Министерство образования Российской Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Ю.Д. Максимов
МАТЕМАТИКА
Выпуск 9
Теория вероятностей
Детализированный конспект
Справочник по одномерным
непрерывным распределениям
Санкт-Петербург
Издательство СПбГПУ
2002
Фундаментальная
библиотека
ОУ Л №_________
СПб ГПУ
УДК 519.21 (075.8)
ББК 22.171
Максимов Ю.Д. Математика. Выпуск 9. Теория вероятностей. Детализированный
конспект. Справочник по одномерным непрерывным распределениям. СПб.: Изд-во
СП6ГПУ, 2002. 98 с.
Пособие соответствует государственному образовательному стандарту и дейст-
вующим программам дисциплины «Математика» бакалаврской подготовки всех об-
щетехнических и экономических направлений.
Представляет собой детализированный конспект лекций по теории вероятностей,
в основном соответствующий опорному конспекту (выпуск 7 серии опорных кон-
спектов по математике, выпущенных издательством СПбГТУ). В отличие от опорно-
го конспекта здесь приведены доказательства теорем и выводы формул, опущенные в
опорном конспекте, и дан справочник по одномерным непрерывным распределениям.
Пособие предназначено для студентов второго курса общетехнических факульте-
тов и экономических специальностей. Может быть использовано также для направле-
ния «Техническая физика».
Табл. 1. Ил. 33. Библиогр.: 16 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Санкт-Петербургского
государственного политехнического университета.
© Санкт-Петербургский государственный
политехнический университет, 2002
Предисловие
Издательство СПбГПУ выпустило серию учебных пособий по вероятност-
ным разделам математики:
Выпуск 6. Математика. Теория вероятностей. Контрольные задания с образ-
цами решений. Тесты. Конспект-справочник. 2000. 96 с. Авторы -
Ю.Д. Максимов, Б.А. Куклин, Ю.А. Хватов.
Выпуск 7. Математика. Теория вероятностей. Опорный конспект. 2000. 76 с.
Автор - Ю.Д. Максимов.
Выпуск 8. Математика. Математическая статистика. Опорный конспект.
2000. 96 с. Автор - Ю.Д. Максимов.
Настоящее учебное пособие, составляющее выпуск 9, продолжает и допол-
няет эту серию. В нем представлены доказательства теорем и выводы формул,
опущенные в опорном конспекте (выпуск 7) и дано более полное и детальное
изложение ряда тем, лишь слегка там затронутых. Это, в первую очередь, темы
об п -мерной случайной величине и о предельных теоремах.
Учебное пособие состоит из 8 глав, дополнения и двух приложений. В до-
полнении дано доказательство центральной предельной теоремы для случая
одинаково распределенных слагаемых, а в приложениях содержится таблица
значений нормированной функции Лапласа и справочные сведения по одно-
мерным непрерывным распределениям.
Все теоретические положения проиллюстрированы примерами, в основном,
практического содержания.
В списке литературы указаны учебники [4, 6, 8, 9] для углубленного изуче-
ния теории.
Нумерация теорем, определений, формул, примеров, рисунков - в каждой
главе своя, двухпозиционная, отражающая номер параграфа и порядковый но-
мер внутри параграфа. Она соответствует нумерации, принятой в опорном кон-
спекте (выпуск 7). Благодаря этому, пользователь опорного конспекта может
легко расширить свои знания с помощью детализированного конспекта. Ссылки
на другие главы - крайне редки и тогда дополнительно сопровождаются указа-
ниями номера главы.
Знаками ► и Ч отмечены начало и конец доказательства или решения при-
мера.
3
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Теория вероятностей является базовым разделом, обеспечивающим прило-
жения в естественных и гуманитарных науках, технике, математической стати-
стике.
В разделе вводятся и изучаются фундаментальные понятия - случайное со-
бытие, вероятность, случайная величина, а также функциональные, графиче-
ские, числовые характеристики случайных величин.
ГЛАВА 1. АЛГЕБРА СОБЫТИЙ
§1	. Предмет теории вероятностей
Задача науки - выявление закономерностей, описывающих явления приро-
ды и общества. Эти закономерности могут быть выражены с помощью моделей
в виде описаний, классификаций, алгоритмов, уравнений, функций детермини-
стским или вероятностным способом.
Детерминистская математическая модель, применяемая для выражения
закономерностей, дает однозначный вывод при задании всех переменных, вхо-
дящих в модель. Таков, например, закон Ома для участка цепи i-u/R, связы-
вающий ток i, напряжение и и сопротивление R.
Вероятностная, иначе - стохастическая модель - это модель, которая не
дает достоверного прогноза о развитии изучаемого явления. Её выводы носят
лишь оценочный, вероятностный характер. Например, невозможно точно ука-
зать, сколько будет наводнений в Санкт-Петербурге в текущем году. Однако с
помощью теории вероятностей, на основе имеющихся статистических данных
можно сделать предсказание о количестве и величине наводнений с определен-
ной вероятностью.
Наводнения относятся к разряду случайных явлений, поведение которых
достоверно предсказать невозможно.
Определение. Теорией вероятностей называется наука, изучающая ма-
тематические модели случайных явлений.
Создание теории вероятностей относится к началу XVII в., когда стали воз-
никать задачи, требующие статистических исследований в области страхового
дела, демографии, производства. Большое влияние на теорию вероятностей ока-
зали азартные игры, которые дают наиболее простые модели случайных явле-
ний. Поэтому и в настоящем курсе иногда приводятся примеры из азартных
игр.
4
Среди ученых, развивавших теорию вероятностей, встречаются такие имена,
как П. Ферма (фр., 1601-1665), Я. Бернулли (швейц., 1654-1705), П. Лаплас
(фр., 1749-1827), С.Д. Пуассон (фр., 1781-1840), К.Ф. Гаусс (нем., 1777-1855),
известные из общих курсов математики и физики.
Большую роль в теории вероятностей сыграла российская математическая
школа в лице П.Л. Чебышева (1821-1894), А.А. Маркова (1856-1922),
А.М. Ляпунова (1857-1918), С.Н. Бернштейна (1880-1968), А.Н. Колмогорова
(1903-1987) и других.
§2	. Классификация событий
Для изучения и описания реальных событий, характеризующих различные
случайные явления, рассмотрим математическую схему абстрактных событий и
классифицируем эти события.
Рассматривается эксперимент (опыт, испытание, наблюдение). Предполага-
ется, что его можно проводить неоднократно. В результате эксперимента могут
появляться различные события, составляющие некоторое множество F. Сам
эксперимент обозначают буквой Е. Наблюдаемые события разделяются на три
вида: достоверное, невозможное, случайное.
Достоверным называется событие, которое обязательно произойдёт в ре-
зультате проведения эксперимента Е. Его будем обозначать буквой I (или Q).
Невозможным, называется событие, которое заведомо не произойдет в ре-
зультате проведения эксперимента Е. Оно обозначается символом пустого
множества 0.
Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти
в результате эксперимента Е. Случайные события обозначаются первыми
большими буквами латинского алфавита: Л, В, С, ... .
Пример 2.1. Е - эксперимент, означающий бросание игральной кости.
Пусть X - число выпавших очков. Тогда X >7 - невозможное событие, X <6
- достоверное событие, X - число чётное - случайное событие.
Дополнительным, иначе - противоположным событию А называется собы-
тие, обозначаемое А , которое происходит тогда и только тогда, когда не про-
исходит событие А.
Пример 2.2. Е - выстрел из орудия. Событие А - попадание в цель. Тогда
А - промах.
Элементарным событием со называется непосредственный исход экспери-
мента Е.
Множество всех элементарных событий называется пространством эле-
ментарных событий и обозначается Q.
5
Пример 2.3. Е - бросание игральной кости. Здесь 6 элементарных событий
<0|,..., ©6. Событие означает, что в результате бросания выпало к очков,
к = \,.... 6. П= {со.,<»6}.
События можно наглядно иллюстри-
ровать с помощью диаграмм Венна
(англ., 1832-1923). Достоверное событие
изображается квадратом; случайное со-
бытие А - областью внутри квадрата;
дополнительное событие А - областью
внутри квадрата вне области, изобра-
Рис. 2.1. Диаграммы Венна жающей событие А (рис. 2.1).
для событий А и А	Для Того, чтобы диаграммы Венна не
представлялись слишком абстрактными,
можно представить себе эксперимент Е как стрельбу по мишени, являющейся
квадратом, с условием, что выпущенный снаряд обязательно попадет в мишень.
Тогда А есть событие, означающее попадание в заданную область.
§3	. Действия над событиями
Над событиями можно производить действия, подобные алгебраическим -
складывать и перемножать.
Определение 3.1. Суммой (или объединением) событий называется
событие, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хо-
тя бы одно из данных событий.
Сумма событий обозначается несколькими способами.
Алгебраические обозначения: А + В, А + В + С, .
к
Теоретико-множественные обозначения: AIJB, Л U В U С,	А^ .
к
Логические обозначения. А или В, А или В или С.
Пример 3.1. Е - бросание игральной кости. Событие А означает выпаде-
ние 1 или 2, а событие В - выпадение 2 или 3. Тогда событие А -+ В означает
выпадение 1 или 2 или 3.
На диаграмме Венна сумма событий А + В изображается областью, которая
накрывается областями, изображающими события А и В (рис. 3.1).
Определение 3.2. Произведением (или совмещением, пересечением)
событий называется событие, происходящее тогда и только тогда, когда
все данные события происходят вместе (одновременно).
Произведение событий также обозначается несколькими способами.
6
Рис. 3.1. Изображение суммы
событий А + В
Рис. 3.2. Изображение произведения
событий АВ
Алгебраические обозначения: АВ, АВС,	Ак .
к
Теоретико-множественные обозначения: А П В, А А В А С, Q Ак .
к
Логические обозначения: А и В, А и В и С.
На диаграмме Венна произведение событий АВ изображается общей ча-
стью областей, изображающих события А и В (рис. 3.2).
Пример 3.2. Е - стрельба по мишени - квадрату, изображающему событие
/ (рис. 3.2). Событие АВ состоит в попадании в пересечение областей, изо-
бражающих соответственно события А и В.
Свойства операций сложения, умножения, дополнения событий выражают
правила действий над событиями. Приведем их.
Л + Я = Л; Л + 7 = 7; Л + 0 = Л; АА = А- AJ = А; Л0 = 0;
А + В = В + А - переместительный закон;
(А + В) + С = А +(В+ С) - сочетательный закон;	(3.1)
АВ = В А - переместительный закон;
(АВ)С - А(ВС) - сочетательный закон;	(3.2)
А+В=АВ\ А • В = А + В (правила Де Моргана); А = А \	(3.3)
(А + В)С = АС + ВС - распределительный закон.	(3.4)
Эти правила во многом похожи на правила действий с числами. Роль досто-
верного события I во многом похожа на роль единицы, а роль невозможного
события 0 - на роль нуля.
Приведенные правила и другие, более сложные, составляют алгебру собы-
тий.
Все приведенные формулы, кроме (3.3) и (3.4), следуют непосредственно из
определений суммы и произведения событий.
Докажем первую формулу Де Моргана (3.3) (шотл., 1806-1871).
► Событие А + В означает, что произойдет хотя бы одно из слагаемых со-
бытий А или В. Ему противоположное А + В означает, что не произойдет ни
7
Л, ни В, т. е. произойду!' оба противоположных события А и В вместе, сле-
довательно, произойдёт их произведение А В . 4
Доказательство формулы (3.4) приведено ниже после определения (3.6).
Продолжим классификацию событий на основе понятий суммы и произве-
дения.
Определение 3.3. События называются несовместными, если их про-
изведение есть невозможное событие:
А,А2...Ап=0.
Несовместными будут все элементарные события, события А и А . Таким
образом, в частности,
АА=0.	(3.5)
На диаграмме Венна два несовместных события изображаются непересе-
кающимися множествами.
Заметим, что если события попарно несовместны, то они несовместны и в
совокупности. Обратное неверно.
Пример 3.3. Пусть Е - бросание игральной кости. Рассмотрим события:
А - (выпадение 1 или 2), В = (выпадение 2 или 3), С = (выпадение 3 или 1).
Очевидно, что АВС = 0, т. е. все три события несовместны в совокупности, но
попарно совместны.
Определение 3.4. Полной группой событий называется множество со-
бытий, сумма которых есть достоверное событие:
А} 4- /^2 4-... + Ап — I.
Примерами полной группы событий являются все элементарные события со
пространства О. В силу этого обстоятельства часто достоверное событие обо-
значается символом Q, тем же, что и пространство элементарных событий. На
диаграмме Венна полная группа событий заполняет весь квадрат.
События А и А также образуют полную группу. Таким образом,
А + А = 1.	(3.6)
Определение 3.5. Событие В называется частным случаем события
А, если с появлением события В появляется и событие А. Говорят так-
же, что событие В влечет событие А, что записывается в виде В а А.
На диаграмме Венна событие В, влекущее событие А,
изображается подобластью области, изображающей А
(рис. 3.3).
Если квадрат есть мишень, то попадание в область, изо-
бражающую событие В, означает попадание в область, изо-
бражающую событие А.
Рис. 3.3. В а А
8
Рис. 3.4.
А + В =А + АВ
Заметим, что элементарное событие со эксперимента Е обладает характе-
ристическим свойством, которое может служить определением элементарного
события: каким бы ни было событие А, порожденное экспериментом Е, всегда
либо со с: Л, либо со с А .
Определение 3.6. События А и В называются эквивалентными, если
они происходят или не происходят совместно при проведении эксперимен-
та Е.
Запись эквивалентных событий. А = В.
Очевидно, что А - В, если Ас: В и В а А.
Доказательство формулы (3.4).
►	Пусть произошло событие (А + В) С, записанное слева в
формуле (3.4). Это означает, что вместе произошли события
А + В и С. Если произошло событие А + В, то произошло
хотя бы одно из событий А или В. Пусть, например, про-
изошло событие А. Но оно произошло, как было отмечено
ранее, вместе с С. Тогда произошло событие АС. По опре-
делению суммы событий произошло и событие АС + ВС. Мы
доказали, что (Я + 5)Сс АС + ВС. Аналогично доказывается, что
АС + ВС cz (А + В)С. Тогда события (А + В)С и АС + ВС являются эквива-
лентными, т. е. (А + В)С = АС + ВС. 4
Пример 3.4, Доказать формулу
А + В=А + АВ.	(3.7)
Эта формула представляет сумму двух любых событий как сумму двух несо-
вместных событий.
►	Применим формулы (3.1), (3.2), (3.4), (3.6):
А +В = А +BI = А +В(А + А) = (А1 + АВ) + АВ = А(1 + В) + АВ =
= А1 + АВ = А + АВ. ◄
На диаграмме Венна (рис. 3.4) формула (3.7) означает, что множество, изо-
бражающее Л + В, представлено как объединение не пересекающихся мно-
жеств, изображающих А и АВ.

9
ГЛАВА 2. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
Вероятность - второе фундаментальное понятие в теории вероятностей по-
сле случайного события. С помощью него строятся все вероятностные схемы
случайных явлений.
Вероятность реального события есть мера его объективной возможности.
Это определение вероятности скорее философское, чем математическое. Для
того, чтобы понятие вероятности стало математическим, нужно ввести его как
количественную характеристику событий. Математических определений веро-
ятности существует несколько. Все они прошли длительный путь развития, до-
полняют и обобщают друг друга. Формирование понятия вероятности не закон-
чено до сих пор. Исторически несомненно, что вероятность появилась как иде-
альное понятие, отражающее свойства относительной частоты при массовых
статистических исследованиях.
§1. Относительная частота события и ее свойства
Рассмотрим опыт Е, который можно повторять неоднократно (теоретически
- неограниченное число раз). В результате опыта может появиться событие А .
Определение 1.2, Относительной частотой события А называет-
ся отношение числа ц опытов, в которых появилось событие А, к общему
числу п проведенных опытов.
Относительная частота события А обозначается символом Р*(/2)- Таким
образом,
= (!•’)
Практика указывает на то, что для широкого круга явлений при неограни-
ченном увеличении числа опытов п относительная частота события стабилизи-
руется, приближаясь к некоторому постоянному числу, в том смысле, что
большие отклонения ее от этого числа наблюдаются тем реже, чем больше п.
Так, при бросании монеты относительная частота выпадений орла колеблет-
ся около числа 1/2.
Практику интересует поведение относительной частоты брака изделия, по-
ломки прибора за определенный промежуток времени, заболеваемости во время
эпидемии, ответов определенного содержания при социологических опросах
ит. д.
Относительная частота имеет следующие свойства:
10
1)	Р*(7) = 1, так как ц - п.
2)	Р* (0) = 0, так как ц = О .
3)	О < Р*(4) < 1, так как О ц < и, О <~ < .
4)	Р*(Л + 5) = Р*(Л) + Р*(£), если А и В несовместны, так как
Р\я + В) = ^^^ = ^- + ^- = Р*(Л) + Р*(5).
Здесь jij - число опытов, в которых появилось событие А], ц2 - то же для со-
бытия В. Так как события А и В несовместны, то число опытов, в которых
появилась сумма А + В, равно jllj + ц2 •
§2. Статистическое определение вероятности
В логике считается, что всякое описание понятия, помогающее уяснить его
смысл, является его определением. Математику, конечно, удовлетворяют не
любые определения, а в основном такие, которые полностью определяют поня-
тие, что не всегда удается по разным причинам.
Пусть опыт Е проводится многократно в стабильных условиях, в результате
чего наблюдается событие А и вычисляется его относительная частота.
Определение 2.2. Вероятностью события называется число, около
которого колеблется относительная частота этого события, приближа-
ясь к нему при увеличении числа опытов.
Вероятность события А обозначается символом Р(Л). Это идеальная ха-
рактеристика события, отражающая свойства относительной частоты, поэтому
вероятности приписываются те же свойства 1-4, что имеются у относительной
частоты:
1)Р(/) = 1.
2)	Р(0) = 0.
3)	0<Р(Л)<1.
4)	Р(А + В) = Р(Л) + Р(5), если А и В несовместны.
Замечание. Статистическое определение вероятности не дает однозначного
способа вычисления вероятности события (в этом его несовершенство), но дает
возможность найти оценку этой вероятности:
Р(Л)«Р’(Я)=^.	(2.1)
Чем больше и, тем точнее приближенное равенство (2.1). На практике за
вероятность события принимается относительная частота этого события при
достаточно большом числе п проведенных опытов.
Так, например, на основе публикуемых демографических данных можно ут-
верждать, что относительная частота рождения детей мужского пола колеблется
11
около числа 0.51, что и дает основание принять это число за приближенное зна-
чение вероятности рождения ребенка мужского пола.
§3. Аксиоматическое определение вероятности
Статистическое определение вероятности конструктивно указывает, как
приближенно найти вероятность отдельного массового случайного события на
основе относительной частоты. Оно же ориентирует, какими должны быть
свойства вероятности, исходя из свойств той же относительной частоты. Однако
логический порядок в вопросах теории вероятностей призвано навести аксиома-
тическое определение. Понятия этой теории должны не противоречить друг
другу и соотноситься друг с другом по определенным законам.
Напомним, что элементарным событием со называется непосредственный
исход эксперимента Е. Множество всех элементарных событий образует про-
странство элементарных событий Q. Под событием в аксиоматической схеме
понимается сумма (объединение) какого-либо множества элементарных собы-
тий со,:
л=2>/-
(3.1)
Например, если Е - бросание игральной кости, А - событие, означающее
выпадение четного числа очков, то А = со2+^4 + со6, где со, - элементарное
событие, означающее выпадение i очков. Все рассматриваемые в схеме собы-
тия образуют множество событий F, называемое полем (Field), иначе - алгеб-
рой, к которому предъявляются следующие требования, обеспечивающие при-
менение понятия вероятности:
1. F содержит достоверное и невозможное события.
2. Если события Ai, А2, ... (конечное или счетное множество) принадлежат
F, то F принадлежат сумма, произведение и дополнение этих событий.
Понятие вероятности строится для всех событий алгебры F.
Аксиоматическое определение вероятности. Вероятностью называется чи-
словая функция Р(Л) события А, определенная на алгебре F, имеющая свой-
ства 1—4:
1)Р(7) = 1; 2)Р(0) = О; 3) 0<Р(Я)<1; 4) Р ^Ак = ^Ак)
\ к ) к
если события A j, А2,... (конечное или счетное множество) попарно несовме-
стны.
Приведенное определение является адаптированным аксиоматическим оп-
ределением вероятности А.Н. Колмогорова. Свойства вероятности 1—4 являются
аксиомами. Последняя аксиома носит название «Аксиома сложения». В науке
12
существуют и другие аксиоматические определения вероятности, первое из них
дано российским математиком С.Н. Бернштейном в 1917 г.
В качестве упражнения выведем формулу
Р(Л) = 1-Р(Л).	(3.2)
► А + А = I. По аксиоме сложения Р(Л + А) = Р(Л) + Р(Л) = Р(7) -1. Отсю-
да Р(Л ) = 1 - Р( А). Использована также аксиома 1. 4
§4. Классическое определение вероятности
Классическое и статистическое определения вероятности впервые четко
сформулированы в работе швейцарского математика Якоба Бернулли (1654-
1705), которая опубликована в 1713 г.
Предварительно продолжим классификацию событии.
События называются равновозможными., если по условиям эксперимента ни
одно из этих событий не является предпочтительным по отношению к другим с
точки зрения возможности их появления. Эксперимент Е в этом случае облада-
ет «симметрией» исходов по отношению к этим событиям. Таковы исходы бро-
сания монеты, игральной кости, выигрыш каждого из купленных билетов лоте-
реи, выход из строя каждого испытуемого прибора серии одинаковых приборов
ит. д.
Определение 4.1. Эксперимент Е назовем классическим, если он при-
водит к множеству событий, удовлетворяющих трем условиям:
1)	они попарно несовместны;
2)	образуют полную группу;
3)	равновозможны.
Эти события называются случаями или шансами и обозначаются . Они
могут быть элементарными событиями.
Определение 4.2. Случай со называется благоприятным (иначе — бла-
гоприятствующим) событию А, если со влечет A:
Определение 4.3. Если эксперимент Е является классическим, то веро-
ятностью события А называется отношение числа т случаев, благопри-
ятствующих событию А, к общему числу п случаев.
Классическое определение, в отличие от аксиоматического, является конст-
руктивным и дает следующую меру возможности события:
Р(Л) = ^.	(4.1)
Легко проверяется (так же, как для относительной частоты), что вероятность
события, определенная по формуле (4.1), удовлетворяет свойствам 1-4, которые
в общем случае объявлены аксиомами, а здесь следуют из формулы (4.1).
Недостатком классического определения является его малая применимость,
так как классические эксперименты встречаются редко - в искусственно соз-
данных ситуациях.
13
Примеры.
1.	Е - бросание монеты. А - выпадение орла. Р(Л)	так как т ~ 1’
п = 2.
2.	Е - бросание игральной кости. А - выпадение числа очков, меньшего
или равного двум. Р(А) =	, так как т-2, п = 6.
3.	Е - бросание монеты 2 раза. Событие А - раза выпадает орел. Здесь
равновозможных исходов 4: 00 (орел, орел), ОР (орел, решка), РО, РР. Таким
образом, ?w = l; л = 4; Р(Л) = д-.
Классическое определение вероятности может быть реализовано на так на-
зываемой урновой схеме. Под урной понимается емкость, в которой находятся
не различимые на ощупь, одинаковые по размерам шары. Шары могут быть за-
нумерованы и окрашены в различные цвета. После перемешивания шары вы-
нимаются из урны «не глядя». Очевидно, что вероятность вынуть какой-либо
1
определенный шар из п шаров, находящихся в урне, равна —.
Пример. В урне 3 шара: 2 белых, 1 черный. Подряд вынимаются два шара.
Найти вероятность, что оба шара - белые (событие А).
► Занумеруем шары: белые - номерами 1, 2; черный - номером 3. Тогда при
вынимании двух шаров возможны исходы: (1,2), (2,1), (1,3), (3,1), (2,3),
(3,2). Отсюда т ~ 2, и = 6, Р( А)	~
§5. Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности основную идею классического
определения - равновозможности событий - распространяет на случай беско-
нечного несчетного множества элементарных событий.
Рассмотрим на оси абсцисс отрезок Q и внутри него отрезок q : qczQ
(рис. 5.1).
Рис. 5.1. Иллюстрация геометрического определения вероятности
14
На отрезке Q случайно выбирается точка X. Этот выбор можно интерпре-
тировать как бросание случайной точки X на отрезок Q. При этом попадание
X на Q считается достоверным событием, а попадание на отрезок q - случай-
ным. Далее предполагается, что равновозможно попадание X на q, где бы
«малый» отрезок q ни находился внутри основного отрезка Q при условии, что
длина q - фиксирована. Пусть событие А ~ (X eq). Тогда по определению
Р(Л) = 21£РЦ	(5.1)
мера Q
Здесь под мерой отрезка понимается его длина.
Формула (5.1) распространяется на плоский и пространственный случаи, но
тогда под мерой понимается соответственно площадь или объем рассматривае-
мых областей.
Вероятность события, введенная по формуле (5.1), обладает всеми четырьмя
свойствами, присущими аксиоматическому и другим определениям. Проверим,
например, выполнение аксиомы сложения для случая двух несовместных собы-
тий А и В. Для этого возьмем два непересекающихся отрезка q и v (рис. 5.1).
Пусть А = (X eq), В = (Х е v). Тогда
р А +	= длина^) =	=
длина (7	длина	длина(7 длина(7
Пример 5.1. На линии связи длиной 10 километров произошел обрыв. Како-
ва вероятность, что обрыв произошел не далее, чем в двух километрах от начала
(событие А)? В условиях неопределенности, когда никаких дополнительных
сведений о свойствах линии связи нет, считается правомерным допустить рав-
новозможность положения точки разрыва в любой области линии связи и при-
менить геометрическое определение. По формуле (5.1) получаем
Р(Л) = ^ = 02.
Геометрическое определение так же, как классическое и статистическое,
конструктивно и применяется в так называемом методе статистических испыта-
ний.
§6. Субъективное определение вероятности
Аксиоматическое определение вероятности создает логический порядок в
вероятностной теории, но не указывает, как найти эти вероятности на практике.
Этот вопрос решают другие конструктивные определения - статистическое,
классическое, геометрическое. Но и они не охватывают всех практически важ-
ных случаев. Если мы попытаемся оценить возможность появления уникально-
го события или очень редкого, то предыдущие определения здесь не помогут.
15
Приходится прибегать к экспертному оцениванию вероятности на основе лич-
ного опыта экспертов.
Определение 6.1. Субъективными вероятностями событий называются
вероятности, удовлетворяющие аксиомам 1-4 аксиоматического определе-
ния, приписанные событиям на основе личного опыта экспертов,
С помощью мнений экспертов оцениваются тенденции развития экономики,
науки, техники, исходы той или иной политической ситуации, результаты спор-
тивных состязаний, военных действий и т. д.
Не следует думать, что субъективная вероятность вносит какой-то произвол
в наше познание. Она также объективна, как и вероятности, полученные на ос-
нове статистического и классического определений, так как основывается на
объективном опыте экспертов, учитывающих аналогичные ситуации, историче-
ский опыт, влияние различных факторов и т. д.
16
ГЛАВА 3. КОМБИНАТОРИКА
Применение классического определения вероятности предполагает знание
комбинаторики. Комбинаторика также применяется и во многих других разде-
лах математики, в естественных науках и технике.
§1. Комбинаторный принцип «умножения»
Комбинаторикой называется раздел математики, посвящённый решению
задач выбора элементов из заданного множества и расположения их в группы
по заданным правилам.
Полученные группы элементов называются соединениями. Они могут отли-
чаться друг от друга как составом элементов и их общим числом, так и поряд-
ком следования элементов.
В теории вероятностей, как и в самой комбинаторике, обычно интересуются
не самими соединениями, а их числом. Для подсчета количества соединений
часто применяется основной комбинаторный принцип (правило) «умножения».
Пусть требуется выполнить одну за другой к операций, при этом пер-
вую операцию можно выполнить nj способами, вторую - и2 способами,
и т. д., к-ю - пк способами. Тогда все к операций вместе могут быть вы-
полнены числом способов,равным произведению чисел пъ ...,пк,:
П(пь...,пк) = п1п2...пк.	(1.1)
► Этот принцип доказывается методом математической индукции.
База индукции. Пусть к = 2. Две операции вместе можно выполнить, сочетая
каждый способ 1-й операции с каждым способом 2-й. Их число щп2, т. е. фор-
мула (1.1) верна при к = 2.
Индукционный шаг. Предположим, что формула (1.1) справедлива для к-1
операций. Докажем, что она справедлива и для к операций, к-1 операций,
проведенных вместе, будем считать одной комплексной операцией. Тогда к
операций, проведенных вместе, сводятся к проведению двух операций. Число
их способов проведения будет произведением двух чисел:
(пц12...пк_1)пк =пхп2...пк. Формула (1.1) сохранилась для к операций. <
Пример 1.1. Код замка представляет собой последовательность одной из 25
букв, стоящей в начале и двух цифр от 0 до 9. Найти вероятность открыть замок
(событие А) при одном случайном наборе буквы и цифр.
17
► Здесь при наборе выполняется 3 операции. При этом ^=25, и2=10,
и3 = 10. Тогда «1 = 1; « = 25 10-10 = 2500. Р(Л) = - =	= 0.0004. ◄
i ~	1	у ' п 2500
§2. Размещения
Определение 2.1. Размещениями (arrangements, англ.) из п элементов
по к элементов называются соединения, каждое из которых состоит из к
элементов, взятых из данных п элементов. При этом размещения отлича-
ются друг от друга как самими элементами, так и их порядком.
Число размещений из п элементов по к элементов обозначается символом
А„ (читается: « А из п по к ») и вычисляется по формуле
= «(« -1) (« - 2)...[« - (к -1)] (1 < к < п) .
(2-1)
к
Ап равно произведению к последовательных натуральных чисел, наиболь-
шее из которых есть п.
►	Представим размещение в виде слова, состоящего из к букв, взятых из
данных п различных букв. В качестве первой буквы х^ можно взять любую из
п данных букв. В качестве буквы х2 - любую из п -1 оставшихся букв и т. д. В
качестве к -й буквы xk можно взять любую из п - (к -1) оставшихся. По прин-
ципу «умножения» рассматриваемое слово можно составить числом способов,
равным произведению (2.1). 4
Пример2.1. Л? =7-6-5 = 210.
Пример 2.2. Из трёх букв а, Ь, с составить различные размещения по два и
подсчитать их число.
►	Сами размещения по два: ab, Ьа, ас, са, be, cb. Их число: A3 = 3 • 2 = 6. ◄
Пример 2.3. Две радиостанции могут работать на одной из трех фиксиро-
ванных частот каждая. Найти вероятность, что при одновременном и независи-
мом выходе в эфир они будут работать на различных частотах.
►	Применяем классическое определение вероятности. Тогда искомая веро-
ятность Р~~- Здесь т = A3 = 3• 2 = 6. Так как каждая из радиостанций выби-
рает независимо любую из трех частот, то по принципу «умножения»
« = 3-3 = 9; р = ^ = -|.4
Замечание 2.1. Имея в виду дальнейшие приложения теории вероятностей к
математической статистике, полезно дать статистический аспект некоторым со-
единениям.
Будем называть исходное множество из п элементов генеральной совокуп-
ностью объема п, а соединение, из него построенное - выборкой объема к.
18
При этом выбранные по одному из генеральной совокупности элементы могут
нс возвращаться обратно. Тогда такой выбор называется выбором без возвра-
щения, Если же выбранные по одному элементы осматриваются, запоминаются
и снова после каждого выбора возвращаются в генеральную совокупность, то
такой выбор называется выбором с возвращением.
Теперь снова сформулируем определение размещения на статистической
основе.
Определение 2.2. Размещениями из п элементов по к элементов на-
зываются выборки объема к из генеральной совокупности объема п, полу-
ченные выбором без возвращения и отличающиеся друг от друга при повто-
рении выборок как самими элементами, так и порядком их выбора
§3. Перестановки
Определение 3.1. Перестановками (permutations, англ.) из п элементов
называются размещения из п элементов по п элементов, отличающиеся
друг от друга лишь порядком элементов.
Число перестановок из п элементов обозначается символом Рп (читается:
« Р из п ») и вычисляется по формуле (2.1) при к = п:
Рп =	=п(п-1)(п-2)...2Л = п!.
Таким образом,
/’„=«>.	(3.1)
Пример 3.1. Из трех букв а,Ь, с можно составить следующие слова - пере-
становки: abc, acb, Ьса, bac, cab, cba. Их число Р$ ~ 3! = 3 • 2 • 1 = 6.
Пример 3.2. На полке 5 книг. Книги сняты с полки и после реставрации по-
ставлены на полку в случайном порядке. Найти вероятность, что две книги од-
ного автора окажутся стоящими вместе.
► Предполагаем возможность применения классического определения веро-
ятности. Тогда п = Р5 = 5! = 120. Для подсчета т будем две книги одного автора
считать за один элемент. Тогда т~2- Р± = 2 •4? — 48. Учтено, что две книги од-
ного автора можно менять местами. Искомая вероятность р = ~	~.4
§4. Сочетания
Определение 4.1. Сочетаниями (combinations, англ.) из п элементов по
к элементов называются соединения, каждое из которых состоит из к
элементов, взятых из данных п элементов. Эти соединения отличаются
друг от друга хотя бы одним элементом. В отличие от размещений, поря-
док следования элементов здесь не учитывается.
19
Число сочетаний из п элементов по к элементов обозначается символом
С* (читается: «С из п по к») и вычисляется по формуле
лк
гк
(4.1)
к\
► Для получения всех размещений из п элементов по к элементов выпол-
няем две операции. Первая операция - образуем всевозможные сочетания из п
элементов по к элементов. Число полученных сочетаний - С„ . Вторая опера-
ция - делаем в каждом полученном сочетании всевозможные перестановки.
Число таких перестановок в каждом сочетании - Рк. По принципу
«умножения»: А„ =С„ -Рк. Отсюда = А„ / Рк . 4'
Умножая числитель и знаменатель формулы (4.1) на (п-к)\, получаем дру-
гую формулу для С*:
Ск =----и*---	/4 2)
п к\(п~к)\'	k }
Заменяя в формуле (4.2) к на п- к, замечаем, что при такой замене множи-
тели к\ и (п - к)\ в знаменателе дроби лишь меняются местами, отчего величи-
на дроби не меняется, поэтому
С*=СГ<	(4.3)
Эта формула в некоторых случаях позволяет упростить вычисление числа
о <2	10*9
сочетаний. Например, С10 = С'о = ТТ = 45-
Числа С„ называются также биномиальными коэффициентами, так как яв-
ляются коэффициентами разложения бинома Ньютона
п
,		г>к ^к п-к	гл л\
k~Q
единства формул делается соглашение
Со статистической точки зрения сочетания определяются следующим обра-
зом:
Определение 4.2. Сочетаниями из п элементов по к элементов назы-
ваются выборки объема к из генеральной совокупности объема п, получен-
ные путем выбора без возвращения и без учета следования элементов. Они
'отличаются друг от друга при повторении выборок хотя бы одним эле-
ментом.
20
Пример 4.1. Из четырех предметов - обозначим их буквами а,Ь, с, d -
можно составить следующие наборы для подарков по два предмета: ab, ас,
ad, be, bd, cd. Их число: С4 =	- 6.
Пример 4.2. В лотерейном билете «Спортлото 6 из 45» нужно зачеркнуть 6
номеров из имеющихся сорока пяти. Выигрыш может быть получен на 3, 4, 5, 6
зачеркнутых выигрышных номера. Найти вероятность выигрыша на 3 правиль-
но зачеркнутых номера.
► В этой задаче мы имеем дело с сочетаниями, так как порядок зачеркива-
ния номеров роли не играет. Применяем классическое определение вероятно-
сти. Здесь n = С45. Число вариантов правильно зачеркнутых номеров равно .
Число вариантов неправильно зачеркнутых номеров равно С39. По принципу
«умножения» т - • С39. Тогда искомая вероятность равна
m = Cl-Cl9 = 6-5-4-39-38-37-2-3-4-5-6	13-19-37	9139	„„„ .
Р п г-6	2-3-2-3-45-44-43-42-41-40 11-21-41-43 407253
v'45
§5. Размещения с повторениями
Определение 5.1. Размещениями с повторениями (Variationen mil
Wiederholung, нем.) из п элементов по к элементов называются соедине-
ния, содержащие к элементов, каждый из которых может быть любого из
п типов.
Предполагается, что элементы каждого из п типов содержатся в исходном
множестве в любом нужном количестве (подобно кассе букв для набора тек-
стов).
Размещения с повторениями могут отличаться друг от друга элементами, их
порядком и кратностью повторения элементов.
Число размещений с повторениями из п элементов по к элементов обозна-
чается символом V* (читается: «И из и по £») и вычисляется по формуле:
Vk=nk.	(5.1)
► Представим размещение с повторениями в виде слова х^^.х^, состоя-
щего из к букв п различных типов. В качестве первой буквы jq можно взять
любую из данных п букв. В качестве второй буквы х2 можно взять также лю-
бую из данных п букв и т. д. В качестве к -й буквы можно по-прежнему взять
любую из п букв. По принципу «умножения»:
Vk = пп...п =пк. 4
к сомножителей
21
Пример 5.1. Из трех букв а, Ь, с можно составить следующие слова-
размещения с повторениями по две буквы: аа, ab, ас, ba, bb, be, са, cb, сс.
Их число: Г32 = З2 = 9.
Пример 5.2. По / воздушным целям запускается к ракет (к<А). Для каж-
дой ракеты равновозможен выбор любой цели независимо от выбора целей для
других ракет. Найти вероятность, что ракеты запущены по разным целям.
► Применяем классическое определение вероятности р-т/п. Здесь
к ik
n-Vj -I , так как каждое размещение ракет по целям есть к -элементное со-
единение, в котором для каждой ракеты выбирается любая из I целей; т~А^,
так как, если ракеты распределяются по разным целям, то для первой ракеты
возможен выбор любой из / целей, для второй ракеты возможен выбор любой
из I -1 оставшихся целей и т. д. Отсюда т = 1(1 -1)(/ ~ 2)...[/ - (к -1)] = Ак. То-
гда р= Ai /lk . ◄
Со статистической точки зрения размещения с повторениями определяются
следующим образом.
Определение 5.2. Размещениями с повторениями из п элементов по
к элементов называются выборки объема к из генеральной совокупности
объема п, произведенные путем выбора с возвращением. При этом при по-
вторении выборок одна выборка от другой может отличаться составом
элементов, их порядком и количеством повторений элементов.
22
ГЛАВА 4. АЛГЕБРА ВЕРОЯТНОСТЕЙ
В этом разделе изучаются правила, позволяющие по вероятностям одних
событий найти вероятности других, выражающихся через данные с помощью
операций сложения, умножения, дополнения.
§1. Условная вероятность
Для характеристики зависимости одних событий от других вводится поня-
тие условной вероятности.
Определение \Л. Пусть А и В -два события, порожденные опытом Е,
причем Р(В)*0. Число Р(/1В)/Р(В) называется вероятностью события
А при условии, что наступило событие В, или просто условной ве-
роятностью события А и обозначается символом Р(А/В).
Таким образом, по определению
Р(Л/й) = Р(ЯВ)/Р(5).	(1.1)
Замечание 1.1. При аксиоматическом определении вероятности формула
(1.1) является определением и доказательству не подлежит. Однако при конст-
руктивных определениях вероятности (классическом, геометрическом) она мо-
жет быть доказана.
Доказательство формулы (1.1) на основе классического определения веро-
ятности. ► Пусть опыт приводит к п случаям. Из них пА, пв, пАВ случаев
благоприятствуют соответственно событиям А, В, АВ. Для наглядности изо-
бразим случаи точками (рис. 1.1).
пА случаев,	пв случаев,
е ____	__ Л благоприятствующих В
благоприятствующих A
•	•••••••••••••ее
пав случаев,
благоприятствующих АВ
п случаев
Рис. 1.1. К доказательству формулы условной вероятности (1.1)
По классическому определению Р(Л) = пА/п, Р(В) -nBjn , Р(АВ)-ПдВ/п .
Если событие В произошло, то реализовался один из пв случаев. Поэтому об-
23
щее число случаев для события А сократилось с п до пв случаев. Из них бла-
гоприятными для А являются пАВ случаев, при которых возможно совместное
появление А и В. По классическому определению
Р(А/В) = Пав/Пв=(Пав/п)/(Пв/П) = Р(АВ)/Р(В). ◄
Пример 1.1. Какова вероятность, что взятая наугад кость домино будет дуб-
лем, если известно, что сумма очков на этой кости - четное число?
► Пусть событие А - взятая кость является дублем, а событие В - сумма
очков четна. Имеем
Р(В) 16/28" 16'
При решении учтено, что из 28 костей домино 16 имеют четную сумму, 7 кос-
тей - дубли, и все дубли имеют четную сумму очков. 4
Отметим, что безусловная вероятность события А равна Р(Л) = 7/28.
§2. Правило умножения вероятностей
Из формулы (1.1) вытекает равенство Р(ЛВ) = Р(В)Р(Л/В). По симметрии
вхождения букв в выражение Р(Л2?) имеет место и вторая формула
Р(АВ) = Р(Л)Р(В/Л). Обе формулы объединяются в одну и составляют прави-
ло (иначе - теорему) умножения вероятностей двух любых событий:
Р(ЛВ) = Р(В)Р(Л/В) = Р( Л)Р(#/Л),	(2.1)
которое формулируется следующим образом:
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятно-
сти одного из них на условную вероятность второго при условии, что пер-
вое произошло.
Формула (2.1) обобщается на случай любого конечного числа событий.
Теорема (умножения вероятностей п любых событий):
Р(Л1Л2...4,) = Р(Л1)Р(Л2/Л1)Р(Л3/Л1Л2)...Р(4,/Л1Л2...ЛИ_1). (2.2)
► Последовательно применим формулу (2.1), сводя произведение п событий
к произведению двух событий:
Р (АгА2... Ап) =- Р [(Лр42...	)Л„ ] = Р (Л }А2... Ап_}) • Р (Лл / Л p42... 4j_j) =
=р[(л h2... лл_2)лм_1 ] • Р(лл / л1л2... л^) -
= Р(А1А2...Ап_2)Р(Ап_1/Л1Л2...Л„_2)-Р(Лл/Л1Л2...Лл_1) =
= ... = P(^iA2)...P(An/Al...A„__i)-P(Ai)'P(A2/Al)'...-P(Afj/Al...An_}). ◄
Пример 2.1. (задача-шутка). Студент выучил 20 из 25 вопросов к экзамену.
Преподаватель случайным образом задал 3 вопроса. Найти вероятность, что
студент знает ответы на все 3 вопроса (оценка «5»),
24
► Применим классическое определение вероятности и формулу (2.2). Пусть
Ак - событие, означающее, что на £-й вопрос билета студент ответ знает,
к = 1,2,3. Нас интересует вероятность события Л j Л2Я3:
Р(Л1Л2Я3) = Р(Л1)Р(Л2/Л1)Р(Л3/Л1Л2)
20 19 18 _ 57
25‘24‘23 115
<05. ◄
§3	. Независимость событий.
Правило умножения вероятностей взаимно независимых событий
1°. Независимость двух событий.
Мы уже видели на примерах, что безусловная и условная вероятности Р(>4)
и Р(Л/$) в общем случае различны, т. е. наступление события В может изме-
нить вероятность события А. Случай, когда такого изменения не происходит,
квалифицируется особо.
Определение 3.1. Событие А называется не зависящим от события В,
если его условная и безусловная вероятности совпадают, т. е. выполняется
равенство
Р(Л/В) = Р(Л).	(3.1)
В этом случае общая формула (2.1) упрощается и принимает вид
Р(АВ) = Р(А)Р(В).	(3.2)
Она выражает правило умножения вероятностей для двух независимых собы-
тий.
Замечание 3.1. Понятие независимости двух событий - взаимное, симмет-
ричное. Действительно, запишем формулы (2.1) и (3.2) вместе:
Р(ЯВ) = Р(Я)Р(В) = Р(Л)Р(В/Л) =>	(3.3)
Р(В/Л) = Р(В),	(3.4)
т. е. если А не зависит от В, то и В не зависит от А. Предполагается при этом,
что все вероятности отличны от нуля.
Замечание 3.1 позволяет сформулировать симметричное определение неза-
висимости событий.
Определение 3.2. Два события называются независимыми, если услов-
ная вероятность любого из них равна безусловной, т. е. выполняются ра-
венства (3.1) и (3.4).
Попутно доказана теорема:
Теорема 3.1. Формула (3.2) является необходимым и достаточным усло-
вием независимости двух событий.
► Действительно, результат следует из формулы (3.3). Если справедлива
формула (3.2), то из (3.3) мы уже получили (3.4), что означает независимость А
и В. Обратно, если А и В независимы, то выполнено равенство (3.1). Тогда
формула (2.1) принимает вид (3.2). Ч
25
2°. Независимость п событий (п >2).
Понятие независимости п событий опирается на понятие независимости
двух событий.
Определение 3.3, События Л2,Ап называются взаимно неза-
висимыми (иначе - независимыми в совокупности), если каждое из них не
зависит от произведения любого числа остальных событий и от каждого в
отдельности,
В этом случае все условные вероятности (в формуле (2.2)) равны безуслов-
ным, и формула упрощается:
Р(^1Л2...ЛЯ) = Р(Л1)Р(^2)...Р(Л„).	(3.5)
Формула (3.5) выражает правило умножения вероятностей для п взаимно
независимых событий. Формула (3.2) является ее частным случаем.
Пример 3,1. Независимо испытываются 3 прибора. Вероятность выхода из
строя каждого равна 0.8. По формуле (3.5) находим вероятность выхода из
строя всех трех вместе. Она равна 0.83 - 0.512.
§4	. Правила сложения вероятностей
Аксиома сложения вероятностей
р =£р(4)
V к ' к
(4.1)
выражает правило сложения вероятностей для попарно несовместных событий.
Если же слагаемые события совместны, то формула (4.1) усложняется. Для
двух любых событий она имеет вид:
Теорема 4.1.
Р(Л + В) = Р( А) + Р(В) - Р(ЛВ).	(4.2)
►	Ранее была доказана формула (гл. 1, (3.7)) А 4- В= А 4- АВ, представляю-
щая сумму двух любых событий как сумму двух несовместных событий. Тогда
по аксиоме сложения вероятностей получаем P(J 4- В) = Р(Л) 4 Р(ЛВ). Далее
В~ В1 — В(А 4- А) = АВ 4- АВ. Так как события АВ и АВ несовместны, то по
той же аксиоме сложения получаем Р(В) = Р(АВ') + Р(АВ). Отсюда
Р(/1#) = Р(В) - Р(АВ). Возвращаясь к Р(А 4- В), получаем
Р(Л + 2?) = Р(Л)4-Р(В)-Р(ЛВ). ◄
Пример 4.1. Два орудия стреляют в цель независимо. Вероятность попада-
ния каждого орудия равна 0.6. Найти вероятность попадания в цель хотя бы од-
ного из орудий.
►	Пусть А и В - события, означающие попадание в цель первого и второго
орудий соответственно. Тогда
Р( А + В) = 0.6 + 0.6 - 0.62 = 1.2 - 0.36 = 0,84.
26
Здесь применены формулы (4.2) и (3.2). 4
Для трех событий формула сложения вероятностей имеет вид:
Р(А + В + Q = Р( J) + Р(В) + Р(С) - Р(АВ) - Р(АС) - Р(ВС) + Р(АВС). (4.3)
► Р(Л + В + С) = Р[(Л + В) + С] = Р(Л + В) + Р(С)-Р[(Л + В)С] =
= Р(Л) + Р(В)-Р(ЛВ) + Р(С)-Р(ЛС+ВС) =
= Р(Л) + Р(В) + Р(С) - Р(ЛВ) -Р( АС) -Р(ВС) + Р(АВАС) =
= Р(Л)+Р(В) + Р(С)-Р(ЛВ)-Р(ЛС)-Р(ВС)+Р(ЛВС).
Здесь применена два раза формула (4.2). 4
Пример 4.2. Решим задачу из примера 4.1 для случая трех орудий.
►	По формуле (4.3) находим
Р( А + В + С) = 0.6 + 0.6 + 0.6 - 0.62 - 0.62 - 0.62 + 0.63 = 1.8 -1.08 + 0.216 = 0.936. ◄
Теорема 4.2 (сложения вероятностей для п взаимно независимых собы-
тий).
( п Л п
Мг=1 J £=}
(4.4)
►	Применим первую формулу Де Моргана в общей записи
п	п
к=}	к=1
которая ранее была записана и доказана для частного случая двух слагаемых. С
ее помощью находим
Можно доказать, что если события А^, ..., взаимно независимы, то проти-
воположные им Ау ..., Ап будут' также взаимно независимыми. Тогда по тео-
реме умножения вероятностей для взаимно независимых событий получаем
= 1-ПР(4) = 1-П[1-Р(4)]. ◄
к=1	к—\
Пример 4.3. Решим задачу из примера 4.2 о попадании в цель хотя бы одно-
го из трех независимо стреляющих орудий. Вероятность попадания в цель равна
0.6 для каждого. Применим формулу (4.4) вместо (4.3).
►	Пусть Ak - событие, означающее попадание в цель к -го орудия;
P(4t) - 0.6, к = 1,2,3. Тогда
Р( л, + Л2 + Л3) = I - [1 - Р( Л[)][1 - Р(Л2 )][1 - Р(Л3)]=
= 1 - (1 - 0.6)3 = 1 - 0.43 = 1 - 0.064 = 0.936. ◄
27
§5. Формулы полной вероятности и Байеса
1°. Формула полной вероятности.
Пусть событие А может наступить только с одним из п попарно несовме-
стных событий Ну, Н2,..., Нп, составляющих полную группу:
HjHk = 0 при i * к ; Ну + ... + Нп = I.
Эти события называются гипотезами. Тогда
Р(Л) = Р(Я1)Р(Л/Я1) + ... + Р(Я„)Р(Л/Я„).	(5.1)
Так как сумма вероятностей гипотез равна Г.
Р(Я1) + ... + Р(Я„) = 1,
то формула (5.1) может рассматриваться как усредняющая условные вероятно-
сти по вероятностям гипотез.
Формула (5.1) носит название формулы полной, иначе - средней вероятно-
сти.
►	A- AI = Л(Я] +... + Нп)- АН}+...+ АНп. События АНу,...,АНп - по-
парно несовместны, поэтому по аксиоме сложения вероятностей получаем
Р(Я) = Р(ЛЯ1 +... + АНп) = Р(ЯЯ0 +... + Р(ЛЯ„).
Далее применяем правило умножения вероятностей для двух любых событий:
Р(Л) = Р(/л)Р(л///!)+...+Р(н„)Р(л/я„). ◄
Пример 5.1. Партия продукции поставлена двумя заводами. 1-й завод поста-
вил 40 % продукции, 2-й - 60 %. Вероятность брака на 1-м заводе равна 0.008, а
на 2-м - 0.004. Найти вероятность брака всей партии.
►	Применяем формулу полной вероятности, усредняя все условные вероят-
ности брака. Введем события. Пусть А - событие, означающее, что взятое для
контроля изделие - бракованное. Ну, Н2 - гипотезы, означающие, что изделие
изготовлено соответственно 1-ми 2-м заводами. Тогда по условию задачи
Р(Я]) = 0.4; Р(//2) = 0.6; P^/Z/J = 0.008; Р(Л///2) = 0.004;
Р(Л) = Р(Я1)Р(Л/Я1)+Р(Я2)Р(^2)=
= 0.4 • 0.008 + 0.6 • 0.004 = 0.0032 + 0.0024 = 0.0056. ◄
2°. Формула Байеса (англ, математик, 1702-1761).
При выводе формулы Байеса сохраняются предположения, принятые в п. 1°
при выводе формулы полной вероятности, и ставится дополнительное условие:
при проведении опыта событие А произошло. Эта новая информация позволяет
переоценить первоначальные вероятности гипотез.
По формуле (1.1) для условной вероятности находим
Р(Я7/Л) = Р(Я;Л)/Р(Л). Числитель представим по формуле (2.1) для вероятно-
сти произведения событий, а знаменатель - по формуле (5.1) полной вероятно-
сти. Тогда получаем
28
P(Ht/A) =
_________Р(Н,)Р(Я/Н,)_________
Р(Я1)Р(Л/Н1)+••• + Р(Нп)Р(А/Нп) 
(5.2)
(/ = 1,2,...,и).
Формула (5 2) называется формулой Байеса, иначе - теоремой гипотез. Ис-
ходные вероятности гипотез Р(Я2), ..., Р(Н„) называются априорными, т. е.
доопытными, а вероятности, найденные по формуле Байеса - апостериорными,
т. е. послеопытными.
Пример 5.2. При постановке диагноза высказано предположение о наличии
у больного болезни А (событие А) одной из двух разновидностей или
(гипотезы Hj и Я2). Экспертно оценены вероятности этих гипотез: 9(7^) = 0.4;
Р(Я2) = 0.6. Применяемый тест (анализ) обнаруживает болезнь Л в 80 % слу-
чаев при разновидности Н\ и в 60 % случаев при разновидности Я2. Проведен-
ный тест подтвердил предположение о болезни. Какая разновидность болезни
вероятнее после проведения теста?
► По формуле полной вероятности находим вероятность наличия болезни у
пациента.
Р(Л) = Р(/7] )Р(	) + Р(Я2)Р(Л/ Н2) = 0.4  0.8 + 0.6  0.6 = 0.68.
По формуле Байеса находим:
p/iz / ИГ . P(^1)P(AZ^1) 0.4  0.8 .. 32 ... 8 .
' |Z '	Р(/1)	0.68	68 17’
P/w ./.-А 7 Р№)р(Л/#г) .. 06 0.6.. 36.. 9
2/ '	Р(Л)	0.68	68 17'
Разновидность Я2 болезни вероятнее и после теста. 4
§6. Схема Бернулли проведения независимых испытаний.
Биномиальная вероятность
Схема Бернулли проведения независимых испытаний состоит в том, что не-
зависимо проводится п испытаний (опытов), в каждом из которых наблюдае-
мое событие А (успех) появляется с вероятностью р (0 < р < 1) и не появляется
с вероятностью q = 1 — р.
Эта схема испытаний широко применяется на практике: независимые испы-
тания п одинаковых приборов, событие А — выход из строя прибора; п вы-
стрелов по цели из одного или разных орудии в равных условиях и независимо,
событие А - попадание в цель; п независимых выборов продукции предпри-
ятия для статистического контроля, событие А - брак изделия и т. д.
При проведении испытаний по схеме Бернулли ставится задача - найти ве-
роятность Рп ь(р) того, что в результате проведенных п независимых испыта-
ний событие А появится точно к раз, безразлично в каком порядке.
29
Справедлива формула
Pn,dP)^C^pkqn-k, £ = 0,1,...,и, 0<р<1.	(6.1)
Вероятности Рп к(р) (более простая запись: Рп^) называются биномиаль-
ными вероятностями, поскольку являются членами разложения бинома
п
(q + p) =2^спР^
к=0
► Для вывода формулы (6.1) введем события Ак {к = 1,...,п), которые оз-
начают, что в к-нл испытании событие А появилось. События А},, А„ ~ вза-
имно независимые по условиям проведения испытаний. Разберем задачу оты-
скания Р„ ^(р) сначала на примере Р3д(р). Возможны следующие реализации
одного появления события А в трех испытаниях: А^А2А3, А1А2А3, А^2А3. Ко-
личество таких реализаций равно С3 = 3. Р3д(р) есть вероятность события, оз-
начающего появление хотя бы одной подобной реализации, точнее - какой-
либо одной, поскольку в данной серии из трех испытаний появляется только
одна конкретная реализация. Таким образом,
?3,i(P)~P(AiA2A3 + ^1^2^3 + ^1^2 ^з) =	+ Р(А^2^з)+ ^(^1^2^з) “
= Р( ^)P( Л2)Р( А3) + Р( Л0Р( Л2)Р(Л3) + Р( Л1)Р(12)Р( А) =
= pq2 + pq2 + pq2 = ipq2 = c\pq2.
Здесь применены аксиома сложения вероятностей для попарно несовместных
событий и теорема умножения вероятностей для взаимно независимых собы-
тии.
В общем случае рассмотрим какую-либо реализацию к появлений события
А в п испытаниях, например, Ai...A^A^+l...An. В этой реализации событие А
появляется к раз с вероятностью р и не появляется п-к раз с вероятностью
q -1 - р. По теореме умножения вероятностей для взаимно независимых собы-
тий вероятность появления подобной реализации равна pkqn~k .
Количество таких реализаций, которые могут появиться, равно Ск. Их бу-
дет столько, сколькими способами можно выбрать к событий из группы п раз-
личных событий А\, ..., Ап.
Появления различных реализаций -- события попарно несовместные, так как
в каждой серии из п испытаний появляется только одна реализация. Следова-
тельно, по аксиоме сложения вероятностей:	= Скpkqn~k (к -	<
Пример 6.1. Вероятность попадания в цель для каждой из трех ракет равна
р-0.8. Ракеты запускаются независимо одна от другой. Требуется найти веро-
ятности всех случаев попадания в цель.
► Р3 о = q3 = 0.23 - 0.008 - вероятность трех промахов.
30
i = 3/%/2 = 3 • 0.8  0.22 = 0.096 — вероятность одного попадания.
Р3 2 = 3plq = 3 • 0.82 - 0.2 = 0.384 - вероятность двух попаданий.
Р3 3 = р3 = 0.83 = 0.512 - вероятность трех попаданий. 4
§7. Приближенная формула Пуассона для вычисления
биномиальной вероятности
Приближенная формула Пуассона имеет вид
к.
Pn,k(P)~-j^e а'> а =	£ = 0,1,2,....	(7.1)
Эта формула применяется при больших п и малых р. Погрешность форму-
лы (7.1) имеет порядок 1/и, а сама формула (7.1) является следствием предель-
ной теоремы Пуассона.
Теорема Пуассона. Если рп-~, где а — положительная постоянная, то
при любом фиксированном к
. ак -а
’и)	* Ь| е
п—>00 Л •
, ,	,	, „к / _хп~к	/	\~к/ Xя
РпАР^ = СпРп(У-Рп^к =Скп^\\-^\	=^-Х1_^ (1-£) .
П V	К ZV К nJ
Найдем предел каждого множителя при п —> оо и фиксированном к.
1221 _L = L. И _к-1 п-2 п - {к-1) _
пк к\ п п п *” п ~
Н ' п-+<х> К. \ nJ п-^ао
f \п	Л \	/	\
Обозначим lim fl — 1 = С. Тогда InC = lim п In f 1 - ~ I = Нщ л[ I = -а, так
и->оох HJ	п—>х> х nJ п—><ю X nJ
(-I	(7 гт,	_	,
как Inf 1 — I----. Таким образом, 1пС--а, следовательно, С = е . Итак,
\	fl
к
lim P„tk{pn) = ~ак  \е~а = ~е
Пример 7.1. Брак продукции р = 0.02. Произведено и = 100 изделий. Найти
вероятность, что в произведенной партии не более одного бракованного изде-
лия.
► Искомая вероятность есть Рп q + Рп j. Применяем приближенную формулу
Пуассона (7.1). При этом п —100; р = 0.02 ; а = пр = 2:
0	1
рп,ь + рп,\ х^е~° + Tfe ° = 0 + а)е ° = Зе~2 х 3  0.1353 = 0.4059 « 0.4. 4
(7-2)
пк
к\
-а
31
ГЛАВА 5. ОДНОМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
Случайная величина - третье фундаментальное понятие теории вероятно-
стей после понятий «случайное событие» и «вероятность». Случайные величи-
ны могут быть одномерными и многомерными. В настоящей главе рассматри-
ваются одномерные случайные величины, которые в пределах главы будут на-
зываться просто случайными величинами.
§1. Определение случайной величины
Определение 1.1. Случайной величиной X называется числовая
функция, определенная на пространстве элементарных событий О, кото-
рая каждому элементарному событию <о ставит в соответствие некото-
рое число.
При этом предполагаются определенными вероятности событий X < х для
любых вещественных чисел х.
Таким образом, случайная величина - это вещественная переменная X,
значения которой определяются исходами эксперимента Е. Значения случай-
ной величины - случайные числа. Случайные величины обычно обозначаются
последними буквами латинского алфавита X, У, Z.
Примеры реальных случайных величин:
1.	Число выпавших очков при бросании игральной кости.
2.	Число бракованных изделий партии.
3.	Время работы прибора до первого отказа.
4.	Результат измерения.
В отличие от детерминированного подхода, устанавливающего жесткую
функциональную связь между аргументом и функцией, для случайной величи-
ны можно априорно указать лишь вероятности попадания значения случайной
величины в некоторое числовое множество, например, X <х, a<X<b, X - а
ит. д.
Определение 1.2. Законом распределения случайной величины называ-
ется любое правило, указывающее вероятности отдельных значений слу-
чайной величины или множества этих значений.
Таким исчерпывающим законом (как говорят, полной вероятностной харак-
теристикой) случайной величины является ее функция распределения, обозна-
чаемая F(x) или F%(x).
Замечание 1.1. Вместо термина «закон распределения» часто употребляют
более простой термин «распределение».
32
Определение 1.3. Функцией распределения случайной величины X
называется функция F^(x), которая для любого вещественного числа х
равна вероятности события X <х.
Таким образом, по определению
Fx(x) = P(X<x).	(1,1)
Справедливы следующие свойства функции распределения:
1.	F(—оо) = 0, так как F(—оо) — Р(Х < -оо) = Р(0) = 0.
2.	F(+oo) = 1, так как F(+oo) = Р(АГ < + со) = Р(/) = 1.
3.	F(x) - неубывающая функция.
4.	F(x) непрерывна слева в любой точке х: F(x -0) = F(x) [6, 7].
5.	Р(а < X <b) = F(b)-F(a).
Докажем свойства 3 и 5.
► 3. Рассмотрим Vx и пусть Дх>0. Рассмотрим событие X <х+Дх. Оно
является суммой двух несовместных событий X <х и х < X < х + Дх. Тогда
Р(Х < х + Дх) -- Р(Х < х) + Р(х < X < х + Дх). Так как Р(х < X < х + Дх) 0, то
Р(X <х + Дх) >Р(X < х), т. е. F(x + Дх) > F(x).
5. Событие X <Ь есть сумма двух несовместных событий X <а и
а<Х<Ь. Тогда по аксиоме сложения п°лучаем
Р(Х <Ь) = Р(Х <а} + Р(а< Х<Ь) или F(b) = F(a) + Р(ц < X < b). Отсюда
Р(л < X < b) = F(b) - F(a). ◄
Замечание 1.2. Первые 4 свойства функции распределения являются харак-
теристическими. Это означает, что всякая функция F(x), обладающая первыми
четырьмя свойствами, может быть функцией распределения некоторой случай-
ной величины X [6].
Пример 1.1. ► Функция Fy{x} = e~x не может быть функцией распределе-
ния, так как /71(+со) = 0, а не 1. Функция F2(x) = 0.5 + — arctgx может быть
функцией распределения, так как условия 1-4 выполнены. 4
Будем различать дискретные и непрерывные случайные величины.
§2. Дискретная случайная величина
Определение 2.1. Случайная величина называется дискретной, иначе -
дискретного типа, если множество ее значений может быть занумеро-
вано натуральными числами (т. е. оно конечное или счетное).
Первые два примера предыдущего §1 являются примерами реальных дис-
кретных случайных величин.
Закон распределения дискретной случайной величины удобно задать с по-
мощью формулы
33
рк=Р(Х = хк), £ = 1,2,...,	(21)
которая определяет вероятности принятия случайной величиной ее отдельных
значений хк.
Последовательность пар (x^pj), (х2,р2), ••• образует так называемый ряд
распределения.
В случае конечного числа значений ряд распределения удобно оформить в
виде таблицы распределения'.
	*1	*2	.. ,	* - ’	хп
р	А	Pi	• * •	•..	Рп
Таблицу распределения наглядно можно представить в виде полигона
(многоугольника) распределения. Для этого точки (хк,рк) плоскости хОу со-
единяются отрезками (рис. 2.1).
ДУ
Рис. 2.1. Полигон распределения
Заметим, что
Л
Ел=1>	<2-2)
к=\
так как события (X = х^), к -1,..., п попарно несовместны и образуют полную
группу.
Функция распределения дискретной случайной величины имеет вид
F(x)=£>*.	(2.3)
хк<х
Здесь суммирование ведется по всем к, дяя которых xk < х.
п п п	х Дискретное распределение веро-
Р\ Pl	Р к	.	w
-—• j •--------------------о—ятностеи имеет механическую анало-
Хг Хк х	гию дискретного распределения масс
„	„	Pk в точках Хъ. вещественной оси
Рис. 2.2. Дискретное распределение
масс на оси	(рис. 2-2); общая сумма масс равна
единице.
34
Функция распределения F(x) есть сумма тех масс, которые расположены
левее точки х.
Графиком функции распределе-
ния является ступенчатая линия со
скачками в точках хк (рис. 2.3).
Пример 2.1. X - индикатор со-
бытия А, равный 1, если событие
А произошло, и равный 0, если А
не произошло; Р(А) = р. Его ряд
распределения: (0; q), (1; р) состоит
из двух пар. Функция распределе-
ния:
F(x) =
Рис. 2.3. График функции распределения
дискретной случайной величины
0 при х<0,
q при 0 < х < 1,
1 при х>1.
§3. Числовые характеристики дискретной случайной величины
1°. Понятие числовой характеристики случайной величины.
Определение 3.1. Числовыми характеристиками случайной величи-
ны называются специальные числа, характеризующие отдельные свойства
закона распределения.
Наиболее употребительными числовыми характеристиками являются мате-
матическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение, мода. Их
последовательно и рассмотрим.
2°. Математическое ожидание.
Определение 3.2. Математическим ожиданием дискретной случай-
ной величины называется сумма произведений значений данной величины на
вероятности этих значений.
Обозначения:	МА', М[А'].
Таким образом, по определению
(3.1)
к
Если число возможных значений случайной величины X равно п, то сумма
в формуле (3.1) содержит п слагаемых. Если же это число возможных значений
X бесконечно (счетно), то сумма (3.1) есть числовой ряд, причем этот ряд бу-
дем предполагать абсолютно сходящимся. В противном случае говорят, что
случайная величина X не имеет математического ожидания. Абсолютная схо-
димость ряда обеспечивает однозначное определение математического ожида-
ния, так как порядок суммирования в данном случае безразличен.
35
Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно
является средним значением случайной величины, точнее - средневзвешенным
значением с весами, равными вероятностям рк значений случайной величины.
Действительно,
п	п
xlP]+x2P2+ -•• + хкРк 57	V	1
^пеннее =	--------------~ / ХкРк , ТаК как / Рк ~ 1 •
среднее « +	+	4. п,	КГК 9	LjrK
21 п ••• г к	Л=1	Л=1
С точки зрения механической аналогии математическое ожидание является
абсциссой центра масс р^, расположенных на оси в точках хк ; при этом общая
сумма масс равна 1.
Свойства математического ожидания.
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной, т. е. неслучайной вели-
чины С равно этой постоянной:
Свойство 2. Постоянный, т. е. неслучайный множитель можно вынести за
знак математического ожидания:
М[СУ] = СМ[Х].	(3.3)
Свойство 3. Математическое ожидание суммы п случайных величин равно
сумме их математических ожиданий:
п
п
л=1
£=1
Свойство 4. Математическое ожидание произведения п взаимно независи-
мых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
п
п
Li=l J к=\
При этом по определению случайные величины А"},..., Хп называются взаимно
независимыми, если взаимно независимыми являются события Х^ < Xj, ... ,
Хп < хп для любых вещественных X],..., х„.
►	Свойство 1. Постоянная величина С рассматривается как случайная вели-
чина, принимающая единственное значение с вероятностью 1. Тогда по опреде-
лению математического ожидания МС = С • 1 = С.
Свойство 2. М[СХ] = ^(Схк)Р(СХ = Схк) = С^хкР(Х = хк) = СМХ, так
к	к
как Р(СХ = Схк)-Р(Х - хк) при CV0. При С = 0 свойство 2, очевидно, также
верно.
Свойства 3, 4 будут доказаны позднее в гл. 6. 4
36
Пример 3.1. Испытываются независимо 3 прибора на надежность. Вероят-
ность выхода из строя каждого равна р = 0.8. Найти математическое ожидание
числа X вышедших из строя приборов.
►	Имеем схему испытаний Бернулли, поэтому случайная величина X рас-
пределена по закону, для которого вероятности рк = Рпк являются биномиаль-
ными. Тогда получаем следующий ряд распределения:
Р(Х = 0) = />3,0 = 0.23 = 0.008; Р( X = 1) = Р31 = 3 0.8  0.22 = 0.096;
Р(Х = 2) = Р32 = 3 • 0.82 • 0.2 = 0.384; Р(Х = 3) = Р3 3 = 0.83 = 0.512.
Имея ряд распределения, вычисляем тх:
тх = 0-0.008 +1 • 0.096 + 2-0.384 + 3-0.512 -2.4. 4
3°. Дисперсия.
Исследователей интересует, насколько сильно может отклоняться случайная
величина от своего среднего значения.
Определение 3.3. Отклонением случайной величины X от её мате-
матического ожидания тх называется разность между X и тх:
Х = Х-тх.	(3.6)
О
Эта случайная величина X называется также центрированной случайной
величиной. Заметим, что
МЛ" = МХ~М/Лд- = тх-тпх =0,	(3.7)
поэтому MX не может служить мерой среднего отклонения.
Определение 3.4. Дисперсией случайной величины X называется мате-
матическое ожидание квадрата ее отклонения от математического ожи-
дания.
Обозначения дисперсии: Dx, DA', D[X]. Таким образом,
Dx = Mj(X-my)2j = Mp2l.	(3.8)
Заметим, что (X — тх)2 - простейший пример функции случайной величи-
ны X. Доказано [6], что, если <р(х) - функция, определенная для всех значений
дискретной случайной величины X , то
M[<p(X)] = £<p(Xt)ft .	(3.9)
к
(Если (3.9) - ряд, то предполагается, что он абсолютно сходится). Здесь
Р(Х = хк) - рк - закон распределения X.
Основываясь на формуле (3.9), находим формулу для дисперсии дискретной
случайной величины:
37
Dx ='^l(xk ~тх)2 Рк 	(31°)
к
Заметим также, что дисперсия имеет размерность квадрата случайной вели-
чины X, что в сравнительных целях неудобно, поэтому вводится числовая ха-
рактеристика отклонений с той же размерностью, что и X.
Определение 3.5. Средним квадратическим отклонением случайной
величины X называется корень из ее дисперсии.
Его обозначения:	аУ, cr[Jf]. Таким образом,
Су =/57.	(3.11)
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение являются мерами рассея-
ния, разброса случайной величины относительно математического ожидания.
Свойства дисперсии.
1.	Дисперсия постоянной равна нулю:
DC = 0.	(3 12)
2.	Постоянный множитель можно вынести за знак дисперсии, возведя его
предварительно в квадрат:
D[CAf] = C2D[A'].	(3.13)
3.	Формула для вычисления дисперсии
Dx = М[Х2]-тх.	(3.14)
При этом М[ X2 ] вычисляется по формуле
М[У2] = £х£й,	(3.15)
к
являющейся частным случаем (3.9).
4.	Дисперсия суммы п
сумме их дисперсий:
независимых случайных величин равна
попарно
Л
п
2М.
к=Л
(3.16)
► 1. ОС = М[(С-МС)2]=М[(С-С)2] = МО = 0.
2
2'
2. D[CY] =m[(CX-M[CY])2 = м[с2(А'~«ix)2] = C2M[(Ar-mx)2] = C2DX
*		to	•
2 - 2mxX + m2x = M[X2 ] - 2/и^М X + M[m2x ] =
3. DX=M
= М[ А'2 ] - 2т2х + т2х = М[Х2] - т2х.
Во всех трех доказательствах использованы свойства математического ожи-
дания.
Свойство 4 будет доказано в гл. 6, §7. <
38
Пример 3.2. (Продолжение примера 3.1.) Найдем дисперсию и среднее
квадратическое отклонение случайной величины X - числа вышедших из строя
приборов при испытании трех приборов.
► Найдем сначала МX2 по формуле (3.15):
М X1 = О2 • 0.008 + I2 • 0.096 + 22 • 0.384 + З2 • 0.512 = 0.096 +1.536 + 4.608 = 6.24.
Применяем формулу (3.14):
Ох =М[Х2]-т^ =6.24-2.42 = 6.24-5.76 = 0.48;	= V048 »0.69. <
4°. Мода.
Модой дискретной случайной величины называется её значение, принимае-
мое с наибольшей вероятностью по сравнению с двумя соседними значениями.
Обозначения моды: Mo; MoJf. Графически мода отвечает вершине полигона
распределения (рис. 3.1).
Рис. 3.1. Иллюстрация моды дискретного распределения
Существуют одномодальные (унимодальные) и многомодальные
(полимодальные) распределения.
5°. Начальные и центральные моменты.
Начальным моментом порядка к называется М[Х^] = а^. Центральным
моментом порядка к называется M[(JT ~/л^)^] = ц^. Математическое ожида-
ние - это начальный момент 1-го порядка. Дисперсия - центральный момент 2-
го порядка. Центральные моменты могут быть выражены через начальные.
Примером является формула (3.14):
ц2 = Dx =M[X2]-mJ = а2 -а2.
Начальные и центральные моменты - это тоже числовые характеристики
случайной величины.
§4. Производящая функция (вероятностей)
Метод производящих функций достаточно эффективен в нахождении мо-
ментов дискретных случайных величин с целыми неотрицательными значения-
ми.
39
Определение 4.1. Производящей функцией вероятностей (или про-
сто производящей функцией) для дискретного распределения, опреде-
ляемого формулой
Р(Х = £) = рь £ = 0,1,2,...	(4.1)
называется сумма степенного ряда, коэффициентами которого являются
вероятности закона распределения:
00
P(x)='XPkXk.	(4.2)
k=Q
00
Так как p(D =	1>70 РЯД (4.1) сходится в области |.х| < 1.
£-0
00
Дифференцируем ряд (4.2) почленно дважды: р'(х) -	1 • Тогда
к~\
00
Р'(1) = ^крк = тх = (Х,;	(4.3)
к=1
00	00	00	00
Р"(х) =	~ ^РкХ*-2 ; Р"(1) = Х*(* - 1)л = ^к2рк - ^крк = а2 - а].
к=2	к-2	к-2	к=2
Далее,
Г>х = а2 - а? = (а2 - cq) + cq - af = р"(1) + р'(1) - [р'О)]2 
Таким образом,
Or=p"(I) + p'(l)-[p'(l)f.	(4.4)
Формулы (4.3) и (4.4) могут быть использованы далее для нахождения т% и
Dx рассматриваемых распределений.
§5. Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения
Указанные три распределения наиболее употребительны для описания ре-
альных дискретных распределений.
1°. Биномиальное распределение.
Биномиальный закон распределения определяется формулой
Р(Х = к) = Р„ к =Скpkqn k ,	(5.1)
, Л, Л ,	, „к п(п-1)(п-2)...(п-к + 1) л*
^ = 0,1,0<р<1; 9 = 1-р; Ск =	>±-	-------
число сочетаний из п по к. Случайная величина X, распределенная по бино-
миальному закону, является числом появлений события А (успехов) с вероят-
ностью р в схеме Бернулли проведения п независимых испытаний. Например,
40
Для нее р’{х)~аеа^х р’(\) = сг, р’\х) = а2еа^х 1-1; р"(1) = а2. Подставляя
р'(1) и р"(1) в формулы (4.3) и (4.4), получаем
mx=Dx^a.	(5.7)
Пример 5.2. Число X пожаров в городе за сутки - случайная величина,
распределенная по закону Пуассона и имеющая среднее значение тх - 2 . Най-
ти вероятность, что число пожаров в сутки будет меньше двух.
► По формулам (5.5) и (5.7) находим закон распределения X:
2к -г
Р(У = £) = -j^e 2. Отсюда
Р(Х<2) = Р(Л' = 0) + Р(А'= 1) + Р(Л' = 2) = е“2 + 2е~2 + 2е~2 = 5е'2 « 0.68. 4
3°. Геометрическое распределение.
Геометрическое распределение определяется формулой
Р(Х = k) = рдк-},	(5.8)
* = 1,2,... ; 0< р < 1; q = l-p.
Случайная величина X, распределенная по геометрическому закону, явля-
ется числом независимых испытаний до первого появления события А
(успеха), которое в каждом испытании появляется с вероятностью р. Такая
схема испытаний и сам закон распределения называются геометрическими, так
как вероятности (5.8) являются членами геометрической прогрессии.
Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометриче-
скому закону, могут быть: число испытаний прибора до первого отказа, число
бросаний монеты до первого выпадения орла, число произведенных деталей до
первого брака и т. д.
Производящей функцией геометрического закона является
Для нее:
р(х) = ^ряк
к-1 _ рх
1-qx
(1-дх)2’
(1-<7) р
р"{х>_2Р1^.
к=1
p"(V) =	. Подставляя р'(П и р"(1) в формулы (4.3), (4.4), находим:
(1-?) Р
тх~УР>
Dx =ч/рг 
(5.Ю)
(5.11)
Пример 5.3. Вероятность брака партии изделий равна р = 0.1.
1) Сколько нужно проверить деталей в среднем до первого обнаружения
брака?
2) Чему равна вероятность Р(Х < тх + сх)2
► 1) По формуле (5.10) получаем тх = 1/0.1 — 10.
42
Для нее р'(х) =	pf(X) = a ; р"(х) = а2еа^х р"(Х) = а2. Подставляя
р'(1) и р"(1) в формулы (4.3) и (4.4), получаем
mx=Dx^a.	(5.7)
Пример 5.2. Число X пожаров в городе за сутки - случайная величина,
распределенная по закону Пуассона и имеющая среднее значение тх - 2 . Най-
ти вероятность, что число пожаров в сутки будет меньше двух.
► По формулам (5.5) и (5.7) находим закон распределения X:
2к -г
Р(У = к) = -j^e 2. Отсюда
Р(Х < 2) = Р(Л' = 0) + Р(Л' = 1) + Р(Л" = 2) = е~2 + 2е~2 + 2е~2 = 5е*2 » 0.68. «
3°. Геометрическое распределение.
Геометрическое распределение определяется формулой
Р(Х = к) = pqk~\	(5.8)
к = \,2,- ; 0<р< 1; tf = 1 -р.
Случайная величина X, распределенная по геометрическому закону, явля-
ется числом независимых испытаний до первого появления события А
(успеха), которое в каждом испытании появляется с вероятностью р. Такая
схема испытаний и сам закон распределения называются геометрическими, так
как вероятности (5.8) являются членами геометрической прогрессии.
Примерами реальных случайных величин, распределенных по геометриче-
скому закону, могут быть: число испытаний прибора до первого отказа, число
бросаний монеты до первого выпадения орла, число произведенных деталей до
первого брака и т. д.
Производящей функцией геометрического закона является
/>« =	= рт£>Л’ =у^.	(5.9)
Для нее: р'(х) =	= Л =	Р'^^ТГ^''
(1-?х)	(1-<?) р р	1У-<ру
р"(1)= ^РЧ =~!L Подставляя р'(П и р"(1) в формулы (4.3), (4.4), находим:
(1-<7) Р
тх=\/р,	(5.10)
О%=д/р2.	(5.11)
Пример 5.3. Вероятность брака партии изделий равна р- 0.1.
1) Сколько нужно проверить деталей в среднем до первого обнаружения
брака?
2) Чему равна вероятность Р(Х < тх + сх)2
► 1) По формуле (5.10) получаем тх = 1/0.1 — 10.
42
В приложениях можно ограничиться плотностями, которые обладают еще и
свойством кусочной непрерывности. (Под кусочно-непрерывной функцией по-
нимается ограниченная на всей вещественной оси функция, имеющая конечное
число точек разрыва на каждом конечном промежутке).
В общей формуле (6.1) содержится и формула для функции распределения
непрерывной случайной величины:
X
F(x) = Р(-оо < X < х) = J f(t)dt.
— 00
(6.3)
Эта функция является первообразной для плотности f (х), т. е.
F'(x) =/(*)•	(6.4)
Интеграл (6.1) численно равен площади криволинейной трапеции под кривой
плотности в пределах промежутка [cz,Z>] (рис. 6.1). Он равен вероятности попа-
дания случайной величины в этот промежуток.
Рис. 6.1. Геометрическая	Рис. 6 2- Типовой график функции
иллюстрация вероятности попадания распределения непрерывной случайной
случайной величины в промежуток	величины
Часто плотность называют дифференциальным, а функцию распределения -
интегральным законами распределения непрерывной случайной величины.
Обычно предпочитают дифференциальный закон, так как кривая плотности на-
глядно показывает, в какие промежутки более вероятно, а в какие - менее веро-
ятно попадание значений случайной величины (по величине площади криволи-
нейной трапеции). Наглядно видны и другие свойства закона, например, сим-
метричность.
График функции распределения непрерывной случайной величины - непре-
рывная кривая (рис. 6.2), идущая от вещественной оси к прямой у = 1.
44
В приложениях можно ограничиться плотностями, которые обладают еще и
свойством кусочной непрерывности. (Под кусочно-непрерывной функцией по-
нимается ограниченная на всей вещественной оси функция, имеющая конечное
число точек разрыва на каждом конечном промежутке).
В общей формуле (6.1) содержится и формула для функции распределения
непрерывной случайной величины:
X
F(x) = Р(-оо < X < х) = J f(t)dt.
— 00
(6.3)
Эта функция является первообразной для плотности f (х), т. е.
F'(^) = / W.
(6.4)
Интеграл (6.1) численно равен площади криволинейной трапеции под кривой
плотности в пределах промежутка [cz,Z>] (рис. 6.1). Он равен вероятности попа-
дания случайной величины в этот промежуток.
Рис. 6.1. Геометрическая	Рис. 6 2- Типовой график функции
иллюстрация вероятности попадания распределения непрерывной случайной
случайной величины в промежуток	величины
Часто плотность называют дифференциальным, а функцию распределения -
интегральным законами распределения непрерывной случайной величины.
Обычно предпочитают дифференциальный закон, так как кривая плотности на-
глядно показывает, в какие промежутки более вероятно, а в какие - менее веро-
ятно попадание значений случайной величины (по величине площади криволи-
нейной трапеции). Наглядно видны и другие свойства закона, например, сим-
метричность.
График функции распределения непрерывной случайной величины - непре-
рывная кривая (рис. 6.2), идущая от вещественной оси к прямой у = 1.
44
§7. Числовые характеристики непрерывной случайной величины
Определение 7.1. Математическим ожиданием непрерывной слу-
чайной величины X называется интеграл
MX =\xf(x)dx.	(7.1)
Этот интеграл предполагается абсолютно сходящимся. В противном случае,
т. е. когда интеграл расходится или сходится условно, считают, что случайная
величина X не имеет математического ожидания.
Вероятностный смысл формулы (7.1) такой же, что и для дискретной слу-
чайной величины. Это ее среднее значение, точнее — средневзвешенное значе-
ние с весовой функцией, равной плотности вероятности. Напомним, что средне-
взвешенным значением функции ф(х) с весовой функцией /(х) на промежутке
[а, />] является отношение
ь	/ь
фМср.взв. = /ч>и)/(Л)Л / J/WA.	(7.2)
а	I а
b
Здесь ф(х) = х; а = -оо; /> = + оо; |/(х)<Д ~ 1. Формула (7.2) принимает вид
а
(7.1).
Свойства математического ожидания, сформулированные в §3, формулы
(3.2) - (3.5) остаются справедливыми и для непрерывной случайной величины.
Определение дисперсии случайной величины X, данное в §3 с помощью
формулы (3.8):
ОА' = мГ(%-,их)2] = мЬг2 ,
является общим как для дискретной, так и для непрерывной случайной величи-
ны. Конкретизируем эту формулу, указав способ вычисления DA". Для этого
отметим общую формулу для математического ожидания непрерывной функ-
ции ф(Х) непрерывной случайной величины X [8]:
+оо
М[ф(х)]= |ф(х)/х(х)Л.	(7.3)
В этой формуле интеграл предполагается абсолютно сходящимся. Для случая
дисперсии ф(х) = (х -тх)2 . По формуле (7.3) получаем:
4-оо
DA"= |(х-тА.)2/Л-(х)е&.	(7.4)
45
Свойства дисперсии (3.13), (3.14), (3.16), указанные для дискретного случая, ос-
таются справедливыми и для непрерывной случайной величины.
Определение 7.2. Модой непрерывной случайной величины называется
точка максимума ее плотности вероятности (рис. 6.1).
Определение 7.3. Медианой (МеХ, Me) непрерывной случайной вели-
чины называется ее значение, обладающее свойством - вероятности попа-
дания случайной величины X левее и правее медианы равны:
Р(Х < Me) = Р(Х > Me).	(7.5)
С помощью функции распределения F(x) равенство (7.5) записывается в
виде F(Me) = 1 — F(Me), отсюда
F(Me) = l/2.	(7.6)
Если F(x) строго возрастает, то медиана единственна. В случае отсутствия
тх его роль, как среднего, обычно выполняет медиана.
Определение 7.4. Коэффициентом асимметрии распределения
(скошенности), или просто асимметрией называется число, равное от-
ношению третьего центрального момента случайной величины к кубу ее
среднего квадратического отклонения:
ах = Из/	(7-7)
Для непрерывной случайной величины ах > 0, если график одномодальной
плотности имеет пологую часть справа, а крутую слева от моды; ах < 0, если
наоборот; ах ~ 0 для симметричного распределения (рис. 7.1).
Рис. 7.1. Геометрический смысл знака коэффициента асимметрии
Определение 7.5. Квантилью порядка р непрерывной случайной ве-
личины X называется ее значение хр, удовлетворяющее уравнению
FX{xp) = p.	(7.S)
Квантили порядков p~\ft и р~3/^ называются соответственно ниж-
ней и верхней квартилями.
Если Fj^(x) строго возрастает, то квантиль хр единственна.
Квантиль порядка р~ 1/2 есть медиана распределения.
В математической статистике применяются таблицы квантилей конкретных
распределений [1].
46
§8. Нормальное, показательное, равномерное распределения
1°. Нормальное распределение (закон Гаусса).
Случайная величина X называется распределенной нормально, если ее
плотность вероятности задана формулой
(x-w)2
/W = —к=е 2°2
-т)2
2<т2
1
7=ехр
Параметр т называется центром, а параметр а - стандартным отклоне-
нием случайной величины X. График f(x) приведен на рис. 8.1.
Рис. 8.1. График плотности нормального распределения
Нормальный закон для краткости обозначается символом . Функция
распределения нормального закона выражается формулой
х _ (t-.т)2
Ге 2°2 Л =ф[*~~)-0.5 + ФоГ-—
J	\ о ) “I а Л
(8.2)
Здесь
(8.3)
-	функция Лапласа,
-	нормированная функция Лапласа,
Ф(х) = 0.5 + Ф0(л)	(8.5)
-	формула, связывающая функцию Лапласа и нормированную функцию Лапла-
са. График Ф0(х) представлен на рис. 8.2. График Ф(х) получается сдвигом
графика Ф0(х) на 0.5 вдоль оси Оу вверх.
Г е 2 dt	(8.4)
47
Рис. 8.3. График функции
распределения F(x)
нормального закона N(m,<3)
Рис. 8.2. График нормированной функции
Лапласа Ф0(х)
Нормированная функция Лапласа Ф0(х) во многих случаях бывает удобнее,
чем Ф(х), так как является нечетной. Ее свойства: Ф0(-х) =-Ф0(х);
Фо(О) = О; Фо(+ оо) = 0.5. Последнее свойство основывается на так называемом
интеграле Эйлера - Пуассона
+00
Г e^dt = 72л.	(8.6)
(Л. Эйлер-рос., 1707-1783).
Таблицы значений обеих функций Фд(х) и Ф(х) содержатся во всех руко-
водствах и справочниках по теории вероятностей [1]. Таблица значений Ф0(х)
приведена в конце книги.
График функции распределения F(x) нормальной случайной величины
(8.2) получается из графика Ф0(х) путем сдвигов и растяжений вдоль осей ко-
ординат. Он представлен на рис. 8.3.
Доказательство формулы (8.2).
l.	/о ач	t т	dt t ,
► Выполняем в интеграле (8.2) подстановку —~- = z\ ~-dz;t = -co =>
х	х-т ~
z = -oo;r = x => z-----Тогда
а
х (z~w)	о	х х
Fix}-—(е dt-—^ [ е 2dz-®\-—~ . Ч
ол/2л Д	V2n	\ с 7
Для нормального закона ;У(ш,ст), взяв интегралы (7.1), (7.4), получим
=	(8.7)
DA'=a2.	(8.8)
Таким образом, здесь параметр т является математическим ожиданием, а
параметр ст - средним квадратическим отклонением нормальной случайной ве-
личины X.
48
Доказательство формул (8.7), (8.8).
► Выполняем ту же подстановку * —~ = z в интегралах (7.1) и (7.4), что и
при доказательстве формулы (8.2):
-КО _z2
\ ze 2 tfc = О как интеграл от
так как
-КО
J е 2 dz — \ в силу формулы (8.6),
нечетной функции по симметричному промежутку.
+°о	_ (х—/и)2	4-00	z 2	2 -Ко z2
DX-f(x-w)2—2°2 dx =	= f a2z2e 2dz =—f zde 2
a<2n	v2tc Д,	<2я
Интегрируем по частям; и = z, v = e 2
z2
2 dz-G2
В силу симметрии графика плотности относительно прямой х - т имеем:
Mo = Me = zn.	(8.9)
С помощью таблицы квантилей нормального распределения N(0,1) [1]
можно найти квартили хр4 = т - 0.6745с, х3/4 = т + 0.6745с распределения
о).
Нормальный закон широко распространен в природе. Им описываются
ошибки измерений, координаты точки попадания снаряда, величина шума в ра-
диоприемном устройстве, линейные размеры и многие параметры деталей при
массовом производстве и т. д.
Для нормального распределения N(m,o) справедлива формула
Р(|Х-ш|<Ха) = 2Ф0(Х).	(8.10)
► Р(|Х-zn| < Ха) = Р(-Ха < X-т < Ха) = Р(т- Ха < X <от + Ха) =
= Fx(т + Ха) - Fx(т - Ха) = 0.5 + Фо^--+^~>”) - 0.5 -Ф0^и~^г~'”) =
= Ф0(Х)-Ф0(-Х) = 2Ф0(Х). <
49
При частных значениях X из формулы (8.10), используя таблицу значений
функции Ф0(х), получаем
P(|jf - т\ < ст) = 2Ф0(1) « 0.6827;
Р(|У - т| < 2ст) = 2Ф0(2)« 0.9545;
Р(|Х - т\ < Зст) = 2Ф0(3)« 0.9973.
Эти результаты означают, что 68.27 % (грубо - две трети) значений нормальной
случайной величины попадают в промежуток (т - ст, т + с), 95.45% - в проме»
жуток (т — 2<з,т + 2ст) и 99.73 % - в промежуток (т - За, т + За). Во многих
вопросах инженерной практики считают допустимым пренебрегать вероятно-
стями меньшими, чем 1 - 0.9973 - 0.0027 « 0.003.
Определение 8.1. Событие называется практически невозможным,
если оно имеет столь малую вероятность, которой в рассматриваемых во-
просах можно пренебречь. Событие, противоположное практически невоз-
можному, называется практически достоверным.
Правило трех сигм. Практически достоверно, что все значения нор-
мальной случайной величины находятся в промежутке (тл-3ст,ти + 3ст),
т. е. отстоят от центра не более чем на Зст.
Для сравнения распределений, близких к нормальному ?/(т,ст), вводится
числовая характеристика, называемая эксцесс.
^ = ^--3.	(8.11)
СТ
Здесь ц4 - четвертый центральный момент
+00
Для нормального распределения непосредственно проверяется, что щ = Зст4, а
потому е% = 0.
Пусть сравниваемое с нормальным Л^(тп,ст) распределение - симметричное,
2
одномодальное, имеет те же математическое ожидание т и дисперсию ст и,
кроме того, визуально является близким к нормальному (точный смысл этого
требования выходит за рамки курса). Тогда можно утверждать, что, если
в у > 0, то вершина сравниваемой кривой плотности лежит выше вершины нор-
мальной кривой; если же ех < 0, то ниже (рис. 8.4).
50
Рис. 8.4. Иллюстрация роли эксцесса в характеристике «островершинности» кривой
плотности вблизи моды в сравнении со стандартной нормальной кривой (Гаусса
т = 0, о = 1)
В силу этого свойства эксцесс называется показателем «островершинности»
кривой плотности в сравнении с соответствующей нормальной кривой.
По близости асимметрии ах и эксцесса ех к нулю для произвольного рас-
пределения можно сделать суждение о некоторой близости его к нормальному
распределению.
Пример 8.1. Параметр детали X при массовом производстве распределен
нормально с тх = 2 и ъх - 0,1. Найти процент деталей, отклоняющихся от щ v
по модулю не более, чем на 1% от тх.
► Применим формулу (8.10):	| < Хп) - 2Ф0(Х). Здесь
Хо = X • 0.1 = 0.01 • 2 = 0.02. Отсюда X = 0.02/0.1 = 0.2. По таблице находим
2Ф0(Х) = 2Ф0(0.2) = 2 • 0.07926 = 0.15852 « 15.9%. ◄
2°. Показательное распределение.
Плотность вероятности показательного закона распределения определяется
формулой
Лх) = {Д/х^о’ (Х>0)-	<812)
График плотности f (х) приведен на рис. 8.5.
Функция распределения для показательного закона выражается формулой
. (	0,	х<0,
=	х>0.	(813)
График F(x) изображен на рис. 8.5.
51
Ay = F(x)
Рис. 8.5. Графики плотности /(х) и функции распределения F(x) для
показательного распределения
Числовые характеристики показательного распределения:
Мо = 0; Me = (In 2)/Х « 0.693/Х.
Доказательство формул (8.13), (8.14), (8.15).
х	Ох	х
= 1 - е при
+оо
О
о

о
о
о
X
О
% = М[ %2 ] -	.
М[Х2] = Jх2/(х)& = jх2Хе-ХгА = - Гx2de^ =
-00	0	о
--х2е
+ z I хе ах —
О J
О
_2	1 _ 1
“72 ~7г;
2 ’
О
Решаем уравнение 1 - е . Получаем е
х = Ме = -г—. *
е
Хл = 1п2;
52
Показательное распределение применяется для описания распределения ре-
альных случайных величин, таких как длительность работы прибора до первого
отказа, длительность времени обслуживания в системе массового обслужива-
ния, длительность жизни атома радиоактивного вещества и других.
Пример 8.2. Средняя длительность X телефонного разговора равна 5 мин.
Найти вероятность, что произвольный телефонный разговор будет продолжать-
ся от 5 до 10 мин.
► Дано тх =5. Тогда X = \/тх = 1/5; Р(5< X <10) = ^(10) “/^(5) =
= (1 - е~|0/5) - (1 - е'5/5) = е'1 - е~2 » 0.368- 0.135 = 0.233 » 0.23.
3°. Равномерное распределение.
Случайная величина X называется равномерно распределенной на отрезке
[а, 6], если ее плотность вероятности задана формулой
' 1
< Ь — а9
I
/(х)=
х е[а,б];
х &1а,Ь].
(816)
График плотности вероятности изображен на рис. 8.6.
Рис. 8.6. Графики для равномерного закона на отрезке [a, Z>]:
а - плотности; б - функции распределения
Функция распределения F(x) для равномерного закона на отрезке [я, 6]
выражается формулой
х <0;
а <х <Ь;
х >1.
(8.17)
Ее график изображен на рис. 8.6, б.
Доказательство формулы (8.17).
X
► Если х < а, то Г(х) = | 0dt - 0. Если а < х < b, то
а х
а
Если х > b, то
53
a b
v ' J	Jb-a	J
—oc	a	b
Числовые характеристики равномерного распределения на [a,Z>]:
тх = Ме = —;
Г) -(Ь-а)1
х 12 '
(8.18)
(8.19)
Доказательство формул (8.18), (8.19).
+оо	b
ь
2
Ь2 - а2 а + Ь
Ь-а 2	2(Ь-а)	2 '
а
3
4
а
Л pw- 1 Ь-а
-оо	а
b
Dx =МХ2-ml =tx2-3—dx-
Л	л J Ь-а
а
_Ь3-а* (а+ Ь)2 _Ь2+ab + а2 а2+2аЬ + Ь2 _Ь2-2аЬ + а2 _(Ь-а)2 >
~3(Ь-а)	4	“	3	4	”	12	" 12 ’
Равномерное распределение применяется для описания ошибок округления,
ошибок отсчета по приборам стрелочного типа.
Равномерное распределение на отрезке [0,1] является стандартным. Оно за-
ложено в компьютерах, микрокалькуляторах, которые по специальным про-
граммам производят псевдослучайные числа, распределенные равномерно на
[0,1] (приближенно). Имеются формулы, программы, преобразующие равно-
мерный закон распределения в другие законы. Существуют и таблицы случай-
ных чисел, распределенных равномерно на [0,1] [1].
Пример 8,3. Случайная величина X распределена равномерно на отрезке
[a,Z>]. Найти вероятность попадания X в отрезок [а, р] с [а,/?].
► Р(Л «(„я. {/МЛ  у ь Л - ь?=
а	а
Этот результат показывает, что возможность применения геометрического оп-
ределения вероятности (гл. 2) означает, что соответствующая случайная точка
X распределена равномерно на отрезке 4
54
ГЛАВА 6. ДВУМЕРНАЯ СЛУЧАЙНАЯ ВЕЛИЧИНА
В главе рассматривается новый вопрос о зависимости между случайными
величинами.
§1. Двумерная случайная величина, ее функция распределения
Определение 1.1. Двумерной случайной величиной называется упо-
рядоченная пара (У, У) одномерных случайных величин X и Y. При этом
предполагаются определенными вероятности произведения событий X <х
и Y<у для любых вещественных х,у. Одномерные случайные величины
X,Y называются компонентами двумерной случайной величины (А", У).
Двумерную случайную величину называют также случайным двумерным
вектором, случайной двумерной точкой, системой двух случайных величин.
Примеры реальных двумерных случайных величин.
1.	Два размера детали в массовом производстве.
2.	Величина сигнала в управляющем устройстве в два момента времени.
3.	Абсцисса и ордината точки попадания снаряда.
4.	Количество бракованных деталей в двух выборках из партии деталей.
Определение 1.2. Функцией распределения Рху(х>У) двумерной
случайной величины (X,Y) называется вероятность произведения двух
событий X <х, Y < у, определенная для любых вещественных х, у:
FXY(x,y)=P(X<x,Y<y).	(1.1)
Здесь произведение событий под знаком вероятности обозначено через запя-
тую.
Функцию F^y(x,y) для краткости будем называть двумерной функцией рас-
пределения.
Свойства двумерной функции распределения.
1	• ^ат(“со,.у) ~ ; F^y(x,-со) = 0, так как X < -со и У < - со - невозможные
события и совмещение (произведение) невозможного события с любым другим
событием есть также невозможное событие.
2.	F;rr(+a’, + c°) = l>	(1.2)
так как оба события X < + оо, У < + оо являются достоверными.
3.	Fxr(x,+^') = Fx(x)-, /'лт(+оо->') = 6'Си)>	(1-3)
так как Y <+оо - достоверное событие; его совмещение с событием X <х есть
это же событие X < х; F%y(x, + °о) = P(Jf < x,Y < ч-оо) = P(X<x) = Fx(x).
55
4.	Fxy^x->y) не убывает по каждому из своих аргументов при фиксирован-
ном другом аргументе, что доказывается так же, как и для одномерной случай-
ной величины.
Замечание 1.1. Формулы (1.3) называются формулами согласованности
(общего вида). Они означают, что из функции распределения двумерной слу-
чайной величины (Х,К) можно получить функции распределения ее одномер-
ных компонент X и К, устремив один из аргументов к +оо.
Обратное неверно, т. е. из одномерных функций распределения компонент в
общем случае нельзя получить функцию распределения двумерной случайной
величины. Таким образом, двумерная функция распределения несет существен-
но больше информации, чем две одномерные функции распределения компо-
нент X и Y. Рассматривая случайные величины X,Y порознь, а не в системе,
нельзя получить сведения о их зависимости.
Будем различать дискретные и непрерывные двумерные случайные величи-
ны.
§2. Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица распределения
Определение 2.1. Двумерная случайная величина называется дискрет-
ной, если множество ее значений (х,у) - конечное или счетное.
Примеры реальных дискретных двумерных случайных величин.
1. (X,Y), где X - число деталей, изготовленных за смену на первом станке,
К - на втором.
2. (X,Y), где X - число клиентов, поступивших за время Т в первую сис-
тему массового обслуживания, К - во вторую.	%
Закон распределения вероятностей двумерной дискретной случайной вели-
чины (ЛЛ,У) можно задать формулой
Р(Х = xt,Y - Ук) = pik (/=!,... ,т;	(2.1)
Это вероятности совмещения событий X = Xj, Y -ук . Так как события, оз-
начающие одновременное выполнение равенств АЛ = х;, ¥ = Ук 0 = 1,
к = 1,..., п) являются попарно несовместными и образуют полную группу, то
т п
V"ч к—*
(2-2)
/=1Ь=1
Формулу (2.1) в случае конечности чисел т и п можно оформить в виде табли-
цы распределения:
56
	Л	У1	• а •	Уп
Xj	Ai	Р12	• « •	Pin
х2	Р2\	Р22	• • •	Р1„
• • •		* • *	« « •	• • •
Хт т	Рт}	Р m2	• • •	ртп г тп
Формулы согласованности ддя дискретной случайной величины имеют вид:
п
Pi» ~ Pik»
,	(2.3
ЛИ
Р»к ~ Pik •
i=l
Здесь
pi9 = Р(Аг = х/), / =
Р.к =?(У = Ук\ к = 1,...,п
- одномерные законы распределения компонент случайной величины. Формулы
согласованности (2.3) позволяют из закона распределения двумерной случайной
величины получить одномерные законы распределения ее компонент, которые,
таким образом, не произвольные, а согласованы друг с другом.
Доказательство первой формулы (2.3). Вторая записывается по аналогии.
► Обозначим событие X = хг через Л,, а событие Y = ук через Вк . Тогда
п п	п
Aj = АД = Aj^^Bif. - ^^AiB^ . Отсюда Р(Д) - ^Р(Д^), так как все события
/7 = 1	/=1	А = 1
AtBk (/ = 1,..., w, к = 1,...,п) - попарно несовместны. Полученное равенство
п	п
записывается в виде Р(Х = х,) = ^Р(Х = х,,У = у,), или = ^Р,к •
к=\	к=1
Функция распределения дискретной двумерной случайной величины по
аналогии с одномерным случаем может быть записана в виде
(2-4)
х,<хУк<У
Здесь суммирование распространяется на те значения i и к, для которых
xi <*> Ук <У-
Пример. Задана таблица распределения дис-
кретной двумерной случайной величины. Требу-
ется найти одномерные законы распределения
компонент.
► Применим формулы согласованности (2.3).
Согласно этим формулам суммы вероятностей
pik по строкам таблицы дают pi9, а по столбцам
	У1	у2	Уз	Р,.
	1 12	х 6	1 3	7 12
х2 г-	1 6	1 6	1 12	5 12
р.к	1 4	1 3	5 12	1
57
-	. Эти суммы записаны в дополнительном столбце справа и в дополнитель-
ной строке внизу.
_1	1 1„7
Р1,-12 + 6+3 12’	6 + 6 12 12’
1	1 1.	1 . 1 _ 1.	1 , 1 _ 5 л
Р’х~ 12+ 6 4’ Р'г 6 6 3’ Лз 3 12 12
§3. Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность вероятности
Определение 3.1. Двумерная случайная величина называется непрерыв-
ной, если существует неотрицательная функция fxY(x?y}> называемая
двумерной плотностью вероятности, такая, что вероятность попадания
случайной величины (Х,У) в область D равна двойному интегралу от
плотности по области D:
P((%,y)en) = JJ/^(x,y)Ac/y.	(3.1)
D
Из приведенной формулы (3.1) следует выражение для функции распреде-
ления двумерной непрерывной случайной величины:
X У
=	<x,-cn<Y <у)= f [/^{x^dxdy.	(3.2)
Рис. 3.1. «Юго-западный»
квадрант с вершиной в точке
(Л,у)
Эго есть вероятность попадания случайной точ-
ки (X,У) в «юго-западный» квадрант с верши-
нойвточке (х,у) (рис. 3.1).
Из формулы (3.2) следует, что Р"ху^х>У) не"
прерывна на всей плоскости хОу.
Свойства двумерной плотности вероятно-
сти.
1. Определена на всей плоскости хОу.
2.
дхду
= fxr(x,y)
в каждой точке
непрерывности плотности, что следует из
свойств интеграла с переменным верхним пре-
делом.
^/ДДау)
+оо	-их
J /хг(х,у№ =	J	= Л(у) 
(3.3)
Формулы (3.3) носят название «формулы согласованности для плотностей».
58
Формула (3.4) есть иначе записанная формула (1.2) для непрерывного случая.
Доказательство формул (3.3).
► Докажем первую формулу. Вторая записывается по аналогии. Применим
первую общую формулу согласованности (1.3): /^(х>+со) = которая
для непрерывных случайных величин записывается в виде
j j/Xy(x,y)dxdy = J fx(x)dx. Дифференцируем обе части этого равенства по
х. Используем известный факт из математического анализа о том, что произ-
водная интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной
функции на верхнем пределе в каждой точке непрерывности подынтегральной
функции. Получаем	= Zr(x)- <
§4. Примеры двумерных непрерывных распределений
1°. Двумерное равномерное распределение в области D определяется плот-
ностью
f (х v\ — <	(Х’Т) G	14
/ху(х,У)-\ Oi (x^D.	<41)
Здесь SD - площадь области D.
Равномерное распределение применяется в так называемом методе стати-
стических испытаний (Монте-Карло) для приближенного вычисления интегра-
лов и других математических величин.
2°. Двумерное нормальное распределение определяется плотностью
fxr(x.y) =---------------------------1/  , х
xeJ________1___Гс-’Е ~	-”2> +	64 21
Р| 2(1-р2)[ о2 Р oi°2	а2 ][•	(42)
Она содержит 5 параметров тиь ти2, ггь сг2, Р- Точка (mhm2) называется цен-
тром нормального распределения. Параметр р называется коэффициентом
корреляции.
Двумерное нормальное распределение применяется для описания:
1)	абсциссы и ординаты точки попадания (Х,У) при стрельбе;
2)	двух параметров детали при массовом производстве;
59
3)	двух результатов измерения.
Если применить формулы согласованности (3.3), то после взятия интегралов
получим
г , ч 1	(Х-7И1)2 г / .	1	/л
/xW=—/7=ехр----------—J— ; /г(у) =-----/==ехр-----—f— , (4.3)
О’! <2 71	2(31 J	<J2V27l L 2о2
откуда заключаем, что т{, т2 - математические ожидания компонент X, У
двумерной нормальной случайной величины (%, К), oj, g2 ~ средние квадра-
тические отклонения их компонент.
► Для доказательства формул (4.3) используется табличный интеграл
который сам приводится к известному интегралу Эйлера - Пуассона
4-00 р
J е 2 dt = л/2тс
выделением полного квадрата трехчлена
/	л\2	,2
2	( Ь\ ас-Ь
ах +2Ьх + с-а х + — +------
\ а) а
~ b
и последующей подстановкой х + — =
Рис. 4.1. Сечения графика нормальной двумерной
плотности
Графиком двумерной нор-
мальной плотности (4.2) явля-
ется холмообразная поверх-
ность, располагающаяся над
всей плоскостью хОу, асим-
птотически приближающаяся
к ней при удалении на беско-
нечность, симметричная отно-
сительно вертикальной оси,
проходящей через центр
(л?],?л2), и с вершиной в этой
точке (рис. 4.1). Любое сече-
ние поверхности - графика нормальной плотности плоскостью, перпендикуляр-
ной хОу, является кривой Гаусса.
60
§5. Зависимость и независимость двух случайных величин
Определение 5.1. Случайные величины X,Y называются независимы-
ми, если независимыми являются события X <х и Y <у для любых веще-
ственных л, у. В противном случае случайные величины (Х,У) называют-
ся зависимыми.
Теорема 5.1. Общее необходимое и достаточное условие независимости
двух случайных величин:
^(х,у) = /<>(х).Ру(у)	(5.1)
для любых вещественных х и у.
Это условие есть иначе записанное необходимое и достаточное условие не-
зависимости двух событий: Р(АВ) = Р(Л)Р(2?) (гл. 4, (3.2)) для случая событий
Л = (Х<х),В = (К<у).
Теорема 5.2. Необходимое и достаточное условие независимости двух
непрерывных случайных величин:
fxY(x<y) = fx(x>fAy\ Ух,У-	(5.2)
Формула (5.2) следует из (5.1) дифференцированием по х и у, а (5.1) из
(5.2) интегрированием по х и у.
Теорема 5.3. Необходимое и достаточное условие независимости двух
дискретных случайных величин:
Pik^Pi.P.k	(5.3)
для любых / = 1,2,...,ш; к = 1,2,... ,п.
► Ограничимся случаями, когда случайные величины X, Y принимают ко-
нечное число значений, расположенных в порядке возрастания.
Необходимость. Пусть выполнено равенство (5.1) для любых х и у. Для
дискретных случайных величин его можно записать в виде
Е Е^= Е Е^ > где Р'-=р<%=х>)> р-ь=р(у=л)•
*.<хук<У Х,<х ук<у
Отсюда
ЕЕ^ = ЕЕа./м	(*)
х,<хук<у х,<хук<у
Подберем настолько малые х, у, чтобы неравенствам xt < х, ук < у удовле-
творяли только jq и у!. Тогда в суммах (♦) будет только по одному слагаемому.
В результате получаем рц = Р\.Р»\- Оставим теперь х без изменения и увели-
чим у так, чтобы неравенству ук < у удовлетворяли только два игрека У] и у2.
Тогда в сумме (♦) будет по два слагаемых: j + р12 = Pi. ’ P.i + Pi. ° Р.2 • Но так
как Рп = Pi. -р.1, то получаем р12 =	• рл2 . Продолжая этот процесс далее,
докажем, что для любых i = 1,2,... , к = 1,2,... pik = р^р.к.
61
	Yi	У1
	1 12	1 4
х2	1 ’6	1 2
Достаточность. Пусть выполнены равенства (5.3). Рассмотрим
X = S ^Pi‘P*k = ^Р‘к =Px(x)-Fr(y). «
х,<хук<у xi<xyk<y	x,<r yk<y
Пример 5.1. Дана таблица распределения дискретной слу-
чайной величины (А\У). Выяснить, зависимы или нет ее ком-
поненты.
► Складывая вероятности по строкам и столбцам, находим
законы распределения компонент:
1	11.	112.	111.	_ 1 1 _ 3
А. i2 + 4~3’	6 + 2 3’ А1 12 6 4’ Р‘2 4 + 2 4'
Теперь проверяем условия (5.3):
11_1	.	„ 1 3_ 1
Р1» ’ Р»1 3 4 12	Р\*'Р*2 3 4 4 ^12»
2	1 1_	„2 3_1_
Р2.’А1 - з'4 -Ргь Р2» Л2 "у‘д-J"^22-
Условия (5.3) выполнены, следовательно, компоненты X, Y независимы.
Пример 5.2. Проверить, что равенство нулю коэффициента корреляции р
является необходимым и достаточным условием независимости компонент
X, Y двумерной нормальной случайной величины (Х,У).
► Пусть р = 0. Тогда формула (4.2) принимает вид:
{Г 2	2 "Г
+	= /х(х) • Л(у),
где
, , .	1	(х-лъ)2	, . х 1	(у-пъ)2 ' ,г
ZxW =-----йг=-ехр----~2	'	=---й“схР	• (5-4)
<Г1<2л	2а [ J	g2V2k |_	2а2
Равенство (5.2) выполнено, следовательно, X, Y независимы.
Обратно: пусть X, Y независимы, т. е. выполнено равенство (5.2):
/jrr(x>y) = /х(Л)*/у(т)» гДе слева стоит двумерная нормальная плотность
(4.2), а справа - произведение одномерных нормальных плотностей компонент
X, Y, представленных формулами (5.4). Положим в этом равенстве (5.2) x = mlf
у-т2. Тогда оно принимает вид:
1 _ =______1 1
2'^02Л~Р2	а2^2л’
После упрощения получаем: у 1 - р2 = 1. Отсюда р = 0. <
62
§6. Математическое ожидание функции двумерной случайной величины
Рассмотрим случайную величину (p(X,Y), являющуюся функцией компо-
нент X, Y двумерной случайной величины (X,У). Справедливы общие форму-
лы:
+оо +оо
М[<р(Аг,Г)] = j	n(x,y)dxdy
для непрерывного случая и
т п
М[<р(%,Г)] = '£'%Jf(xi,yic)pit
(6.1)
(6.2)
для дискретного случая.
Здесь /ху(х^У) ~ плотность вероятности случайной величины (X,Y), а
Pik ~	~ xiJ ~ Ук) U = 1,..., w; к -1,..., т) - закон распределения дискрет-
ной двумерной случайной величины.
Доказательство формул (6.1), (6.2) выходит за рамки курса [8].
С помощью формул (6.1), (6.2) могут быть записаны и доказаны формулы
для математического ожидания суммы и произведения двух случайных вели-
чин, выражающие свойства 3 и 4 математического ожидания (гл. 5, формулы
(3.4), (3.5)).
Например, для непрерывного случая
+00 +оо
M[% + r]=J [(x + yff^x^dxdy.	(6.3)
—00 -ОС
Здесь <р(х,у) = х + у.
+0С +00
М[АТ] = J ^ху/Л7(х,y)dxdy.	(6.4)
-оо —оо
Здесь <р(ху) = лу.
Основываясь на формуле (6.3), докажем общую формулу (3.4) из гл. 5:
► Сначала для двух случайных величин X, Y:
+00+00	+00	+00	+00	+00
М[АГ+У] = j [(x + y)fxr(x,y)dxdy= j xdx AT(x,y)dy+ j ydy fX7(x,y)dx
—co —00	—00	—CO	—00	—GO
По формулам согласованности:
63
Тогда
M[jr + r]= \xfx(x)dx + Jy/r(y)^=MAr + Mr.
—oo	—oo
В общем случае сумму п слагаемых сводим к сумме двух путем группировки:
М[А] + А2 4-... + АЛ j — М[АГ1 4- (А^2 4-... 4- АГЛ)^ ~ МА) 4-М£Х^ + (АГ3 4-... 4- A^)J —
— М Ar1 + М А^ + М[АГ3 4- (АГ4 4-... 4- Хп)j =... = М Aj + М А 2 4-...4-М А,,. 4
Далее, основываясь на формуле (6.4), докажем общую формулу (3.5) из гла-
вы 5:
п
п
[_*=!
к=л
для взаимно независимых случайных величин Агь А2, Хп.
► Сначала для произведения двух случайных величин:
М[АТ] = J j xyfXy(x,y)dxdry. Для взаимно независимых случайных величин
имеем формулу /ху(*,У) = fx(*)fY(y) • Тогда
М[ЛТ]= \xfx(x)dx-	=
-00	—00
Общий случай произведения п взаимно независимых сомножителей сводим
к произведению двух взаимно независимых сомножителей путем группировки:
М[ВД...^] = М[%1(^2...%„)] = М%1М[%2(Х3...Х„)] =
=М%1МХ2М[%3...%п] = ...=МИ1]М[%2]...М[%и]. <
Теорема 6.1. Неравенство Коши - Буняковского для математических
ожиданий:
|М[ЛТ]| < 7M[Jr2]M[y2].	(6.5)
(О. Коши - фр., 1789-1857; В.Я. Буняковский - рос., 1804-1889.)
► Рассмотрим неотрицательную случайную величин)
(XX~ У)2 = А2Х2 -2ААТ + У2 (А - вещественно). Математическое ожидание
неотрицательной случайной величины неотрицательно: M^AAf - У)21> 0. Сле
довательно, по свойствам математического ожидания имеем:
М^А2 X1 - XXXY + У2] = А2М[ А2 ] - 2АМ[ ХУ] + М[У2] > 0.
64
Квадратный трехчлен относительно вещественного параметра X неотрицате-
лен. Тогда его дискриминант меньше или равен нулю, т. е.
4(М[АТ])2-4М[А'2]М[У2]<0. Отсюда (М[АТ])2 <М[А'2] М[У2]. Извлекая из
обеих частей арифметический корень, получаем )М[АТ]| <-jM[Z2]M[y2]. 4
§7. Корреляционный момент и коэффициент корреляции
Ранее в §5 были сформулированы функциональные характеристики зависи-
мости и независимости двух случайных величин (формулы (5.1) - (5.3)). Рас-
смотрим теперь числовые характеристики связи между случайными величина-
ми.
Определение 7.1. Корреляционным моментом Кху> иначе - кова-
риацией, двух случайных величин X, Y называется математическое ожи-
дание произведения отклонений этих случайных величин от их математи-
ческих ожиданий:
(ТА)
Очевидно, что К%у ~ Кух •
На основании формул (6.1) и (6.2) получаем формулы для вычисления К%у.
Для непрерывных случайных величин:
4-00 +00
f(x-mx)(y-mr)fxr(x,y)dx<fy.	(7.2)
Для дискретных случайных величин:
KXY=i^£Sxi-mx)(yk- mY)plk.	(7.3)
Определение 7.2. Коэффициентом корреляции двух случайных
величин X, Y называется отношение их корреляционного момента к про-
изведению их средних квадратических отклонений:
J	(7.4)
Очевидно, что рху = рух •
Корреляционный момент и коэффициент корреляции - это числовые харак-
теристики двумерной случайной величины, причем Рху - безразмерная харак-
теристика. Из их свойств следует, что они характеризуют связь между случай-
ными величинами.
Свойства корреляционного момента и коэффициента корреляции.
Свойство 1.
К ХУ — М [ XY ] — тп^ту .	(7.5)
65
Эта формула удобна для вычисления Куу •
► KXY =М[(% -mx}(Y ~mY}\ = M\XY-mxY - туХ + тхгпу] =
= М[ АТ] - тА-М[У] - WyM[X] + тхтг - М[ АТ] mxmY - mYmx + mxmY =
= М[ТУ]-^?Иу. <
Свойство 2.
- Pat -1-
(7.6)
Формула (7.6) означает, что р^у - нормированная характеристика.
► По неравенству Коши — Буняковского (6.5):
|АГ^у| = |М[(Аг-т^)(У-Wy)] <_^ {X-тх)2 М (У- Wy)2j -^ДУу/Эу ~<3XaY.
Таким образом,
|Рат| =
QyQy
Свойство 3. Для независимых случайных величин X ,Y их корреляцион-
ный момент, а следовательно, и коэффициент корреляции, равны нулю.
► По свойству 1 (формула (7.5)).	= M[AT]-m^Wy . Далее, по формулам
(3.5) из гл. 5: М[АТ] = М[АГ]М[У] = mxmY . Тогда ~mxmY ~mxmY = 0. ◄
Замечание 7.1. Обратное предложение в общем случае неверно, т. е. суще-
ствуют зависимые случайные величины (А",У), для которых	- 0.
Пример 7.1. Пусть случайная величина X распределена нормально с
1
тх=0 и ах=1;	Y = X2.	Тогда XY = X2;	fX(x') = ~p^e 2 ;
л/271
+qo г2
_	1 Г 3
М[АТ] = М[АЛ j = ~f“ хе 2cfr = 0 как интеграл от нечетной функции по
симметричному промежутку. Далее Куу = М[АТ] - mxmY =0-0 = 0.
Свойство 3 и замечание 7.1 позволяют ввести новое понятие.
Определение 7.3. Две случайные величины X, У называются некорре-
лированными, если их корреляционный момент равен нулю. Если 0,
то говорят, что X,Y коррелируют между собой.
Замечание 7.2. Если А?уу ^0, то случайные величины X, У зависимы. Дей-
ствительно, в противном случае по свойству 3 имели бы = 0.
Соотношение между независимыми и некоррелированными случайными ве-
личинами может быть представлено следующей диаграммой.
независимые	зависимые	
некоррелированные; К- 0		коррелированные; Кф 0
66
Свойство 4. Для случайных величин X, Y — аХ + b, связанных линейной
зависимостью, коэффициент корреляции равен 1, если а > 0, и —1, если а < 0.
► Используем свойства математического ожидания и дисперсии. Последова-
тельно получаем
2
= М а2(Х-тх)2
Отсюда оу = |а|ох • Далее,
Kxy = М[(.Г - mx)(Y - mY)] = М[(Л" - тх )(аХ + b - М[оГ + 6])] =
= М[(Х -тх')(аХ + b—amx -fc)] = M а(Х - ntx)21 = aDx =апх;
Kxy _ а^х _ а I 1 ПРИ а>0’ <
Рлт gxgy	И 1“ * ПРИ а<®-
Свойство 5. Если |рду| = 1, то случайные величины X, Y связаны линейной
зависимостью с вероятностью единица.
Доказательство свойства 5 выходит за рамки книги [4].
Замечание 7.3. Величина М[АТ] = ац называется вторым смешанным на-
чальным моментом двумерной случайной величины (%,У), а ее корреляцион-
ный момент Кху ~ вторым смешанным центральным моментом.
В пределах первых двух моментов двумерная случайная величина может
быть охарактеризована центром - точкой (ягу,/Иу) и корреляционной матрицей
К =	* Заметим, что Dx = Кхх, &y ~ &YY 
Теорема 7.1. Дисперсия суммы п попарно некоррелированных (в частно-
сти, попарно независимых) случайных величин равна сумме их дисперсий.
L/=l
67
о о
так как М[Х/Ху] = 0 при в силу некоррелированности случайных вели-
чин. 4
	0	1
0		1 4
1	]ОО	1 8
Пример 7.1. Закон распределения дискретной двумерной
случайной величины задан таблицей. Найти коэффициент
корреляции рху
► Последовательно находим законы распределения ком-
понент, складывая вероятности таблицы по строкам и столб-
цам (формулы согласованности (2.3)):
X	0	1
р	3/4	1/4
Y	0	1
Р	5/8	3/8
Математические ожидания компонент:
Л 3 п 1	1	Л 5 л 3 3
Вторые начальные моменты компонент:
„	- о2 • 3 +12 1 - 1 
а2Х -и 4 + 1	4 “4>
Дисперсии компонент:
п _	2 _ 1	1 _ 3
„	_л2 5д-12 3-3
«2Г-0 ’g + l 'g-g-
r> _	2 з 9	15
Of'“a2r-"!y = 8-64=64-
Второй смешанный начальный момент:
а^О.0.1 + 0.1.1 + 1.0.1 + 1-1.14
Корреляционный момент:
„	_ 1 1 3_1	3	1
kxy ai,i mxmY 8 4 8 8 32 ~ 32 ’
Средние квадратические отклонения компонент:
Оу =VW = V3/4; Оу =715/64 = 715/8.
Коэффициент корреляции:
Kff 1/32	1
Рху —------— у г \ г!—: \ ~	® 0.15.
аХ<Зу (7з/4)(715/8) ЗТ5
Пример 7.2. Корреляционный момент двумерной нормальной случайной ве-
личины вычисляется по формуле (7.2). Подынтегральная функция определяется
формулой (4.2). Двойной интеграл вычисляется с помощью подстановки
и = х~т1. г_ 1	(у-™2
Al-P2)1 °2 Q| '
При этом якобиан будет равен J = 2о1С2дД~^Р2 Опуская вычисление интегра-
ла, запишем результат: Кху = р&[О‘2  Отсюда рху =	- — — = р, т. е. пя-
а%аУ ст1а2
68
тый параметр р двумерной нормальной плотности является коэффициентом
корреляции в соответствии с его определением 7.2.
Замечание 7,4. Для случая двумерной нормальной случайной величины по-
нятия независимости и некоррелированности ее компонент совпадают
(примеры 5.2 и 7.2).
69
Определение 1.5. Случайные величины Хъ...,Хп называются взаимно
независимыми, иначе - независимыми в совокупности, если взаимно неза-
висимыми являются события < Хр ..., Хп<хп для любых Xj,..., хп.
Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием взаимной незави-
симости п случайных величин является равенство
(1.4)
для любых вещественных хь...,хп. Здесь Fxk(xk) _ одномерная функция
распределения случайной величины Х%, к = 1,...,п.
Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием взаимной незави-
симости п непрерывных случайных величин является равенство
/х,...х„ (*ь •••>*„) = /х, Ui )•••• /х„ (-U •
для любых вещественных хь...,х„. Здесь fxk(xk) - плотность вероятно-
сти случайной величины Хк, к =
§2. Числовые характеристики п -мерной случайной величины
В пределах первых двух моментов числовыми характеристиками п -мерной
случайной величины являются следующие:
1.	п математических ожиданий компонент п -мерной случайной величи-
ны: п\; = МXt, i = 1,..., п, образующих ее центр распределения ,..., тп), т. е.
точку п -мерного пространства, около которой группируются значения п-
мерной случайной величины.
2.	п дисперсий компонент п -мерной случайной величины:
характеризующих ее рассеяние в направлениях координатных осей.
3.	«(«-1) корреляционных моментов всевозможных пар Xjt Xj компонент
п -мерной случайной величины:
Эти корреляционные моменты характеризуют взаимную связь между компонен-
тами «-мерной случайной величины. Все корреляционные моменты и диспер-
сии удобно записать в виде матрицы:
|%1 ^12
{Ktj}= *21 К22 ... К2п ;
• ••	«»«	• • а а « а
Кп2 • •• Хпп)
которая называется ковариационной матрицей «-мерной случайной величины.
По ее главной диагонали стоят дисперсии компонент, так как
/Qj — Dj,	/ —
71
Определение 1.5. Случайные величины Хь...,Хп называются взаимно
независимыми, иначе - независимыми в совокупности, если взаимно неза-
висимыми являются события А] < Хр ..., Хп<хп для любых хх,...,хп.
Теорема 1.1. Необходимым и достаточным условием взаимной незави-
симости п случайных величин является равенство
(14)
для любых вещественных хъ...,хп. Здесь Fxk(xk) ~ одномерная функция
распределения случайной величины Xk, к = \,...,п.
Теорема 1.2. Необходимым и достаточным условием взаимной незави-
симости п непрерывных случайных величин является равенство
Zy,...X„(x1> -,х«) = fxSx\>-- fxSxn} •
для любых вещественных хь...,хл. Здесь fхк(хк) -плотность вероятно-
сти случайной величины Хк, к = п.
§2. Числовые характеристики п -мерной случайной величины
В пределах первых двух моментов числовыми характеристиками п -мерной
случайной величины являются следующие:
1.	п математических ожиданий компонент п -мерной случайной величи-
ны: щ; = М Xj, i’ -1,..., п , образующих ее центр распределения (тх,..., тп), т. е.
точку л-мерного пространства, около которой группируются значения п-
мерной случайной величины.
2.	п дисперсий компонент л-мерной случайной величины:
Dt=м|(а;t =
характеризующих ее рассеяние в направлениях координатных осей.
3.	л(л-1) корреляционных моментов всевозможных пар Хь Xj компонент
л-мерной случайной величины:
Х,у=М[(Л;r-Ш/)], i,/ =	i*j.
Эти корреляционные моменты характеризуют взаимную связь между компонен-
тами л-мерной случайной величины. Все корреляционные моменты и диспер-
сии удобно записать в виде матрицы:
Хп2 ... Хпп)
которая называется ковариационной матрицей л-мерной случайной величины.
По ее главной диагонали стоят дисперсии компонент, так как
•^47 ~~ Q, / — 1,..., Л .
71
Ковариационная матрица - симметрическая; ее элементы, симметричные отно-
сительно главной диагонали, равны: - Кр, /,j' = 1,..., п .
§3. Полиномиальное и п -мерное нормальное распределения
1°. Полиномиальное распределение задается формулой
Р	= к,, Х2 = к2..... Хп = кп) =	Pi‘ Рг2 -рк„*.	(3.1)
Здесь к} + к2 + ... + кп = т;	0 < к, < т; р^ + р2 +... + рп = 1;	0 < рг< 1;
i = 1,2,..., п.
Это распределение возникает в следующей полиномиальной схеме т неза-
висимых испытаний с п исходами в каждом из них.
Производится т независимых испытаний, в каждом их которых событие Д
может появляться с вероятностью р^ (/= 1,2,... ,л). Все эти события попарно
несовместны и составляют полную группу. Ставится задача - найти вероятность
= к^..., Хп = кп) того, что в этих т испытаниях событие А[ появится
точно к\ раз и так далее, событие Ап - точно кп раз, безразлично в каком по-
рядке. Если случайная величина Xt означает число появлений события Д в
этих т испытаниях (/; = 1,2,...,п), то приходим к формуле (3.1). Доказательство
формулы (3.1) аналогично случаю биномиального распределения, в которое пе-
реходит полиномиальное распределение при п = 2 .
Полиномиальное распределение описывает распределение т изделий по п
сортам, распределение частиц по зонам, распределение больных по группам
ит. д.
Пример 3.1. Вероятности производства на предприятии изделий 1, 2, 3 сор-
тов соответственно равны 0.6; 0.3; 0.1. Найти вероятность того, что из 10 изде-
лий, поступивших на контроль, будет 6 изделий первого сорта, 3 - второго и
одно - первого.
► По формуле (3.1) получим
Р(Х( = 6, Х2 = 3, Х3 = 1) = -	 0.66 • О.З3  0.11 = 84 • 0.0467 • 0.027 = 0.106. ◄
2°. п -мерное нормальное распределение задается плотностью распределения
вероятности
где квадратический полином
Л л
г •. ^) = ^ £ Q/U- -	д),	(3.3)
/=17=1
72
коэффициенты которого удовлетворяют условию CtJ =	, является положи-
тельно определенным. Это означает, что он всегда неотрицателен и обращается
в нуль только в точке (тпх,... ^тп). Знаком Д обозначен симметрический опре-
делитель, составленный из коэффициентов полинома Q:
Q1 С\2
Q1 Q22
• а •	л • •
О?1 ^п2
(3.4)
Для прояснения сущности величин, входящих в формулы (3.2), (3.3), приве-
дем результат, содержащийся в теореме Сильвестра (англ., 1814-1897), относя-
щийся к теории квадратичных форм алгебры.
Необходимыми и достаточными условиями положительной определенности
квадратического полинома (формы) Q(xx,...,*„) являются неравенства:
Си С12 ... СХк
Q1 ^22 ••• С2к
• • •
Qi  скк
>о, к = 1, 2,
В частности, отсюда следует, что Q j > 0 и Д > 0.
Можно доказать [8], что компоненты Xt нормальной п -мерной случайной
величины (Хх,...,Хп) распределены нормально с математическими ожида-
ниями MJQ =	(/ = 1,2,...,л), а параметры С’у образуют матрицу (Ц/)л,и> яв-
ляющуюся обратной по отношению к ковариационной матрице (АГ/у )п л, т. е.
(с,7)„.л=(а;у);'п-
Итак, п -мерное нормальное распределение полностью определяется ее цен-
тром (/И|,..., тп) и корреляционной матрицей )п п.
73
ГЛАВА 8. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ
Предельные теоремы выясняют асимптотические свойства сумм и средних
случайных величин, когда их число стремится к бесконечности. Суммы и сред-
ние при этом теряют характер случайности; их поведение можно предсказать с
вероятностью, близкой к единице. Предельные теоремы лежат в основе асим-
птотических методов математической статистики.
§1	. Неравенства Маркова и Чебышева
Неравенство А.А. Маркова.
Если X - неотрицательная случайная величина, имеющая конечное матема-
тическое ожидание , то для любого е > 0 имеет место неравенство
р(*>е)А	(1.1)
О
Оно дает оценку вероятности попадания случайной величины в промежуток
[Е,+ оо) .
►	Введем дискретную случайную величину
Y fl при Х>г,
е [0 при X < е.
Для нее М[Ке] = О'Р(/<£) + ЬР(Х>Е) = Р(/>е). Далее, так как случайная
величина X — неотрицательная, то X > X • > еУе . Тогда
М[%] >М[еУе] = еМ[Уб] = е • Р(Х > е) .
Отсюда
Р(^>е)<^. <
Замечание 1.1. При доказательстве неравенства Маркова использовано
свойство нестрогого возрастания оператора математического ожидания:
Если Х^У^оМУ^МУ.
►	Действительно, X - Y > 0. Тогда	М[ X -К] = МУ-МУ>0,	т. е.
МХ^МУ. ◄
Неравенство П.Л. Чебышева.
Если случайная величина X имеет конечные математическое ожидание т%
и дисперсию D%, то для любого £ > 0 имеет место неравенство
Р(рг-тх|>е)<5£	(1.2)
74
Оно следует из неравенства Маркова для случая неотрицательной случайной
величины -тх\= W •
Р(|1| > е) = p(|Af > е2) < --Ц— =	.
Неравенство (1.2) дает оценку вероятности попадания случайной величины X в
область, лежащую вне промежутка \тх ~ в, тх + в].
Неравенство Чебышева применяется непосредственно в математической
статистике, а также для доказательства следующей теоремы Чебышёва.
§2	. Теоремы Чебышева и Бернулли. Сходимость по вероятности
Теорема 2.1 (Чебышева П.Л., 1886 г.) для случая одинаково распреде-
ленных слагаемых. Пусть случайные величины Хь...,Хп попарно незави-
симы, одинаково распределены, имеют математическое ожидание т и
дисперсию D. Тогда имеет место предельное соотношение
(Ve > 0).
(2.1)
Теорема Чебышева носит также название закона больших чисел. Вероятно-
стный смысл ее в том, что арифметическое среднее случайных величин с уве-
личением числа слагаемых все менее вероятно отклоняется по модулю от сво-
его общего математического ожидания т на любую величину е .
►	Рассмотрим случайную величину Yn = — /\Хк . По свойствам дисперсии
И * “
А--1
получаем
Далее по свойствам математического ожидания находим

Используем неравенство Чебышева (1.2):
р(|ул-мг„|>е)^=4.1^
е е п
п
(1=1
Л->00
75
В математической статистике результаты измерения случайной величины
X рассматриваются как одинаково распределенные взаимно независимые слу-
чайные величины. Взяв их среднее арифметическое, можно сколь угодно близ-
ко приблизиться к искомому математическому ожиданию т% =т с вероятно-
стью, сколь угодно близкой к единице. Теорема Чебышева лежит в основе этого
асимптотического метода математической статистики.
Определение 2.1. Последовательность случайных величин
Ху, Х2,..., Хп,.,. называется сходящейся по вероятности к величине А
(случайной или нет), если для любого е > 0 имеет место предельное соот-
ношение
р(|*«
Более короткая запись.

п—>со	П~>Х)
Замечание 2.1. Результат теоремы Чебышева удобно записать с помощью
обозначений (2.3):
п
~L*k-------->w-	<2-4)
rl	Л>эо
Теорема 2.2 Я. Бернулли. Относительная частота Р*( J) события при
п независимых испытаниях по схеме Бернулли стремится по вероятности
к вероятности события А при п-> ж:
Р’(Я)—^->Р(Л).	(2.5)
И—>00
►	Теорема Бернулли есть следствие теоремы Чебышева. Пусть ц - число
появлений события А в п независимых испытаниях, а Хк - число появлений
события А в к -м испытании. Это дискретная случайная величина, принимаю-
щая два значения: 0 с вероятностью q-1-р и 1 с вероятностью р-Р(А).
=0-д+ !•/? = р. Очевидно, что =	Р*(Л) = — =—есть от-
£=1
носительная частота появления события А в п испытаниях. События X*.
(к = 1,...,п) - независимые взаимно, тем более попарно, так как испытания -
независимые. Они одинаково распределены, имеют конечное математическое
ожидание р и конечную дисперсию
Dxk =(У>-р)гч + ^-р)2р = р1ч + ч2р=-рч(р + ч) = ря-
76
Видим, что события Х^...,Хп удовлетворяют всем условиям теоремы Чебы-
шёва, а потому Р
что можно записать
в виде
Р*(Л)—£->Р(Л). ◄
л—>00
Теорема Бернулли теоретически обосновывает возможность приближенного
вычисления вероятности события с помощью его относительной частоты.
§3. Центральная предельная теорема для случая
одинаково распределенных слагаемых
Определение 3.1. Случайная величина X называется центрированной и
нормированной если ее математическое ожидание равно нулю, а дисперсия
равна единице.
г	2
Любую случайную величину X с конечной дисперсией и математиче-
ским ожиданием тх можно центрировать и нормировать в помощью операции
(3.1)
что проверяется непосредственно.
Теорема 3.1 (центральная предельная теорема для случая одинаково
распределенных слагаемых). Пусть случайные величины Х^...,Хп взаимно
независимы, одинаково распределены, имеют конечные математическое
ожидание т и дисперсию о2. Тогда функция распределения центрирован-
ной и нормированной суммы этих случайных величин
п
п
п
Г хк - тп
п
L*=i j _ к=\
п
Су/П
стремится при п-^со к функции распределения нормальной случайной ве-
личины с параметрами 0 и 1 (при любом фиксированном х):
Fy(x) = P(Y„<x)---->Ф(х).	(3.3)
и—>оо
Здесь
ф(х)=?н
- функция Лапласа.
Доказательство теоремы 3.1 вынесено в дополнение.
77
Замечание 3.1. Центральная предельная теорема, гарантирующая результат
(3.3), доказана не только для одинаково распределенных слагаемых, но и при
гораздо более общих предположениях, которые обеспечивают, в частности, вы-
полнение требования малости дисперсий слагаемых суммы случайных величин
по сравнению с дисперсией всей суммы.
Из результата (3.3) следует, что при достаточно большом п сумма Yn при-
ближенно распределена нормально по закону 7^(0,1). Но тогда приближенно
п	п
распределена нормально и сама исходная сумма с параметрами
—---------
п
и	Это утверждение основывается на следующем простом факте: ес-
Н=1
ли закон распределения случайной величины (X -т)/а есть 7V(0,1), то закон
распределения X есть N(w,o).
к гт	о/ iz \ п(X-т х~т\	.
► По условию	Р(Х < х) = Р------ <---— = Ф-------. Ч
G / к О J
Нормальный закон широко распространен в природе. Приведем примеры.
1.	Ошибка измерения распределена нормально, так как является суммой
большого числа малых ошибок, проистекающих из колебаний параметров сре-
ды (температура, влажность, давление и т. д.), колебаний состояния меритель-
ного инструмента, состояния измеряющего субъекга и т. д.
2.	По аналогичным причинам распределены нормально координаты точки
падения снаряда.
3.	Нормально распределена шумовая помеха в управляющем устройстве.
Теорема 3.2 (интегральная теорема Муавра - Лапласа). Пусть ц - чис-
ло появлений события А в п независимых испытаниях по схеме Бернулли,
в каждом из которых событие А появляется с вероятностью р f0<р<\;
q = l-р). Тогда для любых а и Ь, а<Ь, имеет место предельное соотно-
шение

ь у
----2\7/ = Ф(/>)™Ф(п).
П—>00 J
а
(3.5)
Здесь Ф(х) — функция Лапласа (3.4).
Интегральная теорема Муавра - Лапласа является следствием центральной
предельной теоремы, хотя была доказана ранее независимо (А. Муавр - англ.,
1667-1754).
На ней основана интегральная приближенная формула Муавра - Лапла-
са, применяемая для подсчета сумм биномиальных вероятностей:
78
т
т-пр
*=о
Здесь Ф(х) — функция Лапласа (3.4).
Действительно,
т
к-0
ц- пр т-~пр
т-пр
т-пр
)
Формула (3.6) применяется при больших п и малых р, таких, чтобы число
было средним - в пределах таблицы значений аргумента для функции
jnpq
Лапласа, т. е. в пределах от 0 до 5.
Доказательство теоремы 3.2.
► Докажем, что теорема 3.2 Муавра - Лапласа является следствием цен-
тральной предельной теоремы 3.1 для случая одинаково распределенных сла-
гаемых. Для этого введем случайные величины Хк (к = 1,...,п), означающие
число появлений события А в к -м испытании. Как было показано при доказа-
тельстве теоремы Бернулли 2.2, случайные величины	- взаимно не-
зависимые, одинаково распределенные по закону. Xk = 0 с вероятностью q и
Хк~ \ с вероятностью р = Р(Я);	~р, DXk ~pq (к -1,...,п),
И
Случайная величина ц = /С Хк есть число появлений события А во всех п
испытаниях.
л
л
л
л
*=1
Тогда
л
^npq
л
р-пр _к^\
есть центрированная и нормированная случайная величина, удовлетворяющая
всем условиям теоремы 3.1. Следовательно,
79
Ф(/>)-Ф(а). ◄
р J _> Ф(х).
J п—ж
при любом фиксированном х. Отсюда при любом фиксированном х имеем
\ аМ / \у/прЯ J \Tjnpq )п-*<ю
Пример 3.1. По каналу связи передано п ~ 10000 символов. Вероятность ис-
кажения каждого символа помехами р — 0.001. Действие помех на каждый сим-
вол происходит независимо. Какова вероятность, что при передаче будет не бо-
лее 15 искажений?
► Применяем формулу (3,6). п = 10000, р = 0.001, q ~ 0.999;	= 0.316;
т = 15; ^=22 = (15-10)-0.316 = 1.58; Ф(1.58) = 0.943. Следовательно,
15
£/>„ *(0.001)» 0.943. 4
к=0
80
ДОПОЛНЕНИЕ (О ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЕ)
§1	. История и сущность центральной предельной теоремы
Центральная предельная теорема теории вероятностей состоит в том, что
центрированная и нормированная сумма п взаимно независимых случайных
величин Хк (к = 1,...,и), имеющих конечные математические ожидания тк>
конечные дисперсии Dk и удовлетворяющих дополнительному условию, нало-
п
женному на сумму их дисперсий S„ =	, имеет функцию распределения,
*=1
стремящуюся к функции распределения нормальной случайной величины с па-
раметрами т = 0 и о = 1 при п —> оо:
р
G_i
>Ф(Х),
где Ф(х) — функция Лапласа.
История этой теоремы начинается по сути с Я. Бернулли, доказавшего пер-
вую предельную теорему о приближении относительной частоты события к его
вероятности. Более общие результаты в этом направлении получили Муавр
(1718 г.), Лаплас (1812 г.). Общая постановка вопроса о центральной предель-
ной теореме принадлежит Чебышеву. Его ученик Ляпунов в 1901 г. получил
весьма общие достаточные условия для выполнения результата (1.1). В 1922 г.
финский математик Линдеберг получил достаточные условия для выполнения
(1.1), которые затем оказались и необходимыми, что было доказано в 1935 г.
Феллером (амер., 1906-1970).
Формулировка и доказательство центральной предельной теоремы для слу-
чая одинаково распределенных слагаемых принадлежат П. Леви (фр., 1886-
1971). Теорема укладывается в теорию Линдберга - Феллера, но доказательство
ее значительно проще, а результат достаточен для обоснования положений ма-
тематической статистики.
§2	. Комплексные случайные величины
Комплексной случайной величиной (к. с. в.) называется случайная величина
вида Z = X + iY, где X,Y - действительные случайные величины, i - мнимая
единица.
81
На к. с. в. с некоторыми изменениями распространяются понятия и резуль-
таты теории вероятностей, известные для действительных случайных величин.
Отметим некоторые определения и формулы, необходимые в дальнейшем.
Для к. с. в. Z = X + iY комплексно сопряженной является случайная вели-
чина Z = X-iY.
Математическим ожиданием к. с. в. Z = X ч- iY называется комплексное
число MZ -МX + /МУ.
Центрированной к. с. в. называется к. с. в. вида
Z = i+/K = (X-M^) + /(y-My) = Z-MZ.
Дисперсия к. с. в. Z = X + iY определяется формулой
DZ = m[|Z|2] = м[(У)2+ (К)2] = м[(Л')2]+м[(Г)2] = D X + D Y.
Ковариация двух к. с. в. Zj ~ Х\ + /У) и Z2 = А"2 + iY2 есть комплексное чис-
ло, определяемое формулой
Г о Л 1	("о о о
Кад = MLZ i Z’J = М[( +'' Yi) J =
Г о о оо	оо о о П
= м[Х\ Х2 + Y1Y2+i(X2 и - Xi Y2 )J =	+ Кгл + 1(КХЛ - Кхл ).
Две к. с. в. Zi = Х\ + /У] и Z2 = ЛЛ2 + называются независимыми, если ве-
щественная и мнимая части одной из них попарно независимы от вещественной
и мнимой частей другой, т. е. независимы случайные величины, составляющие
пары Х2; А^, Y2; Yx, Х2; Y{, Y2. В частности, эти пары случайных величин не
коррелированы. Тогда Кх}Х2 =&XxY2 ~	=®' Отсюда, следует, что
Kzz т е- и ^2 не корродированы.
Несколько к. с. в. называются взаимно независимыми, если вещественная и
мнимая части в отдельности каждой из них взаимно независимы с веществен-
ными частями и с мнимыми частями остальных к. с. в.
На к. с. в. распространяются известные свойства математического ожида-
ния. Например,
M[Z1 + Z2] = MtA'i + lYi + X2 +;У2] = M[(%j + X2) + /(^ + Г2)] =
= M[ У, + X2] + /М[Г] + Г2|^М/| + 1МУ, +MX2 +iMK2 =MZj +MZ2.
Если Z} и Z2 независимы, то
M[Z1Z2]=M[Z1]-M[Z2],	(2.1)
►	m[z 1Z2] = M[(Z1 - MZ,) (Z2 - M Z2)] = M[ZtZ2 ] - M[Z! 1 -M[Z2 ].
С другой стороны
M[ZiZ2] = M[(Xi+iYi)(X2+iY2)YKXiXt-КУЛ +'(KXiy2 +KXiYi) = 0.
Из этих двух результатов находим, что
M[Z1Z2]-M[Z1] M[Z2] = 0; M[Z1Z2] = M[Z1] M[Z2]. ◄
82
Формула (2.1) для независимых к. с. в. методом математической индукции
распространяется на любое конечное число взаимно независимых сомножите-
лей.
M[Z1Z2...Zn] = M[Z1]M[Z2]-...M[Z„].	(2.2)
§3. Характеристические функции
Метод характеристических функций применен российским математиком
А.М. Ляпуновым для доказательства центральной предельной теоремы. В даль-
нейшем этот метод стал применяться и для решения других вероятностных за-
дач, в частности, для отыскания моментов случайной величины.
Определение. Характеристической функцией случайной величины
(с. в.) X называется математическое ожидание случайной величины eitX,
где i -мнимая единица, t - вещественный параметр:
(3.1)
Данное определение приводит нас к следующим формулам для вычисления
характеристической функции.
— для дискретной случайной величины
Ex(>) = '^e"Xl‘Pk ’
к
где рк =P(Jf = хк), к = \,2,... ;
- для непрерывной случайной величины:
4-00
где f (х) - плотность вероятности с. в. X.
Таким образом, характеристическая функция непрерывной случайной вели-
чины является преобразованием Фурье плотности вероятности. Из теории пре-
образования Фурье известно, что плотность вероятности можно выразить через
характеристическую функцию обратным преобразованием Фурье:
4-00
/(х) = ~р~'“£%(')<*.
Отметим основные свойства характеристической функции.
Свойство 1. Из формулы (3.1) следует, что
^х(0) = 1.	(3.2)
Свойство 2. Характеристическая функция с.в. Z- аХ + Ь выражается через
характеристическую функцию с. в. X по формуле
М[е"(аХ+4) ] = М[ей,?(а')лг ] = e^F-xtat).	(3.3)
83
Свойство 3. Если ус.в. X существует начальный момент к -го порядка
ocjJA'], то существует к-я производная характеристической функции:
£^)(г) =
^М[е,1Х] =

При I= 0 получим:
Отсюда
аИХ] = Г*4*)(<>)-	(3-4)
Свойство 4. Характеристическая функция суммы взаимно независимых
случайных величин A'j, Х2,..., Хп равна произведению характеристических
функций слагаемых.
п
►	Пусть Z =	> а ^к(0 ~ характеристическая функция с. в. Х^
к=1
(к = 1,2,Так как случайные величины Aj, Х2,..°, Хп взаимно независи-
мы, то взаимно независимыми будут и комплексные случайные величины
exp(/tVi), exp(//X2), ... , exp(z7Jf„). Тогда математическое ожидание произве-
дения этих комплексных случайных величин равно произведению их математи-
ческих ожиданий. По формуле (2.2) получаем.
EZ(/)=M
п
-М JJexpOtY^)
= ПМ[ехр(|/Л*)] = [J £*(/). ◄
£=1	/1=1
Итак,
п
£2(') = ПяИ')-
к = \
(3-5)
Свойство 5. Если последовательность характеристических функций E\(t).
E2(Z), ••• , Ek(t), ... случайных величин Aj, Jf2,..., А^,... сходится к непре-
рывной функции Я(/), то последовательность соответствующих функций рас-
пределения Fj(x), ^2(х), ... , F^(x), ... сходится к функции распределения
F(x) некоторой случайной величины X в каждой точке непрерывности F(x).
При этом E(t) = M[e//AY
Пример 1. Найти характеристическую функцию случайной величины
распределенной нормально с параметрами тип.
►	Плотность вероятности с. в. X по условию равна
/(*) =
ехр
2а2
Тогда
84
EX(.t) =
1
оу2л
+qo (x-m)2
Je 2a2 e'tXdX =
x-m — z,
dx — dz
itm
— e
2
HX) _ Z__	+oo
J e 2°2 costzdz + i J e
z__
sintzdz .
Последний интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симмет-
ричному промежутку. Для вычисления первого интеграла воспользуемся таб-
личным интегралом Лапласа, известным из теории интегралов, зависящих от
параметра, и теории преобразования Фурье:
ЧОО	।-
|e-az cosPztfe = ^J— -exp
о
4a, ‘
Тогда
z2
b'x(O = e'""
+oO
f e CQStzdz~eItm
Юо z2
J c 2cy2 costzdz =
0
/7/й	2	1 /л
= e —7= • tv cry 2 л • exp
aV2n 2
Таким образом,
2
#г(/) = ехр -itm-
= exp itm -
(3.6)
§4. Доказательство центральной предельной теоремы
для случая одинаково распределенных слагаемых
Теорема 4.1 (для одинаково распределенных слагаемых). Пусть случай-
ные величины ХЪХ2,... ,Хп взаимно независимы, одинаково распределены,
имеют математическое ожидание т и конечную дисперсию D = с2 * 0. То-
гда функция распределения нормированной и центрированной случайной ве-
личины
при любом фиксированном х стремится при п—> со к функции распределе-
ния нормальной случайной величины с параметрами m = Q и a = 1:
X
Fr (х) = Р(Г„<х)---->-т1= [е-'/2<Й = Ф(х).	(4.1)
л->оо 72л J
85
► Образуем центрированные и нормированные случайные величины
X'k = (Х/с — m)/cy (k — 1,2,..., п. Эти случайные величины взаимно независимы,
так как таковыми являются Хъ..., Хп. Кроме того, они одинаково распределе-
ны, следовательно, имеют одну и ту же характеристическую функцию Ex>(t).
Выразим через нее характеристическую функцию случайной величины
п
£=1
Характеристическую функцию для XjJJn найдем по формуле (3.3), она
равна	Здесь X* - произвольная из случайных величин
Х{, Х^...,Х'п. Характеристическую функцию для Yn получим по формуле (3.5)
как произведение п одинаковых функций	Таким образом,
Вместо того, чтобы непосредственно искать предел функции распределения
Yn, будем искать предел Еу (I). Для этого представим Ex>(t) по формуле Тей-
Л п
лора до членов 2-го порядка с асимптотическим остаточным членом в форме
Пеано в окрестности точки t = 0:
/Ъг(') = Е'л-(О) +	+[^-(0)/2 + а(т)]-/2.
Остаточным членом здесь является a(/)f2, где ге(>)->0.
t—>о
Используем свойства характеристической функции. По свойству 1:
Е^,(0) = 1. По свойству 3:	а] ~Г1Е^/(0) = МХ/= 0,
а2 = Г2ЕН°) = -Е'х'Ф) = 1	Отсюда	Ej^.(O) = -1.	Тогда
Е^»(/) = 1-/2/2 + а(/)/2, E^,(//Vh Д1-Z2/(2n)+a^/Vnjr2 Д. Отсюда
Еуп (/) = [1 - t2/(2n)+а(//7й)/2 Ду .
Прологарифмируем это выражение и перейдем к пределу при п —> оо и фикси-
рованном /.
2/(2и) + а Д-ЛД2 Д j.
lim InEy (r)= lim /? In 1-/
Л~>0О	”	л—>00
Заменим логарифм эквивалентной бесконечно малой величиной при п —> оо, что
не сказывается на величине предела. Получим
limlnEy (/)= lim n(-t2/(2n)^a(t/y/n\t2/п\ =
п—>00	п	п—>оо[ '	'	' ' Г.
- lim	/2Д + а^/>/иД2| = -t2/2 .
86
Л->00
(2 /
-t /2
Согласно формуле (3.6) получили характеристическую функцию нормаль-
ной случайной величины с параметрами т — 0 и о = 1. Тогда по свойству 5 ха-
рактеристических функций заключаем, что предельный закон распределения
случайной величины Yn при п —> оо является нормальным с параметрами т - О
и а = 1. 4
Замечание 4. L Заключение центральной предельной теоремы о нормальном
законе как асимптотическом для суммы большого числа случайных величин
имеет место при гораздо более широких предположениях о случайных величи-
нах. Они могут быть распределены по произвольным законам, но должны ока-
зывать на всю сумму равномерно малое влияние. Сравнение ведется по вкладу в
общую дисперсию. Точный смысл этой характеристики случайных величин со-
держится в условии теоремы Линдеберга.
Приведем формулировку теоремы Линдеберга для случая непрерывных слу-
чайных величин. Более полную формулировку и доказательство можно найти в
[6].
Теорема 4.2 (Линдеберга). Пусть ХьХ2>..., Хп - взаимно независимые
случайные величины с плотностями /i(x), /2W’ •••» А(х)> имеющие ма-
тематические ожидания тьт2у... утп и конечные дисперсии	yDn,
отличные от нуля. Тогда для любого положительного числа 8 условие
(4.2)
где	является достаточным для того, чтобы выполнялось со-
отношение (1.1).
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Справочник по одномерным непрерывным распределениям
Приведенные 25 наиболее употребительных распределений разбиты на 3 груп-
пы по виду областей, где плотность отлична от нуля: на всей оси, на правой полу-
оси и на ограниченном промежутке.
Для распределений указаны математические ожидания тх , дисперсии Dx, ес-
ли они существуют, моды Мо, типовые графики плотностей, а также применения
при моделировании реальных распределений. Справочник полезен при решении
учебных задач, а также при выборе альтернатив для моделирования.
§1. Распределения с плотностью, отличной от нуля на всей оси
1.	Нормальное распределение: /(х) = — -т==ехр
ст>/2л
тх ~т \ Dx ’ Мо = /и. Типовой график - на рис. 1.1. Является предельным
для распределения суммы независимых случайных величин, рассматриваемых в
центральной предельной теореме. Описывает распределение различных выбороч-
ных средних, ошибок измерения, параметров деталей, координат точки падения
снаряда, величины шума в управляющем устройстве.
Рис. 1.1. Типовой график плотности для
распределении 1, 2, 3, 4, 5
Рис. 1.2. График плотности
распределения Стьюдента
2.	Логистическое распределение:	^(1 + е qy) 2 =-~-ch 2™,
У ~	, Я = я/л/З ® 1.8138; т еR, ст > 0; тх = т; Dx ~ J Мо ~ т • График -
на рис. 1.1. Мало отличается от нормального распределения. Применяется в эко-
номических, социологических, экологических, медико-биологических исследова-
ниях.
q 2	2
3.	Распределение Коши: f (х) = — а + (л - т)
7L	J
т е R, а > 0; тх, Dx не
существуют; Mo - Me = т; вероятное отклонение (половина расстояния между
88
квартилями) - мера рассеяния Е - а. График - на рис. 1.1. Является распределени-
ем отношения двух нормальных случайных величин с нулевыми математическими
ожиданиями.
4. Трехпараметрическое распределение Коши:
тХ ~ т	(при	X > 2 );
а >0,
Х>1,
т eR,
С= Xa1/x/(2%)]siny;
sin^-- (при Х>3); Мо = т. График - на рис. 1.1. При Х = 2
получаем распределение Коши. Применяется при моделировании реальных рас-
пределений.
5.	Трехпараметрическое распределение, близкое к нормальному:
/(х) = Cexp(-a|x-m|X), meR, a>0, Х>0, С = |ха1/ХГ-1(1/Х), Г(х) - гам-
ма-функция; тх=т; Dx=<x 2/^Г(3/Х)Г ^l/X); Мо = т. График при X > 1 - на
рис. 1.1. При X = 1 получаем распределение Лапласа, при X = 2 - нормальное.
Применяется при моделировании реальных распределений.
6.	/ -распределение Стьюдейта:
п е N (число степеней свободы), Г(х) - гамма-функция, тх — о (nS2);
Dx —пЦп — Т.} (и > 3); Мо — 0. График - на рис. 1.2. Применяется в математиче-
ской статистике.
7.	Распределение Лапласа (двустороннее показательное):
/« =
2аеХР
т eR, G > 0; тх = т; Dx = 2с2; Мо = т. График - на
рис. 1.3. Является распределением случайной величины X =	~	4- /и, где
Xj, Х^ - независимые показательно распределенные случайные величины с пара-
метром 1/о.
Рис. 1.3. График плотности
распределения Лапласа
Рис. 1.4. График плотности двойного
показательного распределения
89
8.	Двойное показательное распределение:
г/ ч 1	( х-т\ Г ( х-тп\
/(т) = —ехр^----Jexp ‘ехР<-----’
т eR,
о>0;	+
с«0.5772; Ру = о2тг2/б; Мо = /и; асимметрия А «1.1395. График - на рис. 1.4.
Является распределением экстремальных элементов выборки.
§2. Распределения с плотностью, отличной от нуля на полуоси
1.	Распределения с плотностью показательного типа.
1.1.	Показательное (экспоненциальное) распределение: f (х) = ke~ , X>0,
х > 0; тх = 1/1; Dx = 1/ А? ; Мо = 0. График - на рис. 2.1. Описывает распреде-
ление времени обслуживания, времени безотказной работы прибора.
ЬУ	УЬ	ГА
Рис. 2.1. График плотности Рис. 2.2. График плотно- Рис. 2.3. Типовой график
показательного распределе- сти смещенного показа- плотности распределений 1.3,
ния	тельного распределения 1.4-1.6, 1.9-1.11, 2.1, 2.2.
1.2.	Смещенное показательное распределение: f(x) = Хе	Х>0,
а > 0, х а; «у = а + 1/X; D% = I/Х2 ; Мо = а. График - на рис. 2.2. Применяется
для описания распределения времени обслуживания, которое заведомо не меньше,
чем а,
1.3.	Гамма-распределение: /(х) = Сх^^е^, С = 1*/г(£), 1>0, к>1,
х 0, Г(х) - гамма-функция; тх = к/к; Dx - к/)? ; Мо — (к — 1)/Х. График при
к > 2 - на рис. 2,3. Применяется в теории надежности для моделирования времени
безотказной работы приборов, материалов, времени обслуживания. При к — 1 гам-
ма-распределение переходит в показательное. При к натуральном распределение
называется распределением Эрланга порядка к . Оно используется в теории массо-
вого обслуживания.
1.4.	Хи-квадрат распределение (х2 )’ /(х) = 2~п^Г~1(п/2)х^п^~1е~х^2,
х >0, п eN; тх — п ; Dx = 2п ; Мо — п — 2 при п > 3. График при п > 5 — на
рис. 2.3. Является частным случаем гамма-распределения при к — п/2 и 1 = 1/2.
Применяется в математической статистике. Параметр п называется числом степе-
ней свободы.
90
1.5.	Модифицированное хи-распределение (х):
/(х)= 2‘“"/2Г"1(и/2)а*'’х"_1г’х2/(2°2),	п eN,
+ А if р. 2Г nT-2f« +Пт--2Г^
тх ~ 0л/2 Г1 —J Г Ijl; Dx-o n--2V ^-IT
x >0;
Mo = gVw -1.
График при n > 3 - на рис. 2.3. Является распределением случайной величины
X = -у Ху +... + Хп , где Ху,..., Хп - нормальные взаимно независимые одинако-
во распределенные случайные величины с параметрами 0 и а, При а — 1 перехо-
дит в обычное хи-распределение. Применяется в математической статистике.
2	2
1.6.	Распределение Максвелла: J (х) —-~^—== х ехр
2
тх = су2V2/л/п ; Dx — а2(3 — 8/л); Мо = ау[2 . График — на рис. 2.3. Является ча-
стым случаем модифицированного хи-распределения при п = 3. Описывает рас-
пределение длины вектора скорости молекулы газа.
1.7. Распределение Релей:
Г, х х	х
/(х) = -уехр----у
о2 I 2сг7
сг> 0,
х >0;
тх = q^k/2 ~ 1.2533а; Е)х — <у2(2 — тс/2)~ 0.4292сг2; Мо = сг. График - на
рис. 2.4. Является частным случаем модифицированного хи-распределения при
п = 2. Описывает распределение длины случайного плоского вектора VХ^ + У2 ,
где X, У — независимые нормальные случайные величины, одинаково распреде-
ленные в параметрами Она. Применяется в артиллерии, теории связи, теории на-
дежности.
1.8.	Усеченное нормальное распределение: f (х) = —?-=-ехр
ол/2л
а>0,
х >0; тх = а^/2/я ; Dx — ст2(л — 2)/тг; Мо = 0. График — на рис. 2.5. Применяет-
ся в теории надежности для моделирования времени безотказной работы приборов,
материалов. Является частным случаем модифицированного хи-распределения при
п -1.
1.9.	Распределение Вейбулла: /(х) = лЛх^-1 ехр(-Хх^), Х>0, А:>0, х>0;
тх =Х‘1'ЛГ(1 + 1Д); Г>х =Х'2/*[Г(1 + 2Д)-Г2(1 + 1Д)1; Мо = Г1/*(1--]Д)1/*.
График при к > 2 - на рис. 2.3. При к = 1 распределение Вейбулла переходит в по-
казательное. Применяется для моделирования распределения времени безотказной
работы приборов, материалов.
91
Рис. 2.6. График
плотности распределения
Парето
Рис. 2.4. График плотности
распределения Релея
1.10.	Трехпараметрическое
к>\, Х>0, л>0, х>0,
f(x) = Cxk ^xpC-AZ),
Рис. 2.5. График плотности
усеченного нормального
распределения
гамма-распределение:
C~n№nV	Г(х) — гамма-функция;
1/л
. При п = 1 получаем обычное гамма-распределение, при п~к -
распределение Вейбулла. График при к >2 - на рис. 2.3. Применяется для моде-
лирования распределения величины стока и загрязнения рек.
1.11.	Логарифмически-нормальное распределение:
(Inx -ffl)2
2а2
f W =--U=exp
т eR,
тх=е
2	2	2
Dx — e^m+cs (e° — 1); Mo = em~° . График - на рис. 2.3. Применяется для моде-
лирования распределения продолжительности жизни, величины доходов населе-
ния, размеров частиц при дроблении, в теории надежности.
2.	Распределения с плотностью алгебраического типа,
2.1.	F -распределение Фишера:
/ \т!2	/	\	/	\-(/и+л)/2
/(х) = М '	+
v 7 \nJ \2 27 k nJ
, т, п - натуральные числа -
степени свободы; х>0, B(p,q) - бета-функция; тх =п/(п — 2) при л>3;
Dx = 2п2(ш + и~2)/и~1(л-2)~2(Л“-4)~1 при н>5; Мо = п(т~ 2)т~1(л + 2)~1
при т > 2. График при т 5 - на рис 2.3. Применяется в математической стати-
стике при сравнении дисперсий.
2.2.	Бета-распределение 2-го типа: /(х) = B~\p,q)xp~\l + х)~р~Ч, р>0,
q>0, х>0; тх=р/(?-1) при q>\- Dx = р(р + q-\)(q - l)"2(g-2)~‘ при
q > 2 ; Мо = (/? — !)/(<? +1) при р > 1; В(р,д) - бета-функция. График при р > 2 -
на рис. 2.3. Применяется для моделирования реальных распределении.
92
2.3.	Распределение Парето (степенное): f (х) — ах$ х а 1, х0 > 0, х > х0,
а>0; тх =ахо(а-1)-1 при а>1; Dy = ахд(а — 1) 2 3(а-2)-1 при а>2. Гра-
фик - на рис. 2.6. Применяется для моделирования распределения величины дохо-
дов населения выше уровня х0 •
§3. Распределения, отличные от нуля на конечном промежутке
1. Равномерное распределение на : /(х) = 1/(Ь -а), х е [#,/>], a,b eR,
a<b; тх = (# + f>)/2; Dy = (Z> — я)2/12 . График - на рис. 3.1. Применяется для
моделирования распределения ошибок округления, ошибок отсчета по приборам
стрелочного типа. Равномерное распределение на отрезке [0,1] является стандарт-
ным, табулировано и по специальным программам может быть преобразовано в
другие распределения. Оно же применяется в статистической практике для образо-
вания выборок.
Рис. 3.1. График
плотности равномерного
распределения
Рис. 3.2. График
плотности распределения
Симпсона
Рис. 3.3. График плотно-
сти бета-распределения
1-го типа
2. Треугольное распределение (Симпсона):
f(x) = 2\\-\a+b~2x\/(b-a)y(b-a), хе[я,#],	a<b\ тх = (а + Ь)/2\
Dx = (Ь-а)!/ТА ; Мо = (а + />)/2 . Является распределением суммы двух случай-
ных величин, независимых, одинаково равномерно распределенных на промежутке
[а/2; Ь/2]. Применяется при моделировании реальных распределений.
3. Бета-распределение 1-го типа: / (х) =	- х)^"1, р > 0,
q>0,	0<х<1; тх = р/(р + q)  Dx = pq(p + q)~2 (p + q +1)*’;
Mo = (p - l)/(p + q - 2) при p > 1, q>\, p + q>2 . График при p>2 и q >2 - на
рис. 3.3. Применяется при моделировании реальных распределений. При р = q = 1
переходит в равномерное распределение на [0,1].
93
2. Таблица значений нормированной функции Лапласа
X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0	0.00000	00399	00798	01197	01595	01994	02392	02790	03188	03586
0.1	03983	04380	04776	05172	05567	05962	06356	06749	07142	07535
0.2	07926	08317	08706	09095	09483	09871	10257	10642	11026	11409
0.3	11791	12172	12552	12930	13307	13683	14058	14431	14803	15173
0.4	15542	15910	16276	16640	17003	17364	17724	18082	18439	18793
0.5	19146	19497	19847	20194	20540	20884	21226	21566	21904	22240
0.6	22575	22907	23237	23565	23891	24215	24537	24857	25175	25490
0.7	25804	26115	26424	26730	27035	27337	27637	27935	28230	28524
0.8	28814	29103	29389	29673	29955	30234	30511	30785	31057	31327
0.9	31594	31859	32121	32381	32639	32894	33147	33398	33646	33891
1.0	34134	34375	34614	34849	35083	35314	35543	35769	35993	36214
1.1	36433	36650	36864	37076	37286	37493	37698	37900	38100	38298
1.2	38493	38686	38877	39065	39251	39435	39617	39796	39973	40147
1.3	40320	40490	40658	40824	40988	41149	41308	41466	41621	41774
1.4	41924	42073	42220	42364	42507	42647	42785	42922	43056	43189
1.5	43319	43448	43574	43699	43822	43943	44062	44179	44295	44408
1.6	44520	44630	44738	44845	44950	45053	45154	45254	45352	45449
1.7	45543	45637	45728	45818	45907	45994	46080	46164	46246	46327
1.8	46407	46485	46562	46638	46712	46784	46856	46926	46995	47062
1.9	47128	47193	47257	47320	47381	47441	47500	47558	47615	47670
2.0	47725	47778	47831	47882	47932	47982	48030	48077	48124	48169
2.1	48214	48257	48300	48341	48382	48422	48461	48500	48537	48574
2.2	48610	48645	48679	48713	48745	48778	48809	48840	48870	48899
2.3	48928	48956	48983	49010	49036	49061	49086	49111	49134	49158
2.4	49180	49202	49224	49245	49266	49286	49305	49324	49343	49361
2.5	49379	49396	49413	49430	49446	49461	49477	49492	49506	49520
2.6	49534	49547	49560	49573	49585	49598	49609	49621	49632	49643
2.7	49653	49664	49674	49683	49693	49702	49711	49720	49728	49736
2.8	49744	49752	49760	49767	49774	49781	49788	49795	49801	49807
2.9	49813	49819	49825	49831	49836	49841	49846	49851	49856	49861
X	3.0	3.5	4.0	5.0
Фо(х)	0.49865	0.49977	0.499968	0.49999997
94
Библиографический список
1.	Большее Л.Н., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. М.: Нау-
ка, 1983.416 с.
2.	Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Физматгиз, 1962. 564 с.
3.	Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Теория вероятностей и ее инженерные прило-
жения. М.: Наука, 1988. 480 с.
4.	Вероятностные разделы математики / Под ред. Ю.Д. Максимова. СПб.: Иван
Федоров, 2001. 589 с.
5.	Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и мате-
матической статистике (для втузов). М.: Высш, шк., 1979. 400 с.
6.	Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988. 448 с.
7.	Турский Е.И. Сборник задач по теории вероятностей и математической ста-
тистике (для втузов и экономических учебных заведений). Минск: Вышейшая шк.,
1975. 272 с.
8.	Коваленко И.Н., Филиппова А. А. Теория вероятностей и математическая ста-
тистика (для втузов). М.: Высш, шк., 1973. 368 с.
9	Колемаев В.А., Староверов О.В., Турундаевский В.Б. Теория вероятностей и
математическая статистика. М.: Высш, шк., 1991. 400 с.
10.	Сборник задач по математике для втузов. Т. 3. Теория вероятностей и мате-
матическая статистика / Под ред. А.В. Ефимова. М.: Наука, 1990. 432 с.
11.	Сборник задач по теории вероятностей, математичекой статистике и теории
случайных функций (для втузов) / Под ред. А А. Свешникова. М.: Наука, 1970.
656 с.
12.	Справочник по вероятностным расчетам / Г.Г. Абезгауз, А.П. Тронь,
Ю.Н. Копенкин, И.А. Коровина. М/ Воениздат, 1970. 536 с.
13.	Справочник по теории вероятностей и математической статистике / Под
ред. В.С. Королюка. Киев: Наукова думка, 1978. 582 с.
14.	Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. Брон-
штейн И.Н., Семендяев К. А. / Изд. перераб. под ред. Г. Гроше и В. Циглера; Пер. с
нем. М.: Наука, 1980. 975 с.
15.	Справочник по математике для научных работников и инженеров. Корн Г.,
КорнТ. / Пер. со второго амер. изд. под ред. И.Г. Арамановича. М.: Наука, 1978.
831 с.
16.	Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Lexikon der
Stochastik / Herausgegeben von P.H. Muller. Berlin: Akademie-Verlag, 1983. 445 s,
95
Оглавление
Предисловие.....................................................     3
Г лава 1. Алгебра событий.........................................   4
§	1. Предает теории вероятностей.............................     4
§2	. Классификация событий....................................... 5
§3	. Действия над событиями....................................   6
Глава 2. Вероятность события.....................................   10
§	1. Относительная частота события и ее свойства................ 10
§2	. Статистическое определение вероятности..................... 11
§3	. Аксиоматическое определение вероятности.................... 12
§4	. Классическое определение вероятности....................... 13
§5	. Геометрическое определение вероятности...................   14
§6	. Субъективное определение вероятности....................... 15
Г лава 3. Комбинаторика........................................     17
§	1. Комбинаторный принцип умножения............................ 17
§2	. Размещения................................................  18
§3	. Перестановки............................................... 19
§4	. Сочетания............................................       19
§	5. Размещения с повторениями.............................      21
Глава 4. Алгебра вероятностей.................................      23
§	1. Условная вероятность....................................... 23
§2	. Правило умножения вероятностей.......................       24
§3	. Независимость событий. Правило умножения вероятностей
взаимно независимых событий.................................     25
§4	. Правила сложения вероятностей............................   26
§5	. Формулы полной вероятности и Байеса......................   28
§6	. Схема Бернулли проведения независимых испытаний.
Биномиальная вероятность................................  ...... 29
§7	. Приближенная формула Пуассона для вычисления биномиальной
вероятности.................................................     31
Глава 5. Одномерная случайная величина.........................     32
§	1. Определение случайной величины...........................   32
§2	. Дискретная случайная величина.............................. 33
§3.	Числовые характеристики дискретной случайной величины....... 35
§4.	Производящая функция (вероятностей)......................... 39
§5.	Биномиальное, Пуассона, геометрическое распределения........ 40
§6.	Непрерывная случайная величина............................   43
§7.	Числовые характеристики непрерывной случайной величины....... 44
§8.	Нормальное, показательное, равномерное распределения........ 46
96
Глава 6. Двумерная случайная величина............................. 55
§1	. Двумерная случайная величина, ее функция распределения.... 55
§2	. Дискретная двумерная случайная величина, ее таблица
распределения.............................................     56
§3	. Непрерывная двумерная случайная величина. Плотность
вероятности................................................... 58
§4	. Примеры двумерных непрерывных распределений............... 59
§5	. Зависимость и независимость двух случайных величин........ 61
§6	. Математическое ожидание функции двумерной случайной
величины...................................................... 63
§7	. Корреляционной момент и коэффициент корреляции............ 65
Глава 7. «-мерная случайная величина.............................. 70
§1	. Основные определения...................................... 70
§2	. Числовые характеристики «-мерой случайной величины......... 71
§3	. Полиномиальное и п -мерное нормальное распределения....... 72
Глава 8. Предельные теоремы....................................... 74
§	1. Неравенства Маркова и Чебышева............................ 74
§2	. Теоремы Чебышева и Бернулли. Сходимость по вероятности..... 75
§3	. Центральная предельная теорема для случая одинаково
распределенных слагаемых ..................................... 77
Дополнение (о центральной предельной теореме)..................... 81
§1	. История и сущность центральной предельной теоремы......... 81
§2	. Комплексные случайные величины............................ 81
§3	. Характеристические функции..............................   83
§4	. Доказательство центральной предельной теоремы для случая
одинаково распределенных слагаемых..........................   85
Приложения....................................................     88
1.	Справочник по одномерным непрерывным распределениям.......... 88
§	1. Распределения с плотностью, отличной от нуля на всей оси. 88
§2	. Распределения с плотностью, отличной от нуля на полуоси.. 90
§3	. Распределения, отличные от нуля на конечном промежутке... 93
2.	Таблица значений нормированной функции Лапласа............... 94
Библиографический список.......................................... 95
97
Максимов Юрий Дмитриевич
МАТЕМАТИКА
Выпуск 9
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
Детализированный конспект
Справочник по одномерным
непрерывным распределениям
Редактор О. Е. Сафонова
Технический редактор А. И. Колодяжная
Оригинал-макет подготовлен автором
Директор Издательства СП6ГПУ А.В. Иванов
Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97
Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции
ОК 005-93, Т. 2; 95 3005 - Учебная литература
Подписано в печать	. Формат 60x84 1/16.
Печать офсетная. Усл. печ. л. ^ЛрУч.-изд. л. Тираж/^7. Заказ №	. С 13
Санкт-Петербургский государственный политехнический университет.
Издательство СПб ГПУ, член Издательс ко-полиграфической
ассоциации вузов Санкт-Петербурга.
Адрес университета и издательства: 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.