/
Автор: Иосилевич Г.Б. Маслов Г.С. Строганов Г.Б.
Теги: машиностроение сопротивление материалов прикладная механика детали машин
Год: 1989
Текст
ГБ.ИОСИЛЕВИЧ
Г.Б. СТРОГАНОВ, Г.С. МАСЛОВ
Прикладная
Г.Б.ИОСИЛЕВИЧ
Г.Б.СТРОГАНОВ, Г.С.МАСЛОВ
Прикладная
МЕХАНИКА
Под редакцией Г. Б. Иосилевича
Допущено
Государственным комитетом СССР
по народному образованию
в качестве учебника для студентов
немашиностроительных специальностей
высших технических учебных заведений
МОСКВА
«ВЫСШАЯ ШКОЛА» 1989
ПРЕДИСЛОВИЕ
Учебник написан по программе
рса «Прикладная механика», кото-
1Я предусматривает изучение
гудентами немашиностроительных
пециальностей высших учебных за-
едений важнейших разделов дисцип-
н «Сопротивление материалов»,
зория механизмов и машин» и
Детали машин» и расширение на
«гой основе фундамента общеинже-
1 подготовки.
док изложения материала
таким, чтобы наиболее oi-
,,ш:о проявилось органическое
единство трех традиционных курсов
инженерной подготовки. Взаимосвязь
разделов обеспечена за счет рассмо-
н>ния основ теории надежности и
.ической диагностики.
Кроме материала, подробное со-
ржаиие которого изложено в учеб-
'ках по указанным курсам, здесь
ведены основы триботехники, име-
важное значение для инженер-
отовки и обеспечения надеж-
"оукций. Излагаемый мате-
'т также краткие своде-
кционным материалам
юзаменяемости.
редназначен для расчет-
теор* ^ческой и конструкторской
готовки студентов, успешного ос-
воения ими последующих профилиру-
ющих дисциплин и решения инженер-
ных задач в будущей практической
деятельности. В связи с этим в нем
большее внимание уделяется задачам
анализа конструкций. Задачи их син-
теза объединены с расчетами по кри-
териям работоспособности.
Учебник содержит как общетеоре-
тические положения, так и конкрет-
ные инженерные решения, обобщаю-
щие результаты теоретического ана-
лиза и практического опыта машино-
строения. Материалы справочного ха-
рактера, содержащиеся в разделах,
дают представление о техническом
уровне и возможностях элементов
конструкций и будут полезными при
выполнении самостоятельных заданий
и курсового проекта.
Главы 2, 3, 20, 21 и 29 написаны
проф. Г. С. Масловым, главы 1, 12 и
13 — проф. Г. Б. Строгановым, а ос-
тальные главы и заключение написа-
ны проф. Г. Б. Иосилевичем.
Авторы будут благодарны за все
замечания и пожелания по учебнику.
Просьба посылать их в адрес изда-
тельства «Высшая школа»: 101430,
Москва, ГСП-4, Неглинная ул.,
д. 29/14
Авторы
Раздел первый
Основы теории механизмов машин,
приборов и аппаратов
Глава 1
ВВЕДЕНИЕ
В ПРИКЛАДНУЮ МЕХАНИКУ
§ 1.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О МАШИНАХ
И МЕХАНИЗМАХ
Классификация машин. Современное
производство немыслимо без всевозмож-
ных высокоэффективных машин — ус-
тройств для преобразования энергии и
(или) движения, накопления и переработ-
ки информации.
Благодаря их использованию повыша-
ется производительность труда,
облегчается физический и умственный
труд человека и т. д.
По назначению машины условно под-
разделяют на три группы.
1. Энергетические машины, в
которых какой-либо вид энергии
(электрической, тепловой и т. п.) преоб-
разуется в механическую работу и наобо
рот. К этой группе относятся как маши-
ны-двигатели (электродвигатели, тепло-
вые и ядерные двигатели и т л.), так
и машины-преобразователи (компрессо-
ры, электрические генераторы и др.).
2. Технологические или рабо-
чие машины, предназначенные для
выполнения производственных процессов
по изменению формы, свойств и положе-
ния объектов труда (машины отрасли на-
родного хозяйства, например металлоре-
жущие и ткацкие станки, полиграфиче-
ские, швейные, горнодобывающие, тран-
спортные и другие машины, роботы и
т. п.)
3. Информационные (контроль-
но-управляю1цие) машины, в которых
происходит преобразование вводимой ин-
формации для контроля, регулирования
и управления техноло! ическими процесса-
ми (вычислительные, кибернетические ма-
шины и др.).
В зависимости от способа управления
различают машины ручного управления
(на встроенном рабочем месте или
дистанционно), полуавтоматического и
автоматического действия.
Машина, в которой преобразование
энергии (материалов и информации) про-
исходит без непосредственного участия
человека, называется м а ш и н о и - а в т о-
матом. Совокупность машин-автоматов
соединенных между собой автоматически-
ми транспортными устройствами и
предназначенных для выполнения опреде-
ленного техноло, ического процесса, обра-
зует автоматическую лини ю.
Механизмы и их назначение Меха
1ШЭА1 чаеть машины, в которой рабочий
протес реа пинки i'xtim bi полиция
определенных механических движении
Являясь носителем этих движении,
механизм представляет собой совокуп-
ность (систему) взаимосвязанных тел,
предназначенных для преобразования
движения одного или нескольких тел в
требуемые движения других тел.
Механизм осуществляет: передачу
энергии (движения), как правило, с пре
образованием сил и характеристик закона
движения от источника, например двига-
теля, к одному или нескольким рабочим
органам машины; преобразование и регу-
лирование механического движения, за-
данную компоновку машины.
Если в преобразовании движения
участвуют как твердые, так и жидкие или
газообразные тела, то механизм
называется соответственно гидравличе-
ским или пневматическим
Существенно, что однотипные механиз-
мы используются в конструкциях самых
разнообразных по назначению машин.
4
§ 1.2. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
И ТРЕБОВАНИЯ,
ПРЕДЬЯВЛЯЕМЫЕ К МАШИНАМ
И МЕХАНИЗМАМ
Основными характеристиками машин
ИВ1ЯЮТСЯ нагначение и область примене-
ния способ управления, мощность и про-
шводительность, коэффициент полезного
цистеин, масса, габаритные размеры,
стоимость и др
Производительность машин измеряют
в е шпицах, которые наиболее пригодны
Д1я обрабатываемых материалов. Напри-
мер, производительность ткацких станков
характеризуют количеством метров со-
тканной ткани, транспортера- массой
транспортируемого |руза в единицу
времени и т п.
Коэффициент полезного действия яв-
ляеття характеристикой экономичности
машин Он покатывает Долю полетно реа-
лн тус мои энергии и эффективность ее ис-
пользования
Массу и габаритные ратмеры необхо-
1имо тпать тля транспортирования ма-
шин и размещения их на производствен-
ных площадях.
Основные характеристики машин ска-
тываю! в их техническом паспорте
К машинам и механизмам предъяв-
ляют следующие основные требования:
работоспособности" надежности; техно-
IO1 нчности; экономичное । и, эргономич-
ности
Работоспособность. Рабо гос, юсобно-
< и>ю называю! состояние машин и меха-
низмов, при котором они способны нор-
мально выполнять заданные функции с
параметрами, установленными норматив-
но шхнической документацией (техниче-
скими условиями стандартами и т и )
Надежность. Надежностью изделия
называют свойство выполнять заданные
функции, сохраняя во времени значения
хстановленных 'эксплуатационных показа-
телей в заданных пределах, cooiбедствую-
щих заданным реи имам в условиях ис-
пользования, техническою обслуживания,
ремонта, хр зпения и т paiicnopi ирования.
Надежность является общей пробле--
мои для всех отраслей машиностроения
и приборостроения Любая современная
машина или прибор, какими бы высокими
характеристиками они ни обладали, будут
обесценены при ненадежной работе.
Надежность изделия зависит от необ-
ходимой наработки, которая может исчис-
ляться в часах работы станка, налета са-
молета и т. д., в километрах пробега
автомобиля, гектарах обработанной зем-
ли для сельскохозяйственной машины и
г. д Надежность зависит от всех этапов
создания и эксплуатации изделий. Ошиб-
ки проектирования, погрешности в про-
изводстве, упаковке, транспортировке и
эксплуатации изделия сказываются на
его надежности
Технологичность. Технологичными на-
зывают машины, требующие минималь-
ных затрат средств, времени и труда в
производстве, эксплуатации и ремонте.
Машины должны быть конструктивно
гибкими, т. е. приспособленными к гибко-
му автоматизированному производству
(ГАП). Для этого их конструкции долж-
ны характеризоваться также высокой
преемственностью и высоким уровнем
стандартизации и унификации конструк-
ционных элементов, материалов, расчетов
и технологии, возможностью «сращива-
ния» систем автоматизированною проек-
тирования и производства и др.
Экономичность. При оценке эконо-
мичности учитывают затраты на проек-
тирование, изготовление, эксплуатацию
и ремонт.
Экономичность машин достигается за
счет снижения материалоемкости, энерго-
емкости и трудоемкости производства, за
счет максимального коэффициента полез-
ного действия в эксплуатации при высо-
кой надежности, высокой специализацией
производства и т. д.
Эргономичность. Совершенство и кра-
сота внешних форм машины и удобство
обслуживания существенно влияют на от-
ношение к ней со стороны обслуживающе-
го персонала.
Красивый внешний вид деталям, уз-
лам и машине придают форма и внешняя
отделка конструкции (декоративная поли-
ровка, окраска, нанесение гальванических
покрытий и оксидных пленок и т.д.). Су-
щественное значение имеет и влияние ма-
шин на окружающую среду.
Выполнение указанных требований
обеспечивается в результате создания и
5
совершенствования машин в процессе эк-
сплуатации, в котором участвуют не толь-
ко инженеры-конструкторы, но и инжене-
ры-техноло| и, инженеры по эксплуатации
и ремонту, инженеры экономисты и другие
специалисты, а также техники и рабочие,
занятые в технологических процессах.
Вот почему для понимания принципа
действия используемых па производстве
машин, и в особенности для их совер-
шенствования (например, с целью фор-
сирования режимов работы, переналадки
и т.п.), необходимо иметь представление
о построении машин, распространенных
в технике механизма^, методах их анализа
и оценки надежности.
§ 1.3. содержание и основныезадачи
КУРСА
Прикладная механика является
частью общей области науки — машино-
ведения и занимается изучением движе-
ния и работы механизмов, разработкой
и совершенствованием расчетов и оценок
прочностной и триботехнической надежно-
сти основных элементов машин и меха-
низмов, экспериментальной механикой
машин и обобщением инженерного опыта
создания механизмов и машин.
Распространение ЭВМ способствова-
ло математизации и уточнению инженер-
ных методов расчета, изменению облика
проектирования и производства машин
и механизмов. Оптимизация конструкций
и технологии стала обязательным этапом
в их создании.
Как учебный курс «Прикладная меха-
ника» решает частные задачи, предписан-
ные учебной программой для немашино-
строительных специальностей вузов:
1. Изучение общих основ построения
машин, механизмов и деталей.
2. Рассмотрение основ прочностной и
триботехнической надежности элементов
конструкций, выбор конструкционных ма-
териалов
3. Ознакомление с основами стандар
тизации и взаимозаменяемости.
4. Приобретение начальны^ навыков
конструирования.
Прикладная механика является
традиционным и одним из старейших кур-
сов общеинженерной подготовки в техни-
ческих вузах нашей страны и за рубе-
жом. По общему признанию ей принадле-
жит ведущая роль в формировании языка
общения инженеров различных специаль-
ностей.
Содержание курса непрерывно изме-
няется в связи с развитием техники и на-
учных исследований.
§1.4. КРАТКИЕ ИСТОРИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ
О РАЗВИТИИ ПРИКЛАДНОЙ МЕХАНИКИ
Прикладная механика как наука о ма-
шинах и других конструкциях выделилась
из теоретической механики в начале
XIX в. Ее развитие было неразрывно свя-
зано с развитием машинного способа про-
изведет ва Однако задолго до этого многие
изобретатели и ученые (Архимед, Леонар-
до да Винчи, Ползунов, Уатт, Кулон и др.)
создали фундамент машиностроения
Значительный вклад в развитие при-
кладной механики внесли ученые и изо-
бретатели- М В. Ломоносов (1711-
1765), разработавший конструкции ма
шин для производства стекла и испыта-
ний материалов, И. П Кулибин (1735
1818) - создатель механизмов протеза,
часов-автоматов и др.; Е А и М Е. Че-
репановы — создатели первого в России
паровоза и мнотие другие. Академик
Санкт-Петербургской академии наук
Л. Эйлер (1707-1783) впервые предло-
жил для зубчатых колес эвольвентное за-
цепление, уже более двух веков использу-
емое при построении зубьев колес меха-
нических передач
К числу крупных ученых, создавших
научные основы курса прикладной
механики, можно отнести: выдающегося
математика и механика акад. П. Л Че-
бышева (1821 1894), блестяще решив-
шего ряд трудных задач синтеза меха-
низмов, изобретателя арифмометра и со-
рока различных механизмов, акад
И. А Вышнеградского (1831 1895)
создателя теории автоматического регу-
лирования, Т Оливье (1793-1858),
Р. Виллиса (1800—1875), Рело (1829-
1905), X. И. Гозмана (1851 1916), из
вестных по работам в области синтеза
зубчатых механизмов, проф. Н. П Пет
рова (1836 -1920), впервые получившею
важные формулы для определения коэф-
6
фициента трения смазанных тел с учетом
вязкости смазываемой жидкости, проф.
Н. Е. Жуковского (1847 1921), внесше-
го существенный вклад в изучение слож-
ных вопросов динамики механизмов, тео-
рии гидродинамической смазки машин,
распределения нагруф.ки между витками
ревьбы; акад. В. П. Горячкина (1868
1935) — создателя теории расчета и по
строения сельскохозяйственных машин,
исполнительные механизмы которых вос-
производят движение руки человека,
проф. Л. В. Ассура (1878 —1920), от-
крывшего общие закономерности в струк-
туре многозвенных плоских механизмов;
проф. А II Малышева, предложившего
теорию структурного анализа и сингеба
применительно к сложным плоским и про-
странственным механизмам.
Фундаментальные исследования по
кинематике сложных механизмов, их
классификации, точности и другим вопро»
сам теории механизмов и машин принад-
лежат советским ученым- И И Артобо-
левскому и Н Г. Бруевичу, чл -кор АН
ССС Р В В Добровольскому и
Н. М. Беляеву и др.
Мировую известность в области
сопротивления материалов приобрели ра-
боты русских ученых Д. И. Журавского,
Ф. С. Ясинского, А. И. Гадолина и др.
В начале XX в большое влияние на
развитие науки о сопротивлении материа-
лов имели труды И. Г. Бубнова,
А Н. Крылова, Б. Г. Галерки на,
С П. Тимошенко, П. Ф. Папковича и др.
Большой вклад в развитие механики
машин в последние годы внесли извест-
ные советские ученые: акад. АН СССР
И Ф. Образцов и К. В Фролов, чл.-кор
АН СССР В. И. Феодосьев и
В. В. Болотин, проф. И. А Биргер,
В Н Кудрявцев, Д. Н. Решетов,
С. В. Сервисен и др.
Многочисленные коллективы совет-
ских ученых вносят существенный вклад
в развитие советских научных школ при-
кладной механики.
Глава 2
СТРУКТУРА МЕХАНИЗМОВ
§ 2.1. СТРУКТУРНЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ
МЕХАНИЗМОВ И ЗОНАМИ АНАЛИЗА
Звенья и кинематические пары. М е-
х а н и з м представляет собой связанную
систему тел частей механигма, движу-
щихся как единое целое. Каждое такве
тело называют звеном.
В зависимости от конструкции звено
может быть простым, т. е. выполненным
без применения сборочных операций, или
сложным (составным). В таком сЖ-чае
простое звено и отдельные Элементы
сложного звена называют деталями.
Звенья различают по конструктивным
признакам (зубчатое коЛКсо, поршень, вал,
игла и т. д ), по информативности (жесткое
и гибкое звено), по характеру их движе-
ния В последнем случае твено, совершаю-
щее полиооборотное вращение вокруг не-
подвижной оси, называют кривошипом-,
при неполнооборотном вращении — коро-
мыслом; звено, движущееся возвратно-по-
ступательно,— полисном и т. д.
Формирование механизма,
т. е соединение отдельных его частей,
осуществляется с помощью кинематиче-
ских пар (табл. 2.1) -соединений (со-
пряжений) двух соприкасающихся звень-
ев, допускающих их относительное дви-
жение.
Конструктивно любая пара представ-
ляет собой подвижное сопряжение соеди-
нительных частей звеньев, в котором «си-
ловой поток» от одного звена к другому
передается за счет геометрического замы-
кания (запирания, например, с помощью
дополнительной детали - оси) или сило-
вого замыкания (прижатия силами упру-
гости, тяжести, рабочими нагрузками и
т. д.Б
Соединительные части гвеньев контак-
тируют друг с другом в ненагруженном
состоянии в точке, по линии, по поверх-
ности (см. табл. 2.1) —элементах контак-
та звеньев
Кинематические пары передают на-
грузку и движение и часто определяют ра-
ботоспособность и надежность механизма
и машины в целом. Поэтому правильный
7
Таблица 2.1
Клосс
поры
Число .
условии
связи
Название пары, рисунок
Условное
обозначение
Сферическая с пальием
выбор вида пары, ее формы и размеров,
а также конструкционных материалов
и условий смазывания имеет большое зна-
чение при проектировании и эксплуатации
машин.
По характеру соприкосновения эле
ментов пары подразделяют на низшие
(звенья между собой контактируют по
поверхности) и высшие (звенья контакта
руки по линиям или в точЦ^х)
Отметим, что под нагрузкой высшие
кинематические пары также соприкасают-
ся по поверхностям (площадкам), но pas
меры этих поверхностей пренебрежимо
малы в сравнении с поверхностью сопря-
гаемой части звена. По этой причине вы-
сшие пары имеют меньшие потери на тре-
ние и компактную конструкцию, чем ни-
зшие пары. Но низшие пары обладают
большей нагрузочной способностью.
По числу наложенных условий связи
S (или степеней подвижности Н) на отно
сительные движения звеньев кинематиче-
ские пары по предложению акад.
И. И. Артоболевского делят на классы^
Для свободного тела в пространстве
число степеней подвижности равно шести,
a S и Н связаны соотношением: H = 6-S,
где S изменяется от единицы до пяти
При S =6 кинематическая пара становится
жестким соединением (звеном), а при
S = 0 кинематической пары не существу-
ет, а два звена движутся независимо
друг от друга в пространстве.
При S=1 кинематические пары име-
ют пять степеней подвижности (пяти-
подвижные), при S = 2 — четыре
степени подвижности (четырехподвиж-
ные) и т. д.
В табл. 2.1 даны примеры кинемати-
ческих пар с их условными обозначениями
по ГОСТ. Наибольшее распространение
получили кинематические пары 5-го класса
(одноподвижные). К ним относятся посту-
пательная, вращательная и винтовая пары.
Роль вращательной кинематической пары
может выполнять более сложная конст-
рукция — шарико- или роликоподшипник.
Винтовая пара также является однопод-
вижной, так как между поступательным
перемещением I и углом поворота ф су-
ществует зависимость /=Рф/(2л), где Р
шаг резьбы.
Распространены и другие классифика
ции пар (например, по характеру движе
ния, по расположению в пространстве
и др.).
Кинематические цепи. Система звень
ев, соединенных е помощью кинематиче-
8
Рис. 2 1 Кинематические цепи:
а — зимкнутля прос тая, б - разомкнутая простая, в - замкнутая сложная? г — разомкну-
тая сложная
ских пар, называется кине магической
цепью (рис 2 1, а — г)
В зависимости от строения различают
замкнутые и незамкнутые кинематические
цепи. В замкнутой кинематической цепи
(рис. 2.1, а, в) каждое звено входит не
менее чем в две кинематические пары,
в нееамкнутой (открытой) цепи (рис. 2.1,
б, г) имеются звенья, входящие лишь
в одну кинематическую пару (например,
механизм весов)
Таким образом, механизм —Зо кине-
матическая цепь, в которой при .заданном
движении одного или нескотьких звеньев
относительно любого и з них все ос сильные
звенья двиусцтся определенном ооразом
Звено, относительно которого
оцениваются параметры движения (пере-
мещения, скорости и др.), называют стой-
кой (корпусом, рамой, станиной и т.п.).
Обычно в качестве стойки берут непод-
вижное звено, а в транспортных машинах
(автомобилях, самолетах и т. д.) стойкой
считают раму, корпус, которые движутся
относительно земли. В зависимости от
положения в цепи различают входное и
выходное звенья. Входным называют зве-
но, которому сообщается движение от
двигателя, выходным — звено, реализую-
щее движение, для выполнения которого
и предназначен механизм. Механизмы
могут иметь несколько входных и выход-
ных звеньев. Например, дифференциал
автомобиля при одном входном звене, по-
лучающем вращение от двигателя, имеет
два выходных звена, приводящих во вра-
щение задние (или передние) колеса.
Обычно число входных звеньев равно
числу степеней подвижности механизма.
Кинематические цепи классифициру-
ют также по внешним признакам, условно
подразделяя их на плоские и простран-
ственные (при движении звеньев в про-
странстве), на простые (рис. 2.1, а, б)
и сложные (рис. 2.1, в, г). Простой назы-
вают кинематическую цепь, у которой
каждое звено входит в соединение с дру-
гим звеном с помощью одной или двух
кинематических пар. В противном случае
цепь называют сложной.
Задачи структурного анализа. Строе-
ние механизма определяет его основные
характеристики (виды реализуемых дви-
жений, число степеней подвижности
и др.).
Поэтому основные задачи структурно-
го анализа механизмов включают в себя,
а) определение количества свобод движе
пня механизмов в зависимости от [еомет-
ричесм1' форм сопряжении звеньев и их
ко шчсства, б) разах тение механизма па
структурные группы (декомпозиция меха-
нита), в) обеспечение заданных форм
траектории движения точек звеньев в со
ответствии с требованиями технологии
прок твотс гва и эксплуатации
Для структурного анализа использу-
ют структурную схему — простейшую
расчетную модель механизма, описываю-
щую принцип действия и основные осо-
бенности работы. Для этого механизм
изображают с помощью условных обозна-
чений звеньев и кинематических пар (без
указания размеров звеньев). На схеме
звенья обозначают цифрами, а пары и
характерные точки — буквами. Непод-
вижное звено показывают штриховкой.
§ 2.2. ОСНОВНЫЕ ВИДЫ МЕХАНИЗМОВ
Исходя из кинематических, конструк-
тивных и функциональных свойств, меха-
низмы подразделяют на рычажные,
кулачковые, фрикционные, зубчатые и др.
9
Рис. 2. 2. Рычажные механизмы
(аксиальным) кривошипно ползунный, б чезвыигыьный ьрИВОШИПНО'ИО.ТЗУННЫИ.
в кривошипно-кулисный a прост рант венный сферический
Рычажные механизмы. Рычажными
называют механизмы с геометрическим
замыканием (запиранием) звеньев во
вращательных и поступательных кинема
тических парах
Благодаря этому они могут переда-
вать большие усилия и мощности, чем
другие механизмы в аналогичных услови-
ях Звенья механизмов сравнительно про-
сты в изготовлении
Механизмы применяют в основном
для преобразования вращательного дви-
жения входного звеня в качателыгое и
возвратно- поступательное движение вы-
ходного звена.
Рычажные механизмы делятся на
плоские и пространственные.
Среди этого типа механизмов наибольшее
распространение получили кривошипно-
шатунные (рис. 2 2, а, б) и кулисные
(рис. 2 2, в) механизмы. На рис. 2 2 пока-
заны схемы аквйальног о (рис. 2.2, а) и
дезаксиального (рис. 2.2, б) кривошипно-
шатунного механизма, используемого для
преобразования вращательного движения
кривошипа 1 в возвратно-поступательное
движение ползуна 3 Ползун и кривошип
соединяются с помощью звена 2,
совершающего сложное плоское движе-
ние и соединенного с другими подвижны-
ми звеньями с помощью низших кинема-
тических пар вращения. Дезаксаж (сме-
щение) е вводится в основном для
уменьшения давления ползуна па непод-
вижное звено 4.
На рис. 2.2, в изображен кривошипно-
кулисный механизм Он состоит из криво-
шипа /, кулисы 3, представляющей собой
подвижное направляющее звено, и звена
2, называемого кулисным камнем Бели
1>г, то вращательное движение криво-
шипа / преобразуется в возвратно-вра-
щательное движение кулисы 3 Когда /<
<г, то при равномерном вращении кри-
вошипа / кулиса 3 вращае’Л'я с пе-
ременной угловой скоростью
На рис. 2.2, г представлен простран
ственный сферический механизм с низши-
ми кинематическими парамгг, который
служит для передачи движения между
пересекающимися осями поя углом а.
Этот механизм известен под названием
карданной передачи
Кулачковые механизмы. Механизмы
образуются путем силового замыкания
звеньев кулачка и толкателя (коро-
мысла )
Кулачок обычно представляет собой
диск (реже цилиндр), профиль которого
очерчен определенной кривой, которая
строг’о задает движение толкателю (коро-
мыслу). В зависимости от вида движения
сопряженное с кулачком Звено называет-
ся либо толкателем (рис. 2.3, а, б), либо
Коромыслом (рис. 2 3, в, г) Кулачок и ко-
ромьШдо соединяют со стойками с по-
мощью вращательных нар, толкатель -
поступательной парой. Для уменьшения
потерь на трение толкатель и коромысло
снабжают цилиндрическими роликами.
10
Рис 2.3. Кулачковые механизмы
а вращающимся кулачок и всмвратно-яцсиупательно гвижмцищя ньжатель, б — вов,
вратно-поетхиательно движущиеся кулачок и толкатель, в врашающнйёя кулачок и ка
чающийся толкате ль а иространс i вечный кулачковый механи^^Н
Конструктивно силовое замыкание звень-
ев осуществляют за счет сил упругости
(например, от предварительно деформи-
рованной пружины), реже- сил тяжести
Механизмы используют для преобра-
зования вращательного (рис, 2 3, а, в)
или возвратно-поступательного движения
(рис. 2 3, б) входного гвена (ведущего
гвена) 1 в возвратно-поступательное
(рис. 2.3, а, б) или возвратно-вращатель
ное (рис. 2.3, а) /Движение выходного
(ведомого) звена 2 даже с остановка,ми
заданной продолжительности
В механизмах применяют также
сложные плоские и пространственные ме-
ханизмы в комбинациях с рычажными
и губчатыми механизмами
Фрикционные механизмы. В утих
механизмах движение от ведущего звена
к ведомому передается га счет сил тре
ния, возникающих в результате контакта
этих звеньев.
Простейшая фрикционная передача
(механизм) показана на рис. 2 4, а. Она
состоит из двух цилиндрических катков 1,
2 и стойки 3. Один каток прижимается
к другому силой упругости пружины
К фрикционным механизмам относятся и
вариаторы (рис. 2.4, б), гс^орые
обеспечивают плавное изменение угловой
скорости ведомого звена 2 при равномер-
ном вращении ведущего гвена / и его
перемещении вдоль оси Вариаторы налы
ваются бесступенчатыми передачами.
Фрикционный механизм может быть
выполнен и с гибкими звеньями Его приме
няют для передачи вращения между вйла-
ли при больших межоГевых расстояниях
Под гибкими рвеньями понимают рем-
ни, канаты, цепи, нити На рис. 2 4, б
приведена простейшая передача гибкой
связью.
Зубчатые механизмы. Зубчатыми на-
зывают механизмы (передачи), образо-
Рис 2.4 Фрикционные механизмы.
а фрикционная передача б лобовой вариатор, в механизм с гибким «веном
I I
Рис. 2.5. Зубчатые механизмы
а — обычный, 6 - планетарный
ванные с помощью зубчатых колес
1 и 2 — цилиндрических или конических
дисков, снабженных выступами - зубь
ями (рис 2.5, а)
Передача нагрузки и движения между
колесами осуществляется за счет воздей-
ствия зубьев друг на друга (силового за-
мыкания — зацепления вубьев) В отли-
чие от фрикционной передачи здесь ис-
ключено проскальзывание звеньев.
Механизмы широко применяют в ма-
шинах для передачи вращения между не-
подвижными и подвижными осями. В по-
следнем случае механизмы называют пла-
нетарными. На рис. 2.5, б показан про-
стейший планетарный механизм. Ось
колеса 3— сателлита, соединенная води-
лом 2 с осью колеса /, совершает враща-
тельное движение. Колесо / в этом слу-
чае называется центральным, а колесо
3 — сателлитом.
Волновые передачи (рис. 2.6) по су
ществу можно было бы назвать планетар
ными хЖанизмами с гибким сателлитом
В волновых передачах поток мощно
сти распределяется по зонам зацепления
с большим числом-зубьев по сравнению с
друтми зубчатыми механизмами Ролики
генератора волн 2 деформируют гибкое
колесо / при сборке и вводят его зубья
в зацепление с зубьями жесткою колеса
3 по большой оси элЗгнпеа и выводят из
зацепления по малой оси Движение пе-
редается за счет «бегущей волны» дефор-
мации гибкого колеса Число зубьев
гибкого колеса меньше, чем у жест-
ко! о
Крестовидный (мальтийский) меха-
низм (рис. 2 7) состоит из трех Звеньев
Звено / несет на себе цевку центр
А которой удален от осн вращения О на
расстояние г, а замок В представлен сек*
тором, очерченным окружностью радиуса
го Звено 2, навиваемое крестом, имеет
несколько прорезей (на рис. 2 7 четы
ре) и такое же число замков £), очерчен
ных радиусом га. Неподвижное звено
3 имеет подшипники с центрами в точках
О и С. Звено / вращается равномерно,
а звено 2 то вращается, то останавлива
ется Когда замки В si D соприкасаются
ио окружности, звено 2 неподвижно При
дальнейшем вращении звена / невка вхо
дит в прорезь креста 2 и крест вращается
в направлении, противоположном враще-
нию звена / Крест остается неподвиж
ным до тех пор, пока пенка не войдсч
в следующую прорезь. Такой механизм
применяется в киноаппаратуре, подаю
щей кинолент у
Гидравлическими и пневматическими
механизмами называются такие, в каж-
дом из которых преобразование движения
Рис 2 6 C.xe^ia волновой передачи
12
Рис. 2.7. Мальтийский механизм
происходит посредством твердых и жид-
ких иди твердых и воздушных тел.
На рис. 2.8 приведена схема
гидравлического механизма, предназна-
ченного для привода в движение поршня
/ с помощью распределителя 2. Жидкость
Рис. 2.8. Гидравлический механизм
в цилиндр 5 поступает из распределителя
в результате поочередного включения
электромагнитов 3 и 4. Гидравлическая
схема включает в себя также насос 6, бак
7 и клапан 8. В пневматическом механиз-
ме насос заменяют источником сжатого
воздуха.
§ 2.3. СТРУКТУРНЫЕ ФОРМУЛЫ
КИНЕМАТИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
И МЕХАНИЗМОВ
Структурными формулами называют-
ся закономерности, связывающие число
степеней свободы // кинематической цепи
механизма с числом звеньев и числом
и видом ею кинематических пар.
Если предположить, что число степе-
ней свободы механизма И совпадает с
числом обобщенных координат, то для
определения Н достаточно найти общее
число координат, определяющих положе-
ние всех звеньев механизма, и число
уравнений, связывающих эти координаты.
Разность между этими числами дает чис-
ло независимых координат, если все урав-
нения связи независимы.
Каждое звено, находясь в пространст-
ве, имеет шесть степеней подвижности.
Если таких звеньев k, то общее число
степеней подвижности будет 6k. Соедине-
ние звеньев в кинематические пары
накладывает связи на относительное дви-
жение звеньев. Эти ограничения зависят
от класса кинематической пары, т. е. чис-
ла условий связи. Если число пар каждо-
го класса обозначить через р„, где индекс
п - номер ее класса, то в самом общем
случае в кинематической цепи будет р,
пар первого класса, р2 пар второго клас-
са и т. д. Следовательно, из 6k степеней
подвижности, которыми обладают свобод-
ные звенья, следует исключить те степени
подвижности, которые ограничиваются
кинематическими парами. Тогда число
степеней подвижности пространственной
кинематической цепи будет
// = 6/г —5р5 —4р4 —Зр3 —2р2 —рР (2.1)
Если одно из звеньев кинематической
цепи будет неподвижным (стойка), то
степень подвижности кинематической це-
пи V7 (число степеней подвижности отно-
сительно звена, принятого за неподвиж-
ное) будет
1Г=6я-5р5-4р4-Зрз-2р2-р1. (2.2)
Если звенья механизма движутся в
одной плоскости, то механизм называется
плоским и структурная формула (2.2)
для общего вида таких механизмов при-
нимает вид
W = 3n-2p5-p4. (2.3)
Формула (2.3) впервые была предло-
жена П. Л. Чебышевым в 1869 г.
Структурные формулы (2.2) и (2.3)
получены из предположения, что все
уравнения связи независимы. В некоторых
механизмах это условие не выполняется.
В общее число наложенных связей
может войти q избыточных (повторных)
связей, которые не уменьшают подвижно-
13
Рис. 2.9. Схемы к определению избыточных связей:
а четырехзвенный мехашвм с парами пятого класса; б четырехэвенныи механизм
с парами третьего, четвертого и пятого классов; в сложные кинематические пары
(одно- и лвухопорный коленчатый пал)
сти механизма, обращая его в статически
неопределимую систему. Тогда формулы
(2.2) и (2.3) принимают вид
П7 = 6л —-5р3 —4р4 —Зр3 —
-2р2-р, + <7 (2.4)
и
lF = 3n —2р5—р4 + </. (2.5)
Из формул (2.4) и (2.5) получаем
q= W — 6л + 5р5 + 4р4 +
+ Зр.з + 2р2-|-р| (2.6)
и
<7 = W — Зп+2р5+р4. (2.7)
При <7 = 0 механизм представляет собой
статически определимую систему и сбор-
ка его происходит без деформации звень-
ев (самоустанавливающийся механизм),
а при </>0 статически неопределимую
систему. Сборка и движение такого .меха-
низма происходят при деформации его
звеньев.
В уравнении (2.6) неизвестны W и q
и решение его представляет большую
сложность.
В реальном механизме между элемен-
тами кинематических пар имеются зазоры,
а при движении механизма его звенья мо-
гут деформироваться. Это является
источником шума.
При проектировании механизмов сле-
дует выполнять два основных тре-
бования. Во-первых, точность изготов-
ления деталей и монтажа опорных и кор-
пусных деталей должна быть определена
из условия отсутствия защемления эле-
ментов кинематических пар. Во-вторых,
жесткость корпусных деталей должна
быть достаточно высокой, чтобы исклю-
чить возможность перекоса осей враще-
ния кинематических пар и параллельного
смещения осей шарниров или направляю-
щих, обусловленных деформацией корпу-
са. В противном случае появляется воз-
можность защемления элементов кинема-
тических нар и усиленного изнашивания
пар трения.
Все механизмы, в том числе и плос-
кие, при анализе и синтезе структуры
должны рассматриваться как простран-
ственные.
В плоском четырехзвенном механиз-
ме (рис. 2.9, а) все кинематические нары
пятого класса являются одноподвижны-
ми. Если оси шарниров А, В, С, D строго
параллельны между собой, то но формуле
(2.3) степень подвижности W = 3л —
— 2р5 = 3-3 — 2-4= 1. Если тот же меха-
низм рассматривать пространственным,
то при W=1 число избыточных связей
[по (2.5)] будет: q= U7 — 6л + 5р-,= 1 —
— 6-34-5-4 = 3, т. е. в механизме имеют-
ся три избыточных связи. Устранение их
достигается изменением подвижностей от-
дельных кинематических пар. Например,
если шарнир В заменить сферической па-
рой третьего класса, а шарнир С — сфе-
рической парой с пальцем (четвертый
класс) (рис. 2.9, б), то избыточные связи
в механизме будут отсутствовать и U7 =
= 6л — 5р5 — 4р4 — Зр.з + q = 6- 3 — 5 • 2 —
-4.1 -3.1 +()=(.
14
Устранение избыточных связей
снижает требования к точности изготов-
ления кинематических пар, способствует
адаптации основания механизма к дефор-
мациям и погрешностям монтажа.
При проектировании машин часто
применяются сложные кинема-
тические пары. На рис. 2.9, в
показаны схемы одноопорного и двухо-
порного коленчатых валов одноцилиндро-
вого двигателя (при четырехцилиндровом
двигателе может быть пять опор). С точ-
ки зрения кинематики вполне достаточна
одноподвижная вращательная пара
А. Для повышения жесткости такой сис-
темы ставят две опоры А и А'. При ана-
лизе структуры системы вал - корпус ма-
шины эти две опоры считают как одну
кинематическую пару. Эта пара будет
сложной. При ее образовании могут быть
внесены избыточные связи, которые здесь
называются локальными или пассивными.
Эти связи, позволяющие реализовал. тре-
буемое относительное движение звеньев,
не сказываются на общих структурных
свойствах механизма и должны рассмат-
риваться независимо. Чтобы локальные
связи не обратились в действующие, не-
обходимо соблюсти требования точности
изготовления и жесткости звеньев во из-
бежание защемления пары.
В ряде случаев избыточные связи вво-
дят специально для повышения жестко-
сти механизма или устранения неопреде-
ленности движения звеньев механизма в
некоторых его положениях.
Примером этому может служить
механизм сдвоенного параллелограмма
Рис. 2.10. Механизм сдвоен-
ного параллелограмма
(рис. 2.10). Для получения значения
U7=l необходимо строгое соблюдение
геометрических соотношений /18 = СО,
BC = AD и EF = AD, если AE—DF, и вы-
сокой точности изготовления механизма.
При этих условиях введение дополнитель-
ного звена EF не вносит новых геометри-
ческих связей. По формуле (2.3) степень
подвижности механизма 117 = 0, а
фактически W=1. Звено EF введено для
увеличения жесткости механизма и не
дает возможности во время его работы из
механизма параллелограмма получить
механизм антипараллелограмма.
В ряде случаев в механизм вводят
лишние степени подвижности. Примером
может служить установка в соединение
между двумя звеньями шариковых и ро-
ликовых подшипников, введение ролика
между толкателем и кулачком и т. д. Их
вводят в конструкцию механизма для то-
го, чтобы уменьшить износ в кинематиче-
ских парах.
Замена высших кинематических пар
низшими применяется в плоских механиз-
мах для удобства изучения их структуры
и кинематики. Основными условиями за-
мены являются сохранение первоначаль-
ной степени подвижности и относитель-
15
ных (в рассматриваемом положении)
движений всех его звеньев.
На рис. 2.11, а—г приведены приме-
ры замены высшей кинематической пары
в плоских механизмах звеном, входящим
в две низшие кинематические пары пятого
класса. Механизм с низшими кинематиче-
скими парами называется заменяющим.
§ 2.4. СТРУКТУРНЫЙ АНАЛИЗ
И СИНТЕЗ МЕХАНИЗМОВ
Под структурным анализе м
механизма понимается определение
количества звеньев и кинематических пар,
классификация кинематических пар,
определение степени подвижности меха-
низма, а также установление класса и по-
рядка механизма.
Структурным синтезом
механизма называется проектирова-
ние структурной схемы механизма, кото-
рая состоит из неподвижного и подвиж-
ных звеньев и кинематических пар.
Наиболее удобным методом нахожде-
ния структурной схемы является метод
присоединения структурных групп Ассура
к ведущему звену или основному
механизму. Группа Ассура названа по
имени А. В. Ассура, который впервые
фундаментально исследовал структурную
классификацию плоских стержневых ме-
ханизмов.
Группой Ассура называется кинемати
ческая цепь, которая в случае ее присое-
динения элементами внешних пар к стой-
ке получает нулевую степень подвижно-
сти, т. е. образует ферму. Структурные
формулы групп Ассура получаются щ
формулы Чебышева: И7 = 3п—2рг,, откхда
рг, = 3/2п, где п число подвижных
звеньев. Отсюда следует, что число кине-
матических пар пятом) класса в труппе
обязательно целое число. Этот принцип
на рис. 2.12, а -г проиллюстрирован
примером присоединения двух двухттовод-
ковых групп с нулевыми степенями иод
вижности к ведущему звену (цифрами
обозначены номера звеньев).
По предложению И. И. Артоболевско-
го класс и порядок механизма определя-
ются по той группе, которая имеет
наивысший класс и входит в состав меха-
низма.
Порядок группы определяется числом
элементов, которыми группа присоединя-
ется к основному механизму (рис. 2.13).
Класс группы определяется классом
наивысшего по классу контура, входяще-
го в его состав.
Класс контура определяется количест-
вом кинематических пар, в которые вхо-
дят образующие его звенья (рис. 2.14).
Помер класса труппы равен числу ки
нематических пар, входящих в замкнутый
Рис. 2.12.
тпестизвепного мехапи тиа
Пример образования плоского
2-й порядок 3 - й порядок
Рис. 2.13. Схемы групп различного порядка
16
1-й класс
2-й класс
3-й класс
Рис. 2.14. Схема к определению класса контура
контур, образованный внутренними кине-
матическими нарами, за исключением
двухповодковой группы, которая условно
относится ко второму классу.
Класс н порядок механизма зависят
от того, какое звено является ведущим.
Принцип наслоения структурных групп
распространяется на механизмы, звенья
которых представляю г твердые тела.
Структурная группа плоских механиз-
мов может быть отражена формулой
(2.2|, если «'=:().
Вопросы для самопроверки
I. Какова равнина между кинематической
пенью и кинематической нарой?
2. Что называется механизмом, кинемати-
ческой цепью и группой Лссура?
3. Как осуществляется замена высших ки-
нематических нар низшими?
I. Как происходит замыкание кинематиче-
ских нар в кинематической цепи?
5. С. какой целью вводятся в механизм
.пниние степени свободы?
Глава 3 '
ОСНОВЫ НАДЕЖНОСТИ МАШИН
И ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА
§ 3.1. СУЩНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ
НАДЕЖНОСТИ
Если понятие качества машины связа-
но с условиями ее изготовления, эксплуата-
ции и приспособляемости к высокопро-
изводительному использованию, то про-
блема надежности является одной из
важнейших составляющих качества ма-
шины. Надежность машины зависит от
качества проектирования, изготовления,
эксплуатации машины и даже от ее упа-
ковки и транспортирования.
1 § 3.1...3.1 написаны но лекциям проф.
Р. В. Poieiioepi а.
Появление науки о надежности связа-
но с усложнением машин и их функцией,
непрерывным повышением мощностных и
скоростных показателей при одновремен-
ном уменьшении удельной массы и
объема элементов машин и возрастанием
требований по надежности машин.
Теория надежности оценивает надеж-
ность машины количественными показате-
лями, разрабатывает методы испытания
на надежность, систему наблюдения за
надежностью машины в эксплуатации,
включая сбор и обработку соответствую-
щей информации. Здесь разрабатываются
методы прогнозирования надежности ма-
шины, начиная от ее проектирования до
эксплуатации.
Оценка надежности машин в услови-
ях их массового производства осущес-
твляется вероятностно-статистическим
методом, когда рассматривается и оцени-
вается не конкретный образец машины,
а среднестатистический и вероятность его
пребывания в том или ином состоянии.
Существует и функциональный подход
к оценке надежности машины, определяю-
щий ее состояние (выходные параметры),
когда выход одного из показателей за до-
пустимые пределы означает падение на-
дежности. Успехи этого подхода зависят
от развития диагностики машин.
§ 3.2. НАДЕЖНОСТЬ И ЕЕ ОЦЕНКА
Исходя из определения надежное i и.
можно заключись, что надежное I г
слагается из безотказности, ремонтопри-
годности. долговечности и сохраняемосгн
изделия.
В зависимости от вида изделия
надежность его может определяться все-
ми или некоторыми из вышеперечислен-
ных свойств. Так, надежность подшипни-
ка определяется его долговечностью, зуб-
чатого колеса - безотказностью, долго-
вечностью, ремонтопригодностью.
Рис. 3.1. Кривые плотности вероятностей
Под безотказностью понима-
ют свойство изделия сохранять непрерыв-
ную работоспособность; под долго-
в е ч н о с т ь ю свойство изделия сохра-
нять работоспособность до предельного
состояния с необходимыми перерывами
для технического обслуживания и ремон-
тов; под ремонтопригодно-
стью свойство изделия, позволяющее
производить его ремонт и техническое об-
служивание, а под е о х р а н я е м о-
сть ю понимают свойство изделия со-
храняй показатели качества в течение
срока хранения и транспортирования, а
также после них.
Под надежностью можно понимать ка-
чество изделия, развернутое во времени.
Показатели безотказности различают
для невосстанавливаемых и восстанавли-
ваемых изделий. Для невосстанавливае-
мых изделий понятия безотказность, до-
лговечность и надежность совпадают.
Для восстанавливаемых изделий
безотказность это одно из свойств, оп-
ределяющих их надежность.
Показателями безотказности восста-
навливаемых изделий являются вероят-
ность безотказной работы, средняя нара-
ботка на ’отказ, интенсивность отказов;
для восстанавливаемых изделий веро-
ятность безотказной работы, наработка
на отказ, характеристика и параметр по-
тока отказов.
Расчеты приведенных показателей
проводятся на базе теории вероятностей.
Для определения показателей безот-
казности невосстанавливаемых изделий
необходимо знать распределение
о з к а з о в как случайных событий.
Распределение описывается характе-
ристиками плотности распределения отка-
зов j (х), интегральной функцией распре-
18
деления отказов Q (х) и вероятностью
безотказной работы Р (х). Первые две
характеристики связаны зависимостью
Р(х, Д х <
f(x) = lim-------------
xt + Ax)
dQ(x)
dx
(3.1)
Отсюда произведение /(x)\x при достаточ-
но малом Ах приблизительно равно веро-
ятности нахождения х в интервале от х, до
х,ДАх, т. е. Р (х, Дх<х, ДАх).
При наработке х, не превышающей
требуемой Х|, с помощью плотности рас-
пре де л е н и я п ол у ч а е м
P(x<x,)=p(S)dg, (3.2)
о
где £ переменная интегрирования.
Уравнение (3.2) графически представлено
на рис. 3.1, а. Здесь вероятность появле-
ния отказа за наработку х, меньшую тре-
буемой Х|, равна относительной площади
под кривой f (х) слева от значения хь
Вероятность безотказной работы Р (х)
определяется из плотности распределе-
ния. Так как в рассматриваемом случае
изделие может быть в состоянии отказа
или работоспособности, то P(xi)+Q (xi) =
= 1. Отсюда
Р (xi) = P (х>х,)= 1 —
-<Ж)=ф(£Ж (3.3)
Плотность распределения позволяет
найти вероятность того, что случайная
величина х заключена между %| и х?.
Р (х, ^.x<x2)=Q(x2) —
-Q(x,)=J /(s)de-
-^(s) f© a
l> X,
(3.4)
На рис. 3.1,6 соответствующая формуле
(3.4) площадь заштрихована.
Площадь распределения дает возмож-
ность найти среднюю наработку на отказ
оо
хи = j у аж
о
Интегральные функции Р (х) и Q (х) могут
быть представлены графиками (рис. 3.2).
По этим графикам можно определить ве-
роятность безотказной работы и появле-
ния отказа, если известна наработка х.
Условие отсутствия отказов до рас-
сматриваемого момента времени может
быть выражено интенсивностью отказов
<3.5)
На рис. 3.3 приведен распространен-
ный вид функции интенсивности отказов.
Здесь наработка распределена на три пе-
риода. Период I относится к приработке
изделия, когда интенсивность отказов по-
вышена. Период II называется периодом
нормальной эксплуатации, когда интен-
сивность отказов является минимальной
и интенсивность отказов постоянна по ве-
личине. В периоде III начинают появ-
ляться отказы из-за интенсивности из-
носа, усталостных разрушений, старения
и других причин, обусловленных длитель-
ностью эксплуатации.
При испытаниях или наблюдениях в эк-
сплуатации определяются (по известным
методикам) приближенные значения пока-
зателей безотказной работы, ио которым
можно оценить точные их значения, полу-
ченные по вышеприведенным формулам.
Так, например, для приближенного
определения безотказности надо знать их
наработки до отказа или до конца
испытаний: Х|, Х2, ...,х„.
Рис. 3.2. Функции распределения
отказов и вероятности безотказ-
ной работы
Тогда вероятность появления отказа
к наработке Хо, когда отказало N' изде-
лий и сохранило работоспособность N"—
N — N' изделий, составит
(?(х0) = М7Л(.
(3.6)
Здесь и далее приближенные оценки бу-
дем обозначать теми же буквами, но с
черточками сверху.
Вероятность безотказной работы
P(x0) = N"/N.
(3.7)
Средняя наработка до отказа составит
(3-8)
N’
где У х,. — суммарная наработка испы-
N
туемых изделий до отказа; N — число
испытуемых изделий. Если из N наблю-
даемых изделий за время Т отказало
г изделий, то средняя наработка до отка-
Рис. 3.3. Изменение интенсивности
отказов в зависимости от наработки
19
за будет равна
£Xi+T(N-r)
(3.9)
Интенсивность отказов, соответствующая
достаточно малому интервалу времени А/
(малой наработке Ах), равна
где Аг число отказов за наработку Ах;
ддг—число отказов изделий за наработ-
ку Ах; N -- число работоспособных изде-
лий к началу рассматриваемой наработки.
Из выражений (3.1) и (3.2) запишем
f (Х)-.
а х
Подставляя это соотношение в выражение
(3.5) и разделяя переменные, получим
d Р (х)
X (х) d х = -- d (In Р (х)].
г \Х)
Интегрируя это уравнение и учитывая,
что Р(0)=1, найдем вероятность безот-
казной работы:
Р(х) = ехр[ —X(s)d£(.
о
Пример. Определить показатели безотказ-
ной работы партии подшипников в количестве
N = 100 шт., которая должна иметь наработку
Х9о = 5000 ч (должны сохранить работоспособ-
ность не менее 90 % подшипников). Известно,
что в течение 5000 ч их работы произошли
отказы: одного подшипника - после 3000 ч,
двух подшипников после 4000 ч и одного
подшипника после 4500 ч.
Решение. В соответствии с принятыми
обозначениями хо = 5ООО ч, А'=4 и А"' = 96;
общая наработка
X х, = 3000 + 2 • 4000 + 4500 + 96 • 5000 =
49,55-104 ч. Пользуясь приближенными
формулами (3.6), (3.7) и (3.9), найдем Q(Xj) =
= 0,04; Р(Х() = 0,96 и хгр=123-103 ч.
Таким образом, вероятность безотказной
работы подшипников оказалась равной 96 %,
т. е. выше заданной, равной 90 %.
По формуле (3.10) можно определить так-
же величину интенсивности отказов для всей
партии в среднем на наработку x()li. Полагая
Лх = х9„, ЛА = А", получим X. (х90) = 0,8 • 10 -
Показатели долговечности. Долговеч-
ность изделия оценивается по ресурсу
(наработке) и сроку службы (продолжи-
тельности эксплуатации). Если ресурс да-
ет непосредственное представление о на-
работке в различных условиях, то срок
службы удобен при планировании сроков
сдачи изделий в ремонт, замене их новы-
ми и т. д.
При таком делении долговечности ее
показателями будут: ресурс от определен-
ного момента времени до списания изде-
лия; гамма-процентный ресурс, который
имеет и превышает обусловленное число
у процентов данных изделий; средний ре-
сурс, определяемый по совокупности
изделий, и т. д.
Важную информацию о долговечности
изделий дает кривая Р (х) (см. рис. 3.2).
Она позволяет установить гамма-
процентный ресурс.
Показатели ремонтопригодности зави-
сят от процессов восстановления, техниче-
ского обслуживания и ремонта.
Показателями сохраняемости могут
служить вероятность безотказности при
хранении и сроки сохраняемости.
§ 3.3. УСЛОВИЯ РАБОТЫ МАШИНЫ
И ПРИЧИНЫ ОТКАЗОВ
В одних типах машин в широких пре-
делах меняются режимы работы, а следо-
вательно, нагрузки и частоты вращения
деталей, в других - режимы меняются
циклично и меняется их продолжитель-
ность. В результате отказы различных
элементов машин образуют случайный
ноток событий.
При проектировании и расчете дета-
лей и узлов машин стремятся к их одина-
ковой надежности (совпадению ресурсов
его частей при эксплуатации в заданных
условиях). Однако соблюсти это условие
одной машине весьма трудно.
В основе всей теории надежности ле-
жат сведения об отказах. Эти сведения
могут быть даны в эмпирической и анали-
тической формах, чаще всего в виде
функций распределения, соответствующих
той или иной статистической модели от-
каза изделия.
Пусть в результате испытаний получе-
на информация об отказах. Методами ма-
20
тематической статистики можно найти по
этим данным статистическую модель, опи-
сывающую явление. Чаще встречается
обратная задача, когда но заданной ста-
тистической модели определяются харак-
теристики надежности системы. Здесь,
пользуясь методами теории вероятности,
определяем вероятность появления отка-
зов и другие показатели - тем самым
прогнозируем характеристики надежности
будущих изделий.
Известно много таких характеристик.
Например, функция плотности распреде-
ления / (х) должна удовлетворять двум
условиям
/ (х) = 0; j /(x)dx=l.,
и
Можно найти различные функции, ин-
теграл которых в заданной области равен
единице. Наиболее желательно строить
статистическую модель и выбирать плот-
ность распределения с учетом характера
рассматриваемых явлений и имеющихся
экспериментальных данных.
Рассмотрим три основных закона рас-
пределения отказов.
Экспоненциальное распределение. Это
распределение служит распространенной
статистической моделью для времени бе-
зотказной работы. Оно предполагает, что
отказы происходят независимо друг от
друга с постоянной интенсивностью.
Важно только, чтобы каждый элемент
в отдельности не оказывал очень большо-
го влияния на вероятность выхода из
строя всей системы. Поэтому экспоненци-
альное распределение часто успешно опи-
сывает распределение времени безотказ-
ной работы систем, в которых каждый
отказавший элемент немедленно заменя-
ется работоспособным.
Плотность распределения отказов
имеет вид
fX<? -U = X exp ( — X х);
/ (х, X)=Jx>0; Х>();
|0 в остальных случаях.
Экспоненциальное распределение яв-
ляется однопараметрическим, т. е. зави-
сит от одного параметра X. Интегральная
функция распределения отказов
Q (х, Х) = ^ Хе A’d g= 1 — е ~' х.
о
Функция безотказной работы равна
Р(х, Х)=1 — Q(x, X) = e-AJt.
Интенсивность отказов определяется
с помощью формулы (3.5):
, , , е~,‘Х
Х(х) =—-х------------=
1 — X е ~к zd z
о
Хе~Ах ,
=----—- - =X=const.
е кх
Это означает, что вероятность отказа эле-
мента не зависит от предшествующей ра-
боты.
Если имеется наработка хо, в течение
которой отказы не наступают, то
{X exp [ — X (х — х0)];
х!>х0; Х>0;
0 в остальных случаях.
Средняя наработка (математическое
ожидание) до отказа
хср=1/Х,
гамма-процентный ресурс
Р(х.,) = е-“7 = 0,01у.
Логарифмируя, получим —Хх7 = 1п0,01у,
откуда
In 0,01у
Xv=— ------= х (-In 0,01 Y).
A
Интенсивность отказов А, в механиче-
ских системах может меняться в широких
пределах в зависимости от конструкции
элемента и условий его работы.
Распределение Вейбулла. Эю распре-
деление соответствует более обшей стати-
стической модели, чем прсдыдкший вид
распределения, охватывая различные за
коны изменения случайной величины с те-
чением времени.
Плотность распределения
0 в остальных случаях.
(3.11)
Распределение Вейбулла - - двухпарамет-
рическое, параметр а называют иногда
21
Рис. 3.4. Плотность распределе-
ния Вейбулла при различных
значениях пара метра:
« обычная координатная сетка;
б специальная
параметром масштаба, а параметр b -
параметром формы.
Экспоненциальное распределение -
это частный случай распределения Вей-
булла. Действительно, если 1/а = Х, а
Ь = 1, то получим плотность при экспонен-
циальном распределении.
Интегральная функция распределения
отказов
F (х, а, Ь) =
Если имеется наработка х0, в течение ко-
торой отказы не наступают, т. е. при про-
извольном начале отсчета, то имеем
f (х, а, Ь, ха) =
b / х—х() У
а у а у
при х^х(|; —
а > о ; Ь>(г,
О в остальных
случаях.
Функция безотказной работы
Р (х, а, Ь, х(|) = ехр
0.
Интенсивность отказов
т/А Ь f х\
Х(х) = —( )
а \ a )
Средняя наработка до отказа на ос-
новании формул (3.8) и (3.11) равна
где Г
га.мма-функция, имеющаяся в
справочниках.
Гамма-процентный ресурс определяет-
ся по формуле
у= 100 ехр
Логарифмируя, получим
откуда
На рис. 3.4 показано, как меняется
плотность распределения Вейбулла с из-
менением параметра Ь.
Распределение Вейбулла является до-
статочно универсальным, охватывающим
разнообразные случаи изменения вероят-
ности отказов. В частности, при
< 1 плотность распределения имеет вид
убывающей функции, а интенсивность от-
казов убывает с наработкой; при Ь =
= 1 распределение Вейбулла совпадает
с экспоненциальным, а интенсивность от-
казов постоянна; при b > 1 плотность
распределения одновершинная, а X (х)
возрастает с течением времени; при Ь =
= 2 интенсивность отказов является ли-
нейной функцией; при b «3,3 распределе-
ние Вейбулла весьма близко к нормаль-
ному распределению.
Нормальное распределение. Гауссово
(нормальное) распределение является на-
иболее часто используемой статистиче-
ской моделью.
Теоретическим обоснованием этого
распределения является центральная пре-
дельная теорема, смысл которой состоит
в том, что для случайной величины, пред-
ставляющей собой общий результат боль-
шого числа независимых «небольших»
воздействий, можно ожидать, что закон
распределения будет тем ближе к нор-
мальному, чем больше число наблюдений.
Этот результат справедлив независимо от
того, по какому закону распределена
каждая из случайных величин, средняя
из которых рассматривается.
Плотность нормального распределе-
ния имеет вид
Рис. 3.5. Плотность нормального рас-
пределения и его характеристики
[ (х, тх, о) =--------ехр
о -\/2л
(х — тг)~
0<Х<оо; 0<тх<оо; п>0.
Здесь тх - среднее значение или матема-
тическое ожидание (параметр, характери-
зующий центр распределения), а а -
среднее квадратичное отклонение случай-
ной величины х (параметр, характери-
зующий масштаб распределения). По-
этому
xcp = wx.
Интегральная функция нормального
распределения отказов имеет вид
Q(x, тх, <т) =
= \ ------ ехр
о О V2jT
-mJ2
2 о2
Для функции безотказной
d S-
работы
имеем
тг— х
Р(х, тх, о)=—
где
Наработка до отказа не может быть
отрицательной, и поэтому приведенные
выражения справедливы только при до-
статочно малых средних квадратичных
отношениях, когда
или коэффи-
о 1 „
циент вариации ц=----<- . Это следует
тх 3
из особенности случайных величин, имею-
щих нормальное распределение: 99,9 %
значений случайной величины заключено
в интервале (рис. 3.5). Отсюда
возникает «правило трех сигм»: практиче-
ски все значения случайной величины ле-
жат в интервале ±3о. Действительно,
шанс на то, что выбранная случайным
образом нормально распределенная слу-
чайная величина окажется в этом интер-
вале, составляет 999 из 1000.
Исходными данными для определения
распределения служат наблюдаемые зна-
чения случайной величины, сгруппирован-
ные в интервалы, по которым строится
гистограмма или график плотности рас-
пределения. С помощью ЭВМ по этим
графикам находится закон распределения
случайной величины. При ориентировоч-
ных расчетах удобно пользоваться при-
ближенными рекомендациями.
Отказы элементов изделий могут
иметь различную природу и характеризо-
ваться различными законами распределе-
ния отказов. Чем сложнее изделия, тем
больше сочетаний разнообразных распре-
делений.
Вероятность неразрушения элемента
зависит от разности величин, харак-
теризующих стойкость (предельное на-
пряжение) и нагруженность (рабочее на-
пряжение) элемента. Характеристики
стойкости и нагруженности задаются сво-
ими законами распределения, по которым
определяется закон распределения пара-
метра, характеризующего неразрушение
элемента.
Эту задачу можно сформулировать
следующим образом. Имеется несколько
независимых случайных величин хь х%,
Хз, ..., заданных плотностями распределе-
ния вероятностей f (xj, f (х2), f (хз).
23
Требуется найти величину х.
Поскольку %|, х2, Хц случайные
величины, их сумма
х = Х1 4-Хг + х.з
тоже будет случайной величиной с иско-
мой плотностью распределения вероятно-
стей f (х). Этот закон распределения
называют композицией законов распреде-
ления величин Х|, х2, х3. Композиция мо-
жет быть составлена для любого числа
случайных величин и имеет следующие
общие свойства, не зависящие от вида
законов распределения:
математическое ожидание композиции
распределения равно сумме математиче-
ских ожиданий, независимых случайных
величин, образующих сложную случай-
ную величину:
тх= mXi + w>2+ спх \
дисперсия композиции распределения
равна сумме дисперсий независимых слу-
чайных величин, составляющих данную
сложную случайную величину:
о2 (х) = о2 (х,) + о2 (х2) + о2 (х:1),
откуда среднее квадратичное отклонение
о(х) =-- \/(Г(х,)-|- cr(x.>)-t- О2(Хз).
Если, например, x=Xi-j-x2, а(х,)=1 и
<т(х2) = 0,1, то о2(х)=1,01; о (х) = 1,005.
Следовательно, при значительной разнице
дисперсий составляющих независимых
случайных величин дисперсия композиции
будет близка к дисперсии той случайной
величины, у которой дисперсия имеет на-
ибольшее значение.
Из рассмотренных выше распределе-
ний нормальное распределение обладает
тем свойством, что композиция случайных
величин с нормальным распределением
есть тоже нормальное распределение.
В специальной литературе по данному
вопросу приведена связь между случайной
величиной и вероятностью ее появления.
§ 3.4. НАДЕЖНОСТЬ
ПРИ ПРОЕКТИРОВАНИИ МАШИН
11 \ гн обеспечения надежное i п при
, > актирован ин мыпнп сводятся к бо.п,-
числе меронрня । ии. ко I орыс .:•!
.жен выио.,ья 1 в констрх кIор, вне швиси
мости от его опыта и таланта при созда-
нии новых л модернизации уже работаю
тих машин. К числу таких мероприятии
от носятся нижеследующие.
I. Обеспечение схемной надежности
изделия. Это означает, что схема изделия
должна быть выбрана так, чтобы число
ее элементов было ио возможности мень-
шим, а появление отказов, известных из
практики, исключалось.
2. Обеспечение высокой надежности
каждого элемента.
3. Обеспечение количества, в частно-
сти, стабильности характеристик
материалов и комплектующих элементов.
4. Широкое использование унифициро-
ванных и стандартизированных элементов.
5. Защита от внешних воздействий,
от внешней среды (от вибрации, высоких
и низких температур, воздействия наруж-
ной или окислительной среды).
6. Правильный выбор режима (усло-
вий) работы изделия.
7. Расширение допускаемых пределов
для параметров, определяющих работо-
способность изделий (введение упругих
муфт и др.).
8. Резервирование, т. е. создание в
конструкции определенных резервов в ин-
тересах обеспечения высокой надежности.
9. Уточнение методов расчетов, в час-
тности вероятностной оценки усилий
внешнего воздействия и параметров само-
го изделия.
Чем точнее учтены случайные явления
в процессе проектирования и, в частно-
сти, расчета, тем надежнее будет изделие,
тем дешевле и быстрее будет обеспечен
необходимый уровень его надежности.
На стадии проектирования проводят
предварительные испытания сначала ма-
териалов и элементов изделия, а затем
опытных образцов, стремясь возможно
точнее смоделировать реальные условия
эксплуатации.
Чем раньше начинается сочетание эк-
спериментальной и конструкторской ра-
бот, тем больше вероятность того, что за-
траты на обеспечение требуемого уровня
надежности изделия будут минимальными.
Для обеспечения надежности при про-
ектировании машин рассматривают:
структурную схему безопасности изде-
лия, когда его разбивают на элементы и
24
анализируют решение задачи, как влияет
отказ одного элемента на отказ изделия;
схемную надежность изделия, когда
после составления его структурной схемы
оценивают возможные отказы и пути их
предупреждения за счет усовершенствова-
ния самой схемы изделия;
резервирование в машинах, когда для
повышения надежности изделия в него
вводят дополнительные средства и воз-
можности сверх минимально необходи-
мых для выполнения изделием заданных
функций.
Отметим, что надежность элементов
машины является необходимым, хотя и
недостаточным условием ее надежности.
Причиной отказов деталей машин чаше
всего будут разрушения усталостного ха-
рактера. Обеспечение прочности деталей
является предметом следующего раздела
курса.
§ 3.5. ТЕХНИЧЕСКАЯ ДИАГНОСТИКА
МАШИН (ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ)
Основная шдача 1 схннческон. .inai но-
шикн распознавание состояния ciicie-
у.ы в условиях ограниченной информации.
Информация поступает в виде показа-
ний датчиков: вибраций, температур, дав-
лений, путем визуальных осмотров и т. д.
Для сложных технических систем за-
пись параметров ведется дискретно или
непрерывно.
Кроме того, в технической диагности-
ке осуществляют поиск и автоматический
контроль неисправностей. Это связано с
разработкой методов и средств контроля,
разработкой диагностических тестов,
оценкой контролеепособиости технических
систем.
Техническая диагностика стала одним
из важнейших методов повышения
надежности систем в эксплуатационных
условиях, когда требуется руководство-
ваться определенными приемами и прави-
лами для принятия решения. Она допус-
кает эксплуатацию ответственных изде-
лий и их техническое обслуживание «по
состоянию», что дает значительный эко-
номический эффект.
Процедура диагностирования машины
включает в себя три основных этана:
1) первичное описание объекта;
2) выделение признаков оценки со-
стояния;
3) принятие решения (диагноз).
Первичное описание выполняют на
основе экспериментальной информации,
необходимой для принятия решения.
Состояние диагностируемого объекта
определяется диагностическими призна-
ками, а они диагностическими сигна-
лами различной физической природы.
Нахождение эффективных признаков яв-
ляется центральной задачей диагностики,
главной ее проблемой.
Чем больше сведений о диагностируе-
мом объекте, тем достовернее его диагноз.
Глубокое изучение свойств машины,
целей и сути диагноза является основ-
ной предпосылкой эффективности диаг-
ностики.
При поиске признаков следует разли-
чать три аспекта технического состояния:
структурный, функциональный и вибраци-
онный.
Структурное состояние ха-
рактеризуется совокупностью свойств
структуры: геометрией конструктивных
элементов (размерами и формой), взаи-
мосвязями деталей (посадками, зазора-
ми, углами и т. д.), состоянием материа-
ла (напряженностью, температурой,
структурой).
Ф у н к ц и о н а л ь н о е с о с т о я-
н и е определяется совокупностью
свойств функционирования: эксплуатаци-
онными показателями, статистическими и
динамическими характеристиками проте-
кания рабочего процесса и процессов ре-
гулирования и др.
В и б р а ц и о н н о е с о с т о я н и е
определяется совокупностью вибрацион-
ных характеристик объекта. Оно является
следствием структурного и функциональ-
ного состояний и динамических свойств
объекта. При нормальном структурном и
функциональном состояниях вибрацион-
ное состояние может быть неудовлетвори-
тельным. Примером этого могут быть ре-
зонансные режимы.
В зависимости от цели диагностики
и степени изученности объекта диагноз
может обладать различным содержанием.
В расчетной схеме изделие можно рас-
сматривать как единую физическую
25
систему с неизвестной структурой, под-
верженную воздействию внешних и внут-
ренних возмущений. Но выходным сигна-
лам можно установить его состояние без
указания места и причин неисправности.
Такая интегральная диагностика иногда
может быть приемлемой в эксплуатации.
На этапах проектирования, производ-
ства и эксплуатации требуется поставить
диагноз неисправного элемента (детали)
и установить причины неисправности.
Для этого узел нужно представить в виде
совокупности взаимосвязанных деталей.
Получается трехступенчатая модель «из-
делие - узел - деталь» и соответственно
три степени глубины диагноза.
Диагноз состояния узла можно уста-
новить различными методами диагности-
ки. Так, состояние подшипника можно
оценить по химическому составу масла,
наличию в нем стружки, по температуре
масла или температуре корпуса подшип-
ника, по вибрации и т. д.
Во многих методах диагностики долж-
но быть известно распределение контроль-
ного параметра для данного состояния
системы. Распознавание состояния систе-
мы является процессом установления ди-
агноза и состоит в отнесении предъявлен-
ной совокупности признаков к одному из
типичных состояний. Число таких состоя-
ний зависит от особенностей задачи и це-
лей распознавания. Теория распознава-
ния тесно связана с проблемой распозна-
вания образов, изучаемой в кибернетике.
К методам решения этих задач относятся:
вероятностные, метрические, логические,
методы разделения в пространстве при-
знаков. Все эти методы основаны на стро-
гом математическом аппарате и рассмат-
риваются в специальных курсах по техни-
ческой диагностике машин.
Вопросы для самопроверки
1. В чем состоит проблема надежности?
2. Какими критериями определяется на-
дежность изделий?
3. Что понимается под безотказностью из-
делия?
4. Дайте характеристику долговечности
машин.
5. Что такое равнопрочность деталей и уз-
лов машины?
6. Что является причинами отказов машин?
7. Каковы нети обеспечения надежности
при проектировании машин?
8. В чем состоит основная задача техниче-
ской диагностики машин?
Раздел второй
Основы расчетов прочностной
и триботехнической надежности элементов
конструкций
Глава 4
ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ
ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
§ 4.1. ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ
СОПРОТИВЛЕНИЯ МАТЕРИАЛОВ
Элементы конструкций предназначены
для передачи нагрузки без разрушения
и без существенного изменения своих
размеров, т. е. они должны обладать
свойствами прочности и жесткости.
Сопротивление материалов, являясь
наукой о прочности и надежности элемен-
тов конструкций, обобщает инженерный
опыт и разрабатывает научные основы
проектирования и конструирования на-
дежных конструкций. Основным содержа-
нием науки о сопротивлении материало!!
является построение моделей и методов
оценки прочностной надежности, позволя-
ющих инженеру выбрать материал, опре-
делить необходимые размеры элементов
конструкций и оценить способность этих
элементов сопротивляться внешним воз-
действиям.
Сопротивление материалов инже-
нерная наука, для нее характерны упро-
щающие гипотезы и приближенные, а по-
тому простые приемы расчета, широкое
привлечение экспериментальных методов
оценки обоснованности расчетных дан-
ных.
Сопротивление материалов, с одной
стороны, связано с материаловедением, а
с другой - опирается на законы н теоре-
мы общей механики и в первую очередь
на законы статики.
Методы сопротивления материалов
широко используются в расчетах дета-
лей машин общемащиностроителыюго
применения и элементов специальных
конструкций.
§ 4.2. МОДЕЛИ ПРОЧНОСТНОЙ
НАДЕЖНОСТИ
Оценка прочностной надежности эле-
мента конструкции начинается с выбора
расчетной модели (схемы). Мо
делью называют совокупность
представлений, условий и зависимостей,
описывающих объект, явление.
При выборе (построении) модели учи-
тывают наиболее значимые и отбрасыва-
ют несущественные факторы, которые не
оказывают достаточно заметного влияния
на условия функционирования элемента
конструкции (детали). Учет всех факто-
ров принципиально невозможен в силу их
неисчерпаемости.
Для одной и той же детали может
быть предложено несколько расчетных
моделей, которые будут отличаться раз-
личной глубиной (точностью) описания
реального объекта и условий его работы.
В то же время одной расчетной схеме
можно поставить в соответствие целый
ряд деталей различных конструкций.
Для определения прочностной надеж-
ности детали используют вспомогатель-
ные модели материала, формы, нагруже-
ния (сил) и разрушения (рис. 4.1).
Модели материала. В расчетах про-
чностной надежности материал детали
представляют однородной сплошной ере
дой, что позволяет рассматривать тело
как непрерывную среду и применять ме-
тоды математического анализа.
Под однородностью материала пони-
мают независимость его свойств от
Рис. 4.1. Составляющие модели прочностной надежности элементов консгрх кипи
размеров выделенного объема. Такая схе-
матизация основана на осреднении
свойств материала в объемах и обоснова-
на многочисленными экспериментальными
исследованиями.
В качестве конструкционных исполь-
зуют анизотропные материалы, обла-
дающие различными свойствами но раз-
личным направлениям (например, стекло-
пластики, фанера, ткани и др.). Однако
в сопротивлении материалов в основ-
ном рассматриваются изотропные мате-
риалы.
i ’ясне । пая модель м a i е | > и a. i а надели
Vika: i.iMiMii фи шческих:н свойствами, как
\np\i ос। в, пластичность и ползучесть,
। ’ и < с; ди м и в юн или inioii мере констрхк
лианным ,ма гериалам.
Упругостью называют свойство тела
(детали) восстанавливать свою форму
после снятия внешней нагрузки. Это
свойство знакомо каждому. Например,
возвращение в исходное положение изо-
гнутой ветки дерева, сжатой или растяну-
той пружины и т. п.
Пластичностью называют свойство те-
ла сохранять после разгрузки полностью
или частично деформацию, полученную
при нагружении (например, большой из-
гиб мягкой проволоки или свинцовой
пластинки и др.).
Ползучестью называют свойство тела
увеличивать со временем деформацию при
действии внешних сил (например, вытяж-
ка канатов и т. п.).
Модели формы. Геометрическая фор-
ма элементов конструкций обычно весьма
сложна. На рис. 4.2, а в показаны три
распространенные в конструкциях летали:
вал редуктора (и), храповое колесо (б)
и тройник («). Точный учет всех
геометрических особенностей детали не-
возможен, а часто и нецелесообразен, так
как приводит к сложным расчетам.
На практике для оценки прочностной
надежности вводят упрощение в leoMel
ршо детали, приводя ее к схеме стержня
(брхса). пластинки, оболочки, массива
( пространен венного тела).
Стержнем, или брусом, называют те-
ло, поперечные размеры которого малы в
сравнении с его длиной (рис. 4.3, а).
Стержень может иметь постоянное или
переменное по длине сечение. Кольцо
(рис. 4.3,6) рассматривают как стержень
с криволинейной осью, а нружип\
как пространственно изогнутый стер-
жень.
Рис. 4.2. Элементы конструкции:
а вал; б храповое kojcco; в гройник
28
Ct) б)
Рис. 4.3. Модели формы
л:|ементов конструкции:
а - стержень; б
кольцо; в
круглая пластинка; г оболочка; Н
массив
Пластинкой (рис. 4.3, в) называют
тело, ограниченное двумя плоскими или
слабоизогнутыми поверхностями и имею-
щее малую толщину. Модель пластинки
можно использовать для схематизации,
например, тела колеса (см. рис. 4.2,6).
Оболочка (рис. 4.3, г) тело,
ограниченное двумя поверхностями и
имеющее малую толщину но сравнению
с радиусом кривизны и длиной. Тройник,
показанный на рис. 4.2, в, можно схема-
тизировать в виде двух составных цилин-
дрических оболочек.
Многие детали могут быть также
представлены в виде составных моде-
лей.
Пространственным телом (массивом)
называют модель, размеры которой соиз-
меримы (например, зуб храпового колеса,
рис. 4.3,6).
Модели нагружения, ('илы являются
мерой механического взаимодействия эле-
ментов конструкций. Р.сли <1е.мец| кои
струкции (деталь) рассматривается (по-
лированно от сопряженных деталей, ю
действие последних заменяется силами,
коюрые называют внешними, ('.илы взаи-
модействия между частями о;дельной де-
тали или между Деталями в с-ш|’яжен1ш
называю г hhi/iренними.
Такое деление сил часто носит услов-
ный характер. Например, при опенке на-
дежности работы корпусных деталей
сосуда под давлением (рис. 4.4, а) болты,
стягивающие эти детали, исключают из
рассмотрения, а их действие заменяют
внешними силами F. При общей оценке
работоспособности системы эти силы бу-
дут внутренними.
При схематизации условий работы в
расчеты вводят и другое упрощение в
систему сил, подразделяя их условно на
сосредоточенные, распределенные и
объемные (массовые).
Сосредоточенной силой называют си-
лу, действующую на небольшую часть по-
верхности детали, например силу, прило-
женную к фланцу сосуда со стороны бол-
та (рис. 4.4, а).
Распределенными называют силы,
действующие на участках поверхности,
соизмеримых с полной поверхностью де-
тали, например давление жидкости в со-
суде (рис. 4.4, а).
Существенно, что в зависимости от
цели расчета одна и та же нагрузка мо-
жет приниматься либо сосредоточенной,
либо распределенной. Например, при рас-
чете работоспособности болта си-
ла F схематизируется в виде нагрузки q,
распределенной по опорной поверхности
головки (рис. 4.4,6).
По характеру изменения во времени
нагрузки подразделяют на статические и
переменные. Статической называют на-
грузку, которая медленно возрастает от
нуля до своего номинального значения и
Рис. 4.4. Схемы нагружения сосуда (а) и
болта (6)
29
Рис. 4.5. Модели нагрузок:
а статическая: 6 циклическая
остается постоянной в процессе работы
детали (рис. 4.5, а). Переменной называ-
ют нагрузку, периодически меняющуюся
во времени (рис. 4.5,6). Она характери-
зуется параметрами: амплитудой силы Лц,
средней силой Fm, частотой нагружения /
и формой цикла.
Различают малоцикловое нагружение,
характерное для деталей, циклы работы
которых набираются за счет запуска и ос-
тановки машины. Обычно число циклов
нагружений не превышает I О'1... I О’’. Если
число циклов нагружения детали превы-
шает 105... 10ь, то такое нагружение назы-
вают многоцикловым. Оно характерно для
деталей длительно работающих машин.
Модели разрушения. Моделям напря-
жения соответствуют модели разруше-
ния хравнения (условия), связываю-
щие параметры работоспособности эле-
мента коне 1рскции в момент разрешения
с параметрами, обеспечивающими про-
чное! I,.
В зависимости от условий нагружения
рассматривают модели разрушения: ста-
тического, малоциклового и усталостного
(многоциклового).
§ 4.3. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ
Все материалы, элементы конструкций
н констpvKiuin под действием внешних
сил ii той или иной мере испытывают
смешения (перемещения относительно на-
1ртженш>!о состояния) и изменяют свою
форму (деформиру юте я). Взаимодействие
между частями (частицами) внутри эле-
мента кощчрхкнии характеризуется внуг
ренними силами.
Внутренние силы представляют собой
силы межатомного взаимодействия (свя-
30
зей), возникающие при воздействии на
тело внешних нагрузок.
Практика показывает, чю внутренние
cii.ii»! определяют (могут характеризовать)
прочностную надежность детали (тела),
поэтому их определение составляет
важную задачу сопротивления матери-
алов.
Для нахождения внутренних сил ис-
пользуют мето д с е ч е н и й, который
состоит в следующем. Рассмотрим тело
произвольной формы (рис. 4.6, «), на-
ходящееся в равновесии под действием
внешних сил F\, F>, ..., Мысленно
рассечем это тело на две части плоско-
стью II и рассмотрим одну из частей,
например левую (рис. 4.6, 6). Так как
связи между частями устранены, то дей-
ствие одной из них на другую следует
заменить системой внутренних сил в сече-
нии. В соответствии с основным законом
механики действие равно противодейст-
вию и противоположно но направлению.
Следовательно, внутренние силы в сече-
ниях частей тела всегда взаимны.
Внутренние силы распределены по се-
чению некоторым сложным образом. Од-
нако если привести систему внутренних
сил к какой-либо точке, например к цент-
ру О тяжести сечения, то для рассматри-
ваемой части тела можно определит!;
главный вектор R и главный момент
М внутренних сил, действующих по сече-
нию (рис. 4.6, 6).
Так как система внешних сил
удовлетворяет условиям равновесия, а
система внутренних сил взаимна, то мыс-
ленно отсеченная часть также должна
находиться в равновесии:
R=£ ; М=£ m„F,-
Рис. 4.6. Схемы внешних
и внутренних сил в теле
здесь индекс «л» указывает на принад-
лежность сил к левой части тела.
Очевидно, что в различных сечениях
возникают различные внутренние силы.
Поместим в точке О систему коорди-
нат xyz. направив ось х по нормали к се-
чению и расположив оси у и г в его
плоскости, и разложим главный вектор
и главный момент на составляющие по
этим осям (рис. 4.6, б):
R = Qy+ Q
М = Мг + Му + Мг.
Эти составляющие называют внутренни-
ми силовыми факторами в сечении. Со-
ставляющая Nx, называемая нормальной
или продольной силой, вызывает дефор-
мацию растяжения или сжатия, ('.остав-
ляющие Qy и Q2 перпендикулярны норма-
ли и стремятся сдвинуть одну часть тела
относительно другой, их называют попе-
речными силами.
Составляющая МХ = Т главного мо-
мента скручивает тело и называется кру-
тящим моментом. Моменты Л19 и ЛЕ изги-
бают тело соответственно в плоскостях
хОг и хОу и называются изгибающими
моментами.
Чтобы вычислить указанные силовые
факторы, необходимо решить шесть урав-
нений равновесия для одной из отсечен-
ных частей:
£Х = (); £У = 0; £Z = 0;
2'тд. = 0; J>,= 0; £тг=().
Таким образом, если внешние силы
заданы, то внутренние силовые факторы
вычисляются на основании уравнении
равновесия как алгебраические суммы
проекций сил и моментов, действующих
на мысленно отсеченную часть тела.
§ 4.4, НАПРЯЖЕНИЯ
И ДЕФОРМАЦИИ В ТОЧКЕ
Значения внутренних сил в сечении не
позволяют сопоставить условии работы
даже деталей одинаковой формы, но не-
одинаковых размеров. Например, по каким
параметрам можно сравнить прочностную
надежность двух соединений болтами
различных диаметров, воспринимающих
одинаковые растягивающие силы
А (рис. 4.7, а. б) ?
Эффективными характеристиками для
оценки нагру женности деталей буду г ин-
тенсивность внутренних сил взаимодейст-
вия напряжение и деформация.
Напряжения. Рассмотрим сечение
// тела (рис. 4.8, и). На основании приня-
того ранее допущения о сплошности тела
можно считать, что внутренние силы не-
прерывно распределены ио всему сече-
нию. В окрестности произвольной точки
К выделим элементарную площадку Л/1,
а равнодействующую внутренних сил на
этой площадке обозначим \R. От ношение
ЛР/Д/1 представляет собой среднее на-
пряжение на данной площадке. Если пло-
щадку Л/1 уменьшать (стягивать в точ-
ку), то в пределе получим напряжение
в точке
31
Рис. 4.7. Расчетные схемы болтовых соединений
Силу AR можно разложить на состав-
ляющие: нормальную ДУ и касательную
(перерезывающую) AQ. По этим состав-
ляющим можно определить нормальное о
и касательное т напряжения:
АУ AQ
п= lim ——; т= lim - —-
лл-»о АЛ лл—о ЛА
Из этих равенств видно, что напряже-
ния имеют размерность силы, деленной
на площадь.
В системе СИ напряжения
выражаются в паскалях (Па); I Па =
= 1 Н/м2. В технической литературе на-
пряжения часто задают в мегапаскалях;
1 МПа=106 Па=10ь Н/м2=1 Н/мм2.
Нормальные и касательные напряже-
ния являются сдобной мерой опенки
нн\т рении\ сил тела, так как материалы
да стинным обра (ом им сопротивляются.
Нормальные напряжения стремятся сбли-
(ит ь или \.та.।ит в отдельные частицы тела
Рис. 4.8. Схемы действия внутренних сил и
напряжений в сечении тела
по направлению нормали к плоскости се-
чения, а касательные напряжения стре-
мятся сдвинуть одни частицы тела отно
снгельно других по плоскости сечения.
Но-ттомх касательные напряжения пазы
вают еще напряжениями сдвига.
Через точке К тела можно провести
и другие секущие плоскости. Напряжения
в каждой из них для точки К будут раз
личными.
Совокупность напряжений для множе-
ства площадок, проходящих через гонку,
определяет напряженное состояние в точ-
ке. Для полной характеристики
напряженного состояния в данной точке
надо знать не только величину и направ-
ление напряжения, но и ориентацию сече
пия, по которому они действуют.
Касательные напряжения имеют раз-
личные направления в плоскости сечения,
поэтому вместо одного удобнее опреде
лять два касательных напряжения ту, и тг,
направленных соответственно вдоль осей
у и z (рис. 4.8, б).
Связь между напряжениями и внут-
ренними силовыми факторами, возникай)
щими в сечении, можно установигь, ис-
пользуя уравнения статики.
Выделим в сечении тела бесконечно
малую площадку (1А и приложим к ней
элементарные силы о cl/1, r„ dA и г, dA
(рис. 4.8, б).
Суммируя но всему сечению тела про-
екции этих сил, а также- и.х моменты от-
32
носительно осей х, у и z, будем иметь
/V = ( <т (1/1;
л
<?/ = $ Ъ сЬ4;
Мх = Т = (т2у — tvz) d/4;
А
Му = az d/l; Мг={оу(1А
А л
Здесь Л - площадь поперечного сечения
тела.
Приведенные формулы выражают за-
висимости внутренних сил в сечении от
напряжений. Однако распределение на-
пряжений по сечению тела заранее, как
правило, не известно и оно не может быть
найдено лишь из уравнений статики. Для
определения закона распределения
напряжений по сечению необходимо знать
характер смещений его точек.
В ряде инженерных задач на основа-
нии опыта или экспериментов можно сде-
лать обоснованные предположения о рас-
пределении напряжений по сечению. Это
позволит найти их величину лишь из
уравнений равновесия. Например, при
растяжении болта силой F в сечении П,
перпендикулярном оси, будет действовать
нормальная сила N'= F - главный вектор
нормальных напряжений [см. уравнения
(4.1)]. Можно принять, что эти напряже-
ния распределены по сечению равномерно
(рис. 4.7, в).
Тогда нормальное растягивающее на-
пряжение
F 4 F
о = --- =--
Л(/2
где d — диаметр стержня болта.
Из этой формулы следует важный вы-
вод о том, что с увеличением диаметра
болта напряжения в нем существенно
уменьшаются.
Рассмотрим другой пример. Требуется
определить напряжения в сварном соеди-
нении двух тонкостенных труб при круче-
нии (рис. 4.9, а). Мысленно рассечем де-
таль по сварному шву плоскостью,
перпендикулярной оси трубы, и рассмот-
рим равновесие отсеченной части
(рис. 4.9, б). Так как на трубу действует
1’ис. 1.9. (жаркое соединение тонкое генных
труб (и) и его расчетная схема (б)
только вращающий момент Т, то он мо-
жет быть уравновешен только касатель-
ными напряжениями |см. уравнения
(4.1)]. Благодаря малой толщине стенки
(по сравнению со средним радиусом тру-
бы R) можно допустить, что напряжения
во всех точках сечения одинаковы.
Точные расчеты показывают, что при-
нятое допущение оправданно, если
толщина стенки 6s7 (),2 R.
Момент от касательных напряжений
Мкр = т 2 лА1‘6= 7',
откуда касательное напряжение в сечении
сварного шва
=____Т_ __
~ 2nR2f> '
Полученное соотношение можно ис-
пользовать для расчета на кручение поло-
го вала и т. д.
Деформации. Возникновение смеще-
ний (перемещений) в любой конструкции
под действием сил является обычным ре-
зультатом ее нагружения. Если эти сме-
щения не нарушают работоспособности,
то деформативность (жесткость) конст-
рукции является ее важным свойством,
без которого она не могла бы работать.
Смещения возникают не только во
всякой конструкции, но и в самом мате-
риале, из которого она изготовлена, хотя
во многих случаях такие перемещения
находятся далеко за пределами возмож-
ностей невооруженного глаза и обнару-
живаются с помощью высокочувствитель-
ных датчиков и приборов.
Для определения деформаций в точке
К рассмотрим малый отрезок KL длиной
S, исходящий из этой точки в произволь-
2 Г. Б. Иоеиоенич и др.
Рис. 4.10. Схемы линейных и угловых де-
формаций в точке
ном направлении (рис. 4.10, недеформи-
рованное тело показано сплошной ли-
нией). В результате деформации точки
К и L переместятся в положение Ю и
соответственно, а длина отрезка, напри-
мер, возрастет на величину As. Отноше-
ние As/s = ecp представляет собой среднее
удлинение на отрезке s.
Уменьшая отрезок s, приближая точ-
ку L к точке К, в пределе получим линей-
ную деформацию в точке К по направле-
нию KL:
Если в точке К провести три оси, па-
раллельные осям координат, то линейные
деформации в направлении координатных
осей х, у н z будут равны соответственно
ех, иу и ег.
Деформация тела является без-
размерной и часто выражается в про
цен । ах. Обычно деформации невелики и в
хс.ювия.х \iip\rociii не превышают
1...1.Й'/,,.
Кроме линейной деформации вводят
понятие угловой деформации. Рассмотрим
прямой угол, образованный в недеформи-
рованном теле отрезками ОМ и ON
(рис. 4.10). В результате деформации под
действием внешних сил угол MON изме-
нится и станет равным углу М i О । N ।.
В пределе разность углов называют угло-
вой деформацией или деформацией сдви-
га в точке О в плоскости M0N:
lim (Z. MON-zL MfixN{)=yMON.
ОМ—0
ON *0
В координатных плоскостях угловые
деформации или углы сдвига обозначают-
ся через уху, уу< и yzx.
В .iioooii точке зела имеют место три
линейных и три \г.товы\ компонента де-
формации. которые определяют деформи-
рованное i осюнние в ючке.
§ 4.5. ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ РАСЧЕТА
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Закон Гука. В расчетах элементов
конструкций широко используется закон,
сформулированный английским ученым
Р. Гуко.м в конце XVI в.:
деформации материала элемента в
каждой его точке прямо пропорцнонн.ц,-
ни напряжениям в этой же точке как
в процессе нагружения, гак и при ра>-
I ру же.
До определенных предельных значе-
ний напряжений этот закон справедлив
для большинства конструкционных мате-
риалов.
Принцип независимости действия сил.
Для элементов конегр\кций. работающих
в условиях закона I \ка, резхльтат
вотдеиетвия (вн\т реиние силы, перемеще-
ния) системы нагрхзок (сил и моментов)
с учетом реакций в опорах и кинематиче-
ских парах равен ехмме результатов воз
.leiiciBiiH каждой нагрезкн в отдельности.
Этот принцип справедлив лишь в пре-
делах закона Гука, а также в
предположении, что деформации малы и
не оказывают влияния на взаимное рас-
положение нагрузок и на расстояние от
нагрузок до любых точек элемента кон-
струкции.
Из принципа независимости действия
си.т вытекает также1. что пор.чдок
riptiaomeHuM нагруюк не нли.чет на конеч-
ный реву.иекп насрут ени.ч.
Методы расчета элементов конструк-
ций. При работе машины каждый ее эле-
мент (деталь) нагружен внешними сила-
ми, которые могут привести к недопусти-
мой деформации деталей или к их разру-
шению. Чтобы этого не произошло, не-
обходимо правильно выбрать материал,
конструктивные формы каждой детали в
зависимости от характера действия сил
и условий эксплуатации. В результате
расчетов при проектировании следует
убедиться, удовлетворяет ли конструкция
предъявляемым требованиям надежности.
34
Методы расчета выбираются в
зависимое । и oi гедоний работы коне гр', в
иии и требований, которые к ней предъян
. uno гея.
Основным методом расчета элементов
конструкций является расчет но на-
пряжениям. В основу этого метода
положено предположение, что критерием
надежности конструкции является напря-
женное состояние в точке. Оно характери-
зуется совокупностью нормальных и каса-
тельных напряжений, действующих по
всем площадкам, которые можно прове-
сти через рассматриваемую точку.
Из анализа напряженного состояния
конкретной детали выявляются те сечения
(точки) ее элементов, в которых действу-
ют наибольшие напряжения. Найденное
напряжение сравнивается с предельным
напряжением для данного материала, по-
лученным из лабораторных испытаний, и
формулируется заключение о прочности
конкретного элемента конструкции.
В том случае, когда деталь имеет
сложную конфигурацию, применяют э к-
с п е р и м е н т а л ь н ы е методы и з-
мерения деформации.
Для простых конструктивных схем ис-
пользуется метод расчета по
разрушающим нагрузкам.
В этом методе определяется предельная
нагрузка, которую может выдержать кон-
струкция без разрушения и без больших
деформаций. Предельная (разрушающая)
нагрузка сравнивается с рабочей и на
основании этого делается вывод о прочно-
сти конструкции в рабочих условиях.
В том случае, когда к конструкции
предъявляются требования минимальных
деформаций, ее элементы рассчитываются
на жесткость. Это не исключает
расчета системы на прочность по напря-
жениям.
В инженерных расчетах часто
встречаются задачи, в которых большое
внимание приходится уделять вопросам
у с т о й ч и в о с т и, т. е. способности кон-
струкции сохранять под действием на-
грузки начальную форму равновесия.
Курс сопротивления материалов по-
зволяет приближенно установить для раз-
личных случаев действия внешних сил
математические соотношения между
внешними силами, геометрическими раз-
мерами элементов конструкций, возника-
ющими силами упругости и деформация-
ми. Здесь опыт и теория тесно увязаны
между собой.
Вопросы для самопроверки
1. Назовите физические свойства модели
материала.
2. Что называют брусом, пластинкой, обо-
лочкой и массивом?
3. Какие модели нагружений используют
в расчетах конструкций?
4. Что представляют собой внутренние си-
лы и каким методом они выявляются?
5. Что называют нормальным и касатель-
ным напряжением?
6. Какие деформации называются угловы-
ми и линейными?
7. В чем состоит принцип независимости
действия сил?
8. Какова общая схема расчета на про-
чность элемента конструкции?
Глава 5
РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ
§ 5.1. ВНУТРЕННИЕ СИЛЫ,
НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ И СЖАТИИ
Рис/имением (смитисм) низыиаетс.ч
uiKoii ши) /)еф<>]>м111111и, при кинрим в по
перечном (псрпен<)иС1/.1ч/>ном oi и) сече-
нии С!ер>кнч потикает io.iuko проРо.и,
паи раС1>1гиианпца<1 (см имающим) ciuia.
В условиях растяжения будет нахо-
диться стержень под действием осевых
сил на краях (рис. 5.1, а)'. Передача тако-
го усилия к стержню может осущес-
твляться различными конструктивными
способами, например через гайку и го-
ловку болта в резьбовом соединении
(см. рис. 4.7). Однако во всех случаях
равнодействующая системы внешних сил
будет равна F.
Модель раст ягинаемо! о стержня ши
роко исно.тыгется н расче, ах ботов,
ремней передач, гтержней ферм, лопагок
т\ рбин и др.
Внутренние силы. Для определения
продольной силы N используется метод
сечений. Условимся считать эту силу
2*
35
Рис. 5.1. Схемы деформации (а),
внутренних сид (б) и напряже-
ний в сечении (в) стержня при
растяжении
положительной (т. е. присвоим знак
плюс), если опа растягивает стержень,
и отрицательной если сжимает.
Для определения силы N в сечении
х = 0 стержня (рис. 5.1, а) рассмотрим
равновесие верхней отсеченной части
(рис. 5.1,6). ('оставляя уравнение равно-
весия £Л = 0, получим
-/ + № = (); W=+/7.
Знак плюс показывает, что стержень
растянут.
Рассмотрим другой пример
(рис. 5.2, а). Здесь сила F приложена в
сечении х = а. Очевидно, что в любом
сечении при %1>а (рис. 5.2, 6) N (х\) =
= 0. Это означает, что часть стержня на
этом участке под силой Л не нагружена.
Проведем второе сечение при х2^а
(рис. 5.2, в) и рассмотрим равновесие ни-
0
Рис. 5.2. Схемы распределения внутренних сил
при растяжении стержня
жней части. Записывая уравнение равно-
весия £Х = (), будем иметь
/•-ЛЦх2) = 0; N(x.2)=F.
[рафик изменения внутренних сия
(эпюра) приведен на рис. 5.2, г. Каждая
ордината эпюры равна значению N в дан
ном сечении. Эпюру строят на линии, про-
веденной параллельно оси стержня.
Напряжения. Сила N, приложенная
в центре тяжести произвольного сечения
стержня (см. рис. 5.1,6), является равно-
действующей внутренних сил о <1/1, дей-
ствующих на бесконечно малые площадки
поперечного сечения площадью Я:
N=\ о d/l. (5.1)
А
Из этого уравнения нельзя найти за-
кон распределения нормальных напряже-
ний по поперечному сечению. Однако ес-
ли предположить, что в пределах дейст-
вия закона Гука плоские поперечные
сечения стержня смещаются при растя-
жении параллельно начальным положени-
ям, оставаясь плоскими (гипотеза плос-
ких сечений), то нормальные напряжения
во всех точках сечения должны быть оди-
наковыми, т. е. о = const.
Эта гипотеза, высказанная голланд-
ским ученым Д. Бернулли, позднее была
подтверждена экспериментами. Так, если
на поверхность стержня нанести систему
взаимно перпендикулярных линий
(см. рис. 5.1, в), то после его нагружения
эти линии переместятся параллельно са-
мим себе.
Учитывая эту гипотезу, из формулы
(5.1) получим N — ciA, откуда
о=/У/Л. (5.2)
Таким образом, нормальное напряже-
ние в поперечном сечении стержня при
растяжении равно поделенной на пло-
щадь сечения продольной силе в этом же
сечении.
Несложно заметить, что в примере на
рис. 5.2, а часть стержня под силой F не
напряжена.
При сжатии стержня напряжения
имеют лишь другой (отрицательный)
знак (нормальная сила направлена в те-
ло стержня).
3(1
Рис. 5.3. Схемь, распределения осевых сил и
напряжений в соединении с натягом
Пример. Определим напряжения в сечении
соединения с натягом цилиндрического стерж-
ня и втулки, если удельные (отнесенные к еди-
нице поверхности) силы трения в сопряжении
1, постоянны по длине; соединение передает от
одной детали к другой осевую силу т(л<//
(рис. 5.3. а), где rf диаметр стержня; I
длина соединения.
Решение. На расстоянии х от начала ко-
ординат, как обычно, мысленно рассечем внут-
ренний стержень и рассмотрим равновесие его
нижней части. Запишем уравнение равновесия
X А’ = 0 и получим (рис. 5.3, б)
/' — т(л<7 (I— х)~ N (х) = (),
откуда продольная сила в сечении х
N(x)=- F - у-п d (I- х)
и нормальные напряжения в этом же сечении
, ч А7(х) 4|/'-т лс((/-
Л л d2
Несложно заметить, что в пределах сопря-
жения напряжения линейно зависят от коорди-
наты х. При х = 1 напряжение а(/) = 4/•'/(nd2)
и при х=-() напряжение а(0) = 0, так как внеш
ияя сила уравновешивается силой трения
Эпюра нормальных напряжений показана на
рис. 5.3, в.
Деформации. Стержень постоянного
сечения площадью А под действием осе-
вых растягивающих сил (см. рис. 5.1) уд-
линяется на величину А/ = /(—/(), где Л
и длины стержня в деформированном
и недеформированном состоянии. Это
приращение длины называется полным
или абсолютным удлинением при растя-
жении; в случае сжатия стержня оно на-
зывается полным или абсолютным укоро-
чением. Экспериментально установлено,
что чем больше /о, тем больше Л/. Поэто-
му наиболее удобной мерой деформации
является относительное удлинение,
т. е. удлинение, отнесенное к первона-
чальной длине стержня,
г = А///(1 = (/,- /„)//,„ (5.3)
называемое линейной деформацией. Вели-
чина е обычно выражается в процентах
от начальной длины. При сжатии е. назы-
вают относительным укорочением.
Опыты показывают также, что
удлинение стержня в осевом направлении
сопровождается уменьшением его попере-
чных размеров (см. рис. 5.1, а; недефор-
мируемое состояние стержня показано
штриховой линией).
Следовательно, при растяжении и
сжатии возникает не только продольная,
но и поперечная деформация стержня.
Если первоначальная ширина стержня
была а„, то под действием сил F она умень-
шится на величину Ла = а(> — а,. Относи-
тельная поперечная деформация будет.
е„=—.\а/а».
Знак минус показывает, что при
растяжении стержня поперечные размеры
уменьшаются.
Отношение поперечной деформации к
продольной при растяжении (сжатии),
взятое но абсолютной величине,
|г=|е„/г;| (5.4)
называют коэффициентом Пуассона (по
имени французского ученого, установив-
шего взаи мосвязь деформаций). На осно-
вании экспериментов получено: для ста-
лей |i = 0,25...0,3; для алюминиевых спла-
вов ц = 0,3...0,35; для медных сплавов
р = 0,35.
Закон Гука. Между напряжениями и
малыми деформациями существует линей-
ная зависимость, называемая-законом Гу-
ка. Для центрального растяжения (сжа-
тия) она имеет вид
су = Ес, (5.5)
где Е коэффициент пропорционально-
сти, именуемый модулем упругости. По
физическому смыслу модуль упругости
37
напряжение, которое вызывает деформа-
цию е=1 (удлинение стержня, равное
первоначальной длине). По данным
экспериментов: £ = (2...2,2)-105 МПа —
для сталей; £ = 1,1 • 105 МПа — для тита-
новых сплавов; £ = 0,7-10s МПа — для
алюминиевых сплавов.
Для некоторых материалов (напри-
мер, коррозионно-стойких сталей) закон
Гука является приближенным даже при
сравнительно небольших деформациях.
Учитывая равенства (5.2), (5.3) и
(5.5), закон Гука для растянутого (сжато-
го) стержня можно записать в виде
Л/ = £//(£Л) = Х;£, (5.6)
где X, - коэффициент продольной подат-
ливости стержня показывает удлинение
(укорочение) стержня, вызываемое рас-
тягивающей (сжимающей) силой £ =
= 1 Н. Произведение ЕА называют жес-
ткостью сечения стержня при растяжении
(сжатии).
Для стержня переменного (ступенча-
того) сечения удлинения определяют по
участкам (ступеням) и результаты
суммируют алгебраически:
£Л~’
где i номер участка (z = 1,2, ..., п).
Пример. Определим удлинение стержня
болта в результате затяжки соединения усили-
ем F (рис. 5.4), необходимое для контроля ка-
чества его сборки.
Решение. Возникающая в процессе затяж-
ки продольная сила N = F вызывает растяже-
Рис. 5.4. Болтовые соединения деталей звез-
дочки цепной передачи
ние болта. Учитывая ступенчатую форму его
стержня, можно записать
где /1 и d\ — длина и диаметр первого участка
стержня болта (рис. 5.4); /2 и то же, для
второго участка стержня болта.
При расчете упругих перемещении
i |ержня от нескольких сил часн>
применяют принцип независимости дейс:
вия сил: перемещение стержня от дейт
вия группы сил может быть получено как
с\мма перемещении от действия каждой
силы в отдельности.
Например, для стержня на
рис. 5.5 (ненагруженное состояние пока-
зано штриховыми линиями) полное удли-
нение
azz=a/!+a/2=
= £,//(£/1) —£2а/(£Л),
где / и а -- размеры стержня.
Для стержня, нагретого от температу-
ры 1о до температуры t и растянутого
силами £, суммарная деформация скла-
дывается из силовой и температурной.
Тогда формула (5.6) принимает вид
А/ = £//(£Д) + а/(/-/0),
где а - коэффициент температурного
расширения материала.
Экспериментально установлено, что
модуль упругости £ при умеренном нагре-
ве незначительно меняется с температу-
Рис. 5.5. Схемы удлинения стержня
при действии нескольких сил
38
Рис. 5.6. Схемы деформации стерж-
ней при растяжении
рой, а коэффициент а практически не за-
висит от напряжения о. Для стали эта
зависимость имеет место до температуры
300...400 °C. При более высоких темпера-
турах необходимо учитывать зависимость
модуля упругости Е от температуры I.
Следует отметить, что формулы
(5.5)... (5.6) выведены в предположении,
что стержень растянут силами, равномер-
но распределенными но сечению (напри-
мер, горновому, рис. 5.6, а). При
растяжении сосредоточенными силами,
как показывают эксперименты и расчеты
методами теории упругости, сечения стер-
жня вблизи мест приложения внешних
сил в результате деформации искривля-
ются (рис. 5.6, б), возникают большие
местные деформации и напряжения.
Однако на некотором расстоянии от
мест приложения внешних нагрузок про-
исходит быстрое затухание местных де-
формаций и напряжений и распределение
напряжений не зависит от способа прило-
жения этих нагрузок. Статически эквива-
лентные силы вызывают одинаковое на-
пряженно-деформированное состояние -•
принцип Сен-Венана.
В инженерных расчетах местные эф-
фекты учитывают введением в расчетные
формулы сопротивления материалов кор-
ректирующих коэффициентов, получае-
мых из уточненных расчетов или модель-
ных и натурных экспериментов.
§ 5.2. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
ДЕФОРМАЦИИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ
ПЕРЕМЕЩЕНИЙ СЕЧЕНИЙ СТЕРЖНЯ
ПОД НАГРУЗКОЙ
Энергия деформации стержня. При
статическом растяжении или сжатии
упругого стержня происходит превраще-
ние потенциальной энергии из одного ви-
да в другой. Рассмотрим, например, стер-
жень, верхний конец которого закреплен,
а к нижнему концу последовательно под-
вешиваются малые грузы весом (силой
тяжести) dF (рис. 5.7, и). При добавле-
нии каждого последующего груза они
опускаются и их потенциальная энергия
уменьшается, а потенциальная энергия
деформации стержня соответственно воз-
растает.
Обозначим накопленную потенциаль-
ную энергию деформации через Ер, а
уменьшение потенциальной энергии внеш-
них сил Ег. Если пренебречь магнитными,
тепловыми и другими явлениями, сопро-
вождающими упругие деформации тела
в слабой мере, то закон сохранения энер-
гии при упругой деформации выразится
равенством
Мерой ноте1ЩШ1.|ьной -шер! ии внеш-
них сил (ip\ioB), превратившейся и ш>
г ci 111 и ал ьн х ю энергию деформации iiep/i-,
ня, является рибита ! /. прои ше.тени.1Я
XI ими гидами.
Очевидно, что потенциальная энергия
деформации Ер численно равна работе
а) 0)
Рис. 5.7. Зависимость силы от удлинения
стержня
39
L/. внешних сил:
(5.7)
При разгрузке тела потенциальная
энергия переходит в работу. Это свойство
упругих тел широко используется в инже-
нерной практике (например, в пружинных
двигателях, рессорах и др.).
Заметим, что в общем случае работа
внешних сил идет на накопление потенци-
альной энергии Е,, и на сообщение скоро-
сти массе тела, т. е. преобразуется в
кинетическую энергию Ек. Баланс энергий
при этом
На рис. 5.7, б дана графическая зави-
симость /•' = [ (Л/) для растянутого стерж-
ня (рис. 5.7, о). Она показывает, что пе-
ремещение незакрепленного конца стерж-
ня под действием постепенно увеличиваю-
щейся силы возрастает пропорционально.
Так как на пути Л/ значение силы изме-
няется, то работа, расходуемая на растя-
жение стержня, может быть определена
интегрированием по элементарным учас-
ткам пути.
Допустим, что текущее значение силы
Ft увеличилось на d/'i и стержень удли-
нился соответственно на <l(A/i). Тогда
растягивающая сила, среднее значение
которой равно /5, совершит работу
(рис. 5.7, б)
dLr=F. с1(Л/|)«/7| (1 (Л/,).
Суммарная работа внешней силы
F на упругом перемещении равна площа-
ди треугольника ORC:
LF= 2 Л/-
Коэффициент 1 /2 в последнем соотноше-
нии вытекает из прямой пропорцио-
нальности между силой и перемеще-
нием.
Потенциальную энергию деформации
можно выразить также через работу внут-
ренних сил. Учитывая связь внешних и
внутренних сил, а также зависимости (5.6)
и (5.7), найдем работу внутренних сил
/V2/
Z'v== 9 ГЛ' (5-8)
По теореме Клапейрона, вытекающей
из закона сохранения энергии, получим
Z. <. = L — Е
Это равенство не зависит ни от поряд-
ка приложения внешних сил, ни от измене-
ний этих сил между начальным и конеч-
ным состояниями деформируемого тела.
Если внутренняя сила М изменяется
вдоль стержня (см. рис. 5.3), то работа
внутренних сил и потенциальная энергоя
определяются суммированием но учас-
ткам (Д
N2 dx
2 ЕЛ
и для всего стержня
с №
2 ЕЛ <)Х-
При действии на тело нескольких сил
потенциальную энергию деформации вы-
числяют по формуле Клапейрона
F='i 1 ГМ=
i— I
— 2 (^1 +^2 А/2 +
+ - + ЛМ),
где i номер силы F (i= 1,2... «); Л/,
перемещение точки приложения силы в
направлении этой силы.
Например, для стержня, изображен-
ного на рис. 5.5, перемещения точек при-
ложения сил Ft и Ег соответственно
равны
f,a F.fi
2~ ЕЛ ЕЛ
и потенциальная энергия деформации по
форм ул е Клапейрона
] / F2l 2F.F..U F2a\
р 2 \ ЕЛ ЕЛ ЕЛ )
Теорема Кастилиано. Имея соотноше-
ние для потенциальной энергии, можно
установить простой метод определения
40
перемещений стержня при его упругой
деформации. Дифференцируя равенство
(5.8) по силе, получим
d£p _ л//
ЕА '
Сопоставляя полученный результат с
соотношением (5.6), находим, что произ-
водная от потенциальной энергии по силе
равна перемещению точки приложения
силы по направлению этой силы.
Если на упругое тело, закрепленное
на недеформируемом основании, действу-
ют несколько сил, то частная производ-
ная от потенциальной энергии тела по
какой-либо внешней силе равна переме-
щению точки приложения этой силы в на-
правлении силы (теорема Кастилиано),
т. е.
дЕ„
= (5.9)
о Е,
Например, для стержня, показанного
на рис. 5.5,
PF F\l F.fl
X/ — __ —1— — _______
1 <)F} ЕЛ ЕА'
дЕ F ,а F.2a
2 dF2 ЕА ЕЛ
Для доказательства теоремы
Кастилиано допустим, что на тело (стер-
жень) действуют несколько сил Fi, Ft, ...,
F„. Потенциальная энергия деформации,
накопленная этим телом, является фун-
кцией этих сил
Ep=!(F„ F2, .... F,().
Если какой-либо силе F, дано не-
большое приращение dF,, то потенциаль-
ная энергия деформации возрастает до
величин ы
Но количество энергии, накопленной
телом, не зависит от порядка, в котором
прикладывались силы, а зависит от их
конечных значений. Изменим порядок
приложения сил. Пусть па упругое тело
сначала действует сила dF,. Если через
б(Лб) обозначить малое перемещение, по-
лучаемое точкой приложения силы dF,
в ее направлении, то работа этой силы
равна AF,d(z\/,)/2. Прикладывая теперь
систему сил Fi, Fa, ..., F„, отметим, что
эти силы на соответствующих перемеще-
ниях Л/,, Л/г, ., Л/„ совершат работу,
которая, как и прежде, будет численно
равна Ер. При этом сила dF, на переме-
щении Л/,, вызванном всей системой сил,
совершит дополнительную работу dF,A/,.
Потенциальная энергия тела при обрат-
ном порядке нагружения
dF,d(A/,.) + Ep + dF[A/,.
Приравнивая соотношения для Ер. и
пренебрегая слагаемым второго порядка
малости, получим равенство (5.9).
Отметим, что теоремы Клапейрона и
Кастилиано являются общими в
сопротивлении материалов и остаются
справедливыми для других видов дефор-
мации тел произвольной формы.
§ 5.3, НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ
К ОСИ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ
Рассечем растянутый стержень плос-
костью, наклоненной к поперечному сече-
нию под углом а (рис. 5.8, а), и рассмот-
рим равновесие нижней отсеченной части
(рис. 5.8, б). Из уравнения равновесия
несложно установить, что равнодействую-
щая внутренних сил в наклонном сечении
направлена по оси стержня и равна
внешней силе, т. е. R„ = F.
Разложим эту равнодействующую на
нормальную и касательную составляющие:
A/a = Fcosa; Qa=Fsina.
Рис. 5.8. Схемы сил упругости в на-
клонном сечении стержня
41
Рис. 5.9. Схемы напряжения в на-
клонных сечениях стержня
Учитывая, что площадь наклонного
сечения Ла = Л/соза (Л площадь нор-
мального сечения), и полагая, что нор-
мальные оа и касательные та напряжения
распределены но наклонному сечению
также равномерно (как по поперечному
сечению), получим
f cos2 а 2
а„ = —— =---------= ocos а;
Ла А
Qa F sin а cos al . Л
та = Х=--------д-------= --osin2a.
(5.10)
Соотношения (5.10) устанавливают
связь между напряжениями о» и т„ в «ко-
сых» сечениях и напряжением о в нор-
мальном к оси сечении растянутого стер-
жня. Видно, что максимальные нормаль-
ные напряжения o = F/A действуют в по-
перечных сечениях стержня (а = 0). По-
этому расчеты прочности стержней в ус-
ловиях растяжения (сжатия) выполняют
по нормальным напряжениям в попере-
чных сечениях.
В наклонных сечениях раетянхнно
(ежа|о!о) е1ержня действую! одновре-
менно как нормальные, гак и касательные
напряжения. .Значения них напряжении
швисяг oi \i.ia наклона а. Максималь-
ные ( по абсолют ной величине) Kacaie.ii>-
пые напряжения 6\.ivi на площадках при
ч. 45 и 133 . г,,, ,, ~ <i/2. Нормальные на
пряжения на этих площадка х равны
касательным.
Этот вывод имеет важное практиче-
ское значение. Некоторые конструкцион-
ные материалы (например, пластичные
стали) хуже сопротивляются деформаци-
ям сдвига, чем деформациям растяжения.
В связи с этим максимальные касатель-
ные напряжения могут вызывать разру-
шение деталей из таких материалов.
В продольной плоскости (а = 0) как
нормальные, так и касательные напряже-
ния отсутствуют.
Можно показать, что в двух любых
взаимно перпендикулярных плоскостях
(рис. 5.9) алгебраическая сумма нормаль-
ных напряжений равна нормальному на-
пряжению о в поперечном сечении, а
касательные напряжения равны между
собой по абсолютной величине и противо-
положны по направлению (знаку). По-
следнее условие является обшей особен-
ностью любого напряженного состояния
и носит название закона парности
касательных напряжений.
§ 5.4 МЕХАНИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА
КОНСТРУКЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
Испытания материалов при растяже-
нии. В расчетах прочности стержней при
растяжении и сжатии необходимо знать
механические свойства материалов. Эти
свойства выявляются при испытаниях об-
разцов на растяжение под нагрузкой.
Испытания на растяжение во многих
случаях позволяют достаточно верно су-
дить о поведении материала и при других
видах деформации: сжатии, сдвиге,
кручении и изгибе.
Для испытания на растяжение изго-
товляют образцы обычно круглого
(рис. 5.10), реже прямоугольного сечений.
Рис. 5.10. Эскиз стандартного образца для
испытаний материалов при растяжении
42
Рис. 5.11. Схема закрепления образца в за-
хвате испытательной машины
сциссы Л/ в In раз, где Ап и In - - со-
ответственно площадь поперечного сече-
ния и рабочая длина недеформированного
образца. В таком виде диаграмма будет
характеризовать только свойства матери-
ала образца.
Характеристики прочности материала.
Отметим на диаграмме (рис. 5.12, б) ха-
рактерные точки и дадим качественную
и количественную оценку механическим
свойствам материала.
Диаграмму можно условно разделить
на четыре зоны. Первая зона называется
зоной упругости, здесь свойства
материала на участке ОА подчиняются
закону Гука и
Г = Л/£Д0//(); <т = £е.
Концевыми утолщениями образцы
вставляются в особые центрирующие
сферические захваты (рис. 5.11). Длину
рабочей части образца (расчетная дли-
на) (р выполняют в 10 раз большей его
диаметра d, используют также малые об-
разцы с /p = 5d. Измерения проводятся
на расчетной длине.
Испытания проводят на универсаль-
ных испытательных машинах, снабжен-
ных силоизмерителем и аппаратом для
автоматической записи диаграммы растя-
жения (сжатия) в координатах «сила --
удлинение» (рис. 5.12, а). График зависи-
мости между растягивающей (сжимаю-
щей) силой F и удлинением образца А/
называют диаграммой растяжения. Такая
диаграмма зависит от размеров образца
и физических свойств материала [см. со-
отношение (5.6)]. Для исключения этой
зависимости диаграмму перестраивают в
координаты о —е (рис. 5.12, б) путем
уменьшения ординаты F в До раз и аб-
НаиГх>. Ii,iIiee напряжение. и> юн крон,
материал следует закону 1 \ка,
пределом пропорциональноеi и <т,,.
Угол наклона прямой О А
a = arctg o/r = arctg Е,
где Е - модуль упругости материала.
При проектировании элементов кон-
струкций иногда важно знать напряже-
ние, вызывающее в материале первые ос-
таточные деформации. Вблизи точки
А можно отметить точку К, в которой
после снятия нагрузки (разгрузки) в об-
разце возникает остаточная деформация,
равная наперед заданной малой величине
(0,002...0,005 % первоначальной длины
образца). Напряжение оу в точке К назы-
вают пределом упругости. Практическая
величина предела упругости близка к пре-
делу пропорциональности. Эти величины
трудно поддаются определению, поэтому
их, как правило, не помещают в справоч-
ные данные по свойствам материалов.
Рис. 5.12. Диаграммы растяжения
43
Если из точки К опустить перпендику-
ляр па ось Of, то он разделит диаграмму
на две области: левую область упругих
деформаций и правую --- область упругих
и пластических (упругопластических) де-
формаций.
Вторая зона KD называется зоной
общей пластичности. Для нее
характерно существенное увеличение де-
формации (длины) образца без заметно-
го увеличения напряжения (нагрузки).
В этой зоне для некоторых материалов
(например, малоуглеродистой стали) на-
блюдается почти горизонтальный учас-
ток — площадка текучести (отрезок CD
диаграммы). Опыты показали, что
образование пластических деформаций
вызвано сдвигами в кристаллической ре-
шетке.
Если образец разгрузить в какой-либо
точке этой зоны, например в точке D, то
в процессе разгрузки, как показывают
опыты, зависимость между напряжением
о и деформацией е выразится прямой DE,
параллельной прямой ОА. При этом де-
формация, полученная на этапе нагруже-
ния, полностью не исчезает. Она лишь
уменьшается на величину упругой дефор-
мации ге = о}/Е. Отрезок OL на оси аб-
сцисс равен остаточной (пластической)
деформации ер. Таким образом, полная
деформация e = ee+fp. Повторное нагру-
жение образца идет по прямой ED и да-
лее по диаграмме (рис. 5.12, б). Таким
образом, предварительное упругопласти-
ческое нагружение образца уменьшает
пластичность материала.
Для количественной оценки напряжен-
ности материала и предотвращения боль-
ших остаточных деформаций в нем исполь-
зуют важную характеристику механиче-
ских свойств материала — предел текуче-
сти <гт — напряжение, при котором в
материале появляется заметное удлинение
без увеличения напряжения.
Для тех материалов, у которых на ди-
аграмме отсутствует явно выраженная
площадка текучести, за предел текучести
принимается условная величина напряже-
ния, при котором остаточная деформация
ер = 0,02...0,2 % (до 0,5%). Чтобы отли-
чить пределы текучести при растяжении
и сжатии, вводят вторую букву в индекс
(СХгр И Отс)
Третья зона DB зона
упрочнения; здесь удлинение образ-
ца возрастает более интенсивно с увели-
чением нагрузки по сравнению с зоной
упругости ОК-
В точке В относительное уменьшение
площади сечения сравнивается с относи-
тельным возрастанием напряжения и на-
пряжение а достигает максимума.
Если разгрузить образец в некоторой
точке F этой зоны, то при последующем
нагружении отсчет деформаций будет на-
чинаться от точки Л и материал приобре-
тает способность воспринимать без оста-
точных деформаций большие нагрузки.
Явление повышения упругих свойств
материала в результате предварительного
пластического деформирования носит на-
звание наклепа или нагартовки и широко
используется в технике.
Так, например, цепи и тросы грузо-
подъемных машин, а иногда болты и пру-
жины подвергают предварительному рас-
тяжению силами, превышающими рабо-
чие, для того чтобы избежать остаточных
удлинений в дальнейшем. Проволока, по-
лученная волочением, выдерживает боль-
шие нагрузки, чем материал, из которого
она изготовлена.
В некоторых случаях явление наклепа
может быть нежелательным. При пробив-
ке отверстий под заклепки материал у их
кромок получает наклеп и становится бо-
лее жестким. Это способствует образова-
нию трещин. Во избежание этого матери-
ал, получивший наклеп, удаляют путем
увеличения диаметра отверстий сверлени-
ем. Наклеп может быть снят термической
обработкой — отжигом. Для этого мате-
риал нагревают до известной температу-
ры, выдерживают при этой температуре
в течение определенного времени, а затем
медленно охлаждают.
Четвертую зону ВМ называют з о-
ной местной текучести. Здесь
удлинение образца происходит с умень-
шением силы и сопровождается образова-
нием местного сужения -- шейки. При
этом среднее напряжение в поперечном
сечении шейки возрастает. В точке М на-
ступает разрушение образца. Следует от-
метить, что у многих материалов разру-
шение происходит без заметного образо-
вания шейки.
44
Таблица 5.1
Механические характеристики классов распространенных конструкционных материалов
(средние значения)
Материал Напряжения, МПа Относи- тельное удлинение <Т5, % Модуль упругости, £•10' 5, МПа
О„ Or От.-
Сталь малоуглеродистая 390 250 250 42 2
Сталь углеродистая закаленная 1050 1000 970 10 2
Чугун серый 300 280 250 0,6 0,7
Алюминиевый литейный сплав 220 200 180 35 0,7
Медь прутковая 320 250 250 8 1,1
после разрыва
Максимальное напряжение на диаг-
рамме, которое способен выдержать обра-
зец, называют пределом прочности (вре-
менным сопротивлением) и обозначают <г„
(ПРИ СЖаТИИ Ове)-
Так как величину о„ определяют по
отношению к площади поперечного сече-
ния недеформированного образца, то пре-
дел прочности не равен истинному напря-
жению разрушения и является условным
показателем несущей способности
материала. Однако благодаря простоте
и удобству определения предел прочности
широко используется в расчетной практи-
ке как сравнительная характеристика
прочностных свойств материала.
Значения ов и <тг для некоторых мате-
риалов приведены в табл. 5.1.
Испытания на сжатие. Стандартные
испытания материалов на сжатие обычно
не проводят из-за ряда технических труд-
ностей. Для большинства конструкцион-
ных материалов модуль упругости, преде-
лы упругости и текучести при растяже-
нии и сжатии можно считать одинаковы-
ми. Предел прочности хрупких материа-
лов (например, чугунов) при сжатии
может быть значительно выше, чем при
растяжении.
Пластичность и хрупкость. Под плас-
тичностью понимается способность мате-
риала получать большие остаточные де-
формации без разрушения.
В качестве мер пластичности
используют относительное остаточное уд-
линение образца после разрыва
b = (lp— (о)//о
и относительное остаточное уменьшение
площади поперечного сечения в шейке
Ф — (Л о — А р)/А о,
где /р расчетная длина образца,
составленного после разрыва из двух час-
тей; /(1 — то же, до испытания; Ар-~ пло-
щадь сечения в шейке; Ло--то же, до
испытания.
Так как после образования шейки об-
разец деформируется по длине неравно-
мерно, то величина б в определенной мере
зависит от расчетной длины образца. По-
этому удлинение, определенное на образ-
це с расчетной длиной Lp = bd, иногда
обозначают б5.
Пластичность является важным кон-
струкционным свойством. Опыты показа-
ли, что детали из малопластичных
материалов (бС5 %; ф<;6 %) плохо со-
противляются переменным нагрузкам.
Хрупкостью называется способность
материала разрушаться без образования
заметных остаточных деформаций.
Для таких материалов удлинение при
разрыве составляет от долей процента до
5 %. Это свойство противоположно свой-
ству пластичности. На рис. 5.13 для срав-
нения приведены диаграммы растяжения
б МПа
Рис. 5.13. Диаграммы растяжения
для хрупкого и пластичного мате-
риалов
45
Рис. 5.14. Схемы пробы
Бринелля
пластичного (малоуглеродистая сталь) и
хрупкого (чугун) материалов.
Деление материалов на пластичные и
хрупкие является условным. В зависимо-
сти от напряженного состояния, скорости
деформирования, температуры и других
условий пластичность меняется. Матери-
ал, показавший себя хрупким при растя-
жении при обычной температуре, может
вести себя при других условиях как плас-
тичный, и наоборот.
При изготовлении конкретных деталей
широко пользуются термообработкой, ко-
торая позволяет изменять свойства мате-
риалов в нужном направлении. Так, на-
пример, закалка резко повышает прочно-
стные характеристики стали и
одновременно снижает ее пластические
свойства. Влияние на механические свой-
ства химического состава материала и
его термической обработки изучается в
материаловедении.
Твердость. Испытание образцов на
растяжение и сжатие дает объективную
оценку свойств материалов. В произ-
водстве же для проведения оператив-
ного контроля этот метод испытаний
весьма сложен. Поэтому в большинстве
случаев применяют приборы на твер-
дость.
Под твердостью материала понимают
его способное! ь оказывать сопротивления
проникновению (внедрению) is него
другого, более твердого тела. Показатель
твердости тесно связан с показателями
прочности и пластичности и зависит oi
конкретных условий ведения йеныiаннй.
Для определения твердости металлов
существует несколько способов. Наиболее
широкое применение получили пробы
по Бринеллю (НВ) и Роквеллу
46
(HR). В первом случае в поверхность ис-
следуемой детали вдавливается стальной
шарик, во втором — алмазный конус. По
обмеру полученного отпечатка судят о
твердости материала. Эти методы
относятся к неразрушающим методам
контроля. С помощью переводных таблиц
можно приближенно по показателям
твердости определить предел прочности
материала.
Твердость по Бринеллю определяют
вдавливанием в испытываемый материал
шарика из закаленной стали диаметром
К) мм при силе 30 кН. Число НВ равно
отношению силы, вдавливающей шарик,
к площади поверхности полученного отпе-
чатка (рис. 5.14):
лО (О-д/о2-б/2)
Для сталей связь между числом твер-
дости НВ и временным сопротивлением
(пределом прочности) выражается при-
близительно так:
ов» 0,36-НВ.
Влияние температуры. Результаты ме-
ханических испытаний материалов обыч-
но относятся к так называемым нормаль-
ным условиям, т. е. к температуре 20 °C,
при которой производятся испытания в
лабораториях, и к сравнительно неболь-
шим скоростям изменения нагрузок
de/d/ = 0,01 ...3 мин
Многие детали машин работают в са-
мых различных температурных режимах.
Так, например, выхлопные клапаны в ав-
томобильных двигателях работают при
500...800 °C, а детали того же самого дви-
гателя, соприкасающиеся с внешней сре-
дой, иногда работают при весьма низких
температурах. Элементы холодильных ус-
тановок и резервуары, содержащие сжи-
женные газы, работают при очень низких
температурах.
В больших пределах изменяются так-
же и скорости нагружения под действием
внешних сил. Поэтому в зависимости от
конкретных условий механические свой-
ства материалов будут проявляться по-
разному.
Влияние температуры и фактора вре-
мени на механические характеристики ма-
териала в общем виде выявить не удает-
ся. Поэтому влияние указанных факторов
в настоящее время рассматривается при-
менительно к конкретным задачам.
В сопротивлении материалов в основ-
ном изучаются медленно изменяющиеся
или статические нагрузки. Это позволяет
легко получить зависимость механических
характеристик материала от температу-
ры. Так, на рис. 5.15 показана зависи-
мость от температуры величин Е, ов, отр
и 6 для малоуглеродистых сталей в ин-
тервале 0...500 °C. На кривой зависимо-
сти 6 = /(/) для малоуглеродистой стали
заметен участок, когда удлинение образ-
ца при разрыве с повышением температу-
ры уменьшается, а при дальнейшем повы-
шении температуры пластические свойст-
ва стали восстанавливаются при падении
прочностных показателей. Это явление
называется охрупчиванием. В легирован-
ных сталях это явление не наблюдается.
При статическом нагружении, начи-
ная с некоторых значений температур,
заметно начинает сказываться фактор
времени.
Изменение по времени деформаций и
напряжений, возникающих в нагружен-
ной детали, носит название ползучести.
Ползучесть вызывает необратимое изме-
нение размеров детали в процессе работы
машины.
Самопроизвольное изменение по вре-
мени напряжений в деталях, работаю-
щих в условиях высоких температур,
при неизменной деформации называют
релаксацией.
Она является частным проявлением
ползучести. Релаксацию можно наблю-
дать на примере ослабления затяжки
болтовых соединений, работающих в ус-
ловиях высоких температур.
При повышенных температурах пре-
дел прочности материала зависит также
от длительности испытания. В этих усло-
виях прочность материала характеризует-
ся пределом длительной прочности и пре-
делом ползучести.
Пределом длительной прочности ма-
териала называется отношение нагрузки,
при которой происходит разрушение рас-
тянутого образца через заданный проме-
жуток времени, к первоначальной площа-
ди сечения.
Рис. 5.15. Зависимости механи-
ческих характеристик материа-
лов от температуры испытаний
Заданный промежуток времени до
разрушения выбирается равным сроку
службы детали и меняется в пределах от
десятков до сотен тысяч часов. С увели-
чением времени предел длительной про-
чности падает.
Пределом ползучести называется на-
пряжение, при котором пластическая де-
формация за заданный промежуток
времени достигает заданной величины.
Предел длительной прочности и пре-
дел ползучести с увеличением температу-
ры уменьшаются.
На механические характеристики ма-
териалов оказывает влияние скорость
проведения испытаний, радиоактивное об-
лучение и другие факторы, оцениваемые
экспериментально.
Рассеяние механических характери-
стик материалов. Механическим характе-
ристикам материалов <гв, от, 6 и другим
свойственно сравнительно большое рассе-
яние при испытании серии идентичных
образцов, изготовленных из материала
даже одной плавки. Например, предел
прочности стандартных образцов из ста-
ли 38ХА составляет ов = 950... 1200 МПа.
Причинами рассеяния являются различия
в микроструктуре, степень дефектности
металла, рассеяние размеров образцов,
точность измерения нагрузок и т. п. Для
совокупности всех плавок металла данной
марки это рассеяние становится еще
большим в связи с дополнительным меж-
плавочным рассеянием механических
47
свойств, вызванным случайными вариаци-
ями химического состава и металлургиче-
ских факторов в каждой плавке.
Таким образом, механические характе-
ристики материала являются случайными
величинами, определяемыми с некоторой
вероятностью.
§ 5.5. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ
ЗАДАЧИ
Во многих инженерных задачах
расчета конструкций внутренние силы в
стержнях не могут быть определены с по-
мощью одних уравнений статики лишь
потому, что число неизвестных сил в этих
конструкциях больше числа уравнений
равновесия. Такие задачи называют ста-
тически неопределимыми. Для их реше-
ния систему уравнений равновесия допол-
няют недостающими уравнениями совме-
стности деформаций, отражающими осо-
бенности работы конструкции, и соотно-
шениями, выражающими зависимость пе-
ремещений элементов конструкций от сил.
Определим, например, внутренние си-
лы и напряжения в стержне, показанном
на рис. 5.2, а, при исключении смещения
нижнего торца путем его заделки (жест-
кого закрепления в корпусе,
рис. 5.16, а). В этом случае внешняя си-
ла F будет растягивать верхнюю и сжи-
мать нижнюю часть стержня.
Для решения задачи устраним ниж-
нюю заделку, а ее действие заменим
силой реакции Ai, значение которой
заранее не известно. Для того чтобы вы-
разить эту силу через известную силу F,
рассечем стержень при x^Za
Рис. 5.16. Расчетные схемы стержня (а и б)
и распределение напряжений (й)
(рис. 5.16,6) и рассмотрим равновесие
нижней отсеченной части. Составив урав-
нение £Х = 0, найдем
N2+F— N} = 0. (5.11)
Легко заметить, что в одно уравнение
равновесия входят две неизвестные си-
лы А| и N'2- Поэтому задача статически
неопределима и для ее решения необхо-
димо ввести дополнительное уравнение
совместности деформаций конструкции.
Учитывая жесткий характер закрепле-
ния стержня (заделку) в конструкции,
принимаем, что его длина под действием
нагрузки и сил реакций измениться не
может. Следовательно, общее удлинение
стержня
А/ = (). (5.12)
Для определения неизвестных сил N]
и N? из уравнений (5.11) и (5.12)
требуется выразить величину А/ в по-
следнем из них через действующие силы.
Так как стержень работает в услови-
ях растяжения и сжатия, то удлине-
ние А/, т. е. смещение нижнего торца от-
носительно верхнего, найдем как сумму
удлинений от сил F и А,:
АГ= Fa/(EA)~- N 1/{ЕА) = 0,
откуда N । = Fa/l.
Из уравнения (5.11) получим N2 =
= F(l — d)/l. Наибольшее напряжение в
стержне
о П|ЯХ = А 1Т|ЯХ/А.
! 11 о Л IJI d л/
Эпюра напряжений в стержне показа-
на на рис. 5.16, в. Сопоставим напряже-
ния в стержнях для двух схем закрепле-
ния (см. рис. 5.2 и рис. 5.16), например
при а = 0,25/. Тогда в рассматриваемом
примере будем иметь
О)= А|/А = 0,25F/A и о2=
= N2/A = 0,75F/A.
Для примера на рис. 5.2
о। = 0 и o2=F/A.
Отсюда видно, что за счет дополни-
тельной заделки можно снизить напряже-
ния в стержне.
Несложно показать, что увеличение
площади поперечного сечения наиболее
48
Рис. 5.17. Расчетные схемы подвески
нагруженной части стержня не повлечет
за собой пропорционального снижения
напряжений в этой части, а лишь вызовет
перераспределение напряжений в обеих
частях стержня.
Рассмотрим другой пример. Груз си-
лой тяжести F подвешен на трех стерж-
нях, шарнирно соединенных с корпусом
в узлах A, D и С и между собой в уз-
ле В (рис. 5.17, а). Каждый шарнир
допускает вращательное движение стерж-
ня. Требуется определить напряжения
в стержнях и смещение узла В под грузом.
Жесткости сечений стержней одинаковы
и равны ЕА.
Вырежем общий узел В и рассмотрим
равновесие отсеченной части, обозначив
усилия в стержнях через Дй, Л4 и Л/Д
Записывая уравнения равновесия (2 У =
= 0 и X Х = 0) для схемы на рис. 5.17,6,
найдем
N] = N3; 2/V| cos a + /V2— E = 0.(5.13)
Из последнего уравнения видно, что
задача статически неопределима.
Перемещение узла В определим из
рассмотрения схемы деформации стерж-
ней. Допустим, что в силу симметрии кон-
струкции точка В после деформации
заняла новое положение В». Повое поло-
жение стержней в этом случае показано
штриховыми линиями.
Удлинение стержня, например перво-
го, можно определить, опустив перпенди-
куляр из точки В на его новое положе-
ние. Так как в действительности дефор-
мации малы, то можно принять длину
АЕ = АВ, а угол AB,D = a. Тогда, обоз-
начив удлинение второго стержня через
Д/г, найдем, что удлинение первого
стержня
A/j = A/2cosa. (5.14)
Уравнение (5.14) выражает условие
совместности деформаций стержней.
Используя соотношение (5.6) и
учитывая, что E4=const и Z2=/|COsa,
из последнего уравнения найдем
N i = №г cos a.
Подставляя полученную зависимость
в уравнение (5.13), получим
1 +2 cos3 a
откуда
F cos2 a
(Vj =-------—.
1 +2 cos3 a
Опускание узла В под грузом
N2l2
— \l2— ----—
С.Л
= _Flt______1_____
ЕА 1-|-2 cos3 a
Напряжения в стержнях находятся по
формуле (5.2).
Можно показать, что для двухстер-
жневой подвески (рис. 5.17, в) верти-
кальное смещение узла В
= FJ J
В‘ ЕА 2 cos2 a
Отношение этих смещений
6 в 2 cos3 a
49
Например, при
бв/6в = 5-
Таким образом,
лимая конструкция
а = 60° отношение
статически неопреде-
имеет меньшую по-
датливость.
§ 5.6. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ
ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Прочность, т. о. способность сопро-
тивляться разрушению, является чрезвы-
чайно важным свойством конструкции.
Для создания безопасных и
эффективно работающих конструкций ин-
женерами разработаны методы оценки
прочностной надежности ее элементов
(деталей). Эти методы основаны на сопо-
ставлении фактических максимальных на-
пряжений в точках детали с предельными
характеристиками (пределами прочности,
текучести и др.) материала, из которого
изготовлена эта деталь.
Наибольшее распространение получил
метод расчета по доп у с к а е м о м у
напряжению — наибольшему напря-
жению, при котором обеспечивается безо-
пасная работа проектируемого элемента
конструкции.
Условие прочности по допускаемому
напряжению имеет вид
tfn.ax<[<4 (5.15)
где отах — наибольшее напряжение в не-
которой точке детали от наибольшей
ожидаемой нагрузки; [ст] — допускаемое
напряжение, свойственное принятому ма-
териалу и типу детали.
Назначение допускаемого напряжения
является ответственным этапом расчета и
проектирования. При большом значении
[о] деталь может разрушиться преждевре-
менно, а заниженное значение [о] утяже-
ляет и удорожает деталь.
При установлении допускаемого на-
пряжения учитывают предшествующий
опыт проектирования и эксплуатации по-
добных конструкций, конкретные условия
работы рассчитываемого элемента, сте-
пень его ответственности и последствия
выхода его из строя и др.
Такая оценка удобна, и поэтому на
практике для однотипных конструктивных
элементов (деталей), устоявшейся техно-
логии их изготовления, стабильных усло-
вий нагружения разработана система до-
пускаемых напряжений, обобщающая
предшествующий опыт эксплуатации ма-
шин, приборов и аппаратов различного
назначения.
Однако такой оценке прочности
присущи и недостатки:
1) величина допускаемого напряже-
ния условна, так как не отражает ха-
рактера предполагаемого разрушения, ре-
жима нагружения и других факторов,
влияющих на надежность;
2) допускаемое напряжение, особенно
при переменной нагрузке, зависит от гео-
метрии детали, материала, технологии из-
готовления, что затрудняет его использо-
вание в качестве нормативной характери-
стики;
3) величина [ст] не дает представления
о надежности детали в явном виде, так
как в формуле (5.15) не показано соотно-
шение действующих и предельных напря-
жений для материала детали (предела
текучести от, предела прочности ов, пре-
дела выносливости и др.).
В инженерных расчетах допускаемые
напряжения используют в основном для
предварительных расчетов, связанных с
приближенным определением основных
размеров деталей.
Например, при определении диаметра
болта соединения (см. рис. 4.7) принима-
ют, что внешняя сила F вызывает в наи-
меньшем сечении болта (по внутреннему
диаметру резьбы di) напряжение растя-
жения
о = F/A = 4 АДлсф.
В проектном расчете обычно задаются
материалом болта (детали), а в качестве
переменных проектирования используют
его размеры. Тогда с учетом условия на-
дежности несложно установить, что
di>^/4F/(n [стр]);
здесь [стр] - допускаемое напряжение при
растяжении для материала болта. Значе-
ния допускаемых напряжений приведены
в справочниках но расчету элементов
конструкций и в соответствующих главах
учебника.
50
Широкое распространение получи;!
также расчет но з а и а с а м и р о ч н о-
с т и. Условие прочности в этом случае
«='’иред/отах- (5-16)
где п --- коэффициент запаса прочности;
Оггреа — предельное напряжение (предел
прочности при постоянных нагрузках,
предел выносливости при переменных на-
грузках), полученное экспериментально
или взятое из справочника; аП1ах - - макси-
мальное напряжение в опасной точке де-
тали, вычисленное при наибольшей (ожи-
даемой или установленной тензометриро-
ванием) рабочей нагрузке.
Величина ог1рел отражает геометрию де-
тали, технологию ее изготовления и усло-
вия нагружения, поэтому величина необ-
ходимого запаса прочности имеет
стабильное значение.
Условия прочности по допускаемым
напряжениям и запасам прочности связа-
ны соотношением
[о]=о„рсд/п. (5.17)
При действии статических нагрузок
иногда используют запас прочности по
несущей способности
n — FfaiV/F, (5.18)
показывающий отношение нагрузок в мо-
мент разрушения и в рабочих условиях.
Коэффициент п назначают исходя из
практического опыта создания аналогич-
ных конструкций и уровня техники сегод-
няшнего дня. Каждая область техники
имеет свою специфику. Так, например,
при проектировании стационарных дол-
говременных сооружений принимается
л = 2...5, в авиационной технике п =
= 1,5...2 и т. д. Для ответственных кон-
струкций сложилась практика проведения
обязательных статических испытаний как
отдельных узлов, так и всей конструкции
с целью прямого определения величин
предельных нагрузок. К таким конструк-
циям относятся летательные аппараты,
космическая техника и др.
Значение коэффициента запаса зави-
сит от многих факторов. К ним можно
отнести: метод расчета, материал, кон-
структивную форму, технологию изготов-
ления, методы термической обработки и
др. Изучение вопросов о конкретном
выборе запаса входит в курсы прочности
соответствующих конструкций.
Обычно расчет по запасам прочности
используют в качестве проверочного (по-
сле предварительного расчета и проекти-
рования детали с учетом действующих
стандартов). Например, запас статиче-
ской прочности болта в соединении на
рис. 5.7
«» = <!» тш/о,-.,» = <5. ,„i,nd I /(4Г..„ал),
где o„niill - - минимальное значение преде-
ла прочности материала болта (по спра-
вочнику или из испытаний); FmaK -
максимальная сила, действующая на болт
в процессе работы. Запас прочности
должен быть 1,5.
В описанных методах оценки прочно-
сти носят детерминированный характер и
не учитывают должным образом неизбеж-
ное рассеяние разрушающих и
максимальных напряжений.
('. т а т и с т и ч е с к и е з а и а с ы
прочности являются более обосно-
ванными характеристиками прочностной
надежности конструкций, в особенности
для отказов с тяжелыми последствиями.
На рис. 5.18 показаны кривые плотно-
сти распределения напряжений отах в
наиболее нагруженной точке деталей
(кривая /) и пределов прочности дета-
лей Ов (кривая 2). Напряжения в детали
в процессе работы определяют с по-
мощью тензометрирования. Рассеяние ра-
бочих напряжений вызвано колебаниями
нагрузки при работе машины.
Так как разрушающее и действующее
напряжения являются случайными вели-
чинами, то и запас прочности конкретной
детали является случайной величиной с
Рис. 5.18. Кривые плотности распреде-
ления максимальных напряжений в эле-
менте конструкции и пределов прочно-
сти материала этого элемента
51
О)
Рис, 5.19. Схемы
функцией распределения F(n\.
°Гразр_"|-<?5а
« (47)==—-----------
amax+“l-?5'’max
где , — односторонний квантиль
доверительной вероятности Рл=1— q;
п = <Уризр/отак запас прочности по
средним напряжениям; vn = Sa /ара.)р
и v„ =Sa /отах коэффициенты ва-
max max
риации.
Величины «1-, для некоторых значе-
ний уровня значимости следующие:
Ч............ 0,10 0,05 0,01 0,0014
и,.„. . . . 1,29 1,64 2,33 3,0
Статистические запасы прочности, как
и обычные запасы прочности, имеют услов-
ное значение. Их используют как крите-
рии сравнения надежности вновь созда-
ваемых изделий с изделиями, удовлетво-
рительно эксплуатируемыми.
Основное преимущество статистиче-
ских запасов прочности перед детермини-
стскими (обычными) запасами состоит в
том, что сопоставление приводится к оди-
наковым условиям по рассеянию значе-
ний ора1р и отах (по объему используемой
информации).
Вопросы для самопроверки
I. Какой случай деформации стержня на-
зывается растяжением или сжатием?
2. Почему расчет прочности стержней при
растяжении выполняют по нормальным напря-
жениям в поперечном сечении?
3. В каких сечениях растянутого стерж-
ня возникают наибольшие касательные напря-
жения?
4. Что показывает коэффициент Пуассона?
5. Что характеризует диаграмма растяже-
ния и какие характеристики материала опреде-
ляют из диаграммы?
6. Какие параметры отличают статически
неопределимую конструкцию от статически оп-
ределимой конструкции? В каких случаях
статически неопределимые конструкции могут
быть эффективными?
7. Какова идея оценки прочностной надеж-
ности элемента конструкции?
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить минимальные толщины труб
клеевого соединения (рис. 5.19, а) при растя-
жении его силой A=10 кН; допускаемое
напряжение [о]=140МПа; диаметр посадоч-
ной поверхности 0=12 мм.
2. Определить диаметр стальной тяги /,
поддерживающей жесткую балку 2 при их сое-
динении вращательной парой (шарнирное сое-
динение) (рис. 5.19,6), при следующих дан-
ных: сила А = 5 кН; допускаемое напряжение
|а]=160 МПа; /|=250 мм; /2=150 мм.
Глава 6
СДВИГ И КРУЧЕНИЕ
§ 6.1. СДВИГ
Внутренние силовые факторы и
деформации. Под сдвигом понимают та-
кой вид деформации, когда в поперечных
сечениях стержня действует только пе-
ререзывающая сила, а остальные силовые
факторы отсутствуют.
Такое нагружение соответствует дей-
ствию на стержень двух равных противо-
положно направленных и бесконечно
близко расположенных поперечных сил
(рис. 6.1,а, б), вызывающих срез по
плоскости, расположенной между силами
(как при разрезании ножницами прутков,
листов и т. в.). Срезу предшествует де-
52
формация - искажение прямого угла
между двумя взаимно перпендикулярны-
ми линиями (см. сетку линий на повер-
хности стержня, рис. 6.1, а, б). При этом
на гранях выделенного элемента (зачер-
нен на рис. 6.1, а, 6) возникают касатель-
ные напряжения т (рис. 6.2). Напряжен-
ное состояние, при котором на гранях
выделенного элемента возникают только
касательные напряжения т, называется
чистым сдвигом.
Величина а называется абсолютным
сдвигом, угол у, на который изменяются
прямые углы элемента, называют относи-
тельным сдвигом,
\gy»y = a/h. (6.1)
Закон Гука при сдвиге. Рассмотрим
равновесие мысленно отсеченной правой
части стержня (рис. 6.1, б). Действие от-
брошенной левой части па правую заме-
ним внутренними силами упругости.
Записывая уравнение равновесия (ХУ =
= 0), найдем, что в сечении действует
лишь перерезывающая сила Qy = F.
Эта сила является равнодействующей
касательных напряжений [см. соотноше-
ние (4.1)]:
Qy~ 6 +
А
Принимая, что касательные напряже-
ния равномерно распределены по попере-
чному сечению площадью А, будем иметь
ry = Qy/A = F/A. (6.2)
Экспериментально установлено, что в
пределах упругих деформаций величина
сдвига а пропорциональна сдвигающей
силе F, расстоянию h, на котором проис-
ходит сдвиг, и обратно пропорциональна
площади сечения А. Если ввести коэффи-
циент пропорциональности G, зависящий
от свойств материала, закон упругости
для сдвига выразится формулой
Fh
GA ’
(6.3)
где GA — жесткость сечения при сдвиге.
Учитывая равенства (6.1) и (6.2), из
последней зависимости найдем
т = Gy.
(6.4)
Формула (6.4) выражает закон Гука
при сдвиге.
Величина G называется модулем
упругости при сдвиге (модулем сдвига).
Между модулями упругости и сдвига
существует взаимосвязь
Е
2(1+И)
0,4Е,
G
здесь р - коэффициент Пуассона. Мо-
дуль сдвига G=0,8-104 МПа для стали,
G = 0,45-104 МПа для чугуна.
Особенности расчета и проектирова-
ния элементов конструкций. Чистый сдвиг
в реальных конструкциях реализовать
крайне сложно, так как вследствие де-
формации нагружающих элементов про-
исходит дополнительный изгиб стержня
Рис. 6.2. Напряжения и деформации
элемента при сдвиге
53
Рис. 6.3. Расчетные схемы деталей машин
даже при сравнительно небольшом рас-
стоянии между плоскостями действия
сил. Однако в ряде конструкций (закле-
почные и сварные соединения и др.) нор-
мальные напряжения в сечениях деталей
пренебрежимо малы по сравнению с каса-
тельными напряжениями. Такие детали
условно рассчитывают на чистый сдвиг
(срез) для предварительного определения
их размеров. Условие прочностной надеж-
ности детали в этом расчетном случае
имеет вид
т=(?/Д^[т], (6.5)
где Q — перерезывающая сила в сече-
нии; [тс] - допускаемое напряжение на
срез; часто принимают в зависимости
от допускаемого напряжения при растя-
жении: [тс]=(0,5...0,6) [ар] для пластич-
ных материалов; [тс]=(0,7...1,0) [ор] - - для
хрупких материалов.
Пример 1. Определить минимальную высо-
ту головки (рис. 6.3, а) болта из условия рав-
нопрочное™ ее со стержнем.
Решение. При малой высоте головки болта
происходит ее срез по цилиндрической повер-
хности диаметром d. Сила /•', растягивающая
стержень болта, будет перерезывающей для го-
ловки (/?=Q). Примем, что касательные
напряжения постоянны по высоте h головки:
т = /г/(лс(/г)^[т(.].
При этом растягивающие напряжения в
стержне болта
а = 4А/(л€/2Х[ар].
Откуда, обращая неравенства в равенства,
будем иметь
F = [тс] лей = [ар] nd2/4
и
Принимая для пластичных материалов
[тс]=0,5 найдем ft/d = 0,5.
Пример 2. Определить длину нахлестки
клеевого соединения (рис. 6.3,6) при растяже-
нии его силами F.
Решение. Силы F, растягивающие листы,
будут сдвигающими для соединения. Примем,
что касательные напряжения т одинаковы во
всех точках клеевого стыка. Тогда условие про-
чностной надежности соединения примет вид
т = А/Л = А/(Ь/)<[тс J
где b и I - размеры клеевого стыка; [т,.«] -
допускаемое напряжение на срез клеевого сое-
динения.
Откуда длина нахлестки
z>/-7(/|t,.j.
В действительности касательные напряже-
ния распределены по длине соединения нерав-
номерно. Это учитывают в инженерных расче-
тах введением корректирующего коэффициен-
та, определяемого экспериментально.
Пример 3. Определить наибольший враща-
ющий момент Г, который может передать коле-
со / валу 2 без среза штифта (рис. 6.3, в).
Решение. Вращающий момент от колеса
к валу передается парой сил Q, действующих
в сечениях штифта (показаны волнистой ли-
нией на рис. 6.3, в):
Q = T/d{.
Эта сила представляет собой результирую-
щую касательных напряжений в сечении
Q = tA,
где А — площадь поперечного сечения штифта.
Условие прочностной надежности штифта
приобретает вид
Q 4Т
А d^d2
откуда
ft/d = 0,25 [ар]/[тс].
T=0,25nd2dt [тс].
54
§ 6.2. КРУЧЕНИЕ
уравнение равновесия X тх = 0, находим
— Г, +Л4кр| =0,
Внутренние силовые факторы. 11 од
кручением понимается такой вид
деформации, когда в поперечных сечени-
ях вала действует только крутящий мо-
мент, а остальные силовые факторы (нор-
мальная и поперечные силы и изгибаю-
щие моменты) отсутствуют.
Для определения напряжений и де-
формаций вала необходимо знать значе-
ния крутящих моментов, действующих на
его отдельных участках.
Диаграмму, показывающую распреде-
ление значений крутящих моментов по
длине вала, называют эпюрой крутящих
моментов. Для построения таких эпюр
следует придерживаться правила знаков.
Принято, что если наблюдатель смотрит
на поперечное сечение со стороны внеш-
ней нормали и видит момент направлен-
ным против часовой стрелки, то момент
считается положительным. При противо-
положном направлении моменту приписы-
вается знак минус.
Для определения крутящего момента
в сечении используют метод сечений. Рас-
смотрим пример на рис. 6,4, а. Здесь вра-
щающий момент подводится к валу от
шкива О ременной передачи и снимается
с вала через передающие шкивы I, 2 и
3 на другие валы механизма. Для опреде-
ления крутящего момента в сечении х =
xi рассмотрим равновесие, например,
левой части (рис. 6.4,6). Составляя
откуда
Л«К|Я = Л-
При рассмотрении равновесия правой
части получим
М^ = ТЛ+Т2-Т0.
В любом сечении вала действует кру-
тящий момент, равный сумме вращающих
моментов, лежащих по одну сторону от
этого сечения.
Эпюра крутящих моментов вала пред-
ставлена на рис. 6.4, в ступенчатой ли-
нией и показывает степень нагруженности
участков вала. Значение максимального
крутящего момента, определяющего диа-
метр вала, зависит от положения
приемного шкива 0 относительно разда-
точных шкивов 1, 2 и 3. В этом несложно
убедиться, поменяв местами, например,
шкивы 0 и 3.
При расчете валов на прочность часто
задается не вращающий момент, а мощ-
ность Р, передаваемая валом, и частота
вращения вала.
Тогда вращающий момент определя-
ют по формуле
Г=9554Р/га.
Деформации. Если на боковую повер-
хность стержня круглого поперечного се-
чения нанести сетку (рис. 6.5, а) из ок-
ружностей и продольных линий, то после
Рис. 6.4. Расчетная схема вала (а и б) и эпюра крутящих момен-
тов (в)
55
Рис. 6.5. Модель (а) и схема дефор-
мации (б) стержня при кручении
закручивания (рис. 6.5, б) можно
обнаружить: образующие цилиндра обра-
щаются в винтовые линии большого ша-
га; сечения круглые и плоские до дефор-
мации сохраняют свою форму и после
деформации; происходит поворот одного
сечения относительно другого на некото-
рый угол, называемый углом закручива-
ния; расстояния между поперечными се-
чениями практически не изменяются.
На основании этих наблюдений в рас-
четах предполагают, что: сечения, плос-
кие до закручивания, остаются плоскими
после закручивания; радиусы поперечных
сечений при деформации остаются пря-
мыми.
В соответствии с этими гипотезами
кручение стержня круглого поперечного
сечения представляют как результат
сдвигов, вызванных взаимным поворотом
сечений.
Рассмотрим стержень круглого попе-
речного сечения радиусом г, заделанный
одним концом и нагруженный вращаю-
щим моментом Т на другом конце
(рис. 6.6, а). На боковой поверхности
стержня проведем образующую AD, ко-
торая под действием момента Т займет
положение AD\. На расстоянии х от за-
делки сечениями /—/ и //—// выделим
элемент длиной dx. Левый торец этого
элемента в результате кручения повернет-
ся на угол <р, а правый торец - на
угол ф+dtp. Образующая ВС этого эле-
мента перейдет в положение В\С\, откло-
нившись от исходного положения на ма-
лый угол
Y = (CC -ВВ )/ВС=[г(ч + Лу)-
— r<f>]/d x = r d ip/d х.
Отношение d<p/dx представляет угол
закручивания на единицу длины стержня,
обозначается 9 и называется относитель-
ным углом закручивания. Тогда
Y = rO. (6.6)
Напряжения. На основании закона
Гука касательное напряжение
T=G'Y=G0r. (6.7)
Используя формулу (6.7), можно опреде-
лить напряжение по величине относитель-
ного сдвига в окрестности любой точки
тела, находящейся на расстоянии р от
оси (рис. 6.6,6):
rp=G0p. (6.8)
Из соотношения (6.8) следует, что
значение касательных напряжений в точ-
ках сечения пропорциональны расстоя-
нию ее от оси стержня. Максимальные
Рис. 6.6. Расчетные схемы стержня круглого поперечного сечения при кручении
56
напряжения действуют вблизи наружной
поверхности вала. Распределение каса-
тельных напряжений в сечениях круглого
и кольцевого валов показано на
рис. 6.6, б, в.
Значение 0 в формуле (6.8) может
быть найдено из условия, что касатель-
ные напряжения в сечении приводятся
к паре, момент которой равен крутящему
моменту Мкр. Выделим вокруг произволь-
ной точки сечения элементарную площад-
ку d/4, на которой будет действовать эле-
ментарная окружная сила тр d4.
Элементарный момент, создаваемый
этой силой относительно оси стержня,
dAfKp = Tp d4p.
Суммируя элементарные площадки,
получим соотношение для крутящего мо-
мента в сечении
мкр = $ Трр d4
А
или с учетом равенства (6.8)
Мкр = $ GOp2 d4.
А
Так как произведение G9 постоянно
для всех точек сечения, то
MKp=GeJ р2 d4.
А
Интеграл ^p2d4=/p представляет
л
собой чисто геометрическую характери-
стику и носит название полярного момен-
та инерции сечения.
Таким образом, получаем
MKp=GJp0, (6.9)
откуда угол закручивания на единицу
стержня будет
0=MKp/(G/p).
Произведение GJP называется жестко-
стью сечения стержня при кручении.
Полный угол закручивания (в рад)
стержня, то полный угол закручивания
Мк/
<Р=-ДУ-=ЧЛ1КР, (6.10)
где Х<р=Т/(О/р) - крутильная податли-
вость стержня.
При скачкообразном изменении по
длине стержня крутящего момента
(см. рис. 6.4) угол закручивания между
его начальным и конечным сечениями оп-
ределяется как сумма углов закручива-
ния по участкам с постоянным Л1кр:
И
“g/7
Определим зависимость напряжения
от крутящего момента. В соотношение
(6.8) вместо 0 подставим его значение из
равенства (6.10):
Т =GeP = Gp = (6.11)
GJP Jp
отсюда наибольшее напряжение при кру-
чении (см. рис. 6.6, б)
или
Ттах = Л1к/1Гр, (6.13)
где величина
Wp=Jp/r
(6.14)
называется полярным моментом
сопротивления.
Геометрические характеристики сече-
ний. Момент инерции сечения
/р=$р2 d4.
А
Принимая во внимание, что d4 =
= 2лр dp (см. рис. 6.6, б), будем иметь
rf/2
Jр = 2л p3dp
~ «0,Id4, (6.15)
где d -- диаметр стержня.
Если в стержне имеется центральное
отверстие диаметром do (см. рис. 6.6, в), то
Если крутящий момент и момент
инерции сечения постоянны по длине
(6.16)
57
Полярные моменты сопротивления бу-
дут равны:
для сплошного сечения
jjz = 2d3-
” 16 -
для кольцевого сечения
rp0«0,2d3(l-^/d4).
Потенциальная энергия при кручении.
Потенциальная энергия деформации, на-
копленная стержнем при кручении, опре-
деляется аналогично тому, как это
делается в случае растяжения. Согласно
закону Гука, в пределах упругих дефор-
маций угол закручивания растет пропор-
ционально крутящему моменту.
Рассмотрим участок закрученного
стержня длиной dx (см. рис. 6.6, а).
Энергия, накопленная в
стержня, равна работе
приложенных
пропорциональных dtp:
этом элементе
моментов
торцам
Мкр,
И
по
d£p=y
где dtp --- угол взаимного поворота
чений,
се-
М,„
откуда
Wdx-
Потенциальная
Е =
р
энергия стержня
М2
—
2GJp
Если момент Л4кр по длине стержня не
меняется и жесткость его сечений
постоянна, то
р 2GJp'
Расчеты на прочность и жесткость.
В расчетах элементов конструкции при
кручении условие прочностной надежности
по допускаемым напряжениям имеет вид
Мко
ттах=-~₽(6.17)
где [ткр] допускаемое напряжение при
кручении. Обычно назначают
= (0,5...0,6) [о,,].
При проектировании элемента кон-
струкции (например, вала) в качестве пе-
ременных проектирования используют
обычно его размеры (например, диаметр
вала и др.). Тогда при известном значе-
нии крутящего момента в сечении и за-
данном материале диаметр вала
сплошного сечения
d>l,72 ^MKp/Wp.
(6.18)
На работоспособность элементов кон-
струкций существенное влияние оказыва-
ет их жесткость (деформативность),
т. е. способность сопротивляться дефор-
мированию. Для валов приводов ее
оценивают путем сопоставления расчет-
ных и допускаемых углов закручивания:
(6.19)
Значения допускаемого угла закручи-
вания в разных случаях различны.
Например, большое «пружинение» вала
бывает желательным при передаче пере-
менного вращающего момента е одного
вала на другой. При этом податливый
вал играет роль рессоры.
Для того чтобы вал одновременно
удовлетворял требованиям прочности и
деформативности, необходимо его рассчи-
тать по этим двум условиям и из двух
найденных значений диаметра берется
большее.
Для валов допускаемый угол закручи-
вания [<р] на длине 1 м принимается (),3°
и более (до 2°).
Приводные валы кроме кручения под-
вергаются также и изгибу, вызываемому
массой присоединенных к ним деталей,
усилиями от присоединенных узлов
(зубья шестерен) и др.
При упрощенном расчете приводные
валы рассчитываются только на кручение,
но при этом допускаемые напряжения
принимаются пониженными.
Пример. Определить диаметр гладкого
трансмиссионного вала (см. рис. 6.4) из усло-
вий прочности и деформативности, если [ткр] =
= 70 МПа, [<р]=0,1 град/м, G = 0,8-104 МПа,
Мкртах —7.3 = 70 Н-м.
58
a)
Рис. 6.7. Эскизы соединений:
а - заклепочного; б — шлицевого
Решение 1. По формуле (6.18) находим
диаметр вала из условия прочности
700-I03 _
70 ~
мм.
2. С учетом формулы (6.10) и условия
(6.19) определяем диаметр вала из условия
деформативности (жесткости)
_-// 32-700-103-180
у 0,8-104-0,1-3,14
Принимаем диаметр вала d = 37 мм по ус-
ловию прочности.
Вопросы для самопроверки
1. При каком нагружении стержень испы-
тывает чистый сдвиг?
2. Напишите соотношение для закона Гука
при чистом сдвиге.
3. Какой вид деформации называют кру-
чением?
4. Что называют жесткостью сечения при
кручении?
5. Выведите формулу для определения
полного угла закручивания круглого стержня.
6. Как рассчитывается на прочность вал
круглого поперечного сечения?
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить диаметр заклепки в нахле-
сточном соединении стальных листов
(рис. 6.7, а) при следующих данных: сила F =
= 90 кН, допускаемое напряжение при срезе
[тс]=90 МПа.
2. Определить угол закручивания
шлицевого валика (рис. 6.7, б) от вращающе-
го момента Г = 200 Н-м; модуль сдвига мате-
риала валика G = 8-104 МПа, размеры в мм
даны на рисунке.
Глава 7
НАПРЯЖЕННОЕ
И ДЕФОРМИРОВАННОЕ
СОСТОЯНИЕ
В ТОЧКЕ И ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
§ 7.1. ПОНЯТИЕ О НАПРЯЖЕННОМ
СОСТОЯНИИ В ТОЧКЕ
В гл. 5 показано, что при одноосном
растяжении (сжатии) стержня на некото-
рых площадках одновременно действуют
нормальные и касательные напряжения,
значения которых зависят от угла накло-
на к оси стержня этих площадок. Имеют-
ся также площадки (сечения), в которых
касательные напряжения отсутствуют. На
этих площадках нормальные напряжения
имеют экстремальные значения: макси-
мальные в сечениях, перпендикулярных
оси стержня (а = 0), и минимальные (при
растяжении равны нулю) в сечении, па-
раллельном оси стержня (а = 90°).
Площадки, в которых отсутствуют ко-
си тельные напряжения, называются глав-
ными. Нормальные напряжения, действ!/
ющие по этим площадкам, также называ
ют главными.
В других более сложных случаях дей-
ствия сил на стержень также возникает
задача об определении главных площадок
и максимальных напряжениях на них.
Для этого требуется исследовать напря-
женное состояние в некоторых характер-
ных точках деформированного тела,
т. е. определить совокупность напряже-
ний, действующих по всевозможным пло-
щадкам, проведенным через указанные
точки.
Центральное растяжение (сжатие)
стержня является простейшим видом де-
формации тела, при котором лишь одно
59
из главных напряжений не равно нулю.
Такой вид напряженного состояния назы-
вают иногда линейным. На практике
встречаются виды деформации, когда в
окрестности какой-либо точки тела дей-
ствуют два и даже три главных напряже-
ния. Напряженное состояние в точке в
этих случаях называют соответственно
плоским и объемным.
Ограничимся рассмотрением плоского
напряженного состояния, которое реали-
зуется в элементах конструкции сравни-
тельно часто, например в точках
поверхностей деталей машин.
§ 7.2. НАПРЯЖЕНИЯ В НАКЛОННЫХ
СЕЧЕНИЯХ
ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)
В ДВУХ НАПРАВЛЕНИЯХ
Рассмотрим тонкую пластинку
(рис. 7.1) под действием внешних сил в
системе координат Oxyz. Ее поверхности,
перпендикулярные оси z, свободны от
внешних сил. В окрестности произвольной
точки К сечениями, перпендикулярными
плоскостям этой пластинки, мысленно вы-
режем элементарный параллелепипед. Со
стороны пластинки на этот параллелепи-
пед будут действовать в общем случае
Рис. 7.1. Плоское напря-
женное состояние
нормальные и касательные усилия. Векто-
ры нормальных и касательных напряже-
ний, соответствующие этим условиям, бу-
дут также лежать в одной плоскости,
образуя в окрестности точки К плоское
напряженное состояние.
Исследуем напряженное состояние
в наклонной площадке. Для этого, раз-
резав элементарный параллелепипед
(см. рис. 7.1) наклонным сечением, пер-
пендикулярным плоскости пластинки, вы-
делим из него треугольную призму
(рис. 7.2). Рассмотрим равновесие этой
призмы под действием известных напря-
жений ах, оу и хху и неизвестных
напряжений оа и т„ на наклонной пло-
щадке. Положение наклонной площадки
будем задавать углом а между внешней
нормалью п к этой площадке и
осью х. Угол считаем положительным
(а>0), если в принятой системе коорди-
нат поворот нормали от оси х к оси у со-
вершается против часовой стрелки. На-
правление векторов оа и та выбрано та-
ким, чтобы при а = 0 они совпадали
с направлением ох и тХ1, (см. рис. 7.1).
Проецируя силы, действующие на
призму, последовательно на направление
нормали и касательной к наклонной пло-
щадке, получим
oji ds = oxh dy cos a +
+ Oyh dx sin a-\-xXyhX
X(dt/ sin аД-dx cos a);
Ta/i ds= —oxh dy sin a-|-
+ Oyh dx cos a + tz„/i X
X(dy cos a —dx sin a).
Учитывая, что dx = dx-sina и dy =
= ds-cosa, из этих уравнений найдем:
aa = ax cos2 a + av sin2 a +
+ tX!, sin 2a; (7.1)
Ta=0,5 (oy — ox) sin 2a+
+ т^ cos 2a. (7.2)
Формулы (7.1) и (7.2) позволяют вы-
числить нормальные и касательные
60
Рис. 7.2. Напряжения на на-
клонной площадке
напряжения на наклонной площадке при
любом значении угла а.
Для определения главных площадок,
т. е. площадок, на которых касательные
напряжения равны нулю, можно прирав-
нять нулю соотношение (7.2). Тогда по-
лучим
tg2a0 = 2Txy/(ax —о„). (7.3)
Так как тангенс угла - периодиче-
ская функция с периодом л, то уравне-
нию (7.3) будут удовлетворять углы
2аол = 2ао4-лп (n = 0, 1, 2, ...).
Несложно понять, что существует все-
го два взаимно перпендикулярных глав-
ных направления, образующих с осью х
углы ао и ао + л/2. Нормальные напря-
жения на этих площадках называют
главными. Исследуя на экстремум выра-
жение (7.1), можно убедиться, что ус-
ловие экстремума для оа совпадает с ус-
ловием равенства нулю касательных на-
пряжений на главных площадках.
Главные напряжения можно найти из
уравнения (7.1) при а = а<>:
оа=ох cos2 «oT-Oj, sin2 а0Ч-тч sin 2а()=
= тх„ sin 2а0. (7.4)
Принимая во внимание, что
cos 2a0= ± —---------;
У1+tg22a0
sin 2a0= ±—------------,
д/T+tg22a0
после несложных преобразований найдем
oa = 0,5(ox+o!/)±
± 0,5д/(ax — о„)2 + 4т2,,. (7.5)
Откуда
° 1 = °тах = 0.5 (<Ъ + О,,)+
+ 0,5д/(ох — ау)2 + 4т (д (7.6)
<’2=<’min = 0,5(ax+a4,)-
— 0,5у'(ох-о!/)2 + 4тХ!,.
Таким образом, плоское напряженное
состояние в каждой точке тела путем
поворота осей может быть представлено
как растяжение-сжатие в двух взаимно
перпендикулярных направлениях напря-
жениями о, и аг (рис. 7.3, а).
Отметим, что при плоском напряжен-
ном состоянии третье главное напряже-
ние оз = 0.
Складывая почленно соотношения
(7.6), получим
° I + ° 2 — ах + ° у
т. е. сумма нормальных напряжений на
двух взаимно перпендикулярных площад-
ках не зависит от угла а.
Элементы конструкций из ряда мате-
риалов разрушаются под действием мак-
симальных касательных напряжений. Для
их определения продифференцируем по a
соотношение (7.2) и приравняем произ-
водную нулю. Откуда найдем
tg 2ат = (оу-ох)/тч. (7.7)
Подставляя это равенство в формулу
(7.2), после преобразования получим.
max = ±0,5д/(ох-а/+4т2у. (7.8)
min
Следовательно, максимальное и мини-
мальное касательные напряжения равны
по величине и отличаются лишь знаком.
С учетом формул (7.6) установим
ттах=0,5|о1 —О2|, (7.9)
HI
Рис. 7.3. Главные напряжения и главные площадки
т. (\ максимальное значение касательных
нанр.чмений равно обсолюiномр значе-
нию полрразности главных нанр.чм ений.
Взаимное положение главных площа-
док и площадок, на которых действуют
экстремальные касательные напряжения,
найдем, сопоставляя равенства (7.3) и
(7.7),
tg2a0-tg 2<хт= — 1.
Из этого условия следует, что ат — а0 +
+ л/4. Напряжения на площадке, состав-
ляющей угол а = 45° с главными осями
(главными площадками, рис. 7.3,6), бу-
дут равны
°л/4=0.5(о1 + а2);
тл/4= — 0.5 (о, — о2). (7-Ю)
Следовательно, в площадках, где дей-
ствую! максимальные касательные на-
пряжения, имеются и нормальные напря-
жения.
§ 7.3. ОБОБЩЕННЫЙ ЗАКОН ГУКА
И ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ
ДЕФОРМАЦИИ
Определим деформации е, и е2 в на-
правлении главных напряжений при плос-
ком напряженном состоянии. Для этого
используем закон Гука для линейного на-
пряженного состояния (5.5), зависи-
мость (5.4) между продольной и попере-
чной деформациями и принцип независи-
мости действия сил.
Напряжение О| вызывает продольную
деформацию
ец = О|/Е
и поперечную деформацию (в направле-
нии напряжения о2)
е2,= — iiOt/E.
Напряжение о2 вызывает деформации
е22 — о2./Е', е12 — — ро2/Е.
Суммируя деформации одного на-
правления, получим
. 1 ,
8|— ell+e12="£'(ffl— НСТ2Л
. 1 /
е2 —е22 + е21 =— (a2 — ца,).
(7.Н)
Аналогично для объемного напряжен-
ного состояния (рис. 7.4)
ei = ”|- [°i - И (°г+ °з)]’.
е2 = “^[°2 —Н (a3+ai)];
ез=-^[°з —P(°i + °2)J;
(7.12)
здесь оз и е3 - третье главное напряже-
ние (о|>о2>о3) и главная деформация.
Уравнения (7.11) и (7.12) представ-
ляют собой закон Гука соответственно
для плоского и объемного напряженных
состояний.
Рис. 7.4. Объемное напряженное состояние
62
Если известны значения главных де-
формаций, то несложно вычислить изме-
нение объема элемента при деформации.
Например, для кубика (см. рис. 7.4) с
длиной ребра 1 мм объем до деформа-
ции Ео=1 мм3, а после деформации его
объем
1/ = (1+е,)(1+е2)(1+ез)«
1 + е | + е24” е3>
так как произведения деформаций малы
по сравнению со значениями самих де-
формаций.
Относительное изменение объема
V = (V-V)/V = е +е -фе .
С учетом равенств (7.12) найдем
-Ц2^(о1 + о2+о3). (7.13)
Из формулы (7.13) следует, что коэф-
фициент Пуассона не может быть боль-
ше 0,5.
Так как сумма напряжений постоян-
на, то эта формула выражает зависи-
мость между главными деформациями и
нормальными напряжениями па любых
взаимно перпендикулярных площадках, в
;ом числе и тех, на которых действуют
насатс >ьн. лш;- .кения.
Определим энергию, накопленную
единицей объема материала при упругих
деформациях (потенциальную энергию).
При простом растяжении
г _ 1
^pi— 2 0|81’
Обобщая эту формулу на случай плос-
кого напряженного состояния, запишем
£р2—(° 1е I + °2ег)-
При объемном напряженном состоянии
£рЗ = (° 1е I + ст2е2 + °зе з)-
Используя обобщенный закон Гука,
найдем
Ер2= 2^Hai + °2 — 2И<’|О2);
F 1 Г„2-|_„2д_„2 (7-14)
1а1'~<’2 + аз~
— 2ц (aJо2 + о2о3 + а3а,)].
Отметим важное свойство механиче-
ской энергии, широко используемое в рас-
четах элементов конструкций.
Из закона сохранения механической
энергии следует, что суммарная работа,
произведенная внешними и внутренними
силами при переходе упругого тела (конст-
рукции) из недеформированного состояния
в деформированное, равна нулю
+ Ае = 0,
где Lf— работа внешних сил; Lt — рабо-
та внутренних сил.
Откуда
АЛ-£р = 0. (7.15)
Этот закон справедлив при статиче-
ском нагружении, когда энергия внешних
сил не преобразуется в кинетическую
энергию движения тела и др.
Уравнение (7.15) используют для опре-
деления перемещений точек конструкций.
Пример. Определить вертикальное переме-
щение 6fl узла В конструкции, изображенной
на рис. 5.17, а.
Решение. Работа внешней силы F равна
Потенциальная энергия деформации
стержней
Так как М = Ni = F/(2 cos а), то
₽l 4ЕА cos2 а
На основании уравнения (7.15) имеем
1 г» _ f2i
2 —Тгл 2 ’
* cos а
откуда
Fl _ 1
ЕА 2 cos2 а
§ 7.4. ТЕОРИИ ПРОЧНОСТИ
Оценка прочностной надежности яв-
ляется распространенной инженерной за-
дачей, в которой напряженное состояние
63
Состояние А раОноопасно состоянию 8
Рис. 7.5. Объемное и эквивалентное напря-
женные состояния
в «опасной» точке (точках) 1 элемента
конструкции сопоставляется с предель-
ным состоянием, определяемым пределом
текучести, пределом прочности и т. и. для
материала этого элемента. Такая оценка
оказывается достаточно точной, когда ма-
териал элемента конструкции находится
в одноосном напряженном состоянии
(растяжение, сжатие) или в простейшем
двухосном, когда главные напряжения в
каждой точке равны между собой по ве-
личине, но противоположны по знаку
(сдвиг, кручение).
Однако многие элементы конструкций
при нагружении работают в условиях
сложного (плоского, объемного) напря-
женного состояния. При этом возникает
вопрос о том, каким образом совокуп-
ность напряжений в точке элемента сопо-
ставить с механическими характеристика-
ми его материала, т. е. необходимо уста-
новить некоторое эквивалентное напря-
жение (рис. 7.5), которое следует со-
здать в растянутом образце, чтобы его
напряженное состояние было равноопас-
но с заданным.
Поставленная задача является доста-
точно сложной. Наиболее точный ответ
можно было бы получить, испытав до
разрушения образец из материала де-
тали при заданном соотношении главных
напряжений. Но такие испытания требу-
ют очень сложных машин и приборов.
В связи с этим учеными предложен
ряд гипотез (теорий) прочности, которые
позволяют без трудоемких экспериментов
1 Принято считать, что элемент конструк-
ции находится в опасном состоянии, если та-
кое состояние имеется в какой-либо его точ-
ке - опасной точке.
оценить опасность перехода в предельное
состояние материала элементов конструк-
ций, находящихся в сложном напряжен-
ном состоянии.
Ниже рассмотрены лишь теории про-
чности, которые наиболее широко приме-
няются в инженерных расчетах.
Теория наибольших нор-
мальных напряжений (первая
теория прочности) основывается на пред-
положении, что опасное состояние ма-
териала наступает, когда какое-либо из
главных напряжений достигает опасного
значения.
Согласно этой теории, связанной с
именем Галилея, сложное напряженное
состояние равноопасно с простым растя-
жением, если максимальное нормальное
напряжение (отах = О|) равно нормально-
му напряжению при растяжении, т. е.
<Т,кв = О|. (7.16)
Напряжения о2 и о3 по этой теории
не влияют на прочностную надежность
элемента конструкции, которая определя-
ется условием
аэкв^ а0»
(7.17)
где оо—предельное напряжение, полу-
ченное при растяжении стандартного об-
разца.
Теория наибольших нормальных на-
пряжений дает достаточно удовлетвори-
тельные результаты при расчете деталей
из хрупких материалов. Начало разруше-
ния пластических материалов, т. е. появ-
ление в них текучести вследствие боль-
ших касательных напряжений, этой тео-
рией не объясняется.
Теория наибольших линей-
ных деформаций (вторая теория
прочности) основывается на предположе-
нии, что материал независимо от вида
напряженного состояния разрушается
тогда, когда наибольшее относительное
удлинение или укорочение в каком-либо
направлении достигает такой величины,
при которой происходит разрушение при
простом растяжении (сжатии).
Условие прочностной надежности по
этой теории
emax = е 1 ''7 ер,
64
где ео - предельное значение относитель-
ного удлинения при растяжении стандар-
тного образца.
Данная теория прочности была раз-
работана Сен-Венаном в XIX в., но недо-
статочно хорошо подтверждается экспе-
риментальными исследованиями. Лучшие
результаты получаются для хрупких ма-
териалов (легированный чугун, высоко-
прочные стали после низкого отпуска
ит. д.).
Теория наибольших каса-
тельных напряжений (третья те-
ория прочности) основывается на пред-
положении, что основной причиной по-
явления опасного состояния (текучести)
материала являются наибольшие каса-
тельные напряжения.
По этой теории текучесть материала
независимо от напряженного состояния
наступает тогда, когда наибольшее каса-
тельное напряжение достигает значения,
при котором происходит появление опас-
ного состояния (текучести) в случае про-
стого растяжения.
Для плоского напряженного состоя-
ния максимальное касательное напряже-
ние определяется по формуле (7.9). Если
деформация бруса происходит по трем
взаимно перпендикулярным направлени-
ям с напряжениями о,, 02 и от!, то каса-
тельные напряжения определяются по
формулам
т|— 2 (°2~аз)- т2—~2 (°| ~ °з)-
Каждое напряжение подставляется в
эти формулы со своим знаком. Если Oi>
>о?>оз, то наибольшее касательное на-
пряжение будет
T,KB = f,„ax = y (<7|-O;i). (7.18)
При О1>ст2>0 и Оз = 0 максималь-
ное касательное напряжение тп)ах = О1/2.
Условие прочности по этой теории
Т max
(7.19)
где то — предельное значение касатель-
ного напряжения при кручении.
Применяя условие (7.19) для растя-
жения стержня и учитывая, что при рас-
тяжении стержня ттах = о/2 и в предель-
ном случае тП1ах = по/2, получим
<Пкв=О1-Оз^°о- (7-20)
Для плоского напряженного состоя-
ния условие (7.20) с учетом соотношений
(7.6) примет вид
<73K,1=\'/l'°x“au)2 + 4Tx</' (7-21)
На практике встречаются случаи, ког-
да ст!/ = О, тогда
<tJkB=V°^74t7- (7.22)
Рассмотренная теория была предло-
жена Кулоном в конце XVIII в., она хо-
рошо согласуется с экспериментами для
пластичных материалов.
Энергетическая теория
прочности основывается на предпо-
ложении, что сложное напряженное со-
стояние равноопасно с простым растяже-
нием, если они имеют одинаковые удель-
ные энергии изменения формы.
В общем случае деформации часть
энергии деформации Е,,г расходуется на
изменение объема, а другая часть энер-
гии Epf на изменение формы тела, т. е.
Ep = EpV+Epi. (7.23)
Последнее равносильно представлению
заданного напряженного состояния
(рис. 7.6) в виде с>ммы двух состояний.
Первое из этих состояний соответствует
гидростатическому растяжению (сжатию),
при котором на всех гранях кубика дей-
ствуют одинаковые средние напряжения
пт = (О| + о24-о.))/3. (7.24)
Под действием этих напряжений фор-
ма кубика не меняется, а изменяется
лишь его объем за счет одинакового уд-
линения (укорочения) длин всех ребер.
Подставив соотношение (7.24) в фор-
мулу (7.14) вместо CTj, о2 и о3, найдем
£ ______________ 1 2р о 2___
£’pl— 2£ —
= -L£FE(ai+CT2 + 03)2- (7-25)
3 Г. Б. Иосилевич и др.
65
Рис. 7.6. Расчетная схема к энергетической теории прочности
Второе напряженное состояние с ком-
понентами напряжений на гранях кубика:
°1»=а1 °т’ °2.= О2 ат>
а3.= а3— ат
изменяют лишь форму тела. Потенциаль-
ная энергия изменения формы тела
Epj~ Ер~ EpV.
Из этого уравнения с учетом формул
(7.14) и (7.25) получим
Epf— Ка1— °2)2+
+ (а2 аз)2_Наз—ai)2]- (7.26)
Для простого растяжения (О1=аЭкв;
а2 = аз==0) из формулы (7.26) будем
иметь
^=-^20^- (7.27)
Сравнивая равенства (7.26) и (7.27),
устанавливаем
° экв= "\/(а1 — а2)2 + (а2— аз)2 + (аз— ai)2 •
(7.28)
Выражение в правой части равенства
часто называют интенсивностью напря-
жений и обозначают а,.
Для плоского напряженного состоя-
ния соотношение (7.28) принимает вид
аэкв
(7.29)
В частном случае, когда ау = 0, то,
приняв ах = а и т^ = т, найдем
O,kb=V^+ Зт2‘ (7'3°)
Эта теория предложена в начале
XX в. Губером и Мизесом. Она хорошо
согласуется с экспериментами для плас-
тичных материалов и широко применяет-
ся на практике.
Соотношения (7.27)... (7.30) использу-
ют в качестве условий пластичности, оп-
ределяя условия возникновения пластиче-
ских деформаций в материале:
оэкв = ат. (7.31)
При чистом сдвиге а = 0, т = тт из
формулы (7.30) при условии (7.31) полу-
чим предел текучести
от
т=——=0,58ат.
V3
Аналогично по третьей теории — тг=
= 0,5от.
Отметим, что описанная теория по-
казывает одинаковую прочность при рас-
тяжении и сжатии, так как эквивалент-
ные напряжения в обоих случаях оди-
наковы.
Получили распространение и другие
теории прочности, в которых более полно
учитывают особенности поведения мате-
риала при сложном напряженном состоя-
нии, различие в механических характери-
стиках материалов при растяжении и
сжатии и др.
Пример. Определить запас прочности по
пластическим деформациям болта соединения
(рис. 7.7) с резьбой М24Х1.5, если в резуль-
тате затяжки в нем создано усилие Го = 45 кН,
а момент сопротивления в резьбе (крутящий
момент) составлял Гр = 200 Н-м. Материал
болта — углеродистая сталь (от = 650 МПа).
Решение. Оценим прочность болта в сече-
нии минимального диаметра по впадинам резь-
бы. По стандарту находим, что внутренний
диаметр резьбы <Л = 22,38 мм.
Определяем напряжение растяжения в
болте от усилия затяжки:
66
nd2
Рис. 7.7. Болтовое соединение
4-45 000
3,14-(22,38)2
= 114,65 МПа.
а
Вычисляем касательные напряжения от
момента в резьбе (обусловлен трением витков
и подъемом витков):
Т« 200-103 .... ,.п
т,=-------=-------------—=178,4 МПа.
0,2 (dj)3 0,2-(22,38)3
Находим эквивалентное напряжение
^кв=А/а2 + Зт2 =
= д/( 114,65)2 + 3 (178,4)2 = 325 МПа.
Определяем запас прочности
ат 650 „
пт =----=---------=2.
стэкв 325
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды напряженного состояния
могут образовываться в точках элементов кон-
струкций?
2. Какие площадки называют главными и
как они расположены друг относительно друга?
3. Чему равны касательные и нормальные
напряжения на главных площадках?
4. Чему равна сумма нормальных напря-
жений на любых двух взаимно перпендикуляр-
ных площадках?
5. Каково назначение теорий прочности?
6. В чем сущность 3-й и 4-й теорий про-
чности? Укажите области их использования.
Задачи для самостоятельного решения
1. Для заданного напряженного состояния
в точке детали (о, =50 МПа, аг= —10 МПа)
подобрать ее материал (определить допускае-
мые напряжения, например, по 4-й теории про-
чности).
2. Проверить прочность детали, если в
опасной точке действуют напряжения: ож =
= 200 МПа; 0^ = 500 МПа и тЖ!/=100 МПа).
Допускаемое напряжение для материала дета-
ли [о]= 1600 МПа. Проверку произвести по
3-й теории прочности.
Глава 8
ИЗГИБ И СЛОЖНОЕ
СОПРОТИВЛЕНИЕ
§ 8.1. ВНУТРЕННИЕ СИЛОВЫЕ ФАКТОРЫ
В ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЯХ СТЕРЖНЯ
Изгибом называется такой вид де-
формации, когда под действием внешних
сил в поперечных сечениях стержня (бру-
са) возникают изгибающие моменты.
Если изгибающий момент в сечении
является единственным силовым факто-
ром, а поперечные и нормальные силы
отсутствуют, изгиб называется чистым.
Если в поперечных сечениях стержня на-
ряду с изгибающими моментами действу-
ют и поперечные силы, изгиб называется
поперечным. Возможны случаи, когда в
поперечных сечениях стержня одновре-
менно возникают несколько силовых фак-
торов. Такие случаи называют сложным
сопротивлением. Расчеты стержней при
этом основывают на принципе независи-
мости действия сил.
Опоры и опорные реакции. Для пере-
дачи нагрузок стержень (брус, элемент
конструкции) должен быть зафиксирован
относительно корпуса (фундамента, пли-
ты и пр.). Фиксирование осуществляют
с помощью так называемых опор — ус-
тройств (элементов конструкций), вос-
принимающих внешние силы.
Конструкции опор разнообразны, их
схематическое изображение показано на
рис. 8.1, а — в. Различают три основных
типа опор: жесткое защемление (задел-
ка, рис. 8.1, а), исключающее осевые и
угловые смещения стержня и восприни-
мающее осевые силы и моментную на-
3'
67
Рис. 8.1. Опоры стержней
грузку; шарнирно-неподвижная опора
(рис. 8.1,6), которая допускает лишь уг-
ловое смешение (поворот вокруг со-
бственной оси) и поэтому не воспринима-
ет моментной нагрузки; шарнирно-под-
вижная опора (рис. 8.1, в), которая не
допускает смещений стержня только в
направлении одной из осей и поэтому
передает нагрузки лишь в направлении
этой оси.
Горизонтальный стержень на опорах,
испытывающий деформации изгиба, на-
зывают часто балкой.
Под действием внешних нагрузок в
местах закрепления стержня возникают
опорные реакции. Так как деформации,
изучаемые в сопротивлении материалов,
малы по сравнению с размерами элемен-
тов конструкций, то при определении
опорных реакций этими деформациями
пренебрегают. В статически определимых
схемах опорные реакции находят из урав-
нений статики. При действии на стержень
(балку) сил, лежащих в одной плоскости,
условия его равновесия будут выполнены,
Рис. 8.2. Внутренние силовые факторы при
изгибе
если суммы проекций на оси х и у (ось у
перпендикулярна оси стержня) всех сил,
приложенных к стержню, вместе с реак-
циями опор равны нулю, а также равна
нулю сумма моментов всех сил относи-
тельно любой точки С плоскости,
т. е. 2^ = 0, 2х = 0, 2 тс = 0. Если на-
грузка перпендикулярна оси стержня, го
2) х = 0 и для определения опорных реак-
ций остаются лишь два уравнения стати-
ки: 2 У = 0; 2 /пс = 0.
Анализ внутренних сил начинается с
определения опорных реакций, т. е. ос-
вобождения стержня от связей с другими
элементами конструкций (опорами и др.).
Внутренние силовые факторы. Рас-
смотрим стержень (балку) на двух опо-
рах (рис. 8.2, а), нагруженный двумя си-
лами F. Эта расчетная схема соответ-
ствует, например, подвеске робота, элек-
тротельфера на монорельсе и другим
конструкциям.
Пренебрегая силами тяжести масс
стержня, из условия равновесия найдем
опорные реакции FA = Ft!=F. Под дей-
ствием внешних сил и опорных реакций
стержень (рис. 8.2, 6) будет находиться
в равновесии.
Для определения внутренних силовых
факторов в каком-либо сечении пц — т\ (иС
^.xi<a-\-b) участка CD стержня мыс-
ленно разрежем его на две части и рас-
смотрим равновесие одной из них. напри-
мер левой (рис. 8.2, в). Для того чтобы
эта часть находилась в равновесии, при-
ложим в точке С. неизвестные внутрен-
ние силовые факторы: нормальную силу
Л' (Xi), перерезывающую силу Qu(xt), из-
гибающий момент ЛИ (Xi).
В соответствии с характером дефор-
маций стержня примем следующие п р а-
в и л а знаков. Положительный изги-
бающий момент изгибает горизонтально
расположенный стержень (балку) выпук-
лостью вниз (рис. 8.3, а), а отрицатель-
ный изгибающий момент — выпуклостью
вверх (рис. 8.3,6). Положительная по-
перечная сила стремится сместить (сдви-
нуть) левое сечение стержня вверх отно-
сительно правого или правое сечение вниз
относительно левого (рис. 8.3, а). Отри-
цательная поперечная сила имеет проти-
воположное направление (рис. 8.3,6).
68
Рис. 8.3. Правила знаков при изгибе
Составим уравнения статики:
£ У = 0; FA —F— Qy(xl) = O',
£да(.= 0; FAx{ — /(%( — а) —
-Мг(х,)=0.
Учитывая, что FA = F, из этих уравне-
ний найдем: У</(^1) = 0; Мг (xt) = Fa.
Таким образом, перерезывающая сила
в сечении стержня равна сумме проекций
на ось у всех внешних сил, действующих на
мысленно отсеченную часть, т. е.
QyH=l^. <81)
Изгибающий момент в сечении стерж-
ня равен сумме моментов внешних сил,
действующих на отсеченную часть, взя-
тых относительно центра тяжести рас-
сматриваемого сечения, т. е.
Мг(х) = пг[?. (8.2)
Верхний индекс «л» в уравнениях
(8.1) и (8.2) указывает на левую часть
стержня.
В рассмотренном примере перерезы-
вающая сила равна нулю, следовательно,
стержень на участке CD будет находить-
ся в состоянии чистого изгиба. Несложно
убедиться, что такой же результат будет
получен из рассмотрения равновесия пра-
вой части стержня.
Если сделать сечение иг-тг на
участке АС (рис. 8.2, а) и рассмотреть
равновесие левой части, то- найдем, что
при 0sCx-2 <а силовые факторы Qy(xi) —
FA = F и М (x?)—Fa x} = Fx\.
Следовательно, этот участок стержня
будет находиться в условиях поперечного
изгиба.
Построение эпюр. Для оценки про-
чностной надежности стержня следует ус-
тановить сечения, в которых внутренние
силовые факторы имеют максимальные
значения. Анализ внутренних силовых
факторов будет наглядным при наличии
эпюр - графиков изменения поперечных
сил и изгибающих моментов вдоль цен-
тральной оси стержня. Построение эпюр
обычно начинают с определения опорных
реакций. Затем стержень разбивают на
участки с однородной внешней нагрузкой.
Далее рассматривают произвольное сече-
ние в пределах данного участка и состав-
ляют общие выражения для поперечной
силы и изгибающего момента в этом сече-
нии. Давая аргументу х произвольные
значения в пределах того же участка,
находят ординаты эпюр.
В качестве примера рассмотрим двух-
опорный стержень, нагруженный сосре-
доточенной силой F (рис. 8.4, а). Из
уравнения равновесия 2 ma = FBl — Fa —
О находим реакцию в правой опоре
FB — Fa/l. Из второго уравнения равно-
весия X Y=Fa — F-\-FB—0 находим ре-
акцию в левой опоре FA = Fb/l.
Рассматриваемый стержень содержит
лишь два участка (АС и CD) с однород-
ной нагрузкой. Составим (с учетом при-
нятого правила знаков) уравнения (8.1)
и (8.2) для первого участка
мг U m^F^^Fbx^l.
Рис. 8.4. Эпюры перерезывающих сил и
изгибающих моментов в двухопорной
балке
69
Рис. 8.5. Двухопорная балка при действии
распределенной нагрузки
Из этих уравнений видно, что перере-
зывающая сила на участке АС положи-
тельна и не зависит от значения абсцис-
сы, т. е. постоянна. Изгибающий момент
линейно зависит от абсциссы х, сечения;
при Х1 = 0 момент М(0) = 0, при хх=а мо-
мент М (a) =Fab/l.
На втором участке СВ (а^хг^/)
уравнения (8.1) и (8.2) примут вид:
<W=E f^=fa-f=
= Fb/l — F=—Fa/l\
Мг(х2)=^ mc=FAx2-
— F (x2 — a) = Fbx2/l— F (x2 —a).
Перерезывающая сила на этом учас-
тке отрицательная и не зависит от аб-
сциссы сечения. Изгибающий момент из-
меняется линейно, при xj = a момент
М (a) = Fab/I и при х? = / момент М(6) =
= 0 (/-а = 6).
Эпюры перерезывающих сил и изги-
бающих моментов показаны на
рис. 8.4, б, в. Видно, что в точке прило-
жения сосредоточенной силы F эпюра пе-
ререзывающей силы имеет скачок на ве-
личину этой силы, а эпюра изгибающего
момента имеет излом.
Определим перерезывающие силы и
изгибающие моменты в сечениях двух-
опорного стержня при действии
равномерно распределенной нагрузки
(рис. 8.5, а). Благодаря симметрии систе-
мы опорные реакции FP=FB =
— ql/1 (здесь ql — полная нагрузка на
стержень).
Стержень содержит лишь один одно-
родный участок. Внутренние силовые
факторы в сечении при х = х, (O^Xi^/)
определим, как обычно, по уравнениям
(8.1) и (8.2). Получим
Qy(x । ) = Fa - <7* i = <7^/2 — qx 1;
Mz{xx) = FAxx-qxx-xx/2 =
= qlxx/‘l — qx\/<l.
Первое из этих уравнений является
уравнением прямой линии. Ее можно по-
строить по двум точкам:
при х = 0 Qy(0) = (?//2;
при х = / Qy= — ql/2.
Эпюра перерезывающих сил, постро-
енная по этим ординатам, приведена на
рис. 8.5, б.
Второе уравнение — парабола. При
х = 0 момент Л4г(0) = 0; при х = 1 момент
Mz (7) = 0. Наибольшая ордината в сере-
дине пролета при х = //2 — изгибающий
момент Af (//2) = <?/2/8. Эпюра изгибаю-
щих моментов показана на рис. 8.5, в. Из
графиков видно, что в сечении, где изги-
бающий момент имеет максимальное зна-
чение, поперечная сила равна нулю.
Дифференциальные зависимости меж-
ду внутренними силовыми факторами.
Двумя нормальными сечениями вырежем
из стержня на рис. 8.5, а элемент дли-
70
/
ной dx (рис. 8.5, г). Допустим, что в ле-
вом сечении элемента действуют перере-
зывающая сила Qy и изгибающий мо-
мент Мг. Тогда в правом сечении эле-
мента перерезывающая сила будет равна
Qj + dQ;,, а момент Мг + dM2.
Составим уравнения равновесия эле-
мента:
2 т0 = Мг — (Л)2+ dMJ +
-HQjz+dQy) dx + <? dx dx/2 = 0;
S У= Qy-q dx-(Q,+ dQ,) = O.
Пренебрегая произведениями dQ^ dx
и q (dx)2 как величинами второго порядка
малости по сравнению с остальными сла-
гаемыми, найдем
dAf2./dx = QJ,;
dQi//dx=— q. (8.3)
Знак минус во втором соотношении
показывает, что нагрузка q положитель-
на (в принятом правиле знаков), если
она направлена кверху.
Из этих зависимостей следует
Дифференциальные зависимости (8.3)
и (8.4) используют при анализе вопро-
сов, связанных с изгибом стержней
(брусьев). С их помощью можно про-
верить правильность построения эпюр мо-
ментов и перерезывающих сил. В этом
несложно убедиться, продифференциро-
вав по Х| приведенные выше уравнения
для Qy(xi) н Мг (Х|). Определим, напри-
мер, абсциссу сечения стержня, в кото-
ром изгибающий момент достигает эк-
стремального значения (см. рис. 8.5, а).
Из условия dMz (xi)/dxi =0 находим:
ql/2 — qXi = 0 или Xi = //2.
$ 8.2. НАПРЯЖЕНИЯ В СТЕРЖНЕ
ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ
Рассмотрим простейший случай изги-
ба — чистый изгиб, при котором в по-
перечных сечениях стержня действует
только изгибающий момент. Например,
в условиях чистого изгиба работают
участки стержней (рис. 8.6, а, б), на ко-
торых изгибающий момент постоянен, а
перерезывающая сила отсутствует
(dA4/dx = 0).
Определим закон изменения напря-
жений в поперечном сечении и найдем
значение наибольших напряжений.
Так как в любом сечении стержня на
этом участке действует одинаковый изги-
бающий момент, то изменение кривизны
однородного стержня будет одним и тем
же. Это легко обнаруживается, если на
боковую поверхность стержня нанести
сетку из продольных и поперечных пря-
мых (рис. 8.7). После деформации изги-
ба продольные линии и ось стержня при-
мут форму дуг окружностей, а попере-
чные линии останутся прямыми. Следова-
Рис. 8.6. Чистый изгиб стержней
71
Рис. 8.7. Модель и схема дефор-
маций стержня при чистом из-
гибе
тельно, как и при растяжении, плоские
поперечные сечения стержня до деформа-
ции останутся плоскими и после дефор-
мации (гипотеза плоских сечений). Ис-
следования показывают, что гипотеза
плоских сечений подтверждается в тех
случаях, когда углы сдвига элементов ма-
лы по сравнению с углами их поворотов
(например, при изгибе длинных изотроп-
ных стержней).
Чистый изгиб стержня характеризу-
ется также и тем, что его волокна на
выпуклой стороне растягиваются, а на
вогнутой стороне сжимаются. Очевид-
но, что существует слой, в котором удли-
нения отсутствуют; его называют ней-
тральным слоем. Линию пересечения это-
го слоя с плоскостью поперечного сече-
ния называют нейтральной линией
(н. л.).
Рассмотрим поперечное сечение стер-
жня (рис. 8.8) в условиях чистого изги-
ба. Допустим для упрощения, что стер-
жень имеет постоянное поперечное сече-
ние и плоскость симметрии, которая
совпадает с плоскостью действия внеш-
них сил. В точке О пересечения ней-
тральной линии с плоскостью симметрии
поместим оси координат xyz. Положение
нейтральной линии и начала координат
заранее не известно. В поперечном сече-
нии стержня будут действовать только
нормальные напряжения о. Касательные
напряжения в этом сечении отсутствуют,
так как поперечная сила проекция на
плоскость сечения главного вектора внут-
ренних сил упругости в сечении — равна
нулю.
Свяжем напряжение о с внутренними
силовыми факторами в сечении стержня
при чистом изгибе. Будем иметь
Nx — ох dA =0; \
А 1
Mx = ^axydA,J <8'5)
где А площадь поперечного сечения
стержня (бруса).
Для решения задачи необходимо до-
полнить эти уравнения условиями дефор-
маций, которые устанавливают на осно-
вании экспериментальных исследований.
Рассмотрим элемент стержня (рис. 8.9, а),
образованный двумя смежными сечения-
ми, расстояние между которыми равно
ах (см. рис. 8.5, г)- Примем условно,
что левое сечение неподвижно. После
деформации между плоскостями сечений
образуется угол dtp (рис. 8.9,6). Нейт-
ральный слой стержня обозначим отрезком
CD, радиус кривизны этого слоя обозначим
р. Так как dx = p dtp, то кривизна нейтраль-
ного слоя
Рис. 8.8. Расчетная схема стерж-
ня при чистом изгибе
1 /р = dtp/d х.
Произвольно взятый отрезок AB — dx
(см. рис. 8.9, а, б), удаленный на у от
нейтрального слоя, получит удлинение
В-В\ =А|Д| — АВ. Так как сечения оста-
ются плоскими, то В,В\=у dtp и относи-
тельное удлинение (деформация) волокна
составит
ех=В.Вх/АВ =
=У d<p/([> dtp) = t//p. (8.6)
72
Таким образом, из гипотезы плоских
сечений вытекает линейное распределение
деформаций по высоте сечения (вдоль
оси ординат).
Если предположить, что взаимное на-
давливание волокон отсутствует (гипо-
теза о ненадавливании волокон; равно-
сильно отсутствию напряжений иу и <тг),
то каждое из них будет находиться в ус-
ловиях растяжения (сжатия). Для опре-
деления напряжений в таком случае мож-
но использовать закон Гука
(’x = £'ex = £i//p- (8-7)
Подставив соотношение (8.7) в пер-
вое равенство (8.5), получим
f dX = 0.
й Р
Так как отношение Е/р не равно ну-
лю и не зависит от переменной интегри-
рования, то, вынося его за знак интегра-
ла и сокращая, будем иметь
у dX = 0.
Л
Этот интеграл представляет собой
статический момент площади поперечного
сечения относительно нейтральной
оси Ох. Так как он равен нулю, то ней-
тральная ось при чистом изгибе прямого
стержня проходит через центр тяжести
сечения.
Момент внутренних сил относительно
нейтральной оси
M=={-E-y2dA=—\y2<iA. (8.8)
Н Р J
Интеграл
\y2dA = Jz (8.9)
Л
называют моментом инерции поперечного
сечения стержня относительно централь-
ной (проходящей через центр тяжести
сечения) оси. С учетом этого обозначе-
ния соотношение (8.8) приобретает вид
Mz — EJJp,
откуда кривизна нейтрального слоя
\/p = Mz/EJz. (8.10)
Из равенства (8.10) видно, что мо-
мент инерции /г характеризует способ-
ность стержня сопротивляться искривле-
нию в зависимости от размеров и формы
его поперечного сечения. Чем больше бу-
дет значение Jz при заданной величи-
не Mz, тем большим окажется радиус р
кривизны нейтрального слоя стержня,
т. е. тем меньше стержень искривится.
Модуль упругости Е характеризует
способность стержня сопротивляться иск-
ривлению в зависимости от его материала.
Произведение Elz называют жестко-
стью сечения стержня при изгибе.
С искривлением оси стержня связан
взаимный поворот сечений. Угол поворо-
та двух смежных сечений (см. рис. 8.9,
а, б)
dtp = dx/p.
С учетом зависимости (8.10) послед-
нее равенство примет вид
Mz
dtp=-=7- dx.
ЕС
Повторяя рассуждения, приведенные
в § 5.2, несложно определить потенци-
альную энергию, накопленную стержнем
при изгибе:
М2
2ЕС
dx.
Если изгибающий момент на участках
стержня по его длине выражается раз-
личными функциями от х, то этот интег-
рал разбивают на сумму интегралов в со-
ответствии с длинами каждого участка:
м’ .
2Й7
Подставляя 1/р из выражения (8.10)
в формулу (8.7), найдем
ox = Mzy/Jz. (8.11)
Из формулы (8.11) следует ряд важ-
ных выводов:
центр тяжести сечения стержня явля-
ется началом координат для анализа на-
пряжений и приведения внешних сил;
напряжения изгиба зависят от значе-
ний изгибающего момента, момента инер-
ции и координаты точки;
73
Рис. 8.9. Схема деформаций стержня при чистом изгибе
напряжения в любой точке, лежащей
на одинаковом расстоянии от нейтраль-
ной линии, равны между собой;
нормальные напряжения не зависят,
а упругие перемещения зависят от моду-
ля упругости материала стержня. Напри-
мер, два конструктивно одинаковых стер-
жня из стали (Е — 2• 1 О” МПа) и титано-
вого сплава (£=1,1-К)6 МПа) при рав-
ной внешней нагрузке имеют одинаковые
напряжения в соответствующих точках
сечений.
Максимальное напряжение при изги-
бе возникает в точках, наиболее удален-
ных от нейтральной линии (рис. 8.9, в):
М2 Мг
t7xmax==~j Утах ’ (8-12)
Рис. 8.10. Рациональные сечения стержней
при изгибе:
a — двутавр; б — швеллер; в — уголок
где W'z = /2/ymax—момент сопротивления
сечения стержня при изгибе.
Внутренние слои материала, особенно
вблизи нейтральной линии (см. рис. 8.9,
в), мало напряжены. Поэтому при проек-
тировании стержней, испытывающих де-
формации изгиба, стремятся к использо-
ванию сечений с возможно большими
моментами инерции относительно нейт-
ральной оси. Для этого [см. соотноше-
ние (8.9)] необходимо распределять
площадь сечения подальше от нейтраль-
ной оси.
На рис. 8.10 в качестве примера по-
казаны экономичные стандартные профи-
ли сечений стальных прокатных балок,
выпускаемых металлургическими пред-
приятиями для нужд промышленности и
строительства.
Условие прочностной надежности
стержня по допускаемым напряжениям
имеет вид
°тах<Ьи], (8.13)
где [ои] — допускаемое напряжение при
изгибе для материала стержня.
При проектировании уравнение (8.12)
и ограничение (8.13) используют для оп-
ределения геометрической характеристи-
ки сечения стержня (бруса) — момента
сопротивления:
Гг>Л1г/[Ои]. (8.14)
74
Расчет выполняют для сечения стерж-
ня, в котором момент М? имеет макси-
мальное значение.
§8.3. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ХАРАКТЕРИСТИКИ
ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ
При растяжении (сжатии) стержня
напряжения одинаковы во всех точках
сечения. Поэтому его напряженное состо-
яние определяется внешней нагрузкой и
площадью сечения стержня, но не зави-
сит от формы сечения.
При кручении и изгибе стержней на-
пряжения в точках сечения зависят от
формы тела.
Размеры и форма сечений определяют
значения таких геометрических характе-
ристик, как моменты инерции и моменты
сопротивления сечений.
Статические моменты сечения. Стати-
ческим моментом площади сечения отно-
сительно оси z (рис. 8.11, а), взятой в
той же плоскости, называется сумма про-
изведений элементарных площадок с1Л
сечения на расстояние их до оси; эта
сумма распространяется на всю площадь
сечения А.
Статические моменты сечения относи-
тельно осей z и у равны соответственно:
S2 = \ у d Л; 5(,=\ z (1Л. (8.15)
При параллельном переносе осей зна-
чения статических моментов изменятся.
Допустим, что площадь сечения рав-
на Л и статические моменты Sy и Sz от-
носительно осей у и z также известны.
Определим статические моменты сечения
Рис. 8.11. Схемы к определению геометрических характеристик сечений
относительно осей у\ и zi, параллельных
осям у и z. Очевидно, что yi=y — Ь и
Zi = z — а, где а и b — расстояния, на
которые перенесены оси z и у соответ-
ственно. Учитывая это, статические мо-
менты
(у —&) аЛ =S2 — ЬА\
\=\ z1 ал =
(8.16)
= \ (z — а) аЛ = Sy — аА.
А
Таким образом, при параллельном пе-
реносе оси статический момент сечения
изменяется на величину произведения
площади сечения на расстояние между
осями.
Среди семейства параллельных
осей z можно найти ось, относительно
которой статический момент равен нулю;
такую ось называют центральной. Вто-
рую центральную ось можно найти для
семейства осей, параллельных оси у. Точ-
ку пересечения центральных осей называ-
ют центром тяжести сечения. Поместив
начало координат в точку С — центр тя-
жести, найдем из уравнений (8.12) ее
координаты
z dA
zc=a = - ;
5)
75
Сравнивая равенства (8.16) и (8.17),
находим
5г = 1/сД; Sy=zcA, (8.18)
следовательно, статический момент сече-
ния относительно некоторой оси равен
произведению площади этого сечения на
расстояние от центра тяжести сечения до
рассматриваемой оси. Статический мо-
мент сечения измеряется в мм* или м3.
Моменты инерции сечений. Различа-
ют осевые, полярные и центробежные мо-
менты инерции сечений.
Осевым моментом инерции площади
сечения относительно какой-либо оси
(рис. 8.11, а), лежащей в его плоскости,
называется сумма произведений элемен-
тарных площадок на квадраты расстоя-
ний их до этой оси:
Jz=\ t/2cM; Jy=\z2 dA. (8.19)
A A
Полярный момент инерции сечения
относительно полюса О (рис. 8.11, а),
взятого в начале осей координат,
Jp = \ р2 dA = (z2 + y2) (L4 =
А А
=Д z2 <1Д -И г/2 (L4
А А
ИЛИ
Ip=Jy + L- (8.20)
Формула (8.20) справедлива для лю-
бых двух взаимно перпендикулярных осей
с началом координат в полюсе О.
Центробежным моментом инерции се-
чения называется сумма произведений
элементарных площадок на их координа-
ты (т. е. на расстояния до обеих коорди-
натных осей), распространенная на всю
площадь сечения:
Jгу \ У2 уг-
А
(8.21)
В отличие от осевого и полярного
моментов инерции центробежный момент
может быть положительным, отрицатель-
ным и равным нулю. Знак центробежного
момента зависит от знаков сомножителей
в произведении yz dA.
Моменты инерции измеряются в еди-
ницах длины в четвертой степени (мм4
или м4).
Значения моментов инерции зависят
от положения сечения в осях координат.
Можно показать, что при параллельном
перемещении осей координат ZiOyi в по-
ложение zOy (рис. 8.11,6) моменты
инерции сечений
Jz = Jz -)“2aSz А~а2А;
Jy = Jyl + 2bSyi+b2A;
Jzy = Jz,yl A-aSy' + bSZi A-abA.
Если оси O|Z| и Oty\ являются цент-
ральными, то статические моменты =
= 0 и S,. =0 и последние соотношения
примут вид:
/г = Л+а2Л; Jy = Jy< + b2A;
hy = }z^+abA. (8.22)
Зависимость для полярного момента
инерции при параллельном переносе осей
из центра тяжести в произвольную точку
/р = Л + /у = /Р| + (а2 + 62)Л. (8.23)
Из этих формул видно, что моменты
инерции сечений относительно пениаль-
ных осей имеют минимальные значения по
сравнению с моментами инерции относи-
тельно любых других параллельных осей.
Формулы (8.22) используют для вы-
числения моментов инерции сложных се-
чений. Используя свойства определенного
интеграла, момент инерции сложного се-
чения находят как сумму моментов инер-
ции составных частей этого сечения, т. е.
п
Jz—Jz(l)+Jz(2)+--+Jz{n}= £ /г0), (8.24)
где z=l, 2, ... , п — номера частей, на
которые .мысленно разделено сложное се-
чение.
Моменты инерции сечения при пово-
роте осей координат. Найдем зависимость
между моментами инерции сечения отно-
сительно осей z, у и моментами инерции
сечения относительно осей ц, и, поверну-
тых на угол а (рис. 8.12).
По формулам преобразования коор-
динат при повороте осей имеем
v — z cos а-|-у sin а; и —у cos а —z sin а.
76
Рис. 8.12. Спя я> координат точки при
повороте осей
С учетом этих равенств моменты
инерции сечения равны:
/„ = \ «2dz4 = \ (у cos a —z sin а)2 d4;
2 л
осевые моменты имеют экстремальные
значения, называют главными осями. Так
как начало и угловое положение прямо-
угольных координат, вообще говоря, мож-
но выбрать произвольно, то существует
бесчисленное множество главных осей.
Если главные оси проходят через
центр тяжести сечения, то их называют
главными центральными осями, а соот-
ветствующие им осевые моменты инер-
ции • главными центральными момента-
ми инерции.
Для каждого сечения кроме круга
имеется только одна пара главных цент-
ральных осей.
Исключая из первых двух соотноше-
ний в равенствах (8.25) угол а, найдем
/,, = ^ v2 <М =Д (г cos а 4-у sin а)2 ЗЛ;
/I л
Ли = \ uv d4 =\ (z cos а +
л я
+ у sin а) (у cos а —z sin а) 6Л.
Откуда
А=/? cos2 а —/гц sin 2a4-Jy sin2 а;
.1 U = J, sin2 а + /2й sin 2а + /й cos2 a;
lz-Jy
Km — hu cos 2a-|--g—У~ s'n 2“- (8-25)
Из первых двух уравнений найдем
^AJu = h + 1y = const. (8.26)
Из формул (8.25) видно, что значе-
ния осевых моментов инерции зависят от
угла а, но сумма их неизменна. Следо-
вательно, можно найти такое значение
угла а, при котором один из моментов
инерции принимает максимальное значе-
ние, а другой — минимальное. Дифферен-
цируя выражение /„ по а и приравнивая
производную нулю, получим
tg2a0=2J,y/(Jy- JJ. (8.27)
Из третьего соотношения в равенст-
вах (8.25) несложно установить, что при
a = ao центробежный момент инерции
равен нулю.
Оси, относительно которых центро-
бежный момент инерции равен нулю, а
Знак плюс соответствует максималь-
ному моменту инерции, знак минус --
минимальному.
Моменты инерции простых и сложных
сечений. Для некоторых распространен-
ных сечений моменты инерции можно оп-
ределить интегрированием по формулам
(8.19) и (8.20).
Прямоугольник. Определим момент
инерции прямоугольника (рис. 8.13, а)
высотой h и шириной основания b отно-
сительно центральной оси Oz. Разобъем
мысленно площадь прямоугольника на
элементарные площадки высотой dy и
шириной Ь. Площадь одного такого эле-
мента (заштрихован на рис. 8.13, а)
6Л = b dy. Тогда
ЛА2 bh3
J=\y*dA = b ( y*dy = (8.28)
А -Л/2 Z
По аналогии найдем
hb*
12
Момент инерции прямоугольника от-
носительно оси OiZi, проходящей через
основание,
. с 2 , bh3
= b\y' dy=--~
Определим теперь центробежный мо-
мент инерции сечения относительно осей
77
Рис. 8.13. Сечения стержней
f/iOiZi:
, С ял С Ь .. bV
7,г, = \ ал =\ Ух — ь dy, =-—.
Центробежный момент инерции пря-
моугольника относительно осей у0\2\
b\b . ,
у ) ~2
, f Ь ь п
+ \ У\у у дг/, =0.
Таким образом, если одна из взаимно
перпендикулярных осей является осью
симметрии сечения, то относительно та-
кой оси центробежный момент инерции
сечения равен нулю.
Круг. Для круга (рис. 8.13,6) снача-
ла удобно вычислить полярный момент
инерции.
Разбивая мысленно круг на элемен-
тарные площадки и учитывая, что пло-
щадь одной из них (заштрихована на
рис. 8.13,6) дЛ = 2лрбр, будем иметь
„ “/2 „И*
JP = \ Р2 ал=2п С р3 dp=——«0,Id4,
а х
(8.29)
Учитывая, что Jp = Jz-)-Jy и JZ = JM,
получим
Jz = /p = /p/2 = nd4/64«0,05d4. (8.30)
Кольцо. Момент инерции кольца (рис.
8.13, в) находят как разность моментов
инерции наружного (диаметр d) и внут-
реннего (диаметр do) кругов:
«0,Ы4(1-£4),
(8.31)
где S, = d0/d.
Осевые моменты инерции
/z = 7«0,05d4(l-g4). (8.32)
Уголок. Определим центральные и
главные центральные моменты инерции
уголка равнобокого (рис. 8.13, г) при а =
= 4 мм, Ь = 20 мм, расстояние от осно-
вания до центральной оси z составляет
с = 6,4 мм. Так как уголок равнобокий,
то Л = Д. Мысленно разделим сечение на
два прямоугольника (номера указаны
цифрами) с центрами тяжести Oi и О2-
Центральные моменты инерции уголка
7=7(1)+Л(2)'- Jгц= !+Ку(2)- (8-33)
Для определения моментов инерции
отдельных частей относительно централь-
ной оси Ог используем формулы (8.22)
и (8.28). Вычисления выполняем по схе-
ме, показанной в табл. 8.1. Угол наклона
главных осей tg2ao = O, так как Jz = Jy,
следовательно, ао = 45°.
По формулам (8.25) находим главные
центральные моменты инерции (а0 = 45°,
cos 45° = sin 45°):
JV — 2JZ cos2 45° — Jly sin 90° = Jz —J2j/ =
= 5028 —( — 2844)=7872 мм4;
/и = 7+7^=5028+(-2844)=2184 мм.
Проверку правильности расчетов
можно выполнить по условию (8.26).
Так как Л = /тах и 7u = Jmin, то плос-
кость действия сил лучше расположить
в плоскости Ои, при этом нейтральная
линия совпадет с осью Ov.
78
Схема вычисления главных моментов инерции уголка
Таблица 8.1
1о-
ie-
эа
ас-
ей
Пло-
щади
час-
тей,
мм2
Координаты
центров тя-
жести частей
в осях коор-
динат gOz,
мм
Моменты инерции площадей частей, мм4
J2i = biht/\2 + g?A
hiyi^ZiyiAi
Ыг3/\2
1
2
64
80
111^=1365,33
12
9П-43
=111=106,66
12
5,6г-64 = 2007 3372,3,7 64-(-4,4)-5,6= - 1577
(4,4)2- 80= 1548,8 1655,46 80 • 3,6 (-4,4)= -1267
144
5028
— 2844
Примечание. Центробежные моменты инерции частей сечения относительно собственных централь-
ных осей равны нулю.
J 8.4. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ
Касательные напряжения при изгибе.
При поперечном изгибе в сечении стерж-
ня возникает не только изгибающий мо-
мент, но и перерезывающая сила
(см. рис. 8.4,6). Следовательно, в попе-
речном сечении действуют нормальные ст
и касательные напряжения т (рис. 8.14).
По закону о парности касательных
напряжений последние возникают также
и в продольных сечениях, вызывая сдвиги
волокон относительно друг друга и на-
рушая гипотезу плоских сечений, приня-
тую для чистого изгиба. В результате
плоские сечения под нагрузкой несколько
искривляются (на рис. 8.14 плоское сече-
ние показано штриховыми линиями).
Однако во многих расчетных случаях,
когда больший размер сечения в несколь-
ко раз меньше длины стержня, сдвиги
невелики н гипотезу плоских сечений ус-
ловно распространяют на поперечный из-
гиб. Благодаря этому нормальные напря-
жения при поперечном изгибе также вы-
числяют по формуле (8.11).
Определим приближенное значение
касательных напряжений при поперечном
изгибе. Из балки (рис. 8.15, а) мысленно
вырежем элемент длиной dx (рис. 8.15,6)
и в произведенных сечениях приложим
моменты М и M-|-dA4, а также перере-
зывающие силы Q. Направления для
силовых факторов приняты в соответствии
со схемой нагружения.
Продольным горизонтальным сечени-
ем, выполненным на расстоянии г/ от ней-
трального слоя, разделим этот элемент на
две части (рис. 8.15, в) и рассмотрим
равновесие одной из них, например верх-
ней, на которую с обоих торцов действу-
ют напряжения сжатия.
Равнодействующая нормальных сил
odA в левом сечении верхней части (за-
штрихована на рис. 8.15, г) площадью А,
равна
где у! — текущая координата элементар-
ной площадки dA.
Учитывая, что интеграл в последнем
равенстве представляет собой статиче-
ский момент площади отсеченной части
Рис. 8.14. Схема деформаций
и силовые факторы в сечении
стержня при поперечном из-
гибе
79
откуда
<1М 5; qs;
сечения (выше уровня у), запишем
ад
dx Kb 1 гЬ
(8.34)
В правом сечении будет действовать
большая сила, так как в этом сечении
действует больший момент:
./V. + dW. = (M + dAl)S;/Jz.
Разность этих сил
d,V,= dMS*//2
должна уравновешиваться касательными
силами в продольном сечении верхней
части элемента (рис. 8.15, (У). Если при-
нять для упрощения, что касательные на-
пряжения в продольном сечении распре-
делены равномерно по ширине
(рис. 8.15, г, г)), то
dMS;/J2 = T& dx,
Парные касательные напряжения в
поперечных сечениях равны им. Получен-
ная зависимость для касательных напря-
жений была установлена Д. И. Журав-
ским и поэтому называется его именем.
Распределение касательных напряже-
ний по высоте стержня (см. рис. 8.15, а)
прямоугольного сечения приведено на
рис. 8.16. Статический момент площади
отсеченной части и момент инерции се-
чения
Подставляя эти соотношения в фор-
мулу Журавского, найдем
Рис. 8.16. Распределение
касательных напряжений
по сечению стержня при
поперечном изгибе
&Q /
6й3\ 4
Максимальные касательные напряже-
ния будут действовать при (/ = (), т. е.
П:,ах-2 (8.35)
Максимальные нормальные напряже-
ния для консольного стержня
(см. рис. 8.15, а)
M, 6FI
№г ~ bh2
80
Угол наклона главных площадок най-
дем по формуле (7.3), которая примет вид
tg 2а0= -2тХ!,/аг
Исследуем напряжения в трех точках
одного сечения (см. рис. 8.17). В точке /
т1у = 0 и 01= — 0,5отахн-
+ 0,5^(-о,пах)2 = 0;
О? — Отах! СТО — 0.
В точке 3
Рис. 8.17. Напряженное состояние в точках
стержня при изгибе
будут действовать в крайних волокнах
(У = ±Л/2).
Сопоставив эти напряжения, получим
=
Фпах/Тп1ах 4l/h.
Откуда следует, что касательные на-
пряжения в длинных стержнях (/>2Л)
существенно меньше нормальных. Поэто-
му касательные напряжения в расчетах
стержней на изгиб не учитывают, и рас-
чет на прочность при поперечном изгибе
производится только по нормальным на-
пряжениям, как при чистом изгибе.
Напряженное состояние стержня. Для
оценки прочности стержня необходимо
знать максимальные напряжения в его
точках.
Выше было установлено, что в точках
поперечных сечений стержня возникают
нормальные и касательные напряжения:
М£ QS*
°-”~fz ; т~ J2b '
При этом в точках волокон, наиболее
удаленных от нейтрального слоя, действу-
ют лишь нормальные напряжения, а в
точках нейтрального слоя--только каса-
тельные напряжения (рис. 8.17). Во всех
точках сечения, за исключением точек,
принадлежащих периферийным волокнам,
имеет место плоское напряженное состоя-
ние (ем. рис. 8.17).
Главные напряжения определим по
формулам (7.6). В рассматриваемом слу-
чае будем иметь
о i = о ,„ах = 0,5ах + 0,5 у/о^+4т^;
°2 = о тт = 0,5о х - 0,5 д/сл + 4т^-
t.xy 0 И О । 0,5nrTiax-j-0,5 Оmах ^Гпах’
02 = 0; а0 = 90о.
В точке 2
<7^ = 0 и а| = 0,5\/4т^=т„,а
02= -ттз.,; а0=45°.
Вычисляя напряжения для ряда точек
сечения, можно построить эпюры главных
напряжений в сечении.
По траекториям напряжений сн мож-
но судить о направлениях, ио которым
могут появиться трещины в материале,
плохо сопротивляющемся раст яжению.
Например, связующее композицион-
ного материала плохо «работает» на рас-
тяжение и «армирующие» волокна це-
лесообразно располагать по направлению
растягивающих напряжений.
§ 8.5. РАСЧЕТ НА ИЗГИБ
ЗА ПРЕДЕЛОМ УПРУГОСТИ
Формулы (8.11) и (8.34) справедливы
только при упругих деформациях и исполь-
зуются в расчетах стержней, в которых
пластические деформации недопустимы.
Между тем нагрузочная способность
стержня из пластичного конструкционно-
го материала не исчерпывается при по-
явлении пластических деформаций в пе-
риферийных слоях наиболее нагруженно-
го сечения (рис. 8.18, а, б) благодаря
упругому состоянию центральной части
сечения. Изгибающий момент в наиболее
нагруженном сечении при omin=o, (о, - -
предел текучести материала стержня)
равен
Мта*т = 17т№"г = агМ'2/6. (8.36)
81
Рис. 8.18. Распределение напряжений в сече-
нии стержня при наличии упругопластических
деформаций
При увеличении нагрузки .максималь-
ное напряжение в крайних слоях не будет
увеличиваться из-за текучести материала,
хотя деформации этих слоев возрастут.
Пластические деформации будут распро-
страняться к нейтральному слою стерж-
ня, увеличивая напряжения в упругой зо-
не (рис. 8.18, в).
При некоторой нагрузке, называемой
предельной, наиболее нагруженное сечение
стержня будет целиком охвачено пласти-
ческими деформациями (рис. 8.18, г)
и несущая способность стержня будет
полностью исчерпана.
Определим значение предельного из-
гибающего момента Л4тахГ|р в наиболее на-
груженном сечении. На элементарную
площадку с1Д = Ь dy (заштрихована на
рис. 8.18, а) будет действовать усилие
От ОД. Сумма моментов элементарных
сил о, 6Д относительно нейтральной оси
равна
Mmaxnp=^ От 0Д = от6 ydy = arbh2/4.
л А
(8.37)
Отношение Almaxilp/AlmaXT = 1,5. Фак-
тическая нагрузочная способность стерж-
ня существенно выше допускаемой, со-
ответствующей допускаемому напряже-
нию [ои]=(0,3...0,6) о,.
§ 8.6. ПЕРЕМЕЩЕНИЯ ПРИ ИЗГИБЕ
Метод интегрирования уравнения изо-
гнутой оси стержня. Рассмотрим в ка-
честве примера стержень, защемленный
82
одним концом и нагруженный на другом
конце сосредоточенной силой (рис. 8.19).
Ненагруженное состояние стержня пока-
зано на рисунке штриховой линией.
В центре тяжести сечения стержня в за-
делке поместим оси координат хОу. При-
мем для упрощения, что поперечное сече-
ние имеет ось симметрии, а сила, действу-
ющая на него, лежит в плоскости,
совпадающей с этой осью.
Перемещение АА' центра тяжести се-
чения по направлению, перпендикулярно-
му оси стержня, называют прогибом стер-
жня в этом сечении. Угол <р, на который
повернется сечение относительно неде-
формированного положения, называют
углом поворота сечения.
В практических расчетах возникает
необходимость определения прогибов и
углов поворота для любого сечения и в
особенности их наибольших значений.
Перемещения стержня можно опреде-
лить, воспользовавшись уравнением
(8.10), связывающим кривизну его оси
с изгибающим моментом и жесткостью
сечения при изгибе. Поместив в заделке
неподвижные оси координат хОу, запи-
шем известную из математики формулу
для кривизны линии:
1=±________У-____
р [1+(/)2]3/2
В большинстве практических задач
перемещения точек оси стержня сравни-
тельно малы и tg <f = y"<g^ 1, где <р — угол
между касательной к упругой линии и
осью х. В связи с этим, принимая 1 /рда
да ±у", запишем зависимость (8.10) в
форме
М,
У"=~ (8.38)
Рис. 8.19. Определение про-
гибов стержня
п^о м*о
X
Рис. 8.20. Правило знаков при опреде-
лении прогибов стержня
0. С учетом этих условий установим
С, = 0 и С2 = 0.
Таким образом, имеем следующие
уравнения для определения углов поворо-
та сечений и прогибов точек оси стержня:
У'(х)
Fix
Е]г
Fx2
ЕЦ''
. , Fix2 Fx3
У^~2Е1г 6EJ г
Эта зависимость представляет собой
приближенное дифференциальное уравне-
ние изогнутой оси стержня (балки). Вы-
бор знака определяется принятой систе-
мой координат. Для системы координат,
принятой на рис. 8.20, а, знаки для вто-
рой производной (кривизны) и момента
одинаковые, и уравнение (8.38) имеет вид
Е]^"—Мг. (8.39)
Если в принятой системе координат
знаки у" и Мг не совпадают, то уравне-
ние (8.38) имеет вид
EJ#"=-MZ. (8.40)
Вычисление углов <р поворота сечений
и прогибов у точек оси стержня произво-
дят интегрированием уравнения (8.38) с
учетом условий его закрепления (гранич-
ных условий).
Определим, например, прогиб и угол
поворота концевого сечения консольного
стержня, нагруженного силой F (см. рис.
8.19).
С учетом правила знаков, принятого
на рис. 8.20, используем уравнение
(8.39). Изгибающий момент в сечении х
Мг(х) = F (1 — х),
тогда уравнение (8.39) примет вид
EJ jj" = F (I—х).
Принимая, что жесткость сечения по-
стоянна и интегрируя полученное уравне-
ние, получим
EJ jy'— Fix—Fx2/2-(-Cl.
Повторяя интегрирование, найдем
EJyj = Fix2/2 - Fx3/6 + С )Х + С2.
Произвольные постоянные Ci и С2 оп-
ределим из известных граничных условий.
При х = 0 (в заделке) у' = 0 и у =
Откуда угол поворота и прогиб на
конце балки (х=1) соответственно равны
Fl2 F13
yW = ^‘
Энергетический метод определения пе-
ремещений. Этот метод основан на теоре-
ме Кастилиано (см. § 5.2), согласно кото-
рой перемещение (в данном случае про-
гиб) стержня в точке приложения неко-
торой сосредоточенной силы F, равно час-
тной произв'одной от потенциальной энер-
гии деформации тела по этой силе, т. е.
Повторяя рассуждения, изложенные
в § 5.2, несложно установить, что угол
поворота сечения, в котором приложен
сосредоточенный изгибающий момент,
ф;=ж-
Дифференцируя по какому-либо сило-
вому фактору (силе, моменту) зависи-
мость для потенциальной энергии дефор-
мации, найдем, что прогиб в точке прило-
жения сосредоточенной силы £,
Мг(х)дх дМг(х)
У‘ dF, J £J2 ’<?£,’ 1 • >
а угол поворота сечения, в котором дей-
ствует сосредоточенный изгибающий мо-
мент,
/ M2(x)dx dMz(x)
^‘=~дМ^=\ ЁТг дМ~~
(8.42)
Определим, например, прогиб консо-
ли, нагруженной на конце си-
лой £ (см. рис. 8.19). Изгибающий мо-
мент на расстоянии х от заделки
Mz(x) = F (1 — х),
83
производная от момента по силе
дМг (х)
~dF~
1—х.
Прогиб конца стержня по формуле (8.41)
сечении по дополнительной силе (момен-
ту) равна моменту в этом сечении от
силы £д = 1 Н (Л1Л = 1 Н-мм). С учетом
этого замечания соотношение (8.41) мож-
но записать в форме (интеграл Мора)
У =
F(l-x)2
EJ
дх —
JJL
3EJ~'
' МЛ(х)М1г А
Ус=\ - PT —
Описанный способ позволяет опреде-
лить перемещения лишь в точках приложе-
ния сил и только в направлении этих сил.
Возможности способа и круг решае-
мых задач можно расширить, если в рас-
считываемой точке стержня мысленно
приложить дополнительную силу £л в ин-
тересующем нас направлении (или допол-
нительный момент Мд). Затем составить
выражение потенциальной энергии систе-
мы с учетом этой силы (момента) и при-
менить теорему Кастилиано, взяв част-
ную производную от потенциальной энер-
гии по дополнительной силе (моменту).
Полученное соотношение для определе-
ния прогиба (угла поворота сечения)
стержня будет верным при любых число-
вых значениях дополнительной силы (мо-
мента). Принимая £д = 0 (Мл = 0), найдем
интересующее нас значение прогиба (уг-
ла поворота сечения) стержня.
Определим, например, угол поворо-
та конца консольного стержня, нагру-
женного сосредоточенной силой F
(см. рис. 8.19).
Для решения задачи приложим в точ-
ке С дополнительный изгибающий мо-
мент, направленный, например, против
часовой стрелки. Тогда изгибающий мо-
мент в сечении стержня Мг (х) = Мл — Fx
и частная производная дМг/дМ,х= 1. Угол
поворота сечения по формуле (8.42) при
Мд = 0
д£„ 1 /
Чс=-ъг = ~гт\(М-Рх>1 =
дМ, EJ
=- л2
“ 2EJ
Знак минус показывает, что поворот
сечения происходит против направления
момента Л4л.
Несложно установить, что частная
производная от изгибающего момента в
84
где Мг(х')-- - момент в сечении х стержня
от внешней нагрузки; М1С— то же, от
единичной силы, приложенной в рассчи-
тываемой точке С. При определении угла
поворота в рассчитываемой точке прикла-
дывают единичный изгибающий момент.
Пример 1. Определить напряжения изгиба
в резьбовом соединении (рис. 8.21) после за-
тяжки е силой Fu.
Решение. Сила затяжки вызывает в болте
с эксцентричной головкой изгибающий момент
М = Fue.
Максимальное напряжение изгиба в край-
них волокнах болта находим по формуле
(8.21). Учитывая, что момент сопротивления
сечения болта но внутреннему диаметру резьбы
ЦТ, = 2Д/<1| гьО,Idi’, найдем
где ch внутренний диаметр резьбы.
Сила затяжки вызывает также растяжение
болта. Напряжение растяжения
°р = /:о/'''= 4 ^/(не-
сопоставим значения напряжений при е =
= 0,5d:
Видно, что напряжение изгиба оказывает-
ся существенно большим.
Пример 2. Определить ра >меры сечения
тела резца (рис. 8.22) при h — U, 1 = 50 мм;
Рис. 8.21. Болтовое соеди-
нение
Рис. 8.22. Расчетная схема резца
модуль упругости материала £ = 2-106 МПа,
усилие резания Л = 2000 Н, если допустимый
прогиб вершины резца [у] = 0,01 мм.
Решение. Условие работоспособности рез-
ца имеет вид
где y — Fl3/(3EJ2) - прогиб оси резка от внеш-
ней нагрузки.
Откуда осевой момент инерции сечения
резца
/г = *Л3/12>Я3/(3£М)-
Учитывая, что высота сечения h = 2b,
получим
, 2Л3 </ 2-2000-(50)3 ,ий
Ь> \ / -7ПТ=\ /--------г------= 18,8 м.м
V £[</] у 2-105-0,02
и й = 37,6 мм.
Максимальные напряжения изгиба
_ ^тах = 6Н =
°таХ W
w max bn
22.57
18,8-(37,6)2
МПа.
Допускаемые напряжения для стали [0,.] =
300 МПа и, следовательно, условие прочно-
стной надежности выполняется.
§ 8.7. СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ
Косой изгиб. Под косым изгибом по-
нимается такой случай изгиба, при кото-
ром плоскость изгибающего момента не
совпадает ни с одной из главных плоско-
стей инерции стержня.
Задачу косого изгиба сводят к однов-
ременному рассмотрению двух плоских
(прямых) изгибов, раскладывая изгибаю-
щий момент в сечении на два момента,
действующие в главных плоскостях (про-
ходят через главные оси сечения).
При косом изгибе в поперечном сече-
нии стержня возникают также и попе-
речные силы. Однако влиянием касатель-
ных напряжений, появление которых
обусловлено действием сил Q, в расчетах
на прочность пренебрегают.
На рис. 8.23, а показан консольный
стержень, нагруженный силой F, действу-
ющей перпендикулярно его оси и состав-
ляющей угол <р с главной плоско-
стью ху. При таком нагружении стержня
будет иметь место косой изгиб. Опреде-
лим напряжения в некоторой точке В по-
перечного сечения на расстоянии х от не-
закрепленного торца. Моменты, изгибаю-
щие стержень в вертикальной и горизон-
тальной плоскостях,
Мг= FyX — М cos <р;
My=Fpc = M sin <р, (8.43)
где Fy и Fz - вертикальная и горизон-
тальная составляющие силы F; М — из-
гибающий момент в сечении.
Нормальное напряжение в некоторой
точке с координатами у и г определяется
суммой напряжений от моментов Му и
Mz, т. е.
u = Myz/Jy+M1y/J, (8.44)
или с учетом равенств (8.43)
а = Л4 (z sin <f/Jy + y cos ф/2г). (8.45)
Ио формуле (8.45) можно вычислить
напряжения в любой точке сечения. Кон-
цы векторов напряжений, отложенные по
нормали в каждой точке сечения, образу-
ют при этом, как и при простом изгибе,
плоскость.
Положение нейтральной линии при
косом изгибе найдем из уравнения (8.45),
полагая в нем а —0. Обозначая коорди-
наты нейтральной линии у0 и го, получим
Уо=-Zo^./Z^tgtp. (8.46)
Видно, что нейтральная линия являет-
ся прямой, проходящей через начало ко-
ординат (центр тяжести поперечного се-
чения). Обозначая через а угол наклона
нейтральной линии к оси z (см.
рис. 8.23), найдем
tg a=y0/z0= -(Л/^) tg <₽,
г е. нейтральная линия при косом изгибе
не перпендикулярна следу плоскости из-
гибающего момента.
85
Рис. 8.23. Косой изгиб стержня
Лишь для сечений, у которых 12 = Jу
(круг, квадрат), угол между нейтральной
линией и следом плоскости изгибающего
момента будет равен 90°.
Максимальные напряжения будут
действовать в точках, наиболее удален-
ных от нейтральной линии (рис. 8.23,6):
CImax= ^^max/^y+^zKmax/^z- (8-47)
Суммарный прогиб определяется по
уравнению
<8-48)
где Vy и и2 — прогибы в направлении
главных осей.
Линия полного прогиба составляет с
осью у угол а, т. е. она перпендикулярна
направлению нейтральной линии.
Изгиб с растяжением или сжатием.
В общем случае на стержень (балку)
могут действовать как продольные, так
и поперечные нагрузки
Если предположить себе сочетание
рассмотренного выше косого изгиба с
осевым растяжением или сжатием, то та-
кое нагружение приводит к появлению
в поперечных сечениях стержня изгибаю-
щих моментов Мг и Му, поперечных
сил Q2 и Qy и продольной силы /V. На-
пример, в сечении В консольного стержня
(рис. 8.24) будут действовать следующие
силовые факторы (без учета принятого
ранее правила знаков):
M^fzM M2 — FyX;
Qz = F. Qy-Fy. N = FX-
Нормальное напряжение, вызываемое
растягивающей силой F*, во всех попе-
речных сечениях стержня одинаково и
86
равномерно распределяется по сечению.
Это напряжение определяется по формуле
где А — площадь поперечного сечения
стержня.
Применяя принцип независимости
действия сил с учетом формулы (8.44),
получим следующее соотношение для оп-
ределения нормального напряжения в
произвольной точке С (рис. 8.24):
a=N/A + MyZ/Jy+Mjy/J г. (8.49)
Пользуясь этой формулой, можно оп-
ределить наибольшее напряжение атах
в данном поперечном сечении
omaK=N/A+My/Wy + Mz/WA8.50)
и положение нейтральной линии (при
а = 0).
Условие прочностной надежности по
допускаемым напряжениям в этом рас-
четном случае имеет вид
Отах ^[<4
Пример. Определить диаметр и макси-
мальное напряжение во впадинах резьбы болта
соединения (см. рис. 8.21).
Решение. По формуле (8.50), имея в виду,
что N = F0, Л=л</|/4 и Ц79 = лЦ3/32, найдем
= 4Fo 32f Qe
°max nd* nd*
1+—Y
nd*у у
Внеиентренное растяжение (сжатие).
При внецснтренном растяжении (сжатии)
стержня (рис. 8.25) равнодействующая
внешних сил не совпадает с осью бруса,
а смещена относительно оси х.
Этот случай нагружения в расчетном
отношении подобен изгибу с растяжени-
ем. В произвольном поперечном сечении
стержня будут действовать внутренние
силовые факторы:
My=FzB; Mz=FyB; N—F,
где zb и у в— координаты точки приложе-
ния силы.
Напряжения в точках поперечных се-
чений можно определить по формуле
(8.49).
Кручение с изгибом. Некоторые эле-
менты конструкций (валы и др.) работа-
ют в условиях кручения и изгиба,
Рис. 8.25. Внеиентренное
растяжение стержня
Например, валы (рис. 8.26) зубчатой
передачи от сил /7| = Т'2 в зацеплении
зубьев передают крутящие и изгибающие
моменты (эпюры моментов показаны на
рис. 8.26, а). В результате в поперечном
сечении (рис. 8.26, б) будут действовать
нормальные и касательные напряжения
0 = ^2//,,; т=Г p/Jp,
где Му и Т - соответственно изгибающий
и крутящий моменты в рассматриваемом
сечении. Эпюры этих напряжений показа-
ны на рис. 8.26, б. Наибольшие напряже-
ния действуют в периферийных точках
С и С. сечения:
о =М /W т =
umax * * у/ w У' Lmax
= Т/1Гр=Т/(2Г!/). (8.51)
Если в точке С наиболее нагруженно-
го сечения (при х — а в рассматриваемом
примере) выделить элемент (рис. 8.26, б),
то по четырем его граням будут действо-
вать касательные напряжения, а по двум
из них — нормальные. Величина трех
главных напряжений в рассматриваемом
элементе будет
о 1== 0,5ап1ах4_0,5 "уО тах 4~ 4ттах,
а2=0;
Оз=: 0,5 а тах 0,5 Y^max4" 4т max-
По главным напряжениям, используя
одну из рассмотренных выше теорий про-
чности, определяют эквивалентное напря-
жение.
Так, на основании энергетической
теории
87
Рис. 8.26. Кручение и изгиб стержня
ачкв "V^max Н" max-
Подставляя в это условие соотноше-
ния (8.51), найдем
V^+0,757-7r^[oJ. (8.52)
Учитывая, что 1^ = 0,Id'1, из неравен-
ства (8.52) можно, например, определить
расчетный диаметр вала.
Пример. Определить диаметр ведомого
вала (а=100 мм) зубчатой передачи
(см. рис. 8.26, а), если из силового расчета
известно, что при вращающем моменте на ве-
домом валу Т2 = 850 Н-м сила в зацеплении
f2 = 5600 Н. Допускаемое напряжение для ма-
териала вала [ок] =50 МПа.
Решение Наибольший изгибающий мо-
мент в сечении
Л4 =/•'а/2 = 5600-100/2=28-104 Н-мм.
У I1J а Л Z ' '
С учетом неравенства (8.52) определяем
осевой момент сопротивления вала в наиболее
нагруженном (опасном) сечении:
Ki
_У(28-10У + 0,75(85-10У = 4
50 ....
Округляя до ближайшего целого значения,
можно принять d = 55 мм.
§ 8.8. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ
При оценке прочностной надежности
ряд распространенных элементов кон-
струкций (трубопроводы, полные валы,
сосуды, корпуса и т. п.) схематизируют
в форме тонкостенных оболочек враще-
ния (см. рис. 4.3, г).
Если нагрузка на оболочки осесим-
метричная, то определение напряжений
в стенках не вызывает затруднений. При
толщине стенки не свыше '/щ минималь-
ного радиуса ее кривизны с приемлемой
для практики точностью принимают, что
в стенках от внешней нагрузки (напри-
мер, давления рабочего тела) возникают
только нормальные напряжения (растяги-
вающие, сжимающие), которые постоян-
ны по толщине.
В качестве примера рассмотрим сосуд
(рис. 8.27, а) под давлением q. Двумя по-
перечными и двумя продольными сечения-
ми вырежем из стенки бесконечно малый
88
Рис. 8.28. Сферический со-
суд
Рис. 8.27. Цилиндрический сосуд и (то рас-
четная схема
элемент е длиной граней d/ (рис. 8.27, б).
В этих сечениях действуют осевые о.,, и
окружные (кольцевые) <т0 напряжения,
т.е. вырезанный элемент находится в
плоском напряженном состоянии.
Осевые напряжения вызываются осе-
вой силой
,<V = ^л/?2 = лО6<т,„,
где /? — внутренний радиус сферической
части сосуда; D»2R средний диаметр
цилиндрической части сосуда; 6 тол-
щина стенки.
Из этого уравнения
а„,= фО/(46). (8.53)
Окружные напряжения вызываются
силами
d/V0= ст()6 d/,
которые должны уравновешивать силу
dF/?, обусловленную давлениями q, дей-
ствующими на поверхность элемента,
dFK=q d/2.
Составим уравнение равновесия, про-
ецируя силы с1Л'е и dFp на направление
радиуса в середине элемента;
2d 7Ve sin (d0/2) — dfR = O
или
2au6 dl sin (df)/2) = q dl2.
Учитывая, что dl = R dO и sin (dO/2)»
«dO/2, получим
оя=<7Р/(26). (8.54)
Из зависимостей (8.53) и (8.54) вид-
но, что в цилиндрическом сосуде напря-
жения в продольном сечении в 2 раза
больше, чем в поперечном сечении. Это
обстоятельство учитывают на практике
при изготовлении составных резервуаров:
продольные сварные швы выполняют бо-
лее прочными, чем поперечные швы.
В сферическом сосуде (рис. 8.28) на-
пряжения на гранях элемента будут оди-
наковыми.
Вопросы для самопроверки
1. Какой вид деформации называют изги-
бом? Чем отличается чистый изгиб от попе-
речного?
2. Назовите правила знаков для внутрен-
них силовых факторов.
3. Как вычисляются изгибающий момент
и перерезывающая сила в сечении стержня?
4. Что представляют собой эпюры внут-
ренних силовых факторов?
5. Как распределяются деформации по вы-
соте сечения стержня при изгибе? Выведите
формулу для кривизны стержня при чистом
изгибе.
6. Что называется моментом инерции и
жесткостью сечения стержня при изгибе?
7. От каких параметров зависят нормаль-
ные напряжения при чистом изгибе? Выведите
формулу для вычисления этих напряжений.
8. В чем состоят достоинства стандартных
профилей сечений по сравнению, например, с
прямоугольным сечением стержня при изгибе?
9. Какой вид имеют эпюры нормальных
и касательных напряжений в стержне прямоу-
гольного сечения при поперечном изгибе?
10. В чем состоит особенность расчета
стержней на изгиб за пределом упругости?
II. Выведите дифференциальное уравне-
ние изогнутой оси стержня. Из каких условий
находятся постоянные интегрирования, входя-
щие в уравнения углов поворота и прогибов
сечений стержня?
•12. Какой вид ишиба называют косым?
13. Сколько центральных осей имеет стер-
жень круглого поперечного сечения и может ли
он испытывать косой изгиб?
89
14. Как определяются положения опасных
точек при косом изгибе?
15. Какой вид сложного сопротивления
называют внеиентренным растяжением (сжа-
тием)?
16. Какие напряжения возникают в попе-
речном сечении стержня при изгибе с кручени-
ем и какие точки сечения являются опасными?
17. Какие напряжения действуют в цилин-
дрическом сосуде под давлением?
18. Выведите соотношения для определе-
ния напряжений в точках цилиндрического со-
суда под давлением.
Задачи для самостоятельного решения
1. Для расчетных схем стержней
(рис. 8.29) написать выражения для попере-
чных сил и изгибающих моментов и построить
эпюры Q и М.
2. Определить допускаемую величину силы
F, изгибающей стальной стержень на двух опо-
рах (см. рис. 8.18). Сечение стержня прямоу-
гольное, 6 = 40 мм, й = 60 мм, 1=1 м, а = Ь =
= 1/2, предел текучести материала ат =
= 300 МПа.
3. Определить напряжения в опасных точ-
ках балки из прокатной угловой равнополочной
стали с профилем № 7 (ГОСТ 8509—86) при
действии изгибающего момента М =
= 5350 Н-мм (рис. 8.30).
Рис. 8.30. Уголок при дей-
ствии изгибающего мо-
мента
Глава 9
УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ
И ДИНАМИКА УПРУГИХ СИСТЕМ
§ 9.1. ЗАДАЧА ЭЙЛЕРА
Деформируемые тела так же, как и
абсолютно твердые (недеформируемые).
могут находиться в устойчивом и неустой-
чивом равновесии.
Если тонкий прямой стержень сжи-
мать вдоль оси (рис. 9.1, а), постепенно
увеличивая силу, то сначала он будет
прямым под действием напряжений сжа-
тия (Л — площадь поперечного сечения)
Осж — Е/Л,
а затем внезапно начнет резко изгибаться
(рис. 9.1,6). Напряжения в нем быстро
возрастают и возникает опасность разру-
шения. Это явление называют потерей
устойчивости.
Наименьшее значение осевой силы,
при котором для определенным образом
закрепленного стержня равновероятны
прямолинейная и криволинейная формы,
называют критическим.
Если такой же стержень растягивать
продольной силой, то он всегда будет
находиться в устойчивом (единственном)
положении равновесия.
Рис. 9.1. Потеря устойчивости стержня при
сжатии
90
Для выяснения условий, при которых
становятся возможными различные состо-
яния равновесия, рассмотрим пример (за-
дача Эйлера) о сжатии стержня
(рис. 9.2, а).
Допустим, что стержень находится в
равновесии, сохраняя слегка изогнутую
форму, под действием некоторой си-
лы F. При малых прогибах стержня в со-
ответствии с дифференциальным уравне-
нием изогнутой оси стержня (8.40) будем
иметь
EJzy"=-Fy,
откуда
y'' + k2y = 0. (9.1)
где
*=^Г/(£7г). (9.2)
Решение дифференциального уравне-
ния (9.1) можно представить в форме
у = А sin kx-\-B cos kx. (9.3)
Произвольные постоянные А и В оп-
ределяют из условий закрепления стерж-
ня (граничных условий): при х = 0 прогиб
у = 0 и при х = 1 прогиб г/(/) = 0. Из
первого условия следует В = 0, а из вто-
рого условия будем иметь
A sin kl — 0.
Это уравнение имеет два возможных
решения: Л=0; sin kl = 0.
Стержень может быть изогнутым
лишь при условии sin kl = 0 или
kl = nn,
где п — произвольное целое число.
При любом целочисленном значении
п прогиб стержня
у = А sin япх/1
и упругая линия изображается кривой,
содержащей п полуволн (рис. 9.2,6).
Таким образом, при одной и той же
внешней силе и условиях закрепления
стержень имеет несколько состояний рав-
новесия. которые называют устойчивыми.
Важно отметить, что неоднозначность
(множественность) положений равнове-
сия упругой системы может быть обнару-
жена лишь в том случае, когда уравнения
равновесия составляются для деформиро-
ванной, отклоненной от своего исходно-
го (ненагруженного) положения системы.
Выше уравнения равновесия состав-
лялись для недеформируемых стержней
в предположении о неизменности началь-
ных размеров.
С учетом равенства (9.2) усилие,
сжимающее стержень,
( \ 2
-р-) ЕЕ (9.4)
Соотношение (9.4) определяет усло-
вия, при которых возможно равновесие
стержня с изогнутой осью.
Критической будет сила, соответству-
ющая п=1 (наименьшая сила), т. е.
Гкр = (л/()2Д/. (9.5)
Зависимость (9.5) называют форму-
лой Эйлера. Значение Гкр зависит от ха-
рактера нагрузки, условий закрепления
и формы сечения (момента инерции стер-
жня) .
91
Учитывая особенности перемещений
оси стержня в связи с условиями его
закрепления, можно распространить по-
лученное решение и на другие расчетные
случаи. Например, стержень, жестко за-
крепленный на одном конце и свободный
на другом, нагруженном конце
(рис. 9.2, в) будет иметь такую же крити-
ческую силу, как и двухопорный стержень
длиной 21.
В общем случае формулу Эйлера
можно представить в форме
F =/_яУе7, (9.6)
Р \ v /
где v коэффициент приведения длины
(рис. 9.2, в, г).
Критической нагрузке соответствует
напряжение сжатия
^P=FKV/A^/gfE, (9.7)
где У — коэффициент, характеризующий
приведенную гибкость стержня (с учетом
условий его нагружения и опирания):
K=vl/i. (9.8)
Здесь l = /А
радиус инерции сечения.
л . . . 10 20 40 60
Ф . . . I 0,95 0,9 0,8
§ 9.2. НАПРЯЖЕНИЯ
В ЭЛЕМЕНТАХ КОНСТРУКЦИЙ
ПРИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ
Динамические нагрузки возникают в
элементах конструкции при их движении
с ускорениями (например, при колебани-
ях, ударном взаимодействии и-др.).
Расчет внутренних силовых факторов
и напряжений оказывается в этом случае
более сложным в связи с необходимостью
учета сил инерции и механических
свойств материалов при высоких скоро-
стях нагружения.
Общий метод расчета элементов кон-
струкции при динамической нагрузке ос-
нован на принципе Даламбера, используя
который, элемент конструкции приводят
в состояние мгновенного равновесия пу-
тем приложения к нему сил инерции (на-
ряду с внешними силами). Далее опи-
Существенно, что критическую силу
и напряжения определяют по минималь-
ному моменту инерции сечения.
Критическое напряжение (в отличие
от механических характеристик материа-
ла о„ и о,-) является конструкционной
характеристикой, так как зависит от гиб-
кости стержня.
Отметим, что формула Эйлера, как
и уравнение (8.40), использованное для
ее вывода, справедливы только при упру-
гих деформациях. Следовательно, крити-
ческое напряжение окр должно быть не
более предела пропорциональности стп ма-
териала стержня.
В инженерной практике расчет стерж-
ней ведется так же, как и растянутых
стержней, но допускаемые напряжения
принимают в зависимости от гибкости:
о = F/А *Д' <р [<т].
где <[ — коэффициент снижения допускае-
мых напряжений. Для стержней из ста-
лей Ст2, СтЗ, Ст4, Ст5 и низкоуглероди-
стых сталей 10ХСНД, 10Г2С1 и др. сред-
ние значения Л и <р следующие:
80 100 120 140 160
0,65 0,5 0,35 0,3 0,25
санными выше методами определяют де-
формации и напряжения.
Определим, например, напряжения в
равномерно вращающемся кольце
(рис. 9.3). Такая модель используется в
расчетах ремней передач и других деталях.
Вращающееся кольцо деформируется
центробежными силами инерции, равно-
мерно распределенными по окружности
(рис. 9.3, а). Сила инерции, действую-
щая на элемент кольца длиной 1 мм,
2
q = mx4> г,
где ш = рЛ-1 - масса элемента кольца
(р — плотность .материала; А — площадь
сечения); ш угловая скорость кольца;
г — средний радиус кольца.
Двумя радиальными плоскостями вы-
режем из кольца бесконечно малый эле-
мент (рис. 9.3,6). Сила инерции, дей-
ствующая на этот элемент длиной г с!6,
FK = qr d0.
92
Эта сила уравновешивается нормаль-
ными силами Л'о в сечении от окружных
растягивающих напряжений о():
Л'0=о(/1.
Составим уравнение равновесия эле-
мента. Проецируя силы на линию дей-
ствия силы F„, будем иметь
Л., —2A'0sin (d0/2) = 0.
Откуда, принимая sin (d0/2) ~ <10/2,
найдем
<j(,= qr/A =1>ы2Дг2/А = рг|2, (9.9)
где и = ш г - окружная скорость кольца.
В тех случаях, когда определение сил
инерции затруднено, например при \даре
(внезапном нагружении с очень высокой
скоростью), для приближенного опреде-
ления динамических напряжений и де-
формаций используют закон сохранения
энергии. При этом предполагают, что
ударяющее тело не отскакивает от кон-
струкции после соприкосновения, а пере-
мещается вместе с ней (неупругий удар).
Рассмотрим задачу об ударе груза
массой т, движущегося со скоростью V»
по стержню (рис. 9.4) с осевой податли-
востью /. = //(£Д), где Е модуль упру-
гости материала; А - площадь попере-
чного сечения стержня.
Кинетическая энергия груза
t.k = т 1>ц/2
после касания со стержнем будет накап-
ливаться в нем в виде потенциальной
энергии растянутого на величину 6,£
стержня
1 , 1 ‘‘С
= у2 у
Рис. 9.4. Расчетная схема
стержня при ударе
и изменения потенциальной энергии груза
на этом же перемещении
s У-
л
Из энергетического баланса следует
F 4- F = Г
I L'plll Р’
откуда
У — 2/. т g 6Л —
-2/./Д = (). (9.10)
Из уравнения (9.10) найдем
У=УТ|>+7^+2>-4/б‘егГ (9.11)
где 6,., = mgK - удлинение стержня при
статическом нагружении силой тяжести
груза.
Последнее соотношение можно запи-
сать в виде
У=£Д,. (9.12)
где - коэффициент динамичности,
1 -rV1 +2Х (у.!3)
Коэффициент динамичности показы-
вает, во сколько раз возрастает переме-
щение упругого элемента за счет удара по
сравнению со статическим перемещением.
Существенно, что и напряжения в те-
ле возрастают пропорционально
о , = k =k..m g/A. (9.14)
Динамические напряжения, таким об-
разом, зависят от кинетической энергии
93
груза и жесткости системы («прегра-
ды»), Для их уменьшения следует увели-
чивать податливость системы, например,
путем применения амортизаторов, смяг-
чающих удар.
При мгновенном нагружении (ц = 0 и
£* = 0) коэффициент динамичности /гд = 2.
Если масса стержня т; соизмерима
с массой груза т, то
2Л Ek
(1 +т1/т) 62т
(9.15)
При падении груза с высоты h без
начальной скорости из формулы (9.13)
получим
k= 1 +^/!+W6CT. (9.16)
В заключение отметим, что точный рас-
чет конструкции на ударное воздействие
связан со значительными трудностями,
обусловленными наличием волн деформа-
ций и необходимостью учета дополнитель-
ных степеней свободы упругого тела.
Вопросы для самопроверки
1. В чем состоит явление потери устойчи-
вости сжатого стержня и что называют крити-
ческой силой?
2. Что представляет собой коэффициент
приведения длины?
3. Выведите формулу Эйлера.
4. Что называется коэффициентом дина-
мичности при ударе?
5. В чем заключается принцип Даламбера?
Задачи для самостоятельного решения
1. Определить зависимость между разме-
рами поперечного сечения и длиной стальной
пружины (рис. 9.5, а), которая должна терять
а)
Рис. 9.5. Расчетные схемы конструкций
устойчивость при повышении температуры на
40 °C. Предел пропорциональности материала
пружины при сжатии оп = 800 МПа, коэффи-
циент р= 1.
2. Определить наибольшие нормальные
напряжения в поперечном сечении двутавровой
балки (рис. 9.5, 6) при падении на нее груза
массой 50 кг с высоты h = 30 мм. Известно,
что £ = 2-105 МПа, / = 2370 см4; W =
= 237 см3. Массой балки можно пренебречь.
Размеры балки даны на рисунке.
Глава 10
ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ
НАПРЯЖЕНИЯХ
§ 10.1. ЦИКЛЫ ПЕРЕМЕННЫХ
НАПРЯЖЕНИЙ И УСТАЛОСТЬ
МАТЕРИАЛОВ
Большинство деталей машин в рабо-
чих условиях испытывают переменные на-
пряжения, циклически изменяющиеся во
времени (циклические напряжения). Они
возникают в деталях от изменения на-
грузки, а также в связи с изменением
положения их сечений по отношению к
постоянной нагрузке (например, при вра-
щении детали).
Законы изменения переменных напря-
жений могут быть различными, но все
их можно представить в форме простей-
ших гармоник синусоиды или косинусо-
иды.
На рис. 10.1 показано периодическое
изменение напряжений во времени от на-
ибольшего значения атах до наименьшего
omin и обратно. Переменные напряжения
могут быть также касательными и из-
меняться ОТ Ттах ДО Tmin.
Число циклов напряжений в секунду
называют частотой нагружения. Циклы
напряжений могут быть знакопостоянны-
ми (рис. 10.1, а, в) или знакопеременны-
ми (рис. 10.1,6).
Любой цикл напряжений может быть
охарактеризован средним напряжением
^max Н- min
94
Рис. 10.1. Циклы переменных напряжений
амплитудой переменного напряжения
^max ^min
ГТ —— .
та = (Ю.2)
Важной характеристикой является ко-
эффициент асимметрии цикла
't=Tmin/Tmax- (Ю.З)
Если наибольшее и наименьшее на-
пряжения одинаковы по величине и об-
ратны по знаку, то г = — 1 и цикл измене-
ния напряжений называется симметрич-
ным (рис. 10.1,6). Здесь от и тт равны
нулю. Если наименьшее напряжение рав-
но нулю, то г = 0 и цикл называется пуль-
сационным (рис. 10.1,8).
Опыт показывает, что при переменных
напряжениях после некоторого числа
циклов может наступить внезапное разру-
шение детали без заметных остаточных
деформаций при напряжениях, значитель-
но меньших предела прочности материа-
ла. Это явление называется усталостью
материалов.
Число циклов до момента разрушения
зависит от амплитуды напряжений и ме-
няется в весьма широких пределах. Име-
ют место случаи, когда деталь разруша-
ется при больших напряжениях через не-
сколько циклов, а при меньших напряже-
ниях способна работать неограниченно
долго.
Теоретический анализ усталостной
прочности связан с большими трудностя-
ми. Для создания достаточно стройной
теории усталостной прочности необходи-
мо проникнуть в особенности строения
кристаллов и межкристаллических связей
с последующим привлечением аппарата
статистики и теории вероятности.
Экспериментально установлено, что
усталостное разрушение начинается с на-
копления повреждений на границах зерен
материала и образования на поверхности
в зоне концентрации напряжений микро-
трещины, не видимой невооруженным гла-
зом. Со временем происходит развитие
трещины и ослабление сечения. Трещина
растет обычно в направлении, перпенди-
кулярном линии действия наибольших
нормальных напряжений. Когда про-
чность оставшейся (неповрежденной)
части сечения становится недостаточной,
происходит внезапное разрушение детали.
§ 10.2. КРИВАЯ УСТАЛОСТИ,
ПРЕДЕЛ ВЫНОСЛИВОСТИ
И ДИАГРАММА
ПРЕДЕЛЬНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ
Способность материала или детали
противостоять действию переменных на-
грузок называют сопротивлением устало-
сти. Его оценивают с помощью предела
выносливости, определяемого эксперимен-
тально на специальных машинах или
стендах.
На рис. 10.2 показана схема одной из
испытательных машин, в которой враща-
ющийся образец I находится в условиях
чистого изгиба. Образец зажимается во
вращающихся цангах 2 и 3. Усилие пе-
редается от груза, подвешенного на серь-
гах 4 и 5. Счетчик 6 фиксирует число
оборотов образца. При поломке образца
происходит автоматическое отклонение
двигателя 7 от контакта 8.
Для проведения стандартных испыта-
ний на усталость необходимо иметь не
менее десяти одинаковых образцов. Пер-
вый образец устанавливается на машину
95
Рис.
10.2. Схемы машины для усталостных
испытаний при изгибе
и нагружается симметричным циклом с
амплитудой напряжения, равной
(0,5...(),6) ав (где ов - предел прочности
испытуемого материала). В момент по-
ломки образца фиксируется число циклов
по счетчику машины. Второй образец на-
гружается амплитудой напряжений мень-
шей, чем был нагружен первый образец,
и он разрушится, отработав большее чис-
ло циклов. Снижая нагрузку, испытывают
следующие образцы. Испытания заканчи-
вают, когда в результате постепенного
снижения амплитуды напряжений и уве-
личения числа циклов нагружения нахо-
дят такую амплитуду напряжений, при
которой очередной образец не разрушил-
ся после 10' циклов нагружений. Такое
число циклов для стальных образцов счи-
тается базовым. Если стальной образец
выдержал десять миллионов циклов, то
полагают, что он может выдержать без
разрушения и большее число циклов.
По результатам испытаний строят
кривую усталости (рис. 10.3). Наиболь-
шее значение максимального напряжения
цикла, которое образец выдерживает до
базы испытаний, называют пределом вы-
носливости. При симметричном цикле
предел выносливости обозначается через
сг_ |, при пульсирующем а0, а при асим-
метричном — ог.
Для расчета деталей, не предназна-
ченных на длительный срок службы, вво-
дится понятие ограниченного предела вы-
носливости OrN, где N - заданное число
циклов (меньше базового).
Пределы выносливости определяются
для различных видов деформации: растя-
жение (сжатие), изгиб и кручение. На
основании большого числа испытаний ус-
тановлены приближенные зависимости
между пределом выносливости при изгибе
и пределами выносливости для других
видов деформации:
о 1р = 0,7о
т_| —0,58а
где а -1Р предел выносливости при сим-
метричном цикле растяжения-сжатия;
т_| —предел выносливости при кручении
в условиях симметричного цикла.
Зависимость между переменным на-
пряжением Птах и ЧИСЛОМ ЦИКЛОВ ДО раЗ-
рутения достаточно точно описывается
уравнением
(Л1<УУ6), (10.4)
96
где т и С - постоянные для данного
материала, температуры и окружающей
среды; Nt, - базовое число циклов.
В логарифмических координатах
уравнение кривой усталости
тангенс угла наклона прямой [3 (см. рис.
10.3)
I tg р I =1/т. (10.6)
С) увеличением значения т наклон
прямой к оси 1g N уменьшается и при
т-^оо прямая становится горизонталь-
ной. Обычно ш = 4...1().
Учитывая, что уравнение (10.4) спра-
ведливо и для точки А перегиба кривой
усталости, т. е. С = о/^б, получим
К.^ЛГ^/Л/, (10.7)
откуда
V=A^(af/a,llaJ'". (10.8)
Зависимость (10.8) используется для
определения ресурса работы элементов
конструкций при известном уровне рабо-
чих переменных напряжений <ттах и зна-
чениях о, и У6.
Пределы выносливости, как показыва-
ет практика, зависят от коэффициента
асимметрии цикла. В связи с этим на
нескольких партиях образцов проводят
также испытания при асимметричных
циклах нагружений и строят кривую пре-
дельных напряжений, называемую диаг-
раммой предельных амплитуд (рис. 10.4).
Если параметры а,, и от рабочего цикла
нагружения образца соответствуют неко-
торой точке А, расположенной под пре-
дельной кривой, то образец способен вы-
держать неограниченное число циклов
или сохранить прочность до базового чис-
ла. Если постоянное (среднее) напряже-
ние от = (), то предел выносливости будет
Рис. 10.4. Диаграмма предельных на-
пряжений
равен а_|, так как цикл нагружения бу-
дет симметричным.
При оа = 0 разрушение образца или
детали наступит при среднем напряжении
от = ов. Экспериментально установлено,
что постоянные растягивающие напряже-
ния уменьшают сопротивление усталости,
а сжимающие постоянные напряжения
затрудняют зарождение и развитие уста-
лостной трещины и повышают предел вы-
носливости. В этом состоит одна из глав-
ных причин благоприятного влияния уп-
рочняющей поверхностной обработки де-
талей.
В расчетах на прочность используют
зависимости <>„ = /(<>,„). аппроксимирую-
щие с различной точностью эксперимен-
тальную кривую предельных напряжений.
В приближенных расчетах широко ис-
пользуют линейную зависимость
Па(, = О |— Ч'Лт. (10.9)
показанную на диаграмме штриховой ли-
нией (рис. 10.4). Аналогично записывает-
ся зависимость T0o = /(rm) с коэффици-
ентом Ч\ для касательных напряжений.
Коэффициенты Чги и Ч\ характеризуют
чувствительность материала образца или
детали к асимметрии цикла соответствен-
но переменных нормальных и касатель-
ных напряжений. Их значения принимают
в зависимости от предела прочности ма-
териала детали следующим образом:
а», МПа .
Ч'„ . . .
Чг, . . .
350... 520
0
0
520...720 720...1000 1000...1200
0,05 0,1 0,2
4 Г. Г>. Иосилевич и др.
§ 10.3. ВЛИЯНИЕ КОНСТРУКТИВНЫХ
И ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ
ФАКТОРОВ НА СОПРОТИВЛЕНИЕ
УСТАЛОСТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Концентрация напряжений в элемен-
тах конструкций. Приведенные в преды-
дущих разделах формулы для определе-
ния напряжений и деформаций в моделях
(стержнях, оболочках) элементов кон-
струкций при растяжении, кручении, из-
гибе и сложном сопротивлении справед-
ливы лишь для сечений, удаленных на
достаточное расстояние от зон резкого
изменения формы и сопряжения (соеди-
нения) элементов конструкций.
Многочисленные исследования мето-
дами теории упругости и эксперименталь-
ной механики показали, что в зонах рез-
ких изменений в форме элементов кон-
струкций (около отверстий, галтелей и
т. п.), а также в зонах контакта возника-
ют повышенные напряжения, т. е. имеет
место концентрация напряжений.
Например, при растяжении пластинки
с двусторонним надрезом (рис. 10.5, а)
напряжения по сечению А — А распреде-
ляются неравномерно, а напряженное со-
стояние становится плоским. Напряжения
в этом же сечении, вычисленные по фор-
муле сопротивления материалов — номи-
нальные напряжения ан (показаны штри-
ховой линией), оказываются существенно
ниже фактических максимальных напря-
жений Отах- И хотя глубина распростра-
нения возмущения напряжения от повер-
хности надреза в тело невелика, концен-
трация напряжений оказывает сущес-
твенное влияние на прочность элемен-
тов конструкций, особенно при действии
циклических нагрузок, так как поврежде-
ния элементов зарождаются в точках
действия максимальных напряжений.
Описанные эффекты типичны для эле-
ментов конструкций с «концентраторами
напряжений» различной формы (отвер-
стием, рис. 10.5, б, резьбой, зубьями
и т. п.).
В расчетной практике концентрацию
напряжений учитывают с помощью теоре-
тического коэффициента концентрации
напряжений ао или а, (в зависимости от
вида напряженного состояния). Макси-
мальное напряжение в точке элемента
конструкции находят из соотношений
^тах «л« н-
ттах = ат'Г11, (10.10)
где Он и тн — соответственно номинальные
нормальные и касательные напряжения
в расчетном сечении.
Если определение напряжений в ос-
лабленном сечении затруднено, то для
Рис. 10.5. Распределение напряжений в пластинах с надрезами (а) и от-
верстием (б)
98
Рис. 10.6. Зависимость теоретических коэффициентов концентрации напряжений от отноше-
ния p/d при изгибе и кручении валов с галтелью
упрощения расчета в качестве номиналь-
ных принимают напряжения в неос-
лабленном сечении.
Значения коэффициентов а0 и ат оп-
ределяют методами теории упругости или
экспериментально. На рис. 10.6 в качест-
ве примера показаны зависимости коэф-
фициентов а0 и ат от геометрических па-
раметров стержня (вала) с галтелью. По-
добные зависимости для других расчет-
ных случаев приведены в справочниках
и соответствующих стандартах.
Эффективный коэффициент концен-
трации напряжений. Экспериментальные
исследования показали, что разрушение
элементов конструкций начинается в мес-
тах концентрации напряжений при эф-
фективных максимальных напряжениях
°тахэф> которые, как правило, несколько
ниже расчетных максимальных напряже-
ний Ощах для идеально упругого материа-
ла, т. е.
® max эф max*
max эф max-
Для учета концентрации напряжений
в связи с реальными свойствами материа-
ла детали вводят эффективный коэффи-
циент концентрации напряжений
Ка=о_|/а_1к;
Кт=т_,/т_1к. (10.11)
где а_)к и т-1к — пределы выносливости,
определенные по номинальным напряже-
ниям для образцов, имеющих концентра-
цию напряжений и такие же размеры
поперечного сечения, как и у гладкого об-
разца.
Числовые значения эффективных ко-
эффициентов концентрации напряжений
получают на основе усталостных испыта-
ний образцов. К настоящему времени на-
коплен достаточный экспериментальный
материал, которым широко пользуются
в расчетной практике. Для типовых и на-
иболее часто встречающихся форм кон-
центраторов напряжений и основных кон-
струкционных материалов созданы графи-
ки и таблицы, которые приводятся в
справочной литературе. В тех случаях,
когда прямые экспериментальные данные
по определению и Кт отсутствуют, при-
бегают к приближенным оценкам по фор-
мулам:
K0=l+<7(aa-l);
Кт=1 +q (aT- 1),
где q — коэффициент чувствительности
материала к концентрации напряжений.
Его величина зависит от свойств матери-
ала. Так, для высокопрочных легирован-
ных сталей значение q близко к единице.
Для конструкционных сталей q — 0,6...0,8,
причем более прочным сталям соответ-
ствуют большие значения q. Для серого
чугуна значение q близко к нулю.
Масштабный эффект. Эксперимен-
тальные исследования показали, что пре-
дел выносливости уменьшается с увеличе-
нием диаметральных размеров образцов.
4*
99
Рис. 10.7. Зависимость коэффициента
масштабного эффекта от диаметра вала:
/ — углеродистые стали, а, = 400...500 МПа;
2 легированные стали, ой — 1200... I 400 МПа
Эта зависимость носит асимптотический
характер.
Снижение предела выносливости с
увеличением размеров детали получило
название масштабного эффекта. Это
объясняется статистической теорией раз-
рушения, согласно которой при увеличе-
нии абсолютных размеров возрастает ве-
роятность попадания дефектных зерен в
зону концентрации напряжений.
Коэффициенты масштабного эффекта
выражаются так:
K„,i— ° 1<//п i’>
К^т^/т..,, (10.12)
где а 1,/ и т. |(/- пределы выносливости
образца диаметром d, а о i и т i-
пределы выносливости стандартного об-
разца диаметром 7,5 и 10 мм.
Зависимость коэффициента Ка от аб-
солютных размеров (диаметра) образца
показана на рис. 10.7.
Экспериментально установлено, что
влияние концентрации напряжений и мас-
штабного эффекта следует относить лишь
к переменной составляющей цикла. По-
этому при асимметричных циклах нагру-
Рис. 10.8. Зависимость коэффициента 0
от предела прочности материала детали
и вида механической обработки
жений множитель К„/K«d используется
как единое целое.
Было замечено также, что сопротив-
ление усталости элементов конструкций
зависит не только от действительных мак-
симальных напряжений (7тах (или а„), но
и от скорости убывания этих напряже-
ний от контура концентратора в глубь
тела (см. рис. 10.5), т. е. градиента на-
пряжений G = do/dx. Это обстоятельст-
во учитывают в уточненных расчетах ха-
рактеристик сопротивления усталости.
Состояние поверхности элемента кон-
струкции. Как правило, усталостное раз-
рушение начинается с поверхности. По-
этому состояние поверхности оказывает
влияние на предел выносливости и в еще
большей степени сказывается на долго-
вечности детали. Это влияние учитывает-
ся коэффициентом качества поверхности
01 = т' - i/t _ (10.13)
где о... 1 - предел выносливости полиро-
ванного образца; о'. -предел выносли-
вости для серии образцов, имеющих дан-
ную обработку поверхности. Коэффици-
ент [i <1 характеризует снижение преде-
ла выносливости при ухудшении обра-
ботки по сравнению с полировкой. Значе-
ния коэффициента 0 приводятся в спра-
вочной литературе.
На рис. 10.8 приведены значения ко-
эффициента 0 в зависимости от предела
прочности для различных сталей. За еди-
ницу (прямая /) принято значе-
ние 0 для полированного образца. Пря-
мая 2 соответствует шлифованным образ-
цам; прямая 3 тонкому, а 4 грхбомс
Рис. 10.9. Зависимость коэффициента 0
от предела прочности материала детали
и длительности коррозионного воздей-
ствия
100
точению. Кривая 5 показывает значе-
ние для поверхности, имеющей окалину.
Большее влияние на предел выносли-
вости оказывает коррозия металла. На
рис. 10.9 показано снижение значения
коэффициента р в зависимости от пре-
дела прочности стали при различной вы-
держке в условиях коррозии до испыта-
ния на усталость.
§ 10.4. УСЛОВИЯ ПРОЧНОСТИ
ПРИ ПЕРЕМЕННЫХ НАПРЯЖЕНИЯХ
И ЗАПАСЫ ПРОЧНОСТИ
ва (10.14):
<7аЛп1+Ч'„отд=а-I- (10.18)
Подставляя в это условие предельные
напряжения из равенств (10.17), получим
= °-1
(10.19)
По аналогии для детали, работающей
при переменных касательных напряжени-
ях, можно записать
Рассмотрим работу детали при асим-
метричном цикле нагружения (см. точ-
ку А на рис. 10.4). Примем, что диаг-
рамма предельных напряжений для дета-
ли также является линейной, но предель-
ная амплитуда <тад переменных напряже-
ний для детали меньше в раз
значения предельной амплитуды о0о пе-
ременных напряжений для образца, т. е.
r-i
к/. -• Ч' л,,,-
(10.20)
При совместном действии нормальных
и касательных напряжений запас
сти находят по формуле
п2 п2пУ
которую часто применяют в виде
прочно-
(10.21)
«од=(п_1 -xVaam^/K„, (Ю.14)
где
п
«Л
(10.22)
Ка=/<а/(Л'о> (Ю.15)
Зависимость oa.i = f(om) показана на
рис. 10.4 штрихпупктирной линией.
По результатам экспериментальных
работ рекомендуется величину Кл опреде-
лять по формуле
К„ = /(„//<„„+1/0-1. (10.16)
л
Для оценки надежности элемента кон-
струкции иди для сравнения вновь созда-
ваемой конструкции с аналогичной
эксплуатируемой определяют запас про-
чности.
Принимаем, что в процессе работы
переменное и постоянное напряжения из-
меняются пропорционально (по пря-
мой ОС, см. рис. 10.4). Если предельные
значения напряжений в точке С обозна-
чить через Пал и отд, то запас прочности
детали на режиме в точке А составит
(Т
п„=отл/ат. (10.17)
Условие усталостного разрушения в
точке С несложно определить из равенст-
Полученные значения запасов
прочно-
сти следует сопоставлять с их допустимы-
ми значениями [п], [«„] и [и,], которые
принимают из норм прочности или спра-
вочных данных. Для ряда деталей [и]=
= 1,5...2. Если выполняется условие
то элемент конструкции признают
надежным.
Пример. Ступенчатый вал (рис. 10.10)
зубчатой передачи, изображенной на рис. 6.4,
нагружен переменным напряжением изгиба
симметричного цикла от момента Мутах =
= 28-104 Н-.мм и касательными напряжениями
от кручения (пульсационный цикл) моментом
Г = 85-104 Н-.мм. Вал изготовлен из стали
(п„ = 500 МПа; о ,=300 МПа и т i =
= 175 МПа). Определить запас прочности по
переменным напряжениям в сечении галтели.
Рис. 10.10. Эскиз подступичной
части вала
101
Решение. 1. Определяем амплитуду мак-
симального напряжения изгиба
32Муп1ах
о — -----—
я d3
^•28-10- = 22,8 МПа.
3.14-503
2. Находим амплитуду и среднее напряже-
ние при кручении
7 _ 167
T“_Tm_2U7p~2nd3~
—6'85''О4 —.7,3 мПа.
2-3.14-503
3. Определяем коэффициенты К„ ,
’ д
По графикам (см. рис. 10.6) для
= 55/50 =1,1 и p/d = 2,5/50 = 0,05
а„= 1,84 и а, =1,25.
При <7 = 0,5 находим
Ко= 1+<7(аа-1) =
£>/rf =
находим
= 1+0,5(1,84-1)=!,42;
Кт= 1 +9 (ат— 1) =
= 1+0,5(1,25-1)=!,125.
По графику на рис. 10.7 принимаем Ка =
0,81, а из рис. 10.8 — коэффициент 0 =
0,85 (тонкое точение) и определяем
к =2L+±_1 =
% Ч+₽
=w+w-1=1’85:
Ль+.1
Кт ₽
4. Находим запасы прочности (ф, = 0):
-300 =7,11;
22,8-1,85
п„ —-----
7,11-6,0
ПП.
п = ________= _ = 4,65>
у/п20 + п2 д/7,112 + 6,02
Глава 11
ОСНОВЫ ТРИБОТЕХНИКИ
СОПРЯЖЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ
КОНСТРУКЦИЙ
§ 11.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Основные понятия. Т р и б о т е х и и
ка1-- наука о контактном взаимодейст-
вии твердых тел при относительном пе-
ремещении, охватывающая вопросы тре-
ния, изнашивания и смазывания эле-
ментов механизмов машин и приборов.
Износ деталей происходит в паре (со-
пряжении, узле) трения в результате раз-
рушения и отделения материала с повер-
хности твердого тела или накоплении его
остаточной деформации при трении. При
этом под парой трения понимают сово-
купность двух деталей (образцов), сопря-
женные поверхности которых перемеша-
ются друг относительно друга.
Износовые отказы связаны с измене-
нием размеров и формы деталей и, как
следствие, с потерей точности и снижени-
ем коэффициента полезного действия ме-
ханизмов, увеличением шума, преждевре-
менными поломками и т. п.
Ежегодные расходы на ремонт и тех-
ническое обслуживание действующего
парка механизмов часто в несколько раз
превышают стоимость годового выпуска
новых машин.
Виды трения. По физическим особен-
ностям различают трение внутреннее и
внешнее.
Внутреннее трение - свойство
твердых тел необратимо поглощать меха-
ническую энергию при деформации. Оно
проявляется в затухании свободных коле-
баний и других эффектах.
Внешнее трение — свойство при-
жатых друг к другу твердых тел сопро-
тивляться относительному перемещению
в зонах соприкосновения их поверхностей
по касательной к ним.
По кинематическим признакам внеш-
нее трение подразделяют на трение
скольжения и трение качения.
Трение скольжения — сопро-
тивление перемещению двух твердых тел,
1 От греч. tribos — тереть.
102
при котором скорости тел в точках кон-
такта (касания) различны по величине
или направлению.
Силу сопротивления при относитель-
ном перемещении одного тела по повер-
хности другого под действием внешней
силы, направленной тангенциально к об-
щей границе между этими телами, назы-
вают силой трения.
В соответствии с законом Кулона —
Амонтона сила трения
Ff=Fnf, (П-1)
где Fn — сила, сжимающая контактирую-
щие тела (нормальная сила); f—коэф-
фициент трения скольжения, определяе-
мый как отношение тангенциальной силы,
необходимой для преодоления сопротив-
ления относительному скольжению двух
тел в плоскости их касания, к силе F„.
Коэффициент трения скольжения за-
висит от состояния трущихся поверхно-
стей, наличия и вида покрытия деталей
и других факторов. Обычно в парах тре-
ния, образованных деталями из углероди-
стых сталей, f = 0,2...0,4; в парах трения
сталь — бронза / = 0,1...0,25 и т. д.
В уточненных расчетах используют
более сложные модели взаимодействия
тел и зависимости, характеризующие тре-
ние скольжения.
Если значение относительного переме-
щения контактирующих тел настолько
мало, что определяется лишь их деформа-
циями вблизи поверхностей контакта, то
такое состояние называют трением покоя.
Взаимное перемещение деталей также на-
зывают кинематическим (часто предвари-
тельным} смещением, а соответствующую
ему силу — неполной силой трения. Не-
полная сила трения реализуется в зоне
контакта в тех случаях, когда трение ис-
пользуется для предотвращения относи-
тельного скольжения контактирующих
тел, а также в начале движения в усло-
виях трения скольжения. В зависимости
от величины внешней сдвигающей силы
неполная сила трения может изменяться
от нуля до силы, трения покоя — макси-
мального значения неполной силы трения,
когда предварительное смещение перехо-
дит в скольжение. Отметим, что деформа-
ции тел в условиях трения покоя частич-
но обратимы, т. е. после снятия сдвигаю-
Рис. 11.1. Силы, действующие на
цилиндр при качении
щей силы происходит их частичное обрат-
ное перемещение.
Трение качения — трение движе-
ния двух твердых тел, при котором их
скорости в точках касания одинаковы по
величине и направлению. Вследствие кон-
тактных деформаций трение качения со-
провождается неизбежным скольжением
и рассеянием энергии в результате внут-
реннего трения. Для расчета силы трения
используют формулу Кулона. При каче-
нии цилиндра (сферы) по плоскости
(рис. 11.1.)
ь
Ff = ^Fn, (11.2)
i\
где k — коэффициент трения качения;
R —радиус цилиндра (сферы); F„ — сила,
с которой цилиндр прижат к плоскости.
Коэффициент трения качения состав-
ляет ^ = 0,05 и 0,01 мм соответственно
при качении по стальной плоскости ци-
линдра (шарика) из мягкой и твердой
(закаленной) стали.
Для уменьшения сил трения в зону
соприкосновения (контакта) вводят сма-
зочный материал. Действие смазочного
материала, в результате которого умень-
шается сила трения, называют смазкой.
В зависимости от наличия или отсут-
ствия смазочного материала различают
трение без смазочного материала (сухое
трение) и трение со смазочным материа-
лом (любого вида).
Действие смазочного материала в
значительной мере зависит от характера
смазывания, гидравлических параметров
смазочного материала в контакте, кото-
рый определяет виды трения в узлах ма-
шин (граничное, полужидкостное, жидко-
стное и т. д.).
103
Трение без смазочного
материала встречается сравнительно
часто в механизмах, например в тормо-
зах, узлах машин текстильной, пищевой
и химической промышленности, где сма-
зочный материал недопустим по ряду
причин.
Трение имеет .молекулярно-механиче-
скую природу, оно сопровождается скач-
кообразным скольжением поверхностей,
вибрацией деталей, адгезией на отдель-
ных участках контакта и характеризуется
высокими коэффициентами трения (обыч-
но / = 0,3...0.8).
Трение при граничной смаз-
ке встречается в парах трения с однора-
зовым и периодическим смазыванием кон-
систентными смазками, жидкими маслами
и др. В таком случае» поверхности сопря-
женных тел будут разделены слоем сма-
зочного материала малой толщины до
0.1 мкм.
Наличие граничной пленки снижает
силы трения в 2... 10 раз и улучшает рабо-
тоспособность пары трения.
Трение при жидкостной
смазке характеризуется тем, что повер-
хности контакта разделены слоем жидко-
го смазочного материала (масла, воды
и др.), находящегося под давлением, не-
сущим слоем. Силы трения в этом случае
определяются вязкостью (внутренним со-
противлением) жидкости.
Распространено несколько способов
создания давления в несущем слое жид-
кости.
§ 11.2. ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ
ПАР ТРЕНИЯ (СОПРЯЖЕНИЙ)
Процессы трения и изнашивания свя-
заны с молекулярно-механическим взаи-
модействием деталей, поэтому для оценки
их работоспособности важно знать меха-
нические параметры процессов: скорость
движения; коэффициент трения; площадь
контакта; распределение напряжений в
контакте (контактных напряжений) и др.
Расчеты нормальных и касательных
напряжений в контакте обычно связаны
со значительными трудностями, обуслов-
ленными сложной формой деталей, нали-
чием нескольких зон контакта, необхо-
димостью определения размеров площа-
док контакта и т. д. Поэтому для оценки
триботехнической надежности часто ис-
пользуют упрощенные модели формы де-
талей и основанные на этих моделях ме-
тоды расчета.
Сопряжение деталей с плоскими по-
верхностями контакта. В этом случае
обычно известна заранее площадь кон-
такта. Рассмотрим в качестве примера
задачу о контакте двух цилиндров по
торцам (рис. 11.2, а). Под действием
внешней сжимающей силы Fn на торце
цилиндра будут действовать нормальные
напряжения сжатия q, называемые кон-
тактными. Из условия равновесия цилин-
дра найдем
Fn = j q d^K,
где Лк — площадь контакта.
Этому уравнению удовлетворяют раз-
личные распределения напряжений по
торцу цилиндра, и для определения дей-
ствительного распределения напряжений
требуется решить сравнительно сложную
контактную задачу.
В упрощенном расчете полагают, что
контактные напряжения равномерно рас-
пределены по площади стыка Лк. Тогда их
значение при внешней сжимающей силе Fn
q = Fn/A,.
(И.З)
Например, контактные напряжения
под головкой болта (рис. 11.2, а) и на
торце подшипника скольжения (рис. 11.2,
б) будут равны
л(О2-^,)’
где D - наружный диаметр контакта;
внутренний диаметр контакта.
Напряжения, вычисленные по форму-
Рис. 1 1.2. Распределение контактных
напряжений на стыках деталей
104
ле (11.3), называют номинальными. Ка-
сательные напряжения определяют по
формуле
t = /Y (И.4)
Сопряжения деталей с неплоскими по-
верхностями контакта. В этом случае раз-
меры площадки контакта заранее не из-
вестны, а известен лишь вид начального
контакта, т. е. контакта в ненагруженном
состоянии (при Fn = 0). Например, на-
чальный контакт двух цилиндров проис-
ходит но линии, совпадающей с их обра-
зующими, а начальный контакт шаров -
в точке. Поэтому определение номиналь-
ных контактных напряжений затруднено
и расчеты выполняют методами теории
упругости. В связи с этим в данном курсе
без доказательств приведены расчетные
формулы для нескольких важных случаев
контакта элементов конструкций.
Контакт цилиндров. При цен-
тральном сжатии двух упругих цилиндров
радиусами Rt и R2 (рис. 11.3) силой Fn =
= F, в месте их касания образуется пря-
моугольная площадка шириной 2а и дли-
ной b (Ь -длина цилиндров). Полуши-
рина площадки контакта
« —2 --- R (01 + 02)> (11-5)
где R - приведенный радиус кривизны,
\/R= 1/Ri + \/R2 (Ri и R2 - радиусы
1-го и 2-го цилиндров); 01 и 02 - коэффи-
циенты, зависящие от модулей упругости
Е> и Е>, а также коэффициентов Пуассо-
на pi и р2 материалов цилиндров,
£О-Р?). 2(1-р2)
—----------.
лЕ2
Нормальные напряжения по площад-
ке контакта распределены неравномерно.
Наибольшее напряжение действует в точ-
ках линии начального касания, т. е. (кон-
такта без нагрузки)
2Fr
(И'6)
Если цилиндры изготовлены из мате-
риалов, у которых £|=Ег = Е и pi = р2 =
0,3, то
Рис. 1 1.3. Распределение контактных
напряжений между сжатыми ци-
линдрами
о„ = 0,418
(Н.7)
Задача о контакте цилиндров была
решена более 100 лет назад немецким
механиком Г. Герцем. В связи с этим
здесь и далее в качестве индекса для
максимальных напряжений в контакте ис-
пользуется латинская буква Н - первая
буква в немецком написании фамилии
Герца.
Контакт шаров. Площадь кон-
такта двух шаров радиусами Ri и R2
имеет форму круга, радиус которого (р, =
р2 = 0,3)
a = 0,72^/FrR(01 + 02). (И -8)
Максимальное контактное напряже-
ние будет действовать в точке начального
контакта шаров
он = 0,918
-----. (11.9)
R2(0, + 02)
Отметим две основные особенности
контактных задач. В большинстве контак-
тных задач, даже при работе материала
в упругой зоне, зависимость .между внеш-
ней силой и вызванным ею перемещением
оказывается нелинейной. Это объясняется
изменением (увеличением) площади кон-
такта по мере возрастания силы. Послед-
нее всегда имеет место, если первона-
105
чальный контакт деталей осуществляется
в точке (контакт шаров) или по линии
(контакт цилиндров).
В том случае, когда площадь контакта
остается в процессе нагружения неизмен-
ной (см. рис. 11.2, а, б), зависимость
между силой и перемещением (для упру-
гого материала) получается линейной.
В зоне контакта происходит концен-
трация напряжений и появляются значи-
тельные напряжения в некоторых точках.
Однако для зон контакта характерно воз-
никновение всесторонних сжимающих на-
пряжений, что позволяет материалу вы-
держивать без разрушения высокие по-
верхностные напряжения.
Для обеспечения надежной работы
контактирующие поверхности должны
иметь высокую поверхностную прочность.
§ 11.3. ВИДЫ ИЗНАШИВАНИЯ
Виды повреждений поверхностей де-
талей при трении разнообразны и зависят
преимущественно от окружающей среды
(температуры, влажности, запыленности
и т. п.), а также определяются совокуп-
ным влиянием механических, физико-хи-
мических, электрохимических и других
процессов в контакте, присущих опреде-
ленным видам трения.
Экспериментальные исследования и
опыт эксплуатации различных пар трения
показали, что основными причинами из-
нашивания являются: пластические де-
формации, разрушение шероховатостей и
окисных пленок, адгезионное схватывание
и перенос металла с одной детали на
другую; разрушение «мостиков» схваты-
вания; наводороживание и окислительные
процессы и др. Установлено также, что
механизм и характер разрушения рабо-
чих поверхностей пар трения качения от-
личны от повреждений пар трения сколь-
жения. В связи с этим рассмотрим основ-
ные виды изнашивания, присущие ука-
занным видам движения. Название вида
изнашивания часто определяется домини-
рующей причиной, вызывающей разруше-
ние поверхностей деталей.
В условиях трения качения
наиболее распространенным видом по-
вреждения является контактная уста-
лость. Она проявляется в образовании
трещин на рабочих поверхностях деталей
от циклических контактных напряжений,
вызванных перемещением зон контакта
при качении. Их развитие приводит к от-
делению от поверхности детали частиц
металла и появлению небольших ямок,
раковин. Усталостное выкрашивание
питтинг (от англ, pit — яма, углубление)
является распространенным видом по-
вреждения рабочих поверхностей зубьев
колес, подшипников и др.
Длительность работы детали до по-
явления выкрашивания зависит, как по-
казали экспериментальные исследования,
от максимальных контактных напряжений
он- Выкрашивание металла с поверхно-
сти контактирующих деталей может но-
сить ограниченный или прогрессирующий
характер.
Ограниченное выкрашивание появля-
ется на деталях в тех случаях, когда
вследствие погрешностей изготовления
или монтажа нагрузка первоначально
концентрируется только на отдельных
участках теоретически возможной пло-
щадки контакта. В результате начальных
повреждений (выкрашивания, пластиче-
ского деформирования и т. и.) общая по-
верхность контакта возрастает, концен-
трация нагрузки уменьшается и усталост-
ное выкрашивание прекращается.
Если выкрашивание начинается при
нормальном прилегании контактирующих
поверхностей, то оно обычно оказывается
прогрессирующим.
Контактная усталость деталей опреде-
ляется; физико-механическими свойствами
материалов; скоростью смещения (каче-
ния, скольжения); режимом нагружения;
шероховатостью поверхностей; сортом, ха-
рактеристиками и способом подачи сма-
зочного материала в зону контакта и др.
Наиболее существенное влияние на
контактную прочность деталей оказывает
твердость поверхностей контакта. Уста-
новлено, что пределы выносливости дета-
лей из различных материалов прямо про-
порциональны твердости рабочих повер-
хностей, т. е.
°н пт— Св' НВ;
otf=C^-HRC,
106
где Св и CR—коэффициенты, зависящие
от материала и термообработки; НВ и
HRC — числа твердости соответственно
по Бринеллю и Роквеллу.
Отсюда следует, что для повышения
контактной выносливости необходимо в
первую очередь увеличивать твердость
поверхностей контактирующих деталей.
Контактное выкрашивание в отличие
от обычного усталостного разрушения не
вызывает внезапной потери работоспособ-
ности детали. Поэтому некоторые детали
(например, зубчатые колеса) с «поражен-
ной» контактной поверхностью сравни-
тельно долго могут работать в узле (иног-
да с увеличенным шумом и вибрация-
ми) .
В условиях трения скольже-
ния наиболее часто встречаются абра-
зивное, водородное, молекулярно-механи-
ческое изнашивание, а также фреттинг-
коррозия.
Абразивным изнашиванием называют
разрушение поверхности детали в резуль-
тате ее взаимодействия с твердыми час-
тицами при взаимном перемещении с не-
которой относительной скоростью. Такой
вид повреждения поверхности типичен
для деталей транспортных, дорожных,
сельскохозяйственных, горных и других
машин, работающих в технологических
средах, содержащих абразивные частицы.
Абразивное изнашивание является ре-
зультатом срезания и пластического де-
формирования шероховатостей твердыми
посторонними частицами при относитель-
ном перемещении сопряженных поверхно-
стей. Частицы (разрушающие тела) яв-
ляются обычно минеральными и имеют
неметаллические атомные связи, что и
обусловливает сравнительную простоту
физических процессов этого вида износа.
Отделение частиц износа происходит при
однократном или многократном воздейст-
вии абразивного тела. В результате износ
идет в форме процесса микрорезания ли-
бо в виде усталостного повреждения (ма-
лоциклового — при упругопластическом
деформировании, собственно усталост-
ного — при многоцикловом воздейст-
вии).
Для уменьшения абразивного изна-
шивания снижают уровень абразивного
воздействия, повышают поверхностную
твердость материалов деталей (закалкой,
поверхностным пластическим деформиро-
ванием и т. п.).
Водородное изнашивание типично для
тормозных колодок и барабанов, дисков
фрикционных муфт и других деталей. Его
основная особенность состоит в том, что
выделяемый при трении водород адсорби-
рует на поверхностях трения и при высо-
кой температуре диффундирует в дефор-
мируемый слой стальных деталей, вызы-
вая (по мере его накопления) охрупчива-
ние, появление большого числа трещин
по всей зоне деформирования и мгновен-
ное образование мелкодисперсного по-
рошка материала.
Для уменьшения и предупреждения
водородного изнашивания в узлах трения
применяют стали, легированные хромом,
титаном, ванадием, менее склонные к на-
водороживанию; используют смазочные
материалы, мало подверженные гидроге-
низации; снижают температуру в зоне
контакта и др.
Молекулярно-механическое изнашива-
ние происходит при высоких контактных
напряжениях в зоне сопряжения деталей
из однородных материалов и начинается
с локального пластического деформирова-
ния и разрушения окисных пленок на
отдельных участках поверхности контак-
та, а заканчивается молекулярным сцеп-
лением — контактной сваркой (схватыва-
нием) материала этих участков деталей
и последующим разрушением зон сварки
при относительном движении.
Процесс развития повреждений тру-
щихся поверхностей деталей вследствие
схватывания называют заеданием.
Интенсивность схватывания увеличи-
вается с ростом контактных напряжений
(давлений), скорости относительного пе-
ремещения, температуры в зоне контакта
и других факторов.
Подбором материалов деталей пар
трения можно повысить предельное кон-
тактное напряжение и стойкость к схва-
тыванию.
Наиболее эффективными средствами
предотвращения заедания являются сма-
зочные материалы, а также покрытия,
окисные пленки. Смазочный материал
(смазки, масла и др.) должен уменьшать
коэффициент трения и препятствовать об-
107
разованию металлического контакта и
«мостиков» (точек) сварки.
Коррозионно-механическое изнашива-
ние распространено в машинах и аппара-
тах, в которых трущиеся детали вступают
в химическое взаимодействие со средой,
например воздухом. Разрушение повер-
хности трения деталей происходит под
действием двух одновременно протекаю-
щих процессов: коррозии и механического
изнашивания.
При вибрациях деталей, контактирую-
щих без смазочного материала, в резуль-
тате которых происходят небольшие цик-
лические взаимные смещения (от 0,025 до
2,5 мм) хотя бы части поверхности кон-
такта, коррозионно-механическое изнаши-
вание протекает в форме фреттинг-корро-
зии (от англ, fret — подтачивать). При
этом на небольших участках образуются
мелкие ямки и продукты коррозии в виде
налета, пятен и порошка от светло- до
темно-коричневого цвета. Продукты изно-
са не удаляются из зоны контакта и пре-
вращаются в абразивные частицы.
Процесс окисления непрерывен на
воздухе, поэтому разрушение носит про-
грессирующий характер. Фреттинг-корро-
зия часто встречается в сопряжениях, ра-
ботающих при циклических внешних на-
грузках в условиях трения покоя.
Фреттинг-коррозия развивается более
интенсивно при увеличении контактных
напряжений, однако с уменьшением ам-
плитуды взаимных смешений развитие
контактной коррозии замедляется.
Для защиты от фреттинг-коррозии ис-
пользуют различные методы поверхност-
ного упрочнения зон контакта; наносят
мягкие гальванические покрытия, напыля-
ют тефлоновые и резиновые пленки и т. п.
§ 11.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ИЗНОСА
И ТРИБОТЕХНИЧЕСКОЙ НАДЕЖНОСТИ
СОПРЯЖЕНИЙ
Износостойкостью называют свойство
материала детали оказывать сопротивле-
ние изнашиванию в определенных усло-
виях трения.
Изменение размеров и формы деталей
в результате изнашивания называют из-
носом. Его измеряют в единицах длины,
объема или массы — оценках износа.
Для количественного описания про-
цесса изнашивания и его результата --
износа в триботехнике используют ряд
показателей (параметров):
интенсивность изнашива-
ния—отношение оценки износа детали
(образца) к пути трения, затраченной ра-
боте или технической наработке (в кило-
метрах пробега автомобиля, гектарах об-
работанной земли и т. п.); если в результа-
те изнашивания при суммарном взаимном
смещении деталей (пути трения) на вели-
чину L с ее поверхности удален слой толщи-
ной h, то интенсивность изнашивания
Jh = h/L,
скорость изнашивания (сред-
няя) -• отношение оценки изнашивания
к времени, в течение которого происходило
изнашивание;
предельный износ детали
(узла) оценка износа, после достиже-
ния которой дальнейшая эксплуатация
детали (узла) невозможна, неэкономична
или недопустима по соображениям на-
дежности.
Износостойкость деталей (узлов) оце-
нивают величиной, обратной интенсивно-
сти или скорости изнашивания.
Показателем триботехнической на-
дежности сопряжения принято считать
вероятность отказа или достижение пока-
зателем износа предельного значения.
Однако такая оценка надежности требует
большого экспериментального и статисти-
ческого материала, обобщающего опыт
эксплуатации и исследований. И пока та-
кой материал не накоплен, оценку трибо-
технической надежности деталей выпол-
няют по упрощенным методам.
Оценку триботехнической надежности
пар трения качения (подшипников, пере-
дач) производят по допускаемым контак-
тным напряжениям.
Условие контактной прочно-
сти имеет вид
(11.10)
Здесь он наибольшее действующее
контактное напряжение; |ои] допускае-
мое (на основе опыта) контактное напря-
жение для детали данного типа, изготов-
ленной в определенных условиях.
И хотя это неравенство не дает в яв-
ном виде представления о степени надеж-
ности детали (узла), оно выражает собой
условие предотвращения износовых и ус-
талостных отказов в эксплуатации.
При определении величины (<?//] учиты-
вают действительный характер нагрузок,
степень ответственности деталей и другие
практически важные факторы.
Опенку надежности узлов трения, ра
бодающих с малыми скоростями скольже-
ния, выполняют по среднему контактному
напряжению при наибольшей ожидаемой
нагрузке.
При использовании допускаемых кон-
тактных напряжений [</] условие предот-
вращения износовых отказов (заедания
или преждевременного износа) - -усло-
вие триботехнической надеж-
н о с г и имеет вид
(Н.П)
Такая оценка удобна для однотипных
конструктивных элементов, и допускаемое
контактное напряжение здесь является но
существу критерием подобия, отражаю-
щим предшествующий опыт проектиро-
вания подобных пар трения.
Значение [д] зависит от типа сопряже-
ния, материала контактирующих деталей,
условий смазывания, степени ответствен-
ности пары и других факторов.
Для предотвращения молекулярно-ме-
ханического изнашивания условие (11.11)
дополняют ограничением температуры в
контакте
0K^[0J, (11.12)
где [0к] допускаемая температура в
контакте.
Если режим трения пары определяет-
ся не только напряжениями </, но и скоро-
стью скольжения цс, то в качестве крите-
рия надежности используют удельную
мощность трения, расходуемую на прео-
доление сопротивления в контакте:
qfvs^[w], (11.13)
где f - коэффициент трения (сопротивле-
ния) между контактирующими деталями;
а, скорость относительного скольже-
ния: \w] - допускаемая мощность трения.
В ряде случаев, например в расчетах
подшипников скольжения, принимают ) =
const для заданной пары трения и ус-
ловие (11.13) задают в форме
(П-14)
где - допускаемое значение произве-
дения qvc.
Этот параметр, как и удельная мощ-
ность трения, можно использовать для
косвенной оценки теплонанряжепности
пары трения.
В инженерных расчетах часто исполь-
зуют совместно два критерия [</] и
Для повышения триботехнической на-
дежности деталей широко используют кон-
структивные и технологические методы.
Конструктивные методы пре-
дусматривают: замену трения скольжения
в узлах трением качения; замену внешне-
го трения внутренним трением упругого
элемента, т. е. использование при воз-
можности вместо узла трения скольжения
узла, обеспечивающего эквивалентные пе-
ремещения за счет упругой деформации
одного из элементов (резинометалличе-
ские шарниры и г. п.); конструирование
сопряжений с минимальной концентра-
цией нагрузки; защиту пар трения от
загрязнений и др.
Техн о л о г и ч е с к и е м е т о д ы -•
обеспечение заданной формы, точности,
размеров и качества обработанных повер-
хностей деталей; повышение твердости
поверхностей деталей пар трения.
Опыт эксплуатации машин также вы-
явил ряд важных способов повышения их
триботехнической надежности; обкатка
машин; периодическая замена смазочного
материала и изнашивающихся элементов
(вкладышей, вставок и т.п.); разработка
и внедрение методов диагностики состоя-
ния узлов трения.
Вопросы для самопроверки
1. Какие вилы трения реализуются в со-
пряжениях элементов конструкций?
2. Какие основные параметры важно знать
для оценки работоспособности нар трения?
3. Какие напряжения называют контакт-
ными и как они определяются в упрощенных
расчет ах?
4. Охарактеризуйте распространенные ви-
ды изнашивания? Какова их связь с видами
трения?
5. По каким критериям оценивают рабо-
тоспособность пар трения?
109
Раздел третий
Основы проектирования деталей, узлов
и механизмов машин, приборов и аппаратов
Глава 12
ОБЩИЕ ВОПРОСЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
§ 12.1. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Машины, .механизмы, приборы, аппа-
раты, приспособления, инструменты и
другие изделия основного и вспомога-
тельного производства машиностроитель-
ных предприятий изготовляют из деталей.
Деталью принято называть элемент
конструкции, изготовленный из материа-
ла одной марки без применения сбороч-
ных операций (например, болт, гайка,
вал и т. д.).
Совокупность деталей, соединенных
на предприятии-изготовителе сборочными
операциями (завинчиванием, сваркой и
т. д.) и предназначенных для совместной
работы, называют сборочной единицей
(узлом).
Простейший узел является составной
частью более сложного узла, который,
в свою очередь, оказывается узлом изде-
лия, комплекса и т. п. Характерными при-
мерами узлов являются (по мере нарас-
тания сложности) подшипник, узел опо-
ры, редуктор и т. п.
Изготовление конструкций и узлов из
деталей позволяет использовать различ-
ные материалы, облегчает их изготовле-
ние, эксплуатацию и ремонт, обеспечива-
ет возможность их нормализации и стан-
дартизации, изготовления на специализи-
рованных заводах и т. д.
В каждой машине число деталей ис-
числяется сотнями, тысячами, а в круп-
ных машинах, например в самолете,—
миллионами. Несмотря на различное кон-
структивное оформление и назначение
НО
машин, детали и узлы в них в основном
одинаковые (типовые, нормальные и стан-
дартные). К их числу относятся различные
соединения (резьбовые, сварные, шлице-
вые и др.), передачи (зубчатые, винтовые,
гибкими звеньями и др.) и их детали, валы,
.муфты и опоры, уплотнения и устройства
для смазывания, пружины и др.
Работоспособность является одним из
важнейших требований, предъявляемых
к деталям и узлам машин. Она, как
сложное свойство, характеризуется опре-
деленными условиями — критериями:
прочностью, жесткостью, износостойко-
стью, вибростойкостью и др.
Прочность— сопротивление деталей
машин разрушению (статическому, мало-
цикловому, усталостному) — является од-
ним из основных критериев работоспособ-
ности деталей, так как прочностные от-
казы происходят обычно внезапно и при-
водят часто к выходу из строя конструк-
ции в целом. Для предотвращения про-
чностных отказов производят обоснован-
ное назначение материалов и расчеты
размеров деталей. Инженерные расчеты
деталей являются, как правило, прибли-
женными, их выполняют обычно метода-
ми сопротивления материалов.
Поэтому широкая экспериментальная
проверка их результатов составляет су-
щественную особенность постановки за-
дач расчета. Экспериментальные исследо-
вания выполняют на испытательных стен-
дах и в условиях реальной эксплуатации
с привлечением различных методов экспе-
риментальной механики (тензометрии, го-
лографии, фотоупругости и т. п.).
Для повышения прочностной надеж-
ности деталей и узлов машин используют
также технологические способы.
Жесткость — способность деталей со-
противляться изменению формы — явля-
ется одной из характеристик работоспо-
собности деталей .машин. Деформации де-
талей от внешних сил, тепловых и дру-
гих воздействий изменяют не только
размеры и форму деталей, но и характер
их сопряжения. Последнее оказывает так-
же существенное влияние на прочность
и износостойкость деталей. Часто
недостаточная жесткость столь же опас-
на, как и малая прочность. Чрезмерная
жесткость вызывает увеличение массы
конструкции.
Значимость вопросов жесткости дета-
лей в проблеме их надежности возрастает
в связи с непрерывным сокращением ме-
таллоемкости машин и в особенности для
тонкостенных конструкций.
Жесткость влияет и на другие харак-
теристики деталей и узлов машин (напри-
мер, на вибрационную активность).
Минимальная жесткость деталей ог-
раничивается допускаемыми значениями
перемещений и углов поворота сечений.
Износостойкость — способность дета-
лей сопротивляться изнашиванию,
т. е. процессу разрушения и отделения
материала с поверхности твердого тела
и (или) накопления его остаточной де-
формации при трении.
В ходе этого сложного явления имеют
место механические, теплофизические,
физико-химические и электромеханиче-
ские процессы, которые порождают раз-
личные формы проявления (виды) изна-
шивания деталей. При всей сложности
явления трения ведущим процессом в
нем, как правило, оказывается деформи-
рование и разрушение при сложном на-
пряженном состоянии частиц материала
в зонах контакта.
Поэтому напряженность зон контакта
часто используется в качестве показателя
триботехнической надежности сопряже-
ния деталей.
§ 12.2. СТАДИИ КОНСТРУИРОВАНИЯ
МАШИН
Конструирование машин — творче-
ский процесс со свойственными ему зако-
номерностями построения и развития. Ос-
новные особенности этого процесса состо-
ят в многовариантности решения, необхо-
димости согласования принимаемых ре-
шений с общими и специфическими тре-
бованиями, предъявляемыми к конструк-
циям, а также с требованиями соответ-
ствующих ГОСТов, регламентирующих
термины, определения, условные обозна-
чения, систему измерений, методы расче-
та и т. п.
Детали, узлы, машины изготовляют
по чертежам, выполненным на основе
проектов — совокупности расчетов, гра-
фических материалов и пояснений к ним,
предназначенных для обоснования и оп-
ределения параметров конструкции (ки-
нематических, динамических, геометриче-
ских и др.), ее производительности, эко-
номической эффективности. Для особо
ответственных конструкций проект допол-
няют макетом или действующей моделью.
Стадии разработки конструкторской
документации и этапы работ установлены
стандартом. Он обобщает опыт, накоп-
ленный в передовых странах по проекти-
рованию машин, приборов и аппаратов.
Первая стадия — разработка
технического задания — докумен-
та, содержащего наименование, основное
назначение, технические требования, по-
казатели качества, экономические показа-
тели и специальные требования заказчи-
ка к изделию.
Техническое задание разрабатывают
на основе требований заказчика с учетом
достижений и технического уровня отече-
ственных и зарубежных конструкций, па-
тентного поиска, а также результатов на-
учно-исследовательских работ и научного
прогноза.
Вторая стадия — разработка
технического предложения — со-
вокупности конструкторских документов,
обосновывающих техническую и технико-
экономическую целесообразность разра-
ботки изделия на основе предложений
в техническом задании, рассмотрения ва-
риантов возможных решений с учетом
достижений науки и техники в стране
и за рубежом, патентных материалов,
возможностей машиностроительных заво-
дов отрасли и смежных отраслей. Техни-
ческое предложение утверждается заказ-
чиком и генеральным подрядчиком.
Третья стадия — разработка эс-
кизного проекта —совокупности
конструкторских документов, содержащих
принципиальные конструкторские реше-
111
ния и разработки общих видов чертежей,
дающих представление об устройстве
разрабатываемого изделия, принципе его
действия, габаритах и основных парамет-
рах. Сюда входит пояснительная записка
с необходимыми расчетами.
Четвертая стадия — разработка
технического проекта — совокуп-
ности конструкторских документов, содер-
жащих окончательное решение и дающих
полное представление об устройстве изде-
лия. Чертежи проекта состоят из общих
видов и сборочных чертежей узлов, полу-
ченных с учетом достижений науки и тех-
ники на уровне работы узлов. На этой
стадии рассматриваются вопросы надеж-
ности узлов, соответствие требованиям
техники безопасности, условиям хранения
и транспортирования и т. д.
Пятая стадия- разработка ра-
бочей документации --• совокупно-
сти документов, содержащих чертежи об-
щих видов, узлов и деталей, оформленных
так. чтобы по ним можно было изготовлять
изделия и контролировать их производство
и эксплуатацию. На этой стадии разраба-
тываются конструкции деталей, оптималь-
ные по показателям надежности, техноло-
гичности и экономичности.
Широкое использование ЭВМ на всех
стадиях проектирования необходимо, что-
бы избавить конструктора от выполнения
трудоемких расчетов, многофакторного
анализа и большого объема графических
работ.
§ 12.3. АВТОМАТИЗИРОВАННОЕ
ПРОЕКТИРОВАНИЕ
Технология конструирования деталей
(узлов, изделий) включает в себя ряд
разнообразных вопросов: организацию и
порядок конструирования, выбор основ-
ных параметров изделий, формы проекти-
рования, оформление и обращение кон-
структорской документации и др.
Они оказывают существенное влияние
на стоимость и трудоемкость проектиро-
вания, технико-экономический уровень
проектируемых объектов.
Форма организации процесса
проектирования определяется составом
средств, методов и содержанием труда
инженерно-технических работников.
Безмашинная (ручная) форма
проектирования, а позднее формы
типового, группового и частично механи-
зированного типового проектирования ог-
раничивали производительность труда
конструктора. Они требовали значитель-
ных затрат рабочего времени на рутин-
ные работы по поиску информации о
стандартных элементах, материалах, ра-
нее спроектированных конструкциях, а
также работы по вычерчиванию типовых
изображений. В результате усложнение
конструкций в последние годы настолько
увеличило время проектирования, что оно
в ряде случаев стало превосходить сроки
эксплуатации изделий.
Выход из создавшегося положения
дали изменение и упорядочение техноло-
гии проектирования. Усложнению кон-
струкции и, как следствие, увеличению
объема используемой конструктором ин-
формации были противопоставлены новые
методы ее обработки, т. е. автоматизация
проектирования. В этом случае конструк-
тор ставит задачу для ЭВМ и принимает
окончательное решение, а машина обра-
батывает весь объем информации и дела-
ет первичный отбор.
Для такого общения человека с ма-
шиной созданы и создаются системы ав-
томатизированного проектирования
(САПР) - организационно-технические
системы, выполняющие автоматизирован-
ное проектирование объектов и состоя-
щие из комплекса средств автоматиза-
ции проектирования, взаимосвязанного с
подразделениями проектной организации.
Объектами проектирования в САПР яв-
ляются изделия (детали, узлы, комплек-
сы), технологические процессы и органи-
зационно-технические системы.
Целями создания САПР являются по-
вышение технико-экономического уровня
проектируемых объектов, сокращение
сроков, уменьшение стоимости и трудо-
емкости проектирования.
Вопросы для самопроверки
1. Что называют деталью и сборочной (.ци-
ннией?
2. Назовите основные критерии работоспо-
собности деталей.
3. Перечислите стадии конструирования
машин.
4. Что даст автоматизация проектирования?
112
Глава 13
МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЕ
МАТЕРИАЛЫ И ТОЧНОСТЬ
ИЗГОТОВЛЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ
§ 13.1. МАШИНОСТРОИТЕЛЬНЫЕ
МАТЕРИАЛЫ
Расчет и проектирование деталей на-
чинаются с выбора материала и назначе-
ния режима термической обработки его,
которые определяются конструктивными
(обеспечение надежности), технологиче-
скими (вид производства — единичное,
серийное, массовое) и экономическими
соображениями.
Для изготовления деталей в машино-
строении и приборостроении широко ис-
пользуют стали и чугуны, а также алюми-
ниевые, магниевые, титановые и медные
сплавы.
Стали, (.'.талью называют сплав желе-
за с углеродом (до 2 %) и другими эле-
ментами, поддающийся ковке.
По сравнению е другими материалами
стали имеют высокую прочность, пластич-
ность, хорошо обрабатываются термиче-
ски, химико-термически и механически.
Ио химическому составу стали делят-
ся на углеродистые и легированные.
Углеродистая сталь наиболее
распространена, ее производство состав-
ляет 80 % от общего объема выплавки.
Углеродистые стали подразделяют на три
группы: обыкновенного качества: качес-
твенная общего назначения (конструкци-
онная); специальная (инструментальная,
котельная и др.). Свойства углеродистой
стали изменяются в зависимости от со-
держания в ней углерода. С увеличением
содержания углерода возрастает про-
чность и снижается пластичность.
Углеродистые стали обыкновенного
качества получили наиболее широкое
применение в технике благодаря относи-
тельной дешевизне. Из таких сталей изго-
товляют малонанряженные детали машин
(болты, гайки, оси, шестерни и др.), кор-
пуса сосудов, металлоконструкции и т. п.
В зависимости от назначения и га-
рантированных механических свойств ста-
ли обыкновенного качества делят па
группы А, Б и В. Стали группы Л постав-
ляются без уточнения химического соста-
ва. Они обозначаются буквами От и циф-
рами 0, 1, 2,..., 6 (например, СтО, Ст1 и
т.п.). Чем больше число, тем больше со-
держание углерода в стали и выше про-
чность. Стали группы Б поставляются с
гарантированным химическим составом,
а стали группы В - - также с гарантиро-
ванными механическими свойствами. Ста-
ли этих двух групп применяют, когда за-
готовки изготовляемых из них деталей
надо подвергать деформационной, терми-
ческой и другим видам обработки.
В обозначения марок сталей этих групп
ставятся впереди буквы Б и В соответ-
ственно (например, буквы БСтЗ, ВСтЗ
и т. д.).
Качественные углеродистые стали вы-
полняют с соблюдением более строгих
технологических условий (по составу ком-
понентов, ведению плавки и др.). Их мар-
кируют цифрами 08, 10, 15.... 85, кото-
рые указывают среднее содержание угле-
рода в сотых долях процента (например,
сталь 45 содержит 0,45 % С).
В зависимости от содержания углеро-
да качественные углеродистые стали ус-
ловно подразделяют на низко- (до
0,25 % С), средне-(от 0,3 до 0,55 % С)
и высокоуглеродистые (от 0,6 до
0,85 % С). Благодаря высокой пластич-
ности низкоу.леродистые стали использу-
ют для изготовления деталей путем плас-
тического деформирования, сварки. Сред-
неуглеродистые стали более прочны и ме-
нее пластичны. Они хорошо обрабатыва-
ются методами резания и широко исполь-
зуются для изготовления разнообразных
деталей машин. Высокоуглеродистые ста-
ли применяются для изготовления высо-
конагруженных деталей машин (пружин,
рессор и др.).
Легированная сталь в отличие от уг-
леродистой содержит легирующие эле-
менты, которые вводят в химический со-
став при выплавке стали для улучшения
ее технических свойств (механических,
коррозионных, тепловых и др.). Легиро-
ванные стали маркируют цифрами и бук-
вами (например, 12ХНЗА, 18ХГТ, 4()Х и
т. п.). Цифры показывают среднее содер-
жание углерода в сотых долях процента,
а буквы справа от цифр обозначают леги-
рующий элемент: Б - ниобий, В - воль-
113
фрам, Г — марганец, Д — медь, К — ко-
бальт, И — никель, М — молибден, Р —
бор, С — кремний, Т титан, Ф —
ванадий, X — хром, Ю — алюминий и
др. Цифры после букв указывают пример-
ное содержание соответствующего леги-
рующего элемента в целых процентах.
При содержании легирующего элемента
до 1,5 % цифра не ставится.
Основная часть легированных сталей
выплавляется качественными с содержа-
нием вредных примесей фосфора и крем-
ния до 0,035 %. Производятся также вы-
сококачественные стали с содержанием
фосфора и кремния до 0,025 %. Их мар-
кируют буквой А, записываемой в конце
обозначения марки стали (например, вы-
сококачественная сталь 12Х2Н4А содер-
жит в среднем 0,12 % С, 2 % Ст и
4 % Ni).
Легированную сталь подразделяют
на: а) низколегированную -- общее со-
держание легирующих элементов до 3 %;
б) среднелегированную — общее содер-
жание легирующих элементов 3...5,5 %;
в) высоколегированную — общее содер-
жание легирующих элементов свыше
5,5 %.
Если легирующих компонентов боль-
ше, чем железа, и содержание железа
менее 50 %, то такие стали называют
сплавами (жаропрочные, коррозионно-
стойкие и т. п.).
Легированные стали дороже углеро-
дистых. Легированные и углеродистые ка-
чественные стали имеют высокую про-
чность (ов = 800...1400 МПа) и являются
основными материалами для изготовле-
ния различных ответственных деталей ма-
шин (зубчатых колес, валов и т. п.).
Термическая обработка. Для прида-
ния стали определенных свойств (высо-
кой прочности, пластичности и т. д.) вы-
полняют термическую обработку загото-
вок или готовых деталей, которая состоит
из трех последовательных стадий: нагре-
ва до требуемой температуры с опреде-
ленной скоростью, выдержки при этой
температуре в течение требуемого вре-
мени и охлаждения с заданной скоро-
стью.
Основные виды термической обра-
ботки: отжиг, нормализация, закалка и
отпуск.
Отжиг характеризуется медленным
охлаждением (иногда вместе с печью или
на воздухе) после нагрева и выдержки
при некоторой температуре деталей и за-
готовок. Проводят его для снижения
твердости и улучшения обрабатываемости
резанием отливок, проката и поковок из
углеродистых и легированных сталей, а
также для снятия остаточных напряже-
ний в конструкциях после сварки или
предварительной (черновой) обработки
резанием.
Нормализация отличается от от-
жига характером охлаждения, которое
после выдержки производят на воздухе.
Ее применяют для получения однородной
структуры с более высокой твердостью
и прочностью, чем после отжига.
Нормализацию применяют для ис-
правления структуры сварных швов, вы-
равнивания структурной неоднородности
поковок и отливок, а также для улучше-
ния обрабатываемости резанием низко-
и среднеуглеродистых сталей.
Закалка отличается от отжига и
нормализации высокой скоростью охлаж-
дения заготовок или деталей после нагре-
ва до температуры превращения и выдер-
жки при этой температуре. Высокая ско-
рость охлаждения достигается за счет
использования в качестве охлаждающей
среды воды, масла, водных растворов со-
лей NaOH, NaCl и др. В результате ме-
талл приобретает мелкозернистую одно-
родную структуру с высокой твердостью,
прочностью, износостойкостью, коррози-
онной стойкостью, но пониженной плас-
тичностью и более трудной обрабатывае-
мостью резанием.
На практике закалка широко исполь-
зуется для обработки отливок, поковок,
штамповок и обработанных деталей из
углеродистых и легированных сталей, для
получения высоких эксплуатационных ха-
рактеристик и более полного использова-
ния свойств материалов.
Существует ряд разновидностей
объемной закалки, отличающихся услови-
ями и характером быстрого охлаждения.
Широко применяется поверхностная
закалка — нагрев с большой скоростью
поверхностного слоя стальной детали (то-
ками высокой частоты, электронным лу-
чом и др.) выше температуры превраще-
114
ний и последующее быстрое охлаждение
с получением мелкозернистой структуры
в поверхностном слое определенной тол-
щины. При поверхностной закалке умень-
шается коробление (деформация) дета-
лей по сравнению с деформациями при
объемной закалке.
Поверхностной закалке подвергают
многие детали машин (зубья колес, ку-
лачки, валы и др.), изготовляемые из
углеродистых и низколегированных ста-
лей марок 40, 45, 50, 40Х, 40ХН, 45Х и др.
Высокая твердость и прочность повер-
хностных слоев деталей после поверхно-
стной закалки обеспечивает им высокую
износостойкость и контактную прочность.
Отпуск — нагрев до температуры
ниже интервала превращений, выдержка
и последующее охлаждение для повыше-
ния вязких свойств, уменьшения термиче-
ских остаточных напряжений и улучше-
ния обрабатываемости резанием. Обычно
применяется после закалки (нормализа-
ции) стальных отливок, поковок, про-
ката и механически обработанных де-
талей.
В зависимости от температуры нагре-
ва различают высокий отпуск (температу-
ра нагрева в интервале 500...670 °C),
средний отпуск (250...450 °C) и низкий
отпуск (140...230 °C). С увеличением тем-
пературы нагрева повышается пластич-
ность стали после отпуска.
Химико-термическая обработка. При
химико-термической обработке стальных
деталей изменяется химический состав их
поверхностных слоев, что позволяет полу-
чить после термообработки мелкозерни-
стую структуру, высокую твердость, про-
чность и износостойкость деталей.
Существует ряд способов такой обра-
ботки: цементация — насыщение по-
верхностных слоев стали углеродом; азо-
тирование — насыщение азотом; циа-
нирование — одновременное насыще-
ние углеродом и азотом; борирова-
ние--насыщение бором и др. Глубина
насыщения невелика, обычно 0,2... 1 мм.
Цементации подвергают детали из ни-
зкоуглеродистых легированных сталей 15,
20Х, 12Х2Н4А, 12ХНЗА, 18Х2Н4МА и
др. Для изготовления азотируемых дета-
лей обычно используют стали 38Х2МЮА,
38Х2Ю и др., а для цианируемых дета-
лей — стали марок 15, 20, 25, 30, 35, 40,
45, 35Х, 40Х и др.
В последние годы широкое распро-
странение получает обработка поверхно-
стей деталей концентрированными пото-
ками энергии (лазерная, плазменная и
др.), существенно повышающая про-
чность поверхностных слоев и износо-
стойкость деталей.
Чугуны. Чугуном называют железный
нековкий сплав с содержанием углерода
свыше 2 %.
Он обладает высокими литейными
свойствами, определившими области его
использования в качестве конструкцион-
ного материала. Хорошо обрабатывается
резанием, образуя высококачественную
поверхность для узлов трения и непод-
вижных соединений.
В зависимости от структуры чугуны
подразделяют на белые, ковкие и серые.
В изделиях обшемашиностроительного
применения широко используют серый чу-
гун, обозначаемый буквами СЧ и дву-
значной цифрой, показывающей деленное
на 10 значение пределов прочности при
растяжении в МПа (например, СЧ10,
СЧ20 и т. д.). Его используют для изго-
товления литых деталей относительно
сложной конфигурации при отсутствии
жестких требований к габаритам и массе
(зубчатые колеса, детали корпусов, шки-
вы ременных передач и др.). Обладая
высокими литейными свойствами, эти чу-
гуны хорошо обрабатываются методами
резания, имеют среднюю прочность (ов<
<400 МПа), удовлетворительную изно-
состойкость, высокую демпфирующую
способность.
Медные сплавы. Сплавы на основе
меди разделяют на л а т у н и и б р о н з ы.
Латуни подразделяют на двойные
(сплавы меди и цинка) и многокомпо-
нентные (содержат дополнительно компо-
ненты: свинец, кремний, марганец и др.).
Они обладают хорошими технологически-
ми свойствами (обрабатываются давлени-
ем, резанием, литьем), имеют достаточ-
ную прочность (оа = 250...350 МПа), хо-
рошее сопротивление коррозии, сравни-
тельно высокие антифрикционные свойст-
ва. Стоимость латуни в 5 раз и более
превышает стоимость качественной стали.
Ее используют для изготовления деталей
115
узлов трения, а также для изготовления
арматуры, проволоки и т, д.
В обозначении марки содержится бук-
ва Л, например: Л59, Л62, ЛКС80-3-3 и др.
Бронзы (кроме меди) содержат ком-
поненты, определяющие их наименование
(оловянистые, алюминиевые и др.). Брон-
зы обладают коррозионной стойкостью,
высокими антифрикционными и
технологическими свойствами (имеются
литейные бронзы и бронзы, обрабатывае-
мые давлением, - алюминиевые, беррил-
лиевые, кремнистые и др.), являются
важнейшим, по дорогостоящим (примерно
в 10 раз дороже стали) антифрикционным
материалом. Они широко применяются в
подшипниках скольжения, в червячных
и винтовых колесах и др. Бронзы обозна-
чают буквами Бр, буквенными обозначе-
ниями основных компонентов, кроме меди
(Л - алюминий, Б — бериллий. Ж --- же-
лезо, О олово, Ц — цинк, Ф -- фосфор
и др.), и цифрами, показывающими сред-
нее содержание (в %) соответствующих
компонентов. Например, БрА9Ж4 обозна-
чает бронзу со средним содержанием
алюминия 9 % и железа 4 %.
Баббиты — сплавы на основе олова,
свинца и кальция — являются высокока-
чественными хороню прирабатывающими-
ся антифрикционными подшипниковыми
материалами. Их обозначают буквой Б и
цифрой, выражающей (в %) содержание
олова, или буквой, показывающей допол-
нительный компонент.
Очень высокая стоимость баббитов (в
20 раз и более превышающая стоимость
качественной стали) ограничивает облас-
ти их использования.
Титановые сплавы — это сплавы тита-
на с алюминием и медью и другими при-
садками (ВТЗ-1, ВТ5, ВТ9, ВТ16,
ВТ22 и др.).
Они имеют после термообработки вы-
сокую прочность (ов=900... 1300 МПа) и
небольшую плотность (р = 4.5 г/см ’),
высокую коррозионную стойкость. Их ис-
пользуют для изготовления корпусов ма-
шин, трубопроводов, крепежных деталей,
заклепок и других деталей в изделиях
авиакосмической техники, судостроения,
химической и пищевой промышленности.
Пластмассы ••• это материалы на ос-
нове природных или синтетических ноли-
меров (смол) связующего, имеют 40 -
70 % «несущих» компонентов (наполните-
ля) в виде волокон (текстильных, стек-
лянных, асбестовых), ткани, бумаги, муки
(древесной, минеральной) и др.
Благодаря невысокой плот пости (р =
= 1,1 ... 2.3 г/см !), высокой коррозионной
стойкости и сравнительно высокой про-
чности (о„ = 60...300 МПа) пластмассы
применяют (часто взамен металла) для
изготовления различных деталей (корпу-
сов, червячных колес и т. д.).
Наиболее распространены термореак-
тивные слоистые пластмассы (тексто-
лит на основе хлопчатобумажной тка-
ни, гетинакс - бумаги, асботекстолит
асбестовой ткани, стеклопластика и дре-
веснослоистого пластика и др.): терморе-
активные пластмассы (волокнит, фено-
пласт и др.), используемые для изготовле-
ния прессованием рукояток, шкивов, сту-
пиц колес и других деталей изделий
бытовой техники; термопластичные пласт-
массы (органическое стекло -- плекси-
глас, винипласт, фторопласт и др.| ис-
пользуются для изготовления стекол,
труб, защитных пленок и др.: полиамиды
(капрон, нейлон и др.) применяют для
формовки деталей сложной конфигурации
(ремни, зубчатые колеса и др.).
Резина материал на основе нату-
рального или искусственного каучука
обладает высокой упругой податливостью
(малой жесткостью), хорошо гасит коле-
бания, сопротивляется истиранию и т. д.
В зависимости от назначения резина
изготовляется мягкой (для шин), порис-
той (для амортизаторов) и жесткой (эбо-
нит - для изготовления электротехниче-
ских изделий).
Для повышения несущей способности
резинотехнических изделий их «армиру-
ют» текстильными или стальными элемен-
тами (тканью, шнурами, лентой). Такую
резину используют для изготовления ав-
топокрышек, ремней, рукавов и др.
§ 13.2. ОСНОВЫ ВЗАИМОЗАМЕНЯЕМОСТИ
Взаимозаменяемость и стандартиза-
ция. Взаимозаменяемость как принцип
конструирования и производства деталей
предложен и реализован впервые в конце
XIX в. в производстве винтовок. Она
116
обеспечивает правильную сборку и заме-
ну при ремонте независимо изготовлен-
ных деталей и узлов без дополнительной
их обработки с соблюдением требований
качества и экономичности.
Взаимозаменяемость имеет народно-
хозяйственное значение, она позволяет
повысить производительность сборки,
удешевить производство изделий, обеспе-
чить производство запасных частей и уз-
кую специализацию производства, коопе-
рирование производства и получить дру-
гие положительные эффекты.
Взаимозаменяемость деталей и узлов
может быть полной и неполной (частич-
ной). В последнем случае правильное сое-
динение деталей и узлов обеспечивается
лишь для части их, изготовленной с высо-
кой (надлежащей) точностью. Другая
часть деталей, изготовленная менее точ-
но, собирается путем подбора, с исполь-
зованием компенсаторов и различных тех-
нологических средств.
Для обеспечения взаимозаменяемости
деталей, узлов и комплексов и упорядоче-
ния их производства в масштабах пред-
приятия, отрасли, республики, страны,
группы стран существуют стандарты:
предприятия - СТИ, отрасли - ОСТ, го-
сударственные - - ['ОСТ, С?)В - СТ СЭВ,
международные - МС. Их соблюдение
является обязательным на всех этапах
производства, сбыта и эксплуатации из-
делий.
Размеры. Геометрические параметры
деталей количественно оценивают раз-
мерами.
Размер — числовое значение линей-
ной величины (диаметра, длины и т. д.)
в выбранных единицах измерения. Разме-
ры, проставляемые на чертежах деталей
или соединений, называют номинальными.
Их получают из расчетов (на про-
чность, жесткость и т. д.) или принимают
из конструктивных соображений. Для ти-
пизации технологических процессов, огра-
ничения количества инструментов, типо-
размеров деталей принятые номинальные
размеры округляют до значений по ГОСТ
6636- -69 «Нормальные линейные размеры».
Стандартом предусмотрены четыре ря-
да размеров Р5, РЮ. Р20 и Р40 (в порядке
убывающей предпочтительности), каж-
дый из которых представляет геометриче-
скую прогрессию со знаменателем, соот-
5,— 10 —
ветственно равным д/10« 1,6; -у10« 1,25;
20 .- 40 --------
у10« 1,12 и д/10®1,06. При изготовле-
нии деталей действительный размер,
т. е. размер, установленный измерением
с допустимой погрешностью, может со-
впадать с номинальным размером лишь
случайно, так как технологические по-
грешности (неточности изготовления ин-
струментов, оборудования и т. д.) систе-
матического и случайного характера вы-
зывают неизбежные погрешности обра-
ботки и рассеяние размеров деталей.
Установлено, что для обеспечения
правильной сборки (геометрической взаи-
мозаменяемости) и нормальной работы
детали могут иметь некоторое рассеяние
размеров относительно номинальных зна-
чений.
Максимальный и минимальный разме-
ры, между которыми может находиться
действительный размер детали, называю;
предельными размерами.
На рис. 13.1 схематически показаны
совмещенные по образующей цилиндри-
ческие валы (а) и отверстия (б) с номи-
нальными предельными диаметрами.
Обозначим их через Д,пах и Z)min - для
отверстия и rfц б/т|п - для вала.
Алгебраическую раиинть хп жд\ из-
меренным размером (действит гтьным,
предельным и др.) и соответствующим
номинальным значением называют откло-
нением
Действительное отклонение - алгеб-
раическая разность между действитель-
ным и номинальным размерами; предель-
ное отклонение - алгебраическая раз-
ность между предельным и номинальным
размерами.
Различают верхнее и нижнее откло-
нения:
для отверстия
= — d; EI = Dmm — d\
для вала
es бРПах d, ei ^П|п, d.
где d - - номинальный диаметр.
Величины отклонений могут быть поло-
жительными и отрицательными. При схе-
матическом изображении (см. рис. 13.1)
117
Наибольший пределы _
ный размер отверстия
Номинальный
размер отверстия
Поле
donijc-
отвер.
Ни* нее отклонение
Верхнее отклонение
Допуск отверстия
Нулевая линия' *
а)
Рис.
Предельные размеры отверстия
5)
и вала, определяющие поля допусков
они задаются относительно номиналь-
ных размеров, которые служат нача-
лом отсчета (положительные откло-
нения откладываются вверх, а
отрицательные — вниз от нулевой линии).
Для поверхностей сопряжения (соприкос-
новения) деталей номинальный размер
может быть общим (например, для соос-
ных сопряжений вала и ступицы). Эконо-
мически целесообразные отклонения раз-
меров деталей определяются Единой сис-
темой допусков и посадок, установленной
СТ СЭВ 144- 75.
Допуски. Разность между наиболь-
шим и наименьшим предельными разме-
рами называют допуском (рис. 13.1).
Допуск размера обозначают буквами
IT, например допуск размера вала
IT = TA — dma^ dm,n = es ei,
а допуск размера отверстия
IT=T0=Dmax-Dmin = ES-EI.
Поле допуска То-- поле, ограни-
ченное верхним и нижним отклонения-
ми,—определяется числовым значением
допуска и его положением относительно
номинального размера.
При графическом изображении поле
допуска заключено между двумя линия-
ми, соответствующими верхнему и нижне-
му отклонениям относительно нулевой ли-
нии (рис. 13.1). Расположение поля до-
пуска относительно нулевой линии приня-
то обозначать буквой (или двумя буква-
ми) латинского алфавита — прописной
для отверстия и строчной для валов (на-
пример, Н5, Е7, №>, js8 и т. д.).
При увеличении допуска на размер
требования к точности снижаются и про-
изводство детали упрощается и удешев-
ляется. При одном и том же допуске
деталь большего размера изготовить
сложнее, чем деталь меньшего размера.
Поэтому размер допуска IT назначают
118
в зависимости от диаметра, вводя едини-
цу допуска / = 0,45 д/d+ 0,00 Id, мкм
(здесь d -- в мм), и IT = ai.
В зависимости от числа а единиц до-
пуска 1 в допуске IT стандартом установ-
лено 19 квалитетов (степеней точно-
сти) - ступеней градации значений до-
пусков: 01; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 17. При этом
допуски в квалитетах 01, ..., 4 предназна-
чены для концевых мер длины, калибров,
измерительных инструментов и др.; ква-
литеты 5, .... 13 дают допуски для сопряга-
емых размеров деталей, а в остальных
квалитетах даются допуски для несопря-
гаемых (свободных) размеров.
Величины верхнего и нижнего пре-
дельных отклонений указываются на чер-
тежах тремя способами:
1) мелкими цифрами (мм) за номи-
нальным размером; отклонения, равные
нулю, не проставляются. Отклонения мо-
гут иметь одинаковые или разные знаки,
например 12 3^059. 20“г0'018 или 260
2) условным обозначением поля до-
пуска, состоящим из буквы и цифры,
обозначающей квалитет, например 12G8,
20/110;
3) одновременным указанием поля до-
пуска и цифровых значений отклонений
(в скобках), например I2G8
20ft 10 ( — 0,08).
Характер сопряжения — посадка двух
соосных цилиндрических деталей (охва-
тываемой — вала и охватывающей — от-
верстия) зависит от их действительных
размеров. Если диаметр отверстия боль-
ше диаметра вала, то в соединении меж-
ду ними будет зазор (рис. 13.2; положи-
тельная разность диаметров), обеспечи-
вающий свободное осевое и окружное
перемещения одной детали относительно
другой. Если размер отверстия меньше
размера вала (отрицательная разность
размеров), то в соединении образуется
натяг (рис. 13.2).
Все посадки разделяют на три груп-
пы: с зазором, с натягом и переходные.
Посадка с зазором (подвижная
посадка) характеризуется наличием зазо-
ра в соединении.
При графическом изображении поле
допуска отверстия расположено над по-
/ — 0,032 \
( —0,059 )’
Рис. 13.2. Схема образования зазора
и натяга в сопряжениях
лем допуска вала (рис. 13.3). К посадкам
с зазором относятся также посадки, в ко-
торых нижняя граница поля допуска от-
верстия совпадает с верхней границей
поля допуска вала. Эту посадку применя-
ют в подвижных соединениях (подшипни-
ках скольжения, а также соединениях,
подвергаемых частой разборке и сбор-
ке). Наиболее часто употребляются по-
садки Я9//9, H7/f7, H7/g&, H8/h&,
H7/hG и др,
Посадка с натягом (неподвиж-
ная посадка) — посадка, в которой в со-
пряжении обеспечивается натяг (поле до-
пуска отверстия расположено под полем
допуска вала, см. рис. 13.2).
Их применяют для неподвижного сое-
динения деталей без дополнительного
крепления. Наиболее часто назначают по-
садки Н7/р6, Н7/г6, Н8/е8 и др.
Переходные посадки посад-
ки, которые в зависимости от соотноше-
ния действительных размеров отверстия
и вала могут быть как с зазором, так
и с натягом.
Их применяют для центрирования со-
прягаемых деталей путем неподвижного
соединения с дополнительным креплением
шпонками, винтами, штифтами. Наиболее
Рис. 13.3. Расположение полей допусков
посадок:
S — зазор; -- натяг
119
13 4. Предельные размеры отверстия и
нала, он редел я кмине ноля допусков
часто употребляют посадки: /77//$6,
/77//г6, /77/нб и др.
Существуют две системы образова-
ния посадок: система отверстия и систе-
ма вала.
В основе с и с т е м ы о г в е р с г и я ле-
жит независимость размера отверстия от-
вила посадки, т. е. предельные отклоне-
ния данного размера отверстия одинако-
вы для всех посадок. Различные посадки
создаются путем изменения предельных
отклонений размеров вала. Отверстие в
этой системе называют основным, его но-
ле допуска обозначают буквой Н. Ниже
отклонение размера основного отверстия
равно нулю, и ноле допуска располагает-
ся «в тело-г- охватывающей детали
(рис. 13.4, и).
Посадки в системе отверстия обозна-
чаются последовательным написанием но-
минального диаметра соединения и обоз-
начений полей допусков сначала отвер-
стия, а затем вала, например
//7
40/77/56 или 40/77-56, или 40 - --.
При образовании посадок в с и с те м е
вала принимают, что размер вала не
Рис. 13.5. Обозначение на чертежах предель-
ных отклонений формы:
с/ прямолинейности; б круглости и прямоли-
нейности; в - параллельности:? плоскостности;
д пересечения осей
зависит от вида посадки, а различные
посадки получают за счет изменения пре-
дельных от к. । он е ни й отверст и й
(рис. 13.4). Поле допуска вала - основ-
ной детали в этой системе обозначает-
ся буквой й. Обозначение посадок на чер-
тежах выполняется в указанной выше по-
следовательности. например 40Р7/Л6 или
Р7
40Р7-Й6, пли 40—-.
йб
Система отверстия более распростра-
нена в машиностроении, так как при ее
использовании сокращается ассорт имент
требуемых инструментов для обработки
отверстий.
Посадки назначают из расчета или
накопленного в промышленности опыта.
Точность геометрической формы дета-
лей. Точность деталей по геометрическим
параметрам характеризуется не только
отклонениями размеров, но и отклонения-
ми поверхностей. При этом отклонен и е
поверхностей определяется отклоне-
ниями формы поверхностей, отклонения-
ми расположения поверхностей, волнисто-
стью и шероховатостью.
Стандартами установлены виды от-
клонений от формы (отклонения от пря-
молинейности, плоскостности, круглости
и др.), расположения поверхностей и
(или) частей деталей (отклонения от па-
раллельности, перпендикулярности, на-
клона, соосности и т.п.), а также сум-
марные отклонения формы и расположе-
ния (радиальное и торцовое биения
и др.).
Предельные отклонения формы и рас-
положения поверхностей указываются на
чертежах в виде знаков, символов (ус-
ловных обозначений) и текстовых записей
(рис. 13.5). Для записи отклонений ис-
пользуют выносную прямоугольную рам-
120
ку, разделенную на две или три части.
В первой (слева) части записывают знак
отклонения, во второй — числовое значе-
ние, а в третьей - буквенное обозначение
базы или другой поверхности. Базы обоз-
начают прописной буквой или зачернен-
ным треугольником. Направление линии
измерения отклонений указывается отрез-
ком линии со стрелкой.
Действительные поверхности деталей
машин отличаются от номинальных (за-
данных в технической документации) на-
личием неровностей, образующихся
при обработке поверхности и обусловлен-
ных колебанием инструмента и детали
в процессе обработки, дефектами инстру-
мента, особенностями кинематики обраба-
тывающего станка и др. Эти периодиче-
ские неровности называют волнистостью
и шероховатостью. К шероховатости от-
носят неровности, у которых отношение
шага к высоте неровностей менее 50, а к
волнистости — от 50 до 1000.
Показатели волнистости и шерохова-
тости определяют по профилограммам,
снимаемым профилографом (рис. 13.6).
По ГОСТ 2789 -73 основными пара-
метрами для оценки шероховатости явля-
ются высота Rz неровностей профиля по
десяти точкам и среднее арифметическое
отклонение профиля Ra на базовой длине
(рис. 13.6):
R°= ii/(x)ldx,
z о
где //.max и Himin - отклонения пяти наи-
больших максимумов и минимумов про-
филя (рис. 13.6). Отечет этих величин и
значений у(х) ведется от базовой линии
m — m, имеющей форму номинального
профиля поверхности и проведенной так,
что среднее квадратичное отклонение
профиля от этой линии в пределах базо-
вой длины I минимально.
Шероховатость поверхности оказыва-
ет существенное влияние на эксплуатаци-
онные свойства деталей: снижает про-
чность, коррозионную стойкость, жес-
ткость деталей, увеличивает интенсив-
ность износа и др.
При назначении шероховатости по-
верхности учитывают требования к точно-
сти детали, хотя непосредственной связи
между ними нет. Часто принимают, что
величина Rz не должна превышать
0,1...(),2 допуска на размер. Кроме пара-
метров, характеризующих высоту микро-
неровностей, на работоспособность дета-
лей влияют и другие характеристики
(средний шаг по вершинам и по средней
линии профиля, относительная опорная
длина и др.).
Номинальные числовые значения па-
раметров шероховатости указывают на
чертежах знаками, изображенными на
рис. 13.7, а. Они не регламентируют вида
обработки поверхности. Знаком, показан-
ным на рис.13.7, б, обозначают поверхно-
сти, образуемые удалением слоя материа-
ла (точением, шлифованием и т.п.); на
рис. 13.7, в - поверхности, не обрабаты-
ваемые после литья, штамповки и других
видов предварительной обработки. Сведе-
ния относительно параметров шерохова-
тости приводятся на чертежах также с
помощью знака, показанного на
рис. 13.7, г. При этом на месте рамки 1
записывают параметр (параметры) ше-
роховатости по ГОСТ 2789 73 (для Ra
без символа, рис. 13.7, д\ для остальных
параметров после соответствующего сим-
121
Знак
Панка знака
Рис. 13.7. Обозначение шероховатости поверхности
вола, рис. 13.7, е). На месте рамки 2 за-
писывают (при необходимости) вид обра-
ботки поверхности и другие дополнитель-
ные указания, а на месте рамок 3 и 4 со-
ответственно базовую длину по ГОСТ
2789 —73 (рис. 13.7, ж) и условное обоз-
начение направления неровностей.
Вопросы для самопроверки
1. Какой сплав называют сталью и как
подразделяют стали по химическому составу?
2. Для чего проводят термическую обра-
ботку сталей?
3. Охарактеризуйте основные процессы
термической обработки сталей.
4. Что называют чугуном и как подразде-
ляют чугуны в зависимости от их структуры?
5. Какие сплавы на основе меди применя-
ют в механизмах и для каких целей?
6. В каких случаях для изготовления дета-
лей машин применяют титановые сплавы, пласт-
массы и резины?
Глава 14
ФРИКЦИОННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
(МЕХАНИЗМЫ) И ВАРИАТОРЫ
§ 14.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Фрикционной передачей называют ме-
ханизм, в котором движение одного жес-
ткого звена преобразуется в движение
другого жесткого звена за счет сил тре-
ния в одной или нескольких зонах контак-
та (сопряжения).
Необходимая сила трения между
звеньями механизма создается прижати-
ем одного из них к другому, т. е. силовым
замыканием. Такие механизмы применя-
ют преимущественно для преобразования
параметров вращательного движения.
122
Простейшая передача включает в се-
бя ведущий 1 и ведомый 2 катки
(рис. 14.1, а) и две опоры 3 и 4, одна из
которых может смещаться для создания
начального прижатия катков.
Достоинства передач состоят в про-
стоте конструкции, плавности движения
и бесшумности, удобстве регулирования
частоты вращения ведомого звена.
Недостатки передач связаны с срав-
нительно большими нагрузками на опоры,
взаимным проскальзыванием катков.
Звенья передач могут иметь не только
цилиндрическую форму (цилиндрическая
передача, рис. 14.1, а, в), но и кониче-
скую (коническая передача, рис. 14.1, б),
сферическую и др.
В приборах (например, лентопротяги-
вающие устройства и т. п.), транспортных
машинах и других используют механиз-
мы, преобразующие вращательное движе-
ние ведущего катка / в поступательное
движение ведомого звена 3 (рис. 14.1, г).
Прижатие к ведущему ведомого звена
может осуществляться силой тяжести по-
следнего или, например, с помощью катка
2, вращающегося за счет сил трения.
Прижатие катков является необходи-
мым условием работы передач. Его осу-
ществляют на практике либо постоянной,
либо переменной силой, зависящей от
внешней нагрузки. Постоянное прижатие
получают за счет предварительной дефор-
мации при сборке упругих элементов сис-
темы (например, катков, специальных
пружин и др.), использованием сил тя-
жести и т. д. Регулируемое прижатие тре-
бует применения специальных нажимных
устройств (винтовых, шариковых и др.).
Механизмы, изображенные на
рис. 14.1, а—г, имеют неизменяемое или
постоянное передаточное отношение (не-
регулируемые передачи). Однако с по-
мощью катков можно образовать меха-
Рис. 14.1. Схемы фрикционных механизмов
How
Рис. 14.2. Лобовой вариатор
Рис. 14.3. Схемы вариаторов
низм (передачу) с изменяемым (перемен-
ным) передаточным отношением - вари-
атор. На рис. 14.2, а, б показан лобовой
вариатор, в котором ведущий каток / мо-
жет перемещаться по своем) валу (вдоль
оси) в осевом направлении (как показано
стрелками). Передаточное отношение это-
го вариатора будет непрерывно изменять-
ся по мере изменения радиуса R. Если
каток / будет на «оси» катка 2. то по-
следний будет.неподвижным. При перево-
де катка I в левую часть катка 2 изме-
нится направление вращения ведомого
вала (реверсивное вращение).
Фрикционные вариаторы отличаются
конструктивным разнообразием. Распро-
странены вариаторы: конусные (рис. 14.3,
а), многодисковые (рис. 14.3, б), шаро-
вые (рис. 14.3, в, е), торовые (рис. 14.3, г,
д) и др.
Фрикционные передачи применяют в
кинематических цепях приборов для обес-
печения' плавности движения, бесшумно-
сти и безударного включения. Фрикцион-
ные вариаторы применяют достаточно ши-
роко для обеспечения бесступенчатого
регулирования скорости в станкостроении,
текстильных, бумагоделательных и других
машинах и приборах. Диапазон передава-
емых мощностей обычно находится в пре-
делах до 10 кВт, так как при больших
мощностях трудно обеспечить необходи-
мое усилие прижатия катков.
§ 14.2. МЕХАНИКА ПЕРЕДАЧ
Кинематика передач. В нерегулируе-
мой передаче (см. рис. 14.1, а) окружная
скорость ведомого катка несколько
меньше скорости и, ведущего катка из-за
их взаимного проскальзывания, обуслов-
ленного упругими смещениями контакти-
рующих точек катков и, как следствие,
различием скоростей в точках площадки
124
контакта. Обычно равенство скоростей
(«чистое» качение) имеет место лишь для
точек катков, лежащих на линии началь-
ного контакта (контакта при F , = ()).
Влияние проскальзывания учитывают с
помощью коэффициента скольжения
— v2}/v{,
характеризующего снижение окружной
скорости на ведомом катке. Его величине
определяют экспериментально, обычно
е = 0,01 ...0.05.
Очевидно, что скорость ведомого катка
Ц2 = (1 —g) V,. (14 1)
Так как
П| = о), d|/2; и2= ш£ d2/2,
то передаточное отношение механизма,
равное отношению угловых скоростей ве-
дущего и ведомого катков,
о), d9
- (14.2)
ш2 12,(1--е)
Таким образом, передаточное отноше-
ние механизма обратно пропорционально
диаметрам катков (см. рис. 14.1, а).
Можно показать, что для конической
передачи (см. рис. 14.1,6)
sin 62
(1 — г) sin 6, ’
где 6| и 6о углы наклона к оси конусов
образующих.
Для лобового вариатора (см. рис.
14.2) эта зависимость остается справед-
ливой, и если пренебречь проскальзыва-
нием, то
_ »'), _ /?,па.х
Епах , п ’
^2 min R i
. _ «>| _ Kniin
Enin ’ г>
0)2inax «I
Диапазон регулирования
^max ^n-.ax ^max
<onuti ^nitn ^rnin
является одной из основных характери-
стик вариатора. Теоретически возможен
случай = О и ZT-»oc. Однако при ма-
лых значениях /? существенно возрастает
скольжение и износ катков, снижается
КПД, а потому практически диапазон ре-
гулирования ограничивают значением
D = 3.
Усилия в передачах (статика пере-
дач). Рассмотрим передачу, изображен-
ную на рис. 14.1, а. Рели на ведомый ка-
ток диаметром d . действует момент со-
противления (внешняя нагрузка) Т?. то
для его преодоления требуется полезная
окружная сила
F,=2 T.,/d.,—F,, (14.3)
где /у - сила трения, образующаяся на
площадке контакта катков.
z7,=/•;/.
Здесь f - коэффициент трения качения;
/ =0,5 для пары роликов иг стали или
чугуна при работе в масле, / =
= 0,1 ...0,15для пары сталь- тексто-
лит или фибра без смазки.
Для уменьшения проскальзывания
катков (из-за вибрации, перегрузок и
др.) в процессе работы создают запас
сиепления
K = F,/Ft>\.
В силовых передачах принт, мают
обычно К — 1,25... 1,5, в приборах К —А.
Необходимое усилие прижатия ро-
ликов
F=KFl/j = ‘2KT.,/(Jd2). (14.4)
Обратим внимание, что усилие F, ока-
зывается существенно большим, чем сила
F,: например, при /(=1,5 и / = 0,01 уси-
лие Fr= 150 Ft-
Это требует часто применения специ-
альных нажимных устройств, увеличенных
габаритов подшипников, жестких валов.
Усилие прижатия катков конической
передачи
Fr = (K/f) F, sin 5,.
КПД передач и вариаторов зависит
от потерь на скольжение и потерь в опо-
рах валов; обычно г) = 0,9...0,95.
§ 14.3. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ ПЕРЕДАЧ
Виды повреждений и критерии рабо-
тоспособности. Рабочие поверхности ме-
таллических катков, работающих в масле
в условиях жидкостного трения, разруша-
ются из-за усталостного выкрашивания
под действием переменных (вследствие
вращения) контактных напряжений nh
(рис. 14.4), вызванных силами прижатия.
При этом темп нарастания плошали по-
врежденной поверхности катков оказы-
вается пропорциональным величине мак-
симального контактного напряжения
У max О H-
В передачах, работающих без смазоч-
ного материала или при недостаточном
смазывании (режим граничного трения),
наблюдается износ катков, также пропор-
циональный величине аИ и коэффициенту
трения /.
Катки из неметаллических материа-
лов выходят из строя вследствие износа,
отслаивания рабочих поверхностей.
Таким образом, контактная про-
чность, износостойкость являются крите-
риями работоспособности катков передач.
Расчет передач. Расчет па пр о-
чность выполняют по допускаемым
контактным напряжениям |он]:
(14.5)
125
Значение [aw] принимают в зависимо-
сти от твердости по Бринеллю поверхно-
сти катков: для металлической пары при
работе в масле [aw]=(2,5...3) НВ, при рабо-
те всухую без смазочного материала
[ая]=(1,2...1,5) НВ. Для катков из тексто-
лита при работе без масла принимают
[а„]=8О...1ОО МПа.
В расчетах катков цилиндрической
формы максимальное контактное напря-
жение находят но формулам (11.6) и
(И.7).
Условие (14.5) и зависимость (11.6)
используют для предварительного опреде-
ления межосевого расстояния переда-
чи 1
Знак плюс в формуле ставится при
внешнем контакте катков, а знак минус
при внутреннем.
При выводе этого соотношения учтено
равенство a = 0,5 (diа также соот-
ношение (14.2) и (14.4). Ширина катка
принята б=ф(,аа, где фю— коэффициент
ширины катка.
При известном межосевом расстоянии
диаметры катков находятся из очевидных
формул:
, 2а J , • /, \
Расчет передач на износ
также можно вести в форме ограничения
максимального контактного напряжения
[aw] •
где [a— допускаемое контактное напря-
жение при расчете на износостойкость.
Вопросы для самопроверки
1. Какую передачу называют фрикционной?
2. Для чего необходимо прижатие звень-
ев передачи и какими способами его осуще-
ствляют?
3. Что такое вариатор и какие типы вари-
аторов применяют в технике?
1 Знак передаточного отношения не учиты-
вается.
-4. Для чего в расчет передач вводят запас
сцепления?
5. Каким образом можно повысить в 2 ра-
за полезную окружную силу (тяговую способ-
ность передачи)?
6. Назовите причины выхода из строя
фрикционных передач.
7. За счет изменения каких параметров
можно уменьшить габариты передачи?
Глава 15
РЕМЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
§ 15.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Ременная передача (рис. 15.1, а) так-
же является фрикционным механизмом
и предназначена для передачи враща-
тельного движения на большие расстоя-
ния с преобразованием параметров вра-
щения.
Она состоит из двух шкивов 1 и 2,
связанных между собой ремнем 3, и на-
тяжного устройства 4, создающего кон-
тактные давления между ремнем и шки-
вами и обеспечивающего таким образом
передачу движения за счет сил трения.
Передачи могут не иметь специального
натяжного устройства. В этом случае на-
чальное натяжение ремню дают при мон-
таже передачи.
По форме сечения ремня различают
плоско-, кругло- и клиноременные переда-
чи (рис. 15.1, б — г).
С помощью ремня обычно передают
движение между параллельными валами,
вращающимися в одну сторону
(рис. 15.1, а; открытая передача). Однако
благодаря закручиванию ремня иногда
реализуется передача между параллель-
ными валами с вращением их в проти-
воположные стороны (рис. 15.2, а), а так-
же передача между перекрещивающими-
ся валами (рис. 15.2,6).
К достоинствам передач относятся:
возможность передачи движения на боль-
шие расстояния (на 8...10 м и более), про-
стота конструкции, сравнительно малая
стоимость, быстроходность, плавность и
бесшумность работы, малая чувствитель-
ность к перегрузкам, толчкам и ударам.
Недостатки передач обусловлены не-
высокой долговечностью ремня (ремней),
126
4-
Рис. 15.1. Схемы ременной передачи (а) и сечений ремней (б--д')
Рис. 15.2. Перекрестная (а) и полуперекрестная (б) передачи
большими радиальными габаритами, зна-
чительными нагрузками на валы и опоры,
непостоянством передаточного отношения.
В механических приводах ременную
передачу используют преимущественно
как понижающую. Передаваемая .мощ-
ность - - до 50 кВт, окружная скорость до
40...50 м/с, максимальное передаточное
отношение г = 5...6--для передачи без
натяжного ролика и ( = 6...10 — для пе-
редачи с натяжным роликом; допускают
кратковременную перегрузку до 300 %.
В многоступенчатых приводах ремен-
ную передачу применяют обычно в ка-
честве быстроходной ступени, устанавли-
вая ведущий шкив на валу двигателя
(см. рис.15.1, а). В таком случае габари-
ты и масса передачи будут наименьшими.
§ 15.2. МЕХАНИКА РЕМЕННОЙ ПЕРЕДАЧИ
Упругое скольжение ремня. Движение
ремня по шкиву сопровождается упругим
скольжением, определяющим основные
особенности работы передачи.
Чтобы понять причину этого явления,
рассмотрим деформацию упругого ремня
на неподвижном (заторможенном) шкиве
(рис. 15.3, а). Допустим, что сначала к
обоим концам подвешены одинаковые
грузы. Силы тяжести этих грузов созда-
дут на дуге обхвата контактные напряже-
ния (давления), элементы ремня (зачер-
нены на рисунке) при этом получают оди-
наковые относительные деформации рас-
тяжения si = Fi/(EA), где ЕА — жес-
ткость сечения ремня при растяжении.
127
Рис. 15.3. Схемы дли иллюстрации упругого скольжения ремня
Если затем уменьшить натяжение од-
ной из ветвей, например правой до вели-
чины F> (рис. 15.3,6), то относительное
удлинение этой ветви также уменьшится
до 82 = Относительное сокраще-
ние длины (si—е2) элемента правой спа-
дающей ветви ремня распространится
вдоль ремня по дуге обхвата от точки
С к точке А, вызывая скольжение ремня
по шкиву справа налево. Так как ремень
прижат к шкиву, то при скольжении об-
разуются удельные силы трения у,, на-
правленные в противоположную сторону.
Скольжение ремня и изменение началь-
ной деформации прекратятся н некоторой
точке В дуги обхвата. Ее положение мож-
но определить из равенства разности сил
(Fi—/'Т) суммарной силе трения. На дуге
ВА ремень будет находиться в покое.
Угол а, соответствующий дуге АС обхва-
та шкива ремне.м, называют углом обхва-
та, а угол а,., соответствующий дуге СВ,
называют углом скольжения. Скольжение
ремня связано с его упругими свойства-
ми, поэтому называется упругим.
Описанные эффекты происходят и в
работающей передаче (рис. 15.3, в). На-
чальное натяжение ре.мня вызывает де-
формацию ветвей ео = F{I/(EA), где Ft. -
усилие начального натяжения ветвей.
При действии вращающего момента Г,
усилие и деформация веду щс й (набе-
гающей на ведущий шкив) ветви пе-
редачи увеличатся до Fi>F0 и 8i=£o +
+ 8|(. Усилие натяжения и деформация
ведомой (сбегающей) ветви при
этом уменьшатся соответственно до вели-
чин F2<Fu и 82 = 80 — 82, (здесь fir и
82, дополнительные деформации ремня
от полезной нагрузки).
Полезная нагрузка или окружное уси-
лие, развиваемое передачей в основном
за счет сил трения, находится из соотно-
шения
F~Fi-P.,^2Ti/d]. (15.1)
где di диаметр ведущего шкива.
Положение точки В на шкиве
(рис. 15.3, б, а) также зависит от натру
зок и условий трения. На режиме холос-
того хода (момент сопротивления на ве-
домом шкиве 72 = 0) точка В будет со-
впадать приблизительно с точкой С. По
мере увеличения момента сопротивления
Т> (при неизменном моменте Г,) точка
В будет смещаться по шкиву к точке
Л и при некотором предельном значении
момента Т >„ ремень будет скользить ио
всей дуге обхвата, а точка В совместится
с точкой А. Последующее увеличение мо-
мента Т? приведет к буксованию: ремень
будет обегать неподвижный ведомый
шкив.
Кинематика передачи. При вращении
ведущего шкива с угловой скоростью о>।
его окружная скорость Di = <oirf|/2 будет
равна скорости набегающей ветви ремня.
В результате упругого i .иуц,,-Кения ремень
сбегает с ведущего шкива в точке С со
скоростью (рис. 15.3, н). Если при-
нять для упрощения, что иод нагрузкой
г,, =82,, то можно найти, что
V’=Vl ( 1 —8),
откуда коэффициент упругого скольжения
Е=(йч — = 1 — V.,/Vi =
= 1 - Ч>2 с1.,/(в1 ; dp,
128
Рис. 15.4. Схемы к расчету усилий в ветвях передачи
где (Do угловая скорость ведомого
шкива.
Передаточное отношение, т. е. отно-
шение угловых скоростей ведущего и ве-
домого шкивов,
(oi d‘)
i= ±= - 2- . (15.2)
ш2 J|(l— F)
Экспериментально установлено, что
t'«0,l для плоскоременных передач и
₽ = 0,015...0,02 - для клиноременных пе-
редач.
Усилия в передаче. Усилие на-
чального натяжения ремня необходимо
для обеспечения работоспособности пере-
дачи. Оно вызывает в ветвях ремня силы
Fi>= FHa.,/(2 cos у), где у -угол наклона
ветви ремня к линии центров передачи
(см. рис.15.1, а). Вращающий момент Г,
изменяет усилия до Fi и Fi соответствен-
но в ведущей и ведомой ветвях. Связь
между этими услиями можно установить,
если принять расчетную модель ремня
в виде нерастяжимой гибкой нити (зада-
ча ,.'1. Эйлера).
Рассмотрим для общности клиноре-
менную передачу. Двумя радиальными
сечениями выделим элемент ремня (за-
штрихован на рис. 15.4, а) и рассмотрим
его равновесие (рис. 15.4,6). На этот эле-
мент действуют: в торцовых сечениях
нормальные силы F и F4-dF; по боковым
граням (видимой и невидимой) силы нор-
мального давления dF„, радиальная и ок-
ружная силы трения AFi = f dF„ (f - ко-
эффициент трения между ремнем и шки-
вом); сила инерции dFA = pu2da (р -
плотность материала ремня; v - окруж-
ная скорость ремня).
Условия равновесия элемента ремня
соответственно в радиальном и касатель-
ном направлениях:
-(F4 dF) da/2-F da/2 +
+ dFn-)-2 dF„ sin (<p/2) +
+ 2 dFf cos (<p/2) = 0;
F4-2 dF,-(F + dF) = 0.
Из последнего уравнения найдем dF—
= 2/ dFn. Учитывая это равенство, из пер-
вого уравнения равновесия получим
(F — ргг) da = dF//„ (15.3)
где ). — приведенный коэффициент тре-
ния клинового ремня по шкиву,
!-=--------f----------------. (15.4)
. <₽ . t <р
“ + / COS -
2 1 2
В уравнении (15.3) величины высшего
порядка малости отброшены.
Разделяя переменные и интегрируя по
всей дуге скольжения, будем иметь
С dF f f я
f F — pv~ 5
откуда, обозначая Fu = p и2, получим
^1 — ^11 /1ККУ
-Р ~Г=е = 4- (15.5)
с 2 F Л
Экспериментальные исследования по-
казали, что при движении ремня по веду-
щему шкиву радиальных смещений его
Г. Б. Иосилевич и др.
129
сечений не происходит, поэтому
f*=f/sin(<p/2).
Для плоскоременной передачи <р =
= 180° и f. = f. В связи с этим тяговая
способность плоскоременной передачи су-
щественно ниже, чем у клиноременной
передачи (при <р =40° f. = 3f).
Для тихоходных передач при скорости
ремня usgJIO м/с силу инерции можно не
учитывать. Тогда выражение (15.5) при-
обретает вид формулы Л. Эйлера
FjF2=e'\ (15.6)
Принимая во внимание равенства
(15.1) и (15.5), несложно найти
5,=-^-^; F2=FX-F, (15.7)
Усилие Fo начального натяжения вет-
вей ремня можно приближенно выразить
через усилия F\ и Fi в ветвях работаю-
щей передачи. Пренебрегая силами инер-
ции и полагая, что под нагрузкой допол-
нительное удлинение ведущей ветви рав-
но дополнительному сокращению длины
ведомой ветви (или е,( = е2(), получим
F1 = Fo + O,5 F t\
F2— Fо 0’5 F(,
откуда
F^O.S^. + F,).
(15.8)
Подставляя в это равенство соотно-
шения (15.7) и учитывая выражение
(15.1), найдем
7?о=О’57±Г/7'=7±Г71- (15'9)
у 1 у — 1 d ।
Откуда следует, что усилие предвари-
тельного натяжения ветвей передачи оп-
ределяется внешней нагрузкой, геомет-
рией передачи и условиями трения между
ремнем и шкивом.
Сила, действующая на вал передачи,
2 F2 cos а —
-2Fusiny. (15.10)
Здесь а — угол обхвата.
Напряжения в ремне передачи. На-
пряжения в сечениях ведущей и ведомой
ветвей от начального натяжения и при
действии внешней нагрузки находятся в
предположении, что ремень представляет
собой стержень постоянного сечения:
o0=F0/A-, <i-l=F'i/A\ q2—F2/A, (15.11)
где А — площадь сечения ремня.
Кроме этих основных напря-
жений в точках ремня будут действо-
вать дополнительные напряже-
ния ац и ои соответственно от центро-
бежных сил и изгиба ремня (рис. 15.5, а).
Растягивающие напряжения (в МПа)
от центробежных сил можно определить,
принимая, что ремень является кольцом,
вращающимся с окружной скоростью v
(в м/с) вокруг своей оси:
(15.12)
оц= 10 3 р v2,
Рис. 15.5. Распределение напряжений по контуру ремня
130
где р — плотность материала ремня; р =
1,2...1,25 г/см3 — для прорезиненных
плоских и клиновых ремней.
Максимальные напряжения изгиба в
крайних волокнах плоского ремня
(рис. 15.5,6), как и в кольце, зависят от
диаметра шкива и толщины ремня. Они
будут большими на шкиве меньшего диа-
метра >:
= E ym^/r = Eh/d. (15.13)
Здесь утах = 0,5/г—расстояние от ней-
тральной линии до крайнего волокна; г —
радиус кривизны кольца, r = 0,5 (di +/г)«
«0,5 di.
Для клинового ремня максимальные
напряжения изгиба в крайних волокнах
а1и = 2 Ey0/db (15.14)
где уо — расстояние от нейтрального слоя
до большего основания трапеции (сече-
ния ремня); Е — приведенный модуль уп-
ругости ремня (для прорезиненных рем-
ней £ = 200...300 МПа, для капроновых
ремней £ = 600 МПа, для клиновых корд-
тканевых ремней £ = 500...600 МПа).
Существенно, чи> чпнрял.епия ишиба
о,, являются переменными, спи НЫ'ЫВЫОТ
усталостное разрушение ремня, не влияя
на тяговую способность передачи. Для
уменьшения этих напряжений ограничи-
вают минимальные значения диаметра
малого шкива (обычно il>/h = 25...45),
Максимальное растягивающее напря-
жение будет действовать в точке набега-
ния ремня на шкив меньшего диаметра
(’1тах=СТ1 + аи+ац. (15.15)
Отметим также, что за один пробег
ремня по шкивам в нем дважды будут
действовать максимальные напряжения
одинаковой интенсивности при /=1 и не-
одинаковой интенсивности при i=#l.
Быстроходность передачи. Если окруж-
ные напряжения ао = Ои, то давления на
всей дуге обхвата будут равны нулю и пе-
редача не сможет передавать нагрузку.
Окружная скорость шкива в этом случае
1 Здесь и далее рассматривается понижаю-
щая передача; в такой передаче ведущий шкив
имеет меньший диаметр, чем ведомый шкив.
Для капронового ремня можно принять
а0 =50 МПа и у =150 м/с.
Наивыгоднейшая скорость ре’.'шш
обычно составляет 20...25 м/с, а пинболь
тая допустимая скорость • 30...35 м/с.
§ 15.3. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ ПЕРЕДАЧ
Критерии работоспособности передач.
Опыт эксплуатации передач и различных
машинах и механизмах показал, что ра-
ботоспособность передач ограничивается
преимущественно гиговой способностью
и долговечностью ремня.
В первом случае ремень имеет ограни-
ченную тяговую способность из-за буксо-
вания, обусловленного недостаточной
прочностью сцепления ремня со шкивом.
При буксовании ремень нагревается и мо-
жет сойти со шкива, обгореть (распла-
виться). Поэтому буксование в ременной
передаче недопустимо (в отличие от упру-
гого скольжения).
Во втором случае усталостное разру-
шение ремня является причиной отказа
передачи.
Тяговая способность передачи. Тяго-
вую способность передачи характеризует
окружная сила Ft или вращающий мо-
мент 7*1, развиваемый ведущим шкивом.
Из равенства (15.9) следует, что
Ti = -~yFod{ = y!(i Fod}, (15.16)
где г|? = (<7 —!)/(<? + 1) — коэффициент
тяги.
Формула (15.16) указывает основные
способы повышения тяговой способности
ременной передачи: увеличение усилия £0
начального натяжения ветвей ремня; уве-
личение коэффициента тяги за счет уве-
личения угла обхвата а и коэффициента
трения f, между ремнем и шкивом; увели-
чение диаметра ведущего шкива.
Наиболее простых: оказывается co
соб, позволяющий без конструктивных и .
менений повысить тяювую способное: ь
передачи даже а несколько раз путем
пропорционального увеличения усилия
начального натяжения ремня.
Поэтому для увеличения нагрузочной
способности передачи используют более
прочные ремни, допускающие высокие на-
5’
131
Рис. 15.6. Схемы передач с натяжным роликом
пряжения (например, капрон, нейлон и
др.). Однако в этом случае возрастают
нагрузки на опоры.
Менее эффективным для этих целей
оказывается использование для ремней
и шкивов материалов, обеспечивающих
высокий коэффициент трения, в связи с
возрастанием потерь на трение и опасно-
сти перегрева ремня при упругом сколь-
жении.
Для получения высокой тяговой спо-
собности передач с плоским ремнем реко-
мендуется обеспечивать угол обхвата
а^150°, клиноременные передачи допус-
кают а ^80°.
В передачах с большим передаточным
отношением и при малом расстоянии
между осями валов угол обхвата для ма-
лого шкива увеличивают с помощью на-
тяжных роликов (рис. 15.6).
КПД передачи. При работе плоскоре-
менной передачи часть энергии расходует-
ся на упругий гистерезис при цикличе-
ском деформировании ремня (растяже-
ние, сдвиг, изгиб), на скольжение ремня
Рис. 15.7. Кривая скольжения и зависимость
КПД от коэффициента тяги в клиноременной
передаче
по шкивам, аэродинамическое сопротив-
ление движению ремня и шкивов, а также
трение в подшипниках валов передачи.
В клиноременной передаче добавля-
ются потери на трение при радиальном
перемещении ремня в процессе входа его
в канавку и выхода из нее, а также воз-
растают потери на упругий гистерезис
при изгибе ремня (клиновой ремень имеет
большую толщину, чем плоский ремень).
КПД ременной передачи зависит от
коэффициента тяги ф и соответствующего
ему относительного скольжения ремня е.
(рис. 15.7). Наибольший КПД соответ-
ствует некоторому значению ф0 на линей-
ном участке кривой скольжения. При уве-
личении ф>ф() происходит снижение
КПД из-за нарастания потерь энергии на
трение.
Эффективным считают нагружение
передачи, соответствующее наибольшему
КПД и некоторому запасу по сцепле-
нию (фо = 0,4...0,5 - для плоскоремен-
ных передач, фо = О,6...О,7—для клино-
ременных передач). При этом т] =
= 0,97...0,98 — для плоскоре.менной пе-
редачи и г] =0,92...0,97 — для клиноре-
менной передачи.
Расчет на тяговую способность. Рас-
чет передач основан на показателях тяго-
вой способности и долговечности.
Для расчета используют условие ра-
ботоспособности передачи в форме
<т,=Г,/ЛСЬ], (15.17)
где а, - удельная окружная сила, назы-
ваемая полезным напряжением; А — пло-
щадь поперечного сечения ремня (ком-
132
Таблица 15.1
Основные размеры клиновых и поликлиновых ремней
Тин ремня Обоз- наче- ние сече- ния Размеры сечения, мм Пло- щадь сече- ния А. см'2 Длина «стан- дарт- н ого» ремня /о, ММ Предельная длина /11р, .м.м d ИШЬ мм Г,, Н-м Масса 1 м ДЛИ- НЫ, кг
bl, Mt} h Ус
Клино- о 8.5 10 6 2,1 0,47 1320 400...2500 6.3 Ло 30 0,06
вой нор- А 11 13 8 2,8 0,81 1700 560...4000 90 15...60 0,10
мально- Б 14 17 10,5 4,0 1,38 2240 800...6300 125 4 5... 150 0.18
го сече- В 19 22 13,5 4,8 2,30 3750 1800... 10 600 200 120...600 0,30
НИЯ I' 27 32 19 6,9 4,76 6000 1350... 15 000 315 420...2400 0,62
Д 32 38 23,5 8,3 6,92 7100 4500... 18 000 500 1600...6000 0,90
В 42 50 30 14,0 1 1,7 - 6300... 18 000 800 Св. 6000 1.52
Полик- К 2.4 4,0 - . 0,72 710 400...2000 40 40 0,09
ЛИПОВОЙ л 4,8 9,5 3,56 1600 1250...4000 80 18...40 0,45
РТМ м 9,5 16,7 - 11,37 2240 2000...4000 180 Св. 130 1,6
38-
40528
74
Примечание. Масса 1 м длины дана для поликлиновых ремней с десятью ребрами (/;<> • - ширина
ремня на нейтральном слое; b - ширина большего основания трапеции в сечении клинового ремня; t/() -
расстояние от большего основания трапеции до нейтрального слоя; / - шаг ребер поликлинового ремня; h
высота сечения ремня; dmil> - минимальный диаметр ведущего шкива; Т। - вращающий момент на быстро-
ходном валу).
плекта ремней); [о(| — допускаемое полез-
ное напряжение.
Расчет передачи с клиновы-
ми ремнями сводится к определению
требуемого числа ремней. Из условия
(15.17) следует
F,C,
Л, [о,]'
(15.18)
Здесь А । - площадь сечения одного рем-
ня (табл. 15.1); Сг - коэффициент, учи-
тывающий неравномерное распределение
окружной силы между ремнями в ком-
плекте:
г ... . 1 2...3 4...6 св.6
С, . . . 1 0,95 0,9 0,85
В автоматизированном расчете можно
пользоваться интерполяционной зависи-
мостью
Сг= 1,025 - 0,025г.
На практике расчет клиноременной
передачи часто выполняют по передавае-
мой мощности P = Ftv и требуемое число
ремней подсчитывают по формуле
PC,
2 = ’[рГ
(15.19)
где [Р] - мощность, допускаемая на
один ремень передачи.
Расчет передачи с поликлиновым рем-
нем (см. рис. 15.1, (9) ведут в форме
определения числа ребер ремня
= F<
Z* 0,M10[oJ’
(15.20)
где Дц> - площадь сечения ремня с де-
сятью ребрами, а произведение 0,1/1 10
равно условной площади ремня с одним
ребром.
Расчет п л о с к о р е м е н н о й пе-
редачи выполняют в форме определе-
ния ширины ремня
FtCp
b—.~-v (15.21)
где Ср - коэффициент динамичности,
133
учитывающий режим работы передачи
(табл. 15.2); h — толщина ремня.
Таблица 15.2
Коэффициент динамичности
Характер нагрузки Тип машины Ср
Спокойная. Пус- ковая нагрузка до 120 % от нормаль- ной Электрические генераторы, цент- робежные насосы и компрессоры; станки с непре- рывным процес- сом резания; вен- тиляторы; ленточ- ные транспортеры 1
Умеренные коле- бания нагрузки. Пусковая нагруз- ка до 150 % от нор- мальной Поршневые на- сосы и компрессо- ры с тремя и бо- лее цилиндрами; станки н автома- ты; пластинчатые транспортеры 1,1
Значительные колебания нагруз- ки. Пусковая наг- рузка до 200 % от нормальной Реверсивные приводы: поршне- вые насосы и ком- прессоры с одним и двумя цилинд- рами; строгаль- ные и долбежные станки; винтовые и скребковые транспортеры; элеваторы; экс- центриковые и винтовые прессы с тяжелыми махо- виками 1,25
Ударная и резко неравномерная на- грузка. Пусковая нагрузка до 300 % от нормальной Ножницы, мо- лоты, мельницы; подъемники, экс- каваторы, драги; эксцентриковые и винтовые прессы с легкими махо- виками 1,5...1,6
Примечания:!. При частых и резких пусках
двигателя с большими пусковыми моментами значе-
ние Ср следует повышать на 0,15.
2. При двухсменной работе значение Ср необхо-
димо повышать на 0.15, а при трехсменной работе —
на 0,35.
(15.22)
где olmax— максимальное растягивающее
напряжение в ремне, определяемое по
формуле (15.11); о£—максимальное эф-
фективное переменное напряжение, кото-
рое ремень может выдержать в течение
N£ циклов (ресурса работы).
Для определения напряжения о£ ис-
пользуют уравнение кривой усталости рем-
ня передачи, которое записывают в виде
о£=С/^/т, (15.23)
где С = o6Ng/m - постоянная кривой уста-
лости; Об— ограниченный предел вынос-
ливости ремня на базе циклов нагру-
жения; т — показатель степени кривой
усталости.
Эффективное число циклов нагруже-
ний за весь срок службы ремня Lh (в ч)
при постоянном режиме нагружения пе-
редачи с передаточным отношением f=l
W £= 3600гЛлгш —
= 3600у£лгш//, (15.24)
где v—ц// — число пробегов в секунду
ремня длиной /; гш— число шкивов.
Используя приведенные выше соотно-
шения, получают зависимость полезного
напряжения о/ от основных параметров
и срока службы ремня и по ней определя-
ют допускаемое полезное напряжение и
допускаемую мощность на один ремень
передачи.
Опуская вывод, приведем соотноше-
ние для определения допускаемого полез-
ного напряжения в «стандартной» клино-
ременной передаче:
И,57
--------------10~V-05.25)
V ue
Под «стандартной» понимают переда-
чу с i=l и длиной ремня /о, работающую
при спокойной нагрузке. В соотношении
(15.25) принята условная долговечность
ремня Lj, = 24 000 ч, коэффициент тяги
ф0 = 0,67 (соответствует </ = 5), а также
параметры кривой усталости для клиноре-
менных передач: тп = 11, С = 38,2 при ба-
зовом числе циклов нагружений Wc=109.
134
В этом соотношении вместо диаметра
меньшего шкива di введен эквивалентный
диаметр de = fe,di. С его помощью учиты-
вают различную степень изгиба ремня на
малом и большом шкивах в передачах
с передаточным отношением i#=l.
Коэффициент приведения
( V / > | 1 \ 11.1-1'1 0,09
2 Jo,5| 1+( —у—j I -1
В предварительных расчетах можно
принимать:
i . . . 1,3...1,5 1,51...2,0 св. 2,1
fc, . . . 1,11 1,12 1,14
Допускаемое полезное напряжение
для проектируемой передачи
[а(]=а/0С„Са, (15.26)
где Ср— коэффициент нагрузки (см. табл.
15.1); Са—коэффициент, учитывающий
влияние на тяговую способность передачи
с Z#=l угла обхвата:
а0 70 90 110 130 150 180
Са 0,57 0,68 0,78 0,86 0,92 1
В автоматизированном расчете можно
использовать интерполяционную формулу
Са = (е“/110— 1)/еа/1|°.
Мощность Ро (табл. 15.3), допускае-
мую на один ремень клиноременной пе-
редачи, можно определить из соотношения
Р0 = а/0А1и.
Мощность, допускаемую на один ре-
мень в проектируемой передаче,
[P]=(POC2CZ +
4-Л7’,п1/9554)Ср, (15.27)
где Ci— коэффициент длины ремня; учи-
тывает, что при /> /о уменьшается часто-
та циклов и увеличивается ресурс Lh ра-
боты ремня:
Z/Z» 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,6 2,0 2,4
Ci 0,82 0,89 0,95 1,0 1,04 1,1 1,15 1,2
ДТ।—поправка к моменту на ведущем
валу (в Н-м), представляющая собой
дополнительную нагрузку, которую может
передать ремень за счет снижения напря-
жений изгиба на ведомом (большем)
Таблица 15.3
Мощности Ро, передаваемые одним клиновым ремнем в передаче при Z= 1, а=180°,
длине Zo и спокойной работе
Сечение ремня Расчетный диаметр dmtn меньшего шкива, мм Мощность Ро, кВт, при скорости ремня о, м/с
3 5 10 15 20 25 30
0 63 0,31 0,49 0,82 1,03 1,11
(Zo+ 1320 мм) 71 0,37 0,56 0,95 1,22 1,37 1,40 —
80 0,40 0,62 1,07 1,41 1,60 1,65 —
90 0,44 0,67 1,16 1,56 1,73 1,90 1,85
100 0,46 0,70 1,24 1,67 1,97 2,10 2,04
112 0,48 0,78 1,32 1,80 2,12 2,30 2,28
А 90 0,56 0,84 1,39 1,75 1,88 — —
(/о = 1700 мм) 100 0,62 0,95 1,60 2,07 2,31 2,29 —
112 0,70 1,05 1,82 2,39 2,74 2,82 2,50
125 0,74 1,15 2,00 2,66 3,10 3,27 3,14
140 0,80 1,23 2,18 2,91 3,44 3,70 3,64
160 0,85 1,32 2,35 3,20 3,80 4,12 4,16
180 0,88 1,38 2,47 3,39 4,05 4,47 4,56
Б 125 0,92 1,39 2,26 2,80 — — —
(Z0 = 224O мм) 140 1,07 1,61 2,70 3,45 3,83 — —
160 1,20 1,83 3,15 4,13 4,73 4,88 4,47
180 1,30 2,0 3,51 4,66 5,44 5,76 5,53
200 1,40 2,15 3,79 5,08 6,00 6,43 6,38
135
Продолжение табл. 15.3
Сечение рем ня Расчетный диаметр Jmin меньшего шкива, мм Мощность Ро, кВт, при скорости ремня и. м/с
3 5 10 15 20 25 30
224 1,47 2,26 4,05 5,45 6,50 7,05 7,15
250 1,54 2,39 4,29 5,85 7,00 7,70 7,90
280 1,57 2,50 4,50 6,15 7,40 8,20 8.50
в 200 1,85 2,77 4,59 5.80 6,33
(/о = 3750 мм) 224 2,08 3,15 5,35 6,95 7,86 7,95 7,06
250 2,28 3,48 6,02 7,94 9,18 9,60 9,05
280 2,46 3,78 6,63 8,86 10,4 11,1 10,9
315 2,63 4,07 7,19 9,71 11,5 12,5 12,5
355 2,76 4,32 7,70 10,5 12,6 13,8 14,1
400 2,89 4,54 8,10 11,1 13,3 15,0 15,4
450 3,00 4,70 8,50 11,7 14,2 15,9 16,6
Г 355 4,46 6,74 11,4 14,8 16,8 17,1 15,4
(/о = 6000 мм) 400 4,94 7,54 13,0 17.2 20,0 21,1 20,2
450 5,36 8,24 14,4 19,3 22,8 24,6 24,5
500 5,70 8,80 15,5 21,0 25,0 27,5 27,8
560 5,90 9,24 16,6 22,5 27,0 29,8 31,0
630 6,30 9,75 17,9 24,1 29,2 32,5 33,9
710 6,56 10,3 18,6 25,5 31,0 34,9 36,9
800 6,82 10,7 19,4 26,8 32,6 37,0 39,0
д 500 6,84 10,4 17,2 23,5 27,1 28,2 —
(/о = 71ОО мм) 560 7,45 11,4 19,9 26,5 31,1 33,3 32,6
630 8,02 12,4 21,8 29,4 34,9 38,0 38,3
710 8,53 13,2 23,5 31,9 38,3 42,3 43,4
800 9,0 14,0 25,0 34,2 41,3 46,1 47,9
900 9,3 14,6 26,0 36,2 43,8 48,4 51,8
1000 9,5 15,0 27,2 37,7 46,0 51,6 54,8
Таблица 15.4
Значение AT”i для клиноременных и поликлиноременных передач
Тип рем- ня Сече- ние рем- ня ДТ|, Н-м, при передаточном отношении i
1,03...1,07 1.08... 1,13 1,14...1,2 1,21...1,3 1,31...1,4 1,41...1,6 1,61...2.39 2,4 и более
г: О 0,08 0,15 0,23 0,30 0,35 0,38 0,4 0,5
X А 0,2 0,4 0,6 0,8 0,9 1.0 1,1 1,2
“ К Б 0,5 1,1 1,6 2,1 2,3 2,6 2,9 3,1
ГО X S = В 1,5 2,9 4,4 5,8 6,6 7,3 8,0 9,0
а. Г 5,2 10,3 15,5 21,0 23,0 26,0 28,4 31,0
£ S д 10,0 20,3 29,0 39,0 44,0 49,0 53,4 58,0
Примечание. В диапазоне i = 1 ...1,02 значение Л7, = 0.
шкиве,
6/Д'57Д, 6,-1
1\Т,=——- •' --------.
1 2000 kt
Величину этой поправки можно при-
нять также из табл. 15.4.
Подобным образом выводят соотно-
шения и находят значения допускаемых
полезных напряжений [<Т/] для передач
других типов. Значения допускаемых по-
лезных напряжений и соответствующих
им допускаемых .мощностей приведены в
справочниках по деталям машин.
136
Усилие начального натяжения ремня.
Для определения этого усилия сначала
находят фактический коэффициент тяги
ф = ф0СаСр,
где фо = О,67 - коэффициент тяги «стан-
дартной» передачи.
Затем, определив коэффициент
<7=(1 +ф)/(1 -ф),
по формулам (15.7) и (15.8) находят уси-
лия Ль F'2 и Fo. Далее вычисляют усилие
начального натяжения ремня
Лнач =2Л0СОВу.
§ 15.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ
ПЕРЕДАЧИ
Основными геометрическими парамет-
рами передачи являются: диаметры шки-
вов d\ и di, межосевое расстояние а,
длина ремня I и угол обхвата на меньшем
шкиве ai.
Для ограничения напряжений изгиба
минимальное значение диаметра меньше-
го шкива dmin регламентировано стандар-
том для каждого сечения клинового и по-
ликлинового ремней (см. табл. 15.3).
Диаметр меньшего шкива обычно прини-
мают несколько большим
d । = 1,2dmjn.
Для передач с плоским ремнем
d, =(50...70) h.
Минимальное межосевое расстояние
клиноременной передачи на основании
опыта проектирования и эксплуатации
принимают
«min=°-55 (d|+d2) + h,
максимальное межосевое расстояние по
экономическим соображениям (во избе-
жание увеличения габаритов и стоимости
ремней) рекомендуют ограничивать зна-
чением
amax = (l,5...2)(d1+d2).
Для плоскоременных передач
amjn=(l,5...2) (d,+d2).
Угол обхвата меньшего шкива
а= 180° —57°(d2—dO/a.
Рекомендации по выбору значения угла
обхвата а даны в § 15.2.
Требуемая длина ремня для открытой
передачи при заданном (или желатель-
ном) межосевом расстоянии а, и угле
обхвата а определяется как сумма пря-
молинейных участков и дуг обхвата:
L ~ 2 а* Д- 0,5л (d । + d2) + 0,25 (d2 — d () /а*.
Длину ремня передач с натяжным ро-
ликом также находят из геометрических
соображений.
§ 15.5. РЕМНИ И ШКИВЫ
Ремни. Ремни должны обладать до-
статочно высокой прочностью при дейст-
вии переменных нагрузок, иметь высокий
коэффициент трения при движении по
шкиву и высокую износостойкость.
Плоские ремни (имеют прямо-
угольное сечение, см. рис. 15.1, б) приме-
няют в машинах, к которым предъявляют
жесткие требования по вибрациям (высо-
коточные станки и т.п.). Их получают
путем соединения (накладками, склеива-
нием, сшиванием) концов полос ткани
(прорезиненной, хлопчатобумажной, шер-
стяной, капроновой и др.) или кожи.
Высокой несущей способностью обла-
дают выпускаемые серийно приводные
ремни: тканые с полиамидным покрытием
(рис. 15.8, а) и прорезиненные с корд-
шнуровым несущим слоем (рис. 15.8, б).
Тканые ремни имеют толщину 0,5 и
0,7 мм, их изготовляют из капроновых
тканей просвечивающего переплетения и
пропитывают раствором полиамида, за-
тем покрывают полиамидной пленкой.
Модуль упругости ремней Е =
= 1200...1370 МПа, напряжение началь-
ного натяжения ремней о0 =5... 10 МПа.
Кордшнуровые прорезиненные ремни
изготовляют из слоя резины, в котором
по винтовой линии располагают анидные
кордшнуры диаметром 1,1 мм. Прочность
ремню на верхней и нижней поверхно-
стях создают привулканизированной
тканью ОТ-40. Напряжение начального
натяжения ветвей допускается до 5 МПа,
скорость ремня до 35 м/с.
Получили распространение синтетиче-
ские ремни толщиной 0,7...2,8 мм со скле-
137
енным стыком (рис. 15.8, в). Их про-
чность в 3 раза выше, чем у тканых
ремней, допускаемая скорость ремня до
100 м/с. Они имеют хорошее сцепление
со шкивом (/ = 0,5...0,6) и высокую тяго-
вую способность.
Круглые ремни (кожаные, кап-
роновые и др.; см. рис. 15.1, в) применя-
ют в машинах малой мощности (швейных
и бытовых машинах, настольных станках
и др.).
Клиновые ремни (см. рис.
15.1, г) имеют в настоящее время основ-
ное применение. Они обеспечивают пере-
даче большую долговечность и тяговую
способность по сравнению с обычными
плоскоременными передачами, могут пе-
редавать вращение на несколько валов
одновременно, допускают значение i—
= 8...10 без натяжного ролика. Однако
передачи с клиновыми ремнями менее
быстроходны (скорость до 25 м/с), КПД
ниже на 1...2 % и применяются лишь в
открытой схеме (см. рис. 15.2,а).
Промышленность выпускает ремни
двух конструкций: кордтканевые и корд-
шнуровые.
Кордтканевые клиновые ремни (рис.
15.8, г) состоят из нескольких слоев про-
резиненной текстильной кордткани 2, пе-
редающей основную нагрузку и располо-
женной примерно симметрично относи-
тельно нейтрального слоя ремня; резино-
вого или резинотканевого слоя растяже-
ния 1, находящегося над кордом; резино-
вого или реже резинотканевого слоя
сжатия 3, расположенного под кордом;
нескольких слоев оберточной прорезинен-
ной ткани 4.
е) ж)
конструкции ремней
В кордшнуровых клиновых ремнях
(рис. 15.8, д) вместо слоев кордткани ис-
пользуют один слой кордшнура 2 толщи-
ной 1,6...1,7 мм, слой растяжения 1 из
резины средней твердости и слой сжатия
3 из более твердой резины. Такие ремни
обладают большей гибкостью и нагрузоч-
ной способностью. Их применяют при тя-
желых условиях работы передачи.
Клиновые ремни изготовляют трех ти-
пов: нормального сечения, узкие и широ-
кие (вариаторные). В общем машино-
строении наиболее распространены ремни
семи нормальных сечений (см. табл. 15.1)
с углом профиля <р = 40°. Они допускают
окружную скорость до 25...30 м/с.
В передачах с малыми диаметрами
шкивов применяют ремни с гофрами на
внутренней поверхности (рис. 15.8, е), об-
ладающие повышенной гибкостью.
Пол и кл иновые ремни (рис.
15.8, ж) по конструкции подобны клино-
вым. В их тонкой плоской части размеща-
ют высокопрочный шнуровой корд из вис-
козы, стекловолокна или лавсана и не-
сколько слоев диагонально расположен-
ной ткани, придающей ремню большую
поперечную жесткость.
Рекомендуемое число ребер от 2 до
20. При одинаковой мощности передачи
с поликлиновыми ремнями более компакт-
ны и быстроходны.
Шкивы. Их изготовляют из чутуна
СЧ10 и СЧ15, легких сплавов и плз(
тмасч ври работе передачи с небольшими
скоростями и из сталей (257!, 15 и ;;>.)
при окружных скоростях свыше 30 м/с.
Форма обода (см. рис. 15.1, б — д)
зависит от профиля ремня.
138
Шкивы плоскоременных передач по
ГОСТ 17383—73 могут иметь внешнюю
поверхность цилиндрическую, а также
выпуклую или цилиндрическую с краями
в форме конусов. Последние уменьшают
сбегание ремня со шкива в процессе ра-
боты, особенно при наличии непараллель-
ное™ осей валов.
Профиль канавок шкивов клиновых
ремней выполняют по ГОСТ 20898—80. Он
определяется сечением ремня и диамет-
ром шкива, так как при изгибе ремня
вокруг шкива его сечение по сравнению
с исходным искажается.
§ 15.6. РЕМЕННЫЕ ВАРИАТОРЫ
Основное применение имеют клино-
ременные вариаторы. Они ком-
пактны, надежны и имеют по сравнению
с вариаторами на плоском ремне больший
диапазон регулирования.
На рис. 15.9, а, б показаны типичные
схемы таких вариаторов, состоящих из
двух раздвижных шкивов (конусов) и
клинового ремня (обычного или широко-
го, вариаторного).
Скорость ремня и ведомого шкива ре-
гулируют изменением диаметров одного
(рис. 15.9, а) или одновременно двух (рис.
Рис. 15.9. Схемы клиноременных вариа-
торов
15.9, б) шкивов при осевом смещении ко-
нических дисков. Если в передаче регули-
руется один шкив, то при этом принуди-
тельно изменяется межосевое расстояние.
При двух регулируемых шкивах межосе-
вое расстояние не регулируется. Диски
могут перемещаться специальным меха-
низмом, пружиной и другими способами.
Передаточные отношения и диапазон
регулирования вариатора определяют так
же, как и для фрикционных вариаторов
(см. гл. 14).
§ 15.7. ЗУБЧАТО-РЕМЕННЫЕ ПЕРЕДАЧИ
т'> : . : '!.
.:.t ’i>.! , :н'
.’ ( ; • 1 . ' I • ' • '
Как и обычная передача, она состоит
из двух шкивов (звездочек) 1 и 2, сопря-
женных с ремнем 3 (рис. 15.10). Тяговое
усилие ремня создается за счет контакт-
ных напряжений (давлений) между зубь-
ями ремня и шкива, т. е. путем геометри-
ческого замыкания — зацепления. Не-
большое начальное натяжение ремня осу-
ществляют при монтаже передачи или
натяжными роликами (цилиндрическими,
рис. 15.11,а, в; зубчатыми, рис. 15.11,6).
Линия осей центров зубчато-ременной пе-
редачи может располагаться в плоскости
вращения звездочек горизонтально, на-
клонно и вертикально. Передачи допуска-
ют привод от одной ведущей звездочки
к нескольким ведомым.
Зубчатые ремни, совмещающие в себе
свойства плоских ремней и цепей, получи-
ли в последнее время широкое распро-
странение и применяются преимуществен-
но в приводах мощностью до 500 кВт,
при частотах вращения до 18 000 .мин-1
и передаточных отношениях до 12.
Передачи зубчатыми ремнями имеют
ряд важных достоинств: отсутствие про-
скальзывания; большой диапазон скоро-
стей ремня (до 80 м/с); высокий КПД
(95...99%); малошумность, что объясня-
ется, в частности, малым люфтом в за-
цеплении; компактность благодаря не-
большой ширине ремня и возможности
применения звездочек малого диаметра;
малая масса, отнесенная к единице мощ-
ности; простота обслуживания; малое
139
3
Рис. 15.10. Схема зубчато-ременной передачи
Рис. 15.11. Способы натяжения ведомой ветви передачи
требуемое натяжение и, как следствие,
низкие нагрузки на опоры; большая до-
лговечность, так как износ ремня мал.
Ремни. Зубчатый ремень представляет
собой бесконечную плоскую ленту с зуб-
цами трапециевидной формы с внутрен-
ней стороны (рис. 15.12, а), а иногда и
снаружи (рис. 15.12,6). Ремни выпол-
няют в основном из армированного ме-
таллотросом неопрена или реже полиуре-
тана. Спирально навитый по длине ремня
трос служит несущим элементом при пе-
редаче окружного усилия и обеспечивает
неизменяемость шага ремня. Предел про-
Рис. 15.12. Зубчатые ремни
чности проволоки троса ов = 3000 МПа,
относительное удлинение 6 = 4...5 %.
Каркас кинематических зубчатых рем-
ней (применяются в контрольной и измери-
тельной аппаратуре) изготовляют из стек-
ловолокна или полиамидного шнура, а ре-
мень — из резины, покрытой для повыше-
ния износостойкости тканым нейлоном.
Основным параметром ремня являет-
ся модуль т=р/л, представляющий со-
бой нормированный шаг р зубьев. Значе-
ния модуля выбирают по стандарту в за-
висимости от передаваемой мощности и
частоты вращения быстроходного вала.
При и, =650...3500 мин 1
Р, кВт 0.05...(),18 0,27...1,5 2.2...5,5 7,0...17
т, ММ 2; 3 3; 4 4; 5 5; 7
Основные параметры зубчатых ремней
даны в табл. 15.5. Ширина ремня b также
выбирается в зависимости от модуля.
Расчетная длина ремня L = n.mzv (zp
число зубьев ремня).
Шкивы. Ш кивы небольших диаметров
выполняют сплошными (рис. 15.13), а
шкивы больших диаметров - дисковой
конструкции. Изготовляют шкивы из чу-
140
Таблица 15.5
Основные параметры зубчатого ремня (см. рис. 15.13)
Параметры Модуль т, мм
2 3 4 5 7 10
Шаг ремня р — :\т, мм 6,28 9,42 12,57 15,71 21,99 31,42
Общая толщина ремня И, мм 3,00 4,0 5,0 6,5 11,0 15,0
Высота зуба Л, мм 1,5 2,0 2,5 3,5 6,0 9,0
Наименьшая толщина зуба s, мм 1,8 3,2 4,4 5,0 8,0 12,0
Угол профиля зуба 20, град 50 40 40 40 40 40
Диаметр троса d,p, мм 0,36 0,36 0,36/0,65 0,65 0,65 0,65
Ширина ремня Ь, м 8; 10; 12,5; 20; 25; 25; 32; 50; 63; 50; 63;
12,5 16; 20 32; 40 40; 50 80 80
Расстояние от оси троса до впадины 0,6 0,6 0,8 0,8 0,8 0,8
ремня 6, мм Допускаемая удельная окружная си- ла [ро], Н/мм 5 10 15/20 35 40 60
Гунов, сталей, легких сплавов, пластмасс
(в зависимости от окружной скорости).
Для предупреждения сбегания ремня
меньший шкив снабжают двумя (рис.
15.13, а) или одной (рис. 15.13,6) ребор-
дами. При передаточном отношении i>
>3 оба шкива выполняют с ребордами.
Размеры шкива зависят от модуля
и числа зубьев. Число зубьев меньшего
шкива принимают в пределах z,=
= 12...28 в зависимости от частоты вра-
щения и модуля, число зубьев большего
шкива Z4 — iz\. Диаметры делительных ок-
ружностей шкивов (рис. 15.13, a): d\ =
= mz\, d2 = mz2\ наружные диаметры
шкивов зубчатых ремней dai = mZi+2A;
da2 = mz-2 — 2А, где А = 0,6 мм при диа-
метре троса 0,36 мм и А =1,3 при диа-
метре троса 0,65 мм; диаметры окружно-
стей впадин dfi =da> — 1,8m; df? = da2 —
— 1,8m; ширина шкива B = b-\-m; угол
впадины 20 = (5О + 2)°при m =2 мм и 20 =
= (40 + 2)° при т>2 мм. Шаг зубьев на
наружном диаметре p = nda/z.
Оценка прочностной надежности. Пе-
редачи выходят из строя вследствие изно-
са и среза зубьев ремней. Опенку прочно-
стной надежности выполняют в форме
ограничения удельного (отнесенного к
ширине ремня) окружного усилия pt на
ремне:
где [/?,) - допускаемое удельное окруж-
ное усилие.
Расчетное значение удельного окруж-
ного усилия с учетом сил инерции
p, = F,/b + qv2,
где q - масса 1 м ремня шириной 1 см;
т, мм.......... 2 3 4 5 7 10
q-102, кг/(м-с,м) 0,3 0,4 0,6 0,7 0,8 1,1
Рис. 15.13. Шкивы и основные параметры зубьев
141
и — скорость ремня, м/с; Л— окружное
усилие, передаваемое ремнем,
Здесь Р — передаваемая мощность, Вт;
Ср — коэффициент динамичности
(см. табл. 15.1); v— скорость ремня,
м/с.
I......................... 1...0.8 0,8...i
С......................... 1 0,9.
Сн — коэффициент, учитывающий приме-
нение натяжного или направляющего роли-
ка, Сн = 0,9 при одном ролике и Сн = 0,8 при
двух роликах; Ст— коэффициент, учиты-
Допускаемое удельное окружное
усилие
[pf]=[po] С;СВСТ,
где [ро] — допускаемое удельное ок-
ружное усилие в «стандартной» передаче
(см. табл. 15.5); Ci—коэффициент пере-
даточного отношения, вводится только
для ускоряющей передачи, при i^l ко-
эффициент С| = 1;
'6 0,6...0,4 0,4...0,3 менее 0,3
' 0,9 0,85 0,8
вающий неравномерное распределение
нагрузки между витками троса.
Значение коэффициента Ст принима-
ют в зависимости от ширины ремня:
Ъ, мм .... 8 10 12,5
Сг........ 0,67 0,77 0,83
16 20 25 40 63 100
0,91 0,94 1 1,04 1,09 1,2
Передача зубчатым ремнем не требу-
ет значительного натяжения. Для обеспе-
чения ремня со шкивом назначают не-
большое натяжение Fo»(1,1... 1,3)qbv2 или
принимают удельное натяжение в зависи-
мости от модуля:
т,............ 2 3 4 5 7 10
F0/b, Н/м. . . 0,4 0,6 0,8 1,0 1,4 2,0
Усилия на валы передачи
Fr=(l...l,2) Ft.
Пример. Рассчитать клиноременную пере-
дачу привода ленточного транспортера
(рис. 15.14). Передаваемая мощность 7,5 кВт,
частота вращения ведущего шкива п.=
950 мин-1, частота вращения ведомого шки-
Рис. 15.14. Привод ленточного кон-
вейера:
1 — электродвигатель; 2 — ременная пере-
дача; 3 — редуктор; 4 — конвейер
ва «2 = 330 мин-1. Желательное межосевое
расстояние а. = 800 мм. Пусковая нагрузка до
150% от нормальной.
Решение. 1. Определяем момент на быс-
троходном валу
Tj=9554 Р/«, = 9554-7,5/950 = 75,4 Н • м.
Заданную мощность можно передать рем-
нем сечения Б (см. табл. 15.3) (dmin= 125 мм,
Л = 138 мм2, 6о=14мм, Ло = 224Омм).
2. Определяем передаточное отношение
1 = П\/п2 — 950/330 = 2,88.
3. Вычисляем диаметр ведомого шкива при
8 = 0,01, d, = 140 мм
d2=(l-e)idI =(1-0,01) 140-2,88 = 399 мм.
Принимаем по ГОСТ 1284—80 d2 = 400 мм.
4. Находим действительную частоту вра-
щения ведомого шкива
dl
«2 = (1—£) — «! =
“2
=(1-0,01)-^-=329,2 мин ',
уточненное передаточное отношение
I = п х/п2 = 950/329,2 = 2,89.
5. Находим требуемую длину ремня
Z. = 2ц* -р 0,5л (d । -р d2) "Ь
4-0,25 (d2-d^/a^
142
= 2.8ОО+3.14(14О+4ОО) +
(400-120)t = 2469 мм
4-800
Полученные значения округляем до стан-
дартных (ГОСТ 1284—80) значений L —
= 2500 мм.
Так как принятое значение L незначитель-
но отличается от расчетного, уточнение межо-
севого расстояния можно не проводить.
6. Определяе.м угол обхвата на малом шкиве
zio d,
а =180°---------------57° =
а
7. По табл. 15.3 при dmjn=125 мм и и =
= 6,96 м/с находим мощность, передаваемую
одним ремнем в «стандартной» передаче Ро =
= 2 кВТ и вычисляем мощность, допускаемую
на один ремень проектируемой передачи при
Ср=1,1 (см. табл. 15.2), С« = 0,94; С( = 0,99 и
ATi=3,l Н-м (табл. 15.4):
[P]=(^C'+-95k-) С^
=( 2-0,94-0,99+-^^) 1,1 =
\ 9554 )
= 2,376 кВт.
8. Определяем предварительное число
ремней
z.=P/[P]=7,5/2,376=3,15
и уточненное число требуемых ремней
z = z./Cz = 3,15/0,9 = 3,5.
Принимаем четыре ремня.
Вопросы для самопроверки
1. Для чего предназначена ременная пере-
дача и в чем состоят ее основные достоинства?
2. С какими эффектами связано упругое
скольжение ремня в передаче?
3. Что называют полезной нагрузкой пе-
редачи?
4. Чем определяется передаточное отноше-
ние передачи?
5. От каких параметров зависит значение
усилия предварительного натяжения передачи?
6. Какие напряжения возникают в ремне
при работе?
7. Назовите критерии работоспособности
передачи.
8. Что понимают под тяговой способно-
стью передачи и каким образом можно увели-
чить, например, в 2 раза тяговую способность
действующей передачи?
9. Каким образом можно повысить долго-
вечность ремня передачи?
10. На чем основаны методы подбора рем-
ней передач?
11. Какие типы передач применяют в ме-
ханизмах?
12. Что собой представляет зубчато-ремен-
ная передача и какие критерии определяют ее
работоспособность?
Глава 16
ЗУБЧАТЫЕ ПЕРЕДАЧИ
§ 16.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Их используют в большинстве машин
и приборов для передачи и преобразова-
ния движения в широком диапазоне мощ-
ностей (до 150 тыс. кВт) и скоростей (до
200 м/с). Передачи имеют высокие тех-
нико-экономические показатели: высокую
надежность работы и КПД (до
0,97...0,98 для одной пары колес ступени);
простоту технического обслуживания и
компактность (малую массу).
Недостатки передач обусловлены
сравнительно высокой трудоемкостью из-
готовления колес, возможностью появле-
ния шума в процессе работы и т. д.
Процесс передачи движения с по-
мощью зубьев принято называть зубча-
тым зацеплением.
У зубчатого колеса условно различа-
ют тело и зубчатый венец, отделяемый от
тела соосной поверхности впадин *.
Линия пересечения боковой поверхно-
сти зуба с какой-либо заданной поверхно-
стью (например, плоскостью, перпендику-
лярной оси колеса, и т. п.) называется
профилем зуба.
1 Соосной называют поверхность враще-
ния, ось которой совпадает с осью колеса.
143
Рис. 16.1. Прямозубые передачи:
а схема; б сечение; и передача
колесо рейка
Колесо, радиус которого равен беско-
нечности, называют зубчатой рейкой
(рис. 16.1, в).
Передачи классифицируют ио гео-
метрическим и функциональным особен-
ностям.
По взаимному расположе-
нию осей: цилиндрические (имеют па-
раллельные оси, рис. 16.1, а); конические
(оси колес пересекаются, рис. 16.2, а);
гиперболоидные (передачи со скрещива-
ющимися осями; червячные — рис. 16.2, 6;
винтовые — рис. 16.2, в; гипоидные
и др.).
По относительному распо-
ложению поверхностей вер-
шин и впадин зубьев колес:
передачи внешнего зацепления (образу-
ются при зацеплении колес е внешними
зубьями) и передачи внутреннего зацеп-
ления (образуются при зацеплении колес,
одно из которых имеет внутренние зубья,
а другое внешние зубья, рис. 16.2, г).
У колеса е внешними зубьями повер-
хность вершин находится вне впадин, а у
колеса с внутренними зубьями — внутри
поверхности впадин.
По характеру движения
осей: обычные передачи, имеют непод-
вижные геометрические оси всех колес;
планетарные передачи, оси одного или
нескольких колес подвижны.
По направлению (расположе-
нию образующей линии) зубьев: пе-
редачи с прямыми (прямозубые,
см. рис. 16.1) и криволинейными
(рис. 16.2, в) зубьями. Колеса прямозу-
бых передач имеют прямые линии зубьев.
Косые зубья разновидность винтовых
зубьев.
По профилям зубьев колес
передачи подразделяют на: передачи с
эвольвентным зацеплением, в котором
профили зубьев очерчены эвольвентами
окружностей; передачи с циклоидальным
зацеплением, в котором профили зубь-
ев — дуги эпи- и гипоциклоид; передачи
с зацеплением Новикова, в котором взаи-
модействуют выпуклый профиль зуба од-
0) б) .г)
Рис. 16.2. Зубчатые передачи:
а киническая; б червячная; в винтовая; г цилиндрическая с внутренним за-
цеплением
144
него колеса и вогнутый профиль зуба
другого колеса.
В зависимости от назначения зубча-
тые передачи могут встраиваться в кон-
струкцию машины (встроенные передачи)
или выделяться в самостоятельный узел
(агрегат) и иметь отдельный корпус.
По конструктивному исполнению пе-
редачи могут располагаться вне корпуса
и иметь легкое ограждение - открытые
передачи, либо работать в корпусе, изо-
лирующем их от внешней среды - - закры-
тые передачи. Открытые передачи рабо-
тают без смазывания или при ограничен-
ном смазывании при небольших окруж-
ных скоростях (тихоходные передачи).
Закрытыми выполняют передачи, работа-
ющие при средних и высоких окружных
скоростях (быстроходные передачи) с
обильным смазыванием (из масляной
ванны, струей масла и др.)
Различают силовые и месило-
в ы е (кинематические) передачи. Сило-
вые передачи используют для передачи
мощностей. Их габариты определяются,
как правило, прочностной надежностью.
Несиловые передачи выполняют в основ-
ном кинематические функции и мощности
практически не передают. Размеры таких
передач определяются конструктивными
соображениями.
Зубчатые передачи могут понижать
или повышать частоту вращения ведомо-
го вала. В понижающей передаче частота
вращения ведомого вала (колеса) мень-
ше (а в повышающей передаче — боль-
ше) частоты вращения ведущего вала
(колеса).
Агрегат с понижающей передачей
(передачами) называют редуктором, аг-
регат с повышающей передачей называют
мультипликатором.
§ 16.2. ЭЛЕМЕНТЫ
ТЕОРИИ ЗАЦЕПЛЕНИЯ ПЕРЕДАЧИ
Рассмотрим передачу вращения дву-
мя звеньями (рис. 16.3) и допустим, что
звенья I и 2 являются недеформируемы-
ми (абсолютно жесткими) телами. Тогда,
действуя друг на друга в точке С контак-
та, они будут вращаться в противополож-
ные стороны С угловыми скоростями Ш|
Рис. 16.3. Схема передачи враще-
ния двумя звеньями
и о>2- Установим соотношение между эти-
ми скоростями.
Окружные (линейные) скорости точки
С на каждом из звеньев
V = Ы ] О । С; V £2== (ji qC .
Проведем в точке С контакта нормаль
п — п и касательную т —т к профилям
звеньев и разложим скорости vCi и vC2
на нормальные
V f ’j — V j COS Ct (• । = Ы ] О । N । i П ('2 ==
= vC2cos aC2 = u2O2N2 (16.1)
и касательные составляющие
(т)
4i = i'ci sin аС1;
v{c2=vC2sin aC2,
где aCiугол между абсолютной скоро-
стью точки контакта тела i и нормалью
к профилю в этой же точке, численно
равен углу между радиусом О,С и пер-
пендикуляром OiNt, опущенным из цент-
ра вращения звена I на нормаль п — п
(г =1,2 — номера звена).
Условие контакта (сопряжения)
звеньев будет обеспечено лишь при равен-
стве нормальных составляющих скоростей
= (16.2)
145
что вытекает из равенства координат со-
пряженных (имеющих общую внешнюю
нормаль) точек контакта.
Из соотношений (16.1) и (16.2) сле-
дует, что
Ш|/ш2=
Соединим центры Oi и Ог прямой и
обозначим через П точку пересечения
этой прямой с нормалью п— п.
Тогда из полученных треугольни-
ков O\N\[J и найдем
<0|/а>2= О2П/ОХП = 1Х2. (16.3)
. . \\‘к I '> 1.1 и; :
j । ; n <> и ) ц ; ., ,i Я'
. '.и .< in’iKt: t: .
Иг.-,-.. iiCH'i vi-. к
: л 1 1>яни(-; ,Н, II/ li'- 'XI, ,
. ycAf.it.t . ,. . . ..
Отношение ых/ыг угловых скоростей
звеньев при передаче движения от зве-
на 1 к звену 2 (рис. 16.3) называют пе-
редаточным отношением и обозначают че-
рез i12.
При передаче движения от ведущего
звена к ведомому индекс «12» при I часто
опускают.
Отметим, что при постоянном переда-
точном отношении (zi2 = const) и зафик-
сированных центрах Ох и Ог точка П бу-
дет занимать на линии центров неизмен-
ное положение. Для обеспечения посто-
янного передаточного отношения в про-
цессе зацепления профили звеньев долж-
ны быть подобраны так, чтобы в любом
положении профилей нормаль в точке их
контакта пересекала бы линию центров
в одной и той же точке П. Эта точка,
таким образом, оказывается неподвижной
в пространстве и называется полюсом.
Теоретически один из профилей зубь-
ев может быть выбран произвольно, но
для обеспечения условия iX2 = const фор-
ма профиля второго зуба должна быть
вполне определенной. Профили зубьев,
зацепление которых обеспечивает посто-
янное передаточное отношение, называют
сопряженными.
Для реальных передач важно исполь-
зовать профили наиболее технологичные
и рациональные при изготовлении и в эк-
сплуатации.
146
Одним из таких профилей является
эвольвентный профиль, имеющий наибо-
лее широкое применение при изготовле-
нии зубчатых колес.
Эвольвентное зацепление, предложен-
ное Л. Эйлером, имеет преимущество пе-
ред другими видами зацеплений (напри-
мер, циклоидальным) благодаря высокой
технологичности.
Существуют и другие виды зацепле-
ний (циклоидальное, цевочное, часовое
и т. д.). Среди неэвольвентных зацепле-
ний наибольшее распространение в по-
следние годы получило зацепление Нови-
кова, характеризуемое высокой прочно-
стью зубьев.
§ 16.3. ЭВОЛЬВЕНТНОЕ ЗАЦЕПЛЕНИЕ
Основные сведения. Эвольвентой (от
лат. слова evolvens) называют плоскую
кривую, являющуюся разверткой другой
плоской кривой, называемой эволютой.
Для образования зубьев колес в качестве
эволюты используют окружность, называ-
емую основной (db — диаметр основной
окружности). Эвольвенту этой окружно-
сти будет описывать любая точка прямой
линии (производящей прямой), перекаты-
ваемой по ней без скольжения
(рис. 16.4). Предельная точка М эволь-
венты лежит на основной окружности.
Используя известные из дифференциаль-
ной геометрии соотношения для опреде-
ления центра кривизны кривой, несложно
показать, что точка N прямой NB будет
центром кривизны эвольвенты (мгновен-
ным центром вращения), а отрезок NB —
радиусом кривизны эвольвенты в точке В.
Рис. 16.4. Схема образова-
ния эвольвентного про-
филя
Углы развернутости v, профиля а и
эвольвентный inv а (инволюта а), обра-
зуемые радиальными прямыми ОМ, ОВ и
ON, связаны между собой зависимостью
inv a = v — а.
Так как дуга MN равна отрезку BN,
перекатываемому по дуге без скольжения,
то (MN — rbv)
inv a = tg a —a.
Если учесть (г — радиус-вектор про-
извольной точки эвольвенты), что
cos a. = rb/r,
то становится очевидным, что радиус гь
основной окружности является единствен-
ным параметром, определяющим эволь-
венты.
Зацепление эвольвентных профилей.
Предположим, что требуется передать
вращательное движение между парал-
лельными осями Oi и О2 (рис. 16.5; ме-
жосевое расстояние аа,) с постоянным пе-
редаточным отношением i. Величины а„
' и i определяют положение полюса зацеп-
? ления П на отрезке OiOs = aw.
С учетом отношения (16.3) несложно
получить
i Oln = aJ(i+1);
[ О2П = aoi/(i +1). (16.4)
j Если в качестве профиля ведущего
f звена 1 принять эвольвенту Э| некоторой
! (произвольной) основной окружности ди-
аметром dt>\ и через полюс П провести
касательную к этой окружности, то точ-
ка В пересечения этой касательной с про-
филем будет единственной точкой эволь-
венты, для которой справедлив основной
закон зацепления и нормаль Nifl к
эвольвенте Э1 проходит через полюс. Та-
ким образом, точка В является един-
ственно возможной точкой контакта дан-
ного звена с сопряженным.
В других положениях звеньев точки
контакта эвольвент также обязательно
будут находиться на прямой, проведенной
через полюс касательно к основной ок-
ружности. Линия зацепления, т. е. гео-
метрическое место точек контакта профи-
лей зубьев при обкатке, для колес с
Рис. 16.5. Сопряженные профили
эвольвентным профилем зубьев является
прямой 1— следом плоскости зацепления.
Это и обеспечивает эвольвентному зацеп-
лению существенное преимущество перед
другими видами зацеплений. Прямой ли-
нии зацепления также соответствует
только эвольвентный профиль, и линия
зацепления является обшей для обоих
профилей. Таким образом, сопряженный
профиль ведомого звена 2 должен быть
эвольвентным и его основная окружность
должна быть касательной к линии зацеп-
ления.
Перпендикуляр О2Л/2, проведенный из
центра Оч на линию зацепления, дает ра-
диус гм основной окружности звена 2,
определяющей эвольвенту Э2 и точку В2
на ней (совпадает с точкой В\ в данном
положении).
По мере вращения звеньев с каждой
точкой одного из профилей вступает в
контакт вполне определенная (единствен-
ная) точка на втором профиле (см. точ-
ки t?i и С2 на рис. 16.5).
Если ввести в рассмотрение угол а»
между линией зацепления и перпендику-
ляром к линии центров (угол зацепле-
ния), то из рис. 16.5 следует
N, П + !1N2 = N j В! + В 2N2
1 Эвольвента — единственная кривая, да-
ющая прямую линию зацепления.
147
или
(rbi + r/,?) tg «»=
— rMVS14~r*2vfl2’ (16.5)
где vw, и vB2- углы развернутости сопря-
женных точек В} и В-2 на эвольвентах.
Уравнение (16.5) позволяет найти для
любой заданной точки на одном колесе
сопряженную точку на другом колесе.
Существенно, что положение общей
нормали (линии зацепления) не изменяет-
ся и она по-прежнему будет касаться ос-
новных окружностей. Положение полюса
зацепления П на линии центров также
остается неизменным при вращении колес.
Из рис. 16.5 видно, что в процессе
зацепления точка контакта перемещается
по профилю ведущего звена, удаляясь от
основной окружности, а по профилю ве-
домого звена — приближаясь к основной
окружности. Ио пути, проходимые точкой
контакта по каждому из сопряженных
профилей за равные промежутки времени,
оказываются неравными. В результате
при равномерном вращении колес точки
контакта, двигаясь по линии зацепления
со скоростью
y(n)= <Й|Г м =ш2г ь2,
будут перемещаться (в относительном
движении) неравномерно по профилям
зубьев, т. е. сопряженные профили будут
перекатываться один на другой со сколь-
жением.
Отметим, что на каждом колесе име-
ется по одной соосной поверхности (ци-
линдр — в цилиндрической передаче), ко-
торые касаются друг друга, и в любой
точке касания (контакта) вектор относи-
тельной скорости равен нулю. Эти повер-
хности называют начальными, а концен-
трические окружности, принадлежащие
им, - начальными окружностями. Они
описываются из центров и проходят через
полюс. Из соотношений (16.4) следует,
что диаметры начальных окружностей
2а 2а J
1 Ti 1 "Т 1
Диаметр начальной окружности свя-
зан с диаметром основной окружности
соотношением (см. рис. 16.5)
148
dw = db/cos а. (16.7)
Окружная скорость точки на началь-
ной окружности
v = 0,5o>d.i, = 0,5iodi,/cos аи,=
= y<f!)/cos aw.
Межосевое расстояние передачи мож-
но выразить и через диаметры основных
окружностей
dbl + db2=2au, cos аи. (16.8)
Это уравнение характеризует зацепле-
ние двух зубьев е эвольвентными профи-
лями. В реальном зубчатом зацеплении
одновременно могут контактировать не-
сколько пар зубьев. Если ввести в рас-
смотрение шаг рь по основной окружно-
сти — расстояние между соседними экви-
дистантными профилями по дуге основ-
ной окружности, то из равенства коорди-
нат сопряженных точек зубьев следует,
что одновременный контакт нескольких
пар зубьев возможен при условии
Ры=Рь2, (16.9)
где ры и рЬ2 — шаги по основной окруж-
ности первого и второго колес.
Из уравнения (16.8) следует также:
пара эвольвентных профилей с задан-
ными диаметрами d6i и dbj может зацеп-
ляться при различных межосевых рассто-
яниях aw;
эвольвента заданной основной окруж-
ности db\ может сцепляться с эвольвента-
ми любых основных окружностей db2 при
одних и тех же или при различных а»;
эвольвентные колеса с любыми числа-
ми зубьев могут сцепляться друг с дру-
гом, если шаги их равны;
эвольвентные колеса могут сопрягать-
ся с рейкой, имеющей произвольный угол
профиля, если их основные шаги равны.
Коэффициент перекрытия. Отметим
точки Pi и Р'2 пересечения окружностей
вершин колес с линией зацепления /V|A/2
(рис. 16.6, а). Тогда эти точки будут
обозначать начало входа и конец выхода
из зацепления пары зубьев, а учас-
ток Р\Р'2 = 1„ соответствует активной ли-
нии зацепления. Прямые зубья входят
и выходят из зацепления сразу ио всей
своей длине, равной ширине bw венца.
Рис. 16.6. Зубчатое зацепление
При этом линия Р\Р\ контакта двух зубь-
ев перемещается в положение Р2Р2, обра-
зуя плоскость (поле) зацепления в форме
прямоугольника PiP'iPzPz (рис. 16.6, а).
Для сохранения постоянным мгновен-
ного передаточного отношения необходи-
мо, чтобы следующая пара вступала в за-
цепление в точке Р\ в тот момент (или
ранее), когда точка контакта предыдущей
пары зубьев придет в точку Р;>
(рис. 16.6,6). Следовательно, длина ак-
тивной линии зацепления должна быть не
менее основного шага.
Обычно в начальный период зацепле-
ния одной пары зубьев по контактной
линии PiP't другая (предыдущая) пара
зубьев, завершая цикл зацепления, взаи-
модействует по контактной линии А2А2.
В результате на участках PiP'iA'jA^ и
А2А2Р2Р2 поля зацепления в контакте, од-
новременно воспринимая нагрузку, будут
находиться две пары зубьев. На
рис. 16.6, а толстыми линиями показаны
(для примера) линии одновременного
контакта двух пар зубьев, одна из кото-
рых находится в начале зацепления. Тон-
кими линиями, параллельными Р\Р'< и
А2А2, на этом же рисунке показаны три
последовательных положения, которые
занимают эти линии контакта через рав-
ные интервалы времени вращения колес.
После пересопряжения, т. е. выхода
из зацепления второй пары зубьев на
линии Р2Р2 (рис. 16.6, а), в контакте,
передавая вею нагрузку, будет находить-
ся лишь одна пара зубьев - однопарное
зацепление. Зона однопарного зацепле-
ния на плоскости заключена в прямоу-
гольнике Д1Д1Д2Д2 (рис. 16.6, а); утол-
щенная линия 1111' показывает здесь по-
ложение контактной линии зубьев при их
зацеплении в полюсе.
Продолжительность зацепления при-
нято характеризовать коэффициентом
торцового перекрытия:
еа= -- = 1,88-3,2/"-—±—\ (16.10)
Ры \ Z1 Z2 )
Знак плюс в этом соотношении со-
ответствует внешнему зацеплению, а знак
минус — внутреннему.
Для обеспечения непрерывности вра-
щения рекомендуется еа> 1.2. Обычно в
передачах 1,2...1,8, но при определен-
ных условиях можно получить ы>2.
Межосевое расстояние аЛ., угол зацеп-
ления аи, и передаточное отноше-
ние I являются основными пара-
метрами рабочего з а ц е п л е-
н и я. Их реализуют в передаче, изготовляя
зубчатые колеса в соответствующих усло-
виях и размерах.
Исходный и рабочий контуры рейки.
Для унификации изготовления зубчатых
колес и обеспечения сопряженности их
149
Рис. 16.7. Исходный и рабочий контуры рейки по ГОСТ 13755—81 {ДИ —
делительная прямая)
профилей нарезание зубьев производят
инструментами на основе так называемо-
го исходного контура (ГОСТ 13755—81).
Он имеет форму рейки (рис. 16.7, а), так
как рейка сохраняет постоянный угол за-
цепления в паре с колесом любого радиу-
са и при любом относительном положении
колес.
Одним из основных параметров конту-
ра является модуль
т=р/л, (16.11)
где р — шаг зубьев, т. е. расстояние
между одноименными профилями сосед-
них зубьев рейки по делительной или дру-
гой, параллельной ей прямой. Делитель-
ной называют прямую, на которой теоре-
тическая толщина зуба равна ширине
впадины.
Модуль является по существу норми-
рованным шагом зацепления.
Стандартом предусмотрен широкий
набор модулей, обеспечивающий потреб-
ности приборов в миниатюрных переда-
чах, а также потребности машин в круп-
ногабаритных передачах. Некоторые из
этих значений модулей (в мм), использу-
емых в силовых передачах, приведены
ниже (значения первого ряда предпочти-
тельны) :
Для значений модулей свыше 1 мм ис-
ходный контур (ГОСТ 13755—81) являет-
ся прямобочным и имеет следующие па-
раметры (рис. 16.7, а): профильный угол
а = 20°, глубина захода h.i = 2hatn (здесь
ha=l — коэффициент высоты головки зу-
ба); толщина зуба по делительной пря-
мой 5 = 0,5р; радиальный зазор с = с*т
(здесь с* = 0,25— коэффициент радиаль-
ного зазора) и радиус закругления у кор-
ня зуба р, = 0,384m.
Для обеспечения плавного вхождения
зубьев в зацепление и снижения динами-
ческих нагрузок на вершине зубьев ис-
ходного контура преднамеренно отступа-
ют от теоретической эвольвентной формы,
выполняя срез профиля — фланк
(рис. 16.7,6). Расчетный контур с флан-
ком называют номинальным исходным
контуром (рабочим контуром).
Однозначность перечисленных основ-
ных параметров делает исходные контуры
различных модулей геометрически подо-
бными.
Изготовление колес. Зубчатые колеса
изготовляют преимущественно методами
резания (нарезанием) на универсальных
фрезерных и специальных станках. Наре-
занием зубьев называют технологическую
операцию, сущность которой состоит в
вырезании материала, расположенного на
месте будущей впадины. В результате на
заготовке остаются выступы — зубья. За-
готовка прямозубого цилиндрического ко-
150
Рис. 16.8. Изготовление зубчатых колес копированием с помощью фрез (а и б) и обкаткой с помощью
долбяка и гребенки (виг):
I - пальцевая фреза; 2 — дисковая фреза; 3 - долбяк; 4 - гребенка
леса с внешними зубьями представляет
собой цилиндр, диаметр которого равен
диаметру вершин зубьев.
Зубья нарезают либо методом копиро-
вания, либо методом огибания (обкатки).
При использовании метода копирова-
ния впадина между зубьями вырезается
специально спрофилированным инстру-
ментом— фрезой (рис. 16.8, а, б), про-
тяжкой, шлифовальным кругом. Основной
недостаток метода копирования — ис-
пользование фасонного инструмента
(имеет криволинейные режущие кромки).
При его использовании погрешности пе-
реносятся на нарезаемое колесо. Нареза-
ние зубьев методом копирования мало-
производительно (фрезами, резцами).
Более распространено изготовление
зубчатых колес методом огибания (обкат-
ки). Для этого применяют специальный
режущий инструмент — рейку, долбяк
(рис. 16.8, в, г); червячную фрезу с
зубьями — производящую (инструмен-
тальную) рейку. Ее параметры и положе-
ние относительно заготовки определяют
геометрию зубчатого колеса.
Инструменту и нарезаемому колесу на
специальных станках сообщается такое
же относительное движение, как и в ре-
альном зацеплении. Основное преимуще-
ство такого метода изготовления — высо-
кая точность.
В последние годы мелкомодульные
зубчатые колеса изготовляют накатыва-
нием зубьев (обработкой давлением).
Точность изготовления. Для обеспече-
ния требуемого качества передач разра-
ботаны показатели точности. Так, ГОСТ
1643 - 81 устанавливает допуски цилин-
дрических зубчатых передач с модулями
иг=1...5О мм, обеспечивающими 12 сте-
пеней точности передач (самая низкая
степень точности —двенадцатая).
Требуемая точность определяется
уровнем скоростей колес и действующих
нагрузок. Быстроходные передачи (ок-
ружная скорость колеса v >20 м/с) из-
готовляют с повышенной точностью (сте-
пени точности 6; 5).
§ 16.4. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ЭВОЛЬВЕНТНЫХ
ПРЯМОЗУБЫХ ПЕРЕДАЧ
Размеры колеса. Рассмотрим зацепле-
ние зубчатого колеса модуля т с числом
зубьев z с инструментальной рейкой в
конце обработки (рис. 16.9). Предполо-
жим, что нарезание зубьев происходило
при радиальном смещении на величину
тх (х — смещение рабочего контура рей-
ки относительно колеса), что эквивалент-
но смещению делительной прямой (ДП)
рейки относительно начальной прямой
(НП) на ту же величину.
Так как станочная начальная окруж-
ность в процессе нарезания зубьев на
колесе катится без скольжения по на-
чальной прямой рейки, то на этой окруж-
ности шаг рейки должен уместиться zi
раз (г, — число нарезаемых зубьев на
г-м колесе передачи), т. е. Zi = ndi/p. Ок-
ружность, на которой шаг равен шагу
рейки, называют делительной. Учитывая
соотношение (16.11), найдем диаметр де-
лительной окружности:
dt = mzr (16.12)
Смещению условно присваивают оп-
ределенный знак. Если делительная пря-
151
Рис. 16.9. Зацепление зубчатого колеса
с рейкой
мая не пересекает и не касается дели-
тельной окружности, смещение считают
положительным; если пересекает — отри-
цательным. Форма зубьев колес, нарезан-
ных с различным смещением инструмен-
та, показана на рис. 16.10. Смещение
изменяет форму зуба. Так, положитель-
ное смещение приводит к утолщению зу-
ба у основания и уменьшению кривизны
профиля, так как зуб очерчивается более
удаленным от основной окружности учас-
тком эвольвенты. Такие изменения формы
способствуют повышению его прочности.
Благодаря смещению инструмента
удается снизить минимально допустимое
число зубьев на колесе без утонения
(подрезания) их у основания.
Отметим, что делительная окружность
является параметром станочного зацепле-
ния при изготовлении колес методом об-
катки. Но только благодаря прямой зави-
симости ее диаметра от основных пара-
метров т и z зубчатого колеса дели-
Рис. 16.10. Зубья колес (г = 40), на-
резанных с различным смещением
инструмента
тельная окружность, как условный пара-
метр, принимается за базу для определе-
ния элементов и размеров зубьев.
Определим основные размеры колеса
(рис. 16.11). Диаметр основной окружно-
сти i-го колеса (/=1,2— номер колеса)
dbi= mz, cos а, (16.13)
где а — угол профиля исходного контура
(см. рис. 16.7).
Шаг но основной окружности
pb = ndb/z = лт cos а. (16.14)
Диаметр окружности впадин
—2 (h* + c* —xj т. (16.15)
Диаметр окружности вершин для со-
хранения теоретического радиального за-
зора можно найти из очевидного соотно-
шения (см. рис. 16.11)
dal = 2aw-d!2-2c'mh
da2=2alll — d!l — 2c*mj
Толщина зуба но делительной окруж-
ности равна ширине впадины рейки по
начальной прямой (см. рис. 16.7)
s = т (л/2 + 2х tg а).
Высота зуба /г = 0,5 (dal —dp), высота
головки зуба hai = 0,5 (dot — dfi) и высота
ножки зуба ftp = 0,5 (d„., —dp).
Из формул (16.13)...(16.16) видно,
что диаметры колес, кроме db, зависят от
смещения производящего контура.
Рис. 16.11. Зацепление эвольвентной ци-
линдрической передачи с колесами, наре-
занными без смещения
152
Особенности зацепления пары эволь-
вентных колес. Различают передачи со
смешением и без смещения. Передачи
без смещения имеют х,=х2 = 0
(здесь х, и х2 — смещения 1-го и 2-го
колес). В таких передачах угол зацепления
ам численно равен углу профиля исходного
контура а, а межосевое расстояние
au, = 0,5m (Z| + z2) = a, (16.17)
где а — межосевое расстояние в станоч-
ном зацеплении или делительное межосе-
вое расстояние. В таких передачах на-
чальные окружности совпадают с дели-
тельными (daj]=di и dm2 = d2) -началь-
ными окружностями в реечном станочном
зацеплении.
Передачи со смещением
образуются из колес, нарезанных со сме-
щением. Если коэффициенты смещения
колес х, и х2 равны по величине, но
противоположны по знакам, то Xv = xi-|-
х2=0. Такая передача называется рав-
носмещенной и для нее, как и в передаче
без смещения, aw — a, аю = a и dw = d.
Если ХуДО, то в такой передаче со
смещением угол зацепления аи =#=а и ме-
жосевое расстояние
m (z। + z2) cos a
mz, (1 ф-н) cos a
cos a/
(16.18)
Эвольвентный угол, соответствующий
углу зацепления.
’ . 2(x, + x2)tga .
( inv a„, =----------------Hnva.
F г|+г2
[ Зная инволюту aa., по таблице эволь-
!• вентных углов можно найти угол зацепле-
; ния аа,.
Здесь и далее в расчетах зубчатых
передач по традиции вместо передаточно-
го отношения i используется передаточ-
ное число u — Zi/Z], которое всегда поло-
жительно и больше единицы. Для пони-
жающих передач и= |i|.
Межосевые расстояния стандартных
редукторов стандартизованы (aw = 40; 50;
; 63; 80; 100; 125; 160; 180; 200; 225; 250;
280 ; 315; 355; 400; 450; 500 мм). Для
; нестандартных передач можно не придер-
живаться этих значений.
Межосевое расстояние можно округ-
лить за счет некоторого отклонения пе-
редаточного числа (за счет измене-
ния z2).
Для «вписывания» прямозубой пере-
дачи в заданное межосевое расстояние
можно воспользоваться изменением угла
зацепления (за счет смещения), который
находится из очевидного соотношения
аи=агссоз
тг.(1+и)
---—------cos a .(16.19)
Соответствующее полученному углу
аш суммарное смещение х^ — х\-\-х-2. опре-
деляется зависимостью
(inv аш —inv a) (z, + z2)
Xv —----------------------.
2 tg a
Значение Xv распределяют между ко-
лесами Zi и z2 в зависимости от заданных
условий.
Геометрическому расчету передачи
обычно предшествует кинематический
расчет (определение передаточного чис-
ла и и др.) и назначение ряда исходных
параметров, с помощью которых далее
находятся необходимые размеры. К ряду
таких параметров относится число зубьев
шестерен zi. Если принять zlrnin, то и ме-
жосевое расстояние (габариты передачи)
при заданных других параметрах и, m и
ащ будет наименьшим.
При нарезании зубьев без смещения
МОЖНО ИЗГОТОВИТЬ КОЛеСО ЛИШЬ C Z|nlin =
= 17. Вводя положительное смещение ин-
струмента, получают Z|min= 12 и менее.
На практике минимальное число зубь-
ев шестерни назначают не только из тех-
нологических, но и кинематических сооб-
ражений (плавность работы и др.). Для
колес, нарезаемых без смешения, в зави-
симости от частоты вращения п, (мин- ')
рекомендуется принимать:
л, . . менее 100 100...500 500... 1000 св. 1000
Zimin 17...18 18...22 22...24 24...26
Расчет геометрии цилиндрических
зубчатых передач выполняют по ГОСТ
16532-70.
153
§ 16.5. ОСОБЕННОСТИ ГЕОМЕТРИИ
КОСОЗУБЫХ И ШЕВРОННЫХ КОЛЕС
Косозубые (рис. 16.12, а) и шеврон-
ные (рис. 16.12,6) колеса имеют зубья,
наклоненные под некоторым углом 0 к
образующей делительного цилиндра, но
оси колес являются при этом параллель-
ными.
Направление наклона линии зуба
можно определить, глядя на цилиндриче-
скую поверхность венца. Если при этом
виден зуб, поднимающийся слева напра-
во, то такое направление считают пра-
вым. Обычно зуб шестерни делают пра-
вым, а зуб колеса — левым (направление
зубьев сопряженных колес всегда проти-
воположно) .
Косозубые и шевронные колеса могут
нарезаться прямозубой рейкой, как и
прямозубые колеса. Наклон зуба получа-
ют соответствующим поворотом инстру-
мента относительно заготовки на угол 0.
Применение такого зуборезного инстру-
мента позволяет произвольно менять угол
наклона зубьев на колеса в широком диа-
пазоне от 0 до 60°.
Косозубое эвольвентное колесо имеет
при таком изготовлении теоретически точ-
ные эвольвентные профили в торцовых
сечениях. Это обеспечивает торцовую
картину зацепления в косозубой переда-
че, совпадающую по характеру с зацепле-
нием прямозубых эвольвентных передач.
Расчет геометрических размеров ко-
лес косозубых эвольвентных передач про-
изводится по приведенным выше форму-
лам для прямозубых передач, в которые
необходимо подставить торцовые значе-
ния модуля mt и коэффициентов: высоты
головки зуба hat, радиального зазора c't
и смещения х(. Параметры в торцовом
и в нормальном к зубу сечении связаны
между собой соотношениями:
mt= m/cos Р;
с* = с* cos Р;
Для передач без
контуров межосевое
ляется зависимостью
щей вид
а = 0,5m (г,-
ft0( = Aacos P;
xt=x cos p.
смещения исходных
расстояние опреде-
(16.17), принимаю-
h22)/cosp. (16.20)
В передаче со смещением межосевое
расстояние находится по формуле (16.18)
путем замены в ней т на m(, на awt
и а на а(.
В практике зубообработки применяют
иногда зубострогальные станки, работаю-
щие косозубыми зуборезными гребенка-
ми. В основе этих инструментов лежит
косозубая рейка. Колеса, нарезанные та-
кими инструментами, а также косозубы.ми
долбяками, могут иметь строго регламен-
тированные углы наклона зубьев р на
делительных цилиндрах, соответствующие
углам наклона зубьев на инструментах.
В косозубой рейке различают
(рис. 16.13) торцовый pt, нормальный рп
и осевой рх шаги и соответствующие им
модули — нормальный т, торцовый mt и
осевой тх:
т = р„/л; т1=р'1/л;
тх = рх/я.
Эти модули связаны между собой за-
висимостями
Рис. 16.12. Цилиндрические (а и 6) и конические (в и г) передачи
154
П X
Рис. 16.13. Косозубая рейка
m(=m/cos0; mx=mt/tg 0 = /n/sin 0,
где 0 — угол наклона зубьев.
Угол профиля at в торцовой плоско-
сти не равен углу ал в нормальном к оси
зуба сечении косозубой рейки, так как
при постоянной высоте зуба шаги pt и рп
не равны:
tg a,=tg a„/cos р.
Таким образом, при нарезании прямо-
зубой рейкой, червячной фрезой или косо-
зубым долбяком колесо будет иметь стан-
дартный нормальный модуль т, а торцо-
вый модуль может быть нестандарт-
ным (произвольным).
В случае нарезания косозубой рейкой
стандартным будет лишь модуль mt, а
модуль т в общем случае может ока-
заться нестандартным.
Однако угол р можно выбрать таким,
чтобы оба модуля оказались стандартны-
ми. Такие инструменты используют для
изготовления шевронных колес.
Существенно, что прочность косого
зуба определяют его размеры и форма
в нормальном к зубу сечении. Нормаль-
ное к образующей делительного цилиндра
сечение представляет эллипс с полуосями
c=0,5d и е =0,5c//cos р (рис. 16.14).
Радиус кривизны этого эллипса rv =
= e2/c = 0,5cZ/cos2 р.
В эквивалентном цилиндрическом
прямозубом колесе с диаметром делитель-
ной окружности
d„=2ro=d/cos2 0 (16.21)
форма зуба близка к форме нормального
к зубу сечения косозубого колеса. Число
зубьев в таком эквивалентном колесе
Рис. 16.14. Схема к определению пара-
метров эквивалентного колеса
zv = djm = d/(m cos2 Р) =
= z/cos3p. (16.22)
С увеличением угла наклона линии
зуба р эквивалентные параметры возра-
стают, способствуя повышению прочности
передач.
Зацепление косозубых колес отлича-
ется от зацепления прямозубых колес
тем, что в каждом сечении, параллельном
торцовой плоскости, фаза зацепления
различна. На рис. 16.15 показаны поля
зацепления прямозубой и косозубой пе-
редач. Поле прямозубой передачи, пере-
несенное с рис. 16.6, а, дано здесь для
сравнения (рис. 16.15, а). У косозубой
передачи, даже при еа<1, в зацеплении
одновременно может находиться две пары
зубьев, но с различной длиной линий кон-
такта. Каждая линия контакта является
также прямой. Она лежит в поле зацеп-
ления и наклонена к образующей основ-
ного цилиндра на угол 0 (tg 0* =
= tg0-cosa(). Благодаря наклону зубьев
возрастает суммарная длина линии кон-
такта. Относительную продолжительность
зацепления косых зубьев в осевом сече-
нии характеризуют осевым коэффициен-
том перекрытия:
£f. = bJPbx=bwig ₽ъ!Ры= bw sin ₽о/(лт),
где рь* — осевой шаг зубьев
(рис. 16.15,6); m — модуль зацепления в
нормальном сечении; bw — ширина венца
155
a)
Рис. 16.15. Ноля зацепления прямозубой и косозубой цилиндрических
передач
косозубого колеса и полуширина венца
шевронного колеса.
В общем случае непрерывность зацеп-
ления косозубых передач обеспечивается,
если общий коэффициент перекрытия
е = 6а+кР^ '•
В зацеплении косозубых колес всегда
имеется возможность получать сравни-
тельно большие значения е. Благодаря
этому зубья нагружаются постепенно по
мере захода их в поле зацепления, а пе-
редачи работают плавно, менее шумно
и с меньшими динамическими нагрузка-
ми, чем прямозубые.
Косозубые передачи средних степеней
точности могут заменять высокоточные
прямозубые передачи. Угол наклона ли-
нии зуба р назначают в преде-
лах 8..20°, для шевронных колес р<40°.
Менее 8° угол выполнять не следует, так
как в этом случае утрачиваются указан-
ные выше преимущества косозубых пе-
редач перед прямозубыми передачами.
Увеличение угла р свыше 20° ведет к
увеличению габаритов опор из-за возра-
стания осевой составляющей усилия в за-
цеплении.
Часто, например, в соосных передачах
значение угла наклона линии зуба р ус-
танавливают из условия размещения
(«вписывания») передачи в заданном .ме-
жосевом расстоянии aw при фиксирован-
ных значениях и, m и zi. Тогда из форму-
лы (16.20) следует, что
[mz, (1 +«)1
----------1 (16.23)
J
Значение угла р в заданных пределах
при постоянных а-. и и можно получить
изменением z, и т.
§ 16.6. ОСОБЕННОСТИ ГЕОМЕТРИИ
КОНИЧЕСКИХ КОЛЕС
Конические колеса (см. рис. 16.12,
в,г) применяют для передачи движения
между пересекающимися осями. Угол
между осями колес X (межосевой угол)
теоретически может быть в диапазоне
10°<Х <170°, наибольшее распростра-
нение получили ортогональные передачи
с углом 2 =90° (рис. 16.16, а).
Конические колеса используют, как
правило, в качестве быстроходной ступе-
ни, имеющей меньшую осевую нагрузку.
Их размещают в жестких корпусах (за-
крытые передачи), в которых возможна
точная регулировка зацепления.
В конической передаче, как и в ци-
линдрической, можно определить повер-
хность, на которой скорость относитель-
ного скольжения зубьев равна нулю,
начальную поверхность.
Так как оси колес пересекаются, то
начальные поверхности являются конуса-
ми, углы которых определяются зависи-
мостями
tg 6, = sin £/(«-(-cos 2); 62 = Z — S|.
Для ортогональных передач
tg 6,= l/u = z,/z2;
tg 62=u = z2/z1.
Конические прямозубые колеса наре-
заются на зуборезных станках инструмен-
156
тами, в основу которых положен зуб ис-
ходной рейки (ГОСТ 13754 -81, /ij=l;
с* = 0,2; а = 20°). В подавляющем боль-
шинстве колес инструмент при обработке
обкатывается по делительному конусу, со-
впадающему с начальным конусом коле-
са. Тогда шаги зубьев на образующей
делительного конуса совпадают с шагами
производящего реечного контура. В рас-
чет принимается наибольшее значение
этого шага на внешнем, максимально уда-
ленном от вершины колеса дополнитель-
ном конусе с вершинами в точках Oi и Oj.
Геометрия конических колес в боль-
шой степени зависит от осевой формы
зубьев. В современных машинах исполь-
зуются прямозубые (рис. 16.11, в) и кри-
возубые (рис. 16.11, г) конические колеса.
Наиболее распространены в машиностро-
ении колеса с прямыми пропорционально
понижающимися по длине зубьями, у ко-
торых вершины делительных конусов и
конусов впадин совпадают (рис. 16.16, а).
Эта форма зубьев используется в колесах
прямозубых передач, а также в зубчатых
колесах с круговыми зубьями при неболь-
ших модулях (до 2,5 мм).
Профиль зубьев конических колес
эвольвентным получается лишь прибли-
женно.
Для определения размеров кониче-
ских колес вводят в рассмотрение сред-
ние дополнительные конусы (рис. 16.16,
а). При этом принимают условно, что
профиль зуба на таком конусе близок
к эвольвентному профилю зуба цилиндри-
ческого колеса с радиусом начальной ок-
ружности, равным длине образующей до-
полнительного конуса (рис. 16.16, б).
Чаще всего расчетный дополнитель-
ный конус относят к среднему сечению но
длине зуба, определяемому средним ко-
нусным расстоянием
Rm=Re—Q$b
и соответствующим ему расчетным сред-
ним модулем
m = (2Rm sin 6,)/Zj.
Эвольвентное колесо, замещающее
реальное коническое колесо по профилю
157
зубьев, называют эквивалентным (как и в
косозубых передачах). Из рис. 16.16, а,
б очевидны зависимости диаметров дели-
тельных окружностей эквивалентных ко-
лес от средних делительных диаметров
конических колес:
du = dmi/cos 6,; d„2 = dm2/cos б2,(16.24)
откуда при равенстве модулей m на кони-
ческом и эквивалентном ему эвольвент-
ном колесах число зубьев последнего
zD| = Zi/cos 6i; z„2 = z2/cos62, (16.25)
где г, и zs — числа зубьев конических
колес.
Минимальные числа зубьев шестерни
Z] min и сопряженного колеса z2min ортого-
нальной передачи с прямыми зубьями на-
значают следующим образом:
z, rain.... 12 13 14 15 16 17
z2m,„...... 30 26 20 19 18 17
Наряду с прямозубыми передачами
в механизмах машин и приборов приме-
няют косозубые и кривозубые передачи.
Наибольшее распространение среди косо-
и кривозубых передач получают коничес-
кие передачи с круговыми зубьями
(рис. 16.12, г и рис. 16.16, в). Для них
стандартизован (ГОСТ 16202—81) сред-
ний нормальный исходный контур (й*=1;
с* =0,25; а = 20°).
Конические передачи с круговыми
зубьями имеют более плавное зацепление
и потому большую быстроходность и не-
сущую способность. При их проектирова-
нии также допускается применение не-
стандартных модулей: торцового mte или
среднего нормального т. Угол наклона
кругового зуба в середине ширины венца
Р„ = 29...40°, обычно р„ = 35°.
В нормальном сечении профили кру-
говых зубьев колес близки к профилям
зубьев прямозубых передач с числами
зубьев
_ 21
„ О п »
COS О| COS Рл
Z2
cos б2 cos3 Р„
(16.26)
Передаточное число эквивалентной
передачи
Zvni/%vn I (^2 COS 61 )/(z ] COS 62) = U1.
(16.27)
Зависимости для определения основ-
ных геометрических параметров кониче-
ских передач приведены в учебниках и
справочниках по деталям машин.
§ 16.7. ПЕРЕДАЧИ
С ЗАЦЕПЛЕНИЕМ НОВИКОВА
М. Л. Новиковым разработано зубча-
тое зацепление цилиндрических колес, в
котором выпуклые поверхности началь-
ных головок зубьев одного колеса взаи-
модействуют с вогнутыми поверхностями
начальных ножек зубьев другого колеса
(рис. 16.17, а). Благодаря повышенной
нагрузочной способности передачи с за-
цеплением Новикова применяются в ре-
дукторах и приводах машин в нашей
стране и за рубежом.
В отличие от эвольвентных передач
начальный контакт криволинейных повер-
хностей зубьев осуществляется лишь в
одной точке Ко на одной линии зацепле-
ния /</<', расположенной параллельно
осям вращения колес, и полюсной линии
ПГТ. Линия зацепления проецируется на
торцовую плоскость в точку Ко; поля за-
цепления в этих передачах не существует.
Так как начальный контакт зубьев
осуществляется в одной точке (еа==0), то
для обеспечения непрерывности зацепле-
ния передачи Новикова выполняются обя-
зательно косозубыми (6 = 8...22°) с коэф-
фициентом осевого перекрытия
Другое существенное отличие переда-
чи Новикова от эвольвентной передачи
состоит в том, что перекатывание зубьев
в процессе зацепления происходит не по
высоте, а по их длине (перемещение точ-
ки Ко на рис. 16.17, а показано стрелкой)
и скорость перемещения точки начально-
го контакта значительно (в 4...10 раз)
больше ее окружной скорости. Последнее
способствует образованию в контакте
толстого гидродинамического масляного
слоя, снижению потерь на трение и
уменьшению износа.
Однако в действительности из-за уп-
ругой контактной деформации зубьев под
158
°)
Рис. 16.17. Схемы зацеплений зубьев М. Л. Новикова
нагрузкой их взаимодействие происходит
через площадку, размеры которой быстро
увеличиваются в результате приработки
(заштрихована на рис. 16.17, а). Поэтому
передача Новикова имеет высокую кон-
тактную прочность (в 1,5 раза больше
эвольвентной передачи при твердости
зубьев менее 350 НВ и окружной скоро-
сти 12 м/с).
В редукторах получили распростране-
ние передачи Новикова, у которых голов-
ки зубьев обоих колес выпуклые, а нож-
ки — вогнутые (рис. 16.17, б). Такие пе-
редачи имеют две линии зацепления KiK\
и К-гК?, расположенные параллельно осям
вращения зубчатых колес и полюсной ли-
нии ПП' (одна линия зацепления распо-
ложена над, а другая — пОд полюсной
линией). Здесь имеются две точки зацеп-
ления Ко и Ко, расположенные на одной
или двух соседних парах зубьев, и под
нагрузкой образуются две развивающие-
ся со временем площадки контакта (за-
штрихованы на рис. 16.17, б).
Передачи Новикова с двумя линиями
зацепления имеют контактную прочность
в 1,7 раза выше, чем аналогичные эволь-
вентные передачи, но чувствительны к по-
! грешностям межосевого расстояния.
Формулы для определения основных
размеров передачи Новикова и эвольвент-
ных передач одинаковые.
Получают распространение кониче-
ские передачи с круговыми зубьями.
§16.8. МЕХАНИКА ПЕРЕДАЧ
Кинематика передач. Основной кине-
матической характеристикой зубчатой пе-
редачи является передаточное отношение
£12=Ш1/ы2- (16.28)
выражающее отношение угловых скоро-
стей Ш| и о>2 колес при передаче движе-
ния от колеса / к колесу 2 (рис. 16.18).
Зубья равномерно расположены на
теле колеса, и поворот ведущего колеса
на один зуб вызывает поворот ведомого
колеса тоже на один зуб. Несложно убе-
диться, что
Hi2l =z2/Z| = u, (16.29)
Отношение числа зубьев большего ко-
леса к числу зубьев меньшего колеса
(шестерни) называют передаточным чис-
лом и обозначают буквой и. Передаточ-
ное число либо равно передаточному от-
ношению, либо является его обратной ве-
личиной.
159
Рис. 16.18. Кинематиче-
ская схема двухступенча-
той зубчатой передачи
По геометрическим и конструктивным
соображениям желательно, чтобы колесо
имело не меньше 10... 13 зубьев и не боль-
ше 100... 130 зубьев. При этом передаточ-
ное отношение зубчатой пары в среднем
будет лежать в пределах от 10 до 0,1.
Если в конструкции необходимо реализо-
вать передаточное отношение, выходящее
за эти пределы, применяют несколько по-
следовательно расположенных зубчатых
пар — ряд зубчатых колес.
Предположим, что требуется передать
движение от вала / к валу 3 (рис. 16.18)
с передаточным отношением, выходящим
за пределы, допускаемые одной парой ко-
лес. Тогда, располагая между этими ва-
лами вал 2 и закрепляя на валах колеса
Z|, Z2, Z3 и Z4, получим рЯД ЗубчЭТЫХ
колес, состоящий из двух ступеней: z,-Z2
И Z3-Z4.
Если угловая скорость вала 1 равна
Ы|, то угловая скорость вала 2
Ш2=(1) l/(12 = ,l)1Zl/Z9.
Угловая скорость вала 3
(I) 3 = <,) 2/< 23 = 0) 2г з/2 2-
С учетом этих равенств получим
z,z3
. (16.30)
z2z4
Likiiv образом, угловая скорость ве-
домого ва in ряда равна угловой скорости
ведущего нала, умноженной на дробь, в
числителе которой стонi произведение
числа зубьев ведущих колес ступеней, а в
знаменателе произведение чисел зубьев
ведомых колее.
Общее передаточное отношение ряда
1,3= W|/lO3=(z2Z4/z ,Z3) = i 12^23 (16.31)
равно произведению передаточных отно-
шений отдельных пар колес (ступеней).
Усилия в передачах (статика пере-
дач). Для оценки прочностной и трибо-
технической надежности передач необхо-
димо знать меру их механического взаи-
модействия —- напряжения и деформации
и их предельные оценки (критерии рабо-
тоспособности). Точный расчет напряже-
ний и деформаций в точках зубчатого
колеса связан со значительными матема-
тическими трудностями и может быть ре-
ализован методами теории упругости.
В связи с этим инженерные расчеты на-
пряжений и деформаций выполняют в
зубьях колес в два приема: находят уси-
лие в зацеплении главный вектор дей-
ствующих контактных напряжений; опре-
деляют напряжения в наиболее опасных
точках колеса под действием этой силы
и оценивают их работоспособность.
При определении усилий в зацеплении
используют .методы теоретической меха-
ники (силами трения пренебрегают ввиду
их малости).
Нормальная сила между парой кон-
тактирующих зубьев (рис. 16.19)
Рис. 16.19. Схема сил в за-
цеплении прямозубых ци-
линдрических колес
160
Рис. 16.20. Схемы усилий в зацеплениях косозубых (а) и конических (б) колес
где Ок - контактное напряжение; Ак -
площадь поверхности контакта.
Эта сила будет направлена по линии
зацепления (как по общей нормали к ра-
бочим поверхностям зубьев) так, чтобы
момент этого усилия относительно оси
колеса уравновешивал бы вращающий
момент Гь Нормальная сила Fn использу-
ется также для расчета валов и поддер-
живающих валы опор. Для упрощения
принимают, что контакт зубьев происхо-
дит в полюсе [1 зацепления, так как его
положение известно заранее. Силу рас-
кладывают на составляющие.
Прямозубая цилиндриче-
ская передача. Силу F„ раскладыва-
ют на окружную Ft и радиальную Fr со-
ставляющие:
Fla=2T/d^ F,= F,„tgaa;
Fn = Ft/cos аш, (16.32)
где att. — угол зацепления; Т — вращаю-
щий момент на колесе (шестерне) диа-
метром делительной окружности d.
В расчетах на прочность здесь и да-
лее можно принимать1 dw — d — mz, не
внося существенных погрешностей в диа-
пазоне используемых на практике коэф-
фициентов смещений.
Направление действия окружной силы
1 Точное отражение геометрии колес и за-
цепления необходимо выполнять на чертежах.
6 Г. Б. Иосилевич и др.
для шестерни противоположно направле-
нию ее вращения, а для колеса совпадает
с направлением его вращения.
Вектор радиальных усилий у колес
с внешним зацеплением направлен к цен-
тру, а у колес с внутренним зацеплени-
ем от центра зубчатого колеса.
Косозубая и шевронная ци-
линдрические передачи. Усилие в
зацеплении передачи раскладывают на
окружную Ft, осевую Fa и радиальную F,
составляющие (рис. 16.20, а):
Ft=2T/d\ Fn = Ft,/cosan =
— Falcos <z„ cos р);
F, = Ft. tg <x„ = F, tg a„/cos p;
Fa=Ft^.
(16.33)
Здесь a„ — угол зацепления косозубой
передачи в нормальном сечении; р — угол
наклона линии зуба.
Направление окружной и радиальной
сил такое же, как и в прямозубой переда-
че. Осевая сила параллельна оси колеса,
а направление вектора зависит от на-
правления вращения колеса и направ-
ления линии зуба. Осевая сила Fa нагру-
жает дополнительно (по сравнению с
прямозубой передачей) опоры валов и де-
тали корпусов. По этой причине ограни-
чивается использование косозубых пере-
дач в механизмах, размещаемых в корпу-
сах из легких сплавов (алюминиевых,
магниевых и др.).
161
Указанный недостаток косозубых пе-
редач устраняется в шевронных переда-
чах, которые можно рассматривать как
сдвоенные косозубые передачи с противо-
положным направлением зубьев
(рис. 16.12, б).
Для ограничения осевой нагрузки на
подшипники рекомендуют угол 0<2О°
для косозубых колес. В шевронных коле-
сах угол р<40°.
Конические зубчатые передачи. В за-
цеплении прямозубой конической переда-
чи (рис. 16.20, б) полное усилие также
раскладывают на три составляющие, рас-
считываемые по среднему делительному
диаметру d = mtz (здесь mt—окружной
модуль в среднем нормальном сечении
зуба):
/’„ = /’, cos а; /?/=27’,/й1;
Fr, = Ft tga;
Fr=Frt cos&i = Ft tg a cos 6,;
Fa=Frt sin &x=Ft tg a sin 6j. ,
Отметим, что направление сил на
шестерне и колесе противоположно, а си-
лы Fat=Fr2 И Fr\ = Fa2.
Расчетные нагрузки. В расчетах зубь-
ев передач принимают, что усилия пе-
редаются по всей длине контактных ли-
ний и номинальная нагрузка wпт = Fп/12.
Используя соотношение (16.32), найдем
Общая длина контактных линий за-
висит от ширины венца колеса bw, угла
наклона линии зуба 0 и коэффициента
перекрытия еа. Величина при еа> 1,0 не
остается постоянной по фазам зацепле-
ния, так как в передаче нагрузки могут
участвовать и одна, и несколько пар кон-
тактирующих зубьев. Поэтому в расчетах
используют минимальное значение
(16'36)
Можно принимать /(,, = 0,95; для пря-
мозубых передач при однопарном зацеп-
лении l2—bw, т. е. еаЛ',= 1.
В работающих передачах нагрузка по
длине зуба распределяется неравномерно
из-за деформаций валов, опор, корпусов
162
и самих колес (изгиб, сдвиг, кручение),
погрешностей изготовления. Концентра-
ция нагрузки существенно влияет на про-
чность и износостойкость зубьев.
На работоспособность передач влия-
ют внешние и дополнительные внутренние
динамические нагрузки, возникающие в
передаче в связи с рассогласованием вра-
щения колес из-за неизбежных погрешно-
стей в изготовлении зубьев и их деформа-
ций при нагружении.
Учитывая, эти соображения, номи-
нальную удельную нагрузку wnm из
(16.35) увеличивают в К раз, принимая,
таким образом, в качестве расчетной мак-
симальную удельную нагрузку
Коэффициент нагрузки определяется
из равенства
К=КАКаКрК0,
в котором Ка — коэффициент, учитываю-
щий внешнюю динамическую нагрузку;
Ka = (eaKf)-*— коэффициент, учитываю-
щий одновременное участие в передаче
нагрузки нескольких пар зубьев; К$— ко-
эффициент, характеризующий неравно-
мерность распределения нагрузки по ши-
рине венца (табл. 16.1); К» — коэффици-
ент динамической нагрузки (табл. 16.2).
Зависимость (16.37) можно записать
в виде
wn = wt/cos aw.
Таблица 16.1
Коэффициенты Кр$ (числитель)
и Кнр (знаменатель) концентрации нагрузки
Фи Значения Kfq и Кн$ при расположении шестерни
на консоли симметрично вблизи опор несимметрично относительно опор
0,2 1,15/1,08 1/1 1,02/1,02
0,4 1,22/1,18 1/1 1,08/1,03
0,6 1,32/1,3 1,03/1,02 1,11/1,05
0,8 — 1,06/1,03 1,17/1,07
1,0 — 1,10/1,04 1,23/1,1
1,2 — 1,14/1,06 1,29/1,13
1,4 — 1,17/1,08 1,36/1,17
Таблица 16.2
§ 16.9. ВИДЫ ПОВРЕЖДЕНИЙ ПЕРЕДАЧ
Коэффициент Kv динамической нагрузки для
прямозубых колес
Сте- пень точ- ности Твер- дость НВ поверх- ности зубьев колеса Значение /С при окружной скорости v, м/с
До 3 3...8 Свыше 8...12
6 7 До 350 Св. 350 1,0 1,2 1,3
7 До 350 Св. 350 1,15 1,35 1,25 1,45 1,35
8 До 350 Св. 350 1,25 1,20 1,45 1,35 —
где wt — удельная расчетная окружная
сила,
Ft
= (16.38)
bw
С учетом зависимостей (16.6),
(16.32), (16.37) и равенства Ti =
= 9554P/ni (в Н-м) несложно выразить
расчетную нагрузку через передаваемую
мощность Р (в кВт) и частоту вращения
шестерни п\ (в мин-1):
с РК
ар, = 9,55-106(ц± 1) —L . (16.39)
Таким образом, усилие, действующее
на единицу ширины зуба, возрастает с
увеличением передаваемой мощности и
уменьшается с увеличением частоты вра-
щения, межосевого расстояния и рабочей
ширины зуба. Это усилие вызывает об-
щую деформацию тела зуба (изгиб и
сдвиг) и местную деформацию поверхно-
стного слоя зуба в зоне контакта (кон-
тактную деформацию).
Существенно, что с уменьшением ме-
жосевого расстояния возрастают усилия
на опоры. Указанное обстоятельство учи-
тывают при размещении передач в не-
жестких корпусах (корпуса из легких
сплавов) или при установке жестких кор-
пусов приводов на нежесткие основания
(судовые приводы и др.).
Поломка зуба (выламывание углов
или целого зуба у основания, рис. 16.21)
является одним из распространенных ви-
дов повреждений передач. Основная при-
чина такого разрушения связана с обра-
зованием и развитием усталостной трещи-
ны (трещин) в зоне (зонах) концентрации
напряжений от длительной циклической
нагрузки. Поломка зуба может происхо-
дить и в результате больших перегрузок
статического и ударного характера.
Описанный вид разрушения типичен
для открытых передач, он распространен
и в закрытых передачах с высокой твер-
достью поверхностей зубьев.
Выкрашивание или отрыв от рабочей
поверхности зубьев мелких частичек ме-
талла, приводящий к образованию ямок
(раковин, рис. 16.22), является другим ти-
пичным видом повреждения передач. Оно
начинается обычно вблизи полюсных ли-
ний с образования (на ножках зубьев)
мелких ямок. Выкрашивание контактирую-
щих поверхностей наблюдается преимуще-
ственно в закрытых (работающих в смаз-
ке) передачах и происходит под действием
длительных рабочих нагрузок в зонах кон-
центрации контактных напряжений.
При невысокой твердости поверхности
зубьев (менее 350 НВ) выкрашивание
часто носит ограниченный характер. Оно
начинается в зонах концентрации нагруз-
ки и спустя непродолжительное время
прекращается (происходит приработка
зубьев).
При высокой твердости поверхности
зубьев (более 350 НВ) ямки быстро раз-
растаются, нарушаются условия смазки,
появляются дополнительные динамиче-
ские нагрузки, способствующие преждев-
ременному разрушению зубьев.
Износ зубьев является причиной вы-
хода из строя преимущественно открытых
Рис. 16.21. Схема усталостного
разрушения зуба
6*
163
Рис. 16.22. Схема контактных повреждений
активных поверхностей зубьев колес
передач, недостаточно защищенных от
попадания абразивных частиц. Искаже-
ние профиля в результате износа приво-
дит к увеличению динамических нагрузок,
повышению напряжений изгиба и, как
следствие, к поломке зуба.
Заедание наблюдается в высоконагру-
женных и высокоскоростных передачах
и является следствием разрыва масляной
пленки из-за высоких контактных давле-
ний. Оно проявляется в образовании мо-
лекулярного сцепления (сварки) повер-
хностных слоев металла и последующего
разрушения этих связей в процессе
скольжения зубьев.
Основными критериями работоспособ-
ности зубчатых передач являются изгиб-
ная и контактная прочность. Расчеты по
критерию износостойкости и заедания для
передач общемашиностроительного при-
менения не распространены.
Для уменьшения износа повышают
износостойкость передачи путем увеличе-
ния твердости контактирующих поверхно-
стей, защитой от попадания абразивных
частиц в зону контакта, применением
смазочных материалов с повышенной вяз-
костью.
Меры предупреждения заедания
включают повышение поверхностной
твердости зубьев путем их химико-терми-
ческой обработки, фланкирование, приме-
нение противозадирных смазок и т. д.
§ 16.10. РАСЧЕТ ЗУБЬЕВ НА ПРОЧНОСТЬ
ПРИ ИЗГИБЕ
Расчет на изгиб является основным
для зубьев открытых передач. На изгиб
рассчитывают также зубья закрытых пе-
редач при высокой поверхностной твердо-
сти зубьев.
Условие прочностной надежности зуба
по допускаемым напряжениям имеет вид
(16.40)
где ар—максимальное напряжение в
опасном сечении зуба; [ог] — допускаемое
напряжение при расчете на изгиб.
Для оценки работоспособности пере-
дачи по критерию изгибной прочности не-
обходимо иметь уравнение, связывающее
напряжение of с внешней нагрузкой и
размерами опасного сечения зуба (пара-
метрами передачи). Точный расчет зуба
возможен лишь методами теории упруго-
сти. В инженерном расчете зуб рассмат-
ривают как консольную балку (стержень)
постоянного сечения и искомую зависи-
мость напряжений от сил и размеров се-
чения принимают по формулам сопротив-
ления материалов. Значение номинально-
го напряжения уточняют далее с по-
мощью теоретического коэффициента
концентрации напряжений <za.
Прямозубые цилиндрические переда-
чи. Расчет выполняют для наиболее опас-
ного случая нагружения, когда вся внеш-
няя нагрузка передается лишь одной па-
рой зубьев, один из которых вошел в за-
цепление. Такое допущение справедливо
для колес 8-й и более низкой степени
точности. Ошибки их изготовления не га-
рантируют наличия двухпарного зацепле-
ния. Зуб (рис. 16.23) нагружен силой Fn,
направленной по линии зацепления. Вли-
янием сил трения пренебрегаем ввиду их
малости (коэффициент трения при нали-
чии смазочного материала [ = 0,05...0,08).
Под действием силы Fn в опасном
сечении зуба (показано штриховой ли-
нией на рис. 16.23) будут действовать из-
гибающий момент Л4И, перерезывающая
Q и продольная (сжимающая) W силы
(/ — плечо изгибающей силы):
M„=Fn I cos аа; Q = Fn cos aa;
N = Fn sin aa,
или, учитывая зависимость (16.32),
cos a„ cos a,
= Q = Ft------
\ cos a. cos a.
sin a„
N=Ft--------
cos aw
164
Рис. 16.23. Схема к расче-
ту зуба на изгиб
Напряжения изгиба, возникающие в
крайних волокнах опасного сечения,
& и max
&Ftl cos аа
bws2 cos aw ’
напряжения сжатия
сж А 6^! cos a,/
Здесь W„ и А — момент сопротивления
изгибу и площадь опасного сечения зуба;
si —толщина зуба в опасном сечении;
«а — угол давления aa«28...30°
(рис. 16.19).
Касательные напряжения в крайних
волокнах модели зуба равны нулю.
Суммарное номинальное напряжение
на растянутой стороне в опасном сечении
(Тп °нтах °сж =
6/ cos aa
«1 cos аш
sin аа
cos а
(16.41)
Напряжения на растянутой стороне
меньше, чем на сжатой. Однако повер-
хностные слои материала зуба, как пока-
зывают эксперименты, хуже сопротивля-
ются переменным растягивающим напря-
жениям, чем напряжениям сжатия. По-
этому наиболее опасными оказываются
напряжения, возникающие на растянутой
стороне зуба.
Действительные максимальные напря-
жения Of на переходной поверхности
вблизи опасного сечения будут больше
номинальных напряжений в ая раз. На
рис. 16.24, а, в показано распределение
максимальных напряжений (в МПа) на
контурах зубьев, нарезанных с различны-
ми коэффициентами смещения х. Концен-
трация напряжений вблизи переходной
поверхности и в зоне контакта хорошо
видна на картине полос (рис. 16.25), по-
лученной методом фотоупругости (зоне
наибольших напряжений соответствует
наибольшая частота полос).
С учетом этой особенности и формулы
(16.41) можно записать (Kfa=l)
oF=aaoH=YF--^, (16.42)
owm
°)
Рис. 16.24. Распределение относительных напряжений на контуре зубьев (w„ =
= 1 Н/мм) колес (т=1 мм, z = 40) при различных смешениях:
а — х= — 1; б —х = 0; в —х=1
165
Рис. 16.25. Интерференцион-
ные полосы при статическом
изгибе модели зуба из оптиче-
ски упругого материала
где Kf—коэффициент нагрузки при рас-
чете зубьев на изгиб; т — модуль зацеп-
ления; Yf— коэффициент формы зуба,
а„т / 6/ cos а„ \
Yf=---------| --------sin а к
S] cos \ S, у
По смыслу коэффициент Yf .— макси-
мальное напряжение в опасном сечении
зуба при т=1 мм и удельной окружной
силе WFt = Ft/bw= 1 Н/мм. Зависимость
коэффициента Yf от числа внешних зубь-
ев и коэффициента смещения х приведена
на рис.16.26.
Из формулы ( 16.42) следует, что для
уменьшения напряжения <зр и предотвра-
щения повреждений от усталости можно
Рис. 16.26. Зависимость коэффициента
формы зуба по местным напряжени-
ям Yf от числа зубьев г и коэффициента
смещения х при приложении нагрузки к
вершине зуба при исходном реечном
контуре по ГОСТ 13755—81
увеличить модуль зацепления, снизить
концентрацию напряжений в основании
зубьев (уменьшить У».
Косозубые передачи. У косозубых пе-
редач 1 суммарная длина контактных ли-
ний Д больше ширины колеса bw, что при-
водит к пропорциональному снижению
напряжений изгиба. Максимальное на-
пряжение изгиба в опасном сечении зуба
косозубой передачи
°F—
FtKF
bwmea’
(16.43)
где 1 —(р°/140) — коэффициент, учи-
тывающий наклон зубьев.
Расчетные максимальные напряжения
в зубьях шестерни (индекс «1») и колеса
(индекс «2») взаимосвязаны:
О>1 — OF2^F1/^F2-
При проектировании передач опреде-
ляют размеры зубьев из условия прочно-
стной надежности (16.40).
Так как в формулы (16.42) и (16.43)
входят в явном виде два неизвестных
размера (переменные проектирования) т
и Ьш, то задача оказывается многовари-
антной. Для упрощения проектирования
ширину зубчатого колеса назначают в за-
висимости от диаметра шестерни:
bw/d\ Фб(Ь
(16.44)
где "ipfcd — коэффициент ширины зубчатого
колеса.
Значения коэффициента выбирают на
основе предшествующего опыта проекти-
рования: фм = 0,6...1,4 для колес малой
твердости (менее 350 НВ), расположен-
ных между опорами, при их консольном
расположении фм = 0,3..,0,4; для колес
высокой твердости (не менее 350 НВ)
фм = 0,4...0,9, при их консольном распо-
ложении фм — 0,2.. .0,25.
Выражая окружную силу Ft через
вращающий момент на шестерне Т\ (в
Н-м) и принимая bui = '^bddt. из условия
1 При наличии абразивного изнашивания
суммарная длина контактных линий уменьша-
ется, поэтому косозубая передача в качестве
открытой не используется.
166
(16.40) найдем
Т }Kp^Y pi
2|'Фб2а Fl]
(16.45)
где Km — коэффициент; при средних зна-
чениях величин Кд, Кра, и KF1, можно
принимать: Кт=14 — для прямозубых
передач, Лт=11,2 — для косозубых (ер>
>1) и шевронных передач, К„=12,5 —
для косозубых передач, при ер< 1; Ypt —
коэффициент формы зуба шестерни, При-
нимается для числа зубьев эквивалентно-
го прямозубого колеса z„i по графикам
(рис.16.26).
Значение модуля округляют до бли-
жайшего значения из ряда модулей по
ГОСТ 9563—60 и по принятому значению
модуля находят размеры колес. Ширина
шестерни в прямозубой передаче выпол-
няется несколько больше номинальной
ширины, для компенсации неточностей
установки в осевом направлении Ьш^=
ipbddi; йШ1 = 6а,2 + (0,2...0,4)т. Значения
bwl и Ьа,2 округляют по ГОСТ 6636—69.
Из формулы (16.45) видно, что мо-
дуль и, как следствие, габариты передачи
могут быть уменьшены главным образом
за счет повышения прочности материала
колес, а также путем уменьшения кон-
центрации нагрузки вдоль зуба (умень-
шения и увеличения ф6Д
Колеса с малым модулем зацепления
предпочтительны по условиям плавности
хода и экономичности, однако крупномо-
дульные колеса менее чувствительны к
перегрузкам, неоднородности материала
и погрешности изготовления в меньшей
степени влияют на прочность зубьев. По-
этому для силовых передач значения т<
1,5 мм принимать не следует.
Конические передачи. Их расчет ве-
дется по аналогии с расчетом цилиндри-
ческой передачи.
Условие прочностной надежности зу-
ба конического колеса имеет вид
tl646)
где Kpi — коэффициент формы зуба, оп-
ределяется по графику (рис. 16.26) при
эквивалентном числе зубьев [см. фор-
мулы ( 16.25)]; vp — экспериментальный
коэффициент, учитывает пониженную на-
грузочную способность конических пере-
дач по сравнению с цилиндрическими пе-
редачами из-за конструктивных особен-
ностей; т — модуль в среднем нормаль-
ном сечении зуба.
Для конических прямозубых передач
vf=0,85; для передач с круговыми зубь-
ями vf~1..1,2; большие значения при
колесах с твердостью менее 350 НВ.
Отметим, что в качестве расчетного
было принято среднее сечение зуба. Меж-
ду тем расчет можно было отнести к лю-
бому сечению, так как все поперечные
сечения зуба остаются геометрически по-
добными и удельная нагрузка линейно
возрастает пропорционально удалению
сечения от вершины делительного конуса.
§ 16.11. РАСЧЕТ
НА КОНТАКТНУЮ ПРОЧНОСТЬ
АКТИВНЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ЗУБЬЕВ
Расчет на контактную прочность ак-
тивных поверхностей зубьев является ос-
новным для закрытых (работающих в ус-
ловиях обильного смазывания) передач.
Экспериментально установлено, что
наименьшую контактную прочность имеет
околополюсная зона активных (рабочих)
поверхностей зубьев (рис. 16.22), в кото-
рой на зубья действует полная нагрузка в
зацеплении и скорости скольжения зубьев
не равны нулю. Однако расчет передач
выполняют для фазы зацепления в полю-
се (рис. 16.27), так как его положение
известно заранее.
Условие прочностной надежности пе-
редачи по допускаемым контактным на-
пряжениям имеет обычный вид
(16.47)
где ан—максимальное контактное на-
пряжение на активной поверхности зубь-
ев; [а#] — допускаемое напряжение при
расчете на контактную прочность.
Существенно, что расчетные значения
ан одинаковы для шестерни и колеса, но
значения допускаемых напряжений для
шестерни [сглп] и колеса [стяг] могут быть
неодинаковыми. В связи с этим расчет
на контактную прочность выполняют для
того колеса пары, которое имеет меньшее
допускаемое напряжение.
167
Рис. 16.27. Схема к расчету контакт-
ной прочности зубьев
Для расчета передачи по условию
(16.47) следует иметь уравнение связи
напряжения ан с внешней нагрузкой и
параметрами передачи.
Прямозубые и косозубые передачи.
В расчете полагают, что механика кон-
такта двух зубьев аналогична контакту
двух цилиндров с радиусами /?, и Rz,
равными радиусам кривизны эвольвент
зубьев в точке контакта, т. е. для расчета
зубьев используется задача Герца о кон-
такте цилиндров (см. гл. 11). Использова-
ние такой модели, как показали точные
расчеты, оправдано, так как размеры
площадки контакта малы по сравнению
с размерами зуба.
Максимальное контактное напряже-
ние в зацеплении при Fr=Fn
°н \/ Е1(1-р^+Е2(1-И2 * 4) nbR'
(16.48)
Для получения расчетного соотноше-
ния выразим величины, входящие в ра-
венство (16.48), через силовые и геомет-
рические параметры передачи.
Нормальное усилие Е„ связано с рас-
четной окружной силой зависимостью 1 1
1 Здесь и далее параметрам, связанным
с расчетом контактной прочности передач, при-
писывается индекс И.
FtK„
F
" cos а
в которой Кн—коэффициент нагрузки
при расчете зубьев на контактную про-
чность.
Радиусы кривизны эвольвент для ко-
созубого зацепления находим из равенств
(16.21), определяющих диаметры эквива-
лентных прямозубых колес:
/?, = 0,5*7^,, sin R2 = 0,5do2 sin а1а,
тогда, имея в виду передаточное число
и =dz/d\,
1 _ 1 1___2(u±l)cos2
R Ri R2 udwl sin alw
Знак плюс берется при расчете внеш-
него, а знак минус — для внутреннего за-
цепления. Не внося существенных по-
грешностей в расчет на прочность, можно
принять Р(,«р.
Подставив эти соотношения в форму-
лу (16.48), найдем искомую зависимость
a„=Z„Z£ZA/ “±l, (16.49)
\/ w 1
где ZH=-^(2cos P)/(sin 2 a(w)— коэффици-
ент, учитывающий форму сопряженных
поверхностей;
2Е|Е2
—Иг) +^2(1 — Н?)]
— коэффициент, учитывающий механиче-
ские свойства материалов колес (модули
упругости Е| и Ег и коэффициенты Пу-
ассона pi и ц2), для стальных колес
Z£ = 275 Mna1/2;Zf — коэффициент, учи-
тывающий суммарную длину контактных
линий, для прямозубых колес Ze = (4 —
— ea)/3, для косозубых ZF=l/ea.
При проектировании передач опреде-
ляют размеры колес из условия (16.47).
Для упрощения проектирования, как и
при расчете на изгиб, принимают, что
ширина зубчатого вениа ।.
Учитывая это допущение и равенство
Ft = 2T\/dwX = 2T2/(udwl) из соотношения
(16.48), получим
Г2Кн(ц± 1)
4 и ^н]2"2
(16.50)
168
где Kd—\2 (ZHZEZ$— коэффициент;
Тг — вращающий момент на колесе, Н-м;
фм — коэффициент ширины колеса
(см. §16.10); и— передаточное число.
В проектировочном расчете для пред-
варительного определения размеров колес
можно принимать: Ка = 770-—для сталь-
ных прямозубых колес; К</ = 675 — для
косозубых колес; коэффициент нагрузки
Кн~Кн$-
Значения /Сир можно принимать из
табл. 16.2.
Предварительный расчет зубчатых пе-
редач часто удобно вести в форме опреде-
ления межосевого расстояния, задаваясь
относительной шириной колеса (коэффи-
циентом) ^ba = bw/aw.
Для стальных передач при средних
значениях коэффициентов Zh, Ze и Ze
несложно получить соотношения для оп-
ределения предварительного значения ме-
жосевого расстояния (в мм):
а«,>Кв(м+1)Д (1651)
где Ка — коэффициент: для прямозубой
передачи КО = 495: для косозубой и шев-
ронной передачи /Са = 430; Гг—вращаю-
щий момент на колесе, Н-м.
Коэффициент фбд принимают в зави-
симости от положения зубчатых колес
относительно опор: при симметричном по-
ложении колес ф|,а = 0,315...0,5; при не-
симметричном положении ф&а = 0,25...0,4;
при консольном расположении ф»а =
= 0,2...0,25. Меньшие значения назнача-
ют для колес с увеличенной твердостью
поверхности (не менее 350 НВ). Для ко-
лес шевронных передач ф»о =0,4...0,63.
Вычисленное значение aw округляют до
ближайшего большего значения из ряда
Р40 по ГОСТ 6636—69. Для стандартных
редукторов аш округляют до ближайшего
большего значения по ГОСТ 2185—66.
Из формул (16.50) и (16.51) видно,
что размеры колес (габариты) из условия
контактной прочности не зависят от моду-
ля (размеров зуба). Это объясняется тем,
что размеры площади контакта малы в
сравнении с размером зуба. Габариты пе-
редачи в этом расчетном случае можно
сократить за счет увеличения прочности
поверхностных слоев зубьев (увеличением
[ан]) путем поверхностной закалки или
физико-химической обработки, а также
увеличением приведенного радиуса кри-
визны точек зубьев за счет изготовления
колес с положительным смещением х.
В практических расчетах минималь-
ное значение модуля устанавливают из
расчета на изгиб. Решая совместно выра-
жения (16.42) и (16.48) при 0=10...25°,
найдем
m«0,laa,u/(u+ I)2.
Эта формула позволяет выбрать мо-
дуль m при заданном межосевом расстоя-
нии передачи с учетом заданной или до-
пустимой нагрузки. Если оказывается, что
расчетное значение ш<1,5 мм, то прини-
мают zn= 1,5...2 мм, так как при малом
значении m возрастают требования к
жесткости передачи, увеличивается опас-
ность повреждения зубьев из-за концен-
трации нагрузки и в связи с перегрузкой.
Далее при известном модуле опреде-
ляют остальные размеры передачи.
Расчет прямозубых колес ведется по
вышеизложенным формулам при 0 = 0.
Конические передачи. Для прямозубо-
го конического зацепления значение при-
веденного радиуса кривизны R определя-
ют по диаметрам эквивалентных колес
[см. формулы (16.24)]
±=_L+X=
R Ry R2
2 / . , cos 62\
=——:----( cos 61H-----.
di sin a \ и I
Принимая во внимание, что u = tg 62 =
= ctg 61, получим
V1 +tg26i V1 +“2
cos 62
После подстановки и несложных пре-
образований будем иметь
1
R
2у/и2+ 1
djU sin a
169
где di — средний диаметр меньшего коле-
са (шестерни).
Удельная нагрузка в этом сечении оп-
ределяется, как и для прямозубого колеса.
Учитывая эти соображения, из усло-
вия прочности по допускаемым контакт-
ным напряжениям несложно получить
следующее соотношение, аналогичное
формуле (16.50):
de2=960"\ /- Tr'uKWK_^------, (16.52)
V vH[aH]2(l-^e)Kbe
где Тц — вращающий момент на ведомом
колесе, Н-м; Ун— экспериментальный ко-
эффициент, учитывающий особенности
прочности конических передач (ун =
0,85—для прямозубых передач; ун=
0,8 + 0,15и —для кривозубых передач
с высокой поверхностной твердостью
зубьев; vh=1,2 + 0,2u— то же, при твер-
дости менее 350 НВ); Кье — коэффициент
ширины зубчатого венца, Kbe=b/Re.
Для уменьшения концентрации на-
грузки рекомендуется Кье^О.З, меньшие
значения следует принимать для неприра-
батывающихся колес (более 350 НВ).
Вычисленные значения диаметра
внешней делительной окружности округ-
ляют до ближайшего значения по ГОСТ
12289 —76 (50, 63, 80, 100, 125, 160, 200,
250, 280, 315).
§ 16.12. МАТЕРИАЛЫ,
ТЕРМООБРАБОТКА
И ДОПУСКАЕМЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ
ДЛЯ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Зубчатые колеса изготовляют из ста-
лей, чугуна и неметаллических материа-
лов. Колеса из неметаллических материа-
лов имеют небольшую массу и не корро-
дируют, а передачи с такими колесами
работают бесшумно. Однако они имеют
невысокую прочность и, как следствие,
большие габариты передачи, а также
сравнительно высокую стоимость изготов-
ления колес. Это ограничивает их приме-
нение в силовых механизмах.
Чугунные зубчатые колеса применяют
в несиловых открытых передачах. Они
имеют малую склонность к заеданию, хо-
рошо работают в условиях ограниченного
смазывания, но не выдерживают ударных
нагрузок.
Колеса из сталей Ст5, Стб, 35, 35Л,
40, 40Л и др. используются широко в си-
ловых передачах. Для повышения нагру-
зочной способности их подвергают терми-
ческой обработке.
Колеса малоответственных
передач в машинах общего назначе-
ния, а также колеса передач, габариты
которых не ограничены, подвергают
объемной закалке с высоким отпуском.
В результате колеса диаметрами до
150 мм будут иметь твердость
300...350 НВ. Колеса большего диаметра
будут иметь твердость зубьев не более
350 НВ, твердость тела уменьшится до
200 НВ. Зубья могут быть нарезаны по-
сле термообработки; благодаря этому от-
падает необходимость выполнения дово-
дочных операций.
Для предотвращения заедания рабо-
чих поверхностей нижний предел твердо-
сти шестерни (меньшего колеса), как по-
казывает практика, должен быть на
30...50 единиц выше верхнего предела
твердости колеса.
Колеса ответственных пере-
дач в транспортных машинах и передач
ограниченных габаритов должны иметь
твердость зубьев более 400 НВ (или бо-
лее 40 HRC) и более мягкую (вязкую)
сердцевину. Различную твердость в одном
объеме металла получают путем повер-
хностной закалки токами высокой часто-
ты (ТВЧ) или химико-термической обра-
ботки (цементацией, азотированием и
т.п.). Наиболее производительна закалка
ТВЧ по контуру зубьев колес из сталей
с содержанием углерода 0,3...0,5 %. Тол-
щина закаленного слоя при этом достига-
ет 3,5...4 мм и имеет твердость поверхно-
сти 45...55 HRC.
Закалка ТВЧ применяется для обра-
ботки зубьев с модулем т~^5 мм. При
т<5 мм реализовать поверхностную
закалку технологически сложно, а при
пг<2,5 мм практически невозможно.
Мелкомодульные колеса изготовляют
из малоуглеродистых сталей (0,12...0,3 %С)
с последующим насыщением углеродом
(цементация) поверхностных слоев зубьев
и закалкой. Глубина цементированного
слоя не превышает 2 мм, твердость поверх-
170
ностей зубьев 50...62 HRC. Передачи
с такими колесами имеют высокую нагру-
зочную способность и сравнительно не-
большие габариты.
Закалка колес после цементации при-
водит к короблению (деформации) зубь-
ев, поэтому их форму восстанавливают
дополнительными доводочными операция-
ми (шлифованием, хонингованием или об-
каткой). Обычные методы нарезания
зубьев для их доводки неприемлемы вви-
ду высокой твердости поверхностей. Дру-
гие виды химико-термической обработки
(азотирование, цианирование) в общем
машиностроении применяют реже. Полу-
чают распространение высокоэнергетиче-
скне методы обработки поверхностей
зубьев (лучом лазера, плазмой), совме-
щаемые с напылением порошков и метал-
лургической обработкой поверхности.
При выборе материала необходимо
иметь в виду, что в крупносерийном и
массовом производстве заготовки колес
диаметром свыше 500...600 мм изготовля-
ют литьем их сталей, а при малых диамет-
рах штамповкой. В последнем случае
используют стали с высокой пластично-
стью (12Х2Х4А, 20Х, 20Х2Н4А и др.).
Допускаемые напряжения изгиба. До-
пускаемые напряжения изгиба при расчете
на выносливость определяют по формуле
Y6YRYX, (16.53)
^F
где Ofiim—предел выносливости зубьев
при изгибе; Sf—коэффициент запаса
прочности; Ув= 1,082 — 0,172 Igm— коэф-
фициент, учитывающий градиент напря-
жений в зоне их концентрации и чувстви-
тельность материала колеса к концентра-
ции напряжений; У/? — коэффициент, учи-
тывающий шероховатость переходной по-
верхности зубьев; для поверхностей после
зубофрезерования и шлифования можно
принимать У/?=1, для полированных по-
верхностей после различных способов
термического упрочнения — У«= 1,05...1,2;
Ух= 1,05 —0,000125 d — коэффициент,
учитывающий размеры зубчатого ко-
леса.
Коэффициент запаса прочности Sf ин-
тегрально учитывает приближенный ха-
рактер расчетов. Его значение назначают
в зависимости от требований к передаче,
способа термической и химико-термиче-
ской обработки и'вероятности неразруше-
ния. В ГОСТ 21354—87 приведены значе-
ния коэффициента Sf для вероятности
неразрушения 0,99. При отсутствии не-
обходимых статистических данных можно
Принимать 3^т|п= 1,4...1,7.
В передачах, где излом недопустим по
условиям техники безопасности или свя-
зан с большими производственными поте-
рями, коэффициент Sf рекомендуется уве-
личивать на 50 %.
Предел выносливости зубьев of iim, со-
ответствующий числу циклов Nk за срок
службы передачи, определяют по формуле
^Fiim=a^limy0JzJv. (16.54)
где OfHrn—предел выносливости зубьев
при базовом числе циклов A/rlira = 4-106
(табл. 16.3), определяемый путем устало-
стных испытаний непосредственно зубьев
колес на специальных установках (стен-
дах); Уо — коэффициент, учитывающий
отличие действительной технологии изго-
товления заготовок и зубьев колес, а так-
же действительного характера нагружения
зубьев от технологии изготовления и ха-
рактера нагружения зубьев, соответству-
ющих данным табл. 16.3; У к— коэффици-
ент долговечности,
tn р
YN= ^NFVim/Nk, (16.55)
но не менее 1. Здесь: mF—показатель
степени в уравнении кривой усталости;
для зубьев с нешлифованной переходной
поверхностью при твердости более
350 НВ принимают mf=9, в остальных
случаях mF=6.
Фактическое число циклов NF нагру-
жения при работе на постоянном режиме
Ак=60сп/; (16.56)
при нестационарном ступенчатом режиме
нагружения эквивалентное число циклов
нагружения
N
ККЕ=60с £ (7';/T1)mfn1./i, (16.57)
/= 1
где п, — частота вращения, мин~1, колеса
на i-м режиме работы при вращающем
моменте Тц i — номер режима нагруже-
171
Таблица 16.3
Приближенные значения а^||П|
Термическая или химикотермическая обработка Твердость зубьев Сталь a%im, МПа
поверхность сердцевина
Нормализация, улучшение 180...350 НВ Углеродистая и легирован- ная (40, 45, 40Х, 40ХН, 40ХФА, 40ХН2МА, и др.) 1,8-НВ
Закалка ТВЧ по контуру 48...58 HRC 25...35 HRC Легированная 40ХН2МА и др.) (40ХН, 40, 680
Объемная за- калка 45...55 HRC Легированная 40ХН2МА и др.) (40Х, 40ХН, 580
Азотирование 550...750 HV 24...40 HRC Легированная (38ХМЮА, 40Х, 40ХФА и др.) 290+12-HRC
Цементация (концентрация уг- лерода на поверх- ности 0,6... 1,4 %) 56...63 HRC 30...45 HRC Легированная 12ХНЗА и др.) (20Х, 25ХГТ, 800
ния (/=1, 2..., У); с — число зацеплений
зуба за один оборот колеса; /,• — продол-
жительность работы на i-м режиме; Ti —
максимальный вращающий момент, учи-
тываемый в расчете; тр — показатель
степени кривой усталости.
В проектировочном расчете допускае-
мое напряжение изгиба можно опреде-
лить по приближенной формуле
[af]=0,4af нга//у (16.58)
Для реверсивных передач значения
[of] уменьшают на 25 %.
Допускаемые контактные напряже-
ния. Допускаемые напряжения при расче-
те на контактную прочность определяют-
ся по формуле
г , оиИт
Ы=—~--------ZRZ„ZLZX, (16.59)
где он нт — предел контактной выносли-
вости поверхности зубьев; Зц— коэффи-
циент запаса прочности; для зубьев с по-
верхностным упрочнением (химико-терми-
ческой обработкой и т. д.) назначают
Зн=1,2, для зубьев без поверхностного
упрочнения Зн=1,1; ZR, Z„, Zf и Zx
— коэффициенты, учитывающие соответ-
ственно влияние на контактную прочность
шероховатости контактирующих повер-
172
хностей зубьев, окружной скорости колес,
смазки и размеров колес.
В проектировочном расчете можно
принимать произведение ZRZVZLZх = 0,9.
Обратим внимание на более низкие по
сравнению со значением Sf значения ко-
эффициента Sh. Это связано с тем, что
после появления признаков выкрашива-
ния передача еще может работать дли-
тельное время.
Предел контактной выносливости по-
верхностей зубьев, соответствующий фак-
тическому числу циклов нагружения,
аН lim === °F/ lim^Ai, (16.60)
где — предел выносливости при ба-
зовом числе циклов Уннт нагружений,
его значения можно принимать из
табл. 16.4 в зависимости от средней твер-
дости поверхности; Zn—коэффициент
долговечности, учитывает влияние на пре-
дел контактной выносливости фактическо-
го числа циклов нагружений, отлично-
го от базового числа циклов Neu™,
6,-------
но не более 2,6 — для зубьев без повер-
хностного упрочнения и 1,8 — для зубьев
Таблица 16.4
Значения пределов выносливости a//lim
Способ терми- ческой и химико- термической обработки зубьев сталь- ных колес Средняя твердость поверхностей зубьев Формула для определения значений “y/iin,’ МПа
Отжиг, норма- До 350 НВ 2-HB-I-70
лизация или улуч- шение Объемная и по- 38...50 HRC 17-HRC-I-200
верхностная за- калка Цементация и Св. 56 HRC 2-HRC
нитроцементация Азотирование 500...750 HV 1050
с поверхностным упрочнением;
ZO г — --
д/Л^Нт/Л^ при Л^>Л^Ип1.
Базовое число циклов N и нт нагруже-
ний принимают в зависимости от твердо-
сти поверхностей зубьев:
Твердость НВ 200 250 300 350 400 500 600
AWW'6
циклов. ... 10 17 25 30 50 80 105
О выходе из строя передачи при по-
строении кривой контактной усталости су-
дят обычно по критерию Дк, который
представляет собой отношение (в %)
площади, пораженной выкрашиванием, к
площади активной поверхности зуба. Не-
допустимым считают повреждение, соот-
ветствующее Дк = 0,5%—для закален-
ных и Дк = 2%—для термоулучшенных
зубьев.
Фактическое число циклов нагруже-
ния при постоянном и переменном режи-
мах нагружения находится из соотношений
(16.56) и (16.57).
Допускаемое напряжение для шестер-
ни и колеса может быть неодинаковым.
В этом случае для прямозубых передач
в качестве расчетного принимают меньшее
из двух значений [о/yj и [адг]. Для косо-
зубых и шевронных неприрабатывающих-
ся передач (твердость одного или обоих
колес менее 350 НВ) за расчетное допус-
каемое напряжение принимают меньшее
из двух значений:
[ан]= 0’45 ([о[онг])'- [°//] = 1 >23[ан2],
а для конических колес с круговыми зубь-
ями — меньшее из значений:
[°//]=0,45 ([oyyiJ+foyyJ); [ан]= 1>15 [оу/2].
Сопротивление поверхности зуба вы-
крашиванию повышают путем увеличения
межосевого расстояния и (или) угла за-
цепления, введением смещения, уменьше-
нием высоты микронеровностей поверхно-
сти зуба, применением материала с повы-
шенной твердостью поверхностного слоя.
§ 16.13. ОСОБЕННОСТИ
РАСЧЕТА И ПРОЕКТИРОВАНИЯ
ПЛАНЕТАРНЫХ ПЕРЕДАЧ
Устройства и основные характеристи-
ки передач. Планетарными называют пе-
редачи, которые имеют хотя бы одну под-
вижную геометрическую ось колеса. Под-
вижность оси позволяет уменьшить габа-
риты передачи и получить систему с дву-
мя и более степенями подвижности.
Рассмотрим обычную зубчатую пере-
дачу из двух колес 1 и 2 с неподвижными
осями (рис. 16.28, а). Подвижность оси
одного из колес, например колеса /, мож-
но сообщить, если корпус подшипников
этого колеса связать с выходным валом,
соосным с входным валом (рис. 16.28,6).
В такой передаче колесо 2 с неподвижной
осью называют центральным, выходной
вал вместе с корпусом подшипников про-
межуточного вала — водилом, а колесо
1 с подвижной осью — сателлитом.
В планетарном механизме (рис. 16.28, в)
сателлит 2 имеет внешнее и внутреннее
зацепления соответственно с централь-
ным колесом I и колесом 3, соединенным
с неподвижным корпусом.
Рис. 16.28. Схемы обычной (а) и планетар-
ных (б и в) передач
173
Кинематический анализ планетарных
механизмов выполняют по методу Вилли-
са, основанному на остановке водила.
При этом всей планетарной передаче
мысленно сообщается вращение с угло-
ной скоростью водила шд, т. е. водило
мысленно останавливается, а другие ко-
леса освобождаются. Полученный меха-
низм с обычной передачей называют об-
ращенным.
Мысленная остановка водила равно-
ценна вычитанию его угловой скорости из
угловых скоростей подвижных колес. На-
пример, передаточное отношение меха-
низма, изображенное на рис. 16.28, в,
н Mj — Ши
Сз—
шз—шн
выражает собой отношение угловых ско-
ростей колес в движении относительно
водила (cdi и 0)3 — угловые скорости ко-
лес 1 и 3). Нижние индексы при i показы-
вают соответственно ведущее и ведомое
звенья, верхний — мысленно остановлен-
ное звено.
Принимая во внимание, что колесо
3 неподвижно (<о3=0), получим
,н “| —“н , <°1 , .3
Z13—г; ~ 1 ~ 1 —llH’
О —о)н
откуда
,-3 — 1 —iH — 1 —iHjH
l\H~ 1 —Z13— 1 — 112*23-
Если zi, Z2 и zs — числа зубьев колес
1, 2 и 3, то jf3=( — z2/Zi) (z3/z2) и оконча-
тельно будем иметь
1 z3
г’?н=1+т1-
г1
Знак минус в первом множителе показы’-
вает, что вращение ведомого колеса
2 происходит в направлении, противопо-
ложном вращению колеса 1. В передаточ-
3
ное отношение г1н не входит zs, так как
в этой схеме сателлит лишь изменяет
направление вращения ведомого колеса.
Планетарные передачи имеют более
низкий КПД по сравнению с обычными
передачами из-за относительных переме-
щений звеньев, вызванных подвижностью
осей. С увеличением передаточного отно-
шения механизма его КПД снижается.
Для механизмов, выполненных по схеме
на рис. 16.28, в, г] = 0,85...0,97.
Усилия в зацеплении. Особенности
расчета усилий планетарной передачи
связаны с распределением нагрузки по
нескольким зубчатым, зацеплениям (по
числу сателлитов) и одновременным за-
цеплением сателлита с двумя централь-
ными колесами (рис. 16.28, в). Благодаря
этому масса и габариты планетарных пе-
редач меньше, чем у обычных (рядовых).
Силы определяют в соответствии со
схемой передачи. В трехсателлитной пе-
редаче вращающий момент Та на цен-
тральном колесе уравновешивается сила-
ми Fia, Fia и Рза в зацеплениях
(рис. 16.29, а):
Ta—rb(a) (F 1а+^2а+^3а)>
где Г(,(а) — радиус основной окружности
центрального колеса.
В идеально точной передаче силы
равны и нормальная сила от сателлита
(например, колеса 1) на колесо а (п^. —
число сателлитов)
^la= Тbla/l w)-
Рис. 16.29. Схемы к определению сил в передаче
174
В реальной передаче из-за неточно-
стей изготовления и различия зазоров
в зацеплении вращающий момент будет
неравномерно распределяться между са-
теллитами (рис. 16.29, б). Равновесие при
этом не нарушается из-за реакции R, воз-
никающей в центральной опоре.
Так как силы в зацеплениях не могут
быть определены из уравнения равновесия
(в одном уравнении содержатся три не-
известные силы), то рассматриваемая сис-
тема оказывается статически неопредели-
мой. Значения сил в такой системе могут
существенно различаться (в зависимости
от точности изготовления деталей).
На практике для выравнивания на-
грузки на сателлитах применяют ряд кон-
структивных мер. Например, в трехсател-
литной передаче исключают опоры цен-
трального колеса (выполняют его «пла-
вающим»), а соединение колеса с приво-
дом осуществляют через шарнирную муф-
ту (шлицевую и др.). Однако наибольше-
го эффекта достигают при подвижной
установке обоих центральных колес. На-
пример, колесо а устанавливают на валу,
допускающем радиальные перемещения
вместе с колесом, при этом второе цен-
тральное колесо b образует подвижное
шлицевое соединение с гибкой обечайкой
(корпусом), также обеспечивающей ради-
альные перемещения колеса.
В передаче с числом сателлитов nw>
>3 полностью исключить неравномерное
распределение нагрузки между сателли-
тами не удается.
Неравномерное распределение нагруз-
ки между сателлитами учитывают в рас-
четах, умножая значение усилия F\a на
коэффициент неравномерности нагрузки
КИ. Для трехсателлитной передачи с ко-
лесами 7-й степени точности и централь-
ных колесах, размещенных в жестких
опорах, Л„= 1,35...1,5; при «плавающем»
центральном колесе Кя= 1,1...1,15 >.
Нагрузку на подшипники сателлитов
и оси водил определяют по схеме на рис.
16. 29, в.
Участие сателлита одновременно в
двух зацеплениях приводит к тому, что
одновенцовый сателлит не передает вра-
1 Центробежные силы в расчете не учи-
тываем.
щающего момента и находится в равно-
весии под действием сил Fa\ и Ft,\ со сто-
роны центральных колес, а также силы
Fhi от водила Н (рис. 16.29, в).
Принимая, что углы зацепления
o.wa — ^Wb, из уравнения равновесия (ра-
венства проекций на горизонтальную ось)
FHi = Fа\Кл cos аш1.
Сила Fh используется для расчета
подшипника сателлита и оси водила.
Особенности конструкции передач.
Они обусловлены наличием водила и са-
теллитов, конструктивные решения кото-
рых разнообразны. Наиболее характер-
ные конструкции водил показаны на
рис. 16.30. Водило 4 (рис. 16.30, а) имеет
консольные оси. Изгиб осей под нагруз-
кой приводит к перекосу зубьев сателлита
2. Поэтому в ответственных конструкциях
применяют водило барабанного типа
(рис. 16.30, б)
Центральные зубчатые колеса плане-
тарных передач не имеют особенностей по
сравнению с колесами обычных передач
(с неподвижными осями).
Особенности расчета на прочность.
Для расчетов на прочность используют те
же формулы, что и для расчетов прямозу-
бых цилиндрических передач. Обычно на
прочность при изгибе рассчитывают толь-
ко зубья передачи внешнего зацепления
(сателлит — наружное колесо), так как
модули зубьев одинаковы и внутреннее
зацепление прочнее. При расчете колес
с внутренними зубьями коэффициент фор-
мы зуба вычисляют по формуле
rf=4z/(z + 20).
Для расчета контактных напряжений
формулу (16.50) уточняют введением
множителя K„/nw. В результате получаем
При расчете допускаемых напряже-
ний учитываются дополнительные нагру-
жения зубьев центрального колеса и са-
теллита.
Число циклов нагружений за время
t (в ч):
175
Рис. 16.30. Конструкции водил
для зубьев центрального колеса
NЕ = пш(па — пн) 60/;
для зубьев сателлита
— пн) 60/,
где па, «I и пн—частота вращения
звеньев а, 1 и Н. Так как за один оборот
одновенцового сателлита происходит на-
гружение обеих активных поверхностей
зуба, то расчет ведут, как при действии
реверсивной нагрузки.
§ 16.14. КОНСТРУКЦИИ ЗУБЧАТЫХ КОЛЕС
Конструктивные формы колес опреде-
ляются в значительной мере их размера-
ми (преимущественно диаметром), видом
производства (единичное, серийное и др.)
и способом соединения с валом (насад-
ные колеса и валы-шестерни, изготовлен-
ные заодно с валом).
Диаметр колес, объем (вид) произ-
водства и возможности предприятия-изго-
товителя определяют способ получения
заготовок.
Колеса небольших диамет-
ров (менее 100...150 мм) изготовляют
обычно цельными из штампованных заго-
товок без углубления (рис. 16.31, а). Ко-
леса большего диаметра (до
400...500 мм) выполняют (для уменьше-
ния массы) с углублениями и отверстия-
ми (рис. 16.31,6). В единичном и мелко-
серийном производстве заготовки таких
колес получают из сортового проката или
поковок, полученных свободной ковкой,
а в крупносерийном и массовом производ-
стве— штамповкой (рис. 16.31, в). Ко-
леса больших диаметров (свыше
400...500 мм) изготовляют сварными
(рис. 16.31,г) — в единичном и мелкосе-
рийном производстве и литыми
(рис. 16.31, д) — в крупносерийном и мас-
совом производстве.
Зубчатый венец делается за одно це-
лое с валом (вал-шестерня), если толщи-
на обода в месте, ослабленном шпоноч-
ным пазом, будет меньше 2,5 m
(рис. 16.31, е, ж), а также при высоких
требованиях к точности центрирования
колеса на вале. Валы-шестерни выполня-
ют обычно из кованых заготовок.
Установка зубчатых колес на валах
производится с фиксированием в окруж-
ном и осевом направлениях.
В окружном направлении зубчатые
колеса фиксируют посадкой, которая на-
значается в зависимости от передаваемой
нагрузки и частоты разборки.
При небольших нагрузках и частых
разборках применяют переходные посад-
ки H7/fe6, H7/m6 и др., при которых
в соединении возможен как небольшой
натяг, так и некоторый зазор. Для
передачи вращающего момента в этом
случае используют шпонки, шлицы и
штифты.
176
При редких разборках применяют по-
садки Н7/п6 и Н7/р6. Колеса с ука-
занными посадками должны фиксиро-
ваться в осевом направлении пружинны-
ми кольцами, установочными винтами или
распорными втулками, гайками и др.
При передаче высоких вращающих
моментов, а также при работе в условиях
вибраций (высокоскоростные передачи)
зубчатые колеса устанавливают на валах
на прессовых посадках Н7/гб, Н7/76,
Н7/п6 и др., при которых натяг в соеди-
нении находится в пределах
(0,0002...0,002)dB, где dB - диаметр вала.
В этом случае не требуется использовать
шпонки и шлицы для передачи вращаю-
щего момента.
§ 16.15. ОБРАЗОВАНИЕ
МЕХАНИЧЕСКОГО ПРИВОДА
Общие сведения. Приводом называют
устройство, приводящее в движение ма-
шину или механизм. Он включает в себя
обычно: источник энергии — двига-
тель, передаточный механизм на
основе механических передач, согласую-
щий скорости и моменты двигателя и ра-
бочего органа машины (механизма), и
аппаратуру управления.
Лишь в редких случаях, когда угло-
вые скорости валов двигателя и машины
совпадают, применяют непосредственное
их соединение муфтой (например, в при-
водах вентиляторов, насосов и т. п.).
Выше рассмотрены общие вопросы
расчета и проектирования основных ти-
пов передач. Выбор типа механической
передачи для привода является одной из
инженерных задач, решаемых при разра-
ботке проекта машины, прибора или ап-
парата на основе технико-экономического
сопоставления. Исходными данными для
этого служат внешние характеристики пе-
редачи: тип машины и назначение пере-
дачи; передаваемая мощность и частоты
вращения входного и выходного валов,
177
взаимное расположение и расстояние
между этими валами; условия техниче-
ского обслуживания, ресурс привода и
др. Варианты передач сравнивают по
КПД, массе, габаритам, стоимости про-
ектирования, производства, эксплуатации
и т. п. На принимаемые решения сущес-
твенное влияние оказывают накопленный
в машиностроении опыт проектирования,
производства и эксплуатации различных
передач, техническая оснащенность про-
мышленных предприятий отрасли и дру-
гие факторы.
Редукторы. В качестве передаточного
механизма привода наиболее часто ис-
пользуют редуктор. Редуктором называют
агрегат с передачами зацепления, кото-
рый предназначен для повышения враща-
ющего момента и уменьшения угловой
скорости приводного двигателя.
Редукторы широко применяют в раз-
личных отраслях машиностроения,
т. е. имеют обшемашиностроительное при-
менение, благодаря удовлетворению об-
щим техническим требованиям (экономи-
ческим, потребительским и т. п.)
Внешние (потребительские) характе-
ристики редукторов каждого типа опреде-
ляются следующими основными парамет-
рами: передаточным отношением (часто-
той вращения выходного вала) — кине-
матической характеристикой редуктора;
вращающим моментом и допускаемой
консольной нагрузкой на выходном ва-
лу — силовыми характеристиками редук-
тора; коэффициентом полезного дейст-
вия.
Редукторы общемашиностроительного
применения в приводах комплектуются
преимущественно четырехполюсными
электродвигателями. Для обеспечения по-
требностей народного хозяйства промыш-
ленность выпускает редукторы и мотор-ре-
дукторы в широком диапазоне передаточ-
ных отношений от imin= 1 (для односту-
пенчатых конических и цилиндрических
редукторов) до imax=3150 (для мотор-ре-
дукторов, планетарных и некоторых дру-
гих типов редукторов). Большинство оте-
чественных и зарубежных редукторов вы-
полняют с передаточными отношениями
i<160. Около 75 % редукторов изготав-
ливается в двухступенчатом исполнении
при i = 8...4O.
178
Зубчатые редукторы выпускают се-
рийно в одно-, двух- и трехступенчатом
исполнении. Ряд одноступенчатых редук-
торов цилиндрических (т. е. с цилиндри-
ческими колесами) типа ЦУ
(рис. 16.32, а) обеспечивает передачу
вращающих моментов на тихоходном ва-
лу от 250 до 4000 Н-м при / = 2...6,3.
Ряд двухступенчатых редукторов ци-
линдрических типа Ц2У (рис. 16.32, б) в
диапазоне i = 8...4O способен также пе-
редать вращающий момент Тт =
= 250...4000 Н-м. В редукторах этого ти-
па использовано зубчатое эвольвентное
косозубое зацепление.
Промышленность выпускает также
подобные редукторы Ц2У-Н и Ц2Н с за-
цеплением Новикова и др.
Распространены соосные редукторы
(рис. 16.32, г), которые имеют меньшие
габариты по длине.
Для уменьшения условий работы наи-
более нагруженной тихоходной ступени
изготовляют редукторы с раздвоенной
быстроходной ступенью (рис. 16.32, д) в
виде двух косозубых пар для обеспечения
равномерного распределения нагрузки
между ними. Колеса одной пары имеют
левые зубья, а колеса другой пары —
правые зубья. Один из валов раздвоенной
передачи должен допускать осевую само-
установку. Редукторы с раздвоенной сту-
пенью имеют на 20 % меньшую массу,
чем редукторы с развернутой схемой ко-
лес, но более трудоемки в изготовлении.
Трехступенчатые редукторы типа ЦЗУ
и др. имеют развернутую схему располо-
жения колес (рис. 16.32, в). Используют-
ся также трухступенчатые редукторы с
раздвоенной второй ступенью.
Для передачи вращения между пере-
секающимися валами применяют кониче-
ско-цилиндрические редукторы типа
КЦ1 (рис. 16.32, е). Быстроходная сту-
пень— коническая с круговыми зубьями,
так как конические колеса больших раз-
меров труднее изготовить, чем цилиндри-
ческие колеса. Тихоходная ступень ко-
созубая.
Менее распространены другие схемы
редукторов.
Промышленность серийно выпускает
мотор-редукторы — агрегаты, в которых
конструктивно объединены электродвига-
Рис. 16.32. Кинематические схемы редукторов
тель и редуктор: мотор-редукторы цилин-
дрические двухступенчатые соосные типа
МЦ2С (рис. 16.33), мотор-редукторы пла-
нетарные зубчатые двухступенчатые типа
МПз2 и мотор-редукторы волновые гори-
зонтальные типа МВз.
Получили распространение навесные
редукторы и мотор-редукторы. Их выход-
ной вал выполняется полым со шлицевым
отверстием или канавкой под шпонку. Та-
кой вал соединяется непосредственно с
входным валом приводимой машины.
Рассмотрим мотор-редуктор, показан-
ный на рис. 16.33.
Редуктор выполнен по соосной схеме
с расположением осей валов в вертикаль-
ной плоскости. Корпус редуктора 1 и щит
4 крепятся в вертикальной плоскости дву-
мя цилиндрическими штифтами и болта-
ми. Расположение одной опоры вала в
корпусе, а второй — в щите позволило
создать технологичную конструкцию, со-
кратить осевой габарит редуктора и зна-
чительно уменьшить его массу.
В задней стенке шита выполнены рас-
точка и резьбовые отверстия для фланце-
вого соединения с электродвигателем
6. Насаженная на вал специального дви-
гателя повышенной точности ведущая
шестерня 5 находится в зацеплении с
зубчатым колесом 9, напрессованным на
вал-шестерню 13, являющуюся промежу-
точным валом редуктора. Вал-шестерня
вращается на двух конических роликовых
подшипниках 8 и находится в зацеплении
с зубчатым колесом 2, напрессованным
на выходной вал 14, вращающийся на
двух конических роликовых подшипниках
18. Зубчатое зацепление — эвольвентное
косозубое. Подшипники регулируют
стальными прокладками 17 и 11, установ-
ленными под крышки 16 и 12. Неподвиж-
ные соединения уплотняют прокладками,
а выходной вал — манжетой 15.
179
Рис. 16.33. Мотор-редуктор
В верхней части корпуса находится
отверстие для залива масла и установки
отдушины 3. В нижней части щита распо-
ложено отверстие для слива масла, за-
крытое пробкой 10. Уровень масла кон-
тролируется по маслоуказателю 7, изго-
товленному из прозрачного материала.
Смазывание осуществляется из общей
масляной ванны: деталей зацепления
быстроходной ступени — окунанием, дета-
лей зацепления тихоходной ступени и
подшипников — разбрызгиванием (в том
числе и переднего подшипника электрод-
вигателя) .
Комбинированный привод. Передаточ-
ное отношение привода I, определяемое
как отношение частот вращения входного
и выходного валов, реализуется обычно
применением комбинированных передач
разных типов (например, ременной и зуб-
чатой, ременной, зубчатой и цепной,
рис. 16.34, а, и т.д.), а также многосту-
Рис. 16.34. Схемы приводов:
/ — электродвигатель; 2 — ременная передача; 3 — зубчатый редуктор; 4 — цепная пе-
редача; 5 конвейер
180
пенчатых однотипных передач (например,
зубчатых, рис. 16.34,6):
где г), (2, ..., и — частные передаточ-
ные отношения соответственно 1-й, 2-й,
..., £-й передач (считая, например, от
двигателя).
Передачи разных типов можно распо-
лагать в кинематической цепи в произ-
вольной последовательности. Но нагру-
женность передач, а следовательно, их
габариты и ресурс зависят от положения
передач в кинематической цепи и разбив-
ки передаточного отношения привода.
В понижающем приводе по мере уда-
ления от двигателя частота вращения
колес, шкивов и звездочек снижается, а
нагруженность соответственно возраста-
ет. В связи с этим в качестве
низкооборотных ступеней целесообразно
использовать передачи с более высокой
нагрузочной способностью. Например,
привод из ременной и зубчатой передач
будет иметь меньшие габариты в вари-
анте, показанном на рис. 16.34, а.
Разбивку передаточного отношения
привода между передачами разных типов,
а также ступенями однотипных передач
выполняют на основе технико-экономиче-
ских расчетов для ряда вариантов.
Пример. Спроектировать прямозубую ци-
линдрическую передачу одноступенчатого ре-
дуктора при следующих параметрах: 7'1# = 34,5
Н-м; Гц = 1000 мин"П2 = 250 мин '. Ресурс
работы передачи 1 год, работа двухсменная
с коэффициентом часовой загрузки v4 = 0,5.
Передача нереверсивная, нагрузка с малыми
толчками (коэффициент режима Ка=1,2).
Решение. 1. Вычисляем расчетный враща-
ющий момент
Г1 = КАГ|.= 1,2-34,5 = 41,4 Н-м.
2. Определяем передаточное отношение
передачи
(=п,/п2= 1000/240=4.
3. В качестве материала колес принимаем
сталь 40Х с нормализацией до твердости
350 НВ.
4. Определяем допускаемые контактные
напряжения:
а) предел контактной выносливости стали
40Х для выбранной термообработки, соответ-
ствующий базовому числу циклов, находим,
используя соотношение из табл. 16.4:
o^,iim = 2-НВ+ 70 = 2-350 + 70 =
= 770 МПа;
б) базовое число циклов определяем пу-
тем линейной интерполяции для нижнего пре-
дела твердости рабочих поверхностей зубьев:
/ 50+80 \ 6
----2-----) ° =
= 65- 10ь=6,5-I О7;
в) вычисляем фактическую продолжитель-
ность работы (в ч) в течение одного года
(300 рабочих дней) при работе в две смены по
7 ч с коэффициентом v4 = 0,5
/2 = 300-7-2-0,5 = 2100 ч
и по формуле (16.56) находим фактическое
(суммарное) число циклов нагружения:
для шестерни
= 60сП|/ = 60- 1 -1000-2100 =
= 12,6-107,
для колеса
_Л,К1_12,6-107_ 7.
N tsn — — - —— <3,1 и • 1 и ,
К2 и 4
г) по формулам (16.55) определяем коэф-
фициенты долговечности:
для шестерни Zwzj = l, так как NК| >
для колеса
д) предел контактной выносливости повер-
хностей зубьев:
для шестерни
________________ 0 7 __
= 770-1=770 МПа,
для колеса
__ о у _____
= 770-1,12 = 848,5 МПа;
е) по формуле (16.59) при SH=\ и про-
изведении Z^ZoZ7.Za = 0,9 находим предвари-
тельное значение допускаемых контактных на-
пряжений:
для шестерни
. . aWliml 770
— =-j-j- = 70° МПа,
181
для колеса
r , а//Иш2 848,5
[а//2]=—------=———=771 МПа.
5. По формуле (16.50) находим ориентиро-
вочное значение диаметра начальной окружно-
сти шестерни, принимая предварительно
Ф»</ = 0,9; Кн»=1;
KWfS=1.03:
J _ -7-7А-1 3 /
d । — / / V % / “ —
У/
77013 / 41,4.1-1-1,03 (4+1) .
= 770 \ /-------------'—^=38,1 мм.
V 0,9(700)34
6. Ограничиваясь данными предваритель-
ного расчета и принимая zi = 18, определим
приближенное значение расчетного модуля:
лой, найдем соотношение для определения на-
пряжений изгиба в зубе шестерни:
2- 103T1Kfl,KfpKfa
aF= 5---
mdl
По графикам (см. рис. 16.26) находим
Уу?=4,23; определяем окружную скорость
ndlnI
1 60-1000
3,14(2,5-18) 1000
60-1000
«2,36 м/с
и из табл. 16.2 принимаем K„f=l,15. Значение
коэффициента Ктр=1,08 (при симметричном
расположении шестерни) находим в табл. 16.1.
Полагая, что вся нагрузка воспринимается
одной парой зубьев (Kfa=l), вычисляем
oFI = 4,23
2-103-60-1,15-1,08-1
2,5(2,5-18)2
= 124,5 МПа <[<jf J.
Округляем полученное значение до бли-
жайшего большего стандартного значения т =
2,5 (по ГОСТ 9563—60).
7. Проверим прочность зубьев по напря-
жению изгиба:
а) предел выносливости зубьев прн изги-
бе, соответствующий базовому числу циклов
A+lim = 4- 10е, для принятой обработки стали по
табл. 16.3 равен а°Ип)= 1,8-НВ= 1,8-350=
= 630 МПа;
б) по формуле (16.55) вычислим коэффи-
циенты долговечности: так как N к\> N и
Л,к2>Л+(т, то принимаем УЛ,1 = УЛ2=1;
в) находим пределы выносливости, соот-
ветствующие фактическому числу циклов на-
гружений [см. формулу (16.52)]:
°Fltm 1 = °Flim2 = °F =
= 630-1=630 МПа;
г) по формуле (16.53) определяем допус-
каемое напряжение изгиба, принимая yR=l,0;
YS= 1,082-0,172 1g 2,5 «1,03; Гх«1; Sf= 1,4,
для поковок:
[ол]—[аге]----—— У/?У5УЛ —
=-^7" 1.0-1,03-1 =463 МПа.
1,4
8. Используя зависимости (16.42) и связь
между вращающим моментом и окружной си-
182
Следовательно, условие прочности выпол-
няется.
9. Далее, при т = 2,5 мм, Z] = 18, Xi =
= Х2 = 0, и = 4 вычисляются размеры колес.
Вопросы для самопроверки
1. Для каких целей используют зубчатые
механизмы?
2. По каким признакам классифицируют
зубчатые передачи?
3. В чем состоит кинематическое условие
касания (контакта) зубьев?
4. Сформулируйте основной закон за-
цепления.
5. Что называют линией зацепления?
6. Какие эвольвентные колеса могут сцеп-
ляться друг с другом?
7. Что показывает коэффициент пере-
крытия?
8. В чем состоят особенности геометрии
косозубых колес и передач?
9. Каковы особенности геометрии кониче-
ских колес и передач?
10. В чем отличие передач с зацеплением
Новикова от эвольвентных передач?
11. Что называют передаточным числом
зубчатой передачи и как определить передаточ-
ное отношение ряда колес?
12. Какие силы возникают в зацеплениях
цилиндрических и конических колес?
13. Назовите и охарактеризуйте распро-
страненные виды повреждений зубьев передач.
14. Какие передачи рассчитывают на кон-
тактную прочность и на изгиб?
15. Укажите конструктивные методы повы-
шения надежности зубчатых передач.
16. Почему размеры колес из расчета на
контактную прочность не зависят от модуля
зацепления?
17. Из каких основных материалов изго-
товляют зубчатые колеса?
18. В чем состоят особенности конструк-
ции и расчетов планетарных передач?
19. В чем состоят особенности образова-
ния механического привода?
20. Охарактеризуйте распространенные
схемы редукторов.
Глава 17
ГИПЕРБОЛОИДНЫЕ ПЕРЕДАЧИ
§ 17.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Гиперболоидными называют передачи
со скрещивающимися осями, у которых
аксоидные поверхности зубчатых колес
имеют форму однополостных гиперболои-
дов вращения (рис. 17.1).
Гиперболоидные механизмы использу-
ют для передачи вращательного движе-
ния между скрещивающимися осями и
преобразования параметров движения.
В механизмах наиболее часто применяют
три разновидности передач:
червячную (см. рис. 16.2, б), винтовую
(см. рис. 16.2, в) и гипоидную (рис. 17.2).
Перекрестное расположение осей дает
передачам ряд важных для практики пре-
имуществ перед другими передачами:
валы могут продолжаться в обе стороны
от колеса, облегчая передачу движения
нескольким ведомым валам; подшипники
можно располагать по обе стороны от
колеса, улучшая (в сравнении с кониче-
скими передачами) условия работы пе-
редачи.
Винтовые механизмы ис-
пользуют для передачи малых мощностей
(например, кинематических цепях прибо-
ров и т. д.) благодаря бесшумному зацеп-
лению колес, скрещивающихся под лю-
бым углом.
Начальной поверхностью передач яв-
ляется средняя часть гиперболоида
(см. части Л, и Аг на рис. 17.1). Для
упрощения изготовления колес гипербо-
лоиды заменяют цилиндрами. Такая за-
Рис. 17.1. Схемы образования ги-
перболоидных передач
мена начальных поверхностей делает пер-
воначальный контакт (в ненагруженном
состоянии) точечным, а колеса — косозу-
быми цилиндрическими.
Геометрический расчет винтовых пе-
редач производится так же, как и расчет
косозубых передач. В отличие от косозу-
бых эвольвентных передач углы 0] и 02
наклона зубьев могут быть неодинаковы-
ми; в ортогональной винтовой передаче
0!-1-02 = 90°. Заданное передаточное от-
ношение можно обеспечить изменением
диаметров колес и углов наклона зубьев.
В гипоидных передачах на-
чальной поверхностью является расширя-
ющаяся часть гиперболоида (см. части В,
и Вг на рис. 17.1). Для упрощения изго-
товления колес этих передач гиперболои-
ды заменяют усеченными конусами. В ре-
зультате передача вращения осуществля-
ется коническими колесами с прямыми
или криволинейными зубьями. Но верши-
ны конусов колес не пересекаются, они
скрещиваются обычно под углом 90°.
Начальный контакт прямозубых ко-
лес точечный; колеса с криволинейны-
ми зубьями могут иметь контакт по линии.
Рис. 17.2. Гипоидная передача
183
Рис. 17.3. Схемы передач с цилиндрическим (а) и глобоидным (б)
червяками
Работа винтовых и гипоидных пере-
дач характеризуется точечным контактом
зубьев и их большим взаимным скольже-
нием (особенно в винтовых передачах),
вследствие чего ухудшаются условия сма-
зывания, возникает повышенный износ и
часто наступает заедание (особенно в ги-
поидных передачах).
Для увеличения износостойкости
зубьев винтовых передач их колеса изго-
товляют из материалов с хорошими ан-
тифрикционными свойствами. Обычно па-
ры колес составляют из материалов:
сталь — бронза, сталь - чугун, сталь —
текстолит и др.
Для предотвращения заедания гипо-
идные колеса изготовляют из сталей с
высокой твердостью поверхности, приме-
няют также противозадирные смазочные
материалы (гипоидное масло и др.).
Червячную передачу обра-
зуют два колеса: ведущее колесо (чер-
вяк) выполнено с малым числом зубьев
zi = l...4, а ведомое (червячное) колесо
имеет большое число зубьев 22^28. Угол
скрещивания осей обычно составляет 90°.
По форме делительной поверхности
различают червяки: цилиндрические
(рис. 17.3, а) и глобоидные (рис. 17.3,6).
Цилиндрические червяки
(ГОСТ 18498—73) могут иметь в осевом
сечении трапецеидальный (рис. 17.4, а)
или выпуклый профиль, а в торцовом
сечении архимедову спираль (архимедов
червяк), удлиненную (реже укороченную)
эвольвенту (рис. 17.4,6; конволютный
червяк) и эвольвенту (рис. 17.4, в; эволь-
вентный червяк). Их нагрузочная способ-
ность приблизительно одинаковая. Архи-
медов червяк, может быть нарезан на
обычных токарных и резьбофрезерных
станках (не требует специальных стан-
ков), однако шлифование (доводка после
термообработки) его затруднено. Поэто-
ь,
а)
Рис. 17.4. Зацепление червячной передачи
184
му архимедовы червяки применяют в пе-
редачах, если твердость червяка в преде-
лах до 350НВ приемлема (в открытых
и малонагруженных закрытых переда-
чах). Эвольвентные червяки используют
в высоконагруженных передачах, в кото-
рых требуется высокая твердость (свыше
45HRC) и допускается малая высота
микронеровностей.
Червячные передачи обладают рядом
достоинств: возможностью получения
больших передаточных отношений в од-
ной ступени (обычно «=10...60, реже i =
= 60...100), плавностью и бесшумностью
; работы, самоторможением.
Однако червячные передачи имеют
, сравнительно низкий КПД, обусловлен-
1 иый большим скольжением и тепловыде-
!, лением, часто требуют для отвода тепло-
£ ты применения специальных устройств
1 (обдув, оребрение корпуса и др.). Ука-
занные обстоятельства ограничивают об-
ласти использования червячных передач.
Ниже рассматриваются лишь червяч-
ные передачи, так как среди гиперболоид-
ных передач они наиболее широко ис-
1 пользуются в технике.
§ 17.2. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ РАСЧЕТ
ЧЕРВЯЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ
1
Основные параметры передачи с ци-
линдрическим червяком определены по
ГОСТ 19650—74.
Диаметры колеса вычисляют по фор-
; мулам (16.12) — (16.16) при коэффици-
енте высоты головки /ia=l, коэффициенте
. высоты ножки /г*= 1 и коэффициенте ра-
диального зазора с* = 0,2.
В сечении передачи (с цилиндриче-
ским червяком и червячным колесом)
. плоскостью, перпендикулярной оси вра-
1 щения колеса и проходящей через ось
винта (см. рис. 17.4, а), червяк имеет
i профиль трапецеидальной резьбы и по-
добен зубчатой рейке. Воображаемый ци-
линдр диаметром, равным среднему диа-
• метру резьбы, будет делительным цилинд-
! ром червяка:
di = mq, (17.1)
1 где т=р\/л — модуль зацепления (чер-
; вяка, червячного колеса), стандартизован
ГОСТ 19742—74 (т=1; 1,25; 1,6; 2; 2,5;
3,15; 4; 5; 6,3; 8; 10; 12,5 и т. д.; р\ — шаг
резьбы червяка); q — коэффициент диа-
метра червяка принимают в зависимости
от модуля т (табл. 17.1).
Делительный угол подъема винтовой
линии (обычно 5...20°)
tg у = л т z,/(jt dx} = zx/q, (17.2)
где zi = 1 ...4 — число витков (заходов)
червяка.
При малом числе заходов zi угол у
будет меньше и ниже КПД. По этой при-
чине в передачах мощных приводов не
рекомендуют использовать однозаходные
червяки. При больших значениях z, уве-
личиваются габариты и стоимость пере-
дачи. Число заходов червяка можно опре-
делить (по опыту проектирования) в за-
висимости от передаточного отношения:
I. . . 10...18 18...25 26...40 св. 40
г,. . . 4 3 2 1
Начальный диаметр червяка
dw}=(q + 2x)m, (17.3)
где х — смещение при нарезании червяч-
ного колеса, получаемое удалением (по-
ложительное смещение) или приближени-
ем (отрицательное смещение) фрезы к
центру заготовки ( —l^x^l).
Начальный угол подъема винтовой
линии
tg Yk; = Zi/(<? + 2x).
Таблица 17.1
Значения коэффициентов диаметра червяка q
в зависимости от модуля т
т Я т Я т Я
1,6 2 2,5 10; 12,5; 16; 20 8 8; 10; 12,5; 16; 20 3,15 4 5 8; 10; 12,5; 16; 20 8; 10; 12,5; 16; 20 8; 10; 12,5; 16; 20 6; 3; 8; 10; 12,5 16 20 8; 10; 12,5; 14; 16; 20 8; 10; 12,5; 16 8; 10
Примечание. Приведенным сочетаниям т
и q соответствуют значения zi==l,2 и 4.
185
Червячное колесо является косозубым
с углом наклона линии зуба 0 = у. Шаг
зубьев колеса на делительном цилиндре
диаметром й2 равен шагу pi профиля чер-
вяка, следовательно, ndi = Zip\ или
d2=mz2. (17.4)
Диаметр окружностей вершин червя-
ка (индекс «1») и колеса (индекс «2»)
dal = m(<7 + 2);
do2 = m (z2 + 2+ 2х). (17.5)
Диаметр окружностей впадин червяка
и колеса
dfl = m (<7 — 2,4);
d f2=2 [a w—m (0,5 q + h*j)]. (17.6)
Наибольший диаметр червячного ко-
леса (см. рис. 17.4)
— cos 6)^da2-\-km, (17.7)
где k — коэффициент,
z, . . . . 1 2 4
k ... . 2 1,5 1
Межосевое расстояние
ая=О,5(<7 + г2 + 2х). (17.8)
Путем варьирования значений т, q и
х можно «вписать» в заданное межосевое
расстояние aw червяки с разным числом
заходов zi и колеса с разным числом
зубьев z2, получая различные передаточ-
ные отношения (числа) при неизменных
габаритах корпуса.
Межосевые расстояния редукторов
стандартизованы. Передачу заданного
межосевого расстояния можно получить
при коэффициенте смещения
x = aw/m —0,5 (q + z2). (17.9)
Длина нарезной части червяка Ь\ при-
нимается такой, чтобы обеспечивалось за-
цепление с возможно большим числом
зубьев колеса. Ширина колеса bi назна-
чается из условия получения угла обхва-
та черряка колесом.
Для передач без смещения на основа-
нии экспериментальных исследований и
опыта практики принимают:
b
^(11 -j-0,06z2) ml
62< 0,75</а1 J
при
zi = l,2;
Ь, ^(12,5H-0,09z2) m 1
^^0,674. при2,=4-
§ 17.3. МЕХАНИКА ЧЕРВЯЧНОЙ ПЕРЕДАЧИ
Кинематика передачи. В червячной
передаче в отличие от зубчатой окружные
скорости червяка щ и колеса не совпа-
дают по направлению (направлены под
углом скрещивания, обычно 90°) и раз-
личны по значению (рис. 17.5). Поэтому
начальные цилиндры передачи в относи-
тельном движении скользят, а не обкаты-
ваются, а передаточное отношение не мо-
жет быть выражено отношением диамет-
ров di и d\.
Векторы окружных скоростей связаны
уравнением
^ = р2+^2-
Относительную скорость У12=Цск на-
зывают скоростью скольжения,
Уск = У|/(соз у) = л ГЦ d]/(60cos у), (17.11)
где Mi — частота вращения червяка,
мин- *.
Витки червяка скользят при движении
по зубьям колеса. Когда точка контакта
совпадает с полюсом зацепления, ско-
рость скольжения цск направлена по каса-
тельной к винтовой линии витка червяка
(см. рис. 17.5). Так как угол подъема у<
30°, то в червячной передаче У2<К1,
а скорость скольжения цСк>Цг. Скольже-
Рис. 17.5. Связь скоростей в
зацеплении передачи
186
Контактные линии
Рис. 17.6. Контактные линии в передачах с
червяком цилиндрическим (а) и глобоид-
ным (б)
ние является причиной износа и заедания
передач, снижает их КПД.
Существенное влияние на условия
смазывания и износ зубьев колеса оказы-
вает расположение контактных линий.
В передаче с цилиндрическим червяком
криволинейные контактные линии
(рис. 17.6, а) образуют с вектором скоро-
сти скольжения небольшой угол Q. При
этом создаются неблагоприятные условия
для смазывания. В глобоидной передаче
контактные линии располагаются почти
вертикально (рис. 17.6, б), что способ-
ствует лучшему смазыванию зубьев и,
как следствие, повышению несущей спо-
собности передач.
Для уменьшения износа материалы
червяка и колеса должны образовать ан-
тифрикционную пару (имеющую мини-
мально возможный коэффициент трения).
Червяки обычно изготовляют из стали, а ко-
леса — из бронз (оловянистых и безоловя-
нистых). В тихоходных передачах исполь-
зуют колеса из антифрикционного чугуна,
синтетических материалов.
Передаточное отношение
. ®i ^i/^i
1 =-------------,
0>2 Уг/^2
откуда, учитывая зависимости (17.1),
(17.2), (17.4) и соотношение f2/fi=tg у
(см. рис. 17.5), найдем
/=-z2/z,. (17.12)
Откуда видно, что передаточное отно-
шение i (равно передаточному числу, и =
|i|) не зависит от диаметра червяка.
Обычно и = 20...60 — в силовых переда-
чах и и <300 — в кинематических цепях
приборов и делительных механизмов.
Усилия в зацеплении (статика пере-
дачи). При определении усилий полага-
ют, что главный вектор (равнодействую-
щая) Fn контактных напряжений между
зубьями приложен в полюсе
П (см. рис. 17.4, а) и направлен по линии
зацепления. Сила Fn может быть разло-
жена на три составляющие (рис. 17.7, а).
Окружное усилие на червяке Ft\ будет
осевым усилием для колеса Fa2
(рис. 17.7, б):
Ftx=2Tx/db (17.13)
а окружное усилие Fn на колесе будет
осевой силой Fai для червяка:
^=2 7^=^. (17.14)
Радиальное усилие на колесе и червя-
ке (FH = Fr2)
Fr=F(2tga, (17.15)
а нормальное усилие
Расчетная нагрузка. По аналогии с
расчетом косозубой передачи номиналь-
ная удельная нагрузка для червячной пе-
редачи
w ______________Ft2____
п /2 cos a-cos у,
где /2 — суммарная длина контактных
линий.
Расчетная удельная нагрузка
Рис. 17.7. Схемы сил на червяке (а) и в зацеп-
лении червячной передачи (б)
187
где Кр — коэффициент неравномерности
нагрузки; — коэффициент динамиче-
ской нагрузки, К„«1 при скорости сколь-
жения Г'гкСЗ м/с.
Хорошая прирабатываемость матери-
алов колес уменьшает неравномерность
распределения нагрузки по контактным
линиям.
В предварительных расчетах передач
можно принимать KFfiKFv = Кн?Кни =
= 1,1...1,4 (большие значения для высо-
коскоростных передач и при переменной
нагрузке).
КПД червячной передачи. Коэффици-
ент полезного действия червячной переда-
чи определяют как для винтовой пары,
так как они имеют аналогичные условия
трения
П = °.95-4^Т. (17.18)
tg (y+p)
где р — угол трения, tgp = / (/—коэф-
фициент трения); 0,95— множитель, учи-
тывающий потери энергии на перемеши-
вание масла при смазке окунанием.
Коэффициент трения / зависит от ско-
рости скольжения; для бронзовых колес
при цск = 2...1О м/с коэффициент / =
= 0,035...0,016.
Из формулы (17.18) следует, что
КПД передачи возрастает с увеличением
числа витков (заходов) червяка (увели-
чивается угол подъема у) и с уменьшени-
ем коэффициента трения /.
В предварительном расчете можно
принимать
21......... 1 2 3,4
г,......... 0,7...0,75 0,75...0,82 0,82...0,92
Невысокий КПД свидетельствует о
том, что в червячной передаче значитель-
ная часть энергии превращается в тепло-
ту. Вызванное этим повышение темпера-
туры ухудшает защитные свойства масля-
ного слоя, увеличивает опасность заеда-
ния и выхода передачи из строя.
Для предотвращения чрезмерного по-
вышения температуры масла оценивают
тепловой баланс между тепловыделением
и теплоотдачей и при необходимости реа-
лизуют мероприятия, уменьшающие теп-
ловыделение или увеличивающие теплоот-
дачу. В первом случае за счет ограниче-
ния глубины погружения червяка в мас-
188
ло, применения маслоразбрызгивающих
колец, верхнего размещения червяка и
других уменьшают потери на разбрызги-
вание и размешивание масла. Повышают
также КПД передачи путем уменьшения
высоты микронеровностей витков червя-
ка, снижения коэффициента трения в
контакте за счет подбора сорта смазочно-
го материала.
Теплоотдачу улучшают увеличением
поверхности охлаждения деталей корпуса
(оребрением), искусственным охлаждени-
ем корпуса (обдувом вентилятором), при-
менением циркуляционной системы смаз-
ки (с подачей охлажденного смазочного
материала в зоны контакта через струй-
ные сопла).
§ 17.4. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ ЧЕРВЯЧНЫХ ПЕРЕДАЧ
Виды повреждений передач. Опыт эк-
сплуатации закрытых червячных передач
показал, что их отказы вызываются изно-
сом зубьев червячного колеса, схватыва-
нием (заеданием), усталостным контакт-
ным выкрашиванием.
В открытых передачах встречаются
поломки зубьев колес и их износ.
Таким образом, прочность, износо-
стойкость и противозадирная стойкость
являются основными критериями работос-
пособности передач.
Расчет зубьев колес на выносливость
при изгибе. Витки червяка на прочность
не рассчитывают, так как материал чер-
вяка, как правило, значительно прочнее
материала колеса. В расчете зубьев коле-
са используют те же допущения и соотно-
шения, что и при расчете косозубого ко-
леса, но вводят поправки, учитывающие
особенности формы зубьев и положение
контактных линий.
Условие прочностной надежности име-
ет вид
afC[af], (17.19)
где oF—максимальное напряжение в
опасном сечении зуба червячного колеса;
[of]—допускаемое напряжение при рас-
чете на изгиб.
Учитывая, что для червячного зацеп-
ления коэффициент Уе«0,74 и коэффици-
ент Ур«0,93 (для среднего значения угла
у» 10°), соотношение для максимального
напряжения в опасном сечении зуба коле-
са примет вид (KF₽Kft,= l)
Fi2
of=0,7Yf—^~, (17.20)
b2mn
z„................. 24 28 30 32
Yf................. 1,88 1,80 1,76 1,71
где m„ = m cos у— модуль в нормальном
сечении; YF - коэффициент формы зуба,
принимается по эквивалентному числу
зубьев z„ = z2/(cos3 у) (как для косозубых
колес):
35 37 40 50 60 80 100
1,64 1,61 1,55 1,45 1,40 1,34 1,3
Допускаемые напряжения изгиба опре-
деляются так же, как и для зубчатых колес.
Приближенные значения [оЛ] даны в
табл. 17.2.
Таблица 17.2
Допускаемые напряжения для червячных
передач
Материал колеса [ан], МПа (<м. МПа
Скорость скольжения Уск, м/с
0,5 1 2 3 4 6 8
БрАЭЖЗЛ 250 230 210 180 160 120 90 80
СЧ15 130 115 86,5 — — 38
СЧ10 115 100 72,5 - — — 34
Примечание. Значения даны для колес,
заготовки которых получены литьем в землю.
Расчет зубьев колеса на контактную
выносливость и заедание. Расчет передач
обычно выполняют по контактным напря-
жениям в зубьях колеса, а допускае-
мые напряжения [он] устанавливают на
основе экспериментальных данных и опы-
та эксплуатации такими, чтобы предот-
вратить контактное выкрашивание или
заедание зубьев.
Условие триботехнической надежно-
сти в этом расчетном случае имеет вид
(17.21)
Зависимость максимальных контакт-
ных напряжений от внешней нагрузки,
характеристик материалов и геометриче-
ских параметров колеса и червяка прини-
мается в форме (16.48).
Учитывая, что радиус кривизны про-
филя витка в нормальном сечении /?,=
оо, получим следующее соотношение
для приведенной кривизны:
1//?«2 cos y/(d2 sin а). (17.22)
Подставим в условие (17.21) соотно-
шение (17.17), выраженное через враща-
ющий момент на колесе Т2 в Н-м, и ра-
венство (17.22). Тогда при а = 20°; у =
10°; 26=100°; еа=1,8; Ех =
2,15-106 МПа (для стали); Е2 =
0,9-10° МПа (для бронзы и чугуна);
ц = 0,3 после несложных преобразований
получим
о/; = 5400 -q-^L
z2
/г z? + <7 + 2x I3
(17.23)
Межосевое расстояние передачи
(в мм) при х = 0
Значения допускаемых контактных
напряжений [он] для колес из бронзы
БрАЭЖЗЛ и чугунов в зависимости от
скорости скольжения wCK даны в
табл. 17.2. Для колес из оловянной брон-
зы БрОЮФ! [а//]=150 МПа — при литье
в землю и [ан]= 190 МПа — при литье в
кокиль. Для колес из бронзы БрОНФ,
заготовки которых отливают в кокиль,
[оя]=230 МПа.
Конструкции колес и червяков. В свя-
зи с тем что для изготовления венцов
червячных колес используется дефицит-
ный цветной металл, колеса диаметром
до 100...120 мм изготовляют цельными,
колеса большего диаметра — преимуще-
ственно бандажированными. Напрессо-
189
Рис. 17.8. Бандажированные колеса
ванные венцы дополнительно крепят вин-
тами или болтами (рис. 17.8, а, б). При-
меняют колеса с венцами из бронзы,
залитыми непосредственно на ступицу
(рис. 17.8, в).
Червяки изготовляют обычно за одно
целое с валом, реже — бандажирован-
ными.
Для общего ознакомления с конструк-
цией червячных передач на рис. 17.9 по-
казан автономный редуктор с нижним
расположением червяка. Для упрощения
сборки и изготовления редуктора корпус
редуктора имеет горизонтальный разъем,
в плоскости которого расположена ось
колеса. Верхняя часть (крышка) 1 и ни-
жняя часть (корпус) 7 редуктора соеди-
няются болтами 2. Подшипники червяка
устанавливаются в корпус 7 с помощью
дополнительных стаканов 5. Это облегча-
ет установку червяка вместе с подшипни-
ками и маслоразбрызгивающими кольца-
ми 6 в корпус. Осевое положение колеса
в корпусе зафиксировано с помощью кры-
шек 3 и 4. Червяк выполнен за одно це-
лое с валом.
Колесо выполнено составным из брон-
зового венца и стальной или чугунной
ступицы.
Для уменьшения износа и улучшения
теплоотвода из зоны контакта должно
быть обеспечено смазывание передачи.
§ 17.5. МАТЕРИАЛЫ ДЕТАЛЕЙ ПЕРЕДАЧИ
Материалы колес и червяков. Выбор
материала для изготовления червяка и
червячных колес определяется в основном
скоростью скольжения витков червяка и
зубьев колеса.
При проектном расчете, когда разме-
ры червяка неизвестны, ориентировочное
значение скорости скольжения можно оп-
ределять по эмпирической зависимости
v ск«(1,8... 6,6) 10-3п2^7\,
где Ti и «2 — расчетный вращающий мо-
мент и частота вращения вала колеса;
6
Рис. 17.9. Червячный редуктор
190
Z2 — число зубьев колеса. Меньшие зна-
чения коэффициента перед корнем берут-
ся при большом числе заходов и боль-
ших нагрузках, а большие — при мень-
шем числе заходов и меньших нагрузках.
Червячные колеса закрытых передач
с машинным приводом при скорости
скольжения иСк<4 м/с изготовляют из
безоловянных бронз (БрА9ЖЗЛ и др.),
при vCK = 4...1O м/с — из бронз с малым
содержанием олова (БрОбЦбСЗ и др.)
и при Сек > Ю м/с из оловянных бронз,
содержащих также фосфор, свинец, сурь-
му и никель (Бр010Ф1, БрОНФ).
Червяки, работающие в паре с брон-
зовыми колесами, изготовляют обычно из
сталей 40ХН, 20ХНЗА, ЗОХГСА, 20Х и
др. с твердостью поверхностей витков
45...50 HRC.
Червячные колеса открытых передач
небольшой мощности и передач с ручным
приводом изготовляют из чугунов СЧ10,
СЧ15, СЧ20, а червяки — из стали
45 (300...350 НВ).
Пример. Определить основные, размеры
червячной передачи при следующих данных:
? момент на валу колеса 72 = 500 Н-м, частота
i вращения колеса «2 = 50 мин-', частота вра-
t щения приводного двигателя «1 = 1200 мин-1,
f Решение. 1. Передаточное отношение 1 =
=1200/50 = 24.
t 2. Принимаем двухзаходный червяк zi = 2,
! коэффициент диаметра червяка <? = 10 (ориен-
1 тировочно). Находим число зубьев колеса 2г =
[ =<>! =24 -2 = 48.
L 3. В качестве материала червяка принима-
[ ем сталь 45, термообработка — закалка; мате-
риал колеса — бронза Бр010Ф1, отливка заго-
товки в кокиль. Допускаемое контактное на-
пряжение [о^]=190 МПа.
4. Принимаем ориентировочно
= 1,2 и находим по формуле (17.24) межосевое
расстояние
/ Z2 \
аш=( —+1 ) Х
5. Определяем модуль зацепления, прини-
мая х = 0:
2аш 2-160
ш=— ------=——лгда5,52 мм.
q+z2 10+48
Округляем до стандартного значения ш =
6 мм и по табл. 17.1 проверяем правиль-
ность принятого значения q.
6. Уточняем фактическое значение межосе-
вого расстояния
т(<?+^2) 6(10+48)
а, =---------=—1—-!-----<-=174 мм.
w 2 2
7. Определяем размеры (в мм) червяка по
формулам на (17.1)...(17.10):
dj =m<? = 6-10=60;
d2 = mz2 = 6 • 48 = 288;
dai = m (q +2) = 6 (10+12) = 72;
da2 = m (q + 2) = 6 (48 + 2) = 300;
df j = m (q - 2,4) = 6(10- 2,4) = 45,6;
df2 = 2 [а ш “ "i (°,5<? + /ip]=
= 2 [174-6 (0,5-10+1)]=276;
b j >( 11 + 0,06z2) = (11 + 0,06• 48) 6 = 83,28;
b2 + 0,075dal = 0,075 • 72 = 54,
принимаем bi = 100 мм, 6г = 54 мм,
daM2 = da2+l,5m = 276+1,5-6 = 285 мм.
8. По формуле (17.20) оценим прочность
зубьев колеса при изгибе
Ft2
of = 0,7Yf--^-=
b2mn
= 0,7-1,5 r~ — =11,48 МПа,
54-5,88
вычислим предварительно требуемые для рас-
чета величины:
яв 160 мм.
. _2^2
t2~ d
а2
2-500
0,288
= 3472 Н;
г, 2
Y = arctg----= а г с t g -jy = 11°2(У;
г2 44
z„2=-----5—=----------5- яв47;
cos3 у (0,98)3
191
mn = m cos 7 = 6-0,98 = 5,88 мм;
Yf~ 1,5.
Так как допускаемое напряжение изгиба
[of]=50 МПа выше расчетного значения на-
пряжения в колесе, то условие прочности удов-
летворено.
Вопросы для самопроверки
1. Для каких целей используют гиперболо-
идные передачи?
2. Какие механизмы называют гиперболо-
идными и каковы их разновидности?
3. Какие виды червячных передач исполь-
зуют в механизмах?
4. Какими особенностями кинематики вы-
звано скольжение зубьев передачи?
5. Укажите усилия, возникающие в зацеп-
лении червячной передачи.
6. Каковы виды повреждений передач и
по каким критериям оценивают их работоспо-
собность?
7. Назовите материалы, используемые для
изготовления колес и червяков. Почему колеса
(венцов колес) изготовляют из менее прочных
материалов, чем червяки?
Глава 18
ЦЕПНЫЕ ПЕРЕДАЧИ
§ 18.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Общая характеристика передач. Цеп-
ной называют передачу зацеплением с по-
мощью цепи.
Их используют в приводах для пе-
редачи на большое расстояние враща-
тельного движения (между параллельны-
ми осями) с преобразованием его пара-
метров. Простейшая передача включает
в себя две звездочки 1 и 2, соединенные
приводной цепью (рис. 18.1). Одна из
звездочек, например /, будет ведущей,
другая 2 — ведомой. Линия центров пе-
редачи может быть не только горизон-
тальной, но и наклоненной к горизонту
под углом у^80° (рис. 18.2, а). Приме-
няют также передачи с приводом не-
скольких ведомых звездочек от одной ве-
дущей (рис. 18.2,6).
Цепные передачи используют в приво-
дах роботов, сельскохозяйственных и
транспортных машин, различных станков
и т. п. в качестве быстроходной (ско-
рость цепи ц„^25 м/с, передаточное от-
ношение t=C3) или тихоходной (скорость
цепи Уц<2 м/с, (=10...15) ступени.
Среднескоростные передачи при ш,=
= 2...6 м/с допускают (^6.
Цепные передачи используют в качес-
тве понижающих или повышающих. Пе-
редаваемая мощность обычно не превы-
шает 100 кВт, межоссвое расстояние до
6...8 м.
Цепные передачи имеют высокий
КПД (г] = 0,96...0,98), меньшую, чем в ре-
менной передаче, нагрузку на валы, в них
исключено проскальзывание цепи.
Недостатки передачи обусловлены
шумом, неравномерностью хода «вытяги-
ванием» цепей (увеличением шага цепей
вследствие износа шарниров) и, как след-
ствие, необходимостью применения на-
тяжных устройств.
Цепи. В качестве приводных исполь-
зуют роликовые и зубчатые цепи. Р о л и-
а
Рис. 18.1. Схема цепной передачи
192
ковая цепь (рис. 18.3) состоит из
последовательно чередующихся внутрен-
них / и внешних 2 звеньев, шарнирно
соединенных между собой. Звено образу-
ет две пластины, напрессовываемые на
втулки 3 (у внутренних звеньев) или
оси 4 (у наружных звеньев). На втулку
перед сборкой звена надевают свободно
вращающийся на ней ролик 5, уменьша-
ющий износ зубьев звездочки. Концы це-
пи с четным числом звеньев соединяют
с помощью соединительного звена
(рис. 18.4, а), цепи с нечетным числом
звеньев соединяют переходным звеном
(рис. 18.4,6). Основным геометрическим
параметром цепей является шаг t - рас-
стояние между осями двух смежных ро-
ликов наружного или внутреннего звена
(см. рис. 18.3). Основные размеры и, как
следствие, несущая способность цепи за-
висят от ее шага. С увеличением шага
цепи уменьшается ее быстроходность и
несущая способность.
В тихоходных передачах применяют
цепи типа ПР (приводные роликовые) с
шагом />25,4 мм. В быстроходных пе-
редачах также используют цепи типа ПР,
но их шаг /^25,4 мм. Обычно 0,01а^
^/^0,04а (а—межосевое расстояние).
В зависимости от отношения шага це-
пи t к диаметру D ролика различают це-
пи легкой (ПРЛ), нормальной (ПР) се-
рии и длиннозвенные цепи (ПРД, отно-
шение i/D>2, применяются в основном
в сельскохозяйственных машинах).
Промышленность выпускает не только
однорядные, но и многорядные цепи
(2ПР, ЗПР с числом рядов, соответствен-
но равным 2 и 3). Их набирают из тех
же элементов, что и однорядные цепи, но
используют оси увеличенной длины.
Многорядные цепи используют при
больших нагрузках и скоростях цени.
Паспортной характеристикой цепи яв-
ляется разрушающая статическая нагруз-
ка, устанавливаемая экспериментально
заводом-изготовителем. Эта нагрузка воз-
растает пропорционально числу рядов.
В строительных и дорожных машинах,
эксплуатируемых при тяжелых режимах
нагружения, применяют роликовые цепи
с изогнутыми пластинами (ПРИ), подо-
бными переходным звеньям обычных це-
пей. Они имеют высокую продольную но-
Рис. 18.2. Схемы контуров передач
Рис. 18.3. Роликовая цепь
Рис. 18.4. Переходные звенья роликовых
цепей
датливость и лучше работают при удар-
ных нагрузках, частых реверсах и т. п.
В машиностроении применяют и так
называемые втулочные цепи од-
норядные ПВ и друхрядные 2ПВ.
Зубчатые цепи (рис. 18.5) име-
ют сравнительно небольшое применение.
Их набирают из рабочих 1 и направляю-
щих 2 пластинок и соединяют между со-
бой сегментными призмами. Направляю-
щая пластина в отличие от рабочей не
7 Г. Б. Иосилевич и др.
193
Рис. 18.5. Зубчатая цепь
имеет выреза в середине, она предохраня-
ет цепь от смещения вдоль оси звездочек
во время работы.
Рабочими поверхностями зубьев цепи
являются боковые наружные стороны
зубчатых выступов пластин, очерченные
плоскостями. Этими плоскостями каждое
звено садится на два зуба звездочки,
имеющих трапециевидную форму.
Зубчатые цепи по сравнению с роли-
ковыми обеспечивают большую быстро-
ходность, прочность и плавную работу
с меньшим шумом, но сложны в изго-
товлении и имеют большую массу.
Звездочки. Звездочки (рис. 18.6, а, б)
конструктивно подобны зубчатым коле-
сам. Профилирование их зубьев выполня-
ют по стандарту. Ширина Ь зубчатого
венца звездочки принимается несколь-
ко меньшей расстояния между внутрен-
ними пластинками 6ВН. Звездочки боль-
ших размеров . выполняют составными
(рис. 18.6, в — <5).
Материалы. Пластины цепей изготов-
ляют из среднеуглеродистых и легирован-
ных сталей 45, 50, 40Х, 40ХН и др., а за-
тем закаливают до твердости
50...65 HRC. Оси, втулки и призмы обыч-
но изготовляют из сталей 15, 15Х, 20Х
и др., цементуют и подвергают закалке до
твердости 50...65 HRC.
Звездочки тихоходных передач изго-
товляют из чугуна СЧ20 (с закалкой)
или чугуна из других антифрикционных
высокопрочных марок.
Часто звездочки изготовляют из ма-
лоуглеродистых (цементуемых) и сред-
неуглеродистых легированных сталей (15,
20Х, 12ХНЗА, 45, 40Х, 50Г2) с последую-
щей закалкой до твердости более
45 HRC.
§ 18.2. МЕХАНИКА ЦЕПНОЙ ПЕРЕДАЧИ
Кинематика передачи. Звенья цепи
располагаются в зацеплении со звездоч-
кой, образуя «многоугольник» (рис. 18.7).
В связи с этим при равномерном вращении
с угловой скоростью он ведущей звездочки
цепь движется по контуру неравномерно
со скоростью
vu=v cos р। = 0,5<о}d। cos pb
где Pi — угловое положение шарнира
(рис. 18.7; 0^Р1^ф1, где <pi=n/zi);
di—диаметр делительной окружности
ведущей звездочки.
Рис. 18.6. Звездочки
194
Рис. 18.7. Кинематическая схема передачи
Мгновенная скорость ведомой звез-
дочки при <oi=const (рис. 18.7)
w2=2yu/(d2cos 02).
Здесь di—диаметр делительной окруж-
ности 2-й звездочки; р2 — угол поворота
шарнира ведомой звездочки, соответству-
ющий углу Pi ф2 = л/г2).
Мгновенное передаточное отношение
при Ы| — const
<о 1 d2 cos р2 z2 cos p2
i о=----=-----------=-----------= v a r.
p a>2 d| cos P| z( cos P|
Средняя скорость цепи (в м/с) и
среднее передаточное отношение:
__ Рц max + Рц min _ Z^t
V"~~ 2 ~ 60-1000’
где zi и z2 — числа зубьев звездочек 1 и 2.
Равномерность движения цепи можно
повысить увеличением числа зубьев звез-
дочек, так как в этом случае cos Pi и
cos р2 приблизятся к единице. Равномер-
ности движения цепи в значительной ме-
ре способствует совпадение фаз углов Pi
и р2, которое достигается при длине ве-
дущей ветви цепи, кратной целому числу
звеньев.
Циклическое изменение скорости vu
цепи и ее поперечные перемещения со
скоростью цп нагружают цепь силами
инерции, приводят к ударам втулок (ро-
ликов) по зубьям звездочек при входе
в зацепление, возбуждают поперечные ко-
лебания ветвей, способствуют повышению
темпа изнашивания.
Усилия в передачах. Окружное усилие
передается зацеплением за счет давления
зубьев ведущей звездочки на звенья цепи
и давления звеньев ведущей ветви на
зубья ведомой звездочки. Усилия между
зубьями звездочек, как и усилия в ветвях,
распределяются неравномерно в пределах
углов обхвата <xi и а2 (см. рис. 18.1).
Натяжение ветвей цепи на холостом
ходу передачи (внешняя нагрузка отсут-
ствует) вызывается силами тяжести.
Провисание обеспечивает более плавную
работу передачи, меньший износ в шар-
нирах цепи.
Сила натяжения при холостом ходе
горизонтальной ветви цепи, длина кото-
рой приблизительно равна межосевому
расстоянию,
Fq=qa2/ (8f) = lqa,
где q — масса цепи длиной 1 м; f — стре-
ла провисания.
Стрелу провисания ведомой ветви но-
вой цепи горизонтальной передачи в на-
чале ее работы назначают небольшой,
до f = 0,02а; в этом случае коэффициент
£ = 6,25 (для вертикальной ветви £=1).
В процессе работы передачи под на-
грузкой ведущая ветвь растягивается
усилием
где Ft — окружная сила (полезная на-
грузка); Fq — натяжение от сил тяжести;
Fu — qva — натяжение цепи от сил инер-
ции; Fa — динамическая нагрузка в цепи
от неравномерного хода (в расчетах пе-
редач влияние FR на работоспособность
учитывают с помощью специальных коэф-
фициентов).
Ведомая ветвь под нагрузкой растяги-
вается усилием
F2=Fq+Fn.
Окружная сила
Fl = 2Tt/dl = p/va,
где р — мощность, передаваемая пере-
дачей.
Нагрузка на валы цепной передачи
при средних скоростях движения цепи
(цц<15 м/с)
F=kF„
где k я» 1,15 для горизонтальной и А«
«1,05 для вертикальной передачи.
7*
195
$ 18.3. ОСНОВНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ПЕРЕДАЧ
Числа зубьев звездочек Z\ и zz выби-
рают из условия обеспечения минималь-
ных габаритов и более плавного хода це-
пи. При этом следует иметь в виду, что
передача будет иметь меньшие габариты
при минимальном числе зубьев малой
звездочки zi. Но с уменьшением значе-
ния Zi увеличиваются неравномерность
хода цепи, динамические нагрузки, шум
в передаче и снижается долговечность.
На основе опыта проектирования и
эксплуатации передач принимают zi =
29 — 2/^19. В тихоходных передачах
при скорости цепи уц<2 м/с допускают
zlmin= 13...15; в передачах, испытываю-
щих ударные нагрузки, zlmin = 23.
Излишне большие значения zi спо-
собствуют повышенному износу шарниров
и увеличению шага цепи («вытяжке» це-
пи). Для роликовых цепей (кроме ПРИ)
zlmax=200K/[6,],
где K = 2h/§t—коэффициент высоты зу-
ба (h — хордальная высота), обычно К =
0,3...0,5; [6г] — допускаемое (по услови-
ям эксплуатации) относительное увеличе-
ние шага цепи в %.
Расстояние а между осями звездочек
(см. рис. 18.1) оказывает влияние на ра-
ботоспособность цепи, так как оно опре-
деляет частоту нагружения шарниров.
При малом значении а цепь быстро изна-
шивается, а при большом значении а
ведомая ветвь начинает колебаться из-за
сильного провисания.
На практике стремятся к тому, чтобы
а =(30...50) t.
Минимальное значение а (в мм) ог-
раничивают значением угла обхвата це-
пи (amin>120°):
при /^3
d 1Ч- db
amin=^~-+(30...50);
при г>3
d । + d2 9-|-t
amin n in
Требуемое число звеньев цепи (длина
цепи в шагах) определяется по предвари-
тельно выбранным значениям a, t, Z\ и Zz.
a Zi + z2 / z2 —z.\ /
®«2-=-h—4--?-+i ——
t 2 \ 2n J a
Его округляют до ближайшего целого
значения (желательно четного) во избе-
жание использования менее прочных сое-
динительных звеньев.
Для обеспечения нормального прови-
сания ведомой ветви цепи межосевое рас-
стояние уменьшают на (0,2...0,4) %.
$ 18.4. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ ПЕРЕДАЧ
Виды повреждений и критерии рабо-
тоспособности. В эксплуатации передач
установлено, что виды повреждений це-
пей и звездочек зависят от условий рабо-
ты. Износ шарниров звеньев
является основной причиной выхода из
строя цепных закрытых передач общего
машиностроения. Он приводит к увеличе-
нию шага цепи (вытяжке цепи), непра-
вильному зацеплению и, как следствие,
сползанию цепи со звездочки.
Степень износа цепи (в %) оценива-
ют по относительному увеличению шага
цепи = Норма предельного износа
и связанная с ней продолжительность ра-
боты передачи определяются глубиной
термической или химико-термической об-
работки, профилем и числом зубьев боль-
шей звездочки, а также требованиями,
предъявляемыми к машине по точности
перемещений, неравномерности вращения
и уровню вибрации, шума. Например,
привод полиграфических машин допуска-
ет предельную вытяжку цепей не свыше
(0,5...0,6) %. Предельная вытяжка цепей
в машинах общего машиностроения, име-
ющих, как правило, zi = 40...45, ограниче-
на 2...2,5 %.
Усталостные разрушения
деталей цепи являются причиной
выхода из строя высокоскоростных пере-
дач при обильном смазывании.
Поэтому критериями работоспособно-
сти передач будут служить износостой-
кость и прочность цепи.
Оценка триботехнической надежности
передач. Ее производят в форме ограниче-
ния удельной нагрузки ри в шарнире:
196
РиС[Р„],
(18.2)
где |р„]- допускаемая по износостойко-
сти удельная нагрузка в шарнире.
Расчетное давление в шарнире
Р„=гЛд/Ио.Лт), (18.3)
где А,,,, - площадь проекции опорной
поверхности шарнира; К.л — коэффициент
динамической нагрузки (Кл=1 при спо-
койной нагрузке и Лд=1,2...1,5 при пе-
ременной нагрузке); /(т — коэффициент,
учитывающий число рядов цепи:
т .
т
12 3 4
1 1,7 2,5 3
Площадь проекции опорной
поверх-
ности шарнира
Л„,=Лв,А«0,28/2, (18.4)
где бвн — ширина втулки диаметром dB
(см. рис. 18.3); t •— шаг цепи.
На основании опыта эксплуатации и
экспериментальных исследований допус-
каемая по износостойкости удельная на-
грузка в шарнире для высокоресурсных
передач [ри]^40 МПа. В предваритель-
ных расчетах значения [/?„] можно прини-
мать из табл. 18.1.
При проектировании передач опреде-
ляют предварительное значение шага цепи
/ = 60Д(18.5)
где Р - мощность, передаваемая це-
пью, Вт.
Эта формула выводится из условия
(18.2) с учетом соотношений (18.1),
(18.3) и (18.4). Из расчета по этой фор-
муле можно принимать цепь с ближай-
шим меньшим стандартным значением
шага.
Таблица 18.1
Допускаемое давление [ри] в шарнирах в зависи-
мости от частоты вращения малой звездочки
при ?| = 15...30
t, мм [ри], МПа, при частоте п , мин 1
>50 200 400 600 800 1000 1200
12,7...15,875 19,5...25,4 30...38,1 40...58,8 35 31,5 30 29 26 28,5 26 24 21 26 23,5 21 17,5 24 21 18,5 15 22,5 19 16,5 21 17,5 15
Оценка прочностной надежности пере-
дачи. Передачи часто (особенно в момент
пуска) испытывают кратковременно или
длительно значительные статические на-
грузки. Для предотвращения чрезмерной
вытяжки цепи или ее обрыва полезная
окружная сила должна быть
F/max
где Fmin — минимальная разрушающая
нагрузка, задаваемая для каждого разме-
ра цепи; п — коэффициент запаса; обыч-
но п = 3...5.
В момент пуска машины
F/max=:27'1n/dj,
при движении цепи со скоростью
vц>
где Tin — момент пусковой, Н-мм; di—
диаметр делительной ведущей звездочки
окружности, мм; Р—передаваемая мощ-
ность, Вт.
Оценку прочностной надежности эле-
ментов цепи по сопротивлению усталости
выполняют в форме определения запаса
прочности
где о_|р— предел выносливости при рас-
тяжении стандартного образца из мате-
риала детали; ро -- коэффициент, учиты-
вающий состояние поверхности детали
(см. гл. 16); Ка - эффективный коэффи-
циент концентрации напряжений; оа —
амплитуда переменных напряжений в
опасной точке детали.
При определении п„ влиянием средне-
го напряжения пренебрегают, так как на-
чальное натяжение цепи невелико.
При оценке надежности пластин цепи
& а ^'тах/(2т1 пл),
где А „л = s (h — d)— площадь сечения
пластины, ослабленной отверстием (s и
h — толщина и ширина пластины; d —
диаметр оси для наружной пластины или
втулки для внутренней пластины).
Эффективный коэффициент концентра-
ции напряжений для пластины с отвер-
стием (с учетом посадки пластин и изгиба)
КО = 2...2,3.
197
§ 18.5. ОСОБЕННОСТИ КОНСТРУКЦИЙ
И ЭКСПЛУАТАЦИИ ПЕРЕДАЧ
Передачи располагают обычно в вер-
тикальной плоскости с горизонтальным
или наклоненным до 40...45° расположе-
нием линии центров (линией, соединяю-
щей оси звездочек). Расположение цепи
в других плоскостях нежелательно. Веду-
щей в цепной передаче может быть верх-
няя или нижняя ветвь.
Регулирование натяжения
цепей является эффективным средст-
вом повышения долговечности цепной пе-
редачи. Предварительное натяжение цеп-
ных передач устанавливается по стреле
провисания f (/«0,02 — для горизон-
тальных и наклоненных к горизонту до
45° передач; / = (0,01 ...0,015) а — для пе-
редач, близких к вертикальным). Для ус-
транения вредного влияния вытяжки це-
пей и сохранения предварительного натя-
жения и провисания в процессе эксплуа-
тации производят периодическую регули-
ровку натяжения. Для этого предусмат-
ривают в конструкции либо возможность
перемещения опор, либо использование
натяжных роликов или звездочек.
Важнейшими условиями надежной
работы передачи являются параллель-
ность валов и совпадение плоскостей
звездочек.
Способы смазывания пере-
дач зависят от скорости цепи. Периодиче-
ское смазывание (масленкой, капельным
способом) допускается при скорости цепи
цц<6 м/с, масляная ванна — при ац =
= 6...8 м/с и циркуляционное смазывание
необходимо при уц>8 м/с как для сниже-
ния интенсивности развития контактной
коррозии, так и для охлаждения цепи.
Вопросы для самопроверки
1. Каково назначение цепных передач и их
преимущества перед ременными передачами?
2. Какие типы цепей используют в пе-
редачах?
3. Какие виды повреждений распростране-
ны в передачах и какие критерии используют
для оценки их работоспособности?
Глава 19
ПЕРЕДАЧИ ВИНТ—ГАЙКА
$ 19.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Передача винт — гайка представляет
собой кинематическую винтовую пару, ко-
торую используют в различных машинах
и приборах для преобразования с боль-
шой плавностью и точностью хода вра-
щательного движения в поступательное.
Механизмы часто применяют в качес-
тве подъемных (домкраты и др.) и нагру-
жающих устройств (прессы и др.), так
как с их помощью можно сравнитель-
но просто получать большие усилия
(500... 1000 кН) при малых перемещениях.
Простейший механизм (рис. 19.1, а)
содержит два звена: стойку — неподвиж-
ную гайку 1 и подвижное звено —
винт 2, обладающее винтовым движени-
ем. Механизм используют на практике
для создания силы. В механизмах, пока-
занных на рис. 19.1,6, в, оба звена, со-
ставляющих винтовую пару, подвижны.
В первом из них вращение гайки вызыва-
ет поступательное перемещение винта, а
во втором — вращение винта приводит к
поступательному перемещению гайки. Эти
две схемы передач распространены на
практике, так как передача вращательно-
го движения на гайку или винт не вызы-
вает технических трудностей.
Используют механизмы с резьбой
различных профилей. В сило-
вых механизмах большее распростране-
ние получила трапецеидальная резьба, в
механизмах приборов — метрическая
резьба, а в механизмах и устройствах
прессов и прокатных станов — упорная
резьба.
Достоинства механизмов: простота
конструкций, плавность и точность хода,
большое передаточное отношение, а так-
же возможность самоторможения. Одна-
ко их КПД сравнительно низкий.
Ходовые винты изготовляют из высо-
коуглеродистых сталей 40, 45, 50, 40ХН,
50ХГ, 65Г и др. С закалкой до твердости
более 50 HRC. Гайки изготовляют из
оловянистых бронз Бр010Ф1, БрОбЦбСЗ и
др. при высоких скоростях вращения
(0,1...0,25 м/с), а при малых скоростях
198
Рис. 19.1. Распространенные типы механизмов:
I - гайка; 2 — винт
вращения используют антифрикционные
чугуны марок АВЧ-1, АВЧ-2, АКЧ-1,
АКЧ-2 или серые чугуны марок СЧ15,
СЧ20.
§ 19.2. МЕХАНИКА,
КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ ПЕРЕДАЧ
Кинематика и статика передач. Ско-
рость относительного перемещения гайки
и винта (в м/с)
60-1000’
где z — число заходов винта-, Р — шаг
резьбы; п — частота вращения (в мин-1)
гайки или винта.
Число заходов z—\ назначают для
самотормозящихся винтов; для несамо-
тормозящихся механизмов принимают
z = 2...4.
Вращение винта или гайки в механиз-
мах осуществляется обычно с помощью
маховичка (рукоятки), шестерни и
т. п. Зависимость между окружной силой
на маховичке F(M и осевой силой на вин-
те F0B найдем из равенства работ на ма-
ховичке и винте
откуда
6s м
FaR=F‘*l^'
где т) — КПД механизма; 6sM и 6s в —
окружное перемещение маховичка и осе-
вое перемещение винта (гайки).
Если диаметр маховичка D = 200 мм,
шаг однозаходной резьбы Р — 0,5 мм и
т) = 0,5, то при 6 s„ = n D и 6sB = P най-
дем Рав«200Лм.
Таким образом, передача позволяет с
малым вращающим моментом создать
большую силу (получить выигрыш в си-
ле) или осуществить медленные точные
перемещения.
Первое из указанных свойств реали-
зуют в домкратах, прессах и других ус-
тройствах, второе — в различных меха-
низмах (регулировочных, подачи станков,
управления механизацией крыльев лета-
тельных аппаратов и т. д.).
Коэффициент полезного
действия механизма найдем как
отношение работы на завинчивание винта
без учета сил трения (f = 0 и р = 0) к ра-
боте с учетом сил трения. Тогда, имея
в виду, что момент на маховичке равен
моменту трения в резьбе, найдем
' tg(p-Fp)’
где р = Р/(л£/г) — угол подъема резьбы;
p = arctg/ —угол трения (/ — коэффици-
ент трения в резьбе).
Из этой формулы видно, что КПД пе-
редачи возрастает с увеличением угла
подъема fi и уменьшением коэффициента
трения в резьбе (уменьшением р).
199
Рис. 19.2. Шариковинтовой
механизм
Для увеличения угла подъема приме-
няют многозаходные винты. Ход резьбы
в этом случае S = P z (Р н z — шаг и чис-
ло заходов резьбы). Однако винты с уг-
лом р>25° на практике не применяют,
так как дальнейшее увеличение р не дает
существенного повышения КПД. Обычно
г] ^0,7.
Для повышения КПД механизмов
стремятся уменьшить коэффициент тре-
ния в резьбе за счет изготовления га-
ек из антифрикционных материалов
(бронзы, латуни и др.), смазывания тру-
щихся поверхностей и их тщательной
обработки.
Распространение получили шарико-
винтовые механизмы (рис. 19.2), в кото-
Рис. 19.3. Расчетная схема
витка резьбы
рых между витками винта и гайки разме-
щают шарики. При вращении винта ша-
рики движутся в направлении поступа-
тельного движения винта, попадают в об-
водной канал в гайке и возвращаются
в полость между винтом и гайкой. Меха-
низмы имеют коэффициент полезного дей-
ствия г] «0,9, так как коэффициент тре-
ния качения невелик (f= 0,005...0,01).
Виды повреждений передач. Опыт
проектирования и эксплуатации передач
показал, что потеря их работоспособности
связана главным образом с износом резь-
бы. В высоконагруженных передачах до-
мкратов, прессов и других подобных ус-
тройств имеют место случаи потери ус-
тойчивости, реже разрушения винтов.
Таким образом, критериями работоспо-
собности передач являются износостой-
кость, прочность и устойчивость.
Расчет на износостойкость. Триботех-
ническую надежность передач принято
оценивать по среднему контактному на-
пряжению (давления) р на рабочих по-
верхностях витков (рис. 19.3) из условия
p = Fa/(n d<Ji z8)<[p],
где di и h — средний диаметр и рабочая
высота профиля резьбы; zB — число вит-
ков; [р]—допускаемое контактное давле-
ние; используется в расчете как критерий
подобия, отражающий предшествующий
опыт эксплуатации механизмов, зависит
от материалов винта и гайки.
Допускаемые напряжения для пар
материалов винт - гайка: закаленная
сталь — бронза [р]= 10...13 МПа; незака-
ленная сталь и бронза [р]=8...1О МПа;
незакаленная сталь и антифрикционный
чугун [р]=6...7 МПа; незакаленная сталь
и серый чугун [р]=4...5 МПа. Для меха-
низмов точных перемещений (делитель-
ных и др.) значения [р] принимают в 2...
3 раза меньше, чем для механизмов об-
щего назначения.
Вследствие износа и приработки рас-
пределение нагрузки между витками
резьбы улучшается. Поэтому в механиз-
мах применяют более высокие гайки, чем
в резьбовых соединениях. Увеличением
высоты гайки повышают работоспособ-
ность передачи.
В механизмах, к которым предъявля-
ются жесткие требования компенсации
200
Рис. 19.4. Устройства для компенсации
«мертвого» хода в резьбе
Напряжения растяжения (сжатия) и
кручения определяются так же, как для
резьбовых соединений (Wp—полярный
момент сопротивления сечения):
_ 4Fa _мз _ 16М3
а эквивалентное напряжение
износа для уменьшения «мертвого» хода
(зазора между витками винта и гайки),
используют разрезные гайки (рис. 19.4, а)
или специальные устройства (например,
пружинные, рис. 19.4,6), обеспечиваю-
щие радиальную или осевую выборку
зазора.
Расчет винтов на прочность. В процес-
се работы винт механизма работает в ус-
ловиях растяжения и кручения. Поэтому
условие прочностной надежности по до-
пускаемым напряжениям имеет вид
0 э К В {О' р] ,
где Оэкв — эквивалентное напряжение;
[ар] —допускаемое напряжение при рас-
тяжении материала винта.
л... 30 50 60 80
0,91 0,86 0,82 0.70
В связи с наличием зазоров в резьбе
в схеме расчета на устойчивость прини-
мают шарнирное закрепление концов вин-
та (коэффициент приведения длины v =
= 1). Радиус инерции i=y[TjA =0,25d|
(здесь J — осевой момент инерции сече-
ния, J = л dj/64, А — площадь поперечно-
го сечения винта).
О' экв Зтк.
Расчет на устойчивость. Расчет на ус-
тойчивость проводится для длинных высо-
конагруженных винтов (домкратов
и др.). Условие устойчивости винтов по
допускаемым напряжениям имеет вид
—у<ф[ар],
Л и ।
где qp — коэффициент уменьшения допус-
каемых напряжений, выбирается в зави-
симости от параметра гибкости:
100 120 140 160
0,52 0,37 0,29 0,24
Вопросы для самопроверки
1. Каково назначение передач типа
винт — гайка?
2. Какие виды повреждений характерны
для таких передач н по каким критериям оце-
нивают их работоспособность?
3. По каким соображениям гайки передач
изготовляют из антифрикционных материалов?
Глава 20
РЫЧАЖНЫЕ МЕХАНИЗМЫ
§ 20.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
И ВИДЫ МЕХАНИЗМОВ
Рычажные механизмы применяют в
машинах, приборах и аппаратах для
обеспечения требуемого движения рабо-
чего органа.
Их достоинства перед другими типами
механизмов состоят в способности переда-
вать большие силы, разнообразии движе-
ний выходного звена, высокой надежно-
сти, сравнительно низкой стоимости и др.
Среди разнообразных рычажных ме-
ханизмов наиболее распространенными
являются плоские четырехзвен-
ные механизмы. Они могут иметь
четыре шарнира (шарнирные четырех-
звенники), три шарнира и одну поступа-
тельную пару или два шарнира и две по-
ступательные пары.
Шарнирный четырехзвенник, показан-
ный на рис. 20.1, а, называют кривошип-
но-коромысловым механизмом. Его веду-
щее звено 1 — кривошип совершает пол-
нооборотное вращение, звено 2 плоско-
параллельное движение, а ведомое звено
•У — коромысло выполняет качательное
(возвратно-вращательное движение или
неполнооборотное вращение). Звено /,
имеющее наименьшую длину, может быть
кривошипом, если его длина в сумме с са-
мым длинным звеном будет меньше сум-
мы длин остальных звеньев (правило
Грасгофа; здесь и далее расстояние AD
считают длиной неподвижного звена —
стойки 4). Механизм может применяться
также для преобразования качательного
движения во вращательное.
Двухкривошипный механизм
(рис. 20.1,6) представляет собой другую
разновидность шарнирного четырехзвен-
ника; у него сумма длин самого коротко-
го и самого длинного звеньев меньше
суммы двух остальных звеньев, а за стой-
ку принято самое короткое звено. Такие
механизмы преобразуют равномерное
вращение ведущего звена в неравномер-
ное вращение ведомого звена. В частном
случае, когда длины противолежащих
звеньев одинаковы, выходное звено также
будет вращаться равномерно.
Двухкоромысловый механизм
(рис. 20.1, в) также является шарнирным
четырехзвенником, у которого размеры
звеньев не удовлетворяют правилу Грас-
гофа или самое короткое звено механиз-
ма является шатуном. Обычно такие ме-
ханизмы используют для передачи на не-
обходимое расстояние качательного дви-
жения, а также для приближенного
воспроизведения заданной функции поло-
жения.
Выполняя вращательную пару С в
форме дуговой направляющей радиуса
p = CD (неподвижной кулисы) и ползуна,
получим механизм (рис. 20.1, г), который
кинематически подобен кривошипно-ку-
лисному механизму (рис. 20.1, а). Однако
такая конструкция нетехнологична.
Обычно ее заменяют другой, у которой
радиус р=оо, и полученный механизм
(рис. 20.1,6) называют кривошипно-пол-
зунным нецентральным, так как линия
движения шарнира С не проходит через
ось вращения кривошипа — точку А. Не-
центральность (или дезаксаж) характе-
ризуют длиной перпендикуляра е, опу-
щенного из центра А на линию движения
ползуна. При е — 0 механизм превращает-
ся в кривошипно-ползунный центральный
(рис. 20.1, е).
Кривошипно-ползунные механизмы ши-
роко применяют в поршневых двигателях,
где ползуны называют поршнями. По-
ршень двигателя воспринимает движу-
щую силу и поэтому является ведущим
звеном. Здесь возвратно-поступательное
движение поршня 3 преобразуется с по-
мощью шатуна 2 во вращательное дви-
жение кривошипа 1 (коленчатого вала).
В механизмах ряда машин, приборов и
аппаратов кривошипно-ползунные меха-
низмы используют для преобразования
вращательного движения кривошипа / в
поступательное движение ползуна 3 (на-
пример, в швейных машинах, насосах,
компрессорах, штамповочных прессах и
т. д.).
Если в таком механизме поступатель-
ную пару выполнить в виде штока, порш-
ня и цилиндра, получим кривошипный
механизм с качающимся цилиндром
(рис. 20.1, ж), который применяется в су-
довых двигателях и других конструкциях.
Выполняя поступательную пару в
форме прямолинейной кулисы и ползуна
(рис. 20.1, ж), получим кривошипный ме-
ханизм с качающейся кулисой
(рис. 20.1,з), применяемый, например, в
станках.
Находят применение синусные меха-
низмы (рис. 20.1, и), содержащие две
вращательные и две поступательные па-
ры, и другие типы четырехзвенных меха-
низмов.
§ 20.2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
МЕХАНИЗМОВ
Задачи и методы исследования дви-
жения звеньев. Основные задачи кинема-
тического анализа механизма состоят в
определении параметров (перемещений,
скоростей и ускорений) движения его
звеньев по заданному закону движения
входного (ведущего) звена.
Если движение механизма происходит
под действием переменных во времени
сил и также является переменным, то на
первой стадии анализа эти силы не учи-
тывают (ввиду сложности решения пол-
ной задачи). Из анализа положений
звеньев и траекторий их точек можно
определить правильность действия меха-
низма и соответствие траекторий точек
рабочего органа технологическому про-
цессу, а также найти пространство, тре-
буемое для размещения механизма.
Скорости (угловые и линейные)
звеньев используют для определения ки-
нетической энергии механизма при реше-
нии в последующем задач динамики и
для оценки условий, при которых про-
исходит рабочий процесс в машине.
По значениям ускорений (угловых и
линейных) находят также инерционные
203
Рис. 20.2.
Планы механизма и траектории его точек
У////////////,
в
нагрузки на звенья, которые используют
далее для оценки прочностной надежно-
сти звеньев.
Кинематические характеристики необ-
ходимы инженеру для оценки работоспо-
собности механизмов не только на стадии
проектирования, но и в эксплуатации (в
особенности при модернизации машин).
Анализ выполняют по кинематической
схеме, которая в отличие от структурной
схемы содержит размеры звеньев, необхо-
димые для расчета.
Для определения параметров движе-
ния звеньев механизма используют ана-
литические, графические и эксперимен-
тальные методы.
Аналитические методы ос-
новываются на различных методах мате-
матического анализа и отличаются высо-
кой точностью определения параметров в
каждый момент времени работы механиз-
ма. При использовании ЭВМ, снабжен-
ных графическими дисплеями и графопо-
строителями, аналитические методы ста-
новятся наглядными. Среди аналитиче-
ских методов наиболее распространены
методы аналитической геометрии и тен-
зорно-матричных операций.
Графические методы основаны на не-
посредственном графическом построении
(методы засечек и шаблонов) траекторий
движения наиболее характерных точек
звеньев механизма. Они менее точны и
эффективны для плоских механизмов. Их
используют преимущественно в учебных
задачах (благодаря наглядности).
Экспериментальные методы использу-
ют преимущественно для оценки точности
расчетных моделей и методов.
Графический метод кинематического
анализа механизма. При графическом ме-
тоде кинематического анализа механиз-
мов длины звеньев, перемещения точек,
скорости и ускорения изображают в мас-
штабах (р.,; p.s; р.;, и ра).
Построение плана по л о ж е-
ний механизма. Планом положений
механизма называется графическое изо-
бражение взаимного расположения звень-
ев, соответствующее выбранному моменту
времени. С. помощью планов механизма
можно наглядно проследить за движением
его звеньев и точек. Рассмотрим в качест-
ве примера кривошипно-шатунный меха-
низм (рис. 20.2), где / - кривошип; 2
шатун; 3 ползун. Положение точ-
ки С на шатуне определяется длинами
отрезков АС и СВ. Для построения тра-
ектории точек А, В и С необходимо постро-
ить ряд планов (последовательных поло-
жений) механизма. Плавная линия, прове-
денная чепез все одноименные точки,
будет искомой траекторией точки звена.
Иногда изготовляют шаблон механиз-
ма и с его помощью определяют траекто-
рии точек звеньев. Если конструктивная
форма звеньев известна, то шаблон до-
лжен полностью ее копировать. Только в
этом случае можно выяснить, не заденет
ли какое-либо звено механизма при его
движении за другие (в том числе и за
неподвижное звено корпус). Положе-
ние звена, из которого начинается отсчет
его движения в одном направлении, на-
зывают начальным или крайним. Положе-
ние, в котором кривошип / и ша-
тун 2 располагаются на одной прямой,
называют мертвым.
204
Рис. 20.3. Построение планов скоростей и ускорений для четырехзвенного кри-
вошипно-ползунного механизма
Построение планов скоро-
стей и ускорений. Метод основан
на графическом решении векторных урав-
нений движения. Для построения планов
скоростей и ускорений механизма должна
быть известна его кинематическая схема
и задан закон движения ведущего звена.
В качестве примера рассмотрим дви-
жение кривошипно-ползунного механизма
(рис. 20.3, а). Для заданного положения
механизма известны угловые скорость оо
и ускорение е, ведущего звена. Требуется
найти линейные скорости и ускорения то-
чек А, В и С, а также угловые скорость
и ускорение звена 3.
Построение плана скоростей начина-
ется с определения скорости точки А кри-
вошипа
иА = ш\^ОА-
Вектор скорости vA направлен перпен-
дикулярно кривошипу ОА в направлении
его вращения (угловой скорости).
Точка В, принадлежащая звену 2,
рассматривается в относительном движе-
нии вокруг точки А. Скорость точ-
ки В можно представить как векторную
сумму скоростей переносного и относи-
тельного движений. Переносным движе-
нием будем считать вращательную ско-
рость точки А, а относительным — вра-
щательное движение звена 2 вокруг точ-
ки А. Обозначая последнюю через vba,
получаем следующее уравнение для ско-
рости точки В:
^В=^а + ^ВА>
где vsa.LAB и уй||ОЛ.ок
Для определения указанных неизвест-
ных величин строим план скоростей в вы-
бранном масштабе скорости ц„. Из про-
извольного полюса pv (рис. 20.3, б) про-
водим вектор pva = vA/pv, перпендикуляр-
ный кривошипу ОА, соответствующий на
плане скоростей абсолютной скорости
v А. Из конца вектора р^а (точка а) прово-
дим линию в направлении относительной
скорости vBA, перпендикулярную АВ, а из
полюса pv — линию в направлении скоро-
сти v в, параллельную ОВ. В пересечении
указанных линий находим точку Ь. Век-
тор р,Ь изображает скорость аь точки В,
а вектор ab - скорость v ВА. Значения
действительных скоростей находим по
формулам
Для определения скорости точ-
ки С шатуна можно воспользоваться из-
вестной из теоретической механики теоре-
мой подобия для скоростей, согласно ко-
торой отрезки прямых линий, соединя-
ющие точки на схеме звена механизма,
205
и отрезки прямых линий, соединяющие
концы векторов относительных скоростей
этих точек на плане скоростей, образуют
подобные и одинаково расположенные
фигуры. Фигура на плане скоростей по-
вернута относительно фигуры схемы зве-
на на 90°.
Вектор pvc скорости точки С находим
построением на отрезке ab треугольни-
ка abc, подобного треугольнику АВС, по-
вернутому на 90°. Для этого из точки а
плана скоростей проводим линию, перпен-
дикулярную АС, а через точку b - пер-
пендикулярную ВС. В пересечении этих
линий находим точку С. Значение скоро-
сти в этой точке вычисляем по формуле
Vc=VvPvc-
Угловая скорость звена 2
(О2= о ВА/1ВА.
Направление о>2 находится по вектору
скорости vba. План скоростей можно по-
строить в неопределенном масштабе. Для
этого построение начинаем не с точки А,
скорость которой задана, а с какой-нибудь
другой точки, например В, задавшись
произвольной скоростью этой точки. При
этом план скоростей строится без затруд-
нения. Скорость точки А получаем в виде
отрезка. Сопоставляя полученный отрезок
с заданной скоростью, определим мас-
штаб, в котором произведено построение.
Планы скоростей механизмов позво-
ляют охарактеризовать движение меха-
низма:
векторы, выходящие из полюса плана
скоростей (pv), представляют собой абсо-
лютные скорости;
вектор, соединяющий концы абсолют-
ных скоростей, представляет собой отно-
сительную скорость; он направлен к той
точке, которая стоит первой в индексе
скорости;
концы векторов абсолютных скоростей
точек механизма, жестко связанных меж-
ду собой или принадлежащих одному зве-
ну на плане скоростей, образуют фигуры,
подобные, одинаково расположенные, но
повернутые на угол 90° в сторону враще-
ния относительно фигур, образованных
этими точками на схеме механизма;
206
план скоростей дает возможность на-
ходить касательные к траекториям то-
чек механизма, не выстраивая этих тра-
екторий;
полюс плана скоростей (р„) соответ-
ствует мгновенному центру вращения зве-
на (МЦВ).
Построение плана ускорений начина-
ется с построения абсолютного ускоре-
ния точки А кривошипа, складывающе-
гося геометрически из суммы нормаль-
ной (аА — 10Аш^) и тангенциальной (ал =
= /оле,) составляющих:
^А = ^А^~аА-
Выбрав масштаб плана ускорений рл,
из произвольной точки рл (рис. 20.3, я),
называемой полюсом, откладываем уско-
рение а"А в виде вектора рАа', а из точки
а' проводим вектор ускорения ал (вектор
а'а), направление которого связано с на-
правлением углового ускорения 8|. Соеди-
няя полюс рл с точкой а, находим пол-
ное ускорение точки А (отрезок рАа)
аА = рлац,А.
Ускорение точки В находим из урав-
нения
ав = аА + аВА =
= ^а + ^ва + ^'ва-
Значение нормальной составляющей
относительного ускорения определяется
по формуле
аВА~ ^ВаИав-
Вектор апВА направлен по АВ к центру
вращения (точке А механизма) и откла-
дывается из точки а плана. Направление
тангенциальной составляющей вектора
а‘ВА будет проходить через конец вектора
аВА и перпендикулярно ему. Направление
абсолютного ускорения точки В известно
(а4||ОВ) и соответствующая линия прохо-
дит через полюс ра. Пересечение этих
двух линий действий определит положе-
ние точки Ь на плане, а следовательно,
величину ускорения aB=pj)ab. Вектор ab
изображает полное относительное ускоре-
ние аВА. Угловое ускорение звена 2 нахо-
дим из уравнения
Перенеся вектор ускорения a‘SA в точ-
ку 8 и рассматривая движение точ-
ки В относительно точки А, находим на-
правление ег-
Ускорение а(: определяется из векто-
рных уравнений
И
5c=5b + 5cb+Scb-
где a"CA = v2CA/lCA; а'(:А±^С;
VrB __
асв—~', ; а<:в^~вс.
bRC
Проводя аналогичные рассуждения,
определяем ас—НоРас-
План ускорений имеет следующие ха-
рактеристики:
векторы, идущие из полюса ра плана
ускорений, представляют собой абсолют-
ные ускорения соответствующих точек
механизма;
отрезки, расположенные между конца-
*ми абсолютных ускорений, соответствуют
полным относительным ускорениям;
их векторы направлены к той точке,
которая стоит первой в индексе ускоре-
ния (авс);
концы векторов абсолютных ускоре-
ний точек механизма, жестко связанных
между собой или принадлежащих одному
звену, на плане ускорений образуют по-
добные фигуры, повернутые на угол
180° — а, где
, е
a = arctg -у;
(1)
план ускорений позволяет находить
радиусы кривизны траекторий точек меха-
низма, не выстраивая этих траекторий:
Р4=ив/ав;
планы ускорений дают возможность
находить также угловые ускорения
звеньев.
Рассмотрим кулисный механизм
(рис. 20.4, а), для которого известны угловые
скорость и ускорение звена /. Требуется найти
скорость и ускорение точки I) и угловые скоро-
сти и ускорения звеньев 2 и 3.
Построение плана скоростей начинаем с оп-
ределения скорости точки А звена 1: иА==1()Лы,.
Из полюса плана скоростей р„ (рис. 20.4, б)
проводим вектор рг_а (в масштабе скорости
ри). На звене 3 выбираем точку В, совпадаю-
щую с точкой А. Движение точки В можно
рассматривать как состоящее из переносного
со скоростью vA и относительного со скоростью
ивл, т. е.
иВ=ил + ^ВЛ’
где vg-LCB и ивл|| СХ.
Из конца вектора скорости точки А на
плане скоростей проводим линию в направле-
нии скорости одд, а из полюса - линию
в направлении скорости vB. В пересече-
нии этих линий получаем точку Ь. Отрезки р„Ь
и ab определяем с учетом масштаба щ. скоростей
иВ и VBA- Угловую скорость звена 3 находим
из формулы
ыз = и в^св-
Так как звенья 2 и 3 образуют поступательную
пару, то они не имеют относительного враще-
ния, поэтому угловые скорости Ы2 = <оз. На-
правление угловой скорости о>.( устанавлива-
ем, перенося в точку В скорость vp. В ту же
сторону направлено и угловое ускорение шг.
План ускорений строим, начиная с точки А:
где a" = /0Awf и
Выбирая масштаб плана ускорений ра
(рис. 20.4,в), вычисляем длины отрезков pva"
и а"а', изображающих ускорения аА и аА на
плане. Соединяя полюс ра с точкой а', получа-
ем вектор раа', представляющий полное уско-
рение аА точки А.
Ускорение точки В. когда переносное дви-
жение не является поступательным, складыва-
ется из переносного аА, относительного и пово-
ротного ускорений. Так как в относительном
движении точка В движется по прямой Сх, то
в этом движении точка В имеет только танген-
циальное ускорение а‘ВА. направленное по этой
линии. Поворотное, или кориолисово, ускоре-
207
S)
Рис. 20.4. Построение планов скоростей и ускорений для кулисного
механизма
ние обозначим через Ядд. Ускорение точки В
ав = аА + аВА + авл-
Так как точка В, принадлежащая звену 3,
движется по окружности, то
“в =
откуда
= ад + авл + “вл-
где а‘в.\- СВ и aRA || Сх.
Ускорения ав и аВА вычисляются по
формулам
ав — и2в/^вн
^ВЛ — ‘^иВАы2’
так как в рассматриваемом случае переносной
угловой скоростью будет угловая скорость зве-
на 2. Направление вектора кориолисова уско-
рения ЯдД находим, поворачивая вектор пВЛ на
90° в направлении угловой скорости w2. Из
точки а' плана ускорений (рис. 20.4, п) откла-
дываем ускорение а^А: через полученную точ-
ку Ь" проводим линию в направлении уско
рения a‘RA\tCx. Затем из полюса ра проводим
вектор раЬ"' ускорения aR, направляя его от
точки В к точке С механизма; через точку Ь"'
плана проводим линию в направлении танген-
циального ускорения aR LCB. Пересечение
указанных линий происходит в точке Ь'. Векто-
ры pab', Ь"Ь' и (/"(/изображают соответствен-
но ускорения аь, а‘Ьа и a’h.
Угловое ускорение звена 3 вычисляем по
формуле
Ез=авЛсв'
такое же угловое ускорение имеет зве-
но 2 (е2 = ез. так как звенья 2 и 3 образуют
поступательную пару и не имеют относительно-
го вращения).
Зная скорость точки А звена 2, угловую
скорость «г и ускорение е2 этого звена, не-
трудно найти скорость и ускорение любой точ-
ки на этом звене. Так, например, для опре-
деления скорости и ускорения точки I) напи-
шем уравнения
= +
208
Рис. 20.5. Кинематические диаграммы ползуна кривошинно ползунного механизма:
перемещений; б скорости; « ускорений
где
vl)A LAD;
Цл + “‘иА’
где а/)--= IА1^2',
a‘i)A = huf? и a'l>A-LAD.
Графическое определение скорости и уско-
рении точки I) показано на плане скорости
(рис. 20.4, б) и плане ускорения (рис. 20.4, в).
Аналитический метод кинематического
анализа сводится к совместному решению
уравнений проекций на оси координат
контура механизма с последующим диф-
ференцированием полученных уравнений
для определения скоростей и ускорений.
Ниже приведены примеры кинемати-
ческого расчета нескольких распростра-
ненных механизмов.
Крив о ш и п н о - п о л з у и н ы й
м е х а и и з м. Рассмотрим механизм, по-
казанный на рис. 20.5, а, и определим ки-
нематические параметры каждого из его
звеньев.
Угловая скорость кривошипа опреде-
ляется как первая производная углового
перемещения по времени
d Ф 2л п
м = - = - — » 0,105 п,
d /60
где п - частота вращения кривошипа,
об/мин.
Угловое перемещение кривошипа при
угловой скорости ы = const определяется
по формуле
(( -= <о/
или
180 г »•
ф =----- Ml = 0 nt .
Окружная скорость точки А криво-
шипа
ил — м R
и центростремительное ускорение, на-
правленное по радиусу кривошипа к цен-
тру, o.a = m‘2R.
При повороте кривошипа на угол ф
ползун переместится oi ючки Во на вели-
чину S,,.
Запишем векторное уравнение для
контура ОАВ, учитывая, что OA=--R,
AB = L, a OBU=R + L;
R + L = OB.
Проекции этого уравнения на оси х и у
соответственно
R cos <р + В cos $ — ОВ = ОВп—S„ =
= R + L-Sn;
R sin гр — L sin [5 = 0.
209
Обозначая R/L — k и учитывая (из по-
следнего уравнения), что
sin р = Х sin ср;
cos 3 =д/ 1 —X2 sin2 <p, (20.1)
найдем следующее соотношение для пе-
ремещения ползуна:
5„ = Л
1 ---(cos ф +
Л
(20.2)
Перемещение ползуна обычно находят по
формуле (20.2), предварительно опреде-
ляя по формуле (20.1) угол 0.
В ряде случаев расчет кинематиче-
ских параметров ползуна удобнее вести
по приближенным формулам, которые
можно получить, используя разложение:
д/1 — Л2 sin2 ф =| — Л2 sin2 ф —
—Л4 sin4 ф —... (20.3)
О
В кривошипно-ползунных механизмах
машин параметр X изменяется обычно в
пределах от 1/3 до 1/12. Для менее вы-
годного случая, когда Л=1/3 и ф = 90°,
второй член ряда не превышает 5 % от
первого члена, а третий член - 0,02 %.
Поэтому с достаточной точностью .можно
ограничиться первыми двумя членами ря-
да. В этом случае уравнение (20.2) при-
нимает вид
S„ = /?| 1+-JJ—[cos ф +
1 Л
+ у(1-72 51П2ф)
(20.4)
-2 1— COS 2ф
Учитывая, что sin ф =--------------—
представим последнее уравнение в форме
s„=r( 1 + y) cos <₽—
—/?-^-соз2ф. (20.5)
На рис. 20.5, б приведены зависимо-
сти перемещения ползуна Sn и его со-
ставляющих от угла ф поворота криво-
шипа.
Из уравнения (20.5) получаем:
при ф = 0° Sn = 0;
при ф = 90° = 1 +-0 ;
при ф=180° Sn = 2R.
Следовательно, при повороте криво-
шипа от положения ползуна в точке Во
на 90° (ф = 90°) перемещение ползуна
будет большим, чем при повороте криво-
шипа на следующие 90° (ф= 180°). Это
связано с тем, что движение ползуна про-
исходит под влиянием двух причин: пе-
ремещения шатуна вдоль оси цилиндра
и отклонения оси шатуна от оси цилинд-
ра, с которой он совпадает при положе-
нии ползуна в точке Во (верхнее «мер-
твое» положение). Оба эти факта вызы-
вают перемещение ползуна в одном
направлении, вследствие чего ползун при
повороте кривошипа на первые 90° от
верхней «мертвой» точки проходит боль-
ше половины своего хода.
Очевидно, влияние отклонения оси
шатуна от оси цилиндра на величину пе-
ремещения ползуна будет тем меньше,
чем больше длина шатуна (чем меньше
величина Л).
Скорость ползуна может быть опре-
делена по формуле, имеющей вид
(20.6)
cos 0
С достаточной для расчета точностью
уравнение (20.6) получают путем диффе-
ренцирования по t уравнения (20.5):
__d $„ _ d ф d Sn _
U" d / d / d ф
/ i \
= sin ф + —sin 2ф1. (20.7)
На рис. 20.5, в приведены кривые скоро-
сти ползуна (поршня) и ее составляю-
щие. Скорость поршня считается положи-
тельной, когда ее вектор направлен от
точки Ви вниз, и отрицательной — вверх.
В крайних (мертвых) точках ползуна
его скорость равна нулю вследствие изме-
нения в этих точках направления движе-
ния. При ф = 90° скорость ползуна и„ =
R <о, т. е. скорость ползуна равна ок-
210
ружной скорости точки А (оси шатунной
шейки). Однако эта скорость не является
максимальной.
Угол поворота кривошипа, при кото-
ром скорость ползуна достигает макси-
мальной величины, определяется из урав-
нения (20.7) путем дифференцирования
его по <р и приравнивания полученного
результата нулю:
d У11 о
-=/?ы (cos ф„л1ах + Х cos 2ф„ ) = 0.
Q ф и max
Из расчетов следует, что
при Х=~- Ф%та =73,5° и тах= 1,05/?ш;
ПРИ Х = 7 ^,„„а=75° и ^„тах=1,03/?<о;
при Х = 0 Ф%тз> = 90° и н„тах = /? о>.
Для рассматриваемого механизма
средняя скорость ползуна представляет
собой классификационный параметр. Она
положена, например, в основу теории по-
добия поршневых двигателей. Ее часто
используют для оценки их качества.
В течение 1 мин кривошип двигателя
делает п оборотов, а поршень (ползун)
проходит путь 4R п, поэтому
В двигателях гоночных автомобилей
средняя скорость поршня достигает
36 м/с.
Ускорение ползуна может быть полу-
чено путем дифференцирования по време-
ни / уравнения (20.6):
2Г cos (ф + 0) cos2 <р
R ы 1 ------------рС-----т"
I COS Р cos3 р
(20.8)
С достаточной для расчетов точно-
стью уравнение ускорения ползуна может
быть получено дифференцированием
уравнения (20.7) по времени:
_ d _ d ф
а" d / cl I d <р
= R ы2 (cos ф + Х cos 2q>). (20.9)
На рис. 20.5, г показаны кривая уско-
рения ползуна а„ и ее составляющие в за-
висимости от ф.
Ускорение ползуна положительно, ес-
ли его вектор направлен к оси кривоши-
па. У верхней «мертвой» точки ускорение
всегда положительно, а у нижней - отри-
цательно независимо от направления дви-
жения ползуна. В тот момент, когда ша-
тун и кривошип образуют прямой угол,
ускорение поршня равно нулю.
Экстремальные значения ускорения
ползуна можно найти из уравнения (20.9),
приравнивая нулю его производную
d а„
- —(sin ф -|-2Л sin 2ф) ы =
= — sin ф (1 -ф 4Х cos ф) ы = 0.
Из расчета следует, что
при ф = 0° a„max=R w2(l 4-Х);
при ф=180° a„max = — R о>2(1 — X).
В двигателях гоночных автомобилей
ускорение поршня достигает а1} =
= 93-103 м/с2.
Кулисный механизм. На
рис. 20.6 приведена схема кулисного ме-
ханизма. Кулису 3 можно координировать
углом ф, отсчитываемым от линии цент-
ров СВ. Тогда зависимость этого угла от
угла ф поворота кривошипа радиуса R
а ф- R cos ф
Для определения угловой скорости а>з
кулисы 3 дифференцируем формулу
Рис 2()(> Схема кулисного
механизма
211
(20.10), и имея в виду, что
do. d ib
- л-=ш. И — =Ы-.,
d / 1 d t
получаем
R со । (a cos ф + Л)
0>з=------------2 " COS ф.
(а + Лсоьф)
Из формулы (20.10) находим
соь2ф =— -т-
1+tgS
(a + R cos tp)2
(a2-|-7?24-2a R cos ф)
следовательно,
7?(acos<p4-7?)
o>;i=coI—----- —1---------- . (20.11)
(a2+/?2 + 2a# cos ф)
Когда кулиса остановится и займет
свое крайнее положение, то ш,) = 0. Это
будет при
a cos ф + R = 0,
откуда
cos (р= — R/a.
(20.(2)
Выражение (20.12) возможно только в
том случае, когда R<a. При этом кулиса
совершает качательпые движения, а ме-
ханизм называется механизмом с кача-
ющейся кулисой. Когда R>a, вращение
кулисы происходит все время в одном
направлении и механизм называется ме-
ханизмом с вращающейся кулисой.
При R = a
a(acos<p4~a) "J
0>3=Wi ----т- ---------= .
(2a24-2a2 cos ф) 2
При этом кулисный механизм служит для
уменьшения угловой скорости вдвое,
т. е. при равномерном вращении
кривошипа / кулиса 3 будет вращаться
равномерно с угловой скоростью, вдвое
меньшей угловой скорости кривошипа.
При совпадении точки А с точкой С дви-
жение кулисы станет неопределенным.
Эту неопределенность можно устранить,
соединив два кулисных механизма с кули-
сами, установленными под некоторым уг-
лом друг к другу.
При о)i= const угловое ускорение ку-
лисы определяется из дифференцирова-
ния формулы (20.11):
d
63 = ~dT =
2 R a (R2 — a2} sin ф
(а2 + R2A-2a R cos ф)2
Пели кулиса является начальным зве-
ном и вращается равномерно, как это
имеет место в роторных двигателях и на-
сосах, то о>з = const и ез = 0.
В механизмах двигателей и насосов
часто требуется определить не только от-
носительный ход поршня (камня 2) и ци-
линдра (кулисы 3).
На рис. 20.6 положение камня относи-
тельно кулисы координируется отрезком
хА=а cos ty-j-R cos 0 =
= a( cos ф +cos p V (20.13)
где р = ф — ф.
Если в кулисном механизме началь-
ным звеном является кривошип АН, то
скорость и ускорение можно определить
последовательным дифференцированием
уравнения (20.13):
d хА sin ф
= d 7 = ” “ 3 "cos’ (ф - рУ
и
a‘2i~ dt ~
[sin ф , 2/ cos ф
63 соз(ф — ф) <°3\ соз(ф-фУ +
а соз2ф
R СОВ3(ф — ф)
§ 20.3. СИЛОВОЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
Задача анализа. Основной задачей
CH.IOHOIO ;111а.।и iа является определение
реакций связей.
При этом считаются известными мас-
сы всех звеньев и распределение масс,
все внешние силы и моменты, действую-
щие на звенья, а также законы движения
звеньев. Силовой расчет проводят для
ряда положений механизма по заданному
212
циклу, что позволяет определить закон
изменения реакций за цикл.
Ио результатам расчета находят: I)
уравновешивающие силы или моменты
сил, которые нужно приложить к веду-
щим звеньям для удержания механизма
в заданном, положении либо для обеспе-
чения требуемого движения ведомых
звеньев; 2) силы и моменты сил трения
в кинематических нарах; 3) коэффициент
полезного действия в механизме.
Силовой расчет механизма позволяет
решить следующие инженерные задачи:
1) определение оптимальных конструк-
тивных форм звеньев механизма путем
проведения расчета их на прочность, жес-
ткость, вибростойкость, износоустойчи-
вость и других подобных расчетов, выпол-
няемых при проектировании механизма;
2) расчет опор и направляющих на дол-
говечность; 3) выбор мощности двигате-
ля; 4) регулирование механизма; 5) урав-
новешивание движущих масс; 6) расчет
фундамента машины.
Силы, действующие в механизмах.
В теории механизмов силы подразделяют
на движущие FA и сопротивления /> или
моменты этих сил.
К движущим силам РЛ или моментам
Л4Д относят такие, которые обеспечивают
движение механизма. Векторы движущих сил
или совпадают с векторами скоростей тех
точек звеньев механизма, к которым они
приложены, или составляют острые углы.
С энергетической точки зрения работа дви-
жущих сил L:i положительна.
Силы сопротивления F, или моменты
этих сил М, делятся на силы полезных, или
технологических (производственных), со-
противлений Fnc и силы вредных, или пас-
сивных, сопротивлений FB.V.
Силами полезных сопротивлений назы-
вают такие, на преодоление которых созда-
на машина. Векторы этих сил направлены
в противоположную сторону векторов ско-
ростей точек звеньев механизма или со-
ставляют с ними тупые углы. С энерге-
тической точки зрения работа сил полез-
ных сопротивлений L„.c отрицательна.
К силам вредных сопротивлений отно-
сят силы трения в кинематических парах,
силы аэродинамических сопротивлений и
др. На преодоление этих сил затрачивает-
ся дополнительная работа сверх той, ко-
торая необходима для преодоления полез-
ного сопротивления. Поэтому работа сил
суммарных сопротивлений
Деление сил на движущие и силы со-
противления имеет некоторую условность.
Так силы тяжести звеньев при подъеме
их центров масс оказываются силами со-
противлений, а при опускании центров
силами движущими; силы трения между
шкивом и ремнем в ременной передаче
являются движущими.
Если звенья механизма достаточно
упруги, то при их продольном сжатии
возникает сопротивление в виде упругой
деформации и затрачиваемая при этом
работа идет на накопление потенциаль-
ной энергии деформации, а в дальней-
шем, когда звено освобождается от сжи-
мающей силы, потенциальная энергия
превращается в кинетическую.
Силы инерции Fu и моменты Ми этих
сил возникают при движении звеньев.
В быстроходных механизмах по величине
эти силы могут превосходить другие си-
лы. Силы инерции, действующие на каж-
дое звено механизма, приводятся к глав-
ному вектору и главному моменту инер-
ционных сил:
= - m as;
м, =
где m - масса звена; щ - ускорение
центра массы звена (принимается из пла-
на ускорений или определяется аналити-
чески); е - угловое ускорение звена;
Js - - момент инерции масс звена относи-
тельно оси, проходящей через центр масс
и перпендикулярной плоскости движения
звена.
Направление этих сил и моментов об-
ратно направлениям соответствующих ус-
корений, а их работа за время цикла рав-
на нулю.
Реакции в кинематических парах
Fn - это усилия, с которыми одно звено
i воздействует на другое / в местах их
соприкосновения (/д,=—Fij). Во враща-
тельной кинематической паре пятого
класса известна точка приложения реак-
ции (рис. 20.7, а) и неизвестны направле-
ние и числовое значение реакции. В ио-
213
Рис. 20.7. Схемы к определению реакции в кинематических парах:
а - вращательная пара пятого класса; б — поступательная пара пятого класса; в — высшая
кинематическая чара четвертого класса
ступательной кинематической паре пятого
класса известно направление реакции
(Fji-Lxx) и неизвестны точка приложения
реакции и ее величина (рис. 20.7, б).
В высшей кинематической паре плоского
механизма известны точка приложения
реакции и ее направление, но неизвестно
числовое значение реакции (рис. 20.7, в).
Реакцию связей можно разделить на
нормальную и тангенциальную составля-
ющие. Нормальная к элементам повер-
хностей, образующим кинематическую па-
ру, не производит работу, а тангенциаль-
ная составляющая реакции — это сила
трения. Работа, совершаемая этой силой,
отрицательна. Если рассматривать равно-
весие механизма в целом, то реакции свя-
зей следует считать взаимно уравновеши-
вающими внутренними силами. При рас-
смотрении звена как изолированного от
механизма реакции отброшенных связей
становятся внешними силами.
Определение реакции в кинематиче-
ских парах. При проектировании меха-
низма силовой расчет выполняется в два
этапа. На первом этапе задаются зако-
ном движения ведущего звена, массами
и моментами инерции звеньев и определя-
ют реакции в кинематических парах без
учета сил трения, считая звенья механиз-
ма абсолютно жесткими. Используя ре-
зультаты первого этапа, определяют силы
трения, на втором этапе с их учетом оп-
ределяют истинные реакции в кинемати-
ческих парах.
При использовании принципа д’Алам-
бера уравнения равновесия называют
уравнениями кинетостатики. Для каждого
звена можно написать три уравнения
равновесия; для п звеньев число уравне-
ний равновесия будет Зп.
Реакция каждой низшей пары содер-
жит два неизвестных. Следовательно, ус-
ловие кинетостатической определимости
цепи имеет вид
Зп = 2р5.
Для цепи с высшими кинематически-
ми парами четвертого класса
Зп = 2р5+р4.
Простейшее решение удовлетворяется
при и=1, Р5=1 и Р4= 1.
Все это совпадает с условиями, кото-
рым удовлетворяют структурные группы
Ассура. Следовательно, группы Ассура
являются статически определимыми сис-
темами.
Для кинетостатической определимости
плоский механизм не должен иметь избы-
точных связей. В противном случае до-
полнительно к уравнениям кинетостати-
ки должны быть составлены уравнения
совместности деформаций.
При проведении силового расчета ме-
ханизм условно расчленяют на группы со-
гласно принятой классификации, начиная
от ведущего звена. В основе декомпози-
ции лежит следующий принцип: не нару-
шая движения или покоя системы, можно
отбрасывать отдельные связи и приклады-
вать к системе соответствующие этим свя-
зям силы реакции. Это приводит к следу-
ющим уравнениям равновесия звена:
п п
t Мо(^)+У Mo(Fit) = O, ,
/=1 /=1
214
Рис, 20.8. Схемы к кинетостатическому расчету двухповодковой группы
с тремя вращательными парами пятого класса:
а - нагружения; б - план сил
где F, - векторы сил, действующих на i-e
звено, вместе с силами инерции; Г,,—
вектор реакций связей; Л/о (Л,), Mn(Fif) -
моменты сил групп относительно точки О.
Силовой расчет начинается с послед-
ней, т. е. наиболее удаленной от ведуще-
го звена группы, и кончается расчетом
ведущего звена.
В зависимости от того, какое звено
механизма принято за ведущее, структур-
ный его состав может быть различным.
В общем случае силовой расчет начи-
нается с той группы, которая имеет в ка-
честве неизвестных сил только реакции.
Обычно это будет та структурная группа,
к которой приложена или движущая си-
ла, или сила полезного сопротивления.
Затем следует перейти к соседней группе.
В конце расчета останется структурная
группа, к которой будет приложена урав-
новешивающая сила или уравновешиваю-
щий момент. При расчете последней груп-
пы находят как уравновешивающую силу,
так и оставшуюся реакцию. Как правило,
эта группа содержит неподвижное звено;
тогда реакции и уравновешивающую силу
(или момент) находят, рассматривая рав-
новесие подвижного звена группы, назы-
ваемого крайним звеном.
В качестве примера рассмотрим сило-
вой расчет двух групп Ассура. На рис.
20.8, а приведена схема двухповодковой
группы второго класса первого вида. На
звенья 2 и 3 действуют известные силы
и моменты. В точках В и D прикладыва-
ем неизвестные реакции FVJ и Fst отбро-
шенных звеньев / и 4 на оставшиеся 2 и
3, условно направляя их вверх. Уравне-
ние равновесия группы имеет вид
а12+л,+?3+;43=о.
Разложим векторы реакций на со-
ставляющие по направлениям звеньев
(условно назовем нормальными) и пер-
пендикулярно звеньям (тангенциальные):
^12 = ^?2 + ^12;
^43 = ^43 + ^43-
Тогда уравнение равновесия примет вид
П2 + F' 2 + F2 + F3 + F^ + F‘4 3 = 0.
Составляющие реакции F\? и F'^ опре-
деляют из условия равновесия звеньев
2 и 3. Для этого составляют уравнения
моментов для каждого из звеньев относи-
тельно точки С.
Для звена 2
Мс(?2) + Мс(?'2) + М2 = 0,
откуда
^i2= , [Afc (F2) + Л42]-
1вс
215
Рис. 20.9. Схемы к кинетостатическому расчету двухноводковой группы с двумя враща-
тельными и одной поступательной парами:
а нагружения; б план сил
Для звена 3
Mc(FJ + Mc(F43) + M3=0,
откуда
a«=-7Cimc(?3)+m3j.
lCD
Составляющие реакций F\2. и F'n и
полные их значения F12 и Fn определяем
из плана сил (рис. 20.8, б), построенного
на основе уравнения равновесия.
Из начала плана сил (точка а) в
некотором масштабе цЛ проводим вектор
силы F2 и из его конца вектор силы
F3. Из начала вектора F2 и из конца
вектора F3 проводим найденные выше си-
лы F\2.LBC и F\3_LCD. Из точек d и е
проводим линии в направлении сил F43-L F43
И F?2±F'i2. Точка f пересечения этих двух
линий определит числовые значения и на-
правления сил F5‘2, Fn, F|2 и F43. Полная
реакция во внутреннем шарнире С двух-
поводковой группы определяется из усло-
вий равновесия сил, действующих на зве-
нья 2 и 3:
F\2-FF2+F32=0 и
?з+?4з+?23=0.
Соединяя точки b и f, найдем реакции
F 32 = F 23.
На рис. 20.9, а приведена схема двух-
поводковой группы второго класса, второ-
го вида. Силы F2 и F3 и моменты (М2
и ЛТз), действующие на звенья, известны.
Также известны масштабы сил и длины
звеньев.
Направлением реакции F43 задаемся,
а направление реакции Fl2 известно
(Fi2-Lxx). Разложив силу F43 на нормаль-
ную и тангенциальную составляющие, на-
пишем уравнение равновесия для группы:
^12 + ^ 2+/‘з+^43==0'
Из уравнения моментов сил для звена
3 относительно точки С определяем чис-
ловое значение реакции F43.
Илан сил строим, как обычно, в мас-
штабе рЛ (рис. 20.9,6). Из полюса (точ-
ка а) откладываем вектор F2, прибавляем
к нему векторы F3 и F43. Из точки а про-
водим линию действия F12J_xx, а из точ-
ки d линию действия F43. Пересечение
этих линий действий (в точке е) опреде-
лит направление и величины реакций
F43 и Fl2.
Точка приложения реакции между
первым и вторым звеньями определяется
из уравнения моментов для звена 2 отно-
сительно точки С:
М(:(Р^ + Мс(^+М2=0.
216
Рис. 20.10. Схема к кинетостатическому расчету ведущего звена:
а — вращательного с уравновешивающей силой; б вращательного с уравновешивающим моментом;
л поступательно движущегося с уравновешивающей силой
Решая это уравнение, найдем
L-|mc(?2)+m2j.
Г 12
Полная реакция внутреннего шарнира
(точка С) двухповодковой группы опреде-
ляется из условия равновесия сил, дей-
ствующих на звено 2 или <?:
?,2+?2+T32 = 0
или
?3 + ?43+^3=О.
Соединяя точки Ь и е, найдем реакции
Г 32= F 23-
Подобным образом проводится сило-
вой расчет остальных групп второго клас-
са, а также и трехповодковых групп.
Остановимся на расчете ведущего зве-
на механизма. Это звено входит со стой-
кой во вращательную или поступательную
пару пятого класса. Кинематическая цепь
будет статически определима при условии
Зп — 2 ра — р4 = 0 или после замены пары
четвертого класса звеном и двумя парами
пятого класса Зл — 2р-, = 0.
Ведущее звено при п=1 и ра=1 не
будет находиться в равновесии.
Для того чтобы ведущее звено нахо-
дилось в равновесии, необходимо допол-
нительно ввести уравновешивающую силу
Fyp или уравновешивающий момент Мч„
которые бы уравновесили все силы и мо-
менты, приложенные к ведущему звену.
На рис. 20.10, а — в представлены три
случая расчета реакции стойки на веду-
щее звено Х'0|., В первых двух случаях
(а и б) ведущее звено соединено со стой-
кой вращательной парой пятого класса,
а в третьем (в) - поступательной парой.
В первом случае (рис. 20.10, а) к ве-
дущему звену приложена уравновешива-
ющая сила, линией действия (л.д.) ко-
торой задаемся. Для ее определения со-
ставляем уравнение моментов для веду-
щего звена относительно точки Д:
МД^ + Мд^О + М. + МД^^О,
откуда
MA(F„) = Fyrh=-[MACFl) +
+ М,+Мд(?21)]=0
ИЛИ
fyp=- ^ЛШ^ + М.+ЛЫЛ,,)].
Уравнение равновесия для ведуще-
го звена
^21 +г 1 + ^урЧ- г()1 = о.
217
Рис. 20.11. Схемы к расчету механизма ио методу Н. Е. Жуковского
Реакция Fnl определяется из плана сил.
Во втором случае (рис. 20.10,6) к ве-
дущему звену приложен уравновешиваю-
щий момент Мур. Из уравнения моментов
относительно точки А определяем Мур:
Мур+м.+Мд^о+МдС^^о,
откуда
Мур=-[М| + Мд(?|) + Мл(?21)].
Реакцию FQ\ определяем из плана сил.
В третьем случае (рис. 20.10, в) к ве-
дущему звену приложена уравновешива-
ющая сила и известно, что реакция Ffil _Lxx.
Уравнение равновесия для ведущего
звена будет
^i + ^i + ?yp+?01 = 0.
Так как линии действия уравновешива-
ющей силы F..,, и реакции Р(|1 известны, то
P(li и Fyp находятся сразу из плана сил.
Для определения точки приложения
Рур составляем уравнение моментов для
ведущего звена относительно точки В:
откуда
h = - -- - [Мя (РуР) + Мя (Р,) + М
Ли
Теорема Н. Е. Жуковского о жестком
рычаге. И. Е. Жуковский показал, что
равновесию механизма с одной степенью
свободы соответствует равновесие неко-
торого рычага, и предложил способ по-
строения и нагружения такого рычага.
218
Теорему Н. Е. Жуковского можно сфор-
мулировать так:
если векторы всех сил, приложенных
к различным точкам звеньев и уравнове-
шенных на механизме, перенести парал-
лельно самим себе в одноименные точки
повернутого на 90° плана скоростей, при-
няв фигуру плана за .жесткий рычаг, то
сумма моментов всех указанных сил отно-
сительно полюса плана будет равна нулю.
На рис. 20.11, а приведена схема че-
тырехзвенного механизма, звенья 2 и
3 которого нагружены силами Р2 и Р3, а
в точке В действует уравновешивающая
сила Рур. Принимаем, что под действием
этой силы механизм находится в равнове-
сии. Если план скоростей (рис. 20.11, б)
этого механизма повернуть на 90° и в со-
ответствующих точках векторов скорос-
тей приложить векторы сил
(рис. 20.11, в), сохраняя их направления,
то сумма моментов этих сил относительно
полюса р
Мр(Р2) + Мр(Рз) +
+ М„(РУр)=0
или
— Р2й2+ЛзЛз+Лр (Р*) = 0,
откуда
r P2^2~“ F3Й3
ур~" (рЛ
Если на звено 2 действует момент Л42,
то он заменяется парой сил Р2 на плече
ВС (рис. 20.11, г) и каждая сила перено-
сится на рычаг.
В общем виде приведенное выше ра-
венство может быть записано следующим
образом:
fyP/iyP+£ Ffa — O.
4 = 1
Таким образом, с помощью теоремы
Жуковского можно: а) определить урав-
новешивающую силу, не проводя силово-
го расчета; б) проверить значение урав-
новешивающей силы, полученной из сило-
вого расчета; в) определить приведенную
силу, для чего вектор полученной уравно-
вешивающей силы надо повернуть на
180°. Теорема Жуковского находит приме-
нение и при решении ряда других задач.
§ 20.4. ОСНОВНЫЕ ДЕТАЛИ МЕХАНИЗМОВ
И ОСОБЕННОСТИ ИХ РАСЧЕТОВ
Основными деталями механизмов яв-
ляются кривошипы, шатуны, коромысла
и ползуны.
Кривошипы часто выполняют в
форме дисков со ступицами (рис. 20.12),
используемыми для установки на валах,
например, электродвигателей. Паз на
диске предназначен для фиксации в опре-
деленном положении (например, с по-
мощью болтового соединения) шатуна.
Благодаря пазу можно изменять радиус
кривошипа и, как следствие, ход ползуна.
В поршневых двигателях роль кривошипа
выполняет коленчатый вал.
Шатун является деталью рычажно-
го механизма и служит для передачи дви-
жения и сил от кривошипа к ползуну.
К шатунам предъявляют требования про-
чности, жесткости и малой массы.
В конструктивном отношении шатун
представляет собой обычно стержень с
двумя головками на концах: кривошип-
ной — для соединения с шатуном и пол-
зунной (кулисной)—для соединения с
ползуном (кулисой). В головках разме-
щают подшипники (скольжения или каче-
ния) для получения вращательной пары.
Размеры головок определяются габарита-
ми подшипников, а также условиями про-
чности и жесткости. На рис. 20.13, а в ка-
честве примера показан шатун механизма
прибора; длина стержня шатуна может
изменяться за счет завинчивания его
головок. На рис. 20.13,6 показан шатун
поршневого двигателя. Кривошипная го-
Рис. 20.12. Эскиз кривошипа
ловка шатуна имеет большие размеры,
которые связаны с диаметром шейки ко-
ленчатого вала. Для обеспечения плавно-
го перехода от кривошипной головки к
стержню последний имеет переменную
ширину.
Стержень шатуна может иметь круг-
лое или двутавровое сечение (рис. 20.14).
Головки шатуна могут выполняться
разъемными для облегчения сборки.
Шатуны и головки рассчитывают на
прочность и жесткость.
Рис. 20.13. Эскизы шатунов
Рис. 20.14. Сечения шатунов
219
Рис. 20.15. Соединение поршня с ша-
туном
Коромысла выполняют обычно в
форме стержня с головками для соедине-
ния с шатуном и корпусом подшипника
стойкой. Конструктивно коромысло подо-
бно шатуну (см. рис. 20.13, а). Стер-
жень коромысла обычно рассчитывают на
изгиб.
Конструкции ползунов сущес-
твенно зависят от назначения механизма.
В поршневом двигателе, например, роль
ползуна выполняет поршень (рис. 20.15).
§ 20.5. ПРИМЕНЕНИЕ МЕХАНИЗМОВ
В ТЕХНИКЕ. РОБОТЫ
Механизмы с высшими и низшими ки-
нематическими парами находят чрезвы-
чайно широкое применение в технике.
Они являются носителями движений в
станках для обработки различных мате-
риалов, в машинах легкой и пищевой
промышленности, в горных и строитель-
но-дорожных, а также транспортных ма-
шинах, приборах, в грузоподъемных ма-
шинах и в особенности в роботах.
Робототехника представляет собой
принципиально новую ступень автомати-
зации различных физических и умствен-
ных действий человека. Ее цель заме-
нить человека в большинстве сфер его
производственной деятельности, оставив
за ним решение лишь творческих задач.
Роботом называется техническое ус-
тройство, предназначенное для воспроиз-
ведения некоторых функций человека.
Манипуляционным роботом называет-
ся техническое устройство, предназначен-
ное для воспроизведения рабочих функ-
ций рук человека в процессе его трудовой
деятельности.
В промышленном производстве в на-
стоящее время роботы используются на
следующих операциях:
обслуживание литейных машин, прес-
сов, молотов, печей для термообработки,
металлорежущих станков, в том числе
с ЧПУ;
обработка и покрытие поверхностей
деталей и узлов: пескоструйная и гальва-
ническая, грунтом и лаком.
сборка деталей и узлов, точечная и
шовная сварка, клепка, сборка на болтах
и винтах простых узлов;
перегрузка и транспортирование мате-
риалов, заготовок и деталей в цехах и на
складах;
контроль, сортировка и клеймение де-
талей.
Манипуляционный робот. Манипуля-
ционный робот состоит из манипулятора,
исполнительных устройств, устройства
очувствления, устройства связи с опера-
тором и ЭВМ.
Манипулятор выполняет функ-
ции руки человека и представляет собой
многозвенный разомкнутый механизм с
вращательными и поступательными кине-
матическими парами пятого класса
(рис. 20.16). Слепень подвижности мани-
пуляторов находится в пределах от 3 до
10. Функцию кисти в манипуляторе вы-
полняет так называемый схват или специ-
альный технологический инструмент (гай-
коверт, пульверизатор, вакуумная присо-
ска и т.д.). Конструкция схвата пре-
дусматривает выполнение операций с оп-
220
ределенным типом деталей (предметов)
объектов манипулирования.
Руки роботов бывают: а) антропомор-
фные подобно руке человека, они наибо-
лее гибки, но ими трудно управлять и они
плохо переносят большие нагрузки; б)
цилиндрические, состоящие из вытягива-
ющейся цилиндрической части, вращаю-
щейся вокруг штанги и движущейся
вдоль нее; в) вращающиеся, состоящие
из вытягивающейся руки и центральной
оси, на которой она смонтирована; г)
координационные, в которых захват дви-
жется вдоль трех различных перпендику-
лярных направлений.
Исполнительные устройст-
ва представляют собой системы приво-
дов для отдельных степеней подвижности.
Приводы могут быть электрические, пнев-
матические и гидравлические. Наиболь-
шее распространение получили гидравли-
ческие приводы, хотя будущее за электри-
ческими. Приводы могут быть расположе-
ны как на манипуляторе, так и в непо-
средственной близости от шарниров.
Устройства очувствления
делятся на устройства сбора информации
о внутреннем состоянии (сенсеры углов,
скоростей и ускорений) и о внешней сре-
де (тактильные и локационные сенсеры,
информирующие о соприкосновении и
приближении к предметам). К этим ус-
тройствам также относятся сенсеры уси-
лий, радары, датчики, фиксирующие тем-
пературу, и магнитные поля.
Устройства связи с опера-
тором — это видеоконтрольные пульты,
печатающие устройства, дисплеи и графо-
построители.
ЭВМ служит для переработки всей
поступающей информации и выработки
управляющих воздействий на приводы.
Кинематические схемы манипулято-
ров. При синтезе кинематической схемы
манипулятора выбирают число степеней
подвижности, определяют числа звеньев,
выбирают кинематические нары (соедине-
ния звеньев), определяют размеры звень-
ев и диапазон изменения углов поворота
во вращательных парах и линейных пе-
ремещений в поступательных парах.
Число степеней свободы определяет
универсальность манипулятора. Для ра-
боты с неориентированными объектами
манипулятор должен иметь не менее семи
степеней подвижности. Три степени необ-
ходимы для перемещения инструмента в
любую точку зоны обслуживания, а
три -для ориентации инструмента, на-
пример схвата электрода, краскораспыли-
теля и др. Одна степень свободы может
быть у схвата для сжатия и разжатия
пальцев.
Более специализированные роботы
могут иметь манипуляторы с числом сте-
пеней подвижности, меныпим шести. На-
пример, некоторые роботы, обслуживаю-
щие штамповочное оборудование, имеют
три подвижности. Роботы, используемые
в транспортных системах, могут иметь
манипуляторы с тремя или четырьмя под-
вижностями.
Поскольку манипулятор предназначен
для имитации физических функций руки
человека, у робота можно выделить три
основные группы движений.
Первая группа - это глобаль-
ные движения. Они осуществляются пу-
тем перемещения подвижного основания
робота с помощью двигательной системы.
В стационарных роботах глобальные дви-
жения отсутствуют. Их станина непод-
вижно крепится к полу, кронштейну или
потолку возле технологического оборудо-
вания.
Ко второй группе относятся
региональные движения. У человека они
выполняются с помощью плеча и пред-
плечья, меняют положение кистей рук
в пространстве. У робота региональные
движения меняют положение захвата
или инструмента в рабочем простран-
стве.
К третьей группе относятся
локальные движения, т. е. движения, осу-
ществляемые схватом и меняющие ори-
ентацию.
Кинематические схемы манипуляторов
могут быть двух видов.
К первому относятся схемы с выра-
женным назначением звеньев и кинемати-
ческих пар. Здесь всегда можно выделить
звенья и пары, которые обеспечивают пе-
ренос схвата в базовой плоскости, и кине-
матические пары и звенья, обеспечиваю-
щие движение этой плоскости в простран-
стве. При этом получается обслуживае-
мый объем.
221
Рис. 20.17. Кинематические схемы
цепей манипуляторов
Ко второму виду относятся кинемати-
ческие схемы, в которых при движении
схвата в плоскости, по цилиндру или сфе-
ре участвует не менее трех кинематиче-
ских пар. Законы движения звеньев даже
при простых перемещениях схвата оказы-
ваются сложными.
В роботах первого поколения наи-
большее распространение имеют схемы
манипуляторов первой группы с парами
пятого класса. Кинематические схемы та-
ких манипуляторов обеспечивают различ-
222
ные зоны рабочего пространства: пря-
моугольную, цилиндрическую, сфериче-
скую. Перемещение схвата внутри зоны
может происходить по различным траек-
ториям с участием всех звеньев и кинема-
тических пар манипулятора.
На рис. 20.17 и 20.18 представлены
кинематические схемы цепей манипулято-
ров, обеспечивающие региональные дви-
жения с различными сочетаниями кине-
матических пар пятого класса; подвижно-
сти, которыми обладает схват, обеспечи-
вающие локальные движения, здесь не
показаны.
Во всех представленных схемах нали-
чие трех кинематических пар позволяет
осуществить перенос рабочего органа в
пространстве. Наибольшее распростране-
ние получили схемы с тремя вращатель-
ными парами (ВВВ), с двумя вращатель-
ными и одной поступательной (ВВП), с
одной вращательной и двумя поступа-
тельными (ВПП), а также с тремя посту-
пательными парами (ППП). Рабочая зо-
на последней схемы представляет собой
параллелепипед.
Степень подвижности всех кинемати-
ческих цепей можно определить по фор-
муле Малышева для пространственных
манипуляторов:
w = 6n —5 р5 = 6- 3 — 5-За?=3,
где п — число подвижных звеньев; р$ —
число пар пятого класса.
На рис. 20.17 и 20.18 для двух кине-
матических схем ВВП и ВПП приведены
более подробные схемы манипуляторов.
Буквой М обозначены индивидуальные
для каждой подвижности приводы.
Для осуществления локальных движе-
ний служит кисть промышленного робота.
Большинство промышленных роботов —
специализированные. Они работают в ор-
ганизованном пространстве, где рабочие
плоскости строго упорядочены и лежат
в горизонтальной и вертикальной плоско-
стях. В таких роботах для эффективного
выполнения работы можно иметь малое
число степеней подвижности кисти или
малое число локальных движений. Напри-
мер, кисть может иметь лишь одно кача-
тельное движение для поддержания ори-
ентации схвата горизонтально. Или, если
есть необходимость переворачивания из-
делия, кисть может иметь две степени
подвижности: качение и ротацию.
В более универсальных манипулято-
рах кисть может иметь три степени под-
вижности. При этом ставится шаровой
шарнир.
Шаровой шарнир, пару третьего клас-
са, трудно реализовать конструктивно.
Поэтому, как правило, эта пара
заменяется кинематическим соединением,
состоящим из последовательного соедине-
ния трех вращательных кинематических
Рис. 20.18. Кинематические схемы
цепей манипуляторов
Рнс. 20.19. Кинематическая цепь, эк-
вивалентная кинематической паре
третьего класса
пар пятого класса с пересекающимися
осями. Как известно, в кинематической
цепи при последовательном соединении
кинематических пар происходит сложение
подвижностей соединяемых пар.
На рис. 20.19 показана кинематиче-
ская цепь, эквивалентная кинематической
паре третьего класса. Три подвижности
в парах пятого класса дают возможность
вращения вокруг трех осей: х, у, г.
Каждая степень подвижности про-
мышленного робота управляется индиви-
дуальным приводом (гидравлическим, ме-
ханическим и др.), в результате чего
223
Рис. 20.20. Схема манипулятора с девятью
степенями подвижности
схват получает определенное движение
и ориентацию в пространстве.
Различные конструкции манипулято-
ров отличаются друг от друга расположе-
нием двигателей, которые приводят в дви-
жение отдельные звенья механизма.
На рис. 20.20 показана схема манипу-
лятора с девятью степенями подвижно-
сти, которые обеспечиваются кинематиче-
скими парами 1...9. Здесь в плечевом и
кистевом суставах имеются сферические
кинематические пары (на схеме они заме-
нены последовательностью пар пятого
класса). Последняя подвижность отно-
сится к повороту губок схвата.
Структурные и геометрические харак-
теристики манипуляторов. К числу струк-
турных и геометрических характеристик
манипулятора относятся маневренность
манипулятора, рабочий объем и зона об-
служивания, угол и коэффициент сервиса.
Под маневренностью манипулятора
понимается число его степеней свободы
при неподвижном схвате. Маневренность
характеризует возможность кинематиче-
ской цепи манипулятора занимать неод-
нозначные положения при одном и том
же положении схвата. В схемах на
рис. 20.17 и 20.18 маневренность равна
нулю, т. е. каждому положению схвата
соответствует единственное расположение
звеньев.
В манипуляторе, показанном на
рис. 20.20, по формуле Малышева манев-
ренность
w = f>n — 5р5=6-7 —5-8 = 2.
Здесь п - число подвижных звеньев при
закрепленном схвате, равное семи.
Повышенная маневренность манипу-
лятора усложняет и утяжеляет его кон-
струкцию, приводит к неоднозначному ре-
шению задачи расчета обобщенных ко-
ординат по заданному положению, что
224
усложняет задачу управления таким ро-
ботом.
Кроме выполнения сложных движе
ний в ограниченных рабочих объемах по-
вышение маневренности позволяет ре-
шать задачу уменьшения энергозатрат за
счет выбора оптимальных законов движе-
ния, а также повышает надежность сис-
темы за счет возможности частичного вы-
полнения задач при выходе из строя од-
ного из приводов.
Рабочим объемом называется объем,
ограниченный возможными положениями
схвата.
Однако не все части этого рабочего
объема одинаково удобны для выполне-
ния заданных движений захвата. Часть
рабочего объема, в котором можно вы-
полнить данную операцию с нужным по-
ложением захвата по отношению к
объему манипулирования, называется зо-
ной обслуживания (рабочей зоной).
Для каждой точки рабочего объема
манипулятора можно определить некото-
рый телесный угол ф, внутри которого
схват можно подвести к этой точке. Этот
угол называется углом сервиса. Отноше-
ние угла сервиса к 4л называется ко-
эффициентом сервиса в данной точке 0:
Коэффициент сервиса в различных
точках зоны обслуживания имеет разные
значения. На ее границах он равен нулю.
В .зонах полного сервиса угол равен еди-
нице: 0^0^ 1.
Средний коэффициент сервиса 0(р в
рабочем объеме оценивает качество мани-
пулятора в отношении возможностей вы-
полнения различных операций:
0еР= ' А 0 сП/.
v V
Эта величина называется полным ко-
эффициентом сервиса манипулятора.
Вопросы для самопроверки
1. Каковы задачи кинематического анали-
за механизмов?
2. Как определить значение и направление
угловых скоростей и ускорений звеньев меха-
низма?
3. Для каких звеньев и как определяют зна-
чение и направление кориолисова ускорения?
4. Сформулируйте задачи силового расче-
та механизмов.
5. Каков физический смысл силы полезно-
го сопротивления?
6. Из каких этанов состоит силовой расчет?
7. С. какой целью определяют уравновеши-
вающую силу или уравновешивающий момент?
8. В чем состоит смысл применения теоре-
мы Н. Е. Жуковского о жестком рычаге в си-
ловом расчете?
9. Как действуют силы взаимодействия в
кинематических парах?
10. Сформулируйте общую методику сило-
вого расчета.
Глава 21
КУЛАЧКОВЫЕ МЕХАНИЗМЫ
§ 21.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
И АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ
Классификация механизмов. Кулачко-
вые механизмы классифицируют по раз-
личным признакам. По характеру движе-
ния механизмы подразделяют на про-
странственные и плоские. В зависимости
от вида движения кулачка механизмы
подразделяют на поступательные, враща-
тельные и качающиеся. По взаимному
расположению кулачка и толкателя меха-
низмы называют центральными и дезак-
сиальными (нецентральными). По типу
замыкания высшей кинематической пары
их подразделяют на пары с кинематиче-
ским и силовым замыканием.
Кинематическое замыкание в кулачко-
вом механизме получают, например, за
счет избыточной связи в виде дополни-
тельного ограничения на относительное
движение звена (рис. 21.1).
Высшая пара в кулачковом механиз-
ме может быть заменена звеном, входя-
щим в две кинематические пары пятого
класса.
Анализ кулачковых механизмов. Ос-
новной задачей анализа движения звень-
ев кулачковых механизмов является опре-
деление перемещений S, скоростей v, ус-
корений а точек ведомого звена по
заданному очертанию профиля кулачка
и функции движения ведущего звена.
Рис. 21.1. Пазовый кулачок
Для проведения анализа должны
быть заданы: кинематическая схема ме-
ханизма, профиль кулачка и закон дви-
жения ведомого звена (толкателя).
Анализ механизмов выполняют анали-
тическим или графическим методом. Ана-
литический метод исследования точен и
при сложных профилях кулачков выпол-
няется на ЭВМ.
Графический метод анализа прост и
нагляден, но его точность при этом мала.
При центральном (или дезаксиаль-
ном) механизме, как правило, строится
теоретический профиль кулачка, т. е. дей-
ствительный кулачковый механизм приво-
дят к механизму с острым толкателем.
На рис. 21.2, а приведены механизмы
с роликовым, острым и плоским толкате-
лями, а на рис. 21.2, б показаны типичные
кинематические диаграммы. Для кулачко-
вых механизмов с роликовым и плоским
толкателями показаны построения теоре-
тических профилей (ТП). На кинематиче-
ских диаграммах даны фазовые углы, ти-
пичные для большинства кулачковых ме-
ханизмов: фп — удаление толкателя от
центра или фаза подъема; ф„„ — дальнее
стояние или верхний выстой; фо — сбли-
жение или фаза опускания; фн.„ — ближ-
нее стояние или нижний выстой.
На рис. 21.3 приведены планы скоро-
сти и ускорений для кулачкового меха-
низма.
План скоростей строится по
ранее изложенным принципам графиче-
ского кинематического исследования ме-
ханизмов.
Вектор скорости точки Аа, принадле-
жащей звену 2 толкателю, определяет-
ся из векторного уравнения
8 Г, Б. Иосилевич и др.
225
a)
Рис. 21.2. Кулачковые ме-
ханизмы и законы движе-
ния:
а — теоретические профили
кулачков с роликовым и пло-
ским толкателями; б — зако-
ны движения ведущего звена
Синусоидальный
Рис. 21.3. Планы скоростей и ускорений для
кулачкового механизма
где vл = <о jОА —вектор скорости точки
Ai, принадлежащей звену 1 — кулачку, пер-
пендикулярен радиусу-вектору ОА; иА^^
— вектор относительной скорости, парал-
лелен касательной, проведенной к профи-
лю кулачка в точке касания его с толка-
телем; <о — угловая скорость кулачка.
Из полюса плана скоростей проводим
в масштабе р„ вектор скорости vA . Из
конца этого вектора проводим линию дей-
ствия относительной скорости, а из полю-
са плана — линию действия абсолютной
скорости толкателя, параллельную на-
правлению движения толкателя. Пересе-
чение этих линий действия и определит
искомую скорость vAi.
План ускорений строится по
тем же принципам, что и план скоростей.
Точка А принадлежит как звену / (Ai),
так и звену 2 (Аг).
Ускорение точки А, принадлежащей
226
звену /, определяется по уравнению
ал2=ал| + “л2л| + “л2л1 + “л2л|-
Ускорения, входящие в уравнение, вы-
числяются по формулам:
== со ОД;
U424| ь
a^,=-~~ал2л1 = 2ил2л1ш-
где р - радиус кривизны кулачка в точ-
ке А.
Соответствующие отрезки плана уско-
рений будут
t ak L “Vi
p2a —---; ab =----; oc =-----.
Ил Ил Ил
Направление поворотного (кориолисо-
ва) ускорения находим поворотом
вектора на 90° в сторону вращения.
На плане ускорений от полюса р2 от-
кладываем вектор р2а.
Далее из точки а проводим отрезок ab,
соответствующий вектору поворотного ус-
корения а из точки Ь проводим отре-
зок Ьс, соответствующий ускорению аА,^-
Последний отрезок совпадает с на-
правлением поворотного ускорения и на-
правлен от точки b к точке с. Из точки
с проводим линию в направлении вектора
Зд2д1 до ее пересечения с линией в на-
правлении абсолютного ускорения обточ-
ки А, принадлежащей толкателю. Отре-
зок p2d-pA = aAi
§ 21.2. СИНТЕЗ КУЛАЧКОВЫХ
МЕХАНИЗМОВ
Задача синтеза состоит в воспроизве-
дении заданного закона движения, ведо-
мого звена, т. е. построении профиля ку-
лачка по заданным законам движения ку-
лачка и толкателя и некоторым конструк-
тивным параметрам.
Синтез включает несколько этапов:
1) выбор типа механизма, т. е. пра-
вильной кинематической схемы, обеспечи-
вающей требуемый закон движения;
2) выбор и обоснование закона дви-
жения толкателя;
3) определение основных размеров
звеньев, т. е. конструктивных форм меха-
низма, обеспечивающих его прочность,
долговечность и высокий КПД.
4) разработка технологических и тех-
нико-экономических показателей проекти-
руемого механизма, определяемых его эк-
сплуатацией, ремонтом, и т. д.
Условиями, обеспечивающими требуе-
мое движение, являются: правильная
структура механизма; подбор оптималь-
ных конструктивных размеров звеньев,
обеспечивающих воспроизведение требуе-
мого движения; кинематическая точность
осуществляемого движения и учет дина-
мики системы.
В задание на проектирование входят:
схема кулачкового механизма; размеры
и конструктивные формы звеньев, удов-
летворяющие требованиям оптимальности
форм, прочности, износоустойчивости и
надежности при максимально возможном
КПД; максимальный ход ведомого звена
Smax; закон движения кулачка и закон
движения ведомого звена.
Закон движения ведомого звена до-
лжен удовлетворять кинематическому и
динамическому условиям.
Кинематическое условие работоспо-
собности кулачковых механизмов состоит
в том, что передача движения между дву-
мя звеньями, входящими в высшую кине-
матическую пару, возможна только тогда,
когда составляющие скоростей точек ка-
сания этих звеньев по общей нормали
одинаковы по величине. Одной из важ-
нейших задач динамики кулачковых ме-
ханизмов является анализ сил и условий
нормального взаимодействия звеньев. При
этом существенное значение имеют угол
давления и КПД механизма. Угол дав-
ления выражает динамическое усло-
вие.
На рис. 21.4 показан центральный ку-
лачковый механизм и векторы скоростей
и сил в точке контакта кулачка с толкате-
лем. Через р обозначен радиус-вектор,
определяющий точки касания кулачка с
толкателем; гн — радиус основной шайбы
кулачка; S (<р)—перемещение толкателя,
соответствующее повороту кулачка на
угол <р.
8:
227
Рис. 21.4. Расчетная схема кулачкового
механизма
Движущая сила F.i, действующая со
стороны кулачка на толкатель, всегда со-
впадает с нормалью пп к профилю ку-
лачка в точке А (трением пренебрегаем).
Силу Fд можно разложить на две состав-
ляющие — F и Н. Сила F известна, она
характеризует сопротивление движению
ведомого звена (сила тяжести, трение в
направляющих, сила инерции, давление
в пружине). Сила // является горизон-
тальной составляющей. Она нагружает
направляющие ведомого звена, вызы-
вая в них трение, и изгибает ведомое
звено.
Векторы силы Fa и скорости толкате-
ля v, образуют угол v, который принято
Рис. 21.5. К анализу законов движе-
ния ведомого звена
называть углом давления:
VA
tg V =----------
01 [''//$ (ср)]
Угол у = 90° — v называют углом пе-
редачи движения.
С увеличением угла давления увели-
чиваются силы и Н. При малом угле v
уменьшается износ, но при этом слишком
мала скорость vА^.
При заданной силе F движущая сила
и составляющая Н определяются уг-
лом давления.
Профиль кулачка целесообразно про-
ектировать так, чтобы угол давления во
всех точках профиля кулачка был опти-
мальным и приближался к наименьшему
значению. Окончательное суждение о до-
пустимости тех или иных значений v мож-
но составить только на основе тщательно-
го анализа в каждом отдельном случае.
Для большинства конструкций кулач-
ковых механизмов наибольший угол дав-
ления v обычно не превышает 30° (в слу-
чае кулачково-коромысловых механизмов
v^45°).
Допускаемый угол давления назнача-
ют для получения минимальных габари-
тов механизма и высокого КПД. В пер-
вом случае угол давления увеличивают,
а во втором - уменьшают. Обычно кине-
матический и силовой расчет проводится
для каждого положения механизма, по
которым определяются угол v и КПД ме-
ханизма.
Законы движения ведомых звеньев.
Движение ведомого звена кулачкового
механизма может быть задано в виде
зависимостей S = f(t'), v = f (/) или a = f(t),
которые удовлетворяют кинематическим
и динамическим условиям и обеспечива-
ют технологический режим агрегатов ма-
шины.
На рис. 21.5 приведены кинематиче-
ские диаграммы трех законов движения
ведомого звена при одинаковых макси-
мальном подъеме толкателя Smax и часто-
те вращения п.
Закон постоянства скорости подъема
(кривые /; v = const) приводит в начале
подъема и опускания к тому, что ускоре-
228
Рис. 21.6. Схемы к определению начального радиуса кулачка
ние а—гоо, что может быть осуществимо
только при малых частотах вращения и
упругих звеньях. В общем же случае этот
закон неприемлем. Закон постоянства ус-
корений (кривые 2; a = const) создает
равнопеременное движение с меньшими
динамическими нагрузками, чем при зако-
не V — const.
Изменение ускорения по закону а =
= C| sin <р (кривые 3) представляется бо-
лее совершенным, но приводит к медлен-
ному подъему толкателя.
§ 21.3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНЫХ
РАЗМЕРОВ МЕХАНИЗМА
На рис. 21.6,а приведены схема меха-
низма и план скоростей. Дополнительные
построения состоят в том, что через точку
А проводим касательную и нормаль к
профилю кулачка, а также горизонталь
и вертикаль. Через точку О проводим
линию тт, параллельную нормали пп,
и на ее пересечении с горизонталью полу-
чаем точку М. Треугольники ОАМ и Дащз
подобны, a /LAMO = y.
Так как отношение
AM
ОА vAi ’
то отрезки
К конструкции кулачкового механиз-
ма предъявляют ряд требований. Меха-
низм должен иметь минимальные габари-
ты, ограниченные динамические нагрузки,
максимальный КПД, а входящие в него
детали должны обладать достаточной
прочностью и износостойкостью. Важна
также бесшумная работа кулачкового ме-
ханизма.
Расчетом определяют радиус началь-
ной окружности кулачка. Методика рас-
чета этого параметра зависит от типа
механизма. Рассмотрим расчет радиуса
на примере дезаксиального кулачкового
механизма с поступательно движущимся
толкателем.
va2 _ dS2
। dqij
VA
BM = AM—AB =—2—e =
dS2
сГф, e'
OB = S0 + S;
05 _ Sq + S So + S
MB vA dS2
—- — e -г----<
(Dj d<Pi
229
Рис. 21.7. Схема к определению начального
радиуса кулачка механизма с плоским тол-
кателем
Из этой формулы следует, что угол
передачи у, а следовательно, и угол дав-
ления v зависят от габаритов кулачка.
При уменьшении радиуса гн, а следова-
тельно, и величины So угол у (при задан-
ной величине эксцентриситета е) умень-
шается.
Для работы механизма должно быть
соблюдено условие
tg У > tg ymin,
откуда
ИЛИ
Это условие должно выполняться при
всех положениях механизма, т. е. при лю-
бых значениях <р.
Из рис. 21.6, а следует, что
Нmiп = "^^Оинп-!-® •
Графоаналитический метод определе-
ния радиуса гн связан с построением за-
висимости S2=f(t>2), Для этого строим
один под другим два графика. Один пред-
ставляет собой закон изменения переме-
щения толкателя S? по углу поворота
кулачка ф>, другой — закон изменения
скорости толкателя dSa/dtpi по углу фь
По этим двум диаграммам известным
графическим приемом строим кривую
(рис. 21.6, б), представляющую собой из-
менение перемещения толкателя (S2) в за-
висимости от его скорости (д5г/бф1).
К построенному графику проводим
предельные касательные tt под углом
dS2
ymi„ к оси ——. Эти касательные продол-
d<Pi
жаем до их взаимного пересечения в точ-
ке 01.
При заданном эксцентриситете е ра-
диус Г//п11п = г1- Действительный началь-
ный радиус должен быть больше мини-
мального. Он определяется из конструк-
тивных и прочностных условий. Заштри-
хованная область, определяемая пересе-
чением предельных касательных tt, явля-
ется областью центров вращения ку-
лачков.
Радиус начальной окружности кулач-
ка при плоском толкателе определяется
из уравнения
d2S2
r=—4 + (5oU + 5>O,
Йф,
5+(5o)min>
d2S2
d<P?
d2S2/d??
5 + (So)min ’
d2S2/d?2
•S + (S0)min.
Для определения радиуса rH строим
/ d2S2\
график зависимости S2 = /| --------— ]
\ d(Pi /
(рис. 21.7). В отрицательной области ус-
корений к кривой проводим предельную
касательную АВ. Она пересечет ось орди-
нат в точке В. Отрезок OB = SOmin. Центр
вращения кулачка должен лежать ниже
точки В, т. е. р>45°. Положение точки
В определяет также и окончательную
230
величину радиуса гн. При построении
/ d2S,\
кривой S2 = f I ---— I величины Sa и
\ d<H }
d2S2
---— необходимо откладывать, пользуясь
d'Pi
одним масштабным коэффициентом.
В случае кулачкового механизма с ро-
ликовым толкателем радиус ролика сле-
дует выбирать из допускаемых контак-
тных напряжений двух сопрягающихся
поверхностей. Следовательно, радиус ро-
лика г зависит от радиуса кривизны про-
филя р„ кулачка. При этом должно со-
блюдаться условие
Pmin’
где pmin - минимальный радиус кривиз-
ны центрального профиля на выпуклом
участке.
При значениях радиуса г, близких к
pmin, получаются малые радиусы кривиз-
ны рп и большие контактные напряжения
на поверхности кулачка. Минимум кон-
тактных напряжений при pmin = const бу-
дет при радиусе ролика r = 0,5pmin.
§ 21.4. РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ ДЕТАЛЕЙ ПЕРЕДАЧ
В местах соприкосновения рабочих
поверхностей кулачков и толкателей и
других деталей кулачковых механизмов,
когда размеры площадок касания малы
(концы штанг и коромысел, концы стерж-
ней клапанов и толкателей и др.), возни-
кают контактные напряжения. Если зна-
чение контактных напряжений больше до-
пускаемого, то на поверхности деталей
появляются вмятины, трещины и мелкие
раковины. Контактные напряжения опре-
деляют по формуле Герца
I р р
Он=0,418Д/-^-^[ан],
V ор
где Fn — наибольшая нормальная сила,
действующая на рассчитываемую повер-
хность; b — рабочая ширина в плоскости
контакта; Е — приведенный модуль упру-
гости,
Е Ек~ Ер’
где £к — модуль упругости материала ку-
лачка; £р — модуль упругости материала
ролика или сферы толкателя; р — приве-
денный радиус кривизны,
где рк — радиус кривизны кулачка; гР —
радиус ролика толкателя.
Знак плюс ставится при выпуклых по-
верхностях касания, а знак минус, когда
одна поверхность выпуклая, а вторая во-
гнутая. При соприкосновении цилиндри-
ческой поверхности и плоскости
VP £
орк
Для чугуна [«//]= 410...750 МПа, а
для стали [о//]=600...1800 МПа.
Существует связь между размерами
высшей пары, экспериментально найден-
ным коэффициентом износостойкости
С и допустимым значением нормальной
Значения С обеспечивают работоспо-
собность профиля в течение 108...109
циклов:
С~5,73(
у Е ]
Износ по общей нормали
д,22,.МПм-
где / — коэффициент трения; — число
циклов.
Если кулачок расположен на двух-
опорном валу, то определяют стрелу про-
гиба вала под кулачком, нагруженным
силой £, по формуле
y = Fa2b2/(3EJl),
где а, b — расстояния от точки приложе-
ния силы до опор данного участка вала;
/ — длина расчетного участка вала; £ —
модуль упругости первого рода; 7 =
= лб/в/64 — осевой момент инерции рас-
четного сечения вала; dB — диаметр вала.
Жесткость вала считается достаточ-
ной, если стрела прогиба у расчетного
231
Рис. 21.8. Схема к определению
прогиба вала кулачка
участка вала под действием силы
F (рис. 21.8) не превышает значений у =
= 0,02...0,05 мм.
Боковую поверхность толкателя про-
веряют на удельную нагрузку от боко-
вых сил, а если в системе кулачкового
механизма имеются различного рода
штанги, то их проверяют на устойчивость
от продольного изгиба. Запас устойчиво-
сти по формуле Эйлера должен находить-
ся в пределах и = 2...5.
Кулачки изготовляют из сталей 50 и
40Х с закалкой ТВЧ рабочих поверхно-
стей до твердости 52...58 HRC,; малоугле-
родистых сталей 15Х, 20Х и 20ХГ с це-
ментацией на глубину 0,5...1,5 мм и тер-
мической обработкой рабочих поверхно-
стей до твердости 56...62 HRC,. При боль-
ших нагрузках кулачки изготовляют из
сталей 40Х и ШХ15 с термообработкой до
твердости 51...63HRC,. Хорошую износо-
стойкость обеспечивает применение хро-
малюминиевых сталей 40ХЮ, 382МЮА.
Термообработка этих сталей (закалка,
отпуск, нитрирование) придаст им высо-
кую твердость (63...70 HRC,). В отдель-
ных случаях применяются твердые брон-
зы и высококачественные латуни.
Наконечники толкателей изготовляют-
ся из тех же сталей, но только твердость
их рекомендуется уменьшить на 10 еди-
ниц. В отдельных случаях допускается
применять для наконечников толкателей
текстолит или капрон.
Вопросы для самопроверки
1. По каким признакам и как классифици-
руют кулачковые механизмы?
2. В чем состоят задачи анализа и синтеза
механизмов?
3. Каким образом определяются основные
размеры кулачков?
4. По каким критериям оценивают рабо-
тоспособность кулачковых механизмов?
232
Глава 22
ВАЛЫ, ОСИ И МУФТЫ
§ 22.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ВАЛОВ
И ОСЕЙ
Назначение и классификация. Для
поддержания вращающихся деталей и
для передачи вращающего момента от
одной детали к другой (в осевом направ-
лении) в конструкциях используют дета-
ли в форме тел вращения, называемые
валами (рис. 22.1, а — г).
В зависимости от вида испытываемой
деформации условно различают:
простые валы (валы) работают в
условиях кручения, изгиба и растяжения
(сжатия), их применяют в передачах:
зубчатых, ременных и др.;
торсионные валы (торсионы) - - рабо-
тают лишь в условиях кручения, т. е. пе-
редают только вращающий момент, сое-
диняя обычно два вала на индивидуаль-
ных опорах;
оси - поддерживающие невращаю-
щиеся валы, работающие лишь в услови-
ях изгиба и реже растяжения (сжатия).
В зависимости от распределения на-
грузок вдоль оси вала и условий сборки
прямые валы выполняют гладкими
(рис. 22.1, а) или ступенчатыми
(рис. 22.1, б, в), близкими по форме к
балкам равного сопротивления изгибу.
Гладкие валы более технологичны.
В специальных машинах (поршневых
двигателях и компрессорах) используют
коленчатые валы, имеющие «ломаную»
ось (рис. 22.1, г).
Для передачи вращающего момента
(вращения) между агрегатами со сме-
щенными в пространстве осями входного
и выходного валов применяют специаль-
ные гибкие валы, имеющие криволиней-
ную геометрическую ось при работе. Та-
кие валы обладают высокой жесткостью
при кручении и малой жесткостью при
изгибе.
В зависимости от расположения, быс-
троходности и назначения валы называют
входными, промежуточными, выходными,
тихо- или быстроходными, распредели-
тельными и т. п.
Особенности конструкции. Конструк-
тивная форма вала (оси) зависит от на-
грузки, способа фиксирования насаживае-
мой детали и условий сборки (разборки).
Для осевого фиксирования
деталей (подшипников, зубчатых колес и
др.) на валах выполняют упорные бурти-
ки или заплечики (рис. 22.2, а — д).
Переходные участки валов между со-
седними ступенями разных диаметров вы-
полняют радиусной галтелью
(рис. 22.2, а) или в форме канавки
(рис. 22.2, б — д). Высота / упорных бур-
тиков (рис. 22.2, г) для фиксирования
подшипников должна обеспечивать их де-
монтаж и подход смазочного материала.
Фиксирование в окружном
направлении насаживаемой детали
(колеса, шкива и т. и.) на валу часто осу-
ществляют соединением с натягом (за
счет сил трения). В таких соединениях
диаметр подступичной части вала следует
увеличивать на 5... 10 % против соседних
участков для снижения напряжений в зо-
нах концентрации (на краях соединения).
При средних значениях вращающего
момента и менее высоких требованиях
к точности центрирования применяют
шпоночные соединения (рис. 22.3, а), а
при высоких вращающих моментах и по-
вышенных требованиях к центрированию
применяют шлицевые соединения.
Для снижения напряжений на шлице-
вых и шпоночных участках валов целесо-
образно увеличивать диаметр подступич-
ной части на 15...20 % по сравнению с
диаметрами соседних участков вала. Если
соединение (шлицевое или шпоночное)
передает также осевое усилие, то наса-
женную на вал деталь (например, зубча-
тое колесо) фиксируют в осевом направ-
лении с помощью буртика и резьбового
соединения. Чаще буртик выполняют на
гладкой части вала (рис. 22.3, б).
Диаметры посадочных поверхностей
(под ступицы колес, шкивов, звездочек
и т. и.) следует выбирать из стандартного
ряда посадочных размеров, а диаметры
посадочных поверхностей под подшипни-
ки качения - из стандартного ряда внут-
ренних диаметров подшипников.
В некоторых конструкциях применяют
полые валы (см. рис. 22.1, в). Канал
уменьшает массу вала, его часто исполь-
зуют для размещения соосного вала, де-
талей управления, подачи масла, охлаж-
дающего воздуха и т. и.
Технические условия на изготовление
валов зависят от требований к конструк-
ции. Наиболее жесткие требования по
точности и шероховатости поверхности
предъявляются к шейкам валов, на кото-
рые устанавливают подшипники каче-
ния.
Материалы. Для изготовления валов
используют углеродистые стали марок 20,
30, 40, 45 и 50, легированные стали марок
20Х, 40Х, 40ХН, 18Х2Н4МА, 40ХН2МА
233
Рис. 22.3. Шпоночные соединения
Таблица 22.1
Механические характеристики основных материалов
Марка стали Диаметр заготовки, мм, не более Твер- дость НВ, не менее Ив От о • 1 Т_ 1 Коэффициенты
МПа 'И., V,
Ст5 Не ограничен 190 520 280 220 130 0 0
45 Не ограничен 120 80 200 240 270 560 800 900 280 550 650 250 350 380 150 210 230 0 0,1 0,1 0 0 0,05
40Х Не ограничен 120 200 270 730 900 500 750 320 410 200 240 0,1 0,05
20 20Х 12ХНЗА 12Х2Н4А 60 120 120 120 145 197 260 300 400 650 950 1100 240 400 700 850 170 300 420 500 100 160 210 250 0 0,05 0,1 0,15 0 0 0,05 0,1
и др., титановые сплавы ВТЗ-1, ВТ6 и
ВТ9 (табл. 22.1).
Выбор материала, термической и хи-
мико-термической обработки определяет-
ся конструкцией вала и опор, условиями
эксплуатации. Например, быстроходные
валы, вращающиеся в подшипниках
скольжения, требуют высокой твердости
цапф (посадочных хвостовиков), поэтому
такие валы изготовляют из цементуемых
сталей 12Х2Н4А, 18ХГТ или азотируемых
сталей 38Х2МЮА и др. Валы-шестерни
по этой же причине изготовляют из це-
ментуемых легированных сталей марок
12ХНЗА, 12Х2Н4А и др.
§ 22.2.РАСЧЕТ ВАЛОВ
НА ПРОЧНОСТЬ
И ЖЕСТКОСТЬ
Вал принадлежит к числу наиболее
ответственных деталей машин, так как
нарушение формы, а тем более его разру-
шение влечет за собой выход из строя
всей конструкции.
Для обеспечения работоспособности и
надежности валы и оси должны удовлет-
ворять ряду критериев. Для изделий об-
щего машиностроения основными являют-
ся критерии прочности и жесткости (де-
формативности).
234
Рис. 22.4. Расчетные схемы валов
Нагрузки на валы и расчетные схемы.
Для оценки прочностной надежности не-
обходимо знать напряжения и деформа-
ции в сечениях вала от внешних нагрузок
(постоянных и переменных), которые пе-
редаются от сопряженных деталей (зуб-
чатых колес, шкивов и др.). Эти нагрузки
могут быть определены расчетным путем
(в редукторах, конвейерах, грузоподъем-
ных устройствах и т. п.) или экспери-
ментально.
Если внешние нагрузки известны, то
при расчетном определении внутренних
силовых факторов в сечениях вал рас-
сматривают обычно как балку, шарнирно
закрепленную в двух жестких (недефор-
мируемых) опорах. Положение условной
опоры зависит от типа и числа подшипни-
ков в опоре (рис. 22.4, а, б, в, д). Нагруз-
ки от зубчатых колес, шкивов, звездочек
и других подобных деталей передаются
на валы через поверхности контакта.
В расчетах валов эти нагрузки для упро-
щения заменяют сосредоточенными экви-
валентными силами, приложенными в се-
редине или на краях ступицы
(рис. 22.4, г).
Расчет на прочность.
В предварительном (проектном) расчете
при отсутствии данных об изгибающих
моментах диаметр вала приближенно мо-
жет быть найден по известному значению
крутящего момента из условия прочности
по заниженным значениям допускаемых
напряжений при кручении:
d=-A3/ZEZ=-A3/~9554F
V 0,2 [Тк] V °-2 Ы п ’ ’
где Т — крутящий момент в расчетном
сечении вала; [тк]—допускаемое напря-
жение на кручение, [тк]= 12...20 МПа для
стальных валов; Р — передаваемая мощ-
ность, кВт; п — частота вращения вала,
мин-1.
235
Иногда при проектировании диаметр
входного хвостовика вада (минимальный
диаметр вала) принимают конструктивно
(из практики проектирования) равным
0,8... 1,0 диаметра вала приводного дви-
гателя.
Наименьший диаметр промежуточного
вала принимают обычно равным внутрен-
нему диаметру подшипника.
Оценку прочностной надежности вала
в конструкции выполняют обычно в фор-
ме определения запасов прочности '.
Статический запас про-
чности вала рассчитывают по наи-
большей возможной кратковременной на-
грузке (с учетом динамических и удар-
ных воздействий), повторяемость которой
мала и не может вызвать усталостного
разрушения (например, по нагрузке в мо-
мент пуска установки). Валы могут быть
нагружены постоянными напряжениями,
например от неуравновешенности враща-
ющихся деталей.
Так как валы работают в основном
в условиях изгиба и кручения, а напря-
жения от осевых сил малы, то эквива-
лентное напряжение в точке наружного
волокна
а «в = (22.2)
где аи и тк — соответственно наибольшие
напряжения в точке вала от изгиба мо-
ментом Л4И и кручения моментом Г,
tk = T/UZk. (22.3)
Здесь U7„ и - соответственно осевой
и полярный момент сопротивления сече-
ния вала диаметром d,
VZ„«0,ld3; U/k«(W!. (22.4)
Так как и/к = 2Ц/н, то с учетом этих
соотношений можно записать
аэкв = -14-Ум^ + 0,75Т2. (22.5)
d'
Запас прочности по пределу текучести
(От — предел текучести материала вала)
ит = ст1/оэкв >[«,). (22.6)
1 Получает распространение оценка на-
дежности валов по вероятности разрушения.
236
Обычно принимают допускаемый за-
пас прочности |пт]= 1,2... 1,8.
Сечение (сечения), в котором следует
определить запас пт (опасное сечение),
находят после построения эпюр изгибаю-
щих и крутящих моментов. Если нагрузки
действуют на вал в разных плоскостях, то
сначала силы проецируют на координат-
ные оси и строят эпюры моментов в ко-
ординатных плоскостях. Далее производят
геометрическое суммирование изгибаю-
щих моментов, очерчивая эпюру прямыми
линиями, что идет в запас прочности.
Если угол между плоскостями дейст-
вия сил не превосходит 30°, то для про-
стоты считают, что все силы действу-
ют в одной плоскости.
Переменные напряжения в валах вы-
зываются как изменяющейся во времени,
так и постоянной нагрузкой. Например,
постоянные по величине и направлению
силы передач вызывают во вращающихся
валах переменные напряжения изгиба,
изменяющиеся по симметричному циклу с
амплитудой и средними напряжениями:
М
аа=аи= онк; °т=0' (22-7)
В расчетах валов условно принимают,
что вращающий момент и касательные
напряжения от кручения изменяются по
пульсационному циклу, которому соответ-
ствуют амплитуда и среднее напряжение:
Т
та = 0,5тк= Q4rf3; тт = та. (22.8)
Запас прочности при переменных на-
пряжениях п определяют по формуле
(10.20). Условие прочностной надежно-
сти в этом расчетном случае имеет обыч-
ный вид
п>[п]. (22.9)
Допускаемые значения запаса про-
чности при переменных напряжениях на-
значают на основе предшествующего
опыта расчетов и эксплуатации подобных
конструкций ([п]^2,0).
Значения коэффициентов, входящих в
формулу (10.20), даны в табл. 22.2...22.6.
Если вал работает при нестационарных
нагрузках, то расчет на прочность ведут
Т а б л и ц а 22.2
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений в ступенчатом переходе с галтелью
(см. рис. 22.2, а)
Коэффиц иент Ов, МПа При r/d
0,01 0,03 0,05 0,01 0.02 0,05
При t/г = 1 При //г= 3
600 1,38 1,67 1,64 1,94 2,02 2,03
800 1,41 1,76 1,73 2,03 2,13 2,16
1000 1,45 1,84 1,83 2,12 2,25 2,30
1200 1,49 1,92 1,93 2,21 2,37 2,44
600 1,29 1,42 1,44 1,59 1,66 1,68
800 1,30 1,45 1,47 1,64 1,72 1,74
к. 1000 1,31 1,48 1,51 1,68 1,79 1,81
1200 1,32 1,52 1,54 1,73 1,86 1,88
Таблица 22.3
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении валов
в месте кольцевой канавки (см. рис. 22.2, б)
Коэффи- циенты Ив, МПа При г Id Коэффи- циенты Ив, МПа При г/d
0,01 0,03 0,05 0,01 0,02 0,01 0,03 0,05 0,01 0,02
ПГ и t/г - = 1 При t/r= 3 Пр и t/r= - 1 При Ir-'d)
600 2,21 2,03 1,91 2,56 2,42 600 1,80 1,60 1,46 1 .80 1,60
1г 800 2,37 2,14 2,03 2,73 2,56 К, 800 2,00 1,75 1,57 2,00 1,75
IX о 1000 2,45 2,25 2,15 2,90 2,79 1000 2,20 1,90 1.69 2.20 1,69
1200 2,57 2,36 2,27 3,07 2,84 1200 2,40 2,05 1,81 2,40 1,81
Таблица 22.4
Эффективные коэффициенты концентрации напряжений при изгибе и кручении валов
«ь, МПа Тигг концентратов
Шлицы Шпоночная канавка Резьба 11оперечное отверстие
Ко к: К" к, Ко К, Ко' Л,
600 1,55 2,36/1,46 1,46/1,76 1,54 1,96 1,54 2,05/1,85 1,80
800 1,65 2,55/1,58 1,62/2,01 1,88 2,20 1,71 2,10/1,90 1,95
1000 1,72 2,70/1,58 1,77/2,26 2,22 2,61 2,22 2,20/2,00 1,90
1200 1,75 2,80/1,60 1,92/3,50 2,39 2,90 2,39 2,30/2,10 2,00
Примечания. * В числителе приведены значения для валов с прямобочными шлицами, в знаменате-
ле — для эвольвентных шлицев.
** В числителе приведены значения для канавок, полученных пальцевой фрезой, в знаменателе -
дисковой.
В числителе приведены значения для валов с диаметром отверстия а = (0,05...0,1 5)<7. в знаменателе
при а = (0,15...0.25)d.
237
Таблица 22.5
Значения коэффициентов влияния масштабного эффекта K„d и K,,i
Коэффициент Диаметр вала, мм
15 20 30 40 50 70 100 200
Kad — для углеродистых ста- лей 0,95 0,92 0,88 0,85 0,81 0,76 0,70 0,61
K„d — ДЛЯ ВЫСОКОПРОЧНОЙ уГ- леродистой стали и /Г — Для всех сталей 0,87 0,83 0,77 0,73 0,70 0,65 0,59 0,52
Таблица 22.6
Значение коэффициента р при изгибе и кручении (Po = Pi)
Вид обработки Ов (сердцевина), МПа Значение 0 для валов
гладких при а0 — I 5 при аа — 1,8...2
Точение, шлифование 800... 1200 1,1...1,2 — —
Закалка с нагревом ТВЧ 600...800 1,5.„1,7 1,6...1,7 2,4.„2,8
800... 1200 1,3.„1,5 — —
Азотирование 900... 1200 1,1.„1,25 1,5..1,7 1,7...2,1
Цементация 700...800 1,4.„1,5 -
1000...1200 1,2... 1,3 2 —
Дробеструйная обработка 600... 1500 1,1...1,25 1,5...1,6 1,7.„2,1
Обкатка роликом 600... 1500 1,2.„1,3 1,5...1,6 1,8...2,0
по эквивалентному напряжению
4г f а^<<атах- (22.10)
где No — число циклов, соответствующее
точке перегиба кривой усталости (обычно
принимают No = (3...5)! 0ь циклов — для
валов небольших сечений и No=lO7 цик-
лов— для валов больших сечений); и, —
общее число циклов нагружений при на-
пряжении сщ i - номер ступени нагруже-
ния; т — показатель степени кривой ус-
талости (щ = 9 для обычных конструк-
ций стальных валов); отах - • напряжение
в наиболее нагруженной точке вала при
максимальной длительно действующей
нагрузке.
При известном значении оЭКв запас
прочности находится обычным методом.
Если окажется, что а-,Кв<Отах, то прини-
мают аЭкв = Отах, так как вал в этом слу-
чае работает в зоне неограниченной до-
лговечности (в зоне горизонтального
участка кривой усталости).
В заключение отметим, что высокоо-
боротные валы в ряде конструкций рабо-
тают в условиях изгибных, крутильных
и изгибно-крутильных колебаний, вызыва-
ющих появление переменных напряже-
ний. Эти напряжения могут быть опасны-
ми для прочности вала на резонансных
режимах работы.
Для предотвращения резонансных ко-
лебаний валов проводят их расчет на ко-
лебания.
Для повышения сопротивления уста-
лости валов используют различные кон-
структивные и технологические методы.
Основной конструктивный метод повыше-
ния надежности валов — снижение кон-
центрации напряжений в опасных сечени-
ях путем увеличения радиусов галтелей
и др. Существенное значение имеет пра-
вильный выбор материала и режима тер-
мической обработки заготовки (вала).
Для повышения сопротивления уста-
лости валов производят упрочняющую
обработку зон концентрации напряжений
(выточек, галтелей, шпоночных канавок,
резьбы и др.) путем обдувки дробью, лу-
чом лазера и т. п.
Расчет жесткости вала. Упругие пе-
ремещения валов оказывают неблагопри-
238
ятное влияние на работу связанных с ни-
ми соединений (шлицевых, прессовых и
др.), подшипников, зубчатых колес и дру-
гих деталей (узлов): увеличивают кон-
центрацию контактных напряжений и из-
нос деталей, снижают сопротивление ус-
талости деталей и соединений, понижают
точность механизмов и т. п.
Большие перемещения сечений вала
от изгиба могут привести к выходу из
строя конструкции вследствие заклинива-
ния подшипников. Изгибная и крутильная
жесткость валов существенно влияет на
частотные характеристики системы при
возникновении изгибных и крутильных
колебаний.
При проектировании валов следует
проверять прогибы и углы поворота сече-
ний. Их вычисляют, используя дифферен-
циальное уравнение изогнутой оси балки
(см. гл. 8), и другими методами.
Допустимые величины перемещений
(прогибов и углов поворота) сечений ва-
ла зависят от требований, предъявляемых
к конструкции, и особенностей ее работы.
Допустимые величины углов поворота
сечения вала в местах расположения де-
талей (в рад):
Подшипников качения:
шариковых однорядных 0,005
шариковых сферичес-
ких ................ 0,05
роликовых цилиндри-
ческих ............. 0,0025
роликовых конических 0,0016
Подшипников скольжения 0,001
Зубчатых колес.......... 0,001 ...0,002
Максимальный прогиб вала несущего
зубчатого колеса обычно не должен пре-
вышать (0,0002. ..0,0003) L (L — расстоя-
ние между опорами, а допустимый прогиб
под колесами составляет): 0,01 m — для
цилиндрических и 0,005 m — для кониче-
ских, гипоидных и глобоидных передач
(здесь m — модуль зацепления).
Допустимые углы закручивания валов
также зависят от требований и условий
работы конструкции и лежат в пределах
0,20...1° на 1 м длины вала.
Большинство валов машин и механиз-
мов имеют переменное по длине сечение.
В упрошенных расчетах жесткость таких
валов оценивают по условной эквивалент-
ной модели вала постоянного сечения ди-
аметром
где i—номер участка вала длиной /, и
диаметром dp I — общая длина вала.
§ 22.3. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА МУФТ
Назначение и классификация. Муфта-
ми называют устройства для соединения
валов совместно работающих узлов (аг-
регатов) машин, частей составных ва-
лов (в валопроводах, трансмиссиях), а
т^кже для соединения валов с располо-
женными на них деталями (зубчатыми
колесами, звездочками и т. д.).
Простейшие конструкции имеют так
называемые глухие муфты, образующие
жесткое соединение валов (составной
вал). На рис. 22.5, а, б показаны втулоч-
ные муфты на сегментных шпонках и ко-
нических штифтах, применяемые для сое-
динения валов относительно небольших
диаметров (до 70 мм). Для облегчения
монтажа приводов муфты выполняют
обычно сборными, состоящими из полу-
муфт, которые соединяют после установ-
ки узлов на раме (станине и т. п.) с по-
мощью болтов (рис. 22.5, в) и другими
способами.
Распространены муфты в виде авто-
номных устройств (узлов), изготовляе-
мых на специализированных предприяти-
ях (производствах). Это упрощает стан-
дартизацию муфт.
Кроме соединительных (общих) функ-
ций муфты нередко выполняют одновре-
менно и специальные функции, например:
управляют работой — включают и вы-
ключают исполнительный механизм при
работающем двигателе, облегчают запуск
машины и др. — управляемые муфты;
регулируют параметры — ограничива-
ют частоты вращения (максимальную и
минимальную), предохраняют детали и
машины от случайных (недопустимых)
перегрузок — предохранительные муфты.
Муфты, выполняющие несколько фун-
кций одновременно, должны периодиче-
239
0)
Рис. 22.5. Глухие муфты
ски соединять и разъединять соединяемые
валы. Поэтому их называют сцепными.
Муфты, выполняющие лишь соедини-
тельные функции, называют постоянными.
Основная нагрузка и нагрузочная
способность. Основной нагрузкой для
муфт является вращающий момент.
В связи с этим их нагрузочную способ-
ность оценивают значением допустимого
вращающего момента Т„. Значения 7',.,
а также размеры, масса и другие данные
указывают в паспортах муфт.
Наибольший длительно действующий
момент Т для муфт может быть опреде-
лен теоретически или экспериментально.
В упрощенном расчете, используя пред-
шествующий опыт проектирования и эк-
сплуатации машин, принимают
т=тк/к,
। де /(- коэффициент режима работы,
К = К(,К,й Кг, коэффициент безопасно-
сти, учитывающий характер последствий
при выходе муфты из строя, /Сб= 1,0... 1,8;
К, -• коэффициент, учитывающий харак-
тер передаваемой нагрузки, Кл =
= 1,0...1,5 (меньшие значения принимают
при спокойной нагрузке, большие при
ударной и реверсивной нагрузке).
Компенсирующая, амортизирующая и
демпфирующая способности муфт. Муф-
ты должны обладать определенной ком-
пенсирующей способностью, т. е. компен-
сировать в той или иной степени отклоне-
ния от соосного положения соединяемых
валов, обусловленные особенностями кон-
струкции, и практически неизбежными от-
клонениями (смещения), вызванными пре-
имущественно погрешностями монтажа
(рис. 22.6, а—г), а также деформациями
валов от эксплуатационных нагрузок,
тепловых воздействий и т. п. В противном
случае детали муфт, соединяемые валы
и их опоры (подшипники и корпуса) ока-
жутся под действием неблагоприятных
дополнительных нагрузок.
Расчеты и опыт проектирования кон-
струкций показали, что дополнительные
изгибающие и перерезывающие нагрузки
в системе валы - муфта — опоры можно
снизить: уменьшением погрешностей мон-
тажа; увеличением компенсирующей спо-
240
собности системы валы — муфта -- опоры
за счет взаимных кинематическтих пере-
мещений деталей под нагрузкой в преде-
лах зазоров или по направляющим эле-
ментам муфты -- компенсирующие и под-
вижные муфтьи, увеличением податливо-
сти, т. е. компенсирующей способности за
счет деформаций одного из звеньев систе-
мы. Опыт проектирования показал также,
что во многих случаях из конструктив-
ных, технологических и экономических со-
ображений выгодно для этих целей при-
менять муфты с высокой податливостью
элементов — упругие муфты. Высокую по-
датливость муфтам придают введением
в их конструкции упругих элементов
(пружин, мембран), а также элементов
из материалов с малым модулем упруго-
сти (например, резины и т.п.).
Способности амортизировать (ослаб-
лять) и демпфировать (заглушать, успо-
каивать) колебания внешней нагрузки,
толчки и удары в системе валы - опо-
ры - муфта являются также важнейши-
ми свойствами муфт динамически нагру-
женных агрегатов (особенно при ревер-
сивной нагрузке).
Муфты разнообразны по конструкции,
наиболее распространенные из них стан-
дартизованы и рассмотрены ниже.
Выбор типа муфт производят в соот-
ветствии с конструктивными особенностя-
ми и требованиями, предъявляемыми к
приводу (машине) в целом.
§ 22.4. КОМПЕНСИРУЮЩИЕ И УПРУГИЕ
ПОСТОЯННЫЕ МУФТЫ
При выборе и использовании компен-
сирующей и упругой муфты стремятся к
тому, чтобы вклад деформаций валов и
опор в компенсацию отклонений от со-
осного положения оказался бы несуще-
ственным. Муфта становится в этом слу-
чае «компенсатором» системы не только
при монтаже, по и в эксплуатации приво-
дов, так как отклонения валов от соосно-
го положения образуются также в ре-
зультате их деформации от рабочей на-
грузки и температуры.
Компенсирующие муфты. На
рис. 22.7, а показана конструкция компен-
сирующей крестовой муфты, допус-
кающей соединение валов с повышенны-
Рис. 22.7. Компенсирующие муфты
241
ми взаимными смешениями осей (аг<
<0,05d; а^1°). Она состоит из двух
полумуфт 1 и 3 с пазами (направляющи-
ми) и промежуточного диска 2 с кресто-
образно расположенными выступами.
Зубчатые муфты (ГОСТ 5006—
83) (рис. 22.7, б) применяют в высоконаг-
руженных конструкциях для валов диа-
метрами от 40 до 200 мм. Они допускают
угловое смещение до 0,5° при радиальном
смещении о> = 0,008Л, где L — расстояние
между зубчатыми соединениями муфты.
Муфта состоит из двух втулок 1 и
двух обойм 2 соответственно с внешними
и внутренними эвольвентными зубьями
(угол профиля а = 20°, коэффициент вы-
соты головки зуба /г* = 0,8). Соединение
втулок с валом осуществляется шпонкой
и посадкой с натягом или шлицами.
Большое число одновременно работа-
ющих зубьев эвольвентного профиля
обеспечивают компактность и высокую
нагрузочную способность.
При вращении валов, установленных
с перекосом, происходит циклическое сме-
щение (продольное и радиальное) зубьев
втулок относительно обойм. Это смешение
(скольжение) вызывает изнашивание
зубьев — основная причина их поврежде-
ния. Для повышения износостойкости ак-
тивные поверхности зубьев выполняют
твердыми (45...55 HRC), а внутрь муфты
заливают масло.
Подбор муфт также производится по
расчетному вращающему моменту. Экспе-
риментально установлено, что износ зубь-
ев муфты в течение ресурса будет допус-
тимым, если средние контактные
напряжения (давления) на рабочих по-
верхностях
2ТК- 1
где /<н = 1,1... 1,3—коэффициент концен-
трации нагрузки; Ьм и — длина зуба
и диаметр делительной окружности; h —
рабочая высота зуба, 1,8m; г — число
зубьев полумуфты; [р]—допускаемое но-
минальное контактное напряжение (давле-
ние), [р]= 3,6...4,6 МПа при твердости муфт
после термоулучшения 280...320 НВ;
[р]=10...12 МПа — после химико-терми-
ческой обработки зубьев.
Цепные муфты (ГОСТ 20742-
82) (рис. 22.8) применяют для соедине-
ния валов диаметрами от 20 до 140 мм
при передаче вращающего момента от
63 до 8000 Н-м с частотой вращения до
п = 500...1600 мин“' (большая частота
допускается для муфт с меньшими внеш-
ними диаметрами). Муфты компенсируют
радиальное смешение валов до 1,2 мм
и угловое смешение до 1°. Для предохра-
нения от загрязнения и лучшего смазыва-
ния муфты целесообразно закрывать ко-
жухом с уплотняющими элементами. Вра-
щающий момент передается с помощью
звездочек и цепи.
Соединение полумуфт с валами мо-
жет осуществляться с помощью прямо-
бочных или эвольвентных шлицев, а так-
же шпонками.
Муфты имеют простую конструкцию
и просты в обслуживании, надежны, тех-
нологичны в изготовлении, имеют малые
Рис. 22.8. Цепная муфта
242
Рис. 22.9. Малогабаритная шарнирная муфта (а) и ее сечения (б)
габариты и массу, удобны в монтаже и
демонтаже. Их недостаток — наличие
«мертвого» хода, который ограничивает
их применение в реверсивных передачах.
Шарнирные муфты
(ГОСТ 5147—80) (рис. 22.9, а, б) могут
соединять валы, имеющие наибольшие уг-
лы перекоса (до 45°) по сравнению с
муфтами других типов. Это достигается
с помощью шарниров трения скольжения
и промежуточного звена // в виде парал-
лелепипеда с двумя отверстиями, оси ко-
торых пересекаются под прямым углом.
Муфты изготовляются для валов с диа-
метрами от 8 до 40 мм, а передаваемый
момент колеблется от 11,2 до 1120Н-М.
Упругие муфты. За счет исполь-
зования упругих силовых элементов муф-
ты способны не только компенсировать
радиальные и угловые смещения, но и
демпфировать колебания, амортизировать
толчки и удары.
Упругие втулочно-пальцевые муфты
типа МУВП (ГОСТ 21424 -75)
(рис. 22.10, а) применяют в приводе от
электродвигателя и в других случаях для
валов диаметрами 10...180 мм при враща-
ющих моментах 6,3...16 000 Н-м. Стан-
дартом предусмотрены муфты типа / (с
цилиндрическим отверстием для валов)
и типа 11 (е коническим отверстием для
валов); они могут быть выполнены в двух
Рис. 22.10. Упругие муфты
243
Рис. 22.11. Упругая муфта со звездочкой
исполнениях (для длинных и коротких
концов валов). Вращающий момент меж-
ду полумуфтами передается через резино-
вые гофрированные втулки /, надетые на
пальцы 2. Муфты допускают в зависимо-
сти от типоразмера радиальное смещение
осей валов на 0,2...0,4 мм, продольное
смещение валов на 10...15 мм и угловое
смещение на 1°. Их работоспособность
определяется стойкостью втулок. Диапа-
зон рабочих температур - от —40 до +
+ 50 °C.
Для ограничения износа среднее кон-
тактное давление пальца на втулку нахо-
дят по формуле
2Т
P = ~^D~mdJ^]’
где z - число пальцев, z = 6; //„ — диа-
метр окружности расположения осей
пальцев; d„ — диаметр пальцев; / дли-
на упругого элемента; [р] — допускаемое
давление для резиновых втулок, обычно
[р]=2 МПа.
Упругая муфта с торообразной обо-
лочкой выпуклого профиля
(ГОСТ 20884—82) (рис. 22.10, б) облада-
ет хорошими компенсирующими свойства-
ми. Она состоит из резинового упругого
элемента (оболочки) 1 и полумуфт 2,
к которым винтами 3 через кольца 4 при-
тягиваются прижимные полукольца
5. При сборке муфты полукольца соеди-
няют с кольцом 4 винтами 6, располо-
женными между винтами 3. Вращающий
момент с полумуфт на оболочку передает-
ся силами трения, созданными при за-
тяжке винтов 3.
Муфта может соединять валы диамет-
рами 14...240 мм и передавать вращаю-
щие моменты в диапазоне
20...40 000 Н-м. В зависимости от типо-
размера она может компенсировать про-
244
дольные смещения (до 11 мм), радиаль-
ные (до 5,0 мм) и угловые (до 1,5°) сме-
щения, но имеет большие диаметральные
габариты.
При отклонении от соосного положе-
ния валов муфта создает дополнительные
нагрузки на валы. Радиальная сила и из-
гибающий момент при этом сравнительно
невелики, а осевая сила от единичного
осевого смещения достигает 300 Н/мм и
должна учитываться в расчетах подшип-
ников.
Потеря работоспособности муфты
обычно вызывается разрушением упруго-
го элемента у зажима. Напряжения среза
в сечении у зажима
2Т
где D] - диаметр оболочки в расчетном
сечении; а толщина оболочки; [г]- до-
пускаемое напряжение при срезе, [т]=
= 0,4 МПа.
Упругая муфта со звездочкой
(ГОСТ 14084-76) (рис. 22.11) применя-
ется для соединения валов в диапазоне
диаметров 12...45 мм при вращающем
моменте Т = 2,5...400 Н-м. Она допускает
смещение осей валов до 0,4 мм, угол
перекоса 1,5°, может работать при темпе-
ратуре от —40 до +50° С.
Муфта состоит из двух одинаковых
полумуфт, которые снабжены торцовыми
кулачками. Между этими кулачками по-
мещается резиновая звездочка с четырь-
мя или шестью лепестками. Первая из
них может передавать вращающий мо-
мент до 6,3 Н-м при частоте вращения
п = 5000...6500 мин-1, вторая -вращаю-
щий момент от 16 до 400 Н-м при п =
= 1500...45 000 мин-1 (большая частота
вращения допускается для муфт меньше-
го диаметра).
Муфты просты по конструкции, имеют
высокие эксплуатационные качества, но
допускают сравнительно небольшой пере-
даваемый вращающий момент и требуют
смещения валов или полумуфт при мон-
таже.
Отметим, что при использовании уп-
ругих и компенсирующих муфт пробле-
мы работоспособности и надежности при-
водов частично переносятся с валов и
опор на муфты, точнее — на их компенси-
рующие элементы. Последние имеют зна-
чительные взаимные смещения (линей-
ные, угловые и окружные) под нагрузкой
или испытывают повышенные деформа-
ции и напряжения, а потому подвержены
повреждениям (износу, разрушениям).
§ 22.5. СЦЕПНЫЕ МУФТЫ
В зависимости от способа соединения
и разъединения полумуфт в процессе ра-
боты различают управляемые и самоуп-
равляемые (автоматические) сцепные
муфты.
Управляемые муфты предна-
значены для соединения или разъедине-
ния валов, а также валов и установлен-
ных на них деталей в подвижном или
неподвижном состоянии с помощью спе-
циальных механизмов управления. Их ис-
пользуют в коробках скоростей и других
механизмах при необходимости измене-
ния режима работы. Передача вращаю-
щего момента осуществляется либо за
счет зацепления (зубчатые или кулачко-
вые муфты), либо силами трения (фрик-
ционные муфты).
Конструкции управляемых муфт раз-
нообразны. На рис. 22.12, а показана зуб-
чатая муфта с электромагнитным дистан-
ционным управлением. Одна из полумуфт
/ имеет наружные зубья, другая полу-
муфта 2 - внутренние зубья; числа зубь-
ев и модуль одинаковые. Полумуфта 1 со-
единена винтами и штифтом с зубчатым
колесом. Полумуфта 2 имеет составную
конструкцию. Соединение через зубья
3 ее частей и включение зубчатого колеса
происходят с помощью электромагнита 4.
Зубчатые сцепные муфты выходят из
строя из-за износа зубьев. Их расчет ве-
дут в форме ограничения среднего кон-
тактного напряжения (давления) на
зубьях.
Фрикционные сцепные муфты переда-
ют вращающий момент между полумуф-
тами за счет сил трения на рабочих по-
верхностях (дисковой или конической
формы). Давление на поверхностях кон-
такта (смазываемых или сухих) создают
с помощью устройств и механизмов вклю-
чения различного типа (пружинно-рычаж-
ных механизмов, электрических, гидрав-
лических и пневматических устройств).
При включении фрикционных муфт
вращающий момент нарастает с увеличе-
нием усилия нажатия (контактных давле-
ний на поверхностях трения). Благодаря
этому можно соединять валы под нагруз-
кой. Пробуксовывание муфты в процессе
включения обеспечивает плавный разгон
ведомого вала.
На рис. 22.12, б в качестве примера
показана конструкция такой муфты.
Муфта состоит из посаженного на вал
/ барабана 2 с внутренними шлицами,
шлицевой втулкой 8, посаженной на ведо-
мый вал 9, а также трех ведущих 5 и
двух ведомых дисков 4, сжимаемых пово-
Рис. 22.12. Управляемые муфты
245
Таблица 22.7
Допускаемые контактные напряжения [р] н коэффициенты трения f между стальным диском
и дисками из различных материалов при скорости скольжения оСк<2,5 м/с*
Материалы одного из дисков
Расчетные параметры Металло- керамика ** Сталь Чугун Феродо ** Текстолит
[р], МПа 2,5...3,5 1,5...1,5 0,4...0,6 0,4...0,5 0,2...0,3 0,4...0,6
f 0,15 0^25 0,12 0,15 0,35 0,12
Примечание. * В числителе — значения параметров при смазанных дисках, в знаменателе для
дисков без смазывания.
** Значения [р] следует снижать: на 15 % — при пСк ® 5 м/с; на 30 % — при v„ № 10 м/с и на 35 % —
при 15 м/с.
док)
него
дком 3 при осевом перемещении втулки
6 по направляющей шпонке 7. Осевое
перемещение тормозных дисков происхо-
дит на счет скольжения их выступов по
шлицевым пазам барабана и втулки.
Фрикционные муфты должны обла-
дать надежностью сцепления, высокой из-
носостойкостью и теплостойкостью кон-
тактирующих поверхностей.
Материал трущихся деталей (накла-
выбирается в зависимости от сред-
контактного напряжения (давления)
Fa 2ТК .г .
Р A fDmzA
Fa — осевая сила; Т — вращающий
К = 1,3. ..1,5—коэффициент за-
где
момент;
паса сцепления; Dm — средний диаметр
контакта (рис. 22.12, б); f — коэффициент
сцепления (трения покоя); z—число пар
поверхностей трения; А — площадь по-
верхности трения; [р]— допускаемое кон-
тактное напряжение (табл. 22.7).
Площадь поверхности соприкоснове-
ния (контакта)
A = nDmb.
Здесь b — ширина поверхности трения, ее
принимают в зависимости от диаметра
Dm; b = tyDm. Обычно ф = 0,15...0,25 —
для дисковых и конусных муфт; ф =
0,2...0,3 — для цилиндрических муфт.
Несложно заметить, что для увеличе-
ния передаваемого вращающего момента
можно увеличить число пар поверхностей
трения. При этом осевая сила, сжимаю-
щая детали, остается неизменной. Это об-
стоятельство реализуют на практике, при-
меняя многодисковые муфты
(рис. 22.12, б).
Интенсивность изнашивания муфт за-
висит от мощности, расходуемой на трение:
Pf=fpvCK^[Pf]'
где цск = 0,5<о£)т — средняя скорость
скольжения; [Р/]—допускаемая мощность
трения.
Сцепные самоуправляемые
муфты выполняют автоматически одну
из следующих функций: ограничение пе-
редаваемой нагрузки — предохранитель-
ные муфты-, передачу нагрузки (момента)
только в одном направлении — обгонные
муфты; включение и выключение при за-
данной скорости — центробежные муфты.
Ниже даны лишь краткие сведения.
Полные данные содержатся в специаль-
ной литературе.
Предохранительные муфты срабаты-
вают, когда вращающий момент превы-
шает некоторую установленную величину.
На рис. 22.13 показана пружинно-шари-
ковая муфта. При достижении вращаю-
щим моментом предельной величины под
действием осевых усилий, обусловленных
формой впадин (см. вид В—В на
рис. 22.13) полумуфты 1, шарики смеща-
ются в осевом направлении (преодолевая
246
Рис. 22.13. Пружинно-шариковая муфта
сопротивление пружины) и размыкают
муфту с последующим прощелкиванием.
Пружинно-шариковые муфты
(ГОСТ 15621- 77) для диаметров валов
от 8 до 48 мм допускают крутящие мо-
менты 4...400 Н • м.
На практике используют также пру-
жинно-фрикционные, пружинно-кулачко-
вые и некоторые другие типы предохрани-
тельных муфт.
Обгонные муфты (муфты свободного
хода) предназначены для передачи вра-
щающего момента только в одном на-
правлении.
Наибольшее распространение получи-
ли фрикционные обгонные муфты, переда-
ющие вращающий момент за счет закли-
нивания между полумуфтами промежу-
точных тел (в основном роликов). Такие
муфты бесшумны, компактны, могут рабо-
А
Рис. 22.14. Роликовая обгонная муфта
247
Рис. 22.15. Центробежная муфта
SL'St
Рис. 22.16. Сечение и расчетная схема вала
тать при высокой частоте вращения. Их
изготовляют для валов диаметром
10...90 мм и передачи момента до
750...800 Н-м.
На рис. 22.14 показана роликовая об-
гонная муфта. При вращении звездочки
/ по часовой стрелке ролики 2 заклинива-
ются между звездочкой и наружным
кольцом 3 и передают вращение соеди-
ненному с ним ведомому валу. Прижим-
ные устройства 4 уменьшают «мертвый»
ход и способствуют равномерному рас-
пределению нагрузки между роликами.
При вращении звездочки в обратном на-
правлении ролики заклиниваться не бу-
дут и вращение не будет передаваться.
Муфта свободного хода позволяет ве-
домому звену вращаться (например, по
инерции) при остановленном ведущем
звене. Этот эффект используется в пе-
редачах велосипедов, мотоциклов, стан-
ков, автомобилей и т. д.
В роликовой муфте ведущим может
быть и наружное кольцо при вращении
против часовой стрелки.
Пусковые (центробежные) муфты ис-
пользуют для плавного пуска приводов
грузоподъемных машин, конвейеров и т. п.
Основой таких муфт могут быть автомати-
ческие самоуправляемые центробежные
муфты различных конструктивных испол-
нений. Они позволяют электродвигателю
легко разогнаться и по достижении им
определенной скорости начать плавный
разгон рабочего органа. Одновременно
пусковые муфты выполняют и предохра-
нительные функции.
На рис. 22.15 показана центробежная
муфта со стальными шариками. Ведомая
248
Таблица 22.8
Расчет запасов прочности вала
Параметры Сечение по рис. 22.16, а
1 2 3 4
Диаметр вала rf, мм Момент сопротивления, мм3: 32 35 32 40
Й7И • 10~3 2,73 4,21 3,22 3,5
W* 10~ 3 5,94 8 42 6,43 7,0
Изгибающий момент Л4И, Н-м 71 101,5 87,6 28.5
Крутящий момент Г, Н-М Напряжения, МПа: 78 78 78 78
изгиба о„ 25,2 23,7 24,1 8,2
кручения тк Эффективный коэффициент концентрации напряжений: 13,2 9,25 12,1 11,1
нормальных К„ 1,75 1,76 1,93 2,0
касательных К, Коэффициент, учитывающий масштабный эффект: 1,54 1,3 1,45 1,75
при изгибе 0,88 0,88 0,88 0,85
при кручении Kxd Коэффициент запаса: 0,77 0,76 0,77 0,73
5,0 5,25 6,0 13,75
п, 5,75 9,7 6,6 5,71
Запас прочности п 3,78 4,63 4,44 4,74
часть муфты расположена в данном при-
мере на подшипниках скольжения.
Распространены колодочные и диско-
вые центробежные фрикционные муфты.
Центробежные муфты устанавливают на
вал электродвигателя. При наличии ре-
менной передачи от электродвигателя к
рабочему органу наружную ведомую
часть муфты конструируют в виде шкива.
Передаваемый муфтой момент (Н-м)
рассчитывают по формуле
Т = тг (лп)2 /£>2/1800,
где пг - масса одного груза (масса
стальных шариков в одной полости), кг;
г = 0,25(DA-dn) — расстояние центра мас-
сы груза от оси вращения, м; п — часто-
та вращения, мин-1; / — коэффициент
трения (/ = 0,2 для стальных шариков);
D — диаметр муфты.
Пример. Произвести проверочный расчет
вертикального вала пневморанирного механиз-
ма ткацкого станка (рис. 22.16, а). Вал изго-
товлен методами резания из стали 45 (<тв =
= 650 МПа; от = 470 МНа; о. ,=275 МПа;
т_, = 160 МПа).
Вращающий момент на водило механизма
передается валом от конического зубчатого ко-
леса. Из кинематического и силового расчетов
известно, что вращающий момент, изменяю-
щийся по пульсационному циклу, достигает на-
ибольшего значения 7'тах = 78 кН-м, когда
центробежная сила /?Оп1ах=800 Н составляет с
осью х угол, равный 37°; проекции усилий на
коническое колесо при этом составляют
(рис. 22.16, б): £, = 2000 Н, £, = 360 Н, £„ =
= 1600 н.
Эпюры изгибающих моментов, действую-
щих на вал, в плоскостях хОг и хОу показаны
на рис. 22.16, а. В табл. 22.8 приведены резуль-
таты расчета запасов прочности в четырех наи-
более нагруженных сечениях с концентратора-
ми напряжений. Расчет проведен по описанной
выше методике.
Из табл. 22.8 видно, что запасы прочности
во всех сечениях достаточно высокие.
Вопросы для самопроверки
1. Каково назначение валов и осей и как
их классифицируют?
2. Укажите формы сопряжения переходных
участков и ступеней валов.
3. Какие расчетные модели используют в
расчетах валов?
4. Для чего используются муфты?
5. Назовите и охарактеризуйте основные
типы компенсирующих и упругих муфт.
6. Для каких целей используют сцепные
муфты?
249
Глава 23
ОПОРЫ ВАЛОВ И ОСЕЙ
§ 23.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ПОДШИПНИКОВ
СКОЛЬЖЕНИЯ
Общие сведения. Подшипник сколь-
жения (рис. 23.1) является парой враще-
ния, он состоит из опорного участка вала
(цапфы) / и собственно подшипника 2,
в котором скользит цапфа.
Их используют в качестве опор валов
и осей механизмов и машин в тех случа-
ях, когда применение подшипников каче-
ния затруднено или невозможно по ряду
причин: высокие вибрационные и ударные
нагрузки; низкие и особо высокие часто-
ты вращения; работа в воде, агрессивных
средах, а также при недостаточном сма-
зывании или без смазывания; необходи-
мость выполнения диаметрального
разъема; отсутствие подшипников каче-
ния требуемых диаметров (миниатюрные
и особо крупные валы) и др.
Надежность работы подшипников в
значительной мере определяет работоспо-
собность и долговечность машин.
Благодаря бесшумности и указанным
выше достоинствам, а также по конструк-
тивным и экономическим соображениям
опоры скольжения находят широкое при-
менение в паровых и газовых турбинах,
двигателях внутреннего сгорания, центро-
бежных насосах, центрифугах, металло-
обрабатывающих станках, прокатных ста-
нах, тяжелых редукторах и пр.
По виду трения скольжения
различают:
подшипники сухого трения — работа-
ют на твердых смазочных материалах или
без смазочного материала;
подшипники граничного (полужидко-
стного) трения;
подшипники жидкостного трения;
подшипники с газовой смазкой.
По виду воспринимаемой на-
грузки подшипники подразделяют на:
радиальные — воспринимают ради-
альную нагрузку (рис. 23.1, а, б);
упорные — воспринимают осевые си-
лы (рис. 23.1, в, г) ;
радиально-упорные -- воспринимают
радиальные и осевые нагрузки; обычно их
функции выполняют упорные подшипни-
ки, совмещенные с радиальными
(рис. 23.1, в).
Цапфу, передающую радиальную на-
грузку, называют шипом - при располо-
жении ее в конце вала и шейкой — если
она находится в середине вала. Цапфу,
передающую осевую нагрузку, называют
пятой, а подшипник — подпятником.
Форма рабочей поверхности
подшипников и цапф может быть цилин-
дрической, конической и шаровой. Кони-
ческие и шаровые подшипники применя-
ются редко.
Особенности работы подшипников.
Условия работы подшипников скольже-
ния определяются основными параметра-
ми режима работы (удельной нагрузкой
р и угловой скоростью о цапфы), наличи-
ем и типом смазочного материала (твер-
дого, жидкого, газообразного), физико-
механическими характеристиками контак-
тирующих поверхностей.
<5)
Рис. 23.1. Схема подшипников скольжения
250
Рис. 23.2. Схемы контакта
шероховатых поверхностей
Эти условия, как показала практика,
достаточно полно могут быть охарактери-
зованы потерями на трение, связанными
с тепловыделением и износостойкостью
подшипника, его надежностью. Для одно-
типных подшипников с одинаковым соот-
ношением главных размеров (диаметра
d и длины / цапфы) потери при трении
пропорциональны коэффициенту трения
f^T^F^, (23.1)
где Tf — момент трения в подшипнике;
Fr — радиальная сила (опорная реак-
ция) .
В подшипниках сухого трения коэф-
фициент трения обычно не слишком зна-
чительно изменяется в зависимости от
основных параметров режима работы.
В подшипниках граничного трения влия-
ние параметров режима работы оказыва-
ется весьма существенным.
Проанализируем изменение коэффици-
ента трения f в подшипнике с жидким
смазочным материалом (маслом, водой и
др.) в зависимости от условного безраз-
мерного параметра режима работы:
Х = v<o/p,
где v — динамическая вязкость смазоч-
ного материала; p = Fr/(dl) - удельная
нагрузка.
Экспериментальные исследования по-
казали, что при малой угловой скорости
<о, соответствующей скорости скольжения
Цск<0,1 м/с, и неизменных нагрузке р и
вязкости v смазочного материала послед-
ний вытеснится из зоны контакта и вер-
шины микронеровностей будут контакти-
ровать через граничную пленку смазоч-
ного материала (зоны А на рис. 23.2, а)
или непосредственно (зона Б на рис. 23.2,
а) — граничное трение. При этом эксцен-
триситет (взаимное радиальное смеще-
ние осей) цапфы и подшипника будет
наибольшим (рис. 23.3, а):
emax = 0,5(dn — d) = 0,5A = 6, (23.2)
где dn и d — диаметры подшипника и
цапфы; Д и 6 — диаметральный и ради-
альный зазоры в подшипнике.
Рис. 23.3. Положение цапфы
в подшипнике скольжения
251
Рис. 23.4. Изменение коэффициента трения в
подшипнике скольжения при увеличении угло-
вой скорости вращения вала
Толщина граничной пленки мала (до
0,1 мкм) и сопротивление движению бу-
дет зависеть от качества смазочного мате-
риала, материала трущихся поверхностей.
Коэффициент граничного трения
(рис. 23.4, участок ab) для подшипников
из распространенных антифрикционных
материалов может достигать значений
0,2...0,3. Граничное трение сопровождает-
ся изнашиванием контактирующих повер-
хностей.
Описанные условия работы типичны
для низкоскоростных подшипников с пе-
риодическим смазыванием или недоста-
точной подачей смазочного материала и
недопустимы для высокоскоростных под-
шипников.
С увеличением угловой скорости (ско-
рости скольжения) коэффициент трения
резко уменьшается (рис. 23.4, участок Ьс)
в связи с переходом трения в полужидко-
стное, характеризуемое наличием однов-
ременно граничной и жидкостной смазки
(см. рис. 23.2, б). Эксцентриситет е в этом
случае практически не изменяется, но
нормальная сила в контакте будет урав-
новешиваться силами взаимодействия на
площадках контакта А (см. рис. 23.2, б)
и силами гидродинамического давления
в слое смазочного материала. Сила тре-
ния также будет включать две составля-
ющие: силу взаимодействия твердых по-
верхностей и силу сопротивления вязкому
сдвигу.
Коэффициент полужидкостного тре-
ния и тепловыделения при этом ниже, чем
при граничном трении. Однако режим ха-
рактеризуется нестабильными условиями
смазывания, так как повышение темпера-
252
туры в зоне контакта уменьшает вязкость
и может вызвать разрушение граничной
пленки и повышение коэффициента тре-
ния. Поэтому работа подшипника с высо-
кой угловой скоростью в режиме полу-
жидкостного трения также опасна.
Начиная с некоторой угловой скоро-
сти ы —<1>Кр, при которой коэффициент
трения f — fmin, вал отходит от подшипни-
ка («всплывает»), смещается в направле-
нии вращения, занимая новое положение
(см. рис. 23.3, б) с меныпим эксцентриси-
тетом цапфы и подшипника. Последую-
щее увеличение угловой скорости, умень-
шая эксцентриситет, приводит к увеличе-
нию коэффициента трения (см. рис. 23.4)
в связи с увеличением толщины слоя сма-
зочного материала и ростом гидравличе-
ских потерь. При этом нарастающее гид-
родинамическое давление удерживает вал
на «масляном клине» (см. рис. 23.3, б, на
котором показан зазор клиновидной фор-
мы между цапфой и подшипником и рас-
пределение давлений в этом зазоре). На-
именьший зазор между цапфой и под-
шипником
ftmin = 6-e = 6(l-e), (23-3)
где е = е/6 — относительный эксцентри-
ситет.
На участке cd подшипник работает
в условиях жидкостного трения
(см. рис. 23.2, в), при котором поверхно-
сти цапфы и подшипника разделены сло-
ем смазочного материала толщиной
h>RZll+RZ,„ (23.4)
где RZli и RZn — высоты микронеровно-
стей поверхностей цапфы и подшипника,
мкм.
Так как непосредственный контакт от-
сутствует, то трение (сопротивление дви-
жению) в подшипнике определяется зако-
нами гидродинамики. Коэффициент жид-
костного трения не превышает 0,005,
и износ практически отсутствует, потери
на трение и тепловыделение невелики. Ус-
ловия смазывания носят устойчивый ха-
рактер. В случае увеличения при работе,
например, коэффициента трения повысит-
ся температура и уменьшится вязкость
смазочного материала, т. е. снизится па-
раметр X. Это предопределит уменьше-
ние коэффициента трения.
§ 23.2. ВИДЫ ПОВРЕЖДЕНИЙ И ОЦЕНКА
ТРИБОТЕХНИЧЕСКОЙ НАДЕЖНОСТИ
ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
Виды повреждений и критерии рабо-
тоспособности. Практика эксплуатации
подшипников скольжения показала, что
их работа в условиях сухого и граничного
трения сопровождается изнашивани-
ем. Отказы таких подшипников происхо-
дят из-за заедания (диффузионной свар-
ки), пластического деформирования и на-
мазывания, абразивного изнашивания,
особенно опасного при засорении смазоч-
ного материала, а также усталостного
разрушения и отслаивания фрикционного
слоя при вибрационных и ударных на-
грузках. Эти повреждения зависят от
удельной нагрузки, скорости, вязкости
смазочного материала и других парамет-
ров режима работы, используемых в ка-
честве критериев работоспособности.
Подшипники жидкостного трения ра-
ботают без изнашивания, если не нару-
шается режим смазки. В связи с этим
для них основным критерием работоспо-
собности является минимальная толщина
hmm слоя смазочного материала, исключа-
ющая контакт микронеровностей цапфы
и подшипника (вкладыша).
При неустановившихся режимах, на-
пример при частых пусках и остановках,
не исключено нарушение слоя смазочного
материала и граничных пленок, и режим
трения в подшипнике будет граничным.
Методы оценки триботехнической на-
дежности. Нагрузочная способность под-
шипников сухого и граничного (полужид-
костного) трения зависит от интегрально-
го параметра режима работы — мощно-
сти, расходуемой на трение. Для ради-
ального подшипника
Р; = ыТ i=pvf Id, (23.5)
где v - - окружная скорость цапфы; I и
d — длина и диаметр цапфы; р -удель-
ная нагрузка на подшипник или условное
контактное напряжение в подшипнике
при действии радиальной силы F,.
Эта мощность косвенно характеризует
выделяемую в подшипнике теплоту и тем-
пературу. Обычно для упрощенной оцен-
ки износостойкости подшипников исполь-
зуют лишь первых два сомножителя —
произведение pv, и условие триботехниче-
ской надежности приобретает вид
ри<[ри],
(23.6)
где [ри] — допускаемое произведение
удельной нагрузки на скорость
(табл. 23.1).
В случае удовлетворения условия
(23.6) полагают, что тепловой режим
подшипника обеспечит достаточную стой-
кость против заедания.
При небольших скоростях скольжения
условие триботехнической надежности
(23.5) упрощают, принимая, что удельная
нагрузка на подшипник
Р<[Р]-
где [р] — допускаемая удельная нагрузка,
которая (как и в других подобных расче-
тах) является критерием подобия, обоб-
щающим предшествующий опыт проекти-
рования. Значения [р] даны в табл. 23.1.
Расчет плоского подпятника
(см. рис. 23.1, б) выполняется аналогич-
но. Условия надежности в этом случае
имеют вид
р=Л,/л<|р]; Р«тС[р4 (23.8)
Таблица 23.1
Допускаемые значения |р| и [ро| для подшипников скольжения
Параметры Материал вкладыша
СЧ20 АСЧ-2 БрОЮФ! БрАЭЖЗЛ Б16 ЛКС80-3-3 Капрон
v, м/с (менее) 0,5 1 10 4 12 2 4
[pl МПа 4 12 15 15 15 12 15
[ри], МПа-м/с — 12 15 12 10 10 15
Примечание. Значения v
максимально допустимые.
253
Рис. 23.5. Схема гидростатического подшип-
ника
где А — площадь опорной поверхности
пяты; vm — средняя расчетная скорость.
Для кольцевой пяты (с центральным
отверстием диаметром d0)
Д = n(d2 —do)/4; =
/?m = (d3-d'^)/[3(d2-d2)],
ДЛЯ сплошной пяты
Я = лД2/4; Rm = d/3.
Гребенчатую пяту (см. рис. 23.1, г)
рассчитывают по схеме плоской пяты.
Площадь опорной поверхности и средний
радиус гребней
Л =л(г/2 —d2)z/4; R„,=(d + d0)/2.
Здесь z — число гребней; d — наружный
диаметр гребня.
Так как охлаждение гребней затруд-
нено, то допускаемые значения [р] и [ри]
принимают на 25...40 % ниже, чем для
кольцевой пяты или радиальных подшип-
ников.
Для работы подшипника в режиме
жидкостного трения необходима подъем-
ная сила, создаваемая давлением жидко-
го смазочного материала.
Распространены два способа со-
здания «поддерживающего»
давления: статический (гидростатиче-
ский) и гидродинамический. В соответст-
вии с этим различают гидростатический
и гидродинамический подшипники жидко-
стного трения.
В гидростатических подшипниках дав-
ление в поддерживающем слое смазочно-
го материала создают насосом, подаю-
щим материал в зазор между цапфой
и подшипником (рис. 23.5). Вследствие
эксцентричного расположения цапфы в
подшипнике под нагрузкой торцовые за-
зоры (зазор) между цапфой и подшипни-
ком оказываются снизу меньше, чем свер-
ху. В результате переменный расход че-
рез зазор смазочного материала приводит
к появлению требуемого давления и
подъемной силы. Давление жидкого сма-
зочного материала (а им может быть
и вода) в гидросистеме и расход матери-
ала определяются зазором между цапфой
и подшипником, радиальной силой и вяз-
костью материала.
В связи с необходимостью подачи
смазочного материала в зону высокого
гидравлического давления (под цапфу)
гидростатические подшипники требуют
для нормальной работы сложной гидроси-
стемы.
Гидродинамические подшипники полу-
чили большее распространение. В них
смазочный материал следует подавать
только в зону низкого давления
(см. рис. 23.3, б), откуда вращающейся
цапфой он нагнетается вниз, образуя
клиновой поддерживающий слой. Прохо-
дя через узкий участок радиального зазо-
ра, часть смазочного материала удаляет-
ся в торцовый зазор между цапфой и
подшипником. Другая его часть вытекает
в торцовый зазор поверх цапфы, также
охлаждая подшипник.
Для определения нагрузочной способ-
ности и потерь на трение в таком под-
шипнике решают сложную задачу гидро-
механики.
В результате гидродинамического
расчета радиального подшипника получе-
на следующая зависимость для определе-
ния подъемной силы, уравновешивающей
внешнюю радиальную нагрузку (в Н):
R=~ld<l>t = Fr, (23.9)
ф
где v — коэффициент динамической вяз-
кости, Па-с (табл. 23.2); / и d — дли-
на и диаметр цапфы, м; ф = 26/d — отно-
сительный зазор; Фг — безразмерный ко-
эффициент подъемной (несущей) силы,
зависящий от относительного эксцентри-
ситета е = е/6 (рис. 23.6).
Из формулы (23.9) видно, что
подъемная сила возрастает при увеличе-
нии скорости <о, вязкости смазочного ма-
териала v и эксцентриситета е и умень-
254
Таблица 23.2
Динамическая вязкость смазочных материалов
Тем- пера- тура, °C Вязкость v масел, Па*с
турбин- ного Т46 инду- стриаль- ного И-40А турбин- ного Тзо инду- стриаль- ного И-20А
35 0,11 0,01 0,06 0,043
50 0,045 0,04 0,027 0,018
70 0,018 0,017 0,011 0,008
90 0,008 0,007 0,006 0,005
шается при увеличении относительного
зазора ф.
Удельная нагрузка на подшипник
р = Л/(/а)=^-Фе,
ф
откуда
2
Ф =J^- = f(h )
е v<o И т1пЛ
Отметим, что коэффициент ФЕ и опре-
деляющий его эксцентрисистет е, а также
толщина слоя жидкости в узком сечении
/imjn определяются скоростью скольжения
(угловой скоростью цапфы), динамиче-
ской вязкостью и внешней нагрузкой.
Из последнего равенства следует так-
же, что с уменьшением w или увеличени-
ем нагрузки р минимальная толщина
слоя hmm уменьшается, т. е. вал опускает-
ся в подшипнике. В этих условиях для
надежной работы подшипника необходи-
мо, чтобы
ЛпНп>Лкр. (23.10)
; где йКр — промежуток между цапфой и
! вкладышем, при котором микронеровно-
I сти соприкасаются. Это важнейшее усло-
вие достигается на практике высокой точ-
ностью обработки поверхностей вала и
подшипника (обеспечением цилиндрично-
сти и малой высоты микронеровностей).
Для работы подшипника в режиме
жидкостного трения необходимо, чтобы
толщина слоя смазочного материала в уз-
• кой части клина была в пс раз больше ве-
личины йкр, т. е.
nt = hmm/hK?, (23.11)
где hKf = Rzll + Rzn-\-y[l — критическое зна-
чение толщины слоя смазочного материа-
ла; последнее слагаемое учитывает пере-
кос цапфы относительно среднего значе-
ния в результате изгиба вала под нагруз-
кой. Для двухопорного вала
уц«ГД2//(15£7),
где L — расстояние между серединами
опор; EJ — жесткость сечения вала при
изгибе.
Обычно параметры шероховатостей
вала /?Хц^2,5 мкм и подшипника
^5 мкм и запас nt= 1,2... 1,5. При мень-
ших значениях пе возникает опасность
нарушения режима жидкостного трения
при динамических нагрузках.
Длительная эксплуатация также не
должна вносить погрешностей в форму
и состояние поверхностей цапфы и под-
шипника, т. е. они должны быть износо-
стойкими. Расчеты и практика эксплуата-
ции подшипников показывают, что боль-
шие значения hml„ и запаса пг. также
нежелательны из-за увеличения потерь на
трение жидкости и в особенности из-за
повышения склонности системы вал — опо-
ры к автоколебаниям. Допустимая об-
ласть работы подшипника обычно заклю-
чена в диапазоне 0,16hт,п0,36, что
соответствует относительному эксцентри-
ситету е = 0,7...0,9.
Существенно, что вязкость и, как
следствие, несущая способность слоя сма-
зочного материала зависят от его темпе-
ратуры (см. табл. 23.2). Так, вязкость ин-
Рис. 23.6. Зависимость коэф-
фициента Ф, от относительно-
го эксцентриситета е цапфы
255
дустриального масла И-40 при изменении
температуры от 35 до 90° С падает почти
в 15 раз, а при температуре 150° С —
в 100 раз.
При температуре свыше 150°С у боль-
шинства масел начинают испаряться лету-
чие компоненты, масло теряет смазочные
свойства, выделяются твердые продукты
окисления (коксование масла) и оно не
способно создавать смазочный слой.
Для повышения несущей способности
подшипников скольжения снижают рабо-
чую температуру смазочного .материала
(принудительным циркуляционным сма-
зыванием, увеличением зазора и др.).
§ 23.3. КОНСТРУКЦИИ
ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ
И МАТЕРИАЛЫ ДЕТАЛЕЙ
Подшипники скольжения состоят из
двух основных частей: корпуса и подшип-
никовой втулки (вкладыша), контактиру-
ющей с цапфой вала. Применение вкла-
дышей позволяет изготовлять детали кор-
пусов из дешевых материалов и облег-
чает ремонт. В малогабаритных и неот-
ветственных подшипниках вкладыши
иногда отсутствуют, их назначение в этом
случае выполняют корпуса.
Конструкции деталей корпусов и
вкладышей разнообразны и зависят от
конструкции механизма, машины (прибо-
ра) в целом, условий монтажа и эксплуа-
тации.
Опоры приборов работают при не-
большой нагрузке, а потому для них не
существует проблемы быстрого изнаши-
вания или заедания. Отверстия в корпу-
сах и плитах часто используют в ка-
честве подшипников. Оси устанавливают
обычно в двух подшипниках
(рис. 23.7, а), а в жестких плитах оси
нередко размешают и в одном подшипни-
ке (рис. 23.7,6). В последнем случае дли-
на подшипника / = (5...6)б/ и в средней
части выполняют выточку (рис. 23.7, в).
Наиболее распространены опоры с не-
подвижной осью (рис. 23.7, б) и с под-
вижной осью (рис. 23.7, в).
В механизмах используют опоры на
центрах и опоры на кернах
(рис. 23.7, а, д). Для уменьшения трения
в опорах на центрах принимают угол
2а = 60°. Цапфы таких опор изготовляют
из сталей У8А, У12А и др. с закалкой до
твердости 50...60 HRC, а также из латуни
ЛАЖ60-1-1 и оловянистых бронз; втулки
(подшипники) - из тех же сталей и
сплавов, а также агата. Керны изготов-
ляют в форме цилиндрических осей диа-
метром 0,25...2 мм, их конические концы
закругляют по сферической поверхности
радиусом гк = 0,01 ...0,2 мм. Подшипники
(подпятники) выполняют с втулками из
камня, радиус сферы здесь делают боль-
шим: г„ = 0,01...1 мм.
Для удобства сборки и разборки, а
также возможности регулировки зазоров
используют винты, фиксируемые гайкой.
Рис. 23.7. Опоры скольжения приборов
256
Для компенсации износа и температур-
ных деформаций один из подшипников
поджимают пружиной (рис. 23.7, г).
Опоры механизмов и машин условно
можно подразделить на автономные и
встроенные.
Автономные опоры изготовля-
ют по стандартам в разъемном
(рис.23.8,а) и неразъемном
(рис. 23.9, а—в) исполнениях.
Подшипники с неразъемным корпусом
сравнительно просты и дешевы, но слож-
ны при монтаже (требуется осевой сдвиг
вала, не допускается регулировка зазора
и т. и.). Это ограничивает области их ис-
пользования малоответственными тихо-
ходными конструкциями.
Разъемные стандартные подшипники
широко применяются в различных кон-
струкциях. Разъемный подшипник
(см. рис. 23.8, а) состоит из корпуса /,
крышки 2, вкладыша <?, крепежных бол-
тов с гайками 4 и масленки 5. Разъем
вкладыша делают по его диаметру, а
разъем корпуса — ступенчатым. Уступ в
ступенчатом разъеме препятствует попе-
речному сдвигу крышки относительно
корпуса подшипника. Разъем вкладыша
рекомендуется выполнять плоскостью,
перпендикулярной радиальной нагрузке.
Смазывание осуществляют различны-,
ми смазочными материалами с помощью
колпачковых масленок или жидкими мас-
лами с помощью капельных масленок.
Рис. 23.8. Автономный разъемный подшипник скольжения
Рис. 23.9. Автономный неразъемный подшипник скольжения
9 Г. Б. Иосилевич и др.
257
Конструкции подшипников специаль-
ных машин определяются требованиями
по нагрузочной способности, точности
вращения и др. Обычно их выполняют
встроенными, т. е. за одно целое с карте-
ром (корпусом) машины.
Опоры скольжения паровых и газовых
турбин работают на высоких скоростных
режимах (скорости до нескольких десят-
ков метров в секунду), при жестких тре-
бованиях к точности — смещения вала в
осевом и радиальном направлениях —
строго регламентированы. Поэтому их
подшипники, как правило, самоустанав-
ливающиеся. Для этого они имеют специ-
альные опоры или корпус сферической
формы, что облегчает выверку вала в
корпусе турбины и компенсирует влияние
прогибов длинных и тяжелых валов.
На рис. 23.10 показана конструктив-
ная схема одноклинового подшипника па-
ровой турбины, имеющего массивный
жесткий вкладыш. Ступенчатый стык
фиксирует обе половины вкладышей отно-
сительно друг друга, причем для большей
жесткости они стянуты специальными
болтами. Подача масла в подшипник осу-
ществляется через сверление в корпусе
и регулируется калиброванной шайбой 1.
Втулки подшипниковые (вкладыши)
выполняют в стандартном и оригиналь-
ном исполнении цилиндрическими без
бурта (буртов) для радиальной нагрузки
(см. рис. 23.8, а, б) и с буртом (буртами)
для восприятия одно- или двусторонней
осевой и радиальной сил
(см. рис. 23.8, в, г). Их изготовляют не-
разъемными (рис. 23.11, а — д) и разъем-
ными (рис.23.11,е — з).
Для распределения смазки по длине
вкладыша на его внутренней поверхности
делают канавки или выемки (карманы,
рис. 23.11,в — з). Их располагают в мес-
те подвода смазки.
При постоянной нагрузке и постоян-
ном направлении вращения ограничива-
ются одной канавкой, при переменном
вращении выполняют две канавки. Для
ограничения потока масла к торцам вкла-
дыша канавки не доводят до торцов, ос-
тавляя расстояние а«(0,06...0,1)/; шири-
на канавки 6=(0,15...0,25) d.
Расположение и форма канавок и ка-
налов, подводящих смазочный материал,
зависят от конструкции опоры и особен-
ностей эксплуатации.
Вкладыши изготовляют из материа-
лов с высокими антифрикционными свой-
Рис. 23.10. Опорный подшипник паровой турбины
258
Рис. 23.11. Подшипниковые втулки (вкладыши)
ствами, обладающими хорошей теплопро-
водностью, прирабатываемостью и смачи-
ваемостью смазочными материалами,
твердостью и т. п.
Наиболее распространенными матери-
алами вкладышей являются баббиты
Б16 и Б83, бронзы Бр010Ф1, БрА9ЖЗЛ
и др., латунь ЛМцОС 58-2-2-2, антифрик-
ционные чугуны АСЧ-2, АСЧ-3 и др.
Вкладыши малонагруженных и низко-
оборотных механизмов изготовляют из
металлокерамики, пластмасс.
Втулки биметаллические (цельные
или разъемные) состоят обычно из отно-
сительно толстой стальной цилиндриче-
ской основы, на внутреннюю поверхность
и на торцы которой нанесен тонкий ан-
тифрикционный слой (баббита или дру-
гих сплавов, толщина 0,1...0,5 мм;
см. рис. 23.11, е — з).
Промышленность выпускает тонкос-
тенные разъемные втулки из специальной
биметаллической ленты с тонким антиф-
рикционным (обычно баббитовым) слоем.
Их устанавливают в корпусе с небольшим
натягом. От поворота они удерживаются
специальными выступами, смазываются
жидкими маслами, подаваемыми под дав-
лением. Втулки применяются в узлах тре-
ния двигателей внутреннего сгорания и
других машинах.
От осевого перемещения вкладыши
фиксируют с помощью винтов (рис.
23.11, е) и штифтов (рис. 23.11, и).
В ряде случаев антифрикционный ма-
териал заливают в пазы или напыляют на
поверхность основы вкладыша из дешево-
го материала.
Смазочные материалы и ввод их в
подшипники. Абсолютное большинство
подшипников имеют устройство для сма-
зывания. Наиболее простое устройство —
отверстие, окно или пробка в корпусе или
крышке для периодической или непрерыв-
ной подачи смазочного материала. В от-
ветственных подшипниках система для
смазывания включает трубопроводы и ка-
налы для автоматической подачи смазоч-
ного материала, его стока, отстоя, охлаж-
дения и т. д., а также уплотняющие ус-
тройства. Карманы и канавки во вклады-
ше снижают его несущую способность.
Ввод масла с торца в этом отношении
более целесообразен, но ухудшает про-
качку масла. Подачу смазочного матери-
ала осуществляют только в ненагружен-
ную область.
Если внешняя нагрузка переменна по
направлению, то маслоподводящие отвер-
стия выполняют в валу.
В подшипниках жидкостного трения
с принудительной подачей смазочного ма-
териала необходимо обеспечить свободное
истечение масла из торцов.
Высокоскоростные подшипники с ин-
тенсивным тепловыделением часто имеют
искусственное водяное охлаждение, а для
контроля работы в эксплуатации подшип-
9*
259
ники снабжаются указателями уровня и
давления смазочного материала, термо-
метрами и другими приборами.
Для смазывания гидродинамических
подшипников используют только жидкие
смазочные материалы (масла, табл. 23.2;
воду и т. д.).
Гидро- и газостатические опоры. При
очень малых частотах вращения, когда
скорость скольжения недостаточна для
образования несущего слоя смазочного
материала, применяют гидростатические
опоры (см. рис. 23.5). В них смазочный
материал между цапфой и подшипником
нагнетается насосом.
Для гидростатических подшипников
характерны малый вращающий момент
при трогании с места и практически бе-
зызносная работа, меньшее влияние на
точность вращения погрешностей в фор-
ме шеек и втулок. Смазочный материал,
подводимый под давлением, воспринима-
ет основную часть постоянной внешней
нагрузки.
Смазочный материал (масло, вода и
др.) подводится обычно через дроссели
или дозирующие (комбинированные) от-
верстия в несколько специальных полос-
тей (карманов), расположенных во вкла-
дыше. Давление масла в полостях мень-
ше, чем в сети, и определяется соотноше-
нием гидравлических сопротивлений в от-
верстиях и в зазорах подшипника.
Благодаря использованию этих полос-
тей обеспечивается центральное положе-
ние вала.
При сверхвысоких частотах вращения
ротора (несколько сотен тысяч оборотов
в минуту) в качестве смазочных материа-
лов применяют газ или воздух.
Пример 1. Проверить, будет ли работать
в режиме жидкостного трения радиальный под-
шипник скольжения при следующих данных:
вал из стали 45, вкладыш из бронзы
БрАЭЖЗЛ; Л = 5000 Н, d = 100 мм, /=50 мм;
средний зазор 6 = 50 мкм; Ргц = 3,2 мкм,
/?z„=10 мкм; п = 960 мин '; смазочный мате-
риал — масло индустриальное И-20А, v50 =
0,02 Па-с.
Решение. Определяем угловую скорость
цапфы
лп 3,14-960
ш=——=—'----------=100 с .
30 30
Далее находим
Fr 5000
P=ld
, =1- 106 Па=1 МПа;
0,1-0,05
, А 0,1
ф =—=----------
v d 100
= 0,001.
По формуле (23.9) вычисляем
Рф2 1 • 106 (1,0-10“3)2 п.
е viu 0,02-100
По графику на рис. 23.6 для Ф, = 0,5 при
//d = 0,8 находим е = 0,65 и вычисляем
л™п=4-(|-е)=^-(|~°’65)=17'5 мкм-
10
Полагая (/„ = 0, определяем йкр = 3,2 +
= 13,2 мкм.
Находим коэффициент запаса
"e = W4= 17-5/13,2= 1,32.
Запас удовлетворительный.
Пример 2. Проверить подшипник примера
I по условиям изнашивания и заедания при
работе в режиме полужидкостного трения.
По табл. 23.1 находим допускаемые зна-
чения [р]= 15 МПа; [рц]=12 МПа-м/с. Фак-
тические значения р=1 МПа (см. при-
мер 1) ;o = <od/2= 100-0,1/2 = 5 м/с; ри =
= 1-5 = 5 МПа-м/с, т. е. условия работоспо-
собности выполняются.
§ 23.4. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
Общие сведения. Подшипники каче-
ния являются наиболее распространен-
ным видом опор вращающихся (качаю-
щихся) деталей механизмов и машин.
В отличие от подшипников скольжения
в них реализовано трение качения между
деталями (рис. 23.12): наружным 1 и
Рис. 23.12. Подшипники качения
260
внутренним 2 кольцами, телами каче-
ния 3, расположенными между кольцами.
Для предохранения тел качения от сопри-
косновения между собой их отделяют
друг от друга сепаратором 4.
Тела качения перемещаются по тща-
тельно обработанным беговым дорож-
кам Л, выполненным на кольцах.
Подшипники качения имеют ряд преи-
муществ перед подшипниками скольже-
ния: малые осевые габариты, меньшее со-
противление пуску и вращению при уме-
ренных частотах вращения, простое тех-
ническое обслуживание, низкую стои-
мость, взаимозаменяемость.
Однако они имеют большие радиаль-
ные габариты и сложный монтаж, мень-
шую радиальную жесткость, низкую до-
лговечность при высоких частотах враще-
ния (из-за перегрева) и др.
Классификация подшипников. Стан-
дартные подшипники качения классифи-
цируют по следующим признакам:
1. Ио форме тел качения под-
шипники подразделяют на шариковые
(рис. 23.13, а—г) и роликовые
(рис. 23.14, а—ж). Последние, в свою
очередь, делят по форме роликов на под-
шипники с короткими (рис. 23.14, а) и
длинными цилиндрическими роликами, с
коническими (рис. 23.14, в), бочкообраз-
ными (рис. 23.14, б), игольчатыми
(рис. 23.14, г) и витыми роликами
(рис. 23.14, д).
2. По направлению (относитель-
но оси вала) воспринимаемых сил
подшипники разделяют на:
радиальные, воспринимающие преи-
мущественно радиальные нагрузки, дей-
ствующие перпендикулярно оси вращения
подшипника (рис. 23.13, а, б и
23.14, а— д);
е)
Рис. 23.14. Основные типы роликоподшипников
261
радиально-упорные, предназначенные
для восприятия одновременно действую-
щих радиальных и осевых нагрузок
(рис. 23.13, в, г и 23.14, в);
упорно-радиальные, предназначенные
для восприятия осевой нагрузки при од-
новременном действии незначительной
радиальной нагрузки (рис. 23.13, д и
23.14, ж);
упорные, воспринимающие только осе-
вые силы (рис. 23.13, е и 23.14, е).
3. По способности самоуста-
навливаться подшипники подразде-
ляют на несамоустанавливающиеся и са-
моустанавливающиеся (рис. 23.13, б и
23.14,6), допускающие поворот оси внут-
реннего кольца по отношению к оси на-
ружного кольца.
4. По числу рядов тел каче-
ния (расположенных по ширине) разли-
чают подшипники однорядные
(рис. 23.13, а, в—е и 23.14, а, в), двухряд-
ные (рис. 23.13, б и 23.14,6) и четырех-
рядные.
Подшипники одного и того же диа-
метра отверстия подразделяют по габа-
ритным размерам (наружного диаметра
и ширины) на серии: сверхлегкую, особо
легкую, легкую, легкую . широкую, сред-
нюю, среднюю широкую и тяжелую.
Промышленность выпускает также
особые подшипники по специальному
обоснованию.
Сравнительная оценка подшипников.
Основными эксплуатационными характе-
ристиками подшипников являются грузо-
подъемность (наибольшая воспринимае-
мая нагрузка) и быстроходность (наи-
большая допустимая частота вращения
кольца). Подшипники различных типов и
серий обладают различной грузоподъем-
ностью. Подшипники более тяжелых се-
рий имеют большую грузоподъемность, но
менее быстроходны.
Подшипники шариковые радиальные
и радиально-упорные, а также роликовые
с короткими цилиндрическими роликами
обладают наибольшей быстроходностью по
сравнению с подшипниками других типов.
Для особо высокой частоты вращения
и действия легких нагрузок целесообраз-
но использовать подшипники сверхлегкой
и особо легкой серий. Для восприятия
повышенных и. тяжелых нагрузок при вы-
262
сокой частоте вращения используют под-
шипники легкой серии, а при недостаточ-
ной их грузоподъемности размещают в
одной опоре по два подшипника.
Наиболее часто на практике применя-
ют подшипники легкой и средней серии
нормальной ширины.
Радиальные шарикоподшипники могут
воспринимать как радиальные, так и осе-
вые нагрузки, действующие в обе стороны
вдоль оси вращения подшипника, что
обеспечивает возможность фиксирования
вала в осевом направлении. При исполь-
зовании этих подшипников предъявляют-
ся менее высокие требования к соосности
опор и жесткости валов. Они дешевле
подшипников других типов, допускают
наиболее простой монтаж и демонтаж.
Поэтому их наиболее часто используют
в различных машинах и механизмах.
Роликовые подшипники более грузо-
подъемны, чем шариковые. Однако роли-
коподшипники с цилиндрическими роли-
ками наиболее распространенных кон-
струкций (с направляющими бортами
для роликов на одном из колец подшип-
ника) не могут воспринимать осевых на-
грузок, а конические роликоподшипники
менее быстроходны.
Радиально-упорные подшипники разли-
чают по углу контакта а (рис. 23.13, в, г
и 23.14, в). С увеличением угла контакта
радиально-упорные подшипники могут
воспринимать более тяжелые осевые на-
грузки, однако быстроходность подшипни-
ков при этом снижается.
Радиальные и радиально-упорные ша-
рикоподшипники могут быть использова-
ны и в случае действия на них только
осевой нагрузки, особенно при высокой
частоте вращения, при которой нельзя
применять упорные подшипники.
Самоустанавливающиеся подшипники
применяют в случае повышенной несоос-
ности опор вала (до 2...30), а также при
повышенной податливости вала.
Точность изготовления. Промышлен-
ность изготовляет подшипники качения
пяти классов точности (0, 6, 5, 4 и 2;
обозначения даны в порядке повышения
точности).
Подшипники класса точности 0 ис-
пользуют при отсутствии особых требова-
ний к точности вращения, определяемой
радиальными и осевыми биениями доро-
жек качения внутреннего и наружного ко-
лец подшипника. Их применяют для
большинства изделий общего машино-
строения.
Быстроходность подшипников. Быстро-
ходность подшипников характеризуют пре-
дельной частотой вращения. Предельная
частота вращения подшипников зависит от
их конструкции, от точности изготовления
и монтажа сопряженных с подшипниками
деталей, а также от способа смазывания
и свойств смазочного материала.
Быстроходность подшипников принято
оценивать также параметром dmn, где
dm — диаметр окружности, соединяющей
центры тел качения, мм; п — частота
вращения кольца подшипника, мин-1.
Для радиальных и радиально-упорных
шарикоподшипников со стальными штам-
пованными («змейковыми») сепаратора-
ми (см. рис. 23.12, а) и роликоподшипни-
ков с короткими цилиндрическими роли-
ками нормального класса точности (0)
произведение dmn = 0,5-106 мм-мин-1;
для тех же подшипников с массивными
сепараторами, изготовленными из антиф-
рикционных материалов (бронзы, алюми-
ниевых сплавов, пластмасс), при интен-
сивной циркуляционной смазке параметр
dmn в современных машинах достигает
2,8-106 мм-мин для конических роли-
коподшипников dmn = 0,3-10tl мм-мин-1,
а для упорных шарикоподшипников
dmn ж 0,22 • 106 мм-мин-1.
Для шарикоподшипников небольших
размеров при смазывании масляным ту-
маном достигнуто значение параметра
dmn= 1,8- 10ь мм-мин-1, при этом часто-
та вращения подшипника была
90 000...!Оф ООО мин-1 и ресурс составил
более 2000 ч.
Материалы деталей подшипников.
Кольца и тела качения подшипников из-
готовляют в основном из шарикоподшип-
никовых высокоуглеродистых хромистых
сталей ЩХ15 и ШХ15СГ, а также цемен-
туемых легированных сталей 18ХГТ,
20Х2Н4А и 20НМ. Твердость роликов и
колец обычно 60...65 HRC, шариков -
62...66 HRC.
Для подшипников, работающих при
повышенных температурах (до 500 °C),
кольца и тела качения изготовляют из
теплостойкой вольфрамованадиевой стали
ЭИ347Ш.
Кольца и тела качения подшипников,
работающих в агрессивных средах, вы-
полняют из нержавеющей стали 9X18 или
9Х18Ш.
Сепараторы массовых подшипников
изготовляют штамповкой из мягкой угле-
родистой стали; сепараторы высокоскоро-
стных подшипников выполняют массив-
ными из бронз, латуни, дюралюмина, тек-
столита и других материалов.
Основные типы подшипников и их ха-
рактеристики приведены в справочнике
[8] и др.
§ 23.5. КИНЕМАТИКА И ДИНАМИКА
ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
Подшипник кинематически подобен
планетарному маханизму (рис. 23.15).
Частота вращения сепаратора (шариков)
вокруг оси подшипника:
при вращении внутреннего кольца с
частотой пв
«в/, Ош cos а \
«„ = -—( 1—---------I;
2 \ dm I
при вращении наружного кольца с
частотой пн
«Н А , Dw COS а \
1+^/-----------)
\ m /
Частота вращения шарика относи-
тельно сепаратора
__П* ( dm ° \
2 I dm Г
\ w tn /
Рис. 23.15. План скоростей
в радиальном подшипнике
263
Рис. 23.16. План скоростей и контакт-
ные напряжения в радиально-упорном
шарикоподшипнике
Гироскопический момент вызывает
«верчение» шариков, сопровождаемое из-
нашиванием поверхностей качения. Для
предотвращения «верчения» шариков
подшипник следует нагружать такой осе-
вой силой, чтобы
где Mf — момент сил трения от осевой
нагрузки на площадках контакта шари-
ков с кольцами (рис. 23.16),
Mr = fFaD„/(z sin а).
Здесь Fa — осевая сила; f — коэффициент
трения (f«0,02 при высокой частоте вра-
щения) ; z • число шариков в подшипнике.
Осевая сила на подшипник для пре-
дотвращения «верчения»
Для радиально-упорного подшипника
(рис. 23.16) при вращении внутреннего
кольца
«в/,
_ «в / dm Dw cos 2 а \
~”2~\ о? Тт )
При вращении тел качения вокруг оси
подшипника на каждое из них действует
центробежная сила
где т • масса тела качения; угло-
вая скорость сепаратора.
Эта сила вызывает перегрузку под-
шипника на повышенной частоте враще-
ния, увеличенное тепловыделение и уско-
ренное изнашивание сепаратора.
В радиально-упорном (упорном) под-
шипнике на шарики будет действовать
также гироскопический момент
Мг = /<ос<ош sin а,
обусловленный изменением направления
оси вращения шариков в пространстве.
Здесь J — полярный момент инерции мас-
сы шарика, J=pn£)5/60 (р - плотность
материала шарика); <он1 и ы< соответ-
ственно угловая скорость вращения ша-
рика вокруг своей оси и вокруг.оси вала
(угловая скорость сепаратора).
Fa (pnz£)l<»ll,<ii,.sin2a)/(60/').
Таким образом, осевая сила, предот-
вращающая «верчение», зависит от раз-
мера шариков, их числа, частоты вра-
щения подшипников и угла контакта. При
высокой частоте вращения целесообразно
использовать подшипники более легких
серий (сверхлегкой, особо легкой и лег-
кой серий) и с малыми углами контакта.
§ 23.6. НЕСУЩАЯ СПОСОБНОСТЬ
ПОДШИПНИКОВ КАЧЕНИЯ
Основные виды повреждений подшип-
ников. Подшипники невращающихся уз-
лов часто выходят из строя под действи-
ем больших статических или кратковре-
менных динамических нагрузок (даже
при транспортировке на дальние расстоя-
ния) из-за образования вмятин, лунок,
вызывающих при вращении кольца уси-
ленный износ перемычек и разрушение
сепаратора.
Наиболее часто подшипники повреж-
даются из-за усталостного выкрашива-
ния беговых дорожек и тел качения под
действием переменных контактных напря-
жений.
Другие виды отказов (разрушение ко-
лец и сепаратора, износ, заедание) связа-
ны с отступлением от технических усло-
вий на эксплуатацию машин, некачест-
венным материалом деталей подшипника
и его изготовлением и т. д.
264
Для исключения повреждений бего-
вых дорожек и тел качения в течение
ресурса подшипники должны удовлетво-
рять условию прочности.
Упрощенный расчет на прочность под-
шипников качения проводят в два этапа.
Сначала рассматривают распределение
нагрузки между телами качения и нахо-
дят наиболее нагруженное тело (тела).
Затем оценивают его прочность.
Распределение нагрузки между тела-
ми качения. Действующая на подшипник
радиальная нагрузка воспринимается те-
лами качения в зоне, ограниченной дугой
не более 180° (при отсутствии натяга
между кольцами и телами качения). При
определении нагрузок, воспринимаемых
каждым телом качения, расположенным
в нагруженной зоне, исходят из следую-
щих допущений: 1) радиальный зазор в
подшипнике равен нулю; 2) кольца под-
шипника не изгибаются под действующей
нагрузкой; 3) геометрические размеры
тел качения и колец идеально точные.
Принимая в соответствии с указанны-
ми допущениями, что тела качения, рас-
положенные симметрично относительно
плоскости действия нагрузки, будут вос-
принимать одинаковые силы, запишем ус-
ловие равновесия внутреннего кольца
подшипника при действии радиального
усилия:
Fr = F0-]-2Fi cos y-\-2F2 cos 2у +...
,..-\-2Fm cos my, (23.12)
где Fi — силы, действующие на кольцо от
г-го тела качения; i — номер тела каче-
ния; i = 0, 1, 2, ..., т (рис. 23.17, а);
у — угловой шаг тела качения.
Уравнение (23.12) содержит (щ-(-1)
неизвестных усилий (по числу контактиру-
ющих тел качения). Для их определения
следует записать т уравнений совместно-
сти деформаций (как при решении стати-
чески неопределимых задач).
Под действием силы F, в зонах кон-
такта тел качения с кольцами возникнут
упругие деформации и внутреннее кольцо
переместится (относительно оси наружно-
го кольца) по направлению действия си-
лы F, на величину бо (см. штриховую
линию на рис. 23.17, а).
Упругие деформации дорожек каче-
ния колец и тел качения в зоне контакта
можно определить по формуле Герца.
Тогда для роликоподшипников будем
иметь
6,=V„ (23.13)
где — коэффициент податливости, за-
висящий от модуля упругости и коэф-
фициента Пауссона материалов контакти-
рующих деталей и кривизны их поверхно-
стей в начальной точке контакта.
Перемещение z-го тела качения
(рис. 23.17, а) связано с перемещением
центрального тела (/ = 0) соотношением
6, = 6ocos<y (23.14)
Из равенств (23.13) и (23.14) следу-
ет, что б,/бо = F,/Fa. Учитывая это и ра-
Рис. 23.17. Распределение нагрузки в радиальном подшипнике
265
венство (23.14), из условия (23.12) не-
сложно получить
Гл = Г0(1+2 £ cos2»?), (23.15)
»=1
откуда
F0 = kfFr/z\ Fj=F0cos iy, (23.16)
где z— общее число тел качения; /гр —
коэффициент,
2
k? =------~т-------• (23-17)
1 +2 cos2 [у
<=i
При числе роликов z=10...20 коэф-
фициент &р = 4,0. Обычно подшипники
имеют некоторый радиальный зазор, и
нагрузку воспринимают тела качения на
дуге, меньшей 180°, поэтому принимают
&р = 4,08.
Для шарикоподшипников задачу реша-
ют аналогично, принимая, что 6,=
В этом случае из расчета получают те же
соотношения (23.16), в которых £,„ = 5.
Из равенств (23.16) следует, что наи-
более нагружено центральное тело ка-
чения.
При вращении под нагрузкой Fr одно-
го из колец точки тел качения и колец
будут испытывать циклические нагрузки,
изменяющиеся по пульсационному (отну-
левому) циклу (рис. 23.17, б). Если под-
шипник одновременно воспринимает осе-
вую силу Fa, то точки тел качения и ко-
лец будут находиться под действием
асимметричного цикла нагружений
(рис. 23.17, в) с минимальным усилием
Fim\n=Fa/z (z—общее число тел каче-
ния в подшипнике).
Контактные напряжения в подшипнике.
Контактные напряжения (см. рис. 23.16)
между деталями подшипника вычисляют
по формулам Герца. Тогда условие
прочности по допускаемым контактным
напряжениям для наиболее нагружен-
ного тела качения в роликовом под-
шипнике
/ ^1-^2 ^° <
Л[7Г|(1—Цг) + ^2(1—Нг)]
<[о„], (23.18)
где pi и р2 — коэффициенты Пуассона
материалов ролика и кольца; Е\ и —
модули упругости материалов ролика и
кольца; R — приведенный радиус кривиз-
ны; \/R =2(1/£)ц,+ 1/De); De— наруж-
ный диаметр внутреннего кольца; lw —
эффективная длина (без фасок) ролика;
Го — наибольшая нагрузка на ролик, на-
ходится по формуле (23.16). Допускае-
мые напряжения [о«] для шарико- и роли-
коподшипников принимают соответствен-
но 5000 и 3000 МПа.
Статическая грузоподъемность под-
шипника. Статической грузоподъемно-
стью подшипника называют нагрузку Со
(радиальную — для радиальных и ради-
ально-упорных подшипников и осевую -
для упорных и упорно-радиальных под-
шипников), которая вызывает общую ос-
таточную деформацию наиболее нагру-
женного тела качения с дорожкой каче-
ния, равную 10“'4 Dw.
Соотношение для допускаемой на-
грузки на радиальный роликовый под-
шипник несложно получить из условия
(23.18) после подстановки в него равен-
ства (23.16).
Опуская вывод, приведем лишь для
иллюстрации структуры расчетное
отношение для статической грузоподъем-
ности (в Н) роликоподшипников с корот-
кими цилиндрическими роликами, кониче-
ских и сферических (самоустанавливаю-
шихся) роликоподшипников при [о//]=
= 3000 МПа:
С0=21,6»г/ш£>ж cos а, (23.19)
где i и z — соответственно число рядов
и число тел качения в ряду; lw теорети-
ческая длина контакта между роликами
и дорожкой; Dw — диаметр ролика; а
начальный угол контакта.
Значения Со для подшипников раз-
личных типов и серий даны в справоч-
никах.
Если подшипник нагружен одновре-
менно статической радиальной F, и осе-
вой Fa силами, то расчет ведут по стати-
ческой эквивалентной нагрузке Fm, вызы-
вающей у подшипников такие же оста-
точные деформации, как и при действи-
тельных условиях нагружения. Рассмот-
рим, например, конический роликопод-
шипник под действием статической ради-
266
Рис. 23.18. К расчету эквивалентной нагрузки в коническом ролико-
подшипнике
альной силы Гсэ, принимаемой в качестве
эквивалентной силы (рис. 23.18, а). Эта
сила распределена между телами качения
по закону (23.16) и нормальное усилие на
наиболее нагруженный ролик
Р» ^р^сэ
°" z cos а ’
где а — угол контакта (рис. 23.18, а).
Радиальная составляющая этого уси-
лия Р'Пг = Ецп cos а, в сумме с такими же
проекциями сил от других тел качения
уравновешивают силу F,.
Если рассматриваемый подшипник
нагрузить одновременно радиальной Fr
и осевой Fa силами, то нормальное усилие
на этот же ролик составит (рис. 23.18, б)
0,5kpFr ! Fa
z cos a z sin a ’
(23.20)
При написании соотношения (23.20)
принято, что осевая сила равномерно рас-
пределена между телами качения, и учте-
но (множитель 0,5 в первом слагаемом),
что при действии осевой силы все тела
качения подшипника воспринимают ра-
диальную нагрузку.
Используя условие эквивалентности
схем нагружения (по определению),
найдем
Есэ = Х0Г,+ У0Ео, (23.21)
где Хо = О,5 и Eo = (ctg а)/^р =
= 0,22 ctg а — коэффициенты радиальной
и осевой сил.
У радиальных шарикоподшипников
под действием осевой силы будет про-
исходить смещение колец вследствие ра-
диального зазора (между телами качения
и дорожками колец) и деформаций кон-
тактирующих деталей и, как следствие,
образование фактического угла контак-
та а. (рис. 23.18, в). В связи с этим ко-
эффициент Уо зависит от класса точности
шарикоподшипника. Значения коэффици-
ентов Хо и Уо для подшипников различ-
ных типов приведены в справочниках.
Отметим, что для любого подшипника
одинаковая эквивалентная нагрузка мо-
жет быть получена при различных соот-
ношениях сил Fr и Fa.
Подшипник принимают из условия
F„<C0, (23.22)
если F„> Fr; при Fr принимают Fn =
= Fr.
Динамическая грузоподъемность под-
шипников. Расчет динамической грузо-
подъемности основан на известном урав-
нении кривой усталости, которое также
записывают в форме
где amax — максимальное напряжение
цикла; N — число циклов изменения этих
напряжений до разрушения детали; С-
и т — постоянные, зависящие от свойств
материала и состояния поверхности дета-
ли (определяются экспериментально).
Так как контактные напряжения не-
линейно изменяются от внешней нагрузки
[см. соотношение (23.18) ], то испытания
подшипников для определения этих по-
стоянных и их расчет удобнее выполнять
по действующей нагрузке F. Учитывая
267
это, условие прочностной надежности
подшипника представляют в виде
L = (C//7<Lp, (23.23)
где L — номинальная долговечность под-
шипника, млн. оборотов; С - динамиче-
ская грузоподъемность, Н; q показа-
тель степени кривой усталости подшипни-
ка; Lp = 6- 105n)Lh - расчетная долговеч-
ность подшипника, млн. оборотов; п
частота вращения кольца, мин"1; Ьд -
расчетная долговечность подшипника, ч.
Под динамической грузоподъемностью
С радиальных и радиально-упорных под-
шипников понимают (по договоренности)
постоянную радиальную нагрузку (в Н),
которую подшипник с неподвижным на-
ружным кольцом может воспринимать в
течение номинальной долговечности в
один миллион оборотов. Динамическая
грузоподъемность упорных и упорно-ра-
диальных подшипников - постоянная
центральная осевая нагрузка (в Н), ко-
торую подшипник может воспринимать
в течение номинальной долговечности в
1 млн. оборотов одного из колец.
. Показатель степени кривой усталости,
соответствующей вероятности безотказной
работы подшипника Р = 0,9 и нормальным
условиям смазывания (смазывание раз-
брызгиванием масла или консистентной
смазкой), принимают # = 3(т = 9) для
шарикоподшипников и q = 3,33 (т =
= 6,66) - для роликоподшипников.
Формула (23.23) справедлива при
частоте вращения кольца п^10 мин1;
при п = 1...10 мин-1 расчет выполняют
в предположении п=10 мин '. При п<
< 1 мин-1 действующую нагрузку учи-
тывают как статическую.
Если условия смазывания в опоре от-
личаются от указанных и (или) 90 %-ная
вероятность безотказной работы опоры не-
приемлема, то номинальную долговеч-
ность L подшипника уточняют коэффици-
ентами а! и а2з- Долговечность подшипни-
ка, соответствующая вероятности безот-
казной работы Р и заданным условиям
смазывания,
Ep = aia23Z.,
где а, — коэффициент долговечности
(ГОСТ 18855—82), при:
268
Р, . . .% 80 85 90 95 97 98 99
ai . . . . 2 1,5 1 0,62 0,44 0,33 0,21
Огз коэффициент долговечности, зави-
сит от материала, применяемого для из-
готовления деталей подшипников, и усло-
вий их эксплуатации. Для подшипников
конструкций общего машиностроения
МОЖНО Принимать 023=1-
На основании экспериментальных ис-
следований установлены зависимости от
динамических грузоподъемностей под-
шипников различных типов, аналогичные
по структуре соотношению (23.19).
Значения динамических грузоподъем-
ностей С для подшипников различных ти-
пов и серий приведены в справочниках
[8 и др.].
Эквивалентная нагрузка. Справочные
значения динамических грузоподъемно-
стей получены по результатам испытаний
подшипников при простой постоянной на-
грузке: только радиальной — для ради-
альных и радиально-упорных подшипни-
ков, только осевой - для упорных и упор-
но-радиальных подшипников.
В большинстве случаев подшипники
качения в изделиях подвержены совмест-
ному действию осевой и радиальной сил.
Условия работы подшипников (по харак-
теру нагрузки, рабочей температуре
и др.) также разнообразны. Влияние ос-
новных эксплуатационных факторов на
работоспособность подшипников учитыва-
ют путем введения в расчет эквивалент-
ной нагрузки -- критерия подобия, кото-
рый обобщает накопленный опыт расчета
и проектирования опор, а также эксплуа-
тации подшипников в различных условиях.
Эквивалентной динамической нагруз-
кой для радиальных шариковых и ради-
ально-упорных подшипников называют по-
стоянную радиальную нагрузку, которая,
действуя на подшипник с вращающимся
внутренним и неподвижным внешним коль-
цом, обеспечивает такой же расчетный
срок службы, как и при действительных
условиях нагружения и вращения.
Эквивалентную нагрузку для радиаль-
ных шарикоподшипников и радиально-
упорных шариковых и роликовых подшип-
ников находят из соотношения
F.=XFr+YFa. (23.24)
Таблица 23.3
Значения коэффициентов радиальной X и осевой У сил для однорядных подшипников
Тип подшипника Fa/(VFr)<e Fa/(VF,)>e
X Y X Y
Шариковые радиальные Fa/Co 0,014 0,028 0,056 0,084 0,11 0,17 0,28 0,42 0,56
е 0,19 0,22 0,26 0,28 0,30 0,34 0,38 0,42 0,44
1 0 0,56 (1-Н)/е
Шариковые радиальио-упорные Fa/Co 0,014 0,029 0,057 0,086 0,11 0,17 0,29 0,43 0,57
е 0,30 0,34 0,37 0,41 0,45 0,48 0,52 0,54 0,54
1 0 0,45 (1—Х)/е
Роликовые конические 1 0 0,4 0,4
Можно показать, что для конического
роликоподшипника (см. рис. 23.18, а) коэф-
фициенты приведения радиальной и осе-
вой сил /»0,4 и У «0,4 ctg а. Для шари-
ковых подшипников фактический угол
контакта а- зависит от соотношения осе-
вой и радиальных сил, поэтому коэффи-
циент У оказывается переменным. Между
коэффициентами X и Y существует связь
Х4~еУ=1, (23.25)
где е — параметр осевого нагружения
(«весовой» множитель), пропорциональ-
ный углу контакта а.. Например, для
конического роликоподшипника е =
= 1,5 tg а.
Экспериментальными исследованиями
установлено, что влияние осевой силы на
динамическую грузоподъемность зависит
от соотношения параметров, определяю-
щих углы давления 0и контакта <%. При не-
больших углах контакта (tgP = fa/(V/?f)^ е,
здесь И — коэффициент вращения) осе-
вые нагрузки не оказывают отрицатель-
ного влияния на долговечность конических
роликоподшипников (а также радиаль-
ных и радиально-упорных шарикоподшип-
ников), они даже необходимы для осевой
фиксации колец и предварительного н!атя-
га, обеспечивающего жесткость опоры.
В этом случае при определении эквива-
лентной силы осевой нагрузкой пренебре-
гают, принимая Х=1 и У = 0.
Если отношение Fa/(VFr) >е,
т. е. осевая сила сравнительно велика
(угол давления р существенно больше
угла контакта а), то эквивалентную силу
находят по формуле (23.24) при значени-
ях коэффициентов X и У (или е и У),
соответствующих значению параметра е.
Для шариковых радиальных подшип-
ников (Х = 0,56):
Ло/Со.........0,25 0,04 0,07 0,13 0,25 0,56
е.............0,22 0,24 0,27 0,31 0,37 0,44
Значения коэффициентов X, У и па-
раметра е для различных типов подшип-
ников приведены в табл. 23.3 и в спра-
вочниках [8 и др.].
Приведенную нагрузку для подбора
радиальных шариковых и радиально-упор-
ных шариковых и роликовых подшипни-
ков определяют с учетом особенности их
работы в эксплуатационных условиях:
H = P^Kr = (XVFr+YFa)KsKr (23.26)
где V — коэффициент вращения (И=1 —
при вращении внутреннего кольца, V =
= 1,2 —при вращении наружного коль-
ца); Кб —коэффициент безопасности,
учитывающий влияние на долговечность
подшипников характера внешних нагру-
зок (табл. 23.4); К,— температурный ко-
эффициент.
Для подшипника из стали ШХ15:
269
Рабочая темература подшипника, °C меиее 125 125 150
Коэффициент/С....................... 1 1,05 1,1
175 200 250
1,17 1,25 1.4
Значения коэффициентов безопасности
Таблица 23.4
Характер нагрузки Вибраиионные перегрузки К6 Машины и оборудование
Спокойная нагрузка без толчков л =С1 1 Приводы управления, маломощные кине- матические передачи и приводы; ролики лен- точных конвейеров и т. п.
Легкие толчки и виб- рации =:з,5 1...1.2 Механизмы подъемных кранов; высокоточ- ные зубчатые передачи; электродвигатели ма- лой и средней мощности и т. п.
Умеренные толчки и вибрации 3,5 < 1,3...1,8 Редукторы всех типов; зубчатые передачи; шпиндели металлорежущих станков; центри- фуги и сепараторы; энергетические и транс- портные машины и т. д.
Сильные удары и высо- кие виброперегрузки ?10 2...3 Холодильное и металлургическое оборудо- вание; ковочные машины; лесопильные рамы и др.
В радиально-упорном шарикоподшип-
нике от действия радиальной силы также
возникает дополнительная осевая сила
Far = eFr (см. рис. 23.18). Эту силу учи-
тывают в уточненном расчете. Если вал
установлен на двух радиально-упорных
подшипниках, то осевая нагрузка на од-
ном из них будет равна дополнительной
осевой силе, а на другом — сумме или
разности заданной осевой и дополнитель-
ной нагрузок (в зависимости от располо-
жения подшипников на валу).
Приведенная нагрузка для подшип-
ников с короткими цилиндрическими ро-
ликами
R=VFrK6Kr, (23.27)
а для упорных подшипников
R = FaK6KT- (23.28)
Для упорно-радиальных подшипников
приведенная нагрузка определяется по
формуле (23.26) при Е=1.
Если подшипники работают при изме-
няющейся со временем нагрузке и часто-
те вращения, то расчет ведут по эквива-
270
лентной нагрузке, равноопасной по сопро-
тивлению усталости переменному режиму
нагружения:
R ^^-1 +^2^-2+ ' -+#„1-7
где R\, R2, R„ — постоянные нагрузки,
действующие соответственно в течение
L\, Lz, ..., Ln оборотов; L - суммарное
число оборотов за время действия нагру-
зок /?[, Rz,..., Rn\ L — L। -ELz~E... -ELn.
Число оборотов подшипника
(в млн. оборотов) на i-м режиме (/ =
1, 2, 3..п)
L,=6-10-5п,£/>,-
где п, — частота вращения, мин Лл, —
время работы подшипника, ч.
Если нагрузка изменяется от /-’min До
fmax по линейному закону, то
Я ,= (^min + R тах)/3-
Подбор и определение ресурса работы
подшипников. Выбор подшипников каче-
ния производят по приведенной нагрузке
R и расчетному ресурсу L (в млн. оборо-
тов) по формуле
Я Г-
Cv=R^l,
(23.29)
где <7 = 3 — для шарикоподшипников, q —
3,33 - - для роликоподшипников.
Используя полученное расчетное зна-
чение динамической грузоподъемности, по
справочнику или каталогу выбирают под-
шипник, при этом должно быть удовлет-
ворено условие Ср^С (С — динамиче-
ская грузоподъемность подшипника по
каталогу).
Если подшипник принят по конструк-
тивным соображениям, то расчетом про-
веряют его ресурс (в ч):
105 / С\ q
' (2330)
В этих соотношениях под R понимают
приведенную нагрузку при постоянном
режиме работы и эквивалентную нагруз-
ку при переменном режиме работы; п —
частота вращения, мин-1.
Отметим, что для одних и тех же
условий (характера нагрузок, частоты
вращения, коэффициента работоспособ-
ности) могут быть использованы подшип-
ники различных типов. На практике при
выборе типа подшипника учитывают его
стоимость, а также опыт эксплуатации
узлов, аналогичных проектируемому.
§ 23.7. КОНСТРУКЦИИ
ПОДШИПНИКОВЫХ УЗЛОВ
Узел подшипника (опора) обычно со-
стоит из корпуса, подшипника, деталей
для фиксирования, а также устройства для
смазывания. Он должен обеспечить вос-
приятие радиальных и осевых сил, а также
исключить осевое смещение вала, наруша-
ющее нормальную работу сопряженных
деталей (зубчатых и червячных колес, чер-
вяков, уплотнений и др.). Это достигается
за счет крепления подшипников на валах
и фиксирования их в корпусе.
Посадки внутренних колец на вал
осуществляют в системе отверстия, на-
ружных колец в корпус — по системе ва-
ла. Посадки подшипников даны в стан-
дарте СЭВ (СТ СЭВ 145—75).
Выбор посадки зависит от условий
работы. Если вращается вал, то его сое-
динение с внутренним кольцом подшипни-
ка производят по посадке с натягом (§6,
/гб, /s6, гиб, пб, kA и др.). Наружное коль-
цо в этом случае устанавливается в кор-
пус по посадке с зазором или переходной
посадке, которая также допускает зазор
(//7, К7, J7, Js6, Кб и др.). Так устраняют
возможное заклинивание тел качения и
неравномерный износ дорожки качения
на наружном кольце.
Конструкции подшипниковых узлов
должны исключать также заклинивание
тел качения при действии осевой нагруз-
ки, теплового расширения валов или по-
грешностей изготовления. В связи с этим
получили наибольшее распространение
следующие два способа фиксирования
подшипников в корпусе.
Первый способ состоит в том,
что осевое фиксирование вала выполняют
в одной опоре (рис. 23.19, а, б), а другую
опору делают плавающей (скользящей).
Фиксирующая опора ограничивает осевое
перемещение вала и воспринимает ради-
альную и осевую силы; плавающая опора
может воспринимать только радиальную
силу. Поэтому в такой опоре устанавли-
вают только радиальный подшипник.
Такой способ установки подшипников
применяют в конструкциях при любой
длине валов, а также при установке валов
в подшипники, размещенные в разных
корпусах; он широко используется в пе-
редачах (кроме конических и червячных).
Основной недостаток способа — ма-
лые жесткости вала в осевом, радиальном
и угловом направлениях.
Угловая жесткость вала может быть
повышена при установке в фиксирован-
ной опоре двух подшипников, за счет ре-
гулировки которых сводят к минимуму
также радиальные и осевые смещения
(«игру») вала. В таком исполнении спо-
соб применяют также для установки ва-
лов конических и червячных передач, тре-
бующих точной осевой фиксации.
Второй способ основан на осевом
фиксировании вала в двух опорах (в
каждой опоре лишь в одном направлении,
рис. 23.19, в, г). При этом внешние торцы
наружных колец подшипников упирают в
торцы крышек или других деталей корпу-
са (рис. 23.19, в) —фиксация враспор с
гарантированным зазором 0,2...0,3 мм
(регулируемым с помощью прикладок)
271
Рис. 23.19. Способы установки подлинников
Рис. 23.20. Способы крепления внутренних
колец подшипников:
и посадка с натягом; б кольцом, посаженным с’ натягом, и штифтом; в пружинным стопорным
кольцом; г --- гайкой и стопорной шайбой; д • торцовой шайбой и корончатой гайкой со шплинтом; е пло-
ской торцовой шайбой и винтом
Рис. 23.21. Способы крепления наружных колец в корпусах:
о пружинным стонорным кольцом; б и г
крышкой; в фасонной шайбой
для компенсации возможного теплового
расширения. При такой установке внеш-
няя осевая сила будет восприниматься
либо одной, либо другой крышкой.
Этот способ конструктивно прост и
наиболее часто применяется при установ-
ке валов конических и червячных передач
с использованием радиально-упорных ша-
риковых и роликовых подшипников, а
также при установке коротких жестких
валов.
Конструктивные способы фиксирова-
ния колец на валах и в корпусах разно-
образны (рис. 23.20, а—е и 23.21,
а—г). Способы смазывания подшипников
рассмотрены в гл. 24.
272
Пример. Определить долговечность (в ч)
подшипника 309 редуктора под нагрузкой Fr =
= 3000 Н и Fa — 1500 И при вращении внут-
реннего кольца (V = 1) с частотой п =
= 800 мин '
Из справочника известно, что динамиче-
ская грузоподъемность этого подшипника С =
= 52 700 Н и статическая грузоподъемность
С„ = 30 000 II.
Решение. 1. Определяем отношение
Fu/('.n—1500/30 000 = 0,05. Этому отношению
по табл. 23.3 соответствует с «0,26.
2. Вычисляем отношение Fa/(VF,) =
= 1500/(1-3000) = 0,5. Так как это отношение
превышает величину е=0,26, то по
табл. 23.3 находим Х = 0,56 и У=1,71.
3. Определяем по формуле (23.26) приве-
денную нагрузку, принимая Кг, = 1,3 и Кп=\‘.
R = (XVF,+ YFa)Kr,K,=
= (0,56-1-3000+1,71 -1500)1,3-1 =5520 Н.
4. Вычисляем номинальную долговечность
подшипника
1. =(С/К)=(55 700/5520)3» 100 млн. об
ИЛИ
/ = L--------= _. . 12° . - -=2000 ч.
6-10 -’п 6-10“ 5-800
Рассмотренная задача довольно ти-
пична для инженерной практики, так как
часто подшипники подбирают конструк-
тивно по размеру вала.
Вопросы для самопроверки
I. Что- представляет собой подшипник
скол ьжения?
2. Какие типы подшипников (по виду
трения и нагрузки) применяют в механизмах,
машинах и приборах?
3. Как условия работы подшипника
скольжения зависят от угловой скорости вра-
щения цапфы?
4. Какие виды повреждений типичны для
подшипников скольжения и по каким критери
ям оценивают их работоспособность?
5. Из каких деталей состоит подшипник
качения?
6. Ио каким признакам и как классифи-
цируют подшипники качения?
7. Какие виды повреждений распростра-
нены в подшипниках качения и по каким кри-
териям оценивают их работоспособность?
8. Как распределяется нагрузка между
телами качения?
9. Что называют статической и динамиче-
ской грузоподъемностью подшипника качения?
10. Что понимают под эквивалентной на-
грузкой на подшипник?
11. Как осуществляется подбор подшипни-
ков качения?
12. Каким образом осуществляют фикси-
рование подшипников в корпусах?
Глава 24
ДЕТАЛИ КОРПУСОВ, УПЛОТНЕНИЯ
СМАЗОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
И УСТРОЙСТВА
§ 24.1. ДЕТАЛИ КОРПУСОВ
Общие сведения. Детали корпусов яв-
ляются основными несущими частями, на
которых монтируют остальные . ?тали, уз-
лы и механизмы машин, приборов и аппа-
ратов. Они используются также для гер-
метизации (сохранения смазочного мате-
риала; жидких, газообразных и твердых
рабочих тел и др.) и зашиты этих кон-
струкций от внешних воздействий (меха-
нических, коррозионных, тепловых и др.).
Детали корпусов должны удовлетво-
рять следующим основным требованиям:
прочности, жесткости, герметичности, тех-
нологичности, удобства сборки, разборки
и технического обслуживания, эстетично-
сти и др.
Прочность и жесткость служат основ-
ными критериями работоспособности кор-
пусов аппаратов (транспортных, техноло-
гических и др.), а также машин, работаю-
щих в условиях повышенных нагрузок.
Герметичность, т. е. способность со-
хранять внутреннюю среду и защищать
от воздействия внешней среды, является
важнейшим условием работоспособности
машин, приборов и аппаратов.
Технологичность деталей корпусов
обеспечивается их формой, возможностью
изготовления методами малоотходной и
безотходной технологии (литье, прессова-
ние, обработка давлением, сварка, пайка
и др.), уровнем унификации и т. д.
Детали корпусов подразделяют по на-
значению на фундаментные плиты; стани-
ны, рамы (шасси), основания, кузова; де-
тали узлов корпусов (колонны, кронштей-
ны, стойки и т.п.); защитные кожухи,
крышки.
273
Детали корпусов часто являются наи-
более металлоемкими и трудоемкими, их
рациональное проектирование дает обыч-
но значительные эффекты (экономиче-
ские, эксплуатационные и др.).
Конструкции и материалы. Конструк-
ции деталей корпусов обычно сложны,
разнообразны и рассматриваются в спе-
циальных курсах. На примере корпуса
(рис. 24.1) стандартного редуктора пока-
заны конструктивные решения для выпол-
нения основных требований, предъявляе-
мых к этим деталям.
Корпус редуктора (вместе с крыш-
кой) имеет сложную форму и подвержен
действию пространственных нагрузок.
Поэтому расчет деталей корпуса на про-
чность и жесткость возможен лишь мето-
дами теории упругости. На практике кор-
пуса многих машин, механизмов и узлов
конструируют по прототипам или с ис-
пользованием тензометрируемых моделей.
Невысокая нагруженность корпуса ре-
дуктора позволяет изготавливать его тон-
костенным, а жесткость обеспечивать с
помощью ребер и соответствующих утол-
щений. Для облегчения изготовления кор-
пуса выполняют с разъемом по плоско-
сти, проходящей через оси валов.
Невысокая нагруженность и слож-
ность формы корпуса предопределяют
экономически целесообразный способ из-
готовления (литье) и материал (серый
чугун марок СЧ10 или СЧ15).
Корпусные детали такого типа отли-
вают также из сталей, алюминиевых и
магниевых сплавов, а в условиях еди-
ничного производства сваривают из ста-
лей марок Ст2, СтЗ.
Поверхностям литых деталей корпуса
придают простые формы (плоские, цилин-
дрические, конические), не допуская вы-
ступов или поднутрений, препятствующих
выемке отливки их формы (земляной, ме-
таллической и др.). Обязательно предус-
матривают конструктивные уклоны, ис-
ключающие введение формовочных укло-
нов. Избегают резких изменений сечений
для устранения концентраторов литейных
напряжений. Сопряжение стенок делают
радиусным.
Толщину ребер жесткости под под-
шипниковыми гнездами назначают не бо-
лее 0,8 толщины стенки, к которой при-
мыкает ребро. Ширину фланцев основа-
ния и разъема назначают несколько боль-
шей размера под ключ гаек соединений,
Рис. 24.1. Корпус червячного редуктора
274
стягивающих корпус с крышкой и редук-
тор с основанием (рамой).
Стыковые поверхности корпуса и от-
верстия под подшипники обрабатывают
методами резания для придания им тре-
буемой точности и формы.
Для предотвращения коррозии и в де-
коративных целях детали корпусов по-
крывают красками, металлическими и
другими покрытиями.
§ 24.2. УПЛОТНЕНИЯ И УСТРОЙСТВА
ДЛЯ УПЛОТНЕНИЯ
Для обеспечения нормальной работы
машин, приборов и аппаратов необходимо
часто предотвращать утечки рабочей сре-
ды (масла, газов и т. и.) и защищать их
от окружающей среды (воды, газов
и т. д.).
С этой целью применяют уплотнения
и уплотняющие устройства, которые мож-
но подразделить на уплотнения для не-
подвижных соединений (деталей) и уп-
лотнения и устройства для уплотнения
подвижных деталей.
Оценку эффективности уплотнения
(герметичности) производят визуально,
течеискателями и т. д.
Уплотнения неподвижных соединений.
К числу соединений, подлежащих уплот-
нению, относятся болтовые соединения
корпусов различных аппаратов высокого
и низкого давления, крышек редукторов,
двигателей и многих других машин.
Их уплотнение достигается за счет
сжатия прокладок, колеи и других уплот-
няющих элементов (рис. 24.2), при за-
тяжке болтов. Прокладки и кольца имеют
различное поперечное сечение и форму
в плане, соответствующую форме стыка.
Их изготовляют из листовых материалов
(картона, паронита, асбеста, резины,
алюминия, меди, стали и др.). Выбор ма-
териала для элемента производят в зави-
симости от напряжения, сжатия, исклю-
чающего утечку.
В некоторых случаях (при монтаже
подшипников и т. д.) прокладки использу-
ют одновременно и в качестве регулиро-
вочных.
Для повышения герметичности иногда
прокладку (стык) перед постановкой про-
мазывают краской, пастой или герметизи-
рующей мастикой.
Уплотнение подвижных деталей. Наи-
более часто на практике возникает не-
обходимость уплотнения выступающих из
корпусов вращающихся хвостовиков ва-
лов. В узлах, где рабочая жидкость' и
смазка не находятся под давлением, а ок-
ружающая скорость вала не превыша-
ет 5...7 м/с, применяют контактные
(контактирующие) уплотнения в виде
манжет (рис. 24.3, а, б). Манжета состоит
из корпуса /, выполненного из бензомас-
лостойкой резины, каркаса 2 в форме
стального кольца Г-образного сечения и
браслетной пружины 3, стягивающей уп-
лотняющую часть манжеты. Каркас при-
дает манжете требуемую жесткость.
При работе в засоренной среде ис-
пользуют манжету с дополнительной ра-
бочей кромкой 4 (рис. 24.3, б).
Рис. 24.2. Способы уплотнения фланцевых соединений:
а плоской прокладкой: б линзовой прокладкой; в врезающимся кольцом
275
сил, а также комбинированные уплотне-
Получили распространение уплати е-
н и я по торцовым поверхно-
стям (рис. 24.3, в). Уплотнение
включает уплотнительное кольцо I из ан-
тифрикционного материала типа АМС-1,
уплотнительное кольцо 2 из закаленной
стали марки 40Х, 111X15, пружину 3 и до-
полнительное статическое уплотнение 4
в виде резинового кольца круглого сече-
ния.
Для уплотнения выходных хвостови-
ков валов (окружная скорость до 6 м/с)
применяют упругие стальные шайбы
(рис. 24.3, г) толщиной 0,3...0,5 мм.
Бесконтактные устройства
применяют для уплотнения деталей, вра-
щающихся с большими скоростями. Наи-
более простое уплотнение такого типа --
щелевое (рис. 24.4, а). Зазор щелевого
уплотнения между крышкой и валом за-
полняют пластичным смазочным материа-
лом, защищающим подшипник от попада-
ния извне влаги и пыли.
Распространение получили лабиринт-
ные уплотнения (рис. 24.4, б), в которых
уплотняющий эффект достигается за счет'
длинной щели из чередующихся радиаль-
ных и осевых зазоров.
В конструкциях используют и другие
типы уплотнений с принципом действия
на основе использования центробежных
ния (рис. 24.4, в, г).
§ 24.3. СМАЗОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
И УСТРОЙСТВА
Смазывание трущихся деталей машин
(болтов, зубчатых колес, подшипников
и др.) производят преимущественно жид-
кими минеральными или синтетическими
маслами, пластичными (консистентными)
и твердыми смазками.
В качестве жидких масел исполь-
зуют минеральные масла (индустриаль-
ное, турбинное, трансформаторное, ци-
линдровое и др.), которые сохраняют
свои свойства до температуры 120 °C при
длительной работе.
Кальциевые смазки (солидолы)
применяют при длительной работе дета-
лей до температуры 60 °C. Натриевые
смазки (консталины) более тугоплавки,
их допустимо использовать при темпера-
турах до 100... 120 °C. Литиевые
смазки могут работать при температу-
рах от 60 до 150...200 °C.
Твердые смазки (коллоидальный
графит, дисульфит молибдена, фтористые
соединения и т. п.) используют для дета-
276
лей, работающих в вакууме, в услови-
ях очень низких температур (ниже
— 100 °C) или весьма высоких темпера-
тур (свыше 300 °C), при работе в агрес-
сивных средах, не допускающих присутст-
вия какого-либо количества масла или
даже паров.
В зависимости от условий работы
применяют различные способы пода-
чи смазочных материалов к де-
талям и узлам.
Разовое или периодическое заклады-
вание, или намазывание, используют для
смазывания шарниров, резьбовых соеди-
нений, цепей передач, низкооборотных
подшипников скольжения, подшипников
качения при окружной скорости вала не
свыше 10...15 м/с и др. Пластичные смаз-
ки закладывают в корпуса подшипников
(в объеме ‘/.ч-.-'/г свободного простран-
ства), намазывают при сборке или пода-
ют периодически через индивидуальные
смазочные устройства (колпачковую мас-
ленку, пресс-масленку под шприц
(рис. 24.5, а) и др.).
Окунанием в масляную ванну смазы-
вают зубчатые передачи редукторов, ко-
робок передач, закрытых высокооборот-
ных цепных передач, а также шарикопод-
шипников до значений параметра dmn^.
^0,6-10ь мм-мин-1. Для уменьшения
потерь на перемешивание и разбрызгива-
ние масла тихоходные колеса погружают
на '/з радиуса, а быстроходные колеса -
не более чем на одну или две высоты зуба.
Заливку минерального масла в корпус
подшипника (при горизонтальном распо-
ложении его оси) производят до уровня,
соответствующего положению центра те-
ла качения, занимающего в подшипнике
нижнее положение.
Подача смазки фитилями или дозиру-
ющей масленкой (рис. 24.5, б- -г) исполь-
зуется в основном для смазывания высо-
кооборотных малогабаритных подшипни-
ков, а также цепных передач.
Разбрызгиванием масла из общей
масляной ванны смазывают червячные
передачи (при нижнем расположении
червяка), а также подшипники редукто-
ров коробок передач станков и автомоби-
лей. Разбрызгивание и «масляный туман»
создаются погруженными в масло зубча-
тыми колесами, маслоразбрызгивающими
кольцами.
Циркуляционная подача масла приме-
няется для смазывания подшипников
скольжения (работа в режиме жидкостно-
го трения) и подшипников качения мощ-
ных высокоскоростных редукторов, элек-
троприводов, центрифуг и др. При этом
масло с помощью насоса (шестеренчато-
го, плунжерного и др.) по трубопроводам
доставляется к деталям и разбрызгивает-
ся принудительно с помощью струйных
форсунок, капельно и др.
Смазку приборных устройств произво-
дят обычно в процессе сборки, заклады-
вая ее в количествах, достаточных для
эксплуатации в течение ресурса.
О) 6) 6) г)
Рис. 24.5. Смазочные устройства для консистентных и жидких смазочных материалов:
а пресс-масленка; б масленка с шариком; в масленка с крышкой; г масленка фитильная
277
Глава 25
НЕРАЗЪЕМНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
§ 25.1. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА
СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Виды сварки. Сварные соединения
формируются за счет межатомных связей
между сварными деталями (частями де
1алей), образующихся: при их местном
или общем нагреве до расплавления и по-
следующем остывании — сварка плавле-
нием; при совместном пластическом де-
формировании нагретых или холодных
стыков деталей - сварка давлением.
На практике используют свыше
60 способов сварки, среди которых мате-
риал одной или обеих деталей расплавля-
ется (газовая, дуговая, электронно-луче-
вая, плазменная и др.), нагревается и
пластически деформируется (контактная,
высокочастотная и др.) или деформирует-
ся без нагрева (холодная, взрывом и
т. п.).
Способы сварки получили название по
виду используемого источника энергии
(газовая, дуговая, электронно-лучевая и
т.п.), а также по техническим признакам
(способу защиты от окисления материала
в зоне сварки, степени механизации свар-
ки, виду электрода и дуги и т.п.). По
этим же признакам строят классифика-
цию способов сварки.
Краткая характеристика основных
способов сварки. Газовая сварка проис-
ходит при оплавлении материала деталей
и прутка присадочного металла высоко-
температурным газовым пламенем
(рис. 25.1, а). Она применяется в различ-
ных отраслях машиностроения для свар-
ки деталей малых толщин из малоуглеро-
дистых и легированных сталей, деформи-
руемых цветных металлов, при ремонте
литых деталей из чугуна, бронзы, алюми-
ниевых и магниевых сплавов и др., а так-
же для сварки неметаллических деталей.
Дуговая сварка (рис. 25.1, б) являет-
ся разновидностью электросварки плавле-
нием. Источник энергии — электрическая
дуга между свариваемыми деталями и
электродом — плавящимся (металличе-
ским) или неплавящимся (например, во-
льфрамовым, графитовым). Более рас-
пространена сварка плавящимся электро-
дом. Проплавление металла деталей при
ручной и механизированной сварке обыч-
но составляет 1...5 мм. Поэтому сварной
шов образуется почти полностью за счет
металла электрода. Дуговой сваркой на
сварочных автоматах, полуавтоматах, а
также вручную соединяют детали из кон-
струкционных сталей, чугуна, алюминие-
вых, медных и титановых сплавов. По-
следние сваривают в среде аргона или
гелия. Ручная сварка универсальна и на-
иболее маневренна; автоматическая свар-
ка высокопроизводительна и обеспечивает
стабильное качество сварных швов. Для
защиты от окисления шва (металла в зо-
не сварки) электрод обмазывают защит-
ным покрытием, часто сварку производят
под слоем флюса или в защитной среде
инертных газов (аргона, гелия).
Контактная электросварка произво-
дится за счет разогрева стыка деталей
(тонких листов) теплотой, выделяемой
при прохождении электрического тока че-
рез два электрода, сжимающих эти дета-
Рис. 25.1. Схема газовой (а), дуговой (6) и контактной сварки (в и г)
278
ли. При точечной контактной сварке
(рис. 25.1, в) центральная часть столбика
металла, зажатого между электродами
силой F, быстро нагревается до расплав-
ления после включения трансформатора.
Затем выключается ток и сила снимается.
При охлаждении образуется сварная точ-
ка с литым ядром (зачернена на рисун-
ке). Шовная сварка производится на ма-
шине, у которой электродами служат при-
нудительно вращающиеся диски
(рис. 25.1, г), которые также сжимают
свариваемые детали. Сварка может быть
непрерывной (ток включен в течение все-
го времени сварки) или прерывистой
(кратковременные импульсы тока череду-
ются с паузами установленной продолжи-
тельности) .
Электронно-лучевая сварка происхо-
дит при бомбардировке поверхности ме-
талла быстродвижущимися электронами
в высоком вакууме, при котором их кине-
тическая энергия практически без потерь
преобразуется в тепловую. Такая сварка
имеет преимущества перед другими вида-
ми сварки благодаря высокой проплавля-
ющей способности электронного луча и
возможности регулирования его размера.
Она дает швы малых размеров и малое
коробление, позволяет сваривать металлы
очень малых и очень больших толщин,
допускает сварку через щели. Этот вид
сварки наиболее эффективен при соедине-
нии деталей из тугоплавких металлов.
Ультразвуковая сварка основана на
использовании механической энергии уль-
тразвуковых колебаний, приложенных в
зоне контакта плотно сжатых деталей.
Возникающие в контакте деформации
сдвига разрушают хрупкие поверхност-
ные пленки и обеспечивают местный на-
грев, а под действием сжимающих усилий
происходит пластическое течение метал-
ла, необходимое для образования соеди-
нения. Температура в зоне контакта не
превышает нескольких сотен градусов. Ее
используют для приварки тонких элемен-
тов к несущим конструкциям.
Диффузионная сварка происходит в
результате диффузии элементов контакти-
рующей пары металлов, к которым прило-
жено определенное сравнительно неболь-
шое сжимающее усилие. Свариваемые по-
верхности нагревают немного выше тем-
пературы рекристаллизации; процесс осу-
ществляют в вакууме, предохраняющем
поверхности деталей от окисления. Сва-
ривать можно не только плоские, но и
сложные поверхности, при этом соеди-
нения оказываются прочными и термос-
тойкими.
Сварные соединения являются наибо-
лее прочными среди неразъемных соеди
нений и могут быть получены на автома-
тах и автоматических линиях.
Основные недостатки соединений: на-
личие остаточных напряжений из-за не-
однородного нагрева и охлаждения и воз-
можность коробления деталей при свари-
вании (особенно тонкостенных), возмож-
ность существования скрытых (невиди-
мых) дефектов (трещин, непроваров,
шлаковых включений), снижающих про-
чность соединений.
Для выявления дефектов в машино-
строении вводят полный или выборочный
контроль сварных соединений
с помощью разрушающих и неразрушаю-
щих методов (ультразвука, рентгеновских
лучей и т. д.). Ниже рассмотрены соеди-
нения, полученные наиболее распростра-
ненными в технике способами сварки (ду-
говой и газовой).
Виды соединений. В зависимости oi
расположения свариваемых деталей сое-
динения дуговой и газовой сваркой под-
разделяют на с т ы ков ы е (рис. 25.2, а с),
Рис. 25.2. Стыковые соединения
279
/1-4
Рис. 25.4. Тавровые (а в)
и угловые (г е] соединения
Рис. 25.6. Распределение напряжений на контуре стыкового шва (а и б) ив угловом шве (в)
нахлесточные (рис. 25.3, а г). i аи-
ров ы е и угловые (рис. 25.1).
Прочность стыковых соединений близ-
ка к прочности основного металла, их
применяют в ответственных конструкци-
ях. В зависимости от толщины деталей
сварку выполняют односторонним
(см. рис. 25.2, а) или двусторонним
(см. рис. 25.2, б) швом, а также произво-
дят подготовку кромок механической об-
работкой (рис. 25.2, в—е). Швы нахлес-
точных, тавровых и угловых соединений
называют угловыми. Нахлесточные соеди-
нения тонколистовых конструкций выпол-
няют контактной сваркой точечной
(рис. 25.5, а) или шовной (рис. 25.5, б).
Диаметр сварной тончи устанавливают в
зависимости от толщины s свариваемых
деталей, d = 1,2s + 4 мм. Рекомендуемое
расстояние между точками a = 3d ири
сварке двух элементов и a = 4d при свар-
ке трех элементов.
§ 25.2. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ СВАРНЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Расчеты при постоянных нагрузках.
Анализ работы сварных соединений раз-
личных изделий в условиях эксплуатации
выявляет случаи их разрушения при дей-
ствии постоянных и переменных нагрузок.
Следовательно, прочность является ос-
новным критерием работоспособности
сварных соединений.
В стыковом соединении фор-
ма и размеры шва характеризуются высо-
той «усиления» шва g, его длиной b и уг-
лом 0 (рис. 25.6, а). При нагружении сое-
динения «усиление» оказывается источни-
ком концентрации напряжений в связи с
изменением формы деталей. Например, при
растяжении соединения силой
F (рис. 25.6, б) максимальные растягиваю-
щие напряжения на краях «усиления» в
1,6 раза больше номинальных напряжений:
a = F/(/s),
где / и s - соответственно длина шва
и толщина соединяемых деталей.
Однако концентрация напряжений не
оказывает существенного влияния на ста-
тическую прочность соединений деталей
из пластичных сталей.
Стыковые швы (см. рис. 25.2, а—е)
рассчитывают на прочность по номиналь-
ному сечению соединяемых деталей (без
учета утолщения швов) как целые дета-
ли. Условие прочностей надежности по
допускаемым напряжениям принимают в
форме
(25.1)
Здесь |<7р] — допускаемое напряжение
сварного шва при растяжении, [а(,] =
(0.9... 1) (ор|, где |ар| —допускаемое
напряжение при растяжении детали из
основного материала (табл. 25.1).
Допускаемая растягивающая нагрузка
зависимости от жесткости листов:
напряжений вдоль флангового шва в
а — £| А ] < Е^А‘2‘, б — /:')/!! = Е2А2
281
И=К] Is.
(25.2)
Напряжения в шве при совместном
действии растягивающей силы и изгибаю-
щего момента
^тах
М„
где Ми — изгибающий момент в расчет-
ном сечении шва; — момент сопротив-
ления сечения шва.
Нахлесточные соединения
в отличие от стыковых имеют более высо-
кую концентрацию напряжений. В лобо-
вом шве (см. рис. 25.3, б) концентрация
напряжений обусловлена поворотом сило-
вого потока (изгибом, см. рис. 25.6, в). Во
фланговых швах максимальные касатель-
ные напряжения действуют на краях
(рис. 25.7, а, б), а средняя часть соедине-
ния менее нагружена.
Угловые швы нахлесточных соедине-
ний, строго говоря, испытывают сложное
напряженное состояние. В упрощенном
расчете швов при постоянной силе учиты-
вают лишь номинальные касательные на-
пряжения, уравновешивающие эту силу:
т = /7Д
где А площадь расчетного сечения.
Экспериментальные исследования и
практика показали, что фланговые и
лобовые (угловые) швы разрушаются но
сечению, проходящему через биссектрису
прямого угла (рис. 25.8, а). Площадь рас-
четного сечения
Л = cos 45° = 0,7fepL,
где L общая длина (периметр) сварно-
го шва; kp- расчетный катет шва.
С учетом этого условие прочностей
надежности углового шва
— С )
Т 0JkpL
(25.3)
где [ти,| допускаемое напряжение в
сварном шве при срезе.
При проектировании соединений из
условия (25.3) определяют размеры шва
L и kp переменные проектирования. Для
упрощения задачи порядок этих перемен
пых понижают, принимая из опыта kr ~
= (0,9...1,0)5,и;,,, гдел’,,,,,, наименьшая гол
шина свариваемого элемента; Лршп,—
= 3 мм при 5^3 мм.
Тогда требуемая длина шва
0,7fep [т,,,]’
(25.4)
Наибольшая длина лобового шва
(см. рис. 25.3, б) не ограничивается, но
длина нахлестки должна быть не менее
4хт|П.Длину флангового шва не следует
выполнять большей 60fep из-за неравно-
мерного распределения нагрузки по длине
(см. рис. 25. 7 а, б) .Минимальная длина
Рис. 25.8. Расчетные схемы нахлесточных соединений
282
флангового шва должна быть не менее
30 мм, так как при меньшей длине де-
фекты (непровары, шлаковые включения
и др.) в начале и в конце шва существен-
но снижают его прочность.
Допускаемая растягивающая нагрузка
[F]=0,7fepL [тш]. (25.5)
Швы целесообразно располагать так,
чтобы они были нагружены равномерно.
Например, в соединении с уголком
(рис. 25.8, б) фланговые швы расположе-
ны несимметрично относительно линии
действия силы F. Силы Е, и Fi, восприни-
маемые соответственно первым и вторым
швом, можно определить из уравнений
равновесия:
F1 4" F i=F\ F \h~~F 2/2=0,
откуда
Е>=—F-,
а\ +а2
Fi= °' - F,
ai 4-аг
где ai и а2 - расстояния от центра тя-
жести сечения элемента до центра тяжес-
ти сечения швов.
Если длина шва задана или определе-
на, например, из расчета по формуле
(25.4), то ее целесообразно разместить
пропорционально нагрузкам F\ и Е2, что-
бы ВЫПОЛНЯЛОСЬ уСЛОВИе Т| = Т2 = [Тш].
Тогда
l2=L—^-~. (25.6)
ai4-a2
Следовательно, для получения равно
мерного распределения нагрузки между
швами необходимо длину каждого шва
принимать обратно пропорциональной
расстоянию между центром гяжести сече-
ния детали и швами.
Расчет комбинированных уг-
ловых швов под действием момента
в плоскости стыка (рис. 25.9, а) выполня-
ют, полагая, что швы работают независи-
мо один от другого, а фланговые швы
передают только силы вдоль своей оси.
Из условия равновесия одного из лис-
тов следует момент
Л4 = тЛш/г + т W'm,
где Дш = 0,7&р/—площадь продольного
сечения флангового шва; Ш,, - момент
сопротивления продольного сечения лобо-
вого шва,
0,7 .
6
Откуда
______________М_____
В уточненном расчете можно принять,
что листы являются абсолютно жесткими
(недеформируемыми) и приваренный эле-
мент под нагрузкой стремится повернуть-
ся вокруг центра тяжести (ЦТ) сечений
швов (рис. 25.9, б). Тогда
тп,ах = Л1Лп1ах//р^ [т,„], (25.7)
где rmax—расстояние от центра тяжести
а, 4" Й2
283
до наиболее удаленной точки шва; — по-
лярный момент инерции швов, Jp = Jx-\-Jу
(Jx и /у — моменты инерции швов отно-
сительно осей х и у).
Тавровые соединения у гл о-
выми швами рассчитывают по формулам
(25.4) и (25.5).
Угловые соединения
(см. рис. 25.4) используют, как правило,
для образования несиловых профилей из
отдельных полос.
Точечное соединение
(см. рис. 25.5, а, б), нагруженное в плос-
кости стыка, рассчитывают на срез,
принимая, что точки воспринимают оди-
наковые силы. Напряжение среза в свар-
ной точке
Ind2
где Ft усилие, приходящееся на одну
точку; i число плоскостей среза точек.
Швы, получаемые на роликовых ма-
шинах, рассчитывают по формуле
т=Г/(а/Х[т,„].
Здесь а — ширина шва; / — его длина.
Допускаемые напряжения для свар-
ных швов в долях от допускаемых напря-
жений основного металла приведены в
табл. 25.1. Допускаемые напряжения для
основного металла в металлоконструкци-
ях вычисляют по формуле
[o']=offm/K, (25.8)
где о# = (0,85.. .0,9) от — расчетное сопро-
твление с учетом неоднородности мате-
риала (аг ‘предел текучести материа-
ла); ш коэффициент, который прини-
мают в зависимости от тина соедине-
ния и условий его работы, обычно т =
= 0,8...0,9; К — коэффициент перегрузки,
обычно К=1...1,2; для резервуаров с
внутренним давлением К =1,2; для под-
крановых балок при тяжелом режиме ра-
боты К — 1,3... 1,5.
В строительных конструкциях прини-
мают расчетное сопротивление о^ = 0,9от.
Значения aR, принимаемые в ряде отраслей
машиностроения, приведены в табл. 25.2.
Таблица 25.1
Допускаемые напряжения для сварных швов
при статической нагрузке
Сварка Допускаемые напряжения
для сварных швов
при растя- жении ы при сжатии при сдвиге
Автоматичес- кая, ручная элек- тродами Э42А и Э50А, в среде за- щитного газа, контактная сты- ковая ;пр| 1°р1 0,65 |оР1
Ручная элект- родами Э42, Э50 (обычного каче- ства) 0,9[ор| Ы 0,6 |ор]
Контактная точечная - 0,5 [ор]
Примечание. |ар| допускаемое напряже-
ние при растяжении основного металла соединяемых
элементов.
Таблица 25.2
Расчетные сопротивления для низкоуглеро-
дистых сталей
Марки стали а/?, МПа, при
растя- жении ежа гии с ре ле
СтЗ, Ст4 210/180 210 130... 150
14Г2, 10Г2С1, 290/250 290 170...200
15ХСГ1Д юхснл 340/290 340 200...240
Примечай и е. В числителе дроби приведены
о#для швов, контролируемых физическими, в знаке
нателе обычными методами (визуальным и г. и.).
Расчет при переменных нагрузках.
Оценку прочностной надежности соедине-
ний при действии переменных сил про-
изводят по запасам прочности из условия
(25.9)
где п„ и [по] - действительный и допуска-
емый запасы прочности; обычно |и„|^2.
Действительный запас прочности сты-
ковых соединений при пропорциональном
284
Таблица 25.3
Эффективные коэффициенты концентрации
напряжений в сварных соединениях
(сварные швы)
Характеристика швов Коэффициент Ко для стали
углеро- дистой низко- легиро- ванной
Стыковые швы: при контроле шва 1,0 1,о
просвечиванием при ручиой сварке без просвечивания 1,2 1,4
Угловые швы: лобовые при свар- ке: ручной 2,3 3,2
автоматической 1,7 2,4
фланговые 3,5 4,5
возрастании среднего напряжения цикла
о„ и амплитуды переменных напряжений
°-i
п =-----1--, (25.10)
а оЛ+V/
где о_|— предел выносливости материа-
ла с учетом масштабного фактора; Ка -
эффективный коэффициент концентрации
напряжений (табл. 25.3); фа - коэффици-
ент, учитывающий влияние на сопротив-
ление усталости асимметрии цикла (фо =
= 0,1...0,2 — для стыковых соединений из
низкоуглеродистых сталей, фа =
= 0,2...0,3 — то же, для средне- и низко-
углеродистых сталей).
Расчет соединений угловыми швами
выполняют по формулам, получаемым из
соотношений (25.9) и (25.10), путем за-
мены в них букв о на т.
§ 25.3. ПАЯНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Паяные соединения и конструкции по-
лучили широкое распространение в раз-
личных отраслях машиностроения и в ря-
де случаев вытесняют сварные соедине-
ния. Пайкой изготовляют не только от-
дельные детали, но и сложные крупнога-
баритные узлы.
Соединения образуются за счет мест-
ного нагрева легкоплавкого присадочного
материала — припоя, который, растека-
ясь по нагретым поверхностям соединяе-
мых деталей, образует при охлаждении
паяный шов, диффузионно и химически
связанный с материалом деталей.
Нагрев припоя и деталей при пайке
выполняют паяльником, газовой горел-
кой, в печах и пр. При пайке в печах
припой укладывают в виде проволочных
и ленточных контуров, паст и т. д. Для
уменьшения вредного влияния окисления
поверхностей деталей применяют специ-
альные флюсы (на основе канифоли, бу-
ры и др.), паяют в среде нейтральных
газов или в вакууме.
При конструировании паяных изделий
выбирают основной металл, при-
пои и способ пайки.
Паяемость основного металла припо-
ями, обеспечивающими требуемую про-
чность, является главным условием его
выбора.
Учитывают также чувствительность
основного металла к нагреву и склон-
ность его к образованию трещин под дей-
ствием расплавленных припоев, проника-
ющих между кристаллами по границам
зерен основного металла. Поэтому, на-
пример, пайка сталей латунью применяет-
ся в ограниченном масштабе. Медь явля-
ется основным компонентом, вызываю-
щим охрупчивание соединений.
Припои должны хорошо смачивать
обезжиренные поверхности деталей, не
образуя с ними интерметаллидов. В ка-
честве припоев применяют чистые метал-
лы и (в основном) сплавы на основе
олова, меди, серебра и т. п.
В табл. 25.4 приведены механические ха-
рактеристики и области применения неко-
торых припоев.
В конструкциях паяных узлов применя-
ют соединения встык и нахлес-
т о ч н ы е, а также комбинации этих соеди-
нений. Соединения встык и втавр применя-
ют в исключительных случаях.
Расчет паяных соединений встык и
нахлесточных аналогичен расчету свар-
ных соединений по формулам
(25.1)... (25.5). Лишь в нахлестном соеди-
нении площадь расчетного сечения равна
площади контакта деталей:
А=Ы,
где b и I - ширина и длина площади
контакта.
285
Таблица 25.4
Механические характеристики и области
применения распространенных припоев
Марка припоя Основа Пип. МПа 6, % Назначение
Л 63 (прово- лока) Медь 450 2 Для пайки стальных из- делий неот- ветственного назначения
ПОС 90 Олово 43 35 Внутренние
ПОС 61 И сви- 41 34 швы медицин-
ПОС 50 ней 36 32 ской аппара- туры, детали электротехни- ческой и при- борострои- тельной про- мышленности
С увеличением площади контакта несу-
щая способность соединения возрастает.
При этом больший эффект можно полу-
чить за счет увеличения ширины деталей
и меньший — за счет длины нахлестки
(из-за концентрации напряжений на кра-
ях, см. рис. 25.7).
Прочность при срезе соединений, паян-
ных оловянно-свинцовистыми припоями,
а также припоями на основе меди и се-
ребра, составляет (0,8...0,9)авп, где аВп —
предел прочности припоя.
В паяных конструкциях сравнительно
часто встречаются соединения: телеско-
пическое (рис. 25.10, а), внахлестку с за-
клепкой (рис. 25.10, б) или штифтом
(рис. 25.10,в), внахлестку со шпонкой
(рис. 25.10, г), фальцевый замок
(рис. 25.10, д).
§ 25.4. КЛЕЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Клеевым называют неразъемное сое-
динение с помощью кле.ч вещества,
способного соединять материалы и удер-
живать их вместе путем скрепления по-
верхностей.
Клеевые соединения широко распро-
странены во многих отраслях машино-
строения. Синтетическими клеями соеди-
няют практически все материалы
промышленного значения (стали, сплавы,
медь, серебро, древесину, пластики, фар-
фор, ткани, кожу и др.), а также металлы
и неметаллы. В ряде случаев склеивание
представляет собой единственный способ
соединения разнородных материалов в
ответственных конструкциях.
В металлических конструкциях клея-
ми надежно и прочно соединяют разно-
родные металлы разной толщины, исклю-
чая более дорогие заклепочные, сварные
и болтовые соединения. Клеевые швы не
ослабляют металл, как при сварке или
сверлении отверстий под болты они не
подвержены коррозии и часто герметичны
без дополнительного уплотнения.
Наибольшее распространение получи-
ли два вида клеевых соединений —
внахлестку и телескопиче-
ское, которые различают по характеру
требуемого клея. Для телескопического
соединения требуется жидкий клей, воз-
можно холодного отверждения. Для сое-
динения внахлестку обычно нужен высо-
копрочный клей, например пленочный.
Подобно паяному клеевое соединение
внахлестку сопряжено по поверхности
контакта элементов, его прочность также
пропорциональна площади склеивания.
Большее повышение прочности можно по-
лучить также за счет увеличения ширины,
нежели длины нахлестки.
Распространенные конструкции клее-
вых нахлесточных соединений показаны на
рис. 25.11, а — к.
При проектировании клеевых соеди-
нений учитывают, что клеи обладают
обычно достаточно большой прочностью
при сдвиге и невысокой прочностью при
отдире и раскалывании.
Рис. 25.10. Виды паяных соединений
286
Рис. 25.11. Виды клеевых соединений:
а - стыковое; б, в - нахлесточное; г усовое; д - нахлесточное с подсечкой; е
стыковое с накладкой; ж - то же, с двойной накладкой; з — стыковое с утопленной
двойной накладкой; и- полушиповое; к — стыковое со скошенными накладками
Прочность при сдвиге нахлесточных
соединений с различными клеями после
двухмесячной выдержки составляет 10...
33 МПа.
Прочность клеевого соединения зави-
сит от толщины клеевого слоя. Обычно
толщина слоя составляет 0,05...0,15 мм
и зависит от вязкости клея и давления
при склеивании.
Условие прочности при срезе соедине-
ния внахлестку имеет вид
t = F/(6/)<[tc],
где b и /— ширина и длина нахлестки;
[тс] — допускаемое напряжение при сдви-
ге (табл. 25.5).
Таблица 25.5
Прочность при сдвиге соединений алюминиевого
сплава различными клеями в условиях
повышенной влажности
Клей Прочность при сдвиге [Те], МПа
в исходном состоянии после выдержки в течение 60 сут
Фенолонитрилка- 38,5 33,6
учковый Эпоксидный 21 19,6
Полиуретановый 16,1 10,2
Контроль качества соединений осуще-
ствляют разрушающими и неразрушаю-
щими методами (например, рентгенов-
ским методом, инфракрасными лучами и
т. д.).
§ 25.5. ЗАКЛЕПОЧНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Общие сведения. Заклепочным назы
вают неразъемное соединение деталей
(обычно листовых) с помощью заклеп-
ки - сплошного или полого цилиндриче-
ского стержня с закладной головкой
(рис. 25.12).
Заклепку при сборке устанавливают в
предварительно подготовленное отверстие
в деталях (пакете листов) и осадкой
(клепкой) специальным инструментом
формируют вторую замыкающую головку
(рис. 25.13). При этом пакет стягивается
и за счет поперечной упругопластической
деформации стержня происходит запол-
нение начального зазора между стержнем
и стенками отверстий; возможно образо-
вание натяга.
Соединения применяют преимуще-
ственно в конструкциях летательных ап-
паратов, металлоконструкциях и других
изделиях, в которых внешние нагрузки
действуют параллельно плоскости стыка,
а применение сварки, пайки и склеивания
затруднено или невозможно по конструк-
тивным или технологическим соображени-
ям (несвариваемые материалы, недопу-
стимость нагрева и т. п.).
Листы (детали) соединяют внахле-
стку (рис. 25.14, а) и встык с одной
(рис. 25.14, б) или двумя (рис. 25.14, в)
накладками. Заклепки в соединении рас-
полагают простыми (рис. 25.15, а) или
шахматными (рис. 25.15, б) рядами. Ис-
пользование в конструкции той или иной
формы головки (см. рис. 25.12) определя-
287
Рис. 25.12. Основные тины заклепок:
а с полукруглой головкой; б с полукруглой низкой головкой; в
тела я со скругленной головкой; г с нолупотайной головкой; д
ной головкой; е -- с плоской головкой
пусто
с потай-
Рис. 25.13. Схема формирова-
ния замыкающей головки:
Рис. 25.14. Виды заклепочных соединений:
а - нахлесточное (d = s + & мм; / —2d + 8 мм; / = 1,35d); б -- стыковое с одной накладкой d = s |
+ 8 мм; t = 2d + 8 мм; /= (1,35... 1,5) d; $i = (l... 1,25) s; в стыковое с двумя накладками [d = s 4
+ (5...6) мм; S: =(0,6...0,7) s; / = 2,6d + !0 мм; /=],35d; /, = 3d]
етсч в основном эксплуатационными тре-
бованиями (аэродинамическими и т.н.).
Соединения обладают сравнительно
невысокой технологичностью и высокой
трудоемкостью и:и отопления и контроля
качества.
Заклепки изготовляют из пластичных
(65^6%) сталей (например, сталей 15,
20, 09Г2 и др.), алюминиевых и титано-
вых сплавов, латуни.
Виды повреждений и критерии рабо-
тоспособности. Опыт эксплуатации кон-
струкций показал, что отказы .заклепоч-
ных соединений вызываются обрывом го-
ловок и разрушениями стержней, смятием
(у ир у гоп л а сти ч ес к и м и деформ а ц и я м и)
стенок отверстий и стержней заклепок,
а также разрушением соединяемых лис-
тов, ослабленных отверстиями. Следова-
тельно, основными критериями работоспо-
собности соединений будут прочность за-
клепок и листов соединений.
Расчет стержня заклепки. Разруше-
ние стержня заклепки при действии
внешней силы F происходит в результате
среза по сечению, лежащему в плоскости
стыка соединяемых деталей (рис. 25.16;
сечение показано волнистой линией). Ус-
ловие прочностной надежности соедине-
ния но допускаемым напряжениям среза
имеет вид
/•' 4 F
Tv== у=- --2-<Н (25.11)
A n:td
где А суммарная площадь поперечного
сечения п заклепок диаметром стержня d;
|т,) допускаемое напряжение при срезе.
При проектировании соединений оп-
ределяют их диаметр:
d = ^4?/(пл [тJ). (25.12)
Соединение с двумя накладками (см.
рис. 25.14, в) может разрушаться в ре-
зультате среза по двум сечениям, совпа-
дающим с плоскостями контакта накла-
док с соединяемыми деталями. Такие сое-
динения называют двухсрезными. При их
расчете принимают, что усилие, приходя-
щееся на одно сечение, вдвое меньше
общего усилия.
Если заклепка изготовлена из менее
прочного материала, чем соединяемые де-
тали, то при нагружении соединения воз-
можно смятие (упругопластическое обжа-
тие) стержня заклепки. Действительные
контактные напряжения, вызывающие
смятие стержня заклепки, существенно
неравномерно распределены по его повер-
хности (штриховая линия на рис. 25.16).
Однако расчетные значения этих напря-
жений п,.,. находят по приближенной фор-
муле. Условие прочностной надежности
в этом расчетном случае
о, „ ---/'/(.sc/zX v],
где |о,,.| допускаемое напряжение смя-
тия для материала заклепки.
Из этого условия следует, что диа-
метр заклепки
t/>V7/(7sK,J). (25.13)
Расчет соединяемых деталей (лис-
тов). Разрушение деталей по нормально-
му сечению / /. ослабленному отверстия-
ми (ем. рис. 25.16), может произойти под
действием больших статических сил. Для
обеспечения прочностной надежност и сое-
динения номинальное растягивающее на-
пряжение в этом сечении также должно
удовлетворять условию
о = --- = - Р~ <[о,|,
Л„(„„ s(h — zd)
где Лнетто площадь детали в опасном
сечении с учетом ослабления ее отверсти-
ями; 5 и b толщина и ширина листа;
d диаметр отверстия под заклепку,
Рис. 25.16. Расчетная схема соединения
10 Г. Б. Иоси.leiui'i и др.
289
равный диаметру стержня заклепки; z
число заклепок в одном ряду; [ор]
допускаемое напряжение при растяжении
материала деталей.
Отсюда требуемая площадь сечения
детали
Лнетто=Г/[ор]. (25.14)
Смятие стенок отверстия нарушает
работоспособность соединения и может
привести к последующему прорезанию за-
клепкой (заклепками) соединяемых дета-
лей (см. рис. 25.16; следы разрушения по-
казаны волнистыми линиями). Для пре-
дотвращения этого прорезания должно
также выполняться условие прочности по
допускаемым напряжениям среза [тГ1] для
материала деталей (листов):
1 2s(/— 0,5d)z Тсл ’
где (t 0,5d) - длина опасного сечения.
Допускаемые напряжения. В расчеiах
на срез обычно принимаю! допускаемые
напряжения |т,|---(0,5...0,6) [о,,|; наиряже
ния смятия [<т,ч|= (2...2,5) [о,|, а допхекае
мыс напряжения при растяжении |о..|-=
= (0,4...(),5) о,, о, предел текучести ма-
териала рассчитываемой .ieia.ni Наклеп
ки, листа). Для заклепок из сталей .опт
СтО, Ст2 и СтЗ принимаю! и |.
= ]()()...140 МПа, |о,,.]=240...320 Ml 1,1 и
|оР]=90 МПа при просверленных отвер-
стиях в деталях.
При выборе материала заклепок стре-
мятся исключить образование гальвани-
ческих пар и гальванических токов в сое-
динениях.
Расчет соединений при несимметрич-
ном нагружении. Если соединяемые эле-
менты подвержены изгибу (случай несим-
метричного нагружения), то нагрузка ме-
жду одиночными заклепочными соедине-
ниями распределяется неравномерно. В
этом случае расчет групповых соединений
сводится к определению наиболее нагружен-
ной заклепки и оценке ее прочности.
Рассмотрим соединение, содержащее
п заклепок одинакового диаметра d под
действием силы F (рис. 25.17, а). Примем
для упрощения, что трение между соеди-
няемыми деталями отсутствует и вся
внешняя нагрузка передается через за-
клепки. Допустим, что деформации (из-
гиб, сдвиг) соединяемых деталей малы по
сравнению с деформациями стержней за-
клепок. При этих допущениях можно по-
ложить, что возможный взаимный пово-
рот соединяемых деталей (листов) прои-
зойдет вокруг точки С (рис. 25.17, а)
центра тяжести поперечных сечений стер-
жней заклепок. На этом основании точку
С используют в качестве центра приведе-
ния внешней силы.
После приведения внецентренной си-
лы F в точку С задача расчета группово-
го соединения сводится к определению
наиболее нагруженной заклепки от дейст-
вия центральной силы F (или ее осевых
составляющих) и вращающего момента
T = Fl (рис. 25.17, а); I - расстояние от
точки С до линии действия силы F.
При упругой деформации заклепок
действие силы F и момента Т можно
рассмотреть независимо. Тогда усилие на
каждую заклепку от силы
F (рис. 25.17, б) будет равно
Qif,= F/n, (25.15)
где i -• номер заклепки, i =1,2..., п.
Вращающий момент Т будет уравно-
вешиваться реактивными силами QiT, дей-
ствующими на деталь от заклепок и на-
правленными перпендикулярно радиусу-
вектору г(, проведенному из точки С в
центр сечения i-Й заклепки (рис. 25.17, в):
Рис. 25.17. Расчетные схемы группового соединения при несимметричной нагрузке
290
п
QiTri=QlTrl +
1 = 1
+ <?2Гг2+ A-QnTrn- (25.16)
Сила QlT будет пропорциональна
перемещению сечения в результате де-
формации сдвига. Так как сдвиги сечений
заклепок прямо пропорциональны их рас-
стояниям ri, г2, ..., гп до центра тяжести,
то можно записать
Qit г 1 Qir£i Qir r ।
QzT r2 QtT r3 QnT rn
откуда
r2 r,
Q2r=Qir—; Q3r= Q17-—
' i ' i
QnT— Qit
'I
Подставляя эти соотношения в урав-
нение (25.16), получим
Рис. 25.18. Соединение уголка
с листом
и по ГОСТ 8509- 86 принимаем уголок 100Х
X 100X10 мм, для которого а, =28,3 мм, а2 =
= 71,7 мм.
2. По табл. 25.1 находим допускаемое на-
пряжение среза в шве [т|и]=0,6ат = 0,6-160 =
= 96 МПа и по формуле (25.4) при kp = s —
= 10 мм (s толщина уголка) вычисляем
требуемую длину шва:
F 300 000
0,7*р [тш] - 0,7-10-96
мм.
или усилие на /-ю заклепку
Усилие на наиболее нагруженную заклепку
Qmax = maX(Q/r+O
откуда модуль этого усилия
Qi max — max (У <2,у+2<2;/7<?(Г COS <Pj),
где <р, — угол между векторами сил
и Q,r.
Диаметр заклепки при известной внеш-
ней нагрузке и ее материале находится по
формуле (25.12).
Пример. Рассчитать сварное соединение
уголка и полосы (рис. 25.18) из стали СтЗ при
статической нагрузке Г = 300 кН. Сварка дуго-
вая ручная электродами Э42.
1. Из условия прочности уголка по допус-
каемым напряжениям [ор] = 160 МПа определя-
ем площадь его сечения
А = F/[op] = 300 000/160 = 1875 м м 2
10*
3. Принимая, что соединение уголка с лис-
том может быть выполнено лишь фланговы-
ми швами (L<60£p), по формуле (25.5) нахо-
дим их длину:
/i=L
12 = L
П2
01+02
Qi
О| +о2
= 446
= 446
71,7
28,3 + 71.7
^320
мм;
----—-------126
28,3 + 71,7
мм.
Если соединение выполнить одним лобо-
вым швом длиной /==100 мм (см. рис. 25.12),
то суммарная длина фланговых швов
Z., = L —/ = 446—100 = 346 мм
и длина фланговых швов
/,.=248 мм и /2-=98 мм.
Таким образом, за счет лобового шва уда-
ется уменьшить металлоемкость соединения.
Фактическую длину сварных швов берут
на 10...15 мм больше расчетной для компенса-
ции ослабления швов из-за дефектов (непрова-
ра в начале и кратера в конце шва).
Вопросы для самопроверки
1. Какие виды соединений дуговой и газо-
вой сварки применяют в конструкциях?
2. Как формулируется условие прочности
стыковых и нахлесточных соединений?
3. В какой форме оценивают прочность
291
сварных соединений при переменных нагрузках?
4. Какие достоинства имеют паяные и кле-
евые соединения но сравнению со сварными
и как оценивают их прочностную надежность?
5. Укажите типы заклепочных соединений,
используемые в конструкциях.
6. Но каким критериям оценивают рабо-
тоспособность заклепочных соединений?
Глава 26
РЕЗЬБОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
§ 26.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Резьбовыми называют соединения де-
талей с помощью резьбы. Они являют-
ся наиболее распространенным видом
ратьемных соединений. Резьбу имеют
Свыше 60 % деталей, применяемых в
конст рукциях.
Резьба и ее параметры. Две детали,
образующие соединение, имеют соответ-
ственно на наружной и внутренней повер-
хностях винтовые (по винтовой линии)
выступы— наружную и в и у т р е н-
нюю резьбу (рис. 26.1). Резьба мо-
жет изготовляться на цилиндрической
цилиндрическая резьба — и кониче-
ской -- коническая резьба — поверхно-
стях заготовки. Если на поверхность
детали наносится один винтовой выступ,
Рис. 26.1. Резьбовое соединение
резьбу называют однозах одной. Примени
ют также многозаходные резьбы.
Резьбу получают (формируют) мето-
дом резания накатыванием (обработкой
давлением), литьем и прессованием (ком-
позиционных материалов, порошков).
По форме профи л я различают
треугольную (метрическую, трубную),
прямоугольную, круглую, трапециевидную
и упорную резьбы. Наиболее распростра-
ненные профили резьб показаны на
рис. 26.2, а, д.
1 Ранее основной способ формирования
резьбы, давший ей название.
Рис. 26.2. Основные типы резьб:
упорная; в трубная; г прямоугольная; д трапецеидальная
а треугольная метрическая; 6
292
Основные геометрические параметры
цилиндрических резьб включают: наруж-
ный d, средний d2 и внутренний ф диа-
метры резьбы, шаг резьбы Р, угол профи-
ля а и число заходов п.
11 о наврав л е и и ю винт о в о й
л и н и и различают правую (использует-
ся fr абсолютном большинстве конструк-
ций) и левую резьбы.
В машиностроении и приборостроении
широко применяется метрическая резьба
(рис. 26.2, а). Области применения дру-
гих типов резьб ограничены преимуще-
ственно специальными конструкциями.
В СССР и других странах разработа-
ны стандарты на основные определения
и обозначения элементов резьб, а также
типы резьб (ГОСТ 9150 81 и др.)
Крепежные детали и типы соедине-
ний, Наибольшее распространение среди
резьбовых деталей получили крепежные
болты, винты, шпильки, гайки. Под бол-
том (рис. 26.3, а) или винтом
(рис. 26.3, б) понимают стержень с голов-
кой и одним резьбовым конном. Шпилька
(рис. 26.3, в) имеет два резьбовых конца.
С помощью этих деталей образуют
разъемные с о е д и н е и и я б о л т о м,
в и н т о м и ш п и л ь к о й в разнообраз-
ных конструкциях. Выбор типа соедине-
ния определяется прочностью материалов
соединяемых деталей, частотой сборки и
разборки соединений в эксплуатации, а
также особенностями конструкции и тех-
нологии изготовления соединяемых дета-
лей. Например, соединение болтом приме-
няют для деталей сравнительно малой
Рис. 26.3. Основные тины соединений:
а ботом; б вингом; в
шпилькой
исков или фланцев), а также при мно-
гократной разборке и сборке соединений.
При большой толщине соединяемых дета-
лей предпочтительны соединения с по-
мощью шпилек.
Для предотвращения повреждений
поверхностей соединяемых деталей при
завинчивании гаек используют шайбы
(рис. 26.3, а).
К о и с т р у к т и в и ы е ф о р м ы
г о л о в о к б о л т о в и винт о в, г а-
ек (рис. 26.4, а, б) разнообразны, исполь-
зование их в конструкциях определяется
преимущественно условиями работы сое-
динений, технологией изготовления кре-
пежных деталей, их сборкой и т. д. В на-
шей стране и за рубежом существуют
стандарты на болты, винты, гайки и шай-
бы наиболее распространенных форм.
Рис. 26.4. Тины головок болов и винтов (а I и гаек (б)
293
Материалы крепежных деталей. Ос-
новные механические характеристики
(предел прочности ов, предел текучести
от, относительное удлинение 6 и др.) ма-
териалов болтов (винтов), шпилек и гаек
нормированы ГОСТ 1759—82. В зависи-
мости от них крепежные детали подразде-
ляют на классы прочности. Для болтов
установлены 12 классов, для гаек —
7 классов прочности. В табл. 26.1 приве-
дены краткие сведения из ГОСТ 1759—82.
Таблица 26.1
Механические характеристики материалов
болтов (винтов) и шпилек из углеродистых
и легированных сталей при нормальной
температуре (ГОСТ 1759—82)
Класс проч- ности ов, МПа МПа Марка стали
min max
3.6 300 490 200 СтЗ; 10
4.6 400 550 240 20
5.6 500 700 300 30; 35
6.6 600 800 360 35; 45; 40Г
8.8 800 1000 640 35Х; 38ХА; 45Г
10.9 1000 1200 900 40Г2, 40Х, ЗОХГСА, 16ХСН
Примечание. Первое число в обозначении
класса прочности, умноженное на 100, равно о. т,г,
второе, деленное на 10, соответствует приблизитель-
но отношению о./о,.
§ 26.2. ОСОБЕННОСТИ РАБОТЫ
РЕЗЬБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Затяжка соединений. Резьбовые сое-
динения обычно работают в затянутом
состоянии. Их затягивают при сборке га-
ечными ключами (рис. 26.5, а, б) и специ-
альными механизированными инструмен-
тами. Усилие Гкл, прикладываемое к руко-
ятке ключа, создает момент затяжки
(вращающий момент на ключе):
Гк.^Гк.Дкл, (26.1)
где LK.i—длина ключа (рис. 26.6).
Момент затяжки расходуется на пре
одоление грения торца гайки о неподииж
н\ю поверхность соединяемых легален и
сопротивления в резьбе:
Гк.,= Гт + Тр. (26.2)
Допустим, что контактные напряже-
ния (давления) q от усилия затяжки Fo
равномерно распределены по торцу гайки.
Тогда из уравнения равновесия гайки
найдем
7T = 4f0/[n(P2-d2)].
Если принять, что удельные силы трения
Tf связаны с давлениями <ут зависимостью
Выбор материала определяется усло-
виями работы (часто прочностью дета-
лей), технологией изготовления деталей
и др. В массовом производстве крепеж-
ные детали изготовляют обработкой дав-
лением из пластичных сталей 10, 15, 15Х
и др. В специальных конструкциях, к ко-
торым предъявляются жесткие требова-
ния по массе, тепло- и коррозионной
стойкости, используют крепежные детали,
изготовленные из пластмасс, титановых
и бериллиевых сплавов, а также коррози-
онно-стойких, жаростойких и жаропроч-
ных сталей.
Для защиты крепежных деталей из
углеродистых сталей от коррозии на них
наносят окисные пленки или
гальванические покрытия
(цинковое, кадмиевое, фосфатное, медное
и др.) толщиной 6...12 мм.
294
Рис. 26.5. Гаечные ключи:
а — накидной; б — торцовый
Рис. 26.6. Расчетная схема затяжки соеди-
нения
то с учетом этих равенств можно записать
0/2
Ту= 2fT7Tnr2dr =
= 1Ж (26.3)
В этих равенствах D -- наружный ди-
аметр опорной поверхности гайки, равный
приблизительно размеру под ключ S;
d0 — диаметр отверстия в корпусе
(рис. 26.7); R-.—приведенный радиус
трения.
Значение /?т зависит от формы торца;
для плоского кольцевого торца
р 1 °3-rfo
? з D2_rf2-
Для определения момента сопротивле-
ния в резьбе выделим на рабочей повер-
хности резьбы болта элементарную пло-
щадку dA, удаленную от его оси на рассто-
яние rfa/2 (dz — средний диаметр резьбы).
На эту площадку действуют
(рис. 26.7) осевая сила FoA и реакция от
гайки RA:
R А = Р пл + F тЛ>
Рнс. 26.7. Схема сил в затянутом
соединении
где F„A и FtA -- соответственно нормаль-
ное усилие и сила трения на площадке.
Величина этой реакции
Ra = Fод/cos (Р + р).
Здесь p = arctg/p — угол трения; /р - ко-
эффициент трения в резьбе; P=p/(nd2)-
угол подъема винтовой линии; Р - шаг
резьбы.
Коэффициент трения /р связан с ко-
эффициентом трения фрикционной пары
f зависимостью
/p=f/(cos а/2),
где а — угол профиля резьбы.
Обычно fP = 0,05...0,4 и зависит от на-
личия и вида покрытия резьбы, смазочно-
го материала и т. д.
Так как окружное усилие на площад-
ке (L4 равно Ra sin (рфр), то вращающий
момент в резьбе (А — поверхность кон-
такта)
Г ^9
7/ = ) ^-^sintf + p)
Подставляя в это равенство соотно-
шение для Ra и учитывая, что углы Р и р
для данной резьбовой пары постоянны,
будем иметь
Tp = 0,5d2 tg (Рф-р) \ FM d/l =
= O,5Fod2tg(p + P). (26.4)
Соотношение (26.4) можно записать
в виде (fpP/(nd2)« 1):
TpAskF^d, (26.5)
где fe«0,5d2/d [P/(nd2) + fP]-
Внося равенства (26.3) и (26.5) в
уравнение (26.2), получим приближенную
зависимость момента на ключе от усилия
затяжки:
TKn = k^Fod.
(26.6)
„ ь ь । жж
Здесь k =r-|-----— - коэффициент, за-
fl
висящий от состояния поверхности (вида
покрытия) болта, гайки и шайбы; обычно
для упрощения принимают fi = fP, d> = d,
295
S=l,7d, тогда значения /гкл будут следу-
ющие:
Поверхность без покрытия . . . 0,2
» оцинкованная . . . 0,22
» оксидированная . . 0,24
Усилие затяжки растягивает болт и
нормальные напряжения в болте при затя-
ж ке:
(1о = = 4FklLK1/(kK.,nd',d).
Момент сопротивления в резьбе скру-
чивает стержень болта, вызывая каса-
тельные напряжения:
____Ъ
Wp ~ 0,2d°
«(0,3...0,5)о0.
Эквивалентные напряжения
о,к„=Л/оо+ток»(1,1...1,3) а0.
Можно показать, что при усилии ра-
бочего /7к,1 = 3()0 И, d = 6 мм, /гКл = 0,2 и
нормальной длине ключа /_кл = 15с/ напря-
жение затяжки составит оо = 800 МПа,
что превышает предел прочности мало-
углеродистой стали.
Опасность перетяжки болтов (шпи-
лек) диаметром d<10 мм предопределя-
ет необходимость ограничения и контроля
момента затяжки. Этот момент на прак-
тике измеряют и задают с помощью дина-
мометрических ключей. На рис. 26.8 по-
казан ключ, в котором момент затяжки
пропорционален перемещению точек стер-
жня 1 с рукояткой 2 (относительно плас-
тины 3 со шкалой), жестко связанной
с головкой ключа.
Известны и другие способы контроля
усилия (напряжения) затяжки болтов
(шпилек, винтов).
Резьбовые соединения при постоян-
ных нагрузках принадлежат к числу са-
Рис. 26.8. Динамометрический ключ
мотормозящихся, так как обычно коэффи-
циент трения /р<0,06 и угол трения р<
< р. Поэтому для отвинчивания гайки
требуется приложить момент
7'„T„ = 0,5F(//2tg(p —р).
Но опытным данным Т.т,=
= (0,7...1,0) Гк.,, где Гкл— момент началь-
ной затяжки гайки.
Однако при вибрациях, носящих сис-
тематический или случайный характер,
резьбовые соединения часто «теряют» на-
пряжение предварительной затяжки в ре-
зультате сминания микронеровностей на
рабочих поверхностях резьбы и т. д., а
также из-за самоотвинчивания (самопро-
извольного отвинчивания), которое вызы-
вается существенным снижением коэффи-
циента трения в резьбе и на торце гайки
при вибрациях.
Для предотвращения самоотвинчива-
ния производят фиксацию (стопорение)
болтов и I аек относительно корпусных
деталей.
На практике используют множество
различных конструкций стопорящих эле-
ментов, основанных па двух принципах
передачи сил от одной детали к другой:
фрикционном сцеплении и зацеплении
(запирании). На рис. 26.9, а — м в ка-
честве примера показаны распространен-
ные стопорящие элементы, с помощью
которых создают дополнительное трение
в резьбе (за счет контргайки, обжатой на
эллипс тонкостенной части самоконтря-
щейся гайки, стопорного кольца или про-
бки из полиамида (рис. 26.9, а — г), до-
полнительное трение на торце гайки (за
счет специальных шайб, рис. 26.9, д
ж), а также осуществляют взаимную
фиксацию гаек (головок болтов) и кор-
пусных деталей (с помощью шплинтов,
деформируемых шайб, проволоки, удер-
живающих накладок, кернения и др.,
рис. 26.9,з л).
Усилия в затянутом соединении. При
затяжке гайка получает осевое перемеще-
ние 6», пропорциональное углу поворота
гайки (при повороте гайки на 360° осевое
перемещение ba = P, Р шаг резьбы), вы-
зывает сжатие стягиваемых деталей на
величину Лл и растяжение стержня болта
на величину Лг, (рис. 26.10, а, б). При этом
^о= Лд + Лб-
296
Рис. 26.10. Схемы соединения (и) и деформаций деталей соединения после
затяжки (<5) и при действии внешней силы (а)
Рис. 26.11. Диаграмма усилий в болтовом со-
единении
Совместную работу болта и стягивае-
мых деталей наглядно описывает диаг-
рамма усилий в соединении, показанная
на рис. 26.11. Кривые деформирования
(прямые при упругом нагружении) болта
(прямая 01) и соединяемых деталей (пря-
мая ОН) показывают зависимость усилия
в болте и деталях от их удлинения при
растяжении (укорочения при сжатии).
Для стержневых моделей болта и стяги-
ваемых деталей:
Аб= Р о4/(£<Иб) = ^(Лб1
где If, и 1Л— длина деформируемой части
болта и стягиваемых деталей; Ег, и ЕЛ—
модули упругости материалов болта и де-
талей; Аг, и Лд-- площади поперечных се-
чений болта и деталей; Хб и Хд— коэффи-
циенты податливости болта и деталей —
перемещения под действием силы в 1 Н,
Лб = /б/(£-бЛ6); Ля=/д/(ЕдДд). (26.7)
Заметим, что углы а,в и ад наклона
прямых на диаграмме характеризуют со-
ответственно жесткости болта и деталей
и определяются равенствами
tg «б = сб= 1/Аб; tg ад = сд= 1/Хд>
(26.8)
где Сб и сд коэффициенты жесткости бол-
та и стягиваемых деталей.
Площадь поперечного сечения дета-
лей может быть очень большой. Но при
действии осевой силы от гайки (головки
болта) деформации концентрируются
вблизи стенок отверстия деталей, сущес-
твенно снижаясь по мере удаления от
стенок. В результате в стягиваемых дета-
лях на сжатие работает преимущественно
объем материала в пределах условного
конического стержня (рис. 26.12) —ко-
нуса давления.
Угол наклона образующей конуса к
оси на основании данных экспериментов
и расчетов
tg а = 0,4...0,5.
Для промежуточных деталей небольшой
толщины (/<0,5d) коническую модель
Рис. 26.12. Конусы давления
298
деталей можно заменить полым цилинд-
ром с наружным диаметром
dK = S + l tg а,
где S — размер гайки иод ключ.
В этом случае
4/
Хд=---------------(26.9)
Ba.-r[(S + /tga)2-d2]
Внешняя сила F вызывает допол-
нительное удлинение болта на величи-
ну 6. На такую же величину умень-
шится начальное сжатие деталей
(см. рис. 26.10, в). Силы, возникающие
в болте и стягиваемых деталях от внеш-
ней нагрузки, можно определить из ди-
аграммы усилий, показанной на рис.
26.11. Для удобства рассмотрения совме-
стим на диаграмме лучи 01 и 011 (проведя
через точку Вб прямую 01Г, параллель-
ную прямой 011). И если теперь на рас-
стоянии 6 от точки Вб провести прямую,
параллельную оси ординат, то отрезок
BgB* этой прямой будет равен силе
F. При этом ординаты точек В*б и В* бу-
дут показывать соответственно полное
усилие в болте F„ и остаточное усилие на
стыке Fc:
F„ = F0 + F6- Вс = Во-Вя, (26.10)
где Fe и Вд- дополнительные силы, дей-
ствующие на болт и стягиваемые детали
от силы F.
Из треугольников Bf/lBg и Bg/IB* и
равенств (26.8) следует, что
6= В6Х6 = ВдХд.
Так как сумма усилия
Fs+F^F,
то из этих уравнений найдем дополни-
тельную силу на болт
F = ?F (26.11)
Аб“Г Ад
и силу, уменьшающую начальное сжатие
стыков:
Fa = (1-x)F, (26.12)
где х коэффициент основной нагрузки:
показывает долю внешней (рабочей) на-
грузки, воспринимаемой болтом в затя-
нуюм соединении, обычно х = 0,2...0,4.
Для болта (шпильки) постоянного се-
чения по длине и при /б = /д
Х = i^FA /(FAY (26'13)
Л-б + Лд I + Лд/1д/(Сб/1б)
Полная сила на болт (шпильку)
f„ = F0 + xF (26.14)
и остаточная сила на стыке соединяемых
деталей
ВС = ВО-(1 -х) F. (26.15)
Расчет резьбового соединения вклю-
чает в себя обычно две связанные между
собой задачи: оценку прочности соедине-
ния; оценку плотности (геометричности)
стыка.
Прочность соединения определяется,
как правило, прочностью болта (шпиль-
ки) и для ее оценки необходимо знать
напряжения в сечении с наименьшей пло-
щадью.
Если внешняя нагрузка на болт изме-
няется циклически от 0 до Вс (см. рис.
26.11), то амплитуда переменных напря-
жений в сечении болта по внутреннему
диаметру резьбы
о^О.бЕб/Л^О.бхВ/Л, (26.16)
и среднее напряжение
om = (F о + 0,5В6)/Д t = (Во + 0,5ХВ)/Д,.
(26.17)
Плотность стыка характеризуется си-
лой Вс, определяемой по формуле (26.15).
Если сила на стыке станет равной
нулю (Вс = 0), то стык раскроется (разгер-
метизируется) и вся внешняя нагрузка
будет восприниматься болтом, что опасно
для его прочности (особенно при пере-
менной нагрузке).
Для предотвращения раскрытия сты-
ка должно быть
Вг>0,
тогда минимальная сила затяжки
Лтп>0 —X) F.
Обычно назначают
fo = v(l-x)B, (26.18)
где v запас по плотности стыка; v —
= 1,25...2 для постоянных нагрузок;
v = 2,5...4 - для переменных нагрузок.
299
Таким образом, сила затяжки опреде-
ляется значением внешней нагрузки.
Допустимое напряжение затяжки
<т() = Л()/Л । <0,8<т,,
где От- предел текучести материала бол-
та, обычно назначают о1) = (0,5...0,7) о,.
§ 26.3. КРИТЕРИИ РАБОТОСПОСОБНОСТИ
И РАСЧЕТЫ РЕЗЬБОВЫХ СОЕДИНЕНИЙ
Опыт эксплуатации машин, приборов
и аппаратов показал, что отказы соедине-
ний обычно происходят из-за разрушения
резьбовых деталей и разгерметизации
стыков.
Разрушение соединений (при статиче-
ских и переменных нагрузках) происхо-
дит, как правило, из-за поломок болтов
и шпилек по резьбовой части. Реже
встречаются поломки болтов под голов-
кой и срез витков резьбы в гайке (корпу-
се) и на болте (шпильке).
Для предотвращения разрушения сое-
динений вследствие среза резьбы и отры-
ва головок болтов стандартные гайки на-
значают высоту // = 0,8d, а высота голо-
вок болтов (винтов) принимается Л =
= (0,5...0,6) d, где d диаметр резьбы.
Потеря плотности стыков происходит,
как правило, из-за чрезмерной внешней
нагрузки или недостаточной силы затяж-
ки болтов.
Таким образом, прочность и плот-
ность соединений являются основными
критериями их работоспособности.
Оценку прочностной надежности резь-
бовых соединений производят но запасам
прочности.
Запас прочности при действии стати-
ческой нагрузки
n„ = <T„/am.,x<[n„], (26.19)
где <тв предел прочности материала бо-
лта (см. табл. 26.1); отач - максималь-
ное напряжение в болте, оП1ах = ога + оа;
[п„]^ 1,5 допускаемый запас статической
прочности.
Запас прочности при действии пере-
менной нагрузки
= (26.20)
где Ош, предел выносливости резьбового
соединения (табл. 26.2); |п0]^2,5 до-
Таблица 26.2
Значения о„„ для болтовых соединений при
п,„ Js0,5nr
Болт и Пв Пр оо„. МПа
гайка из
стали (сплава) МПа МПа резьба нареза на резьба пака - т а на
35 500...600 200 55 65
45 900... 950 250 60 75
38ХА 1000... 1200 300 80 85
ЗОХГСА 1200... 1300 300 75 85
ВТ 16 1 150... 1250 350 60 70
пускаемый запас прочности но перемен-
ным напряжениям.
Отметим, что в зависимости (26.20)
среднее напряжение не учитывается, так
как экспериментально установлена неза-
висимость предела выносливости резьбо-
вых соединений от среднего напряжения
при о„, 0,5гц.
Предел выносливости резьбового сое-
динения можно определить также из со-
отношения
(iull = civ„K„d/K„, (26.21)
где а,,,, предел выносливости гладкого
стандартного образна (из материала бол-
та) при растяжении; Knd коэффициент,
учитывающий влияние масштабного эф-
фекта;
Резьба. . . . Мб М8 MIO MI2 М24
K„d............I 0.7,5 0,7 0,65
Ка эффективный коэффициент концен-
трации напряжений,
Х.,= 1 -Н (а,,— 1).
В этом соотношении q •— коэффициент
чувствительности материала к концент-
рации напряжений; а„--теоретический
коэффициент концентрации напряжений,
а„ = а*пах/ан- гле °'w максимальное
нормальное напряжение во впадинах
резьбы от внешней нагрузки, определен-
ной методами теории упругости или эк-
спериментально; <т„ - номинальное напря-
жение во впадине того же витка, вычис-
ленное по формуле сопротивления мате-
риалов.
В резьбовых соединениях имеется вы-
сокая концентрация напряжений в резьбе
(рис. 26.13, а), обусловленная формой вит-
зоо
Рис. 26.13. Распределение напряжений (и)
а)
нении
Рис. 26.14. Расчетные схемы болтовых соединений
ков и неравномерным распределением на-
грузки между рабочими витками. В приме-
ре на рис. 26.13, а соединение растянуто
силой /? = ола!^/4 (<Т =9,1 -- диаметр стер-
жня болта), которая вызывает во впадине
иод первым (от опорного торца гайки)
рабочим витком максимальное напряже-
ние о*,ах=5,45 МПа.Номинальное напря-
жение в этом же сечении о„ = 4/-'/(лд^) =
= 1,28 МПа (7 =8,05 - внутренний диа-
метр резьбы), теоретический коэффициент
концентрации напряжений а„ = 4,26. При
менынем радиусе скругления во впадинах
резьбы, например r = 0,108с/, теоретичес-
кий коэффициент концентрации напряже-
ний а0 = 4,65. Распределение нагрузки
между витками (Л нагрузки на отдель-
ные витки) в процентах от общего усилия F
показано на рис. 26.13,6. Видно, что первый
рабочий виток воспринимает свыше 30 %
внешней силы, а шестой виток менее 6 %.
При проектировании соединений оп-
ределяют диаметр резьбы болта из расче-
та по допускаемым напряжениям.
Можно указать следующие случаи на-
гружения резьбовых соединений, наибо-
лее часто встречающиеся на практике.
1. Болт (шпилька) установлен в от-
верстие в корпусных деталях с зазором.
Соединение нагружено продольной силой
F (рис. 26.14, а). Полагают, что вся
внешняя нагрузка воспринимается бол-
том. Тогда в сечении стержня болта по
внутреннему диаметру резьбы возникнут
напряжения растяжения
of=F/A , = 4/-/(ndf). (26.22)
Условие прочностной надежности стер-
жня болта по допускаемым напряжениям
Ор<(а(,)-
Из этого условия и равенства (26.22)
внутренний диаметр резьбы болта но за-
данному внешнему усилию можно найти
по формуле
[ор]).
(26.23)
301
Таблица 26.3
Отношение [ар]/ат для резьбовых соединений (d — наружный диаметр резьбы)
Сталь Постоянная нагрузка Переменная нагрузка от 0 до максимальной
d =6... 16 мм d = 16...30 мм б/~6...16 мм d = 16...30 мм
Углеродистая 0,20...0,25 0,25...0,40 0,08...0,12 0,12
Легированная 0,10...0,30 0,20...0,30 0,10...0,15 0,15
В табл. 26.3 приведены величины до-
пускаемых напряжений в долях от пре-
дела текучести материала болта, а в
табл. 26.4 даны значения d\ для резьб
различных диаметров.
Таблица 26.4
Значения наружного диаметра d, шага Р
и внутреннего диаметра резьбы d\
по ГОСТ 9150—81 (размеры в мм)
d Р d, d Р di
5 0,8 4,018 1,0 16,773
6 1.0 4,773 18 1,5 16,160
8 1.0 6,773 2,0 15,546
1,25 6,466 2,5 14,932
1.0 8,773 1.0 18,773
10 1,25 8,466 1,5 18,160
1.5 8,160 20 2,0 2,5 17,546 16,932
1.0 10,773
12
1,25 10,466 22 1,0 20,773
12 1.5 10,160 1,5 20,160
1.75 9,853 22 2,0 2,5 19,546 18,932
1.0 12,773
14 1.5 2,0 12,160 11,546 24 1,0 1,5 2.0 22,773 22,160 21,546
1,0 14,773 3,0 20,319
16 1,5 14,160
2,0 13,546
2. Болт установлен в отверстие соеди-
няемых деталей без зазора (рис. 26.14,6)
и соединение нагружено поперечной силой.
Разрушение его может произойти (подоб-
но заклепке) в результате среза болта
в сечении, лежащем в плоскости стыка
деталей, а также смятия стенок отвер-
стия.
Болт рассчитывают как заклепку, ди-
аметр стержня болта
d^AF/n [тс], (26.24)
где [тс]—допускаемое напряжение на
срезе, М.Па, [тс]=(0,2...0,3) от; от — пре-
дел текучести материала болта (с.м.
табл. 26.1).
Область применения таких соединений
ограничена в основном соединениями тон-
колистовых конструкций (авиа-, судостро-
ение и др.) по технологическим сообра-
жениям. Сложность изготовления безза-
зорного соединения в условиях производ-
ства вынуждает устанавливать болты с
небольшим натягом (до 0,015dc), что су-
щественно удорожает сборку соединений.
3. Болт установлен в отверстие соеди-
няемых деталей с зазором (рис. 26.14,в).
Соединение нагружено поперечной силой.
Неподвижность соединения может
быть обеспечена силами трения на стыке,
а для этого на стыке должны быть нор-
мальные усилия от затяжки.
Условие взаимной неподвижности де-
талей соединения
W/,
где F/ — сила трения, Б/ = (Бо\ Ло —сила
затяжки соединения; f — коэффициент
трения на стыке деталей, / = 0,1...0,2 —
для необработанных стыков.
Усилие Fa вызывает в сечении болта
диаметром dx напряжения растяжения и
кручения, и условие прочности болта по
допускаемым напряжениям примет вид
1,3-4F0
°ЭКВ .9
откуда внутренний диаметр резьбы
болта
[с pl-
dx =y5,2F0/(n/[aJ). (26.25)
302
§ 26.4. ОСОБЕННОСТИ РАСЧЕТА ГРУППО-
ВЫХ (МНОГОБОЛТОВЫХ) СОЕДИНЕНИЙ
Расче' р ч 11!; \ б, • г t )i>, । ,i х cov.uine
iniii cno.ir.icn к <111р<-;itt iii:iu (..ii’oo.icv
iji\жен-ioi ' > 6n.n;i •! . 'Ил икс eio прочнее i n.
При действии осевой рас-
тягивающей силы R (например,
соединения сосудов и т. и., рис. 26.15) при-
нимают, что эта сила равномерно рас-
пределяется между болтами. Нагрузка на
один болт (п — число болтов)
F = R/n.
Далее диаметр резьбы болта находят
по формуле (26.23).
Рис. 26.15. Расчетная схема со-
единения сосуда
При совместном действии
растягивающей силы и изги-
бающего момента (рис. 26.16, а)
болты воспринимают неодинаковые силы.
Для определения наиболее нагруженного
болта соединение схематизируют в виде
группы одиночных соединений (по числу
болтов), объединенных абсолютно жес-
ткой (недеформируемой) диафрагмой в
форме реальной корпусной детали
(рис. 26.16,6). Такая схематизация рав-
носильна обычному допущению, что при
нагружении соединения деформируются
только болты и часть объема материала
детали вблизи болта, а поворот детали
при нагружении происходит вокруг оси,
проходящей через центр тяжести сечений
болтов.
Примем, что для Z-ro болта с пло-
щадью поперечного сечения foi и длиной
lot эквивалентная по податливости втул-
ка имеет площадь fn и длину In — lot (ди-
афрагма присоединена к наружной повер-
хности детали).
Предположим, что болты затянуты
одинаковой силой Fo, затем соединение
нагружено силой R и моментом Мх.
Обозначим через перемещение ди-
афрагмы вдоль оси Z-ro болта, тогда уси-
лие Fi, с которым диафрагма действует
на Z-e соединение,
Fi = ^t/K (26.26)
где X, — коэффициент податливости Z-ro
соединения.
Значения коэффициента податливости
X,- определим, положив, что часть силы
Fi=Fj„ идет на деформацию болта
(растяжение), а другая часть У7,.,— на
растяжение втулки. Тогда
6 _ Fi6lw __ FJn
F oif ш Fyln
ИЛИ
^=F^Oi=F^n- (26.27)
Учитывая, что
Л=^,б + Лл=6/(1 Aw+1/^ь),
а также равенство (26.26), найдем
Рис. 26.16. Расчетная схема соединения
303
1 1 I
, — - ~t’ —
К Ми л|<
L'lilui ]il It
='"iltr+ /7,
Перемещение точек диафрагмы мож-
но записать в форме
Ж^о + ч/Л (26.29)
и усилие па Ле соединение
/••, = (6п + <^Ж. (26.30)
где Ли смешение точки О, (совпадаю
шей с центром тяжести сечений болтов)
диафрагмы в направлении оси z от рас-
тягивающей сиды; ф угол поворота
плоскости диафрагмы от ииибаюшего
момента.
Так как сила возникает в болтах от
действия силы/? и момента ЛЬ, то
Z
Внося в эти уравнения зависимость
(20.30), получим
Hi уравнений (26.31) можно опреде-
лить параметры и ф. В частном случае,
когда податливости всех болтов (л(„ =
/.о —const) и податливости эквивалент-
ных втулок одинаковы (Z|, = Zi = const), то
будут одинаковыми податливости одиноч-
ных соединений (X, Z = const). Тогда для
осей координат, помешенных в центре тя-
жей и сечений стержней болтов,
II
у ,ф/х=о.
< -1
и решение задачи упрощается.
Hi уравнений равновесия (26.31)
следует
Подставим эти выражения в уравне-
ние (25.29) и найдем
Откуда дополнительная сила, действу-
ющая на Ли болт.
R
п
(26.32)
Очевидно, что наибольшее усилие бу
дет воспринимать болт с координатой
У1==</пк1х- Учитывая равенства (26.13).
(26.28) и (26.32), будем иметь
—х/ -4 . (26.33)
In '• 1
\ Zу2>)
где х коэффициент основной нагрузки
одиночного соединения.
В упрощенном расчете соединения
можно принять х = (),2...0.25 и, задавшие!)
числом болтов и значениями у,, найти по
внешней нагрузке величину А6п|ах. Диа-
метр болта далее находится ио формуле
(26.23).
Пример. Рассчитать болты (/!,-,= 6) флан-
цевой мхфгы (рис. 26.17), передающей мош
Рис. 26.17. Фланцевая муфт а
301
пость 100 кВт при частоте вращения п =
250 мин диаметр окружности осей болтов
/>,. — 220 мм. Расчет произвести для двух вари-
антов; I болты установлены без зазора; II
болты установлены с зазором, коэффициент
трения между торцами полумуфт / = 0,15.
Решение. 1. Определяем передаваемый
вращающий момент
7- ..= 30/5 |()б_ 30-100-10в_
л/г 3,14 250
= 3,82-106 Н-мм.
2. Находим окружное усилие, передавае-
мое одним болтом.
2Д-3’-82 ’ 5800 Н.
220-6
Глава 27
СОЕДИНЕНИЯ ТИПА
ВАЛ-СТУПИЦА
§ 27.1 . СОЕДИНЕНИЯ С НЛТЯЕОМ
Соединения деталей машин с натя-
гом рао1о<1ыо посадочных размеров
ос\iiieCTB.i як> г за снег сил \нр\гости oi
их нредвариiел иной деформации.
С помощью натяга соединяют детали
с соосными (цилиндрическими, рис. 27.1)
и реже коническими поверхностями кон-
такта. Соединения использую г для пере-
дачи вращающею момента и сил между
сопрягаемыми де-тлями (рис. 27.2).
уделяем ,т
(26.24)
3. 11о формуле
стержня болта, установленного без зазора.
Принимаем материал болтов сталь 45, а.=
470 МПа, [т,]=0,3-о, = 0,3-470= 141 МПа,
V4F, / 4.5800
- =Д / — = 7,3 мм.
.-т|т(| у 3,14-141
Принимаем болт с резьбой М10, имеющий
наружный диаметр 10 мм.
4. По формуле (26.23) находим внутрен-
ний диаметр резьбы болта, установленною с
затором. Допускаемое напряжение [о„] =
0,3-а, = 0,3-470= 141 МПа (см. табл. 26.1),
/ Д2-5800 _
= уТ14-о,15-.74Г = 21’эмм-
Из габл. 26.4 находим, что условию задачи
удовлетворяет болт с резьбой М24, таг Р -=
= 2 мм, для которой rf, =21,546 мм.
Видно, что при установке в муфгу
болтов без зазора их диаметр оказывает-
ся почти в 2,5 раза меньшим. Однако
сложность реализации на практике такой
посадки вынуждает использовать менее
целесообразный вариант установки бол-
тов с зазором.
Рис. 27.1. Соединения с натягом:
а бандажа с центром колеса и центра кодеси
с осью жедез подорожай! о юн она; б шарики
подшипника с вадом
Рис. 27.2. Схемы сид и со-
единении
305
Соединения собирают преимуществен-
но механическим и «тепло-
в ы м» способами. В первом случае
охватываемую деталь (например, вал) с
помощью пресса 1 (или молотком) встав-
ляют в охватывающую деталь (например,
подшипник) или наоборот. Во втором слу-
чае охватывающую деталь нагревают
(или охватываемую деталь охлаждают)
до температуры, обеспечивающей свобод-
ное совмещение деталей. Натяг в соедине-
нии образуется после их охлаждения.
Соединения с натягом просты в изго-
товлении, обеспечивают хорошее центри-
рование и фиксирование взаимного поло-
жения сопрягаемых деталей, могут вос-
принимать значительные статические и
динамические нагрузки.
Недостатки соединений обусловлены
сложностью демонтажа и возможностью
повреждения посадочных поверхностей
при этом; склонностью к контактной кор-
розии из-за неизбежных осевых микрос-
мещений точек деталей вблизи краев сое-
динения и, как следствие, пониженной
прочностью соединений при переменных
нагрузках.
Виды повреждений и критерии рабо-
тоспособности соединений. Опыт проекти-
рования и эксплуатации соединений в ма-
шинах, приборах и аппаратах показал,
что соединения выходят из строя в ре-
зультате «сползания» (взаимного осевого
смещения) охватывающей детали по ох-
ватываемой и разрушения деталей (глав-
ным образом охватывающих).
Взаимные осевые смещения деталей
соединений происходят вследствие чрез-
мерных сдвигающих сил, а также в ре-
зультате «срабатывания» посадки,
т. е. потери натяга из-за коррозионно-
механического износа при микросмещени-
ях деталей в процессе циклического на-
гружения.
Ослабление первоначального натяга,
а также разрушение охватывающих дета-
лей вызываются чрезмерной внешней на-
грузкой или чрезмерным расчетным на-
тягом.
Таким образом, критериями работо-
способности соединений будут несущая
। Отсюда соединения часто называют
прессовыми.
способность (прочность сцепления) и
прочность деталей.
Несущая способность соединения. Пе-
редача нагрузки (осевой силы, вращаю-
щего момента) от одной детали соедине-
ния к другой происходит за счет сил
сцепления, наибольшее значение которых
равно силам трения. В связи с этим усло-
вие взаимной неподвижности (неразбира-
емости) деталей соединения имеет обыч-
ный вид
Q^F,, ' (27.1)
где Q - внешняя сдвигающая нагрузка;
Ff—сила сцепления (трения).
Сдвигающее усилие может быть осе-
вым (см. рис. 27.2)
Q = Fa (27.2)
или окружным (тангенциальным)
Q = Fl=2T/d}. (27.3)
При совместном действии осевой силы
и вращающего момента принимают
Q=^F2a+Fl (27.4)
Сила сцепления (трения) образуется
на поверхности контакта деталей при
действии внешних сил благодаря контакт-
ным напряжениям q (рис. 27.3) от на-
чальной деформации деталей. Если при-
нять, что удельная сила трения т
(рис. 27.3) пропорциональна контактному
напряжению q между сопряженными де-
талями (/ коэффициент трения,
табл. 27.1), то
т = F^fq^dl,
где q„ —- номинальное (среднее) контакт-
ное напряжение.
Рис. 27.3. Расчетная схема соедине-
ния с натягом
306
Таблица 27.1
Значения коэффициентов трения (сцепления) при посадках с натягом (охватываемая
деталь из стали)
Способ сборки соединений Материал охватывающий детали
Сталь Чугун Алюминие- вые и магни- евые сплавы Латунь Пластмассы
Механическая запрессовка 0,06...0,13* 0,07...0,12 0,02...0,06 0,05...0,1 0,4...0,5
Тепловая сборка 0,14...0,16 0,07...0,09 0,05...0,06 0,05...0,14 -
* Поверхности сопрягаемых деталей предварительно смазаны машинным маслом.
С учетом этого соотношения условие
взаимной неподвижности деталей соеди-
нения при действии сдвигающей си-
лы Q будет определяться неравенством
Q^jq„ndl, (27.5)
где d и I - - диаметр и длина сопряжения
(см. рис. 27.2).
Из неравенства (27.5) следует, что
нагрузочная способность соединения оп-
ределяется (при заданных материалах и
размерах деталей) номинальными (сред-
ними) контактными напряжениями
(27-6)
fndl
где k — коэффициент запаса сцепления,
который учитывает возможное рассеяние
значений коэффициентов трения и по-
грешности в форме контактирующих по-
верхностей (конусность и т. п.), ослаб-
ляющие сцепления деталей; обычно при-
нимают k— 1,5 ... 2.
Эти напряжения зависят от натяга в
соединении и условий работы (температу-
ры и т. д.).
Для соединений, работающих при пе-
ременной внешней нагрузке с частотой
свыше 10 Гц, значения коэффициентов
трения f следует понижать на 30...40 %.
Следовательно, для оценки несущей
способности соединения необходимо рас-
полагать зависимостью контактных на-
пряжений от натяга между деталями. Ее
выводят из рассмотрения условий совме-
стности деформаций контактирующих де-
талей. Предположим, что детали изго-
товлены идеально точно и в результате
сборки охватывающая деталь 2 (втулка)
напрессована на охватываемую де-
таль / (см. рис. 27.3). Тогда в результате
деформации произойдет радиальное пере-
мещение точек поверхностей деталей 1 и
2 соответственно на щ и иг, и расчетный
радиальный натяг Др (соответствует де-
талям идеальной точности) будет ском-
пенсирован этими перемещениями:
Др = 6р/2 = и2 —и,, (27.7)
где 6Р — расчетный диаметральный натяг,
равен разности посадочных диамет-
ров df; и dA идеально точных деталей
(см. рис. 27.3).
Уравнение (27.7) отражает геомет-
рическую сторону задачи.
В зоне сопряжения деталей будут
действовать контактные напряжения q,
которые распределены по длине соедине-
ния (вдоль оси) обычно существенно не-
равномерно (см. рис. 27.3), так как рав-
номерной деформации препятствуют вы-
ступающие части деталей.
В предварительном расчете (на этапе
технического предложения) полагают,
что контактные давления одинаковы во
всех точках поверхностей контакта. Это
эквивалентно допущению о сопряжении
двух цилиндров (толстостенных труб)
одинаковой длины (рис. 27.4). Задача о
сопряжении с натягом двух толстостен-
ных цилиндров рассмотрена в курсе «Со-
противление материалов» (задача Ляме).
Установлено, что радиальные перемеще-
ния точек контакта
ui = -и2 = ^„> (27-8)
где и кг—коэффициенты радиальной
307
иодаiливости деталей / и 2 (см.
рис. 27.3); ц„ поминал иное контактное
напряжение.
Смещение и, считают отрицательным,
так как оно происходит н направлении,
противоположном направлению оси г.
Соотношения (27.8) отражают ф и-
з и ч е с к у к» сторону задачи.
Коэффициент радиальной податливо-
сти зависит от радиальных размеров и
материалов деталей:
d
Л| =
1 — (dt/d)2
\~(d/d2)2
- -р р >
1 — (d/d2)~
(27.9)
В равенствах (27.9) обозначено: dn
посадочный диаметр; р, и р2
модуль упругости и коэффициент Пуассо-
на соответственно для охватываемой и
охватывающей деталей; di диаметр от-
верстия в охватываемой детали (di=0
для сплошного вала); d2 наружный ди-
аметр охватывающей детали.
Учитывая равенства (27.7) и (27.8),
несложно получит!)
(27.10)
I1одставляя полученное соотношение
в равенство (27.(5), найдем расчетное зна-
чение диаметрального натяга
l^al
(27.11)
обеспечивающее передачу внешней сдви-
гающей нагрузки от одной к другой.
Реальные детали имеют шероховатые
поверхности и поэтому размеры (диамет-
ры) деталей измеряют по вершинам мик-
ронеровностей.
При механической сборке соедине-
ния микронеровности частично обмина
ются, поэтому минимальный требуемый
натяг принимают несколько большим
расчетного:
6l„il=61,+1,2 (/?/, +/?г2). (27.12)
В равенстве (27.12) 6,, расчетный
натяг, мкм; Rzi и Rzj параметры шеро
ховатостей, /?г = 0,4... 10 мкм.
Прочностная надежность деталей. На-
тяг вызывает в соединяемых деталях ра-
диальные п, и окружные оц напряжения
(рис. 27.5).
Напряжения в охватываемой детали
(вале)
1-U/,M)2
</, - - - ;
I -(d^d)2
1 +И i/d „)~
Ч" 1 -(djd,)2'
Напряжения в охватывающей детали
(ступице)
I -(d.i/df
^г\=Чч - - .г
(d2/<-i
l+(d2/r/.)2
(Т02-Чч ” ’ 9 ’
(d.2/d}2-\
где d* диаметр сечения, в котором вы-
числяют напряжения.
Наибольшие напряжения возникают \
вн> трепней поверхности охватывающей
Рис. 27.Г), Схема распреде.iе-
ния напряжений в поперечном
сечении соединения с на гигом
308
детали (d.=d), Условие отсутствия плас-
тических деформаций
® ткв По &‘
1 ~(d/d2f
где ат - предел текучести .материала де-
тали.
Отсюда наибольшие напряжения в зо-
не контакта
= 0,5о, [1 -(d/dj2]
и соответствующий этим напряжениям
наибольший расчетный натяг
6max = 01(X, + X2) [1 - (d/d2)2].
В ы б о р п о с а д к и производят пу-
тем сравнения расчетных и габличных
(СТ СЭВ 144 77) I значении нагяюн С.
>' 6тах-
Осевое усилие запрессовки деталей
можно вычислить по формуле (27.5) при
значении </„, соответствующем 6п1ах, а на-
ибольшую полезную сдвигающую нагруз-
ку ио зтой же формуле при q„, со-
ответствующем 6IIlin.
Рис. 27.6. Распределение контактных
напряжений в соединениях с натягом
Прочность при переменных нагрузках.
Долговечность соединений с натягом в
1,5...3 раза ниже, чем для стандарт пых
образцов из того же материала. Это
объясняется высокой концентрацией на-
пряжений на краях соединения
(рис. 27.6) и развитием в этих местах
контактной коррозии металла (особенно
при действии изгибающих нагрузок).
Расчет па выносливость соединений
приведен в гл. 23.
Для повышения выносливоеги соеди-
нении принимаю! ряд коне । р\м ивны\
способов (рис. 27.7, а — г).
Наиболее распространены: утолщение
подступичной части вала с плавным пе-
реходом к утолщению (рис. 27.7, и), а
также применение разгрузочных выточек
на валу (рис. 27.7, б, в) или охватываю-
щей детали (рис. 27.7, с).
Повышение выносливое ги соединений
может быть получено технологическими
методами (поверхностным пластическим
деформированием обкаткой роликом,
обдувкой дробью и т. и. подступичной
части вала).
Пример. Определить максимальный вра-
щающий момент', который может передать чер-
вячное колесо (рис. 27.8. и; ценен из бронзы
марки [>р()10Ф1, о, = 280 МПа; центр из
Н7
ст али -15), если они собраны но посадке 28и -- ,
s(>
для которой диаметр отверстия 2801""’2 и
диаметр вала 280()t|9J‘W. Посадочные поверхно-
сти центра и венца имеют шероховатости
Rz\ К) мкм, коэффициент ipeinm
0,05. Размеры даны на риехнке. Осевое уси-
лие А ® 0,364 T/d„.
Решение, Максимальный вращающий мо
мент, передаваемый колесом, можно опреде-
лить из соотношения
Рис. 27.7. Конструктивные способы снижения концентрации напряжении в соединениях
309
Рис. 27.8. Схема соединения венца червяч-
ного колеса с центром
МИ,
‘ max °pmin /--------- '
k (A., +i2) yi -H0.364)2
Вычислим значения минимального расчет-
ного натяга 6pmin и коэффициентов податливо-
сти Л| И А.2.
Наименьший натяг заданной посадки
(рис. 27.8, б)
6min = 0,158-0,052 = 0,106 мм=106 мкм,
наименьший расчетный натяг [см. форму-
лу (27.12)]
6pmir,==6,nin-1-2(/?2|+/?22) =
= 106- 1,2 (10+ 10) = 82 мкм = 0,082 мм.
Податливости центра (£|=2-10э МПа,
Ц1=0,3) и венца (Е2= 1,1 • 10’’ МПа, ц2 = 0,35):
l+(d,/d)2
---------Hi
l-(d,/d)2
280 Г 1 +(240/280)2 ~
2-2-105 |_ 1 — (240/280)2
= 0,436-10 2 мм-мм2/Н;
d ' + (^/,
'2=^;[737/dj+H2 =
280 Г 1+(280/310)2 |
2-1,1 -105 I 1-(280/310)2
+ 0,351 = 1,25-10-2 мм-мм2/Н.
§ 27.2. ШПОНОЧНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Общие сведения. Шпоночным называ-
Ш’Я I. оединение цен. leime.M е помощью
шпонки соосных деталей с цилиндрике
екими (коническичи) поверхностями кон
I акта.
Шпонка специальная деталь, раз-
мещаемая в совмещенных пазах вала и
ступицы (рис. 27.9, а — а). Ее используют
не только для передачи вращающего мо-
мента между соосными деталями, но и для
направления осевого перемещения ступи-
цы по валу (направляющая шпонка).
В машиностроении применяют нена-
пряженные соединения (с по-
мощью призматических и сегментных
шпонок, рис. 27.9, а, б) и напряжен-
ные соединения (с помощью кли-
новых шпонок, рис. 27.9, в). Шпонки этих
типов стандартизованы, их размеры вы-
бирают по стандартам СЭВ.
Достоинства соединений состоят в
простоте конструкции, невысокой стоимо-
сти изготовления, удобстве сборки и раз-
борки. Однако отсутствие взаимозаменяе-
мости и необходимость ручной пригонки
или подбора ограничивают использование
соединений в машинах крупносерийного
и массового производства. Не рекоменду-
ется применение соединений для быстро-
вращающихся валов ответственного на-
значения из-за сложности обеспечения
концентричной посадки сопрягаемых де-
талей.
Соединения с призматическими шпон-
ками (рис. 27.9, а) используются в кон-
струкциях наиболее часто. Они имеют
сравнительно небольшую глубину вреза-
ния в вал, легко монтируются и демонти-
руются. Во многих случаях соединение
деталей осуществляется также с натягом.
Призматические шпонки имеют прямо-
угольное сечение с отношением высоты к
ширине от h/b=\ (для валов диаметром
до 22 мм) до /z/Ь = 0,5 (для валов боль-
ших диаметров). Рабочими у призматиче-
ских шпонок являются боковые узкие
Максимальный вращающий момент
Т+ах =0.082
0,05-3,14-280-80-315
1,5(0,436• 10 '2 + 1 -25 -10”д/' 1 + (0,364)2
= 3034-103 Н-мм = 3034 Н-м.
310
Рис. 27.9. Соединение шпонками:
а — призматической; б--сегментной; в
клиновой; г — цилиндрической
грани. В радиальном направлении пре-
дусмотрен зазор. В ответственных соеди-
нениях сопряжение дна паза с боковыми
сторонами выполняют по радиусу для
снижения концентрации напряжений. Ма-
териал шпонок — чистотянутая сталь с
пределом точности ав>600 МПа.
Сегментные шпонки имеют глубокую
посадку и не перекашиваются под нагруз-
кой, они взаимозаменяемые. Однако глу-
бокий паз существенно ослабляет вал,
поэтому сегментные шпонки используют
преимущественно для закрепления дета-
лей на малонагружеиных участках вала
(например, на входных или выходных
хвостовиках валов).
Критерии работоспособности и расче-
ты соединений. Шпоночные соединения
выходят из строя из-за смятия (упругоп-
ластического сжатия) рабочих граней.
Возможен срез шпонок.
Прочностную надежность соединений
оценивают по напряжениям сжатия асм
на рабочих гранях. Эти напряжения на-
ходят из уравнения равновесия вала
(ступицы), полагая, что напряжения в
зоне контакта распределены равномерно,
а плечо главного вектора давлений равно
0,5d (где d — диаметр вала):
осм== 277(^2) <[осм], (27.13)
где Т — вращающий момент; /р — рабо-
чая длина шпонки (см. рис. 27.9, а); /2 =
= 0,4й глубина врезания шпонки в сту-
пицу; [осм] — допускаемое напряжение на
смятие.
Рабочую длину шпонки lp=l — b мож-
но определить из соотношения
Zp=2T/(d72[aCM]).
Проверку прочности шпонок на срез
обычно не производят, так как это усло-
вие удовлетворяется при использовании
стандартных сечений шпонок и рекомен-
дуемых значений.
Если условие прочности (27.13) не
выполняется, то соединение образуют с
помощью двух шпонок, установленных
под углом 120 или 180°.
Соединения сегментными шпонками
также рассчитывают по формуле (27.13),
принимая /2 — h —1\ (см. рис. 29.9,6).
Допускаемые напряжения на смятие при
постоянной нагрузке в соединении сталь-
ного вала и шпонки из чистотянутой ста-
ли с Осм = 500...600 МПа в зависимости
от материала ступицы принимают следу-
ющими:
311
Ma н‘риа.1 сталь чугун. текстолит,
стунины алюминий древопластик
|r>,J, МПа 150...180 80...100 1 5...25
Большие значения принимают при
легком режиме работы (переменная на-
। рузка не свыше 5 % от постоянной), а
меньшие при тяжелых условиях эк-
сплуатации (нагрузка знакопеременная с
ударами).
При реверсивной нагрузке значения
допускаемых напряжений уменьшают в
1,5 раза, а при ударной нагрузке в
2 раза.
§ 27.3. ШЛИЦЕВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Общие сведения. Шлицевое соедине-
ние (рис. 27.10,а,б) конструктивно подо-
бно многошпоночному. Соединения при-
меняют для неподвижного и подвижного
соединения налов со ступицами деталей
(колес шкивов, дисков и т. п.).
По сравнению со шпоночными шлице-
вые соединения имеют меньшие радиаль-
ные габариты, высокую несущую способ-
ность, взаимозаменяемы и обеспечивают
хорошее центрирование деталей. Благо-
даря этому их используют в условиях
массового производства конструкций и
при большей частоте вращения валов.
По форме поперечного сечения разли-
чают три типа соединений: прямобочные
(СТ СЭВ 1888--75), эвольвентные (СТ
СЭВ 269-76) и треугольные (изготовля-
ются по отраслевым стандартам). Профи-
ли сечения соединений показаны на
рис. 27.10,а,б и 27.11,0,6.
Соединения с прямобочными зубьями
распространены в машиностроении. В за-
висимости от числа зубьев (z = 6...2O) и
их высоты стандартом предусмотрены три
серии соединений валов с диаметром d от
23 до 125 мм (легкая, средняя и тяже-
лая). Большее число зубьев имеют соеди-
нения тяжелой серии.
Соединения с эвольвентными зубьями
более технологичны, чем соединения пря-
мобочные, имеют более высокую точность
и прочность (благодаря большему числу
зубьев и скруглению впадин, снижающе-
му концентрацию напряжений).
При использовании прямобочных и
эвольвентных соединений для направле-
ния осевого перемещения деталей, поса-
женных на вал (например, зубчатых ко-
лес в коробках передач), твердость по-
верхности зубьев повышают до
54...60 HRC (применяют цементацию)
для уменьшения износа.
Соединения с треугольными зубьями
312
Рис. 27.1 I. Соединение эвольвент ни-
ми (ц) и треугольными (6) шлицами
применяют преимущественно в приборо-
строении при ограниченных радиальных
габаритах.
Расчет соединений. Соединения выхо-
дят из строя преимущественно из-за по-
вреждения рабочих поверхностей зубьев
(смятие, износ) и усталостного разруше-
ния валов. Расчет валов дан в гл. 23.
Зубья рассчитывают на смятие, как и
шпоночные соединения.
Условие прочностной надежности ио
допускаемым напряжениям смятия имеют
вид (см. рис. 27.10,6):
ac,=27/(d^XkJ (27.14)
где dm средний диаметр соединения;
z - число зубьев; h и / соответственно
высота и длина поверхности контакта
зубьев; if = 0,7...0,8 коэффициент, учи-
тывающий концентрацию контактных
давлений на краях соединения; [осч|
допускаемое напряжение смятия па боко-
вых поверхностях (табл. 27.2).
Высота и доша поверхности контакта:
для прямобочных зубьев (см. рис. 27.10)
h=(D—d)/2 — 2f-, dm = {l) + d)/2;
для эвольвентных зубьев (см.
рис. 27.11, а)
h = m; d,„ = mz-.
здесь т модуль зубьев.
Количество зубьев и диаметры заданы
в стандарте в зависимости от диаметра
вала. Длина соединения (как и для inno-
Таблица 27.2
Допускаемые напряжения смятия для шлицевых
соединений (валы и втулки с пв>500 МПа)
Т ип соединения Ус- ло- вия экс- н дуэ- та- НИИ I Поверхность зубьев
без термо- обра- ботки с термо- обработ- кой МПа
ф.„|.
Обычное (с осевой а 35...50 40...70
фиксацией) б 60... 100 100...140
в 80... 120 120...200
Подвижное без а 15...20 20...35
нагрузки б 20...30 30...60
в 25...40 40...70
Примечания; 1. а) Условия эксплуатации
тяжелые: нагрузка знакопеременная с уларами в
обоих направлениях; значительные углы перекоса;
смазка отсутствует.
б) Условия эксплуатации средние: переменная
нагрузка не более 10% от постоянной; смазка бед-
на я.
в) Условия эксплуатации хорошие (статическая
нжрхзка, переменная нагрузка не выше 5 % от ста-
тической, смазка хорошая).
2. Допустимые напряжения для подвижных сое-
динений под нагрузкой ниже, чем для подвижных
соединений в 4...5 раз.
ночных соединений) принимается по сту-
пице охватывающей детали (например,
колеса), обычно 1 = ...2) d.
Износ зубьев обусловлен неизбежны-
ми взаимными циклическими (от враще-
ния) смещениями деталей соединения
при действии радиальной нагрузки в ре-
з ул ьт а те несовпадения или н а к. 1 о н а < >с е й.
Он проходит более интенсивно при разви-
тии на рабочих гранях контактной корро-
зи и.
Условный расчет па износостойкость
часто ведут в форме определения допус-
тимого угла перекоса (монтажного или
деформационного происхождения),
Эффективными средствами повышения
износостойкости соединений являются:
а) уменьшение углов перекоса геомет-
рических осей сопрягаемых деталей при
монтаже и в рабочих условиях;
б) увеличение твердости коптактиру-
ющих поверхностей путем азотирования,
цементации, обдувки дробью и др.;
в) уменьшение зазоров в соединении,
применение более плотных посадок; цен-
трирование по вспомогательным повер-
хностям;
г) затяжка соединений, фиксирующая
соединяемые детали в осевом направлении.
§ 27.4. ШТИФТОВЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Штифтовые соединения (рис. 27.12)
применяют при небольших нагрузках пре-
имущественно в приборостроении. Соеди-
няемые детали соединяются при этом по
переходным посадкам.
Рис. 27.13. Профильное соединение
Ulmuym
Рис. 27.12. Штифтовые соединения
Для предотвращения выпадания в
процессе работы используют штифты с
насеченными канавками, штифты вальцо-
ванные, штифты резьбовые. Часто для
этих же целей производят разведение или
раскернивание концов штифтов.
Основные типы штифтов стандартизо-
ваны. Их изготовляют из углеродистых
сталей 30, 45, 50 и др.
По характеру работы штифтовое сое-
динение подобно заклепочному соедине-
нию (работает на срез и смятие). Для
расчета соединения используются зависи-
мости (25.12), (25.13).
§ 27.5. ПРОФИЛЬНЫЕ СОЕДИНЕНИЯ
Общие сведения. Профильными назы-
вают соединения, в которых ступица
(втулка) насаживается на фасонную по-
верхность вала и таким образом обеспе-
чивается передача вращения.
На рис. 27.13 в качестве примера по-
казано соединение на квадрате со скруг-
ленными углами (для снижения концен-
трации напряжений), применяются также
соединения эллиптического и треугольно-
го сечений.
314
По сравнению со шпоночными и шли-
цевыми соединениями эти соединения
имеют небольшую концентрацию напря-
жений. Однако сложность изготовления
профильной поверхности ограничивает
области применения соединений.
Расчет соединений. Профильные сое-
динения рассчитывают на смятие. Усло-
вия прочности по допускаемым напряже-
ниям для соединения, показанного на
рис. 27.13, имеет обычный вид
а.м^ЗТ/(Ь21)<[ос„].
где / — длина соединения, обычно / =
= (1...2)d; b - ширина прямолинейной
части грани (рис. 27.13); [оСм] — допус-
каемое напряжение смятия, [<тсм] =
= 100...140 МПа для термообработанных
поверхностей.
Глава 28
ПРУЖИНЫ И УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
§ 28.1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Пружины и упругие элементы широко
используют в конструкциях в качестве
виброизолирующих, амортизирующих, ак-
кумулирующих, натяжных, динамометри-
ческих и других устройств.
Классификация пружин. Она произво-
дится по ряду признаков. По виду вос-
принимаемой нагрузки различают пружи-
ны растяжения, сжатия, кручения и изги-
ба. По геометрической форме их на-
зывают винтовыми, спиральными, прямы-
ми и др. В зависимости от назначения
пружины называют силовыми (аккумуля-
торы энергии или движители), измери-
тельными (упругие чувствительные эле-
менты), амортизирующими и т. д.
В машиностроении наиболее распро-
странены винтовые цилиндрические пру-
жины растяжения (рис. 28.1, а), сжатия
(рис. 28.1,6) и кручения (рис. 28.1, в),
а также фасонные пружины сжатия
(рис. 28.1, г — е).
Их изготовляют из проволоки кругло-
го сечения путем навивания (витые пру-
жины) на оправке.
В конструкциях применяют реже спе-
циальные пружины тарельчатые и кольце-
вые (рис. 28.2, а, б) - сжатия; спираль-
ные (рис. 28.2, в) и стержневые
(3...4 мм) зацепы выполняют в форме
отогнутых последних витков (рис. 28.3,
а — в). Однако такие зацепы снижают
сопротивление пружин усталости из-за
высокой концентрации напряжений в мес-
тах отгиба. Для ответственных пружин
диаметром свыше 4 мм часто применяют
закладные зацепы (рис. 28.3, г — е), хотя
они менее технологичны.
Пружины сжатия (см. рис. 28.1,6)
навивают с просветом между витками,
который должен на 10...20 % превышать
осевые упругие перемещения каждого
Рис. 28.2. Специальные пружины:
а - тарельчатая; б — кольцевая; в - спиральная; <? — стержневая; д - рессора
(рис. 28.2, г) —кручения; листовые и
рессоры (рис. 28.2, д) — изгиба.
Общая характеристика пружин. Пру-
жины растяжения (см. рис. 28.1, а) нави-
вают без просветов между витками и да-
же с начальным надавливанием витков,
компенсирующим частично внешнюю на-
грузку. Компенсирующее усилие обычно
составляет (0,25..,0,3) F„p, где F„p •- пре-
дельное растягивающее усилие, при кото-
ром полностью исчерпываются упругие
свойства материала пружины.
Для передачи внешней нагрузки та-
кие пружины снабжают зацепами. Напри-
мер, для пружин малого диаметра
Рис. 28.3. Зацепы пружин растяжения
315
витка при наибольшей внешней нагрузке.
Пружины кручения (см. рис. 28.1, в)
навивают обычно с малым углом подъема
и небольшими зазорами между витками
(0,5 мм). Внешнюю нагрузку они воспри-
нимают с помощью зацепов, образуемых
отгибом концевых витков.
Основные параметры витых пружин.
Пружины характеризуются следующими
основными параметрами (рис. 28.4, и):
диаметром проволоки d или размерами
сечения; средним диаметром Do; индек-
сом c = Dlt/d\ числом рабочих витков п;
длиной рабочей части Нп. шагом витков
t = H^/h, углом подъема витков а =
= arctg ((/лРо).
Последние три параметра рассматри-
ваются в ненагруженном и нагруженном
состояниях.
Индекс пружины характеризует кри-
визну витка. Пружины с индексом сдб
дб 3 применят!; не рекомендуется из-за вы-
сокой концентрации напряжений в витках.
Обычно индекс пружины выбирают в
зависимости от диаметра проволоки is
следующих пр еде л а х:
</, мм . до 2.3 > .5 •>.. 12
с .... 5... 12 I..1U 1...Ч
Материалы. Витые пружины изготов-
ляют навивкой холодным или горячим
способом с последующей отделкой торцов,
термической обработкой и контролем.
F
Рис. 28.4. Схемы нагружения пружи-
ны растяжения («) и сечения ее
витка (б)
Основными материалами пружин яв-
ляются высокопрочная специальная пру-
жинная проволока I, II и III классов
диаметром 0,2...5 мм, а также высокоуг-
леродистые стали 65, 70, марганцовистая
сталь 65Г, кремнистая сталь 60С2Л, хро-
мованадиевая сталь 50ХФА и др.
Пружины, предназначенные для рабо-
ты в химически активной среде, изготов-
ляют из цветных сплавов.
Для защиты поверхностей витков от
окисления пружины ответственного на-
значения покрывают лаком или промас-
ливают, а пружины особо ответственного
назначения оксидируют, а также наносят
цинковое или кадмиевое покрытие.
§ 28.2. РАСЧЕТ ВИТЫХ
ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН СЖАТИЯ
И РАСТЯЖЕНИЯ
Напряжения в сечениях и деформации
витков. Рассмотрим пружину растяжения
под действием осевой растягивающей си-
лы F (рис. 28.4, а). В поперечном сече-
нии пружины (рис. 28.4, б) будет дей-
ствовать поперечная сила F, параллель-
ная оси пружины, и момент M, = FDu/2,
плоскость которого совпадает с плоско-
стью пары сил F. Нормальное поперечное
сечение витка наклонено к плоскости мо-
мента на угол а. Проецируя на оси х,
у и z связанные с нормальным сечением
витка силу F и момент Т, получим
/•,.= F cos а; /•’„= Л sin а;
Т = Mz = O,5FDo cos а;
Л4 t=0,5FDn sin а.
Угол подъема витков мал (обычно
а< 10...12°). Поэтому можно считать, что
сечение пружины работает лишь па кру-
чение.
Максимальное касательное напряже-
ние в сечении витка
ттах = Г/И\, (28-1)
где ИД - момент сопротивления сечения
витка кручению.
Принимая условие прочностной на-
дежности пружины в форме
Ппах kJ
316
и учитывая кривизну витков, равенство
(28.1) запишем в форме
kFD„
т,„.1х= 91у/~ <К|, (28-2)
где k коэффициент, учитывающий кри-
визну витков и форму сечения (поправка
к формуле для кручения прямого бруса);
|ткJ допускаемое касательное напряже-
ние при кручении.
Значение коэффициента k для пру-
жин из круглой проволоки при индексе
с + 4 .можно вычислять по формуле
, 4с-1 0,65
4с — 4 с
[Дли учесть, что для проволоки круг-
лого поперечного сечения №к = л+/32, то
8kFD0 8kFc
Тп,ах=
Осевое перемещение пружины с углом
подъема а> 12°
6 = Л,,/7,
где Х„ - осевая податливость пружины.
Податливость пружины наиболее про-
сто определяется из энергетических со-
ображений. Потенциальная энергия пру-
жины
где Т - крутящий момент в сечении пру-
жины от силы F; G/k - жесткость сече-
ния витка на кручение (/к»0,2</4); /«
xnDnn — полная длина рабочей части
витков; откуда
6=/7nnDg/(4GJK) (28.3)
и податливость пружины
/.!=nnD<j/(4GJK) = f.n, (28.4)
где Л - осевая податливость одного вит-
ка (осадка в мм при действии силы F =
= 1 И),
? _ = 8£о__ 8с3
4G/к Gd4 dd'
Здесь G - модуль сдвига, G = —
2(1+и)
«0,384/; (Е модуль упругости матери-
ала пружины).
Из формулы (28.4) следует, что по-
датливость пружины возрастает при уве-
личении числа витков (длины пружины),
ее индекса (наружного диаметра) и
уменьшении модуля сдвига материала.
Неравенство (28.3) используют для
оценки прочностной надежности пружи-
ны. Обращая его в равенство, определим
диаметр проволоки, обеспечивающий пру-
жине с заданным индексом с прочность:
</=1,6^/'2с/М (28.5)
Допускаемые напряжения для пру
жин из сталей 60С2, 60С2Н2А и 50.ХФЛ
принимают: |т„) =750 МПа - при дейст-
вии статических или медленно изменяю-
щихся переменных нагрузок, а также для
пружин неответственного назначения;
|т| = 400 МПа для ответственных ди-
намически нагруженных пружин. Для ди-
намически нагруженных ответственных
пружин из бронзы назначают (ть] —
= (0,2...0,3) <тв; для неответственных пру-
жин из бронзы - [тк| =(0,4...0,6) о„.
Необходимое число рабочих витков
определяют из соотношения (28.3) по за-
данному упругому перемещению (ходу)
пружины 5. Если пружина сжатия уста-
новлена с предварительной затяжкой
(нагрузкой) А|, то
6
Х(/'2-Л,)'
В зависимости от назначения пружи-
ны усилие Fi = ((), 1 ...0,5) /+ Изменением
величины F) можно регулировать рабо-
чую осадку пружины 6.
Число витков округляют до полувитка
при п 20 и до одного витка при п >20.
Полное число витков
п । = п + (1,5...2).
Дополнительные 1,5...2 витка идут на
поджатие для создания опорных поверх-
ностей у пружины.
На рис. 28.5 показана зависимость
между нагрузкой и осадкой пружины
сжатия.
Полная длина ненагруженной пру-
317
Рис. 28.5. Диаграмма пружины сжа-
тия
жины
Яо=//3 + Л«-4/),
где Нз — длина пружины, сжатой до со-
прикосновения соседних рабочих витков,
Нз = (п\ — 0,5) d\ Z — шаг пружины.
Полное число витков уменьшено на
0,5 из-за сошлифовки каждого конца пру-
жины на 0,25d для образования плоского
опорного торца.
Максимальная осадка пружины, т. е.
перемещение торца пружины до полного
соприкосновения витков (см. рис. 28.5),
пОлП
6з = 62 + 5 = пХ7?з=[т|<] .
киа
Шаг пружины определяется в зави-
симости от величины перемещения 6з из
следующего приближенного соотношения:
/ = d + (l,l...l,2) 63/п.
Длина проволоки для изготовления
пружины
L = nD0nl/cos а«3,20оП|,
где а — угол подъема витков ненагру-
женной пружины, а = 6...9°.
Для предотвращения выпучивания
пружины от потери устойчивости ее гиб-
кость Ho/Da должна быть не менее 2,5.
Если по конструктивным соображениям
это ограничение не выполняется, то пру-
жину следует ставить на оправках или
монтировать в гильзах.
Установочная длина пружины,
т. е. длина пружины после затяжки ее
усилием Fi (см. рис. 28.5),
Hi = H0 — nXF
длина пружины при действии наибольшей
внешней нагрузки
//2 = Но — 62=Н0— nFF2
и наименьшая длина пружины будет при
усилии Ез, соответствующем [тк] :
/73=//0—63.
Угол наклона прямой F = f(b) к оси
абсцисс
tg 6 = /д/бз = /Д/62 = F,/6, = 1 /(пХ).
При больших нагрузках и ограничен-
ных габаритах используют составные
пружины сжатия (рис. 28.6) — набор из
нескольких (чаще двух) концентрически
расположенных пружин, одновременно
воспринимающих внешнюю нагрузку.
Для предотвращения сильного закручива-
ния торцовых опор и перекосов навивку
соседних пружин выполняют в противопо-
ложных направлениях (левом и правом).
Опоры выполняют так, чтобы обеспечива-
лась взаимная центровка пружин.
Для равномерного распределения на-
грузки между ними желательно, чтобы
составные пружины имели одинаковые
осадки (осевые перемещения), а длины
пружин, сжатых до соприкосновения вит-
ков, были бы приблизительно одинаковы.
Длина пружин растяжения в нена-
груженном состоянии
Но= nd 4-2/i 3,
где h3 — высота одного зацепа, h3 =
= (0,5...1,0) Do-
318
Длина пружины при максимальной
внешней нагрузке
H2=H0 + «X(F2 —F,).
где F] усилие первоначального сжатия
витков при навивке.
Длина проволоки для изготовления
пружины
ri3.D:,
L =--------|-2Л«3,3/3()и+2/1;
cos а
здесь /3 - длина проволоки для одного
прицепа.
Распространены пружины, в которых
вместо проволоки используется трос, сви-
тый из двух - шести проволок малого
диаметра (d = 0,8...2,0 мм), многожиль-
ные пружины. По конструктивному реше-
нию такие пружины эквивалентны кон-
центрическим пружинам. Благодаря вы-
сокой демпфирующей способности (за
счет трения между жилами) и податливо-
сти, многожильные пружины хорошо ра-
ботают в амортизаторах и других по-
добных устройствах. При действии пере-
менных нагрузок многожильные пружины
довольно быстро выходят из строя от
износа жил.
В конструкциях, работающих в усло-
виях вибраций и ударных нагрузок, иног-
да применяют фасонные пружины
(см. рис. 28,1, г - е) с нелинейной зави-
симостью между внешней силой и упру-
гим перемещением пружины.
§ 28.3. РЕЗИНОВЫЕ УПРУГИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Резиновые упругие элементы применя-
ют в конструкциях упругих муфт, вибро-
и шумоизолирующих опорах и других ус-
тройствах для получения больших пере-
мещений. Такие элементы обычно переда-
ют нагрузку через металлические детали
(пластины и трубки и т. п.).
Преимущества резиновых упругих
элементов следующие: электроизолирую-
щая способность; высокая демпфирую-
щая способность (рассеяние энергии в
резине достигает 30...80 %); способность
аккумулировать большее количество
энергии на единицу массы, чем пружин-
ная сталь (до 10 раз).
В табл. 28.1 приведены расчетные
схемы и формулы для приближенного оп-
ределения напряжений и перемещений
для резиновых упругих элементов.
Материал элементов -- техническая
резина с пределом прочности <тв^
^8 МПа; модуль сдвига (7 =
= 500...900 МПа.
Таблица 28.1
К расчету резиновых упругих элементов
S
Расчетная схема элемента
Напряжения Перемещения Допускаемые напряжения, МПа
стати- ческие динами- ческие
т _ 4f A nd2 / = stgUf/6^) 1,5 0,4
r = = 2/? Т A ML) + d)h , FlnO/d ' 2.-i£G
D~—d 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
k 1 0,93 0,89 0,84 0,81 0,8
319
Продолжение табл. 28.!
Расчетная схема элемента Папряжени я 11сргмеп1ения Допускаем ые напряжения, МПа
стати- ческие динами- ческие
а 2Т т Ч - - 2,0 0,7
zul~h 1//У)
-ИЛ. 5,
5,1 TI) 10,2г
1 11 6(//- d')
О'
а - F/А 3,0 1.0
F “ 1 6.5 GA
Примечани о. Допустимые напряжения для резиновых элементов упругих муфт ,п[— 2.0 МПа.
Глава 29
ДИНАМИКА МЕХАНИЗМОВ
§ 29.1. ДИНАМИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
МЕХАНИЗМА
Общие сведения. В динамике меха-
низмов изучается их движение е учеюм
действующих сил.
На рис. 29.1 в качестве примера при-
ведена зависимость движущей силы от
перемещения поршня - механическая ха-
рактеристика двухтактного двигателя.
При расширении газов (движение порш-
ня вправо) совершается положительная
работа, а при сжатии (движение поршня
влево) отрицательная. Графически ра-
бота изображается площадью. В рас-
сматриваемом случае положительная пло-
щадь больше отрицательной. В таком
320
случае работа движущих сил будет боль-
ше работы сил сопротивления.
На рис. 29.2, а в представлены ме-
ханические характеристики электродвига-
телей постоянного тока последовательно-
Рис. 29.1. Механическая характеристика
двухтактного двигателя
Рис. 29.2. Механические характеристики:
а электродвигателя постоянно! о тока; б асинхронно! о элек I ро.твигителя; в
вентиляiора
го возбуждения (рис. 29.2, и) и асин-
хронного (рис. 29.2,6), а на
рис. 29.2, в характеристики вентилято-
ра в зависимости от скорости. Эти ха-
рактеристики получаются либо путем рас-
чет;!. либо строятся но эксперименталь-
ным данным.
Если все приложенные к звеньям си-
лы известны, то можно определить закон
движения какого-либо звена и механиз-
ма. Однако практическое решение этой
задачи оказывается весьма сложным. По-
этому, как правило, ирибегаюг к отдель-
ным частным решениям, применяя спосо-
бы приближенного определения движения
механизма. Для этого сложный многоз-
венный механизм заменяют его дина-
м и ч е с к о й м о д е л ь ю. Если меха-
низм имеет только одну степень свободы,
то в качестве модели механизма принима-
ют одно условное звено. Гак, для системы
двигатель внутреннего сгорания
(ДВС) - рабочая машина выбирают в
качестве начального звена коленчатый
вал ДВС. Закон движения условного зве-
на должен полностью совпадать с зако-
ном движения начального звена. При
этом угловые скорости начального и ус-
ловного звеньев должны быть равны.
При построении модели механизма
все силы и моменты, действующие на его
звенья, должны быть приведены к одному-
звену, называемому приведенным, и заме-
нены приведенной силой или приведенным
моментом.
Таким же образом массы всех звеньев
приводят к одному звену и заменяют сум-
марным приведенным моментом инерции,
который эквивалентен всей инерции меха-
низма. В итоге заданный многозвенный
механизм, нагруженный сложной систе-
мой сил и моментов, заменяют простои
моделью, состоящей из одного приведен-
ного звена.
Как следует из уравнения Лагранжа
II рода, при приведении сил должно со-
блюдаться равенство элементарных ра-
бот, а при приведении масс равенство
кинетических энергий.
Приведение сил и моментов сил. Если
плоский механизм состоит из п звеньев
и на каждое из них действуют силы и мо-
менты сил, то всех их можно привести
к одному звену, которое называется зве-
ном приведения. При этом должно соблю-
даться условие, чтобы мощность (или ра-
бота), развиваемая на элементарном пе-
ремещении приведенной силой или приве-
денным моментом силы, была равна
сумме мощностей (или работ) всех сил
и моментов, приложенных к п звеньям.
При этом предполагают, что план скоро-
стей для механизма построен. На
рис. 29.3, а приведена схема механизма и
звено приведения 1.
Сформулированное условие для мощ-
ности в общем виде имеет вид (/'=1, 2,
3, ... номер звена механизма)
п
(29.1)
/-1
При приведении к силе имеем
Р., = ?„"вЛ
У Д= У С,С cos а, ф У Л1,(0,, |
i -- -• I I -1 i -1 )
1 1 Г. Б. Иосилевич и др.
321
Рис. 29.3. Схемы проведения сид, моментов, масс
и моментов инерции механизма
где vfi - скорость точки приложения при-
веденной силы; Ft сила, действующая
па z-e звено; Uj - скорость точки /-го зве-
на, в котором действует сила /ц; а, ----
угол между векторами силы и скорости
z-го звена; М( - момент силы, действую-
щий на z-e звено; <о/ угловая скорость
/-го звена. Тогда
Д, и. Д со
F — У Л --cos а + У М/ (29.3)
,е, vh
Аналогично определяем приведенный мо-
мент силы звена приведения
Принимая во внимание уравнение (29.2),
имеем
Л у. Л ш
М = > / —cos а + > М - (29.4)
<”> °>|
звена при его поступательном движении
/ 2
со скоростью у,; —~— кинетическая
энергия /-го звена при его вращательном
движении; пц - масса t-го звена, сосре-
доточенная в центре масс; h момент
инерции /-го звена относительно осп, про-
ходящей через центр масс.
Приведение масс и моментов инерции.
Каждое /-е звено механизма обладает
массой /г//, сосредоточенной в центре масс
звена, и моментом инерции относитель-
но оси, проходящей через центр масс. Эти
массы и моменты инерции можно заме-
нить приведенной массой т„, сосредото-
ченной в точке В звена приведе-
ния 1 (рис. 29.3, б), или приведенным мо-
ментом инерции звена приведе-
ния / (рис. 29.3, zi).
Приведение масс и моментов инерции
Значение приведенной силы можно
определить с помощью теоремы И. Е. Жу-
ковского. При этом вектор полученной
уравновешивающей силы надо повернуть
на 180°.
Кинетическая энергия механизма. Ки-
нетическая энергия механизма, состояще-
го из п звеньев, определяется из соотно-
шения
upon ЩОДН1СЯ IH хиловия равенсны кине
гическнх энергий.
Кинетическая энергия приведенной
массы, сосредоточенной в точке В звена
равна должна рав-
кинетических энергий всех
приведения /,
пяться сумме
звеньев, т. е.
2
где
'-Z
1
(29.5)
Отсюда найдем
r2iVL
2
кинетическая энергия /-го
(29.6)
322
Полученная формула позволяет вы-
числить приведенную массу звена при-
ведения /, совершающего поступатель-
ное1 или вращательное движение.
Переменная приведенная масса явля-
ется условной величиной, которой пользу-
ются для упрощения динамических расче-
тов. 11оэ тому звено приведения нельзя
рассматривать в качестве твердого тела
с действительно изменяющейся массой.
Если звено приведения совершает
вращательное движение, то все массы
и моменты инерции звеньев заменяют
приведенным моментом инерции, припи-
сываемым звену приведения.
Кинетическая энергия звена приведе-
ния с моментом инерции /„ должна рав-
няться сумме кинетических энергий звень-
ев механизма, т. е.
откуда находим
§ 29.2. УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
МЕХАНИЗМА
Кинетические параметры механизма
при заданных массах звеньев и силах
можно определить из уравнения Лагран-
жа II рода, изучая движение звена при-
ведения. С учетом сил сопротивления
движению приведенный момент сил будет
где (М,,)., прицеленный момент движу-
щих сил; (Л7„).. приведенный момент
сил сопротивления.
При чтом уравнение движения
d V 2 еч,)..]<н ='Ч. <1ч
или
Л1" = ^1~2 ) (29'8)
С учетом зависимости /,=/((|) уравнение
(29.8) дифференцируют как функцию
двух независимых переменных <о и
(29.7)
В формулах (29.6) и (29.7) отноше-
ния скоростей не зависят от действитель-
ных скоростей механизма, но зависят от
положения механизма и положения его
звеньев, включая и звено приведения.
Следовательно, приведенная масса и при-
веденный момент инерции являются функ-
циями только положения звена приведе-
ния. Если звено приведения совершает
поступательное движение, то Wn = /(s), а
если вращательное, то /„ — / (tp). Для
большого класса механизмов ш,. и J|:
являются постоянными величинами (зуб-
чатые механизмы с круглыми колесами,
турбины, компрессоры и др.). Когда пере-
даточное отношение в механизме не ме-
няется (зубчатые и другие механизмы),
приведенный момент инерции остается
постоянным, а его значение всегда поло-
жительно. Так как отношения скоростей
отдельных точек механизма зависят только
от его положения, то приведенный момент
инерции не зависит от скорости движения
механизма.
d / uE \ 1 dto
d/ \ 2 / u) d/
Отсюда дифференциальное уравнение
движения для вращающегося звена при-
ведения механизма принимает вид
По аналогии дифференциальное урав-
нение посту нательно движущегося звена
приведения будет
(| 7) (1П1.. / 7 Г \
где /'„ приведенная сила от движущих-
ся сил и сил сопротивления; 5 и и
перемещение и скорость звена приведе-
ния; ш„ приведенная масса.
11*
323
В том случае, когда Л, = /(ф), Л4„ =
= 44 ,(<!>)-- М, (([), например при движении
машинного агрегата с электродвигателем,
движение описывается нелинейным диф-
ференциальным уравненном второго по-
рядка
Ш, («)—(ЛЛД- (Ч')=
-м,-> d“ т";''1’ г 11
(I/ (1<р 2
При решении уравнения (29.11) коэффи-
циенты задаются таблицами или графи-
ками. а решение, как правило, проводит-
ся с помощью графических методов.
В том случае, когда /„ = const. что име-
ет место в механизмах с постоянными пе-
реда । очными отношениями, уравнения
(29.9) и (29.10) принимают вид:
Л1,(1(; (29.12)
И (I/
= (29.13)
Если (/М|,);1, (Л4,,), и /„ являются лишь
функциями положения звеньев механиз-
ма, то уравнение движения в энергетиче-
ской форме примет вид
Г„-Г, = (ЛД),. ,,-(Л=
= ЛД;.„„ = Л“1Г'„, (29.14)
где ДЛ,__л = ДИ16П - избыточная работа
при перемещении звена приведения из
z-го в д-е положение.
Для вращательного движения звена
приведения уравнение (29.14) принима-
ет вид
'1 ц 'I Ц
= 5 (ф)1з <1<Р- $ [МП (<Р)Г <1ф,
Ч, Ч i
(29.15)
где (/„)„ и (/„), -приведенный .момент
инерции механизма в положениях п и i
звена приведения; а>„ и ш, соответству-
ющие угловые скорости; [М„ (чД и
[Л4|; (<р)], приведенные моменты сил дви-
жущих и сопротивления, зависящие от
положения механизма.
324
Для поступательного движения
sn
2 j И'„(5)1.1 dS-
- j [F„ (S)|(. dS, (29.16)
где (m„)„ и (m„), - приведенная масса ме-
ханизма в двух положениях звена приве-
дения; [/•’„ (5)]д и (Л„ (3)]с приведенные
силы движущие и сопротивления; S - -
перемещение звена приведения.
Пример. Определим работы движущих
сил, сил сопротивлений и избыточную работу
для двухтактного двигателя, предполагая, что
действуют только газовые силы на поршень,
закон изменения которых известен.
На рис. 29.4, а приведена кинематическая
схема кривошшшо-шатунного механизма, а на
рис. 29.4,6 индикаторная диаграмма (закон
изменения газовых сил, действующих на по-
ршень). Но индикаторной диаграмме определя-
ем движение силы F1* за цикл (один оборот
кривошипа).
Приводим силы FH к пальцу кривошипа по
формуле
\ UHi /
('троим график движущих сил по
перемещению пальца кривошипа (рис. 29.4, в).
Предполагая установившееся движение,
считаем, что работа движущих сил равна ра-
боте сил сопротивления Д, = Д,. Силы сопро-
тивления изменяются по сложному закону, и
действительную диаграмму их определить по
существу невозможно. Предположим в данном
случае, что силы сопротивления за цикл рабо-
ты постоянны, тогда Л,-=(Л;-’).- 2л/? и (--
.. <
’ 2л/? ’
Кривую (/yj)c условно строим в положи-
тельной части диаграммы. Проводя графиче-
ское интегрирование, определяем графики из-
менения работ А „ А,- и избыточную работу
А - - А< = \,4 --/I,
Для вращательного движения звена
приведения из уравнения движения
(29.14) имеем
а) 5) в)
Рис. 29.4. Схемы к определению избыточной работы в механизме:
а механизм; б индикаторная диаграмма; в дигнраммы сид и раСмн
О1 куда мгновенная угловая скорость зве- на приведения (2!,.|7) у и иЛ Используя ту же формулу для посту- пательного движения звена приведения, получим соотношение для мгновенной скорости звена приведения V КД Эту же задачу можно решить с по- мощью графо-аиали г и чес ко то метода Вигтенбауэра. Этот метод применим при силах, зависящих от положения звеньев. . / Э„" /\кя 0 । ।—’ 1 й ZT(l 1 1 д A \,с ° Л Рис. 29.5. Схема построения диаграммы Виттепбауэра На рис. 29.5 показано построение графика T--f(Ju) для вышерассмотренно- го примера. Здесь принимаем t «А лп II (О,.., = ч ч . 'р 30 Но диаграмме Т = j (J ,) можно опреде- лить мгновенную скорость движения кри- вошипа. Так, если для ;-й точки ai ’К ()и И,ЧП ai Иг k ' М/, М/ Т- • З’Ь (i>~ =Лл ' откуда ",,==д/2'в'Г' В/ (29'19)
325
§ 29.3. НЕРАВНОМЕРНОСТЬ ХОДА
МАШИНЫ
ПРИ ПЕРИОДИЧЕСКОМ
УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ
И РЕГУЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ
МАШИННОГО АГРЕГАТА
Периодическая неравномерность хода
машины является следствием изменяю-
щихся в течение цикла мгновенных значе-
ний приведенных моментов движущихся
сил и сил сопротивления, а также перио-
дического изменения приведенного момен-
та инерции механизма.
На рис. 29.6 показан график измене-
ния (о но времени.
Рис. 29.6. Кривая изменения уг-
ловой скорости во времени
Степень неравномерности хода маши-
ны за цикл установившегося движения
определяется средним коэффициентом не-
равномерности хода
6 = (29.20)
Чр
где
Допустимая наибольшая величина ко-
эффициента неравномерности хода зави-
сит от типа машин. Например, для по-
ршневых двигателей внутреннего сгора-
ния б= 1/80... 1/200, для поршневых насо-
сов 6= 1/20... 1/30 и т. д.
Регулирование периодических колеба-
ний скорости машин. Задачу регулирова-
ния периодической неравномерности хода
машины решают посредством установки
дополнительной массы.
Но диаграмме (рис. 29.7) Т = /’ (/,,)
онеределяют <о„,ах и <o„iin, используя фор-
мулу (29.19):
Рис. 29.7. Диаграмма Т = j (J„)
<oLx = 2tg4’max-;-4 (29.22)
<, = 2tgip„li|l-^. (29.23)
Коэффициент неравномерности хода
_ 2 _ 2
t ^hnax ^пип ^inax ^min
o =----------- - = —--------------
wcp ZU)Cp
или
. Hr ‘g’l’max-tg’l’mi,,
0 = ----------------------. (24.24)
4-p
Устанавливают связь между J„ и б.
Из (29.20) и (29.21) имеем
“’max “’min» (29.25)
2(0cp = <Bniax-|-(1)„li„. (29.26)
Совместно решая эти два равенства,
получим
или
“’max = “>ср + б + « “>ср (1 + 6);
(29.27)
“’min = “Ур 1 — 6 + ’ (1 — б).
(29.28)
326
Из (29,22) и (29.23) получаем
учетом значений (29.29) и (29.30) имеем
‘И V
2 ц.
Ч tKM’,nin =
“Ап
2
Mr
Л< —
(^/)_р;
(29.32)
Подставляя из (29.27) и (29.28) зна-
чения а>п1ах и <in в полученные значения
tg Ф„,а* и tg Ч’пип- имеем
Му.
tg'l’,.,ax = -- <(>+«) (29.29)
Hr
и
h о
tg<(1-6) (29-30)
м?
Используя эти формулы, проводим к
кривой Т = f (Jн) две новые предельные ка-
сательные под полученными углами ф1||ах
и ф„И||к оси /„ (рис. 29.8) и продолжаем их
до взаимного пересечения (в точке Ом).
Новая система координат будет отличать-
ся от старой тем, что в машине увеличива-
ется кинетическая энергия на Тм = \иту,
При этом увеличивается и приведенный
момент инерции на /Л1 = ц/||х. Новая систе-
ма координат с началом в точке (.^обес-
печивает заданные значения 6.
Если точка Ом выходит за пределы
чертежа, то находим отрезок kl, отсекае-
мый касательными на пересечении с пре-
жней осью ординат, и из геометрических
соотношений определяем
kl=On tgr|>ini„-Om tg4<nav (29.31)
Так как x = OMd, то JM = ц7|| (OMd) и с
При углах ф,„ах
касательные могут
11 близких к 9()‘;,
не пересечься с осью
ординат в пределах чертежа. Тогда зна-
чения kl находят по формуле (29.31).
Добавочная масса вращающего зве-
на, предназначенная для обеспечения за-
данного коэффициента неравномерности
движения механизма, называется махо-
вой массой (маховиком).
Маховик накапливает кинетическую
энергию на тех участках цикла, которые
имеют приведенный момент движущих сил
больший, чем приведенный момент сил со-
противлений. На участках же с обратным
соотношением этих моментов скорость сни-
жается и маховик отдает накопленную ки-
нетическую энергию, выполняя роль меха-
ническио аккумулятора энергии.
Расчет маховой массы можно произ-
вести по заданной кривой крутящего мо-
мента (рис. 29.9). Тогда формула (29.32)
принимает вид
Гм —
-4 и.г>
где Ллзб избыточная работа в интервале,
соответс! вующем изменению кинетиче-
ской энергии от минимума до максимума.
Регулирование непериодических коле-
баний скорости машин. Колебания часто-
ты вращения возникают при пуске, тор-
Рис. 29.8. Схема к расчету маховой
массы
Рис. 29.9. Кривые изменения крутя-
щего момента и угловой скорости
во времени
вход Выход
Рис. 29.10. Блок-схема pei улирования
можении и реверсировании .хода машины
вследствие вметанных скачков и сброса
нагрузки, изменения количества подводи-
мой энергии.
Характер и длительность этих пере-
ходных процессов зависят от типа техно-
логического процесса и особенностей кон-
струкции машины.
Для поддержания постоянства часто-
ты вращения механизма или машины при
заданном режиме работы применяют раз-
личного рода регулирующие устройства.
Регулирующие устройства должны
обеспечить устойчивость процесса,
г. е. машина или механизм после возму-
щения должны вновь перейти в состояние
равновесия. Так. например, для поршне-
вого двигателя внутреннего сгорания при
увеличении подачи топлива будет расти
вращающий момент. Если при этом мо-
мент- сил суммарного сопротивления оста-
ется постоянным, то будет повышаться
частота вращения коленчатого вала и
происходить разгон двигателя, [-'ели его
не приостановить, то двигатель выйдет из
строя. И наоборот, при увеличении мо-
мента сил сопротивлений произойдет па-
дение частоты вращения (выбег). Для
того чтобы восстановить прежний рабо-
чий режим работы, необходимо увеличить
подачу топлива.
Регулятором называют устройство,
которое обеспечивает устойчивость задан-
ного установившегося процесса путем из-
менения отклонения регулируемого пара-
метра и выработки воздействия на объект
регулирования, величина которого зави-
сит от измеренного отклонения.
Во многих случаях для этих целей
используют центробежные регуляторы
частоты вращения.
На рис. 29.10 приведены блок-схема
регулирования и ее реальное воплощение
в системе регулирования двигателя внут-
реннего сгорания.
§ 29.4. УРАВНОВЕШИВАНИЕ
МЕХАНИЗМОВ
Механизм является \ равнонешеншчм.
если, работая на установившемся режи-
ме. он действует на фундамент с некого
рымн постоянными по величине и напрев
линию силами и моментами.
328
В действительности звенья механиз-
мов движутся с переменными скоростями,
а траектории их точек непря.молннейны.
Кроме того, неизбежные погрешности из-
готовления и сборки, неоднородность ма-
териала и деформации звеньев вызывают
смещение центра масс системы относи-
тельно оси вращения. Указанные обстоя-
тельства вызывают динамические нагруз-
ки в кинематических нарах, звеньях, виб-
рации механизма и нарушение плавности
движения.
Массы звеньев, силы инерции которых
вызывают дополнительные нагрузки на
опоры, называют неуравновешенными
массами. Устранение или уменьшение до-
полнительных динамических нагрузок на
опоры механизма называют уравновеши-
ванием масс.
Задача vравновешивання состоит и
|шреде.тении опорных реакций и примене-
нии специальных средств, \ ст раняющи \
H.1II ио крайней мере сводящих к допусн!
мом\ миннм\м\ вибрации в системе меха-
низма и машины.
Уравновешивание вращающихся
масс. Рассмотрим тело (рис. 29.11),
центр масс которого находится в точке
S, Свяжем с этим телом систему коорди-
нат так, чтобы плоскость хОу проходила
через центр масс, а ось Oz совпадала
с осью вращения тела. Тогда каждой эле-
ментарной массе т„ расположенной, на-
пример, в плоскости i на расстоянии г, от
оси г, соответствует направленная по ра-
диусу сила инерции
где ы угловая скорость вращающегося
тела (ротора).
Сила разложенная на две состав-
ляющие, создаст относительно осей у и х
моменты:
му: = f-’Ji «>s <р;
Л4Л = F,,,/, sin q>.
Результирующая сила инерции всего
тела или главный вектор дисбалансов
п
Аи = ы2 mirl = u)2mrs,
i— ।
где m масса всею тела; rs расстоя-
ние центра масс .S' от оси вращения;
mrs - статический .момент.
Результирующий момент всех сил
инерции (главный момент) относительно
плоскости, проходящей через центр масс .S’.
п
Af„ = w2 £ тгг^ = ш-]г1,
i -1
где Jri - центробежный момент инерции
относительно оси вращения и плоскости,
перпендикулярной оси вращения и прохо-
дящей через центр масс тела.
Силы инерции масс, расположенных
в параллельных плоскостях, подлежат ди-
намическому уравновешиванию.
Условием полного уравновешивания
является равенство нулю главного векто-
ра сил инерции 1А\. = 0 и главного мо-
мента сил инерции УЛ!» или
mrs = = (29.33)
/ — ।
п
Л/=£ от.(29.34)
< -1
Условие (29.33) будет выполнено только
при rs = 0, т. е. когда центр S масс тела
лежит на оси вращения, а условие
(29.31) выполняется только в том случае,
когда ось вращения совпадает с одной из
главных осей инерции тела.
Тело считается уравновешенным е т а-
т и ч е с к и, если выполняется только ус-
ловие (29.33). В этом случае центр
.S масс тела лежит на оси вращения и ре-
329
зультирующая сила инерции F„ равна ну-
лю. Однако ось вращения тела не совпа-
дает с одной из главных осей инерции,
и поэтому момент инерции Jr/ и результи-
рующий момент сил инерции М„ не равны
нулю.
Тело считается уравновешенным д и-
п а м и ч е с к и, если выполняется только
условие (29.34). В этом случае тело вра-
щается вокруг одной из главных осей
инерции и результирующий момент сил
инерции равен нулю. Однако эта ось не
является главной центральной осью инер-
ции и поэтому не проходит через центр
масс тела S, а результирующая сила
инерции F„ динамически уравновешенного
тела не равна нулю.
Мерой статической неуравновешенно-
сти или статического дисбаланса враща-
ющегося тела служит величина mrs.
Мерой динамической неуравновешен-
ности или динамического дисбаланса вра-
щающегося тела служит величина /,/.
Моментная неуравновешенность воз-
никает тогда, когда центр масс 3 тела
находится на оси вращения, а главная
центральная ось инерции тела наклонена
к оси вращения тела под некоторым уг-
лом у. В этом случае г5 = О, Ju. -/ (),
Следова le.ibiio, момен гная неуравнове-
шенность выражается лишь главным мо-
ментом дисбалансов тела = 1хг.
Устранение этого момента производится
не менее чем двумя корректирующими
массами.
Исли вращающееся тело само по себе
не уравновешено, т. е. не соблюдены ус-
ловия (29.33) и (29.34), то его можно
уравновесить с помощью специальных
масс, прикрепленных к телу. Эти массы
называются противовесами.
Определение величины и положения
противовесов приводится при проектиро-
вании. Все вращающиеся детали, имею-
щие по конструктивной форме неуравно-
вешенные массы (колено вала и др.), мо-
гут и должны быть уравновешены с по-
мощью противовесов. Уравновешивание
производится путем постановки противо-
весов. Как минимум, должны быть по-
ставлены два противовеса. При этом из
конструктивных соображений задаются
координатами положения противовеса на
оси вращения, т. е. положениями плоско-
330
Рис. 29.12. Схема к расчету противовесов
стей, где должны быть расположены про-
тивовесы.
На рис. 29.12 показано расположение
неуравновешенных масс в пространстве
и положение тех плоскостей, в которых
предполагается расположить противовесы.
Введем следующие обозначения:
aiy bi— расстояние /й массы от плос-
костей / и II соответственно; Ri рассто-
яние центра неуравновешенной /й массы
от оси вращения; м", массы про-
тивовесов, расположенные в плоскостях
/ и //; р'р расстояние от оси вра-
щения центров масс противовесов, распо-
ложенных в плоскостях / и //
(рис. 29.12).
Каждая масса дает при вращении
центробежную силу инерции
А,,, = —
Эту силу можно уравновесить двумя
силами F- и Л/,расположенными в плос-
костях / и //:
Суммируем реакции
сил в плоскостях / и //:
элементарных
У ?. = К' И У F'^F11
L. "У / . И' и5’
, = । I- ।
тогда
г->/ / 2___ г*/ ,
^(.р ^црРпр(,) ‘ Ну ’
г// дл// II 2 _ Г'П
^"пр npPl!p(,t * Иу"
Откуда
F1
т-; (29-35>
(О
F"
<29'36)
(О
По (29.35) и (29.36), задаваясь р'р и р','р,
определяют массы противовесов.
Балансировка вращающихся деталей
подразделяется на статическую и динами-
ческую.
Известно, что конструктивная форма
вращающихся деталей должна обеспечи-
вать их полное уравновешивание. Причи-
нами являющегося дисбаланса могут
быть: иогрешности при изготовлении, не-
однородность материала, неточность мон-
тажа и т. п. Практически любая деталь
имеет некоторую неуравновешенность, ко-
торая при быстром вращении приводит
к недопустимым вибрациям, а иногда н
поломкам. Обнаружить и выявить такую
неуравновешенность можно только с по-
мощью балансировочных машин или
станков.
Статическая б а л а н с и р о в-
к а проводится на простейших устройствах.
Статическая неуравновешенность состоит
в том, что центр масс S смещен относи-
тельно оси вращения (рис. 29.13). Если
центр масс S не лежит на оси вращения,
то при отсутствии вращения дисбаланс
будет стремиться повернуть звено в такое
положение, при котором центр масс ока-
жется под осью вращения.
При статической балансировке деталь
(в форме тела вращения) располагают на
опорах качения так, чтобы она могла сво-
бодно проворачиваться вокруг своей оси.
Если проворачивать деталь около по-
ложения устойчивого равновесия, то по-
сле прекращения движения центр масс
S ее окажется под осью вращения и ба-
лансирный грузик устанавливают на ли-
нии OS» выше оси вращения (рис. 29.13).
В результате ряда попыток можно уста-
новить, какую массу должен иметь балан-
сир для того, чтобы деталь оказалась
в безразличном равновесии. Далее балан-
сирный груз взвешивают и с помощью
простейших расчетов определяют место
его крепления. Балансировку можно осу-
ществить также, удаляя металл (методом
резания) вблизи центра масс.
Точность статической балансировки
зависит от трения в опорах. На практике
для статической балансировки использу-
ют приборы, позволяющие сразу опреде-
лить массу необходимого балансирного
груза и место его установки.
Статической балансировке подверга-
ют вращающиеся детали дисковой фор-
мы, у которых диаметр больше толщины.
В противном случае вместо уравновешен-
ной силы можно получить неуравнове-
шенный момент, ибо плоскость распо-
тоження неуравновешенной массы неиз-
вестна.
Динамическая балансир о в-
к а производится на станках различной
конструкции. На них же можно выявить
и статическую неуравновешенность тела.
На рис. 29.14 приведена схема станка
люлечного типа. Балансируемая деталь
1 устанавливается в подшипниках на
люльку 2, шарнирно прикрепленную к
стойке 3. Люлька притягивается к стойке
Рис. 29.13. Схема к стати-
ческой балансировке
Рис. 29.14. Схема динамической баланси-
ровки
с помощью пружин 4. Уравновешивание
производится в двух плоскостях / / и
// //, которые выбираются из конструк-
тивных соображений. В начале баланси-
ровки одна из плоскостей (/ /) должна
обязательно лежать на оси, проходящей
через центр шарнира .польки. При этом
балансировка будет происходить в другой
плоскости (// //).
При равномерном вращении баланси-
рованного тела неуравновешенные массы
mi и т-2 вызовут появление сил инерции,
которые создадут момент относительно
шарнира, и люлька вместе с баланси-
руемой деталью начнет колебаться. Эти
колебания будут гармоническими и ам-
плитуда их будет пропорциональна неу-
равновешенной массе т-2.
Обычно колебания люльки фиксируют
электрическими датчиками. Токи, возни-
кающие в них, усиливаются и поступают
в специальные электрические счетные ус-
тройства. Результаты вычислений переда-
ются на специальные приборы, по показа-
ниям которых определяют значение и по-
ложение неуравновешенной массы т>.
Для определения величины и положе-
ния другой неуравновешенной массы пц
балансируемую деталь / переставляют на
люльке 2 так, чтобы плоскость // // про-
ходила через шарнир, на котором колеб-
лется люлька. В таком случае колебания
люльки будут вызываться только силой
инерции массы mi, и по амплитуде ко-
лебаний можно произвести уравновеши-
вание.
Балансировочные станки могут рабо-
тать также на резонансных оборотах, ког-
да частота вращения балансируемой де-
тали будет совпадать с частотой со-
бственных колебаний системы балансиру-
емая деталь люлька -- пружины.
Автоматическая бала н с и -
ровка осуществляется на специальных
станках, не требующих перестановки ро-
тора в опорах.
Измерительное устройство такого
станка состоит из генераторов опорных
сигналов, цепи разделения плоскостей
коррекции и индикаторов дисбаланса.
Последний дает сведения о необходимой
массе и месте установки противовеса.
Уравновешивание масс, движущихся
поступательно, поясним на примере кри-
вошипно-шатунного механизма одноци-
линдрового поршневого двигателя
(рис. 29.15.U, б). Сила инерции возврат-
но-поступательно движущихся масс опре-
Рис. 29.15. Схемы уравновешивания возврат но поступательно движущихся масс
332
деляется из приближенной зависимости
F„ = — т Ru>~ (cos <р + X cos 2<р),
где т — масса поршневой группы и части
массы шатуна, редуцированной на ось
поршневого пальца; R - радиус криво-
шипа; X=R/L (L длина шатуна).
Эта сила может быть условно пред-
ставлена в виде суммы слагаемых;
F = F1 4- F"
где Fllt=—mRu>2 cos ср сила инерции
первого порядка, a F'J =—mRw2K cos 2<p
сила инерции второго порядка. Каж-
дая из этих сил уравновешивается по-
рознь.
Для уравновешивания силы инерции
F^b плоскости, проходящей через ось ци-
линдра перпендикулярно оси вала, приво-
дят во вращение в противоположных на-
правлениях две одинаковые массы т'.
значение каждой из которых должно
удовлетворять уравнению т'р'=0,5mR.
Обе массы т' должны быть расположены
так, чтобы при угле q: = 0 угол у = <р = ().
При вращении кривошипа каждая из
масс т' будет вращаться с угловой ско-
ростью ы и вызывать центробежную силу
ш'р'ог = 0,5т/?о>2.
Раскладывая векторы центробежных
сил на вертикальные и горизонтальные
составляющие, замечаем, что горизонталь-
ные составляющие центробежных сил при
любых углах ср взаимно уравновешивают-
ся, а вертикальные составляющие дают
равнодействующую F„ = 2m'p'w2 cos q> =
= mRu>2 cos ср, которая равна силе F'„ и на-
правлена в противоположную сторону.
Следовательно, сила /’„ полностью урав-
новешивает силу F1,,.
Сила инерции второго порядка F"
уравновешивается так же, как и сила
первого порядка (рис. 29.15, в). Только
массы, применяемые для уравновешива-
ния силы F^, должны удовлетворять урав-
X
нению т''р — — mR и вращаться в проти-
о
воположные стороны с угловой скоростью
2о>. При угле ср — 0 угол у = 2ср = 0.
В практике такой способ уравновеши-
вания встречается весьма редко.
§ 29.5 КОЛЕБАНИЯ В МЕХАНИЗМАХ
И МАШИНАХ
Колебательные явления. Основой
механических колебаний является знако-
переменное движение динамических
систем. Под динамической системой под-
разумевают совокупность тел, обладаю-
щих массой и способных совершать отно-
сительное движение.
Большая часть повреждений в маши-
нах и их деталях происходит is результате
возникновения в них колебаний. Конструк-
тор должен предусмотреть возможность
регулирования колебательных процессов
как в деталях, так и в механизмах. Коле-
бания возбуждаются периодическими или
внезапно приложенными силами, действу-
ющими как самостоятельно, так и в со-
четании с термическими, статическими
и другими факторами.
Под воздействием периодически изме-
няющихся сил или моментов детали и ме-
ханизмы совершают вынужденные упругие
колебания, которые становятся особенно
сильными в зоне резонансов, когда часто-
ты возмущающих сил или моментов со-
впадают с частотами собственных колеба-
ний системы. Вероятность возникновения
резонансных режимов возрастает с увели-
чением быстроходности машин.
Улучшение показателей машин приво-
дит к увеличению их быстроходности, по-
вышению энергонапряженности, усложне-
нию рабочих процессов и конструктивных
схем. Вследствие этого в современных
машинах усложняется характер колеба-
ний и увеличиваются нагрузки от них на
детали.
Анализ знакопеременного движения
динамических систем и сил, связанных
с этим движением, важен для определения
их влияния на характеристики и надеж-
ность рассматриваемых систем. Известны-
ми методами расчета могут быть решены
практические задачи, связанные с колеба-
ниями основных деталей механизмов и ма-
шин. Сочетание теоретических методов
расчета с экспериментальными исследова-
ниями позволяют установить наиболее
удачные конструктивные формы деталей,
обеспечивающих работу механизмов и ма-
шин в условиях отсутствия резонансных
режимов.
333
Задача исследования колебательных
процессов в машинах и механизмах в тео-
ретическом и экспериментальном опреде-
лении частот и форм собственных колеба-
ний, в анализе вынужденных колебаний
и их устойчивости, в установлении воз-
можности уменьшения амплитуд при резо-
нансах, в выборе эффективных методов
борьбы с ними в рабочем диапазоне часто-
ты вращения машины, а также в анализе
возможных методов оценок степени опас-
ности колебаний.
Основные определения. Колебания уп-
ругой системы могут быть вызваны мгно-
венным импульсом или внезапным прило-
жением и последующим устранением
внешних силы или момента.
Колебания, которые поддерживаются
только силой упругости детали (или ма-
шины на подвеске), к которой приложен
внешний импульс (сила или момент), на-
зываются свободными или собственными.
Эти колебания описываются однородными
дифференциальными уравнениями. Если
колебания системы будут недемифируе-
мые, то система называется консерватив-
ной. При демпфировании система называ-
ется неконсервативной.
Вынужденными колебаниями называ-
ются такие, когда колебание упругой
системы происходят под действием пере-
менных во времени внешних сил или мо-
ментов. Дифференциальные уравнения
вынужденных колебаний являются неод-
нородными, причем член в правой части
является функцией времени.
Простейшей формой колебательного
движения является гармоническое колеба-
ние, изменяющееся но закону синуса или
косинуса. Всякое гармоническое движение
есть движение периодическое, но не всякое
периодическое движение является движе-
нием гармоническим. Если колеблющаяся
деталь находится под воздействием двух
гармонических движений, частоты кото-
рых (со, и о>2) близки между собой (разли-
чие частот на I 2%), то может возник-
Ш| —ы2
нуть биение с частотой f = —--и боль-
211
шой амплитудой*.
* Так как частота равна разности частот
обоих составляющих тонов, то это позволяет
хорошо слышать биение.
Основным отличительным признаком
колебаний системы является число степе-
ней свободы.
Если конфигурация колеблющейся
системы определяется только одной коор-
динатой, то такая система называется
с одной степенью свободы, двумя — с дву-
мя степенями свободы и т. д. Простейшее
уравнение гармонического колебания име-
ет вид
х = %о sin м1,
где хо -- амплитуда колебаний; ш — угло-
вая, круговая или циклическая частота
собственных колебаний, рад/с; t время,
с; ш/ фаза колебаний.
Полный цикл колебаний завершается
при изменении ш/ за 2л. В этом случае
промежуток времени t равен периоду коле-
баний (с)
Т = 2л/ш.
Обратная периоду величина
._ 1 __ ш
' ~ Г ~ 2 л ‘
называется частотой колебаний.
Например, для одномассовой крутиль-
ной системы, состоящей из закрепленного
одним концом вала с
бодный конец диском
J, дифференциальное
ных колебаний имеет
насаженным на сво-
с моментом инерции
уравнение собствен-
вид
/ср + Сер = О или ср + <о£(р = О,
где мс = y/C/J.
Величину м(: называют круговой часто-
той собственных колебаний
бственных колебаний f(~
(частота co-
ш.
— ). Через
2л
С обозначают крутильную жесткость,
т. е. крутящий момент, потребный для за-
крутки вала на угол в один радиан.
Если колебания одномассовой систе-
мы протекает с затуханием, то диффе-
ренциальное уравнение колебаний прини-
мает вид
ф + бф + (4ч> = °,
где ? - коэффициент демпфирования. При
этом амплитуда колебаний уменьшается
до нуля.
В случае вынужденных колебаний на
колеблющийся диск одномассовой систе-
мы действует возмущающий момент
Mo sin u>t и дифференциальное уравнение
движения принимает вид
334
без затухания <р + <О(.(р =
Л*о
J '
sin at,
" I » • I 2 ^0 . ,
с затуханием <р + е<р + <о(7ф = —- - sin at.
При рассмотрении вынужденных коле-
баний учет собственных колебаний особен-
но важен в том случае, когда числовые
значения ы и ас близки друг к другу,
т. е. когда могут возникать биения. При
затухании колебаний биения постепенно
исчезают, и в системе остаются устано-
вившиеся вынужденные колебания.
Эквивалентная система. Любая транс-
миссия имеет сложную конструктивную
форму. Как правило, в нее входят силовые
агрегаты, редукторы, муфты и другие де-
тали. Расчеты таких систем на крутильные
или изгибные колебания очень трудоемки,
а иногда даже невыполнимы без упроще-
ния системы. Упрошенная система должна
быть эквивалентна действительной,
т. е. частоты и формы ее колебаний до-
лжны совпадать с частотами и формами
колебаний действительной системе. Оба
эти условия выполняются лишь приблизи-
тельно, но с достаточной для практических
расчетов точностью.
Эквивалентная система должна состо-
ять из отрезков вала, обладающих
жесткостью, но лишенных массы, и сосре-
доточенных масс. Диаметр эквивалентного
вала выбирается постоянным, а масса
участков действительного вала сосредото-
чивается в местах концентрации масс.
При вычислении собственных частот
колеблющихся систем можно использо-
вать закон сохранения энергии (при усло-
вии, что демпфирование пренебрежитель-
но мало).
Для каждой частоты собственных кру-
тильных колебаний а>с значения относи-
тельных амплитуд колебаний графически
изображается по длине эквивалентного
вала в виде ординат. Соединяя концы
ординат между массами прямыми, полу-
чим ломаную линию, называемую формой
колебаний. Пересечение формы колебаний
с осью эквивалентного вала называют уз-
лами колебаний. Узловые точки при коле-
баниях системы остаются неподвижными.
В n-массовой системе число форм колеба-
ний на единицу меньше числа масс. Фор-
мы колебаний именуются по числу узлов.
Собственные частоты форм колебаний
располагаются в возрастающем порядке
аг <аг ,где п число масс.
Из общего числа форм собственных
колебаний практический интерес пред-
ставляют только те, которые совпадают
с частотами возмущающих моментов и вы-
зывают резонанс в рабочем диапазоне
оборотов системы. При резонансе форма
вынужденных колебаний практически со-
впадает с формой собственных колебаний.
При этом в валопроводе трансмиссионной
системы возникают большие напряжения,
опасные для его прочности.
Рассчитывают изгибные колебания ва-
лов для определения частоты собственных
колебаний. Полученные значения сопо-
ставляют с частотами возбуждающих ко-
лебания сил. Это позволяет оценить сте-
пень возможности возникновения резонан-
сов в пределах рабочих частот вращения.
Пилы, вызывающие изгибные колеба-
ния, являются следствием как рабочих
процессов, происходящих в машинах, так
и различного вида нарушений, к которым
относятся: конструктивные, связан-
ные с конструктивным уравновешиванием
вращающихся деталей; технологиче-
ские, зависящие от шлаковых включе-
ний, раковин, пористости и изменения
в кристаллической структуре металла;
производственные, вызванные от-
клонением размеров от чертежа при изго-
товлении деталей, неточностями динами-
ческой балансировки, некачественной
сборкой и т. д.; э к с и л у а т а ц и о н и ы е,
связанные с износом деталей, возникнове-
нием температурных и других деформа-
ций, и пр.
Все перечисленное выше, а также мно-
гие другие нарушения способствуют по-
явлению периодических сил механическо-
го, электромагнитного, аэродинамического
и гидравлического происхождения с широ-
ким спектром частот возбуждения. При
определении частоты собственных изгиб-
ных колебаний вал рассматривают как
призматическую многопролетную балку,
нагруженную по той схеме, которая ближе
всего к реальному нагружению.
Отличительным признаком
колебательной системы является вид диф-
ференциальных уравнений ее движения:
линейные и нелинейные колебания. Реаль-
335
ные колебательные системы всегда нели-
нейные, однако, их часто можно описать
линейными дифференциальными уравне-
ниями.
Но характеру возмущения, действую-
щего на колебательную систему, колеба-
ния делятся на: собственные; самовозбуж-
дающиеся (автоколебания); параметриче-
ские; вынужденные и связанные.
Выше даны определения собственных
и вынужденных колебаний.
Автоколебаниями называются такие,
когда система имеет источник энергии, не
обладающий колебательными свойствами,
от которого система за период получает
ровно столько энергии, сколько затрачива-
ется. Автоколебания описываются нели-
нейными дифференциальными уравнения-
ми. Примером автоколебательных систем
является маятник часов.
В системах с параметрическим воз-
буждением внешнее воздействие сказыва-
ется в периодических изменениях одного
или нескольких параметров. Коэффициен-
ты в дифференциальных уравнениях за-
висят от времени (как правило, периоди-
чески) .
Связанные колебания возникают в тех
случаях, когда две или несколько колеб-
лющихся систем оказывают влияние друг
на друга, либо система имеет несколько
степеней свободы.
§ 29.6 СПОСОБЫ УСТРАНЕНИЯ
КОЛЕБАНИЙ
Крутильные колебания. В процессе
проектирования механизмов и машин, ког-
да установлены размеры их деталей, про-
водят расчет частот крутильных колеба-
ний. При неблагоприятном расположении
резонансов принимают меры по улучше-
нию крутильной характеристики системы,
т. е. изменяют крутильную систему или
работу возбуждающих моментов, а также
устанавливают в систему специальное
устройство для гашения колебаний (дем-
пфер).
Изменение собственных частот систе-
мы является основным видом борьбы с ко-
лебаниями. Этого изменения можно до-
стичь путем изменения моментов инерции
вращающихся масс и жесткостей. Как
правило, утяжеление масс системы недо-
336
пустимо. Поэтому конструктор имеет боль-
шие возможности в отношении жесткостей
тех участков системы, которые располага-
ются ii доступных для изменения местах.
Такие конструктивные доработки системы,
вносимые для устранения резонанса ка-
кой-либо формы, изменяют частоты всех
форм. Так как диапазон частот системы
с поршневым двигателем внутреннего сго-
рания весьма широк, то исключить все
резонансы невозможно. Поэтому стремят-
ся освободить от резонансов важнейшие
рабочие зоны оборотов. Слабые резонан-
сы, при которых напряжения не превыша-
ют допустимого уровня, могут оставаться
близкими к основным рабочим режимам.
Интервал между сильным резонансом,
расположенным выше предельно допусти-
мых частот вращения, и частотой враще-
ния должен составлять не менее 10%.
Изменение величины работы, вносимой
возбуждающими моментами, в случае рас-
положения в системе трансмиссии по-
ршневого двигателя, можно достичь под-
бором порядка зажигания по цилиндрам
двигателя.
Главными факторами, влияющими па
выбор порядка зажигания, является его
уравновешенность и характеристика кру-
тильных колебаний системы «двигатель
трансмиссия». В ряде случаев выбор наи-
более целесообразного чередования вспы-
шек по цилиндрам двигателя приводит
к значительному ослаблению отдельных
резонансов. Часто бывает и так, что осво-
бодившись от резонанса одной гармоники,
можно получить в рабочем диапазоне обо-
ротов резонанс другой, но уже с меныним
значением амплитуды.
Этот способ осуществим практически
для четырехтактных двигателей, преиму-
щественно стационарных. Сформулиро-
вать общие правила невозможно. Наибо-
лее целесообразно здесь применять элек-
тромоделирование или по специальной
программе вести расчеты на ЭВМ. Лучше
подобрать рациональный порядок зажига-
ния, чем изменять конструктивные формы
деталей и узлов крутильной системы.
Применение демпферов (основные
конструктивные схемы простейших из них
будут приведены в§ 29.7) является наибо-
лее эффективным средством борьбы с кру-
тильными колебаниями.
Вопрос о выборе крепления демпфера
тесно связан с теми формами собственных
колебаний, на которые он должен эффек-
тивно воздействовать. При настройке дем-
пфера на определенную форму колебаний
необходимо выбрать такое его место в кру-
тильной системе, в котором подбор на-
стройки демпфера будет наиболее эффек-
тивным для данной формы собственных
колебаний (амплитуда колебаний но дан-
ной форме должна быть максимальной).
Расчет демпфера сводится к установ-
лению таких его параметров, при которых
наибольшие колебания в системе достиг-
нут допустимого значения.
Изгибные колебания. Для предотвра-
щения вынужденных изгибных колебаний
обычно используют демпферы (динамиче-
ские, с жидкостным и сухим трением).
Возможность их установки должна быть
предусмотрена в процессе проектирования
машины. Среди динамических демпферов
наибольшее распространение нашли ма-
ятниковые. Маятники, подвешенные в осе-
вой плоскости, оказывают воздействие на
поперечные (или продольные) колебания.
С валом можно связать ролики, шарики,
кольца и другие тела, заставляя их дви-
гаться по особым направляющим и совер-
шать относительные колебания. Маятник
с системой не имеет упругой связи. Роль
последней выполняет сила инерции враще-
ния. Это приводит к уменьшению вынуж-
денных колебаний. Присоединение новой
массы к вращающейся системе может
быть осуществлено как без увеличения,
так и с увеличением числа степеней свобо-
ды. Так, например, присоединение маятни-
кового демпфера увеличивает число степе-
ней свободы на единицу, а сферического
маятника - на две единицы и т. д. Теория
присоединенных маятников хорошо разра-
ботана и широко освещена в специальной
литературе.
Демпферы с жидкостным трением,
впервые предложенные II. Д. Капицей,
являются прототипом гидравлических
демпферов крутильных колебаний. На-
стройка этих демпферов весьма чувстви-
тельна к температуре масла. Поэтому
в транспортных машинах применение та-
ких демпферов ограничено, так как при
возможных эволюциях машины от ротора
на подшипник, а следовательно, и на дем-
пфер действует значительная перегрузка,
которая при малой жесткости опоры зна-
чительно ее деформирует. Образующийся
при этом эксцентриситет в демпфирующем
элементе нежелателен.
Демпферы е сухим трением использу-
ются ограничено, так как демпфирующая
опора не может быть несущей, что исклю-
чает применение такого демпфера в двухо-
порных конструкциях валов и роторов.
Кроме того, демпферы с сухим трением
имеют нестабильную характеристику,
а поэтому необходимо ее периодически
контролировать.
В последнее время широкое распро-
странение получили различные конструк-
тивные модификации демпферов, умень-
шающие амплитуды внутренних силовых
воздействий в местах установки вала или
ротора на опорные стойки. К их числу
относятся упругодемпферпые опоры. Та-
кие опоры приводят к значительному сдви-
гу резонансных режимов и способствуют
значительной разгрузке подшипников ка-
чения. Упругие опоры значительно снижа-
ют амплитуды колебаний при проходе че-
рез резонанс и тем самым значительно
уменьшают передачу вибраций от опор
машины к ее корпусу. Наибольший эффект
эти опоры достигают при применении вы-
сокооборотных гибких валов или роторов
(азотурбинных двигателей. С помощью та-
ких опор можно вывести резонансные обо-
роты за пределы рабочего диапазона.
Примером упругодемпферных опор мо-
жет служить демпфер Аллисона. Отстрой-
ка от резонансных частот и частотное дем-
пфирование колебаний осуществляется
в нем с помощью упругих колец, на кото-
рых покоятся подшипники вала.
Демпфер состоит из гладких и упругих
колец с двухсторонними выступами, рас-
положенных между наружной обоймой
подшипника и опорой. Гладкие кольца
предназначены для защиты упругих колец
и наружной обоймы подшипника от износа
при возможном проворачивании. Их изго-
товляют из стали и подвергают термооб-
работке по наружному диаметру и борту.
Упругие кольца фиксируют от прово-
рачивания с помощью специальных кры-
шек. При установке в демпфере несколь-
ких упругих колец выступы на них распо-
лагают в шахматном порядке. Между
337
упругими кольцами размещают гладкие.
При сборке демпфер заполняют конси-
стентной смазкой. При этом демпфирова-
ние колебаний происходит за счет гидрав-
лического трения, возникающего при вса-
сывании и вытеснении смазки из зазоров
между упругими участками колец, а также
за счет потерь на трение опорных высту-
пов упругих колец о контактные поверхно-
сти гладких.
При прокачке смазки через зазоры
между выступами силы, передаваемые от
вала подшипника, не изменяются вследст-
вие относительно больших зазоров. Следо-
вательно, энергия, поглощенная при коле-
баниях, состоит в основном из энергии де-
формации кольца и трения выступов о по-
верхности наружного и внутреннего колец
при прогибе кольца между выступами.
Упругие кольца с равномерно располо-
женными выступами создают нелиней-
ность с переменной неустановившейся
жесткостью по окружности опоры. Часто-
ты собственных колебаний такой системы
непостоянны и зависят от величины де-
формации опоры, вследствие чего колеба-
ния системы могут иметь нерезко
выраженный характер с небольшими ко-
эффициентами усиления.
Эффективность снижения уровня коле-
баний зависит от того, где установлена
упруго-демпферная опора. При ее уста-
новке в узле колебаний снижений уровня
колебаний не будет.
Демпфер Аллисона весьма компактен
и может быть применен в системах транс-
миссий машин и механизмов без больших
конструктивных доработок. В качестве уп-
ругих элементов также могут быть исполь-
зованы пластины, втулки и пр.
Число колец и толщину пластин вы-
бирают в зависимости от массы вращаю-
щейся детали и степени возбуждаемости
колебаний. Такие демпферы могут рабо-
тать как с маслом, так и без него. При
работе с маслом эффективность демпфера
увеличивается более чем в 2 раза.
Демпфер желательно устанавливать
под роликовые подшипники; при установке
его под шариковые следует разгрузить по-
следние от осевых сил, что сильно услож-
няет конструкцию.
Демпферные опоры разгружают от
статических сил, что позволяет повысить
338
эффективность демпфера в 2—3 раза. Для
этого между наружной обоймой подшип-
ника и корпусом вводят упругий элемент,
воспринимающий большую часть статиче-
ской нагрузки. Упругий элемент устанав-
ливается параллельно демпферу; при
этом уменьшается ширина демпферной
опоры.
§ 29.7. ВИБРОЗАЩИТА МАШИН
Механические колебания часто меша-
ют правильной работе машин, могут вы-
звать повреждения машин или конструк-
ций и неприятны для людей. Примерами
таких колебаний могут быть: дрожание
токарного резца, ведущее к ухудшению
качества поверхности; колебания клапан-
ных пружин, нарушающие моменты рас-
пределения в двигателе; дрожание пола
и дребезжание оконных стекол вследствие
работы двигателя неподалеку от здания
и т. п. Нередко эти колебания становятся
разрушительными; от крутильных колеба-
ний ломаются коленчатые валы, сильные
колебания разрушают клапанные пружи-
ны, в стенах зданий от распространяю-
щихся через грунт сотрясений образуют-
ся трещины.
Основы теории колебаний механиче-
ских систем рассматриваются в курсе те-
оретической механики или в специальных
курсах. В данном параграфе рассмотрены
только особенности вибрационной защиты
колебаний.
Вибрационная защита-
это совокупность средств и методов
уменьшения вибрации, воспринимаемой
защищаемыми объектами. Защищаемыми
объектами могут быть люди, управляю-
щие машинами; обслуживающий персо-
нал, находящийся в зоне действия вибра-
ции; здания или иные сооружения; маши-
ны, аппараты, приборы, находящиеся
в зоне действия вибрации; детали, узлы,
механизмы и устройства, входящие в со-
став машины, работа которой порождает
вибрацию.
В соответствии с этим методы вибра-
ционной защиты включают как расчетно-
теоретические, так и конструкторско-эк-
спериментальные решения, причем оба ви-
да решений, как правило, взаимосвязаны.
Методы вибрационной защиты весьма
многоплаповы, поэтому последовательная
классификация их затруднительна.
К основным методам виброзащиты от-
носятся следующие:
I) снижение интенсивности источни-
ков вибрации. К источникам вибрации
относятся трансмиссии, двигатели, под-
шипники, зазоры в сочленениях деталей.
Эти факторы усиливаются с увеличением
износа деталей. Способы снижения интен-
сивности вибрации специфичны для каж-
дого частного случая. При проектирова-
нии конструкции движущиеся массы ма-
шины или механизма должны быть урав-
новешены;
2) снижение частоты периодического
движения механизма, в том числе за пре-
дел диапазона частот нормируемой виб-
рации, связанное с изменением конструк-
ции объекта;
3) динамическое гашение колебаний,
достигаемое с помощью специального ди-
намического виброгасителя, устанавлива-
емого в систему объекта;
4) виброизоляция, которая сводится
к ослаблению связей между источником
и объектом. Демпфирующие элементы и
устройства, устанавливаемые между виб-
рирующей деталью и защищенным объек-
том, называют виброизолягорами. Опре-
деляющим параметром в и б р о и з ол я тор а
является его жесткость. Виброизоляторы
в известной мере обладают и демпфирую-
щими свойствами. Для повышения этих
свойств вводят в систему виброизоляции
специальные демпферы гасители коле-
баний.
По принципу действия демпферы де-
лятся на три группы:
а) собственно демпферы, т. е. устрой-
ства, поглощающие энергию колебаний
и уменьшающие амплитуду колебаний; к
ним относятся демпферы сухого трения,
гидравлические и ударные;
б) устройства, уравновешивающие
возбуждающий момент или изменяющие
частоту системы без рассеяния энергии;
к ним относятся добавочные массы ни
пружине (динамический демпфер), нели-
нейные муфты н маятниковые демпферы;
в) смешанные устройства, действие
которых основано на изменении системы
или уравновешивании возбуждающего
Рис. 29.1 С>. Колебание
ским демпфером:
системы с динамиче-
а двухмассопая крутильная сноема и форма
собеiвен пых ее колебаний; б резонансная
кривая колебании второй массы двухмассовой
системы без демпфера; в двухмассовая кр\
тильная система с динамическим демпфером и
возможными формами ее собственных колеба-
нии и формой вынужденных колебаний; с ре-
зонансная кривая колебаний вi орой .массы
двухмассовой системы с динамическим -темп
фером
момента и частично на рассеянии энер-
гии; к этому типу относятся демпферы
резиновые, динамические с рессорными
пружинами и др.
На рис. 29.16 приведен пример дейст-
вия простейшего динамического демпфе-
ра с рессорой или пружиной в двухмассо-
вой системе (рис. 29.16, а}, имеющей ре-
зонанс с частотой (о, в рабочем диапазо-
не оборотов (рис. 29.16,6). Действие
динамического демпфера эквивалентно до-
бавлению к системе через соединение е
жесткостью сщ третьей массы с моментом
инерции /|, (рис. 29.16, в). Новая трех-
массовая система имеет две собственные
частоты (<>,. <<0,4 <о,. >(ос(рис. 29.16, г).
Если частоты а>(. и <о,.це совпадают па
рабочих режимах с частотами сильно воз-
339
Демпферы трения:
и сухого; б н
буждающих гармоник, то новые резонан-
сы не существенны и задачу можно счи-
тать решенной.
Маятниковые демпферы нашли широ-
кое применение для борьбы с крутильными
и изгибными колебаниями.
Если для гашения крутильных колеба-
ний маятник подвешивается в плоскости
вращения вала (качающийся противовес
на двух пальцах — бифилярный подвес
к щеке вала), то для гашения изгибных
колебаний маятники подвешиваются
в осевой плоскости вала.
Маятниковые демпферы настраивают
на определенные гармонические составля-
ющие возбуждающих моментов. Настрой-
ка таких демпферов не меняется, и они не
чувствительны к изменению собственной
частоты системы. Чтобы присоединенная
масса давала эффект при любой частоте
вращения, собственная частота колебаний
этой массы должна меняться пропорцио-
нально изменению частоты вращения с ко-
эффициентом пропорциональности, рав-
ным порядку возбуждающей гармоники.
Во избежание нелинейности колебания
маятниковых масс должны проходить
с малой амплитудой. Только в случае, ког-
да профиль, но которому перемещается
палец, на котором подвешена маятнико-
вая масса, представляет кривую, эквива-
лентную эпициклоиде, амплитуды колеба-
ний могут возрастать до требуемой вели-
чины без появления нелинейности. Трение
при работе демпфера мало.
Правильная конструкция маятниково-
го демпфера может быть установлена рас-
в жидкостного
четом без экспериментальной проверки,
которая бывает необходима для подбора
настройки демпферов других типов.
Демпфер трения по принципу дейст-
вия основан па рассеянии энергии коле-
баний. При этом используется сухое или
жидкостное трение. Демпферы ставят на
тот участок вала системы, который имеет
максимальную крутильную деформацию.
На рис. 29.17,а- в приведены простей-
шие конструкции демпферов сухого
(рис. 29.17,а) и жидкостного
(рис. 29.17, 6, в) трения. В демпфере с
сухим трением (рис. 29.17, а) ступица I,
жестко соединенная с валом 2, вовлекает
во вращение через фрикционные дис-
ки 3 маховик 4, свободно посаженный на
вал. С помощью пружины 5 регулируется
сила сухого трения. При колебаниях вала
происходит относительное проскальзыва-
ние маховика и ступицы, приводящее к
рассеянию энергии вследствие трения на
фрикционных поверхностях. В схеме, изо-
браженной на рис. 29.17,6, демпфирую-
щий эффект создается при колебаниях
жестко насаженной на вал 3 ступицы 1 с
лопатками, прокручивающейся относи-
тельно маховика 2; внутренние камеры
заполнены вязкой жидкостью. В демпфе-
ре, изображенном на рис. 29.17, в, дем-
пфирующая сила возникает при перетека-
нии масла через малые отверстия при
колебаниях диафрагмы / относительно
заполненного масла и свободно насажен-
ного кожуха 2.
Динамические демпферы с внутрен-
ним трением (рис. 29.18) часто использу-
340
ют для предотвращения одноузловой
формы крутильных колебаний коленчатых
валов двигателей внутреннего сгорания
с узлом колебаний у маховика. Подбор
момента инерции колеблющейся части
демпфера и жесткости резинового слоя
позволяет получить один резонанс на
оборотах, расположенных значительно
ниже рабочих, а другой резонанс на
оборотах, выходящих за рабочий диапа-
зон оборотов коленчатого вала. Если пер-
вый резонанс будет при одноузловой фор-
ме колебаний, то второй - - при двухузло-
вой. Расчеты показывают, что такие
демпферы допускают настройку на две
и более частоты колебаний.
В конструкциях получили применение
и другие типы демпферов.
Виброизоляторы (амортизато-
ры) являются элементами виброзащитной
системы. Основной частью виброизолято-
ра является упругий элемент. В ряде кон-
струкций виброизоляторов применяют
специальные демпфирующие устройства
для рассеяния энергии колебаний. В за-
висимости от обстоятельств демпфирова-
ние может либо ухудшать, либо улучшать
виброизоляцию.
При изоляции многочастотной вибра-
ции наиболее сильно передается защища-
емому объекту самая низкочастотная со-
Рис. 29.18. Схема резино-
вого демпфера кротильных
колебаний с одной боль-
шой кольцевой массой
ставляющая и полнее отфильтровывается
высокочастотная.
Виброизоляторы с нелинейной жес-
ткостью соответствующего типа могут
оказаться полезными при сравнительно
медленном протекании переходного про-
цесса (запуска и остановки), когда систе-
ма недостаточно быстро переходит через
резонанс на виброизоляторах.
Нелинейность характеристик виброи-
золятора обусловлена нелинейными свой-
ствами упругого элемента, внутренним
трением в упругом элементе и г. д. На
рис. 29.19 изображены различные вибро-
изоляторы и их силовые характеристики
(по оси абсцисс -перемещения, но оси
Рис. 29.19. Виброизоляторы и их силовые характеристики:
а резино.мег.’Ы.1ический; б сетчатый; в с упругими ограничителями хода; г демпферный; () ~
с конической пружиной
341
ординат реакции): а резинометалли-
ческий; б - сетчатый; в с упругими ог-
раничителями хода; г демпферный;
д - с конической пружиной.
Вибрация и шум машт: взаимосвяза-
ны. Колебания валов, роторов, корпусных
деталей машин и др. вызывают шум.
Имеется много источников, одновременно
порождающих как вибрацию, так и шум.
Шум, в свою очередь, может возбуждать
вибрацию элементов машины. Если в
спектре шума имеются частоты, близкие
к собственным частотам конструктивных
элементов, происходит значительное уси-
ление первоначального шума. Поэтому
снижение уровня амплитуд колебаний де-
талей и узлов машин может одновремен-
но уменьшать шум.
Шумом считают звуки, мешающие
восприятию полезных звуков, нарушаю-
щие требуемую тишину или оказывающие
вредное или раздражающее действие на
организм человека. Звук - это волновой
процесс, представляющий собой распро-
странение в упругой среде вибраций в ди-
апазоне воспринимаемых ухом человека
частот от 16 до 20 000 Гц.
В качестве величины, характеризую-
щей силу звука, обычно берут звуковое
давление, которое представляет собой ко-
леблющуюся составляющую давления
воздуха в точке измерения. Диапазон
воспринимаемых ухом человека звуковых
давлений очень велик. Поэтому принято
вместо значений звукового давления опе-
рировать логарифмическими уровнями
звукового давления в децибелах (дБ).
Предельные уровни звукового давления
регламентированы госстандартом.
В зависимости от происхождения в
машинах условно различают механиче-
ский, аэродинамический, гидродинамиче-
ский и электромагнитный шум.
Аэродинамический шум может возни-
кать при образовании вихрей у твердых
границ потоков, турбулентных явлений
при перемешивании потоков, образовании
ударных волн в сверхзвуковом потоке, пе-
риодического изменения давления на ло-
патках центробежных машин, появления
течений неустойчивых типов. Возможно
возникновение флаттера, т. е. вибрации
упругих элементов конструкции в резуль-
тате взаимодействия с потоком газа.
Ряд подобных явлений может возник-
нуть в гидродинамических системах, где
возможен также кавитационный шум
и шум от ударов жидкости о твердую по-
верхность. Электромагнитный шум возни-
кает вследствие действия на элементы
конструкции переменных магнитных, маг-
нитострикционных, пьезоэлектрических
и других сил.
В большинстве задач, связанных с ре-
шением проблемы уменьшения шума,
можно считать, что уменьшение акустиче-
ской энергии в единице объема среды про-
исходит только вследствие излучения зву-
ка. Следовательно, можно пренебречь дис-
сипацией акустической энергии в волне за
счет развития вязких напряжений, тепло-
проводности и тепловой радиации. Такое
допущение будет неправомочно при излу-
чении шума в системах, имеющих высокую
температуру.
При изучении особенностей работы
любых излучателей обычно рассматрива-
ют два диапазона излучения: низкочастот-
ный и высокочастотный. Критерием тина
излучения служит соотношение между
длиной излучаемой волны и размерами
излучателя. Если длина звуковой волны
мала по сравнению с размерами излучате-
ля то частота колебаний велика.
В случае, когда выполняется условие Ks>
3>/, частота колебаний мала.
Пространство, в котором существует
звуковая волна, принято называть звуко-
вым полем. В простейшем случае парамет-
ры звуковой волны могут зависеть только
от расстояния между источником звука
и точкой наблюдения.
Акустическое излучение машины име-
ет сложный характер. Шум машины скла-
дывается из потоков звуковой энергии,
излучаемых рядом источников. Излучае-
мая акустическая мощность складывается
из суммы акустических мощностей излу-
чателей.
Условия низкочастотного и высокоча-
стотного излучения следующие: kR<
< 1 и kR>\, где /г = 2л/Л волновое
число; R - - расстояние от источника излу-
чения, а X — длина волны. Волна характе-
ризуется периодом Т и частотой f или <»,
причем f= 1 /Т, Гц; ы = 2л( и ыТ = kK. Зву-
ковое давление измеряется в Н/м2. Если
диапазон изменения звукового давления
342
Р = 2-И) 5- 200 Н/м2, то при этом уро-
вень шума Л = 0...140 дБ.
Влияние уровня шума машины на че-
ловека зависит от большого количества
групп факторов и прежде всего от физиче-
ских параметров звука, его уровня, спект-
ра, характера изменения по времени и пси-
хофизических факторов, к которым можно
отнести уровень громкости, суммарное
время воздействия шума на человека.
Кроме того, восприятие определяется
чисто субъективным отношением человека
к данному звуку или шуму, его состоянием
и степенью утомления.
Ио исследованию ряда авторов порог
восприятия чистых инфразвуковых гонов
человеком составляет 120 дБ при 4 Гн,
108 дБ при 8 Гц, 95 дБ при 16 Гц
и 73 дБ при 32 Гц, а болевой порог
130... 140 дБ. Установлено, что даже не-
значительное по времени вибрационное
воздействие может вызвать в организме
человека патологические изменения.
Для снижения шума машин принима-
ют меры к уменьшению интенсивности
источников шума, включая и рассмотрен-
ные выше меры по демпфированию коле-
баний. В двигателях внутреннего сгорания
и в пневматических машинах потоки газов
и сжатого воздуха выпускают в атмосферу
через глушители.
В некоторых случаях стены и потолки
помещений, в которых работают шумящие
машины, облицовывают шумопоглощаю-
щими покрытиями, а также используют
различные звукоизолирующие кожухи, пе-
регородки и экраны.
Вопросы для самопроверки
I. Чго понимается под динамической мо-
делью Ml'MIHIHMiP
2. С какой целью нроитнодится приведе-
ние сил и моментов в механизме?
3. Напишите формулу кишчической энер-
гии для кривошипно-ползунного мехашнма.
4. Какое условие положено в основу та ме-
ны масс и моментов инерции при приведении?
5. Какие факторы вызывают периодиче-
ские и непериодические колебания скорости
ведущею звена машины?
6. Как оценивается неравномерность хода
машины? Как ее уменьшит?
7. (’формулируйте на шаченпе маховой
массы.
8. Чем следует руководствоваться при вы-
боре места установки маховика маишиы?
В чем состоит задача уравновешивания?
10. Сформулируй io условия полно! о уран
поветпнвания машины.
II. Что является мерой ст a i пиеской и ди
и а мической неуравновешенностей ?
12. С какой целью устанавлнваются нро-
1 ивовесы?
13. Как уравновешнваются силы инерции
первого и шорою порядков в кривошипно-
иолзу ином механизме1
14. В чем состояг причины дисбаланса
вращающихся деталей1
],'>. На каком принципе работают станки
для динамической балансировки?
16. В чем состоит вибрационная ташита
машин?
17. Каковы методы вибрационной шшигы?
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ВЫБОР ПАРАМЕТРОВ
И ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТИРОВАНИЯ
В учебнике показано, что задачи про-
ектирования не имеют строгой математи-
ческой формулировки и основываются
лишь на общих требованиях к механиз-
мам и их деталям: работоспособности,
надежности, энергоемкости, технологич-
ности, экономичности и др.
В упрощенном подходе к проектиро-
ванию математическая модель элемента
или конструкции, т. е. совокупность урав-
нений и условий, описывающих работу
элемента (конструкции), строят на базе
лишь одного, самого главного требова-
ния, например, надежности. Но и в таком
случае подобные инженерные задачи (на-
пример, проектирование резьбовых соеди-
нений для машин различного назначе-
ния) имеют много вариантов решений из-
за разнообразия условий работы, техно-
логических и других ограничений.
Общие требования к механизмам и их
деталям в совокупности противоречивы.
Стремление наиболее полно удовлетво-
рить одному из них, например надежно-
сти, может быть реализовано за счет дру-
гого требования, например, экономично-
сти. Комплексный учет всех требований
представляет собой главную трудность и
особенность проектирования конструкций,
так как влечет за собой существенное
расширение круга возможных решений и
усложняет выбор оптимального варианта.
Оптимизация конструктивного реше-
ния (проекта) является столь же важной
задачей инженера, как и проектирование
детали или конструкции для выполнения
заданных функций.
Для общего представления дана по-
становка задачи и приведен пример опти-
мального проектирования зубчатого меха-
низма.
Уравнения связи, переменные проек-
тирования и ограничения. Условия рабо-
ты детали в конструкции описываются
некоторой системой из т уравнений связи
(уравнений равновесия, прочности
и т. н.), которые выражают условия взаи-
модействия между элементами конструк-
ции и закономерности рабочих процессов.
При проектировании эти уравнения пред-
ставляют собой систему, содержащую п
неизвестных (х>, .... ха, ..., хп) перемен-
ных проектирования, варьированием ко-
торых получают различные варианты уз-
ла. Например, в расчете двухступенчато-
го зубчатого редуктора приходится ре-
шать задачу о разбивке между ступенями
общего передаточного числа u = ui-u2, в
которой передаточные числа и, и и? в сту-
пенях являются переменными проектиро-
вания, причем в одно уравнение связи
входят две независимые переменные.
Число п переменных проектирования
в задаче может быть различным. С уве-
личением числа п сложность и многова-
риантность задачи возрастают, поэтому
на практике для упрощения проектирова-
ния часто уменьшают число переменных.
Если число уравнений связи равно числу
неизвестных (т = л), то задача имеет
единственное решение. В практике про-
ектирования распространены задачи, в
которых обычно m<Zn. Каждая из таких
задач имеет несколько решений и являет-
ся объектом оптимизации.
Обычно изменение переменных проек-
тирования допускается в некоторых пре-
делах, определяемых назначением детали,
технологией изготовления, требованиями
стандартов и др. В соответствии с этими
причинами ограничения, накладываемые
на параметры проектируемой детали для
выполнения заданных ей функций, назы-
вают функциональными, параметрически-
ми, дискретизирующими и др.
Функциональные ограничения на па-
раметры оптимизации имеют вид
(х) = ф, (х,, х2, ...,x„)<0, s = l,p;
(х) = фг (х,, х2, .... х„) = 0, r = I, q
и выражают собой уравнения связи зна-
344
чений переменных проектирования. Ис-
пользуя ограничения тина фг(х) = (), мож-
но уменьшить число варьируемых пара-
метров, выражая одни переменные про-
ектирования через другие.
Параметрические ограничения име-
ют вид
х, е[а,.,/>,-] (2)
и устанавливают минимально и макси-
мально допустимые значения /-го пара-
метра оптимизации (/=1,2, п), равные
соответственно а, и bi.
Дискретизирующие ограничения име-
ют вид
X/ElX/i. Xj2, .... xjm}, (3)
где х i-Й параметр оптимизации кон-
струкций; хцг-- допустимое дискретное
значение /-го параметра (k номер зна-
чения, k = 1,2, ..., m).
Ограничения этого вида накладывают
на значения параметров оптимизации в
связи с физической сущностью (напри-
мер, число зубьев шестерни), требования-
ми стандартов и др.
Кроме того, некоторые или все пере-
менные могут иметь ограничения по знаку.
Назначение ограничений является
важным этапом постановки и решения
задач оптимального проектирования. Из-
быточные ограничения сужают область
проектирования и усложняют расчет кон-
струкции, а нсучет каких-либо ограниче-
ний может привести к преждевременной
потере элементом и конструкцией в целом
работоспособности и другим нежелатель-
ным последствиям.
Цель оптимизации, критерий опти-
мальности и целевая функция. Понятие
оптимального решения подразумевает вы-
бор такого варианта конструкции, кото-
рый бы обладал возможно большими до-
стоинствами при сведенных к минимуму
недостатков. Например, при проектирова-
нии зубчатого механизма стремятся, что-
бы он имел по возможности высокую на-
дежность, малую массу и высокий КПД
и др. Таким образом, речь идет о выборе
(из множества возможных) лучшего ва-
рианта, удовлетворяющего определенной
цели (целям).
Выбор предполагает наличие крите-
рия сравнения g, позволяющего указать
лучший из выбранных вариантов. Крите-
рий сравнения вариантов называют кри-
терием оптимальности (качества). Каж-
дой цели оптимального проектирования
соответствует определенный критерий оп-
тимальности. Например, если целью опти-
мизации элемента конструкции является
обеспечение минимальной массы (или
максимального КПД), то критерием опти-
мальности будет его масса (или КПД).
Для выбора оптимального варианта
конструкции следует выразить критерий
оптимальности через переменные проекти-
рования (параметры оптимизации),
£ = ф(х) = (Х|. XI, ..., х„). (4)
Зависимости типа (4) называют целе-
выми функциями. Например, если требу-
ется определить значения передаточных
чисел «| и и; для двухступенчатого ре-
дуктора минимальной массы, то целевая
функция должна выражать собой зависи-
мость массы редуктора от передаточных
чисел ступеней, т. е. g„, = ^m (ui, и2).
В простейшем случае, например, при
одном варьируемом параметре, путем пе-
ребора нескольких просчитанных вручную
вариантов конструкции и оценкой но ка-
кому-либо критерию качества (массе, га-
бариту и т.п.) конструктор может вы-
брать наиболее приемлемый вариант. Од-
нако уже при двух варьируемых парамет-
рах бывает трудно уловить влияние каж-
дого из них на главные характеристики,
так как полный обсчет всех возможных
вариантов проектных параметров часто
произвести не удается. В этом случае
эффективным оказывается использование
математических методов оптимизации, по-
зволяющих выбрать кратчайшие пути оп-
тимизации и сократить время расчета.
Оптимизация на базе ЭВМ позволяет по-
лучить более высокое качество решений
за счет использования более сложных мо-
делей изделий.
('.равнение вариантов конструкции
при проектировании может осуществлять-
ся но нескольким критериям одновремен-
но (например, массе. КПД двухкрите-
риальная задача). В этом случае в зада-
че должно быть соответствующее число
целевых функций, которые могут зависеть
от одной или нескольких переменных про-
ектирования.
345
Постановка задач оптимизации. Для
от имитации конструкции следует опреде-
лить цель и соответствующий ей критерий
оптимальное i n, а затем перевести задачу
иа математический язык и построить ма-
тематическую модель формализованное
описание критерия оптимальности, усло-
вий функционирования утла и требова-
ний, предьявляемым к его отдельным па-
раметрам.
Предположим, что известен ряд хь х.>,
.... х„ - переменных проектирования, зна-
чения которых определяют проектируе-
мую конструкцию, и их выбор предостав-
лен конструктору. Определены ограниче-
ния (1)...(3), связывающие эти перемен-
ные с условиями функционирования и
upon щодетва конструкции, т. е. принята
математическая модель. Критерий опти-
мальности у выражен через целевую фун-
кцию (-1).
В таком случае задача оптимального
проектирования состоит в определении
значений Xi,, х-_>.. х„« переменных про-
ектирования, при которых удовлетворяют-
ся ограничения (1)...(3) и функционал
(4) принимает экстремальное (минималь-
ное или максимальное) значение,
<1 (х) ->-extreiiiuiu.
Определенные в результате решения
задачи значения xi., х;!.. х„ парамет-
ров называют оптимальным решением.
Если на переменные не накладывает-
ся никаких ограничений, то решается за-
дача по определению безусловного эк-
стремума целевой функции.
Методы решения задач оптимального
проектирования рассмотрены в специаль-
ной литературе.
Пример. Определим передаточные числа
ступеней и, и «... двухе!уненчатого цилиндриче
скою ред\кюра минимальной массы, если из-
вестно. 'ire общее переда точное число редукто-
ра равно и.
Пор я д о к р е in е и и я i а д а ч и.
1. 11ijxyeTLUi’ целении функции. Примем
в качестве критерия оптимальности массу зуб-
чан,1\ колес Тогда целевой функционал
А',„"И- Ф)
Выразим массы ni\ и com rcici пенно ко-
лес перкой и 1иорой ступеней через переменные
проектирования и\ и //_>. Очевидно, что при оди-
34fi
паковой плотности р материалов колес их массы
"'| =Р 4 «1+^|)6Ф1;
ш, = р ^u., + dl2)h.^2,
«2 — ка (и.2 + I)
где d,„i и dK, диаметры делительных окруж-
ностей шестерни и колеса первой ступени; d ,
и </„..> го же, для колес второй ступени; 6,
и Ь, ширины колес первой и второй ступеней
соответственно; Е, и (г. коэффициенты занол
нения, равные отношениям объемов колес к
объемам соответствующих заменяющих цилин-
дров.
2. Формирование системы ограничений.
Ф у и к и и о и а л ь и ы е о г р а н и ч е н и я:
а) Контактные напряжения на рабочих
поверхностях зубьев не должны быть больше
допускаемых, т. е.
°|—\,("l + l)( ------- •„ ) >0;
\ 4’(Ш| ui l°//i Г /
Ф/ш1 “| ["/ыГ /
где К'„ коэффициент межосевого расстояния;
и, и и2 передаточные числа первой и второй
ступеней редуктора; К1п и К112 коэффициен-
ты нагрузки в зацеплениях ступеней редуктора,
каждый из которых равен произведению трех
коэффициентов 1\ц.. Кир Ки... ф/,и| и ф/хы ко-
эффициенты ширины колес ступеней редукто-
ра; (о/;| ] и [о//21 допускаемые контактные па
пряжения для материалов колес.
Коэффициенты Л.'//| и Кц> являются пере-
менными величинами в общем случае. Для
упрощения задачи примем Kln — Kfl2 —КИ.
Функциональные ограничения (7) отража-
ют принятые критерии работоспособности зуб-
чатых передач.
б) Вращающие моменты на шестернях
связаны между собой условием
Г,.,2 — Т„ ill। — 0. (8)
в) Общее передаточное число и и переда-
точные числа ступеней н, и и? также образуют
ограничение в форме равенства
и — и । и = 0.
(9)
Ограничения (8) и (9) выражают собой
кинематические и силовые связи между переда
нами редуктора.
Пара мет р и ч е с к и е о г р а и и ч е-
п и я.
а) 11ередаточные числа в одной ступени
(< номер ступени редуктора)
|«,|е[3;6|. (Ill)
б) Коэффициенты ширины колес
ф,„„е|0,25; 0,4]. (Н)
Ограничения но знаку
zzi>0; u>>(). (12)
Таким образом, для выбора оптимальных
передаточных чисел и, и и> следует минимизи-
ровать функционал (5) при ограничениях
(7/...(12).'
Для упрощения задачи обратим неравен-
ства (7) в равенства. Тогда, принимая во вни-
мание ограничение (8), получим следующие
соотношения для межосевых расстояний колес
первой и второй ступеней редуктора .
«I (“! 4 •)(А>|)/:';'1 (|3)
«, = (), (u2+l)«|/>(K2«2)' /з,)
в которых приняты такие обозначения
Al =!<’//,
A.2 = [O//2|2%U2/A//-
Учитывая, что Jl.„ = 2al/(ui-{-1) и dh,=
d,,.,Ui, найдем
=20, (Ain,) ; rfj = c/ul|Ui;
- '/<
d-l:, = ‘2tK (K>u>) ; d„2=d,:,2u>.
Подставляя эти равенства в соотношения
(6). будем иметь
т, =лр0|^|ф(>1,1 (1 +и, +uf + uf)/(A|U,);|
т2 = лр02б2ф(,а2(1 4 u2 + ul + u2)ut/(K2u2))
(14)
н целевой функционал (2) примет вид(Ь,=
-- ф»ощ,)
Минимизируя функционал (15)
'А!,,,
dul
-|-(Ku -f- и} -|- 2 (Ли 4- 1) //| — 0,
получим уравнение
2 (Ku ф-1) и\ 4-(К/г -\-и) и\ -Ь
+ (Ки 4-«:!)=0. (16)
Если предположить, что п>1. то уравне-
ние (16) имеет единственное решение ui. кого
рое лежит в интервале (0, и). Решив уравне-
ние, например, по формуле Кардана при
О 10, найдем значения передаточных чисел
ступеней редуктора, при которых его масса
минимальна:
1_2(Ап + 1)'_
_(А+_[)_« .
6 ( Ки -(- 1)~
п2 = /;/«!.
Формулу для и\ можно упростить, если и ’
К и Ku О 1:
“|
и1
2К
K+L.
6 К ’
u2 = u/ur (18)
Несложно заметить, что задача подбора
оптимальных передаточных чисел редуктора
имеет много вариантов решения, каждый из
которых определяется выбором ограничений
(значением коэффициента К).
—и-^-~-+(Ки 4-tz2)-b
Е(Аи 4-и) и,+(Au 4-1)/zf | , (15)
где у„,=лр(К; К = К>1^ьа >)
ЛИТЕРАТУРА
I. Александров М. П. Подъемно-транспортные машины. М.: Машиностроение, 1985.
2. Артоболевский И. И. Теория механизмов и машин. М.: Наука, 1988.
3. Биргер И. А., Мавлютов Р. Р. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1986.
4. Биргер И. А., Шорр Б. Ф., Иосилевич Г. Б. Расчет на прочность деталей машин. М.:
Ма шииостроение, 1979.
5. Заблонский К. И. Детали машин. Киев: Вита школа. 1985.
6. Иосилевич Г. Б. Детали машин. М.: Машиностроение, 1988.
7. Кудрявцев В. Н. Детали машин. Л.: Машиностроение, 1980.
8. Персль Л. Я. Подшипники качения. Справочник. М.: Машиностроение. 1983.
9. Решетов Л. И. Детали машин. М.: Машиностроение, 1974.
10. Феодосиев В. И. Сопротивление материалов. М.: Наука, 1974.
11. Фролов К. И., Попов С. А., Мусатов А. К. и др. Теория механизмов и машин. М.: Высшая
школа, 1986.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие.......................... 3
РАЗДЕЛ ПЕРВЫЙ
ОСНОВЫ ТЕОРИИ МЕХАНИЗМОВ
МАШИН, ПРИБОРОВ И АППАРАТОВ
Глава 1. Введение в прикладную меха-
нику ................................ 4
§ ЕЕ Общие сведения о машинах и меха-
низмах .............................. 4
§ 1.2. Основные характеристики и требо-
вания, предъявляемые к машинам
и механизмам......................... 5
§ ЕЗ. (.'одержание и основные задачи
курса............................. 6
§ Е4. Краткие исторические сведения
о развитии прикладной механики 6
Глава 2. Структура механизмов .... 7
§ 2.Е Структурные элементы .механизмов
и задачи анализа ....................... 7
§ 2.2. Основные виды механизмов ... 9
§ 2.3. Структурные формулы кинемати-
ческих цепей и механизмов ... 13
§ 2.4. Структурный анализ и синтез меха-
низмов .............................. 1 6
Вопросы для самопроверки ... 17
Глава 3. Основы надежности машин и
техническая диагностика ............... 17
§ 3.1. Сущность проблемы надежности 17
§ 3.2. Надежность и ее оценка .... 17
§ 3.3. Условия работы машины и причи-
ны отказов............................. 20
§ 3.4. Надежность при проектировании
машин.................................. 24
§ 3.5. Техническая диагностика машин
(постановка задачи).................... 25
Вопросы для самопроверки ... 26
РАЗДЕЛ ВТОРОЙ
ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТНОЙ
И ТРИБОТЕХНИЧЕСКОЙ НАДЕЖНО-
СТИ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ
Глава 4. Основные модели прочностной
надежности элементов конструкций . . 27
§4.1. Задачи и методы сопротивления
материалов............................. 27
§ 4.2. Модели прочностной надежности 27
§ 4.3. Внутренние силы................. 30
§ 4.4. Напряжения и деформации н точ-
ке .................................... 31
§ 4.5. Общие принципы расчета элемен-
тов конструкций........................ 34
Вопросы для самопроверки ... 35
Глава 5. Растяжение и сжатие .... 35
§ 5.1. Внутренние силы, напряжения и
деформации при растяжении и
сжатии................................ 35
§ 5.2. Потенциальная энергия деформа-
ции и определение перемещений се-
чений стержня иод нагрузкой 39
§ 5.3. Напряжения в наклонных к оси се-
чениях стержня........................ 44
§ 5.4. Механические свойства конструк
циоиных материалов ............. 47
§ 5.5. Статически неопределимые задачи 48
§ 5.6. Методы оценки прочностной на-
дежности элементов конструкций 50
Вопросы для самопроверки . . . 52
Глава 6. Сдвиг и кручение.............. 52
§ 6.1. Сдвиг........................... 52
§ 6.2. Кручение........................ 55
Вопросы для самопроверки . . . 59
Задачи для самостоятельного ре-
шения ........................ 59
Глава 7. Напряженное и деформирован-
ное состояние в точке и теории прочности 59
§ 7.1. Понятие о напряженном состоянии
в точке................................ 59
§ 7.2. Напряжения в наклонных сечениях
при растяжении (сжатии) в двух
направлениях........................... 60
§ 7.3. Обобщенный закон Гука и потен-
циальная энергия деформации . . 62
§ 7.4. Теории прочности................ 63
Вопросы для самопроверки ... 67
Задачи для самостоятельного ре-
шения ........................... 67
Глава 8. Изгиб и сложное сопротивление 67
§8.1. Внутренние силовые факторы в по-
перечных сечениях стержня ... 67
§ 8.2. Напряжения в стержне при чистом
изгибе................................. 71
§ 8.3. Геометрические характеристики
плоских сечений .... . . 75
§ 8.4. Поперечный изгиб................ 79
§ 8.5. Расчет на изгиб за пределом упру-
гости ................................. 81
§ 8.6. Перемещения при изгибе ... 82
§ 8.7. ('.ложное сопротивление . . . 85
§ 8.8. Расчет оболочек вращения ... 88
Вопросы для самопроверки ... 89
Задачи для самостоятельного ре-
шения ........................... 90
Глава 9. Устойчивость стержней и дина-
мика упругих систем.............. 90
§ 9.1. Задача Эйлера............. 90
§ 9.2. Напряжения в элементах конструк-
ций при динамических нагрузках 92
Вопросы для самопроверки . . . 94
349
Задачи для самоеюягелыиио ре-
шения ........................... 94
Глава 10. Прочность при переменных на-
пряжениях ............................. 94
§ 10.1. Циклы переменных напряжений и
усталость материалов .... 94
§ 10.2. Кривая усталое!и. предел вынос-
ливости и диаграмма предельных
напряжений............................. 95
§ 10.3. Влияние коиструк! явных и техно-
логических факторов на сопротив-
ление усталости элементов конст-
рукций ................................ 98
§ 10.4. Условия прочности при перемен-
ных напряжениях и запасы проч-
ности ................................ 101
Глава 11. Основы триботехники сопряже-
ний элементов конструкций ............ 102
§ 11.1. Общие сведения................ 102
§ 11.2. Элементы механики пар трения
(сопряжений).......................... 104
§ 11.3. Виды изнашивания.............. 106
§ 11.4. Меюды оценки износа и трибо-
гехиической иадежноет сопря-
жений ................................ 108
Вопросы для самопроверки . . . 109
РАЗДЕЛ ТРЕТИЙ
ОСНОВЫ ПРОЕКТИРОВАНИЯ ДЕТА-
ЛЕЙ, УЗЛОВ И МЕХАНИЗМОВ МА-
ШИН. ПРИБОРОВ И АППАРАТОВ
Глава 12. Общие вопросы проектирова-
ния .................................... 110
§ 12.1. Критерии работоспособности эле
ментов конструкций ................... 111
§ 12.2. Ci алии конструирования машин
§ 12.3. Автомат и тированное проектиро-
вание ................................ 112
Вопросы для самопроверки. . . 112
Глава 13. Машиностроительные материа-
лы и точность изготовления деталей . . . 113
§ 13.1. Машиностроительные материалы 113
§ 13.2. Основы взаимозаменяемости . . 116
Вопросы для самопроверки . . . 122
Глава 14. Фрикционные передачи (меха-
низмы) и вариаторы...................... 122
§ 14.1. Общие сведения............. 122
§ 14.2. Механика передач........... 124
§ 14.3. Критерии работоспособности и
расчеты передач ................. 125
Вопросы для самопроверки . . . 126
Глава 15. Ременные передачи............. 126
§ 15.1. Общие сведения............. 126
§ 15.2. Механика ременной передачи . . 127
§ 15.3. Критерии работоспособности и
расчеты передач ................. 131
§ 15.4. Геометрические параметры пере
дачи........................ 137
§ 15.5. Ремни и шкивы.............. 137
§ 15.6. Ременные вариаторы......... 139
§ 15.7. Зубчато-ременные передачи . . 139
Вопросы для самопроверки . . . 143
Глава 16. Зубчатые передачи................................................... 143
§ 16.1. Общие сведения........................................................ 143
§ 16.2. Элементы теории зацепления пе-
редачи ............................... 145
§ 16.3. Эвольвенгное зацепление . . . 146
§ 16.4. Геометрический расчет эво.тьвент-
ных прямозубых передач . . . 151
§ 16.5. Особенности геометрии косозубых
и шевронных колее...................................................... 154
§ 16.6. Особенности геометрии кониче-
ских колес............................ 156
§ 16.7. Передачи е зацеплением Новико-
ва ................................... 158
§ 16.8. Механика передач...................................................... 159
§ 16.9. Виды повреждений передач . . 163
§ 16.10. Расчет зубьев на прочность при
изгибе................................. 164
§ 16.11. Расчет на контактную прочность
активных поверхностей зубьев 167
§ 16.12. Материалы, термообработка и
допускаемые напряжения для
зубчатых колес ........................ 170
§ 16.13. Особенности расчета и проекти-
рования планетарных передач 173
§ 16.14. Конструкции зубчатых колес . . 176
§ 16.15. Образование механического при-
вода .................................. 177
Вопросы для самопроверки . . 182
Глава 17. Гиперболоидные передачи . . 183
§ 17.1. Общие сведения. 183
§ 17.2. Геометрический расчет червячной
передачи.......................................................... 185
§ 17.3. Механика червячной передачи 186
§ 17.4. Критерии работоспособности и
расчеты червячных передач . . 188
§ 17.5. Материалы деталей передачи . . 190
Вопросы для самопроверки . . . 192
Глава 18. Цепные передачи.......... 192
§ 18.1. Общие сведения.............. 192
§ 18.2. Механика цепной передачи . . . 194
§ 18.3. Основные параметры передач . . 196
§ 18.4. Критерии работоспособности и
расчеты передач ...................... 196
§ 18.5. Особенности конструкций и экс-
плуатации передач..................... 198
Вопросы для самопроверки . . . 198
Глава 19. Передачи винт — гайка . . 198
§ 19.1. Общие сведения........................................................ 198
§ 19.2. Механика, критерии работоспо-
собности и расчеты передач . . 199
Вопросы для самопроверки . . . 201
Глава 20. Рычажные механизмы . . 202
§ 20.1. Общие сведения и виды механиз-
мов ...................................202
§ 20.2. Кинематический анализ механиз-
мов ...................................203
§ 20.3. Силовой анализ механизмов . . 212
§ 20.4. Основные детали механизмов и
особенности их расчетов . . . . 219
§ 20.5. Применение механизмов в техни-
ке. Роботы.............................220
Вопросы для самопроверки . . . 224
1'лава 21. Кулачковые механизмы . . . 225
§ 21.1. Общая характеристика и анализ
механизмов.............................225
§ 21.2. Синтез кулачковых механизмов 227
§ 21.3. Определение основных размеров
механизма..............................229
§ 21.1. Расчет на прочность и жесткость
деталей передач ...................... 231
Вопросы для самопроверки . . . 232
Глава 22. Валы, оси и муфты............232
§ 22.1. Общая характеристика валов и
осей...................................232
§ 22.2. Расчет валов на прочность и
жесткосп...............................234
§ 22.3. Общая характеристика муфт . . 239
§ 22.1. Компенсирующие и упругие по-
стоянные муфты.........................241
§ 22.5. Сцепные муф|ы..................245
Вопросы для самопроверки . . . 249
Глава 23. Опоры валов и осей .... 250
§ 23.1. Общая характеристика подшипни-
ков скольжения.........................250
§ 23.2. Виды повреждений и оценка три-
ботехнической надежности под-
шипников скольжения .... 253
§ 23.3. Конструкции подшипников сколь-
жения и материалы деталей . . 256
§ 23.4. Общая характеристика подшип-
ников качения..........................260
§ 23.5. Кинематика и динамика подшип-
ников качения..........................263
§ 23.6. Иссушая способность подшипни-
ков качения............................264
$ 23.7. Конструкции подшипниковых уз-
ЮВ...................................271
Вопросы для самопроверки. . . 073
Глава 24. Детали корпусов, уплотнения,
смазочные материалы и устройства . 27.3
§ 24.1. Летали корпусов................273
§ 24.2. Уплотнения и устройства для уп-
лотнения ..............................275
§ 24.3. Смазочные материалы и устрой-
ства...................................276
Глава 25. Неразъемные соединения эле-
ментов конструкций.....................278
§ 25.1. Общая характеристика сварных
соединений.............................278
§ 25.2. Критерии работоспособности и
расчеты сварных соединений . . 251
§ 25.3. Паяные соединения............. 285
§ 25.4. Клеевые соединения..........286
§ 25.5. Заклепочные соединения . . . 287
Вопросы для самопроверки . . . 291
Глава 26. Резьбовые соединения . . 292
§ 26.1. Общие сведения.................292
§ 26.2. Особенности работы резьбовых
соединений.............................294
§ 26.3. Критерии работоспособности и
расчеты резьбовых соединений 300
§ 26.4. Особенности расчета групповых
(.многоболтовых) соединений . . 303
Глава 27. Соединения типа вал ступица
§ 27.1. Соединения с натягом .... 305
§ 27.2. Шпоночные соединения .... 310
§ 27.3. Шлицевые соединения .... 312
§ 27.4. Штифтовые соединения .... 314
§ 27.5. Профильные соединения . . . 314
Глава 28. Пружины и упругие элементы 314
§ 28.1. Общие сведения.................314
§ 28.2. Расчет витых цилиндрических
пружин сжатия и растяжения . . 316
§ 28.3. Резиновые упругие элементы . . 319
Глава 29. Динамика механизмов . . 320
§ 29.1. Динамическая модель механизма 320
§ 29.2. Уравнение движения механизма 323
§ 29.3. Неравномерность хода машины
при периодическом установив-
шемся движении и регулирование
движения машинного агрегата 326
§ 29.4. Уравновешивание механизмов 328
§ 29.5. Колебания в механизмах и маши-
нах ...........................333
§ 29.6. Способы устранения колебаний 336
§ 29.7. Виброзашита машин.............338
Вопросы для самопроверки . . . 344
Заключение............................344
Выбор параметров и оптимизация
проектирования ............... 344
Дитература............................348