Федеральное агентство по образованию
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Омский государственный технический университет»
В. Н. Иванов, Г. П. Иванова,
О. В. Лях, Е. А. Сидорова
ВВЕДЕНИЕ В ЛАБОРАТОРНЫ
Й
ПРАКТИКУМ ПО ФИЗИКЕ
Учебное пособие
Омск
Издательство ОмГТУ
2009

2
УДК 53
ББК 22.3
В 24
Рецензенты:
Т. А. Аронова
, канд. физ.
-
мат. наук, доцент кафедры физики и химии ОмГУПС;
Н. Н. Струнина
, канд. физ.
-
мат. наук, доцент кафедры экспериме
нтальной
физики и радиофизики ОмГУ
В 24
Введение в лабораторный практикум по физике:
учеб. пособие /
В. Н. Иванов, Г. П. Иванова, О. В. Лях, Е. А. Сидорова.
–
Омск: Изд
-
во
ОмГТУ, 2009.
–
40 с.
Пособие содержит краткое описание методов обработк
и результатов л
а-
бораторных работ по физике, рекомендации по подготовке к выполнению лаб
о-
раторных работ и их оформлению.
Предназначено для самостоятельной работы студентов всех форм обуч
е-
ния.
Печатается по решению редакционно
-
издательского совета
О
мского государственного технического университета
УДК 53
ББК 22.3
© ГОУ ВПО «Омский государственный
технический университет», 2009

3
ВВЕДЕНИЕ
Физика
–
в своей основе экспериментальная наука. Выявленные ею
объективные законы природы получены чаще всего в результате экспер
и-
ментальных исследований.
Работа в лаборат
ориях физического практикума является частью
процесса изучения как физических законов, так и методов, применяемых в
физике.
Целями физического практикума являются:
а) иллюстрация теоретических положений физики;
б) знакомство с измерительными приборами;
в) приобретение опыта проведения экспериментов;
г)
выработка навыков, необходимых для учёта различного рода п
о-
грешностей и оценки точности полученного результата;
д)
развитие умения делать правильные выводы при анализе экспер
и-
ментальных данных.

4
ЧА
СТЬ
1
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ
1.
1
.
Измерения. Погрешности измерений
Каждая из лабораторных работ физического практикума ставит своей
целью изучение определенного физического явления и связана с измер
е-
нием той или иной величины, характер
изующей данное явление.
Измерением
называется нахождение значения физической величины
опытным путем с помощью специальных технических средств.
По способу получения различают
прямые
и
косвенные
измерения.
Прямым
называется такое измерение, в котором знач
ение физич
е-
ской величины получают в результате опыта с помощью прибора, прогр
а-
дуированного в соответствующих единицах. Примеры:
измерение массы с
помощью весов, промежутков времени
–
секундомером, длины
–
линейкой
или штангенциркулем, тока
–
амперметром и
т.д.
Прямые измерения могут быть однократными (физическая величина
измеряется один раз) и многократными (физическая величина измеряется
несколько раз в одних и тех же условиях одним и тем же измерительным
прибором).
Косвенным
называют такое измерение, в
котором значение физич
е-
ской величины получают вычислением на основании известной зависим
о-
сти между этой величиной и величинами, полученными при прямых изм
е-
рениях. Примеры:
определение плотности материала по измеренным ма
с-
се и объёму; сопротивления провод
ника
–
по измеренным напряжению и
току и т.д.
Измерить в реальном эксперименте какую
-
либо физическую велич
и-
ну абсолютно точно, т.е. получить ее истинное значение, невозможно
[1, 2]. На результат измерения могут оказывать влияние различные факт
о-
ры. Это вл
ияние проявляется как
погрешность.
Другими словами,
изм
е-
ренное значение величины всегда отличается от истинного.
A
бсолютной погрешностью
Δ
измерения называется разность м
е-
жду результатом измерения и истинным значением измер
яемой величины.
Абсолютная погрешность выражается в единицах измеряемой величины.
Наряду с абсолютной погрешностью используется
относительная
погрешность
ε
, равная отношению абсолютной погрешности к результ
а-
ту измерения. О
тносительная погрешность может быть выражена в пр
о-
центах, она характеризует точность измерений (чем меньше величина о
т-
носительной погрешности, тем выше точность измерений).

5
Задачей любого измерения является не только установление
наиболее точного значения
измеряемой величины, но и оценка границ
возможных погрешностей.
По характеру влияния на результаты измерений погрешности делятся
на три типа:
систематические
погрешности,
случайные
погрешности и
промахи
.
Систематическими (
Δ
сист
) называются погрешности, которые при
многократных измерениях, проводящихся одним и тем же методом с п
о-
мощью одних и тех же измерительных приборов, остаются постоянными.
По причинам возникновения систематических погрешностей можно
выделить:
а)
погр
ешности метода измерений, или методические погрешности;
б)
погрешности округления и вычисления;
в)
погрешности, связанные с неточностью изготовления прибора.
Влияние погрешностей, указанных в пунктах "а" и "б", можно знач
и-
тельно уменьшить или даже ус
транить, например, изменением метода и
з-
мерений, введением поправок к показаниям прибора, учетом влияния
внешних факторов, использованием для расчета более точных аналитич
е-
ских выражений и т.д. Но систематические погрешности, связанные с и
з-
мерительным прибо
ром, устранить нельзя. Эти погрешности, определя
е-
мые точностью прибора, называют
приборными
.
Случайные
погрешности (
Δ
сл
)
−
это погрешности, которые при
многократных измерениях одной и той же величины изменяются непре
д-
сказу
емым образом, они являются следствием случайных, неконтролиру
е-
мых помех, влияние которых на процесс измерения невозможно учесть
непосредственно. Случайные погрешности могут отклонять результаты
измерения от истинного значения в обе стороны. Случайный харак
тер п
о-
грешности означает, что при многократных измерениях погрешность л
ю-
бого данного измерения не зависит от того, какое значение погрешности
получилось при любом другом измерении. Влияние случайных погрешн
о-
стей учитывается посредством определённой обработ
ки результатов изм
е-
рений с помощью математических методов, основанных на выводах те
о-
рии вероятностей
[1
–
4].
Промахи
возникают в результате небрежности или невнимательн
о-
сти экспериментатора. Их легко выявить и исключить, поскольку соотве
т-
ствующие результа
ты заметно отличаются от остальных. Но при этом н
е-
обходимо убедиться, что большое отклонение связано именно с небрежн
о-
стью, а не с физической сутью явления.

6
1.2. Учет случайных погрешностей при прямых измерениях
Для уменьшения случайных погрешностей физиче
скую величину
(истинное значение которой нам
неизвестное
, обозначим
a
)
измер
я
ют
n
раз. Результаты отдельных измерений
12
,,...
n
aaa
представляют собой набор независимых
с
лучайных величин,
значения
которых распред
е
лены около
a
. Поведение случайных величин
описывают статистические закономерности, изучение которых является
предметом теории вероятн
о
сти и математической статистики. При
большом ч
исле измерений

n

∞

случайные погрешности подчиняются
нормальному распределению (ра
с
пределению Гаусса) (см. Часть
3
настоящего пособия). В математической статистике доказывается, что
наиболее близким к истинному значению изме
ряемой величины является
среднее арифметическое значение
〈
a
〉
:
〈
a
〉
=
a
1

a
2

a
3

⋯

a
n
n
=
∑
i
=
1
n
a
i
n
.
(1)
Однако даже при
n

∞
〈
a
〉
может отличаться от
a
. Разность
(
〈
a
〉
−
a
) является случайной величиной, поэтому точно определить ее
нельзя. Но, пользуясь методами математической статистики, можно ук
а-
зать интервал

〈
a
〉
−
Δa
сл
,
〈
a
〉

Δa
сл


, в кото
ром с некоторой заданной вер
о-
ятностью
α
находится истинное значение измеряемой величины.
Интервал

〈
a
〉
−
Δa
сл
,
〈
a
〉

Δa
сл


называется
доверительным
инте
р-
валом
. Величину
Δa
сл
называ
ют
доверительной случайной погрешн
о-
стью результата измерений.
Вероятность
α
того, что значение и
с-
комой величины попадет в указанный доверительный интервал, н
а-
зывается
доверительной вероятностью, или надежностью.
Для оцен
ки случайной погрешности
Δa
сл
существует несколько
способов. Наиболее распространенным является оценка с помощью сре
д-
неквадратичной погрешности
S
〈
a
〉
, которая определяется по формуле:
S
〈
a
〉
=

∑
i
=
1
n

Δa
i

2
n

n
−
1

,
(2)
где
Δa
i
=
∣
〈
a
〉
−
a
i
∣
–
абсолютные погрешности отдельных измерений.
Английский математик У. Госсет, публиковавший свои работы под
псевдонимом Стьюдент, показал, что при числе измерений
n

30
истинное
значение
a
измеряемой величины
c
заданной доверительной вероятн
о-
стью
α
лежит в пределах
〈
a
〉
−
Δa
сл
≤
a
≤
〈
a
〉

Δa
сл
, если величина случайной

7
погрешности
Δa
сл
связана со среднеквадратичной погрешностью
S
〈
a
〉
соотношением:
Δa
сл
=
t
α
,
n
⋅
S
〈
a
〉
,
(3)
где
t
α
,
n
−
коэффициент, называемый
коэффициентом Ст
ьюдента
. Этот
коэффициент зависит от заданной доверительной вероятности
α
и числа
измерений
n
. Коэффициенты Стьюдента вычислены и протабулированы
(см. приложение, табл. 1).
Выбор доверит
ельной вероятности зависит от задач, решаемых эк
с-
периментатором.
Как правило, в лабораторном практикуме рекоме
н-
дуется определять границы доверительного интервала при
α
=
0,9.
Таким образом, проведя конечное число измерен
ий и определив
среднеквадратичную погрешность
S
〈
a
〉
, можно указать границы случа
й-
ной погрешности
Δa
сл
с заданной вероятностью
α
.
1.3. Учет систематических (пр
иборных) погрешностей
при прямых измерениях
Показания любого прибора, даже самого точного и совершенного,
всегда отличаются от фактического значения измеряемой величины. Это
отличие характеризуется приборной погрешностью
Δ
приб
.
Приборные погрешности, несмотря на то, что являются систематич
е-
скими, по своим свойствам близки к свойствам случайных погрешностей:
не известно точно, чему они равны и в какую сторону искажают измеря
е-
мую величину.
Для оценки систематической приборной по
грешности также прим
е-
няют методы математической статистики, с помощью которых показано,
что
Δ
приб
=
t
α
,
∞
3
⋅
δ
.
(4)
Здесь
Δ
приб
−
приборная погрешность, соответствующая выбранной дов
е-
рительной вероятности
α
;
t
α
,
∞
−
коэффициент Стьюдента при выбранной
доверительной вероятности
α
и числе измерений
n

∞
;
δ
–
максимальная
приборная погрешность.
Величина
максимальной
приборной погрешности
δ
зависит от т
о-
го, каким прибором производятся измерения.
1)
Если при измерениях используются стрелочные электроизмер
и-
тельные при
боры, для которых указан класс точности
K
,
то

8
100 %
мах
KA


,
(5)
где
A
max
−
наибольшее значение, которое может быть измерено по шкале
прибора;
K
−
класс точности прибора (он указан на приборе и может
иметь значения 0,05; 0,1; 0,2; …4).
2)
Если при измерениях используются цифровые приборы, то ма
к-
симальная приборная погрешность
δ
обычно указывается в паспор
те
прибора.
3)
Если при измерениях используется прибор, у которого класс то
ч-
ности неизвестен или прибор не имеет класса точности (например, изм
е-
рительная линейка, секундомер, термометр и др.),
максимальную прибо
р-
ную погрешность
δ
принимают равной цене наименьшего деления его
шкалы.
Примечание.
В большинстве реальных задач лабораторного пра
к-
тикума, когда значение доверительной вероятности
α
=
0,9
, погрешность
измерительного прибора можно приня
ть равной
Δ
приб
≈
1
2
δ
=
1
2
цены
наименьшего
деления
шкалы
.
1.4. Совместный учет случайных и систематических (приборных)
погрешностей
Наличие приборной погрешности уменьшает достоверность резул
ь-
татов измерения, то есть реальная доверительная вероятность полученных
ре
зультатов оказывается меньше, чем в случае, если бы измерения пров
о-
дились идеальным прибором, не имеющим погрешностей.
В этом случае для компенсации потери доверительной вероятности
увеличивают доверительный интервал, полагая, что истинное значение
a
измеряемой величины лежит в пределах:
〈
a
〉
−
Δa
≤
a
≤
〈
a
〉

Δa
,
где
Δa

Δa
сл
.
Величину
Δa
называют
абсолютной погрешностью измерений
.
Абсолютная погрешнос
ть
Δa
определяет границы доверительного
интервала около
〈
a
〉
, в пределах которого с заданной надёжностью
α
(з
а-
данной доверительной вероятностью) находится ист
инное значение изм
е-
ряемой величины.

9
Методами математической статистики при учёте почти случайного
характера приборной погрешности для абсолютной погрешности прямого
измерения получено выражение:




2
2
слпр
aaa

.
(6)
1.5. Последовате
льность действий при обработке результатов
многократных прямых измерений
При математической обработке результатов многократных прямых
измерений рекомендуется соблюдать следующую последовательность
действий.
1)
Используя результаты
n
прямых измерений искомой величины
−
a
1
,
a
2
,

,
a
n
, вычислить среднее арифметическое значение:
〈
a
〉
=
1
n
∑
i
=
1
n
a
i
.
(7)
2)
Найти абсолютные погрешности отдельных измерений:
Δa
i
=
∣
〈
a
〉
−
a
i
∣
.
(8)
3)
Вычислить среднеквадратичную погрешность
n
измерений:




2
1
1
n
i
i
a
aa
S
nn





.
(9)
4)
Задать значение доверительной вероятности
α
и по таблице (см.
приложение
) определить значение коэффициента Стъюдента
t
α
,
n
для з
а-
данной вероятности
и числа проведенных измерений
n
.
5)
Вычислить случайную погрешность
n
измер
ений:
Δa
сл
=
t
α
,
n
⋅
S
〈
a
〉
.
(10)
6)
Оценить погрешность, даваемую измерительным прибором:
Δa
пр
≈
1
2
цены
наименьшего
деления
прибора
.
(11)
Примечание.
Если у прибора указан класс точности
К
или максимальная
при
борная погрешность
δ
, то необходимо воспользоваться рекоменд
а-
циями, изложенными
в 1.3.
7)
Вычислить абсолютную погрешность результата
n
измерений:

10
Δa
=


Δa
сл

2


Δa
пр

2
.
(12)
8)
Вычислить относительную погрешность:
100 %
a
a


.
(13)
9)
Окончательный результат записать в виде:
a
=
〈
a
〉
±
Δa
,
указать доверительную вероятность
α
и относительную погрешность
ε
.
1.6. Пример обработки результатов
прямых измерений
Пример.
В резул
ьтате пяти измерений диаметра некоторого цилиндра,
выполненных штангенциркулем, точность которого 0,1 мм, п
о-
лучены следующие значения:
1
25,7;
d
мм

2
25,6;
d
мм

3
25,7;
d
мм

4
25,5;
d
мм

5
25,6
d
мм

. Необходимо опр
е-
делить доверительный интервал, в пределах которого с зада
н-
ной доверительной вероятностью (надежностью) лежит исти
н-
ное значение диаметра цилиндра.
1)
По формуле (7) вычислим среднее арифмети
ческое значение
〈
d
〉
:
〈
d
〉
=
25
,7

25
,6

25
,7

25
,5

25
,6
5
=
25
,
62
мм
.
(
Расчет среднего значения производится с числом значащих цифр, прев
ы-
шающим на единицу число значащих цифр в результатах измерений
).
2)
По формуле (8) вычислим погрешнос
ти отдельных измерений:
12345
0,08;0,02;0,08;0,12;0,02.
ddddd

3)
По формуле (9) вычислим среднеквадратичную погре
ш-
ность
S
〈
d
〉
:
222
2(0,02)2(0,08)0,08
0,0374
54
d
S
мм



.
4)
Задаем значение доверительной вероятности
α
=
0,
95
. По таблице
определяем значение коэффициента Стьюдента
t
α
,
n
=
2,
78
(при
n
=
5
и
α
=
0,
95
).

11
5)
По формуле (10) вычислим случайную погрешность
Δd
сл
:
Δd
сл
=
2,
78
⋅
0,
0374
=
0,
104
мм
.
6)
По формуле (11) оценим погрешность
Δd
пр
, даваемую штанге
н-
циркулем:
Δd
пр
≈
1
2
⋅
0,1
=
0,
05
мм
.
7)
По формуле (12) вычислим абсолютную погрешность результата
и
змерений
Δd
:
22
0,1040,050,115
d
мм

.
8)
По формуле (13) вычислим относительную погрешность
ε
:
0,115
100 %0,449 %
25,62

.
(
При расчете погрешностей (
S
〈
d
〉
,
Δd
сл
,
Δd
и
ε
) рекомендуется оста
в-
лять три значащих цифры, а округление проводить только при записи
окончательного результата)
.
9)
Запишем окончател
ьный результат:
d
=

25
,
62
±
0,
12

мм
,
α
=
0,
95
;
0,45 %

(
Значение
Δd
округлили в большую сторону до двух значащих цифр, п
о-
скольку первая значащая цифра 1
).
Замечание.
Все вычисления выполнены в соответствии с правилами, и
з-
ложенными в 1.10.
1.7. Учет погрешностей при косвенных измерениях
В большинстве случаев величина, интересующая экспериментатора,
не может быть измерена непосредственно. Тогда используют кос
венные
измерения.
При косвенном измерении значение искомой величины
y
находят по
некоторой известной зависимости
y
от параметров
a
,
b
,
c
,
.
.
.
, значения к
о-
торых можно оп
ределить в результате
прямых
измерений:
y
=
f

a
,
b
,
c
,


.
(14)
При этом могут встретиться две ситуации.

12
1.7.1.
Прямые измерения величин
a
,
b
,
c
,

проводятся в одних
и тех же условиях одними и теми же прибор
ами.
В этом случае наиболее близким к истинному значению
y
является
его среднее значение
〈
y
〉
, которое получается при подстановке в (14)
средних значений непосредственно измеренных величин:
〈
y
〉
=
f

〈
a
〉
,
〈
b
〉
,
〈
c
〉
,


.
Погрешности
Δa
,
Δb
,
Δc
,

, с которыми определены величины
a
,
b
,
c
,

, сказываются на точности определения
y
. Поэтому истинное
значение
y
может отличаться от
〈
y
〉
, т.е. оно будет определено с п
о-
грешностью
Δy
.
Для нахождения интервала

〈
y
〉
−
Δy
,
〈
y
〉

Δy

, в котором заключено
истинно
е значение
y
, применяют
метод переноса ошибок
, использу
ю-
щий дифференциальное исчисление.

13
а)
Пусть косвенно измеряемая величина
y
зависит только от одной
непосредственно измеряемой величин
ы
a
, то есть
y
=
f

a

. В этом случае
абсолютную погрешность
Δy
представляют как разность:
Δy
=
f

〈
a
〉

Δa

−
f

〈
a
〉

,
для которой справедливо приближен
ное выражение:








0
lim
.
a
aa
faafa
df
faafaaa
ada












Таким образом,
Δy
=

df
da

a
=
〈
a
〉
⋅
Δa
.
(15)
Используя методы математической статистики, можно показать, что
если
Δa
определено при доверительной вероятности
α
, то и вероятность
того, что истинное значение
y
измеряемой величины заключено в инте
р-
вале

〈
y
〉
−
Δy
,
〈
y
〉

Δy

, тоже равна
α
.
б)
Если ко
свенно измеряемая величина
y
является функцией мн
о-
гих переменных, т.е.
y
=
f

a
,
d
,
c
,


, то по формуле (15) можно вычислить
погрешности
Δy
a
,
Δy
b
,
Δy
c
…, обусловленные погрешностями определ
е-
ния каждого аргумента:
Δy
a
=
∂
f
∂
a
⋅
Δa
,
Δy
b
=
∂
f
∂
b
⋅
Δb
,
Δy
c
=
∂
f
∂
c
⋅
Δc
и т. д.
(16)
В (16)
∂
f
∂
a
,
∂
f
∂
b
,
∂
f
∂
c
,…
–
частные производные функции по соответс
т-
вующей переменной. (
Частная производная функции многих переменных
по одной переменной является обычной производной этой
функции по
этой переменной при условии, что все другие переменные считаются п
о-
стоянными параметрами
).
Общую погрешность
Δy
в этом случае можно оценить по формуле
Δy
=


Δy
a

2


Δy
b

2


Δy
c

2


,

14
или, с учётом (
16):
222
fff
yabc
abc







.
(17)
В (17) численные значения производных рассчитываются при знач
е-
ниях
a
=
〈
a
〉
,
b
=
〈
b
〉
и т. д.,
Δa
,
Δb
, …
–
абсолютные погрешности величин
a
,
b
,…, рассчитанные по методике обработки результатов прямых изм
е-
рений
при одной и той же доверительной вероятности
α
.
Относительную погрешность
ε
при косвенных измерениях вычи
с-
ляют по формуле:
100 %
y
y


.
(18)
Примечание.
Относительную погрешность косвенных измерений
можно найти непосредственно, воспользовавш
ись формулой:
ε
=



∂
ln
f
∂
a
⋅
Δa

2


∂
ln
f
∂
b
⋅
Δb

2


∂
ln
f
∂
c
⋅
Δc

2



⋅
100
,
(19)
где
∂
ln
f
∂
a
,
∂
ln
f
∂
b
,…
частные производные
ln
f
по соответствующим п
е-
ременным.
Абсолют
ная погрешность в этом случае вычисляется по формуле
100 %
y
y


.
(20)
1.7.2.
Прямые измерения величин
a
,
b
,
c
,

проводятся при н
е-
воспроизводимых условиях, т.е. тогда, когда условия проведения оп
ы-
тов из
меняются от опыта к опыту.
В этом случае значение косвенно определяемой величины
y
вычи
с-
ляется для каждого конкретного опыта:
1111
,
(,,...)
yfabc

,
2222,
(,,...)
yfabc

,
3333
,
(,,...)
yfabc

и т.д. Полученные значения
123
,,,...
yyy
обрабатываются
как результаты прямых измерений
, а именно,
определяется среднее арифметическое значение
12
1
()
n
yyyy
n


и соответствующая ему случайная погрешность
Δy
сл
(см. 2).

15
За величину полной абсолютной погрешности
Δy
обычно прин
и-
мают
Δy
сл
.
Примечание.
Если результаты вычислений оказались одинаковыми
(такие ситуации встреч
аются редко), то в качестве абсолютной погрешн
о-
сти
Δy
берут приборную погрешность
Δy
приб
. Для ее определения с пом
о-
щью (17) или (19) выводят расчетную формулу для абсолютной
(
Δy
) или
относительной

ε

погрешности величины
y
. В формулу в качестве
Δa
,
Δb
,
Δc
.
.
.
подставляют приборные погрешности
Δa
пр
,
Δb
пр
,
Δc
пр
,
.
.
.
, а
в качестве
a
,
b
,
c
,
.
.
.
подставляют значения
a
i
,
b
i
,
c
i
,
.
.
.
какого
-
либо одного из
опытов. Для того чтобы не получить сильно завышенное или сильно
зан
и-
женное значение приборной погрешности, выбирается опыт с промеж
у-
точными (не минимальными и не максимальными) значениями параметров
a
i
,
b
i
,
c
i
,
.
.
.
.
Полная погрешность в этом случае
Δy
=
Δy
приб
.
1.8.
Последов
ательность действий при обработке результатов
косвенных измерений
1)
Для каждой серии непосредственно измеренных величин, вход
я-
щих в выражение искомой величины, провести математическую обработку
результатов (см.
1.5) для одной и той же доверительной веро
ятности
α
.
2)
Вычислить значение искомой величины
y
, подставляя в расче
т-
ную формулу средние значения непосредственно измеренных величин.
3)
Вывести формулу для расчета абсолютной
Δy
или относител
ь-
ной
ε
погрешностей, согласно (17) или (19).
Замечание.
Выводить формулы для абсолютной и относительной погре
ш-
ности искомой величины одновременно нет смысла, п
о-
скольку они связаны
простыми соотношениями:
100 %
y
y


;
100 %
y
y


.
Какую из величин,
Δy
или
ε
, следует вычислять сначала,
зависит от конкретного вида функции (
14). Единых рек
о-
мендаций дать невозможно. Однако если расчетная формула
легко логарифмируется, то проще вычислить сначала отн
о-
сительную погрешность.
4)
Вычислить абсолютную и относительную погрешности результ
а-
та.
5)
Произвести округление результатов ра
счета (см. 10) и записать
окончательный результат в виде:

16
y
=
〈
y
〉
±
Δy
с указанием надежности
α
и относительной погрешности
ε
.
Примечание
1.
Если в расчетную формулу в
ходит величина, изм
е-
ренная заранее (то есть в данном эксперименте она не измеряется) и для
неё не указано значение погрешности, то абсолютную погрешность, с к
о-
торой определена эта величина, принимают равной
±
0,5
единицы на
и-
ме
ньшего разряда, представленного в числе.
Пример.
Дана масса тела
m
=
50
,3
г
; погрешность
Δm
следует пр
и-
нять равной
±
0,
05
г
.
Примечание
2.
Если в расчетную формулу наряду
с измеренными
величинами входят константы, например,
число
π
,
табличные данные
или
основные физические постоянные
(скорость света в вакууме, ускорение
свободного падения и т.д.), то при вычислении погрешности величины
y
следует учитывать и их погрешности:
а)
если константа содержит число значащих цифр с "запасом" (на
одну
–
две больше, чем требуемая точность вычисляемой величины), то п
о-
грешность, которую вносит в конечный результат эта конст
анта, можно не
учитывать;
б)
если количество значащих цифр в используемой константе не
достаточно, чтобы вносимой ею погрешностью можно было пренебречь,
то за погрешность этой константы берется число, равное половине на
и-
меньшего разряда в её записи.
Пр
имечание
3.
Если какая
-
либо экспериментально определяемая
величина, входящая в расчетную формулу,
измерена только один раз
, то за
её погрешность принимают значение приборной погрешности использу
е-
мого измерительного инструмента.
Примечание
4.
Если косвенн
ые измерения проводятся
в невоспрои
з-
водимых условиях,
то при обработке результатов использовать методику,
предложенную в
1.7 (1.7.2).
1.9. Пример обработки результатов
косвенных измерений
Пример.
Определить массу шара по известному значению плотности м
а-
т
ериала


33
8,410
кгм

и измеренному многократно
диаметру
d
:
3
(15,60,5)10
d
м


(погрешность диаметра

17
определялась с надежностью
α
=
0,
95
). Оценить погрешности о
п-
ре
деления массы.
1)
Находим среднее значение массы по формуле:
3333
3
66
8,4103,14(15,610)
16,710
d
m
кг




.
(В соответствии с правилами приближенных вычислений в этом, еще н
е-
окончательном результате, сохранена одна запасная цифра.)
2)
Выведем формулу для относитель
ной погрешности
ε
, воспол
ь-
зовавшись (19), поскольку выражение для
m
легко логарифмируется.
2
22
lnlnln
100 %
mmm
d
d









Логарифмируем функцию
3
6
d
m


и нах
одим частные производные
по соответствующим переменным:
ln
m
=
ln
ρ

ln
π

3
ln
d
−
ln
6
.
∂
ln
m
∂
ρ
=
1
ρ
;
∂
ln
m
∂
π
=
1
π
;
∂
ln
m
∂
d
=
3
d
.
Подставим полученные выражения производных в формулу для
ε
:
2
22
3
100 %
d
d










18
3
)
Вычислим относительную погрешность:
22
2
33
33
0,05100,00530,510
100 %9,62 %
3,14
8,41015,610












(
Погрешность табличной величины
ρ
принимаем равной 0,5 единицы
наименьшего разряда числа
3
8,410

, т.е.
3
0,0510
кг

. Погре
ш-
ность числа
π
также принимаем равной 0,5 единицы наименьшего ра
з-
ряда числа 3.14, т. е.
0,005

)
.
4)
Вычислим абсолютную погрешность
Δm
, воспользовавшись
формулой (
20
):
3
3
9,6216,710
1,6110
100 %100
m
m
кг





.
5)
Запишем окончательный результат, соблюдая правила округления
при его записи:
(16,71,7),0,95;10 %
m
кг

.
Замечание.
Все вычисления выполнены в соотве
тствии с правилами, и
з-
ложенными в 1.10.
1.10. Правила работы с приближёнными числами.
Правила округления при записи
окончательного результата измерений
При обработке результатов измерений выполняются математические
операции над
приближенными числами,
опре
деляемыми с различной то
ч-
ностью. При этом необходимо руководствоваться следующими правилами
работы с приближенными числами.
1)
При сложении и вычитании
приближённых чисел в результате
оставлять столько
десятичных знаков
, сколько их содержится в числе с
н
аименьшим количеством разрядов.
Пример:
2,25
+
3,345
+
4,
3
¿
9,
9.
2)
При умножении и делении
приближенных чисел в результате
оставлять столько
значащих цифр (
см. примечание 1), сколько их имеет
при
ближённое данное с наименьшим количеством значащих цифр.
Пример:
3,2
∙
0,8942
∙
2,37
¿
6,8.

19
3)
Результат расчета значений функций
x
n
,
n

x
,
lg
x
некоторого пр
и-
ближенного числ
а
x
должен содержать столько
значащих
цифр, сколько
их имеется в числе
x
.
Примеры:
235
3
≈
162
⋅
10
5
;

49
,6
≈
7,
04
.
4)
В пр
омежуточных вычислениях сохранять на одну значащую ци
ф-
ру больше (правило «запасной» цифры).
5)
Погрешности измерений при промежуточных вычислениях должны
быть выражены
тремя значащими цифрами.
Примечание.
Значащими цифрами являются все цифры числа, кром
е н
у-
лей, стоящих в начале числа.
Примеры:
2,050
–
4 значащих цифры;
205
–
3 значащих цифры;
0,0
20
–
2 значащих цифры.
В результате обработки измерений всегда получается приближенное
зна
чение измеряемой величины, точность которого определяется только
погрешностью, допущенной в процессе измерения, и
никакими расчет
а-
ми нельзя повысить эту точность.
Поэтому окончательный результат
обработки измерения с точки зрения количества значащих цифр д
олжен
соответствовать точности, полученной в процессе измерения.
Согласно теоретическим оценкам, при небольшом числе измер
е-
ний
(
n
≤
10
) количество
значащих
цифр в значении абсолютной погрешн
о-
сти должно быть ограничено
одной
или
двумя
значащими цифрами.
При записи окончательного результата рекомендуется приде
р-
живаться следующих правил.
1)
Абсолютную погрешность округлять до
двух значащих цифр
, если
первая из них
–
1
,
2
или
3
, и до
одной значащей цифры
во всех остальных
случаях.
Остальные цифры отбрасываются
с округлением в большую ст
о-
рону.
2)
Значение измеренной величины (т.е. ее среднее значение) окру
г-
лять
до разряда
последней значащей цифры
абсолютной погрешности.
3)
Относительную погрешность округлять
до двух значащих цифр
.
Пример.
При измерении сопротивления проводника получены следующие
данные:
〈
R
〉
=
2428
Ом
,
ΔR
=
272
Ом
. В этом случае результат изм
е-
рения запишется так:
R
=

2,
43
±
0,
28

⋅
10
3
Ом
,
11 %

.

20
ЧАСТЬ
2
ПРАВИЛА РАБОТЫ
В ЛАБОРАТОРИИ,
ОФОРМЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАБОТЫ
2.1. Подготовка к выполнению лабораторной работы
В начале семестра студентам сообщается учебный план на семестр, в
нём указывается количество лабораторных работ, которые необходимо
выполнить в течение семест
ра.
Каждая лабораторная работа рассчитана на одно занятие.
Выполнение всех работ физического практикума включает самосто
я-
тельную подготовку,
которая должна быть закончена к началу зан
я-
тия.
Можно выделить несколько этапов самостоятельной подготовки:
1)
з
накомство с описанием лабораторной работы (по методическим
указаниям);
2)
изучение теоретического материала по теме, рассматриваемой в
лабораторной работе;
3)
самопроверка готовности к выполнению лабораторной работы;
4)
подготовка конспекта отчета к лаб
ораторной работе.
Проверить степень своей готовности к выполнению конкретной р
а-
боты можно с помощью обобщенных контрольных вопросов, общих для
всех работ физического практикума.
Вопросы для самопроверки готовности к выполнению
лабораторной работы
1)
Како
ва цель работы?
2)
Какое физическое явление или закон изучается в данной работе?
3)
Какими физическими зависимостями связаны величины, опис
ы-
вающие данное явление?
4)
Какая теоретическая зависимость может быть проверена в да
н-
ном опыте?
5)
Какие физич
еские явления положены в основу экспериментальн
о-
го метода определения искомых величин?
6)
Какие допущения сделаны при описании теории метода?
7)
Какое уравнение (или система уравнений) позволяет найти иск
о-
мую величину или нужную зависимость на основании
опытных данных?

21
8)
Какие конкретные задачи придется решать в ходе эксперимента
для достижения цели?
9)
Что представляет объект исследования в данной работе?
10)
Каково назначение отдельных узлов экспериментальной уст
а-
новки?
11)
Какие измерительные при
боры будут использоваться при пров
е-
дении опытов?
12)
Какие физические величины будут измеряться непосредственно,
а какие будут получены в результате вычислений?
13)
Какие постоянные (табличные данные, параметры образца или
установки) нужны для определени
я искомой величины по данным опыта?
14)
Какие графики должны быть построены по полученным да
н-
ным?
15)
Как придется оценивать погрешность конечного результата?
16)
Как можно проверить надежность полученных экспериментал
ь-
ных данных?
17)
Можно ли сопостав
ить результаты эксперимента с литерату
р-
ными данными?
Рекомендации по оформлению отчета
по лабораторной работе
Лабораторные работы оформляются в специальном журнале лаб
о-
раторных работ, в отдельной тетради или на отдельных бланках (ли
с-
тах).
Отчет по лабо
раторной работе составляется по следующей схеме:
1)
Название и номер лабораторной работы.
2)
Цель работы.
3)
Используемые приборы и принадлежности.
4)
Краткая теория. (Здесь кратко излагаются теоретические полож
е-
ния, лежащие в основе эксперимента. Указ
ывается, какие законы и
зависимости проверяются, какие соотношения используются при
выводе рабочих формул. Приводятся расчетные формулы с поя
с-
нениями. Рекомендуется сделать схематический рисунок, поя
с-
няющий идею данного эксперимента, а также начертить эле
ктр
и-
ческую или оптическую схемы, если они применяются в лабор
а-
торной работе).

22
5)
Таблицы.
6)
Расчет искомых величин и их погрешностей.
7)
Графики.
8)
Выводы.
В
начале
занятия студент предъявляет преподавателю подготовле
н-
ный конспект отчета лаборато
рной работы. Допуск к выполнению лабор
а-
торной работы студент получает после собеседования с преподавателем.
Для получения допуска к выполнению лабораторной работы
студент должен знать:
1)
название работы;
2)
цель работы;
3)
используемые приборы и обо
рудование;
4)
формулировки физических законов и соотношений, используемых
при выводе рабочих формул; определения физических величин,
прямо или косвенно измеряемых в данной работе;
5)
порядок выполнения лабораторной работы; какие величины изм
е-
ряются прямы
ми методами, а какие определяются в данной работе
в результате косвенных измерений;
6)
вид представления результата:
а)
измеренная величина с погрешностями;
б)
соотношения;
в)
графическая зависимость.
Окончание эксперимента отмечается в рабочем журнале
студента и
журнале преподавателя.
Оформленный отчет о работе (с математической обработкой резул
ь-
татов измерений и выводами) сдается на следующем занятии или на сп
е-
циально отведенном (итоговом) занятии.
В выводах по работе необходимо отразить:
1)
что и
как исследовалось (измерялось);
2)
результаты, полученные в лабораторной работе;
3)
анализ полученных результатов:

23
а)
как согласуются результаты, полученные в лабораторной раб
о-
те, с известными теоретическими выводами и соотношениями;
б)
при наличии расх
ождений с тем, что предсказывает теория,
объяснить возможные причины.
2.2. Графическое представление результатов измерений
Если исследуется функциональная зависимость одной величины от
другой, то результаты могут быть представлены в виде графиков. При
офор
млении графиков необходимо соблюдать следующие правила.
1)
Графики выполняются преимущественно на миллиметровой б
у-
маге или бумаге со специальными координатными сетками.
2)
В качестве координатных осей, как правило, следует применять
прямоугольную систему
координат. По оси абсцисс принято откладывать
ту величину, изменения которой являются причиной изменения другой
(
т. е. по оси абсцисс
–
аргумент, по оси ординат
–
функцию
). Около осей
координат необходимо написать названия величин, которые откладываю
т-
ся
по ним, их обозначения и единицы измерения.
В тех случаях, когда аргументом являются угловые величины, удо
б-
нее применять полярную систему координат.
3)
На осях координат необходимо нанести равноотстоящие друг от
друга деления масштаба. При выборе масштаба
необходимо исходить из
следующего:
а)
масштабы по обеим осям выбираются
независимо
друг от друга;
б)
масштаб должен быть простым, удобным для нанесения эксп
е-
риментальных точек. Этого можно достигнуть, если одно деление ма
с-
штабной сетки будет соответ
ствовать 1, 2, 5, 10, ... единицам изобража
е-
мой на графике величины.
в)
масштаб рекомендуется выбирать так, чтобы вся площадь черт
е-
жа была использована;
г)
начало координат (точку О,О) не обязательно помещать на гр
а-
фик, это необходимо лишь в том слу
чае, когда необходимо подчеркнуть,
что кривая проходит через точку (О,О).
4)
Экспериментальные точки наносить на чертеж в виде условных
знаков небольшого размера (кружочки, квадратики, крестики и т.п.) с ма
к-
симальной точностью (
при этом отмечать на коорди
натных осях знач
е-
ния измеренных на опыте величин
недопустимо
). Кроме самих экспер
и-
ментальных точек, иногда указываются соответствующие этим точкам п
о-

24
грешности в виде отрезков длиной в доверительный интервал, в центре к
о-
торых расположены экспериментальные т
очки.
5)
По нанесенным на график экспериментальным точкам проводят
плавную, без изломов, кривую. Существуют строгие математические м
е-
тоды (например, метод наименьших квадратов), позволяющие по получе
н-
ным экспериментальным точкам провести "наилучшую" крив
ую. Однако
если известна ожидаемая зависимость и разброс экспериментальных точек
относительно ожидаемой зависимости
небольшой
, такую кривую можно
построить "на глаз". Основное правило в таком случае:
линию проводят
так, чтобы число точек, лежащих выше и ни
же ее, было одинаковым.
6)
Если требуется определить какую
-
либо физическую величину по
наклону графика, то следует провести касательную к графику в данной
точке (если, конечно, график не является прямой линией), а затем опред
е-
лить тангенс угла наклона, до
строив прямоугольный треугольник и изм
е-
рив величины катетов этого треугольника.
Каждый катет измеряется в
соответствующих единицах и в своем масштабе.
Если график
−
прямая
линия, то прямоугольный треугольник можно строить в любом месте гр
а-
фика.
7
)
Если
на одном чертеже необходимо построить графические зав
и-
симости, относящиеся к ра
з-
личным группам данных, то
для их построения необх
о-
димо использовать
линии и
знаки разной стру
-
ктуры.
Каждой кр
и
вой присваив
а-
ется свой номер, и на св
о-
бодном поле чертежа даются
нео
б
ходимые пояснения.
Пример по
-
строения граф
и-
ка приведен на рисунке.
8)
Графики снабжаю
т-
ся заголовками и поясн
е
ниями, содержащими точное и краткое описание
того, что показывает график.
2.3. Метод наименьших квадратов
В задачи экспериментальной физик
и входит не только измерение
конкретных величин, но и исследование зависимостей между физическими
характеристиками.
0
5
10
1
5
60
70
80
90
100
110
120

, кГц
1
2
Uc, B

25
Пусть в результате эксперимента получен ряд значений велич
и-
ны
12
:,,...,
n
yyyy
, соответствующих значениям аргумента
12
,,...,
n
xxx
, и
необходимо построить график зависимости
y
=
f

x

.
Характер
теоретической
зависимости
y
=
f

x

обычно бывает изве
с-
тен из физического смысла задачи (например,
y
зависит от
x
по лине
й-
ному или квадратичному закону). Однако экспериментальные точки
вследствие неизбежных погрешностей, возникающих при измерениях,
имеют разброс относительно ожидаемой графической зависим
ости.
Задача экспериментатора
−
провести по экспериментальным точкам
линию, которая давала бы
наилучшее
согласие между экспериментальн
ы-
ми результатами и теоретической зависимостью
y
=
f

x

.
Для решения подобных задач применяетс
я метод наименьших ква
д-
ратов (МНК).
Ограничимся случаем, когда ожидаемую зависимость между
x
и
y
можно полагать линейной. Тогда функция
y
=
f

x

записывается в сл
е-
дующем виде:
y
=
k
x

b
.
(21)
В основе МНК лежит положение, согласно которому наилучшим
приближением к теоретической будет
такая прямая линия, для которой
сумма квадратов разностей экспериментальных значений
y
i
и соо
т-
ветствующих вычисленных значений
f

x
,
k
,
b

является минимал
ь-
ной.
То есть наиболее вероятные значения параметров
k
и
b
выбирают
так, чтобы су
мма была минимальной:
Q
=
∑
i
=
1
n
[
y
i
−

kx
i
−
b

]
2
=
min
.
Условие минимума
Q
выполняется, если равны нулю частные пр
о-
изводные
∂
Q
∂
k
и
∂
Q
∂
b
:
∂
Q
∂
k
=
−
2
∑
i
=
0
n
[

y
i
−

k
x
i

b


⋅
x
i
]
=
0
,
∂
Q
∂
b
=
−
2
∑
i
=
0
n

y
i
−

k
x
i

b


=
0
.
Записанные соотношения являются системой линейных алгебраич
е-
ских уравнений:

26
k

∑
i
=
1
n
x
i
2


b

∑
i
=
1
n
x
i

=
∑
i
=
1
n

x
i
⋅
y
i

,
(22)
k

∑
i
=
1
n
x
i


b
n
=
∑
i
=
1
n
y
i
.
(23)
Решение системы уравнений (22) и (23)
приводит к следующим зн
а-
чениям искомых параметров
k
и
b
:
k
=
n
⋅

∑
i
=
1
n

y
i
⋅
x
i


−

∑
i
=
1
n
y
i

⋅

∑
i
=
1
n
x
i

n
⋅

∑
i
=
1
n
x
i
2

−

∑
i
=
1
n
x
i

2
,
(24)
b
=

∑
i
=
1
n
y
i

⋅

∑
i
=
1
n
x
i
2

−

∑
i
=
1
n

y
i
⋅
x
i


⋅

∑
i
=
1
n
x
i

n
⋅

∑
i
=
1
n
x
i
2

−

∑
i
=
1
n
x
i

2
.
(25)
Примечание.
Значения параметров
k
и
b
не изменится, если вв
е-
сти в (24) и (25) другие переменные:
x
i
′
=
x
i
−
〈
x
〉
;
y
i
′
=
y
i
−
〈
y
〉
,
где
〈
x
〉
и
〈
y
〉
определяются соответственно как
〈
x
〉
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
,
〈
y
〉
=
1
n
∑
i
=
1
n
y
i
,
однако расчетные формулы
k
и
b
при этом упрощаются:
k
=
∑
i
=
1
n


x
i
−
〈
x
〉


y
i
−
〈
y
〉


∑
i
=
1
n

x
i
−
〈
x
〉

2
,
(26)
b
=
〈
y
〉
−
k
〈
x
〉
.
(27)
Коэффициенты, вычисленные по формулам (24) и (25) или (26) и
(27), полагаются наилучшими приближенными значениями (оценками) п
а-
раметров
k
и
b
линейной функции (21). Их значения можно использовать
для вычисления
y
=
f

x

при произвольных значениях аргумента
x
.
В тех случаях
, когда до опыта известно, что зави
симость
y

x

пр
о-
ходит через начало координат, т.е. ожидаемую зависимость можно пре
д-
ставить в виде

27
y
=
k
x
,
(28)
значение параметра
k
, согласно МНК, находят из ус
ловия минимума
суммы:


2
1
n
ii
i
Qykx



.
(29)
Дифференцируя (29) по параметру
k
и приравнивая
∂
Q
∂
k
нулю, получ
а-
ем:


2
1
1
n
ii
i
n
i
i
xy
k
x






.
(30)
Рассчита
нное по формуле (30) значение параметра
k
является на
и-
лучшим в функциональной зависимости
y
=
k
x
.
Метод наименьших квадратов дает не
истинные
параметры
k
и
b
в
линейной зависимости
y
=
k
x

b
, а их
наиболее вероятные
приближённые
значения. Следовательно, при построении искомой прямой линии, аппро
к-
симирующей экспериментальную зависимость, кроме значений пара
ме
т-
ров
k
и
b
, необходимо в общем случае знать и доверительные интервалы,
в которых они лежат. Для этого требуется оценить среднеквадратичные
погрешности, с которыми
k
и
b
определены.
Математическая статистика даёт следующие выражения для средн
е-
квадратичных погрешностей параметров
k
и
b
:






2
2
1
1
2
n
ii
i
k
n
i
i
ykxb
S
nxx









,
(31)






2
2
2
1
1
1
2
n
ii
i
b
n
i
i
ykxb
x
S
nn
xx
















.
(32)

28
В частном случае
, когда прямая проходит через точку
x
=
0
,
y
=
0
,
вычисляют среднеквадратичную погрешность определения только пар
а-
метра
k
:




2
2
1
1
1
n
ii
i
k
n
i
i
ykx
S
nx







.
(33)
Полуширину доверительного интервала, с которой определено зн
а-
чение параметра
k
, вычисляют по стандартной методике:
Δk
=
S
k
⋅
t
α
,
n
,
(34)
здесь
t
α
,
n
–
коэффициент Стьюдента для надежности
α
и числа пар точек
n
.
Пример.
В эксперименте получено пять измерений величин
x
и
y
, р
е-
зультаты которых приведены в таблице. Известно, что уравн
е-
ние измерения имеет вид
y
=
k
x
. Используя метод наименьших
квадратов, рассчитать наилучшее значение коэффиц
иента
k
и
погрешность
Δk
, с которой этот коэффициент определён. П
о-
строить наилучшую прямую.
Для наглядности сведём исходные данные и результаты расчетов в
таблицу.
x
i
y
i
2
i
x
x
i
⋅
y
i
k
y
i
−
kx
i


2
ii
ykx

Δk
1
2
3
4
5
0,4
0,8
1,2
1,6
2,0
0,50
1,40
1,66
2,80
3,20
0,16
0,64
1,44
2,56
4,00
0,
20
1,12
1,99
4,48
6,40
1,61
-
0,144
0,112
-
0,272
0,224
-
0,020
0,0207
0,0125
0,0740
0,0502
0,0004
0,19
1)
По формуле (30) найдем величину параметра
k
:
(
)
61
,
1
80
,
8
19
,
14
1
2
1
=
=
ￗ
=
￥
￥
=
=
n
i
i
n
i
i
i
x
y
x
k

29
2)
По формуле (33) оценим среднеквадратичную погрешность опр
е-
деления параметра
k
:




2
2
1
1
0,158
0,0670
48,8
1
n
ii
i
k
n
i
i
ykx
S
nx








.
3)
Задаем значение доверительной вероятности
α
=
0,
95
. По таблице
определяем значение коэффициента Стьюдента
t
α
,
n
=
2,
78
(при
n
=
5
и
α
=
0,
95
).
4)
По формуле (34) вычислим абсолютную погрешность определ
е-
ния параметра
k
:
Δk
=
t
α
,
n
⋅
S
k
=
2,
78
⋅
0,
0670
=
0,
186
.
5)
Окончательный результат:
k
=
1,
61
±
0,
19
при доверительной вероятности
α
=
0,
95
.

30
6
)
Запишем уравнение наиболее правдоподобной прямой:
y
=
1,
61
x
.
7
)
Поскольку завис
и-
мость
y
=
1,
61
x
линейная, то
для п
о
строения графика до
с-
таточно найти только одну
точку и пр
о
вести прямую ч
е-
рез начало к
о
ординат и на
й-
денную точку. Эта прямая
(см. рис.) и будет "на
и
лу
ч-
шей" прямой, описывающей
заданную функциональную
зав
и
симость.
Примечание.
Если экспериментальная зависимость заменяется ан
а-
литическим уравнением прямой линии, то при определении абсолютной
погрешности величины
y
,
соотв
етствующей значению аргумента
x
,
применяется метод переноса ошибок (см. 1.7). В частности, если прямая
проходит через начало координат, абсолютная погрешность
Δy
равна:
Δy
=
Δk
⋅
∣
x
∣
,
где
Δk
−
абсолютная погрешность определения параметра
k
.
0
1
2
3
0
0,5
1
1,5
2
x
y

31
ЧАСТЬ
3
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
И МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКИ
3.1. Вероятность. Плотность вероятности
В данной части пособия кратко излагаются основные понятия и о
п-
ределения, которые используются при обосновании методов определения
погрешностей прямых измерений.
Пусть проведено
n
(
n

∞
) измер
ений некоторой величины
A
и п
о-
лучен ряд значений:
a
1
,
a
2
,
.
.
.
,
a
n
. Выделим среди результатов измерений
некоторый интервал

a
,
a

Δa


, и пусть из
n
измерений
Δn
результатов
попали в этот интервал.
Вероятность
P
того, что некоторое значение величины
A
попадет
в интервал
Δa
,
определяется выражением:
P
=
lim
n
∞
Δn
n
.
Если величина
A
является непрерывной, то соответствующая вер
о-
ятность
dP
того, что некоторое значение результата измерени
й велич
и-
ны
A
лежит в интервале

a
,
a

da

, равна
dP

a

=
dn
n
.
Для непрерывных случайных величин вводят понятие плотности в
е-
роятности
f

a

, кот
орую называют также функцией распределения:
f

a

=
dP

a

da
.
Если известна функция распределения
f

a

, то вероятность
P
того,
что случайная величина
A
находится в интервале

a
−
Δa
,
a

Δa

, может
быть вычислена по формуле:
P

a
−
Δa
≤
A
≤
a

Δa

=
∫
a
−
Δa
a

Δa
f

a

da
.
(35)
Интервал

a
−
Δa
,
a

Δa

называется
доверительным интервалом,
а
P
−
доверительной вероятностью
(ее обычно обозначают буквой
α
).
3.2. Распределение Гаусса

32
Одним из наиболее важных непрерывных распределений, встреча
ю-
щихся в статистике, является нормальное распределение, или распредел
е-
ние Гаусса. Плотность вероятности
f

a

этого распределения имеет вид:




2
2
1
exp
2
2
а
f
а








.
(36)
Параметр
μ
в (36) называется
математическим ожиданием
, а
2

−
дисперсией
случайной величины (определения
μ
и
2

будут даны
ниже).
График функции распределения Гаусса (36) изображен на рисунке.
По оси абсцисс откладывается значения
a
случайной величины
A
,
по оси ординат
−
плотность вероятности. Функция плотности
f

a

пре
д-
ставляет колоколообразную симметричную кривую, имеющую максимум
при
a
=
μ
, а точки
a
=
μ
±
σ
являются точками перегиба. График нормал
ь-
ного закона распределения зависит от параметра
σ
. Чем больше
σ
, тем
более пологий вид имеет кривая распределения.
Функция (36) является нормированной на единицу, это значит, что
площадь, заключенная между кривой плотности вероятности
f

a

и осью
абсцисс, равна
единице. Другими словами, вероятность того, что величина
A
имеет произвольное значение в интервале

−
∞
,

∞

, равна единице.

33
Расчеты показывают, что вероятность того, что значение случайной вел
и-
чины
A
попадет в интервал

μ
−
σ
,
μ

σ

равна
¿
68 %. Это значит, что
почти в 70 % случаев значение величины
A
находится в довольно узком
дов
ерительном интервале.
1)
Математическое ожидание
μ
случайной величины
A
есть
среднее арифметическое значение
〈
a
〉
, и для непрерывного распределения
оно рав
но значению интеграла:
μ
=
∫
−
∞

∞
a
⋅
f

a

da
.
Параметр
μ
является наиболее вероятным значением случайной
величины
A
.
2)
Дисперсией
2

случайной
величины
A
называется математич
е-
ское ожидание функции


2
a

, и для непрерывного распределения оно
равно значению интеграла:




2
2
afada




.
Дисперсия характеризует разброс зн
ачений случайной величины
A
относительно
μ
. Каждый метод измерения, а также измерительный пр
и-
бор характеризуется своим значением
2

Если значение дисперсии
2

не известно, то наилучшей оценкой ее
является квадрат среднеквадратичной погрешности
S
:


2
22
1
1
n
i
i
aa
S
n





.
(Величина
2
S
при
n

∞
вообще совпадает с
2

).
Квадратный корень из дисперсии
2

называется
стандар
т-
ным отклонением
значения
a
от
μ
.
Разность

a
−
μ

в (36)
–
это величина погрешности, следовательно,
значение функции (35), записанное для
Δa
i
=
a
i
−
μ
, является плотностью
вероятности появления данной погрешности. Соответств
ующий закон ра
с-
пределения запишется в виде:

34


2
2
1
exp
2
2
i
i
a
f
а








.
(37)
Максимум кривой (37) приходится на
Δa
i
=
0
. Это значит, что, когда
плотность вероятности появления той или иной погрешности подчиняется
норм
альному закону, малые погрешности являются более вероятными, чем
большие.
Распределение Гаусса является
основным
в теории погрешностей.
Обоснованием данного утверждения является
центральная предельная
теорема статистики.
Теорема
.
Пусть случайная величина
A
имеет среднее значение
μ
и
дисперсию
2

. Если
2

конечно, то при стремлении числа измерений
случайной величины
A
к бесконечности распределение среднего арифм
е-
тического
123
n
aaaa
a
n



будет стремиться к нормальному
распределению с тем же математическим ожиданием
μ
и дисперс
и-
ей
2
2
n



.
Благодаря этой теореме, доверительную вероятность
α
того, что это
среднее
〈
a
〉
лежит внутри выбранного доверительного интервала


12
,
CC
,
можно
найти с помощью соотношения:


2
2
2
1
1
exp
2
2
C
C
aa
da











.
(38)
Записанная теорема по сути утверждает, что во многих случаях,
имеющих место в физических экспериментах, неважно, какому распред
е-
лению подчиняются случайные погрешности измерения физиче
ской вел
и-
чины
A
, её среднее значение
〈
a
〉
распределено по гауссовому закону (36)
около наиболее вероятного значения
μ
, которое можно считать
истинным
значением
измеряемой величины. Именно поэтому практически во всех
случаях экспериментальные погрешности можно вычислять, пользуясь о
д-
ними и теми же методами, часть которых изложена в данном пособии.

35

36
ПРИЛОЖЕНИЕ
Значения коэффициентов Стьюдента
Таблица 1
n
α
2
3
4
5
6
7
8
9
10
∞
0,8
3
,08
1,89
1,64
1,53
1,48
1,44
1,42
1,40
1,38
1
,3
0,9
6,31
2,92
2,35
2,13
2,02
1,94
1,90
1,86
1,83
1,65
0,95
12,7
4,30
3,18
2,78
2,57
2,45
2,36
2,31
2,26
1,96
n
−
число измерений;
α
−
доверительн
ая вероятность, или надежность.

37
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.
Зайдель А. Н. Элементарные оценки ошибок измерений / А. Н. За
й-
дель
.
–
Л.: Наука, 1967.
–
89 с.
2.
Тойберг П. Оценка точности результатов измерений / П. Тойберг.
–
М.: Энергоиздат,
1988.
–
88 с.
3.
Худсон Д. Статистика для физиков / Д. Худсон.
–
М.: Мир, 1970.
–
296 с.
4.
Деденко Л. Г. Математическая обработка и оформление результ
а-
тов эксперимента / Л. Г. Деденко, В. В. Керженцев.
–
М.: Изд
-
во МГУ,
1977.
–
121
с.

38
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
................................
................................
................................
...........
3
Часть 1.
Математическая обработка результатов измерений
...............
4
1.1.
Измерения. Погрешности измерений
................................
.............................
1.2.
Учет случайных погрешностей при прямых измерениях
..............................
1.3.
Учет систематических (приборных) погрешностей
при прямых измер
ениях
................................
................................
....................
1.4.
Совместный учёт случайных и систематических
(приборных) погрешностей
................................
................................
.............
1.5.
Последовательность действий при обработке
результатов многократных прямых измерений
............................
9
1.6.
Пример обработки результатов прямых измерений
...................
10
1.7
Учёт погрешностей при косвенных измерениях
..........................
12
1.8.
Последовательность действий при обработке
результатов косвенных измерений
................................
..............
15
1.9.
Пример обработки результатов косвенных измерений
..............
17
1.10.
Правила работы с приближёнными числами. Прави
ла
округления при записи окончательного результата
измерений
................................
................................
................................
........
Часть 2.
Правила работы в лаборатории, оформление
результатов работы
................................
................................
......................
20
2.1.
Подготовка к выполнению лабораторной работы
......................
20
2.2.
Графическое представление результатов измерений
..................
23
2.3.
Метод наименьших квадратов
................................
......................
24
Часть 3.
Элементы теории вероятностей и математической
статистики
................................
................................
................................
.....
31
3.1.
Вероятность. Плотность вероятности
................................
..........
31
3.2.
Распределение Гаусса
................................
................................
...
32
Приложение
................................
................................
................................
...
36
Библиографический список
................................
................................
........
37

39
Редактор Л. И. Чигвинцева
Компьютерная верстка
–
Е. В. Беспалова
ИД № 06039 от 12.10.2001 г.
Сводный темплан 2009 г.
Подписано в печать 22.06.09. Формат 60
×84
1
/
16
. Бумага офсетная.
Отпечатано на дупликаторе. Усл. печ. л. 2,5. Уч.
-
изд. л. 2,5.
Ти
раж 250 экз. Заказ 455.
_________________________________________________________
Издательство ОмГТУ. 644050, г. Омск, пр. Мира, 11; т. 23
-
02
-
12
Типография ОмГТУ

40

41