Math-Net.Ru
Общероссийский математический портал

А. С. Безикович, Работы А. А. Маркова по теории вероятностей,
Извҍстiя Россiйской Академiи Наукъ. VI серiя, 1923,
том 17, выпуск 1, 45–52
https://www.mathnet.ru/im5680
Использование Общероссийского математического портала Math-Net.Ru
подразумевает, что вы прочитали и согласны с пользовательским соглашением
https://www.mathnet.ru/rus/agreement
Параметры загрузки:
IP: 193.107.193.66
6 июня 2025 г., 15:03:06

Известия Российской Академии Наук. 1923.
(Bulletin de l'Académie des Sciences de Russie).

Работы Д. й. Маркова по теории вероятностей.
А. Б е з и к о в и ч а .
(Представлено академиком Я . В. Успенским в заседании Отделения Физико-Математических
Наук 21 февраля 1923 г.).

Труды А. А. М а р к о в а в теории вероятностей выразились приблизи­
тельно въ 25 отдельных работах и в его книге «Исчисление вероятностей».
Научная деятельность А. А. М а р к о в а привела к полному и завер­
шенному решению основных вопросов исчисления вероятностей: предельных
теорем вероятностей, закона больших чисел и способа наименьших квадратов,
вопросов, трудность которых не могла быть преодолена в науке до Андрея
Андреевича в течение многих десятилетий.
Помимо этих вопросов в некоторых щ последних работ рассматри­
ваются вопросы, связанные с математической статистикой. Есть, наконец,
несколько работ, посвященных некоторым изолированным вопросам.
Самым крупным достижением Андрея Андреевича следует считать осу­
ществление идей Ч е б ы ш е в а в методе моментов. Метод моментов есть одно
из самых высоких созданий русской науки. Основная его идея как будто бы
чрезвычайно естественна: сделать заключение о вероятности величине А за­
ключаться в интервале ( ^ , %) из того обстоятельства, что математические
ожидания последовательных степеней А стремятся последовательно к инте­
гралам

при всех целых и положительных значениях т .
ИРАН 1923.

45 —.

_

46 —

Однако, к осуществлению этого плана пришлось идти но пути обходному,
каждый шаг был связан с необыкновенными трудностями.
Выводы основаны на рассмотрении непрерывных дробей, в которые
разлагается интеграл
+ оо

і
J 2 — 1t
— оо

и суммы
2

JZT^

(суммирование по различным значениям О,

где
-I- оо

2

k (0*"*

m

-•

je-*t dt.
- 00

Обозначая через

j«(«)

и

Фж(*)

т ' ы е подходящие дроби интеграла и суммы будем иметь

ю

(л =

e

Коэффициенты полиномов числителя и знаменателя дроби

Фт(«)
«mW
2

выражаются через некоторое число первых моментов Функции е~* , и по­
добным же образом для дроби

«mW

через моменты Функции f (T).
n

_

47 —

В силу предположений относительно моментов, коэффициенты второй
дроби имеют пределами коэффициенты первой. То же самое относится к не­
прерывным Функциям от коэффициентов или корней второй и первой дроби.
Разлагая теперь подходящие дроби на простейшие :

Фш (*)

У

=

« m (*)

^

?і

ìm(*)

_ 47

« m (*)

* — %i

2à

Prf_
* —

устанавливаем основное тождество

2

f n № ®

=

2р«°в>

при произвольной Функции Q(t) степени < 2т — 1.
Это тождество приводит к так называемым неравенствам Ч е б ы ш е в а

2£W>2P<

подобные неравенства для интеграла

і і

/в- д>2рі
— 00

и указанные выше предельные свойства позволяют произвольно приблизить
верхний и нижний пределы для суммы к пределам для интеграла.
К предельному равенству
t < a

2^(0

a

->

je-**
— СО

можно придти двумя путями: или устанавливая надлежащую густоту распре­
деления корней Функции
или бесконечную малость величины ^ при
ИРАН 1923.

_

48 —

беспредельно растущих значениях т. Первый путь пройден А. А. М а р ­
ковым в его работе «Sur les racines de l'équation

Второй в его книге.
В этом сущность метода моментов.
Имея в виду приложения к теории вероятностей, необходимо установить
асимптотические равенства относительно математических ожиданий степеней
рассматриваемых величин (математические ожидания в данном случае соот­
ветствуют моментам).
Рассматривая сумму независимых величин при некоторых ограничи­
тельных условиях, Андрей Андреевич доказывает «теорему о математи­
ческих ожиданиях». Доказательство совершенно прямое и ясное : в разло­
жении по Формуле Н ь ю т о н а выделяется некоторая симметрическая Функция,
значения которой превалируют над значениями прочих, и которая имеет до­
вольно явно вырая^енное предельное зцачегоіе.
Таким образом, был решен труднейший вопрос теории вероятностей.
Однако в 1900 и 1902 гг.;появились две работы А. М. Л я п у н о в а ,
где прямым путем были не только достигнуты, но и превзойдены результаты
Андрея Андреевича.
И вот в течение целого ряда лет (около 8) Андрей Андреевич не пере­
стает думать о применении метода моментов к вновь открытым случаям,
что он и выполняет блестяще в 1908 году в работе «О некоторых случаях
теоремы о пределе вероятностей».
Условия Л я п у н о в а относятся и к тем случаям, когда для рассматри­
ваемых величин возможны такие значения, при которых математические ожи­
дания степеней, начиная с 3-ей, могут и не существовать. Андрей Андреевич
показывает возможность рассматривать только значения, не превосходящие
некоторого предела, что дает возможность применения метода моментов.
Приблизительно с этого времени—немного раньше—Андрей Андреевич
начинает применение метода моментов к случаям зависимых испытаний.
В 1907 году появляется работа: «Исследование замечательного случая
зависимых испытаний». Бэтой работе, как и во всех дальнейших работах,
посвященных распространению предельной теоремы, вопрос ставится об уста­
новлении предельных соотношений матем. ояшд. различных степеней рассма­
триваемой величины. Это достигается двумя путями. Первый путь-—этоязу-

_

49

—

чение производящих Функций в виде ряда по степеням t с коэффициентами,
равными математическим ожиданиям различных степеней.
Эти Функции оказываются обыкновенно рациональными ; разлагая их
на простейшие, часто оказывается возможным выбрать только одну, которая
затем, при новом разложении в ряд, и дает асимптотическое выражение ма­
тематических ожиданий.
Второй путь, это непосредственное рассмотрение математических ожи­
даний степеней суммы. Идея здесь та же, что и в «теореме о математических
ожиданиях суммы независимых величин», но осуществление здесь сопряжено
с большими трудностями.
В некоторых случаях Андрей Андреевич ограничивается только рас­
смотрением математических ожиданий квадрата суммы.
Указанная выше работа и работы: «Распространение предельных тео­
рем исчисления вероятностей на сумму величин, связанных в цепь» 1908 г.
и «Об одном случае испытаний, связанных в слояшую цепь» 1911 г. по­
священы таким связанным испытаниям, в которых вероятность резуль­
татов одного испытания после того, как известны результаты одного (про­
стая цепь) или двух предыдущих (сложная цепь), делается независимой от
результатов прочих испытаний.
При этом в трех из этих работ вероятности возможных случаев оди­
наковы при всех испытаниях (однородные цепи); в четвертой же они ме­
няются от одного испытания к другому (цепь разнородная).
Подобного рода зависимости весьма часты в статистике, и Андрей Андрее­
вич наблюдал их, считая буквы в «Евгении Онегине» и «Детских годах
Багрова внука».
Если мы рассматриваем буквы какого-нибудь текста, то вероятность
гласной и согласной изменяется в зависимости от характера одной и двух
предыдущих букв.
Подобного рода связи наблюдаются и в явлениях массового характера,
с которыми имеет дело практическая статистика: погода, урожай, смертность,
и т. д.
Работы: «О связанных величинах не образующих настоящей цепи»
1911 г., «Об испытаниях связанных в цепь не наблюдаемыми событиями»
1912 г. довольно близки к предыдущим, однако, в первой зависимость хотя
в основном близка к предыдущим, но отличается от них тем, что испы­
тания, удаленные одно от другого — независимы, хотя результаты проме­
жуточных неизвестны, и обращаются в зависимые, когда эти результаты
выясняются.
ИРАН 1923.

4

— 50 —
Во второй работе рассматриваются испытания, приводящие, помимо
непосредственно наблюдаемых событий, еще к другому ряду событий.
События этого последнего ряда связаны в цепь. Эта связь передается
и на наблюдаемые события, но приобретает здесь иной характер.
Подобного рода связи играют весьма большую роль в статистике.
Дальнейшие работы: «Применение способа математических ожиданий
к связанным рядам величин» 1915 г., «Обобщение задачи о последовательном
обмене шаров» 1918 г., «Несколько задач исчисления вероятностей» 1 9 1 9 г .
относятся к более сложным зависимостям в нескольких одновременно наблю­
даемых рядах событий.
К этим работам по методу и содержанию весьма близка работа «Об
одной задаче Лапласа» 1915 г.
Совокупность рассмотренных работ дает разностороннее и глубокое
исследование области зависимых испытаний. Относительно этой области
нужно сказать, что научно обработана она единственно трудами Андрея
Андреевича, при этом исключительно путем применения метода моментов.
Таким образом, из эскиза, набросанного Ч е б ы ш е в ы м , метод моментов
обратился в самое мощное орудие теории вероятностей.
Метод моментов является одним из самых блестящих и самых харак­
терных отражений научной деятельности Андрея Андреевича: здесь ярко
проявилось свойство его таланта давать решение вопроса до конца, не оста­
навливаясь перед трудностями, как бы велики они ни были, а также свойство
исчерпывающе и всесторонне изучать область, взятую им для исследования.
Эти свойства проникают через всю научную деятельность Андрея Андреевича.
Этими самыми чертами характеризуются его работы о законе больших чисел,
где он показывает возможность далеко распространить пределы ирилояшмости этого закона, а также и указывает области, в которых этот закон не
господствует.
Проведение метода наименьших квадратов есть также труд до конца
завершенный. В нем, осуществляя идеи Г а у с с а , Андрей Андреевич совер­
шенно выявил всю произвольность основ метода и разграничил области до­
пущений от тех его частей, где уже имеется вполне определенно поставленная
задача математического анализа.
В рассмотренных выше работах о зависимых испытаниях прихо­
дится наблюдать величину, называемую в статистике КОЭФФИЦИЭНТОМ дис­
персии.
В работе: «О коэффициенте дисперсии» 1 9 1 6 г. доказывается ра-

венство единице математического ожидания коэффициента дисперсии в случае
однородных независимых испытаний.
В двух работах: «О вероятности a posteriori» 1900 и 1914 г.
дается вероятность различных предположений о значении вероятности, опре­
деленной по наблюдениям. Здесь также появляется известный интеграл
L a p l a c e ' a , который позволяет сделать определенные предельные заклю­
чения.
Чтобы заключить обзор научной деятельности Андрея Андреевича,
я обращусь теперь специально к его книге «Исчисление вероятностей» 1913 г.
Многие стороны научной деятельности Андрея Андреевича нашли свое за­
вершенное развитие именно в этой книге ; поэтому научный материал ее уже
получил отражение в моем обзоре, и я имею в виду отметить только общие
черты этого замечательного произведения.
Основная черта книги, как и всех научных работ Андрея Андреевича,
есть полная строгость во всем построении теории, при этом, однако, в книге
нет того, что можно было бы назвать аксиоматикой теории вероятностей:
к аксиоматике Андрей Андреевич относился отрицательно, а кроме того,
Андрей Андреевич считал, что понятия усваиваются не путем их Формального
определения, а «нашим отношением к ним, которое выясняется постепенно».
Весьма ценным свойством книги является то, что на ряду с чертами,
которые делают книгу весьма крупным научным произведением, материал
ее чрезвычайно тщательно обработан в интересах начинающего читателя.
Очень много внимания уделяется простейшим численным примерам, разо­
бранным необыкновенно подробно. Доказательства проводятся с исчерпы­
вающей полнотою, не упускается ни один пункт, который мог бы вызвать
сомнение или непонимание у читателя. Характерно далее в книге одинаково
строгое отношение автора к самым простым и к самым тонким вопросам:
как нельзя сделать ни одного упрека в нестрогости доказательства, так точно
нельзя, повидимому, разыскать ни одной вычислительной ошибки. «
При решении вопросов прикладного характера, всегда дается оценка
решения с точки зрения практических приложений. При этом не делается
ни одного строго необоснованного заключения, которые так соблазнительны
в теории вероятностей.
Самым ценным свойством книги является то, что она дает не обезли­
ченный сглаженный научный материал, а вся проникнута чертами непосред­
ственного исследования. Эти черты дают книге характер редкого классиче­
ского произведения, равного которому нет в теории вероятностей.
ИРАН 1923.

4*

Занятиям по теории вероятностей Андрей Андреевич посвятил вторую
половину своей жизни, научное творчество не покидало его даже в по­
следние тяжелые годы русской жизни. Кончил научную деятельность Андрей
Андреевич уже прикованный к постели смертельной болезнью, ясно сознавая
свое положение.