ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 3
Введение 12
1 Математические методы
теории очередей 17
1.1 Общие положения и определения 17
1.2 Входящий поток, время обслуживания 19
1.3 Марковские случайные процессы 25
1.3.1 Процессы гибели и размножения 25
1.3.2 Метод диаграмм интенсивностей переходов ... 29
1.3.3 Цепи Маркова с дискретным временем 30
1.4 Преобразования Лапласа и Лапласа - Стилтьеса.
Производящая функция 32
1.5 Однолинейные марковские системы
массового обслуживания 34
1.5.1 Система типа М|М|1 35
1.5.2 Система типа М|М|1|п 38
1.5.3 Система с конечным числом источников 39
1.6 Полумарковские однолинейные системы и
методы их анализа 40
1.6.1 Метод вложенных цепей Маркова в приложении
для системы M|G|1 40
1.6.2 Метод вложенных цепей Маркова в приложении
для системы GI\M\1 49
1.6.3 Метод введения дополнительной переменной . . 52
1.6.4 Метод введения дополнительного события .... 57
1.7 Многолинейные системы массового обслуживания ... 63
1.7.1 Системы М\М\п и М\М\п\т 64

6 Оглавление
1.7.2 Многоканальные системы без буфера для
ожидания 66
1.7.3 Система М|М|оо 68
1.7.4 Система M|G|1 с дисциплиной равномерного
распределения процессора и дисциплиной LIFO с
прерыванием обслуживания 73
1.8 Приоритетные системы массового обслуживания .... 75
1.9 Многофазные системы 81
1.10 Перспективные направления исследований
в теории очередей 87
1.10.1 Исследование систем матричными методами . . 87
1.10.2 СМО с повторными вызовами 88
1.10.3 Другие направления исследований 89
2 Аналитические методы
теории сетей очередей 90
2.1 Основные понятия и определения 90
2.1.1 Маршрутная матрица и потоки в сетях 91
2.1.2 Другие определения 93
2.2 Однородные экспоненциальные сети 94
2.2.1 Уравнения глобального баланса для замкнутых
цепей 94
2.2.2 Вид решения в мультипликативной форме ... 96
2.2.3 Сети, зависящие от нагрузки 99
2.2.4 Показатели качества функционирования
однородных сетей 101
2.3 Сети массового обслуживания с несколькими
классами сообщений 104
2.3.1 Описание смешанной сети 105
2.3.2 Теорема ВСМР 107
2.3.3 Открытые сети МО с несколькими классами . . 113
2.4 Итерационный метод анализа средних значений .... 114
2.4.1 Общее описание метода 115
2.4.2 Однородная замкнутая сеть МО, зависящая от
нагрузки 117
2.5 Оптимизация замкнутых однородных сетей
массового обслуживания 118
2.5.1 Некоторые свойства характеристик замкнутых
однородных сетей МО 119
2.5.2 Постановка и решение задачи оптимизации . . . 123

Оглавление 7
2.5.3 Пример расчета 126
Вычислительные алгоритмы (методы вычислений
характеристик сетей очередей 132
3.1 Алгоритмы вычисления характеристик однородных
замкнутых экспоненциальных сетей массового
обслуживания 132
3.1.1 Метод Бузена 133
3.1.2 Вычисление характеристик сети 138
3.1.3 Аналитическое представление нормализующей
константы 140
3.1.4 Пример расчета 144
3.2 Расчет сетей с несколькими классами сообщений .... 146
3.2.1 Вычисление нормализующей константы 147
3.2.2 Маргинальное распределение длины очереди и
пропускная способность 151
3.2.3 Расчет среднего времени ожидания и
средней длины очереди 154
3.2.4 Алгоритм расчета замкнутой сети МО,
допускающей изменение класса сообщений ... 155
3.3 Вычислительные аспекты метода анализа средних
значений 158
3.3.1 Основные соотношения 158
3.3.2 Оценка эффективности вычислительного
алгоритма 159
3.3.3 Расширение метода 162
3.4 Практические аспекты реализации алгоритмов расчета
сетей массового обслуживания большой размерности . 165
3.4.1 Выбор масштаба (масштабирование) 166
3.4.2 Реконфигурация сети МО 169
3.4.3 Обобщенный алгоритм свертки в виде дерева
для расчета сетей МО 170
Приближенные методы исследования
сетей очередей 178
4.1 Область применения и краткий анализ
приближенных методов 178
4.1.1 Аппроксимация функций распределения 179
4.1.2 Диффузионная и декомпозиционная
аппроксимации 183

8 Оглавление
4.2 Декомпозиционные методы на основе теоремы Нортона 184
4.2.1 Теорема Нортона для анализа замкнутых и
разомкнутых локально- сб алансированных
сетей массового обслуживания 184
4.2.2 Приближенный декомпозиционный алгоритм . . 187
4.2.3 Пример расчета 189
4.3 Декомпозиция разомкнутых сетей массового
обслуживания на уровне первых моментов 191
4.3.1 Уравнения баланса потоков и дисперсий 191
4.3.2 Диффузионная аппроксимация
системы МО GI/G/1 193
4.4 Полиномиальная аппроксимация 199
4.4.1 Описание метода 199
4.4.2 Оценка вычислительной сложности метода . . . 200
4.4.3 Пример расчета 202
5 Развитие теории мультипликативных
сетей очередей 204
5.1 Основные направления развития теории
мультипликативных сетей 204
5.2 Сети массового обслуживания с зависимым
обслуживанием 206
5.2.1 Описание сети. Обозначения 207
5.2.2 Частные случаи 211
5.2.3 Марковский процесс, описывающий
функционирование сети 212
5.2.4 Основная теорема о мультипликативности сети . 213
5.2.5 Частные случаи 224
5.3 G-сеть с отрицательными заявками 226
5.3.1 G-сеть с отрицательными заявками и
групповыми удалениями положительных заявок 229
5.3.2 G-сеть с отрицательными заявками и триггерами 231
5.4 Решение уравнений баланса для интенсивности
потоков и устойчивости G-сетей 233
5.5 G-сеть со случайным временем активизации
сигналов 235
5.5.1 Однолинейные узлы 237
5.5.2 Симметричная G-сеть 238
5.5.3 Обсуждение результатов 240

Оглавление 9
5.6 G-сети с несколькими классами положительных заявок
и сигналов 241
5.7 Другие модели и методы анализа G-сетей 246
Стохастические модели
компьютерных сетей 250
6.1 Структура и информационное обеспечение
компьютерных сетей 250
6.1.1 Структура компьютерных сетей 250
6.1.2 Сетевые протоколы 254
6.1.3 Использование теории сетей МО
для исследования компьютерных сетей 257
6.2 Методы расчета характеристик сети
пакетной коммутации 259
6.2.1 Анализ межконцевых задержек 260
6.2.2 Оптимизация пропускной способности и выбор
маршрутов 264
6.2.3 Модель сети с ограниченной буферной памятью
в узлах коммутации пакетов 267
6.3 Управление потоками в сети пакетной коммутации . . . 273
6.3.1 Методы управления потоками 273
6.3.2 Сетевая модель глобального управления 277
6.3.3 Локальное управление буферами 279
6.4 Анализ буферной памяти узла коммутаци 287
6.4.1 Процесс буферизации в узле коммутации
и схемы организации буферной памяти 287
6.4.2 Анализ однородного пула равнодоступных
буферов 290
6.4.3 Сетевая модель памяти секционной структуры . 295
6.4.4 Анализ динамической памяти
с цепочкой буферов 299
Математические модели исследования
алгоритмов маршрутизации 308
7.1 Основные понятия и определения 308
7.2 Постановка задачи 310
7.3 Алгоритмы решения задачи выбора оптимальных
потоков в сети 314
7.3.1 Альтернативная маршрутизация 314
7.3.2 Фиксированная (однопутевая) маршрутизация . 318

10 Оглавление
7.3.3 К-путевая маршрутизация 326
7.4 Примеры анализа алгоритмов маршрутизации
в сетях передачи данных 329
7.4.1 Анализ различных вариантов алгоритмов
маршрутизации для СПД «Экспресс» 329
7.4.2 Анализ развития СПД «Сирена» 333
7.5 Динамическая маршрутизация в ATM сетях 337
7.5.1 Характерные особенности ATM сетей 337
7.5.2 Основные понятия маршрутизации
для ATM сетей 339
7.5.3 Взаимосвязь с подсистемой установки
соединения 341
7.5.4 Классификация алгоритмов маршрутизации . . 344
7.5.5 Требования к алгоритмам динамической
маршрутизации 346
7.5.6 Входные параметры заявки 348
7.5.7 Параметры состояния сети 351
7.5.8 Показатели качества маршрутизации 362
7.5.9 Анализ подходов к реализации
общих требований 366
7.5.10 Маршрутизация запасных соединений 377
7.5.11 Выбор оптимального алгоритма и значений его
параметров 383
8 Оптимизация топологической структуры
компьютерной сети 392
8.1 Принципы топологического проектирования
сетей передачи информации 392
8.2 Описание задачи синтеза топологии;
исходные данные 397
8.3 Комбинаторный алгоритм топологической
оптимизации сети передачи информации 398
8.4 Оптимизация топологической структуры
по критериям стоимости и надежности 400
8.5 Алгоритм генерации остовных двухсвязных
подграфов заданного графа 403
8.6 Характеристики некоторых экстремальных графов.
Теорема о нижней границе числа ребер 406
8.7 Общая задача топологического синтеза
компьютерной сети 410

Оглавление 11
9 Методы анализа беспроводных
компьютерных сетей 413
9.1 Состояние и перспективы развития
беспроводных радиосетей 413
9.2 Схема распределенного управления 417
9.3 Моделирование беспроводной локальной сети
в условиях высокой нагрузки 421
9.3.1 Оценка пропускной способности 423
9.3.2 Оценка вероятности передачи 426
9.3.3 Случай фрагментации пакетов 431
9.4 Моделирование городской радиосети 437
9.4.1 Имитационное моделирование радиосоты .... 440
9.4.2 Аналитический метод оценки 442
9.4.3 Оценка при технологии FHSS 448
9.5 Численные результаты исследования городской
радиосоты 451
9.6 Региональные беспроводные сети
на базе ШПС-радиомодемов 458
9.7 Аэростатная беспроводная сеть 462
9.8 Оптоэлектронные атмосферные каналы
передачи данных в компьютерных сетях 464
Литература
479

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК
ИНСТИТУТ ПРОБЛЕМ ПЕРЕДАЧИ ИНФОРМАЦИИ
В.М. Впшневскпп
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ
ПРОЕКТИРОВАНИЯ
КОМПЬЮТЕРНЫЕ СЕТЕЙ
ТЕХНОСФЕРА
МОСКВА
2003

B.M. Вишневский
Теоретические основы проектирования
компьютерных сетей
Москва:
Техносфера, 2003. - 512с.
В монографии рассматриваются методы анализа и синтеза компьютерных
сетей. Приводятся точные и приближенные математические методы
исследования систем и сетей очередей, а также эффективные
вычислительные алгоритмы расчета таких сетей. С позиций теории сетей очередей
описываются различные аспекты проектирования компьютерных сетей.
Рассматриваются стохастические сетевые модели анализа задержек,
управления потоками и расчета узлов коммутации пакетов.
Систематизируются и исследуются алгоритмы выбора оптимальных маршрутов в сетях
пакетной коммутации и динамической маршрутизации в ATM сетях. Дается
описание комбинаторного алгоритма синтеза топологической структуры
корпоративных компьютерных сетей. Приводятся новые результаты в области
проектирования и оценки производительности беспроводных компьютерных
сетей под управлением протокола IEEE 802.11.
©2003, В.М.Вишневский
© 2003, ЗАО «РИЦ«Техносфера»
состав, оформление.
ISBN 5-94836-011-3

Предисловие
Происходящие в мире процессы развития инфокоммуникаций
стали объективным фактором движения мирового сообщества к
созданию глобального информационного общества. Фактически речь идет
о развертывании очередной промышленной революции, получившей
название «информационной». Международная интеграция
информационных ресурсов и развитой инфраструктуры компьютерных сетей
позволяет осуществлять взаимодействие любых пользователей для
получения любого вида информации в реальном масштабе
времени вне зависимости от расстояния и используемых средств
вычислительной техники.
Информационные технологии становятся одним из основных
ресурсов развития ведущих стран мира в наступившем столетии.
Впервые появляется возможность преодоления информационного
неравенства как между отдельными странами, так и внутри стран.
Особенно важно это для Российской Федерации, на обширной
территории которой наряду с информационно развитыми городами и
регионами имеются территории со слабой телекоммуникационной
инфраструктурой (в первую очередь это касается сельских районов).
Развитие цифровых информационных технологий и
широкополосных беспроводных сетей передачи информации - один из
перспективных путей решения этой проблемы.
Повсеместное внедрение компьютерных сетей должно
сопровождаться опережающим развитием фундаментальной теории в этой
области, созданием инженерных методов анализа и синтеза, систем
автоматизации проектирования, направленных на сокращение
сроков и повышение качества проектирования компьютерных сетей. В
связи с этим появление предлагаемой монографии является весьма
актуальным и своевременным.
В книге в сжатой, но доступной для инженеров -
проектировщиков форме, излагаются основные математические методы теории
массового обслуживания, включая новейшие результаты в этой об-

4 Предисловие
ласти и направления ее развития. Описываются стохастические
модели протоколов компьютерных сетей и их исследования с
использованием теории сетей очередей. Рассматриваются алгоритмы
выбора оптимальных маршрутов и пропускной способности в сетях
пакетной коммутации. Впервые приводится систематизированное
изложение методов и алгоритмов динамической маршрутизации в ATM
сетях. Описывается методология и система автоматизации
проектирования компьютерных сетей. Рассматривается комбинаторный
алгоритм синтеза топологии, основанный на современных результатах
теории экстремальных графов. Описываются новые результаты в
области проектирования и оценки производительности беспроводных
сетей и моделирования протокола IEEE 802.11.
Автор книги известный специалист в области компьютерных
сетей и информационных систем на транспорте. Его оригинальные
результаты в теории стохастических систем, математическом
программировании и теории экстремальных графов положены в основу
написания этой книги. Под руководством и при непосредственном
участии автора книги реализован целый ряд крупномасштабных
проектов компьютерных сетей и информационных систем на транспорте.
К ним относятся: сеть Министерства транспорта РФ и Президиума
РАН, сеть «Сирена», сеть «Radionet» для беспроводного
подключения в Интернет организаций науки и образования г.Москвы, Единая
система бронирования и продажи билетов на транспорте, сеть
наукограда Обнинск и др.
Надеемся, что настоящая монография будет полезна широкому
кругу читателей: аспирантам, научным работникам и инженерам-
проектировщикам, занимающимся фундаментальными и
прикладными исследованиями в области телекоммуникационных систем и
компьютерных сетей.
Академики РАН Велихов Е.П., Кузнецов Н.А.

Введение
Конец 20-го и начало 21-го веков ознаменовались бурным
количественным и качественным ростом компьютерных сетей. Эта
тенденция, которая очевидно сохранится в ближайшие десятилетия,
хорошо иллюстрируется беспрецедентным ростом сети Интернет,
охватившей все страны мира. Локальные компьютерные сети,
являющиеся основой автоматизации деятельности отдельных предприятий и
фирм, и распределенные сети, охватывающие города, регионы и
континенты, проникли во все сферы человеческой деятельности,
включая экономику, науку, культуру, образование, промышленность и т.д.
Современные компьютерные сети обеспечивают пользователям
широкий набор услуг, включая электронную почту, передачу
факсимильных и голосовых сообщений, работу с удаленными базами
данных в реальном масштабе времени, службу новостей и другие услуги.
На базе компьютерных сетей реализуются: дистанционное обучение,
телемедицина, телеконференции, телебиржи и телемагазины и т.д.
Быстрый рост числа компьютерных сетей, успехи в развитии
оптоволоконных и беспроводных средств связи, сопровождаются
непрерывной сменой сетевых технологий, направленной на повышение
быстродействия и надежности сетей, возможности интегрированной
передачи данных, голоса и видеоинформации. Основным
направлением развития технологий локальных сетей явилось создание семейства
технологий Ethernet - Fast Ethernet - Gigabit Ethernet,
обеспечивающее иерархию скоростей 10/100/1000 Мбит/с; в глобальных сетях
осуществился переход от технологии Х25 к технологии Frame
Relay, использованию стека протоколов TCP/IP, технологий ATM и
Gigoethernet.
Смена технологий, непрерывный количественный и качественный
рост компьютерных сетей выдвигают в ряд первоочередных задач
развитие теоретических основ проектирования сетей на базе
систематизации уже известных подходов и разработки новых методов
анализа и синтеза компьютерных сетей. В настоящее время известны

Введение 13
многочисленные публикации, в которых отражены технологии,
логическая, физическая и программная структура современных
компьютерных сетей [93,96,100,106,110]. Теоретические методы анализа
и синтеза компьютерных сетей нашли отражение в многочисленных
статьях и отдельных разделах монографий [2,12,74,78,95,119,120,172,
204,215,253,275], ориентированных в основном на специалистов -
математиков. Сложность и многообразие подходов, отсутствие
систематизации основных направлений анализа и синтеза компьютерных
сетей создают значительные трудности для специалистов
проектировщиков, желающих использовать теоретические подходы для решения
практических задач. В то же время достаточная завершенность
математических результатов и потребности разработчиков обусловили
необходимость и своевременность систематизированного изложения
теоретических основ проектирования компьютерных сетей.
Книга содержит девять глав, пять из которых посвящены
методам анализа компьютерных сетей, основанным на теории систем и
сетей массового обслуживания (теории очередей), четыре главы
посвящены методам синтеза компьютерных сетей, а также последним
результатам в области проектирования беспроводных компьютерных
сетей.
Значительное внимание, уделяемое в первой части книги теории
очередей, связано с тем, что стохастический характер поступления
данных и недетерминированная обработка их в узлах коммутации и
каналах связи предопределяет использование моделей теории
очередей для анализа и проектирования компьютерных сетей.
Математические методы теории систем массового обслуживания
обеспечивают возможность решения многочисленных задач
расчета характеристик качества функционирования различных компонент
компьютерных сетей, включая оценку вероятностно-временных
характеристик узлов коммутации и маршрутизации; анализ
производительности локальных сетей и сетей с множественным доступом;
анализ буферной памяти узлов и методов локального и
глобального управления потоками; расчет потерь и загрузку цифровых линий
связи при передаче данных, голоса и видеоинформации при
различных методах мультиплексирования и т.д.
В первой главе дано описание основных математических методов
исследования марковских и полумарковских систем массового
обслуживания. Исследуются однофазные и многофазные системы, а
также системы с различными дисциплинами обслуживания входящих
потоков сообщений.

14 Введение
Основное внимание в последующих двух главах уделяется
аналитическим методам исследования локально-сбалансированных
сетей очередей, стационарные вероятности состояний, которых имеют
мультипликативную форму, и эффективным алгоритмам расчета
характеристик таких сетей.
Рассмотренные во второй главе методы исследования локально-
сбалансированных сетей очередей позволяют получать решения в
удобной мультипликативной форме. Однако прямое вычисление
стационарных вероятностей состояний и других характеристик
замкнутых сетей очередей требует значительных затрат машинного
времени даже для сетей небольшой размерности. В связи с этим в третьей
главе рассматриваются эффективные рекуррентные алгоритмы
расчета сетей очередей. Наряду с описанием традиционных алгоритмов
свертки и анализа средних значений дается изложение алгоритмов
расчета сетей очередей большой размерности, базирующихся на
использовании свойства разреженности матрицы маршрутов. Уделено
внимание также практическим проблемам, возникающим при
программной реализации вычислительных алгоритмов.
Следует отметить, что область применения аналитических
моделей сетей очередей в значительной мере ограничивается из-за
предположения об экспоненциальном характере обслуживания, так как
в компьютерных сетях функции распределения времени обработки
в узлах коммутации и передачи по каналам связи отличны от
экспоненциальных. В этом случае, учитывая, что методы точного
анализа моделей немарковских сетей очередей мало перспективны при
исследовании реальных систем, используют приближенные
подходы, рассмотренные в четвертой главе. Первый подход состоит в
аппроксимации произвольной функции распределения
последовательностью функций распределения, допускающих рациональное
преобразование Лапласа, и отыскании точного решения для полученной
сети очередей в мультипликативной форме. Ценой такой
аппроксимации является значительное увеличение пространства состояний
сети, что приводит даже при использовании высокоэффективных
вычислительных алгоритмов к времени счета на ЭВМ, зачастую
соизмеримому с имитационным моделированием.
Более перспективный подход связан с разработкой
приближенных методов, которые позволяют исследовать немарковские сети
очередей с блокировками, приоритетами и другими особенностями,
характерными для компьютерных сетей. Большинство этих методов
базируется на следующих подходах: либо постулируется независи-

Введение 15
мость там, где случайные величины слабо зависимы, либо свойства
мультипликативной формы представления сетей МО
распространяются за пределы области их применения.
В пятой главе дано описание основных направлений развития
теории сетей очередей; приведены новейшие результаты, полученные
в этой области в последние годы. Особое внимание уделено
исследованию сетей очередей с зависимым обслуживанием в центрах и
решениям уравнения глобального баланса и устойчивости G-сетей.
В шестой главе методы расчета сетей очередей, описанные в
предыдущих главах, используются для анализа сетевых моделей
различных уровней протоколов, соответствующих «эталонной модели
архитектуры открытых систем», и моделей отдельных компонентов
компьютерных сетей. Основное внимание уделяется методам
расчета интегральных характеристик, методам глобального и
локального управления потоками, а также анализу процессов буферизации
в узлах коммутации пакетов, являющихся основными компонентами
компьютерной сети.
Последующие две главы посвящены математическим методам
синтеза компьютерных сетей.
В седьмой главе систематизируются известные и приводятся
новые алгоритмы выбора оптимальных маршрутов, включая
исследование фиксированной, альтернативной и if-путевой маршрутизации.
Приводятся примеры расчета для крупнейших в СНГ
корпоративных компьютерных сетей «Сирена» и «Экспресс», в разработке и
внедрении которых автор принимал непосредственное участие.
Дается систематизированное изложение динамической маршрутизации
в ATM сетях, которое до настоящего времени отсутствовало в
отечественных и зарубежных изданиях.
В восьмой главе рассмотрены принципы построения системы
автоматизации топологического проектирования компьютерных сетей.
Приводится описание комбинаторного алгоритма синтеза топологии,
базирующегося на оригинальных результатах теории экстремальных
графов.
Последняя девятая глава посвящена методам проектирования
беспроводных сетей, получившим в последние годы широкое признание
как эффективное средство решения проблемы «последней мили» и
создания «домашних» и региональных компьютерных сетей. Дано
описание новых аналитических моделей оценки производительности
и других характеристик качества функционирования беспроводных
сетей с использованием методов теории сетей очередей, описанных

16 Введение
в главе 2. Приведены примеры проектирования сети Radionet,
обеспечивающей подключение организаций науки и образования города
Москвы к сети Интернет, разработанной и внедренной под
руководством и при участии автора книги. В последних двух разделах дано
описание оригинального проекта беспроводной компьютерной сети с
использованием привязных аэростатов, разработанного Институтом
проблем передачи информации РАН и РНЦ «Курчатовский
институт», а также применение оптоэлектронных атмосферных каналов
передачи информации в компьютерных сетях.
Отметим, что несмотря на достигнутый прогресс в теории
проектирования компьютерных сетей, эта перспективная область
оставляет простор для разработки новых аналитических методов и
преодоления недостатков известных. Требуется подвести строгую
теоретическую базу для приближенных методов, которые во многом еще
являются эвристическими, опираются, главным образом, на
интуицию и эмпирические исследования, а не на строгие доказательства,
а также в области построения моделей компьютерных сетей,
которая является скорее искусством, чем наукой. Автор надеется, что
предлагаемая книга побудит читателей углублять и развивать
математические методы анализа и синтеза компьютерных сетей.
Автор приносит благодарность сотрудникам отдела
компьютерных сетей Института проблем передачи информации РАН,
принимавших участие в подготовки книги. Особая признательность
выражается академикам Е.П.Велихову и Н.А.Кузнецову за поддержку и
ценные советы при написании книги.

ГЛАВА 1
Математические методы
теории очередей
1.1 Общие положения и определения
Теория массового обслуживания (англоязычное название - queue-
ing theory - теория очередей) возникла в начале 20 века. Ее
основоположником считается датский ученый А.К. Эрланг, работавший в
шведской телефонной компании и занимавшийся вопросами
проектирования телефонных сетей. В дальнейшем теория получила
интенсивное развитие и применение в различных областях науки, техники,
экономики, производства. Это объясняется тем, что эта теория
изучает широко распространенные в человеческой практике ситуации,
когда имеется некоторый ограниченный ресурс и множество (поток)
запросов на его использование, следствием чего являются задержки
или отказы в обслуживании некоторых запросов. Стремление понять
объективные причины этих задержек или отказов и по возможности
уменьшить их воздействие является побудительным мотивом
развития теории массового обслуживания.
Как правило, поступление запросов (или их групп) происходит
в случайные моменты времени и для их удовлетворения требуется
случайная часть ограниченного ресурса (или случайное время его
использования) . Поэтому изучение процесса удовлетворения
потребности в ресурсе (процесса обслуживания) обычно проводится в рамках
теории случайных процессов как специальной области теории
вероятностей. Иногда исследование процесса обслуживания требует
применения достаточно тонких математических методов и серьезного
математического аппарата. Это делает полученные результаты
практически недоступными инженеру, потенциально заинтересованному
2 — 7659

18 Глава 1. Методы теории очередей
в их применении к исследованию реального объекта. Что, в свою
очередь, лишает автора математического результата «обратной
связи», важной для правильного выбора направления для дальнейшего
обобщения результатов и объектов исследования. Эта серьезная
проблема подмечена в обзоре [273] известного специалиста Р.Сиски,
отмечающего опасность возможности распада единой теории массового
обслуживания на абстрактную и инженерную. Прямым следствием
этой проблемы при написании книги обычно является вопрос выбора
языка и соответствующего уровня строгости изложения результатов.
Данная книга ориентирована как на специалистов в области теории
массового обслуживания, так и на специалистов в области ее
приложения к исследованию реальных объектов (в первую очередь,
компьютерных сетей). Поэтому в данной главе приведем краткий обзор
методов анализа систем массового обслуживания на среднем уровне
строгости. Предполагается знакомство читателя с теорией
вероятностей в рамках курса для технического вуза. При необходимости,
некоторые сведения приводятся непосредственно в тексте.
Важным этапом в применении теории массового обслуживания
для исследования реального объекта является формальное описание
функционирования этого объекта в терминах той или иной
системы массового обслуживания (СМО). СМО считается заданной, если
полностью описаны следующие ее компоненты:
• входящий поток запросов (заявок, требований, сообщений,
вызовов);
• количество и типы обслуживающих устройств (приборов);
• емкости накопителей (буферов), где запросы, заставшие все
приборы занятыми, ожидают начала обслуживания;
• времена обслуживания запросов на приборах;
• дисциплина обслуживания (она определяет порядок обработки
запроса в системе, начиная с момента его поступления в
систему и до момента, когда он покидает СМО).
Согласно символике Дж. Кендалла, введенной в 1953 году, в
теории массового обслуживания принято кодирование (краткое
описание) основных СМО в виде совокупности четырех символов,
разделенных вертикальными чертами: A|J3|n|m. Символ п, п > 1 задает
число идентичных параллельных обслуживающих устройств.
Символ m, m > О задает число мест для ожидания в буфере. Если m = оо,

Входящий поток, время обслуживания 19
то четвертый символ в описании СМО может отсутствовать. Символ
А описывает входящий поток запросов, а символ В -
распределение времен обслуживания запросов. Некоторые возможные значения
этих символов будут приведены и пояснены в следующем разделе.
1.2 Входящий поток, время обслуживания
Входящий поток во многом определяет характеристики
производительности функционирования СМО. Поэтому правильное
описание потока запросов, поступающих в случайные моменты времени в
реальную систему, и идентификация его параметров являются
весьма важной задачей. Строгое решение этой задачи лежит в русле
теории точечных случайных процессов и находится за пределами
данной книги. Здесь мы приводим только краткие сведения из теории
однородных случайных потоков, необходимые для понимания
последующих результатов.
Во входящем (случайном) потоке, запросы поступают в
систему в некоторые случайные моменты времени t\,t2, ■ ■ ■ ,tn,.... Будем
обозначать т^ = t^ — tk-i длину интервала между моментами
поступления (к — 1)-го и к -го запросов, к > 1 (£о полагается равным 0) и xt
- число моментов t^, лежащих на временной оси левее точки t,t > 0.
Случайный поток считается заданным, если задано совместное
распределение величин т^, к = 1,..., п для любого n, n > 1 или
задано совместное распределение величин xt для всех значений £, t > 0.
Определение 1. Случайный поток называется стационарным,
если для любого целого числа m и любых неотрицательных чисел
щ,..., ит совместное распределение величин (xt+Uk —xt), к = 1,..., т
не зависит от величины t.
На содержательном уровне это означает, что распределение
числа запросов, поступивших на некотором интервале времени, зависит
от длины этого интервала, но не зависит от расположения этого
интервала на временной оси.
Определение 2. Случайный поток называется ординарным, если
для любого t имеет место соотношение
lim P{Xt+A ~Xt>1} = 0.
д^о Д
На содержательном уровне это означает, что вероятность
поступления более одной заявки за малый интервал времени есть величина
более высокого порядка малости по сравнению с длиной интервала.
2*

20 Глава 1. Методы теории очередей
Грубо говоря, это означает практическую невозможность
одновременного поступления двух и более запросов.
Определение 3. Говорят, что случайный поток является потоком
без последействия, если числа заявок, поступивших на
непересекающихся интервалах времени, являются независимыми в совокупности
случайными величинами.
Определение 4- Случайный поток называется потоком с
ограниченным последействием, если величины т&, к > 1 независимы в
совокупности.
Определение 5. Случайный поток называется рекуррентным
потоком, если поток является потоком с ограниченным последействием
и величины Тк,к > 1 одинаково распределены.
Их функцию распределения будем обозначать A(t) = Р{тк < t}.
Функция A(t) полностью характеризует рекуррентный поток.
Если распределение A(t) - показательное: A(t) = 1 — e~xt, то в
обозначениях Кендалла первый символ принимает значение М.
Если распределение A(t) вырожденное, то есть запросы
поступают через равные промежутки времени, то в обозначениях Кендалла
первый символ принимает значение D.
Если распределение A(t) - гиперэкспоненциальное, то есть
Л(«) = £>(1 - е"**'),
fe=i
n
где Afc > 0, qk > 0, к = 1,..., п, ]Г) qi = 1, то в обозначениях Кендалла
1=1
первый символ принимает значение НМп.
Если распределение A(t) - эрланговское с параметрами (А, к), то
есть
оо
О
то первый символ принимает значение Ек- Параметр к называют
порядком распределения Эрланга.
Более общим классом распределений, включающим
гиперэкспоненциальное и эрланговское как частные случаи, является так
называемое распределение фазового типа. В обозначениях Кендалла оно
кодируется как РН. Подробную информацию о РН распределении,
его свойствах и содержательной интерпретации можно найти в [12].
Если о виде функции распределения A(t) не делается никаких
предположений, то в качестве первого символа в обозначениях Кен-

Входящий поток, время обслуживания 21
далла используются буквы G (General) или GI (General Independent).
Строго говоря, использование символа G не предполагает даже
требования рекуррентности потока, а символ GI означает именно
рекуррентный поток. Но в литературе иногда не делается различия между
этими символами.
Определение 6. Интенсивностью Л стационарного случайного
потока называется математическое ожидание (среднее значение) числа
запросов, поступающих в потоке в единицу времени:
x = M{Xt+l-Xt} = M{xtYXt}' г>°-
Определение 7. Параметром а стационарного случайного потока
называется положительная величина, определяемая соотношением:
P{xt+A - xt > 1}
a = hm —ь - -.
д-*о Д
Определение 8. Стационарный ординарный поток без
последействия называется простейшим.
Справедливы следующие утверждения.
Утверждение 1. Для того, чтобы поток был простейшим,
необходимо и достаточно, чтобы он был стационарным пуассоновским, то
есть
P{xt+U ~Xt = k} = Щ-е~Хи, k>0.
Утверждение 2. Для того, чтобы поток был простейшим,
необходимо и достаточно, чтобы он был рекуррентным с показательным
распределением длин интервалов между моментами поступления
запросов: A(t) = 1 — е_Л*.
Утверждение 3. Если известно, что на интервале длины Г
поступило п запросов простейшего потока, то вероятность поступления
фиксированного запроса на части этого интервала длиной г не
зависит от того, когда поступали другие запросы, и от расположения
этой части внутри интервала и равна г/Г.
Утверждение 4- Для простейшего потока параметр потока и его
интенсивность совпадают. Среднее число запросов, поступающих на
интервале длины Г, равно AT.
Утверждение 5. Поток, полученный в результате суперпозиции
(наложения) двух независимых простейших потоков, имеющих
интенсивности Ai, A2 соответственно, является простейшим потоком
интенсивности Ai + A2.

22 Глава 1. Методы теории очередей
Утверждение 6. Поток, полученный из простейшего потока
интенсивности Л в результате применения простейшей процедуры
рекуррентного просеивания: произвольный запрос потока с
вероятностью р включается в просеянный поток, а с вероятностью 1 — р -
игнорируется, является простейшим потоком интенсивности рХ.
Утверждение 7. Поток, полученный в результате суперпозиции
п независимых рекуррентных потоков, имеющих равномерно малую
интенсивность, при увеличении числа п сходится к простейшему
потоку.
Наиболее хорошо изученными системами массового
обслуживания являются системы, в которых входящий поток является
простейшим. Во многом это объясняется Утверждением 2 и известным
свойством отсутствия последействия у показательного
распределения.
Это свойство для показательной случайной величины и в
терминах условных вероятностей записывается следующим образом:
Р{и > t + r\v > t} = Р{и > т}.
Это равенство доказывается следующим образом. Из определения
условной вероятности с учетом того, что Р{у < х} = 1 — е~Ла;, имеем:
i P{u>t + T,U >t\
P{u>t + r\u>t} = -x - ' - J-
P{v > t + t} _ e-^t+T- _ _Ar
P{v > t}
= e~Xr = P{u > t}.
P{v > t} e~xt
Из этого свойства вытекает, что распределение времени от
произвольного момента до момента поступления следующего запроса из
простейшего потока не зависит от того, когда поступил предыдущий
запрос. Этот факт существенно упрощает анализ соответствующей
смо.
Утверждение 7 объясняет тот факт, что простейшие потоки часто
имеют место в практических системах (так, поток запросов,
поступающий в АТС, является суммой большого числа независимых малых
потоков, поступающих от отдельных абонентов телефонной сети, и
поэтому близок к простейшему) и поэтому использование
простейшего потока для моделирования реального потока не только облегчает
исследование СМО, но и оправдано.
Полезными сведениями о рекуррентных потоках являются
следующие. Пусть зафиксирован произвольный момент времени и нас ин-

Входящий поток, время обслуживания 23
тересует функция F\(t) распределения интервала времени,
прошедшего к данному моменту с момента поступления последнего
запроса рекуррентного потока, и функция i*2(t) распределения интервала
времени с данного момента по момента поступления следующего
запроса. Можно показать, что
t
Fi(t) = F2(t) = F(t) = аГ1 У (1 - A(u))du,
о
где величина а\ есть средняя длина интервала между моментами по-
оо
ступления запросов: а\ = J(l — A(t))dt. Величина а\ и интенсивность
о
потока А связаны соотношением: а\Х = 1.
Функция F(t) совпадает с функцией A(t) тогда и только тогда,
когда поток является простейшим.
Определение 9. Мгновенной интенсивностью д (£),//(£) > О
рекуррентного потока называется величина, определяемая как:
P{xt+A -xt> l\Et} = n{t)A + о(Д),
где Et - случайное событие, заключающееся в том, что в момент
О поступил запрос и за время (0, £] запросов не поступило, а о(Д)
означает величину более высокого порядка малости (при Д —> 0),
чем Д.
Мгновенная интенсивность д(£) связана с функцией
распределения A(t) следующим образом:
t
A(t) = l-e о ,^t)= ^±-
1-A(ty
В случае простейшего потока мгновенная интенсивность потока
совпадает с его интенсивностью.
В современных интегральных цифровых сетях связи (в отличие
от традиционных телефонных сетей) потоки информации уже не
представляют собой суперпозицию большого числа равномерно
малых независимых рекуррентных потоков. В результате эти потоки
часто являются не только не простейшими, но и не рекуррентными.
Для описания таких потоков Д.Лукантони предложен [245]
формализм групповых марковских потоков. Для обозначения их в
символике Кендалла используется аббревиатура ВМАР (Batch Markovian
Arrival Process). Более подробную информацию о ВМАР потоках и
соответствующих системах обслуживания можно найти в [71], [245].

24 Глава 1. Методы теории очередей
Отметим, что в телефонии популярен также так называемый
поток от конечного источника (примитивный поток, пуассоновский
поток второго рода), определяемый следующим образом.
Пусть имеется конечное число п объектов, порождающих
запросы независимо от других и называемых источниками запросов.
Источник может находиться в занятом состоянии некоторое случайное
время, в течение которого он не может генерировать запросы.
После окончания пребывания в занятом состоянии источник переходит
в свободное состояние. Находясь в этом состоянии, источник может
сгенерировать новый запрос через показательно распределенное с
параметром Л время. Сгенерировав запрос, источник немедленно
переходит в занятное состояние.
Примитивным потоком от п источников запросов называется
поток с ограниченным последействием, интенсивность Aj которого в
данный момент времени прямо пропорциональна числу свободных в
данный момент источников: Aj = A(n — г), где г - число занятых в
данный момент источников.
Относительно процесса обслуживания запросов в системе обычно
предполагается, что обслуживание - рекуррентное, то есть времена
обслуживания последовательных запросов являются независимыми
одинаково распределенными случайными величинами. Их функцию
распределения будем обозначать B(t). Обычно предполагается, что
5(+0) = 0, то есть исключается возможность мгновенного
обслуживания запроса. Также обычно предполагается, что распределение
B{t) имеет нужное число конечных начальных моментов
распределения.
Для задания типа распределения времени обслуживания в
символике Кендалла используются практически те же символы, что и
при задании типа потоков. Так, символ G означает либо отсутствие
каких-либо предположений о процессе обслуживания, либо он
отождествляется с символом GI, означающим рекуррентный процесс
обслуживания, символ М означает предположение, что распределение
времени обслуживания - показательное, то есть, B(t) = 1 — е~^*,/х >
О, t > 0, символ D означает детерминированные времена
обслуживания и т.д.
Относительно недавно в обиход вошел символ SM (Semi-Markovian)
см., например, [252], означающий более общий, чем рекуррентный,
процесс обслуживания, при котором времена обслуживания
последовательных запросов являются последовательными временами пре-

Марковские случайные процессы 25
бывания в своих состояниях некоторого полумарковского процесса с
конечным пространством состояний и фиксированным ядром.
1.3 Марковские случайные процессы
Марковские случайные процессы играют важную роль при
исследовании СМО. Поэтому приведем некоторые сведения из теории
таких процессов, которые будут использоваться в дальнейшем
изложении.
Определение 10. Случайный процесс yt,t > 0, заданный на
некотором вероятностном пространстве и принимающий значения в
некотором числовом множестве У, называется марковским, если для
любого натурального числа п, любых у, и, ип,..., щ G Y и любых г, t, tn,
..., t\, упорядоченных следующим образом: г > t > tn > ■ ■ ■ > t\,
выполняется соотношение:
Р{Ут <y\yt = u,Vtn =un,...,yh= щ} = Р{ут <y\yt = u}. (1.1)
Параметр t процесса будем рассматривать как время. Если г -
будущий момент времени, t - настоящий момент времени, t^, k =
1,... ,п - прошлые моменты времени, то условие (1) можно
трактовать следующим образом: будущее поведение марковского процесса
полностью определяется его состоянием в настоящий момент
времени. У немарковского процесса будущее поведение зависит также от
состояний процесса в прошлом.
В случае, если пространство состояний Y марковского процесса
yt,t > 0 является конечным или счетным, марковский процесс
называется цепью Маркова. Если параметр t принимает значения только
в дискретном множестве, то цепь Маркова называется цепью с
дискретным временем. Если же параметр t принимает значения в
некотором непрерывном множестве, то цепь Маркова называется цепью
с непрерывным временем.
Важным частным случаем цепи Маркова с непрерывным
временем является так называемый процесс гибели и размножения.
1.3.1 Процессы гибели и размножения
Определение 11. Случайный процесс it,t > 0 называется
процессом гибели и размножения, если он удовлетворяет условиям:
• пространство состояний процесса есть множество
неотрицательных целых чисел (или его некоторое подмножество);

26 Глава 1. Методы теории очередей
• время пребывания процесса в состоянии г имеет показательное
распределение с параметром 7«>7г > 0 и не зависит от
предыдущего поведения процесса;
• после завершения пребывания процесса в состоянии i он
переходит в состояние г — 1 с вероятностью qi, О < qi < 1 и в состояние
г + 1 с вероятностью pi = 1 — qi. Вероятность ро полагается
равной 1.
Состояние процесса it,t > О в момент времени t можно
трактовать как размер некоторой популяции в этот момент времени.
Переход из состояния i в состояние г +1 трактуется как рождение нового
члена популяции, а переход в состояние г — 1 - как гибель члена
популяции. Такая трактовка процесса и объясняет его название.
Обозначим Pi(t) вероятность того, что в момент t процесс ц
находится в состоянии г.
Утверждение 8. Вероятности Pi(t) — P{it = г}, г > 0
удовлетворяют следующей системе линейных дифференциальных уравнений:
Ро(*) = -AoPo(t) + fnPi(t), (1-2)
p-(t) = Ai_iPi_i(t) - (A* + m)Pi(t) + m+1pi+1(t),i > l, (1.3)
где Aj = 7^, Щ = 7,9,, г > 0.
Для доказательства применим так называемый «At - метод».
Этот метод широко используется при анализе цепей Маркова и
марковских процессов с непрерывным временем.
Сущность этого метода состоит в следующем. Фиксируется
некоторый момент времени t и некоторое малое приращение времени Д£.
Распределение вероятностей состояний марковского процесса в
момент времени t + At выражается через его распределение
вероятностей в момент t и вероятности возможных переходов процесса за
время At. В результате получается система разностных уравнений для
вероятностей Pi{t). Деля обе части этих уравнений на Д£ и устремляя
величину At к нулю, получаем систему дифференциальных
уравнений для искомых вероятностей.
Применяем этот метод для вывода уравнений (1.3). Обозначим
через R(i,j,t,At) вероятность перехода процесса it из состояния i в
состояние j за интервал времени (t, t+At). Поскольку распределение
времени пребывания процесса ц в состоянии г имеет показательное
распределение, обладающее свойством отсутствия последействия, то
время до окончания пребывания в состоянии г, начиная с момента

Марковские случайные процессы 27
времени t, также распределено по показательному закону с
параметром 7«- Вероятность того, что процесс it осуществит переход из
состояния i за время (t,t + At), есть вероятность того, что за время
At показательно распределенное с параметром 7« время закончилось.
По определению функции распределения эта вероятность равна
то есть, вероятность изменения состояния процесса за время At есть
величина порядка At. Отсюда следует, что вероятность того, что за
время At произойдет два или более перехода процесса it, есть
величина порядка o(At). Учитывая то, что процесс гибели и размножения
осуществляет переходы за один шаг только в соседние состояния,
заключаем, что R(i,j,t,At) = o(At) для \г — j\ > 1.
Используя приведенные рассуждения и формулу полной
вероятности, мы получаем соотношения:
Pi(t + At) = Д_1(*)Д(г - 1, i, t, At) + Pi(t)R(i, i,t, At)+ (1.5)
Pi+i(t)R(i + 1, i, t, At) + o(At).
Из описания процесса и формулы (1.4) следует, что:
R(i - 1,г, t, At) = 7i-iAtpi-i + o(At),
R(i, i, t, At) = (1 - 7iAt) + o(At), (1.6)
R(i + 1, i, t, At) = 7mAtgm + o(At).
Подставляя соотношения (1.6) в (1.5) и используя введенные
обозначения Aj,/xj, переписываем (1.5) в виде:
Pi(t + At) - Pi{t) = Д_1(*)А;_1Дг - Pi(t)(\i + m)At
+Pi+1(t)ni+iAt + o(At). (1.7)
Деля обе части этого уравнения на At и устремляя Д£ к нулю,
получаем уравнение (1.3). Уравнение (1.2) выводится аналогично.
Утверждение 8 доказано.
Для решения бесконечной системы дифференциальных
уравнений (1.2), (1.3) путем перехода к преобразованиям Лапласа (см.
ниже) Pi(s) вероятностей Pi(t) ее сводят к бесконечной системе
линейных алгебраических уравнений. Однако, и эта система может быть

28 Глава 1. Методы теории очередей
решена в явном виде только в некоторых случаях, когда трехдиа-
гональная матрица этой системы имеет дополнительную специфику
(например, А» = А, г > 0, щ = р., г > 1). Ситуация, когда
полученная система уравнений для вероятностей Pi(t) не может быть
решена, достаточно типична в теории массового обслуживания.
Поэтому, несмотря на то, что значительный практический интерес иногда
представляют именно эти вероятности, зависящие от t и
характеризующие (при известном начальном состоянии процесса го или
известном распределении вероятностей начального состояния)
динамику рассматриваемого процесса, обычно приходится довольствоваться
так называемым стационарным распределением вероятностей
процесса:
щ = lim Pi{t),i >0. (1.8)
t—>оо
Положительные предельные (стационарные) вероятности nt
могут существовать не всегда и условия их существования обычно
устанавливаются с помощью так называемых эргодических теорем.
Для рассматриваемого нами процесса гибели и размножения
можно доказать следующий результат.
Утверждение 9. Стационарное распределение вероятностей (1.8)
рассматриваемого процесса гибели и размножения существует, если
сходится ряд
£
где
и расходится ряд
Pi < оо, (1.9)
1
~,г > 1,Ро = 1,
Pi
1 ^ = оо. (1.10)
1 i=i Л;
ЕП
При этом стационарные вероятности nt,i > 0 вычисляются
следующим образом:
Щ = ТГОРг,*' > 1,7Г0 = ( ^2 Pi) ■ (1-И)
Последняя часть утверждения доказывается элементарно.
Предполагаем, что условия (1.9) и (1.10) выполняются и пределы (1.8)
существуют. Устремляем в (1.2), (1.3) t к бесконечности. При этом
производные Pi (t) стремятся к нулю. Существование пределов этих

Марковские случайные процессы 29
производных следует из существования пределов в правой части
системы (1.2), (1.3). Равенство пределов производных нулю следует из
того, что предположение о том, что пределы ненулевые,
противоречит ограниченности вероятностей: 0 < Pi(t) < 1.
В результате, из (1.2), (1.3) получаем систему линейных
алгебраических уравнений для распределения 7Tj,z > 0:
-Л07Г0 = Д17Г1, (1.12)
Ai-l7Ti_i - (Aj + Цг)щ + /Xj+lTTj+l = 0,1 > 1. (1-13)
Введя обозначение xt = Aj-i7Tj_i — /Xj7Tj,z > 1, систему (1.12),(1.13)
можно переписать в виде:
xi = 0,Xj -xi+i = 0,
откуда следует, что xi = 0, i > 1, что влечет выполнение соотношений
Aj_i7T;_i = ЦгЩ,г > 1. (1-14)
Отсюда следует,что тц = piTTo,i > 1. Формула для вероятности 7Го
следует из условия нормировки.
1.3.2 Метод диаграмм интенсивностей переходов
Отметим, что существует эффективный метод получения
уравнений типа (1.12), (1-13) (так называемых уравнений равновесия) для
цепей Маркова с непрерывным временем (и процессов гибели и
размножения в частности), без использования уравнений для
нестационарных вероятностей.
Этот альтернативный метод называется методом диаграмм
интенсивностей переходов. Сущность метода заключается в
следующем. Поведение цепи Маркова с непрерывным временем описывается
ориентированным графом. Узлы графа соответствуют возможным
состояниям цепи. Дуги графа соответствуют возможным одношаго-
вым переходам между состояниями цепи. Каждая дуга снабжается
числом, равным интенсивности соответствующего перехода. Для
получения системы линейных алгебраических уравнений для
стационарных вероятностей используют так называемый принцип
сохранения потока. Этот принцип заключается в следующем. Если сделать
разрез графа, то есть, удалить некоторые дуги таким образом, что
получится несвязный граф, то поток из одной части разрезанного
графа в другую равен потоку в обратном направлении. Под потоком

30 Глава 1. Методы теории очередей
понимается сумма (по всем удаляемым дугам) произведений
стационарной вероятности узла, из которого идет удаляемая дуга, на
интенсивность соответствующего перехода. Приравнивая таким образом
потоки по всем разрезам, выбранным соответствующим образом, мы
и получаем искомую систему уравнений.
Заметим, что мы получаем в точности уравнения равновесия,
полученные посредством применения «At - метода» (называемые
уравнениями глобального равновесия) если разрез в графе делается
путем сечения всех дуг вокруг узла графа. Иногда за счет выбора
более удачных сечений в графе удается получить существенно более
простую для решения систему уравнений (называемых уравнениями
локального баланса). В частности, если изобразить поведение
рассматриваемого в данном разделе процесса гибели и размножения в
виде ленточного графа и сделать разрез не вокруг узла,
соответствующего состоянию г (при этом мы получим уравнения (1.12), (1.13)),
а между узлами, соответствующими состояниям i и г + 1, то мы
получим сразу более простые уравнения (1-14), из которых автоматически
следуют формулы (1.11).
1.3.3 Цепи Маркова с дискретным временем
Приведем необходимые нам краткие сведения из теории таких
цепей. Более подробная информация о цепях Маркова с дискретным
временем может быть почерпнута, например, в [117].
Без ограничения общности будем считать, что пространством
состояний цепи является множество неотрицальных целых чисел (или
его некоторое подмножество).
Определение 12. Однородная цепь Маркова ik,k > 1 с
дискретным временем считается заданной, если:
• задано начальное распределение вероятностей состояний цепи:
П = Р{го = г},г>0;
• задана матрица Р вероятностей одношаговых переходов цепи,
состоящая из элементов pij, определенных следующим
образом:
Pij = P{ik+i = j\ik = г},г J > 0.
Матрица Р одношаговых переходных вероятностей Pij является
стохастической, то есть, ее элементы являются неотрицательными

Марковские случайные процессы 31
числами и сумма элементов любой строки равна единице.
Матрица вероятностей переходов цепи за т шагов является m-й степенью
матрицы Р.
Обозначим Pi(k) = P{ik = i},k > 1,г > О вероятность того, что
после к-го шага цепь Маркова находится в состоянии г.
Потенциально вероятности Pi(k), характеризующие нестационарное поведение
цепи, могут быть весьма интересны при решении задач нахождения
характеристик объекта, описываемого данной цепью Маркова.
Однако, задача нахождения таких вероятностей является сложной.
Поэтому обычно анализируют так называемые стационарные вероятности
состояний цепи Маркова:
щ= lim Pi(k),i >0. (1.15)
к—>оо
Иначе эти вероятности называют предельными, финальными, эрго-
дическими. Мы будем касаться только неприводимых
непериодических цепей, для которых положительные пределы в (1.15)
существуют, при этом перечисленные альтернативные названия стационарных
вероятностей выражают практически одни и те же свойства цепей:
существование пределов (1.15), независящих от начального
распределения вероятностей ее состояний, и существование единственного
положительного решения следующей системы линейных
алгебраических уравнений (уравнений равновесия) для стационарных
вероятностей:
сю
7Tj = ]TViP;j, (1.16)
г=0
со
1> = 1. (1-17)
г=0
Существует целый ряд результатов (теоремы Феллера, Фостера,
Мустафы, Твиди и т.д.), позволяющих по конкретному виду
переходных вероятностей ру определить, существуют стационарные
вероятности (пределы (1.15)) или нет. Если в результате исследования
переходных вероятностей Pij установлено, что при некоторых условиях
на параметры цепи пределы (1.15) существуют, считают эти условия
выполненными и решают систему уравнений равновесия (1.16),(1.17),
после чего цепь Маркова считается исследованной.
В случае, когда пространство состояний цепи не является
конечным, проблема решения уравнений (1.16), (1.17) является весьма
сложной и эффективное ее решение возможно только в случае, если

32 Глава 1. Методы теории очередей
матрица одношаговых переходных вероятностей имеет какую-либо
специфику.
1.4 Преобразования Лапласа и Лапласа -
Стилтьеса. Производящая функция
В теории массового обслуживания интенсивно используется
аппарат преобразований Лапласа и Лапласа - Стилтьеса и
производящих функций. В частности, выше мы уже упомянули о возможности
использования преобразований Лапласа для сведения задачи
решения системы линейных дифференциальных уравнений к решению
системы линейных алгебраических уравнений. Приведем основные
сведения об этих функциях и преобразованиях.
Определение 13. Преобразованием Лапласа- Стилтьеса
распределения B(t) будем называть функцию /3(s), определяемую следующим
образом:
сю
/3(e) = J e~stdB(t),
о
а преобразованием Лапласа - функцию ф(в), определяемую как:
со
ф(з)= f e~stB(t)dt.
о
Если s есть чисто мнимая переменная, преобразование Лапласа
- Стилтьеса совпадает с характеристической функцией
распределения B(t). Областью определения функций /3(s),0(s) обычно
считается правая полуплоскость комплексной плоскости. Однако, без
существенного ограничения общности, в рамках данной главы и книги
можно рассматривать s как действительное положительное число.
Отметим некоторые из свойств преобразования Лапласа -
Стилтьеса.
Свойство 1. Если оба преобразования /3(s) и ф{в) существуют (то
есть, соответствующие несобственные интегралы сходятся), то они
связаны между собой следующим образом: /3(s) = s0(s).
Свойство 2. Если две независимые случайные величины имеют
преобразования Лапласа - Стилтьеса fii(s) и fh,{s) их функций
распределения, то преобразованием Лапласа - Стилтьеса функции
распределения суммы этих величин является (3i(s)/^(s).

Преобразования Лапласа 33
Свойство 3. Преобразованием Лапласа - Стилтьеса производной
В (t) функции B(t) является s(3(s) — sB(+0).
Свойство 4-
limp(s) = lim B(t).
s—>0 t—>oo
Свойство 5. Пусть bk есть fc-й начальный момент распределения:
сю
bfc = J tkdB(t), к > 1. Он вычисляется через преобразование Лапласа
о
- Стилтьеса следующим образом:
Свойство 6. Преобразованию Лапласа - Стилтьеса (3(s) может
быть придан вероятностный смысл следующим образом. Считаем,
что B(t) есть функция распределения длины некоторого интервала
времени и в этом интервале времени поступает простейший поток
«катастроф» с параметром s > 0. Тогда легко видеть, что (3(s) есть
вероятность того, что за интервал не наступит ни одна «катастрофа».
Свойство 7. Преобразование Лапласа - Стилтьеса 0(s),
рассматриваемое как функция действительной переменной s > 0, является
вполне монотонной функцией, то есть оно имеет производные (3^ (s)
всех порядков и (—l)n^n\s) > 0, s > 0.
Определение 14- Производящей функцией распределения
вероятностей qk, к > 0 дискретной случайной величины £ называется
функция
оо
Q(z) = Mz^^2lkZk,\z\<l.
fc=0
Перечислим основные свойства этой функции.
Свойство 1.
|Q(s)|<l,Q(0) = 9o,Q(l) = l.
Свойство 2. Для того, чтобы случайная величина £ имела т-
й начальный момент М£т, необходимо и достаточно, чтобы
существовала конечная левосторонняя производная Q^m'(l)
производящей функции Q(z) в точке z = 1, и начальные моменты легко под-
считываются через факториальные моменты
M^-l)...(?-m + l) = Q(m'(l).
В частности, М£ = Q (1).
3 - 7659

34 Глава 1. Методы теории очередей
Свойство 3. В принципе производящая функция Q(z) позволяет
вычислить (произвести) вероятности qi по следующей формуле:
Свойство 4- Производящей функции Q(z) можно придать
вероятностный смысл следующим образом. Интерпретируем случайную
величину £ как число запросов, пришедших за некоторый промежуток
времени. Каждый приходящий запрос с вероятностью z, 0 < z < 1
окрашиваем в красный цвет, а с дополнительной вероятностью - в
синий. Тогда из формулы полной вероятности следует, что Q(z) есть
вероятность того, за этот промежуток времени пришли только
запросы красного цвета.
Таким образом, зная производящую функцию Q(z)
распределения вероятностей q^, к > 0, мы легко можем вычислить моменты
этого распределения и в принципе можем вычислить сами вероятности
<?fc, к > 0. Если непосредственный подсчет по формуле (1.19)
затруднителен, можно воспользоваться методом обращения производящей
функции путем разложения ее на простые дроби или численными
методами (см., например, [176], [261]). При решении практических
задач можно пытаться аппроксимировать это распределение путем
сглаживания по заданному числу совпадающих моментов
распределения.
1.5 Однолинейные марковские системы
массового обслуживания
Наиболее хорошо исследованными являются однолинейные
системы массового обслуживания с простейшим входящим потоком или
(и) показательным распределением времени обслуживания. Это
объясняется тем, что процессы, которые в первую очередь интересуют
исследователей, а именно: число ц запросов в системе в момент t,
время ожидания wt запроса, который поступит (или может поступить)
в момент времени t и др., являются одномерными и, кроме того,
либо являются марковскими, либо легко подвергаются марковизации
за счет рассмотрения их только во вложенные моменты времени или
расширения фазового пространства процесса.

Однолинейные марковские системы МО 35
1.5.1 Система типа М|М|1
Рассмотрим систему М|М|1, то есть, однолинейную СМО с
ожиданием (буфером неограниченной емкости), в которую поступает
простейший поток запросов интенсивности Л, а время обслуживания
запросов имеет показательное распределение с параметром ц.
Анализируя поведение этой системы, мы легко устанавливаем,
что процесс it - число запросов в системе в момент t - является
процессом гибели и размножения с параметрами:
7о = А,7г = А + /j,,i > 1,
оо
Pi= е~^Хе~мсИ = ,г > 1.
J А + д
о
Поэтому для него справедливы Утверждения 8 и 9. При этом
в формулировках этих утверждений мы должны задать параметры
\,Hi как: Aj = А, г > О, /Щ = р,, i > 1. Таким образом, величина pi в
формулировке Утверждения 9 определяется как р^ = рг, где р = А//х.
Параметр р, характеризующий соотношение интенсивности
входящего потока и интенсивности обслуживания и называемый
коэффициентом загрузки системы, имеет важную роль в теории очередей.
Проверяя условие существования стационарного распределения
процесса it,t > 0, данное в формулировке Утверждения 9, мы
легко убеждаемся, что стационарное распределение числа запросов в
рассматриваемой системе существует, если выполняется условие:
р<1. (1.20)
Будем далее считать это условие выполненным.
Отметим, что для большинства однолинейных систем массового
обслуживания условие существования стационарного распределения
числа запросов в системе также имеет вид (1.20), что хорошо
согласуется с интуитивными соображениями: для того, чтобы в системе
не накапливалась бесконечная очередь, необходимо, чтобы в среднем
запросы в системе обслуживались быстрее, чем они туда поступают.
Итак, мы можем сформулировать следующее следствие
Утверждения 9.
Утверждение 10. Стационарное распределение щ,г > 0 числа
запросов в системе М|М|1 определяется следующим образом:
тп = р*{1-р),{>0. (1.21)
з*

36 Глава 1. Методы теории очередей
Отсюда следует, что вероятность 7Го того, что в произвольный момент
времени система простаивает, равна 1 — р, а среднее число L запросов
в системе определяется формулой
сю
L = ^i7ri = -^-. (1.22)
г=0 Р
Средняя длина L0 очереди определяется формулой:
со 2
Ь0 = У2(г~1)щ = Ь-р=-^—. (1.23)
В ситуациях, когда распределение интервалов во входящем потоке и
распределение времени обслуживания неизвестны, а известны только
их средние значения, формулы (1.22) и (1.23) иногда используют для
(грубой) оценки среднего числа запросов в системе и средней длины
очереди в произвольный момент времени.
Как отмечалось выше, интересной характеристикой СМО
является также распределение времени ожидания wt (то есть, времени с
момента поступления в систему до момента начала обслуживания)
запроса, поступившего в момент t.
Обозначим W(x) стационарное распределение процесса wt :
W(x) = lim P{wt < x},x > 0.
t—>oo
Предполагаем, что запросы обслуживаются в порядке их
поступления в систему. Иногда такая дисциплина выбора из очереди для
краткости кодируется как FIFO (First In - First Out — первым
пришел - первым обслужен) или, что означает то же самое, FCFS (First
Came - First Served).
Утверждение 11. Стационарное распределение W(x) времени
ожидания запроса в системе М|М|1 определяется следующим
образом:
W(x) = 1 - ре^-^х. (1.24)
Доказательство. Время ожидания начала обслуживания
произвольным запросом зависит от числа запросов, присутствующих в
системе в момент его прихода. Для данной системы М|М|1
распределение числа запросов в системе в произвольный момент поступления
запроса и в произвольный момент времени совпадают и задаются
формулой (1.21). Запрос, заставший систему свободной (вероятность
этого есть 7Го), имеет нулевое время ожидания. Запрос, заставший в

Однолинейные марковские системы МО 37
системе г запросов (вероятность этого есть щ) ждет в течение
времени, имеющего эрланговское распределение с параметрами (//,г).
Последний факт следует из того, что, во-первых, в силу свойства
отсутствия последействия у показательного распределения
оставшееся к моменту прихода время обслуживания обслуживаемого
запроса имеет то же показательное распределение с параметром /х, что и
полное время обслуживания, а во-вторых, в силу того, что сумма i
независимых показательно распределенных с параметром /j,
случайных величин есть эрланговская случайная величина с параметрами
ОМ)-
Из приведенных рассуждений и (1.21) следует, что:
X
w(x) = 1 - р + fy (1 - р) | м|^в-^л =
1=1 Q
X
= l-p+{l-p)X fe^-^dt.
о
Отсюда непосредственно следует (1.24). Утверждение 11 доказано.
Среднее время ожидания W запроса в системе вычисляется
следующим образом:
сю
W= f(l-W(x))dx = \-1-^—. (1.25)
J 1-P
о
Среднее время V пребывания запроса в системе (то есть, времени с
момента поступления в систему до момента окончания обслуживания
на приборе) задается формулой:
V = W + n~l = А"1 —Р—. (1.26)
1-р
Сравнивая выражение (1.25) для среднего времени ожидания W и
формулу (1.23) для средней длины L0 очереди в системе, а также
формулу (1.26) для среднего времени V пребывания запросов с
формулой (1.22) для среднего числа L запросов в системе, видим, что:
L0 = XW,L = XV. (1.27)
Отметим, что эти формулы справедливы и для многих более общих,
чем рассматриваемая система М|М|1, систем массового
обслуживания и называются формулами Литтла. Практическая значимость

38 Глава 1. Методы теории очередей
этих формул состоит в том, что они избавляют от необходимости
непосредственного вычисления величин W, V при известном
значении величин L0, L и наоборот.
1.5.2 Система типа М\М\1\п
Рассмотрим теперь систему массового обслуживания М|М|1|п,
то есть, однолинейную СМО с буфером ограниченной емкости.
Запрос из входящего потока, заставший прибор занятым, ожидает
начала обслуживания в буфере, если в нем имеется свободное место.
Если же все п мест для ожидания заняты, запрос покидает систему
необслуженным (теряется).
Обозначим ц, t > 0 число запросов в системе в момент t. Этот
процесс может принимать значения во множестве {0,1,... , п}. Нетрудно
убедиться, что процесс it,t > 0 является процессом гибели и
размножения и ненулевые параметры \i,/J,i определяются следующим
образом: Aj = Л, 0 < г < п — 1, /Лг = /х, 1 < г < п. Тогда из формулы для
стационарных вероятностей процесса гибели и размножения
следует, что стационарные вероятности числа запросов в рассматриваемой
системе имеют вид:
^ = PiY^ri,0<i<n. (1.28)
Одной из важнейших характеристик систем, в которых возможна
потеря запросов, является вероятность Pioss того, что произвольный
запрос будет потерян. Для рассматриваемой СМО можно показать,
что вероятность потери произвольного запроса совпадает с
вероятностью того, что в произвольный момент времени все места для
ожидания заняты, то есть, справедлива формула:
Ploss = Pn^Vl. (1.29)
Формула (1.29) может использоваться для планирования
необходимого размера буфера в зависимости от загрузки системы и
значения допустимой вероятности потери запроса в системе.
Отметим, что, в отличие от системы М|М|1, стационарное
распределение числа запросов в данной системе существует при любых
конечных значениях коэффициента загрузки р. При р = 1
вычисления по формулам (1.28), (1.29) можно выполнить, используя правило
Лопиталя.

Однолинейные марковские системы МО 39
1.5.3 Система с конечным числом источников
В разделе 2 введено понятие потока от конечного числа
источников запросов. Рассмотрим кратко модель СМО, обслуживающую
такой поток. Впервые эта модель была исследована Т. Энгсетом.
Имеется однолинейная СМО с буфером размера т, на вход
которой поступают запросы от т идентичных источников. Любой
источник находится в занятом состоянии (и, следовательно, не может
генерировать запросы), пока его предыдущий запрос не обслужен
прибором. Время обслуживания любого запроса от любого
источника имеет показательное распределение с параметром ц. В свободном
состоянии источник может сгенерировать следующий запрос через
показательно распределенное с параметром Л время, после чего он
переходит в занятое состояние.
Обозначим it,t > 0 число запросов в системе (на приборе и в
накопителе) в момент t. Этот процесс может принимать значения во
множестве {0,1,... ,т}. Нетрудно убедиться, что этот процесс
является процессом гибели и размножения и ненулевые параметры:
интенсивности рождения Aj и интенсивности гибели /Xj - определяются
следующим образом:
Xi = Х(т — i),0 < i < т — 1, fa = /j,,l < i < т.
Из формулы (1.11) для стационарных вероятностей процесса
гибели и размножения очевидным образом получаем следующие
выражения для стационарных вероятностей щ, i = 0,..., т числа
запросов в рассматриваемой системе:
я"г = тго/0г7 '-ггЛ<г<т, (1.30)
(т — г)!
где вероятность 7Го находится из условия нормировки:
(т ,ч -1
Используя формулы (1.30), (1.31), легко подсчитать среднее
число запросов в системе и в очереди. Также можно подсчитать так
называемый стационарный коэффициент кц готовности источника
(вероятность того, что в произвольный момент времени источник
готов сгенерировать запрос):
т— 1
г=0
т — г /i(l — 7Го)

40 Глава 2. Методы теории очередей
1.6 Полумарковские однолинейные системы и
методы их анализа
Как отмечалось в предыдущем разделе, процесс it,t > 0 - число
запросов в системе М|М|1 в момент t - является процессом гибели
и размножения, то есть, частным случаем цепи Маркова с
непрерывным временем. Аналогичный процесс для систем обслуживания
типа M|G|1 с распределением времени обслуживания, отличным от
показательного, и типа G/|M|1 с входящим потоком, отличным от
простейшего, уже не является марковским.
Очевидной причиной этого является тот факт, что поведение
процесса после некоторого фиксированного момента времени t не
определяется, вообще говоря, полностью состоянием этого процесса в этот
момент, а зависит также от того, сколь долго уже обслуживается
находящийся на приборе в настоящий момент запрос или как давно
поступил последний перед данным моментом запрос.
Тем не менее, исследование процесса it,t > 0 может быть
сведено к исследованию марковских процессов. Первый способ «маркови-
зации» - так называемый метод вложенных цепей Маркова - будет
проиллюстрирован на примере системы M|G|1 в подпункте 6.1 и на
примере системы G/|M|1 - в подпункте 6.2. Одна из разновидностей
другого способа «марковизации»- метода введения дополнительной
переменной - будет проиллюстрирована в подпункте 6.3. В
подпункте 6.4 будет кратко описан и проиллюстрирован на примерах еще
один мощный метод исследования СМО - метод введения
дополнительного события.
1.6.1 Метод вложенных цепей Маркова в приложении
для системы M|G|1
Рассмотрим однолинейную СМО с ожиданием, на вход которой
поступает простейший поток интенсивности А, а время
обслуживания запроса имеет произвольное распределение с функцией
распределения B(t), преобразованием Лапласа - Стилтьеса /3(s) и
конечными начальными моментами bk, к = 1,2.
Как было отмечено, процесс it,t > 0 - число запросов в
рассматриваемой системе в момент t - не является марковским, поскольку
мы не можем описать поведение процесса после произвольного
момента времени, не оглядываясь в прошлое. Вместе с тем, очевидно,
что если мы знаем состояние г, г > 0 процесса ц в момент tk оконча-

Полумарковские однолинейные системы 41
ния обслуживания к -го запроса, то мы можем предсказать значение
процесса ц в момент окончания обслуживания (к + 1) -го запроса,
который произойдет через случайное время, и, имеющее
распределение B(t). За это время может поступить случайное (распределенное
по закону Пуассона с параметром Хи) число запросов и один запрос
уйдет из системы.
Фактически мы пришли к идее метода вложенных цепей
Маркова. В общем случае, этот метод заключается в следующем. Для
немарковского процесса it,t > О ищется последовательность
моментов времени tk,k > 1 такая, что процесс цк,к > 1 образует цепь
Маркова. Методами теории цепей Маркова исследуют стационарное
распределение вложенной цепи и затем по этому распределению
восстанавливают стационарное распределение вероятностей исходного
процесса. Это обычно делается с использованием теории процессов
восстановления или процессов марковского восстановления.
Пусть *^ - момент окончания обслуживания в системе M|G|1 к-то
запроса. Процесс цк,к > 1, является однородной цепью Маркова с
дискретным временем.
Выше отмечалось, что эффективное исследование цепи Маркова
с дискретным временем и счетным пространством состояний
возможно только в случае, если матрица ее одношаговых переходов имеет
какую-либо специальную структуру. Матрица Р одношаговых
переходных вероятностей pij рассматриваемой вложенной цепи Маркова
Чк,к>1 такую структуру имеет. Найдем элементы матрицы Р.
Пусть в некоторый момент окончания обслуживания запроса t^
число запросов цк в системе равно г, г > 0. Поскольку в момент t^
число запросов в системе претерпевает скачок, для определенности
будем считать, что цк = Цк+о, то есть, уходящая в данный момент
заявка уже не учитывается. Поскольку г > 0, то на обслуживание
немедленно выбирается следующая заявка, которая покинет
систему в следующий момент окончания обслуживания запроса tk+i-
Поэтому, для того, чтобы в момент ^+i в системе осталось j запросов,
необходимо, чтобы за интервал времени (ibifc+i) B систему
поступило j — г + 1 запросов. Вероятность этого события есть /j_j+i, где
величины fi задаются формулой
fi = J{-^-e~XtdB(t),l>0. (1.35)
о

42 Глава 1. Методы теории очередей
Итак, переходная вероятность Pij,i > 0, j > i — 1 определяется
формулой:
Pi,j ~ fj-i+bi > 0,j > г - 1. (1.36)
Пусть теперь в момент tk окончания обслуживания запроса
число цк запросов в системе равно 0. Очевидно, что система остается
пустой до ближайшего момента поступления запроса. Начиная с
этого момента, система ведет себя точно так же, как и после момента
окончания обслуживания запроса, в который в системе остался один
запрос. Поэтому, po,j =V\,ji откуда следует, что:
Po,j = fj,3 >0.
Таким образом, мы полностью описали ненулевые элементы
матрицы одношаговых вероятностей переходов вложенной цепи. Эта
матрица Р имеет специальную структуру:
Р =
( /о
/о
0
0
0
h
Л
/о
0
0
h
h
h
/о
0
/з
/з
h
h
/о
V
\
(1.37)
/
Наличие такой структуры существенно облегчает исследование
данной цепи. Используя известные критерии эргодичности,
несложно убедиться, что рассматриваемая вложенная цепь Маркова имеет
стационарное распределение тогда и только тогда, когда
Р< 1,
(1.38)
где коэффициент загрузки р равен Abi.
Уравнения равновесия (1.16) с учетом вида (1-37) матрицы
вероятностей одношаговых переходов можно переписать здесь в виде:
j+i
ttj = тго/j + ^2 nfj-i+ij > 0.
(1.39)
i=l
Для решения бесконечной системы линейных алгебраических
уравнений (1.39) воспользуемся аппаратом производящих функций.
Вводим в рассмотрение производящие функции
j=0
,F(z) = J2fjzJAz\<1-
J=0

Полумарковские однолинейные системы 43
Учитывая явный вид (1.35) вероятностей fi,l > 0, можно получить
явное выражение для производящей функции F(z)
оо
F(z) = ! e-x{1-z)tdB(t) = /3(А(1 - z)). (1.40)
Умножая уравнения системы (1.39) на соответствующие степени z и
суммируя их, получаем:
оо j+1
U(z) = n0F(z) + X)^' S^/i-i+i-
j=0 i=l
Меняя порядок суммирования, переписываем это соотношение в
виде:
U(z) = ttqF(z) + J2*iZi~1 J2 fj-i+i^i+l =
г=0 j=i—l
= 7T0F(z) + (U(z)-7T0)F(z)z'1 (1.41).
Отметим, что нам удалось свернуть двойную сумму в (1.41),
благодаря специфике матрицы (1.37) вероятностей переходов, а
именно, благодаря тому что переходные вероятности pij вложенной цепи
Маркова для г > 0 зависят только от величины j — i и не зависят от г
и j отдельно. Это свойство матрицы называют квазитеплицевостью.
Существенно использовано также то, что все элементы матрицы
ниже ее поддиагонали равны нулю.
Учитывая (1-40), можно переписать формулу (1.41) в следующем
виде:
U{Z) - П0 P(X(l-z))-z ■ {1Л2)
Формула (1.42) определяет искомую производящую функцию
стационарного распределения вероятностей вложенной цепи Маркова с
точностью до значения неизвестной пока вероятности 7Го того, что
рассматриваемая СМО пуста в произвольный момент окончания
обслуживания запроса. Для нахождения этой вероятности вспомним,
что система уравнений равновесия содержит еще уравнение (1.17)
(условие нормировки). Из условия нормировки следует, что П(1) = 1.
Поэтому для нахождения вероятности 7i"o мы должны подставить в
(1.42) z = 1. Однако, простая подстановка не дает результата
поскольку и числитель, и знаменатель (1.42) обращаются в нуль.

44 Глава 1. Методы теории очередей
Для раскрытия неопределенности можно использовать правило
Лопиталя. Однако, при вычислении величины L среднего числа
запросов в системе в моменты окончания обслуживания запросов
потребуется вычислить величину П (1), для чего придется применять
правило Лопиталя дважды, при вычислении дисперсии числа
запросов в системе придется применять правило Лопиталя трижды и т.д.
Во избежание многократного применения правила Лопиталя можно
рекомендовать заранее разложить числитель и знаменатель дроби
в правой части (1.42) в ряд Тэйлора по степеням (z — 1) (если мы
заинтересованы в вычислении к-то начального момента
распределения числа запросов, то разложение нужно провести с точностью до
o(z — l)k+1), сократить числитель и знаменатель на (z — 1) и
только потом выполнять операции взятия производных и подстановки
значения z = 1. Отметим, что если требуется вычислить моменты
высокого порядка, при этом можно использовать возможности
символьных вычислений, например, с помощью пакета «Mathematica».
Используя приведенные соображения, мы получаем следующие
выражения для вероятности 7Го, среднего числа L запросов в системе
и средней длины LQ очереди в системе в моменты окончания
обслуживания запросов:
тго = 1 - р, (1.43)
L = П'(1) = р + ^JyLo = L-p. (1.44)
Подставляя выражение (1.43) в формулу (1.42), получаем:
Формула (1.45) называется формулой Поллячека - Хинчина для
производящей функции распределения числа запросов в системе M|G|1.
Отметим, что в выражения для величин L, L0 входит второй
начальный момент &2 распределения времени обслуживания.
Поэтому при одинаковых средние временах обслуживания длины
очередей в системах могут существенно отличаться. Так, при
показательном распределении времени обслуживания (в этом случае fo = "%)
2
средняя длина L0 очереди равна -^—, а при детерминированном
времени обслуживания (Ьг = ЛО средняя длина L0 очереди в два ра-
за меньше. При эрланговском распределении времени обслуживания
средняя длина L0 очереди принимает промежуточное значение. А

Полумарковские однолинейные системы 45
при гиперэкспоненциальном обслуживании она может принимать
существенно большие значения. Следовательно, оценивание вида
распределения времени обслуживания в реальной модели имеет весьма
важное значение. Учет только среднего значения может привести к
значительной погрешности в оценке характеристик
производительности системы.
Итак, проблема нахождения стационарного распределения
вложенной цепи Маркова решена. Следует, однако, вспомнить, что нас
интересует не эта цепь Маркова, а немарковский процесс it,t > 0 -
число запросов в системе в произвольный момент времени. Введем в
рассмотрение стационарное распределение этого процесса:
Pi = lim P{it = i},i > 0.
t—юо
Из теории процессов марковского восстановления (см., например,
[171]) следует, что это распределение существует при тех же
условиях, что и вложенное распределение (то есть, при выполнении условия
(1.38)), и вычисляется через вложенное распределение следующим
образом:
Ро
= т_17г0 f e~xtdt, (1.46)
Pi = т 1
оо t
\г-1
о о
1=1 п
,,-At/
0!
,г>1. (1.47)
Здесь т есть средняя длина интервала между моментами ухода
запросов из системы. Для нашей системы (без потери запросов) г =
Л"1.
оо
Введем в рассмотрение производящую функцию P(z) = Yl Piz%-
г=0
Умножая соотношения (1.46),(1.47) на соответствующие степени
z и суммируя, получаем:
оо t
P(Z) = г"1 /тго [а-Ч/ J e-^Xdv ]Г {X{t~^VZle-^-v)(1-B(t~v))dt
о о i=1

46 Глава 1. Методы теории очередей
E^/fS^1-*(*))*
г=1 1=1 0
Меняя порядок интегрирования в двойном интеграле, порядок
суммирования в двойной сумме и подсчитывая известные суммы,
получаем:
+
оо оо
P(z) = г'1 |тг0 Л"1 + z\ j e~Xvdv f e-^-z)(t-v) ^ _ B{t _ v^dt
0 v
oo
+ ^щг1 Ie~X{l~z)t{l-B(t))dt\.
l=i { J
Делая замену переменной интегрирования и = t — v, учитывая
равенство т-1 = Л и связь между преобразованиями Лапласа и Лапласа -
Стилтьеса, отсюда имеем:
Р(г) = 7Г0[1 + ^-(1-ДЛ(1-г)))] + (П(г)-7г0)г^(1-ЖА(1-г))).
Подставляя сюда выражение (1.42) для производящей функции U.(z),
после элементарных преобразований получаем:
P{Z) - *° ДЛ(1 -z))-z-
В результате мы убедились в справедливости соотношения:
P(z) = U(z). (1.48)
Таким образом, для рассматриваемой системы M|G|1 распределения
вероятностей числа запросов в системе в моменты окончания
обслуживания запросов и произвольные моменты времени совпадают. А.Я.
Хинчин [118] назвал это утверждение основным законом
стационарной очереди.
Затронем проблему нахождения стационарного распределения
времени ожидания и пребывания запросов в системе.
Предполагаем, что запросы обслуживаются в порядке их поступления в систему
(дисциплина выбора из очереди FIFO). Пусть wt есть время
ожидания, a vt есть время пребывания в системе запроса, поступившего в
нее в момент времени t. Обозначим:
W{x) = lim P{wt < x},V(x) = lim P{vt < x} (1.49)
t—>oo t—*oo

Полумарковские однолинейные системы 47
оо оо
*.)-/.-™(,),.(.)-/.--W(,).
О О
Условием существования пределов (1.49) является выполнение
неравенства (1.38). Поскольку время пребывания запроса в
системе равно сумме его времени ожидания и времени обслуживания, а
время обслуживания запросов в классических моделях СМО
предполагается независимым от состояния системы (и от времени, в течение
которого запрос ожидал в очереди), то из свойства 2 преобразования
Лапласа - Стилтьеса следует, что:
v(s) = w(s)P(s). (1.50)
Популярным методом получения выражения для преобразований
Лапласа - Стилтьеса w(s),v(s) является вывод
интегро-дифференциального уравнения Такача для распределения виртуального
времени ожидания (то есть, времени, в течение которого ждал бы
начала обслуживания запрос, если бы он поступил в систему в данный
момент времени), см., например, [67].
Получим эти выражения другим, более простым, способом.
Нетрудно видеть, что при дисциплине FIFO число запросов,
остающихся в системе в момент окончания обслуживания в ней некоторого
запроса, совпадает с числом запросов, пришедших в систему за время
пребывания в ней уходящего запроса. Отсюда следуют равенства:
оо
щ= f i^Le-^dV{x),i>0. (1.51)
о
Умножая соотношения (1.51) на соответствующие степени z и
суммируя, получаем:
оо
Щг) = [ e~x{1-z>dV(x) = и(А(1 - z)).
о
Подставляя в это соотношение явный вид (1.45) производящей
функции П(г), используя (1.50) и делая замену переменной: s = А(1 — z),
получаем следующую формулу:
"(*) = ГЛЕМ- (L52)

48 Глава 1. Методы теории очередей
Формула (1-52) называется формулой Поллячека - Хинчина для
преобразования Лапласа - Стилтьеса распределения времени ожидания
в системе M|G|1.
Используя формулу (1.18), из (1.52) получаем следующее
выражение для величины среднего времени W ожидания запроса в
системе:
w= xb2 .
2(1 - р)
Среднее время V пребывания запроса в системе находится как:
v = h + vr^y (L53)
Сравнивая формулы (1.44) и (1.53), снова получаем формулу Лит-
тла:
L = XV.
Если имеется настоятельная необходимость нахождения вида
функции распределения времени ожидания W(x), а не ее
преобразования Лапласа - Стилтьеса, обращение этого проебразования,
заданного формулой (1.52), проводится разложением правой части (1.52)
на простые дроби (если это возможно) или численными методами
(см., например, [176], [261]). Полезной может оказаться также так
называемая формула Бенеша:
оо
W{x) = {l-p)YJPiBi{x), (1-54)
г=0
где Bi(x) есть свертка г-го порядка функции распределения
X
В(х) = Ь^1 f(l - B(u))du,
о
а операция свертки определяется рекуррентным образом:
В0{х) = 1,В1(х) = В(х),
(х) = J 5i_i(x - u)dB{u), i > 2.
О

Полумарковские однолинейные системы 49
1.6.2 Метод вложенных цепей Маркова в приложении
для системы G7|M|1
Кратко опишем применение метода вложенных цепей Маркова
для анализа системы G7|M|1 - у которой рекуррентным является
входящий поток, а показательное распределение имеет время
обслуживания запроса. Пусть A(t) - функция распределения интервалов
между моментами поступления запросов, a(s) - ее преобразование
Лапласа - Стилтьеса, а, \ — а± - интенсивность потока.
Интенсивность показательно распределенного времени обслуживания будем
обозначать /х.
Случайный процесс it,t > 0 - число запросов в системе в
произвольный момент времени - здесь также является немарковским,
поскольку поведение процесса после произвольного момента
времени t, t > О не определяется полностью его состоянием в этот момент,
а зависит также от уже прошедшего к данному моменту времени
с момента поступления последнего запроса. В качестве вложенных
моментов времени tk,k > 1 возьмем моменты поступления
запросов в системе. Поскольку в эти моменты происходят скачки
значений процесса it,t > О, для определенности будем считать, что
**fc = Hk-o,k > 1, то есть, запрос, который поступает в систему в
данный момент, не включается в число запросов в системе в этот
момент.
Нетрудно видеть, что случайный процесс цк,к > 1 является
дискретной цепью Маркова с пространством состояний, совпадающим
со множеством неотрицательных целых чисел. Вероятности одноша-
говых переходов вычисляются следующим образом:
оо ■ ■ 1
П* = / (l-*j- + l)!e~Mt<M(t)'l - j~ l + 1} * - °' (L55)
о
г+1
Pi,o = l-'^2pi,j,i>0, (1-56)
Pij=0,j>i + l,i>0. (1.57)
Формула (1.55) получается из следующих соображений.
Поскольку j > 1, то между вложенными моментами постоянно шло
обслуживание запросов и число обслужившихся за это время запросов равно
г—j + 1. Так как время обслуживания имеет показательное
распределение с параметром /х, то поток моментов окончания обслуживания
4 - 7659

50 Глава 1. Методы теории очередей
является простейшим (см. Утверждение 2), поэтому (см.
Утверждение 1) вероятность того, что за время t будет обслужено i — j + 1
запросов есть: у^_ -~ 1->, e~^f. Усредняя по всевозможным значениям
длины интервала между моментами поступления, получаем
формулу (1.55). Формула (1.56) следует из условия нормировки.
Используя известные критерии эргодичности, можно убедиться,
что необходимым и достаточным условием существования
стационарных распределений
Pi = lim P{it = г}, г; = lim Р{цк = г}, г > 0
t—юо к—юо
будет уже известное нам условие
р < 1, (1.58)
где коэффициент загрузки р определяется как р = -. Будем далее
считать это условие выполненным.
Уравнения равновесия для стационарных вероятностей ri,i > 0
распределения вложенной цепи с учетом (1.55)-(1.57) выписываются
в виде:
оо
ri = E r</(,--T++i)ie"/<t<M(t),J' -L (L59)
-* 0
Решение системы линейных алгебраических уравнений (1.59) будем
искать в виде:
rj = Caj,j>0. (1.60)
Подставляя (1.60) в (1.59), получаем, что неизвестное число а
удовлетворяет уравнению:
оо
a = f e-^-'^dAtt) = a(/i(l - a)). (1.61)
о
Покажем, что при выполнении условия (1.58) уравнение (1.61) имеет
единственный действительный корень ст, 0 < a < 1.
Обозначим у(ст) = a — a(/i(l — а)). Нам необходимо убедиться,
что уравнение у (а) = 0 имеет единственный действительный корень
а, 0 < а < 1. Для этого исследуем свойства функции у(а) :
у(0) = -а(/х) < 0;
у(1) = 0;

Полумарковские однолинейные системы 51
у (а) = 1 + 1ла (1л(1 - а));
у'(1) = 1 - р~1 < 0 в силу (1.58);
y"(a) = -(fifa"(fi(l-a))<0.
Последнее неравенство справедливо в силу свойства 7
преобразования Лапласа - Стилтьеса.
Таким образом, функция у(о~) - вогнутая, отрицательная в точке
а = 0, нулевая и убывающая в точке а = 1. Отсюда следует
доказываемая единственность корня.
Неизвестная константа С в (1.60) легко находится из условия нор-
оо
мировки: Y1 гг = 1 и имеет вид: С = 1 — а.
i=0
Таким образом, мы получили следующее выражение для
стационарных вероятностей n,i > 0 распределения вложенной цепи
Маркова:
П = а\1-а),1>0, (1.62)
где константа а является корнем уравнения (1.61).
Найдем теперь стационарные вероятности pi,i > 0 наличия г
запросов в системе в произвольный момент времени. Фиксируем
произвольный момент времени. В данный момент в системе может
находиться г, г > 1 запросов, если в последний перед этим моментом
момент поступления запроса в системе было j,j > г — 1 запросов и
за время и, прошедшее с момента поступления, г — j + 1 запросов
ушли из системы, закончив обслуживание. Учитывая, что время и
t
имеет функцию распределения F(t) = X J(l — A(y))dy (см. раздел 2),
о
заключаем, что:
Подставляя в это соотношение вероятности ri в виде (1-62) и
суммируя, получаем:
оо
Pi = (1 - а)а1-1\ ( е-^-а*{\ - A(t))dt,
о
откуда, учитывая связь преобразований Лапласа и Лапласа -
Стилтьеса и уравнение (1.61), получаем:
Pi = p(l-<r)<Ti-\i>l. (1.64)
4*

52 Глава 1. Методы теории очередей
Вероятность ро находим из условия нормировки в виде:
Ро = 1-р. (1-65)
Средние число L запросов в системе и число L0 запросов в очереди
в произвольный момент времени находятся как:
оо
L = S^ipi = ,L0 = a- . (1.66)
■*—' 1 — a 1 — or
Найдем теперь стационарное распределение W(x) времени
ожидания произвольного запроса в системе. Запрос, заставший систему
пустой (вероятность этого есть го), имеет нулевое время ожидания.
Поскольку сумма г независимых показательных случайных величин
с параматром ц есть эрланговская случайная величина порядка г, то
запрос, заставший в системе i,i > 1 запросов, ждет в течение
времени, распределенного по закону Эрланга с параметрами (г, /л). Отсюда
получаем:
ОО "^ ' 1
W(x) = 1 - а + (1 - <r) £V J ^9"^* =
г=1 0
= \-ae-^-a)x. (1.67)
Среднее время W ожидания равно ,°_ ■.. Сравнивая это выражение
с (1.66), видим, что формула Литтла справедлива и для данной СМО.
1.6.3 Метод введения дополнительной переменной
Сущность этого метода исследования немарковских процессов
состоит в расширении пространства состояний процесса за счет
введения в его описание некоторых дополнительных компонент с тем,
чтобы полученный многомерный процесс был марковским. Если
удается провести исследование этого марковского процесса (например,
с помощью «At метода»), то затем распределение исходного
немарковского процесса получается, как правило, элементарным образом.
Для иллюстрации снова, как и в подпункте 1.6.1, рассмотрим
систему M|G|1, то есть, однолинейную СМО с ожиданием, на вход
которой поступает простейший поток интенсивности Л, а время
обслуживания запроса имеет произвольное распределение с функцией
распределения B(t), ее преобразованием Лапласа - Стилтьеса (3(s) и
конечными начальными моментами bk,k — 1,2.

Полумарковские однолинейные системы 53
Мы уже отметили, что в случае этой системы процесс it,t > 0 -
число запросов в системе в момент t - не является марковским.
Проанализировав причину немарковости процесса it,t > О, мы видим,
что если включить в описание процесса дополнительную
компоненту vt,t > 0, имеющую смысл либо времени обслуживания,
прошедшего к данному моменту времени t, либо времени, оставшегося до
окончания обслуживания этого запроса, то полученный двумерный
случайный процесс {it, vt,t > 0} является марковским. Оба варианта
марковизации примерно одинаково популярны в литературе.
Изложим здесь второй вариант.
Итак, рассмотрим двумерный марковский случайный процесс
{it, Vfi t > 0}, где ut,vt>0- время до окончания обслуживания
запроса, находящегося на приборе в момент t. Отметим, что при значении
компоненты ц, равном нулю, нет необходимости введения
дополнительной переменной, т.к. в данный момент система не обслуживает
запросы.
Введем в рассмотрение функции:
п(0) = Р{ц=0},
ipt(i, х) = P{it = i, vt < х}, г > 1, х > 0.
Утверждение 12. Функции ipt(0),ipt(i,x),i > 1,х > 0
удовлетворяют следующей системе уравнений:
-~дГ ~ ~М(0) + —дх~1х=°> (L68)
d4>t{l,x) dcpt(l,x) d<pt(l,x)
—Ш дх— = -W1'*) - ~^-U=0+
+ 9^Х)\х=оВ(х) + \<pt(0)B(x), (1.69)
d<fit{hx) d<pt{i,x) dipt{i,x)
—dt Ш~ = ~Xift{hX) - —dx—l*=0+
+ dift^dx 1,X)\^oB№ + ^t{i - l,x),i > 2. (1.70)
Доказательство состоит в применении формулы полной вероятности
и анализе возможных переходов процесса за время At и вероятностей
соответствующих переходов. В результате приходим к следующей
системе разностных уравнений для интересующих нас функций:
¥*+д*(0) = w(0)(l - АД<) + w(l, At) + o(At),

54 Глава 1. Методы теории очередей
¥*+д«(1,х) = Ml, x + At)- ^(1, At))(l - XAt) + <pt{2, At)B(x)+
(1.71)
+tpt(0)\AtB(x) + o(At),
<Pt+At(i, x) = (<pt(i, x + At)- tpt(i, At))(l - XAt) + щ{г + 1, At)B(x)+
+<pt(i - 1, x + At)XAt + o(At), i > 2.
Деля обе части уравнений (1.71) на At и устремляя At к нулю,
получаем систему (1.68) - (1.70).
Выше мы уже отмечали, что задача нахождения
нестационарного (зависящего от времени t) распределения вероятностей состояний
СМО решается аналитически только в довольно редких случаях.
Поэтому переходим к нахождению стационарного распределения
процесса {it, vt,t > 0} :
<р(0) = lim (ft(0),(p(i,x) = lim <pt(i,x),i > l,x > 0. (1-72)
4—>oo 4—>oo
Условием существования пределов (1-72) является выполнение
неравенства:
р = Xbi < 1.
Будем далее считать это условие выполненным.
Переходя в (1.67) - (1.70) к пределу при t —> оо, получаем
следующую систему уравнений для стационарного распределения
вероятностей процесса {г^, ut,t > 0} :
V(0) = *^>|„„, (1.73)
9<р(1,х) Эу(1,ж), w _Л , d<p(2,x)t
+Л(^(0)Б(ж) = 0, (1.74)
dip(i,x) dip(i,x). ... . <fy>(z + l,:r)
"to - -^U=° - Ml'X) + Эх W(*)+ (1.75)
+Хф- 1,х) =0,г >2.
Для решения данной бесконечной системы уравнений применим
аппарат производящих функций. Введем в рассмотрение
производящую функцию:
оо
Ф(г, х) = ip(Q) + ^Г ip(i, x)z\ \z\ < 1.
г=1

Полумарковские однолинейные системы 55
Умножая уравнения системы (1.73) - (1.75) на соответствующие
степени z и суммируя, получаем следующее уравнение для
производящей функции Ф(г,х) :
^-А(1-,)Ф(г1«) = ^и(1-М).Мо)(1_г)(1_в(в)).
(1.76)
Для решения дифференциально-функционального уравнения (1.76)
введем в рассмотрение преобразование Лапласа:
(j)(z,s) = / е~зхФ(г,х)(1х, Res > 0.
Применяя преобразование Лапласа к обеим частям уравнения (1.76)
и используя сведения о связи преобразований Лапласа и Лапласа -
Стилтьеса, а также свойство 3 преобразования Лапласа - Стилтьеса,
получаем уравнение вида:
(з-Х(1-г))ф(г,з) = -з
^|^(l-^)-M0)(l-,)(l-/JW)j +
(1.77)
+¥>(0).
Известно, что производящая функция является аналитической (то
есть, представимой в виде сходящегося степенного ряда) функцией
при \z\ < 1, а преобразование Лапласа аналитично в области Res > 0.
Поэтому для любого z, \z\ < 1 при s = А(1 — z) левая часть
соотношения (1-77) обращается в нуль. Следовательно, при таком s
обращается в нуль и правая часть (1.77). Из этого условия после несложных
преобразований получаем:
9Ф(г,х) /?(А(1-z))(l-z)
—дх—]х=° - *{°)Х2 /3(А(1-*))-* • (L78)
Подставляя (1.78) в (1-77), получаем:
МНЖм)^^1"'1
Zp(\(l-z))X(l-z)fi_^ ,_1+/3(s)
/J(A(1-z))-z
+¥>(0). (1-79)
+
Формула (1.79) дает вид искомого стационарного распределения с
точностью до значения вероятности <^(0). Сейчас уместно вспомнить,
что мы рассматриваем двумерный марковский процесс {it,vt,t > 0}

56 Глава 1. Методы теории очередей
вынужденно, т.к. интересующий нас процесс {г^, t > 0} - число
запросов в системе в момент t является немарковским. Несложно видеть,
что стационарные распределения процессов {it, щ, t > 0} и {it,t > 0}
связаны соотношениями:
ро = lim P{it = 0} = р(0),
4—юо
Pi — lim P{it = г} = lim ip(i,x),i > 1.
4—>oo ж—>оо
Поэтому производящая функция P(z) = Yl Viz% определяется как:
P(z) = lim Ф(г,х).
x—юо
Вспоминая связь преобразований Лапласа и Лапласа - Стилтьеса, а
также свойство 4 преобразования Лапласа - Стилтьеса, получаем:
P(z) — lim Ф(г,х) = lims0(z, s),
х—>оо s—>0
откуда с учетом (1.79) получаем:
F(Z)-P0 /3(Л(1 -*))-* • (L80)
Вычисляя из условия нормировки Р(1) = 1 константу ро в виде
Ро = 1 — р, мы окончательно получаем уже известную нам формулу
Поллячека - Хинчина:
Отметим, что из нее элементарно следует уже известная нам
формула для стационарного распределения числа запросов в системе
М\М\1:
Рг = (1-Р)р\1>0.
Для системы M|D|1 с постоянным временем обслуживания запросов
явные выражения для стационарных вероятностей следующие:
Р0 = 1-р,Р1 = (1-р)(е"-1),
fc=i

Полумарковские однолинейные системы 57
1.6.4 Метод введения дополнительного события
Этот метод, предложенный Данцигом, Кестеном и Ранненбергом
(метод коллективных меток - method of collective marks) и развитый
затем Г.П. Климовым (метод «катастроф»), позволяет легко
получить аналитические результаты в ситуациях, когда другие
известные методы приводят к трудоемким выкладкам. Особенно
эффективен он оказался при анализе ненадежных и приоритетных систем
массового обслуживания.
Сущность этого метода заключается в следующем. Пусть
требуется найти некоторое распределение, характеризующее
функционирование СМО. Производящей функции этого распределения (если
распределение дискретное) или его преобразованию Лапласа - Стилтье-
са придается вероятностный смысл за счет «раскрашивания»
запросов или введения в рассмотрение потока «катастроф». Затем
вводится в рассмотрение некоторое (дополнительное) случайное событие и
вероятность его подсчитывается в терминах производящей функции
или преобразованию Лапласа - Стилтьеса искомого распределения
двумя различными способами. В результате получается уравнение,
решением которого является функция, которая интересует
исследователя.
Проиллюстрируем этот метод, применив его для нахождения
вероятностных характеристик системы M|G|1. Важной
характеристикой производительности многих реальных систем является
распределение периода занятости системы. Период занятости есть интервал
времени с момента поступления запроса в пустую систему до
момента, когда система впервые вновь окажется пустой. Знание периода
занятости позволяет решать задачи, связанные, например, с
планированием проведения в системе профилактических работ,
исследованием возможности дополнительной загрузки прибора выполнением
некоторой второстепенной «фоновой» работы и т.д.
Обозначим H(t),t > 0 функцию стационарного распределения
длины периода занятости в рассматриваемой системе, a ir(s),s > 0 -
ее преобразование Лапласа - Стилтьеса.
Считаем, что выполняется условие:
9 < 1, (1-81)
гарантирующее существование стационарного распределения длины
периода занятости рассматриваемой СМО.
Утверждение 13. Преобразование tt(s) Лапласа - Стилтьеса
распределения длины периода занятости рассматриваемой СМО удовле-

58 Глава 1. Методы теории очередей
творяет следующему функциональному уравнению:
7r(s) = /3(s + A(l-7r(s))). (1.82)
Доказательство. Легко видеть, что распределение длины периода
занятости системы не зависит от того, в каком порядке
обслуживаются запросы. Для облегчения анализа структуры периода занятости
предположим, что запросы обслуживаются в инверсионном порядке,
то есть на обслуживание всегда выбирается запрос, пришедший в
систему последним. Такая дисциплина выбора из очереди кодируется
как LIFO (Last In - First Out) или LCFS (Last Came - First Served).
При такой дисциплине выбора из очереди каждый запрос как бы
порождает период занятости системы запросами, пришедшими в
систему после него. Причем структура и, следовательно,
распределение длины периода занятости, порожденного некоторым запросом,
такие же, как структура и распределение длины периода занятости
системы. Используя эти рассуждения, мы приходим к пониманию
того, что период занятости системы состоит из времени обслуживания
первого запроса, с которого начался период занятости, и случайного
числа периодов занятости, порожденных запросами, пришедшими в
систему за время обслуживания первого запроса.
Теперь предположим, что независимо от функционирования
данной системы поступает простейший поток катастроф интенсивности
s. Введем в рассмотрение (дополнительное) событие А, состоящее в
том, что за данный период занятости не поступили катастрофы.
Напомним, что согласно вероятностной трактовке преобразова-
оо
ния Лапласа - Стилтьеса, величина h(s) = J e~stdH(t),s > 0 есть
о
вероятность того, что не произойдет ни одной катастрофы за
случайное время, имеющее функцию распределения H(t). Поэтому легко
понять, что вероятность события А определяется следующим
образом:
Р(А) = тг(з). (1.83)
Найдем теперь вероятность этого же события иначе. Назовем
произвольный запрос «плохим», если за период занятости,
порожденный им, наступает катастрофа. Используя достигнутое нами
понимание структуры периода занятости, нетрудно убедиться, что для того,
чтобы запрос, с которого начался период занятости, был неплохим
(вероятность этого есть Р(А)), необходимо и достаточно, чтобы за
время его обслуживания не поступили события из суммарного
потока катастроф и потока плохих запросов.

Полумарковские однолинейные системы 59
Поток катастроф является простейшим потока интенсивности s.
Поток плохих запросов получается из исходного простейшего
потока интенсивности Л в результате применения простейшей
процедуры рекуррентного просеивания (произвольный запрос включается в
просеянный поток с вероятностью 1 — Р(А) = 1 — -ir(s) независимо
от других запросов). Поэтому, согласно Утверждению 6,
просеянный поток является простейшим потоком интенсивности А(1 — 7r(s)).
Согласно Утверждению 5, суммарный поток катастроф и плохих
запросов является простейшим потоком интенсивности s + A(l — 7r(s)).
Таким образом, используя еще раз вероятностную трактовку
преобразования Лапласа - Стилтьеса мы получаем следующую формулу
для вероятности события А :
P(A) = P(s + \(l-ir(8))). (1.84)
Сравнивая выражения (1.83) и (1.84), мы убеждаемся в
справедливости формулы (1.82). Утверждение 13 доказано.
Уравнение (1.82), полученное Дж. Кендаллом в 1951 году, имеет
единственное решение в области Res > 0, такое, что \ft(s)\ < 1.
В случае, если распределение времени обслуживания
показательное, B(t) = 1 —е-^*, рассматриваемая система есть М|М|1 и
преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения времени обслуживания
(3(s) имеет вид: /3(s) = -^-. При этом функциональное уравнение
(1.82) переходит в квадратное уравнение для неизвестного
преобразования Лапласа - Стилтьеса ir(s) :
ртг2(5) - (sn'1 +p+ 1)тг(в) + 1 = 0. (1.85)
Решая уравнение (1.85), получаем:
_ 1 + «„-■+, ±уЧ1+<1„-Т-4,. (1.86)
2р
В этой формуле выбираем только знак «-», чтобы полученное
решение удовлетворяло условию |тг(в)| < 1. Обращая теперь
преобразование Лапласа - Стилтьеса тг(в), получаем следующее выражение для
производной функции П(£) распределения длины периода занятости
системы М|М|1 :
П'(<) = ^e-(A+^/i(2tv^), (1-87)
где функция 1\{х) есть модифицированная функция Бесселя первого
рода.

60 Глава 1. Методы теории очередей
В общем случае уравнение (1.82) можно решать методом
итераций, снабдив функцию -ir(s) индексом п + 1 в левой части уравнения
и индексом п в правой части. Эта процедура имеет геометрическую
скорость сходимости последовательности -irn(s),n > 1 к значению
7r(s) при фиксированном значении аргумента s.
Кроме того, путем последовательного дифференцирования
уравнения (1-82) с последующей подстановкой аргумента s = 0 и учета
свойства 5 преобразования Лапласа - Стилтьеса, можно получить
рекуррентную последовательность формул для вычисления
начальных моментов распределения длины периода занятости. Так, среднее
значение -к\ длины периода занятости и второй начальный момент
7Г2 ее распределения определяются формулой:
7Г1 = ,7Г2 = 71 vr (1.88)
1 - Р (1 ~ РГ
Как и следовало ожидать, с ростом коэффициента загрузки р и
приближением его значения к единице среднее значение периода
занятости стремится к бесконечности.
Рассмотрим теперь другую характеристику функционирования
системы M|G|1 - число £ запросов, обслуженных за период занято-
сти. Обозначим 7г = -Р{£ = г},г > 1 и T(z) = ^ jiZ%.
г=1
Утверждение Ц- Производящая функция T(z), \z\ < 1
удовлетворяет следующему функциональному уравнению:
Г(г) = z(3(X(l ~ T(z))). (1.89)
Доказательство. Производящей функции T(z) придадим
вероятностный смысл следующим образом. Каждый из запросов
независимо от других назовем красным с вероятностью z и синим с
дополнительной вероятностью. Произвольный запрос назовем темно-
красным, если он сам красный и за период занятости, порожденный
им, в системе обслуживались только красные запросы. Введем
событие А, состоящее в том, что запрос, с которого начинается период
занятости, является темно-красным. Найдем вероятность этого
события. С одной стороны, очевидно, что
Р(А) = T(z). (1.90)
С другой стороны, из проделанного выше анализа структуры
периода занятости ясно, что для того, чтобы запрос был темно-красным,

Полумарковские однолинейные системы 61
необходимо и достаточно, чтобы он сам был красным (вероятность
этого равна z) и за время его обслуживания могли поступать
только темно-красные запросы. Так как поток запросов - простейший с
параметром Л, а произвольный запрос является темно-красным с
вероятностью Г (г), то поток нетемно-красных вызовов (как это следует
из Утверждения 6) является простейшим с параметром Л(1 — Г(-г)).
Вспоминая вероятностную интерпретацию преобразования Лапласа
- Стилтьеса, из приведенных рассуждений выводим следующую
альтернативную формулу для вероятности события А :
Р(А) = г/3(Х(1-Т(г))). (1.91)
Сравнивая формулы (1.90) и (1.91), убеждаемся в справедливости
(1.89). Утверждение 14 доказано.
Уравнение (1.89) определяет единственную аналитическую в
области \z\ < 1 функцию, такую, что |Г(г)| < 1.
Следствие. Среднее число М£ запросов, обслуженных в системе
M|G|1 за один период занятости, задается формулой:
1-р
Приведем еще одно доказательство формулы Поллячека - Хин-
чина для производящей функции распределения вероятностей
числа запросов в системе M|G|1 в моменты окончания обслуживания.
Каждый из запросов, приходящих в систему, независимо от других
назовем красным с вероятностью z и синим с дополнительной
вероятностью. Введем событие А, состоящее в том , что запрос, уходящий
в данный момент окончания обслуживания из системы, сам красный
и все запросы, остающиеся в системе в этот момент, тоже красные.
Из вероятностной интерпретации производящей функции
очевидно следует, что:
Р(А) = zll(z), (1.92)
где П(.г) есть искомая производящая функция распределения
вероятностей числа запросов в системе M|G|1 в моменты окончания
обслуживания.
С другой стороны, для того, чтобы произошло событие А,
необходимо и достаточно, чтобы все запросы, которые находились в системе
в предыдущий момент окончания обслуживания (если система была
непуста), были красными и за время обслуживания не пришли синие
запросы, а если система была пуста, то первый пришедший запрос

62 Глава 1. Методы теории очередей
должен быть красным и за время его обслуживания не пришли синие
запросы. Из этих рассуждений следует, что:
Р(А) = (П(г) - тго)/3(А(1 - z)) + тг02/3(Л(1 - z)).
Из соотношений этого соотношения и (1.92) очевидным образом
следует формула Поллячека - Хинчина:
пм_т (l-z)0(\(l-z))
полученная нами ранее с помощью метода вложенных цепей
Маркова.
В заключение подраздела найдем характеристики системы M|G|1
с дисциплиной LIFO.
Выше отмечалось, что распределение периода занятости системы
M|G|1 не зависит от дисциплины обслуживания. Поэтому уравнение
(1.82) определяет преобразование Лапласа - Стилтьеса
распределения периода занятости для всех дисциплин. Кроме того, несложно
видеть, что и распределения числа запросов в системе M|G|1 при
дисциплинах FIFO и LIFO совпадают и задаются формулой (1.81).
Распределение времени ожидания запроса при дисциплинах
FIFO и LIFO различно. При дисциплине FIFO преобразование
Лапласа - Стилтьеса w(s) стационарного распределения времени
ожидания задается формулой (1.52).
Утверждение 15. При дисциплине LIFO преобразование Лапласа
- Стилтьеса w(s) имеет следующий вид:
^^-r+d(l(i-Zy (19з)
где функция 7r(s) является решением уравнения (1.82).
Доказательство. Введем поток катастроф и понятие «плохого»
запроса, как это было сделано при доказательстве Утверждения 13.
При этом функция w(s) есть вероятность того, что за время
ожидания данного запроса не наступит катастрофа, а функция n(s) есть
вероятность того, что произвольный запрос не является «плохим»,
то есть катастрофа не наступает за период занятости, порожденный
этим запросом.
Учитывая сущность дисциплины LIFO и рассуждения,
использованные при доказательстве Утверждения 13, получаем формулу:
w(s) = ро + (1 - РоЩз + Л - Лтг(я)), (1.94)

Многолинейные системы МО 63
где (3(s) есть преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения
остаточного (после момента поступления запроса, время ожидания
которого мы исследуем) времени обслуживания запроса,
находящегося на приборе. По аналогии с функцией распределения F(t)
остаточного времени до момента поступления запроса в рекуррентном
потоке, приведенной в разделе 2, для функции распределения B(t)
остаточного времени обслуживания имеем формулу:
t
B(t) = bf1 /(1 - B(u))du. (1.95)
о
Отметим, что эта функция уже использовалась в формуле Бенеша
(1.54). Легко видеть, что преобразование Лапласа - Стилтьеса этой
функции имеет вид:
Учитывая это, а также уравнение (1.82) и формулу ро = 1 — р, из
(1.94) получаем соотношение (1.93). Утверждение 15 доказано.
Замечание. Сравнивая формулы (1.52) и (1.93), заключаем, что
распределения времени ожидания в системах с дисциплинами FIFO
и LIFO - различные. При этом средние времена ожидания
совпадают.
1.7 Многолинейные системы массового
обслуживания
В предыдущем разделе мы не касались общей однолинейной СМО
G|G|1, поскольку для нее не удается получить точных
аналитических результатов даже для средних значений длины очереди и
времени ожидания запросов в системе. Для этих величин получен лишь
ряд оценок снизу и сверху, позволяющих приближенно вычислить их
значение. Возможна довольно точная аппроксимация характеристик
этой системы с помощью характеристик системы РН\РН\1, которая
поддается аналитическому исследованию.
По аналогичной причине мы не касаемся систем типа G\G\n и
M|G|n. Отметим, что средние характеристики последней системы,
как правило, оценивают путем суммирования с некоторыми весами
соответствующих известных средних характеристик для систем
обслуживания типа М\М\п и M\D\n. Система типа GI\M\n поддается

64 Глава 1. Методы теории очередей
аналитическому исследованию довольно легко при помощи метода
вложенных цепей Маркова и результаты имеют форму, близкую к
полученным для системы GI\M\1 в предыдущем разделе. Поэтому
мы также не затрагиваем ее.
В подразделе 7.1 мы исследуем систему типа М|М|п и систему
М\М\п\тп. В подразделе 7.2 приведем результаты для системы типа
М|М|п|0 (системы Эрланга) и ее обобщения - системы M|G|n|0. В
последнем подразделе 7.3 изучается система типа М\М\оо.
1.7.1 Системы М\М\п и М\М\п\тп
Пусть имеется п параллельных идентичных обслуживающих
устройств (каналов) и бесконечный буфер для ожидания. Входящий
поток является простейшим с интенсивностью Л, а время
обслуживания запроса в канале имеет показательное распределение с
параметром /х. Запрос, пришедший в систему и заставший хотя бы один
канал свободным, немедленно занимает любой из свободных каналов
и начинает обслуживаться. Если все каналы в момент поступления
запроса заняты, он присоединяется к очереди. Из очереди запросы
выбираются на обслуживание согласно дисциплины FIFO.
Рассмотрим случайный процесс it - число запросов в
рассматриваемой системе в момент t, it > 0, t > 0. Легко убедиться, что процесс
it является процессом гибели и размножения с параметрами:
7о = А, 7г = А + г/х, 1 < г < п, 7г = А + п/х, г > п,
А Л . А .
Pi = ,1 <г <n,pi = — ,г>п.
А + г/х А + п/х
Поэтому распределение вероятностей состояний процесса г$,4 > 0
удовлетворяет системе дифференциальных уравнений (1.2),(1.3).
Интенсивности размножения Ai и гибели /ij в данном случае
определяются следующим образом:
Ai = А, г > 0, [ii — г/х, 1 < г < п, рц = пд, г > п.
Тогда величины pi имеют вид
(РПУ rv ^ • ^ n" г ■
Pi = —— ,0 <i<n,pi = —p ,г>п,

Многолинейные системы МО 65
Параметр р, характеризующий соотношение интенсивности
входящего потока и суммарной интенсивности обслуживания всеми
приборами, является коэффициентом загрузки системы.
Проверяя условие существования стационарного распределения
процесса it,t > 0, данное в Утверждении 9, легко убедиться, что
стационарное распределение числа запросов в рассматриваемой системе
7Tj = lim P{it = г}, г > О
t—>оо
существует, если выполняется условие:
р<1.
Будем далее считать это условие выполненным.
Утверждение 16. Стационарные вероятности 7Гг,г > 0
определяются следующим образом:
7Г,; =
я"о *г> 1 < i < п,
*0^Р\
г > п,
(1.96)
где
гП—1
7Г0
■j=0 J-
(пру (пр)п
+
n!(l-p)J
(1.97)
Справедливость формул (1-96), (1.97) следует непосредственно из
Утверждения 9.
Следствие 1. Среднее число L запросов, находящихся в системе
в произвольный момент времени, определяется следующим образом:
L = 7г0
(np)j (пр)п п(1 - р) + р
■п-1
+
п)
(1 - Р?
(1.98)
Следствие 2. Среднее число L0 запросов, находящихся в очереди
в произвольный момент времени, определяется следующим образом:
L0 = 7TQ
(пр)пр
п!(1-р)2'
(1.99)
Следствие 3. Вероятность Р0 того, что произвольный запрос
вынужден ждать обслуживания в очереди, вычисляется по формуле:
Ро
(пр)п
гп-1
Е
(прУ + (пр)п
"!(1-р)1~ 3\ п!(1-р)
■i=o
-1
(1.100)
5 - 7659

66 Глава 1. Методы теории очередей
Формулу (1.100) иногда называют С - формулой Эрланга.
Функция W(x) стационарного распределения времени ожидания
для данной системы определяется следующим образом:
W(x) = 1 - Р0е-п^-р>,х > 0. (1.101)
Вывод последней формулы аналогичен выводу формулы (1.24).
Среднее время ожидания W имеет вид:
w - iH' <L102)
Сравнивая формулы (1.99) и (1.102), замечаем, что для данной
системы справедлив следующий вариант формулы Литтла:
L0 = XW.
Рассмотрим теперь кратко систему М\М\п\тп, в которой размер
очереди ограничен числом m, m > 1. Запрос, заставший все
приборы и все места в очереди занятыми, покидает систему навсегда, не
оказывая никакого влияния на ее дальнейшее функционирование.
Стационарные вероятности 7Tj, 0 < г < п+т наличия в
произвольный момент времени г запросов в системе определяются формулами
(1.96), в которых вероятность 7Го вычисляется следующим образом:
7Г()
h j! + n! 1-p
(1.103)
Величины L,L0,P0 определяются по формулам:
п+т п+т п+т
г=1 i=n+l i=n
Функция W(x) стационарного распределения времени ожидания в
данной системе вычисляется по схеме, приведенной в разделе 3, и
представляет собой смесь эрланговских распределений со скачком в
нуле.
1.7.2 Многоканальные системы без буфера для
ожидания
Пусть имеется п параллельных идентичных обслуживающих
устройств (каналов), буфер для ожидания отсутствует. Входящий

Многолинейные системы МО 67
поток является простейшим с интенсивностью Л, а время
обслуживания запроса в канале характеризуется функцией распределения B(t)
с конечным средним. Сначала рассматриваем случай, когда
распределение B(t) - показательное распределение с параметром ц.
Запрос, пришедший в систему и заставший хотя бы один канал
свободным, немедленно занимает любой из свободных каналов и
начинает обслуживаться. Если все каналы в момент поступления
запроса заняты, он теряется, то есть покидает систему навсегда, не
оказывая никакого влияния на ее дальнейшее функционирование.
С исследования этой модели А.К. Эрлангом и ведет свой отсчет
теория СМО. Практическая важность модели обусловлена тем, что
она довольно адекватно описывает функционирование пучка
телефонных каналов, на который поступает поток запросов на
установление соединения.
Рассмотрим случайный процесс ц - число запросов в
рассматриваемой системе в момент t, 0 < it < n, t > 0. Нетрудно убедиться, что
процесс it является процессом гибели и размножения с параметрами:
7о = ^> 7г = А + щ, 1 < г < п — 1,7i = ™М> г = п,
Pi = х , . , 1 < г < п - 1,р„ = 0.
Параметр р (в отличие от предыдущего подраздела) определим
здесь как соотношение интенсивности входящего потока и
интенсивности обслуживания одним прибором: р = -.
Можно показать, что в силу конечности пространства состояний
процесса it,t > 0 стационарное распределение числа запросов в
рассматриваемой системе
щ = lim P{it = i}, 0 < i < п
t—>оо
существует при любых конечных значениях интенсивностей
входящего потока и обслуживания запросов.
Утверждение 17. Стационарные вероятности 7Tj,0 < i < n
определяются следующим образом:
тгг = -^—,0<г<п. (1.104)
3=0 J
Справедливость этого утверждения следует из Утверждения 9.
5*

68 Глава 1. Методы теории очередей
Следствие. Вероятность PiOSs потери произвольного запроса
имеет вид
Ploss = *п = 1^-. (1.Ю5)
3=0
Эта формула, называемая В-формулой Эрланга, играет весьма
важную роль в телефонии. С ее помощью можно вычислить
вероятность потери запросов (блокировки каналов) при фиксированном
числе каналов, интенсивности входящего потока и интенсивности
обслуживания запросов. Можно решать также двойственные задачи,
например, расчет необходимого числа каналов или допустимого
потока запросов, исходя из заданной максимально допустимой
вероятности потери запроса.
В процессе использования В-формулы Эрланга было замечено,
что вероятность отказа, вычисленная по формуле (1.105), очень
хорошо согласовывалась со значением этой же вероятности, вычисленной
как средняя доля потерянных запросов в реально функционирующей
системе. Это казалось несколько странным, поскольку вероятность
(1.105) подсчитывается в предположении, что входящий поток
является простейшим, а распределение времени обслуживания -
показательное. И если хорошее качество аппроксимации потоков
информации в телефонных сетях простейшим потоком может быть объяснено
с учетом Утверждения 7, то нечувствительность вероятности
отказа к виду распределения времени обслуживания вызывала вопрос.
Наиболее вероятное значение показательно распределенной
случайной величины есть 0, что плохо согласуется с реальной статистикой
длительности телефонных разговоров.
Поэтому усилия многих специалистов в области СМО были
направлены на доказательство инвариантности вида (1.105)
вероятности потери запроса относительно вида функции распределения
времени обслуживания при фиксированном значении среднего
времени обслуживания. Строгое доказательство этого факта принадлежит
Б.А. Севастьянову, который установил, что распределение
вероятностей состояний системы M|G|n|0 действительно инвариантно
относительно распределения времени обслуживания запросов.
1.7.3 Система М\М\оо
Пусть система имеет бесконечное число параллельных
идентичных обслуживающих устройств (каналов), то есть, любой запрос,

Многолинейные системы МО 69
пришедший в систему, немедленно начинает обслуживаться.
Входящий поток является простейшим с интенсивностью Л, а время
обслуживания запроса в канале имеет показательное распределение с
параметром /х.
Исследование такой системы представляет интерес с нескольких
точек зрения. Во-первых, при небольшой интенсивности входящего
потока и большом (но конечном) числе каналов практически
невозможна одновременная занятость всех каналов и поэтому число
каналов можно считать бесконечным. Поэтому данная модель может
служить для аппроксимации модели с большим числом каналов. В-
вторых, эта модель является одной из немногих, для которых
нестационарное распределение вероятностей числа запросов в системе
удается получить в относительно простой форме, благодаря чему эту
систему иногда называют простейшей СМО.
Рассмотрим случайный процесс it - число запросов в
рассматриваемой системе в момент t, ц > 0, t > 0. Этот процесс является
процессом гибели и размножения с параметрами:
7о = A,7i = А + г/х,г > 1,
Pi= л , ■ »» > 1-
Обозначим Pi(t) = P{it = г}, г > 0. Учитывая, что интенсивности
размножения А, и интенсивности гибели /ij для рассматриваемого
процесса it,t > 0 имеют вид: Aj = А, г > 0, Ц\ = г/х,г > 1, можно
записать систему линейных дифференциальных уравнений (1.2),(1.3)
для вероятностей Pi (t), i > 0 в следующем виде:
Po{t) = -\P0(t) + nPi(t), (1.106)
P-(t) = APi-i(t) - (\ + iii)Pi(t) + (i + l)nPl+1(t),i > 1. (1.107)
Поскольку нас интересует нестационарные распределение
вероятностей, мы должны зафиксировать начальное состояние СМО.
Предположим, что в момент времени 0 в системе обслуживалось к
запросов. Тогда начальное условие для системы (1.106), (1.107) имеет вид
Pk(0) = l,Pi(0) = 0,i^k. (1.108)
Для решения системы (1.106), (1.107) введем в рассмотрение произ-
оо
водящую функцию H(z,t) = ^2 Pi(t)zl, \z\ < 1.
г=0

70 Глава 1. Методы теории очередей
Умножая уравнения системы (1.106),(1.107) на соответствующие
степени z и суммируя, получаем следующее уравнение в частных
производных первого порядка:
*^-А(,-1)П(М)-,ф-1)^. (1.Ю9)
Начальное условие (1.108) переходит в условие
U(z,0) = zk. (1.110)
Кроме того, из условия нормировки получаем следующее краевое
условие:
П(М) = М>0. (1-111)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что
решением системы (1.106), (1.107) с начальным условием (1.110) и краевым
условием (1.111) является функция:
ПСМ) =
1 + (z - 1)е
-fit
0р(*-1)(1-е-"«)
(1.112)
гдер=£.
Таким образом, нами доказано следующее
Утверждение 18. Производящая функция нестационарного
(зависящего от t) распределения вероятностей состояний
рассматриваемой СМО при начальном состоянии системы i0 = к задается
формулой (1.112).
Следствие 1. Среднее число L запросов в системе в момент
времени t при начальном состоянии системы г'о = к задается формулой:
L = p + (k- р)е~^.
Следствие 2. Стационарное распределение вероятностей
рассматриваемой СМО
щ = lim Pi(t),i >0
t—>оо
имеет вид:
Щ = ?-е~р, г > 0, (1.113)
г!
то есть, оно подчиняется закону Пуассона с параметром р.
Доказательство. Устремляя в (1.112) t к оо, получаем выражение
П(г) = еР(*~1\ Разлагая эту функцию в ряд Маклорена, получаем
(1.113).

Многолинейные системы МО 71
Следствие 3. Если начальное состояние СМО не зафиксировано,
а выбирается случайно в соответствии с некоторым распределением
вероятностей и в качестве этого распределения взято стационарное
распределение (1.113), то
n(z,t) = ep<z-1>
для любого значения t.
Приведем теперь два обобщения Утверждения 18.
Пусть Qk(hj, t) - вероятность того, что в момент t в системе
находится i запросов и j запросов уже обслужилось за интервал времени
(О, t) при условии, что в момент времени 0 в системе находилось к
запросов. Обозначим
оо оо
Qk(z,y,t) = ^2 ]С Qk(i,j,t)ztyJ,\z\<l,\v\<1-
J=0 i=max (0,k—j)
Утверждение 19. Производящая функция Qk{z,y,t)
определяется формулой:
Qk{z,y,t)
y + {z- y)e-ftt
к
aXt(y-l)+p(z-V)(l-e-i*)
Пусть теперь время обслуживания запросов имеет произвольное
распределение B{t) с конечным средним значением Ъ\.
Утверждение 20. Производящая функция нестационарного
(зависящего от t) распределения вероятностей состояний СМО M\G\oo
при начальном состоянии системы io — к задается формулой:
п(м) =
1 + (г-1)(1-Б(0)
к
oP{z-l)B(t)
где р = ХЬ\, а функция B(t) имеет вид (1.95).
Вывод этой формулы принадлежит Риордану и Бенешу.
В заключение исследуем более общую бесконечно-линейную СМО
у которой интенсивность Ап входящего потока зависит от числа
п запросов, находящихся в системе, п > 0. Будем считать, что
Ао = А, Ап = п\,п > 1, а функция распределения времени обслужи-
X
вания имеет плотность Ь(х), определяемую как: В(х) = J b(u)du. При
о
поступлении нового запроса, когда в системе уже обслуживается п

72 Глава 1. Методы теории очередей
запросов, производится перенумерация занятых каналов, причем
новый запрос будет обслуживаться в канале с номером г, г = 1,..., п+1
с вероятностью ^у. При завершении обслуживания запроса в канале
с номером j происходит перенумерация каналов с номерами,
большими j, путем уменьшения их номера на единицу.
Пусть ц есть число запросов в системе в момент времени t, a Q
есть остаточное время обслуживания в канале с номером к, к = 1, \ц.
Процесс {it,Ct > • ■ ■ >£t >* 5: 0} является марковским.
Обозначим
q0 = lim P{it = 0},
t—>oc
Qi(xi,...,Xi) = lim P{it = i,£f' < xi,...,Q1' < xt},xi > 0,1 = 1,... ,i,i > 1.
t—>oo
Через qi(x\,... ,Xi) обозначим плотность распределения Qi{x\,... ,Xi) :
Qi(xi,... ,Xi) = ... qi(ui,... ,Ui)du\ ...йщ.
о о
Используя «At - метод,» можно получить следующую систему
уравнений для вероятности qg и плотностей qi(xi,..., Xi) :
Ao<?o = 9i(0),
ОХ\ OXi )
г+1
+ ^2 9i+l(xi, • • • , Xj-1,0, Xj+1 ,■■■, Xi+l) +
3=1
A i
+ -^r-y~]qi-i{xi, ■ ■ • ,Xj-i,Xj+i, ■ ■ • ,Xi)b(xj),i > 1.
3 = 1
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решение этой
системы имеет вид:
qi(xi, ...,Xi)= 1'."' Д(1 - B(xj))qo =
1- з=1
4п(1-%))*,1>1.
3=1

Многолинейные системы МО 73
Стационарные вероятности qi = lim^oo Р{ц — i} системы
определяются как:
оо оо
Qi = ■■ qi(xi,...,Xi)dxi...dxi = —qa,i > 1,
о о
р = Xb\, а вероятность qo находится из условия нормировки.
1.7.4 Система M|G|1 с дисциплиной равномерного
распределения процессора и дисциплиной LIFO с
прерыванием обслуживания
До сих пор мы рассматривали только дисциплины
обслуживания FIFO и LIFO, при которых в момент начала обслуживания из
очереди выбирается запрос, который пришел в систему первым или
последним, соответственно.
Важной дисциплиной обслуживания, также используемой в
реальных системах, является дисциплина равномерного распределения
процессора PS (Processor Sharing), при которой прибор обслуживает
одновременно и с одинаковой скоростью (обратно пропорциональной
числу запросов) все находящиеся в системе запросы.
Поскольку скорость обслуживания запроса может изменяться,
при использовании дисциплины PS полезным является введение
понятия длины и остаточной длины запроса. При этом функция В(х)
понимается как функция распределения длины произвольного
запроса. При нахождении в системе i запросов за время At остаточная
длина каждого из них уменьшается на величину ^. При достижении
остаточной длиной значения 0 соответствующий запрос покидает
систему.
Пусть ц есть число запросов в системе в момент времени t. Для
исследования этого процесса будем использовать метод случайной
замены времени. Кроме реального времени t будем рассматривать
«фиктивное» время т, связанное с реальным соотношением itdr = dt.
Это означает, что если в системе находится i запросов, то
фиктивное время течет в i раз быстрее, чем реальное. Если система пуста
или в ней находится один запрос, то фиктивное время совпадает с
реальным.
Несложно видеть, что исходная система в фиктивном времени
эквивалентна бесконечно-линейной СМО M\G\oo, в которой запросы
обслуживаются с постоянной скоростью г^ = 1 в каждом из i
занятых в данный момент каналов. При этом функция распределения

74 Глава 1. Методы теории очередей
длины запроса B(t) совпадает с функцией распределения времени
обслуживания запроса.
При переходе к фиктивному времени следует пересчитать также
интенсивность входящего потока. Поскольку фиктивное время течет
быстрее, то интенсивность А* потока в системе M\G\oo при
нахождении в ней г запросов определяется как: Ао = А, А$ = гА, г > 1.
Очевидно, что полученная бесконечно-линейная СМО в
фиктивном времени полностью совпадает со СМО, изученной в конце
предыдущего подпункта. Поэтому стационарное распределение числа
запросов в ней задается формулой (1.114).
Поскольку (для эргодических процессов) стационарная
вероятность состояния процесса может трактоваться как средняя доля
времени, проводимого процессом в данном состоянии, а реальное время
течет в г раз медленнее, чем фиктивное, то стационарная вероятность
Pi наличия г запросов в системе M|G|1 с дисциплиной PS
определяется как: ро = <№, Pi — ЩгЛ > 1> гДе вероятности qi заданы формулой
(1.114).
Отсюда окончательно получаем, что:
Pi = (1- p)p\i > 0,р = Abi,
то есть, стационарное распределение числа запросов в системе M|G|1
с дисциплиной PS инвариантно относительно распределения времени
обслуживания и является геометрическим. Условием существования
этого распределения является выполнение неравенства р < 1.
Другой известной дисциплиной обслуживания в системе M|G|1
является дисциплина LIFO с прерыванием. При этой дисциплине
прибывающий в непустую систему запрос вытесняет запрос,
находящийся на приборе, во главу очереди, организованной по принципу
стека, в которой размещаются прерванные запросы для ожидания
дальнейшего дообслуживания.
С использованием метода введения дополнительных переменных
можно показать, что и в случае такой дисциплины распределение
числа запросов в системе является геометрическим с параметром
р. Выходящий из системы поток при обеих дисциплинах является
простейшим независимо от вида распределения В{х) (см.,
например, [123]).
При дисциплине LIFO с прерыванием время ожидания начала
обслуживания - нулевое. Поэтому интерес представляет нахождение
распределения времени пребывания запроса в системе. Анализ
поведения системы позволяет легко понять, что преобразование Лапласа

Приоритетные системы МО 75
- Стилтьеса v(s) этого распределения совпадает с преобразованием
Лапласа - Стилтьеса n(s) распределения периода занятости системы
M|G|1, не зависящим от дисциплины обслуживания и задаваемым
уравнением (1.82).
1.8 Приоритетные системы массового
обслуживания
Во всех рассмотренных выше СМО предполагалось, что все
запросы, поступающие в систему - однородные, то есть, они имеют один
и тот же закон распределения времени обслуживания и
обслуживаются в системе согласно общей дисциплины выбора из очереди.
Однако, во многих реальных системах запросы, поступающие в систему,
неоднородны как по распределению времени обслуживания, так и по
их ценности для системы и, следовательно, праву претендовать на
первоочередное обслуживание в момент освобождения прибора.
Такие модели исследуются в рамках теории приоритетных СМО. Эта
теория довольно хорошо развита и ее изложению посвящено немало
монографий (см., например, [68], [69], [13], и т.д.). Здесь мы
ограничимся кратким описанием приоритетных систем и рассмотрим одну
систему.
Рассмотрим однолинейную СМО с ожиданием. На вход системы
поступают г независимых простейших потоков, к-й поток имеет ин-
к
тенсивность Аь к = 1,..., г. Будем обозначать Л& = ^2 Хг-
Времена обслуживания запросов из к-ro потока характеризуются
функцией распределения Bk(t) с преобразованием Лапласа - Стил-
(к) °°
тьеса /3jt(s) и конечными начальными моментами bm — J tmdBk(t),
о
m = 1,2,к = 1,...,г. Запросы из к-го потока назовем запросами
приоритета к.
Считаем, что запросы из г-го потока более приоритетны, чем
запросы из j-ro потока, если i < j. Приоритетность проявляется в том,
что в момент окончания обслуживания следующим на обслуживание
выбирается из очереди запрос, имеющий максимальный приоритет.
Запросы, имеющие один и тот же приоритет, выбираются согласно
установленной дисциплине обслуживания, например, согласно
дисциплине FIFO.
Рассматриваются различные варианты поведения системы в
ситуации, когда во время обслуживания запроса некоторого приорите-

76 Глава 1. Методы теории очередей
та в систему поступает запрос более высокого приоритета. Система
называется СМО с относительным приоритетом, если поступление
такого запроса не прерывает обслуживание запроса. Если же такое
прерывание происходит, то система называется СМО с абсолютным
приоритетом. В этом случае, однако, требуется уточнить
дальнейшее поведение запроса, обслуживание которого оказалось
прерванным. Различают следующие варианты: прерванный запрос уходит
из системы и теряется; прерванный запрос возвращается в очередь
и продолжает обслуживание с места прерывания после ухода из
системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет;
прерванный запрос возвращается в очередь и начинает обслуживание
заново после ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий
приоритет. Прерванный запрос обслуживается прибором после
ухода из системы всех запросов, имеющих более высокий приоритет, в
течение времени, имеющего прежнее или некоторое другое
распределение. Возможен вариант, когда требуемое время обслуживания
в последующих попытках идентично времени, которое требовалось
для полного обслуживания данного запроса в первой попытке.
Таким образом, имеется достаточно большое число вариантов
поведения системы с приоритетом, с которыми можно ознакомиться в
вышеупомянутых книгах. Общим в анализе всех систем с
приоритетами является использование понятия периода занятости системы
запросами приоритета к и выше. При этом основным методом
исследования этих систем является метод введения дополнительного
события, кратко описанный в разделе 6.
Проиллюстрируем особенности нахождения характеристик систем
с приоритетами на примере системы, описанной в начале раздела.
Будем считать, что это система с относительным приоритетом и
найдем стационарное распределения времени w^it) ожидания запроса
приоритета к, к = 1,..., г если бы он поступил в систему в момент
времени t (так называемого виртуального времени ожидания), для
системы с относительными приоритетами.
Обозначим
Wk(x) = lim P{wk(t) < х},х > 0.
t—юо
Условием существования этих пределов является выполнение
неравенства
р<1, (1.115)
где величина р вычисляется по формуле: р = Yl ^kb\ ■
к=\

Приоритетные системы МО 77
Обозначим также Wk(s) = / e~sxdWk{x).
о
Утверждение 21. Преобразование Лапласа - Стилтьеса w^s)
стационарного распределения виртуального времени ожидания
запроса приоритета к определяется следующим образом:
(1-PKW+ _Е Aj(1 - /3,-Ыя)))
М^ = , j~k*\ , , чЧ , (1-116)
W s-Xk + Afc/3fc(/xfc(s)) V '
где функции /Xfc(s) задаются формулой:
Hk(s) = s + Ak-i ~ Afc-i7Tfc-i(s), (1-117)
а функции 7Ti(s), I = 1,..., г находятся как решения функциональных
уравнений:
l
Km{s) = J2 <W* + Ai - Aj7r,(s)), / = 1, • • •, r. (1.118)
i=l
Доказательство. Заметим, что функция tti(s) представляет собой
преобразование Лапласа - Стилтьеса распределения длины периода
занятости системы запросами приоритета I и выше (то есть,
интервала времени с момента поступления в пустую систему запроса
приоритета I и выше и до первого после этого момента, когда система
окажется свободной от присутствия запросов приоритета I и выше).
Доказательство того, что функция ni(s) удовлетворяет уравнению
(1.118), почти дословно повторяет доказательство Утверждения 13.
Отметим лишь, что величина д1 есть вероятность того, что период
занятости системы запросами приоритета I и выше начинается с
прихода запроса приоритета г, г = 1,..., I а величина (3i{s + Л; — Aitti(s))
трактуется как вероятность ненаступления катастрофы и запросов
приоритета I и выше, за периоды занятости, порожденные которыми
наступает катастрофа, за время обслуживания запроса приоритета
г, начавшего данный период занятости.
Сначала вместо процесса Wk(t),t > 0 рассмотрим существенно
более простой вспомогательный процесс Wk(t),t > 0 - время, в
течение которого ожидал бы начала обслуживания запрос приоритета
к, к = 1,..., г если бы он поступил в систему в момент времени t и
после этого в систему не поступало запросов более высокого
приоритета.

78 Глава 1. Методы теории очередей
Пусть Wk(s,t) = Me~SWk^ - преобразование Лапласа - Стилтьеса
распределения случайной величины Wk{t). Покажем, что функция
Wk{s,t) определяется следующим образом:
wk{s,t) = е*^8*
г
e-Vki'frfa-
r l
- £ (l-0j(s))jpj{x)e-'"'la»!dx
j=k+l
(1.119)
где
(pk(s) = s - J^ Ai(l - Pi(s)),
Po(x) - вероятность того, что система пуста в момент времени х,
a Pj(x)dx - вероятность того, что в интервале (х,х + dx) началось
обслуживание запроса приоритета j.
Для доказательства (1.119) применим метод введения
дополнительного события. Пусть независимо от работы системы поступает
простейший поток катастроф интенсивности s. Каждый запрос
назовем «плохим», если во время его обслуживания поступает
катастрофа, и «хорошим» - в противном случае. Как следует из утверждений
5 и 6, поток плохих запросов приоритета к и выше является простей-
к
шим с интенсивностью Y1 А»(1 — Pi(s))-
г=1
Введем событие A(s, t) - за время t в систему не поступали плохие
запросы приоритета к и выше. В силу утверждения 1 вероятность
этого события подсчитывается как:
P(A(s,t))
- £ Ai(l-/3i(s))t
е *=i
Подсчитаем эту вероятность иначе. Событие A(s,t) является
объединением трех несовместных событий Ai(s, t),l = 1,2,3.
Событие A\(s,t) состоит в том, что катастрофы не поступили ни
за время t, ни за время Wk(t). При этом, естественно, за время t в
систему поступали только хорошие запросы приоритета к и выше.
Вероятность события A\(s,t), очевидно, равна e~stWk(s,t).
Событие A2(s,t) состоит в том, что катастрофа поступила в
интервале (х,х + dx),x < t, но в момент поступления система была

Приоритетные системы МО 79
пуста, а за время t — х не поступило плохих запросов приоритета к
и выше. Вероятность события ^(s, t) вычисляется как:
г
P(A2{s,t)) = Jp0(x)
- Е Xi(l-/3i(s))(t-x)
е i=1 se dx.
Событие As(s, t) состоит в том, что катастрофа поступила в
интервале (ж, х + dx), 0 < х < t, но в момент ее поступления в системе
обслуживался запрос приоритета ниже к, который начал обслуживаться
в интервале (и, и + du),0 < и < х, а за время t — и не поступило
плохих запросов приоритета к и выше. Вероятность события As(s,t)
определяется следующим образом:
P(A3(s,t))= J2 pj(u)e '-1 du{l-Bj(x-u))ae-'xdx.
3=k+l о и
Поскольку событие A(s, t) есть сумма трех несовместных событий,
то его вероятность есть сумма вероятностей этих событий. Поэтому
P(A(s, t)) = e-stwk(s, t) + j P0(x)
e i=1 se sxdx+
r t _fc oo
J^ Г - - E Ai(l-/3i(s))(t-u) /■
+ > Pj(u)e *=i du (1 - Bj(x - u))se sxdx.
J'=*+iо «
Приравнивая два полученных выражения для вероятности F(A(s, £))
и умножая обе части равенства на est, после несложных
преобразований получаем (1.119)
Очевидно, что для того, чтобы за время Wk(t) ожидания
запроса, поступившего в момент t не поступило катастрофы, необходимо
и достаточно, чтобы за время Wk{t) не поступило катастроф и
запросов приоритета к — 1 и выше, таких, что за периоды занятости
(запросами приоритета к — 1 и выше), порожденные ими, наступает
катастрофа. Из этих рассуждениий и вероятностной трактовки
преобразования Лапласа - Стилтьеса получаем формулу, дающую связь
преобразований Wk(s,t) и Wk(s,t) = Me~SWk^) в очевидной форме:
wk(s,t) = u)fc(s + Afc_i + Afc_i7Tfc_i(s),i) = wk(fik(s),t). (1.120)
Переходим в (1.120) с учетом (1.119) к пределу при t —> оо.

80 Глава 1. Методы теории очередей
Можно показать, что вероятность Ро(х) удовлетворяет
соотношению
/■
e~sxP0(x)dx = [s + Ai - AiTrits)]-1,
о
откуда в силу свойства 4 преобразования Лапласа - Стилтьеса
следует, что
ро = lim Р0(*) = 1-/0.
4—>оо
Кроме того, устремляя в (1.119) t к оо, с учетом
ограниченности функции Wk(s,t) для всех действительных s > 0 и t > 0
можно получить рекуррентную процедуру для вычисления интегралов
оо
/ e~sxPj(x)dx в виде:
оо
1 = S
0
оо
/р„(*)е-<.»^+
ОО
- Ё (1-Р№) [рЛ*)е~Ыа)х<Ь,к = 0,...,г-1.
3=Ь+1 0
Из этой процедуры можно получить рекуррентные формулы и для
величин
оо
pj = lim Pj(t) = lim s / Pj(x)e~sxdx,j = 2,..., r.
4—>oo s—>0 J
0
С учетом полученных выражений для величин po,pj,j = 2,..., г,
в результате предельного порехода в (1.120) получаем доказываемое
соотношение (1.116). Утверждение 21 доказано.
(к)
Обозначим Wi математическое ожидание виртуального
времени ожидания в системе запроса приоритета к.
Следствие. Величины WJ , к = 1,..., г высчитываются
следующим образом:
Е Kbf
Wik) = —, к г=\ / *=i ГТ" (1Л21)
2(1-Еа#)(1-||а#)

Многофазные системы 81
Доказательство следует из (1.116) с использованием свойства 5
преобразования Лапласа - Стилтьеса.
Отметим, что из систем с абсолютным приоритетом наиболее
легко исследуется система с двумя потоками запросов и дообслужива-
нием прерванных запросов. В этой системе характеристики процесса
обслуживания приоритетного потока совершенно не зависят от
наличия второго потока и вычисляются по обычным формулам для
системы M|G|1 при интенсивности входящего потока, равной Ai, и
распределении В\{х) времени обслуживания запроса. В свою
очередь, характеристики процесса обслуживания неприоритетного
потока вычисляются по формулам для ненадежной системы M|G|1 при
интенсивности входящего потока, равной А2, и распределении В^ (х)
времени обслуживания запроса. Приход приоритетного запроса здесь
трактуется как поломка прибора, а время ремонта прибора
распределено как период занятости системы, обслуживающей приоритетные
запросы.
1.9 Многофазные системы
В рассмотренных выше разделах были рассмотрены модели СМО,
в которых обслуживание запросов производится одним прибором
либо одним из нескольких параллельных идентичных приборов.
Вместе с тем, процесс обработки запросов во многих реальных системах
состоит из их последовательной обработки в нескольких
обслуживающих устройствах. Системы обслуживания такого вида явились
прототипом сетей массового обслуживания и получили название
многофазных СМО.
Многофазные СМО принято кодировать в виде
последовательности символов типа:
Ai|Si|ni|mi —> |.E?2|n2|m2 —>•••—> \Br\nr\mr.
Здесь символ А\ описывает входящий поток на вход цепочки из г
последовательных обслуживающих устройств, символы Bk,nk,rrik,k =
1,... ,г описывают соответственно распределение времени
обслуживания, число параллельных каналов и число мест в буфере для
ожидания в к— м звене цепочки. Символы А\,В).,к = 1,...,г
принимают значение в тех же множествах, как и соответствующие
символы в описании однофазных систем, изученных нами выше. Символ
—> означает переход запроса на вход следующего обслуживающего
6 — 7659

82 Глава 1. Методы теории очередей
устройства по окончании его обслуживания в предыдущем. В
некотором смысле этот символ является заменителем символа,
задающего вид входящего потока в соответствующую систему обслуживания,
поскольку входящий поток в данную СМО определяется выходящим
потоком запросов из предыдущей СМО.
Если какой - либо символ т^ принимает конечное значение, то
возникает вопрос о поведении многофазной СМО в ситуации, когда
буфер перед соответствующей однофазной СМО уже полон, а на вход
этой СМО поступает следующий запрос. Обычно рассматриваются
два варианта: поступающий запрос теряется и поступающий запрос
остается на приборе, где он закончил обслуживание, временно
блокируя дальнейшую работу этого прибора.
Известные результаты для широкого круга многофазных СМО
довольно исчерпывающе описаны в справочнике [210]. Здесь мы
кратко коснемся трех простых многофазных СМО.
Первая из них - это многофазная СМО с бесконечным буфером
перед первой фазой, на вход которой поступает простейший поток
интенсивности Л, а время обслуживания в каждой из г фаз имеет
показательное распределение с параметром /х. Предполагается, что
одновременно в системе может обслуживаться только один запрос.
Только по завершении прохождения запросом всей цепочки приборов
на обслуживание может быть выбран следующий запрос.
Вспоминая, что эрганговская случайная величина с
параметрами (/х,г) есть сумма г независимых случайных величин с
параметром /х, приходим к выводу, что все характеристики
рассматриваемой СМО легко получить из характеристик соответствующей
однофазной СМО типа М\ЕГ\1. Анализ такой СМО можно провести с
использованием так называемого метода фаз Эрланга.
Соответствующие результаты можно получить также из формул для системы
M\G\1.
оо
Так, для производящей функции P(z) = ^ piz1 распределения
г=0
Рг,г > 0 числа запросов в системе из формулы Поллячека - Хинчина
см., например, формулу (1.45), с учетом равенства: /3(s) =
получаем:
P(z) = (1 - р) ^—^ , (1.122)
где коэффициент загрузки р определяется как р = ^.

Многофазные системы 83
Km
Обозначим Zi,i = 1,... ,г - корни уравнения
l-z(l + -(l-z))r = 0 (1.123)
А*
по модулю большие единицы.
Разлагая правую часть уравнения (1.122) на простые дроби и
используя свойства производящей функции получаем:
Ро = 1 - р, (1.124)
Pi = (l-p)V^-*-I—£,i>l, (1.125)
где коэффициенты Кт, т = 1,...., г определяются следующим
образом: '
= П ГГЖ."» = !.■■■.»•• (L126)
Рассмотрим теперь следующую многофазную СМО:
M\M\ni\oo —> |М|п2|оо —>■••—> |М|пг|оо,
то есть, многофазную СМО, состоящую из г последовательных
многоканальных СМО с бесконечным буфером. Пусть Л - интенсивность
входящего потока, /х& - интенсивность обслуживания в каждом из
этих каналов k-й системы, к = 1,..., г.
Обозначим ik(t) число запросов в к-т системе в момент времени
t,t > 0,к = 1,... ,г и p(i\,... ,ir) - стационарную вероятность
состояния {zi,..., ir} рассматриваемой СМО, то есть
p(ii,...,ir) = lim P{h(t) = h,... ,ir(t) = zr},zfe >0,k = l,...,r.
(1.127)
Можно показать, что условием существования пределов (1.127)
является выполнение неравенств
(Н = <l,i = l,...,r. (1.128)
Далее считаем эти неравенства выполненными. Используя «At -
метод», можно получить систему дифференциальных уравнений для
вероятностей P{ii(t) = i\,..., ir(t) = ir}, откуда, переходя к пределу
б*

84 Глава 1. Методы теории очередей
при t —> оо, получим следующую систему уравнений для
стационарных вероятностей р(г±,... ,гг) :
(Л + ^2ak(ik)l*k)p(h, ■ ■ ■ Л) = Ap(n - 1,г2,...,гг)(1 - Silfi)+
^ fe=i '
(1.129)
r-l
+ Y^p{h, ■ ■ ■, ik + 1, ife+i - 1, zfc+2, • •., ir)ak(ik + 1)(1 - ufc+1,o)/Ufc+
fe=i
+p(«i,. • •, гг_ь гг + 1)аг(гг + l)//r, zfc > 0, к = 1,..., г,
где
/.ч Г г, 0 < г < nfe,
{ пк, г> пк,
Непосредственной подстановкой несложно убедиться, что
решение системы (1.129) имеет следующий вид:
г
p(h,..., ir) = p(0, , 0) Д ск(гк), (1.130)
fe=i
где
Г Ьр01, 0<i<nfc,
cfc(*) = \ „?* г
Вероятность р(0,... ,0) находится из условия нормировки:
оо оо
^•••^р(гь...,гг) = 1 (1.131)
г1=0 гг=0
и имеет вид
г оо
p(0,...,0) = H(J2ck(ik))-1. (1-132)
fe=l ik=0
Из (1.130), (1.131) и формул (1.96),(1.97) видим, что стационарные
вероятности p(i\,... ,ir) рассматриваемой СМО представимы в
мультипликативном виде:
Г
р(к, , гг) = ГГ ,lim рЫ*) = *fc>. (L133)

Многофазные системы 85
то есть, совместная вероятность того, что в произвольный момент
времени на к -й фазе находится г& запросов, к = 1,..., г, равна
произведению вероятностей того, что г& запросов в данный момент
находится на к -й фазе независимо от числа запросов на других фазах,
к = 1,...,г.
Этот факт, позволяющий рассчитывать распределение
вероятностей состояний многофазной системы как произведение вероятностей
состояний однофазных СМО, образующих данную СМО, следует из
теоремы Берка ( [154]), которая формулируется следующим образом.
Теорема. В системе с с параллельными каналами, простейшим
входящим потоком интенсивности Л и одинаковым для каждого
канала показательным распределением времени обслуживания с
параметром /л в стационарном состоянии выходящий поток является
простейшим потоком интенсивности Л.
Таким образом, обслуживание простейшего потока запросов на
каждой фазе многофазной СМО с показательным распределением
времени обслуживания не изменяет характера потока и в результате
совместное распределение вероятностей числа запросов в
соответствующей многофазной системе имеет мультипликативный вид.
В заключение раздела кратко рассмотрим многофазную СМО
типа M|G|l|oo -» М\п\0.
Интенсивность входящего потока обозначим Л, функцию
распределения времени обслуживания - B(t), интенсивность обслуживания
любым прибором на второй фазе обозначим /х.
Предполагаем, что в случае занятости всех приборов на второй
фазе в момент окончания обслуживания запроса на первой фазе с
вероятностью в, 0 < в < 1 запрос уходит из системы недообслуженным
(теряется), а с дополнительной вероятностью первый прибор
блокируется и не обслуживает следующий запрос, пока не освободится
прибор на второй фазе. Как крайние случаи при в = 0 мы имеем
систему с блокировкой прибора, при 9 = 1- систему с потерями.
Будем рассматривать двумерный процесс {цк, щк, к > 1,} где %
есть к-ш момент окончания обслуживания запроса на первой фазе,
Чк,Чк > 0 - число запросов на первой фазе, Щк,щк = 0,..., п - число
запросов на второй фазе в момент времени tk + 0. Несложно видеть,
что этот процесс является двумерной цепью Маркова с дискретным
временем.
Обозначим одношаговые вероятности переходов этой цепи
Р{чк+1 =Uvtk+l = v'\hk =i,"tk =v} = P{(i,v) -> (l,v')},i >0.

86 Глава 1. Методы теории очередей
Введем производящую функцию
оо
г+1
1 \^>"У ~r Vi" IS"
l=i-l
Аналогично вложенной цепи для системы М|(?|1, изученной в
разделе 6, вероятности переходов P{(i,u) —* (l,u )} зависят от значения
I — г, но не зависят от г и I отдельно. Это делает введенное
определение производящей функции Ru j (z) корректным.
Анализируя переходы двумерной цепи Маркова, можно
убедиться, что производящие функции Rvv'(z) определяются следующим
образом:
RvAz) = \ г(*>п'п)(* + (1-');5Д^)' " = »>"' = «.
[ T(z,v, v — 1) ,v <v <n,v фп,
где
T(z,u,u) = f e-^-^CZ е-»и'\1 - е-^у-"'dB(t),
о
О < v < v < п.
Составим из производящих функций Rvv'{z) матричную
производящую функцию R{z) и введем в рассмотрение матрицу Д,
состоящую из элементов
оо
о
О < v < v < п.
Матрица Д характеризует вероятности переходов числа занятых
каналов на второй фазе системы за время, когда прибор на первой фазе
простаивает, ожидая прихода запроса.
Обозначим
7r(i,i/) = lim P{itk = i,utk = v), (1.134)
к—»оо
тт(г) = (тт(г, 0), тт(г, 1),... , тт(г, п)),
оо
П(г) = ^тг(г)гМг| < 1.
г=0

Перспективные направления исследований 87
Утверждение 22. Векторная производящая функция П(г)
удовлетворяет матричному функциональному уравнению:
U(z)(R(z) - J) = П(0)(/ - Az)R(z). (1.135)
Здесь / - тождественная матрица.
Условия существования пределов (1.134) и алгоритмы решения
уравнения (1.135) можно найти, например, в [71], [252].
Распределение вероятностей состояний системы в произвольные
моменты времени можно найти, используя теорию процессов
марковского восстановления по аналогии с тем, как это сделано в подпункте
1.6.1.
1.10 Перспективные направления
исследований в теории очередей
Теория очередей в настоящее время динамично развивается.
Число только англоязычных монографий превысило две сотни (см.
список по адресу http://www2.uniwindsor.ca/ hlynka/qbook.html).
Ежегодно появляются сотни статей в журналах по математике,
исследованию операций (включая специализированный журнал «Queueing
Systems»), телекоммуникационным сетям и т.д., а также в трудах
различных конференций.
Причиной интенсивного развития теории очередей является
бурное развитие средств электросвязи и систем телекоммуникаций
(ISDN сетей, мобильных сотовых сетей связи, всемирной сети
Internet и т.д.), порождающее постоянное возникновение новых
интересных для практики моделей СМО.
К числу основных направлений ведущихся исследований отнесем
следующие.
1.10.1 Исследование систем матричными методами
Появление этого направления связано, в первую очередь, с
необходимостью адекватного расчета характеристик объектов, в
которых входящий поток и процесс обслуживания имеют
интенсивности, флуктуирующие между несколькими уровнями постоянства под
воздействием некоторого внешнего случайного процесса. Такие
ситуации типичны, например, при моделировании процессов передачи

88 Глава 1. Методы теории очередей
информации в ISDN, где с использованием единых канальных,
аппаратных и программных средств одновременно передаются
разнородные потоки информации с различными требованиями к качеству
передачи и, следовательно, возможностью организации динамического
перераспределения потоков и сетевых ресурсов.
Марковский процесс, описывающий поведение очереди в
соответствующей СМО, как правило имеет одну счетную компоненту и
несколько конечных компонент. Стационарные вероятности
состояний этого процесса, соответствующие фиксированному значению
счетной компоненты, объединяются в вероятностные векторы
конечной размерности. Система уравнений равновесия при этом
представляет собой бесконечную систему линейных уравнений
относительно этих векторов. Основную сложность в решении
представляет, как правило, нахождение векторов, соответствующих некоторым
граничным состояниям счетной компоненты. К числу основных
методов их нахождения относятся матрично-аналитический метод М.
Ньютса (см., например, [252], [251]), метод векторных производящих
функций (см., например, [71], [192]), спектральный метод (см.,
например, [213], [247]).
Важной составляющей этого направления исследований является
изучение систем с ВМАР - потоком, упомянутым в разделе 2. Обзор
работ в этом направлении содержится в [159].
Это направление исследований становится в некотором смысле
самодостаточным. Об этом свидетельствует, в частности, проведение
специализированных конференций по матричным методам в теории
очередей и прикладной теории вероятностей (США, 1996; Канада,
1998; Бельгия, 2000; Австралия, 2002).
1.10.2 СМО с повторными вызовами
Актуальность этого направления исследований обусловлена
следующими двумя факторами. Во-первых, системы с повторными
вызовами адекватно описывают процессы передачи информации в
интенсивно развивающихся мобильных сотовых сетях связи и
локальных вычислительных сетях. Во-вторых, системы с повторными
вызовами изучены гораздо меньше, чем аналогичные системы с
ожиданием или потерей запросов. Причиной этого является большая
неоднородность соответствующих случайных процессов. Если в случае
систем с ожиданием вероятности переходов вложенной цепи Маркова
из состояния i в состояние j, как правило, зависят только от разности

Перспективные направления исследований 89
j — г, но не зависят от г и j отдельно, то для систем с повторными
запросами такая закономерность отсутствует, что на порядок
усложняет исследование модели.
Состояние и перспективные направления исследований в теории
очередей с повторными запросами описаны в монографии [181] и
обзорах [128], [127], [238].
В этой области теории очередей также начато проведение
специализированных конференций (Испания, 1998; Беларусь, 1999;
Нидерланды, 2000; Индия, 2002).
1.10.3 Другие направления исследований
К числу других популярных среди исследователей моделей СМО
отнесем различные виды систем с многими классами входящих
потоков (включая приоритетные системы и системы с циклическим
опросом различных видов); модели с «тяжелыми хвостами»
распределений, характеризующих входящий поток и процесс обслуживания;
модели с различными видами группового обслуживания, включая
исчерпывающее обслуживание, при котором на прибор в момент его
освобождения берутся одновременно все находящиеся в системе
запросы; модели с профилактиками прибора, поиском запросов в
буфере или на орбите. По-прежнему актуальным является исследование
управляемых СМО и систем, функционирующих в случайной среде.

ГЛАВА 2
Аналитические методы
теории сетей очередей
2.1 Основные понятия и определения
Предметом изучения сетей МО являются методы
количественного анализа очередей при взаимодействии множества центров
обслуживания и потоков сообщений.
Сеть МО представляет собой совокупность конечного числа М
обслуживающих центров, в которой циркулируют сообщения,
переходящие в соответствии с маршрутной матрицей из одного центра в
другой. Пример сети МО, являющейся простейшей моделью
мультипрограммной ЭВМ, приведен на рис. 2.1. Здесь конечное число N
программ (сообщений), соответствующих уровню
мультипрограммирования, в соответствии с вероятностями Р{ (г = 1,М) поочередно
обращаются к одному из М центров обслуживания. Обслуживающий
центр 1 моделирует работу центрального процессора, а центры 2, 3,
..., М представляют группу внешних запоминающих устройств.
Под центром обслуживания понимают систему массового
обслуживания, состоящую из А одинаковых приборов (1 < А < оо) и
буфера объемом С (0 < С < оо). В дальнейшем, если специально не
оговорено, будем полагать, что объем буфера в центре обслуживания
С = оо.
Если в момент поступления сообщения все обслуживающие
приборы центра заняты, то сообщение занимает очередь в буфере,
где ожидает начала обслуживания1. Очереди являются неизбежным
Предполагается, что сообщения обслуживаются в порядке их поступления.

Основные понятия и определения 91
Рис. 2.1
следствием стохастического характера поступления и обслуживания
сообщений в центре.
2.1.1 Маршрутная матрица и потоки в сетях
Переход сообщения из одного центра после окончания
обслуживания в нем в другой осуществляется в соответствии с заданным
маршрутом, под которым понимается последовательность
посещаемых сообщением центров сети. Маршрут сообщения по сети МО
задается матрицей маршрутов Р, вид которой зависит от того,
является ли сеть МО открытой или замкнутой. В открытую сеть МО
сообщения поступают из внешнего источника и могут покидать сеть
после завершения обслуживания. Если принять внешний источник
за новый центр сети и обозначить индексом 0, то маршрут в
открытой сети задается стохастической неразложимой матрицей Р = ||Ру||,
где Pqj и Pjq - соответственно вероятность поступления в j-й центр
сообщения из источника и вероятность покидания сообщением
сети после окончания обслуживания в j-м центре (J = 1,М); Рц
- вероятность того, что сообщение, уходящее из г-го центра,
перейдет в j-й центр (г, j = 1,М). Очевидно, что выполняется равенство
Y,jLopij = 1 (г = 0,1,...,М), где Род = 0 (предположение Р00 ф О
не представляет практического интереса).
Входящий из источника в сеть поток сообщений определяется
совместным распределением случайных величин Zr = £д — £r-i, где £д
- моменты поступления сообщений (R > 1, to = 0, 0 < t\ < £2 <
...). Если случайные величины Zr независимы в совокупности, то
такой поток, как уже отмечалось в главе 1, называют потоком с огра-

92 Глава 2. Аналитические методы
ничейным последействием и для его определения достаточно задать
набор функций распределения Яд(£) = P{Zr <t}, R> 1. Важную
роль в теории систем и сетей МО играет рекуррентный поток, для
которого Hi(t) = H2(t) = ... = H(t). Очевидно, что частным случаем
рекуррентного потока является пуассоновский поток, для которого
Н(t) — 1 —e~xt, где интенсивность потока Л может зависеть от общего
числа сообщений N, находящихся в сети1.
Для определения потоков, циркулирующих в стационарном
режиме в открытой сети МО, введем коэффициенты передачи е$ такие,
что ei\(N) представляет собой общую интенсивность потока
сообщений в i-й центр сети (г = 1,М). Легко видеть, что интенсивность
ejA(iV) складывается из интенсивности поступления сообщений в i-й
центр из источника PoiX(N) и интенсивностей поступления из других
центров ejPjiX(N) (j = 1,М). Таким образом, величины е^
удовлетворяют следующей системе линейных уравнений:
м
ei = P0i + ^2ejPji, г = 1,2,...,М, (2.1)
j=i
решение которой в силу предположения о том, что стохастическая
матрица маршрутов Р является неразложимой, существует и
единственно.
В замкнутой сети МО сообщения извне не поступают и не
покидают сеть; количество сообщений, циркулирующих в ней,
постоянно и равно N. Матрица Р, определяющая случайные маршруты
движения сообщений, так же как и для открытой сети,
предполагается стохастической и неразложимой, но не содержит в этом
случае нулевых столбца и строки (источник сообщений отсутствует)и
^2j=\Pij = 1 (* = 1,-W)- Система линейных уравнений (2.1)
преобразуется к виду
м
Число независимых уравнений в системе (2.2) на единицу
меньше количества переменных, так что ее решение единственно с
точностью до мультипликативной константы. Другими словами, если
е = {ei, в2, ■-., ем} - решение системы уравнений (2.2), то при е ф О
1 Здесь и в дальнейшем в этом случае будет использоваться обозначение X(N).

Основные понятия и определения 93
решением является и ее = {ее\,ее2, ...,еем}. Для отыскания
однозначного решения системы уравнений (2.2) достаточно произвольно
задать значение е$, например положить е\ = 1. В этом случае
величину ej можно интерпретировать как среднее число посещений
сообщением центра j (j = 1,М) между двумя последовательными
посещениями им первого центра.
Пусть Aj - поток, проходящий через i-й центр (г = 1,М) в
стационарном режиме. Тогда очевидное выражение \ = e^Ai связывает
потоки, проходящие через i-й и первый центры сети.
2.1.2 Другие определения
В силу статистической однородности сообщений, циркулирующих
в определенных выше открытых и замкнутых сетях МО, такие сети
называют однородными. При этом однородную сеть МО будем
называть экспоненциальной, если функции распределения H(t) и Fi(t)
(г = 1,М) являются экспоненциальными, и немарковской, если хотя
бы одна из этих функций является произвольной.
Естественным обобщением однородных сетей МО, методам
использования которых посвящены разделы 2.2 и 2.4, являются сети
с несколькими классами сообщений, отличающимися как
маршрутами, так и длительностями обслуживания в центрах. Такая сеть может
быть открытой, замкнутой или смешанной. Смешанная сеть МО
открыта для одних классов сообщений, которые поступают в нее извне
и после окончания обслуживания покидают ее, и замкнута для
других классов (количество сообщений каждого из таких классов внутри
сети постоянно).
Основные подходы к исследованию сетей МО с несколькими
классами базируется либо на прямом методе отыскания выражений для
вероятностей состояний сети с использованием техники составления
уравнений локального баланса [152,160], либо на методе составления
рекуррентных уравнений для средних значений [153,263].
Перечисленные методы позволяют находить точное решение для
мультипликативных или, как их часто называют, локально-сбалансированных
сетей, вероятности состояний которых имеют мультипликативный
вид.
В заключение отметим, что в число основных понятий и
определений теории сетей МО, рассмотренных в настоящем разделе, не
были включены показатели качества функционирования, оценка и
оптимизация которых являются целью анализа сетей МО.

94 Глава 2. Аналитические методы
Определение и вывод выражений для основных показателей
качества, к которым относятся: пропускная способность,
стационарные вероятности состояний сети, маргинальные распределения длин
очередей, средние значения времени пребывания и длины очереди в
центрах, время цикла, загрузка центров и т. д., дается в
соответствующих разделах этой главы (см. например, раздел 2.2).
2.2 Однородные экспоненциальные сети
Описание математического аппарата теории сетей МО
целесообразно начать с методов исследования простейших однородных
экспоненциальных сетей, т. е. сетей МО, в которых функции
распределения длительности обслуживания в центрах являются
экспоненциальными, а входящие потоки сообщений - пуассоновскими (если сеть
является открытой).
Именно для сетей этого типа, впервые рассмотренных в уже
цитировавшихся работах Джексона, Гордона и Ньюэла, был отмечен
замечательный факт, состоящий в том, что стационарные
вероятности состояний сети имеют мультипликативную форму.
Этот факт явился основой для дальнейших многочисленных
аналитических исследований более общих сетей МО, а также разработки
эффективных алгоритмов расчета характеристик сетей МО.
2.2.1 Уравнения глобального баланса для замкнутых
цепей
Рассмотрим однородную замкнутую сеть МО с многолинейными
центрами, дисциплиной обслуживания FCFS, в которой
циркулируют N сообщений в соответствии с матрицей маршрутов Р =\\ Рц ||.
Длительность обслуживания сообщения в приборе г-го центра
распределена по экспоненциальному закону с параметром щ, г =
(1,М), так, что общая интенсивность обслуживания любого центра
определяется выражением
/*(*) = (?"" °-ПгЛ-Л. т^ (2.3)
РП *' \ Афг, Щ > Ai, 1= 1,М У J
Введем в рассмотрение многомерный случайный процесс
N(t) = {n1(t),n2(t),...,nM(t)},

Однородные экспоненциальные сети 95
где пд(£) - число сообщений, находящихся в R-м центре (в очереди
и на обслуживании) в момент t (R = (1, М)), и обозначим через
P(n,t) = P{ni(t) =ni,n2(t) =n2,...,nM(t) = nM,t}
вероятность того, что в момент t сеть находится в состоянии п =
{щ,п2,...,пм}.
Обозначим через S(N, M) множество М-мерных векторов с
неотрицательными целочисленными координатами
м
S(N,M) = {n;m>0,^ni = N},
t=i
мощность которого (количество состояний) равна С^^_1.
Случайный процесс N(t), определенный на пространстве
состояний S(N, M), является марковским, так как длительности
обслуживания в центрах сети распределены по экспоненциальному
закону. Анализируя возможные переходы этого процесса за промежуток
времени dt и переходя к пределу при dt —> 0, получаем следующую
систему прямых дифференциальных уравнений Колмогорова:
^ = - (Ей=17(пл)а(пд)/хд) Р(п,*)+
4 ' (2.4)
+ £г=1 £й=1 1Ы)аг(щ + l)»iPiRP(n - 1R + li),
где li - вектор, г-я координата которого равна 1, а остальные равны
нулю; функция ац(пц) = тъп{пц, Ar} определяет число сообщений,
находящихся на обслуживании в R-м центре (R = 1, М), когда общее
число сообщений в нем равно n^;7(^) = 0 при щ = 0 и ^{щ) = 1
при щ ф 0.
Рассмотрим решение системы (2.4) в стационарном режиме1,
который в замкнутой сети МО всегда существует. Приравнивая к нулю
производные в левой части системы уравнений (2.4), для
вероятностей стационарного распределения марковского процесса N(t)
P(n) = lim P(n, t)
1 Нестационарный режим замкнутой однородной сети МО описан в статье:
Harrison P. G. Transieent Behaviour of Queueing Networks//J. Appl. Probab. -
1981. - Vol. 18, N 2.-P. 482-490.

96 Глава 2. Аналитические методы
с учетом тождества 7(пй)ай(пд) — ад(пд) получаем следующую
систему линейных разностных уравнений:
Ея=1 MnR)mP(n) = £г=1Ел=17(плН(пг+
(2.5)
+l)tiiPiRP(n - 1R - 1,), n е 5(iV, M).
Физическая интерпретация последнего выражения весьма проста.
Левая часть представляет собой скорость переходов из состояния п,
а правая - скорость перехода в это состояние. Уравнение (2.5) часто
называют уравнением глобального баланса [160,208], которые
широко используются при исследовании сетей МО и рассматриваются в
этом и следующих разделах.
2.2.2 Вид решения в мультипликативной форме
Переходя к решению системы уравнений (2.5), введем функцию
ЫПН) = | ARlAnRn-AR
пд!, пд < Ar,
Ar\Arr-Ar, пд>Лд,
(2.6)
которая может быть представлена тоже рекурсивно:
/?д(0) = 1,
/Зд(пд) = ад(пд)/3д(пд - 1), пд = 1,2,..., N,
и произведем замену переменных в (2.5):
м
P(n) = l[p~1(nl)Q(n). (2.7)
г=1
После подстановки (2.7) в (2.5) получим новую систему уравнений
относительно Q(n):
м мм
]Р ад(пд)дд<2(п) = ^2 ]L «д(пй)Мг-РгД<3(п - 1r + li) (2.8)
Д=1 г=1 Д=1
Если представить Q(n) в виде функции М неизвестных
параметров Xf.
м
Q(n) = Y[xiConst (2.9)
г=1

Однородные экспоненциальные сети 97
и подставить в выражение (2.8), то (2.8) приобретает следующий
простой вид:
м ( м \
^2 «Д(пд) < А*д - Yl HipiR(xi/xR) \ = °- (2-10)
Д=1 I i=l J
С целью дальнейшего упрощения последней системы
уравнений предположим, что все N сообщений находятся в j-м центре
j = (1,М) и, следовательно, в остальных центрах сообщения
отсутствуют. Учитывая, что функция aR(nj{) в этом случае по
определению равна нулю для всех R Ф j, получаем
м
№XR = Y2(№i)PiR (2.11)
i=l
или, вводя обозначение е^ = /^ж*,
м
ев, = ^2 eiPiR, R=1,M.
г=1
Следовательно, неизвестные параметры хц определяются из
системы линейных уравнений (2.2), решение которой в силу
предположений о виде маршрутной матрицы Р единственно с точностью до
мультипликативной константы е.
Таким образом, стационарное распределение вероятностей
состояний рассматриваемой замкнутой однородной экспоненциальной
сети МО имеет вид
м
Р(п) = Ц[х?/рг(щ)]С-м1т (2.12)
t=i
Нормализующая константа Gm(N) определяется из условия
нормировки
м
1= ]Г P(n) = G-MHN) 52 UWmm)]. (2.13)
neS(N,M) neS(N,M) t=i
_ f M + N-l\
Здесь суммирование ведется по всем I ... I возможным
состояниям вектора n € S(N,M).
7 - 7659

98 Глава 2. Аналитические методы
Из (2.13)(следует, что
м
GM{N)= J2 ПК^/АЫ]. (2.14)
neS(N,M) *=i
Подставляя (2.14) в (2.12) и учитывая, что xi = ei/щ, получаем
окончательно
ры) = m^T/w^i)] ,215)
Е„е(лг,м)а=1вг/[^А(^)]'
Из последнего выражения видно, что вероятности Р{п) не
зависят от константы е с точностью, до которой определяются
значения вектора е, и имеют вид произведения, сомножители которого
Zi{rii) = e"*/[/i?*/3i(nt)] (г = 1,М) представляют собой
стационарные вероятности состояний i-ro центра, рассматриваемого
изолированно от сети.
Формулы (2.14) и (2.15) позволяют определять различные
вероятностные характеристики рассмотренной сети МО. Например,
вероятность того, что количество сообщений в i-м однолинейном центре
(г = 1,М) больше или равно п, имеет вид
1 м
Р(щ>п,М)= £ Р(п) = ёШ) £ IK"
neS(N,M),ni>n К ' neS(N,M),rii>nj=l
Отсюда
к ' neS(N-n,M) J=l V
Из последнего выражения с учетом того, что Pj(n, 7V) = Р{щ >
n, 7V) — Р(щ > п + 1,7V), легко определяется маргинальное
распределение числа сообщений, находящихся в i-м узле (г = 1,М) :
Pi(n, N) = x?[GM(N - п) - XiGM(N - n - 1)]/GM(N). (2.17)
Выражения (2.12), (2.17) и (2.15) справедливы соответственно
для сетей, не зависящих от нагрузки, и сетей, в которых зависимость
интенсивности обслуживания центра от числа сообщений в нем
определяется функцией (2.3).

Однородные экспоненциальные сети 99
2.2.3 Сети, зависящие от нагрузки
Перейдем теперь к рассмотрению более общего класса
открытых и замкнутых сетей МО, зависящих от нагрузки, для которых
предполагается, что интенсивность входного потока и интенсивность
обслуживания в центрах являются соответственно произвольными
функциями числа сообщений в сети и в центрах обслуживания. Для
исследования характеристик таких сетей МО будет использоваться
техника составления уравнений локального баланса.
Стационарные вероятности состояний замкнутой однородной
экспоненциальной сети, зависящей от нагрузки, удовлетворяют
следующей системе линейных разностных уравнений:
м мм
^2 Ыпя)Р(п) = Y,Y1 PiRVi(m + 1 - SiR)P(n - 1r + li), (2.18)
Д=1 г=1 R=l
которая выводится так же, как система уравнений (2.5). Здесь
SiR - символ Кронекера (SiR = 1 при i = R и Sir = 0 —
в противном случае). Подставляя в (2.18) уравнение (2.2),
записанное в виде J2i=i PiRei/eR = 1 (R = 1) -W)) получаем
м м
J2 Yl PiR{^i(ni+l-SiR)P(n - 1r + li)-n(nR)P(n)ei/eR} = 0, n e S(N, M).
i=\ R=\
(2.19)
Очевидно, что уравнение глобального баланса (2.19) выполняется,
если выражение, стоящее в фигурных скобках, равно нулю:
щ(щ + 1 + 18м)Р(п - 1r + li) - iiR{nR)P{n)ei/eR = 0, n G S(N, M).
(2.20)
Таким образом, уравнение (2.20), которое называют уравнением
локального баланса, является достаточным (но не необходимым)
условием глобального баланса (2.19). Из рекуррентного уравнения (2.20)
непосредственно следует, что стационарные вероятности Р(п) имеют
следующий вид:
м
P(n) = l[Zi(rH)/GM(N), (2.21)
где введено обозначение
ГЦ
Zi{ni) = e^/\[lH{j),
7*

100 Глава 2. Аналитические методы
а нормализующая константа Gm(N) определяется из условия
нормировки
neS(N,M)
и равна
м
GM(N)= J2 HZi(ni)- (2-22)
neS(N,M)i=l
Таким образом, опять получено решение, имеющее
мультипликативную форму. Легко видеть, что если функция ^(щ) определяется
выражением (2.3), то формула (2.21) преобразуется к виду (2.15).
Для открытой сети МО с интенсивностью входного потока Д(-^0
стационарные вероятности Р(п), определяемые с помощью
рассуждений, аналогичных выводу формул (2.5), (2.18), имеют вид
P{n) = ~G{N) П^(п<)' (2-23)
где обозначено Л*(N) = Пл=1 Л(Я - 1).
Относительные интенсивности потоков в{, входящих в Zi(rii),
удовлетворяют системе линейных уравнений (2.1):
м
i=i
Стационарное распределение -Р(п) существует и единственно,
если сходится ряд
М
G(N)= £ Л,(ЛГ)Ц^(гц).
neS(N,M) i=l
В частном случае, когда интенсивность входного потока не зависит
от числа сообщений в сети и равна Л, имеем
м
Л.(ЛГ) = Ц\п\
г=1
В этом случае (2.23) преобразуется к виду
м
Р(п) = ЦЩщ). (2.24)
i=i

Однородные экспоненциальные сети 101
Здесь Рг(щ) - стационарная вероятность того, что в i-м центре,
рассматриваемом изолированно, находится щ сообщений:
rii
Pi(ni) = Pi(0)/\Zi(ni).
Выражение (2.24), известное под названием теоремы разложения
Джексона, показывает, что рассматриваемая сеть является
совокупностью независимых центров обслуживания с пуассоновскими
входящими потоками с параметрами Д е» и зависящими от длины очереди
интенсивностями обслуживания /ij(nj) (г = 1,М).
Таким образом, для открытых и замкнутых экспоненциальных
сетей решение имеет мультипликативную форму, допускающую
декомпозицию сети на изолированные центры. Полученный результат
является нетривиальным, так как потоки в открытых и замкнутых
экспоненциальных сетях МО с произвольной маршрутной матрицей
не пуассоновские [27,89,246]; он имеет решающее значение для
разработки эффективных вычислительных алгоритмов.
2.2.4 Показатели качества функционирования
однородных сетей
Как отмечалось в разделе 2.1, основной целью при использовании
моделей сетей МО для анализа вычислительных систем и сетей
является отыскание различных показателей качества функционирования
или характеристик сетей МО. Одна из важнейших таких
характеристик - распределение вероятностей состояний Р(п)- была
рассмотрена в п. 2.2.3. Перейдем теперь к определению других вероятностных
характеристик однородных экспоненциальных сетей МО, зависящих
от нагрузки.
По аналогии с (2.17) маргинальное распределение числа
сообщений в М-м (граничном) центре определяется в виде
м
PM(n,N)= J2 Ци^)/См(Ю =
n£(N,M),nM=n »=1
М
= ZM(n) J2 YlZi(ni)/GM(N), n = ljf.
neS(iv-n,M-i) i=i
С учетом выражения (2.22) для нормализующей константы имеем
PM(n,N) = ZM(n)GM-i(N - n)/GM(N). (2.25)

102 Глава 2. Аналитические методы
Маргинальное распределение в любом центре г ф М может быть
получено путем перенумерации центров так, чтобы центр,
представляющий интерес, стал граничным1. Для полученной таким образом
сети применяется выражение (2.25). Легко видеть, что для центра М,
не зависящего от нагрузки (/хм(^) = I^m), выражение (2.25)
преобразуется к виду (2.17). В этом случае при определении характеристик
узлов с номерами i=l, 2, ..., М-1 не требуется дополнительной
перенумерации.
Интенсивность выходящего потока сообщений (пропускная
способность) из i-ro центра Xi(N) по определению равна среднему числу
заявок, обслуженных в нем за единицу времени. Таким образом,
N
Ai(JV) = £p<(n,JV)Aii(n). (2.26)
г=1
Из определения Zi(n) следует
Zi(n)ni(n) = Zi(n-l)ei. (2.27)
Подставляя (2.27) и (2.25) в (2.26), получаем для г = 1,М
N
\i(N) = eiJ2Ч™ ~ l)Gt-i{N - n)/Gi(N) = e^N - 1)/G<(JV).
i=l
(2.28)
Для случая, когда интенсивность обслуживания в г-м центре
описывается выражением (2.3), производительность Aj(iV) может быть
определена через среднее количество занятых приборов в г-м центре
Ui(N) :
N
\i(N)=J2»i(n)pi(n,N) = nMN), i = lJV, (2.29)
г=1
где Ui(N) удовлетворяет следующему соотношению [3,91]:
Ui(N)/Uj(N) = etfi^/iejfij1). (2.30)
Соотношение (2.30) позволяет определить характеристики занятости
и пропускной способности для всех центров, если рассчитаны или
измерены характеристики одного узла.
ХВ главе 3 будет описан эффективный вычислительный алгоритм, в
соответствии с которым при расчете Pi(N,M) не требуется дополнительной
перенумерации центров.

Однородные экспоненциальные сети 103
Из (2.29) и (2.30) устанавливается равенство нормализованных
пропускных способностей для каждого центра
\i(N)/ei = Xj(N)/ej. (2.31)
Из соотношения Ui(N) < Ui(N+l) (N = 0,1,...) следует, что при
N —> оо один из центров, например j'-й, окажется насыщенным, так
что Uj(oo) = Aj. Очевидно, что пропускная способность этого центра
при N —» оо будет Aj(oo) = Aj/ij и значения щ(оо), Aj(oo) для
остальных центров сети могут быть определены из (2.31). Этот прием
часто используется при исследовании некоторых асимптотических
свойств замкнутых сетей массового обслуживания.
Математическое ожидание числа сообщений в М-м центре с
учетом выражения (2.25) имеет вид
N 1 N
Lm(N) = Y, пРм(п, N) = q-гщ Х) nZM(n)GM-i(N - n). (2.32)
п=1 ^ ' п=1
Для узла, не зависящего от нагрузки, выражение, описывающее
среднюю длину очереди в центре, упрощается:
N
Li{N) = YJ^GM{N -n)/GM(N), i=TJl. (2.33)
n=l
В соответствии с формулой Литтла среднее время пребывания
сообщений в i-м центре обслуживания Ti(N) равно отношению
средней длины очереди к средней интенсивности входящего потока. В
стационарном режиме интенсивность выходящего потока равна
интенсивности входящего, поэтому
Ti(N) = Li(N)/\i(N), г = TJd. (2.34)
Особый интерес для приложений представляет время цикла
Vi(N) - среднее значение интервала времени между моментом
выхода из г-го центра до момента первого поступления указанного
сообщения в этот центр (г = 1,М). Если е^ = 1, то величину ej
можно интерпретировать как среднее число посещений сообщением j-ro
центра между двумя последовательными посещениями i-ro центра.
Следовательно, суммарное среднее время, проведенное сообщением
за время цикла в j-м центре, составляет ejTj(N). Отсюда
м
Vi{N) = YJ^Tj{N). (2.35)

104 Глава 2. Аналитические методы
При анализе вычислительных сетей выделенным г-м центром
обычно моделируют терминальный узел. В этом случае выражение
(2.35) позволяет определить время реакции (ответа), измеряемое с
момента нажатия на терминале клавиши «передача» до момента
поступления на экран терминала ответного сообщения.
Подставляя в (2.35) выражение (2.34) и учитывая соотношение
(2.31), которое в данном случае имеет вид Aj(iV) = Xj(N)ej, получаем
Vi(N) = [N-Li(N)}/\i(N).
Таким образом, время цикла Vi(N) однозначно определяется средней
длиной очереди и производительностью г-го центра.
В заключение отметим, что все рассмотренные характеристики
замкнутых однородных экспоненциальных сетей МО выражаются
через значения нормализующей константы, эффективные
алгоритмы вычисления которой приводятся в главе 3.
2.3 Сети массового обслуживания с
несколькими классами сообщений
Рассмотренные в предыдущем разделе однородные
экспоненциальные сети МО обладают рядом ограничений, которые в
значительной мере сужают область их практического применения. К их числу
относятся: во первых, предположение об экспоненциальном
распределении длительности обслуживания сообщений в каждом центре;
во вторых, ограничение на дисциплину обслуживания в центрах,
которое предусматривает обслуживание по принципу FCFS; в-третьих,
предположение о статистической однородности сообщений,
циркулирующих в сети.
В настоящем разделе перейдем к описанию сетей МО, в которых
сняты все упомянутые выше ограничения,- смешанных сетей МО с
несколькими классами сообщений и широким набором дисциплин
обслуживания в центрах. Для таких сетей будет сформулирован один
из наиболее общих результатов теории сетей МО, известный под
названием теоремы ВСМР1.
хЭто название составлено из первых букв фамилий авторов Baskett F., Chandy
К. М., Muntz R. R., Palacios F. G. статьи «Open, Closed and Mixed Networks of
Gueues wifh Different Classes of Customers» (J. Assoc. Comput. Mach.- 1975.- Vol.
22, N 2. P.- 248-260).

Сети МО с несколькими классами сообщений 105
2.3.1 Описание смешанной сети
Смешанная сеть МО состоит из конечного числа М центров
обслуживания, между которыми в соответствии с маршрутной
матрицей Р циркулирует R различных классов сообщений. При
переходе из одного центра в другой сообщения могут изменять класс
так, что сообщение r-го класса может стать сообщением s-ro
класса (1 < г, s < R). Сети МО с несколькими классами сообщений и
возможностью перехода из одного класса в другой, являющиеся
естественным теоретическим обобщением однородных сетей МО,
позволяют более точно отражать информационные процессы в
вычислительных сетях. Например, в диалоговых вычислительных системах
сообщение-запрос, обработанное в центральной ЭВМ, переходит в
сообщение-ответ, длина которого отлична от длины входного
сообщения.
Маршрут смешанной сети с несколькими классами задается
матрицей Р — \\Pir,Rs\\, где Pir:RS - вероятность того, что требование
r-го класса, закончившее обслуживание в г-м центре, перейдет в Д-й
центр и станет сообщением s-ro класса.
На парах (гг) определяется марковская цепь с матрицей
переходов Р, которую можно разложить на L эргодических
непересекающихся подцепей, множество состояний каждой из которых
Е\,Е2, ...,-Ех-
Пусть щт - число сообщений класса г в г-м центре в состоянии
сети n; Nj = M(n,Ej) и N = М(п) - соответственно число
сообщений в подцепи Ej и в сети МО в состоянии п. Тогда, очевидно,
выполняются соотношения
L
M{n,Ej)= J2 n*r' i = I^> и M{n) = ^2M{n,Ej),
{ir)eEj i=i
причем, если Nj = M(n,Ej) = const при j = 1,L, рассматриваемая
сеть является замкнутой.
Входящий поток, поступающий в разомкнутую сеть из
внешнего источника, может быть задан различными способами. В первом
случае из источника поступает один пуассоновский поток,
интенсивность которого Л(М(п)) является функцией общего числа сообщений
в сети при ее состоянии п. Входящее в сеть сообщение поступает в
г-й центр и становится сообщением класса г с вероятностью Ро,ш> не
зависящей от состояния сети. Во втором случае имеется L пуассонов-
ских входящих потоков сообщений, поступающих в соответствующие

106 Глава 2. Аналитические методы
подцепи. Интенсивность j-vo потока Aj(M(n,Ej)) является
функцией числа сообщений в j-u подцепи (j = 1,L). Выходящее из источника
сообщение j-ro потока с вероятностью Pjjr поступает в г-й центр и
становится сообщением г-ro класса, если (г, г) е Ej и
В открытой сети МО требование класса г, закончившее
обслуживание в г-м центре, покидает сеть с вероятностью
Pir<j = 1 - Yl pir,ks, i,R=l,M; r,s = 1, R.
(ks)eEj
Для произвольной подцепи по аналогии с (1.3) справедлива
следующая система уравнений:
У^ eirPir,Rs + Pj,Rs = eRs, (R, S) e Ej; j = 1,2,..., L,
(ir)eEj
где ejr - относительная интенсивность потока сообщений класса г,
проходящего через центр г. Если .Р/,Ял = 0 для всех (R,S) G £у, то
сеть замкнута по отношению к подцепи Ej. В этом случае аг
определяются с точностью до мультипликативной константы [см. 2.4]. Если
Pj,Rs Ф 0 хотя бы для одной пары (R,S) G Ej, то ещ определяется
однозначно.
Для завершения описания смешанной сети МО остается задать
дисциплину и механизм обслуживания в центрах сети. Будем
полагать, что сеть состоит из центров следующих четырех типов.
Центр типа 1. Обслуживание сообщений в центре
осуществляется в соответствии с дисциплиной FCFS. Длительность обслуживания
сообщений всех классов имеет одно и то же экспоненциальное
распределение с интенсивностью 1Л{(щ) [г- номер данного центра в сети
(г = 1,М)], зависящей от числа сообщений в центре щ. Состояние п,
центра определяется вектором пц,Щ2, ...,щщ, где п^ - номер класса
сообщения, стоящего j-м в очереди (j = 1,щ\ riij = 1,R).
Центр типа 2. Обслуживание сообщений в однолинейном
центре осуществляется в соответствии с дисциплиной PS (разделение
процессора). Длительность обслуживания сообщения r-го класса,
г = 1,2,..., R, распределена по закону Кокса с параметрами оцТ1, 6jr/,
IHrh Lir (l = l,Lir) и средним
1=1

Сети МО с несколькими классами сообщений 107
где Airi - вероятность того, что сообщение класса г достигает е-й
стадии обслуживания в г-м узле. Состояние центра щ определяется
вектором (пьщ2,...,п1г), где nir - вектор (щГ1,щг2, ...,nirLir), 1-я
координата которого Щг1 означает число сообщений r-го класса в г-м
центре, которые находятся на 1-й этапе обслуживания. Число
сообщений r-го класса в г-м центре составляет щг = щГ1 + щГ2 + ■■■ + щгь1г, а
общее число сообщений в центре щ ■=■ пц, п^, •••, пш- Таким образом,
скорость завершения обслуживания сообщения r-го класса,
находящегося на 1-й этапе в состоянии щ центра, равна щт\1щ. После
завершения обслуживания сообщение покидает центр с вероятностью
biri и переходит к следующей стадии с вероятностью Ojr/.
Центр типа 3. Многолинейный центр с числом обслуживающих
приборов, равным или большим максимального количества
сообщений в этом центре, и дисциплиной обслуживания IS (обслуживанием
без ожидания). Состояние центра и распределение длительности
обслуживания, имеющее рациональное преобразование Лапласа,
описываются так же, как и для центра второго типа.
Центр типа 4- Однолинейный центр с дисциплиной
обслуживания LCFS («последним пришел - первым обслужен»). Так же, как
для узлов второго и третьего типов, распределение длительности
обслуживания имеет рациональное преобразование Лапласа и
может отличаться для сообщений разных классов. Состояние центра щ
определяется вектором (rili,r2l2,—,rnilni), где щ - число сообщений
в г-м центре, (rj,lj - пара, характеризующая сообщение, стоящее j-м
в очереди, при дисциплине обслуживания LCFS, (rj - номер класса
сообщения и lj - номер прерванного этапа обслуживания.
Обслуживание прерванного сообщения начинается с того этапа, на котором
оно было прервано.
2.3.2 Теорема ВСМР
В силу сделанных предположений и определений процесс,
описывающий функционирование смешанной сети МО, является
марковским. Состояние сети представляет собой вектор п = П1,П2,...,пм,
где щ характеризует состояние г'-го центра и имеет структуру,
зависящую от типов центров сети, описанных выше.
Уравнения глобального баланса для нахождения стационарного
распределения Р(п) вероятностей состояний сети записываются по

108 Глава 2. Аналитические методы
аналогии с (2.18) в общем виде следующим образом:
A(n)P(n) = 5>(n',n)P(n') (2.36)
п'
для любого состояния п, п', где А(п) - интенсивность выхода сети
из состояния п; А(п',п) - интенсивность выхода сети из состояния п'
в состояние п. Отыскание стационарного распределения Р(р)
непосредственно из системы уравнений (2.36) представляет сложную
задачу, поэтому обычно используется подход, связанный с получением
уравнений локального баланса, техника составления которых для
однородных замкнутых сетей была продемонстрирована в разделе 2.2.
В данном случае суть составления уравнений локального баланса
состоит в приравнивании интенсивности входа сети в состояние, при
котором сообщение начинает обслуживаться с определенного этапа,
к интенсивности выхода сети из этого состояния, при котором
сообщение заканчивает этот этап обслуживания. С каждым сообщением
связывается этап обслуживания. Если сообщение обслуживается, то
этап определен, если оно стоит в очереди, то для дисциплины
обслуживания LCFS - прерванный этап. При таком подходе каждое
уравнение системы (2.36) можно представить в виде ряда
уравнений локального баланса, выполнение которых, как уже отмечалось,
является достаточным (но не необходимым) условием выполнения
уравнений глобального баланса.
Проиллюстрируем принцип составления уравнений локального
баланса на примере сети МО, включающей М центров с
дисциплиной обслуживания FCFS и L открытыми подцепями. Обозначим
через п[Д, r},n([Rr]~),n([Rr}+),n([Rr]+,n[R r ]~) состояния сети
такие, что переходы из состояния в состояние при поступлении или
окончании обслуживания сообщения r-го класса в центре R
осуществляются следующим образом:
1) n([Rr]~) —> n[R, г] при поступлении сообщения класса г в R-й
центр;
2) n([Rr}+) —> n[R, г] при уходе сообщения класса г из R-ro
центра;
3) n([Rr]+, [R г ]~) —> n[R, г) при уходе сообщения класса г из R-
го центра и при его последующем поступлении в центр R' в
классе г'.

Сети МО с несколькими классами сообщений 109
Тогда стационарные вероятности состояний сети -Р(п) =
Р{п[Дг]} удовлетворяют системе уравнений глобального баланса
М R
!>;№ + Е ЦМЯ("Я)(1 - ^Яг.Яг)
Р(П) =
м я
= ЕЕ^я + l)PRr,jP{n([Rr}'-)}+
Я=1г=1
м я
+ Е ЕЛ^; - 1)^-,ЯгР{п([Дг]-)}+
Я=1г=1
м м я я
+Е Е Е Е ^'(n* + 1)^г',яг^р{п([д'г']+, [Rr]-)},
Я=1 Я'=1 г=1 г'=1
где предполагается, что все (Ах) € Ej, и для простоты введено
обозначение M(n,Ej) = JVj.
Если представить упрощенно уравнение глобального баланса в
виде A+B+C=D+E+F, то в соответствии с принципом составления
уравнений локального баланса получим, что A=D, B=E, C=F
являются уравнениями локального баланса. Первоначально запишем
L MR
5>,-(^)Р(п) = Е Е^("я + 1)Я*уР{п([Дг]+)} =
3=1 Я=1г=1
L
= Е Е ^я(пя + 1)Ряг,,Р{п([Дг]+)}.
Применяя принцип локального баланса к последнему выражению,
имеем
А,Щ)Р(п)= Yl m(nR + l)PRrjP{n([Rr}+)}.
{Rr)eEj
Подставляя сюда PRrj = 1 - E(flv)e£, pRr,R'r' и PjtRr = еяг -
!С(Я'г')е£- eR'r'PR'r',Rr, для всех (i?r) G jEj получаем окончательно
две эквивалентные системы уравнений локального баланса [см.
вывод уравнений (2.20)]:
А3Щ)ецгР(п) = hr(tir + 1)Р{п([Дг]+)};
hj(Nj)T,(R>r>)eEj ея'г'-Ряг,Я'г'-Р(п) =
= М™я + 1) Е(Я'г')е^ ^Яг,я'г'^{п([Лг]+)}.
(2.37)

110 Глава 2. Аналитические методы
Вернемся теперь к уравнению глобального баланса. Оставшиеся
свободные слагаемые в левой и правой частях этого уравнения
связаны соотношением
М Я
Е ЛМЯ("Я)[1 - РдГ;Яг]Р(п) =
Я=1г=1
М Я
= £ 5>iW - 1)РЛДрР{п([Дг]-)}+
Я=1г=1
м м я я
+ Е Е Е Е ^^ + 1)^Я'г-',ЯгР{п([Л'г/] + , [Яг]")}.
Я=1 Я'=1 г=1 г'=1
Выполняя преобразования, аналогичные выводу (2.20), получаем
следующие две системы уравнений локального баланса:
AjiNj - l)eRrP{n([Rr}-)} = цц(пц)Р(п);
AjiNj - l)eRrP{n([Rr}-)} = m{nR + 1)Р{п([ДУ]+, [Rr]-)},
которые эквивалентны друг другу и (2.37). Другими словами,
если Р(п) удовлетворяет одной из этих систем уравнений, например
(2.37)), то Р(п) является решением для двух остальных систем
уравнений локального баланса. Следует отметить, что когда
интенсивности обслуживания в R-м центре различны для разных классов:
А*я(пЯг) Ф А4я(^я)(^ = 1,-R), описанные выше три системы
уравнений локального баланса являются противоречивыми. В этом случае
не существует решения в мультипликативной форме.
Рассмотрим еще один пример составления уравнений
локального баланса для замкнутой сети МО с двумя классами сообщений,
представленной на рисунке 2.2.
Сеть состоит из центра 1 третьего типа и центра 2 второго
типа и содержит N\ сообщений первого класса и iV2 сообщений
второго класса. Длительности обслуживания имеют экспоненциальное
распределение с интенсивностью обслуживания \XiT{i = 1,2; г =
1,2). Матрица маршрутов определяется вероятностями переходов:
-Pi2,22 = ^22,12 = -^21,11 = 1;-Pii.il + Рц,21 = 1- При пщ > 0 имеем
следующее уравнение глобального баланса:
Р(ПЦ, П12, П21, n22)(nn)Uli +П2А*2 + П2/Х1)/(П12 +П22) +
+n22/W(n21 + "22) =

Сети МО с несколькими классами сообщений 111
М22
Р11.:
Центр 2
второго
типа
э
12,22
Центр 1
третьего
типа
Рис. 2.2
= Р(пц - 1, П12, П21 + 1, n22)/i2l("21 + 1)/(™21 + ™22 + 1) +
+Р(ПЦ + 1, П21 - 1, ^22)^12^11-^11,11 +
+Р(пц, П12 + 1, n2i, n22 - l)(ni2 + l)/ii2+
+P(nU, П12 - 1, П21, n22 + 1)^22(^22 + l)/(l22 + ^21 + !)•
Уравнения локального баланса имеют вид:
Р(ПП, Щ2, П2Ъ n22)nilfJin =
= Р(пп - 1, "12, "21 + 1, П22)("21 + 1)M2i("21 + "22 + 1) +
+Р(пп, п12, п2ъ ra22)"i2Mn-Pii,n;
Р(ПЦ, П22, П21, П22)ц21П21/(п21 + П22) =
= Р(пц + 1, "12, П2 - 1, П22)(пц + l)/ill-Pll,2i;
Р{ПЦ, Щ2 + 1, П21 П22 - 1)(П12 + 1)/Х12 =
= P(nU, Щ2, П21, П22)п22Ц22/(п21+П22).
Теперь все подготовлено для формулировки основной теоремы.
ВСМР-теорема. Для смешанной сети МО, каждый центр
которой принадлежит к одному из указанных четырех типов,
стационарное распределение вероятностей состояний существует и имеет
мультипликативный вид:
м
Р(п,) = С-1Л*(п')П/<("<)»
(2.38)
i=i

112 Глава 2. Аналитические методы
где
!г{щ) = <
€.jTA.iTl
fJ'irl
€.%TA.iTl
№irl
ж! Пгя=1 П&1 {
Пгй=1 ПЁ1 {"
[[jLlleirjAirjlj\i
ПМ(п') — 1 а /л i
i=Q А(г), если входящий поток 1-го типа,
i=llli=0 Л?лгл если входящий поток 2-го типа,
1, если сеть замкнута.
Стационарное распределение существует, если сходится ряд
если г-й центр 1-го типа,
/ nirl ■ ( > если г-й центр 2-го типа,
/ Щгй \ 1 если г-й центр 3-го типа,
если г-й центр 4-го типа;
Л*(п') = <
м
С = ^Л*(п')ПЛ(п1)<~>
n i=l
где G - нормализующая константа.
Доказательство теоремы осуществляется подстановкой (2.38) в
уравнение (2.36) или соответствующие уравнения локального
баланса.
В практических приложениях подробное описание состояний
узлов, включающее, например, этап обслуживания и порядок
расположения сообщений в узле, не является существенным.
Основной интерес представляют агрегированные состояния узлов
ni = (пц,Щ2, --ч^гя) и соответствующие состояния сети п =
(ni,ri2, ...,пм). Вероятности стационарного агрегированного
состояния сети Р(п) можно получить суммированием Р(п') по всем
состояниям п'. В силу мультипликативности Р(п') это эквивалентно
суммированию множителей /j(n'j) по всем состояниям узлов п[ при
фиксированных (пц,Щ2, ...,пщ). Если обозначить полученные
множители через Zj(rii), то выражение для Р(п) преобразуется к виду
м
Р(п) = С-1Л*(п)П^(п1),
г=1
где нормализующая константа G и функция Л* (п) определяются так
же, как и в (2.38), a Zj(rii) зависит от типа г'-го узла (г = 1,М) и
имеет следующий вид1:
'Если интенсивность обслуживания в г'-м центре зависит от нагрузки, вместо
nf=i(1/W)nir над0 подставлять Щ=1 ШМЩ-

Сети МО с несколькими классами сообщений 113
если г-и узел первого типа,
Zi(n{)
Пг1
»i
Я
П
r=l
гг
TliT
Я
i Щ — у ^ ^гг!
r=l
если г-и узел второго или четвертого типа
я
, пгг. \ u,lr
если г-й узел третьего типа,
г=1
Я
Zi(ni) = П
г=1
П;,
Mi
Таким образом, стационарное распределение укрупненного
состояния сети Р(п) имеет мультипликативный вид и, что особенно
важно, не зависит от функции распределения длительности
обслуживания в центрах (а только от соответствующих средних значений).
2.3.3 Открытые сети МО с несколькими классами
Для открытых сетей, когда интенсивность входного потока
сообщений из источника не зависит от состояния сети, возможны
дальнейшие упрощения. Рассмотрим предварительно закон
распределения числа сообщений в сети без разделения сообщений на различные
классы. В этом случае состояние г-го центра характеризуется числом
сообщений в нем щ, а состояние сети - вектором n = (rai, гаг, —,пм)-
и выражение для Р(га) преобразуется к следующему простому виду:
м
Р(п) = С-1Л*(п)П^Ы,
г=1
где
Р%{Щ) = <
2^г£Я(г) ьгг
2-гг£Я(г) егг/^г\
, 2^г£Я(г) eir/^i
для центров 1-го типа,
для центров 2-го и 4-го типов,
/щ\ для центров 3-го типа;
Ri - множество номеров классов, сообщения которых могут
обслуживаться в г'-м центре.
8 — 7659

114 Глава 2. Аналитические методы
Для открытой сети система уравнений для отыскания
относительных интенсивностей потоков имеет единственное решение
вгГ (г = 1,М; г = 1,-R) и, следовательно, интенсивность потока
сообщений г-го класса, поступающих в г-й узел, Ajr = Aejr. Для
случая, когда интенсивность обслуживания в центрах открытой сети не
зависит от числа сообщений в центре с учетом обозначения
_ \ J2reR(i) (Aeir/ftr), если г-й центр 1-го типа,
1 YlreR(i) (Легг/№г), если г-й центр 2-го, 3-го или 4-го типа,
выражение для стационарного распределения состояний сети
принимает следующий вид:
Р(п) = Pi(n1)P2(n2)...PM(nM),
где
, , _ Г (1 — Рг)р"% если г-й центр 1-го, 2-го или 4-го типа,
\ ePiр™' l'щ\, если г-й центр 3-го типа.
Отсюда следует, что маргинальное стационарное распределение
числа сообщений в г-м центре первого, второго или четвертого типа
такое же, как и в системе М/М/1, причем для его существования
необходимо выполнение pi < 1. В центрах третьего типа это
распределение такое же, как и в системе M/G/oc с pi — Х/р.1
Легко видеть, что полученный результат является естественным
обобщением формулы (2.24) на случай открытой сети с несколькими
классами сообщений.
2.4 Итерационный метод анализа средних
значений
В предыдущих разделах был рассмотрен традиционный подход к
исследованию локаль-но-сбалансированных сетей МО,
базирующийся на составлении уравнений глобального баланса относительно
вероятностей вектора состояний сети. Решение этих уравнений в муль-
г3десь М/М/1 - одноканальная система МО с входящим пуассоновским
потоком и экспоненциальным обслуживанием, a M/G/oo - бесконечнолинейная
система МО с тем же потоком и произвольным распределением длительности
обслуживания.

Итерационный метод анализа средних значений 115
типликативной форме позволяет находить различные средние
характеристики сети как функции нормализующей константы (см. раздел
2.2).
Однако расчет нормализующей константы в силу
комбинаторно возрастающего пространства состояний сети требует
значительных вычислительных усилий. Более того, вычисление
нормализующей константы связано с проблемой перевыполнения и обнуления
результатов в памяти ЭВМ, обсуждение которой мы оставим до
главы 3.
Описываемый ниже итерационный метод анализа средних
характеристик сети МО позволяет избежать этих трудностей, так как при
определении таких практически важных показателей качества
функционирования, как средние длины очередей и времена ожиданий,
производительность сети и загрузка центров и т. д., этот алгоритм не
требует предварительного вычисления нормализующей константы.
2.4.1 Общее описание метода
Рассмотрим предварительно применение метода анализа средних
значений для расчета замкнутой однородной экспоненциальной сети
МО, не зависящей от нагрузки, которую обозначим через D(N)
осуществляется в соответствии с дисциплиной FCFS, то среднее время
ожидания Ti(N) в г-м центре складывается из средней
длительности обслуживания вновь поступившего сообщения Tj и средней
длительности обслуживания всех сообщений, находившихся в г-м центре
TiVi(N), где vi(N) - среднее количество сообщений в г-м центре в
момент поступления нового сообщения. Таким образом,
Т<(Л0 = г<(1 + 1/<(Л0),*=1ГМ, (2-39)
и для определения Vi(N) необходимо исследовать стационарный
режим марковской цепи, описывающей функционирование сети МО в
моменты поступления сообщений в г'-й центр (марковской цепи,
вложенной по этим моментам). Легко показать [97], что стационарные
вероятности состояний сети D(N) в момент поступления сообщения
в г'-й центр совпадают со стационарными вероятностями состояний
сети D(N — 1) для произвольного момента времени. Отсюда
непосредственно следует, что Vi(N) = Li(N — 1), где Li(N — 1) - среднее
число сообщений в г-м центре сети D(N — 1), и (2.39) приобретает
вид
Tt(N) = Ti(l + Li(N - 1)), г = 1, М. (2.40)
8*

116 Глава 2. Аналитические методы
Выражение (2.40) можно получить непосредственно из определения
средней длины очереди по формуле (2.33), не опираясь на
сформулированное выше утверждение. Представим (2.33) в виде
г .(N) - V trgm{N-R) _
fel См(ло -
= XiGM(N - 1) / Л Д-1См[(^У-1)-(Д-1)]\ =
GM(N) \ ^2l GM(N-l) )
Отсюда с учетом того, что Xi = T^i, и с учетом формулы (2.28) и
формулы Литтла следует выражение (2.40).
Чтобы получить рекуррентный алгоритм для расчета средних
характеристик сети, необходимо найти соотношение, связывающее
величины Ti(N) и Li(N). Такое соотношение вытекает из формулы
Литтла, примененной к г'-му центру:
Li(N) = АДЛГКЩЛГ), i = l,M, (2.41)
где \i(N) - интенсивность потока сообщений, поступающих в г-й
центр.
Если обозначить через г* номер произвольного выделенного
центра сети, то, как следует из раздела 2.1,
\j(N) = ej\i*, i = l,M,
где ej однозначно определяется уравнением
N
ej = ^2 eRpRJ'ei* = !' 3 = 1,М,
Я=1
а производительность выделенного центра Xi*(N) = X*(N) с учетом
формулы Литтла и выражения (2.35) для времени цикла, имеет вид
/ м
\*(N) = N /Y.eiTiiN) (2.42)
/ г=1
Учитывая начальные условия Li = 0 (i — 1,М) с помощью
системы уравнений
Ti(N)=ri(l + Li(N + l)),

Итерационный метод анализа средних значений 117
/м
г=1
Li(N) = X*(N)eiTi(N),
можно рекуррентно по ./V рассчитывать средние характеристики
однородной сети МО, интенсивности обслуживания центров которой не
зависит от нагрузки.
Метод анализа средних значений позволяет определить и
другие характеристики сети МО, например маргинальное распределение
длины очереди в г-м центре:
Pi(n,N) = TiXi{N)Pi{n -l,N-l),n>l, Pi(0,0) = О,
доказательство которого приводится в следующем пункте.
2.4.2 Однородная замкнутая сеть МО, зависящая от
нагрузки
Прежде чем переходить к выводу рекурсивных соотношений для
средних характеристик сети МО, узлы которой зависят от
нагрузки, определим такое соотношение для маргинальных распределений
Pi(n,N) (i = 1,М). По аналогии с (2.25) выражение для
маргинального распределения длины очереди в г-м центре (г = 1,2, ...,М)
может быть представлено в виде
Pi(n,N) = ^K)£n£5(iv,M)>n.=n П^М^Ы/ЗДЛО =
(2.43)
где gi(n,M)- нормализующая константа сети, в которой отсутствует
г'-й центр и циркулирует п сообщений.
Подставляя в последнее выражение Zi(rii) = 5п.\%г(щ — 1) и
учитывая (2.28), получим
хы^-1)-(П-1)м]^мла
GM(N-1) Цг(щ)

118 Глава 2. Аналитические методы
Отсюда следует
НЮ = Eli nPi(n, N) = А,(Л0 ZLi ufaPiin - 1, * - 1);
W) = Щ = EiU ^ft(* -1, iv -1).
(2.44)
Если г'-й центр включает Ai однотипных обслуживающих
приборов, то Цг{п) = min(n, Ai)fii и выражение (2.44) преобразуется к
виду
ЛГ-1
1 + Т. S (П ~ Л)Д(П - !> ^ - !)+
Ti(iV) = г<
П=Нг
ЛГ-1
г п=М
Но первая сумма в последнем выражении означает среднее число
сообщений в очереди г-го центра для сети D(N — 1) (исключая
сообщения, находящиеся на обслуживании):
Bt(N - 1) = £ (n - Ai)pi(n -hN- l),
n=Ai
а вторая - вероятность того, что все обслуживающие приборы
заняты:
ЛГ-1
Ui(N - 1) = Е Р(щ N " Х)"
п=М
Таким образом, в рассматриваемом случае
Ti(N) = n + (Ti/Ai)[Bi(N -l) + Ui(N- l)]. (2.45)
Соотношения (2.43),(2.44) совместно с выражениями (2.41),(2.42)
и начальными условиями РДО, 0) = 0 (г = 1,М) позволяют рекур-
рентно по щ определять основные характеристики сети МО, центры
которой зависят от нагрузки.
В заключение отметим, что обобщение метода на случай сети МО
с несколькими классами сообщений будет дано в разделе 3.3.
2.5 Оптимизация замкнутых однородных
сетей массового обслуживания
Рассмотренные в предыдущих разделах различные подходы к
исследованию локально-сбалансированных сетей МО показывают, что

Оптимизация замкнутых однородных сетей МО 119
теоретические методы анализа сетей этого типа разработаны
достаточно полно. В то же время методы синтеза сетей МО, необходимые
для оптимизации вычислительных систем и сетей, развиты
недостаточно, особенно для класса замкнутых сетей МО.
В настоящем разделе рассматривается новый эффективный
алгоритм оптимизации однородных замкнутых сетей МО [28]. Решение
задачи оптимизации сети сводится к решению системы нелинейных
уравнений, которая, в отличие от [274], не содержит частных
производных. Такой подход позволяет расширить область применения
методов оптимизации на сетях и повысить вычислительную
эффективность алгоритмов.
2.5.1 Некоторые свойства характеристик замкнутых
однородных сетей МО
Прежде чем переходить непосредственно к формулировке
задачи оптимизации замкнутых однородных локально-сбалансированных
сетей МО, рассмотрим свойства некоторых характеристик, в
частности зависимость средней длины очереди и производительности от
интенсивности обслуживания в центре. Исследование этой
зависимости необходимо для решения задачи оптимизации замкнутых сетей
МО и в то же время представляет самостоятельный теоретический
интерес.
Пусть интенсивность обслуживания в г-м центре (г = 1, М)
представляется в виде f^i(R) = Pi(R)m и является неубывающей
функцией числа сообщений в очереди, т. е. Hi(R + 1) > ^i(R)- Тогда
справедлива следующая теорема.
Теорема 1. Средняя длина очереди является монотонно
убывающей (возрастающей), а производительность - монотонно
возрастающей (убывающей) функциями интенсивности обслуживания
(относительного коэффициента использования Х{ = е^//^ «своего» центра
обслуживания), причем:
^ = 1А; (2.46)
Щр- = ^Xt(N)[Lt(N) - Lt(N - 1)]; (2.47)

120 Глава 2. Аналитические методы
°№l = ±-Xi(N)[Li{N)-Li{N-l)].
OXi Xi
(2.49)
Доказательство. Преобразуем выражение (2.22) для
нормализующей константы Gm{N), используя вспомогательную функцию
gi(n,M), введенную в предыдущем разделе. Легко видеть [см. также
вывод формулы (3.10)], что
N
Gm(N) = Y,Zi(nMN -n,M),
п=0
где
ад = е? / п /*(д) = xi / П &(д);
Я=1
Д=1
м
9i(n,M)= Y1 Л Zi(n).
neS(N,M) n&N-n j=l зф\
Дифференцируя выражение для Gu (N) и учитывая что средняя
длина очереди в г-м центре Li(N) = Yln=i nPi(n,N), (г = 1,М),
получаем
dGM(N) d (Eto ZifrMN - n, M)) !i,
— —■ —■ — - = — у ^nZj(n)x
Xi
dxi
dx,
N
n=l
x9i(N -n, M) = ~GM(N) Y, npi(n>N) = -GM{N)Li{N), (2.50)
X{ , Xi
n=l
где Pi(n,N) определено в п. 2.4.2.
Используя (2.50) и (2.28) для производительности г-го центра
Xi(N) — eiGM{N-l)/GM{N){i — 1, М), докажем соотношение (2.49):
d\i(N) eid[GM(N-l)/GM(N)]
dxi
dxi
GUN)
GM{N)dG-iN-l^GM{N-l)dG^
dxi
dxi
G2M(N)
GM(N)-GM(N - l)Li(N - 1) - GM (N-
Xi
-l)-GM(N)Li(N)
Xi
= Xi(N)[Li(N) - Li(N - 1)].
Xi

Оптимизация замкнутых однородных сетей МО 121
Для доказательства (2.48) определим предварительно
dPt(n,N) / i~(n)ft(iV_ni МЛ /дх_ =
Oxi \GM(N)
= щм \Gm{n) ^
-Zl(n)9i(N~n,M)^01^ =
= am{GM(N)n^Zt{n)9l{N-n,M)-
- Zi{n)gi{N - n, M)-GM(N)Li(N)) =
Xi )
= -[nPi(n,N) - Li{N)Pi(n,N)].
отсюда
9U(N) = Q
dxi
N
N
/dxi =
^2nPi(n,N)
n=l
-Y^[n2Pi(n,N) - Li(N)nPi{n,N)] =
Xi n=l
1 N
= -. & - Li(N)]2Pi(n, N) = -Di(N).
Xi Xi
n=l
Теперь с учетом того, что х^ = в{/т, легко доказываются
соотношения (2.46) и (2.47). Например,
d\i{N) d\i(N)dxi Xi{N).r r /ЛГ ,,./ x;
dni dxi дщ
^[Lt(N)-HN-l)](-^) =
Xi \ Hi J
= -А;(ЛГ)[МЛГ)-1г(ЛГ-1)].
Xi
Монотонность функций следует из того, что при Hi(R+l) > Hi(R)
(i = TJd, R = TJ{) Di{N)>0 и Li(N) > Li{N - 1).
Теорема 2. Если интенсивность обслуживания в г-м центре (г =
1,М) является неубывающей функцией числа сообщений в очереди,

122 Глава 2. Аналитические методы
то производительность и средняя длина очереди г-го центра
являются монотонно возрастающими (убывающими) функциями
интенсивности обслуживания (относительного коэффициента использования)
j-го (j 7^ *) центра, причем:
^р- = ±\г(Ю1ЫЮ - Lj{N - 1)]; (2.51)
О < ^Q < -UW; (2.52)
?^ =—ЧтЬт - LjW - 1)\; (2.53)
-hD'(N)ud-Wua- (2-54)
Доказательство. Дифференцируя выражение для Xi(N) и
используя (2.50), получаем
d\j(N) = d(eiGM(N - 1)/GM(N)) =
dxj dxj
G2M(N)
GM(N)±-GM(N -1)Lj(N -1)-
-GM(N - l)—GM(N)Lj(N) = -—\i(N)[Lj(N) - L3(N - 1)],
Xj Xj
что доказывает соотношение (2.53).
Для доказательства (2.54) найдем предварительно
-^\щ[ GM(N)d(Zi(n)gi(N - n, M))/dXj-
-Zt(n)9t(N-n,M)?^±} =
GM(N)Zi(n)—L)(N - n)9i(N -n,M)-
G2M(N)
-Zi(n)gi{N - П,М)-Ь^)СМ(Ю) =
xj )

Оптимизация замкнутых однородных сетей МО 123
= — {L)(N - n)Pi(n,N) - LjWPifaN)} ,
Xj
где 1Л (n) - средняя длина очереди в j-u центре сети с п сообщениями,
которая отличается от исходной сети отсутствием г-го центра (i,j =
1,М; п = 1,М).
Используя последнее выражение, получаем
c7i = e(gnPi(n'JV))/<
^1 = d[^nPl(n,N))/dxJ =
= --\ Li(N)Lj(N) - JT L){N - п)пРг(п, N) 1
Для сети с двумя центрами
dLt{N)
дх^
Учитывая, что
1
Xj
Di(N), гфз-
N
Y,l*(n) = n
г=1
и используя (2.48), имеем
м
dLi{N) 1
г=1 гфз J J
Отсюда следуют (2.54) и монотонность Li(N). Формулы (2.51), (2.52)
доказываются на основе выражений (2.53), (2.54) аналогично тому,
как это показано при доказательстве теоремы 1.
2.5.2 Постановка и решение задачи оптимизации
Стоимость сети S как функция вектора уь = (/ii, ..., цм) задается
следующим образом:
м
г=1
Здесь Сг - стоимостные коэффициенты; щ - некоторые
неотрицательные коэффициенты нелинейности.

124 Глава 2. Аналитические методы
Производительности центров обслуживания (интенсивности
выходящих из центров сообщений) в замкнутых экспоненциальных
сетях пропорциональны друг другу, поэтому под производительностью
сети А можно понимать производительность одного из центров сети
(например, первого).
Задача оптимизации замкнутой однородной сети МО состоит в
максимизации производительности сети при стоимости, не
превосходящей заданной, или минимизации стоимости сети при
производительности не ниже заданной. Легко показать [87], что максимум
производительности сети не может достигаться внутри области
ограничения на стоимость, и, следовательно, должно выполняться
равенство S(fi) = S*, где S* - ограничение на стоимость сети МО.
Аналогично минимальная стоимость сети достигается при выполнении
ограничения на производительность в виде равенства А(/х) = А*.
Таким образом, задача оптимизации замкнутой
экспоненциальной сети МО может быть сформулирована в одной из следующих
постановок.
Постановка 1. Найти
max\ = e1GM{N -l)/GM{N) (2.55)
при ограничении
м
s = J2avT = s*, м>°- (2-56)
г=1
Постановка 2. Найти
м
minS = ^2citf (2.57)
г=1
при ограничении
\ = e1GM(N-l)/GM(N) = \*. (2.58)
Функции 5(/i) и A(/i) - выпуклые [274], поэтому любой локальный
максимум задачи в постановке 1 является также и глобальным
максимумом; любой локальный минимум в постановке 2 является также
и глобальным минимумом.
Оптимальное решение задачи (2.55), (2.56) будем искать методом
неопределенных множителей Лагранжа. Составим функцию Лагран-
жа Q = X + ^y(S — S*), где 7 - множитель Лагранжа. Взяв частные
производные и приравняв их к нулю, получим

Оптимизация замкнутых однородных сетей МО 125
dX dS n
Используя (2.47), (2.51) и (2.56), имеем
-Xi{N)[Li(N) - Li(N - 1)] = -чъацл?-\ i = \Jd.
Для исключения 7 разделим г-е уравнение на первое. Тогда с учетом
ограничения (2.56) получим:
д(ц ц? = Lj{N) - Lj(N - 1)
dcntf LtiN) - L^N - I)'
м
5>/^ = S*. (2.60)
i=i
Подставляя ц1г из (2.59) в (2.60), получаем окончательно систему
нелинейных уравнений относительно переменных /ij (г = 1,М):
м
, г = 2,М; (2.59)
Mi1 = S* / i С1
i^W-^-ilg^-^-111
ciai ai Li(N) - Li(N - 1)
/# = —/*?::*' -«v" у i = 2,M. (2.62)
Вектор /i*, являющейся решением системы уравнений (2.61),
(2.62), доставляет максимум целевой функции A(/i) при выполнении
ограничения S(fJ,) = S*.
Решая аналогичным образом задачу в постановке 2, получаем
dS дХ п
Отсюда после подстановки (2.47), (2.51) имеем
Qa^-1 = -7-А!(^){^(^) - Li(N - 1)}, г = TJd.
Разделим г-е уравнение на первое. Тогда с учетом формулы (2.29)
А = HiUi(N)1 и ограничения (2.58) получим окончательно:
Mi = A*M(iV); (2.63)
Здесь предполагается, что интенсивность обслуживания в г-м центре (г =
1,М) описывается выражением (2.3).

126 Глава 2. Аналитические методы
ciai Q1 Lj(N) - Lj(N - 1)
ц? = -^М?1 т^ г /лг ', t = 2, М. (2.64)
Таким образом, задача оптимизации замкнутой однородной сети
МО сведена к решению системы нелинейных уравнений (2.61), (2.62)
или (2.63), (2.64), которое находится известными методами. Пример
такого решения приводится в следующем пункте.
2.5.3 Пример расчета
Рассмотрим применение методов синтеза сетей МО для решения
задачи оптимизации производительности вычислительной системы2,
модель которой представлена на рисунке 2.1. В соответствии с
рисунком 2.1 первый центр обслуживания представляет собой
центральный процессор, а остальные центры с номерами г = 2, М
моделируют работу М — 1 внешних устройств. Пребывание любого задания
(программы) в первом центре соответствует выполнению
последовательности команд между двумя следующими друг за другом
обращениями к внешним устройствам. Вероятность обращения к г-му ВУ
равна Pi (г = 2, М); величина Pi = 1 — Хл=2 -^ представляет собой
вероятность завершения задания. В этом случае через ветвь,
обозначенную на рис. 2.1 «Ввод нового задания», в систему поступает новое
задание. Таким образом, число заданий в сети остается постоянным,
равным уровню мультипрограммирования N.
Предполагается, что все задания, решаемые системой,
принадлежат одному классу и объем памяти пользователей поровну разделен
между N статистически идентичными заданиями. Так как все
задания требуют равные объемы памяти, емкость оперативной памяти
является линейной функцией N. Среднее время обслуживания
требования в г'-м узле 1/Ц{.
Под стоимостью ВС в дальнейшем будем понимать стоимость
ее вычислительного ядра, включающего процессор, оперативную и
внешнюю память. Общая стоимость ВС Si и стоимость
вычислительного ядра 5г связаны соотношением Si = S2 + S3, где 5з -
стоимость периферийного оборудования ВС, включающего устройства
печати, видеотерминалы, мультиплексоры передачи данных и дру-
2 Описание этой важной задачи в настоящем разделе дается в терминах
вычислительной техники. Во всех остальных разделах книги при иллюстрации методов
исследования сетей МО на примере рис. 2.1 используется терминология теории
массового обслуживания.

Оптимизация замкнутых однородных сетей МО 127
гие устройства ВС, необходимые для организации вычислительного
процессора.
Исходными параметрами для решения задачи синтеза
являются следующие величины: М - число узлов; N - число заданий; Pi
- переходные вероятности (г = 1,М); V\ - среднее число команд,
выполняемых в процессоре на каждое обращение; Vi - среднее число
передаваемых слов на операцию ввода-вывода в г-м внешнем
устройстве (г = 2, М); Ri - стоимостной коэффициент в узле г (г = 1,М);
а, - коэффициент нелинейности в узле г (г = 1, М); 54 - стоимость
раздела оперативной памяти; S* - ограничение на стоимость ВС
(используется при решении задачи синтеза в постановке 1); А* -
ограничение на производительность ВС (используется при решении задачи
синтеза в постановке 2).
Критерием оптимальности при решении задачи синтеза в
постановке 1 является обеспечение максимальной производительности ВС,
измеряемой в количестве выполненных в единицу времени заданий,
при наличии ограничений на стоимость ВС. Эта стоимость, как уже
отмечалось, не включает стоимости вспомогательного оборудования,
установки, эксплуатационных расходов.
Определим стоимость ВС следующим образом:
м м
г=1 г=1
где С{ — Ri(wi/a,i)ai; Ri, Cj - стоимостные коэффициенты в узле г; 6j -
быстродействие устройства в г-м узле; /л, - интенсивность
обслуживания в г-м узле; cij - относительные величины средних частот
обращений к узлам; Ш{ - общее число требований к обработке, необходимых
для одного задания в узле г; M(N) — NS4 - стоимость оперативной
памяти в зависимости от уровня мультипрограммирования.
Среднее число требований к обработке на одно обращение к г'-му
узлу определяется по формуле
Vi = Ui/oti,
где <*i = 1/Pi; ai = Pi/Pi, г = 2,M.
Взаимосвязь между интенсивностью обслуживания /ij и
быстродействием устройства bi будет
Hi = ai/(wibi). (2.65)
Задача оптимизации структуры ВС может быть сформулирована
в одной из следующих постановок.

128 Глава 2. Аналитические методы
Постановка 1. Найти
max A = mPiGM{N - l)/GM{N)
при ограничении
м
S = ^ъц? + M(N) = S*, /i > 0.
г=1
Постановка 2. Найти
м
minS = ^2сщ? + M(N)
г=1
при ограничении
А = mPiGM(N - 1)/GM(N) = A*, ц > 0,
где Gm{N) - нормализующая константа замкнутой сети.
Решение ищется на множестве значений интенсивностей
обслуживания fj,i i = 1, М и N, где iV - уровень мультипрограммирования.
Вектор обращений a = (а±, ..., ам) и вектор требований к
обработке заданий ш = (ш\, ..., шм) определяют параметры рабочей
нагрузки. Уровень мультипрограммирования N и вектор
быстродействия устройств b = (pi, ..., Ьм) составляют М + 1 переменных.
Отметим, что, решив задачу оптимизации относительно ц, переход к
параметрам Ь осуществляется с помощью формулы (2.65).
Уровень мультипрограммирования обычно ограничен
относительно малыми положительными числами, поэтому выбор
оптимального iV может быть определен путем дискретного поиска. Для
каждого значения N = 0, 1,... решается задача оптимизации
производительности ВС при ограничении на стоимость и вычисляется значение
целевой функции. Оптимальный уровень мультипрограммирования
iV* соответствует наибольшему значению целевой функции.
В таблицах 2.1 и 2.2 для модели, определенной на рисунке
2.1, приведены параметры рабочей нагрузки и оценки стоимости
устройств (величина Vi указана в миллионах операций, a Vi - в
миллионах слов, г = 2, М). Быстродействие устройств ввода-вывода
определялось в миллионах слов, передаваемых в секунду (с учетом
времени установки головок, поиска записи на дорожке и передачи
данных, которое находилось для емкости блока в 1000 слов).

Оптимизация замкнутых однородных сетей МО 129
В таблицах 2.3 и 2.4 представлены результаты решения задачи
оптимизации производительности ВС при ограничении на стоимость
S* = 1000 соответственно для исходных параметров нагрузки,
приведенных в таблицах 2.1 и 2.2. Стоимость раздела оперативной памяти
54 = 37,5.
Поиск решения системы (2.61), (2.62) осуществляется из
начальной точки /л?(г = 1,М).
Таблица 2.1

Устройство
ЦП
ВУ2
ВУЗ
ВУ4

Переходные

вероятности
Pi
0,50
0,50
0,30
0,15
Число операций
или
передаваемых слов на
одно обращение
Vi, млн.
0,020
0,001
0,001
0,001
Стоимостной

коэффициент Ri
1 187 870
778 700
778 700
2 021 690
Показатель
степени
a,i
0,52716
0,64572
0,645719
0,96651
Таблица 2.2

Устройство
ЦП
ВУ2
ВУЗ
ВУ4

Переходные

вероятности
Pi
0,02
0,052
0,31
0,15
Число операций
или
передаваемых слов на
одно обращение
Vi, млн.
0,020
0,001
0,001
0,001
Стоимостной

коэффициент Ri
118 770
778 700
778 700
778;700
Показатель
степени
Щ
0,52716
0,64572
0,64572
0,64572
После отыскания вектора решения fj, быстродействие устройств Ь{
(г = 1,М) определяется по формуле (2.65). Среднее время ответа
T=[N-L1(N)]/X1(N).
В таблицах 2.3, 2.4 оптимальная производительность
соответствует уровню мультипрограммирования N = 3. На рис. 2.3, 2.4
приведены зависимости оптимальной производительности от стоимости ВС,
полученные при различных значениях параметров нагрузки. Кривые
9 - 7659

130 Глава 2. Аналитические методы

Уровень
муль-
ти-
прог-
рам-
ми-
рова-
ния
2
3
4
5
6
7
8


мальная
про-
изво-
ди-
тель-
ность,
с-1
0,8239
0,8744
0,8693
0,7320
0,7926
0,7398
0,6836
Среднее
время
ответа,
с
2,427
0,3912
4,600
6,830
7,569
9,462
11,703
Таблица '.

Быстродействие

процессора
млн
оп/с
0,3959
0,0271
0,3760
0,3177
0,3321
0,3074
0,2823
2.3
Быстродействие
млн. слов/с
ВУ2
0,03448
0,0187
0,0222
0,0142
0,0159
0,0138
0,0120
ВУЗ
0,0247
0,0187
0,0150
0,0116
0,010
0,009
0,008
! ВУ,
ВУ4
0,0154
0,0118
0,0095
0,0059
0,0066
0,0056
0,0048
получены путем регрессионного анализа зависимостей оптимальной
производительности от стоимости ВС.
V1=0,02m
лн. оп.
р,=о,оз 02
0,5 1,0 1,5 2,0
0,5 1,0 1,5 2,0
Рис. 2.3
Рис. 2.4

"*
гм
[ица '.
r
г"3
Н
>>
PQ
CD
ТВИ
о
«
CD
Он
н
о
3
Ю
о
Он
н
о
3
Ю
CD
CD
Сред]
я
(-Н
я
О

Уровне
ы
о
>я
CD
fcC
s
CD
Он
И
аль-
s
ень
и
>цес-
Он
Я
сб
Н
CD
И
Н
О
S
я
[уль-
2
сб
Он
о
О
О
1
о
Он
я
я
Ен
Я
S
1
о
и
со
Я
рог-
я
о
я
о
1
л
Я CD
fcf Н
1 й
Он S
л
н
О гЧ
О |
я и
и S
О Я
Он Я
о
ов/
5
млн
"*
>»
PQ
СО
>5
PQ
(N
PQ
о г-
ю о
т—1 т—1
о о
о о
■* ю
■* 00
(N т-Н
о о
о о
ю о
СО (N
о о
о о
О 00
о ю
00 <N
СО СО
о о
■* 00
т-Н (N
СО CI
ю" оо~
г- о
ю ю
т-Н СО
СО СО
о о
<м со
О т-н Ol О СО
00 О Ю Ю ■>*
о о о о о
о о о о о
о о о о о
О т* Ю О 00
■ii сч о oi t-
т-Н т—1 т-Н О О
о о о о о
о о о о о
т-н О О 00 О
IN 00 Ю СО IN
IN т-Н т-Н т-Н т-Н
о о о о о
о о о о о
т-н Ю (N Ю О
IN (N О Ю (N
Ю Tf IN О! N
Ol CO CO <N <N
о о о о о
Ю (N Ю (N 00
Ь N 00 OS О
Ol Ю Ю Ю Tf
г- г. .-. «■- г.
т-н Ю Ol 1< О
т-Н т-Н т-Н (N СО
О тН 00 Ю т-н
-"* <N т!< ■>* СО
ПСЧ О OOffl
СО СО СО СЯ (N
о о о о о
-* Ю «5 О ОО

ГЛАВА 3
Вычислительные алгоритмы
(методы вычислений
характеристик сетей очередей)
3.1 Алгоритмы вычисления характеристик
однородных замкнутых
экспоненциальных сетей массового обслуживания
Рассмотренные в предыдущей главе методы исследования
локально-сбалансированных сетей МО позволяют получать решение
в удобной мультипликативной форме. Однако указанное решение
зависит от нормализующей константы, имеющей относительно простой
вид для открытых сетей МО, но представляющей собой сумму
произведений Zi(ni), ^2(^2), •••> %м(пм) для замкнутых сетей.
Количество слагаемых в этой сумме соответствует мощности пространства
состояний сети и даже для однородных замкнутых сетей составляет
/ N + M-1
\ М-1
Вследствие комбинаторного возрастания пространства состояний
сети МО при увеличении числа центров, классов и сообщений
мощность пространства состояний сети быстро возрастает, так что
прямой расчет нормализующей константы (например, по формуле
(2.22)) на современных ЭВМ практически невозможен даже для
сетей небольшой размерности.
Поэтому потребовалась разработка специальных методов
вычисления стационарных вероятностей состояний и других характеристик

Алгоритмы вычисления характеристик 133
замкнутых сетей МО, совокупность которых представляет собой
отдельный раздел теории сетей МО. Указанному разделу посвящены
многочисленные работы [5,41,152,153,161,242], первая из которых1
появилась в 1971 г. Основой большинства из перечисленных
алгоритмов является рекуррентный метод Бузена2, названный в дальнейших
работах алгоритмом свертки.
В настоящей главе даются описание и сравнительный анализ
основных алгоритмов, целью которых является вычисление
нормализующей константы; описываются вычислительные аспекты
алгоритма анализа средних значений, не требующего расчета
нормализующей константы, и обсуждаются вопросы практического
использования этих алгоритмов.
3.1.1 Метод Бузена
В соответствии с этим методом алгоритм расчета нормализующей
константы
м
gm(n)= J2 IIz*te)' (ЗЛ)
neS(N,M)i=l
где множитель Zj(nj) согласно (2.28), (2.36) имеет вид
„ , \ _ \ еТ /П?=1 А*гС?) 1 если центр г зависит от нагрузки,
У (ej//ij)n% если центр г не зависит от нагрузки,
а пространство состояний сети
S(N,M) = jn = (nbn2,...,nM) /j^ni = N, ni>0, г = Tjtf \
сводится к простой итеративной процедуре, суть которой состоит в
следующем.
Введем в рассмотрение функцию
то
g{n,m)= J2 Hzi(ni)- (3-2)
neS(n,m) г=1
1 Moor С. G. Network Models for Large-scale Time-sharing Systems.-Techn. Rep.,
University of Michigan, 1971, № 71-1.
2Buzen J. P. Computational Algorithms of Closed Queueing Networks with
Exponential Servers // Commun. ACM. - 1973. - Vol. 16, № 9.- P. 527-531.

134 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Очевидно, что g(N,M) = Gm{N) и д(п, М) = С?м(гг) для п = 0,N.
При m > 1 имеем
д(п,тп) = ^2
я=о
м
ne5(n,m),nm=H *=1
п т—1
= £Ят(Д) Е Т\2гЫ= (3.3)
Я=0 пе5(п-Н,т-1) г=1
п
= J2Zm(R)g(n-R,m-l).
я=о
Таким образом, для сети, состоящей из центров, интенсивность
обслуживания которых зависит от нагрузки1,
N
GM(N) = J2 Zm(R)GM-i(N - R). (3.4)
я=о
Если центр m не зависит от нагрузки, то выражение (3.3) можно
упростить. В этом случае
Zm(R) = (em/iim)R = x*= xmZm(R - 1). (3.5)
Подставляя (3.5) в выражение (3.3), после упрощений получаем
д(п, гп) = д(п, m - 1) + xmg(n - 1, m). (3.6)
Формулы (3.6) и (3.3) позволяют осуществлять рекуррентное
вычисление д(п,т) при начальных условиях д(п,1) = Z\(n), п = 1,N,
и д(0,т) = 1, т = 1, М. В таблицах. 3.1 и 3.2 дано
схематическое описание алгоритма Бузена. Столбцы таблицы заполняются
последовательно сверху вниз. Если центр т не зависит от нагрузки,
то элементы столбца гп вычисляются по формуле (3.6), в
противном случае используется выражение (3.4) и для отыскания значений
Zj(R) применяется рекуррентное выражение
1 Формула (3.4) определяет соотношение свертки двух векторов: Gm =
(Gm(0),Gm(1),...,Gm(N)) и Zm = (Zm{1),Zm(2),...,Zm(N)). Поэтому во
многих работах указанный алгоритм называют алгоритмом свертки.

Алгоритмы вычисления характеристик 135
Г7 1 \ / ц-т^'(^ — ■'■)' если узел % зависит от нагрузки,
\ XiZi(R — 1), если узел i не зависит от нагрузки.
Искомое значение нормализующей константы Gm(N) получается в
нижнем правом углу таблицы. Представляет интерес и весь крайний
правый столбец, так как в нем представлены величины Gm(^) {n =
Таблица 3.1
\ m
п \
0
1
п-1
п
N
1
1
Xl
х,-
Xl"
v N
Xl
2
1
m-1
g(n,m-l)
m
G(n-l,l
» '
g(n
VI)xxm
'
m)
M
1
g(l,M)
Gm(1)
•
G(n-
1,M)
GM(n-l)
g(n,M)
GM(n)
g(N,M)
GM(N)
Для заполнения таблицы 3.1 требуется 2NM операций
сложения и умножения; вычисления по таблице 3.1 требует 2NM(N + 1)
арифметических операций. Заметим, что в соответствии с
алгоритмом Бузена необходимо полностью сохранить столбец m — 1 до тех
пор, пока не вычислен последний элемент столбца т. Таким
образом, этот алгоритм требует 2(iV + 1) ячеек памяти для запоминания
элементов д(п,гп). Количество запоминаемых элементов можно
сократить, если вычисление элементов столбца т начинать с
последнего элемента д(п,т). Если вычислено значение g(N,m) в таблице
3.2, то отпадает необходимость запоминания элемента g(N,m — 1),
так как в соответствии с (3.4) он не потребуется для вычисления
g(N — l,m),g(N — 2, m), ...,g(l,m). Следовательно, для вычисле-

136 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Таблица 3.2
"V m
П Ч^
0
1
n-1
n
N
1
1
Z,(l)
Z,(n-1)
Z,(n)
Z,(N)
m-1
GtO.m-UZ^n)
U(l,m-i)z^,(n-i)
g(n-l,m-l)Zm(l) J
g(n,m)Zm(0)
m
g(r
t
f
4-
4-
i,m)
M
1
g(l,M)
GM(1)
g(n-l,M)
GM(n-l)
g(n-l,M)
GM(n-l)
g(l,M)
GM(N)
ния элементов в этом случае необходимо запоминать N + 1
элементов. Вычислительная эффективность алгоритма Бузена может
быть улучшена, если заполнение строк в таблицах осуществлять
по многомерной схеме Горнера, что позволяет сократить
количество арифметических операций при вычислении Gm(N) до величины
0,5(М -2){N- 1)N + 2{N - 1).
Дальнейшее упрощение вычислительной процедуры возможно в
частном случае сетей, зависящих от нагрузки, когда rn-й центр
сети содержит Ат одинаковых обслуживающих приборов. При этом
интенсивность обслуживания m-го центра:
fhn(R)
если 0 < R < Ат,
Атцт, если R > Ат;
Zm(R)
| *я/Д!,
L хт/\Ап
\AR~
если 0 < R < Ам ,
если R > Ат.
Последнее выражение можно записать в рекуррентном виде
(R)Z'm(R-l),R>l,
(3.7)
где Z'm(R) = ж«;

Алгоритмы вычисления характеристик 137
, ,m f [Л!]-1, еслиО<Л<Ато,
йт{Щ - | [Лт!Лй-Лт]-1; есди Д > Лто + 1.
Подставляя (3.7) в (3.3), получаем
д(п, т) = д(п, т - 1) + хг,
Ё ДП^ТО(Д)Р(П - Д - !' m - !)+
L Я=0
п-1
+ Е 4-{R)g{n-R-i, m-i)
я=л„
После преобразований имеем окончательно
д(п,гп) = д{п,т- 1) +
хп
д(п- 1, т)+
^"> ^ /Д _ D 1
+ Е ( о ■ , )^то(ДЖп-Д-1, т-1)
я=о
Д+1
(3.8)
Для сети, не зависящей от нагрузки (Ат = 1, т = 1,М),
выражение (3.8) совпадает с (3.6). Если Ат = 2, то
д(п, т) = д(п, т - 1) + жт[0(п - 1, т)+д{п-1, т- 1)]/3.
Выражение (3.8) позволяет значительно сократить вычисления по
сравнению с прямым использованием формулы (3.3) для случая,
когда центр т состоит из нескольких одинаковых обслуживающих
приборов.
В заключение отметим, что вычисляемые в результате работы
описанного выше алгоритма нормализующие константы не
являются однозначными, так как зависят от конкретного выбора величин
ej, определяемых из системы уравнений ej = Yli=iejPij, 3 = 1,М.
Решение этой системы уравнений, как было показано в предыдущей
главе, единственно с точностью до мультипликативной константы,
поэтому конкретное значение нормализующих констант Gu (n)
можно получить путем произвольного задания величины е^*, например
ej* = 1.

138 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
3.1.2 Вычисление характеристик сети
Стационарные вероятности маргинального распределения
количества сообщений в г'-м центре сети, не зависящей от нагрузки,
рассчитываются по формуле (2.31):
Ъ(п, N) = x?[GM(N - п) - XiGM(N -n- 1)}/GM(N), n = l,N,
где нормализующие константы (?м(п) определяются из последнего
столбца таблицы. 3.1. Для сети, зависящей от нагрузки, формула
(2.39) описывает маргинальное распределение
PM(n,N) = ZM(n)GM-i(N - R)/GM{N)
лишь для граничного центра М. Для отыскания маргинального
распределения количества сообщений в любом центре i при вычислении
величин д(п, гп) в таблице 3.2 необходимо перенумеровать центры
так, чтобы г-й центр стал граничным, и повторно применить
алгоритм Бузена.
Рассмотрим алгоритм вычисления маргинального распределения
Pi(n,N), позволяющий обойтись без повторной перенумерации
центров. Введем вспомогательную функцию
то
9i(n,m)= J2 П ZAni)-
n€S(N,M),m=N-n j=l,j=£i
Эту функцию можно рассматривать как нормализующую константу
сети, в которой отсутствует г-й центр и циркулирует ровно п
сообщений. Легко также видеть, что дм{п,М) = Gm-i(r) {n = 0,N). С
учетом определенной новой вспомогательной функции маргинальное
распределение принимает вид
м
к ' neS(N,M),m=n j=i
- Zi{n)-g(N-n,M). (3.9)
GM(NY
Остается отыскать алгоритм для вычисления вспомогательной
функции gi(n,rn). Из условия нормировки имеем
N N
Zi{R)
1=£ Pl(R, n)=y: gztn)9*{n -д'м)'
я=о я=о к '

Алгоритмы вычисления характеристик 139
откуда следует, что
N
GM(N) = J2 Zi(R)9i(N - R,M),
я=о
N
9i(N,M) = GM(N) - J2 Zi(R)9i(N - R,M). (3.10)
Я=1
В случае, когда г-й центр содержит Ai одинаковых обслуживающих
приборов, имеем
9i{n,M) = GM(n)- ~-
GM(n-l)+
А —2
+ Е [Ai^~l)zi{R)gl{n-R-l,M)
В частности, при А{ = 2
9i(n, М) = GM(n) - Ц [GM(n - 1) + 9i(n - 1, М)).
Значения вспомогательной функции gi(N,M) в выражении (3.10)
рассчитываются итеративно с начальным условием дДО, М) = 1.
Если нормализующая константа Gm{N) определена, то
вычисление маргинального распределения Pi(n, N) по формуле (3.9) с учетом
рекуррентного соотношения (3.10) требует всего N(N — 1) операций
сложения и умножения. Это значительно меньше, чем при
использовании повторной индексации, предусматриваемой алгоритмом Бузе-
на.
Другие характеристики сети, являющиеся функциями
нормализующей константы Gm(^), вычисляются по формулам, приведенным
в разделе 2.3. Отметим лишь, что коэффициент использования или
загрузку центра i (i — 1, М), зависящего от нагрузки, удобно
рассчитывать, используя вспомогательную функцию gi(N,M). По
определению загрузка Ui(N) представляет собой вероятность того, что г-й
центр занят:
N
Ui(N) = J2 Pi(n, N) = l- Pi(0, N).
Подставляя в последнее выражение значение РДО, iV) из формулы
(3.9), имеем
Ui(N) = l-9i(N,M)/GM(N).

140 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
3.1.3 Аналитическое представление нормализующей
константы
Для некоторых частных случаев однородных замкнутых сетей
МО может быть получен явный аналитический вид нормализующей
константы, что часто позволяет упростить и ускорить вычисление
нормализующей константы и соответственно других характеристик
сети.
Пусть сеть МО состоит из М однолинейных центров типа FCFS,
PS, LCFS, обозначенных номерами 1,2, ..., М', и М — М' центров
типа IS с номерами М' + 1, ..., М. Тогда в соответствии с (2.12)
стационарное распределение вероятностей состояний рассматриваемой
сети имеет вид х
P(nu...,nM) = G^(N)
м'
хТ
тт -^
11 гц\
i=M'+l
(3.11)
П
Обозначим через щ = 5Zj=M'+i n* количество сообщений в центрах
с номерами М' + 1, ..., М и n = (no,ni, ..., пм)- С учетом этих
обозначений выражение (3.11) преобразуется к виду
"о- ■ ,
1=1
Ем
i=M'+i xi и нормализующая константа
Gm(N)= Y1 ??П^- (3-12)
neS(N,M) °' *=1
Прежде чем переходить к выводу явного вида аналитического
выражения для нормализующей константы Gm/n), рассмотрим предва-
ритетельно замкнутую сеть МО, в которой присутствуют центры с
номерами М' + 1, ..., М (т. е. центры типа IS).
Нормализующая константа такой сети описывается выражением
м'
GM{N)= J2 Пх?> п'^щ.пг,..., пм>). (3.13)
n'eS(Jv.M') »=i
1 Результаты настоящего раздела справедливы и для сетей с несколькими
классами сообщений, если рассматривается укрупненное состояние центров, не
зависящее от классов сообщений.

Алгоритмы вычисления характеристик 141
Пусть в рассматриваемой сети могут быть выделены Mi групп,
каждая из которых содержит ш(г) обслуживающих центров с
одинаковыми значениями Xi (г = l,Mi, X^i=i m(0 = M'). Тогда явный
вид нормализующей константы Gm'(N) описывается следующим
выражением:
Mi m(i)-l / ,.. . ч
G„.(JV) = E^ E ( +т<*Ь^' W (3-Й)
где
Mi
AiO= П {[l-XH/xir^)}"1, t = M^;
Я=1, Я/г
^ = ^E^(-irr Е т(д)(^^У"Г'
J г=0 Я=1,Я/г ЧЖг XRj
i = l,Mi; j = 1,т(г)- 1.
В частном случае, когда сеть состоит из одинаковых (Mi =
1, х\ = Ж2 = •■■ = жм) или разнотипных центров (ш(г) = 1, Mi =
М') выражение (3.14) упрощается:
GM'(N) = { ^м- Л N
(N + m(i) — 1)х^ при М' = 1, х\ = Х2 = ■■■ = хт,
E£i ^<rf при mi = 1, Mi = М,
где
Г м' ч -1
Л = < П [1 - хд/xi]
[я=1, Я^г
Для доказательства утверждения (3.14) введем функцию
Mi
г(«)=х;[(1-^г(о]-1. (з.15)
i=l
Разлагая T(t) на простые дроби, получаем
Mi m(i) — l
T(t) = Y у - Al{ 1Л . , (3.16)
г=1 7=0 x '

142 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
где А^ - константы, подлежащие определению. Из выражения (3.13)
следует, что G'M(N) равна коэффициенту при tN в разложении T(t)
и имеет вид
Mi m(i)-l
i=l j=0
n + m(i) — j — 1
n
47 ■
Для отыскания коэффициентов .Ац обозначим
Я=1, R^i
Из (3.15) и (3.16) следует, что
Mi
Xi
Ai0 = H(t)
Я=1, Я^г
9»
Hj
(-х*)^! a#
tf(i)
, 1 < i < Mi; 1 < j < т(г) - 1. (3.17)
Теперь значение А^ может быть определено через Air, г = О,1,..., j —
1, следующим образом:
dt
H{t) =
Mi
Етг,
т
Я=1, П.фг
m(R)xR
xRt
H{r) = WH^Fr = o%FU= £
H(t) = F(t)H(t);
r\xrjtlM(R)
(3.18)
Я=1, Яфг v n '
Из (3.18) следует
r=0 ^ '
Подставляя (3.17) в последнее выражение при t = ■£;, получаем
(-XjYJlAj = £ ( 3" I ) [{-XiYr\Air]F^l-% = -. (3.
r=0 V ' Xi
(3.19)
20)

Алгоритмы вычисления характеристик 143
После подстановки в (3.20) формулы (3.19)и упрощений получаем
окончательно
J г=0 Я=1, Вфх
XR
Xi -XR
J-r
1 < i < M'; 1 < j < M(i) - 1,
что завершает доказательство утверждения.
Вернемся теперь к выводу явного аналитического выражения для
нормализующей константы Gm(N)- Как легко видеть, из формулы
(3.12) следует
Gm(N) = ^Gm/(R)t^^.
Подставив (3.14) в последнее выражение и изменив порядок
суммирования, получим
Mi N l I \N-R M« / , / л ,
г=\ Я=0 ^ '" j=0 ^
В частных случаях, когда все Xi одинаковы или различны, последнее
выражение упрощается. Например, для случая, когда все х^
различны,
М' JV
м ™ ( I \Я
GM{N) = YJAixfY,^L-
г=1 Я=0
Используя явный вид выражений для нормализующей
константы и формулы раздела 2.2 для расчета различных характеристик
сети, можно получить простые аналитические выражения для
соответствующих характеристик сети. Например, средняя длина очереди
в г-м центре сети, в которой отсутствуют центры типа IS и все Х{
различны, описывается следующим выражением:
А >г-\>г^ _ rN]
(м\ = 1 ^ ArXj[xr —
Л ' GM(N)^ Xr-Xi
Gm(N) r=1
Аналитические выражения позволяют в некоторых случаях
значительно сократить количество арифметических операций при
вычислении нормализующей константы по сравнению с методом Бузе-

144 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
на. Проиллюстрируем это на примере сети с одинаковыми
значениями Xi = х. В этом случае
GM,(N)=l N )x" = _J](M' + t-l).
Переписав это выражение в рекуррентном виде, получим:
G'M(N) = G'M/(N-lf{M'+NN + l),N>l;
G'M(0) = 1. (3.21)
Отсюда следует, что количество арифметических операций,
необходимых для вычисления Gm' (N), не зависит от числа центров в сети
М и составляет 4ЛГ, что значительно меньше, чем при использовании
алгоритма Бузена.
3.1.4 Пример расчета
Рассмотрим применение описанных выше алгоритмов для
расчета модели мультипрограммной ЭВМ, представленной на рис. 2.1.
Элементы матрицы маршрутов в этом случае имеют вид:
Pij = Pj, 1<3<M;
Рц = 1, 2 < i < М;
Pij = 0, 2 < i < М и 2 < j < М.
Система уравнений
м
для рассматриваемой сети имеет вид
м
ei = eiPi + ^2 eR' е^ = е1рь 2 < г < M.
Я=2
Как уже отмечалось, одно из значений е^ (г = 1,М) может
выбираться произвольно. Положим для удобства дальнейших вычислений
е\ = \х\ где \х\ - интенсивность обслуживания центрального
процессора. Тогда из (3.22) следует, что е^ = \х\Р{.

Алгоритмы вычисления характеристик 145
Таблица 3.3
S\ m
\
n ^^J
0
1
2
3
4
2
1
2
3
4
5
3
1
3
6
10
15
4
1
4
16
42
99
Пусть М = 4, Ц\ = 1/36 мс х, ^2 = 1/60 мс 1, /лз —
1/180 мс"1, Ц4 = 1/720 мс"1, Pi = 0,1, Р2 = 0,6, Р3 = 0,2, Р4 =
0,1, тогда величины xi = е^/щ равны соответственно: х\ = 1, х2 =
1, жз = 1, ж4 = 3. Теперь для определения нормирующей константы
Gm(N) можно воспользоваться алгоритмом Бузена. Полагая N = 4
и вычисляя элементы д(п, т) таблицы 3.1 по формуле (3.6), получаем
таблицу 3.3.
В правом столбце таблицы 3.3 получены значения См{п): G4(0) =
1; G4(l) = 5; G4(2) = 16; G4(3) = 42; G4(4) = 99. Знание
величин Gm^) позволяет определить различные характеристики
рассматриваемой системы. Например, вероятность занятости
центрального процессора Р{п\ > l,N) в зависимости от уровня
мультипрограммирования N определяется формулой Р(п\ > 1, N) —
x\Gm(N — 1)/Gm(N). Задавая iV = 1, 2, 3, 4 и учитывая, что
х\ = 1, находим соответственно следующие значения вероятности
занятости: 1/5; 5/16; 16/42; 42/99.
В соответствии с выражением (2.33)( определим среднюю длину
очереди программ, ожидающих обработки в центральном
процессоре:
JV
ЬЛЮ = Y, *iGm{N - R)/GM{N).
Я=1
При N = 4 имеем
Li(AT) = [G4(3) + G4(2) + G4(l) + G4(0)]/G4(0) - 64/99.
10 - 7659

146 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Аналогично определяются производительность и другие
показатели качества функционирования рассмотренной модели
мультипрограммной ЭВМ.
Следует отметить, что вычисление характеристик сети можно
упростить, используя явный аналитический вид нормализующей
константы. Заметив, что М' = 3 центра в рассматриваемой модели
обладают одинаковыми значениями xi(x\ = х2 = Хз = #4 = 1),
воспользуемся формулой (3.21) для вычисления нормализующей
константы GM'(N). При N = 4 имеем: G3(0) = 1; G3(l) = 3; G3(2) =
6; (?з(3) = 10; (?з(4) = 15. Таким образом, используя (3.21), мы
получаем значения элементов третьего столбца в таблице 3.3 без
предварительного расчета первых двух столбцов. Этот факт может
оказаться важным при расчете сетей МО большой размерности.
3.2 Расчет сетей с несколькими классами
сообщений
В настоящем разделе вычислительные методы анализа сетей МО
с одним классом сообщений обобщаются и расширяются на случай
сетей МО с несколькими классами сообщений. Первоначально
ограничимся анализом замкнутых сетей МО, в которых при переходе из
одного центра в другой класс сообщений не изменяется.
Обозначим через Pij(r) вероятность того, что сообщение класса
г (г = l,R) после окончания обслуживания в г-м центре поступает
в центр j (г = 1,2, ...,М). Агрегированное состояние сети обозначим
через п(п1,Пг, ...,пм), где п, = (пц, ...,Пгд) и щг - число
сообщений г-го класса в г-м центре. Величина щг должна удовлетворять
следующим условиям:
1. nir > 0, г = 1,М; г = T^R;
2- X^r=i Si=i nir = ^> ГДе N - общее число сообщений в сети;
3- Y,i=inir = Nr, r = l,R.
Теперь множество возможных состояний можно определить
следующим образом:
S(N1,N2,...,NR,M) =
м
= {п| 0 < nir < Nr, 1 < г < М, 1 < г < R, ^ щг = Nr}.
*=i

Расчет сетей с несколькими классами сообщений 147
Сохраняя все предположения раздела 2.4 относительно четырех
типов центров обслуживания, выражения для вероятностей
состояний сети .Р(п) = P(ni, ...,пм) по аналогии с (2.38) могут быть
представлены в следующей обобщенной форме:
м
Р(п) = СГ1(ЛГ1,ЛГ2,...,ЛГд) JJZi(m); (3.22)
t=i
пЛ П.—i tti ( тг11 1 1 если г-й центр не зависит
от нагрузки и имеет
дисциплину обслуживания
FCFS, PS или LCFS,
Пг=1 7iHeirr> если *-й центр зависит
^i(ni)
IlSUwW
ПЯ 1 / е^Л
r=l nir\ \tiir ) '
от нагрузки и имеет
дисциплину обслуживания
FCFS, PS или LCFS,
если г-и центр имеет
дисциплину обслуживания IS.
Здесь е^д определяется из системы уравнений
м
ejR = ^eiRPij(r) (j = lTM; r = T^R);
i=\
щ означает общее число сообщений любого класса в центре г (щ =
Sr=i nir) и Для дисциплины обслуживания FCFS предполагается,
ЧТО /Mi = Цг2 = •■• = HiR = Цг.
Перейдем теперь к описанию эффективных итерационных
алгоритмов расчета характеристик замкнутой сети МО с несколькими
классами сообщений.
3.2.1 Вычисление нормализующей константы
Из формулы (3.22) и условия нормировки
neS(Nx,...,NR, М)
следует, что выражение для нормализующей константы имеет вид
м
G{Nlt...,NR)= Y1 П^(^)-
neS(N1,...,NR,M)i=l

148 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Для упрощения дальнейших выкладок введем следующие
обозначения:
Nr= (N1,N2,...,Nr); nR = (m,n2,...,nfi);
Kr. = (Ri,R-2,...,Rr);
Or = (0,0, ...,0) - вектор, все коэффициенты которого равны нулю;
1Г = (0,0,..., 1,..., 0) - вектор, у которого r-я координата равна
единице, а остальные нулю;
NR NR N2 N2
E -E = -E-Ei
Kr=Or Дд=0 Я2=0 fii=0
x _ / 0, если щ — п.2 = ... пд = 0,
(пи) ^ 1, в противном случае.
В этой системе обозначений нормализующая константа принимает
вид
м
G(NR)= Y1 П^(п')-
neS(NR, М)»=1
Из последнего выражения следует, что для вычисления G(NR)
требуется Д-мерный массив [0, ...,Ni,0,..., N2, ...,0, ...,Nr]. Число
элементов этого массива равно Ylr=1(Nr + 1) и определяет
необходимый объем оперативной памяти ЭВМ при вычислении
нормализующей константы.
Так же, как при использовании алгоритма Бузена, введем
вспомогательную функцию
m
3m(nR) = 2 JJ Zi(m).
neS(nR, m) «=1
Очевидно, что G(NR) = #m(nr) и G(nR) = gm(nR) при всех
значениях nr(l < г < R). Вспомогательная функция gm(nR) может быть
представлена в следующем рекуррентном виде:
m nR m
neS(nR, m) i=\ Kr=Or neS(nR, m), nm=KR i=\
nR m— 1
= £ Zm(KR)x J] П^(^) =
Kr=Or neS(nR-KR, m-l) i=l

Расчет сетей с несколькими классами сообщений 149
nR
= ^ Zm(KR)(?m_i(nR-KR).
Kr=Or
Более подробно
9m(nh...,nR) = ^ ••• ^2 Zm(Rl,-,RR)Xgm-l{ni-Rl,-,nR-RR).
Rr=0 Ri=0
(3.23)
Рекуррентное соотношение (3.23) используется в том случае, когда
интенсивность обслуживания центра m зависит от нагрузки. Если
центр m не зависит от нагрузки или содержит несколько одинаковых
обслуживающих приборов, то выражение (3.23) упрощается.
Перепишем (3.23) в виде
ПИ
9m (nR) = 9m-i (nR)+ Yl 5(KR)^m(KR)gm_1(nR-KR). (3.24)
Kr=Or
Для центра m, не зависящего от нагрузки, с дисциплиной
обслуживания FCFS, PS или LCFS справедливо представление
./X / 1 \ I 71 1
Tlmr\Jlm !)•
R хПт"' R
x ; ;
i=l, гфг ml r=l
П -**: = J]^mr^m(nR-lr). (3.25)
Подставляя (3.25) в (3.24) и опуская промежуточные выкладки,
получаем
Я
Ут Ут—1 (nR - 1г). (3.26)
г=1
Предполагается, что y"m(nR — 1г) = 0, если хотя бы одна из
координат вектора nR — 1г меньше нуля. Последнее выражение является
обобщением формулы (3.6) алгоритма Бузена.
Аналогичным образом упрощается вычисление нормализующей
константы для центра, состоящего из Ат обслуживающих приборов.
В этом случае из (3.23) получим
1 Д
9m(nR) = gm-i(nR) + -j- ^2xmr[gm(nn. - lr)] +
Лт r=i

150 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Таблица 3.4
0
1
п2-1
1
ЫпьПг-^Хтг
п2
1
gm(n,-l,n2)xml
_
т
gm(ni,n2)
gm-l(ni,n2)Xm2
N2
1
gM(nbN2)
gM(NbN2)
n,-l
ni
nR_lr A — Ff — 1
+ E + о T"i 4,(KBWi(ni - 1, - KR), (3.27)
где i?m < Am - 3.
Начальными условиями для использования рекуррентных
соотношений (3.23), (3.26), (3.27) являются
1
9i (nR) = Е IIZi(ni) = Zl(n*)
ne5(nR, l)i=l
или д1(п1,п2,...,пя) = Zi(ni,n2,...,nR) для пх = 0,1, ...,ЛГьп2 =
0,1,...,ЛГ2,...,пд = 0,1,...,ЛГд.
В таблице 3.4 приведен алгоритм вычисления нормализующей
константы замкнутой сети МО с двумя классами сообщений для
центра ш, интенсивность обслуживания которого не зависит от
нагрузки. Из формулы (3.26) и таблицы 3.4 следует, что заполнения массива
чисел (дт) требуется полностью хранить массив (gm-i)- Некоторые
полезные соображения, позволяющик сократить расход машинного
времени и необходимый объем оперативной памяти ЭВМ при
расчете нормализующей константы, будут рассмотрены в разделе 3.4.

Расчет сетей с несколькими классами сообщений 151
3.2.2 Маргинальное распределение длины очереди и
пропускная способность
Маргинальное распределение длины очереди сообщений пг
класса г = 1,2,..., R в г-м центре определяется из выражения
Pj(nR,NR)= ^ Р(П1,...,П4_1, ПН, Пг+Ь...,Пм) =
neS(NR, M), ni=nR
-^ Е П *<■.)• (з-и)
V Л; neS(NR, M), ni=nRi=l jVi
Распространяя определение вспомогательной функции на сети МО с
несколькими классами сообщений, получаем
0»(nR,m)= J^ JJ Zj(nj).
neS(NR, m), ni=NR-nR i=l jVi
Тогда маргинальное распределение (2.27) можно переписать в виде
i>i(nR,NR) = Zi(nR)^(NR - nR) M)/G(NR), nR = 0R,NR.
(3.29)
Теперь необходимо получить рекуррентное соотношение для
вычисления <?j(nR,m). Из условия нормировки
NR
J2 Pi(KR,NR) = l, i = l,M,
kr=or
и формулы (3.29) следует
NR
G(NR) = ^ ^(KR)5i(NR - KR, M)
KR=0R
или
NR
fil(NR, M) = G(NR) - J2 *(Kr)^(Kr)^(Nr - KR, M).
KR=0R
Значения вспомогательной функции рассчитываются рекуррентно с
начальным условием <?i(0R, М) = G(0R) = 1.
Как обычно, упрощения имеют место в том случае, когда центр
г не зависит от нагрузки или состоит из нескольких одинаковых
обслуживающих приборов. Для центра, не зависящего от нагрузки,

152 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
R
01 (nR, М) = G(nR) - J2xirG(nR - lr).
г=1
Если центр г содержит Aj приборов,
1 Я
5l(nR, М) = G(nR) - х 5Z ^[G(nR - 1Г)]+
г г=1
"r-1r /1 _ /? _ 1
+ Е ' д,. + 1 ^(KR)g,(nR - 1Р - KR, M).
Kr=Or, Ri<ai-2 Щ +
Таким образом, маргинальное распределение длины очереди
сообщений класса г (г = 1, К) в г-м центре можно определить из
следующего выражения:
Zi(nR) [G(NR - nR) - если центр i
~ ^2^=1 xir G(nR - lr - nR)], не зависит
от нагрузки,
G(N^gi(NR - nR, M), если центр i
зависит от
нагрузки.
(3.30)
Переходя к отысканию выражения для пропускной способности
Ajr(NR) центра i для сообщений r-го класса, отмечаем, что при
определении вероятности Pj(nR, NR) не учитывается порядок
расположения сообщений в центре. Для расчета пропускной способности
необходимо знать вероятность того, что центр занят сообщениями г-го
класса. Именно поэтому в формуле для расчета пропускной
способности
Nr
MNR)= V Pi(nR,NR)^(ni)
hr=1r
Pi(nR,Nn) = {
появляется сомножитель щг/щ. Подставляя в последнее выражение
значение Pj(nR, NR) из (3.30), получаем
Nr 7 , ч
Air(NR)= J2 =^!Н(Пк-пк,м№щ{щ).
HR = lR G(NR)

Расчет сетей с несколькими классами сообщений 153
Из (3.22) легко получить, что
вгг".' »(ni~ г) если в центре г дисциплины
, . _ . обслуживания FCFS, PS или LCFS,
А{Щ) - < zdm-u)
£ir I „ i если в центре г дисциплина
обслуживания IS.
(3.31)
Следовательно, при дисциплине обслуживания FCFS, PS и LCFS
в центре г
V^ ^("i ~ lr) ^ Л/П e,rG(Nj - 1г)
\UNn) = eir £ G(Nr) ^(NR-"R>M)= g(Nr) •
(3.32)
Аналогично легко проверить, что формула (3.32) справедлива и
при дисциплине обслуживания IS в центре г. Выражение (3.32)
является многомерным аналогом формулы (2.28) для расчета пропускной
способности центра г однородной замкнутой сети МО.
Для центра, не зависящего от нагрузки, пропускная способность
равна произведению загрузки £/ir(NR) на интенсивность
обслуживания, поэтому
0ir(NR) = Air(NR)Mr = xirG(NR - 1p)/G(Nr).
Загрузку центра, зависящего от нагрузки, следует рассчитывать в
соответствии с определением как вероятность занятости центра:
Nr
MNR)= J2 ^i(nR.NR) —.
nR=lR
В заключение приведем полезное рекуррентное соотношение для
маргинального распределения длины очереди, используемое в
методе анализа средних значений. Когда интенсивность обслуживания
центра % зависит от нагрузки, из (3.30) и (3.25) имеем
D/ 1VT \ V^ -7МЧТ 1 4&(Nr-I1r,M)
^(nR,NR) = 2^xirZi{NR - lr) gTNrI '
Перепишем это выражение в виде
of тчх л ^ eir G(NR - lr) v , Л Ngj(NR-nR,M)
^»(nR,NR) = 2^- rn~ ч yZi(nR-lr)—— i-r—.
fr^Hir b(JNRj G(JNR-lrj

154 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
С учетом (3.32) получим окончательно
fi(nR,NR) = V Xir{Nn)Pi(nn - lr, Nr-1p). (3.33)
r=l ^ir
Аналогично для г'-го центра с дисциплиной обслуживания FCFS,
ICFS или PS может быть получено рекуррентное соотношение для
маргинального распределения общей длины очереди (без учета
классов)
Nr Я
Pi(n,Nn) = Y^ #(nR,NR), ni = J2nR-
nR=0R Я=1
Подставляя сюда (3.33), имеем
Pi(n,Nn) = J2 Atr(NR)^(n - 1, NR - 1P). (3.34)
r=l ^lr
3.2.3 Расчет среднего времени ожидания и
средней длины очереди
Среднее число сообщений класса г в центре i с дисциплиной
обслуживания FCFS или LCFS, PS по определению равно
Nr
mnr) = J2 р^п^ NR)n>- (3-35)
na=la
Последовательно подставляя в это выражение (3.30), (3.31) и (3.33),
получаем
Nr
MNr) = Air(NR) J2 niPi(nB. - lr, Nr - lr).
hr=1r
Отсюда после преобразований имеем
MNR) = MNr)[1 + Li(NR - lr)], (3.36)
где Lj(Nr) означает среднюю общую длину очереди в г-м центре.
Очевидно, что
R R
Li(NK) = ^Lir(NR) = J2Uir(NR)[l + Li(NR - lr)]. (3.37)
r=l r=l

Расчет сетей с несколькими классами сообщений 155
Выражение (3.37) позволяет рекуррентно рассчитывать Lj (Nr) с
начальным условием Lj(Or) = 0.
Если узел М зависит от нагрузки, то, подставляя в (3.23)
значение Рг(пц, Nr) из формулы (3.30) и учитывая, что <?m(Nr,M) =
9m-i(Nr), получаем
Nr
£Mr(NR)= Yl "r^M(nR)pM-i(NR-nR)/G(NR).
nR = lr
Это позволяет использовать вспомогательную функцию <?m(Nr) для
вычисления Ьмг(^к)-
При дисциплине обслуживания IS наиболее эффективна формула
Литтла. Так как среднее время ожидания сообщения в центре с
дисциплиной обслуживания IS равно 1/^г, то Lj,.(Nr) = Xir0^n)/l^ir-
Значение среднего времени ожидания сообщений г-го класса в
центре г с дисциплиной обслуживания FCFS, PS или LCFS можно
определять по формуле Tir = Lir(NR)/Ajr(NR), которая после
подстановки в нее (3.34)может быть представлена в рекуррентном виде
Tir(NR) = [l + L<(NR-lP)]//*<r.
3.2.4 Алгоритм расчета замкнутой сети МО,
допускающей изменение класса сообщений
Рассмотренные выше методы расчета обобщим на случай, когда
сообщения могут изменять принадлежность к классам. Для
описания способа прохождения по сети необходимо вернуться к
обозначениям раздела 2.3, где Pirjs - вероятность того, что сообщение г-го
класса, закончившее обслуживание в г'-м центре, перейдет в j'-й центр
и станет сообщением s-ro класса (1 < г, j < М; 1 < г, s < R).
В начале этого раздела перечислены три условия, которым
должны удовлетворять величины щг, описывающие состояние сети.
Первые два условия сохраняют силу и в рассматриваемом случае.
Однако третье условие, состоящее в том, что суммарное число сообщений
класса г во всех центрах равно Nr, оказывается неверным. Это
связано с тем, что при прохождении по сети сообщение может изменять
свой класс и, следовательно, общее число сообщений любого класса
не является постоянным. Поэтому для того, чтобы воспользоваться
методами расчета, описанными в пп. 3.2.1-3.2.3, необходимы
дополнительные построения.
Разобьем множество классов сообщений {1,2,...,Д} на
непересекающиеся подмножества, такие, что если класс г принадлежит под-

156 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
множеству а, то сообщение этого класса при прохождении по сети
может перейти за конечное число шагов в любой другой класс s,
который также принадлежит подмножеству а. Если в исходной сети
сообщение не может изменить свой класс, то очевидно, что каждое
подмножество содержит один класс.
Такое разбиение на подмножество гарантирует то, что классы
сообщений в разных подмножествах не могут сообщаться между собой,
и, следовательно, общее число сообщений в любом подмножестве
(называемом в дальнейшем «укрупненным классом») остается
постоянным.
Процедура идентификации «укрупненных классов» состоит из
двух этапов. На первом этапе определяется множество всех
классов, в которых может находиться сообщение класса г (1 < г < R).
Второй этап сводится к устранению дублирующих множеств.
Обозначим оставшиеся и множеств через ЕС\,ЕС2,---,ЕСи. Очевидно,
что и < R. Предположим, что N{. означает начальное число
сообщений в классе г (раньше использовалось обозначение Nr). Тогда
Ns = Y2reE ^r(s = 1>U) Равно числу сообщений в «укрупненном
классе» s. Таким образом, для сети, в которой допускается
изменение класса сообщений, получено третье условие, состоящее в том, что
число сообщений в «укрупненном классе» Ns остается постоянным.
Теперь можно определить множество возможных состояний сети:
S(N1,N2,..., Nu, M) ={ щ, п2, .., пь ..., пм|щ =
= (пц,..., nir,..., niR), пц > 0, 1 < i < М, 1 < г < R,
^2 Щг = 7VS, s = T~u)}.
reEs
Общее число возможных состояний равно
Л/ M\ECS\ + NS-1 \
П V M\ECS\ - 1 ) '
где |.ECS| - число элементов множества ECS.
Поясним сказанное выше на примере замкнутой сети массового
обслуживания с тремя классами сообщений (R = 3) и двумя
центрами (М = 2), в каждом из которых дисциплиной обслуживания
является FCFS.
Предположим, что общее число сообщений в сети N = 10
распределяется между классами следующим образом: N[ = 2, Щ =
3, Щ = Б, & матрица маршрутов указана в таблице.

Расчет сетей с несколькими классами сообщений 157
\j s
i г ^\
(1.1)
(1.2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(1,1)
1/2
0
0
1/4
0
1/2
(1,2)
0
0
0
0
1
0
(1,3)
0
0
3/4
0
0
0
(2,1)
0
0
0
3/4
0
0
(2,2)
0
1
0
0
0
0
(2,3)
1/2
0
1/4
0
0
1/2
Заметим, что сообщения класса 1 при поступлении в центр 2
переходят в класс 3, а сообщения класса 3 переходят в класс 1 по
прибытии в центр 1 (Р1д;2,з = 1/2 и -P2,3;l,i — 1/2)-
Применяя процедуру идентификации «укрупненных классов»,
имеем:
этап 1 (образование подмножеств сообщающихся между собой
классов) Су = {1,3}; С2 = {2} иС3 = {1,3};
этап 2 (устранение дублирующих подмножеств) ЕС\ =
{1,3};С2 = {2}.
Таким образом, из трех исходных классов R = 3 получено два
укрупненных класса (и = 2). Число сообщений в «укрупненных
классах» соответственно равно iVi = N[ + Щ = 7 и N2 = N^ = 3. Так
как \ЕС\\ = 2 и \ЕС2\ — 1, то общее число состояний сети равно 480.
Распределение вероятностей состояний сети с «укрупненными
классами» имеет вид
м
Р(п) = Р(щ,..., пь ..., пм) = G-^m,..., Nu) JJ Zi(m),
i=i
где Zi{n\) - функция, которая была определена в предыдущем
разделе; вгг - решение системы линейных уравнений:
R М
ejs = 5Z X! eirpir,js, I < s < R, l<j<M;
r=l i=l

158 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
G(Ni,...,Nu) - нормализующая константа,определяемая из условия
neS(Nu, м)
Алгоритмы вычисления основных характеристик сети
практически полностью совпадают с соответствующими алгоритмами для
сети МО с несколькими классами сообщений (см. предыдущий раздел).
Отличие состоит лишь в том, что вместо классов сообщений
используются «укрупненные классы» и функция xmr = emr/fimr
преобразуется К ВИДУ Xmr = Y,s€ECr emr/HmS-
Читатель, интересующийся более подробным изложением этого
вопроса, может обратиться к [152].
3.3 Вычислительные аспекты метода анализа
средних значений
3.3.1 Основные соотношения
Рассмотренный в разделе 2.4 алгоритм анализа средних значений
легко распространяется для случая сети МО с несколькими
классами сообщений. Без ограничения общности будем полагать, что
сообщения не могут изменять класс при переходе из одного центра в
другой (в разделе 3.2 было показано, что сеть, в которой
сообщения изменяют принадлежность к классу, может быть преобразована
в эквивалентную сеть, где такое изменение отсутствует).
Обозначим через г* номер произвольного выделенного центра
сети. Тогда интенсивность потока сообщений r-го класса, проходящих
через г-й центр (г ^ **),
Air(NR) = eirAi*r,
где eir - среднее число посещений сообщением класса г центра j
между двумя посещениями им выделенного центра. Значения ejr
однозначно определяются из системы уравнений
м
^г = ^2 eRrpRi{r)\ ei*r = 1.
R=l
Для сети МО с несколькими классами сообщений и центрами
обслуживания, зависящими от нагрузки для вычисления Tjr (Nr)
требуется предварительный расчет величины Pi(nR,NR), которая по

Вычислительные аспекты метода анализа средних значений 159
аналогии с (3.33) может быть представлена в виде
Pi(nn,NR) = J2 A<r(NR)Pi(nR - lr, NR - lr)Mr(nr). (3.38)
r
Основные этапы доказательства последнего соотношения полностью
совпадают с выводами формулы (3.33). Покажем теперь, что
среднее время ожидания сообщений r-го класса в г-м центре,
зависящем от нагрузки, может быть выражено через характеристики сети
-D(Nr — 1) следующим образом:
TV
Tir(NR) = J2nPi(n - 1,Nr - 1а)Мг(п). (3.39)
n=\
Действительно, из определения L^Nr) и (3.30)-(3.32), (3.38) имеем
Nr
£*r(NR) = Yl nrAir(NR)Pi(nR - lr, NR - lR)Mr =
nR=lr
N NR
= J^nAM-(NR) Yl ^(nR-lr, NR-lR)/^r(n) = Air(NR)x
71=1 nR = lr
TV
Х^пРг(п - 1, Nr - lR)Mr(n).
n=l
Выражение (3.39) следует из формулы Литтла Lm-(Nr) =
Air(NR)Tjr(NR) и является многомерным обобщением (2.44) для
сети с несколькими классами.
3.3.2 Оценка эффективности вычислительного
алгоритма
Рассмотрим вначале алгоритм анализа средних значений для
сети, состоящей из однолинейных центров с дисциплиной
обслуживания FCFS, LCFS, PS или центров с дисциплиной обслуживания IS.
В этом случае »из (З.ЗЭ)следует
Tjr[l + Lj (NR — 1r)], если дисциплина обслуживания
m ,- т . . в г-м центре FCFS, LCFS или PS;
Jjr(JNR) = <
1 Tir, если дисциплина обслуживания
в г-м центре IS.

160 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Введем для удобства следующие обозначения: prj = eirTir, T*r =
eirTir, Ц = \- U, S(R) = 1 при R > 0 и 6(0) = 0.
Алгоритм расчета среднего времени ожидания Tjr (Nr), средней
длины очереди Lj,.(Nr) и пропускной способности Ai,.(Nr) не
требует вычисления маргинального распределения Pi(n, Nr) и включает
следующие шаги:
Шаг 1. Инициализация: L*(0) = 1 для всех % = 1,2, ...,М.
Шаг 3. Главные циклы: для щ = 0,1, ...,Ni, ...,пц = 0, 1,...,Nr
выполнять шаги 3, 4, 5.
Шаг 3. Вычислить
П-Ы)
ргГЬ*(пц — 1г), при дисциплине обслуживания
FCFS, LCFS или PS;
pjr(5(riR,), при дисциплине обслуживания IS
для всех г = 1, R и i = 1, М.
Шаг 4- Формула Литтла для сообщения r-го класса
пг
Ar(nR) = _ для всех r = l,R.
Шаг 5. Формула Литтла для узлов
L*(nR) = 1 + J2 Ar(nR)i;;(nR) для всех i = TJd.
г
Алгоритм требует 2RM — R операций сложения и 2RM+R
операций умножения (деления) на шаг основного цикла. Общее количество
шагов составляет Пг=1 -/V,.. При этом требуется оперативная память
порядка MjTr=1 Nr, что сравнимо с объемом памяти, требуемой для
алгоритма, описанного в предыдущем разделе.
Рассмотрим теперь расширение вычислительной процедуры для
случая, когда сеть включает многолинейные центры с дисциплиной
обслуживания FCFS. Выражение (3.39) в этом случае по аналогии с
(2.45) представляется в виде
Tir(NR) = п + ^-[Bi(NR - 1Р) + ^(Nr - 1г)].
Последняя формула может быть переписана в виде, более удобном
для реализации вычислительной процедуры:
Tir(NR) = ^
Hi
Ai-2
1 + Li(NR - lr) + J2 (Ai - l - n)p^n' NR - lr)
n=0

Вычислительные аспекты метода анализа средних значений 161
Вычислительный алгоритм усложняется из-за необходимости
расчета вероятностей Pj(n, NR) (п = 0,щ — 1). Необходимо также
определить начальные условия Pi(0, Nr), которые находятся из
соотношения
Аг
]Г(А; - n)Pi(n, Nr) = Ai - Ui(NR),
гг=0
где Uj(Nr) - среднее число занятых обслуживающих приборов,
которое определяется по формуле Литтла: Uj(Nr) = 5Zr=i ^ir(Nr).
Таким образом,
Pi(0,NR) = l
Ai
Ui(NR) + J^(Ai - n)Pi(n, Nr)
n=0
Теперь все подготовлено для формального описания алгоритма.
Шаг 1. Инициализация: L*(0) = 1, Pi(0,0) = 1, Pi(n,0) = 0, для
Г = 1,М, П = l,Ai- 1.
Шаг 3. Основной цикл по riR. Такой же, как и в предыдущем
алгоритме.
Шаг 3. Вычислить
т*гЫ) =
fj-i
Ai-2
L*(nR -iT)+^2(Ai-l- n)Pi(n, Nr - lr)
n=0
для г = 1,R и каждого многолинейного центра. Для остальных
центров используется шаг 3 предыдущего алгоритма.
Шаг 4- и шаг 5. аналогичны предыдущему алгоритму.
Шаг 6. Дополнительный шаг в основном цикле для вычисления
маргинальных вероятностей. Для всех многолинейных центров и п =
l,Ai — 1 вычислить:
1 Л
Ri(n, nR) = — 22 Air(nR)pirPi(n, riR - lr);
1 r=l
R
U,
.(nR) = ^Air(nR)pi.
r=l
Pi(0,nR) = l- —
Ai-l
Ui(nR) +^2(At- n)Pi(n,nR)
n=0

162 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Количество арифметических операций, необходимых для
выполнения одного шага основного цикла алгоритма, составляет примерно
5MR операций [включая 2(М + l)R операций сложения и 3MR + 2M
операций умножения (деления)]. На выполнение алгоритма
требуется память порядка M\\r=lNr, что сравнимо с соответствующим
алгоритмом свертки. Однако алгоритм анализа средних не требует
дополнительных усилий для предотвращения переполнения или
обнуления результатов в оперативной памяти ЭВМ и весьма прост для
программной реализации.
В заключение отметим, что описанный выше алгоритм легко
обобщается на случай зависимости интенсивности обслуживания
центра от нагрузки, если на шаге 3 используется выражение (3.39).
3.3.3 Расширение метода
Одно из существенных достоинств метода анализа средних
значений состоит в том, что он допускает эвристические решения для
расчета сетей МО большой размерности с произвольным
распределением длительности обслуживания в центрах. Хотя основное
внимание методам приближенного анализа сетей МО будет уделено в
главе 4, представляется целесообразным описание основной идеи и
вычислительных аспектов эвристического расширения метода
анализа средних значений привести здесь.
Введем корректирующую величину
4(Nr) = MNr) - MNr - lv).
Предположим, что имеется процедура для вычисления величины е\г
по средним величинам сети. Тогда средние характеристики сети,
состоящей из однолинейных центров с дисциплиной обслуживания
FCFS, LCFS, или PS, можно вычислить итеративно, решив
следующую систему нелинейных уравнений:
eZ = f({Lir,i = l,M;r = l,R}),
R
1ir — Pir
i + u-Y,
r=l
M
(3.40)
K = Nr /XX; (3.4i)
г=1

Вычислительные аспекты метода анализа средних значений 163
R
EVC, (3-42)
г=1
где для простоты во всех функциях опущен аргумент Nr.
Для оценки величины е(г делают следующие предположения:
1) изменение общего числа сообщений класса V на единицу слабо
влияет на среднее число сообщений другого типа в центрах сети, то
есть е\г = О, для V Ф г;
2) для V = г
4 = ^(Nr)-L;(Nr-1r),
где Lj(Nr) - среднее число сообщений в i-м центре однородной
сети, в которой циркулирует Nr сообщений и параметры центров
pi — pirfH/fHr- Заметим, что величины щ и щг вычисляются в одном
итерационном цикле алгоритма. Число арифметических операций,
необходимых для выполнения итерации, составляет MN, что
значительно меньше числа операций при выполнении первого алгоритма
в п. 3.3.3.
Еще более эффективные в вычислительном отношении оценки
для е(г предложены в [77,143]. В первой работе предложена
оценка
4 = {°/^г;ЛГ, (з.4з)
Г О V Ф г
во второй
где fir - «наблюдаемая» длительность обслуживания сообщений
класса г в i-м центре: fjr = пг/[1 + ArTjr — Ylj=i ^jTij]! a — (^Уй +1)/3-
При этом точность вычисления результатов остается приемлемой
для решения практических задач [77]. Более того, в [263] показано,
что точность расчетов при использовании приближенного алгоритма
увеличивается при увеличении размерности сети.
Дальнейшее расширение описанного выше алгоритма возможно
на класс сетей МО с произвольным распределением длительности
класса обслуживания в центрах. В этом случае величина T^Nr)
складывается из следующих компонент:
1) средней длительности цг обслуживания сообщения класса г в
г-м центре;
2) средней длительности обслуживания сообщений, уже
находящихся в очереди г'-ro центра в момент поступления сообщения г-го

164 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
класса
R
5^7ij[Lij(NR - 1Г) - Py(NR - 1Г)];
3=1
3) средней оставшейся длительности обслуживания сообщения,
находившегося на обслуживании в момент поступления сообщения г-го
класса
R
Py(NR - 1Г) ]Г fawn - 1г)М[Ь%/2т^,
3=1
где M[t2]ij - второй момент распределения длительности
обслуживания сообщений класса j в i-м центре; /jj(Nr) = Aij(NR)/Aj(NR)
- вероятность того, что на обслуживании находится сообщение j-ro
класса.
Таким образом, выражение для среднего времени пребывания
сообщения класса г в центре г имеет вид
R
Tir{NK) = rir + Y, Tij[Lij(NR - lr) - pij(NR - lr)]+
3=1
R
+Pii(NR - lr) ]Г Ы^п - 1т)[1?]ц/2тц. (3.45)
3=1
Для экспоненциального распределения длительности обслуживания
сообщений г-го класса в i-м центре M[t2]ij = 2тг^ и соответственно
R
Tir{NR) =Tir + Y Ti3Lij(Nn - lr)-
3=1
При постоянной длительности обслуживания M[t2]ij = тД- и
Tir(NR) = ТгГ + У^ Г,
J = l
R
b„(NR - 1Г) - -P4(NR - 1Г)
Перейдем теперь к формальному описанию алгоритма
приближенного расчета средних характеристик сети.
Шаг 1. Инициализация: Задать Ljr и Аг для всех г = 1,R и г =
1,М.
Шаг 3. Основной цикл: Повторять шаги 3-6 до выполнения
критерия сходимости.

Расчет сетей МО большой размерности 165
Шаг 3. Вычислить £у(пц ~ 1г) и pij{nR — 1г) для j — l,R, i =
1,M, используя формулы (3.40) или (3.41).
Шаг 4- Вычислить Tir для i = 1, М и г = 1, R по формулам (3.40)
или (3.41).
Шаг 5. Вычислить Лг для г = 1, R по формуле (3.41).
Шаг 6. Вычислить Lj для г = 1,М по формуле (3.42).
Следует отметить, что выбор величин Lir на этапе
инициализации Осуществляется ПРОИЗВОЛЬНО С учетом УСЛОВИЯ Yli=l^'ir = Nr,
(г = 1, Л). Правилом остановки алгоритма является выполнение
неравенства
тах{[(4й) - L^+l))/Lir}} < A,
г,г
где Lir и L^r - значения, определяемые на R-ы и (i? + 1)-м шагах
итерационного процесса.
3.4 Практические аспекты реализации
алгоритмов расчета сетей массового
обслуживания большой размерности
Решение практических задач по анализу производительности
вычислительных систем и сетей требует исследования моделей сетей
МО большой размерности, а это приводит к значительному
увеличению ресурсов ЭВМ (памяти и времени) для выполнения алгоритмов
точного расчета сетей МО. Количество арифметических операций
при реализации алгоритма свертки (раздел 3.2) составляет для сети
с постоянной интенсивностью обслуживания в центрах
R
МЛД(ЛГг + 1), (3.46)
г=1
а для сети, зависящей от нагрузки,
R
(М-1)П[(ЛГг + 1)(ЛГг + 2)/2]. (3.47)
г=1
При этом порядок требуемого объема памяти ЭВМ соответственно
R R
Y[(Nr + l) и 2jJ(iVr + l). (3.48)
r=l r=l

166 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Таким образом, ресурсы ЭВМ, необходимые для реализации
алгоритма свертки, растут экспоненциально при увеличении R. Из п.
3.3.2 видно, что аналогично возрастают затраты на время и объем
памяти ЭВМ для алгоритма анализа средних значений. Кроме
того, при вычислении нормализующей константы возникает опасность
переполнения или обнуления результатов в памяти ЭВМ.
Это приводит к необходимости предусматривать меры по
устранению эффекта переполнения или обнуления и осуществлять
оптимальную конфигурацию сети с целью сокращения затрат ресурсов
ЭВМ. Если анализ показывает, что такая конфигурация не дает
желаемого результата, то для расчета сетей МО большой размерности
необходимо использовать приближенные методы (гл. 4) или
специальные алгоритмы, базирующиеся на особенностях матрицы
маршрутов.
3.4.1 Выбор масштаба (масштабирование)
Вычисление нормализующей константы сети МО большой
размерности требует выполнения значительного числа арифметических
операций сложения и умножения. Для сети МО с несколькими
классами нормализующая константа представляет собой сумму
псгг--1)
г=1 Ч У
числа слагаемых. Каждое из таких слагаемых является
произведением вида
nnfe) •
Если eir/nir 3> 1, то возникает возможность переполнения, когда
результаты арифметических операций выходят за разрядную сетку
ЭВМ. Если eir/nir <c 1, то каждое слагаемое может оказаться
слишком малым и возникает опасность потери значений, когда результаты
арифметических операций меньше допустимого в ЭВМ минимума.
Решение системы уравнений баланса потоков
м
г=1

Расчет сетей МО большой размерности 167
является неоднозначным, поэтому от выбора конкретных значений
вгГ зависит и значение нормализующей константы. В связи с этим
естественным путем борьбы с явлением переполнения или обнуления
является выбор масштабного коэффициента (шкалирующего
множителя) для eir, ограничивающего значение G(Nr). В настоящее
время для борьбы с обнулением и переполнением разработан ряд
методов [152,241]. Однако для реализации этих методов требуются
дополнительные ресурсы ЭВМ.
Ограничимся описанием простого способа масштабирования
величины вгГ (а следовательно, и величины Xir = ejr//%.),
позволяющего значительно уменьшить скорость возрастания чисел,
используемых при вычислении нормализующей константы. Суть метода
состоит в выборе масштабного коэффициента С, минимизирующего сумму
квадратов разности чисел Xir и единицы. Более точно задача
формулируется следующим образом: найти величину С*, минимизирую-
шую функцию £г=1 Ef=i(l - Cxirf.
Очевидное решение этой задачи имеет вид
(MR \ I / м R \
ЕЕ*/ ЕЕ4 ■
г=1 Г=1 / / \г=1 г=\ /
Ясно, что описанный способ масштабирования не гарантирует
решения проблемы переполнения или обнуления во всех случаях. Такая
гарантия возможна, если ограничивать не отдельные слагаемые
нормализующей константы, а величину G(Nr) в целом, что
достигается, например, при использовании динамического шкалирования [241].
Однако предложенный выше способ в значительной мере снижает
опасность обнуления или переполнения и, что особенно важно,
практически не требует затрат ресурсов ЭВМ для своей реализации.
Проиллюстрируем эффективность использования масштабного
множителя на простом примере расчета сети МО, представленной
на рис. 2.1. В качестве числовых данных возьмем данные примера
раздела 3.1. Полагая, как обычно, е\ = 1 (в примере раздела 3.1 для
удобства вычислений предполагается, что е\ = ц\), находим
следующие значения: х\ = х^ — х% = 36, £4=72.
В таблице 3.5 представлены вычисленные в соответствии с
алгоритмом Бузена значения функции д(п, m) = g(n, m — 1) + xmg(n —
1, m). Из таблицы видно, что даже для рассматриваемой сети МО
малой размерности значения д(п, т) возрастают очень быстро.
Определим масштабный множитель С* = 0,0197 и новые значения х\ — х\С',
х1 = х2 = х'з ~ 0,7, х'4 и 1,4. Новые значения величин д(п,т)

168 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
приведены в таблице 3.6. Из сопоставления таблиц 3.5 и 3.6
следует, что простое правило масштабирования позволяет значительно
уменьшить скорость возрастания чисел, используемых при
вычислении нормализующей константы, снижая при этом риск
переполнения.
Таблица 3.5
Ss\ m
\.
п \^
0
1
2
3
4
1
1
36
1296
46 656
1 670 616
2
1
72
3 888
186 624
8 398 080
3
1
108
7 776
466 560
25 194 240
4
1
180
20 736
1 959 552
166 281 984
Таблица 3.6

Расчет сетей МО большой размерности 169
3.4.2 Реконфигурация сети МО
В настоящем разделе приводятся некоторые полезные
соображения, позволяющие уменьшить вычислительные трудности при
программной реализации алгоритма свертки.
Из выражений для расчета нормализующей константы G(Nr.)
следует, что на объем вычислений каждого промежуточного
значения вспомогательной функции g(nR> m) существенно влияет
зависимость интенсивности обслуживания сообщений от нагрузки центра.
Если такая зависимость отсутствует, то число слагаемых в
выражении для g(nR; m) равно R+ 1. В противном случае число слагаемых
равно nf=i(nr + !)•
Однако следует заметить, что при m = 1 максимальное число
слагаемых равно R. Таким образом, центры с номерами 1 и М, для
которых при вычислении функции g(riR., w) нет необходимости
сохранять значения д(пц, m — 1), являются в описанном выше
смысле «привилегированными». Отсюда следует возможность, используя
конфигурацию конкретной рассчитываемой сети МО, осуществлять
перенумерацию центров, увеличивающую эффективность
вычислительного алгоритма. При этом необходимо выполнять следующие
правила:
1. Если в сети МО имеется один центр, зависящий от нагрузки,
то этому центру необходимо присвоить первый номер.
2. Если сеть МО включает несколько центров, зависящих от
нагрузки, то два из них помечаются индексами 1 и М. В случае, когда
центры, зависящие от нагрузки, являются многолинейными, с
интенсивностью обслуживания /ij(n) = max(n, Ai)[ii индекс 1
присваивается центру, состоящему из наибольшего числа обслуживающих
приборов.
3. Если сеть МО включает несколько центров с дисциплиной
обслуживания IS, то возможно следующее упрощение. Так как
интенсивность обслуживания каждого сообщения, поступающего в центр
типа IS, не зависит от числа уже обслуживаемых сообщений, то все
такие центры могут быть заменены на один эквивалентный (с
соответствующей корректировкой матрицы маршрутов). Для того чтобы
сохранить различие в интенсивностях обслуживания разных
классов, вводятся новые дополнительные классы сообщений. Например,
при объединении двух центров с номерами г и j эквивалентному
центру присваивается номер г, причем сообщения, поступившие в
исходный центр г в класс г, сохраняют этот класс и после объединения.
Сообщения, поступившие раньше в центр j в классе г, изменяют

170 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
класс на R + 1. В общем случае, если центры типа IS имеют
номера 1,2, ...,Д в исходной сети, то сообщения, обслуживаемые в г-м
центром (г = 1,2, ...,R) в классе г, после введения эквивалентного
центра изменяют класс на r + R(R + l). При вычислении
нормализующей константы такому эквивалентному центру следует присвоить
первый номер.
Таким образом, в программе, реализующей алгоритм свертки,
кроме модулей ввода задания, модуля расчета и выходного модуля
необходимо предусматривать модуль реконфигурации. В этом
модуле наряду с реализацией процедуры масштабирования
осуществляется процедура реконфигурации сети в соответствии с описанными
выше правилами, позволяющая повысить эффективность процесса
вычисления нормализующей константы и других характеристик
сети МО.
3.4.3 Обобщенный алгоритм свертки в виде дерева для
расчета сетей МО
Описанные в п. 3.4.2 методы реконфигурации сети МО позволяют
лишь частично снизить затраты времени счета и памяти, но,
очевидно, не могут решить проблему точного расчета сетей МО большой
размерности. Действительно, анализ базовой сети передачи данных
средних размеров требует исследования модели сети МО,
включающей до М = 50 центров обслуживания, R = 20 — 30 классов с числом
сообщений Nr = 5 — 10 в каждом. Формулы (3.46) - (3.48)
показывают, что затраты ресурсов ЭВМ, необходимые для расчета таких
сетей МО, превышают возможности современных ЭВМ.
Поэтому в настоящем разделе описывается новый
вычислительный алгоритм свертки в виде дерева (или просто алгоритм дерева),
частичный случай которого для расчета сетей древовидной
структуры приведен в [41], а общий случай разработан в [242]. В отличие
от традиционного алгоритма свертки (алгоритма последовательной
свертки) и метода средних значений, алгоритм дерева использует
информацию о маршрутах сообщений каждого класса. Использование
этой информации позволяет существенно сократить затраты времени
и памяти при расчете сетей МО с большим числом центров
обслуживания и классов сообщений, в которых сообщения каждого класса в
среднем посещают лишь небольшую долю от имеющихся в сети цен-

Расчет сетей МО большой размерности 171
тров обслуживания (свойство разряженности сети1) Если в сети,
обладающей свойством разряженности, отдельные классы сообщений
группируются в некоторых частях сети (свойство локализации), то
сокращение времени счета и затрат памяти для реализации
вычислительного алгоритма может быть еще более значительным.
Алгоритм дерева, являющийся обобщением традиционного
алгоритма последовательной свертки, реализуется для замкнутых сетей
МО с мультипликативной формой вероятностей состояний (3.22)
м
P(n) = G-1(NR) Д Zm(nm),
m=l
где G""1(Nr) - нормализующая константа;
Zm(nm) =
Нормализующая константа отыскивается с помощью
вспомогательной функции flVn(NR.) [см. формулу (3.23)], определяющей
соотношение свертки
N
gm(N) = ^Г Zm(k)ffm_i(N - k) = gm-i * Zn. (3.49)
к=0
В отличие от алгоритма последовательной свертки,
предусматривающего использование операции свертки (3.49) последовательно
для номеров m от 1 до М, в алгоритме дерева операция свертки
осуществляется с помощью бинарного дерева, для построения которого
используется информация о маршрутах сообщений каждого класса.
В результате этого в операции свертки участвуют множества,
размерность которых меньше размерности R множеств, используемых
в алгоритме последовательной свертки.
Обозначим $1(г) массив номеров обслуживающих центров,
которые могут посещаться сообщениями класса г, a Q ~ подмножество
номеров всех обслуживающих центров сети. Будем говорить, что
Свойство разряженности характерно для моделей компьютерных сетей.
Например, в сети ARPANET, включающей десятки каналов связи, средняя длина
пути пакета от источника к адресату составляет 3,24 канала [89]. В сети ЭВМ
«Сирена» из соображений надежности и ограничений на время доставки
пакетов средняя длина пути ограничена тремя каналами [79].
1=1 Мт^
Пг,
R
П
г=1
Пп

172 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
класс г полностью покрывает Q, если Q (г) С Q, не покрывается
множеством Q, если Q(r)f]Q = 0, в остальных случаях частично
покрывается множеством Q. Пусть Q = (mi,...,m/), 1 < пц < М.
Тогда gQ = gmi * gm2 * ...gmr
Предположим, что массив gQ был уже получен на
промежуточной стадии вычисления нормализующей константы G(N). Тогда,
если часть классов из множества (1,2, ...,Д) либо не покрыта Q, либо
полностью покрыта Q, для дальнейшего вычисления G(N)
необходимы лишь некоторые элементы массива gQ. При этом объем памяти,
необходимой для запоминания этих элементов, может быть
значительно меньше, чем (N\ + 1)(Л^2 + 1)...(JVr + !)• Этот факт является
ключевым в алгоритме дерева.
Разделим множество классов (1,2, ...,i?) по отношению к Q на
три подмножества:
сг\ = {г\ класс г частично покрывается Q},
сг2 = {г\ класс г полностью покрывается Q},
сгз = {г\ класс г не покрывается Q}.
Заметим, что для дальнейшего вычисления G(N) необходимы только
те элементы массива gQ, индексы которых удовлетворяют условиям:
i = (n,...JR)\ir = 0, l,...,JVr, если г G oi;
ir = Nr, если г € ai\
ir = 0, если г € сгз-
Таблица 3.7
Принадлежность класса к
подмножествам
о оо
о oi
о ю
о и
Перекрыт Q] или Q2?
Нет
Нет
Да
Да
Частично покрыт Q?
Нет
Да
Нет
Да
Пусть \ar\ означает размерность массива а. Для вычисления G(N)
достаточно запоминать gQ размерности |<xi| с индексами ii = {ir\r G
o"i}. Такой массив называется частично покрываемым. Объем
памяти для запоминания этого массива пропорционален riRe<Ti(-^R + 1)

Расчет сетей МО большой размерности 173
(дополнительно небольшой объем памяти требуется для
запоминания элементов множества cri). Для сетей МО, обладающих
свойством разряженности, экономия памяти при использовании
частично покрываемых массивов вместо массивов размерности R может
быть очень существенной. Языки программирования, допускающие
динамическое распределение памяти (такие, как ПЛ/1), позволяют
эффективно использовать частично покрываемые массивы. Однако
экономия памяти возможна даже при статическом распределении
памяти.
Пусть Q распадается на два подмножества: Q\ и Qi- Тогда
9Q = 9Q1*gQ2- (3-50)
Говорят, что класс г перекрыт, если он частично покрыт и Qi и
Q2- Разобьем множество классов (1,...,Д) на четыре подмножества:
о'ОО) ^оь °"10> °"и- Принадлежность класса к одному из подмножеств
в зависимости от его отношения к Q (частично перекрыт или нет),
а также к Q\ и Qi (перекрыт или нет) определяется по таблице 3.7.
Для выполнения операции (3.50) необходимо
П № + 1)П№ + 2)2№ + 1> (3.51)
rGCTioUooi г€<хц
операций умножения и почти такое же количество операций
сложения: количество операций сложения меньше, чем умножений, на
величину Пге.тюШтцСМя + !)•
Выражение (3.51) может использоваться как мера времени для
реализации операции свертки по формуле (3.50). Таким образом,
при частично покрываемых массивах операция свертки (3.50)
может быть выполнена с существенной экономией памяти и времени,
если имеется несколько частично покрытых классов в Q\,Qi и Q.
При применении описанных выше соображений в алгоритме
последовательной свертки можно также достигнуть некоторой
экономии памяти и времени. В этом случае алгоритм начинается с подсети
1, состоящей из обслуживающего центра с номером 1, а затем
последовательно «сливает» эту подсеть с другими центрами
обслуживания. Когда все центры будут соединены, алгоритм заканчивает
работу. Основная цель алгоритма дерева отыскать последовательность
сверток («слияния»), минимизирующую число частично
покрываемых классов в промежуточных подсетях, используя информацию о
маршрутах сообщений. Для реализации этой цели служит бинарное
дерево (рис. 3.1).

174 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Обслуживающие центры сети МО размещаются в листьях
бинарного дерева. Каждый узел дерева соответствует подмножеству
центров обслуживания (подсети), которые сходятся к этому узлу. Таким
образом, корень дерева соответствует сети в целом. Осуществим
обход всех узлов дерева в соответствии с некоторым правилом. Корень
дерева посещается в последнюю очередь. Промежуточный узел
посещается только после обхода всех узлов нижнего уровня, сходящихся
к нему. Посещение узла соответствует вычислению массива g по
формуле (3.50) исходя из известных массивов g узлов нижнего уровня.
При достижении корневого узла находится нормализующая
константа G(N) сети.
Заметим, что алгоритм последовательной свертки является
частным случаем алгоритма дерева и соответствует дереву,
представленному на рис. 3.2.
Пусть{т} означает подсеть, состоящую только из центра с
номером тп; <7\ - множество его частично покрываемых классов; <72 -
множество его полностью покрываемых классов. Тогда массив g подсети
{т} имеет вид
9т0) =
JJm^Cj)
ПтгП
r&ai
г€СТ2
,Nr
NrV
(3.52)
Nr
где ri = 0,1,..., Nr, г € ffi и nm = T,r&<nir + ^rec2
Если (72 = 0, то последнее произведение в (3.52) равно 1.
Расчет по формуле (3.52) требует порядка ^Y\reai\ja2^r + -0 опеРаЦИЙ
умножения.
Затраты времени и памяти ЭВМ, необходимые для вычисления
нормализующей константы G(N) по алгоритму дерева, зависят от

Расчет сетей МО большой размерности 175
последовательности слияния подсетей, которая определяется
конфигурацией дерева, расположением обслуживающих центров в листьях
дерева и порядком обхода дерева. В настоящее время не решена
задача оптимального построения дерева, минимизирующего затраты
памяти и времени ЭВМ. Однако найдены эффективные
эвристические подходы для решения этой задачи.
Алгоритм дерева использует две процедуры. Первая из них,
называемая препроцессором, применяется для построения дерева;
вторая реализует основные функции алгоритма - обход дерева и свертку
массивов. Процедура построения дерева требует значительно меньше
памяти и времени ЭВМ, чем реализация операций свертки.
Препроцессор позволяет получить точные априорные оценки объема памяти
и времени, необходимые для расчета конкретной сети МО.
Указанные оценки позволяют осуществлять сравнение с другими
вычислительными алгоритмами1 и, что не менее важно, определять
возможность использования данного класса ЭВМ для реализации алгоритма
(не превышают ли требования алгоритма, например, объемов
оперативной памяти ЭВМ).
Как уже отмечалось, возможны различные способы построения
бинарного дерева. Однако все эти способы имеют общие черты,
основанные на следующем базовом алгоритме.
Алгоритм 1. Основная процедура построения дерева.
Инициализация.
Делать, пока существуют две подсети:
выполнить слияние;
отсортировать подсети согласно критерию размера;
выделить две подсети для слияния по критерию стоимости;
слить две подсети в одну;
Конец;
Конец.
Первоначально имеется М подсетей, каждая из которых
соответствует центру обслуживания. Алгоритм определения
последовательности слияния состоит в следующем. Во-первых, определяются
отношения между подсетями. Такое отношение существует, если мно-
Такое сравнение осуществляется в пакете программ аналитического и
имитационного моделирования сетей МО (см. приложение 1), где для каждого метода
оцениваются время, необходимый объем памяти и точность расчета сети МО. На
основании анализа выбирается метод, оптимальный с точки зрения
перечисленных критериев.

176 Глава 3. Вычислительные алгоритмы
жество частично покрываемых классов одной подсети принадлежит
множеству частично покрываемых классов другой подсети. Подсети,
между которыми существует такое отношение, сливаются. В
противном случае для слияния выбираются две подсети на основании
критерия, условно названного стоимостью. Выбор облегчается первичной
сортировкой в соответствии с критерием размера. Указанный
критерий определяется следующим образом.
Пусть Q - массив подмножества номеров центров обслуживания;
о\ - множество его частично покрываемых классов. Тогда вес Q
определяется выражением
W(Q)=J2\4r)-Q\,
r€oi
где \А — В\ определяет число элементов, имеющихся в множестве А,
но отсутствующих в В. Первый кандидат для слияния выбирается по
минимальному весу, следующий - по критерию стоимости. Стоимость
слияния двух подсетей А и В вычисляется следующим образом. Для
любого г G <?i(B), если г G оз(Л), то цена класса равна +1, если
г G (Ji(A), r G (T2(A U В), то цена класса равна -2, если г G о-\(А),
г G <7i(AuB), то цена класса равна -1. Очевидно, что выбор подсети
меньшей стоимости делает алгоритм слияния более эффективным.
Далее рассмотрим один из возможных конкретных алгоритмов
построения дерева, в соответствии с которым первоначально
каждый центр обслуживания представляет собой подсеть нижнего
уровня дерева и осуществляется наращивание дерева по одному уровню
за каждый шаг.
Алгоритм 2.
Инициализация.
Для каждого уровня дерева от листьев к корню делать:
сортировать подсети по весу в порядке убывания;
пометить все подсети;
Делать пока остались помеченные подсети:
выбрать подсеть с максимальным весом в качестве первого
кандидата к слиянию;
выбрать из оставшихся помеченных подсетей другого
кандидата для слияния с минимальной стоимостью;
осуществить процедуру слияния выбранных двух
подсетей.

Расчет сетей МО большой размерности 177
Конец.
Конец.
Конец.
Для построенного дерева препроцессор вычисляет необходимые
объемы памяти и времени. Время вычисления G(N) складывается
из времени расчета массива д для листьев дерева и времени
реализации М — 1 слияний. Объем памяти для расчета G(N) совпадает с
объемом памяти, необходимой для запоминания массивов д. Число
массивов д, одновременно сохраняемых при расчете G(N), зависит
от порядка обхода дерева. Например, при использовании алгоритма
2 максимальное число одновременно запоминаемых массивов равно
2 + log2 M. Однако заметим, что массивы имеют различные размеры,
поэтому число одновременно запоминаемых массивов неоднозначно
определяет требуемый объем памяти.
После того как вычислена нормализующая константа, можно
перейти к расчету других характеристик сети. Например, пропускная
способность центра m для сообщений класса г в соответствии с (3.32)
имеет вид
Amr(NR) = emrG(NR - lr)/G(N).
Для расчета средней длины очереди сообщений r-го класса в т-м
центре по формуле (3.35) необходимо предварительно рассчитывать
маргинальные вероятности -Pm(nR)NR), определяемые из (3.29) как
Pm(nR,NR) = Zm(nK)gm(NK - nR, M)/G(NR).
Нормализующие константы G(NR — 1г) и syn(NR — nR, M),
входящие в последние выражения, вычисляются с помощью
соответствующих модификаций бинарного дерева [242]. В частности, G(NR — 1г)
отыскивается из исходного дерева для сети МО с числом сообщений,
определяемым вектором NR — 1г, а для расчета gyn(NR — nR, M)
используется бинарное дерево, отличающееся от исходного
отсутствием центра обслуживания с номером т.

ГЛАВА 4
Приближенные методы
исследования сетей очередей
4.1 Область применения и краткий анализ
приближенных методов
Рассмотренные в предыдущих главах алгоритмы свертки и
анализа средних значений являются альтернативными методами
точного исследования
локально-сбалансированных сетей МО. Хотя затраты времени и памяти ЭВМ при
реализации этих методов практически одинаковы, тем не менее
алгоритм анализа средних значений более предпочтителен, так как
не требует усилий для борьбы с переполнением и (или)
обнулением результатов в памяти ЭВМ. При увеличении размерности сети
МО (числа классов и количества сообщений, циркулирующих в них)
применение обоих методов становится невозможным даже при
использовании различных подходов сокращения затрат ресурсов ЭВМ
(см. раздел 4.4). В этом случае для анализа сетей МО с
разряженной матрицей маршрутов (характерной для моделей компьютерных
сетей) необходимо применять обобщенный алгоритм свертки в виде
дерева, значительно расширяющий область применения точных
алгоритмов. Если размерность сети МО столь велика, что реализация
обобщенного алгоритма свертки требует затрат памяти,
превышающих возможности ЭВМ, то единственным инструментом анализа
являются приближенные методы.
Другая причина использования приближенных методов состоит в
необходимости исследования сетей МО с блокировками,
приоритетами и, что особенно важно, с произвольными функциями распределе-

Область применения и краткий анализ 179
ния длительности обслуживания в центрах сети и (или)
рекуррентным входным потоком. Приближенные методы анализа сетей МО, с
помощью которых удается достичь компромисса между
противоречивыми требованиями адекватного моделирования реальных систем
и простоты отыскания решения в мультипликативной форме,
обычно основаны или на аппроксимации произвольных законов
обобщенным распределением Кокса, или на расширении свойства
мультипликативности за пределы области его применения, на
постулировании независимости там, где случайные величины слабо зависимы, на
диффузионной или декомпозиционной аппроксимации либо на
имитационном моделировании. Следует отметить, что такая
классификация условна, так как многие приближенные методы базируются на
совместном использовании перечисленных подходов.
Имитационное моделирование является мощным, универсальным
средством приближенного исследования сетей МО, но требует
значительных затрат времени при разработке и использовании программ
моделирования. Основные проблемы состоят в оценке точности
результатов и длительности моделирования (правило остановки).
Решение указанных проблем, а также обсуждение достоинств и
недостатков имитационного моделирования при исследовании сетей МО,
нашло отражение в многочисленных публикациях [54,73,102,267],
среди которых имеются и монографии, специально посвященные
теоретическим и практическим аспектам машинного моделирования
сетей МО (см. например, [86]). Поэтому в настоящей главе основное
внимание уделяется аналитическим методам приближенного
анализа сетей МО.
Приближенный метод анализа средних значений, широко
используемый на практике, был рассмотрен в главе 2 (с целью сохранения
целостности изложения). Этот метод является хорошей
иллюстрацией возможности расширения аппарата анализа
локально-сбалансированных сетей МО за пределы области его применения. Другие
методы рассмотрим более подробно.
4.1.1 Аппроксимация функций распределения
Если функции распределения длительности обслуживания в
центрах сети допускают рациональное преобразование Лапласа и
обслуживание сообщений в центрах сети осуществляется в
соответствии с дисциплиной PS, IS, или LCFS, то в соответствии с
теоремой ВСМР стационарные вероятности состояний сети удовлетворя-

180 Глава 4. Приближенные методы
ют мультипликативной форме и имеют вид (2.38). Таким образом,
один из способов приближенного исследования немарковских сетей
МО состоит в аппроксимации произвольных функций распределения
длительности обслуживания сообщений в центрах сети обобщенным
распределением Кокса. Строгое обоснование возможности такой
аппроксимации дается следующей теоремой1.
Теорема. Пусть Q(x) - произвольная функция распределения,
подчиненная условию Q(0) = 0, и Е - класс бесконечных смесей эр-
ланговских распределений. Тогда для любых а и е > 0 найдется
такое распределение F(x) € Е, что
PCX)
/ \F(x)-Q{x)\eaxdx<e.
Jo
Указанная теорема остается справедливой и при аппроксимации
конечными смесями эрланговских распределений.
В практических приложениях обычно рассматривают две
основные характеристики функции распределения: математическое
ожидание т = M[t] и дисперсию D = М[£2] — M2[t] (или коэффициент
вариации го), где МЩ = /0°° tdQ(t) и M[t2} = J™t2dQ(t). Такое
задание функции распределения обосновывается тем, что
характеристики многих систем массового обслуживания определяются
только первыми двумя моментами функции распределения
длительности обслуживания (см. например, формулу Полячека-Хинчина для
однолинейной системы M/G/1).
Покажем теперь, что аппроксимация функций распределения с
заданными значениями т и w может быть эффективно проведена
при w < 1 обобщенным эрланговским распределеним, а при w > 1
гиперэкспоненциальным распределением второго порядка.
Рассмотрим частный случай распределения Кокса,
преобразование Лапласа которого имеет вид:
F(s) = Ь/х/(/х + s) + (1 - Ъ)Ьл/(ц + s)]R,
где введено обозначение Ь = Ь\.
Дифференцируя F(s), получаем:
dF(s) _ Ьц _ _ цк .
ds (fi + s)2 Щ 0)(s + fl)R+i>
1 Бусленко Н. П., Калашников В. В., Коваленко И. Н. Лекции по теории
сложных систем.- М.: Сов. радио, 1973. - 440 с.

Область применения и краткий анализ 181
,№(.)_ 2Ь„ +Л(Д+Ц(1_Ч. *«
ds (м + s)3 ;(з + д)й+2'
Используя известное соотношение для определения начальных
моментов распределения
s=0
находим
А* А*
Подставляя (4.1) в выражение для коэффициентов вариации
M{t2]-M2[t]
w мщ ' { г)
имеем
о 26 + Д(Д + 1)(1-Ь)
+ [Ь + Д(1-Ь)Р '
Из последнего уравнения с учетом того, что Д = 1/ги2, находим
искомое значение вероятности
2Rw2 + Д - 2 + УД2 - 4Rw + 4
~ 2(Д - 1)(1 + w2) '
Таким образом, при w < 1 аппроксимация функций
распределения может осуществляться обобщенным эрланговским
распределением с параметрами Ь и Д, определенными выше. Интенсивность
обслуживания дг = д на этапе г находится из выражения для M[t]
(4.1):
М= [Д-6(Д-1)]/т.
При w > 1 аппроксимацию удобно проводить с помощью гиперэр-
ланговского распределения, используя для этого его обычное
представление параллельными этапами. Рассмотрим гиперэрланговское
распределение второго порядка с числом этапов Д = 2 и плотностью
распределения f(t) = &ie~Ml* + &2е~М2*, Ь\ + &2 = 1- Принимая Ъ\ = Ь,
&2 = 1 — Ь и осуществляя преобразования, аналогичные
рассмотренному выше случаю w < 1, получаем:

182 Глава 4. Приближенные методы
F(e) = b-^- + (l-b)- ^
Щ+ S Ц2 + S
dF^=-b/ К ч,-(1-Ь)- М2
ds (m + s)2 (ц2 + s)2,
^W=2b_J* +2(1_ь). М2
ds2 (Mi + s)3 (m + s)3
Отсюда легко находим:
г = M(t) = k 7
= A + 1^; (4.3)
M[tz] =
21 <^(*)
ds2
2b 2(1-6)
= ^+-V^ (4-4)
s=0 Ml M2
Чтобы выполнялось условие (4.2), положим
Mi = 2Ь/т и М2 = 2(1 - Ь)/т. (4.5)
Подставляя (4.3)-(4.5) в выражение для коэффициента вариации
(4.2) и решая соответствующее квадратное уравнение, получаем
Так как сумма корней bi + 62 — 1, т0 можно использовать любой из
них.
Таким образом, обобщенное эрланговское и
гиперэкспоненциальное распределения полностью определяются первыми двумя
моментами и перекрывают весь диапазон значений коэффициентов
вариации от 0 до 1 и от 1 до оо.
В заключение отметим, что рассмотренный способ
аппроксимации функций распределения длительности обслуживания в центрах
сети приводит к значительному увеличению пространства состояний
сети МО и, следовательно, может быть использован лишь для сетей
небольшой размерности.

Область применения и краткий анализ 183
4.1.2 Диффузионная и декомпозиционная
аппроксимации
Диффузионная и декомпозиционная аппроксимации являются
наиболее известными и широко применяемыми методами
приближенного расчета общих сетей МО, не удовлетворяющих условиям
локального баланса. Сущность метода диффузионной
аппроксимации [36, 92, 208] состоит в аппроксимации дискретного случайного
процесса, описывающего число сообщений в центрах сети МО,
непрерывным диффузионным процессом. Указанный метод, хотя и
применялся для анализа реальных систем, требует определенных
ограничительных предположений. Основное из них заключается в том,
что число сообщений n(t) в центре в момент t может быть
аппроксимировано при больших t и большой загрузке центра нормальным
распределением со средним значением b(t)t и дисперсией C(t)tQ}
Таким образом, диффузионная аппроксимация может дать хорошие
результаты лишь в случае большой загрузки центров. При анализе
вычислительных систем и сетей со сравнительно небольшой загрузкой
(что характерно для сетей, работающих в реальном масштабе
времени) метод вносит недопустимую погрешность, тем большую, чем
меньше загрузка центров сети МО. Следует также отметить, что
погрешность диффузионной аппроксимации возрастает с увеличением
коэффициента вариации распределений длительности обслуживания
сообщений.
Другим методом приближенного расчета сетей МО,
позволяющим избежать некоторых недостатков диффузионных моделей,
является декомпозиционная аппроксимация. В рамках
декомпозиционной аппроксимации широкое практическое применение нашли
следующие подходы.
Первый из них, связанный с применением математически
эквивалентных преобразований сети МО1, базируется на теореме
Нортона [208,237]. Приближенное исследование сети МО с произвольными
распределениями длительностей обслуживания в этом случае
осуществляется путем перехода к эквивалентной сети с
экспоненциальными обслуживающими центрами. При этом критериями
эквивалентности являются следующие условия: сумма средних значений длин оче-
1 Kobayashi H. Application on the Diffusion Approximation to Queueing Networks.
Paris I and 11//3. Assoc. Comput. Mach.-1974.-Vol. 21, N 2.-P. 316-328.
1Chandy К. М., Herzog U., Woo L. Parametric Analysis of Queueing Networks
//IBM J. Res. Develop.-1975.-Vol. 19, N l.-P. 36-42.

184 Глава 4. Приближенные методы
редей в замкнутой сети равна N; пропускные способности
обслуживающих центров пропорциональны относительным интенсивностям
потоков вг- Описание этого метода для точного анализа
мультипликативных сетей МО и приближенного анализа с «гарантированной
погрешностью по функционалу» [90,91] приводится в разделе 4.2.
Второй подход базируется либо на выделении в исходной сети
слабо связанных подсетей2 с последующей оценкой интегральных
характеристик сети с погрешностью, являющейся функцией
степени связности подсетей [104], либо на декомпозиции сети на центры
обслуживания, анализируемые отдельно, и на составлении
уравнений баланса средних и дисперсии потоков для расчета
характеристик сети в целом (эквивалентность по потокам). Многочисленные
способы расчета сетей МО, основанные на идее эквивалентности по
потокам [3,11,246], будут проиллюстрированы в разделе 4.3
примером расчета разомкнутой сети МО [92], позволяющим
одновременно продемонстрировать технику диффузионной аппроксимации, и в
разделе 4.4 методом расчета замкнутых сетей МО на базе
полиномиальной аппроксимации [43,75]. Другие декомпозиционные подходы
описываются в главе. 6 непосредственно при расчете компьютерных
сетей .
В заключение отметим, что декомпозиционная аппроксимация
является одним из наиболее перспективных методов, позволяющих
с одной стороны, повысить эффективность анализа сетей МО в
вычислительном отношении, а с другой - получить достаточно точные
оценки характеристик моделей, которые принципиально не могут
быть рассчитаны точными методами.
4.2 Декомпозиционные методы на основе
теоремы Нортона
4.2.1 Теорема Нортона для анализа замкнутых и
разомкнутых локально-сбалансированных
сетей массового обслуживания
Рассмотрим однородную сеть МО с М центрами
обслуживания, удовлетворяющую условиям локального баланса и вероятно-
2 Courtois P. J. Decomposability: Queueing and Computer System Applications.-
New York: Academic Press, 1977.-201 p.

Декомпозиционные методы 185
стями перехода, задаваемыми матрицей маршрутов Р =|| Р^ ||
(^:Е^1^ = 1;0<^<1).
Пусть ei - относительная интенсивность потока сообщений в г-м
центре, удовлетворяющая векторному уравнению еР — е. Как
отмечалось в предыдущих главах, е определяется абсолютной
интенсивностью поступления сообщений в разомкнутую сеть; в
замкнутой сети решение векторного уравнения единственно с точностью до
мультипликативной константы.
Декомпозиция такой сети на основе теоремы Нортона (название
дано по аналогии с известным результатом в электрических цепях)
позволяет свести исходную сеть МО к эквивалентной с двумя
центрами обслуживания. При этом первый центр двухузловой сети
совпадает с г-м центром исходной сети (г = 1,М), а второй
(композиционный), являющийся эквивалентом оставшейся части сети, обладает
экспоненциально распределенным временем обслуживания с
параметром дв(гг), зависящим от числа сообщений в нем.
Теорема. Маргинальное распределение числа сообщений в г-м
центре исходной сети совпадает с соответствующим
распределением эквивалентной сети, если параметр Цв{п) композиционного
центра равен интенсивности Aj(n) поступления сообщений в г-й центр
исходной сети, в которой 1/fii = 0.
А('
d*°Ot
т
в
j",("K
т
Композиционный
центр
цв(п)
Рис. 4.1
Рис. 4.2
Рассмотрим более подробно применение этой теоремы для
замкнутой сети МО (рис. 4.1). Для вычисления статистических
характеристик г'-ro центра сети на рис. 4.1 подсеть В заменяется
композиционным центром (рис. 4.2). Интенсивность обслуживания сообще-

186 Глава 4. Приближенные методы
1 =0
<",(") г-
9
Т
Г Л
!-=<х:^
в
Рис. 4.3
ний композиционным центром определяется подсетью В,
совпадающей с сетью на рис. 4.1 во всем, за исключением того, что вместо
г-го центра вводится прямое соединение - г-й центр закорачивается
(рис. 4.3). Интенсивность дв(гг) устанавливается равной
производительности Лв(гг) замкнутой подсети В. Таким образом, для полного
определения эквивалентной сети необходимо вычислить
(аналитически или с помощью имитационной модели) или измерить
производительности Ав(1),..., As(iV) подсети В, в которой циркулируют
1,...,N сообщений.
Для однородной замкнутой локально-сбалансированной сети МО
с произвольной структурой алгоритм вычисления интенсивности
цв{п) включает следующие шаги.
Шаг 1. Инициализация: g(0, R) = 1, R = 1,М; д(п, 1) =
Zi(n), n = 1,N, где функции Z{n) и д(п, R) определены в п. 2.2.1.
Шаг 2. Цикл по L — 1, ...,г — 1, г + 1, ...,М и по п — 1, JV для
вычисления правого граничного столбца нормализующей константы
подсети В с элементами д(п,тп), п = 1,N, где
m
{
М
М
если г ф М,
если г = М.
Шаг 4- Вычисление интенсивности обслуживания
композиционного центра по формуле цв(п) = е%д(п — 1, тп)/д(п, тп).
Теорема Нортона остается справедливой и для неоднородных
локально-сбалансированных сетей МО. Для замкнутой сети МО с

Декомпозиционные методы 187
R классами сообщений в этом случае с целью построения
эквивалентной сети должны быть вычислены для всех г = 1, R
производительности Адг(1),..., Asr(-/Vr) подсети В. В разомкнутой сети все
центры, за исключением рассматриваемого г-го центра, заменяются
одним композиционным пуассоновским источником, который
генерирует сообщения всех классов. Каждый класс генерируется
независимо, и интенсивность потока г-го класса сообщений г = 1, R,
поступающего из композиционного источника, устанавливается равной
производительности Адг подсети В.
4.2.2 Приближенный декомпозиционный алгоритм
Описанный выше декомпозиционный подход является основой
приближенного алгоритма расчета средних характеристик
замкнутых сетей МО с произвольной функцией распределения
длительностей обслуживания в центрах. Указанный итерационный алгоритм
базируется на теореме Нортона и предусматривает аппроксимацию
сети с произвольной функцией распределения длительностей
обслуживания в центрах эквивалентной экспоненциальной сетью.
Интенсивности обслуживания в центрах эквивалентной сети С\, Ci-, ••-, См
выбираются так, чтобы выполнялись следующие условия:
U = Xi(N)/ei = const; Li(N) + ... + LM{N) = N. (4.6)
Первое условие отражает закон равенства нормализованных
пропускных способностей (пропускная способность центра г
пропорциональна относительной интенсивности потока е^)- Второе состоит в
том, что в замкнутой сети сумма средних значений длин очередей
Li (г = 1,М) должна быть равна N. Отметим, что оба условия не
зависят от вида функций распределения и дисциплин обслуживания
в центрах сети.
Формально указанные условия можно представить в виде
системы М нелинейныъх уравнений с М неизвестными:
e^X^N) - e^X2(N) = 0;
е-^Хм-iiN) - e^XM(N) = 0; (4.7)

188 Глава 4. Приближенные методы
м
.7=1
где Xi(N) и Li(N) - функции переменных С±, ...,См-
Следуя [90], перейдем от задачи решения системы нелинейных
уравнений (4.7) к эквивалентной задаче минимизации функции
м
/(C) = 2^(Ci,...,Cm), Ci>0, i = TJS, (4.8)
t=i
где
:,г г , / e^XiiN) - er^Xi+1(N), i = 1, М - 1,
*(Ci'-'Cm) = \ jv-e^i^W,< = m,
С = (Ci,C2,...,Cm)-
Введем барьерную функцию Н(С) = J2i=i C^1, задачу (4.8)
можно заменить задачей безусловной минимизации функции
Я(С,7) = /(С) + 7#(С), (4.9)
где 7 - весовой коэффициент.
Алгоритм решения исходной задачи расчета характеристик
замкнутой сети с произвольно распределенной длительностью
обслуживания в узлах может базироваться либо на решении
оптимизационной задачи (4.9) [90], либо на непосредственной проверке
условий (4.б).1 Однако в обоих случаях алгоритм реализует итеративную
процедуру преобразования исходной сети в сеть с двумя центрами.
Указанная сеть включает г-й центр исходной сети (г = 1, М) с
произвольной функцией распределения длительности обслуживания и
дополнительный (композиционный) центр В с экспоненциальным
распределением длительности обслуживания.
Один из наиболее эффективных приближенных подходов
исследования характеристик таких двухузловых сетей основан на
аппроксимации произвольной функции распределения обобщенным
распределением Кокса. При этом в зависимости от значения коэффициента
вариации го, = 1, Wi < 1 или Wi > 1 функция распределения
времени обслуживания в г-м центре аппроксимируется соответственно
1 Chandy M., Herzog U., Woo L. Approximate Analysis of General Queueing Net-
works//IBM J. Res. Develop.-1975.-Vol. 19, N l.-P. 43-49.

Декомпозиционные методы 189
экспоненциальным, обобщенным эрланговским или
гиперэкспоненциальным распределением.
Итерационный вычислительный алгоритм включает следующие
основные шаги.
Шаг 1. Инициализация: интенсивности обслуживания С\
устанавливаются равными интенсивностям рц, заданным для исходной сети,
т. е. Ci = Дг, (г = 1,М); устанавливается в нуль счетчик числа
итераций d.
Шаг 2. Для каждого г-го центра (г = 1,М) определяются
параметры композиционного центра дв(п); (n = 1,N). В зависимости от
значения коэффициента вариации (wi = 1, Wi < 1, Wi > 1) функция
распределения времени обслуживания в г-м центре
аппроксимируется соответственно экспоненциальным, обобщенным эрланговским
или гиперэкспоненциальным распределением.
Шаг 4 ■ Рассчитывается замкнутая сеть с двумя центрами.
Вычисляются производительность \i(N) и средняя длина очереди Lj(JV).
Шаг 4- Если Li(iV) + ... + Lm(N) > N{\ + е), где е- заданная
точность решения, то для тех г, для которых ij < i(l — е),
устанавливается Ci — Citi/t (здесь t — {t\ + ••• + Ьм)/М). Если таких
центров нет, то для всех г устанавливается Ct ~ CiN{L\ + ... + Ьм)
и осуществляется переход к шагу 7.
Шаг 5. Если Ь\ + ... + Ьм < N(1 — е), то для тех i, для которых
ti > i(l + e), устанавливается С^ = Citi/t. Если таких центров нет, то
для всех г устанавливается С{ = CiN(Li+ ... +Ьм) и осуществляется
переход к шагу 7.
Шаг 6. Если N{\ — е) < L\ + ... + Ьм < N{1 — е), то для всех
г установим Ct = Citi/t. Алгоритм завершает работу, если
выполняются все неравенства Cj(l — е) < Q < Cj(l + е). В противном случае
осуществляется переход к шагу 7.
Шаг 7. Устанавливается Ci = Ct, (i = 1,М), d = d + 1 и
осуществляется переход к шагу 2.
4.2.3 Пример расчета
Рассмотрим модель однородной экспоненциальной замкнутой сети МО,
приведенной на рис. 2.1. При расчете этой сети с помощью декомпозиционного
алгоритма, основанного на теореме Нортона, используем исходные данные,
приведенные в п. 3.1.4: М = 4, щ = 1/36, ц2 = 1/60, ц3 = 1/180, /м = 1/120, Pi =
0,1, Pi = 0, б, Рз = 0, 2, Pi = 0,1. Величины Xi = eif/м (г = 1,4) в этом случае
имеют следующие значения: хх = Х2 = хз = 1; х$ = 2.
Для вычисления характеристик первого центра в соответствии с теоремой
Нортона построим двухузловую замкнутую сеть (рис.4.4) и, используя алгоритм,

190 Глава 4. Приближенные методы
изложенный в п. 4.2.1, вычислим интенсивность обслуживания ^в(п) в
композиционном центре. Результаты вычисления нормализующей константы при
закороченном первом центре представлены в таблице. 4.1.
1
CPV
Цв(п)
в
Рис. 4.4
Таблица 4.1
Число
сообщений
0
1
2
3
4
Номер центра обслуживания
1
Х2 = 1
1
1
1
1
1
2
Хз = 1
1
2
3
4
5
3
ж4 = 2
1
4
11
26
57
Интенсивность обслуживания в дополнительном центре вычисляется по
формуле цв(п) = eig(n — 1, m)/g(n, то). В рассматриваемом случае ei = 1/36 (см.
п. 2.1.2) и, следовательно
Мв(1) = jj5j; мв(2) = э^п; ^в(З) = ^±£; /^в(4) = j^ff.
Для вычисления нормализующей константы двухузловой сети,
представленной на рис. 4.4, воспользуемся формулой (3.2), которая в данном случае имеет
вид
д(п, 2) = Yl Mm)Z2(n2) = £ (^Уы* / \[»в{з) .
Учитывая, что для рассматриваемой двухузловой сети ei = е2 = 1/36, получаем:
ff(l, 2) = G2(l) = 5; ff(2, 2) = G2(2) = 16; ff(3, 2) = G2(3) = 42; 5(4, 2) = G2(4) =
99.Заметим, что полученные значения Gi(n), г = 1,4, совпадают с правым
крайним столбцом таблице. 3.3. Легко проверить, что значения характеристик
первого центра (производительность, средняя длина очереди и т. д.) совпадают с
аналогичными значениями, вычисленными при непосредственном использовании
алгоритма Бузена для сети с четырьмя центрами обслуживания (см. п. 3.1.4).

Декомпозиция разомкнутых сетей МО 191
В таблице 4.2. приведены результаты моделирования для сети, приведенной
на рис. 4.4, при различных законах распределения времени обслуживания Wi =
1, г = 1, М (модель 1); w\ = 3, 5, Wi = 0, 8, г = 2, М (модель 2); w\ = 4,2, u>2 =
0,35, и>з = 0,5, Wi = 0,7 (модель 3); w\ = 4,5, гия = 1,5, и>з = 2,2, u>4 =
3,4 (модель 4). При расчете характеристик сети в соответствии с алгоритмом,
изложенным в п. 4.2.2, функция распределения времени обслуживания при Wi >
1 аппроксимировалась гиперэкспоненциальным распределением 2-го порядка, а
при Wi < 1 - обобщенным эрланговским распределением с параметром -R[wf].
Таблица 4.2
Показатель
Загрузка:
Средняя длина очереди:
Производительность:
модель 1
модель 2
модель 3
модель 4
модель 1
модель 2
модель 3
модель 4
модель 1
модель 2
модель 3
модель 4
Центр обслуживания
1
0,424
0,415
0,419
0,358
0,646
0,940
0,995
0,832
11,78
11,51
11,64
9,94
2
0,424
0,415
0,419
0,358
0,646
0,592
0,551
0,572
7,07
6,91
6,98
5,97
3
0,424
0,415
0,419
0,358
0,646
0,592
0,565
0,663
2,35
2,30
2,33
1,99
4
0,848
0,829
0,839
0,716
2,062
1,876
1,888
1,932
1,18
1,15
1,16
0,99
4.3 Декомпозиция разомкнутых сетей
массового обслуживания на уровне
первых моментов
4.3.1 Уравнения баланса потоков и дисперсий
В основе рассматриваемого метода декомпозиции разомкнутых
однородных сетей МО лежат следующие два предположения: потоки,
циркулирующие в сети, взаимно независимы; функции
распределения интервалов времени между последовательными поступлениями
сообщений в центры и времени обслуживания определяются
первыми двумя моментами. В рамках сделанных предположений
формулируется и решается основная задача декомпозиционной
аппроксимации - составление и решение систем уравнений относительно первых

192 Глава 4. Приближенные методы
двух моментов (математического ожидания t\i и дисперсии Dbx г)
распределения интервалов времени между сообщениями в потоках,
циркулирующих по сети.
Значения £дг = 1/Aj легко определяются непосредственно из
уравнений баланса потоков в центрах:
м
Лг = А0г + J2 XJP^ * = ^' (4Л0)
где Лог = A-Poi - интенсивность потока сообщений в г'-й центр из
источника (см. раздел 2.1); Рц - элементы матрицы маршрутов.
Перейдем к определению дисперсии интервалов времени между
сообщениями в выходных потоках. С этой целью рассмотрим два
последовательных момента щ и 772 окончания обслуживания сообщений
в г-м центре. Величина А = щ — гц существенно зависит от
состояния центра в моменты окончания обслуживания. Если в момент 771 B
центре имеется хотя бы одно сообщение, ожидающее обслуживания,
то величина Д равна времени обслуживания очередного сообщения.
Если в момент 771 B центре отсутствуют сообщения, то А
складывается из времени обслуживания и времени до поступления очередного
сообщения (остаточного времени). Обозначим: Poi - вероятность
того, что в момент окончания обслуживания в г-м центре отсутствуют
сообщения; tXi и DXi - среднее значение и дисперсия остаточного
времени. Тогда для г = 1,М, получим:
*вых г = Ti + P'Jxi] (4.11)
£>вых i = D^ + P'oiD'Xi + Ро,(1 - Poi)(tXi)2, (4.12)
где £вых i и .DBbIX i - соответственно среднее значение и дисперсия
интервалов времени между сообщениями входного потока г'-го центра;
Ti и D^i - среднее значение и дисперсия времени обслуживания
сообщений в центре г. Заметим, что в стационарном режиме
^вых г = l/Aj И -Гог^Аг = &ог*\г-,
где Roi - вероятность отсутствия сообщений в г-м центре. С учетом
этих соотношений из (4.12) следует, что DBbllii зависит от двух
неизвестных параметров DXi и Poi или DXi и tXi.
Дополним (4.12) уравнениями преобразования дисперсии

Декомпозиция разомкнутых сетей МО 193
£>е = [Ai/(Ax + A2)]3L>i + [A2/(Ai + А2)]3А- (4.13)
для суммы двух независимых потоков и
DP = [D + (l-P)/(PX'2)}/P
для просеянного потока (Р - вероятность покидания сообщением
потока) .
Формулы (4.12), (4.13) позволяют получить систему уравнений
баланса дисперсий потоков, аналогичную уравнениям (4.10):
*■< - (£)'"-+£^ (*- - ^) • <««>
где £>вх г - дисперсия интервалов времени между соседними
сообщениями потока, поступающего в г'-й центр.
4.3.2 Диффузионная аппроксимация
системы МО GI/G/1
Как уже отмечалось, значения DBMX j зависят от неизвестных
параметров D^ и t^. Для определения этих параметров через
известные характеристики функции распределения длительности
обслуживания и параметры входного потока г-го центра1 используем метод
двумерной диффузионной аппроксимации [92].
Рассмотрим двумерный диффузионный процесс (х\, жг), где x\(i)
и X2(t) аппроксимируют на период занятости соответственно
число сообщений ni(i) и пг(<), поступивших и покинувших центр
обслуживания к моменту t. Таким образом, текущее значение п -
число сообщений, находящихся в центре,- определяется разностью
п = [х-\] — [х2], где [х] -целая часть х.
Для процессов Х{ (г = 1,2) в области п > О рассмотрим
моменты t первого достижения ординатой процесса целочисленного уровня
R + 1 при начальном условии Xi(0) = R (приращение Ах{ = 1). Из
теории случайных процессов известно, что плотность распределения
времени t имеет вид
9i{t) = -jtmexv [" ^ш)
'В этом пункте при описании характеристик центра i (i = 1,2, ...,М) для
простоты будем опускать индекс г.
(4.15)

194 Глава 4. Приближенные методы
где Ci и di - соответственно коэффициенты скоса и диффузии
процессов Xi и (г = 1,2). С помощью табличного интеграла
J~r-1exp(-£-v)dt = 2(?Y Rv{2y%),
где Rv{-) - функция Макдональда порядка и, могут быть вычислены
математическое ожидание и дисперсия распределения (4.15).
Потребуем, чтобы компоненты двумерного диффузионного
процесса {х\, Х2) в моменты первого прохождения целочисленного
уровня имели средние значения и дисперсии, совпадающие
соответственно со средними значениями и дисперсиями компонент дискретного
процесса (ni, пг). Тогда можно выразить коэффициенты скоса и
диффузии через среднее значение ti и дисперсию Di интервала
времени между скачками дискретного процесса щ : Ci = t~ и di = Ditf.
В области В, определенной условием (п > 0), плотность
распределения f(t, х\, Х2) диффузионного процесса (х\, Ж2) удовлетворяет
уравнению Колмогорова
1=1 ч ' '
Так как период занятости начинается с уровня х\ = 1, то начальным
условием для уравнения (4.16) будет /(0, х\, жг) = 8{х\ — 1)<5(ж2),
где S(-) - дельта-функция Дирака.
Рассматривая функционирование СМО только на периоде
занятости, к уравнению (4.16) добавим граничное условие поглощения
/|г = 0. Граница Г, определенная условием п > 0, имеет
ступенчатый характер (см. рис. 4.5) и физически означает завершение
периода занятости в момент достижения процессом (ж1, жг) границы
Г. Распределение ф(уг) ординаты процесса х\ в момент достижения
процессом (ж1, Ж2) границы Г позволяет определить все
характеристики функционирования центра.
Решение уравнения (4.16) в области В заменим совокупностью
решений в подобластях Br = (х% < R + 1, Ж2 < R), R = 1,2,...
Обозначим через уд(у2) распределение ординаты процесса Ж2 в момент
прохождения процессом (жх, жг) границы х\ = R + 1 области Br и
через ipR(yi) распределение ординаты процесса х\ в момент
достижения границы Ж2 = R той же области. Рассмотрим состояние центра
с момента поступления сообщения в центр (х\ = R + 1) до
момента окончания периода занятости (ж2 = R)- Вследствие марковского

Декомпозиция разомкнутых сетей МО 195
*1
7
6
5
4
3
2
1
У
/ L У2 ^
<Рз /
<?>2 / В3
<у
/ -в.
в2
У2
Г
V7777777/
1
",/77/7777/
*£
W7/77/,
<7
^777777
1
/
1 2 3 4 5 6
У7У,
"2
Рис. 4.5
характера рассматриваемых процессов начальным условием для
решения уравнения (4.16) в области Br будет распределение (pR-i(y2),
получаемое на предшествующем шаге.
Выведем теперь рекуррентные формулы для определения
плотностей распределений фя{у2) ординаты процесса х% в момент
прохождения процессом (х\, Х2) границы х\ = R + 1 области Br и
ординаты процесса х\ в момент достижения границы x<i = R той же
области ipR(yi). Для этого рассмотрим величину ¥>д(у2)^У2> равную
интегральному значению компоненты вектора потока вероятностей
, ,. ч rfi dfR(t, xu x2)
eijR(t, xi, х2) - т^ ,
через площадку dyi границы х\ = R + 1:
МУ2)<1У2 = dV2 Jo (CJR - f g)
dt.
X\=R+1, У2=В.—Х2
Решение уравнения (4.16) в области Br, в которой £i(0) =
R, 2:2(0) = У2 - случайная величина с распределением У(д-1)(У2)>
при нулевых граничных условиях может быть получено с помощью
функции Грина
13*

196 Глава 4. Приближенные методы
QR(t, xi, x2\R, y2)
2iK\/d\d2t
exp
(Ж1 - Д - Citf
2dit
(Х2 - 2/2 ~ Ctff
2b2t
x < 1 — exp
1 — exp
2(a?i-Д-1)'
2(Rx2 - y'2x2 + y'2R - Д2)
d2t
Здесь два первых сомножителя представляют собой
фундаментальное решение уравнения (4.16), а два последних - нулевые граничные
условия при х\ = R + 1 и х2 = Д. Решение /д будет выражаться
через функцию фя следующим образом:
/•ОО
/я(*, a;i, ж2) = / <pR-i(y2)QR(t, xi, x2\R, y'2)dy2.
Jo
Отсюда, учитывая выражение для Qr, приходим к рекуррентной
формуле для определения ifR(y2) (Д = 1,3,...):
ЛОО
<^яЫ = / <PR-i(y2)Q<p(y2\y'2)dy2, (<fi(y2) = Q!fi(y2\0)),
Jo
где
Яч>ЫУ2) = п~гехР
■K\Jd\d2
С\ С2 i
-Г + -г(У2-У2 + 1)
d2 d2
Ij- Д(2х/А7) - Ж Rx{2^fa)
Pi V Р2
1 (У2-У2 + 1). д 1 . (У2+У2 + 1)\
m ~ 2d: + 2d2 ' № ~ 2d: + 2d2
с2 с2
^=2t + 2t; ^e[°'°°)-
Аналогичные случаи приводят к следующему выражению:
ЛОО
JO

Декомпозиция разомкнутых сетей МО 197
где
~. , . /. 1 + у?
7rV«ia2
Ci
dl
(1-ш) +
+ g(l + 2/2)
£>3 V Р4
(1-ы2, а+ц)2. д _ а+yi)2, д + У2)2. ,|<=ГПппч
Рз = —^з 1 7ГЗ ! Р4 = —773 ! ^1 ; 2/2 е [0, ooj.
2d!
2do
2di
2do
Определим теперь параметры двумерного диффузионного
приближения Р0, tx и £)д, необходимые для вычисления характеристик
выходного потока из СМО. Плотность распределения вероятностей
Ф(У1) = SrLi Фя{У1) ординаты процесса х\ в момент достижения
процессом {х\, Жг) границы Г позволяют определить остаточное
время ожидания tx. При известном значении у\ (см. рис. 4.5) ордината
процесса х\ должна получить приращение у\ для того, чтобы процесс
п\ изменился на единицу (поступление очередного сообщения в
свободный центр). Условное распределение времени достижения уровня
у\ процессом (xi, X2) имеет вид
9(t\Vi) =
-техр
(Vi ~ Cxtf
V27rdii3 г I 2dit
с параметрами tx{y\) = txy\, D'x(yi) = DBxyi (tx и £>вх -
соответственно среднее значение и дисперсия времени между соседними
сообщениями во входном потоке).
Обозначим
™<ф= I y\^{yi)dti и Бф = / (ух - тф)2ф(у1)<И1
Jo Jo
математическое ожидание и дисперсию распределения ф(у\). Тогда
искомые параметры:
U
txm^;
Dx = Овхгпф + ь\Бф
(4.17)
(4.18)
выражаются через параметры входного потока сообщений в центр и
распределения ф(у\).

198 Глава 4. Приближенные методы
Учитывая, что в стационарном режиме интенсивности входного
и выходного потоков совпадают, из выражений Р0£л = Kot\ и tx =
гпфЬх следует
Р'ъГПф = До- (4-19)
После подстановки (4.17), (4.18) в выражение (4.12) получим
окончательно
А>ых = D^ + RqDbx + г\(т2фЯъ1гг1ф - До),
где т2ф = D^ — rn^ - второй начальный момент распределения ф{у\).
Теперь можно найти все основные характеристики
рассматриваемой разомкнутой сети МО. Рассмотрим вначале характеристики
одного центра сети. Из определения Р0 следует, что величина 1/Р0 вы~
ражает среднее количество заявок, прошедших через центр за период
занятости. Тогда средняя длина периода занятости Y в СМО может
быть получена через параметр Р0 следующим образом:
У = г/Pi
где г - среднее время обслуживания сообщения в центре. Из
соотношений (4.17) и (4.19) следует, что средняя длина периода простоя
/ = Дотл/Ро,
где Ро = 1 — р, а т\ - среднее интервалов времени между соседними
заявками во входном потоке.
Среднее время ожидания может быть выражено через первые два
начальных момента распределения случайной величины / [89]:
т Рп + Р^ + тЦх-р? /2
2тх(1-р) 2Г (4-2°j
Определим математическое ожидание квадрата случайной величины
/. Для этого заметим, что I = tx, откуда, учитывая (4.18), получаем
I2 = DBXm,p + t\mn. (4.21)
Подставляя (4.21) в (4.20), окончательно имеем
D\ + D» + Pptj - PiDx - Ррт2хт2ф
Т =
2ДтЛ
Из этого выражения по формуле Литтла легко определяются
средняя длина очереди и среднее количество сообщений в центре. Зная

Полиномиальная аппроксимагщя 199
характеристики отдельных центров сети, нетрудно рассчитать
характеристики всей сети в целом. Например, среднее время пребывания
сообщений в сети имеет вид Тс = $2i=i№ + Tj)Aj/Ao. Аналогично
определяются другие характеристики сети.
4.4 Полиномиальная аппроксимация
4.4.1 Описание метода
На стадии предпроектного обследования значения исходных
данных для проектирования вычислительных систем и сетей известны
лишь приближенно. Поэтому затраты на повышение точности
результатов моделирования на этой стадии проектирования
оказываются неоправданными. В этом случае необходимо использовать
наиболее простые методы анализа. К числу таких методов относится
метод полиномиальной аппроксимации [7,43], позволяющий
осуществлять декомпозицию сети МО на уровне первого момента
распределения интервалов времени между сообщениями в потоках,
циркулирующих по сети.
Рассмотрим замкнутую однородную сеть МО, состоящую из М
центров, в которых циркулирует N сообщений в соответствии с
матрицей маршрутов Р =|| Pij ||. Предполагается, что функция
распределения Fi(t) времени обслуживания в г-м центре является
произвольной с заданными первыми двумя моментами n — /0°° tdFi(t) и
Пусть X(N) - интенсивность потока сообщений через выделенный
центр (например, первый). Тогда в стационарном режиме работы
сети МО
Xi(N) = eiX(N), i = TJI,
где относительная интенсивность потока е^ однозначно определяется
из системы уравнений
М
Используя формулу Литтла, общее количество сообщений в сети МО
можно представить в следующем виде:
м м
N = Y,Ti{N)\{N) = J2Ti(N)eiX(N).

200 Глава 4. Приближенные методы
Здесь Ti(N) - время пребывания сообщения в г-м центре.
Произведем замену переменной X(N) = NXo(N). Тогда среднее
время цикла (время между поступлениями сообщения в выделенный
центр)
хЖ)=^т-
Рассматриваемый метод основан на декомпозиции исходной сети
на отдельные независимые центры и использовании аналога
формулы Полячека - Хинчина для оценки времени преобразования
сообщений в центре:
1{[]У)~П+1-ег(М-1)пХо(М) 2 '
Таким образом, задача приближенного анализа замкнутой сети МО
может быть сформулирована как задача решения уравнения
il>[X0(N)] = X0(N) (4.22)
относительно переменной Xo(N), где ip[Xo(N)] - полином степени М:
lei(N-l)T?X0(N)(l + w2) , ^
iP[X0(N)} =
Alet(iV-l)r^o(iV)(l + W2) Л
L^2 1 - a(N - l)nXo(N) +^(
Легко показать, что решение полученного полиномиального
уравнения при условии 1/Xq(N) > max{(iV — l)ejTi} существует и
единственно. Из выбранного вида полинома Р(Х) следует, что при N —* 1
и N —> оо решение уравнения (4.22) асимптотически совпадает с
точным значением.
Описанный выше подход легко обобщается на случай сетей МО
с несколькими классами сообщений, блокировками и приоритетами
[43].
4.4.2 Оценка вычислительной сложности метода
Оценку вычислительной сложности метода полиномиальной
аппроксимации проведем для однородных экспоненциальных сетей,
эффективные вычислительные алгоритмы и оценки количества
арифметических операций для которых были приведены в разделе 3.1.
Для экспоненциального распределения длительности
обслуживания в центрах сети уравнение (4.22) принимает вид

Полиномиальная аппроксимация 201
м
ЧФШ = Е Ч/т*) - он] - (N - 1) = 0, (4.23)
i=i
где введены обозначения щ = (N — l)ejTj и V(N) = 1/Xq(N).
При решении уравнения (4.23) используется ограничение V(N) >
maxjaj и один из итерационных методов, например метод
деления пополам, дающий оценку количества арифметических операций.
Легко показать, что при выполнении условия
maxai < V(N) < [1 + 1/(N - 1)] maxai
i i
функция ip[V(N)] > 0, а при
V(N) > [1 + 1/(JV - 1)] maxai
i
функция <p[V(N)] < 0. Следовательно, корень уравнения лежит в
интервале
[(1 + 1/(JV - 1)(таха*), (1 + M/(N - 1)) max он].
г г
Очевидно, что после т операций получим интервал [(3, j] такой, что
М - 1
7-/3<2-m——-max a,.
1\ — L г
Пусть е - требуемая точность решения. Обозначим ei*Ti* =
maxieiTi. Полагая без ограничения общности ej* = 1, получаем
количество итераций, необходимых для отыскания решения с точностью
е: т = log2 [tj*(M — 1)/е]. Заметим, что Нтм-юо пг/М = 0 и,
следовательно, при большом количестве центров число итераций т <С М.
Пусть, например, max(ejTj) = 1, М — 100, е = 0,01. Тогда т =
log2 104 и 14.
Полагая, что количество арифметических операций,
необходимых для выполнения одной итерации, не превышает 3(М + 1) и
N > М, имеем Зт(М + 1) < MN.
Таким образом, при исследовании сетей большой размерности
предложенный метод в вычислительном отношении значительно
лучше метода Бузена.

202 Глава 4. Приближенные методы
4.4.3 Пример расчета
Проиллюстрируем применение метода полиномиальной
аппроксимации для расчета модели мультипрограммной ЭВМ,
представленной на рис. 2.1, с числовыми данными примера раздела 3.1.
В рассматриваемом случае х\ — х-2 = хз = 36, х± = 74, поэтому
значения ai = (N — l)ejTj = (N — l)xt следующие: a.\ = a-2 = a^ =
3t(N — 1); oi\ = 72(N — 1). Подставляя эти значения в уравнение
(4.51), получаем
108[V(N) - 36(iV - I)]"1 + 72[V(N) - 72(n - l)]"1 = 1.
Решая квадратное уравнение при N = 4 и учитывая, что один из
корней не удовлетворяет условию V(N) > maxj aj = 72(N — 1), находим
V(N) = 347,25.
Отсюда последовательно определяются все средние
характеристики рассматриваемой сети МО:
Xi(N) = ei(N)/V(N); Ti(N) = т*/[1 - (N - 1)етХ0(М)}.
Результаты сравнительного анализа расчета сети рис. 2.1 методом
Бузена и с помощью полиномиальной аппроксимации представлены
в таблице. 4.3.
Таблица 4.3
Метод
расчета
Точное
решение

Полиномиальная

аппроксимация
Точное
решение

Полиномиальная

аппроксимация
Расчетные
соотношения
\i(N) =
— е G(N)
Ai(JV) =
-е- N
Li(N) =
V-JV nG(N-l)
— l~,n=\ xi G(N)
Li(N) =
= Ti(N)Xi(N)
Центр 1
ei = l
x\ = 36
0,0111
0,0115
0,6460
0,6009
Центр 2
e2 =0,6
X2 = 36
0,0067
0,0069
0,6460
0,6009
Центр 3
e3 = 0,2
хз = 36
0,0022
0,0023
0,6460
0,6009
Центр 4
е4 = 0,1
х4 = 72
0,0011
0,0012
2,0620
2,1974

Полиномиальная аппроксимация 203
Из таблицы видно, что относительная погрешность не превышает
10%, что вполне приемлемо для практических расчетов.

ГЛАВА 5
Развитие теории
мультипликативных сетей
очередей
5.1 Основные направления развития теории
мультипликативных сетей
Рассмотренные в разделе 2.3 открытые, замкнутые и смешанные
сети, удовлетворяющие условиям теоремы ВСМР, имеют широкое
практическое применение при исследовании вычислительных систем
и сетей. Однако естественно возникает следующий вопрос: ограничен
ли класс сетей, для которых выполняется свойство
мультипликативности, лишь сетями, включающими четыре типа центров
обслуживания? Частичный ответ на этот вопрос дается в работе Мунтца1, где
показано, что для перечисленных четырех типов центров
обслуживания, рассмотренных изолировано, характерно свойство М =>• М
- пуассоновский характер поступления сообщений влечет за собой
пуассоновский поток сообщений на выходе системы. Показано, что
сеть центров обслуживания, обладающих свойством М =>• М, имеет
мультипликативную форму стационарных вероятностей состояний.
В ряде других работ в последние годы получено значительное
количество теоретических результатов, обобщающих и расширяющих
теорему ВСМР . В частности, в работе Ноетзелла2 введена обобщен-
1 Muntz R. R. Poisson Departure Processes and Queueing Networks//Res. Rep.
RC4145 - IBM Thomas J. Watson Research Center, Yorktown Heights, 1972.- 96 p.
2Noetzel A. S. A Generalized Queueing Discipline for Product form Network
Solutions//,!. Assoc. Comput. Mach.- 1979.- Vol. 26, N 4.-P. 779-793.

Основные направления развития теории 205
ная дисциплина обслуживания LBPS (Last Batch Processor Sharing),
определяющая большой класс дисциплин обслуживания, при
которых стационарные вероятности состояний сети МО имеют
мультипликативную форму для произвольного распределения
длительностей обслуживания в центрах сети. Наиболее общая теорема о
необходимых и достаточных условиях существования мультипликативной
формы решения для сети МО с несколькими классами сообщений
доказана в [160].
Остановимся более подробно на практически важном обобщении
теоремы ВСМР, рассмотренном в работе Лэма 3, где
сформулированы достаточные условия мультипликативности сетей МО с более
общей, чем в условиях теоремы ВСМР, зависимостью интенсивностей
поступающих потоков от состояний сети МО. Указанные
результаты будут в дальнейшем использованы в разделе 6.4 при анализе и
оптимизации структур буферной памяти узлов коммутации пакетов.
Рассмотрим открытую ВСМР-сеть, в которую поступает L пуас-
соновских потоков сообщений. Дополнительно к обозначениям п. 2.3.2
введем вектор агрегированного состояния сети
U(n) = {C/i(n),..., UL(n)},Ui(n) = Y,n^1 = T^- ■
(ir)
На множестве L-мерных, целочисленных, неотрицательных
векторов заданы два набора функций: C;[U(n)] и 7}[U(n)] (I = 1,L),
которые могут принимать значения в множестве 0,1. Поступающее
в сеть сообщение 1-й подцепи принимается на обслуживание, если
функция потерь Cj[U(n)] = 1, и теряется, если C;[U(n)] = 0. «Триг-
герная» функция 2}[U(n)] = 0, если в момент ухода из сети
сообщения 1-й подцепи новое сообщение указанной подцепи мгновенно
вводится в сеть, и 7i[U(n)] = 1 в противном случае.
Введем следующие обозначения:
У = {Уи-,Уь},У% >0;
<p(V) = UyeV<p(v) = {neD:U(n)=y},
где D и V - соответственно допустимые множества векторов п и
U(n). Тогда справедлива следующая теорема.
3Lam S. S. Queueing Networks with Population size Constraints//IBM J. Res.
Develop. - 1977.- Vol. 21, N 4.- P. 370-378.

206 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Теорема. Пусть функция потерь C/[U(n)] и «триггерные»
функции T/[U(n)] удовлетворяют условию Ti(y) — 1 <^> Q(y — 1/) = 1,Z =
1, L, для всех пар у и у — 1; из V. Тогда стационарное распределение
вероятностей состояний сети МО имеет мультипликативную форму:
м
P(n) = G-1A*(n)l[Zi(ni),
1=1
где
y£V п£<р(у)
- нормализующая константа.
Сформулированная теорема используется в главе 6 для
доказательства мультипликативности сети МО, адекватно описывающей
функционирование узлов коммутации пакетов в базовой сети
передачи данных.
Другие направления развития - сети с зависимым
обслуживанием и G-сети [18]рассматриваются в последующих разделах настоящей
главы.
5.2 Сети массового обслуживания
с зависимым обслуживанием
Для всех моделей сетей очередей, описанных в главе 2,
предполагалось, что длительности обслуживания требований на различных
этапах маршрута независимы. Это неадекватно отражает реальную
ситуацию в сетях передачи информации, где длина (объем)
сообщения в процессе его передачи от одного узла к другому не
меняется, что приводит к необходимости исследования сетей с зависимыми
(в частности, идентичными) длительностями передачи сообщений на
каналах.
В настоящей работе, следуя [111] предполагается, что наряду с
длительностью обслуживания каждое сообщение характеризуется
также своим объемом, а относительно длительностей обслуживания
предполагается лишь их условная (при фиксированном объеме)
независимость, что позволяет фактически учитывать зависимость
длительностей обслуживания одного и того же сообщения на различных этапах
своего маршрута. При этом мы ограничиваемся принципами
маршрутизации Келли (сети типа Джексона с марковской
маршрутизацией являются частным случаем рассматриваемой модели). Приводит-

Сети МО с зависимым обслуживанием 207
ся альтернативное доказательство мультипликативного
представления для стационарных вероятностей состояний таких сетей с
узлами различных типов, реализующими так называемые симметричные
дисциплины обслуживания, и допускающими зависимость
обслуживания требований в различных узлах маршрута. При этом не
затрагиваются тонкие вопросы существования стационарных
распределений для общих сетей, которые представляют собой предмет
самостоятельных исследований.
5.2.1 Описание сети. Обозначения
Рассмотрим сеть МО, для описания которой будем использовать
следующие обозначения:
М - конечное множество узлов сети,
М - число узлов в сети МО,
s - номер узла, s = 1, М.
Узлы предполагаются следующих типов:
0) экспоненциальные многолинейные с бесконечной емкостью
накопителя и дисциплиной FIFO (отметим, что приведенную ниже
теорему нетрудно перенести на экспоненциальные узлы со случайным
выбором прибора или места в очереди);
1) бесконечнолинейные;
2) однолинейные с бесконечной емкостью накопителя,
инверсионной дисциплиной обслуживания с прерыванием обслуживания и
дообслуживанием;
3) однолинейные с бесконечной емкостью накопителя и
дисциплиной равномерного разделения прибора.
Множество узлов типа г, г = О,3 обозначается Mj, а число
приборов в г-ом узле - Cj.
Всюду, как и раньше, прописными латинскими буквами будем
обозначать случайные величины, а их реализации -
соответствующими строчными буквами, причем векторные случайные величины
и векторы будем выделять полужирным шрифтом.
В сеть поступает пуассоновский поток заявок интенсивности А, а
каждая поступающая в заявка характеризуется набором случайных
величин (L, R, Y, X), не зависящих от аналогичных случайных
величин для остальных заявок и предыстории функционирования сети,
где:
L - случайная длина маршрута заявки, т.е. число этапов, на
которых она будет обслуживаться;

208 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
R = (#i,... ,Rl) - случайный маршрут, представляющий собой
набор номеров узлов (возможно повторяющихся), последовательно
проходимых заявкой на всех L этапах;
Y = (Yi,...,Yl) - случайные объемы на последовательно
проходимых этапах маршрута, вообще говоря, различные на различных
этапах;
X = (Х\,... ,Xl) - случайные длительности обслуживания на
последовательно проходимых этапах маршрута, также, вообще
говоря, различные на различных этапах. Отметим, что если на некотором
этапе заявка обслуживается в узле типа 2 или 3, то длительность
обслуживания на данном этапе представляет собой то время, которое
обслуживалась бы в этом узле заявка, если бы в нем не было других
заявок.
Объем Y может иметь как реальный физический смысл в виде,
например, объема памяти, необходимого для записи сообщения, так
и носить вспомогательный характер, например, для задания типов
заявок в сети; в последнем случае рассматриваемая модель может
трактоваться, как сеть МО с континуальным множеством типов
сообщений.
Очевидно, что при таком описании сети объем Yn и длина Хп
соответствуют обслуживанию заявки в узле с номером Rn- Напомним,
что допускаются маршруты R, в которых номера Rn могут
повторяться, т.е. заявка может обслуживаться в одном и том же узле s
несколько раз, причем с различными длительностями обслуживания.
Статистические характеристики случайной величины (L, R, Y, X)
задаются совместной функцией распределения (ФР)
В(1, г, у, х) = P{L = l,Rn = rn, Yn < yn, Xn <xn, n= 1,1},
Обозначим далее через
G{l,r,y) =P{L = l, Rn = rn, Yn <yn, n = 1,1}
совместную ФР маршрута и объемов заявки на этапах, через
В(х | I, г,у) = Р{ХП <х, п = 177 | L = I, R = г, Y = у}
условную совместную ФР длительностей обслуживания заявки на
этапах при фиксированных маршруте и объемах и через
Вп(х | I, г, у) = P{Xn <xn\L = l,R = r,Y = y}, n = ГД,

Сети МО с зависимым обслуживанием 209
условную ФР длительности обслуживания заявки на п-ы этапе (в
узле с номером гп) при фиксированных маршруте и объемах.
Относительно введенных функций делаются следующие
предположения.
(П 1.) Длительности обслуживания предполагаются условно
независимыми вдоль маршрута, т.е. условная ФР В(х | 1,г,у) имеет вид
В(х | I, г, у) = Д Вп(хп | I, г, у).
га=1
(П 2.) Экспоненциальные узлы s являются с^-линейными СМО
(с бесконечной емкостью накопителя), интенсивности обслуживания
в которых любой заявки каждым прибором равны fis.
Таким образом, если г„ = s € Mo, т.е. на п-ы этапе маршрута
заявка обслуживается в узле s типа 0, то
Д1(1|1,г1у) = 1-е-'"1.
Иными словами, длительность Хп обслуживания в узле Rn = s типа
0 не зависит ни от маршрута R, ни от объемов Y (включая объем
Yn) и имеет экспоненциальное с параметром fis распределение.
(ПЗ). Функции распределения G(l,r,y) и Вп(х | 1,г, у) не
содержат сингулярной компоненты.
Тогда их плотности, понимаемые в обычном смысле для
абсолютно непрерывных распределений или в обобщенном смысле для
дискретных и смешанных распределений, и обозначим через д(1,г,у) и
Ьп(х | 1,г,у) соответсвенно.
Кроме того, для узлов типов 1-3 положим
Вп(х | I, г,у) = 1 - Вп(х | I,г, у),
и для сокращения записи результатов обозначим дополнительно
через
&(*м.г,у)= "f."-,r;y\
I- Bn(x\l,r,y)
условные плотности распределения времени окончания
(интенсивности) обслуживания заявки с характеристиками (1,г,у) на п-ы
этапе маршрута (в узле s = rn) при условии, что она обслуживалась
время х. Заметим при этом, что если на п-м этапе маршрута
заявка обслуживается в экспоненциальном узле с номером s (т.е. если
rn = s Е М0), то (Зп(х | i,г,у) = ц3.
14 — 7659

210 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Обозначим далее через
оо
mn(l,r,y) = [1 - Вп(х | l,r,y)]dx, n=l,l,
о
среднюю длительность обслуживания на n-м этапе маршрута при
фиксированных маршруте и объемах заявки. Заметим, что в
соответствии с предположением (П 2) если rn = s e Мо (на этом этапе
заявка обслуживается в узле s типа 0), то mn(l,r,y) = l/fis-
(П 4). Средние длительности обслуживания всех заявок конечны
mn(l,r,y) < оо.
(П 5). Суммарная интенсивность поступающих во все узлы
потоков конечна или формально
оо .
* = ЛЕ l J2 9(l,r,y)dy<oo.
1=1 l<ri,...,r,<Af^,
Отметим, что это условие не следует из конечности загрузки узлов,
которое будет приведено далее.
Понятно, что загрузка s-ro узла сети рассматриваемого типа
определяется формулой
оо . I
Ps = ^Yl Yl 9(l,r,y)^2ssrnmn(l,r,y)dy (5.1)
1=1 1<Г1,...,г(<Мд, п=1
где здесь и всюду в дальнейшем для многомерного интеграла
используется обозначение
... ■dy1-dyi= -dy,
Ri Rl
a Sij - символ Кронекера.
Заметим, что в силу предположения (П2) для экспоненциальных
узлов s € Мо отсюда получим, что
Ps = (-)L
оо I
где ls = Y^, S 5(')r) S &sr„— среднее число посещений от-
£=11<Г1,...,Г(<М п=1
дельной заявкой s-oro узла.
Предположения относительно загрузки узлов содержатся далее в
теореме.

Сети МО с зависимым обслуживанием 211
5.2.2 Частные случаи
Приведенная выше общая модель сети включает в себя
различные рассмотренные ранее случаи. Покажем, как они вкладываются
в предложенную общую схему.
Сеть Келли
Рассмотрим сеть, все узлы которой экспоненциальные (т.е.
являются узлами типа 0), причем объемы каждой поступающей заявки
одинаковы на всех этапах маршрута и могут принимать только одно
из К значений г = 1, К с вероятностью щ. При этом заявке объема г
соответствует фиксированный маршрут rj = (гц,... ,гц.) длины /j.
Нетрудно видеть, что в этом случае мы имеем сеть Келли [235]
, в которую поступают К потоков заявок, причем интенсивность г-
го потока равна А, = Aaj, а маршрут заявки г-го потока задается
вектором rj = (гц,... ,rut). Таким образом, предложенная модель
обобщает схему Келли.
Сеть Джексона
Пусть все узлы экспоненциальные, а объемы на всех этапах
маршрута всех поступающих заявок постоянны и равны, допустим 1.
Свяжем с каждой поступающей в сеть заявкой поглощающую цепь
Маркова с К + 1 состояниями {0,1,..., К}, начальным распределением
к
(qos), s = 0, К, причем Y1 Чог = 1 (т.е. <?оо = 0), и матрицей пере-
5=1
ходных вероятностей Q = [<lsi\s=YT< i=o~K ■ Депь поглощается в момент
первого попадания в состояние 0. Пусть L - число состояний, которые
цепь Маркова посетила до момента поглощения, a R = (Ri,... ,Rl)
- их номера. Если теперь рассматриваемой заявке приписать
случайный маршрут R длины L, то мы получим сеть Джексона с
маршрутной матрицей Q [232].
Более общая модель сети типа Джексона , в которой
обслуживаются заявки нескольких типов, также включается в
рассматриваемую модель, если для описания дискретных типов заявок
использовать их объемы.
ВСМР-сеть
Аналогичным образом в терминах рассматриваемой модели
описывается ВСМР-сеть. Отличие заключается в том, что маршрутная
матрица может быть разложимой, а ФР длительностей
обслуживания заявок в узлах типов 1-3 имеют дробно рациональные
преобразования Лапласа.

212 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Зависимое обслуживание
Помимо изученных ранее сетей МО, введенная модель допускает
зависимое обслуживание. Рассмотрим сеть, в которой присутствуют
узлы типов 1-3. Будем предполагать, что объем каждой заявки на
всем ее маршруте постоянен, т.е. Y\ = ... = Yl = Y, а длительности
обслуживания связаны с объемом, скажем, линейной зависимостью
Xn = Y/ciRn, где as - постоянный для узла с номером s
коэффициент, определяющий производительность соответствующего (s-ro)
узла. Тогда мы получим сеть, в которой длительности
обслуживания заявок в различных узлах зависимы и пропорциональны.
5.2.3 Марковский процесс, описывающий
функционирование сети
Определим теперь марковский процесс, описывающий
функционирование введенной сети МО.
Состояние сети будем обозначать набором z = (zi,...,zm), где
набор zs = (ks, zsi,... ,zsfes) s = 1,M, в свою очередь,
описывает состояние s-ro узла следующим образом: ks - число заявок,
находящихся в s-м узле, а набор zSj, s = l,m, г = l,ks с
компонентами zsi = (hi,rsi,ysi,nsi,xsi) содержит информацию (lsi,rsi,ysi)
об г-й заявке, находящейся в s-м узле, и ее положении (nSj, xSi) в
сети, где lsi - длина маршрута, rsi = (г3ц,..., rsUsi) - маршрут,
У si = (у silt ■ ■ ■ ,ysiiSi) ~ объемы заявки на его этапах, nSi - номер
этапа маршрута, на котором находится (обслуживается или ожидает
обслуживания) заявка, и xSi - выработанная длительность
обслуживания на данном этапе. Заметим, что в силу принятой системы
обозначений rSin3i — s. Ясно также, что набор zs = 0 в случае ks = О,
т.е. когда в s-м узле отсутствуют заявки, а набор z = 0 = (0,..., 0) в
том случае, когда во всей сети ней нет ни одной заявки. Кроме того,
будем считать, что координаты xsi не определяются для
экспоненциальных узлов, т.е. в случае s € Mo (выработанная длительность
обслуживания на данном этапе обслуживания не фиксируется).
В дальнейшем будет принято следующее правило нумерации
заявок в узлах. Для узлов типа 0 заявки нумеруются в порядке
поступления в узел, для узлов типов 1 или 3 - в случайном порядке, а
для узлов типа 2 - в порядке, обратном порядку поступления заявок
в этот узел. Все состояния, удовлетворяющие описанному правилу,
называются допустимыми, а их множество обозначим через Z = {z}.

Сети МО с зависимым обслуживанием 213
В качестве процесса, описывающего функционирование
рассматриваемой сети МО рассмотрим процесс
Z(i) = z, если в момент t сеть находится в состоянии z.
Очевидно, что введенный процесс является марковским.
5.2.4 Основная теорема о мультипликативности сети
В этом разделе доказывается теорема о мультипликативном
представлении стационарных вероятностей состояний для
рассматриваемой сети.
Стационарную плотность распределения вероятностей состояний
процесса Z(i) будем обозначать p(z). Ниже прямым построением мы
покажем существование этой плотности при естественном
ограничении на загрузку сети.
Теорема. Если для узлов s типа 0 ps < cs, для узлов s типа 1
ps < оо, и для узлов s типов 2 и 3 ps < 1, то существует предельное
(стационарное) распределение вероятностей состояний процесса Z(£)
с плотностью распределения вероятностей
m
p(z) = Црв(ив), (5.2)
s=l
где:
для узлов s типа О
/ ч /«ч/М^ТТ „ ч \ l/ksl Tipnks<Cs,
Ps(Zs)=Ps{0)[ — ) \[9{lsi,rsuysi)X< , „ . fc r ч
V^y f=i I l/(cs!c^-Cs) npHA:s>cs;
(5.3)
1^ог!^' csl(csp,s-X)\nsJ J
для узлов s типа 1
Ps(zs) = ^ттП5"»*^ I lsi,rsi,ysi)g(lsursi,ysiy, (5.5)
г=1
для узлов s типов 2 или 3
к3 _
Ps(zs) = (1 - ps)\k3Y\_Bnai(xsi | lSi,rSi,ySi)g{lSi,rsi,ySi). (5.6)
8=1

214 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Доказательство. Нетрудно видеть, что марковский процесс Z(t)
является неприводимым, регулярным и положительно возвратным
по Харрису, так как состояние 0 является для него положительно
возвратным атомом. Поэтому для доказательства теоремы достаточно
показать, что функция p(z), определяемая утверждением теоремы,
удовлетворяет системе уравнений для стационарных плотностей
распределения вероятностей состояний процесса, которую аналогично
дискретному случаю назовем системой уравнений равновесия (СУР).
Для записи СУР введем следующие обозначения. Пусть s-й узел
находится в состоянии zs. Тогда через vSi(zs) обозначим скорость
обслуживания г-й заявки, находящейся в этом узле, т.е.
если г-я заявка обслуживается в узле s типа 1
или находится на приборе в узле s типа 0 или 2;
если г-я заявка обслуживается в узле s типа 3
(в котором обслуживается еще ks — 1 заявок);
если г-я заявка находится в очереди в узле s
типа 0 или 2,
а через
A*si(.zs) — vsi\zs) Pnsi\xsi I 'si) rsi> Ysi)~
интенсивность выхода из состояния z за счет окончания
обслуживания г-й заявки в s-м узле. Заметим, что в силу предположения (П2)
для узлов s типа 0 имеем /xsi(zs) = /xs.
Кроме того, для неэкспоненциальных узлов s £ M1UM2UM3 при
к > 0 и i = l,k обозначим через uSi(k) вероятность того, что заявке,
поступающей в узел s, в котором находится еще к — 1 заявок, будет
присвоен номер г. Согласно принятому правилу нумерации заявок в
узлах эта вероятность имеет вид
{1 если s £ М/2 и г = 1;
О, если s G M2 и г > 1;
1/к, если s G Mi U М3.
Так как уравнения будут иметь различный вид для внутренних и
граничных состояний множества состояний Z процесса Z(i), то
разобьем его на два подмножества - внутренних и граничных состояний.
К внутренним отнесем такие состояния, для которых xs{ > 0 для всех
тех (s,i), для которых они определены (т.е. для всех s e М\Мо).
Очевидно, что внутреннее состояние - это такое состояние, в
котором все заявки, находящиеся в узлах типов 1-3, уже обслуживались
какое-то время. Остальные состояния будем называть граничными.
Vsi(zs) = <
( 1,
О

Сети МО с зависимым обслуживанием 215
Каждому внутреннему состоянию z £ Z поставим в соответствие
множество состояний 2>(z), которые будем называть
предшествующими состоянию z. Смысл введения предшествующих состояний
заключается в том, что только из них возможен непосредственный
переход в состояние z. В свою очередь, все состояния, предшествующие
внутреннему состоянию z, разобьем на 4 класса, каждый из которых
соответствовать определенному типу перехода в состояние z.
Первый класс
Z+(z) = {z+(z, s,i,l, г, у, х)},
соответствует тем состояниям сети, переход из которых в состояние
z осуществляется за счет окончания обслуживания заявки в каком-
либо из узлов и ухода ее из сети и состоит из состояний
z+(z, s,i,l, r, у, х),
имеющих вид
z+(z, s, г, I, г, у, х) = (zi,..., zs_b z*, zs+b ..., zm),
где
z* = (ks + l,z*b ... ,z**.+i)>
и
zsj, при j < i,
(l,r,y,l,x), npnj = i,
zsJ_i, при; > i,
a /, г, у и х могут принимать любые (возможные) значения.
Остальные 3 класса предшествующих состояний не пусты только
для сетей МО, в которых есть экспоненциальные узлы. Пусть s G Mo
и состояние z таково, что ks > 0. Предположим также, что nsk3 = 1.
Обозначим через 2,["(z) класс, содержащий все предшествующие
состоянию Обозначим через z) состояния, из которых возможен
переход в состояние z за счет поступления новой заявки в
экспоненциальный узел сети, а через Si(z) подмножество экспоненциальных
узлов, в которых на последнем месте стоит заявка, только что
поступившая в сеть МО. Состояния z~(z, s) этого класса имеют вид
z~(z, s) = (zi,..., zs_i, z*, zs+i,..., zm),
где
zs = \™s ~ 1) zslj • • • ) zs,fe3 — !)■
Zsj = <

216 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Класс 2,^"(z) соответствует предшествующим состояниям,
переход из которых в состояние z осуществляется при окончании
обслуживания в одном экспоненциальном узле и поступлении ее на
обслуживание в другой экспоненциальный узел (на последнее место),
и состоит из непересекающихся подклассов Z^(z,s), определяемых
следующим образом. Пусть s € Mo и состояние z таково, что ks > 0.
Предположим также, что nsks > 1 и rs^s,n3k -i = s' £ Mo- Тогда
Zjfoe) = {z"(z, s,j)},
причем каждое состояние z~(z, s,j) имеет вид
Z_(z,S,j) = (Z1,...,ZS'_1,Z*/,ZS/ + 1,...,ZS_1,Z*,ZS+1,... ,Zm),
где
z*, = (fcs/ + l,z*fl,...,z*,ksl+1),
{zs'i, г < j
(hk8,rsks,ysks,nsks-l,x), i=j,
zs',i-i, * > j,
zs = (^e - l,zsi,...,zS)fes_i).
Множество узлов s, для которых подклассы 2>^"(z, s) не пусты,
обозначим через S2(z).
Наконец, класс Zj(z) аналогичен классу 2^"(z) за исключением
того, что переход в состояние z осуществляется при окончании
обслуживания в неэкспоненциальном узле. Непересекающиеся подклассы
Z^(z,s), образующие класс Z.j(z), определяются так. Пусть s € Mo
и состояние z таково, что ks > 0. Предположим также, что nsks > 1
и rs,ks,naks-i = s' & Mo. Тогда
z3(z's) = {z~(z's'i^)}'
причем каждое состояние z~(z, s,j, x) имеет вид
z~(z, s,j, х) = (zi,..., zs/_i, z*/, zs4_i,..., zs_i, z*, zs+i,..., zm),
где
Zs' = (A:s' + l,z*,1,...,z*,)fes,+1),
{zs'i, i<j,
(^fes,rsfes,ysfes,nsfes - l,x), i=j,
Zs',i-i, i>j,

Сети МО с зависимым обслуживанием 217
zs = (ks - l,zsi,... ,zSifcs_i).
Множество узлов s, для которых не пусты подклассы ZJ(z,s),
обозначим через S3(z).
Отметим еще раз, что каждый из классов 2,^(z)-2,^~(z) может
быть пустым. В частности, для состояния 0 = (0,..., 0) пустыми
являются все классы Z^(z)-2,J(z).
Выпишем уравнения глобального баланса для внутреннего
состояния z. Для этого вычислим потоки вероятностей, входящие и
выходящие из состояния z.
Поток, выходящий из состояния z, состоит из двух частей. Во-
первых, выход из состояния z осуществляется при поступлении новой
заявки в сеть МО (с интенсивностью Л). Выходящий из состояния z
поток вероятностей, связанный с поступлением новых заявок, равен
Xp(z).
Во-вторых, выход из состояния z происходит и при окончании
обслуживания г-й заявки в s-м узле (с интенсивностью /xsj(z)). Общий
выходящий из состояния z поток вероятностей, связанный с
окончанием обслуживания заявок во всех узлах, равен
m ka
^^/xsi(z)p(z).
s=l г=1
Вход во внутреннее состояние z может произойти при окончании
обслуживания г-й заявки в s-ш узле из состояния z+(z, s, i, I, r, у, х) G
Z+(z). Поскольку интенсивность окончания обслуживания г-й
заявки в s-ш узле равна /isj(z+(z, s, i, I, r, у, х)), то суммарный входящий
в состояние z поток вероятностей, связанный с окончанием
обслуживания заявок в узлах, равен
fes+i
£
s£Mo г=1 l,r Rl
ks+l .
^2 XHZ / Vsi(z+(z,s,i,l,r,y,x))p(z+(z,s,i,l,r,y,x))dy+
+ 5Z £ S / dy / Vsi(z+(z,s,i,l,r,y,x))p(z+(z,s,i,l,r,y,x))dx.
sgMo *=1 l,r Rl 0
Кроме того, в состояние z можно попасть в случае поступления
заявки в экспоненциальный узел с номером s, т.е. из состояний
классов Z± (z)-2,J (z). При этом поступающая в узел s заявка может либо

218 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
впервые появиться в сети, либо перейти из другого
экспоненциального узла, либо перейти из неэкспоненциального узла.
Первый случай возможен при s £ Si(z). Поскольку интенсивность
перехода из состояния z_(z, s) в состояние z равна \g(lsks,*sks,ysks),
то суммарный входящий в состояние z поток вероятностей,
связанный с поступлением новых заявок, равен
^2 Mz_(z,s))9(lsk.,rsk„yak.)-
seSi(z)
Второй случай возможен при s £ §2(2). Интенсивность перехода
из состояния z~(z,s,j) в состояние z равна fisij(z~(z,s,j)), и
суммарный входящий в состояние z поток вероятностей, связанный с
переходом заявок из экспоненциального узла в экспоненциальный,
равен
ses2(z) j=i
Аналогично, в третьем случае суммарный входящий в состояние
z поток вероятностей, связанный с переходом заявок из
неэкспоненциального узла в экспоненциальный, равен
*.'+! °?
5^ 5^ Vs'j(z~(z,s,j,x))p(z~(z,s,j,x))dx.
ses3(z) j=i 0
Наконец, при составлении уравнений глобального баланса для
внутренних состояний z необходимо учесть также слагаемое,
связанное с изменением текущего времени пребывания заявок в
неэкспоненциальных узлах. Это слагаемое, равное
Kg
^2 ^2d(Vsi(zs)p(z))/dxsi,
s£3VCo *=1
наряду с первыми двумя должно быть записано в левой части
уравнения равновесия.
Теперь мы можем выписать СУР для внутренних состояний z.
Эта система имеет вид
К$ о ТП Kg
Л S*r-Mz*)p(z)) + (* + SX>^(z))p(z) =
S$Mo J=l 3l S=l 8=1

Сети МО с зависимым обслуживанием 219
fes+l *
53 53 53 / *MZ+(Z>s' *. l>r' y>x)) p(z+ (z> s> *.*>г' у> x)) dy+
seMo t=i i,r Rl
fes+i
+ 53 53 53 / dy / A«Si(z+(z,s,i,/,r,y,x))p(z+(z,s,i,/,r,y,x))dx+
s^Jvto j=i г,г д, 0
+ 53 Ap(Z (Z'e))5(U.,refc.,yefc,) +
seSi(z)
*,,+i
+ 53 53 ^s'-?'(z (z>s>i))p(z (z>*)i))+
ses2(z) j=i
fc,/ + l °°
+
53 53 / ^'j(z (z,s,i,x))p(z (z,s,j»)dx. (5.7)
ses3(z) j=i о
Проверим, что функция p(z), задаваемая формулами (5.2-5.6),
удовлетворяет системе уравнений (5.7). Для этого разбивая
последнее слагаемое в левой части уравнения на слагаемые, соответсвующие
выходу из неэкспоненциальных и экспоненциальных узлов, а
последнее на слагаемые, соответсвующие подклассам Si, S2 и §з, перепишем
ее в виде
3 г о
53 53 [^rr(Mz*)P(z)) +Vsi(z)p{z)
ks+l
+
+
Ap(z)- 53 53 53 / Vsi(z+(z,s,i,l,r,y,x))p(z+(z,s,i,I,r,y,x))dy-
seovCo *=i ',г
я<
Ks + i л *
- 53 53 53 / dy / Vsi(z+(z,s,i,l,r,y,x))p(z+(z,s,i,l,r,y,x))dx
+
sgM0 »=1 i,r д, 0
fc.
+ 53 [53^(2)р(2)~Mz (и.я))»(^*.|Гв*.,ув*,)
sۤi(z) i=l
+
fc.,,+1
+ 53 [53^si(z)p(z) ~ 53 ^s'^z (z»s.i))p(z (z^5i))
se§2(z) «=i j=i
+

220 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
+ J^ [^2^i(z)P(-z)-^2 ^s'j(2~(z,s,j,x))p(z~(z,s,j,x))dx
= 0.
Следующая далее лемма 1 выявляет определенные соотношения
во внутренних точках z для функции p(z), задаваемой формулами
(5.2-5.6) и показывает, что каждое из выражений, заключенных в
квадратных скобках, равно нулю, и, следовательно, функция p(z)
действительно удовлетворяет СУР (5.7) во всех внутренних точках
Z.
Лемма 1. Функция p(z), задаваемая формулами (5.2-5.6) для всех
внутренних состояний z сети удовлетворяет соотношениям
1.
ka+l .
Ap(z) = 5^ S 5^ / Vsi(z+(z,s,i,l,r,y,x))p(z+(z,s,i,l,r,y,x))dy+
seJVCo i=l l,r
ks+l
\Rl+
+ J^ X15^ / dy / A«si(z+(z,s,i,/,r,y,x))p(z+(z,s,i,/,r,y,x))dx.
s^3vt0 i=i г,г д| 0
2. Для любого узла s типов 1-3 (s 0 Mo) и любого г, г = 1, ks,
-^-(vsi(zs)p(z)) +nsi(z)p(z) = 0.
3. Для любого узла s £ Si(z)
Kg
]T^si(z)p(z) = \p(z~(z,s)) g(lsks,rsks,ysks).
i=l
4. Для любого узла s € §2(2)
ka fey+1
J^/xsi(z)p(z) = ^2 IJ-s'j(z~(z,s,j))p(z~(z,sJ)).
г=1 j=l
5. Для любого узла s € §з(г)
ka *./+i °°
J^/isi(z)p(z) = ^ ns/j(z-(z,s,j,x))p(z-(z,s,j,x))dx.
i=i j=i J

Сети МО с зависимым обслуживанием 221
Доказательство леммы 1 осуществляется непосредственной
проверкой справедливости соответствующих соотношений для функций,
определяемых формулами (5.2-5.6).
Покажем, что эти соотношения представляют собой уравнения
частичного баланса для внутренних состояний сети, для чего дадим
более подробный комментарий к этому результату.
Первое равенство представляет собой частичный баланс потока
вероятностей, выходящего из состояния z за счет поступления в сеть
МО новых заявок, и суммарного потока вероятностей, входящего в
состояние z за счет окончания обслуживания заявок и ухода их из
сети.
Второе равенство отражает частичный баланс скорости
изменения выработанной длительности обслуживания г-й заявки в s-м
(неэкспоненциальном) узле и интенсивности выхода из состояния z за счет
окончания обслуживания этой заявки.
Наконец, третье, четвертое и пятое равенства отражают
частичный баланс потока вероятностей, выходящего из s-ro
(экспоненциального) узла, и потока вероятностей, входящего в этот узел за счет
поступления в сеть новой заявки (третье равенство), за счет перехода
из экспоненциального узла (четвертое равенство) и за счет перехода
из неэкспоненциального узла (пятое равенство).
Перейдем теперь к граничным состояниям. При этом достаточно
ограничиться такими граничными состояниями z, у которых xsi = О
только для одной пары (s,i).
Пусть z - граничное состояние, т.е. состояние, у которого xsi = О
для некоторого s € М \ Мо и г. Каждое такое состояние отнесем к
одному из 3 типов по следующему принципу.
Пусть nsi = 1. Тогда состояние z отнесем к первому типу
граничных состояний. Очевидно, что попадание в граничное состояние
z первого типа происходит за счет поступления в сеть МО новой
заявки, попадающей на г-е место в s-й (неэкспоненциальный) узел.
Если nsi > 1 и rS!itnsi-i = s' € Мо, то состояние z отнесем ко
второму типу граничных состояний. Попадание в граничное
состояние z второго типа происходит за счет поступления на г-е место
в s-й (неэкспоненциальный) узел заявки, обслуживавшейся ранее в
экспоненциальном узле.
Наконец, при nsj > 1 и 7\s,i,n3i-i = s'eM\Mo состояние z
отнесем к третьему типу граничных состояний. Попадание в граничное
состояние z третьего типа происходит за счет поступления на г-е ме-

222 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
сто в s-й (неэкспоненциальный) узел заявки, обслуживавшейся ранее
в неэкспоненциальном узле.
Так же, как это было сделано ранее для внутреннего состояния,
для граничного состояния z определим множество Z,(z)
предшествующих состояний.
Для граничного состояния z первого типа множество 2,(z) состоит
всего из одного состояния
z (z) = (zi,..., zs_i, zs, zs+i,..., zm),
где
zs — (""* ■'■> z*l» ■ • • ) zs,i—1) zs,j+l> • • • > zs,ks)■
Для граничного состояния z второго типа множество Z,(z) состоит
из состояний z~(z,j), имеющих вид
z_(z>j) = (zl,--- , zs'-l>z*',zs'+b--- >zs-l,zs>zs+l>--4Zm),
где
Z*, = (fce' + l,zj;,1,...,Zy)fce/+1),
zs't, t<j,
(,'si) *"sj, Ysj, Tlsj i-,X), t J
I. zs',t-l> t>j,
zs == V&s — 1, Zsl, . . . , ZSjj_l, Zsj+l, . . . , ZS)fc3 J.
Для граничного состояния z третьего типа множество Z.(z)
состоит из состояний z~(z,j,x), имеющих вид
Z~(z,j,x) = (Z1,...,ZS'_1,Z*,,ZS'+1,...,ZS_1,Z*,ZS+1,... ,Zm),
где
z*' — (*V + l,z*'l>-- • >zs',*y+l)>
zs't = <
zs'b * < 3,
zs — (^s 1) zsl> • • • j zs,i—1) zs,i+l> • • • > zs,fcsj-
Выпишем уравнения равновесия для граничного состояния z.
Поскольку переход в граничное состояние z первого типа происходит
только из состояния z_(z), причем интенсивность такого перехода

Сети МО с зависимым обслуживанием 223
равна Xg(lSi,rSi,ySi)uSi(ks), то уравнение равновесия в этом случае
имеет вид
p(z) = Ap(z~ (z)) g(lsi,rsi,ysi) usi(ks). (5.8)
Переход в граничное состояние z второго типа происходит из
состояний z~(z,j) с интенсивностями /Vj(z~(z,j))uSi(ks), откуда
получаем уравнение равновесия
P(z) = Yl fJ-s'j(z~(z,j))p(z'(z,j))usi(ks). (5.9)
o=i
Наконец, переход в граничное состояние z третьего типа
происходит из состояний z~(z, j, x) с интенсивностями fisij(z~(z,j, x)) uSi(ks).
Уравнение равновесия в этом случае имеет вид
P(z) = ^2 Usi(ks) / Vs'j(zT(z,j,x))p(z~(z,j,x))dx. (5.10)
J=i о
Тот факт, что функция p(z), определенная формулами (5.2-5.6),
в граничных точках z удовлетворяет СУР (5.8-5.10) вытекает из
следующей леммы 2, которая аналогично доказательству леммы 1
проверяется непосредственной подстановкой.
Лемма 2. Функция p(z), задаваемой формулами (5.2-5.6), для всех
граничных состояний z сети удовлетворяет соотношениям.
1. Для граничного состояния z первого типа
p(z) = Ap(z~ (z)) g(lSi,rsi,ysi) usi(ks). (5.11)
2. Для граничного состояния z второго типа
Kz) = X] Ms'j(z"(z,i))p(z"(z,j))uSj(A;s). (5.12)
3. Для граничного состояния z третьего типа
P(z) = X] и«(^) / Ms'j(z"(z,j,x))p(z"(z,i,x))dx. (5.13)
j=i
о
Доказательство теоремы завершается тривиальной проверкой
выполнения условия нормировки для функции p(z).

224 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
5.2.5 Частные случаи
Приведем теперь некоторые следствия и частные случаи
полученного общего результата
Следствие 1. Для вероятностей состояний изолированных узлов
рассматриваемых типов справедливы представления (5.3-5.6), где
нагрузка изолированного узла ps определяется теперь формулой ps =
Xrhs, а величина rhs представляет собой среднюю длительность
обслуживания заявок в этом узле.
Доказательство очевидно.
Следствие 2. Для вероятностей макросостояний рассматриваемой
сети справедливо мультипликативное представление
м
p(k) = l[ps(ks), (5.14)
где p(k) - вероятность наличия k = (fci, • • • км) заявок в сети, &ps(ks)
- соответствующая вероятность для s-ro узла, причем последние
вероятности определяются соотношениями
для узлов s типа О
Ps(ks) = Ps(0)pks° x { \'^\ ,Cs Zi:^^ (5-15)
l/ks\, при ks < cs,
l/(ce!c**-c«, npnA;s>cs;
с
P.(0)=(gl + 3jt^) <"•>
для узлов s типа 1
Ps(k8) = e-P-^f (5.17)
для узлов s типов 2 или 3
ps(ks) = (l-ps)pk/ (5.18)
Доказательство получается простым интегрированием соответсву-
ющих выражений (5.2-5.6) для вероятностей микросотояний по
дополнительным переменным.
Рассмотрим теперь сеть, в которую поступают несколько J
классов заявок, для различения которых используем их объемы у = j €
J, так что характеристика заявки имеет вид (I, г, j). Обозначим через
psj загрузку s-ro узла заявками j-ro класса. Справедливо

Сети МО с зависимым обслуживанием 225
Следствие 3. Для вероятностей макросостояний сети
рассматриваемого типа с несколькими классами заявок справедливо
мультипликативное представление (5.14), где вероятности состояний узлов
типа 0 имеют вид
^-P.^xjl/W;^^*;^: (B..9)
а в формулах (5.17, 5.18) для вероятностей состояний узлов типов
1-3 Pss следует заменить на
Доказательство получается путем интегрирования в исходных
формулах (5.3, 5.5, 5.6) с учетом разбиения заявок на классы.
Приведем теперь результаты для рассмотренных в разделе 3
частных случаев
Сеть Келли
Так как в сети Келли все узлы экпоненциальные, а объемы заявок
постоянны и принимают одно из к возможных значений, то для сети
Келли справедливо мультипликативное представление (5.14), где для
распределения вероятностей состояний узлов имеет место
Следствие 4. Распределения вероятностей состояний узлов в сети
Келли задается формулами (5.15, 5.16) с pSi = (тг)^г> где теперь в
отличие от того, как было указано ранее
оо /
lsi = Y1 Л 9(i, r) J2 ssrni -
1 = 1 1<П,...,Г1<М 71=1
среднее число посещений s-oro узла заявками г-ого потока.
Доказательство очевидно.
Сеть Джексона
Следствие 5. Распределение вероятностей состояний сети
Джексона имеет вид (5.14-5.16), где величина загрузки узлов определяется
как и в сети Келли, а среднее число посещений s-ro узла ls
определяется теперь соотношением
1 = &-ЯГ\ (5.21)

226 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
где I = (ji, I2, • ■ ■ ,1м)Т ~ вектор средних чисел посещения состояний
до поглощения.
Для доказательства достаточно заметить, что согласно теории
обрывающихся марковских цепей формула (5.21) определяет среднее
число посещений различных состояний поглощающей марковской
цепью с начальным распределением %. до поглощения ее
поглощающим состоянием.
ВСМР-сеть
Аналогичный результат справедлив и для ВСМР-сетей
Следствие б. Для распределения вероятностей состояний ВСМР-
сети справедливо мультипликативное представление (5.14) с
распределениями вероятностей состояний для узлов вида (5.15-5.18), где
величина загрузки узлов определяется соотношением
Psi = ^Tflsilgi
00
где msi = /(1 — В«г)-средняя длительность обслуживания заявок г-
о
ого потока в s-ом узле, а среднее число посещений s-oro узла
заявками г-ого потока lSi, как и прежде, означает среднее число посещений
s-oro узла заявками г-ого потока и вычисляется по формуле (5.21).
Доказательство получается подстановкой характеристик ВСМР-
сети в общие формулы.
Зависимое обслуживание
При моделировании зависимого обслуживания для
неэкспоненциальных узлов положим
г, /, ч f О, ПРИ х < %-\
Тогда ms(l,r, у) = %- и справедливо
Следствие 7. Для распределения вероятностей состояний сети с
зависимым обслуживанием заявок справедливо мультипликативное
представление, для макросостояний определяемой формулами (5.14—
5.18).
Доказательство как и ранее получается подстановкой
характеристик такой сети в общие формулы (5.2-5.6).
5.3 G-сеть с отрицательными заявками
Изучение G-сетей мы начнем с наиболее простого случая,
когда дополнительный поток, поступающий в сеть, представляет собой

G-сеть с отрицательными заявками 227
лишь поток отрицательных заявок. Мы назовем такую сеть базовой
G-сетпъю. Именно базовая G-сеть была впервые введена и изучена в
работах Геленбе [199,201,202].
Рассматривается открытая сеть массового обслуживания с М
однолинейными узлами с накопителями неограниченной емкости. На
узел г извне поступает поток положительных (обычных) заявок
интенсивности А^ и пуассоновский поток отрицательных заявок
интенсивности А^. Все поступающие на сеть потоки заявок считаются
независимыми. Длительности обслуживания положительных заявок
в узле г распределены экспоненциально с параметром щ, г = 1,М.
Отрицательная заявка, поступающая в некоторый узел сети, в
котором имеется, по крайней мере, одна положительная заявка,
мгновенно уничтожает (разрушает, удаляет из сети) одну из них (в
предположении экспоненциального распределения времени обслуживания
положительных заявок, если нас интересуют лишь процессы
очередей в узлах, можно не заботиться о том, какая именно заявка
уничтожается) и после этого сама сразу же покидает сеть, не получая в
данном узле никакого обслуживания. Таким образом, в каждом узле
сети могут обслуживаться (т.е.находиться на приборе и ожидать в
очереди) только положительные заявки, поэтому в дальнейшем,
говоря об обслуживании положительных заявок, мы иногда будем, для
краткости, называть их просто заявками.
Положительная заявка, обслуженная на узле г, с вероятностью pf,
направляется на узел j как положительная заявка, с вероятностью
м
p^j — как отрицательная заявка и с вероятностью Рю = I — Y1 (Р% +
Pij) Уходит из сети во внешнюю среду (узел 0).
Стохастическое поведение рассматриваемой сети МО
описывается однородным марковским процессом {X(t), t > 0} над множеством
состояний
X = {(k1,k2,...,kM), ki>0, i = l,M}. (5.22)
Состояние (k\, &2,..., км) означает, что в некоторый момент
времени в узле 1 находится к\ (положительных) заявок, в узле 2
находится &2 заявок, ... и, наконец, в узле М находится км заявок.
м
Введем вектор k = (k\, к2,... ,км)- Также положим Ajj" = Yl ^oi
г=1
м
и А^" = Yl ^oi- Заметим, что \q и А^ представляют собой интенсив-
г=1
ности суммарных пуассоновских потоков положительных и отрица-

228 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
тельных заявок соответственно, поступающих в сеть извне (из узла
0).
И, наконец, введем матрицы Р+, Р с элементами р1~,Рц
соответственно, г, j — 1,М, и, кроме того, положим Р = Р+ + Р~.
Предполагается, что матрица Р неразложима.
Мы будем рассматривать стационарный режим
функционирования сети.
Обозначим через А+, А^~, г = 1,М интенсивности потоков
положительных и отрицательных заявок соответственно,
циркулирующих в сети. Интенсивности \f и А~, определяются следующей
системой нелинейных уравнений:
м
К = xoi + Е QjfijPji,
м
К = Л0г + Е QjVjPJi, t = 1, Af,
i=i
где
</г = А+/(АГ+№). (5.24)
Обозначим через р(к) стационарную вероятность состояния (к).
Теорема, 1. Для G-cemu с отрицательными заявками, если
существует единственное положительное решение системы
уравнений ^5.23^, Г^-24,) такое, что выполняется условие
й<1, i = ljd, (5.25)
стационарное распределение p(k) марковского процесса {X(t), t >
0} представляется в мультипликативной форме
м
р(к) = Цр(к), (5.26)
г=1
при этом
p(ki) = (l-qi)q^, h>0, (5.27)
для всех г = 1,М.
Доказательство этой теоремы, как и других приведенных ниже
теорем, разбивается на несколько этапов. Сначала выписывается
система уравнений равновесия (СУР) для марковского процесса,
описывающего G-сеть. (Заметим, что для более сложных моделей G-
сетей как раз этот этап может оказаться наиболее трудоемким, хотя
(5.23)

G-сеть с отрицательными заявками 229
и несложным по форме). Затем осуществляется подстановка формул
(5.26), (5.27) в СУР и доказывается, что в результате подстановки
получается система тождеств. Далее, следуя, например, логике
теоремы Фостера [184], и учитывая, что при выполнении условия (5.25)
решение СУР в виде (5.26), (5.27) будет положительным и
ограниченным, получаем, что это решение определяет единственное
стационарное распределение марковского процесса {X(t), t > 0}.
Очевидно, что величина qi имеет вероятностный смысл и есть
ничто иное, как вероятность того, что узел i не пуст или же
учитывая, что узлы сети являются однолинейными, q^ есть коэффициент
использования прибора узла г.
Остается пока неясным вопрос о существовании решения
системы нелинейных уравнений (5.23), (5.24). Этот вопрос мы подробно
обсудим в разделе 5.4 для более общего случая G-сетей.
5.3.1 G-сеть с отрицательными заявками и
групповыми удалениями положительных заявок
Одним из последующих обобщений G-сети является случай,
когда отрицательная заявка может уничтожать группу положительных
заявок, при этом размер группы случаен и задается некоторым
распределением вероятностей. Такая модель подробно изучена в [207].
Рассмотрим снова базовую G-сеть. Оставляя в силе механизм
обслуживания положительных заявок, а также законы, на основании
которых положительная заявка после окончания ее обслуживания в
узле г направляется в узел j с вероятностью pf- снова как
положительная заявка, с вероятностью pj- — как отрицательная заявка и с
вероятностью р^ покидает сеть, опишем более подробно поведение
отрицательных заявок, поступающих в узлы сети.
Когда отрицательная заявка поступает в узел г, в котором
находится ki > Bi положительных заявок, где Bi — целочисленная
случайная величина, то число заявок в узле уменьшается на Bi
(уничтожается сразу Bi положительных заявок), если же ki < Bi, то узел г
полностью опустошается (т.е. все положительные заявки,
находящиеся в узле г в данный момент, сразу уничтожаются). Случайная
величина Bi, фактически определяющая максимальный размер
уничтожаемой группы положительных заявок в узле г, подчиняется
произвольному дискретному закону распределения 'PBi = m = 7Tjm, m >
1.

230 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Функционирование G-сети с групповым удалением заявок также
описывается однородным марковским процессом {X(t), t > 0} с
множеством состояний вида (5.22) и с той же интерпретацией
физического смысла состояний процесса.
Уравнения баланса для интенсивностей потока, циркулирующих
в сети в стационарном режиме ее функционирования, с точки зрения
их формальной записи остаются такими же, как и для базовой G-
сети, т.е. имеют вид (5.23):
м
К = Aoi + Е QjfijPti,
м
j=1 (5.28)
\ = Лог + Е три, * = 1,м,
однако величина qi при этом определяется по-иному, а именно
ft = ,-,,4^ . (5-29)
где
оо
1- Е т.
fi(x) = - m=1
1-х
Очевидно, что система уравнений баланса интенсивностей
потоков в сети (5.28), (5.29) также является нелинейной.
Предположим, что субстохастическая матрица Р+ + Р~
неразложима.
Теорема 2. Для G-cemu с отрицательными заявками и
групповым удалением положительных заявок, если существует
единственное положительное решение (\f,\~), г = 1,М, системы
уравнений f5.28j, ^5.29j такое, что q^ < 1, то стационарное
распределение р(к) процесса {X(t), t > 0} представляется в
мультипликативной форме:
м
р(к) = Y[p(ki), (5.30)
г=1
где
p(ki) = (1 - ft)ft*% h>0, (5.31)
для всех г = 1, М, при этом величина qi определяется формулой
(5.29).
Из теоремы 2 следует, что, как и для базовой G-сети, величина q^
есть стационарная вероятность того, что прибор узла г занят
обслуживанием, т.е. qi — коэффициент использования прибора узла г.

G-сеть с отрицательными заявками 231
5.3.2 G-сеть с отрицательными заявками и триггерами
Мы уже указывали во введении, что воздействие внешней
среды на процесс очереди положительных заявок может оказываться
не только отрицательными заявками, которые просто уничтожают
одну или более положительных заявок в данном узле, но и
поступающими извне сигналами-триггерами, действие которых заключается
в мгновенном перемещении положительной заявки из данного узла в
некоторый другой узел. G-сеть с отрицательными заявками и
триггерами была первоначально изучена в [205], а затем в [166,168,196]
и с некоторыми дополнениями в [219].
Следуя [204,205], рассмотрим снова сеть с М однолинейными
узлами с накопителями неограниченной емкости. На узел г сети
поступает пуассоновский поток положительных (обычных) заявок
интенсивности А^, и дополнительный поток сигналов, который также
является пуассоновским интенсивности А^. Длительность
обслуживания положительной заявки в узле г также как и для ранее
рассмотренных моделей, имеет экспоненциальное распределение с
параметром Hi. После окончания обслуживания положительной заявки в
узле г она направляется в узел j с вероятностью р^ снова как
положительная заявка, с вероятностью р~- как сигнал и с вероятностью
м
Рю = 1 - YKPij + PTj) Уходит из сети. Пусть Р = Р+ + Р~, где,
как и ранее, матрицы Р+ и Р~ составлены из вероятностей р^ и р~.
соответственно. Таким образом, в сети циркулируют не только
положительные заявки, но и сигналы, при этом матрица Р управляет
движением по сети как положительных заявок, так и сигналов.
Сигнал, поступающий в пустой узел (в котором нет
положительных заявок), не оказывает на сеть никакого эффекта и сразу исчезает
из нее. В противном случае, если узел j не пуст, когда в него
поступает сигнал, то могут произойти следующие события:
— поступающий сигнал мгновенно перемещает положительную
заявку из узла j в узел s с вероятностью qjs; в этом случае сигнал
называют триггером; матрицу с элементами qjs мы обозначим
через Q;
м
— или с вероятностью qjo = Yl Qjs сигнал срабатывает как
Отрыве
цательная заявка и уничтожает в узле j группу положительных
заявок (процедура группового уничтожения описана в разделе

232 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
5.3.1); размер Bi уничтожаемой группы является случайной
величиной с распределением вероятностей 7Tjm, m > 1.
Заметим, что в некоторых работах (см., например, [220] ) понятие
сигнала и триггера отождествляется. Ясно, что это лишь смешение
терминов, однако этот факт нужно учитывать при изучении работ
по G-сетям.
Предполагается, что матрицы Р и Q неразложимы. Это
условие, необходимое для формулировки основного результата,
физически означает, что положительная заявка, вошедшая в сеть,
обязательно покинет ее, получив необходимое ей обслуживание (т.е. не
подвергнувшись уничтожению отрицательной заявкой).
Функционирование G-сети с отрицательными заявками,
триггерами и групповым удалением положительных заявок можно также
описать однородным марковским процессом {X(t), t > 0},
множество состояний которого имеет вид (5.22), при этом интерпретация
физического смысла состояний процесса такая же как и выше в
разделе 5.3.
Как обычно, мы рассматриваем стационарный режим
функционирования сети МО.
Обозначим через А+иА-,г = 1,М, интенсивности потоков
положительных заявок и сигналов, циркулирующих в сети. Тогда
уравнения баланса, которым удовлетворяют интенсивности А^и Аг~, имеют
следующий вид:
м
м м
+ Е PJsQsQsA + E Aoj<7j<7j'i, (5.32)
s=l j=l
М
где величина qi определяется как
* = Т^м ^Л- tf ^+ ' (5-33)
\ (l - ям) + \ qiofmi) + in
oo
1 - £ ПтЯГ
SMi) = - m~
i - qi

Решение уравнений баланса 233
Теорема 3. Для G-cemu с отрицательными заявками,
триггерами и групповым удалением положительных заявок, если
существует единственное положительное решение (А+,А~), г = 1,М,
системы уравнений (5.32), (5.33) такое, что qi < 1, то
стационарное распределение р(к) процесса {X(t), t > 0} имеет
мультипликативный вид:
м
р(к) = ]\р(Ь), (5.34)
где
p{h) = {I ~ qi)qki\ ki>0, (5.35)
для всех г = 1, М, а величина qi определяется формулой (^5.33J.
Также как и для ранее рассмотренных моделей G-сетей из
теоремы 3 получаем, что величина qi есть стационарная вероятность
того, что узел г не пуст, или, что то же самое, qi — коэффициент
использования прибора узла г.
5.4 Решение уравнений баланса для
интенсивности потоков и устойчивости G-сетей
Системы уравнений баланса для интенсивностей потоков,
циркулирующих в сети, для всех рассмотренных выше G-сетей
являются нелинейным. Поэтому ключевым пунктом при нахождении
многомерного стационарного распределения числа заявок в узлах сети
(согласно теоремам 1-3) является исследование проблемы
существования единственного положительного решения системы уравнений
(5.23), (5.24); (5.28), (5.29) и (5.32), (5.33). Эта проблема не является
тривиальной, и мы остановимся на ней более подробно.
В работе [199] существование и единственность положительного
решения системы уравнений (5.23), (5.24) для интенсивностей
потоков были обоснованы для базовой G-сети с матрицей переходных
вероятностей специального вида. В частности, достаточным условием
существования и единственности положительного решения системы
уравнений (5.23), (5.24) является условие
м
№ + Ао; > А++ 5>;р+., * = М?. (5-36)
Сеть, для которой выполняется условие (5.36), называется
гиперустойчивой.

234 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
В [205] был предложен подход для решения нелинейной системы
уравнений баланса для интенсивностей потоков вида (5.23),(5.24) для
базовой G-сети общего вида. Затем этот подход был развит в [207]
для G-сетей с сигналами и групповым удалением положительных
заявок. Этот подход в определенной степени является более общим, и
мы дадим здесь его краткое изложение, используя при этом
результаты и обозначения раздела 5.3.2.
Предлагаемый в [207] метод решения нелинейной системы
уравнений баланса для интенсивностей потоков основан на использовании
теоремы Брауера о неподвижной точке.
Теорема 4. Если Р+ + Q — полустохастическая
неразложимая матрица, то решение (А?",А~), г = 1,М, нелинейной системы
уравнений (5.32) всегда существует.
Мы приведем схематичное доказательство этой теоремы, которое,
собственно говоря, и будет определять алгоритм решения системы
уравнений (5.32).
Прежде всего перепишем уравнения (5.32) в несколько ином виде
м м
К = *£ + Е tfwti + Е А/Лда
j=1m j=1 (5-37)
\ = Аог + Е xJ9jPji, г = 1, М,
где
т , \ Qiofi(qi)
9г == —— ) ^г == — •
\ QioMqi) + Hi \ QiofiiQi) + Hi
Вводя векторы А+, Л-, Aq , A^ с координатами А+, А~, А^, А^
соответственно, а также диагональную матрицу G с диагональными
элементами gi, перепишем (5.36) в виде
XT+(I-[GP+ + (I-G)Q})=>^+,
Лг- = \T+GP- + Л£-.
Отсюда получаем, что
оо
\T+ = >Z+YllGP+ + (I-G)Q]n,
п=0
оо
Ат- - Л£" = Х£+ J2lGP+ + (J - G)Q]nGP-.
n=0

G-сеть со случайным временем активизации сигналов 235
Введем вектор у = А- — А^" и векторную функцию
оо
Пу) = %+ E[GP+ + (J - G)Q]nGP~.
n=0
Заметим, что зависимость F от у выражается через матрицу G,
которая зависит от А-. По теореме Брауера уравнение у = F(y) имеет
неподвижную точку у*. Эта неподвижная точка и дает решение
системы уравнений (5.37):
А~(у*) = Ао+у*,
оо
п=0
Вычислительные аспекты решения нелинейных систем уравнений
баланса для интенсивностей потоков для некоторых моделей G-сетей
обсуждались в [185]. Для базовой G-сети был предложен
итеративный алгоритм, вычисляющий вероятности qi с одновременной
проверкой условия стабильности сети. Было показано, что сложность
одной итерации имеет квадратичный порядок.
5.5 G-сеть со случайным временем
активизации сигналов
В предыдущих разделах мы рассматривали G-сети с сигналами
(которые могли быть либо отрицательными заявками, либо
триггерами), действие которых проявлялось мгновенно, т.е. время
активизации любого сигнала равнялось нулю и поэтому не принималось в
расчет при построении математической модели G-сетей.
В этом разделе мы будем предполагать, что поступающий в узел
сети сигнал активизируется не сразу, а лишь по истечении
случайного времени. Аналогичная сеть с однолинейными узлами (в общих
предположениях относительно времени обслуживания
положительных заявок) была рассмотрена в [163] с использованием понятия
квазиобратимости [296], однако приведенные в [163] формулы для
мультипликативного решения некорректны. Ниже мы приведем
результаты [10,148] для G-сети со случайной задержкой сигналов для случая
однолинейных узлов с экспоненциально распределенными
длительностями обслуживания положительных заявок и марковского
обслуживания сигналов, показывающие, что мультипликативное решение

236 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
имеет иной по сравнению с [163] вид. В [10,148] также показано, что
мультипликативное решение имеет место и при общем марковском
обслуживании положительных заявок в узлах, но лишь для случая
симметричной сети.
Итак, рассмотрим снова открытую сеть МО с М узлами
неограниченной емкости, в которой извне (из узла 0) на узел г сети
поступает пуассоновский поток положительных заявок интенсивности А^ и
пуассоновский поток сигналов интенсивности А^. Все поступающие
на узлы сети потоки заявок и сигналов предполагаются
независимыми.
Вероятность того, что положительная заявка обслужится в узле
г за время (t, t + Д), если в данном узле в момент t имеется к заявок,
равна /j,f(k)A + o(A). Положительная заявка, обслуженная на узле г,
с вероятностью р^ направляется на узел j снова как положительная
заявка, с вероятностью р~- — как сигнал и с вероятностью Pjo = 1 —
м
Yl {Pij + Pij) покидает сеть (уходит в узел 0).
Каждый поступающий сигнал активизируется в течение
некоторого случайного интервала времени. При этом вероятность того, что
поступивший в узел г сигнал активизируется за время (t, t + Д) при
условии, что в этом узле в момент t имеется п неактивизированных
сигналов, равна /л~(п)А + о(Д). По истечении времени активизации:
либо с вероятностью <й сигнал срабатывает как триггер,
перемещая одну положительную заявку с узла г на узел j, при этом данная
заявка остается положительной;
либо с вероятностью q~, сигнал снова срабатывает как триггер,
перемещая одну положительную заявку с узла г на узел j, но при
этом данная заявка в узле j становится сигналом;
м
либо с вероятностью quo = 1 — Y1 (<й + дг^) сигнал срабатывает
как отрицательная заявка, которая, уничтожив одну положительную
заявку в узле г, покидает сеть.
Заявка, перемещенная из узла г в узел j (как положительная
заявка или сигнал), прекращает свое обслуживание в узле г.
Если после активизации сигнала в узле отсутствуют
положительные заявки, то данный сигнал уходит из сети, не оказывая никакого
эффекта на функционирование сети в целом.
Введем матрицы P+,P~,Q+,Q~ с элементами p^,p^-,g^,g^
соответственно, i,j = 1,М, и, кроме того, положим Р = Р+ + Р~ и

G-сетъ со случайным временем активизации сигналов 237
Q — Q+ + Q~. Будем предполагать, что матрицы Р и Q
неразложимы.
Стохастическое поведение рассматриваемой G-сети описывается
однородным марковским процессом {X(t), t > 0} над множеством
состояний
X = {((ki,ni),(k2,n2),...,(kM,nM)), h>0, п* > 0, г = 1,М}.
(5.38)
Состояние ((fci, ni), (&2, пг),..., (км, пм)) означает, что в
некоторый момент времени в узле 1 находятся к\ положительных заявок
и п\ (неактивизированных) сигналов, в узле 2 находятся к^ заявок
и П2 сигналов, ... и, наконец, в узле М находятся км заявок и пм
сигналов.
Введем векторы к = (к\, къ, ■ ■ ■, км) и п = (щ, П2, ■ ■ ■, пм) и
положим (к,п) = ((ki,ni),(k2,ri2),.. ■ ,(км,пм))-
м м
Обозначим через Aq" = ^2 А^ и А^ = ^2 -\й; ^о и хо интенсив-
г=1 г=1
ности суммарных пуассоновских потоков положительных заявок и
сигналов соответственно, поступающих в сеть извне.
Как и ранее, будем рассматривать стационарный режим работы
сети МО. Обозначим через р(к, п) стационарную вероятность
состояния (к, п).
5.5.1 Однолинейные узлы
Предполагается, что длительности обслуживания заявок на узле
г имеют экспоненциальное распределение с параметром /j,f. Тогда
Ht(ki) = u(ki)nj, i = l,M. (5.39)
Интенсивности А^~, А~, г = 1, М, потоков положительных заявок
и сигналов, циркулирующих в сети, находятся из следующей системы
нелинейных уравнений:
м
\+ = >& + Е Qj(t4Pji + Л7Й)>
м j=1 (5-40)
Аг = А0г + Е QjfatPji + Xj Qji)> i=l,M,
где% = А+/(Аг-+/лг-).
Положим также
РГ0") = ^//*Г0").

238 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
м м
г=1 i=l
Заметим, что имеет место следующее равенство:
м
Ло + ЕАГ = Ао+Ао> (5-41)
г=1
которое может служить для контроля вычислений при решении
системы уравнений (5.40).
Теорема 5. Для G-cemeu со случайной задержкой сигналов,
если имеет место равенство ^5.39,) и выполнены условия
\+<Аг~+^г+>
Gi = £ П pTU) < °°, < = Щ (5-42)
то стационарное распределение р(к, п) марковского процесса
{X(t), t > 0} представляется в мультипликативной форме
м
р{к,п) = Цр(кг,гц), (5.43)
при этом
р(ки щ) = (1 - (Zi)^Gr1 Д p-(j), 1ц, щ > 0, (5.44)
о
где П = 1-
Заметим, что в данном случае величина qi есть стационарная
вероятность того, что в узле г имеется хотя бы одна положительная
заявка.
5.5.2 Симметричная G-сеть
Рассмотрим случай G-сети, описанной выше, для которой
Р% = Q?j, Pij = Qiji PiO = QiO, i,j = 1,M. (5.45)
Такую G-сеть мы будем называть симметричной G-сетью.

G-сеть со случайным временем активизации сигналов 239
Интенсивности потоков положительных заявок и сигналов Xf,Xi ,
i,j = 1,М, определяются из системы уравнений
м
4 = А0+ + £ А+р+,
м j=1 (5-46)
\ =^+Е%. i,j = i,M,
которая в отличие от ранее рассмотренных G-сетей является
линейной.
Кроме того, положим
м
^0-
Ло = £а+я
г=1
Имеет место равенство
м
Ло + ЕЛГ = А^ + Ао- (5-47)
г=1
Соотношение (5.47) совпадает с соотношением (5.40),
полученным для случая однолинейных узлов, однако интенсивности потоков
заявок и сигналов определяются из различных систем уравнений.
Далее положим qi(j) = А+/(А~ + fi+(j)).
Теорема 6. Для G-cemu с задержкой сигналов, если имеет
место (ЪЛЪ) и выполняются условия
сю ki oo rii
Fi = Е П *k') < °°' Gi = Е П PTU) < оо, г = TJI, (5.48)
fci=0j=i m=oj=i
mo стационарное распределение p(k, n) марковского процесса {X(t),
t > 0} представляется в мультипликативном виде
м
р(к,п) = Цр(А*,гц), (5.49)
г=1
при этом
ki гц
p(h, щ) = F-lG~l Ц qi{j) Y[ p-(l), ki, щ > 0. (5.50)
3=1 1=1

240 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
5.5.3 Обсуждение результатов
В G-сетях, рассмотренных в пунктах 5.5.1 и 5.5.2, частично
(только для сигналов) или полностью (для положительных заявок и
сигналов) используется предположение об обслуживании марковского
типа, при котором интенсивности обслуживания ц+(кг) в узле г
положительных заявок и ц~(щ) сигналов зависят соответственно от
числа ki заявок и щ сигналов, находящихся в узле г. Это
предположение достаточно общее в том смысле, что, задавая различные
выражения для функций ц+(кг) и /л~(щ), мы можем получать в качестве
частных случаев разные механизмы обслуживания.
Обслуживание сигналов. Рассмотрим несколько конкретных
механизмов обслуживания (активизации) сигналов.
Обслуживание сигналов без ожидания. Пусть поступивший в узел
г, г — 1,М, сигнал активизируется через случайное время,
имеющее экспоненциальное распределение с параметром /л~, независимо
от других (неактивизированных) сигналов, находящихся в этом узле.
Фактически такой механизм активизации сигналов в узле г
эквивалентен их обслуживанию на бесконечнолинейном пучке
идентичных приборов, когда приборы функционируют независимо друг от
друга, а длительности обслуживания на любом из приборов имеют
экспоненциальное распределение с параметром /л~, i = 1,М.
Обслуживание сигналов с ожиданием. В развитие последней
интерпретации активизации сигналов можно рассмотреть механизм
обслуживания сигналов в узле г с ожиданием на т~ идентичных
приборах с общим накопителем неограниченной емкости. В
предположении, что время обслуживания на любом из приборов распределено
экспоненциально с параметром /л~, имеем, что
lh{ni) = А*Г min(nb mi~)>i = !>м-
Такой механизм обслуживания сигналов предполагает, что сигналы
могут ожидать в очереди в накопителе.
Обслуживание нетерпеливых сигналов. Предположим, что
максимальное время пребывания любого сигнала в узле г (только на
приборах при обслуживании сигналов без ожидания или в очереди
и на приборах при обслуживании с ожиданием) ограничено
случайной величиной, имеющей экспоненциальное распределение с
параметром 7г~7 i — 1,М. Сигнал, для которого это время
закончилось, немедленно покидает узел г, при этом его дальнейшее
поведение подчиняется тем же правилам, что и для сигналов, дождавших-

G-сети с несколькими классами заявок и сигналов 241
ся окончания обслуживания. Такой механизм обслуживания
сигналов естественно назвать обслуживанием с «нетерпеливыми»
заявками. Тогда для случая обслуживания сигналов без ожидания
имеем, что /x^(ni) = (fi~ + 7гг)пг; а Для обслуживания с ожиданием
Mtr(n«) = l\ min(ni,ml) + 7гГп»> i = l,M.
Обслуживание положительных заявок. Решение задачи при
марковском обслуживании положительных заявок получено лишь для
симметричной сети. По аналогии со сказанным выше об
обслуживании сигналов можно рассмотреть также три случая.
Обслуживание положительных заявок без ожидания.
Предположим, что на узле i имеется бесконечное число идентичных
приборов для обслуживания положительных заявок, при этом
длительность обслуживания на каждом приборе распределена
экспоненциально с параметром [if, i = 1,М. В этом случае
fit(ki) = rfki, i = l,M.
Обслуживание с ожиданием положительных заявок . Если
число приборов в узле i для обслуживания положительных заявок
конечно и равно mf и время обслуживания на любом приборе имеет
экспоненциальное распределение с параметром [if, то
fifih) = (if mm(ki, mf), i = l,M.
Обслуживание нетерпеливых положительных заявок. Пусть
максимальное время пребывания положительной заявки в узле г
ограничено случайной величиной, распределенной экспоненциально с
параметром jf • Тогда заявка (на приборе или в очереди), для которой это
время закончилось, покидает узел г, а дальнейший маршрут данной
нетерпеливой заявки определяется по той же схеме, что и для
положительной заявки, благополучно прошедшей процесс обслуживания
в узле г. В этом случае
vf{h) = f4 min(A;j, mf) + ^fh, mf < 00, i = l,M.
5.6 G-сети с несколькими классами
положительных заявок и сигналов
Обобщениям G-сетей на случай нескольких классов
положительных заявок и сигналов был посвящен целый цикл работ [163,165,166,
168,186,187,197,203,204,220,248].
16 - 7659

242 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
В [187,197,205] базовая G-сеть была обобщена на случай
нескольких классов положительных и отрицательных заявок в
предположении, что число классов обоих типов заявок одинаково. При этом в
каждой из этих работ рассматриваются различные варианты,
устанавливающие каким образом соотносится эффект отрицательных
заявок с их типами. Так, в [205] предполагается, что отрицательные
заявки фиксированного класса воздействуют только на
положительные заявки того же класса. В [197] используется случайный выбор
типа положительной заявки, т.е. если отрицательная заявка
поступает в узел г, в котором находится к{ > 0 положительных заявок (без
учета их типа), то с вероятностью kci/ki будет уничтожена
положительная заявка класса с. В [187] рассматривается G-сеть с
различными дисциплинами: FIFO — обслуживание в порядке поступления, PS
— разделение процессора и LIFO/PR — инверсионный порядок
обслуживания с прерыванием обслуживания. Положительная заявка
«на убой» выбирается в соответствии с установленной в узле
дисциплиной обслуживания, при этом в узле г отрицательная заявка
класса m может уничтожить положительную заявку класса к с
вероятностью Kimk. В [203] результаты [187] были распространены на
случай, когда имеется также несколько классов триггеров.
Остановимся кратко на основных результатах работы [203], в
которой для G-сетей доказан в некотором смысле упрощенный аналог
теоремы ВСМР со следующими дисциплинами обслуживания в
однолинейных узлах (типами узлов в терминах теоремы ВСМР):
Тип 1: FIFO;
Тип 2: PS;
Тип 4: LIFO/PR.
В целях сокращения мы не будем давать полное описание
рассматриваемой G-сети и будем по возможности использовать
материал предыдущих разделов.
Рассматривается сеть МО из М однолинейных узлов с
накопителями неограниченной емкости. Извне (из узла 0) на сеть
поступают R пуассоновских потоков положительных заявок интенсивности
Aq"^, г = 1, М, к = 1, R, и S пуассоновских потоков сигналов
интенсивности A^im, г = 1, М, m = 1, S. Все поступающие в сеть потоки
независимы между собой.
Положительная заявка после окончания обслуживания в узле
сети может изменить свой класс, тип узла либо превратиться в сигнал,
либо, наконец, покинуть сеть.

G-сети с несколькими классами заявок и сигналов 243
Сигнал, поступивший в непустой узел, выбирает в нем в качестве
«мишени» одну положительную заявку (в соответствии с принятой
дисциплиной обслуживания в узле). Сигнал, поступивший в пустой
узел, исчезает из сети, не вызывая в ней никаких действий.
Сигнал класса т, выбрав в некотором узле положительную заявку-
мишень класса к, с вероятностью Kimk активируется как триггер и
перемещает ее в узел г, а с дополнительной вероятностью 1 — Kimk
такое перемещение не происходит. После осуществления попытки
перемещения заявки-мишени сигнал исчезает.
Положительная заявка класса к, закончив обслуживание в узле
г, с вероятностью pf- к1 переходит в узел к как положительная заявка
класса I и с вероятностью р~- кш как сигнал класса m либо покидает
сеть с вероятностью
MR MS
Лю = 1-£Х>5,ы-2$>0-,Ы' i = I^> k = TJl. (5.51)
j=l 1=1 j=l m=l
Длительности обслуживания положительной заявки класса к в
узле i любого типа имеют экспоненциальное распределение с
параметром /Xjfc.
Будем предполагать, что для описанной G-сети выполняются
следующие свойства.
Свойство 1. Для узлов Типа 1 (с дисциплиной FIFO)
предполагается выполненным условие
s
1Чк + XI Ki^X0im = Ci> к= ТГй- (5-52)
т=1
Свойство 2. Для узла i Типа 1 и сигнала класса т таких, что
М R
з=11=1
для любых a,b — 1,R выполняется условие
Kima = Kimb, i=l,M, Ш = 1, R, (5.53)
Это условие означает, что сигнал-триггер класса т при попытке
перемещения положительной заявки из некоторого узла не «узнает»
ее тип, т.е. он не различает положительные заявки по их типу.

244 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
Свойство 3. Для узла Типа 2 вероятность того, что некоторая
положительная заявка будет выбрана в качестве мишени
поступившим в узел сигналом, равна 1/с, если в данном узле было с заявок
(без учета их вида).
Заметим, что условие (5.52) и (5.53) для узла Типа 1 может быть
заменено более ограничительным условием вида
А*т — А*гЬ) -ft ima — -ft imb > * — * > M ,
m = 1,5, a,b= 1,R.
Стохастическое поведение описанной G-сети с несколькими классами
положительных заявок и сигналов описывается однородным
марковским процессом {Х(£) = (Xi(i),... ,Xju(t)), t > 0}, где компонента
Xj(£) описывает состояние узла г в момент £. Множество состояний
процесса {X(t), t > 0} имеет вид
Х = {(xi,...,xM) :
для узлов Типа 1, 4
хг — v^ij'u • • • j xi,j\x-\ /' J» — ' ' г — ' >
для узла Типа 2
Хг = (хц,...,хщ), xik>0, г = 1,М, /г = 1,Д}.
Здесь для некоторого момента £ Xj состояние узла г: для узлов
Типа 2 и 4 компонента Xij вектора Xj = (xiti,... ,kit\Xi\) указывает
класс заявки, стоящей в очереди узла г на j-u месте (порядок в
очереди определяется дисциплинами FIFO и LIFO соответственно), а
\xi\ — число заявок в узле г без учета их класса; для узла Типа 2
Xj = (хц,..., хщ) и его компонента х^ определяет число заявок в
узле % без учета их класса.
Обозначим через р(к) стационарную вероятность состояния к.
Теорема 7. Пусть для G-cemu с несколькими классами
положительных заявок и сигналов выполняются свойства 1-3. Тогда,

G-сети с несколькими классами заявок и сигналов 245
если система нелинейных уравнении
qik = s ш+ ik Г,
m=l
М R
Kk= Е EptikHW+
о
.1=1
М R M R М
+ Е Е Е Е Е Hi<ijiPjh,imKhmsqhsPhi,sk>
i=ll=1 ' (5.54)
j=lj=l/i=lm=ls=l
М Я
Aifc = Е Е PjiUmPiWi * = 1, М, к=1,Я
3=11=1
имеет решение такое, что для каждой пары г, к qik > 0 и для
R
каждого узла г Е to < 1> то стационарное распределение р(к)
k=l
марковского процесса {X(t), £ > 0} представляется в
мультипликативной форме:
м
p(k) = GjIp(xi). (5.55)
»=i
Дри этом величина р(х^) зависит от типа узла и имеет
следующий вид:
для узлов Типа 1:
\Xi\
9(xi) = Ylqi,xih; (5.56)
для узлов Типа 2:
p(Xi) = |*il'П ^Т^ (5.57)
jti Xik]
для узлов Типа 4'-
\Хг\
/i=i
и G — нормализующая константа.
R
Заметим, что условия fe > 0 и ^ ^ifc < 1 гарантируют существо-
fc=l
вание стационарного режима функционирования сети.
Доказательство теоремы 8 основано на той же логике, которую
мы описали в разделе 5.3, но, естественно, в этом случае
реализация указанных в разделе 5.3 этапов доказательства намного более
громоздка.

246 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
5.7 Другие модели и методы анализа G-сетей
Основная модель G-сети и ее обобщения, связанные с
введением группового удаления положительных заявок и триггеров,
осуществляющих перемещения положительных заявок в другие узлы,
включая несколько классов положительных заявок и сигналов, были
исследованы в основном в работах Е.Геленбе или же в его работах с
соавторами. Эти модели и работы составляют основной цикл моделей
и исследований по G-сетям. Однако в литературе имеется ряд работ
других авторов, посвященных различным модификациям и
усложнениям основного цикла моделей G-сетей и развитию новых методов
их анализа. Остановимся ниже на этих работах, при этом мы будем
использовать обозначения, введенные в предыдущих разделах.
В [151] исследовалась базовая G-сеть, в которой отрицательная
заявка, поступившая в свободный узел, остается в узле. Это приводит
к тому, что в данном узле длина очереди может стать
отрицательной. В [151] показано, что достаточным условием для существования
инвариантной меры р, описывающего сеть марковского процесса,
является существование положительного решения системы уравнений
баланса
м м
j=i j=i
относительно неизвестных qi, г = 1,M. При выполнении этого
условия инвариантная мера р представляется в мультипликативной
форме:
м
i=i
Допущение отрицательной длины очереди приводит к тому, что
состояния к из множества Ъм могут принимать также и любые
целые отрицательные значения. Поэтому инвариантная мера (5.60) не
может быть нормализована. Эта проблема в [151] решается путем
введения нижней и верхней границ для значений длины очереди в
каждом узле и последующей модификацией вероятностей перехода с
тем, чтобы нельзя было выйти за эти границы.
В [219,220] также допускается отрицательная длина очереди для
базовой G-сети и вводятся зависимости интенсивностей
обслуживания и переходных вероятностей от состояний сети, а в [221]
предполагается возможность группового обслуживания.

Другие модели и методы анализа G-сетей 247
Мы уже отмечали, что в ряде работ понятие сигнала
отождествляется с понятием триггера в смысле, введеннном Геленбе в
работах [196,207]. Так, в [220] рассматривается G-сеть, в которой так
называемые эффективные сигналы типа 0 играют роль триггера. В
определенной степени смешение понятие сигнала и триггера
присутствует в работах [163,165-169] . В этих работах вводятся сигналы,
которые могут циркулировать по сети.
В [163] для G-сети с несколькими классами положительных
заявок и сигналами-триггерами вводится задержка сигналов
(обслуживание, активизация в смысле раздела 5.5) в узле на случайное
время. Маршрутизация положительных заявок и сигналов по сети
соответствует описанию, сделанному в разделе 5.5 (естественно, с
учетом того, что в [163] рассматривается несколько классов
положительных заявок). Время обслуживания для каждого типа
положительных заявок распределено либо экспоненциально, либо по
произвольному закону, но лишь для специальных случаев симметричных
дисциплин обслуживания (например, дисциплины разделения
процессора или дисциплины LCFS/PR). Для анализа сети используется
подход, предложенный в [168] для анализа базовой G-сети. В этом
подходе имеются два ключевых этапа. На первом этапе
доказывается, что изолированный узел удовлетворяет так называемому условию
квазиобратимости (для изолированного узла в равновесном режиме
будущие поступления положительных заявок и сигналов, текущее
состояние сети и прошлые процессы выхода из узла положительных
заявок и сигналов должны быть независимы). На втором этапе
используется подход, предложенный в [296], позволяющий распространить
результаты для изолированных узлов на сеть в целом. Для
стационарного распределения вероятностей состояний сети, которые
совпадают с состояниями множества X, определяемого формулой (5.38),
в [163] получено мультипликативное представление, однако, как было
замечено в разделе 5.5, формула (3) в [163] для маргинальных
распределений состояний узлов сети некорректна. (По-видимому,
ошибка в этой формуле не носит принципиального характера и может
быть исправлена).
В [167] результаты для рассмотренной в [163] G-сети с мгновенной
активизацией сигналов обобщаются на случай, когда переходные
вероятности для положительных заявок и сигналов зависят от
предыстории сети. Для анализа сети используется подход работ [163,168].
При этом рассматривается два случая. В первом из них
предполагается, что переходная вероятность заявки заданного типа, выходящей

248 Глава 5. Теория мультипликативных сетей
из узла после окончания обслуживания по причине прерывания ее
обслуживания поступившим в узел сигналом, зависит от количества
времени, которое уже было затрачено на обслуживание данной
заявки. Во втором случае вероятность перехода положительной заявки,
закончившей обслуживание в этом узле или перемещаемой в другой
узел вновь поступившим сигналом, зависит от числа уже имевших
место прерываний обслуживания заявки сигналами. Для
стационарного совместного распределения числа заявок в узлах сети в [167]
получено мультипликативное представление.
В [99] подход, использующий понятие квазиобратимости ( [235]),
был использован для анализа базовой G-сети с обходами узлов. В [99]
предполагается, что положительная заявка, направленная в узел г,
с вероятностью f(ki), где кг — число положительных заявок в узле
i, присоединяется к очереди этого узла, а с дополнительной
вероятностью 1 — ftki) считается мгновенно обслуженной в этом узле и
обходит его. Приведем ниже основной результат работы [99].
Функционирование G-сети с обходами описывается однородным
марковским процессом {X(t) = (X(t),..., Хм(£)), t > 0} над
множеством состояний X = Xi, x%2 х ... х Хм, где Xj = {0,1,2,...},
если все /t(fcj) > 0, /г» = 0,1,..., и X» = {0,1,2,... щ}, если /i(fcj) >
0, ki = 0, щ — 1, а /г(щ) = 0 для некоторого щ > 1, г = 1, М.
Уравнения для интенсивностей потоков положительных и
отрицательных заявок, циркулирующих в сети, остаются такими же, как
и для базовой G-сети без обходов:
м
xt = Aoi + £ QjNPti*
м _
К = xot + Е QjHPji, * = 1, Af,
i=i
где
Ъ = 4/(К+*)- (5-62)
Теорема 8. Если существует единственное
положительное решение (А*,А^), г = 1, М, системы уравнений (b.Q\), (b.Q2)
такое, что выполняется условие
XI П qi^n ~х)< °°' *= Х'М'
то марковский процесс {X(t) = (X(t),..., Хм(t)), t > 0} эргодичен
и его стационарное распределение р(к) представляется в мульти-
(5.61)

Другие модели и методы анализа G-сетей 249
пликативной форме:
м
р(к) = JJPi(k), kel, (5.63)
»=i
где
Pi(k)=Pi(0)flvifi(n-l), ki>0, 1 = Щ (5.64)
ra=l
где 7j определяются формулой (5.Q2), а
В [70] рассматривается G-сеть, являющаяся комбинацией двух
непересекающихся подсетей: базовой G-сети и сети с обходами. При
этом для подсети с обходами рассматриваются два случая;
экспоненциальное время обслуживания в узлах при дисциплине
обслуживания FCFS или общее распределение времени обслуживания при
дисциплине обслуживания FCFS/PR. Для обоих случаев получено
мультипликативное представление стационарного распределения
вероятностей состояний сети, при этом для дисциплины FCFS/PR это
распределение зависит только от первых моментов времени
обслуживания в узлах сети.

ГЛАВА 6
Стохастические модели
компьютерных сетей
6.1 Структура и информационное обеспечение
компьютерных сетей
6.1.1 Структура компьютерных сетей
В настоящее время наблюдается бурный количественный и
качественный рост компьютерных сетей. Эта тенденция, которая
очевидно сохранится в ближайшие десятилетия, хорошо иллюстрируется
беспрецедентным ростом сети Интернет, охватившей все страны
мира. Локальные компьютерные сети, являющиеся основой
автоматизации деятельности отдельных предприятий и фирм, и
распределенные сети, охватывающие города, регионы и континенты, проникли
во все сферы человеческой деятельности, включая экономику,
науку, культуру, образование, промышленность и т.д.
Современные компьютерные сети обеспечивают пользователям
широкий набор услуг, включая электронную почту, передачу
факсимильных и голосовых сообщений, работу с удаленными базами
данных в реальном масштабе времени, службу новостей и другие услуги.
На базе компьютерных сетей реализуются: дистанционное обучение,
телемедецина, телеконференции, телебиржи и телемагазины и т.д.
Быстрый рост числа компьютерных сетей, успехи в развитии
оптоволоконных и беспроводных средств связи, сопровождаются
непрерывной сменой сетевых технологий, направленной на
повышение быстродействия и надежности сетей, возможности
интегрированной передачи данных, голоса и видеоинформации. Основным
направлением развития технологий локальных сетей явилось создание се-

Структура и информационное обеспечение 251
мейства технологий Ethernet - Fast Ethernet - Gigabit Ethernet,
обеспечивающее иерархию скоростей 10/100/1000 Мвит/с; в глобальных
сетях осуществился переход от технологии Х25 к технологии Frame
Relay, использованию стека протоколов TCP/IP, технологий ATM и
Gigoethernet.
Компьютерные сети часто условно делят на три категории:
глобальные сети (Wide Area Network, WAN), городские сети
(Metropolitan Area Network, MAN) и локальные сети (Local Area Network).
Логическая, программная и физическая структура глобальных и
городских (региональных) сетей практически совпадает. Отличие состоит
лишь в охвате территории и скоростях передачи информации. В то
же время имеют место существенные различия в механизме передачи
информации локальных и глобальных сетей. Глобальные сети
ориентированы на соединение; до начала передачи данных между
абонентами устанавливается соединение. В локальных сетях реализованы
методы, не требующие предварительного установления соединения -
пакеты данных посылаются без подтверждения готовности
получателя к обмену. Структура глобальной компьютерной сети представлена
на рис. 6.1.
В структуре глобальной компьютерной сети могут быть
выделены следующие иерархические уровни: локальные сети;
региональные (городские) сети, в которых часто реализуется технология Х25,
Frame Relay; магистральная (базовая) сеть, включающая
междугородные и международные каналы связи и высокоскоростные узлы
коммутации (УК). Современные базовые сети обеспечивают
транспортный сервис для территориально распределенных локальных и
городских сетей и в последние годы активно переходят на
использование технологий ATM и Gigoethernet.
В топологически распределенной базовой сети используют
различные методы коммутации: коммутацию каналов, сообщений и
пакетов.
При коммутации каналов для связи двух абонентов сети
организуется составной канал, состоящий из отдельных транзитных
участков, закрепленных за парой абонентов на все время сеанса связи.
После окончания сеанса связи составной канал распадается на
отдельные участки, которые могут быть использованы для
организации других составных каналов. Существенным недостатком этого
типа коммутации является невозможность использования временно
закрепленных за конкретным соединением участков для связи
между другой парой абонентов. Коммутация каналов особенно неэффек-

252 Глава 6. Стохастические модели
Рис. 6.1. Структура глобальной компьютерной сети

Структура и информационное обеспечение 253
тивна для диалогового режима, характеризующегося передачей
коротких порций информации и значительными интервалами времени
между ними.
Указанных недостатков лишен метод коммутации сообщений, в
соответствии с которым сообщение передается от одного УК к
другому, пока не достигнет адресата. При использовании этого метода
сообщение в каждый момент занимает только один канал связи на
пути между источником и адресатом или ожидает в очереди
освобождения канала, находясь в буферном пуле УК.
Коммутация пакетов в общих чертах совпадает с коммутацией
сообщений, за исключением того, что сообщение разбивается на
части, называемые пакетами. Пакеты нумеруются, снабжаются
адресом (как при коммутации сообщений) и независимо передаются по
сети. Таким образом, пакеты одного и того же сообщения могут
одновременно передаваться по сети, существенно снижая тем самым
общее время доставки сообщения и эффективно используя
пропускную способность каналов связи. Другое важное преимущество
метода коммутации пакетов по сравнению с коммутацией сообщений
состоит в сокращении необходимых для промежуточного хранения
объемов буферов в УК (так как пакеты имеют ограниченную
максимальную длину). Указанные преимущества1 предопределили
использование коммутации пакетов в качестве основного метода
коммутации в базовой сети передачи данных. Указанный метод реализуется
как в сетях Х25 и IP, так и в сетях с технологией Frame Relay
(коммутация кадров) и ATM (коммутация ячеек).
В сети пакетной коммутации обычно реализуется один из двух
методов доставки пакетов: метод датаграммм или метод виртуальных
соединений. В первом случае пакеты одного и того же сообщения
независимо (по разным путям) передаются от источника к адресату,
что позволяет эффективно использовать коммутационные ресурсы
сети и сокращает время доставки сообщения. Однако в силу
независимой передачи по сети пакетов они могут поступать в адресат не в
той последовательности, в какой были отправлены. Это усложняет
процедуру сборки сообщения, осуществляемую по номерам пакетов,
составляющих сообщение.
1 Ценой сокращения объемов буферной памяти и времени доставки является
необходимость сборки пакетов в узле-адресате и необходимость предусмотрения
мер по предотвращению тупиков [14,72,105].

254 Глава 6. Стохастические модели
Применение метода виртуального соединения гарантирует
поступление всех пакетов сообщения без нарушения порядка. В этом
смысле виртуальное соединение обладает одним из основных свойств
реального физического канала - сохранения последовательности
передаваемой информации. При этом очевидно, что один и тот же
физический канал связи доступен для одновременного использования
во многих виртуальных соединениях.
Организация виртуального соединения требует выполнения
функций его установления и ликвидации и состоит из фазы
вызова, фазы обмена пакетами и фазы окончания. Первый пакет «запрос
вызова» (call reguest) в соответствии с принятым в сети
алгоритмом маршрутизации1 передается адресату, который может принять
или отклонить вызов. Если вызов принят, то источнику
предлагается пакет согласия на соединение, после чего по установленному пути
отправляются пакеты данных. Сеанс связи заканчивается обменом
между источником и адресатом пакетом ликвидации соединения и
пакетом подтверждения рассоединения.
Виртуальное соединение может устанавливаться также на
определенный промежуток времени (такое соединение называют
постоянным). При этом, в отличие от коммутируемого виртуального
соединения, процедуры установления и ликвидации постоянного
соединения реализуются соответственно только в начале и конце
указанного времени. При использовании постоянных виртуальных
соединений в сети пакетной коммутации обычно применяется
фиксированная маршрутизация, в соответствии с которой между каждой парой
источник-адресат заранее выбирается оптимальный по некоторому
критерию путь.
6.1.2 Сетевые протоколы
Реализация описанных в предыдущем разделе способов
согласованного взаимодействия абонентов в компьютерной сети
осуществляется с помощью строго формализованных правил и системы
специальных процедур, называемых протоколами. Иерархически
организованную совокупность протоколов называют стеком протоколов. В
1 Используя адрес в заголовке пакета, алгоритм маршрутизации по таблице
маршрутов, хранящийся в каждом УК, определяет соответствующий выходной
канал для доставки пакета в адресат по кратчайшему пути. Описание
фиксированных, адаптивных и т. д. алгоритмов маршрутизации дано в следующей главе.

Структура и информационное обеспечение 255
качестве примера приведем стек протоколов TCP/IP, имеющий
большую популярность в современных компьютерных сетях.
В настоящее время широкое применение получила
семиуровневая модель Международной организации по стандартизации (МОС),
определяющая основные направления разработки протоколов и
включающая физический, канальный, сетевой, транспортный,
сеансовый, представительский и прикладной уровни. Модель МОС не
только стала основой для разработки сетевых стандартов, но и
явилась хорошей методологической основой для изучения и сравнения
сетевых технологий. Несмотря на то, что были разработаны и другие
модели, большинство разработчиков и поставщиков сетевых
продуктов используют терминологию эталонной модели МОС.
Рассмотрим кратко основные функции перечисленных выше
уровней. Нижним уровнем иерархии является физический,
определяющий электрические и механические характеристики
подключения к физическим каналам связи. Этот уровень обеспечивает сервис
для канального уровня, определяющего функции управления
передачей информации по каналу связи. К ним в первую очередь
относятся упаковка передаваемой информации в кадры определенной
длины, формирование проверяющих символов и проверка
содержимого кадров после их передачи, передача и прием подтверждений
о приеме кадров, повторная передача неподтвержденных кадров и
т. д. Таким образом, основные функции управления каналом связи
состоят в установлении, поддержании и разъединении каналов. При
этом методы управления существенно зависят от типа канала
связи (медный, телефонный, спутниковый и т. д.). Канальный уровень
обеспечивает сервис для сетевого уровня, выполняющего функции
маршрутизации пакетов, управления потоками, адресации,
организации и поддержания транспортных соединений. Единицей
информации протоколов сетевого уровня является пакет, поэтому иногда
этот уровень называют пакетным. Более детальное описание
отдельных функций сетевого уровня (в частности, управления потоками)
будет дано в следующих разделах этой главы. Сетевой уровень
обеспечивает сервис для транспортного уровня.
Транспортный уровень предназначен для транспортировки
массивов из одного порта в другой. Под портом понимается конец
логического канала сети передачи данных, где фактически завершаются
операции транспортировки данных и начинаются операции между
вычислительными процессами. Транспортный уровень обеспечивает
установление и разъединение транспортных соединений, управление

256 Глава 6. Стохастические модели
информационными потоками от порта до порта, сборку и разборку
пакетов, принадлежащих передаваемому в сеансе связи массиву. В
связи с тем, что транспортный уровень предназначен для
пересылки данных из источника адресату, протоколы данного уровня часто
называют межконцевыми или сквозными. Транспортный уровень
является последним в иерархии уровней, обеспечивающих
транспортный сервис; он освобождает более высокие уровни от организации
передачи данных.
Основным назначением сеансового уровня являются
организация, поддержание и окончание сеансов между прикладными
процессами (организация и поддержание логической связи между
распределенными работами). Сеансы устанавливаются через
представительский уровень. Целью представительского уровня является
преобразование данных в форму, удобную для прикладной программы.
На представительском уровне происходит преобразование форматов
данных и команд. Прикладной уровень представляет собой процесс
обработки информации - прикладные процессы. Он обеспечивает
работу прикладной программы так же, как если бы она выполнялась не
через базовую сеть передачи данных, а автономно в вычислительной
машине.
Несмотря на различие функций протоколов четырех нижних
уровней, обеспечивающих транспортный сервис, они обладают
некоторыми общими характерными чертами. В первую очередь это
касается способов подтверждения правильности доставки информации.
Надежная передача пакетов (на сетевом уровне) или кадров (на
канальном уровне) осуществляется с помощью передачи
подтверждений (квитанций) об успешной доставке и использовании механизмов
окна и time-out. При этом источник может послать не более iV
пакетов (кадров), не дожидаясь подтверждения от адресата (iV -
размер окна). Получение квитанции, подтверждающей прием
адресатом, разрешает передачу следующего пакета (продвигает окно). В
протоколах, предусматривающих передачу очередного (кадра)
только после получения квитанции на предыдущий пакет, очевидно,
размер окна равен единице. Время ожидания подтверждения об
успешной доставке ограничивается некоторой величиной time-out. В
случае непоступления квитанции за время time-out (это может
произойти из-за искажения кадра или квитанции в канале или из-за
отсутствия свободного буферного пространства в принимающем УК)
осуществляется повторная передача пакета (кадра). Следует отметить,
что описанные выше механизмы надежной доставки информации эф-

Структура и информационное обеспечение 257
фективно используется также для реализации процедур управления
потоком (см. раздел 6.3).
6.1.3 Использование теории сетей МО
для исследования компьютерных сетей
Стохастический характер поступления данных и
детерминированная обработка их в каналах связи и узлах коммутации
предопределяют использование моделей теории МО для анализа и
проектирования компьютерных сетей. Однако следует отметить, что
исследование компьютерной сети в целом или отдельных протоколов
(например, сквозных) с помощью простейших однофазных или
двухфазных моделей МО (концепция «черного ящика»), характерное для
ранних подходов, позволяет дать лишь некоторое качественное
представление о характере протекания информационных процессов, так
как не учитывает сложного взаимодействия устройств и процессов в
компьютерной сети . В то же время указанные процессы естественно
отображаются в моделях сетей МО, которые нашли широкое
применение для анализа компьютерных сетей.
Модели сетей МО применяются для анализа характеристик
протоколов практически всех уровней (в первую очередь второго,
третьего и четвертого). На канальном уровне эти модели используются
для определения эффективной скорости передачи данных
(многочисленные работы по исследованию протоколов канального уровня
HDLC, SDLC, BSC и т. д. описаны, например, в обзоре [113]). При
анализе сквозных протоколов модели теории сетей МО позволяют
находить межконцевую задержку сообщений (пакетов), определять
параметры управления потоками и т.д. Сетевые модели отдельных
компонент компьютерной сети адекватно отражают многоэтапный
процесс обработки сообщений (пакетов) в этих устройствах, позволяя
не только рассчитывать характеристики, но и осуществлять выбор
различных параметров, например объемов буферной памяти узлов
коммутации (см. раздел 6.4). Сложную структуру отдельных узлов
необходимо учитывать и при расчете базовой сети передачи данных в
целом. Иллюстрация такого подхода, учитывающего ограниченность
буферной памяти УК и различные протоколы квитирования пакетов,
приведена в разделе 6.2. В то же время необходимость решения
оптимизационных задач (выбор топологии и пропускных способностей
каналов связи, отыскание оптимальных маршрутов и т. д.) требует
применения упрощенных моделей сетей МО, позволяющих находить

258 Глава 6. Стохастические модели
явный вид целевой функции, в качестве которой используется время
задержки сообщений (пакетов). Такой упрощенный подход требует
дальнейшего уточнения характеристик сети с помощью более
реальных моделей, учитывающих особенности сетевых протоколов. Это
приводит к итерационной процедуре проектирования компьютерных
сетей [30,76]. Наконец, в разделе 6.3 рассмотрены модели сетей МО,
позволяющие осуществлять оценку эффективности и оптимизацию
механизма глобального и локального управления потоками,
основанного на пороговых ограничениях (использовании механизма окна) и
распределении ресурсов (в основном буферов).
Предположением, необходимым для возможности использования
аналитических моделей сетей МО, является предположение о
независимости [89], суть которого состоит в том, что времена передачи
сообщений (пакета) по разным каналам связи предполагаются
независимыми случайными величинами. В то же время очевидно, что
длительности обслуживания сообщения в разных каналах
пропорциональны длине этого сообщения и, следовательно, зависимы (см.
главу 5). Дополнительные зависимости вносятся процессами сборки
и разборки сообщений на пакеты. Тем не менее многочисленные
сравнения результатов аналитического моделирования с помощью сетей
МО и результатов имитационного моделирования или измерений на
реальных сетях показали, что постулирование независимости не
вносит существенных погрешностей. Указанный факт объясняется
следующими причинами: 1) нарушением корреляции между
длительностями обслуживания и длинами сообщений (пакетов) из-за
восстановления после ошибок (например, на канальном уровне); 2)
объединением различных независимых входящих потоков в одном
исходящем канале; 3) использованием в основном средних характеристик,
которые менее чувствительны к описанной выше зависимости.
При применении теории сетей МО для анализа характеристик
компьютерных сетей различные устройства и процессы обычно
моделируются четырьмя типами центров обслуживания, которые были
описаны в разделе 2.3. В частности, процессоры узлов коммутации
моделируются центрами типа FCFS или PS, а каналы передачи
данных - однолинейными или многолинейными центрами FCFS. Для
моделирования терминалов и учета задержек, обусловленных временем
подтверждения об успешной доставке пакета (АСК) или временем
ожидания time-out, обычно используются центры типа IS. Это
позволяет применить для расчета характеристик хорошо разработанные
алгоритмы, описание которых было дано в предыдущих главах.

Методы расчета характеристик 259
Значительное влияние на характеристики сети пакетной
коммутации оказывают способы доставки пакетов (датаграммы или
виртуальные каналы) и методы маршрутизации [72,105,120].
Моделирование различных способов доставки пакетов и методов
маршрутизации осуществляется путем выбора соответствующего типа сети
МО и матрицы маршрутов ||Ру||, структура которой учитывает и
топологию сети. Например, в качестве модели датаграммной сети
со случайной процедурой выбора маршрутов часто применяется
открытая или замкнутая однородная сеть МО, а для моделирования
постоянных виртуальных каналов (с возможным наличием
альтернативных путей) и фиксированной маршрутизации - модель сети МО
с несколькими классами сообщений1 [75,76,89,113,299]. При этом
учет служебных сообщений может быть осуществлен различными
способами в зависимости от используемых протоколов: либо
увеличением длительности обслуживания сообщений в модели сети МО,
либо введением дополнительного приоритетного класса служебных
сообщений (длина служебных сообщений значительно меньше
пакета данных).
В заключение отметим, что модели сетей МО (как и любые
математические модели) не в состоянии полностью отразить сложные и
многообразные информационные процессы в компьютерных сетях и,
кроме того, их использование обусловлено рядом предположений
(таких, как предположение о независимости). Однако, как показывает
опыт проектирования и измерений реальных сетей, они являются
достаточно точным и практически единственным хорошо
разработанным математическим аппаратом, позволяющим осуществлять выбор
альтернативных вариантов, расчет и оптимизацию характеристик на
этапе проектирования компьютерной сети.
6.2 Методы расчета характеристик сети
пакетной коммутации
Базовая сеть коммутации пакетов состоит из множества
топологически распределенных узлов коммутации, связанных между собой
каналами передачи данных. Абоненты базовой сети являются источ-
хДля исследования более сложных адаптивных методов маршрутизации, в
которых корректировка маршрутных таблиц и выбор оптимального пути
осуществляются путем обмена служебной информацией между узлами коммутации,
используется имитационное моделирование (см. главу 7).

260 Глава 6. Стохастические модели
никами и потребителями информации, передаваемой по сети.
Основная информационная единица базовой сети - пакеты данных
передаются от источника к адресату через транзитные УК и каналы,
образуя очереди в буферной памяти УК.
Как отмечалось в разделе 6.1, адекватными моделями сетей
пакетной коммутации являются сети МО. Основная задача
моделирования состоит в анализе наиболее важных характеристик базовой
сети передачи данных, таких как производительность сети и
средняя задержка пакетов. Часто представляет интерес и расчет средней
задержки между выделенной парой источник-адресат.
На характеристики сети существенное влияние оказывают
протоколы передачи данных. Для обеспечения надежности передачи
информации в протоколах различных уровней реализуются механизмы
квитирования и time-out. В первую очередь следует выделить
межконцевое (сквозное) квитирование между источником и адресатом.
Копия передаваемого сетью пакета сохраняется в памяти
источника до получения квитанции АСК об успешной доставке. Отсутствие
АСК в течение интервала времени time-out приводит к передаче
копии из источника.
Квитирование может также осуществляться и между соседними
узлами коммутации пакетов. При этом копия пакета сохраняется в
буферной памяти передающего УК до получения АСК от
соседнего узла. По истечении интервала time-out осуществляется повторная
передача пакета по тому же выходному каналу или изменение
маршрута.
Различные методы квитирования и ограниченный объем
буферной памяти УК, оказывающие существенное влияние на
характеристики базовой сети передачи данных, должны находить отражение в
соответствующих моделях сетей МО. Поэтому в настоящем разделе
наряду с описанием традиционного подхода, предложенного впервые
Клейнроком [89], приводится новый подход, позволяющий
исследовать характеристики сети пакетной информации с учетом
ограниченной буферной памяти УК и особенностей, характерных для реальных
протоколов.
6.2.1 Анализ межконцевых задержек
Для построения модели сети МО, описывающей
функционирование базовой сети, которая включает М каналов передачи данных и
W узлов коммутации пакетов, необходимо ввести ряд упрощающих

Методы расчета характеристик 261
предположений. Первое из них - предположение о независимости -
позволяет устранить зависимость между временами обслуживания в
каналах и состоит в том, что длина пакета, поступающего в г-й канал,
выбирается независимо в соответствии с плотностью распределения
f(x) = Ъ ехр — Ьх,
где 1/Ъ - средняя длина пакета, измеряемая в битах (байтах).
Процесс поступления пакетов в сеть является пуассоновским с
параметром Лг (пакетов/с), где г - номер пары узел-источник - узел-
адресат. Все пары упорядочены в соответствии с номерами 1,2,..., R.
Маршрут пакетов r-го класса (передаваемых в r-й паре источник-
адресат) определяется матрицей ||Pjj(r)||, где Pij(r) - вероятность
того, что пакет r-го класса, закончивший обслуживание в г-м канале,
поступит потом в j-vi канал (г, j = 1,М).
Различные способы задания матрицы ||-Pij(r)|| определяют тип
маршрутизации пакета в базовой сети. Например, при
использовании постоянных виртуальных соединений и фиксированной
маршрутизации соответствующие элементы Pij(r) принимают лишь два
значения: 0 и 1. В рассматриваемой модели также предполагается,
что объемы буферных накопителей не ограничены и подтверждение
об успешной доставке пакета передается мгновенно.
Сделанные выше предположения позволяют полностью
определить разомкнутую неоднородную сеть МО, моделирующую
функционирование базовой сети передачи данных. В указанную сеть МО
поступают г классов пуассоновских потоков пакетов с интенсивно-
стями Лг(г = 1, R), маршрут каждого из которых характеризуется
матрицей ||Д;(г)||. Функция распределения длительности
обслуживания пакетов r-го класса в г-м центре сети МО г = (1, М),
который моделирует соответствующий канал передачи данных 1,
является экспоненциальной с параметром fiir = Сфг (пакетов/с), где d
- пропускная способность г'-го канала, измеряемая в бит/с, а \/Ъг -
средняя длина пакета r-го класса.
Интенсивность потока пакетов класса г, поступающих в г-й канал
\гГ удовлетворяет уравнению баланса потоков
м
1 Здесь предполагается, что задержка пакетов из-за обслуживания в
процессорах УК пренебрежимо мала по сравнению с временем задержки в канале связи.

262 Глава 6. Стохастические модели
Здесь
"К
если входной поток Лг поступает в г-й канал,
гг ' " в противном случае.
Общий поток пакетов, поступающих в г-й канал Aj и извне в сеть
Л, равен соответственно:
Я Я
Aj — у j Ajr, Л — у j Ar
r=l r=l
Обозначим также через pir загрузку г-го канала пакетами г-го
класса и р^ общую загрузку канала г: pir = \Г/ЬГСГ и
я
г=1
Описанная выше неоднородная открытая сеть МО
удовлетворяет всем условиям теоремы ВСМР, и, следовательно, для ее
расчета могут быть использованы соответствующие результаты главы 2.
В частности, вероятность стационарного состояния сети Р(п), где
п = (^1,...,пм) и координаты щ{г = 1, М) означают число пакетов,
ожидающих передачи и передаваемых по г-му каналу, имеет вид
м
Р(п) = ЦЪ(щ).
Здесь
(1 — Pi)p™1 при дисциплине обслуживания в г-м центре
Р{{щ) = < FCFS, LCFS или PS,
e~pip™1 /щ при дисциплине обслуживания IS.
Предполагая, что передача пакетов по каналу осуществляется в
соответствии с дисциплиной FCFS, из последнего выражения легко
определить среднее количество пакетов в г-м канале Li = Pi/{\ — Pi)
и среднее число пакетов в сети в целом
м
EPi
1 — о
г=1 V Рг
В то же время в соответствии с формулой Литтла L = AT, где Т
среднее время пребывания пакета в сети (задержка пакета).

Методы расчета характеристик 263
Таким образом,
м л м .
Выражение (6.1), впервые полученное Клейнроком [89], имеет
важное значение и широко используется при анализе и
проектировании компьютерных сетей.
Для расчета межконцевой задержки Т, определяющей время
задержки пакетов Д-го класса, необходимо рассматривать более
детально состояние сети S = П1,П2,..,ПМ) где щ = (пц,...,пт) и щг
означает число пакетов г-го класса в г-м канале г = 1, R; г = 1, М.
Выражение для вероятности P(S) определено в разделе 2.3 и с
учетом введенных выше обозначений имеет вид
м
Р(Б) = ЦР^щ),
г=1
где
R
Pi(m) = (1 - Рг)щ\ Д р^/щг\. (6.2)
г=1
Определим теперь среднее число пакетов r-го класса в г-м канале
оо
Lir = y^ r Е Р*(П1)> ^ = (щ: Щг = R}- (6-3)
Подставляя (6.2) в (6.3), после упрощений получаем
Lir = Pir/О- ~ Р)-
Использование формулы Литтла позволяет определить среднюю
задержку пакетов г-ro класса в г-м канале
Tir = Lir/Air = l/bd(l - Pi).
Из последнего выражения видно, что средняя задержка г-го класса
в г-м канале зависит только от общей загрузки канала pi и
остается постоянной для пакетов разных классов, проходящих через этот
канал.
Предположим, что в моделируемой базовой сети передачи
данных реализованы постоянные виртуальные соединения и
используется фиксированная маршрутизация. Пусть /Зг - маршрут
(упорядоченное множество каналов), по которому передаются пакеты г-го
класса из источника в адресат. Тогда очевидно, что элементы
матрицы маршрутов Pij(r) могут принимать значение 0 или 1:

264 Глава 6. Стохастические модели
Р,,(г) = { I
если каналы i,j € (Зг,
в противном случае
и, следовательно,
= I Лг'
10,
если г G /Зг,
в противном случае.
Межконцевая задержка пакетов r-го класса в этом случае
складывается из суммы задержек в каждом канале маршрута /Зг:
^ ЬСЛ\ -pi) v '
Второй момент длительности задержки о~% может быть
определен из функции распределения длительности задержек пакетов г-го
класса, преобразование Лапласа которой имеет вид [299]
Из последнего выражения следует, что
В заключение отметим, что средняя задержка пакетов в сети
может быть определена как взвешенная сумма межконцевых задержек
по всем маршрутам:
Т = ^ТГ. (6.5)
r=l
Легко проверить, что выражение (6.5) после подстановки в него
(6.4) совпадает с (6.1).
6.2.2 Оптимизация пропускной способности и выбор
маршрутов
Простое аналитическое выражение (6.1), полученное в разделе
6.2.1 для оценки времени задержки пакетов, эффективно
используется для решения различных оптимизационных задач, важных при
проектировании базовой сети передачи данных. К числу таких
задач относятся оптимизация пропускной способности каналов, выбор

Методы расчета характеристик 265
маршрутов и синтез топологической структуры сети. Нахождение
точного решения перечисленных задач представляет собой весьма
трудную проблему математического программирования. Здесь будут
даны лишь формулировки этих задач и решение одной из них при
наличии ряда теоретических предположений. Описание более
сложных алгоритмов, учитывающих ограничения, налагаемые реальными
сетями передачи данных, приведем в главе 7.
Выбор маршрута осуществляется с целью передачи пакета через
сеть оптимальным образом при заданном входном потоке и способе
маршрутизации. Различают статическую и динамическую
маршрутизацию [120]. В первом случае маршрут выбирается между
каждой парой источник - адресат в соответствии с априорно заданными
исходными данными, во втором - адаптивно в соответствии с
текущими изменениями потока и состояния сети. В рамках статической
маршрутизации задача выбора потоков состоит в оптимальном
распределении потоков в каналах сети Ai, Л2,..., Хм, удовлетворяющих
входному трафику и минимизирующих среднее время задержки:
A^bd- Xi
г—1
при ограничении 0 < Х/Ь < С, где d - заданная пропускная
способность г-го канала. Легко видеть, что
эт a
> 0 для всех г — 1, М.
d(Xi/fi) k[Ci - Xi/bY
Аналогично, д2Т'/<9(А;/ц)2 > 0, и, следовательно, целевая
функция Т является выпуклой функцией переменных Ai, A2,..., Ам- Кроме
того, ограничения являются выпуклым многогранником. Указанный
факт имеет решающее значение для решения задачи выбора потоков,
так как для отыскания глобального минимума может быть
использован любой метод поиска локального минимума.
Перейдем теперь к формулировке и решению задачи выбора
пропускной способности каналов при заданной топологической
структуре сети и известных потоках Ai, A2,..., Хм- Будем полагать, что
пропускные способности каналов могут принимать любые
неотрицательные значения, а зависимость стоимости Di от пропускной
способности г-го канала связи является линейной функцией: Di(Ci) =
did (г = ТТМ).
Хотя указанные предположения не соответствуют реальным
условиям проектирования сетей передачи данных (например, пропуск-

266 Глава 6. Стохастические модели
ные способности можно выбирать лишь из конечного дискретного
множества значений), они значительно упрощают рассматриваемую
проблему, позволяя находить точное аналитическое решение.
В рамках сделанных предположений задача выбора пропускных
способностей состоит в отыскании вектора С = {С\, ...,См},
минимизирующего среднее время задержки, определяемое выражением
(6.1) при ограничении на суммарную стоимость каналов:
м
D = Y,diCi
(6.6)
i=i
Решение этой задачи можно получить методом множителей Ла-
гранжа. Составим функцию Лагранжа
F = T + /3
м
Х>а-£>
г=1
(6.7)
Дифференцируя (6.7), получаем систему уравнений
OF
- № = О,
dd A {bCi-Xif
решение которой дает искомые значения С* — {С^,С2*, ...,С^} в
виде
С* - Xi/b + y/X~Jdi/у/Щ, г = 17М. (6.8)
Для определения множителя /3 умножим равенство (6.8) на сЦ,
просуммируем по г и после преобразований получим
-1
м
м
у/Щ\ =D! /^2y/X^k,D1=D-^2xidi/b.
I г=1 г=1
Подставляя последнее равенство в (6.8), имеем окончательно
м
Ct = Xi/b + Dly/X~di
di^y/X~d~
, i=l,M.
Минимальная средняя задержка сети, пропускные способности
каналов в которой выбраны оптимально, имеет вид
ГТ1*
-вдтЙМ

Методы расчета характеристик 267
и определяется путем подстановки значения С\ в формулу (6.1).
Легко сформулировать и двойственную задачу отыскания
вектора С*, минимизирующего стоимость сети при ограничении на время
задержки,
м
mm
при условии
м
А,
Л ^ bd - А,
г=1
<тп
(6-9)
(6.10)
Снова используя для решения задачи (6.9), (б.Ю)метод
множителей Лагранжа, получаем:
с* = * + ^J'=i У/ТА ffi
м
D* = J2fA +
где fj = Xj/b.
Описанные задачи выбора потоков и определения оптимальных
пропускных способностей каналов решались в предположении, что
топологическая структура сети задана. Однако на практике при
проектировании сети передачи данных топологическая структура сети
неизвестна и подлежит выбору. Таким образом, проектировщик
сети сталкивается со сложной комбинаторной проблемой
совместного решения задач синтеза топологической структуры сети, выбора
маршрутов и пропускной способности. Для решения этой проблемы
обычно привлекаются численные методы [56,57,83,85,115], описание
которых будет дано в главе 8.
6.2.3 Модель сети с ограниченной буферной памятью
в узлах коммутации пакетов
Описанная в разделе 6.2.1 модель сети пакетной коммутации хотя
и позволяет получать простые аналитические выражения для
характеристик сети, но требует наличия ряда предположений и
ограничений, таких как неограниченная буферная память в УК, отсутствие
квитирования и повторной передачи не принятых в УК пакетов и т.

268 Глава 6. Стохастические модели
д. Рассмотрим подход, позволяющий более полно учитывать
характерные особенности реальных сетей передачи данных и ослабить ряд
указанных ограничений [75].
Рассмотрим модель сети коммутации, включающую W узлов и
заданную топологию каналов связи между ними. Узел г г = 1,М
состоит из процессора, обслуживающего выходящие из УК канала
передачи данных, и iVj равнодоступных буферов каждый объемом
на пакет. Это позволяет рассматривать многоэтапный процесс
буферизации в УК на модели простейшей схемы памяти - однородного
равнодоступного пула буферов. В качестве примера влияния
сквозного квитирования на характеристики сети рассмотрим модель сети
при дейтаграмном способе доставки пакетов. При этом будет
исследоваться случай сквозного квитирования. Копии пакетов,
ожидающие подтверждения об успешной передаче по сети, находятся в УК-
источнике. Занятость буферной памяти в момент прихода в УК
пакета приводит к сбросу последнего на сетевом уровне и последующему
повторению его передачи из УК-источника, в отличие от повторения
между соседними УК. Память, занимаемая принятым в УК пакетом,
освобождается после получения положительного уведомления АСК
0 безошибочной передаче от соседнего узла.
В рассматриваемой модели используется случайная
маршрутизация однородных пакетов. Пакеты поступают в сеть из внешнего
источника, распределяясь по узлам с вероятностями Poi(i = 1, W),
^2i=\Poi = 1- Пакет, принятый в узел R, передается в узел г с
вероятностью Pm(R ^ф i) (R, i = 1, W) и с вероятностью Рдо =
1 — Х)д=1 Рм этот пакет завершает обслуживание в сети, покидая
ее из R-ro УК1. Пакеты, получившие отказ в приеме в буферную
память УК, передаются на вход сети для повторной передачи,
поступая в узел г с вероятностью Poi(i = 1, W). Внешний поток в сеть
из источника Л и потоки в г-й УК с интенсивностями \(i = 1, W),
образованные суперпозицией внешнего потока, повторениями по сети
недоставленных пакетов и потоками от других УК, считаются пуас-
соновскими. Это допущение аналогично предположению о
независимости Клейнрока для сети с неограниченной памятью в узлах.
хМатрица маршрутов Р = ||Pij|| (i, j = О, W) предполагается неразложимой

Методы расчета характеристик 269
Уравнения баланса потоков на входе и выходе узлов описанной
сети имеют вид
w w
Xt = AP0i + J2 Аяя-л(Лд)Р/а + ]Г Лд(1 - тгд(Ая))Рог, г = 17Ж
(6.11)
где 7гд(Ад) - стационарная вероятность наличия свободного
буфера в R-u УК сети. Эта вероятность для УК с простейшей схемой
однородного равнодоступного пула буфера может быть записана (см.
раздел 6.4) в виде
тгя(Ад) = 1 - РоткД(Ад) = ±Щ^^1, (6.12)
где Nr - число буферов в R-м УК; Gr(Nr) - нормализующая
константа модели замкнутой сети МО, описывающей
функционирование .R-ro УК. Для произвольного УК сети справедливы следующие
утверждения.
Утверждение 1. 7г(А) - монотонно убывающая функция А.
Доказательство. В рассматриваемом случае
нормализующая константа G(N) может быть представлена в виде (см. раздел
3.1)
N
GM = E(f) g(N-n,M-i)
п=0 ^ '
Из последнего выражения легко определяется
N , -. ч тг+1
dG(N)
/1 \ П+1
= -Еп(д) 9(N-n, M-l) =
п=0
п=0
где Р(п, N) - маргинальное распределение длины очереди в центре
«Источник» рассматриваемого УК; L(N) - средняя длина очереди
пакетов в центре «Источник».
Дифференцируя 7г(А) и подставляя значение dG(N)/d\,
получаем
дъЩ _ 1 G(N-l) I G(N-l) fr(N)_
дХ - A? G(N) ^ A* G(N) ^1У >
-L(N - 1)] = Ф [L(N) - L(N - 1) - 1]
N) у A* G(N) L-V-; ^ ^_13)

270 Глава 6. Стохастические модели
Утверждение 1 следует из справедливости неравенства L(N) —
L(N - 1) - К 0.
Утверждение 2. Функция А7г(А) является монотонно
возрастающей.
Доказательство непосредственно следует из производной
^1=,(X)[L(N)-L(N-1)}
и очевидного неравенства 0 < [L(N) — L(N — 1)] < 1.
Система нелинейных уравнений (6.11) может быть записана в
векторной форме
Ф = ЫФ)\ (6-14)
где ф = (Ai,A2,...,Aw) и <р(ф) = (<р1(ф),...,<р\¥(Ф)) - вектор-
столбцы:
w
<Рг(Ф) = ^2 AR7rR.(AR.)PR.i + POi
R=l
W
Л + Y, AR(! - ttr(Ar))
R=l
Рассмотрим решение системы (6.14) методом простых
итераций. Обозначим результат m-й итерации фт = (А5",...,А^>) при
ф° = (0, ...,0). Итерационный процесс определяется зависимостью
^(m+l) = (^(m))^ m = 0, 1, 2, ...
Обозначим V{m+1) > V{m\ если А^т+1) > х\т) для г = T^W,
и 1/лт) > 0, если Х™ > 0 для г = 1, W. Справедливо следующее
утверждение.
Утверждение 3. Последовательность {ф(т\ т > 0} сходится к
единственному положительному решению ф* системы (6.14).
Доказательство. Рассмотрим норму
\<р'(ф)\\ = т%х^2
Э(ргф
R
г=1
dXR
Воспользуемся достаточными условиями сходимости простых
итераций, определяемыми в виде ^'(VOII < 1- Производная
^^- = Рл7гд(Лл)[Ьд(ЛГд) - LR(NR - 1)] +
+Pw(l - *r(\r)[Lr{Nr) - LR(NR - 1)]) =

Методы расчета характеристик 271
= Рог + (Рт - Дн)тгд(Ад)[Ьд№) - (NR - 1)] < PRi.
Отсюда
W
г=1
Очевидно, что фЫ > ф(°) имеет положительные компоненты для тех
г = 1, W, у которых Poi > О- Пусть фт > г/Д"1-1), тогда из (6.14)
W
А(™+1) _ АМ = ^ |[А(Г)7Гл(Л(Г)) _ дМ^дМ)] рт+
Д=1
+ РоЛАГ(1 - Ыт - AiT1^ - ^(а5Г-1}))]} •
В силу предположения индукции и утверждений 1 и 2 ^(m+1) >
ф(т); что определяет неубывающую последовательность {?/nm), m >
0}. Отсюда и из предположения о неразложимости матрицы
маршрутов Зт : ф^™) > 0, что определяет ф* = Итп_юо г/Дт) > 0.
Среднее время задержки пакетов в рассматриваемой сети
W
Г = ^(РмГм + а*Г0, (6.15)
г=1
где Toi - среднее время записи пакета в память г-го УК; оц — Aj/Л
- частота посещения г-го УК; Т{ - среднее время пребывания пакета
в г-м УК, определяемое интервалом от момента окончания приема
пакета в буферную память УК до передачи пакета в выходящем из
узла направлении: Т{ = Q(iVj) — Ты, Q(Ni) - среднее время цикла
(см. раздел 6.4).
Рассмотрим другую модель сети пакетной коммутации, в которой
квитирование пакетов осуществляется только между соседними УК.
Неудачно переданный пакет повторяется из УК отправителя. Это
требует сохранения копии пакета в буферной памяти передающего
УК до момента получения от соседнего УК положительной
квитанции АСК о приеме пакета. Отсутствие АСК в течение time-out
классифицируется как потеря пакета, и передающий УК повторяет пакет
по тому же самому или новому маршруту.

272 Глава 6. Стохастические модели
По-прежнему будем рассматривать сеть, состоящую из W узлов
коммутации пакетов, память которых представляет собой пул
однородных буферов. Каналы связи для простоты предполагаются
абсолютно надежными, так что повторение передачи пакетов между
соседними УК определяется лишь занятостью буферной памяти УК.
В отличие от первой модели, рассмотренной в этом разделе,
будем полагать, что в сети передаются пакеты R классов, маршруты
которых задаются матрицами ||Рд»(г)||, где Рщ(г) (R = 1, W; г =
1, W + 1; г = 1, R) - вероятность передачи пакета класса г из узла
R в узел г (Рш(г) + ... + PRw+i(f) — !)• Пакет класса г завершает
обслуживание в сети, покидая ее из i?-ro узла по каналу (R, W + 1).
Пакеты поступают в сеть из R внешних источников с интенсивностью
Лг(г = 1, R). Пусть Aoi(r) = ArPoi(r), тогда очевидно, что общий
поток, поступающий в сеть,
R W
Г=1 1=1
Как и раньше, предполагается, что потоки Aj(r), поступающие в УК,
являются пуассоновскими.
Уравнение баланса потоков для узлов рассматриваемой сети
имеет вид
Ai(r) = Aoi(r) + J^=i Ад(г)тгд(Ад)Рд,(г)+ , ,
+Ai(r)(l - m(\i)), i = l,W;r=l,R, { 3
где Ад = ]Сг=1^я(г)> nR^R ' стационарная вероятность наличия
свободного буфера в R-м УК сети.
Система (6.16) может быть записана в виде
МО = ^ ( Mr) + JT Ад(г)тгд(Ад)Рд,(г) j . (6.17)
Вводя обозначение 7»(г) = Aj(r)7Tj(Aj), г = 1, W; r = l, R, и
подставляя 7«(г) в (6-16), получаем систему уравнений баланса потоков
для сети с неограниченной памятью в узлах
W
1г{г) = Аог(г) + Y^ rrRPRi(r)-
Д=1
Последнее выражение показывает, что, сохраняя баланс
пропускаемых сетью потоков, интенсивности потоков в узлы с ограниченной

Управление потоками 273
буферной памятью превосходят соответствующие интенсивности
сети с неограниченной памятью УК в l/7rj(Aj) раз. При этом число
повторений передачи по каналам сети (R, i)R ф г; R, г = 1, W
можно считать распределенным по геометрическому закону со
средним l/7r(Aj). Последнее эквивалентно увеличению относительной
частоты посещения центров обслуживания модели замкнутой сети МО
при Fi — 1 — 7Tj(Aj) (см. раздел 6.4). Таким образом, взаимовлияние
УК при межузловом квитировании проявляется в функциональной
ЗаВИСИМОСТИ Tti(Xi) = Ф;(7гДАг), ...,7rw(Aw)).
Указанная сеть исследовалась с помощью эквивалентной системы
нелинейных уравнений относительно вероятностей занятости
буферной памяти УК
В{ = 1- щ(\г), i = l,W;Bi = П{ВЪ В2, -.., Bw). (6.18)
Система (6.18) решается с помощью метода Ньютона, сходимость
которого существенно зависит от выбора начального приближения.
Среднее время задержки пакетов для рассмотренной сети
определяется выражением (6.15), где
R
Р(н = ^2Р(н(г); щ = Aj/A0.
1=1
6.3 Управление потоками в сети
пакетной коммутации
6.3.1 Методы управления потоками
Управление потоком предназначено для ограничения загрузки
основных ресурсов сети (буферов УК и каналов связи) и
согласования скорости передачи информации источником со скоростью
приема адресатом. Являясь важнейшим компонентом сети пакетной
коммутации, управление потоком реализуется на разных уровнях
протоколов: оно может осуществляться между соседними УК базовой сети;
между УК источником и УК адресатом базовой сети; между парами,
обменивающимися информацией процессов и т.д. Выполнение
функций согласования скоростей и надежной передачи информации на
всех уровнях протоколов базируется на механизмах квитирования и
концепции окна (см. раздел 6.1). Указанные механизмы служат
также эффективным средством борьбы с перегрузкой ресурсов сети.

274 Глава 6. Стохастические модели
Отсутствие управления использованием ограниченных ресурсов
сети при чрезмерном увеличении потока требований от одного или
группы абонентов может привести к резкому увеличению времени
задержки и (или) падению производительности сети вплоть до
образования полностью блокированных участков, в которых передача
данных оказывается невозможной. Причина появления
блокированных участков и падения производительности сети при перегрузках
могут быть различными [72, 105, 122]. Ограничимся иллюстрацией
этого явления лишь на двух простых примерах. На рис. 6.2 показаны
два узла коммутации пакетов, связанные каналом передачи данных.
Если буферная память узла А занята пакетами для узла В, а память
узла В заполнена пакетами, предназначенными узлу А, то передача
между ними невозможна из-за отсутствия свободных буферов и
указанный участок оказывается полностью заблокированным.
Рис. 6.2 Рис. 6.3
На рис. 6.3 изображен УК, в который поступают два потока
пакетов. Пакеты каждого потока передаются по своему, исходящему
из узла каналу. Если все буфера УК заняты пакетами одного из
потоков, например первого, то передача пакетов по второму каналу
оказывается невозможной. Это снижает производительность УК и
соответственно производительность сети в целом1.
В общем случае при перегрузке сети значительно возрастает
вероятность того, что пакеты, поступающие в очередной УК, не застают
в нем свободных буферов. Эти пакеты в зависимости от
используемого в сети протокола передаются повторно либо соседним УК, либо
УК источником. Чем сильнее перегрузка, тем большая часть
ресурсов сети занята выполнением повторных передач и, следовательно,
Описанные случаи возникновения нежелательных явлений при перегрузках
могут быть легко предотвращены или ослаблены, если в УК реализованы
процедуры локального управления потоками (см. раздел 6.3.3).

Управление потоками 275
тем ниже производительность сети, не защищенной от перегрузки
(рис. 6.4).
Защита от перегрузки достигается при управлении входным
потоком (ограничении потока) в узлах базовой сети передачи данных.
При этом различают методы глобального и локального управления
нагрузкой. Глобальное управление предполагает либо ограничение
общего количества пакетов, передаваемых в базовой сети (изаритми-
ческое управление), либо ограничение числа пакетов в каждом
виртуальном соединении источник-адресат или группах виртуальных
соединений (межконцевое управление), либо использование
комбинации этих методов (двухуровневое управление). В отличие от
глобального, локальное управление не требует информации о
количестве передаваемых по сети пакетов и ограничивает поток в УК на
основе локальной информации, касающейся только данного узла.
Рис. 6.4
Изаритмическое управление реализуется с помощью
использования в сети ограниченного числа служебных пакетов, содержащих
разрешения на передачу пакетов данных. Возможно несколько
способов получения разрешений. В первом случае пакет, поступивший
в узел-адресат, освобождает принадлежащее ему разрешение и оно
захватывается пакетом, ожидающим передачи. Если в узле
отсутствуют пакеты, ожидающие передачи, то разрешение начинает
циркулировать по сети случайным образом и захватывается в первом же
18*

276 Глава 6. Стохастические модели
узле, где имеются пакеты, ожидающие передачи. Во втором случае
каждый узел содержит ограниченный пул разрешений, что позволяет
уменьшить задержку пакетов из-за ожидания разрешений,
циркулирующих по сети случайным образом. Возможна и комбинация этих
подходов. Недостаток описанного метода глобального управления
состоит в отсутствии удовлетворительной маршрутизации разрешений
и трудностях практической реализации.
Реализация разнообразных способов межконцевого управления
базируется на механизме окна, ограничивающем число пакетов в
каждом виртуальном соединении (группа виртуальных соединений).
Размер окна iVj для г-го виртуального соединения выбирается
заранее и определяет число пакетов, которые могут быть переданы
из узла-источника без подтверждения о правильном приеме узлом-
адресатом. Счетчик числа пакетов в г-м виртуальном соединении
первоначально устанавливается в состоянии iVj. Каждый
переданный и неподтвержденный пакет уменьшает состояние счетчика на
единицу. Если состояние счетчика равно нулю, то новые пакеты в
данное виртуальное соединение не допускаются (источники потока
пакетов отключаются). Каждый правильно принятый в адресате
пакет подтверждается индивидуально, причем прием квитанции АСК
в узле-источнике увеличивает состояние счетчика на единицу. При
изменении состояния счетчика с 0 на 1 источники потока пакетов
вновь переводятся в активное состояние.
Модель сети МО для исследования характеристик наиболее
общего двухуровнего глобального управления, объединяющего изаритми-
ческое и межконцевое управление, рассматривается в разделе 6.3.2.
Наряду с описанным выше механизмом глобального управления в
узлах сети часто применяют локальное управление, в соответствии с
которым ограничивается либо общее число пакетов в УК, либо
количество буферов, выделяемое разным классам пакетов.
Принадлежность входящих в УК пакетов к разным классам определяется по
числу пройденных пакетом транзитных участков, по
принадлежности к виртуальным соединениям, по выходящим из узла
направлениям и т. д. Ограниченная равнодоступная память УК при перегрузках
может приводить к существенному падению пропускной способности
узла за счет захвата памяти более интенсивными потоками
отдельных классов и полной блокировки других. Локальное управление,
ограничивающее число буферов, доступных «энергичным» потокам,
часто называют управлением буферами. Такое управление наиболее
типично для перегрузки, вызванной резким увеличением интенсив-

Управление потоками 277
ности потока пакетов в одно или несколько выходящих направлений
узла.
Различают динамическое и статическое управление
распределением буферов. Динамическое управление является наиболее общей
стратегией управления буферами и состоит в принятии решения о
вводе пакета в буферную память в момент его поступления в
зависимости от состояния УК. Однако широкое использование этого
управления ограничено трудностями практической реализации.
Частыми случаями динамического управления являются легко
реализуемые на практике различные статические механизмы
распределения буферов: распределение без ограничений (CS) - любому
входящему сообщению предоставляется любой свободный буфер;
фиксированное распределение (СР) - за каждым классом пакетов
закрепляется фиксированное число буферов; распределение с
ограничением максимального числа буферов для различных классов (SMXQ);
распределение с гарантированным минимумом буферов,
закрепленным за каждым классом пакетов (SMA); распределение,
являющееся объединением двух предыдущих методов локального управления
(SMQMA).
Математические модели сетей МО для исследования описанных
выше динамических и статических методов управления буферами,
учитывающие многоэтапный процесс буферизации в УК приведены
в разделе 6.3.3.
6.3.2 Сетевая модель глобального управления
Для построения моделей сетей МО, позволяющих исследовать
критерии эффективности глобального управления - пропускную
способность базовой сети передачи данных и среднее время доставки
пакетов адресату (время задержки), необходимо использовать
предположения п. 6.3.1. В первую очередь это касается предположения о
независимости Клейнрока.
Рассмотрим базовую сеть передачи данных, включающую W
узлов коммутации пакетов и М каналов связи. Очевидно, что общее
количество виртуальных соединений (и соответственно число
классов пакетов) равно R = W(W — 1).
Пусть Nr(r = 1, R) - размер окна г-го виртуального соединения;
Лг - интенсивность пуассоновского потока пакетов в r-е виртуальное
соединение. Скорость поступления пакетов в r-е виртуальное
соединение зависит от числа 0 < Rr < Nr незаквитированных пакетов,

278 Глава 6. Стохастические модели
находящихся в этом соединении: если Rr = Nr, то очередной пакет
г-го класса не принимается в сеть. Таким образом,
Aj(Nr) = |
Лг, при Rr < Nr,
О, при Rr = Nr,
и, следовательно, в качестве модели рассматриваемой базовой сети с
межконцевым механизмом управления потоком можно использовать
замкнутую неоднородную сеть МО с R классами пакетов (см.
аналогичный переход к модели замкнутой сети в разделах 6.4.2, 6.4.3).
Предположим дополнительно, что количество буферов в узлах не
ограничено, времена передачи пакетов по R-му каналу R = 1, М
независимы и распределены по экспоненциальному закону со
средним значением 1/(ЬСд) и маршрут пакетов г-го класса определяется
матрицей || Pij{r) ||, г = 1, R. Тогда полученная замкнутая
неоднородная сеть МО является локально-сбалансированной1 и для расчета
ее характеристик могут быть использованы точные вычислительные
алгоритмы главы 2 или приближенные методы, описанные в
главе 4. В частности, в [242] для анализа характеристик межконцевого
механизма управления потоками применялся обобщенный алгоритм
свертки в виде дерева, а в [77,263] - метод анализа средних значений.
Размер окна Nr должен выбираться достаточно большим, так
чтобы при флуктуациях потока в нормальном режиме не снижалась
производительность (отсутствовала блокировка) и в то же время
виртуальное соединение было надежно защищено от чрезмерного
увеличения в нем потока. Если перегрузке подвержены все или
большинство виртуальных соединений (общая перегрузка сети), то наряду с
ограничениями Nr (ограничения первого уровня) целесообразно
использование дополнительного ограничения Щ (ограничение второго
уровня) на общее число пакетов в сети, такого что Nq < Yli=i Nr-
Рассмотрим более подробно сетевую модель описанного выше
механизма двухуровнего глобального управления. Предположим, что
множество виртуальных сообщений разбито на D < R
непересекающихся групп. Каждая j-я группа (j — 1, D), обозначаемая Qj,
может представлять собой, например, множество виртуальных
соединений, исходящих из j-ro узла коммутации пакетов. Предположим
также, что на первом уровне введены ограничения Щ на количество
пакетов, которые могут передаваться в j-й группе. Очевидно, что
1 Аналогичным образом легко описать модель изаритмического управления
[299]

Управление потоками 279
при D = R каждая группа содержит одно виртуальное соединение и
N' = Nj.
Состояние сети МО, моделирующей описанное двухуровневое
управление, определяется вектором S = Si,...,Sm> где Sr =
(Sri, ...,Srr) и 5дг - число пакетов г-го класса (г-го виртуального
соединения) в R-м канале (г = 1, R; R = 1, М). Допустимые
состояния удовлетворяют условиям
MR М
£ Е5*^ я°и Е Еn* < ;vj,
R=l г=1 R=l т-efij
где riRr — 0, если маршрут пакетов класса г не проходит через R-й
канал (здесь для простоты предполагается, что маршрутизация
является фиксированной). Сохраняя все предположения и введенные
обозначения, легко видеть, что рассматриваемая сеть МО
удовлетворяет условиям теоремы ВСМР. Стационарные вероятности
состояний сети имеют вид
М R 1 Г \ „ ЛnRr
где Sr — Ylr=i ^Rr', Адг = Лг, если маршрут пакетов г-го класса
проходит через R-й канал, и Лдг = 0 в противном случае.
Используя соответствующие формулы раздела 3.2, можно легко
определить основные характеристики базовой сети, в которой
реализовано описанное выше двухуровневое управление потоками.
6.3.3 Локальное управление буферами
Как упоминалось в разделе 6.1, различают статическое и
динамическое управление буферами. Последнее полностью обобщает
статические стратегии управления, поэтому ниже в первую очередь
рассматривается динамическое управление буферами.
Динамическое ситуационное управление, определенное в [42,53],
основывается на информации о текущем состоянии УК. Оно
состоит в принятии решения о вводе пакета в момент его поступления
в зависимости от состояния буферной памяти узла. Сетевая модель
УК, описанная в разделе 6.4, в данном случае включает R
классов пуассоновских потоков поступлений пакетов с интенсивностями
соответственно Аг (г = 1, R), определяемыми потоками в R
выходящих из узла каналов. При этом специфика состоит в зависимости

280 Глава 6. Стохастические модели
интенсивностей входящих в сеть МО потоков от стратегии
управления вводом (отказом) пакетов в сеть. Эта зависимость определяется
состоянием первого центра «Память» из N приборов обслуживания
(N буферов, буфер на один пакет), однозначно связанного с
состоянием всей сети из М центров обслуживания, и описывается вектором
п = (щ, ...,пм), где п; = (пц, ...,пт); щг - число пакетов класса г в
центре г. Обозначим
м
V(n) = {Vi(n),..., Vfc(n)}, где Vr(n) = J>ir, r = l^R; nr- =
= {n|V(n)} = {Vi(n),..., Vr(n) - 1,.., Vfc(n); n+ = {n|V(n)} =
= {V1(n),...,Vr(n) + l,...,VR(n)}.
С каждой стратегией связано допустимое множество состояний.
Равнодоступная для всех классов память CS (Complete Sharing)
определяет допустимое множество Scs = {n| Ylr=i ^Ип) ^ N}.
Полное разделение СР (Complete Partitioning), при котором
каждому классу пакетов выделяется изолированная от других
классов часть памяти, имеет допустимое множество Scs — {n|V^(n) <
rnr Ylr=i m"r = N}- Произвольная стратегия Q определяется только
правилом ввода-вывода пакетов в УК, а не их уходом из узла,
поэтому
Sq = {n|Vr(n) > 0 => п; е Sq, г = 1, R}.
Последнее определяет так называемые координатно-выпуклые
множества. Таким образом, стратегия управления буферами может быть
охарактеризована вероятностями qr(n) (г = 1, R) ввода в память УК
пакетов класса г в состоянии no £ Sq. Следует выделить простые
стратегии на координатно-выпуклых множествах состояний,
определяющие отказ приема пакетов в УК лишь на границе множеств. Для
них
п>(п) _ / 0 при n G A+,
где Af = {n|n+ 0 Sq}, г = 1, R. Такие стратегии однозначно
характеризуются своими допустимыми множествами состояний.
Справедливо следующее

Управление потоками 281
Утверждение. Для простой стратегии, определенной на
координатно-выпуклом множестве состояний Sq, стационарные
вероятности сетевой модели УК имеют мультипликативную форму
м
м
Р(п) = G-^CSq) П^(щ) = G~l Д F,(n), (6.19)
г=1
гД
гК-(гг)
где функции Zj(ni) и Fj(ni) введены ранее; d(SQ) = Цг=1 Пт=1 A^
G - нормализующая константа.
Выражение (6.19) непосредственно следует из достаточных
условий мультипликативности стационарных вероятностей открытых
локально-сбалансированных сетей с зависимостью интенсивностей
пуассоновских потоков поступлений от количества пакетов в сети
[53,183]. Триггерная функция, определяющая правило ухода из сети
пакетов r-го класса
7Mn) = (i прип^а-,
гу ' \ 0 при пе А~,
где А~ = {n|n~ ^ Sq}. Условие мультипликативности, имеющее в
данном случае вид Тг(п) = 1 <=> qr(n~) = 1 для г = 1, R, Vn G
Sq и Vn~ G Sq, очевидным образом выполняется, что обеспечивает
справедливость (6.19).
\
К
д
%
7V
N буферов
Рис. 6.5

282 Глава 6. Стохастические модели
Во избежание громоздких выкладок проиллюстрируем
проблему оптимального динамического управления на упрощенной модели
УК (рис. 6.5), традиционно рассматриваемой для анализа
локального управления буферами. В такой модели УК представляется R
выходящими каналами связи и буферной памятью размером в JV
буферов, каждый канал - однолинейной системой М/М/1 с
интенсивностью обслуживания \хг (г = 1, R) и дисциплиной обслуживания
FCFS («первым пришел - первым обслужен»). Весь узел состоит из
набора R таких очередей. Эти очереди имеют JV общих мест для
ожидания. Пакеты, не принятые в очередь, получают отказ. Поток
поступлений в узел представляется R классами пуассоновских
потоков, характеризующимися направлением передачи и интенсивностью
Аг (г = 171?).
Рис. 6.6
Состояние УК описывается марковским процессом п =
{п1,П2, ...,пд}, где пг - количество пакетов класса г в узле.
Допустимое множество состояний произвольной стратегии управления Q

Управление потоками 283
Sq С Scs = { n
R Л
r=l J
Проблема оптимального управления марковским процессом с
конечным числом состояний может быть сформулирована в терминах
задачи линейного программирования [42,53]. Пусть доход от передачи
через узел пакета класса г равен dr. Доход всей системы в единицу
времени можно определить в виде
R
r=i neScs,пг#о
где Р(п) - стационарная вероятность состояния п. При ar = 1 (г =
1, R) выражение (6.20) дает пропускную способность УК.
Пусть, как и ранее, qr(n) - вероятность приема в память пакета
класса г в состоянии п. Тогда оптимальное управление
определяется набором вероятностей qr(n) (г = 1, R), доставляющих максимум
линейному функционалу D при ограничениях, являющихся
уравнениями для стационарных вероятностей состояний узла:
E?=i[W(n)<5+(n) + ^S-(n)]P(n) =
= Er=iiKqr(nr)P(n-)6-(n) + MrP(n+)5-(n)]; (6.21)
J2necsP(n) = l.
В (6.21) используются обозначения n+ = {ni,...,nr + 1,...,пд};
n~ = {щ,...,пг - 1,...,пд};
S+(n) = { l ПРИ П^ G ScS'
r ^ 0 в противном с
случае,
1 при п- е SCs,
0 в противном случае.
Введение переменных
xr(n) = P(n)qr(n),r=l,R, (6.22)
преобразует систему (6.21) в линейную систему ограничений задачи
линейного программирования относительно хг(п) > 0 и Р(п) > 0.
Значения управляющих переменных qr(n)(r = 1,R) определяются

284 Глава 6. Стохастические модели
из (6.21) после решения задачи линейного программирования. Как
известно, всякому опорному плану задачи линейного
программирования соответствует целочисленный набор вероятностей qr(n)(r =
1,-R), состоящий из нулей и единиц. Это поясняет смысл
переменных <?г(п) как «разрешений» на ввод пакетов в память узла и
позволяет получить из (6.22) дополнительные ограничения для задачи
линейного программирования Р(п) — хг(п) > О, (г = 1,-R).
Рассмотрим модель УК с двумя (R = 2) каналами передачи и N =
6 буферами памяти (см. рис. 6.5). В этом случае анализ оптимального
управления показывает [53], что оптимальные стратегии определены
на координатно-выпуклом пространстве состояний
Sq = {п | Til + П2 < N, "4 < 7711, П2 < Г712},
где граница 0 < mi, n<i < N (рис. 6.5). При этом переходы
управляемого процесса ограничиваются не только на границе Sq, но и внутри
этой области. Увеличение загрузки второго канала р2 = Аг/'^2 при
фиксированной р\ = ^l/fJ-i =0,8 меняет границы области Sq,
запрещая ввод пакетов обоих классов даже при наличии свободных
буферов (штриховые линии на рис. 6.6). Однако общий вид
оптимального управления даже в этом случае получить не удается. Для
простых стратегий на координатно-выпуклых множествах состояний
и трех каналов (R = 3) в [183] получен вид допустимого пространства
состояний, соответствующий оптимальной стратегии:
Sq = {П | Щ + П2 + 713 < ГП123, П1+П2 < 77112, П\ + П2 < 77113 ,
П2 + П3 < 7П23, Щ < 7711, «2 < ТП2, П3 < 7П3} ,
где границы m с соответствующими индексами не превосходят N.
Оптимальная простая стратегия резервирует часть памяти для
пакетов каждого класса, ограничивая, кроме того, общее число пакетов
всех комбинаций классов. В общем случае для произвольного R это
свойство простых стратегий не доказано.
Естественным расширением изложенного динамического
управления входами узла является ситуационное управление с замещением
введенного в буферную память пакета класса i на вновь прибывший
пакет класса j ф г на множестве состояний S — {n | 5Zr=i nr — N}.
Пусть Pij - потери, связанные с вытеснением из памяти пакетов
класса г. Тогда в прежних обозначениях функционал (6.34) примет вид

Управление потоками 285
R R R
D = ^2ar^r £ P(n)~T, Е Ai Е *Kn)>
г=1 neScs, nr^0 j=l г=1, j^i neS, п;^0
где жг:,(п) = P{n)ql^{n) [г ф j) для г, j = 1, R ; <f-^(n) - вероятность
замещения пакета г-ro класса j-м. Ограничения задачи линейного
программирования в этом случае описываются аналогично. При ar —
1 (г = 1, R) и (3ij = 0 управление с замещением позволяет получить
оценку сверху пропускной способности УК.
Реализация динамического ситуационного управления буферами
связана с трудоемкими измерениями входящей нагрузки. Поэтому,
как правило, на практике используют частные стратегии,
определяющие статические схемы управления буферами.
Статическое локальное управление буферами определяется
фиксированными простыми стратегиями управления на координатно-
выпуклых пространствах состояний. Такое управление является
частным случаем динамического ситуационного управления,
рассматривающего в каждом состоянии набор возможных стратегий.
Сетевая модель УК, введенная для динамического управления,
остается в данном случае без изменений, а зависимость интенсивностей
R входящих потоков от состояния сети определяется конкретными
стратегиями управления. Простые стратегии однозначно
определяются соответствующими пространствами состояний. Поэтому
описание схем статического управления осуществляется ниже
определением соответствующих координатно-выпуклых множеств.
Наиболее простыми статическими схемами управления
являются упомянутые выше равный доступ CS и полное разбиение СР. В
последней вся память разделена на R частей, каждая из которых
постоянно закрепляется за соответствующим классом пакетов.
Очевидно, такая схема будет давать лучшие показатели только при
чрезмерных по всем R классам входящих в узел потоков. В иных случаях
она не обеспечивает эффективного использования памяти. Во
избежание захвата буферов более интенсивными потоками было
предложено несколько схем статического управления [233]. Ниже
рассматриваются эти схемы с учетом многоэтапного процесса буферизации
в УК.
Схема SMXQ. Эта схема управления ограничивает количество
буферов, доступных пакетам каждого класса. При этом вводятся
границы Ьг (R — 1, R), такие, что Ylr=i^r < N. Возможные состояния
определяются в виде

286 Глава 6. Стохастические модели
R
Ssmxq = < п | 0 < £Vr(n) < N и О < К(п) < &г (г = 1, ДП .
Однако эта схема не гарантирует полного использования всех
выходящих каналов при тяжелом трафике.
Схема SMA. В этой схеме за каждым классом пакетов
закрепляется минимально необходимая память в ог (г = 1, й) буферов,
доступных лишь пакетам соответствующего класса. Оставшаяся часть
буферного пула в В = N — X)r=i ar буферов равнодоступна пакетам
всех классов. Допустимое множество состояний при этом
Ssma = { п
R
J^max[0, Vr(n) - ar] < В, 0 < Vr(n) < B+ar (r = 1, R)}.
г=1
Схема SMQMA. Данная схема по существу является объединением
двух предыдущих схем. В отличие от SMA, в этой схеме налагаются
ограничения Ьг (г = 1, R) на число пакетов каждого класса в общем
пуле буферов В. При этом допустимое множество состояний
Ssma = \ п
R
J^maxfO, K(n) - ar] < В, 0 < Vr(n) < ar+br (r = 1, R)}
(6.23)
Очевидно, схема SMQMA обобщает все рассмотренные схемы
статического управления буферами. Допустимые множества для них
могут быть непосредственно получены из (6.23).
При статическом управлении, как и для любой простой
стратегии управления на координатно-выпуклых множествах,
стационарная вероятность Р(п) сетевой модели УК имеет мультипликативный
вид (6.33). Вычисление Р(п) и требуемых характеристик УК для
схем статического управления может быть осуществлено
алгоритмами свертки для сетей МО с несколькими классами при некоторой
их модификации относительно допустимого пространства состояний,
соответствующего схеме управления. Вероятность отказа приема в
УК пакетов класса г для общей схемы SMQMA
Ротк= Е Р(П)'

Анализ буферной памяти узла коммутаци 287
R R
где 5qTK = {n| V^.(n) = ar + br или У^ тах[0, УГ(п) — gr] = JVyjar } .
г=1 г
Характеристики упрощенной модели УК (см. рис. 6.5) могут быть
получены в явном виде в терминах нормализующей константы G.
Для некоторых схем управления они имеют весьма простой вид [75].
Выбор конкретной схемы статического управления или, что то же
самое, параметров схемы SMQMA основывается на компромиссе
между пропускной способностью узла и задержкой пакетов в нем.
Последние существенным образом зависят от особенностей
многоэтапного процесса буферизации УК.
6.4 Анализ буферной памяти узла коммутаци
6.4.1 Процесс буферизации в узле коммутации
и схемы организации буферной памяти
Современные узлы коммутации сообщений (пакетов) на базе
ЭВМ используют для приема, передачи и обработки сообщений
ограниченную буферную память. Структура памяти, в которой
скапливаются сообщения от многочисленных одновременно работающих
каналов связи, в значительной мере определяет пропускную способность
узла.
Функционирование УК определяет многоэтапный процесс
буферизации сообщений (пакетов)1. Входящее в узел сообщение
записывается в буферную память со скоростью канала передачи данных.
Затем обрабатывается процессором узла, выполняющим требуемое
обслуживание сообщения и определяющим направление выдачи и
передается по каналу в выходящем из УК направлении. Копия
принятого в УК сообщения хранится в буферной памяти до получения
Метод расчета буферной памяти узла коммутации пакетов /В. А. Жожи-
кашвили, Р. В. Билик, В. М. Вишневский // Автоматика и вычислительная
техника.- 1977.-ДО 5.-С.67-74.
Lam S. S. Store and Forward Buffer Requirements in a Packet Switching Network
//IEEE Trans. Commun.-1976/-Vol. C-24, No 4.-P. 394-403.
Bux W. Modelling and Analysis of Store - and - Forward Date Switching Centres with
Finite Butter Memory and Acknowledgement Signalling // Proc. 8th International
Teletrafic Congress, 1976.- P. 524.1-524.6.

288 Глава 6. Стохастические модели
квитанции АСК (логического подтверждения) о безошибочной
доставке сообщения адресату или промежуточному узлу. Отсутствие
АСК в течение определенного интервала времени (time-out)
вынуждает повторить передачу сообщения по выходящему каналу в
направлении адресата. Это обеспечивает логическую защиту от ошибок
в передаче и возможной потери сообщения из-за отсутствия
свободных буферов в принимающем УК. При отсутствии места в буферной
памяти входящее в УК сообщение получает отказ. Тогда сообщение
направляется по другому маршруту или запрос периодически
повторяется.
Этапы передачи по каналам связи УК входящих и выходящих
сообщений характеризуются особенностями линейных протоколов,
определяющих, по существу, эффективную скорость передачи по
каналам. Особенности этапов квитирования и time-out
определяются сетевыми протоколами межузловых связей и сквозного
взаимодействия источник-адресат. Методы доставки пакетов (датаграммы,
виртуальные соединения и т. д.) существенно влияют на время
хранения копии сообщения (пакета) в буферной памяти УК-отправителя.
Таким образом, поступившее в УК сообщение занимает буферную
память в течение следующих интервалов времени:
1) ввод УК - запись со скоростью канала связи;
2) ожидание в очереди на обработку в процессоре;
3) обработка в процессоре;
4) ожидание освобождения канала в направлении выхода из УК;
5) передача из УК по выходному каналу связи;
6) ожидание квитанции об удачной доставке с возможным
повторением п. 5. по истечении интервала time-out.
Сообщение (пакет) освобождает занимаемую им память после
выполнения всей последовательности операций. Конкретный набор
этапов зависит от реализации УК и его функций, а также от
используемых сетевых технологий. Описанный многоэтапный процесс
адекватно отражает известные процедуры коммутации сообщений (пакетов)
для различных структур буферной памяти узла.
В узле коммутации с большим числом каналов связи буферная
память разбивается на участки (буфера) для параллельного
обслуживания нескольких сообщений (пакетов). Способы разбиения
разнообразны и зависят от метода организации памяти. Различают
статические и динамические методы. В первом случае за каждым
каналом жестко закрепляется один или несколько буферов, в каждый из
которых можно записать сообщение максимальной длины. Этот ме-

Анализ буферной памяти узла коммутаци 289
тод отличает неэффективное использование буферной памяти. При
более рациональных динамических методах буферная память
является общим для всех каналов ресурсом. Поиск свободного буфера
при этом осуществляется лишь в момент появления запроса на него.
Каждый буфер может быть выделен для любого канала. Размер
буфера может определяться сообщением максимальной длины или
быть меньше его. В последнем случае для приема сообщения
выделяется цепочка буферов и память при большом разбросе длин
сообщений используется эффективнее.
Опишем более подробно схему организации памяти с буферами
на максимальную длину сообщений. В простейшем случае такая
память организуется из идентичных равнодоступных буферов. Эта
схема широко применяется в узлах коммутации пакетов и сообщений.
При этом многоэтапный процесс буферизации может быть
формализован в виде однородной сети МО. Выделение на входе узла классов
сообщений с заранее известной длиной позволяет организовать
память секциями буферов (секция на класс). Объем идентичных
буферов секции определяется максимальной длиной сообщений
соответствующего класса. Такая структура памяти по сравнению с
простейшей позволяет экономить необходимую буферную память.
Аппаратура передачи данных зачастую не формирует сведений
о длине передаваемых сообщений. В этом случае экономия памяти
секционной структуры может достигаться за счет перепеси принятых
в общедоступный пул сообщений в секции меньших размеров.
Объем памяти секционной структуры может быть определен с помощью
моделей сетей МО с несколькими классами сообщений.
Рассмотрим, наконец, схему организации динамической памяти с
цепочкой буферов. Различают два вида такой памяти: цепочки
буферов, резервируемые в момент поступления сообщения известной
длины, и цепочки, формируемые по мере заполнения сообщением
очередного буфера.
В первом случае сведения о длине передаются в начале
сообщения. В момент прихода в узел оно может получить отказ в приеме
при отсутствии соответствующего количества буферов. Поведение
УК при этом описывается сетью МО с несколькими классами
сообщений, где класс сообщения определяется количеством требуемых
буферов.
Схема организации памяти второго типа не требует сведений о
длине сообщений. Память при этом используется эффективно,
однако возможны отказы в приеме из-за отсутствия свободных дополни-

290 Глава 6. Стохастические модели
тельных буферов в процессе приема сообщения. Функционирование
УК в этом случае описывается сетью МО с классами сообщений,
также определяемыми количеством требуемых сообщений буферов, но
с более сложным взаимодействием между классами.
Отметим, что анализ описанных схем организации буферной
памяти УК с учетом многоэтапное™ процесса буферизации приводит
к необходимости расчета сетей МО с одним или несколькими
классами сообщений, что определяет обобщенный подход к исследованию
вопросов буферизации в узлах компьютерных сетей.
6.4.2 Анализ однородного пула равнодоступных
буферов
Рассмотрим модель УК с простейшей схемой организации
памяти, состоящей из буферов на максимальную длину сообщений.
Формализация многоэтапного процесса буферизации для этой схемы
наиболее прост и в то же время включает общие для всех схем этапы.
Для расчета буферной памяти УК может быть формально
представлен в виде открытой сети МО с общим накопителем в JV мест (JV
буферов), отказами, блокировкой и пуассоновским потоком
поступлений сообщений в накопитель с интенсивностью Л (рис. 6.7).
Первым в сети является многолинейный центр обслуживания «Память».
Число обслуживающих приборов здесь равно числу мест
накопителя JV; очередь отсутствует. Длительность обслуживания приборов в
этом центре равна времени передачи входящего сообщения по каналу
связи.
Во втором однолинейном центре «Процессор» длительность
обслуживания равна времени обработки сообщения в процессоре УК.
Обслуживание сообщений в этом центре осуществляется в
соответствии с дисциплиной FCFS. Выделим группу из L центров,
формализующих работу L выходящих каналов УК. Каждое
сообщение, обслуженное во втором центре, с вероятностью Pj(j — 1,L
поступает на обработку в j-u центр группы выходящих каналов
(Pi + Р% + ... + Pl = 1)- Дисциплина обслуживания очередей в
центрах этой группы - FCFS. Сообщения, прошедшие обслуживание в
j-м центре упомянутой группы, с вероятностью 1 — Fj поступают
в соответствующий центр АСК, нормализующий ожидание
логического подтверждения передачи по каналу j. В противном случае с
вероятностью Fj эти сообщения поступают в центр TOj,
моделирующий задержку time-out, после которой осуществляется повторное

Анализ буферной памяти узла коммутаци 291
обслуживание сообщения в j-ш центре группы выходящих каналов.
Вероятность Fj(j = 1,L) определяет условия неудачной передачи
сообщения соседнему узлу или адресату, включая отсутствие в
последних свободной буферной памяти. Значение Fj для каждого узла
может быть определено итеративно и не должно, как правило,
превышать допустимой величины.
АСК,
AcKj Выходящие каналы АС1\
Рис. 6.7
Прибор центра «Память» после окончания обслуживания
сообщения блокируется (не освобождается) до тех пор, пока не
завершится обслуживание сообщения в одном из центров АСК. Сообщения,
поступающие в рассматриваемую сеть МО, могут получать отказ,
если в момент их появления все приборы центра «Память»
блокированы или заняты. Интенсивность входящего в сеть потока зависит
от числа занятых мест накопителя п и имеет вид

292 Глава 6. Стохастические модели
ЛЫ = |0' ПРИП = ЛГ>
v ; \ А, при п< N.
Математическая модель УК позволяет определить зависимость
вероятности отказа от количества мест (буферов) накопителя. По этой
зависимости, исходя из допустимой вероятности отказов входящим в
узел сообщениям, легко определить объем буферной памяти.
Анализ описанной МО в общем случае при произвольных
распределениях длительности обслуживания сообщений в центрах с
дисциплиной FCFS можно осуществить с помощью приближенных
методов, описанных в гл. 4. Решение задачи значительно упрощается,
если в моделях УК перейти к локально-сбалансированной сети МО.
При этом вся сеть МО включает лишь два типа центров: с
дисциплиной обслуживания LCFS или IS. Длительность обслуживания в
центрах FCFS распределена по экспоненциальному закону; в центрах IS
она имеет произвольное распределение, допускающее рациональное
преобразование Лапласа.
Открытая сеть МО, моделирующая функционирование УК,
эквивалентна замкнутой сети МО. Для перехода от открытой сети к
замкнутой достаточно ввести однолинейный центр обслуживания
«Источник» с номером 0 (см. рис. 6.7), из которого сообщения
направляются в центр 1. Длительность обслуживания в «Источнике»
распределена по экспоненциальному закону с параметром Л. В
замкнутой сети МО, включающей М = 3(L + 1) центров обслуживания,
постоянно циркулирует ./V сообщений (количество буферов общего
накопителя).
Обозначим через вектор
n = (Rq,Iq,Ii, ■■■,lL,mi, • ••,"■&£,, ?"i> ■••i'Ti) состояние сети МО. Здесь
Rq - число сообщений в нулевом центре, интенсивность
обслуживания /хо = Л сообщ./с которого не зависит от нагрузки; тп0 - число
сообщений в центре «Память», интенсивность обслуживания
которого fimo = n/j,mo сообщ./с зависит от нагрузки; /о - число сообщений
ожидающих обработки в центре «Процессор», интенсивность
обслуживания которого /jlio сообщ./с не зависит от нагрузки; 1{ - число
сообщений, ожидающих передачи и передаваемых по г-му каналу связи
(г = 1,2,..., L), интенсивность обслуживания которого /х^ сообщ./с не
зависит от нагрузки; пч - число сообщений, переданных по г-му
каналу и ожидающих подтверждения АСК. Процесс передачи АСК
моделируется центром с дисциплиной обслуживания IS и интенсивностью
обслуживания /xmi = п/таск сообщ./с, зависящей от нагрузки; п -
число сообщений, переданных по г-му каналу и требующих повторе-

Анализ буферной памяти узла коммутаци 293
ния по time-out. Этот процесс моделируется центром с дисциплиной
обслуживания IS и интенсивностью обслуживания pri = п/тто со-
общ./с.
Обозначим также через
е — (,eRo j elo i emo i e/i) • • •) elL i епг1 > • • ч em-L > еП i • • • > еГ£, J
вектор относительных интенсивностей потоков. Индексы координат
этого вектора соответствуют обозначению центров сети. Тогда легко
видеть, что решение системы уравнений (1.4) имеет вид:
бДо = eRo = em0 — 1)
eu=Pi/{l-fi), i = l,L,
en= fiPi/{l- fi), i = l,L.
Стационарные вероятности рассматриваемой сети МО имеют вид
L l Lrrii -л
P(n) = G(N)p^l[4llb^C?
г=0 г=0
где
po = 1/Л; a0 = l/pz0; 60 = l/pm0; Co = 1;
a* = 7i F\ ' bi = FirACKi, Сг = ~Л 7-,г=1,Ь.
(Д - Ji)V-k i - Ji
Нормализующая константа определяется из условия нормировки
G(N)= J2 P(Bo,l,m,r),
До>0;1,т,г>0
где 1= (Iq,...,Il); m= (mi,...,mL); г = (гь ...,lL).
Вероятность отказа в приеме сообщения в буферную память УК
-Potk(-W) равна вероятности того, что в источнике отсутствуют
сообщения. Учитывая, что источник представляет собой однолинейный
центр, не зависящий от нагрузки (2.32), получаем следующее
выражение для определения величины вероятности отказа как функции
числа буферов ./V:

294 Глава 6. Стохастические модели
Для определения объема памяти УК при заданной допустимой
вероятности отказа Рдоп последовательным изменением числа буферов
N находится минимальное ./V*, удовлетворяющее неравенству
-'otkV-'* ) — -*доп-
Важной характеристикой является среднее время пребывания
сообщения Qo(N) в УК. Это время отсчитывается с момента начала
записи сообщения в буфер до освобождения памяти от этого сообщения
и соответствует в модели сети МО времени цикла центра-источника:
Qo(N) = [N-Lo(N)}/Xo(N),
где Lo(N) - среднее число сообщений, пребывающих в источнике.
Из формул раздела 2.3 легко определяются выражения для
других характеристик УК. Например, производительность УК,
представляющая собой поток сообщений, проходящий через источник
(или процессор), имеет вид L0(N) = G(N-1)/G(N) = [l-POTK(N)]X.
Вычисление G(N) и других характеристик УК осуществляется по
формулам (3.3) в соответствии с алгоритмом, описанным в разделе
3.1. Алгоритм вычисления можно упростить, используя специфику
модели УК - наличие двух типов центров: IS и однолинейных центров
с дисциплиной обслуживания FCFS.
Объединим все центры с дисциплиной обслуживания IS в один
укрупненный центр, число сообщений в котором R = Yli=o(mi + г*)-
Тогда стационарная вероятность -Р(п') укрупненного состояния п' =
(Ro,lo,h,—,lb,R) имеет вид
p^) = Е p(n) = gwp$° ж Е ai >
mo+...+rriL+ri + ...+rL=R i=0
rned = Yli=o(bi + ci)-
При вычислении нормализующей константы укрупненному
центру типа IS необходимо присваивать номер один, тогда в
соответствии с алгоритмом Бузена расчет G(N) упрощается. Дальнейшее
упрощение вычислительной процедуры достигается, если часть
центров обладает одинаковыми параметрами ai. Это обычно
выполняется на практике, так как сообщения с идентичным распределением
длин зачастую равномерно распределяются между исходящими из
УК каналами, имеющими одинаковую скорость передачи. Из
алгоритма Бузена также следует, что наиболее трудным с точки зрения

Анализ буферной памяти узла коммутаци 295
затрат времени и памяти ЭВМ является расчет сети, зависящей от
нагрузки. Это соответствует случаю, когда для передачи сообщений
из УК в отдельных направлениях используются пучки каналов.
6.4.3 Сетевая модель памяти секционной структуры
Как отмечалось в п. 6.4.1, большой разброс длин сообщений
делает нерациональным использование однородного пула
равнодоступных буферов. Создаваемые при этом буфера на максимальную
длину сообщения приводят к чрезмерно большой буферной памяти УК.
Вместе с тем разделение входящего в УК потока сообщений на
классы по длине сообщений позволяет организовать более экономную
секционную структуру буферной памяти. Каждому классу сообщений
ставится в соответствие секция идентичных буферов, объем которой
соответствует максимальной длине сообщения одного класса. При
этом наиболее существенная экономия достигается для
«полимодальных» распределений длин входящих сообщений, когда длины
концентрируются около нескольких значений.
Возможность выделения указанных классов на входе УК
определяется наличием информации о длине передаваемых сообщений.
Раличают два случая:
— длина передается в начале самого сообщения или определяется
в момент поступления сообщения в УК иным образом;
— сведения о длине отсутствуют в формате сообщения и не
формируются аппартурой передачи данных.
В последнем случае прием сообщений всех классов
осуществляется в секцию с буферами на максимально возможную длину
сообщений. По окончании ввода сообщений оно переписывается в секцию
допустимо меньших буферов соответствующего класса.
В рассматриваемом случае УК может быть формально
представлен в виде открытой сети МО с R классами сообщений, отказами,
блокировкой и пуассоновскими потоками поступлений сообщений
соответствующих классов с интенсивностями Лг(г = 1,Д). Основное
отличие этой модели от описанной в п. 6.2.2 состоит в замене
одного центра «Память» на R аналогичных центров. Число приборов
в каждом г-м центре равно Nr; очередь отсутствует. Длительность
обслуживания прибором в таком центре равна времени передачи
входящего сообщения класса г по каналу связи. Остальные центры
сохраняют структуру, определенную в предыдущем разделе.

296 Глава 6. Стохастические модели
Вероятность перехода сообщений между центрами сети зависит
от класса сообщения. Сообщение класса г (г = 1,-R), обслуженное
в центре «Процессор», с вероятностью Pj(r) (J = 1,L) поступает в
j-й центр группы выходящих каналов Ylj=i Pj = 1- По окончании
обслуживания этим центром оно с вероятностью 1 — Fj(r) поступает
в j-й центр АСК.
Место, занятое сообщением класса г в г- блокируется до
завершения обслуживания сообщения в одном из центров АСК сети.
Сообщение класса г при поступлении в сеть МО получает отказ, если
все места накопителя г заняты. При этом зависимость интенсивности
входящего потока класса г от числа занятых мест пг
соответствующего накопителя имеет вид
Аг(пг) = { Л°' ПРИ Пг = %>
4 ' { Аг при nr < Nr.
Описанная сеть МО имеет мультипликативную форму решения
в предположении экспоненциального распределения времени
обслуживания в узлах с дисциплиной в очереди FCFS. При этом среднее
время обслуживания сообщений всех классов одинаковы. Центры IS
по-прежнему допускают произвольное распределение времени
обслуживания сообщений всех классов.
Рассматриваемая открытая сеть МО эквивалентна сети МО с R
замкнутыми классами. Замыкание сети по каждому классу
аналогично описанному в предыдущем разделе. Число сообщений,
циркулирующих в r-м замкнутом классе, равно количеству мест (буферов)
в r-й секции.
Рассмотренная сеть МО для УК с секциями буферов отличается
от модели с переписью из секции в секцию порядком входа
сообщений в сеть и наличием дополнительной блокировки. Пусть R классов
ранжированы в порядке уменьшения соответствующих длин
сообщений. В сетевой модели УК с переписью сообщения всех классов
поступают в первый центр «Память» (буфера на сообщения
максимально возможной длины). При отсутствии свободных приборов
в этом центре сообщения всех классов получают отказ. Сообщение
класса г (г = 2,R), обслуженное в первом центре «Память»,
переходит в r-й центр «Память» при наличии в нем свободных
приборов, освобождая при этом соответствующий прибор в первом центре
«Память». В противном случае этот прибор первого центра
блокируется. Как и ранее, прибор, занятый сообщением класса г (г = 1,R)
в соответствующем центре «Память», освобождается по завершении

Анализ буферной памяти узла коммутаци 297
обслуживания данного сообщения в одном из центров АСК сети МО.
Указанная блокировка «переписи» существенно усложняет
структуру сети МО.
Стационарные вероятности состояний сети МО с несколькими
классами сообщений, описывающей УК с секциями буферов, имеют
вид
м
P(n) = G-1(NR)H^(n)I
г=1
где Zi(xi\) определены в выражении (3.22); относительные
интенсивности потоков eir, являющиеся решением системы уравнений (3.22),
определяются с учетом структуры матрицы маршрутов r-го
класса сообщений рассматриваемой сети и по аналогии с предыдущим
пунктом имеют вид
1 для всех центров «Источник»,
«Память» и центра «Процессор»,
Pi(r)/[1 — Fi(r)] для г-го канала передачи
данных (г = 1, L; г = 1, R),
Pi(r) для г-го центра АСК
(г = 17Х; r = I7R),
Fi{r)Pi(r)/[l - Fi(r)] для г-ro центра ТО
(г = !7Х; г = 17Д).
Основные характеристики УК с секциями буферов отыскиваются
по формулам раздела 3.2. Например, вероятность отказа в приеме
сообщений г-го класса, соответствующая маргинальной вероятности
того, что в r-м центре «Источник» число сообщений равно нулю,
имеет вид
£?,г — *
1 G(NR - 1г)
Р0ТКГ = ^HCTrtOjR., NR) = 1 - , Г=1,Я.
Очевидно, что вероятность отказа в приеме сообщению (независимо
от номера класса), поступающему в УК, определяется выражением
д
-Ротн = 2_^ "Т^отн г, Л = Ai + ... + Ar.
r=l
По аналогии с предыдущим пунктом другие характеристики УК
могут быть найдены из формул раздела 2.2.

298 Глава 6. Стохастические модели
Полученные выше выражения для расчета характеристик УК
позволяют сформулировать задачу выбора объема секций буферов
при наличии ограничения на допустимую вероятность отказа Рдоп-
Однако точное решение этой задачи связано с исследованием
трудноразрешимой комбинаторной проблемы отыскания минимальных
целочисленных координат вектора Nr = (N\, JV2, •••, Nr),
минимизирующих функционал
£?=i NrLB(r) при
(6.24)
Л _ G(Nr-1) ^ p
Z^r=lЛ
. C(NR-1)
^r G(NR)
< Р
— 1 доп)
где Ьв{г)- объем одного буфера r-й секции памяти.
Основная вычислительная трудность состоит в необходимости
многократного расчета нормализующей константы G(Nr) сети МО
большой размерности с несколькими классами сообщений.
Рассмотрим в связи с этим эвристический алгоритм отыскания
решения задачи (6.24). На практике вероятность Рдоп принимается,
как правило, весьма малой, что позволяет аппроксимировать
описанную сеть МО смешанной сетью МО. Эвристический алгоритм
включает два этапа: отыскание допустимого решения, близкого к
оптимальному, и улучшение этого решения.
Допустимое решение находится путем перехода от замкнутой
сети МО с R классами сообщений к смешанной сети, включающей R—1
разомкнутых цепей и одну замкнутую цепь. В смешанной сети в г-й
центр «Память» поступает поток с интенсивностью
Л-ГпЛ-1 °' при гц = JVi,
Аг[Щ) ~ \ Л,, при щ < Ni.
а в центры «Память» с номерами 1,2,...,г — 1,г + 1,...,R -
потоки, не зависящие от состояния сети. В результате расчета
смешанной сети МО при последовательном изменении величины N{
определяется минимальное значение N*, при котором выполняется
неравенство -P0TKr(-/V*) < .Рдоп- Заметим, что ограничение задачи (6.24)
выполняется, если для всех г = 1,R удовлетворяются неравенства
РоткгЩ*) < Рдоп- Таким образом, вектор N* является допустимым
решением, удовлетворяющим ограничению задачи (6.24) и близким
к оптимальному N' = (N',.-->NR) при малых значениях Рдоп- При
этом очевидно, что N* > N* для г = 1,R.

Анализ буферной памяти узла коммутаци 299
Второй этап - поиск оптимального решения, определяющего
минимальный объем буферов, осуществляется перебором по
координатам вектора Nr с учетом ограничения задачи (6.24).
6.4.4 Анализ динамической памяти
с цепочкой буферов
Такая структура буферной памяти наиболее часто используется в
узлах коммутации сообщений и весьма эффективна при
значительном разбросе длин сообщений. Как отмечалось выше, существуют
разновидности такой памяти. В первую очередь различают
структуру с резервированием в момент поступления сообщения цепочки
буферов под известную его длину. Сведения о длине передаются в
начале сообщения, в момент прихода в УК оно может получать
отказ в приеме при отсутствии соответствующего количества
свободных буферов. Другие схемы памяти с цепочками буферов основаны
на формировании цепочек по мере заполнения сообщением
очередного буфера. При этом, как правило, не требуется сведений о длине
сообщения. Известны различные модификации такой памяти.
Допускается частичное резервирование цепочек с учетом известной длины
сообщения. Используется динамическое резервирование части
памяти для уже принимаемых в УК сообщений, например в
зависимости от заполненности памяти или от иных условий [120]. Последнее
позволяет снимать вероятность отсутствия дополнительных буферов
для принимаемых сообщений, но вызывает дополнительные отказы
вновь поступающим сообщениям.
Далее рассматривается сетевая модель памяти с
резервированием буферов под известную длину сообщений. Анализ такой памяти в
контексте многоэтапного процесса буферизации в УК дает
аналитические оценки требуемого объема буферной памяти. Эти оценки во
многих случаях могут быть успешно использованы и для других схем
цепочек буферов. Последнее объясняется тем, что память,
занимаемая принятыми в УК сообщениями, для всех схем цепочек буферов
одинакова.
В рассматриваемом случае УК может быть формально
представлен моделью открытой сети МО с несколькими классами сообщений,
отказами, блокировкой и пуассоновским потоком поступлений
интенсивностью Л. Сообщения класса г (г = 1,К) требуют для ввода
в сеть г свободных приборов обслуживания первого в сети центра
«Память». Этот многолинейный центр состоит из N приборов (N

300 Глава 6. Стохастические модели
буферов каждый объемом Lb)- Очередь в нем отсутствует.
Распределение времени обслуживания сообщений класса г, занимающих г
приборов (г < N), определяется распределением длин сообщений
этого класса и скоростью передачи по каналу связи.
Число классов R определяется наименьшим целым,
удовлетворяющим неравенству R > LmaxjL, где Lmax - максимальная длина
сообщений. Длина сообщений r-го класса Ьв{г — 1) < L < Ьвг имеет
распределение
Fr(L) = F(L)/P,
где F(L) - распределение длин сообщений общего потока
поступлений, Pr = Y1l=l (г-11+i F(L) - вероятность того, что сообщению
требуются г буферов. Интенсивность т*-го потока Af- — I\.ir^ и, очевидно,
Л = 5Zr=i -V- Остальные центры сети сохраняют структуру,
описанную в предыдущем разделе.
Приборы центра «Память», занятые сообщением, после
окончания обслуживания этого сообщения блокируются до завершения
обслуживания сообщения в одном из центров АСК сети. Сообщения
класса г, поступающие в первый центр, могут получать отказ,
если в момент их появления более N — г приборов центра «Память»
заняты обслуживанием или блокированы. Интенсивность входящих
в сеть потоков зависит от числа занятых приборов первого центра
О < С < N:
\r(C) = \rvr(C), r = l,R;
Л(с) = Л£*=1Ргг;г(С),
R о.. /^ (6-25)
где vr(C) = 0 при С > N -г к vr(C) = 1 при С <N - г.
Таким образом, количество сообщений в рассматриваемой сети
МО не превышает N - числа приборов центра «Память».
Многолинейные центры АСК, ТО, состоящие из ./V приборов, эквивалентны
центру «Память». В этих центрах обслуживание прибором
сообщения класса г соответствует захвату г единиц ресурса (г буферов),
ограниченного числом N. Очередь в таких центрах отсутствует, так
что они эквивалентны центрам типа IS и допускают произвольное
распределение времени обслуживания сообщений всех классов.
Обозначим, как и раньше, Pij(r) - вероятность того, что сообщение
класса г (г = 1, R) после окончания обслуживания в г-м центре поступает
в центр j (г, j = 1,М); Poi(r) - вероятность поступления внешнего

Анализ буферной памяти узла коммутаци 301
потока класса г в центр г:
[ У в противном случае.
Состояние сети определяется вектором п = (п]_,П2, ...,nm), где щ =
(пц,Щ2,..., Щг) и щг - количество сообщений класса г в центре г.
Обозначим также через V(n) = {Vi(n),..., VR{n)}, где VR(n) = X^n^,
количество сообщений класса г в состоянии сети п. Допустимое
множество состояний сети
S = I n/nir > 0, г = 1,М, г = Ml, ]Г Vr(n)r < ./V I.
Легко видеть, что условие (6.25) при С = ^2r=iVr(n)r определяет
зависимость потоков, входящих в сеть от ее состояния. Справедливо
следующее утверждение.
Утверждение. Если центры рассматриваемой сети МО
удовлетворяют условиям теоремы ВСМР, то стационарные вероятности сети
имеют мультипликативную форму:
м м
Р(п) - С-^(п) [] = G"1 [J Fi(n,), (6.26)
г=1 г=1
где Zj(ni) - функции, определенные в п. 2.2.1:
R R
Ui = Y,nir< N; d(n) = П A^W;
г=1 г=1
Л(В1)_ ^_п^
а(п») AJr nir
' r=l
и для R < N приборов обслуживания
i \ _ / п*!> ПРИ n« ^ Д,
а[Щ) ~ \ R\Rn*-R при щ > R.
Здесь pir = eirXr/fiir, a ejr, так же как и раньше, однозначно
определяется из системы уравнений
м
ejr = 53 <цгРу(г) + P0i(r), j = М?; г = I^R. (6.27)
г=1

302 Глава 6. Стохастические модели
Для центра г с дисциплиной обслуживания FCFS предполагается,
что цц — /ij2 = ••• = №ir- Нормализующая константа имеет вид
м
neS г=1
Для доказательства (6.26) используем достаточные условия
мультипликативности стационарных вероятностей сетей МО,
сформулированные в разделе 2.3.4. Пусть а = (ai,...,a#) -вектор с
неотрицательными компонентами; п(а) = {п : V(n) = а}; Af = {п G S :
п(а + 1P)S}; Ar = {neD: п(а - 1Г) G S}.
Введем функцию потерь, определяющую условия ввода в сеть
сообщений класса г (г = 1, R),
1, при п(а) G S — Af,
г , , / 1, при п(а) G S -
п v п \ 0, при п(а) G Af
и «триггерную» функцию, определяющую правило ухода из сети
сообщений класса г
Гг[п(а)] = (1' °Рип(а)б5-^-,
r[ v п \ 0, при п(а) G Ai .
Условие мультипликативности имеет вид Тг[п(а)] = 1 тогда и
только тогда, когда i/r[n(G — 1Г)] = 1, для г = 1,R, Vn(a) G S и
Vn(a — lr) G S. Для сетевой модели памяти УК с
резервированием буферов это условие, очевидно, выполняется, что обеспечивает
справедливость (6.26).
Для определения вероятностей (6.26) и связанных с ними
характеристик могут быть использованы вычислительные алгоритмы,
рассмотренные в разделе 3.2 при незначительной их модификации.
Однако проблема размерности, проявляющаяся в быстром росте затрат
памяти и времени счета при рекуррентных вычислениях по
алгоритму свертки, существенно ограничивает применение этого алгоритма.
Ниже с целью определения требуемой буферной памяти УК для
рассмотренной сети МО получены эффективные вычислительные
процедуры, снимающие указанное ограничение для практических
расчетов.
Рассмотрим вероятность того, что в сетевой модели УК С
приборов центра «Память» заняты обслуживанием или блокированы:

Анализ буферной памяти узла коммутаци 303
М
Q(C) = J2 P(n) = G~l Y1 П F^n) =
nesc
neScuM,sc. i=1
= G-
Е
м
Ci+...+CM=C nGScnM Sc *=1
где
Sc=ln J2Vr(n)r = c\ = ln
MR ^j
i=l r=l J
M
= U5^ 5^= n
j=l
R M \\
r=l r=l J /
Обозначим Q(C) = Q(C)/Q(0), где Q(0) = G-1, имеем Q(0) = 1
HG = £f=0Q(C).
Отказ в приеме в буферную память сообщению, требующему г
буферов, соответствует множеству состояний
Sn-г = \ п
£Vr(n)r > ЛГ - г I.
г=1 J
Отсюда вероятность отказа приема сообщений в память из TV
буферов, каждый объемом Lb
Por«(N, LB) = E,=i i EnGSjv_r P(n) =
Ef=i ft ЕД Q(* - i) /££=0 Q(C) •
>лг
(6.28)
Таким образом, вероятность отказа P0TK(N, Lb) при
фиксированном Lb может быть определена последовательным вычислением для
С = 1, N функции Q(C), которая в свою очередь является (М — 1)-
кратной сверткой,
Q{C) - Eci+...+CM=C
\М
Ш1^(п) =
тМ
— z2ci+...+CM=C Пг=1 zZminGSc Fi(ni) ~
(6.29)
Ес1+...+см=с TCi«(C0 = ft(Ci) ® ft(C2)... ® дд7(См).

304 Глава 6. Стохастические модели
Здесь ® - символ свертки векторов
С
ft(Ci) ® 92(<?2) = Е tt(Ci)92(C - СО,
Ci=0
где функции
U(Ci) = Y. F^) = 1i(Ci)/li(°)^ i = M?; Ci = Ojf,
qi(Ci) - маргинальная стационарная вероятность условия
R
Q = Y,nirr (6-30)
r=l
для центра г при nj = Or(j 7^ *)■ Условие (6.30) соответствует
количеству приборов (буферов) центра «Память», связанных с г-м
центром сети МО. Вероятность qiiCi) совпадает с вероятностью условия
(6.30) для изолированного от сети центра г, рассматриваемого при R
входящих пуассоновских потоках с интенсивностями, зависящими от
состояния центра щ(пц, —,Щя,) в виде
, ч _ Г 0, при d > N - г,
г{Щ) \ \reir, при С* < TV-г.
Здесь eir определяется из системы уравнений (6.27). При этом
допустимое множество состояний имеет вид Si — {щ\ Ylr=i п"" — ^}- Из
(6.26) следует, что для изолированного центра г стационарная
вероятность определяется выражением
пг- ТТ Ргг п-1
а{щ) ах щг\
г=1
где нормализующая константа имеет вид
R
Gi = S3 ТйТГл П
"»' TJPir
Стационарная вероятность условия (6.30) для изолированного
центра г
gi(Ci)= Yl ^(ni) = Gr1 Yl F^)>
niG SCi IMG Sc:

Анализ буферной памяти узла коммутаци 305
где SCi = { Щ Е пгг = Ci \ ■
r=l J
Очевидно, Qi(0) = Сг~ ^c=0^(^) — 1 и с учетом выражения для
q~i(Ci)Gi — J2ci=oQi(Ci)- Будем полагать, что q^y) = 0 при у < 0.
Можно показать, что qi(Ci) в центрах типа IS удовлетвлоряет
уравнению
R
Е Pirrqi{Ci - г) = dqiiCi) для Q = (TTJV). (6.31)
г=1
Справедливо следующее утверждение.
Утверждение. Стационарная вероятность qi(Ci) любого
изолированного центра г сетевой модели УК удовлетворяет уравнению
R
J^PirQiiCi -r)= Z~(R/dMd) для d = (ТГЛО, (6.32)
г=1
где Z(R/Ci) - математическое ожидание числа занятых
обслуживающих приборов из R при условии d (6.30).
Доказательство. Обозначим пГ = (пц,... ,щг — 1,... ,Щл).
Уравнения локального баланса для центра г могут быть записаны в
виде
pir^r(ni)Pi(nir) = гг(Я/щ)Рг(щ) для г = (1, R) и \/щ е Sif (6.33)
где
,., (т,\ / Х> при Щг - *'
при щг — 0,
Zr{R/n\) - математическое ожидание количества приборов из R,
занятых обслуживанием сообщений класса г в состоянии щ.
Суммирование (6.33) по г = г, R и по всем щ € Sd(d = h N) дает
Е Е Pir^r(niWi(K) = Yl Е ^^(с^РхЫ.
r-lniGSC/ r-lniGSC/ Яг{ l)
Следовательно,
R
Eftr E P«K>) = Qi(d)Z(R/d). (6.34)
r=i ni eScj,nir фо

306 Глава 6. Стохастические модели
Левая часть (6.34)может быть записана в виде
R R
^2 Pir 5Z Ж11*) = 5Z PiT<k{Ci - г),
r=1 nr.GSCl-r r=1
что и требовалось доказать.
Следствие 1. Для центров типа IS (N приборов) с учетом (6.31)
12^=1 PirQijCi -г)
Z(N/d) = J^= ' * Т Для С> = !> ^> (6-35)
2^г=1 РггЪЧАСг - Г)
где 7г = f/Ci(r < d). Это выражение определяет среднее число
сообщений в г-м центре при фиксированном Cj.
Следствие 2. Для однолинейного центра Z(l/Cj) = 1, что
преобразует (6.32) к виду
я
^ #rft(Ci - г) = ft(СО для d = TTN. (6.36)
r=l
Для многолинейного центра 1 < R < N определение Z(R/Ci)
проблематично. В этом случае возможна аппроксимация Z(R/Ci)
выражением (6.35) с учетом неравенства 1 < Z(R/Ci) < R, что дает
приближенный способ вычисления ft (С):
„(Г\~! £?=1 Р**(С* ' ГУС ПРИ 3N/Ci) ^ Д, ffi ы
1 ZtiPirQi(Ci-r)/R np* Z(N/Ci) > R. { ' '
Для Ci < Д имеем ~Z{Rj_Ci) = ~Z{N/d) £ Я, для С» > ZmR(rm =
min[Cji?]) справедливо Z(R/d) = R = Z(N/Ci). Такая
аппроксимация дает наилучшие приближения для небольших R, что вполне
приемлемо для равнодоступных пучков каналов передачи УК.
Выражения (6.31), (6.36), (6.37) определяют рекурсии для
вычисления ft (СО, что в свою очередь дает возможность определить Q(C)
и, следовательно, вероятность отказа приема сообщений в память
Potk(N,Lb)- Эти рекуррентные вычислительные процедуры
требуют малой памяти и весьма эффективны для практических расчетов
при очень большом числе классов R и количестве буферов N.
Общий объем требуемой памяти
0(N,LB) = NLB + Lz{N),

Анализ буферной памяти узла коммутаци 307
где Lz{N) - нелинейная возрастающая функция затрат памяти на
адресацию для формирования цепочки буферов и организацию
очередей на различных этапах их обслуживания в УК. Во многих
случаях Lz{N) = 2iV[(log2 iV/8)], где [у] - ближайшее целое
число байт, большее или равное у. Минимальный объем памяти О* =
mmO(N,Lb) при допустимой вероятности отказа Р^,к отыскивается
последовательным изменением Lb — l,2,...,Lmax с учетом
монотонности Potk(N,Lb) по переменной N. При этом для
фиксированного Lb определяется минимальное N*, удовлетворяющее неравенству
PD°™ > PotK(N*/Lb).

ГЛАВА 7
Математические модели
исследования алгоритмов
маршрутизации
7.1 Основные понятия и определения
Проблемы маршрутизации присутствуют в сетях любого типа -
как в сетях коммутации пакетов и сообщений (Х.25, Frame Relay),
так и в цифровых сетях коммутации каналов (Digital Leased Lines),
реализованных на основе стандартов PDH/SDH/SONET. Конечно,
конкретная реализация алгоритма маршрутизации существенно
зависит от специфических особенностей сети (например, даже в
пределах класса сетей пакетной коммутации алгоритмы
маршрутизации значительно отличаются при использовании метода дейтаграмм
или метода виртуальных соединений), но в целом для различных
сетей используется достаточно похожий математический аппарат -
алгоритмы кратчайшего пути (Shortest Path) и потоковые
алгоритмы (Multicommodity Flow). Специфика сети проявляется в составе
учитываемых входных параметров и ограничений на выбираемый
маршрут, а также в требованиях на его качество. Достаточно
подробное рассмотрение вопросов маршрутизации в «традиционных»
вычислительных сетях проведено, например, в [6] (применительно к
сетям передачи данных), в [300] (применительно к оптоволоконным
сетям связи SDH/SONET) и т.д. Имеются фундаментальные работы
и по динамической маршрутизации (см., например, [130]).
Классификация алгоритмов маршрутизации для сетей пакетной
коммутации приведена также в [72,88,89,105,120]; для сетей ATM в
разделе 7.5 настоящей главы.

Основные понятия и определения 309
Под алгоритмом маршрутизации понимается правило, в
соответствии с которым в каждом узле сети передачи данных
осуществляется выбор линии связи для передачи блока данных (сообщения или
пакета). Согласно [89], под фиксированной (неразветвленной, одно-
путевой) маршрутизацией будем понимать такую процедуру
выбора маршрутов, при которой для передачи данных от узла-источника
узлу-адресату используется единственный маршрут. Если в
процедуре выбора маршрутов разрешается использовать более одного пути,
то она называется альтернативной разветвленной, многопутевой).
Очевидно, что в общем случае альтернативная маршрутизация
является предпочтительней, чем фиксированная, так как она более
полно использует ресурсы сети передачи данных, однако
фиксированная маршрутизация намного проще для реализации и в ряде
случаев (например, при низкой загрузке сети) при ее использовании
качество функционирования сети может оказаться очень близким к
варианту с реализацией альтернативной маршрутизации. Частным
случаем альтернативной маршрутизации является маршрутизация с
ограничением на число исходящих линий К, используемых для
передачи данных из каждого узла узлу-адресату. Назовем такую
маршрутизацию K-nymeeou. Данная маршрутизация достаточно проста
для реализации (проще, чем полностью альтернативная) и в более
полной мере, чем фиксированная использует ресурсы сети.
На стадии проектирования сети передачи данных и в процессе ее
развития задача выбора алгоритма маршрутизации является одной
из основных. Для этой цели могут быть использованы различные
средства:
- измерения и статистический анализ параметров реальной сети
(в том случае, если сеть передачи данных уже построена и находится
в процессе развития);
- натурное моделирование;
- имитационное моделирование;
- математические оптимизационные модели.
В данной главе в основном описываются математические
модели алгоритмов маршрутизации. В разделе 7.5 приводится пример
использования имитационного моделирования. Применение
математического моделирования при анализе алгоритмов маршрутизации в
сетях передачи данных представляет значительный интерес по
следующим причинам:
- к настоящему времени разработан достаточно полный
математический аппарат, позволяющий использовать его как в «чистом ви-

310 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
де», так и осуществлять необходимую модификацию существующих
моделей, учитывающую специфику конкретной сети;
- использование математических моделей не требуют
значительных ресурсов (вычислительных, временных и т. п.), что позволяет
при необходимости проводить многократный анализ в процессе
разработки и эксплуатации сети;
- математические модели, в отличие от других
вышеперечисленных средств, позволяют делать выводы о тенденциях развития сети
передачи данных, что является чрезвычайно важным при
построении крупномасштабных сетей передачи данных.
7.2 Постановка задачи
Рассмотрим следующую модель сети передачи данных (СПД).
СПД состоит из N узлов коммутации и М линий связи.
Предполагается, что:
1) все линии связи абсолютно надежны;
2) все линии связи помехоустойчивы;
3) узлы коммутации имеют бесконечную память;
4) время обработки в узлах коммутации отсутствует;
5) длины всех сообщений независимы и распределены по
показательному закону со средним значением 1/ц [байт];
6) трафик, поступающий в сеть, состоит из сообщений, имеющих
одинаковый приоритет, и образует пуассоновский поток со средним
значением 7ij [сообщений/сек] для сообщений, возникающих в узле
i и предназначенных узлу j; обозначим:
N N
7 = /_,/_, 7«j — полный внешний трафик; (7.1)
7) каждая линия связи состоит из единственного дуплексного
канала связи с пропускной способностью, равной dki [байт/сек] ( (к, I)
- линия связи между узлами к и Z); если линия связи между узлами
к и / отсутствует, то <1ы= 0.
Обозначим через #jy - долю потока 7у> проходящую по линии
(М):
0 < 4'Л < 1- (7-2)
Тогда:

Постановка задачи 311
*« = EE7«-*SJ). (7-3)
г=1 j=l
где Л^ - величина потока в линии (к, I) [сообщений/сек],
обусловленная потоком 7ij-
Для переменных х^1 должно выполняться условие сохранения
потока в сети, которое записывается следующим образом:
fc=i fc=i
-1, / = г
0, l^i,j (7.4)
1, / = 3-
Определим через Zjj - среднее время, затрачиваемое на
передачу сообщения, которое возникло в узле г и предназначается узлу j
(межконцевая задержка сообщения). Важной характеристикой
качества функционирования сети передачи данных является средняя
задержка сообщения в сети - Т, которая определяется как взвешенная
сумма межконцевых задержек Ъ^:
Т=1'Т,ЛъгЧ- (7-5)
' г=1j=l
Применение формулы Литтла к сети очередей приводит к
общему, и в то же время чрезвычайно простому результату, впервые
полученному Л. Клейнроком:
т = -Ё]Сл*1-**1, (7-6)
^ к=г i=i
где tki - среднее время пребывания сообщений в линии (к,1).
Для получения аналитического вида величины средней
задержки сообщения Т либо можно воспользоваться результатами главы 6
(формула 6.1), либо использовать следующие простые соображения.
Среднее время пребывания сообщений в линии (к, I), состоящее из
времени передачи сообщения — и времени ожидания в очереди
- Wki определяется по формуле:
t= -L +Wkl, (7.7)
где

312 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
w = l ^kl
fj,dki fidki — \ki
tki = -т^г- (7-8)
fidki - \ki
Обозначим: /ы = \ki/n - величина потока в линии (к,I),
выраженная в байтах/сек. Тогда:
A* dkl - Jkl
При подстановке tki в выражение (2.6) получается выражение для
средней задержки сообщений по сети:
NN ,
т = 1ЕЕт\ (7-ю)
Сделанные предположения и обозначения позволяют
сформулировать задачу поиска таких значений переменных хкУ , которые
обеспечат оптимальное (наименьшее) значение величине Т.
Известны:
1) топологическая структура СПД;
2) матрица входных потоков - ||7г?||;
3) пропускные способности линий связи - \\dki\\',
4) средняя длина сообщения - 1//х.
Требуется найти:
1) переменные xklf (см. замечание) и, следовательно, потоки в
линиях связи /итакие, что:
NN ,
Т = -УУ-^— -min (7.11)
при выполнении ограничений:
1 N N
м k=i i=i
fki < dki; k,l =
N N 1
V T{i'j) - V r{i'j) - }
Z^ kl 2-*i Ik ~ \
k=l k=l
k,l =
1,2,..
r -1,
o,
= 1,2,...,N,
-,N,
l = i
1 = 3,
(7.12)
(7.13)
(7.14)

Постановка задачи 313
0<argJ)<l; t,j,fe,/ = l,2,...,N. (7.15)
Данная задача называется задачей выбора оптимальных потоков
и определения оптимальных маршрутов в сети передачи данных по
критерию средней задержки.
Ограничение (7.15) предполагает, что для передачи сообщений из
узла i в узел j может быть использовано более одного маршрута, то
есть задача (7.11-7.15) описывает альтернативную процедуру
выбора маршрутов.
Если условие (7.15) заменить на условие
4'j)e{0,l}; i,j,k,l = l,2,...,N, (7.15a)
то задача (7.11-7.14) совместно с условием (7.15а) будет определять
фиксированную маршрутизацию.
И, наконец, для описания данной задачи для случая К-путевой
маршрутизации будем использовать следующие дополнительные
ограничения.
Введем переменную:
N
если 534lJ)>0
%1 (7-16)
i=l
j,M = l,2,...,N.
Иными словами, переменная v^' = 1, если линия связи (k,l)
используется для передачи потока в узел-адресат j хотя бы от одного
узла-источника и равна 0, в противном случае.
Тогда ограничение на число исходящих линий (К), используемых
для передачи данных из каждого узла к узлу-адресату j можно
записать в следующем виде:
N
Х>*?<*; fc,j = l,2,...,N. (7.17)
i=i
Таким образом, задача (7.11-7.17) описывает К-путевую
маршрутизацию. Заметим, что если положить величину К, равной 1, то
ограничения (7.16) и (7.17) превратятся в ограничение (7.15а), то
есть мы вновь получим постановку задачи для фиксированной
маршрутизации, что совершенно естественно.
4? = <
1,
О,

314 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Замечание. Формальным результатом решения задачи выбора оп-
тимальных потоков в сети является множество переменных хк1 ,
i,j, к, I = 1, 2,..., N. Зная эти переменные, легко определить
величины потоков в линиях связи fki, множество оптимальных маршрутов
для всех пар узлов «источник - адресат» и доли от входящих потоков
7ij, которые нужно передавать по оптимальным маршрутам. Сами
переменные хк1 практического смысла не имеют и многие
существующие алгоритмы решения задачи выбора оптимальных потоков, как
правило, определяют лишь потоки в линиях связи fki- Зная значения
fki, по формуле (7.10) можно определить значение минимальной
задержки Т. Однако, в ряде случаев, необходимо знать, какие именно
маршруты приводят к оптимальному распределению потоков.
Более строго, ставится следующая задача: для каждой пары
узлов «источник (г) - адресат (j)» необходимо определить множество
оптимальных маршрутов Пу = {^Г }, т = l,2,Rjj (Ry -
количество оптимальных маршрутов из узла г в узел j) и доли потоков
(г)
сх\а от входного потока jij, в соответствии с которыми используют-
N
ся маршруты 7Гг^ W,aij = !)• Очевидно, что для фиксированной
маршрутизации Rjj = 1 и а\- = 1, то есть определяется
единственный оптимальный маршрут. Решение данной задачи осуществляется
в рамках соответствующих алгоритмов.
7.3 Алгоритмы решения задачи выбора
оптимальных потоков в сети
7.3.1 Альтернативная маршрутизация
В случае альтернативной маршрутизации задача выбора
оптимальных маршрутов относится к классу многопродуктовых задач
с выпуклой целевой функцией и выпуклым множеством
ограничений. Следовательно, существует единственный локальный минимум
данной задачи, являющийся глобальным минимумом, для
нахождения которого разработано достаточно большое число
вычислительных методов [156,190,209,269].
Наиболее известным методом решения данной задачи является
метод отклонения (девиации) потока, предложенный в работе [190].
Данный алгоритм является частным случаем так называемого
метода Франка-Вольфе [189] для решения более общих задач нели-

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 315
нейного программирования с выпуклым множеством ограничении.
Доказано [190], что метод отклонения потока в пределе уменьшает
значение целевой функции до минимума, хотя по мере приближения
к оптимуму скорость сходимости существенно замедляется.
Алгоритм отклонения потока опирается на следующие два
свойства оптимального решения задачи [190,209].
Свойство 1. Множество многопродуктовых потоков в линиях
связи / является выпуклым многогранником, крайними точками
которого являются так называемые «экстремальные» потоки,
определяемые в соответствии с принципом кратчайших маршрутов. Данный
принцип состоит в том, что в качестве оптимальных маршрутов для
каждой пары узлов «источник (г) - адресат (j)» рассматриваются
кратчайшие маршруты, вычисляемые при произвольном назначении
«весов» линий связи. Каждое такое назначение соответствует
некоторому «экстремальному» потоку и наоборот. В работе [190] показано,
что любой многопродуктовый поток в линиях связи / может быть
представлен, как выпуклая комбинация «экстремальных» потоков.
Свойство 2. Для заданного множества многопродуктовых
потоков в линиях связи / определим «вес» линии связи (к, I) как
частот
ную производную средней задержки по переменной jm, то есть -^—— •
ojkl
Пусть <р - поток по кратчайшим маршрутам, определенным в со-
дТ
ответствии с «весами» ——. Пусть далее, f = /3 ■ ip + (I — /?)•/-
ofkl
выпуклая комбинация (^и/, минимизирующая функцию Т(/3). Если
Т(/)=Т(/), то / - оптимальный поток.
дТ
Справедливость выбора «весов» —— и сходимость алгоритма до-
dfki
казываются нижеследующими рассуждениями.
Пусть: / - оптимальное решение. Это означает, что любое
отклонение от / ведет к увеличению целевой функции Т, т. е. для любого
отклонения / относительно /, такого, что / - допустимый
многопродуктовый поток выполняется неравенство:
Т(/) > Т(/)). (7.18)
Если f = (3 ■ ip + (1 — /3)-/- выпуклая комбинация ри/, где ip
- поток по кратчайшим маршрутам, определенным в соответствии с
некоторыми «весами» wm, то
/ = / + /3-(¥>-/). (7.19)
Рассмотрим разность: Т(/) — Т(/)) = 6Т. Для /3 <С 1 имеем:

316 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
NN „_ N N ™
т(л - т(л)» J2J2(^ - /и)яг = ^EZfa" - Мят-
к=1 1=1 *к1 к=1 1=1 *kl
Тогда, из неравенства (7.18) следует:
NN в
ЕЕ(^-^)яг-°- (7-20)
k=il=i Jkl
Или-
NN ™ NN „
k=ll=l Jlcl k=ll=l Jltl
причем в точке оптимума неравенство (7.21) переходит в равенство.
Таким образом, для того чтобы в результате итераций поток /
приближался к оптимальному решению, необходимо минимизировать ве-
NN дТ
личину /J / ; <Pki Q j. , где ip - поток по кратчайшим маршрутам,
k=i 1=1 ?ы
дТ
определенным в соответствии с «весами» w^i = .
OJkl
Ниже предлагается модифицированная версия алгоритма
отклонения потока.
Описание алгоритма
Шаг 1. Определить «веса» линий связи ш^и инициализировать
потоки в линиях связи fkf-
дТ 1
«*=-< 18А.]'"=°=^ M = 1,2,...,N:4,>0
оо, fc,J = l,2,...,N:dfci = 0;
/fcj:=0; fe,Z = l,2,...,N.
Шаг 2. Используя «веса» линий связи гиы, определить
кратчайшие пути nij между всеми парами узлов «источник - адресат». Для
нахождения кратчайших путей в данном случае наиболее
подходящим является алгоритм Флойда [182].
Шаг 3. Распределить потоки по кратчайшим путям:

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 317
Vi,j = l,2,...,N:
V(fe, I) € itij :
fkl '■= fkl + —•
A»
Шаг 4- Вычислить:
l^tidkl-fkl'
Шаг 5. Положить: 7W := j.
:= min-Гл/.
Pmax
Шаг £. Положить: 7^) := min{7,-^—-}, где: pv
max{^}; V(k,l) : dkl > 0.
Шаг 7. Пересчитать потоки в линиях связи:
7(2)
/fcz := Аг • —щ', к, I = 1,2,..., N.
Шог #. Определить «веса» линий связи wki и инициализировать
потоки по кратчайшим путям (ры:
Wki ■■= <
1г = 7^W; fe, / = 1, 2,..., N : dfc, > 0 и /ы < dfc,
#Лг (dki - fkl У
oo; /с, / = 1, 2,..., N : dki = 0 или fkt > dkt;
(ры:=0; fc,/ = l,2,...,N.
Шаг 9. Используя «веса» линий связи wki, определить
кратчайшие пути 7Tjj между всеми парами узлов «источник - адресат».
Шаг 10. Распределить потоки по кратчайшим путям:
Vi,j = l,2,...,N:
V(fe, 0 € iTij :
7(2)
fkl ■= 4>kl + Ъз - •
А»-7
Шаг 11. Найти величину /3 € [0,1], минимизирующую функцию:
гг/лч _ _L V^ V^ _JL!fkl + С1 - /5) • fkl
W> ~ „(2) 2^ Z^ j,, _
-yWfr'1£'1dki-0-<Pki-(l-l3)f}
kl

318 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
при условии выполнения ограничения (7.13).
Поиск величины (3 можно осуществить любым из известных
методов одномерного поиска, например, методом Фибоначчи.
Ограничение (7.13) легко добавить в реализацию метода одномерного
поиска: если для некоторого значения (3 : (3 ■ ifikl + (1 — (3) ■ fki > dki, то
достаточно положить Т(/3) = оо.
Шаг 12. Выполнить отклонение (девиацию) потока на величину
13:
fkl = (3- <Pkl + (1 - /3) • fki; k,l = 1,2,-,N.
N N
I ■
Шаг 13. Вычислить: Т
1 v-' v2^ fki
fc=ii=i
Шаг Ц. Если |T0id - Tnew| < e, то STOP:
если 7p) < 7, то допустимых решений нет;
если 7(2) — 7) то получено оптимальное решение с заданной
точностью е.
Иначе:
1) положить: Т0и := Tnew; 7(1) := 7(2);
2) если 7 < 7> то перейти к шагу 6; иначе перейти к шагу 8.
По сравнению с исходным описанием [190,209], алгоритм
объединяет в себе шаги построения начального допустимого потока (шаги
1 - 14) и собственно задачи минимизации средней задержки (шаги 8
-14).
Для определения множества оптимальных маршрутов П^ =
{^ij, г = 1,2}, Kij и долей потоков а[,' от входного потока 7у
можно использовать модификацию алгоритма, предложенную в
работе [116].
В заключение остановимся на теоретической трудоемкости
алгоритма. Данная трудоемкость определяется шагами 2 и 9, на
которых производится поиск кратчайших путей между всеми парами
узлов. Для алгоритма Флойда теоретическая трудоемкость составляет
0(N3), следовательно, трудоемкость алгоритма отклонения потока -
0(N3).
7.3.2 Фиксированная (однопутевая) маршрутизация
По сравнению с альтернативной маршрутизацией задача
поиска единственного оптимального пути является гораздо более
сложной. Дело в том, что ограничение (7.15а) является требованием це-

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 319
лочисленности переменных xkl , которое переводит задачу в класс
задач целочисленного нелинейного программирования, идентичных
задаче «о рюкзаке». Известно [194], что такие задачи являются NP-
полными, то есть для их решения не известны алгоритмы с
полиномиальной сложностью. В работах [64, 89, 173] приводятся
эвристические алгоритмы, которые позволяют получить приближенное
решение задачи с небольшими вычислительными затратами. Одним
из основных недостатков эвристических алгоритмов является
невозможность оценки погрешности получаемых решений.
В настоящей работе предлагается подход, который позволяет
получить точную нижнюю оценку задачи. Данный подход строится на
методе релаксации (ослаблении) Лагранжа. Метод состоит в том, что
вместо исходной задачи решается двойственная задача, в которой
некоторые ограничения включаются в функцию Лагранжа с
соответствующими неопределенными множителями (подвергаются лагран-
жеву ослаблению). Практика показывает [101], что для многих задач
целочисленной оптимизации:
- двойственная функция хорошо обусловлена, что позволяет
получить удовлетворительную скорость сходимости;
- скачки двойственности (разности между целочисленным
оптимумом и оптимумом двойственной задачи) очень малы или могут
отсутствовать вовсе.
Таким образом, получение хорошей нижней оценки позволяет:
- оценить качество решений, получаемых эвристическими
алгоритмами (и останавливаться на них, если эти решения будут
откланяться от нижней оценки не более чем на заданную величину);
- строить алгоритмы типа «ветвей и границ», чтобы получать
оптимальные решения или решения с заданной точностью.
Использование метода релаксации Лагранжа для решения задачи
фиксированной маршрутизации впервые было использовано в работе
[194]. Предлагаемый здесь подход использует ослабление меньшего
числа ограничений, что повышает точность решения задачи.
Для использования метода релаксации переформулируем
исходную задачу. Введем следующее обозначение: ры = fkl/dki для всех
к, I = 1,2,... N. Величина pki называется загрузкой линии связи (к, I)
и представляет собой одну из наиболее важных характеристик
качества функционирования сети передачи данных. Из ограничения
(7.13) следует, что pki < 1. Итак:
Требуется найти:
1) Переменные x^f и загрузки линий связи pki такие, что:

320 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
N N
I
т
при выполнении ограничений:
N N
ры = —-Т-ЕХЛ^Й^ M = 1,2,...,N, (7.23)
^ ' ы fc=i l=i
0<№<1; fc,/ = l,2,...,N, (7.24)
E4J)-E4J)- о! l*i,j (7.25)
fc=i fc=i I i I = j
4J)e{0,l}; i,j,fe,Z = i,2,...,N. (7.26)
Заметим, что целевая функция в (7.22) является строго
возрастающей функцией от pki.
Используя этот факт легко доказать, что равенство (7.23) можно
заменить на неравенство
N N
—Г ЕЕ^' xkiJ) ^ №; М = 1,2, ■ • •,N, (7.23а)
^ ' kl k=i 1=1
Теперь исходная задача подготовлена к лагранжеву ослаблению.
Избавимся от ограничений (7.23а), умножив их на неопределенные
множители Лагранжа оы (сг^ < 0; к,1 = 1,2, ...,N) и переходим к
функции Лагранжа:
NN NN 1 N N
LH = ^EE/t;+EE^№-A:EE7.-4J)}-
7 к=11=1 1 РЫ к=11=1 V йы к=11=1
Таким образом, решается следующая задача:
L{a) -* min (7.27)
при выполнении ограничений:
0<№<1; к,1 = 1,2,.
N N J _1>
C4j)-E4j)= о,
:=l fc=l I Х)
..,N,
l = i
1фг,3
1 = 3,
(7.28)
(7.29)

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 321
4Ге{0,1}; i,j,k,l = l,2,...,N, (7.30)
<Tki<0\ i,j,k,l = l,2,...,N. (7.31)
Множество допустимых решений для задачи (7.27) - (7.31)
является подмножеством всех допустимых решений задачи (7.22) - (7.26).
Условия (7.31) и (7.23а) гарантируют, что для любого допустимого
1 N N
решения задачи (7.22) - (7.26) выражение: <Jki{Pki ~г~ /J /J7ij'
^ ' ы к=\ 1=1
x£f } меньше или равно нулю. Таким образом, решение задачи (7.27)
- (7.31) для произвольных значений переменных ощ {он < 0) дает
возможность определить нижнюю оценку задачи (7.22) - (7.26).
Тогда, maxCT<o{L(cr)} также является нижней оценкой задачи (7.22) -
(7.26).
Предположим, что значения переменных оы известны.
Перепишем целевую функцию L(cr) в следующем виде:
Л N N NN л N N
ВД = ;ЕЕт^+ЕЕ«*<*-- ^ЕЕ* •*&»> -
' fc=l 1=1 ны к=1 1=1 ^ Ы t=l 3=1
N N NN NN
= EEi;i^^-«} + EE^EE^-«&°-
fc=l 1=1 ' УЫ к=1 1=1 И Kl i=l j=l
N N 1 N NN N
= ЕЕ<^ — -« >+ЕЕ*ЕЕ^-«&"-
fc=i 1=1 ' ны i=i j=i k=i i=i ^ ы
Данный вид целевой функции позволяет разделить исходную
задачу на две независимые подзадачи.
Подзадача 1.
N N
1 Pkl
при выполнении ограничений:
0<ры<1; к,1 = 1,2,...,N. (7.33)
Подзадача 2.

322 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
i=i j=i fc=i 1=1 р ы
при выполнении ограничении:
N
fc=i
4J)e{0,l}; t,i,fc,Z = l,2,...,N. (7.36)
Подзадача 1 может быть разделена на М независимых подзадач
(по одной на каждую линию связи):
РЫ + °ы ■ Ры -> min (7.37)
7 1 - Ры
при ограничении: 0 < ры < 1. (7.38)
Решение данной подзадачи имеет следующий вид:
ры = ( 1 - л/1/(7-«и), если «хы < -1/7; (? зд)
I 0, в противном случае.
Подзадача 2 может быть разделена на № независимых подзадач
(по одной на каждую пару «источник (г) - адресат (j)»):
EE^tH^n <™)
при выполнении ограничений:
Х>2Л-Х>£Л = | °' l*'>j (7-41)
fc=l fc=l [ h l = j^
^ei0'1}; t,j,M = l,2,...,N. (7.42)
Легко заметить, что задача (7.40) - (7.42) представляет собой
задачу выбора кратчайших маршрутов между заданной парой узлов
(i,j), если в качестве «весов» ребер рассматривать величины —.

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 323
Так как подзадачи (7.40) - (7.42) независимы, то для решения
подзадачи 2 можно использовать алгоритм поиска кратчайших путей
между всеми парами узлов, например, алгоритм Флойда.
Теперь рассмотрим процедуру поиска множителей Лагранжа
(Ты. Функция L(cr) является вогнутой, не всюду дифференцируемой
функцией от a [101]. Для данной функции легко вычислить
субградиент в точке о:
1 N N
mi = Pki-—vJ]J]74'4Jl: M = 1,2,...,N. (7.43)
^ ' kl »=i j=\
Тогда, для поиска минимума функции L(cr) можно использовать
субградиентный алгоритм [112], в соответствии с которым
множители Лагранжа аы вычисляются по следующей итеративной формуле:
Г
r+l _ „r a ^kl
аы = аы ~ 0
ш
Существует несколько методов выбора параметров перемещения
9Г, в частности:
- метод с постоянным шагом - 9r = const;
- метод сходящегося ряда - 9Г = 9о(а)г;
- метод релаксации - 9Т = 5—fcfr — [218], где: Т - оценка опти-
IWkl II
мального решения задачи (7.22) - (7.26) и, следовательно, функции
Цсг); коэффициент релаксации 5 удовлетворяет условию: 0 < 5 < 2.
Аналогично [194] остановимся на методе релаксации, который
состоит из следующих основных шагов.
Шаг 1. Инициализация:
1) Используя любой приближенный алгоритм, найти верхнюю
оценку решения задачи (7.22) - (7.26) - Т.
2) Выбрать начальные значения множителей Лагранжа -
а°ы; M = 1,2,...,N.
3) Установить:
г := 0 (г — номер итерации);
р := 0 (р — счетчик «безрезультатных» итераций);
S :— 2 (коэффициент релаксации);
£opt ._ q (текущее значение оптимального решения).
Шаг 2. Решение задачи Лагранжа:

324 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Используя значения arkl решить подзадачи 1 и 2. В результате
решения будут получены: L(cr^), рш и x]f>; i,j, к, I = 1,2,... , N.
Шаг 3. Оценка полученного решения и проверка условий
прекращения поиска:
1) Если L(cr^) > hopt, то положить:
a) L* := ЦоЫ;
b) ali := аы (множители Лагранжа, соответствующие текущему
оптимальному решению); к, I = 1, 2,... , N;
с)р:=0.
2) Если x^i являются допустимыми решениями задачи (7.22) -
(7.26), то вычислить среднее значение задержки сообщения Т, соот-
(i i) —
ветствующее переменным хк1 и, если, Т < Т, то запомнить данную
величину в качестве оптимального решения: Т := Т.
3) Положить р := р + 1. Если р > заданного значения ртах, то:
a) S := 5/2;
Ъ)<^:=*ы; M = 1,2,...,N;
c) р := 0;
d) г := г +1;
e) перейти к шагу 2.
4) Если г > заданного значения гтах, или 5 < бтах, или |Т —
I/4>*|/Lop* < заданной погрешности вычислений е, то STOP: найдено
оптимальное решение.
Шаг 4. Вычисление множителей Лагранжа:
1) Вычисляется новое значение субградиента:
1 N N
Vkl = Pkl ~ —r- Y1Ц lii ■ 4lJ); k,l = 1,2,...,N.
V ' аы г=1j=i
2) Вычисляется параметр перемещения 9Г:
^ = S~ II г ||
3) Вычисляются новые множители Лагранжа:
_г+1 _ _г д ^Ы
4) г := г +1.
5) Переход к шагу 2.
Как уже отмечалось выше, получение точной нижней оценки для
задачи поиска единственного оптимального пути представляет собой

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 325
очень важную задачу, однако, в общем случае решение данной
задачи может не удовлетворять требуемым ограничениям. В тех случаях,
когда в результате решения задачи необходимо получить
оптимальные пути между каждой парой узлов «источник - адресат». Для этой
цели необходимо использовать приближенные методы, один из
которых описывается ниже. Заметим также, что решение, полученное с
помощью данного алгоритма, может быть использовано на шаге 1
предыдущего алгоритма.
Шаг 1. Инициализация:
1) Упорядочить множество пар «источник (г) - адресат (j)» по
убыванию величин 7у- Полученное множество пар обозначим через
2) Положить fki :— 0; k, I = 1,2,..., N.
Шаг 2. Поиск допустимого решения:
1) Для V пары «источник (г) - адресат (j)» б fi^1) выполнить
следующие действия:
a) найти «наименее загруженный» маршрут 7if- (под
загрузкой маршрута 7Гу понимается величина max(fc^e7r. {ры}', если таких
маршрутов несколько, выбрать среди них маршрут с наименьшим
числом промежуточных узлов;
b) распределить потоки по выбранному маршруту:
V(M)e7r9.: fki-=fki + ^,
ц
если 3(к, I) : fki > d^ то STOP (допустимого решения не
существует).
2) Вычислить задержки Ъц между каждой парой узлов
«источник (г) - адресат {j)>.
Шаг 3. Поиск «оптимального» решения:
1) Упорядочить множество пар «источник (г) - адресат (j)» по
убыванию величин jijZij. Полученное множество пар обозначим
через VL2.
2) Для V пары «источник (г) - адресат (j)» Е Л2 выполнить
следующие действия:
\ u OT>t
a) найти маршрут 7Г-■ , такой, что отклонение всего потока 7ij на
этот маршрут приведет к максимальному уменьшению величины Z,j
(алгоритм определения такого маршрута будет описан ниже);
b) распределить потоки по выбранному маршруту:
V(M)6*-f : /«:=/«+ 2*.
ц

326 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
3) Вычислить: Т := — YJ YJ
N N j.
Jkl
l~{~T{dkl- Ski
Остановимся подробнее на следующих шагах приближенного
алгоритма: определение «наименее загруженного» маршрута (шаг 2.1а)
и определение «оптимального» маршрута (шаг 3.2а).
«Наименее загруженный» маршрут можно найти с помощью
модификации алгоритма Дейкстры [177].
Для определения «оптимального» маршрута можно использовать
следующий простой алгоритм (напомним, что определение такого
маршрута выполняется для заданной пары узлов (i,j)).
Шаг 1. Удалить поток 7ij из «наименее загруженного» маршрута
7if- (предполагается, что все маршруты 7if- были сохранены):
V(M)e*£: Ski:=Skl + Jji-
ц
Шаг 2. Добавить поток 7ij во все линии связи (к, I):
Skl-Skl + Щ M = 1,2,...,N : dkl>0.
Шаг 3. Вычислить «веса» линий связи (к,1):
если /ы < (1Ы, положить: гиы := ~idklifkl,
иначе: w^i := оо.
Шаг 4- Используя «веса» и>ы определить кратчайший путь между
парой узлов (i,j) - тт°? ■ Для этой цели вновь можно использовать
алгоритм Дейкстры.
Шаг 5. Удалить поток 7ij из всех линии связи (к, I):
Skl^Skl+Щ M = 1,2,...,N : dkl > 0.
А*
Шаг 6. Конец работы алгоритма.
Теоретическая сложность приближенного алгоритма
определяется шагами 2.1а и 3.2а и составляет 0(N ).
7.3.3 К-путевая маршрутизация
При решении данной задачи будем предполагать, что
ограничение на число исходящих линий - К больше 1, т. к. случай К = 1
рассматривался в разделе 7.3.2. При К > 1 задача (7.11) - (7.17)
избавляется от целочисленности переменных xfyJ , что делает ее более

Алгоритмы выбора оптимальных потоков 327
простой, чем задача фиксированной маршрутизации. Однако
наличие дополнительного ограничения несколько усложняет данную
задачу по сравнению со случаем альтернативной маршрутизации.
Для решения задачи (7.11) - (7.17) предлагается алгоритм,
являющийся модификацией алгоритма отклонения потока. Модификация
заключается в том, что отклонение потока выполняется не для всех
пар «источник-адресат» одновременно, а для каждой пары отдельно.
Похожие идеи использованы в работе [82] при описании алгоритма
решения задачи альтернативной маршрутизации.
Описание алгоритма
Шаг 1. Определить «веса» линий связи и>ы и инициализировать
потоки в линиях связи Д/:
дТ 1
J [о7-]/ы=о =-г? M = l,2,...,N:dw>0
Wkl := { 5/fc/ dkl
oo, M = l,2,...,N:dw = 0;
/fc/:=0; M = 1,2,...,N.
Шаг 2. Положить:
Пу := 0 (Hij - множество оптимальных маршрутов между парой
узлов (i,j)), i,j = 1,2,...,N;
v$:=0; i,j = l,2,...,N.
Шаг 3. Используя «веса» линий связи wm, определить
кратчайшие пути 7г„- между всеми парами узлов «источник - адресат».
Включить кратчайшие пути 7Г„- в множества П^:
тг&^Пу; t,j = l,2,...,N.
Шаг 4- Распределить потоки по кратчайшим путям: V i,j =
l,2,...,N:V(M)e7rP.;
1) fkl '■= fkl-\ J
м
2) если i/g> = 0, то i/g> = 1.
1 N N fkl
Шаг 5. Вычислить: ТоЫ := - £ £ rf "/•
' fc=i /=i fe/ ,/fe
Шаг б. Положить: 7W := у.

328 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
m 7(1)
Шаг 7. Положить: 7 := min{7, }, где: ртах —
Ртах
max{^}; V(fc,/) : dkl > 0.
dkl
Шаг 8. Пересчитать потоки в линиях связи:
/ы ■=/ы ■ ^; к,1 = 1,2,...,N.
Шаг 9. Вычислить задержки Zy между каждой парой узлов
«источник (г) - адресат (?')».
Шаг 10. Отсортировать множество пар узлов (i,j) в порядке
убывания величин 7tjZjj. Полученное множество пар обозначим через Q,.
Шаг 11. Выбрать очередную пару узлов (го, Jo) G ^- Если все
пары рассмотрены, то STOP:
если 7^ < I-, т0 допустимых решений нет;
если 7^ = 7, т0 получено оптимальное решение с заданной
точностью е.
Шаг 12. Для выбранной пары узлов (го, jo) инициализировать
потоки по кратчайшим путям ipki:
1)т--=1ы; M = i,2,...,N;
7(2)
2) У(к,1) € 7Гад0 : 7Гад0 G Uiojo : <pkl := tpkl - 7i0jo * -—■
\х ■ 7
Шаг 13. Определить «веса» линий связи wkf.
ЭТ dkl k,l = l,2,...,N:dkl>0nfkl<dkl
Wkl ■--
dfki {dkl - fki)2'
oo; k, I = 1,2,..., N : dki = 0 или fkl > dki.
Шаг Ц- Используя «веса» линий связи wki, определить
кратчайший путь 7ifw-0 для пары узлов (г0, j'o).
Шаг 15. Проверить ограничение (7.17):
l)V(M)€<jo:
a)^0):=4J0);
b) если т]{к]о) = 0, то т]{к]о) = 1.
2) VA; : (к, 1) 6 7ifOJ-0 определить:
а)« = Х>2о);
1=1
Ь) если к > К (условие (7.17) нарушено), то перейти к шагу 11.
Шаг 16. Распределить поток 7адо по кратчайшему пути 7Tj0j0:

Примеры анализа алгоритмов 329
V(M)e<,0:
fki ■= 4>kl+li0Jo •
Шаг i7. Найти величину /3 6 [0,1], минимизирующую функцию:
т(я)= l W Pm,Pki + O--0)-fki
7® tit^dki-P-w-(i-P)-fki
при условии выполнения ограничения (7.13)
Шаг 18. Выполнить отклонение потока на величину /3:
fki = P- m + (i -0) ■ fki; к,i = i,2,...,n.
i N N fki
Шаг 19. Вычислить: Tnew := —7^- у > —.
7<a> tiUdM-fki
Шаг 20. Если |T0id — Tnew| < s, то перейти к шагу 11 (значение
целевой функции улучшить не удалось).
Иначе:
1) включить кратчайший путь 7Г° -о в множество IIj0j0:
2)V(fc,0e<,.o: »™:=t,}»\
3) положить: ТоЫ := Tnew; 7(1) := 7(2)-
4) если 7 < 7) т0 перейти к шагу 7; иначе перейти к шагу 9.
7.4 Примеры анализа алгоритмов
маршрутизации в сетях передачи
данных
Предложенные выше математические модели были
использованы для анализа двух ведомственных сетей передачи данных,
являющихся основой систем продажи и бронирования железнодорожных
и авиационных билетов - «Экспресс» и «Сирена».
7.4.1 Анализ различных вариантов алгоритмов
маршрутизации для СПД «Экспресс»
Сеть передачи данных «Экспресс» состоит из 30 узлов
коммутации и 76 линий связи. В таблице 7.1 приведен перечень городов -

330 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
мест размещения узлов коммутации сети, таблица 7.2 описывает
топологическую структуру СПД и характеристики линий связи между
узлами коммутации.
Таблица 7.1. Перечень мест размещения узлов коммутации СПД
«Экспресс»
№ п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Города
Москва
Санкт-Петербург
Киев
Кишинев
Екатеринбург
Харьков
Одесса
Самара
Симферополь
Ростов
Минск
Н.Новгород
Ташкент
Челябинск
Новосибирск
№ п/п
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
Города
Иркутск
Рига
Львов
Ярославль
Саратов
Донецк
Красноярск
Алма-Ата
Актюбинск
Акмола
Воронеж
Калининград
Хабаровск
Киев-2
Чита
Сообщения, поступающие в СПД «Экспресс», подразделяются на
два класса: диалоговые сообщения и архивные сообщения, причем
диалоговые сообщения имеют относительный приоритет (приоритет
без прерывания обслуживания) по отношению к архивным. Средняя
длина диалоговых сообщений составляет 167 байтов, средняя длина
архивных сообщений - 1524 байта. В результате измерений на
реальной сети были определены матрицы входных потоков для каждого
класса.
Первоначально в СПД «Экспресс» использовался алгоритм с од-
нопутевой стратегией маршрутизации. В процессе развития системы
«Экспресс» требования к надежности и пропускной способности сети
передачи данных резко повысились, что было связано как со
значительным увеличением узлов и ребер сети (от 3-х узловой сети в 1988
г. до сети из 30 узлов в настоящее время), так и с внедрением новых
технологий организации продажи билетов и управления
пассажирскими перевозками. Одним из недостатков используемого
алгоритма являлось отсутствие расщепления трафика между несколькими

Примеры анализа алгоритмов 331
Таблица 7.2. Топологическая структура и характеристики каналов
связи СПД «Экспресс»
№
п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
Линия связи
Москва
— Санкт-Петербург
- Киев
- Кишинев
- Екатеринбург
- Харьков
- Самара
- Симферополь
- Ростов
- Минск
- Н.Новгород
- Челябинск
- Иркутск
- Ярославль
- Донецк
- Воронеж
- Калининград
- Хабаровск
- Киев-2
Санкт-Петербург
- Киев
- Екатеринбург
- Н.Новгород
- Рига
- Ярославль
- Киев-2
Киев
- Кишинев
- Одесса
- Минск
- Львов
- Кнев-2
Кишинев
- Одесса
Екатеринбург
- Н.Новгород
- Челябинск
- Новосибирск
- Красноярск
- Акмола
Харьков
- Одесса
- Симферополь
- Ростов
ПрОПуСК
иая


собность
ЛИНИИ
СВЯЗИ
(бит/сек
9600
2400
2400
9600
2400
9600
9600
8400
9600
9600
4800
9600
2400
2400
9600
9600
2400
9600
2400
9600
9600
2400
1200
7200
1200
1200
2400
2400
7200
1200
7200
19200
1200
2400
1200
1200
1200
1200
- Число

каналов
СВЯЗИ
)
4
1
1
2
2
2
1
3
2
2
1
1
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
2
4
1
1
1
1
4
1
2
2
№
п/п
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
Линия связи
Харьков
- Донецк
- Воронеж
- Киев-2
Одесса
- Симферополь
— Львов
- Киев-2
Самара
- Н.Новгород
- Челябинск
- Саратов
— Воронеж
Симферополь
- Донецк
- Киев-2
Ростов
- Н.Новгород
— Саратов
- Донецк
— Воронеж
Минск
— Рига
- Калининград
Н.Новгород
- Ярославль
Ташкент
- Алма-Ата
- Актюбинск
Челябинск
- Новосибирск
- Алма-Ата
- Актюбинск
— Акмола
НОВОСибирСК
- Иркутск
- Красноярск
— Алма-Ата
Иркутск
- Красноярск
- Хабаровск
- Чнта
Рига
- Калининград
Львов
- Киев-2
Саратов
— Актюбинск
- Воронеж
Алма-Ата — Акмола
Хабаровск - Чита
Пропуск
ная


собность
линии
СВЯЗИ
(бнт/сек
1200
1200
2400
1200
1200
1200
8400
7200
1200
2400
1200
9600
4800
1200
2400
9600
2400
9600
1200
1200
1200
2400
4800
2400
2400
1200
2400
1200
2400
1200
9600
1200
2400
1200
1200
1200
1200
Число

каналов
связи
1
1
1
1
1
1
2
2
4
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1

332 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
маршрутами и, как следствие, неравномерность распределения
трафика между линиями связи. В связи с этим возникла необходимость
разработки алгоритма, позволяющего более эффективно
использовать ресурсы сети передачи данных и тем самым увеличить ее
пропускную способность.
Одним из вариантов такого алгоритма является алгоритм К -
путевой (К=2) маршрутизации, в котором устанавливаются два
направления передачи к одному и тому же узлу, используемые
попеременно.
Для того, чтобы оценить целесообразность разработки и
внедрения алгоритма 2-х путевой маршрутизации было организовано
сравнение следующих методов маршрутизации:
- однопутевой;
- К - путевой (К=2);
- альтернативной.
Модель альтернативной маршрутизации использовалась для
поиска оптимального решения, позволяющего определить «идеальные»
характеристики СПД.
Сравнение методов маршрутизации проводилось двумя
способами.
Во-первых, были проведены расчеты на реальных исходных
данных.
Результаты расчетов содержат следующую информацию:
1) среднее время реакции диалоговых сообщений по сети:
- для альтернативной маршрутизации - 8.45 сек;
- для 2-х путевой маршрутизации - 8.49 сек;
- для фиксированной (однопутевой) маршрутизации - 8.50 сек;
2) максимальное время реакции среди всех пар узлов
коммутации:
- для альтернативной маршрутизации - 39.73 сек;
- для 2-х путевой маршрутизации - 41.88 сек;
- для фиксированной (однопутевой) маршрутизации - 42.59 сек;
3) средняя загрузка в линиях связи:
- для альтернативной маршрутизации - 0.12;
- для 2-х путевой маршрутизации - 0.12;
- для фиксированной (однопутевой) маршрутизации - 0.12;
4) максимальная загрузка в линиях связи:
- для альтернативной маршрутизации - 0.51;
- для 2-х путевой маршрутизации - 0.51;
- для фиксированной (однопутевой) маршрутизации - 0.54.

Примеры анализа алгоритмов 333
Анализ полученных результатов показал преимущество 2-х
путевой маршрутизации по сравнению с фиксированной, и
альтернативной маршрутизации по сравнению с остальными. Однако, значения
основных характеристик отличаются незначительно, что
объясняется низкой нагрузкой на сеть (средняя загрузка в линиях связи
составляет 0.12).
Для более полного исследования были проведены численные
эксперименты, при которых элементы матриц входных потоков
одновременно умножались на одну и ту же величину - нагрузку на сеть
(начальное значение этой величины принимается равным 1). В
результате экспериментов были построены функциональные зависимости
средней задержки сообщений по сети от величины нагрузки.
Графики данных зависимостей приведены на рис. 4.1. Результаты
экспериментов показывают, что перегрузка сети наступает при увеличении
нагрузки на сеть:
- для фиксированной маршрутизации - в 1.7 раза;
- для 2-х путевой маршрутизации - в 2.6 раза;
- для альтернативной маршрутизации - в 3.1 раза.
Таким образом, 2-х путевая маршрутизация допускает
значительно большую нагрузку на сеть, чем фиксированная (однопутевая), и
в тоже время, характеристики СПД для 2-х путевой маршрутизации
очень близки к случаю альтернативной маршрутизации
(фактически, при увеличении нагрузки до 2.5 раз), то есть 2-х путевая
маршрутизация достаточно близка к идеальной (оптимальной)
маршрутизации.
Проведенный анализ с использованием математических моделей,
а также результаты измерений на реальной сети, позволили сделать
вывод о целесообразности реализации алгоритма 2-х путевой
маршрутизации.
7.4.2 Анализ развития СПД «Сирена»
Сеть передачи данных «Сирена» является основой для
распределенного взаимодействия центров систем «Сирена-2.3», «Сирена-
2000» и «Сирена-3», осуществляющих продажу и бронирование
авиабилетов.
В настоящее время сеть передачи данных «Сирена» состоит из
42 магистральных и 34 региональных узлов, размещенных на
территории России и других государств СНГ. В таблице 7.3 приведен
перечень городов - мест размещения узлов коммутации СПД, в та-

334 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Таблица 7.3. Перечень мест размещения узлов коммутации СПД
«Сирена»
№п/п
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
Города
Москва (6 УК)
Санкт-Петербург
Киев
Екатеринбург
Самара
Симферополь
Ростов (2 УК)
Минск
Ташкент
Челябинск
Новосибирск (2 УК)
Иркутск
Львов
Донецк
Красноярск (2 УК)
Алма-Ата
№ п/п
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
Города
Хабаровск (2 УК)
Краснодар
Сочи
Тюмень (3 УК)
Волгоград
Казань
Мурманск
Братск
Якутск
Владивосток
Бишкек
Минеральные Воды
Уфа
Архангельск
Петропавловск - К.

Примеры анализа алгоритмов 335
блице 7.4 - топологическая структура СПД и характеристики линий
связи между узлами коммутации.
В течение длительного периода своего развития (с 1981 г. по
настоящее время) сеть «Сирена» претерпела значительные изменения.
Для оценки тенденций развития СПД «Сирена» были проведены
численные эксперименты, в которых осуществлялось сравнение
среднего времени доставки по сети для текущего состояния СПД и
состояния на 1989 год.
В качестве математической модели СПД была использована
оптимизационная модель, в которой решалась задача выбора
оптимальных маршрутов передачи пакетов по сети и распределения потоков
с альтернативной (разветвленной) стратегией маршрутизации.
В результате экспериментов были построены функциональные
зависимости средней задержки сообщений по сети от величины
нагрузки.
Результаты экспериментов показывают, что:
1) средняя задержка сообщений уменьшилась по сравнению с
вариантом 1989 г. (3.83 с - в 1989 г.; 1.97 с - в 2001 г.);
2) перегрузка сети наступает при двухкратном увеличении
нагрузки на сеть для обоих вариантов.
Значительное снижение средней задержки объясняется
увеличением пропускной способности каналов связи: в 1989 г.
использовались, в основном, каналы с пропускной способностью 1200 - 2400
бит/сек, тогда, как в настоящее время используются каналы с
пропускной способностью 9.6 Кбит/сек и выше.
В то же время, использование новых технологий продажи и
бронирования билетов в системах «Сирена-2000», «Сирена-2.3» и
«Сирена-3» привело к значительному увеличению потоков в линиях
связи, чем объясняется относительно невысокие возможности
существующей СПД «Сирена» при повышении нагрузки на сеть.
Таким образом, при увеличении объема продаж авиабилетов и
внедрении новых технологических функций, которые приведут к
росту информационных потоков, необходимо дальнейшая
модернизация сети передачи данных «Сирена» с целью повышения пропускных
способностей каналов связи.

336 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Таблица 7.4. Топологическая структура и характеристики каналов
связи СПД «Сирена»
№
п/г
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Линия связи
Москва
- Санкт-Петербург
- Киев
— Екатеринбург
- Самара
- Симферополь
- Ростов
- Минск
- Ташкент
- Новосибирск
- ИркуТСК
- Донецк
— Красноярск
- Алма-Ата
- Хабаровск
- Краснодар
- Сочи
- Тюмень
- Волгоград
- Казань
— Братск
— Якутск
- Бишкек
- Минеральные Воды
- Уфа
- Петропавловск-
Камчатский.

Пропускная
Способность
линии
связи
(бит/сек
32К+9600
9600
19200+9600
19200
9600
64К+9600
19200+9600
9600
9600
19200+9600
9600
9600
9600
64К+19200
9600
9600
9600
9600
64К+19200
9600
19200+9600
9600
19200+9600
9600
9600
Число


налов

связи
2
2
2
1
2
2
2
1
4
2
1
3
1
2
1
1
4
1
2
1
2
1
2
1
1
№
п/г
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
36
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
Линия связи
Санкт-Петербург
- Ростов
- Новосибирск
- Мурманск
- Архангельск
Киев
— ЛЬВОВ
- Донецк
Екатеринбург
- Самара
- Челябинск
- Уфа
Ростов
— Ташкент
- Новосибирск
- Красноярск
- Краснодар
— Тюмень
- Волгоград
- Якутск
- Мии. Воды
ИркуТСК
- Братск
Алма-Ата
- Бишкек
Хабаровск
- Владивосток
Хабаровск -
Петропавловск-К.
Волгоград
- Уфа
Владнвосток-
Петропавловск-К.

Пропускная

способность
ЛИНИИ
связи
(бит/сек
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
96 00
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
9600
Число


налов

СВЯЗИ
1

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 337
7.5 Динамическая маршрутизация
в ATM сетях
7.5.1 Характерные особенности ATM сетей
Описанию различных аспектов ATM сетей посвящено
значительное количество книг, обзоров и специальных статей (в качестве
русскоязычного источника можно указать [106]). Применительно к ATM
сетям систематическое изложение вопросов маршрутизации до
настоящего времени отсутствовало.
С позиций маршрутизации ATM сеть может быть рассмотрена
как типичная сеть коммутации пакетов с предварительной
установкой виртуального соединения для каждой вновь поступившей
заявки. Таким образом, в отличие от классических сетей коммутации
каналов ATM сети позволяют эффективно использовать ресурсы
сети. С другой стороны, ATM сети характеризуются и существенными
отличиями от классических сетей коммутации пакетов. Следуя [17]
кратко рассмотрим особенности ATM сетей, определяющие
специфику используемых в них алгоритмов маршрутизации.
1. Ориентация на соединение. ATM сеть поддерживает
соединения виртуальных каналов (Virtual Channel Connection - VCC) и
соединения виртуальных путей (Virtual Path Connection - VPC).
Между реальными пользователями ATM сети создается VCC. В процессе
прохождения маршрута от источника до адресата некоторые VCC,
имеющие общую часть маршрута, объединяются на этой части
маршрута в общее VPC. Для коммутации ячеек в узлах сети
используются как идентификаторы виртуальных путей (Virtual Path Identifier -
VPI), так и идентификаторы виртуальных каналов (Virtual Channel
Identifier - VCI). Введенная в ATM сетях концепция виртуальных
путей позволяет резко уменьшить размер таблиц коммутации в
промежуточных узлах, т.к. идентифиткаторы VCI в них не меняются.
Фактически линия передачи ATM сети включает в себя несколько
виртуальных путей, каждый из которых , в свою очередь, включает
несколько виртуальных каналов. Таким образом, в процессе
маршрутизации заявок на установку виртуального соединения маршрут
для VCC прокладывается только между коммутаторами
«виртуальных каналов - виртуальных путей» (VC/VP-Switch) , а маршрут для
VPC прокладывается и между коммутаторами виртуальных путей
(VP-Switch) [106,225].

338 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
2. Возможность передачи по одной и той же сети информации
различных типов - как видео и звука, для передачи которых ранее
использовались классические сети коммутации каналов, так и
данных, для передачи которых использовались сети коммутации
пакетов. Такая возможность обеспечивается за счет введения фазы
установки виртуального соединения, во время которой алгоритм
контроля доступа соединения в сеть (Connection Admission Control - САС)
в каждом узле выбранного маршрута проверяет наличие
необходимых ресурсов (пропускной способности тракта передачи и входных-
выходных буферов) для удовлетворения требований поступившей
заявки по качеству обслуживания.
3. Введение различных категорий обслуживания. ATM Forum
поддерживает следующие категории обслуживания [132] - CBR
(Constant Bit Rate - постоянная скорость передачи ), rt-VBR (real time
Variable Bit Rate - переменная скорость передачи для информации
реального времени ), nrt-VBR (поп-real time Variable Bit Rate -
переменная скорость передачи для информации, не критичной к времени
передачи), ABR (Available Bit Rate - доступная скорость передачи),
GFR (Guarantied Frame Rate - гарантированная скорость передачи
кадра), UBR (Unspecified Bit Rate - негарантированная скорость
передачи). Управление ресурсами в ATM сети происходит в
определенной мере независимо для различных категорий обслуживания.
Состав входных параметров заявки (как параметров трафика, так и
требований к качеству обслуживания) также является разным для
различных категорий обслуживания. В связи с этим, в целях
упрощения изложения материала, далее рассматриваются только первые
три категории обслуживания.
4. Введение в параметры заявки, наряду с требованиями к
трафику, требований к качеству обслуживания (Quality of Service - QoS).
Применительно к заявкам категории nrt-VBR этим параметром
является только CLR (Cell Loss Ratio - вероятность потери ячейки),
для заявок категории CBR и rt-VBR к нему добавляются также
параметры MaxCTD (Maximum Cell Transfer Delay - максимальное время
передачи) и End-to-EndCDV (End-to-End Cell Delay Variation -
максимальный разброс в времени передачи) [132,226].

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 339
7.5.2 Основные понятия маршрутизации
для ATM сетей
Термин «маршрутизация» (Routing) имеет неоднозначное
толкование, под ним понимают: «Подсистему маршрутизации», «Протокол
маршрутизации», «Вычисление маршрута».
«Подсистема маршрутизации» (Routing Sub-System), в функции
которой входит определение значений QoS параметров и параметров
трафика устанавливаемой VPC исходя из количества и параметров
составляющих ее VCC, определение допустимых значений QoS
параметров устанавливаемого соединения в разрезе отдельной
(текущей, промежуточной) сети исходя из требований от начала до конца
(end-to-end) соединения, согласование и корректировка параметров
поступившей заявки между ее инициатором и администрацией сети,
определение допустимого времени на установку соединения и т.д.
«Протокол маршрутизации» (Routing Protocol), в функции
которого входит обеспечение обмена информации, необходимой для
вычисления маршрутов (например, распространение текущих значений
параметров отдельных линий сети - Link State Parameters).
«Вычисление маршрута» (Routing Calculation), в функции
которого входит выбор искомого маршрута на основе применения
некоторого математического алгоритма.
Вопросы первого и второго пунктов остаются вне поля зрения
данной книги (отметим, что по ним также имеется весьма
обширная литература, в качестве исходных материалов можно указать
[133,226-228]), в ней рассматриваются только проблемы
непосредственно выбора маршрута. Выбор маршрута определяет путь, по
которому должно быть установлено новое соединение между заданным
источником и адресатом. Набор маршрутов, которые могут быть
назначены новому соединению, зависит от множества факторов, таких,
как параметры трафика и требования к качеству обслуживания
поступающей заявки, параметры состояния сети, стратегия
управления сетью и т.д. Один и тот же маршрут может быть
удовлетворительным для одного класса соединений и неудовлетворительным
для другого класса в аспекте такого параметра качества
обслуживания (QoS параметра), как, например, MaxCTD. Наконец,
правильный выбор маршрута существенно влияет на основные
характеристики функционирования всей сети в целом. Итак, под процессом
МАРШРУТИЗАЦИЯ мы будем понимать поиск пути (маршрута)
для поступающей заявки, который:

340 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
— удовлетворяет топологическим ограничениям на возможные
пути между заданными источником и адресатом;
— удовлетворяет требованиям заявки по трафику и QoS
параметрам;
— оптимизирует показатели эффективности сети.
Сеть связи может быть представлена направленным графом G —
(N, Е), где N - множество узлов сети, а Е - множество соединяющих
их линий. В классической постановке (см., например, [6]) задача
оптимальной маршрутизации формируется следующим образом:
min^T Dij(Fij)
(iJ)
при выполнении ограничений на набор всех потоков
{xp\w 6 W,p 6 Pw} по выбранным маршрутам р
2~] хр = rw для всех w Е \¥и хр > 0 для всехр G Pw,
pePw
где:
W - множество всех возможных пар «отправитель-адресат»
Pw - множество всех путей, соединяющих узлы отправителя и
адресата пары w,
хр - поток (трафик) по пути р.
rw требования к трафику со стороны пары w .
Fij суммарный поток проходящим по линии ejj, Fij = ^2xp
(суммирование производится по всем маршрутам р, проходящим по линии
Ф,3) )■
Dij(Fij) - некоторая стоимостная функция, связанная с линией
e(e,i).
Применительно к ATM сетям данная модель непосредственно
может использоваться лишь на стадии инженерного проектирования
сети (выбора пропускных способностей отдельных линий,
целесообразных точек начала и окончания отдельных виртуальных
соединений и т.п.). В процессе маршрутизации поступающих заявок эта
модель в прямом своем виде непригодна, т.к. не учитывает характерные
особенности ATM сетей - наличие ограничений по QoS параметрам,
необходимость учета не одного, а одновременно нескольких
параметров трафика и т.д. Более подробно эти вопросы рассматриваются в
разделе 7.5.5.

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 341
В ATM сетях с каждой линией сети связан набор
характеризующих ее параметров т(е). Параметр линии называется
метрикой, если для выбранного маршрута Р интегральный (end-to-end)
его показатель вычисляется по формуле т(Р) — Yl 'fi(e). Пара-
метр линии называется атрибутом, если интегральный показатель
маршрута вычисляется по формуле т(Р) = min{m(e)/e € Р} или
т(Р) = max{m(e)/e € Р} . В качестве метрик линий можно
указать параметры MaxCTD, CDV, а в качестве атрибутов - CLR,
AvCR (Available Cell Rate - доступная часть пропускной
способности линии). Пусть также задана некоторая стоимостная
функция COST(P[l],... ,P[k]), позволяющая определять эффективность
функционирования сети в зависимости от выбранных маршрутов.
Тогда задача оптимальной маршрутизации в математическом виде
формально может быть сформулирована следующим образом -
mmCOST(P[l],...,P[k})
при условии выполнении ограничений на параметры трафика и
качества обслуживания каждой из к поступивших заявок со стороны
атрибутов и метрик линий, используемых в выбранных маршрутах.
Отметим сразу, что в отличие от классических сетей, где связь между
параметрами трафика отдельных заявок и суммарной
загруженностью линии связи является аддитивной, установить подобную связь
в ATM сетях, с учетом необходимости удовлетворения QoS
параметров, достаточно непросто - практически это делает в отдельности для
каждой линии и каждой поступившей заявки алгоритм С АС,
используя такие вновь введенные понятия, как «эквивалентная пропускная
способность линии, выделенная соединению» (Equivalent Bandwidth)
и «доступная часть пропускной способности линии» (AvCR).
7.5.3 Взаимосвязь с подсистемой установки
соединения
Чтобы обеспечить требуемые значения QoS параметров
поступающих заявок и ранее установленных соединений, а также хорошее
использование ресурсов сети, управление ATM сетью включает в
себя ряд подсистем и происходит на разных временных уровнях - от
уровня передачи ячеек (входной контроль поступающих ячеек,
селективный сброс ячеек, управление буферами и т.д.) до уровня
установки соединения. После выбора маршрута происходит его
установка, в процессе которого происходит следующее [132]:

342 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
- Алгоритм САС в каждом узле маршрута проверяет
возможность использования выбранной линии для устанавливаемого
соединения - как в части удовлетворения его параметров трафика и QoS
параметров, так и в части обеспечения согласованных параметров
установленных ранее соединений.
- Исходя из параметров-метрик используемых в маршруте линий
в ходе непосредственно установки соединения производится
вычисление интегральных параметров MaxCTD и CDV выбранного
маршрута и их сопоставление с аналогичными QoS параметрами
(требованиями) устанавливаемого соединения .
- В случае подтверждения нормальной установки нового
соединения алгоритм САС вычисляет новые значения параметров
задействованных в маршруте линий (в первую очередь - параметра AvCR).
В зависимости от вида управления ATM сети выбор маршрута и
установка соединения может производится как централизованно,
посредством менеджмента (в этом случае соединение называется PVC
- Permanent Virtual Circuit - постоянное виртуальное соединение),
так и распределенно, посредством сигналлинга (в этом случае
соединение называется SVC - Switched Virtual Circuit - коммутируемое
виртуальное соединение), или комбинированным способом (в этом
случае соединение называется Soft-Permanent Virtual Connection -
полупостоянное виртуальное соединение). Детальное рассмотрение
работы алгоритмов САС, а также подсистем сигналлинга и
менеджмента выходит за рамки настоящей книги. Их взаимосвязь с
алгоритмом маршрутизации происходит в двух аспектах:
- В части исходных данных - входными параметрами как для
алгоритма маршрутизации, так и для вычисления интегральных
параметров-метрик соединения в ходе его установки являются результаты
работы алгоритма САС (подробнее см. раздел 7.5.7 );
- В части эффективности работы алгоритма САС - если
алгоритм маршрутизации работает недостаточно хорошо, то в процессе
непосредственно установки соединения в каждом из узлов
выбранного маршрута САС нередко будет давать отказ в установке вследствие
невозможности реального удовлетворения требований заявки
(некоторые примеры см. в разделе 7.5.11).
Учитывая, что алгоритм САС является определяющей функцией
ATM сети в части удовлетворения ею параметров заявки (трафика
и QoS), рассмотрим более подробно его взаимодейтвие с
маршрутизацией на примере стандарта ATM Forum PNNI (Private Network-to-

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 343
Network Interface) [133]. Этот стандарт поддерживает
распределенную маршрутизацию (она производится в узле-источнике заявки) и
быструю установку и разъединение соединения посредством сигнал-
линга (на основе типовых сообщений SETUP, CONNECT, RELEASE
и т.д.). В ходе пересылки вдоль выбранного маршрута, от
источника к адресату, сообщения SETUP с заданными в нем параметрами
трафика и QoS, алгоритм САС в каждом из узлов локально (т.е.
независимо от остальных узлов маршрута) проверяет возможность
установки соединения в данном узле по указанной линии. С одной
стороны, принцип работы алгоритма САС именно после выбора
маршрута приводит к тому, что в ходе маршрутизации в потенциальные
маршруты включаются многие линии, которые далее отвергаются
алгоритмом САС. Это, в свою очередь, приводит к отказу в
установке соединения, необходимости повторной маршрутизации, установки
и т.д. С другой стороны, работа алгоритма САС до выбора
маршрута, для всех возможных линий сети, приведет к чрезвычайному
росту суммарной трудоемкости его работы, т.к. этот алгоритм
должен реализовывать достаточно сложные вероятностные модели (см.,
например, [180,217]) не только для каждого узла, но и, в принципе,
для каждой его пары «входной порт - выходной порт». Более того, в
этом случае САС должен иметь детальную информацию о
установленных соединениях и выделенных им ресурсах по всем уздам сети,
что возможно только при полностью централизованном управлении
сетью посредством менеджмента.
Чтобы избежать обоих этих неэффективных вариантов, в PNNI
предложено достаточно элегантное решение - алгоритм GCAC
(Generic САС), который выполняется в узле-источнике заявки до
ее маршрутизации и позволяет, тем самым, исключить заведомо
«неподходящие» линии из числа потенциально пригодных для
выбираемого маршрута. Алгоритм GCAC, в отличие от алгоритма САС,
работает очень просто и требует по каждой из анализируемых линий
минимум информации - только в части непосредственно параметров
линий, без детализации по отдельным установленным соединениям.
Таким образом, детальные расчеты в каждом из узлов сети
независимо и локально производит САС, он же модифицирует параметры
связанных с данным узлом линий (когда производится установка или
разрыв соединения, проходящего по ним), эти изменения с
некоторой периодичностью распространяются по всем узлам сети и тем
самым являются доступными алгоритму GCAC. По своему назначе-

344 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
нию и выполняемым функциям GCAC фактически входит в
алгоритм маршрутизации и является его первым шагом.
7.5.4 Классификация алгоритмов маршрутизации
Существует много способов классификации алгоритмов
маршрутизации.
На наш вгляд, основная классификация основана на том,
чувствительны ли выбираемые маршруты к изменению входных
параметров трафика и параметров линий. В статических алгоритмах
выбор пути основан на старой информации о состоянии сети, а в
динамических алгоритмах этот выбор основан на текущей
информации.
Статические алгоритмы как правило базируются на моделях
потокового типа (которые, в свою очередь, используют
математический аппарат нелинейного программирования и градиентные методы
поиска оптимальных решений), а динамические - на методах
кратчайшего пути. Основное отличие между этими подходами состоит в
том, что первый позволяет вычислять маршруты сразу для
нескольких соединений одновременно, а второй - только для одного
соединения. Исходя из этого алгоритмы потокового типа потенциально
являются более точными по сравнению с алгоритмами кратчайшего пути.
Однако, меняя стоимости линий в процессе использования алгоритма
кратчайшего пути исходя из состояния сети (в первую очередь -
загруженности линий) можно существенно улучшить качество работы
алгоритма. Более того, доказано [191], что в предельном случае эти
два типа алгоритмов характеризуются одинаковой эффективностью.
В практическом плане основной вопрос в реализации алгоритмов
маршрутизации заключается в том, будут ли маршруты вычисляться
по требованию (On-Demand) или же они будут заранее вычисляемые
(Pre-Computed). При использовании подхода <<по требованию>>
вычисление маршрута производится в момент запроса на
установку соединения, что приводит к неизбежной задержке установки на
время вычисления маршрута. Напротив, при использовании
подхода «Заранее вычисляемые маршруты», время установки будет
меньше, но при этом погрешность в исходных данных может привести
к некорректному определению маршрута. Эти два подхода можно
использовать совместно - так, в PNNI [133] первоначально
маршрут выбирается из множества заранее рассчитанных маршрутов, при
невозможности же использования этих маршрутов в свете удовле-

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 345
творения параметров заявки производится специальный поиск
исходя из требований заявки. Отметим, что стратегии «заранее
вычисляемые» принадлежат классу квази-статических алгоритмов, т.к.
маршрут для текущей заявки учитывает лишь старую информацию.
В свою очередь, алгоритмы «по требованию» в ряде случаев
также вынужденны использовать частично устаревшую информацию
о состоянии сети (например, вследствие задержек в модификации
этой информации и ее распространении по отдельным узлам сети),
в связи, с чем они будут уже «квази-динамическими». Для
некоторых типов соединений (например, крупных VPC) в принципе может
быть использован и подход «вычисление машрутов с задержкой»
(Post-Computed), цель которого состоит в вычислении маршрутов
для нескольких заявок одновременно с использованием текущей (а
не старой) информации о параметрах сети. В этом случае
неизбежна достаточно большая задержка между моментом возникновения
заявки и установкой соответствующего ей соединения.
Алгоритмы «заранее вычисляемые» могут быть разделены на
реализующие непосредственно выбор маршрута в источнике ^Source
Routing), т.е. до начала установки соединения, и прыжок-за-прыж-
ком (Hop-by-Hop), выбирающие маршрут непосредственно в
процессе установки. В связи с тем, что ATM сети являются
ориентированными на соединения, реализация в них второго подхода явно
нецелесообразна.
Еще одна классификация алгоритмов разделяет их на временно-
зависимые и временно-независимые. Алгоритмы первого типа
должны учитывать моменты появления различных заявок на установку
и разъединение соединений (см., например, [262]), алгоритмы
второго типа значения этих времен не учитывают. Пока что
разработанные временно-зависимые алгоритмы маршрутизации практически не
учитывают специфику ATM сетей, в связи с чем в настоящей книге
они и не рассматриваются.
Один из способов классификации состоит в разделении всех
алгоритмов на централизованные (реализованные на основе сетевого
менеджмента) и распределенные (реализованные на основе
сетевого сигналлинга). В централизованых алгоритмах выбор всех
маршрутов осуществляется в центральном узле сети, а в распределенных
- в отдельных узлах (как правило, в источниках сообщений) и при
этом узлы сети должны обмениваться информацией о текущих
значениях параметров связанных с ними линий.

346 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
В целом взаимосвязь различных классификаций показана в
таблице 7.5.
Таблица 7.5
Тип алгоритма
исходя из
момента выбора
пути
Тип алгоритма
исходя из
точности входной
информа ции
Тип Метода:
Потоковые
модели
Алгоритмы
кратчайшего
пути
Заранее вычисляемые

Статические
+


статические
+
+
Вычисляв м ъи
с задеро*с-
кой
Квази-
динамичес-
кие
+
+
По требованию
Квази-
динамичес-
кие
+

Динамические
+
7.5.5 Требования к алгоритмам динамической
маршрутизации
Универсальным требованием к алгоритмам любого типа является
обеспечение высоких значений показателей эффективности системы.
Подробно состав этих показателей для ATM сетей и их
взаимовлияние будет рассмотрен в разделах 7.5.8 и 7.5.9.
При выборе маршрута алгоритм должен учитывать как
параметры поступившей заявки (в части трафика и QoS), так и параметры
линий (конкретный состав этих параметров рассматривается в
следующих разделах).
Алгоритмы должны обеспечивать как одноадресные (unicast), так
и многоадресные (multicast) соединения. В последнем случае
маршрутом является не отдельный путь, а дерево от источника к группе
адресатов, причем ячейки, передаваемые по соединению,
«дублируются» только в вершинах дерева. В связи с недостатком места
динамические алгоритмы многоадресной маршрутизации в настоящей
книге не рассматриваются.
В случае использования одноадресных соединений
маршрутизация должна обеспечивать выбор одного и того же маршрута в
прямом и обратном направлении (т.е. «источник-адресат»,
«адресат-источник»), при этом как параметры заявки (и QoS, и трафика), так и
параметры линий вдоль маршрута в этих двух направлениях могут
отличаться друг от друга.

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 347
Применительно к алгоритмам динамической маршрутизации
весьма важным является требование к скорости их работы. Так, по
некоторым оценкам (см., например, [217] ), перспективный ATM
коммутатор должен поддерживать сотни установок соединений в
секунду. Естественно, что это требование относится в первую очередь к
скорости работы алгоритма САС в пиковых ситуациях (например,
после отказа некоторых линий и разрушения сотен и сотен
проходящих по ним соединений). В транспортных сетях к скорости работы
алгоритма маршрутизации предъявляются менее жесткие
требования, но в любом случае время выбора отдельного маршрута должно
быть порядка «секунды».
Выше были перечислены основные требования к алгоритмам
маршрутизации ATM сетей, не зависящие от специфики их
реализации. Приведем также некоторые дополнительные требования,
которые могут появляться в тех или иных конкретных сетях [133,142,174]:
Алгоритмы должны учитывать наличие определенной
погрешности в текущих значениях параметров сети. Эта неточность исходных
данных появляется вследствие задержки в корректировке и
распространении модифицированных значений параметров отдельных
линий по всей сети (при использовании распределенных алгоритмов
маршрутизации), вследствие прохождения маршрута по нескольким
независимым сетям и использовании иерархических сетей,
вследствие динамического изменения параметров соединения (в первую
очередь требований к необходимой пропускной способности) уже
после его установки и т.д.
При выборе маршрута алгоритмы маршрутизации должны
некоторым образом учитывать возможность их разрушения вследствие
выхода из строя отдельных линий, узлов или аварийного
завершения работы отдельных соединений.
Учет информации о необходимости обязательного включения
(или, напротив, запрета на включение) некоторых узлов и-или
линий сети в рассчитываемый маршрут соединения.
Учет приоритетности отдельных соединений. Этот
дополнительный параметр заявки определяет ее относительную важность и
может быть использован для выбора порядка вычисления маршрутов
нескольких заявок (в случае использования алгоритмов кратчайшего
пути).
Учет возможности разрыва отдельных соединений. Этот
дополнительный параметр заявки определяет, может ли она в случае
отсутствия ресурсов для установки прервать другие, уже установлен-

348 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
ные соединения, и с другой стороны, могут ли другие заявки
прервать данное соединение.
7.5.6 Входные параметры заявки.
Стандарты как ITU-T (Telecommunication Standartization
Sector of International Telecommunication Union - сектор
стандартизации международного союза электросвязи) [229,230], так и ATM
Forum [133]не определяют жестко необходимые алгоритмы для расчета
маршрута в ATM сетях. Как подчеркивается в [133] выбор
наиболее подходящего алгоритма - прерогатива конкретного приложения.
Напротив, параметры заявки в части трафика и требований QoS
являются предметом жесткой стандартизации. Часть этих параметров
(MBS - Maximum Burst Size - максимальная длина пачки ячеек для
категорий обслуживания rt-VBR и nrt-VBR, CDVT - Cell Delay
Variance Tolerance - допустимая граница превышения временного
интервала между ячейками во входном потоке по сравнению с заданным в
параметре PCR, и др.) значимы только для работы подсистем САС
и UPC/NPC (Usage/Network Parameter Control - входной контроль
ячеек). В связи с этим рассмотрим более подробно параметры
заявки, существенно влияющие на выбор маршрута. Как уже отмечалось
выше, анализ производится применительно к категориям
обслуживания CBR, rt-VBR, nrt-VBR.
Прежде всего подчеркнем, что фактически почти все
параметры заявки определяются двоекратно - как для прямого, так и для
обратного направления соединения (кроме параметра MaxCTD,
который указывается только для прямого направления), и значения в
этих двух направлениях могут существенно отличаться. Кроме
этого, при задании параметров заявки существует еще много тонких
моментов, большинство из которых связано с битом CLP (Cell Loss
Priority - приоритет потери ячейки) заголовка ячейки [106].
Подробное рассмотрение влияния значения этого бита на передачу ячеек
по соединению (входной контроль, перемаркировка и сброс ячеек и
т.д.) выходит за рамки настоящей книги. Отметим лишь, что наличие
этого бита приводит к возникновению множества комбинаций как по
категориям обслуживания (например, фактически вместо категории
rt-VBR в [132] определены категории VBR.l, VBR.2 и VBR.3), так
и по параметрам заявки. Теоретически по каждому параметру
заявки (причем как в прямом, так и в обратном направлении) могут
быть заданы два параметра - для потока ячеек с низким
приоритетом и для общего потока ячеек. Практически же стандарты ATM

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 349
Forum [132-134] четко регламентируют, по каким параметрам
возможно указание значений одновременно по двум потокам ячеек
(например, по параметру PCR), по каким параметрам - только по
одному из потоков на выбор (например, по параметрам CLR, SCR), а по
каким параметрам указание потока недопустимо, т.е. параметр
относится только к общему потоку ячеек (например, по параметрам CDV
и MaxCTD). Кроме того, регламентированы и возможные сочетания
различных параметров - например, комбинация параметров «PCR
задан для общего потока ячеек, a SCR - только для
низкоприоритетного» допустима, а комбинация «SCR задан для общего потока
ячеек, a PCR - только для низкоприоритетного» недопустима.
Введение бита CLP в структуру заголовка ячейки позволяет
чрезвычайно плавно управлять потоком ячеек и гибко распределять
ресурсы для различных категорий обслуживания и отдельных
соединений. С другой стороны, работа основных подсистем ATM сети
практически во многом производится независимо не только для
различных категорий обслуживания, но и для различных потоков ячеек. В
связи с этим, в целях экономии места, ниже мы не будем
специально акцентировать внимание на значении параметра CLP, хотя учет
его и в алгоритмах непосредственно выбора маршрута, и, особенно, в
алгоритмах предварительной проверки приемлемых линий (GCAC)
производится обязательно.
Стандартными параметрами трафика заявки являются:
• PCR (Peak Cell Rate - пиковая скорость ячеек),
определяющий максимальное количество бит, генерируемых источником
за единицу времени (Кбит/сек).
• SCR (Sustainable Cell Rate - поддерживаемая скорость ячеек),
определяющий среднее количество бит, генерируемых
источником за единицу времени (Кбит/сек) - только для категорий
обслуживания rt-VBR и nrt-VBR, обеспечивающих
эффективное использование ресурсов сети за счет мультиплексирования
большого числа соединений.
Стандартными параметрами качества обслуживания (QoS)
заявки являются:
• CLR - вероятность потери ячейки (в зависимости от категории
обслуживания типичными значениями являются Ю-7 ... Ю-5
[226]);

350 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
• End-to-End MaxCTD - максимальное время передачи ячеек от
источника до адресата соединения; под этой величиной
понимается квантиль с заданным уровнем достоверности случайной
величины «время передачи ячейки от источника до адресата».
В формулах для обозначения данного параметра будем
применять E_MaxCTD;
• End-to-End CDV - максимальный разброс в времени передачи
ячеек от источника соединения до его адресата; данная
величина вычисляется как разница между величиной End-to-End
MaxCTD и фиксированной задержкой по передаче ячеек по
маршруту, определяемой физической протяженностью линий,
задержкой в коммутации, депакетизацией пакетов в ячейки в
источнике и пакетизацией ячеек в пакеты в адресате, и др.
На величину End-to-End CDV наибольшее влияние оказывают
структуры и размеры буферов в ATM коммутаторах, а
также установленные в них дисциплины обслуживания ячеек для
разных категорий обслуживания. В качестве типового значения
параметра можно указать 3 миллисек. с квантилем Ю-8 [226].
В формулах для обозначения данного параметра будем
применять E_CDV.
Подчеркнем, что последние два параметра могут присутствовать
только в заявках категорий обслуживания CBR и rt-VBR, для
категории nrt-VBR эти параметры не значимы.
Для удовлетворения требований, приведенных в пункте
«дополнительные» раздела 7.5.5, в заявке могут быть указаны также и
соответствующие им параметры (обязательные и запрещенные к
использованию линии, приоритет, и т.д.). Эти параметры могут быть
указаны как явно (в этом случае они, естественно, не будут
поддерживаться стандартными форматами сообщений Сигналлинга и
форматами записей MIB (Management Information Base - Базы данных
менеджмента) citevp26), так и неявно, т.е. определены исходя из
других параметров заявки и ее класса. В то же время отметим, что в
перспективных разработках ATM Forum наблюдается тенденция
расширения состава полей стандартных сообщений с целью учета
дополнительных требований заявки. Так, например, в материалах [135,136]
предлагается включить в сообщения SETUP и CONNECT
Сигналлинга PNNI новые поля, отвечающие перемаршрутизации (rerouting)
соединения в случае выхода его из строя.

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 351
7.5.7 Параметры состояния сети
В отличие от параметров QoS и трафика заявки, состав
параметров состояния сети не является столь же жестко заданным и во
многом определяется принципами управления сети (распределенный -
централизованный, сигналлинг - менеджмент). Рассмотрим состав
этих параметров на примере PNNI [133] - протокола управления
распределенной сетью на основе сигналлинга. В аспекте проблемы
маршрутизации основными параметрами состояния сети являются
Параметры линий. Линия ATM сети соединяет два порта соседних
ATM узлов (т.е. между двумя узлами может быть проложено много
отдельных линий) и служит для однонаправленной передачи
ячеек между ними, физически же эта линия может быть
реализована в виде участка (линейного или кольца) сети SDH/SONET (см.
рис.7.1). Значения параметров линий устанавливаются
Менеджментом сети или являются результатом текущих вычислений
алгоритма САС при установке-изменении-разъединении соединения. Еще раз
подчеркнем, что значения этих параметров определяются отдельно
для каждой из категорий обслуживания. В PNNI принята концепция
выходящих (egress, outgoing) линий, согласно которой параметры
линии вычисляются-модифицируются в узле, из которого она выходит.
Параметры линий разделяются на два типа:
— параметр-атрибут, значения которого анализируются
независимо (путем сопоставления с соответствующим параметром
заявки) по всем линиям маршрута,
— параметр-метрика, значения которого определяют
возможность использования маршрута для данной заявки (путем
сопоставления с соответствующим параметром заявки) на основе
совместного анализа по всем линиям маршрута. В простейшем
варианте использование параметра-метрики по линиям
маршрута является аддитивным.
С другой стороны, в соответствие с частотой изменения значений
параметров их можно разделить на две группы:
• Квази-постоянные параметры.
• Динамические параметры.
В группе квази-постоянных параметрами-метриками являются:

352 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Уровень виртуальных
каналов
Уровень виртуальных
путей
Соединение
виртуального канала
Звено виртуального
пути
<§)
/ Соединение виртуаль-
/ кого канала
Звено
виртуального пути
Г
Уровень пути
передачи
Уровень цифровых
секций
Уровень секции
регистратора
/
/
щ 1
1
1
1
Путь передачи
\
\
\
\
\
Рис. 7.1. Взаимодействие различных уровней сетевой иерархии.

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 353
- административный вес (AW- Administrative Weight) линии,
характеризующий ее значимость в аспекте цены, физической
протяженности, приоритетности и т.п.
- максимальный разброс в времени передачи ячеек по линии
(Peak-to-Peak CDV), только для категорий обслуживания CBR и rt-
VBR; в формулах для обозначения данного параметра будем
применять CDV;
- максимальное время передачи ячейки по линии (MaxCTD),
только для категорий обслуживания CBR и rt-VBR; в формулах для
обозначения данного параметра будем применять MaxCTD;
Аналогично QoS параметрам заявки, последние два параметра
выражаются в квантилях. Взаимосвязь этих величин иллюстрируется на рис.
7.2.
Типовые значения параметра Peak-to-Peak CDV для линий
различных видов приведены в таблице 7.6 [144].
Таблица 7.6.
Тип линии
DS-1
DS-3
STM-1
STM-4
Peak-to-Peak CDV , с
квантилем 1(Г10
4 ms
500 us
250 us
250 us
CLR
10-10
10-10
10-10
10-10
Сопоставление QoS параметров заявки с соответствующими
параметрами - метриками входящих в маршрут линий производится как
на стадии выбора маршрута соединения, так и на стадии
непосредственно его установки, в процессе передачи сообщения SETUP. Для
такого сопоставления в настоящее время ATM Forum использует
простейший аддитивный алгоритм, согласно которому интегральные
параметры выбранного маршрута вычисляются по формулам:
п п
ICDV = J2 CDV[i],I_MaxCTD = ]£ MaxCTD[i],
г=1 г=1
где
I_CDV и I_MaxCTD - интегральные параметры маршрута
соответственно в части параметров CDV и maxCTD,
23 - 7659

354 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
1
1
плотность
распределения
фиксированная
задержка
/ 1-а \^
максимальный
разброс CDV
max CTD
" ►
задержка передачи
ячейки
Рис. 7.2. Плотность распределения времени передачи ячеек по
линии для определенной категории обслуживания

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 355
CDV[i] и MaxCTD[i] - соответствующие параметры-метрики г-й
линии маршрута,
п - количество линий в составе маршрута.
Параметрами-атрибутами в группе квази-постоянных
параметров являются:
— CLR (Cell Loss Ratio) - вероятность потери ячейки при передаче
ее по данной линии,
— MCR (Maximum Cell Rate) - максимальная пропускная
способность, выделенная по этой линии всем соединениям данной
категории обслуживания,
— MNC (Maximum Number of Connections Supportable) -
максимальное количество соединений, разрешенное для установки по
данной линии.
Отметим, что в отличие от параметров CDV и MaxCTD,
параметр заявки CLR проверяется не по всему маршруту (путем
умножения или сложения соответствующих приведенных значений CLR
входящих в него линий), а исключительно независимо по
отдельным линиям. Возможность такого «выравнивания линий» для CLR
определяется существенно большей его однородностью (как в части
различных типов линий, так и в части различных заявок в
пределах одной категории обслуживания) по сравнению с другими QoS
параметрами заявки.
Динамическими параметрами линии являются следующие ее
атрибуты:
— AvCR (Available Cell Rate) - доступная часть пропускной
способности Линии для установки нового соединения данной
категории обслуживания,
— CRM (Cell Rate Margin) - маргинальный параметр вариации
эквивалентной пропускной способности соединения,
применяемый в алгоритме GCAC (см. раздел 7.5.1), используется
только для категорий rt-VBR и nrt-VBR,
— VF (Variance Factor) - Параметр Вариации, применяемый в
алгоритме GCAC , используется только для категорий rt-VBR и
nrt-VBR,
— ANC (Actual Number of Connections) - Реальное Количество
Соединений, установленных по данной линии.

356 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Следует подчеркнуть, что в ATM сетях, в отличие от
классических сетей типа SDH/SONET, все без исключения параметры
линий являются не просто физическими параметрами или
результатом измерений, а вычисляются или контролируются подсистемой
САС. Так, например, при установке нового соединения САС
вычисляет необходимую эквивалентную пропускную способность
соединения для данной линии, которая должна обеспечить принятые для
линии квази-постоянные параметры исходя из количества и
параметров уже установленных соединений. Учитывая вероятностный
характер поступления ячеек, эта величина должна быть больше значения
PCR для категории обслуживания CBR и в то же время значительно
меньше ее для категории VBR (вследствие природы статистического
мультиплексирования ячеек, характерной для этого режима).
Выше были рассмотрены параметры линий, описанные в
утвержденных стандартах ATM Forum. В целях повышения
эффективности ATM сетей предпринимаются попытки расширить и
видоизменить состав этих параметров. В первую очередь это касается
параметров-метрик. Эти параметры имеют вероятностный, а не
детерминированный характер, поэтому приведенные выше формулы
определения их интегральных значений соответствуют наихудшему
случаю (100%-й корреляции между случайными временами передачи
по соседним линиям) и приводят к значительному завышению
рассчитанных значений по сравнению с точными. В самом деле,
например для квантиля, равного а и пути из двух линий имеем следующую
формулу для случайных величин t[l], t[2] и t[l+2], соответствующих
разбросу времени передачи ячейки по первой линии, по второй линии
и по всему пути:
Prob{t[l + 2] > CDV[1] + CDV[2]} <
< Prob{(t[l] > CDV[l\) или (t[2] > CDV[2])} < a,
т.е. фактически для оценки величины I_CDV с квантилем а можно
использовать не CDV[1]+CDV[2], а меньшее значение. Согласно
приведенным в [137] результатам расчета (см. таблицу 7.7), завышение
может достигать двух -пяти раз!
Прежде чем перейти к рассмотрению отдельных подходов,
подчеркнем^™ все они были специально разработаны не для
использования в алгоритмах маршрутизации, а для повышения точности
вычисления интегральных параметров I_CDV и I_MaxCTD
непосредственно в ходе установки соединения процедурой Setup по уже
выбранному маршруту. В принципе разработанные подходы неслож-

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 357
Таблица 7.7. Результаты расчета параметра I_CDV в зависимости
от количества линий в маршруте (N) и метода расчета, a = 10_6.
Метод расчета
Additive
Asymptotic
Lucent
Exact
N=5
1684.33
670.43
838.157
664.58
N=10
3406.89
1025.6
1144.57
1017.45
N=20
6963.74
1716
1819.69
1705.91
N=50
18485.5
4006.05
4344.14
3993.9
Addtive - простейший аддитивный алгоритм, используемый в [132];
Asymptotic - асимптотический метод, предложенный в «Informative
Appendix 4» документа [132];
Lucent - метод, предложенный в [137];
Exact - точный расчет.
но приспособить и для использования в ходе вычисления маршрута,
но такое приспособление, естественно, требует некоторых накладных
расходов.
Предложенный в [132] (см. «Informative Appendix 4») алгоритм,
получивший название «асимптотический», основан на использовании
центральной предельной теоремы теории вероятностей. Для его
применения каждая линия i вместо двух введенных ранее параметров
CDV и MaxCTD должна характеризоваться четырьмя параметрами:
• M[i] - среднее значение разброса времени передачи;
• V[i] - дисперсия разброса времени передачи;
• D[i] - параметр смещения (Discrepancy) реального закона
распределения разброса времени передачи от нормального закона
с теми же значениями М и V (см. рис. 7.3);
• F[i] - фиксированная задержка в передаче.
Интегральные параметры маршрута определяются по формулам:
п п п
m = y^ M[i\,v = y^ vi^D = max щ>р = Yl FW-
Обозначим через Q(a) - а-квантиль стандартного нормального
закона распределения с нулевым математическим ожиданием и
единичной дисперсией. Тогда для вычисления интегральных
характеристик справедливы формулы:

358 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
- нормальное
распределение
Рис. 7.3. Параметр смещения плотности случайной величины
разброса времени передачи

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 359
I_CDV = M + D + Q(a)V1'2, I_MaxCTD = I_CDV + F.
Достоинством данного подхода, наряду с достаточно высокой
точностью, является отсутствие каких-либо допущений (как и в случае
простейшего аддитивного алгоритма) относительно вида функции
распределения случайной величины времени передачи ячеек по
линии. Наряду с этим следует указать и его недостатки:
• С точки зрения практического применения наиболее
существенным, на наш взгляд, недостатком является существенное
изменение и расширение состава учитываемых параметров
линий. Это приводит как к несовместимости с разработанными
к настоящему моменту алгоритмами САС (которые в процессе
анализа текущей заявки должны обеспечивать для линии
только значение параметра CDV[i], а не трех параметров M[i], V[i],
D[i] ), так и значительному их усложнению. Алгоритмы САС
работают в процессе установки заявки, поэтому требования к
скорости и, следовательно, простоте их работы являются очень
важными [217].
• Недостатком данного похода является также его сложность -
как в аспекте самих вычислений, так и в аспекте объема
хранимых в узлах параметрах линий.
• Основополагающим допущением данного подхода является
независимость случайных величин разброса времени передачи,
соответствующих различным линиям. В принципе такое
допущение широко используется при вероятностном моделировании
сетей передачи, но применительно к ATM сетям оно
проявляется дифференцированно. Применительно к параметрам
категории обслуживания CBR использование этого допущения вполне
приемлемо, но применительно к категории VBR оно может
привести к существенному занижению результатов расчета. Это
связано с тем, что передача ячеек по соединению VBR, в
отличие от передачи по соединению CBR, является существенно
неоднородной по времени (периоды паузы и передачи) и эта
неоднородность приводит к сильной корреляции состояния
соединения по всем линиям его маршрута.
•
Данный алгоритм в своем исходном виде практически
применим только для оценки аккумулируемых величин ICDV и

360 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
I_MaxCTD непосредственно в ходе установки сообщения по
выбранному маршруту. Применение же его в алгоритмах
маршрутизации, основанных на методах поиска кратчайшего пути,
весьма затруднительно, т.к. вышеприведенные выражения для
интегральных характеристик маршрута не являются чисто
аддитивными.
В [137] предлагается несколько другой подход к вычислению
интегральных характеристик маршрута, в основе которого лежит
применение неравенства Маркова (известного также как «обобщенное
неравенство Чебышева») и основополагающего метода теории
больших уклонений - метода Чернова. На основе аппроксимации
случайной величины разброса времени передачи Гамма распределением
в [137] разработано несколько вариантов алгоритма, отличающихся
как точностью расчета, так и трудоемкостью. Рассмотрим кратко
самый простой из предложенных алгоритмов, не останавливаясь на
технических выкладках.
Для определения искомых величин I_CDV и I_MaxCTD в
предложенном методе используются 3 параметра состояния сети по
каждой из линий - M[j], S[j], F\j]:
• M\j\ - логарифмический момент производящей функции
случайной величины разброса времени передачи ячейки по линии
3\
• S\j] - заранее выбранный параметр, удовлетворяющий
некоторому неравенству относительно плотности распределения
времени задержки по линии j;
• F[j] - фиксированная компонента в времени передачи по линии
3-
Для определения этих величин случайное время передачи
аппроксимируется Г-распределением с плотностью
где Г(г) - гамма-функция,
/•оо
Г(г) = / xr-1e~xdx
Jo
\rtr~le-xt
Г(г)

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 361
Исходя из параметров Г-распределения для каждой конкретной
линии j, несложно вычислить вспомогательные параметры по всем
приемлемым для выбираемого маршрута линиям j = 1... m:
S\j] = A[j]/2; M\j] = r\j]log2; S/Min = min(S[l],..., S[j],... , S[m});
TD[j] = F\j] + M\j)/S_Min.
Для маршрута, состоящего из п линий , искомые оценки
вычисляются по формулам:
п
I_CDV = {-log{quantile CDV) + ^M\i))/S_Мгп;
г=1
п
I_MaxCTD = -log(quantile CDV)/S_Min + ^TD[i].
i=i
По сравнению с «асимптотическим» методом преимуществом
рассмотренного является то, что он использует меньшее количество
параметров линий (три вместо четырех, необходимых в
асимптотическом методе) и является более простым в аспекте реализации. Более
того, он использует чисто аддитивные формулы для определения
искомых величин, что весьма важно в аспекте применения алгоритмов
кратчайшего пути. В то же время другие два недостатка
асимптотического метода в полной мере присущи и ему. В [138] ставится вопрос
о учете корреляции между линиями, но конкретных предложений
и алгоритмов пока что не разработано. Кроме того, необходимость
определения величины S_Мгп заранее, до вычисления маршрута,
по всем допустимым линиям, может сильно занизить значение этой
величины по сравнению с использованием ее в ходе установки
соединения (в последнем случае minimum берется только по линиям,
входящим в маршрут) и тем самым увеличить искомое I_CDV.
Отметим также, что на наш взгляд, требования как
асимптотического метода, так и метода [137] по расширению состава
учитываемых параметров линий в принципе могут свести на нет их
преимущества в части точности расчета. В самом деле, если при использовании
простейшего аддитивного метода заявка может получить отказ при
установке вследствие некорректного сопоставления ее QoS параметра

362 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
с завышенной интегральной оценкой маршрута, то при
использовании двух последних методов отказы при установке могут появляться
ввиду невозможности алгоритмом САС гарантировать значения
сразу нескольких параметров линии. Безусловно, эти чисто
качественные соображения нуждаются в количественном анализе.
Существуют также и другие подходы к расчету интегральных
параметров маршрута в части CDV и MaxCTD (например, в [139]
делается попытка учесть параметры шейпинга в отдельных узлах
маршрута), но недостаток места не позволяет рассмотреть их более
подробно.
Другим возможным направлением расширения состава
параметров линий является учет их не только в части выходного узла (как
это принято в [133]), но и в части входного узла. Практическая
возможность такого учета обусловлена следующим:
• Во-первых тем, что большинство параметров линий
вычисляется и-или контролируется алгоритмом САС, а в разных узлах
эти алгоритмы работают независимо;
• Во-вторых тем, что фактически в каждом узле при установке
текущего соединения САС работает четыре раза, проверяя как
для соединения в прямом направлении, так и в обратном, и
входную, и выходную линию.
Для квази-постоянных параметров линий такое расширение
внешне не является заметным, т.к. имея, например, параметры
СБУ^ыходящая линия j] и СБУ[входящая линия j] (эти данные
используются алгоритмом САС как исходные для прогнозирования
функционирования сети при установке текущего соединения
соответственно в выходном узле j-m линии и входном ее узле), алгоритм
маршрутизации может использовать в качестве исходных величину
CDV\j] = СБУ^выходящая линия j] + СБУ[входящая линия j]. Для
динамических параметров (в первую очередь AvCR) такое
расширение оборачивается необходимостью распространять по сети двойной
объем информации (см. рис. 7.4).
7.5.8 Показатели качества маршрутизации
Построение и/или выбор выходных показателей эффективности
системы является одним из основных моментов, обеспечивающих ее
эффективное функционирование. Понятно, что некорректный
выбор выходных показателей может привести к существенным ошибкам

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 363
I 1 Логическая линия j, прямое направление i 1
> )
АуСК[выходнэя линия j, прямое направление ] АуСЩвходнэя линия j, прямое направление]
AvCR[exoflHan линия j, обратное направление] АуСК[выходнэя линия j, обратное напрвление]
< <
1 Логическая линия j, обратное направление ' '
Рис. 7.4.
при оптимизации любой системы, в том числе алгоритмов
маршрутизации (некоторые примеры см. в разделе 7.5.11). Конкретный выбор
вида показателя (или показателей) эффективности системы
определяется специфическими особенностями сети и может иметь целью
как увеличение общего числа обслуженных заявок, так и повышение
загрузки использования ресурсов сети.
Вероятность отказа заявке является одной из наиболее важных
характеристик эффективности работы сети. В более общем виде (см.,
например, [125]), критерий эффективности может учесть также и
доход (в аспекте платы за использованные сетевые ресурсы),
полученный сетью от заявки определенного класса :
R = ^2J2^~P^kMw,k]F[w,k],
w k
где
V - набор узлов сети;
W - набор пар «источник-адресат», W = {w = (u,v)\\u,v € V};
к - номер класса трафика;
P[w,k] - вероятность отказа, т.е. процент отказов от общего
количества заявок на установку в пределах класса к и набора w;
q[w,k] - интенсивность поступления в сеть заявок класса к и пары w;
F[w,k] - доход сети от установки соединения класса к и пары w.
В простейшем случае под величиной F[w,k] может пониматься
суммарная (по всем линиям маршрута) эквивалентная пропускная
способность, выделенная заявке в процессе ее установки.
При необходимости учета дополнительных требований состав
показателей должен расшириться. С точки зрения эффективности
использования ресурсов сети (буферов, таблиц маршрутизации -
преобразования VPI/VCI, и др.) важнейшим показателем является
средняя длина маршрута, выражающаяся в количестве составляющих его

364 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
линий. С позиции удовлетворения требований к эффективности
восстановления соединения после его выхода из строя выходными
показателями будут «среднее время восстановления соединения после
его отказа» и «вероятность успешного восстановления».
Рассмотренные выше показатели практически неприменимы для
динамической маршрутизации сетей ATM, т.к. фактически
последняя базируется на алгоритмах кратчайшего пути, которые, в свою
очередь, оптимизируют при выборе текущего маршрута только его
параметры. В связи с этим интегральные выходные показатели
могут использоваться только в следующих случаях:
• в статических потоковых моделях, на стадии инженерного
проектирования сети;
• для выбора оптимальных значений параметров алгоритмов
динамической маршрутизации на основе имитационного
моделирования их работы.
Для динамических алгоритмов маршрутизации, основанных на
алгоритмах кратчайшего пути, критерий оптимизации определяется
только комбинацией параметров линий текущего маршрута и, тем
самым, может лишь косвенно учитывать требования к средним
характеристикам по всей сети. Исходя их физического смысла,
следующие локальные показатели (т.е. показатели текущего маршрута)
должны оказывать существенное влияние на значения глобальных
показателей (по всей сети).
1. Показатель-метрика административных весов:
п
WG(AW[L],...,AW[i],...AW[n]) =^АШЩ, (7.44)
i=i
где п - длина маршрута (в количестве линий);
.AW[i] - административный вес линии г;
.AW[i] зачастую равен просто 1 - в этом случае алгоритм
называют «минимум прыжков» (minimum hops). Очевидно, что
минимизация для текущего соединения количества составляющих его линий
в принципе должна уменьшать загруженность сети и, тем самым,
уменьшать количество отказов поступающим заявкам, а также
улучшать характеристики восстановления соединений после отказов.
2. Критериями «баланса пропускной способности» (bandwidth
load balancing) являются:

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 365
• В части аддитивных критериев-метрик общий вид критерия
выглядит так
BW(AvCR[l],.. .,AvCR[i],... AvCR[n}) =
= ELi LBW(MCR[i],AvCR[i])
где LBW( MCR[i], AvCR[i] ) - некоторая функция,
оценивающая уровень баланса пропускной способности по линии г.
Конкретными интерпретациями этого критерия могут быть:
BW(AvCR[l],..., AvCR\i], ...AvCR[n]) =
Y,i{(MCR[i] - AvCR[i})/AvCR[i}}
BW(AvCR[l],...,AvCR\i],...AvCR[n]) =
= Y2=i{(MCR[i\ - AvCR[i))/MCR[i\}
(7.46)
(7.47)
При использовании алгоритмов «конкурирующей
маршрутизации» (Competitive Routing ) динамические стоимости
отдельных линий (слагаемые под знаком суммы) могут иметь более
сложную зависимость от параметров линий -
логарифмическую, экспоненциальную и др.
• В части критерия-атрибута используются следующее
выражения
BW(AvCR[l],..., AvCR[i], ...AvCR[n}) =
- maxi=1...n{(MCR\i} - AvCR\i])/MCR\i]},
BW(AvCR[l],..., AvCR[i], ...AvCR[n)) =
= maxi=i...n{MCR[i]/AvCR[i]}
(7.48)
(7.49)
Очевидно, что минимазация для текущего соединения
критерия «баланса пропускной способности» в принципе должна
уменьшать количество линий с низким значением параметра
AvCR и, тем самым, уменьшать количество отказов впредь
поступающим заявкам.
3. Критериями «баланса в отличиях маршрутов» (diversity load
balancing) являются:

366 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
• В части аддитивных критериев-метрик:
DV(ANC[1],..., ANC[i], ...,ANC[n]) =
= T:=i{ANC[i\/(MNC\i] - ANC[i\)},
DV(ANC[l],...,ANC[i],...,ANC[n]) =
• В части критерия-атрибута используются следующие выраже-
(7.50)
(7.51)
ния
DV(ANC[l],...,ANC[i],...,ANC[n]) =
= maxi=i...n{ANC[i]/MNC[i]},
DV(ANC[l],...,ANC[i],...,ANC[n]) =
= maxi=1...n{MNC[i\/(MNC[i\ - ANC[i])}
(7.52)
(7.53)
Очевидно, что минимизация для текущего соединения
критерия «баланса в отличиях маршрутов» в принципе должна
уменьшать количество линий с высоким значением параметра
ANC и, тем самым, улучшать временные и частотные
характеристики восстановления маршрутов после отказа одной из
линий.
7.5.9 Анализ подходов к реализации
общих требований
Потоковые модели весьма плохо приспособлены к алгоритмам
динамической маршрутизации ATM сетей вследствие следующих
причин:
• во-первых, общих особенностей динамической маршрутизации
(необходимости вычисления маршрута для каждой вновь
поступающей заявки);
• во-вторых, специфических особенностей ATM сетей по
сравнению с классическими сетями (наличием динамического
алгоритма САС, вычисляющего текущие параметры линий после
установки и разъединения каждого соединения, требованиями
по QoS параметрам, несимметричностью требований в прямом
и обратном направлении и т.д.).

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 367
В связи с этим далее в качестве основы для разработки
конкретных алгоритмов будут рассматриваться только алгоритмы
кратчайшего пути, которые, в свою очередь, имеют много конкретных
реализаций [6] - «Беллмана-Форда», «Дийкстра», «Флойда-Уоршела»
и др. В соответствие с изложенными в разделе 7.5.5 требованиями,
в настоящем разделе последовательно рассмотрим подходы к их
реализации в части учета различных параметров трафика, QoS
параметров и общесистемных показателей.
Учет параметров трафика
Данный учет производится алгоритмом GCAC до вычисления
требуемого маршрута и его целью является предварительная
проверка всех линий сети на предмет удовлетворения требований в части
параметров трафика. Согласно [133], GCAC учитывает следующие
параметры линий (j - номер проверяемой линии) :
• AvCR[j] - для всех категорий обслуживания;
• VF[j] и CRM[j] - для категорий обслуживания rt-VBR и nrt-
VBR.
Для категории CBR в PNNI [133] используется GCAC в самом
простейшем виде - если для текущей заявки удовлетворяется
неравенство PCR < AvCR\j], линия j включается в список приемлемых
для выбираемого маршрута, в противном случае линия не
включается в него. В [259] показано, что именно в силу своей простоты этот
алгоритм может приводить к неоправданному увеличению
количества отказов на этапе непосредственно установки соединения, т.е. в
ходе работы алгоритма С АС. В этой связи вместо величины PCR с
параметром AvCR[j] более целесообразно сравнивать ее
модифицированное значение. Модификация может производится путем
умножения PCR на средне- статистическое приведенное (по отношению к
PCR) значение эквивалентной пропускной способности, выделяемой
по линии j алгоритмом САС заявкам данной категории
обслуживания. Отметим сразу, что такой подход опять же увеличивает
количество параметров линий, распространяемых по сети, и тем самым
повышает ее накладные расходы.
Для VBR-заявок используется более сложный подход.
Обозначим:
п - общее количество соединений данной категории обслуживания,
уже проходящих по линии j,

368 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
п п
ASR[j,n] = J2sCR[i], VAR\j,n] = ^5СД[г](РСЛ[г] - SCR[i]),
г=1 г=1
AAC\j, n] = MCR\j] — AvCR\j, n] - суммарное значение
эквивалентной пропускной способности, отведенной алгоритмом САС всем
соединениям данной категории обслуживания, проходящим по линии
h
CRM\j, n] = AAC\j, n] — ASR\j, n] - разница между суммарной
эквивалентной пропускной способностью, отведенной всем соединениям
данной категории, и запрошенной ими в части параметра трафика
SCR,
VF[j,n] = (CRM\j,n}2)/VAR\j,n].
Основным допущении, принятым в ходе разработки GCAC [133],
является следующее: VF\j, (п + 1)] = VF\j, n] для данной линии j,
т.е. параметр «вариация пропускной способности» изменяется
достаточно медленно.
Для успешной установки (впоследствии, после отработки GCAC)
текущего, (п + 1)-го соединения по линии j необходимо, чтобы
значение выделенной ему алгоритмом САС эквивалентной пропускной
способности было бы не больше, чем AvCR\j,n]. Исходя из этого
получаем, что после установки должно выполняться условие
SCR[n + 1] + CRM\j, (n + 1)] - CRM[j, n] < AvCR[j, n].
После простых преобразований приходим к необходимости
выполнения следующего неравенства:
(AvCR[j,п] - SCR[n + l])(AvCR[j,n] - SCR[n + 1] + 2CRM\j,n)) >
> VF\j,n)SCR[n + l](PCR[n + 1] - SCR[n +1]).
Подчеркнем еще раз, что параметры AvCR, VF и CRM являются
динамическими параметрами, они определяются после установки
текущего соединения по каждой из входящих в маршрут линий.
Параметры CRM и VF определяются просто путем арифметических
операций, a AvCR вычисляется алгоритмом САС. С целью уменьшения
загрузки сети накладными (служебными) расходами,
распространение информации по всем узлам сети (потенциальным источникам
заявок на установку соединений) о новых значениях динамических
параметров происходит не после каждого их вычисления, а только

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 369
в случае их «существенного» изменения. Критерием
«существенности» изменения служит величина AvCR_PM - предельный процент
изменения параметра линии AvCR по сравнению со значением,
распространяемым по сети в последний раз. Выбор оптимальных
значений величины AvCR_PM (как, впрочем, и всех остальных
управляемых параметров маршрутизации) производится на основе
имитационного моделирования процесса работы сети на уровне установки-
разъединения соединений.
Все вышеприведенное касалось алгоритма GCAC для ATM
сети с полностью распределенным управлением, т.е. обеспечивающего
выбор маршрута в узле-источнике соединения и установку
коммутируемого виртуального соединения (SVC) на основе использования
механизма сигналлинга. При использовании других подходов
реализация GCAC может сильно отличаться:
• При использовании полностью централизованного управления
и выбор, и установка постоянного виртуального соединения
(PVC) происходит на основе менеджмента ATM сети. В этом
случае центральный узел имеет по каждой линии детальную
статистику в части каждого проходящего по ней соединения
(и параметры трафика, и значение выделенной ему
алгоритмом САС эквивалентной пропускной способности) и поэтому
может использовать эти параметры для определения
среднестатистических приведенных отношений.
При использовании комбинированного способа управления
выбор маршрута производится централизованно, а установка
соединения - на основе механизма сигналлинга. В связи с этим
GCAC может использовать детальную информацию о
параметрах трафика соединений, проходящих по каждой линии
(PCR, SCR), но в части выделенной им алгоритмом САС эки-
валентной пропускной способности может использовать лишь
интегральные характеристики по всем соединениям (AvCR,
CRM,...). Для данного способа применение
модифицированного алгоритма GCAC для категории обслуживания CBR не
требует дополнительных накладных расходов, связанных с
распространением информации по сети, и сводится лишь к
проверке неравенства

370 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
п
PCR[n + l](MCR[j] - AvCR\j])/(%2 PCR[i]) < AvCR[j]
i=i
В заключение отметим, что использование алгоритма CGAC в
распределенных ATM сетях не является бесспорным - так,
например, в [231] подчеркивается, что периодическое распространение по
сети значений динамических параметров чрезмерно загружает сеть и
предлагается проверять линии на наличие необходимого количества
пропускной способности непосредственно в ходе установки
соединения.
Учет параметров качества обслуживания
Проверка маршрута на предмет удовлетворения QoS параметров
заявки может производится до выбора маршрута, в процессе
выбора или после выбора. В части параметра CLR проблем не
возникает - проверка линий производится, аналогично алгоритму GCAC,
до выбора маршрута и обычно все линии удовлетворяют
требованию заявки, т.к. эти требования, как правило, находятся в пределах
10~7... 10~5, а параметры-атрибуты линий CLR, независимо от их
типа (см. таблицу 7.6), как правило равны 10~10. В связи с этим
проблема удовлетворения требованиям заявки в части CLR
полностью переносится на САС, задачей которого и является
вероятностный анализ стохастического процесса обслуживания ячеек в буферах
входных и выходных линий узла.
Проверку QoS параметров End-to-EndCDV и End-to-
EndMaxCTD также возможно осуществлять до выбора маршрута
путем определения для него предельно допустимых параметров
линий в части CDV и MaxCTD соответственно выражениями
(E_CDV)/n и (E_MaxCTD)/n. В основе этого определения лежат
следующие допущения:
• Все линии сети одинаковы с точки зрения параметров CDV и
MaxCTD;
• Количество линий в любом маршруте (длина маршрута)
ограниченно некоторой заранее заданной величиной п.
Практически использование первого допущения сильно ухудшает
качество маршрутизации, т.к. если значения параметра CDV и
могут быть одинаковы для всех линий (в случае их однотипности), то

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 371
значения параметра MaxCTD существенно зависят и от физической
протяженности линий. Второе же допущение не позволяет
использовать «слабые» линии даже в очень коротких маршрутах .
С другой стороны, проверять QoS параметры только после
выбора маршрута также неэффективно, т.к. это значительно
увеличивает суммарное время маршрутизации в случае необходимости
многократного последовательного выбора. В принципе наиболее
эффективен, естественно, третий путь - проверять End-to-End QoS
параметры маршрута непосредственно в ходе его выбора [214,243,256,266].
Практическое использование этого подхода осложняется тем, что по
своей сути алгоритмы кратчайшего пути решают лишь задачу одно-
критериальной оптимизации без ограничений, т.е. позволяют
минимизировать один выходной критерий, являющийся суммой
параметров входящих в маршрут линий. Этим критерием может быть длина
маршрута («количество прыжков»), сумма административных весов,
суммарное время передачи - I_MaxCTD (сумма параметров линий
MaxCTD), суммарный разброс в передаче - I_CDV (сумма
параметров линий CDV) и т.д. Точный поиск кратчайшего пути по одному
из критериев (например, по длине маршрута) при учете ограничений
по другим критериям (I_MaxCTD и I_CDV) превращает задачу в
проблему NP-сложности (см., например, [193]). Для приближенного
решения задачи наиболее естественным представляется свернуть и
выходной критерий, и ограничения, в единый критерий. Эту
свертку можно производить различными способами (аддитивно,
мультипликативно, с зависимыми от линий весами или как-то иначе), но
наиболее просто использовать линейно-аддитивное взвешивание. В
этом случае обобщенная стоимость линии j может определяться,
например, по формуле
W[j] = ImpAW x (AW\j]/ma^k=i...N{AW[k]})+
+ImpCDV x (CDV\j]/E_CDV)+
+ImpMaxCTD x (MaxCTD[j}/E_MaxCTD),
где относительные веса важности отдельных критериев
(ImpAW, ImpCDV, ImpMaxCTD) являются одинаковыми для
всех линий сети в процессе очередного поиска кратчайшего пути,
но итеративно меняются до тех пор, пока поиск не увенчается
успехом. Исходя из того, что параметры AWfj] входят в критерий
оптимизации маршрута, а параметры CDV[j] и MaxCTD[j] -
лишь в ограничения на маршрут, естественно начинать поиск со
значений ImpAW = 1, ImpCDV = ImpMaxCTD = 0 и заканчивать

372 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
значением ImpAW = 0. Можно предложить различные варианты
реализаций данного подхода (с постоянным или переменным шагом
приращения весов важности, на основе простых вложенных циклов
приращения по отдельным критериям или на основе определения
оптимального текущего направления приращения и т.д.), но
рекомендации по целесообразности той или иной реализации могут
быть даны только на основе имитационного моделирования работы
алгоритма применительно к конкретным условиям.
Приведенный выше метод не всегда обеспечивает успешный
поиск маршрута, удовлетворяющего ограничениям по QoS параметрам,
даже если такой маршрут в действительности существует. Для
гарантированного поиска существующего маршрута (без учета требования
по минимизации длины маршрута в аспекте критерия
административных весов) разработано много алгоритмов, в основе которых
лежит подход «доминантных маршрутов» в сочетании с поиском к-то
короткого пути (вместо просто кратчайшего пути) [126,222,295].
Стоимость маршрута в этом случае вычисляется по аддитивно-степенной
формуле:
l{Zti(CDV\i}/E_CDV)}4+
HY!}=i{MaxCTD[i\/'E _MaxCTD)}^
где параметр q стремится к бесконечности. В предельном случае
стоимость маршрута идеально соответствует требованиям-ограничениям
QoS параметров, но уже не является аддитивно-степенной:
п п
max[J2(CDV\i]/E_CDV), ^{MaxCTD\j]/E_MaxCTD)\ (7.54)
г=1 г=1
Пользуясь случаем, еще раз подчеркнем, что если требования по
QoS параметру CDV отличаются для прямого и обратного
направления соединения, и значения параметра линии CDV[j] отличается
от значения CDV линии противоположного направления,
необходимо учитывать два ограничения по End-to-End_CDV (E_CDV для
прямого и для обратного направлений).
Для поиска маршрута , минимизирующего длину в соответствие с
метрикой (7.54), достаточно в процессе применения алгоритма
кратчайшего пути в каждом узле хранить не только текущий
кратчайший путь, но и к-й по значению короткий путь. В свою очередь, что-

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 373
бы сократить количество хранимых промежуточных маршрутов,
используют подход «доминантных маршрутов». Маршрут называется
доминантным по отношению к другому (имеющему те же источник
и адресат), если он характеризуется меньшими значениями всех
отдельных компонент стоимости (в соответствие с выражением (7.54)).
Очевидно, что в промежуточных узлах в процессе поиска маршрута
в соответствие с (7.54), хранить стоит только недоминантные
маршруты.
В заключение подчеркнем, что рассмотренный подход в любом
случае характеризуется достаточно большой трудоемкостью и к тому
же никак не учитывает требования по оптимизации выходных
критериев эффективности маршрута (в части административных весов,
баланса пропускной способности и т.д.), поэтому применять его
рекомендуется только в крайнем случае, при необходимости безусловного
поиска маршрута для особо приоритетных заявок.
Учет общесистемных требований.
Как уже отмечалось в предыдущем разделе, в алгоритмах
кратчайшего пути невозможно использовать глобальные критерии
эффективности сети. Вместо этого приходится применять локальные
критерии, оптимизирующие лишь текущий маршрут. Основными из
этих критериев являются показатель-метрика административных
весов (7.44) и показатели баланса пропускной способности (7.45)-(7.49).
Интуитивно очевидно, что использование в качестве стоимостей
линий величин, отражающих степень текущей загруженности линий,
снижает вероятность блокировки заявки вследствие нехватки
требуемой пропускной способности. В [6] подробно обсуждаются
возникающие при этом проблемы колебаний и устойчивости, и при этом
подчеркивается , что они проявляются наиболее сильно в дейтаграмм-
ных сетях, в сетях же с виртуальными цепями (а тем более ATM
сетях, ориентированных на более-менее долговременную установку
соединения) такая опасность весьма несущественна.
Использование в алгоритмах кратчайшего пути в качестве
критерия оптимизации лишь выражений типа (7.45)-(7.47)
представляется невозможным, так как так или иначе в процессе маршрутизации
необходимо учесть и показатели-метрики административных весов
(7.44), и показатели «баланса в отличиях маршрутов» (7.50)-(7.51),
и ограничения по QoS параметрам. Аналогично предыдущему
разделу, наиболее просто учесть все показатели и ограничения в одном

374 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
критерии можно путем их линейно-аддитивной свертки. В качестве
примера можно использовать следующую формулу:
W[j] = (1 - ImpQS) x (ImpAW x (AW[j]/maxk=i...N AW[k})+
+ImpBW x {(MCR[i\ - AvCR[i])/AvCR[i}}+
+ImpDIV x {ANC[i\/MNC[i]})+
+ImpQS x (ImpCDV x {CDV[j}/E_CDV}+
+ImpCTD x {CTD[j]/E_MaxCTD}),
где:
W[j] - обобщенная стоимость линии j;
ImpAW, ImpBW, ImpDIV - относительные веса важности
отдельных критериев-метрик; это статические (управляемые) параметры,
их значения не меняются в процессе маршрутизации и определяются
путем оптимизации глобальных показателей сети на основе ее
имитационного моделирования;
ImpQS, ImpCDV, ImpCTD - относительные веса важности
параметров-ограничений (QoS параметров); это динамические
(вспомогательные) параметры, их значения итеративно меняются в ходе
поиска маршрута начиная с ImpQS = 0.
Естественно, что простая свертка нескольких критериев в один
не позволяет осуществлять эффективную многокритериальную
оптимизацию выбора маршрута. В качестве альтернативных вариантов
можно предложить более точные, но одновременно и более
трудоемкие, алгоритмы. В целях упрощения изложения материала
рассмотрим одновременный учет лишь двух критериев -
«административных весов» и «баланса пропускной способности». В качестве
статического, управляемого параметра вместо относительных весов
важности будем использовать
• DevWG - максимально допустимое относительное отклонение
значение критерия-метрики административных весов WG (см.
формулу (7.45)) от своего локально- оптимального (без учета
требования баланса пропускных способностей) значения.
В качестве динамического, итеративно изменяемого параметра
введем следующий параметр (использование которого и определяет
существенное повышение трудоемкости по сравнению с алгоритмом
свертки), общий для всех линий сети
• LimAvCR- граничное относительное (по отношению к
параметру MCR[j]) значение параметра AvCR[j], допустимое к исполь-

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 375
зованию на очередном шаге текущего процесса
маршрутизации.
Для формального описания алгоритма введем дополнительные
понятия - модифицированный административный вес линии (AW ~)
и критерий модифицированных административных весов (WG ~):
AW\j], если AvCR[j] >
лит г- г- л ^-.m I LimAvCRx MCRlj}; ,_ rr4
AW ~ [j,LimAvCR = < . „n!.,^ LJ (7.55)
LJ' ' л оо, если AvCR[j] < v '
LimAvCR x AfCfl[j];
n
WG ~ (ЬгтЛиСЛ) = J^ AW ~ [г, ЬгтАиСЯ]. (7.56)
г=1
В целях упрощения перенумеруем все m линий (приемлемых по
отношению к данной заявке после применения алгоритма GCAC)
так, чтобы AvCR[f + l]/MCR[f + 1] > AvCR[f]/MCR[f], f =
1... m. Обозначим маршрут k[l],,, k[i],,, k[n] (LimAvCR) в качестве
кратчайшего пути в соответствие с функцией длин линий WG ~
(LimAvCR_), а стоимость кратчайшего маршрута обозначим через
Min WG:
Min_WG ~ (LimAvCR) = ^AW ~ [k[i], LimAvCR]
i=i
Следующие утверждения очевидны:
1. Кратчайший путь fc[l],,, k[i],,, A;[n](Lzm_ACi?) остается
неизменным и, соответственно, Min_WG ~ (LimAvCR) = const
при изменении параметра LimAvCR в границах vlt>CR[/ +
l]/MOR[/ + 1] > LimAvCR > AvCR[f]/MCR[f].
2. Функция Min_WG ~ (LimAvCR) является монотонно
неубывающей функцией по параметру LimAvCR.
3. Для критериев-атрибутов «баланса
пропускной способности» (7.48) или (7.49) функция
BW(AvCR(k[l}),.. .,AvCR(k[i]),... AvCR(k[n])),
соответствующая кратчайшим путям по длинам линий AW ~,
является монотонно невозрастающей функцией по параметру
LimAvCR.

376 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Последние два утверждения принципиально позволяют найти
седловую точку двухкритериальнои задачи, а первое - резко снизить
трудоемкость такого поиска.
Суть работы алгоритма состоит в следующем:
1. На предварительной стадии находим безусловный кратчайший
путь по критерию административных весов (7.44), т.е.
соответствующий значению LimAvCR = AvCR[l]/MCR[l], со
значением целевой функции (7.44), равным Min_WG ~[1].
2. На основной стадии, начиная с / := m находим кратчайший
путь, соответствующий модифицированным
административным весам (7.55) и критерию (7.56) со значением LimAvCR =
AvCR[f]/MCR[f], и итеративно уменьшаем / на единицу,до
тех пор, пока не выполнится неравенство
Min_WG ~ {AvCR[f)/MCR[f}) <
< (1 + Dev_WG) x Min_WG ~ [1].
Рассмотренные подходы к учету требований по балансу
пропускных способностей различных линий по своей сути предполагают
двухэтапную процедуру:
• На этапе инженерного анализа сети, в режиме off-line,
используя имеющуюся (или предполагаемую) статистическую
информацию о параметрах входного потока заявок,
осуществляется моделирование работы алгоритма маршрутизации и
определяются искомые значения управляемых параметров (ImpAW,
ImpBW, ImpDIV или DevWG и др.) с целью оптимизации и-
или ограничения значений некоторых глобальных показателей
эффективности сети.
• На этапе функционирования сети, в режиме on-line,
осуществляется динамическая маршрутизация поступающих заявок
с целью оптимизации критериев эффективности лишь
текущего маршрута, на основе использования ранее выбранных
значений управляемых параметров.

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 377
В ситуации, когда первый этап невозможен (например,
статистика входного потока недоступна) в [141,258,264] предлагаются
алгоритмы конкурирующей маршрутизации, которые обеспечивают
оптимизацию определенных глобальных показателей сети для
достаточно широкого диапазона возможного изменения входного
трафика. Отметим, что подобного рода вопросы (обеспечение влияния
алгоритмов кратчайшего пути на показатели эффективности не только
текущего маршрута, но и всей сети в целом) впервые
рассматривались еще в [191]. Предложенные в [141,258,264] алгоритмы позволяют
оптимизировать выходные показатели «среднее количество отказов»
или «средняя загрузка пропускной способности сети».
Применительно к ранее введенным обозначениям стоимости линий (а в качестве
непосредственно методов динамической маршрутизации также
используются алгоритмы кратчайшего пути) задаются, например, в
виде
L MCR[j]-AvCR[j])/MCR[j], где L - некоторая константа,
удовлетворяющая достаточно широкому диапазону допущений о работе сети
(например, L может быть ограниченна максимальным количеством
линий в маршрутах сети). Для различных видов выходных
критериев и различных допущениях о характере заявок и соединений
(например, неограниченное или ограниченное заданной величиной
время пребывания соединения в сети) в упомянутых работах
доказываются ряд утверждений, обеспечивающих асимптотическую
оптимальность предложенных алгоритмов. В сугубо практическом плане
использование этих подходов в алгоритмах динамической
маршрутизации именно ATM сетей пока что недостаточно проработано, т.к.
они не учитывают ограничения по QoS параметрам и не позволяют
оценивать другие глобальные показатели сети.
7.5.10 Маршрутизация запасных соединений
Отдельный аспект задачи маршрутизации касается ситуации
выхода из строя и восстановления линий и узлов ATM сети. Отметим,
что в принципе один физический отказ (разрыв линии, отказ узла
и т.д.) может породить множество разрушений соединений,
проходящих через отказавший элемент.
Восстановление (Restoration) разрушенного маршрута может
производится двумя способами:

378 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
— на основе выбора запасного (backup или rerouted)
маршрута в момент установки соединения (pre-planned
restoration/protection) ;
— на основе выбора запасного маршрута непосредственно после
отказа (on-demand restoration).
В аспекте этих вопросов возникают три типа проблем:
— учет в процессе выбора основного маршрута потенциальной
эффективности его восстановления в момент выхода из строя (в
аспекте таких критериев, как «время восстановления»,
«вероятность получения отказа при восстановлении» и т.д.);
— учет в процессе выбора основного маршрута потенциальной
эффективности непосредственно запасного маршрута;
— разработка специфических алгоритмов выбора запасных
маршрутов.
Последние два требования относятся, понятно, только к первому
способу восстановления.
Касаясь первого требования, подчеркнем еще раз, что
алгоритмы динамической маршрутизации, основанные на методах поиска
кратчайшего пути лишь текущего маршрута, в своем
непосредственном виде не позволяют оптимизировать глобальные показатели
эффективности, касающиеся всей сети в целом. Рассматриваемые
алгоритмы позволяют лишь «настроиться» на определенные
глобальные показатели путем выбора управляемых параметров на основе
моделирования работы сети и определения тем самым значений этих
глобальных показателей. В части «прямых» глобальных показателей
качества восстановления (к ним относятся характеристики времени
и успешности восстановления) такую настройку практически
произвести достаточно сложно по следующим причинам:
— во-первых, моделирование процесса восстановления с целью
оценки его интегральных характеристик требует детального
знания специфики его работы, что не всегда бывает на этапе
разработки алгоритмов маршрутизации;
— во-вторых, моделирование процесса восстановления
производится совсем на другом временном уровне (микросек-
миллисек) по сравнению с моделированием алгоритмов
маршрутизации (минуты-часы).

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 379
Косвенно учесть качество алгоритмов маршрутизации в части
обеспечения процесса восстановления позволяют следующие
глобальные показатели:
— средняя длина маршрута, выражающаяся в количестве
составляющих его линий; очевидно, что чем короче маршруты в сети,
тем в среднем быстрее будет передано сообщение об отказавшем
узле-линии с места отказа в источник маршрута.
— средний разброс в количестве соединений, проходящих по
различным линиям (среднее количество этих соединений
определяется лишь средней длиной маршрута); очевидно, что чем
меньше этот разброс, тем меньше и разброс в времени доставки
сообщения с места отказа в источник маршрута.
Значения этих глобальных показателей несложно получить в
процессе моделирования работы сети на уровне алгоритмов
маршрутизации при заданных значениях их управляемых параметров.
Рассмотрим теперь оставшиеся две проблемы, относящиеся
исключительно к алгоритмам предварительной маршрутизации
(preplanned) запасных маршрутов. Первую из них проиллюстрируем на
примере алгоритмов «1+1 protection», подразумевающих выбор
запасного маршрута без всякого разделения ресурсов с другими
маршрутами, т.е. в режиме «горячего резерва» (1:1 и 1:N Protection
предполагает функционирование запасных маршрутов в режиме
холодного резерва). Простейшим решением является последовательный
выбор - сначала определяем основной маршрут, а потом для того же
соединения - запасной маршрут, не разрешая использовать для него
узлы, входящие в основной маршрут (за исключением, конечно,
источника и адресата). Недостаток такого подхода очевиден - мы
можем выбрать наилучший (по критерию суммы текущих стоимостей
линий) основной маршрут, но тем самым заблокировать выбор
многих возможных (или даже всех) запасных маршрутов, что в итоге
приведет к достаточно неудачному выбору этих двух маршрутов в
совокупности. На основе алгоритмов Беллмана-Форда или Дийкстра
можно предложить несколько подходов к одновременному
построению основного и запасного маршрутов (подробный анализ
различных подходов к построению раздельных путей содержится,
например, в [272]). Основная идея состоит в том, что на каждом шаге
алгоритма имеется не одно (как в стандартных алгоритмов кратчайшего
пути) множество ближайших узлов к источнику, а два
непересекающихся, по каждому из этих множеств ищутся ближайшие к ним узлы,

380 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
не входящие в оба из них, и далее по одному из этих узлов
присоединяются к ранее образованным множествам. Предложенный алгоритм
одновременного поиска основного и запасного маршрута является
эвристическим и не обеспечивает оптимальность выбранных
маршрутов (оптимальный выбор является очень трудоемким, т.к.
фактически сводится к решению NP-проблемы - построению кольца
минимальной длины, проходящего через два заданных узла, источника и
адресата). В связи с этим окончательный выбор основного и
запасного маршрутов рекомендуется осуществлять путем сравнения двух
вариантов - полученных путем последовательного и параллельного
выбора.
Protection-алгоритмы (см. [178]), как »1+1» так и «1:N»,
производят и поиск запасного маршрута, и установку запасного
соединения (включая работу алгоритма САС в каждом из узлов выбранного
маршрута) практически одновременно с выбором и установкой
основного маршрута-соединения, т.е. задолго до возникновения
возможного отказа. Такой подход обеспечивает высокие значения показателей
эффективности сети в аспекте восстановления разрушенных
соединений, но резко снижает эффективность использования ресурсов
сети. С другой стороны, алгоритмы «on-demand restoration» [135,136]
производят и поиск запасного маршрута, и установку запасного
соединения только после возникновения отказа, что приводит к низкой
эффективности сети в аспекте восстановления. Промежуточным
вариантом являются алгоритмы «pre-planned restoration» [234,250,301],
обеспечивающие выбор запасных маршрутов и предварительное
резервирование необходимых ресурсов сети в момент установки
основного соединения, но непосредственно установка запасного
соединения и фактическое выделение ресурсов под него (работа алгоритма
САС) производится только после возникновения отказа и
разрушения основного соединения.
В отличие от protection-алгоритмов restoration-алгоритмы
позволяют эффективно использовать одну и ту же часть пропускной
способности линии между различными запасными маршрутами. Идея
состоит в том, чтобы обеспечить восстановление отказавших линий
или узлов только в случае одиночных физических отказов. В таком
случае, запасным маршрутам, соответствующим «непересекающимся
по данному узлу-линии» основным маршрутам, могут быть
распределены одни и те же ресурсы. Алгоритмы маршрутизации запасных
соединений могут быть отказо-зависимые (в этом случае для
каждого основного маршрута строится несколько запасных - в зависимости

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 381
от возможного отказа определенной линии или узла вдоль основного
маршрута) или отказо-независимые (для каждого основного
маршрута строится лишь один запасной), отвечающие одиночным или
множественным физическим отказам, централизованные или
распределенные и т.д. Подробная классификация алгоритмов восстановления
приведена, например, в [250,301]. Рассмотрим задачу
маршрутизации запасных соединений для самого простого случая -
обеспечивающую восстановление после одиночных отказов узлов и линий, отка-
зонезависимую, применительно к использованию централизованного
менеджмента и постоянных соединений (PVC).
В дополнение к рассмотренным в разделе 7.5.8 введем следующий
квази-постоянный параметр-атрибут линии:
• MaxSp (Maximum Spare Bandwidth) - максимальная
пропускная способность, выделенная всем запасным соединениям,
планируемым к установке по данной линии в случае выхода из
строя некоторых основных маршрутов.
Отметим, что в отличие от параметров линий MCR и AvCR,
относящихся к каждой отдельной категории обслуживания, параметр
MaxSp относится ко всем категориям обслуживания сразу. Жесткое
разделение значений параметров по категориям обслуживания
существенно снижает эффективность использования ресурсов сети, но
в случае основных соединений оно обусловлено спецификой работы
алгоритма С АС, призванного обеспечить при установке соединения
выполнение требований по QoS параметрам. В случае
маршрутизации запасных соединений непосредственно установка соединений не
производится (ресурсы только предварительно резервируются с
высокой степенью совмещения между отдельными запасными
соединениями), в связи с чем жесткое разделение ресурсов нецелесообразно.
Рассмотрим некоторую линию j и проходящие через нее запасные
маршруты. Разобьем все эти запасные маршруты на группы с
номерами 1,... ,г,... N (взаимопересекаю щиеся), соответствующие
узлам, через которые проходят отвечающие им основные маршруты.
Таким образом, группа номер i состоит из K[i] запасных
маршрутов, основные маршруты которых проходят через узел i. Допустим,
что в процессе маршрутизации запасных соединений через линию j
каждому из них выделена эквивалентная пропускная способность в
размере EBW_j[m,i],m = 1,... ,K[i]. Тогда очевидно, что
необходимым условием корректного разделения значения MaxSP[j] между

382 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
отдельными запасными маршрутами будет выполнение следующих
неравенств для каждого из г:
EBW_j'[l,t] +.. .+EBW_j[m,i} +.. . + EBW_j[K\i],i] < MaxSp\j].
(7.57)
Подчеркнем еще раз, что установка и, соответственно, работа
алгоритма САС, запасного соединения производится только после
разрушения основного маршрута. В связи с этим используемые в
неравенстве значения EBW являются не итогом выполнения алгоритма
САС (как в случае маршрутизации основных соединений при
вычислении значения AvCR), а лишь результатом предварительного
анализа типа алгоритма GCAC. В случае централизованной
маршрутизации для определения значений EBW целесообразно применять
комбинированный подход, используя как результаты приближенных
прямых вычислений эквивалентной пропускной способности в
зависимости от параметров соединения и линии (см., например, формулы
в [180,217]), так и статистику в части фактических значений EBW
по основным соединениям (результаты работы САС), ранее
установленных по данной линии. Очевидно, что маршрутизация запасных
соединений, выполняемая в рамках выделенной пропускной
способности MaxSp[j], не должна оказывать никакого влияния на значения
параметров линии MCR, AvCR и в целом на маршрутизацию
основных соединений. С другой стороны, при выборе запасных
маршрутов целесообразно учитывать текущее состояние в части основных
маршрутов по отдельным категориям обслуживания. Таким образом,
следует произвести следующую модификацию алгоритмов
маршрутизации применительно к запасным соединениям:
• В части GCAC: для поступившей заявки производится
вычисление эквивалентной пропускной способности запасного
соединения - EBW _j - для каждой из возможных линий j, исходя
из параметров соединения и линии, а также статистики ранее
установленных по этой линии соединений данной категории
обслуживания; для каждой линии проверяется неравенство (7.57)
для всех узлов i, входящих в основной маршрут данного
соединения, с учетом вновь вычисленного значения EBW _j.
• В части непосредственно выбора маршрута: учет параметров
качества обслуживания производится также, как и для
основных маршрутов, учет баланса в отличиях маршрутов не про-

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 383
изводится вовсе (прогнозировать восстановление самих
запасных маршрутов в случае их разрушения уже после активации
представляется нецелесообразным), учет же баланса
пропускных способностей производится в аспекте всех запасных
соединений, входящих в одну группу с исследуемым (для основных
соединений он производился в привязке к категории
обслуживания). Таким образом, для алгоритма свертки вместо
формулы вычисления обобщенных стоимостей линии необходимо
использовать следующую формулу:
W\j] = (1 - ImpQS) x (ImpAW x (AW[j}/ maxk=1...N AW[k})+
+ImpBW x (MaxSp\j\ - (maxk=i...NUseSp[i,j])/MaxSp[i]))+
+ImpQS x (ImpCDV x CDV[j]/E_CDV+
+Imp_CTD x CTD[j]/E_MaxCTD)
где UseSp[i, j] - фактическая часть пропускной способности j-
й линии, выделенная для восстановления основных маршрутов
в случае отказа г-го узла, входящего в основной маршрут, п -
количество узлов в основном маршруте рассматриваемого
соединения,
UseSp[i,j] = EBW_j[l,i]+.. .+EBW _j[m,i)+.. .+EBW_j[K[i],i]
7.5.11 Выбор оптимального алгоритма и значений его
параметров
Различные алгоритмы динамической маршрутизации образуют
открытую подсистему алгоритмов. В конкретной ATM сети часть
этих алгоритмов может применяться одновременно (точнее,
последовательно) в ходе выбора одного, текущего маршрута - например,
алгоритм GCAC, далее простой алгоритм свертки отдельных
показателей в одну обобщенную стоимость линии, а в случае неудачного
поиска - алгоритм гарантированного поиска маршрута с заданными
QoS параметрами. Часть алгоритмов является взаимозаменяемой,
т.е. применяется лишь один алгоритм из всех возможных - например,
для учета баланса пропускных способностей допустимо использовать

384 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
алгоритм свертки, или алгоритм многокритериальной оптимизации,
или же алгоритм конкурирующей маршрутизации. Конкретный
выбор наиболее подходящих алгоритмов, а также значений их
управляемых параметров должен произодится на основе моделирования
исследуемой сети при тех или иных значениях управляемых
параметров и определения тем самым глобальных показателей
эффективности сети.
Анализ методов имитационого моделирования ATM сетей
Ввиду сложности объекта исследования аналитическое
моделирование работы алгоритмов маршрутизации при динамическом
изменении входной нагрузки (параметров поступающего трафика) не
представляется возможным, целесообразно применять лишь
имитационное моделирование.
Имитационное моделирование работы ATM сети на уровне
установки-разрыва соединения можно осуществлять на основе
следующих средств:
• Универсальных языков программирования (СИ, Паскаль и
т.п.).
• Универсальных языков моделирования и обеспечивающих
их программных средств - GPSS (см. [50]), SES (см.
HTTP://www.ses.com_), ARENA (см. HTTP://www.sm.com ) и
т.п.
• Специализированных средств моделирования,
ориентированных на исследование именно
вычислительных сетей - OPNET (см. HTTP://www.mil3.com ),
BONES (см. HTTP://www.alta.com), COMNET(cm.
HTPP://www.caciasl.com ) и др.
На первый взгляд, наиболее целесообразно использовать
средства третьей группы, тем более во всех из них имеются
специальные программные модули моделирования именно ATM сетей. Но, на
наш взгляд, практически использование этих специализированных
средств эффективно и оправданно только при анализе стандартных
конфигураций и алгоритмов. Это объясняется тем, что
специализированные программные системы моделирования вычислительных
систем построены по иерархическому принципу. При исследовании

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 385
типовых конфигураций и алгоритмов в используемых модулях
достаточно лишь изменить значения отдельных параметров -
интенсивности поступления заявок, количества узлов и т.п. Такие изменения
прозводятся на верхнем уровне описания модели и осуществляются
очень быстро, практически без необходимости более-менее
детального изучения работы используемой системы моделирования. При
необходимости осуществления более глубоких изменений в используемой
типовой модели (например, модифицировать типовую структуру
узла ATM сети в части количества портов узла и схемы их коммутации)
необходимо спуститься на следующий уровень описания модели, что
требует более глубоких знаний в части применяемой системы
моделирования. На самом нижнем уровне изменения производятся в
части схем описания переходов между состояниями (State Transition
Diagrams). Поэтому, хотя в специализированные системы
моделирования и включены базовые средства маршрутизации (например, в
системе OPNET есть средства статической распределенной
маршрутизации на основе алгоритмов Беллмана-Форда, обеспечивающих
поиск кратчайшего пути), модифицировать их с целью
использования дополнительных возможностей достаточно непросто.
В недалеком прошлом наиболее широкоиспользуемым
универсальным средством моделирования был язык GPSS, получивший
свое начало более тридцати лет назад. Этот язык был реализован
практически на всех ЭВМ - от IBM/360 и ЕС ЭВМ до ПЭВМ.
Последние версии реализации этого языка на ПЭВМ позволяют
эффективно использовать расширенную память, графический режим,
меню, подсказки и другие особенности современных PC. Но
принципиальные особенности GPSS (в первую очередь - реализация его в
виде интерпретатора) не позволяют эффективно использовать его в
сочетании с универсальными языками программирования. В связи с
этим данный язык целесообразно использовать при моделировании
непосредственно сетей массового обслуживания (и учете таких
особенностей, как очереди, приоритеты, ресурсы и т.п.) , но при
необходимости учета «не стохастических» особенностей (например,
описании и расчете алгоритмов кратчайшего пути) данный язык, на наш
взгляд, недостаточно эффективен.
Ярким примером языка, позволяющим легко и гибко
использовать средства универсальных языков программирования (а именно
- СИ++) непосредственно в теле программы моделирования,
является SES. Большая часть операторов СИ++ встроена в язык SES,
поэтому в отличие от GPSS, в котором обращение к подпрограм-

386 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
мам на универсальных языках осуществляется посредством
оператора CALL, программы на SES позволяют легко реализовывать
алгоритмы кратчайшего пути, алгоритмы GCAC и прочие
рассмотренные выше подходы. В связи с этим при моделировании алгоритмов
маршрутизации ATM сетей использовалось именно средство SES.
Пример моделирования алгоритма маршрутизации
Исследовался алгоритм свертки, рассмотренный в разделе 7.5.9,
при этом анализировались 4 конфигурации сети [259]:
• Однородная сеть из 16 узлов и 48 линий, все линии - STM-1;
• Неоднородная сеть из 16 узлов и 48 линий, 44 линии - STM-1 и
4 линии - DS-3;
• Однородная сеть из 36 узлов и 120 линий, все линии - STM-1;
• Неоднородная сеть из 36 узлов и 120 линий, 112 линий - STM-1
и 8 линий - DS-3.
Выборочные результаты моделирования (в части второй
конфигурации) приведены в таблице 7.8.
В качестве глобальных показателей эффективности сети
оценивались следующие:
• A11_R ejects - частота отказа поступившей заявке (% );
• Av_Hops - средняя длина маршрута (в количестве линий);
• GCAC_R - частота отказа поступившей заявке вследствие
работы алгоритма GCAC (% );
• QS_R - частота отказа поступившей заявке вследствие
невозможности удовлетворения ее QoS параметров в ходе выбора
маршрута (% );
• CAC_R - частота отказа поступившей заявке вследствие
работы алгоритма САС (% );
• A_AvCR - среднее значение параметра линии AvCR
(количества свободной пропускной способности).

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 387
В качестве косвенного показателя эффективности,
характеризующего непосредственно алгоритм маршрутизации, использовался
также следующий:
• Ch_QS - частота изменения в ходе поиска маршрута
динамических весов важности QoS параметров, обеспечивающих в
результате успешный (без отказа) выбор маршрута (% ).
Отметим, что имитационное моделирование по своей сути
является вероятностным процессом и поэтому в целях получения
корректных результатов необходимо определять не только средние значения
выходных показателей, но и их доверительные интервалы. Для
динамических систем, характеризующихся наличием корреляции между
последовательными событиями, данная задача требует повышенной
трудоемкости моделирования. Так, например, для обеспечения
средствами SES (а именно - методами оценки автокорреляции)
относительной погрешности моделирования 10% с уровнем достоверности
в 95% по всем из 7-и введенным выходным показателям
необходимо для каждого из экспериментов использовать 50 часов машинного
времени ЭВМ SUN-UltraSparc. Безусловно, суммарную (по всем
экспериментам) трудоемкость моделирования в принципе можно
существенно снизить посредством применения методов «Importance Sam-
pling»(cM., например, [265]), базирующихся на теории
регенеративных случайных процессов. Но если при моделировании
непосредственно сетей массового обслуживания распознать регенеративные
циклы не представляет особого труда и поэтому упомянутые методы
оказываются весьма эффективными (см., например, [35]), то
применительно к моделированию маршрутизации эта задача
представляется очень сложной. В связи с этим корректная оценка доверительных
интервалов производилась только для первых двух (основных)
показателей, для остальных же 5-и показателей определялись лишь
средние значения. Такой комбинированный подход позволил по каждому
из 100 экспериментов собирать трассу из 100,000 устанавливаемых
соединений, по каждому из экспериментов машинное время
моделирования составляло 2... 5 часов.
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующие
выводы:
1. Относительная ошибка результатов моделирования в части
показателя «Средняя длина маршрута» достаточно мала и не
превышает 1% (с уровнем достоверности 95% ) для каждого из 100
проведенных экспериментов. В части показателя «частота отказов» отно-

388 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
Таблица 7.8. Результаты моделирования неоднородной сети из 16
узлов
End-
to-
End
Мах-
CTD
(ms)
100
30...60
End-
to-End
_CDV
(ms)
6
1.6...2.6
Imp
_BW
1.0
0.6
0.0
1.0
0.6
0.0
1.0
0.6
All Rejects
(%)
8.9 +/- 0.4
8.7 +/- 0.4
12.8 +/- 0.6
8.1 +/- 0.4
8.3 +/- 0.4
12.8 +/- 0.6
8.4 +/- 0.4
8.6 +/- 0.4
Av Hops
3.09 +/- 0.01
2.86 +/- 0.01
2.97 +/- 0.02
2.93 +/- 0.01
2.74 +/- 0.01
2.81 +/- 0.02
2.92 +/- 0.01
2.74 +/- 0.01
GCAC
R
(%)
6.4
4.6
4.0
3.4
2.8
2.0
3.6
3.0
CAC
R
(%)
3.6
4.2
8.8
2.8
3.3
7.2
2.9
3.3
QS
R
(%)
0
0
0
1.9
2.2
3.6
2.1
2.2
A
AvCR
(Mb)
19.8
26.0
24.4
23.6
29.0
28.1
23.0
29.2
Ch QS
( % )
0
0
0
4.6
0.9
1.2
4.6
1.0
В случае идеального алгоритма GCAC (идентичного САС)
100
30.. . 60
6
1.5. . .2.6
0.0
0.0
9.8 +/- 0.6
9.6 +/- 0.4
3.03 +/- 0.02
2.86 +/- 0.01
9.8
4.4
0
0
0
6.1
20.6
26.8
0
1.1
сительная погрешность достаточно высока и находится в пределах
5... 10% . Для получения более точных результатов (обеспечения
погрешности порядка 1% ) необходимо значительно увеличить время
моделирования, до 100... 500 часов для одного эксперимента.
2. Рассмотренный в разделе 7.5.9 управляемый параметр ImpBW
существенно влияет на значения выходных показателей:
• Значение частоты отказов намного меньше при использовании
алгоритма свертки по сравнению с использованием алгоритма
«минимум прыжков» (отметим, что последний алгоритм
соответствует алгоритму свертки при значении ImpBW = 0).
• Средняя длина маршрута также меньше для алгоритма
свертки по сравнению с алгоритмом «минимум прыжков». Это очень
интересный и важный факт, т.к. при каждом текущем поиске
последний алгоритм обеспечивает безусловный минимум длины
вычисляемого маршрута; но когда линия становится
заблокированной (вследствие полной загрузки ее пропускной
способности), данный алгоритм может быть вынужден использовать
намного более длинные маршруты. Учет показателя «баланса

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 389
пропускной способности» приводит к более равномерному
использованию всех линий и, в связи с этим, более редким
блокировкам отдельных линий.
3. Использование в алгоритме свертки динамических весов
важности QoS параметров (ImpQS, ImpCDV, ImpCTD) позволяет
снизить значение показателя QS_R в 2... 4 раза. Использование
динамических весов незначимо только для алгоритма «минимум
прыжков» применительно к однородной сети, т.к. в этом случае маршрут с
минимальным количеством линий обеспечивает одновременно и
наилучшие значения в части QoS параметров (влияние протяженности
линий на значение параметра линии MaxCTD не учитывалось).
Применительно к неоднородной сети даже алгоритм «минимум
прыжков» (не говоря уже о алгоритмах, учитывающих баланс пропускных
способностей) весьма чувствителен к значениям динамических весов
важности QoS параметров, т.к. линии STM-1 и DS-3
характеризуются различными значениями параметра CDV (см. таблицу 7.6.).
4. В части влияния QoS параметров заявок на эффективность
функционирования сети:
• Предварительный анализ приводит к парадоксальному выводу
- после усиления QoS требований со стороны заявок (снижения
MaxCTD со 100 до 30... 50 мс и CDV с 5 до 1.5... 2.5 мс) мы не
наблюдаем увеличения суммарной частоты отказов. Более
того, в некоторых случаях мы наблюдаем даже незначительное (в
пределах гарантированного доверительного интервала)
уменьшение значения показателя All_Rejects. Данный факт
объясняется следующим. Частота отказа вследствие неудовлетворения
QoS требований возрастает с 0% до 1.2 - 3.6 % , но
большинство из этих отказов отвечают заявкам с большим расстоянием
( в смысле количества линий) от источника до адресата - этот
вывод подтверждается также уменьшением средней
длительности маршрута на 5 % . Это приводит к резкому (на 10... 15 % )
увеличению значения доступной пропускной способности -
параметра A_AvCR, вследствие чего количество отказов
вследствие работы GCAC и САС существенно уменьшается, что в
итоге перевешивает увеличение показателя QS_R! Очевидно,
что в аспекте эффективности работы сети целесообразно
отказывать заявкам на «длинные» соединения, но в аспекте
обслуживания конечных пользователей такой подход, естественно,
неприемлем. Таким образом, при сравнении вариантов с раз-

390 Глава 7. Алгоритмы маршрутизации
ной входной нагрузкой ориентироваться лишь на показатели
All_Rejects и Av_Hops неправомерно. В этом случае мы
должны использовать более сложные выходные (глобальные)
показатели, учитывающие исходное ( независимое от
окончательного выбора маршрута, т.е. соответствующее простому алгоритму
«минимум прыжков») расстояние от источника к адресату. В
качестве примера такого показателя можно привести
следующий - «Произведение частоты отказов на исходное расстояние
от источника до адресата».
• Чтобы проверить данные выводы, был проведено несколько
более длинных экспериментов с целью обеспечения
доверительного интервала с 1% -й относительной погрешностью, собиралась
также дополнительная статистика с целью учета исходного
расстояния от источника до адресата. Полученные результаты (см.
таблицу 7.9) подтвердили вышеприведенные выводы.
5. Наблюдается достаточно большое значение частоты отказов
вследствие работы алгоритма САС (особенно при использовании
алгоритма «минимум прыжков», никак не учитывающего требования
по балансу пропускных способностей), хотя до его выполнения линии
проверяются посредством алгоритма GCAC. Это свидетельствует о
недостаточной эффективности используемого стандартного
алгоритма GCAC и о необходимости его модификации (возможные
направления этого обсуждались в разделе 7.5.10). Улучшение алгоритма
GCAC позволит существенно снизить общую частоту отказов.
Например, в случае использования идеального GCAC, полностью
идентичного алгоритму САС, снижение общей частоты отказов достигает
25%.

Динамическая маршрутизация в ATM сетях 391
Таблица 7.9.
Выходные показатели
All_Rejects
Av_Hops
Исходное расстояние от
источника до адресата
(среднее значение)
Исходное расстояние от
источника до адресата
для заявок, получивших
отказ вследствие
значений их QoS параметров
Исходное расстояние от
источника до адресата
для всех заявок,
получивших отказ
Произведение частоты
отказов на исходное
расстояние от источника
до адресата
Слабые QoS
требования (строка 1 Табл.4)
8.61 +/- 0.09
3.08 +/- 0.01
2.67
-
3.09
26.5
Высокие QoS
требования (строка 4 Табл. 4)
8.29 +/- 0.07
2.94 +/- 0.01
2.67
4.32
3.39
28.1

ГЛАВА 8
Оптимизация топологической
структуры компьютерной сети
8.1 Принципы топологического
проектирования сетей передачи информации
Первым этапом проектирования компьютерной сети является
выбор технических средств и системы протоколов (включая способы
коммутации и доставки данных в региональной и базовой сети).
Второй этап проектирования требует решения совокупности сложных
взаимосвязанных задач, к которым относятся: оптимизация
пропускной способности каналов связи; выбор маршрутов; оптимизация
топологической структуры; выбор методов управления потоками и
определение параметров управления; анализ объемов буферной памяти
узлов коммутации и маршрутизации и выбор стратегии буферизации
при перегрузках и т.д.
Формально задача проектирования глобальной сети сводится к
отысканию минимума функционала приведенной стоимости
C(U, П, Y) -► min (8.1)
при наличии ограничений на вероятностно-временные и структурные
характеристики сети
Vi(U,n,Y)<Vi0 (8.2)
и требовании принадлежности множества вариантов архитектуры
сети Q(U, Q, Y), удовлетворяющих ограничениям (8.2), к области тех-

Принципы топологического проектирования 393
нически реализуемых решений
Q(U,n,Y)£Q0 (8.3)
Здесь U- векторная величина, отражающая параметры сетевой
нагрузки, включая интенсивности потоков сообщений между каждой
парой узлов коммутации сети, распределение длин сообщений,
приоритетность потоков сообщений и т.д.; Q, - векторная величина,
представляющая собой совокупность параметров технических средств,
включая производительность узлов коммутации и каналообразую-
щей аппаратуры, надежность технических средств, достоверность
передачи информации и т.д.; Y - векторная величина, отражающая
параметры логической структуры сети.
Средством решения описанной общей задачи проектирования
является создание комплекса математических моделей (среди которых
важное место занимают модели сетей МО) и программ
проектирования компьютерной сети. При этом высокое качество проектирования
может быть достигнуто только в том случае, когда отдельные
методы и модели объединены на основе системного подхода в единую
систему проектирования, охватывающую все или большую часть
задач проектирования.
Наличие трудно формализуемых фактов и ограничений,
приближенность некоторых исходных данных и многокритериальный
характер общей задачи проектирования вызывает необходимость
использования интерактивного (диалогового) режима проектирования.
Такой режим позволяет объединить в едином процессе современные
математические методы и алгоритмы оптимизации с опытом и
интуицией проектировщика. Это обеспечивает проектировщику
возможность контроля за ходом проектирования и активного вмешательства
в процесс поиска оптимальных решений.
Практическая невозможность постановки и решения в рамках
одной математической задачи всего комплекса проблем
проектирования сети приводит к необходимости использования процедуры,
основанной на декомпозиции. Такая декомпозиция возможна как на
структурном уровне, так и на уровне решения отдельных задач
проектирования и позволяет перейти от задачи большой размерности к
последовательности задач меньшей размерности.
Декомпозиция на структурном уровне означает, что
проектирование компьютерной сети сводится к независимому проектированию
ряда подсетей при соблюдении условий совпадения или близости
оптимальных решений задачи проектирования сети и соответствующих

394 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
решений для подсетей. К числу таких условий относятся следующие:
подсети по области ограничений должны быть независимы;
целевая функция сети является строго монотонной функцией от целевых
функций подсетей [84].
В качестве критерия при проектировании компьютерной сети
часто выбирают обобщенный экономический критерий - приведенные
затраты, включающие стоимость аренды линий связи в базовой и
региональных сетях, а также приведенную стоимость УК. Другие
критерии (среднее время задержки, надежность и т. д.)
используются как ограничения при решении задачи проектирования. Очевидно,
что при таком выборе критерия и ограничений указанные выше
условия выполняются при декомпозиции глобальной компьютерной сети
на базовую и региональные сети в силу аддитивности ограничений
и целевой функции, представляющей собой сумму приведенных
затрат для базовой и региональных сетей. Это позволяет осуществлять
независимо проектирование базовой и региональных сетей.
Декомпозиция на уровне проектирования базовой и
региональных сетей означает создание многоуровневой иерархии
взаимосвязанных моделей, анализ которых позволяет получить решение
общей задачи проектирования для каждой из таких сетей и тем самым
в соответствии с принципом независимости1 решение задачи
проектирования компьютерной сети в целом.
Таким образом, в основу проектирования компьютерной сети
положены следующие общие принципы: интерактивности;
независимости; многоуровневого моделирования, а также принцип адаптивности
и развития, смысл которого состоит в следующем. Создание столь
крупного проекта неизбежно связано с поэтапным вводом в
эксплуатацию и развитием сети. Соответственно при проектировании
необходимо учитывать динамику развития сети, возможность
проектировать сеть при изменяющихся исходных данных и параметрах с
минимальными затратами на изменение моделей и соответствующих
программ. Более того, для решения одной и той же задачи
проектирования необходим набор математических моделей, позволяющих
находить как точное решение для сети небольшой размерности
(вводимой на первых этапах), так и приближенное решение для сетей
большой размерности.
1 Описанный здесь принцип независимости проектирования базовой и
региональных сетей следует отличать от принципа независимости Клейнрока (раздел
6.1), имеющего другой смысл.

Принципы топологического проектирования 395
Наряду с общими принципами непосредственно при
проектировании базовой и региональных компьютерных сетей используется ряд
частных принципов (например, принцип двухсвязности), описание
которого дается в следующих разделах.
Описанные выше принципы проектирования компьютерной сети
были положены в основу разработки системы автоматизации
проектирования (см. рис.8.1), представляющей собой совокупность
взаимосвязанных глобальных и локальных моделей вычислительных сетей,
реализованных в виде единого программного комплекса [30,57,76].
Она включает: блок исходных данных; подсистему выбора
топологии, маршрутов и пропускных способностей каналов связи;
подсистему анализа потоков и задержек в сети с межконцевым
механизмом управления потоком и выбора параметра управления;
подсистему анализа надежости; подсистему анализа буферной памяти;
подсистему анализа протоколов; подсистему имитационного
моделирования вычислительных сетей; подсистему проектирования
беспроводных сетей; блоки анализа и выбора алгоритма проектирования.
Каждая из перечисленных подсистем базируется на
соответствующих библиотеках программ, реализующих как известные, так и
оригинальные точные и приближенные методы исследования
моделей компьютерных сетей. Выбор метода решения осуществляется на
основании анализа параметров сложности модели сети и
формализованных характеристик метода. Диалоговая процедура
проектирования сети, основанная на многоуровневой иерархии моделей,
представляет собой сходящийся итерационный процесс. Модели каждого
последующего уровня учитывают большее количество характерных
черт проектируемой сети при фиксации параметров, определенных
на предыдущих уровнях. Если полученные на определенном этапе
проектирования параметры сети не удовлетворяют требованиям
технического задания, то осуществляется повторный расчет на всех
предыдущих этапах с изменением соответствующих ограничений.
Система автоматизации проектирования является открытой и
позволяет автономно использовать отдельные подсистемы и их
совокупности, а также подключать новые подсистемы. С целью облегчения
работы пользователей предусматриваются диалоговый режим и
использование машинной графики.
В заключение отметим, что пакет программ расчета сетей МО
играет важную роль в системе автоматизации проектирования и
используется для решения практически всех задач проектирования
сети.

396 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
Рис. 8.1. Система автоматизации проектирования компьютерных
сетей

Задача синтеза топологии 397
8.2 Описание задачи синтеза топологии;
исходные данные
Задача синтеза топологической структуры является одной из
основных при проектировании компьютерной сети и состоит в
выборе оптимальной схемы соединения узлов коммутации и
концентрации, выборе пропускной способности линий и оптимальных
маршрутов передачи информации. Выбор топологической структуры
осуществляется по критерию минимума суммарной годовой аренды
каналов связи при наличии ограничений на время задержки и
надежность передачи информации. Требование надежности при
проектировании базовой и терминальных компьютерных сетей учитываются
введением ограничений на связность сети (количество независимых
маршрутов из узла источников в узел адресат) и количество
переприемов в маршруте (количество промежуточных узлов коммутации
или концентрации). Предполагается, что количество переприемов не
больше двух и используется принцип двухсвязности1. В соответствии
с этим каждая пара источник - адресат связана по крайней мере
двумя путями, не имеющими общих узлов и каналов. Таким образом,
при выходе из строя узла или канала связи сеть сохраняет
работоспособность.
Исходные данные для топологического проектирования
информационной сети базируются на требованиях технического задания
к объемнофункциональным и технико-экономическим
характеристикам информационной сети и включают:
- технико-экономические характеристики узлов коммутации и
концентрации информации, каналов и аппаратуры передачи данных;
- требования к времени задержки надежности и достоверности;
- матрицу потоков сообщений от источников к адресатам;
- объемы информационных и служебных сообщений
передаваемых по сети;
- зависимость стоимости аренды от длины и пропускной
способности каналов связи.
В России тарифы на аренду каналов связи дифференцированы в
зависимости от длины каналов связи (тарифных зон)и пропускной
способности.
1 Условие двухсвязности характерно для многих отечественных и зарубежных
компьютерных сетей.

398 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
Нелинейная зависимость стоимости от длины и пропускной
способности каналов связи значительно усложняет решение задачи
синтеза топологической структуры, не позволяя непосредственно
использовать простые аналитические результаты, полученные в п.
6.3.2. Поэтому для проектирования компьютерной сети, которая в
соответствии с принципом независимости осуществляется
независимо для базовой и региональных сетей, используются более сложные
численные алгоритмы, описанные в этой главе.
8.3 Комбинаторный алгоритм топологической
оптимизации сети передачи информации
Рассмотрим комбинаторный алгоритм1 решения задачи выбора
оптимальной схемы соединения узлов коммутации пакетов выбора
маршрутов и пропускной способности линий, который использовался
на разных этапах проектирования и развития базовой сети системы
«Сирена», а также других крупномасштабных сетей.
Комбинаторный подход опирается на представления сети
передачи данных в виде конечного графа без петель и кратных ребер,
вершиной которого соответствуют узлам сети, а ребра - линиям
связи. Такое представление удобно для изучения характеристик сети,
т.к. эти характеристики эквиваленты различным инвариантам
графа, исследование которых ведется методами хорошо разработанной
теории графов.
Применение теории перечисления графов для решения задачи
топологической оптимизации долгое время считалось
бесперспективным из-за необходимости исследования значительного числа
возможных вариантов соединения линий связи. Например, в сети из 10 узлов
существует 245 вариантов расположения линий связей, включая
множество тривиальных случаев. Если предположить, что анализ
каждого варианта составляет 1 с (на самом деле эта цифра значительно
больше, т.к. анализ включает в себя проверку надежностных
показателей, решение задачи выбора пропускных способностей и
распределения потоков), то на исследование всех вариантов потребуется
Программная реализация этого алгоритма, а также алгоритма «насыщения
сечения» [83,120] положена в основу подсистемы топологического
проектирования.

Комбинаторный алгоритм 399
более чем 9 х 10 лет. Даже для малых сетей с числов узлов б и 7
потребуется соответственно 8,8 ч. и 24,2 сут.
Тем не менее в последнее время комбинаторный подход находит
все более широкое применение при решении задачи топологической
оптимизации. Это связано во-первых с повышением
производительности ЭВМ, используемых для расчета комбинаторных задач; во-
вторых с разработкой новых эффективных алгоритмов генерации
графов с заданными свойствами и, наконец, большой опыт
разработки и эксплуатации сетей передачи данных позволяет достаточно
обоснованно формулировать требования к проектируемой сети,
которые существенно сужают класс возможных решений задачи
топологической оптимизации.
Ниже дается описание ряда комбинаторных алгоритмов
топологической оптимизации, которые учитывают основные реальные
требования, выдвигаемые при проектировании компьютерных сетей.
Необходимость разработки комбинаторных алгоритмов вызвана
по крайней мере следующими причинами:
1. Крупномасштабные сети передачи данных обычно
проектируются поэтапно, причем размерность сети на первых этапах
невелика, что позволяет получать точное решение задачи топологической
оптимизации с помощью комбинаторных алгоритмов. В тоже время
известные приближенные алгоритмы [83,105] не позволяют находить
точное решение даже для сетей небольшой размерности. При этом
лучшие эвристические алгоритмы по данным разработчиков дают
погрешность до 10%.
2. Наличие точного решения позволяет оценить качество
известных и вновь разрабатываемых эвристических алгоритмов.
3. Комбинаторные алгоритмы предоставляют широкие
возможности для изучения свойств оптимальных решений и оптимизируемой
функции, что в свою очередь создает предпосылки для разработки
новых эффективных алгоритмов.
Разработанные алгоритмы программно реализованы в пакете
прикладных программ синтеза топологии сетей передачи данных,
которые включают:
- точный и приближенный алгоритм конструктивного
перечисления графов для решения задачи топологического синтеза сети
минимальной стоимости при наличии ограничений на надежность.
Указанные алгоритмы эффективно используются на этапе предпроект-
ного исследования сети;

400 Глава, 8. Оптимизация топологической структуры
- комбинаторные алгоритма точного и приближенного решения
задачи синтеза топологии, выбора пропускных способностей и
маршрутов, применяемые на этапе технического проектирования и в
процессе развития компьютерной сети;
- алгоритм «насыщения сечения»;
- алгоритмы решения задачи топологического синтеза сетей с
повышенными требованиями к надежности (проектирование сетей с
количеством независимых путей между каждой парой узлов большим
Двух);
- эвристические алгоритмы задач синтеза топологии сетей
большой размерности.
8.4 Оптимизация топологической структуры
по критериям стоимости и надежности
В ряде случаев представляет интерес более простая задача
топологической оптимизации в постановке которой не учитывается
требование к информационным потокам, проходящим по сети. Такая
задача решается на предпроектнои стадии создания сети в условиях
отсутствия подробной информации о сетевых протоколах, матрице
интенсивности входных потоков и т.д.
Пусть сеть описывается графом Go(V, Eq), где N = \V\ — число
вершин и Mq = \Eq\ — число ребер графа Go-
Рассмотрим остовной подграф G(V,E) графа Go в котором N =
\V\, М = \Е\. Обозначим: D(G) диаметр графа G, a D(G — e) и
D(G — v) — диаметры графа G — е, полученного из графа G
удалением произвольного ребра, и графа G — v полученного из графа G
удалением произвольной вершины. Всем ребрам графа G приписаны
неотрицательные веса, равные стоимости аренды каналов между
парой узлов коммутации. Под стоимостью графа G понимается сумма
весов, входящих в G ребер (обозначается (C(G)). Обозначим через
X — множество всех остовных подграфов графа Go-
Тогда постановка задачи синтеза топологической структуры СПД
имеет следующий вид:
Найти такой подграф G', что:
C(G') = min{G(G)} (8.4)
при следующих условиях:
D(G) < di
(8.5)

Оптимизация по критериям стоимости и надежности 401
D(G — е) <d,2 для любой е <Е Е (8.6)
D(G — х) <d,2 для любой х £ V (8.7)
Условие (8.5) по определению диаметра графа эквивалентно
ограничению на длину кратчайшего пути между каждой парой вершин.
Условия (8.6) и (8.7) ограничивают длины кратчайших путей между
каждой парой вершин при удалении ребра или вершины в графе G.
Задача (8.4)-(8.7) является сложной iVP-полной задачей
дискретного программирования. Прежде чем описать алгоритм решения
задачи (8.4)-(8.7), остановимся на способе получения нижней оценки
стоимости сети. С одной стороны, она позволяет оценить
предварительные расходы на создание сети (что очень важно на предпроект-
ной стадии создания сети), с другой стороны, нижняя оценка
стоимости будет использована как важный этап в комбинаторном алгоритме
решения задачи.
Обозначим М число ребер сети и определим нижнюю оценку
стоимости сети с М ребрами. Для определения нижней оценки
используется следующий прием: условия (8.5)-(8.7) не учитываются, а условие
двусвязности графа заменяется на необходимое условие
deg (v e V(G)) > 2.
Кроме того, вводится новое условие, состоящие в том, что сеть
содержит М ребер:
У] deg v = 2М
veV(G)
Таким образом необходимо решить следующую задачу:
Найти
C(G') = nun{C(G)},
^2 deg v = 2M и deg (v e V(G)) > 2.
veV(G)
Для решения задачи этой задачи может быть использован
следующий алгоритм. Пусть С^— вес приписанный ребру, инцидентному
вершинам г и j.
Шаг 1. Сортировка строк матрицы || Сц ||. Строки матрицы
|| dj || сортируются в порядке возрастания стоимостей. Таким
образом, для каждого узла г в г-й строке матрицы || Су || содержатся
если

402 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
стоимости соединения г-го узла со всеми остальными узлами в
порядке возрастания (предполагается dj = оо).
Шаг 2. Для каждой строки матрицы || С^ || выбрать первые два
элемента, то есть положить
N 2
г=1 j=l
Шаг 3. Остальные iV2 — 2N элементов матрицы || Сц ||
расположить в порядке возрастания их стоимостей, то есть из оставшихся ее
элементов сформировать вектор С = {Cr} : Ci < Cj при г < j.
Шаг 4- Выбрать первые 2 — 2N элементов вектора С, то есть
2M-2JV _
ПОЛОЖИТЬ С| = X] Сг-
г=1
Шаг 5. Вычислить нижнюю оценку стоимости сети с М ребрами:
С* = (С* + С|)/2 (оценка делится пополам, так как полученное
алгоритмом решение содержит 2М ребер, а в решении должно быть М
ребер).
Шаг 6. Конец работы алгоритма.
Легко видеть, что трудоемкость алгоритма определяется шагом
1 (или 3) и равна 0(iV2log./V). Число ребер М обычно неизвестно.
Поэтому для получения нижней оценки стоимости сети необходимо
определить границу числа ребер, при которой выполняются условия
(8.5)-(8.7).
Таким образом, для просмотра множества допустимых решений
можно предложить алгоритм, который заключается в следующем.
Вначале определяется нижняя граница числа ребер Mmjn. Для
заданного числа узлов iV и ребер М = Mm-m исследуются все
графы, которые являются двусвязными и удовлетворяют,
ограничениям (8.5)-(8.7). Среди этих графов выбирается граф G , сумма весов
которого минимальна. Если в процессе анализа установлено, что на
некотором графе достигнуто значение, равное нижней оценки
стоимости для Мребер, то поиск оптимального решения прекращается.
Если все графы с Мребрами проанализированы, то число ребер М
увеличивается на единицу; определяется нижняя оценка стоимости
сети, и если она не лучше оптимального решения с меньшим
числом ребер, то работа алгоритма завершается. В противном случае
исследуются все графы с М + 1 ребрами и т.д.
Машинные эксперименты синтеза топологической структуры
сетей с числом узлов коммутации, не превосходящим десяти,
показали одно важное свойство предлагаемого комбинаторного алгоритма:

Алгоритм генерации остовных двухсвязных подграфов 403
для отыскания оптимального решения требуется не более 5% от
общего числа итераций. Остальные итерации тратятся на
доказательство оптимальности решения. С учетом указанного свойства на базе
комбинаторного подхода разработаны эффективные эвристические
алгоритмы для синтеза топологии сетей средней и большой
размерности.
8.5 Алгоритм генерации остовных
двухсвязных подграфов заданного графа
Строгое решение задачи (8.4)-(8.7) базируется на алгоритмах
конструктивного перечисления (генерации) графов с заданными
надежностными свойствами. Основной недостаток алгоритмов
конструктивного перечисления графов заключается в невозможности их
применения для синтеза сетей большой размерности, так как число
генерируемых графов растет экспоненциально по мере роста числа узлов
сети. В [4] предлагался математически строго обоснованный способ
сокращения числа генерируемых графов при решении задачи
синтеза топологии СПД.
Рассмотрим задачу нахождения всех остовных двусвязных
подграфов графа Go с заданным числом ребер М, для которых диаметр
d\ < 3 (так как практическое значение имеют сети с малым
диаметром). Предлагаемый алгоритм, основан на общем методе поиска с
возвращением и необходимых и достаточных условиях для
двусвязных графов с диаметром не превосходящим 3 [34,277]. Основные идеи
предложенного алгоритма состоят в следующем.
Пусть частичным решением задачи является вектор
(x\,X2,---,Xi). Для расширения решения до (xi, Х2, ...,X{,Xi+i)
выбирается кандидат Xj+i. Если Xi+\ выбрать нельзя, то происходит
возвращение к вектору (xi,X2, ...,Xj_i), выбирается новый элемент
х\ и процесс расширения решения повторяется для частичного
решения (ж!,Х2, ...,Xj_i,x£). Если элемент х\ выбрать нельзя, то
процесс расширения решения повторяется для частичного решения
(xi,X2, ...,Xj_2) и происходит выбор элемента х\_х и т.д. Если нельзя
выбрать элемент х\, то решение не может быть расширено и процесс
заканчивается.
В работе [4] предлагалась модифицированная процедура
поиска с возвращением. Введем вектор X = (xi,X2, ■■■jXMo), где Х{ = 0,
если ребро е^ не принадлежит решению, и Xi = 1 в противном слу-

404 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
чае. Пусть решением задачи является граф, представимый
вектором X' = (х^х^, ...,XiM), состоящий только из единиц. Для
поиска нового решения из графа удаляется ребро eiM,
добавляются ребра с номерами от ejM+i до ем0 и рассматривается вектор
X" = (xi1,Xi2t,...,XiM-i,Xim+i,...,xMoy Если вектор X" задает граф,
который не удовлетворяет ограничениям на диаметр или не является
двусвязным, то удаляется ребро &iM_x и добавляются ребра с
номерами от %м-\ + 1 до Mq. Если вектор X" задает двусвязный граф
с диаметром d\ < 3, то из числа ребер с номерами от Mq до гм + 1
выбирается Mq — гм — 1 ребер, после удаления которых получаем
двусвязный граф с диаметром d\ < 3 и М ребрами. Если нельзя
удалить Mq — гм — 1 ребер, то удаляется ребро &%м_1 и добавляются
ребра с номерами от гм-х +1 до Mq. Если такой вектор задает граф,
который не удовлетворяет ограничениям на диаметр или не
является двусвязным, то удаляется ребро ejM_2 и добавляются ребра с
номерами от гм-2 + 1 до Mq и т.д. Процесс заканчивается, когда не
существует решения задачи на множестве ребер с номерами от г\ + 1
ДО Mq.
Покажем, что вычислительная сложность метода поиска с
возвращением равна вычислительной сложности предложенной его
модификации. Пусть частичным решением задачи является некоторый
вектор Xi = [Хгг,Хг2, ...,Xik), к < М. В известном методе поиска
с возвращением для генерации решений требуется перебор См~_±
векторов. В предложенном методе для генерации решений требуется
перебор См °_^к векторов. Следовательно как и метод поиска с
возвращением, его модификация генерирует все решения без
повторений и пропусков.
В процессе генерации для каждого графа проверяются
следующие необходимые и достаточные условия двухсвязности.
Утверждение 1 (критерий двухсвязности). Граф G = (V, Е)
двухсвязен тогда и только тогда, когда для любой вершины х G V
deg{x) + fi(G - х) = М - N + 2,
где deg(x) - степень вершины х; fi(G — х) - цикломатическое число
графа G — х.
Следствие 1. Если G' = (V,E') - остовной подграф
двухсвязного графа G = (V,E), то для любой вершины х G V выполняется
неравенство
deg'(x) + ц(С -x)<M-N + 2.

Алгоритм генерации остовных двухсвязных подграфов 405
Следствие 2. Если G = (V, Е) - двухсвязный граф, то для любой
вершины х EV
deg(x) < M - N + 2.
Утверждение и следствие 1 легко доказываются от противного;
следствие 2 справедливо, так как цикломатическое число fi(G — х)
неотрицательно по определению.
Если граф удовлетворяет описанным выше условиям, то он
является двухсвязным с диаметром d < 3, если нет, то с помощью метода
поиска с возвращением генерируется новый граф.
Указанный алгоритм генерирует двусвязные графы с диаметром
d\ < 3 для произвольного числа ребер. Однако использование
нижней границы количества ребер в графе позволяет существенно
сократить множество возможных решений задачи (8.4)-(8.7).
Действительно, при наличии нижней границы числа ребер Мт;п отпадает
необходимость исследовать все графы с М ребрами для М < Mmin.
Поэтому решение задачи нахождения нижней границы числа ребер
для графов, удовлетворяющих условиям (8.4)-(8.7), если d\ < 3,
является весьма важной для оптимизации предложенного алгоритма,
а, следовательно, и всей задачи топологической оптимизации
корпоративной сети.
Продемонстрируем эффективность предложенного алгоритма,
сравнив с помощью таблицы его результаты для случая d\ < 2, со
случаем полного перебора графов, и результатами работы алгоритма
генерации двусвязных графов, указанного в [277].
Таблица
Число

вершин
6
6
6
6
6
7
7
Число
ребер
7
8
9
10
11
8
9
Число
помеченных
графов (полный
перебор)
6435
6435
5005
3003
1365
116280
293390
Число
генерируемых
графов в
алгоритме [277]
720
2445
3535
2697
1335
7560
46830
Число
генерируемых
графов в
предлагаемом
алгоритме
180
1455
2995
2607
1335
0
1890

406 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
Из таблицы видно, что для случая, когда граф состоит из 7
вершин и 9 ребер, количество сгенерированных графов уменьшается в
24,9 раза по сравнению с известным алгоритмом, что существенно
сокращает область допустимых решений для задачи (8.4)-(8.7), при
d\ < 2, g?2 > 4. Нижняя граница может быть также
использована для вычисления нижней оценки стоимости сети. Очевидно, что
вычисление нижней оценки стоимости следует начинать со случая
М = Mmin.
8.6 Характеристики некоторых
экстремальных графов. Теорема о нижней границе
числа ребер
Данный раздел посвящен изучению графов, на которых
достигается нижняя граница числа ребер, и определению нижней границы.
Пусть дан граф G = (V, Е), содержащий N = \V\ вершин и М =
\Е\ ребер.
Обозначим через R(N,с?х,с?2)класс таких графов G с диаметром
D(G) < d\, что D(G — х) < g?2 для любой вершины х £ V и
D(G — e) < е?2 для любого ребра е £ Е. Обозначим через M(N, g?i, g?2)
- минимальное число ребер в графе G £ R(N, d\, g^), граф же, на
котором достигается этот минимум назовем экстремальным. Удаление
произвольной вершины в графе G приводит к конечному диаметру в
этом графе, откуда следует, что G - двусвязный граф, а также, что
^1 < с?2- Далее рассмотрен случай g?2 < 3. Поэтому класс искомых
графов обозначим R(N,3). Общая постановка задачи такова: найти
все экстремальные графы класса R(N,3).
Обозначим через X(N,d\,d2) класс графов с диаметром D(G) <
d\, что D(G — х) < g?2 для любой вершины х € V и E{N,d\,d2)
класс графов с диаметром D(G) < d\, что D(G — е) < g?2 для
любого ребра е £ Е. Пусть Mx(N,di,d2) и Me(N,di,d2) - число ребер
в экстремальных графах класса X(N,di,d2) и E(N,di,d2)
соответственно. В работах зарубежных авторов 60-80-х гг. изучались случаи,
когда удаляются только вершины или только ребра. Были найдены
экстремальные графы для различных значений d\ и g?2-
Результаты этих исследований использовались в работе [65] при составлении
алгоритмов топологической оптимизации сети. Однако в процессе
совершенствования этих алгоритмов возникла необходимость найти
все экстремальные графы класса R(N,3).

Теорема о нижней границе числа ребер 407
Рис. 8.2 Рис. 8.3
Рис. 8.4

408 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
Оценим значение M(N, 3). Рассмотрим граф на рис. 8.2. Это граф
класса R(8,3). Операция дублирования любой вершины степени 2
(на рис. 8.2 изображена штрихпунктиром) приводит к графу
класса R(9,3). Применяя эту операцию многократно, получаем серию
графов класса R(N,3), N > 8 которых \Е\ — 2N — 5. Рассмотрим
также графы на рис. 8.3 и 8.4а, 8.46. Используя операцию
дублирования для графов на рис. 8.3 и 8.46, получаем серии графов класса
R(N, 3), N > 4, \Е\ = 2N - 4 и N > 24, \Е\ = 2N - 6.
Следовательно, М < 2N - 4 для 4 < N < 7, М < 2N - 5 для 8 < N < 23,
М < 2N — 6 для N > 24. Можно показать, что полученные для
числа М неравенства являются равенствами для указанных значений iV
и справедлива следующая теорема об экстремальных графах класса
R(N, 3) :
ТЕОРЕМА. Для экстремальных графов класса R(N, 3):
М = 2N - 4 при 4 < N < 7, М = 2N - 5 при 8 < N < 23,
М = 2N - 6 при N > 24.
Экстремальный образующий граф в случае N > 24 изображен на
рис. 8.3.
Доказательство этой и других теорем, характеризующих
экстремальные графы, описаны в работах [4,286,288].
Указанная теорема имеет большое значение для решения задачи
(8.4)-(8.7), так как позволяет вычислять нижнюю границу числа
ребер и кроме того определяет единственное решение для
экстремальных графов, описывающих компьютерные сети большой
размерности.
При N > 24 любой экстремальный граф строится на базе графа,
изображенного на рисунке 8.3, с помощью операции дублирования
вершины степени 2 в этом графе.
Таким образом мы описали все основные этапы комбинаторного
алгоритма синтеза топологической структуры:
— вычисление нижней границы числа ребер в графе;
— генерация остовных двухсвязных подграфов заданного графа;
— вычисление нижней оценки стоимости сети;
— проверка ограничений (8.5)-(8.7).
Схема комбинаторного алгоритма приведена на рисунке 8.5.

Теорема о нижней границе числа ребер 409
Начало
Определение
минимально
допустимого
числа ребер Mmin
Ранжирование
всех возможных
ребер графа G
С :=-<*>
опт
м=м„
Определение
нижней оценки
стоимости
для М ребер С ,
Генерация
очередного графа
с М ребрами
Проверка
ограничений
на диаметр
Conr-CfG
G-*G
> Нет
Нет
М:=М+1
Нет
Конец
Рис. 8.5

410 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
8.7 Общая задача топологического синтеза
компьютерной сети
При решении общей задачи топологического синтеза кроме
выбора оптимальной схемы соединения узлов коммутации необходимо
одновременно решать проблему оптимизации маршрутов и выбора
пропускной способности каналов связи, описанию которой посвяще- t
на предыдущая глава.
Так как указанная проблема исследуется на каждом шаге
алгоритма синтеза топологии при генерации очередного графа, то
решение задачи выбора пропускных способностей каналов и маршрутов г
должно реализоваться высокоскоростным алгоритмом. Рассмотрим
этот эвристический алгоритм, являющийся частным случаем выбора
фиксированных маршрутов.
Напомним, что задача выбора пропускных способностей и опти- <
мальной маршрутизации может быть представлена в следующем
виде. Пусть задано: топология сети; матрица информационных потоков
Л =|| Xij ||; матрица стоимости аренды каналов между каждой парой
узлов сети С =|| Сц ||. Необходимо определить количество каналов '
связи в каждом соединении (г, s) — Y =|| yrs || и величины потоков в
каждом соединении (г, s) — F =|| frs || так, чтобы
—>• min (8.8)
г s
при следующих ограничениях:
1) задержка сообщения (пакета) в любом виртуальном
соединении (i,j)Tij не должна превышать заданную величину Т;
2) матрица F должна удовлетворять матрице Л;
3) величина потока в каждом соединении frs не должна
превышать пропускную способность данного соединения (r,s);
4) в каждой вершине, в которую направлен некоторый поток,
должно быть выбрано единственное направление, по которому он
выйдет из вершины.
При выборе алгоритма решение задачи (8.8) необходимо
учитывать следующие требования:
- алгоритм должен быть достаточно эффективным с точки
зрения затрат машинного времени на реализующую данный алгоритм
программу, т.к. задача выбора пропускных способностей и
оптимального распределения потоков решается на каждом шаге общего
алгоритма решения задачи топологической оптимизации;

Общая задача топологического синтеза 411
- алгоритм должен легко адаптироваться к изменению
функциональных зависимостей, отражающих поведение задержки;
- алгоритм должен давать достаточно хорошие решения с точки
зрения их близости к оптимальным.
Ниже дано описание приближенного алгоритма.
Шаг 1. Для всех пар (i,j), имеющих прямой маршрут
распределить потоки по этим маршрутам. Полученные потоки по этим
линиям связи обозначим через F0.
Шаг 2. Определить минимальное число каналов связи так, чтобы
VijB > /°-
Шаг 3. Пары (г, j), для которых нет прямого маршрута,
расположить в порядке убывания потоков Ау-; обозначить полученный
список пар через Г2.
Шаг 4- Взять очередную пару (г, j) G Г2 и выбрать кратчайший
маршрут с наименьшей загрузкой.
Шаг 5. Направить весь поток Ajj по выбранному маршруту.
Шаг 6. Если все пары из Г2 рассмотрены, то перейти к шагу 7,
иначе к шагу 4.
Шаг 7. На каждой паре (i.j) выбрать число каналов так, чтобы
Tij < Т.
Описанный выше алгоритм выбора маршрутов и пропускных
способностей линий связи используется на каждом шаге решения общей
задачи топологической оптимизации. Комбинаторный алгоритм
решения общей задачи аналогичен алгоритму решения задачи синтеза
топологической структуры по критериям стоимости и надежности.
Здесь также в начале определяется нижняя граница числа ребер
Mm[n. Для заданного числа узлов коммутации и ребер М = Mmin
исследуются все графы, удовлетворяющие ограничениям (8.5)-(8.8).
Для каждого такого графа решается задача выбора пропускных
способностей и распределения потоков. Граф Go, для которого эта
задача дает наименьшую стоимость, запоминается в качестве
оптимального решения. Затем число ребер увеличивается на единицу, и
процесс продолжается. Схема алгоритма совпадает со схемой рисунка
8.5, за исключением того, что после шага «генерация очередного
графа» следует шаг «решения задачи выбора пропускных способностей
и распределения потоков».
В заключение отметим, что описанный в данной главе
комбинаторный алгоритм использует лишь структурные ограничения на
надежность. Представляется целесообразным дополнить общую
задачу топологического синтеза ограничениями на вероятность связ-

412 Глава 8. Оптимизация топологической структуры
ности сети, учитывающими выход из строя и восстановление
каналов связи и узлов коммутации. В этом случае на каждом шаге
генерации двухсвязных графов необходимо проверять ограничения на
вероятность связности. При наличии быстродействующих
(полиномиальных) алгоритмов оценки вероятности связности это приведет
к отбрасыванию классов графов, не удовлетворяющих
ограничениям на надежность и соответствующему повышению скорости работы
комбинаторного алгоритма. Первые подходы к решению этой задачи
приведены в [287].

ГЛАВА 9
Методы анализа беспроводных
компьютерных сетей
9.1 Состояние и перспективы развития
беспроводных радиосетей
В последние годы беспроводные сети передачи данных
становятся одним из основных направлений развития сетевой индустрии. По
данным ряда фирм [268], занимающихся исследованиями рынка
телекоммуникаций, в 2004 году по мобильной беспроводной связи к
ресурсам Internet будут подключены 700 миллионов пользователей.
Бурное развитие сетей этого класса в России и во всем мире, о
котором многие говорят как о беспроводной революции в области
сетей передачи информации [24,268], объясняется наличием целого
ряда присущих им достоинств. К ним относятся:
— гибкость архитектуры сети, когда обеспечивается возможность
динамического изменения топологии сети при подключении,
передвижении и отключении мобильных пользователей без значительных
потерь времени;
— высокая скорость передачи информации (до 11 Мбит/с);
— быстрота проектирования и реализации, что критично при
жестких требованиях к времени построения сети;
— высокая степень защиты от несанкционированного доступа;
— отказ от дорогостоящей прокладки или аренды
оптоволоконного или медного кабеля.
В настоящее время беспроводные технологии обеспечивают
эффективное решение следующих задач:

414 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
— обеспечение мобильного беспроводного доступа к ресурсам
Internet;
— организация беспроводной радиосвязи между рабочими
станциями локальной сети (организация беспроводного доступа к
ресурсам локальной сети);
— объединение удаленных локальных вычислительных сетей и
рабочих станций в единую сеть передачи данных и реализация
удаленного стационарного доступа локальных сетей пользователей к
Internet;
— решение проблемы «последней мили»;
— соединение АТС между собой беспроводными каналами связи
со скоростью до 11 Мбит/с;
— создание территориальных сотовых радиомодемных сетей
передачи данных.
Указанные достоинства беспроводных технологий в значительной
мере определяются тем, что в основе беспроводных сетей,
функционирующих в диапазоне 2,4 Ггц, лежит технология широкополосного
или шумоподобного сигнала (ШПС). Эта технология
первоначально использовалась для военных целей, а в последние годы успешно
применяется в гражданских радиосетях. В рамках технологии ШПС
разработано два принципиально различающихся между собой
метода использования широкой полосы частот - метод прямой
последовательности (Direct Sequence Spread Spectrum - DSSS) и метод
частотных скачков (Frequency Hopping Spread Spectrum - FHSS). Оба
этих метода предусматривают деление всей используемой широкой
полосы частот на п подканалов. При методе DSSS каждый бит
информации кодируется в виде последовательности из п бит, и все эти
п бит передаются параллельно по всем п подканалам, причем
алгоритм кодирования индивидуален для каждой пары «передатчик-
приемник», обеспечивая таким образом конфиденциальность
передачи. При методе FHSS станция в каждый момент времени
передает только по одному из п подканалов, регулярно переключаясь
на другой подканал. Эти переключения (скачки) происходят
синхронно на передатчике и приемнике, причем их последовательность
носит псевдослучайный характер и заранее известна только данной
паре «передатчик-приемник», что также гарантирует
конфиденциальность передачи. Каждый из этих методов имеет свои сильные
стороны. Метод DSSS позволяет достигать большей пропускной
способности и, благодаря n-кратной избыточности, во-первых,
обеспечивает большую устойчивость к узкополосным помехам, а во-вторых,

Состояние и перспективы развития 415
позволяет использовать сигнал очень низкой мощности, таким
образом практически не создавая помех обычным радиоустройствам.
Оборудование FHSS значительно проще и дешевле, а также обладает
большей устойчивостью к широкополосным помехам.
Для работы беспроводных сетей требуются специальные
протоколы уровня управления доступом к среде (MAC) ввиду
фундаментальных отличий от кабельной среды: отсутствует полная связность
(т.е. станции могут быть скрыты друг от друга), беспроводная среда
не защищена от внешних сигналов, и ее свойства по распространению
сигналов асимметричны и изменчивы во времени. Для обеспечения
эффективного управления доступом к беспроводной среде недавно
появились ряд международных стандартов, протоколов и
рекомендаций, которые специфицируют физический и MAC уровни
беспроводных сетей: Bluetooth, ETSI Hiperlan [297] и IEEE 802.11 [298] для
организации комнатных и локальных сетей; тот же IEEE 802.11, но
с применением необходимых усилителей и параболических антенн, -
для корпоративных и городских сетей; наконец, технологии сотовой
телефонии, модифицированные для передачи данных и
видеоизображений (GPRS и UMTS), - для городских и региональных сетей.
Среди разработчиков локальных и городских беспроводных сетей
особенно популярен протокол IEEE 802.11 (называемый также Radio-
Ethernet) [298], утвержденный в качестве международного стандарта
в 1997 г., ввиду:
• возможности его использования как в локальных, так и в
городских сетях;
• регламентации в этом стандарте обоих методов использования
ШПС: как DSSS, так и FHSS;
• появления на мировых рынках программных и аппаратных
продуктов ряда крупных фирм (таких, как CISCO Aironet, Lucent
Technologies, BreezeCom и др.), регламентируемых этим
стандартом.
В Российской Федерации примерами успешной реализации
беспроводных сетей на основе протокола IEEE 802.11 являются
региональные сети Москвы, Обнинска и Якутска, разработанные и
реализованные Институтом проблем передачи информации РАН (ИППИ
РАН) и описываемые в разделах 9.6 и 9.7.
В протоколе IEEE 802.11 фундаментальным механизмом
доступа к беспроводной среде является функция распределенного управ-

416 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
ления (Distributed Coordination Function - DCF), реализующая
метод CSMA/CA (множественный доступ с прослушиванием несущей
и избежанием коллизий). Согласно этому методу последовательные
попытки передачи каждой станции беспроводной сети разделены
интервалом задержки, а также случайным отложенным временем
(backoff time). Число слотов Ь, составляющих это отложенное время,
определяется по двоичному экспоненциальному правилу, которое будет
описано в разделе 9.2. Альтернативным механизмом доступа,
предусматриваемом в стандарте IEEE 802.11 в качестве возможной
надстройки над DCF, является функция централизованного управления
(Point Coordination Function - PCF), при которой
станция-координатор ведет централизованный опрос остальных станций. Вопросам
оценки производительности PCF посвящены работы [1,291], в то
время как в данной главе мы ограничимся анализом пропускной
способности основной схемы DCF.
В целом, как в России, так и за рубежом ведутся интенсивные
научные исследования, направленные на повышение эффективности
беспроводных радиосетей и выбор оптимальных параметров
протокола IEEE 802.11 [1,19-21,40,145,146,155,170,223,291,297]. В
имеющихся работах оценка производительности проводилась либо путем
имитационного моделирования (см., например, [145,297]), либо с
помощью приближенных аналитических моделей [170,223], основанных
на допущениях, существенно упрощающих правило определения
интервала задержки. Особенности схемы DCF наиболее полно учтены
в работах [146,155], в которых разработаны аналитические методы
оценки пропускной способности локальной беспроводной сети 802.11
при высокой нагрузке, когда ко всем станциям БЛС всегда имеются
непустые очереди. Данный показатель производительности
оценивался в [146,155] в предположении идеального канала, т.е. в
отсутствии помех и скрытых станций.
Результаты указанных работ [145,146,155,170,223,297]
оказываются практически неприменимы для оценки пропускной
способности городских беспроводных сетей. Пренебрежение помехами обычно
приводит к существенному завышению оценок пропускной
способности, так как в современных городских условиях электромагнитные
помехи - неизбежный фактор, ухудшающий пропускную способность
сети из-за искажения пакетов. Кроме того, В типичных условиях
городской беспроводной сети абонентские станции скрыты друг от
друга, что резко увеличивает вероятность коллизий и приводит к
рассинхронизации этих станций.

Схема распределенного управления 417
В данной главе анализируется эффективность схемы DCF в
аспекте пропускных способностей, обеспечиваемых для клиентов
локальных и городских радиосетей в условий помех, характерных для
современного города и искажающих передаваемые пакеты. В
разделах 9.3 и 9.4 описываются аналитические модели локальных и
городских радиосетей, разработанные в [20, 21] и развивающие
методы [40,146,155,294] в направлении учета, во-первых, влияния помех
на производительность радиосетей и, во-вторых, фрагментации
пакетов, применяемой для снижения этого влияния. Приводимые модели
позволяют эффективно оценивать пропускные способности при
различных информационных потоках, параметрах протокола и
конфигураций радиосетей. В разделе 9.5 проводится сравнительный анализ
результатов аналитического и имитационного моделирования
городской радиосети, а также приводятся некоторые результаты
исследования по выбору оптимальных параметров протокола IEEE 802.11.
В разделах 9.6 и 9.7 описываются региональные беспроводные
сети, спроектированные и реализованные ИППИ РАН с
применением методов анализа производительности, как разработанных ранее
в [1,19,40,291], так и описываемых в данной главе. Наконец, в
последнем разделе проводится анализ оптоэлектронных атмосферных
каналов передачи данных.
9.2 Схема распределенного управления
В режиме распределенного управления (схема DCF)
информационные пакеты передаются в общем случае двумя способами.
Короткие пакеты, чья длина не превышает некоторого предела Р,
передаются с помощью механизма Базового Доступа. При этом
механизме, показанном на рис. 9.1, станция, успешно принявшая фрейм
DATA (фреймы - это пакеты уровня MAC IEEE 802.11), содержащий
информационный пакет, спустя короткий интервал SIFS
немедленно отвечает положительным подтверждением АСК. Для пакетов с
длиной, большей Р, используется механизм Request-To-Send/Clear-
To-Send (RTS/CTS). В этом случае, изображенном на рис. 9.2,
передача фрейма DATA предваряется запросом на передачу (RTS),
направляемым к принимающей станции, которая спустя SIFS
отвечает разрешающим фреймом CTS. И только по получении фрейма
CTS передается фрейм DATA, который подтверждается фреймом
АСК. Таким образом, значение Р выбирается в результате
разумного компромисса между накладными расходами механизма RTS/CTS,

418 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
заключающимися в передаче двух дополнительных фреймов RTS и
CTS, и выигрыша в длительности коллизии. Как видно из сравнения
рис. 9.1 и 9.2, длительность коллизии при Базовом Доступе
определяется максимальной длиной коллизирующих фреймов DATA, а при
использовании механизма RTS/CTS она равна длительности
передачи короткого фрейма RTS.
Станция А
Станция В
КОЛЛИЗИЯ
b.s Г
■nil
b.s
■mil
DATA
s
ACK
DIFS
DIFS
b.s Г"
llllllllli
DATA
b.s |
■iiiiiiiiii
DATA
EIFS
EIFS
: b.s
■■nil
: b.s
■■nil
Рис. 9.1. Механизм Базового Доступа^ - SIFS, b.s) - слоты отложенного
времени
коллизия
Станция А
Станция В
b.s
b.s
RTS
s
CTS
DATA
s :
s
ACK
b.s
II1IIIBIIIIIII
DIFS I
b.s
lllllllllllllllllll
DIFS :
RTS
RTS
EIFS
EIFS
; b.»
Illlllllllllllll
b.s
lllllllill
Рис. 9.2. Механизм RTS/CTS
После завершения попытки передачи очередного пакета станция
переходит в отложенное состояние спустя интервал DIFS, если
попытка была успешной (т.е. коллизия отсутствовала и все фреймы,
относящиеся к данному пакету, были переданы корректно, без
искажения помехами), или EIFS при неудачной попытке. При этом
счетчик времени нахождения в отложенном состоянии устанавливается

Схема распределенного управления 419
в начальное значение Ь, которое называется отложенным временем,
измеряется в слотах длительностью а и равновероятно выбирается
из множества (0,... ,w — 1). Значение w, называемое конкурентным
окном, зависит от значения пг числа сделанных попыток передачи
текущего пакета:
w = Wi = И/о2"г при пг <т и w = Wm при nr > m, (9.1)
где Wm = Wo2m - максимальное конкурентное окно.
В процессе передачи текущего пакета каждая станция,
инициировавшая передачу, подсчитывает число неудачных попыток
передачи коротких (ns) и длинных (щ) фреймов. Пусть станция
передала фрейм DATA с пакетом, длина которого меньше либо равна Р,
или фрейм RTS. Тогда если в течение тайм-аута поступит ответный
корректный фрейм, соответственно АСК или CTS, то значение
счетчика ns обнуляется, а иначе значение ns увеличивается на единицу.
Аналогично значение счетчика щ обнуляется или увеличивается на
единицу в случаях соответственно приема или отсутствия (в течение
тайм-аута) корректного фрейма АСК, подтверждающего успешную
передачу фрейма DATA с пакетом, длина которого больше Р. Если
значение любого из счетчиков ns и щ достигает некоторых
предельных значений соответственно Ns и Ni, то текущий пакет
отбрасывается и (ввиду ситуации насыщения) выбирается следующий пакет
для передачи с обнулением значений nr, ns я гц.
Для снижения влияния помех стандарт [298] рекомендует
разбивать пакеты, размер которых больше некоторого порога
фрагментации Lf, на фрагменты, размер каждого из которых (кроме
последнего) равен Lf. Таким образом, пакет передается в виде цепочки
фреймов DATA, содержащих последовательные фрагменты и
перемежаемых ответными фреймами АСК, а также короткими
межфреймовыми промежутками SIFS (см. рис. 9.3). При искажении
некоторого фрагмента станция переходит в состояние отложенной передачи,
увеличивая на единицу значение счетчика попыток пг, и повторная
передача начнется именно с этого фрагмента, а не с начала всего
пакета.
Процесс передачи первого фрагмента в общем случае
складывается из обмена четырьмя фреймами: запрос на передачу (фрейм
RTS), разрешения на передачу (фрейм CTS), сам фрагмент с
заголовком (фрейм DATA) и подтверждение успешной передачи (фрейм
АСК). Эти фазы обмена разделяются коротким временным
интервалом SIFS. При длине фрагмента, меньшей некоторого предела Р,

420 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
DATA1
DATA 2
S
АСК
s:
EIFS
EIFS
b.s
11
b.s
DATA 2
s
АСК
Рис. 9.3. Передача фрагментированных пакетов
фреймы RTS и CTS не используются. Если станция в течение
определенного тайм-аута не получает ответные корректные фреймы CTS
и АСК (а также сразу по приему искаженных фреймов или
фреймов, относящихся к другой станции), она считает, что либо
произошла коллизия, либо последний переданный фрейм был искажен, и
переходит в состояние отложенной передачи, увеличивая на
единицу свой счетчик коллизий пт. После успешной передачи фрагмента
(по получении АСК) станция спустя SIFS начинает передачу
следующего фрагмента. Передача последующих фрагментов пакета
отличается лишь тем, что при первой попытке не используются фреймы
RTS и CTS независимо от длины фрагмента. После успешной
передачи последнего фрагмента пакета станция переходит в состояние
отложенной передачи, обнуляя счетчики nr, ns я щ.
Станция начинает передачу при выполнении следующих условий:
1) истекло отложенное время с момента последней передачи данной
станции; 2) эфир этой станции был свободен в течение интервала
задержки (равного DIFS, если последний «услышанный» фрейм не был
искаженным, а иначе - EIFS); и 3) в очереди на передачу имеются
готовые пакеты. В частности, при поступлении нового пакета в пустую
очередь на передачу станция либо сразу начинает передачу
фрейма RTS или DATA (см. выше), если на момент поступления пакета
эфир был свободен в течение интервала задержки, либо переходит в
состояние отложенной передачи с пг = 0. Этот переход в общем
случае состоит из двух фаз: а) ожидание освобождения канала, если он
занят, и б) интервал задержки. Если в течение этого интервала
канал был свободен, машина начинает отсчет отложенного времени (а
иначе обе фазы перехода повторяются). Отсчет прекращается по
получении сигнала о занятости канала и возобновляется только спустя
интервал задержки с момента освобождения канала. По окончании

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 421
отсчета отложенного времени передающая машина либо сразу же
посылает фрейм RTS или (DATA при длине фрагмента, меньшей Р),
либо простаивает в ожидании нового пакета (при пустой очереди на
передачу).
Для повышения надежности слежения за состоянием эфира
протокол Radio-Ethernet наряду с регистрацией «физической»
занятости эфира предусматривает механизм отслеживания «виртуальной»
занятости. Для этого фреймы содержат поле предполагаемой
длительности передачи tnav:
- для фрейма RTS значение tnav равно сумме времен передачи
CTS, DATA и АСК;
- для CTS оно равно сумме времен передачи DATA и АСК;
- для DATA оно равно сумме времен передачи АСК данного
фрагмента и DATA и АСК следующего фрагмента (если он есть);
- наконец, для АСК tnav равно сумме времен передачи DATA и
АСК следующего фрагмента.
Все эти суммы включают соответствующее число интервалов
SIFS между фреймами, причем при расчете времен передачи (как
и тайм-аутов) используется максимальное время распространения
сигнала т^ихх, установленное для данной радиосети. Станция,
принявшая фрейм, не предназначенный ей, считывает из него значение
tnav и считает эфир «виртуально» занятым в течение
соответствующего интервала (в случае фрейма RTS механизм более сложен -
см. [19,40,298]). Механизм отслеживания «виртуальной» занятости
особенно полезен в случае скрытых станций, причем особенности
схемы DCF в этом случае будут рассмотрены в разделе 9.4.
Изложение особенностей протокола для технологии FHSS дадим в
подразделе 9.4.3, а сейчас перейдем к описанию используемых
моделей локальных и городских беспроводных сетей на основе протокола
IEEE 802.11.
9.3 Моделирование беспроводной локальной
сети в условиях высокой нагрузки
Рассмотрим беспроводную локальную сеть (БЛС), состоящую из
N статистически однородных станций, работающих в режиме
высокой нагрузки, когда ко всем станциям БЛС всегда имеются
непустые очереди. Статистическая однородность станций заключается в
одинаковом вероятностном распределении {di, I = lmin, ■ ■ ■ Jmax}

422 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
длин пакетов, выбираемых каждой станцией из очереди. Расстояния
между станциями БЛС малы, поэтому предположим: 1) отсутствие
скрытых станций и 2) одновременность проявлений помех на всех
станциях. Эти предположения означают, что все станции одинаково
«слышат» общий беспроводный канал.
Перед описанием модели заметим, что отсчет отложенного
времени каждая станция ведет только при свободном канале: значение
счетчика уменьшается на единицу только в том случае, если в
течение всего предшествующего слота канал был свободен. При
достижении счетчиком нулевого значения станция начинает передачу.
Отсчет слотов задержки прекращается, когда канал становится занят, и
в следующий раз счетчики задержки уменьшатся только тогда,
когда канал окажется свободен в течение cr+DIFS или cr+EIFS, если
последняя передача по каналу была соответственно успешной или
неудачной. Рассмотрим слот, следующий непосредственно после
интервала DIFS, завершающего успешную передачу от некоторой
станции А. В начале этого слота значение счетчика отложенного времени
станции А равно 6, а счетчики остальных станций остаются на тех
же значениях, что и до начала передачи станцией А. Таким образом,
этот слот является неконкурентным: в течение него может вести
передачу только станция А, если ее отложенное время Ъ
оказывается равным 0 (в [294] мы назвали эту ситуацию мгновенным
повтором передачи). Соответственно, попытки передачи, выполняемые в
результате мгновенного повтора, назовем мгновенно повторяемыми
попытками, отличая их от остальных, обычных, попыток. Таким
образом, станция А может провести целую серию передач, мгновенно
повторяя их, причем ни одна из этих мгновенно повторяемых
попыток передачи не испытает коллизии ввиду отсутствия конкуренции со
стороны остальных станций. Аналогично в начале слота,
следующего непосредственно после интервала EIFS, завершающего коллизию
нескольких станций, только эти станции могут передавать,
мгновенно повторяя свои попытки. В этом заключается Эффект Захвата,
отмеченный в [150] и исследованный в [294].
Здесь мы ограничимся учетом мгновенных повторов только после
успешной передачи, пренебрегая такими повторами после неудачных
попыток. Для этого слегка изменим правило выбора отложенного
времени Ь: после успешной передачи Ъ равновероятно выбирается из
множества (0,..., Wq — 1), а после любой неудачной попытки - из
множества (1,... ,w — 1), где w зависит от пг и определяется (9.1).
Таким образом, после неудачной попытки (включая интервал EIFS)

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 423
всегда следует «пустой» слот, по окончании которого начинается
конкурентный слот, когда любая станция может начать передачу.
9.3.1 Оценка пропускной способности
Следуя подходу [146], все время работы исследуемой БЛС
разобьем на неоднородные виртуальные слоты, так что в начале любого
из них каждая станция уменьшает на единицу свой счетчик
отложенного времени и может начать передачу, если значение ее счетчика
достигает нуля. Такой виртуальный слот может представлять собой:
а) «пустой» слот, в который ни одна из станций не ведет передачу,
или б) «успешный» слот, в который одна и только одна станция
ведет передачу, или в) «коллизионный» слот, когда передача ведется
двумя и более станциями.
Аналогично [146,155] предположим, что вероятность начала
передачи данной станцией в данном слоте не зависит ни от предыстории,
ни от поведения остальных станций и равна одному и тому же
значению г для всех станций. Тогда вероятности того, что произвольно
выбранный виртуальный слот будет «пустым» (ре), «успешным» (ps)
или «коллизионным» (рс), определяются выражениями:
pe = (l-r)N, pe = NT(l-T)N-1, pc = l-pe-Ps. (9.2)
Таким образом, искомая пропускная способность S находится по
формуле:
5 = PsU (q з)
Pea + PsTs + РсТс' у ' '
где Ts и Тс - средние длительности «успешного» и «коллизионного»
слотов, a U - среднее число байт информации, успешно переданных
в течение «успешного» слота.
Длительность «коллизионного» слота складывается из времени
передачи фрейма максимальной длины из числа фреймов,
вовлеченных в коллизию, плюс интервал EIFS, плюс «пустой» слот задержки
сг, который (согласно принятому предположению) всегда завершает
неудачную попытку передачи. Пренебрегая вероятностью коллизии
трех и более фреймов, получаем следующую формулу для средней
длительности «коллизионного» слота:
г I / I 1 trnax
Тс = Yl td(l)di < di + 2 Yl & + 2 4
> +

424 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
(imax \
Y^ dA +EIFS + a + 6, (9.4)
i=P+i J
где td(l) = Н + l/V - время передачи фрейма DATA, включающего
пакет длиной / и заголовок, передаваемый за время Н; V - скорость
канала; tars ~ время передачи фрейма RTS, причем согласно [298]
tRTS < Н; 5 - время распространения сигнала, предполагаемое
одинаковым для всех пар станций. Наконец, di - вероятность того, что
совершаемая обычная попытка передачи связана с пакетом длиной
/. Заметим, что распределение {di, I = lmin, ■■ ■, lmax} отличается от
{di, I = Imini ■ ■ ■ Jmax}, так как число попыток, совершаемых для
передачи одного и того же пакета, в среднем тем больше, чем
длиннее пакет ввиду большей вероятности искажения соответствующего
фрейма DATA помехами.
В начале «успешного» слота одна и только одна станция
инициирует обычную попытку передачи некоторого пакета длиной /, причем
эта попытка завершится успешной передачей пакета с вероятностью
7i"/j(7), если ни один из фреймов, которыми обмениваются передающая
и принимающая станции в течение данного процесса, не искажен
помехами, т.е.
7ГЛ(0 = [1-&(0](1-&) При 1<Р
И
ЖН{1) = [1 - &(*)](! - £г)(1 - £а)2 ПРИ I > Р,
где £d(7), £r и £г - вероятности искажения помехами фрейма
DATA с пакетом длиной / (£d(0)> фрейма RTS (£г) и фреймов CTS и
АСК (£0), имеющих одинаковый формат [298]. Эти вероятности
искажения определяются на основе показателя BER (Bit Error Rate)
- вероятности искажения одного бита (этот показатель будем
называть также интенсивностью помех), т.е. фрейм, состоящий из If байт,
искажается с вероятностью
6/ = 1 ~ errp{-8//BER}.
Попытка передачи пакета завершается при искажении помехами
любого из обмениваемых фреймов. Таким образом, средняя
длительность попытки, совершаемой в течение «успешного» слота, зависит
от длины / передаваемого пакета и равна
ts(l)=A1(l){(l-^d(l))(tACK+SIFS+5)+td(l)+SIFS+S}+A0(l)+tIF(l),

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 425
где при / > Р
Ax(l) = (l-£r)(l-£a), A0(l) = (l-(r)(tCTS + SIFS + S)+tRTS + S,
а при I < Р А\(1) — 1 и Aq(1) = —SIFS; кроме того, £#ts, tcrs и
tACK ~ времена передачи соответственно фреймов RTS, CTS и АСК,
a tIF(l) = irh(l)DIFS + [1 - irh(l)}EIFS.
При успешном завершении процесса передачи станция
выбирает из очереди следующий пакет и с вероятностью Wq инициирует
процесс его передачи (ситуация мгновенного повтора), таким
образом продолжая текущий виртуальный слот. Виртуальный слот
завершается «пустым» слотом задержки либо при неудачном завершении
процесса передачи, либо при выборе отложенного времени Ъ > 0 (с
вероятностью 1 — Wq ) после успешной передачи. Таким образом, в
течение «успешного» слота может произойти как одна, так и
несколько попыток передачи пакетов, причем при первой попытке длина
передаваемого пакета I определяется вероятностным распределением
{di}, а при последующих попытках - распределением {di}.
Пусть 7г^ и Tg - значения вероятности 7г^(/) и длительности ts(l),
усредненные в соответствии с распределением {d{\, т.е.
4= Е ^{l)dh T°= £ ts(l)di,
l>—l"mirt Ь^Ьтпгп
а 7г^ и Tg - аналогичные значения, но с использованием при
усреднении распределения {di} вместо {d{\. Тогда средняя длительность
«успешного» слота находится по формуле:
причем среднее число байт информации U, успешно переданных в
течение «успешного» слота, очевидно, определяется выражением
ьтпах ОТД/ — 1 ьтпах
U = Yl l^)dl + 1 lh ° г Е l^)dl- (9-6)
11 h П 11
Итак, определены все необходимые компоненты формулы (9.3),
что позволяет найти искомую пропускную способность S при
условии, что известны вероятность начала передачи г и вероятностное
распределение {di}.

426 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
9.3.2 Оценка вероятности передачи
Рассмотрим процесс передачи пакета длиной / некоторой
станцией. Пусть // и щ - средние количества соответственно обычных
попыток, совершаемых этой станцией, и виртуальных слотов, в
которые станция воздерживается от передачи, в течение
рассматриваемого процесса. Тогда
r= Y. <W E Mfi + ui), (9.7)
imax
dl = dlfl/ 2_^ dkfk, I = IminJmax- (9-8)
После выбора из очереди следующего пакета, длина которого
равна / с вероятностью di, возможны следующие варианты начала
процесса его передачи:
• станция откладывает передачу (вариант 0) на «пустой»
неконкурентный слот задержки плюс случайное число виртуальных
слотов, равновероятно выбираемое из множества {0,..., Wo —
2};
• станция мгновенно начинает передачу, но эта передача
неудачна из-за искажения помехами либо одного из фреймов DATA и
АСК (вариант 1), либо (при / > Р) одного из фреймов RTS и
CTS (вариант 2), после чего станция откладывает следующую
попытку передачи на «пустой» неконкурентный слот
задержки плюс случайное число виртуальных слотов, равновероятно
выбираемое из множества {0,..., 2Wq — 2};
• станция мгновенно начинает передачу этого пакета, эта
передача успешна и, следовательно, процесс завершается (вариант
3).
Заметим, что при переходе в отложенное состояние (варианты 0-2)
счетчики ns или щ имеют следующие исходные значения:
• Вариант 0. ns = щ = 0.
• Вариант 1. При I < Р ns = 1 и щ = 0, а при I > P ns = 0 и
Щ = 1-

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 427
• Вариант 2. ns — 1 и щ = 0.
Очевидно, вариант 3 можно исключить из анализа ввиду отсутствия
обычных попыток.
Пусть в течение рассматриваемого процесса передачи пакета
длиной /, начинающегося в соответствии с вариантом j = 0,2,
происходит ровно i обычных попыток. Обозначим через ipij(i) вероятность
этого случая, причем
^(*)=^-W+^W, (9-9)
где 4>fAi) и tJjL{i) - вероятности завершения процесса передачи пакета
длиной /, начинающегося в соответствии с вариантом j, при обычной
попытке i соответственно успехом и отказом.
В анализируемом случае, когда происходит ровно i обычных
попыток, среднее число виртуальных слотов, в которые станция
воздерживается от передачи, подсчитанное в течение всего
рассматриваемого процесса, составляет при j = 0
к=0
ш ^Wk-2iWm-2f. i-m + 1 Wo . . J_1
^0 = 2^ 2 2 (*_1-m) = ^m 2 2—Z' Z '
fe=0
а при j = 1,2
* jy, _ 2
Й/ ^^fc-2 , Wm-2,. г-т + 2 .
fe=i
Тогда при / < P
i° -, i°
1 "ij 1 mj
j=0 г=1 j=0 г=1

428 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
а при / > Р
о г ■ о г1
/j = E^)E^«W' ™i = X>(o£w^yW, (9Л1)
j=0 г=1 j=0 г=1
i1m0 = NlNa, ilml = (Nt - l)Na, i1m3 = NlNa-l,
где вероятности вариантов
mil) = l-(l_prej)W-\ (9.12)
при / < P
m(i) = a-Prej)WolUi), %(0 = o, (9.13)
а при / > P
Щ (I) = {l-VrejW^ZrM), m{l) = (l-PrejWo^l - £rc); (9-14)
e(o = i - (i - &(0)u - e«), CrC = (i - ш - &)• наконец, prej
- усредненная вероятность неудачного завершения (отказа)
процесса передачи предыдущего пакета, когда один из счетчиков ns или
щ достиг-своего предельного значения соответственно Ns или iVj,
причем
1>тпах 2,
Prej= Yl d'XlPreJ^'^^' ^9-15^
где prej(l,j) - вероятность отказа в передаче пакета длиной / при
условии варианта j начала этой передачи.
Будем анализировать процесс передачи пакета длиной /,
начиная с момента окончания «пустого» неконкурентного слота. Начнем
с более простого случая I < Р, когда число попыток ограничено
imj U = 0,1 - номер варианта начала процесса). Так как
вероятность неудачи попытки есть Trcd(l) = 1 — (1 — 7гс)(1 — £(1)), где
7гс = 1 — (1 — t)n~x - вероятность коллизии текущей попытки, то
процесс завершится успехом на г-й попытке с вероятностью
и отказом с вероятностью
Prej(l,j) = Ml)fm*, (9-16)
т.е.
^у(«) = 0 при г < i°mj и ^у(г^ц) = [тты(/)]г^.

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 429
Следовательно, согласно (9.9)
МЪ = ti - MOlbUOr1, * = i,^-i, <М^) = W)f-'_1-
(9.17)
Пусть теперь / > Р, когда число id передач фрейма DATA
ограничено Nj, где Nf = Ni — 1, Nf = ЛГг3 = iVj, причем каждой из этих
id передач может предшествовать г& = О, Ns — 1 (где к - номер
передачи фрейма DATA) неудачных попыток передачи фрейма RTS.
Исключением является случай, когда процесс начинается согласно
варианту 2 и г\ — О, NS — 2. Кроме того, при отказе из-за достижения
счетчиком ns предела Ns процесс завершается rid+i = Ns
неудачными попытками передачи фрейма RTS (rid+\ = Ns — 1 при варианте 2
и id = 0).
' Представим вероятность ф\Аг) в виде суммы
rij{i)=pdrej{l,j,i)+prrej(lj,i), (9-18)
где pfej(l,j,i) и p^ej(l,j,i) - вероятности отказа после г обычных
попыток из-за достижения предельных значений соответственно
счетчиков щ и ns. Заметим, что
г1 .
т.]
Prej&j) = Yi\piej(lJ>i) +Prrej(lj,i)}- (9-19)
г=1
Вероятности неудачной попытки передачи фрейма DATA и фрейма
RTS равны соответственно £(/) и Пег = 1 — (1 — 7ГС)£ГС. Поэтому после
простых алгебраических манипуляций получаем для варианта 0:
min(i,iV;) —1
^(«) = (1-тгсг)[1-С(0К^1 J2 rt9{i-l-h,h + l), (9.20)
h=0
1 — MmO'
pdrej(l,0,i)=0, i = l,Nt-l; rfej(l,0,i) =*tcrp?lg(i-Nl,Nl), (9.21)
i = Nl^1mO'
roO'
N,
prrej(l,0,i) = 0, i = l,Ns-l; prrej(l,0,Ns)=7r^;
mm(i—Ns,Ni — l)
prrej(l,0,i)=<r E rfg(i-Na-h,h), (9.22)
л=1

430 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
где pi — (1 — 7гсг)£(7)/-л-сг, a g(u, v) - число вариантов, которыми
можно разместить и неразличимых шаров по v урнам так, что в любой
урне было бы не более Ns — 1 шаров. Функция g(u, v) вычисляется
итеративно:
#(0, г;) = 1 Vv > 0, д(и, 1) = 1 при и < Ns
и
д(и, 1) = 0 при и > Ns;
min(u,iVs —1)
g(u,v) — 2_] д(и — k,v — 1) при v > 2, и > 0.
fe=o
Для варианта 1 в формулах (9.20)-(9.22) нужно заменить Щ на Ni — 1
и г^0 на г^х. Для варианта 2 в формулах (9.20)-(9.22) г^0
заменяется на г^2) а функция д - на функцию д, определяемую следующим
образом:
д(0, v) - 1 Vv > 0, д(и, 1) = 1 при u < ^s - 1 и <7(*и, 1) = 0
при и > Ns — 1;
min(u,iVs—2)
<7(u, г;) = Y^ 5(u — к, v — 1) при v > 2, и > 0;
А:=0
кроме того, р^(/, 2, Na - 1) = тт^"1 и р^.(*, 2, Ns) = 0.
Таким образом, для оценки вероятности передачи г можно
использовать следующую итеративную технологию:
• Шаг 0. Задать некоторые исходные значения г и усредненной
вероятности отказа prej.
• Шаг 1. Для всех возможных длин пакетов / и вариантов j = 0,2
вычислить значения вероятностей отказа Prej(l,j), используя
формулу (9.16) для I < Р или формулы (9.19), (9.21) и (9.22)
для I > Р, а также вычислить значения вероятностей вариантов
rjj(l) по формулам (9.12)-(9.14).
• Шаг 2. Найти модифицированное значение prej по формуле
(9.15) и сравнить это значение с исходным. В случае, если
различие этих значений превышает заранее установленный предел,

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 431
возвратиться к шагу 1, приняв в качестве нового исходного
значения полусумму старого исходного и модифицированного
значений prej.
• Шаг 3. Для всех возможных длин пакетов /, вариантов j = 0,2
и числа обычных попыток i вычислить значения вероятностей
i/)rej(lij)i используя формулу (9.17) для / < Р или формулы
(9.18) и (9.20)-(9.22) для I > Р.
• Шаг 4. Для всех возможных длин пакетов / вычислить по
формулам (9.10) или (9.11) средние количества обычных попыток
fi и виртуальных слотов щ, в которые станция воздерживается
от передачи.
• Шаг 5. По формуле (9.7) найти модифицированное значение г
и сравнить это значение с исходным. В случае, если различие
этих значений превышает заранее установленный предел,
возвратиться к шагу 1, приняв в качестве нового исходного
значения г полусумму его старого исходного и модифицированного
значений.
После выполнения этой итерационной процедуры по формуле (9.8)
находится распределение {di}, а затем по формулам предыдущего
раздела вычисляется искомое значение пропускной способности.
9.3.3 Случай фрагментации пакетов
В этом случае пакет, размер которого больше некоторого порога
фрагментации Lf, передается в виде цепочки фреймов DATA,
содержащих последовательные фрагменты и перемежаемых
ответными фреймами АСК, а также короткими межфреймовыми
промежутками SIFS. Таким образом, в общем случае процесс передачи пакета
можно представить в виде одной или нескольких цепочек фреймов,
передаваемых непрерывно. Посылка фрейма DATA с фрагментом,
являющимся первым в цепочке и превышающим по длине предел Р,
предваряется посылкой фрейма RTS и получением разрешающего
фрейма CTS.
Для пропускной способности и в случае фрагментации остается
справедлива формула (9.3), как и формула (9.2) для входящих в (9.3)
вероятностей ре, рс и ps.
Оценка средних длительностей слотов. Свяжем каждую
попытку передачи с парой (l,k), где /, как и ранее, - длина пакета, к
которой относится эта цепочка, а к + 1 - число фрагментов этого пакета,

432 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
которые осталось передать, причем к = 0,К(1), где К{1) - целая
часть отношения (/ — 1)/Lj. Обозначим также через r\k и rf
длины первого и последнего фрагментов остатка пакета, передаваемого
при данной попытке. Пусть вероятность того, что произвольно
выбранная попытка передачи связана с конкретной парой (l,k), равна
dik. Тогда формула (9.4) для средней длительности «коллизионного»
слота преобразуется в случае фрагментации к виду:
mm(P,Lf) ( / г-1 Lf \ }
тс= J2 td(r)d;U; + 2l J2 d; + i(Lf>P) £ 4> +
Г=Гтгп У \fc=rmin fc=P+l / J
+l(Lf > P^rts ( J2 d*j + EIFS + a + 5' (9-23)
\r=P+l /
ГДе rmin = min{7 — K(l)Lf, I = Imin, Imax}, Si d* ~ ВврОЯТНОСТЬ ТОГО,
что при данной обычной попытке передается цепочка, длина первого
фрагмента которой равна г, т.е.
kmaxyT) Imax
d*r = <p(r)= Y^ dkLf+rtr, r<Lf- d*Lf = l- ^ dlro + <p(Lf);
lmin
kminir) ~ наименьшее целое число, большее либо равное {lmin—r)/Lf,
a kmax(f) - целая часть отношения (lmax —г)/'L/. Кроме того, здесь и
далее используется булева функция lfcond], принимающая
единичное значение при выполнении условия cond.
В начале «успешного» слота одна и только одна станция
предпринимает попытку передачи, которая с вероятностью d^ связана с
парой (l,k). Эта попытка завершится успехом для данной пары (l,k),
т.е. успешной передачей всего пакета длиной /, с вероятностью
Ml, k) = Мгк)[1 ~ aLf)]k[l - £(r?)], (9-24)
где Ai(r}k) = £гс при г]к > Р и Ai(rfk) = 1 при г]к < Р. Средняя
длительность попытки передачи остатка пакета, описываемого парой
(1,к), очевидно, составляет:
ts(l, к) = Цаск + SIFS + 6)A1(rik) x
|[1 - 6i(r?)][l - ti(Lf)}k + [1 - ULf)] jy. - t(Lf)A +

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 433
+[td(r?) + SIFS + (^(rkHl - aLf)]k+
fc-1
[td(Lf) + S/FS + «^(r,1*) £[1 - £(£/)]'+
г=0
+4>(r,1fc) + ттл(г, fc)JD/F5 + [1 - тгл(г, k)]EIFS. (9.25)
При успешном завершении процесса передачи станция выбирает из
очереди следующий пакет, длина которого равна I с вероятностью di,
и с вероятностью Wq может мгновенно приступить к его передаче
(ситуация мгновенного повтора). Таким образом, формула (9.5) для
средней длительности «успешного» слота остается верной и в случае
фрагментации, а формула (9.6), определяющая среднее число байт
информации С/, успешно переданных в течение «успешного» слота,
приобретает вид:
'■■max \V Отд/ — 1 '■■max
U= Е E/7r^fc)^+i *iw-i E ^h{l,K{l))dh (9.26)
причем в этих формулах 7Г^ и Г", п = 0,1, - усредненные
значения вероятности успеха и длительности попытки передачи
соответственно при первой попытке (п = 0) и при последующих, мгновенно
повторяемых попытках, т.е.
Imax K(l) I max
K(l)
*h= Е E^Wb Т? = £ 2>(*>*)4, (9.27)
/max Imax
Tfc= E *h{l,K(l))dh Tl= J2 UhK{l))di. (9.28)
*—*тпгтг '—Ьтпгтг
Оценка вероятности передачи. Как и в предыдущем разделе,
рассмотрим процесс передачи пакета длиной / некоторой станцией.
После выбора этого пакета из очереди возможны следующие
варианты начала процесса его передачи: 1) варианты 0, 2 и 3, определенные
в предыдущем разделе, и 2) варианты 1^, к = 0, К(Г), на которые
«распадается» вариант 1, т.е. при варианте 1^ станция мгновенно
начинает передачу, но эта передача неудачна из-за искажения
помехами либо фрейма DATA, содержащего (К(1) — к + 1)-й фрагмент
пакета, либо соответствующего фрейма АСК. Очевидно,
вероятности вариантов равны
щк{1) = (l-Prej)Wo1A1(Lf)Z(Lf)[l-Z(Lf)]KW-k, к = ЩГ),
(9.29)

434 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
m0(i) = (1 -Рге^о'Мг^т^Ш -Z(Lf)]Kil\ 0>-зо)
mil) = (1 -Prej)W^[\ - A!(rlm)], (9.31)
а вероятность варианта 0 определена выражением (9.12).
Как и в предыдущем разделе, основная задача состоит в
нахождении вероятности ф*Лг) того, что в течение рассматриваемого
процесса передачи пакета длиной /, начинающегося в соответствии с
вариантом j, происходит ровно г обычных попыток, а также вероятности
отказа p*reAl,j) в передаче пакета длиной / при условии варианта j
начала этой передачи. Кроме того, требуется найти для каждой пары
(/, к) среднее число fa попыток передачи остатка пакета,
описываемого этой парой; это число определяет вероятность d^:
Imax K(u)
dlk = diflk/ 2^i 2-^dufuv, I = IminJmax, k = 0,K(l). (9.32)
U=lmin v=0
В случае / < Lf пакет не фрагментируется, т.е. K(l) = 0, поэтому
Ф*^) = Фц(*), Prej(l^J) = Prejihj) и fio = /(/). Аналогично для
/ > Lf имеем ф*Ло(г) = Фп(г?) и p*ej(l, lo) = Prej(rf, 1), причем для
нахождения искомых величин используются формулы (9.17), (9.10)
и (9.16) при rf < Р, а при rf > Р - формулы (9.9), (9.11) и (9.18)-
(9.22).
В процессе передачи фрагментированного пакета длиной / > Lf
попытки передачи остатка пакета, описываемого парой (l,k), к =
0, К{1) — 1, могут происходить в том и только в том случае, когда
1) все предыдущие фрагменты 1,..., К(1) — к были успешно
переданы, т.е. счетчики ns и щ не достигли своих предельных значений, и
2) при первой попытке передаче фрагмента К(I) — к + 1,
начинающего данный остаток, произошло искажение помехами либо фрейма
DATA, содержащего этот фрагмент, либо соответствующего
фрейма АСК. Поэтому вероятность ф^(г) для I > Lf и j ^ 1q находится
следующим рекуррентным способом:
mm(i,imj*)
ГЦЦ) = Цг < imj-WbtJ-W + E *ifj.{h)GKlj(l,i- h), (9.33)
h=i
где при к > 0
Gk(l,i) = [1 - aLf)}Gk-i(l,i) + 1(0 < i < imimLfWi tl(i)+

Моделирование БЛС в условиях высокой нагрузки 435
min(i,iml)
+1(г>0) J2 TplfAVGk-^i-hy
h=i
G0(l,i) = 1(г = 0)[1 - £(г?)] + 1(0 < i < *mi(r?))C(r?)Vro,i(i);
j* = j и Kij = К (I)- 1 для j = 0,2, а для j = lfc j* =_1 и #y = fc - 1;
imh = iQmhi h = Q,l, при Lf < P и imh = imh_, h = 0,2, при L/ > P;
наконец, гтЛ(г) = г^Л (h = О,1) при г < Р, а иначе гтл(/) = г^Л.
Для вероятности отказа при / > Lf и j ^ 1о имеем:
Prej(lJ) = Prej(Lf,j*) +
[1 -Ргед-(Ь/,Г)]С(г?)Ргвл-(г?, 1)[1 - t{Lf)prej{Lf, 1)]*« +
+ 1(А-у > 1)[1 -Prej(^/,j*)]C(b/)Prej(b/,l)x
£ [l-^L/)^-^/,!)]*. (9.34)
h=0
Наконец, среднее число попыток fik для / > Lf определяется
следующими формулами:
imo(Lf) iml(Lf)
fl,K{l) = **}(!) Л lpLffi(i)+mK{l)(l) Yl ^/Д(*) +
i=l i=l
l(Lf>P)m(l)^Lft2(i), (9.35)
i=i
fik = {vo(l)[l-prej(Lf,0)}+l(Lf > P)m(l)[l-prej(Lf,2)}}ym<k(l)+
Щ1)
+riik(l>ik+ E m,-(0[l-Prej(b/, 1)]^(0, fc = 0,^(0-1, (9.36)
j=k+l
где
yifc(0 = [l-e(L/)prei(L/,l)F-fc-1a4)^, zlk= Y, ^fc, !)(*)•
i=i

436 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Теперь мы можем найти значения // и wi, определяющие согласно
(9.7) вероятность передачи г:
fi = S>0 E ^W, m = 1>(0 E ^y(0, (9-37)
j i=l j i=l
а также усредненное значение prej вероятности отказа:
Imax
prej= £ di £>«;(*,.?'Ы0> (9-38)
где номер варианта j в зависимости от / принимает значения
0,1о,.. •, 1^г(0' а также 3' = 2 при / > Р,
/m0(0 = im0(r}tm) + С[#(0 Л Im2{l) = 42 + С[#(0Л
Wk(0 = 1гт{г}к) + ф,1],
ф, 1} = l(fc > 0){(fc - l)»roi(L/) + гт1(гг0)}. Х
Таким образом, решая систему уравнений (9.7), (9.12), (9.29)-
(9.31), (9.33)-(9.34) и (9.37)-(9.38) с помощью итеративной
технологии, аналогичной той, что описана в конце предыдущего
подраздела, находим искомую вероятность передачи т. Затем с помощью
(9.32), (9.34) и (9.35) определяем распределение dik и, наконец, с
использованием формул (9.3), (9.5) и (9.23)-(9.28) вычисляем искомую
пропускную способность S в случае фрагментации.
Разработанный простой аналитический метод позволяет оценить
пропускную способность беспроводной локальной сети, управляемой
механизмом DCF протокола IEEE 802.11, в условиях насыщения и
помех. Предлагаемый метод позволяет учитывать как ограничения,
накладываемые механизмом DCF на число попыток передачи пакета,
так и Эффект Захвата, заключающийся в том, что станция,
только что успешно закончившая передачу пакета, имеет больше
шансов на выигрыш в соревновании с остальными станциями и,
соответственно, на захват канала для передачи следующего пакета.
Наряду с пропускной способностью оценивается также вероятность
отказа в передаче пакета из-за достижения предельных значений,
установленных стандартом [298] для числа попыток передачи длинных
и коротких фреймов. Кроме того, в отличие от предшествующих
работ [146, 155, 294] разработанный метод позволяет оценить
пропускную способность и вероятность отказа в условиях использования
фрагментации пакетов, рекомендуемой в стандарте [298] для
снижения влияния помех.

Моделирование городской радиосети 437
9.4 Моделирование городской радиосети
В типичных условиях городской беспроводной сети абонентские
станции не имеют радиовидимости друг с другом (т.е. скрыты друг
от друга) и вынуждены взаимодействовать через ретрансляционную
базовую станцию (ВС), расположенную на большой высоте (на
высотных зданиях, телевышках и т.д.), как это показано на рис. 9.4.
Совокупность абонентских (оконечных) станций, которые обычно
являются радиобриджами между беспроводной сетью и локальными
кабельными сетями, и базовой станции, на которую сфокусированы
антенны оконечных станций (ОС), называется радиосотой и является
основной структурной единицей беспроводной сети.
К Интернет-провайдеру
Ц ».
Рис. 9.4. Типовая радиосота
Кратко опишем особенности схемы DCF в случае скрытых
станций. Прежде всего заметим, что скрытые станции по-разному
воспринимают состояние канала, поэтому одна оконечная станция
продолжает отсчет времени задержки во время передачи другой
оконечной станции: см. рис. 9.5 в сравнении с рис. 9.1.
Рассмотрим случаи, когда происходят коллизии в
предположении, что длины всех пакетов, передаваемых от ОС к ВС и обрат-

438 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Успех ОС
Успех БС
Неудача БС
из-за помех
БС [Ц
DATA
-*ОС2
LJ DATA
ГП-^ос.
■ДЭ
ОС
ОС
DATA
m-Бс
Jm.
m
JX!
ггп
m
m
слоты
задержки
Рис. 9.5. Работа DCF при скрытых ОС (6t =EIFS, 63 =DIFS)
но, равны соответственно Le и Ьь > Le байт (данный вид
трафика характерны для городской сети); кроме того, предположим, что
все станции используют только механизм Базового Доступа. Пусть в
некоторый момент to БС, «слышащая» все остальные станции,
начинает передачу ОС 1 (см. рис. 9.6). Тогда коллизия возможна только
в случае, если какая-либо ОС также попытается передавать в
интервале (to — <£, to + 5), причем передача БС окончится неудачей
из-за коллизии, только если в коллизии участвует и ОС 1. Попытки
остальных ОС не мешают БС передавать фрейм DATA и принимать
фрейм АСК, так как: 1) станция не прослушивает канал в течение
своей передачи; 2) ОС 1 не «слышит» остальные оконечные станции
и успешно принимает фрейм DATA от БС; и 3) Lb > Le,
поэтому коллизия всегда завершается до начала передачи фрейма АСК
ОС 1. Таким образом, при коллизии, в которой участвуют как БС,
так и ОС 1, искажаются все передаваемые фреймы (назовем такую
коллизию разрушающей Б-коллизией), а если ОС 1 не участвует в
коллизии, то данная Б-коллизия является неразрушающей для БС
(хотя, конечно, фреймы других станций будут искажены).
Перейдем к коллизиям оконечных станций (рис. 9.7). Пусть в
момент to начинает передачу ОС 1, причем время, необходимое для
передачи фрейма DATA от ОС, обозначим tde (при передаче от
БС к ОС аналогичное время - £<&). Пусть также БС не начнет
передачу в (to — 5, to + S). Тогда коллизия произойдет, если какая-

Моделирование городской радиосети 439
БС
0С1
Разрушающая
Б-коллизия
DATA
-♦БС
Неразрушаю щая
Б-коллизия
DATA
—^ОС1
0,
I !
DATA
—•►ОСИ
I
I
i
АСК
ОС 2
DATA !
—*-БС !
Рис. 9.6. Коллизии БС
БС
Разрушающая
О-коллизия
Неудача ОС
из-за помех
АСК
ОС1
ОС 2
DATA
-♦БС
i
DATA I __|
—БС'
DATA
-♦БС
в,
*,
DATA
-*БС
ш
Рис. 9.7. Неудачные попытки ОС

440 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
либо ОС (ОС 2 на рис. 9.7) также попытается передавать в
момент ti e (t0 - tde - 26 - SIFS, t0 + tde + 26 + SIFS), причем при
*i £ (^o — tde, to + t^) искажаются оба передаваемых фрейма
(разрушающая О-коллизия), а при |*i — to\ € (tde, tde + 25 + SIFS) БС
успевает успешно принять фрейм, прибывший первым, т.е. имеет
место неразрушающая О-коллизия. Наконец, после коллизии ОС или
искажения помехами фрейма DATA, посланного ОС, как эта (или
эти) ОС, так и БС не могут начать следующую попытку передачи в
течение, по крайней мере, EIFS (будем говорить, что они
становятся блокированными на время EIFS), в то время как остальные ОС
продолжают отсчет времени задержки и могут начать передачу.
Далее рассматривается типовая радиосота [40,216], структура
которой упрощенно изображена на рис. 9.8. Радиосота объединяет S
оконечных станций, каждая из которых подключает к радиосоте
локальную кабельную сеть s (s = 1,...,5) типа Ethernet, состоящую
из Ns терминалов и одного или нескольких серверов. Основываясь
на данных из [244], будем учитывать (как и в [40]) только наиболее
распространенные информационные взаимодействия типа: запрос к
локальному (внутри радиосоты) или внешнему (в глобальной сети)
серверу, состоящий из одного пакета, - ответ сервера, состоящий из
множества пакетов.
9.4.1 Имитационное моделирование радиосоты
Так как целью исследования является анализ пропускной
способности радиосоты, то прохождение запросов и ответов по локальным
кабельным сетям и вне радиосоты моделируется следующим
упрощенным образом. Запрос терминала локальной сети s генерируется
в среднем за время Aj1 с момента приема последнего пакета
ответа соответствующей оконечной станцией s и поступает в очередь к
передающей машине этой станции. Извне через базовую станцию
также поступает пуассоновский поток запросов к локальным серверам с
интенсивностью Ао, причем число внешних запросов, одновременно
обслуживаемых в радиосоте, не превышает No-
После прохождения радиосоты запрос обслуживается в
требуемом сервере локальной сети г (при г > 0) или «внешнего мира» (при
г = 0), что определяется маршрутной матрицей ||pSr|U,r=o,...5» где
s = 0 соответствует внешнему потоку запросов. После
обслуживания сервером (в среднем за время /х^1) пакеты ответа поступают в
очередь к передающей машине станции г (при г = 0 - сразу к базо-

Моделирование городской радиосети 441
Оконечная
станция 1
Сервер 1
Т
е
Р
м
и
н
а
л
ы
N.
Внешний
мир
Базовая станция О
Оконечная
станция S
Сервер S
Т
е
Р
м
и
н
а
л
ы
N.
ЛС 1 ЛС S
Рис. 9.8. Структура радиосоты с подключенными локальными сетями

442 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
вой станции 0) через случайные интервалы tjf (со средним значением
l/fi™). Наконец, после передачи последнего пакета ответа через ра-
диосоту к станции-источнику s, терминал, ожидавший этого ответа,
может генерировать новый запрос (при s = 0 освобождается место
для нового внешнего запроса).
Времена генерации запросов и обслуживания в серверах (а также
интервалы t™) распределены экспоненциально, а число пакетов в
ответе сервера г на запрос из станции s (со средним Frs) имеет
геометрическое распределение. Размер пакета ответа Ьм предполагается
фиксированным и равным 1518 байт (максимальный размер пакета
в Ethernet [157]), а размер пакета-запроса - равномерно
распределенным на интервале [0, Ьм\- Наконец, вероятность ре искажения
фреймов помехами считается прямо пропорциональной времени передачи
фрейма; в частности, для фрейма DATA с нефрагментированным
пакетом ответа ре = ke(th + 8Lm/V) = pQe, где Тм = th + Lm/V и th
- времена передачи всего фрейма и его заголовка, а V -
быстродействие радиосети в Мбит/с.
Проведенное (на основе сделанных предположений)
имитационное моделирование радиосоты с 5 оконечными станциями,
результаты которого отчасти приведены в разделе 9.6, потребовало
значительных временных затрат даже при небольших количествах
терминалов в локальных сетях (Ns) и пакетов (Fra) в файлах-ответах,
что объясняется прежде всего существенным дисбалансом
временных масштабов: например, интервалы между поступлениями
запросов клиентов исчисляются секундами и десятками секунд, а
временной масштаб событий, определяемых протоколом радиосоты,
измеряется в микросекундах. С ростом же величин Ns и Frs ресурсоемкость
имитационного моделирования становится неприемлемой для задач
начальных этапов проектирования. Поэтому наиболее эффективным
способом определения оптимальной конфигурации радиосоты
является ее аналитическое моделирование.
9.4.2 Аналитический метод оценки пропускной
способности
Итак, рассмотрим радиосоту на рис. 9.8. Так как число
терминалов в каждой локальной сети обычно велико [8,244], применим вывод
из [98] о том, что при оценке пропускных способностей можно
заменить конвейерную передачу (через оконечную и базовую станции)
файлов-ответов на последовательную. Тогда, пренебрегая интерва-

Моделирование городской радиосети 443
лами tjf между поступлениями последовательных пакетов ответов
(эти интервалы достаточно малы и «накладываются» на время
ожидания в очереди), получаем замкнутую экспоненциальную модель,
изображенную на рис. 9.9.
Локальная сеть 1
Терминалы
х, гаи-
Сервер 1
Pi. [is!
l-F,
-^JB-
ОУ 1
Внешний мир
Оконечная
станция 1
Локальная сеть S
Терминалы
1-г;
Сераер S
ills- flsTf
—* I I I— | оу о
Базовая
станция О
Рис. 9.9. Модель радиосоты
►Д>[о71
Внешни»
запросы
А„
IS
Ро.
Внешний сервер
В этой модели циркулируют заявки (5 + 1)2 классов, разбитых на
5 + 1 укрупненных классов. Из IS-станции /5*, моделирующей
работу терминалов локальной сети s, исходят заявки класса ss (при s = О
- это запросы «внешнего мира», генерация которых, согласно п.6.4.2,
моделируется одноканальным устройством ОУЗ), которые после
прохождения через одноканальные устройства (ОУ г, г = О,..., S),
моделирующие станции, и обслуживания в требуемом сервере г (также
IS-станции ISr) меняют свой класс на sr. Общее число заявок
укрупненного класса s (включающего классы sr, г = 0,..., S) фиксировано
и равно Ns ■ Ненулевые вероятности переходов между узлами модели
на рис. 9.9 имеют вид: для заявок класса ss при s > О
Prob[ISl -> ОУ s] = 1, Prob[OY; s -> ОУ; 0] = 1 - ps0,
Prob[OY; s -> ISg = Pso, Prob[OY; 0
Pso), r > 0, гфв;
для заявок класса sr при s > 0 и г ф s
Prob[IScr -> ОУ;г] = 1,
I St
Psr/(1

444 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
РгоЬ[ОУ-г -» ОУ;0] = 1/Frs, г > О, Prob[OY; О -> /5*] =
для заявок класса Оо
Рго6[ОУЗ; -► ОУ;0] = 1, РгоЬ[ОУ;0 -► /ЗД = р0г, г > 0;
для заявок класса 0Г при г > 0
Pro6[/S£ -► ОУ;г] = 1, Рго6[ОУ;г -► ОУЗ] = 1/Рг0-
В этих выражениях X^r=o r^s ^sr = ■*- Для всех s = 0,..., 5.
Предположив известными средние времена передачи пакета Ts
каждой станцией s = 0,..., S, из этой модели с помощью метода,
изложенного в п.3.2.4, находим для каждой станции s: искомые
пропускные способности As по запросам из каждой локальной сети s = 1,..., S
и по внешним запросам (s = 0), а также вероятности ps отсутствия
очередей к каждой из станций s = 0,..., S. При большом числе
терминалов Ns точные методы оказываются чрезмерно ресурсоемкими и
значения этих показателей целесообразно определять из следующих
асимптотических приближений [9,236]:
s
&s = Ns/Qs, ps = l -y^AjKjg,
i=0
где коэффициенты посещения KiS имеют вид:
Kis = lsPisrsi, I ^F S\ Kss = 1 s\ (y.Oi))
1 3=0,jjti J
а значения Qs находятся из системы уравнений
s
Qs = 1/XS + Tsys + Yl (Psi/Vis + KsiVi), s > 0, (9.41)
S
Qo = Уо/Ао + ТоУо + ]Г](рог/№о + KoiVi), (9.42)
i=i
s
1 - 1/yo - iV0/(A0Qo) =0, 1 - l/ya - Y NiKis/Qi = 0, s > 0,
i=0

Моделирование городской радиосети 445
с ограничениями Qs > О, ys > 0 для всех s. Кроме того, из значений
As имеем [40] интенсивности поступления пакетов для передачи на
станцию s : Ms = D® + D\, где D® и D] - интенсивности
поступления соответственно пакетов-запросов и пакетов-ответов,
определяемые выражениями
s
Dl= Y, FsiPisK, D°S=AS, s = l,...,5;
S S S
D°0 = A0 + J2(l- Wo)Ai, ^o = E E FiiPiibj-
i=l i=0 j=l
Теперь на основе этих показателей будем искать значения Та.
Предположим:
1) механизм слежения за эфиром абсолютно надежен;
2) длина всех пакетов одинакова, так что каждый из них
состоит из rif =\L^i/Lf[ фрагментов, а время передачи любого фрейма
DATA toATA и вероятность его искажения помехами соответственно
равны
tDATA = th + LM/(ndfV) и pfe = p°etDATA/TM; (9.43)
3) для передачи всех пакетов используются фреймы RTS и CTS
(что рекомендуется стандартом IEEE 802.11 в случае «скрытых»
станций), так что отсутствуют коллизии фреймов DATA;
4) число попыток передачи пакета не ограничено;
5) при подсчете тайм-аутов и tnav используются (вместо т™ах)
реальные значения таз времени распространения сигнала между
оконечной станцией s и базовой станцией.
Кроме того, не будем учитывать потери от коллизирующих
фреймов RTS в части бесполезного занятия эфира. Обозначим: то =SIFS,
тд =DIFS, ть =EIFS.
Передача пакета может начаться только в те моменты
времени, когда эфир свободен и с момента занятости эфира прошло, по
крайней мере, время тд или ть. Пренебрегая потерями от
коллизирующих фреймов RTS в части бесполезного занятия эфира
(включая интервалы ть), долю U этих моментов времени можно
приближенно оценить выражением U = 1 — ^2s=qUs, где доля моментов
Us, s = 1,...,S, когда эфир занят передачей пакета от станции s,
определяется по формулам:
Us = Ма{(Т? + тд) + (Us + TM~ th)/(l - р?)},
Us = nf[th + tACK + Trs+pT(1? + n)}. { • '

446 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
В этих формулах
Т° = tRTS+tcTS+2ras+To, Trs = 2(r0+Tas), pT = l-(l-p/)(l-p«);
tRTS, tcrs и tACK - времена передачи соответствующих фреймов, а
Ре = Pe(tRTS+tcTs)/TM и р" = Р^АСк/Тм - вероятности искажения
помехами соответственно одного из последовательных фреймов RTS
и CTS и фрейма АСК.
Вероятность неуспешной попытки передачи пакета от станции s
равна:
Phs = l-(l-^)(l-pcs)(l-p-), (9.45)
где Pcs - вероятность коллизии при передаче RTS. Найдем эту
величину. Пусть передача RTS от оконечной станции s началась в момент
to. Тогда коллизия с RTS от другой оконечной станции i произойдет
в случае, если та начала передачу в интервале (to —tRrs—tq—ras —rai,
to + tRTS + Tas Таг)
; для i = 0 (коллизия с базовой станцией) этот
интервал равен (to — Tas,to + Tas). Следовательно, предполагая (здесь
и далее) пуассоновский характер распределения моментов начала
передачи на интервалах свободного эфира, имеем:
»=1,...,S,
РЛ = 1-ехр^-2^^ф|, (9.47)
где
С" = 2(tRTS + Tas) + To, V = 1 + P?(nf - 1).
Решая систему уравнений (9.45)-(9.47), находим Phs.
Определим среднее время пребывания станции s в состоянии
отложенной передачи в расчете на один пакет, включая время
возможного ожидания освобождения канала. Рассмотрим случай 1
передачи пакета, поступившего в непустую очередь. Учитывая, что
очередь может быть пуста только при поступлении пакета-запроса
или первого из пакетов-ответов, находим вероятность этого случая:
Ы = 1- PsQI, где
<7о = ( £>о + J2 Х>М; I /Ms, я1 =\D°s+ Е P™Ai I /М*> s > °-
\ i=Q j=l J У i=Q,i^s J

Моделирование городской радиосети 447
Исходя из (9.1), среднее отложенное время определяется по формуле
оо
^ = ^ + ^£^4- (9-48)
^S j:=0
с коэффициентом As± = О, где Wj - суммарное отложенное время
при j неудачных попытках передачи пакета, т.е.
n™"+j
■max „mm
Wj = J2 & - 1) ПРИ 3<m =
i=n™in
и Wj = Wm + (2n™x - l)(j - m) при j > m,
где
2"Г" = Wo и 2п™х = Wm,
а вероятность того, что произошло ровно j неудачных попыток,
равна
min{j"+l, п})
^- £ *(*ii)tMI.
fe=i ч 7
где
в^и-^ЛГУ^и-рГ)"'"*;
наконец, делитель ^s = 1 — Yli=oi^s Ui/(1 — Us) в (9.48) отражает тот
факт, что отсчет отложенного времени ведется только при свободном
эфире. Для удобства вычисления формулу (9.48) можно представить
в виде:
s sl 2ib» | ^ J J -^
^S ' j:=0 fc=l L
m AK sj+bI-
>,
dphs к dphs
(9.49)
где J = max;{n/, m},
pj+i
B°k = [Wj+(^aX-l)(J-k+l)}Bk, Bl = (W"-l)Bk, f(Phs) = rJ^
1 — r\
hs
Рассмотрим теперь различные случаи поступления пакета в
пустую очередь. Формулы (9.48) и (9.49) остаются справедливыми и в
этих случаях, но с заменой коэффициента As\ на ASi, где i - номер
случая.

448 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Случай 2: станция s находится в состоянии отложенной
передачи (включая интервал задержки) после своей последней передачи.
Вероятность этого случая - £S2 = psqlvs-, где
ua = l- exp{-MeAj2}, Аь = тд + tsiot{2n™n - 1)/{2фа),
а коэффициент - AS2 = —Дь/2. В остальных случаях станция s не
находится в состоянии отложенной передачи.
Случай 3: при поступлении Пакета либо эфир занят, либо не истек
интервал задержки после передачи другой станции. Вероятность -
Ы = psql{l-Vs){l-^s),
коэффициент -
As3 = [T°s +TM~th + ndf{th + tACK + rj + 2ras) + тд}/2 - тд.
Случай 4: при поступлении пакета эфир свободен и истек
интервал задержки. Вероятность - £S4 = 1 ~~ Ylj=i€sj, коэффициент
Аз4 = -Аь.
Суммируя (с соответствующими вероятностями £Sj) средние
отложенные времена Tg для всех случаев и учитывая (из (9.44)), что
фактическое среднее время занятости эфира при передаче одного
пакета станцией s примерно равно
^ + Af", где Д?" = V
1-ры i-p:
m
(tRTS + Tas + П)
- потери станции s из-за коллизии, находим искомое среднее время
передачи пакета:
мя
ts = ^- + &fl + fbs,
где Tg определяется так же, как Т%, но с заменой Asi на усредненный
коэффициент As = Ylij=\£>sjAsj- Подставляя значения Ts в (9.39) -
(9.42), получаем искомые пропускные способности.
9.4.3 Метод оценки пропускной способности
при технологии FHSS
При реализации радиосоты на базе технологии FHSS все станции
работают на одной частоте в течение фиксированного временного
интервала TdwelU по окончании которого происходит их
переключение (в течение краткого интервала tcf) на другую частоту; далее

Моделирование городской радиосети 449
процесс повторяется. При переключении частот теряется контроль
за состоянием эфира. Поэтому станция, желающая передать пакет
(или фрагмент пакета), воздерживается от передачи, если
предполагаемое время передачи (рассчитываемое исходя из максимального
времени распространения сигнала тапах) превышает время,
оставшееся до конца интервала работы на текущей частоте, и переходит в
отложенное состояние, не изменяя текущее значение счетчика неудач
пг [298]. Назовем такую попытку передачи отложенной. При выходе
из отложенного состояния станция возвращается в него, если
указанное условие допустимости передачи не выполняется.
Пусть передается фрейм DATA с фрагментом, не являющимся
последним, и предполагаемое время передачи последующего
фрагмента не укладывается в оставшееся время работы на текущей
частоте. Тогда, во-первых, значение tnav (в поле предполагаемой
длительности передачи) для передающегося фрейма DATA равно
времени передачи АСК, a tnav для ответного фрейма АСК обнуляется,
и во-вторых, после получения этого ответного фрейма АСК станция
переходит в отложенное состояние, не начиная передачу
последующего фрагмента. Таким образом, решение о том, передавать
фрагмент г > 1 в текущем интервале Tdweii или нет, принимается в момент
начала передачи фрейма DATA предыдущего фрагмента г — 1.
Рассмотрим сначала случай, когда фрагментация пакетов не
используется. При этом среднее значение предполагаемого времени
передачи для станции s равно
Tf = (D°s/2 + D\ ){TM-th)+th + tRrs + tcrs + tACK + 3r0 + 4ramM.
Тогда среднее время от отложенной попытки передачи до конца
интервала работы на текущей частоте (включая интервал
переключения), когда станции запрещено передавать, равно Tf/2 + tcf.
Другим фактором снижения производительности по сравнению
с режимом без частотных скачков является тот факт, что после
отложенной попытки станция переходит в отложенное состояние и
поэтому делает попытку передачи не в начале следующего
интервала Tdwelh a спустя некоторое время. Однако в случае, когда
последняя успешная передача заканчивается в момент времени, достаточно
близкий к концу интервала Tdwelh во-первых, следующая попытка
передачи не будет отложенной, и во-вторых, время нахождения в фазе
отложенного состояния между этими попытками будет существенно
меньше, чем в режиме без частотных скачков (ввиду малой загрузки
эфира в конце интервала Tdweii)-

450 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Поэтому можно считать (и это подтверждается имитационным
моделированием), что влияние двух последних факторов взаимно
компенсируется и режим с частотными скачками отличается от
режима без них только периодами «молчания» со средней
продолжительностью 7?/2 + tcf в конце каждого интервала T^weii-
Следовательно, исключая эти периоды, можно предположить,
что в оставшееся время станция s работает так же, как
аналогичная станция без частотных скачков, обеспечивающая интенсивности
потоков запросов D® — D®/(1 — 5S) и ответов D\ — D\/{1 — 5S),
где 5S = (7?/2 + tcf)/(Tdweii + tcf). Таким образом, среднее время
передачи пакета Ts будем рассчитывать по формулам раздела 9.4 с
заменой интенсивностей потоков запросов D® и ответов D\ на Щ и
D\. В свою очередь, при определении пропускных способностей As и
вероятностей отсутствия очередей ps, s = 0,..., S, в формулы (9.39)
- (9.42) вместо Ts следует подставить Ts = Ts/{\ — 5S).
Перейдем к случаю фрагментированных пакетов и разделим
попытки передачи фрагментов на две категории: категория (а), когда
либо номер фрагмента г = 1, либо предыдущая попытка передачи не
была успешной; и категория (б), когда имеет место первая попытка
передачи фрагмента г > 1. Обозначим время, требуемое для
передачи фрейма DATA с фрагментом г через ц]АТА. Тогда попытка
передачи фрагмента г будет отложена, если время до конца интервала
работы на текущей частоте меньше либо (при категории (а))
ts = tDATA + t^TS + tcTS + tACK + Зто + 4т™ах,
либо (при категории (б))
ЧЬ = t(DATA + ^АСК + То + 2(27^ - Tas).
Будем считать, что среднее время toATA, требуемое для передачи
фрейма DATA, определяется (9.43), и обозначим средние значения
tsa и t{ через Tia и Г/ , которые определяются теми же формулами
с заменой t^jATA на toATA-
Попытка категории (а) происходит с вероятностью 1 — р{ , где
pi = (1 — рТ)(1 ~ n7s) ~ вероятность попытки категории (б), и
выполняется в основном после пребывания станции s в отложенном
состоянии. Поэтому для категории (а), как и в случае нефрагментиро-
ванных пакетов, можно считать, что эффект переключения частот
сводится к периодам «молчания» со средней продолжительностью
Tg /2 + tcf в конце каждого интервала Tdweil-

Численные результаты исследования 451
Попытка категории (б) выполняется сразу (через tq) по
окончании предыдущей попытки без пребывания станции в отложенном
состоянии. Поэтому для этой категории необходимо учесть,
наряду с периодом «молчания» со средней продолжительностью Tf' =
Т/ /2 + tcf, среднее время Д* нахождения в фазе отложенного
состояния в начале следующего интервала Tdweii после того, как
данная попытка была отложена. Для нахождения Д* учтем следующие
факты: 1) среднее время от отложенной попытки передачи до
конца интервала работы на текущей частоте (включая интервал
переключения) равно Т^ь; 2) средняя продолжительность фазы
отложенного состояния равна Т™гп = т9 + (2п™гп — l)tsiot/2. Предположим
также, что случайное время от момента начала фазы
отложенного состояния, переходящей на следующий интервал Tdweu, до
конца текущего интервала Tdweii распределено равновероятно между О
и min(T™m, Tf'). Тогда в период (О, Д*), отсчитываемый с начала
следующего интервала Tdweii, усредненная вероятность свободного (с
точки зрения данной станции s) эфира ф% (величина, аналогичная
ips) примерно равна
фЛ f Ц(1-»Г/4)
(=«#,1-С(1-3^*/4)
откуда получаем следующее приближение:
Таким образом, в случае фрагментированных пакетов величина Ss,
используемая (см. выше) для модификации средних времен
передачи пакета Ts и интенсивностей потоков запросов D® и ответов D\,
определяется по формуле
Ss = ЫаТ!а + р{ЬТ/Ь)/2 + pfAf + tcf}/(Tdweu + tcf).
Вычисляя с помощью этой величины значения Z)°, D^ и Ts, s =
О, ...,S, и используя их вместо D®, D\ и Ts в формулах раздела 9.4
определяем искомые пропускные способности Л8.
9.5 Численные результаты исследования
городской радиосоты
Рассмотрим радиосоту, объединяющую S = 5 оконечных станций
со статистически однородными локальными сетями, т.е. для каждого

452 Глаза 9. Анализ беспроводных сетей
s=l,...,S:
Ns = N/S, As = Л, ps0 = Po, Pos = 1/S,
Tas = 0,000017 c, psi = (1 - Po)/(S - 1) при г > 0 и г ф s
(значение ras соответствует расстоянию в 5 километров). Кроме
того: средние количества пакетов-ответов Frs = F для всех серверов
г; после обслуживания любого запроса в любом из локальных
серверов г с одинаковой интенсивностью [irs = рь\ = 2 с-1 пакеты ответа
поступают в среднем через 0,002 с; при обслуживании во «внешнем
мире» эти величины равны, соответственно, до = 0,2 с-1 и 0,02
с. Значение т£шх выбрано из расчета максимально возможного
расстояния между станциями, равного 50 километров, а предел длины
пакета Lm;n = 300 байт.
Таблица 9.1.
<7
216
—.max
'a
167
tcTS = tACK
184
то
28
Тм
6072
T9
460
th
264
n
728
„mm
4
tjRTS
208
„max
10
Начнем со случая, когда радиосота реализована по технологии
FHSS с быстродействием V = 2 Мбит/с, достаточно большим
временем Tdweu (что позволяет ограничиться формулами раздела 9.4.2)
и фрагментация не используется, т.е. Lf > 1518 байт.
Соответствующие параметры протокола Radio-Ethernet, полученные на основе
данных из [298], приведены в табл.9.1 (временные параметры даны
в микросекундах). Вероятность помех р° при передаче пакета равна
р° = 0,1. На рис. 9.10 показаны зависимости суммарной локальной
пропускной способности Л = ^s=i-^s этой радиосоты от среднего
времени генерации запроса Тд — Л-1.
Эти зависимости получены при ./V = 50, Л'о = 100 и F = 10 с
помощью имитационного моделирования (сплошные линии) и
аналитических методов раздела 9.4.2 (штриховые линии) для следующих
случаев, отличающихся вероятностями внешнего доступа ро и
интенсивности потока внешних запросов Ло: а) ро = 0,5 и Ло = 1 с-1, б)
ро = 0, 9 и Ло = 1 с-1, в) ро = 0, 5 и Ло = 4 с-1. Видно, что при
уменьшении Тд кривые входят в область насыщения, т.е.
пропускная способность полностью определяется интенсивностью обслужи-

Численные результаты исследования 453
2 4 6 8 10
Время генерации (с)
12
Рис. 9.10. Графики зависимости суммарной пропускной способности по
локальным запросам от среднего времени их генерации
100
80
v° 60
d
Е 40
20
4 6 8
Время генерации (с)
10
12
Рис. 9.11. Графики зависимости КПД сети от среднего времени генерации
локальных запросов

454 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
вания в «узком месте», которым является базовая станция (кривые
(а) и (б)), а в случае (в) - все станции. При больших Тд пропускная
способность примерно равна своему максимальному значению Лтож,
достижимому при данном Тд и определяемому (из расчета нулевой
задержки передачи) из формулы:
l/AmaX = N/lTg+po/po + (l-po)/A*l]-
Поэтому используем в качестве показателя эффективности работы
радиосоты ее коэффициент полезного действия (КПД), равный
проценту, который Л составляет от Amax. Графики зависимости КПД от
Тд показаны на рис. 9.11 для случаев (а) и (б) (график для случая
(в) не приведен ввиду его практического совпадения со случаем (б)).
Как видно из рис. 9.10 и 9.11, погрешность разработанных
приближений нигде не превышает 5%, поэтому данный метод вполне
применим для оценки пропускной способности радиосети, причем
в отличие от имитационного моделирования может эффективно
использоваться при решении поисковых задач проектирования сетей
с сотнями и тысячами клиентов. В качестве примера найдем
область значений интенсивностей Л и Ло, где КПД сети не меньше
80%. При этом установим следующие (более реальные) параметры
сети: F = 50, ро = 0,5, iVo = 500, а ./V принимает два значения
- 250 и 500. При имитационном моделировании на решение этой
задачи потребовались бы недели, в то время как разработанный метод
позволил в течение часа получить следующие результаты: рис. 9.12.
Кривые на этом рисунке ограничивают сверху искомую область
значений.
Перейдем к исследованию эффективности использования
фрагментации. Рассмотрим случай, когда радиосота реализована по
технологии DSSS с быстродействием V — 2 Мбит/с и L/ = 400 байт.
Соответствующие параметры протокола [298] даны в табл. 9.2.
Кроме того, N == 50, NQ = 100, Л = 0,5 с"1, Л0 = 1 с-1. На рис.
9.13 показаны графики суммарной локальной пропускной
способности Л = J2s=i -^s этой радиосоты в зависимости от интенсивности
помех, характеризуемой вероятностью ошибки р® из-за помех при
передаче фрейма DATA с нефрагментированным пакетом ответа. Эти
графики, образующие два семейства, отличающихся вероятностью
внешнего доступа ро (0,1 и 0,9), получены при фрагментированной
(толстые линии с меткой «ф») и нефрагментированной (тонкие
линии с меткой «н/ф») передаче пакетов с помощью имитационного
моделирования (штриховые линии) и разработанных приближений

Численные результаты исследования 455
S
I
э
0) ^-ч
I О
со ;=
-0 "—
h m
о о
£ о
СО Q.
S 1=
О (0
р"
I
S
1,Ь
1
0,5
О
N=250
0 12 3 4 5 6
Интенсивность локальных запросов (1000/с)
Рис. 9.12. Кривые ограничения нагрузки
(сплошные линии). Видно, что при малых помехах эффект от
использования фрагментации, определяемый разностью значений
пропускной способности при фрагментации и без нее, с увеличением
интенсивности помех монотонно растет от отрицательных значений (при
р° < 0,23) до существенно положительных: в частности, при р° — 0,4
применение фрагментации повышает пропускную способность почти
в 1,5 раза. Следует отметить, что эта картина (в том числе, и граница
эффективности применения фрагментации) качественно не меняется
с изменением вероятности внешнего доступа ро. Из сравнения
графиков, изображенных сплошными и штриховыми линиями, видно,
что погрешность разработанных приближений нигде не превышает
5%.
Таблица 9.2.
<7
192
Tmax
'a
167
tcTS = tACK
248
то
10
Тм
6360
т9
384
th
288
п
698
„mm
"с
5
tRTS
272
„max
"с
10
Численные результаты, изображенные на рис. 9.13, получены в
случае высокой нагрузки на радиосоту. Будем равномерно снижать

456 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
1 -J , , ,
0,1 0,2 0,3 0,4
Вероятность ошибки
Рис. 9.13. Графики зависимости суммарной пропускной способности по
локальным запросам от вероятности ошибки р° при технологии DSSS
0 2 4 6 8 10
Коэффициент снижения нагрузки
Рис. 9.14. Графики зависимости суммарной пропускной способности по
локальным запросам от коэффициента снижения нагрузки К\

Численные результаты исследования 457
2 ^ г ,
0,1 0,2 0,3
Вероятность ошибки
Рис. 9.15. Графики зависимости пропускной способности от вероятности
ошибки р° при технологии FHSS
(в Ki раз) интенсивности Xs для всех s = 0,...,S и посмотрим, как
это влияет на эффект от фрагментации, при фиксированной
вероятности ошибки р° = 0, 33. Результаты этого исследования,
приведенные на рис. 9.14, показывают в целом немонотонность зависимостей
суммарной локальной пропускной способности Л от коэффициента
снижения нагрузки К{. Рост Ki вначале (кроме случая фрагменти-
рованной передачи при ро = 0, 9) увеличивает Л за счет снижения
интенсивности внешнего потока. При дальнейшем снижении
нагрузки пропускная способность начинает также снижаться и становится
примерно равной своему максимальному значению Лтаж,
достижимому при данных As, за счет чего эффект от фрагментации
стремится к 0 (см. рис. 9.14). Таким образом, в случае малой нагрузки
пропускные способности при фрагментированной и нефрагментиро-
ванной передачах практически совпадают.
Наконец, рассмотрим случай, когда радиосота реализована с
помощью радиобриджей BreezeNet [108], обеспечивающих
максимальное быстродействие V = 3 Мбит/с и работающих по
технологии FHSS с ограниченным временем Tdweii- Измененные (согласно
[108,298]) по сравнению с табл. 9.2 параметры протокола даны в табл.

458 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Таблица 9.3.
<7
216
то
28
tCTS — tACK
165
Т9
460
tRTS
181
п
728
J- dwell
32000
Тм
4240
tcf
220
th
192
„mm
"■с
4
9.3. На рис. 9.15 показаны (с теми же условными обозначениями, что
и на рис. 9.13) графики зависимости суммарной локальной
пропускной способности Л этой радиосоты от интенсивности помех (т.е. от
вероятности ошибки p°J для случаев фрагментированной и нефраг-
ментированной передачи при различных вероятностях внешнего
доступа ро (0,1 и 0,9). Эти графики получены (с применением формул
раздела 9.4.3) при значениях As = 1, s = 1, S, и Ло = 4 с-1. Видно,
что, во-первых, погрешность разработанных приближений мала, и
во-вторых, графики на рис. 9.15 качественно не отличаются от
графиков на рис. 9.13, включая практическое совпадение границы
эффективности применения фрагментации. Следовательно:
- выводы о зависимости эффективности фрагментации от
интенсивности помех и нагрузки, полученные для технологии DSSS,
остаются справедливы и в этом случае;
- при фрагментации положительный эффект, достигаемый за счет
увеличения битов информации, передаваемых за период
непрерывной работы на одной частоте, практически компенсируется
отрицательным эффектом от пребывания станции в отложенном состоянии
(при переключении частот) между передачами фрагментов одного и
того же пакета.
9.6 Региональные беспроводные сети
на базе ШПС-радиомодемов
Примером успешной реализации беспроводной сотовой сети
является сеть Radionet, разработанная и реализованная Институтом
проблем передачи информации РАН (ИППИ РАН) для подключения
в Интернет организаций науки и образования г Москвы (рис. 9.16).
Разработанная по заказу Минпромнауки России указанная сеть
надежно функционирует в г. Москве в течение трех лет, обеспечивая
доступ в Интернет порядка 60 организаций науки и образования.
Учитывая тот факт, что каждая такая организация обладает локаль-

Региональные беспроводные сети 459
оператор в
диапазоне 2,4 Ггц МГУ
Рис. 9.16. Московская сотовая радиомодемная сеть передачи данных для
науки и образования (Radionet)
ной сетью, включающей порядка 100 компьютеров, общее количество
компьютеров, подключенных в Интернет с помощью сети Radionet,
составляет порядка 6000. Основным техническим средством, на
котором реализована данная радиосеть, является радиомодем CISCO
AIRONET, работающий по протоколу IEEE 802.11 и использующий
ШПС-технологию DSSS. Сеть имеет единый центр управления,
расположенный в ИППИ РАН, который имеет лицензию Главгоссвязь-
надзора России на работу радиосредств с шумоподобным сигналом
в диапазоне 2,4 ГГц, являясь единственным государственным
оператором в г. Москве. Базовые станции сети Radionet размещены на
высотных зданиях (Кудринская пл., Президиум РАН и МГУ) и
соединены между собой, а также с ИППИ РАН оптоволоконными
линиями связи. В настоящее время получено разрешение Главгоссвязь-
надзора России на создание еще двух базовых радиоточек, где будут
размещены базовые станции, а именно - на Останкинской телебашне
и в РНЦ «Курчатовский институт».
В связи с возрастающим количеством абонентов радиосети в г.
Москве и ограниченными возможностями подключения новых
организаций по основным принципам «точка-мультиточка» и «точка-
точка» для организации базовой радиоточки на Кудринской пл. (см.

460 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
рис. 9.16) ИППИ РАН был предложен и использован более
прогрессивный метод: секторирование антенны в сочетании с
интегрированием и единым управлением мультиточек при четкой азимутальной
ориентации секторных антенн. Такое решение позволило в 2-3 раза
увеличить количество абонентов, а также осуществить развязку
вышеуказанных антенн по направленности радиоизлучения с
использованием вертикальной и горизонтальной поляризации в смежных
секторах. При таком варианте исполнения на этой базовой точке
было задействовано четыре секторных антенны, ориентированных на
СЕВЕР, ЮГ, ЗАПАД, ВОСТОК.
Зачастую абонентами сети Radionet являются не только
локальные сети отдельных организаций науки и образования, но и целые
«кусты» таких организаций. В этом случае локальные сети
одного «куста» связываются между собой оптоволоконными или
медными линиями связи, образуя единое информационное пространство,
которое подключается в Интернет с помощью радиоканала «точка-
точка». Примером такого «куста» является объединение таких
институтов, как Институт литосферы РАН, ИГЕМ РАН, ГИН РАН,
ИФА РАН и другие. Связь по радиоканалу осуществляется через
соединение «точка-точка» с быстродействием 11 Мбит/с между ИГЕМ
РАН и отдельной антенной, установленной на высотном здании на
Кудринская пл. в дополнение к вышеописанной секторной антенне.
Кроме московской сети Radionet, в наукограде Обнинск ИППИ
РАН была реализована сеть передачи данных, используемая как
для объединения ряда НИИ наземными оптоволоконными линиями,
так и для подключения удаленных институтов с помощью ШПС-
радиобриджей BreezeNet. Базовая станция г. Обнинска с
многоточечной антенной размещена на высотной метеорологической вышке,
что обеспечивает прямую радиовидимость с удаленными
институтами (рис. 9.17). К сети г.Обнинска подключены также сети научных
организаций гг. Пущино (с помощью ШПС-модемов) и Протвино
(посредством радиорелейной линии). Между собой сеть наукограда
Обнинск и сеть Radionet связаны высокоскоростной радиорелейной
линией со скоростью передачи 8 Мбит/с. Таким образом, образовано
единое информационное пространство научных организаций
Москвы, Обнинска, Пущино и Протвино.
В настоящее время по заказу АК «Якутскэнерго» ИППИ РАН
разрабатывает проект создания беспроводной корпоративной сети в
г. Якутске. В рамках проекта предусматривается создание высоко-

Региональные беспроводные сети 461
Сеть научного
центра
it
Москва
М9
Московская ^^_1__^
научная (FDD^\
опорная сетвч. у1
Рис. 9.17. Сеть наукограда Обнинск

462 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
скоростной беспроводной среды для передачи данных, голоса и
видеоизображений с использованием ШПС-радиомодемов.
9.7 Аэростатная беспроводная сеть
Как отмечалось в разделах 9.1 и 9.6, базовую станцию каждой
радиосоты необходимо располагать на большой высоте (на
высотных зданиях, телевышках и т.д.). Учитывая, что количество
высотных сооружений в г. Москве весьма ограничено, что характерно и
для других городов России, такие высотные сооружения
превращаются в «сборище» разнообразных антенн, работающих в различных
диапазонах длин волн. Это приводит к серьезным проблемам
электромагнитной совместимости ухудшению связи в каждой из сетей.
Кроме того имеется и другая проблема. В коротковолновой части
дециметрового и сантиметрового диапазона длин волн, в которых
работает все рассматриваемое оборудование, доминирующим
механизмом является прямая волна. Многолучевое распространение
возникает в результате отражения сигнала от различных строений,
элементов конструкций зданий и т.д. В результате на входе приемного
устройства действует несколько сигналов, поступающих с разных
направлений, что может привести к замиранию сигнала на входе
приемного устройства.
В связи с этим возникает необходимость разработки новых
технических решений. ИППИ РАН совместно с РНЦ «Курчатовский
институт» и ЗАО «Воздухоплавательный центр «Авгуръ» предложил
и реализовал оригинальное решение для создания беспроводной
сети с использованием привязных аэростатов, обеспечивающих подъем
базовой станции на высоту до одного километра. Использование
привязных аэростатов приводит к резкому повышению качества связи
за счет решения проблемы электромагнитной совместимости.
Расположение базовой станции на привязном аэростате резко снижает
проблему многолучевого распространения, характерного для
скользящих к горизонту углов распространения. При разработке
беспроводной аэростатной радиосети, получившей название «БАРС» (рис.
9.18), был решен целый ряд сложных технических проблем.
• Разработка легкого сверхпрочного троса, в котором заложено
оптоволокно для передачи данных и медные провода для
передачи электропитания.

Аэростатная беспроводная сеть 463
• Разработка устройств стабилизации по вертикали и
горизонтали базовой станции.
• Разработка устройств стабилизации температуры внутри
базовой станции.
Рис. 9.18. Беспроводная аэростатная радиосеть (БАРС)
В настоящее время разрабатывается другой проект, участниками
которого являются ряд ведущих фирм Европы и США. В рамках
этого проекта предполагается поднять дирижабли с базовыми
станциями на высоту до двадцати двух километров. Стоимость подъема
одного дирижабля оценивается в десятки миллионов долларов.
Стоимость проекта «БАРС» на два порядка ниже. Кроме реализации
функции «последней мили» в проекте «БАРС» предусмотрена
возможность оперативного создания сетей передачи голоса и
видеоизображений, радиолокационного слежения за стационарными и
движущимися объектами, контроля за состоянием окружающей среды и
мониторинга объектов.

464 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
9.8 Оптоэлектронные атмосферные каналы
передачи данных в компьютерных сетях
Как отмечалось в предыдущих разделах, в вычислительных
системах и сетях активно используются широкополосные
радиосредства, обеспечивающие высокоскоростную связь и быстрое
развертывание между узлами сетей. Основным недостатком такого канала
является необходимость получения разрешения органов Госсвязьнадзо-
ра, ограничения по диапазону частот и мощности передатчика.
Оптические атмосферные линии связи свободны от этих
недостатков и придают вычислительным, телекоммуникационным
системам и сетям такие качества как:
— невосприимчивость к электромагнитным помехам;
— высокую скорость передачи;
— низкую удельную себестоимость бита передаваемой
информации;
— совместимость по техническим характеристикам оптоэлектрон-
ных приборов и устройств с микроэлектронными схемами и
устройствами.
Применение их в вычислительных сетях, безусловно,
перспективно.
Поэтому особый интерес представляет использование устройства,
состоящего из оптического передатчика - оптической среды
(атмосферы) - фотоприемника, то есть оптоэлектронной атмосферной
линии передачи информации (при наличии каналообразующих
устройств она выполняет функцию канала). Оптический передатчик
обычно включает инфракрасный излучающий диод или
полупроводниковый лазерный диод и схему управления; фотоприемник - p-i-n
фотодиод и усилитель выходного сигнала. Так как такой канал
вызывает интерес у потребителей различных областей техники, то его
часто называют инфракрасной линией связи или лазерной линией
связи и т.д (хотя в них всегда происходят присущие оптоэлектронным
приборам, схемам и системам физические преобразования
«электричество - свет - электричество» или их комбинации).
Многие из недостатков электромагнитных приборов, устройств и
систем (особенно возможность подавления абонента мощным элек-

Оптоэлектронные атмосферные каналы 465
тромагнитным излучением, грозовыми разрядами, ядерным
излучением и т.д.) в таком канале устранены.
Появление полупроводниковых лазерных диодов позволило
построить оптоэлектронные атмосферные каналы на основе
полупроводниковых лазерных диодов на арсениде галлия, легированного
алюминием, с длиной волны излучения 850-870 нм. Они
позволяют строить оптоэлектронные атмосферные каналы со следующими
характеристиками:
— высокая скорость передачи информации, до 155 Мбит/с;
— вероятность ошибки при передаче информации - Ю-9;
— мобильность связи;
— повышенная секретность связи.
Но использование лазерных диодов накладывает следующие
ограничения на оптоэлектронный атмосферный канал (OAK):
— чтобы обеспечить экологическую безопасность лазерных
атмосферных линий (ЛАЛ или оптоэлектронных атмосферных каналов
на основе лазерных диодов) в оптических передатчиках таких линий,
используют полупроводниковые лазерные диоды с мощностью до 50
мВт;
— с другой стороны, чтобы добиться приемлемой дистанции
передачи оптического сигнала от передатчика до приемника ЛАЛ - 1-2
км - (т.е. обеспечить приемлемую интенсивность излучения в
телесном угле), требуется сформировать узконаправленный луч, с углом
расхождения в несколько единиц или даже долей мрад;
— это, в свою очередь, предъявляет жесткие требования к
стабилизации передатчика (т.е. заставляет делать разработчика или массивное
основание, или ставить передатчик на гироплатформу). Но, сужая
луч и стабилизируя передатчик ЛАЛ, не всегда удается обеспечить
стабильную работу ЛАЛ, т.к. коэффициент преломления реальной
атмосферы всегда непостоянен из-за поднимающихся нагретых
потоков воздуха, т.е. необходимо увеличивать расходимость луча ЛАЛ
и, соответственно, снижать дистанцию передачи;
— все это вместе взятое заставляет разработчика использовать
сложные системы стабилизации ЛАЛ, что, в свою очередь, повышает цену
ЛАЛ.
Рассмотрим далее особенности конструирования, особенности
применения инфракрасных атмосферных каналов в компьютерных
сетях и перспективы их дальнейшего развития.

466 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Одна из простейших топологий симплексного инфракрасного
атмосферного канала (ИАК) на основе инфракрасного диода и p-i-n
фотодиода представлена на рис. 9.19.
| ИИ | »1 ИМ | »| ОПер | »| ОС | »1 ОПр | »| ИМ | »| ИИ |
Рис. 9.19. Структурная схема симплексного инфракрасного канала
передачи данных.
ИИ - источник информации;
ИМ - интерфейсный модуль;
ОПер - оптический передатчик (схема управления током,
протекающим через инфракрасный излучающий диод, и сам инфракрасный диод,
линзовая система формирования выходного оптического луча);
ОС - оптическая среда (атмосфера);
ОПр - оптический приемник (p-i-n фотодиод, схема усилителя-
формирователя выходного сигнала и линзовая система приема оптического
сигнала).
ИАК представляет собой устройства, преобразующие
электрическую форму представления информации в оптическую и обратно.
Оптическая среда ИАК (атмосфера), рассогласование оптических
параметров передатчика и приемника вносят значительное
ослабление сигнала. Общее затухание информационного оптического
сигнала ИАК складывается из двух основных составляющих:
— затухание оптического сигнала из-за рассогласования
выходных оптических параметров передатчика и входных параметров
приемника;
— затухание за счет поглощения квантов света на парах воды,
молекулах углекислого газа, аэрозольных частицах.
В схематичном виде ИАК можно представить (см. рис. 9.21) в
виде расположенных на одной оптической оси оптического передатчика
(состоящего из излучающего инфракрасного диода и линзы,
формирующей узконаправленный луч) и оптического приемника
(состоящего из оптической линзы, в фокусе которой расположена
непосредственно площадка фотодиода).
Условные обозначения:
ИИ - источник излучения, в нашем случае инфракрасный излучающий
дидод с длиной волны излучения Л=0,85-0,87мкм;
Лпер - линза оптического передатчика;
Лпр - линза оптического приемника;

Оптоэлектронные атмосферные каналы 467
Рис. 9.20 Оптическая схема симплексного инфракрасного канала
передачи данных.
Оср - оптическая среда (атмосфера)
ОСпер - оптическая система передатчика (ИИ+Лпер);
ОСпр - оптическая система фотоприемника (Лпр+ФД);
ФПУ - фотоприемное устройство (Si-фотодиод + усилитель-
формирователь) ;
Бл.пер - диаметр линзы передатчика;
Бл.пр. - диаметр линзы приемника;
Бптн - диаметр оптического «пятна» от оптического луча передатчика
в плоскости линзы фотоприемника;
Fnep - фокусное расстояние линзы передатчика;
Fnp - фокусное расстояние линзы приемника;
А - размер источника излучения;
Qpacx - угловая расходимость на выходе линзы передатчика;
он мах - максимальный угол выхода оптического излучения из
кристалла излучающего диода;
с*0хв ~ угол охвата оптического излучения излучающего диода линзой
передатчика;
L - длина трассы.
Расчет оптической системы сводится к определению (см. рис.
9.20) доли излученной ИК мощности, попадающей на ФП.
Очевидно, что чем эта доля больше, тем эффективнее передача оптического
сигнала от передатчика к приемнику. Падение информационного
оптического сигнала за счет расхождения оптического пучка упрощен-

468 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
но определяется, в соответствии с законами геометрической оптики,
отношением площади оптического пятна в плоскости линзы
фотоприемника к площади линзы фотоприемника, т.е. на площадь линзы
фотоприемника падает часть инфракрасного излучения,
пропорциональная отношению
-^пр = (,-*-Aith/-'-AipJ
где -Оптн - диаметр светового пятна; Dnp - диаметр линзы приемника
ИАК.
В соответствии с законами геометрической оптики:
J-'iiTn = I** ' Vpacx
где
Qpacx- угловая расходимость излучения на выходе передатчика
равная ц/расх = -A/^nepj
А - размер источника излучения передатчика;
•^пер - фокусное расстояние линзы передатчика.
Затухание оптического сигнала из-за рассогласования
оптического сигнала передатчика и приемника
Рассмотрим затухание оптического информационного сигнала за
счет рассогласования параметров передатчика и приемника ИАК.
В ИАК, как и при расчете основных параметров и характеристик
волоконно-оптической линии связи, можно ввести понятие
энергетического потенциала линии - Рэ
Рэ = РпеР ~ Рпр (9.50)
где РПер - уровень мощности инфракрасного излучателя на выходе
линзы оптического передатчика в дБм (т.е. Pnep=101g i^b*"" Д^м>
•Рпер.лин - оптическая мощность на выходе линзы передатчика ИАК;
•Рпр - уровень мощности инфракрасного излучения на входе
приемника в дБм, т.е.
где РПр.лин. - оптическая мощность на входе линзы приемника.
Суммарные потери Рц, дБм, в ИАК можно оценить по формуле

Оптоэлектронные атмосферные каналы 469
•*п — -"опт т~ -<атм [u.oZj
где Ропт) дБм - затухание оптического сигнала из-за рассогласования
выходных оптических параметров передатчика и входных
параметров приемника (из-за чего площадь «пятна» всегда больше площади
линзы фотоприемника); Ратм, дБ - затухание оптического
информационного сигнала в атмосфере.
Расчет уровня оптической мощности на выходе линзы
передатчика ведем с учетом доли охвата Аохв светового потока, излучаемого
инфракрасным диодом, и которая охватывается линзой передатчика.
Угол охвата линзы передатчика определяется выражением
"охв = arctg ( рр J (9.53)
В общем случае для любой индикатрисы инфракрасного
излучающего диода коэффициент Аохв можно определить путем
численного интегрирования. Однако в частных (часто встречающихся)
случаях коэффициент Аохв определяется аналитической формой.
Так при равномерной индикатрисе инфракрасного излучающего
диода
Ажв = (аохв/"тах) (9-54)
а при гауссовой индикатрисе:
( Оохв ^
Аохв = 1-е К"***) (9.55)
Соответственно оптическая мощность на выходе передатчика,
выраженную в децибелах (и с учетом того, что в линзу передатчика
попадает только часть излучения ИК-диода, определяем его
коэффициент Аохв), определим по формуле:
Pnep = 101gF7"/°XB (9-56)
1мВт
где Ризл _ полная мощность инфракрасного излучающего диода,
измеренная в 1 мВт.
Оптическую мощность, которая перехватывается линзой
приемника, можно определить численным интегрированием. Однако для
оценочных расчетов (в этом случае считается, что оптика
безаберрационная, а излучающий диод - ламбертовый излучатель), индика-
трисса на выходе линзы передатчика равномерна, а доля светового

470 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
потока (Апр), которая перехватывается линзой приемника,
определяется соотношением
-^■охв = (-'-Aith/-'-AipJ
где -Оптн ~ диаметр светового пятна;
D™ = 2L • tff(^p) (9.57)
L - длина трассы ИАК;
Qpacx ~ угол расхождения излучения передатчика определяется, в
соответствии с законами геометрической оптики, выражением
Qpacx = 2arctg— (9.58)
где F - фокусное расстояние линзы передатчика.
Соответственно, мощность инфракрасного излучения,
попадающего на линзу фотоприемника с учетом выражений (9.56)-(9.57)
можно описать соотношением
Рпр = Ю lg РдЛ1^1"4арДВм, (9.59)
Выражения (9.56) и (9.59) приводят к выводу:
- для сокращения отношения «пятна» в плоскости
фотоприемника (см. рис. 9.210) к площади линзы ФП - Апр, т.е. повышения
эффективности оптической системы канала, необходима узкая
диаграмма направленности выходного оптического сигнала
передатчика. Это требует, как правило, увеличения фокусного расстояния и
самих размеров линз передатчика и приемника (их диаметр и 200мм),
что делает оптическую систему ИАК громоздкой.
С другой стороны, слишком узкая диаграмма направленности
приводит к тому, что из-за изменения коэффициента преломления
оптической среды (атмосферы) за счет постоянного перемешивания
теплого и холодного воздуха на трассе ИАК или из-за дрожания
опор, на которых закреплены передатчик и приемник, возможен уход
«пятна» вообще за пределы линзы фотоприемника, что приводит к
потере связи.
При применении реальных элементов ИАК в каждом конкретном
случае построение системы связи энергетический потенциал может

Оптоэлектронные атмосферные каналы 471
изменяться, а при неудачном выборе фокусного расстояния и других
параметров линз передатчика и приемника может снизиться весьма
существенно.
Результаты численного расчета оптических элементов ИАК
показывают, что размеры диаметров линзы и ее фокусное расстояние (см.
рис. 9.20) должны быть выбраны такими, чтобы диаметр
«размытия» оптического пятна (оптического сигнала передатчика) на
расстоянии 1 км трассы канала не превышал 0,8-1,0 м. Это позволяет
избежать «дрожания» амплитуды и фазы оптического
информационного сигнала и добиться высокой интенсивности оптического
сигнала, что, соответственно, приводит к повышению попадания доли
оптического сигнала от передатчика на приемник.
Затухание оптического сигнала в атмосфере
Основным процессом, сопровождающим распространение
инфракрасного оптического сигнала (т.е. сигнала с длиной волны более
0,76 мкм) в атмосфере, является его селективное поглощение парами
воды, молекулами углекислого газа, а также рассеяние
мельчайшими частицами, находящимися во взвешенном состоянии в атмосфере
(дым, частицы пыли, снег, туман и т.п.). В диапазоне длин волн
свыше 1 мкм наибольшее значение имеет селективное поглощение
оптического излучения молекулами водяных паров и углекислого газа.
Концентрация водяных паров в атмосфере является переменной. Она
зависит от географического положения, времени года и т.п.
Сильные полосы поглощения ИК-излучения соответствуют
примерно следующим длинам волн: 0,51; 0,7; 0,9; 1,16; 1,3 и т.д. мкм.
Соответственно, «окна прозрачности» (где коэффициент
пропускания атмосферы 7tiP.ATM максимален в интересующем нас оптическом
диапазоне) располагаются на длинах волн: 0,95; 1,15; 1,5. ..1,8 мкм
(на этих длинах волн значения коэффициентов пропускания лежат
в пределах 0,6... 0,9 мкм).
Наиболее освоен диапазон 0,95 мкм, так как только для этого
диапазона можно изготовить промышленные образцы
некогерентных полупроводниковых инфракрасных излучающих диодов и
лазерных диодов с требуемой длиной волны на основе
полупроводникового материала арсенида галлия с добавкой алюминия (GaAlAr).
Конечно, в будущем для реализации оптоэлектронных каналов с
малым затуханием оптического сигнала в атмосфере необходимо
создание промышленностью полупроводниковых излучающих диодов

472 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
и приемных полупроводниковых структур, работающих в
диапазонах длин оптических волн: 1,15 мкм; 1,5... 1,8 мкм.
Существуют десятки литературных источников, посвященных
различным моделям поглощения оптического излучения в
атмосфере. Практический интерес представляют те, в основу которых
положены табличные данные. Одной из таких моделей, позволяющих
достаточно точно рассчитывать, например, поглощение оптического
излучения на парах воды, углекислом газе и аэрозольных частицах в
различные времена года (т.е. при различных плюсовых и минусовых
температурах) является модель, описанная в справочнике 5. Основу
ее составляет расчет «количества осажденной воды на трассе канала,
которое определяется выражением
ш=ш0Ь (9.60)
где L - длина трассы ИАК; ujq - количество осажденной воды (мм
на длине трассы 1 км) соответственно
ш0 = (2,167 -104/TB)-f-e (9.61)
где f - относительная влажность воздуха в % ;
е - упругость насыщенных паров, Па (так при -20°С е= 1,254 Па, а
для +20°С е=2,337-103Па;
Тв - температура воздуха, К (°К=°С + 273)
По таблицам, рассчитанным по этим формулам, можно
достаточно точно определить коэффициент пропускания на парах воды твп.
Кроме поглощения парами воды лучистый инфракрасный поток
поглощается углекислым газом. Как правило, этот коэффициент
близок к единице, а в целом коэффициент пропускания атмосферой
лучистого потока может быть представлен в виде
ТХпогл = Твп Туг (9.0ZJ
где твп - коэффициент пропускания инфракрасного излучения
парами воды;
ГуГ - коэффициент пропускания инфракрасного излучения
углекислым газом.
Кроме поглощения, лучистый поток рассеивается молекулами
воздуха и различными частицами, присутствующими в атмосфере
- кристаллы солей, пылинки, поднятые ветром с поверхности
земли, остатки продуктов сгорания, капли воды и кристаллы льда. В

Оптоэлектронные атмосферные каналы 473
то время как коэффициенты пропускания атмосферой
монохроматического лучистого потока в учетом молекулярного рассеяния могут
быть рассчитаны достаточно точно, расчет коэффициентов
пропускания лучистого потока с учетом аэрозольного рассеяния
практически невозможен, так как для этого необходимо знать количество,
форму и состав веществ аэрозольных частиц, на которых
происходит рассеяние излучения. Поэтому результаты рассеяния
лучистого потока на аэрозольных частицах учитывают на основании
экспериментальных исследований. Окончательно получим следующее
выражение для спектрального коэффициента пропускания атмосферы,
выраженного в децибелах
т\ = твптугтр (9.63)
где тр - коэффициент рассеяния лучистого потока аэрозольными
частицами.
Соответственно Рдтм из выражения (9.52) можно представить в
виде
Ратм = Ю lg ,,оЛ°я .дБ (9.64)
где тхоя - коэффициент пропускания лучистого потока на трассе
ИАК при очень ясной и сухой погоде;
T\(t°C, cjo) - действующий на трассе ИАК коэффициент
пропускания при существующих в данный момент передачи информации
погодных условиях.
И все же расчетные результаты поглощения оптического
излучения на трассе ИАК весьма приблизительны и всегда требуют
экспериментальной проверки.
Целесообразно, не вдаваясь в детали расчетов и экспериментов,
привести здесь данные, полученные в результате многолетних
наблюдений , позволяющих оценить затухание оптического сигнала на
реальной трассе его прохождения.
Из приведенных на рис. 9.21 а,б графиков можно извлечь
полезную информацию об оптических свойствах атмосферы на широте
г.Москвы.
1. В течение 99% времени года затухание в атмосфере для
Л=0,63ч-1,06 мкм не превышает 18 дБ/км. То есть
Natm(-Patm = 0)
= 63 (при L = 1 км)
•N"atm(-Patm ~ !8)

474 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
N,%\
toe
99
90
70
S0
30
I
т^Ч.
^V.
Москва
!
^Ташкент
a>
Д дБ/км
>,05 в,г 0,5 1 2 S 10 Sm,KM
б)
0,63 мкм
Рис. 9.21 а) распределение вероятностей возникновения различных
погодных условий; б) зависимость затухания на трассе оптического
атмосферного канала в зависимости от погодных условий.

Оптоэлектронные атмосферные каналы 475
где TVatm = i^f
и
Natm(-Patm = 0) _ з / L = 2 }
Агатм(-Ратм = 36)
2. В течение 95% времени года Рдтм не превышает 7,5 дБ/км. То
ь
есть
•N"atm(-Patm = 0)
•Natm(-Patm = 7,5)
•Natm(-Patm = ^)
= 5,6 (при L = 1 км)
= 30 (при L = 2 км)
•NatmCPatm = 15)
Эти данные позволяют оценивать необходимый запас по уровню
принимаемого оптического сигнала, который обеспечивает заданную
надежность ИАК (Д\тм)- За меру (Ддтм) разумно принять долю
времени, в течении которого затухание в атмосфере не превышает
заданной величины. В соответствии с вышеприведенными данными,
обозначим эту надежность как R(0,99) и R(0,95). При
чувствительности фотодиода фотоприемника, например, 0,5 мкВт эти сигналы
на входе фотодиода при длине трассы 2 км должны быть не менее
ijjjf = 0,5 • 4000 = 2000мкВт = 2 • 10-3Вт
ijjjj5 = 0,5 • 30 = 15мкВт = 1,5- 10-5Вт
о г>0,99 г>0,95
одесь йфП и ЛфП - мощность оптического сигнала,
попадающего на линзу приемника, обеспечивающая, соответственно, в течение
99% и 95% времени года уровень не ниже чувствительности ФПУ
(ФПУ-фотоприемное устройство, состоящее из фотодиода,
многокаскадного усилителя фототока и формирователя выходного цифрового
сигнала).
Таким образом, при правильном проектировании ИАК является
доступным практически при любых погодных условиях.
В общем случае применение ИАК целесообразно в следующих
случаях:
— создание основного и/или резервного канала передачи данных;
— решение проблемы «последней мили»;
— аварийная связь, когда необходимо быстрое развертывание;

476 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
— связь типа «точка-точка» при максимальном удалении между
точками да 3 км;
— создание магистральных каналов;
— организация доступа к общей и ведомственной передаче данных
или доступа в сеть Internet;
— организация вычислительных сетей на основе ИАК внутри
помещений, работающие, как в режиме прямой видимости, так и
использующие рассеянное ИК-излучение (сигнал, отражаясь от
стен и потолков, охватывает площадь до 30м2 и позволяет
соединять приемники и передатчики ИАК, которые не находятся
в зоне прямой видимости; такое рассеяние ИК-излучения
можно организовать еще, например, через отражатель,
укрепленный на потолке);
— создание дешевых ИАК, работающих на коротких дистанциях
(50ч-200м) для связи физических лиц (условная стоимость 1
метра трассы такой ИАК не превышает 1 у.е.).
В настоящее творческий коллектив специалистов ИППИ РАН,
Красногорского оптико-механического завода, завершил разработку
экспериментального образца дуплексного инфракрасного
адаптивного канала передачи данных (ДИАК). Он состоит из двух
полукомплектов, в каждый из которых входит приемопередающий модуль
(ППМ) и интерфейсный модуль (Мост). Электрические и оптические
полукомплексов приведены в таблице 9.4.
Параметры Моста приведены в таблице 9.5.
Параметры САЛС в целом представлены в таблице 9.6.
По предварительным оценкам, канал найдет широкое применение
в компьютерных сетях.

Оптоэлектронные атмосферные каналы 477
Таблица 9.4
Наименование параметра,
единица измерения
ПЕРЕДАТЧИК
Излучаемая мощность, Вт
Амплитуда импульсного тока. А
Скважность
Информационная скорость
передачи, М бит/с
Угол расходимости оптического
излучения, угл.мин.
Длина волны в максимуме
спектральной полосы излучения, нм
ПРИЕМНИК
Чувствительность, мкВт
Динамический диапазон
Мощность фоновой засветки,
мкВт
Длительность выходных
импульсов, НС
Выходной сигнал лог. Единицы, В
Выходной сигнал лог. нуля, В
Буквенное
обозначение
Ризл.изп.
1пр.имп.
Q
Уинф
a
А
S
ДБ
Рф
tHMn.
U1 лог.
U0 лог
Значение
Параметра
0,5
4
10
2,048
10
870
ОД
50
12
100
2,4
0,8
Таблица 9.5
Тип сетевого интерфейса
Тип физического интерфейса
Параметры входных - сигналов от
Моста к ППМ
Ethernet
IOBaseTX
ТТЛ уровни

478 Глава 9. Анализ беспроводных сетей
Таблица 9.6
Наименование параметра,
единица измерения
Скорость передачи, Мбит/с
Режим передачи
Рабочая дистанция, м
Максимальная дистанция (при
надежности передачи 0,95)
Время работы на отказ, час
Рабочий диапазон температур,
°С
Исполнение
Интерфейс
Буквенное
обозначение
Уинф
Ьраб
Ьмакс.
ДТ
Значение
параметра
2,048
Дуплексный
2000
3000
100000
-40° С ч- +60°С
Всепогодное

Программируемый

Литература
[1] Баканов А. С, Вишневский В.М., Ляхов А.И. Метод оценки
показателей производительности беспроводных сетей с
централизованным управлением // Автоматика и телемеханика. - 2000.
- № 4. - С. 97-105.
[2] Башарин Г.П., Бочаров П.П., Коган Я.А. Анализ очередей в
вычислительных сетях. Теория и методы расчета. - М.: Наука,
1989.
[3] Башарин Г.П., Толмачев А.Л. Теория сетей массового
обслуживания и ее приложения к анализу информационно-
вычислительных систем // В кн.: Итоги науки и техники.
Теория вероятностей. Математическая статистика. Теоретическая
кибернетика. - М.: ВИНИТИ. - 1983. - Т. 21. - С. 3-119.
[4] Белоцерковский Д.Л., Вишневский В.М. Новый алгоритм
генерации остовных двусвязных подграфов для оптимизации
топологии сетей передачи данных // Автоматика и телемеханика. -
1997. - № 1. - С. 108-120.
[5] Беляков В.Г., Митрофанов Ю.И. К исследованию замкнутых
сетей массового обслуживания большой размерности //
Автоматика и телемеханика. - 1982. - № 7. - С. 61-69.
[6] Бертсекас Д., Галлагер Р. Сети передачи данных: Пер. с англ.
- М.: Мир. - 1989. - 544 с.
[7] Билик Р.В., Петухова Н.В., Ребортович Б.И.
Приближенный метод анализа замкнутых сетей массового обслуживания//
Автоматизированные системы массового обслуживания/Ин-т
проблем управления. - М., 1985. - С. 5-18.
[8] Богуславский Л.Б., Дрожжинов В.И., Ляхов А.И.
Моделирование основных параметров функционирования компьютерной

480 Литература
сети Госудаственной Думы. // Тез. докл. Между нар. конф. и
шк. «Вычислительные сети - 95». М.: Изд.-во Науч. совета РАН
по комплексной проблеме «Кибернетика». - 1995. - С. 120-124.
[9] Богуславский Л.Б., Ляхов А.И. Оценка производительности
распределенных инфор- мационно-вычислительных систем
архитектуры «КЛИЕНТ-СЕРВЕР» // Автоматика и
телемеханика. - 1995. - № 9. - С. 160-175.
[10] Бочаров П. П. Сеть массового обслуживания с сигналами со
случайной задержкой // Автоматика и телемеханика. - 2002.- № 9.
- С. 90-101.
[11] Бочаров П.П. Приближенный метод расчета разомкнутых
неэкспоненциальных сетей МО конечной емкостью с
потерями или блокировками // Автоматика и телемеханика. - 1987. -
№ 1. - С. 160-179.
[12] Бочаров П.П., Печинкин А.В. Теория массового обслуживания.
- М.: Изд-во Рос. ун-та дружбы народов. - 1995.
[13] Бронштейн О.И., Духовный И.М. Модели приоритетного
обслуживания в информационно - вычислительных сетях. - М.:
Наука. - 1976.
[14] Бутрименко А.В. Разработка и эксплуатация сетей ЭВМ. - М.:
Финансы и статистика. - 1981. - 256 с.
[15] Бутрименко А. В., Вишневский В. М., Гинсбург Б. М. О
построении протокола глобального контроля перегрузок в
вычислительной сети // Методы управления информационными
потоками / Научный совет по комплексной проблеме
«Кибернетика» АН СССР. - М. - 1980. - С. 92-98.
[16] Вишневский В.М. Состояние и перспективы развития
информационно - вычислительных сетей в России // Электросвязь. -
1998. - № 7. С. 20-23.
[17] Вишневский В.М., Пороцкий СМ. Динамическая
маршрутизация в ATM сетях - проблемы и решения // Автоматика и
телемеханика. - 2003. - № 6.
[18] Вишневский В.М., Бочаров П.П. G-сети: развитие теории
мультипликативных сетей // Автоматика и телемеханика. - 2003. -
№ 5,.

Литература 481
[19] Вишневский В.М., Ляхов А.И. Оценка производительности
беспроводной сети в условиях помех // Автоматика и
телемеханика. - 2000. № 12. - С. 87-103.
[20] Вишневский В.М., Ляхов А.И. Оценка пропускной способности
локальной беспроводной сети при высокой нагрузке и помехах
// Автоматика и телемеханика. 2001. - № 8. - С. 81-96.
[21] Вишневский В.М., Ляхов А.И., Терещенко Б.Н. и др.
Региональные беспроводные сети передачи данных на базе протокола
RADIO-ETHERNET: состояние, моделирование, примеры
реализации // Информационные процессы. - 2001. - Т. 1, № 1. - С.
10-32.
[22] Вишневский В.М., Дмитриев В.П., Жданов B.C. Основы
передачи информации в вычислительных системах и сетях. Учебное
пособие. М.: МГИЭМ, 1998. - 162 с.
[23] Вишневский В.М., Белоцерковский Д.Л. Новый алгоритм
генерации остовных двусвязных подграфов для оптимизации
топологии сетей передачи данных // Автоматика и телемеханика. -
1997. - N 1. - С. 108-120.
[24] Вишневский В.М. Беспроводные сети широкополосного
доступа к ресурсам Интернета // Электросвязь. - 2000. - № 10. - С.
9-13.
[25] Вишневский В.М., Левнер Е.В., Федотов Е.В. Математические
модели исследования алгоритмов маршрутизации в сетях
передачи данных // Информационные процессы. - 2001. - Т. 1, № 2.
- С. 103-126.
[26] Вишневский В.М., Воробьев В.М. Архитектура /Р-сети для
качественной пакетной телефонии // Электросвязь. - 2000. - № 10.
- С. 14-15.
[27] Вишневский В.М., Герасимов А.И. Исследование потоков в
замкнутых экспоненциальных сетях массового обслуживания //
Проблемы управления и теории информации. - 1983. - Т. 12, №
6. - С. 16-22.
[28] Вишневский В.М., Круглый З.Л. Оптимизация замкнутых
стохастических сетей // Автоматика и телемеханика. - 1987. - № 2.
- С. 72-83.

482 Литература
[29] Вишневский В.М., Савинецкий А.В., Федотов Е.В. Анализ и
реализация одного метода повышения производительности
сети пакетной коммутации // Автоматика и вычислительная
техника. - 1987. - № 2. - С. 24-30.
[30] Вишневский В.М. Принципы построения системы
автоматизации проектирования сетей ЭВМ // В кн.: Автоматизированные
системы массового обслуживания / Ин-т проблем управления.
- М., 1982. - С. 68-70.
[31] Вишневский В.М. Модели теории очередей для анализа сетей
ЭВМ с иерархической структурой // Проблемы управления в
сетях ЭВМ. - 1979. - С. 31-68.
[32] Вишневский В.М., Федотов Е.В. Модернизация алгоритмов
маршрутизации в сети ЭВМ «Экспресс-2» // ВКСС connect.
- 2001. - № 1. - С. 64-71.
[33] Вишневский В.М., Ляхов А.И. Математическое моделирование
территориальных беспроводных сетей передачи информации,
управляемых протоколом IEEE 802.11 // Труды
Международного симпозиума по проблемам модульных систем и сетей (IC-
SNET2001), Москва. - 2001. - С. 131-151.
[34] Вишневский В.М., Белоцерковский Д. Л. Задача синтеза
топологии в развитии информационно-вычислительных сетей ЭВМ
// Тезисы докладов Международной конференции по
проблемам управления. Москва. - 1999. - Т. 3. - С.185-187.
[35] Вишневский В.М., Пороцкий СМ. Моделирование
ведомственной системы электронной почты // Автоматика и
телемеханика. - 1996. - № 12. - С. 48-60.
[36] Вишневский В.М. Принципы построения и реализации
пакета программ анализа и синтеза сетей массового обслуживания
«Пегас» // 11-я Всесоюз. школа-семинар по вычислительным
сетям / Научный совет по комплексной проблеме
«Кибернетика» АН СССР. - М., 1986. - С. 211-215.
[37] Вишневский В.М., Гайкович Г.Ф., Мацнев Д.Н. и др.
Беспроводные сети передачи информации для подключения
организаций науки и образования к Интернет // ВКСС connect. - 2001
- № 6. - С. 5-9.

Литература 483
[38] Вишневский В.М., Прытов А.А., Федотов Е.В. Анализ
состояния и перспективы развития сети передачи данных «СИРЕНА»
// ВКСС connect. - 2001. - № 1. - С. 72-79.
[39] Вишневский В.М., Белоцерковский Д.Л. Об одном алгоритме
генерации остовных двусвязных подграфов для
топологической оптимизации сетей передачи данных // Труды II
Международной конференции «Новые информационные технологии в
образовании». - Минск, 1996. - Т. 2. - С. 341-348.
[40] Вишневский В.М., Ляхов А.И., Терещенко Б.Н.
Моделирование беспроводных сетей с децентрализованным управлением //
Автоматика и телемеханика. - 1999. - № 6. - С. 88-99.
[41] Вишневский В.М. Аналитические методы исследования
телеавтоматических систем массового обслуживания //
Автоматизированные системы массового обслуживания / Ин-т проблем
управления. - М., 1980. - С. 5-18.
[42] Вишневский В.М., Винарский М.Г. Вопросы буферизации в
узлах связи вычислительных сетей // Методы динамического
управления информационными потоками в сетевых структурах
/ Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН
СССР - М., 1982. - С. 151-156.
[43] Вишневский В.М., Герасимов А.И. Об одном подходе к
исследованию вычислительных сетей // 6-я Всесоюз. школа-семинар
по вычислительным сетям / Научный совет по комплексной
проблеме «Кибернетика» АН СССР - М., 1981. - С. 22-30.
[44] Вишневский В.М., Ризов А.В., Федотов Е.В. Принципы
построения единой системы продажи и бронирования билетов на
транспорте / ВКСС connect. - 2001. - № 1. - С. 80-85.
[45] Вишневский В.М. Теория сетей массового обслуживания и ее
применение для анализа и синтеза вычислительных систем
и сетей // Многопроцессорные вычислительные системы. VII
Всесоюз. школа. М: Ин-т проблем управления. - 1983. - С. 17-
19.
[46] Вишневский В.М., Федотов Е.В. Диалоговая система
топологического проектирования сети связи ЭВМ // Вычислительные
сети коммутации пакетов / Ин-т электроники и
вычислительной техники. - Рига, ИЭВТ, 1983. - С. 25-99.

484 Литература
[47] Вишневский В.М., Жарких В.А. Исследование двухэтапной
системы обслуживания с ненадежным прибором // Автоматика
и телемеханика. - 1984. - № 4. - С. 72-83.
[48] Вишневский В.М., Федотов Е.В. Комбинаторный алгоритм
синтеза топологической структуры сети пакетной коммутации
// Тез. докл. Двенадцатого Всесоюзного семинара по
вычислительным сетям. 4.1. М. - Одесса: Научный совет по
комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. - 1987. - с.48-53.
[49] Вишневский В. М., Пирумов Г.Р., Савинецкий А.Б. Пакет
программ имитационного моделирования сетей пакетной
коммутации // В кн.: Вычислительные сети коммутации пакетов.
Тезисы докладов 5-й Всесоюзной конференции КОМПАК-87. Рига
: Институт электронной и вычислительной техники,. - 1987. -
С. 93-97.
[50] Вишневский В.М., Жарких В.А. Об одной двухфазной системе
обслуживания с блокировками и групповым обслуживанием //
Автоматика и телемеханика. - 1978. - № 6. - С. 28-37.
[51] Вишневский В.М., Жарких В.А. Об одной приоритетной
системе с групповым обслуживанием // Изв. АН СССР. Техническая
кибернетика. - 1979. - № 2. - С. 96-106.
[52] Вишневский В. М., Твердохлебов А. С. Модели замкнутых сетей
с блокировками для анализа вычислительных систем //
Автоматика и телемеханика. - 1980. - № 5. - С. 172-179.
[53] Вишневский В.М., Винарский М.Г. Исследование процессов
буферизации в узлах связи вычислительных сетей // В кн.:
Автоматизированные системы массового обслуживания. М.,
Институт проблем управления. - 1983. - С. 22-31.
[54] Вишневский В.М., Белокриницкая Л.Б., Шеленков В.Л.
Пакет прикладных программ имитационного моделирования
телеавтоматических систем массового обслуживания //
Телеавтоматические системы массового обслуживания / Ин-т проблем
управления. - М., 1980. - С. 29-38.
[55] Вишневский В.М., Герасимов А.И. Приближенный метод
исследования сетей массового обслуживания с несколькими
классами сообщений // Третья школа по автоматизированным си-

Литература 485
стемам массового обслуживания. Тезисы докладов. М. -
Винница. - 1981. - С. 24-25.
[56] Вишневский В.М., Талалай А.И. Об одном методе
топологического проектирования сети связи ЭВМ // Теория и техника
автоматизированных систем массового обслуживания / МДНТП.
- М., 1982. - С. 77-81.
[57] Вишневский В.М., Талалай А.И. Автоматизация
проектирования сетей связи ЭВМ автоматизированных систем массового
обслуживания // Автоматизированные системы массового
обслуживания / Ин-т проблем управления. М. - 1984. - С. 14-21.
[58] Вишневский В.М. Методология проектирования сети ЭВМ
«Сирена» // Проблемы создания и использования мини- и
микро-ЭВМ. Всесоюз. конференция. М.: ИНЭУМ. - 1985.
[59] Вишневский В.М., Гончарова Е.В., Талалай А.И.
Имитационная модель сети связи ЭВМ // Алгоритмы и программы. - 1985.
- № 4(67). - С. 15.
[60] Вишневский В.М. Теория построения сетей передачи данных
распределенных вычислительных систем массового
обслуживания // Применение микропроцессорных средств и
робототехники. М.: МИЭМ. - 1986. - С. 51-53.
[61] Вишневский В.М., Федотов Е.В. Пакет программ оптимизации
топологической структуры сетей ЭВМ // Распределенные
автоматизированные системы массового обслуживания. П-е
Всесоюз. совещание. М.: Ин-т проблем управления. - 1986. - С.25-28.
[62] Вишневский В.М., Круглый З.Л., Минкин А.С. и др.
Диалоговый пакет программ анализа и синтеза сетей массового
обслуживания (ПЕГАС) // Материалы Всесоюзной конференции
«Телеавтоматические системы масового обслуживания». -
Кишинев: «Тимпул», 1988. - Ч. III. - С. 37-39.
[63] Вишневский В.М., Петерсон И.Э. Методы и алгоритмы
взаимодействия разнородных сетей ЭВМ // III Всесоюзное
совещание по распределенным автоматизированным системам
массового обслуживания. Тезисы докладов. - М., 1990. - С.5-6.

486 Литература
[64] Вишневский В.М., Федотов Е.В. Анализ методов
маршрутизации при проектировании сетей пакетной коммутации // 3-rd
I.S. «Teletraffic Theory and Computing Modeling». - София, 1992.
[65] Вишневский В.М., Федотов Е.В. Топологическое
проектирование сетей пакетной коммутации // ИППИ РАН, Москва. - 1992.
- С. 93-95
[66] Вишневский В.М., Савинецкий А.В. Федотов Е.В.
Метод и средства построения и реализации информационно-
вычислительных сетей. // Измерения, контроль,
автоматизация. - Москва, 1992. - № 2.
[67] Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового
обслуживания. - М.: Наука, 1987. - 336 с.
[68] Гнеденко Б.В. и др. Приоритетные системы обслуживания. -
М.: Изд-во МГУ, 1973.
[69] Джейсуол Н. Очереди с приоритетами. - М.: Мир, 1973.
[70] Довженок Т. С. Инвариантность стационарного распределения
сетей с обходами и «отрицательными» заявками // Автоматика
и телемеханика. - 2002. - № 9.
[71] Дудин А.Н., Клименок В.И. Системы массового обслуживания
с коррелированными потоками. - Мн.: Изд-во Белорус, ун-та,
2000.
[72] Дэвис Д., Барбер Д., Прайс У., Соломонидес С.
Вычислительные сети и сетевые протоколы: Пер. с англ. - М.: Мир, 1981. -
563 с.
[73] Евдокимов В.П., Маловицкий В.И., Семинишин Ю.А. и др.
Моделирование систем сбора и обработки данных - М.:
Наука, 1983. - 128 с.
[74] Ершов М.А., Кузнецов Н.А. Теоретические основы построения
цифровой сети с интеграцией служб. - М.: ИППИ РАН, 1995.
[75] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М., Винарский М.Г.
Буферная память узлов коммутации в сетях ЭВМ анализ и
методы расчета // Препринт. - М.: Ин-т проблем управления, 1986.
- 62 с.

Литература 487
[76] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Автоматизация
проектирования сетей ЭВМ автоматизированных систем массового
обслуживания // Докл. IX Всесоюзного совещания по
проблемам управления / Ин-т проблем управления. - М., 1983. - С.
435-437.
[77] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Метод анализа сетей
связи ЭВМ с межконцевым механизмом управления потоками
// Вычислительные сети коммутации пакетов / Ин-т
электроники и вычислительной техники. - Рига, 1981. - С. 54-59.
[78] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сети массового
обслуживания. Теория и применение к сетям ЭВМ.- М.: Радио и
связь, 1988.- 192 с.
[79] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М. Сеть ЭВМ
«Сирена»: проектирование и анализ // В кн.: 10-я Всесоюз. школа-
семинар по вычислительным сетям: Тезисы докладов. - М.,
Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН
СССР, 1985. - Ч.З. - С. 377-382.
[80] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М., Гинсбург Б.Н. Об
адаптивном управлении потоками в сетях ЭВМ // Докл. VIII
Всесоюз. совещания по проблемам управления / Ин-т проблем
управления. - М., 1980. - С. 637-639.
[81] Жожикашвили В.А., Вишневский В.М., Талалай А.И. Метод
анализа сетей связи ЭВМ с межконцевым механизмом
управления потоками // Вычислительные сети коммутации пакетов
/ Ин-т электроники и вычислительной техники. - Рига, 1981. -
С. 54-59.
[82] Зайченко Ю.П. Задачи проектирования структуры
распределенных вычислительных сетей // Автоматика. - 1981. - № 3. -
С.35-44.
[83] Зайченко Ю.П., Гонта Ю.В. Структурная оптимизация сетей
ЭВМ. - Киев: Техника, 1986. - 168 с.
[84] Захаров Г.П., Крутякова Н.П., Лохматко В.В., Горбенко
Н.И. Информационно-математическое обеспечение
автоматизированного проектирования сетей связи // Препринт
/Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР.
- М., 1982. - С. 67.

488 Литература
[85] Захаров Г.П., Лохматко В.В. Мирошников В.И. Пробелы
оптимизации структурных сетей ПД // Процессы адаптации в
информационно-вычислительных сетях / Научный совет по
комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР. - М., 1982.
- С. 14-31.
[86] Иглхарт Д.Л., Шедлер Д.С. Регенеративное моделирование
сетей массового обслуживания. - М.: Радио и связь, 1984. - 135
с.
[87] Каминский В.Н. Оптимизация замкнутых стохастических
сетей с экспоненциальном обслуживанием // Изв. АН СССР.
Техническая кибернетика. - 1980. - № 6. - С. 68-76.
[88] Клейнрок Л. Коммуникационные сети: Пер. с англ. - М.: Наука,
1975. - 256 с.
[89] Клейнрок Л. Вычислительные системы с очередями: Пер. с
англ. - М.: Мир, 1979. - 600 с.
[90] Круглый З.Л. Алгоритмы расчета моделей структур
вычислительных систем с различными классами заданий //
Управляющие системы и машины. - 1980. - № 4 - С. 73-79.
[91] Круглый З.Л. Исследования вычислительных систем с
помощью сетевых моделей: Автореф. дисс. на соис. уч. ст. канд.
техн. наук / Институт проблем управления. - М., 1983. - 24 с.
[92] Кругликов В.К., Тарасов В.Н. Анализ и расчет сетей
массового обслуживания с использованием двумерной диффузной
аппроксимации // Автоматика и телемеханика. - 1983. - № 8. - С.
72-84.
[93] Кульчин М. Технологии корпоративных сетей. - СПб: Изд-во
«Питер», 2000. - 704 с.
[94] Кузнецов Н.А., Вишневский В.М., Гоев А.И., Дмитриев В.П.
Беспроводные оптоэлектронные системы передачи
информации // ВКСС connect. - 2001. - № 5. - С. 19-23.
[95] Лагутин B.C., Степанов СИ. Телетрафик мультисервисных
сетей связи. - М.: Радио и связь, 2000. - 320с.
[96] Лазарев В.Г. Интеллектуальные цифровые сети. - М.: Финансы
и статистика, 1996.

Литература 489
[97] Лазарев В.Г., Паршенков И.А. Управление потоками данных
на сети коммутации пакетов с виртуальными каналами //
Системы управления информационных сетей. - М.: Наука, 1983. -
С. 19-29.
[98] Ляхов А.И. Асимптотический анализ моделей иерархических
локальных сетей с многопроцессорными серверами //
Автоматика и телемеханика. - 1998. - № 12. - С. 82-93.
[99] Малинковский Ю.В., Никитенко О.А. Стационарное
распределение состояний сетей с обходами и «отрицательными»
заявками // Автоматика и телемеханика. - 2000. - № 8. - С. 79-85.
[100] Мартин Д., Чапмен К., Либен Д. ATM. Архитектура и
реализация. - М.: Изд-во «Дори», 2000. - 213с.
[101] Мину М. Математическое программирование. Теория и
алгоритмы: Пер. с фр. - М.: Наука, 1990. - 488 с.
[102] Манусевич B.C., Бусленко Н.П. Имитационное моделирование
сетей массового обслуживания // Методы развития теории
телетрафика. - М.: Наука, 1979. - С. 8-18.
[103] Митрофанов Ю.И., Беляков В.Г., Курбангулов В.Х. Методы и
программные средства аналитического моделирования сетевых
систем. - М., 1982. - 67 с. (Препринт / Научный совет по
комплексной проблеме «Кибернетика» АН СССР).
[104] Митрофанов Ю.И., Беляков В.Г. Метод декомпозиции при
моделировании вычислительных структур // Вопросы
кибернетики / Научный совет по комплексной проблеме «Кибернетика»
АН СССР. - М., 1982. - С. 97.
[105] Мизин И. А., Богатырев В. А., Кулешов А. П. Сети
коммутации пакетов.- М.: Радио и связь, 1986. - 408 с.
[106] Назаров А.Н., Симонов Н.В. ATM технология
высокоскоростных сетей. - М.: Изд-во «ЭКО-ТРЕНД», 1998.
[107] Назаров А.Н. Модели и методы расчета структурно-сетевых
параметров сетей ATM. - М.: Изд-во «Горячая линия-Телеком»,
2002. - 256 с.
[108] Нивников Д. BreezeNET-PRO // PC Magazine / Russian Edition.
- 1998. - № 5. - С. 36-38.

490
Литература
[109] Нуммелин Е. Общие неприводимые цепи Маркова и
неотрицательные операторы. - М.: Мир. - 1989. - 207с.
[110] Олифер В., Олифер Н. Новые технологии и оборудование IP-
сетй. - СПб., 2000. - 512с.
[111] Печинкин А.В., Рыков В.В. О декомпозиции замкнутых сетей
с зависимым обслуживанием //Автоматика и телемеханика. -
1999. - № 11. - С. 58-69.
[112] Поляк Б. Т. Введение в оптимизацию. - М.: Наука, 1983. - 384 с.
[113] Райзер М. Оценка характеристик системы передач данных //
ТИИЭР. - 1982. - Т. 70, № 2. - С. 28-59.
[114] Труды Института инженеров по электронике и
радиоэлектронике. - 1983. - Т. 71, № 12. - 170 с.
[115] Федотов Е.В. Алгоритм генерации помеченных графов с
заданными свойствами // 11-я Всесоюз. школа-семинар по
вычислительным сетям / Научный совет по комплексной
проблеме «Кибернетика» АН СССР. - М., 1986. - С. 52-54.
[116] Федотов Е.В. Определение оптимальных маршрутов в сети
пакетной коммутации // Сетевая обработка информации / МД-
НТП. - М., 1990. - С. 95-98.
[117] Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения.
Т.1. - М.: Мир, 1984.
[118] Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового
обслуживания. - М.: Физматгиз, 1963.
[119] Шварц М. Сети связи: протоколы, моделирование и анализ. -
М.: Наука, 1992.
[120] Шварц М. Сети ЭВМ. Анализ и проектирование: Пер. с англ.
- М.: Радио и связь, 1981. - 336 с.
[121] Шрайбер Т.Док. Моделирование на GPSS. Перевод с
английского. - М.: Машиностроение, 1980.
[122] Якубайтис Э.А. Информационно-вычислительные сети. - М.:
Финансы и статистика, 1984. - 232 с.

Литература 491
123] Яшков С.Ф. Анализ очередей в ЭВМ. - М.: Радио и связь, 1989.
124] Andronov A.M., Vishnevsky V.M., Latkov A.N. Gradient
optimization of additive functional of closed queuing network //
Proceedings of the conference «Distributed Computer Communication
Networks. Theory and Applications». Tel-Aviv (Israel). - 1997. -
P. 12-17.
125] Anerousis N., Lasar A. Virtual Path Control for ATM Network
with Call Level Quality of Service Guarantees // IEEE/ACM
Trans, on Networking. - 1998. - V. 6, N 2.
126] Antunes С. Н. et al. A Multiple Objective Routing Algorithm for
Integrated Communication Networks // Proc. ITC-16. - 1999. - V.
3b.- P. 1291-1300.
127] Artalejo J.R. A classified bibliography of research on retrial queues:
Progress in 1990 - 1999. // Top. - 1999. - V. 7. - P. 187-211.
128] Artalejo J.R. Accessible bibliography on retrial queues //
Mathematical and Computer Modelling. - 1999. - V. 30. - P. 1-6.
129] Artalejo J.R. G - networks: a versatile approach for work removal
in queueing networks // European Journal of Operational
Research. - 2000. - V. 126. - P. 233-249.
130] Ash G.R. Dynamic Routing in Telecommunications Networks. -
McGraw-Hill, 1998.
131] ATM Glossary. ATM Forum site, HTTP://www.atmforum.com.
[132] ATM Forum. Traffic Management Specification. Draft Version 4.1,
BTD-TM-02.02, December 1998.
[133] ATM Forum. Private Network-Network Interface Specification.
Version 1.0, AF-PNNI-0055.000, March 1996.
[134] ATM Forum. ATM User-Network Interface (UNI) Signaling
Specification Version 4.0, af-sig-0061.000, July 1996.
[135] ATM Forum. Private Network-Network Interface. Version 2.0.
Living List. LTD-CS-RA-PNNI-02.03, July 1998.
[136] ATM Forum. PNNI addendum for edge-based rerouting for point-
to-point connections. Version 1.0. Living List. LTD-CS-PNNI-
Reroute-01.09, December 1999.

492 Литература
[137] ATM Forum / 98-0500. Proposal to include Enhanced
Accumulation Method for QoS Parameters. Lucent Technologies. July 1998.
[138] ATM Forum / 98-0871. Markov Method for QoS Parameter
Accumulation Updated for Correlation with Simplified Alternative.
Lucent Technologies. December 1998.
[139] ATM Forum / 99-0150. Delay Accumulation Proposal. Fujitsu
Network Communications. April 1999.
[140] ATM Forum. M4 Interface Requirements and Logical MIB: ATM
Network View. STR-NM-M4NW-REQ-02.00, February, 1999.
[141] Averbuch R. and etc. Competetive Routing of Virtual Circuits with
Unknown Duration // Proc. of 5-th ACM-SIAM Symposium on
Discrete Algorithms. - 1994. - P. 412-423.
[142] Awduche D.O., Malcolm J., Agogbua J., O'Dell M., McManus J.
Requirements for Traffic Engineering Over MPLS // IETF Draft,
draft-ietf-mpls-traffic-eng-00.txt. - October 1998.
[143] Bard Y., Sauer C.H. IBM Contribution to Computer Performance
Modelling // IBM J. Res. Develop. - 1981. - V. 25, N 5. - P. 562-
570.
[144] Bellcore. Broadband Switching System Generic Requirements,
Issue 1, Revision 4, GR-1110-CORE, October 1996.
[145] Bianchi G., Fratta L., Olivetti M. Performance evaluation and
enhancement of the CSMA/CA MAC protocol for 802.11 wireless
LAN's // Proc. 7th IEEE Int. Symp. on Personal, Indoor and
Mobile Radio Communications (PIMRC'96), Taipei, Taiwan. -
October 1996. - P. 392-396.
[146] Bianchi G. Performance Analysis of the IEEE 802.11 Distributed
Coordination Function // IEEE Journal on Selected Areas in
Communications. - 2000. - V. 18. - P. 535-548.
[147] Bljumin A.V., Vishnevsky V.M., Dmitriev V.P., Jdanov V.S.,
Kogan L.M. Optoelectronic Infra-Red Data Links (OIRDL) for
Distributed Computer Communication Networks // Proceedings
of Bulgarian-Russian Seminar «Methods and Algorithms for
Distributed Information Systems Design. Theory and Applications»,
Sofia, Bulgaria. - 1997. - P. 48-69.

Литература 493
[148] Bocharov P.P. On queueing networks with signals // Proc. of
Int. Conf. «Applied Stochastic Models and Information Processes»,
Petrozavodsk. - 2002.
[149] Boucherie R.J. Product form in queueing networks // Ph. D.
Thesis. Free University, Amsterdam. - 1992.
[150] Bononi L., Conti M., Donatiello L. Design and Performance
Evaluation of Distributed Contention Control (DCC) Mechanism for
IEEE 802.11 Wireless Local Area Network // J. Parallel Distrib.
Comput. - 2000. - V. 60, N 4.
[151] Boucherie R.J., van Dijk N.M. Local balance in queueing networks
with positive and negative customers // Annals of Oper. Res. -
1994. - V. 48. - P. 463-492.
[152] Bruell S.C., Balbo G. Computational Algorithms for Closed
Queuing Net works. - North Holland, 1980. - 190 p.
[153] Bruell S.C., Balbo G., Afshar P. V. Mean Value Analysis of Mixed
Multiple Class BCMP Networks with Load Dependent Service
Stations // Perform. Eval. - 1984. - V. 4, N 4. - P. 241-260.
[154] Burke P.J. The output of a queueing system // Operations
Research. - 1956. - V. 4. - P. 699-704.
[155] Call F., Conti M., Gregory E. Dynamic Tuning of the IEEE
802.11 Protocol to Achieve a Theoretical Throughput Limit //
IEEE/ACM Transactions on Networking. - 2000. - V. 8. - P. 785-
799.
[156] Cantor D.G, Gerla M. Optimal routing in a packet-switched
computer network // IEEE Trans, on Computers. - 1974. - V. C-23, N
10.- P. 1062-1068.
[157] Carrier Sense Multiple Access with Collision Detection
(CSMA/CD) access method and physical layer specifications.
ANSI/IEEE Standard 802.3. IEEE Press, 1996.
[158] Chakka R., Harrison P. G. A Markov modulated multi-server queue
with negative customers - The MM CPP/GE/c/L G-queue // Acta
Informatika. - 2001. - V. 37.

494 Литература
[159] Chakravarthy S. The batch markovian arrival process: a review
and future work // Advances in probability theory and stochastic
processes. - 2001. - P. 21 - 39.
[160] Chandy K.M., Martin J. A Characterization of Product form
Queueing Networks // J. ACM. - 1983. - V. 30, N 2. - P. 286-
299.
[161] Chandy K.M., Sauer C.H. Computational Algorithms for Product
form Queueing Network // Comun.ACM. - 1980. - V. 23, N 10. -
P. 573-583.
[162] Chauvet F., Proth J., Vishnevsky V., Levner E. NUB Facility
Location in Corporative Communication Networks // Scientific Israel
- Thechnological Advantages, «Physics and Thermodynamics» . -
2000. - V. 2, No 1. - P. 37-41.
[163] Chao X. A note on queueing networks with signals and random
triggering time // Prob. Eng. Inform. Sci. - 1994. - V. 8. - P. 213-
219.
[164] Chao X. A queueing network model with catastrophes and product
form solution // Oper. Res. Letters. - 1995. - V. 18. - P. 75-79.
[165] Chao X. Networks of queues with customers, signals and arbitrary
service times distributions // Oper. Res. - 1995. - V. 43. - P. 537-
550.
[166] Chao X., Pinedo M. Networks of queues with batch services,
signals and product form solutions // Oper. Res. Letters. - 1995. - V.
17. - P. 237-242.
[167] Chao X., Pinedo M. On queueing networks with signals and
hi7story-dependent routing // Prob. Eng. Inform. Sci. - 1995. -
V. 9. - P. 341-354.
[168] Chao X., Pinedo M. On generalized networks of queues with
positive and negative arrivals // Prob. Eng. Inform. Sci. - 1993. - V.
7. - P. 301-334.
[169] Chao X., Zheng S. A result on networks of queues with customer
coalescence and state-dependent signalling // J. Appl. Prob. -1998.
- V. 35. - P. 151-164.

Литература 495
[170] Chhaya H.S., Gupta S. Performance modeling of asynchronous
data transfer methods of IEEE 802.11 MAC protocol // Wireless
Networks. - 1997. - V. 3, N 3. - P. 217-234.
[171] Cinlar E. Introduction to stochastic processes. - New Jersej:
Prentice-Hall, 1975.
[172] Conti M., Gregori E., Lenzini L. Metropolitan Area Networks
(MANs): Arhitectures, Protocols and Performance Evaluation. -
Springer-Verlag TNCS series, London, 1997.
[173] Courtois P.J., Semal P. An algorithm for the optimization of
nonbifurcated flows in computer communication networks //
Performance Evaluation. - 1981. - V. 1. - P. 139-152.
[174] Crawley E., Nair R., Rajagopalan В., Sandick H. A Framework for
QoS-based Routing in the Internet // IETF RFC 2386. - August
1998.
[175] Crochat O., he Boudec J., Przygienda T. A Path Selection in ATM
using Pre- Computation // Proceedings of IZS'96. February 1996.
Lecture Notes in Computer Science. Springer.
[176] Daigle J.N. Queueing theory for telecommunications. - Addison-
Wesley Publishing Company, Inc., 1992.
[177] Dijkstra E. W. A note on two problems in connexion with graphs
// Numer. Math. - 1959. - N 1. - P. 269-271.
[178] Draft ITU-T Recommendation 1.630. ATM Protection Switching.
Geneva, June 1998.
[179] Dudin A.N., Nishimura S. Embedded stationary distribution for
the BMAP/SM/1/N queue with disasters // In: "Queues, Flows,
Systems, Networks". Minsk: Belarussian State Univ., 1998. P.92-
97.
[180] Elwalid A., Mitra D. and Wentworth R. A new approach for
allocating buffers and bandwidth to heterogeneous, regulated traffic
in an ATM node // IEEE J. Select. Areas Commun. - 1995. - V.
13, N 6. - P. 1115-1127.
[181] Falin G.I., Templeton J.G.C. Retrial queues. - London: Chapman
and Hall, 1997.

496 Литература
[182] Floyd R. W. Algorithm 97: Shortest path // Comm. ACM. - 962. -
N 3. - P. 345.
[183] Forschini G., Gopinath B. Sharing Memory Optimally // IEEE
Trans. - 1983. - V. C-31, N 3. - P. 352-359.
[184] Foster F.C. On the stochastic matrices associated with certain
queueing processes // Ann. Math. Stat. - 1953. - V. 24. - P. 350-
360.
[185] Fourneau J.N. Computing the steady state distribution of
networks with positive and negative customers // Proc. 13 IMACS
World Congress on Computation snd Applied Mathematics,
Dublin. - 1991.
[186] Fourneau J.N., Gelenbe E. Multiple class G-networks // Proc. of
the Conf. of the ORSA Technical Committee on Computer Science.
- Williamsburg VA, Pergamon, 1992.
[187] Fourneau J.N., Gelenbe E., Suros R. G-networks with multiple
classes of negative and positive customers // Theoretical Computer
Science. - 1996. - V. 155. - P. 141-156.
[188] Fourneau J.N., Hernandez M. Modelling defective parts in a flow
system using G-networks // Proc. of Second Int. Workshop on Per-
formability Modelling of Computer and Communication Systems,
Le Mont Saint-Michel, June 1993.
[189] Frank M., Wolfe P. An algorithm for quadratic programming //
Naval Research Logistic Quarterly. - 1956. - N 3. - P. 95-110.
[190] Fratta L., Gerla M., Kleinrock L. The flow deviation method: An
approach to store-and-forward communication network design //
Networks. - 1973. - V. 3, N 2. - P. 97-133.
[191] Gafni M., Bertsekas D. Asymptotic Optimality of Shortest Path
Routing Algorithms // IEEE Trans, of Information Theory. - 1987.
- N 1.
[192] Gail H.R., Hantler S.L., Taylor B.A. Spectral analysis of M|G|1
and G|M|1 type Markov chains // Advances in Applied
Probability. - 1996. - V. 28. - P. 114-165.

Литература 497
[193] Garey M., Johnson D. Computers and Intractability: A Guide to
the Theory of NP Completeness. - N.-Y., W.H. Freeman and Co.,
1979.
[194] Gavish В., Hantler S.L. An algorithm for optimal route selection in
SNA networks // IEEE Trans, on Commun. - 1983. - V. COM-31,
N 10.- P.1154-1161.
[195] Gelenbe E. (Ed.) Feature issue on G-networks // European J. of
Oper. Res. - 2000. - V. 126.
[196] Gelenbe E. G-networks with triggered customer movement // J.
Appl. Prob. - 1993. - V. 30. - P. 742-748.
[197] Gelenbe E. G-networks: a unifying model for neural and queueing
networks // Annals of Oper. Res.- 1994. - V. 48. - P.433-461.
[198] Gelenbe E. Learning in the recurrent random neural network //
Neural Computation. - 1993.- V. 5. - P. 154-164.
[199] Gelenbe E. Product form networks with negative and positive
customers // Journal of Applied Probability. - 1991. - V. 28. - P.
655-663.
[200] Gelenbe E. Reseaux neuronaux et aleatoires stables // Comptes
Rendus de l'Academie des Sciences. - 1990. - V. 310. Serie II. - P.
177-180.
[201] Gelenbe E. Reseaux stochastiques ouverts avec clients negatifs and
positifs, et reseaux neuronaux // Comptes-Rendus de l'Academie
des Sciences. - 1989. - V. 309. Serie II. - P. 972-982.
[202] Gelenbe E. Random neural networks with negative and positive
signals and product form solution // Neural Computation. - 1989.
- V. 1. - P. 502-510.
[203] Gelenbe E., Labed A. G-networks with multiple class of signals and
positive customers // European J. of Oper. Res. - 1997. - V. 10. -
P. 1-13.
[204] Gelenbe E., Pujolle G. Introduction to queueing networks. - N.Y.:
John Wiley, 1998.
[205] Gelenbe E., Schassberger R. Stability of G-networks // Prob. Eng.
Inform. Sci. - 1992. - V. 6. - P. 271-276.

498 Литература
[206] Gelenbe E., Tucci S. Performances d'un systeme informatique du-
plique // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences. - 1991. - V.
312. Serie II. - P. 27-30.
[207] Gelenbe E. G-networks with signals and batch removal // Prob.
Eng. Inform. Sci. - 1993. - V. 7. - P. 335-342.
[208] Gelenbe E., Mitrany I. Analysis and Synthesis of Computer
Systems. - London: Academic Press, 1980. - 410 p.
[209] Gerla M., Kleinrock L. On the topological design of distributed
computer networks // IEEE Trans, on Commun. -1977. - V. COM-
25, N 1. - P. 48-53.
[210] Gnedenko B. V., Koenig D. Handbuch der bedienungstheorie. -
Berlin: Akademie - Verlag, 1983.
[211] Gomez-Corral A. On single server queues governed by a clearing
mechanism and a secondary input of repeated attempts // Proc. of
Inter. Conf. on Stochastic Processes, Cochin. - 1996. - P. 169-180.
[212] Gomez-Corral A. Retrial queues with negative customers // Ph.
D. Thesis. Statistics and Operations Research, University Com-
plutense Madrid. - 1996.
[213] Grassmann W.K., Stanford D.A. Matrix analytic methods //
Computational Probability. - Boston: Kluwer Academic, 2000. -
P. 153 - 203.
[214] Guerin R., Orda A. QoS-based Routing in networks with
Inaccurate Information: Theory and Algorithms // Proc. INFOCOM'97.
[215] Gunter Bolch, Stefan Greiner, Hermann de Meer and Kishor
S. Trivedi Queueing Networks and Markov Chains. - John Wi-
ley&Sons, Inc., 1998. - 726 p.
[216] Harrison P.G., Coury S. Waiting time distribution in a class of
wireless multi-channel local area networks // Proc. Int. Conf. on
Local and Metropolitan Communication Systems. Kyoto, Japan,
December 7-9. - 1994. - P. 409-428.
[217] He L., Wong A.K. Connection Admission Control Design for
GlobeView -2000 ATM Core Switches // Bell Labs Tech. J. -
January - March 1998 - P. 94-110.

Литература 499
Held M., Wolfe P., Growder H.P. Validation of subgradient
optimization // Mathematical programming. - 1974. - N 6. - P. 62-88.
Henderson W. Queueing networks with negative customers and
negative queue lengths // J. Appl. Prob. - 1993. - V. 30. - P. 931-
942.
Henderson W., Northcote B.S., Taylor P. G. State-dependent
signalling in queueing networks // Adv. in App. Prob. - 1994. - V.
26. - P. 436-455.
Henderson W., Northcote B.S., Taylor P. G. Geometric equilibrium
distribution for queues with interactive batch departures // Annals
of Oper. Res. - 1994. - V. 48. - P. 493-511.
Henig M.I. The shortest path problem with two objective functions
// European J. of Operational Research. - 1985. - V. 25. - P. 281-
291.
Huang K.C., Chen K.C. Interference analysis of nonpersistent
CSMA with hidden terminals in multicell wireless data networks //
Proc. 6th IEEE Int. Symp. on Personal, Indoor and Mobile Radio
Communications (PIMRC'95), Toronto, Ont., Canada, September
1995. - P. 907-911.
ITU-T Recommendation 1.113, Vocabulary of terms for broadband
aspects of ISDN. - 1993.
ITU-T Recommendation 1.311, B-ISDN general network aspects. -
1996.
ITU-T Recommendation 1.356, B-ISDN ATM layer cell transfer
performance. - 1996.
ITU-T Draft Recommendation E.xxx, Dynamic Routing Inter-
working. - 1998.
ITU-T Draft Recommendations X.642, Information Technology -
Quality of Service. - 1998.
ITU-T Recommendation E.170, Traffic Routing. - 1992.
ITU-T Recommendation E.177, B-ISDN Routing. - 1996.

500 Литература
[231] ITU-T Draft Recommendation E.xxx, Routing of Multimedia
Connections across TDM-, ATM-, and IP-based Networks. - 1998.
[232] Jackson J.R. Networks of waiting lines // Operations Research. -
1957.- V. 5., N 4. - P. 518-521.
[233] Kamoun F., Kleinrock L. Analysis of Shared Finite Storage in a
Computer Network Node Environment under General Traffic
Conditions // IEEE Trans. - 1980. - V. 28, N 7. - P. 992-1003.
[234] Kawamura R., Sato K., Tokizawa I. Implementation of self-healing
function in ATM networks based on virtual path concept // IEEE.
- 1995.- P. 303-311.
[235] Kelly F.P. Reversibility and Stochastic Networks. - Chichester
(UK): John Wiley & Sons, 1979.
[236] Knessl C, Tier C. Asymptotic expansions for large closed queue-
ing networks with multiple job classes // IEEE Trans. Comput. -
1992,. - V. 41, N 4. - P. 480-488.
[237] Kritzinger P.S., Wyk S., Krzesinski A.E. A Generalization of
Norton^ Theorem for Multiclass Queueing Networks // Perform. Eval.
- 1982. - V. 2, N 2. - P. 98-107.
[238] Kulkarni V.G., Liang H.M. Retrial queues revisited // Frontiers
in Queueing. - Boca Raton: CRC Press, 1997. - P. 19-34.
[239] Kuznetsov N.A., Vishnevsky V.M., Amfilochiev A.A. The
Principles of Design and Realization of United Systems of Reservation
and Ticket Sale for all Kind of Transport in Russia //
Proceedings of the First Al-Shaam International Conference on Infomation
Technology, Damascus, Syria, May 9-13. - 1994.
[240] Lam S.S. Queueing networks with population size constraints //
IBM J. Res. Develop. - 1977. - V. 21, N 4. - P. 779-793.
[241] Lam S.S. Dynamic Scalling and Grouth Behavior of Queueing
Networks Normalization Constants // J. Assoc. Comput. Mach. -1982.
- V. 29, N 2. - P. 492-513.
[242] Lam S., Lien I. A Tree Convolution Algorithm for the Solution of
Queueing Networks // Commun. of ACM. - 1983. - V. 26, N 3. -
P. 203-215.

Литература 501
[243] Lee W. С. et al. Rule-Based Call-by-Call Source Routing for
Integrated Communication Networks // Proc. IEEE INFOCOM'93. -
1993. - P. 987-993.
[244] Leland W.E., Taggu M.S., Willinger W., Wilson D.V. On the
self-similar nature of Ethernet traffic (extended version) //
IEEE/ACM Trans, on Networking. - 1994. - V. 2, N 1. - P. 1-
15.
[245] Lucantoni D.M. New results on the single server queue with a
batch markovian arrival process // Communications in Statistics
- Stochastic Models. - 1991.- V. 7. - P. 1-46.
[246] Melamed B. Times in Queueing Networks // Math. Oper. Res. -
1982. - V. 7, N 2. - P. 223-244.
[247] Mitrani I. The spectral expansion solution method for Markov
processes on lattice strips // Advances in Queueing. - Boca Raton:
CRC Press, 1995. - P. 337 - 352.
[248] Miyazava M. Insensitivety and product form decompasibility of
rellocatable GSMP // Adv. in App. Prob. - 1993. - V. 25, N 2. -
P.415-437.
[249] Morozov E. V. Wide sense regenerative processes with applications
to multi-channal queues and networks // Acta Appl. Math. - 1994.
- V. 34. - P. 189-212.
[250] Murakami K., Kim H.-S. Comparative study on restoration
schemes of survivable ATM networks // IEEE. - 1997. - N 5.
[251] Neuts M.F. Matrix-geometric solutions in stochastic models: An
algorithmic approach. - Baltimore: Johns Hopkins Univ. Press, 1981.
[252] Neuts M.F. Structured stochastic matrices of M|G|1 type and their
applications. - New York: M. Dekker, 1989.
[253] Ng Chee Hock Queueing Modeling Fundamentals. - John Wi-
ley&Sons, Inc. 1997. - 222c.
[254] Noetzel A.S. Generalized queueing discipline for product form
network solution // J.Assoc. Comput. Mach. - 1979. - V. 26., N 4. -
P. 779-793.

502 Литература
[255] Northcote B.S. Signalling in product form queueing networks //
Ph. D. Thesis, Univ. of Adelaide. - 1993.
[256] Or da A. Routing with End-to-End QoS Guarantees in Broadband
Networks // IEEE/ACM Transactions on Networking. - 1999. -
V.7, N 3. - P. 365-374.
[257] Pitel E. Queues with negative customers // Ph. D. Thesis. -
Imperial College, London, 1994.
[258] Plotkin S. Competetive Routing of Virtual Circuits in ATM
Networks // IEEE Jornal on Selected Areas in Communications. -
1995. - V. 13, N 6. - P. 1128-1136.
[259] Porotsky S. Simulation Study of ATM Network Routing
Convolution Algorithm // Proc. of DCCN'99.
[260] Porotsky S., Vishnevsky V. Discrete Markov model of the ATM
network node // Proceedings of the conference «Distributed
Computer Communication Networks. Theory and Applications», Israel.
- 1996. - P. 223-227.
[261] Press W.H., Flannery B.P., Teukolsky S.A., Vetterling W.T.
Numerical recipes. - Cambridge: Cambridge University Press, 1986.
[262] Reilly J., Abate M. Scheduled Connections: Managing Temporal
Constraints on Broadband Network Resources // Proceedings of
IS& N'98. May 1998. Lecture Notes in Computer Science. Springer.
[263] Reiser M., Lavenberg S.S. Mean Value Analysis of Closed
Multichain Queueing Network // Assoc. Comput. Mach. - 1980. - V. 27,
N 2.- P. 313-322.
[264] Routing and Admission Control of Virtual Circuits in
General Topology Networks. Technical Report, AT& T Bell
Laboratories, 1994. (Authors : R.Gawlick, A.Kamath, S.Plotkin,
K.Ramakrishnan).
[265] R. Y. Rubinstein, A. Shapiro. Discrete Event Systems: Sense-
tivity Analysis and Stochastic Optimization via Score Function
Method, 1993, John Wile к Sons.
[266] Salama H., Reeves D., Viniotis Y. A Distributed Algorithm for
Delay- Constrained Routing // Proc. INFOCOM'97.

Литература 503
[267] Sauer C.H., Machair E.A., Hurouse J.F. Queueing Network
Simulation of Computer Communicatin // IEEE J. Selected Areas in
Commun. - 1984. - V. SAC-2, N 1. - P. 203-219.
[268] Saunders S., Heywood P., Dornan A., Bruno L., Allen L. Wireless
IP: Ready or Not, Here it Comes // Data Communications. - 1999.
- N. 9. - P. 42-68.
[269] Schwartz M., Cheung C.K. The gradient projection algorithm for
multiple routing in message-switched networks // IEEE Trans, on
Commun. - 1976. - V. COM-24, N 4. - P. 449-456.
[270] Serfozo R., Stidham S. Semi-stationary clearing systems //
Stochastic Processes and Their Applications. - 1978. - V. 6. - P. 165-
178.
[271] Stidham S. Cost models for stochastic clearing systems // Oper.
Res. - 1977. - V. 25. - P. 100-127.
[272] Suurballe J. W. Disjoint Paths in a Network // Networks. - 1974.
- N 4. - P. 125-145.
[273] Syski R. A personal view of queueing theory. - In: Frontiers in
Queueing.- Boca Raton - New York - London - Tokyo: CRC, 1997.
- p. 3-18.
[274] Trivedi K.C., Kinicki R.E. A Model for Computer Configuration
Queueing Network // Computer. - 1980. - V. 5. - P. 47-54.
[275] Van Dijk N.M. Queueing networks and Product Forms. - N.Y.:
John Wiley к Sons, 1993.
[276] Vishnevskiy V.M. Algorithms optimisation queueing networks and
application for computer networks // International symposium
Teletraffic theory and computer simulation / Sofia. - 1988. - P.
345-358.
[277] Vishnevsky V., Fedotov E. Generation of biconnreted graphs with
given properties // in: Proceeding INRIA, 16 th IFIP
Conference on System modelling and optimization, July 1993, Compiegne
(France). - 1993. - V. 2. - P. 553-557.

504 Литература
[278] Vishnevsky V., Vorobjev V. Architecture of Moscow scientific
society backbone and employment of radio spread spectrum
technology // Proceedings IV Russian-German Seminar on Integrated
Networks and Flow Control, Moscow. - 1994.
[279] Vishnevsky V. Combinatoric Algorithm of the Synthesis of the
Data Transmission Network Topological Structure // Proceedings
Conference INFO-94, Tel-Aviv, Israel. - 1994.
[280] Vishnevsky V. United system ticket sale and reservation for
railroad, airline and bus line transport i n Russia // in: Proceeding
international workshop «Informatization in the field of transport»,
Israel. - 1995. - P. 2-7.
[281] Vishnevsky V., Belotserkovski D. On an algorithm of topological
optimization of data networks // in: Proceedings of the
conference «Distributed Computer Communication Networks. Theory
and Applications», Israel. - 1996. - P. 131-138.
[282] Vishnevsky V.M., Ivnitski O.V. On a model of the «electronic
mail» system as closed queueing network with blocking in one-
server channel // in: Proceedings of the conference «Distributed
Computer Communication Networks. Theory and Applications»,
Tel-Aviv, Israel. - 1996. - P. 89-96.
[283] Vishnevsky V.M., Lazarev V.G. State of Networking in Russia //
Proceedings of First Symposium G-IIA «Stand und Anwendungen
digitaler communicatios Netze», Bochum, Germany. - 1996. - P.
13-16 .
[284] Vishnevsky V.M., Belotserkovsky D.L. Description of some
extremal graphs for topology о ptimization algorithms of a data
communication network // Proceedings of the conference «Distributed
Computer Communication Networks. Theory and Applications».
Tel-Aviv (Israel). - 1997. - P. 222-229.
[285] Vishnevsky V.M., Belotserkovski D.L. Extremal graph theory and
its application for problem of topology synthesis of data network
// Proceedings of Bulgarian-Russian Seminar «Methods and
Algorithms for Distributed Information Systems Design. Theory and
Applications». Sofia, Bulgaria. - 1997. - P. 99-103.

Литература 505
[286] Vishnevsky V., Belotserkovsky D. , Levner E. On Extremal Graphs
Used In The Design Of Reliable Communication Networks //
Proceedings of the conference «International Symposium on
Combinatorial Optimization» (C098), Brussels (Belgium), 15-16 April
1998. p.180.
[287] Vishnevsky V., Belotserkovsky D., Polesskii V. Employment of
Graph Characteristics for Large-Scale Data Network
Topological Optimization // Proceedings of the Workshop «Distributed
Computer Communication Networks. Theory and Applications»,
Moscow. - 1998. - P. 1-19.
[288] Vishnevsky V., Belotserkovsky D. On an Effective Approach in
Solving the Problem of Generation of Biconnected Graphs with
Restricted Diameter // Proceedings of the conference «Distributed
Computer Communication Networks. Theory and Applications
(DCCN'99)». Tel-Aviv (Israel). - 1999. - P. 182-188.
[289] Vishnevsky V.M., Dmitriev V.P., Korshunov I. V. Atmospheric
Optical Communication Link and Network Interface // Proceedings of
the conference «Distributed Computer Communication Networks.
Theory and Applications (DCCN'99)». Tel-Aviv (Israel). - 1999. -
P. 204-208.
[290] Vishnevsky V.M., Vorobiev V.M., Sokolov S.A. On IP Telephony
Performance Modeling in Large-scale Packet Network //
Proceedings of the conference «Distributed Computer Communication
Networks. Theory and Applications (DCCN'99)». Tel-Aviv (Israel). -
1999. - P. 195-203.
[291] Vishnevsky V.M., Lyakhov A.I., Bakanov A.S. Method for
performance evaluation of wireless networks with centralized control //
Proc. Int. Conf. «Distributed Computer Communication Networks
(Theory and applications)» (DCCN'99). Tel-Aviv, Israel,
November 9-13, 1999, pp. 189-194.
[292] Vishnevsky V.M. Wireless Access to Internet Electronic Resources
// Труды VI Международной Конференции по
Информационным Сетям и Системам (ICINAS - 2000). - Санкт-Петербург,
2000. - С. 90-97.

506 Литература
[293] Vishnevsky V.M., Lyakhov A.I. Adaptive Features of IEEE 802.11
Protocol: Utilization, Tuning and Modifications // Proc. of 8th
HP-OVUA Conf., Berlin, June 2001.
[294] Vishnevsky V.M., Lyakhov A.I. IEEE 802.11 Wireless LAN:
Saturation Throughput Analysis with Seizing Effect Consideration //
Cluster Computing. - 2002. - N 5. - P. 133-144
[295] Vogel R. et al. QoS Based Routing of Multimedia Streams in
Computer Networks // IEEE Journal on Selected Areas in
Communications. - 1996. - V. 14, N. 7. - P. 1235-1244.
[296] Warland J. A probabilistic look at networks of quasi-reversible
queues // IEEE Trans, on Inform. Theory. - 1983. - V.29. - P.
825-831.
[297] Weinmiller J., Schlager M., Festag A., Wolisz A. Performance
Study of Access Control in Wireless LANs - IEEE 802.11 DFW-
MAC and ETSI RES 10 HIPERLAN // Mobile Networks and
Applications. - 1997. - V. 2. - N. 1. - P. 55-76.
[298] Wireless LAN Medium Access Control (MAC) and Physical Layer
(PHY) Specifications. ANSI/IEEE Std 802.11, 1999 Edition.
[299] Wong J.W., Lam S.S. Queueing Network Models of Packet-
switching Net works. Pt I. Open networks; Pt 2. Networks with
Population Size Constraints // Perform. Eval. - 1982. - N 2.- P.
9-21, 161-180.
[300] Wu T.-H. Fiber Network Service Survivability. - Artech House,
1992.
[301] Xiong Y., Mason L. Restoration strategies and spare capacity
requirements in self-healing ATM networks // IEEE. - 1997. - N
5.