следующий шаг: проверьте, нет ли ошибок
в ваших собственных поисках изъянов в доказательстве
относительности одновременности. В результате от неко-
некоторых первоначальных возражений придется отказаться^
И только после того, как вы доберетесь до самой сути
казалось бы уже неопровержимых возражений, переходи-
переходите к пп. 2.13—2.18. Продумайте свои возражения еще раз
при переходе от одного раздела к другому. В любом слу-
случае изучите эти разделы внимательно. И если некоторые
из указанных проблем пока не волнуют вас, знайте, позд-
позднее они могут причинить достаточно хлопот. Словом, будь-
будьте готовы вернуться обратно.
2.13. Чаще всего приводится следующий довод: «Наблюдатель А
находится как раз посередине между взрывами в момент,
когда порожденные ими вспышки света достигают его. Но
в этот же момент времени наблюдатель В поравнялся с А
и поэтому тоже находится посередине между взрывами...»
И отсюда молниеносно делается вывод, что мнения наблю-
наблюдателей А и В должны совпадать. Не кажется ли вам
подозрительным первое предложение в кавычках?
Взрывы произошли на стадии а, и наблюдатель А не-
несомненно находился тогда как раз посередине между ни-
ними. Но к тому времени, когда наблюдатель В поравнялся
с А, взрывы уже произошли, и совершенно бессмысленно
говорить, что А находится посередине между двумя собы-
событиями, которые уже произошли и закончились. Ведь на-
наверняка вызвало бы смех заявление, что в данный момент
я, к примеру, нахожусь посередине между подписанием
Великой хартии вольностей и первым испытанием водород-
водородной бомбы. А когда рассуждения основываются на лишен-
лишенных смысла посылках, едва ли можно ожидать, что кто-ни-
кто-нибудь согласится с ними.
Если возникнет желание видоизменить исходное пред-
предположение и заявить, что на стадии б (рис. 2.6) наблюда-
наблюдатель находится посередине между «пунктами, в которых
произошли взрывы», то придется повременить до тех пор,
пока вы не приступите к изучению п. 2.16, где рассматри-
рассматривается эта точка зрения, правда в другом контексте.
2.14. Иногда утверждают, что, несмотря на отличие суждений
наблюдателя В от суждений А, он все же может предска-
предсказать картину, регистрируемую наблюдателем А, и ввести в
свои суждения необходимые поправки. Но точно так же А
может предсказать, как рассматриваемый процесс выгля-
2.15 38
дит с точки зрения В, и сделать свои поправки. Кто из них
должен вносить поправки?
Конечно, можно привести множество примеров, когда
наблюдателю приходится работать в необычных условиях
и он вынужден вводить соответствующие поправки (пред-
(представьте себе человека, который отправился в кругосветное
путешествие и пытается определить дату по подсчетам
восходов Солнца). Кто из нашей пары наблюдателей прав
и кто из них должен вносить поправки в свои наблюде-
наблюдения?
2.15. Может быть, вы полагаете, что решающим является во-
вопрос о том, который из наблюдателей движется? Или,
другими словами, что правильный ответ может дать толь-
только неподвижный наблюдатель, а движущийся должен вно-
вносить поправки. Но из п. 1.3 известно, что невозможно ска-
сказать, кто из наблюдателей «в самом деле» движется. Не-
Необходимо рассматривать движение относительно какого-ли-
какого-либо объекта. Относительно какого?
А может быть, стоит рассматривать движение наблю-
наблюдателей относительно взрывов? Что можно сказать о дви-
движении наблюдателей А и В относительно взрывов?
Возможно, вы обратите мое внимание на рис. 2.6 и
скажете, что он дает основания считать точку зрения на-
наблюдателя А предпочтительной. Там наблюдатель А непод-
неподвижен относительно звездочек, представляющих взрывы, а
наблюдатель В движется относительно них. Однако наря-
наряду с этим рассмотрим рис. 2.8, на котором наблюдатель В
покоится, а А движется относительно звездочек. Таким об-
образом, вопрос о том, кто из них движется, а кто неподви-
неподвижен, по-видимому, зависит от того, какой использовать
рисунок. Странно, не правда ли? Нет ли у вас каких-либо
сомнений по поводу идеи о движении относительно взры-
взрывов? Как обнаружить это движение?
Очевидно, что, хотя говорилось о «взрывах», мы имели
в виду идеальные события Р и Q, которые происходили
мгновенно. Имеет ли смысл говорить, что наблюдатель дви-
движется (или неподвижен) относительно мгновенных собы-
событий?
Чтобы решить, движется ли один предмет относитель-
относительно другого, необходимо измерить расстояние между ними
дважды и затем выяснить, изменилось ли оно. Но событие
происходит только один раз, и поэтому невозможно изме-
измерить расстояние дважды. По этой причине нельзя устано-
установить, движется ли наблюдатель относительно события.
А если невозможно дать однозначный ответ, то бессмыс-
бессмысленно говорить, что такой-то наблюдатель движется отно-
2.16 39
сительно события. Слова «этот наблюдатель движется (или'
неподвижен) относительно данного события» выглядят
как некоторое утверждение, но на самом деле не имеют
смысла. Теперь вернемся к сделанному в п. 2.13 замеча-
замечанию, что не нужно слепо доверять выводам, основывакх-
щимся на лишенных смысла высказываниях.
(Возможно, кто-то возразит: реальное событие проис-
происходит не мгновенно, а в течение малого промежутка вре-
времени. Но ведь интервалы времени короче некоторого пре-
предела измерить невозможно. И если продолжительность
события меньше доступного измерению предела, то прак-
практически это событие можно считать мгновенным. За про-
промежуток времени, в течение которого оно происходит, все
равно нельзя сделать два различных замера расстояния
между наблюдателем и событием, так что все, о чем гово-
говорилось выше, остается в силе. Просто рассматриваемые
взрывы должны быть очень кратковременными и очень
мощными.)
2.16. Итак, нельзя рассматривать движения относительно со-
события. Тогда поставим другой вопрос: нельзя ли узнать,
который наблюдатель прав, а который должен вносить по-
поправки, рассматривая их движение или покой относитель-
относительно пункта, где это событие (скажем, Q) произошло?
Но что это такое — «пункт, где произошло событие»?
Как его найти после того, как событие произошло?
Можно ли, например, отметить это место с помощью
флажка? В повседневной жизни такая процедура пред-
представляется совершенно естественной. Место, на котором
был сбит пешеход, — это участок улицы, расположенный
в момент происшествия прямо под ним. Десять минут
спустя я без труда обнаружу этот участок и подсчитаю,
что он расположен, скажем, в 30 м от меня. Так что по-
полицейскому я смогу сообщить, что «пешеход был сбит в
30 м отсюда».
Но наблюдатель, обитающий на Солнце, не согласился
бы со мной. Он сказал бы, что за 10 мин, прошедших
после несчастного случая, я далеко переместился от «ме-
«места, где все это произошло», так как двигался вместе с
Землей со скоростью 30 км/с (п. 1.8). Он заявил бы, что
я теперь нахожусь примерно в 18 000 км от места проис-
происшествия.
Улавливаете, «место, где произошло событие», — полез-
полезная фраза, если все мы условимся использовать одну и ту
же систему отсчета, например поверхность Земли. Но как
только мы откажется от этого соглашения, станет ясно,
что понятие «место, где произошло событие» бессмысленно.
2.17 40
Не существует «мест» в пустом пространстве. Поэтому нет
надежды установить, кто из наблюдателей прав, а кто
заблуждается, рассматривая их движение по отношению
к «месту, где произошло событие».
Еще раз внимательно проанализируйте этот раздел и
придумайте несколько новых примеров (скажем, о собы-
событиях в поездах, на кораблях...)- Призрак «места, где про-
произошло событие» может появляться снова и снова, и он
испортит нам немало крови. Поэтому именно сейчас, пока
все еще свежо в памяти, не пожалейте усилий и постарай-
постарайтесь уяснить точный смысл всего сказанного.
2.17. Разделы 2.13, 2.15 и 2.16 поясняют кое-что из того, с чем
нам приходится все время сталкиваться. Из них следует,
что к словам нужно относиться критически. Необходимо
всегда стараться понять, говорят ли они о чем-то реаль-
реальном, действительно существующем, или образуют лишен-
лишенную смысла фразу типа «место, где произошло событие».
Чтобы разрешить эту дилемму, обычно достаточно спро-
спросить себя, каким образом можно наблюдать то, о чем идет
речь. Если удастся разработать четкий метод, позволяю-
позволяющий провести такие наблюдения, то он сам определит
смысл слов, используемых для описания данного явления.
(Не следует добиваться, чтобы разрабатываемый метод
обязательно был осуществим на практике. Вполне доста-
достаточно, если ему можно следовать хотя бы в принципе.) Ну
а если вам не удастся придумать такой метод, то и состав-
составленная фраза не имеет смысла. Следовательно, ничего не
стоят и любые рассуждения, в которых она используется.
Суть п. 2.4 заключается в следующем: он гарантирует,
что утверждение A) в п. 2.3 имеет смысл. Если остались
сомнения по поводу моего утверждения о бессмысленности
фразы «половина расстояния между взрывами» в п. 2.13,
попытайтесь уяснить, можно ли проверить ее справедли-
справедливость экспериментально.
2.18. Вот еще один довод. События Р и Q не могут произойти
в абсолютно пустом пространстве. Они должны быть с
чем-то связаны. Положим, что они происходят на каком-
нибудь летательном аппарате. Можно считать, что Р и Q—
это взрывы на борту космических кораблей. Вы скажете,
что имеет смысл говорить о движении наблюдателя А от-
относительно летательного аппарата, так как всегда можно
измерить расстояние между ними в два различных момен-
момента времени и узнать, изменяется ли оно. Что ж, согласен.
Это в самом деле имеет смысл. Но относится ли это к
рассматриваемому вопросу?
2.20 41
Нет, не относится. Представьте себе два космических
корабля С и D (рис. 2.18). Пусть С летит по направлению
к наблюдателю A, a D — от него. В момент, когда космиче-
космические корабли поравняются, происходят взрывы, каждый
из которых можно считать событием Q. Согласно п. 1.9,
вспышки света от этих взрывов будут распространяться
с одинаковой скоростью. Поскольку расстояния от косми-
космических кораблей до наблюдателя одинаковы, ничто не из-
изменится в рассуждениях пп. 2.3—2.7, будем ли мы рас-
рассматривать космический корабль С или D.
Рис. 2.18.
2.19. Мы обсуждали некоторые трудности, возникающие перед
большинством людей. Если мне не удалось развеять все
ваши сомнения, связанные с относительностью одновре-
одновременности, попробуйте сами провести всестороннюю и тща-
тщательную проверку моих доводов. Наверняка в конце кон-
концов окажется, что все трудности связаны с инерцией мыш-
мышления, питающегося впечатлениями, ограниченными повсе-
повседневным опытом, например привычкой всегда выбирать
поверхность Земли в качестве системы отсчета. Если же
останется ощущение, что в моих рассуждениях есть непре-
непреодолимое противоречие, то не торопитесь выносить оконча-
окончательный приговор, а время от времени снова возвращай-
возвращайтесь к этому вопросу. Но продолжайте чтение так, как
будто я вам уже доказал свою правоту.
Заключение, которое мне хотелось бы сформулировать
на основании всех приведенных аргументов и контраргу-
контраргументов, полностью совпадает со сделанным в конце п. 2.9.
Запишем его здесь в более краткой форме:
мнения наблюдателей, движущихся относительно друг
друга, по вопросу об одновременности событий не
совпадают.
2.20. Добросовестные и точные наблюдатели не могут иметь
различные мнения о реальности по той простой причине,
что единственное разумное значение слова «реальность»
(в научном смысле) как раз и состоит в том, что «реаль-
«реальность— это то, по поводу чего мнения всех добросовестных
и точных наблюдателей совпадают».
2.21 42
Поэтому наблюдатели А и В не могут расходиться в
своих суждениях о реальности, у них могут быть разногла-
разногласия только по поводу некоторых аспектов реальности, ко-
которые проявляются по-разному с точки зрения одного или
другого. Теперь нетрудно прийти к выводу, что понятие об
одновременности двух событий не имеет ничего общего с
реальностью. Оно связано только с представлениями того
или иного наблюдателя о реальности, с тем, как он эту
реальность воспринимает.
Проведем следующую аналогию. Утверждение «труба
дома, стоящего на противоположной стороне улицы, нахо-
находится как раз за телеграфным столбом» верно с моей точ-
точки зрения, но неверно для моей жены, находящейся в не-
нескольких метрах от меня. И мы не удивляемся такому рас-
расхождению во мнениях. Нам не приходит в голову считать
высказывание «труба находится прямо за телеграфным
столбом» само по себе верным или ложным. Чтобы оно
было верным или ложным, а стало быть, приобрело смысл,
необходимо добавить: «с такой-то точки зрения».
Тем же путем можно прийти к выводу, что понятие
одновременности событий не имеет отношения к реальным
взаимосвязям между ними. Оно проявляется как точка
зрения того или иного наблюдателя на эти взаимосвязи.
Высказывание «эти два события произошли одновремен-
одновременно» само по себе бессмысленно. Но если добавить: «отно-
«относительно данного наблюдателя», то оно приобретет смысл
и при этом может быть верным для одного наблюдателя
и ложным для другого.
2.21. Уверен, что все же эти доводы вас не убедили — пока! Мы
всегда представляли себе два события либо «в самом де-
деле» одновременными, либо в «самом деле» неодновремен-
неодновременными. И это убеждение никогда не подводило. Поэтому
очень трудно убедить себя, что наши представления об
окружающем мире были весьма ограничены.
Здесь мы снова приходим к рассмотренным во введе-
введении проблемам воображения и впервые серьезно сталки-
сталкиваемся со случаем, когда наша логика довольно решитель-
решительно убеждает нас в чем-то таком, что наше воображение
воспринимать отказывается. Не надейтесь на то, что я
способен упростить все проблемы до такой степени, что вы
все легко себе представите в новом свете. Нет, вам придет-
придется стать восприимчивыми настолько, насколько это воз-
возможно, а я, со своей стороны, буду подталкивать вас в
правильном направлении. Постепенно ваше воображение
научится лучше справляться с такими задачами. А пока
пусть логика будет вашим гидом.
2-22 43
Основная трудность кроется в ограниченности нашего
опыта. Подставив в рассуждения п. 2.11 соответствующие
цифры (если у вас неплохой уровень математических по-
познаний, постарайтесь сделать это сами), легко рассчитать,
что при скоростях движения наблюдателей, с которыми
мы встречаемся в повседневной жизни, взрыв Q, по мне-
мнению наблюдателя В, предшествует взрыву Р, быть может,
на 0,000 000 000 001 секунды, а то и еще меньше. Нет ниче-
ничего удивительного в том, что мы не обнаруживаем никакого
различия! Однако следует предостеречь от предположе-
предположения, что то, что верно (в практическом смысле) в обычных
условиях, справедливо и при любых других обстоятельст-
обстоятельствах. Кажется, Эддингтон как-то заметил, что у путешест-
путешественника, совершившего поездку по США исключительно
на поезде, сложится впечатление, что на каждом переезде
постоянно звонит колокол. Наша ситуация, пожалуй, на-
напоминает эту. При очень малых относительных скоростях
движения наблюдателей не возникнет никаких расхожде-
расхождений в вопросе об одновременности событий. И, подобно
эддингтоновскому путешественнику, мы приходим к оши-
ошибочному выводу, что наш ограниченный опыт имеет уни-
универсальный характер.
2.22. Рассмотрим теперь несколько иную задачу об одновремен-
одновременности. Пусть, как и выше, произошли взрывы Р и Q.
И пусть наблюдатель С находится в точно такой же си-
ситуации, как А в п. 2.3. Поэтому с помощью тех же рассуж-
рассуждений он может утверждать, что взрывы произошли одно-
одновременно. В тот момент времени, когда он зарегистрировал
взрывы, с ним поравнялся наблюдатель D, движущийся
(относительно наблюдателя С) под прямым углом к на-
направлению PQ. Что скажет наблюдатель D?
На рис. 2.22, а изображен момент встречи наблюдате-
наблюдателей С и D (при этом D находится прямо над С над плос-
плоскостью страницы, а не ниже его, как это нарисовано). Ко
а р
с
D
Т
Рис. 2.22.
2.23 44
времени, когда вспышки света достигнут наблюдателя С,
наблюдатель D переместится (по оотношению к С) в по-
положение, показанное на рис. 22, б. Свет, пришедший к на-
наблюдателю D, распространялся в направлении, отличном
от направления, по которому он пришел к С. Эти направ-
направления показаны на рисунке в виде наклонных стрелок. Из
соображений симметрии ясно, что обе вспышки света до-
достигнут наблюдателя D в один и тот же момент времени.
Двигаясь к тому же с одинаковой скоростью (п. 1.22),
вспышки, по мнению D, пройдут одинаковые расстояния.
Тогда на основе точно таких же рассуждений, как в п. 2.3
(убедитесь в этом самостоятельно), можно доказать, что
в рассматриваемом случае наблюдатель D согласится с
утверждением об одновременности взрывов.
2.23. Перейдем теперь к другой теме. Вы, вероятно, думаете,
что длина стержня — это нечто вполне определенное и что
мнения всех наблюдателей относительно ее значения, ко-
конечно же, совпадают независимо от того, как они движут-
движутся. Но вас ждет разочарование.
Прежде всего уясним, что следует понимать под длиной
стержня. Для этого вспомним, как она измеряется. Возь-
Возьмем для простоты стержень длиной меньше метра и по-
посмотрим, как его измерить с помощью метровой линейки с
миллиметровыми делениями. Пусть стержень неподвижен
относительно линейки и параллелен ей, и пусть его концы
приходятся против делений 23 и 435 мм. Значит, длина
стержня равна 435—23=412 мм. Очень просто! Ну а если
стержень движется, скользя вдоль линейки? Соответствует
ли такая процедура измерению длины в этом случае?
Конечно, нет. Необходимо сделать одно существенное
дополнение. Отмечать миллиметровые деления, против ко-
которых приходятся концы стержня, нужно в один и тот же
момент времени. Если не требовать выполнения этого ус-
условия, то стержень переместится за время измерения, и в
результате его длина будет определена неверно. Видите ли
вы теперь, в чем состоит проблема?
Поскольку у наблюдателей имеются разногласия по во-
вопросу об «одном и том же моменте времени», у них не бу-
будет единого мнения и в вопросе о длине стержней.
2.24. Чтобы несколько глубже проникнуть в сущность рассмат-
рассматриваемой проблемы, снабдим наблюдателей А и В стерж-
стержнями (которые они носят с собой). Определим длину
стержня каждого наблюдателя при помощи условия, что
один конец стержня находится рядом с точкой Р в момент
взрыва Р, а другой конец находится в момент взрыва Q
рядом с этой точкой.
2.25 45
Рис. 2.24 — это, по существу, рис. 2.8, на котором допол-
дополнительно дорисованы стержни (сплошная линия — это
стержень наблюдателя А, а штриховая — стержень наблю-
наблюдателя В). На рис. 2.24, представляющем точку зрения
наблюдателя В, он и его стержень неподвижны (это отно-
относится к любой стадии а—в). Как мы уговорились, стер-
стержень упирается одним концом в точку Р, а другим — в Q.
Наблюдатель А движется относительно В и несет с
собой свой стержень, так что относительное положение на
стадиях а —в различно. Но, как мы договорились, один
а
6
в
Рис. 2.24.
конец его стержня в момент взрыва Р находится в точке Р,
а другой в момент взрыва Q находится в точке Q.
На рис. 2.24, а показано расположение стержней в один
и тот же момент времени, а именно в момент события Q,
с точки зрения наблюдателя В. Это позволяет нам выяс-
выяснить точку зрения наблюдателя В о длинах стержней. Яс-
Ясно видно, что, с его точки зрения, его стержень полностью
покрывает стержень наблюдателя А и оказывается даже
несколько длиннее. Итак, можно сделать вывод, что,
согласно мнению наблюдателя В, его стержень длиннее,
чем стержень наблюдателя А.
2.25. Как это выглядит с точки зрения наблюдателя А? Чтобы
узнать мнение наблюдателя А, обратимся к рис. 2.25. Это
вариант рис. 2.6 с дорисованными стержнями. Здесь также
один из концов каждого стержня расположен около Р, а
другой — около Q в моменты, когда происходят эти собы-
события. Но события Р и Q для наблюдателя А одновременны,
поэтому, с его точки зрения, концы стержня наблюдателя В
в один и тот же момент времени совпадают с концами его
стержня. Отсюда следует, что,
2.26 46
а
б
р
Л Q
В
Л
В
Рис. 2.25.
согласно мнению наблюдателя А, длина стержней оди-
одинакова.
2.26. Сравнивая эти выводы, мы обнаружим, что
если стержни, которые наблюдатели несут с собой, рас-
расположены вдоль направления их относительного движе-
движения, то их мнения о длине стержней не совпадают.
Можно резюмировать это разногласие следующим образом:
А говорит: «У стержней несомненно одинаковая длина.
Ведь их левые концы совпадают в точке Р, а правые — в
точке Q» (рис. 2.25); наблюдатель В возражает: «Вы мо-
морочите мне голову. Сначала вы совместили правые концы
стержней, а затем, прежде чем сравнивать левые концы,
сдвинули свой стержень» (рис. 2.24). Если вы не согласны
с этим выводом, то вам придется вступить в дискуссию с
самим собой, ибо я не в состоянии предусмотреть каждое
возражение.
2.27. А если стержни расположены под прямым углом к на-
направлению относительного движения?
Теперь призовем на помощь наблюдателей С и D
(п. 2.22). И снова пусть у стержня каждого наблюдателя
р
а ин-
Рис. 2.27.
2.27 47
один конец расположен в точке Р, когда там происходит
событие, а другой в соответствующий момент времени —
рядом с Q (рис. 2.27). Из п. 2.22 известно, что наблюдате-
наблюдатели С и D считают события Р и Q одновременными. Значит,
каждый скажет, что концы стержня другого наблюдателя
совпадают с концами его стержня в один и тот же момент
времени. Поэтому они оба будут считать, что их стержни
имеют одинаковую длину. Таким образом,
когда наблюдатели держат стержни перпендикулярно
направлению относительного движения, их мнения о
длине стержней совпадают.
Из соображений симметрии очевидно, что этот вывод
остается справедливым и для длин половинок стержней,
протянувшихся от наблюдателей к событию Q.
3
ЗАМЕДЛЕНИЕ ТЕЧЕНИЯ ВРЕМЕНИ
3.1. Представим себе двух наблюдателей, находящихся на
борту космических кораблей, которые движутся относи-
относительно друг друга (движение, как и раньше, будем счи-
считать равномерным и прямолинейным). Назовем этих на-
наблюдателей А и В, но не будем отождествлять их с тез-
тезками из предыдущей главы. Все рисунки в этой главе
выполнены в предположении, что наблюдатель А непод-
неподвижен в плоскости страницы, а наблюдатель В движется
слева направо в горизонтальном направлении.
Рис. 3.1.
Наблюдатель В снабжен лампой-вспышкой Р и зер-
зеркалом Q. Лампа находится около него, а зеркало — на
некотором удалении от него, причем линия PQ перпен-
перпендикулярна направлению движения наблюдателя В от-
относительно А. При включении лампы свет от нее рас-
распространяется к зеркалу и, отразившись, возвращается
обратно. Распространение света изображено на рис. 3.1
с помощью линий PQP со стрелками. Так его видит на-
наблюдатель В. Если космические корабли построены из
прозрачного материала, то наблюдатель А, оказавшись
неподалеку от В, смог бы разглядеть все происходящее в
корабле наблюдателя В. Что бы он увидел?
3.2. Наблюдатель А увидит, что В вместе со своей установ-
установкой движется слева направо. На рис. 3.2 показана пред-
3,3 49
ставшая перед ним картина. Положение лампы-вспышки
в момент включения отмечено буквой К. За время рас-
распространения света от лампы к зеркалу оно переместит-
переместится в положение L, причем луч света будет идти вдоль
линии KL. Отразившись от зеркала, свет вдоль линии
LM вернется обратно к лампе, которая тем временем
переместится в точку М. Разумеется, так все это пред-
представляется только наблюдателю А.
Если вы не в состоянии мысленно представить себе
описанную картину, попросите приятеля сыграть роль
наблюдателя В. Пусть он, проходя мимо вас, медленно
опускает и поднимает руку, чтобы в какой-то мере ими-
имитировать распространение света. По отношению к нему
рука перемещается только вверх и вниз. Но, с вашей
точки зрения, траектория руки будет подобна траекто-
траектории распространения света KLM.
3.3. Рис. 3.3 объединяет два предыдущих чертежа (за исклю-
исключением некоторых деталей). Верно ли я считаю, что рас-
расстояния NL и PQ равны?
Пусть на космическом корабле наблюдателя В уста-
установлен стержень, соединяющий точки Р и Q, и пусть оба
конца стержня наблюдателя А совпадают с соответст-
соответствующими концами стержня В как раз в тот момент,
когда свет достигает зеркала, т. е. в положении NL. Тог-
Тогда возникает ситуация, в точности совпадающая с опи-
описанной в конце п. 2.27. Значит, наблюдатели А и В бу-
будут согласны, что длины их стержней равны, т. е. равны
расстояния NL и PQ.
4—1653
50
Рис. 3.3.
3.4. С чисто геометрической точки зрения очевидно, что рас-
расстояние KLM, которое проходит свет, согласно наблюде-
наблюдениям А, больше расстояния PQP, которое он проходит с
точки зрения наблюдателя В. (В этом легко убедиться
способом, предложенным в конце п. 3.2.)
До сих пор у последователя классической (дореляти-
вистской) физики не было оснований не соглашаться с
нашими рассуждениями. Но сейчас он наверняка с нами
не согласится. Он скажет, что время распространения
света «должно» быть одним и тем же независимо от то-
того, кто его измеряет. Чтобы пройти большее расстояние
за то же время, свет относительно наблюдателя А дол-
должен распространяться быстрее, чем относительно наблю-
наблюдателя В, — вот к какому выводу он придет. (Предло-
(Предложенный в п. 3.2 способ может снова отказаться полез-
полезным.) Согласится ли с ним физик-релятивист?
3.5. Согласно представлениям теории относительности
(п. 1.22), скорость света для наблюдателей А и В одина-
одинакова. Но, распространяясь с одинаковой скоростью, свет,
с точки зрения наблюдателя А, должен двигаться доль-
дольше, чем с точки зрения В. Обдумайте это!
Сосредоточим внимание на двух событиях: 1) вклю-
включение лампы и возникновение вспышки света; 2) возвра-
возвращение отраженного света обратно к лампе. Мы подошли
к удивительному выводу. К какому?
Промежуток времени между этими событиями, с точ-
точки зрения А, больше, чем с точки зрения В.
3.6. Но разве это возможно? Мы привыкли считать, что вре-
время между двумя событиями — это нечто совершенно оп-
3J 51
ределенное и что оно абсолютно не зависит от того, кто
его измеряет. Тем не менее мы показали, что если спра-
справедливо сказанное в п. 1.22, то промежутки времени, из-
измеренные наблюдателями А и В, будут различны. Поэто-
Поэтому (по крайней мере в данном случае)
время между двумя событиями зависит от движения
измеряющего его наблюдателя.
3.7. Заметьте—это очень важно,—чго процедуры измерений
у наблюдателей А и В не равнозначны. В измерениях
времени наблюдателем В есть существенные особенно-
особенности. Его часы расположены рядом с лампой в момент
вспышки и остаются рядом с ней, когда свет возвраща-
возвращается обратно. Так что время каждого события он может
отмечать непосредственно по своим часам, не прибегая
к каким-либо косвенным приемам.
Простейший способ — производить измерения в тем-
темноте. Тогда циферблат часов осветится первый раз при
включении лампы-вспышки, а второй раз при возвраще-
возвращении света, отраженного от зеркала. Затем с помощью
элементарнейшей арифметической операции вычитания
наблюдатель В сразу найдет время, прошедшее между
событиями. А что же наблюдатель А? Может ли он из-
измерить промежуток времени между двумя событиями
таким же прямым методом?
Сейчас мы убедимся, что ответить на этот вопрос
следует отрицательно. Если бы даже часы наблюдате-
наблюдателя А находились на одном уровне с лампой в момент ее
включения в точке К, то в момент возвращения света к
лампе в точке М эти часы уже будут далеко. В лучшем
случае наблюдатель А на основании непосредственных
наблюдений узнает, когда произошло только одно из со-
событий. Чтобы выяснить, когда произошло второе собы-
событие, ему придется приложить дополнительные усилия.
Для определения момента возвращения света наблю-
наблюдатель А мог бы воспользоваться вторыми часами, рас-
расположенными в точке М. Но он должен был бы синхро-
синхронизировать те и другие часы с помощью сигналов, уста-
устанавливающих соответствие между их показаниями. Или
наблюдатель А должен заранее с кем-нибудь догово-
договориться, чтобы ему сообщили о моменте прихода света в
точку М. Правда, он должен учесть, что от момента пе-
передачи сообщения до момента его поступления обяза-
обязательно пройдет некоторое время. Наконец, у наблюда-
наблюдателя А есть еще одна возможность: измерить длину от-
отрезка PQ и относительную скорость космических кораб-
3.8 52
лей, а затем вычислить время распространения света от
лампы к зеркалу и обратно.
Итак, наблюдатель В может определить время, про-
прошедшее между событиями, с помощью прямых наблюде-
наблюдений. Что же касается наблюдателя А, то, какие бы на-
наблюдения он ни проводил, он вынужден дополнять их
либо вычислениями, либо учетом запаздывания сообще-
сообщения, либо, наконец, синхронизацией часов.
3.8. Для удобства присвоим этим прямым и косвенным ме-
методам измерений специальные названия:
Собственным временем между двумя событиями на-
называется промежуток времени, измеренный наблюда-
наблюдателем, движущимся равномерно и прямолинейно, ко-
который присутствует при обоих событиях, либо лю-
любым другим наблюдателем, неподвижным по отноше-
отношению к нему.
Промежуток времени, измеренный любым другим
равномерно и прямолинейно движущимся наблюда-
наблюдателем, не удовлетворяющим указанным условиям,
называется несобственным временем.
Лучше разобраться с этими понятиями нам помогут
следующие замечания. 1. Движение обязательно должно
быть равномерным и прямолинейным: в противном слу-
случае измеренное время не является ни собственным, ни
несобственным. 2. В п. 3.7 предполагалось, что часы на-
наблюдателя В находятся в месте событий. Но при этом
подразумевалось, что наблюдатель и его часы располо-
расположены в одной и той же точке, значит, наблюдатель В
присутствует при обоих событиях и измеренное им вре-
время является собственным. 3. Наблюдатели, неподвижные
по отношению к В, согласятся с результатами его изме-
измерений. Поэтому измеренное ими время между события-
событиями тоже следует считать собственным. 4. Любые другие
наблюдатели движутся относительно В подобно наблю-
наблюдателю А в рассмотренном выше случае. Тогда, согласно
нашим определениям, измеренное ими время нужно счи-
считать несобственным. 5. Наблюдатель В — единственный,
а вот количество наблюдателей, которые движутся по
отношению к нему, может быть любым. Следовательно,
значение собственного времени есть одно-единственное,
тогда как для несобственного времени всегда существует
множество различных значений.
3.9. Пусть произошли два события. Всегда ли существует
собственное время между ними?
3.12 53
Ниже мы исследуем случай, в котором события столь
далеко разнесены в пространстве и разделены столь
кратким промежутком времени, что ни один наблюдатель
не в состоянии присутствовать при обоих. Значит, для
промежутка времени между этими событиями понятие
собственного времени отсутствует. Ну а если ограничиться
только теми случаями, когда можно говорить о собст-
собственном времени, то какой общий вывод о соотношениях
между собственным и несобственным временем следова-
следовало бы сделать?
3.10. Наблюдатель, присутствующий при обоих событиях,
схож с наблюдателем В. Вообразим, что он, как и на-
наблюдатель В, проделывает эксперимент со вспышкой
света, которая происходит в момент первого события;
отразившись, свет возвращается обратно в момент вто-
второго события. Тогда те же рассуждения, что в пп. 3.1 —
3.5, приводят к следующему заключению:
интервал несобственного времени между двумя собы-
событиями всегда больше, чем интервал собственного вре-
времени между ними.
Это явление называется замедлением течения времени.
3.11. Естественно, не следует ожидать, что различие в изме-
измеряемых разными наблюдателями промежутках времени
будет значительным, если их относительная скорость
мала по сравнению со скоростью света. Уверен, вы мо-
можете доказать это сами, заметив, что при небольших
скоростях расстояние KN чрезвычайно мало, и потому
расстояния KLM и PQP почти точно равны.
Отсюда вытекает, что измерения времени между со-
событиями, происходящими на некотором объекте, кото-
который медленно движется по отношению к наблюдателю,
можно практически считать измерениями собственного
времени, даже если на самом деле это время несобствен-
несобственное.
3.12. Множество объектов в окружающем нас мире обладают
«встроенными часами», причем такие объекты можно
наблюдать, когда они движутся очень быстро. Это дает
возможность проверить теорию экспериментально. Вре-
Время, протекшее между двумя ударами «встроенных ча-
часов», — собственное. С точки же зрения наблюдателей,
не находящихся на этом объекте, время между теми же
ударами — несобственное. Сравнивая два таких из-
измеренных экспериментально промежутка времени, не-
нетрудно узнать, равна ли их разность значению, предска-
предсказанному теорией.
3.13 54
Перейдем теперь к численному анализу конкретного
случая. Все расчеты будут довольно просты, но если вы
слабы в математике, то при их выполнении могут возник-
возникнуть трудности. Мой вам совет: не ограничивайтесь толь-
только чтением приведенного ниже материала, выпишите его
для себя, причем самое существенное, без многословных
объяснений. А после того как выпишите то или иное
утверждение, спросите себя: почему я выписал именно
это?
3.13. Пусть скорость наблюдателя В по отношению к А со-
составляет 99,5% скорости света. Примем для удобства
расчетов, что расстояние от К до L равно 1000 единиц.
Перерисуйте в свою тетрадь рис. 3.3 и отмечайте на нем
упоминаемые в тексте значения расстояний. С помощью
этих данных найдите расстояние от К до N.
Пока свет распространяется из точки К в L, лампа-
вспышка перемещается из К в N, двигаясь со скоростью
99,5% скорости света относительно наблюдателя А. Сле-
Следовательно, пройденный лампой путь KN должен быть
равен 99,5% расстояния, которое покрыл свет за то же
самое время, что дает 995 единиц. (В соответствии с этим
результатом рис. 3.3 нужно растянуть в горизонтальном
направлении.) Если вы знаете, как вычислить расстоя-
расстояние NL, то можете сразу переходить к п. 3.20.
3.14М. (Смысл буквы «М» после цифры разъяснен во введе-
введении.) Площадь квадрата, как известно, равна длине од-
одной из его сторон, умноженной на саму себя. По анало-
аналогии произведение любого числа на само себя называется
квадратом этого числа. Например, квадрат пяти или
просто «пять в квадрате» — это 5x5, что дает 25.
Для упрощения записи будем пользоваться стандарт-
стандартным сокращением и писать 52 вместо 5x5. Маленькая
двойка справа вверху означает: «что получится, если
взять две пятерки (или какое угодно другое число) и пе-
перемножить их», т. е. квадрат пяти (или любого иного
числа).
Остановимся немного на квадрате расстояния от К
до L. Он записывается как
(расстояние KLJ.
Скобки показывают, что маленькая двойка относится ко
всему заключенному в них выражению.
Если описанная математическая операция для вас в
новинку, рекомендую читать все эти сокращения пол-
полностью. Читайте 832 как «83, умноженное само на се-
себя», а (расстояние KLJ как «расстояние от К до L,
3.16М 55
умноженное само на себя». Постепенно, по мере того как
эти понятия станут привычнее, вы сможете перейти к
сокращениям типа «квадрат 83» и «расстояние KL в
квадрате». Сам процесс поиска квадрата числа или не-
некоторой величины называется возведением в квадрат.
3.15М. Треугольник KNL (рис. 3.3) называется прямоугольным
треугольником, так как угол с вершиной в точке N—пря-
N—прямой. Согласно хорошо известной в геометрии теореме
Пифагора,
в любом прямоугольном треугольнике квадрат длины
самой большой стороны (гипотенузы) равен сумме
квадратов длин двух других сторон (катетов).
(Сумма двух или большего числа цифр либо величин —
это то, что получится в результате их сложения.) Иначе
говоря, теорема Пифагора утверждает следующее: умно-
умножим длину каждой стороны треугольника на саму себя:
сложим полученные таким способом величины, соответ-
соответствующие двум коротким сторонам; результат будет ра-
равен величине, полученной умножением на саму себя
длины наибольшей стороны треугольника. Проверьте
справедливость этой теоремы для треугольника, рассмот-
рассмотренного в п. 1.17. Если вы впервые сталкиваетесь с тео-
теоремой Пифагора, обмерьте несколько прямоугольных
треугольников и убедитесь, что она выполняется для
каждого из них.
Для треугольника KNL, согласно теореме Пифагора,
имеем
(Расстояние KLJ= (Расстояние NLJ+ (Расстояние
KNJ.
Сначала эту строчку нужно прочитать полностью сле-
следующим образом: «расстояние от К до L, умноженное
само на себя, равно расстоянию от N до L, умноженно-
умноженному само на себя, плюс расстояние от К до N, умножен-
умноженное само на себя». Со временем вы, конечно, научитесь
формулировать все это более кратко. Но даже тогда
старайтесь всегда читать любое математическое утверж-
утверждение целиком, в нашем случае «нечто равно чему-то
еще».
3.16М. Любое высказывание, утверждающее, что одно число
или величина равно другому, называется равенством.
Значительная часть математики так или иначе связа-
связана с работой с равенствами. Правила обращения с ними,
как вы скоро увидите, почти очевидны.
3.17М 56
3.17М. Например, очевидно, что если количество пива в вашей
кружке равно его количеству в моей, то количество пива
в моей кружке равно его количеству в вашей. И любое
соотношение, содержащее утверждение, что одна величи-
величина равна другой, также обратимо. Другими словами,
если исходить из верного равенства и поменять в нем
местами левую и правую части, то получившееся ра-
равенство также будет верно.
Проделав такую операцию над п. 3.15, получим
(Расстояние NLJ+ (Расстояние KNJ= (Расстояние
KLJ.
3.18М. Но в п. 3.13 мы условились, что расстояние KL равно
1000 единиц, и нашли, что расстояние KN равно 995 еди-
единицам. Поэтому в последнем равенстве вместо «расстоя-
«расстояние KL» можно написать число 1000, а вместо «расстоя-
«расстояние KN» —число 995, и оно примет вид
(Расстояние NLJ + (995J = A000J.
Отсюда (воспользовавшись определением, данным в
п. 3.14) нетрудно найти, что
(Расстояние NLJ + 990 025-1 000 000.
3.19М. Мы хотим вычислить расстояние NL. Для этого жела-
желательно иметь равенство типа
(Расстояние ЫЬJ = Некоторое число.
Как получить такое равенство из последнего равенства
предыдущего параграфа?
Вероятно, вы скажете, что
(Расстояние NLJ = 1 000 000—990 025.
Совершенно верно! Но как это получилось?
Если вы собираетесь объяснить это как-нибудь вроде
«перенесем одно число в другую часть уравнения и изме-
изменим знак», то лучше не делайте этого. Такие механиче-
механические правила хороши только при чисто математических
построениях. Но если вы чувствуете, что ответ должен
быть именно таким, хотя и не можете четко обосновать
почему, то это похвально. Так бывает с каждым матема-
математиком, когда он работает на пределе своих возможностей.
Но затем у него обязательно возникает потребность
узнать, почему это должно быть так, а не иначе.
В нашем случае все довольно очевидно. Если количе-
количество пива в вашей кружке равно его количеству в моей
3.21 57
и мы оба сделаем по одинаковому глотку, то в обоих
кружках останется одинаковое количество пива. Несом-
Несомненно, что при вычитании из двух одинаковых величин
двух других одинаковых величин в результате снова по-
получатся одинаковые величины. Иначе говоря,
если исходить из верного равенства и вычесть из обе-
обеих его частей одинаковые величины, то в итоге полу-
получится другое верное равенство.
Последнее равенство в п. 3.18 содержит в левой ча-
части интересующую нас величину (расстояние NLJ. Но, к
сожалению, в ней присутствует и число 990 025. Поэтому
давайте вычтем его из левой части уравнения. Однако
чтобы равенство не нарушилось, необходимо вычесть
такое же число из правой части, что дает 1000 000—
—990 025 = 9975.
3.20. Если вы пропустили пп. 3.14М — 3.19М, то вы, вероятно,
можете легко применить теорему Пифагора для доказа-
доказательства результата, к которому мы с остальными чита-
читателями только что пришли, а именно:
(Расстояние NLJ = 9975.
Можно упростить все расчеты, заменив 9975 на 10 000
(но при этом наш результат будет иметь погрешность
1/4%)- Тогда получим, что
Расстояние NL=100
(потому что 1002 = 10 000).
3.21. Сначала мы приняли расстояние KL равным 1000 еди-
единиц и в результате получили, что расстояние NL равно
100 единицам, т. е. в 10 раз меньше. Но для измерения
расстояния можно выбрать любую единицу длины. По-
Поэтому тот факт, что расстояние KL было разделено на
1000 частей и одна такая часть взята в качестве едини-
единицы длины, не имеет значения. Итак, приведенные выше
рассуждения показывают, что при выбранной нами отно-
относительной скорости всегда справедливо следующее:
Расстояние NL = !/io расстояния KL
и, кроме того (п. 3.3),
Расстояние PQ = !/io расстояния KL.
Используя те же рассуждения для исследования распро-
распространения света после отражения от зеркала и движе-
движения в обратном направлении, нетрудно прийти к выводу,
что
3.22 58
расстояние, которое проходит свет, распространяясь
от лампы к зеркалу и обратно, измеренное наблюда-
наблюдателем В, составляет одну десятую часть расстояния,
измеренного наблюдателем А.
3.22. Но ведь мы исходим из предположения, что скорость
света для обоих наблюдателей одинакова (п. 1.22). Так
что свету потребуется в десять раз меньше времени, что-
чтобы покрыть одну десятую часть расстояния, и потому,
когда относительная скорость движения наблюдате-
наблюдателей А и В равна 99,5% скорости света, собственное
время наблюдателя В составляет одну десятую часть
от несобственного времени наблюдателя А.
3.23. Потренируйтесь в выполнении подобных расчетов. Если
вы слабы в алгебре, изучите еще раз пп. 3.13—3.22. Пос-
После этого 1) найдите соотношение между промежутками
времени, измеренными наблюдателями А и В, когда ско-
скорость их относительного движения равна % скорости
света. Сначала попытайтесь не заглядывать в предыду-
предыдущие расчеты, но при необходимости решайте эту задачу,
держа книгу открытой прямо перед собой, заменяя по
мере необходимости цифры в соответствующих вычисле-
вычислениях. Подскажу: считайте расстояние КХ равным 5 еди-
единицам. Хотите еще попрактиковаться в подобных вычис-
вычислениях? Тогда 2) рассмотрите случай, когда относитель-
относительная скорость наблюдателей составляет 5/i3 скорости све-
света. А если вы достаточно сильны в алгебре, то 3) разбе-
разберите общий случай, обозначив буквой v долю, которую
составляет относительная скорость от скорости света.
(Ответы — в конце главы.)
3.24. Как уже говорилось в п. 3.12, сделанный нами вывод
может быть проверен на опыте. Один тип эксперимен-
экспериментов основан на использовании элементарных частиц
(п. 1.9), называемых мюонами, которые присутствуют в
потоке космических лучей и, кроме того, могут быть по-
получены в ускорителях при расщеплении атомных ядер.
Мюоны — короткоживущие частицы. Через малый про-
промежуток времени они распадаются на другие частицы,
которые нас не интересуют.
Но насколько короткоживущие? Сказать, как долго
живет та или иная индивидуальная частица, невозмож-
невозможно. Но, воспользовавшись статистическими данными,
можно утверждать, что
из заданного большого числа мюонов, существовав-
существовавших в некоторый момент времени, через 1,5 микро-
микросекунды (п. 1.8) уцелеет половина.
3.28 59
3.25. Заметьте, в этом утверждении ничего не говорится о том,
сколько мюоны уже прожили. Вне зависимости от возра-
возраста мюона, его шансы распасться в течение следующих
полутора микросекунд всегда одинаковы.
Таким образом, если в определенный момент време-
времени имеется большое скопление мюонов, то каждые пол-
полторы микросекунды их число будет уменьшаться напо-
наполовину. По прошествии 3,0 микросекунд (т. е. когда исте-
истекут два промежутка времени по 1,5 микросекунды) уце-
уцелеет только половина от половины первоначального
числа мюонов, т. е. четвертая часть, через 4,5 микросе-
микросекунды уцелеет лишь 7в исходного сгустка, через 6,0 мик-
микросекунд— V16, через 7,5 микросекунды — !/з2 и т. д.
3.26. Если пройдет меньше 1,5 микросекунды, число уцелев-
уцелевших мюонов, разумеется, будет больше половины.
В частности, доля мюонов, оставшихся спустя 0,75 мик-
микросекунды (что составляет половину интервала в
1,5 микросекунды) будет равна 0,707. Вы, наверное,
знаете, каким способом можно получить этот результат.
Если же не знаете, то вам следует удовлетвориться про-
проверкой его справедливости. В самом деле, если доля
0,707 всего количества мюонов останется невредимой че-
через 0,75 микросекунды, то доля уцелевших мюонов спу-
спустя следующие 0,75 микросекунды должна быть равна
0,707 от 0,707, т. е. 0,7072=0,5 (достаточно точно), т. е.
получаем правильный ответ для полного интервала в
0,75 + 0,75=1,5 микросекунды. Значит, цифра 0,707
верна.
3.27. Мюоны в потоке космических лучей образуются в верх-
верхних слоях атмосферы при столкновениях частиц первич-
первичных космических лучей с атомами атмосферы. Затем они
с колоссальной скоростью проходят сквозь атмосферу и
обрушиваются на землю.
На пути к земле они непрерывно распадаются. Поэто-
Поэтому стандартный счетчик мюонов на малых высотах будет
регистрировать их в меньших количествах, чем на боль-
больших. Эксперимент, специально предназначенный для
сравнения числа мюонов, зарегистрированных на разных
высотах, может быть применен для проверки замедления
течения времени. Это равносильно использованию мюо-
мюонов в качестве быстродвижущихся часов (п. 3.12).
3.28. Экспериментальная проверка такого рода была проведе-
проведена Фришем и Смитом (American Journal of Physics, 31,
342, 1963). Их аппаратура была приспособлена для реги-
регистрации только тех из попадающих в нее мюонов, кото-
которые двигались вертикально вниз со скоростями в интер-
3.29 60
вале от 99,5 до 99,54% скорости света. Фриш и Смит
установили свои приборы на горе Вашингтон на высоте
1910 м над уровнем моря. В каждой типичной серии на-
наблюдений аппаратура регистрировала 568 мюонов в час.
Какое число из подобного потока мюонов, распро-
распространяющихся свободно, достигнет уровня моря? Чтобы
пройти 1910 м со скоростью в 99,5% скорости света, рав-
равной 300 метров в микросекунду (п. 1.8), требуется
6,4 микросекунды. А теперь мы рассчитаем два альтер-
альтернативных предположения и посмотрим, какое из них луч-
лучше соответствует фактам.
3.29. Предположение 1. Время с точки зрения «здравого смыс-
смысла». Время, необходимое мюону, чтобы достичь уровня
моря, равно 6,4 микросекунды для всех наблюдателей
(полагаем мы). Поскольку это значение лежит в интер-
интервале между 6,0 и 7,5 микросекунды, согласно выводам
п. 3.25, число уцелевших мюонов должно составлять до-
долю между Vi6 и !/з2 от числа первоначальных 568 мюо-
мюонов, т. е. должно лежать в интервале от 18 до 35 частиц.
3.30. Предположение 2. Релятивистское предсказание замед-
замедления течения времени. Здесь следует различать собст-
собственное и несобственное время, а значит, знать, кто имен-
именно проводит измерения. Полторы микросекунды, в тече-
течение которых распадается половина мюонов, это, разу-
разумеется, собственное время, измеренное по часам мюона
или по любым другим часам, движущимся рядом с ним.
Было бы абсурдом считать, что мюон отмеряет время
до своей гибели по нашим часам! Лабораторные изме-
измерения продолжительности их жизни проводились по мед-
медленным мюонам и поэтому давали собственное время
жизни (п. 3.11).
(Не кажется ли вам, что быстро движущиеся мюоны
должны вести себя иначе? Осторожно! Они движутся
быстро только по отношению к нам. Но, согласно показа-
показаниям часов, движущихся вместе с ними, темп распада
должен быть одним и тем же как для неподвижных мюо-
мюонов в нашей лаборатории, так и для стремительно пада-
падающих на гору Вашингтон. В противном случае мы ста-
стали бы обладателями способа, который позволил бы от-
отличить «истинное» движение от покоя, что противоречит
результатам п. 1.3.)
3.31. Время, за которое мюон достигает уровня моря F,4 мик-
микросекунды),— это собственное или несобственное время?
Эта цифра получена (п. 3.28) из значений высоты
горы и скорости мюонов, измеренных наблюдателем,
покоящимся на поверхности Земли. Значит, это время —
3.33 61
несобственное. Мюон в рассматриваемом эксперименте
играет роль наблюдателя В, тогда как А — это наблюда-
наблюдатель, неподвижный по отношению к Земле. Но как мы
уже знаем, время, измеренное наблюдателем В, при дан-
данной относительной скорости составляет одну десятую
часть времени наблюдателя А (п. 3.22). Так что время
падения, измеренное по часам мюона, равно всего лишь
0,64 микросекунды.
Вспомним, что через 0,75 микросекунды 0,707 исход-
исходного количества частиц еще уцелеет (п. 3.26). Поэтому
через более короткий интервал времени, 0,64 микросе-
микросекунды, уцелеет несколько больше частиц, а именно чуть
больше 402. Это — число мюонов, которое предполагает-
предполагается зарегистрировать (согласно предположению 2) в те-
течение часа на уровне моря.
3.32. Когда Фриш и Смит включили аппаратуру, установлен-
установленную на уровне моря, они обнаружили, что детектор ре-
регистрирует 412 мюонов за один час. Ясно, что этот ре-
результат находится в вопиющем противоречии с предска-
предсказанием, вытекающем из предположения 1, и достаточно
хорошо согласуется с предсказанием, следующим из
предположения 2. Какой из этого следует вывод?
Представления о времени, основанные на «здравом
смысле», очевидно, неверны, так как ведут к предсказа-
предсказаниям, полностью расходящимся с фактами. Можно ли
считать, что замедление течения времени — неопровер-
неопровержимая истина?
Это был бы слишком далеко идущий вывод. Не ис-
исключено, что в некоторых будущих экспериментах удаст-
удастся обнаружить несоответствие между теорией замедле-
замедления течения времени и фактами. Тогда эта теория ока-
окажется неудовлетворительной. Но, согласно современным
данным, она выглядит в высшей степени правдоподобно.
3.33. В п. 1.24 говорилось, что от вас не требуется просто так
поверить в то, что скорость света одинакова для всех
наблюдателей. Там предлагалось разобраться в том, что
будет, если скорость света действительно инвариантна,
и сверить полученные предсказания с наблюдаемыми
фактами. Как оказалось, предсказание замедления тече-
течения времени гораздо лучше соответствует эксперимен-
экспериментальным данным, чем привычная нам точка зрения.
Следует ли отсюда вывод, что скорость света действи-
действительно одна и та же для всех наблюдателей?
Ответив на этот вопрос утвердительно, мы снова за-
зашли бы слишком далеко. Предположение об инвариант-
инвариантности скорости света, несомненно, приводит к предска-
3.34 62
заниям, согласующимся с опытом. Но не исключено, что
здесь нам просто повезло. Ведь нет гарантий, что следую-
следующее предсказание подтвердится. Безотносительно к то-
тому, сколько экспериментальных проверок выдержала
теория, она может потерпеть неудачу при любой после-
последующей проверке, и поэтому невозможно с полной опре-
определенностью доказать истинность той или иной теории.
Но, конечно, есть все основания утверждать, что пред-
предположение об инвариантности скорости света не проти-
противоречит имеющимся экспериментальным данным и с
большой степенью вероятности представляется справед-
справедливым.
В науке нет абсолютных истин, все они справедливы
с той или иной степенью вероятности. Поразмышляйте
над этим, взяв за образец поведение человека при за-
заключении пари на скачках: как он на основе анализа
предшествующей ситуации принимает решение о буду-
будущих ставках? Допустим, на последних скачках лошадь
по имени Здравый Смысл хорошо стартовала, но подка-
подкачала на финише, тогда как аутсайдер Относительность
стал абсолютным призером. Если эта пара снова примет
участие в состязании, вы, несомненно, поставите на От-
Относительность, хотя в этом выборе и остается некоторая
доля неопределенности.
Подобная успешная проверка соответствия экспери-
экспериментальных данных предсказаниям теории называется
подтверждением. Но слово «подтверждение» вовсе не оз-
означает доказательства истинности теории. В его смысл
вкладываются более скромные требования: предоставить
свидетельства в пользу данной теории, свидетельства то-
того, что, исходя из нее, можно сделать правильные пред-
предсказания.
3.34. Рассмотрим еще одну полезную формулировку того, что
мы говорили о замедлении течения времени. Пусть на-
наблюдатель А следит за часами наблюдателя В с по-
помощью телескопа. Применяя к промежутку времени меж-
между двумя ударами часов наблюдателя В вывод, получен-
полученный в п. 3.10, попытаемся ответить на вопрос: как вос-
воспримет наблюдатель А поведение часов наблюдателя В?
Время между этими ударами, отсчитанное по часам
наблюдателя В, — собственное (п. 3.8). Но оценка на-
наблюдателем А интервала времени между теми же двумя
ударами дает несобственное время, которое всегда боль-
больше (п. 3.10) промежутка времени, отмеренного часами
наблюдателя В. Значит, с точки зрения наблюдателя А,
часы наблюдателя В показывают меньшее время, чем он
3.38 63
предполагал. Поэтому он придет к заключению, что эти
часы идут медленнее, непрерывно отставая, а не просто
отстав когда-то однажды.
3.35. Вы, быть может, подумали, что наряду с предположени-
предположением наблюдателя А о замедленном ходе часов наблюда-
наблюдателя В у последнего может возникнуть впечатление об
ускоренном ходе часов наблюдателя А. Справедливо ли
такое толкование?
Рассуждения п. 3.34 относились к фактическому вре-
времени, показываемому часами наблюдателя В, за кото-
которыми следит наблюдатель А. Но наблюдатель А не про-
производит непосредственных замеров времени с помощью
своих часов. Он только вычисляет, каков, по его мнению,
должен быть промежуток времени между двумя удара-
ударами часов наблюдателя В (п. 3.7). Итак, здесь мы имеем
дело с фактическим временем, отсчитываемым часами
наблюдателя В, и результатом подсчетов наблюдате-
наблюдателем А того, каким оно должно быть. Значит, путем
подобных рассуждений, можно узнать, что думает на-
наблюдатель А о ходе часов наблюдателя В, но нельзя
узнать, что думает В о ходе часов наблюдателя А.
3.36. Что же все-таки думает наблюдатель В о ходе часов
наблюдателя А?
Это нетрудно выяснить, если снова повторить все
рассуждения п. 3.34, каждый раз заменяя букву А бук-
буквой В и наоборот. Тогда мы сделаем вывод, что, соглас-
согласно наблюдениям В, часы наблюдателя А идут в замед-
замедленном темпе. Таким образом, мы приходим к чрезвы-
чрезвычайно важному заключению:
если два наблюдателя движутся относительно друг
друга, то каждый из них будет считать, что часы дру-
другого идут в замедленном темпе.
3.37. Усматриваете ли вы противоречие в том, что каждый
наблюдатель думает, будто часы другого идут медлен-
медленнее? Постарайтесь уяснить это для себя, помня следую-
следующее: а) решая, что чьи-то часы идут в замедленном тем-
темпе, вы на самом деле судите о том, что такие-то и та-
такие-то удары этих часов одновременны с такими-то и та-
такими-то ударами ваших часов; и б) наблюдатели, нахо-
находящиеся в относительном движении, расходятся во мне-
мнениях по вопросу об одновременности (п. 2.19). Если же
и после этих замечаний вы не сможете преодолеть воз-
возникшие трудности, потерпите до гл. 13, где мы с этими
вопросами разберемся подробнее.
3.38. Задумывались ли вы над тем, как выглядит эксперимент
Фриша — Смита в системе отсчета мюона?
3.38 64
Можно было бы рассуждать так: «Мюон движется по
отношению к нам со скоростью, близкой к скорости све-
света. Но по часам, движущимся с мюоном, тот же самый
путь займет в десять раз меньше времени. Поэтому на-
наблюдатель, движущийся с мюоном, должен полагать, что
его скорость относительно нас почти в десять раз превы-
превышает скорость света!» Что-то тут не то.
Вспомните п. 2.26 и попробуйте еще раз.
Представьте себе, что гора Вашингтон — это измери-
измерительный стержень, которым снабжен наблюдатель, стоя-
стоящий у ее подножия. Он скажет, что длина стержня рав-
равна 1910 м, но наблюдатель, движущийся с мюоном, с
этим не согласится.
Наблюдатели придут к единому мнению только по
поводу их относительной скорости (в силу симметрии ее
определения по отношению к ним). Поэтому, если время,
измеренное наблюдателем, движущимся с мюоном, со-
составляет только десятую часть времени, которое измере-
измерено наблюдателем на земле, то при одной и той же отно-
относительной скорости, по оценке наблюдателя, движущего-
движущегося с мюоном, высота горы должна быть равна одной
десятой высоты, найденной земным наблюдателем. По
мнению наблюдателя на мюоне, измерительный стер-
стержень— гора Вашингтон — должен уменьшиться до 191 м.
Обобщая полученные нами выводы, можно записать:
если измерительные стержни наблюдателей ориенти-
ориентированы вдоль направления их относительного движе-
движения, то каждый будет считать, что длина стержня
другого наблюдателя уменьшилась в том же отно-
отношении, в каком, с его точки зрения, замедлился ход
часов другого наблюдателя.
Это кажущееся изменение длины называется релятивист-
релятивистским сокращением; к сожалению, нет способа измерить
его экспериментально.
Ответы к п. 3.23. 1. Время, измеренное наблюдате-
наблюдателем В, составляет 4/s от времени, измеренного А. 2. 12/i3.
3. Отношение времен равно "[/1—v2.
ТРИ ХРОНОМЕТРА
И ПАРА БЛИЗНЕЦОВ
4.1. Рассмотрим теперь трех наблюдателей А, В и С, которые
движутся относительно друг друга вдоль одной и той же
прямой линии (или очень близко к ней, так что они могут
разминуться без столкновений). Пусть они движутся рав-
равномерно, тогда ни об одном наблюдателе мы не сможем
сказать, движется ли он или покоится (п. 1.3). На рис. 4.1
показано их относительное движение.
в
А
А
В
А
С
А
С
Событие Р 4х ¦•
^ t /—Событие О
В
у— Событие Q
В
Рис. 4.1.
На стадии а наблюдатели В и С приближаются к А с
противоположных сторон (стрелки указывают на их дви-
движение относительно наблюдателя А). На стадии б наблю-
наблюдатель В проходит мимо А. Далее, на стадии в наблюда-
наблюдатель С на своем пути к А минует наблюдателя В после
встречи последнего с А. На стадии г наблюдатель С про-
проходит мимо А, в то время как наблюдатель В все сильнее
удаляется от А.
Особого внимания здесь заслуживают три события: на
стадии б — встреча наблюдателей В и А, которую мы на-
назовем событием Р; на стадии в наблюдатели В и С прохо-
5-1653
4.2 66
дят мимо друг друга (обозначим это событие буквой О);
последнее событие состоит во встрече наблюдателя С с
наблюдателем А на стадии г (событие Q).
Смоделируйте описанный процесс: положите перед со-
собой на стол какой-либо предмет — пусть это будет наблю-
наблюдатель А; с помощью ладони левой руки воспроизведите
движение наблюдателя В, а с помощью правой — наблю-
наблюдателя С, Применяйте эту модель всякий раз, когда будут
возникать сомнения. (Постарайтесь не впасть в заблужде-
заблуждение. Не думайте, будто теперь наблюдатель А абсолютно
неподвижен.)
4.2. Наблюдатель А присутствует при каждом из событий Р
и Q. Он может измерить промежуток времени, разделяю-
разделяющий эти события, непосредственно по своим часам. Что
касается наблюдателей В и С, то первый не может при-
присутствовать при событии Q, а второй — при событии Р. По-
Поэтому ни тот ни другой не в состоянии непосредственно
измерить интервал времени между событиями Р и Q. (Если
это неясно, прочтите еще раз пп. 3.7 и 3.8.)
Однако, объединив усилия, наблюдатели В и С все же
могут найти этот промежуток времени исходя только из
прямых измерений. Наблюдатель В может измерить по
своим часам время, прошедшее между событиями Р и О,
а наблюдатель С по своим часам — промежуток времени
между событиями О и Q. Сложение полученных значений
даст полный интервал времени между событиями Р и Q,
измеренный совместно наблюдателями В и С.
Получат ли наблюдатели В и С сообща то же самое
значение, что и наблюдатель А? Вот этой задачей о трех
хронометрах мы сейчас и займемся.
4.3. В повседневной жизни мы полагаем, что ответ на постав-
поставленный вопрос будет утвердительным. Считается, что не
имеет значения, движутся ли часы на протяжении всей
процедуры измерения с одним и тем же наблюдателем или
же эстафета измерения времени передается от одних ча-
часов к другим (в нашем случае от часов наблюдателя В к
часам С), — время между двумя событиями всегда будет
одним и тем же.
При малых скоростях, с которыми приходится сталки-
сталкиваться в повседневной жизни, такое представление совер-
совершенно оправданно. Но останется ли оно справедливым при
достаточно больших относительных скоростях?
4.4. Сначала рассмотрим промежуток времени между собы-
событиями Р и О. Одинаков ли он для наблюдателей А и В?
Наблюдатель В присутствует при обоих событиях, по-
поэтому измеренное им время является собственным (п. 3.8),
4.6 67
тогда как для наблюдателя А это время несобственное.
А значит...?
Из п. 3.10 следует, что интервал времени между собы-
событиями Р и О, с точки зрения наблюдателя А, больше, чем с
точки зрения В. Как насчет времени, прошедшего между
событиями О и Q?
Оно также больше для А, чем для С. Теперь сможете
ответить на вопрос, возникший в конце п. 4.2?
Согласно наблюдателю А, время между событиями Р
и Q можно найти сложением вычисленных им интервалов
между событиями Р и О и между событиями О и Q. По-
Поскольку мы показали, что эти интервалы больше, чем про-
промежуток времени между событиями Р и О, измеренный
наблюдателем В, и промежуток между О и Q, измеренный
наблюдателем С,
интервал времени между событиями Р и Q, с точки
зрения наблюдателя А, больше суммы интервалов от Р
до О и от О до Q, измеренных соответственно наблю-
наблюдателями В и С.
Полагаю, вы пришли к этому выводу почти самостоя-
самостоятельно. Если так, то вы уже неплохо разбираетесь в тео-
теории относительности!
4.5. Хотя в ходе рассуждений мы использовали промежутки
несобственного времени, результат, к которому мы пришли,
содержит только собственные времена. Он включает про-
промежутки времени, измеренные непосредственно с помощью
часов наблюдателей. Чтобы подчеркнуть этот факт, пере-
перепишем наш вывод в следующей форме:
время между событиями Р и Q, измеренное часами на-
наблюдателя А, больше чем время, измеренное совместно
часами наблюдателей В и С.
Попросту говоря, часы наблюдателя А идут быстрее
часов любого из наблюдателей В и С. Полезно проверить
этот вывод на численном примере. Пусть наблюдатели В
и С движутся относительно А со скоростью 8/s скорости
света и пусть время между событиями Р и Q, найденное в
результате совместных измерений по часам этих наблюда-
наблюдателей, равно 8 мин. Какой промежуток времени между те-
теми же событиями пройдет по часам наблюдателя А? (От-
(Ответ— в конце главы.)
4.6. Чтобы разобраться в противоречии между полученным
выводом и укоренившимися представлениями, предполо-
предположим, что наблюдатель В, поравнявшись с С, говорит:
«С момента моей встречи с наблюдателем А прошло
4.7 68
4 мин». Затем наблюдатель С прибавляет эти 4 мин к из-
измеренным им самим 4 мин и, пролетая мимо наблюдате-
наблюдателя А, выкрикивает: «Прошло ровно 8 минут с тех пор, как
наблюдатель В повстречался с тобой», — на что наблюда-
наблюдатель А возразит: «Ты, должно быть, свихнулся, прошло
уже 10 минут».
Вам, вероятно, кажется, что это какая-то чепуха. Ведь
так или иначе, но вы уверены, что промежуток времени
между двумя событиями не должен зависеть от того, дви-
движется или покоится измеряющий его человек. На чем же
может быть основана такая уверенность? На жизненном
опыте?
Нет, ибо, чтобы обнаружилось заметное различие в из-
измерениях промежутков времени между одними и теми же
событиями, скорости должны быть неизмеримо больше
любых скоростей, с которыми мы сталкиваемся в повсе-
повседневной жизни (докажите это, объединив доводы, приве-
приведенные в пп. 3.11 и 4.4). Не пытаемся ли мы делать неоп-
неоправданные и слишком далеко идущие выводы из весьма
ограниченного повседневного опыта (ср. п. 2.2)? Или у вас
есть другие причины для уверенности в том, что время
должно быть одинаковым как для наблюдателя А, так и
для пары наблюдателей В — С?
Чтобы не пойти по ложному пути, сразу отметим, что
время между событиями Р и Q, измеренное совместными
усилиями наблюдателей В и С, нельзя считать ни собст-
собственным, ни несобственным. По определению (см. п. 3.8)
измерения должны производиться одним наблюдателем, а
не целой группой. Поэтому придется искать другой путь.
Подумайте над этим, а пока мы перейдем к обсуждению
некоторых возражений, которые у вас, быть может, воз-
возникнут.
4.7. Можно подумать (в связи с п. 4.4), что, поскольку проме-
промежутки времени между событиями Р и Q, а также между
событиями О и Q для наблюдателя А — несобственные
(получены в результате вычислений или рассуждений),
нет оснований считать, что их сумма даст собственное для
А время (измеренное по его часам), прошедшее между со-
событиями Р и Q. Обдумайте это.
Когда речь идет о промежутке времени между собы-
событиями Р и О, с точки зрения наблюдателя А, имеется в ви-
виду время, прошедшее по часам А от события Р до момента,
в который, по мнению А, произошло событие О. Аналогично
для интервала времени между событиями О и Q. Таким
образом, обсуждаемая проблема сводится к следующему
(все промежутки времени отсчитываются по часам наблю-
4.9 69
дателя А): время от события Р до момента, в который, по
мнению наблюдателя А, произошло событие О, сложенное
с временем, прошедшим от момента, в который, как счи-
тает А, произошло событие О, до события Q, дает интер-
интервал времени между событиями Р и Q. При таком способе
рассуждений многие трудности исчезнут.
4.8. Не приходила ли вам в голову мысль провести весь ход
рассуждений п. 4.4, так сказать, задом наперед, чтобы
получить результат, противоречащий выводам, к которым
мы пришли выше? Подобные идеи часто выглядят правдо-
правдоподобно, если не вдаваться в подробности, но терпят крах
при малейших попытках вникнуть в детали. Поэтому про-
прошу вас записывать все ваши доводы на листке бумаги в
виде полной логически связанной системы (как в п. 4.4).
Причем всегда можно следовать несколькими путями.
Правда, как это ни печально, вы обнаружите, что все они
ведут в тупик, но тем не менее, разбирая тот или иной ва-
вариант, вы узнаете много полезного. Так что попробуйте.
Вы убедитесь, что перед вами все время будут возни-
возникать непреодолимые препятствия, которые сводятся к сле-
следующему. Рассуждения, описанные в п. 4.4, справедливы
потому, что сумма несобственных для наблюдателя А про*
межутков времени между Р и Q и между О и Q равна из-
измеренному им собственному времени между Р и Q. Одна-»
ко обратный ход рассуждений не приведет к такому ре-
результату. Но продолжайте попытки.
В конце концов вам придется признать, что ситуация с
одним наблюдателем, с одной стороны, и двумя — с дру-
другой, не симметрична. Поэтому любая попытка поменять ро-
ролями наблюдателя А и пару В—С обречена на провал.
4.9. Другое распространенное заблуждение состоит в том, что
наблюдатель А и пара В—С измеряют одно и то же, но
только разными способами и потому должны получить
одинаковые результаты. Что вы об этом думаете?
Это скорее эмоциональная реакция, чем логически обос-
обоснованный довод. Она обусловлена глубоко укоренившимся
в нашем сознании представлением, что все мы имеем дело
с одним и тем же временем («время — вечно текущая ре-
река» и все такое). Но попробуем пересмотреть эти устояв-
устоявшиеся взгляды. Чтобы решить, измеряют ли А и В—С одно
и то же, необходимо выяснить, что же они делают в дей-
действительности.
Они пользуются измерительными приборами, которые
называются часами. Прибор может измерять только то, что
происходит в непосредственной близости от него. Следова-
Следовательно приборы, размещенные в разных местах, измеряют
4.10 70
нечто разное. (Если бы я сказал, что термометры, распо-
расположенные в разных местах, измеряют одно и то же, то вы
наверняка усомнились бы в нормальности моего рассудка.)
Так вот, часы наблюдателя А и прибор, состоящий из по-
последовательно используемых часов наблюдателей В и С,
не находятся в одном и том же месте (за исключением со-
событий Р и Q). Значит, эти приборы не могут измерять од-
одно и то же. Они измеряют течение времени в различных
местах, т. е. они измеряют нечто разное. А потому нет ни-
ничего удивительного в том, что эти измерения приводят к
отличающимся результатам.
4.10. Не сомневаюсь, у вас осталось чувство, что в этих хитро-
хитроумных рассуждениях что-то не так: мол, это аргумент, ко-
который справедлив в соответствующих случаях, но непри-
неприменим ко времени. Температура, скажете вы, зависит от
того, где ее измерять, а время не зависит. Мне знакомо это
ощущение, но постарайтесь подойти к своему мнению кри-
критически. Ведь нельзя считать, что природа времени
вам уже известна, когда именно ее исследованием мы и
занимаемся.
В качестве последнего шага в пересмотре привычных
представлений вам придется сделать над собой громадное
усилие и поверить в логику наших рассуждений, согла-
согласиться с предложенным решением задачи о трех хрономет-
хронометрах (если хотите, с оговорками), а затем посмотреть, куда
все это может привести.
4.11. История с тремя хронометрами наносит по нашим старым
представлениям более сокрушительный удар, чем любое
из тех удивительных явлений, с которыми мы познакоми-
познакомились раньше. Если вспомнить предыдущие случаи, в кото-
которых теория относительности вступала в противоречие с
укоренившимися взглядами, то обнаружится, что в каждом
из них приходилось иметь дело не с прямыми наблюдения-
наблюдениями, а с вычислениями, проделанными наблюдателями, или
с их умозаключениями — с продуманными ими мнениями,
если хотите. Обратите внимание на обсуждение этого во-
вопроса в пп. 3.7, 3.8 и ЗЛО — доводы, аналогичные исполь-
использованным там, можно распространить на проблему отно-
относительности одновременности и на релятивистское сокра-
сокращение длин. Во всех этих случаях неожиданные утвержде-
утверждения относились к чему-то такому, что по самой своей при-
природе недоступно прямому наблюдению. Поэтому можно
было надеяться, что окончательное правильное толкование
почти не отличается от наших представлений о рассматри-
рассматриваемом объекте, просто мы столкнулись с непредвиденны-
непредвиденными осложнениями в тех методах, с помощью которых мы
4.14 71
делаем выводы о вещах, непосредственно не наблюдаемых.
Не правда ли, очень удобная точка зрения? Но останется
ли она непоколебленной после рассмотрения задачи о трех
хронометрах?
Нет, так как при решении этой задачи в п. 4.5 отмеча*
лось, что основной ее результат относится к непосредст-
непосредственным измерениям, произведенным наблюдателями, при-
присутствовавшими при том или ином событии и просто отме-
отмечавшими моменты времени по своим хронометрам. И тем
не менее полученный вывод полностью противоречит на-
нашим прежним представлениям.
Это означает, что время в корне отличается от наших
привычных представлений о нем. Время, протекшее между
двумя событиями, не является чем-то раз и навсегда за-
заданным, даже если измерено непосредственно, оно зависит
от скорости движения наблюдателя, производящего эти
измерения.
4.12. Итак, мы столкнулись с необходимостью коренным обра-
образом изменить наши представления о природе времени. Кро-
Кроме всего прочего, нам придется отказаться от мысли, что
существует некое «всеобщее время», в котором все мы
живем и которое одинаково для всех наблюдателей вне за-
зависимости от скорости и характера их движения. Мы долж-
должны допустить, что у каждого наблюдателя есть свое соб-
собственное время, — время, которое он измеряет по своим
часам, — и что эти собственные времена невозможно подо-
подогнать друг к другу так, чтобы они дали «всеобщее время»
(хотя, если скорости движения малы, они очень близки
друг к другу).
4.13. Находите все это чрезвычайно головоломным? Приходится
допустить, что природа явлений отлична от того, что вы
о ней думали, но неизвестно почему? Если вы считаете, что
знание причины означает объяснение этих неожиданных
открытий на основе знакомых представлений, то вас по-
постигнет разочарование—необходимо отказаться от при-
привычных представлений. Ну а если вы готовы заменить
укоренившиеся в сознании представления новой последо-
последовательной теорией пространства, времени и движения, в
рамках которой находят естественное объяснение такие
проблемы, как задача о трех хронометрах и относитель-
относительность одновременности, то готов обещать вам, что в конце
концов вы будете удовлетворены.
4.14. Вы, должно быть, обратили внимание на то, что история
с тремя хронометрами отчасти сходна с описанием косми-
космического путешествия одного из близнецов, которое упоми-
упоминалось на с. 10. Правда, он совершил путешествие туда и
4.15 72
обратно, тогда как наблюдатели В и С движутся лишь в
одном из противоположных направлений. Давайте попы-
попытаемся сделать эти две ситуации как можно более сопоста-
сопоставимыми. Рассмотрим космонавта D и нанесем на рис. 4.1
его траекторию в соответствии со следующим описанием.
Сначала космонавт D проживает вместе с А. Незадолго
до стадии б он включает двигатель своей ракеты и, разго-
разгоняясь, улетает. Космонавт подбирает ускорение ракеты та-
таким образом, чтобы достичь скорости наблюдателя В, как
только они поравняются чуть позднее стадии б. В этот мо-
момент он выключает двигатель и продолжает лететь по
инерции рядом с наблюдателем В. Несколько ранее ста-
стадии в космонавт D вновь включает двигатель, разворачи-
разворачивает ракету в обратном направлении и подбирает такой
режим полета, чтобы, снова выключив двигатель, продол-
продолжать путешествие по инерции бок о бок с наблюдателем С.
Наконец, заключительный маневр ракеты, начавшийся не-
немного раньше стадии г, и космонавт D возвращается до-
домой к А.
Смоделируйте этот процесс, как в п. АЛ. Как вы ду-
думаете, если близнецы А и D используют для измерения вре-
времени между моментами расставания и встречи совершенно
одинаковые хронометры, совпадут ли их результаты?
4.15. Если вы приняли развиваемую мною точку зрения, что ча-
часы, движущиеся относительно друг друга, измеряют нечто
разное, а потому следует ожидать, что они дадут и раз-
различные показания (п. 4.9) и что у каждого наблюдателя
свое собственное время (п. 4.12), то придется признать, что
близнецы А и D, которые движутся различным образом,
должны зарегистрировать по своим часам разные проме-
промежутки времени, протекшего с момента расставания до мо-
момента встречи. Но, конечно же, нужно быть готовым вы-
выслушать некоторые доводы, якобы позволяющие доказать,
что оба брата-близнеца должны измерить одинаковые про-
промежутки времени. Тщательно продумайте все сказанное.
Полученный вывод может показаться бессмысленным,
но, подобно беспристрастному следователю, доискивающе-
доискивающемуся до правды, вам придется признать его разумным.
А принимая во внимание близкое сходство между движе-
движениями космонавта D и пары В—С, естественно ожи-
ожидать, что промежуток времени, измеренный космонавтом D,
будет меньше интервала, зарегистрированного его бра-
братом А.
Конечно, не все в последнем аргументе может пока-
показаться достаточно убедительным. Но я только постарался
показать, к какому заключению мог бы прийти непред-
4.17 73
убежденный исследователь, знакомый с задачей о трех
хронометрах тт столкнувшийся с проблемой космических
близнецов.
4.16. Предположим, что А и D — это не просто какие-то абст-
абстрактные существа (какими мы считали наблюдателей), а
настоящие братья-близнецы из плоти и крови. Следует ли
ожидать, что на финише космической одиссеи одного из
них они будут одинакового возраста?
Биологические процессы — это своего рода часы. С не-
некоторой степенью точности, они не уступают обычным ча-
часам. Поэтому, если по физическим часам брата D проходит
меньше времени, чем по часам А, то мы вправе ожидать
таких же показаний и от его биологических часов. В этом
заключается так называемый парадокс космических близ-
близнецов.
Может возникнуть желание поспорить, что биологиче-
биологические часы ведут себя иначе, чем другие часы. Мне не хоте-
хотелось бы вступать сейчас в спор. Я поднял вопрос о старе-
старении только затем, чтобы в наиболее явной форме проде-
продемонстрировать всю нелепость (как некоторые склонны ду-
думать) того, куда может завести теория. А теперь вернемся
к не вызывающей столь сильных эмоций формулировке
основного вывода п. 4.15. Там приводились доводы в поль-
пользу утверждения, что часы брата D покажут меньшее время,
чем часы брата А. В таком варианте это явление можно
назвать парадоксом часов. Теперь, как обычно, обдумайте
и представьте свои возражения.
4.17. Попробуйте провести исследование парадокса близнецов в
в обратном порядке, наподобие неудавшейся в п. 4.8 по-
попытки опровергнуть решение задачи о трех хронометрах.
Может показаться, что в данном случае ситуация симмет-
симметрична: один наблюдатель сравнивается с единственным
другим наблюдателем. Все происшедшее с близнецами А
и D можно передать в нескольких словах: сначала они бы-
были вместе, затем порознь двигались и в конце концов вновь
встретились; сказать, кто именно из них двигался, якобы
невозможно. Итак, вроде бы есть все основания для прове-
проведения рассуждений «задом наперед», в результате чего
можно было бы доказать, что для брата А прошло меньше
времени, чем для D, т. е. прийти к абсурдному противоре-
противоречию. Что скажете об этом?
Ничего подобного утверждать нельзя. Ведь D несколь-
несколько раз включает и выключает двигатели своей ракеты, т. е.
он движется неравномерно, тогда как его брат А все это
время движется равномерно и прямолинейно. Следова-
Следовательно, различие между этими движениями можно обнару-
4.18 74
жить (п. 1.3). Значит, близнецы А и D находятся в раз-
различных условиях и нельзя поменять их ролями, чтобы про-
провести рассуждения в обратном порядке.
(Из-за ускорения и замедления, которые испытывает
брат D, измеряемое им время нельзя считать собственным.
Загляните в п. 3.8, обратив особое внимание на замеча-
замечание A), и сравните то, что там написано, с выводами
п. 4.6.)
4.18. Однако ускорение, т. е. изменение скорости, доставляет и
новые заботы. Как уже говорилось (п. 4.15), следует быть
готовым рассмотреть кое-какие доводы в пользу того, чго
А и D обнаружат в конце концов, что отрезки времени у
них все-таки одинаковы. Иногда думают, что основанием
для такого вывода может послужить изменение скорости.
Ведь мы пришли к парадоксу часов через задачу о трех
хронометрах, исходя из явления замедления течения вре-
времени, которое в свою очередь основывается на условии
равномерности и прямолинейности движения наблюдате-
наблюдателей. Это наводит на мысль, что изменение скорости оказы-
оказывает такое влияние на ход часов, которое в точности ком-
компенсирует замедление течения времени, благодаря чему
полные интервалы времени, измеряемые близнецами А и
D, становятся одинаковыми. Как, по-вашему, это убеди-
убедительный довод?
Честный ответ: «Я не знаю». Все рассуждения, связан-
связанные с решением задачи о трех хронометрах, относились к
равномерно и прямолинейно движущимся наблюдателям.
Влияние изменений скорости нужно изучить отдельно.
А пока это не сделано, мы и говорим «не знаю».
Если у вас есть желание поработать самостоятельно, то
подумайте о другом космонавте, который на старте, при
развороте ракеты и при посадке производит такие же из-
изменения скорости, как D, но более длительное (или корот-
короткое) время движется равномерно и прямолинейно. Что это
прояснит в поставленном вопросе?
4.19. Вы, должно быть, обратили внимание на то, что в несколь-
нескольких последних параграфах было больше догадок и пред-
предположений и меньше веских и систематических выводов,
чем в предыдущих. Дело в том, что нельзя надеяться на
успех, пока самым тщательным образом не изучены те
основы, из которых мы исходим. Только тогда можно при-
приступить к истинно систематическому изложению теории.
Во введении отмечалось, что основные трудности связа-
связаны с нашим воображением и с нашей способностью забы-
забывать то, что мы знали (стр. 11—12). То, чем мы занима-
занимались до сих пор, было в значительной степени необходимо,
4.20 75
чтобы разбудить ваше воображение, поколебать прежние
убеждения и подготовить разум к более радикальной пере-
перестройке привычных представлений, к которой мы присту-
приступим в следующей главе.
4.20. В качестве последней попытки раскрепостить ваше вооб-
воображение приведу одну историю о человеке средних лет, ко-
который влюбился в молоденькую девушку и был отвергнут
из-за разницы в возрасте.
Будь эта история рассказана в XIX в., она могла бы
поведать нам о том, как он пустился в кругосветное путе-
путешествие, чтобы забыть свою возлюбленную. (Какое непод-
неподдельное изумление вызвал бы этот рассказ у наших пред-
предков 3000 лет назад, особенно не укладывающаяся в голове
мысль, что, держа путь все время в одном направлении,
можно в конце путешествия вернуться в исходную точку!
Давайте извлечем урок из их неспособности представить
себе такие простые вещи.)
В варианте такой истории, соответствующем отдален-
отдаленному будущему, наш безутешный влюбленный отправился
бы в длительное космическое путешествие, предваритель-
предварительно рассчитав скорость и расстояние, которое нужно преодо-
преодолеть, чтобы, вернувшись назад, быть ровно на год старше
своей возлюбленной, — быть может, тогда она скажет
«Да». Но у его космического корабля испортилась систе-
система управления, и пока он ее ремонтировал, пропутешество-
пропутешествовал намного дольше, чем планировал. В результате, когда
он вернулся, он мог бы жениться на ее дочери.
Теперь приступим к работе.
Ответы к п. 4.5. Ясно, что 8 мин слагаются из 4 мин,
прошедших между событиями Р и О по часам наблюдате-
наблюдателя С, и 4 мин, отмеренных часами наблюдателя С между
событиями О и Q. Согласно выводам п. 3.23, несобствен-
несобственное время, прошедшее по часам наблюдателя А между Р
и О, составляет 5Д времени, измеренного наблюдателем В,
т. е. равно 5 мин. То же самое справедливо для интервала
между событиями О и Q. Поэтому время, протекшее по ча-
часам наблюдателя А между событиями Р и Q, равно 10 мин.
НАЧНЕМ СНАЧАЛА
5.1. Перейдем теперь к обсуждению идей, очень простых по
сравнению с мюонами и космическими близнецами. Но они
кажутся трудными для понимания. Тщательно обдумайте
их. И перечитайте для начала еще раз пп. 1.1—1.3.
Картина сильно упростится, если поинтересоваться, что
произошло бы в ситуациях, аналогичных описанным в
пп. 1.1—1.3, если бы не было силы притяжения. Вообра-
Вообразим, что, пока мы проделывали в вагоне поезда свои опы-
опыты, Земля куда-то исчезла и поезд продолжает свой путь в
пустом пространстве. Разумно предположить, что в вагоне
все будет происходить так же, как и раньше, но только
предметы больше не будут падать.
В поезде, равномерно и прямолинейно движущемся по
Земле, камень, выпущенный из рук, падает отвесно вниз
(п. 1.2), с точки зрения наблюдателя, находящегося в ва-
вагоне. Как бы повел себя камень, если бы Земля вдруг ис-
исчезла?
Таким же образом, как и раньше, но теперь он не будет
падать. Значит, он просто останется в том месте, где его
отпустили (так это, конечно, выглядит только для наблю-
наблюдателя, сидящего в вагоне; кто-нибудь другой может ска-
сказать, что камень движется вместе с этим наблюдателем).
Теперь обратимся к случаю неравномерного движения
поезда. Что на этот раз произойдет с камнем, выпущенным
из рук, если притяжение перестанет действовать?
Уверен, что, исходя из наблюдений, описанных в п. 1.3,
вы легко сообразите, что камень будет удаляться от вы-
выпустившего его человека (вперед при торможении поезда,
назад при разгоне.)
Эти мысленные эксперименты дают нам простейший
способ отличить равномерное прямолинейное движение от
неравномерного при отсутствии тяготения. Нужно только
выпустить из рук камень. Если он останется рядом с вами,
вы движетесь равномерно. Если же его сносит, то движе-
движение неравномерное.
5.2. Выпускать из рук камень физик-теоретик сочтет ниже свое-
своего достоинства, он предпочтет «пустить пробную частицу»
(не толкая ее, что в дальнейшем оговариваться не будет).
5.3 77
Наблюдатели, пробные частицы которых остаются рядом с
ними, играют особую роль, и им присвоен специальный
«титул» — инерциальные наблюдатели. Дадим формальное
определение:
Пусть наблюдатель пускает пробную частицу. Тогда
его можно назвать
1) инерциальным наблюдателем, если частица по отно-
отношению к нему остается неподвижной;
2) неинерциальным наблюдателем, если частица ухо-
уходит от него.
(Разумеется, мы должны удостовериться, что на проб-
пробную частицу не действует электрическая или магнитная
сила, что ее не тянут за нитку и что нет никаких других
подобных воздействий. В дальнейшем мы всегда будем
подразумевать, если не оговорено особо, что на пробную
частицу не действуют никакие силы.)
5.3. Наконец-то мы в состоянии разобраться в некоторых тон-
тонкостях, связанных с понятием равномерного и прямолиней-
прямолинейного движения, с которым мы сталкиваемся, начиная с
первой главы. Мы столь усиленно эксплуатировали эту
фразу, что могло сложиться впечатление, будто нам извест-
известно, что она означает. Но так ли это? В самом начале пред-
предполагалось, что поезд движется с постоянной скоростью и
на прямолинейном участке пути. Но по отношению к чему
эта скорость постоянна и движение прямолинейно? Мы
бессознательно рассматриваем всякое движение относи-
относительно Земли, которая в этом смысле играет роль тела от-
отсчета. Но по отношению к юноше, мчащемуся на спортив-
спортивном автомобиле и непрерывно нажимающему на акселе-
акселератор, скорость поезда будет далеко не постоянной. А оби-
обитатель одного из спутников Юпитера видел бы этот поезд
то приближающимся, то удаляющимся, то движущимся в
поперечном направлении — ничего похожего на прямоли-
прямолинейное движение с постоянной скоростью.
При таком подходе к идее равномерного и прямолиней-
прямолинейного движения просто не за что ухватиться. Вы думаете,
что знаете, о чем идет речь, но, как только пытаетесь вник-
вникнуть чуть глубже в суть этого понятия, обнаруживаете, что
не в состоянии четко выразить, что имеете в виду.
Но теперь мы разом избавимся от всех этих затрудне-
затруднений. Для этого не будем больше говорить о равномерном
прямолинейном движении, а только о движении по инер-
инерции как о типе движения, присущего инерциальному на-
наблюдателю. Последний же имеет в рамках опыта с проб-
пробной частицей (п. 5.2) точное определение, которое является
5.4 78
замкнутым, так как для него не нужны внешний наблюда-
наблюдатель или система отсчета.
Понятие прямолинейного равномерного движения со-
сослужило нам, когда мы только-только начинали, хорошую
службу. Мы еще вернемся к нему немного погодя и уви-
увидим, что при некоторых условиях и должным образом оп-
определенное оно нам пригодится. Но должен подчеркнуть:
движение по инерции определяется на основе опыта с
пробной частицей (п. 5.2) без использования понятия пря-
прямолинейного равномерного движения.
5.4. Опыт с пробной частицей можно поставить и в случае,
когда есть сила тяготения. Попробуйте определить из опы-
опыта, являетесь ли вы инерциальным наблюдателем.
Пусть у вас в руках есть какой-нибудь предмет, а затем
вы отпустили его. Останется ли он рядом с вами? Нет, он
упадет — уйдет от вас. Значит, вы неинерциальный наблю-
наблюдатель. А как можно стать инерциальным наблюдателем?
Спрыгните с крутого обрыва. Под действием силы тя-
тяготения все предметы падают с одинаковым ускорением
(если не учитывать сопротивление воздуха, которое можно
полностью исключить, прыгнув в вакууме, или уменьшить
его влияние, используя в качестве пробного тела какой-ни-
какой-нибудь массивный предмет.) Поэтому пробная частица оста-
останется рядом с вами. Ну, а это как раз и означает, что вы
стали инерциальным наблюдателем. Космонавт на борту
космического корабля —еще один пример наблюдателя,
который остается инерциальным даже в присутствии силы
тяготения. Да вы видели на экране телевизора, как он вы-
выпускал из рук телекамеру, а она оставалась висеть рядом
с ним в воздухе до тех пор, пока снова не понадобилась
ему.
Эти примеры позволяют избавиться от представления,
что движение по инерции всегда подразумевает прямоли-
прямолинейное равномерное движение. Подумайте над этим вы-
выводом.
5.5. Я заговорил о тяготении именно сейчас, чтобы предосте-
предостеречь от слишком упрощенного понимания движения по
инерции. Но поскольку специальная теория относительно-
относительности применима только тогда, когда влиянием тяготения
можно пренебречь, мы еще долго не будем его касаться.
А теперь (наконец-то!) можно сказать, что же это такое,
специальная теория относительности:
специальная теория относительности — это теория, пред-
предназначенная для описания и сравнения опытов инер-
циальных наблюдателей в отсутствие тяготения.
5.7 79
Обратите внимание на слова, выделенные курсивом.
(В действительности от тяготения избавиться невозможно.
Поэтому на практике специальная теория относительности
применяется при условии, что гравитационные эффекты
малы по сравнению с другими факторами и их можно не
учитывать.)
5.6. В связи с этим определением возникает вопрос: чем же
выделяются инерциальные наблюдатели, если тяготение
отсутствует?
Когда нужно было показать, что движение по инер-
инерции— это не обязательно прямолинейное равномерное дви-
движение, пришлось призвать на помощь тяготение (п. 5.4).
Не наводит ли это на мысль, что при отсутствии тяготения
инерциальный наблюдатель, возможно, должен будет дви-
двигаться равномерно и прямолинейно? Есть какие-нибудь
возражения против такого предположения?
Неприемлема та форма, в которой сформулировано это
предположение. Нельзя говорить о движении, не указав,
относительно чего оно происходит (п. 1.3). Приведите это
предположение к законченному виду.
Для этого нужно дополнить его словами «относительно
другого инерциального наблюдателя». Мы считаем, что
при отсутствии тяготения любой инерциальный наблю-
наблюдатель движется равномерно и прямолинейно относи-
относительно любого другого инерциального наблюдения. (По-
(Постоянная скорость, разумеется, может быть равна
нулю.)
Представление о прямолинейном равномерном движе-
движении нельзя было использовать для определения движения
по инерции, потому что невозможно было ответить на во-
вопрос: «относительно чего?» (п. 5.3). Но когда инерциаль-
инерциальные наблюдатели уже определены с помощью опыта с
пробной частицей, на этот вопрос можно ответить, что ве-
ведет к сформулированному выше точному утверждению.
5.7. Итак, утверждение, сформулированное в п. 5.6, является
точным. Но корректно ли оно?
Проверить его справедливость непосредственно невоз-
невозможно, ибо от тяготения никуда не денешься. Наше ут-
утверждение— это абстрактное представление о том, что
было бы верно, если бы тяготение отсутствовало. Возмож-
Возможны различные доводы в пользу такого представления:
1) Если оно ложно, то как же тогда должен двигаться
инерциальный наблюдатель? Если его траектория не пря-
прямолинейна, то почему он должен отклоняться в одну сто-
сторону, а не в другую? И так далее. 2) Представьте себе два
5. 80
поезда в разных точках Земли, движущиеся равномерно и
прямолинейно относительно ее поверхности. Теперь вооб-
вообразите, что Земля, как в п. 5.1, исчезла. Что произойдет?
3) Когда космонавты или астрономические объекты разде-
разделены огромными расстояниями, так что притяжение между
ними очень слабо, то их движение приближенно можно
считать равномерным и прямолинейным относительно друг
Друга.
Подобные доводы убедили Ньютона в правдоподобно-
правдоподобности приведенного утверждения. Поэтому он принял его
(правда, в другой формулировке) в качестве первого зако-
закона движения — одного из основных положений его класси-
классической механики и теории тяготения. Невиданный успех
этих теорий, обусловленный полным согласием между сле-
следующими из них предсказаниями и результатами экспери-
экспериментов и наблюдений, окончательно убедил Ньютона и его
последователей в справедливости сделанного предложения
(ср. с пп. 3.32 и 3.33). Так что мы тоже примем выделен-
выделенное в п. 5.6 утверждение в качестве одного из постулатов
специальной теории относительности. А о его достоинствах
будем судить по тому, насколько хорошо следующие из
окончательной теории выводы согласуются с наблюдаемой
реальностью.
5.8. Снова обратимся к равномерно и прямолинейно движуще-
движущемуся поезду, рассмотренному в п. 1.2. Там отмечалось, что
каждый эксперимент, поставленный в вагоне поезда, даст
один и тот же результат независимо от того, движется ли
поезд или стоит на месте (по отношению к Земле). Оче-
Очевидно, обобщая, можно сказать, что любой эксперимент
должен давать один и тот же результат безотносительно к
тому, какова скорость движения поезда по величине и на-
направлению.
Далее предположим, что есть много поездов, движу-
движущихся с различными скоростями в разных направлениях.
Наблюдатели в каждом из них проделывают один и тот
же эксперимент и, следовательно, получают один и тот же
результат. Представим себе еще раз, что Земля исчезла.
Тогда все эти экспериментаторы станут инерциальными
наблюдателями в отсутствие гравитации. Совершенно яс-
ясно, что результат всех их экспериментов по-прежнему бу-
будет одинаков.
Отсюда следует вывод: если множество инерциальных
наблюдателей в отсутствие тяготения поставят один и тот
же эксперимент, то всечши получат одинаковый результат.
Или, как мы обычно будем говорить для краткости, все они
равноправны. (Между прочим, слова «один и тот же экс-
5.11 8Т
перимент» означают просто, что если каждый наблюдатель
полностью опишет свой эксперимент так, как он его видит,
то все описания совпадут.)
5.9. Этот вывод настолько важен, что мы дадим ему название
и запишем по всей форме:
ньютоновский принцип относительности:
в отсутствие тяготения все инерциальные наблюдатели
равноправны, если они выполняют механические экспе-
эксперименты.
(Смысл последней оговорки вскоре прояснится.)
Невозможно, конечно, утверждать со всей определен-
определенностью, что ньютоновский принцип относительности оста-
останется в силе навсегда. Быть может, завтра кто-нибудь най-
найдет исключения из него. К нему следует относиться как к
постулату и, как обычно, проверить согласие между его
следствиями и наблюдаемыми фактами.
5.10. Почему понадобилось ограничение «в отсутствие тяготе-
тяготения»? Ниже мы увидим, что если есть тяготение, то не сов-
совсем верно, что все инерциальные наблюдатели равноправ-
равноправны. Пока же давайте оставим этот вопрос до поры до вре-
времени, но никакого вреда от того, что это условие добавле-
добавлено к формулировке принципа, нет, так как специальная
теория относительности в любом случае исключает тяго-
тяготение.
5.11. Этот принцип относительности с четко определенным огра-
ограничением механическими экспериментами был известен
Ньютону (хотя он и формулировал его несколько иначе),
и физика XIX в. верила в него беззаветно. Но возникает
вопрос: можно ли убрать ограничение и переформулиро-
переформулировать принцип относительности для экспериментов любого
типа? Перечитайте пп. 1.10—1.13 и скажите, как рассуж-
рассуждал бы ученый XIX в.
Он настаивал бы на ограничении механическими экспе-
экспериментами. Согласно его представлениям, оптические
эксперименты должны были бы давать результаты, зави-
зависящие от движения наблюдателя относительно (гипотети-
(гипотетического) эфира. Можно ли с этим согласиться?
Конечно, нет. Ведь эксперимент Майкельсона — Морли
(пп. 1.14—1.19) был задуман как раз для того, чтобы про-
продемонстрировать такую зависимость, и потерпел неудачу.
Эксперимент, специально предназначавшийся для доказа-
доказательства неравноправности инерциальных наблюдений в
отношении оптических экспериментов, оказался несостоя-
несостоятельным, как и другие эксперименты, несколько отличаю-
отличающиеся от этого. Ни в одном из когда-либо поставленных
6-1653
5.12 82
разнообразных экспериментов не удалось отличить одну
группу инерциальных наблюдателей от другой. А это озна-
означает, что нужно отбросить «механические» ограничения в
ньютоновском принципе относительности (п. 5.9) и, видо-
видоизменив его, записать
эйнштейновский принцип относительности:
в отсутствие тяготения все инерциальные наблюдатели
равноправны.
5.12. Сформулировав этот принцип, мы отдаем, наконец, долж-
должное Эйнштейну, ибо это была основная новая идея, кото-
которую он ввел (пусть даже в отличной от приведенной фор-
форме), несомненно более важная, чем идея об инвариантно-
инвариантности скорости света (п. 1.22). Ведь идея об инвариантно-
инвариантности— это просто частный случай нового принципа относи-
относительности; если все инерциальные наблюдатели поставят
эксперимент по измерению скорости света, то все они по-
получат один и тот же результат.
Эйнштейновский принцип относительности кажется
очень простым и вызывает реакцию типа: «Почему я сам
до этого не додумался?» Тем не менее из него следуют
чрезвычайно глубокие выводы. Специальная теория отно-
относительности— это немного больше, чем разработка этих
выводов.
Нельзя, конечно, быть уверенным в справедливости
эйнштейновского принципа относительности больше, чем в
справедливости ньютоновского (п. 5.9). Он представляет
собой только правдоподобное предположение, на основе
которого строится теория относительности и которое про-
проверяется обычным образом. И точно так же, как в случае
с идеей инвариантности скорости света, от вас не требует-
требуется слепо верить в этот принцип — нужно только отнестись
к нему со всей серьезностью, определить, к каким следст-
следствиям он приводит, и проверить их экспериментально (см.
п. 1.24).
5.13. Теперь уже должно стать очевидным, что понятие эфира
(п. 1.11) совершенно несостоятельно. Но вы можете спро-
спросить: «Если свет — это не волны в эфире, то тогда волна-
волнами чего он является?». Здесь я с удовлетворением отмечу,
с какой предосторожностью я ввел это понятие в п. 1.4,
сказав, что свет ведет себя в некоторых отношениях как
волны. Вы, конечно же, не будет настаивать на том, что
эти воображаемые волны должны быть волнами в некой
среде.
Думаю, если вы сочтете такой ответ неудовлетворитель-
неудовлетворительным, то лишь потому, что ощущаете потребность найти
5.15 83
объяснение такому явлению, как свет, на основе каких-то
других понятий. Мне бы не хотелось углубляться в вопро-
вопросы, которые могли бы стать предметом сложной дискуссии.
А поэтому придем к соглашению, что для целей этой кни-
книги нет нужды объяснять, что такое свет. Мы только опишем
его поведение и далее будем его рассматривать как основ-
основное понятие, с помощью которого можно объяснить что-то
еще.
5.14. Обратимся теперь к совершенно иным проблемам. Гл. 2—4
были посвящены разрушению привычных представлений.
Знакомый мир распался на части, и перед нами предстали
несколько разрозненных картинок нового мира, никак не
стыкующихся между собой. Все потеряло смысл.
Не следует надеяться, что, пока новые открытия не на-
нашли объяснения, все еще можно кое-как наладить с по-
помощью старых представлений. Мы должны приступить к
созданию совершенно новой теории пространства, времени
и движения. И при этом нужно будет помнить приведен-
приведенные в гл. 2—4 предостережения о том, чего не следует
предполагать.
Прежде чем разрабатывать теорию, нужно научиться
описывать те явления, с которыми придется иметь дело,
поэтому необходимо решить, каким способом будут делать-
делаться эти описания. В повседневной жизни при описании ав-
автомобильной катастрофы можно начать с того, что она
произошла в полукилометре от некоторого места по шоссе
в 17 ч 35 мин. К аналогичному методу вы, быть может,
склонны прибегнуть и при создании физической теории,
сказав, например, что определенное событие произошло в
такое-то время, на таком-то расстоянии от данного места,
в таком-то направлении. Подобная детализация хорошо се-
себя зарекомендовала при тех не очень больших скоростях,
с которыми движутся окружающие нас предметы. Но под-
подходит ли такой способ для описания событий при очень
больших относительных скоростях?
5.15. Нет, и вот почему. Когда дело касается описания события,
которое произошло где-то в другом месте, отличном от то-
того, где находитесь вы сами (для краткости такие события
будем называть далекими событиями), представления о
времени и расстоянии оказываются гораздо менее опреде-
определенными, чем мы думаем.
Фраза «момент времени, в который произошло далекое
событие» могла бы означать: «удар моих часов, происшед-
происшедший одновременно с событием». Но, зная, что наблюдате-
наблюдатели могут расходиться во мнениях по поводу одновременно-
одновременности событий, мы не вправе считать такую интерпретацию
6*
5.16 84
верной. В эти слова можно вложить и другой смысл: «вре-
«время, которое показывают часы, расположенные в месте, где
происходит событие». Однако, чтобы сравнить показания
этих часов с моими, их следует перенести туда, где нахо-
нахожусь я, а это связано с относительным движением и выте-
вытекающими отсюда сложностями, обусловленными замед-
замедлением течения времени. Таким образом, точный смысл
выражения «момент времени, в который произошло дале-
далекое событие» вовсе не очевиден. Аналогичные трудности
возникают в связи с измерениями расстояния (пп. 2.26 и
3.38).
Нетрудно понять, почему фразе «момент времени, в ко-
который произошло далекое событие» (или расстояние до
далекого события) следует доверять меньше, чем мы ду-
думали. Ведь в ней идет речь как раз о том, что вы не мо-
можете измерить непосредственно, ибо находитесь далеко от
того места! Об этих характеристиках далекого события вы
можете судить только по каким-либо образом переданной
вам информации. Мы привыкли считать очевидной интер-
интерпретацию полученных сообщений. Теперь мы знаем, что
это не так.
5.16. Итак, при построении специальной теории относительности
нужно избегать высказываний типа «момент времени, в
который произошло далекое событие». Какой же тогда спо-
способ описания можно использовать?
Воспользуемся методом, весьма типичным для науки
XX в. Обратимся к наблюдениям и спросим, что наблюда-
наблюдатель действительно видит, а о чем он просто догадывается
на основании своих наблюдений. В основу нашей теории
положим только истинные наблюдения, оставив анализ
умозаключений на более позднее время.
Теперь, надеюсь, очевидно, что истинное наблюдение
может быть сделано только там, где находится наблюда-
наблюдатель (в таких случаях для краткости будем говорить:
«в данном месте»). Взрыв произошел где-то далеко. Я не
мог его наблюдать потому, что сам не находился там.
Что я мог бы наблюдать?
Я смогу наблюдать вспышку света, — другими словами,
я увижу ее. И это произойдет здесь, в месте, где я распо-
расположен, т. е. это и будет наблюдение в данном месте. Я не
могу с уверенностью говорить о том, когда произошел
взрыв (п. 5.15). Но если я скажу, что вижу вспышку в та-
такой-то момент времени, то это строгий факт, прямое на-
наблюдение.
Следовательно, наша теория должна исходить из на*
блюдений в данном месте, т. е. из наблюдений наблюдате-
519 85
ля над тем, что с ним происходит (или над тем, что он де-
делает) в том месте, где он находится.
Далее, можно представить себе множество наблюдате-
наблюдателей, которые движутся относительно друг друга и каждый
из которых производит свои наблюдения в «данном месте»
над одними и теми же событиями. Они могут сравнивать
и сопоставлять свои результаты. Именно из таких сравне-
сравнений и сопоставлений должна исходить наша новая тео-
теория.
5.17. Вы понимаете, конечно, что наша традиционная, основан-
основанная на здравом смысле точка зрения на природу вещей
складывается именно таким образом. Всякий человек до-
достоверно знает только то, что с ним происходит в данном
месте, видя и слыша все происходящее. Но наблюдения
разных людей можно сравнить, а затем на основании это-
этого сравнения возникает представление о мироздании. Каж-
Каждый из нас проделывает часть этой работы сам (особенно
в первые один-два года жизни, которые мы не помним).
Остальное выпало на долю наших предков, и выработан-
выработанные ими представления передаются из поколения в поко-
поколение.
К сожалению, ни мы, ни они не сталкивались в повсе-
повседневной жизни с движением, происходящим с очень высо-
высокой скоростью. Поэтому выработанные нами представле-
представления справедливы при малых скоростях, но подводят при
высоких скоростях. Именно по этой причине приходится
начинать все сначала и вырабатывать общую точку зрения
путем сравнения и сопоставления наблюдений в данном
месте, которые произведены наблюдателями, очень быстро
движущимися по отношению друг к другу.
5.18. Но на самом деле такая программа неосуществима на
практике, а потому придется решать, исходя из логических
рассуждений, какие теории возникли бы при ее осуществ-
осуществлении. Для этого нужно будет представить себе множест-
множество быстро движущихся относительно друг друга наблюда-
наблюдателей, которые выполняют только наблюдения в данном
месте. При очень осторожном использовании того, что уже
известно из наблюдений и экспериментов (гл. 1), следует
выяснить, какие именно результаты могли бы получить
эти наблюдатели. Затем нужно вообразить, что они, отбро-
отбросив предвзятые мнения, сравнивают результаты своих на-
наблюдений и создают новую теорию пространства и време-
времени взамен старой, от которой следует отказаться.
5.19. В одном важном отношении стоящая перед нами задача
может быть упрощена. Все по-настоящему интересные во-
вопросы специальной теории относительности можно пре-
5.20 86
красно разрешить, рассматривая движение вдоль одной
прямой линии — одного пространственного измерения.
Рассмотрим наблюдателей, движущихся (относительно
друг друга) вдоль этой прямой. Будем считать, что эти
наблюдатели не имеют размеров, и изобразим их точками.
Кроме того, они должны перемещаться без столкновений.
Если так будет проще, считайте, что они движутся вдоль
близких параллельных линий, как наблюдатели А, В и С
на рис. 4.1. Этот рисунок дает хорошее представление о
том, что я хочу сказать. Чтобы свести к минимуму влия-
влияние старых представлений, договоримся считать этих на-
наблюдателей космонавтами, удаленными на достаточна
большое расстояние от звезд и планет и играющими в не-
некую игру, правилами которой предусмотрено их относи-
относительное движение вдоль прямой.
Условимся называть эту прямую одномерной вселен-
вселенной. Безусловно, это не реальная Вселенная (ведь она со-
содержит не все пространство), но для наших целей, после
того как было решено не принимать во внимание все, что
не лежит на этой прямой, ее можно считать вселенной.
5.20. Какие типы наблюдений в данном месте разрешены? Если
мы хотим, чтобы наша теория была применима в самом
общем случае, то следует ввести ограничения. Так, напри-
например, невозможно наблюдение, заключающееся в обнару-
обнаружении взрыва на слух, поскольку звук распространяется
только при определенных условиях. Измерения расстояний
тоже должны быть исключены, так как наблюдатель не
может находиться одновременно на обоих концах изме-
измеряемого отрезка.
Наблюдателю позволяется отмечать, что он прошел ми-
мимо другого наблюдателя, поскольку в этот момент времени
другой наблюдатель находится в данном месте. Еще он
может делать опыты с пробными частицами (п. 5.2). Он
отпускает свою пробную частицу и ждет: если она остает-
остается рядом с ним, то он инерциальный наблюдатель, в про-
противном случае — неинерциальный.
Кроме того, он может наблюдать световые сигналы
(вспышки света) и отмечать по своим часам время их
прихода (т. е. момент времени, в который он увидел со-
событие) .
Наблюдателю разрешается посылать световые сигналы,
что может принести пользу его наблюдениям, если он пред-
предварительно договорится с другими наблюдателями. Напри-
Например, может быть достигнуто соглашение, что другой на-
наблюдатель пошлет ответный сигнал в тот момент, когда он
получит сигнал от первого. И если первый наблюдатель
5.21 87
заметил моменты отправления и прихода сигналов, он по-
получит ценные сведения о связи между ним и другим на-
наблюдателем.
Вы, наверное, поняли, что последний абзац дает грубое
описание радиолокатора. Принцип его действия состоит в
следующем: посланный радиоимпульс отражается от це-
цели и принимается в виде отраженного сигнала. Аппарату-
Аппаратура регистрирует моменты посылки и приема сигналов и
затем автоматически рассчитывает положение и движение
цели.
Надеюсь, вы потратите немного времени, чтобы убе-
убедиться, что описанные в этом разделе типы наблюдений —
единственно возможные и, в частности, что доступные на-
наблюдателю измерения состоят только в регистрации момен-
моментов времени, в которые происходили события в данном
месте, перечисленные выше.
5.21. Чтобы из сравнения моментов времени, зарегистрирован-
зарегистрированных различными наблюдателями, извлечь полезную ин-
информацию, их часы необходимо стандартизировать. А един-
единственный осуществимый способ стандартизации состоит в
том, чтобы все эти часы были изготовлены по одной и той
же схеме (если каждый наблюдатель даст полное описа-
описание своих часов, то все такие описания должны совпа-
совпадать). (Это не так сложно, как может показаться. Для
полного описания того, что называется атомными (кванто-
(квантовыми) часами, достаточно нескольких целых чисел.)
Прием, с помощью которого устанавливается идентич-
идентичность часов, относится к проблеме, волнующей многих
людей. Откуда известно, что часы наблюдателя показыва-
показывают точное время? Вы задумывались над этим?
Нет иного способа узнать время (как некоторой вели-
величины) кроме как с помощью часов. Поэтому мы опреде-
определяем время как показание стандартных часов. И собствен-
собственное время (п. 4.12) каждого наблюдателя — это то, что по-
показывают его стандартные часы. Значит, по определению
это и есть точное время. Если часы идентичны, то все они
идут совершенно одинаково, и вопросы о том, точное или
неточное время показывают часы, сводятся к вопросу о
том, являются ли часы стандартными.
ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННЫЕ
ДИАГРАММЫ
6.1. Всем известно, какую большую помощь могут оказать в
различных размышлениях диаграммы. Именно в такой
помощи мы сейчас крайне нуждаемся. Однако воз-
возможности диаграмм, типа показанной на рис. 4.1, весь-
весьма ограничены. Отчасти это связано с тем, что они да-
дают лишь несколько моментальных «снимков» непрерыв-
непрерывного процесса, но главное в том, что они представляют
точку зрения только одного наблюдателя о таких по-
понятиях, как одновременность. По этой причине в допол-
дополнение к рис. 2.6 нам понадобился рис. 2.8.
6.2. Чтобы перейти к гораздо более полезному типу диаграмм,
рассмотрим события, происходящие на прямолинейном
участке пути железной дороги. Пусть в момент времени,
равный нулю, машинист А локомотива поезда, идущего
со скоростью 60 км/ч, пересек начальную отметку, от
которой начинается отсчет пройденного расстояния.
И пусть в момент времени, соответствующий 12 с, его
минует машинист В локомотива другого поезда, идущего
в противоположном направлении со скоростью 30 км/ч.
Рис. 6.2, представляя эту короткую историю графиче-
графически, показывает, как изменяются положения машини-
машинистов А и В в пространстве и во времени. Поэтому он
называется пространственно-временной диаграммой.
Движения машинистов представлены на диаграмме с
помощью двух жирных линий, обозначенных буквами А
и В. Любая точка на линии машиниста А соответству-
соответствует происшедшему с ним событию. Например, точка N
(в которой пересекаются линии А и В) соответствует
встрече машинистов А и В. Проведя влево от этой точ-
точки пунктирную линию до ее пересечения с осью време-
времени на отметке 12 с, мы увидим, что событие N произош-
произошло через 12 с после начала отсчета времени. А проведя
от точки N линию вертикально вниз, найдем, что А в
момент этого события находился в 200 м от начальной
точки. Случилось так, что машинисту А попала в глаз
соринка. Пусть на диаграмме этому событию соответ-
соответствует точка F. Где и когда оно произошло?
Проведя из F горизонтальную линию по направле-
направлению к оси времени, мы узнаем, что это событие про-
6.4
89
изошло в момент времени, равный 15 с (посредине
между отметками 10 и 20 с). Проведя от точки F линию
вертикально вниз, найдем, что машинист А в это вре-
время был уже в 250 м от исходной точки.
(На основании очевидного соглашения, которое вы,
возможно, считаете само собой разумеющимся, мы ис-
использовали букву N как для обозначения точки на диа-
диаграмме, так и для обозначения соответствующего собы-
события.)
6.3.
6.4.
0 100 200 00 400 500
Расстояние, м
Рис. 6.2.
В момент времени 24 с машинист А дал короткий гудок.
Как только машинист В услышал его, он дал ответный
гудок, который А услышал в момент времени 26 с. Точ-
Точка Р (напротив отметки 24 с на оси времени) соответ-
соответствует гудку, данному машинистом А, а тонкая линия
PQ показывает распространение звука вплоть до мо«
мента, когда он достиг машиниста В в точке Q. (Ваша
собственная диаграмма — см. стр. 15 — станет более яс-
ясной, если там, где я провожу тонкие линии, вы будете
рисовать красные линии. А поскольку подобных диа-
диаграмм будет много, запаситесь шариковой ручкой с
красным стержнем!) Вторая тонкая линия описывает
распространение ответного сигнала, посланного маши-
машинистом В и услышанного А в момент события R.
Диаграммы, подобные этой, полезны во многих случа-
случаях, например при составлении железнодорожных распи-
расписаний, но для наших целей они непригодны. Самое
6.5
90
6.5.
главное, чтобы диаграммы не предвосхищали наши вы-
выводы. Они не должны, образно говоря, иметь своего
мнения по поводу тех вопросов, которые мы хотели бы
оставить открытыми. Какие недостатки в этом отноше-
отношении есть у рис. 6.2?
Согласно рис. 6.2, машинисты А и В (как и любые
другие наблюдатели) не имеют разногласий по поводу
моментов времени, в которые произошли те или иные
события. Это следует из того, что на этой диаграмме
есть единственная расположенная слева шкала време-
ни, и из того, что сплошные горизонтальные линии —
это линии одновременных событий. Нельзя, чтобы диа-
диаграмма предрешала вопрос об одновременности
(п. 2.19). Кроме того, единственная горизонтальная ось
расстояний предполагает всеобщее согласие по поводу
измеряемых длин, что недопустимо (пп. 2.26 и 3.38).
Собственно говоря, эта диаграмма в графической
форме иллюстрирует наши прежние представления об
окружающем мире, и я ее называю старомодной про-
пространственно-временной диаграммой. Но нельзя поль-
пользоваться диаграммой, которая подкрепляет именно те
идеи, которые мы подвергаем сомнению.
Однако еще не все потеряно. Вспомним о нашем реше-
решении (пп. 5.16, 5.20) исходить при построении теории
I
Часы машинис/пц А
показывают Ос
Р \ Часы машиниста А
показывают 26с
^ Часы машиниста А
показывают 24с
Чапы машиниста А
показывают 15 с
Часы машиниста А
200 300 А00 500
Расстояние^ м.
Рис. 6.5.
6.6
91
6.6.
только из измерений времени в данном месте, сделан-
сделанных каждым наблюдателем по своим часам.
Точка О в нижнем левом углу рис. 6.2 соответствует
начальному моменту времени, определенному по часам
машиниста А, — эти сведения я добавил в новом ва-
варианте диаграммы на рис. 6.5. Как мы узнали, что мо-
момент времени, в который произошло событие N, соот-
соответствует 12 с? Просто машинист А посмотрел на часы
в момент встречи с В, так что это еще один момент
времени, отмеченный по часам А, который мы обозна-
обозначали буквой N. Точно так же определены по часам ма-
машиниста А и моменты времени, в которые произошли
события, обозначенные буквами F, Р и R. Это как раз
результаты тех наблюдений, которые мы договорились
считать твердо установленными фактами.
Если машинист А засечет моменты времени, в которые
произошли какие-нибудь другие события, то мы подоб-
подобным же образом сможем их отметить на рис. 6.5. Окон-
Окончательная система данных наблюдений машиниста А
состоит из множества отмеченных по его часам момен-
моментов времени, в которые произошли события в данном
месте. Если также отметить на линии машиниста В
зарегистрированные им моменты времени событий в
данном месте, то диаграмма будет содержать всю не-
необходимую информацию. Тогда горизонтальная и вер-
Часы машиниста А
показывают О с
Часы машиниста А
показывают 2В'с\
Часы машиниста А
показывают 2 А-с
Часы машиниста А
показывают /5 с
Часы машиниста А
показывают 12 с
Рис. 6.6.
6.7 92
тикальная шкалы ничего нового не дадут и будут со-
совершенно бесполезны. Поразмыслите над этим.
А почему бы в таком случае не стереть полностью
и эти шкалы, и связанную с ними сетку? Тогда мы полу-
получим рис. 6.6, который содержит всю надежно установ-
установленную информацию.
6.7. Когда используется такая упрощенная диаграмма, лег-
легко забыть, что она описывает движение и обмен сигна-
сигналами; можно вообразить, что это просто геометрический
чертеж (две железнодорожные линии, пересекающиеся
в точке N!). Посмотрим, как можно ее «оживить». При-
Приготовьте простую почтовую открытку (или что-нибудь
подобное). Сделайте это непременно! Посередине от-
открытки, вдоль ее широкой стороны, прорежьте щель
длиной около 100 мм и шириной около миллиметра. По-
Положите открытку на рис. 6.6 так, чтобы прорезь рас-
располагалась вдоль нижней части диаграммы, непосредст-
непосредственно над нижними концами линий машинистов А и В.
В эту прорезь будут видны короткие отрезки линий А
и В, которые вполне можно считать точками. Теперь
прорезь в открытке соответствует железнодорожной ли-
линии, рассмотренной в п. 6.2, а точки указывают положе-
положения машинистов А и В сразу после начала отсчета вре-
времени.
Придерживая одной рукой открытку в неизменном
положении, другой возьмите лист бумаги с нарисован-
нарисованной вами диаграммой и равномерно вытягивайте его
из-под открытки. Что вы увидите?
Перед вами предстанет следующая картина: две точ-
точки движутся навстречу друг другу, встречаются (когда
в прорези появится точка N), а затем расходятся в раз-
разные стороны. (Если наблюдать то, о чем здесь говорит-
говорится, затруднительно, следует чуть-чуть расширить про-
прорезь.) Получилась подвижная картинка, на которой
прорезь — это железнодорожная линия, а две точки —
это движущиеся машинисты А и В (п. 6.2). Что еще
можно увидеть, продолжая вытягивать диаграмму из-
под открытки?
Когда в прорези возникнет точка Р, от черного пят-
пятнышка, вырезанного прорезью из линии машиниста А,
отделяется красная точка, которая будет двигаться
влево до тех пор, пока не встретится с точкой на линии
машиниста В. В этот же момент другая красная точка
покинет В и начнет перемещаться в обратном направ-
направлении до встречи с А в точке R. Наш «любительский
6.9 93
фильм» позволил «увидеть» описанный в п. 6.3 процесс
обмена машинистов гудками.
Обратите внимание: точка машиниста А движется в
два раза быстрее точки В, а движение точек, соответ-
соответствующих звуковым сигналам, происходит еще быстрее.
Чем меньше наклон лини», тем более быстрое движение
она представляет. Не выбрасывайте открытку с про-
прорезью, она вам еще неоднократно очень пригодится в
дальнейшем.
6.8. Главная особенность упрощенной диаграммы на рис. 6,&
в том, что она показывает только то, что наблюдатели
могут узнать на основании прямых измерений, не давая
никакой информации помимо этой. Она ничего не гово-
говорит ни о временах, ни о расстояниях, связанных с дале-
далекими событиями. Позднее мы узнаем, как можно полу-
получить значения этих величин исходя из представленных
на диаграмме моментов времени событий в данном
месте.
Сколько же ненужной нам информации отпало, ког-
когда мы отбросили вертикальную и горизонтальную шка-
шкалы, а также миллиметровую сетку при преобразовании
рис. 6.5 в рис. 6.6! Потратьте несколько минут и поду-
подумайте над тем, что именно не принимает в расчет но*
вая диаграмма и как пренебрежение отброшенными
факторами освобождает нас от предрешения тех или
иных вопросов до их надлежащего исследования.
Я перечислю только априорные понятия, от которых
следует отказаться: горизонтали изображают одновре-
одновременные события; то, что расположено выше, соответст-
соответствует более поздним событиям; вертикали представляют
события, происшедшие в «одном и том же месте» (ср.
с п. 2.16); две неподвижные шкалы, одна из которых
используется всеми наблюдателями для определения
времени, а другая — для измерения расстояний. Если
вам что-нибудь осталось неясно в перечисленных фак-
факторах, продумайте их еще разок.
6.9. Конечно можно считать, что рис. 6.6 описывает собы-
события не на железной дороге, а в одномерной вселенной
(п. 5.19). Тогда А и В — это наблюдатели, обмениваю-
обменивающиеся световыми сигналами. Что теперь говорит рис. 6.6
о наблюдениях А в одномерной вселенной?
Надеюсь, вы освоили метод применения открытки с
прорезью, которая теперь позволяет получить картину
того, как развертываются события в одномерной вселен-
вселенной. Если нужно, попробуйте еще раз.
6.10 94
Итак, в момент, когда произошло событие О, часы
наблюдателя А показывают нуль; 12 с спустя по ча-
часам А его минует наблюдатель В, а еще через 3 с ему
в глаз попадает соринка. В момент, когда его часы по-
показывают 24 с (событие Р), он посылает световой сиг-
сигнал. Ответный сигнал наблюдателя В достигает наблю-
наблюдателя А, когда его часы показывают 26 с.
6.10. Линия, помеченная буквой А, дает сведения о всех тех
событиях в данном месте для наблюдателя А, которые
мы сочтем нужным отметить. В принципе можно было
бы отметить даже каждый удар его часов или выбороч-
выборочно отметить удары, соответствующие (скажем) 10, 20,
30,..., секундам. Такая процедура снабжает наблюдателя
А своей собственной шкалой собственного времени (вза-
(взамен отброшенной нами вертикальной шкалы времени).
Эта линия называется мировой линией наблюдателя
А (неудачный, как мне кажется, термин, но мы обязаны
следовать принятой терминологии). Дадим этому поня-
понятию более общее определение:
Мировой линией наблюдателя называется прямая или
кривая линия, точки которой изображают все собы-
события, при которых он присутствовал, все, что с ним
произошло (или все, что он делал), в том месте, где
он находится.
Моменты времени, соответствующие этим событи-
событиям и определенные по часам наблюдателя, указыва-
указываются на его мировой линии (либо с помощью отдель-
отдельных пометок для каждого события, либо с помощью
шкалы времени).
(Вас не смутила кривая мировая линия? Чтобы узнать,
какой тип движения она описывает, воспользуйтесь от-
открыткой с прорезью.)
6.11. На рис. 6.6 используется еще один тип линий, напри-
например PQ. Эта линия показывает, что световой сигнал
послан в момент события Р и получен в момент собы-
события Q. Поэтому назовем ее «линией сигнала». Вообще,
линией сигнала называется линия, которая соединя-
соединяет точки, соответствующие событиям посылки и прие-
приема данного светового сигнала.
Здесь ничего не говорится о моментах времени. Поче-
Почему?
«Несет» ли световой сигнал с собой часы? Даже если
и «несет», мы не можем знать, что они показывают.
6.14 95
Поэтому нет способа сопоставлять моменты времени
на линии сигнала.
На моих диаграммах мировые линии всегда будут
жирными, а линии сигналов — тонкими. Ваши же диа-
диаграммы будут более наглядными, если линии сигналов-
рисовать красным цветом.
Между прочим, словосочетание «световой сигнал»
(часто просто «сигнал») всегда будет означать мгновен-
мгновенный импульс света, если не оговорено особо. (Опреде-
(Определение мгновенности см. в конце п. 2.15.)
6.12. При использовании открытки с прорезью (п. 6.7) воз-
возникает одна небольшая трудность. То, что видно в про-
прорезь при любом ее положении, изображает события,
происшедшие в один и тот же момент времени. Поэто-
Поэтому предложенная процедура позволяет описать точку
зрения на происходящее только одного наблюдателя
(п. 2.19).
Но пусть это вас не беспокоит. Прежде чем такие
вопросы приобретут важное значение, мы усовершенст-
усовершенствуем наш метод настолько, чтобы избежать подобные
трудности.
6.13. Мы освободили пространственно-временную диаграмму
от признаков, связанных со старыми, изжившими себя
представлениями. Она теперь стала нейтральной на-
настолько, насколько это возможно. Чтобы наполнить эту
диаграмму положительным содержанием, нужно най-
найти способ включить в нее основные положения теории
относительности. Начнем с подробного описания нового-
типа диаграмм, которые мы намереваемся строить и ис-
использовать. Сделаем это частично с помощью аналогий
со старой диаграммой, а частично в процессе поисков
подходящих способов описания известных свойств на-
наблюдателей и сигналов. Например, из диаграмм, ис-
использованных до сих пор, заимствуем очевидную идею:
событие, происшедшее в одномерной вселенной
(п. 5.19), может изображаться точкой на плоскости.
Этой плоскостью, разумеется, служит лист бумаги, на
котором начерчена диаграмма. (Убедитесь в том, что,
когда открытка с прорезью используется по методу,
описанному в п. 6.7, точка на диаграмме соответствует
мгновенному событию.)
6.14. В одномерной вселенной есть только два направления.
Назовем и>х положительным и отрицательным направле-
направлениями и изобразим на диаграмме (рис. 6.14) как на-
направления вправо и влево. Световой сигнал будем назы-
6.15
96
A[}нимерцря вселенная
Отрицательное
направление
Положительное
направление
Рис. 6.14.
вать распространяющимся в положительном цли отри-
отрицательном направлении, если он распространяется со-
соответственно слева направо или наоборот.
6.15. По аналогии с рис. 6.6 для описания линий сигналов
(п. 6.11) можно воспользоваться прямыми и различать
два указанных выше типа линий сигналов по наклону
этих прямых. Линия сигнала, распространяющегося в
положительном направлении, поднимается вверх (т. е. в
верхнюю часть листа бумаги) слева направо (рис. 6.15),
а линия сигнала, распространяющегося в отрицательном
направлении, наклонена в другую сторону. Убедитесь с
помощью открытки с прорезью, что сигналы, соответст-
соответствующие этим линиям, распространяются в соответству-
соответствующих направлениях.
Как видно на рис. 6.15, две линии сигналов проти-
противоположных типов могут пересечься только один раз.
W
Рис. 6.15.
Таким способом диаграмма показывает, что сигналы,
распространяющиеся в положительном и отрицательном
направлениях, могут встретиться, как и следовало ожи-
ожидать, только один раз.
6.17 97
6.16. Могут ли пересечься линии двух сигналов, распростра-
распространяющихся в положительном направлении? Чтобы от-
ответить на этот вопрос, вспомним, что скорость света для
всех наблюдателей всегда одинакова (пп. 1.7 и 1.9). Но
мы не можем пользоваться понятием скорости, так как
она не определяется в данном месте, для ее вычисле-
вычисления нужны расстояние и хотя бы один момент времени,
относящийся к далекому событию. Однако предыдущее
высказывание можно привести к форме, в которой оно
может быть проверено исключительно на основе изме-
измерений в данном месте: один световой сигнал не может
догнать другой. Как же следует ответить на вопрос,
сформулированный в начале параграфа?
Если линии сигналов пересекутся, то это будет озна-
означать, что один сигнал догнал другой (убедитесь в этом
с помощью открытки с прорезью, примененной к
рис. 6.16). Поэтому ответить на поставленный вопрос
следует «нет!»
Рис. 6.16.
Но две непересекающиеся линии должны иметь оди-
одинаковый наклон (по отношению к горизонтали, прове-
проведенной поперек страницы). Отсюда следует, что все по-
положительные сигналы должны иметь один и тот же
наклон. То же верно и для отрицательных сигналов, но
они должны быть наклонены в другую сторону (п. 6.15).
6.17. Мы сами вольны выбирать угол наклона для линий
сигнала. Очевидно, самый удобный выбор 45° относи-
относительно горизонтали (рис. 6.17). Итак,
договоримся изображать линии сигналов прямыми,
наклоненными под углом 45° к горизонтали и под-
поднимающимися вправо для положительных и влево
для отрицательных сигналов. Линия сигнала направ-
направлена вдоль соответствующей прямой, вверх.
Значит, если точка S расположена выше точки R на
той же линии сигнала (рис. 6.17), то сигнал, отправлен-
отправленный в момент события R, будет принят в момент со-
7-1653
6.18
98
бытия S, но сигнал, отправленный в момент события S,
никогда не будет принят в R. Теперь с помощью открыт-
открытки с прорезью убедитесь, что (красные) точки, изобра-
изображающие световые сигналы, ведут себя как надо.
Рис. 6.17.
6.18. А как изобразить мировую линию (п. 6Л0) инерциаль-
ного наблюдателя (п. 5.2)? На рис. 6.6 это сделано с
помощью прямой линии. Очевидно, она не может быть
наклонена под углом 45° к горизонтали. (Почему? Да
по той простой причине, что при таком наклоне она
совпала бы с линией сигнала и, следовательно, наблю-
наблюдатель должен был бы двигаться со скоростью свето-
светового сигнала, а это невозможно; см. п. 2.1.) Как же
тогда она должна быть наклонена — сильнее или мень-
меньше?
Воспользовавшись открыткой с прорезью, нетрудно
убедиться, что мировая линия, угол наклона которой
меньше 45°, описывает движение со скоростью, превы-
превышающей скорость света. Но мы не знаем, возможно ли
такое. Так что для верности следует начать с мировых
линий, угол наклона которых к горизонтали больше
45°, а затем выяснить, возможны ли другие случаи.
6.19. Этот аргумент (как вам наверняка не терпится отме-
отметить) слабоват, так как нам следует воздержаться от
6.20 99
разговоров о скоростях (п. 6.16). Однако он подсказы-
подсказывает нам идею, которую теперь уже можно будет обос-
обосновать на языке дозволенных измерений в данном ме-
месте.
Давайте сначала рассмотрим мировую линию, со-
составляющую с горизонталью угол меньше 45° (рис. 6.19).
Пусть точка Q, расположенная ниже этой линии, изоб-
изображает вспышку света. Линии сигналов QP и QR опи-
описывают распространение двух вспышек света от Q в
противоположных направлениях. Проверьте это с по-
помощью открытки с прорезью и завершите историю, ко-
которую вам поведала эта диаграмма.
Наблюдатель принимает оба сигнала — один в Р,
другой в R (убедитесь в этом с помощью открытки с
прорезью). Значит, он увидит одно и то же событие
дважды. Возможно ли такое?
И опять мы этого не знаем. Ни вы, ни я никогда не
видели одно и то же событие дважды. Но гарантий, что
это невозможно, у нас пока нет.
6.20. С другой стороны, когда угол наклона мировой линии
больше 45° (рис. 6.20), то ее пересекает только одна из
линий сигналов, выходящих из Q. О чем теперь свиде-
свидетельствует диаграмма?
Берем открытку с прорезью...! Наблюдатель видит
вспышку только один раз. Такое возможно, мы это зна-
знаем из повседневного опыта. Поэтому разумно (как пред-
предлагалось в п. 6.18) закрепить за нашим наблюдателем
мировую линию, угол наклона которой к горизонтали
больше 45°. Итак,
выбираем одного инерциалького наблюдателя А и
в качестве его мировой линии рассматриваем пря-
прямую, составляющую с горизонталью угол больше
45°.
6.21 100
На рис. 6.20 у основания мировой линии наблюда-
наблюдателя А стоит буква А. Условимся так поступать и в
дальнейшем.
Рис. 6.2G.
Зафиксировав мировую линию этого единственного
инерциального наблюдателя, выясним, как наша диа-
диаграмма отражает его точку зрения на пространство и
время. Лишь после этого можно будет подумать о вве-
введении хотя бы еще одного наблюдателя.
6.21. У вас может возникнуть подозрение, что мировая ли-
линия наблюдателя А должна быть вертикальной. Ваши
соображения, возможно, и не очень ясны, но некоторые
из них могут основываться на предчувствии, что для
наклонной мировой линии скорость света в одном на-
направлении (относительно А) больше, чем в другом.
Однако до тех пор, пока вы не выясните, как диаграм-
диаграмма изображает скорость, подобные выводы делать нель-
нельзя. Поэтому пока что вам придется удовлетвориться
следующим доводом.
Вы считаете, что мировая линия наблюдателя А
должна быть вертикальной. Но все инерциальные на-
наблюдатели равноправны (п. 5.11), и, следовательно, все
их мировые линии тоже должны быть вертикальными.
А это означает, что никакие мировые линии не могут
пересечься, т. е. никакие два инерциальных наблюда-
наблюдателя никогда не могут встретиться! Ваше предположе-
6.23М
101
ние приводит к абсурду, и поэтому его следует считать
ложным.
6.22. Единственные допустимые измерения (п. 5.20)—опре*
деление моментов времени в данном месте. Это дает
нам право ввести шкалу времени на мировой линии на-
наблюдателя (ср. с п. 6.10). Итак (рис. 6.22),
О на часах
наблюдателя h\
Показания часоЗ
наблюдателя А
6 некотором
масштабе
'А
Рис. 6.22.
условимся, что точка О на мировой линии наблю-
наблюдателя А соответствует моменту времени, когда его
часы показывали нуль.
Определенные по часам наблюдателя А моменты
времени событий в данном месте изображаются в
виде шкалы вдоль его мировой линии,
т. е. равным интервалам времени, отмеренным по ча-
часам наблюдателя А, соответствуют отрезки равной дли-
длины на его мировой линии. В дальнейшем будем назы-
называть такую шкалу «шкалой времени наблюдателя А».
6.23М. Даже если вы слабы в математике, вас, вероятно, не
удивит, что моменты времени в нижней части рис. 6.22
помечены цифрами —1, —2, —3, —4. В наше время
трудно встретить человека, который бы не пользовался
отрицательными числами, хотя бы для описания темпе-
температур ниже нуля.
Нам нужно уметь пользоваться отрицательными мо-
моментами времени, изображенными на рис. 6.22 точка-
точками, расположенными ниже точки О. Время до нулевого
6.24М 102
момента—это время, отмеренное в прошлое от события
О. Для удобства будем обозначать эти моменты вре-
времени как —1, —2,..., что означает одна секунда (или лю-
любая другая используемая единица измерения), отмерен-
отмеренная в прошлое, две секунды, отмеренные в прошлое... .
Число —2 с следует читать как «минус 2 секунды»,
и если вы привыкли к этому, то не изменяйте данному
правилу. Но даже следуя правилу, не забывайте, что
это фактически означает «измерено назад». А если для
вас отрицательные числа — это совершенно новое поня-
понятие, то я предлагаю добавлять слова «измерено на-
назад» до тех пор, пока эти числа не станут для вас обыч-
обычными, и даже когда вы к ним првыкнете, знайте, что
слова «отрицательное 2» лучше отражают суть дела, чем
«минус 2».
6.24М. Существует очевидная связь между отрицательными
числами и операцией вычитания. Например, «два часа,
отмеренные в прошлое от 10 часов вечера» — это 8 ча-
часов вечера, что можно получить, вычитая 2 из 10. Имен-
Именно поэтому для отрицательных величин и для операции
вычитания используется один и тот же знак.
Пользуясь прилагательным «отрицательный» для ве-
величин, отмеренных назад, условимся называть величи-
величины, отмеренные вперед (обычно записываемые без ка-
какого-либо специального знака), положительными.
6.25М. Само собой разумеется, понятие «отрицательная вели-
величина» может применяться и к другим величинам поми-
помимо времени. Представим себе ненадолго, что на рис. 6.22
просто изображена линия с отмеченными вдоль нее рас-
расстояниями, и пусть в качестве единицы измерения вы-
выбран один шаг. Тогда для человека, стоящего в точ-
точке О, указание сделать два шага приведет его в точ-
точку Q, тогда как приказ сделать минус три шага приве-
приведет его в точку L.
В этом случае указание «отмерить назад» имеет бук-
буквальный смысл — сделать три шага назад. Но время
нельзя отмерить назад в подобном же буквальном
смысле. Здесь следует полагаться на показания тех ча-
часов, которые использовались для измерения времени до
нулевого момента. И если, согласно их показаниям, от
события М до события О прошло 2 с, то, конечно же,
время от О до М — это 2 с, отмеренные назад, в прош-
прошлое, т. е. —2 с.
ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
ДО ДАЛЕКОГО СОБЫТИЯ
7.1. Предположим, что произошло некоторое событие Q, при
котором наблюдатель А не присутствует, — далекое собы-
событие, как мы договорились его называть. Представляется
само собой разумеющимся характеризовать событие Q
значением момента времени, в который оно произошло, и
его расстоянием от наблюдателя А, определенными по от-
отношению к А. Но это означает, что нужно будет найти
способ, позволяющий выразить обе эти величины с помо-
помощью измерений, выполненных наблюдателем А в месте
его нахождения (поскольку только результаты таких из-
измерений мы считаем известными непосредственно, см.
п. 5.20).
Полагая, как предлагалось в п. 5.19, что наблюдатель
А — космонавт, можно избежать вводящих в заблужде-
заблуждение старых привычек все рассматривать по отношению к
ориентирам, связанным с Землей. Чем должен был бы вос-
воспользоваться космонавт, чтобы определить, где и когда
произошло заинтересовавшее его событие, которое случи-
случилось вне космического корабля?
Он должен воспользоваться радиолокатором (п. 5.20).
Над этим стоит подумать.
7.2. На рис. 7.2 показаны мировая линия наблюдателя А и
точка, представляющая событие Q. (Договоримся, что
нулю часов на хронометре наблюдателя А соответствует
точка О на его мировой линии. А остальная часть его
шкалы времени (п. 6.22) может быть произвольной.) Что
может знать наблюдатель А о событии Q?
Он может, скажем, в момент события R принять сиг-
сигнал из Q. Нарисуйте на своей диаграмме соответствующую
линию сигнала (обратившись, если нужно, к рис. 6.20).
Время прибытия этого сигнала составляет только часть
информации, которую наблюдатель может получить в дан-
данном месте. Что еще в его силах?
Он также может послать — допустим, в момент собы-
события Р — сигнал, выбрав время его отправления так, что-
чтобы он прибыл в место назначения тотчас, как только там
произойдет событие Q. Начертите линию сигнала.
7.3
104
•Q
Рис. 7.2.
7.3. Ваша диаграмма должна быть теперь похожа на рис. 7.3.
Воспользуйтесь открыткой с прорезью, чтобы убедиться,
что она правильно описывает ход событий.
Но как наблюдатель А мог знать, когда ему следова-
следовало послать сигнал, чтобы он прибыл в место назначения
как раз в тот момент, когда там произошло событие Q?
Прямо он этого знать не мог. Но он мог послать серию
кодированных сигналов, а некто, присутствовавший при
событии Q, мог ему сообщить, какой из них поступил в
нужный момент (если же наблюдатель А использовал ра-
радиолокатор, то эта информация поступала бы к нему ав-
Рис. 7.3
7.6 105
томатически с отраженным сигналом). Поэтому нет ни-
ничего невозможного в предположении, что наблюдатель А
может знать, когда следует послать сигнал, чтобы он да-
стиг Q в нужный момент.
Итак, в распоряжении А есть два твердо установленных
факта: время отправления сигнала к Q и время прибытия
сигнала из Q. Убедитесь, что это единственная достовер-
достоверная информация о событии Q, которой может располагать
наблюдатель А (пп. 5.15, 5.16, 5.20). Теперь установим
правила, с помощью которых можно было бы узнать, ког-
когда и где, с точки зрения наблюдателя А, произошло собы-
событие Q, опираясь при этом только на известные значения
моментов времени, в которые произошли события Р и R.
7.4. При изучении рис. 7.3 создается впечатление, что следует
рассматривать два расстояния: расстояние, которое пре-
преодолевает один световой сигнал при распространении от
А к Q, и расстояние, которое нужно покрыть другому сиг-
сигналу при распространении от Q к А, или, иначе, расстоя-
расстояние между событиями Р и Q и расстояние между собы-
событиями Q и R. Равны или различны эти расстояния сточ-
сточки зрения наблюдателя А?
Мой ответ был бы: «равны». Весьма вероятно, что вы
с этим не согласитесь. Это как раз одно из тех мест, где
вам следует тщательно продумать и сформулировать свои
возражения, а затем, прежде чем читать дальше, подверг-
подвергнуть их критическому анализу.
7.5. «Да их различие очевидно!»,— (возможно) воскликните
вы. — «Ведь на рис. 7.3 ясно видно, что расстояние от Р
до Q больше расстояния от Q до R».
Этот довод основывается на предположении, что длины
отрезков PQ и QR на диаграмме (или, возможно, рас-
расстояния по горизонтали от Р до Q и от Q до R) можно
рассматривать в качестве расстояний, которые должны
преодолеть сигналы. Но мы ведь еще не выяснили, как
на диаграмме изображаются расстояния, а значит, и не
вправе ею пользоваться, чтобы делать о них те или иные
утверждения. Кроме того, мы уже знаем (пп. 6.20 и 6.21),
что мировая линия наблюдателя А может иметь любой
наклон (больше 45°). Поэтому нельзя делать никаких
выводов, исходя из свойств диаграммы, зависящих от это-
этого наклона.
7.6. Вы можете возразить: «Все зависит от движения наблю-
наблюдателя А относительно Q. Если он движется, например,
по направлению к Q, то свету на его пути к Q придется
преодолеть большее расстояние, чем при возвращении
обратно». Есть какие-нибудь замечания?
77 106
Наблюдатель движется относительно события? В свое
время мы уже с этим сталкивались, да и с часто следую-
следующими отсюда и вводящими в заблуждение мыслями то-
тоже. Постарайтесь припомнить проведенное нами обсуж-
обсуждение этого вопроса. А если потребуется, изучите еще
раз пп. 2.15—2.18.
Боюсь, что вы все еще рассуждаете в рамках одной-
единственной раз и навсегда заданной системы отсчета,
хотя разум вам и подсказывает, что ничего подобного не су-
существует. От плохих привычек (приобретенных из повсе-
повседневного опыта) трудно избавиться. Здесь могут ока-
оказаться полезными рассуждения с точки зрения космонав-
космонавта (пп. 5.19 и 7.1). А я попытаюсь убедить вас еще одним
способом.
7.7. Давайте рассмотрим в системе отсчета, связанной с Зем-
Землей, такую ситуацию, которая могла бы ввести вас в за-
заблуждение. Представьте себе, что я взбираюсь по очень
длинной прямой лестнице. Мой проворный внук бежит
впереди меня и, достигнув последней ступеньки, сразу же
поворачивает назад и сбегает вниз. Ясно, что при подъеме
от меня до верхней ступеньки он преодолевает большее
расстояние, чем на обратном пути. Именно таков ход ва-
ваших рассуждений, не правда ли? Но продумайте это кри-
критически.
Кажется совершенно очевидным, что пробежка маль-
мальчика вниз по лестнице короче, чем вверх. Точнее, спуска-
спускаясь, он проходит меньше ступенек, чем поднимаясь.
Вот эти несколько ступенек и есть «гвоздь» проблемы.
Ведь это ступеньки лестницы, и вы, не задумываясь, ис-
использовали лестницу в качестве системы отсчета. Но эта
лестница движется относительно меня, а следовательно,
два рассматриваемых расстояния не равны вовсе не с
моей точки зрения, а с точки зрения кого-либо, стоящего
на лестнице неподвижно, — с точки зрения наблюдателя,
для которого лестница является собственной системой от-
отсчета.
Чтобы измерить расстояния по отношению ко мне, не-
необходимо использовать систему отсчета, которая по от-
отношению ко мне неподвижна. Значит, лестница (если
взять ее в качестве системы отсчета) должна двигаться
вместе со мной. Иными словами, это должен быть эска-
эскалатор, на одной из ступенек которого стою я. Мальчик
же, как и раньше, бегает по нему от меня до верхней
точки и обратно. Однако измерения, основанные на под-
подсчете числа ступенек, которые он отшагал, дадут другой
результат. Как вы считаете, будет ли мальчишка на этом
7.9 107
эскалаторе пробегать от меня до верхней точки столько
же ступенек, сколько от верхней точки снова до меня,
или их число будет различным?
Теперь число ступенек на пути вверх и вниз будет оди-
одинаковым: число ступенек между той, на которой стою я,
и той, которая достигает верхней точки эскалатора, в тот
момент времени, когда туда прибегает мальчик. Итак, со-
согласно моей точке зрения, расстояния равны. Этот вывод
останется верным и в том случае, если воспользоваться
световыми сигналами. (Если вас одолевают сомнения,
вообразите, что все это происходит в плотном тумане и
невозможно узнать, работает эскалатор или нет. Ну а
мальчик по-прежнему может считать ступеньки.)
7.8. Расстояния по отношению к любому наблюдателю и в са-
самом общем случае должны измеряться в системе отсчета,
которая неподвижна относительно него. По отношению к
нему должна быть неподвижна вся измерительная аппа-
аппаратура. Тогда мы обнаружим, что расстояние от наблюда-
наблюдателя до любого события равно расстоянию от события
до наблюдателя. Это относится и к расстояниям, которые
преодолевают сигналы, распространяясь от наблюдателя А
до события Q и от Q обратно к А в ситуации, описанной
в п. 7.2 и изображенной на рис. 7.3.
7.9. Давайте вернемся к нашему основному делу. Теперь,
рассматривая далекие события, мы можем использовать
свойства скорости света. Пусть, например, известны мо-
моменты времени, в которые произошли события Р и R.
Предложите какой-нибудь способ определения момента
времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, про-
произошло событие Q.
По его мнению, свет должен пройти одинаковое рас-
расстояние как на пути от него до события Q, так и на об-
обратном пути от Q. А скорость распространения света в
обоих случаях одинакова (п. 1.22). Следовательно, ему
потребуются одинаковые промежутки времени на распро-
распространение от события Р до события Q и от Q до R (по-
прежнему, с точки зрения наблюдателя А). Отсюда сле-
следует вывод, что
момент времени, в который, с точки зрения наблюда-
наблюдателя А, произошло событие Q, располагается посере-
посередине между моментами времени, в которые, согласно
показаниям часов А, произошли события Р и R,
посередине между моментами посылки сигнала к событию
и приема сигнала о том, что оно произошло.
7.10 108
7.10. Теперь рассмотрим расстояния. Взяв на вооружение ра-
радиолокационный метод, наблюдатель А может опреде-
определить расстояние от себя до Q с помощью... — с помощью
чего?
С помощью промежутка времени, прошедшего между
событиями Р и R: чем больше времени потребуется сиг-
сигналу, чтобы вернуться обратно, тем большее расстояние
он преодолеет. Так что, когда наблюдатель А захочет
узнать расстояние, измерять он фактически будет время.
Следовательно, самое простое — это согласиться, что рас-
расстояние измеряется временем, необходимым свету, чтобы
его преодолеть.
7.11 Такой подход очень удобен, поскольку единица времени
теперь будет играть еще и роль единицы расстояния. Ес-
Если свету на преодоление некоторого расстояния требуется
3,5 с, то будем говорить, что это расстояние равно 3,5 с.
(Возможно, вы предложите по аналогии с введенным в
п. 1.8 световым годом*использовать термин «световая се-
секунда». Однако дополнительное слово не дает ничего но-
БОГО.)
При желании, конечно, можно перейти к более привыч-
привычным единицам измерения расстояний. Но обычно рассмат-
рассматриваемые расстояния будут даваться в тех или иных ис-
используемых нами единицах времени (секундах, годах и
т. п.), которые условимся называть естественными едини-
единицами расстояния.
7.12. Чему равна скорость света в естественной системе еди-
единиц?
Скорость равна частному от деления пройденного рас-
расстояния на затраченное время. В естественных единицах
расстояние, пройденное светом, равно затраченному им
времени, так что его скорость равна затраченному вре-
времени, деленному на само себя, т. е. равна 1.
Итак, мы располагаем очень удобной единицей изме-
измерения для такой исключительно важной величины, как
скорость света. Причем заметьте, что вне зависимости от
того, какие единицы выбраны для измерения времени,
скорость света всегда равна 1. Поэтому, чтобы записать
скорость света в естественной системе единиц, вовсе не
нужно указывать наименование единиц, в которых она
измеряется (как в других системах единиц, например
300 000 км/с). Скорость света — это просто число 1, не
требующее указания единиц измерения (так называемая
безразмерная величина).
7.13. Теперь выразите расстояние события Q относительно на-
наблюдателя А через определенные по его часам значения
7.14 109
моментов времени, в которые произошли события Р и R?
С; точки зрения наблюдателя А, за время, прошедшее
между событиями Р и R, свет успевает пройти путь от
него до Q и вернуться обратно, дважды покрыв расстоя-
расстояние, отделяющее его от события Q. Воспользовавшись
естественной системой единиц (п. 7.11), то же самое мож-
можно выразить несколько иначе: удвоенное расстояние от А
до Q равно промежутку времени между событиями Р и
R. Следовательно,
с точки зрения наблюдателя А, выраженное в естест-
естественных единицах расстояние, отделяющее его от собы-
события Q, равно половине измеренного по часам А проме-
промежутка времени, прошедшего между событиями Р и R,
половине промежутка времени, прошедшего между посыл-
посылкой сигнала к событию Q и приемом ответного сигнала.
7.14. Возвращаясь еще раз к правилам, сформулированным в
пп. 7.9 и 7.13, можно заметить интересную особенность.
Мы можем говорить о «моменте времени, в который, по
мнению наблюдателя А, произошло событие Q», но в дей-
действительности при этом имеем в виду момент времени,
в который произошло одно из событий, зафиксированных
наблюдателем А в данном месте, а именно показание ча-
часов наблюдателя А, соответствующее середине промежут-
промежутка времени между посылкой сигнала и получением отве-
ответа. И то, что мы называем «расстоянием до Q, с точки
зрения А», есть интервал времени, определенный наблю-
наблюдателем А в данном месте, — половина промежутка вре-
времени, прошедшего между отправлением сигнала и полу-
получением оавета. Несмотря па используемую нами терми-
терминологию, на самом деле мы по-прежнему имеем дело с из-
измерениями в данном месте. (Само по себе рассматривае-
рассматриваемое событие, несомненно, относится к типу далеких собы-
событий, ибо его могут наблюдать несколько исследователей.)
Пусть точка М соответствует показанию часов наблю-
наблюдателя А (рис. 7.14), отмечающему середину промежутка
времени между событиями Р и R. Тогда то, что мы назы-
называем моментом времени, в который произошло событие
Q, в действительности является моментом времени, в ко-
который произошло событие в данном месте М (п. 7.9).
А расстояние от наблюдателя А до Q (в- естественных
единицах)—это измеренный в данном месте интервал
времени между событиями Р и М или событиями М и R
(п. 7.13).
В дальнейшем мы, как правило, будем говорить о мо-
моментах времени и расстояниях до далекого события. И это
7.15
Рис. 7.14.
иногда может создавать трудности в понимании, которые
сильно уменьшатся, если вы будете вспоминать этот па-
параграф. Чтобы не забыть об этом, завяжите «узелок на па-
память».
7.15. Оставшаяся часть этой главы посвящена некоторым до-
довольно трудным для понимания вопросам. Вы можете не
вникать в них сейчас, а позднее вернуться к ним снова.
Надеюсь, вы сознаете, что мы вовсе не открыли спо-
способ, позволяющий узнать, в какой момент времени и на
каком расстоянии от наблюдателя А произошло (с его
точки зрения) событие Q. Просто у нас нет иного способа
найти эти величины, кроме как через значения моментов
времени, в которые произошли события Р и R. Поэтому
все, что мы сделали (все, что можно сделать), — это реши-
решили, какую именно комбинацию моментов времени, в кото-
которые произошли события Р и R, следует называть «момен-
«моментом времени, в который, с точки зрения наблюдателя А,
произошло событие Q» и какую другую их комбинацию
следует называть «расстоянием, которое, с точки зрения At
отделяет его от Q». Мы приняли решение, что следует
иметь в виду, когда речь идет об этих величинах, иными
словами, мы дали им определения. (Может показаться
странным толковать об определении чего-либо столь при-
привычного, как расстояние. Не спешите с выводами, набери-
наберитесь терпения!)
Определение ниоткуда не выводится и не является ка-
каким-то открытием. Его формулируют. Но мы хотим, что-
7Л7 111
бы наши определения были полезны, и руководствуемся
этнм в своих решениях о выборе того или иного опреде-
определения. Вот почему мы все время обращались к свойству
инвариантности скорости света.
7.16. Некоторое беспокойство могло вызвать следующее рас-
рассуждение, выглядящее порочным кругом: чтобы решить,
что следует понимать под словами «момент времени и
расстояние до далекого события», мы пользовались свой-
свойствами скорости света, хотя нам ничего не было известно
о скорости до тех пор, пока мы не определили, что такое
момент времени и расстояние до далекого события. Но
теперь, я думаю, понятно, что в действительности были
просто введены такие определения, которые заранее да-
давали уверенность в том, что из них будет следовать вы-
вывод об инвариантности скорости света во всех случаях.
Мы должны были принять такие меры предосторожности,
ибо выбор определений, приводящих к любому другому
выводу, давал бы совершенно непригодную теорию, так
как она противоречила бы одному из самых фундаменталь-
фундаментальных принципов реального мира.
7.17. В связи со сказанным в пп. 7.15 и 7.16 резонно задать
вопрос, согласуются ли эти определения с обыденными
представлениями о времени и расстоянии (в рамках огра-
ограниченного круга условий, при которых последние спра-
справедливы). Простейшее проявление такого согласия —
в успешном применении радиолокационного метода, в нем
используются сформулированные в пп. 7.9 и 7.13 определе-
определения, и он приводит к результатам, согласующимся с обыч-
обычными методами измерений.
К этому можно добавить следующее. Мы обычно из-
измеряем расстояния с помощью жесткой измерительной
линейки. На первый взгляд кажется, что это противоре-
противоречит принятому определению, так что, когда обнаружива-
обнаруживается совпадение результатов, к которым приводят оба
способа, то это выглядит как замечательное открытие.
Жесткая измерительная линейка имеет очень слож-
сложную структуру, поскольку состоит из огромного числа
атомов. И если она способна сохранять свою длину, то
только потому, что составляющие ее атомы остаются ца
одном и том же расстоянии друг от друга. Но что за-
заставляет их оставаться на постоянном расстоянии?
Согласно атомной физике, размеры промежутков меж-
между атомами определяются присущими этим атомам перио-
периодами колебаний, а это в сущности «встроенные часы».
Все выглядит так (хотя действительность намного слож-
сложнее), будто атомы обмениваются световыми сигналами,
7.18 112
которые посылаются и принимаются в такт с ходом
встроенных часов. А это в свою очередь требует соблюде-
соблюдения определенных расстояний между ними и автоматиче-
автоматической корректировки отклонения от этих расстояний.
Таким образом, сохранение неизменного расстояния
между атомами, по существу, осуществляется в соответст-
соответствии с описанным радиолокационным методом (п. 7.13).
Следовательно, жесткая линейка дает не альтернатив-
альтернативный способ измерения расстояния, а только более слож-
сложный вариант способа, изложенного в п. 7ЛЗ, требующий
использования миллиардов радиолокационных установок
вместо одной-единственной.
7.18. Но теперь утверждение, что скорость света всегда одна и
та же, начинает казаться весьма странным. Ведь как мы
ее измеряем?
Наши воображаемые наблюдатели (да и реальный кос-
космонавт) вообще не могли бы ее измерить. Скорость — это
пройденное расстояние, деленное на время, но у этих на-
наблюдателей нет иного способа измерить расстояние, по-
помимо радиолокационного (п. 7.13), а в нем уже предпо-
предполагается, что скорость света инвариантна.
При измерениях скорости света в лаборатории исполь-
используется жесткая линейка. Поэтому кажется, что соверша-
совершается важное открытие, когда из экспериментов следует,
что скорость света инвариантна. Обдумайте это еще раз.
Мы измеряем расстояние метровой линейкой. Но
мать-природа для сохранения длины линейки постоянно
пользуется методом, описанным в п. 7.13. Таким обра-
образом, ей удалось ввести инвариантность скорости света в
нашу измерительную аппаратуру. А потом эта аппарату-
аппаратура, конечно, говорит нам, что скорость света инвариантна.
Если повезет, то тайна начнет раскрываться. Казалось
странным, что скорость света столь сильно отличается по
своим свойствам от всех других скоростей (п. 1.23). Но
теперь ясно, что утверждение об инвариантности скоро-
скорости света — это только иной способ выражения того, что
величина, которую мы называем расстоянием, определя-
определяется в соответствии с правилом п. 7.13.
Это почти равносильно заявлению, что эксперимент
Майкельсона — Морли — заблуждение. Во всяком случае,
следующий из него вывод отличается от наших привыч-
привычных представлений. Этот эксперимент позволяет прове-
проверить, что мать-природа фиксирует длины плеч установки
в соответствии с «радиолокационным» методом. В этом
эксперименте скорее исследуется поведение атомов в ап-
аппаратуре, а не свойства скорости света[
8
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ
8.1. Это, пожалуй, самая скучная глава в книге. Но набери-
наберитесь терпения, и мы построим диаграммный эквивалент
математического аппарата, который позволит получить
много интересных результатов.
Мы выясним, как представления наблюдателя А о
промежутках времени и расстояниях могут быть изо-
изображены на пространственно-временной диаграмме,
к разработке которой мы приступили в пп. 6.13—6.22.
Вы, вероятно, помните, как эти характеристики собы-
событий изображались на «старомодной» диаграмме
(рис. 6.2). Чтобы определить момент времени, в кото-
который произошло событие S, нужно провести горизонталь
до шкалы времени и сделать отсчет 15 с. А чтобы най-
найти расстояние от наблюдателя А до S, нужно измерить
длину горизонтального отрезка FS, воспользовавшись
для этого расположенной внизу шкалой расстояний;
эта длина соответствует 100 м.
Такой способ не годится для новой диаграммы, но
было бы желательно разработать что-нибудь аналогич-
аналогичное.
8.2. Начнем с ситуации, описанной в п. 7.2 и изображенной
на рис. 7.3: наблюдатель А, далекое событие Q, послан-
посланный наблюдателем А в момент события Р световой сиг-
сигнал, который достигает события Q в момент, когда оно
происходит; ответный сигнал, распространяющийся от
Q и достигающий наблюдателя А в момент события
R. Постарайтесь начертить рисунок как можно тщатель-
тщательнее— вы будете вознаграждены. Легче всего получить
хороший чертеж, если провести сначала линии сигналов
под углом 45° к горизонтали, а затем начертить миро-
мировую линию.
8.3. Включив лампу в момент события Р, наблюдатель А
посылает световые сигналы вдоль обоих существующих
в одномерной вселенной направлений. PQ — линия сиг-
сигнала, распространяющегося в положительном направле-
направлении (рис. 7.3). На рис. 8.3 добавлена линия сигнала,
идущего в отрицательном направлении, PS. Точно так
же линия SR представляет сигнал, распространяющийся
8—1653
8.4 114
в положительном направлении, который наблюдатель А
принимает (вместе с распространяющимся в отрица-
отрицательном направлении сигналом QR) в момент собы-
события R. Воспользуйтесь открыткой с прорезью, чтобы
узнать, о чем теперь повествует диаграмма. (События
Q и S связаны с наблюдателем А совершенно одинако-
одинаковым образом, но расположены по разные стороны от
него. Что это означает? Отвечу позднее.)
Рис 8.3.
Проведите линию, соединяющую S и Q, и обозначь-
обозначьте буквой М точку, в которой эта линия пересекается с
мировой линией наблюдателя А. Поскольку все сторо-
стороны фигуры PQRS расположены под углом 45° к гори-
горизонтали, она представляет собой прямоугольник. По-
Поэтому отрезки РМ, MR, SM и MQ равны между со-
собой, а М — такая же точка, как на рис. 7.14.
8.4. В п. 7.14 мы выяснили, что, с точки зрения наблюдате-
наблюдателя А, расстояние (в естественных единицах, см. п. 7.11),
отделяющее его от Q, равно интервалу времени между
событиями Р и М. На диаграмме с нанесенной на нее
шкалой времени наблюдателя А (п. 6.22) этот интервал
изображается длиной отрезка РМ. Но расстояние от
наблюдателя А до Q было бы удобнее изображать дли-
длиной отрезка, соединяющего точку Q с мировой линией
А, по аналогии с длиной отрезка FS в п. 8.1. Как это
сделать?
Для этой цели вполне подойдет отрезок MQ, ибо его
длина равна длине РМ (п. 8.3). Итак,
5.6 115
с точки зрения наблюдателя А, расстояние (вы-
(выраженное в естественных единицах), отделяющее
его от события Q и определенное по шкале време-
времени А, представляется на диаграмме отрезком MQ.
Убедитесь, что вы поняли логику этого утверждения,
начиная с определения, данного в п. 7.13 и далее в
пп. 7.14 и 8.2—8.4. Только так можно обрести уверен-
уверенность.
8.5. Во избежание возможных недоразумений давайте до-
договоримся, что слово «расстояние» будет всегда отно-
относиться к одномерной вселенной, а слово «длина» отрез-
отрезка— к пространственно-временной диаграмме. Таким:
образом, можно говорить (как уже делалось в п. 8.4)
об определенной длине отрезка (на диаграмме), пред-
представляющей определенное расстояние (в одномерной
вселенной).
Условимся также, что слово «направление» будет
всегда относиться к одному из двух возможных направ-
направлений в одномерной вселенной (п. 6.14), а когда пона-
понадобится указать, в какую сторону идет линия в той или
иной точке диаграммы, мы будем говорить о ее накло-
наклоне. Так, в п. 6.15 рассказывалось, как с помощью на-
наклоненных в разные стороны линий описать распрост-
распространяющиеся в противоположных направлениях сиг-
сигналы.
8.6. Длина отрезка MQ (с точки зрения наблюдателя Аг
это — расстояние, отделяющее его от Q) измеряется не
вдоль горизонтали (как это делалось на «старомодной»
диаграмме, п. 8.1). Нарисовав два-три варианта рис. 8.3,
отличающихся наклоном мировой линии наблюдателя А,
вы обнаружите, что наклон отрезка MQ зависит от на-
наклона мировой линии. Какова связь между углами на-
наклона?
Проведем через точку М линию сигнала MU
(рис. 8.6). Теперь сможете ответить на поставленный
вопрос?
Поскольку PQRS — прямоугольник, две стороны ко-
которого параллельны MU, отсюда следует, что углы QMU
и UMR равны*. Значит,
наклон линии MQ таков, что она составляет с лини-
линией сигнала такой же угол, как и мировая линия на-
наблюдателя А, но по другую сторону.
* На их равенство указывают две маленькие дужки вблизи точки М. Для
обозначения угла последовательно перечисляются точки, соответствующие
одному из лучей этого угла, его вершине и другому лучу.
8*
8.7 116
Эта ситуация совершенно отличается от того, что бы-
было для «старомодной» диаграммы, где расстояния всег-
всегда описывались длинами горизонтальных отрезков.
8.7. Вне зависимости от того, какая точка взята в качест-
качестве Q, только что сформулированное правило устанав-
устанавливает, что наклон линии MQ всегда один и тот же.
Есть удобный способ продемонстрировать это. Через
точку О (соответствующую нулевому показанию часов
наблюдателя А) проведем линию, составляющую с ли-
линией сигнала тот же угол, что и мировая линия наблю-
наблюдателя А, но по другую сторону от нее (рис. 8.6). Тогда
расстояния по отношению к наблюдателю А представ-
представляются длинами отрезков (типа MQ), параллельных
этой новой линии, которая по этой причине называется
осью расстояний наблюдателя А и снабжена пометкой
(по причинам, с выяснением которых можно повреме-
повременить) «ось X».
Итак, ось расстояний устанавливает наклон, исполь-
используемый при измерении длин отрезков, представляющих
на диаграмме расстояния относительно наблюдателя А.
8.8. Расстояние наблюдателя А от *гех или иных событий
определяется е помощью той же самой шкалы, которая
применялась на его мировой линии для определения
времени (п. 8.4). Если вдоль мировой линии наблюдате-
наблюдателя А нанесена шкала времени (описанная в* п. 6.22)
(рис. 8.8), то точно такую же шкалу можно также на-
8.9
117
нести вдоль его оси расстояний. Она заменяет горизон-
горизонтальную шкалу расстояний на «старомодной» диаграм-
диаграмме (рис. 6.2).
Это дает нам простой способ определения с помощью
диаграммы расстояний относительно наблюдателя А.
Пусть Q — произвольное событие. Проведем через точку,
Рис.8.8.
8.9.
соответствующую на диаграмме событию Q, линию, па-
параллельную оси расстояний наблюдателя А, которая
пересечет мировую линию в точке М. Тогда в естествен-
естественных единицах расстояние события Q от наблюдателя А
определяется длиной отрезка MQ, измеряемой с помо-
помощью шкалы расстояний А. (Само собой разумеется, что
с тем же успехом можно было воспользоваться шкалой
времени наблюдателя А. Но, как правило, мы не будем
наносить ни одну из этих шкал, п. 7.2.)
Длина какого отрезка на рис. 8.6 соответствует момен-
моменту времени, в который, с точки зрения наблюдателя А,
произошло событие Q?
Момент времени, в который произошло событие Q,
совпадает с моментом времени М (п. 7.14). А согласно
п. 6.22, момент М (отсчитанный от нуля по хронометру
наблюдателя А) равен длине отрезка ОМ на шкале
времени наблюдателя А. Итак,
8.10 118
момент времени, в который, по мнению наблюдате-
наблюдателя А, произошло событие Q, соответствует на его
шкале времени длине отрезка ОМ, или, что то же,
длине отрезка NQ (параллельного мировой ли-
линии А).
8.10. Таким образом, моменты времени, в которые, с точки
зрения наблюдателя А, произошли те или иные собы-
события, определяются на диаграмме длинами отрезков его
мировой линии или параллельных ей. Значит, мировая
линия наблюдателя А является также и его осью вре-
времени (ср. с п. 8.7) и снабжается пометкой «ось Т».
Еще раз обратите внимание на отличие от «старо-
«старомодной» диаграммы, где все наблюдатели использова-
использовали одну и ту же вертикальную ось времени (рис. 6.2).
Отождествляя ось времени с мировой линией, новая
диаграмма подчеркивает, что каждый наблюдатель
обладает своим собственным временем (п. 4.12).
8.11. Теперь в нашем распоряжении есть способ (аналогич-
(аналогичный описанному в п. 8.8), позволяющий определить с
помощью диаграммы, в какой момент времени, с точки*
зрения наблюдателя А, произошло то или иное собы-
событие. Проведем из Q (рис. 8.8) параллельно оси време-
времени наблюдателя А линию, пересекающую его ось рас-
расстояний в точке N. Тогда момент времени, в который
произошло событие Q, определяется отрезком NQ, дли-
длина которого устанавливается по шкале времени наблю-
наблюдателя А.
8Л2. Попробуйте доказать следующие утверждения.
Все события, которые наблюдатель А считает про-
происшедшими на одинаковом расстоянии (и в одном
направлении) от него, изображаются точками пря-
прямой линии, параллельной его оси времени.
Все события, которые наблюдатель А считает
происшедшими в один и тот же момент времени,
изображаются точками прямой линии, параллельной
его оси расстояний.
Отрезок параллельной оси Т прямой, исходящей из
любой точки линии MQ и оканчивающейся на оси X,
будет иметь такую же длину, как и отрезки ОМ и NQ.
А теперь, применив к этому отрезку (вместо отрезка
NQ) способ, приведенный в п. 8.11, завершите доказа-
доказательство второго утверждения. Для доказательства пер-
первого утверждения воспользуйтесь п. 8.8.
8.13. Теперь мы в состоянии справиться с трудностью, упо-
упоминавшейся в п. 6.12. Сделайте на открытке рядом с
8.MM 119
прорезью пометку, расположив ее на расстоянии при-
примерно треть длины прорези от левого края. Пусть эта
пометка изображает нулевую точку, от которой отсчиты-
ваются расстояния. Положите теперь открытку поверх
рис. 8.6 так, чтобы: 1) прорезь шла параллельно оси
расстояний наблюдателя А и 2) пометка, соответствую-
соответствующая началу отсчета расстояний, лежала непосредствен-
непосредственно над мировой линией А.
Тогда в силу A) все точки, видимые в прорезь, опи-
описывают события, происшедшие, с точки зрения наблю-
наблюдателя, в один и тот же момент времени, что позволяет
обойти трудность, указанную в п. 6.12. Условие B)
обеспечивает правильное описание с помощью прорези
расстояний, которые, с точки зрения наблюдателя А,
отделяют его от тех или иных событий.
Теперь тяните лист бумаги с диаграммой вниз (как
в п. 6.7), но так, чтобы не нарушались условия A) и
B). В результате возникает движущаяся картина со-
событий в одномерной вселенной, соответствующая точке
зрения наблюдателя А. Поупражняйтесь в применении
этого усовершенствованного метода использования от-
открытки с прорезью на рис. 8.6.
Вы увидите множество событий, подобных SMQ, по-
появляющихся в прорези одновременно (и, следовательно,
происшедших одновременно), движение красных точек,
демонстрирующее распространение сигналов от наблю-
наблюдателя А к событиям Q и S, а затем обратно к А, и т. п.,
и все это в соответствии с точкой зрения А. Теперь
можете ответить на вопрос, поставленный в п. 8.3?
Новый метод использования открытки с прорезью
показывает, что события S и Q произошли одновремен-
одновременно и на одинаковых расстояниях, но с противоположных
сторон от наблюдателя А. Докажите это по всей фор-
форме, воспользовавшись утверждениями, сформулирован-
сформулированными в пп. 8.4 и 8.9.
8.14М. Момент времени, в который произошло событие Q, со-
совпадает с моментом времени М (п. 7.14) и является
положительным или отрицательным числом (пп. 6.23М—
6.25М) в зависимости от того, лежит ли М, а следова-
следовательно, и Q выше или ниже оси расстояний соответ-
соответственно. Кроме того, событие Q происходит позже или
раньше О в зависимости от того, лежит ли точка Q вы-
выше или ниже оси расстояний (проверьте с помощью
открытки с прорезью). Объединяя эти факты, можно
сказать, что моментам времени, соответствующим со-
событиям, которые (по мнению наблюдателя А) про-
8.15М 120
изошли позже О, следует приписать положительные
значения (согласно А), а моментам времени, соответ-
соответствующим событиям, происшедшим раньше О, — отри-
отрицательные значения (это своего рода соглашение). Ана-
Аналогично можно считать расстояние от наблюдателя А
до некоторого события (определенное в соответствии с
его точкой зрения) положительным или отрицательным
в зависимости от того, находится ли оно с положитель-
положительной или отрицательной стороны от него (в смысле, ука-
указанном в п. 6.14, незначительное несоответствие будет
разъяснено в п. 16.2).
Мы обычно будем строить диаграммы таким обра-
образом, чтобы большая часть моментов времени и расстоя-
расстояний, с которыми придется иметь дело, описывалась по-
положительными числами. Но наши рассуждения оста-
останутся в силе, даже если любые из них будут отрица-
отрицательными. Однако если вы еще не можете свободно
оперировать отрицательными числами, то пока забудь-
забудьте о сказанном. Когда понадобится, я вам напомню.
8.15М. Чтобы описать какое-нибудь событие наподобие Q, или,
иными словами, определить его единственным образом,
наблюдателю А нужно привести две величины: момент
времени, в который произошло это событие, и расстоя-
расстояние до него. Соответственно положение Q на диаграм-
диаграмме фиксируется посредством длин двух отрезков, опре-
определяющих момент времени, в который произошло собы-
событие Q, и расстояние до него. Длины этих отрезков на-
называются координатами события Q (относительно на-
наблюдателя А). Длина отрезка ОМ или NQ (рис. 8.6),
определяющая момент времени, в который, с точки зре-
зрения наблюдателя А, произошло событие Q, называется
временной координатой, а длина отрезка ON или MQ —
координатой расстояния. Можно, если это лучше соот-
соответствует нашим целям, рассматривать истинные зна-
значения момента времени и расстояния как координаты.
Разумеется, событие Q ничем не выделяется, а следо-
следовательно, любая точка (или событие) на диаграмме
имеет свои собственные координаты времени и рас-
расстояния.
Целиком система, разработанная нами для размет-
разметки пространственно-временной диаграммы и измерений
на ней, называется системой координат наблюдателя А.
Она, по существу, состоит из оси времени и оси рас-
расстояний наблюдателя А, собственно координат и пра-
правил их использования. Точка О называется началом ко-
координат.
8.17
121
8.16. Стерев линии сигналов с рис. 8.6, получим рис. 8.16, на
котором показаны самые основные линии системы ко-
координат наблюдателя А. Указаны начало координат и
оси координат. Полезно перечитать еще разок пп. 8.2—
8.15, опуская при этом описания линий, не показанных
на рис. 8.16. Это даст более полное описание системы
координат. Конечно же, старайтесь пользоваться откры-
открыткой с прорезью.
Рис. 8.16.
Дужки вблизи точки О показывают, что вместо сфор-
сформулированного в п. 8.6 правила равенства углов с ли-
линией сигнала можно сказать, что ось расстояний состав-
составляет с горизонталью такой же угол, какой ось времени
составляет с вертикалью.
8.17. Мы убрали линии сигналов с диаграммы, и в дальней-
дальнейшем они будут отсутствовать на многих других диаграм-
диаграммах. Может возникнуть впечатление, будто момент вре-
времени, в который произошло событие, и расстояние до
него можно было бы узнать непосредственно, без пере-
передачи информации. Это может привести к неправильно-
неправильному пониманию.
Вы завязали узелок на память, что время от времени
следует обращаться к п. 7.14. Добавьте узелок и на дан-
данный раздел, чтобы помнить, что почти все сведения о
далеких событиях извлекаются из световых сигналов
8.18 122
даже если объяснения в тексте и диаграммы не гово-
говорят об этом явно.
8.18. Наконец, стоит снабдить отрезки NQ и MQ на рис. 8.16
пояснениями типа «момент времени, в который, сточ-
сточки зрения наблюдателя А, произошло событие Q» и
«расстояние...». Но такие длинные надписи загромоз-
загромоздили бы диаграмму. Поэтому договоримся вместо фра-
фразы «момент времени, в который, с точки зрения А, про-
произошло событие Q» ставить букву Г.
Обратите внимание на то, как именно она введена:
символ ставится взамен длинной фразы. Это просто со-
сокращенный способ записи предложения «момент вре-
времени, в который, с точки зрения наблюдателя А, про-
произошло событие Q».
Теперь рядом с отрезком NQ на рис. 8.16 хможно ста-
ставить букву Т. Символ Т используется лишь для удобст-
удобства и не несет никакого более глубокого смысла. Если-
же вы склонны рассматривать алгебраические символы
типа Т, х, п не как сокращения, а как нечто иное, то
прочтите следующий раздел,
8.19М. Самое главное — подходить к этим алгебраическим
символам (а) безбоязненно и (б) так, чтобы обраще-
обращение с ними было максимально простым. Чему бы вас
раньше ни учили, старайтесь не воспринимать Т как
нечто такое, ВхМесто чего в частном случае можно под-
подставить «3 секунды» или какое-нибудь другое конкрет-
конкретное значение времени. Так, конечно, можно поступать,
но не в данном случае. Символ Т прежде всего нужно-
рассматривать как компактную запись длинной фразы.
А пока мне бы хотелось, чтобы вы читали эти сим-
символы в развернутой форме. Если один из моих коллег
получит записку, подписанную буквами «СЛ», он, ра-
разумеется, не подумает, что она пришла от человека по
имени «Эс Эль», так как знает, что это сокращение от
«Сэм Лилли». Точно так же, когда встречается символ
Г, не следует говорить «тэ» (или даже думать «тэ»),
нужно произнести (или продумать) всю фразу целиком:
«момент времени, в который, с точки зрения наблюда-
наблюдателя А, произошло событие Q».
Обычно со временем возникает желание сократить
любую часто используемую фразу, в том числе и эту.
Чуть ли не сразу вы начнете опускать слово «событие»,
ибо хорошо знаете, что Q — это событие. Затем можно
просто сказать «момент времени, с точки зрения наблю-
наблюдателя А» (если из контекста ясно, что это как раз и
8.23 123
есть то время, когда произошло событие Q). Если ис-
исключается неоднозначное толкование, то можно пойти
даже дальше и оставить лишь слово «время». Придет
день, когда, полностью во всем разобравшись, вы ска-
скажете просто «тэ»*. Но я надеюсь, что даже тогда фра-
фраза «момент времени, в который, с точки зрения А, про-
произошло событие Q» укоренится в вашем сознании.
8.20. Аналогично вместо фразы «расстояние, которое, с точки
зрения наблюдателя А, отделяет его от события Q» мы
будем ставиаъ символ X, которым теперь можно будет
обозначить отрезок MQ на рис. 8.16. (Читая последнее
предложение, вы следовали совету п. 8.19?) Конечно,
можно было бы поставить Г рядом с отрезком ОМ, а X
рядом с ON.
Теперь ясно, почему оси координат наблюдателя А
снабжены пометками «ось Г» и «ось X». Если Т — мо-
момент времени (когда произошло Q), определенный
наблюдателем А, то «ось Г» — это удобный способ за-
записи фразы «ось времени А».
8.21М. Во избежание путаницы будем употреблять курсив (на-
(наклонный шрифт) для букв типа Т и X (или х и у), ис-
используемых для сокращения фраз, в которых речь идет
о числах или значениях величин, и прямой шрифт, ког-
когда буква используется для обозначения чего-нибудь
иного: Q и М (или даже т) для обозначения точек и
событий, А и В для обозначения наблюдателей.
8.22. Пришло время ввести других инерциальных наблюдате-
наблюдателей. Мы не можем отводить им мировые линии по свое-
своему произволу (как наблюдателю А в п. 6.20), ибо,
как только наблюдатель А появляется на диаграмме,
мировые линии других инерциальных наблюдателей
должны быть такими, какими» им предписывает быть
наблюдатель А. Можно надеяться, что у других инер-
инерциальных наблюдателей, как и у А, мировые линии бу-
будут прямыми (о чем свидетельствуют опыты с открыт-
открыткой с прорезью), но нам нужно нечто большее, чем про-
просто надежда! Исследуем это предположение подробнее.
8.23. Рассмотрим другого наблюдателя В, мировая линия ко-
которого— прямая (рис. 8.23). Можно сделать так, чтобы
часы наблюдателя А показывали нуль как раз в тот
момент, когда с ним поравнялся наблюдатель В, так
что О будет точкой пересечения мировых линий (п. 6.22).
Проведем линию НК параллельно оси расстояний
* Т — первая буква английского слова Time, означающего время. —
Прим. перев.
8.23 124
наблюдателя А. Она пересекает мировую линию А в
точке Н, а мировую линию В в точке К. Допустим, что
точка К временно играет роль, которую раньше играла
точка Q. Тогда точка Н эквивалентна М (так как НК,
подобно MQ, параллельна оси X). Сформулированные
в пп. 8.4 и 8.9 утверждения остаются в силе, какие бы
буквы ни использовались для обозначения событий.
В данном случае из них следует, что определенные на-
наблюдателем А время и положение события К даются
(в одном и том же масштабе) длинами отрезков ОН и
НК соответственно. Таким образом, согласно наблюда-
наблюдателю А, наблюдатель В проходит расстояние, определяе-
в>
Рис. 8.23.
мое длиной отрезка НК, за время, определяемое длиной
отрезка ОН.
Теперь вообразим, что линия НК движется вверх по
странице, изображая ход времени. Тогда длина отрезка
НК будет увеличиваться пропорционально длине отрез-
отрезка ОН. (Это просто означает, что длины обоих отрез-
отрезков увеличиваются так, что при увеличении одного из
них в определенное число раз длина другого увеличи-
увеличивается во столько же раз.) Следовательно, возвращаясь
к концу предыдущего абзаца, можно сказать, что, сточ-
сточки зрения наблюдателя А, расстояние, проходимое на-
наблюдателем В, возрастает пропорционально времени его
движения. Другими словами», скорость движения В от-
относительно А постоянна, а значит, в соответствии с оп-
8.25 125
ределением, данным в п. 5.6, В является инерциальным
наблюдателем. Итак,
мировая линия любого инерциального наблюдателя
В, минующего наблюдателя А в момент события О,
является прямой линией, проходящей через точ-
точку О.
(Если вы достаточно подготовлены и вас интересует
вопрос о доказательстве обратного утверждения, то вы,
вероятно, знаете, как это делается.) Я провел мировую
линию наблюдателя В под углом более 45°. Мы не до-
доказали, что это должно быть именно так, но это можно
будет исследовать позднее (ср. с пп. 6.18—6.20).
8.24. Могут ли определенные наблюдателем В в данном ме-
месте моменты времени быть представлены в виде шкалы,
совпадающей с его мировой линией, как для А
(п. 6.22)? Это кажется весьма вероятным. Однако над-
надлежащее доказательство в данный момент оказалось бы
очень скучным, и поэтому я его отложу до п. 15.7, где
оно без труда будет получено как следствие обсуждае-
обсуждаемых там проблем. А тем временем предположим, что
моменты времени, определенные наблюдателем В в
данном месте по его собственным часам, могут быть
представлены в виде шкалы вдоль его мировой ли-
линии
и что это справедливо для любого инерциального наблю-
наблюдателя. (Мы не знаем, как шкала времени наблюдателя
В связана со шкалой А, но тем не менее нам удастся
продвинуться, на удивление, далеко, не испытывая за-
затруднений от этого.)
8.25. Первоначально мы установили только два свойства, ха-
характеризующих описание наблюдателя А на диаграмме:
1) прямолинейность его мировой линии, идущей под уг-
углом больше 45° (п. 6.20), и 2) возможность представ-
представления определенных им в данном месте моментов време-
времени в виде шкалы вдоль его мировой линии (п. 6.22). Эти
свойства сохраняются и при описании наблюдателя В
(что частично доказано, а частично будет доказано). По-
Поэтому система координат наблюдателя В должна быть
связана с его- мировой линией и шкалой точно так же,
как система координат наблюдателя В связана с его
мировой линией и шкалой. Теперь мы в состоянии срав-
сравнить их между собой.
В нескольких последующих разделах описывается
последовательная процедура построения чуть усложнен-
8.26
126
8.26.
ной пространственно-временной диаграммы. Чтобы пол-
полностью разобраться в ней, перерисовывайте ее по мере
моего описания. Это еще один случай, когда тщатель-
тщательность и точность выполнения чертежа сослужат добрую
службу. Сохраните чертеж, в дальнейшем он будет
очень полезен.
Проведем мировые линии наблюдателей А и В (соот-
(соответствующим образом отмеченные) (рис. 8.26). Они пе-
В
Рис. 8.26.
ресекаются в исходной точке О, описывающей событие,
состоящее во встрече наблюдателей А и В. Хронометры
обоих в точке О показывают нуль часов. Мировая ли-
линия наблюдателя А также является его осью времени
(п. 8.10) и снабжена пометкой «ось Г», потому что мы
используем Т для обозначения момента времени, в ко-
который, с точки зрения наблюдателя А, происходит ти-
8.28 127
личное событие Q (п. 8.18). Если использовать букву t
для обозначения момента времени, в который произошло
событие Q, с точки зрения наблюдателя В, то ось вре-
времени наблюдателя В (его мировую линию) можно снаб-
снабдить пометкой «ось t».
Подобным же образом, если использовать букву х
для обозначения «расстояния, на котором, с точки зре-
зрения наблюдателя В, произошло событие Q», то ось .рас-
.расстояний наблюдателя В можно снабдить пометкой
«ось х» (ось расстояний наблюдателя А снабжена по-
пометкой «ось X»; см. пп. 8.7 и 8.20). Отмечены также две
линии сигналов, проходящих через точку О. Ось рас-
расстояний каждого наблюдателя построена с помощью
следующей процедуры: измерен угол между осью вре-
времени наблюдателя и линией сигнала, а затем проведе-
проведена линия, составляющая с линией сигнала такой же
угол, но находящаяся по другую сторону от нее (п. 8.7).
Иными словами, ось расстояний наблюдателя составля-
составляет с горизонталью такой же угол, какой его ось вре-
времени составляет с вертикалью (п. 8.16).
8.27. Теперь с помощью усовершенствованного метода ис-
использования открытки с прорезью получим движущую-
движущуюся картину событий в одномерной вселенной, предстаю-
предстающую перед любым из выбранных нами наблюдателей»
Для этого, когда нас будет интересовать точка зрения
наблюдателя В, в инструкции, приведенной в п. 8.13»
нужно заменить А на В. Применив открытку с про-
прорезью, выясните, совпадают ли мнения наблюдателей
А и В по поводу того, какие из событий одновремен-
одновременны с событием Q.
8.28. Давайте выберем любое событие Q и нанесем на диа-
диаграмму соответствующую ему точку. Затем проведем
четыре линии: MQ, параллельную оси расстояний на-
наблюдателя А и пересекающую его ось времени в точке
М; NQ, параллельную оси времени наблюдателя А и пе-
пересекающую его ось расстояний в точке N; mQ, парал-
параллельную оси расстояний наблюдателя В и пересекаю-
пересекающую его ось времени в точке т, и наконец, nQ, парал-
параллельную оси времени наблюдателя В и пересекающую
его ось расстояний в точке п. (Обратите внимание на
систематическое использование одних и тех же пропис-
прописных и строчных букв для построений, связанных с на-
наблюдателями А и В соответственно.)
У каждого наблюдателя есть своя шкала, позволя-
позволяющая ему отмечать на своей мировой линии моменты
времени, в которые произошли события в данном месте
8.28 126
(пп. 6.22 и 8.24). Эту же самую шкалу он использует
для определения выраженных в естественных единицах
(пп. 8.4, 8.8, 8.9 и 8.11) значений моментов времени,
в которые произошли далекие события, и расстояний
до них. Длины каких из множества приведенных на диа-
диаграмме отрезков определяют (на соответствующей шка-
шкале) момент времени, в который, с точки зрения наблю-
наблюдателя А или В, произошло событие Q, и расстояние
до него?
Момент времени, в который, с точки зрения наблю-
наблюдателя А, произошло событие Q, определяется на его
шкале времени длиной отрезка NQ (или ОМ) (п. 8.9).
В соответствии с принятым нами в п. 8.18 соглашением
о сокращениях можно снабдить отрезок NQ пометкой Т.
Точно так же расстояние, которое, с точки зрения на-
наблюдателя А, отделяет его от Q, определяется на его
шкале длиной отрезка MQ (или ON) (п. 8.4), который,
согласно п. 8.20, снабдим пометкой X.
Чтобы рассмотреть Q в системе координат наблю-
наблюдателя В, достаточно повторить описанную процедуру
для шкалы и осей координат, проведя параллельные им
линии (обозначив соответствующие точки строчными
буквами). Сделайте это.
Момент времени, в который, с точки зрения наблю-
наблюдателя В, произошло событие Q, определяется на его
шкале длиной отрезка nQ (или От). Расстояние до со-
события Q определяется длиной отрезка mQ (или On).
Поскольку мы договорились сокращенно обозначать эти
величины буквами t и хл отрезок nQ можно снабдить
пометкой /, а отрезок mQ—пометкой х. (Не забывай-
забывайте полностью расшифровывать при чтении эти симво-
символы.) Подводя итог этим предписаниям, можно сказать,
что момент времени, в который, с точки зрения данно-
данного наблюдателя, произошло событие Q, определяется
длиной отрезка прямой, проведенной параллельно
его оси времени, от оси расстояний до точки Q.
С точки зрения этого наблюдателя, расстояние,
отделяющее его от события Q, определяется длиной
отрезка, проведенного параллельно его оси расстоя-
расстояний, от оси времени до точки Q.
В обоих случаях используется собственная шка-
шкала этого наблюдателя.
Если вы запомните эти напечатанные с отступом
формулировки, то избавите себя в дальнейшем от мно-
множества трудностей.
8.31 129
8.29. Теперь потратьте немного времени на внимательное изу-
изучение рис. 8.26, активно используя открытку с про-
прорезью в соответствии со способом, описанным в п. 8.27.
Уверен, что вы сами, без моей помощи, способны
оценить, насколько эта диаграмма отличается от «ста-
«старомодной», изображенной на рис. 6.2, где, например,
длины отрезков, определяющих моменты времени, всег-
всегда измеряются по вертикали, а отрезков, определяющих
расстояния, — по горизонтали, независимо от того, ка-
какой наблюдатель занимается их измерением. Если но-
новая диаграмма дает верное описание пространства-вре-
пространства-времени, то становится совершенно ясно, что мнения на-
наблюдателей не будут совпадать по поводу многих ве-
вещей, на которые, как мы привыкли думать, у них долж-
должна была бы быть одна и та же точка зрения. Поясним
это утверждение, сравнив мнения наблюдателей по по-
поводу того, а) какие события произошли на одинаковом
расстоянии (от наблюдателя) и б) какие события про-
произошли в один и тот же момент времени.
8.30. События, которые наблюдатель А считает происшедши-
происшедшими на одинаковом расстоянии от него, изображаются
точками, лежащими на прямой, параллельной его оси
времени (п. 8.12), например точками на прямой NQ.
Точно так же события, которые наблюдатель В считает
происшедшими на одинаковом расстоянии от него, изо-
изображаются точками, лежащими на прямой, параллель-
параллельной его оси времени, например на прямой nQ. Итак, яс-
ясно, что мнения наблюдателей А и В по поводу того, ка-
какие события происходят на одинаковом расстоянии, не
совпадают.
Проверьте этот вывод с помощью открытки с про-
прорезью, как в п. 8.27. Он вам кажется странным?
Если я нахожусь в вагоне движущегося поезда, а вы
стоите на станционной платформе, то я считаю все со-
события, случившиеся в локомотиве, происшедшими на
одном и том же расстоянии от меня, а вы считаете про-
происшедшими на одном и том же расстоянии от вас все
события, которые произошли в конце платформы. На-
Наши мнения разошлись! Этот вывод следует из повседнев-
повседневного опыта.
8.31. События, которые наблюдатель А считает происшедши-
происшедшими в один и тот же момент времени, изображаются
точками на прямой, параллельной его оси расстояний
(п. 8.12), например точками на прямой MQ. Точно так
же события, которые наблюдатель В считает происшед-
происшедшими в один и тот же момент времени, изображаются
9-1653
8.32 130
точками, лежащими на прямой, параллельной его оси»
расстояний, например на прямой mQ. Итак, ясно, что
мнения наблюдателей А и В /го поводу того, какие со-
бытия произошли одновременно, не совпадают.
Этот вывод также проверьте с помощью открытки с
прорезью. Мы снова пришли к относительности одно-
одновременности (п. 2.19).
8.32. Таким образом, согласно рис. 8.26, разногласия по по-
поводу событий, происходящих одновременно, аналогичны
разногласиям по поводу событий, происшедших на оди-
одинаковом расстоянии. В первом случае они связаны с
различным наклоном прямых MQ и mQ, а во втором —
с различным наклоном прямых NQ и nQ. Т. е. дело
здесь во взаимозаменяемости осей времени и расстоя-
расстояния и всего, что с ними связано. Чтобы подчеркнуть
этот момент, я написал первые абзацы пп. 8.30 и 8.31
так, что' любой из них может быть преобразован в дру-
другой путем взаимной замены слов «момент времени» и
«расстояние», букв N, М и п, гл.
При взгляде на диаграмму создается впечатление,
что разногласия по поводу событий, происшедших одно-
одновременно, очень сходны с разногласиями по поводу со-
событий, происшедших на одинаковом расстоянии. Тогда
почему же в повседневной жизни мы считаем разно-
разногласия второго типа очевидными, а разногласия первого
типа никогда не замечаем и полагаем, что их трудно
себе представить?
8.33. «Мы движемся недостаточно быстро», — скажете вы.
Верно, и это уже обсуждалось в п. 2.11. Но это еще не
все. Малая относительная скорость означает только,
что мал угол между двумя мировыми линиями, а сле-
следовательно, и угол между осями расстояний. Значит,
отрезки MQ и mQ почти совпадают, и разногласий по
поводу одновременности не будет. Но из диаграммы
следует, что почти совпадут и отрезки NQ и nQ, так что
не будет и разногласий по поводу расстояний. Какой бы
ни была относительная скорость, оба эффекта, по-види-
по-видимому, должны быть заметны в равной степени. Но та-
такой вывод не согласуется с нашим жизненным опытом.
Почему?
8.34. Ответ на этот вопрос кроется в различии между при-
привычными расстояниями и естественной единицей рас-
расстояния (п. 7.11), на которой основано построение диа-
диаграммы. Так; одна секунда кажется нам весьма корот-
коротким промежутком времени, а соответствующая естест-
естественная единица расстояния, равная 300 000 км, пред-
8.36 131
ставляется чудовищно большой. И тем не менее они
изображаются отрезками одинаковой длины на осях
времени и расстояния (рис. 8.26).
Пусть относительная скорость такова, что, когда два
события происходят на одинаковом расстоянии от на-
наблюдателя А, с точки зрения наблюдателя В, расстоя-
расстояния до этих событий различаются на одну миллионную
долю естественной единицы. Это составляет 300 м, и мы,
конечно же, заметим такое различие. Если события од-
одновременны для А, но разделены интервалом в милли-
миллионную долю секунды для наблюдателя В, то налицо та-
такое различие, как и выше, — миллионная доля единицы
времени вместо миллионной доли единицы расстояния.
Но с точки зрения наших обычных представлений о зна-
значениях тех или иных величин эта разность ничтожна.
Если бы движение с большими скоростями было для
нас в порядке вещей, то мы, возможно, считали бы од-
одну миллионную долю секунды столь же существенной
величиной, как 300 м. И тогда относительность одновре-
одновременности стала бы для нас такой же реальностью, как
привычные нам разногласия по поводу расстояния. Вот
каков смысл фразы «мы движемся недостаточно быст-
быстро» (п. 8.33).
8.35. В п. 4.13 я обещал, что в конечном итоге будет по-
построена новая последовательная теория пространства,
времени и движения, в рамках которой найдут естест-
естественное объяснение такие проблемы, как задача о трех
хронометрах и относительность одновременности. Мно-
Многое из этой новой теории уже содержится на рис. 8.26
(хотя нам еще предстоит длинный путь, прежде чем все
это станет явным), точно так же как рис. 6.2 воплоща-
воплощает в себе многие старые представления (п. 6.4).
Рис. 6.2 исключает возможность разногласий по по-
поводу одновременности. А согласно рис. 8.26, эти разно-
разногласия очень тесно связаны с привычными нам разно-
разногласиями по поводу расстояния, и, как начинает выяс-
выясняться, в новой теории они являются «братом и сест-
сестрой». Итак, продвинулся ли я хотя бы немного по пути
выполнения своего обещания? Стало ли хоть немного
легче поверить в относительность одновременности?
8.36. Вот способ изложения относительности одновременно-
одновременности, который, казалось бы, обнаруживает ее полную не-
нелепость. Как только наблюдатели А и В поравнялись
(событие О), А говорит: «Сейчас произошло событие
N», на что В отвечает: «Ничего подобного! Оно про-
8.37 132
изошло раньше» (примените открытку с прорезью!). Да
ведь это какая-то нелепость! Проанализируйте с крити-
критической точки зрения.
В рассуждениях предыдущего абзаца не учтены
предостережения п. 8.17. Не известно, что произошло в
данный момент. Ведь чтобы информация достигла на-
наблюдателя, требуется время. Ни один из наблюдателей
не может сказать, когда произошло событие N, до тех
пор, пока много позднее не получит сигнал из N. Тогда
наблюдатель А отправит радиограмму: «По моим рас-
расчетам, событие N произошло в момент нашей встречи»,
а наблюдатель В ответит: «А по моим расчетам, к то-
тому времени это событие уже произошло». Такую интер-
интерпретацию в прошедшем времени постичь значительно
проще. Внесите этот раздел в свои записи, напоминаю-
напоминающие вам о необходимости изредка просматривать
пп. 7.14 и 8.17.
8.37. Линия НК на рис. 8.26 проведена параллельно оси рас-
расстояний наблюдателя А, точно так же как это было
сделано в п. 8.23, где мы доказали, что, с точки зре-
зрения А, наблюдатель В проходит расстояние, определяе-
определяемое длиной отрезка НК, затрачивая на это время, опре-
определяемое длиной отрезка ОН. Таким образом (ско-
(скорость— это пройденный путь, деленный на затраченное
время), мы приходим к выводу, что
(Скорость наблюдателя В относительно А) =
__ Длина отрезка НК /^ ь
Длина отрезка ОН * ' ^
Номер (8.1) справа, как в дальнейшем номера при
формулах, служит для облегчения поиска уравнения,
когда возникает необходимость обратиться к нему вновь.
8.38М. Выражение, стоящее в правой части формулы (8.1),
означает: «длина отрезка НК, деленная на длину от-
отрезка ОН» по аналогии с дробью 3Д, которая получится
при делении числа 3 на 4. Операция деления будет
обычно записываться в виде такой дроби.
8.39. Уравнение (8.1) дает скорость, измеренную в естествен-
естественных единицах, в которых скорость света равна 1
(п. 7.12), так что оно выражает скорость в виде доли
скорости света.
В естественной системе единиц скорость — это время,
деленное на время, или другими словами — это просто
безразмерное число (ср. с п. 7.12).
8.42 133
8.40. На рис. 8.23 линия НК продолжена до пересечения с
линией сигнала в точке L. Тогда при замене К на L
уравнение (8.1) дает
(Скорость света относительно наблюдателя А) =
Длина отрезка HL ,q ~.
~~ Длина отрезка ОН * ' '
Но линия HKL (параллельная оси X) составляет с
линией сигнала тот же угол, что и ось Т, а значит, уг-
углы HOL и HLO равны. Отсюда (согласно хорошо из-
известной теореме геометрии») следует, что стороны HL и
ОН треугольника HOL также равны, т. е. скорость све-
света относительно наблюдателя А равна 1. Но А может
быть произвольным наблюдателем, и поэтому скорость
света всегда равна 1.
Конечно, мы установили, что скорость света должна
быть равна 1, довольно давно, в пп. 7.10—7.12, когда
были выбраны естественные единицы измерения. Так
что здесь мы только показали, как диаграмма переда-
передает следствия этого выбора. У вас, должно быть, возник-
возникло ощущение, что в правиле равенства углов между
осями координат и линией сигнала есть что-то стран-
странное. Но, как теперь ясно, оно служит для того, чтобы
на диаграмме проявлялось свойство инвариантности ско-
скорости света. Таким образом, в установленной связи меж-
между наклонами осей заключается самая суть релятиви-
релятивистской пространственно-временной диаграммы.
8.41. Отрезок НК на рис. 8.23, безусловно, короче отрезка
ОН, поэтому формула (8.1) утверждает, что скорость
наблюдателя В относительно А меньше 1, т. е. меньше
скорости света. Если же продолжить линию HL еще
дальше вправо, а затем повернуть мировую линию на-
наблюдателя В так, чтобы угол ее наклона стал меньше
45° (перенося точку К вместе с ней), то отрезок НК
станет длиннее отрезка ОН. Тогда, согласно (8.1), ско-
скорость наблюдателя В относительно А будет больше 1.
Поэтому (проверьте это с помощью открытки с про-
прорезью)
угол наклона мировой линии наблюдателя В к гори-
горизонтали больше или меньше 45° в зависимости от
того, движется ли он относительно А медленнее или
быстрее света.
8.42. Если мировая линия наблюдателя А вертикальна, то его
ось расстояний должна быть горизонтальной (п. 8.26),
8.43
134
как на рис. 8.42. Таким образом, оси располагаются под
прямым углом, а соответствующая система координат
называется прямоугольной (в отличие от используемых
в других случаях «косоугольных систем координат»).
Длины отрезков NQ и MQ определяют соответственно
момент времени, в который, с точки зрения наблюдате-
наблюдателя А, произошло событие Q, и расстояние от него до
этого события (п. 8.28), и сами эти отрезки теперь го-
горизонтальны и вертикальны соответственно.
м
ОсьХ
8.43. Само собой разумеется, что наблюдатель с вертикаль-
вертикальной мировой линией ничем особенным не выделяется.
Все инерциальные наблюдения равноправны (п. 5.11).
Любая прямая линия с углом наклона больше 45° по-
потенциально является мировой линией инерциального
наблюдателя. И некоторые из этих мировых линий ока-
оказываются вертикальными. Вот и все.
В качестве аналогии отметим, что каждая географи-
географическая карта имеет центр, но место, которому соответ-
соответствует эта точка, не представляет собой ничего особен-
особенного. С другой стороны, начальник лондонского аэро-
аэропорта может счесть удобным начертить карту с Лондо-
Лондоном в ее центре. Точно так же, если есть наблюдатели,
которые представляют для нас особый интерес, то мож-
можно снабдить их прямоугольной системой координат, ко-
которую проще рисовать и с которой легче обращаться.
8.44. Итак, мы закончили изнуряющую работу по построению
новой пространственно-временной диаграммы и готовы
к более интересным делам, связанным с ее применени-
8.45 135
ем. Пришло время разобраться с оставшимися трудно-
трудностями. В большинстве случаев ъам придется справлять-
справляться с ними самостоятельно. Решения кроются в том, что
мы делали, и вы должны их отыскать. Я же буду да-
давать некоторые пояснения.
Самая большая трудность для понимания связана с
необходимостью убедиться в том, что наклон мировой
линии сам по себе не имеет значения, точно так же как
не имеет смысла скорость, взятая сама по себе, как неч-
нечто абсолютное. Взаимосвязь между углами наклона двух
мировых линий определяется относительной скоростью
движения наблюдателей (п. 8.37). Мировую линию од-
одного наблюдателя можно расположить по желанию
под любым углом (но круче 45°), а уж тогда наклоны
мировых линий всех остальных наблюдателей будут
определяться скоростями, с которыми они движутся от-
относительно первого наблюдателя.
В принципе можно нарисовать несколько диаграмм,
описывающих одну и ту же ситуацию, но так, что на
каждой из них мировая линия одного и того же на-
наблюдателя имеет иной, отличный от других диаграмм
наклон. Вот так же по-разному выглядит одна и та же
сцена с различных направлений.
На первый взгляд мировая линия, наклон которой
чуть больше 45°, соответствует наблюдателю, движуще-
движущемуся со скоростью, близкой к скорости света. Но отно-
относительно кого? Относительно наблюдателя с почти вер-
вертикальной мировой линией. Тогда этот второй наблю-
наблюдатель движется почти со скоростью света по отноше-
отношению к первому. Значит, важен не сам угол наклона ми-
мировой линии, а угол, под которым мировые линии на-
наклонены относительно друг друга.
8.45. В п. 8.37 описан способ, позволяющий независимо от
того, каков наклон мировой линии наблюдателя А, рас-
расположить мировую линию наблюдателя В так, что в ре-
результате на диаграмме будет представлено движение
наблюдателей с любой относительной скоростью. Для
этого, как показано на рис. 8.23 и 8.26, проводим пря-
прямую НК параллельно оси X. Пусть относительная ско-
скорость равна, например, 3/4. Тогда отмерим отрезок НК
так, чтобы его длина составляла 3Д длины отрезка ОН,
а затем через точки О и К проводим мировую линию
наблюдателя В.
Этим способом можно воспользоваться для того,
чтобы справиться с тем, что я называю задачами
«втискивания». Если мировая линия наблюдателя А
8.45 136
наклонена почти под углом 45°, то между ней и линией
сигнала остается очень мало места. Как тогда втиснуть
в это пространство столько же мировых линий других
наблюдателей, как в случае вертикальной мировой ли-
линии наблюдателя А?
Выберем на последней диаграмме любую мировую
линию — назовем ее мировой линией наблюдателя В —
и с помощью (8.1) найдем относительную скорость на-
наблюдателей А и В. Затем, воспользовавшись описанным
в начале этого раздела способом, разместим мировую
линию наблюдателя В на другой диаграмме. Если ка-
какая-нибудь мировая линия может быть проведена на
одной диаграмме, то таким методом она может быть
втиснута и в любую другую.
И наконец, следует помнить, что, например,
рис. 8.26 — это пространственно-временная диаграмма,
а не простая картинка. К ней нельзя подходить слиш-
слишком прямолинейно, скажем так, как мы воспринимаем
схему лондонского метро, показывающую, что для того,
чтобы попасть в Уимблдон, следует повернуть на 90°
к западу на Эрлз-Корт.
КОМБИНИРОВАНИЕ СКОРОСТЕЙ
9Л- Допустим, что я стою неподалеку от железнодорожного
полотна, а вы сидите в вагоне поезда, проносящегося
мимо меня со скоростью 100 км/ч. Допустим далее,
будто вы замечаете, что по коридору к голове поезда
идет проводник со скоростью 5 км/ч. С какой скоростью
он движется относительно меня? Обычный ответ «Со
скоростью 105 км/ч» дает сложение скорости проводника
относительно вас с вашей скоростью относительно ме-
меня. Но вполне ли он верен?
9.2. Рассмотрим эту задачу в более общей форме, прибег-
прибегнув к помощи уже знакомых нам по п. 5.19 трех на-
наблюдателей в одномерной вселенной. Будем применять
символические сокращенные обозначения величин, как
выше, с учетом замечания, сделанного в п. 8.19.
Скорость наблюдателя В относительно наблюдате-
наблюдателя А обозначим через м, скорость наблюдателя С от-
относительно наблюдателя В — через v, скорость наблю-
наблюдателя С относительно наблюдателя А — через w. Все
скорости измеряются в естественной системе единиц
(пп. 7.11 и 8.39). Тогда можно спросить: верно ли, что
w = u+v? (9.1)
9.3М. Если вы учли замечание, сделанное в п. 8.19, то ника-
никаких трудностей в понимании формулы (9.1) не должно
возникнуть. Это — законченное предложение, в котором
знак равенства « = » заменяет глагол «равняется», а знак
«-)-»— слово «плюс» или «прибавить к». Теперь прочти-
прочтите (9.1) полностью:
«Скорость наблюдателя С относительно наблюдателя
А равна скорости наблюдателя В относительно А плюс
скорость наблюдателя С относительно В» или несколько
короче: «Скорость наблюдателя С относительно А рав-
равна сумме (п. 3.15) скоростей наблюдателя В относи-
относительно А и С относительно В».
Вы видите, как громоздки словесные формулировки
и как эффективна сокращенная запись с помощью сим-
символов. Но это сравнение может побудить вас пренебречь
9.4 138
моим советом читать формулы в развернутом виде. По-
Поэтому давайте примем компромиссное решение. Усло-
Условимся называть скорость наблюдателя В относительно
А и скорость наблюдателя С относительно В заданной
скоростью, а скорость наблюдателя С относительно А
результирующей скоростью.
Прочитайте теперь (9.1) полностью:
«Результирующая скорость равна сумме заданных
скоростей».
9.4. Что заставляет нас поверить в справедливость форму-
формулы (9.1)? Опыт?
Безусловно. Но опыт ограниченный, не исключаю-
исключающий возможности того, что даже при обычных скоро-
скоростях движения скорость w может немного отличаться
от u-\-v, а при высоких скоростях это различие может
стать очень большим.
''9.5. Чтобы найти w, нужно тем или иным способом ском-
скомбинировать скорости и и v. Но это не означает, что их
необходимо складывать. Если стоимость жизни возрос-
возросла в первый год на 20%, в во второй год на 30%, то
результирующий рост составляет не 50, а 56% (стои-
(стоимость вещи в 100 фунтов стерлингов увеличивается в
первый год до 120 фунтов, а 30% от этого значения
составляют 36 фунтов). Значит, может оказаться, что
комбинирование скоростей также нужно производить в
соответствии с более сложным, чем простое сложение,
правилом.
9.6. Часто создается впечатление, что можно доказать не-
необходимость использовать при расчете скорости именно
операцию сложения по аналогии с задачей о том, как
далеко ушли поезд и проводник за один час. В чем сла-
слабость этого рассуждения?
Одни промежутки времени и расстояния измеряются
вами в вагоне поезда, а другие — мною на железно-
железнодорожной платформе. Но наши мнения по поводу зна-
значений промежутков времени и расстояний не совпадают
(пп. 3.10 и 3.38). Продумайте это, рассмотрите поезд в
качестве измерительного стержня.
9.7. Пусть С — световой сигнал, а не наблюдатель. Будет
ли формула (9.1) по-прежнему справедлива?
В этом случае v = l и w = l (п. 7. 12), тогда из (9.1)
следовало бы, что 1=и+1. Но это совершенно неверно,
так что формула (9.1) неприменима для света. (Не
понятно, как я пришел к выводу, что 1=и+1? Значит,
вы пренебрегли моим советом читать формулу в раз-
развернутом виде.)
9.8
139
9.8.
Давайте обратимся к пространственно-временной диа-
диаграмме. Пусть мировая линия наблюдателя А верти-
вертикальна (рис. 9.8), значит, его система координат —пря-
—прямоугольная (п. 8.42). Его оси координат, как и оси ко-
координат наблюдателя В, помечены как обычно (п. 8.26).
Рядом же с мировой линией наблюдателя С написано:
«мировая линия наблюдателя С».
С В
Рис. 9.8.
Принимая во внимание вывод п. 8.41, мы сразу же
приходим к замечательному результату. Если наблю-
наблюдатель В движется относительно А со скоростью, мень-
меньшей скорости света, то, согласно п. 8.41, угол наклона
мировой линии наблюдателя В должен быть больше
45°. И если наблюдатель С движется относительно В
также медленнее света, то применение этой же самой
теоремы (с заменой А на В) показывает, что и мировая
линия С должна идти под углом больше 45°. Наконец,
воспользовавшись утверждением, обратным сформули-
сформулированному в п. 8.41, приходим к выводу, что скорость
наблюдателя С относительно наблюдателя А меньше
скорости света. Таким образом, эти удивительно простые
рассуждения привели к поразительному выводу: если
9.9 140
обе заданные скорости меньше скорости света, причем
неважно, на сколько меньше, то результирующая ско-
скорость тоже меньше скорости света.
А это означает, что формула (9.1) не верна (для
примера рассмотрите случай, когда и и, и v равны
0,9). Формула (9.1), несомненно, требует исправления.
9.9. Чтобы получить правильное соотношение, нанесем на
рис. 9.8 еще кое-какие детали. Нанесем на ось Т точ-
точку Н, такую, что длина отрезка ОН=1. Проведем па-
параллельно оси X (горизонталь) линию НК, пересекаю-
пересекающую ось t в точке К. Затем проведем параллельно оси
х линию KL, пересекающую мировую линию наблюда-
наблюдателя С в точке L. Из этой точки проведем линию LN,
параллельную оси X и пересекающую ось Т в точке N.
И наконец, проведем линию КМ параллельно оси Т.
Она пересекает LN в точке М. Воспользуйтесь открыт-
открыткой с прорезью, чтобы убедиться, что вы понимаете
диаграмму. Рассмотрите ее с точек зрения наблюдате-
наблюдателей А и В и обратите внимание на то, какие события
Одновременны.
Теперь займемся математическими выкладками, ко-
которые, если у вас нет соответствующего опыта, могут
показаться слишком пространными и запутанными. Но
не падайте духом. Прежде всего повторите пп. 3.13—
3.22. Затем проработайте пп. 9.10—9.19, читая все сим-
символы в развернутом виде. Вникайте в любой представ-
представляющий трудности вопрос; но в случае необходимости
переходите к следующему вопросу, отложив анализ
возникшего затруднения на потом. Еще один совет я
дам в пп. 9.20М и 9.21М.
9.10. Заглянув, если потребуется, в п. 8.37, постарайтесь вы-
выяснить, как на рис. 9.8 представлена скорость наблюда-
наблюдателя В относительно А.
Линия НК играет здесь точно такую же роль, как и
в п. 8.37 (она идет от оси Г до оси t параллельно оси
X). Так что ответ нам даст уравнение (8.1). Но по по-
построению ОН=1, а скорость наблюдателя В относи-
относительно А мы договорились обозначать через и. Таким
образом,
и = Длина отрезка НК. (9.2)
Как найти скорость наблюдателя С относительно В?
На этот раз вместо ОН и НК следует подставить со-
соответственно длины отрезков ОК (лежащего на миро-
мировой линии наблюдателя В) и KL (параллельного
9.13 141
оси расстояний наблюдателя В). После этих подстано-
подстановок формула (8.1) дает
— Длина отрезка KL ,Q о,
V ~ Длина отрезка ОК • ^ '
Как узнать скорость наблюдателя С относительно
наблюдателя А?
Нужно вместо ОН и НК подставить ON и NL.
Тогда
Длина отрезка NL (Q А\
Длина отрезка ON • v • /
Из (9.3) следует (см. п. 9.11М), что
Длина отрезка КЬ = Длина отрезка ОКХ^. (9.5)
9Л1М. Соотношение (9.5) получено из (9.3) с помощью одного
из стандартных преобразований (ср. с п. 3.19М). Если
две равные величины умножить на одно и то же чис-
число, то снова получатся две равные величины. Другими
словами, если левую и правую части равенства умно-
умножить на одно и то же число, то в результате также по-
получится равенство. В нашем случае обе части формулы
(9.3) были умножены на длину отрезка ОК. Поэтому
левая часть нового уравнения приобретает вид: длина
отрезка ОКХ^, а правая —
Длина отрезка KL ^ ^тг
? ~^- х Длина отрезка ОК.
Длина отрезка OK ^
Но деление KL на длину отрезка ОК с последующим
умножением на длину отрезка ОК вновь дает KL, так
что правая часть нового уравнения — это просто длина
отрезка KL. Соединяя эти части, получим
Длина отрезка ОКхи = Длина отрезка KL.
Перестановка правой и левой частей уравнения
(п. 3.17М) приводит к (9.5).
9.12М. Описанный в ч. 9.11 процесс умножения обеих частей
на одну и ту же величину является примером того, что
мы называем допустимой операцией. Если такую опе-
операцию применить к равенству, то получим другое
равенство. Мы уже встречались с допустимыми опера-
операциями в пп. 3.17 и 3.19. Вот еще два очевидных приме-
примера: прибавление к обеим частям равенства одного и то-
того же числа, деление обеих частей на одно и то же
число.
9.13. Мы выразили иу v и w через длины определенных от-
отрезков. Поэтому, чтобы найти связь между скоростями,
9.13 142
нужно привлечь геометрию, которая позволяет, зная
длины одних отрезков, найти длины других.
Линия KL параллельна оси расстояний х наблюда-
наблюдателя В, составляющей с горизонталью X такой же угол,
какой его ось времени / составляет с вертикалью Т
(п. 8.26). Отсюда следует, что углы MLK и НОК равны.
Кроме того, оба угла LMK и ОНК — прямые. Значит,
треугольники LMK и ОНК подобны. Треугольник LMK
можно получить из треугольника ОНК, начертив его в
соответствующем масштабе (кроме того, его еще нуж-
нужно обратить, нарисовав на обратной стороне листа бу-
бумаги либо воспользовавшись зеркалом). Таким обра-
образом, стороны меньшего треугольника получились в ре-
результате уменьшения соответствующих сторон больше-
большего треугольника в одной и той же пропорции. Словом,
существует определенная дробь — масштабный множи-
множитель, — такая, что
Длина каждой стороны треугольника LMK =
= (Длина соответствующей стороны треугольника ОНК) X
X(Масштабный множитель).
Подобное уравнение имеет место для каждой пары
соответственных сторон, и во все три уравнения входит
один и тот же масштабный множитель. Чему равен
этот масштабный множитель?
Одна из пар соответственных сторон — KL и ОК.
Из (9.5) следует, что
Длина стороны KL =
= (Длина соответствующей стороны ОК)хи.
Сравнение этого соотношения с предыдущим показы-
показывает, что масштабный множитель равен и. Теперь, под-
подставляя v в уравнения для других пар, получим
Длина отрезка ML = (Длина отрезка ОЩхи, (9.6)
Длина отрезка КМ = (Длина отрезка НК)хи. (9.7)
Но длина отрезка ОН=1 (п. 9.9), так что (9.6) сво-
сводится к виду
Длина отрезка ML = y. (9.8)
Согласно формуле (9.2), длина отрезка НК = и, поэто-
поэтому (9.7) можно переписать в виде
Длина отрезка КМ = ^ху, (9.9)
9.16М 143
что обычно записывают так:
Длина отрезка КМ = аи. (9.10)
9.14М. Математики в своем стремлении к лаконичности стара-
стараются избавиться даже от знака умножения «X» в фор-
формуле uy^v. Они придерживаются соглашения:
Когда два символа, означающие числа или вели-
величины, следуют один за другим (и между ними нет
никаких знаков), то они перемножаются.
Поэтому формула (9.10) означает то же самое, что
и формула (9.9). Прочтите обе эти формулы полно-
полностью.
Результат перемножения двух чисел или величин
называется их произведением.
9.15. Рядом с отрезками ОН, НК, ML и КМ на вашей диа-
диаграмме напишите соответственно 1, и, v и uv. Эти
значения, как было показано, являются длинами ука-
указанных отрезков. Попробуйте теперь вывести правиль-
правильную формулу для w.
Длина отрезка NM тоже равна и (как противопо-
противоположная сторона прямоугольника), значит,
Длина отрезка NL = tt-f-p, (9.11)
т. е. сумме заданных скоростей. Точно так же длина от-
отрезка HN равна длине отрезка КМ, которая в свою оче-
очередь равна uv. Поэтому
Длина отрезка ON = 1 -(- uv. (9.12)
Правую часть этого равенства удобно читать так: «еди-
«единица плюс произведение (п. 9.14М) заданных скоро-
скоростей». Теперь сможете вывести формулу?
Две только что вычисленные величины входят в
уравнение (9.4). Значит,
± (9.13)
UV
(Если не ясно, как это получилось, см. ниже.) Это и
есть искомое уравнение.
9.16М. Способ, которым мы от (9.4) пришли к (9.13), ничем
особенным не отличается от наших обычных рассужде-
рассуждений. Если известно, что 1) отца Джона зовут Чарлз и
что 2) отец Джона болен, значит, 3) Чарлз болен. Про-
Процесс рассуждений (обычно подсознательный) сводится к
следующему: высказывание A) позволяет заменить сло-
слова «отец Джона» одним словом «Чарлз»; тогда в резуль-
9.17М 144
тате такой подстановки в B) вы в конце концов при-
приходите к C).
А теперь подставьте в (9.4) вместо длин отрезков
NL и ON выражения, определяемые формулами (9.11)
и (9.12). В итоге вы получите (9.13).
9.17М. Теперь прочтите формулу (9.13) (с помощью укорочен-
укороченной фразы, предложенной в п. 9.15).
Горизонтальная черта означает операцию деления
(п. 8.38М), а как прочесть u+v и \+uv в развернутом
виде, вы уже знаете. Итак, формулу (9.13) можно про-
прочитать следующим образом:
результирующая скорость равна сумме заданных
скоростей, деленной на единицу плюс произведение
заданных скоростей.
Впрочем, форма, приведенная в следующем парагра-
параграфе, может показаться более привлекательной.
9.18. Итак, ответ на вопрос, поставленный в п. 9,2, сводится
к тому, что нельзя ограничиться простым сложением
заданных скоростей. Следует начать с их сложения, но
затем эту сумму нужно разделить на поправочный
коэффициент, равный 1 плюс произведение заданных
скоростей.
9Л9. Чтобы закрепить материал, изложенный в пп. 9.9—
9.17М, приведем численный пример и посмотрим, что да-
дает новая формула. Если скорость наблюдателя В отно-
относительно наблюдателя А равна 0,9 (девять десятых ско-
скорости света; п. 8.39), а скорость наблюдателя С относи-
относительно В равна 0,8, то какова скорость наблюдателя С
относительно А?
В символической форме заданные скорости записы-
записываются так: « = 0,9 и v = 0,8. Можно подставить
(п. 9.16М) в (9.13) « = 0,9 и и = 0,8, что дает
™ 0,9 + 0,8 1,7
w== l +0,9-0,8 -т^-
а не 1,7, что следовало бы ожидать при простом сло-
сложении скоростей. (При многократном употреблении зна-
знака равенства в одном и том же утверждении его следу-
следует читать: «что равно».)
Найдите w при 1) и = 0,6 и а = 0,8; 2) и=0,7 и у =
= 0,9; 3) u = v = 0y9. (Ответы —в конце главы.)
Эти примеры иллюстрируют доказанное в п. 9.8 по-
положение, что, комбинируя две скорости, не превышаю-
превышающие скорости света, нельзя получить скорость, превосхо-
превосходящую скорость света. (Математики доказывали бы, что
9.21М 145
если значения скоростей и и v лежат в интервале
между —1 и 1, то в этом же интервале лежит и зна-
значение скорости w.)
9.20М. Вас не напугал процесс рассуждений и вычислений, на-
начатый в п. 9.9, который в конце концов привел к урав-
уравнению (9.13)? Могу вас заверить, что после небольшой
тренировки он покажется простым. А тем временем по-
постараемся преодолеть имеющиеся трудности.
Прежде всего убедитесь, что вы овладели математи-
математическими методами, которыми мы пользовались выше.
Поэтому повторите пп. 9.3, 9Л1М, 9.14М, 9.16М и 9.17М.
9.21М. Вы, вероятно, чувствуете, что можете понять каждый
отдельный шаг рассуждений. (Если же это не так, то
остановитесь на каждом моменте, вызвавшем затрудне-
затруднения. Все они разъясняются в тексте, и если вы не по-
поняли обсуждаемый вопрос сразу, вернитесь к нему еще
раз чуть позднее. Не забывайте читать формулы в раз-
развернутом виде!) Истинная трудность (я почти уверен)
заключается в оценке общей стратегии.
Полное доказательство распадается на четыре ос-
новые части:
1. Построение диаграммы •—рис. 9.8.
2. Поиск на этой диаграмме пар отрезков, отноше-
отношение которых дает интересующие нас скорости. (От-
(Отношение двух величин — это результат деления
одной величины на другую.)
3. Геометрические построения и вычисления, позво-
позволяющие обнаружить связи между всеми длинами
отрезков.
4. Объединение треу предыдущих частей в одно це-
целое.
Ключ к решению — в умелом построении рис. 9.8,
ибо в нем суть релятивистского пространства-времени
(п. 8.40). Его детали -согласованы друг с другом так,
чтобы облегчить геометрическую задачу части 3. Если
нужно, просмотрите п. 9.9.
Часть 2 изложена в п. 9.10. Она сводится просто к
троекратному применению формулы (8.1), но с соответ-
соответствующей заменой входящих в нее обозначений.
Задача, решаемая в части 3, описана в п. 9.13. Здесь
доказывается, что треугольники LMK и ОНК подобны и
что длина каждой стороны одного из этих треугольников
равна длине соответствующей стороны другого, умно-
умноженной на масштабный множитель. Из известного со-
соотношения, связывающего одну из пар соответствую-
соответствующих сторон, мы нашли, что масштабный множитель
10—1653
9.22 146
равен v. Применение этого результата к другим парам
ведет к соотношениям (9.6) и (9.7), которые в свою
очередь после небольших преобразований сводятся к
формулам (9.8) и (9.10).
В части 4, изложенной в п. 9.15, все -собирается во-
воедино. Согласно уравнению (9.4), чтобы найти w, нуж-
нужно знать длины отрезков HL и ON. He представляет
труда найти их из того, что мы уже знаем, с помощью
прямоугольника HKMN. И наконец, чтобы получить
окончательную формулу (9.13), мы подставили длины
этих отрезков в (9.4).
Надеюсь, что основное направление теперь ясно.
Каждая из основных частей включает серию шагов, ко-
которые только что были кратко описаны. Каждый шаг
можно детально проанализировать сам по себе, что
было сделано в соответствующих разделах. Если вы со-
сосредоточитесь по очереди на каждом из этих уровней,
возможно пройдя весь путь по нисходящей от обобщаю-
обобщающего вывода через четыре основные части к деталям,
а затем обратно к обобщающему выводу, вы уловите
суть процесса как целого.
Когда в дальнейшем вам встретятся другие доста-
достаточно сложные цепочки рассуждений, старайтесь их
анализировать и изучать аналогичным способом.
9.22. Почему на основе повседневного опыта мы считаем,
что справедливо выражение (9.1), а не (9.13)?
Для привычных нам скоростей значения и и v
(в естественных единицах)—это очень маленькие
доли единицы, а значит, их произведение (п. 9.14М) —
еще меньшая дробь и поправочный коэффициент 1-j-wo
лишь слегка отличается от 1, т. е. формула (9.1) почти
правильна.
Предположим, что два реактивных самолета при-
приближаются к наблюдателю с противоположных сторон
со скоростями 1080 км/ч. Обозначим их через А и С,
а наблюдателя через В. Тогда в естественных единицах
скорости и и v равны одной миллионной доле едини-
единицы (п. 1.8). Значит, их произведение составит миллион-
миллионную долю от одной миллионной и поправочный коэффи-
коэффициент будет отличаться от 1 как раз на эту ничтожную
величину. Таким образом, скорость каждого самолета,
измеренная относительно другого самолета, будет от-
отличаться от ожидаемого значения 2160 км/ч лишь на
миллионную долю от одной миллионной, а это менее
2 см/год. Поэтому неудивительно, что мы ничего не за-
замечаем!
9.25
147
9.23. При выводе формулы (9.13) мы исходим из подобия
треугольников LMK и ОНК. Доказательство их подобия
в свою очередь основывается на существовании связи
между наклонами осей времени и расстояний, которая
обусловлена тем, что пространственно-временная диа-
диаграмма включает в себя инвариантность скорости света
(п. 8.40). Это доказательство совершенно ясно показы-
показывает, что формула комбинирования скоростей принима-
принимает такую, а не иную форму именно потому, что ско-
скорость света инвариантна.
9.24. Вот еще один случай, позволяющий экспериментально
проверить, согласуются ли с реальными фактами
предсказания теории относительности. В веществе свет
распространяется медленнее, чем в вакууме; в воде, на-
например, его скорость равна 3/4, и эта скорость не инва-
инвариантна. Скорость света в воде равна % относительно
наблюдателя неподвижного относительно воды. Следо-
Следовательно, значение этой скорости света, измеренное ка-
каким-либо другим наблюдателем, относительно которого
вода движется, должно согласовываться с предсказани-
предсказанием формулы (9.13), если в качестве заданных скоростей
взять скорость света в неподвижной воде и» скорость во-
воды по отношению к наблюдателю. Вода — это аналог
поезда в п. 9.1, а свет —проводника, идущего по кори-
коридору.
9.25. Экспериментальная проверка этого предсказания была
сделана (хотя и с другой целью) А. Физо в 1851 г.
(повторение эксперимента Майкельсоном и другими
подтвердили результаты этого опыта). Вода течех по
А
>М
\
В
Рис. 9.25.
10*
9.26 148
изогнутой трубе (рис. 9.25) от точки А к В. С помощью
•системы призм, линз и зеркал луч света, пришедший из
точки L, расщепляется на два. Одна часть луча распро-
распространяется, как показано на чертеже, в то время как
вторая (не показанная на чертеже) идет в противопо-
противоположном направлении. Обе части луча вновь собираются
в точке М (неподалеку от точки L). Движущаяся вода
увеличивает скорость света в одном направлении и за-
замедляет его движение в другом — в обоих случаях в со-
соответствии с (9.13). И экспериментатор должен измерить
разность двух скоростей, дабы убедиться, что она со-
согласуется с предсказанным значением.
Результаты всех таких экспериментов оказались в
хорошем согласии с релятивистским предсказанием и
явно расходились с выводами, следующими ив тради-
традиционной формулы сложения скоростей (9.1). Таким
образом, это еще одна проверка теории относительно-
относительности, еще одно свидетельство ее справедливости (ср. с
пп. 3.32 и 3.33).
9.26. Рассмотрим теперь целую группу наблюдателей А, В, С,
D,... (в одномерной вселенной). Наблюдатель В движет-
движется со скоростью 0,3 естественной единицы относительно
А, наблюдатель С — со скоростью 0,3 относительно В,
D — с такой же скоростью относительно С и т. д. Каковы
скорости наблюдателей В, С, D,... относительно А? При-
Применяя формулу (9.13), получим
(Скорость наблюдателя С относительно А) =
0,3 + 0,3 0,6
1+0,ЗХ0,3 1,09
= 0,5505.
Комбинируя это значение со скоростью наблюдателя
относительно С, найдем, что
(Скорость наблюдателя D относительно А) =
0,5505 + 0,3 0,8505
1+0,5505x0,3 1,1652
= 0,7299
и т. д. Округляя до трех знаков после запятой, получим
значения скоростей, приведенные в табл. 9.26.
9.27. Таким образом, скорости наблюдателей, измеренные на-
наблюдателем А, возрастают, но все медленнее. И незави-
независимо от того, как далеко будет продолжен этот ряд, не
9.29 J49
Таблица 9.26
Скорости
относительно
наблюдателя А
(в долях скорости света)
А
В
С
D
Е
F
0,000
0,300
0,550
0,730
0,845
0,913
Скорости
относительно
наблюдателя А
(в долях скорости света)
G
Н
I
J
К
L
0,952
0,974
0,986
0,992
0,996
0,998
найдется ни одного наблюдателя, движущегося быстрее
света (п. 9.8). Один мой слушатель с помощью ЭВМ
рассчитал, что скорость 31-го наблюдателя в этом ряду
относительно А равна 0,99999998.
9.28. Теперь применим эти цифры к «суперракете». Допустим,
что ракета способна двигаться с ускорением, позволяю-
позволяющим ей разогнаться до скорости 0,3 в течение года
(в общем-то весьма скромное ускорение, но нам нужно,
чтобы оно действовало в течение года!). На старте ра-
ракета неподвижна относительно А. В конце первого года
при скорости в 0,3 относительно наблюдателя А она бу-
будет неподвижна относительно В.
Положим, что ракета разгоняется с постоянным уско-
ускорением. В начале второго года движения ракета непо-
неподвижна относительно наблюдателя В (т. е. как на стар-
старте относительно А). Значит, при том же самом ускоре-
ускорении, что и раньше, она в конце второго года достигнет
скорости 0,3 относительно В, следовательно, она теперь
будет неподвижна относительно наблюдателя С. По про-
прошествии еще одного года у ракеты будет такая же ско-
скорость, как у наблюдателя D и т. д.
Относительно наблюдателя А значения скоростей, до-
достигнутых этой ракетой через каждый последующий год,
совпали бы с перечисленными в табл. 9.26 скоростями
следующих друг за другом наблюдателей.
9.29. Итак, на всех стадиях своего движения ракета ведет се-
себя совершенно одинаково. Любой из наблюдателей А,
В, С,... начиная счет с момента, когда ракета относи-
относительно него неподвижна, получит один и тот же ответ на
вопрос: какой скорости достигла ракета в такой-то мо-
момент времени? При этом она движется с постоянным
ускорением. И тем не менее, с точки зрения каждого
отдельного наблюдателя, скорость ракеты нарастает
все медленнее.
При небольших скоростях, когда говорят, что некото-
9.30 150
рый объект имеет постоянное ускорение, подразумева-
подразумевают, что его скорость возрастает на одну и ту же вели-
величину за одно и то же время. Но когда речь идет о боль-
больших скоростях, это определение следует модифициро-
модифицировать: для каждого интервала измерения должны быть
сделаны тем наблюдателем, относительно которого ра-
ракета в начале рассматриваемого интервала покоилась.
Таким образом, измерения, проделанные наблюдателем
А, покажут, что за первый год скорость ракеты возросла
на 0,3; наблюдатель В обнаружит, что в течение второго
года она также увеличилась на 0,3, и т. д. Дадим опре-
определение:
тело движется с постоянным ускорением, если его
скорость возрастает на одну и ту же величину за
одинаковые промежутки времени, причем измерения
для каждого интервала времени выполняются инер-
циальным наблюдателем, относительно которого тело
в начале этого интервала покоится.
9.30. Я сделал здесь одно вводящее в заблуждение упроще-
упрощение. Последовательность годовых интервалов времени
(в числовом примере) измеряется различными на-
наблюдателями: первый интервал — наблюдателем А, вто-
второй— наблюдателем В и т. д. Вследствие замедления те-
течения времени (п. 3.36) второй интервал, с точки зрения
наблюдателя А, будет длиннее года, третий еще длин-
длиннее и т. д. Значит, скорость ракеты по отношению к на-
наблюдателю А возрастает даже еще медленнее.
Само собой разумеется, что точно такие же выводы
должны следовать из расчетов при любом постоянном
ускорении. Простейший способ убедиться в этом заклю-
заключается в изменении интервала времени — в рассмотрении
ускорения, сообщающего скорость 0,3 за 38 сут или за
0,01 с (!) или за любой другой интервал времени. Та-
Таким образом, с помощью этого единственного расчета
можно охватить все возможные случаи.
9.31. Чтобы сообщить телу ускорение, требуется сила. И по-
поскольку не существует возрастающей до бесконечности
силы, есть предел достижимого ускорения. Тогда наи-
наибольший возможный эффект будет достигнут при воз-
воздействии этого максимального постоянного ускорения.
Но невозможно разогнать тело до скорости света и выше.
Это не доказывает, что ничто не может двигаться
быстрее света. Имеется некоторая вероятность того, что
наряду с объектами, которые всегда движутся медлен-
9.31 151
нее света, существуют объекты, которые всегда движут-
движутся быстрее света, хотя ни один объект не может быть
ускорен так, чтобы его скорость, увеличиваясь, превы-
превысила бы скорость света. Настало время, когда идея о
том, что ничто не может двигаться быстрее света, заслу-
заслуживает изучения.
Ответы к п. 9Л9. 1) 0,946; 2) 0,982; 3) 0,994.
10
ПРИНЦИП ПРИЧИННОСТИ
И СКОРОСТЬ СВЕТА
10.1. Давайте испробуем еще один подход. Возьмем два лю-
любых события в одномерной вселенной и назовем их О и
Q. При каких условиях событие Q может быть следстви-
следствием события О (или событие О будет причиной собы-
события Q)?
Линии сигналов, проведенные через О, делят диаграм-
диаграмму на четыре квадранта, названные как на рис. 10.1. Те-
Рис. 10.1.
перь наш вопрос можно сформулировать иначе: если со-
событие Q является следствием события О, т. е. событие О
является причиной события Q, то где на диаграмме мо-
может лежать точка Q?
10.2. Может ли Q лежать в нижнем квадранте?
Прямая, проходящая через точки Q и О (рис. 10.2),
может быть мировой линией инерциального наблюдателя,
допустим В. Согласны?
Наблюдатель В обнаружит, что событие Q (следст-
(следствие) произошло раньше вызвавшего его события О (при-
(причины), а это противоречит повседневному опыту. Зна-
Значит, ответ будет: нет, не может.
10.4
153
Р,ис. 10.2.
10.3. Этот вывод обусловлен принципом причинности, соглас-
согласно которому следствие не может произойти раньше своей
причины. Принцип причинности был открыт задолго до
теории относительности и не является само собой разу-
разумеющимся. Различного рода прорицатели утверждают,
что будущие события могут оказывать влияние на сегод-
сегодняшние знания. Вы согласитесь со мной, что они ошиба-
ошибаются, и мы будем считать принцип причинности справед-
справедливым.
Чтобы предупредить возможное возражение против
изложенного в п. 10.2, напомним, что отсчет времени
вдоль любой мировой линии идет снизу вверх. В против-
противном случае в ситуации, изображенной на рис. 7.3, сигна-
сигналы могли бы принести наблюдателю А в момент собы-
события R сообщение о будущем, еще не совершившемся со-
событии Р. (Разумеется, рис. 7.3 построен в предположе-
предположении, что линии сигналов идут снизу вверх; см. п. 6.17.)
10.4, Может ли Q лежать в правом квадранте, как на рис. 10.4?
Рис. 10.4
10.5 154
Этот вопрос гораздо труднее. Проведите через О
прямую между Q и линией сигнала, идущей выше Q.
Проведите еще одну прямую так, чтобы она составляла
с этой линией сигнала такой же угол, как и первая пря-
прямая, но по другую сторону от линии сигнала. Посколь-
Поскольку угол наклона второй прямой больше 45°, она может
быть осью времени (мировой линией) инерциального на-
наблюдателя, скажем С (пп. 6.18 — 6.20); тогда первая из
проведенных прямых будет осью расстояний наблюдате-
наблюдателя С (п. 8.26). Теперь сможете ответить на вопрос?
По мнению наблюдателя С, событие Q произошло
раньше события О (проверьте с помощью открытки с
прорезью), — снова следствие произошло раньше причи-
причины. Можно сказать, что этот случай тоже невозможен?
10.5. В действительности все не так просто. Проведите прямую
между Q и линией сигнала, идущей ниже Q (рис. 10.5).
Эта прямая может быть осью расстояний еще одного
Рис 10.5.
наблюдателя, скажем D, ось времени которого должна
задаваться правилом равенства углов с соответствующей
линией сигнала. С его точки зрения (снова воспользуй-
воспользуйтесь открыткой с прорезью), следствие Q произошло пос-
после причины О. Кому из наблюдателей верить: С или D?
Просмотрите еще раз гл. 7, в особенности пп.7.2, 7.3,
7.9, 7.14 и 7.15. Вспомнили? Нам известны только те мо-
моменты времени, в которые наблюдатель посылает сигнал
к событию и получает ответный сигнал. Мы просто дого-
договорились, как через них определить момент времени, в ко-
который произошло далекое событие. Нанесите на ваши ко-
копии рис. 10.4 и 10.5 элементы рис. 7.14 и повторите рас-
рассуждения пп. 10.4 и 10.5 для события М.
10.8 55
Можно сказать (п. 10.4), что, по мнению наблюдате-
наблюдателя С, событие Q произошло раньше события О. Но при
этом мы подразумеваем следующее. Пусть удар хроно-
хронометра наблюдателя С соответствует середине интервала
времени, прошедшего между передачей сигнала к Q и
приемом ответного сигнала из Q. Тогда окажется, что
этот удар произошел раньше причины О. Совершенно не
очевидно, что такая ситуация противоречит принципу
причинности.
10.6. Переформулируем принцип причинности так, чтобы избе-
избежать проблем, связанных с выбором того или иного мне-
мнения: для любого наблюдателя событие в данном месте,
являющееся следствием другого события в данном месте,
не может произойти раньше своей причины.
Если бы причина в О могла обусловить следствие Q,
которое, с точки зрения наблюдателя С, предшествует О,
то причина Q с равным успехом могла бы иметь следст-
следствием событие в данном месте R (рис. 10.4), происшедшее,
по мнению С, раньше О. Итак, причина в данном месте О
имеет следствие в данном месте R (через посредство Q)>
а это явно противоречит принципу причинности. Значит,
Q не может лежать ни в правом, ни в левом квадрантах.
Итак,
событие Q может быть следствием события О (или со-
событие О может быть причиной события Q) только в
том случае, если Q лежит в верхнем квадранте.
10.7. Если вас смущает, что переход от О к Q — это переход
от события в данном месте к далекому событию, а пере-
переход от Q к R — это переход от далекого события к собы-
событию в данном месте, то введите еще одного наблюдателя,
неподвижного относительно С и в то же время присутст-
присутствующего при событии Q.
Если несимметричный вид рис. 10.4 создает у вас впе-
впечатление, что взаимосвязь между Q и R отличается от
связи между О и Q, проверьте это с помощью открытки с
прорезью. А если и это вас не убедит в том, что никакой
разницы нет, нарисуйте другую диаграмму с вертикаль-
вертикальной мировой линией наблюдателя С (п. 8.44) и рассмот-
рассмотрите, как на ней должны располагаться события Q и R.
10.8. Где на диаграмме должна лежать точка Q, чтобы собы-
событие О могло быть следствием события Q (или событие
Q —причиной события О)?
В нижнем квадранте. (Проведите через точку Q линии
сигналов и примените вывод, сформулированный в п. 10.6,
10.9 156
к квадрантам, на которые эти линии разделили диаграм-
диаграмму.)
Рис. 10.8 обобщает наши результаты. Поскольку свето-
световой сигнал помогает в установлении причинно-следствен-
причинно-следственных связей, сами линии сигналов включаются в верхний
и нижний квадранты.
Как все это выглядит в применении к «старомодной»
пространственно-временной диаграмме?
Jlpi/чииная
Вязь с coSbi
отсутствует
Причинная
с бязь с событием О
отсутствует
Рис. 10.8.
Точки, принадлежащие горизонтальной прямой, про-
проходящей через О, описывают события, происшедшие од-
одновременно с событием О, и поэтому не могут быть при-
причинно связаны с ним. Остальное вы можете сделать са-
сами. Горизонталь, представляющая на «старомодной» диа-
диаграмме события, происшедшие сейчас, на релятивистской
диаграмме занимает левый и правый квадранты. Поду-
Подумайте над этим.
10.9. Теперь свяжем проведенное рассмотрение с вопросом о
движении быстрее света. Рассмотрим старого знакомого
А — инерциального наблюдателя, впервые введенного на
диаграмме в п. 6.20, снабдим его мировой линией с углом
наклона больше 45°.
Пусть В — инерциальный наблюдатель, присутствую-
присутствующий при обоих событиях, О и Q. Если Q лежит в верхнем
квадранте (рис. 10,9), то ясно, что наклон мировой ли-
линии наблюдателя В больше 45°, Поэтому в соответствии
с выводом, сделанным в п. 8,41, наблюдатель В движется
относительно А со скоростью меньше скорости света (убе-
(убедитесь с помощью открытки с прорезью). Если бы точка
Q лежала в левом или правом квадранте (сделайте чер-
чертеж), то наклон мировой линии наблюдателя В был бы
10.U 157
меньше 45° и он двигался бы относительно А быстрее све-
света. Увяжите это с выводом, сделанным в п. 10.6.
Итак, событие Q может быть следствием О только в
том случае, когда инерциальный наблюдатель может пе-
переместиться от одного события к другому, не превышая
(относительно наблюдателя А) скорость света.
10.10. Итак, если принцип причинности справедлив, та
никакое причинное действие не может распространяться
быстрее света.
Это всего лишь компактная форма утверждения, что при-
причина и следствие не могут быть связаны между собой
так, чтобы для перехода от первой ко второму было бы
необходимо двигаться быстрее света (относительно инер-
циального наблюдателя, движущегося медленнее света).
Это утверждение можно сформулировать еще и следую-
следующим образом:
информация не может передаваться быстрее света
(так как в причинном действии заключена информация о
том, что событие-причина совершилось; а информация —
э^о и есть следствие действия причины, которому подвер-
подвергается получатель),
10.11. Итак, ни один наблюдатель, как инерциальный, так и не-
инерциальный, не может двигаться быстрее света (и да-
даже со скоростью света; п. 2.1), Тогда, принимая во вни-
внимание вывод, сделанный в п. 8,41, можно сказать, что
угол наклона мировой линии любого инерциального
наблюдателя должен быть больше 45°,
Это рассеивает сомнения, которые владели нами начиная
10.12 158
с п. 8.23 или даже с пп. 6.18 — 6.20. Согласно п. 8.26, угол
наклона оси расстояний такого наблюдателя должен быть
меньше 45°.
10.12. Докажите, что никакой материальный объект не может
двигаться быстрее света.
Рассмотрите мину замедленного действия — воспламе-
воспламенение бикфордова шнура является причиной, приводящей
позднее к следствию — взрыву.
Возможно, вы пришли к более сильному утверждению,
что, согласно теории относительности, ничто не может
двигаться быстрее света. Подтверждается ли это утверж-
утверждение нашими предыдущими рассуждениями?
10.13. С помощью луча лазера можно осветить небольшой уча-
участок поверхности Луны.
Если поворачивать лазер на угол всего лишь 45° в се-
секунду, то лазерный «зайчик» будет перемещаться по по-
поверхности Луны быстрее света. Теперь рассмотрим две
линейки, пересекающиеся под острым углом (рис. 10.13).
Рис. 10.13.
Если наклоненную линейку начать двигать поступатель-
поступательно вниз относительно горизонтальной, то точка Р, в кото-
которой они пересекаются, будет перемещаться вправо. Сде-
Сделав угол между линейками достаточно малым, можно
добиться, чтобы точка Р двигалась быстрее света.
Таким образом, иногда возможно движение быстрее
света. Однако в этих примерах отсутствует причинно-
следственная связь. Никакие действия над световым пят-
пятном в один момент времени не будут влиять на него в
более поздний момент. Это справедливо и для линеек.
Но если линейки подогнаны друг к другу достаточно
плотно и между ними в точке Р зажата пылинка так,
что движение наклонной линейки заставляет пылинку пе-
перемещаться, то описанная выше ситуация будет неосуще-
неосуществимой (п. 10.12). И если вы увидите на поверхности
Луны пятно, движущееся быстрее света, то можете быть
10.16 159
уверены — это не фонарь космонавта, находящегося на
Луне.
10.14. Быть может, вы думаете, что в этих сверхсветовых про-
процессах создается лишь иллюзия движения и если бы там
в самом деле что-нибудь двигалось, то перемещение не
могло бы происходить быстрее света. Но что вы понимае-
понимаете под словами «в самом деле что-нибудь двигалось»?
Происходит ли фактический перенос вещества из одного
места в другое?
Как раз так думать не следует. Рассмотрим волновое
движение. Если одному концу лежащей на земле ве-
веревки сообщить колебательное движение вверх — вниз,
то по ней побегут волны; но когда колебательное движе-
движение веревки прекратится, она останется там же, где бы-
была. И это справедливо для любого волнового процесса:
распространяется только состояние (или условие), ска-
скажем возвышение над нормальным уровнем или избыточ-
избыточное по сравнению с нормальным сжатие и т. д. Никакого
переноса вещества не происходит. Может ли волновой
процесс распространяться быстрее света?
Нет, не может, ибо при волновом процессе есть при-
причинно-следственная связь явлений.
10.15. Итак теорема, сформулированная в п. 10.10, отрицает
возможность движения быстрее света в некоторых слу-
случаях, когда отсутствует перенос вещества. И обратно,
она допускает возможность того, что материальные ча-
частицы могли бы двигаться быстрее света, если отсутст-
отсутствует причинно-следственная связь явлений. Такие гипоте-
гипотетические частицы получили название тахионов.
Не исключено, что мы могли бы воздействовать на
тахионы. Не исключено и то, что они могли бы воздейст-
воздействовать на нас. Но и то и другое вместе невозможно.
К примеру, вряд ли удалось бы, отклонив тахион от пря-
прямолинейной траектории в некоторой точке его пути, про-
пронаблюдать, куда это отклонение приведет его в более
поздний момент времени, поскольку такое наблюдение
было бы следствием действия, являющегося причиной. Но
•нельзя отрицать, что один и тот же тахион можно будет
наблюдать многократно, при условии, что само наблюде-
наблюдение не вносит в состояние тахиона изменений, которые
можно было бы обнаружить при последующих наблюде-
наблюдениях. При этом он уподобляется лазерному «зайчику» на
поверхности Луны (п. 10.13). Однако экспериментальные
поиски тахионов пока не увенчались успехом.
10.16. Утверждение, сделанное в п. 10.10, очень простое, его до-
доказательство тоже довольно несложное, и тем не менее
10.16 160
из него следуют далеко идущие выводы. Остановлюсь
только на одном из них.
Совершенно очевидно, что планеты и спутники в Сол-
Солнечной системе не движутся прямолинейно и с постоян-
постоянной скоростью, а имеют сложные траектории. Луна, на-
например, вращается вокруг Земли, которая в свою очередь
обращается вокруг Солнца.
Теория тяготения Ньютона утверждает, что причина
этого — в гравитационном притяжении со стороны всех
других тел. Согласно п. 10.10, гравитационное воздейст-
воздействие должно распространяться со скоростью, не превыша-
превышающей или равной скорости света. Значит, направление
силы, с которой Солнце притягивает Луну в любой мо-
момент времени, отклоняется от прямой, соединяющей Лу-
Луну и Солнце. Ее направление зависит от относительного
расположения Солнца и Луны в предыдущий момент вре-
времени, когда Солнце произвело гравитационное воздейст-
воздействие, достигшее Луны .в рассматриваемый момент времени.
Если эти рассуждения выразить в математической
форме и произвести вычисления, то окажется, что теория
Ньютона дает неправильные результаты. Как показал
Лаплас, чтобы теория Ньютона правильно представляла
движение Луны, гравитационное воздействие должно рас-
распространяться как минимум в 30 миллионов раз быстрее
света, но, согласно изложенному в этой главе, это невоз-
невозможно. Ньютон полагал, что передача гравитационного
воздействия происходит мгновенно.
Итак, несмотря на то что теория Ньютона неодно-
неоднократно давала правильные результаты, что-то неверно в
самой ее основе. Это явилось одним из соображений, при-
приведших к общей теории относительности Эйнштейна.
II
ПРИРОДА ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ
11.1. На «старомодной» пространственно-временной диа-
диаграмме (рис. 6.2) показаны в графической форме наши
традиционные представления о пространстве и времени
(п. 6.4). Новая пространственно-временная диаграмма,
разработкой которой мы занимались начиная с гл. 6,
дает более правильное представление о пространстве и
времени.
Сопоставим старые и новые представления о прош-
прошлом, настоящем и будущем. С дорелятивистской точки
зрения мнения всех наблюдателей по поводу того, ка-
какие из событий в произвольный момент времени отно-
относятся к прошлому, настоящему или будущему, совпада-
совпадают. Будем исходить из утверждения, предложенного в
конце п. 10.8. Поразмышляйте над рис. 10.4 и 10.5.
Всегда ли, согласно релятивистской пространственно-
временной диаграмме, мнения наблюдателей по поводу
прошлого, настоящего и будущего совпадают?
11.2. Для обсуждения прошлого, настоящего и будущего по
отношению к событию О рассмотрим инерциальных на-
наблюдателей, мировые линии которых проходят через
точку О. Наклон оси расстояний всех этих наблюдате-
наблюдателей меньше 45° (п. 10.11). Если событие Q лежит в ле-
левом или правом квадранте, то можно найти наблюда-
наблюдателя (скажем, наблюдателя С; п. 10.4), который скажет,
что в момент времени, когда произошло событие О, со-
событие Q уже совершилось. Точно так же найдется на-
наблюдатель (например D, п. 10.5), который будет счи-
считать, что событие Q относится к будущему. А если
взять наблюдателя, ось расстояний которого проходит
непосредственно через точку Q (т. е. между соответст-
соответствующими осями С и D), то он скажет, что событие Q
(в момент события О) относится к настоящему. Итак,
различные наблюдатели по-разному ответят на вопрос
о прошлом, настоящем или будущем.
Если же Q лежит в верхнем квадранте, то эта точка
находится выше осей расстояний всех наблюдателей,
и поэтому все они согласятся, что событие Q относился
к будущему (по сравнению с событием О), а событие,
11—1653
11.3 162
представленное точкой в нижнем квадранте, соверши-
совершилось раньше события О.
Поэтому области в верхнем и нижнем квадрантах
пространственно-временной диаграммы называются аб-
абсолютно будущей и абсолютно прошлой по отношению
к событию О соответственно (линии сигналов включа-
включаются в эти области — проверьте это), а области, соот-
соответствующие левому и правому квадрантам, являются
для О относительным настоящим. Посмотрите на
Рис. 11.2.
рис. 11.2 и подумайте, в какой мере деление на прош-
прошлое, настоящее и будущее согласуется с существовани-
существованием причинно-следственных связей (рис. 10.8).
11.3. Пусть даны два события. Тогда можно спросить, раз-
разделены ли они в пространстве, во времени или одно-
одновременно в пространстве и во времени. На «старомод-
«старомодной» диаграмме на рис. 6.2 точки S и Т представляют
события, которые произошли одновременно и различа-
различаются только местоположением, значит, они разделены
только в пространстве. События же Т и U происходят
в одном и том же месте и разделены только во времени.
Что же касается событий S и U, то они разделены как
во времени, так и в пространстве. Согласно старым
представлениям, в соответствии с которыми построена
эта диаграмма, мнения всех наблюдателей по поводу
трех описанных событий совпадают.
Ось времени представлена вертикальной, а ось рас-
расстояний— горизонтальной прямой; считается, что время
и пространство невзаимозаменяемы. Более того, все на-
наблюдатели живут в одном и том же пространстве и в
одном и том же времени.
11.6 163
11.4. Пространственно-временная диаграмма нового типа
(рис. 8.26) (копия этого рисунка должна быть у вас
под рукой при чтении нескольких следующих страниц)
заставляет отказаться от этих представлений. Посколь-
Поскольку с каждым наблюдателем теперь связаны собствен-
собственные оси координат, каждый имеет собственное время и
собственное пространство. (Если вам трудно будет по-
понять то, что описано ниже, перечитайте гл. 8, в частно-
частности пп. 8.7, 8.10, 8.12, 8.26—8.31. Не забывайте пользо-
пользоваться открыткой с прорезью.)
По мнению наблюдателя А, события М и Q
(рис. 8.26) происходят одновременно, т. е. они разделе-
ны только в пространстве. Однако, по мнению наблюда-
наблюдателя В, они произошли в разные моменты времени и в
различных местах, т. е. они разделены как во времени,
так и в пространстве. Кроме того, с точки зрения на-
наблюдателя А, события N и Q произошли в одном и том
же месте и, следовательно, разделены только во време-
времени. Согласно же В, и эти события также разделены как
во времени, так и в пространстве. Разберите несколько
подобных примеров, поменяв наблюдателей А и В ро-
ролями.
Если достаточно перейти к другому наблюдателю,
чтобы «смешать» время и пространство, эти два поня-
понятия различаются вовсе не так сильно, как мы привык-
привыкли считать.
11.5. Возможно ли, чтобы пространство одного наблюдате-
наблюдателя соответствовало времени другого?
Если произвольный наблюдатель рассматривает два
события, разделенные только во времени, то линия, со-
соединяющая на диаграмме соответствующие им точки,
должна быть параллельна его оси времени (п. 8.12),
а значит (п. 10.11), ее наклон должен превышать 45°.
Для некоторого другого наблюдателя, считающего, что
эти события разделены только в пространстве, та же
линия должна идти под углом меньше 45°. Но эти ус-
условия нельзя совместить, значит, ответ будет отрица-
отрицательным.
Таким образом, переход к другому наблюдателю
может привести лишь к переходу от времени или прост-
пространства к их «смеси», но никак ни к переходу от вре-
времени к пространству или обратно.
11.6. Вы наверняка уже начали понимать, что пространство
и время как обособленные понятия существуют только
относительно того или иного наблюдателя. Более глу-
глубокая реальность, не втискивающаяся в узкие рамки
И»
11.7 164
представлений индивидуальных наблюдателей, — это
всеобщее и универсальное пространство-время, нечто
обладающее собственными правами на существование,
а не просто пространство и время как два разных по-
понятия, произносимые на одном дыхании. Это и есть то
универсальное пространство-время, в котором живут
наши наблюдатели, да и мы с вами, а не просто прост-
пространство плюс время.
11.7. И тем не менее ни вы, ни я обычно не рассматриваем
единое пространство-время, а упорно продолжаем рас-
расщеплять его на пространство и время. Поэтому-то на-
наших наблюдателей мы обычно заставляем делать то
же самое, при этом обнаруживается, что, вопреки на-
нашим прежним представлениям, различные наблюдатели
производят это расщепление различным образом.
Пространство наблюдателя А определяется накло-
наклоном его оси расстояний (оси X на рис. 8.26). Любая
прямая, имеющая такой наклон, описывает простран-
пространство в некоторый момент собственного времени, опреде-
определенный по часам, движущимся с А. Пространство на-
наблюдателя В изображается линиями, параллельными
оси х, значит, оно не совпадает с пространством А. Лю-
Любая прямая на диаграмме — это своего рода сечение
пространства-времени. Поэтому то, что А называет
пространством, — это некоторое множество сечений,
изображаемых линиями, параллельными оси X. В пред-
представлении наблюдателя В пространство — это другое
множество сечений, изображаемых линиями, парал-
параллельными оси х. Оба наблюдателя также убеждены,
что есть еще нечто, называемое временем, которое кар-
кардинально отличается от пространства. Но если спросить
их, что такое время, то наблюдатель А выберет сече-
сечения, представленные прямыми, параллельными оси Г,
а В — сечения, представленные линиями, параллельны-
параллельными оси t.
Каждый наблюдатель делит единое пространство-
время на то, что он называет пространством, и на то,
что он называет временем, но наблюдатели, движущие-
движущиеся относительно друг друга, проделывают это по-раз-
по-разному.
Начиная с п. 11.6, я стал писать «пространство-вре-
«пространство-время» вместо «пространство и время». Такое объединение
двух слов в одно подчеркивает совершенно новую точ-
точку зрения, к которой мы только что пришли: простран-
пространство и время — это искусственное расщепление универ-
универсального пространства-времени. Самого по себе объеди-
1L9 165
нения этих двух слов еще недостаточно, чтобы под-
подчеркнуть коренной перелом в наших привычных пред-
представлениях.
11.8. Даже в рамках этого единого пространства-времени
остается некоторое различие между пространством и
временем (см. пп. 11.2 и 11.5).
Рассмотрим два произвольных события и точки, со-
соответствующие им на пространственно-временной диа-
диаграмме. Соединяющая их прямая не будет параллель-
параллельна ни оси времени, ни оси расстояний произвольного
наблюдателя. Следовательно, типичный наблюдатель
скажет, что события произошли в различные моменты
времени и в разных местах. Но нет ли особой группы
наблюдателей, которые считают, что эти события раз-
разделены либо только во времени, либо только в прост-
пространстве? Воспользуемся пп. 8.12, 10.11 и 11.4; рис. 8.26
поможет проанализировать опущенные мной детали.
1. Если угол наклона прямой, соединяющей эти точ-
точки, больше 45°, то должны быть инерциальные наблю-
наблюдатели, оси времени которых параллельны этой пря-
прямой. С их точки зрения (только с их точки зрения!),
события разделены только во времени.
2. Если угол наклона прямой меньше 45°, то найдут-
найдутся наблюдатели с параллельными ей осями расстояний.
Они скажут, что события разделены только в прост-
пространстве.
3. Если же эта прямая наклонена под углом 45°, то
ни у одного наблюдателя не может быть параллельная
ей ось времени или ось расстояний (п. 6.18). В этом
случае всякий наблюдатель скажет, что события раз-
разделены как в пространстве, так и во времени.
Эта классификация отражает не просто точку зре-
зрения какого-то наблюдателя, а непосредственно связа-
связана с парами событий и в силу этого сохраняет в рам-
рамках единого пространства-времени некоторые следы
различия между пространством и временем. Будем го-
говорить, что разделение двух событий времениподобно в
случае A), пространственноподобно в случае B) и све-
топодобно в случае C).
11.9. По существу, различие между новой концепцией едино-
единого пространства-времени и старыми представлениями о
раздельно существующих пространстве и времени сво-
сводится к следующему: мнения наблюдателей расходят-
расходятся по поводу как раз тех величин — временных и про-
пространственных координат (п. 8.15), — которые они ис-
используют для точного описания события. Причина этих
И.10 166
разногласий в том, что, хотя они употребляют одни и
те же слова «время» и «расстояние», в действительно-
действительности они толкуют о разных вещах (п. 11.7).
Аналогичные ситуации столь часты в повседневной
жизни, что мы их даже не замечаем! Обсуждением од-
одной из них мы сейчас и займемся.
11.10. Вернемся в привычный мир низких скоростей, в кото-
котором пространство ведет себя так, как «ему положено».
Землемеру, назовем его А, дано задание установить,
как различные точки ровного поля связаны с некоторой
фиксированной точкой О. Для типичной точки Q
(рис. 11.10) он мог бы поступить так.
Рис. 11.10.
Он подсчитывает число шагов от точки О до точки
М, лежащей на линии MQ, перпендикулярной его пу-
пути ОМ. Тогда он повернет к Q и подсчитает число ша-
шагов от М до Q. (Густой лес не позволяет геодезисту
идти напрямик от О к Q.) Длину отрезка ОМ для
краткости будем обозначать через Т (ср. п. 8.18),
а длину отрезка MQ обозначим через X (рис. 11.10).
11.11. Дополнив чертеж прямыми линиями с пометками
«ось Г» и «ось X» (рис. 11.11), получим систему коор-
координат, как на рис. 8.16. Каждая координата точки Q
на плоскости (на участке земли) определяется длиной
Рис. и.п.
11.14
167
11.12.
отрезка, проведенного параллельно одной из осей от
точки Q до другой оси, точно так же как в пространст-
пространстве-времени (п. 8.28).
Итак, мы располагаем отличным методом, позволяю-
позволяющим указать расположение произвольной точки на уча-
участке земли по отношению к точке О. И все же, если
другой землемер, скажем В, захочет определить рас-
расположение точки Q тем же методом, вовсе не обяза-
обязательно, что он получит тот же самый ответ, поскольку
с самого начала может избрать иной путь.
Рис. 11.12.
У землемера В есть своя система координат. На
рис. 11.12 нанесены системы координат обоих земле-
землемеров (ср. с рис. 8.26). Сначала он идет вдоль отрез-
отрезка От (обозначим его через t), а затем — вдоль от-
отрезка mQ (обозначим его через х). Очевидно, что мне-
мнения наблюдателей по поводу протяженности пройден-
пройденных ими отрезков будут расходиться. Или, используя
наши обозначения, можно написать
1фТ, хфХ. A1.1)
11.13М. Знак «=^=» означает, что величины, между которыми
он стоит, не равны. Читайте формулы типа A1.1) в
развернутом виде.
11.14. Таким образом, мнения землемеров по поводу коор-
координат точки Q не совпадут. Ситуация такая же, как в
случае наблюдателей в пространстве-времени (п. 11.9).
Однако этот пример не вызывает у нас беспокойства.
Просто мы скажем, что отрезки Т, X н t, x сами по се-
себе не дают истинную (в смысле п. 2.20) связь между
О и Q.
11.15 168
11.15. Измерения землемеров на плоскости (на участке зем-
земли) и наблюдателей в пространстве-времени (в одно-
одномерной вселенной) столь схожи, что имеет смысл сопо-
сопоставить их. (Когда речь будет идти о плоскости, под
словом «наблюдатель» нужно понимать «землемер».)
Для определения связи между
двумя точками на плоскости двумя событиями в простран-
пространстве-времени
наблюдатель должен задать две координаты:
расстояния в прямом и по- момент времени и расстояние
перечном направлении
Т и X (или tux)
Мнения различных наблюдателей в отношении значений
координат не совпадают, т. е. они обнаруживают, что
гфТу а хфХ.
Мы приходим к выводу, что
расстояния в прямом и по- момент времени и расстояние
перечном направлении на пло- в пространстве-времени
скости
представляют лишь точку зрения отдельного наблюдателя.
Обратите внимание, что нижняя строчка правой ко-
колонки ведет к выводу, который мы частично предвосхи-
предвосхитили в пп. 11.6 и 11.7. Применив правило равенства уг-
углов с линией сигнала (п. 8.26), мы можем добавить сле-
следующее:
Чтобы от системы координат одного наблюдателя перейти
к системе координат другого наблюдателя, следует обе оси коор-
координат повернуть на один и тот же угол
в одном и том же направлении в противоположных направле-
направлениях
11.16. Единственное существенное различие между двумя ко-
колонками имеется в самой последней строчке. Осталь-
Остальные различия носят скорее филологический характер.
Сходство между этими системами столь велико, что
наводит на мысль, а не стоит ли эту аналогию продол-
продолжить дальше. Что вы можете предложить?
11.17. Если каждый землемер возведет в квадрат длины из-
измеренных им отрезков (п. 3.14М) и сложит получен-
11.19М 169
ные результаты, то оба они получат один и тот же от-
ответ, т. е.
t2+x2 = T*+X2. A1.2)
11Л8М. Понятно, что означает формула A1.2)? Не забывайте
читать все символы в развернутом виде (пп. 8.19М,
9.3Ми9.17М).
Здесь символом t обозначен путь От землемера В,
направляющегося в Q. Поэтому, согласно очевидному
обобщению сказанного в п. 3.14М, t2 означает произве-
произведение длины пути От наблюдателя В, направляющего-
направляющегося в Q, на саму себя.
Получается слишком громоздкое выражение, поэто-
поэтому примем компромиссное решение писать вместо t
«путь От для В». Тогда й2 равно (путь От для ВJ,
где скобки напоминают нам, что величина, определяе-
определяемая стоящей в них фразой, должна умножаться сама
на себя (ср. с п. 3.14М). Запишите A1.2) с помощью
этих сокращений.
Эта формула примет вид
(Путь От для ВJ+(Путь mQ для ВJ =
= (Путь ОМ для АJ+(Путь MQ для АJ. A1.3)
(Ср. с аналогичным утверждением в п. 3.15М.) Уверен,
что на этот раз вы сумеете прочитать мысленно следу-
следующее: длина «пути От для В», умноженная на себя,
плюс «длина пути mQ для В», умноженная на себя,
равна.... Дочитайте до конца. А может быть, вы уже в
состоянии прочесть: квадрат «пути От для В» плюс....
Завершите фразу. Еще один вариант прочтения форму-
формулы A1.3) —это первое предложение п. 11.17.
Вместо t в A1.2) можно было бы прочитать «длина
отрезка От» и аналогично для х, Т и X, Запишите
A1.2) в форме, подобной A1.3), с помощью этого со-
сокращения.
Вы получите
(Длина отрезка ОтJ-)-(Длина отрезка mQJ —
= (Длина отрезка ОМJ-[-(Длина отрезка MQJ. A1.4)
Теперь продумайте смысл этого утверждения таким же
путем, как выражения A1.3).
Если что-то непонятно, отдохните, прочтите все сно-
снова, пока не разберетесь.
11.19М. Теперь мы знаем, что означает формула A1.2). Но вер-
верна ли она? Используя отрезки От, mQ и т. д.
11.20 170
(рис. 11.12), попытайтесь доказать ее справедливость
на основе уже известных нам фактов.
Не получается? Соедините прямой линией О и Q и
снова попытайтесь доказать A1.2).
Что вам напоминает это уравнение, в которое входит
сумма квадратов длин двух отрезков?
В треугольнике OMQ угол при вершине М прямой.
Следовательно, согласно теореме Пифагора (п. 13.15М),
(Длина отрезка ОМJ+(Длина отрезка MQJ =
= (Длина отрезка OQJ.
Но длина отрезка ОМ — это «путь ОМ наблюдателя
А, направляющегося в О», который мы договорились
сокращенно обозначать символом Т (рис. 11.12), а вме-
вместо длины отрезка MQ можно писать X. Тогда послед-
последнее уравнение приводится к виду
Т2-\-Х2 = (Длина отрезка OQJ. A1.5)
Теперь с помощью треугольника OmQ докажите, что
/2+*2== (Длина отрезка OQJ. A1.6)
Завершите доказательство.
Из уравнений (П.5) и A1.6) следует, что суммы
Т2-\-Х2 и t2-\-x2 равны одной и той же величине, поэто-
поэтому они равны между собой, что и утверждает формула
A1.2). Теперь перечитайте п. 11.17.
11 20. Вывод, следующий из п. 11.17, таков: мнения землеме-
землемеров по поводу координат точки Q в системе координат
каждого из них могут не совпадать, но если каждый из
них воспользуется найденными им значениями коорди-
координат для вычисления суммы квадратов измеренных им
отрезков, то они получат один и тот же результат.
Это пример инварианта — величины, которая не из-
изменяется при переходе от одной системы координат к
другой, т. е. одинакова для всех наблюдателей. Я уве-
уверен, вы ясно сознаете, что инвариант — это нечто очень
важное.
Мы уже сталкивались с понятием инвариантности,
когда говорили о скорости света, которая также одина-
одинакова для всех наблюдателей (п. 1.22). Условимся, что
существительное «инвариант» всегда будет означать
какой-то новый тип инварианта, который является
комбинацией координат. Этот тип инварианта будет иг-
играть особую роль во всем дальнейшем изложении.
11.21. Вам, наверное, не терпится отметить, что землемеры не
сделали никакого выдающегося открытия. Они просто
11.21 171
обнаружили, что уравнения A1.5) и A1.6) позволяют
каждому из них найти расстояние от О до Q. Ведь если
бы они измеряли его непосредственно, то между ними
не возникло бы разногласий. А если прямое измерение
сделать невозможно? Представьте себе их радость, ког-
когда после долгих споров они все же пришли к согласию
относительно значения искомой величины. Им захочется
дать название вновь открытому инварианту. В резуль-
результате геодезисты определят «расстояние». Заменив в со-
соотношениях A1.5) и A1.6) слово «длина» на слово
«расстояние», они получат
(Расстояние от О до QJ = r2+*2 = *2+*2.
С помощью этого инварианта они могут достаточно
глубоко исследовать геометрию на плоскости даже в
том случае, если им неизвестно, как найти расстояние
с помощью прямых измерений.
Рассмотренная в пп. 11.15 и 11.16 аналогия наводит
на мысль, что следует поискать инвариант в простран-
пространстве-времени. Именно этому и посвящена следующая
глава.
12
ИНТЕРВАЛ
12.1. Чтобы облегчить поиски инварианта в пространстве-вре-
пространстве-времени, нужно овладеть еще одним приемом работы с
пространственно-временными диаграммами. Сделанные
наблюдателем измерения промежутков времени и рас-
расстояний наносятся на диаграмму в определенном мас-
масштабе (см. пп. 6.22, 8.4, 8.8, 8.9, 8.11 и 8.28). Мы пока
не знаем, как связаны между собой масштабы различ-
различных наблюдателей (п. 8.24). Но если иметь дело только
с двумя из них, то удобно, чтобы у них обоих был
один и тот же масштаб. Можно ли выбрать их мировые
линии так, чтобы это условие выполнялось?
Рис. 12.1.
Масштаб, используемый тем или иным наблюдате-
наблюдателем, должен зависеть от наклона его мировой линии.
Если одинаковы наклоны, то одинаковы и масштабы.
В самом деле, из симметрии ситуации, изображенной
на рис, 12.1, ясно, что
когда мировые линии двух наблюдателей А и В име-
имеют одинаковый наклон (составляют один и тот же
12.4 173
угол с вертикалью по обе стороны от нее), то и
масштабы, используемые для изображения на диа-
диаграмме измеренных обоими наблюдателями проме-
промежутков времени и расстояний, так же одинаковы.
Удостоверьтесь, что изображение осей расстояний и
обозначения всех осей соответствуют п. 8.26.
12.2. Эта пара наблюдателей ничем особенным не выделяет-
выделяется. Если выбрать двух любых наблюдателей, назвав их
А и В, то для них можно построить диаграмму такого
же типа. Докажите это.
Рассмотрим наблюдателя С, движущегося так, что
наблюдатели А и В перемещаются относительно него с
одинаковыми скоростями, но в противоположных на-
направлениях. Пусть мировая линия наблюдателя С вер-
вертикальна (ср. с п. 8.42 и 8.43). Мировые линии наблю-
наблюдателей А и В составляют с вертикалью один и тот
же угол, а значит, и используемые ими масштабы оди-
одинаковы.
12.3. Получается, что на рис. 12.1
ось расстояний каждого из наблюдателей А и В пер-
перпендикулярна оси времени другого наблюдателя.
Докажите, что так оно и должно быть.
На рис. 12.1 изображены вертикаль и горизонталь,
проходящие через точку О. Углы 1 и 2 равны, ибо оси
времени имеют одинаковые наклоны. Поскольку ось
расстояний наблюдателя В составляет с горизонталью
тот же угол, что и его ось времени с вертикалью
(п. 8.26), углы 2 и 3 также равны.
Отсюда следует, что угол 1 равен углу 3. Поэтому,
чтобы провести оси х и Т, достаточно взять идущие под
прямым углом друг к другу горизонтальную и верти-
вертикальную прямые и повернуть их на один и тот же угол
(как показано на рисунке стрелками). Разумеется, в
конце этой операции они снова будут идти под прямым
углом. Аналогично для осей X и t.
12.4. Приступим к поискам инварианта! Есть два произволь-
произвольных события О и Q. Обычно мнения наблюдателей по
поводу промежутка времени, прошедшего между со-
событиями, и разделяющего их расстояния не совпадают.
Можно ли выполнить какое-нибудь измерение, связыва-
связывающее события О и Q, в отношении которого мнения
наблюдателей будут совпадать?
Пусть наблюдатели А и В присутствуют при собы-
событии О, и пусть их мировые линии имеют одинаковый
12.5 174
наклон. Добавим оси расстояний (как на рис. 12.1 )¦
Тогда получится диаграмма, в которой применимы
утверждения, сформулированные в пп. 12.1 и 12.3. Про-
Проведем на рис. 12.4 прямую mQ, параллельную оси рас-
расстояний наблюдателя В и пересекающую его ось вре-
времени в точке т, и прямую NQ, параллельную оси вре-
времени наблюдателя А и пересекающую его ось расстоя-
расстояний в точке N. Итак, mQ и NQ играют ту же роль, что
и отрезки на рис. 8.26, обозначенные теми же буквами.
Соединим точки m и N,
Рис. 12.4.
12.5. Если часы наблюдателя А в момент события О пока-
показывали нуль, то промежуток времени, прошедшего,
с точки зрения А, между событиями О и Q, — это про-
просто время, которое показывали часы А в момент собы-
события Q. Поскольку О произошло на нулевом расстоянии
от А, расстояние от О до Q, согласно наблюдателю А,
равно измеренному им расстоянию от него до Q. Как
обычно, введем для этих величин сокращенные обозна-
обозначения Т и X. Буквами t и х обозначим аналогичные ве-
величины по измерениям наблюдателя В.
Теперь, воспользовавшись указаниями п. 8.28, с по-
помощью рис. 8.26 самостоятельно проверьте, что Т изо-
изображается отрезком NQ, X — отрезком ON, t — отрез-
отрезком От и х — отрезком mQ. Все эти отрезки вычерче-
вычерчены в одном масштабе (п. 12.1). (На рис. 8.26 буквой X
обозначен отрезок MQ, но ON имеет ту же длину.)
12.6. Составьте уравнение, содержащее Т, X, t и х.
Какой геометрической теоремой следует воспользо-
воспользоваться (по аналогии с задачей о землемерах)?
12.8 175
Теоремой Пифагора (п. 3.15), а п. 11.19М может
подсказать, как ее применить к рис. 12.4.
Линии NQ и mQ параллельны осям Тих соответст-
соответственно. Сами же эти оси перпендикулярны друг другу
(п. 12.3). Следовательно, угол NQm — прямой, и при-
применение теоремы Пифагора к треугольнику NQm дает
(Длина отрезка NQJ-f- (Длина отрезка mQJ =
= (Длина отрезка mNJ.
Подставляя наши обозначения, получим
Т2-\-х2 = (Длина отрезка mNJ.
Составьте аналогичное уравнение для t и X.
Угол NOm — прямой (п. 12.3). Поэтому
= (Длина отрезка mNJ,
Мы доказали, что обе суммы t2-\-X2 и Т2-\-х2 равны
(длине отрезка mNJ, значит, они должны быть равны
между собой, т. е.
12.7. Чтобы найти величину, по поводу которой мнения на-
наблюдателей совпадают, нам нужно такое уравнение,
в одной части которого содержатся только величины,
измеренные наблюдателем А, а в другой — соответст-
соответствующие величины, измеренные В. Как получить такое
уравнение?
Вычтем X2 из обеих частей последнего уравнения
(п. 3.19М). Это даст t2 = T2+x2—X2, Теперь вычтем из
обеих частей х2 и получим
f8-jc2 = Ta—X2. A2.1)
Удостоверьтесь, что вы поняли все рассуждения начи-
начиная с п. 12.4. Прежде чем читать дальше, сравните фор-
формулы A2.1) с A1.2) и подумайте о значении того, что
мы делали.
12.8. Мнения наблюдателей А и В в отношении промежутка
времени между событиями О и Q и расстояниями меж-
между ними не совпадают. Но если каждый наблюдатель,,
исходя из собственных измерений промежутка времени
и расстояния, вычислит разность (промежуток време-
времениJ— (расстояниеJ, то они получат один и тот же ре-
результат.
Пока мы примирили только двух наблюдателей. Но
мы, кажется, напали на след инварианта в пространств
12.9 176
ве-времени, аналогичного инварианту, найденному зем-
землемерами на их поле (пп. 11.20 и 11.21).
12.9. Докажите, что мнения всех наблюдателей, мировые ли-
линии которых проходят через точку О, совпадут в отно-
отношении этой величины.
С помощью тех же рассуждений можно показать,
что совпадут мнения двух любых наблюдателей, доста-
достаточно только нарисовать новую диаграмму (а это воз-
возможно; см. п. 8.44), на которой мировые линии обоих
наблюдателей имеют одинаковый наклон, но противо-
противоположно направлены. Но если пришли к соглашению
любые двое, значит, совпадут мнения всех наблюдате-
наблюдателей.
12.10. А как быть с наблюдателем D, мировая линия которого
не проходит через точку О?
Рассмотрим еще одного наблюдателя, скажем Е, не-
неподвижного относительно D, мировая линия которого
проходит через точку О. Мнения неподвижных относи-
относительно друг друга наблюдателей совпадают в отноше-
отношении как промежутков времени, так и расстояний, а зна-
значит, и разности этих величин (времяJ— (расстояниеJ.
Наблюдатель D придет к согласию с Е, а значит, со
всеми наблюдателями, мировые линии которых прохо-
проходят через точку О. Итак, мы перебрали все возможные
случаи и доказали, что
мнения всех наблюдателей в отношении разности
(Промежуток времени между О и QJ —
— (Расстояние от О до QJ A2.2)
совпадают.
Обращая особое внимание на слово «всех» и помня,
что О и Q могут быть любыми событиями, мы можем
провозгласить:
МЫ НАШЛИ ИНВАРР1АНТ!
В мире малых скоростей многое в нашем понимании
этого мира и многое в нашей власти над природой за-
зависит от осознания того, что время и расстояние — ин-
инварианты, что все наблюдатели, независимо от того,
как они производят измерения, получат в результате
этих измерений одни и те же значения времени и рас-
расстояния. При движении с большими скоростями прост-
пространство и время больше не обладают такими свойства-
свойствами. Но мы нашли новый инвариант пространства-вре-
пространства-времени, и он безусловно играет столь же большую роль
12J3M 177
в нашем понимании мира больших скоростей, какую
время и расстояние играли в понимании мира скоро-
скоростей малых. (Если вы знакомы с отрицательными чис-
числами, можете сразу переходить к п. 12.14.)
12.11М. В дальнейшем нам потребуется знать еще кое-какие
свойства отрицательных чисел (пп. 6.23М — 6.25М).
Сейчас я их просто сформулирую, оставив строгое до-
доказательство «на потом».
Все мы знаем, как из 5 вычесть 3. А что получится,
если из 3 вычесть 5? «3 секунды — 5 секунд» означает
момент времени, на 5 секунд более ранний, чем момент,
соответствующий 3 секундам, т. е. на две секунды
раньше нулевого момента времени, или (см. п. 6.23М) —
это 2 секунды, отмеренные «назад», в прошлое. Итак,
3—5=—2.
Заметьте, что мы получили —2 в отличие от результа-
результата действия 5—3. Более общие соображения приводят
к заключению, что
результатом вычитания большей величины из мень-
меньшей является отрицательная величина, которая по-
получается вычитанием меньшей величины из боль-
большей с последующей заменой знака ответа с плю-
плюса на минус.
12.12М. Будем также использовать следующее положение:
квадрат отрицательной величины положителен
(п. 6.24М) и равен квадрату соответствующей по-
положительной величины (которая получается, если
отбросить знак минус).
Например, (—3J = 9, так же как и З2 (число —3 взято
в скобки, чтобы показать, что это отрицательная ве-
величина —3, которая умножается сама на себя; —З2
означает «то, что получится в результате умножения
числа 3 на себя, но со знаком минус», т. е. —9). А в
общем случае, если —а — это любая отрицательная
величина, то
(_яJ=а2. A2.3)
Поскольку мы уже знаем, что квадрат положительной
величины положителен, можно добавить, что
квадрат любой (не равной нулю) величины поло-
положителен.
12.13М. Рассмотрим сначала умножение отрицательной вели-
величины на положительную. Обсудим эту операцию с по-
помощью предложенной в п. 6.25М процедуры отсчета
шагов. Например, ЗХ(—2) можно было бы рассмат-
12—1653
12.14 178
ривать как указание сделать 3 раза по 2 шага назад,
или всего 6 шагов назад. Значит, ЗХ(—2)=—6. Итак,
в результате умножения положительной величины на
отрицательную получается отрицательная величина.
Знак минус означает, что надо шагать в противопо-
противоположном направлении. Разумно предположить, что два
отрицательных знака в произведении (—3)Х(—2),
«отдавая распоряжение» дважды изменить направле-
направление, возвращают нас к первоначальному, положитель-
положительному направлению. Теперь нетрудно догадаться, что
(—3)Х(—2) =6, а также, что произведение двух от-
отрицательных величин всегда положительно. Тогда в
случае двух равных величин мы приходим к утверж-
утверждению, сделанному в п. 12.12М по поводу возведения
в квадрат.
12.14. Мы доказали, что величина A2.2)—инвариант. Одна-
Однако землемеры в такой же ситуации (п. 11.21) обна-
обнаружили, что в качестве инварианта для них предпоч-
предпочтительнее выбрать величину, квадрат которой равен
(путь в прямом направленииJ+(путь в поперечном
направленииJ. Это наталкивает на мысль, что и» в
пространстве-времени инвариантом могла бы быть
величина, квадрат которой равен A2.2).
Но с учетом сказанного в п. 12.12М нужно соблю-
соблюдать осторожность.
Время, прошедшее между О и Q, может быть как
положительной, так и отрицательной величиной
(п. 8.14М), так же как и расстояние от О до Q. Но,
согласно п. 12.12М, величины (время между О и QJ
и (расстояние от О до QJ положительны, и если по-
последняя больше первой, то величина A2.2) отрицатель-
отрицательна (п. 12.11М). Но такой величины, квадрат которой
был бы отрицательным, не существует (п. 12.12М).
Однако если величина A2.2) отрицательная, то ве-
величина
(Расстояние от О до QJ—(Время от О до QJ A2,4)
(полученная путем перестановки входящих в нее чле-
членов) будет положительной, и мы избежим осложнений,
взяв в качестве инварианта величину, квадрат кото-
которой равен A2.4). Если время между событиями боль-
больше расстояния, то величина A2.2) положительна, и
тогда никаких проблем не возникает.
12.15. Полученный таким способом инвариант называется
интервалом. Дадим строгое определение:
12.17 179
интервал между двумя событиями О и Q — это ве-
величина, квадрат которой равен:
либо (Время между О и QJ—(Расстояние от О
AOQJ, A2.5)
либо (Расстояние от О до QJ—(Время меж-
между О и QJ A2.6)
в зависимости от того, какая из этих величин по-
положительна (время и расстояние должны измерять-
измеряться одним и тем же инерциальным наблюдателем).
Если же время и расстояние равны, то интервал всег-
всегда равен нулю.
Из сказанного в п. 12.10 следует:
ИНТЕРВАЛ, ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ТАКИМ ОБРА-
ОБРАЗОМ, - ЭТО ИНВАРИАНТ.
12.16. Например, если время, прошедшее от О до Q, равно
5 с, а расстояние от О до Q 13 с, то следует восполь-
воспользоваться выражением A2.6); тогда (интервал между
событиями О и QJ = 132—52== 144, отсюда интервал
между событиями О и Q равен 12.
Этот пример напоминает, что мы используем есте-
естественные единицы (п. 7.11), и расстояние измеряется
в тех же единицах, что и время. Следовательно, оба
выражения A2.5) и A2.6) принимают вид:
(ВремяJ— (Другое времяJ;
а значит, (интервалJ также имеет смысл (времяJ.
Таким образом, интервал тоже имеет смысл времени
и измеряется в единицах времени.
12.17. Обозначив буквой 5 интервал между событиями О hQ,
запишите определение интервала в сокращенной симво-
символической форме.
Время между О и Q, с точки зрения наблюдателя
А, обозначим через Т, а расстояние от О до Q — че-
через X. Тогда определение, данное в п. 12.15, сведется
к следующему:
либо s* = T*—X\
либо s2 = A2 — Г2.
в зависимости от того, которое из этих выражений по-
положительно. Если же пользоваться результатами изме-
измерений наблюдателя В, то вместо Т будет стоять t,
вместо X — х.
12*
/2.75 ISO
Объединим эти выражения:
либо s2= T*-X2 = t2-x\ A2.7)
либо s2 = X2-r2 = x2-*2. A2.8)
в зависимости от того, какое из них положительно.
12.18. До сих пор наши исследования все глубже затягива-
вали нас в трясину, где то, что мы считали бесспор-
бесспорным, на поверку оказывалось лишь зависящим от точ-
точки зрения того или иного наблюдателя. Теперь мы на-
наконец обрели твердую почву под ногами, обнаружено
нечто, в отношении чего мнения всех наблюдателей
совпадают.
Промежуток времени и расстояние между двумя
событиями — это всего лишь относительные величины,
зависящие от наблюдателя. Но та комбинация време-
времени и расстояния, которую мы назвали интервалом,
оказалась независящей от наблюдателя. Поэтому ин-
интервал является истинной характеристикой связи
между двумя событиями. Он остается одним и тем же
для всех инерицональных наблюдателей.
Интервал — это «смесь» времени и расстояния. Та-
Такое наблюдение подкрепляет вывод, сделанный в гл. 11,
что мир, в котором мы живем, — это единое, универ-
универсальное пространство-время.
12.19. Просмотрите п. 11.15. Для завершения рассмотренной
там аналогии можно добавить следующее:
Однако совпадают мнения всех наблюдателей в отношении
расстояния,
где
(Расстояние) 2 = Т2+X2 = t2 4-х2
и мы приходим к выводу,
вариантами
на плоскости
расстояние
интервала,
(Интервал) 2 =
( T2—X2 = t2—x2,
~{ x2—T2 = x2—t2
что величины, которые являются ин-
в пространстве-времени
это
интервал
12.20. Аналогия стала более впечатляющей. Теперь есть раз-
различия между столбцами: разные направления поворо-
12.23 181
та осей координат при переходе от одного наблюдате-
наблюдателя к другому (п. 11.15) и тот факт, что в одном случае
инвариант представляет собой сумму Т2-\-Х2, а в дру-
другом— разность Т2—X2, так что аналогия очень тесная.
И весьма обнадеживающая! Когда землемеры по-
поняли, что расстояние инвариантно, они стали лучше
понимать плоскость, на которой живут. Также и мы
лишь тогда постигнем пространство-время, когда пол-
полностью оценим следствия инвариантности интервала.
12.21. Землемеры и их системы координат связаны с гео-
геометрией на плоскости. Не следует думать, что сущест-
существует одна-единственная геометрия. Возможны различ-
различные геометрии: геометрия на плоскости, геометрия на
сфере и т. д., и правила в рамках этих геометрий раз-
разные. Например, на плоскости сумма всех углов тре-
треугольника всегда равна двум прямым углам, а на
сфере эта сумма всегда больше двух прямых углов
(вообразите треугольник, две вершины которого ле-
лежат на экваторе и одна на полюсе).
Каждая геометрия включает свой набор теорем.
Можно построить ту или иную геометрию в виде на-
набора правил для обработки измерений, сделанных в
том или ином пространстве. В этом смысле можно го-
говорить и о геометрии пространства-времени.
12.22. Геометрия полностью определяется своим инвариантом.
Это значит, что если известно, как измерены коорди-
координаты, и известна формула вычисления инварианта че-
через координаты, то на основании этого можно постро-
построить геометрию. (К сожалению, доказательство слиш-
слишком сложно, так что примите это утверждение на ве-
веру.) Можно, например, построить в деталях геомет-
геометрию на плоскости, если знать, как землемеры измеря-
измеряют координаты (пп. 11.10—11.12), и формулу для вы-
вычисления инварианта (расстояния) по этим координа-
координатам (п. 11.21). Точно так же, чтобы построить гео-
геометрию пространства-времени, надо знать, как изме-
измеряются время и расстояние и как вычисляется интер-
интервал по этим координатам.
12.23. Мы всюду предполагали, что тяготение отсутствует.
Специальная теория относительности описывает свой-
свойства пространства-времени в отсутствие тяготения
(п. 5.5). Таким образом, наша задача — построить спе-
специальную теорию относительности, исходя' из мето-
методов, с помощью которых инерциальные наблюдатели
измеряют время и расстояние, и правила вычисления
интервала по результатам этих измерений.
13
ВОЗВРАЩЕНИЕ К СТАРЫМ ЗНАКОМЫМ
13.1. Исходя из формулы для интервала, выведем некото-
некоторые уже известные нам вещи. Не хочу говорить зара-
заранее, что это такое, пусть это будет сюрприз. Мы не бу-
будем строить никаких диаграмм, вывод целиком осно-
основан на одной лишь инвариантности интервала.
Рассмотрим двух инерциальных наблюдателей А и
В, которые минуют друг друга в момент события О с
относительной скоростью v (выраженной в долях ско-
скорости света, см. п. 8.39). Пусть Q соответствует уда-
удару часов наблюдателя В, происшедшему, с точки зре-
зрения А, через 1 единицу времени после О, и пусть t
означает время между событиями О и Q по часам на-
наблюдателя В.
13.2. Каково, с точки зрения наблюдателя В, расстояние
между О и Q?
Оно равно нулю, ибо оба события произошли ря-
рядом с ним. А чему равен интервал s между О и Q?
Воспользуемся формулой A2.7), положив в ней в
соответствии с только что полученным результатом х
равным 0. Тогда s2 = t2—О2, или просто
s2 = t2. A3.1)
13.3. Чему равно расстояние от О до Q с точки зрения на-
наблюдателя А?
Наблюдатель А видит, что между событиями О и Q
наблюдатель В удаляется от него со скоростью v в те-
течение 1 единицы времени и, значит, покрывает расстоя-
расстояние v. Выразите интервал от О до О с точки зрения на-
наблюдателя А.
Теперь, принимая во внимание, что Т—\ и X = v,
получим
s2= 1—и2. A3.2)
Не замечаете ничего интересного?
Из инвариантности интервала следует, что оба вы-
выражения для величины s2 должны быть равны, т. е.
/2=l-i/2. A3.3)
13.6 183
Итак, установлена связь между промежуткам» време-
времени, измеренными наблюдателями А и В.
13.4М. Если одно число или величина является корнем квад-
квадратным из другой, то вторая величина есть квадрат
первой. Так, 3 — это корень квадратный из 9, ибо 9 —
это 3 в квадрате. Чему равен корень квадратный из t2?
Просто t, потому что его квадрат равен t2.
Символ У означает «корень квадратный из». По-
Поэтому можно записать: 3=У9, поскольку 9 = 32. А пер-
первое предложение этого раздела можно переписать так:
Если & = ]/а, то а = Ь2.
Корень квадратный из выражения типа 1—v2 за-
записывается в виде yi—v2; сначала нужно вычислить
1—v2 и только после этого извлечь квадратный корень.
13.5. Из A3.3) следует, что
t = V~\^v*. A3.4)
(Если для вас это не очевидно, то замените в формуле,
данной в п. 13.4 М, а на 1—v2, a ft на /). Говоря, что
время между событиями О и Q, с точки зрения на-
наблюдателя А, равно единице, мы не указали, какой
именно единице. Можно принять любую единицу вре-
времени (ср. с пп. 3.13 и 3.21). Значит, из формулы A3.4)
следует, что во всех случаях
(Время, прошедшее по часам наблюдателя В меж-
между событиями О и Q) = (Время, прошедшее между
О и Q с точки зрения А)ХУ1—я2-
Если обозначить время, прошедшее между О и Q с
точки зрения А, через Т, то
^Г2, A3.5)
где ГУ1—v2 = TXH— v2 (см. п. 9.14М). Уравнение
A3.5)—это и есть то уравнение, которое мы стреми-
стремились вывести.
13.6. Узнали старого знакомого?
Если нет, проштудируйте еще раз пп. 3.7 и 3.8 (а
при необходимости — пп. 3.1 и 3.2). Какое время в рас-
рассматриваемом случае следует считать собственным,
а какое несобственным?
Наблюдатель В присутствует как при событии О,
так и при событии Q, Следовательно, t— это собствен-
собственное время. Наблюдатель А не присутствует при со-
13.7 184
бытии Q, а значит, Т—несобственное время. Таким
образом, формула A3.5) устанавливает связь между
промежутками собственного и несобственного времени.
Теперь узнали?
13.7. Вернемся снова к замедлению течения времени
(п. 3.10). Из уравнения A3.5) следует, что собствен-
собственное время равно несобственному времени наблюдателя
А, умноженному на коэффициент yi—v2. Он больше
или меньше 1?
Согласно п. 12.12М, v2— величина положительная.
Поэтому 1—v2 меньше 1, а значит, yi—vz также
меньше единицы. Следовательно, промежуток собст-
собственного времени меньше промежутка несобственного
времени. К этому же выводу мы пришли в п. 3.10. Но
теперь мы еще определили, на сколько меньше.
13.8. Единственной информацией, которая использовалась в
этом выводе, была инвариантность интервала. Это
свойство интервала — очень важное открытие, посколь-
поскольку из него с такой легкостью следует замедление те-
течения времени. Этот вывод служит в пользу приведен-
приведенного в п. 12.23 предположения о возможности по-
построения всей специальной теории относительности из
свойства инвариантности интервала.
В повседневной жизни мы пользуемся знанием гео-
геометрии. Наша геометрия основана на том, что вычис-
вычисленное по измеренным координатам расстояние
(п. 11.21) является инвариантом. И даже те, кто не
изучал геометрию, интуитивно чувствуют это.
Аналогичную роль в мире больших скоростей игра-
играет инвариантность интервала. Сознавая относитель-
относительность времени и расстояния, люди» в таком мире по-
полагались бы на знание того, что интервал является
инвариантом (и это для них было бы очевидно). А за-
замедление течения времени для них элементарная гео-
геометрическая теорема, известная каждому ребенку. Для
нас интервал не может иметь столь же ясный смысл,
но он помогает углубить наше понимание пространст-
пространства-времени.
13.9. Убедимся, что формула A3.5) дает тот же результат,
что и расчет, проделанный в пп. 3.13—3.22. При и =
= 0,995 получим v2 = 0,990025; 1— v2 = 0,009975 и
У1—и2 = 0,09987 (проверьте это возведением в квад-
квадрат), что довольно близко к 0,1. В качестве упражне-
упражнения решите этим способом задачи 1) и 2) из п. 3.23.
15.10. Из формулы A3.5) ясно, почему мы не замечаем за-
13.12М
18b
медления течения времени. Скорости, с которыми мы
встречаемся в повседневной жизни, чрезвычайно ма-
малы по сравнению со скоростью света. Поэтому v—это
очень маленькая дробь, a v2 еще меньше. Следователь-
Следовательно, значение величины 1—v2 очень близко к 1, так же
как и *|/1—v2. Таким образом, t почти совпадает с Т.
Хотите конкретные цифры? Но при расчетах для ма-
малых скоростей возникают трудности арифметического
характера (убедитесь в этом сами), которые мы обой-
обойдем, используя приближенные формулы.
13.11М. Знак «^» применяется для сокращенной записи фра-
фразы «приблизительно равно».
13.12М. Длина сторон большого квадрата на рис. 13.12 рав-
равна 1. Поэтому длина отрезка FC, для которой мы вве-
введем обозначение х\2 (чтобы облегчить расчет), будет
н
К
G
1 -х/2 х/2
Рис. 13.12.
иметь дробное значение. Пусть EBCG, например, пло-
площадь прямоугольника с вершинами в точках Е, В, С
и G. Тогда
ABCD — EBCG—FCDH « АЕКН.
A3.6)
Это — приближенное соотношение, поскольку FCGK
вычитается дважды. Но если х/2— малая дробь, то
ошибка пренебрежимо мала.
Применение обычной формулы (ширина)'Х(длина)
для расчета каждой площади дает
1— х/2~х/2ъ(\ — х/2J.
ГЗЛ'6 18&
Но дважды вычесть х/2— это все равно что один раз
вычесть х. Поэтому
1_*«A~*/2)«, A3.7)
откуда
P^l — х/2. A3.8)
(ср. с п. 13.5). Мы получили удобный метод извлече-
извлечения квадратных корней из чисел, чуть меньших еди-
единицы. Примените его к одному-двум числам (типа
0,994) и проверьте полученные ответы возведением в
квадрат. Замена х на v2 в формуле A3.8) дает
YT=b*^l—zfl/2. A3.9)
13.13. Скорость реактивного самолета v = 0,000001 (п. 1.8).
Чему равно замедление течения времени относитель-
относительно наблюдателя, стоящего на земле?
у2 = о,ООО 000 000 001. Тогда, согласно A3.9), yi—v2&
«1 —0,000 000 000 000 5 = 0,999 999 999 999 5. Едва ли
можно заметить расхождение в 1 часть на 2 миллиона
миллионов! Рассмотрите еще несколько примеров,
в частности сравните мнения наблюдателей на Земле
и на Солнце (п. 1.8). При какой скорости будет наблю-
наблюдаться заметный эффект?
13.14. Кое-что новое о замедлении течения времени можно
узнать с помощью пространственно-временной диа-
диаграммы (рис. 12.1), на которой мировые линии наблю-
13.16 187
дателей А и В имеют одинаковые наклоны. Убеди-
Убедитесь, что рис. 13.14 изображает ситуацию, о которой
шла речь в п. 13.1.
Прямая MQ параллельна оси X и, значит, перпен-
перпендикулярна оси / (п. 12.3). Таким образом, отрезок OQ
короче отрезка ОМ. Но они представляют в одном и
том же масштабе (п. 12.1) соответственно собственное
время наблюдателя В и несобственное время наблюда-
наблюдателя А между событиями О и Q, Значит, промежуток
собственного времени меньше несобственного. Рассмот-
Рассмотрите в качестве упражнения случай, когда событие Q
происходит раньше, чем О. Уравнение A3.5) легко вы-
вывести из рис. 13.14.
13.15. В пп. 3.34 — 3.36 мы познакомились с другим спосо-
способом представления замедления течения времени, а в
п. 3.37 я обратил ваше внимание на кажущееся про-
противоречие. Вы уже разобрались в нем? Если нет, то
попытайтесь еще раз.
Глядя на рис. 13.14, нетрудно понять, почему на-
наблюдатель А считает, что часы В отстают: отрезок
OQ, представляющий время, измеренное по часам на-
наблюдателя В, короче отрезка ОМ, дающего время с
точки зрения А. Чтобы выяснить, что думает наблю-
наблюдатель В о ходе часов А, возьмем на мировой линии
наблюдателя А точку q, проведем прямую mq парал-
параллельно оси х, а затем повторим наше рассуждение, из
которого, если просто поменять местами А и В, полу-
получится тот же результат.
Дело в том, что отрезки MQ и mq параллельны
двум осям расстояний, но не параллельны друг другу;
именно поэтому на диаграмме можно представить от-
относительность одновременности. Просмотрите еще раз
пункты (а) и (б) в п. 3.37, и вы увидите, что никако-
никакого противоречия нет.
Нанесите две одинаковые шкалы времени вдоль
двух осей времени. Затем, воспользовавшись открыт-
открыткой с прорезью, посмотрите, насколько больше време-
времени, с точки зрения наблюдателя А (пп. 8.13 и 8.27),
пройдет между появлением в прорези точек О и Q по
шкале А, чем по шкале В. Повторите процедуру для
точек О и q с точки зрения наблюдателя В.
13.16. Предсказанное теорией относительности замедление
течения времени проверялось не только в эксперимен-
эксперименте, описанном в пп. 3.28—3.32, но и во многих дру-
других. В одних опытах использовались мюоны, в дру-
других— пи-мезоны (п. 1.9), короткое время жизни кото-
13.17 188
рых позволяет провести весь эксперимент в стенах
лаборатории; результаты согласуются с предсказанием
теории с точностью 0,4%. В журнале New Scientist от
22 апреля 1976 г. на стр. 184 описаны эксперименты,
в которых с помощью лучей лазера измеряли, на
сколько отстают часы, «встроенные» в движущиеся
атомы. Они дали почти такую же точность.
Очень короткоживущие частицы должны пройти не-
несколько метров от места, где они родились, к месту,
где они будут подвергнуты эксперименту. Но достаточ-
достаточное ли их число «выживет», чтобы имело смысл про-
проводить опыт? Чтобы правильно ответить на этот вопрос,
экспериментатор должен учесть замедление течения
времени. Поэтому каждый эксперимент — это еще од-
на проверка этого предсказания, а значит (п. 3.33),
и справедливости специальной теории относительности.
13.17. Чему равен промежуток собственного времени между
двумя событиями, связанными световым сигналом?
Возможно, вы бы ответили: «нулю». И, вероятно,
получили бы этот ответ, подставив в формулу A3.5)
у=1; тогда ~|/ 1—и2 = 0, а значит, ^ = 0. Но ведь формула
A3.5) выведена для инерциальных наблюдателей, а они
не могут двигаться со скоростью света (п. 2.1). Пред-
Предположим, что A3.5) выполняется также и для света,
тогда ваш ответ будет правильным. Для светового сиг-
сигнала замедления течения времени не происходит. Был
ли я излишне осторожен в п. 6.11?
13.18. Пространственно-временная диаграмма с одинаково
наклоненными мировыми линиями (п. 12.1) поможет
понять релятивистское сокращение длин (п. 3.33, а так-
также пп. 2.23—2.26). Отменим временно соглашение,
принятое в п. 8.5, чтобы говорить о длине стержня.
Пусть наблюдатель А (рис. 13.18) несет стержень,
держа его за один конец. Тогда другой конец стерж-
стержня всегда будет на одном и том же расстоянии от А,
а его мировая линия параллельна оси X (п. 8.12)
(штриховая линия на рис. 13.18).
У стержня есть своя история в пространстве-време-
пространстве-времени. Как она представлена на диаграмме?
Всей площадью между мировой линией и пунктир-
пунктирной линией. Каждая точка этой площади соответству-
соответствует событию, состоящему в том, что частичка стержня
мгновенно находится там. Вспомним теперь сказанное
в п. 11.7 о том, как каждый наблюдатель по-своему
расщепляет пространство-время на пространство и вре-
13.18
189
мя. Как описывается стержень, с точки зрения наблю-
наблюдателя А, в некоторый момент времени?
Любым отрезком, параллельным оси расстояний А
(п. 8.12), например PQ или LN. Как описывается стер-
стержень в некоторый момент времени с точки зрения В?
Отрезками прямых вроде RS и KN, параллельных
его оси расстояний. Проверьте с помощью открытки с
прорезью.
Длина стержня — это расстояние между его конца-
концами, измеренное в один и тот же момент времени
(п. 2.23), длина отрезка LN для А и KN для В (в од-
одном масштабе; п. 12.1). Теперь видно, что несогласие
наблюдателей в отношении длины — следствие разли-
различия способов, которыми наблюдатели расщепляют про-
пространство-время на пространство и время (п. 11.7).
Отрезок KN перпендикулярен оси Т (п. 12.3), по-
поэтому он короче отрезка LN, и наблюдатель В считает,
13.19М 190
что длина стержня, который держит А, уменьшилась:
методом, описанным в п. 3.38, или путем сравнения
геометрических фигур на рис. 13.14 и 13.18 можно
доказать, что длина стержня, измеренная наблюдате-
наблюдателем В, равна длине стержня, измеренной А, умножен-
умноженной на ]/1—v2. Точно так же думает наблюдатель А в
отношении стержня, принадлежащего В. Теперь мож-
можно уточнить вывод, сделанный в п. 3.38: «...и равна
длине стержня другого наблюдателя, умноженной на
В отличие от замедления течения времени реляти-
релятивистское сокращение длин не имеет практического
значения, ибо на практике не возникает ситуаций,
в которых быстродвижущиеся объекты можно было бы
рассматривать как измерительные стержни.
13.19М. Знак > используется для сокращения фразы «больше
чем», а знак < вместо «меньше чем». Их форма
хорошо отражает их смысл.
I3.20M. Абсолютная величина числа равна самому этому чис-
числу, если» оно положительно, и противоположному чис-
числу, если оно отрицательно. Так, абсолютная величина
чисел 3 и —3 равна 3. Согласно п. 12.12, квадрат лю-
любого числа (положительного или отрицательного) ра-
равен квадрату его абсолютной величины.
13.21. Рассмотрим два любых события О и Q с точки зрения
наблюдателя А, присутствующего при» событии О (в си-
силу инвариантности интервала выбор наблюдателя не
имеет значения). Снабдим его прямоугольной систе-
системой координат (п. 8.42), оси, как обычно, обозначим
буквами Т и X. Линии сигналов, проходящие через точ-
точку О, делят пространственно-временную диаграмму на
квадранты (как на рис. 10.1).
13.22. Если точка Q находится в верхнем или нижнем квад-
квадрантах (рис. 13.22), то очевидно, что она расположена
от оси расстояний дальше, чем от оси времени. Значит
(для положительных и для отрицательных Т и X),
(Абсолютное значение Т) > (Абсолютное значение
X) и Т2>Х2. Таким образом; разность Т2—X2 положи-
положительна, и интервал между О и Q дается формулой
A2.7).
В этом случае наклон линии OQ больше 45°, т. е.
события разделены времениподобно (п. 11.8). Будем
называть интервал между этими событиями времени-
подобным.
Прямая, проходящая через точки О и Q под углом
13.24
191
больше 45°, могла бы быть мировой линией инерци-
ального наблюдателя, скажем В, который присутствует
при обоих событиях. Какова связь между временем,
м
ОсьХ
Рис. 13.22.
прошедшим по его часам между событиями О и Q,
и интервалом между О и Q?
Точно так же как в п. 13.2, можно доказать, что
s2 = /2, а потому s = /. Значит, мы доказали, что
если интервал между двумя событиями временипо-
добный, то он равен промежутку времени, прошед-
прошедшего между ними и измеренного инерциальным на-
наблюдателем, который присутствовал при них обоих.
13.23. Если точка Q находится в левом или правом квадран-
квадрантах, то разделение событий О и Q пространственнопо-
добное. Будем называть интервал между О и Q прост-
ранственноподобным. При этом интервал определяется
формулой A2.8). Существует наблюдатель, для кото-
которого эти события происходят одновременно. Итак,
если интервал между двумя событиями простран-
ственноподобный, то он равен расстоянию между
ними, измеренному наблюдателем, относительно ко-
которого эти события одновременны.
13.24. И наконец, если точка Q лежит на линии сигнала, про-
проходящей через О, то как формула A2.7), так и A2.8)
дает 5=0. Назовем такой интервал светоподобным
или изотропным. Не существует наблюдателя, отно-
относительно которого О и Q разделены только в прост-
пространстве или только во времени.
14
МАСШТАБЫ НА ПРОСТРАНСТВЕННО-
ВРЕМЕННОЙ ДИАГРАММЕ
14.1. Как шкала времени одного наблюдателя связана со шка-
шкалой другого (п. 8.24)? Эту связь можно найти, восполь-
воспользовавшись инвариантностью интервала (п. 12.15).
Рассмотрим в одномерной вселенной все события, от-
отделенные от события О некоторым фиксированным ин-
интервалом, т. е. вое такие события Q, чтобы интервал
между О и Q был одинаков. На пространственно-времен-
пространственно-временной диаграмме эти события изображаются точками кри-
кривой, которую мы назовем изовалой (сокращение от сло-
слова «изоинтервал» по аналогии с «изобарой» и т. п.,—
этот термин придумал я сам). Очевидно, следует разли-
различать времениподобные и пространственноподобные изо-
валы в зависимости от рассматриваемого интервала
(пп. 13.22 и 13.23).
Изовала — это пространственно-временной аналог
окружности. Обычная окружность — это линия, все точки
которой удалены на одно и то же расстояние от фикси-
фиксированной точки, а изовала — это геометрическое место
всех событий, удаленных на один и тот же интервал от
фиксированного события.
14.2. Ясно, что изовалы не зависят от наблюдателя. Поэтому
их можно изучать с точки зрения одного наблюдателя А,
мировая линия которого проходит через О и которого
мы для удобства снабдим прямоугольной системой коор-
координат (п. 8.42). Сначала познакомимся с времениподоб-
ными изовалами.
Если координаты Т и X некоторой точки Q таковы
что
Г2—X2 = s2, A4.1)
то из A2.7) следует, что интервал между событиями О
и Q времениподобный (п. 13.22) и равен s. Значит, Q —
это точка времениподобной изовалы для интервала s.
А полная изовала будет состоять из всех точек, для ко-
координат которых справедлива формула A4.1).
14.3. Теперь выясним, как выглядит изовала. На рис. 14.3
длина отрезка ОЕ равна s. Возьмем любую точку N на
оси X и проведем вертикальную прямую NQ, равную по
14.5
193
длине отрезку NE. Докажите, что точка Q принадлежит
изовале.
Применяя к треугольнику OEN теорему Пифагора, по-
получим
(Длина отрезка NEJ= (Длина отрезка ОЕJ+(Дли-
ОЕJ+(Длина отрезка ONJ,
или (поскольку длина NE = длине отрезка NQ = 7) T2 =
= s2+X2. Вычитание величины X2 из обеих частей этого
соотношения дает уравнение A4.1), показывающее, что
Q — это точка изовалы.
I
Е
О
А
Ось х
N
Рис. 14.3.
14.4. Пусть точка N движется вдоль оси X. По мере того как
она смещается вправо, точка Q движется вправо вместе
с ней, но при этом еще и поднимается вверх по- странице,
так, чтобы все время выполнялось равенство (длина от-
отрезка NQ) = (длина отрезка NE). Кривая, которую при
таком движении опишет точка Q, и будет изовалой. По-
Постарайтесь мысленно представить себе, как выглядит эта
кривая. А лучше наметьте с помощью описанного процес-
процесса несколько положений точки и проведите через них
гладкую кривую.
14.5. В результате вы должны получить рис. 14.5. Вас, навер-
наверное, удивляет, что кривая лежит как в правой, так и в
левой сторонах диаграммы. Но ведь было сказано, что N
может быть любой точкой на оси X. А может быть вы
удивлены, что такая же кривая проходит ниже оси X?
Но ведь прямую NQ можно провести вертикально вниз
с тем же успехом, что и вертикально вверх. (Если же
вы свободно оперируете отрицательными величинами, то
найдите еще одну причину, по которой кривая симмет-
симметрична относительно обеих осей.)
13—1653
14.6
194
Вы, вероятно, считаете кривые выше и ниже оси X
двумя различными кривыми. Но математики предпочи-
предпочитают их рассматривать как две «ветви» одной кривой,
ибо они обе получаются в результате применения про-
процедуры, описанной в п. 14.3, или из уравнения A4.1).
ОсьХ
Рис. 14.5.
14.6. Разумеется, обе ветви кривой могут быть продолжены
в оба конца сколь угодно далеко. Рис. 14.5 наводит на
мысль, что по мере продолжения ветви уходят вправо
и влево, неограниченно приближаясь к линиям сигна-
сигналов, проходящим через точку О, но никогда не достигая
их. Это нетрудно доказать, если заметить, что, чем даль-
дальше точка N отстоит от О (рис. 14.3), тем ближе длина
отрезка NE, а значит, и NQ, к длине отрезка ON.
14.7. Если 5=1, то получится единичная времениподобная изо-
вала — кривая, точки которой изображают все события,
отделенные от О времениподобным интервалом, равным
1. Рис. 14.5 останется вполне пригодным, если положить
длину отрезка ОЕ равной 1, т. е. взять ОЕ в качестве
единицы измерения на шкале времени наблюдателя А.
Мы воспользуемся этой единичной изовалой для реше-
решения задачи о масштабах.
14.8. Пусть В — еще один инерциальный наблюдатель, миро-
мировая линия которого (проходящая через точку О) пере-
пересекает верхнюю ветвь единичной изовалы в точке Н
(рис. 14.5). Тогда время, прошедшее по часам наблюда-
14.9
195
14.9.
теля В между событиями О и Н, равно интервалу меж-
между О и Н (п. 13.22), который в свою очередь равен 1 в
соответствии с определением единичной изовалы. Иными
словами, длина отрезка ОН равна единице шкалы вре-
времени наблюдателя В, точно так же как длина отрезка
ОЕ равна единице шкалы наблюдателя А (п. 14.7). Как
изменяется единица масштаба по мере того, как миро-
мировая линия наблюдателя В все сильнее отклоняется от
вертикали?
Итак, теперь у нас есть способ, позволяющий найти
связь между масштабами всех наблюдателей, мировые
линии которых проходят через точку О. Для тех, чьи
мировые линии через О не проходят, мы воспользуемся
шкалой, нанесенной на параллельную мировую линию,
проходящую через О (так как мнения неподвижных от-
относительно друг друга наблюдателей по поводу проме-
промежутков времени и одновременности совпадают).
Координаты любой точки пространственноподобной изо-
изовалы для интервала s связаны уравнением
X2—T* = s\
A4.2)
полученным из A2.8) (ср. с п. 14.2). Эту кривую можно
было бы нарисовать методом, описанным в пп. 14.3 и
Рис. 14.9.
14.4, взяв точку на оси Т. Такой же результат получится,
если времениподобную изовалу повернуть на 90° так,
чтобы она заняла левый и правый квадранты. Рис. 14.9
13*
14.10
196
повторяет рис. 14.5 с добавленной пространственноподоб-
ной изовалой.
14.10. Чтобы получить единичную пространственноподобную
изовалу (ср. с п. 14.7), положим 5=1 и примем за еди-
единицу длину отрезка OF на рис. 14.9. Тогда ив доводов,
аналогичных приведенным в п. 14.8, следует (проверьте
сами), что длина отрезка ОК изображает единицу рас-
расстояния наблюдателя В (К — это точка пересечения оси
расстояний наблюдателя В с изовалой).
14.11. Если пространственно-временную диаграмму, разрабо-
разработанную в гл. 8 (рис. 8.26), дополнить двумя единичными
изовалами (рис. 14.9), позволяющими определить мас-
масштабы, то получится диаграмма Минковского (назван-
(названная в честь Германа Минковского, который первым дал
такую геометрическую интерпретацию теории Эйнштей-
Эйнштейна). Из этой диаграммы можно вывести всю специаль-
специальную теорию относительности.
Поэтому диаграмма Минковского — это точная карта
пространства-времени ¦— свободного от тяготения прост-
пространства-времени специальной теории относительности.
14.12. Заметьте, я говорю «карта пространства-времени», а не
копия или модель. Карта часто искажает действитель-
действительность. Например, при изображении сферической поверх-
Рис. 14.12.
иости Земли на плоском листе бумаги обязательно воз-
возникают искажения. Рассматриваемая как копия, карта
вводит в заблуждение, а интерпретируемая в соответст-
соответствии с определенными правилами, дает правильную ин-
информацию.
14.14 197
Рассмотрим, например, следующий способ изображе-
изображения поверхности Земли. Возьмем прозрачный глобус G
(рис. 14.12) и обернем его листом бумаги так, чтобы
образовался цилиндр М, касающийся глобуса во всех
точках экватора Е. Если в центре глобуса С поместить
точечный источник света, то тени, отбрасываемые непро-
непрозрачными деталями на поверхности глобуса, дадут кар-
карту на цилиндре. Зафиксируем ее фотографическим спо-
способом, развернем лист бумаги — и получим карту Земли
в проекции Меркатора.
Пусть по поверхности глобуса ползает муха. Поду-
Подумайте, как движется по цилиндру ее тень, и вы пойме-
поймете, что такая карта сильно искажает расстояния. Раз-
Размер единицы расстояния зависит от широты: чем выше
широта, тем крупнее масштаб.
14.13. Представление о пространственно-временной диаграмме
как о карте поможет нам в дальнейшем. Причина, по
которой изменяется масштаб на пространственно-времен-
пространственно-временной диаграмме в зависимости от наклона мировой линии
наблюдателя, не более загодочна, чем причина, по кото-
которой масштаб карты в проекции Меркатора меняется с
широтой.
Почему вопреки аналогии с окружностью (п. 14.1)
изовалы уходят на бесконечность? Но и здесь полная
аналогия с картой в проекции Меркатора, на которой Се-
Северный полюс располагается бесконечно далеко в верх-
верхней части листа бумаги, так что любая окружность, про-
проходящая через полюс, отображается на карте на незамк-
незамкнутую кривую, уходящую на бесконечность.
Предположим, что мы не в состоянии вообразить сфе-
сферу, но должны разобраться в геометрии Земли, изучая
плоские карты. Тогда нам пришлось бы иметь дело с
этими незамкнутыми кривыми, после чего путем логиче-
логических рассуждений мы бы уяснили, что, несмотря на свой
внешний вид, они должны быть изображениями кривых,
лежащих на неподдающейся воображению сфере, все
точки которых находятся на одинаковом расстоянии от
фиксированной точки. А теперь сами распространите это
по аналогии на интервал.
14.14. С некоторых пор я перестал напоминать вам о необхо-
необходимости использовать открытку с прорезью. И вы могли
попасть в ловушку слишком геометризованных представ-
представлений о пространственно-временной диаграмме, забыв,
что в ней воплощены смена событий и движение. По-
Потратьте немного времени и изучите диаграмму на рис. 14.9
с помощью открытки с прорезью.
14.15 198
Если вы достаточно поупражняетесь, то сможете сде-
сделать важное наблюдение. Но даже если с открытием
ничего не выйдет, к тому времени, когда понадобится,
вы будете лучше подготовлены.
14.15. В одномерной вселенной проводятся соревнования по по-
поеданию пудинга. Всем участникам выданы одинаковые
порции, которые они начинают есть, как только минуют
друг друга в момент события О. Кто первым съест свою
порцию, тот и победит. Все участники, сами того не зная,
едят с одинаковой скоростью. Какое впечатление сло-
сложится у каждого из участников о результатах соревно-
соревнования?
Если на то, чтобы съесть пудинг, требуется время 5,
то каждый участник проглотит последний кусок в мо-
момент события, представленного на рис. 14.5 точкой пе-
пересечения его мировой линии с изовалой (с верхней
ветвью)—точкой Е для участника А и точкой Н для
его соперника В. Но с точки зрения А, горизонтальная
прямая, проходящая через точку Е, представляет собы-
события, которые всюду произошли как раз в тот момент вре-
времени, когда он закончил есть (п. 8.12). Вся верхняя
ветвь изовалы лежит выше этой прямой. Поэтому А ду-
думает, что все остальные участники «пришли к финишу»
позже. (Открытку с прорезью в дело!) Однако участник
А ничем не отличается от всех остальных, хотя мы и вы-
выделили его на диаграмме. Поэтому каждый участник со-
соревнований считает себя победителем.
Это еще одно проявление замедления течения време-
времени. Продумайте это детально. (Если вы сильны в ма-
математике, разберитесь, как это выглядит с точки зрения
участника В. Что можно сказать о расположении ка-
касательной в точке Н по отношению к оси х?)
14.16. На рис. 14.16 по-прежнему нанесена прямоугольная си-
система координат, обозначим наблюдателя, которому она
принадлежит, через А\. Показаны обе ветви единичной
времениподобной изовалы (п. 14.7). На диаграмме так-
также изображены мировые линии трех инерциальных на-
наблюдателей А, В и С. Воспользуйтесь открыткой с про-
прорезью, чтобы узнать, что говорит диаграмма об этих
трех наблюдателях.
С подобной ситуацией мы впервые встретились в
пп. 4.1 и 4.2 при решении задачи о трех хронометрах.
Перечитайте пп. 4.1—4.5, а затем попробуйте с помо-
помощью рис. 14.16 дать другое доказательство вывода, к ко-
которому мы там пришли.
14.18
199
Рис. 14.16.
14.17. Согласно п. 14.8, длина отрезка OQ равна единице вре-
времени наблюдателя С, так что измеренный по его часам
промежуток времени между событиями О и Q равен 1.
По той же причине единице равен и промежуток вре-
времени между Р и О, измеренный по часам наблюдателя
В. Чему равен промежуток времени между событиями Р
и Q, измеренный по часам наблюдателя А?
Длина отрезка ОЕ соответствует единице времени,
измеренного как по часам А, так и по часам Ai (п. 14.8).
Совершенно ясно, что длина отрезка PQ больше удво-
удвоенной длины отрезка ОЕ, а значит, измеренный по ча-
часам А промежуток времени между Р и Q больше 2, т. е.
больше промежутка времени между Р и Q, измеренного
совместными усилиями наблюдателей В и С, что совпа-
совпадает с выводом, сделанным в п. 4.5.
14.18. Быть может, так получилось только потому, что мы
снабдили наблюдателя А вертикальной мировой лини-
линией? Однако сам наблюдатель с вертикальной мировой
линией ничем особенным среди других не выделяется.
Что произойдет, если снабдить наблюдателя А на-
наклонной мировой линией? Нарисуйте новую диаграм-
диаграмму, нанеся начало координат О и единичную изовалу.
В качестве мировой линии наблюдателя А выберите лю-
любую прямую с углом наклона больше 45°. Завершите
диаграмму для трех хронометров, как показано на
14.19 200
рис. 14.18, но используйте другую мировую линию для
наблюдателя А. Убедитесь, что диаграмма по-прежнему
рассказывает историю о трех хронометрах. Затем про-
проведите через точку О параллельно мировой линии А ми-
мировую линию наблюдателя Аь пересекающую изовалу в
точке Е. Измерьте PQ и ОЕ и снова найдите промежут-
промежутки времени.
Все, что написано в п. 14.17, применимо и к новому
рисунку, так что вывод будет тот же. Рассмотрите еще
Рис. 14.18.
один-два примера. Если вы сильны в математике, то до-
докажите, что всегда должен получаться один и тот же
результат: промежуток времени, измеренный наблюдате-
наблюдателем А, больше суммарного промежутка времени, изме-
измеренного парой В—С.
14.19. Просмотрите пп. 4.6—4.10, но при этом постоянно об-
обращайтесь к рис. 14.16 и примите к сведению мои пояс-
пояснения.
Возникшая еще в п. 4.7 проблема исчезнет, если
вспомнить, что «время, прошедшее, с точки зрения на-
наблюдателя А, между событиями Р и О» — это измерен-
измеренный по часам А промежуток времени между Р и М
(п. 7.14).
Теперь ясно, почему попытка провести доказатель-
доказательство в обратном порядке (п. 4.8) всегда обречена на
провал. Например, рассуждая, как в п. 4.4, по поводу
14.21 201
промежутков времени между Р и М и М и Q, нетрудно
доказать, что измеренное по часам наблюдателя А вре-
время между Р и Q меньше суммы промежутков времени,
прошедших, с точки зрения наблюдателя В, между Р и
М. и, с точки зрения наблюдателя С, между М и Q. Что
одет сложение двух последних интервалов времени?
Проведем ось расстояний наблюдателя В в соответ-
соответствии с обычным правилом (п. 8.26), а отрезок прямой
MN параллельно ей. Тогда, по мнению наблюдателя В,
события М и N происходят одновременно (п. 8.12). По-
Поэтому, говоря о промежутке времени между событиями
РиМс точки зрения В, мы имеем в виду время между
Р и N, измеренное по часам В (ср. с п. 7.14). Тогда (ес-
(если прямая LM параллельна' оси расстояний наблюдате-
наблюдателя С) измеренное по часам наблюдателя А время меж-
между Р и Q меньше суммы промежутков времени, изме-
измеренных между Р и N по часам В и между L и Q по ча-
часам С. Складывая два последних интервала, мы не по-
получим измеренное совместными усилиями наблюдателей
В и С по их часам время, прошедшее между событиями
Р и Q, поэтому нет никакого противоречия с выводами,
полученными в п. 4.5 при решении задачи о трех хро-
хронометрах.
1-1.20. Будем временно рассматривать рис. 14.16 как географи-
географическую карту равнинной местности (п. 4.9). Пусть геоде-
геодезисты А, В и С измеряют три прямые дороги, соединяю-
соединяющие центры городов Р, О и Q. Возможно, вас рассме-
рассмешит утверждение, что геодезист А и пара В—С, выйдя
из одной точки и закончив путь в одной и той же точке,
измеряли одно и то же. Быть может, по аналогии с зем-
землемерами из гл. 11 часы наблюдателя А, с одной сторо-
стороны, и часы пары В—С — с другой, измеряют нечто разное
между событиями Р и Q (рис. 14.16 снова рассмотриу
как пространственно-временную диаграмму)?
Землемеры (гл. 11) шли разными путями. Поэтом)
совершенно естественная интерпретация пространствен-
пространственно-временной диаграммы состоит в том, что наблюдатель
А и пара В—С выбирают разные пути через пространст-
пространство-время от Р к Q. Кроме того, мы считаем само собой
разумеющимся, что землемеры, измеряя расстояния
вдоль разных путей, получают разные результаты. Быть
может (в свете п. 4.9), наблюдатели, измеряя время
вдоль разных путей в пространстве-времени, также по-
получат разные результаты?
14.21. Мы привыкли думать, что время между двумя собы-
событиями не зависит от выбранного пути. Теперь мы знаем,
14.22
202
что зависит, точно так же как зависит от выбранного
пути расстояние между двумя точками. Просто геодези-
геодезисты В и С шли из города Р в город Q длинным путем.
Аналогично в пространстве-времени наблюдатели В и С
от события Р к событию Q «шли коротким путем». (Та-
(Таков уж описанный в п. 14.8 способ задания масштаба,
что позволяет «короткий путь» в пространстве-времени
представить на диаграмме в виде «длинного пути» POQ
(как в пп. 14.12 и 14.13 при составлении карты земной
поверхности).
В пространстве окольный путь длиннее прямого.
В пространстве-времени непрямой путь короче прямого.
В математическом отношении это связано с другими
различиями (см. п. 12.20). Но здесь я не буду доказы-
доказывать существование такой связи.
Теперь перечитайте п. 4.12. Вы увидите, что пред-
представление о всеобщем времени эквивалентно представ-
представлению о том, что время не зависит от пути в пространст-
пространстве-времени и что оба эти представления несостоятельны.
Сказать, что у каждого наблюдателя есть свое собствен-
собственное время,— это все равно что сказать, что протекшее
для него время зависит от его маршрута через прост-
пространство-время.
Помните мое обещание в п. 4.13?
14.22 Рис. 14.22 — это рис. 14.16, с которого стерты изовалы
и прямые LM и MN, сплошные мировые линии наблюда-
наблюдателей В и С заменены пунктирными и проведена новая
А
\
\
/
в
\
А
и А
Рис. 14.22.
\С
14.24 203
мировая линия наблюдателя D, совпадающая с мировой
линией А вверху и внизу, но отклоняющаяся от нее по-
посередине. Какова история наблюдателей А и D?
Она описана в п. 4.14 в рассказе о космическом пу-
путешествии. Проверьте это с помощью открытки с про-
прорезью. Какой ответ следует теперь дать на вопрос, по-
поставленный в п. 4.14?
Полагаю, теперь предположение о том, что время,
прошедшее между расставанием и встречей по часам D,
меньше чем время по часам наблюдателя А, не вызовет
у вас такого сопротивления, как раньше.
14.23. Перечитайте пп. 4.15 — 4.18, прокомментируйте их с по-
помощью рис. 14.22 и с учетом следующих ниже замеча-
замечаний.
Содержание первого абзаца п. 4.15 можно передать
в более четкой и компактной форме; поскольку наблю-
наблюдатели А и D следуют через пространство-время разны-
разными путями, измеренные ими промежутки времени будут
различны.
В п. 4.17 говорилось, что наблюдатель А всегда инер-
циален, а у D есть три периода ускоренного (неинерци-
ального) движения (криволинейные участки его миро-
мировой линии на рис. 14.22). Здесь снова полезна «геогра-
«географическая» аналогия. Если А и D — геодезисты, измеря-
измеряющие расстояние между двумя городами, и если А всег-
всегда идет по прямой, a D иногда идет кружным путем, то
на основании одного этого факта можно сделать вывод,
что D прошел более длинный путь, чем А. Точно так же
если движение наблюдателя А всегда инерциально,
a D иногда ускоряется, то на основании одного этого
факта можно было бы прийти к заключению, что изме-
измеренное наблюдателем D время между расставанием и
встречей будет отличаться от времени, измеренного А, и,
вероятно, будет меньше.
14.24. В заключение рассмотрим контраргумент, приведенный в
п. 4.18. Он равносилен следующему высказыванию: на
рис. 14.16 время между Р и Q, измеренное вдоль пути
POQ, короче чем время вдоль прямого пути PMQ; од-
однако криволинейные участки мировой линии наблюда-
наблюдателя D, соответствующие ускоренному движению
(рис. 14.22) вблизи точек Р, О и Q, увеличивают время,
измеряемое часами D. Насколько убедительным этот до-
довод представляется вам теперь?
В п. 4.18 был дан честный ответ: «Я не знаю». Вы
по-прежнему считаете, что ничего большего сказать
нельзя?
14.24 204
Если рассматривать рис. 14.22 как карту дорог меж-
между городами Р и Q, то при этом не возникает мысли, что
криволинейные участки в Р, О и Q каким-то образом
уменьшают расстояние, измеренное D, компенсируя воз-
возрастание пути, который он должен покрыть, идя «круж-
«кружным путем». Исходя из рассмотренных аналогий мало-
маловероятно, чтобы периоды ускоренного движения наблю-
наблюдателя D (криволинейные участки диаграммы) могли
создать компенсирующий эффект.
Итак, проводимая аналогия достаточно убедительно
показывает, что для космического путешественника прой-
пройдет меньше времени, чем для тех, кто остался на Земле.
Но аналогии могут вводить в заблуждение. Поэтому
оставим этот вопрос открытым, пока не будем готовы
заняться им снова.
15
РАДИОЛОКАЦИОННАЯ ТОЧКА ЗРЕНИЯ
15.1. Пространственно-временная диаграмма была очень
наглядна и крайне полезна для наших логических по-
построений. Но в то же время она довольно сложна.
Весьма сложны и правила, связывающие системы коор-
координат и масштабы разных наблюдателей. А вся слож-
сложность связана с тем, что мы, считая себя революционе-
революционерами, на деле оставались консерваторами. Ведь мы
строили диаграмму, исходя из привычных представле-
представлений о времени и расстоянии, хотя и сознавали, что они
почти бесполезны при высоких скоростях.
А не попробовать ли поработать с реально измеряе-
измеряемыми величинами: со значениями моментов времени по-
посылки сигнала к событию и приема ответного сигнала
(пп. 7.2 и 7.3)? Эти величины можно назвать радиоло-
радиолокационными координатами события (ср. с пп. 5.20 и
7.1). Просмотрите пп. 6.13—6.22.
15.2. Обозначим эти радиолокационные координаты двумя
греческими буквами: в, в — тета и Ф, ср — фи. Пропис-
Прописные буквы будем использовать для записи координат
наблюдателя А, а строчные — наблюдателя В. Говоря
о радиолокационных координатах вообще, без уточне-
уточнения, кому они принадлежат, мы будем просто писать
«тета» или «фи» (точно так же, как время и расстоя-
расстояние) того или иного события.
Наблюдатель посылает сигнал к событию и получа-
получает от него ответный сигнал. Один из этих сигналов рас-
распространяется в положительном направлении, а дру-
другой — в отрицательном в зависимости от того, где про-
произошло событие относительно наблюдателя. Будем счи-
считать, что
тета — момент посылки или приема сигнала, распро-
распространяющегося в положительном направлении, ко-
который приходит к (или послан от) событию;
фи — момент посылки или приема сигнала, распро-
распространяющегося в отрицательном направлении, кото-
который приходит к событию или послан от события.
См. рис. 15.2, где в и Ф — координаты наблюдателя А,
отсчитываемые от нуля по его часам. Когда событие Q
15.3М
206
расположено справа, т. е. с положительной стороны от
А (рис. 15.2, а), в — момент посылки, а Ф — момент
приема сигнала, а на рис. 15.2,6 ситуация обратная.
15.3М. Если две величины изменяются так, что одна из них
всегда равна другой, умноженной на постоянное число
или величину, называемую коэффициентом пропорцио-
пропорциональности, то эти величины называются пропорциональ-
пропорциональными. Время, прошедшее между двумя ударами часов
наблюдателя А, пропорционально длине отрезка между
двумя соответствующими точками на его мировой ли-
линии (это и есть изображение в виде шкалы; п. 6.22). Ес-
Если t~kT, то t пропорционально Т. Иначе говоря, две
величины изменяются пропорционально друг другу.
15.4. На рис. 15.4 мировые линии наблюдателей наклонены
под одним и тем же углом, но в противоположные сто-
стороны. Наблюдатель А посылает сигналы (в моменты
событий, отмеченных прописными буквами), которые
принимает В (в моменты событий, помеченных строч-
строчными буквами). Воспользуйтесь открыткой с прорезью!
Из геометрических соображений очевидно, что дли-
длина отрезка pq пропорциональна длине отрезка PQ. По-
Поскольку временные масштабы равны (п. 12.1), время,
прошедшее между событиями р и q, пропорционально
времени, прошедшему между событиями Р и Q. Други-
Другими словами,
(Время между событиями р и q)==
= (Время, прошедшее между Р и Q) х
X(Коэффициент пропорциональности).
A5.1)
15.5 207
Длина отрезка pq больше длины PQ, поэтому коэффи-
коэффициент пропорциональности больше единицы. (Разуме-
(Разумеется, моменты времени, в которые происходят события,
Рис. 15.4.
каждый наблюдатель определяет по своим часам.) По-
Подобным образом докажите, что
(Время между г и s) = (Время между R и S) X
X (Коэффициент пропорциональности), A5.2)
здесь коэффициент пропорциональности меньше 1.
Итак, если наблюдатели удаляются друг от друга,
то коэффициент пропорциональности больше единицы,
а если сближаются, то меньше единицы. Если же они
неподвижны относительно друг друга, то коэффициент
пропорциональности равен 1.
Использование мировых линий с одинаковыми на-
наклонами облегчает доказательство соотношений A5.1)
и A5.2), но их справедливость не зависит от способа
построения диаграммы (п. 8.44). Поэтому они остаются
в силе независимо от наклона мировых линий.
Конечно, все это не противоречит здравому смыслу.
Если наблюдатель, посылающий сигналы, удаляется от
вас, то обратный сигнал должен преодолеть большее
расстояние, а значит, ему потребуется несколько боль-
больше... Закончите фразу.
15.5. Из рис. 15.4 ясно, что коэффициент пропорционально-
пропорциональности зависит от угла между мировыми линиями, кото-
15.6 208
рый в свою очередь определяется относительной ско-
скоростью наблюдателей (п. 8.37). В этом состоит стан-
стандартный радиолокационный метод измерения скорости,
используемый, например, автоинспекцией.
Поэтому в нашем новом подходе этот постоянный
коэффициент пропорциональности можно использовать
в качестве точной характеристики относительного дви-
движения вместо скорости, так же как мы используем ко-
координаты тета и фи для точного описания событий вме-
вместо времени и расстояния. Теперь все наши измерения
будут непосредственно связаны с определенными в дан-
данном месте моментами отправления и приема сигналов.
15.6. Пусть наблюдатель А посылает к В непрерывный пу-
пучок света. Будем рассматривать цуг волн (п. 1.4) этого
непрерывного пучка как последовательность сигналов.
Тогда если наблюдатели удаляются друг от друга
(а именно этот случай мы будем рассматривать в даль-
дальнейшем; рассмотрите сами случай, когда наблюдатели
приближаются друг к другу), то время между двумя
соседними гребнями или впадинами волн, определен-
определенное наблюдателем В в процессе приема сигналов, рав-
равно времени, прошедшему между ними по часам А при
посылке этих сигналов, умноженному на коэффициент
пропорциональности (п. 15.4). Значит, частота (п. 1.5)
света, принятого наблюдателем В, должна быть равна
частоте света, посланного наблюдателем А, деленной
на коэффициент пропорциональности.
Это явление называется эффектом Доплера (в честь
ученого, открывшего его в 1842 г.). Этот эффект легко
наблюдать для звуковых волн (частота соответствует
высоте тона). Для световых волн эффект Доплера был
проверен с помощью астрономических наблюдений и
лабораторных экспериментов для скоростей, достигаю-
достигающих около 0,03 скорости света. Поэтому соотношения
A5.1) и A5.2)—это не просто следствия теории, они
©писывают реальные физические явления.
15.7. Этот факт позволяет доказать выдвинутое в п. 8.24
предположение об изображении шкал инерциальных
наблюдателей. На рис. 15.7 А — наблюдатель, мировая
линия и шкала которого определены в пп. 6.20 и 6.22,
а в В — любой другой инерциальный наблюдатель.
Согласно п. 15.4, время, прошедшее между события-
событиями р и q, пропорционально времени, прошедшему меж-
между Р и Q, а оно в свою очередь пропорционально дли-
длине отрезка PQ (п. 15.3). Из геометрии рис. 15.7 также
видно, что длина отрезка PQ пропорциональна длине
15.9 209
pq. Рассмотрев вместе эти три условия пропорциональ-
пропорциональности, мы придем к выводу, что время между события-
событиями р и q пропорционально длине отрезка pq, — други-
другими словами, время, измеренное наблюдателем В в дан-
данном месте, изображается на шкале длинами отрезков
его мировой линии.
Рис. 15.7.
15.8. Будем называть введенный в п. 15.4 коэффициент про-
пропорциональности коэффициентом Доплера и обозначим
его буквой k.
Прежде всего это коэффициент Доплера для сигна-
сигналов, идущих от А (отправителя) к В (получателю). Но
в соответствии со сказанным в п. 5.11 он должен быть
равен коэффициенту Доплера для сигналов, идущих от
В к А, иначе А и В стали бы неравноправными. Поэто-
Поэтому назовем его коэффициентом Доплера между А и В.
Как отмечалось в п. 15.5, k играет такую же роль, ко-
которую раньше играла скорость v.
15.9. Из п. 15.4 следует, что должно быть два различных ко-
коэффициента Доплера между А и В. Один относится к
случаю, когда наблюдатели сближаются (до собы-
события О), а второй — к случаю, когда наблюдатели уда-
удаляются друг от друга (после О).
Мы не рассматриваем случай, когда один сигнал по-
посылается до события О, а второй — после. Однако до-
допустим сигнал, посылаемый в момент события О, т. е.
в момент встречи наблюдателей. Другой наблюдатель,
14—1653
15,10
210
разумеется, получит его тоже в О. Этот сигнал может
использоваться как в случае удаляющихся, так и в слу-
случае сближающихся наблюдателей.
15.10. С учетом сказанного в п. 15.9 дадим более четкую фор-
формулировку вывода, сделанного в п. 15.4:
если любой из двух наблюдателей посылает два све-
световых сигнала другому наблюдателю, то
(Время между событиями, состоящими в приеме
сигнала) =&Х (Время между событиями, состоящи-
состоящими в их отправлении), A5.3)
причем, коэффициент Доплера k больше 1, если
наблюдатели удаляются друг от друга, меньше
единицы, если они приближаются друг к другу, и
равен 1, если они неподвижны относительно друг
друга.
(Времена передачи и приема сигналов, разумеется, оп-
определяются по часам отправителя и получателя соот-
соответственно.)
15.11М. Когда операция деления записывается в виде дроби
(п. 8.38М), то не всегда удобно располагать числитель
над знаменателем. Можно пользоваться другой фор-
формой записи: 3/8. Так, Ф/k означает «Ф, деленное на k».
15.12. На рис. 15.12 изображены два инерциальных наблюда-
наблюдателя и их радиолокационные координаты для события
Q (в соответствии с определением, данным в п. 15.2).
(Примените открытку с прорезью.) Пусть k — коэффи-
Рис. 15.12.
15.15 211
циент Доплера между А и В. Найдите уравнение, свя-
связывающее 6, 0 и k.
Сигналы, которые наблюдатель А посылает в мо-
моменты событий О и Р, достигают наблюдателя В в О
и р соответственно. Значит, 0 и 0 — это промежутки
времени между отправлением и приемом сигнала, и
A5.3) дает
0 = ^0. A5.4)
Как выглядит уравнение для координат фи?
Подобные рассуждения для сигнала, посланного
наблюдателем В в О и г и принятого наблюдателем А
в О и R, дают Ф=?ф. Тогда, разделив обе части этого
равенства на k (п. 9.12М), получим
A5.5)
При доказательстве соотношений A5.4) и A5.5)
предполагалось, что Q находится с положительной
стороны от обоих наблюдателей и что события Р и R
произошли позже О. Однако можно обобщить их на
все случаи. Если вы верите мне на слово, то сразу
переходите к п. 15.15. Но если вы сильны в матема-
математике, то можете доказать общий случай (см. пп. 15.13
и 15.14).
15.13. Если k — коэффициент Доплера между А и В после
их встречи, а к (греческая буква «каппа») — коэффи-
коэффициент Доплера между ними до встречи, то докажите,
что
x=l/fe. A5.6)
Примените cooTHomeFiHe A5.3) к сигналам, кото-
которые наблюдатель А посылает к В в момент события
О и через промежуток времени Т после него, а также
к сигналам, которые он получает от В в момент со-
события, происшедшего на время Т раньше чем О и в
момент события О.
15.14. Считайте, что в ситуации, описанной в п. 15.12, k —
это коэффициент Доплера, когда наблюдатель В на-
находится с положительной стороны от А (неважно, до
или после О). Рассмотрите две линии сигналов по от-
отдельности. Тогда с помощью A5.3) и A5.6) можно
показать, что соотношения A5.4) и A5.5) верны
всегда.
15.15. Подумайте над смыслом уравнений A5.4) и A5.5).
Хотя мнения наблюдателей по поводу значений радио-
радиолокационных координат события расходятся (точно
14*
15.16
так же как ори расходятся по поводу времени и рас-
расстояния), зато несложно правило перехода от одних
координат к другим: тета надо умножить на коэффи-
коэффициент Доплера, а фи — разделить на него. Использо-
Использование радиолокационных координат сильно упрощает
расчеты.
15.16. Найдите инвариант (пп. 11.20, 12.10 и 12.15).
Перемножив соотношения A5.4) и A5.5), получим
0ф = 6Ф.
Значит, произведение (тета) X (фи) и есть искомый
инвариант.
15.17М. Как очевидное обобщение п. 9.11М, перемножение со-
соответствующих сторон двух уравнений тоже является
допустимой операцией (п. 9.12М). Перемножив левые
стороны уравнений A5.4) и A5.5), мы получили 6ф
в левой части последнего уравнения. При перемноже-
перемножении k@ и Ф/k буква k сокращается, так как во втором
случае она стоит в знаменателе, поэтому получаем
6Ф.
15.18. В пп. 15.18—15.20 рассматриваются некоторые инте-
интересные вопросы, которые нам больше не понадобятся.
Я остановлюсь на них очень кратко, и нестрашно, ес-
если что-то останется непонятным.
Проведем на рис. 15.12 линии сигналов, проходя-
проходящие через точку О, и сотрем все лишнее (рис. 15.18).
Рис. 15.18.
15.20 213
При перемещении точки Q из одного положения в
другое длины отрезков ОР и OU будут меняться про-
пропорционально друг другу (п. 15.ЗМ). Тогда время в
(отрезок ОР на шкале времени наблюдателя А) мож-
можно представить длиной отрезка OU на другой шкале
времени, нанесенной вдоль линии сигнала. Отметка в
1 секунду на новой шкале должна совпадать с точ-
точкой U, если Р соответствует отметке в 1 секунду на
шкале А. Координата Ф может быть представлена
длиной отрезка OV на соответствующей шкале, нане-
нанесенной на другой линии сигнала.
Итак, мы построили новую систему координат,
осями которой являются линии сигналов, причем оси
не зависят от наблюдателя. Мы можем назвать этот
график радиолокационной пространственно-временной
диаграммой.
15.19. Однако это вовсе не дает нам что-то вроде нового ме-
метода абсолютных измерений, поскольку световой сиг-
сигнал не дает нам никакого физического способа (на-
(например, с помощью часов), позволяющего разметить
новые шкалы. Шкалы для представления радиолока-
радиолокационных измерений наблюдателя А на новых осях по-
получены из его собственной шкалы времени.
Радиолокационные координаты события Q относи-
относительно любого наблюдателя (с мировой линией, про-
проходящей через О) будут представляться длинами от-
отрезков OU и OV, но в разных масштабах. Соотноше-
Соотношения A5.4) и A5.5) показывают, как эти масштабы
связаны между собой: 6, выраженное через длину от-
отрезка OU, будет равно &6, а ср, выраженное через OV,
будет равно Ф/k.
Таким образом, радиолокационная диаграмма ис-
использует одни и те же оси для всех наблюдателей с
исходной точкой О и одни и те же отрезки OU и OV
для представления координат. При переходе от одно-
одного наблюдателя к другому меняются только масшта-
масштабы. Это заметное упрощение по сравнению с обычной
пространственно-временной диаграммой (пп. 8.26 и
8.28), на которой масштабы устанавливаются с по-
помощью процедуры, описанной в гл. 14. Нетрудно дога-
догадаться, какой способ предпочтут штурманы субсвето-
субсветовых космических кораблей XXV в. при составлении сво-
своих пространственно-временных карт.
15.20, Грядущему поколению будет проще понять природу
пространства-времени, потому что расщеплять его они
будут иначе. Они не будут говорить, что событие про-
15.21М 214
изошло в такой-то момент времени и на таком-то рас-
расстоянии, а просто скажут, что оно случилось при таких-
то тета и фи. Для них фундаментальными составляю-
составляющими пространства-времени будут те, которые
соответствуют постоянным значениям той или иной ко-
координаты, а именно сечения пространства-времени
(ср. с п. 11.7), которые выделяются линиями сигна-
сигналов. Они смогут избежать разногласий по поводу то-
того, что образует пространство (все события в один
и тот же момент времени) и время (все события в од-
одном и том же месте). Все они будут единодушны в
том, какие события произошли при одном и том же
тета или фи (т. е. в том, при каких событиях присут-
присутствует определенный сигнал, распространяющийся в
положительном направлении). Возможно, наши потом-
потомки отнесут эти события к какой-то категории, столь же
ясной и определенной для них, как для нас — прост-
пространство. Единственное (скорее всего, незначительное)
разногласие у них может возникнуть по поводу того,,
какими числами обозначать эти сечения.
И если пространство-время кажется нам чем-то не-
непостижимым, то в этом наша вина.
15.21М. Оставшаяся часть главы предназначена тем, кто еще
не научился складывать и вычитать отрицательные
числа, включая тех, кто делает это в соответствии с
правилами, не понимая их. Я не буду давать задачи
для закрепления материала, но вы усвоите все гораздо
лучше, если будете забегать немного вперед. Просмот-
Просмотрите еще раз пп. 6.23М — 6.25М и 12.11М.
15.22М. Начнем с основной идеи: если q— любая положитель-
положительная величина (или число), то
?+(-<?) = О- A5-7)
Согласно пп. 6.23М — 6.25М, —q — это просто q, отме-
отмеренное назад. Скобки указывают, что отрицательная
величина —q прибавляется к q. Очевидно, что прибав-
прибавление некоторой величины к той же самой величине,
но отмеренной назад, дает нуль (рассмотрите для при-
примера человека, шагающего вдоль прямой; п. 6.22).
Математики предпочитают говорить, что отрица-
отрицательная величина определяется формулой A5.7). Ины-
Иными словами, они скажут, что —q — это величина, ко-
которая при сложении с q даст нуль. Какой бы способ
вы ни выбрали, формула A5.7) теперь является нашей
отправной точкой.
15.25М 215
15.23М. Что получится, если сложить отрицательную величину
—Ь с положительной величиной а? Размышления о че-
человеке, шагающем вдоль прямой (п. 6.25М), наводят
на мысль, что
прибавить —Ь — это все равно что вычесть 6,
или в символической форме
а±(—Ь) = а—Ь. A5.8)
Эта формула доказывается элементарно. Посколь-
Поскольку соотношение A5.7) справедливо для любой величи-
величины, то Ь+(—Ь)=0. Прибавив а к обеим частям этого
равенства (п. 9.12М), получим
a-f6+(—&) = *• A5.9)
Вычитание из обеих сторон (п. 3.19М) величины b
приводит к формуле A5.8).
15.24М. С другой стороны, вычитание из обеих частей равенст-
равенства A5.9) величины (—Ь) с последующей взаимной пе-
перестановкой правой и левой частей (п. 3.17М) дает
a—(—b) = a+b. A5.10)
Таким образом,
вычесть —b — это то же самое что прибавить Ь.
15.25М. Давайте запишем формулу для утверждения, сделан-
сделанного в конце п. 12.11М. Если b — большая из двух ве-
величин, а а — меньшая, то результат вычитания мень-
меньшего из большего будет b—а. Чтобы сделать эту раз-
разность отрицательной, поставим перед ней знак минус,
что даст —(Ь—а). (Скобки означают, что вся заклю-
заключенная в них величина отрицательна.) Итак.
a—b=—(b—a). A5.11)
Докажем теперь, что процедура, предложенная в
п. 12.11М, а значит, и соотношение A5.11) справедли-
справедливы всегда. Запишем уравнение
Ь—а+а— Ь = 0,
справедливость которого очевидна, так как мы одно-
одновременно прибавили и вычли а и Ь. Сгруппировав пер-
первые два члена {Ь—а), а затем прибавив к обеим ча-
частям — {Ь—а) (п. 9.12М), получим
_(Ь_а)-|.(Ь_а)+а—Ь= — ф—а).
Но из A5.7) следует, что —(Ь—а) и F—а) в сумме
дают нуль; так, что мы приходим к формуле A5.11).
15.26М 216
Если в A5.8) величина Ь больше а, то из A5.11) ясно,
как довести дело до конца.
15.26М. Пользуясь этими правилами, можно показать, что
каждый случай сложения или вычитания чисел или
величин (как положительных, так и отрицательных)
можно свести к одному из следующих: а + Ь, а—Ъ и
—а—Ь, где а и Ь считаются положительными. Мы уже
знаем, как обращаться с первыми двумя, а для третье-
третьего случая можно убедиться, что
—а_ Ь==— (а+Ь). A5.12)
Докажем это, исходя из очевидного равенства аЛ-Ь—
—а—Ь = 0, прибавив к обеим его частям величину
( 6)
)
15.27М. Сложение соответствующих частей двух уравнений
(левой части с левой, а правой с правой), как и вычи-
вычитание соответствующих частей друг из друга, являют-
являются допустимыми операциями (п. 9.12М). Поэтому, ес-
если даны величины и, v, х и у, связанные уравнениями
и = 2х + 3у и v = x+y, то получим (складывая уравне-
уравнения), что u + v = 3x + 4y и (вычитая из первого уравне-
уравнения второе), что и—v = x + 2y.
15.28М. Пусть даны два уравнения:
и = х+у, A5.13)
v = x~y. A5.14)
Как быть со знаком минус?
Воспользуемся соотношением A5.8) (заменив а и Ь
на х и у), чтобы переписать A5.14) в виде
© = *+(-0. A5.15)
Сложение соответствующих частей A5.13) и A5.15)
дает
Теперь, принимая во внимание A5.7), получим
u+v=2x. A5.16)
Вычитание соответствующих частей уравнения A5.15)
из A5.13) дает с учетом A5.10)
и—v = x+y—х— (—у)=у—(—у) = у+у.
В результате найдем, что
u—v = 2y. A5.17)
В качестве упражнения сложите и вычтите соответ-
соответствующие части уравнений A5.16) и A5.17), а затем
покажите, что после деления обеих частей на 2 вновь
получатся уравнения A5.13) и A5.14).
16
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ
РАДИОЛОКАЦИОННЫМ МЕТОДОМ
И МЕТОДОМ «ВРЕМЯ — РАССТОЯНИЕ»
16.1. Применение радиолокационного метода равносильно
тому, что мы используем другой язык для описания
действительности. Значит, должен быть способ пере-
перевода с одного языка на другой. Выразите Т через
0 и Ф.
Для этого достаточно представить с помощью при-
принятых нами обозначений вывод, сделанный в п. 7.9,
что Т располагается посередине между значениями в
и Ф. Иначе говоря, Т — это среднее арифметическое
двух величин 9 и Ф, равное половине их суммы. Та-
Таким образом,
Г = (Ф + 8)/2. A6.1)
16.2. Согласно п. 7.13, расстояние до события равно полови-
половине промежутка времени между передачей к нему сиг-
сигнала и приемом ответа. Но п. 15.2 подсказывает не-
несколько иную формулировку:
расстояние до события равно половине промежутка
времени между тета и фи, соответствующими это-
этому событию (все величины берутся относительно
рассматриваемого наблюдателя),
независимо от того, является ли тета временем от-
отправления, а фи временем приема сигнала или наобо-
наоборот. Но время, прошедшее между 0 и Ф, равно Ф—в
а значит,
Х = (Ф—в)/2. A6.2)
Величина X будет положительной или отрицатель-
отрицательной в зависимости от того, что больше: Ф или 0
(пп. 12.11М, 15.25М и 15.26М). Это означает (покажи-
(покажите с помощью рис. 15.2), что расстояние от наблюда-
наблюдателя А до события, определенное относительно А, бу-
будет положительно или отрицательно в зависимости от
того, произошло ли событие, согласно определению
п. 6.14, в положительном или отрицательном направ-
направлении от А (вполне подходящее соглашение). Мы уже
знаем (п. 8.14), что момент времени, в который,
16.3 218
с точки зрения наблюдателя А, произошло событие,
будет положительным или отрицательным числом в
зависимости от того, когда это событие, по его мне-
мнению, случилось: после или до О.
16.3. Величины Фив выражаются через Т и X следующим
образом:
ф = Т+Х, A6.3)
& = Т—Х. A6.4)
Это легко доказать, переписав A6.1) и A6.2) в виде
Г = Ф/2 + в/2 и Х = Ф/2—в/2, а затем воспользоваться
формулами п. 15.28М, заменив в них и, v, x и у на Т,
X, Ф/2 и в/2 соответственно. Уравнения для наблюда-
наблюдателя В получаются простой заменой прописных букв
на строчные.
Если вы знакомы с тождеством (Г—Х)(Г + Х) =
— Т2—X2, то можете сразу переходить к п. 16.17.
16.4М. Конец гл. 15 мы посвятили занятию элементарной ма-
математикой, а теперь снова займемся ею, и этих знаний
вам хватит надолго. Если не усвоите все сразу, поста-
постарайтесь понять общую суть и время от времени повто-
повторяйте этот материал, пока не справитесь с ним оконча-
окончательно.
Что, по-вашему, означает такая фраза: «Сэр Фил-
лип Андерс поцеловал жену с помощью горничной и
дворецкого надел пальто»?
Это двусмысленность; все решающим образом за-
зависит от того, где поставить запятую. Аналогичная
трудность возникает при осмыслении выражений типа
а + bc. Что оно означает: результат перемножения Ь
с с (п. 9.14М) и сложения с а или результат сложения
а и Ъ и умножения на с?
Чтобы избежать таких двусмысленностей, необхо-
необходимо принять соглашения.
16.5М. Первое из них гласит:
сначала выполните умножение и деление, а затем
сложение и вычитание.
Значит, в п. 16.4М верен первый ответ.
16.6М. Если величины а и b просуммированы и результат
умножен на с, то следует использовать скобки. Пишет-
Пишется (а + Ь)с. Следующее соглашение звучит так:
все, что заключено в скобках, считается одной ве-
величиной по отношению к тем величинам, которые
стоят за скобками. Поэтому сначала выполняются
16.8М
219
операции над величинами в скобках, а затем над
всеми остальными величинами.
Тогда, согласно п. 9.14М, выражение (а + &)с означает
(а + 6), умноженное на с.
16.7М. Теперь рассмотрим такое утверждение:
если a, b и с — три любых числа или величины, то
a(b+c) = ab-\-ac. A6.5)
Что это значит?
Правильный ответ может быть записан по-разному.
Назовем a, b и с первым, вторым и третьим числами
соответственно; тогда один из возможных вариантов
таков:
результат сложения второго и третьего чисел и по-
последующего умножения суммы на первое число ра-
равен результату перемножения первого числа на вто-
второе и первого числа на третье и последующего сло-
сложения этих двух произведений,
т. е. левая часть дает указание сначала сложить b
и с, а полученную сумму умножить на а. А правая
часть велит умножить а на Ь, затем а на с и сложить
эти произведения. Тогда смысл утверждения состоит
в том, что обе процедуры всегда дают один и тот же
ответ.
16.8М. Верно ли это утверждение?
Да. Это хорошо знакомое правило арифметики, ко-
которым мы постоянно пользуемся. Если приобретаются
5 предметов по 7 пенсов за штуку и еще 5 по 4 пенса,
ь - . /т.
д+с
Рис. 16.8.
то можно подсчитать, что общая стоимость составит
5G + 4), или 5X7 + 5X4 пенсов.
Это — основное свойство чисел, которое не требует
доказательства, но рис. 16.8 поможет его понять лучше.
Площадь большого прямоугольника равна сумме двух
16.9М
220
малых. Применение формулы площади—(длина) X
X (ширина)—показывает, что отсюда следует A6.5).
16.9М. Уравнение типа (9.13) справедливо только для иу v и
wy определенных в п. 9.2, а формула A6.5) выполняет-
выполняется всегда независимо от того, какие значения принима-
принимают а, Ъ и с. Равенство, обладающее таким свойством,
называется тождеством. Тождества — очень полезные
соотношения, особенно когда приходится докапываться
до скрытых взаимосвязей.
16.ЮМ. А теперь проработайте следующее правило:
если а, & и с — три любых числа или величины, го
a{b—c) = ab—ас. A6.6)
Расшифруйте его по аналогии с п. 16.7М или приду-
придумайте другой способ. Пользуетесь ли вы этим прави-
правилом в своих арифметических расчетах? Как это прави-
правило иллюстрируется рис. 16.10?
Это еще одно тождество. Его можно вывести из
A6.5), но не будем этим заниматься, а просто примем
его на веру.
16.11М. Разность двух чисел или величин — это результат вы-
вычитания второго из первого. С помощью этого опреде-
определения тождествам A6.5) и A6.6) можно дать следую-
следующую формулировку:
16.12М. умножение числа или величины на сумму (или раз-
разность) двух других чисел или величин дает такой
же результат, как умножение на каждое из этих
чисел (или величин) по очереди с последующим сло-
сложением (или вычитанием) результатов.
16.13М. Произведение а на b можно записать как аб, либо Ьау
порядок следования символов значения не имеет, так
же как и для сложения. (Однако при вычитании, или,
что то же, при вычислении разности, порядок следо-
16J6M 221
вания величин оговаривается.) Таким образом, данная
в п. 16.12М формулировка обобщает несколько форм
записи тождеств, которые, если пользоваться символи-
символическими обозначениями, потребовали бы от нас пере-
перестановки, чисел, например аF + с) в виде {с+Ь)а
и т. д.
16.14М. Если взять три величины р, р и q в таком порядке и
применить к ним правило, сформулированное в
п. 16.12М для операций, стоящих в скобках, то полу-
получится
p(p-q) = p2-pq, A6.7)
где, заметьте, я написал (р—q)p вместо р{—q) и р2
вместо рХр (п. 3.14М). Выбирая в каждом случае со-
соответствующим образом три величины, покажите, что
тождества
{p-q)q = pq-q\ A6.8)
(p-q)(p+q)=(p-q)p+(p~q)q 06.9)
также следуют из п. 16.12М.
Этими тремя величинами являются в первом слу-
случае q, р и q, а во втором (р—q), p и q. В первом слу-
случае использована формулировка для слов, стоящих в
п. 16.12М в скобках.
16.15М. Комбинирование трех последних уравнений ведет к ин-
интересному результату. Из уравнения A6.7) следует,
что вместо выражения (р—q)p всегда можно подста-
подставить р2—pq (п. 9.16М). Какая подстановка разрешена
уравнением A6.8)? Произведя подстановки в A6.9),
получим
(р— q)(p+q) = p2—pq+pq—q2-
Два средних члена в сумме равны нулю, и в ко-
конечном итоге имеем
(Р-Я)(Р+Я) = Р*-?- 06-10)
Поскольку при доказательстве мы использовали
только тождества, равенство A6.10) также является
тождеством.
16.16М. Убедитесь, что вы понимаете формулу A6.10), сфор-
сформулировав ее несколькими различными способами.
Вот четкая формулировка этого тождества:
произведение разности двух чисел или величин на
их сумму равно разности квадратов этих чисел или
величин.
16.17
222
Если вам больше нравится говорить «число, умно-
умноженное на себя», а не квадрат числа (п. 3.14М), то
формулировка будет более громоздкой. Решите не-
несколько примеров, подставив вместо р и q числа.
16.17. С помощью уравнений A6.3) и A6.4), а также соот-
соответствующих уравнений для ty x, 8 и ф выведите пра-
правило перехода от инварианта, найденного в п. 15.16,
к координатам «время далекого события — расстояние.
Мы получим вФ=\Т—Х)(Т + Х)\ тогда A6.10)
дает
вФ = 72—X2. A6.11)
Аналогично
Qq> = t2—x2. A6.12)
Таким образом, мы снова пришли к инварианту,
найденному в гл. 12. Мы не открыли ничего нового —
просто получили интервал другим способом (пп. 12.15—
12.17). Теперь понятно, что я имел в виду, когда в
п. 16.9М говорил о полезности тождеств для выявле-
выявления скрытых взаимосвязей.
16.18. В радиолокационном методе вместо скорости исполь-
используется коэффициент Доплера (пп. 15.5 и 15.8), значит,
16.20 223
должно существовать связывающее их уравнение, ко-
которое можно записать в нескольких одинаково пригод-
пригодных формах.
На рис. 16.18 (возьмите открытку с прорезью!) с
наблюдателем А связана прямоугольная система коор-
координат. В момент события Р он послал сигнал, достиг-
достигший наблюдателя В в момент события Q, а сигнал,
который В в Q послал обратно к А, достиг его в мо-
момент события R. Очевидно, что при событии М, распо-
расположенном посередине между Р и R, прямая MQ идет
параллельно оси X.
16.19. Выберем промежуток времени между О и Q, измерен-
измеренный по часам наблюдателя А, в качестве единицы вре-
времени. Расстояние от А до Q относительно А — это
путь, пройденный наблюдателем В за единицу време-
времени (по мнению наблюдателя А), т. е. оно равно vy где
v — относительная скорость движения наблюдателей.
Поэтому, согласно п. 7.14, промежутки времени от Р
до М и от М до R равны v (ср. с п. 8.4). Проверьте,
чему равны другие промежутки времени, нанесенные
на рис. 16.18 на мировой линии наблюдателя А.
Чему равно время, протекшее между О и Q, по ча-
часам В?
Это — собственное время наблюдателя В, прошед-
прошедшее между событиями О и Q, тогда как соответствую-
соответствующий промежуток времени для А является несобствен-
несобственным и равен 1. Поэтому вследствие замедления тече-
течения времени (пп. ЗЛО, 13.5—13.7) получим, положив
Т=\ в формуле A3.5), ]/1—v2.
16.20. Теперь проделаем аналогичные расчеты с помощью
коэффициента Доплера k между А и В. Выберем в ка-
качестве единицы времени время, прошедшее между О и
Q по часам наблюдателя В (рис. 16.20). Сигналы, по-
посланные наблюдателем В в моменты событий О и Q,
наблюдатель А принимает в О и R. Найдите время,
прошедшее между событиями О и R по часам А (см.
п. 15.10).
Применяя к соответствующим событиям соотноше-
соотношение A5.3), найдем, что это время равно ?Х1, т. е. про-
просто k.
Чему равен промежуток времени между О и Р?
Применяя соотношение A5.3) к сигналам, отправ-
отправленным наблюдателем А в моменты событий О и Р и
достигшим В в О и Q, получим
16.21
224
1=?Х (Время, прошедшее между О и Р по ча-
часам А),
так что (п. 9.12М)
Время, прошедшее между О и Р по часам A=l/fe.
Поскольку М лежит посередине промежутка време-
времени между Р и R, время, прошедшее между О и М, рав-
равно (k+l/k)/2 (ср. с п. 16.1). Время, прошедшее между
Р и М или М и R (равное половине промежутка вре-
времени, прошедшего между Р и R), равно (k—l/k)/2.
i\k^ кУ
i
*+.
-
i
А:
./
R
М >//
///
/ / /
/ /
/ /
/ / Ось У
о
А
Рис. 16.20.
16.21. Разумеется, промежутки времени, отмеченные на
рис. 16.18 и 16.20, совершенно одинаковы, но измере-
измерены в разных единицах. Изменение единиц измерений
изменяет в одинаковой пропорции результаты всех
измерений. Поэтому отношение (п. 9.21М) двух любых
промежутков времени, отмеченных на рис. 16.18, рав-
равно отношению тех же промежутков времени на
рис. 16.20. Например, отношение OR/OQ (время,
прошедшее между О и R, деленное на время, про-
прошедшее между О hQ) равно k/l=k на рис. 16.20 и
16.24 225
на рис. 16.18. Значит,
^ A6.13)
Убедитесь, что каждое из уравнений A6.14)—
A6.18) получено из утверждения, что стоящее слева
отношение одинаково для обоих рисунков.
OP/OQ 4-° у^, A6-14)
OM/OQ 4-(*+х) = -ргЬ~' A6Л5)
^. A6Л6)
OR/OP fei- Н^-. A6.17)
рм/ом 0=4тт1"- A6Л8)
Последнее уравнение можно записать еще и в такой
форме:
?f. A6.19)
Все эти уравнения семью различными способами
выражают одну и ту же мысль; каждое из них можно
вывести из любого другого.
16.22М. При выводе трех последних уравнений использована
теорема, согласно которой дробь не изменяется при
умножении числителя и знаменателя на одно и то же
число. На рис. 16.20 отношение OR/OP равно k/(l/k)\
умножение числителя и знаменателя на k дает &2/1 =
=&2. Эта процедура использовалась при выводе пра-
правой части уравнения A6.18) и при переходе от этого
уравнения к A6.19), причем в первом случае множи-
множитель был 2, а во втором к.
16.23. Вы, вероятно, заметили, что я постепенно сокращаю
объяснения. Я вынужден это делать, иначе книга не-
неимоверно разбухнет. Но я не буду выбрасывать ниче-
ничего существенного, а просто буду более лаконичен.
В книге будут все необходимые объяснения, но, чтобы
в них разобраться, вам придется все больше думать
над каждым предложением и стараться извлечь как
можно больше.
16.24. Закон комбинирования скоростей [формула (9.13)]
оказался довольно сложным. А что, если для описания
15-1653
16.24 226
относительного движения вместо скоростей использо-
использовать коэффициенты Доплера?
На рис. 16.24 показаны мировые линии трех инер-
циальных наблюдателей А, В и С и две линии сигна-
сигналов PRU и QSV (выбранные так, чтобы никакие миро-
мировые линии не пересекали друг друга в пространстве
между ними). Открытку с прорезью в дело!
Рис. 16.24.
Пусть &Ав — коэффициент Доплера между А и В, а
и &ас — коэффициенты Доплера между В и С и
между А и С соответственно. Пусть промежуток вре-
времени, прошедшего по часам наблюдателя А между
событиями Р и Q, равен 1. Теперь с помощью A5.3)
выведите три следующих уравнения:
Время, прошедшее между R и S = ?ABxl = ?AB.
Время, прошедшее между U и V =
= ?всх (Время, прошедшее между R и S) = kBckAE.
Время, прошедшее от U до V = kAC х 1 = ккс.
Два последних уравнения описывают один и тот же
промежуток времени, поэтому
*ас=*ав*вс- A6.20)
В радиолокационном методе это соотношение ана-
аналогично формуле (9.13). Опять радиолокационный ме-
метод оказался проще. Комбинирование скоростей не
сводится к операции сложения, а производится в со-
соответствии с более сложным законом. А вот комбини-
комбинирование коэффициентов Доплера сводится к простому
умножению. Кроме того, доказательство соотношения
A6.20) намного проще, чем формулы (9.13).
16.27 227
16.25. Для иллюстрации всех этих взаимосвязей решим
упражнение (а) из п. 9.19. Сначала перейдем от ско-
скоростей к коэффициентам Доплера, затем применим
формулу A6.20) и в заключение совершим обратное
преобразование к скорости. Применение формулы
A6.17) дает
В настоящем случае очевидное обобщение формулы
A6.20) дает
Тогда, согласно A6.19), w = 35/37 = 0,946.
Решите этим методом еще один-два числовых при-
примера и проверьте свои ответы с помощью формулы
(9.13). Если вы разбираетесь в алгебре, то замените
каждое k2 в A6.21) выражением, стоящим в левой ча-
части A6.17). В результате получится формула (9.13).
16.26. Если относительное движение двух наблюдателей за-
задается их коэффициентом Доплера и если известны
радиолокационные координаты некоторого события
относительно одного из этих наблюдателей, то форму*
лы A5.4) и A5,5) позволяют найти координаты этого
события относительно второго наблюдателя. Применяя
A6.3), A6.4) (и их эквиваленты для строчных букв),
A6.15) и A6.16) и прибегнув к помощи пп. 16.22М и
15.28М, можно вывести уравнения для метода «вре-
«время — расстояние — скорость». Если вы сносно владе-
владеете алгеброй, проделайте это. Результат будет таков:
'~7ЙГ A6-22)
ж—*=*L A6.23)
Эти уравнения выполняют ту же функцию, что и
A5.4), A5.5): если относительное движение задается
с помощью скорости и если известны время и расстоя-
расстояние относительно одного наблюдателя, то они позво-
позволяют вычислить координаты относительно другого на-
наблюдателя. Уравнения в методе «время — расстоя-
расстояние — скорость» гораздо сложнее, чем аналогичные
уравнения в радиолокационном методе.
16.27. Уравнения A6.22) и A6.23) называются преобразова-
преобразованиями Лоренца в честь Г. А. Лоренца, который вывел
15*
16.27 228
их еще до работ Эйнштейна (хотя их истинный смысл
стал ясен только после работ Эйнштейна).
Эти уравнения — алгебраический эквивалент про-
пространственно-временной диаграммы в форме «время —
расстояние — скорость» (гл. 6—8 и 14). Их можно вы-
вывести непосредственно из п. 1.22 или 5Л1. Теорию от-
относительности можно построить не только геометриче-
геометрическим путем, но и алгебраически из формул A6.22) и
A6.23).
Преобразование Лоренца позволяет достичь цели
быстрее, чем используемый нами геометрический ме-
метод. Если цель — это эффективное владение теорией
на практике, особенно применение ее в других обла-
областях науки или в технике, то алгебраический метод
безусловно предпочтителен. Но я по-прежнему считаю,
что наш подход, хотя и более трудоемкий, дает более
глубокое понимание рассматриваемых вопросов
(вспомните, что говорилось в нескольких последних
абзацах введения).
17
ПОСТОЯННОЕ УСКОРЕНИЕ
17.1. Удалось ли вам сделать с помощью открытки с про-
прорезью в п. 14.14 интересное наблюдение? Если не уда-
удалось, то попытайтесь еще раз.
Просмотрите то, что говорилось об изовалах, в
пп. 14.1, 14.5 и 14.9. Подумайте, не может ли ветвь изо-
валы быть мировой линией, описывающей движение
чего-либо в одномерной вселенной.
Времениподобная изовала не может быть мировой
линией, ведь она идет под углом меньше 45°, а это
означало бы, что действие распространяется быстрее
света, что невозможно (пп. 10.10—10.12).
17.2. Но ветвь пространственноподобной изовалы могла бы
быть мировой линией, так как ее наклон всегда боль-
больше 45°. Убедитеь с помощью открытки с прорезью, что
она изображает движение со скоростью меньше скоро-
скорости света. Какой тип движения описывает такая изо-
изовала?
Мировые линии инерциальных наблюдателей —
прямые. Значит, эта кривая должна описывать неинер-
циальное движение. Что значит «неинерциальное»?
Определение этого термина дано в п. 5.2: пробная
частица уходит от неинерциального наблюдателя.
Но когда тяготение отсутствует (рассматриваемый
нами случай; п. 5.5), инерциальный наблюдатель дви-
движется с постоянной скоростью относительно любого
другого инерциального наблюдателя (п. 5.6). Значит,
неинерциальный наблюдатель движется с переменной
скоростью — он ускоряется в полном смысле этого
слова, т. е. пространственноподобная изовала пред-
представляет ускоренное движение.
17.3. Обратите внимание, что ускорение и скорость — в кор-
корне отличающиеся величины (пп. 1.1—1.3, 5.1 и 5.2).
Скорость — величина чисто относительная. Но каждый
может видеть, остаются ли наблюдатель и его пробная
частица рядом или удаляются друг от друга, а значит,
все придут к согласию по поводу того, ускорен ли этот
наблюдатель или нет. Ускорение — это абсолютная ве-
величина. Как это важное различие представлено на
диаграмме?
17.4
230
17.4.
При построении диаграммы (п. 8.44) можно прида*
вать мировой линии инерциального наблюдателя лю-
любой наклон, лишь бы она шла круче 45°. Но кривая
всегда остается кривой.
Сосредоточим внимание на правой ветви (п. 14.5) про-
странственноподобной изовалы (рис. 17.4). Она, как
мы только что видели, могла бы быть мировой линией
кого-нибудь (или чего-нибудь), движущегося с уско-
ускорением. Мы еще недостаточно знаем об этом объекте,
17.5.
чтобы уже сейчас облечь его правами наблюдателя
(который может анализировать информацию, содер-
содержащуюся в посланных и принятых сигналах). Поэтому
назовем его странником, которого можно наблюдать,
но который сам никаких наблюдений не проводит. Бу-
Будем обозначать его буквой W (первая буква англий-
английского слова wanderer — «странник»).
На рис. 17.4 нанесены прямоугольная система коор-
координат наблюдателя А, которую в гл. 14 мы использо-
использовали для изучения изовал, и оси координат инерциаль-
инерциального наблюдателя В, которые также проходят через
точку О. Р и Q — это точки пересечения мировой ли^
нии странника W с соответствующими осями расстоя-
расстояний этих наблюдателей.
Составим себе общее представление о движении W
для начала с точки зрения наблюдателя А. Первона-
17.6 23Г
чально странник W движется навстречу А (на рис. 17.4
внизу справа). Поскольку его мировая линия почти па-
параллельна линии сигнала, он движется относительно А
почти со скоростью света. Однако двигатели сообщают
ракете странника ускорение в положительном направ-
направлении оси X, так что относительно А он движется все
медленнее.
В момент события Р скорость W падает до нуля,
на мгновение он становится неподвижным относитель-
относительно А. Но двигатели ракеты продолжают работать, по-
поэтому W ускоренно удаляется. По мере того как миро-
мировая линия уходит к правому верхнему краю диаграм-
диаграммы, его скорость (относительно А) снова стремится к
скорости света. Используйте открытку с прорезью для
проверки данного здесь описания с точки зрения на-
наблюдателя А (п. 8.13).
Из свойств изовалы, определенной через интервал
(п. 14.1), являющийся инвариантом, ясно, что для В
движение W выглядит точно так же, как для А. От-
Открытку с прорезью в дело! (Если снабдить наблюда-
наблюдателя В прямоугольной системой координат, то изовала
не изменится.) В момент какого события странник W
будет неподвижен относительно В?
С точки зрения А, странник W неподвижен в мо-
момент события Р, одновременного с событием О
(п. 8Л2). Аналогично W неподвижен относительно на*
блюдателя В в момент события, которое для В одно-
одновременно с О, т. е. в момент события Q. Или Q—«это
событие, в момент которого скорости странника W и
наблюдателя В равны.
17.6. Вы, вероятно, думаете, что следовало бы называть
движение странника W до события Р замедленным, а
не ускоренным, поскольку его ракета тормозилась. На
здесь снова возникает вопрос: «С чьей точки зрения?».
Например, между событиями Р и Q странник W начи-
начинает разгон с нулевой скорости с точки зрения наблю-
наблюдателя А, но тормозится до полной остановки с точки
зрения наблюдателя В. Значит, замедление, с точки
зрения другого наблюдателя, является ускорением. Так
что мы всегда будем использовать термин «ускоре-
«ускорение».
Зато направление ускорения является абсолютным.
Все время и, с точки зрения любого наблюдателя,
пробная частица странника W удаляется от него в от-
отрицательном направлении. Значит, сам он всегда уско-
ускоряется в положительном направлении.
17.7 232
17.7. Постоянно ли ускорение странника W или оно меня-
меняется? Не спешите с ответом.
Необдуманный ответ мог бы быть таким: «Ско-
«Скорость W быстро меняется в окрестности точки Р и мно-
много медленнее в верхней и нижней частях его мировой
линии. Значит, его ускорение меняется — в Р оно
больше, чем до или после». Верно ли это?
В пп. 9.28—9.30 мы предварительно рассмотрели
движение с постоянным ускорением. Мы выяснили,
что, с точки зрения любого наблюдателя, скорость из-
изменяется в переменном темпе. Полученный там вывод
согласуется с поведением странника W, поэтому его
ускорение можно считать постоянным.
А это открывает захватывающие перспективы.
Ведь постоянное ускорение — это ключ к динамике:
силе, массе, энергии и знаменитому соотношению меж-
между массой и энергией. Кроме того, если когда-нибудь
удастся совершить космический полет за пределы Сол-
Солнечной системы, то только с помощью ракеты, движу-
движущейся с постоянным ускорением, хотя при нынешнем
уровне технологического развития такой полет кажет-
кажется неосуществимым. И впечатления космонавтов будут
совершенно необычными. Наконец, когда мы узнаем,
как использовать движущегося с постоянным ускоре-
ускорением странника в качестве наблюдателя, мы прибли-
приблизимся к общей теории относительности.
17.8. Движение этого странника будет выглядеть одинаково
для любого наблюдателя (п. 17.5), в согласии с тем,
что мы выяснили в первом грубом приближении (см.
второе предположение п. 9.29). Итак, идея о постоян-
постоянном ускорении выглядит вполне разумно.
Согласно пересмотренному в п. 9.29 определению
постоянного ускорения, ускорение странника W в мо-
момент события Р следует рассчитывать на основе изме-
измерений, выполненных наблюдателем А, а его значение
в Q должно вычисляться по данным, полученным на-
наблюдателем В. Значит, чтобы дать окончательный от-
ответ, нужно определить эти две величины и посмотреть,
будут ли они одинаковы. Каков будет ответ?
Поскольку движение странника W для наблюдате-
наблюдателя В в точке Q выглядит так же, как для А в Р, когда
W мгновенно неподвижен, расчеты должны дать оди-
одинаковый ответ в обоих случаях — во всех случаях.
Значит, ускорение странника W постоянно. Для на-
наглядности проделаем расчет.
17.9. Зададим мировую линию странника W как правую
17.11
233
ветвь пространственноподобной изовалы для интерва-
интервала s. Тогда ее точки соответствуют всем событиям, от-
отделенным от О интервалом s (п. 14.1).
Для наблюдателя А события О и Р одновременны.
Значит (п. 13.23),
Расстояние ОР с точки зрения A = s, A7.1)
17.10. Ниже все величины будут взяты, а расчеты проделаны
относительно наблюдателя А или «с точки зрения на-
наблюдателя А», если не будет оговорено иное. Чтобы
найти ускорение странника W, нужно уметь вычис-
вычислять его скорость, скажем в момент события Q. А она
(мгновенно) совпадает с (постоянной) скоррстью на-
наблюдателя В (см. конец п. 17.5). Итак, нам нужен
способ вычисления скорости наблюдателя В относи-
относительно А.
17.11. Проведем на рис. 17.4 отрезки: вертикальный MQ и
горизонтальный NR, так, чтобы длина отрезка ON бы-
была равна ОМ (рис. 17.11). Поскольку оси координат
наблюдателя В составляют одинаковые углы с гори-
горизонталью и вертикалью (п. 8.26), длины отрезков NR
и MQ также равны. Если v — скорость наблюдателя В
относительно А, то (п. 8.37)
__ Длина отрезка NR _ Длина отрезка'MQ
Длина отрезка ON Длина отрезка ОМ •
77./? 234
или
v=TJX, A7.2)
где Т ,и X, как обычно, время Q и расстояние до него
с точки зрения наблюдателя А (ср. с п. 8.42). Но это
также (п. 17.10) и мгновенная скорость странника W
в момент события Q (относительно А).
(Скорость равна времени, деленному на расстоя-
расстояние! Не волнуйтесь, мы ведь не сказали ничего несу-
несуразного типа того, что скорость W равна времени его
путешествия, деленному на расстояние, которое он
преодолел. И помните: расстояния — это промежутки
времени; пп. 7.10—7.13.)
17.12. Ускорение — это темп изменения скорости. (В таком
контексте под словом «ускорение», конечно, подразуме-
подразумевается его величина). Согласно формуле A7.2), за
время Г, прошедшее между событиями Р и Q, скорость
странника W возрастает на Т/Х. Средний темп, измене-
изменения скорости за время между Р и Q равен Т/Х, делен-
деленному на Т, т. е. 1Д.
17.13. Чтобы определить ускорение странника W в момент
события Р, необходимо измерить темп изменения его
скорости именно в момент этого события. Но такое из-
измерение невозможно, так как требуется измерить ско-
скорости в два различных момента и поделить на проме-
промежуток времени между ними (как в предыдущем пара-
параграфе).
С другой стороны, ускорение в момент события Р,
очевидно, не совпадает с темпом изменения скорости
за время, прошедшее между событиями Р и Q. Однако
вполне разумно считать его приближенным значением
ускорения в момент события Р. И .чем ближе Q к Р,
тем лучше это приближение.
Таким образом, нельзя непосредственно вычислить
ускорение в момент события Р, но можно получить как
угодно близкое к нему значение, вычисляя темп изме-
изменения скорости за достаточно малый промежуток вре-
времени. Сформулируем определение:
ускорение странника W в момент события Р — это,
по определению, величина, которую можно вычис-
вычислить с любой желаемой точностью, приняв ее рав-
равной темпу изменения скорости за весь промежуток
времени между Р и Q и сделав этот промежуток
достаточно малым.
17.17 235
17.14. Процедура, которая позволяет производить расчет
только «с любой желаемой точностью», может вызвать
чувство недоверия. И тем не менее по мере продвиже-
продвижения вперед вы обнаружите, что на этом основана це-
целая область математики. Как вы узнаете из следую-
следующих разделов, рассуждения, которые исходят из рас-
расчетов с любой желаемой точностью, в конечном счете
дают точное значение.
17.15. Объединим определение, данное в п. 17.13, с выводом
п. 17.12 о темпе изменения скорости. Если Q совпадает
с Р, то М совпадает с Q. Тогда X— это расстояние
ОР, которое, согласно A7.1), равно s. Поэтому, чем
ближе Q к Р, тем ближе X к s и \/Х к 1/5. Тогда из
п. 17.12 следует, что при достаточно малом промежут-
промежутке времени между Р и Q темп изменения скорости за
время между Р и Q будет сколь угодно близок к 1/s.
Если эту величину подставить в определение, данное
в п. 17.13, то
ускорение в момент события Р равно 1/5.
17.16. Чтобы прийти к этому выводу, я дважды написал:
«С любой желаемой точностью» (в пп. 17.13 и 17.15).
И тем не менее я обещал доказать, что ускорение в
момент события Р точно равно 1/s. He кажется ли
вамт что в это утверждение следовало бы ввести ого-
оговорку типа «с любой желаемой точностью»?
Точный вывод действительно можно получить. Из
двух утверждений следует, что если Q достаточно
близко к Р, то темп изменения скорости сколь угодно
близок как к ускорению в момент событие Р, так и к
1/5. И ускорение, и 1/5 — фиксированные величины,
они не изменяются по мере приближения точки Q к
Р. Допустим, что они не равны друг другу точно.
Тогда темп изменения скорости невозможно сделать
сколь угодно близким к ним обеим: чем сильнее он
будет приближаться к ускорению, тем сильнее будет
отличаться от 1/5 (и обратно).
Значит, предположение, что ускорение не равно
точно 1/s, приводит к противоречию, поэтому прихо-
приходится согласиться с выводом п. 17.15.
Метод расчета «с любой желаемой точностью»,
приводящий к точным выводам, лежит в основе ново-
нового раздела математики, упомянутого в п. 17.14.
17.17. Из инвариантности интервала следует, что если бы мы
рассчитали ускорение в момент любого другого собы-
события из жизни странника W по данным измерений на-
17.18 236
блюдателя, относительно которого W в момент этого
события мгновенно покоится (например, В в момент
события Q), то мы получили бы тот же самый резуль-
результат. Значит, ускорение странника W всегда одинаково,
т. е. постоянно.
Обозначим ускорение странника W буквой f (уско-
(ускорение часто обозначают буквой а, но она нам нужна
для многих других целей). Тогда наш вывод можно
записать в виде
/-1/S, A7.3)
откуда
s=l//. A7.4)
17.18. По мнению наблюдателя А, событие Q произошло в
момент времени Т, когда странник W находился от не-
него на расстоянии X. Тогда для описания движения
странника W необходимо уравнение, связывающее Т
И1
Из данного в п. 17.9 определения мировой линии
странника W следует, что Т и X связаны соотношением
A4.2). Тогда с учетом формулы A7.4) получаем
X2—Т2=1//2, A7.5)
или, в несколько иной форме (п. 9.ИМ),
Р(Х*—Т*)=1. A7.6)
17.19. Из A7.1) и A7.4) следует: расстояние OP=l/f и v = 0
в момент события Р. Значит, по мнению наблюдателя
А, странник W в момент времени, равный нулю, мгно-
мгновенно покоится и находится от него на расстоянии 1/f.
Полученные нами уравнения, описывающие движе-
движение странника W, имеют простую форму только для
измерений наблюдателя (подобного А или В), распо-
расположенного в момент максимального сближения на рас-
расстоянии 1// от W. Ниже мы всегда будем пользовать-
пользоваться именно такими измерениями.
Тогда, с точки зрения наблюдателя А, расстояние
до W в момент времени Т равно X, где Т и X связаны
формулой A7.5) или A7.6). А скорость странника W
относительно А в момент Т определяется формулой
A7.2).
Но поскольку W стартовал на расстоянии 1/f от А,
Расстояние, пройденное странником W за время от О
до Т (согласно измерениям наблюдателя А)=Х—
-1/f A7.7)
<рис. 17.19).
/7.20
257
^Расстояние, пройден
"?
Рис. 17.19.
17,20. Проделаем расчеты космического полета отдаленного
будущего. Особый интерес представляет случай, когда
космический корабль имеет то же ускорение, что и ка-
камень, свободно падающий на поверхность Земли, —
ускорение свободного падения. Обозначим его бук-
буквой g. При таких условиях космонавт на борту этого
корабля чувствовал бы себя так, как если бы ракета
стояла на Земле носом вверх и его тянула бы к ее
хвосту обычная сила тяжести. Почему?
Если космонавт выпустит из рук пробную частицу,
то ее движение будет инерциальным, но сам он, под-
подталкиваемый полом кабины корабля (а в конечном
итоге ракетным двигателем), будет ускоренно уда-
удаляться от нее. Поэтому создастся такое впечатление,
будто частица движется по направлению к хвосту ра-
ракеты с ускорением g. Будет казаться, что она пада-
падает — точно как на Земле. Чтобы космонавт находился
в состоянии ускоренного движения (не падал, как это
могло бы выглядеть), пол кабины должен воздейство-
воздействовать на него с такой же силой, как поверхность Зем-
Земли. Фактически ускоренное движение ракеты проявля-
проявляется так же, как земное притяжение.
17.21 238
Человеку трудно жить в условиях невесомости, по-
поэтому очень продолжительные экспедиции потребуют
создания искусственной силы тяжести. Простейший
способ добиться этого (если, конечно, инженеры смо-
смогут создать такие суперракеты) — лететь все время с
ускорением g.
17.21. При ускорении g скорость возрастает на 9,81 метра в
секунду за каждую секунду (если ограничиться корот-
короткими промежутками времени, за которые релятивист-
релятивистские эффекты не успевают проявиться). Для расчетов,
связанных с длительными космическими путешествия-
путешествиями, нам понадобится более длинная единица времени.
Давайте выберем год. Тогда естественной единицей
расстояния (п. 7.11) будет световой год (п. 1.8). Бу-
Будем пользоваться именно этим названием, хотя при на-
нашем подходе следовало бы говорить просто «расстоя-
«расстояние в один год».
Если скорость возрастает на 9,81 метра в секунду
за каждую секунду, то за год она возрастет на
365,26X24X3600X9,81 метра в секунду«310 000 кило-
километров в секунду, или около 1,03 естественной единицы.
Значит, за год будет достигнута скорость больше
скорости света? Конечно, нет! В последние рождест-
рождественские праздники темп роста моего веса составил
20 тонн за столетие, но ведь это не будет продолжать-
продолжаться все сто лет! Подобным же образом при ускорении
в g темп нарастания скорости составляет 1,03 естест-
естественной единицы в год только в течение короткого про-
промежутка времени, после чего скорость будет увеличи-
увеличиваться все медленнее (пп. 9.28, 9.29 и 17.7).
Для упрощения расчетов положим f=l, но тем не
менее наши вычисления будут давать довольно хоро-
хорошее представление обо всем происходящем в космиче-
космическом путешествии с ускорением g".
17.22. Если в A7.7) и A7.5) положить f=l, то для движу-
движущегося с ускорением, близким к g, странника W
Расстояние, пройденное за время Т=*Х— 1, * A7.8)
где X и Т связаны формулой
X2— Г2=1. A7.9)
Скорость W в момент времени Т по-прежнему опреде-
определяется формулой A7.2). (Все измерения выполнены
наблюдателем А.)
17.23. Подставим в A7.9) 7=1, тогда X2—1 = 1, т. е. Я2=2,
а Х=У2=1,41. (Корень квадратный можно найти по
17.25М 239
специальным таблицам или вычислить с помощью
микрокалькулятора. Если у вас нет ни того ни друго-
другого, убедитесь, что 1,412 с достаточной степенью точно-
точности дает 2.) Значит, из A7.8) следует, что расстояние,
пройденное за 1 год, равно 0,41 светового года. А со-
согласно A7.2), скорость в конце года будет равна
1/1,41 = 0,71. Какое расстояние преодолеет странник за
а) 17з года и за б) 9,95 года и какой скорости он до-
достигнет?
Конечно, можно решить такую задачу: сколько
времени займет путешествие на определенное расстоя-
расстояние, скажем на 5 световых лет? Из A7.8) Х=6; тогда
A7.9) дает 36—Р=1, откуда Г2 = 35 и Г=5,92 года,
а скорость, которой за это время достигнет странник,
будет равна 5,92/6=0,987. Найдите (в) время, необхо-
необходимое, чтобы покрыть расстояние в 8/5 светового года,
и конечную скорость. (Ответы в конце главы.)
17.24. Если вы еще чувствуете себя в математике неуверен-
неуверенно, то пока пропустите этот раздел. Из A7.5) получим
и поэтому, согласно A6.10),
Г2. A7.10)
При малых скоростях точка Q будет расположена
близко к Р (рис. 17.19) и Xmljf (п. 13.11М). Подста-
Подставив это приближенное значение во вторые скобки в
A7.10) (причем не обязательно делать такую подста-
подстановку и в первых скобках!), получим
откуда после умножения обеих сторон на f/2 из A7.7)
найдем
Пройденное расстояние zzfT2f2. A7.11)
В этом соотношении можно узнать известное уравне-
уравнение элементарной механики, которое хорошо выполня-
выполняется при малых скоростях.
17.25М. Докажите тождество (abJ = a2b2.
Для этого достаточно использовать определение
операции возведения в квадрат (п. 3.14М) и сделать
кое-какие перестановки: (abJ = aby^ab = ааЬЬ = а262.
В следующем параграфе с помощью этого тождества
будем писать T2 — v2X2 вместо {vXJ.
17.26 240
17.26. Из уже полученных уравнений можно вывести еще
два, которые позволят ответить на следующие вопро-
вопросы: какой путь преодолеет странник W, прежде чем до-
достигнет определенной скорости и сколько ему на это
потребуется времени? Из формулы A7.2) получим
T = vX. A7.12)
Подставляя это значение Т в A7.6), получим
f2(X2—v2X2) = 1, или (на основании тождества, приве-
приведенного в п. 16.12М) f2X2(l—о2) = 1. Деление обеих
сторон на 1—v2 приводит к равенству
1 — v2 •
откуда после извлечения из обеих частей квадратного
корня следует
fX = J-; A7.13)
что и является искомым уравнением, связывающим X
и v.
Из формулы A7.12) получим fT=*vfX. Подстановка
в это равенство вместо fX его значения из A7.13) да-
дает
A7.14)
а это — второе искомое уравнение.
17.27. Этот раздел также можно пока опустить. Обратите
внимание на то, что если скорость v мала, то формула
A7.14) дает
о»/Г, A7.15)
т. е. классическую формулу, верную при мальи ско-
скоростях. А теперь докажите, что в приближении малых
скоростей
v*tt2fx (Пройденное расстояние). A7.16)
Умножение обеих частей уравнения A7.11) на 2/
дает 2/Х (Пройденное расстояние) &f2T2&v2 в соот-
соответствии с A7.15), т. е. это записанная иначе формула
A7.16).
17.28. Изучая диаграмму с помощью открытки с прорезью,
вы, возможно, заметили, что движение странника W
имеет некоторые странные свойства. Я упомяну их
17.29 241
вкратце и предоставлю вам возможность подробно про-
проанализировать их.
Предположим, что страннику W предложено попро-
попробовать свои силы в качестве наблюдателя. Какие точ-
точки на рис. 17.4 соответствуют событиям, к которым он,
мог бы послать сигналы? И от каких событий он мог
бы получить сигналы? Рассмотрите все четыре квад-
квадранта на рис. 10.1. Что бы он мог узнать об областях
пространства-времени, представленных тем или иным
квадрантом? Вы придете к выводу, что странник мо-
может обладать полной информацией только о правом
квадранте и должен знать о существовании нижнего
квадранта, но не в состоянии исследовать его надле-
надлежащим образом (ибо не может посылать туда сигна-
сигналы). Остальная часть пространства-времени для него»
вообще не существует. Вот почему мы решили в п. 17.4
не принимать пока странника в союз наблюдателей!
17.29. Инерциальные наблюдатели также столкнутся с неко-
некоторыми удивительными явлениями при наблюдениях
странника W. Например, наблюдатель А не может по-
послать сигнал к W после события О и принять сигнал
от W до события О. Если он ищет свидетельства су-
существования странника W, то будет уже слишком
поздно для надлежащего исследования радиолокаци-
радиолокационным методом.
Проведите на рис. 17.4 вертикальную прямую че-
через точку Р, пересекающую нижнюю линию сигнала в
точке К. Пусть это мировая линия инерциального на-
наблюдателя Аь находящегося на Земле (пренебрежем
усложнениями, связанными с тяготением, орбитальным
движением и т. п.). Убедитесь (с помощью открытки
с прорезью или как-нибудь иначе), что если W выклю-
выключит двигатели своего космического корабля в момент
события Р, то он совершит идеальную мягкую посад-
посадку на Землю. Теперь предположим, что W —это аг-
агрессивно настроенные космические пришельцы, движу-
движущиеся с ускорением g. Докажите, что максимально
возможное время предупреждения о вторжении может
быть равно 1 году (промежуток времени КР = рас-
расстояние ОР=1).
Разумеется, космический корабль будет разгонять-
разгоняться в течение конечного промежутка времени (ведь на
это нужно затрачивать энергию). Если космические
агрессоры будут приближаться к Земле на большой
скорости, двигаясь по инерции, то теоретически их
можно было бы обнаружить; но если они будут строго
16—1653
17.30 242
соблюдать светомаскировку, то практически их не
удастся обнаружить до тех пор, пока они не включат
тормозные двигатели, чтобы произвести посадку, и тем
самым выдадут себя, но по-прежнему не раньше, чем
за год до посадки!
17.30. Согласно измерениям наблюдателя А, расстояние до
W при их максимальном сближении (событие Р) равно
1/f (п. 17.19). Для каждого инерциального наблюдате-
наблюдателя с мировой линией, проходящей через точку О, ми-
минимальное расстояние, на которое приближается W,
также равно 1//. Таким образом, хотя W всегда дви-
движется ускоренно в направлении от О, в некотором
смысле он всегда остается на одном и том же расстоя-
расстоянии от этого события. И чем больше ускорение, тем
меньше это расстояние!
Дело в том, что изовала — пространственно-времен-
пространственно-временной аналог окружности. Аналогом относительной ско-
скорости является относительное направление (вспомните
землемеров из пп. 11.10—11.12), а аналогом ускорения
будет искривление или отклонение. Окружность — это
кривая, которая постоянно отклоняется к определенной
точке (центру) и все же всегда остается на одном и
том же расстоянии от нее. Еще сильнее другая, хотя
и менее близкая, аналогия (для тех, кто знаком с со-
соответствующим разделом механики) с предметом, дви-
движущимся с постоянной скоростью по окружности, —
на него всегда действует ускорение по направлению
к центру, но он никогда не приближается к нему.
Ответы к п. 17.23. а) Г = 4/з, а значит, 72 = 16/э. Со-
Согласно формуле A7.9), Х2 = 25/э и Х = 5/3. Поэтому прой-
пройденное расстояние равно 2/з светового года. Из A7.2)
скорость равна 4/з:5/з = 4/5- б) 9 световых лет; ско-
скорость =0,955. в) 12/i5 года; скорость— 12Аз.
18
ДИНАМИКА: МАССА, ИМПУЛЬС, СИЛА
18.1. До сих пор мы не интересовались причиной ускоренного
движения тел. Теперь же займемся динамикой — об-
областью механики, изучающей движения тел под действи-
действием приложенных сил. Разумеется, мы будем иметь дело»
с релятивистской динамикой — динамикой объектов, дви-
движущихся с большими скоростями. Но как это ни стран-
странно, основная трудность для большинства заключается в
том, чтобы уяснить основные понятия, относящиеся в>
одинаковой мере и к ньютоновской динамике (описыва-
(описывающей движение с малыми скоростями). Для тщательно-
тщательного анализа всех проблем потребовалось бы много томов,,
поэтому я предлагаю компромисс между исчерпываю-
исчерпывающим объяснением, строгими рассуждениями и утверж-
утверждениями, которые придется принять, на веру. (Если ди-
динамика вас не интересует, то можете сразу переходить
к гл. 20, но при условии, что сами можете получить все
выводы,)
18.2. Хорошо известно, что если какой-нибудь предмет непо-
неподвижен, то, чтобы привести его в движение, нужно при-
приложить силу, а если он движется, то нужна сила, чтобы
его остановить. Кроме того, известно, что одни тела лег-
легче привести в движение или остановить, чем другие. Что-
Чтобы привести в движение автомобиль, достаточно умерен-
умеренного толчка. А попытайтесь подтолкнуть автобус! Пред-
Предметы различаются по степени сопротивления ускоряюще-
ускоряющему или тормозящему воздействию. Масса как раз и яв-
является мерой этого противодействия, но нам еще пред-
предстоит выработать более точную формулировку этой не
очень ясной мысли.
(Если вас учили, что масса — это «количество веще-
вещества», то забудьте об этом. Не путайте массу с весом*
Вес связан с силой притяжения, а масса — нет. В дви-
движущемся по орбите вокруг Земли спутнике все предме-
предметы находятся в состоянии невесомости. Но по-прежнему,
чтобы заставить их двигаться или остановить, требуется
сила. Вес исчез, а масса осталась.)
18.3. Чем быстрее движется тело (относительно наблюдате-
наблюдателя), тем труднее его остановить. Разогнавшемуся велоси-
18.4 244
педисту при торможении нужно приложить такое же
усилие, как и при торможении еле плетущегося автомо-
автомобиля (даже если оба они движутся по инерции). В це-
целом сила, затрачиваемая на торможение, зависит не
только от скорости, но и от массы. Это первое смутное
представление о том, что можно назвать «количеством
движения». Ибо, если остановить мчащегося велосипеди-
велосипедиста и медленно едущий автомобиль одинаково трудно, то
разумно предположить, что они оба обладают одинако-
одинаковым количеством движения.
Термин «количество движения» ввел Ньютон. Мы же
будем пользоваться коротким, но не таким наглядным
словом — импульс. Однако старайтесь не забывать пред-
представление о количестве движения. Очевидно, импульс, по-
подобно движению, мерой которого он является, — величи-
величина относительная и зависит от измеряющего его наблю-
наблюдателя.
18.4. При столкновении движение передается от одного тела
к другому. Значит, импульс можно определить, столкнув
два тела. Проще всего анализировать столкновения, при
которых сталкивающиеся тела врезаются одно в другое и
останавливаются.
Таким образом, их общий импульс равен нулю. Зна-
Значит, до столкновения тела имели одинаковые, но направ-
направленные в противоположные стороны импульсы, которые
при столкновении в точности компенсируют друг друга.
18.5. Конечно, направление движения тоже важно. В одно-
одномерной вселенной, где имеется всего два направления,
будем считать импульс тела положительным или отрица-
отрицательным в зависимости от того, движется оно (относи-
(относительно наблюдателя) в положительном или отрица-
отрицательном направлении соответственно (п. 6.14).
Такая классификация импульсов придает ясный
смысл рассмотренным столкновениям. До столкновения у
одного тела был импульс р в положительном направле-
направлении, а у другого точно такой же импульс, но в отрица-
отрицательном направлении, т. е. —р. Их сумма, согласно
A5.7), равна нулю.
18.6. Введем классификацию и для скоростей. Будем называть
скорость в определенном направлении вектором скоро-
скорости. Итак, в одномерной вселенной вектор скорости како-
какого-нибудь объекта равен величине его скорости, взятой
со знаком плюс или минус в зависимости от того, дви-
движется он в положительном или отрицательном направле-
направлении.
18.8 245
18.7. Теперь можно проделать много экспериментов типа опи-
описанных в п. 18.4, с единственной целью — выяснить, как
импульс связан с массой и скоростью. Возьмите, напри-
например, три совершенно одинаковых куска свинца и исполь-
используйте один из них в качестве тела А, а два других, спаяв
их в единое целое, в качестве тела В. Если масса явля-
является мерой сопротивления изменению состояния движе-
движения, то очевидно, что масса тела В в два раза больше
массы тела А. Затем вы бы экспериментально установи-
установили, что для осуществления столкновения, описанного в
п. 18.4, телу В необходимо сообщить половину скорости,
приданной телу А. Удвоенная масса и половина скорости
обеспечивают тот же самый импульс. Проделав большое
количество подобных экспериментов, вы в конце концов
пришли бы к следующему выводу:
1. Каждому телу можно сопоставить величину, назы-
называемую массой, которая является постоянной харак-
характеристикой тела и меняется, только когда к этому те-
телу добавляется или от него отнимается вещество,
(Это обнаруживается в экспериментах с малыми ско-
скоростями. Вопрос же о том, что будет происходить при
релятивистских скоростях, пока остается открытым.)
2. С помощью определенной таким образом массы
можно определить
Импульс = Масса X Вектор скорости. A8.1)
Масса всегда считается положительной величиной.
Поэтому в соответствии с формулой A8.1) импульс бу-
будет положителен или отрицателен в зависимости от того,
положителен или отрицателен вектор скорости
(п. 12.13М).
18.8. Множество экспериментов показало, что определения
A) и B) позволяют рассчитывать столкновения. Полный
импульс (принимая во внимание его направление) один
и тот же до и после столкновения. Этот вывод остается
справедливым для любого типа взаимодействий между
телами: столкновения с отскоком, электрическое и маг-
магнитное взаимодействия и т. д. Всегда полный импульс
сохраняется, т. е. в конце он точно такой же, как в на-
начале. Неопровержимо доказано, что
если на систему тел не действуют внешние силы, то
сумма импульсов всех тел остается постоянной — она
не изменяется в результате взаимодействий этих тел
между собой.
18.9 24&
Простота и общность закона сохранения импульса
показывают, что импульс — это чрезвычайно важная ве-
величина.
18.9. В утверждении A) в п. 18.7 лишь сказано, что масса
может быть приписана любому телу. Но как? Самый-
простой метод — проделать эксперименты, позволяющие
сравнить импульсы тел, а затем найти массу по формуле
A8.1). Например, измеряются скорости двух тел, участ-
участвующих в столкновении. Известно, что сумма их им-
импульсов равна нулю, т. е. они противоположны по на-
направлению, но равны по величине. Тогда уравнение
w Вектор импульса
Вектор скорости'
выведенное из A8.1), с учетом п. 9.12 позволяет сравнить
массы этих тел. (А из сказанного в пп. 18.7 и 18.8 сле-
следует, что если будут проделаны другие эксперименты,
прямо или косвенно связанные с импульсами этих тел»
то всегда будут получаться согласующиеся результаты.)
Если выбрать массу какого-либо тела в качестве еди-
единицы массы, то описанный выше метод позволит из-
измерить в этих единицах массы остальных тел (при необ-
необходимости с помощью цепочки сравнений). В качестве
международной единицы массы выбран килограмм. Эта-
Эталон массы представляет собой слиток платино-иридиево*
го сплава, хранящийся в Международном бюро мер и
весов в Севре, в предместье Парижа.
(На практике при измерении масс мы обычно поль-
пользуемся экспериментально установленным фактом, что в
любой данной географической точке масса тела пропор-
пропорциональна его весу. Тогда с помощью весов массу мож-
можно измерить гораздо точнее, чем описанным выше ме-
методом.)
18.10. На движение тела можно воздействовать, приложив к
нему силу. Сила изменяет и его импульс. Какова связь
между силой и скоростью изменения импульса? Проще
было бы предположить, что
Сила = Скорость изменения импульса. A8.2)
(Разумеется, «скорость» в смысле быстроты изменения
со временем.)
18.11. Это предположение во многих случаях может быть под-
подвергнуто экспериментальной проверке. Стандартная пру-
пружина, сжатая до определенной длины, всегда будет ока-
оказывать одинаковое давление. Можно проверить, что вне
зависимости от того, на какое тело она действует, изме-
18 A3 247
нение импульса будет всегда происходить с одной и той
же скоростью. Две такие пружины вместе дадут удвоен-
удвоенную силу, и можно убедиться, что скорость изменения
импульса тоже удвоится. Результаты таких эксперимен-
экспериментов всегда подтверждают формулу A8.2).
А затем можно, как обычно, предположить, что A8.2)
выполняется и в более сложных ситуациях, и удостове-
удостовериться, что окончательные выводы согласуются с данны-
данными экспериментов.
18.12. С помощью A8.1) формулу A8.2) можно переписать в
виде
Сила=Темп изменения (МассаXВектор скорости).
A8.3)
Изменяться здесь могут скорость, масса или обе эти ве-
величины. Иногда приходится изучать движение тел пере-
переменной массы: ракеты, теряющей массу при истечении
топлива, или дождевой капли, растущей в результате
конденсации влаги по мере падения сквозь облако.
Однако во многих случаях тело не теряет вещество
и не получает его извне; значит (п. 18.7), его масса
остается постоянной (при малых скоростях). И тогда по-
после недолгого размышления станет ясно, что
Темп изменения (Масса X Вектор скорости)=
= МассаХ(Темп изменения вектора скорости). A8.4)
Но в мире малых скоростей темп изменения вектора ско-
скорости — это ускорение. Записав это в правой части фор-
формулы A8.4) и подставив в соответствии с A8.3) в левую
часть слово «сила», получим
= МассаХУскорение.
А может быть, следовало бы переписать эту формулу в
более развернутом виде:
Сила = (Масса, на которую она действует) X
X(Произведенное ею ускорение). A8.5)
С другой стороны, формула A8.4) не будет верна, ес-
если масса меняется, ведь в противном случае из этого
уравнения следовало бы неправильное утверждение, что
изменение массы не влияет на импульс. Поэтому, не-
несмотря на то, что формула A8.2) справедлива всегда,
формула A8.5) верна только в тех случаях, когда масса
остается постоянной.
18.13. В уравнениях A8.2) и A8.5) в качестве единицы силы
должна быть выбрана такая сила, которая при воздейст-
18.14 249
вии на единицу массы заставляет ее двигаться с равным
единице ускорением. Если же использована другая еди-
единица силы, то необходимо ввести переводной множитель
и заменить знак «равно» на «пропорционально».
18.14, Силы редко поддаются оценке с такой легкостью, как в
случае сжатой пружины (п. 18.11). Как измерить силу
сопротивления воздуха, тормозящую летящий снаряд?
Только определив его ускорение (т. е. замедление). Ча-
Часто трудно измерить электрические и магнитные силы.
В большинстве случаев нет прямого способа измерить
силу.
Поэтому договоримся определять силу как величину,
задаваемую формулой A8.2) или, когда возможно, фор^
мулой A8.5). Теории, в которых использовалось это оп-
определение, всегда дают верные предсказания.
18.15. Задача облегчается, когда сила постоянна (причем не-
неважно, изменяется масса или нет), поскольку в этом слу-
случае из формулы A8.2) следует, что темп изменения им-
импульса тоже постоянен и его можно измерить для любого
желаемого промежутка времени. Темп изменения равен
полному изменению, деленному на промежуток времени.
Теперь формула A8.2) приводится к виду
^ Полное изменение импульса'
Сила= щш—-—•
откуда (в более развернутой форме) получим
(Сила) X (Время, в течение которого она действует) =
= Полное изменение импульса за это время. A8.6)
18.16. Таковы в общих чертах выводы, вытекающие из исследо-
исследования динамики при малых скоростях. Чтобы перейти к
релятивистской динамике, отбросим только один из этих
выводов. А именно, допустим возможность изменения
массы со скоростью, конечно, относительно того, кто ее
измеряет. В обычных опытах при малых скоростях масса
остается постоянной или столь близка к постоянному
значению, что невозможно обнаружить никаких измене-
изменений. Это значение массы называется массой покоя, так
как она измерена, когда тело покоится относительно из-
измерительных приборов.
(Нельзя измерить массу с помощью наиболее пред-
предпочтительного метода сравнения импульсов (п. 18.9), не
сообщив телу ускорения, а значит, оно не будет пол-
полностью покоиться в течение всего времени измерения. Но
достигаемые при этом скорости так малы, что отклоне-
отклонения от истинного значения массы покоя не имеют прак-
18.18 249
тического значения. Мы могли бы справиться с этой тео-
теоретической трудностью, проведя измерения «с любой же-
желаемой точностью», как в п. 17.13.)
18.17. Рассмотрим космический корабль W, движущийся с по-
постоянным ускорением (типа странника W из гл. 17), с
массой покоя т. Предположим, что этот космический
корабль приводится в движение ракетой-носителем. Са-
Саму ракету-носитель нельзя рассматривать как часть это-
этого корабля, ибо она теряет массу из-за истечения топли-
топлива. Просто ракета-носитель обеспечивает его движение
с постоянным ускорением. Пусть ракета и космический
корабль W связаны гигантским пружинным динамомет-
динамометром, с помощью которого можно измерить действующую
силу.
Заметьте, что измерение силы производится в данном
месте. Любая сила порождается физическим воздействи-
воздействием в точке приложения — в нашем примере истечением
горячих газов из сопла ракеты. Поэтому сила должна
измеряться в данном месте, например инерциальным на-
наблюдателем, мгновенно сопутствующим W. По отноше-
отношению к нему W мгновенно покоится, так что масса, кото-
которую он измеряет, — это масса покоя т, являющаяся по*
стоянной величиной. Тогда формула A8.5) дает
F-m/, A8.7)
где F — постоянная сила, ибо т и / — постоянные вели-
величины.
18.18. А как та же картина выглядит для наблюдателя А из
гл. 17? С его точки зрения, уравнение A7.14) описывает
связь между скоростью W, равной v, и временем Т, тре-
требующимся для ее достижения. Если обе части этого
уравнения умножить на т и подставить F вместо mf
[формула A8.7)], то получим
Узнали величину, стоящую в левой части?
Это сила, умноженная на время, в течение которого
она действует, т. е., согласно A8.6), это — изменение им-
импульса (сила постоянна; п. 18.17). Но в момент времени,
равный нулю, космический аппарат W покоился относи-
относительно наблюдателя А, а значит, имел равный нулю им-
импульс. Таким образом, FT — это импульс W в момент
времени 7. Тогда из формулы A8.8) следует вывод:
если тело массы покоя т движется относительно не-
некоторого наблюдателя со скоростью и, то импульс
18.19 250
этого тела относительно наблюдателя равен
то
/1—
A8.9)
В это выражение входят только масса покоя тела и его
скорость. Поэтому наш вывод относится к любому телу
массой покоя т, движущемуся со скоростью и, независи-
независимо от того, как оно достигло такой скорости.
18.19. При малых скоростях формула A8.9) совпадает с клас-
классической формулой для импульса mv A8.1). Но при ре-
релятивистских скоростях кое-что должно измениться. Что,
если масса всегда равна т> Тогда придется переопреде-
переопределить импульс в соответствии с A8.9). А если принять,
что для импульса всегда справедлива формула A8.1), то
придется допустить, что масса W, движущегося со ско-
скоростью v, равна /n/yi—v2.
В следующей главе выяснится, что второй вариант
ведет к очень красивому математическому упрощению,
которое в свою очередь подсказывает новую замеча-
замечательную физическую гипотезу. Поэтому остановимся на
втором варианте и запишем:
если тело массы покоя т движется относительно не-
некоторого наблюдателя со скоростью v, то, с точки
зрения наблюдателя, масса тела равна
m/j/1— v2. A8.10)
(Речь идет о величине скорости, а не о ее направлении.
Масса не зависит от направления движения. Формула
A8.10) одинакова как для положительных, так и для
отрицательных v\ см. п. 12.12М.) Теперь понятно, почему
в п. 18.2 я настаивал на том, что масса — это не количе-
количество вещества?
18.20. Экспериментальные подтверждения этого предсказания
обеспечивают лучшее свидетельство в пользу справед-
справедливости теории относительности. (На практике проверя-
проверяется выражение для импульса A8.8), а не формула для
массы A8.10), но результаты обычно выражаются через
массу.)
Когда речь идет о массе как о мере сопротивления
изменению состояния движения, имеется в виду как из-
изменение направления, так и изменение скорости. Чтобы
изменить направление движения тела, к нему нужно при-
приложить силу. Приведенные выше соображения можно
распространить на случай, когда сила отклоняет тело
от его траектории. Около 1900 г. экспериментаторы об-
18.20 251
наружили, что для отклонения пучков быстродвижущих-
ся электронов в электроннолучевых трубках требуются
силы большие, чем они ожидали. Когда же Эйнштейн
выдвинул свою теорию, количественное совпадение ре-
результатов этих опытов с формулой A8.10) оказалось
превосходным.
В современных гигантских ускорителях элементарных
частиц огромные силы, порожденные мощными магнит-
магнитными полями, отклоняют пучки быстродвижущихся час-
частиц, заставляя их вновь и вновь нестись по окружности,
постепенно наращивая скорость. Очевидно, чем больше
масса частиц, тем больше должна быть мощность магни-
магнита для их разгона. В ускорителе, созданном в ЦЕРН
близ Женевы, заряженные элементарные частицы, на-
называемые протонами, разгоняются до скоростей, при ко-
которых их масса почти в 30 раз превышает массу покоя.
А работает этот ускоритель только потому, что его кон-
конструкторы учли этот эффект в своих расчетах. В уско-
ускорителях, находящихся в стадии разработки, эта цифра
будет еще в 10 раз больше. Более легкие электроны
легче разогнать, чем протоны, и конструкторам ускори*
телей электронов пришлось учесть возможность возра-
возрастания массы в 40 000 раз.
В последние годы специальная теория относительно-
относительности проникла даже в инженерные расчеты. Можно заста-
заставить тщательно сфокусированный электронный пучок ре-
резать, сверлить, сваривать металлы. Электроны в этих
пучках движутся с такими скоростями, при которых их
массы возрастают в 1,5 раза. Чтобы эти устройства ра-
работали, при расчете процесса фокусировки использова-
использовалась формула A8.10). А чтобы ваш телевизор давал яс-
ясное и четкое изображение, при его сборке была учтена
возможность увеличения массы электронов в электронно-
электроннолучевой трубке примерно на 1%.
Уильям Кингдом Клиффорд напомнил нам, что на-
научная идея — это «руководство к действию; истина, ко-
которую мы познаем, — это не то, над чем можно размыш-
размышлять, не совершая ошибок, а то, с чем можно безбояз-
безбоязненно работать». Эта мысль справедлива и для теории
относительности.
19
ВЗАИМОСВЯЗЬ МЕЖДУ МАССОЙ
И ЭНЕРГИЕЙ
19.1. Самое знаменитое предсказание Эйнштейна — сущест-
существование совершенно неожиданной связи между массой*
и энергией — имело далеко идущие последствия. Оно
привело к утрате приятных иллюзий о том, что наука —
даже в самых абстрактных ее разделах — это башня из-
слоновой кости, предоставленная заботам обитающих в
ней ученых.
В повседневной жизни мы говорим, что некто обла-
обладает большой энергией, если он способен проделать до-
достаточно большую работу. Такой подход оказывается
полезным и для определения понятия энергии в науч-
научном смысле. Но сначала определим, что мы будем по-
понимать здесь под словом «работа».
Типичный пример физической работы, который к то-
тому же прост для понимания, — подъем грузов. А един-
единственная подходящая формула для количества совер-
совершенной работы — следующая.
Совершенная работа =
= (Поднимаемый вес) X (Высота, на которую он под-
поднимается).
Уверен, после нескольких минут размышления вы со-
согласитесь с этим.
Удвоение поднимаемого веса либо удвоение высо-
высоты, на которую он поднимается, приводит к двукратно-
двукратному увеличению совершенной работы. Это единственные
величины, определяющие работу. Подумайте над этим^
19.2. Подъем тяжестей — весьма частный случай использова-
использования силы для перемещения какого-нибудь предмета в
направлении действия силы. Но он приводит к более
общему определению работы (не абсолютно строгому»
но вполне подходящему для наших целей):
если тело движется под действием и в направлении-
постоянной силы, то работа, совершенная над этим
телом, определяется соотношением
Совершенная работа = (Приложенная сила)Х
X(Пройденное расстояние). A9.1)
19,5 253
За единицу работы примем работу, совершенную при
перемещении тела единичной силой на единицу рас-
расстояния. (Пройденное расстояние — это путь, пройден-
пройденный телом за время действия силы.)
19.3. Теперь дадим следующее определение:
энергия — это способность совершать работу, а ко-
количество энергии, запасенной в чем-то, равно работе,,
которую оно способно совершить.
Значит, энергия измеряется в тех же единицах, что и
работа.
19.4. Таким образом, энергия принимает разные формы и со-
содержится во многих предметах. Глыба угля обладает
энергией, так как его можно использовать для приве-
приведения в движенние паровой машины, совершающей при
этом работу. В солнечных лучах запасена энергия, так
как они поднимают водяной пар на большую высоту.
Все движущееся тоже обладает энергией, потому чта
можно, к примеру, использовать движение любого тела
для поднятия его собственного веса, заставив его пере-
перемещаться вверх по склону. Какие еще формы вездесу-
вездесущей энергии вы знаете?
19.5. Мир полон примеров перехода одних форм энергии в
другие. В двигателе автомобиля сжигается бензин, при
этом химическая энергия переходит в тепловую; горя-
горячие газы толкают поршень, превращая эту энергию в
механическую. Придумайте еще несколько примеров
преобразования энергии.
К сожалению, преобразование энергии из одних
форм в другие редко происходит без потерь; так, боль-
большая часть тепла из двигателя автомобиля уходит в вы-
выхлопную трубу. Однако, если внимательно проанализи-
проанализировать и учесть всю энергию, принимавшую участие в
каждом преобразовании, и всю энергию всех форм, ко-
которая была потеряна без всякой пользы, то можно сде-
сделать вывод чрезвычайной важности, носящий название
закон сохранения энергии:
энергия не возникает из ничего и не исчезает бес-
бесследно, а только переходит из одной формы в дру-
другую.
Этот закон можно проверить непосредственно лишь
в нескольких простых случаях. Тем не менее он лежиг
в основе почти всех физических теорий, и еще не было*
случая, чтобы он подвел. Поэтому его доказательством*
можно считать его несокрушимость.
19.6 254
€9.6. Энергия, которой обладает тело при своем движении,
называется кинетической энергией. Легко понять, что
эта энергия зависит от того, относительно какого на-
наблюдателя она измеряется.
Значит, кинетическая энергия тела равна работе, ко-
которую оно может совершить при торможении. Она
должна быть в точности равна работе, которую нужно
совершить, чтобы разогнать тело из состояния покоя до
скорости, которая у этого тела была перед торможени-
торможением (здесь нас интересует только величина скорости, но
не ее направление; ср. с п. 18.9). Попробуйте доказать
это.
Если бы при торможении тела удалось извлечь
больше работы, чем было затрачено на приведение его
в движение, то при повторении этого процесса можно
было бы получить любое количество работы, а значит,
и сколько угодно энергии. Таким образом, можно было
бы разбогатеть ценой нарушения закона сохранения
энергии. Попробуйте разобраться в противоположной
ситуации. (Ведь вы достаточно богаты, так что есть с
чего начать.)
Теперь применим рассмотренные понятия для рас-
расчета кинетической энергии космического корабля W
(п. 18.17).
И9.7М. Будем решать эту задачу с помощью цепочки вычисле-
вычислений: сначала убедимся, что некоторая величина равна
какой-то другой, которая в свою очередь равна третьей,
которая ..., и так до тех пор, пока не получим ответа.
Приведение подробных выкладок после каждого шага
этой цепочки требует слишком много места, может на-
нарушить последовательность изложения и, кроме того,
может стать помехой, если вы способны сами доко-
докопаться до сути дела. Так что в дальнейшем я буду ста-
стараться проделывать такие вычисления кратко, как в
п. 19.8. У левого края страницы вы найдете краткие по-
пояснения, обосновывающие справедливость равенства в
предыдущей и последующей строках. Обычно в качест-
качестве пояснений приведены номера формул или парагра-
параграфов, к которым в случае необходимости можно обра-
обратиться, или же несколько слов.
А теперь попробуйте читать п. 19.8 параллельно с
начинающимися в следующем абзаце объяснениями. Не
забудьте при этом то, о чем говорилось в пп. 3.15М,
9Л9 и 8.19М (с примерами в пп. 9.3М, 9.17М и 11.18М).
В п. 19.6 были описаны два способа вычисления ки-
нетической энергии. Мы воспользуемся вторым. На ос-
19.8 255
новании определения работы A9.1) можно считать ве-
величины, стоящие в п. 19.8 в строках до и после номера
формулы A9.1), равными.
Рассмотрим конкретные силу и путь, связанные с на-
нашей задачей. В конце п. 18.17 мы обозначили интересу-
интересующую нас силу буквой F. А согласно формуле A7.7),
перемещение определяется выражением X—1//. (Если
вам не совсем ясно, почему правильное выражение для
перемещения имеет именно такой вид, то повторите пре-
предыдущий материал.) Подстановка этих величин
(п. 9.16М) в предыдущую строку даст F(X—1/f).
Теперь вспомним формулу A8.7). Преобразуем по-
последнюю формулу к виду mf(X—1//). Выполним тож-
тождественное преобразование (п. 16.12М):
mfX-mf(\/f).
Но при умножении и делении т на одно и то же чис-
число / мы снова получим т. (Ниже вы будете выполнять
подробный анализ без моей помощи.) Подставим
A7.13) вместо fX в предпоследнюю строку и перейдем
к последней строке. А теперь проверьте, сможете ли вы
сами последовательно, шаг за шагом, пройти всю цепоч-
цепочку вычислений п. 19.8.
Когда я ссылаюсь на какой-нибудь параграф, вы са-
сами должны решать, какой его фрагмент нужен. А когда
я буду ссылаться на уравнение, то вам частенько при-
придется проделывать самостоятельно операции типа за-
замены а на t. Когда впоследствии будут встречаться це-
цепочки вычислений, сначала подумайте, можете ли вы
понять самое существенное после каждого знака равен-
равенства. Если нет, то вам помогут мои пояснения.
19.8. Согласно п. 19.6,
Кинетическая энергия тела W, движущегося со скоростью и=г
= Работа, необходимая для увеличения скорости от 0 до о в
A9.1)
= (Приложенная сила) х (Путь, пройденный телом W
до момента достижения им скорости v) =
шь 18.17 и A7.7)
A8.7)
п. 16.12М
19.9 256
A7.13)
= J^ -m.
Таким образом,
если тело массой покоя т движется со скоростью tfот-
tfотносительно некоторого наблюдателя, то его кинетическая
энергия, измеренная этим наблюдателем, будет равна
~У=Т~т* A9-2)
(Если вы свободно владеете необходимым математи-
математическим аппаратом, то можете доказать, что общеизвест-
общеизвестная формула кинетической энергии mv2/2 является при-
приближением формулы A9.2) при малых скоростях.)
19.9. Сравните A9.2) с A8.10). Что вы заметили?
Когда W разгоняется из состояния покоя до ско-
скорости v, его масса изменяется от т до /n/yi—v2, т. е.
изменение массы равно m/yi—v2—т. Сравнивая это вы-
выражение с A9.2), мы увидим, что изменение кинетичес-
кинетической энергии и массы совершенно одинаково (при исполь-
использовании естественной системы единиц, в противном слу-
случае появится переводной коэффициент). Придумайте
физическую интерпретацию этой интересной взаимо-
взаимосвязи.
19.10. Толкая тело, мы сообщаем ему кинетическую энергию
и обнаруживаем, что вследствие этого его масса соот-
соответственно увеличилась. Тогда можно выдвинуть прав-
правдоподобное предположение, что кинетическая энергия
сообщила телу дополнительную массу. Иными словами,
кинетическая энергия обладает массой,
которая добавляется к массе тела, приведенного в дви-
движение. А из сравнения, приведенного в п. 19.9, следует:
если кинетическая энергия и ее масса выражены в
естественной системе единиц, то они равны — еди-
единица кинетической энергии имеет массу, равную од-
одной единице массы.
Что следует из идеи о том, что кинетическая энер-
энергия имеет массу?
59.11. Любую форму энергии можно преобразовать в какую-
либо иную форму, и было бы удивительно, если бы ки-
кинетическая энергия имела массу, а, скажем, химическая
нет. Странные вещи происходили бы тогда при превра-
превращении одной формы энергии в другую. Итак, мы при-
пришли к важному обобщению:
19.14 257
любой вид энергии имеет массу; масса и энергия,
выраженные в естественной системе единиц, равны.
19.12. Выражение A9.2) несколько громоздко. Создается
впечатление, что оно описывает не одну величину, а
разность двух величин (п. 16.11М). Что представляют
собой эти величины в отдельности?
Прежде всего, что такое m/yi—и2? В нашем случае
кинетическая энергия равна этой величине за выче-
вычетом т. Другими словами, часть этой величины описыва-
описывает некоторое количество энергии. Значит, вся величина
тоже должна описывать энергию, связанную каким-то
образом с рассматриваемым телом. К тому же она име-
имеет четкую и простую форму по сравнению с A9.2). Ла-
Лаконичные и простые выражения часто, хотя и не всег-
всегда, означают нечто важное, достойное обсуждения.
Подытожим сказанное: величина m/fl—v2 описыва-
описывает энергию и, возможно, представляет значительный ин-
интерес. Часть ее — кинетическая энергия тела W, и вся
она тоже как-то связана с W. О чем это говорит?
Весьма заманчиво предположить, что эта величина
описывает полную энергию тела:
полная энергия тела массой покоя т, движущегося
со скоростью v, равна
т/УТ^хР. A9-3)
19ЛЗ. Помимо кинетической есть много других видов энер-
энергии, непосредственно связанных с телом независимо от
того, движется оно или нет: тепловая, химическая,
ядерная и т. д. Назовем всю совокупность этих форм
энергии внутренней энергией тела. Если это определе-
определение справедливо, то как узнать, какова внутренняя
энергия тела W?
Внутренняя энергия — это энергия неподвижного
тела. Ее легко найти, если в A9.3) положить ^==0.
Тогда
внутренняя энергия тела массой покоя m равна m
(в естественной системе единиц).
19.14. В п. 18.19 m/yi—v2— это масса космического кораб-
корабля W при скорости v> а в п. 19.12 эта величина фигури-
фигурирует снова, но уже как полная энергия W при скоро-
скорости v. В свою очередь m описывает массу покоя
(п. 18.16) и внутреннюю энергию (п. 19.13). Поэтому
уравнение
т/У 1 —v2 s= т/У 1 —v2—т-\-т
17-1653
19.15 258
можно интерпретировать двумя способами: либо
(Полная энергия при скорости и) =
= (Кинетическая энергия при скорости t;)-f-
+ (Внутренняя энергия),
либо
(Масса при скорости я) =
= (Приращение массы, соответствующее скорости o)-f-
-f-(Масса покоя).
Попробуйте сделать вывод.
Мы уже отмечали в п. 19.11, что всякая энергия име-
имеет массу. Это сравнение подсказывает неизбежный
вывод:
всякая масса — это масса энергии,
и поскольку A9.2) это масса кинетической энергии,
масса покоя — это масса внутренней энергии тела.
19.15. Таким образом, формула A9.3) показывает, насколько
возрастет энергия движущейся частицы по сравнению
с внутренней энергией, определяемой ее массой покоя.
Результаты эксперимента, опубликованные в 1975 г.,
показывают, что если при увеличении скорости электро-
электрона его энергия возрастет в 30 000 раз, то его скорость
будет меньше скорости света всего на 5/10 000 000 000,
что согласуется с формулой A9.3), позволяющей непо-
непосредственно проверить эти выводы.
19.16. Существуют ли ситуации, при которых массу и энер-
энергию следует рассматривать как разные понятия? Самое
верное — считать массу одним из способов проявления
энергии. Вспомним, что масса — это мера противодей-
противодействия изменению состояния движения тела. Исходя из
этого, можно сказать, что именно энергия противодейст-
противодействует изменению состояния движения, а слово «масса»
используется для описания этого специфического свой-
свойства энергии.
Пусть вас не вводит в заблуждение краткость изло-
изложения в этом параграфе. Все, что в нем сказано, очень
важно — настоящий переворот в мировоззрении.
19.17. Итак, любые окружающие нас, казалось бы, совершен-
совершенно инертные предметы содержат энергию. Но сколько?
Для расчета примем в качестве единицы массы один
килограмм (п. 18.9), а единицы времени — один год,
так что естественной единицей длины будет световой
год (п. 1.8). В п. 17.21 мы уже вычислили, что единица
19.20 259
ускорения в этом случае будет примерно равна g. Тог-
Тогда, согласно п. 18.13, в качестве единицы силы следует
взять такую силу, которая массе в 1 килограмм сооб-
сообщает ускорение gy а это просто вес одного килограмма.
(Если предоставить 1 кг вещества возможность сво-
свободно падать, то сила, которая сообщит ему ускоре-
ускорение g-, будет равна его собственному весу.)
19.18. Из пп. 19.2 и 19.3 следует, что единицей работы или
энергии будет работа, совершаемая силой, равной весу
тела массой 1 кг при перемещении этого тела на рас-
расстояние в 1 световой год, или приблизительно 9500 мил-
миллиардов километров (п. 1.8). Однако, чтобы не учиты-
учитывать в расчетах изменение силы тяготения с высотой,
будем считать, что работа совершается силой, равной
весу тысячи миллиардов килограммов, на пути в 9,5 км.
Это, скажем, работа, требуемая для подъема 1000 мил-
миллионов тонн на высоту 9,5 км.
19.19. Согласно пп. 19.13 и 19.14, любой предмет, обладаю-
обладающий массой покоя в 1 единицу, содержит единицу внут-
внутренней энергии. Тогда нетрудно подсчитать, что
один килограмм вещества содержит достаточно
внутренней энергии для подъема 1000 миллионов
тонн на высоту 9,5 км — гораздо выше горы Эве-
Эверест.
Тысяча миллионов тонн — это масса куба воды со
стороной 1 км!
Прежде чем задавать напрашивающийся сам собой
вопрос, проделаем эти расчеты обычным способом.
19.20. Значения массы и энергии совпадают только при ис-
использовании естественных единиц длины (п. 7.11). Но
легко перейти к системе единиц, в которой свет прохо-
проходит с единиц длины за единицу времени, так что с —
это скорость света. Поэтому каждый раз встречаю-
встречающуюся в расчетах длину мы должны теперь умножать
на с, подставляя с новых единиц вместо одной, естест-
естественной. Расчеты, проделанные в пп. 19.17—19.19 — это
хороший пример, и там длина появлялась в вычислени-
вычислениях дважды: при подсчетах ускорения (пп. 19.17 и 17.21)
и совершенной работы (п. 19.18). Значит, найденное
значение нужно дважды умножить на с, т. е. на с2. Та-
Таким образом,
в системе единиц, в которой скорость света равна с.
количество энергии, содержащееся в данной мас-
массе т, равно этой массе, умноженной на с2.
17*
19.21 260
В частности, если Е—внутренняя энергия, то этот вы-
вывод приводит к знаменитому уравнению
? = тс2. A9.4)
19.21. Международная система единиц (СИ) в качестве еди-
единиц измерения времени, длины и массы принимает се-
секунду, метр и килограмм. Скорость света в ней равна
с=300 миллионов метров в секунду, а с2 = 90 000 мил-
миллионов миллионов (м/сJ. Соответствующая единица
энергии называется джоулем; 1 кг массы соответствует
90 000 миллионов миллионов джоулей энергии. Более
привычная единица энергии — киловатт-час (энергия,
потребляемая за час обычной электроплиткой); 10 мил-
миллионов джоулей = 2,778 киловатт-часов (поскольку
1 Вт — это по определению 1 Дж/с). Отсюда один кило-
килограмм вещества содержит 25000 миллионов киловатт-
часов энергии.
19.22. Итак, количество энергии, заключенной в веществе —
в любом веществе, — огромно. Можно ли извлечь всю
или хотя бы часть этой энергии?
Теория относительности не дает ответа на этот во-
вопрос. Она лишь утверждает, что если внутренняя энер-
энергия выделяется и переходит в свободное состояние, то
должна уменьшиться масса покоя, и та часть вещества,
к которой это уменьшение массы покоя относилось,
должна исчезнуть. И обратно, если исчезла масса, то
должно освободиться соответствующее количество энер-
энергии. Точное предсказание требует экспериментальной
проверки, и Эйнштейн в конце второй своей статьи по
теории относительности указал:
«Вполне возможно, что для тел с сильно изменяю-
изменяющимся содержанием энергии (например-, для солей
радия) теория может быть успешно проверена на
опыте».
Короче не скажешь! Как известно, предсказание бы-
было тщательно проверено: в 1930-е годы в лабораторных
экспериментах, а затем и на практике при успешном со-
создании атомных электростанций (и, увы, атомной бом-
бомбы). Рассмотрим несколько примеров.
19.23. При столкновении электрона с позитроном (элементар-
(элементарной частицей такой же массы, но с положительным
электрическим зарядом) обе частицы исчезают (анниги-
(аннигилируют) с испусканием двух гамма-квантов, энергин>
которых можно найти по их частотам (п. 19.30). Согла-
Согласие с формулой A9.4) оказалось превосходным.
19.25 261
19.24. Мы не знаем, как осуществить аннигиляцию вещества
в больших масштабах. Но в некоторых случаях масса
покоя вещества может значительно уменьшиться, а со-
соответствующее количество внутренней энергии перейдет
в свободное состояние.
При бомбардировке ядер урана-235 нейтронами яд-
ядра расщепляются (делятся), и в результате образу-
образуются два крупных осколка и несколько нейтронов. При
подходящих условиях некоторые из этих нейтронов сно-
снова соударяются с ядрами урана, производя новые деле-
деления и приводя к цепной реакции. В используемых при
таких расчетах единицах массы нейтрона и атома ура-
на-235 соответственно равны 1,01 и 235,04. При типич-
типичном делении ядра образуются два нейтрона и осколки с
массами 94,91 и 138,91. (Дана полная масса атомов;
с учетом массы окружающих ядро электронов.) Считая
этот случай типичным, определите, сколько энергии вы-
выделяется при делении 1 кг урана-235.
Полная масса до деления была равна 236,05 едини-
единицы, а после него 235,84. Значит, исчезла 0,21/236,05 до-
доля килограмма и выделившаяся энергия должна со-
составлять такую же долю, от 25 000 миллионов кВт-ч
(п. 19.21), или около 22 миллионов кВт-ч. Подобные
расчеты (но несравненно более сложные на практике)
определяют успехи, достигнутые атомной энергетикой.
Источником энергии Солнца является реакция тер-
термоядерного синтеза слияния 4 протонов (ядер атома
водорода) с образованием ядра атома гелия и двух по-
позитронов. Сколько энергии выделяется на каждый кило-
килограмм синтезированного таким образом гелия? (Масса
протона 1,0073, ядра атома гелия 4,0015; электрона или
позитрона 0,00055. Ответ в конце главы.)
19.25. Итак, у нас есть достаточное количество подтвержде-
подтверждений тому, что при освобождении энергии уменьшается
масса покоя тела. (Масса не исчезает — она связана с
выделившейся энергией, но ее уже нельзя считать мас-
массой покоя.) Если извлечь из тела всю энергию полч
ностью, то исчезнет вся его масса покоя, а значит, ис-
исчезнет и само тело. Вещество тела не может существо-
существовать в отрыве от заключенной в нем энергии.
Вещество — это всего лишь энергия, связанная та-
таким образом, что она имеет массу покоя.
Отсюда масса покоя — это мера количества вещест-
вещества, содержащегося в теле. Выходит, я был не прав в
19.26 262
п. 18.2, когда ^говорил, что массу нельзя считать количе-
количеством вещества?
Нельзя пренебрегать различием между массой и
массой покоя. И если бы мы начали с представления,
что масса является мерой количества вещества, то не
удалось бы доказать, что эту функцию выполняет мас-
масса покоя.
При описании явлений, подобных рассмотренным в
пп. 19.23 и 19.24, неверно говорить о переходе массы
в энергию. Полная энергия остается неизменной
(п. 19.5). Внутренняя энергия тела выделяется и пере-
переходит в свободную энергию; в результате масса покоя,
связанная с внутренней энергией, становится массой
(но не массой покоя), связанной со свободной энерги-
энергией, т. е. вещество превратилось в свободную энергию.
19.26. Ниже мы вновь будем использовать естественные еди-
единицы. Если Е — энергия, а т — масса покоя какого-ни-
какого-нибудь объекта, движущегося со скоростью v, то из A9.3)
следует, что Е~]/1—ю2 = т (п. 9.ИМ). Если это свет (об-
(обладающий энергией, а значит, и массой), то 0=1 и
т = 0. Таким образом, масса покоя света равна нулю.
Это означает, что свет не может существовать в со-
состоянии покоя. Что происходит с массой света, когда
он, упав на какой-нибудь предмет, останавливается?
Она идет на увеличение массы покоя тела, остано-
остановившего свет и поглотившего его энергию. Обычно свет
лишь слегка нагревает тело, на которое он упал, добав-
добавляя массу, соответствующую возрастанию тепловой
энергии. Иногда высокоэнергичные гамма-лучи превра-
превращаются в пару электрон — позитрон — процесс, обрат-
обратный аннигиляции (п. 19.23). Масса и энергия гамма-
лучей становятся внутренней энергией и массой покоя
новых частиц.
Если вы не сильны в математике, оставшуюся часть
главы можете пропустить, но п. 19.34 прочтите обяза-
обязательно.
19.27. Используем для описания движения тела вместо ско-
скорости коэффициент Доплера k (пп. 15.4, 15.5 и 15.8).
Тогда из A9.3) и A6.15) нетрудно получить равенство
Энергия = mk/2-\-m/2k, A9.5)
а из A8.9) и A6.16) следует
Импульс = m?/2—m/2fc. A9.6)
Вид этих уравнений наводит на мысль, что тело
можно было бы рассматривать как некую комбинацию
19.29 263
чего-то, имеющего энергию mk/2 и импульс mk/2 и че-
чего-то еще с энергией mk/2 и импульсом —m/2k. Первый
объект движется в положительном направлении, а вто-
второй— в отрицательном (п. 18.5). Что бы это могло
быть?
19.28. Согласно п. 19.11, масса этого «чего-то» тоже равна
mk/2, т. е. его импульс и масса равны. О чем это гово-
говорит?
Из A8.1) следует, что скорость этого объекта рав-
равна 1. Значит, что это такое?
Поскольку скорость равна скорости света, это дол-
должен быть световой сигнал, распространяющийся в по-
положительном направлении (если не принимать в рас-
расчет таинственную частицу под названием «нейтрино»).
И что еще?
Сигнал, распространяющийся в отрицательном на-
направлении. Итак, тело массой покоя т можно рас-
рассматривать как комбинацию двух световых сигналов —-
двух порций световой энергии, — распространяющихся
в противоположных направлениях.
Нейтральный пи-мезон (п. 1.9) представляет собой
конкретное воплощение этой идеи. Когда он исчезает,
возникают два гамма-кванта, разлетающихся в противо-
противоположных направлениях. Их энергии и импульсы удов-
удовлетворяют уравнениям A9.5) и A9.6). Но не следует
воспринимать слишком буквально представление о том,
что каждая частица — это некая застывшая комбина-
комбинация двух порций света. Лучше осторожно сказать, что
математическое описание энергии, массы и импульса
суммы двух сигналов точно такое же, как и для тела.
19.29. Пусть А — наблюдатель, относительно которого коэф-
коэффициент Доплера для некоторого тела равен k. И пусть
В — это другой наблюдатель, движущийся вместе с
этим телом. Рассуждения в духе пп. 15.4—15.6 (где ко«
эффициент k назывался коэффициентом пропорциональ*
ности) приводят к выводу, что если А, а затем В на«
блюдают за одним и тем же сигналом, распространяю-
распространяющимся в положительном направлении, то
Частота сигнала, измеренная наблюдателем А =
= ?х(Частота сигнала, измеренная"'наблюдателем В). A9.7
Теперь предположим, что В наблюдает за тем же
самым телом. Для него k=l (п. 15.4), и поэтому A9.5)
сводится к виду
Энергия = т/2+т/2.
19.30 264
Следовательно, для сигнала, распространяющегося в
положительном направлении^ получим, что его
Энергия, измеренная наблюдателем А =
= kx (Энергия, измеренная наблюдателем В).
Сравните с A9.7) и сделайте вывод.
Энергия светового сигнала, измеренная различными
наблюдателями, пропорциональна его частоте, измерен-
измеренной теми же наблюдателями. (Рассмотрите самостоя-
самостоятельно сигнал, распространяющийся в отрицательном
направлении.)
19.30. В квантовой механике в качестве основного предполо-
предположения принимается, что свет всегда приходит порциями
определенной величины. Эти порции называются фото-
фотонами. Из п. 19.29 следует, что энергия фотона пропор-
пропорциональна его частоте (коэффициент пропорционально-
пропорциональности называется постоянной Планка). Это один из фун-
фундаментальных законов современной физики.
19.31. Из формулы A9.8) и соответствующего уравнения для
FX (полученного путем небольшого изменения в вычис-
вычислениях п. 19.8), перейдя к радиолокационным коорди-
координатам, получим FO=mk и /гв = —m/k. Можете ли вы
дать физическую интерпретацию этим чрезвычайно про-
простым уравнениям? Я могу сказать лишь, что входящие
в них величины, очевидно, являются (в некотором смыс-
смысле) радиолокационными эквивалентами импульса и
энергии.
19.32. Немного изменив обозначения, предположим, что тела
А и С приближаются с одинаковыми скоростями, но с
противоположных направлений к наблюдателю В. Пусть
k — коэффициент Доплера между А и В, а также меж-
между В и С. Тогда, согласно A6.20), коэффициент Допле-
Доплера между А и С равен А2. Если массы покоя обоих тел
равны т, а Е— их (равные) энергии, измеренные на-
наблюдателем В, то формула A9.5) дает
2Е/Ш «H-1/ft. A9.8)
Аналогично если ?Ас — энергия тела С, измеренная
наблюдателем, движущимся вместе с телом А, то полу-
получим
(см. п. 26.28М)
19.34 265
A9.8)
(/)—2
и, следовательно,
ЕАС=2(Е2/т)—т. A9.9)
Пусть m = 0,938 и ? = 28,94; проверьте, что ?ас=1785.
Таким образом, ?Ас не в 4 раза больше Е (как это
следовало бы из классической формулы п. 19.8), а более
чем в 60 раз. Надеюсь, теперь вы воспринимаете это
спокойно.
19.33. Современные исследования элементарных частиц прово-
проводятся с помощью ускорителей (п. 18.20), в которых ча-
частицы разгоняют до высоких энергий. Затем поток та-
таких частиц направляют на неподвижную мишень и изу-
изучают результаты соударения. Чем больше энергия бом-
бомбардирующего пучка, тем интереснее результаты. Но
строительство все более мощных ускорителей обхо-
обходится очень дорого. В результате возникла идея отвести
частицы в так называемые «накопительные кольца», а
затем, выделив из этих частиц два пучка, движущихся
с наивысшей скоростью в противоположных направле-
направлениях, столкнуть их «в лоб».
Приведенный в п. 19.32 расчет относится к такому
устройству, созданному в ЦЕРН, близ Женевы. В этой
области исследований используется единица энергии
гигаэлектронвольт (ГэВ), или тысяча миллионов элект-
ронвольт, где 1 электронвольт — это энергия, сообщае-
сообщаемая электрону, когда он проходит в электрическом поле
ускоряющую разность потенциалов 1 вольт. Построен-
Построенная в ЦЕРН установка сообщает протонам энергию
28 ГэВ. Но чтобы найти Е, мы добавили сюда внутрен-
внутреннюю энергию протона, составляющую 0,938 ГэВ. Вот
откуда взялись цифры, приведенные в п. 19.32, хотя на
самом деле частицы разгоняются до несколько меньших
энергий. Этот проект окупился с лихвой, так как были
получены замечательные результаты. Однако если исхо-
исходить из классической формулы, то ни о каких ускорите-
ускорителях не могло быть и речи.
19.34. Вы, наверное, думали, что теория относительности свя-
связана с космическими путешествиями на субсветовых
скоростях далекого будущего. И я, используя наблюда-
наблюдателей-космонавтов, мог бы это впечатление усилить. Но
две последние главы должны были убедить вас, что тео-
теория относительности связана и с проблемами, имеющи-
имеющими чисто практическое значение; ее выводы необходимо
19.34 266
учитывать во всех тех случаях, когда приходится иметь
дело с высокими скоростями или энергиями. До сих пор
большинство приложений теории относительности были
связаны с разработкой научных приборов. Но история
учит, что передовые методы научных исследований од-
одного поколения находят практическое применение у сле-
следующих поколений. И примеры, приведенные в пп. 18.20
и 19.24, показывают, что мы с вами являемся свидете-
свидетелями этого процесса.
Ответы к п. 19.24. Позитроны и электроны при
столкновении аннигилируют. Поэтому сначала было
4 протона и B электрона с общей массой 4,0303; конеч-
конечный продукт реакции — это только ядро атома гелия.
Таким образом, 0,0288/4,0303 массы покоя превраща-
превращается в 180 миллионов киловатт-часов энергии.
20
ВЛИЯНИЕ УСКОРЕНИЯ
НА ИЗМЕРЕНИЯ ВРЕМЕНИ
20.1. Мы уже дважды обсуждали пародокс часов (или пара-
парадокс близнецов). Просмотрите еще раз пп. 4.14—4.20 и
14.22—14.24. Решите задачу, сформулированную в кон-
конце п. 4.18, если вы еще с ней не справились. Рис. 14.22
поможет вам.
20.2. Требовалось сравнить ситуации, в которых искривлен-
искривленные участки вблизи Р, О и Q (рис. 14.22) совпадают
по форме и длине, а два прямолинейных участка ми-
мировой линии наблюдателя D могут быть любой длины.
Если ускорение увеличивает время, прошедшее для D,
тогда (если ускорение одинаково) это увеличение
должно быть фиксированным. Но на участках инерци-
ального движения D замедление течения времени всег-
всегда приводит к тому, что для него пройдет меньше вре-
времени по сравнению с А, и, чем длиннее участок инерци-
ального движения, тем сильнее этот эффект. Поэтому
если ускорение и оказывает какое-то влияние, то на
участке определенной длины оно могло бы полностью
компенсировать замедление течения времени. При бо-
более длительном путешествии для D прошло бы меньше
времени, чем для А, а при более коротком — наоборот.
20.3. Теория, основанная на предположениях, использован-
использованных до сих пор (все инерциальные наблюдатели равно-
равноправны и т. д.), не позволяет дать определенный ответ
на вопрос, влияет ли ускорение на течение времени
странника. Поэтому введем новое предположение, свя-
связанное с этой проблемой, выведем его следствия; и
проверим их экспериментально.
Для начала попробуем предположить, что ускоре*
ние не влияет на время, измеряемое странником, т. е.
будем принимать во внимание только относительную
скорость. Другими словами, предположим, что можно
выяснить, как время идет для странника, с помощью
формулы замедления течения времени, подсчитывая
мгновенную скорость в каждый момент времени. По
этой формуле вычислим, сколько времени прошло по
часам D с точки зрения наблюдателя А. Однако ее
нельзя применить, чтобы узнать время, прошедшее по
20.4 268
часам А, с точки зрения наблюдателя D, ибо мы пока
не знаем, как интерпретировать наблюдения ускорен-
ускоренных наблюдателей.
20.4. Следующий очевидный шаг — сделать расчет для кон-
конкретного путешествия и сравнить полученные резуль-
результаты с экспериментом. Но здесь мы встречаемся с не-
неожиданным препятствием. В формулы замедления те-
течения времени входит величина "|/1—v2, где v — относи-
относительная скорость (п. 13.7). Не возникает никаких за-
затруднений, пока v постоянно. Но когда v меняется со
временем, то далеко не очевидно, как провести расчет.
Чтобы исключить (временно) эту трудность, приду-
придумайте пример, в котором D движется ускоренно и тем
не менее его скорость постоянна.
20.5. Такой пример — движение D с постоянной скоростью
по окружности.
Но можно ли говорить, что D движется с ускоре-
ускорением, когда его скорость постоянна? Да, можно. Уско-
Ускоренное движение означает «неинерциальное движение»
(пп. 17.2 и 17.3). Именно это важно для нас. Мы уже
изучили движение по инерции и теперь приступаем к
изучению неинерциального движения. Движение D по
окружности, безусловно, неинерциальное (п. 5.2): проб-
пробная частица покинет его, улетев по касательной.
В некоторый момент времени D движется с опре-
определенной скоростью в одном направлении, а пол-обо-
пол-оборота спустя он движется с той же скоростью в проти-
противоположном направлении. Чтобы изменить направле-
направление, он должен был двигаться с ускорением. Ведь
ускорение определяется как изменение вектора скоро-
скорости (п. 18.6), а не только ее величины. (Такое опреде-
определение нужно, например, для того, чтобы имела смысл
связь между силой, направление которой не совпадает
с направлением движения, и ускорением.) Значит, не-
непрерывное изменение направления движения D — это
проявление ускорения. В то же время движение по
окружности сохраняет все математические преимущест-
преимущества постоянной скорости.
20.6. Рассмотрим лабораторный эксперимент, в котором
роль D играет пучок мю-мезонов (п. 3.24), мчащихся
по круговой траектории, а А — наблюдатель, располо-
расположившийся рядом с этой траекторией. (Имеет ли зна-
значение, что D на старте и на финише просто пролетает
мимо наблюдателя А, а не начинает из состояния по-
покоя и не возвращается в состояние покоя относитель-
относительно А? Нет, не им§ет. При многократном повторении
20.9 269
кругового рейса влияние разгона и торможения может
быть сделано пренебрежимо малым; ср. с п. 20.2.)
Повторите анализ замедления течения времени, как
в пп. 3.34—3.36, и добавьте количественную информа-
информацию из п. 13.7. Оказывается, когда часы движутся от-
относительно инерциалыюго наблюдателя со скоростью
v, он считает, что они идут в 1/"|/1—v2 раз медленнее,
чем его часы. Согласно- нашему новому предположению
(п. 20.3), эта формула позволяет узнать мнение на-
наблюдателя А о ходе часов D (но не наоборот).
20.7. В очень тщательно разработанном и выполненном в
ЦЕРН эксперименте (см. журнал Nature, 268, 301,
1977) мю-мезоны двигались по окружности радиусом
14 м со скоростью чуть больше 0,9994 скорости света.
Тогда 1/У1—У2=29,33, т. е. наблюдателю, неподвижно-
неподвижному относительно лаборатории, их время жизни должно
казаться в 29,33 раза больше времени жизни покояще-
покоящегося мю-мезона. Экспериментальный результат совпал
? предсказанным с точностью 0,2%.
Итак, теперь у нас ость экспериментальное доказа-
доказательство того, что ускорение не влияет на ход часов
странника. К тому же при вычислении его времени
нужно учитывать только его скорость относительно не-
неподвижного наблюдателя! и пользоваться формулой за-
замедления течения времени.
Если бы ускорение оказывало хотя бы очень слабое
влияние, то в этом случае оно проявилось бы — ведь
для мю-мезонов ускорение составляет около миллиона
миллионов миллионов g.
20.8. В этом эксперименте наблюдателю, находящемуся в
лаборатории, кажется, что часы странника идут все
время медленнее €го часов. Поэтому, когда часы стран-
странника вернутся в точку старта, они отстанут от покоив-
покоившихся в этой точке часов. Для странника пройдет
меньше времени, чем для наблюдателя в лаборатории.
Заметьте: здесь не говорится, что часы странника
идут медленнее. С точки зрения неподвижного наблю-
наблюдателя, они идут медленнее. На самом же деле они по-
показывают меньшее значение времени потому, что сле-
следовали через пространство-время иным, более корот-
коротким, маршрутом. Если это не понятно, прочитайте еще
раз пп. 14.20—14.24.
20.9. Конечно, вы бы скорее поверили в парадокс косми-
космических близнецов, если бы обнаружили его при путе-
путешествии обычного человека. Для полета вокруг земно-
20.10 270
го шара грубый расчет показывает, что различие во
временах составило бы около 100 наносекунд (тысяче-
(тысячемиллионных долей секунды). Такую величину способ-
способны измерить атомные (квантовые) часы («маятником»
которых служат атомы).
Однако точка на поверхности Земли сама соверша-
совершает движение по окружности относительно гипотетиче-
гипотетического инерциального наблюдателя. Поэтому самолет,
летящий на восток, затратит на свой рейс меньше вре-
времени, чем летящий на запад. Тогда вследствие замед-
замедления течения времени показания часов, движущихся
вокруг Земли в восточном направлении, будут меньше,
чем оставшихся на Земле, а движущихся в западном
направлении — больше. Теперь легко рассчитать время
для самолетов, равномерно летящих вдоль экватора.
Но такой эксперимент оказался бы исключительно до-
дорогим. Кроме того, на измерения времени примерно в
тех же пределах влияет тяготение, причем время пу-
путешественника всегда возрастает на величину, пропор-
пропорциональную высоте, на которой он находится (гл. 23).
Кроме того, и у таких исключительно надежных часов,
как атомные, могут быть сбои.
Несмотря на все препятствия, эксперимент был про-
проведен в октябре 1971 г. (см. журнал Science, 177, 116,
1972). В результате сложных расчетов было сделано
предсказание, что часы, движущиеся на восток, долж-
должны показать на 40 наносекунд меньше, чем часы,
оставшиеся на земле, а часы, движущиеся на запад, на
275 наносекунд больше. Экспериментальные результа-
результаты: на 59 наносекунд меньше и на 273 наносекунды
больше. С учетом описанных трудностей это очень хо-
хорошее согласие.
20.10. Как отмечалось в п. 20.4, когда скорость путешествен-
путешественника D меняется, расчеты усложняются. Сформулиру-
Сформулируем более точно наше новое предположение. Оставшая-
Оставшаяся часть главы трудна в математическом плане. Про-
Проштудируйте ее несколько раз (не забывайте сказанного
в п. 16.23). Быть может, некоторые новые идеи оста-
останутся недопонятыми. Вернитесь к ним, когда набере-
наберетесь опыта.
Новое предположение, сформулированное в п. 20.3,
звучит весьма неопределенно. Нам необходимо найти
точный способ определения процедуры сравнения про-
промежутков времени, измеренных ускоренными и инер-
циальными часами. Что вы предлагаете?
20.11. Быть может, стоит выбрать инерциального наблюдате-
20.12 271
ля F, который в момент события Q мгновенно сопутст-
сопутствует ускоренному страннику D (убедитесь с помощью
открытки с прорезью, что на рис. 20.11 изображена
именно эта ситуация), и предположить, что, пока они
движутся вместе, часы странника D идут в такт с ча-
часами F. (И это, безусловно, следует применить к лю-
любой точке Q на мировой линии D.) Но почему это
«ельзя сделать?
Чтобы установить, идут ли часы в такт друг с дру-
другом, необходимо сравнить их показания дважды. А ес-
если они движутся вместе только в один момент времени,
то это неосуществимо. Если же производить сравнение
через некоторый, «е равный нулю интервал времени,
то часы уже не будут двигаться вместе (проверьте с
помощью открытки с прорезью). Создается впечатле-
впечатление, что любой путь ведет в тупик.
Мы уже встречались с подобной дилеммой в
пп. 17.12—17.16, и нам удалось выйти из затруднитель-
затруднительного положения с помощью приближенных вычислений
«с любой желаемой точностью». Перечитайте эти раз-
разделы и подумайте, как применить аналогичный подход
в данном случае.
20.12. Выберем два удара Р и Q часов странника D (рис.
20.12) и рассмотрим инерциального наблюдателя Е,
который присутствует при них обоих (проверьте с по-
помощью открытки с прорезью). Пусть t — время, про-
прошедшее между Р и Q по часам D, a tt — время, про-
прошедшее между ними по часам инерциального наблю-
наблюдателя Е. Тогда D играет роль космонавта, а Е — роль
20.13
272
наблюдателя, оставшегося на Земле. Значит, формула
t = tt B0.1)
неверна. Но если t достаточно мало (т. е. Q достаточ-
достаточно близко к Р), то ошибка в этой формуле будет ма-
мала. Ведь малы относительные скорости, а значит, эф-
эффект замедления течения времени также будет неве-
невелик и (как мы предположили) не будет никакого эф-
эффекта ускорения. Чем меньше t, тем точнее выполняет-
выполняется B0.1), и, выбирая достаточно малые значения t*t
можно добиться, чтобы формула t=ti выполнялась с
любой желаемой точностью.
20.13. Какой смысл вкладывается в слова, выделенные кур-
курсивом? Если считать, что t на самом деле равно /*, то
вносится ошибка, равная U—/ (разности величин U и
t). Чем ближе точка Р к Q, тем ближе к нулю значе-
значения обеих величин t и U и тем меньше разность U—ty
этим достигается равенство величин t и и с любой же-
желаемой точностью. Например, если я утверждаю, что
t=2t (т. е. полагаю величину U равной 2t)9 то я, не-
несомненно, ошибаюсь. И какой бы малой я ни выбрал
величину t, я все равно буду ошибаться. Однако же
погрешность (разность величин, стоящих справа и сле-
слева) равна t> и мы можем сделать ее сколь угодно ма-
малой, выбирая достаточно малые значения t (это оче-
очевидно!). Поэтому фразу «добиться, чтобы формула
* Строго говоря, следовало бы написать: «выбирая достаточно малые
значения t по абсолютной величине» (п. 13.20М), ибо мы допускаем, что (
может быть отрацительным (если Q происходит раньше, чем Р). Возможно,
вы считаете, что это само собой разумеется и не нуждается в упоминании.
20.14 27$
i^ti выполнялась с любой желаемой точностью», не-
следует понимать лишь как «добиться, чтобы разность
между t и U стала сколь угодно малой». Необходима
более строгая формулировка.
Для нас важна погрешность, рассмотренная по от-
отношению к значениям величин, для которых эта погреш-
погрешность рассчитывалась. Мерой такого отношения являет-
является частное от деления разности величин U и / на одну
из них, скажем на //. Это отношение можно назвать от-
относительной разностью (или относительной погреш-
погрешностью) между ti и t и пользоваться им как мерой то-
того, насколько точно выполняется B0.1). Итак,
Относительная разность = * ~~ , B0.2>
Тогда истинный смысл слов, выделенных в п. 20.12
курсивом, заключается в том, что «можно добитьсяг
чтобы относительная разность между U и t стала
сколь угодно малой».
20.14. Рассмотрим числовой пример. Разберитесь (не прини-
принимая во внимание последний столбец), как табл, 20.1Ф
иллюстрирует сказанное в пп. 20.12 и 20.13.
Таблица 20.14
_ Относительная ~
Разность разность Отношение
9,90
4,80
1,500
0,19091
0,0199010
4,61
3,22
1,386
0,19062
0,0199006
5,29
1,58
0,114
0,00029
0,0000004
0,53
0,33
0,076
0,0015
0,00002
0,47
0,67
0,924
0,9985
0,99998
Переходя от строки к строке сверху вниз, мы ви-
видим, что разность U—t становится все меньше. Значит,,
чем ближе t и ti к нулю, тем ближе они друг к другу.
В четвертом столбце приведена относительная раз-
разность — удобная мера точности, с которой выполняется1
формула B0.1), поскольку она дает погрешность, до-
допускаемую при утверждении, что равенство справедли-
справедливо, в пропорции к входящим в это равенство величи-
величинам. (Если цифры, стоящие в четвертом столбце, умно-
умножить на 100, то относительная разность будет вы-
18—1653
20.15 274
ражена в процентах. Может быть, тогда вам будет лег*
че с ней работать.)
Но заметьте: величины t и U не должны обращаться
в нуль, иначе мы снова попадем в безвыходную ситуа-
ситуацию, описанную в п. 20.11. Кроме того, относительная
разность стала бы равной 0/0, что бессмысленно.
-20.15. Итак, наше новое предположение об отсутствии влия-
влияния ускорения на ход времени можно сформулировать
следующим образом:
придавая величине t достаточно малые (но не рав-
равные нулю) значения, можно добиться, чтобы отно-
относительная разность между U и t стала сколь угодно
малой.
Это одновременно и более точная формулировка
утверждения, выделенного курсивом в п. 20.12.
Наше предположение можно выразить и иначе. Из
B0.2)
Относительная разность — у р = 1 — —,
откуда (п. 9.12М)
t/tt = 1—(Относительная разность).
Поэтому, по мере того как относительная разность
стремится к нулю, отношение (п. 9.21М) t/ti стремится
к 1. Отсюда другая форма нового предположения бу-
будет такая:
придавая величине t достаточно малые (но не рав-
равные нулю) значения, можно добиться, чтобы отно-
отношение t/ti стало сколь угодно близким к 1.
Эта формулировка иллюстрируется последним столб-
столбцом в табл. 20.14.
С другой стороны, ускорение остается постоянным
независимо от выбора i. Поэтому если бы ускорение
оказывало влияние на ход времени, то относительная
разность, несомненно, оставалась бы отличной от нуля
(а отношение t/U отличным от 1).
Таким образом, туманная идея об отсутствии влия-
влияния ускорения (п. 20.3) теперь оформилась в четкое
утверждение. И вскоре мы увидим, как с его помощью
можно делать коякресные расчеты.
Строчная буква «м», добавленная к номеру разде-
раздела, означает, что в нем рассматриваются математиче-
математические вопросы, на которые даже людям, сведущим в
•математике,1 следует обратить внимание.
20.20 м 275
20.16м. Удобно иметь специальное обозначение для нашей но-»
вой идеи. Я буду писать
t~tt B0.3>
вместо формулировок п. 20.15.
20.17м. Каждый раз, когда встретится формула B0.3), нужно,,
если вы следуете моему совету, читать ее в разверну-
развернутом виде, т. е. сказать или продумать одну из форму-
формулировок, напечатанных с отступом в п. 20.15. Конечно,,
достаточно это сделать несколько раз, пока не вникни-
вникните в суть идеи. Полагаю, вы поняли, что знак «~»
нужно читать «приближается к» в смысле «становится
все ближе к», так что B0.3) нужно расшифровать так:
«t приближается к ti». Он напоминает, что, чем мень-
меньше /, тем справедливее формула t=tt (в более точном
смысле, определенном в п. 20.15). (Знатоки математи-
математики! Не путайте то, что здесь вкладывается в смысл'
знака «~» со словом «стремится», имеющим отноше-
отношение к пределам.) И точно также, как мы называем
B0.1) формулой, B0.3) можно назвать приближенной
формулой.
Такое применение знака «~» не является общепри-
общепринятым. Иногда знак «~» используется в том же смыс-
смысле, что знак «ж» (п. 13.11М). Обратите внимание на
различие: знак «^» указывает, что две величины при^
близительно равны и в случае необходимости одну из-
них можно использовать вместо другой; знак же «~>
(в смысле, тщательно определенном в п. 20Л5) указы-
указывает, что эти величины можно сделать равными с не-
необходимой нам степенью точности.
20.18м. Важно понять, что приближенная формула t~ti не да-
дает связь между t и ^, «когда t мало», а описывает, что*
с этой связью будет происходить по мере уменьше-
уменьшения /. Помните об этом.
20.19. Теперь дадим четкую формулировку утверждения, ко-
которое назовем
дополнительным предположением:
если t и /,- определены как в п. 20.12, то t~tt.
Поскольку мы требуем, чтобы ускорение вообще не
оказывало влияния на измерения времени, проводимые
наблюдателем, ясно, что дополнительное предположе-
предположение должно выполняться всюду на его мировой линии.
20.20м. Чтобы применять изложенное в предыдущих парагра-
параграфах к другим величинам, дадим более общее определе*
ние:
20.21м 276
Если У и Z — две величины, то приближенная фор-
формула Y~Z означает, что, придавая некоторой вели-
величине достаточно малые (но не равные нулю) значе-
значения, можно добиться, чтобы относительная разность
между Y и Z стала сколь угодно малой; или, иначе,
можно добиться, чтобы отношение Y/Z стало сколь
угодно близким к 1.
Относительная разность — это разность величин Y
и Z, деленная на одну из них (ср. с п. 20.13). Иногда
относительную разность полезно рассматривать как
относительную погрешность, которая возникла бы, если
бы мы приняли F=Z. Тогда, придавая заданной вели-
величине достаточно малые значения, можно добиться, что-
чтобы относительная погрешность стала сколь угодно ма-
малой. В самом деле, когда мы пытаемся получить лишь
общее представление, не вдаваясь в детали, можно
считать, что смысл формулы Y~Z заключается в сле-
следующем: придавая заданной величине достаточно ма-
малые значения, можно добиться, чтобы равенство Y=Z
выполнялось с любой желаемой точностью (ср. с
п. 20.12).
Сказанное в пп. 20.17м и 20.18м, безусловно, при-
применимо (с незначительными изменениями) к прибли-
приближенной формуле Y~Z.
'20.21м. С помощью приближенных формул мы делаем еще
один существенный шаг в новый мир, в который мы
робко вступили в пп. 17.12—17.16. Дальше эти форму-
формулы будут играть все более важную роль. Поэтому убе-
убедитесь, что вы овладели подходом, который мы разви-
развивали начиная с п. 20.10. Но даже если не все ясно,
пусть это вас не останавливает — идите дальше, воз-
возвращаясь назад в случае необходимости. А в будущем
всякий раз, когда встретится такая формула, просмот-
просмотрите п. 20.20м, чтобы убедиться, что вы понимаете ее
смысл.
20.22. Вернемся к оставшемуся на Земле инерциальному на-
наблюдателю А и страннику D, которые расстаются в мо-
момент события R и вновь встречаются в момент события
S (рис. 20.22). Как с помощью дополнительного пред-
предположения сравнить измеряемые ими промежутки вре-
времени? Предположим, что А проделал целый ряд изме-
измерений, позволяющих найти относительное положение
странника D в любой момент времени.
Разделим мировую линию странника D на множест-
множество отрезков (отмеченных короткими поперечными ли-
линиями), один из которых заключен между точками Р
20.23
277
и Q. Напишите приближенную формулу, связывающую
t и Г, если / и fr определены как в п. 20.12, а Т — вре-
время, измеренное наблюдателем А между событиями Р
и Q (которое равно времени, прошедшему по часам А
между событиями L и М, по его мнению, одновремен-
одновременными с Р и Q)?
Рис. 20.22.
20.23. Из формулы, описывающей замедление течения време-
времени (п. 13.7; выясните, какое время собственное, а ка-
какое несобственное; см. п. 3.8), получим
^ = Г Т/Т=^2, B0.4)
где v — относительная скорость движения наблюдате-
наблюдателей А и Е. Тогда в соответствии с дополнительным
предположением t~ti, поэтому
^71/Г=^Г2. B0.5)
Убедитесь, что вы понимаете, в чем смысл этой фор-
формулы. Для этого (взяв t в качестве заданной величи-
величины) замените в п. 20.20 У на t, a Z на Ту\—v2. Отсту-
Отступая от точной формулировки, можно было бы сказать,
что формула
V B0.6)
20.24 278
выполняется только приближенно; утверждать, что-
она выполняется точно, — значит, вносить погреш-
погрешность; однако же относительная погрешность находит-
находится под нашим контролем (определением знака «~»).
20.24. Эту процедуру можно выполнить для каждого из от-
отрезков, на которые разделена мировая линия странни-
странника D. Для каждого отрезка мы получим приближенную
формулу, подобную B0.5). Иными словами, для каж-
каждого отрезка выражение 7"|/1—v2 дает приближенное
значение времени t странника D. Значит, сумма всех
таких выражений, соответствующих всем отрезкам,
даст приближенное значение полного промежутка вре-
времени, прошедшего между R и S по часам странника D.
Теперь возникает очень важный вопрос: может ли
это приближение быть сколь угодно хорошим, т. е,
обеспечить сколь угодно малую полную погрешность?
Ведь укорачивая каждый отрезок (сокращая время /),
чтобы уменьшить вносимую им погрешность, мы тем
самым увеличиваем число отрезков, т. е. увеличиваем
число погрешностей, сложение которых дает полную-
погрешность. Исходя из точного определения знака
«~» (п. 20.20м), решите, можно ли сделать прибли-
приближение сколь угодно хорошим.
20.25. Да, можно. Если относительная погрешность каждого
отрезка меньше некоторого наперед заданного числа,
то и полная погрешность будет меньше этого числа не-
независимо от числа отрезков. (Аналогия: если у вас
есть несколько долговых обязательств, по каждому из
которых вы выплачиваете менее 8%, то проценты, вы-
выплачиваемые по всему займу, также должны быть
менее 8%.) Докажем это.
Прежде всего решим, какая погрешность в измере-
измерении всего промежутка времени от R до S допустима.
Деление этой величины на полное время (или на полу-
полученное нами его приближенное значение) даст макси-
максимально допустимую относительную погрешность
(п. 20.20м); обозначим ее буквой р. Дополнительное
предположение (п. 20.19) гарантирует, что для каждо-
каждого отрезка выбором малого значения t можно добить-
добиться, чтобы относительная погрешность была меньше р,
И если эту операцию проделать для каждого отрезка,
то относительная погрешность для суммы всех отрез-
отрезков также будет меньше /?. Таким образом, разработан
способ, как добиться того, чтобы полная погрешность
была меньше любой заданной, причем сколь угодно ма-
малой. Тем самым мы подтверждаем вывод, что
20.26 279
(процедура, описанная в п. 20.24, позволяет опреде-
определить время, прошедшее по часам странника D меж-
между событиями R и S, с любой желаемой степенью
точности.
Рис. 20.22 начерчен в двух измерениях, т. е. движе-
движение странника D происходит в одномерной вселенной,
но наши рассуждения вполне пригодны также, когда
путешествие D происходит во всех трех пространствен-
пространственных измерениях. Этот момент в дальнейшем окажется
важным. (Если вас интересует, как в этом случае бу-
будет выглядеть мировая линия странника D, то см.
п. 20.30.)
В пп. 20.24 и 20.25 используются ключевые идеи ме-
метода приближенных расчетов с любой желаемой точ-
точностью. Они заслуживают тщательного изучения, в осо-
особенности абзац, в котором приводится доказательство.
Обратите внимание, сколь важно использовать именно
относительную погрешность, а не просто погрешность.
20.26. Итак, теперь у нас есть способ вычисления времени
странника, совершающего путешествие туда и обратно
вдоль прямолинейной траектории. В следующей главе
мы встретимся с подробно разобранным примером,
что, я надеюсь, оправдает отсутствие расчетов для
единственного случая, проверенного экспериментально.
Правда, этот случай имеет отношение к очень корот-
короткому, субмикроскопическому, путешествию. Атом в
кристалле непрерывно колеблется около фиксирован-
фиксированной точки, как бы выполняя челночные рейсы в очень
ограниченном пространстве. Поэтому «его часы» долж-
должны отставать от неподвижных. Чем выше температура,
тем неистовей колебания атома, тем быстрее он дви-
движется и тем дальше от положения равновесия отклоня-
отклоняется, а значит, тем больше должна быть разность по-
показаний часов. Мы могли бы рассчитать предсказывае-
предсказываемую теорией связь между температурой и временем,
измеряемым квантовыми часами.
По релятивистским меркам даже очень подвижный
атом движется медленно, поэтому разность времен
должна составлять порядка одной части на десять мил-
миллионов миллионов. Такая точность измерений доступна
ядерным часам, «маятником» которых служит последо-
последовательность волн гамма-излучения, возникающего при
определенного рода перегруппировках, происходящих в
ядре атома. Явление, получившее название «эффект
Мёссбауэра» (которое я не буду здесь описывать из-
20.27 280
за недостатка места), позволяет сравнить показания
двух ядерных часов с точностью в одну часть на тыся-
тысячу миллионов миллионов или даже с еще большей.
Когда он был использован для проверки предсказанной
связи между измерениями времени и температурой, со-
согласие теории с опытом оказалось превосходным (см.
журнал Physical Review Letters, 4, 275, 1960). Ускоре-
Ускорения в этом эксперименте составляли около
100000 000 000 000 g, его результаты являются еще од-
одним подтверждением справедливости дополнительного
предположения (пп. 20.15 и 20.19), которое мы поло-
положим в основу всего последующего изложения.
20.27. Итак, мы пришли к выводу, что ускорение не влияет
на проводимые странником измерения времени. Разли-
Различие во временах, измеренных странником и наблюдате-
наблюдателем, оставшимся на Земле, определяется исключитель-
исключительно скоростью их относительного движения. И тем не
менее, не будь ускорений, неоткуда было бы взять и от-
относительной скорости, а значит, и разности во време-
временах. Значит, ускорение играет исключительно важнук>
роль. Непонятно?
Перечитайте пп. 14.20—14.24. Если рассматривать
рис. 14.22 как топографическую карту (см. п. 14.23),
то разность расстояний связана с тем, что часть марш-
маршрута геодезиста D не совпадает с маршрутом А. Чтобы
изменить направление движения геодезиста, некоторые
части его маршрута должны быть криволинейными.
Однако большая протяженность маршрута геодезиста
D вовсе не обусловлена длиной именно этих кривых.
Аналогично можно заметить, что на рис. 14.22, если
его рассматривать как пространственно-временную
диаграмму, разность времен, измеряемых А и D, воз-
возникает потому, что существуют участки, на которых
скорость странника D относительно А не равна нулю.
Но чтобы возникла разность скоростей, на диаграмме
должны быть участки ускоренного движения (криво-
(криволинейные участки мировой линии странника D). Одна-
Однако меньшая по сравнению с А продолжительность про-
промежутка времени, измеренного странником D, вовсе не
обусловлена продолжительностью периодов ускоренно-
ускоренного движения (кривые на диаграмме). Надеюсь, что те*
перь все встало на свои места.
20.28. Наряду с инерциальным наблюдателем А можно было
бы рассмотреть любое число странников (подобных D
на рис. 20.22), которые расстаются в R и вновь ветре-
20.29 281
чаются в S. Какие промежутки времени между собы-
событиями R и S измерят А и эти странники?
Входящая в формулы B0.4) —B0.6) величина
7]/1—v2 при v = 0 равна Т. Во всех остальных случаях
она меньше Т. Значит, когда мы выполним процедуру,
описанную в первом абзаце п. 20.24, окажется, что по-
получившееся приближенное значение полного времени
странника, прошедшего между событиями R и S, долж-
должно быть меньше времени, прошедшего между этими со-
событиями по часам А. И это остается верным независи-
независимо от длины отрезков, на которые мы поделили миро-
мировую линию странника, чтобы сделать приближенное
значение сколь угодно близким к истинному (пп. 20.24
и 20.25). Вычисленное с любой желаемой точностью
время странника всегда будет меньше времени, изме-
измеренного инерциальным наблюдателем А. Таким обра-
образом,
из всех наблюдателей, присутствующих при двух
определенных событиях, часы инерциального на-
наблюдателя показывают самое большое время, про-
прошедшее между этими событиями.
Или (чтобы подчеркнуть аналогию с хорошо знакомым
разделом геометрии):
в пространстве-времени из всех путей между дву-
двумя точками на инерциальный путь требуется боль-»
ше всего времени.
Это применимо и к путешествиям в трехмерном
пространстве (см. п. 20.25).
20.29. В последнем утверждении эффект космических близ-
близнецов проявляется во всей его полноте. Не имеет зна-
значения, в какое путешествие отправится странник,—>
его часы в момент возвращения будут показывать
меньше времени, чем часы оставшегося на Земле.
И состарится он меньше?
Сначала перечитайте п. 4.16. Если биологические
часы идут в такт с наручными или квантовыми часами,
то следует ожидать, что странник состарится меньше
своего брата.
В обычных условиях мы неинерциальны, но лишь в
незначительной степени (п. 5.4). На некоторых участ-
участках пути странник мог бы двигаться инерциально (на-
(находясь в состоянии невесомости), а на некоторых он
мог бы двигаться с ускорением, превышающим g.
Могло )бы это привести к тому, что ход его «биологи-
20.30 282
ческих часов» будет отличаться от хода обычных ча-
часов?
Чтобы побудить вас к дальнейшим размышлениям,
я сделаю лишь несколько коротких замечаний:
1) ход «биологических часов» обусловлен теми же
законами природы, что и обычных. Значит, нет основа-
оснований для того, чтобы они вели себя как-то иначе. Прав-
Правда,
2) их устройство слишком деликатно; если заста-
заставить их двигаться с большими ускорениями (и, воз-
возможно, если подвергать их в течение длительных про-
промежутков времени ускорениям, значительно отличаю-
отличающимся от g), то они совсем остановятся. Но в тех пре-
пределах, в которых может существовать жизнь,
3) никаких серьезных последствий до сих пор не
обнаружено. Космонавты, подвергавшиеся в течение
нескольких минут ускорениям в несколько g, или со-
совершавшие многомесячные полеты в невесомости, не
обнаружили очевидных признаков ускоренного старе-
старения. Во всяком случае,
4) если большие или меньшие ускорения каким-то
образом и влияют на темп старения, то это влияние
(ср. с п. 20.2) все равно не может привести к тому,
чтобы оба брата-близнеца старели одинаково во всех
путешествиях.
5) Но если рассматривать сверхдальние космиче-
космические путешествия далекого будущего, то эта проблема
не возникнет. Почему? Постарайтесь ответить на этот
вопрос, прежде чем вы дойдете до п. 21.33.
20.30. Мы затрагивали вопросы, касающиеся наблюдателей^
движущихся в трехмерном пространстве. Но вас, на-
наверное, интересует, можно ли нарисовать мировую ли-
линию в четырех измерениях, три из которых относятся
к пространству, а одно — к времени. Конечно, мы это-
этого сделать не можем. Термин «мировая линия» — это
сокращенный вариант фразы «полное описание исто-
истории наблюдателя, позволяющее узнать, где и когда
произошло любое событие его жизни». Когда мы име-
имеем дело только с одномерным или двумерным прост-
пространством, то мировую линию можно нарисовать в двух
или трех измерениях соответственно.
Во всех интересующих нас приложениях вполне до-
достаточно двухмерного пространства (плоскость) плюс
время. В таком случае можно построить трехмерные
пространственно-временные диаграммы, взяв (напри-
(например) идущее вертикально вверх направление для пред-
20.30 283
ставления времени, а два взаимно перпендикулярных
горизонтальных направления — для представления двух
пространственных измерений. Это не очень-то годится
для книги, ибо в ней можно привести только (выпол-
(выполненные с соблюдением законов перспективы) двумер-
двумерные рисунки трехмерных диаграмм. Если у вас хоро-
хорошее пространственное воображение, то полезно попы-
попытаться представить себе мысленно мировые линии на
этой 2+1-мерной диаграмме. Если же пространствен-
пространственное воображение у вас развито слабо, то лучше всего
давать полное описание...
Для нашего рассмотрения не обязательно уметь ри-
рисовать. Диаграмма играет роль облегчающей чтение
сводки данных, которые все время должны быть под
руками, — с ее помощью можно, например, выяснить,
что означает тот или иной символ. Поэтому обычно
вполне достаточно довольно схематичной диаграммы,
набросанной на листке бумаги. Логика рассуждений не
должна зависеть от того, насколько адекватно изобра-
изображены те или иные абстрактные идеи.
21
ВРЕМЯ С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ
РАВНОУСКОРЕННОГО СТРАННИКА
21Л. Особый интерес представляют измерения времени,
проводимые странником, движущимся с постоянным
ускорением. Поэтому вернемся к нашему старому зна-
знакомому W из гл. 17, летящему с постоянным ускоре-
ускорением /. Сравним измеренные им промежутки времени
с измерениями инерциального наблюдателя А. Сохра-
Сохраним использованные в гл. 17 обозначения (см. п. 17.9),
только t теперь будет обозначать время, прошедшее
между Р и Q по часам W (рис. 21.1).
Рис. 21.1.
Прямая линия, проходящая через точки О и Q,-
это ось расстояний инерциального наблюдателя В, по-
положение мировой линии которого (помеченной бук-
буквой В) фиксируется введенным в п. 8.26 правилом ра-
равенства углов между осями координат и линией сигна-
21.3
285
ла. (Его оси не помечены, как обычно, поскольку мы
теперь используем t для обозначения времени стран-
странника W.) Тогда мгновенная скорость странника W
в момент события Q относительно А равна постоянной7
скорости наблюдателя В (конец п. 17.5).
21.2. Пусть k — коэффициент Доплера между А и В-
(пп. 15.4, 15.5 и 15.8). Если значение k задано, то оно
определяет движение наблюдателя В (относитель-
(относительно А), а значит, и наклон его мировой линии, который?
позволяет найти также наклон его оси расстояний,,
что в конечном итоге фиксирует положение точки Q
на мировой линии странника W. Таким образом, зада-
задание коэффициента Доплера k точно определяет поло-
положение на диаграмме события Q.
Будем называть k параметром события Q. Дадим-
общее определение: параметром события на мировой
линии странника W называется коэффициент Доплера
между А и инерциальным наблюдателем, движущимся
с постоянной скоростью, совпадающей с мгновенной
скоростью W в момент этого события. Теперь наша
цель — найти правило вычисления t через k.
21.3. Возьмем на мировой линии странника (рис. 21.3) еще*
одну точку S и добавим инерциального наблюдате-
Р»с. 2L3»
21.4
286
.21.4.
ля D, движущегося с постоянной скоростью, равной
мгновенной скорости W в момент события S. Убеди-
Убедитесь, что вы знаете, как расположить мировую линию
наблюдателя (ср. с мировой линией наблюдателя В,
построенной в п. 21 Л). Оси расстояний опущены, что-
чтобы не загромождать чертеж.
Пусть греческая буква тау т — время, прошедшее
между событиями Q и S по часам странника W, а гре-
греческая буква каппа % — коэффициент Доплера между
В и D. Тогда уравнение A6.20) при соответствующей
замене (какой?) дает
Коэффициент Доплера между А и D=x^. B1.1)
Значит, хй — это параметр (п. 21.2) события S.
На рис. 21.4 отмечено еще одно событие R, такое,
что время от Р до R равно т, т. е. то же самое, что от
Рис. 21.4.
Q до S. (Длины отрезков PR и QS не равны, потому
что по мере изменения наклона меняется масштаб.)
На этом рисунке также введен инерциальный наблю-
наблюдатель С, движущийся с постоянной скоростью, рав^
ной мгновенной скорости странника W в момент со-
события R. Тогда коэффициент Доплера между А и С
21.7 287
равен и, т. е. коэффициенту Доплера между В и D*
Докажите это.
Мировая линия странника W, являясь изовалой,,
связана со всеми наблюдателями одинаковым обра-
образом. События Р и R связаны с наблюдателями А и С
точно также, как события Q и S — с В и D.Заверши-
D.Завершите доказательство самостоятельно (например, нарисо*
вав другую диаграмму с прямоугольной системой ко-
координат для наблюдателя В).
Итак, параметр (п. 21.2) события R равен и. Ка-
Какая существует связь между различными промежутка-
промежутками времени и параметрами?
Если отмерять время от Р, то сумма времен t и т,
в которые произошли события Q и R, дает время t+x
события S, а произведение параметров кик событий:
Q и R дает параметр vk события S.
21.5. Поскольку события Q и R могут быть где угодно на
мировой линии странника W, обобщая эти расчеты,
можно сказать:
если t — время события с параметром ky а т — вре-
время события с параметром к, то t+x — время собы*
тия с параметром nky
где время от Р до рассматриваемого события всегда
измеряется по часам странника W. Или короче:
перемножение параметров событий соответствует
сложению времен.
21.6. Вы понимаете значение этих утверждений? Предполо-
Предположим, что у нас есть таблица значений времени t, со-
соответствующих различным значениям ky скажем от 1
до 2. Тогда можно найти, какое значение t соответст»
вует & = 3. Поскольку 3 = 2X1,5, а «перемножение па-»
раметров соответствует сложению времен», то время,
соответствующее значению параметра 3, равно сумме
времен, соответствующих значениям параметра 2 и
1,5. Расширяя этот метод, мы могли бы построить
таблицу для сколь угодно больших значений параметр
pa ky но при условии, что у нас есть небольшая часть
этой таблицы, необходимая для начала расчетов. Зна-
Значит, теперь нам предстоит составить эту часть табли-
таблицы, а для этого потребуются приближенные уравнения
(еще раз тщательно проработайте пп. 20.12—20.21).
21.7. Пусть Е на рис. 21.7 — инерциальный наблюдатель,
присутствующий при событиях Р и Q (ср. с п. 20Л2),
и пусть U — измеренное по его часам время между Р1*
21.8м
288
и Q. Если v — скорость наблюдателя Е относитель-
относительно А, то, учитывая замедление течения времени
(п. 13.7), получим
t.^TYT~^. B1.2)
Выбирая достаточно малые t (позволяя странни-
страннику W разгоняться в течение очень короткого проме-
промежутка времени), можно добиться, чтобы скорость v
Рис 21.7.
стала сколь угодно малой и, как следствие, чтобы вы-
выражение "|/1—v2 стало сколь угодно близким к 1. В ре-
результате
*,~7\ B1.3)
1.8м. Хорошо ли обосновано приближенное равенство
B1,3)?
Для доказательства вернемся к определению
(п. 20.20м). Согласно формуле B1.2), отношение ле-
левой и правой частей tilT^l—v2, а эту величину мож-
можно сделать (п. 21.7) сколь угодно близкой к 1 выбо-
выбором достаточно малых значений t. Значит, B1.3) удов-
летврряет определению.
21.12 289
21.9. Из дополнительного предположения (п. 20.19) следу-
следует, что t~ti. Тогда с помощью B1.3) найдем
t~T. B1.4)
Другими словами, чем меньше промежуток време-
времени между Р и Q, тем ближе точки зрения А и W в от-
отношении этого промежутка. Из B1.4) получаем
ft~fT. B1.5)
21.10м. В предыдущем разделе мы сделали два шага, которые
нуждаются в обосновании. При выводе приближенной
формулы B1.4) мы воспользовались теоремой, кото-
которую в общем виде можно сформулировать следующим
образом:
если Y~Z и Z-U, то Y~U.
Убедитесь, что вы понимаете ее смысл (воспользовав-
(воспользовавшись п. 20.20м), и продумайте ее сходство с уже зна-
знакомой теоремой, которая получается при замене знака
«~» на « = ». Теперь попробуйте ее доказать.
Две исходные приближенные формулы говорят,
что, придавая заданной величине достаточно малые
значения, можно добиться, чтобы Y/Z и Z/U стали
сколь угодно близкими к 1. Поэтому можно добиться,
чтобы их произведение, равное Y/U, тоже было сколь
угодно близким к 1, тем самым подтвердив вывод, что
Y~U.
Большинство операций, применимых к равенствам,
могут использоваться и для приближенных равенств.
Это справедливо и в рассматриваемом случае. Но есть
исключения, так что нужно быть настороже.
21.11м. При выводе B1.5) из приближенной формулы B1.4)
мы предполагали, что
умножение обеих частей приближенной формулы
на одну и ту же величину снова дает приближен-
приближенную формулу.
Верно ли это?
Умножение обеих частей на одну и ту же величи-
величину не меняет их отношения. Нужно продолжать даль-
дальше? Это справедливо и в случае деления обеих частей
на одну и ту же величину.
21.12. Как обычно, X — это измеренное наблюдателем А рас-
расстояние, отделяющее его от события Q. Придавая ве-
величине / достаточно малые значения (смещая точку Q
достаточно близко к Р), можно добиться, чтобы рас-
19—1653
21.13м 290
стояние X было сколь угодно близко к расстоянию ОР,
равному 1// (п. 17.19). Таким образом,
X~\tf. B1.6)
(Обоснование см. в п. 21.13м.) В результате (см.
п. 21.11м)
fX~l. B1.7)
Сложение соответствующих частей формул A7.13)
и A7.14) дает*
fX+fT=*(l-{
Тогда формула A6.13) дает
k, B1.8)
а значит (п. 3.19М),
fT = k—fX, B1.9)
откуда из B1.7) следует
fT~k—l. B1.10)
Окончательно, принимая во внимание B1.5), полу-
получим
ft~k—l. B1.11)
Убедитесь, что вы понимаете смысл этой формулы
(п. 20.20м).
21.13м. По мере уменьшения / обе части приближенной фор-
формулы B1.6) не становятся все ближе к нулю (как в
предыдущих приближенных формулах). Однако если
разность этих двух величин можно сделать сколь
угодно малой, то это справедливо и для их относитель-
относительной разности. Вот почему удалось доказать справедли-
справедливость приближенной формулы B1.6), основываясь
только на двух предыдущих предложениях и не вда-
вдаваясь в обычные подробности.
21.14м. С помощью определения (п. 20.20м) докажите право-
правомерность операции, в результате которой из B1.7) и
B1.9) получена приближенная формула B1.10).
Если вместо B1.7) взять точное равенство Д =
= 1, то в B1.9) можно заменить fX на 1, что
привело бы к формуле /Г = й—1. Очевидно, этот
способ применим и к приближенным формулам, но
* Чтобы сложить две дроби с одинаковыми знаменателями (п. 16.22М),
нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежний.
21.16
291
лучше в этом убедиться. Если в B1.10) вместо fT под-
подставить (п. 9.16М) правую часть B1.9), то отношение
двух его сторон будет равно {k—fX)/(k—1). Чем бли-
ближе fX к 1, тем ближе k—fX к k—1, а значит, тем бли-
ближе к 1 и их отношение. Таким образом, формула
B1.10) удовлетворяет определению.
21.15. Зависимость между х и т (п. 21.3) точно такая же, как
между k и / (проверьте, что от одной к другой можно
перейти простой заменой обозначений нескольких ве-
величин и событий). Поэтому по аналогии с B1.11) по-
получим
fx~x—l. B1.12)
Сочетание этой формулы с доказанной в п. 21.5
обеспечивает нас методом, позволяющим начать стро-
строить таблицу соответствия между t и k (п. 21.6).
21.16. Сначала рассмотрим ситуацию, поясненную рис. 21.3,
но изменим обозначения некоторых величин (рис.
21.16). Время и параметр события Q будем обозна-
D
Рис. 21.16.
19*
чать to и &о, а не t и k, время и параметр события S
обозначим соответственно t\ и k\ (при этом смысл ве-
величин т и % не изменяется). Мы произвели эти замены,
чтобы заострить внимание на том, что произойдет на
21.17 292
первом «шаге» от события Q к S. Индексом 0 снабжа-
снабжается величина в начале шага, а индексом 1—та же
величина в конце шага. Найдем приближенную форму-
формулу, связывающую t\—U с k\—&0, т. е. изменение вре-
времени (измеренного по часам странника W) с измене-
изменением параметра.
Каждый параметр — это коэффициент Доплера
между интересующими нас парами наблюдателей
(рис. 21.16). Тогда формула B1.1) даст &i = x&o> отку-
откуда x=fti/fto. Очевидно, %=t\—U. Подстановка этих вы-
выражений в B1.12) приводит к формуле
которую можно переписать в виде
/*i-ft>~№i-*a)/*o B1.13)
(см. п. 16.12М; кроме того, k\/k0—l = &i/&0—&о/?о =
= {k\—ko)lko\ см. примечание к п. 21.12). Заметьте, что
тих исчезли (как если бы на рис. 21.16 их стерли).
Итак, мы достигли промежуточной цели: получена при-
приближенная формула, показывающая, как изменение
времени странника W связано с изменением параметра
на шаге от Q до S.
Вначале (п. 21.7) «заданной величиной» (которой
придаются достаточно малые значения; см. п. 20.20м)
было время t. В формуле B1.12) это время т, а те-
теперь это разность t\—U. Но из B1.13) следует, что,
по мере того как t\—U приближается к нулю, k\—k0
также приближается к нулю. Поэтому теперь в каче-
качестве заданной величины можно выбрать k\—k0. Тогда
формула B1.13) утверждает (ср. это со сказанным в
п. 20.20м), что
придавая k\—k0 достаточно малые значения, мож-
можно добиться, чтобы относительная разность между
ft\—ft0 и (k\—k)/k0 стала сколь угодно малой,
где выбор достаточно малого k\—k0 означает выбор
достаточно короткого шага от Q до S. (На рис. 21.16
этот шаг изображен слишком большим; однако см.
п. 20.18м.)
21.17. Приближенная формула B1.13) —кульминационный
момент этой главы, поэтому возвращайтесь к этому
параграфу по мере того, как мы будем получать его
следствия. А сейчас самое время подвести итоги. При
этом будем следовать стратегии, намеченной в
пп. 9.20М и 9.21М. На этот раз основные этапы — это
21.19 293
пп. 21Л и 21.2 (описание ситуации), пп. 21.3—21.6
(доказательство теоремы из п. 21.5), пп. 21.7—21.15
(трудный этап, в котором доказывается, что f%~%—1)
и п. 21.16 (сведение полученных результатов воедино).
21.18. Воспользуемся приближенной формулой B1.13) для
расчета нескольких первых строк таблицы связи меж-
между ft и k. Начнем с точки Р, где f/o = O и &o=l (так
как странник W покоится относительно наблюдате-
наблюдателя А, см. п. 15.10), и сделаем первый шаг от нее к
точке, где (скажем) &i = l,01. Тогда из B1.13) полу-
получим
fc—0^ U°\~l =0,01.
Значит, в конце шага ffi«0,01.
Обратите внимание, здесь знак «~» заменен на
«^». Ведь мы зафиксировали величину шага, поэтому
теперь нельзя говорить о выборе достаточно малых
значений разности kx—k0. Отныне наши расчеты будут
содержать постоянную ошибку.
Начальные значения kQ и ft0 для второго шага —«
это только что вычисленные конечные значения для
первого шага. Значит, второй шаг начинается с йо —
= 1,01, /70~0,01 и заканчивается значением &i = l,02.
Тогда приближенная формула B1.13) дает
//,-0,01 »Iil2r^i= 0,0099,
откуда ft\~ 0,0199. Итак, пока таблица имеет вид
k ft
1.00 0,0000
1.01 0,0100
1,B 0,0199
21.19. Расчеты обещают быть утомительными, поэтому лучше
освоим сберегающие труд приемы. Конечно, если уве-
увеличить размер шага, то работы станет меньше, но ре-
результат будет менее точным. Поэтому выясним, как
размер шага влияет на точность вычислений. Посмот-
Посмотрим, как вычисляется изменение величины ft при пе-
переходе от /2=1,2 к 6=1,25 для двух случаев: а) когда
весь интервал разбит на пять шагов по 0,01 каждый и
б) когда производится только один шаг величиной
0,05. В случае (а) приращение величины ft на всем ин-
интервале изменения равно
21.20 294
где каждый член возникает в результате применения
B1.13) к каждому отдельному шагу (проверьте сами).
Для (б) приращение равно
1,25-1,2 B1Л5)
1,2 ' ч-*--/
Численно эта дробь эквивалентна пятикратно повто-
повторенному первому слагаемому из B1.14), т. е. слишком
велика — она равна 0,04167.
При вычислении дроби B1.15) был использован
знаменатель, относящийся только к началу шага, в то
время как знаменатели в дробях в B1.14) равномер-
равномерно нарастали. Как усовершенствовать процедуру вы-
вычислений, когда рассматривается только один шаг?
Подставим в знаменатель не k0, а значение А, соответ-
соответствующее середине шага, т. е. (k\ + ko)/2 (ср. с п. 16.1).
Тогда расчет для одного шага будет выглядеть следу-
следующим образом:
1,25-1,2 .^004032.
Этот результат намного ближе, чем B1.15), к очень
точному значению B1.14).
21.20. Таким образом, можно пользоваться шагами большего
размера, а значит, меньшим их числом, но только ес-
если для расчетов вместо B1.13) применять приближен-
приближенную формулу
fe B1Л6)
Она приводит к тем же результатам, что и B1.13), но
требует меньших затрат труда для достижения той же
точности.
21.21. Представим результаты наших вычислений в виде
таблицы, предположив, что вполне достаточно выбрать
для k шаг величиной 0,1. Первые несколько строк при-
приведены в табл. 21.21.
Обратите внимание, что цифры во втором и третьем
столбцах, расположенные между строками первого
столбца, относятся к величинам с индексами ko, k\,
fto и ft\. Причем индекс 0 относится к верхней, а ин-
индекс 1 к нижней строке, между которыми расположе-
расположены эти цифры. Например, значение (&i + &o)/2=l,15
1,05
1,15
1,25
1,35
1,45
0,0952
0,0870
0,0800
0,0741
0,0690
0,0000
0,0952
0,1822
0,2622
0,3363
0,4053
0,00
0,10
0,18
0,26
0,34
0,41
2L 22 295
Таблица 21.21
ft с точностью
(fei+?o)/2 fti—fU ft до двух десятичны»
знаков
1,0
1,1
1,2
1.3
1,4
1.5
расположено посередине между второй и третьей стро-
строками и является средним арифметическим чисел &0=
= 1,1 из второй строки и ^1 = 1,2 из третьей.
Поскольку выбранный нами шаг k\—k0 всегда ра-
равен 0,1, согласно формуле B1.16), стоящие в третьем
столбце значения ft\—ft0 получаются в результате де-
ления 0,1 на значение (?i + &0)/2 из той же строки вто-
второго столбца.
Каждое значение ft\—fto — это разность значений
ft (стоящих в четвертом столбце), расположенных в
строках непосредственно выше и ниже этого значения.
Поэтому каждое последующее значение ft полу-
получается из предыдущего добавлением расположенного
(в третьем столбце) в лежащей между ними строке
значения ft\—fto. В последнем столбце эти значения ft
округлены до двух знаков после запятой (до ближай-
ближайшего числа с двумя знаками после запятой).
Теперь с помощью B1.16) удостоверьтесь, что вы
понимаете, как построена эта таблица, другими слова-
словами, проделайте подробно все вычисления.
21.22. Но дает ли шаг в 0,1 достаточную точность? Это мож-
можно проверить, повторив все расчеты для шагов мень-
меньшего размера, а затем посмотреть, сколь сильно раз-
различаются новые и старые результаты. Давайте срав-
сравним предыдущий результат для k =1,1 с тем, что полу-
получится, если проделать два шага по 0,05. На первом
шаге ?0=1, &i = l,05 и /70 = 0; проверьте, что B1.16)
дает f/i«0,0488. На втором шаге ^0= 1,05, &i = l,l и
значение fto&0,0488, так что соотношение fix—0,0488 =
= 0,0465 приводит к значению ft для &=1,1, равному
0,0953.
Расчеты, проделанные с помощью двух меньших
шагов, более точны — именно об этом говорит знак
«~», и тем не менее различие невелико. Поэтому
21.23 296
представляется вполне правдоподобным (хотя мате-
математик потребовал бы более строгого доказательства),
что, даже если шаги будут еще меньше, результат
сильно не изменится. В худшем случае четвертый знак
после запятой изменится несколько сильнее. Но по-
поскольку мы ограничиваемся двумя знаками после за-
запятой, наш прием обеспечивает любую желаемую точ-
точность. (Проделайте аналогичную проверку для друго-
другого шага.)
Однако значения, стоящие в третьем и четвертом
столбцах, нужно продолжать вычислять с точностью
до четвертого знака после запятой, иначе мы внесем
так называемую ошибку округления. Например, если
округлить два первых значения в третьем столбце до
0,10 и 0,09, а затем сложить их, то в третьей строке
столбца для ft получилось бы значение 0,19, т. е. во
все последующие значения была бы внесена ошибка
0,01.
21.23. А теперь продлите табл. 21.21 до значения ? = 2.5.
Расчеты сохраните — они еще нам понадобятся. Ваши
окончательные результаты должны совпадать со зна-
значениями в табл. 21.23.
Таблица 21.23
к
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
ft
0,00
0,10
0,18
0,26
0,34
0,41
0,47
0,53
к
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
ft
0,59
0,64
0,69
0 74
0,79
0,83
0,88
0,92
21.24. Проделаем вычисления для космического путешествия.
Выберем наиболее интересный для нас случай, когда
странник движется с ускорением около 1 g. Положим
/=1 и возьмем в качестве единицы времени 1 год
(пп. 17.20 и 17.21). Пусть Ai (рис. 21.24) — неподвиж-
неподвижный относительно А инерциальный наблюдатель, при-
присутствующий при событии Р (ср. с п. 17.29). Вос-
Воспользуйтесь открыткой с прорезью! Мы сравниваем
мнения наблюдателя Ai и странника W по поводу пу-
21.25
297
тешествия от события Р (в момент которого старто-
стартовал W) до события Q с параметром k.
Комбинируя формулы A7.14) и A6.16) и полагая
f«=l, обнаружим, что
Время, измеренное наблюдателем к\ (или А)~Г«*
Аналогично из A7.8), A7.13) и A6.15) следует, что
Расстояние, пройденное относительно Ах (или А) =
Xl 4kllk)
Далее, скорость странника W относительно наблюда-
наблюдателя Ai в конце путешествия определяется формулой
х j
A6.18) или A7.2). И наконец, время, которое занима-
занимает путешествие с точки зрения W, можно будет найти
с помощью табл. 21.23, положив в ней /=1.
21.25. В табл. 21.25 приводятся значения для трех различных
космических полетов, каждый из которых характеризу-
характеризуется значением параметра k в его конце. В представ-
представленном в первом столбце полете длиной в 800 милли-
миллиардов километров, занявшем около 5 месяцев, едва на-
начинает проявляться различие во временах наблюдате-
наблюдателя Ai и странника W при нашей точности вычислений.
При путешествии длиной в четверть светового года из
второго столбца разность во временах возросла за
9 месяцев почти до 22 суток — почти до 8%. Проком-
Прокомментируйте самостоятельно третий столбец и рассчи-
рассчитайте еще один-два космических полета.
21.26
Время, затраченное на полет
по часам странника W,
годы
Время, затраченное на полет
с точки зрения наблюдате-
наблюдателя Ai, годы
Пройденное расстояние относи-
относительно Ai, световые годы
Конечная скорость относитель-
относительно Аь доли скорости света
1,5
0,41
298
Таблица 21.25
2,0
0,69
2,5
0,92
0,
0,
0,
42
083
38
0,75
0,25
0,60
1,
0,
0,
05
45
72
21.26. Чтобы странник W мог совершить путешествие туда
и обратно, нужно дважды, в Q и S, изменить направ-
направление силы тяги двигателей его ракеты (рис. 21.26;
поработайте с открыткой с прорезью!). Его ускорение
Рис. 21.26.
направлено вправо между Р и ,Q и между S и U и
влево между Q и S. Ясно, что самая далекая точка,
которой достигает W (в момент события R), располо-
расположена на расстоянии, равном удвоенному пройденному
расстоянию из табл, 21.25; а полное время путешест-
21.27 299
вия в четыре раза превышает время, указанное в
табл. 21.25. Соответствующие цифры приведены в
табл. 21.26.
Таблица 21.26
Расстояние до R с точки зре-
зрения наблюдателя Аь све-
световые годы
Время полета туда и обратно,
измеренное наблюдателем
А|, годы
Время полета туда и обратно,
измеренное странником W,
годы
0
1
1
,17
,68
,64
0
3
2
,50
,00
,76
0,
4,
3,
90
20
68
Побывав в подобном путешествии многократно,
странник мог бы задуматься над тем, а не расстаться
ли ему со старой женой и не найти ли кого-нибудь по-
помоложе. Итак, из проделанных расчетов следует, что
мы обнаружили бы весьма значительные различия во
времени уже для путешествий, достаточно скромных
по космическим масштабам и комфортных в биологи-
биологическом отношении (лишь бы инженеры построили ра-
ракеты!). Вы не заметили ничего особенного?
21.27. Табл. 21.23 можно продолжить, воспользовавшись
теоремой из п. 21.5. Например, значению &=1,5 соот-
соответствует /?=0,41, а значению k = 2 соответствует ft =
= 0,69. Тогда значению &= 1,5X2 = 3,0 должно соответ-
соответствовать /^ = 0,41+0,69=1,10. Однако, пользуясь
табл. 21.23, где все значения округлены до второго
знака после запятой, мы подвергаемся опасности,
упоминавшейся в конце п. 21.22. Поэтому повторите
этот расчет, применяя значения с четырьмя знаками
после запятой из табл. 21.21 и ее продолжения, полу-
полученного вами.
Вы найдете, что ft = 0,4053 + 0,6929 = 1,0982, а это
можно округлить до 1,10. Теперь проделайте аналогич-
Таблица 21.27
k
3
4
5
6
7
8
9
10
ft
1,10
1,39
1,61
1,79
1,95
2,08
2,20
2,30
21.28 300
ные расчеты для ? = 4, 5, 6, 7 ( = 5ХМ), 8, 9 и 10. По-
После округления вы должны получить значения, пред-
представленные в табл. 21.27.
21.28. Применяя теорему п. 21.5, можно найти ft для еще
больших значений ?. Так, если ?=230 = 2,ЗХЮХЮ>
то /^ = 0,83 + 2,30 + 2,30 = 5,43. (Начиная с этого момен-
момента будем мириться с ошибкой округления.)
21.29. Если ? не намного больше единицы, то, согласно
B1.11), вполне можно считать, что ft=k—1. Это
приближение при наших расчетах с точностью до вто-
второго знака после запятой справедливо, как это видно
из табл. 21.23, вплоть до значения ?=1,1.
Это позволяет вычислять //, когда ? лежит между
табличными значениями. Например, в результате по-
последовательности операций деления мы обнаружим,
что 3,73 ^ЗХ1»24^ 3X1,2X1,04, так что соответству-
соответствующее значение ft будет равно 1,10 + 0,18 + 0,04=1,32.
Итак, если дано любое значение ?, то подходящая
комбинация этих приемов позволяет вычислить соот-
соответствующее значение ft с любой степенью точности,
какая только потребуется в этой книге.
21.30. Продолжим наши расчеты космических полетов с
ускорением около g (f=l), в которых странник (как
в пп. 21.24 и 21.25) удаляется по прямой от места
старта. На этот раз поговорим о расстоянии (относи-
(относительно Ai), которое странник W покрыл между собы-
событиями Р и Q. Согласно формуле A7.8), если к этому
расстоянию прибавить 1, то получится X. Из формулы
A7.9) найдем, что Т2 = Х2— 1, откуда (п. 13.4М)
. B1.17)
Соотношение B1.8) при f=l дает
B1.18)
Зная ?, можно с помощью таблиц и описанных прие-
приемов найти /. Конечная скорость странника W опреде-
определяется формулой A7.2).
Проследите за деталями в следующем примере.
Пусть пройденное расстояние равно 1 световому году.
Тогда Х = 2, а X2—1 = 3. Таким образом, Г = УЗ=1,73 и
?=3,73. В результате /-1,32 (п. 21.29; при f=l). Ко-
Конечная скорость =1,73/2=0,87.
В верхней части табл. 21.30 приводятся резуль-
результаты таких расчетов для космических полетов раз-
различной протяженности, а в первом столбце приведен
21.32
Полет в один конец с ускорением
в направлении движения
Расстояние, пройденное относи-
относительно наблюдателя Ai, свето-
световые годы
Время, затраченное на путешест-
путешествие, по часам Аь годы
k
Время, затраченное на путешест-
путешествие, по часам странника W,
годы
Конечная скорость относительно
А,
Полет туда и обратно
Наибольшее удаление от Ai
Продолжительность полета по ча-
часам Аь годы
Продолжительность полета по ча-
часам странника W, годы
1
1,
3,
1,
0,
2
6
5
73
73
32
,87
,9
,3
2
2,
5,
1,
0
4
11
7
83
83
,77
,94
,3
,1
9
9,
19,
2
0
18
39
12
301
Таблица 21.30
95
,95
,99
,995
,8
,0
99
99,
200
5,
0,
198
400
21
995
,29
,99995
,2
рассмотренный в предыдущем абзаце пример. Про-
Проверьте самостоятельно один-два столбца. Какие вы
можете сделать выводы? Прежде чем рассматривать
нижнюю часть таблицы, прочитайте п. 21.31.
21.31. Вы, должно быть, заметили, что расхождение во вре-
времени нарастает намного быстрее, чем пройденное рас-
расстояние.
Чтобы получить правильное представление об аст-
астрономических масштабах, обратите внимание, что не-
незадолго до окончания путешествия, которому соответ-
соответствуют данные из третьего столбца, странник W (если
направление движения его звездолета будет должным
образом скорректировано) пролетит мимо Сириуса —
ярчайшей звезды на небе. Разность во временах здесь
довольно впечатляющая — 3 года против 10. Но путе-
путешествие, представленное в последнем столбце, длиннее
всего лишь в И раз, а вот различие времен в нем —
5 лет 3 месяца и 15 суток против столетия. (Одна,
возможно, тревожащая вас проблема разрешится, ес-
если заглянуть в п. 3.38.)
21.32. Приведенные в последних трех строках табл. 21.30
значения вычислялись как в п. 21.26. Вспомним, что в
данном случае дело не сводится лишь к мнению одно-
одного наблюдателя по поводу хода часов другого. Остав-
Оставшийся на Земле наблюдатель и странник могут срав-
сравнить показания своих часов сначала при расставании,
27.53 302
а затем при встрече. Тогда из таблицы следуют со-
совершенно поразительные выводы.
Полет к ближайшей известной звезде был бы чуть
длиннее, чем указано во втором столбце, и дал бы
страннице (если бы в путешествие отправилась жен-
женщина) фору в четыре года по сравнению с ее подру-
подругами, оставшимися на Земле. В ситуации, представ-
представленной в следующем столбце, население Земли соста-
состарилось бы на 40 лет, а странник стал бы старше лишь
на 12 — это как раз то, что нужно страдающему от
безответной любви вздыхателю из п. 4.20. Но еще по-
поразительнее итог полета (последний столбец табли-
таблицы), в котором странник, проведя в космическом по-
полете 21 год, возвращается обратно в момент, когда он
может жениться на прапрапрапрапрапрапрапрапра-
правнучке своей возлюбленной.
21.33. В последнем абзаце предполагалось, что расчеты оди-
одинаково применимы как к биологическому старению,
так и к физическим часам. Оправдано ли такое пред-
предположение?
Перечитайте п. 20.29. Наши расчеты применимы к
временам, измеряемым любыми часами, которые, как
установлено в экспериментах, ведут себя точно в со-
соответствии с предсказаниями теории относительности,
например атомными (квантовыми) и ядерными часа-
часами, описанными в пп. 20.9 и 20.26. Ускорение, или,
иначе, физическое состояние неинерциального движе-
движения, не влияет на ход таких часов. Но нас по-прежне-
по-прежнему интересует вопрос о его влиянии на биологические
часы, хотя мы знаем о невозможности одинакового
старения во всех случаях (п. 20.29D)). Вы уже отве-
ответили на вопрос, поставленный в конце п. 20.29?
Полет с ускорением g позволяет решить эту про-
проблему. Космонавт и наблюдатель на Земле неинер-
циальны в одинаковой степени, значит, ускоре-
ускорение оказывало бы на них одинаковое влияние. Из-
Известно, что на Земле биологические часы идут в такт
с эталонными часами (с достаточно хорошим прибли-
приближением). Значит, это справедливо и для часов космо-
космонавта. Таким образом, цифры, приведенные в табл.
21.30, показывают и ход биологических часов.
Правда, в четырех случаях — Р, (Q, S и U на
рис. 21.26 — физические условия, в которых находится
странник W, значительно отличаются от условий, в ко-
которых находится Аь Но это обстоятельство не может
привести к сколько-нибудь существенным последстви-
21.35
303
ям (см. п. 20.29 C)), так что нам не избежать вывода
о торможении процессов старения, когда (и если)
включены ракетные двигатели.
21.34. В последнем столбце табл. 21,30 значение 7 фактиче-
фактически равно X. Соотношение B1.17) показывает, что это
будет иметь место всегда, когда X велико по сравне-
сравнению с 1. Кроме того, если считать, что пройденное рас-
расстояние равно X (а не X—1), то ошибка будет прене-
пренебрежимо мала. Поэтому с тем же успехом можно
пользоваться равенствами: 7= (Пройденное расстоя-
расстояние) и, согласно B1.18), & = 2Х (Пройденное рас-
расстояние). С помощью этих упрощений мы составили
табл. 21.34.
Таблица 21.34
Полет в один конец с ускорением в направлении движения
Расстояние, пройден-
пройденное относительно
наблюдателя Аь
световые годы
Время, затраченное
на полет, по ча-
часам Ai, годы
k
Время, затраченное
на полет, по ча-
часам странника
W, годы
500 50 000 500 000 1000 000 5 000 000 000
1000 100 000 1000 000 2 000 000 10 000СОО000
6,9 11,5 13,8
Полет туда и обратно
14,5
23.0
Наибольшее удаление
от Ai, световые
годы 1000
Продолжительность
полета по часам,
Аь годы
Продолжительность
полета по часам
странника W, го-
годы
2000
100 000 1000 000 2 000 000 10 000000000
200 000 2 000 000 4 000 000 20 000 000 000
27,6
46
55
58
92
21.35. Во втором столбце сделана очень оптимистическая
оценка экспедиции, пересекающей нашу Галактику и
возвращающейся обратно на Землю. Астронавт должен
быть способен к активной деятельности в течение
46 лет и вернется на Землю через 200 000 лет после
старта по земным часам. Цифры из четвертого столб-
21.36 304
ца дают нам представление о путешествии туда и об-
обратно к знаменитой спиральной галактике в созвездии
Андромеды (М 31) — ближайшей к нам спиральной
галактике. Печально вернуться обратно на Землю, где
все ваши друзья умерли еще 4 миллиона лет назад,
Однако стоило бы отправиться в один конец, занима*
ющий 29 лет, если бы была уверенность, что по прибы-
прибытии на новое место вас будет ждать хороший дом с
умеренной квартплатой.
Последний приведенный в таблице космический по-
полет уносит к невероятно далеким объектам, которые
можно обнаружить только с помощью современных
радиотелескопов. Возвращаться обратно из этого по-
полета не имело бы смысла, ибо Земля к тому времени
уже не существовала бы. Но можно было бы совер-
совершить полет в один конец и высадиться на подходящую
планету в удаленной галактике как раз ко времени вы-
выхода странника на пенсию. Итак, странник, движущий-
движущийся с ускорением g, мог бы добраться куда угодно!
Обратите внимание, что по часам странника полет
к самой далекой из известных галактик занимает
столько же времени, сколько требуется на экспедицию,
пересекающую нашу Галактику с возвратом на Зем-
Землю. Для сравнения первое путешествие по часам на-
наблюдателя, оставшегося на Земле, продлится в
50 000 раз дольше, чем второе.
Ракетная техника для таких полетов или даже
представленных в табл. 21.25 с позиции современных
знаний кажется совершенно несбыточной мечтой. Но,
сопоставив все то, что мы можем сегодня и что каза-
казалось фантастическим в 1890 г., вряд ли следует катего-
категорично утверждать, что такие полеты никогда не будут
совершены.
21.36. Не принимая во внимание четвертый столбец в
табл. 21.34, выведите очень простое правило вычисле-
вычисления времени путешествия туда и обратно, прошедшего
по часам странника W.
Если расстояние до максимально удаленной точки,
достигаемой в полете, определяется (в световых го-
годах) числом, представляющим собой 1 с тремя или
больше нулями, то время (в годах), прошедшее по
часам странника, движущегося с ускорением g>
равно произведению числа 9,2 на число, равное чис-
числу нулей.
Если расстояние до максимально удаленной точки уве-
увеличивается в 10 раз, то нужно просто прибавить 9,2 к
21.33м 305
времени, затраченному на исходное путешествие. Для
сравнения укажем, что
время (в годах), прошедшее по часам данного на*
блюдателя, равно удвоенному расстоянию до мак-
максимально удаленной точки (в световых годах).
Докажите эти правила (для начала просмотрите
п. 21.28, а затем поразмыслите о скорости странни-
странника W).
21.37. Предпринимая расчеты очень дальних полетов, следу-
следует учитывать несколько осложняющих обстоятельств.
Расширение Вселенной (или любое другое объяснение
космологического красного смещения) способно иска-
исказить измерения времени и расстояний. Что касается
вышеприведенных рассуждений, то наши расчеты
должны быть вполне пригодны вплоть до предпослед-
предпоследнего столбца табл. 21.34, а может быть, и дальше.
Сомнения в корректности полученных результатов
связаны с тем, что ни один из экспериментов по про-
проверке теории относительности не продолжался доль-
дольше нескольких дней (п. 20.9). Есть сильные аргументы
в пользу того, что теория относительности применима
при изучении процессов, длящихся несколько лет, не-
несколько десятилетий, несколько столетий и т. д. Одна-
Однако не исключено, что существуют законы природы (не-
(неизвестные нам, поскольку их проявления на малых
промежутках времени пренебрежимо малы, точно так
же, как при низких скоростях ненаблюдаемы реляти-
релятивистские эффекты), которые могли бы совершенно ис-
исказить наши расчеты для некоторых длительных путе-
путешествий из табл. 21.34. В этом случае прежде всего
подвергаются сомнению результаты измерений земного
наблюдателя. Расчеты же для космонавта, отправив-
отправившегося в полет, длящийся по его часам несколько де-
десятилетий, имеют шанс оказаться верными.
21.38м. Это исследование проделанных космонавтом измере-
измерений времени не является научной фантастикой. Расче-
Расчеты очень длительных полетов, хотя они и дают точные
предсказания, — это пока фантастика. Но зная, как
течет время для космонавта, мы теперь можем спро-
спросить, как выглядит пространство-время с точки зрения
ускоренного наблюдателя. А это основа общей теории
относительности.
Самое главное — приближенная формула B1.13),
поэтому мы продолжим ее изучение. Разность k\—k0 —
это величина, на которую возрастает параметр k меж-
20—1653
21.39м 306
ду событиями Q и S (рис. 21.16). Назовем эту раз-
разность приращением параметра k. Точно так же
ft\—fto — это приращение величины ft. Значит, B1.13)
можно рассматривать как метод (приближенного) вы-
вычисления приращения величины ft, когда известно при-
приращение k. Эту приближенную формулу легче запом-
запомнить, если ее переписать в форме
гт ?л Приращение k /о1 «Пч
Приращение Н~~ и B1.19)
г * ^ ' Значение k в начале шага х '
Сформулируйте с помощью приращений утвержде-
утверждение, напечатанное с отступом в п. 21.16.
21.39м. Обозначим приращение греческой буквой б (дельта).
Тогда 8k означает «приращение величины &»,
а 6л; — «приращение величины х» (независимо от того,
какой смысл имеет величина х),
21.40М. Надеюсь, что вы не будете считать 8k произведением
некоторой величины б на k. Символ б не изображает
никакой величины и вообще не имеет смысла сам по
себе. Но если его использовать с символом, обознача-
обозначающим некоторую величину, то он будет означать «при-
«приращение величины...» Поэтому 8k или бл; следует рас-
рассматривать как единый символ, означающий прира-
приращение интересующей нас величины.
Привычка читать в развернутой форме позволит из-
избежать недоразумений. Даже если вы сочтете (что вы,
возможно, уже сделали), что можете без ущерба для
понимания читать t как «тэ» вместо «время, измерен-
измеренное по часам W» (пусть даже это представление уже
укоренилось в вашем сознании), я все равно рекомен-
рекомендую вам читать 8t как «приращение величины /», а не
как «дельта тэ». (И разумеется, если вам так больше
нравится, можете по-прежнему читать «приращение
времени, измеренного по часам W»). Если б стоит пе-
перед выражением, заключенным в скобки, например
й(У+2) и б(я*)> то эт0 означает приращение всей
стоящей в скобках величины — в данном случае прира-
приращения y+z и az.
21.41м. Введенное обозначение позволяет переписать прибли-
приближенную формулу B1.13) в более компактной форме:
T-. B1.20)
Если угодно, можете рассматривать B1.19) как пере-
переходный этап от B1.13) к B1.20).
21 АЗм 307
В этой форме записи содержатся два важных со-
соглашения:
1) в любой приближенной формуле величина б (//)
имеет смысл «приращение ft», соответствующее прира-
приращению 8k величины к, или, другими словами, это ве-
величина, на которую возрастает ft при возрастании к
на величину б&, и
2) символ k сам по себе (например, знаменатель
дроби, стоящей в правой части приближенной форму-
формулы) относится к значению k в начале шага, которое
мы ранее обозначали ko.
Будем придерживаться этих двух соглашений всег-
всегда, когда будут рассматриваться уравнения или при-
приближенные формулы, связывающие приращения, запи-
записанные с помощью 6. Пользуясь соглашениями, про-
проверьте, что B1.20) эквивалентно приближенной фор-
формуле B1.13).
Теперь сформулируйте с помощью б утверждение,
напечатанное с отступом в п. 21.16. Сделайте это са-
самостоятельно.
21.42м. Данное в п. 20.20 определение знака «~» страдает
очевидным недостатком — необходимостью каждый раз
задавать величину, которой затем придаются сколь
угодно малые значения. Но работа с приближенными
формулами, содержащими приращения, позволяет из-
избежать эту трудность. При таком подходе сами прира-
приращения являются теми величинами, которые должны
быть сделаны достаточно малыми. Если приращений
только два, как в формуле B1.20), то достаточно ма-
малым нужно сделать одно из них; второе приращение
станет малым автоматически. Поэтому определение из
п. 20.20 можно дополнить:
когда приближенная формула связывает две пере-
переменные величины и их приращения, «заданной ве-
величиной», которую нужно сделать достаточно ма-
малой, является одно из этих приращений.
21.43м. Если вы изучали высшую математику достаточно осно-
основательно, то в рассуждениях о приближенных форму-
формулах, связывающих приращения, вы узнаете грубый эк-
эквивалент раздела математики, называемый анализом.
Тем, кто незнаком с анализом, легче усвоить методы,
изложенные в этой книге.
Тем, кто изучал этот раздел, придется бороться с
соблазном перевести то, что я написал, на язык ана-
анализа. Смешение двух подходов может привести к пута-
21 АЗм 308
нице и сделать все совершенно непонятным. Поэтому
забудьте анализ и начните сначала.
К слову, если ваши познания в анализе достаточно
глубоки, то вы, вероятно, поняли, что ft — это нату-
натуральный логарифм величины k, как сразу следует из
B1.20). Таким образом, мы сами вычислили таблицы,
которые вам до сих пор приходилось брать из книг.
22
КАК РАВНОУСКОРЕННЫЙ НАБЛЮДАТЕЛЬ
ИЗМЕРЯЕТ ВРЕМЯ И РАССТОЯНИЕ
22.1. Теперь, когда мы знаем, как себя ведут часы странни-
странника W, можно доверить ему все наблюдения, которые
мог бы произвести инерциальный наблюдатель
(п. 5.20). Поэтому мы вправе возвести его в ранг рав-
равноускоренного наблюдателя. В частности, можно про-
проанализировать его мнение по поводу момента возник-
возникновения и расстояния до далекого события (просмотри-
(просмотрите еще раз гл. 7).
22.2. Итак, мы снова рассматриваем странника W, движуще-
движущегося с постоянным ускорением f (рис. 22.2), и того же
Рис. 22.2.
самого инерциального наблюдателя А. Пусть Р — со-
событие, в момент которого странник W ближе всего
подходит к А. Нас интересует мнение W о некотором
далеком событии Q.
22.3 310
Пусть в L странник посылает к событию Q свето-
световой сигнал, а в М получает из Q обратный сигнал
(воспользуйтесь открыткой с прорезью). Тогда момен-
моменты времени, в которые произошли события L и М, —
это единственные относящиеся к Q наблюдения, кото-
которые может произвести странник W. Убедитесь в этом
(ср. с п. 7.3).
22.3. Что следует понимать под словами «время события Q»
и «расстояние от W до события Q» относительно W?
Ситуация в точности такая же, как в гл. 7. Рассуж-
Рассуждая как в пп. 7.9 и 7.13, мы придем к следующим опре-
определениям:
момент времени, в который с точки зрения W про-
произошло событие Q, располагается посередине меж-
между моментами времени, в которые, согласно показа-
показаниям часов W, произошли события L и М;
расстояние от W до Q относительно W (в естест-
естественных единицах) равно половине измеренного по
часам W промежутка времени, прошедшего между
L и М.
22.4. Наверняка у вас есть сомнения. Некоторые из них рас-
рассеются после того, как вы перечитаете пп. 2.15—2.18 и
7.4—7.8. Может быть, вы скажете, что W знает (из экс-
экспериментов с пробной частицей), что он неинерциален
и, следовательно, должен сделать поправки, чтобы при-
привести свои представления в соответствие с представле-
представлениями инерциального наблюдателя. Но какого инерци-
ального наблюдателя?
Мировая линия странника W — изовала, и он со-
совершенно одинаково связан со всеми инерциальными
наблюдателями, мировые линии которых проходят че-
через точку О (и с любым другим инерциальным наблю-
наблюдателем, согласным с точкой зрения одного из них).
Поэтому не существует способа выбрать одного из них
в качестве эталона.
22.5. Но вот более правдоподобное возражение. Рассужде-
Рассуждения в гл. 7 основывались на предположении, что ско-
скорость света — инвариант (п. 1.22). Но зная, что уско-
ускорение абсолютно (п. 17.3), можно ли быть уверенным,
что скорость света останется инвариантом и для уско-
ускоренного наблюдателя? Мог бы, например, странник об-
обнаружить, что скорость света в направлении его уско-
ускорения несколько меньше, чем в противоположном на-
направлении? Постараемся получше определить обсуж-
обсуждаемые понятия. Условимся считать, что «время» и
227 311
«расстояние» относительно W — это не более чем
названия, которые мы решили использовать для вели-
величин, определенных в п. 22.3, названия, напоминающие
нам, что эти величины по крайней мере сходны с вре-
временем и расстоянием в их обычном смысле. Такой под-
подход оставляет открытым вопрос, те ли это величины,
которые мы должны получить в результате некоторого
отдельного реального измерения.
В конечном счете это не имеет значения. Любая
экспериментальная проверка теории в итоге должна
иметь дело с величинами, которые могут быть измере-
измерены в данном месте. Те же величины, которые мы дого-
договорились называть временем и расстоянием, играют
промежуточную роль в процессе расчета предсказа-
предсказаний — из самого предсказания они исчезают. Поэтому
совершенно неважно, являются ли они «настоящими»
временем и расстоянием или нет.
22.6. Докажите следующую теорему:
события, которые странник W считает одновремен-
одновременными, изображаются точками прямой, проходящей
через О.
Пусть Q лежит на оси расстояний наблюдателя А.
Тогда события L и М расположатся на одинаковом
расстоянии от этой оси, но по разные стороны. Поэто-
Поэтому удар часов странника W, соответствующий полови-
половине интервала времени между L и М, придется на точ-
точку Р. Таким образом (п. 22.3), событие Q с точки зре-
зрения W происходит одновременно с событием Р, и это
справедливо для любого события Q, лежащего где
угодно на оси X (на положительной полуоси). Более
того, этот вывод останется в силе, даже если изменить
диаграмму, взяв в качестве оси расстояний наблюдате-
наблюдателя А любую прямую, проходящую через О под углом
меньше 45° (ср. с п. 8.12). Если вы сильны в математи-
математике, то попытайтесь также доказать, что
события, которые странник W считает происшедши-
происшедшими на одинаковом расстоянии от него, изображают-
изображаются точками изовалы с центром в О (вам поможет
п. 13.23).
22.7. По аналогии с п. 15,2 будем обозначать буквой 0 вре-
время отправления или приема странником W сигнала,
распространяющегося в положительном направлении
через Q, а буквой ф — время отправления или приема
странником сигнала, распространяющегося в отрица-
22.8 312
тельном направлении через Q. Строго говоря, следова-
следовало бы изменить данное в п. 22.3 определение расстоя*
ния в соответствии со сказанным в п. 16.2. Однако нам
не стоит беспокоиться, так как на наших диаграммах
Q всегда будет с положительной стороны от W, отку-
откуда следует, что 6 и ф равны промежуткам времени,
прошедшего от начала отсчета до событий L и М соот-
соответственно (рис. 22.2).
Прописные буквы, как обычно, будут использовать-
использоваться для обозначения величин, относящихся к наблюда-
наблюдателю А, а строчные — для величин, относящихся к W.
Следовательно, tux означают время и расстояние до
события Q с точки зрения странника W. Напишите
уравнения, с помощью которых t и х выражаются че-
через 6 и ф.
Исходя из п. 22.3 и рассуждая, как в пп. 16.1 и
16.2, получим
B2.1)
B2.2)
22.8. Пусть К и N (рис. 22.2) — события, в момент которых
наблюдатель А посылает сигнал к Q и получает ответ-
ответный сигнал из Q соответственно. Тогда радиолокацион-
радиолокационные координаты события Q (пп. 15.1 и 15.2) —это из-
измеренные по часам А моменты времени 8иФ, в кото-
которые произошли события К и N.
Если странник W способен выполнить всю програм-
программу наблюдений события Q, то из п. 17.28 следует, что
Q должно располагаться в правом квадранте (рис.
10.1). Поэтому величина Ф будет всегда положитель-
положительной, а в — всегда отрицательной (п. 6.23М).
Мы ищем взаимосвязь между измерениями, проде-
проделанными наблюдателем А и странником W. Но опери-
оперировать временами, измеренными по часам странника
W, мы умеем только с помощью приближенной форму-
формулы B1.20), записанной с помощью приращений. Поэто-
Поэтому нужно глубже изучить математические операции с
приращениями.
22.9м. Докажем, что
если две переменные величины всегда равны между
собой, то равны и соответствующие приращения.
Или, в символической форме,
если Y = Z, B2.3)
то 6F=6Z. B2.4)
22.12м 313
Под соответствующими приращениями мы понима-
понимаем следующее: если У изменяется до У+бУ, то Z из-
изменяется до Z+8Z так, что эти изменившиеся величи-
величины по-прежнему удовлетворяют равенству B2.3), т. е.
Если из каждой стороны этого равенства вычесть со-
соответствующую сторону B2.3), то мы получим B2.4),
что и требовалось доказать.
Чтобы свободно оперировать с приращениями, не
требуется длинных и сложных выкладок, но надо тща-
тщательно продумывать каждый шаг, чтобы удостоверить-
удостовериться в том, что интуиция вас не подводит.
22.10м. Мы будем также пользоваться следующей теоремой:
б (и+i>) = &/+&>. B2.5)
(Я не буду повторять: «Если и и v — переменные вели-
величины, то ...», в дальнейшем считайте, что это само со-
собой разумеется.) В ней утверждается, что приращение
суммы двух величин равно сумме приращений этих ве-
величин. Кажется, очевидно? Но можно впасть в заблуж-
заблуждение, поэтому давайте все же докажем эту теорему.
Если и увеличить до значения u + 6v, a v до
то u + v возрастет до значения
Но 8(u + v)—это величина, на которую последний
результат превосходит сумму u + v, т. е. это как раз
6u + 6v. Так же доказывается, что
б (и—v) = 6u— 8v. B2.6)
Попробуйте доказать, что если с — постоянная ве-
величина, то
6(и+с) = 8и. B2.7)
Ясно, что приращение постоянной величины равно 0.
Тогда из B2.5) следует: &{и + с) =6a + 6c = 6u + 0 = 6u.
22.11м. Если с — постоянная величина, a z— переменная, то
8(cz) = c&z. B2.8)
Поскольку при возрастании z до значения z + bz ве-
величина cz возрастает до c{z + bz) = cz + cSz (п. 16.12М),
cz увеличивается на величину cbz, которая, таким об-
образом, и является искомым приращением. Обратите
внимание: если величина с — переменная, то B2.8) не-
неверно.
22.12м. В дальнейшем нам понадобится приращение величины
(ф + 6)/2. Чтобы показать, что нас интересует прира-
22.13 314
щение всей величины, ее нужно заключить в скобки
(ср. с пп. 16.6М и 21.40М). Вторая пара круглых скобок
(...) могла бы привести к путанице, поэтому мы вос-
воспользуемся фигурными скобками: {.-.}. Тогда 6{(ф +
+ 6)/2} означает приращение величины (ср + 0)/2. Фи-
Фигурные скобки используются во всех случаях, когда
необходимо заключить в скобки выражение, которое
уже стоит в скобках.
22.13. Как приращения t и х выражаются через приращения В
И (ф?
Применяя к B2.1) теорему, доказанную в п. 22.9м,
получим
Отсюда, согласно B2.8),
б^ =
Тогда формула B2.5) дает
« = 1/а(бф+вв)- B2.9)
Аналогично (докажите это самостоятельно)
бл;=1/2(бф —S6). B2.10)
Исходя из формул A6.1) и A6.2), получим соот-
соответствующие соотношения и для наблюдателя А:
B2.11)
>—66). B2.12)
22.14. Рис. 22.14 поясняет смысл полученных соотношений.
Сначала рассмотрим событие Q. На рис. 22.14 на миро-
мировых линиях каждого наблюдателя отмечены радиоло-
радиолокационные координаты этого события — в, Ф, 8 и ф.
(Проследите за деталями.) Кроме того, на нем изо-
изображены оси времени Т и расстояния X наблюдате-
наблюдателя А; но, к сожалению, нельзя указать tux.
Рядом с Q изобразим другое событие — Q'. (Чита-
(Читается «ку штрих»; это обычный способ обозначения так
сказать «близких родственников» величины, которой
уже присвоен тот или иной символ.) Тогда К', I/, М'
и N' связаны с Q' точно так же, как К, L, М и N свя-
связаны с Q (пп. 22.2 и 22.8). Нас интересуют приращения
различных координат (величины, на которые они изме-
изменяются) при переходе от Q к Q'.
Итак, соответствующая наблюдателю А координата
фи события Q' — это время, прошедшее от О до N'.
Значит, приращение Ф равно величине, на которую
22.15
315
этот промежуток времени превосходит Ф, т. е. 6Ф рав-
равно времени, прошедшему от N до N'. Убедитесь, что на
рис. 22.14 правильно отмечены все приращения.
Соотношения B2.9) —B2.12) определяют (для каж-
каждого наблюдателя) с помощью приращений связь меж-
между радиолокационными координатами и координатами
Рис. 22.14.
22.15.
времени далекого события и расстояния до него. Пусть
некоторое тело движется так, что оно присутст-
присутствует при событиях Q и Q' (его мировая линия прохо-
проходит через Q и Q'). Тогда B2.12) означает, что если
полученные наблюдателем А результаты радиолокаци-
радиолокационных измерений положения тела изменятся на 66 и
6Ф, то найденное им расстояние до этого тела изме-
изменится соответственно на */2(бФ—66), Аналогичную ин-
интерпретацию, в чем вы можете убедиться самостоя-
самостоятельно, можно дать и соотношениям B2.9) — B2.11).
Если бы удалось найти связь между радиолокационны-
радиолокационными координатами наблюдателя А и странника W (че-
22.15 316
рез приращения), то формулы из п. 22.13 позволили
бы связать их координаты времени и расстояния. Пусть
Тм и Хм — время и расстояние до события М, опреде-
определенные наблюдателем А. Очевидно, Ф — это координа-
координата фи как события М, так и события Q (п. 15.2). Из
A6.3) после замены Т и X на Гм и Хм следует
Ф = ГМ+ХМ. B2.13)
Пусть k — параметр (п. 21.2) события М. Приме-
Применение формулы B1.8) к М дает*
п. 16.12М
B2.13)
= /Ф.
В итоге
k=fO. B2.14)
С помощью теорем, доказанных в пп. 22.9м и 22.11м,
получим
6? = /8Ф. B2.15)
Деление этой формулы на формулу & = /Ф дает
4 = тт. <22-16>
Найдите связь между Ыг и 8ср.
Вспомним, что ф — промежуток времени между Р и
М, измеренный по часам странника W, — то же самое,
что t в гл. 21. Теперь еще раз попытайтесь найти эту
связь.
Если заменить в B1.20) t на ср и принять во вни-
внимание теорему из п. 22.11м, то получится приближен-
приближенное соотношение /6ср~6?/?. Скомбинировав его с
B2.16), найдем
/8ф~8Ф/Ф, B2.17)
а это и есть искомая связь между координатами фи
наблюдателей А и W. Убедитесь с помощью рис. 22.14
и пп. 20.20м и 21.42м, что вы понимаете смысл при-
приближенной формулы B2.17).
¦ Способ изложения цепочек вычислений описан в пп. 19.7М и 19.8.
Я больше не буду об этом напоминать, поэтому будьте внимательны в п. 22.18.
22.17
317
22.16. Для любого интересующего нас события Q всегда мож-
можно указать наблюдателя (с мировой линией, прохо-
проходящей через О), для которого Q происходит одновре-
одновременно с О, и выбрать его в качестве А. В дальнейшем
мы всегда будем рассматривать эту упрощенную си-
ситуацию. Тогда Q лежит на оси X, что и изображено на
Рис. 22.16.
рис. 22.16; в этом случае 71=0, так что формула A6.3)
сведется к равенству Ф = Х. Подстановка в B2.17) дает
B2.18)
22.17. Чтобы найти аналогичную связь между приращениями
координат тета и избежать при этом довольно сложных
математических выкладок, воспользуемся простым
приемом. Разложим рис. 22.16 горизонтально на столе,
поставим вертикально прямоугольное зеркало так, что-
чтобы его край совпал с пунктирной линией, проведенной
в верхней части диаграммы. Внимательно изучите то,
что вы там увидите. (Или попытайтесь все это себе
представить.)
22.18 318
В зеркале положительные моменты времени стали
отрицательными и обратно. А в и 6 играют на диа-
диаграмме-отражении такую же роль, которую раньше иг-
играли Ф и ф. Поэтому эквивалентом приближенной фор-
формулы B2.18) для приращения координаты тета будет
f№~b&lX. B2.19)
Обратите внимание, что в зеркальном изображении
бв и 68 отрицательны (что свидетельствует об умень-
уменьшении 0 и 0). Если вам не нравится работать с отри-
отрицательными приращениями, хотя они вполне допусти-
допустимы, то, прежде чем пользоваться зеркалом, нарисуйте
новую диаграмму, на которой событие Q' расположено
так, чтобы точка К/ была ниже К. Тогда оба прираще-
приращения бв и 60 будут положительны.
Возвращаясь к исходной диаграмме, мы снова ме-
меняем местами положительные и отрицательные значе-
значения времени (а ось X остается неизменной), поэтому
приращения 60 и 66 будут по-прежнему либо оба поло-
положительны, либо оба отрицательны, а значит, прибли-
приближенная формула B2.19) будет справедлива. Это и есть
требуемое соотношение между приращениями коорди-
координат тета.
22.18. Теперь, собрав все вместе, можно показать, как время
далекого события и расстояние, измеренные W, связа-
связаны с соответствующими координатами, измеренными
наблюдателем А. Из B2.9) следует
п. 16.12М
B2.18), B2.19)
примечание к п. 21.12
= V
B2.11)
= 877*.
В результате
f6t~6T/X. B2.20)
Докажите самостоятельно, что
B2.21)
22.19 319
Изучим с помощью рис. 22.16 смысл этих приближен-
приближенных формул. К сожалению, приращения 6/ и 8х нельзя
отметить на диаграмме, но можете считать, что они
изображаются отрезками той же длины, что и 6Г и 6Х,
но на других осях.
Мы получили две приближенные формулы, свиде-
свидетельствующие о том, что существует связь между из-
измеренными наблюдателями А и W промежутками вре-
времени и расстояниями между событиями Q и Q'. Эта
своего рода ключи к новому миру, ибо они позволяют
преобразовать имеющуюся информацию об инерциаль-
ных наблюдателях в эквивалентную информацию об
ускоренных наблюдателях. Приближенные формулы
можно записать в виде (п. 9.11М)
&T~fX8t, B2.22)
8X~fX8x. B2.23)
Помните: приближенные формулы B2.20) — B2.23)
справедливы только при Г=0 (п. 22.16).
22.19. Приближенная формула B2.21) показывает, что мне-
мнения А и W в отношении приращения расстояния, а зна-
значит самого расстояния, не совпадают. К сожалению,
все приближенные формулы из п. 22.18 содержат рас-
расстояние X, измеренное наблюдателем А, и мы, не же-
желая того, вынуждены его учитывать всякий раз, когда
совершаем преобразование от инерциального на-
наблюдателя к ускоренному. Это заставляет нас поинте-
поинтересоваться, сильно ли расходятся мнения наблюдате-
наблюдателей А и W в отношении расстояния, чтобы это расхож-
расхождение было существенным в реальных ситуациях. Если
6Х/Х заменить на f8X/fX (п. 16.22М) и воспользоваться
теоремой B2.8), то приближенную формулу B2.21)
можно переписать в виде
8(fx)~6(fX)IfX. B2.24)
Сравните ее с формулой B1.20). Какой вывод следует
из этого сравнения?
Обе формулы имеют совершенно одинаковый вид.
Если k и ft в B1.20) заменить соответственно на fX
и fxy то получится B2.24). Величина /^ = 0, когда &=1
(п. 21.18), а /# = 0 (началом отсчета является точка Р)>
когда fX=l (п. 17.19, первое предложение). Значит,
таблица связи между fx и fX должна быть точно такой
же, как табл. 21.23 и ее продолжения, устанавливаю-
устанавливающие связь между ft и к. И вообще, все, что доказано в
22.20 320
гл. 21 о связи между k и ft, остается в силе и для свя-
связи fX и fx. В частности, из B1.11) следует, что
fXr^fX — l. B2.25)
Пусть D — расстояние от странника W до Q (рас-
(расстояние PQ), определенное наблюдателем А. Посколь-
Поскольку расстояние OP=l/f (п. 17.19), X=\/f + D и поэтому
B2.26)
Подстановка в B2.25) дает fX~fD, или x~D
(п. 21.11м).
Значит, если ограничиться умеренными расстояния-
расстояниями, то вполне можно писать х = Д т. е. принять, что
мнения наблюдателей А и W в отношении расстояния
совпадают.
22.20. Но какая при этом вводится погрешность? Такая же,
как погрешность, вносимая при замене приближенной
формулы B1.11) на \t~k—1. При ?=1,1 вместо пра-
правильного значения f/=0,095 (п. 21.21) формула B1.11)
дает /7 = 0,1, т. е. ошибка составляет 5%. Точно так же,
если для значения fZ) = 0,1 получается fX=l,l, то по-
погрешность, вносимая в результате предположения о
справедливости равенства x = D, должна быть около
5%.
Если в качестве единиц времени и расстояния вы-
выбрать соответственно год и световой год, то ускорение
g в этих единицах приблизительно равно f=l
(п. 17.21), что дает D = 0,l, или около тысячи миллиар-
миллиардов километров (п. 1.8). Таким образом, результаты
измерений расстояний до тысячи миллиардов километ-
километров, полученные инерциальным наблюдателем и на-
наблюдателем, движущимся с ускорением g, будут раз-
различаться не более чем на 5%.
Если бы вычисление значений в табл. 21.21 произ-
производилось при меньшем шаге и с более высокой точ-
точностью, то (взяв ?=1,001, что соответствует fZ) = 0,001)
можно было бы доказать, что для расстояний до
10 миллиардов километров результаты измерений этих
наблюдателей расходились бы менее чем на 0,05%.
Наблюдатель, движущийся с ускорением 100 g, полу-
получил бы при измерении расстояний до 100 миллионов
километров результат, отличающийся менее чем на
0,05% от результата инерциального наблюдателя. Во
всех случаях, с которыми нам предстоит иметь дело,
будут рассматриваться ситуации, не выходящие за эти
пределы. Поэтому мы сможем в любой момент заме-
22.21 321
нить результаты измерений расстояний, полученные на-
наблюдателем А, на результаты, полученные W, запи-
записав х вместо D. Тогда формула B2.26) дает fX=l+fx.
Подстановка этого выражения в B2.22) и B2.23) при-
приводит к приближенным формулам:
6T~(l+fx)dtt B2.27)
6л:, B2.28)
которые, подобно B2.22) и B2.23), справедливы толь-
только при Г = 0.
Эти приближенные формулы, связывающие резуль-
результаты измерений инерциального и ускоренного наблюда-
наблюдателей, являются тем фундаментом, на котором мы бу-
будем строить здание общей теории относительности.
Тщательно продумайте их смысл (кое-какие наводящие
идеи изложены в конце пп. 22.14, 22.15 и 22.18; обра-
обращайтесь к рис. 22.16).
Подчеркнем, что формулы B2.27) и B2.28) выведе-
выведены в предположении x = D, а это равенство выполняет-
выполняется лишь приближенно. Обоснованность такого прибли-
приближения зависит от того, насколько fx (подставленное
вместо fD) мало по сравнению с 1. Если требуется вы-
высокая точность, то fx должно быть очень мало по срав-
сравнению с единицей, т. е. должно быть очень маленькой
дробью (как fD = 0,001 в рассмотренном выше приме-
примере). (Следует иметь в виду, что введенное здесь при-
приближение совершенно не зависит от приближений
«с любой желаемой точностью», которые обозначаются
знаком «~».)
22.21. Если вы имеете представление о показательной функ-
функции ехр х = ех, то можете избежать приближений, ис-
использованных нами в п. 22.20. Точными эквивалента-
эквивалентами приближенных формул B2.22) и B2.23), если вме-
вместо X подставить я, являются
8Г~ехр(/х).бг, B2.29)
8X~exp(fx)-bx, B2.30)
где точки показывают, что ехр (fx) умножается на со-
соответствующее приращение. Формулы B2.27) и B2.28)
представляют собой первые приближения этих прибли-
приближенных формул.
Если строить теорию, исходя из последней пары
формул, то мы, естественно, придем к иным теоретиче-
теоретическим результатам. Различия слишком малы, чтобы их
можно было обнаружить в любом эксперименте, постав-
21-1653
22.22
322
ленном в настоящее время, но в определенных экстре-
экстремальных условиях они могли бы стать существенными.
Мы еще вернемся к этому вопросу.
22.22. Пусть А2 — инерциальный наблюдатель, неподвижный
относительно А (рис. 22.22), и пусть х — определенное
странником W расстояние, отделяющее его от собы-
Рис. 22.22.
тия Q, соответствующего удару часов А2, одновремен-
одновременному, по мнению W, с событием Р (п. 22.6). Как,
по мнению странника W, ведут себя часы наблюдателя
А2 в момент события Q? (Мнение инерциального на-
наблюдателя в подобном случае см. в пп. 3.34—3.36 и
13.15.)
Пусть Q' —это следующий удар часов наблюдателя
А2. Поскольку А и А2 неподвижны относительно друг
друга, они считают промежуток времени 8Т между со-
событиями Q и Q' одинаковым. Обозначим через 6t про-
промежуток времени, измеренный между теми же собы-
событиями по часам странника W. Тогда из B2.27) следует
6Г~A+/*)«. B2.31)
Ответ на наш вопрос содержится в этой приближенной
формуле, но не совсем ясно, как быть со знаком «~».
22.24 323
22.23. Задача упростилась бы, если бы формула B2.31) была
точной:
6r = (l-f/*N*. B2.32)
Каково в этом случае мнение странника W по поводу
хода часов наблюдателя А2?
Здесь 67 — «фактическое» время, прошедшее между
событиями Q и Q; по часам А2, тогда как 8t — проме-
промежуток времени между теми же событиями по часам W,
наблюдающим за происходящим издалека. Рассмотрим
случай, когда ускорение странника W направлено к А2.
Тогда Q все время остается с положительной стороны
от W. Отсюда следует, что х — положительная величи-
величина, а сумма l+fx больше 1. Поэтому, согласно B2.32),
время, которое показывают часы наблюдателя А2, боль-
больше, чем по измерениям W, а это означает, что с точки
зрения странника W часы А2 спешат. Докажите само-
самостоятельно, что, когда ускорение странника W направ-
направлено от Аг, он считает, что часы наблюдателя А2 от-
отстают.
Давайте для краткости называть множитель, пока-
показывающий, во сколько раз, по мнению W, быстрее или
медленнее идут часы наблюдателя А2, коэффициентом
хода часов (он равен частному от деления показания
часов Аг на то, что они должны показывать по мне-
мнению W). Мы доказали, что если бы было справедливо
соотношение B2.32), то коэффициент хода часов был
бы равен l+fx.
22.24. Однако связь между приращениями времени определя-
определяется не B2.32), а приближенной формулой B2.31), ко-
которую можно записать в виде
6Г=7б*, B2.33)
где
7~l-\-fx. B2.34)
На том же основании, что и в п. 22.23, г можно на-
назвать коэффициентом хода часов, усредненным по все-
всему промежутку времени 6Т от Q до Q'. (Этот символ
читается как «г с чертой»; черта является стандартным
обозначением усреднения.) Усредненный коэффициент
хода часов зависит от промежутка времени 8Т — вот
почему в B2.34) нельзя поставить знак равенства. По-
Поэтому страннику W кажется, что поведение часов не-
непрерывно меняется. Но из приближенной формулы сле-
следует B2.34), что, взяв достаточно малое 6Г, можно до-
21»
22.25 324
биться, чтобы коэффициент г стал сколь угодно близ-
близким к l+fx (определения см. в пп. 20.20м и 21.42м;
как и в п. 21.13м, не следует беспокоиться насчет отно-
относительных разностей).
22.25. Но нас интересует мнение наблюдателя W о ходе часов
А2 в момент события Q, а не в среднем по всему пе-
периоду между Q до Q'. Это ставит перед нами пробле-
проблему, подобную той, что уже встречалась в пп. 17.13 и
17.14 (которые следует перечитать). Невозможно из-
измерить коэффициент хода часов в момент события —
для этого необходим промежуток времени. Но г — ко-
коэффициент хода часов, усредненный по интервалу вре-
времени от Q до Q', — можно рассматривать в качестве
приближенного значения коэффициента хода часов в
момент события Q, и, чем меньше 67, тем лучше при-
приближение. В результате мы приходим к определению
(ср. с п. 17.13):
коэффициент хода часов в момент события Q — это
величина, которую можно вычислить с любой сте-
степенью точности, приняв ее равной коэффициенту
хода часов, усредненному по промежутку времени
67 между Q и Q', и сделав 67 достаточно малым.
22.26. Если г — коэффициент хода часов в момент события Q,
то это определение сводится к приближенному равен-
равенству г~г (см. пп. 20.20м, 21.13м и 21.42м). Тогда, при-
применяя теорему из п. 21.10м к формуле B2.34), получим
r~l+fr. B2.35)
Как бы вы интерпретировали это соотношение?
22.27. Если вы считаете, что г приближается к l+fx, други-
другими словами, что г и \+fx выбором достаточно малых
значений 57 можно сделать равными друг другу с лю-
любой желаемой степенью точности, то вы ошибаетесь.
Пересмотрите свою точку зрения.
Это утверждение кажется странным, так как про-
процесс уменьшения значений 67, т. е. смещение точки Q'
все ближе к Q, не может влиять ни на г (коэффициент
хода часов в момент события Q), ни на l+fx. Теперь
подумайте еще раз. Если это ничего не даст, прошту-
проштудируйте пп. 17.15 и 17.16 и попытайтесь применить ис-
использованный там способ рассуждений.
Надеюсь, в конце концов вы придете к выводу, что
г«1+/х, B2.36)
22.29 325
т. е. что мы вправе заменить в B2.35) знак «~» на
« = ». Итак, коэффициент хода часов в момент собы-
события Q в точности равен 1+/л:, т. е., по мнению W,
часы наблюдателя Аг идут во столько раз быстрее или
медленнее.
22.28. Сейчас дадим более красивое доказательство справед-
справедливости равенства B2.36), чем исходя из гл. 17. В на-
нашем распоряжении есть два заведомо справедливых
утверждения:
1) выбором достаточно малых значений 67 можно
добиться, чтобы отношение (l+f#)/r стало сколь
угодно близким к 1 (пп. 20.20м, 21.42м), и
2) изменение 67 не оказывает на это отношение ни
малейшего влияния (так как не влияет на каждую из
величин г и 1+fx в отдельности).
Оба утверждения верны одновременно только в од-
одном случае. В каком?
В единственном случае, когда отношение A+/я)/г
всегда сколь угодно близко к 1, т. е. когда оно попро-
попросту равно 1, что непосредственно ведет к равенству
r=l+fx
22.29. Этот процесс перехода от B2.35) к B2.36), в резуль-
результате которого знак «~» меняется на « = », — один из
тех тонких моментов в рассуждениях, которые часто
служат причиной затруднений и сомнений. Да и вас
этот вопрос наверняка беспокоит. Следующие ниже
объяснения помогут вам.
Вы, конечно, согласитесь, что если изменение 67 не
влияет на значения г или 1+/х, то при уменьшении 67
это отношение не станет сколько-нибудь ближе к 1, ес-
если только оно уже не было равно 1.
Но если отношение {\+fx)/r уже равно единице, то
не возникает никаких проблем. Утверждение A), в
сущности, означает следующее: вы решаете, насколько
близко к единице должно быть отношение, а я вам го-
говорю, какое нужно выбрать 87, чтобы этого добиться.
Какую бы степень приближения вы ни потребовали, я
просто скажу: «Придайте величине 67 подходящее зна-
значение, и вы найдете, что ваше требование удовлетворе-
удовлетворено». И я буду прав!
Возможно, вам кажется, что здесь что-то не так, по-
поскольку знак «~» предназначается для связи прира-
приращений и указывает на то, что две величины можно сде-
сделать равными друг другу с какой угодно степенью
точности, а в нашем случае вообще не приходится
иметь дело с приращениями. Но выражать недовольст-
22.30м 326
во по этому поводу — все равно что не выплачивать
зарплату пожарной команде за те дни, когда не было
пожаров и им нечего было тушить.
Вот еще один простой аргумент: если г и l+fx не
равны, то невозможно добиться, чтобы одновременно
выполнялись утверждения A) и B), если же они рав-
равны, то можно. Поэтому они должны быть равны.
22.30м. Интересным моментом в цепи рассуждений, проведен-
проведенных в пп. 22.24—22.29, является то, что «на входе»
у нас было два приближенных равенства: r~\+fx и
г~гу и тем не менее «на выходе» мы получили из них
точное равенство: r=l+fx. Важно знать, когда допусти-
допустимы такие операции, при каких обстоятельствах прибли-
приближенное равенство типа B2.35) можно заменить равен-
равенством B2.36). Рассмотренный нами случай представ-
представляет собой приложение теоремы, которую в силу ее
важности для метода измерения величин с какой угод-
угодно точностью я назову
первой основной теоремой:
если две переменные величины и и v связаны при-
приближенной формулой я^у и не зависят от величи-
величины интересующего нас приращения (или другой за-
заданной величины; см. п. 20.20м), то u = v.
Попробуйте ее доказать.
Мы это уже сделали. Если в п. 22.28 заменить г
и l+fx на и и v и считать 6Т интересующим нас при-
приращением (или другой заданной величиной), то выяс-
выяснится, что доказательство у нас в руках. Проверьте все
в деталях. Таким же способом можно выразить через
и и v объяснения, данные в п. 22.29.
22.31м. Условие, что значения и и v не зависят от прираще-
приращения, абсолютно необходимо. Без него вывод, что u = v,
неверен. Например, предположим, что интересующее
нас приращение равно бм, a v = u + 8u. Легко прове-
проверить, что, согласно определению, и~и + Ьи. Однако
очевидно, что равенство и = и + 8и неверно.
22.32. Начиная с п. 22.22 мы интересовались мнением стран-
странника W о ходе часов инерциального наблюдателя A2.
Он считает, что в момент события Q эти часы идут
быстрее или медленнее ровно в l+fx раз. А что он ду-
думает о ходе часов неинерциального наблюдателя U,
мгновенно покоящегося по отношению к нему в момент
события Q (рис. 22.22)?
В момент события Q эти часы и часы наблюдателя
А2 идут одинаково, значит, мнение странника W не из-
22.34 327
менится. Строго обосновать это утверждение можно,
следуя линии рассуждений, развитой в гл. 20, где мы
дали точную формулировку, а затем провели проверку
такого тезиса: ускоренные часы идут одинаково с
мгновенно сопутствующими им инерциальными часами.
Поэтому я опущу детали доказательства.
Таким образом, мы не ограничены лишь инерциаль-
инерциальными часами. Обобщая вывод, к которому мы уже при-
пришли для часов инерциального наблюдателя А2, можно
сделать следующее очень важное предсказание:
если ускорение странника W направлено к удален-
удаленным часам (которые по отношению к нему мгновен-
мгновенно покоятся), то он считает, что они спешат; если
же его ускорение направлено от них, то странник
считает, что часы отстают, причем в каждом случае
ровно в l+fx раз (величина fx положительна при
сближении и отрицательна при удалении).
22.33. Есть некоторое сходство между этим выводом и фор-
формулировкой замедления течения времени в п. 3.36. Од-
Однако для нас важнее различия, чем сходства. Перечис-
Перечислите их.
Упомяну лишь самые главные свойства нашего но-
нового результата, а вы сопоставьте их с характерными
особенностями замедления течения времени. Он 1) за-
зависит от ускорения, которое 2) абсолютно, и 3) имеет
место даже в тех случаях, когда часы и наблюдатель
покоятся по отношению друг к другу; 4) будет казать-
казаться, что часы спешат или отстают 5) в зависимости от
направления ускорения 6) на величину, меняющуюся
с расстоянием между наблюдателем и часами. 7) Связь
между наблюдателями U и W несимметрична.
22.34. Наконец-то мы можем разобраться с некоторыми остав-
оставшимися невыясненными вопросами, касающимися па-
парадокса часов, или парадокса близнецов (пп. 4.14—
4.20, 14.22—14.24 и большая часть гл. 20, в особенности
пп. 20.28 и 20.29). В путешествии, изображенном на
рис. 14.22 (открытку с прорезью в дело!), наблюда-
наблюдатель А думает, что часы странника D всегда отстают
(за исключением момента ускорения). Это согласуется
с нашим выводом, что между встречей и расставанием
для странника D прошло меньше времени, чем для А.
Теперь попытайтесь рассмотреть эту ситуацию, опира-
опираясь на мнение странника D о поведении часов А.
На протяжении инерциальных участков своего путе-
путешествия странник D считает, что часы наблюдателя А
22.35 328
отстают. Создается впечатление, что мы на грани про-
противоречия. Что думает D на протяжении трех периодов
ускоренного движения?
Во время запуска и приземления (вблизи событий
Р и Q) его ускорение направлено от часов А. Значит,
странник обнаружит, что часы А отстают даже еще
сильнее). Однако расстояние х (п. 22.32) мало, поэто-
поэтому дополнительный эффект ничтожен. Что можно ска-
сказать о части пути вблизи события О, где направление
движения странника меняется на противоположное?
Здесь ускорение странника D направлено к часам
А, поэтому он считает, что часы А спешат — и доволь-
довольно сильно, так как расположены на большом расстоя-
расстоянии от него. Дать количественный анализ этой ситуа-
ситуации нелегко (так как надо учитывать участки разгона
и торможения). Но в результате странник D обнару-
обнаружит, что за время, необходимое для разворота звездо-
звездолета, часы оставшегося на Земле наблюдателя уйдут
вперед больше, чем отстанут на протяжении всей
оставшейся части полета, а это вновь согласуется с
тем, что для А пройдет больше времени, чем для D.
Итак, бортовой журнал звездолета заполнен!
22.35. Если пересмотреть эксперименты, описанные в
пп. 20.6—20.9 и 20.26 с точки зрения странника, то
можно заметить, что они подтверждают сделанное в
п. 22.32 предсказание: часы, к которым направлено
ускорение наблюдателя, по его мнению, спешат. (Ра-
(Разумеется, чтобы получить убедительное подтверждение,
следует провести детальный расчет.) В ходе рассуж-
рассуждений, ведущих к этому предсказанию, в п. 23.3 было
сделано единственное новое предположение о том, как
определенные странником время далекого события и
расстояние выражаются через радиолокационные коор-
координаты. Таким образом, у нас есть подтверждение
справедливости этого предположения.
22.36. Пока свежи в памяти идеи пп. 22.22—22.31, займемся
работой, результаты которой понадобятся нам в даль-
дальнейшем. Она касается скорости в самом общем случае
(но по-прежнему в рамках одномерной вселенной), из-
изменяющейся каким угодно образом скорости некоторо-
некоторого объекта В (наблюдателя, светового сигнала, тела,
вообще, кого и чего угодно) относительно наблюдате-
наблюдателя, который может быть как инерциальным, так и не-
инерциальным, причем движущимся с постоянным или
переменным ускорением. Ниже все величины будут оп-
определяться по отношению к этому наблюдателю. Пред-
22.38 329
положим, что расстояние до объекта В в момент вре-
времени / равно #, а в момент времени t+bt оно состав-
составляет х+Sx, т. е. В за время б/ прошел расстояние бх.
Можно ли что-нибудь сказать о его скорости?
Можно, но только о средней скорости объекта В,
которой он обладал в промежутке времени от t до б/.
Обозначим ее v (ср. с г в п. 22.24). Известно, что
пройденное расстояние равно произведению средней
скорости на затраченное время, т. е.
6* = о«. B2.37)
22.37. Но мы хотим узнать скорость объекта В в момент вре-
времени t — обозначим ее буквой v. Какие будут предло-
предложения?
Как в пп. 17.13 и 22.25, определим скорость объекта
В в момент времени t как величину, которую можно
вычислить с любой степенью точности, взяв ее равной
v и сделав приращение б/ достаточно малым, т. е.
v~v (ср. с п. 22.26). Подставляя это приближенное ра-
равенство в B2.37) с учетом теоремы из пп. 21.10м и
21.11м, можно доказать следующее утверждение:
если v — скорость объекта В в момент времени t>
8x~v8t. B2.38)
22.38. Теперь предположим, что, изучая движение какого-то
объекта (будем его по-прежнему называть В), мы по-
показали, что
6х~иЫ. B2.39)
Можно ли, сравнив это приближенное равенство с
B2.38), утверждать, что и — это скорость объекта В?
Непосредственно из их сравнения такой вывод не
следует. Согласно теореме из п. 21.10м, их комбинация
дает ubt~vbt, откуда u~v (п. 21.11м). Создается впе-
впечатление, что мы доказали лишь то, что скорость и
приближается к скорости объекта В. Что скажете?
Вспомним первую основную теорему (п. 22.30м).
Чтобы применить ее в нашем случае, полученное при-
приближенное равенство необходимо дополнить условием,
что и не зависит от приращения t. Ясно, что на v —
скорость в момент времени / — приращение 6t не влия-
влияет. Теперь все требования теоремы соблюдены, и мы
можем утверждать, что
если х—расстояние до В в момент времени / и ес-
если bx~ubty то и будет скоростью объекта В только
при условии, что значение и не зависит от Ы.
23
ПРИНЦИП ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ
23.1. Предположим, что W, наблюдатель, движущийся с по-
постоянным ускорением, следит за окружающими его инер-
циальными наблюдателями. Как выглядит их движение
с точки зрения W?
Представьте себе несколько автомобилей, мчащихся
с постоянной скоростью по прямому шоссе. Что сказал
бы об их движении человек, сидящий в автомобиле,
движущемся с постоянным ускорением? Полагаю, вы
придете к выводу, что расстояние между W и любым
инерциальным наблюдателем Е меняется в соответствии
с законами равноускоренного движения, а значит,
если W считает себя неподвижным, то, с его точки
зрения, все инерциальные наблюдатели движутся с
постоянным ускорением f (направленным в сторону,
противоположную его постоянному ускорению).
(Но может закрасться сомнение: а вдруг все не так,
ведь мнения наблюдателей Е и W о промежутках вре-
времени и расстояниях не совпадают. Действительно, если
проделать расчеты, основываясь на приближенных фор-
формулах из гл. 22, то обнаружится, что сформулированное
утверждение строго выполняется лишь тогда, когда Е
находится вблизи W и движется относительно него мед-
медленно (оба условия следует рассматривать в смысле
«с какой угодно точностью»). Это нас вполне устраивает,
так как мы собираемся пользоваться этим утверждением
только при условиях близости и малости относительных
скоростей.)
23.2. Но, возразите вы, W знает (из опыта с пробной части-
частицей), что он ускорен, а значит, не может считать себя
неподвижным. Возможно ли, чтобы пробная частица
удалялась от наблюдателя, а он тем не менее утверж-
утверждал, что докоится?
Ваша собственная пробная частица быстро удаляется
от вас с ускорением (ср. с п. 5.4), однако же вы не ис-
испытываете затруднений, когда считаете себя непо-
неподвижным. Напротив, хотя вы прочли половину книги и
многое узнали, вам, наверное, по-прежнему трудно пред-
23А 331
ставить себя в каком-либо состоянии, кроме состояния
покоя. Признаюсь, мне трудно!
Поэтому когда W видит, что его пробная частица уда-
удаляется, то у него есть выбор: согласиться, что он дви-
движется с ускорением, либо заявить, что он неподвижен, а
пробная частица падает под действием силы тяготения.
23.3. Ощущения наблюдателя W, движущегося с постоянным
ускорением в пространстве-времени без тяготения, точно
такие же, как ваши, когда вы сидите в своем кресле в
привычном мире, где на вас и на все, что вас окружает,
действует сила тяготения. Ваша теория, принимающая в
расчет тяготение, должна объяснять наблюдения стран-
странника W, а его теория, учитывающая постоянное ускоре-
ускорение, должна объяснять все ваши наблюдения (ср. с
п. 17.20, где эта идея уже кратко обсуждалась).
Странник W видит, что все инерциальные объекты
(на которые не действуют силы) движутся с постоянным
ускорением, одинаковым как по величине, так и по на-
направлению. Вы же, сидя в кресле, видите, что все инер-
инерциальные тела падают, а это всего лишь выраженное
иначе утверждение, что все они движутся с постоянным
ускорением, одинаковым как по величине, так по направ-
направлению (вниз). В то же время отдельные предметы не
участвуют в этом всеобщем падении с постоянным уско-
ускорением, например ваза на столе. Но чтобы она не упала,
требуются силы; так, со стороны стола на вазу действу-
действует сила, направленная вверх. Наш знакомый W тоже
замечает предметы, которые не падают, а сохраняют по
отношению к нему фиксированное положение. И здесь
снова требуются силы, чтобы заставить предметы двига-
двигаться с тем же ускорением, что и W (как это должно выг-
выглядеть для внешнего инерциального наблюдателя).
Вы сейчас ощущаете силу, предотвращающую ваше
падение, — это направленная вверх сила, действующая
со стороны сиденья вашего кресла. Точно так же и W
чувствует силу, действующую на него. Он мог бы ска-
сказать: «Это как раз та сила, которая сообщает мне уско-
ускорение». Но он с равным успехом мог бы принять вашу
точку зрения и сказать: «Это и есть та самая сила, ко-
которая удерживает меня от участия во всеобщем стремле-
стремлении предметов к ускоренному движению (падению) к
корме звездолета, — сила, которая удерживает меня в
состоянии покоя относительно звездолета».
23.4. Сказанное верно только в том случае, если ограничиться
небольшой областью пространства, в которой можно счи-
считать притяжение одинаковым по величине и направле-
23.5
332
23.5.
нию во всех точках, например вашей комнатой. В круп-
крупномасштабных экспериментах обнаружатся явные раз-
различия между результатами ваших наблюдений и наблю-
наблюдений странника (подумайте, например, о направлениях,
в которых ускоряются свободно падающие тела). Одна-
Однако з дальнейшем, если не будет оговорено иное, мы
ограничимся малыми областями пространства и однород-
однородными в них, т. е. одинаковыми по величине и направле-
направлению, полями тяготения. В этом случае все будет выгля-
выглядеть так, будто ваши ощущения неотличимы от ощуще-
ощущений странника W, будто проявления однородного поля
тяготения тождественны проявлениям равноускоренного
движения наблюдателя.
Рассмотрим наблюдателя, находящегося в небольшом
а
i
t
rww
Рис 23.5.
23.7 333
замкнутом помещении в четырех различных типах усло-
условий (рис. 23.5). В первых двух случаях небольшое по-
мещеме — это кабина лифта. В случае а она неподвиж-
неподвижна, так что наблюдатель испытывает те же ощущения,
что и любой человек, стоящий на поверхности Земли.
В случае б трос оборвался и кабина лифта свободно па-
падает. Еще в двух случаях помещение с наблюдателем
встроено в ракету, которая находится так далеко от
звезд и галактик, что можно считать, что тяготение от-
отсутствует. Ракетные двигатели работают в случае в и
выключены в случае г.
23.6. Случай г соответствует хорошо знакомой ситуации, ко-
которая обсуждалась в первых 19 главах. Тяготения нет,
наблюдатель инерциальный, значит, его мир описывает-
описывается специальной теорией относительности (п. 5.5). Проб-
Пробная частица этого наблюдателя остается рядом с ним.
Если ее подтолкнуть, то она будет двигаться (по отно-
отношению к нему) равномерно и прямолинейно. Чтобы удер-
удержать наблюдателя на месте, не требуется никакой си-
силы — он невесом. Теперь проведите сравнение с ощуще-
ощущениями наблюдателя в случае б.
Они точно такие же. Его пробная частица падает
рядом с ним. Поэтому, с его точки зрения, она остается
около него, этот наблюдатель — инерциальный. Если же
он отбросит ее в сторону, то движение этой частицы от-
относительно поверхности Земли будет комбинацией дви-
движения с постоянной скоростью в сторону и равноуско-
равноускоренного падения вниз. Но в падении наблюдатель участ-
участвует наравне с частицей. Поэтому, с его точки зрения,
пробная частица участвует только в движении в сторо-
сторону с постоянной скоростью вдоль прямой, точно, как в
случае г. К тому же лифт падает с теми же скоростью и
ускорением, что и наблюдатель, а значит, не оказывает
на наблюдателя никакого воздействия — он тоже неве-
невесом.
Итак, если только ограничиться небольшим помеще-
помещением и непродолжительным падением, то результа-
результаты опытов наблюдателей в случаях б и г будут одина-
одинаковы.
23.7. Аналогично можно показать, что ощущения наблюдате-
наблюдателей в случаях айв также одинаковы.
В случае а пробная частица наблюдателя падает на
пол кабины лифта. В случае в внешний инерциальный
наблюдатель увидит, что пол кабины звездолета дви-
23.8 334
жется с ускорением вверх и сталкивается с пробной ча-
частицей. А с точки зрения астронавта этого звездолета,
частица с ускорением движется «вниз», пока не ударит-
ударится об пол.
Если наблюдатель в случае а бросит частицу в гори-
горизонтальном направлении, то ее движение будет состоять
из движения с постоянной скоростью и падения вниз
(п. 23.6). Если космонавт в случае в бросит пробную ча-
частицу в направлении, перпендикулярном направлению
тяги двигателей ракеты, то, с точки зрения внешнего
инерциального наблюдателя, эта частица будет продол-
продолжать двигаться в этом направлении с постоянной ско-
скоростью. Однако собственное движение космонавта созда-
создает у него впечатление, что частица участвует в падении.
Поэтому результирующее движение по отношению к не-
нему будет такой же комбинацией движений, как относи-
относительно наблюдателя в случае а.
Наблюдатель в случае а сознает, что у него есть
вес — что пол действует на него с силой, направленной
вверх, и если она перестанет действовать, то он прова-
провалится сквозь него. Наблюдатель в случае в, предостав-
предоставленный самому себе, двигался бы с постоянной ско-
скоростью. А при сообщении ракете ускорения это означало
бы, что он должен был бы «провалиться» сквозь пол,
не будь силы, действующей со стороны пола на его сту-
ступни.
Можно предположить, что каждое наблюдение или
каждый эксперимент должны давать один и тот же ре-
результат в случаях а я в.
23.8. Этот вывод играет ведущую роль в дальнейшем разви-
развитии нашей теории, поэтому сформулируем его по всей
форме под названием
принцип эквивалентности:
Не существует способа, позволяющего отличить про-
проявления однородного поля тяготения от равноуско-
равноускоренного движения наблюдателя.
Пусть некоторый наблюдатель видит, что пробная
частица удаляется от него. Тогда принцип эквивалент-
эквивалентности утверждает, что нет такого эксперимента, который
позволил бы ему решить, удаляется ли она под влияни-
влиянием тяготения или потому, что он сам движется с ускоре-
ускорением.
Нет такого эксперимента! Но не следует ли нам огра-
ограничить свой вывод только механическими эксперимента-
экспериментами, поскольку других мы не рассматривали?
23.10 335
Эйнштейн однажды уже призывал нас избегать по-
доо^ых ограничений (пп. 5.9—5.11); результатом этого
был большой успех его специальной теории относитель-
относительности. Позднее, когда Эйнштейн пытался понять приро-
природу тяготения, он предложил отказаться от всяких «ме-
«механических» ограничений принципа эквивалентности. По-
Последуем снова за Эйнштейном в надежде собрать еще
один богатый урожай.
23.9. При чтении п. 23.7 у вас, возможно, возникла мысль, что
случаи а и в должны быть различимы, ибо причиной всех
эффектов в первом случае является сила тяготения, а во
втором аналогичной силы нет. Вы убеждены, что тяготе-
тяготение— это реальная сила? Является ли сила тяготения
фактом, твердо установленным из наблюдений, или это
просто гипотеза, введенная для объяснения того, почему
тела падают именно так, а не иначе?
Введенное Ньютоном представление о тяготении как
о силе укоренилось столь глубоко, что кажется очевид-
очевидным, что причиной падения тел является сила, которая
тянет их вниз. Однако если вы обратитесь к своему
жизненному опыту, то не найдете прямых свидетельств
существования этой силы. Проделайте небольшой экспе-
эксперимент— спрыгните со стула. Вы не почувствуете ника-
никакой силы, тянущей вниз.
Когда же вы снова садитесь на стул (не падаете), то
ощущаете действие силы — направленного вверх давле-
давления со стороны стула. Этому наблюдению, по-видимому,
больше соответствует точка зрения наблюдателя в слу-
случае в — передающаяся через пол и кресло реактивная
сила, порожденная двигателями ракеты, толкает вверх
и сообщает направленное вверх ускорение. Может быть,
сила тяготения — это иллюзия или вымысел?
23.10. У силы тяготения есть некоторые весьма необычные
свойства. Действие любой другой силы можно прекра-
прекратить, например перерезать буксирный трос, размагни-
размагнитить магнит и т. п. Но что бы мы ни делали, силу тяго-
тяготения (если она есть) невозможно ни изменить, ни унич-
уничтожить. Кроме того, факт, что все тела (расположенные
в одном и том же месте) падают с одинаковым ускоре-
ускорением, означает, что сила тяготения должна быть про-
пропорциональна массе тела (п. 18.12), и это проверено с
точностью в одну тысячемиллиардную. Значит, тяготе-
тяготение — это очень необычное явление, так как не извест-
известно никакой другой силы, пропорциональной массе тела,
на которое она действует. Свойство тел падать с одина-
одинаковым ускорением находит простое объяснение в слу-
23.11 336
чае в. Если сила, необходимая, чтобы объяснить падение
тел, столь сильно отличается от других сил, не следует
ли нам отнестись к ее реальности с подозрением?
Самым простым объяснением наблюдаемого вокруг
было бы движение с ускорением. Тогда сила тяготения
была бы не нужна. Но если упорно настаивать, что мы
неподвижны, то для объяснения наблюдаемого падения
тел приходится вводить эту необычную силу.
23.11. Такого сорта фиктивные силы возникают и при других
обстоятельствах. В автомобиле, мчащемся по круговой
трассе, любой незакрепленный предмет стремится с уско-
ускорением выйти наружу (такое создается впечатление) по
направлению от центра окружности. Сидя в таком авто-
автомобиле, вы понимаете, что удержать вас от такого дви-
движения могут только силы. Кажется, что на любое тело,
находящееся в автомобиле, действует сила, стремящаяся
сдвинуть это тело в направлении ©т центра, — «центро-
«центробежная сила», как ее обычно называют. Величина цент-
центробежной силы пропорциональна массе объекта, на кото-
который она действует.
Однако известно, что эта сила — фиктивная. Внешний
наблюдатель видит, что плохо закрепленный предмет
будет просто продолжать двигаться вперед по прямой, а
автомобиль будет уходить от него в сторону. Такому на-
наблюдателю не требуется вводить силу, чтобы объяснить,
почему предметы стремятся уйти от автомобиля по пря-
прямой, соединяющей его с центром окружности, причем в
направлении от центра. Внешний наблюдатель видит,
что автомобиль сворачивает в сторону, а незакрепленные
предметы продолжают двигаться по прямой.
Это вы в автомобиле движетесь с ускорением
(п. 20.5), направленным к центру, но, рассматривая себя
по привычке в качестве начала отсчета, считаете себя не-
неподвижным. И тогда, чтобы объяснить поведение неза-
незакрепленных тел, приходится придумать центробежную
силу.
Можно ли считать силу тяготения такой же иллюзи-
иллюзией? Ясно, что при этом возникнут осложнения, если по-
попытаться рассмотреть падение предметов сразу в Англии
и в Новой Зеландии, — точно такие же осложнения, ко-
которые возникают перед шофером автомобиля, пытаю-
пытающимся объяснить движение тел в другом автомобиле,
мчащемся с противоположной стороны кольцевой авто-
автотрассы. Однако в определенном смысле силу тяготения
можно считать иллюзией, возникающей из-за нежелания
согласиться, что мы движемся с ускорением.
23.14 337
23.12. Итак, в однородном поле тяготения свободно падающий
наблюдатель б на рис. 23.5 испытывает те же ощущения,
что и инерциальный наблюдатель в отсутствие тяготения.
Значит, его мир будет описываться специальной теорией
относительности (п. 5.5), ее основными законами, изло-
изложенными в гл. 1—19. Наблюдатель, стоящий на опоре,
как в случае а, связан со свободно падающим наблюда-
наблюдателем (случай б) точно так же, как равноускоренный на-
наблюдатель в отсутствие тяготения (случай в) связан с
инерциальным наблюдателем (случай г), т. е. таким же
образом, как ускоренный наблюдатель W из гл. 22 свя-
связан с наблюдателем А. Мы теперь знаем, как быть с ре-
результатами наблюдений, проделанных А, ведь все они
объясняются специальной теорией относительности, в ко-
которой мы уже разбираемся. Мы также знаем (гл. 22),
как перейти от наблюдений А к наблюдениям странни-
странника W. Такие же преобразования позволяют узнать ре-
результаты опытов, проведенных человеком, стоящим на
Земле, где действует тяготение, исходя из результатов,
полученных свободно падающим наблюдателем. Мы уже
на пороге теории тяготения.
23.13. Принцип эквивалентности — это всего лишь еще одна
гипотеза, которую, как обычно, следует проверить срав-
сравнением предсказаний с результатами эксперимента.
Применим рассуждения из п. 23.7 к распространению
светового сигнала, посланного в сторону от наблюдате-
наблюдателя. Тогда, исходя из случая в и пользуясь принципом эк-
эквивалентности, чтобы определить, что произойдет в слу-
случае а, вы без труда придете к предсказанию, что луч
света, распространяющийся поперек направления дейст-
действия тяготения, должен отклоняться вниз. Увы, расчет
показывает, что в эксперименте, выполненном в масшта-
масштабах, достаточно малых, чтобы в их пределах тяготение
не изменялось, отклонение будет слишком ничтожным
для надежной регистрации.
Однако можно сделать и другое предсказание, кото-
которое можно проверить экспериментально, применив прин-
принцип эквивалентности к кое-чему из того, что мы доказа-
доказали в гл. 22. Попробуйте это сделать.
23.14. Примените принцип эквивалентности, чтобы сформули-
сформулировать вывод из п. 22.32 при наличии поля тяготения.
Если наблюдатель, стоящий на опоре (наблюдатель,
который удерживается опорой от падения), следит за по-
показаниями часов, расположенных над ним, то он обна-
обнаружит тот же эффект, что и странник W, движущийся с
22—1653
23.15 338
ускорением, направленным к часам. Отсюда следует вы-
вывод (проверьте детали), что
в условиях однородного поля тяготения наблюдателю
на опоре кажется, что часы, расположенные на высо-
высоте х над ним, спешат в l+fx раз, где f — ускорение
тела, падающего свободно с точки зрения этого на-
наблюдателя.
Если часы расположены ниже наблюдателя на опоре
(значение х отрицательно), то нужно заменить слово
«спешат» на «отстают». Это явление называется грави-
гравитационным красным смещением.
23.15. Чтобы рассчитать ожидаемый эффект для часов, распо-
расположенных не очень высоко над поверхностью Земли, до-
достаточно заменить ускорение f на g (пп. 17.20 и 17.21).
Для упрощения арифметических расчетов выберем в ка-
качестве единицы времени год, как в п. 17.21, так что еди-
единицей расстояния будет световой год (п. 1.8), g=l,03.
Для часов, расположенных на высоте 22,5 м над наблю-
наблюдателем, получим
1,03X22,5
ё 1000X9500 миллиардов •
т. е. будет казаться, что они спешат на одну часть на
400 000 миллиардов частей. Эффект Мёссбауэра
(п. 20.26) позволяет проверить это предсказание.
23.16. Эксперимент, в котором использовалась именно такая
высота 22,5 м, был поставлен в Гарвардском универси-
университете в 1960 г. Паундом и Ребкой и повторен в усовер-
усовершенствованном виде в 1964 г. Паундом и Снайдером. Ре-
Результаты удобно представить в следующей форме.
Предположим, что 1+р — множитель, который пока-
показывает, во сколько раз быстрее должны идти часы со-
согласно теоретическим предсказаниям (т. е. p = gx). Пусть
\+q — множитель, который получился на самом деле
после обработки результатов измерений. Тогда отноше-
отношение qlp показывает, насколько хорошо эксперименталь-
экспериментальный результат согласуется с предсказанным; q/p=l оз-
означает идеальное согласие. В эксперименте 1964 г. по-
получилось
qlp = 0,9990 ±0,0076. B3.1)
(Если вы не знаете, что означает ±0,0076, см. п. 23.17.)
Ясно, что предсказание было подтверждено с достаточно
высокой точностью.
23.17 339
23.17. Каждый эксперимент неизбежно содержит ошибки, по-
поэтому можно ожидать только приблизительного совпаде-
совпадения его результатов с теоретическими предсказаниями.
Но каким должно быть согласие, чтобы подтвердить
предсказание? Есть два типа ошибок.
Систематическими называются ошибки, приводящие
к определенным (не случайным) отклонениям результа-
результатов измерений от истинного значения измеряемой вели-
величины. Они могут возникнуть, если использован измери-
измерительный стержень чуть большей длины, чем эталонный^
или не учтено влияние температуры на его длину, или в
силу каких-нибудь более сложных причин. Для исключе-
исключения систематических ошибок экспериментаторы прини-
принимают все меры предосторожности. Кроме того, они ста-
стараются оценить верхний предел для любых систематиче-
систематических ошибок, оставшихся в их измерениях. В экспе-
эксперименте Паунда и Снайдера эта оценка составляла
0,010. (Могли быть и другие систематические ошибки,
возникшие в результате непредвиденных обстоятельств.)
Но даже если бы систематическая ошибка была пол-
полностью исключена, все равно ни одно измерение никогда
не может быть выполнено абсолютно точно. Фактические
показания измерительных приборов будут иногда чуть-
чуть завышены, а иногда чуть-чуть занижены. Такие
ошибки по своему характеру случайны, и поэтому о точ-
точности любого отдельного измерения нельзя сказать ниче-
ничего определенного.
Величина, подобная q, должна рассчитываться на ос-
основании результатов нескольких (возможно, многих) из-
измерений, каждое из которых вносит свою случайную
ошибку. Полная ошибка в измерении q возникает из ком-
комбинации всех этих отдельных ошибок — иногда в резуль-
результате их суммирования, а иногда их частичной взаимной
компенсации. Поскольку каждая отдельная ошибка слу-
случайна, то информацию о полной ошибке можно получить
с помощью теории вероятностей.
Полная ошибка иногда сильно завышает, а иногда
слишком занижает результат. Поэтому очевидно, что
наилучший ответ можно получить, повторив эксперимент
несколько раз и взяв среднее значение из всех результа-
результатов. Число 0,9990 в B3.1)—это именно такое среднее
значение.
Не столь очевидно, но следует из теории вероятностей
(если только удовлетворяются некоторые условия, каса-
касающиеся природы ошибок), что ошибку этого усредненно-
усредненного результата можно оценить по тому, в каких пределах
22*
23.18 340
и как распределены значения отдельных результатов, из
которых вычислялось среднее значение.
Число ±0,0076 в B3.1)—это стандартное отклоне-
отклонение, которое характеризует оценку погрешности. Знак
«±» — это комбинация « + » и «—» (следует читать
«плюс-минус»), т. е. рассматривается возможность того,
что истинный результат равен 0,9990 плюс или минус
некоторая вполне определенная ошибка. Выражение
B3.1) говорит, что
с вероятностью 68% истинное значение q/p отличает-
отличается от 0,9990 не более чем на 0,0076 в каждую сторо-
сторону, т. е. оно лежит между 0,9914 и 1,0066;
с вероятностью 95% оно отличается от 0,9990 не
более чем на 2X0,0076 в каждую сторону;
с вероятностью 99,7% оно отличается от 0,9990 не
более чем на 3X0,0076 в каждую сторону.
Итак, B3.1) дает следующую информацию:
1. Поскольку число 0,0076 очень мало, можно сделать
вывод, что случайные погрешности находились под
должным контролем, в силу чего эксперимент дал до-
довольно точный результат.
2. В силу того что предсказанное теорией значение
qlp=\ лежит в интервале между 0,9838 и 1,0142 с веро-
вероятностью 95%, вряд ли экспериментальный результат по-
получился столь близким к 1 благодаря счастливой слу-
случайности. Значит, результат этого эксперимента в самом
деле является строгим подтверждением нашего предска-
предсказания, что отношение q/p должно быть равно 1, под-
подтверждением того, что часы действительно казались от-
отстающими на предсказанную величину.
23.18. Описанный в п. 20.9 эксперимент с часами, отправлен-
отправленными в кругосветное путешествие, дает еще одно под-
подтверждение предсказанию, сделанному в п. 23.15, ибо
влияние тяготения на часы сравнимо по величине с эф-
эффектом, возникающим при их движении. Новые под-
подтверждения были получены с помощью часов, помещен-
помещенных на борту советского искусственного спутника «Кос-
«Космос» A973 г.), а также с помощью часов на борту аме-
американского самолета, летавшего над Чесапикским зали-
заливом A975 г.).
Таким образом, у нас есть серьезные доводы в поль-
пользу нового предположения, которое мы назвали принци-
принципом эквивалентности (п. 23.8). Это дает основание на-
надеяться, что метод, предложенный в п. 23.12, приведет к
теории тяготения.
23.18 341
Однако принцип эквивалентности применим только в
столь малых областях пространства-времени, в которых
поле тяготения можно считать однородным (ср. с
п. 23.4). В то же время теория тяготения представляет
интерес как раз в тех случаях, когда ее выводы могут
быть применены к областям размерами с Солнечную си-
систему, в которых тяготение меняется и по величине, и по
направлению. Нам предстоит неближний путь, прежде
чем мы научимся работать с такими системами, и тем
не менее мы уже сделали первый шаг.
24
МЕТРИКА
24.1. В дальнейшем изложении важную роль будет играть
интервал, поэтому просмотрите гл. 12 (а может быть,
и 11) и пп. 13.1—13.8, 13.21—13.24. Там мы ограничи-
ограничились обсуждением наблюдателей и событий в одномер-
одномерной вселенной (п. 5.19). Теперь же я хочу показать, что
интервал, определенный как в п. 12.15, остается инва-
инвариантом, т. е. одним и тем же для всех инерциальных
наблюдателей, и в трехмерном пространстве. Для про-
простоты рассмотрим лишь времениподобный интервал
(п. 13.22), которому соответствует формула A2.5).
Кроме того, если не будет оговорено иное, слово «на-
«наблюдатель» будет означать «инерциальный наблюда-
наблюдатель».
24.2. Сначала обратимся к частному случаю, когда наблюда-
наблюдатели А и В движутся относительно друг друга в одно-
одномерной вселенной, и рассмотрим интервал между собы-
событиями О (в момент которого А и В минуют друг дру-
друга) и Q, происшедшими вне одномерной вселенной (не
взыщите строго за «вселенную» с событиями, происхо-
происходящими вне ее).
Рис. 24.2—-это не пространственно-временная диа-
диаграмма, а скорее «моментальный снимок», на котором
запечатлены уже происшедшее событие Q и ситуация в
одномерной вселенной KL в тот самый момент време-
времени, когда, по мнению наблюдателя А, произошло Q.
Пусть R — событие в одномерной вселенной, происшед-
происшедшее, с точки зрения А, одновременно с Q, и пусть от-
отрезок RQ перпендикулярен KL. Докажите, распростра-
распространив на наш случай изложенное в п. 2.22, что, с точки
зрения наблюдателя В, события Q и R тоже произошли
одновременно.
Рассмотрим еще двух наблюдателей С и D, непо-
неподвижных относительно А и В соответственно и миную-
минующих друг друга в момент события R. Мы можем дове-
доверять нашему жизненному опыту (накопленному в мире
малых скоростей), когда он говорит, что покоящиеся
относительно друг друга наблюдатели единодушны по
поводу одновременности событий. Поэтому С согласит-
24.3
343
ся с наблюдателем А, что события Q и R одновремен-
одновременны. Тогда из п. 2.22 следует, что наблюдатель D, так
же как и неподвижный относительно него наблюдатель
В, будет такого же мнения об этих событиях, что и
требовалось доказать. Докажите с помощью п. 2.27,
что мнения наблюдателей А и В о расстоянии между
R и Q совпадают.
К
24.3.
Снабдим наблюдателей С и D стержнями, и пусть
в момент, когда они поравнялись друг с другом, эти
стержни протянулись от R к Q, т. е. перпендикулярны
направлению относительного движения. Тогда возника-
возникает ситуация, рассмотренная в конце гл. 2. А из ска-
сказанного там следует, что С и D должны считать длины
стержней одинаковыми. Используя их как меры длины,
наблюдатели С и D придут к согласию и по поводу
расстояния между R и Q. И наконец, еще одно обра-
обращение к тому, что нам известно о покоящихся относи-
относительно друг друга наблюдателях, показывает, что мне-
мнения А и В тоже совпадут. Обозначим расстояние меж-
между Q и R буквой У.
Однако наблюдатели А и В не будут единодушны по
поводу расстояний от О до Q и R. Расстояние между О
и R относительно А такое же, как и расстояние от А до
R, согласно наблюдателю А (ср. с п. 12.5). Обозначим
это расстояние буквой X, и пусть D — расстояние от О
до Q относительно А. Тогда из теоремы Пифагора
(п. 3.15М) следует
D* = X*+Y*. B4.1)
Аналогично, если х и d—соответственно расстояния
между О и R и между О и Q относительно В, то
B4.2)
24А 344
24.4. Пусть время, прошедшее между событиями О и Q, рав-
равно Т по измерениям наблюдателя А и t по измерениям
В. Поскольку оба наблюдателя считают, что события Q
и R произошли одновременно, те же значения времени
соответствуют и событию R.
Интервал между событиями О и R, происшедшими
в одномерной вселенной, будет одинаков для обоих на-
наблюдателей— А и В (п. 12.15). Из формулы A2.7)
следует, что
Т2—X% = t2—х2.
Вычитание величины У2 из обеих частей этого равен-
равенства дает
Та—Ха—Уа = *а—х2—К2.
Учитывая, что последовательное вычитание двух вели-
величин приводит к тому же результату, что и вычитание
их суммы, получим
откуда, используя формулы B4.1) и B4.2), найдем
Т2— ?>2 = /2—d2.
Другими словами, наблюдатели А и В придут к со-
согласию в отношении величины, называемой интерва-
интервалом и определенной как в п. 12.15.
24.5. Все сказанное легко обобщить на случай, когда наблю-
наблюдатели, скажем Ai и Вь не движутся вдоль одной пря-
прямой и не присутствуют вместе ни при одном событии.
Для этого достаточно рассмотреть наблюдателей А и
В, неподвижных относительно Ai и Bi и присутствую-
присутствующих при событии О. Поскольку каждый из них дви-
движется относительно другого вдоль прямой (п. 5.6) и
они вместе присутствуют в О, они должны двигаться
вдоль одной прямой, которую мы обозначим KL.
Мнения покоящихся относительно друг друга на-
наблюдателей по поводу интервала совпадают, ибо они
единодушны как по поводу промежутка времени, так и
по поводу расстояния. Значит, мнения наблюдателей
Ai и Bi совпадают с мнением А и В в отношении ин-
интервала (п. 24.4). Таким образом,
инвариантность интервала, определенного как в
п. 12.15, распространяется на инерциальных наблю-
наблюдателей и события в четырехмерном пространстве-
времени.
24.8 345
Теперь вернемся в одномерную вселенную, но будем
помнить, что можем в любой момент перейти к трех-
трехмерному случаю.
24.6. Вспомните близкую аналогию между расстоянием и
интервалом (п. 12.19, а также пп. 11.17—11.21). Они
являются инвариантами в геометрии на плоскости и в
геометрии пространства-времени соответственно (пп.
11.20 и 12.15). Как уже говорилось, геометрия пол-
полностью характеризуется своим инвариантом (пп. 12.21
и 12.22).
Термин «пространство-время» в специальной теории
относительности означал пространство-время без тяго-
тяготения (п. 5.5). Но отныне тяготение будет нас интере-
интересовать все больше и больше. Одна из самых гениаль-
гениальных идей Эйнштейна привела к предположению, что
пространство-время вселенной с тяготением должно от-
отличаться от пространства-времени специальной теории
относительности, или что их геометрии должны быть
различны. Что будет характеризовать эту новую гео-
геометрию?
Иная связь между инвариантом и координатами.
Обычно эта связь будет выражаться приближенной
формулой, а не точной зависимостью A2.7), как в спе-
специальной теории относительности. Выразим последнее
утверждение через приращения б (пп. 21.39м и
21.40М).
24,7м. Как отмечалось в п. 21.40М, б/, 8х и подобные им вели-
величины следует рассматривать как единый символ, обо-
обозначающий приращение рассматриваемой величины.
Отсюда следует весьма важное соглашение:
8t2 означает «квадрат приращения 8t»
(аналогично б*2, ду2 и любые другие приращения), а
не «приращение величины t2».
24.8. С учетом этого соглашения выразим через б формулу
для интервала в специальной теории относительности.
Рассмотрим событие Q (рис. 24.8), которое для наблю-
наблюдателя А произошло в момент Г и на расстоянии X от
него, а также событие Q', которое произошло в момент
Т+8Т и на расстоянии Х + 8Х. Тогда 671— это проме-
промежуток времени между Q и Q', a 6X — расстояние меж-
между ними. Поэтому если интервал между событиями Q
и Q' обозначить через 6s, то из формулы A2.5) сле-
следует
ds*=bT*—6Х2. B4.3)
24.9м
346
ОсьХ
Рис. 24.8.
(В дальнейшем мы ограничимся времениподобным ин-
интервалом; см. п. 13.22.)
24.9м, Интерпретация формулы B4.3) через приращения тре-
требует некоторой осторожности. Приращение — это воз-
возрастание какой-либо величины (п. 21.38м). Очевидно,
6Г и 8Х— это приращения величин Т и X, они показы-
показывают, насколько увеличились Т и X при переходе от Q
к Q'. Но, вообще говоря, нет такой величины s, для ко-
которой 8s было бы приращением.
Однако мы увидим, что во всех случаях, представ-
представляющих для нас интерес, существует подходящая ве-
величина 5, для которой 8s может служить приращением.
А пока не будет большого вреда, если 6s использовать
в качестве своего рода «титула учтивости»* для интер-
интервала между событиями Q и Q'.
24.10. Формула или приближенная формула для вычисления
инварианта через приращения координат называется
метрикой, поэтому геометрия полностью характеризу-
характеризуется метрикой (пп. 24.6, 12.21 и 12.22).
24.11. Итак, формула B4.3) —это метрика пространства-вре-
пространства-времени специальной теории относительности в одномер-
одномерной вселенной. В геометрии на плоскости инвариантом
является расстояние, и его снова можно обозначить
символом 8s. Исходя из координат Т и X (пп. 11.10 и
* Титул учтивости — титул, носимый не по законному праву, а по обы-
обычаю и не дающий право на членство в палате лордов. — Прим. перев.
24 А 4 347
11.11), докажите, что метрика этого плоского простран-
пространства имеет вид
6s2 = 6T2+6X2. B4.4)
Для доказательства вполне годится рис. 24.8, если
Т и X интерпретировать по аналогии с п. 11.10. Тогда
применение теоремы Пифагора (п. 3.15М; ср. с
п. 11Л9М) приводит к формуле B4.4).
24.12. В формуле B4.3) метрика пространства-времени в от-
отсутствие тяготения выражена через координаты инер-
циального наблюдателя. Теперь метрику того же про-
пространства-времени можно выразить через координаты
наблюдателя W, движущегося с постоянным ускорени-
ускорением. Для этого с помощью формул B2.27) и B2.28)
преобразуем результаты измерений наблюдателя А в
результаты измерений W. Подставляя в B4.3) вместо
8Т и 8Х правые части этих формул, получим
6s2 ~ (I +fx? Ы2-{\ +fxJSx2. B4.5)
При возведении в квадрат мы использовали тождество
из п. 17.25М.
24.13М. Согласно полезной формуле приближенных вычисле-
вычислений, если величина у мала по сравнению с 1 — столь
хмала, что у2 можно не учитывать, — то
(l+y)««l + 2jr B4.6)
(различие между знаками «^» и «~» разъяснено в
п. 20.17м). Для доказательства перерисуем рис. 13.12
к положим АЕ = 1, а ЕВ = у. Тогда
ABCD « AEKH+EBFK+KGDH
(здесь содержится пренебрежимо малая ошибка из-за
неучета площади квадратика KFCG, равной у2). Про-
Проверьте (таким же образом, как в п. 13.12М), что отсю-
отсюда следует формула B4.6). Замена у на fx дает
B4.7)
24.14. Мы договорились (п. 22.20) рассматривать только та-
такие ситуации, в которых величина fx очень мала по
сравнению с 1. Поэтому можно с помощью формулы
B4.6) заменить в B4.5) величину A+/л;J на 1+2/л:.
В результате получится метрика
6sa - A + 2/*) б^2— A + 2/*) б*2 B4.8)
пространства-времени без тяготения, приведенная к си-
системе отсчета наблюдателя W. (См. также последнее
предложение из п. 22.20.)
24.15 348
Выражение B4.8) более типично для метрик, с ко-
которыми мы впоследствии столкнемся. В нем вместо
знака « = » стоит «~». Кроме того, в его правой части
квадраты приращений каждой координаты умножены
на выражение, содержащее одну из координат.
24.15. Проанализируем выражение B4.8). Есть событие Q,
которое произошло на расстоянии х от W, и еще одно
событие Q', которое произошло на время 8t позже, чем
Q, и на расстояние 8х дальше относительно W. Тогда
интервал 6s между событиями Q и Q' определяется
формулой B4.8). Все величины х, 8t и 8х измерены
или вычислены наблюдателем W. Но интервал 8s —
это инвариант. Выше мы доказали, что мнения всех
инерциальных наблюдателей по поводу величины 8s
совпадают: вычисления, проделанные в пп. 24.12—24.14,
гарантируют, что наблюдатель W тоже согласится с
ними.
24.16м. Обсудим смысл знака «~» в этом контексте. Перечи-
Перечитайте пп. 20.20м и 21.42м. В последнем рассматривают-
рассматриваются приближенные формулы, содержащие два прираще-
приращения, но в B4.8) — три приращения.
При выводе метрики B4.8) использованы прибли-
приближенные формулы B2.27) и B2.28). Из них следует, что
можно получить сколь угодно точные формулы, вы-
выбрав достаточно малые значения 8t в первой прибли-
приближенной формуле и бя— во второй. Поэтому B4.8) оз-
означает, что формула, полученная из нее заменой «~»
на « = », может быть сделана сколь угодно точной, ес-
если выбрать достаточно малые значения 8t и 8х. На-
Надеюсь, у вас не возникнет затруднений, когда в даль-
дальнейшем, столкнувшись с приближенными формулами,
содержащими более двух приращений, придется прове-
провести аналогичные рассуждения. Вот строгая формули-
формулировка:
когда приближенная формула содержит прираще-
приращения нескольких величин, то относительную разность
между ее левой и правой частями можно сделать
сколь угодной малой (или отношение ее частей
можно сделать сколь угодно близким к 1) выбором
достаточно малых (но не равных нулю) значений
всех приращений, которые могут изменяться неза-
независимо.
В этом контексте под словом «приращения» следует
понимать и величины типа 6s, которым был присвоен
«титул учтивости» (п. 24.9).
24.20М 349
24.17. Для вывода B4.8) мы пользовались приближенными
формулами B2.27) и B2.28), которые справедливы
только при 7 = 0, т. е. если Q, как в п. 22.16, лежит на
оси расстояний наблюдателя А. Но независимо от то-
того, когда произошло событие Q, в качестве А всегда
можно выбрать подходящего инерциального наблюда-
наблюдателя, для которого 7 = 0 (см. начало п. 22.16). Значит,
приближенная формула B4.8) справедлива в любой
момент времени.
24.18. В рассуждениях, которые привели нас к B4.8), мы
дважды выполняли приближенные вычисления и выби-
выбирали fx, малое по сравнению с 1: первый раз, когда
выводили B2.27) и B2.28) из B2.22) и B2.23), и вто-
второй раз, когда выводили B4.8) из B4.5). Поэтому та-
такая форма метрики годится только тогда, когда вели-
величина fx столь мала по сравнению с 1, что можно за-
забыть о погрешностях, вносимых этими приближенными
расчетами. И мы должны проверять, так ли это, всякий
раз, когда используются метрика B4.8) или какие-ни-
какие-нибудь другие выражения, полученные из нее.
(Как быть, если fx =—V2? Это слишком большая
величина, чтобы ею можно было пользоваться в наших
приближениях. Но можно применять точные выраже-
выражения B2.29) и B2.30).)
24.19. Затем мы доказали, что B4.8) —это метрика простран-
пространства-времени в отсутствие тяготения, каким его видит
ускоренный наблюдатель W, т. е. приближенная фор-
формула, позволяющая выразить 8s через координаты в
системе отсчета W. Придумайте другую интерпретацию.
Согласно принципу эквивалентности (пп. 23.8 и
23.12), выражение B4.8) можно с тем же успехом счи-
считать метрикой пространства-времени с однородным по-
полем тяготения, предстающим перед наблюдателем W,
который стоит на опоре, удерживающей его от прису-
присущего всем телам стремления к падению. Именно такая
интерпретация в дальнейшем будет нас интересовать
больше всего.
Обратите внимание, что теперь связь между 8s и
приращениями координат зависит от расстояния х от
наблюдателя — вверх или вниз относительно него.
В метрике специальной теории относительности B4.3)
связь между 6s и приращениями координат везде одна
и та же.
24.20М. Пришло время подтвердить правомерность сделанного
в п. 12.12М утверждения, что (—аJ = а2. Так вот, его
правомерность основывается на том, что у отрицатель-
24.21М 350
ных величин должны быть такие свойства, чтобы к ним
были применимы обычные правила арифметики. Напри-
Например, тождество A6.10) должно быть верным как для
отрицательных, так и для положительных величин. По-
Поэтому, согласно A6.10),
пп. 15.23М и 15.24М
A6.10)
а это требует выполнения равенства (—аJ = а2. Итак,
квадрат величины не может быть отрицательным
(п. 12.12М).
24.21М. В соответствии с этим корень квадратный (п. 13.4М)
из а2 может быть равен либо а, либо —а, так как квад-
квадраты обеих величин дают а2. Корень квадратный из
любого числа или величины имеет два значения.
У этих значений одинаковые абсолютные величины
(п. 13.20М), но одно из них положительно, а другое —
отрицательно,
24.22. Из утверждения, сделанного в п. 22.38, следует оче-
очевидный вывод: если х — расстояние до некоторого объ-
объекта в момент времени / и если 6л;2~?/6/2, где U не
зависит от приращения 8t, то U — квадрат скорости.
24.23. Согласно сказанному в п. 12.23, для построения полной
теории пространства-времени без тяготения, каким оно
представляется инерциальным наблюдателям, доста-
достаточно знать метрику пространства-времени специаль-
специальной теории относительности. Можно ли надеяться, что
новая метрика B4.8) позволит узнать, как ведут себя
тела в однородном поле тяготения?
Преследовать такую цель — значит избрать для
объяснения знакомого явления иной (более трудный!)
путь. Попутно вам предстоит овладеть новыми приема-
приемами и, прежде чем переходить к незнакомым пробле-
проблемам, попытать свои силы в решении знакомых задач.
24.24. Нетрудно объяснить поведение света в постоянном по-
поле тяготения в одномерной вселенной, т. е. поведение
световых сигналов, распространяющихся прямо «вверх»
или «вниз». Если световой сигнал идет от события Q к
событию Q', то интервал 8s между Q и Q' равен нулю.
(В п. 13.24 это было доказано для инерциальных на-
наблюдателей, а в п. 24.12 мы договорились, что интер-
24.26 351
вал должен быть одинаковым для W и для инерциаль-
ных наблюдателей.) Равенство 6s = 0 можно считать
условием, характеризующим распространение светово-
светового сигнала. Значит, надо решить поставленную задачу,
полагая 8s = 0 в B4.8).
24.25м. В результате такой операции получится
A +2/*) б/2—A + 2fx) б*2 ~ 0. B4.9)
Взгляните на определения из пп. 20.20м и 21.42м и
подумайте, удовлетворяет ли вас соотношение B4.9).
Для краткости обозначим левую часть этого соот-
соотношения буквой Y. Тогда разность между обеими час-
частями равна У—0 = У, а относительная разность равна
либо Y/Y, либо У/0 (в зависимости от того, на какую
часть соотношения B4.9) делить). Но относительная
разность У/У=1 и, значит, не может быть сделана
сколь угодно малой выбором достаточно малых значе-
значений приращений. А У/0 — деление числа, не равного
нулю, на нуль — это бессмыслица. Проверьте самостоя-
самостоятельно, что B4.9) терпит неудачу и при попытке со-
согласования с определением в форме отношений. Зна-
Значит, B4.9) как приближенная формула просто не име-
имеет смысла.
При определенных условиях возможно приближен-
приближенное уравнение, одна из сторон которого равна нулю*,
но нам такое уравнение не встретится. Поэтому нужно
принять меры, чтобы не появлялись приближенные
уравнения такого типа. Как это сделать в данном слу-
случае?
24.26. Прибавив к обеим частям B4.8) выражение (l+2fxNx2
(правомерность этого шага мы рассмотрим в
п. 24.28м), получим
6s2+(l-f2/xN*2~ (l-j-2/*) б*2. B4.10)
и только после этого положим Ss = O, чтобы перейти к
приближенному уравнению, описывающему распрост-
распространение света. Оно будет иметь вид
откуда (п. 21.11м) следует, что 6#2~5?2. Сделайте вы-
вывод.
* Например, если У не зависит от входящих в формулу приращений,
то У~0 — приближенное уравнение, и тогда, согласно п. 22.30м, У=0. Дела
в том, что отношение 0/0 может в некоторых случаях принимать определен-
определенные значения.
24.27 352
Согласно п. 24.22 (при ?/=1), квадрат скорости све-
света равен 1*. Значит (п. 24.21М), скорость света равна
либо 1, либо —1 (если сигнал распространяется в от-
отрицательном направлении, т. е. вниз). Таким образом,
наблюдатель, покоящийся на опоре в постоянном поле
тяготения, обнаружит, что свет, распространяющийся
прямо вверх или вниз, имеет постоянную скорость —
скорость, совпадающую со значением, измеренным сво-
свободно падающим (инерциальным) наблюдателем. (Ес-
(Если не ясна связь между наблюдателем на опоре и
свободно падающим наблюдателем, то см. п. 23.12.)
24.27. Так и должно было получиться. Ведь в том способе,
которым мы определили в п. 22.3 расстояние относи-
относительно наблюдателя W, уже было заложено, что ско-
скорость света относительно W должна быть равна 1
(ср. с пп. 7.10—7.13). Итак, мы продемонстрировали в
одном очень простом случае, как, зная метрику, можно
установить поведение какого-нибудь объекта.
К сожалению, этот пример настолько элементарен,
что его простота может ввести в заблуждение. Но еще
очень многое предстоит сделать прежде, чем мы смо-
сможем вывести что-нибудь другое. Однако он по крайней
мере подсказывает основное направление, в котором
мы должны следовать. В общих чертах можно ска-
сказать, что для решения задачи, связанной с тяготением,
следует:
1) найти решение в рамках специальной теории от-
относительности (в приведенном выше примере
решение таково:
Скорость света = Постоянная величина = 1);
2) выразить это решение с помощью метрики (в на-
нашем примере 6s = 0);
3) предположить, что решение, представленное в
такой форме, остается в силе для любой метри-
метрики в гравитационном поле.
Эти туманные идеи по мере нашего продвижения впе-
вперед станут проясняться.
24.28м. Прибавление к обеим частям уравнения одного и того
же числа или величины всегда является допустимой
операцией (п. 9.12М). Однако прибавление одной и
той же величины к обеим частям приближенной форму-
* Поскольку скорость света постоянна, можно было бы сделать вывод,
что 6x=6t. Отсюда следует, что левая часть в B4.9) равна нулю. Значит,
в этом случае такая приближенная формула имела бы смысл. Но дальше всю-
всюду будут безоговорочно использоваться соображения, изложенные в п. 24.25.
24.28м 353
лы не обязательно дает другую приближенную форму-
формулу. Например, с помощью определений (пп. 20.20м,
21.42м) можно доказать, что если К — постоянная ве-
величина, то 8х+К~28х + К, но результат вычитания из
обеих частей этой формулы К, а именно Ьх~2Ьх, безу-
безусловно неверен (отношение частей равно 2). Значит,
операцию сложения, которая привела нас от B4.8) к
B4.10), следует обосновать.
Разность между правыми и левыми частями в обоих
случаях одинакова и равна 8s2—(l+2fx)8t2 +
+ (l+2fx)8x2. Поэтому относительная разность для
B4.8) равна этой величине, деленной на 6s2, а для
B4.10) —той же величине, деленной на сумму 8s2 +
+ A+2/л;Nл:2, которая больше первого слагаемого. Та-
Таким образом, относительная разность для B4.10) мень-
меньше, чем для B4.8).
Теперь вспомним, что смысл приближенной форму-
формулы B4.8) заключается в том, что соответствующая от-
относительная разность может быть сделана сколь угод-
угодно малой выбором достаточно малых значений прира-
приращений 8t и 8х. Но то же самое справедливо и для от-
относительной разности, соответствующей приближенной
формуле B4.10), поскольку она всегда остается мень-
меньше, чем в предыдущем случае.
23—1653
25
ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ
25.1. Как можно было бы применить процедуру, довольно
расплывчато описанную в п. 24.27, для изучения дви-
движения свободно падающего (движущегося по инерции)
тела в поле тяготения? Шаг 1: как инерциальное дви-
движение описывается в рамках специальной теории отно-
относительности?
Согласно сказанному в п. 5.6, это — прямолинейное
движение с постоянной скоростью (относительно инер-
циального наблюдателя, с которым связана используе-
используемая нами система координат).
25.2. Шаг 2 (п. 24.27): этот ответ нужно выразить с помощью
метрики. Сначала отдельно рассмотрим «прямолиней-
«прямолинейную» часть ответа и примем классическую точку зре-
зрения (наблюдателя, движущегося с малой скоростью),
тогда можно не обращать внимания на частичную
взаимозаменяемость пространства и времени. Тогда ин-
инвариантом будет ...
Разумеется расстояние (пп. 11.20 и 11.21). Вырази-
Выразите представление о прямой линии через расстояние:
дайте определение, которое позволило бы выделить
прямые линии из множества всех остальных линий.
Прямая линия, проведенная между двумя точка-
точками,— это кратчайшая из всех соединяющих их линий.
Условимся вместо «длина кривой» говорить расстояние,
измеренное вдоль кривой. Тогда можно рекомендовать
следующий способ выделения прямых линий:
из всех линий, соединяющих две точки, прямая ли-
линия— единственная, вдоль которой расстояние меж-
между этими точками минимально,
т. е. имеет наименьшую величину, или кратчайшее.
25.3. Чтобы пользоваться этим способом, нужно знать, как
измерить расстояние вдоль кривой. Мы не можем при-
применять гибкую мерную ленту (рулетку, сантиметр и
т. п.), так как не известно, сохраняется ли их длина
неизменной. Мы определяем расстояние радиолокаци-
радиолокационным методом (п. 7.13). С него и следует начинать
(или, может быть, с жесткого измерительного стерж-
стержня; п. 7.17). Но эти методы позволяют измерять рас-
расстояния только вдоль прямых линий.
25.4 355
Если кривую разделить, как на рис. 25.3, на отрезки
PQ, QR и RS, то можно сказать, что сумма прямоли-
прямолинейных расстояний от Р до Q, от Q до R и от R до S
дает приближенное значение расстояния, измеренного
вдоль кривой. Это приближение, очевидно, можно сде-
сделать сколь угодно точным, выбрав достаточно короткие
отрезки. Здесь нам снова понадобятся приближенные
равенства.
Рис. 25.3.
25.4. Сосредоточим внимание на одном отрезке PQ
(рис. 25.4). Если 5 — расстояние, измеренное вдоль
кривой от некоторой заданной начальной точки О, то
расстояние вдоль кривой от Р до Q будет приращени-
приращением s, которое мы обозначим 6s. И пусть si — расстояние
от Р до Q вдоль прямой. Почему я обозначил это рас-
расстояние я*, а не 8st?
Потому что длина прямолинейного отрезка PQ не
является приращением какой-то величины. Точнее, она
не является приращением ни одной из переменных ве-
величин, имеющих отношение к рассматриваемой задаче
(хотя она может быть приращением, например, длины
измеряемой вдоль прямой KL, которая к делу не от-
23*
25.5м
356
носится). Для различных ситуаций, с которыми мы
вскоре встретимся, это различие существенно, поэтому
обсудим его подробнее.
Рис. 25.4.
25.5м. Представьте себе точку, которая, выйдя из О и двига-
двигаясь равномерно вдоль кривой, проходит через Р, Q,
R, .... Ясно, что расстояние, измеренное вдоль кривой
от О до этой точки, равномерно возрастает. При пере-
перемещении из Р в Q 5 возрастает на расстояние PQ, из-
измеренное вдоль кривой. Значит, PQ — приращение s.
Аналогично расстояние QR, измеренное вдоль кри-
кривой, — это увеличение расстояния s в результате пере-
перемещения точки из Q в R. Расстояние PR вдоль кри-
кривой — это тоже приращение. По ходу отметим одно
важное свойство приращений: сумма двух приращений,
следующих непосредственно друг за другом, — это то-
тоже приращение^ разумеется большей величины.
257 357
Однако сумма длин прямолинейных отрезков PQ и
QR не равна длине прямолинейного отрезка PR. Зна-
Значит, нет такой непрерывно возрастающей величины,
для которой длины этих трех отрезков могли бы слу-
служить приращениями.
25.6. Изучив рис. 25.4, мы можем утверждать, что
fis~S|. B5.1>
Это приближенное равенство верно, поскольку просто'
говорит (ср. с п. 25.3), что расстояние 6s вдоль кривой
приблизительно равно длине прямолинейного отрезка
5/ и что, выбирая Q достаточно близко к Р, можно сде-
сделать приближение сколь угодно хорошим (более точ-
точные определения см. в пп. 20.20м и 21.42м).
Решая конкретную задачу, можно было бы найти
способ вычисления Si для каждого отрезка. Это дало
бы приближенное значение соответствующего прираще-
приращения 6s. Такой расчет для всех отрезков и последующее
сложение получившихся результатов дали бы прибли-
приближенное значение всего расстояния вдоль кривой. Выбо-
Выбором достаточно малых отрезков можно сделать его
сколь угодно близким к истинному значению. Вот так
выглядит метод вычисления «с какой угодно точ-
точностью» расстояния, измеренного вдоль кривой. Про-
Процесс вычисления очень напоминает то, что мы делали
в пп. 20.22—20.25. Просмотрите еще раз эти парагра-
параграфы, а затем начните с п. 25.3.
25.7. Когда мы, не делая никаких оговорок, толкуем о рас-
расстоянии между двумя точками, то имеем в виду рас-
расстояние, измеренное вдоль проведенной через них
прямой. Точно так же, когда без всяких оговорок гово-
говорится об интервале между двумя событиями в прост-
пространстве-времени, имеется в виду интервал, измеренный
вдоль прямой мировой линии, т. е. интервал, задавае-
задаваемый метрикой B4.3), записанной в координатах, свя-
связанных с системой отсчета инерциального наблюдате-
наблюдателя. Но можно говорить и об интервале между двумя
событиями, измеренном вдоль мировой линии ускорен-
ускоренного наблюдателя, присутствующего при обоих событи-
событиях, т. е. о пространственно-временном аналоге расстоя-
расстояния, измеренного вдоль кривой. Метод его вычисления
совершенно аналогичен описанному выше.
Будем рассматривать кривую OPQR на рис. 25.4
как мировую линию ускоренного наблюдателя D. Те-
Теперь Si будет означать интервал между событиями Р
и Q, измеренный вдоль прямой мировой линии. Заметь-
25.5 358
те, что Si снова не является приращением. А вот 5 оз-
означает интервал, отмеренный вдоль криволинейной ми-
мировой линии от события О, а значит, интервал 8s меж-
между Р и Q вдоль той же мировой линии — это прираще-
приращение s.
Таким образом, si— это приближение к 6s. которое
можно сделать сколь угодно хорошим, выбирая Q до-
достаточно близко к Р. Другими словами, приближенное
равенство B5.1) выполняется и тогда, когда в Si и 6s
вкладывается этот новый смысл. Поэтому можно найти
приближенное значение полного интервала вдоль кри-
криволинейной мировой линии, скажем от О до R, разбив
ее на отрезки, положив величину 8s для каждого от-
отрезка равной Si и затем сложив все приращения. Метод
в точности такой же, как в пп. 20.22—20.25, а неболь-
небольшое изменение, введенное, чтобы приспособить п. 20.25
к данному случаю, показывает, что, выбирая достаточ-
достаточно малые отрезки, можно сделать приближение сколь
угодно хорошим.
25.8. В дальнейшем мы неоднократно будем использовать
метрику для вычисления интервала вдоль мировой ли-
линии (или линии сигнала). Значит, 8s — это отныне
приращение, и проблема, описанная в п. 24.9М, решена.
Но формула B4.3) относится к интервалу, измерен-
измеренному вдоль прямой мировой линии, и там 8s — это как
раз то, что мы в п. 25.7 обозначили через si. Поэтому
теперь B4.3) следует переписать в виде Si2 = 8T2—8Х2,
и подстановка в B5.1) дает
6s2~6T2—8Х\ B5.2)
Это более предпочтительная форма записи метрики
в специальной теории относительности, чем B4.3). Все
другие метрики также всегда должны даваться прибли-
приближенными формулами, так что этот вопрос больше не
должен возникать.
Метрика в форме B5.2) годится и для четырехмер-
четырехмерного пространства-времени с тремя пространственными
измерениями плюс время, если 8Х интерпретировать
как расстояние между событиями Р и Q, а не просто
как приращение некоторой координаты X. При необхо-
необходимости это расстояние в свою очередь можно выра-
выразить через приращения пространственных координат.
25.9. Пусть кривая на рис. 25.4 по-прежнему мировая линия
наблюдателя D, и пусть 8t — время, измеренное по его
часам между событиями Р и Q. Как связаны между со-
собой 8s и б/?
25.10.
25 JO
359
Перечитайте п. 13.22 и еще раз попытайтесь отве-
ответить на этот вопрос.
Если бы наблюдатель был инерциальным, то 8s = Ы.
Поэтому можно было бы предположить, что такая же
связь между этими величинами должна иметь место во
всех случаях. Попробуем это доказать.
Пусть tt — время, прошедшее между событиями Р и Q
по часам инерциального наблюдателя Е, присутствую-
Рис. 25.10.
щего при них обоих. На рис. 25.10 вместо интервалов
отмечены промежутки времени, а прямая KL является
теперь мировой линией наблюдателя Е. Обратите вни-
внимание, что 8t — это приращение (какой величины?),
a ti — нет. Как связаны si и ti?
Согласно сказанному в п. 13.22,
st = tt. B5.3)
А какова связь между б/ и ti?
25J1
860
Из дополнительного предположения (п. 20.19;
/ нужно заменить на 60 следует
6*~*j. B5.4)
Что получится, если скомбинировать B5.1), B5.3)
и B5.4)?
Если в соответствии с B5.3) заменить ti в B5.4) на
S/, то получится приближенное равенство si~$t, кото-
которое вместе с B5.1) при учете теоремы из п. 21.10м дает
6s — 6/, B5.5)
а не 8s = 8t1 как мы надеялись. Какое разочарование!
25.11. Но еще не все потеряно. Вспомните, в чем смысл при-
приближенных равенств (пп. 20.20м, 21.42м), и просмотри-
Рис 25.11.
те пп. 21.20—21.22, заменив в них k\—<ko и ft\—fto на
8k и 8(fk) соответственно. В результате выяснится сле-
следующее: приближенное равенство B5.5) утверждает,
что, полагая приращение 8s = 8t, мы вводим относитель-
относительную погрешность, которую можно сделать сколь угод-
угодно малой выбором достаточно малых значений 8t.
В п. 21.22 приведен пример метода, позволяющего оп-
определить эту погрешность путем разбиения каждого
шага на более мелкие, в данном случае путем разбие-
разбиения приращения 6/. Можно перейти от события Р к Q,
25.12м 361
сделав два последовательных шага по xj2bt (рис. 25.11),
а не один шаг, равный б/. Пусть fisi — приращение ве-
величины s на первом из более мелких шагов, т. е. оно
показывает, насколько возросла величина s, когда t
увеличилось на V26/. И пусть 6s2 — э™ приращение ве-
величины 5 на втором мелком шаге. Тогда применение к
каждому из этих шагов формулы B5.5) дает 6si~728?
и bs2~lk§t. Значит, приближенно верно, что
fis^Vatt и Ss2 = 1/2^. B5.6)
Но 6s = 6sH-6s2 (это — важнейшее свойство прира-
приращений, отмеченное в п. 25.5м). После подстановки сю-
сюда значений из B5.6) снова получим, что приближенно
8s = 8t. Итак, результат наших приближенных вычисле-
вычислений совершенно одинаков независимо от того, произво-
производим ли мы их с помощью одного шага или нескольких
мелких шагов. Легко проверить, что, как бы мы ни де-
делили первоначальный шаг на все более мелкие, вывод
будет всегда один и тот же, а именно: более точное
приближение к истине по-прежнему имеет вид 5s = 5/.
Значит, всегда можно получить приближенно вер-
верное равенство, заменив «~» на « = ». Выбирая доста-
достаточно малые приращения, можно добиться, чтобы это
приближение было сколь угодно точным, о чем и гово-
говорит знак «~». Однако, когда мы берем все более мел-
мелкие шаги, оказывается, что в результате всегда получа-
получается одно и то же приближенно верное равенство:
Ss = 8t. Какой отсюда следует вывод?
Считать соотношение 6s = St точным равенством.
Ведь выбирая достаточно малые шаги, можно добить-
добиться, чтобы оно выполнялось сколь угодно точно, так как
оно уже выполняется с какой угодно степенью точно-
точности. Если этот довод не совсем ясен, перечитайте
пп. 22.26—22.30м, в которых содержатся сходные рас-
рассуждения, а затем продумайте все еще раз. В резуль-
результате вы наверняка убедитесь, что, исходя из прибли-
приближенного равенства Ss~<8t, можно в конце концов по-
получить точное равенство 6s = 6?.
25.12м. Первая основная теорема (п. 22.30м) тоже гласит, что
при определенных условиях знак «~» можно заменить
на « = ». Она относится к величинам, связанным зна-
знаком «~», значения которых не зависят от приращений.
Приближенное равенство B5.5) также имеет характер-
характерную особенность, хотя и другого рода: величины, кото-
которые оно связывает знаком «~», — это собственно при-
приращения. Приближенная формула A2.20) не удовлет-
25.13м 362
воряет этому критерию, так как наряду с приращения-
приращениями 8t и 8k содержит величину k. Всегда ли приближен-
приближенную формулу, содержащую только приращения, можно
заменить точной формулой? Ответ на этот вопрос дает
25.13м. вторая основная теорема:
если переменные величины у и z связаны между
собой таким образом, что всегда справедлива при-
приближенная формула
8у ~ бг B5.7)
(т. е. она выполняется для приращений начиная с
любого значения у и соответствующего ему значе-
значения z), то
1) 6*/ = Sz,
2) y—yo=z—z0>
где уо и Zq — одна пара соответствующих значений
у и z, к
3) у = г + а,
где а — постоянная величина.
Хорошенько запомните: это имеет место потому, что в
приближенную формулу B5.7) входят только прира-
приращения. Мы уже знаем, что в приближенных формулах
типа B1.20) нельзя заменить знак «~» на « = ».
25.14м. Докажите A) из п. 25.13м.
Я давал аналогичное задание в п. 22.30м.
В п. 25.11 не указывалось, что собой представляют
5 и t (или их приращения). Это могут быть любые две
величины. Поэтому, заменив 8s на 8у и 8^ на 8г, вы
получите требуемое доказательство.
Вывод B) из п. 25.13м — это вывод A), переформу-
переформулированный в такой форме, когда приращения записы-
записываются более примитивным способом, которым мы
пользовались в гл. 21, прежде чем ввели обозначение
«б». Наконец, если к обеим частям равенства B) при-
прибавить (/о, то получится y = z+y0—г0, откуда, обозначив
разность уо—z0 буквой а, мы приходим к C). Доказать
вторую основную теорему довольно просто.
25.15м. Почему я старался в пп. 25.4, 25.5м, 25.7 и 25.10 под-
подчеркнуть, что si и ti нельзя считать приращениями?
Если бы величина U была приращением, то приме-
применение второй основной теоремы к B5.4) дало бы ра-
равенство &t = ti, а это противоречит всему, что мы узна-
узнали об отсутствии всеобщего времени, о парадоксе кос-
космических близнецов и т. д. В этом случае мы лишились
бы главного аргумента, на котором основывалось до-
25.18 363
казательство второй основной теоремы, так как он
опирался на свойство суммы следующих непосредст-
непосредственно друг за другом приращений (п. 25.5м). Величи-
Величины же, подобные ti9 при разбиении одного шага на два
этим свойством не обладают (снова три хронометра!).
25.16. Теперь вернемся к поискам связи между временем,
прошедшим по часам наблюдателя, и интервалом, из-
измеренным вдоль его мировой линии (пп. 25.9—25.11),
и завершим их. Если начала отсчета величин s и t сов-
совпадают (точка О на рис. 25.4 и 25.10), то соответству-
соответствующие начальные значения этих величин будут so = O
и ^о = О. Поэтому, применяя к B5.5) вывод B) второй
основной теоремы, получим, что s = t. Другими сло-
словами,
интервал, измеренный вдоль мировой линии наблю-
наблюдателя, равен времени, измеренному по его часам.
(Таким образом, инструмент для измерения времени-
подобного интервала — это часы.)
25.17. Мы изучаем структуру со сложными взаимосвязями.,
Поэтому вспомним, что сейчас наша главная задача —
найти способ описания инерциального движения в спе-
специальной теории относительности с помощью метрики
(п. 24.10). В п. 25.2 мы привели чисто пространствен-
пространственный аспект решения этой проблемы, но только в каче-
качестве иллюстрации. Теперь займемся решением полной
задачи в пространстве-времени. Ответ очевиден, если
вспомнить одну деталь из того, что мы изучали рань-
раньше. Какая характерная особенность, выраженная через
интервал, отличает инерциального наблюдателя от
ускоренного?
Скомбинируйте вывод, к которому мы пришли в
п. 20.28 (в первоначальной форме), с выводом из
п. 25.16. Вы установите, что
из всех наблюдателей, присутствующих при двух
событиях, инерциальный наблюдатель — это тот,
интервал вдоль мировой линии которого между эти-
этими событиями максимален
(т. е. наибольший, ср. с п. 25,2).
25.18. Сравните этот вывод с п. 25.2, Сделанный там вывод —
это способ выделения прямой из множества линий, со-
соединяющих две точки, а наш последний результат —
это способ выделения инерциального наблюдателя из
множества наблюдателей, присутствующих при двух
25.19 364
конкретных событиях. Они очень похожи, только в од-
одном требуется, чтобы инвариант был минимален, а в
другом — максимален.
Из B5.2) следует, что наибольшее значение интер-
интервала достигается при наименьшем расстоянии. Поэто-
Поэтому, когда мы говорим, что движению по инерции соот-
соответствует максимальный интервал, при этом автомати-
автоматически учитывается прямолинейный характер этого дви-
движения.
25.19. Инвариантность интервала и утверждение о макси-
максимальности времени инерциального наблюдателя оста-
остаются в силе и в четырехмерном пространстве-времени
(пп. 24.5, 25.8 и 20.28). Значит, в нем справедлив вы-
вывод о максимальности интервала вдоль мировой линии
инерциального наблюдателя (п. 25.17). (О мировой
линии в 3+1-мерном пространстве-времени см.
п. 20.30.)
С другой стороны, это свойство инерциального дви-
движения установлено нами исключительно для тех си-
ситуаций, когда применима специальная теория относи-
относительности, т. е. отсутствует тяготение и используется
система координат какого-нибудь инерциального на-
наблюдателя, так что метрика имеет вид B5.2). Однако
это свойство выражено только с помощью метрики,
значит, сказанное в п. 24.27 вселяет надежду, что оно
будет в силе даже в тех случаях, когда тяготение при-
поднесет нам более сложную геометрию с более слож-
сложной метрикой. Тогда в наших руках окажется метод,
позволяющий изучать инерциальное движение — сво-
свободное падение — в присутствии тяготения.
25.20. Чтобы проиллюстрировать эту мысль, рассмотрим воз-
возможность аналогичного обобщения критерия «мини-
«минимальности расстояния», позволяющего отбирать прямые
линии в обычном пространстве. Для простоты рассмот-
рассмотрим двумерное пространство. Если это обычная пло-
плоскость, то метрика определяется формулой B4.4). Это
как раз тот случай, когда применим критерий мини-
минимальности расстояния (п. 25.2).
Но ведь поверхность сферы — это тоже двумерное
пространство (постарайтесь не думать о трехмерном
пространстве, в которое она погружена). Как сказано
в п. 12.21, геометрия сферической поверхности — это
набор правил работы с измерениями на этой поверх-
поверхности, проделанными безотносительно к чему бы то ни
было вне ее. Или более образно: это геометрия, кото-
которую обнаружили бы существа, живущие на сфериче-
25.22 365
ской поверхности и не осознающие существования че-
чего-то иного вне ее.
На этой поверхности уже нельзя построить прямо-
прямоугольную систему координат, как на рис. 24.8. Если не
верите, попробуйте нанести такие координаты на
апельсин. Наряду с прочими затруднениями вы столк-
столкнетесь с тем, что оси X и Т пересекаются дважды. Од-
Однако можно ввести другую систему координат, напри-
например используемые в географии широту и долготу.
Одному градусу широты соответствуют ПО км вдоль
меридиана, А вот переводной коэффициент от градусов
долготы к километрам зависит от широты — на эква-
экваторе одному градусу долготы соответствует 110 км, а
на широте Лондона 70 км. Поэтому метрика теперь
будет сложнее, чем B4,4). В подходящей системе еди-
единиц ее можно представить в следующем виде:
6s2 ~ б (широтаJ-)- (Переводной коэффициент) х
X б (долготаJ, B5.8)
где переводной коэффициент зависит от широты.
25.21. На поверхности сферы нет прямых линий. Что же по-
получится, если в этом случае применить критерий мини-
минимальности расстояния? В математическом отноше-
отношении — это довольно сложный вопрос, поэтому ответим
на него экспериментально. Воткните в апельсин две
булавки и натяните между ними резинку так, чтобы
она плотно прижималась к поверхности апельсина. Ре-
Резинка наметит кратчайшую кривую, соединяющую ос-
основания булавок.
Оказывается, что эта кратчайшая кривая — часть
так называемого большого круга — линии пересечения
плоскости, проходящей через центр апельсина, с его
поверхностью. Эта кривая оправдывает свое название,
так как представляет собой наибольшую окружность
из тех, что можно провести на поверхности сферы.
Или, что больше подходит для наших целей, — это
траектория муравья, ползущего все время прямо впе-
вперед по поверхности апельсина. Значит, эта траектория
наипрямейшая из всех возможных.
На поверхности сферы нет прямых линий. Но крите-
критерий минимальности расстояния дает наипрямейшую из
существующих на ней кривых. По-видимому, это пер-
перспективный метод.
25.22. К такому выводу можно было бы прийти и в результа-
результате вычислений. Вообразите, что кривая, изображенная
25.23 366
на рис. 25.4, проведена на поверхности сферы. Зная
координаты крайних точек Р и Q отрезка этой кривой,
можно с помощью метрики B5.8) вычислить прираще-
приращение расстояния 6s (и поскольку эта метрика уже со-
содержит знак « ~ », не следует беспокоиться из-за разли-
различия между 8s и Si). Тогда способом, описанным в
пп. 25.3—25.6, можно найти расстояние вдоль кривой
от точки О до R. Затем можно сравнить расстояния
между этими точками, измеренные вдоль различных
кривых, и доказать, что кратчайшая из них — это от-
отрезок большого круга.
25.23. Точно так же, если метрика пространства-времени бо-
более сложная, чем B5.2), то, применив метод, изложен-
изложенный в п. 25.7, можно рассчитать интервал между дву-
двумя событиями вдоль любой мировой линии, проходя-
проходящей между ними, а затем выбрать мировую линию,
для которой этот интервал максимален. В п. 25.19 бы-
была выражена надежда, что это по-прежнему должна
быть мировая линия инерциального, или, что то же,
свободно падающего наблюдателя.
Это не более чем разумная догадка (и мы должны
быть готовы к тому, что факты могут ее опровергнуть).
Мы выяснили, что, когда метрика пространства имеет
более сложный вид, чем B4.4), критерий минимально-
минимальности расстояния дает естественное и полезное обобще-
обобщение представления о прямой линии. Можно также на-
надеяться, что критерий максимальности интервала —
это столь же естественная характеристика свободного
падения, не зависящая от вида метрики рассматривае-
рассматриваемого пространства-времени.
25.24. Снова вернемся к воображаемым существам из
п. 25.20, чье представление о внешнем мире ограниче-
ограничено происходящим на поверхности сферы. Эта поверх-
поверхность была бы всем их пространством*, а их прост-
пространством-временем были бы поверхность сферы плюс
время — назовем его для краткости пространством-
временем S-типа. Такому пространству-времени соот-
соответствовала бы метрика: Ss2~'6?2—[Правая часть
формулы B5.8)]. Как инерциальное движение выгля-
выглядело бы в пространстве-времени S-типа?
Максимальность интервала требует минимальности
расстояния (довод в пользу этого утверждения такой
же, как в п. 25.18, хотя формула для определения рас-
* Если они движутся достаточно медленно, то возможностью частичной
взаимозаменяемости пространства и времени (гл. 11) можно пренебречь.
25.26м 367
стояния стала сложнее). Поэтому (отвлекаясь от во-
вопроса о скорости), согласно нашему критерию макси-
максимальности интервала (пп. 25.19 и 25.23), пространст-
пространственная траектория любого объекта, движущегося по
инерции в пространстве-времени S-типа, должна сов-
совпадать с кривой, расстояние вдоль которой минималь-
минимально. Это, как мы знаем, большой круг (пп. 25.21, 25.22).
Подтверждается ли это экспериментом?
Со стороны движение по инерции в пространстве-
времени S-типа выглядело бы как движение тела, вы-
вынужденного перемещаться по поверхности сферы, но
не испытывающего воздействия каких-либо сил. Отлич-
Отличное приближение такого движения можно получить,
раскрутив веревку, к концу которой привязан какой-
нибудь груз, причем крутить ее нужно так быстро, что-
чтобы влияние тяготения на движение этого груза можно
было считать незначительным. По какой траектории
будет двигаться этот груз?
В идеальном случае (поскольку он, по всей веро-
вероятности, будет двигаться недостаточно быстро) — по
большому кругу. Таким образом, критерий максималь-
максимальности интервала позволяет получить правильный ответ
при изучении чисто пространственных аспектов дви-
движения по инерции в пространстве-времени S-типа. Это
довольно тривиальный пример; но как бы там ни бы-
было, он подкрепляет наше предположение, что критерий
мировой линии, вдоль которой интервал принимает
наибольшее значение, позволяющий выделить из все-
всевозможных движений инерциальное движение, остает-
остается в силе даже в тех случаях, когда метрика сложнее,
чем B5.2).
25.25. В данном случае более сложная метрика возникла по-
потому, что мы выбрали конкретное двухмерное простран-
пространство, «вырезанное» из обычного трехмерного простран-
пространства. Не исключено, что такие аналоги подкрепляют
нашу надежду на то, что критерий максимальности ин-
интервала применим и в тех ситуациях, когда усложнение
метрики обусловлено тяготением, подобно метрике
B4.8), интерпретированной как в п. 24.19, или в более
важных примерах, которые мы рассмотрим ниже.
25.26м. Чтобы выделить прямую линию, инвариант должен при-
принимать минимальное значение, а чтобы выделить миро-
мировую линию тела, движущегося по инерции, — макси-
максимальное. Оба требования удобно объединить одним
термином — «экстремальное значение», синонимом фра-
фразы «либо максимальное, либо минимальное значение».
25.27м
Поэтому критерии выделения прямых и мировых
линий инерциальных наблюдателей (пп. 25.2, 25.17)
можно было бы переписать так, чтобы они оба окан-
оканчивались словами: «... имеет экстремальное значение».
25.27м. Кривые, вдоль которых инварианты принимают экстре-
экстремальные значения, называются геодезическими. Если
договориться, что точка в пространстве-времени озна-
означает событие, а кривая — мировую линию или линию
сигнала, то можно дать следующее определение:
геодезической называется единственная из всех кри-
кривых, соединяющих две точки, вдоль которой инва-
инвариант принимает экстремальное значение*.
Пусть пока это экстремальное значение отлично от
нуля. Тогда кривая называется обыкновенной геодези-
геодезической, так что в пп. 25.2, 25.17 и 25.21 мы встреча-
встречались с обыкновенными геодезическими.
В большинстве случаев можно не беспокоиться
о том, является ли это экстремальное значение макси-
максимальным или минимальным. Когда потребуется, мы
вспомним, что первое соответствует пространству-вре-
пространству-времени, а второе — пространству.
25.28. Нашу надежду на критерий максимальности интервала
как на средство, позволяющее при любых условиях
распознать движение по инерции, или свободное паде-
падение, можно теперь выразить с помощью геодезических.
Дадим строгую формулировку:
Гипотеза геодезичности
Даже в присутствии тяготения, делающего метрику
более сложной, чем B5.2), мировая линия тела,
движущегося по инерции (свободно падающего), —
это обыкновенная геодезическая.
Еще раз бегло просмотрев п. 24.27, вы увидите, что
теперь у нас есть четкая программа изучения свобод-
свободного падения тел в поле тяготения. Но, чтобы эта про-
программа имела практическую ценность, нужно уметь оп-
определять, которая из кривых является геодезической,
когда задана метрика исследуемого пространства-вре-
пространства-времени с полем тяготения. Обучению этой премудрости
будет посвящена вся следующая глава.
* В нашем изложении мы ни разу не встретимся более чем с одной геоде-
геодезической, проходящей между двумя точками. Но это возможно в других си-
ситуациях, и тогда потребуется определение более общего характера.
26
КАК НАЙТИ ГЕОДЕЗИЧЕСКУЮ
26.1М. Это трудная глава, зато предварительные замечания
просты. С помощью тождества A6.10) получим
(х-ЬJ— Ь2=(х—Ъ—b)(x— b+b) = (x—2b) х.
Поменяв местами правую и левую стороны и применив
правило из п. 16.12М, найдем
Поскольку это равенство получено из тождеств, оно
также является тождеством (п. 16.9М), т. е. выполня-
выполняется для любых х и Ь.
26.2М. При каких значениях х выражение х2—2Ьх экстре-
экстремально (величина b остается постоянной)? Квадрат
разности (х—ЬJ в B6.1) не может быть отрицатель-
отрицательным (п. 24.20М), значит, его минимальное значение
равно нулю, а достигается оно при х = Ь. Выражение
х2—2Ьх отличается от (х—ЬJ только на постоянную
величину б2, поэтому оно также минимально при х = Ь.
В то же время эту величину можно сделать сколь
угодно большой, беря достаточно большие значения х.
Значит, у нее есть единственное экстремальное значе-
значение—-минимум при х = Ь.
26.3М. Теперь рассмотрим более общее выражение тх2—2пх>
где т и п — постоянные. Его можно записать в виде
(п. 16.12М)
т(х2— 2пх/т).
Тогда из сказанного в п. 26.2М (при Ь — п/т) следует,,
что
тх2—2пх имеет экстремум при х=п/т.
(Будет ли это минимум или максимум, зависит от то-
того, является ли величина т положительной или отри-
отрицательной соответственно.)
26.4М. Задача, к решению которой мы приступаем, — найти
геодезическую, если задана метрика, — это, как ни
печально, труднейшая математическая задача из всех,,
которые нам до сих пор встретились, и даже, может
быть, самая сложная во всей книге. Дело в том, что ее
24—1653
26AM 370
решение начиная отсюда и до п. 26.23 состоит из еди-
единой цепи рассуждений. Вы, возможно, не привыкли к
столь длительной и непрерывной аргументации, но
здесь я бессилен. Например, было бы немного проку
от нескольких разделов, содержащих формулировки
различных математических положений, как я делал
выше. Это лишь удлинило бы и без того длинную цепь
рассуждений и затруднило бы их восприятие как еди-
единого целого. Напротив, мне придется по возможности
сокращать рассуждения, более полно используя лако-
лаконичность языка математики.
Поэтому настройтесь на более долгие размышления
над каждой фразой, чем до сих пор (п. 16.23). Если
вам не удастся с ходу уловить смысл той или иной
формулы, расшифруйте входящие в нее символы так,
чтобы она стала ясной. Изредка вам придется, как в
самом начале книги, прочитать формулу целиком в
развернутом виде. Например, посмотрите на формулу
B6.9); неважно, что означают величины ар и cxq, но
вот К — это постоянное число. Нетрудно догадаться:
значит, (\/К-\-1)—тоже постоянная величина, и из
формулы следует, что квадрат суммы crp-ftfQ пропор-
пропорционален (п. 15.ЗМ) Ke2v + o2Q. А теперь посмотрите
на формулу B6.12). На первый взгляд это что-то
ужасно сложное, но если посмотреть повнимательнее,
то прекрасно видно, что выражение /Ca2p + a2Q можно
представить в виде суммы большого числа отдельных
членов, каждый из которых довольно прост. Затем
можно узнать о каждом члене именно то, что нужно.
Для начала не слишком вникайте в подробности, а
постарайтесь понять общую идею этой длинной цепи
рассуждений. Чтобы вам помочь, я избрал своеобраз-
своеобразную форму изложения. Исходная задача для нас
слишком трудна, поэтому будем стараться ее упрос-
упростить. Но она по-прежнему сложна, и мы снова и снова
будем ее упрощать. После четвертого упрощения по-
получается задача, которую мы способны решить. А за-
затем шаг за шагом мы будем отказываться от упроще-
упрощений.
Очень важно не увязнуть в деталях, поэтому в тех
местах, где есть опасность, что попытка вникнуть в не-
неясную деталь может увести в сторону от самого глав-
главного, я просто писал: «Можно доказать, что ...»—
и давал ссылку на более поздний раздел. Прочтя его
впоследствии, вы убедитесь в справедливости такого
заявления. Итак, концентрируя внимание на общем
26.7 371
плане, а не на деталях, продолжайте читать вплоть до-
п. 26.27М, где вам будет дан еще один совет.
26.5. Рассмотрим пространство или пространство-время с
тремя координатами: х, у и z. Они могут обозначать
расстояния, или время и расстояния, или результаты
любых других измерений, позволяющих точно задать
точку или событие. Такого рода неопределенность при-
придаст дальнейшим рассуждениям большую гибкость.
Когда дело дойдет до применения полученных ре-
результатов, две из этих координат будут обычно рас-
рассматриваться как пространственные, а одна как ко-
координата времени. Пока для простоты будем считать
х, у и z тремя пространственными координатами и да-
даже представим их себе как расстояния от пола и двух
стен в комнате. Попробуйте вообразить, что какая-то
неведомая сила искривила геометрию и теорема Пифа-
Пифагора требует модификации.
26.6. Инвариант, как обычно, будем обозначать буквой s.
В зависимости от обстоятельств его можно интерпре-
интерпретировать либо как расстояние, либо как интервал.
Метрику запишем в следующем виде (для придания
рассуждениям большей гибкости):
6s2 - a8x2+p8i/2+Y6z2. B6.2)
где греческие буквы а, |3 и у — величины, значения
которых зависят от х, но не зависят от у и г.
Последнее условие чрезвычайно важно, так как без
него следующее ниже доказательство неверно. Но это-
условие очень облегчает работу. Все метрики, с кото-
которыми мы встретимся, будут обладать тем же свойст-
свойством: а, C и у зависят только от одной из координат,
как, например, метрика B4.8).
Метрику B6.2) удобно переписать в виде
8s ^ a B6.3>
(а — греческая буква «сигма»), где
а = a8x2+$by2+y8z2. B6.4)
Почему я написал сг, а не 6а?
Чтобы напомнить, что это не приращение (пп. 25.4
и 25.5м), а иначе мы могли бы впасть в заблуждение
и применить здесь вторую основную теорему (ср. с
п. 25.15м).
26.7, Мы ищем способ отыскания геодезической (п. 25.27м),
проходящей между двумя точками (или событиями) О
и S (рис. 26.7), позволяющий выделить геодезическую
24*
26.8
372
из множества всех кривых, соединяющих О и S. Дру-
Другими словами, мы хотим найти правило, позволяющее
определить координаты каждой точки геодезической.
Но в такой постановке задача слишком сложна, по-
поэтому приступим к процессу последовательных упро-
упрощений.
Рис. 26.7.
26.8. Первое упрощение. Пусть для координаты х задача
уже решена, т. е. для каждой точки известно правиль-
правильное значение х и остается только менять значения ко-
координат у и z каждой точки до тех пор, пока не полу-
получится экстремальное значение инварианта, измеренно-
измеренного вдоль кривой от О до S.
Поскольку изменение значений координат у и г не
влияет на а, »р и у (п. 26.6), можно считать, что в каж-
каждой точке кривой эти величины остаются постоянными
(хотя от точки к точке они меняются). Это — неболь-
небольшое упрощение, но задача по-прежнему слишком
26.9
373
сложна, поэтому начнем подготовку ко второму упро-
упрощению.
26.9. Отчасти трудность связана с тем, что 8s известно
только из приближенной формулы B6.2). Первое, что
приходит на ум, — подставить а вместо 6s. Но такая
замена будет вполне удовлетворительной только для
достаточно малого отрезка кривой. Поэтому разделим
Рис. 26.9.
кривую от О до S на отрезки (отмеченные на рис. 26.7
точками). Если KL — типичный отрезок, то &х, 8у и
8г — приращения координат х, у и z при перемещении
из точки К в L; соответствующие значения 6s и а оп-
определяются из B6.2) и B6.4).
На рис. 26.9 отрезок KJL для наглядности дан в уве-
увеличенном масштабе. Приращение 8л; не показано, так
как мы полагаем, что частично задача уже решена.
Приращения ду и бе на чертеже, как это принято, изо-
изображены в виде горизонтального и вертикального от-
отрезков соответственно. Кроме того, указано прираще-
приращение 6s инварианта, измеренного вдоль кривой. Штри-
Штриховая линия напоминает, что а не инвариант, а ве-
величина, связанная с ним приближенной (формулой
B6.3) и определяемая формулой B5.4).
Полное значение инварианта s, измеренного вдоль
кривой от О до S, можно найти сложением всех при-
приращений 6s, но это для нас слишком сложно. Поэтому
временно договоримся брать для каждого отрезка, на
которые была разбита кривая, значения а (вместо
6s) и складывать именно их. Пусть 2 (прописная бук-
буква «сигма») означает сумму всех таких а. Согласно
B6.3), а для каждого отрезка приближенно равно
приращению 6s, поэтому при сложении всех отрезков
2 дает приближенное значение s. Отсюда следует
26.10
374
26.10. второе упрощение. Мы ищем условия, обеспечивающие
экстремальное значение 2 (вместо s).
Но иметь дело сразу со всей кривой слишком труд-
трудно, поэтому решим задачу попроще, рассматриваю-
рассматривающую всего три точки. Отсюда следует
26.11. третье упрощение. Из множества отрезков, на которые
была разбита кривая, выберем два смежных отрезка
PQ и QR (рис. 26.7). Предположим, что дважды упро-
F
Рис. 26.11.
щенная задача уже решена для точек Р и R. Тогда на-
наша цель — найти правильное положение третьей точки
Q между этими двумя.
А именно: мы должны установить координаты точ-
точки Q, такой, чтобы сумма значений а от Р до Q и от
Q до R имела экстремальное значение.
Из сделанного в п. 26.8 упрощения, что в каждом
случае известна координата х, следует (п. 26.6), что
можно найти значения а, |3 и у в каждой точке. Чтобы
отличать а, р и 7, вычисленные в Р, и бх, 6у9 бг и а
с началом в Р, снабдим их индексом Р. Индексом Q
обозначим аналогичные величины, вычисленные в Q
или с началом в Q. Точнее ар, Рр и yp— это значения,
которые а, |3 и у принимают в Р, a iceq, Cq и yq — их
значения в Q. Далее, блгр, бур, бгр и а — это значения
величин бя, Ьу, бг и а, которые они принимают между
Р и Q. Рис. 26.11, на котором приведен в увеличен-
увеличенном масштабе фрагмент рис. 26.7, снова служит лишь
для наглядности. Несмотря на его сложность, смысл
указанных на этом рисунке обозначений довольно
прост. Тогда, согласно B6.4), получим
B6.5)
. B6.6)
26.14 375
Теперь задача сводится к отысканию таких значе-
значений приращений, для которых достигается экстремум
СуММЫ (Tp+'CTq.
26.12. С помощью формул B6.5) и B6.6) задачу можно
сформулировать иначе: найти соотношения между при-
приращениями, чтобы выражение
B6.7)
имело экстремальное значение. Сложность выражения
могла бы повергнуть в уныние даже опытного мате-
математика. Конечно, он мог бы решить его «в лоб», но
сначала постарался бы найти более легкий путь. Это
привело бы к
26.13. четвертому упрощению. Есть бесконечно много пра-
правильных положений точки Q. На рис. 26.11—это лю-
любое положение точки на кривой между Р и R. Если
считать, что Q движется вдоль кривой от Р к R, то ар
будет постепенно возрастать, a ctq — уменьшаться.
Значит, отношение oq/o-p может быть любым положи-
положительным числом. Таким образом, если выбрать конк-
конкретное значение /С, то будет указано, где именно на
кривой между Р и R находится новое положение точ-
точки Q. Итак, мы хотим найти конкретное положение
точки Q, для которого
B6.8)
26.14. С помощью B6.8) можно доказать, что
B6-9)
(Доказательство будет приведено в п. 26.29.) Отсюда
следует, что если сумма (Xp+ktq имеет экстремальное
значение, то Ko2p+'O2q также экстремально, и обрат-
обратно: если Ko2p + o2q имеет экстремальное значение, то
ctp + ctq также экстремально. (Справедливость послед-
последнего утверждения гарантируется тем, что если сумма
ctp + ctq положительна, то она не может стать отрица-
отрицательной, и наоборот, ибо измерения производятся
только в одном направлении вдоль кривой.) Итак,
вместо того чтобы решать сложную задачу, сформули-
сформулированную в п. 26.12, требуется узнать, при каких зна-
значениях приращений координат достигается экстремаль-
экстремальное значение выражения /Cct2p + ct2q. С этой задачей мы
можем справиться.
26.15 376
26.15. Поскольку точки Р и R фиксированы (третье упро-
упрощение), приращения координат у и г при переходе от
первой точки ко второй являются постоянными вели-
величинами (обозначим их Ъ и с). Тогда с учетом п. 25.5
получим
&+S&, B6.10)
c. B6.11)
Теперь можно доказать (см. п. 26.30), что (глубоко
вдохните!)
8z*P-2yQc8zP+yQc*. B6.12)
Таким образом, нужно найти значения приращений
координат, при которых выражение, стоящее в правой
части B6.12), достигает экстремума.
26.16. Сделать это не так сложно, как кажется. Мы предпо-
предполагаем, что координата х для каждой точки известна,
поэтому 8хр и 8xq следует считать постоянными вели-
величинами; кроме того, ар, (Зр, yp> aQ> Pq и yq тоже посто-
постоянны (п. 26.8). Значит, в правую часть B6.12) входят
только четыре члена, содержащие переменные. Их
можно попарно сгруппировать следующим образом:
№+Pq) Sj/P2-2pQb6r/P, B6.13)
(*Yp+ Yq) б2Р2-2yqc62p. B6.14)
Теперь осталось найти значение приращений бур
и б2Р, для которых достигается экстремум выражений
B6.13) и B6.14) соответственно, а как это делается,
вы знаете.
26.17. Результаты, полученные в п. 26.ЗМ, позволяют пока-
показать, что B6.13) имеет экстремум при
B6.15)
откуда следует (см. п. 26.31), что
K$P8yP = $Q8yQ. B6.16)
Точно так же B6,14) имеет экстремум при
B6.17)
Это и есть решение нашей четырежды упрощенной
задачи. Если приращения 8yv, 6zP, 6#q и 8zq выбраны
так, что выполняются сотношения B6.16) и B6.17), то
26.21 377
сумма Ko2t> + o2q принимает экстремальное значение;
значит (п. 26.14), выражение op+vq также экстре-
экстремально.
Теперь приступим к обратному процессу.
26.18. Отменим четвертое упрощение. Для этого с помощью
B6.8) избавимся от К (значит, теперь Q может быть
любой точкой кривой между Р и R). Подстановка в
B6.16) вместо К левой части равенства B6.8) дает
откуда
(РР/ар) 6*/р= (pQ/aQ) 8yQ. B6.18)
Аналогичным образом вместо B6.17) получим
(Yp/ap) 8гР = (Yq/cTq) 8zq. B6.19)
26.19. Отменим третье упрощение, перейдя от отрезков PQ
и QR ко всей кривой в целом. Из соотношений B6.18)
и B6.19) следует, что величины $8у/в и убг/а на отрез-
отрезке QR должны иметь точно такие же значения, как и
на отрезке PQ. Поскольку это два типичных отрезка,
можно многократно использовать этот аргумент, чтобы
показать, что (при тех же условиях) величины рбу/ог
и y8z/ay вычисленные для любых отрезков, на которые
была разбита кривая, должны всегда иметь одни и те
же значения. Другими словами,
ф/о) 8у = В, (у/о) б2 = С, B6.20)
где В и С — постоянные. Или, в более удобной форме,
р6у=Яа, у8г = Со. B6.21)
Если эти две формулы справедливы для каждого от-
отдельного отрезка, на которые разбита кривая, то ве-
величина 2 (п. 26.9) имеет экстремальное значение, что
решает задачу в той постановке, в которой она была
сформулирована после второго упрощения.
26.20. Отменим второе упрощение, перейдя от 2 и а к s и 6s.
Воспользовавшись соотношением B6.3), можно заме-
заменить B6.21) на приближенные формулы
y8z~C8s. B6.22)
26.21. Хотя эти приближенные формулы больше не содержат
а, они по-прежнему относятся к задаче отыскания экст-
экстремального значения величины 2, а не s. Для перехо-
перехода от 2 к s воспользуемся таким же методом, как в
пп. 20.22—20.25 и 25.6 и 25.7.
26.22 378
Из B6.3) известно, что приближенная формула
6s ~ а верна для каждого отрезка в отдельности, поэто-
поэтому, собрав все отрезки воедино, получим s~2. Иными
словами, разбивая кривую на достаточно большое чис-
число достаточно малых отрезков, можно добиться, что-
чтобы величина 2 была сколь угодно хорошим приближе-
приближением к s*.
Это справедливо для любой кривой, соединяющей
точки О и S, независимо от того, имеет ли она такую
форму, для которой 2 достигает экстремального зна-
значения или нет. Значит, разбивая кривую на достаточно
малые отрезки, можно добиться, чтобы условия, обес-
обеспечивающие экстремум 2, были бы сколь угодно близ-
близки к условиям, обеспечивающим экстремум величи-
величины 5. Но условия экстремума 2 сводятся к тому, что
приближенные формулы B6.22) должны выполняться
для всех отрезков кривой. Эти формулы уже содержат
в себе требование выбора достаточно малых отрезков,
т. е. они являются условиями экстремума величины s.
Итак, чтобы кривая была геодезической, формулы
B6.22) должны выполняться для любого из отрезков,
на которые она разбита. Иначе говоря, они должны
выполняться, когда бу, бг и 6s — приращения (подоб-
(подобные изображенным на рис. 26.9), исходящие из любой
точки кривой.
26.22. Отменим первое упрощение, исключив оговорку, что
для координаты х задача уже решена. Для этого не-
необходимо показать, как найти правильное значение
координаты х каждой точки кривой, т. е. нужно най-
найти приближенную формулу для 6л; в дополнение к фор-
формулам для 8у и 8z.
На этот раз нельзя применять метод, разработан-
разработанный для у и z, поскольку при выводе формулы B6.15)
мы исходили из того, что /Срр + Рд и $qb постоянны
(подобно т и п из п. 26.ЗМ), но если х меняется, то
это уже неверно.
Однако нам нужна всего лишь приближенная фор-
формула, связывающая 6х и 6s, причем совершенно не
важно, войдут ли в нее 6у и 8z, потому что с помощью
B6.22) их всегда можно исключить. У нас есть
довольно очевидный кандидат на роль этой форму-
формулы— сама метрика B6.2).
* Это утверждение доказывается методом, описанным в п. 20.25, и я не
буду его повторять.
26.24 379
26.23. Итак, мы пришли к следующему выводу: чтобы кри-
кривая была геодезической, для приращений 6#, by, 6z и
6s, исходящих из любой точки этой кривой, должны
быть справедливы формулы B6.2) и B6.22).
Если вам не все ясно в этой длинной цепи рассуж-
рассуждений, пока не пытайтесь вникать в нее, лучше поста-
постарайтесь понять вывод; а теперь приведем очень про-
простой пример, показывающий, как применять его на
практике.
У меня нет возможности детально обсудить смысл
этого вывода, поэтому дам лишь руководство к дейст-
действию. Сначала выясните смысл приращений бл:, 8#, bz
и 8s (рис. 26.9) и величин ос, р и y (п- 26.6). Затем
убедитесь, что вы понимаете сущность трех прибли-
приближенных формул. Для этого используйте пп. 20.20м
(и предваряющие его замечания), 21.42м и 24.16м.
Чтобы иметь общее представление, вполне достаточ-
достаточно считать, что первая формула B6.22) утверждает
следующее: выбором достаточно малых значений Ьу
формулу p6# = B6s можно сделать сколь угодно точной.
В B6.2) следует выбирать достаточно малые значения
приращений 6х, Ьу и 8z.
По существу, эти три формулы показывают, как
должны меняться по отношению друг к другу вели-
величины 8*, Ьу, Ьг и 6s по мере смещения точек К и L
(рис. 26.9) в другие положения, если рассматриваемая
кривая — геодезическая.
И только когда вы почувствуете уверенность, что
разобрались в смысле сделанного вывода, переходите
к следующему примеру.
26.24. Найдем геодезическую в пространстве-времени специ-
специальной теории относительности в одномерной вселен-
вселенной. Поскольку имеются всего две координаты, отбро-
отбросим в B6.2) 8z и получим
Заменив х на X, а у на Т и положив а ——1, Р = 1, по-
получим приближенную формулу
8s2~8T2—6X2, B6.23)
т. е. метрику B5.2) пространства-времени специаль-
специальной теории относительности. В этом простом случае а
и р постоянные. Но договоримся считать, что а и р за-
зависят от X, поэтому эквивалент приближенной фор-
формулы B6.22) применим только к 67. Заменим в первой
26.25 380
формуле B6.22) у на Т и положим р=1, что даст
bT~B8s; перепишем это в виде
8s~D8T, B6.24)
где D=\jB тоже постоянная. Итак, для геодезической
приращения должны быть связаны приближенными
формулами B6.23) и B6.24).
Исключим приращение 6s, подставив вместо него
в B6.23) D8T B6.24). В результате получим
откуда (пп. 3.19М, 9.12М, 16.12М)
6ЛГ2~A— D2)8T2. B6.25)
Согласно гипотезе геодезичности (п. 25.28), эта
формула описывает движение инерциального наблюда-
наблюдателя, который должен двигаться так (с точки зрения
другого инерциального наблюдателя, производящего
измерения), чтобы пройденное им за время 8Т рас-
расстояние равнялось 8Х, а эти величины связаны соотно-
соотношением B6.25). Какова его скорость?
26.25. Из формулы B6.25) и п. 24.22 следует, что квадрат
скорости инерциального наблюдателя равен постоян-
постоянной величине 1—D2. Значит, постоянна и сама ско-
скорость. Итак, гипотеза геодезичности наряду с разви-
развитым методом поиска геодезических приводит к пра-
правильному выводу, что инерциальный наблюдатель
движется относительно другого инерциального наблю-
наблюдателя с постоянной скоростью. Найдите ограничение
на величину возможной относительной скорости этих
наблюдателей.
26.26. Квадрат любой величины, в том числе и ZJ, положи-
положителен (п. 24.20М). Значит, квадрат скорости (равный
1—D2) меньше 1; поэтому и скорость меньше еди-
единицы. Наш метод нахождения геодезических помимо
всего прочего дает правильный вывод, что скорость
одного инерциального наблюдателя относительно дру-
другого неизбежно меньше скорости света.
Чтобы расколоть обычный орех, мы использовали
мощный паровой молот, и в скорлупе оказалось зна-
знакомое нам ядрышко. Надеюсь, такое злоупотребление
мощностью орудия помогло вам лучше понять, как ра-
работает «геодезический паровой молот». Ниже мы при-
применим его на практике, там, где не годятся обычные
щипцы для орехов.
26.29 381
26.27М. Быть может, вы так талантливы, что сразу все поняли
и можете двигаться дальше. Если же вы не в состоя-
состоянии даже оценить общую стратегию, уделите ей вни-
внимание еще раз (и еще раз?). Часто бывает полезным
составить краткие конспекты каждого раздела, затем
расположить их в соответствии с общей стратегией
«упрощай — решай — снова усложняй». Наконец, когда
станет ясен общий план рассуждений, можно вникать
в детали. Здесь особенно важно следовать совету, дан-
данному во втором абзаце п. 26.4М. В заключение позна-
познакомьтесь с приведенными в пп. 26.29—26.31 доказа-
доказательствами тех формул, которые были использованы
выше без доказательства.
26.28М. Двукратное применение правила из п. 16.12М дает
еще одно полезное тождество:
или, в более компактной форме,
(а+bf = a2+2ab+b2. B6.26>
Согласно A5.8),
Отсюда, принимая во внимание п. 24.20М, получим
(a— ЪJ = а2—2ab+b2. B6.27)
26.29. Докажем формулу B6.9). Из B6.8)
<*q = Кор, оР = Oq/K,
поэтому
opoQ = ар/Сар = /fap2,
а также
crPaQ = crQ2//C.
Сложение соответствующих сторон двух последних ра-
равенств дает
2aPaQ = /(ap2+aQ2//(. B6.28)
Тогда, согласно B6.26),
(*p+°QJ= <rP2+2apaQ+aQ2=
B6.28)
п. 16.12М (в обратном порядке)
26.30 382
п. 16.12М; поскольку К умноженное на \/К дает 1
п. 16.12М
26.30. Докажем формулу B6.12). Из B6.10)
8yQ = b—8yp, B6.29)
B6.27)
8yQ2 = b2—
Аналогично
Q pР+
Подставляя эти выражения в B6.6), найдем
aQ2 = aQ6jcQ2+Pg (ЬУР2 — 2Ь6ур+Ь2) + Yq FzP2
п. 16Л2М
Чтобы получить B6.12), нужно к каждой стороне это-
этого выражения прибавить предварительно умноженные
на К соответствующие стороны формулы B6.5).
26.31. Наконец, докажем B6.16). Умножение обеих частей
B6.15) на /CPp + Pq, применение правила из п. 16.12М
и последующее вычитание из обеих сторон получивше-
получившегося выражения величины Pq6#p (если так будет лег-
легче, распишите эту процедуру по этапам) дает
п. 16.12М
B6.29)
26.32. Если обе части первой приближенной формулы B6.22)
разделить на В, то ее можно переписать в виде
6s~B'$6y, где В'=1/В — новая постоянная. Вторую
формулу таким же способом приведем к виду &s~
~C'y6z, где С'=1/С.
26.33. Подведем итог:
мы рассматриваем пространство или простран-
пространство-время с метрикой
6s2 ~ а6*2+р6у2+уб22, B6.30)
26.34М 383
где -а, р и у—величины, которые могут зависеть от
х9 но не от у и z. Пусть б*, Ьу и бг — приращения
соответствующих координат при перемещении из
одной точки кривой (или мировой линии) в другую.
Тогда эта кривая (мировая линия) будет геоде-
геодезической, если приращения связаны соотношением
B6.30) и приближенными формулами
или 6s~B'p6y, B6.31>
или 6s~C'y&, B6.32)
где В, С, В' и С— постоянные.
Выбор того или иного варианта в B6.31), B6.32) —
это вопрос удобства. Но в общем и целом наряду с
B6.30) требуется одна приближенная формула B6.31)
и одна B6.32).
Разумеется, существует множество геодезических:
много прямых на плоскости, много больших кругов на
сфере, много инерциальных наблюдателей. Произволь-
Произвольные постоянные В и С служат, чтобы можно было ус-
установить, о какой из них идет речь.
Мы уже рассмотрели один пример использования
этих приближенных формул для поиска геодезической..
Поупражняемся еще, но прежде изучим новую систе-
систему координат.
26.34М. Вы наверняка знакомы с общепринятой системой изме-
измерения углов, в которой прямой угол делится на 90 гра-
градусов (90°), каждый градус на 60 минут F0') и каж-
каждая минута на 60 секунд F0"). На практике чаще
всего применяются именно эти единицы измерения. Но
для теоретических целей предпочтительнее иная систе-
система измерения углов.
Проведем окружность с центром в вершине О угла
(рис. 26.34), стороны которого пересекаются с ней в
точках Р и S. Измерим длину дуги PS — расстояние
вдоль окружности, а не длину отрезка прямой PS
26.35М 384
(«хорды»). Отношение этой длины дуги к радиусу ис-
используется для измерения углов в единицах, которые
называются радианами. Итак, имеем соотношение
Утл POS в радианах = Д^^5 , B6.33)
откуда следует, что
Длина дуги PS= (Радиус ОР)х
х(Угол POS в радианах). B6.34)
За исключением нескольких практических расчетов,
ниже все углы измеряются в радианах. Не путайте 0
и ф, которые здесь используются для обозначения уг-
углов, с радиолокационными координатами из предыду-
предыдущих глав.
26.35М. Введем новую систему координат для задания поло-
положения точки на плоскости. Зафиксируем положения
точки О, которая называется полюсом, и оси OL
Рис 26.35.
(рис. 26.35). Тогда полярные координаты точки Р —
это 1) длина г отрезка прямой, соединяющей точки О
и Р, и 2) величина Q угла между осью OL и прямой
ОР. Отрезок г называется радиусом-вектором. Эта ве-
величина считается всегда положительной (отрицатель-
(отрицательное г эквивалентно увеличению угла на 180°). Угол 8
(положительный, если переход от OL к ОР осуществ-
осуществляется поворотом против часовой стрелки; в противном
случае — отрицательный) — это полярный угол.
26.36. Теперь выразим в полярных координатах метрику дву-
двумерного плоского пространства. Рассмотрим две точ-
точки: Р с полярными координатами г и Э и Q с поляр-
полярными координатами r + бг и 0 + 68. Таким образом,
0 —это величина LOP (рис. 26.36), а 60—угла POQ.
Длины отрезков ОР и OQ равны соответственно г и
г+6г. Проведем дугу окружности с центром в точке О
радиусом ОР. Пусть она пересекает OQ в точке S.
26.37М
385
Тогда длина отрезка OS равна длине отрезка ОР, рав-
равна г, откуда следует, что длина отрезка SQ = 6r.
Выразим расстояние 8s между Р и Q через 8г и 69.
Рис. 26.36.
Пусть PR — перпендикуляр, опущенный на OQ из точ-
точки Р. Согласно теореме Пифагора,
&а = (Длина отрезка НРJ+(Длина отрезка PRJ. B6.35)
Чем меньше 60, тем ближе S к R, а значит,
Длина отрезка RQ ~ 6г. B6.36)
При этом дуга окружности PS все меньше отличима
от прямой PR, так что
(Длина отрезка прямой PR) ~ (Длина дуги PS).
Но, согласно B6.34), правая часть этого приближенно-
приближенного равенства равна гбб, отсюда
(Длина отрезка PR) ~ г69. B6.37)
Подстановка правых частей соотношений B6.36) и
B6.37) в B6.35) приводит к приближенной формуле
B6.38)
т. е. к искомой метрике.
26.37М. Вы помните, что а2 = аХа, аналогично az
а а4=аХяХяХя и т. д.
Обратите внимание, что (
= г4. Поэтому (ср. с п. 17.25М)
aXaXa,
= г2Х>'2=/*Х/'Х/*Х/'=
«•-¦?-«•.
Г Х г* — г2 ~'
25-1653
26.38 386
Скоро мы воспользуемся этими соотношениями.
26.38. Попробуйте с помощью теоремы из п. 26.33, следуя
примеру из п. 26.24, получить приближенные формулы
для геодезической, когда метрика имеет вид B6.38).
Отбросим последний член в B6.30). В п. 26.33 было
оговорено, что значения аир могут зависеть только
от координаты х. Какая координата в B6.38) играет
роль, соответствующую х?
В формулу B6.38) входит г, а вот 0 не входит.
Значит, роль координаты х играет г. Поэтому, чтобы
перейти от B6.30) к B6.38), нужно вместо х написать
г, а вместо у — 8. Что заменит а?
В B6.30) 'а стоит при величине б*2, которой теперь
соответствует б/*2. Но в B6.38) при 6г2 нет никакого
множителя. Значит, а=1. А что можно сказать о р?
Величине ду2 соответствует 6G2, а перед ней в
B6.38) стоит множитель г2, значит, р = г4. Как теперь
будет выглядеть первая из формул B6.31)? Заменяя
Р на г2 и у на б, получим
r28Q~B8s. B6.39)
Эта приближенная формула и метрика B6.38) оп-
определяют нашу геодезическую. Но нас не интересует
6s. Как избавиться от этой величины?
Из B6.39) следует, что
6s — (r2/B) 60. B6.40)
Подстановка в B6.38) дает
(если не ясно, как это получилось, см. п. 26.37М), от-
откуда
6г2~ (г4/52N82—г2892,
или
бг2 ~ г4 A/52 — 1/r2) 602. B6.41)
(п. 26.37М, а также п. 16.12М).
Итак, последнее соотношение — это приближенная
формула, связывающая приращения радиус-вектора г
и угла 8 при перемещении из одной точки геодезиче-
геодезической в другую.
26.39. Теперь вспомним, что независимо от системы коорди-
координат геодезическая на плоскости — это прямая (п. 25.2),
Чтобы исчезли всякие сомнения, необходимо независи-
независимо доказать, что B6.41) описывает прямую линию.
Разумеется, можно выполнить численную проверку*
26.40 387
составив таблицу зависимости г от 8 (методом, кото-
которым в гл. 21 определялась зависимость ft от к). Для
простоты возьмем В=1. Тогда исходное значение г
должно быть больше 1 (так как, согласно п. 24.20М,
величины 6г2 и 6Э2 не могут быть отрицательными).
Поскольку выбор положения оси OL на плоскости
произволен, начните с 8 = 0. Помня, что углы измеря-
измеряются в радианах, выберите размер приращения 69
(затем методом, изложенным в п. 21.22, можно про-
проверить, достаточно ли мал выбранный шаг). Тогда
формула B6.41) позволяет рассчитать соответствую-
соответствующее значение бг, а значит, и г, с которого начинается
второй шаг, и т. д. В конечном итоге с помощью
транспортира и линейки можно начертить результи-
результирующую кривую и удостовериться, что это почти пря-
прямая линия.
Сам я из-за занятости (а возможно, и лени) ни-
никогда не проделывал подобных расчетов, хотя и реко-
рекомендовал сделать их своим слушателям. К счастью,
незадолго до того, как я закончил писать этот раздел,
их выполнил мой 69-летний слушатель из Ноттингема
Стен Зоубел. Он выбрал исходное значение г= 1,2 и
шаг 68 = 0,02 радиана и нашел, даже не прибегая к по-
повышающему точность методу, описанному в пп. 21.19
и 21.20, когда он достиг 8 = 0,2 радиана AГ27'33"),
что значение г отличалось от значения, которое требу-
требуется, чтобы линия была прямой всего на 0,56%. Про-
Проделайте аналогичный расчет.
26.40. Численные упражнения полезны. Но нам нужно дока-
доказать в общем случае, безотносительно к геодезиче-
геодезическим, что формула B6.41) правильно описывает взаи-
взаимосвязь приращений г и 8 при перемещении из одной
точки прямой линии в другую. Пусть Р и Q — любые
две точки на прямой MPQ (рис. 26.40). Обозначим
буквой h длину перпендикуляра ОМ, опущенного на
эту прямую из точки О. В остальном диаграмма ничем
не отличается от чертежа на рис. 26.36.
Треугольники PQR и OQM — прямоугольные и
имеют один и тот же угол при вершине Q. Значит, они
подобны и (ср. с п. 9.13) существует такой масштаб-
масштабный множитель, что
Длина отрезка PQ =
= (Длина отрезка OQ) X (Масштабный множитель),
Длина отрезка PR =
= (Длина отрезка ОМ) х (Масштабный множитель).
25*
26.40
388
После деления каждой стороны первого равенства на
соответствующую сторону второго получим
Длина отрезка PQ Длина отрезка OQ
Длина отрезка PR Длина отрезка ОМ *
B6.42)
Чем меньше приращение, тем ближе точка Q к Р,
так что (длина отрезка OQ)~r. Длина отрезка PQ
равна 5s, длина отрезка ОМ равна /г, и, согласно
Рис. 26.40.
B6.37), длина отрезка PR~r68. Подстановка этих
выражений в B6.42) дает
6s/r69 — г IK откуда 6s ~ (r2/h) 69.
Если положить B = h, то эта формула совпадает с
B6.40). Итак, мы вывели последнюю приближенную
формулу методом, никак не связанным с геодезически-
геодезическими. Но это соотношение уже было получено из другой
приближенной формулы — из метрики B6.38), — кото-
которой мы пользовались при вычислениях в п. 26.38.
Итак, независимо доказана справедливость формулы
B6.41), причем метод изучения геодезических дает
правильный ответ.
Установив, что В = А, мы можем переписать при-
приближенную формулу B6.41), связывающую прираще-
приращения при перемещении из одной точки прямой в дру-
другую, в виде
8г* ~ г4 (l//i2— 1/г2) 692, B6.43)
где h — длина перпендикуляра, опущенного на эту
прямую из точки О.
26AS 389
26.41. Рассмотрим еще один пример: с помощью нашего ме-
метода исследуем движение по инерции на плоскости в
полярной системе координат, по-прежнему считая, что
тяготение отсутствует. Если 8s— интервал, то 6s2 ~\
~8t2—(Приращение расстоянияJ. Согласно B6.38)9
(Приращение расстояния) 2~бг2 + г2б92. Отсюда
б$2 ^ б/2—бг2—г2б92 B6.44)
и есть метрика рассматриваемого пространства-вре-
пространства-времени. Выведите приближенные формулы, описываю-
описывающие геодезические.
26.42. Здесь координатой, от которой зависят а, р и у, явля-
является г. Значит, /•, 0 и t можно отождествить с х, у и z
из п. 26.33. Но тогда .<х = —1, р = —г2 и у=\.
На этот раз удобно выбрать вторую формулу из
B6.31) и первую из B6.32). Теперь они будут иметь
вид
B6.45)
B6.46)
где В (подставленное вместо — В') и С — постоянные.
(Если не понятно, как это получилось, выпишите при-
приближенные формулы из п. 26.33 и подставьте в них г,
6 и /. Итак, формулы B6.44) — B6.46) описывают
геодезическую, которая (согласно п. 25.28) является
мировой линией инерциального наблюдателя.
26.43. Допустим, что нас интересует только траектория инер-
инерциального наблюдателя, а не его скорость. Тогда из
приближенных формул следует исключить б/ и 6s.
(Сделайте самостоятельно алгебраические преобразо-
преобразования. Все, что нужно для этого знать, мы уже изучи-
изучили.)
Подставив в B6.46) вместо 8s правую часть
B6.45), получим Qt~BCr28Q. Подстановка в B6.44)
вместо 8t и 8s правых частей этого соотношения и
B6.45) приводит к приближенной формуле
В V662 ~ 52Сг4б62— бг2— г2б92,
откуда бг2—(fi2CV4—SV—г2)б92. Обозначим В2^—
—В2=1//г2, тогда после несложных преобразований по-
получим
6г2~ г4A//12— 1/г2)б92.
Таким образом, как следует из сравнения этой фор-
формулы с B6.43), мы доказали, что инерциальный на-
26.44 390
блюдатель в отсутствие тяготения движется по прямой
(относительно другого инерциального наблюдения, ко-
который измеряет наши координаты). Снова мы круж-
кружным путем пришли к тому, что уже знаем. Это еще
одно подтверждение того, что метод геодезических да-
дает правильные результаты.
26.44. Приводит ли наш метод к ожидаемому результату в
случае свободного падения тел в однородном поле тя-
тяготения? Если вы пропустили пп. 17.24 и 17.27, прора-
проработайте их теперь.
На этот раз метрика описывается формулой B4.8)
(см. п. 24.19). Величины аир теперь зависят от х>
поэтому координате х соответствует х из B6.30) (бг
мы снова отбросим). Кроме того, 8у из B6.30) соот-
соответствует 8t из B4.8), значит, ia= — A+2/л;), а Р=1 +
+ 2fx. Тогда вторая из формул B6.31) дает 6s ~
~ В A + 2fx) б/, где В — постоянная. Подставляя в
B4.8) вместо 8s правую часть этого соотношения, по-
получим
б*2—A -f-2/x) б*2,
откуда (после деления обеих частей на l+2fx и т. д.)
следует соотношение
б*2 ~ {1 — В2 A + 2fx)} 8t2. B6.47)
Согласно гипотезе геодезичности (п. 25.28), эта
приближенная формула должна описывать движение
свободно падающего тела. В некоторый момент време-
времени оно находится на расстоянии х (от наблюдателя на
опоре, измерениями которого мы здесь пользуемся;
п. 24.19). Через время б/ после этого момента тело пе-
переместится на расстояние 8х, где б* и б/ связаны фор-
формулой B6.47). Какова его скорость?
26.45. Если v — скорость этого тела, то (п. 24.22)
иа = 1— B2(l -f-2/x). B6.48)
Постоянная В определяет значение jc, при котором
и = 0, т. е. высоту, с которой падает тело (или начина-
начинает падать обратно, если его бросили вверх). В про-
простейшем случае, когда 5 = 1, формула B6.48) имеет
вид v2 = —2fx, так что тело начинает падать из точки
с координатой х=0. Знак минус указывает на отрица-
отрицательное направление (вниз) ускорения. Поэтому если
измерять расстояния сверху вниз, то можно написать
v9^2fx. B6.49)
26.47 391
Что напоминает эта формула?
Она совпадает с формулой A7.16), которая описы-
описывает взаимосвязь между (малой) скоростью и прой-
пройденным (из состояния покоя) расстоянием при движе-
движении с постоянным ускорением. Итак, мы убедились,
что применение гипотезы геодезичности к метрике про-
пространства-времени с однородным полем тяготения да-
дает правильный результат: любое свободно падающее
тело движется с постоянным ускорением.
Если вас не устраивает, что падение происходит о
равной нулю высоты (т. е. из точки, расположенной
рядом с наблюдателем на опоре), то постарайтесь до-
доказать, что при v = 0 на высоте х = Хо v2&—2f(x—хо)9
откуда следует тот же самый вывод. При выводе этой
формулы предполагалось, что величины fx0 и fx очень
малы по сравнению с 1 (п. 24.18) и использованы при-
приближенные соотношения:
26.46. Полученный результат частично отвечает на вопрос,
поставленный в п. 24.23. Если задана метрика прост-
пространства-времени с однородным полем тяготения, то с
помощью нашего метода геодезических можно найти
поведение свободно падающих объектов. Мы убеди-
убедились, что гипотеза геодезичности дает правильный от-
ответ в двух случаях: когда поле тяготения отсутствует
и когда есть однородное поле. Быть может, эта гипо-
гипотеза останется в силе, когда тяготение меняется от
точки к точке.
Идея такова: если известна метрика, характеризую-
характеризующая геометрию пространства-времени (пп. 12.21, 12.22
и 24.6), то можно автоматически, путем исследования
геодезических, получить ответ на вопрос, как движутся
свободно падающие или инерциальные наблюдатели.
Короче говоря, движение по инерции, по существу, оп-
определяется геометрией независимо от того, есть ли тя-
тяготение, или нет. Это несомненно, глубочайший перево-
переворот в мировоззрении, поскольку здесь предполагается,
что естественное движение, ничем не ограниченное
движение по инерции, определяется исключительно
геометрией. Таков вывод общей теории относительно-.
сти Эйнштейна, к пониманию которой мы упорно стре-
стремимся.
26.47. Даже на этом простом примере свободного падения в
однородном поле тяготения легко заметить различие
между ньютоновским и эйнштейновским подходами к
26.47 392
проблеме гравитации. Предположения, лежащие в ос-
основе теории Ньютона, следующие:
HI. Геометрия пространства-времени — евклидова
геометрия с добавленным к ней временем.
Н2. Если на тело не действуют никакие силы, то
его мировая линия — геодезическая, а это, в соответст-
соответствии с (HI), означает, что оно движется равномерно и
прямолинейно. Но, к сожалению, тела падают (дви-
(движутся с ускорением вниз) даже тогда, когда на них
не действуют никакие наблюдаемые силы (ср. с
пп. 23.9—23.11). Поэтому Ньютон предположил, что
НЗ. Существует универсальная сила, действующая
на любое тело, — сила тяготения. Чтобы объяснить,
почему все тела имеют одинаковое ускорение, он по-
постулировал, что сила тяготения пропорциональна мас-
массе тела, на которое она действует (п. 23.10).
Совершенно иной, эйнштейновский, подход можно
изложить в виде следующих утверждений:
31. Геометрия пространства-времени характеризу-
характеризуется (в рассматриваемом нами случае) метрикой
B4.8).
32. Если на тело не действуют никакие силы, то
его мировая линия — геодезическая.
Отсюда, как было показано в пп. 26.44 и 26.45, ав-
автоматически, без привлечения гипотезы о существова-
существовании силы тяготения, следует, что все тела, если их
предоставить самим себе, будут двигаться с направ-
направленным «вниз» одинаковым, постоянным ускорением.
Заметьте, что в теории Эйнштейна на одно предпо-
предположение меньше, чем в теории Ньютона. Предположе-
Предположения (HI) и (Э1) касаются геометрии пространства-
времени; предположения (Н2) и (Э2) совпадают: лю-
любое тело, предоставленное самому себе, движется по
геодезической. В теории Эйнштейна, чтобы получить
правильный вывод о поведении свободных тел, доста-
достаточно предположений (Э1) и (Э2), тогда как теория
Ньютона давала неправильный ответ до тех пор, пока
он не добавил предположение (НЗ).
Поскольку теория гравитации Эйнштейна содержит
на одно предположение меньше, в своей основе она
проще теории Ньютона (хотя с математической точки
зрения она сложнее).
27
ТЯГОТЕНИЕ И ЗАКОН ОБРАТНОЙ
ПРОПОРЦИОНАЛЬНОСТИ
КВАДРАТУ РАССТОЯНИЯ
27.1. Однородное поле тяготения — это лишь приближение к
реальности, достаточно хорошее в малых областях
пространства. В пп. 23.14 — 23.16 был описан единст-
единственный для таких малых масштабов опыт, в котором
различие предсказаний эйнштейновской и ньютоновской
теорий тяготения поддается обнаружению. Дальнейшая
проверка теории тяготения Эйнштейна требует перехода
к протяженным областям пространства, в которых тяго-
тяготение заметно изменяется от точки к точке. Чтобы спра-
справиться с этой более сложной задачей, необходимо мо*
дифицировать два из основных предположений.
27.2. Наиболее фундаментальное предположение, принцип
относительности Эйнштейна (п. 5.11), содержит в явном
виде условие «в отсутствие тяготения...». Равноправны
ли по-прежнему инерциальные наблюдатели в однород-
однородном поле тяготения?
Да, равноправны, поскольку в этом случае инер-
инерциальные наблюдатели в точности подобны наблюдате-
наблюдателям в отсутствие тяготения, если их наблюдать из уско-
ускоренной системы отсчета (пп. 23.6 и 23.12).
27.3. Но если тяготение меняется от точки к точке, то этот
принцип больше не верен. Вообразим для простоты, что
Земля — единственное массивное тело во Вселенной.
Тогда б и г из п. 23.5 — два инерциальных наблюдате-
наблюдателя: один на поверхности Земли, а другой очень далеко
от нее в глубинах космического пространства. Нам уда-
удалось показать (п. 23.6), что результаты опытов этих
наблюдателей совпадают только потому, что мы поме-
поместили их в небольшие помещения. Совпадут ли их впе-
впечатления, если позволить им понаблюдать за объектами,
движущимися по инерции на расстоянии несколько ты-
тысяч километров от них?
Нет не совпадут. С точки зрения наблюдателя б,
такие предметы будут двигаться с ускорениями, разли-
различающимися по величине и по направлению (в зависи-
зависимости от положения относительно центра Земли). Но
наблюдатель г не обнаружит никаких отклонений от
равномерного и прямолинейного движения. Если эти
27 А 394
наблюдатели могут проводить измерения с высокой
точностью, то результаты опытов будут различаться да-
даже тогда, когда они поставлены в их маленьких лабо-
лабораториях. В самом деле, когда наблюдатель б отпуска-
отпускает пробные частицы на расстоянии вытянутой руки от
себя, их медленно сносит к нему (поскольку прямые,
вдоль которых движутся он и они, пересекаются в
центре Земли). Но пробные частицы наблюдателя z бу-
будут сохранять свое положение по отношению к нему.
Разумеется, можно рекомендовать им ставить экспе-
эксперименты, в объеме пространства порядка кубического
миллиметра, продолжающиеся не более наносекунды.
Тогда им не удалось бы наблюдать это различие в по-
поведении пробных частиц, если бы они не сумели сильно
повысить точность измерений. Легко убедиться, что, чем
меньше пространственный и временной масштабы экс-
эксперимента, тем выше должна быть точность измерений,
чтобы обнаружить хоть какое-нибудь различие между
результатами б и г. Иными словами, проводя экспери-
эксперимент в достаточно малом объеме пространства и в тече-
течение достаточно коротких промежутков времени, можно
добиться, чтобы инерциальные наблюдатели были рав-
еоправными с любой степенью точности. Как выразить
это утверждение с помощью единственной приближен-
приближенной формулы?
27.4. Мы уже знаем (пп. 12.23, 24.8 и 24.10), что в выраже-
выражении «метрика имеет вид B4.3)» содержится вся специ-
специальная теория относительности, в том числе равноправ-
равноправность инерциальных наблюдателей. Поэтому нужно
лишь заменить знак «==» на «~» и записать метрику в
виде приближенной формулы
6s2 — 8Т*—8Х2. B7.1)
(это нужно делать всегда, когда интервал измерен
вдоль мировой линии; п. 25.8).
Если 6Г и ?>Х— измерения любого инерциального
(свободно падающего) наблюдателя, то из B7.1) сле-
следует., что можно добиться равноправности инерциальных
наблюдателей с любой степенью точности, выбирая до-
достаточно малые значения ЬТ и 6Х, т. е. производя изме-
измерения в достаточно малой области пространства-вре-
пространства-времени.
Поэтому ниже утверждение о равноправности инер-
инерциальных наблюдателей будет записываться в виде
•приближенной формулы B7.1).
277 395
27.5. Тогда принцип эквивалентности, сформулированный
в п. 23.8, справедлив только в однородном поле тяготе*
ния. Рассуждения из п. 23.7 верны только в тех слу-
случаях, когда наблюдатели находятся в малых помеще-
помещениях. Если бы наблюдателю а пришлось учитывать в
своих опытах предметы, свободно падающие с противо-
противоположной от него стороны земного шара, то результаты
его опытов в корне отличались бы от результатов на-
наблюдателя в.
Здесь снова имеют важное значение размер обла-
области пространства и промежуток времени. В неболь-
небольшом помещении отклонение поля тяготения от однород-
однородного практически незаметно. Значит, не должно наблю-
наблюдаться никаких отступлений от принципа эквивалент-
эквивалентности, если только точность измерений не будет чрез-
чрезвычайно высокой. Тогда наблюдатель а обнаружил бы,
что пробные частицы, отпущенные им из разведенных
в стороны рук, движутся по сходящимся траекториям,
а пробные частицы наблюдателя в движутся (согласно
его измерениям) по строго параллельным траекториям.
Здесь снова можно было бы настоять на проведении
экспериментов, продолжающихся не более наносекун-
наносекунды в объеме пространства порядка кубического милли-
миллиметра... Следуя этой линии рассуждений, можно дока-
доказать, что даже когда поле тяготения изменяется (и в
пространстве, и во времени), ограничивая эксперимент
достаточно малыми областями пространства-времени,
можно добиться, чтобы принцип эквивалентности вы-
выполнялся с любой желаемой точностью. Можно снова
записать приближенную формулу и т. д. Эти формулы
будут появляться совершенно естественным образом по
мере нашего продвижения вперед.
27.6. Солнце и внутренние планеты Солнечной системы — вот
главный «полигон» для проверки общей теории относи-
относительности. Внутренняя часть Солнечной системы — едва
ли не единственная область с неоднородным полем тя-
тяготения, в которой можно проводить измерения с точ-
точностью, достаточной для проверки любых предсказа-
предсказаний теории.
Планеты движутся вокруг Солнца по эллиптическим
орбитам, очень близким к круговым. Поэтому в не-
нескольких следующих параграфах будем для простоты
считать, что орбиты планет — концентрические окруж-
окружности с Солнцем в центре.
27.7. Является ли движение планеты инерциальным? К сожа-
сожалению, ее собственное поле тяготения мешает проведе-
27.8 396
нию опыта с пробной частицей (такой опыт можно бы-
было бы поставить, если бы лаборатория была оборудова-
оборудована в центре планеты). Но на борту искусственного
спутника Земли опыт с пробной частицей осуществим
(п. 5.4), так как влияние создаваемого спутником и кос-
космонавтами поля тяготения очень мало. Как вы, вероят-
вероятно, видели на экране своего телевизора, такой опыт
свидетельствует об инерциальности движения. Не обна-
обнаруживается никаких признаков сил, приложенных к
планете: к ней не привязано никаких канатов, лишь
очень слабые магнитные поля действуют на нее. Зна-
Значит, она движется по инерции?
Несмотря на это, вместо того чтобы следовать вдоль
прямой, планета обращается вокруг Солнца. Поэтому
Ньютон, исходя из своих первых двух предположений
(п. 26.47), был вынужден постулировать существова-
существование силы тяготения, тянущей планету к Солнцу. Не
принимая ньютоновскую силу тяготения, все же согла-
согласимся с ним, что планета непрерывно падает на
Солнце.
27.8, Но ведь планета всегда остается на одном и том же
расстоянии от Солнца. Приведем объяснение самого
Ньютона. Вместо Солнца и планеты рассмотрим Землю
и пушечное ядро, вылетевшее в горизонтальном направ-
направлении из жерла орудия, установленного на вершине го-
горы (предположим, что сопротивление воздуха отсутст-
отсутствует) .
Если снаряд вылетает из ствола с небольшой ско-
скоростью, то он снижается по довольно крутой траекто-
траектории 1 (рис. 27.8) и достигает земли недалеко от подно-
подножия горы. При несколько большей скорости он может
двигаться по траектории 2. Чем больше скорость ядра,
тем дальше от подножия горы оно упадет на землю.
Очень быстрый снаряд вообще покинет Землю (траек-
(траектория 4).
Выбирая подходящую скорость вылета, среднюю
между скоростями на траекториях 2 и 4, можно добить-
добиться, чтобы ядро сделало оборот вокруг Земли по круго-
круговой траектории 3 и ... ударило бомбардира в спину. Но
при достаточной расторопности он успеет укрыться
вместе с орудием в безопасном месте, а ядро начнет но-
новое, точно такое же кругосветное путешествие, затем
еще одно и т. д. Теперь оно окажется на круговой ор-
орбите.
Но если в случаях 1 и 2 ядро падает, то его следует
считать падающим и в случае 3. Ядро остается на ор-
273
397
бите именно потому, что оно падает, а его скорость по-
подобрана так, чтобы выполнялось правильное соотноше-
соотношение между темпом снижения и движением вперед. Точ-
Точно так же движется планета вокруг Солнца.
Рис. 27.8.
27.9. Падение — это равноускоренное движение. Ускорение
планеты направлено к Солнцу. Она движется (по кру-
круговой орбите) с постоянной по величине скоростью и
тем не менее имеет ускорение.
Если не ясно, перечитайте п. 20.5, обратив особое
внимание на три последних предложения, и поразмыш-
поразмышляйте о стрельбах (п. 27.8). Если бомбардир отпустит
ядро над отверстием вертикальной шахты, то оно будет
с ускорением падать к центру Земли. Ядро, летящее по
траектории 1 или 2, также имеет ускорение, скомбини-
скомбинированное с горизонтальным движением, сообщенным
ему бомбардиром. У ядра, вращающегося по круговой
орбите 3, скорость будет постоянной. Если вы согласи-
согласились, что оно движется с ускорением, направленным к
центру Земли, в предыдущих случаях, то не следует
отрицать существование аналогичного ускорения и при
движении по траектории 3.
27.10
398
27.10.
При вертикальном падении скорость ядра нарастает,
а направление движения остается неизменным. При дви-
движении по траекториям 1 и 2 скорость изменяется как
по величине, так и по направлению. Когда ядро летит
по траектории 3, направление его движения непрерыв-
непрерывно изменяется, а величина скорости остается постоян-
постоянной. Поэтому, согласно определению вектора скорости,
во всех этих случаях вектор скорости изменяется, а это
как раз и означает, что есть ускорение.
В дальнейшем нас будет интересовать величина этого
ускорения. Рассмотрим тело Р, движущееся с постоян-
Рис. 27.10.
ной скоростью v по окружности (с центром в точке О)
радиуса г (рис. 27.10). Если бы у тела не было ускоре-
ускорения, направленного к центру окружности, то оно дви-
двигалось бы прямолинейно по касательной PQ. За время
6t оно бы переместилось из точки Р в Q, покрыв рас-
расстояние v§t. Но направленное к центру окружности ус-
ускорение приведет к тому, что тело через промежуток
времени 8t окажется в точке R, лежащей на окруж-
окружности. Итак, его движение по окружности из Р в R яв-
является комбинацией прямолинейного движения с по-
постоянной скоростью из Р в Q и ускоренного движения
из Q в R.
Мы могли бы повторить этот прием: тело стартует
в точке R, движется в течение времени б/ по касатель-
касательной, а затем падает по прямой к центру О, пока снова
не окажется на окружности. Такой прием можно повто-
повторить сколько угодно раз. В результате окружность ап-
аппроксимируется пилообразной кривой, нанесенной на
27.12 399
рис. 27.10 пунктиром. Выбирая достаточно малые зна-
значения 8/, можно добиться, чтобы комбинация этих двух
движений была сколь угодно точным приближением к
реальному движению по окружности. Выбор достаточно
малых 6^ позволяет сделать длину дуги PR равной с
какой угодно точностью длине отрезка PQ = v6t, а зна-
значит, получить правильное значение скорости v движе-
движения тела по окружности.
27.11. Пусть / — ускорение тела, a h — расстояние QR, кото-
которое оно проходит за время 6^ в результате падения.
Тогда из формулы A7.11) следует
B7.2)
(В п. 17.24 мы еще не были знакомы с приближенными
формулами, но не трудно убедиться, что вместо «^»
должен стоять знак «~».)
Касательная PQ перпендикулярна радиусу ОР. Тог-
Тогда теорема Пифагора дает: (r + hJ = r2 + v28t2. С учетом
тождества B6.26) r2+2rh + h2 = r2+v28t21 откуда 2/7г +
-\-h2 = v28t2. Подставляя h из формулы B7.2), получим
fr8t2 + l/4f2dt* = v2dt2 (пп. 24.7м и 26.37М) помогут вам
разобраться, откуда взялась величина б^4), что ведет к
приближенной формуле
/r+V^2^2. B7.3)
Уменьшая St, можно сделать величину lUf28t2 сколь
угодно малой по сравнению с fr и v2. Значит,
fr *** v2. B7.4)
Докажите это.
Вернемся к определению (пп. 20.20м и 21.42м).
Отношение сторон B7.4) =v2/fr~
B7.3)
- (fr+4J*№)/fr= I+ V* (fir) Ы\
Закончите доказательство самостоятельно. Можете ли
вывести из B7.4) более строгое утверждение?
Приращение б? не влияет на значения fr и v2. По-
Поэтому, согласно первой основной теореме (п. 22.30м),
B7.4) —строгое равенство
fr = tA B7.5)
которое показывает, что ускорение связано со скоростью
и радиусом окружности.
27.12. Эта формула справедлива для любого движения по ок-
окружности с постоянной скоростью. Но нас интересует,
27 Л 2 400
как направленное к Солнцу ускорение планеты зависит
от ее расстояния до нашего светила. Поэтому необходи-
необходима дополнительная информация о том, как «ведут» се-
себя планеты на самом деле, как их скорость связана с
размером орбиты. Эти сведения содержатся в третьем
законе Кеплера, согласно которому
Если г — радиус* орбиты планеты, а Т — время пол-
полного оборота вокруг Солнца, то г3 пропорционально
(п. 15.3М) Т\ Т. е.
B7.6)
где А — постоянная.
Этот закон выведен из анализа длинных рядов на-
наблюдений планет.
Расстояние, которое планета проходит за один обо-
оборот, равно 2пг (я — греческая буква «пи»; число я дает
отношение длины окружности к ее диаметру и примерно
равно 3,141). Это расстояние покрывается со скоростью
v за время Г, значит, 7 = 2яг/у. После подстановки в
B7.6) получим rs = 4n2Ar2lv2, что приводится к виду
у2г = 4я2А Но 4яМ — это постоянная величина, кото-
которую обозначим буквой К (греческая буква «ламбда»),
так что последняя формула примет вид
v2r = X. B7.7)
Это и есть (по-прежнему эмпирическое) искомое соот-
соотношение между скоростью планеты и радиусом ее орби-
орбиты. После подстановки вместо v2 левой части соотно-
соотношения B7.5) получим fr2 = X, откуда следует
/-Я/г1. B7.8)
Эта формула показывает, как ускорение планеты свя-
связано с ее расстоянием от Солнца. Чтобы получить этот
результат, мы предположили, что планеты движутся по
круговым орбитам. Однако Ньютон, проделав более
тщательный анализ, вывел такую же формулу из реаль-
реального движения планет по эллиптическим орбитам.
Итак, ускорение планеты пропорционально 1/г2, по-
поэтому можно считать, что сила тяготения, обратно про-
пропорциональна квадрату расстояния.
Оказалось, что этот закон применим всегда, когда
гравитационное воздействие массивного тела является
* Если врбмта планеты эллиптическая, то берется большая полуось
эллижса.
27.14 401
причиной ускоренного движения окружающих его менее
массивных тел. Численное значение X меняется от слу-
случая к случаю и является мерой гравитационного воз-
воздействия центрального тела на окружающие его объек-
объекты. В дальнейшем для простоты речь будет идти о
Солнце и его планетах. Но чтобы применить наши вы-
выводы к изучению влияния гравитационного поля (ска-
(скажем) Земли на ее естественный и искусственные спут-
спутники, достаточно лишь изменить значение X.
27.13. Ньютон объяснил эти ускорения действием силы тяготе-
тяготения: две любые материальные частицы притягиваются
друг к другу с силой, пропорциональной произведению
их масс и обратно пропорциональной квадрату расстоя-
расстояния между ними. Но мы, следуя Эйнштейну, ничего не
будем говорить о силе. Нигде в этой книге не потребу-
потребуется обобщений на случай двух любых материальных
частиц. Все, что нам понадобится, — это утверждение,
касающееся ускорений тел, находящихся в поле тяготе-
тяготения очень массивного тела, такого, как Солнце.
Массы планет малы по сравнению с массой Солнца,
поэтому планеты можно рассматривать как типичные
свободно падающие тела, что позволяет сделать сле-
следующий вывод:
если свободно падающее (движущееся по инерции)
тело имеет малую по сравнению с солнечной мас-
массу и находится на расстоянии г от Солнца, то оно
падает на Солнце с ускорением f, определяемым
формулой B7.8), где X— постоянная.
Очевидно, это — описание свободного падения, ка-
каким оно предстает перед наблюдателем на опоре, т. е.
наблюдателем, на которого действуют силы, препятст-
препятствующие его падению. Разумеется, нет такого наблюда-
наблюдателя, но мы привыкли описывать Солнечную систему
с точки зрения гипотетического наблюдателя на опоре;
геоцентрическое описание давно вышло из моды!
27.14. Величина X впервые появилась в формуле B7.7), из ко-
которой следует, что X — это доля расстояния (поскольку
v в естественной системе единиц — простая дробь;
п. 8.39). Значит, X является расстоянием или длиной.
Длина, равная 2Х (которая, как будет показано ниже,
имеет более важное значение), называется радиусом
Шварцшильда.
В законе Ньютона сила тяготения центрального тела
выражается через его массу, и ее обычно обозначают
GM или т даже в теории относительности. Однако нам
26—1653
2715
402
больше подойдет обозначение Я, постоянно напоминаю-
напоминающее о том, что речь идет о длине.
27.15. Орбитальная скорость Земли v равна примерно 1/10000
скорости света (п. 1.8.), радиус ее орбиты около
150 000 000 км. Поэтому для Солнца, согласно B7.7),
X составляет около 1,5 км. Более точный расчет дает
1,477 км. Таким образом, в масштабе Солнечной систе-
системы X на удивление мало.
Все различия между ньютоновской и эйнштейнов-
эйнштейновской теориями тяготения зависят от числа, получающе-
получающегося при делении X на расстояние, с которым прихо-
приходится иметь дело. Вот почему эти различия ничтожно
малы.
27.16. Попытаемся вычислить метрику (п. 24.10) пространст-
пространства-времени с полем тяготения, подчиняющимся закону
обратной пропорциональности квадрату расстояния.
Для простоты сначала снова ограничимся одномерной
вселенной — линией, проходящей через центр Солнца.
Метод в принципе аналогичен использованному в
пп. 24.12, 24.14 и 24.19: ищется зависимость между
координатами наблюдателя на опоре и свободно падаю-
падающего наблюдателя, а затем эта зависимость применяет-
применяется для преобразования метрики пространства-времени
специальной теории относительности в искомую метри-
метрику. Однако переход от однородного к неоднородному
полю тяготения усложняет расчеты.
27.17. Будем искать метрику в системе координат наблюдате-
наблюдателя на опоре Е, находящегося очень далеко от Солнца S
на одном и том же расстоянии от него. На пространст-
J
Q
бг
G
К
\
Рис. 27.17.
венно-временной диаграмме (рис. 27.17) вертикальные
линии изображают события, происшедшие, с точки зре-
зрения наблюдателя Е, на одинаковом расстоянии от него,
27.21 40$
поэтому мировые линии Е и S тоже вертикальны. Гори-
Горизонтальная прямая ?=0 изображает события, проис-
происшедшие, с точки зрения наблюдателя Е, в начальный
момент времени. Ниже все расстояния будут опреде-
определяться с точки зрения наблюдателя Е, но отмеряться
они будут от S.
Пусть G и Н — еще два наблюдателя на опорах, ко-
которые в силу этого неподвижны по отношению к S и Е
и их мировые линии вертикальны. И пусть г* и г+бг —
расстояния от Солнца до наблюдателей G и Н с точки-
зрения Е.
27.18. Пусть F — свободно падающий наблюдатель, который
в начальный момент времени (событие Q) находите»
рядом с G и мгновенно покоится относительно всех ос-
остальных наблюдателей. Наблюдатель Е видит, что F
падает на Солнце с ускорением f, зависящим от рас-
расстояния до Солнца.
27.19. Теперь временно предположим, что поле тяготения в
пространстве между наблюдателями G и Н однородна
и имеет напряженность / (позднее мы это сформулиру-
сформулируем по всем правилам). Что думает G о ходе часов на-
наблюдателя Н?
Часы находятся выше его на расстоянии бг, значит»
он считает, что они спешат в \+f8r раз (п. 23.14).
27.20. Поскольку наблюдатель Е находится на большом рас-
расстоянии от G, поле тяготения между ними нельзя счи-
считать однородным. Каково мнение наблюдателя Е о ходе
часов наблюдателя G?
Неоднородность поля тяготения ничего не меняет в
общей природе явления, описанного в п. 23.14. Значит,
наблюдателю Е будет казаться, что часы G (располо-
(расположенные ниже наблюдателя Е, т. е. ближе к Солнцу)
отстают, причем отставание определенным образом за-
зависит от положения. Однако подробная формула из
п. 23.14 для неоднородного поля тяготения не годится.
Поэтому предположим, что, по мнению Е, часы наблю-
наблюдателя G отстают в 1+г раз, где z — отрицательное чис-
число, зависящее от г. Выясним, как z связано с г.
27.21. Множитель l+'z играет ту же роль, что 1+/* в п. 23.14.
Чтобы найти соотношение между гиг, воспользуемся
результатом, полученным в п. 23.14. Но этот результат
был следствием вывода, сделанного в п. 22.32, который
* Мы пользуемся обозначением г, а не х, ибо эта величина в конце
концов окажется радиус-вектором полярной системы координат (п. 26.35М)
с полюсом в центре Солнца.
26*
27.22 404
в свою очередь возник из интерпретации приближенной
формулы B2.27), справедливой, только если fx очень
мало по сравнению с 1. Поэтому все сказанное ниже
справедливо при условии, что z много меньше 1.
27.22. Если объединить содержания пп. 27.19 и 27.20, то како-
каково мнение наблюдателя Е о ходе часов Н?
Наблюдатели Е, G и Н покоятся относительно друг
друга, так что их мнения об одновременности тех или
иных событий совпадают. Поэтому вычисление коэффи-
коэффициента хода часов (п. 22.23) между наблюдателями Е
и Н сводится просто к перемножению коэффициентов
хода часов между Е и G и между G и Н (вспомним
прием, применяемый в повседневной жизни при срав-
сравнении показаний часов). Значит, наблюдатель Е обна-
обнаружит, что часы Н отстают в A+2) A+f8r) =1+2 +
+f8r+zf8r раз (п. 16.12М).
Но начиная с п. 22.20 мы связаны условием малости
величин f8r (эквивалентной величине fx) и z (п. 27.21)
по сравнению с 1. Поэтому произведение zf&r — незна-
незначительная доля малой дроби — столь мало, что им мож-
можно пренебречь. Итак, множитель, показывающий, во
сколько раз, по мнению наблюдателя Е, отстают часы
Н, можно записать в виде
1 + г+/бг. B7.9)
27.23. Этот множитель можно представить в иной форме.
Если часы наблюдателя G, расположенного на рас-
расстоянии г от Солнца, кажутся Е отстающими в 1+2
раз (п. 27.20), то часы наблюдателя Н, находящегося
на расстоянии г + 6г, должны казаться отстающими в
1+2 + 62 раз, где 62 — приращение 2, соответствующее
приращению 6г радиуса г. Из сравнения этого выра-
выражения с его аналогом B7.9) следует
6z~/6r. B7.10)
Почему я написал «~», а не « = »?
При вычислении B7.9) предполагалось (п. 27.19),
что поле тяготения между наблюдателями G и Н одно-
однородно. Это предположение неверно, но выбором доста-
достаточно малых 8г его можно сделать сколь угодно близ-
близким к реальности. Именно об этом говорит знак «~».
Как указано в п. 27.5, применение этого знака равно-
равносильно модификации принципа эквивалентности, позво-
позволяющей распространить его на неоднородные поля тяго-
тяготения.
27.26м 405
27.24. Рассуждения, которые привели к приближенной форму-
формуле B7.10), применимы для полей тяготения, напряжен-
напряженность которых связана с расстоянием от Солнца произ-
произвольным образом. Но мы установили, что эта связь
определяется соотношением B7.8), поэтому ограничим-
ограничимся полями тяготения, подчиняющимися закону обрат-
обратной пропорциональности квадрату расстояния. Подста-
Подстановка формулы B7.8) в B7.10) дает
8z~XSr/r2. B7 Л1)
Но нам нужно соотношение, содержащее только г
и z без их приращений. Чтобы его получить из B7.11),
займемся немного математикой.
27.25м. Если х возрастает на величину 8х, то 1/х уменьшается,
т. е. получает отрицательное приращение б A/*). Най-
Найдем приближенную формулу, позволяющую выразить
б A/х) через х и 8*.
Сначала рассмотрим приращение б (ху) произведе-
произведения двух величин: х и у. Если х возрастает до х-{-$х>
а у до у + 8у, то ху возрастает до (х+бх) (у+б*/) = ху+
+х8у+удх+8х8у (п. 16.12М). Но 8(ху) —это величина,
на которую это произведение превосходит исходное про-
произведение ху. Таким образом,
B7.12)
27.26м. Пусть теперь
у=1/х. B7.13)
Тогда ху — постоянная величина (равная 1) и б(ху)=0,
и вместо B7.12) получим х8у+у8х-\-8х8у = Ъ, откуда
следует, что х8у =—у8х—Ьх8у. Обратите внимание, что
по мере уменьшения приращений 8х и Ьу их произведе-
произведение ЬхЬу будет уменьшаться гораздо быстрее других
членов. Это наблюдение приводит к приближенной фор-
формуле
у У8х. B7.14)
Проверьте справедливость этого результата (с по-
помощью метода, проиллюстрированного на примере
в п. 27.11).
Подстановка правой части B7.13) в B7.14) и деле-
деление обеих частей на х дает
в A/х) 8х/х\ B7.15)
что и требовалось найти. Отрицательное приращение
свидетельствует об уменьшении. Значит, из этой фор-
27.27м 406
мулы следует, что при увеличении х на бл: величина 1/х
уменьшается примерно на бх/л:2; выбирая достаточно
малые приращения б%, это приближение можно сделать
сколько угодно хорошим.
27.27м. Выведите приближенные формулы для 8(а/х) и
б(—Я/г), где а и Я— постоянные. Согласно B2.8) и
B7.15),
б (а/х) = абA/лг) — — абх/х2. B7.16)
Замена а на —Я, а х на г дает
б (—Я/г)' (—ЯNг/г2,
откуда (п. 15.24М)
б(-~Я/г)~Ябг/г2. B7.17)
27.28. Что это дает для нашей основной задачи?
Объединяя B7.11) и B7.17), получим 6z~6(—-Я/г).
А какой следующий шаг?
Эта приближенная формула удовлетворяет услови-
условиям второй основной теоремы (п. 25.13м): обе ее части
содержат только приращения. Примените 3-й пункт
этой теоремы.
После замены у и z из п. 25.13 м на z и —Я/г соот-
соответственно получим
г = —Я/г-f-а,
где а — некоторое постоянное число. Значит (п. 27.20),
наблюдатель Е считает, что часы G отстают в
1—Я/г+а B7.18)
раз. Если определить значение а, то будет известен
коэффициент хода часов.
27.29. Пусть наблюдатель Е находится на столь большом рас-
расстоянии R от Солнца, что отношение X/R можно счи-
считать равным нулю, и какая бы точность ни требова-
требовалась, всегда можно выбрать расстояние R достаточно
большое, чтобы выполнялось это условие. (Если вам
хочется сказать: «Можно выбрать R бесконечно боль-
большим», то непременно сделайте это; я избегаю использо-
использования понятия бесконечности, поскольку оно может
ввести в опасное заблуждение.)
Теперь рассмотрим случай, когда положения наблю-
наблюдателей G и Е совпадают. Тогда Я/г=;Я/# также будет
близко к нулю и коэффициент хода часов будет равен
1+а. Но он должен быть равен 1, ведь наблюдатель Е
27.32 407
считает свои часы точными, поэтому а = 0. Но а — по-
постоянно, значит, оно должно быть равно нулю при лю-
любых значениях г, а не только при r = R. Таким образом,
мы доказали, что, по мнению наблюдателя Е, показа-
показания часов G меньше в 1 —К/г раз, чем его часов.
27.30. На расстоянии от Солнца, равном радиусу земной
орбиты, его поле тяготения столь слабо Ск/г =
= 0,00000001), что можно считать, что наши измерения
совпадают с измерениями наблюдателя Е (хотя мы
свободно падаем). Если бы наблюдатель G находился
на поверхности Солнца, то его атомные (квантовые) ча-
часы (п. 20.9) отставали бы в 1—К/г раз (где г — радиус
Солнца, равный 696 000 км) по сравнению с нашими.
Другими словами, частота света, испущенного с поверх-
поверхности Солнца, должна уменьшиться во столько раз. Это
предсказание было подтверждено с точностью 5%. Учи-
Учитывая сложность наблюдений, такую точность можно
считать очень высокой. Это предсказание было прове-
проверено для света, испущенного звездами с огромной плот-
плотностью вещества.
Эксперименты показывают, что модифицированный
принцип эквивалентности (п. 27.5) остается в силе для
полей тяготения, подчиняющихся закону обратной про-
пропорциональности квадрату расстояния, и что все вычис-
вычисления, выполненные до сих пор в этой главе, вполне
корректны. Эти эксперименты и расчеты (вопреки то-
тому, что подразумевается в неточных формулировках),
вовсе не обеспечивают свидетельств, касающихся более
широких аспектов общей теории относительности.
27.31. В момент события О наблюдатели F и G мгновенно со-
сопутствуют друг другу (рис. 27.17). Каково поведение
часов F, с точки зрения Е, в этот момент?
В отсутствие тяготения ускоренные часы идут в такт
с мгновенно сопутствующими им часами, движущими-
движущимися по инерции (пп. 20.10—20.19). Принцип эквивалент-
эквивалентности позволяет перейти от этого утверждения к сле-
следующему: в поле тяготения часы на опоре идут в такт
со свободно падающими часами, мгновенно покоящими-
покоящимися рядом с ними, т. е. часы наблюдателя G идут в такт
с часами F. Поэтому, с точки зрения наблюдателя Е,
часы F в момент события Q ведут себя точно так же,
как часы G, т. е. отстают в 1—Х/r раз.
27.32. Пусть Q' — событие, происшедшее с F некоторое время
спустя после Q (рис. 27.17), и пусть 6Г — промежуток
времени между Q и Q', измеренный по часам наблюда-
наблюдателя F, a 8t — время, прошедшее между этими события-
27.33 408
ми по мнению Е. Заметьте, что ЬТ — фактическое время,
которое F определяет по своим часам в данном месте,
a 6t — время с точки зрения наблюдателя Е. Найдите
приближенную формулу, связывающую 8Т и б/, из ксь
торой следовало бы, что по измерениям Е часы наблю-
наблюдателя F отстают в 1—Х/r раз.
Ответ таков:
6Т~A — ЩЫ. B7.19)
Здесь стоит знак «~», а не « = », ибо ход часов наблю-
наблюдателя F лишь мгновенно согласуется с часами G. Знак
равенства, очевидно, означал бы, что фактическое вре-
время 6Г, измеренное по часам F, составляет лишь долю
1—%/г от значения, которое ему приписывает наблюда-
наблюдатель Е. Для строгого обоснования этой приближенной
формулы нужно следовать линии рассуждений, описан-
описанной в пп. 22.22—22.28. Чтобы корректно выполнить эту
процедуру, достаточно заменить наблюдателя Аг на F,
a W на Е, подставить 1—К/г вместо \-\-fx и применить
первую основную теорему.
27.33. Формула B7.19) связывает приращение времени между
событиями Q и Q', измеренное наблюдателем Е, со зна-
значением, измеренным инерциальным (свободно падаю-
падающим) наблюдателем в данном месте. Она позволяет вы-
выразить член 6Г2 в метрике пространства-времени спе-
специальной теории относительности через б^2, измеренное
наблюдателем Е (так же как формула B2.27) в
п. 24.12). Если обе части приближенной формулы B7.19)
возвести в квадрат и воспользоваться приближенным
соотношением B4.6) (положив в нем у = —%/г), то по-
получим
2. B7.20)
27.34. Чтобы найти искомую метрику методом, описанным в
п. 24.12, следует вывести аналогичное соотношение для
8Х (измеренного наблюдателем F приращения расстоя-
расстояния между событиями Q и Q') и 6г. Не существует про-
простого способа это сделать на данном этапе. Поэтому
пока предположим, что
бХ2~а8г2, B7.21)
где а — некоторое неизвестное выражение, содержащее
г, и продолжим работу в надежде, что рано или поздно
найдем способ, позволяющий получить правильное вы-
выражение для а.
27.38 409
Скорее всего при интересующих нас значениях г а
лишь слегка отличается от 1. Причем, чем больше г,
тем ближе к 1 должно быть а. Может оказаться, что
это величина типа 1—2А,/г.
27.35. В системе координат свободно падающего наблюдателя
метрика имеет вид B7.1). Если подставить в нее вместо
6Р и 8Х2 правые части формул B7.20) и B7.21) соот-
соответственно, то получится метрика
6s2~ (I — 2X/r) 8t2—a8r\ B7.22)
описывающая пространство-время с полем тяготения,
подчиняющимся закону обратной пропорциональности
квадрату расстояния, и выраженная в координатах, свя-
связанных с наблюдателем Е.
27.36. При выводе этой метрики считалось, что ^ = 0. Но ар-
аргументы типа использованных в п. 24.17 указывают на
ее справедливость в любой момент времени.
Наши рассуждения основывались на приближениях,
справедливых, только если отношение К/г очень мало
по сравнению с 1. В Солнечной системе это условие хо-
хорошо выполняется всюду вне самого Солнца. Макси-
Максимальное значение отношения Х/г — 0,000002 достигается
на поверхности Солнца (пп. 27.15 и 27.30).
27.37. Пусть задана метрика B7.22). Какие выводы можно
сделать о распространении света?
Распространение светового сигнала характеризуется
условием 6s = 0 (п. 24.24). Поэтому прибавим к обеим
частям формулы B7.22) абг2 (чтобы не попасть в ло-
ловушку, о которой говорилось в п. 24.25м; ср. с
п. 24.28м) и затем положим 6s = 0. Деление обеих ча-
частей получившегося соотношения на а дает приближен-
приближенную формулу
бг2 rw (I/a) (I— 2tyr) б/2, B7.23)
которая показывает, какое расстояние бг проходит све-
световой сигнал за время б/, если он находится на рас-
расстоянии г от Солнца.
27.38. Что теперь можно сказать о скорости света?
Из п. 24.22 следует, что на расстоянии г от центра
Солнца
(Скорость светаJ =A/а)A— 2Щ. B7.24)
На больших расстояниях это выражение примерно
равно 1, как и следовало ожидать, поскольку, когда по-
поле тяготения становится пренебрежимо слабым, мы по-
попадаем в ситуацию, описываемую специальной теорией
27.39 410
относительности. В то же время из формулы B7.24)
следует, что в пространстве-времени с полем тяготения,
подчиняющимся закону обратной пропорциональности
квадрату расстояния, скорость света (согласно наблю-
наблюдателю Е) зависит от расстояния от центра (если толь-
только не окажется, что а=1—2к/г).
27.39. Однако этот вывод основывается на предположении, что
t и г в B7.22) —это время и расстояние, которые изме-
измерил бы наблюдатель Е (или некоторый наблюдатель на
Земле, введя соответствующие поправки в собственные
измерения, приписал бы Е). Не очевидно, что такое
предположение оправданно. В пп. 22.4 и 22.5 уже выра-
выражались сомнения по поводу смысла величин, которые
выбираются в качестве времени и расстояния относи-
относительно наблюдателей, движущихся с постоянным уско-
ускорением. Последующий ход изложения, в особенности в
настоящей главе, как будто подтверждает наши сомне-
сомнения.
Однако это нисколько не уменьшает значения вели-
величин t и г как координат, описывающих те или иные со-
события, а лишь предупреждает нас о необходимости со-
соблюдать осторожность при интерпретации их физиче-
физического смысла. Ниже мы вернемся к этой проблеме.
А пока вспомните определение п. 22.5.
27.40. При изучении пп. 27.40—27.44 полезно сравнить их с
пп. 26.44 и 26.45 (и даже восстановить в памяти весь
ход рассуждений начиная с п. 26.33). С чего начать
изучение движения свободно падающего тела, если мет-
метрика имеет вид B7.22)?
Согласно п. 25.28, необходимо найти обыкновенную
геодезическую (например, способом, сформулированным
в п. 26.33). Как далеко в этом направлении вы сможе-
сможете продвинуться?
Отбросим из B6.30) 8z (п. 26.44) и сопоставим вх©«
дящие в эту формулу х, у, а и § с г, t, — аи 1 — 2Х/г
из B7.22). Тогда вторая из формул B6.31) даст 6s-^
~5A—2X/rNt, где В — постоянная. Подставляя это
выражение в метрику B7.22), получим
В* A _ 2Я/гJ б*2 ~ A - 2Щ Ы2— а8г\
Прибавим к обеим частям обг2 и вычтем из них В*A—
—2%jrJbt2. Затем к членам, содержащим б^2, применим
правило из п. 16.12М. Поделив обе части на а, полу-
получим
бг2 — A/а) A — 2Щ {1 — В2 (I —2Х/г)} 6Л B7.2)
27.43 411
В соответствии с п. 25.28 эта приближенная форму-
формула описывает движение свободно падающего наблюда-
наблюдателя (назовем его F). Если в некоторый момент време-
времени он находится от Солнца на расстоянии г, то B7.25)
позволяет узнать, на какое расстояние бг переместится
в дальнейшем этот наблюдатель за время 6^.
27.41, Какой отсюда следует вывод о скорости и наблюдате-
наблюдателя F?
Интерпретируя формулу B7.25) в соответствии с
п. 24.22, найдем
а* = A/а)A — 2Щ{\ — В2A — 2Щ). B7.26)
Итак, и меняется с расстоянием, значит, наблюда-
наблюдатель F движется ускоренно (согласно наблюдениям Е).
Это ускорение считается следствием гравитационного
притяжения к S. Чтобы объяснить природу такого уско-
ускорения, Ньютон придумал силу тяготения (пп. 26.47 и
27.7). При нашем подходе никакие силы не требуются,
а ускорение — это всего лишь следствие того факта, что
«геометрия» исследуемого пространства-времени описы-
описывается метрикой B7.22).
Идея, что вызванные тяготением ускорения — следст-
следствия геометрии пространства-времени, а не сил, — цент-
центральная в общей теории относительности. Она к тому
же является отправной точкой в следующей главе, го-
гораздо менее математизированной, чем другие. Если вы
сыты математикой по горло, то можете опустить остав-
оставшуюся часть этой главы, которая довольно интересна,
хотя не очень существенна. Но все же взгляните на
формулу B7.33) и бегло прочтите п. 27.46.
Чтобы лучше изучить ускорение наблюдателя F,
требуется приближенная формула, связывающая ско-
скорость с пройденным расстоянием. Для этого познако-
познакомимся еще с кое-какими математическими преобразо-
преобразованиями.
27.42м. Приращение величины х2 записывается как 6(х2) в от-
отличие от квадрата приращения Ьх2 (п. 24.7). Подстав-
Подставляя в B7.12) у = х, получим 8(х2) =2х8х+8х2у так что
б (r>) ~ 2х8х. B7.27)
Проверьте, соответствует ли последний шаг, приведший
к B7.27), определению приближенной формулы
(пп. 20.20 и 21.42; ср. с пп. 27.11 и 27.26).
27.43. Рассмотрим тело, движущееся с ускорением /, которое
может изменяться совершенно произвольно, но скорость
27.44 412
тела v всегда должна оставаться малой по сравнению
со скоростью света. Тогда справедливо классическое
определение ускорения как темпа изменения скорости,
т. е.
/ — 6v/6t B7.28)
(знак «~» указывает на то, что мы имеем дело с пе-
переменным ускорением, точно так же, как в пп. 22.36—
22.38 он указывал на переменность скорости). Из фор-
формулы B2.38) следует
v ~ 6r/6t. B7.29)
Последовательно применяя B7.27), B7.29), незначи-
незначительную тождественную перестановку сомножителей и,
наконец, формулу B7.28), получим
б (v2) ~ 2v8v ~ 2 Fг/6/) 6у = 2 Fv/6t) Sr ~ 2/6г,
т. е.
8(v2)~2f8r. B7.30)
Это — обобщение формулы A7.16) на случай пере-
переменного ускорения. Оно позволяет (с какой угодно точ-
точностью) узнать, на сколько возрастает и2 при переме-
перемещении тела на расстояние 6г.
27.44. Вывести формулу для ускорения наблюдателя F из
B7.26) довольно трудно. Задача сильно упростится, ес-
если рассмотреть скорость, выраженную в долях локаль-
локальной скорости света (которая лишь слегка отличается от
и). Обозначим эту скорость буквой v. Тогда из B7.24)
и B7.26) следует
У2=1 — ВЦ1 — 2Щ. B7.31)
Постоянная величина В отмечает расстояние, на ко-
котором наблюдатель F прекращает подъем, на мгновение
останавливается (i>~0) и начинает падать (событие Q
на рис. 27.17). В самом деле, если v — О при г = Го, то,
согласно B7.31),
откуда
52=t=W B7-32)
27.45. Последовательное применение к B7.31) правил и тео-
теорем, сформулированных в пп. 22.9м, 16.12М и 22.10м,
дает
= 6A— Б2+ 2В2Щ = 6 {2В2Щ.
27.46 413
Тогда формула B7.16) приводит к приближенной фор-
формуле
Сравнение этой формулы с B7.30) показывает, что
ускорение наблюдателя F определяется формулой /=*
=—В2Х/г2 (где знак минус указывает, что ускорение
направлено к S). Вместо В следует подставить правую
часть формулы B7.32). Мы ограничились малыми ско-
скоростями, а значит, небольшими расстояниями, проходи-
проходимыми при падении; поэтому вполне можно считать, что
Го —г. Тогда ускорение на расстоянии г от S равно
2Vr)r2. B7.33)
27.46. Итак, изменение ускорения отклоняется от закона об-
обратной пропорциональности квадрату расстояния. По-
Поскольку мы приняли, что 2Х/г мало по сравнению с еди-
единицей, отклонение от этого закона должно быть незна-
незначительным. За пределами Солнца 2Х/г никогда не пре-
превосходит 1/250000 (п. 27.36). Вывод формулы для уско-
ускорения исходя из и, а не из v гораздо сложнее, но ре-
результат тот же: отклонение от закона обратной пропор-
пропорциональности квадрату расстояния мало.
В п. 27.24 мы ввели закон обратной пропорциональ-
пропорциональности квадрату расстояния, но окончательно получили
лишь приближение к нему. Почему? Вкратце можно от-
ответить так: причина в том, что мы потребовали, чтобы
тяготение определялось лишь геометрией. Если бы
можно было обратиться к Духу математики с просьбой:
«Ниспошли нам геометрию —метрику, из которой бы
следовал закон обратной пропорциональности квадрату
расстояния для тяготения», он бы ответил: «Такой гео-
геометрии не существует. Вот истинный смысл того, к че-
чему вы пришли.»
В конце концов, почему истинным законом тяготения
должен быть именно этот закон? Возможно, наблюде-
наблюдения, на основании которых Ньютон и его последователи
сделали свой вывод (п. 27.12), были не столь совер-
совершенны, чтобы обнаружить малое отклонение.
28
ИСКРИВЛЕННОЕ ПРОСТРАНСТВО-ВРЕМЯ
28.1. В двух предыдущих главах выявилась новая точка зре-
зрения на тяготение. Из наблюдений следует, что движение
тел, на которые, казалось бы, не действуют никакие си-
силы, происходит с ускорением, величина и направление
которого зависят только от положения этих тел относи-
относительно других тел. Согласно теории Ньютона, причиной
ускорения является сила тяготения (пп. 26.47 и 27.13).
Мы нашли иное объяснение, которое не нуждается в
привлечении какой-либо силы. Гравитационное ускорение
считается следствием свойств пространства-времени
(пп. 26.46, 26.47 и 27.41). Эти свойства связаны с метри-
метрикой (п. 24.10). Если это метрика пространства-времени
специальной теория относительности, то движение по
инерции является равномерным и прямолинейным. Если
это метрика B4.8), то тела, не находящиеся на опоре,
падают с постоянным ускорением (п. 26.45). Если метри-
метрика дается формулой B7.22), то они падают (п. 27.41) с
ускорением, изменяющимся по закону, близкому к зако-
закону обратной пропорциональности квадрату расстояния
(пп. 27.45 и 27.46).
Метрика определяет геометрические свойства прост-
пространства-времени (пп. 12.21, 12.22, 24.6 и 24.10). Образно
говоря, она описывает форму пространства-времени, ибо
форма — это проявление геометрических свойств. Значит,
можно сказать, что в теории Эйнштейна именно форма
пространства-времени обусловливает наблюдаемое дви-
движение свободно падающих тел.
28.2. Представление о метрике как о характеристике «формы»
пространства или пространства-времени не столь искусст-
искусственно, как покажется на первый взгляд. Пусть простран-
пространство— сферическое. Сосредоточим внимание на внутрен-
внутренних свойствах, касающихся измерений, выполненных ис-
исключительно на поверхности сферы, например расстояния,
которое проползла по поверхности муха. Можно вообра-
вообразить, что световой сигнал, испущенный из любой точки
поверхности, распространяется только по самой поверх-
поверхности, следуя ее форме и никогда не покидая ее, и что на
нее не попадают световые сигналы извне. Тогда обитате-
28.5 415
лю этой поверхности ничего не будет известно об осталь-
остальном пространстве. Для него эта поверхность представля-
представляла бы всю вселенную.
Нас главным образом интересует исследование собст-
собственных свойств поверхности, т. е. исследование, которое
мог бы выполнить живущий на ней абориген. Но время
от времени мы будем узнавать то, что видно при взгляде
извне.
28.3. Если бы поверхность была плоскостью, то метрикой про-
пространства была бы очень простая формула B4.4): квад-
квадрат приращения расстояния равен сумме квадратов при-
приращений координат. Существа, обитающие на плоскости,
могли бы получить такую формулу, проделав множество
измерений. Мы же, глядя на эту поверхность со стороны,
могли бы добавить, что она плоская.
28.4. Предположим теперь, что рассматриваемая поверх-
поверхность— сфера. В п. 25.20 мы установили, что метрика
имеет более сложный вид: квадрат приращения одной из
координат следует умножить на коэффициент, зависящий
от положения интересующей нас точки на сфере. Разу-
Разумеется, именно такой вид метрики обусловлен выбором
одной частной пары координат — широты и долготы. Но
можно было бы доказать (хотя такое доказательство вы-
выходит за рамки этой книги), что на сфере не существует
ни одной системы координат, позволяющей записать мет-
метрику в виде суммы квадратов приращений, подобно фор-
формуле B4.4). Как минимум, один из квадратов прираще-
приращений всегда будет входить в метрику с коэффициентом,
зависящим от положения точки на сфере.
Существа, для которых сферическая поверхность — это
вся вселенная, могли бы сами установить это свойство
метрики, исходя только из внутренних измерений. Внеш-
Внешний наблюдатель мог бы добавить, что поверхность ис-
искривлена.
28.5. Сопоставим простейшую, выражающуюся в виде суммы
квадратов приращений метрику плоского мира на плоско-
плоскости с более сложной метрикой, описывающей геометричес-
геометрические свойства искривленной сферической поверхности.
Математики используют различие между этими метрика-
метриками, когда хотят дать определение тому, что они понимают
под терминами «плоская» или «искривленная поверх-
поверхность».
Если на поверхности можно выбрать такую систему
координат, что
(Приращение расстояния) 2~Сумма квадратов прира-
приращений координат,
28.6
416
28.6.
то поверхность плоская.
Поверхность искривлена, если на ней невозможно най-
найти такую систему координат.
Обратите внимание на слова «можно» и «невозмож-
«невозможно». Дело не в том, присуще ли некоторой системе коор-
координат свойство, чтобы выраженная через них метрика
имела вид суммы квадратов приращений, а в том, можно
ли вообще найти систему координат с таким свойством.
Например, полярные координаты на плоскости приводят
к более сложной метрике B6.38). Однако очевидно, что
выбор другой системы координат не может превратить
плоскость в искривленную поверхность. Плоскость — это
плоская поверхность как раз потому, что на ней можно
выбрать систему координат, в которой метрика имеет вид
B4.4).
Разработана теория, правда слишком сложная, кото-
которая позволяет узнать, если задана метрика, записанная
в произвольной системе координат, является ли описывае-
описываемая этой метрикой поверхность плоской, или она искрив-
искривлена.
Определенные таким образом понятия «плоский» и «ис-
«искривленный» совершенно не соответствуют тому, что мы
под ними понимаем в повседневной жизни. Например, на
м
о*
цилиндре можно ввести координаты следующим образом
(рис. 28.6). Выберем на линии НК, параллельной оси
цилиндра, точку О, и пусть на его поверхности задана
произвольная точка Q. Проведем «прямую» MQ, перпен-
28.8 417
дикулярную НК, но в действительности это дуга окруж-
окружности, которую прочертила бы на поверхности цилиндра
точка Q, если предоставить ей возможность двигаться
вдоль MQ вплоть до прибытия в М. Тогда координаты
точки Q — это длины отрезков ОМ и MQ, измеренные
вдоль поверхности.
Нетрудно убедиться, например, сделав на цилиндре
продольный разрез и развернув его в плоскость, что мет-
метрика должна иметь вид суммы квадратов приращений
координат. А это означает, что в математическом смысле
цилиндрическая поверхность плоская, хотя обычно мы ее
считаем искривленной.
28.7. Процедуру разрезания и развертывания цилиндрической
поверхности можно использовать для отображения этой
поверхности без искажений (без изменения каких-либо
длин) на плоскость, тогда как отображение сферической
поверхности всегда содержит искажения. Если поверх-
поверхность плоская в соответствии с определением из п. 28.5,
то она не обязательно будет плоскостью; но ее можно
отобразить без искажений на плоскость. Если же она иск-
искривлена, то такое отображение невозможно.
Геодезические на цилиндрической поверхности (ска-
(скажем, найденные методом, описанным в п. 25.21) при ото-
отображении преобразуются в прямые линии. Но при отобра-
отображении сферы на плоскость ее геодезические (во всяком
случае, большинство из них) оказываются кривыми, так
же как при отображении любой другой поверхности, ис-
искривленной в математическом смысле. По мнению мате-
математика, цилиндр — это плоская поверхность, свернутая в
трубку, которую можно снова развернуть, в отличие от
сферы, которую нельзя развернуть в плоскость без иска-
искажений.
28.8. Метрика описывает внутренние свойства поверхности. Су-
Существа, для которых поверхность — это вся вселенная,
могли бы найти ее метрику. Они могли бы ввести систему
координат и проделать необходимые измерения. Затем
(с помощью теории, упоминавшейся в конце п. 28.5) они
могли бы решить, плоская ли их поверхность, или она
искривлена. Причем им совсем не обязательно знать, что
помимо их собственной поверхности есть еще какое-то
пространство. Значит, если определение дано исходя
только из внутренних характеристик поверхности, то
смысл утверждения, что поверхность искривлена, совер-
совершенно не зависит от того, искривлена ли она в трехмер-
трехмерном пространстве, т. е. выглядит ли она так со стороны.
Эти соображения позволят преодолеть трудности, воз-
27—1663
28.9 418
никающие, когда релятивисты начинают толковать об ис-
искривленном пространстве и искривленном пространстве-
времени. Если считать, что кривизну можно обнаружить
лишь со стороны, т. е. что она проявляется лишь в про-
пространстве большего числа измерений, то представление
об искривленном трехмерном пространстве станет крайне
сложным, просто непостижимым. Что же тогда говорить
об искривленном пространстве-времени! Если же вос-
воспринимать кривизну просто как свойство метрики, а зна-
значит, и геометрии пространства-времени, то никаких труд-
трудностей не возникнет. Понятие кривизны будет выполнять
роль термина, необходимого для сокращенного обозначе-
обозначения довольно длинного описания метрики.
28.9. Чтобы определение из п. 28.5 было применимо к прост-
пространству-времени, его нужно слегка модифицировать, при-
приняв во внимание присутствующие в метрике отрицатель-
отрицательные члены. Итак, мы утверждаем, что
пространство-время плоское, если в нем можно выб-
выбрать такую систему координат, что
(Приращение интервала) 2~ Сумма или разность квад-
квадратов приращений координат.
Пространство-время искривлено, если в нем невоз-
невозможно найти такую систему координат.
Не тратьте попусту время и силы на то, чтобы мыс-
мысленно представить себе пространство-время, искривлен-
искривленное в неком суперпространстве-времени!
28.10. Итак, пространство-время специальной теории относи-
относительности без поля тяготения, каким оно представляется
инерциальному наблюдателю, — плоское по определению.
Что можно сказать о пространстве-времени с однородным
полем тяготения?
Метрика такого пространства-времени в системе коор-
координат, связанной с наблюдателем на опоре, имеет вид
B4.8), т. е. не представляет собой сумму или разность
квадратов приращений. Тем не менее это пространство-
время тоже плоское. Чтобы в этом убедиться, достаточно
принять в качестве координат время и расстояние, изме-
измеренные свободно падающим наблюдателем. Тогда мы
снова вернемся к простейшей метрике плоского простран-
пространства-времени. Поэтому можно рассматривать простракст-
во-время с однородным полем тяготения как плоское (без
поля тяготения) пространство-время, изучаемое с точки
зрения ускоренного наблюдателя.
28Л iT Но ситуация резко изменяется, если поле тяготения под-
подчиняется закону обратной пропорциональности квадрату
28.13 419
расстояния, когда метрика (в системе координат, связан-
связанной с наблюдателем Е) имеет вид B7.22). Можно дока-
доказать, что не существует такой пары координат, в которых
метрика приняла бы форму разности квадратов прираще-
приращений.
Можно, конечно, перейти к системе координат, связан-
связанной с некоторым свободно падающим наблюдателем, что
приведет к метрике плоского пространства-времени, год-
годной в непосредственной окрестности этого наблюдателя
(пп. 27.3 и 27.4). Но удаленные свободно падающие на-
наблюдатели будут двигаться относительно него ускоренно.
Чтобы найти связь между их измерениями и своими, ему
придется учесть эти ускорения, а для этого понадобятся
уравнения, содержащие расстояния до удаленных наблю-
наблюдателей. Поэтому в конце концов он получит метрику, вид
которой отличается от разности квадратов приращений.
28.12. Кривизна поверхности не обязательно должна быть всю-
всюду одинаковой. Например, поверхность яичницы-глазуньи
сильно искривлена посередине, но почти плоская ближе
к краю. Нечто подобное демонстрирует пространство-
время с полем тяготения, подчиняющимся закону обрат-
обратной пропорциональности квадрату расстояния. Чем боль-
больше г, тем ближе а и 1 —2Л,/г к 1, и метрика B7.22) стре-
стремится к виду 8s2~8t2—бг2. Итак, на больших расстоя-
расстояниях от Солнца пространство-время вполне можно счи-
считать плоским. Кривизна существенна лишь вблизи Солн-
Солнца.
28.13. Трудно себе представить, что кривизна пространства-вре-
пространства-времени, его «форма», как мы назвали кривизну в п. 28.1,
может быть причиной ускоренного движения свободно
падающих тел. Трудно вообразить, что мировая линия
планеты — геодезическая, т. е. аналог прямой в искрив-
искривленном пространстве-времени. А как понять, что очень
слабое отклонение от геометрии плоского мира, о котором
свидетельствует метрика B7.22), способно привести к
существенному различию между прямолинейным равно-
равномерным движением и довольно сложным поведением пла-
планеты при ее движении по эллиптической орбите?
Нам поможет аналогия с искривленными поверхностя-
поверхностями (заимствованная из телевизионной серии профессора
Бонди). Известно, что поверхность Земли искривлена, но
мы часто отображаем ее на плоскость одним из простей-
простейших способов— в проекции Меркатора (п. 14.12), что
приводит к сильным искажениям.
Рассмотрим перелет из Лондона в Ванкувер, лежа-
лежащий на той же широте. Кратчайший маршрут — геодези-
27*
28.14
420
ческая является дугой большого круга (п. 25.21). Он не
пролегает вдоль параллели, на которой лежат пункты
отправления и назначения, а сначала отклоняется далеко
на север от Лондона, а затем устремляется к югу, в Ван-
Ванкувер (можете убедиться в этом с помощью резинки, как
в п. 25.21).
В проекции Меркатора параллели изображаются го-
горизонтальными прямыми, и кратчайший маршрут само-
70
60(
^
ДО'
20 е
Ванкувер
Лондон
ЭкВатор
Рис. 28.13
лета будет выглядеть как на рис. 28.13. Геодезическая
оказалась кривой линией, что и следовало ожидать при
отображении искривленной поверхности на плоскость
(п. 28.7).
28.14. Каково мнение об этом фанатичного сторонника идеи о
плоской Земле, убежденного, что проекция Меркатора
дает неискаженное изображение ее поверхности? Множе-
Множество измерений наверняка убедят его, что среди всех
маршрутов между Лондоном и Ванкувером самый эконо-
экономичный, как по времени, так и по затратам горючего,—
это изображенный в виде кривой на рис. 28.13. Хотя,
взглянув на карту, он увидит, что этот маршрут не пря-
прямолинейный, ему придется признать, что такой маршрут
кратчайший.
Если он верит, что меркаторская проекция точно от-
отражает действительность, то он должен найти разумное
28.15 421
объяснение такому странному маршруту. Бонди предпо-
предположил, что этот фанатик мог бы постулировать существо-»
вание некой силы, притягивающей самолет к экватору.
Поэтому если пилот нацелит самолет прямо на Ванкувер»
то под влиянием этой силы самолет полетит по маршру-
маршруту, отмеченному на рисунке пунктиром. Чтобы попасть
в Ванкувер, пилоту придется направить самолет под соот-
соответствующим углом на север и положиться на силу, под
действием которой траектория самолета станет кривой,
но зато приведет в пункт назначения.
Если этот приверженец идеи о плоской Земле получит
искривленную поверхность и будет настаивать, что она
плоская, то геодезические, с его точки зрения, должны
быть кривыми, а прямые уже не будут геодезическими.
Однако он считает, что самолет, если его предоставить са-
самому себе, должен лететь по прямолинейной траектории.
Чтобы объяснить, почему этого не происходит, он вынуж-
вынужден выдумывать силу.
Можно, конечно, притвориться и сказать, что искрив-
искривленная поверхность — плоская. Но тогда геодезические
станут кривыми. Точно так же если рассмотреть искрив-
искривленное пространство-время, но утверждать, что оно плос-
плоское, то в качестве геодезических вместо простейших ми-
мировых линий придется использовать более сложные. Не
поможет ли такое представление разобраться в движении
планеты?
28.15. Движение планеты на небе выглядит довольно сложно,
но ее орбита всегда остается в одной плоскости. Поэтому
мировую линию планеты можно было бы изобразить на
трехмерной диаграмме пространства-времени. Пусть, на-
лример, ваша комната и есть такая диаграмма, и пусть
ось времени идет вертикально вверх, а плоскость орбиты
в любой момент времени задается горизонтальной плос-
плоскостью. Тогда мировая трубка Солнца будет выглядеть
как колонна. Мировой линией планеты в первом прибли-
приближении (когда орбита предполагается круговой) будет
кривая, которая называется винтовой линией (такая
кривая образует внешний край винтовой лестницы). Но
планета движется по эллиптической орбите, причем Солн-
Солнце расположено не в центре эллипса, а несколько смеще-
смещено к одному из концов его большой оси; кроме того, ско-
скорость планеты зависит от ее расстояния от Солнца. Зна-
Значит, винтовая линия деформируется, в плане она будет
не круговой, а эллиптической, некоторые ее отрезки будут
идти круче, чем другие, да и мировая трубка Солнца сме-
сместится из ее центра.
28-1653
28.16 422
Это очень сложная картина по сравнению с прямой
мировой линией, которая, согласно Ньютону, должна
изображать движение тела, не подверженного действию
силы. Поразмышляйте над этой картиной.
28.16. Вы обратили внимание, что, описывая мировую линию
планеты, я предположил, что пространство-время в окре-
окрестности Солнца можно адекватно отобразить на простран-
пространство комнаты, фактически на плоское пространство*? Рас-
Рассматривая искривленное пространство-время в окрестно-
окрестности Солнца, я считаю, что оно плоское. Не потому ли ми-
мировая линия планеты выглядит так сложно? Не в этом ли
причина, побуждающая нас изобретать силу тяготения?
Полагаю, что если бы мы свободно воспринимали ис-
искривленное пространство-время, или, что то же, свобод-
свободно оперировали правилами геометрии, которая довольна
сильно отличается от евклидовой, то мировая линия пла-
планеты выглядела бы очень просто, как геодезическая. Ее
движение выглядело бы простым, очевидным и естествен-
естественным, как маршрут самолета, летящего по большому кру-
кругу, для человека, который убежден, что Земля — шар.
И так же как представления о плоской Земле привели бы
к тому, что траектория полета самолета стала бы выгля-
выглядеть слишком сложно, предпочтение, которое мы отдаем
плоскому пространству-времени, приводит к тому, что дви-
движение планет имеет сложный вид.
28.17. Принимая это во внимание, нужно помнить, что мы ви-
видим не само сложное движение планет, а его отображе-
отображение на земном небосводе — пятнышки света на черном
небосводе, странствующие среди ярких точек — звезд.
Теория, согласно которой планеты движутся с изменяю-
изменяющимися скоростями по эллиптическим орбитам, основана
на результатах наблюдений.
Однако мы по привычке проделываем необходимые
геометрические построения в плоском пространстве с по-
помощью евклидовой геометрии, которая в других ситуаци-
ситуациях служит нам верой и правдой. Таким образом, поль-
пользуясь результатами наблюдений для построения теории
движения планет, мы некритически принимаем, что для
этой работы годится плоское пространство-время. Это
приводит к искаженному представлению обо всем проис-
происходящем в пространстве-времени. Отсюда кажущаяся
сложность поведения планет.
* В вашей комнате любые отклонения от геометрии плоского мира чрез-
чрезвычайно малы.
28.19 423
Привычки и традиции мешают нам отойти от евклидо-
евклидовой геометрии плоского мира. Трудности усугубляются
тем, что, пытаясь совладать с невообразимо большими
расстояниями, мы строим модели и рисуем схемы Солнеч-
Солнечной системы в масштабах, хорошо поддающихся восприя-
восприятию. Такие модели и схемы внедряются в наше сознание,
как будто они и есть реальность. Малые масштабы поз-
позволяют вложить эти модели в практически плоское про-
пространство-время, которое мы тоже начинаем восприни-
воспринимать как реальное.
Но если бы мы могли свободно оперировать несколько
более сложной геометрией искривленного пространства-
времени, то мировая линия планеты предстала бы перед
нами как простейшая кривая — геодезическая. Тогда тео-
теория Эйнштейна выглядела бы гораздо проще теории
Ньютона со всеми ее сложностями, связанными с силой
тяготения.
28.18. Помните, что определения понятий «плоский» и «искрив-
«искривленный», данные в пп. 28.5 и 28.9, всего лишь описывают
правила работы с измерениями в пространстве или в
прострастве-времени. Перечитайте пп. 28.13—28.17 и
помните об этом всегда.
Слова «плоский» и «искривленный» полезны, когда
они ведут к разъясняющим аналогиям, как в п. 28.14. Но
часто от них больше вреда, чем пользы, поэтому, столк-
столкнувшись с такой ситуацией, вспомните их определение в
п. 28.5.
28.19. Даже на поверхности Солнца величина 1—2%/г отличает-
отличается от 1 всего лишь на 1/250000 (п. 27.46), т. е. отклоне-
отклонение от геометрии плоского мира исключительно мало да-
даже в непосредственной близости от Солнца.
Точность измерения расстояний в Солнечной системе
довольно низка, поэтому нет никакой надежды проверить
эту теорию с помощью прямых измерений времени и рас-
расстояний. Асфальтированная дорога тоже кажется плос-
плоской лишь до тех пор, пока по ней не покатится мяч. Тог-
Тогда отклонение его движения от прямолинейного сразу об-
обнаруживает бугорки и впадины, незаметные глазу. Зна-
Значит, изучение движения тел вблизи Солнца могло бы
выявить даже столь малые отклонения от геометрии плос-
плоского мира.
29
МЕТРИКА В ОКРЕСТНОСТИ СОЛНЦА
29.1. Метрика пространства-времени одномерной вселенной с
полем тяготения, подчиняющимся закону обратной про-
пропорциональности квадрату расстояния, не приводит ни
к каким поддающимся проверке новым предсказаниям.
Чтобы сдвинуться с мертвой точки, распространим ис-
исследования на плоскость, проходящую через центр Солн-
Солнца (к счастью, нам никогда не потребуется выходить за
ее пределы).
Рис 29.1.
Здесь будет удобно использовать полярную систему
координат (п. 26.35М) с полюсом в центре Солнца S.
Тогда координатами события Q (рис. 29Л) будут i —
время, когда произошло событие Q; г — расстояние меж-
между S и Q; 8 — угол между фиксированной осью SL и
прямой SQ, причем все эти величины измеряются очень
удаленным наблюдателем на опоре Е (гл. 27).
29.2. Если бы пространство-время вокруг Солнца было плос-
плоским, т. е. не было бы поля тяготения, то оно описыва-
описывалось бы метрикой B6.44). Но Солнце создает поле тяго-
тяготения, поэтому можно ожидать более сложной метрики,
которую запишем в следующем виде:
6s2 ~ y8t2— абг2— C892, B9.1)
где а, р и у — подлежащие определению выражения, за-
зависящие от г (но не от t и 6, так как метрика должна
быть одинаковой во всех направлениях и, кроме того,
принимается, что она не изменяется со временем).
Если ограничиться линией, проходящей через центр
Солнца, то 66 = 0 (т. е. угол не будет меняться) и мет-
29.5 425
рика B9.1) сведется к 6s2~y$t2-~^a8r2. Тогда мы снова
возвращаемся в одномерную вселенную с полем тяготе-
тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорционально-
пропорциональности квадрату расстояния. Метрика такой вселенной
дается формулой B7.22), значит, у=1—2Уг.
29.3. Перечитав п. 26.36, вы убедитесь, что член с 602 отно-
относится к расстояниям, измеренным под прямыми углами
к направлению SQ, в котором действует тяготение. Ра-
Разумно предположить, что тяготение не влияет в направ-
направлении, поперечном к его линии действия. Это можно
доказать с помощью доводов, которые я изложу лишь в
общих чертах.
Рассмотрим ситуацию, подобную описанной в п. 2.22.
Пусть наблюдатель С — инерциальный, а наблюдатель
D на стадии а покоится относительно С, а затем начи-
начинает двигаться с ускорением перпендикулярно PQ (вниз
на рис. 2.22). Тогда из соображений симметрии наблю-
наблюдатели С и D будут по-прежнему единодушны по пово-
поводу одновременности событий Р и Q.
Снабдим наблюдателей С и D стержнями, длина и
ориентация которых такие же, как в п. 2.27. Из сообра-
соображений, изложенных в п. 2.27, следует, что мнения С и
D в отношении длин этих стержней совпадают. Тогда,
воспользовавшись ими как мерными линейками, наблю-
наблюдатели С и D измерят одинаковые расстояния под пря-
прямым углом к направлению ускорения наблюдателя D.
И наконец, с помощью принципа эквивалентности можно
перейти от этого утверждения к следующему: свободно
падающий наблюдатель С и наблюдатель на опоре D
измерят одинаковые расстояния в направлении, перпен-
перпендикулярном вектору ускорения, вызванному полем тяго-
тяготения. Поэтому член новой метрики, содержащий 692,
должен иметь такой же вид, как в B6.44), значит, р = г2.
29.4. Подставляя найденное для р и у выражения в B9.1), мы
увидим, что метрика пространства-времени с полем тя-
тяготения, подчиняющимся закону обратной пропорцио-
пропорциональности квадрату расстояния, в плоскости есть
6s2 ~ A — 2Щ Ы2— abr2— г2б92, B9.2)
где вид а по-прежнему неизвестен.
29.5. Во всех предыдущих случаях, найдя новую метрику, мы
тут же исследовали поведение света (пп. 24.24—24.26,
27.37 и 27.38). Для этого достаточно было положить
65 = 0. (Почему? Загляните в п. 24.24.) В результате по«
лучалась приближенная формула, связывающая §х (или
6г) и 8/. В одномерной вселенной, где изучалась только
29.6 426
скорость, этой -единственной формулы было вполне до-
достаточно.
Но плоскость имеет два измерения, поэтому возника-
возникают два вопроса: по какой траектории распространяется
свет? Какова его скорость? Чтобы ответить на них, необ-
необходима еще одна приближенная формула.
29.6. Будем следовать стратегии, намеченной в п. 24.27. Ког-
Когда этот метод был применен к движению по инерции, из
равномерности и прямолинейности движения следовало,
что в отсутствие тяготения мировая линия инерциально-
го наблюдателя —геодезическая (гл. 25, особенно
пп. 25.17, 25.18 и 25.27м). В пп. 25.19 и 25.28 было сфор-
сформулировано предположение, что мировая линия инер-
циального наблюдателя должна оставаться обыкновен-
обыкновенной геодезической даже при наличии поля тяготения.
До сих пор эта идея приводила к многообещающим ре-
результатам. Нельзя ли обобщить эту идею таким обра-
образом, чтобы она годилась и для распространения света?
В отсутствие тяготения свет распространяется рав-
равномерно и прямолинейно, а его постоянная скорость —
это совершенно особая величина, которой мы приписали
значение 1. Поэтому линия сигнала также должна быть
геодезической, но дополненной соотношением, обоб-
обобщающим на произвольное пространство-время утверж-
утверждение, что скорость света равна 1, справедливое в про-
пространстве-времени без тяготения. Каково это дополни-
дополнительное соотношение?
Согласно доводам, изложенным в п. 24.24, это резуль-
результат приравнивания нулю интервала, измеренного вдоль
линии сигнала, т. е. это 6s = 0.
29.7. Геодезическая, интервал вдоль которой равен нулю, на-
называется изотропной. Тогда наше новое предположение
сводится к тому, что
линия сигнала — это изотропная геодезическая
и что поведение света в любом пространстве-времени
можно вывести из этого утверждения таким же спосо-
способом, как из гипотезы геодезичности (п. 25.28) выводится
поведение свободно падающих тел.
29.8. Итак, найдем приближенную формулу для изотропной
геодезической. Первое естественное желание — вернуть-
вернуться к гл. 26, где были выведены приближенные формулы
для обыкновенных геодезических, и положить там Ss = O.
К сожалению, этот путь не годится, ибо, положив в
B6.31) 6s = 0, мы получим |36г/~О, что абсурдно
(п. 24.25м).
29.9 427
Не будем поступать столь прямолинейно. В основном
метод, примененный при выводе обыкновенной геодезиче-
геодезической, пригоден и теперь. Но чтобы введение условия
8s = 0 не влекло за собой бессмысленных утверждений,
модифицируем этот вывод. Просмотрим гл. 26, отмечая,
что по-прежнему остается в силе, и подробно обсуждая
те моменты, которые требуют изменений. Начнем с
п. 26.5.
29.9. Метрика имеет вид B6.2), а в следующей строке опре-
определены входящие в нее величины. Все рассуждения
гл. 26 остаются без изменений вплоть до конца п. 26.11.
Здесь мы введем дополнительные условия, что оба экст-
экстремальных значения ар и ctq равны нулю.
После введения четвертого упрощения (п. 26.13) фор-
формула B6.8) неприменима, когда точка Q находится в
правильном положении, поскольку сгр и gq равны нулю,
а нуль, деленный на нуль, — это бессмыслица (или, как
говорят математики, неопределенность). Однако для ос-
остальных положений точки Q, которые также нужно рас-
рассмотреть, ар и 0q в общем случае не будут равны нулю.
Поэтому в поисках правильного положения точки Q мы
будем рассматривать только такие положения, для ко-
которых формула B6.8) верна. Тогда формула B6.9) спра-
справедлива для любых положений точки Q. (Приведенный
в п. 26.29 вывод остается в силе для любых положений,
кроме правильного положения Q. В этом случае обе ча-
части формулы B6.9) обращаются в нуль.)
Теперь рассуждения, приведенные в гл. 26, годятся
вплоть до конца п. 26.17. Но при отмене четвертого уп-
упрощения (п. 26.18) нельзя использовать B6.8), так как
ар и а<э равны нулю. Поэтому, чтобы исключить /С, раз-
разделим формулу B6.16) на B6.17):
это соотношение заменит B6.18) и B6.19). Отсюда,
прибегая к доводам типа изложенных в п. 26.19, полу-
получим
$8y = Hy5z, B9.3)
где Н — постоянная. Эта формула заменяет B6.21). По-
Поскольку мы избавились от а, она к тому же заменяет
приближенные формулы B6.22).
Правомерность сделанного в п. 26.21 утверждения
s~S зависит, как отмечалось в примечании, от того, от-
отличны ли 6s и а от нуля, поскольку для обоснования
29.10 423
этой формулы используется понятие относительной по-
погрешности (п. 20.25). Но если они равны нулю, то s =
= 2 = 0, а эти равенства сильнее и включают приближен-
ную формулу s~2. Поэтому приближенная формула
s=2 всегда справедлива, независимо от того, достигает-
достигается ли на рассматриваемой кривой экстремальное значе-
значение величины 2 (в соответствии с требованием, сформу-
сформулированным в третьем абзаце п. 26.21).
Конец п. 26.21 сохраняет силу, хотя для учета идеи
о достаточно малых отрезках нужно заменить в B9.3)
знак « = » на «~»:
B9.4)
Чтобы получить полную систему условий, определяющих
изотропную геодезическую, необходимо ввести условие
равенства нулю интервала, измеренного- вдоль кривой,
положив в метрике 6s = 0 (разумеется, нужно произве-
произвести перестановку членов, чтобы не получилась прибли-
приближенная формула с нулем с одной стороны; см. п. 24.25).
29.10. Итак, рассматривая в качестве метрики соотношение
6s2 ~ aSx2+$8y*+y8z2 B9.5)
(все величины определены как в п. 26.33), мы приходим
к следующему выводу: кривая будет изотропной геодези-
геодезической, если приращения связаны формулой B9.4) и
приближенной формулой, которая получается из метри-
метрики, если (после соответствующей перестановки) поло-
положить 6s = 0.
29.11. Сделайте простое упражнение (если потребуется, см.
пп. 26.41—26.43): исследуйте в полярной системе коор-
координат распространение света в плоскости в отсутствие
тяготения; в частности, найдите траекторию, по которой
свет распространяется в этой плоскости.
Метрика имеет вид B6.44). Величины г, 8 и t можно
отождествить (п. 26.42) с х, у и z из B9.5), так что
а =—1, р = —г2 и 7 = 1. Тогда формула B9.4) дает
—r2SQ~h6t, где h — постоянная. После выполнения не-
необходимых преобразований при условии 6s = 0 следует:
8r2~dt2—г2682. Чтобы найти уравнение траектории рас-
распространения света, исключим из этой формулы 8ty под-
подставив вместо него —г2бв//г, следующее из предыдущей
формулы. Это дает
6г2 ~ г4 A /h2— I /r2) 692. B9.6)
Из сравнения этой формулы с B6.43) следует, что тра-
траектория светового сигнала (как и должно быть!) —пря-
—прямая линия.
29J2
429»
29.12. Теперь таким же образом найдите траекторию светово-
светового сигнала в плоскости в поле тяготения, подчиняющем-
подчиняющемся закону обратной пропорциональности квадрату рас-
расстояния.
Метрика имеет вид B9.2). Снова сопоставим г, 8 и*
t величинам х9 у и z из B9.5). Тогда р = —г2 и y—1—
—2к/гу и из B9.4) следует приближенная формула
—гЧв ~ Я A — 2tyr) 6t> B9.7)*
которую можно переписать в форме
6* г2б8/Я A — 2Щ. B9.8)-
Выполнив в метрике перестановку и положив 6s = О, по-
получим абг2~A— 2h/r)St2—г2б82. Если-в эту формулу
подставить 8t из соотношения B9.8) и разделить на а,-
это дает новую приближенную формулу:
г4 г2)б62,
[Н*A—2К/г)
которую можно переписать (пп. 16.12М и26.37М) в виде
{l-2X/r)—k}m2- <29-9>
Что означает эта формула?
Если Q и Q" — две точки на траектории светового
сигнала (рис. 29.12), то приращения' полярных^ коордит
Рис. 29.12.
29.13 430
нат, возникающие при перемещении из Q в Q', связаны
приближенной формулой B9.9). Сравнение с B9.6) по-
показывает, что на этот раз свет распространяется не по
прямой линии.
Величина а должна быть положительной (так как
пространственные члены, в том числе член, содержащий
б/*2, должны в метрике вычитаться). Величины бг2, б92
и г4 тоже не могут быть отрицательными (п. 24.20), зна-
значит, выражение в фигурных скобках в B9.9) должно
быть либо положительным, либо равным нулю, и вто-
второй член этого выражения должен быть либо меньше
первого члена, либо равен ему. В области, где радиус г
близок к своему минимальному значению, этот член
должен быть много меньше первого.
29.13. До сих пор мы мирились с тем, что нам не известен
явный вид величины а. Мы знали лишь, что она зави-
зависит от г. И вот теперь я хочу выдвинуть рабочую гипо-
гипотезу относительно явного вида этой величины. Из на-
наблюдений известно, что траектория светового сигнала
даже в поле тяготения вблизи Солнца очень близка к
прямолинейной, поэтому никто не подозревал ничего
иного, пока Эйнштейн не сделал свое знаменитое пред-
предсказание.
Если бы траектория была точно прямолинейной, то
она описывалась бы приближенной формулой B9.6), а
не B9.9). Значит, формула B9.9) должна близко совпа-
совпадать с B9.6), а совпадение будет наилучшим при
1/а=1 —2Л/г. B9.10)
Тогда B9.9) приводится к виду
Влияние величины 1—2Хг в этой формуле уменьшает-
уменьшается еще и тем, что она входит в наименьший из двух чле-
членов, заключенных в фигурные скобки. Поэтому B9.11)
(если считать, что Я играет ту же роль, что и К) —это
ближайшая к B9.6) из всех возможных приближенных
формул, получающихся из метрики типа B9.2).
29.14. В длинной цепи рассуждений, с помощью которых я пы-
пытался привести вас к выводам Эйнштейна и при этом
обойти непреодолимые для непосвященных математичес-
математические трудности использованного им метода, предположе-
предположение о виде а — самое слабое звено. Если вы испытываете
некоторое недоверие, то совершенно справедливо. Ведь
можно a priori рассмотреть и такие, вполне разумные
29.17 431
возможности, как а=1 (простейшая возможность) или
а=1—Тк\г (тогда радиальная скорость света была бы
постоянной; п. 27.38) и т. д.
Столкнувшись с подобной ситуацией в исследова-
исследовательской работе, нужно получить на основе разрабаты-
разрабатываемой теории предсказания нескольких вариантов, а
затем, сравнив их с результатами экспериментов или
наблюдений, решить, какой вариант (если таковой най-
найдется) наиболее реалистичен*. Чтобы не заниматься
здесь этой длинной и утомительной работой, я просто
изложу следствия предположения, что B9.10) дает пра-
правильное выражение для а. В подходящий момент я при-
приведу результаты, которые получились бы, если исходить
из других предположений.
В эйнштейновском методе, несколько туманное и уп-
упрощенное изложение которого я дам в конце книги, пра-
правильное выражение для а однозначно следует из пред-
предположений, лежащих в основе теории.
29.15. Чем больше г, тем ближе 1—2К/г к 1 и тем сильнее ста-
становится сходство между формулами B9.11) и B9.6). Но
даже на поверхности Солнца эта величина отличается
от единицы лишь на 1/250000. Значит (если наша догад-
догадка о виде а верна), свет вблизи Солнца распространя-
распространяется вдоль траектории, слегка отклоняющейся от пря-
прямолинейной.
29.16. Итак, предположим, что формула B9.10) верна. Тогда
а=1/A—2Х/г). Если подставить это выражение в B9.2),
то в плоскости, проходящей через центр Солнца, метрику
пространства-времени с полем тяготения, подчиняющим-
подчиняющимся закону обратной пропорциональности квадрату рас-
расстояния, теперь можно будет записать в виде
-2Я/г) Ы* Y^Xjr) -f2602' <29Л2>
Согласно определению, данному в п. 28.9, простран-
пространство-время, описываемое этой метрикой, искривлено
(ср. с п. 28.5).
29.17. Я виновен также в неточных утверждениях, сделанных
в пп. 29.12—29.15, если не в грубом обмане. В чем дело?
Просмотрите пп. 28.13—28.17 и снова попытайтесь от-
ответить на вопрос.
Я принял неверное допущение, сделанное в п. 28.15
и разоблаченное в начале п. 28.16, рассматривая искрив-
* Теоретики, сопоставляющие предсказания теории Эйнштейна с предска-
предсказаниями ряда других недавно разработанных теорий, поступают именно та-
таким образом.
29.17 432
ленное пространство-время как плоское. Метрика про-
пространства (в противоположность пространству-времени)
вокруг Солнца получается путем изменения знаков пе-
перед всеми членами в правой части B9.12) на противо-
противоположные (чтобы получить пространственноподобный
интервал; п. 13.23) с последующим приравниванием ну-
нулю приращения Ы (так что речь идет о событиях, разде-
разделенных только в пространстве). Таким образом, прост-
пространственная метрика имеет вид
+г8бе2 B9ЛЗ>
где 8s теперь имеет смысл расстояния. Форма этой мет-
метрики свидетельствует о том, что даже пространство во-
вокруг Солнца искривлено.
Итак, я совершил ошибку еще в п. 29.1 (и затем чуть
позднее), когда толковал о плоскости, проходящей через
центр Солнца. Плоскость — это поверхность, которая в
полярных координатах описывается метрикой B6.38).
Метрика B9.13) показывает, что тяготение деформирует
плоскость в поверхность, искривленную сильнее всего
вблизи Солнца и почти плоскую на больших расстоя-
расстояниях (ср. с п. 28.12). (Эту поверхность не следует рас-
рассматривать как плоскость с выпуклостью вблизи Солн-
Солнца. Ведь это — поперечное сечение трехмерного простран-
пространства, которое само искривлено. Старайтесь придержи-
придерживаться определения, сформулированного в п. 28.5. Тогда
это просто поверхность, на которой геометрия слегка от-
отличается от евклидовой).
Приближенная формула B9.6) описывает прямую на
плоскости, а не на искривленной поверхности. Значит,
нельзя было сравнивать B9.9) или B9.11) с B9.6) и де-
делать вывод, что траектория светового сигнала слегка
отклоняется от прямой линии. Точнее, такая картина на-
наблюдалась бы, если бы мы вели себя как гипотетический
приверженец плоской Земли (пп. 28.13 и 28.14) и пола-
полагали (ошибочно), что пространство вокруг Солнца плос-
плоское. Лишь при таком предположении формула B9.6)
могла бы описывать прямую, а B9.9) или B9.11)—ли-
B9.11)—линии, слегка отклоняющиеся от прямой.
Но при изучении геометрии Солнечной системы (и бо-
более далеких областей за ее пределами) измеряются лишь
расстояния и промежутки времени на Земле, а также уг-
углы между лучами света, достигающего астрономических
инструментов. Все остальные величины рассчитываются,
причем астрономы предполагают, что пространство —
29.19м 433
плоское. Значит, утверждение, что траектория света
вблизи Солнца отклоняется от прямой, соответствует
картине, получаемой обычными астрономическими ме-
методами. Тогда траектория светового луча вблизи Солнца
должна быть слегка изогнутой. Но насколько?—это ос-
основной вопрос, которому посвящена следующая глава.
29.18м. Изучим еще некоторые свойства экстремальных значе*
ний (п. 25.26м). Докажем, что
если две переменные величины г и 9 связаны таким
образом, что
бг~?/б8, B9.14)
где U зависит от г (но не зависит от 8 и прираще-
приращений), то экстремальные значения г находятся среди
тех значений, для которых [/ = 0.
Из этой теоремы вовсе не следует, что каждое зна-
значение величины г, для которого ?7 = 0, экстремально,
просто экстремальные значения (если они есть) лежат
среди тех значений, для которых ?/ = 0. Хотя эта теоре-
теорема справедлива для любых величин, я использовал сим-
символы гиб, поскольку мы будем применять теорему
только к полярным координатам.
29.19м. Чтобы доказать эту теорему, выберем какое-нибудь зна-
значение 0. Тогда можно найти соответствующее значение
г и отсюда вычислить U. Если U не равно нулю, то оно
либо положительно, либо отрицательно. Допустим, что
оно положительно. Тогда если приращение 56 положи-
положительно, то из формулы B9.14) следует, что бг тоже по-
положительно. Точнее, B9.14) утверждает, что, придавая
•60 достаточно малые положительные значения, можно
добиться, чтобы приращение дг тоже было положитель-
положительным. Другими словами, небольшое возрастание величи-
величины 8 ведет к возрастанию г. А если г возрастает, то о
максимуме нет речи. Если же сделать приращение 69
отрицательным, то, согласно B9.14), уменьшение 8 на
достаточно малую величину приводит к уменьшению г,
а значит, исходное значение г не было минимальным.
Итак, мы доказали, что значения г, для которых U
положительно, не могут быть экстремальными. Теперь
докажите аналогичное утверждение для отрицатель-
отрицательных U. Итак, мы рассмотрели все возможные случаи и
показали, что если U не равно нулю, то г не может
иметь экстремальное значение. Оно может появиться
лишь при U = 0.
29.20м 434
29.20м. Мы будем пользоваться этой теоремой в следующей
формулировке:
если две переменные величины г и 0 связаны таким
образом, что
8r2~V802, B9.15)
где V зависит от г (но не зависит от 6 и прираще-
приращений), то экстремальные значения г находятся среди
тех значений, для которых У=0.
Для доказательства извлечем из обеих частей при-
приближенной формулы B9.15) квадратный корень, что
даст 6г~?/6Э, где U=yV, и воспользуемся исходной
теоремой.
29.21. В качестве примера рассмотрим формулу B9.6), описы-
описывающую (в плоском пространстве) прямую линию.
Сравнивая ее с B9.15) и учитывая тождество A6.10),
получим
F = r4 A/А2— 1/г2) = г4 A/Л—1/г) A/А + 1/г).
Значения г, для которых V=0, очевидно, равны 0, Л и
¦—h (например, если положить г=А, то первая скобка
равна 1/А—1/А = 0, а значит, и У=0). Если рассматри-
рассматриваемая прямая не проходит через полюс S, то г не мо-
может быть равно нулю; кроме того, в полярных коорди-
координатах радиус г не может быть отрицательным
(п. 26.35М). Поэтому остается единственное экстремаль-
экстремальное значение г = А, а это не что иное, как длина перпен-
перпендикуляра, опущенного из полюса S на прямую (п. 26.40),
который, как известно, является минимальным значени-
значением радиуса г.
30
ТЯГОТЕНИЕ И СВЕТ
ЗОЛ. Траекторию светового сигнала мы обычно называем лу-
лучом света. Если наша теория (в том числе догадка о>
величине а) верна, то идущий от звезды луч света дол-
должен быть изогнут (п. 29.17) и угол отклонения от пря-
прямой можно вычислить по формуле B9.11). Проверим,,
согласуются ли предсказания с результатами наблюде-
наблюдений. Математика в этой главе не очень сложна. Вспом-
Вспомните советы, данные в пп. 26.4М, 26.27М, и постарайтесь
применить их здесь.
30.2. Пусть кривая MLN (рис. 30.2)—луч света, пришед-
пришедший издалека в точку М, проходит на минимальном-
расстоянии от Солнца в точке L. Пусть h — кратчайшее
Рис. 30.2.
расстояние между центром Солнца S и точкой L
(SL). Если г и 0 —полярные координаты произвольной
точки луча Q (угол 8 отсчитывается от SL), а 6г и 60 —
30.3 436
приращения коррдинат при перемещении из Q в точку
луча Q', то приращения связаны приближенной форму-
формулой B9Л1). Тогда, согласно теореме из п. 29.20, экст-
экстремальные значения г должны находиться среди тех
значений, для которых
или (поскольку г не может быть равно нулю) для ко-
которых
1/Я2— A/г2)A— 2А,/г)=-0.
Очевидно, наименьшее расстояние К от S до луча
является и экстремальным значением г; поэтому при
подстановке r = /i последнее уравнение станет точным
равенством, которое можно записать в виде
l/№ = (l//i2)(l~2V/i). (ЗОЛ)
Подставляя (ЗОЛ) в B9Л1), получим
6г2~г4{A — 2Щ/к2— A — 2l/r)/r*}№\ C0.2)
30,3. Пусть JLK (рис. 30.3) — прямая, проходящая через точ-
точку L перпендикулярно SL, т. е. касательная к MLN в
точке L, и ее минимальное расстояние от S снова рав-
30.5 437
но h. Форма кривой MLN определяется из ее срав-
сравнения с этой прямой.
Как и прежде, Q — точка луча света с полярными
координатами: радиусом-вектором г (расстояние от S
до Q) и углом 0 между SL и SQ. Отметим на прямой
JLK точку Р на таком же расстоянии от S. Ее поляр-
полярные координаты: длина отрезка SP, равная г, и угол ф
между SL и SP.
Приращения бг и бф связаны приближенной форму-
формулой
бг2 ^ г" (Mh2— I/г2) бФ2, C0.3)
которая получается из B6.43) путем замены б на ф.
Подчеркнем, что Лиг здесь те же, что и в C0.2).
Сравнение формул C0.2) и C0.3) показывает, на-
насколько отклоняется траектория светового сигнала от
прямой линии.
30.4. Угол PSQ на рис. 30.3 можно рассматривать как меру
отклонения луча света от прямой. Обозначим его гре-
греческой буквой е (эпсилон). Тогда 6—ф = е, откуда сле-
следует (пп. 22.9м и 22.10м), что
69_бф = б8. C0.4)
Пусть известно значение г, и пусть угол ф возрос на
бф. Тогда последовательно применяя формулы C0.3),
C0.2) и C0.4), можно вычислить соответствующие при-
приращения: сначала бг, затем 60 и наконец бе. Сложе-
Сложение приращений (п. 21.21) позволит найти угол е.
30.5. Манипуляции с формулами C0.2), C0.3) и C0.4), не-
необходимые для вывода соотношения, связывающего бф
и бе и имеющего удобную для работы форму, — доволь-
довольно скучное занятие, и мы отложим его до п. 30.19.
А пока постарайтесь, чтобы математические выкладки
не отвлекали внимания от общей линии рассуждений.
Поверьте мне на слово, что из этих трех формул сле-
следует приближенная формула
C0.5)
C0.6)
где для краткости введено обозначение
1 + hfr
h/r
О чем говорит соотношение C0.5)?
Оно дает способ расчета (с любой желаемой точностью)
приращения угла е для заданных приращения ф и ра-
30.6 438
диуса г (рис. 30.3). Оно позволяет шаг за шагом пост-
построить таблицу соответствия между е и ф, причем тем
же методом, который использовался в гл. 21 при пост-
построении таблицы соответствия между ft и k. (Перечитай-
(Перечитайте пп. 21.18—21.23. Обратите внимание, что на той ста-
стадии мы еще не ввели для приращений обозначение б;
пп. 21.39м—21.41м). Поэтому если вы теперь в гл. 21
введете это обозначение, то облегчите себе чтение по-
последующих страниц.
30.6. Изучим распространение луча света, который почти ка-
касается Солнца на пути от звезд к Земле. Их расстоя-
расстояния от Солнца огромны по сравнению с его радиусом,
поэтому начальное и конечное значения угла ф будут
неотличимы от —90 и +90° (в практических расчетах
мы предпочитаем использовать не радианы (п. 26.34М),
а градусы, минуты и секунды). Обе половины рассмат-
рассматриваемой кривой должны быть симметричны, поэтому
достаточно проделать расчет только для интервала от
0 до 90°, а затем удвоить результат. Если у вас хоро-
хорошая математическая подготовка, то можете сразу пе-
переходить к п. 30.11.
30.7. Какой выбрать размер шага? Как и в гл. 21, чем мень-
меньше шаг, тем выше точность, но зато больше объем ра-
работы. Кроме того, мы сталкиваемся еще и с проблемой
вычисления hjry соответствующих значениям угла ф в
начале каждого шага. Если вы не знакомы с разделом
математики, к которому я предпочитаю здесь не обра-
обращаться, то такой расчет, вообще говоря, очень трудная
задача.
Однако, когда угол ф равен 0, 30, 45, 60 и 90°, вы-
вычисление h/r упрощается (см. п. 30.8М). Поэтому мож-
можно выполнить расчеты либо в два шага по 45°, либо в
три шага по 30°. Сравнение результатов позволяет про-
проверить точность вычислений (п. 21.22).
По тем же причинам, что в пп. 21.19 и 21.20, можно
добиться более высокой точности, если вместо C0.5)
использовать приближенную формулу
6(еЛД)~17бф, C0.7)
где U — среднее арифметическое значений U в начале
и в конце шага.
30.8М. При ф = 0° отрезок SP совпадает с SL (рис. 30.3), зна-
значит, ft/r=l. По мере приближения ф к 90° длина радиу-
радиуса г растет беспредельно, так что дробь h/r уменьшает-
уменьшается, пока при ср = 90° не достигнет значения /i/r = 0.
SO.9
439
Если ф = 45° (рис. 30.8,а), то длина отрезка LP тоже
равна h. Тогда^ согласно теореме Пифагора, г2 = 2/г2, от-
откуда А/г=1/У2 = 0,7071.
В большом треугольнике на рис. 30.8,6 все три сто-
стороны имеют длину г, поэтому все его углы равны, но
сумма всех углов составляет 180°, значит, каждый из
30.9.
Рис. 30.8.
них равен 60°. Если отрезок PL перпендикулярен SR,
то SL = r/2 (в силу симметрии). Пусть в треугольнике
SLP на рис. 30.3 угол ср = 60°, тогда Л= г/2 и /i/r-0,5.
Угол LPR, очевидно, равен 30°. Если в треугольнике
SLP на рис. 30.3 угол SPL равен 30°, то PL = /i и, со-
согласно теореме Пифагора, г2 = (г/2J+^2, так что h2 =
= 3/4г\ откуда /i2/r2 = 3/4 и Л/г = У% = 0,8660.
Вычисления для шага 45° приводят к следующей таб-
таблице:
ф h/r U
0° 1,0000 1,500
45° 0,7071 1,293
90° 0,0000 1,000
1,397 62,87°
1,146 51,57°
he/X
0,00°
62,87°
114,44°
Как получены эти цифры (ср. с п. 21.21)?
Отношения h/r получены в п. 30.8, а подстановка
этих цифр в C0.6) дала U. Обратите внимание, что V
смещены на полстроки вниз по сравнению с предыду-
предыдущим столбцом, так как являются средним арифметичес-
арифметическим значением U. Тогда, согласно C0.7), (приближен-
(приближенное) значение величины из следующего столбца равно
SO. 10 440
произведению U на 6cp = 45°. Цифры в последнем столб-
столбце получены сложением предыдущего значения, стояще-
стоящего в этом столбце, и приращения из предыдущего
столбца. Рассчитайте самостоятельно таблицу для трех
шагов при 30°.
ф
0°
30°
60°
90°
1
0
0
0
h/r
,0000
,8660
,5000
,0000
и
1,500
1,402
1,167
1,000
и
1,451
1,284
1,084
6(h
43
38
32
,53°
,52°
,52°
пг/Х
0,
43,
82;
114,
,00°
,53°
,05°
,57°
30.10. На основании таких же доводов, как в п. 21.22, можно
показать, что значения в последней таблице имеют
точность, достаточную для наших целей. Обозначим
конечное значение угла е, соответствующее 90°, симво-
символом е*. Тогда
е*АА= 114,57° «412 500*.
(п. 26.34М).
30.11. Если вы знакомы с тригонометрическими функциями и
их приращениями (или с их производными), то можно
обойтись без приведенных выше численных расчетов.
Из C0.5) и C0.6) следует
б (ЛеД) ~ {1/A +cos cp) + cos ф} бср ~ б (tg ф/2+sin ф).
Тогда, согласно теореме из п. 25.13м, eAA, = tg(p/2+sin(p
(так как е = 0 при ф = 0). И наконец, e*h/'k — 2 радиа-
радиана = 412 530".
30.12. Искомый угол (п. 30.6) равен 2е* = 825 000"УА. Если
рассмотреть луч, касающийся поверхности Солнца, то
h-696000 км, Х= 1,477 км (п. 27.15). В результате
2е* = 1,75".
На рис. 30.12 (вычерченном без соблюдения пропор-
пропорций) свет от звезды, если бы не было Солнца, пришел
бы к Земле Е по направлению СЕ. Когда же он дол-
должен пройти вблизи Солнца, то сначала идет вдоль пря-
прямой AD, параллельной СЕ, а затем отклоняется грави-
гравитационным полем Солнца и достигает Земли с направ-
направления FE, поэтому создается впечатление, будто он
первоначально шел вдоль BFE. Наблюдателю на Земле
будет казаться, что звезда сместилась на угол 1,75" от
своего истинного положения на небесной сфере.
Итак, мы сделали предсказание, которое должно
быть проверено астрономическими наблюдениями.
30.14
441
Рис. 30.12.
30.13, Можно выдвинуть совершенно противоположные пред-
предположения, к примеру, что тяготение не влияет на
распространение света, т. е. свет вообще не будет от-
отклоняться. Или, если придерживаться ньютоновской
теории тяготения, есть еще и другая возможность, к ко-
которой был проявлен значительный интерес, когда Эйн-
Эйнштейн показал, что свет, обладая энергией, должен
обладать также и массой. Поле тяготения Солнца дол-
должно действовать на свет точно так же, как на тела из
обычного вещества. Если вычислить отклонение тела,
движущегося со скоростью 300 000 км/с, под влия-
влиянием ньютоновской силы тяготения, то оно составит по-
половину величины, предсказанной Эйнштейном.
О чем свидетельствуют наблюдения?
30.14. С помощью обычной оптической астрономии — а это все,
что было в распоряжении астрономов всего несколько
29—1653
30.15 442
лет назад, — выполнить такие наблюдения очень слож-
сложно. Во-первых, угол, подлежащий измерению, крайне
мал. Во-вторых наблюдение звезд, свет которых прохо^
дит очень близко к Солнцу, возможно только во время
полного солнечного затмения*, значит, измерения мож-
можно проводить лишь от случая к случаю, да и то наспех.
Кроме того, необходимо сравнить видимое положение
звезды во время затмения с положением, когда вбли-
вблизи не было Солнца. Для этого ее положение во время?
затмения сравнивается с положением других звезд, до-
достаточно удаленных от Солнца. Несколькими месяца-
месяцами раньше или позже, когда эта звезда видна на ноч*-
ном небосводе, такое сравнение проводят еще раз. Ра-
Разумеется, сравнение производится на фотографиях. Но
один снимок делается ночью, а другой — днем, так что*
необходимо вносить поправку на расширение фотопла-
фотопластинки вследствие изменения температуры.
Очевидно, источников ошибок множество. Значит»,
можно ожидать, что результаты будут весьма неточны.
30.15. Первые наблюдения во время затмения 1919 г. были,
выполнены Эддингтоном с результатом 1,98±0,16" w
Дайсоном с результатом 1,6Г ±0,40" (что означают
знаки «±», см. в п. 23.17). Значения ±0,16" дают ниж-
нижний предел точности, так как показывают, что даже в*
большом интервале от 1,66 до 2,30" истинное значение
содержится лишь с вероятностью 95%. И все же пред1-
сказанное отклонение 1,75" попадает в этот интервал —
неплохо для первой попытки. То же справедливо и для?
результата Дайсона, хотя его точность ниже.
Казалось бы, можно надеяться, что усовершенство-
усовершенствования позволят получить более точные результаты. Hoi
эти надежды не оправдались. Наименьшая стандартная
погрешность, равная 0,1", достигнута при наблюдениях.
1929 г. с результатом 2,24±0,10" и 1952 г. с результа-
результатом 1,70±0,10". Последний результат можно было бы&
назвать неплохим. Но вот первый утверждает, что с
вероятностью 95% истинное значение отклонения луча
света лежит между 2,04 и 2,44". Наряду с вполне снос-
сносным результатом 1922 г. 1,72 ±0,15" существует ре-
результат 2,73±0,31", полученный в 1936 г., который*
кроме как никуда не годным никак не назовешь. Не
исключено, что все эти наблюдения содержат большие
систематические ошибки.
* Предложен метод наблюдений при дневном свете (Mew Scientist, 30 No+-
vember 1978, p. 684).
30.17 443
Согласно Вейнбергу*, можно не сомневаться, что
отклонение превышает 0,875" — значение, предсказы-
предсказываемое теорией Ньютона (п. 30.13), «что касается точ-
точного значения, то можно сказать лишь, что 2s* лежит
между 1,6 и 2,2"».
Пока измерения проводились только оптическими
методами, вывод был один: «не доказано», поэтому
нельзя было отвергнуть другие теории.
S0.16. На помощь пришла радиоастрономия. Некоторые ис-
источники космического радиоизлучения (например, ква-
квазары) в результате орбитального движения Земли раз
в год оказываются позади Солнца или очень близко к
нему. Видимые смещения их положений на небе мож-
можно измерить относительно других радиоисточников.
При этом не нужно ждать солнечного затмения и не
возникает никаких трудностей при сравнении результа-
результатов дневных и ночных измерений.
В 1969—1970 гг. было выполнено пять независимых
серий наблюдений. Разрешающая сила аппаратуры все
еще была очень ограниченной, но результаты были
точнее полученных методами оптической астрономии
за полвека. Четыре результата из пяти сгруппирова-
сгруппировались около значения 1,75", но их точность все еще бы-
была недостаточной, чтобы сделать выбор между теорией
Эйнштейна и некоторыми конкурирующими теориями.
Постепенно методы наблюдений совершенствова-
совершенствовались, и в 1975 г. Фомалонт и Шрамек провели в тече-
течение месяца серию наблюдений трех радиоисточников,
проходящих очень близко к Солнцу, на радиоинтерфе-
радиоинтерферометре с 35-километровой базой. Их результат**:
2е* = 1,763 ±0,016". Он свидетельствует об очень силь-
сильном повышении точности и о том, что предсказание
Эйнштейна попадает прямо в цель. Этот результат
крайне ослабляет позиции всех других теорий.
30.17. Предсказанное отклонение 1,75" основывалось на до-
догадке, что 1/а = 1— 2Цг (пп. 29.13 и 29.14). Более слож-
сложные расчеты показывают, что если выбрать а = 1, то
предсказанное отклонение уменьшится вдвое. При а =
= 1—2К/г отклонения не было бы вообще. Ни одно из
* S. Weinberg. Gravitation and Cosmology, Wiley, New York, 1972, p. 192..
^Имеется перевод: С. Вейнберг. Гравитация и космология. — М.: Мир, 1976.)
Вместо ^го обозначения я использую 2е*.
** В опубликованной ими статье показано, что зафиксированное отклоне-
отклонение равно 1,007±0,009"от ожидаемого отклонения луча света Physical Review
JLetters, 36, 1475, 1976. Так что мои цифры могут отличаться лишь на 1 или 2
«единицы последнего разряда.
30J8M 444
этих двух выражений не согласуется с результатами
наблюдений, так же как любая другая возможная фор-
форма. Значит, мы вправе считать правильным именно
выражение B9.10), отсюда B9.12)—метрика простран-
пространства-времени в окрестности Солнца.
Отсутствие отклонения при а=1—2%/г вовсе не оз-
означает, что луч света — прямой. Сначала, по мере при-
приближения к Солнцу, он изгибается в одну сторону, за-
затем в момент максимального сближения на мгновение
возвращается на исходную прямую и вновь повторяет
этот маневр, удаляясь от Солнца. Я дам набросок до-
доказательства этого утверждения, после того как мьв
изучим математические преобразования, пропущенные
в п. 30.5.
Мое внимание на странное поведение света в слу-
случае а = 1—2Х/г обратил мой бывший слушатель из Дер-
Дерби Роджер Джексон, который высказал мысли, изло-
изложенные здесь и в п. 30.20. Успешной работе над не-
несколькими последними главами этой книги я во многом
обязан группе слушателей из Дерби. Слушатели в Нот-
Ноттингеме три года спустя тоже помогли мне в «пригла-
«приглаживании» многих шероховатостей. Но изредка попада-
попадались слушатели, которые меня ничему не научили. Род-
Роджер и Стен (п. 26.39) — наилучшие представители всех
остальных моих учеников.
30.18М. Дважды применяя правило, сформулированное в
п. 16.12М, получим еще одно тождество:
(и— v) (u2+uv-\-v2) = и (u2+uv+v2)—v (u2+uv+v2) =
= u*-\-u2v+uv2— u2v—uv2—v* = u3—v\ C0.8>
30.19. Докажем C0.5). Для упрощения перепишем прибли-
приближенные формулы C0.2) и C0.3) в виде
C0.9>
C0.10)
где
X = A — 2Щ1кг— (I - 2Щ/г\ C0.11)
V=l/ft*—1/г*. C0.12)
Из C0.10) и C0.9)
бф2 ~ бг2/г4К ~ (X/Y) 68*.
Поэтому
п. 16.12М
»602 --*
30.19 445
и 16.22М
(примечание к п. 21.12)
Тогда, согласно тождеству A6.10),
—бФ) ~ {{Y — X)/Y} 692. C0.13)
Далее наши вычисления будут приближенными. По-
Поскольку 2X/h и 2Х/г — очень малые дроби, то разность
X и У очень мала по сравнению с любой из этих вели-
величин. Тогда из C0.9) и C0.10) следует, что это спра-
справедливо для 69 и бф. Значит, не будет большой ошиб-
ошибки, если 69 везде заменить на бф, за исключением чле-
члена 69—бф, где разностью этих углов, очевидно, прене-
пренебречь нельзя. Тогда вместо C0.13) получим
2бф F9 — бф) = {(Y— X)IY) бф2.
Деление обеих сторон на бф и применение C0.4) дает
приближенную формулу
26е~{(У—Х)/У}бср. C0.14)
Теперь из C0.11) и C0.12), применяя пп. 15.23М,
15.24М и несколько раз п. 16.12М, получим
Y—Х=\№— 1/г2—A — 2tyA)/A2+0
= 1/Л2— 1/г2— 1/А2+2Х/А3+1/г2—
C0.8)
= 2Х A/А— 1/г) A/Л2+ 1/Аг+ 1/г2).
Формулу C0.12) с помощью тождества A6.10) можно
переписать в виде
Подставляя эти выражения для Y и У—X в C0.14), со-
сокращая одинаковые множители в числителе и знаме-
знаменателе и деля обе стороны на 2, получим приближен-
приближенную формулу
Умножая числитель и знаменатель на h2 (п. 16.22М)
и учитывая C0.6), найдем
бф =
30.20 446
И наконец, умножение обеих сторон на hj% и приме-
применение свойства приращений, доказанного в п. 22.11м,
дает искомую формулу C0.5).
30.20. Доказательство утверждений из п. 30.17 требует гораз-
гораздо более серьезной математической подготовки, чем
ваша, поэтому буду краток. Если вы справились с
п. 30.11, то разберетесь и в этом. В противном случае
примите изложенное в этом параграфе на веру. Чтобы
рассмотреть сразу все возможные случаи, предполо-
предположим, что
1/а = A — 2Щх-п&(\ — 2Л/г) A + 2пХ/г).
Выражение C0.1) для 1/#2 по-прежнему остается в си-
силе, так что из B9.9) следует приближенная формула
бг2 ~ г4 A+2tik/r) {A — 2l/h)/h2— (I — 2tyr)/r2} 602 ^
—1/г2—2Я[1//1Э—1/гэ—(л/г)A//12—1/л2)]}б62,
в которой мы пренебрегли членами с ДА
Рассуждения, как в п. 30.19, приводят к формуле
б (ЛеД) ~ i + Nr + W-nmv + m бф.
К сожалению, метод, использованный в п. 30.9, если
только не выбрать меньший шаг, дает при пфО очень
неточные результаты. Но можно поступить как в
п. 30.11, что даст
(Отмеченное в п. 30.17 странное поведение луча света
обнаруживается при исследовании этого соотношения
для случая п = 2.) При ф = 90° получим (АД)е* = 2—/г.
Последовательная подстановка значений п=0, 1 и 2
дает соответственно предсказание Эйнштейна и резуль-
результаты, к которым ведут выражения для а из п. 30.17.
30.21. Вернемся к вопросу о скорости света в поле тяготения,
подчиняющемся (приближенно) закону обратной про-
пропорциональности квадрату расстояния (пп. 27.37—
27.39). Подставляя в B7.24) правую часть соотноше-
соотношения B9.10), найдем
Радиальная скорость света = 1 — 2Я/г. C0.15)
Этот же результат можно получить сразу, если в мет-
метрике B9.12) положить (после соответствующей пере-
перестановки членов) 6s = 68 = 0 и воспользоваться теоре-
теоремой из п. 24.22. Аналогично можно найти и поперечную
30.22 447
скорость. Для этого в метрике (в которой выполнена
перестановка членов) нужно положить 8s = 6r=0, что
дает приближенную формулу г2662~A—2Х/г)Ы2. Сог-
Согласно B6.37), гбб — это приращение расстояния, прой-
пройденного в поперечном к радиусу направлении. Тогда
теорема из п. 24.22 утверждает, что
Поперечная скорость света = ]/1 — 2Х/г. C0.16)
Таким образом, скорость света в рассматриваемом
случае зависит как от расстояния до центра, так и от
направления.
30.22. Здесь мы снова слишком примитивно интерпретирова-
интерпретировали формулы C0.15) и C0.16), исходя из молчаливого
предположения, что пространство-время — плоское (ср.
с пп. 28.15, 28.16 и 29.17). Равномерное и прямолиней-
прямолинейное движение в плоском пространстве-времени — ана-
аналог прямой линии в плоском пространстве (п. 8.23).
И как нет прямых линий в искривленном пространст-
пространстве*, так нет прямолинейного и равномерного движения
в искривленном пространстве-времени. Поскольку ли-
линия сигнала — это геодезическая, скорость света близ-
близка к равномерной и прямолинейной настолько, насколь-
насколько позволяет кривизна пространства-времени.
Даже если вернуться, как в конце п. 29.17, к фор-
формулировкам, когда пространство-время предполагается
плоским, все равно не очевидно, что мы правильно по-
понимаем формулы C0.15) и C0.16). Координаты t и г
связаны с временем и расстоянием, но не обязательно
идентичны им (ср. с п. 27.39). На практике все зави-
зависит от того, как измеряются время и расстояние. На-
Например, если мы договоримся безоговорочно доверять
радиолокационному методу, то скорость света нужно
считать постоянной по определению; тогда соотношения
C0.15) и C0.16) показывают лишь, как используемые
координаты связаны с измеренным таким способом
расстоянием.
В астрономии расстояния измеряются различными
способами: методом тригонометрических параллаксов,
путем сравнения видимого блеска или размера объек-
объекта с его светимостью или размерами, известными из
других наблюдений, и т. п. Но нет гарантий, что все
эти методы приведут к одинаковому результату, осо-
особенно в искривленном пространстве-времени (хотя прак-
* В определенных искривленных пространствах некоторые линии могут
быть прямыми, но это ничего не меняет в наших рассуждениях.
30.23 448
тическая астрономия и не обнаруживает никаких раз-
различий). Точно так же нет гарантий, что координата г
(полученная совершенно другим способом) будет сов-
совпадать с этими измерениями.
В любом случае, как отмечалось еще в п. 22.5, это
неважно, ибо эксперименты связаны исключительно с
измерениями в данном месте. Например, в опытах по
обнаружению отклонения света и предсказание, и на-
наблюдения касаются углов, которые измеряются на Зем-
Земле. Координаты t и г появляются при теоретическом
расчете отклонения, но последовательность рассужде-
рассуждений одна и та же независимо от того, берутся ли «ис-
«истинное» время и расстояние, или нет. Любые следую-
следующие из теории утверждения о скорости света в дале-
далеких областях пространства представляют чисто акаде-
академический интерес, так как мы можем измерять эту ско-
скорость только в данном месте. (Обратите внимание на
то, что скорость света, измеренная свободно падающим
наблюдателем в данном месте, всегда будет равна 1.)
30.23. Независимо от того, как интерпретируются формулы из
п. 30.21, из них следует, что радиолокационному сигна-
сигналу, который на пути к другой планете и при возвраще-
возвращении от нее проходит очень близко к Солнцу, понадобит-
понадобится на это путешествие больше времени, чем в случае,
когда он не проходит мимо Солнца. Причем не имеет
значения, скажем ли мы, что импульс был заторможен
или что ему пришлось преодолеть большее расстояние.
Важно лишь время путешествия, которое можно найти
следующим образом.
Из приближенной формулы B9.7) (связывающей
69 и Ы для светового сигнала) с учетом (ЗОЛ) полу-
получим
я2 A—
Подстановка правой части этого соотношения в C0.2)
дает приближенную формулу, связывающую прираще-
приращения Ьг и б/. Это позволяет вычислить с любой точно-
точностью время б/, которое требуется радиоимпульсу, чтобы
преодолеть отрезок своей траектории Ьг— отрезок QQ'
на рис. 30.2. Затем можно шаг за шагом рассчитать
полное время путешествия, а значит, запаздывание,
обусловленное полем тяготения Солнца.
30.24. Но выполнение эксперимента требует поправок (кото-
(которые мы не смогли бы сделать) на влияние движения
30.26 449
Земли, явлений в солнечной короне, учета неопреде-
неопределенностей, вносимых рельефом планеты и т. д.
Есть и более серьезная проблема: г должно быть
известно с точностью, которая намного превосходит
возможности современных методов астрономических из-
измерений (даже если предположить, что г соответствует
измеряемым астрономами расстояниям). Чтобы преодо-
преодолеть эти трудности, полная серия измерений должна
осуществляться в течение всего периода, пока планета
приближается к Солнцу, заходит за него, а затем уда-
удаляется, т. е. более нескольких сотен дней. Современ-
Современная, очень сложная теория предсказывает, что запазды-
запаздывание сигнала, вызванное полем тяготения, могло бы
изменяться со временем, возрастая от нуля до макси-
максимального значения порядка 200 микросекунд (для ра-
радиолокационного сигнала, отраженного от Венеры) и
снова падая до нуля. Поэтому в реальных эксперимен-
экспериментах устанавливается степень отклонения данных повсед-
повседневных наблюдений от предсказаний.
30.25. Были поставлены эксперименты с отраженными радио-
радиоимпульсами от Меркурия и Венеры, а также с сигнала-
сигналами, которые ретранслировались аппаратурой, установ-
установленной на борту космического аппарата «Маринер»,
выведенного на орбиту искусственного спутника Марса,
и на спускаемых аппаратах «Викингов-1 и -2», совер-
совершивших мягкую посадку на поверхность этой планеты.
Согласно докладу ведущего специалиста в этой области
И. Шапиро, наблюдения, выполненные с помощью
«Викингов», подтверждают предсказания теории Эйн-
Эйнштейна с точностью около 0,1%.
Итак, общая теория относительности хорошо пред-
предсказывает поведение света в поле тяготения.
30.26. Постскриптум. Начертите на рис. 30.12 еще один луч
света симметрично AEF с другой стороны от Солнца.
Не трудно понять, что при определенных обстоятель-
обстоятельствах можно было бы увидеть два (или даже несколь-
несколько) изображений одного и того же удаленного объек-
объекта. Правда, Солнце отклоняет луч света недостаточно
сильно, чтобы вызвать такое явление, а вот галактика
на пути луча при подходящих условиях могла бы слу-
служить гравитационной линзой.
В наблюдениях, выполненных в течение 1979 и
1980 гг., как будто зафиксированы два таких события.
В одном случае были обнаружены два столь похожих
и так близко расположенных друг к другу квазара, что,
по всей вероятности, это просто два изображения одно*
30.26 450
го и того же квазара, возникшие в результате отклоне-
отклонения света встретившейся на его пути галактикой.
В другом — галактика, по-видимому, отклонила свет от
квазара таким образом, что в результате наблюдаются
три очень похожих и близких друг к другу изображе-
изображения (Nature, 279, 1979, 381; 285, 1980, 641).
31
СМЕЩЕНИЕ ПЕРИГЕЛИЯ МЕРКУРИЯ
31.1. В Солнечной системе остался всего лишь один пробный
камень для проверки нашей теории — можно спросить,
как она предсказывает движение планет. Согласно тео-
теории Ньютона, планеты движутся по эллиптическим ор-
орбитам, и наблюдения на протяжении столетий подтвер-
подтверждали, что это очень близко к истине. Поэтому изучим
некоторые свойства эллипсов.
Если вы уже хорошо знакомы с этой геометричес-
геометрической фигурой, то достаточно 1) обратить внимание на
определения величин, следующие из обозначений на
рис. 31.2; 2) убедиться, что формула C1.7) вам давно
знакома, только cos ср заменен на х\г\ 3) удостоверить-
удостовериться, что вам известно, как из C1.7) вывести формулу
C1.12), и что вы понимаете ее смысл; 4) проверить
(таким же способом, как в п. 31.12 или с помощью
геометрии), что экстремальные значения г определяют-
определяются формулами C1.17), и, наконец, 5) убедиться, что вы
знакомы с формулой C1.22), которую можно рассмат-
рассматривать как вариант записи соотношения 6(siri(p)~
6
pp
31.2М. Вы вероятно, знаете, как вычертить эллипс. Нужно
взять нитку и привязать ее концы к двум булавкам,
воткнутым в лист бумаги. Если теперь вести остро от-
отточенным карандашом по листу бумаги так, чтобы
нить была натянута, то в результате получится эллипс.
Рассмотрим плоскость, на которой выбраны две точки:
S и S'. Тогда эллипс (рис. 31.2) можно определить как
геометрическое место точек Р, удовлетворяющих ус-
условию
Длина отрезка SP+Длина отрезка S'P=2a, C1.1)
где 2а — некоторая постоянная длина (длина нити в
нашем построении).
Точки S и S; называются фокусами эллипса. Если
точка О расположена точно посередине между S и S',
а прямая, проведенная через эти точки, пересекает кри-
кривую в точках А и А', то легко доказать, что
Длина отрезка ОА = Длина отрезка ОА'=а.
31.2М
452
3I.3M. Расстояние между точками S и S' удобно рассматри-
рассматривать как долю е «длины нити» 2а, т. е.
Длина отрезка S'S = 2ae, C1.2)
^де е — эксцентриситет, мера вытянутости эллипса (про-
зерьте, что так оно и есть, нарисовав несколько эллип-
:ов с одинаковыми значениями а, но разными е).
Кривая симметрична относительно прямых АОА' и
ВОВ', перпендикулярной к АА' (что подчеркнуто на
рис. 31.2).
31.4М. Будем изучать свойства эллипса в полярных координа-
координатах с полюсом в точке S. Тогда г — длина отрезка SP,
а ф — угол ASP (рис. 31.2). Кроме того, пусть отрезок
РМ перпендикулярен АА', х — длина отрезка SM, а
у — длина отрезка МР.
Тогда из C1.1) следует, что
Длина отрезка S'P = 2a— r, C1.3)
а из C1.2), что
Длина отрезка S'M = 2a?-f*. C1.4)
31.5М. Применяя теорему Пифагора к треугольникам SMP и
S'MP, получим
5
3L6M
453
и, принимая во внимание C1.3) и C1.4),
Bог+хJ4-1/2 = Bа—rf. C1.6)
Из этих формул после нескольких преобразований
(подробности в п. 31.8М) найдем
l/r—c=bxfr9 C1.7)
где введены обозначения
и е 1
а A-е2) '
аA-е2) •
C1.8)
31.6М. Когда мы с помощью изотропной геодезической искали
траекторию светового сигнала, то оказалось, что она
описывается приближенной формулой, связывающей
приращения при перемещении из одной точки траекто-
траектории в другую. Исследуя форму траектории, мы сопо-
сопоставили эту формулу с приближенной формулой для
прямой линии. Точно так же, когда мы столкнемся с
необходимостью рассматривать обыкновенные геодези-
Рис. 31.6.
ческие в качестве орбиты планеты, нам придется срав-
сравнивать их с приближенной формулой, связывающей
приращения, при перемещении из одной точки эллипса
в другую. Найдем эту приближенную формулу.
Для этого рассмотрим еще одну точку эллипса Р'
с полярными координатами г+8г и ср+бср (рис. 31.6).
31.7М 454
Пусть P'N'— перпендикуляр, опущенный из точки РЛ
на АА'. Тогда длина отрезка SN равна х+8х (т. е. при-
приращение 8х отрицательно), а длина отрезка NP' равна
у+8у. Найти приближенную формулу, связывающую*
бф и 8г, довольно легко, но это сопряжено с длинными
вычислениями. Чтобы вы могли уяснить основную ли-
линию рассуждений, я приведу в п. 31.7М лишь главные
этапы вывода этой приближенной формулы, оставив
детали до пп. 31.9М — 31.11М.
31.7М. Из C1.7) следует (см. в п. 31.9М), что
8х=—(ф)8г. C1.9>
С помощью C1.5) можно получить (как в п. 31.ЮМ)»
приближенную формулу
Еще одно соотношение возникает при сравнении двух
разных форм записи одной и той же метрики, задавае-
задаваемых (если произвести небольшие изменения в обозна-
обозначениях) формулами B4.4) и B6.38), а именно 8s2 =
= 8х2+8у2 и 6s2 —бг2+г2бф2. Значения 8s в обеих фор-
формулах совпадают, поэтому
— 8г\ C1.11)
Теперь объединим формулы C1.9) — C1.11), так
чтобы с помощью предыдущих соотношений исключить
х, у, 8х и 8у. Преобразования, которые будут описаны
в п. 31.11М, дают
Это и есть искомая приближенная формула, описы-
описывающая связь между приращениями полярных коорди-
координат при перемещении из одной точки эллипса в дру-
другую.
31.8М. В пп. 31.8М—31. ИМ разъясняются опущенные ранее
детали. Сначала докажем C1.7). С помощью тождеств
B6.26) и B6.27) формулу C1.6) можно привести к виду
4а2е2+4аех+х2+у2=4а?—4аг+г2. Вычтем из этой
формулы формулу C1.5) и разделим на 4а. Получим
ае2 + ех = а—г, откуда (после вычитания из обеих сто-
сторон величины ае2 и применения правила из п. 16.12М)
следует: а{\—е2)—г=ех. Поделив теперь обе стороны
на га A-е2), получим
J 1_____ ех
г ~ а A-е2) ~~ га A-е2) '
31.ПМ 455
Подстановка величин бис, определенных в C1.8), да-
дает формулу C1.7).
31.9М. Из C1.7) следует
1— cr = bx. C1.13)
Тогда, согласно теореме из п. 22.9м, 8(\—cr)=8{bx);
применение формул B2.7) и B2.8) дает — с8г = Ь8х,
откуда немедленно следует C1.9).
31.ЮМ. Прочитайте п. 27.42м, если раньше вы его пропустили.
Применение формулы B7.27) к каждому члену в C1.5)
и деление обеих частей на 2 дают х8х+у8у~г8г. Вы-
Вычитая из обеих частей х8х, получим C1.10).
31.11М. Докажем формулу C1.12). Формулу C1.5) можно пе-
переписать в двух формах:
Из формулы C1.13) имеем
х = {\—cr)lb. C1.16)
Умножая обе стороны приближенной формулы
C1.11) на у2, получим
/•у&р2 ~ уЧх2-\-уЧу2—у28г2 ~
C1.10)
~ У28х2+(г8г— х8хJ— у28г2 =
B6.27)
- у28х2+г*8г*—2гх8г8х+хг8х2 - у2бг2 =
^перестановка членов)
= х28х'+у28хг— 2rx8x8r+r28r2—уЧг2 =
п. 16.12М
= (*2+«/а) б*2— 2rx8x8r+(r2—у2) 8г2 =
<31.5) и C1.14)
B6.27)
= (r8x—;
<31.9) и C1.16)
сг е 1 — сг
Ь Ь
16.12М, примечанием пп. 21.12М и 15.24М
31.12М 456
(поскольку первый и последний члены дают нуль)
Отсюда гУ6ф2^бг2/Ь2
(п. 24.20М). Тогда
бг2 — г2Ь2уЧц>2 =
C1.15)
п. 16.12М
C1.13)
-Г2{
пп. 16.12М и 26.37М
= г* {Ь2— A — crfjr2} бф2 =
п. 17.25М
примечание к п. 21.12М
а это и есть искомая формула C1.12).
31.12М. Нам потребуются экстремальные значения величины г.
Согласно теореме из п. 29.20м, из C1.12) следует, что
они находятся среди значений г, для которых
г*{Ь2—(\/г—сJ} = 0.
Исключая случай г = 0, получим уравнение для интере-
интересующих нас значений г:
Ъ2— {\/г— сJ-0,
откуда
(\/r—cJ = b2.
Есть два решения (п. 24.21М): 1/г — с = Ь и 1/г—
—с =—Ь, значит, экстремальные значения величины г
определяются соотношениями
1/г^с—Ь. C1.17)
Ясно, что наименьшее и наибольшее значения г рав-
равны соответственно длинам отрезков SA и SA' (рис.
31.2), поэтому, пользуясь обозначениями C1.8), этот
результат можно получить геометрическим способом.
31.13м. В пп. 31.13м—31.15м выводится очень важная прибли-
приближенная формула, связывающая х, у, г и ф (п. 31.4).
Из C1.5) следует соотношение
31.14м
457
Если сделать замену
-X, y/r=Y,
C1.18)
то оно перепишется в виде
= 1. C1.19}
Будем интерпретировать X и У как координаты точ-
точки в прямоугольной системе координат (п. 8.42)
(рис. 31.13). Согласно теореме Пифагора, из C1.19)
следует, что длина отрезка OR=1. Значит, независимо»
от того, где на эллипсе находится точка Р, точка R
лежит на окружности радиуса 1 с центром в О.
О
vR
ОсьХ
Рис 31.13.
Из C1.18) следует, что отношения у/х и Y/X равны,
значит, угол LOR= углу МБР = ф.
31.14м. На рис. 31.14 изображены треугольник OLR, полная
окружность и R' — точка окружности с координатами
Х+8Х и У+5У, где 6Х (отрицательное) и 6 У— прира-
приращения координат при перемещении из R в R'. Прира-
Приращение бф равно углу RQR'. Пусть 6s и 5/ —длина ду-
дуги и хорды RR' (п. 26.34М). Тогда из формул B5.1) и
B6.34) следует, что 8s~Si и б5 = бф, откуда Si~Scp.
Применяя теорему Пифагора к треугольнику KRR'
и пользуясь последней формулой, получим 6ф2~6Х2-Ь
+6 У2, так что
C1.20)
30—1653
31.15м
458
Рис. 31.14.
31.15м. Согласно C1.19), Х2=\—У2. Теперь, последовательно
применяя сказанное в п. 22.9м и формулы B2.7), B2.8)
с с = —1, получим 6(Х2)=6A—У2)=«(—У2)=— б(У2).
Применение формулы B7.27) дает ХбХ~—УбУ, откуда
X2bX2~Y2bY2. Подставив это в C1.20), и применив
правило из п. 16.12М и формулу C1.19), получим
Х26<р2~ Y26Y2+X26Y2~ (Х2+У2)бУ2 = бУ2, т. е. Х2бФ2~
~6У2, и
6К*6 C1.21)
Но, вспомнив п. 24.21М, вы можете спросить, поче-
почему нужно взять именно C1.21), а не 6У~— Хбф? По-
Потому что всегда можно добиться, чтобы приращение
•бф было положительным. С другой стороны, в случае,
показанном на рис. 31.14, приращение 6У и координата
X тоже положительны, что согласуется именно с
C1.21). Проверьте самостоятельно, что, где бы на ок-
окружности ни располагалась точка R, приращение 6У и
координата X будут либо положительны, либо отрица-
отрицательны (при условии, что угол бф достаточно мал), так
что C1.21)—это единственно правильный выбор.
SI. 18 459
И наконец, подстановка в C1.21) вместо X и У фор-
мул C1.18) приводит к искомой приближенной форму-
формуле
6(j//r)~(*/r)fiq>. C1.22)
31.16. Итак, мы готовы к изучению движения планеты вок-
вокруг Солнца. Будем следовать такой же общей страте-
стратегии, как в гл. 29 и 30 при изучении распространения
света.
Чтобы упростить задачу — не только нам с вами, но<
и людям с хорошей математической подготовкой,—
предположим, что у Солнца есть лишь одна планета,,
масса которой так мала, что ее влиянием на простран-
пространство-время можно пренебречь. Тогда метрика имеет
вид B9.12).
Планета движется по инерции (п. 27.7), так что ее
мировая линия — обыкновенная геодезическая (п.
25.28). Чтобы построить описывающие ее приближен-
приближенные формулы, применим метод п. 26.33. Как обычна
(ср. с пп. 26.42, 29.11 и 29.12), отождествим г, 0 и t
с х, у и г из B6.30). Тогда
Выбрав второй вариант в B6.31) и первый в B6.32),.
найдем, что приращения, соответствующие перемеще-
перемещениям вдоль мировой линии планеты, связаны прибли-
приближенными формулами
8s /ir260, C1.23)
(l — 2k/r)8t~k8s C1.24)
(где h и k — постоянные) и метрикой B9.12).
31.17. Нас интересует только форма орбиты, т. е. связь меж-
между г и 0. Поэтому объединим эти три приближенные
формулы таким образом, чтобы исключить 6s и Ы. Как
и раньше, отложим промежуточные выкладки до*
п. 31.38. Окончательный вид приближенной формулы,,
описывающей орбиту планеты, следующий:
бг2 ~ г4 {В2- A /г- СJ+2Я/г3} б92, C1.25)
где
52 = Л2(*а —1)+Л4Я2, C1.26)
С=Л2Я. C1.27)
31.18. Формула C1.25) определяет связь между приращения-
приращениями координат при перемещении из одной точки ор-
30*
31.19 460
биты планеты в другую, как формула C1.12) для эл-
эллипса (использование полярного угла ф вместо 8 не
играет никакой роли). Какой вывод следует из срав-
сравнения этих приближенных формул?
Они отличаются лишь членом 2к/г3у который (по-
(поскольку даже для ближайшей к Солнцу планеты г пре-
превышает 50 000 000 км) чрезвычайно мал. Итак, вы счи-
считаете, ...
что орбита очень близка к эллиптической? Невер-
Неверно.
Прочтите еще раз пп. 29.17 и 30.22. Вы снова до-
допустили ту же самую грубую ошибку. Правильный вы-
вывод таков: если трактовать искривленное пространство-
время в окрестности Солнца как плоское, то орбита
планеты будет почти (но не совсем) эллиптической.
31.19. Сделаю отступление, которое может оказаться полез-
полезным. Несмотря на обсуждение в пп. 28.15—28.17, вам,
наверное, трудно себе представить, что сложное пове-
поведение планеты описывается геодезической — простей-
простейшей из всех мировых линий.
Мы вовсе не утверждаем, что траектория планеты —
геодезическая в пространстве. Она является простран-
пространственной частью геодезической в пространстве-време-
пространстве-времени. Это получается, если найти уравнения геодезичес-
геодезической, а затем, чтобы вывести уравнение траектории в
пространстве, исключить из них 6^. Чтобы найти гео-
геодезическую в пространстве, нужно перейти к метрике
искривленного пространства B9.13), а затем с ее по-
помощью получить уравнение геодезической. Проверьте,
что это уравнение, описывающее наипрямейшую линию
в искривленном пространстве, окружающем Солнце,
имеет вид
бг2 ^г4A — 21/г) (l//i2- 1/г2) бб2.
Эта формула лишь слегка отличается от B6.43),
описывающей прямую в плоском пространстве, но со-
совершенно отличается от формулы C1.25). Поэтому,
если только вы не обладаете воображением, позволя-
позволяющим представить геодезические в искривленном про-
пространстве-времени, а затем выделить их пространствен-
пространственную часть, не следует ожидать, что геодезическая про-
простота движения планеты должна как-то проявляться
для вас.
Заметьте, что даже траектория луча света, опреде-
определяемая приближенной формулой C0.2), не является
геодезической в пространстве. Луч света —это просто
31.22 461
гфостранственная часть изотропной геодезической в про-
пространстве-времени. Можно доказать (сделайте это са-
самостоятельно), что пространственные части обыкновен-
обыкновенной и изотропной геодезических в пространстве-време-
пространстве-времени, т. е. траектории свободно падающих тел и лучей
света, всегда отличаются от геодезических в простран-
пространстве, если коэффициент при члене с Ы2 в метрике со-
содержит координаты. Они будут совпадать только в том
случае, когда метрика имеет вид bs2~bt2 —... (или
6s2~adt2 — ..., где а — постоянная).
31.20. Рассмотрим последнее предложение в п. 31.18 с пози-
позиций, обсуждавшихся в последнем абзаце п. 29.17. Тог-
Тогда можно будет предсказать: если орбита планеты рас-
рассчитана по данным наблюдений, полученным обычными
астрономическими методами, то она очень близка к эл-
эллиптической (с Солнцем в одном из фокусов), поэтому
мы будем рассматривать плоское пространство.
Теория Ньютона предсказывает точный эллипс, и
наблюдения подтверждают этот вывод с высокой точ-
точностью. Если бы теория Эйнштейна предсказала что-
нибудь иное, то она заведомо была бы не верна. Но
в случае даже едва заметного различия возникнет ес-
естественный вопрос: которая из них лучше? Чтобы отве-
ответить на этот вопрос, выясним, в чем отличие эйнштей-
эйнштейновской орбиты от эллиптической и как сильно они
различаются.
31.21. Сравним предсказанную орбиту с эллипсом точно так
же, как мы раньше сравнивали луч света с прямой ли-
линией (п. 30.3). Для этого надо знать экстремальные
значения г. Применив к C1.25) теорему п. 29.20м, по-
получим, что они находятся среди значений г, для кото-
которых
г4 (В2 — A/г— СJ+2Х/г3}=0,
или (поскольку г не может быть равно нулю)
В*—A/r—CJ+2tyr* = 0. C1.28)
31.22. Это уравнение не содержит t, значит, экстремальные
значения г со временем не изменяются. Поупражняй-
Поупражняйтесь в построении эллипса (п. 31.2М). Вы убедитесь,
что при фиксированных максимальном и минимальном
значениях г (длин отрезков SA' и SA на рис. 31.2)
форма и размер эллипса тоже фиксированы. Поэтому
орбита почти неотличима от эллипса (с одним из фоку-
фокусов в центре Солнца) * величина и форма которого со
временем не изменяются. Остается единственная воз-
31.23 462
можность: эйнштейновская орбита—это кривая, кото-
которая получается при медленном вращении эллипса вок-
вокруг точки S, причем планета продолжает обращаться
по этому движущемуся эллипсу.
Вообразите, что рис. 31.2 прикреплен к точке S и
медленно поворачивается вокруг этой точки против ча-
часовой стрелки, а планета, двигаясь в том же направле-
Рис. 31.22.
нии, но несравненно быстрее, совершает обороты по
эллипсу. Объединив эти движения, вы мысленно уви-
увидите истинную траекторию планеты, подобную той, что
изображена на рис. 31.22 (где эксцентриситет и ско-
скорость вращения эллипса сильно преувеличены). Пер-
Первый оборот планета делает по витку 1, второй — по вит-
витку 2 и т. д.
31.23. Астрономы сталкиваются с движениями такого типа,
но, правда, в других ситуациях. Они обычно избегают
таких сложных изображений, как на рис. 31.22, и пред-
представляют орбиту с помощью вращающегося эллипса.
Чтобы точно задать вращение эллипса как целого*
необходимо знать период вращения вокруг Солнца точ-
точки А (рис. 31.2). Точка А называется перигелием (бли-
(ближайшая к Солнцу точка орбиты), а ее вращение назы-
называется смещением перигелия.
31.24. Воспользуемся методом, описанным в пп. 30.3—30.5.
Там рассматривались луч света и касательная к нему
прямая в точке их наибольшего сближения с Солнцем.
Теперь же есть как максимальное сближение, так и
максимальное удаление. Оба экстремальных значения
г для орбиты в точности равны экстремальным значе-
значениям г для неподвижного эллипса, с которым будет
проводиться сравнение.
Экстремальные значения г для эллипса определяют-
определяются формулами C1.17), тогда как для реальной орбиты
31.25
463
экстремальные значения г должны удовлетворять урав-
уравнению C1.28). Чтобы экстремальные значения совпа-
совпадали, достаточно потребовать, чтобы при подстановке
в C1.28) с+Ь или с—b вместо 1/г в приближенную
формулу C1.28) она становилась точной. Две эти под-
подстановки дают соответственно
C1.29)
Отсюда следует (см. п. 31.40), что
), C1.30)
C1.31)
31.25. Теперь мы готовы к выполнению операции типа описан-
описанной в п. 30.3. На рис. 31.25 показаны неподвижный
эллипс и отрезок орбиты AN (различие между ними
Рис. 31.25.
сильно преувеличено). Точка орбиты Q имеет полярные
координаты: расстояние г от S до Q и угол 6 между
SA и SQ. Выберем на эллипсе точку Р, которая также
находится от S на расстоянии г. Тогда ее координаты:
длина отреака SP, снова равная г, и угол <р между SA
и SP.
31.26 464
31.26. Как в п. 30.4, положим 9—ф — е, так что е показывает,
насколько отрезок SQ обогнал SP. Отсюда
69—6ф = 6е. C1.32)
Применяя метод, зарекомендовавший себя при изу-
изучении распространения света (пп. 30.4 и 30.5), объеди-
объединим C1.12), C1.25) и C1.32). После преобразований,
описанных в п. 31.41, получим довольно простой резуль-
результат:
бе ~ ЗХс6ф+ХЬ (х/r) бф, C1.33)
где величина х определена как в п. 31.4М. Очевидно,
эта приближенная формула позволяет вычислить е ме-
методом, подобным использованному в п. 30.9. Но на этот
раз есть более простой способ.
31.27. Применение C1.22) к последнему члену в C1.33) дает
6е
B2.8)
B2.5)
бе
Есть ли идеи?
31.28. В обеих частях этой приближенной формулы стоят
только приращения, значит, удовлетворяются условия
второй основной теоремы (п. 25.13). Пользуясь этой
теоремой в форме C), найдем
где К — постоянная. Начнем с момента, когда точки Р
и Q вместе выходят из А. При этом ф = 0, е = 0 и К
тоже должно быть равно 0. В результате
г = ЗХсцL~Щ/г. C1.34)
Отсюда можно вычислить е — угол, на который отрезок
SQ опережает SP, — при известных ср и у точки
(рис. 31.2 и 31.25).
31.29. По мере того как SP делает оборот за оборотом, угол
Ф, а значит, и первое слагаемое в правой части C1.34)
равномерно возрастает*. Однако у второго слагаемого
более сложная история. При ф = 0 оно тоже равно ну-
нулю (так как у = 0). По мере возрастания ф оно достн-
* Не следует думать, что угол ц> начинает возрастать с нуля каждый раз,
когда точка Р возвращается в А. Если после полного оборота отрезок SP
повернется еще на 13°, то угол станет равен 360+13=373°, т. е. он может
стать сколь угодно большим.
31.31 465
гает максимального значения, а затем, уменьшаясь,
проходит через нуль (при <р=180°, где снова у = 0), ста-
становится отрицательным, достигает минимума и вновь
обращается в нуль при <р = 360°, а затем повторяет эти
колебания при каждом обороте SP.
Итак, поведение угла е — это равномерное возраста-
возрастание (слагаемое ЗХсср), на которое накладываются коле-
колебания (слагаемое Xby/r).
31.30. Нас интересуют только завершенные орбиты, когда Р
снова возвращается в A (a Q проходит через периге-
перигелий, уже не совпадающий с А). В этом случае у = 0,
так что C1.34) сводится к уравнению е = ЗЯс<р, или пос-
после подстановки с из C1.8)
(а и е — это характеристики эллипса; пп. 31.2М и
31.3М). Пусть в*—угол, на который отрезок SQ опере-
опережает SP за время одного полного витка, или величина,
на которую за это время возрастает е и смещается пе-
перигелий (п. 31.23). Для полного витка ф = 360° = 360Х
Х3600". Тогда из C1.35) получим
C1.36)
6 = jy.
Итак, если даны размеры эллипса, являющегося
наилучшим приближением к эйнштейновской орбите, то
эта формула позволяет узнать, на какой угол (в секун-
секундах дуги) сместится перигелий за один полный оборот
планеты вокруг Солнца.
31.31. Чем меньше а, тем больше эффект, предсказываемый
формулой C1.36). Рассчитаем его для ближайшей к
Солнцу планеты —Меркурия: а = 57 910 000 км, е =
= 0,2056, 1—е2 = 0,9577, а Л, = 1,477 км (п. 27.15). Тогда
формула C1.36) дает
3 888 СООх 1,477
6
57 910000X0,9577
Меркурий делает один оборот вокруг Солнца за
87,97 земных суток, значит, за столетие от совершает
A00X365,26) /87,97 оборота. Отсюда за столетие сме-
смещение перегелия Меркурия должно быть равно
3 888ОООх 1,477х 100X365,26 _ п„
57 910 000X0,9577X87,97 "~ 4d'U '
Итак, согласно общей теории относительности, ор-
31.32 466
бита Меркурия — это не фиксированный в пространст-
пространстве эллипс — за столетие она поворачивается на 43,0".
Это, конечно, малая величина, но ее измерение — впол-
вполне посильная задача для астрономов.
31.32. Это предсказание нанесло удар теории Ньютона, так
как, превосходная в других отношениях, она была не
в состоянии объяснить результаты астрономических
наблюдений Меркурия.
Согласно теории тяготения Ньютона, если бы у
Солнца была только одна планета, то ее орбитой был
бы неподвижный эллипс. Но у Солнца несколько пла-
планет, и все они оказывают друг на друга гравитацион-
гравитационное воздействие, что приводит к искажениям орбит.
Однако эти воздействия малы, и на практике всегда
можно считать, что орбита планеты — медленно изме-
изменяющийся эллипс. Эти изменения могут быть разных
типов: вращение, рассмотренное в предыдущих разде-
разделах, изменения формы и размера, изменения наклона
плоскости орбиты и т. п.
В течение сотен лет астрономы наблюдали движе-
движения планет и представляли их с помощью медленно ме-
меняющегося эллипса. Поскольку изменения обусловлены
влиянием других планет, с помощью теории эти эффек-
эффекты затем можно было исключить. Иными словами,
исходя из наблюдений, можно рассчитать, какая орби-
орбита была бы у некоторой конкретной планеты, если бы
не было остальных планет. Согласно Ньютону, должен
получиться эллипс, неизменный эллипс.
31.33. И вот утомительные расчеты завершены, и с очень вы-
высокой точностью из них следует такой вывод. Единст-
Единственное исключение — самая близкая к Солнцу планета
Меркурий.
Когда были исключены все возмущения, вызывае-
вызываемые другими планетами, орбита Меркурия все же не
стала неподвижным эллипсом. Размер и форма орби-
орбиты, как и ожидалось, зафиксировались, но эллипс про-
продолжал поворачиваться — его перигелий смещался. Это
единственный случай, когда теория, несмотря на непре-
непрекращающиеся попытки, не могла объяснить наблюде-
наблюдения, известные задолго до рождения Эйнштейна.
Итак, теория Эйнштейна правильно предсказывает
поведение орбиты Меркурия. Подтверждают ли наблю-
наблюдения это предсказание?
Точные наблюдения Меркурия проводились с 1765 г.
Когда все возможности, предоставляемые теорией для
исключения влияния других планет, были исчерпаны,
31.35 467
оказалось, что перигелий Меркурия должен смещаться
на 43,11±0,45" в столетие. Стандартное отклонение
±0,45" свидетельствует об очень высокой точности из-
измерений (п. 23Л7М) и очень малой погрешности. Срав-
Сравните это значение со значением 43,0", предсказанным
Эйнштейном.
Лучшего согласия трудно ожидать. Выводы теории
Эйнштейна блестяще подтвердились. (В последней гла-
главе я еще скажу несколько слов о сомнениях, возник-
возникших в последнее время, которые, по-видимому, не оп-
оправдались.)
31.34. Для других планет смещение перигелия много меньше.
Смещение перигелия,
секунды дуги в столетие
Планета предсказан- наблюдае-
ное мое
Венера 8,6 8,4±4,8
Земля 3,8 5,0±1,2
Икар 10,3 9,8±0,8
Эти данные — еще одно подтверждение теории Эйн-
Эйнштейна, хотя, учитывая малость эффекта и меньшую
точность измерений, они мало что добавляют.
31.35. Вплоть до последнего времени все свидетельства в
пользу теории тяготения Эйнштейна были связаны с
очень слабыми эффектами, измерения которых лежат
на пределе возможностей современной аппаратуры. Но
когда эта книга была уже почти завершена, пришла
информация о наблюдении явления, подобного обсуж-
обсуждавшемуся в предыдущих разделах, но происходящего
в 35 000 раз быстрее.
Речь идет о пульсаре. Это сравнительно близкий
объект, от которого к нам приходит быстрая последо-
последовательность коротких и четких радиоимпульсов. Обыч-
Обычно период следования импульсов (время между двумя
импульсами) составляет около одной секунды. Однако
у одного пульсара он равен 0,033 с, а у интересующего
нас пульсара период равен 0,059 с. Эти радиоимпульсы
излучаются с регулярностью, превосходящей самые точ-
точные часы, созданные человеком (хотя «часы» каждого
пульсара — по причине, которой мы здесь касаться не
будем, — очень медленно отстают: пульсары замедляют
вращение).
Согласно общепринятой точке зрения, пульсар —
это нейтронная звезда, последняя стадия жизни совер-
совершенно обычной звезды, хотя значительно более массив-
31.36 468
ной, чем Солнце. В процессе катастрофического взрыва
она может сбросить часть массы, а вследствие истоще*
ния запасов ядерного топлива звезда претерпевает гра-
гравитационный коллапс, в результате которого остается
объект несколько массивнее Солнца — диаметром око-
около 10—20 км. По мере сжатия звезда начинает вра-
вращаться все быстрее (точно так же, как танцовщица на
льду начинает вращаться быстрее, когда прижимает к
себе руки). Звезда излучает радиоволны, которые фо-
фокусируются в узкие пучки ее мощным магнитным по-
полем, невероятно усилившимся в результате сжатия. Из-
за вращения этот пучок тоже начинает поворачиваться
подобно лучу маяка. Если Земля окажется как раз там,
где по ней может пробежать этот радиолуч, то будет
наблюдаться пульсар. Интервал между последователь-
последовательными импульсами — это период вращения нейтронной
звезды (типичное значение около 1 с).
Даже если это объяснение не совсем точное из-за
недостатка данных, скорость, с которой нарастают и
спадают импульсы, позволяет со всей определенностью
утверждать, что размеры пульсара малы*. Есть данные
наблюдений, которые позволяют считать, что пульсар,,
к обсуждению которого мы переходим, несколько мас-
массивнее Солнца. Я подчеркиваю эти моменты, чтобы по-
показать, что даже если будущие исследования изменят
наши представления о процессах, происходящих в пуль-
пульсаре, то рассмотренное ниже подтверждение общей тео-
теории относительности, по-видимому, останется в силе.
31.36. Пульсар PSR 1913+16 был открыт профессором Тейло-
Тейлором и его сотрудниками в июле 1974 г. К концу авгус-
августа в его поведении были обнаружены странные особен-
особенности: интервал между последовательными импульса-
импульсами оказался нерегулярным. Он нарастал, а достигнув
максимума, уменьшался до минимума, затем снова на-
начинал нарастать, и этот процесс вновь повторялся.
Каждый цикл занимал 7,75 часа (чтобы быть точным,.
27 906,981 72±0,000025 с). Как бы вы объяснили это
наблюдение?
Единственное подходящее объяснение — эффект
Доплера (пп. 15.4—15.10). В течение одного цикла
пульсар успевает переместиться по направлению к нам*
со скоростью порядка тысячной доли скорости света..
* Что бы мы увидели, если бы яркость тела изменялась за время мень-
меньшее, чем требуется свету на преодоление расстояния от одного края
тела до другого?
31.38 469
остановиться, удалиться от нас... Из этой картины еле*
дует, что пульсар должен двигаться по орбите. Значит*
должна быть другая звезда, хотя она и не была обна-
обнаружена, и они должны вращаться вокруг общего цент-
центра масс. Такие пары называются двойными звездами.
Оптический аналог этого явления известен давно —
на основании периодического увеличения и уменьшения
частоты видимого света, приходящего от исследуемой'
звезды, делался вывод, что она обладает спутником ft
вращается, как и он, по орбите. Иногда спутник можно*
наблюдать, но чаще он невидим.
31.37. Интенсивное изучение сигналов, приходящих от пуль-
пульсара в двойной системе, может дать огромный объем'
информации. Если изложить факты, известные сейчас,
то к моменту, когда книга попадет к вам в руки, эти
данные сильно устареют. Поэтому я приведу краткую*
сводку данных на начало 1979 г.* Массы обеих звезд
примерно в 1,4 раза больше массы Солнца, лучшие-
оценки: 1,39 солнечной массы для пульсара и 1,44 —
для другой звезды. При описании орбиты мы снова ис-
используем вращающийся эллипс (п. 31.22). Орбита силь-
сильно вытянута (е = 0,617) и очень мала (а^870 000 км„
что сравнимо с радиусом Солнца!). Значит, формулам
C1.35)** предскажет очень быстрое вращение эллипса,,
т. е. очень быстрое смещение периастра (ближайшей1
к главной звезде точки орбиты звезды-спутника). На-
Наблюдаемое смещение равно 4,226±0,001° в год. Нет,,
это не опечатка, речь действительно идет о градусах в;.
год! Хотя некоторые вопросы нуждаются в дополни-
дополнительном исследовании, Тейлор и его коллеги, по-види-
по-видимому, правы, утверждая, что «единственной причиной'
наблюдаемой скорости смещения периастра являетсяс
эффект общей теории относительности». Итак (но все
это требует в ближайшие годы проверки и перепровер-
перепроверки), у нас есть еще одно подтверждение справедливо-
справедливости теории тяготения Эйнштейна. На; этот раз мы име-
имеем дело с действительно крупномасштабным эффектом,,
а не с каким-то незначительным отклонением от теории»
Ньютона.
31.38. Теперь перейдем к проверке математических выкла-
выкладок. Сначала выведем приближенную формулу C1.25) _
* Более подробный обзор см. Taylor J. H. et at. Nature, 277; 437, 1979.
** Обобщенная на случай двух тел с почти одинаковыми массами. Но да-
даже применив C1.35) в неизменном виде, вы все равно получите ответ, не очень*
сильно отличающийся от правильного.
31.39 М 470
Подставляя C1.23) в C1.24), получим
A — 2к/г) Ы ~ —hkr2№. C1.37)
Умножим обе стороны метрики B9.12) на 1—2Я/г,
прибавим к каждой стороне бг2 и вычтем из обеих сто-
сторон A—2X1 г) 6s2. В результате придем к приближенной
формуле
бг2 ~ A - 2Х/гJ б/2— A — 2X/r) 6s2- A — 2Х/г) г2б92.
Подставляя вместо 6* и 6s выражения C1.23) п
C1.37), найдем
бг2 ~ h2k2rW—A — 2X/r) ftV4662— A — 2Х/г) г2б92 =
= г4 {h?k2 ~h2+2Xh2!r— 1 /г2 -f 2Х//-3} 602.
На последнем шаге мы воспользовались пп. 16.12М,
15.24М и 26.37М. Теперь, не изменяя величины выраже-
выражения в фигурных скобках, прибавим к нему и одновре-
одновременно вычтем h*X2 и сделаем перестановку входящих в
него членов. Тогда получим
п. 16.12М, 15.23Л1 и 15.24М
= r*{h2(k2— 1)+/14Я2—A/г2—
B6.27) при а=1/г, b =
После подстановки В и С из C1.26) и C1.27) получит-
получится формула C1.25).
31.39М. Воспользовавшись несколько раз правилом из п. 16.12М
(ср. с п. 26.28М), можно доказать, что
(c+bK=c3+3c2b+3cb2+b\ C1.38)
(с— ЬK = с3—3c2b+3cb2— 63. C1.39)
31.40. Перестановка членов дает
B6.26)
=ф—СJ+2{с—Qb+b2,
Применяя в C1.29) четыре последних тождества, по-
получим
В2—(с—СJ— 2{с—Qb-b2+
+ 2Л {c*+3c2b+3cb2+b3) = 0, C1.40)
31.41 47 Т
Помните о правилах сложения и вычитания отрицатель-
отрицательных величин (пп. 15.23М и 15.24М). Сложим формулы-
C1.40) и C1.41) (применив несколько измененные ме-
методы из п. 15.28М) и разделим результат на 2:
В2— (с— О2— Ь2+2Х(с3+ЗсЬ2) = 0.
Отсюда после прибавления к обеим сторонам разности*
Ь2—В2 следует C1.30).
Вычитая теперь C1.40) из C1.41) и деля обе сто-
стороны на 4Ь, получим
с—С—
откуда немедленно следует C1.31).
31.41. Теперь докажем приближенную формулу C1.33). Пе-
Перепишем C1.25) и C1.12) в виде
где
Х = В2—(l/r—С)«+Я1/г*, C1.42>
У = Ь2— A/г—сJ= C1.43>
C1.7)
п. 16.12М
= Ь2A—г7г2). C1.44)
Затем, повторяя выкладки из п. 30.19, можно добавить, что*
26е ~ {(У— Х)/У) бф. C1.45).
C1.42) и C1.43)
C1.30)
перестановка и п. 16.12М
C1.46>
Но —(с— Cf = —(с— С) (с— С) = (с— С) (С— с).
Из A6.10) следует, что
2 = A/г—C+1/r—с) A/г—С—
= B/г—с-С)(с-С).
31.41 472
Применяя два последних тождества к C1.46), получим
Y—ЛГ = (с—С) (С— с)+(с—С) B/г— с—Q-f
+ 2к((?+ЗЬ*с- 1/г3) =
п. 16.12М
= 2 (с—С) A/г—c)-f 2Цс3+ЗЬ2с— 1/г3) =
C1.31)
= 2Я Cc2-f й2) A/г—с) + 2Х (^Н-36ас—1/г3).
Теперь В и С исключены из наших формул. Вели-
Величины бис по-прежнему относятся к эллипсу, так что
можно воспользоваться формулой C1.7), чтобы заме-
заменить 1/г—с на bx/r, а 1/г3 на (c + bx/rK. Это дает
Y—X = 2Я (Зс2+Ь2) Ьлг/r-f 2Я, {с3+3&гс—
п. 16.12М, C1.38)
= 2Х Cc2bx/r+b3x/r-\-c9-}-№c—с3—
Опустив одинаковые члены с противоположными знаками и
воспользовавшись правилом из п. 16.12М, получим
Y—X = 2М>2 {bxlr+3c—3cxVr*— bx*/r3) -
(переставить члены, п. 16.12М)
= 2АЬ2 {Зс+bx/r— (х2/г2) (Зс+Ьх/г)} =
п. 16.12М
= 2Ш A — х2/г2) (Зс+Ьх/г) =
C1.44)
Подстановка этого выражения в C1.45) и деление
обеих частей на 2 приводит к приближенной формуле
жоторая ведет прямо к C1.33).
32
КАК ДЕЙСТВОВАЛ ЭЙНШТЕЙН
32.1. В нескольких главах я привел вас к наиболее важным
результатам, полученным Эйнштейном, но пользовался
при этом совершенно иными методами. Изучая специ-
специальную теорию относительности, мы в принципе следо-
следовали Эйнштейну, и наш метод отличался лишь в дета-
деталях. Работая над общей теорией относительности, мы
следовали Эйнштейну в использовании принципа экви-
эквивалентности, чтобы связать гравитацию и ускорение; в
описании геометрии пространства-времени с помощью
метрики; в выборе мировых линий свободно падающих
тел в качестве геодезических и, наконец, в применении
представления об искривленном пространстве-времени.
Но в главной задаче, выводе метрики, необходимость
использовать простой математический аппарат вынуди-
вынудила меня применить метод, который совершенно отличен
от эйнштейновского и много хуже его.
При выводе метрики мы плелись к цели мелкими
шагами, зато каждый из них был очень простым. Эйн-
Эйнштейн же после нескольких неудачных попыток достиг
цели в результате одного гигантского скачка благодаря
своей интуиции. Его можно сопоставить с результатом
п. 19.10, но это ручеек по сравнению с огромным каньо-
каньоном, который благодаря Эйнштейну преодолело чело-
человечество. Боюсь, я смогу дать лишь смутное представ-
представление о том, как он это делал.
Трудный путь к новой теории начался в 1907 г.,
когда Эйнштейн предложил принцип эквивалентности.
После этого он испытал много разных, но неверных пу-
путей, прежде чем около 1913 г. встал на единственно
правильный путь. Теория приняла окончательную фор-
форму в 1915 г., а в 1916 г. Эйнштейн опубликовал закон-
законченный вариант. Следующее ниже описание не претен-
претендует на историческую точность и полноту, это лишь
краткий конспект рассуждений, которые привели Эйн-
Эйнштейна к триумфу.
Прочитайте гл. 28, в частности определение искрив-
искривленного пространства-времени (п. 28.9).
31—1653
32.2 474
32.2. Помните, что даже в поле тяготения в окрестности лю-
любого события всегда можно выбрать такую систему
координат, в которой локально применима метрика
плоского пространства-времени специальной теории от-
относительности (см. пп. 23.12, 27.3 и 27.4), взяв в каче-
качестве координат результаты измерений в данном месте,
выполненных свободно падающим наблюдателем.
Эта метрика плоского пространства-времени суще-
существенно локальна, так как другой свободно падающий
наблюдатель, находящийся на некотором расстоянии от
первого, будет двигаться относительно него с ускорени-
ускорением, а значит, он уже не может пользоваться коорди-
координатами того же самого плоского пространства-времени.
Любая система координат, которая служит не только
для чисто локальных измерений, должна быть обяза-
обязательно связана с более сложной геометрией искривлен-
искривленного пространства-времени. Эйнштейн пришел к этому
выводу в 1913 г.
32.3. Если известна метрика искривленного пространства-
времени, то можно определить (с помощью геодезичес-
геодезической), как движется свободно падающий наблюдатель.
Попытаемся найти результирующие движения, которые
могли быть вызваны действием тяготения. Это требова-
требование накладывает ограничения на возможные типы мет-
метрики, и основная задача сводится к отысканию этих ог-
ограничений.
32.4. Естественно начать с метрики в наиболее общей фор-
форме. Тогда она должна содержать члены не только с
квадратами приращений координат типа б/2 и 6л;2, но и
их произведения типа ЫЬх и т. д. Итак (воспользовав-
шить обозначениями, которые всякий уважающий себя
релятивист назовет неправильными), запишем метрику
в виде
6г2. C2.1)
Обратите внимание на способ записи индексов: циф-
цифры от 1 до 4 относятся соответственно к первой, вто-
второй, третьей и четвертой координатам: t, x, у и г. На-
Например, g23 — это коэффициент при бхду. Однако воп-
вопреки первому впечатлению координаты ?, х, у и zy в ко-
которых записана эта метрика, вовсе не обозначают вре-
время и три пространственные координаты. Это любые че-
32.6 475
тыре координаты, с помощью которых можно задать
событие в пространстве-времени. Я использую эти сим-
символы, чтобы не вводить общепринятые обозначения и
избежать дополнительных трудностей. Начиная с это-
этого момента вместо слова «событие» я буду писать сло-
слово «точка», поскольку, когда свойства пространства-
времени обсуждаются с чисто геометрических позиций,
слово «событие» может привести к путанице.
Величины giu gi2, ..i обозначают выражения, в ко-
которые входят координаты типа 1—2%jr и т. д. из
B9Л2), но обычно более сложные и содержащие все
координаты. Таким образом, значения каждого g ме-
меняются от точки к точке пространства-времени.
32.5. Полезно выстроить коэффициенты g в виде следующей
треугольной таблицы:
Su giz ёгв Ян
§2Z §23 §24
?44
где в 1-й строке стоят величины, связанные с 6/, во
2-й строке и 2-м столбце — связанные с бх, и т. д.
32.6. При изменении системы координат коэффициенты то-
тоже меняются. Например, метрика пространства-време-
пространства-времени специальной теории относительности на плоскости
в полярных координатах имеет вид 6s2 ~ б/2—бг2—г2б92
(п. 26.41), а в прямоугольной системе координат 6s2 ~
~б^2—8х2—6у2> значит, в первом случае ?зз = — г2, во
втором ?зз = — 1- Еще один пример — формулы B4.3) и
B4.8).
Все вместе эти коэффициенты выступают как некая
единая сущность, предназначенная для описания гео-
геометрии рассматриваемого пространства-времени
(п. 24.10), ведь природа пространства-времени не за-
зависит от того, какую систему координат выбрать для
его описания. Каждый коэффициент в отдельности за-
зависит от того, какая используется система координат.
Изменив систему координат, вы автоматически измени-
измените g.
Существует набор точных математических правил,
описывающих эти изменения. Если указать уравнения,
описывающие изменения системы координат и выража-
выражающие новые координаты через старые, то с помощью
этих правил можно получить систему уравнений, выра-
выражающих новые коэффициенты через старые.
31*
32.7 476
32.7. Все вместе коэффициенты g дают пример такого поня-
понятия, как тензор. Тензор — это набор величин, описы-
описывающих некоторое свойство геометрии (или некоторое
свойство физической реальности, которую мы изучаем с
помощью геометрии). Тензор зависит от системы коор-
координат. Но если вы захотите описать его в некоторой
системе координат, он будет иметь вид набора чисел
как в п. 32.5. Такие величины называются компонента-
компонентами тензора. Компоненты зависят от того, какая исполь-
используется система координат.
Тензором эти величины являются по той причине»
что при изменении системы координат с помощью си-
системы не очень сложных правил можно найти соответ-
соответствующие изменения компонентов. Изменения компо-
компонентов связаны с изменением системы координат впол-
вполне определенным образом.
Разумеется, тензор обычно меняется от точки к точ-
точке пространства-времени, т. е. значения компонентов
зависят от значений координат.
32.8. Например, набор g в п. 32.5 образует тензор, который
называется метрическим, каждая величина g в отдель-
отдельности— это компонент метрического тензора.
Метрический тензор будем обозначать g^ . Индекс
\i (греческая буква «ми») —одно из чисел 1, 2, 3 или
4, a v (греческая буква «ни») —то же самое или лю-
любое другое из этих чисел. Итак, g^—это своего рода
краткий перечень компонентов метрического тензора,
а значит, может служить и символической формой за-
записи самого тензора.
32.9. Тензоры подразделяются на несколько типов. Нас, в
частности, будут интересовать так называемые ковари-
антные тензоры, для которых характерен точно опре-
определенный способ связи между изменением системы
координат и изменением их компонентов. Метрический
тензор — ковариантный.
32.10. Вплоть до настоящей главы мы всегда знали (и доволь-
довольно хорошо), с какой системой координат имели дело.
Но в эйнштейновском подходе допускается примене-
применение любой мыслимой системы координат (подчинен-
(подчиненных нескольким математическим ограничениям, кото-
которые не должны нас здесь беспокоить). Этими коорди-
координатами могут служить результаты измерений любого
наблюдателя, как инерциального, так и движущегося
с ускорением. В более общем случае они не обязатель-
обязательно должны быть измерениями какого-то наблюдателя,
они должны лишь точно задавать события. Однако
32.12 477
объективное отражение законов природы не должно за-
зависеть от системы координат, выбираемой для их опи-
описания. Вот почему Эйнштейн сформулировал
принцип общей ковариантности:
основные законы природы должны описываться*"
уравнениями, которые остаются в силе в любой си-
системе координат.
Если бы существовал, например, такой закон при-
природы, который в одной конкретной системе координат
можно было бы записать в виде равенства нулю суммы
всех g из п. 32.5, то из принципа общей ковариантно-
ковариантности следовало бы, что сумма всех g должна оставать-
оставаться равной нулю, какую бы систему координат мы ни ис-
использовали.
Но несколько позднее было доказано, что принцип
общей ковариантности вообще ничего не утверждает,
ибо любое наперед заданное уравнение можно (при
некотором навыке) привести к ковариантной форме.
Если к нему добавить, что важнейшие истины обычно
могут быть сформулированы в простой и элегантной
форме, то идея общей ковариантности на практике
оказывается мощным орудием для вывода новых по-
полезных уравнений, справедливость которых должна
быть установлена другими путями.
32.11. Принцип общей ковариантности удовлетворяется авто-
автоматически, если уравнения законов природы выраже-
выражены только через ковариантные тензоры (п. 32.9). Это —
следствие специфического свойства тензоров, благодаря
которому изменение компонентов ковариантного тензо-
тензора связано с изменением системы координат.
Поэтому, чтобы продвигаться по пути, проторенному
Эйнштейном, необходимо изучить раздел математики,
связанный с операциями над тензорами, который на-
называется «тензорным исчислением». Освоить этот пред-
предмет непросто, и дело не в том, что его трудно понять,
а в том, что тензорное исчисление исключительно труд-
трудно в техническом отношении. Дважды я пытался по-
постичь его, достигал уровня вполне достаточного, чтобы
уследить за ходом эйнштейновской мысли, но каждый
раз почти все забывал, и очень быстро. Поэтому я от-
отказался от мысли взяться за него в третий раз. Так что
эту главу я пишу на основе смутных воспоминаний,
оставшихся от тех двух знакомств с тензорным исчис-
исчислением и консультаций с книгами.
32.12. Осознав, что пространство-время должно быть искрив-
32,13 478
ленным, Эйнштейн, вероятно, создал для себя оч^нь
конкретный, почти осязаемый образ этой кривизны и
^часто призывал его на помощь воображению. Тяготе-
Тяготение— это следствие кривизны (пп. 28.13—28.17), зна-
значит, законы тяготения должны представлять собой
уравнения, накладывающие определенные ограниче-
ограничения на кривизну, выбирающие из всех возможных одно
конкретное пространство-время.
Но тяготение порождается материей: Солнце явля-
является причиной наблюдаемого поведения планет. При-
Присутствие материи деформирует пространство-время —
искривляет его; затем кривизна вызывает ускорения,
которые мы интерпретируем как проявления тяготения.
Приведу афоризм одного из первопроходцев современ-
современной теории тяготения профессора Джона А. Уилера:
«Пространство указывает материи, как ей двигаться,
а материя указывает пространству, как ему искрив-
искривляться». Итак, закон тяготения должен каким-то обра-
образом связывать кривизну пространства-времени с поло-
положением и движением содержащейся в нем материи или
устанавливать связь между кривизной и распределени-
распределением и потоком энергии (п. 19.16).
32.13. Кривизна пространства-времени — понятие много более
сложное, чем кривизна поверхности. Для ее полного
описания необходимо 20 величин в каждой точке. Они
обычно изменяются от точки к точке пространства-вре-
пространства-времени и могут быть вычислены с помощью компонентов
метрического тензора.
Очевидно, кривизна — это свойство самого простран-
пространства-времени, и она не зависит от того, какую систему
координат использовать для ее описания. Однако эти
20 величин зависят от выбора координат. Как и следо-
следовало ожидать, они являются компонентами тензора кри-
кривизны Римана — Кристоффеля. (На самом деле у него
больше 20 компонентов, но в силу определенных сим-
симметрии только 20 из них независимы, они-то и пред-
представляют интерес.)
32.14. Теперь мы можем разобраться с трудностью, возник-
возникшей в п. 28.9 в связи с определением искривленного
пространства-времени и кратко обсуждавшейся в
п. 28.5. Пространство-время плоское (и это можно до-
доказать) в том и только в том случае, когда все компо-
компоненты тензора кривизны Римана — Кристоффеля рав-
равны нулю всюду в этом пространстве-времени.
32.15. Тензор кривизны Римана — Кристоффеля не может
служить нашей основной цели — поиску закона тяготе-
32.18 479
ния. Однако из него можно получщть другой тензор;
который называется тензором Риччи, обозначается
символом Ry,v (по такой же схеме, как в п. 32.8) и
цмеет десять компонентов. Тензор Риччи по сравнению
с тензором Римана — Кристоффеля описывает кривиз-
кривизну лишь наполовину.
Тензор Риччи ковариантный, поэтому с его помощью
нам, возможно, удастся решить поставленную задачу.
32Л6. Как говорилось в п. 32.12, проблема сводится к уста-
установлению связи между кривизной и распределением и
потоком энергии (массы) как источниками поля тяго-
тяготения. Как с помощью тензорного исчисления описать
эти источники?
Если теория охватывает все возможные варианты,
то она должна описывать не только распределение
энергии в пространстве, но и его изменения, связанные
с переносом энергии. Следуя такой линии рассуждений,
мы рано или поздно придем к выводу, что для полно-
полного описания требуется 10 величин, характеризующих
плотность энергии (энергию в единице объема), плот-
плотность потока энергии (поток энергии через единичную
площадку), плотность импульса и плотность потока
импульса, причем значения этих величин зависят от
координат.
Такие 10 величин образуют тензор — 10-компонент-
ный ковариантный тензор, который называется тензо-
тензором энергии-импульса и обозначается символом 7\v.
32.17. Мы получили два 10-компонентных тензора: тензор
Риччи (п. 32.15), описывающий кривизну, и тензор
энергии-импульса, описывающий распределение энергии
(а значит, и массы). Быть может, закон тяготения пред-
представляет собою некоторое простое соотношение между
ними? Проще всего предположить, что тензор R^v про-
пропорционален T^v . (Это означает, что каждый компо-
компонент одного равен соответствующему компоненту дру-
другого, умноженному на один и тот же для всех компо-
компонентов множитель.) Таким способом можно было бы
найти связь между кривизной и распределением энер-
энергии (п. 32.12). На определенной стадии у Эйнштейна
должна была появиться такая мысль.
32.18. Увы, этот путь не годится. У тензора энергии-импульса
есть специфическое свойство (равная нулю диверген-
дивергенция), являющееся результатом математической форму-
формулировки законов сохранения энергии и импульса
(пп. 18.8 и 19.5). Тензор Риччи таким свойством не об-
обладает, значит, они не могут быть пропорциональны.
32.19 480
Легко представить разочарование Эйнштейна. Это
выглядело столь обещающе... Можно ли как-нибудь во-
воплотить эту идею? Сомнения, сомнения, сомнения...
32.19. ... пока наконец не пришло озарение. Есть величина,
обозначаемая буквой /?, которая, несмотря на то что
она состоит всего из одного компонента, тоже описы-
описывает кривизну пространства-времени. Величина R ме-
меняется от точки к точке пространства-времени, но не
изменяется при переходе к другой системе координат.
Если из каждого компонента тензора Риччи R^v вы-
вычесть соответствующий компонент тензора g^
(пп. 32.4 и 32.5), предварительно умноженный на R/2,
то в результате получится новый тензор
называемый тензором Эйнштейна. Он ковариантный и
тоже имеет 10 компонентов, к тому же его диверген-
дивергенция равна нулю. Оказалось, что по всем важным пара-
параметрам математические свойства тензоров G\xv и Г^
(п. 32.16) совпадают.
32.20. Эйнштейн модифицировал свою догадку, о которой шла
речь в п. 32.17. Не Ry,v* а тензор Gум должен быть
пропорционален Т^. Коэффициент пропорционально-
пропорциональности определяется из условия, что при слабом тяготении
и малых скоростях результат должен совпадать с нью-
ньютоновским. Этот коэффициент оказался равным —8яС.
(Число п определено в п. 27.12,G— гравитационная по-
постоянная. Численное значение этой универсальной по-
стоянной, позволяющей однозначно определить напря-
напряженность поля тяготения, измерено экспериментально.
Величина А,, которая входит в метрику пространства-
времени с полем тяготения, подчиняющимся закону
обратной пропорциональности квадрату расстояния,
равна произведению G на массу Солнца или любого
другого центрального тела, создающего поле тяготе-
тяготения; п. 27.14.)
32.21. Итак, опираясь на идеи, изложенные в двух предыду-
предыдущих разделах, Эйнштейн предположил, что закон тяго-
тяготения— соотношение между энергией-массой и кривиз-
кривизной— определяется уравнениями
Яну—Vrfnvtf = —&iG7Vv. C2.2)
Придавая \i и v всевозможные значения (от 1 до 4),
получим уравнение для каждого компонента. Все вмес-
вместе эти уравнения называются уравнениями Эйнштейна
32.24 481
32.22. Левую часть уравнений C2.2) можно переписать так,
что в нее будут входить только g^v , тогда как правая
часть описывает распределение энергии-массы. Задав
конкретное распределение энергии-массы, с помощью
C2.2) можно вычислить компоненты метрического тен-
тензора gnV и исследовать, как они меняются от точки
к точке (от события к событию) пространства-времени.
В результате мы узнаем геометрию этого пространства-
времени. Таким образом геометрия пространства-вре-
пространства-времени полностью определяется (посредством уравне-
уравнений Эйнштейна) распределением энергии-массы.
К сожалению, уравнения Эйнштейна, если их под-
подробно расписать, оказываются чрезвычайно сложными.
Поэтому на практике задача определения геометрии
пространства-времени по заданному распределению
энергии решается лишь в нескольких простых случаях.
32.23. Когда-то жил на свете арабский философ, который из-
изложил в ста томах все знания и премудрости мира.
Друзья сказали ему, что мало у кого найдется столько
времени, чтобы одолеть его сочинения, и мудрец со-
сократил их до одного тома. Но люди желали еще боль-
большей краткости, и ему пришлось ужать этот том до гла-
главы, а потом, войдя во вкус, он сократил все до пара-
параграфа, еще чуть погодя—-до предложения. И наконец
он решил оставить лишь одно слово: Аллах. Если вы
знаете, что означает «Аллах», то вы знаете все.
Точно так же если вы понимаете смысл каждого от-
отдельного символа в уравнениях поля Эйнштейна, то вы
знаете все о тяготении. Это один из величайших в ис-
истории человечества примеров концентрации огромной
информации в столь малом объеме.
Вся беда в том, что нужно больше одной жизни,
чтобы постичь все, что кроется за словом «Аллах».
Проникновение в сущность символов R ^, 7\Xv и всего
остального не очень сложно. Но это очень большая ра-
работа даже для людей с математическим образовани-
образованием. Вот почему я избрал другой путь.
И я хочу еще раз обратить ваше внимание на то,
какая колоссальная интуиция, какое богатое воображе-
воображение привели Эйнштейна к цели. И какая пропасть от-
отделяет его путь от нашего, по которому мы в конце
концов притащились туда же.
32.24. В пустом пространстве все компоненты тензора 7'^
равны нулю. Тогда, согласно C2.2), все компоненты
тензора Эйнштейна также равны нулю. Но вспомним,
что тензор Риччи, а значит, и тензор Эйнштейна лишь
32.25 482
наполовину описывают кривизну (п. 32.15). Другая по-
половина тензора Римана — Кристоффеля может быть
отлична от нуля. Если потребовать, чтобы уравнения
Эйнштейна были применимы и там, где есть вещество
(тензор Tjj/v ?=0), и там, где его нет, то из них будет
следовать, что тензор Римана — Кристоффеля не равен
нулю даже в пустом пространстве. Пространство-время
между звездами искривлено, несмотря на то что все ве-
вещество, которое и является причиной кривизны, сосре-
сосредоточено в звездах.
32.25. Как только Эйнштейн вывел свои уравнения поля, он
решил их приближенными методами и сделал предска-
предсказания, описанные в гл. 30 и 31. Через несколько меся-
месяцев Карл Шварцшильд показал, что в пустом простран-
пространстве, окружающем изолированное тело, подобное Солн-
Солнцу, метрика должна иметь вид B9.12). Шварцшильд
сделал несколько вполне разумных предположений, в
частности что метрика не зависит от времени и сфери-
сферически симметрична (т. е. одинакова в любом направ-
направлении от центра) и т. д. Впоследствии было доказано,
что нужно лишь одно предположение.
Это предположение сводится к требованию, чтобы
вещество, создающее поле тяготения, имело сферичес-
сферически симметричное распределение. Это распределение не
должно быть обязательно статическим — допустимы,
например, радиальные пульсации. Исходя из этого
единственного предположения, Биркгофф в 1923 г. до-
доказал, что в пустом пространстве вне такого распреде-
распределения вещества метрика должна иметь вид B9.12).
(Масса всего остального вещества во Вселенной счита-
считалась такой малой или находящейся на столь большом
расстоянии, что ее влиянием можно было пренебречь.)
Еще раз обратите внимание на превосходство мето-
метода Эйнштейна. Чтобы получить метрику B9.12), нам
пришлось прибегнуть к закону обратной пропорцио-
пропорциональности квадрату расстояния в п. 27.24, а затем в
пп. 27.45 и 27.46, но в несколько измененном виде.
В теории Эйнштейна метрика B9.12)—неизбежное
следствие сферической симметрии рассматриваемого
распределения вещества. Отсюда поле тяготения, под-
подчиняющееся (слегка модифицированному) закону об-
обратной пропорциональности квадрату расстояния, яв-
является в этой ситуации единственно возможным.
32.26. В целом то, чем мы занимались в нескольких послед-
последних главах, — это, конечно, более простой и более длин-
длинный путь (да к тому же проделанный с помощью
32.27 483
многочисленных дополнительных предположений) к не-
некоторым результатам Эйнштейна, которых он достиг
несравненно более элегантным способом. Но в одном
отношении наши результаты не идентичны эйнштей-
эйнштейновским. В пп. 22.19 и 22.20 мы сделали приближение,
которое имеет смысл только в том случае, если величи-
величина fx мала по сравнению с 1 (/ — ускорение наблюда-
наблюдателя, а х — расстояние, на котором он находится от
исследуемого события). Как следствие этого приближе-
приближения, все последующие рассуждения о поле тяготения,
подчиняющемся закону обратной пропорциональности
квадрату расстояния, остаются в силе только при ус-
условии, что 2к/г— малая дробь, т. е. радиус г много
больше Я.
Таким образом, у нас метрика B9.12) выполняется
лишь приближенно, а в теории Эйнштейна она являет-
является точным следствием уравнений поля Эйнштейна и
сферической симметрии. До сих пор это не имело зна-
значения, поскольку мы пользовались своими результата-
результатами только в таких ситуациях, когда это приближение
было справедливо.
32 27. Теперь предположим, что необходимо рассмотреть яв-
явления, происходящие вблизи невероятно плотного объ-
объекта (допустим, что такие существуют), радиус которо-
которого меньше соответствующего ему значения 2%— радиу-
радиуса Шварцшильда (п. 27.14). Можно было бы прибли-
приблизиться к такому телу на расстояние г = 2Я. Тогда 1 —
—2Х/г = 0. В результате коэффициент при члене с бг2 в
B9.12) стал бы бесконечно большим*.
Более того, из C0.15) и C0.16) следует, что на та-
таком расстоянии скорость света - была бы равна нулю,
т. е. внешний наблюдатель никогда не увидит, что про-
происходит в этой области. Была бы равна нулю макси-
максимально возможная скорость (гл. 10), т. е. ничто на-
находящееся на сфере^ Шварцшильда (сфере радиусом
2\) или под ней никогда не смогло бы выбраться от-
оттуда. Из B7.33) следует, что любое тело, расположен-
расположенное на таком расстоянии от этого сверхплотного объек-
объекта, падало бы на него с бесконечно большим ускоре-
ускорением, хотя нам следовало бы рассчитать это ускорение
по формуле B7.26) для скорости ы, а не из B7.31)
для v. Кроме того, можно показать, что часы, располо-
расположенные на сфере Шварцшильда, шли бы бесконечно
медленно, т. е. вообще остановились бы. Даже если
* Больше любого наперед заданного числа.
32.28М 484
вспомнить, что координаты могут и не соответствовать
«истинным» времени и расстоянию (пп. 27.39 и 30.22),
все равно не вызывает сомнений, что происходит что-то
очень странное. Подобные рассуждения в конце кон-
концов приводят к понятию черной дыры — области прост-
пространства вокруг исключительно сильно сжатой звезды,
причем предметы могут падать внутрь этой области,
но ничто не может выйти наружу. Большинство реляти-
релятивистов, но далеко не все, сегодня верят, что теория
Эйнштейна предсказывает существование черных дыр
(если только нет неизвестного современной науке явле-
явления, предотвращающего катастрофическое сжатие
звезд или даже больших масс вещества до столь малых
объемов). Некоторые считают, что уже есть данные
наблюдений, свидетельствующие о существовании чер-
черных дыр.
Все эти предсказания являются следствиями метри-
метрики B9.12), точной согласно теории Эйнштейна. Но она
была бы приближенной, если верить методу, которым
я вас к ней привел. Забудем о приближении в пп. 22.19
и 22.20, Какая получилась бы тогда метрика и к ка-
каким следствиям она бы вела?
32.28М. Рассмотрим математическую сторону вопроса о взаимо-
взаимосвязи между величинами k и t, найденной в гл. 21. Для
простоты положим /=1. У математиков есть два спо-
способа толковать об этой связи. Один из них* сводится
к утверждению, что величина k экспоненциально зави-
зависит от t, или
k = exp U C2.3)
Следовательно, после замены заголовков колонок
в табл. 21.23 и 21.27 на exp t и t они будут описывать
эту экспоненциальную связь. Тогда из таблиц мы мог-
могли бы, например, узнать, что ехр 0,41 = 1,5. Кроме то-
того, остаются в силе все соотношения между k и t, най-
найденные в гл. 21, если их записать новым способом. На-
Например, утверждение из п. 21.5 теперь преобразуется
к виду
exp t х ехр т = exp (t-f-т) • C2.4)
(Здесь опущены промежуточные выкладки, выполните
их самостоятельно.) Тогда
ехр t х ехр (—/) «= ехр 0 = 1
* О втором говорится з п. 21.43м.
32.32 485
(поскольку в расчетах, проделанных в гл. 21, мы исхо-
исходили из того, что при ? = 0 &=1; п. 21.18). Отсюда
ехр(—0=1/ехр/. C2.5)
32.29М. По мере возрастания / величина exp t тоже монотонно
возрастает (причем много быстрее, чем t). Тогда, сог-
согласно C2.5), величина ехр(—t) должна монотонно
уменьшаться. Выбирая достаточно большие t, можно
сделать ехр (—t) сколь угодно близкой к нулю. Но ка-
каким бы большим ни было значение /, ехр (—t) никогда
не обратится в нуль, а всегда будет иметь положитель-
положительное значение.
32.30м. С помощью C2.3) формулу B1.20) можно представить
в виде
6(exp/)/expf~fif. C2.6)
Эта приближенная формула, наряду с начальным усло-
условием expt=l при / = 0 может служить определением
величины ехр/, так как в первоначальной форме
B1.13) она была основой для вывода соотношения
между & = ехр t и t.
32.31. Теперь перейдем к приближенным формулам B2.22) и
B2.23). Вторая из них имеет другой вариант записи:
B2.24). Кроме того, при f* = 0 величина fX—l
(п. 22.19). Тогда, согласно определению из п. 32.30м,
fX = exp(fx)y и, подставляя это соотношение в B2.22) и
B2.23), получим приближенные формулы B2.29) и
B2.30), которые я привел в п. 22.21 без доказательст-
доказательства. Значит, эти выражения могут заменить приближен-
приближенные соотношения B2.27) и B2.28).
32.32. Если теперь повторить рассуждения последних глав,
всякий раз заменяя приближенные соотношения точны-
точными, то мы придем к тому же результату, что раньше
только там, где прежде стояло выражение 1—2А,/г, те-
теперь будет стоять ехр (—2Х/г). Таким образом, новый
вариант метрики должен иметь вид
6s2 ~ ехр (—2Я./Г) №—ехр Btyr) бг2— г2б92, C2.7)
где коэффициент при бг2 получен с помощью C2.5).
Метрика B9.12) —это приближение к C2.7), достаточ-
достаточно хорошее для больших по сравнению с X значений г.
Исключим из рассмотрения случай г==0, при котором
центральная масса должна сжаться в точку. Тогда
ни один член новой метрики никогда не может стать
бесконечно большим. Кроме того, исправленная форму-
формула C0.15) дает для скорости света выражение
32.33 486
ехр(—2Я/г), которое не обращается в нуль ни при ка-
каких (не равных нулю) г. Следующее из B7.33) точное
выражение для ускорения f = —KexpBX/r)/r2 никогда
не обращается в бесконечность.
Все необычные явления, описанные в п. 32.27, в слу-
случае метрики C2.7) должны были бы исчезнуть, и не
было бы никаких черных дыр.
32.33. Прав Эйнштейн, а я скорее всего ошибаюсь. Построен-
Построенная нами теория — это всего лишь приближение, хотя
и вполне пригодное всюду, где ее в настоящее время
можно проверить экспериментально. Но есть совершен-
совершенно ничтожный шанс, что C2.7)—это правильная мет-
метрика, а B9.12)—приближение, достаточно хорошее
там, где возможна экспериментальная проверка. Тогда
не должно быть и черных дыр, а это опрокинуло бы
большинство современных представлений.
Нет и доли тщеславия в надежде скромного после-
последователя чуть-чуть усовершенствовать дело рук велико-
великого предтечи — ведь в большинстве случаев научный
прогресс — это и есть осуществление таких надежд.
Однако грубые и малоэффективные методы, использо-
использованные в этой книге, оставляют слишком много места
для ошибок. В лучшем случае эти методы могли бы
навести на мысль, что высказанная выше идея достой-
достойна внимания, но они не позволяют ее обосновать.
А нельзя ли показать, что метрика C2.7) могла воз-
возникнуть из некоторой модификации теории Эйнштейна?
Не могут ли какие-нибудь приемлемые поправки в
уравнениях поля Эйнштейна привести к такой экспо-
экспоненциальной форме метрики? После признаний, сде-
сделанных в п. 32.11, от меня ответа на эти вопросы ждать
не следует. Вот если бы обсуждаемая, проблема прив-
привлекла внимание специалиста по теории относительно-
относительности, который оказал бы мне честь, дочитав книгу до
этого места! Остальным читателям я советую игнори-
игнорировать этот краткий экскурс в проблемы, которые вы-
выходят за рамки общепринятых представлений, и верить
в теорию Эйнштейна.
33
НЕСКОЛЬКО ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫХ ЗАМЕЧАНИЙ
33.1. Настало время подводить итоги. Специальная теория от-
относительности осталась так далеко позади, что я не буду
возвращаться к ней снова. К тому же эта теория обще-
признана и считается настолько хорошо обоснованной,
что является краеугольным камнем современного научно-
научного мышления. Но общая теория относительности по-преж-
по-прежнему остается предметом активной дискуссии.
Начнем с ограничения. Эта теория никогда не оправ-
оправдывала своего названия, если его понимать как претен-
претензию на глубокое и всестороннее обобщение специальной
теории относительности. Как отмечалось во введении, это
всего лишь теория тяготения, и оценивать ее мы должны
как теорию тяготения. Сравним теории тяготения Эйн-
Эйнштейна и Ньютона с философской точки зрения. Заодно
вы узнаете, какой из них я отдаю предпочтение.
33.2. Перечитайте пп. 26.46 и 26.47. Там упоминалась причина,
склоняющая наши симпатии на сторону Эйнштейна: в ос-
основе его теории лежит на одно предположение меньше,
чем в теории Ньютона. Из этого следует, что она проще в
принципе, хотя в математическом отношении гораздо
сложнее. Большинство из нас согласится (хотя трудно
сказать, почему), что простые объяснения предпочтитель-
предпочтительнее сложных.
33.3. Разумеется, нельзя упрекать Ньютона в том, что основа-
основания его теории сложнее, чем теории Эйнштейна. Подход
Эйнштейна в то время был совершенно немыслим. Но
можно указать, откуда проистекает эта сложность. При-
Причина в том, что теория Ньютона начинается со следующе-
следующего утверждения: «если бы не было тяготения», то вещи
вели бы себя так-то и так-то. Но как это проверить, ку-
куда скрыться от тяготения? Поэтому Ньютону пришлось
сделать дополнительное предположение: «но тяготение
есть всегда, а поэтому...»
В поисках простых теорий совершенно естественно же-
желание рассмотреть движение тел, когда на них не дейст-
действуют никакие силы. Поэтому мы говорим: «Если тело не
привязано никакими веревками, если его никто не тол-
толкает, если отсутствует притяжение, обусловленное элек-
33.4 488
трическими или магнитными полями, если...», то тело бу-
будет вести себя так-то и так-то. Такое утверждение имеет
смысл, ибо его можно проверить, перерезав веревки, ней-
нейтрализовав электрические заряды и т. д. Но фатальная
ошибка Ньютона (пусть даже простительная и истори-
исторически неизбежная) в том, что он трактовал тяготение
просто как еще одну силу, от которой тоже можно изба-
избавиться (хотя бы теоретически).
Большая простота эйнштейновского подхода является
следствием его утверждения, что, избавившись по воз-
возможности от всех сил, тело будет двигаться по геодези-
геодезической, форма этой геодезической должна определяться
влиянием тяготения.
33.4. В теории Ньютона присутствует так называемое «даль-
«дальнодействие». Солнце влияет на движение расположенной
далеко от него планеты без посредства какой-либо среды
или механизма, переносящего это влияние к планете.
Есть и другие явления, например электрическое или маг-
магнитное притяжение и отталкивание, которые можно
описать математически, пользуясь понятием дальнодейст-
дальнодействия. Такого рода описания ведут к количественным пред-
предсказаниям, которые прекрасно согласуются с экспери-
экспериментальными данными. Кроме того, нет никаких логичес-
логических оснований, позволяющих отрицать существование
дальнодействия, отрицать возможность того, что причина
в данном месте могла бы привести к следствию где-то
далеко.
И все же мы не особенно доверяем объяснениям, ис-
исходящим из представления о дальнойдействии. Когда фо-
фокусник взмахивает руками, а на другом конце сцены его
пассам вторят движения плавающего в воздухе шарика,
мы не верим, что он способен действовать на расстоянии,
а пытаемся разгадать, какие невидимые нити или иные
связи использует этот маг.
А вот как люди пытались объяснить электрическое и
магнитное притяжение. Не доверяя идее о дальнодейст-
дальнодействии, они изобретали различные теории о связях между
причиной и следствием через посредство пространства.
Сначала это была теория эфира (п. 1.11), а когда от нее
пришлось отказаться, они дали объяснения на основе
электромагнитных свойств пространства. Электрический
заряд (согласно этому объяснению) нарушает электро-
электромагнитное равновесие в непосредственно примыкающей
к нему области пространства — создает там, так сказать,
электромагнитное напряжение. Это напряжение возмуща-
возмущает следующий кусочек пространства и т. д., до тех пор
33.7 489
пока возмущение (распространяющееся во всех направ-
направлениях) не подействует на удаленное тело. Такие теории
называются теориями поля.
33.5. Во многих случаях электрические и магнитные явления
одинаково хорошо объясняются как теорией дальнодей-
дальнодействия, так и теорией поля. Но когда приходится рассмат-
рассматривать электромагнитные системы, в которых происходят
быстрые изменения, например переменный ток высокой
частоты, способный влиять на объекты, расположенные
на значительном расстоянии от провода, сразу возникает
вопрос: с какой скоростью распространяется это влия-
влияние? Теория дальнодействия не дает четкого ответа, в
ней возможно даже мгновенное распространение. А вот
теория поля утверждает, что воздействие, обусловленное
переменными процессами, передается от одного тела к
другому с помощью волнового процесса. Она предсказы-
предсказывает, что волны должны распространяться со скоростью
300 000 км/с, причем ее предсказания соответствуют фак-
фактам (радио!). В электричестве и магнетизме выигрывает
теория поля.
33.6. Но никому еще не удалось построить удачный полевой
вариант закона тяготения Ньютона. Если вы — сторонник
Ньютона, то должны быть готовы принять идею о даль-
дальнодействии и всего того, что из нее следует в философ-
философском плане.
(Мне вовсе не доставляет удовольствия делать подоб-
подобные выпады в адрес Ньютона. Но это не будет выглядеть
так уж бестактно, если вы узнаете, что множество таких
критических замечаний было сделано им самим. Его пе-
переписка дает понять, что он осознавал трудности, кото-
которые влечет за собой концепция дальнодействия. Но Нью-
Ньютон считал, что раз эта концепция приводит к правиль-
правильным выводам, то ею можно пользоваться невзирая на то,
что по этому поводу может сказать философия. К сожа-
сожалению, победное шествие его теории притупило критичес-
критический дух его последователей, поэтому возобновившиеся в
нашем столетии попытки критически переосмыслить нью-
ньютоновское наследие произвели впечатление разорвавшей-
разорвавшейся бомбы.)
33.7. Что касается теории Эйнштейна, то она с самого начала
была теорией поля: присутствие Солнца приводит к де-
деформации окружающего пространства. Эта деформация,
распространяясь все дальше от Солнца, порождает ис-
искривленное пространство-время, а кривизна определяет
форму орбит планет. Для большинства людей, хотя, как
показало множество споров с моими слушателями, не для
32-1653
33.8 490
всех, такая конкретная связь между Солнцем как причи-
причиной и искривленной орбитой планеты как следствием бо-
более приемлема, чем абстракция, к которой приводит кон-
концепция дальнодействия.
33.8. Вспомним, что у нас было гораздо более серьезное возра-
возражение против ньютоновского подхода (п. 10.16): его тео-
теория тяготения — это теория мгновенного дальнодействия
(она в любом случае требует, чтобы причинное воздейст-
воздействие распространялось намного быстрее света), а это,
согласно специальной теории относительности, невоз-
невозможно.
Как, согласно общей теории относительности, распро-
распространяется гравитационное воздействие? Предположим,
что масса Солнца удвоилась. Тогда «форма» окружающе-
окружающего его пространства должна была бы измениться — его
кривизна увеличилась бы. Как распространялось бы та-
такое изменение? Этот вопрос требует анализа, который нам
с вами не по силам. Но из теории следует, что подобные
изменения должны передаваться в виде волн, распростра-
распространяющихся со скоростью света.
Предсказанные теорией гравитационные волны долж-
должны быть очень слабыми, и сообщения об их эксперимен-
экспериментальном обнаружении не получили всеобщего признания.
Однако наблюдения двойного пульсара (п. 31.36) дают
косвенное свидетельство их существования. Согласно об-
общей теории относительности, такая система должна излу-
излучать гравитационные волны. Эти волны уносят с собой
энергию, которая освобождается в результате падения
компонентов двойного пульсара на общий центр масс.
Третий закон Кеплера (п. 27.12; модифицированный так,
чтобы он мог описывать поведение тел со сравнимыми
массами) утверждает, что при уменьшении размеров ор-
орбит период тоже должен уменьшаться. Применяя этот за-
закон к результатам наблюдений, можно узнать темп
уменьшения периода. Оказалось, что он уменьшается при-
примерно на 1/10000 с/год. Было показано, что отношение
наблюдаемой скорости уменьшения периода к значению,
предсказанному теорией, равно 1,3±0,15. Необходимы
более точные измерения, которые планируется выполнить
в ближайшие годы. Между тем результат этого сравни-
сравнительно грубого измерения, как можно было ожидать,
согласуется с предсказанием, основанным на предположе-
предположении, что энергия теряется только на гравитационное из-
излучение. Это свидетельствует в пользу существования
(предсказанных теорией) гравитационных волн, хотя и
33 Л 491
нельзя окончательно исключить возможность другой при-
причины наблюдаемого явления.
33.9. В любом заданном месте все тела падают с одинаковым
ускорением. Это известно еще со времен Галилея и прове-
проверено с исключительно высокой точностью (п. 23.10).
В теории тяготения Эйнштейна объяснение этого факта
не представляет никаких проблем. Мировые линии всех
свободно падающих частиц — геодезические, поэтому в
любой заданной точке все они будут двигаться одинаково
и с одинаковым ускорением.
33.10. Но если рассматривать тяготение как силу, то способ-
способность сообщать всем телам одно и то же ускорение на-
настолько отличает его от других сил, что требует особого
объяснения. Опираясь на свой второй закон A8.5), Нью-
Ньютон ввел постулат, что действующее на тело гравитаци-
гравитационное притяжение пропорционально его массе. Или, как
трактовали его в последующих работах, у тела есть две
различные массы: инертная, которая, согласно определе-
определению, данному в пп. 18.7—18.9, является мерой сопротив-
сопротивления тела изменению его состояния движения, и грави-
гравитационная, которая является мерой эффективности нью-
ньютоновской силы тяготения. Эти массы по определению
являются двумя различными свойствами тела, однако тео-
теория Ньютона справедлива только в том случае, если они
всегда равны (или пропорциональны, когда используется
неудобная система единиц).
Тот факт, что электрические воздействия вызывают
различные ускорения у разных тел, легко объясняется
пропорциональностью действующей на тело силы величи-
величине, которую обычно называют электрическим зарядом, но
с равным успехом могли бы называть «электрической
массой». Эта «электрическая масса» не пропорциональна
инертной и может меняться без заметного изменения
инертной массы. Это справедливо и для магнитных явле-
явлений. Следовало бы ожидать, что гравитационная масса
тоже не должна зависеть от инертной. Однако в теории
Ньютона требуется, чтобы они были одинаковы, хотя и
не дается никакого объяснения этому удивительному сов-
совпадению.
33.11. Установлено, что вес — сила, необходимая лля предотвра-
предотвращения падения тела, — пропорционален массе. Это еще
одна точка зрения на то же самое явление. Теория Нью-
Ньютона снова не в состоянии дать объяснение, в ней лишь
утверждается, что это иной способ выразить (необъяснен-
ное) совпадение инертной и гравитационной масс.
В теории Эйнштейна состояние свободного падения
32*
33.12 492
является естественным. Согласно принципу эквивалентно-
эквивалентности, если тело не падает, значит, оно движется с ускоре-
ускорением, направленным вверх, а его вес — это сила, которая
требуется, чтобы сообщить такое ускорение. В результа-
результате вес становится в один ряд с силами, сообщающими
телу любые другие ускорения. У тела есть только инерт-
инертная масса, а пропорциональность между весом и мас-
массой— очевидное следствие принципов, лежащих в основе
теории.
33.12. Итак, во всех этих аспектах теория Эйнштейна более
удовлетворительна, чем теория Ньютона. Она опирается
на меньшее число предположений; обходит ловушки, рас-
расставленные концепцией дальнодействия; в ней удается из-
избежать необъяснимых совпадений, подобных совпадению
двух типов массы. Критический анализ с чисто философ-
философских позиций показал бы, что теория Эйнштейна, несом-
несомненно, предпочтительнее теории Ньютона.
Но чисто филсофский подход неприемлем. Ведь в ко-
конечном счете важно лишь то, в какой мере теория соот-
соответствует фактам. С философской точки зрения теория
Ньютона может выглядеть не очень привлекательно, но
она применима. Именно по этой причине она была при-
признанной теорией тяготения до тех пор, пока ей на смену
не пришла более совершеннная теория. В какой мере об-
общая теория относительности выдерживает эксперимен-
экспериментальную проверку? (Специальная теория относительно-
относительности выдерживает такую проверку великолепно.) В неко-
некотором смысле это одна из лучше всего подтвержденных
теорий в истории науки, ибо все, что предсказывает тео-
теория Ньютона, следует и из теории Эйнштейна; расхож-
расхождения имеются лишь в случае сильных полей тяготения.
Теория Ньютона была подтверждена результатами тер-
терпеливых и точных наблюдений, выполненных в течение
трех столетий. Каждое из этих подтверждений является
также подтверждением и общей теории относительности.
33.13. Но наибольший интерес представляют те несколько мо-
моментов, в которых эти теории дают различные предсказа-
предсказания. Если бы в этих случаях предсказания теории Эйн-
Эйнштейна не соответствовали фактам значительно лучше,
чем выводы, следующие из теории Ньютона, то следова-
следовало бы отдать предпочтение последней, поскольку матема-
математически она проще.
Следует признать, что объем экспериментальных дан-
данных, на которые можно опираться в споре «Эйнштейн
против Ньютона», довольно мал. Как обстояли дела око-
около 1970 г.? В то время были возможны только четыре
33.16 493
типа экспериментов, позволяющих проверить предсказа-
предсказания теории Эйнштейна. В каждом случае предсказания
последней подтверждались лучше, чем ньютоновской, но
расхождение было незначительным.
33.14. Начнем с гравитационного красного смещения
(пп. 23.14—23.18 и 27.30)—предсказания, которое пре-
прекрасно подтверждается опытом. Но проверка здесь каса-
касалась только принципа эквивалентности. Кроме того, мож-
можно показать, что это явление предсказывается любой тео-
теорией тяготения, согласующейся со специальной теорией
относительности.
33.15. Результаты трех остальных экспериментов имеют еще бо-
более узкую область применения, чем хотелось бы. В них
проверялась только корректность метрики Шварцшиль-
да B9.12). Справедливость же уравнений поля C2.2) в
других ситуациях не проверялась. Эти эксперименты не
позволяют найти различия между общей теорией относи-
относительности и любой другой теорией тяготения, из которой
бы в качестве сферически симметричного решения следо-
следовала метрика B9.12).
Метрика Шварцшильда проверялась только для слу-
случаев, когда г много больше К, отсюда сомнения, изложен-
изложенные в конце гл. 32. Если бы астрономы могли найти нео-
неопровержимые доказательства существования черных дыр,
то это было бы подтверждением теории Эйнштейна для
малых г. Но в астрономии одни и те же результаты на-
наблюдений можно интерпретировать несколькими спосо-
способами,
33.1G. Рассмотрим предсказание, касающееся отклонения луча
света вблизи Солнца (п. 30.12), В течение многих лет
наблюдения давали неопределенные результаты (п. 30.15).
Из них следовало, что теория Ньютона неточна, даже ес-
если ее дополнить предположением, о котором шла речь
в п. 30.13, и что предсказанное Эйнштейном отклонение
приблизительно совпадает с наблюдаемым. Но на основа-
основании этих оптических наблюдений нельзя было бы утверж-
утверждать, что теория подтвердилась. Можно было лишь ска-
сказать, что это наиболее удачная попытка построения пра-
правильной теории тяготения, но не более, и не опроверга-
опровергались бы другие теории.
Наблюдения в радиодиапазоне (п. 30.16) казались бо-
более обнадеживающими, но в начале 70-х годов их точ-
точность была недостаточной, чтобы обнаружить различия
между теорией Эйнштейна и другими теориями. То же
самое можно было бы сказать по поводу экспериментов
третьего типа, связанных с измерением запаздывания от-
33.17 494
раженного радиолокационного сигнала (пп. 30.23—30.25),
если иметь в виду ситуацию, сложившуюся в то время.
И наконец, смещение перигелия Меркурия. Получен-
Полученный из наблюдений результат в 43,11 ±0,45" в столетие
(п. 31.33) настолько хорошо согласуется с предсказанным
43,0" в столетие (п. 31.31), что можно было бы считать,
что эта проверка полностью и однозначно подтверждает
теорию Эйнштейна.
33.17. Вернее, все это можно было сказать до 1960-х годов,
когда Бранс и Дикке предложили свою скалярно-тензор-
ную теорию. Она должна была включать в себя принцип
Маха, выдвинутый Эристом Махом в 1872 г. и состоящий
в том, что тела, которые движутся по инерции, с нашей
точки зрения (п. 5.2), должны также двигаться равномер-
равномерно и прямолинейно по отношению к системе отсчета, свя-
связанной с неподвижными звездами (или, как мы говорим
сейчас, с системой галактик). В качестве объяснения он
предположил, что инертная масса (п. 33.10) —это не
просто свойство данного тела, она определяется действи-
действием на это тело всего вещества во Вселенной.
Попытки облечь принцип Маха в точную научную фор-
форму не увенчались успехом; кроме того, нет никаких под-
подтверждающих его экспериментальных данных.
33.18. Я не берусь излагать теорию Бранса — Дикке, поэтому
приведу ее краткое описание, сделанное самим Дикке.
Скалярно-тензорную теорию
...можно рассматривать как релятивистскую трактов-
трактовку закона тяготения Ньютона в рамках геометричес-
геометрической структуры эйнштейновского искривленного прост-
пространства. Либо ее можно описать как теорию, в кото-
которой действующая на некоторый объект сила гравита-
гравитации частично порождается взаимодействием со скаляр-
скалярным полем *, а частично —тензорным взаимодействием.
Третье эквивалентное описание теории сводится к то-
тому, что это релятивистская теория тяготения, в кото-
которой гравитационная постоянная** больше не являет-
является постоянной, а локально определяется переменной
величиной, характеризующей скалярное поле.
Уравнения теории Бранса—Дикке решаются .точно
также, как уравнения Эйнштейна, но дают модифициро-
* Скаляр — это величина, которая не изменяется при переходе к другой
системе координат (в противоположность тензору, п. 32.7). «Скалярным по-
полем» называется скаляр, изменение которого от точки к точке пространства-
времени связано с распределением массы-энергии.
** Величина Свп. 32.20.
33.20 495
ванную метрику, очень похожую на метрику, к которой
ведет подстановка в B9.2) вместо ее одной из форм, рас-
рассмотренных в п. 30.20. Однако на этот раз п — малая
дробь, которую можно изменять в определенных преде-
пределах, что приводит к тому или иному желаемому ре-
результату*. При п = 0 теория совпадает с теорией Эйн-
Эйнштейна (п. 30.20). Если вы не знаете, как быть с выра-
выражением A—2К/гI~п,1 когда п-2- дробь,, то перепишите его
в виде A—2Х/г) (\ + 2п%1г) (см. п. 30.20).
33.19. Эта теория дает такое же гравитационное красное сме-
смещение, как теория Эйнштейна (пп. 23.14—23.18, 27.30).
Для отклонения луча света, проходящего вблизи Солнца,
из скалярно-тензорной теории следует слегка отличаю-
отличающееся от эйнштейновского значение. Но различие слиш-
слишком мало для того, чтобы сделать вывод на основе толь-
только одних оптических наблюдений (п. 30.15). Эксперимен-
Эксперименты, связанные с измерением запаздывания радиолокаци-
радиолокационного сигнала (пп. 30.23—30.25), тогда только начина-
начинались.
33.20. Поэтому решающее значение имели результаты наблюде-
наблюдений смещения перигелия Меркурия. Оказалось, что при
любом разумном значении п (или у и со) из п. 33.18 тео-
теория Бранса — Дикке давала всего 39 или 40" в столе-
столетие вместо 43".
На первый взгляд могло создаться впечатление, что
теория несостоятельна. Но Дикке указал на то, что в рас-
расчетах Эйнштейна форма Солнца предполагалась идеаль-
идеально сферической (п. 32.25). На самом же деле из-за вра-
вращения Солнце слегка сплюснуто. Но при столь низкой
скорости вращения (как показывают наблюдения солнеч-
солнечных пятен, оно совершает примерно один оборот в месяц)
отклонение от идеальной сферы слишком мало, чтобы
иметь значение.
Тогда Дикке предположил, что внутренняя область
вращается много быстрее поверхности. (С физической
точки зрения трудно понять, как может поддерживаться
такое дифференциальное вращение, но оно возможно.)
Если бы внутренние области вращались в 10 или 20 раз
быстрее, то результирующая сплюснутость Солнца приве-
привела бы к смещению перигелия Меркурия. Это хорошо из-
известный вывод ньютоновской теории. Сплюснутость
5/100000 привела бы к смещению около 4" в столетие.
Тогда теория Дикке, дающая 39" в столетие, давала бы
правильный результат.
* В общепринятых обозначения п есть величина 1—у= 1/(со+2).
33.21 496
33.21. Дикке — хороший экспериментатор и в то же время ори-
оригинальный теоретик — редное сочетание в наши дни.
Вместе с сотрудниками он провел серию очень тонких
экспериментов, которые показали, что сплюснутость
Солнца составляет около 4,5/100000.
Однако последующие наблюдения не подтвердили этот
результат. Сплюснутость Солнца оказалась слишком ма-
малой, чтобы можно было объяснить те 3 или 4" в столе-
столетие, которые требуются скалярно-тензорной теории. Меж-
Между тем усовершенствованные измерения отклонения ра-
радиоволн полем тяготения Солнца (п. 30.16) дали резуль-
результаты, свидетельствующие в пользу теории Эйнштейна,
так же как и измерения запаздывания радиолокационно-
радиолокационного сигнала (п. 30.25).
33.22. Еще один сокрушительный удар нанес, как это ни уди-
удивительно, принцип эквивалентности. В теории Эйнштей-
Эйнштейна этот принцип не допускает никаких исключений. Со-
Согласно принципу эквивалентности применительно к тео-
теории Ньютона, гравитационная и инертная массы
(п. 33.10) всегда должны быть в точности равны. Но в
теории Бранса — Дикке это равенство не обязательно.
Часть массы тела заключена в его гравитационной
энергии связи, обусловленной взаимным гравитационным
притяжением частей этого тела друг к другу, и равной
энергии, которую нужно приложить, чтобы, преодолев
это взаимное притяжение, развести части тела далеко
друг от друга. В теории Бранса — Дикке гравитационная
энергия связи дает разный вклад в инертную и гравита-
гравитационную массы. Для лабораторной регистрации эффект
слишком мал, но он должен вызывать поддающееся из-
измерению искажение орбиты Луны: ее вытягивание в на-
направлении к Солнцу, которое должно проявляться в виде
вариаций расстояния между Землей и Луной.
В течение 1969—1975 гг. были выполнены измерения,
состоявшие в регистрации времени отправления и приема
лазерных импульсов, отраженных уголковыми отражате-
отражателями, установленными на поверхности Луны (Дикке был
одним из участников этих экспериментов.) Они показа-
показали, что с точностью около 30 см это вытягивание не име-
имеет места.
33.23. Чтобы теория Бранса — Дикке соответствовала результа-
результатам наблюдений, имевшимся к началу 1979 г., постоян-
постоянная п в п. 33.18 должна быть меньше 0,002, т. е. очень
близкой к нулю, что соответствует общей теории относи-
относительности (пп. 30.20 и 33.18). Но нет смысла принимать
33.25 497
на вооружение новую, более сложную теорию, если более
простая дает те же самые предсказания.
Вероятность того, что какие-нибудь новые или усовер-
усовершенствованные старые наблюдения принесут свидетель-
свидетельства в пользу теории Бранса — Дикке, а также других
теорий, очень мала. На этих теориях я не буду здесь ос-
останавливаться, так как я о них почти ничего не знаю,
за исключением того, что, согласно общепринятому мне-
мнению, у них еще меньше шансов на успех, чем у теории
Бранса — Дикке.
33.24. Нелегко сделать окончательный выбор между теорией
Эйнштейна и конкурирующими теориями, основываясь
только на результатах наблюдений в пределах Солнечной
системы, поскольку из-за слабого тяготения и низких ско-
скоростей предсказания незначительно меняются от теории
к теории. Гораздо более высокие скорости и мощное поле
тяготения двойного пульсара (п. 31.36) выявят большие
различия, а это позволит навсегда избавиться даже от
обоснованных сомнений. Описанные в п. 33.8 безуспешные
попытки регистрации гравитационных волн сильно свиде-
свидетельствуют против других теорий, из которых следует
большее рассеяние энергии в процессе гравитационного
излучения (исключение представляет случай, когда мас-
массы пульсара и его спутника примерно равны).
В течение последующих нескольких лет будет продол-
продолжаться это бессмысленное занятие. Но, на мой взгляд,
общая теория относительности в настоящее время под-
подтверждается результатами наблюдений много лучше, чем
когда бы то ни было.
33.25. Попытаемся оценить состояние общей теории относитель-
относительности как научной теории. Установим несколько стандар-
стандартов для сравнения.
1. Ньютоновская динамика (без теории тяготения) —
это дисциплина, которая, основываясь на понятиях и за-
законах, кратко изложенных в гл. 18 и 19 (но при малых
скоростях и, как следствие, постоянной массе), в резуль-
результате трехсотлетнего развития достигла почти полного со-
совершенства в описании движения, силы, энергии и т. д.
при нерелятивистских скоростях. Было бы неверно счи-
считать, что релятивистская динамика (гл. 18 и 19) доказа-
доказала несостоятельность ньютоновской, она лишь указывает
границы применимости ньютоновской динамики. Теория
Ньютона справедлива при условии, что мы остаемся в
этих пределах.
2. Специальная теория относительности — это не
только динамика, но все, к чему мы пришли в 21 главе
33,26 498
этой книги. Она прекрасно выдержала множество тяже-
тяжелых испытаний экспериментом. Примененная в других
областях науки, специальная теория относительности
позволила полностью разобраться в природе многих яв-
явлений. С философской точки зрения она способна выявлять
такие неясные проблемы. Кроме того, она с честью вы-
выдержала проверку, которую я считаю самой главной из
всех: специальная теория относительности позволяет де-
делать то, что без учета ее эффектов было бы неосущест-
неосуществимо (пп. 13.16, 18.20, 19.24, 19.33 и 19.34).
Эта теория, подобно динамике Ньютона, никогда не
будет считаться ошибочной. Возможно, когда-нибудь
обнаружатся пределы ее применимости; в этих пределах
она всегда будет оставаться справедливой.
3. Теория тяготения Ньютона. В экстремальном случае
эта теория в противоположность общей теории относи-
относительности дает неверные предсказания. Теория тяготе-
тяготения Эйнштейна вовсе не является развитием или модифи-
модификацией идей Ньютона, напротив, согласно теории Ньютона,
тяготение — это сила; в теории Эйнштейна это деформа-
деформация геометрии пространства-времени. Теория Эйнштейна
объясняет наблюдения, поэтому мы вынуждены признать,
что теория тяготения Ньютона вообще неверна. Не уди-
удивительно ли? Теория дает правильные ответы в любых
ситуациях, кроме экстремальных, и тем не менее мы счи-
считаем ее неверной. Циник мог бы даже классифицировать
эту теорию как временную, которой человечество придер-
придерживалось на протяжении 200 лет, пока не была создана
общая теория относительности.
33.26. Как классифицировать общую теорию относительности?
Новая точка зрения на пространство-время, несомненно,
привела к более глубокому пониманию Вселенной. Но
тут мы вспоминаем, что специальная теория относитель-
относительности проникла во многие разделы науки, тогда как об-
общая теория относительности позволила заглянуть лишь в
несколько маленьких дальних уголков, недоступных тео-
теории Ньютона. Однако многие специалисты утверждают,
что эта теория ведет к важным следствиям для всей фи-
физики, хотя их разработка только началась.
Во всяком случае, она пока почти не претендует на
возможность практического использования. В космичес-
космических путешествиях отдаленного будущего она, возможно,
потребуется для навигационных расчетов в областях с
сильными полями тяготения. Но едва ли можно утвер-
утверждать, что теория имеет практическое применение, апел-
апеллируя к гипотетическому будущему. Поэтому будем оце-
33.28 499
нивать ее главным образом с эстетической, философской
и эмпирической точек зрения.
Мы уже воздали должное общей теории относитель-
относительности в рамках философии, хотя с философской точки
зрения она не всегда выдерживает критику. Например,
многие считают ее неспособность включать в себя прин-
принцип Маха (п. 33.17) серьезным недостатком. Именно по
этой причине теория Бранса — Дикке привлекла серьез-
серьезное внимание. С эмпирической точки зрения существует
слишком мало тестов для ее проверки, но те, что были
выполнены, она выдержала с честью.
33.27. Наконец, ее эстетическая оценка. Если вы считаете, что
представления о красоте не применимы к физико-матема-
физико-математическим теориям, то не читайте этот параграф. Но мно-
многие (и я в том числе) очень остро чувствуют красоту об-
общей теории относительности; для них она так же пре-
прекрасна, как симфонии Бетховена или полотна Рембранта
(а может быть, уместнее упомянуть Пикассо и Стокайзе-
на?). Одни теории могут быть справедливыми и полезны-
полезными, но скучными, заурядными и просто прикладными.
Другие же имеют изящную структуру, и у общей теории
относительности это качество проявляется в высшей сте-
нени.
Отчасти красота является следствием ее простоты
(п. 33.2)—подлинной простоты, несмотря на математи-
математическую сложность. Наибольшее впечатление это произво-
производит, когда знакомишься с общей теорией относительности
с помощью уравнений поля Эйнштейна (пп. 32.12 и 32.23).
Но даже при использовании грубого метода, развитого в
этой книге, наступает момент (где-то в районе гл. 28 или
29), когда кончается скучный и унылый пейзаж и впере-
впереди открывается великолепная панорама.
33.28. Но вот, утолив жажду прекрасного, мы вдруг вспомина-
вспоминаем, что успехи теории, на удивление, скромны: несколько
незначительных поправок к теории Ньютона (двойной
пульсар обещает большие поправки), некоторое примене-
применение в космологии и кое-какие перспективы, связанные с
черными дырами и гравитационными волнами.
Как же нам ее классифицировать? Как хорошо обос-
обоснованную теорию, вселяющую надежду, что при опреде-
определенных ограничениях она всегда будет справедлива, по-
подобно динамике Ньютона и специальной теории относи-
относительности (п. 33.25)? Или как многообещающую гипоте-
гипотезу? Или как временную теорию, пригодную, чтобы послу-
послужить до тех пор, пока не появится более совершенная
теория? (И будет ли новая теория столь сильно отли-
33.29 500
чаться, что в конце концов придется оценить теорию тя-
тяготения Эйнштейна так же, как мы сегодня оцениваем
теорию Ньютона: хотя она и дает правильные ответы, но
все равно неверна?) Поразмышляйте над этими вопро-
вопросами.
33.29. В начале 70-х годов, когда наблюдения отклонения света
давали еще очень неопределенный результат, исследова-
исследования запаздывания радиолокационного сигнала только на-
начинались, а теория Бранса — Дикке выглядела многообе-
многообещающе, многие крупные ученые приняли бы последнюю
из упоминавшихся в п. 33.28 точку зрения: до сих пор
общая теория относительности являлась лучшей теорией
тяготения; возможно, это окончательная теория, а воз-
возможно, и нет; но ею придется пользоваться до тех пор,
пока не будет разработана более совершенная теория.
Но с тех пор все более подтверждается теория Эйнштей-
Эйнштейна, поэтому теперь ее можно считать хорошо обоснован-
обоснованной теорией, т. е. теорией, которая скорее всего останется
справедливой даже тогда, когда станет ясно, что она
ограниченна, и эти границы будут четко очерчены.
Но какой бы ни была ее судьба во всех остальных
отношениях, она навсегда останется памятником челове-
человеческому разуму. Это памятник не только Эйнштейну, но
и таким гигантам, как Ньютон (хотя теперь доказано,
что он ошибался в понимании тяготения) и Аристотель
(хотя известно, что он заблуждался в понимании многих
вопросов). Истина и заблуждение — ничто по сравнению
с селичием созидательной мысли.
Я всегда испытывал гордость, когда мне выпадала
честь познакомить с идеями Эйнштейна обычных лю-
людей — моих слушателей, а теперь и моих читателей.
Я надеюсь, что и вам передалось это ощущение.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ
Абсолютное будущее 162
— прошлое 162
Абсолютная величина 190
Аннигиляция 260
Большой круг 365
Бранса — Дикке скалярно-тензорная
теория 494
Вектор скорости 244
Время всеобщее 71, 202
Время собственное 52
— несобственное 52
Вторая основная теорема 362
Гамма-излучение 20, 260, 263
Геодезическая 368
Геометрия на сфере 364
Гипотеза геодезичности 368
Гипотенуза 55
Гравитационная линза 449
— постоянная G 480
Гравитационное красное смещение
493
Гравитационные волны 490
Гравитационный коллапс 468
Греческие буквы:
а альфа 371
р бета 371
у гамма 371
5 дельта 306
е эпсилон 437
О тэта 205
к каппа 211
Я ламбда 400
jli ми 476
v ни 476
я пи 400
а, 2 сигма 371, 373
т тау 286
Ф, Ф фи 205
со омега 495
Далекие события 83
Двойная звезда 469
Деление 132, 144
Джоуль 260
Дополнительное предположение 275
Доплера коэффициент 209, 223
— эффект 208, 468
Гстественная система единиц 108,
179
Закон сохранения импульса 246
энергии 253
Замедление течения времени 53, 184
Изовала 192, 194, 196
Импульс 244
Инвариант 170
Инерциальный наблюдатель 77
Интервал 179
— времениподобный 191
— изотропный 191
— пространственноподобный 191
Катет 55
Квадранты 152, 156
Квадрат числа 54
Кеплера третий закон 400
Координаты полярные 384
— прямоугольные 134
Коэффициент хода часов 323
Линия сигнала 94, 97
Лоренца преобразования 227
Майкельсона —- Морли эксперимент
23, 26, 81
Масса 243
— гравитационная 491
— инертная 491
— покоя 248, 261
— релятивистская 250
Маха принцип 494
Меркатора проекция 197
Мёссбауэра эффект 279, 338
Метрика 346, 358
Микросекунда 20
Минковского диаграмма 196
Мировая линия 94, 421
Мюон 58
Наносекунда 270
Неинг.рциальный наблюдатель 77
502
Предметный указатель
Нейтрино 263
Нейтронная звезда 467
Ньютона закон тяготения
401
Относительная погрешность 276
— разность 273
Относительное движение 17, 32, 135
Относительность длины 46, 64, 190
— одновременности 35, 41, 130
Отрицательные числа 101, 177, 214
Парадокс близнецов 73
Первая основная теорема 326
Периастр 469
Перигелий 462
Пи-мезон 20, 263
Пифагора теорема 55
Поверхность искривленная 415
— плоская 415
Подобные треугольники 142
Позитрон 260, 262
Приближенные формулы 185, 275
Принцип общей ковариантности 477
— относительности 81, 82
—. — ньютоновский 81
эйнштейновский 82
Приращение 306, 345
Пробная частица 76
Произведение 143
Пропорциональность 124, 142, 206
Пространственно-временная диаграм-
диаграмма 88
Пространство-время искривленное
418
— плоское 418
Пульсар 467, 468
Тахион 159
Тензор 476
— Римана — Кристоффеля 478
— Риччи 479
— Эйнштейна 480
— энергии — импульса 479
Тождество 220, 239, 369
Уравнение Эйнштейна 480
Ускорение 150, 234, 284
— свободного падения 237
Физо опыт 147
Формула сложения скоростей класси-
классическая 138
— релятивистская 143
Фотон 264
Хорда 384
Частота света 19
Черная дыра 484
Шварцшильда радиус 401
Эквивалентность массы и энергии 258
Электрон 260, 262
Электронвольт 265
Эллипс 452
Энергия 253
— внутренняя 253, 257, 260
— кинетическая 254, 256
— механическая 253
— полная 257
— тепловая 253
— химическая 253
Работа 252
Радиан 384
Разность 220
Свет 19, 21
Световой год 20, 238
Сила 246
Система координат 120
Скорость 132
— света 19, 27, 112, 147, 446, 447
Событие «в данном месте» 84
Сумма 55
Математические символы
— 1 %!
—— 1 д 1
+ 137
X 143
ф- 167
У .183
« 185
>, < 190
- 275
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
Введение 10
1. Приступим к делу 17
2. О теории относительности без особых подробностей 30
3. Замедление течения времени 48
4. Три хронометра и пара близнецов 65
5. Начнем сначала 76
6. Пространственно-временные диаграммы 88
7. Время и расстояние до далекого события 103
8. Система координат 113
9. Комбинирование скоростей 137
10. Принцип причинности и скорость света 152
11. Природа пространства-времени 161
12. Интервал 172
13. Возвращение к старым знакомым 182
14. Масштабы на пространственно-временной диаграмме 192
15. Радиолокационная точка зрения 205
16. Взаимосвязь между радиолокационным методом и методом
«время — расстояние» 217
17. Постоянное ускорение 228
18. Масса, импульс, сила 243
19. Взаимосвязь между массой и энергией 252
20. Влияние ускорения на измерения времени 267
21. Время с точки зрения равноускоренного странника 284
22. Как равноускоренный наблюдатель измеряет время и рас-
расстояние 309
23. Принцип эквивалентности 330
24. Метрика 342
25. Геодезические 354
26. Как найти геодезическую 369
27. Тяготение и закон обратной пропорциональности квадрату
расстояния 393
28. Искривление пространства-времени 414
29. Метрика в окрестности Солнца 424
30. Тяготение и свет 435
31. Смещение перигелия Меркурия 451
32. Как действовал Эйнштейн 473
33. Несколько заключительных замечаний 487
Предметный указатель 501
Сэм Лилли
ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ДЛЯ ВСЕХ
Ст. научный редактор М. Я. Рутковская
Художник Е К. Самойлов. Художественный редактор В. И Шаповалов
Технический редактор И. М. Кренделева. Корректор В. И. Постнова
ИБ № 370!
Сдано в набор 31.10.83. Подписано к печати 08.02.84.
Формат 60X90'/i6- 15,75 бум. л. Бумага типографская № 1.
Гарнитура латинская. Печать высокая.
Усл. печ. л. 31,50. Усл. кр.-отт. 31,50. Уч.-изд. л. 27,19.
Изд. №. 27/2746. Тираж 50 000 экз. Зак. 1653. Цена I р. 70 к.
ИЗДАТЕЛЬСТВО «МИР». 129820, ГСП, Москва, И-П0, 1-й Рижский
пер., 2.
Московская типография № И Союзполиграфпрома
при Государственном комитете СССР по делам издательств,
полиграфии и книжной торговли.
Москва, 113105, Нагатинская ул., д. 1.