Титульный лист
Выходные данные
Содержание
Предисловие к четвертому изданию
Предисловие к первому изданию
Часть I. Теория множеств
§ 2. Отношения и функции
§ 3. Специальные бинарные отношения
§ 4. Кардинальные числа
§ 5. Ординальные числа
§ 6. Действия над кардинальными числами
Часть II. Математическая логика
§ 2. Функции алгебры логики
§ 3. Исчисления высказываний
§ 4. Язык логики предикатов
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов
§ 6. Исчисления предикатов
§ 7. Аксиоматические теории
§ 8. Фильтрованные произведения
§ 9. Аксиоматизируемые классы
Часть III. Теория алгоритмов
§ 2. Машины Тьюринга
§ 3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества
§ 4. Нумерации Клини и Поста
Часть I. Теория множеств
§ 2. Отношения и функции
§ 3. Специальные бинарные отношения
§ 4. Кардинальные числа
§ 5. Ординальные числа
§ 6. Действия над кардинальными числами
Часть II. Математическая логика
§ 2. Функции алгебры логики
§ 3. Исчисления высказываний
§ 4. Язык логики предикатов
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов
§ 6. Исчисления предикатов
§ 7. Аксиоматические теории
§ 8. Фильтрованные произведения
§ 9. Аксиоматизируемые классы
Часть III. Теория алгоритмов
§ 2. Машины Тьюринга
§ 3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества
§ 4. Нумерации Клини и Поста
Список литературы
Предметный указатель
Текст
                    И.А. Лавров, Л.Л. Максимова
ЗАДАЧИ
ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ,
МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ
И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ
Издание пятое
МОСКВА • ФИЗМАТЛИТ • 2004


УДК 510.2+510.5+510.6 ББК 22.12 Л 13 Лавров И.А., Максимова Л.Л. Задачи по теории множеств, математической логике и теории алгоритмов. — 5-е изд., исправл. — М.: ФИЗ- МАТЛИТ, 2004. - 256 с. - ISBN 5-9221-0026-2. В книге в форме задач систематически изложены основы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов. Книга предназначена для активного изучения математической логики и смежных с ней наук. Состоит из трех частей: «Теория множеств», «Математическая логика» и «Теория алгоритмов». Задачи снабжены указаниями и ответами. Все необходимые определения сформулированы в кратких теоретических введениях к каждому параграфу Сборник может быть использован как учебное пособие для математических факультетов университетов, педагогических институтов, а также в технических вузах при изучении кибернетики и информатики. Для математиков — алгебраистов, логиков и кибернетиков. © И.А. Лавров, Л.Л. Максимова, 2002, 2003, 2004 ISBN 5-9221-0026-2 © ФИЗМАТЛИТ, 2002, 2003, 2004
СОДЕРЖАНИЕ» Предисловие к четвертому изданию 4 Предисловие к первому изданию 5 Часть 1. Теория множеств 7 § 1. Операции над множествами 7 (155) § 2. Отношения и функции 13 (160) § 3. Специальные бинарные отношения 22 (165) § 4. Кардинальные числа 31 (170) § 5. Ординальные числа 35 (176) § 6. Действия над кардинальными числами 44 (183) Часть II Математическая логика 50 § 1. Алгебра высказываний 50 (187) § 2. Функции алгебры логики 57 (191) § 3. Исчисления высказываний 63 (195) § 4. Язык логики предикатов 74 (199) § 5. Выполнимость формул логики предикатов 81 (201) § 6. Исчисления предикатов 89 (206) § 7. Аксиоматические теории 98 (209) § 8. Фильтрованные произведения 108 (215) § 9. Аксиоматизируемые классы 116 (219) Часть III Теория алгоритмов 124 § 1. Частично рекурсивные функции 124 (227) § 2. Машины Тьюринга 136 (234) § 3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества 142 (238) § 4. Нумерации Клини и Поста 148 (243) Ответы, решения, указания 155 Список литературы 248 Предметный указатель 250 Цифры в скобках указывают страницы ответов.
ПРЕДИСЛОВИЕ К ЧЕТВЕРТОМУ ИЗДАНИЮ За время, прошедшее после третьего издания этой книги, стало очевидным, что она достаточно актуальна и полезна. Вместе с тем, во многих высших учебных заведениях ощущается крайний недостаток экземпляров книги. Задачник широко используется, а малый тираж последнего издания не смог удовлетворить имеющуюся потребность. В этих условиях издательство «Физико-математическая литература» решило переиздать книгу. За это авторы благодарны издательству. В данном издании мы внесли необходимые переделки задач, ответов, терминологии, расширили список литературы, а также исправили опечатки, вкравшиеся в предыдущие издания. Мы постарались учесть те замечания и предложения, которые были высказаны нашими коллегами, активно использующими книгу в своей преподавательской деятельности. Всех их мы искренне благодарим. 5 января 2001 г. И. А. Лавров (Москва) Л.Л. Максимова (Новосибирск)
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ В настоящее время математическая логика и смежные с ней науки привлекают все большее внимание. Это вызвано как интенсивным развитием самих этих наук, так и найденными глубокими приложениями в различных областях математики и техники. Курс математической логики несколько лет назад стал обязательным для математических факультетов университетов и педагогических институтов СССР. На первых порах большой отряд студентов и преподавателей был практически лишен учебных пособий по этой специальности. В настоящее время этот недостаток в некоторой степени исправлен. Сейчас имеется ряд учебников и книг по математической логике. Здесь и несколько книг советских авторов, но, в основном, это переводная литература. И все же те, кто ведет практические занятия, испытывают значительные трудности. И дело не в том, что задач нет. Большое количество задач по математической логике разбросано по разным книгам. Только в самое последнее время появилась книга С.Г. Гиндикина «Алгебра логики в задачах», где собран значительный материал по алгебре логики. В нашей книге сделана попытка систематически изложить основы теории множеств, математической логики и теории алгоритмов в форме задач. От читателя не предполагается никакой предварительной подготовки. Он может использовать эту книгу для изучения математической логики, не обращаясь к другим учебникам и пособиям. Тем не менее, мы приводим краткий список имеющейся на русском языке литературы. Каждому параграфу предпослано краткое введение, содержащее определения всех основных понятий, используемых в задачах этого параграфа. Ранее введенные понятия и определения используются часто без ссылок; в этих случаях читатель может использовать указатель терминов и обозначений. Основные теоремы сформулированы в виде задач. Для того чтобы доказательства были возможно более простыми, технические леммы также выделены в виде отдельных задач. Большинство задач снабжено ответами и указаниями. Иногда мы даем подробные ответы к простым задачам для иллюстрации метода рассуждения, впервые встретившегося. В дальнейшем уже ограничиваемся лишь краткими указаниями. Трудные задачи отмечены звездочкой. Большинство задач каждой части может быть решено без обращения к другим частям. Там, где необходимо, мы делаем соответствующие ссылки в самой задаче или в указании к ней.
6 ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Естественно, что в книге не затронуты многие направления современной математической логики. Некоторые темы лишь намечены, для них приведены лишь самые первоначальные понятия и результаты. Так, например, аксиоматическая теория множеств (§ 7 части II) занимает мало места, хотя в действительности все задачи из части 1 могут быть решены в рамках теории ZF. В части III из различных уточнений понятия алгоритма выбраны лишь рекурсивные функции и машины Тьюринга. Мы ставили себе целью, главным образом, систематизировать уже имеющиеся задачи. По этой причине здесь имеется стандартный набор задач и очень мало задач, специально придуманных авторами. Если задачи нам нравились, то мы брали их из других книг и не ссылались на это. В книге употребляются следующие общепринятые обозначения: J\f, JP, Ж, 3), 38 — множества натуральных, целых, рациональных, действительных, комплексных чисел соответственно; => — если ..., то ...; <=> — ...тогда и только тогда, когда ...; ^ — есть по определению; {х\ ...х..} — множество таких элементов х, для которых выполняется условие ...х..; {хь х2, ...} — множество, состоящее из элементов хъхъ ...; (хь х2,..., хп) — упорядоченная последовательность элементов хь х2,..., хп. В основу этой книги положен наш сборник «Задачи по логике», выпущенный в 1970 г. издательством Новосибирского государственного университета. Сборник значительно дополнен, сделана существенная переработка, мы постарались учесть многочисленные замечания, высказанные нам. Мы благодарны Л.Н. Шеврину, А.И. Омарову, Н.Г. Хисамиеву, А.А. Акатаеву, В.А. Успенскому, Т.Е. Минцу, СЮ. Маслову, А.О. Сли- сенко, И.Д. Заславскому и другим за ценные обсуждения. Особо мы благодарны Ю.Л. Ершову, М.И. Каргаполову и М.А. Тайцлину, а также другим членам кафедры алгебры и математической логики НГУ за большую помощь при подготовке этой книги. Мы глубоко признательны Н.В. Беля- кину за большой труд по редактированию нашей книги. 1 декабря 1973 г. И. А. Лавров г. Новосибирск Л. Л. Максимова Академгородок
Часть I ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ § 1. ОПЕРАЦИИ НАД МНОЖЕСТВАМИ Через е обозначается отношение принадлежности, т.е. х е А означает, что элемент х принадлежит множеству А. Если х не является элементом множества А, то это записывается х е А. Два множества А и В считаются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Мы пишем А = В, если An В равны, и А ф В в противном случае. Через с обозначается отношение включения множеств, т.е. А с: В означает, что каждый элемент множества А является элементом множества В. В этом случае А называется подмножеством В, а В — надмножеством А. Если AqzB ж Аф В, то А называется собственным подмножеством Див этом случае пишем А с: В. Множество, не содержащее элементов, называется пустым и обозначается через 0. Семейство всех подмножеств данного множества А обозначается через Р(А). Объединением множеств An В называется множество A{JB={x I xe А или хе В}. Объединением семейства множеств At (/е I) называется множество U Ai-. = {х | существует /0 е / такое, что х е Ах }. Пересечением множеств А и В называется множество АПВ={х | хе А и хе В}. Пересечением семейства множеств At (/ е /), где 1ф 0 называется множество f) A; = {x I xe Aj для всех / е /}. iel Разностью множеств А и В называется множество А\В={х | хе А и хе В}. Мы предполагаем, что все встречающиеся в задачах этого параграфа множества являются подмножествами некоторого универсалъ-
8 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ ного множества U. Разность U \ А называется дополнением множества А и обозначается через -А. Симметрической разностью множеств An В называется множество А- В =(A\B){J(B \A). 1. Доказать: (а) А с А (рефлексивность); (б) если ^с5и5сС,то^сС (транзитивность); (в)АПВ^А^А[]В; (г) AOB^B^AUB; (д) А\В^А. 2. Доказать, что если А есть множество корней уравнения х2 - -7х+6 = 0и Я={1, 6}, то А = В. 3. Доказать, что 0 ф {0}. 4. Доказать, что {{1, 2}, {2, 3}} Ф {1, 2, 3}. 5. Доказать, что для любого А: (а) 0cic[/; (б) если ic0, то ^4 = 0; если {/с А, то A= U; (b)A\J0=A, АП0 = 0,А[]и=и,АПи=А. 6. Доказать, что существует лишь одно множество, не имеющее элементов. 7. Существуют ли такие множества А, В и С, что ,4ПЯ*0, ,4ПС=0, О4ПЯ)\С=0? 8. Доказать, что множество всех корней многочлена а(х) = р(х) • у(х) есть объединение множеств корней многочленов р(х) и у(х). 9. Доказать, что пересечение множеств действительных корней многочленов а(х) и р(х) с действительными коэффициентами совпадает с множеством всех действительных корней многочлена у(х) = а2(х) + р2(х). 10. Доказать, что А с В<^А U В = В<^> А П Я = Л о А \ В = 0 о (-А) U 5= К 11. Доказать следующие тождества: (б)ЛПЯ = ЯПЛ; (в) A[J В = B[J А; (г) АС) (ВС) С) = (АС) В) П С; (д)лисеис) = (лия)ис; (е)ЛП(5иС) = (ЛП5)и(^ПС); (ж) Л U (ВС) С) = (AU В) О (AU С); (з) (АГ) 5) U (СП Д) = (Л11 С) П (5U С) П (Ли D) О (B{JD).
§ 1. Операции над множествами 9 12. Доказать следующие тождества: (а)-(ЛШ?) = Ы)иН?); (б)-(A[JВ) = (-А) Г) (-В); (в) A\(B{J С) = (А\В) Г) (А\ С); (г) A\(Bf] С) = (А\В) U (А\ С); (д)А\(А\В) = АГ)В; (е)А\В = А\(АГ)В); (ж)АГ)(В\С) = (АГ)В)\(АГ) C) = (Af]B)\C; (з)(А\В)\С=(А\С)\(В\С); (m)AUB = AU(B\A); (к) -(-А) = А; (л) A{J(-A) = U- (м)^ПН) = 0; (н) (А П В) U И П (-5)] = (Л U 5) П [A U (-5)] = Л; (o)[(-A)[JB]f]A = Af]B; (п) АГ)(В\А) = 0; (p)(A\JB)\C=(A\C)\J(B\C); (c)A\(B\C) = (A\B)(J(Af] С); (t)A\(B(JC) = (A\B)\C. 13. Доказать, что: (a)iU5cCoicCHBcC; (б) Ас В f] С ^ А с В и А с С; (в)АПВсС^Ас(-В) U С; (г)^с5иСоЛП(-5)сС; (д)(А\В) [JB = A^BcA; (е) (ЛП5)иС = ^П(5иС) о С с А; (ж)АсВ^АиСсВиС; (з) Л с 5 => Af] С с ЯП С; (и)Лсй^ (Л\С) c(5\C); (к) Лс5^ (С\5) с(С\Л); (л)^сг^-йс -Л; (M)A\JB = Af]B^A = B; (и) А= -В ^ Af] В = 0 и A[J В = U. 14. Доказать тождества: (а) А- В= В-А; (б) А-(В- С) = (А-В) -С; (в) Af](B^C) = (Af]B) -(АГ\С); (г) А^(А^В) =В; (д) A{JB= (A^B) -(АГ\В); (e)A\B=A^(Af]B); (ж) А - 0 = А; (з) Л-Л = 0; (и) Л-£/=-Л; (к)^и5=(Л^5)и(^П5).
10 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 15. Доказать, что: (a) (A U ... UA)4AU ... (ЛЬ) с (4 ^2*0 (J ... U (Ап^Вп); (б)(ЛП...ПЛ)-(ДП...П^)е(^-Д)и...и(Л-^). 16. Доказать, что: (а) А - В = 0 <=> А = В; (б) АС] В = 0 ^ A\J В= А- В; (в)А-В= С^В-С = А^ С-А = В. 17. Определить операции (J, П, \ через: (а) S П; (б) ^ U; (в) \, -• 18*. Доказать, что нельзя определить: (а) \ через П и U; (б) U через П и \. 19. Доказать, что множества образуют кольцо без единицы, где - играет роль операции сложения, а П играет роль операции умножения. Что является вычитанием в этом кольце? 20. Найти все подмножества множеств 0, {0}, {х}, {1, 2}. 21. (а) Доказать, что множество из п элементов имеет 2п подмножеств. (б) Сколько подмножеств из к элементов имеет множество из п элементов (к< п)? 22. Доказать, что: (а) Р(АПВ) = Р(А)ПР(В); (б) р(п4-1= ПР(4); IG/ 16/ (в) Р(А U В) = {A, U Вх \АХ е Р(А) и Вх е Р(В)}; (г) р{иА} = \иВАВ^Р(АЛ. Kiel iel 23. Доказать, что для любых я, Z>, с, d {{а}, {а, Ь}} = {{с}, {с, d}} <=> а = с и Ъ = d. 24. Какие из утверждений верны для всех А, Ви С: (а) если А е В и 5g С, то Je С? (б) если^с5и5е С, то Je С? (в) если ^П^с-Си ЛиСсД то АПС=0? (г) если J*£ и £*С, то JФ С? (д) если Jcz-CSU C)nB<^-(A{J С), то 5 = 0?
§ 1. Операции над множествами 11 25. Доказать, что для любых Аи А2, ..., Ат если^с^^- • .ci^c^, тоА1=А2 = ...=Ап. 26. Для каждого положительного целого числа п указать множество Ап из п элементов такое, что если х, у е Ат то х е у или у е х или х = у. 27. Решить систему уравнений \АПХ = В, [A{JX = C, где Д В и С — данные множества и 5 с ^4 с С. 28. Решить систему уравнений где Д5и С- данные множества и5сД АП С= 0. 29. Пусть даны системы множеств {Д}/е/ и {Д}/е/, где /— некоторое множество. Решить системы уравнений: (а)4ГЦГ= Д, /е J; (б)4илг= д, /g /. При каких Af и Д эти системы имеют решения? 30. Решить систему уравнений А\Х = В, A{JX = C, где А, Ви С — данные множества и5с^сС. 31. Показать, что: (а)Л= В^>(А\В) \J(B\A) = 0; (б) любое уравнение относительно множества X, в правой части которого стоит 0, равносильно уравнению (А П ^0 U [ВГ\ (-Х)] = 0, где An В — некоторые множества, в записи которых не содержится символ Х\ (в) система уравнений АПХ = 0, ВП(-Х) = 0 имеет решение тогда и только тогда, когда В с -А; при этом условии решением системы является любое множество Xтакое, что 5clc-i; (г) описать метод решения системы уравнений с одним неизвестным.
12 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 32. Пользуясь методом задачи 31, решить следующие системы: Шх = впх, а) \АПХ = СиХ; \А\Х = Х\В, б) [Х\А = С\Х; \АПХ = В\Х, в) \C\JX = X\A. При каких А, йи С эти системы имеют решение? 33. Доказать, что всякое множество есть: (а) объединение всех своих подмножеств; (б) объединение всех своих конечных подмножеств; (а) объединение всех своих одноэлементных подмножеств. 34. Пусть имеется последовательность множеств Jq^JjD^^ ...з1йз ... Доказать, что пересечение любой бесконечной подпоследовательности этих множеств совпадает с пересечением всей последовательности. 35. Пусть имеется последовательность множеств Joc^c^c ...с!йс ... Доказать, что объединение любой бесконечной подпоследовательности этих множеств совпадает с объединением всей последовательности. 36. Доказать следующие тождества: (a) U U 4/ keKteT (б) П П4 keKteT = и и 4,; teTkeK = П П Akt; teTkeK (в) - и 4 = п (-4); [кеК ) кеК (г) -( п Ак)= П(-4); (д) U 4 U U Bk= U(Ak{JBk); кеК кеК кеК (е) [j(Bf]Ak) = Bf]( и 4]; (ж) fl(SU4) = 5U П 4
§ 2. Отношения и функции 13 37. (а) Доказать, что для любых К, Т, Akt U П4сП U Аы. keKteT teT keK (б) Доказать, что в утверждении (а) включение нельзя заменить равенством. 38. Доказать, что: (а) если At с5 для всех t e Г, то U At с В; teT (б) если В с Д* для всех t е Г, то В с П Д; (в) если Д с^ для всех t е Г, то U Д с U Д и П 4 с П Д. /еГ /еГ teT teT 39. Доказать, что: (а) U At есть наименьшее множество, содержащее все множе- teT ства At; (б) П At есть наибольшее множество, содержащееся во всех teT множествах At. 40. Доказать, что если П Ап П П Вп I = 0 , то П Л £ U [АГКДмХД,)], ле^\{0} ле^\{0} где и л и и д, ПеЛ\{0} ПеЛ\{0} сД>. 41. Доказать, что для любой системы множеств А0, ..., Ат ... существует система попарно непересекающихся множеств В0,..., Вт ... такая, что U Д = U в„ и Вп^Ап. tie Л tie Л § 2. ОТНОШЕНИЯ И ФУНКЦИИ Прямым (декартовым) произведением множеств Аъ . . ., Ап называется множество ^1Х...ХЛ= Иаь - • •> «я> | 01 е Л15 . . ., ял g Д,}. Если Ах = . . . = Ап = А, то множество Ах х . . . х Ап называется прямой степенью множества А и обозначается через Ап.
14 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Бинарным отношением между элементами множеств An В называется любое подмножество R множества Ах В. Если А = В, то отношение называется бинарным отношением на А. Вместо (х, у) е R часто пишут xRy. Областью определения бинарного отношения R называется множество 5^ = {х | существует у такое, что (х, у) е Щ. Областью значений бинарного отношения R называется множество pR = {х | существует у такое, что (у, х) е R]. Для бинарных отношений определены обычным образом теоретико-множественные операции объединения, пересечения и т.д. Дополнением бинарного отношения R между элементами An В считается множество -R=(Ax B)\ R. Обратным отношением для бинарного отношения R называется множество R-l = {(x,y)\(y,x)eR}. Образом множества X относительно R называется множество R(X) = {у | существует х е Xтакое, что (х, у) е R}, прообразом X относительно R называется R ~1(Х). Произведением отношений R{^A х В и R2^B x С называется отношение R{ • R2 = {(х, у) | существует z такое, что (х, z) e R{ и (z, у) е R2}. Отношение /называется функцией из А в В (из А на В), если bf=A, Р/^В (соответственно pf = В) и для всех х, уи у2 из (х, у{) е f и (х, у2) е /следует у{ = у2. Функция/из А в В обозначается/: А —> В. Если/— функция, то пишем у =f(x) вместо (х, у) е /и называем у значением функции/при значении аргумента х. Для любого множества А определяем iA: A —> А следующим образом: iA(x) = x. Функция/называется 1—1-функцией, если для любых хь х2, у из того, что у =f(xi) и у =/(х2), следует хх = х2. Говорят, что функция/: А —> В осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и В, если Ь/=А, Р/ = В и/— 1—1-функция. Взаимно однозначное соответствие/: А^А называется подстановкой множества А.
§ 2. Отношения и функции 15 Множество всех функций изАеВ обозначается через Декартовым произведением семейства множеств At (/ с 7) называется множество Y[A =\f\ f:I^> U 4 и /(/) е Д для всех ie Л Назовем п-местным отношением на множестве А любое подмножество множества Ап. Функцию/: Ап —> В назовем п-местной функцией из множества АвВж будем писать у =f(xu . .., хп) вместо У=/({хъ . . .,*„)) и называть у значением функции / при значении аргументов хъ . . ., хп. 1. Доказать, что существуют А, В ж С такие, что: (а) А* ВфВхА; (б)Ах (Вх С)ф(Ах В)х С 2. Найти геометрическую интерпретацию следующих множеств: (а) [a, b] х [с, d\, где [а, Ь] и [с, d] — отрезки действительной прямой 2); (б) [а, Ь]2; (в) [а, Ь]3; (г) %\ 3. Доказать, что если А, В, С и D не пусты, то: (a)ic^HCcD ^ixCc^xD; 4. Доказать, что: (а) (АПВ)х (СП 2)) = (А х С) П (5 х D); (б) ПДхП Д- = П(4-хД-)- 5. ДоказатьГчто (Ах B){J(C х В) <^(A{J С) х (B{J D). При каких А, В, Си D получается равенство? 6. Доказать, что: (а) (ЛU Я) х С=(Лх OUC8X С); (6)ix 0ВиС) = 04х£)и(,4х с); (в)(Л11Я) x(C{JD) = (Ax C){J(Bx C){J(AxD){J(BxD); (T)(A\B)xC=(AxC)\(BxC); (д)Ах(В\С) = (АхВ)\(Ах С); (е) Ах В = (Ах В)П(Сх В), где ic CuB^D; (ж)и2\(АхВ) = [(и\А)х U]U[(Ux(U\B)];
16 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (3) U Ак. кеК :UBt teT U (AkxBt); (k,t)eKxT (и) П4хПД= П (AkxBt). keK teT (k,t)eKxT 7. Пусть А, Вф 0 и (А х В) U (В х А) = (С х D). Доказать, что = B=C=D. 8. Найти 8Л, pR, R~\ RR,R- R~\ R~ шений: (а) R = {(x, y) | x, у g Jf и x делит у}; (б) 7? = {(х, у) \ х, у е Л и у делит х}; (B)R={(x,y)\x,ye 3) их + у<0}; (г)Я={(х, у)|х, ye 2) и2х >3j}; 7? для следующих отно- (г) R = Ux, y)\x, уе к к Т 2 и j > sin 4 9. Доказать, что: (а) bR = 0 <=> R = 0 <^ pR = 0; (б) V = рЛ p^-i = 5Д; (в)5Й1.Й2 = ЛГ1(рЛ1П5Д2); (г) Рл1-лг = -К2(рЛ1П8Л2). 10. Доказать, что: (а) если 5 * 0, то 8АхВ = А; (б) если А ф 0, то рлхд = 5. 11. Пусть R — бинарное отношение на А. Доказать, что R=iA тогда и только тогда, когда R- R{ = Rl- R = Rl для любого отношения i?! на А. 12. Доказать, что для любых бинарных отношений: (a)R{JR = Rf)R = R; (б) (R-lyl = R; (в) (Rl[JR2)-l = Ril[jR2l; (г) (Rlf]R2yl = RilC\R2l; (a)-R-l = (-R)-1; (е) (идУ = илг'; k/G/ /е/ (ж) ПД- = п яг1-
§ 2. Отношения и функции 17 13. Для каких бинарных отношений R справедливо R 1 = -R ? 14. Пусть АнВ — конечные множества, состоящие из/ии/i элементов соответственно. (а) Сколько существует бинарных отношений между элементами множеств An В? (б) Сколько имеется функций из А в В ? (в) Сколько имеется 1—1-функций из А в В! (г) При каких тип существует взаимно однозначное соответствие между А и В ? 15. Доказать, что для любых бинарных отношений: (a)Rr(R2R3)=(RrR2)R3; (в) (\JRi)-Q= 1ДД Q); (г) Q-(\JRi)= U(Q Д). 16. Доказать, что: (а) 0-ГпД-1е П(О-Д); yiel ) iel (б) ГпдЛое П(Д-О); yiel ) iel (в) в утверждениях (а) и (б) включения нельзя заменить равенствами. 17. Образуют ли бинарные отношения группу относительно операций • и _1? 18. Доказать, что если R{ с R2, то: (a) QR{^QR2; (6)RrQ^R2Q; (в) ДГ1^-1. 19. Доказать, что: (а) если В ф 0, то Вл ф 0; (б) Вл^Р(Ах В). 20. Установить взаимно однозначное соответствие между ^4 л и ^4Z при/={1, ..., п). 21. Используя определение, описать множество 3)( \ где 2! — множество действительных чисел.
18 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 22. Доказать, что если/есть функция из А в В и g есть функция из В в С, то/* g есть функция из А в С. 23. Пусть/и g — функции. При каких условиях: (а) f~l является функцией; (б) /• g является 1—1-функцией? 24. Пусть А, В, Аи Вх — такие множества, что А находится во взаимно однозначном соответствии с Аъ а В — с В{. Показать, что можно установить взаимно однозначное соответствие: (а) между А х В и А{ х В{; (б) между Ав и А*1; (в) между ^U ^ и ^ U J?i, если ^П ^ = 0 и 4 П J?i = 0. 25. Доказать, что можно установить взаимно однозначное соответствие между множествами: (а)АхВпВхА; (б) А х (В х С) и (Л х В) х С; (в) (Л х £)с и/х 5е; (г) (Ав)сиАВхС; (д) J5U с и Ав х Jc? если ЯП С = 0; (е) ]^[Д и ПЛр(/)5 где ф — подстановка множества 7; /е I ie / ie I ке К I у"е 7)с , где U Тк = I и все 7^ попарно не пересекаются; (з) А1 и Р[ ^4 /с, где U Тк = 1ц все 7^ попарно не пересекаются. £еХ кеК 26. Пусть у: А ^ А — подстановка множества А. Доказать, что ф-1 — подстановка множества А. 27. Доказать, что множество подстановок множества А образует группу. 28. Пусть ф: А —> В — взаимно однозначное соответствие. Доказать, что: (а) ф-1 — взаимно однозначное соответствие между В и А; (б) ф"1 • ф = iB\ (в) ф • ф"1 = iA.
§ 2. Отношения и функции 19 29. Доказать, что для того, чтобы отношение R с^х В было взаимно однозначным соответствием между An В, необходимо и достаточно, чтобы R • R _1 = iA и R _1 • R = iB. 30. Доказать, что объединение (пересечение) двух функций/! и f2 из ^4 в В является функцией из А в В тогда и только тогда, когда Л = Л- 31. Доказать, что для любой функции/: (a)/(.4Ul?)=/04)U/(S); (б) /fu4-l=U/(4). 32. Доказать, что для любой функции/: (a)f(Af]B)^f(A)f]f(B); (б) /(ги1сП/(4), ytel ) iel и эти включения нельзя заменить равенствами. 33. Доказать, что/ удовлетворяет условию ДА П Я) =/(Л) ПДД) для любых А и В тогда и только тогда, когда/есть 1—1-функция. 34. Доказать, что f(A) \ f(B) с f(A \ В) для любой функции/ 35. Доказать, что если в предыдущем примере/есть 1—1-функция, то выполняется равенство. 36. Доказать, что если А с В, то/(А) с f(B) для любой функции/ 37. Доказать, что для любой функции/ f(A) = 0^APibf=0. 38. Доказать следующие тождества для любой функции/: (б) Г^и4-1= и/-'(4); ^ze/ ) iel (в)Г1(АГ)В) = Г1(А)Г)Г1(В); (г) /-1fn4l=n/-1(4); ytel ) iel (д)Г1(А\В)=Г1(А)\Г1(В).
20 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 39. Доказать, что если ic Д то / 1 (^4) с / 1 (5) для любой функции / 40. Доказать, что для любой функции/ Г1(А) = 0^АПр/=0. 41. Доказать, что если ^сб^и^ср^то: (а) А с/"1 (/(А)); (5)f(f-l(B)) = B; (B)f(A)f]B=f(Af]f-l(B)); (г) f(A) ПВ=0^АПГ1(В) = 0; (д)/(А)сВ^АсГ1(В). 42. Пусть/: А -» 5. Определим/,: Р(Л) -» P(B),f: Р(В) -» Р(Л) так, что / (X) = {/(х) | х € X} и /*(У) = {х| /(х) € 7}. При каких условиях/* • / = /дд)? При каких условиях/ •/* = iP(A)? 43. В обозначениях предьщущей задачи доказать, что: (а)/*(ХП У)=/'(1)П/*(Ю; 44. Пусть {/— непустое множество. Для любого подмножества ^4 множества {/обозначим через Хл следующую функцию (характеристическую функцию множества А): тт ГО, если xei, [1, если х е U\A. Определим функцию/: P(f/) —> {0, 1}^следующим условием: f(A) = %/для любого Ае P(U). Доказать, что/есть взаимно однозначное соответствие между P(U) и {0, \}и. 45. Доказать, что введенная в предыдущей задаче функция ха удовлетворяет следующим условиям: (а) %и(х) = 0; (б) хЕ(Х) = 1; (в)хи[М(х) = 1-Хл(х); (г)%иАив(х) = %А(х)-Хв(хУ, (Д) Х%М = х?(х) + Хви(х) - х/(х) • х/(х); (е) %ил\в(х) = 1 - хв(х) + %%в(хУ,
§ 2. Отношения и функции 21 (ж) если А = U 4, то у?А(х) = minx^ (x); iel iel (з) если А = П 4, то %*а(х) = max%2 (*)• iel iel 46. Доказать свойства полной дистрибутивности: (a) UH=nU4,; lei JeJ feJ1 lei (б) пи4=ипд/(, lei JeJ feJ1 lei 47. Доказать, что A1 = Y[ A, где At = А для всех / e L iel 48. Пусть Д с ^-. Доказать, что: (а) ]^^. = П П4/' где ^ = А» Av = XJ при {ф1> iel Ш JeJ (а) п*/ \UAi = и П Д/> гда д«= ^-\л, щ = Xj при /ф]. iel iel leI JeJ 49. Доказать, что: (а) П П4*=ПЛ Аш\ keKteT teTkeK (б) если At f] At =0 при /\ ф t2, то можно установить взаимно и аЛ а однозначное соответствие между В^еТ ) и \\В '; teT (в) можно установить взаимно однозначное соответствие между ( \ шч и^4 yteT j teT 50. Доказать, что если А(ф0 для всех te Г, то Y[At ф ® (одна из формулировок аксиомы выбора). teT ( } ( 51. Доказать, что между Y\At и \\\ At x \\At teT KheTx j у h^T2 можно ус- тановить взаимно однозначное соответствие, если Тх U Т2 = Т и Тх П Г2 = 0.
22 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ §3. СПЕЦИАЛЬНЫЕ БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ В этом параграфе рассматриваются бинарные отношения, заданные на непустом множестве. Бинарное отношение R на множестве А называется рефлексивным, если (х, х) е R для всех х е А, иррефлексивным, если (х, х) <£ R для всех х е А. Бинарное отношение R на множестве А называется симметричным, если (х, у)е Я => (у, х) е R, и антисимметричным, если (х,у)е Rn(y, x)e R => х = у. Бинарное отношение R на множестве А называется транзитивным, если (х, у)е Rn(y, z)e 7? => (x, z) e R. Рефлексивное, транзитивное и симметричное отношение на множестве А называется эквивалентностью на А. Классом эквивалентности (смежным классом) элемента х по эквивалентности R называется множество [x]R = x/R={y\(x,y)e R}. Множество классов эквивалентности элементов множества А по эквивалентности R называется фактормножеством А по Rn обозначается через A/ R. Бинарное отношение на множестве А называется предпорядком на А, если оно рефлексивно и транзитивно. Рефлексивное, транзитивное и антисимметричное отношение на множестве А называется частичным порядком на А. Частичный порядок часто обозначается символом <. Порядок <-1 называется двойственным к < и обозначается символом >. Будем писать х < у, если х < у и х Ф у. Частичный порядок < на множестве А называется линейным, если любые два элемента из А сравнимы по <, т.е. х < у или у < х для любых х,уе А. Множество А с заданным на нем частичным (линейным) порядком < называется частично (линейно) упорядоченным. Подмножество В множества А, частично упорядоченного отношением <, называется цепью в А, если оно линейно упорядочено отношением < П В2. Элемент а частично упорядоченного множества А называется максимальным (минимальным), если из того, что а<х(х<а), следует а = х. Элемент а из А называется наибольшим (наименьшим), если
§ 3. Специальные бинарные отношения 23 х < а (а < х) для всех хе А. Верхней (нижней) гранью подмножества В частично упорядоченного множества А называется любой элемент а из А такой, что Ъ<а(а<Ъ) для любого be В. Точной верхней (нижней) гранью подмножества В с: А называется наименьшая верхняя (наибольшая нижняя) грань для В. Точная верхняя и точная нижняя грани множества В с А обозначаются через sup В и inf В, соответственно. Линейный порядок < на множестве А назовем полным, если каждое непустое подмножество множества^ имеет наименьший элемент. В этом случае множество А называется вполне упорядоченным. Пусть А и В — частично упорядоченные множества и/— функция из А в В. /называется монотонным отображением, если из Xi <х2 следует/(хО </(х2) для любых элементов хь х2 е А. Если/ есть взаимно однозначное соответствие между А и В, f и /_1 — монотонные отображения, то/ называется изоморфизмом частично упорядоченных множеств А и В, а множества А ж В называются изоморфными. Частично упорядоченное множество М называется решеткой или структурой, если для любых двух элементов х, у е М существуют точная нижняя грань х Г\у и точная верхняя грань x{Jy. Будем обозначать (...((х1Пх2)Пхз)П ... Пх^) через хх Пх2Пх3 П ... Пх^ и (...((xi U x2) U x3) U ... U xk) через х{ U x2 U x3 U ... U хк. Наибольший элемент решетки (если он существует) обозначается через 1, а наименьший — через 0. Решетка М называется дистрибутивной, если для любых х, у, z e M выполнены тождества (x{jy){\z = (x{\z){j(y{\z), (xny)U2 = (xU2)n(yU2). Дистрибутивная решетка М называется булевой алгеброй, если для любого элемента хе М существует дополнение, т.е. элемент (-х), удовлетворяющий условиям: для любого элемента уеМ [xU(-x)]ny = y, [xn(-x)]Uy = y. Семейство подмножеств Жданного множества А называется алгеброй подмножеств, если S замкнуто относительно теоретико-множественных операций объединения, пересечения и дополнения, т.е. X, Ye S^> (X{J Y) e S, (XHY) e S, (-X) e S. Фильтром на булевой алгебре Мназывается непустое подмножество DqzM, удовлетворяющее условиям: (\)х,уе D^(xf]y)e D, (2) хе D, х < у => у е Д
24 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (3)jcg D^> (-х)ё D. Фильтр D на булевой алгебре М называется ультрафильтром, если он удовлетворяет условию (4) х е D или (-х) е D для любого хе М. Фильтр D на булевой алгебре М называется простым, если он удовлетворяет условию: для любых х,уеМ (5) (х U у) е D => х е D или у е D. Фильтр Z) на булевой алгебре Мназывается максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на М. 1. Доказать, что если отношения Rx и R2 рефлексивны, то рефлексивны отношения R{ U Ri, R\ П R2, R\l, R\ ' Ri- 2. Доказать, что если отношения R{ и R2 иррефлексивны, то иррефлексивны отношения R{ U Ri, R\ П R2, R\l- Показать, что произведение R± • R2 иррефлексивных отношений может не быть иррефлексивным. 3. Доказать, что если отношения Rx и R2 симметричны, то симметричны отношения R{ U Ri, R\ П R2, R\l, R\ ' Ri1- 4. Доказать, что произведение R± • R2 симметричных отношений R{ и R2 симметрично тогда и только тогда, когда R{ • R2 = R2 • R{. 5. Доказать, что: (а) если отношения R{ и R2 антисимметричны, то антисимметричны также 7?! П 7?2 и R\l'> (6) объединение R{ U Ri антисимметричных отношений R{ и R2 на^4 антисимметрично тогда и только тогда, когда 7?! • R2l с /4. 6. Построить бинарное отношение: (а) рефлексивное, симметричное, не транзитивное; (б) рефлексивное, антисимметричное, не транзитивное; (в) рефлексивное, транзитивное, не симметричное; (г) антисимметричное, транзитивное, не рефлексивное. 7. (а) Построить бинарное отношение, симметричное, транзитивное, но не рефлексивное. (б) Доказать, что если R есть транзитивное и симметричное отношение на множестве А и 5^ U Pr = А, то R есть эквивалентность на А. 8. Доказать, что любое отношение R, симметричное и антисимметричное одновременно, является транзитивным. 9. Доказать, что отношение R на множестве А является одновременно эквивалентностью и частичным порядком в том и только том случае, когда R= iA.
§ 3. Специальные бинарные отношения 25 10. На множествах Л и Л х Л определим Rm, Q, S следующим образом: (а) (a, b) е Rm<^> (а - Ь) делится на т (т > 0); (б) ((a, b),(c, d)) e Q=>a + d=b+c; (в) «я, Ь), (с, d» е 5 => =^> [((я • й(=й-с)ий^0и^^0) или (а = с, b = 0, d=0)]. Доказать, что Rm, Q и 5 являются отношениями эквивалентности. 11. Пусть А — множество всех прямых на плоскости. Являются ли эквивалентностями следующие отношения: (а) параллельность прямых; (б) перпендикулярность прямых? 12. На множестве 3) действительных чисел определим отношение R следующим образом: а7?р <=> (а - р) — рациональное число. Доказать, что R есть эквивалентность. 13. Доказать, что если R — эквивалентность, то: (а) х е [x]R; (б)(х,у)е R^[x]R=[y]R. 14. Доказать, что если R есть эквивалентность, то 7Г1 есть также эквивалентность. 15. Пусть R^A2. Доказать, что R есть эквивалентность <=> (R • RTl) \j iA = R. 16. Доказать, что если R{ и R2 — эквивалентности на А, то: (a) R{ • R2 = A2 <=> R{=A2; (a) R{ • R2 = A2 <=> R2 • R{=A2. 17. Доказать, что существует взаимно однозначное соответствие между классом всех разбиений множества А на непересекающиеся непустые подмножества и семейством всех отношений эквивалентности на А (Семейство {Д}/е/ называется разбиением А, если \J At = A iel и множества Д попарно не пересекаются.) 18. Доказать, что R тогда и только тогда является отношением эквивалентности на множестве А, когда существует система ^попарно непересекающихся множеств такая, что R= U СхС и [J С = А.
26 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 19. Пусть/: ^4 —> В — произвольная функция. Положим Q={{x,y)\f(x)=f(y)}. Доказать, что Q является эквивалентностью на А и для отображения/существует разложение /=e-/i, где £ — естественное отображение А на A/Q = {[x]Q | х е А}, т.е. г(х) = [x]Q, fi — взаимно однозначное соответствие между A/Q и ДА). 20. Доказать, что пересечение любой системы эквивалентностей на множестве А есть эквивалентность на А. 21. Доказать, что объединение R{ U Ri эквивалентностей R{ и R2 является эквивалентностью тогда и только тогда, когда RiU R2 = = R\ ' Rill. Доказать, что произведение Rx • R2 двух эквивалентностей Rx и R2 тогда и только тогда является эквивалентностью, когда R\ ' R2 = R2 ' R\. 23. Доказать, что если R{ и R2 — эквивалентности и R{ • R2 = R2 • 7?ь то Ri + R2 = Ri - R2, где R± + R2 — наименьшее отношение эквивалентности, включающее 7?! U Ri- 24. Доказать, что для всякого семейства эквивалентностей {Д}/е/ существует эквивалентность Q такая, что U Д- с б и для всякого отношения эквивалентности R, если U Д с i?, то Q с Л. 25. Доказать, что п где рп — число эквивалентностей на множестве из п элементов. 26. Доказать, что множество всех подмножеств данного множества частично упорядочение отношением включения с. 27. Пусть < и < на множестве J\f= {0, 1, 2, ...} определяются обычным образом. Доказать, что < • < ф <; < • < = <; < • > = Л1. 28. Доказать, что iA есть частичный порядок на А. 29. Пусть я < Z> <=> я, Z> e jVh а делит Ъ. Считаем, что 0 делит 0. Доказать, что < — частичный порядок на Ж
§ 3. Специальные бинарные отношения 27 30. (а) Доказать, что всякое частично упорядоченное множество содержит не более одного наибольшего (наименьшего) элемента. (б) Доказать, что наибольший (наименьший) элемент частично упорядоченного множества является единственным максимальным (минимальным) элементом. (в) Построить пример частично упорядоченного множества, имеющего точно один минимальный элемент, но не имеющего наименьшего элемента. 31. Доказать, что если R — частичный порядок, то R1— частичный порядок. 32. Показать, что если {Д}/е/ — система частичных порядков на множестве А, то П Д — частичный порядок на множестве А. iel 33. Доказать, что отношение R на множестве А есть предпорядок тогда и только тогда, когда R = (R • R) U 1а- 34. Пусть R — отношение предпорядка на А. Положим а ~ Ъ <=> (a, b) е Rn(b, a) e R. Доказать, что: (а) ~ есть отношение эквивалентности на А; (б) если а~ аъЪ ~ Ъъ (a, b) e R, то (аъ Ьх) е R; (в) 7?! есть отношение частичного порядка на А/-, где ([a], [b]) e R, « (а, Ъ) е Л 35. Доказать, что если R— частичный (линейный, полный) порядок на 1и А с X, то R О А2 есть частичный (линейный, полный) порядок на А. 36. Пусть < — частичный порядок на А. Доказать, что < ирреф- лексивно и транзитивно. 37. Доказать, что если некоторое отношение < на А иррефлек- сивно и транзитивно, то отношение х < у <=> х < у или х = у есть частичный порядок на А. 38. Показать, что если АиА{— частично упорядоченные множества и/: ^4 —> Ах— монотонная функция, осуществляющая взаимно однозначное соответствие между А и Аи то/-1 может не быть монотонной. Рассмотреть случай, когда А — линейно упорядоченное множество.
28 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 39. Доказать, что любое частично упорядоченное множество А изоморфно некоторой системе подмножеств множества А, упорядоченной включением с. 40. Пусть Rx и R2 — линейные порядки на множестве А. Когда R{- R2 — линейный порядок? 41. (а) Доказать, что любое непустое конечное частично упорядоченное множество А содержит минимальный и максимальный элементы. (б) Пусть частично упорядоченное множество А конечно. Доказать, что для любого элемента а е А существуют элементы Ъ и с из А такие, что a<bnb есть максимальный элемент в А, с < an с есть минимальный элемент в А. 42. Построить линейный порядок на множестве: (а) Л2; (б) Л[] Л2 U Л3[] ... U Лп U ...; (в) $ комплексных чисел. 43. Доказать, что любое конечное множество можно линейно упорядочить. 44. Доказать, что всякий частичный порядок R на конечном множестве А может быть продолжен до линейного порядка R<^Q на множестве А (см. также задачу 69 из § 5). 45. Пусть А — частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет не более т элементов, а любое подмножество попарно несравнимых элементов состоит не более чем из п элементов. Показать, что А имеет не более т • п элементов. 46. Пусть <А есть частичный порядок на множестве А, <в — частичный порядок на множестве В. Назовем прямым произведением частично упорядоченных множеств А и В множество Ах В с заданным на нем отношением <: (аи Ьх) <{а2, Ь2) <^=> ах <Аа2 и bx <Ab2. Доказать, что < есть частичный порядок на^х^. 47. Пусть А — частично упорядоченное множество, а, Ъ е А и а < Ъ. Назовем сегментом множество [а, Ь] = {х | а < х < Ь). Показать что множество всех сегментов множества А, частично упорядоченное по включению, изоморфно некоторому подмножеству прямого произведения А и двойственного к нему частично упорядоченного множества.
§ 3. Специальные бинарные отношения 29 48. Назовем частично упорядоченное множество А самодвойственным, если оно изоморфно двойственному к нему частично упорядоченному множеству. Доказать, что: (а) имеются в точности два неизоморфных частично упорядоченных двухэлементных множества, каждое из которых самодвойственно; (б) имеется пять попарно неизоморфных частично упорядоченных множеств, имеющих три элемента, и три из них самодвойственны. 49*. Будем говорить, что частично упорядоченное множество А удовлетворяет: (1) условию минимальности, если всякое непустое подмножество М множества А обладает по крайней мере одним минимальным элементом; (2) условию обрыва убывающих цепей, если всякая строго убывающая цепь в А конечна; (3) условию индуктивности, если для любого свойства Гвыпол- нено следующее: пусть для любого элемента а е А из справедливости свойства Т для всех элементов, строго меньших а, вытекает справедливость Т для а, тогда свойством Г обладают все элементы множества А Доказать эквивалентность всех этих условий. 50. Доказать, что частично упорядоченное множество удовлетворяет условию минимальности тогда и только тогда, когда все его цепи вполне упорядочены. 51*. Описать все линейно упорядоченные множества^, обладающие таким свойством, что для любых а < Ъ существует только конечное число с таких, что а<с<Ъ. 52. Найти все множества Мтакие, что существует полный порядок R такой, что R~l также является полным порядком на М. 53. Пусть ср: А х А —> А и для всех х, у, z e A <tfx,y) = <p(y,x), q>(x,q>(y,z)) = q>(q>(x,y),z), ф(х, х) = х. Определим х < у <=> ф(х, у) = х. Доказать, что: (а) < есть частичный порядок на А; (б) ф(х, у) есть точная нижняя грань относительно порядка <. 54. Доказать, что любое подмножество множества Р(А), частично упорядоченное по включению, имеет точную верхнюю грань и точную нижнюю грань. 55. Доказать, что: (а) любое линейно упорядоченное множество есть решетка;
30 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (б) семейство всех эквивалентностей на множестве А есть решетка. 56. Доказать, что в решетке любой максимальный элемент является наибольшим, а любой минимальный элемент является наименьшим. 57. Доказать, что в любой конечной решетке существуют наибольший и наименьший элементы. 58. Привести примеры решеток: (а) без наибольшего элемента, но с наименьшим элементом; (б) без наименьшего элемента, но с наибольшим элементом; (в) без наибольшего и без наименьшего элементов. 59. Доказать, что в любой решетке выполнены тождества: (l\)x\Jy = y\Jx, (12)хГ\у = уГ\х, (l3)x{J(yUz) = (x{Jy)Uz, (14)хП(уПг) = (хПу)Пг, (kHxCiy)\Jy = y9 (kW(x\Jy)=y. 60. Пусть на множестве Мзаданы двуместные функции U и П, удовлетворяющие тождествам (l\)—(k) из предыдущей задачи. (а) Доказать, что для любых х, у е М x{J у = у тогда и только тогда, когда х Г\у = х. (б) Определим x<y<^xf]y = x. Доказать, что Жесть решетка относительно <, причем точная нижняя и точная верхняя грани элементов х и у совпадают схПуихПу соответственно. 61. Доказать, что во всякой булевой алгебре М: (а) существует наименьший элемент 0 и наибольший элемент 1; (б) для всякого а < М дополнение (-а) единственно; (в) b = -a t$ а О Ь = 0 и a{J b=l; (г)-(вП*) = ми(-й); (д)-(а1)Ь) = (-а)П(-Ьу, (е) а<Ь<^ аП НО = 0. 62. Доказать, что алгебра подмножеств, упорядоченная включением, есть булева алгебра. 63. Доказать, что 1 е D и 0 g D для любого фильтра D. 64. Пусть М — булева алгебра, А с М. Доказать, что если ах П ... П ап Ф 0 для любого п >0 и любых элементов аъ ..., ап е А, то множество D= {х | х g М, а П ... П ап < х для некоторых аъ ..., ап е А) есть фильтр на М. 65. Пусть!)— фильтр на булевой алгебре Ми (х U у) е Z). Доказать что существует фильтр Дз Z) такой, что х е D{ или jg Д.
§ 4. Кардинальные числа 31 66. Доказать, что для любого фильтра D следующие условия эквивалентны: (а) D есть максимальный фильтр; (б) D есть простой фильтр; (в) D есть ультрафильтр. 67*. Доказать, что любой фильтр на булевой алгебре Мсодержится в некотором максимальном фильтре на М. 68. Доказать, что для любых элементов а, Ъ булевой алгебры М, если неверно, что а < Ь, то существует простой фильтр D такой, что а е D и b £ D. 69. Пусть М— булева алгебра, SP— множество всех простых фильтров на М. Положим для ае М h(a) = {D\ae De^}. Доказать, что множество S={h(a)\ae Щ есть алгебра подмножеств множества SP. 70. Доказать, что любая булева алгебра изоморфна некоторой алгебре подмножеств подходящего множества (теорема Стоуна). 71. Доказать, что любой фильтр на конечной булевой алгебре имеет наименьший элемент. 72. Доказать, что любая конечная булева алгебра изоморфна алгебре всех подмножеств некоторого множества. §4. КАРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Множество А называется эквивалентным множеству В (символически А- В), если между An В можно установить взаимно однозначное соответствие. Мощностью множества А называется класс всех множеств, эквивалентных множеству А, и обозначается через А. Эквивалентные множества называются также равномощными. Обозначим через п мощность множества jVn = {0, 1, ..., п- 1}, где п < Ж Каждое множество А, эквивалентное J\fn для некоторого л, называется конечным, an— числом элементов множества А. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Каждое множество А, эквивалентное множеству J\f= {0, 1, 2,...}, называется счетным и его мощность обозначается через К 0- Каждое множество А, эквивалентное множеству действительных чисел 3), называется континуальным и его мощность обозначается через с.
32 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ Мощности произвольных множеств называются кардинальными числами. Кардинальные числа конечных множеств называются конечными, для бесконечных множеств — бесконечными. Кардинальное число с называется мощностью континуума. Будем говорить, что А < В, если А эквивалентно некоторому подмножеству множества В. Если А < В, a An В не эквивалентны, то скажем, что А < В. 1. Доказать, что: (а) А ~ А (рефлексивность); (б) если А ~ В, то В ~ А (симметричность); (в) если А~ВиВ~ С, то ^4 ~ С (транзитивность). 2. Доказать, что: (а) А ~ В <=> А = ~В; (б) % = 22, ~В\ = ~Вг и % < ~В\ => 32 < ^2; (в) если существует функция из А на 5, то 5 < ^4. 3*. Пусть А2<^А1<^АиА~ А2. Доказать, что А ~ ^. 4. Доказать, что если А<В и 5<^4,то J = 5 (теорема Кантора—Бернштейна) . 5. Доказать, что: (а) всякое подмножество конечного множества конечно; (б) объединение конечного числа конечных множеств конечно; (в) прямое произведение конечного числа конечных множеств конечно. 6. (а) Доказать, что конечное множество не эквивалентно никакому своему собственному подмножеству и никакому собственному надмножеству. (б) Доказать, что два конечных множества эквивалентны тогда и только тогда, когда они содержат одинаковое число элементов. (в) Доказать, что кардинальных чисел бесконечно много. 7. Доказать, что из всякого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество. 8. Доказать, что множество тогда и только тогда бесконечно, когда оно эквивалентно некоторому собственному подмножеству. 9. Показать, что всякое подмножество счетного множества счетно или конечно. 10. (а) Пусть область определения функции счетна. Доказать, что область значений этой функции конечна или счетна.
§ 4. Кардинальные числа 33 (б) Доказать, что непустое множество А является счетным или конечным тогда и только тогда, когда оно есть множество значений некоторой функции из Л в А. 11. Доказать, что если из счетного множества удалить конечное подмножество, то оставшееся множество будет счетным. 12. Доказать, что: (а) если An В счетны, то A U В счетно; (б) если все At конечны, непусты и попарно не пересекаются, то U Д- счетно; (в) если все А,- счетны, то U Л счетно. ieJf 13. Доказать, что: (а) если А бесконечно и В — конечное или счетное множество, toA{JB~A; (б) если А бесконечно и несчетно, В конечно или счетно, то А\В ~А. 14. Доказать, что если Аи ..., Ап (1 < п) счетны, то счетно множество^! х ... х Ап. 15. Доказать, что: (а) множество целых чисел счетно; (б) множество рациональных чисел счетно; (в) множество рациональных чисел сегмента [а, Ь] счетно при а <Ь; (г) множество пар (х, у), где х и у — рациональные числа, счетно. 16. Доказать, что множество всех конечных последовательностей, составленных из элементов некоторого счетного множества, есть счетное множество. 17. Доказать, что множество всех конечных подмножеств счетного множества счетно. 18. Доказать, что множество многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами счетно. 19. Доказать счетность множества алгебраических чисел, т.е. чисел, являющихся корнями многочленов от одной переменной с целыми коэффициентами. 20. Доказать, что любое множество попарно непересекающихся открытых интервалов на действительной прямой не более чем счетно. 21*. Доказать, что мощность любого множества попарно непересекающихся букв Т на плоскости не более чем счетна.
34 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 22. Доказать, что если ^сйи существует 5 > 0 такое, что для всех различных элементов х, у из А справедливо | х - у \ > 5, то А конечно или счетно. 23. Доказать, что множество точек разрыва монотонной функции на действительной оси не более чем счетно. 24. Доказать, что: (а) (0, 1) ~ [0, 1] ~ (0, 1] - [0, 1); (б) [а, Ь] ~ [с, d], где а < Ь, с < d; (в) [a, Ь] ~ 3). 25. Доказать, что множества точек квадрата и отрезка эквивалентны. 26. Доказать, что множества точек двух окружностей эквивалентны. 27. Доказать, что %п ~ 3)т (1 < щ т). 28. Установить взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и плоскости. 29*. Доказать, что множество точек сегмента [0, 1] несчетно. 30. Какова мощность множества иррациональных чисел? 31. Доказать существование трансцендентных (неалгебраических) чисел. 32. Доказать, что объединение конечного или счетного числа множеств мощности с имеет мощность с. 33*. Доказать, что множество всех счетных последовательностей натуральных чисел имеет мощность с. 34. Доказать, что: (а) множество всех счетных последовательностей, составленных из 0 и 1, имеет мощность с; (б) р(Лг) = с. 35. Доказать, что: (а) если Ai = с для всех 1 < / < я, то Ахх... хАп = с; (б) если At =с для всех / е /и / = К0, то Y[Л = с- iel 36. Какова мощность множества: (а) всех счетных последовательностей действительных чисел; (б) всех непрерывных функций на действительной прямой; (в) всех монотонных функций на действительной прямой?
§ 5. Ординальные числа 35 37. Пусть А— счетное множество точек на действительной прямой. Можно ли выбрать а так, чтобы {х+а\хе А}р[А = 0? 38*. Доказать, что множество действительных функций, заданных на сегменте [0, 1], имеет мощность, большую с. 39. Доказать, что мощность множества всех функций, определенных на сегменте [а, Ь] при а < Ъ и разрывных хотя бы в одной точке, больше с. 40*. Доказать, что множество всех подмножеств Р(А) множества А имеет мощность, большую А. 41. Пусть А — семейство множеств такое, что для каждого множества А из А существует множество В из А, не эквивалентное никакому подмножеству множества А. Доказать, что объединение всех множеств из А не эквивалентно никакому подмножеству множества из А. 42. Доказать, что не существует множества, содержащего все множества. 43. Будем говорить, что последовательность натуральных чисел Ьи Ъъ ... растет быстрее, чем последовательность аъ аъ ..., если lim -f- = 0 . Доказать, что: (а) для каждой последовательности натуральных чисел существует последовательность, растущая быстрее ее; (б) если множество последовательностей А обладает свойством, что для каждой последовательности аь аъ ... существует последовательность из А, растущая быстрее, чем аь аъ ... то множество А несчетно. § 5. ОРДИНАЛЬНЫЕ ЧИСЛА Пусть А и В — линейно упорядоченные множества. Множество А называется подобным В (символически А- В), если А и В изоморфны как частично упорядоченные множества. Порядковым типом линейно упорядоченного множества А называется класс всех линейно упорядоченных множеств, подобных А, и обозначается через А. Мощностью порядкового типа А называется А. Будем считать 0 порядковым типом 0. Обозначим через п порядковый тип множества 4, = {0, 1, -, л- 1},
36 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ где 0<1<...<п-1ипеЛг. Обозначим через со, л, г|, X, порядковые типы множеств натуральных чисел, целых чисел, рациональных чисел и действительных чисел соответственно с их естественным порядком. Если а есть порядковый тип множества А, то через а * обозначим порядковый тип множества А с двойственным порядком. Назовем начальным отрезком, отсекаемым элементом а е А от линейно упорядоченного множества А, множество Аа = {х | хе А,х< а}. Пусть аир — порядковые типы линейно упорядоченных непересекающихся множеств An В с порядками <А и <в соответственно. Суммой порядковых типов аир называется порядковый тип множества A U В с порядком <, определенным следующим образом: х<у<^>(хеА,уеВ) или (х, уе Апх<Лу) или (х, уе Вихеву). Сумма порядковых типов аир обозначается через а + р. Пусть дано семейство попарно непересекающихся линейно упорядоченных множеств Aj с порядковыми типами а, и порядками <t соответственно, где / е /, а /линейно упорядочено отношением <7. Суммой порядковых типов at называется порядковый тип множества U Д с порядком <, определенным следующим образом: iel х < у <=> (х, у е А;И x<ty для некоторого / е I) или (х g At, у е At для некоторых ix < 7 /2). Сумма порядковых типов а, обозначается через ^ at . iel Пусть аир — порядковые типы линейно упорядоченных множеств An В с порядками <А и <в соответственно. Произведением порядковых типов аир называется порядковый тип множества Ах В с порядком <, определенным следующим образом: (х1? ух) < (х2, у2) <^=> {ух <в у2) или (ух = у2кх1 <А х2). Произведение порядковых типов аир обозначается через а • р. Обозначим через ап выражение (... (а • а) • ... а) (п раз). Порядковые типы вполне упорядоченных множеств называются ординальными или порядковыми числами. Если аир— порядковые числа, то говорят, что а < р, если любое множество А порядкового типа а изоморфно некоторому начальному отрезку множества В порядкового типа р; а < р означает, что а < р или а = р.
§ 5. Ординальные числа 37 Порядковое число а называется предельным, если а ф О и а = sup {р | р — порядковое число и р < а}. Возведение в степень для порядковых чисел определяется следующим образом: ос°=1, о^+1 = о£ • а, ар = sup {о^ | £ < р} для предельного порядкового числа р. 1. Доказать, что если линейно упорядоченные множества подобны, то они и эквивалентны. 2. Доказать, что любое множество А, эквивалентное линейно упорядоченному множеству В, можно линейно упорядочить так, что А станет подобным В. 3. Пусть А, В, С — линейно упорядоченные множества. Доказать, что: (а) А - А (рефлексивность); (б) если А - В, то В - А (симметричность); (в) если А- В и В - С, то А— С (транзитивность). 4. Пусть А и_В— дднещро упорядоченные множества. Доказать, что если А = В, то А = В, но обратное неверно. 5. Доказать, что множество из п элементов можно линейно упорядочить п\ способами. 6. Доказать, что все конечные линейно упорядоченные множества одинаковой мощности подобны между собой. 7. Доказать, что для бесконечных множеств утверждение предыдущей задачи неверно. 8. Доказать, что линейно упорядоченные множества подобны тогда и только тогда, когда между ними существует взаимно однозначное соответствие, являющееся монотонным отображением. 9. Доказать, что для любого линейно упорядоченного множества А и любых а, Ъ е А: (а) а £ Л; (б) если а — наименьший элемент А, тоАа = 0; (в) Аа — линейно упорядоченное множество; (г) если а < Z>, то (Аь)а = Аа. 10. Доказать, что множество всех отрезков линейно упорядоченного множества А, упорядоченное отношением включения, подобно А.
38 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 11. Доказать, что бесконечное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип со тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет следующим условиям: (а) в А имеется наименьший элемент а0, (б) для любого а е А существует точная нижняя грань а' в множестве {х | а < х, х е А} (а' называется непосредственно следующим за а); (в) для любого подмножества Xмножества А из того, что а0 е X и X содержит вместе с каждым своим элементом непосредственно следующий за ним элемент, следует, что Х= А. 12. Доказать, что бесконечное линейно упорядоченное множество имеет порядковый тип со тогда и только тогда, когда все его начальные отрезки конечны. 13*. Доказать, что любое счетное линейно упорядоченное множество А имеет порядковый тип г| тогда и только тогда, когда А удовлетворяет следующим условиям: (а) в А нет наименьшего и наибольшего элементов; (б) для любых х, у е А таких, что х < у, существует z e А такой, что х < z < у (такой порядок называется плотным). 14*. Доказать, что всякое счетное линейно упорядоченное множество подобно некоторому подмножеству множества SB рациональных чисел. 15*. Пусть А — линейно упорядоченное множество, содержащее не менее двух элементов, B = A{J A2 U ... U ^4Л U... Положим для любых хь ..., хп, уь ..., уте А(1 < п, т) (хь ..., хп) < {уъ ..., ут) <^=> (п < т и хх = уъ ..., хп = уп) или (хх =У\, ..., xt_i = yt_i, xt < уi для некоторых / < п и / < т). Доказать, что: (а) < есть линейный порядок на В; (б) любое счетное линейно упорядоченное множество подобно некоторому подмножеству множества В. 16. Доказать, что порядковый тип любого интервала (не сегмента) действительных чисел есть X. 17*. Подмножество В линейно упорядоченного множества^ с порядком < называется плотным в А, если для любых аъ а2е А существует b е В такое, что а{< Ь<а2 или а2< Ь< а{. Доказать, что если А содержит счетное плотное в А подмножество, то А подобно
§ 5. Ординальные числа 39 некоторому подмножеству множества действительных чисел 3) с естественным порядком. 18. Показать, что (а *) *= а для любого порядкового типа а. 19. Показать, что к *= к, ц*= ц Д *= А, со *Ф со. 20. Доказать, что: (а) для любых порядковых типов аир существуют и однозначно определены порядковые типы а + р и а • р; (б) для любого линейно упорядоченного множества /и любого семейства порядковых типов {at}ieI существует и однозначно определен порядковый тип ^ щ . iel 21. Привести пример порядковых типов аир таких, что а + р Ф р + а. 22. Доказать, что: (а)а+(р + у) = (а + р) + у; (б) а + 0 = 0 + а = а; (в) 2 + 3= 5; (г) 1 + со = со, но со + 1 ф со; (д) co*+co = 7i; (е) л + л = л; (ж) А,+ 1 +Х = Х; (з)Х + ХфХ; (и) 1 + X + 1 есть порядковый тип сегмента [а, Ь] при а < Ъ. 23. Привести пример порядковых типов аир таких, что а • р Ф р • а. 24. Доказать, что: (а) а • (р • у) = (а • р) • у; (б) а- 0 = 0 • а = 0; (в) а • 1 = 1 • а = а; (г) 2 • 2 = 4; (д) л2 = л; (е) со • г| ф со • (г| + 1). 25. Построить множества порядковых типов со2, со3, со4,... 26. (а) Доказать, что для любых порядковых типов а, р и у а • (р + у) = а • р + а • у. (б) Привести пример порядковых типов а, р и у таких, что (а + р) • у Ф а • у+ р • у.
40 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 27. Пусть/и I— линейно упорядоченные множества, {Д}/е/ — семейство попарно непересекающихся подмножеств множества / такое, что U Д = /. Доказать, что если / = У Bt;, то для любого семейства порядковых чисел {осД^/имеем X ау ~ X X ау 28. Доказать, что а • р = ^ а^, где о^ = а для всех b e Ви В =$. Ье В 29. Доказать, что: (а)(а + р)* = р*+а*; (б) (а- р)* = а* • р*; (в) Ха* = X а*? гДе ^ ~~ линейно упорядоченное множе- V iel J iel* ство, a /* есть множество /с двойственным порядком. 30. Доказать, что: (а) всякое конечное линейно упорядоченное множество вполне упорядочено; (б) множество Л, где 0 < 1 < 2 < ..., вполне упорядочено; (в) множество Л, где 0<2<4<... < 1 < 3 < 5 < ..., вполне упорядочено; (г) множество J\f, где ...<3<2<1<0, не является вполне упорядоченным. 31. Являются ли вполне упорядоченными следующие множества: (а) множество JP целых чисел с их естественным порядком; (б) множество SB рациональных чисел с обычным порядком <; (в) множество 3) действительных чисел с обычным порядком <; (г) множество чисел вида 1 — , где п— положительное целое п число, с обычным порядком < ? 32. Доказать, что: (а) всякое непустое вполне упорядоченное множество имеет наименьший элемент; (б) каждое подмножество вполне упорядоченного множества вполне упорядочено. 33. Доказать, что если А ~ В и А вполне упорядочено, то В можно вполне упорядочить так, чтобы было А — В. 34. Показать, что если А — вполне упорядоченное множество, то у каждого элемента множества А, кроме наибольшего, имеется непосредственно следующий за ним элемент (см. задачу 11).
§ 5. Ординальные числа 41 35. Можно ли во вполне упорядоченном множестве выделить бесконечную убывающую цепь элементов хх >х2 >х3 >... ? 36. Доказать, что линейно упорядоченное множество вполне упорядочено тогда и только тогда, когда оно не содержит подмножества типа со*. 37. Пусть А — вполне упорядоченное множество. Доказать, что не существует такого монотонного взаимно однозначного соответствия/: А —> А, чтобы для некоторого элемента ае А было/(я) < а. 38. Доказать, что вполне упорядоченное множество не может быть подобным своему отрезку или части своего отрезка. 39. Доказать, что два различных отрезка вполне упорядоченного множества не могут быть подобными. 40. Доказать, что существует не более одного изоморфизма двух вполне упорядоченных множеств. 41*. Доказать, что из двух вполне упорядоченных множеств одно подобно другому или его отрезку. 42. Доказать, что линейно упорядоченное множество конечно тогда и только тогда, когда оно вполне упорядочено относительно заданного и относительно двойственного порядков. 43. Пусть А — вполне упорядоченное множество, В с: А и для любого элемента х е А множество В удовлетворяет условию: если Ах с Д то х е В. Доказать, что В = А (принцип трансфинитной индукции). 44. Пусть а, р — произвольные порядковые числа. Доказать, что: (а) а < р или р < а или а = р; (б) из указанных выше условий выполняется для аир лишь одно. 45. Пусть Wa = {р | р < а}, где аир — порядковые числа. Показать, что Wa = а. 46. Доказать, что всякое множество порядковых чисел вполне упорядочено. 47. Доказать, что для любого множества порядковых чисел S: (а) существует порядковое число, большее всех чисел из S; (б) среди порядковых чисел, не принадлежащих множеству 5, существует наименьшее. 48. Доказать, что не существует множества, содержащего все порядковые числа. 49. Доказать, что а + 1 есть порядковое число, непосредственно следующее за а (см. задачу 11). 50. Доказать, что для любого порядкового числа а имеет место одно и только одно из утверждений: 1) а = 0;
42 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 2) множество {р | р— порядковое число и р < а} имеет максимальный элемент; 3) а — предельное порядковое число. 51*. Доказать, что любое порядковое число представимо в виде а + я, где а есть предельное порядковое число или 0, п— натуральное число. 52. Доказать, что: (а) сумма двух порядковых чисел есть порядковое число; (б) произведение двух порядковых чисел есть порядковое число; (в) упорядоченная сумма порядковых чисел, где множество индексов вполне упорядочено, есть порядковое число. 53. Пусть /и {Д}/е/линейно упорядочены. Доказать, что если Д ф 0 и ^ Д есть порядковое число, то /и все А вполне упорядочены. iel 54. Доказать, что: (а) если An В вполне упорядочены и^сДто А < В ; (б) а < а + у, а < у+а; (в) а < р <=> у+ а < у+ р; (г) а < р =>а + у<р + у; (д)у+а = у+р=>а = р; (е)а + у<р + у =>а<р. 55. Привести пример порядковых чисел а, р и у таких, что а^р и а + у=р + у. 56. Доказать, что: (а) а < р => а • у < р • у; (б) а < р => у • а < у • р, если у ф 0; (в) у • а < у • р => а < р; (г) у • а = у • р => а = р, если у ф 0; (д) а • у < р • у => а < р. 57. Пусть р < а. Порадковое число у называется разностью а и р и обозначается через а - р, если а = р + у. Доказать, что: (а) а - р существует и единственно; (б)у<р<а=>р-у<а-у; (в)у<р<а =>а-р<а-у; (г) р < а => у • (а - р) = у • а - у • р. 58. Доказать, что: (а) если а! + р! = а2 + р2 и р2 < рь то щ < а2; (б)* если у < ар, то существуют и единственны такие 5 и £, что 5<а, £<риу=а-£ + 5;
§ 5. Ординальные числа 43 (в) если р > 0, то для любого а существуют и единственны такие у и 5, что 5<риа = р-у+5 (теорема о делении с остатком). 59. Доказать, что для любых порядковых чисел а0 и аь если а0 Ф О и а! Ф О, то существуют натуральное число п и порядковые числа а2, ..., ап, рь р2, ..., рл такие, что а{ > а2 > ... > ап > О и а0 = = а! • рх + а2, ^ = а2 • р2 + а3, ..., ап_2 = апА • рлЧ + ат ап_х = ап • рл (алгоритм Евклида). 60. Пусть свойство Р таково, что для любого ординального числа а из того, что все ординальные числа р < а обладают свойством Р, следует, что а обладает свойством Р. Доказать, что все ординальные числа обладают свойством Р (принцип трансфинитной индукции для ординальных чисел). 61. Доказать, что для любых порядковых чисел аир существует и единственно аР. 62. Построить множество порядкового типа сою. 63*. Доказать, что: (а) если а < р и у > 1, то у06 < У3; (б)ар+т=ар-ат; (в) (<xp)Y=<xp"Y. 64*. Доказать, что: (а) если сот = а + р и р ф 0, то р = сот; (б) если а > 1 и р > 1, то ар > а • р; (в) если а>1ир>1,то существуют и однозначно определены £, у и 5 такие, что р = о^ • у+ 5 и у < а, 5 < о^; (г) если у>1и1<а<у5, то существуют натуральное число п и такие последовательности порядковых чисел рь р2, ..., рл и 5Ь 52,..., ..., 8И, что а = у51-р1 + у52-р2+... + у5-рл, 5 > 8Х > 52 > . . . > 5Л и 0 < р, < у для /= 1, 2, ... 65*. Множество §> называется транзитивным, если отношение Х< Y^(X=YmmXe Y) вполне упорядочивает §>, 0 е §> и если из X е 7, Y е §> следует Хе §). Доказать, что для любого порядкового числа а > 0 существует и единственно транзитивное множество, упорядоченное по типу а.
44 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 66*. Следующее утверждение называется аксиомой выбора. (1) Аксиома выбора. Пусть Ха — непустое множество для любого а е А. Тогда существует функция выбора/: А —> U Ха такая, что f(a) е Ха для любого а е А. аеА Доказать, что каждое из следующих утверждений эквивалентно аксиоме выбора. (2) Лемма Цорна. Частично упорядоченное множество, каждое из линейно упорядоченных подмножеств которого имеет верхнюю грань, содержит максимальный элемент. (3) Принцип максимальности Куратовского—Хаусдорфа. Каждая цепь частично упорядоченного множества содержится в некоторой максимальной цепи. (4) Аксиома Цермело. Для любого семейства §> непустых попарно непересекающихся множеств существует такое множество С, что А П С для каждого А е §) состоит ровно из одной точки. (5) Теорема Цермело. Каждое множество можно вполне упорядочить. (6) Лемма Тейхмюллера—Тъюки. Каждое семейство множеств, имеющее конечный характер, обладает максимальным элементом. (Семейство §> множеств имеет конечный характер, если оно удовлетворяет условию: Хе §> <=> каждое конечное подмножество множества X принадлежит §>.) 67. Пусть А — частично упорядоченное множество, в котором каждая цепь имеет верхнюю грань, и а е А. Доказать, что существует максимальный элемент т е А такой, что т> а. 68. Пусть А — множество подмножеств множества В такое, что для каждой цепи С (порядок по включению) объединение множеств из С принадлежит А. Доказать, что тогда А имеет максимальный элемент. 69*. Доказать, что для всякого частичного порядка R на множестве А существует линейный порядок L на множестве А такой, что § 6. ДЕЙСТВИЯ НАД КАРДИНАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ Кардинальное число m называется суммой кардинальных чисел щ и п2 и обозначается через щ + п2 если каждое множество мощности m эквивалентно объединению двух непересекающихся множеств мощностей щ и п2. Аналогично, кардинальное число m называется суммой кардинальных чисел п, (/ е 7) и обозначается через m = ^n,,
§ 6. Действия над кардинальными числами 45 если каждое множество мощности m эквивалентно U Д, где А\ = nt iel и все Aj попарно не пересекаются. Кардинальное число m называется произведением кардинальных чисел щ и п2 и обозначается через щ • п2, если каждое множество мощности m эквивалентно А х В, где А и В имеют мощности пь п2. Аналогично, кардинальное число m называется произведением кардинальных чисел п, (/ е 7) и обозначается через m = ]^[п,, если каждое множество мощности m эквивалентно ГТ Ах, где А\ = nt. iel Кардинальное число m называется степенью кардинальных чисел щ и п2 и обозначается через п^2, если каждое множество мощности m эквивалентно Ав, где А и В имеют мощности щ и п2. 1. Доказать, что для произвольных мощностей тип выполняется одно и только одно из условий m = n, m < n или n < m (трихотомия). 2. Доказать, что кардинальные числа линейно упорядочены отношением <. 3. Доказать, что среди кардинальных чисел нет наибольшего. 4. Доказать, что: (а) 3 + 5 = 8; (б) п+ К0= К0, где п конечное; (в) Ко+к0=к0; (г) К0 + с = с; (д) с + с = с. 5. Доказать, что: (а) для любых множеств Аи А2 существуют множества Ви В2 такие, что Ах ~ Ви А2 ~ В2 и Вх П В2 = 0; (б) сумма двух кардинальных чисел всегда существует. 6. Доказать для произвольных кардинальных чисел: (а) пх + 112 = 112 + 11!; (б) П! + (п2 + п3) = (п! + п2) + п3; (в) п + 0 = п. 7. Пусть А, Д С,Аи ...,Ап — конечные множества. Доказать, что: (а) AUB = A + B-Af)B; (б) АивиС = А + В + С-АПВ-АПС-ВПС + АПВПС;
46 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ (Г) ^т^тГт^ = ^^+...+(-2)^-1 х ЛП-.П4+... h<-<h 8. (а) Доказать, что n<m =^> п +1 < т. (б) Привести пример таких кардинальных чисел пит, что п +1 < т, но т < п. 9. Доказать, что п < m тогда и только тогда, когда существует П! такое, что п + щ = т. Показать, что такое щ определяется не однозначно. 10. Доказать, что: (а) 3-5 = 15; (б) к0 • Ко = х0; (в) К0 • с = с; (г) с • с = с. 11. Доказать, что: (а) если A~BnC~D, то Ах С ~ В х D; (б) произведение двух кардинальных чисел всегда существует. 12. Доказать для произвольных кардинальных чисел: (а) щ п2 = п2 Пь (б) П! • (п2 • п3) = (п! • п2) • п3; (в) П! • (п2 + п3) = (П! • п2) + (П! • п3); (г) п • 1 = п; (д)п- 0 = 0; (е)* п • m = n, если m — конечное, an — бесконечное кардинальное число; (ж)* п • К о - п? если п — бесконечное кардинальное число. 13*. Доказать, что п2 = п, если п — бесконечное кардинальное число. 14. Доказать, что если пит — кардинальные числа и одно из них бесконечно, топт = п + т = max (n, т), если п^Оит^О. 15. Доказать, что: (а) 2*° = с; (б) К0*° = с; (в) с*° = с.
§ 6. Действия над кардинальными числами 47 16. Доказать, что для двух кардинальных чисел пит всегда существует пт. 17. Доказать для произвольных кардинальных чисел m, n и р: (а) mn+p = mn mp; (б) (m n)p = mp np; (в) (mn)p = mn,p; (г) m1 = m; (д)1т=1. 18. Доказать, что P(A) = 2A . 19. Доказать для произвольных кардинальных чисел: (а) если m < п и п < р, то m < р; (б) если m < п, то m + р < п + р; (в) если m < п, то m р < п р; (г) если m < п, то шр < пр; (д) если m < п, то рт < рп; (е) если т, п > 1, то т + п < т п; (ж) т + п = п тогда и только тогда, когда К 0 ' m ^ п? (з) если п + m = п и П! > п, то П! + m = п^ (и) n + m = n тогда и только тогда, когда n + k- т = п(ке jV,k>0); (к) п + m =п тогда и только тогда, когда п + К 0 • m = п; (л) m < 2m. 20. Доказать для произвольных кардинальных чисел: (а) если 2m > N0, то 2т > 2\ (б) если тп= К0, то m= K0, a n — конечное. 21. Доказать для произвольных кардинальных чисел: (а) если п > К0, то 2n = nn; (б) если 1 < m < п, К 0 < п, то ш11 = п11. 22. Доказать для произвольных кардинальных чисел: (а) если / = ш, п, = п для всех / е У, то m • п = ^п?; (б) если m + p = n + p и р конечно, то m = п; (в) если 2 • П! = 2 • п2, то П! = п2. 23. Доказать, что ieI iel 24. (а) Пусть {m,} (ie I)— семейство кардинальных чисел, причем щ = 0 для i e J qzL Доказать, что
48 ЧАСТЬ I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 5>/ = S mr iel ieI\J (б) Пусть {m,} (ie I) — семейство кардинальных чисел, причем т, = 1 для / g J qz L Доказать, что ГК = П т/ iel ieI\J (в) Доказать, что Y[mt ~ ^ тогда и только тогда, когда суще- iel ствует /0 g /такое, что ш, =0. 25. Доказать, что если ф— подстановка на множестве /, то: (а) Xй1' =ЕтФ(0' iel iel (б) Пт/ =ПтФ() iel iel 26. Пусть {Ax}XeL есть разбиение множества /на непустые попарно непересекающиеся множества. Доказать, что: ( \ (a) 5>i = X Emi ieI \eL\ ieAx . f \ (6) Пт1 = ППт1 ie I XeL\ ie Ax 27. Доказать, что: (a) n Xm/ =X(n'mi); *e/ /g/ (б) п x% = S rimi/d> где K = UJi ie I I je J, ) feK ie I iel 28. Доказать, что если m, < n, для всех / g /, то: (а) 2>,- <^nt; iel iel (б) Пш^П"/ iel iel
§ 6. Действия над кардинальными числами 49 29. Пусть /с /. Доказать, что: (а) 2>, <2>/; (б) Y\mi - Пт" где т'ф ®для' G ^\^- 30*. Пусть {m/J/e/И {П/}/е/ — два семейства кардинальных чисел и п, > 2 для всех / е /. Доказать, что: (а) если т, < п, для всех / е /, то ^ т,- < ]^[ п,; (б) если т, < п, для всех / е /, то ^ mr- < ]^[ п,. 31. Пусть 0 < ш0 < т{ < ... Доказать, что ^Г шл < ]^[ шл. /2G jK /2G .Ж 32. Пусть п > К0, {П/}/е/ — семейство кардинальных чисел, не превосходящих п, / < п. Доказать, что ^ п, < п. iel 33. Пусть аир — кардинальные числа, / = р и аг-. = а для каждого / е /. Доказать, что ар = Y[ at • iel 34. Доказать, что: In, (a) m^7 ^ = ПтП' iel (б) ( Y ie I j iel J 35. Доказать, что для любого кардинального числа m нельзя представить m ° в виде ^ m/? где т, < т/+1. 1еЛ
Часть II МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА § 1. АЛГЕБРА ВЫСКАЗЫВАНИЙ Алфавитом называется любое непустое множество. Элементы этого множества называются символами данного алфавита. Словом в алфавите 6 называется произвольная конечная (возможно, пустая) последовательность символов из 6. Произведением слов А ж В называется слово АВ. Слово В называется подсловом слова А, если А = CBD для некоторых слов С и D. Слово В может входить как подслово в слово А несколько раз. Результатом замены данного вхождения подслова В в слово CBD на слово Е называется слово СЕВ. Результатом подстановки А (а \В) в слово А слова В вместо символа а называется слово, полученное одновременной заменой всех вхождений символа а в слово А на слово В. Через А(а{\Вь ..., ап\Вп) обозначается результат одновременной подстановки в А формулы Вх вместо аь ..., формулы Вп вместо ап. Рассмотрим алфавит 6 = б!иб2ибз, гДе 6, = {Р0, Ръ Р2, ■■■}, ©2 = К &, v, =>}, б3 = {(,)}• Символы из &i называются переменными высказываниями или пропозициональными переменными. Символы из 62 называются логическими связками. Связка -. называется отрицанием, & — конъюнкцией, v — дизъюнкцией, з — импликацией. Скобки из 63 называются вспомогательными символами. Понятие формулы алгебры высказываний определяется следующим образом: 1) пропозициональная переменная есть формула; 2) если An В — формулы, то —iA, (A& В), (A v В), (Az) В) — формулы; 3) других формул, кроме построенных по пп. 1 и 2, нет.
§ 1. Алгебра высказываний 51 Подформулой формулы А называется любое подслово слова А, которое само является формулой. В §§ 1—3 будут использоваться буквы Р, Q, ... (возможно, с индексами) для обозначения произвольных пропозициональных переменных, а буквы Д Д С, ... - для обозначения формул. Будем обозначать формулу ((Az) В) &(Bz)A)) через (А = В). Будем интерпретировать логические связки как функции, определенные на множестве {и, л} (истина, ложь), со значениями в этом же множестве следующим образом. Отрицание: -.и = л, -.л = и. Конъюнкция: и & и = и, и&л = л&и = л&л = л. Дизъюнкция: иуи = иул = луи = и, лул = л. Импликация: изи = лзи = лзл = и, и з л = л. Тогда каждая формула будет интерпретироваться как функция, определенная на множестве {и, л}, со значениями в этом же множестве, полученная из -., &, v, з по правилам построения данной формулы. Такую функцию будем также называть таблицей истинности данной формулы. Значением формулы А при данных значениях переменных в множестве {и, л} называется значение функции, соответствующей формуле А при этих значениях переменных. Формулы An В называются эквивалентными (обозначается через А-В), если при любых значениях переменных значение А совпадает со значением В. Формула называется выполнимой (опровержимой), если существует такой набор значений переменных, при которых эта формула принимает значение и (л). Формула называется тождественно истинной или тавтологией (тождественно ложной или противоречием), если эта формула принимает значение и (л) при всех значениях переменных. Пусть Аи ...,Ап — формулы (п > 1). Будем называть конъюнкцией формул Аь ..., Ап формулу (...(Ах &А2)... &Ап) и обозначать ее через (А{ & А2 & ... & Ап). Будем называть дизъюнкцией формул Аъ ...,Ап формулу (...(Ах v A2)... v Ап) и обозначать ее через (Ах v A2 v ... v An). Формула, которая есть пропозициональная переменная или отрицание переменной, называется литералом. Произвольная конъюнкция литералов называется конъюнктом или элементарной конъюнкцией; произвольная дизъюнкция литералов называется дизъюнктом или элементарной дизъюнкцией. Дизъюнктивной нормальной формой (д.н.ф.) называется произвольная дизъюнкция конъюнктов, а конъюнктивной нормальной формой (к.н.ф.) — произвольная конъюнкция дизъюнктов.
52 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Д.н.ф. (к.н.ф.) А называется совершенной и обозначается с.д.н.ф. (с.к.н.ф.), если каждая переменная формулы А входит с отрицанием или без отрицания в каждый конъюнкт (дизъюнкт) точно один раз. Д.н.ф. (к.н.ф., с.д.н.ф., с.к.н.ф.), эквивалентная данной формуле Д называется д.н.ф. (к.н.ф., с.д.н.ф., с.к.н.ф.) формулы А. 1. Определить, является ли данная последовательность формулой: (а) (Р0&Р1)Р2^Р,; (б) (Р0&Л)=>Р2; (в) ((Р3=>Ро)&-Л); (г) (((^P0)3P1)=>^(P2vP3))- 2. Сколькими способами можно расставить скобки в последовательности, чтобы получилась формула: (а) Р0^>^Р^Р2&Р0; (б) Р1=>Р2=>РзЗ^Р1=>^Р2? 3. Выписать все подформулы формулы: (а) (((Р0 => Л) & (Р2 з Р3)) з Ь Л v Р3)); (б) ((РозР1)з((Р0з-,Л)з-1Р1)). 4. Доказать, что всякая формула С, не являющаяся пропозициональной переменной, может быть представлена в одном из следующих видов: -.Д (А&В), (Aw В), (Az) В) для некоторых формул А ж В. 5. Доказать, что результат замены некоторого вхождения формулы С в формулу А вместо подформулы В снова есть формула. 6. Доказать, что результат подстановки А(Р\В) формулы В вместо пропозициональной переменной Р в формулу А снова есть формула. 7. Построить таблицы истинности для следующих формул: (а) (OPz)Q)v(Pz)(Q&P))); (б) b(P3^(Q&P))3(Pv7?)); (в) ((Р&(ОзР))з^Р); (г) (((М.е)з0з(Ь0); (д) ((Рз(Оз7г))з((Рз0з(Рз7?))); (е) ((P&(Qv^P))&((^Qz>P)vQ)). 8. Доказать выполнимость формул: (а) ^(Р^Р); (б) ((Рз0з(ОзР)); (в) ((Qz>(P&R))&^((PvR)z>Q)). 9. Доказать тождественную истинность формул:
§ 1. Алгебра высказываний 53 (а) ((PdQ)v(QdP)); (б) ((Рз0у(Рз^0); (в) (Рз((?з(Р&0)); (г) ((Pd0d((Qd/I)d(PdJ!))); (д) ((^Рз^0з(ОзР)); (е) (Рз(£зР)); (ж) (Pv^P); (з) ((Рз0з((Рз«2зР))з(РзР))); (и) ((Р&0зР); (к) ((P&0D0; (л) (P=>(Pv0); (м) (Q3(Pv0); (н) ((Рз Р) з ((£з Р) з ((Pv 0 з Р))); (о) ((Рз®з((Рз^О)з^Р)); (п) (^РзР); (р) (Рз^Р); (с) (Ьбз^Р)з(ЬезР)з0); (т) ((PvP)3P); (у) ((Q3P)3((Pv03(PvP))); (ф) (((Рз0зР)зР); (х) (-п Рз (Рз 0). 10. При каких значениях переменных X, У, Z, U, V, Ж ложны следующие формулы: (а) (((Id (Y& Z)) з (-, 7з^ JT)) з -, 7); (б) ((Jr&y)v(JT&Z)v(7&ZM^ (в) (((Xv Y) v Z) з ((JTv 7) & (JTv Z))); (г) (((Xv Y) & ((7v Z) & (Zv JST))) з ((X& Y) & Z)); (д) ((Xv Y) з ((-, Z& Y) v (X&^ 7)))? 11. Доказать, что если формула А тождественно истинна, то формула А (Р\В) тождественно истинна. (Здесь Р — пропозициональная переменная, а В — формула.) 12. Доказать, что если формулы An (Az) В) тождественно истинны, то формула В тождественно истинна. 13. Доказать, что: (а) если формулы (Av В) и (—iAv С) тождественно истинны, то формула (Bv Q тождественно истинна; (б) если формулы (Av В), (Az) С), (Bz)D) тождественно истинны, то формула (Cv D) тождественно истинна; (в) если формулы (—iAv В), (-. Cv-.i?) тождественно истинны, то формула (Az)^B) тождественно истинна.
54 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 14. Доказать, что А ~ В тогда и только тогда, когда А = В тождественно истинна. 15. Доказать, что: (а) А~А; (б) А~В ^В~А; (в) (А-В ж В-С) ^>А~С. 16. Доказать, что из Ах ~ А2 и 2?! ~ i?2 следует: (а) —■ ^4Х —. ^42; (б) (А1&В1)-(А2&В2); (в) (AlvBl)-(A2vB2); (г) (А^!)~(Л^2). 17. Доказать, что если А- В, то ^4(Р\С) ~ В(Р\С) для любых формул А, В ж С ж переменной Р. 18. Доказать, что если В~ Вх нА{ есть результат замены некоторого вхождения подформулы В в формулу А на формулу ВьтоА~А{. 19. Доказать эквивалентности: (а) (Р&Р)~Р; (б) CP&Q)~(Q&P); (в) (P&(Q&R))~((P&Q)&R); (г) (P&(Qv/?))~((P&Q)v(P&/?)); (д) (P&(QvP))~P; (е) (PvP)~P; (ж) (PvQ-(QvP); (з) (Pv(Qvi?))~((PvQ)vi?); (и) (Pv(Q&JR))~((PvQ)&(PvJR)); (к) (Pv(Q&P))~P. 20. Доказать эквивалентности: (а) -г^А~А; (б) (^эй)~Ь^эй); (в) -,(^&5)~(-,^v-,5); (г) -,(А=>В)~(А&-,В); (д) -,(^vi?)~(-,^&-,5); (е) (A&(Bv^B))~A; (ж) (Л v (Я &-,£))-Л; (з) (Л з —1 у4 ) i А' (и) ((Л v В) &(AvC)& (BvD) & (Cv £)) ~ ((Л& Z>) v (B& С)); (к) (Л & (A v С) & (5 v С)) ~ ((Л &D)v(B& С)); (л) ((Л v 5) & (Bv С) & (Cv^)) ~ ((А&В) v (5& С) v (С&Л)); (м) ((A vB)&(BvC)& (Cv £)) ~ ((А & С) v (5& С) v (B&D)); (н) ((y4v5vC)&(5vCvZ»)&(CvZ)v^))~ ~ ((Л & 5) v (А & D) v (5 & Z>) v С);
§ 1. Алгебра высказываний 55 (о) ((AvB)&(Av^B))~A; (п) ((А & В) v ((A v В) & (-, A v -, 5))) ~ (Л v 5); (р) (Av(-nA&B))~(AvB). 21. Доказать, что: (а) (А = А)~(В=В); (б) (^(2ЫС))~((^Д)^С); (в) (А = В)~(В = А). 22. Доказать, что для любой формулы существует эквивалентная ей формула с тесными отрицаниями, т.е. формула, в которой нет символа з и отрицания относятся только к пропозициональным переменным. 23. Доказать, что для любой формулы существует эквивалентная ей: (а) конъюнктивная нормальная форма; (б) дизъюнктивная нормальная форма. 24. Привести к дизъюнктивной и конъюнктивной нормальным формам: (a) (((?D0D(J!DnP))D(nGDnJ?)); (б) (((((P3G)3-,P)3-,0 3-,i?)3i?); (в) ((Рз(езЛ))з((Рз-,Л)з(Рз-,0)). 25. Доказать, что если А есть тождественно истинная к.н.ф., то для любого дизъюнкта формулы А существует переменная Р такая, что Ри-iP входят в этот дизъюнкт. 26. Доказать, что если А есть тождественно ложная д.н.ф., то для любого конъюнкта формулы А существует переменная Р такая, что Ри-iP входят в этот конъюнкт. 27. Пусть А — формула с тесными отрицаниями (см. задачу 22) и Ах получается из А заменой & на v, v на & и переменных At на -1 At. Доказать, что Ах —\А. 28*. Пусть А и В — формулы с тесными отрицаниями (см. задачу 22) и ^4*, В* — формулы, двойственные к А и В соответственно (А* получается из А заменой & на v, v на &). Доказать, что из А- В следует А* ~ В* (закон двойственности). 29. По данному набору значений переменных построить конъюнкт, истинный только для этого набора значений переменных. (Назовем такую формулу конъюнктом, соответствующим данному набору значений переменных.) 30. Доказать, что всякая формула А эквивалентна дизъюнкции конъюнктов, соответствующих тем наборам значений переменных, при которых данная формула истинна (см. задачу 29).
56 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 31. (а) Доказать, что для любой выполнимой формулы существует эквивалентная ей с.д.н.ф. (б) Доказать, что для тождественно ложной формулы не существует эквивалентной ей с.д.н.ф. 32. По данному набору значений переменных построить дизъюнкт, ложный только для этого набора значений переменных. (Назовем такую формулу дизъюнктом, соответствующим данному набору значений переменных.) 33. Доказать, что всякая формула А эквивалентна конъюнкции дизъюнктов, соответствующих тем наборам значений переменных, при которых данная формула ложна (см. задачу 32). 34. (а) Доказать, что для любой опровержимой формулы существует эквивалентная ей с.к.н.ф. (б) Доказать, что для тождественно истинной формулы не существует эквивалентная ей с.к.н.ф. 35. Привести к совершенной дизъюнктивной нормальной форме, т.е. найти с.д.н.ф., эквивалентную данной формуле: (а) (ЬРз^0=>((2&Л)=>СР&Л))); (б) (((Рз0з^Р)з(Р=>(О&Р))); (в) b((P&Q=>^P)&^((P&Qz^Q)). 36. Привести к совершенной конъюнктивной нормальной форме, т.е. найти с.к.н.ф., эквивалентную данной формуле: (а) ((Rz>P)z>(^(QvR)z>P)); (б) (^((P&Q)z>P)v(P&(QvR))); (в) (^(P&(QvR))z>((P&Q)vR)). 37. Построить формулу А такую, чтобы данная формула была тождественно истинной: (а) (((M0D^)D((b.0Di)); (б) (((Rz>(^Q&P))z)A)z)(A&(Pz)Q)&R)). 38. Построить формулу от трех переменных, которая истинна в том и только том случае, когда ровно две переменные ложны. 39. Построить формулу от трех переменных, которая принимает такое же значение, как и большинство (меньшинство) переменных. 40. Построить формулу А от переменных Р, Q, R так, чтобы: (а) (PSlA)-(PSlQ) и (PvA)-(PvR); (б) (Rz>A)~(Rz>(P&Q)) и (Az)R)~(^(PvQ)z>R); (в) (Pz)A)~(Qz>(^PvR)) и ((Rz>Q)z>P)~(^P^A). 41. Доказать, что формула от п переменных является тождественно истинной (тождественно ложной) формулой тогда и толь-
§ 2. Функции алгебры логики 57 ко тогда, когда ее с.д.н.ф. (с.к.н.ф.) содержит 2п попарно не эквивалентных конъюнктов (дизъюнктов). 42. Пусть формула А записана в с.к.н.ф. Строим формулу В следующим образом: 1) выписываем конъюнкцию дизъюнктов, не входящих в А; 2) меняем & на v, v на &, Pt на -. Рь -. Pt на Pt. Доказать, что формула В — с.д.н.ф. формулы А. 43. По с.к.н.ф. формулы А построить: (а) с.д.н.ф. А*, где А* — двойственная к А (см. задачу 28); (б) с.к.н.ф. формулы -1 А; (в) с.д.н.ф. формулы -1А 44. По с.д.н.ф. формулы А и с.д.н.ф. формулы В построить: (а) с.к.н.ф. и с.д.н.ф. формулы (Av В); (б) с.к.н.ф. и с.д.н.ф. формулы (А & В); (в) с.к.н.ф. и с.д.н.ф. формулы (Az) В). 45*. Доказать, что формула А от переменных Рь ..., Рк эквивалентна некоторой формуле, содержащей лишь &, v, з и не содержащей -., тогда и только тогда, когда в ее с.к.н.ф. отсутствует дизъюнкт (-1 Р{ v ... v -1 Рк). 46*. Пусть формула А не содержит других связок, кроме =. Доказать, что А является тождественно истинной тогда и только тогда, когда каждая переменная входит в А четное число раз. 47*. Пусть формула А не содержит других связок, кроме = и -1. Доказать, что А является тождественно истинной тогда и только тогда, когда каждая переменная и знак отрицания входят в А четное число раз. § 2. ФУНКЦИИ АЛГЕБРЫ ЛОГИКИ Функцией алгебры логики называется любая л-местная функция из {0, 1} в {0, 1}. Множество всех функций алгебры логики обозначается через С. Будем говорить, что функция f(xu ..., xt_u xh xi+u ..., xn) существенно зависит от переменной хь если существует такая последовательность (аъ ..., Я/_ь ai+u ..., ап) из 0 и 1, что f(ab ..., ах_ъ 0, ai+l, ..., ап)Ф/(аъ ..., ах_ъ 1, ai+l, ..., ап). Переменные, от которых функция f(xu ..., хп) существенно зависит, называются существенными переменными для функции f(xu ..., хп), остальные — фиктивными. Будем отождествлять
58 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА функции, из которых добавлением фиктивных переменных можно получить одну и ту же функцию. Пусть имеется некоторое множество G функций алгебры логики. Каждой л-местной функции /из G поставим в соответствие функциональный символ f. Пусть v0, vb v2, ... — счетное множество символов, называемых переменными. Определим понятие терма: (а) переменная есть терм; (б) если/— л-местная функция из Си Тъ ..., Тп — термы, то f (Ть ..., Тп) — терм. (в) других термов нет. Сопоставим каждой переменной v0, vb ... ее значение во множестве {0, 1}. Определим значение терма Г при данных значениях переменных: (а) если Т — переменная, то значение Т совпадает со значением этой переменной; (б) если T=f (Ть ..., Тп), а значения Ть ..., Тп есть еь ..., гп соответственно, то значение Гесть/(£ь ..., гп). Говорим, что л-местная функция g алгебры логики предста- вима термом Т, если все переменные Г содержатся среди vb ..., vn и для любых значений переменных vb ..., vn значение терма Т совпадает со значением g (vb ..., v„). Говорим, что функция g есть суперпозиция функций/, ..., /, если g представима термом, все функциональные символы которого содержатся среди fb ..., fn. Система функций G называется полной, если любая функция алгебры логики есть некоторая суперпозиция функций из G. Система функций G называется независимой, если никакая функция / системы Сне представима суперпозициями функций из G\{f}. Класс функций G называется замкнутым, если вместе с любыми своими функциями он содержит и все их суперпозиции. Замкнутый класс G называется предполным, если G^C и G не содержится ни в каком другом замкнутом классе, отличном от С. Независимая система функций G называется базисом замкнутого класса К, если всякая функция из К есть суперпозиция функций из G Введем специальные обозначения для основных функций алгебры логики: О (х) = 0, 1 (х) = 1 для всех х, i(x) = х; [0 при х = 1, [I при х = 0; [1 при х = у = 1, ху = х&у= \ [0 в остальных случаях;
§ 2. Функции алгебры логики 59 ГО при х = у = О, xvy = \ [I в остальных случаях; ГО при х = у, х + у= \ [I при хфу\ xz)y = ^xvy, х = у = ^(х + у), х\у = ^(х-у). Через Ci обозначается класс функций, удовлетворяющих условию /(1, 1, ..., 1) = 1, а через С0 — класс функций, удовлетворяющих условиюДО, 0, ..., 0) = 0. L есть класс всех линейных функций, т.е. функций вида х{ + ... + хп + г, где £ е {0, 1}. D есть класс самодвойственных функций, т.е. функций, удовлетворяющих условию f(xu ..., хп) = -i/(-i хь ..., -ix„). Через М обозначается класс всех монотонных функций, т.е. функций, удовлетворяющих условию х{< уь ..., хп< уп => f(x{, ..., xn)<f(yl, ..., уп). Пусть Т — терм, представляющий некоторую функцию алгебры логики, в записи которого встречаются только знаки &, v, и -. и переменные аь ..., ак. Обозначим через г(Т, х) формулу теории множеств, полученную из терма Т подстановками вместо переменных аь ..., ак соответственно выражений хе Zb ..., хе Zk. Обозначим через Z(T) выражение, которое получается из терма Т заменой переменных at символами Zh символов &, v, -. — соответственно символами П, U, -. При интерпретации Z(T) в теории множеств символы Д будут обозначать подмножества универсального множества U. 1. Показать, что каждой формуле А алгебры высказываний можно сопоставить функцию q>(A) алгебры логики так, что Al~A2<*q(Al) = q(A2). 2. Сколько имеется функций алгебры логики от п переменных? 3. Найти все существенные переменные следующих функций: (а) (y&x)v(^y&z); (б) (х & у) v -. х; (В) (id(P2))d((idj)d(xd2)). 4. Выразить с помощью суперпозиций: (а) & и з через v и -.; (б) v и з через & и -.; (в) & и v через з и -.; (г) &, v, з, -! через |;
60 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (д) -1 через з и 0; (е) -1 через + и 1; (ж) v через з. 5. Доказать, что Сь С0, L, D и М являются различными замкнутыми классами, отличными от С. 6. Доказать, что нельзя выразить с помощью суперпозиций: (а) -1 через &, v, з и =; (б) з через &, v; (в)* & через v, з. 7. (а) Доказать, что для каждой функции Дх, хь ..., хп) выполняется равенство f(x, хь ..., xn) = (x-f(l, хь ..., xn))v(-nx-f(0, хь ..., хп)). (б) Пусть n>i>\. Доказать, что каждую функциюf(xu ..., хп) алгебры логики можно представить в виде ДХ1? ...,Х/? Х/+1, ..., Хп) = V (Х^ • ... •Х/г)-/(£1, ..., £/? Х/+1, ..., Хп), 8ь...,8г Где EjE {0, 1}, Xj* = —iXp x/=Xj. 8. Доказать полноту систем функций: (а) {&, v, ^}; (б) {v, ^}; (в) {&, ^}; (г) {=>, -,}. 9. Доказать неполноту систем функций: (а) {&, v, =>}; (б) Ы. 10. Доказать полноту систем функций: (а) {I}; (б) {1} (здесь 1 = -, (х v у))\ (в) {з, 0}; (г) {+, v, 1}. 11. Доказать, что: (а) {+, •, 1} — полная система функций; (б) любая функция f(xu ..., хп) единственным образом пред- ставима полиномом Жегалкина, т.е. в виде: k>\ \<ix <.. <ik <n где £0, г{ j e {0, 1}.
§ 2. Функции алгебры логики 61 12. Показать, что следующие системы функций независимы: (а) Ь, =}; (б) К +}; (в) К +}; (г) {=, v}. 13. Показать полноту и независимость следующих систем функций: (а) {=>, /}, где х/у = -,(у=>х); (б) {0, 1, [., ., .]}, где [х, у, z] = (у &x)v (-,?&*); (в) {=, v, 0}. 14. Покажите, что =, + не составляют полной системы функций. Выясните все возможные способы сделать эту систему полной системой независимых функций добавлением одной не более чем 2-местной функции. 15. Какая система из одной 2-местной функции является полной? Найти все такие системы. 16. Привести пример полной системы функций: (а) состоящей из одной 3-местной функции; (б) состоящей из одной л-местной функции (п>2). 17. Доказать, что из всякой полной системы функций можно выделить конечную полную подсистему. 18. Доказать, что: (а) {&, з} — базис для Сх\ (б) {&, +} — базис для С0; (в)* {v, &, 0, 1} — базис для М; (г) {0, =} — базис для L; (д)* {-., xy + xz + yz) — базис для D. 19. Доказать, что классы Сь С0 являются предполными классами. 20. Доказать, что: (а) из всякой немонотонной функции и функций 0 и 1 можно получить суперпозициями функцию -.; (б) класс М является предполным классом. 21. Доказать, что: (а) из всякой несамодвойственной функции и функции -. можно получить суперпозициями функций 0 и 1; (б) класс D является предполным классом. 22. Доказать, что: (а) из всякой нелинейной функции и функций 0, 1, -. можно получить суперпозициями функцию &; (б) класс L является предполным классом.
62 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 23. Доказать, что любой замкнутый класс К ф С содержится в некотором предполном классе. 24. Доказать, что система функций полна тогда и только тогда, когда она не содержится ни в одном из пред полных классов. 25*. Доказать, что не существует предполных классов, отличных от Сь С0, L, D и М {теорема Э. Поста). 26. Доказать, что всякий базис С содержит не более четырех функций. 27. Пусть ТжТх — термы, представляющие некоторые функции алгебры логики, г(Т, х) — формула теории множеств, определенная в конце вводной части параграфа. Доказать, что: (а) z((TwTx), х)^(г(Т, x)v г(Ть х)); (б) гИТ&Т,), х)^(8(Г, х)&г(Ти х)); (в) £(-|Г, х) <=>-.£ (Г, X). 28. Доказать, что в теории множеств: (а) Z(-, T) = -Z(T), где -Z= U\Z; (б) Z(TvTl) = Z(T)\JZ(Tl); (в) Z(T&Tl) = Z(T)ClZ(Tl). 29. Доказать, что в теории множеств £ (Г, х) <=>хе Z(T). 30. Пусть функция/представима термом Г, a g — термом Т{. Доказать, что: (а) если/Оь ..., ak)=g(au ..., ак) для всех аъ ..., аь то в теории множеств выполняется тождество Z(T) = Z(TX)\ (б) если (f(au ..., fljk)Dg(fl1} ..., ak)) = l для всех дь ..., аь то в теории множеств выполняется соотношение Z(T) eZ(771); (в) если/(яь ..., ак) = 1 для всех аи ..., яь то в теории множеств выполняется тождество Z( T) = U; (г) если/(яь ..., ак) = 0 для всех аъ ..., яь то в теории множеств выполняется тождество Z(T) = 0. 31. Доказать, что если функция/(яь ..., ак) представима термом Г и Z(T)= U для всех произвольных Zb ..., Z^cf/, то f(au ..., я*) = 1 для всех аь ..., ак. 32. На основании каких тождеств алгебры логики можно получить следующие теоремы теории множеств: (а) (XUY)UZ=XU(YUZ); (б) XnY=Yf]X; (в) -(Xf]Y) = -X[j-Y; (Г) -(-*)=*?
§ 3. Исчисления высказываний 63 33. Какие теоремы теории множеств можно получить из следующих тождеств алгебры логики: (а) (fl&(-,flv*))z>*=l; (б) а & (av b) = а; (в) a v-i а= 1; (г) (fl&*)z>(flv*) = l; (д) а & b = b & а; (е) а = а& (Z> v-> b); (ж) -i(<z & 6) = -i a v-i 6; (з) (а& b)v а = а; (и) (a&b)&c = a&(b&c); (к) -1 (я v b) = ^a &-i 6; (л) av (a & b) = а; (м) (flvi)vc = flv(ivc); (н) я&^я = 0? § 3. ИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ Определим исчисление высказываний ИС Рассмотрим алфавит 6 = 0! (J 02 (J 0з U 04, ГДС 01 = {РЬ ^2, ...}, 02 = К &, V, 3}, ^з = {(?)> Л5 04 = { Ь }. Понятие формулы определяется как в § 1. Секвенциями называются выражения следующих трех типов, где Аъ ..., Ат В — любые формулы: Аи ..., Ап \- В, где п > О («изАъ ...,, ^4Л следует В»), \- В (В доказуема), Аи ..., Ап\- (система Аъ ..., Ап противоречива). Правилом вывода называется выражение вида ь'"'—-, где Хь ..., Хь X — произвольные секвенции. X называется непосредственным следствием Хь ..., Х^ по данному правилу вывода. Исчисление ИС определяется следующими схемой аксиом и правилами вывода (где символы А, В, С обозначают произвольные формулы, Гь Г2, Г3, Г — конечные последовательности формул, возможно, пустые). Схема аксиом: Ah А. Правила вывода: Тх]гА\Т2]гВ L гьг2ил&ю (введение&); Т^(А&В) 2. —^Г2— (удаление &);
64 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Th(A&B) 3. 4. 5. 6. —^7g— (удаление &); г\-а T\-(AvB) (ввеДение v>' Г1-5 Th(^v5) (™^™w), r1h(^v5);r2,^hC;r3,JBhC / г г г i_/" (удаление v,), Г,А\-В 7- гь(^з^) (введение =)); Г!Ь^;Г2Ь(^з^) 8- ГиГ2\-В (удаление з); Г,А\- 9- г\-^А (введение^); лгл Г1\-А;Г2\-^А 10. ——— (сведение к противоречию); 1 ь А 2 г- ^ • rhj (Удаление^); ГЬ 12. р, ^ (утончение); Г\-А 13. г n,j (расширение); ГЬ4Д,Г21-С / 14' ГЬ Д Л Г2 Ь С (перестановка); 15. р i, л (сокращение). Аксиомой называется выражение, получающееся из схемы аксиом подстановкой вместо символа А конкретной формулы. Вывод в ИСесть конечная последовательность секвенций Хь ..., Ик такая, что для каждого i (\<i<k) X, есть либо аксиома, либо
§ 3. Исчисления высказываний 65 непосредственное следствие предыдущих секвенций по правилам 1—15. Секвенциями X называется выводимой (или доказуемой) в ИС, если существует вывод в ИС, оканчивающийся секвенцией X. у . .у Правило ь '"'—- называется допустимым в ИС, если из выводимости в ИС секвенций Хь ..., Х^ следует выводимость секвенции X. Определим исчисление ИВ. Схемами аксиом исчисления ИВ является следующие выражения: 1.(Лз(2*зЛ)); 2. ((iD В) з ((iD(b С)) D(iD С))); 3.((A&B)z>A); 4.((A&B)z>B); 5. ((ЛзЯ)з((ЛзС)з(Лз(Я&С)))); 6.(iD(iv5)); 7.(2*з(Лу20); 8. ((iD С) з Pd С) з ((Л v Я) з С))); 9.(04з^)з(Яз^)); Ю.(-гп^З^). Исчисление ИВ имеет следующее правило вывода (modusponens): А; (А з В) В Аксиомой (или вариантом схемы аксиом) называется выражение, получаемое из данной схемы аксиом подстановкой вместо символов А, В и С конкретных формул. Формула А называется непосредственным следствием формул В и (Az) В). Выводом в ИВ называется конечная последовательность формул Аъ ..., Ак такая, что для каждого / (1 < /< к) Д есть либо аксиома, либо непосредственное следствие предыдущих формул. Вывод из множества формул Г есть последовательность формул Аи ..., Ак такая, что для каждого / (1 <i<k) At есть либо аксиома, либо одна из формул Г, либо непосредственное следствие предыдущих формул. Будем писать Ь А (Г Ь А), если существует вывод (вывод из Г), оканчивающийся формулой А. Формула А в этом случае называется выводимой в ИВ (выводимой из Г). Множество формул Г назовем противоречивым, если существует формула А такая, что Г Ь А и Г Ь-■ А, непротиворечивым — в противном случае.
66 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Г{ \- Ах\...\ Тп \- Ап Выражение вида —— назовем допустимым в ИВ 1 Г £) правилом, если в ИВ из Г{ \- Ах\ ...; Тп \- Ап следует Г \- В. Интуиционистским исчислением высказываний ИИВ называется исчисление, схемами аксиом которого являются схемы аксиом 1—9 исчисления ИВ и формулы вида (—iAz)(Az)B)), правилом вывода — modus ponens. Определение выводимости в ИИВ аналогично соответствующему определению для ИВ; Ьи^4 (ГЬИ^4) означает, что А выводима в ИИВ (выводима в ИИВ из Г). Логической матрицей называется система 9Я = (М, Д &, v, з, -.), где М — непустое множество, D^M, &, v, з — двуместные, -1 — одноместная функция на М. Формула А называется общезначимой в 9Я, если при любых значениях переменных в множестве М значение формулы А входит в D. Говорим, что формула А зависит от системы формул А, если существует конечная последовательность формул Д, ..., Вт где Вп = А и для любого / (1 < /< п) Д есть результат подстановки в некоторую формулу из А или Д есть непосредственное следствие предыдущих формул по modus ponens. В противном случае А называется независимой от А. Система формул А называется независимой, если каждая формула А из А независима от А\{^4}. Система схем аксиом называется независимой, если для каждой схемы аксиом существует ее вариант, независимый от множества вариантов остальных схем аксиом. 1. Построить выводы секвенций в ИС: (а) h(iDi); (б) (А^В), (£з C)h(iDC); (в) \-(-^А = А); (г) (А^(В^С)), (А^В),А^С\ (д) (А^В), ^Bh^A; (е) A, ^Bh^(Az>B). 2. Доказать правило подстановки в ИС: если выводима секвенция Аи ..., Ап\- Д Р — переменная и С — любая формула, то выводима секвенция Аг(Р\С), ..., Ап(Р\С) \- В(Р\С). 3. Доказать, что следующие правила являются допустимыми в ИС: Г{ \- А;Г2, Ah В (а) г Г Ь£ (сечение); Y,A,BVC (б) г (А&В)\-С (объеДинение посылок);
§ 3. Исчисления высказываний 67 T,(A&B)hC (в) г л в h С (расщепление посылок); r,AhC;T,BhC ^ T,(AvB)hC (Разб°Р случаев); (д) г ?^h A (контрапозиция); Г, ^В \- ^А (е) т- a i—Б- (доказательство от противного); 1 , А г В (ж) — '*"' о ™ (введение & и з); А,- ь ((А & ((А&... ..,AnhB ...&Л)=>5) &А)зД) ,_ (3) а а \- а (Удаление & и -,). Ах,...,Ап \- В 4. Доказать, что если правило — допустимо в ИС для лю- Г и бой формулы А, то правило допустимо в ИС. Г2 \- 5. Вывести в ИС следующие секвенции: (а) (А=>В), (5=>С)Ь(Лз С); (б) 04=>0ВзС))К(Я=>04=>С)); (в) (Лз(5=>С))Ь((Л&Я)з С); (г) ((A&B)z>C)\-(A=>(Bz>C)); (д) (iDJJ)h((bC)D(^C)); (е) (Л=>5)Н((СзЛ)з(Сз5)); (ж) (Az>B)\-((C&A)z>(C&B)); (з) (^эВ)Ь ((Л & С) => (5& С)); (и) (iD^)h((ivC)D(5vC)); (к) t^3fi)h(tCvi)D(Cv5)); (л) -,А\-(А=>В); (М) ylh(ny<Dj); (н) ЯЬ(Л=>Я); (о) (ЛзЯ)Ь(-,Яз-,Л); (п) (^D^B)h(fiD^i); (р) (-nAz>B)\-(-nBz>A); (с) (-,Лз-,Я)Ь(5=>Л). 6. Доказать, что следующие правила допустимы в ИС:
68 ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Г, A h В; Г, В h A (а) Г Ь (А = В) ' (б) Г,ЛКЯ ' Г h (Л = i?) (в) Г, BhA ■ 7. Вывести в ИС следующие секвенции: (а) (Az>B), (Bz>A)h(A = B); (б) (A^B)h(A^B); (в) (A = B)h(Bz>A); (г) (Л = Я), ЛЬ Я; (д)\-(А = А); (е) (Л = Я), (5^C)h(^=C); (ж) (A = B)h(B = A); (з) (iE5)h(^E.5); (и) (Л = В) Ь ((Л & С) = (5& С)); (к) (А = В)^((С&А) = (С&В)); (л) f^5)h(HvC)E(£vC)); (м) (A = B)^((CvA) = (CvB)); (н) (iEfi)h((bC)E(bC)); (о) (Л = Я)Ь((С=>Л) = (СзЯ)). 8. Пусть А — формула, В — подформула формулы А, Ах — результат замены некоторого вхождения В в А на формулу Вх. Доказать выводимость в ИС секвенции (B=B{) Ь (А = А{) (теорема о замене в ИС). 9. Вывести в ИС следующие секвенции: (а) \-((А&В) = (В&А)); (б) \-((AvB) = (BvA)); (в) \-((А&(В&С)) = ((А&В)&С)); (г) \-((Av(BvC)) = ((AvB)vC)); (д) \-((A&(BwC)) = ((A&B)v(A&C))); (е) b(G4v(5& C))E((^v5)&(iv С))); (ж) h (-, (Л &£)s(-,,4v-,£)); (з) h(-,(^vi?)s(-,^&-,5)); (и) \-((A^B) = (-nAvB)); (к) h^ivi); (л) \-((Az>B)v(Bz>A)). 10. Пусть Л — формула, а А{ — ее к.н.ф. (см. § 1). Доказать выводимость в ИС секвенции \- (А = А\).
§ 3. Исчисления высказываний 69 11. Доказать, что для любой тождественно истинной к.н.ф. А секвенция Ь А выводима в ИС. 12. Доказать, что: (а) если секвенция Аи ..., Ап \- В выводима в ИС, то формула ((А{ & ... &Ап) з В) тождественно истинна; (б) если секвенция Ь В выводима в ИС, то формула В тождественно истинна; (в) если секвенция Аи ..., Ап \- выводима в ИС, то формула -1 (А{ & ... &Ап) тождественно истинна. 13*. Доказать, что секвенция Ь А выводима в ИС тогда и только тогда, когда А тождественно истинна (теорема о полноте ИС). 14. Выводимы ли в ИС следующие секвенции: (а) h((PvQ)z>(P&R)); (б) h(((?D0D0D?); (в) Ь(((Рз 0з0=>0; (г) h(-,(Pv-,P)z)(Pv-,P)); (д) Ph^(P^P); (е) (Р=>0Ь«2зР)? 15*. Доказать интерполяционную теорему для ИС: если доказуема секвенция А \- В и недоказуемы секвенции А \- и \- В, то существует формула С, все переменные которой входят как в А, так и в В, такая, что доказуемы секвенции А Ь С и С Ь 5 (такая формула С называется интерполянтом). 16. Построить интерполянты (см. задачу 15) для следующих секвенций: (а) -,(-,QvJ{)h(PD0; (б) .(^(e&^h^D^D^D^). 17. Являются ли выводами в ИВ следующие последовательности формул: (а) (P3(Pv0); (б) (Pz>(PvQ)), ((Pz>(PvQ))z>(Pz>(Pz>(i>v (?)))), (Pz>(Pz>(PvQ))); (в) (Pd(QdP)), ((Pz>(PvQ))z>Q), Q? 18. Построить выводы следующих формул в ИВ: (а) (РэР); (б) ((PvP)dP); (в) (Ь^?). 19. Доказать, что если А выводима в ИВ, то А(Р\В) выводима в ИВ для любых переменной Р и формулы В (правило подстановки).
70 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 20. Найти минимальное множество Г так, чтобы следующая последовательность была выводом в ИВ из Г: (а) (P=>(Q3i?)), P, (Q^R), Q, R; (б) ((Pd-гп 0з (-, Qz>-,P)), (Рз-rnQ), (-, Qz>-,P),-,(?,-, Р. 21. Доказать, что А\-Ав ИВ. 22. Доказать, что следующие правила являются допустимыми в ИВ: ГЬЛ (а) (б) (в) (г) (Д) В, Г Ь А ' Д 5, Г Ь Л Я,ГЬЛ Г, А, В, Г{ Г, 5, А, Т{ Г Ь Л; А, Г ? НС ЬС ' ii-Д г, гх ь в Au...,AnhB A(P\Q,...,A(P\Q\-B(P\C)- 23*. Доказать теорему о дедукции в ИВ: если Г, А\- В, то 24. Доказать для ИВ: (а) Г, A, Bh(A&B) (введение &); (б) Г, Ah(AvB) (введение v); (в) Г, B\-(AvB) (введение v); Г, А Ь В; Г, А Ь -.Я (г) г^^А (введение -,); (д) Г, (А&В)\-А (удаление &); (е) Г, (А&В)\-В (удаление &); Г, А Ь С; Г, В Ь С ^ T,(AvB)hC (УЯ^ъж v); (з) Г, ~г^А\-А (удаление -.). 25. Доказать, что множество Г непротиворечиво тогда и только тогда, когда существует формула, невыводимая в ИВ из Г. 26. Доказать, что в ИВ: (а) \-(А = А); (б) (А = В)\-(В = А);
§ 3. Исчисления высказываний 71 (в) (А = В), (B=C)\-(A=Q; (г) (А = В)\-(-^А = ^В); (д) (А = В)\-((А&С) = (В&С)); (е) (А = В)\-((С&А) = (С&В)); (ж) (A = B)h((AvC) = (Bw С)); (з) (A = B)\-((CvA)=(CvB)); (и) (^5)Н((^С).(5эС)); (к) (Л = Я)Ь((СзЛ)=(С=>Я)). 27. Пусть ^4 — формула, В — подформула формулы А, А{ — результат замены некоторого вхождения В в А на формулу Вх. Доказать теорему о замене в ИВ: {В=ВХ)^(А = АХ). 28. Доказать, что следующие формулы выводимы в ИВ: (а) ((А &(В& С)) = ((А &В)& С)); (б) ((Av(BvC)) = ((AvB)vC)); (в) ((А&В) = (В&А)); (г) ((AvB)^(BvA)); (д) ((^&(JvC))e((^&5)v(^&C))); (е) ((Av(B&C)) = ((AvB)&(AvC))); (ж) ((Л&Л) = Л); (з) ((AvA) = A); (и) ((iv(.4&fi))^); (к) ((Л&(^Я))=Л); (л) {-^А = А); (м) -.(Л&-.Л); (н) (Av^A); (о) ((^ & 5) S-,(-,^v-,!?)); (п) ((^vi)sn(nMni)); (р) ((ЛзД)^-,(Л&-,Д)); (с) ((^Л)е(^уЛ)); (т) ((А&В)^(А^^В)); (у) ((^уД)еЬ,4зД)); (ф) (n(^&iI)S(nAvni>)); (х) (-,(^Д)ее(-,Л&-,Д)); (ц) h(^_rn^s_,^). 29. Доказать, что если формула ^ выводима в ИВ, то секвенция Ь ^ выводима в ИС. 30*. Доказать, что: (а) если секвенция Аъ ..., А„\- В выводима в ИС, то Аъ ..., А„ Ь 5 в ИВ;
72 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (б) если секвенция Аи ..., Anh В выводима в ИС, то Аи ..., Ап^(В&^В) в ИВ; (в) если секвенция Ь В выводима в ИС, то формула В выводима в ИВ. 31. Доказать, что: (а) все аксиомы ИВ тождественно истинны; (б) все выводимые в ИВ формулы тождественно истинны. 32. Доказать теорему о полноте ИВ: каждая тождественно истинная формула выводима в ИВ. 33. Найти такие формулы А ж В, что из выводимости в ИВ формулы А следует выводимость В, но неверно, что А \- В. 34. Пусть А — формула и Ри ..., Рп — все ее переменные. Доказать, что если А невыводима в ИВ, то существуют такие формулы Въ ..., Вт что в ИВ выводима формула ^A(Pi\Bu ..., Рп\Вп). 35. Пусть А и В — формулы. Положим A^B^h(A = B) в ИВ; \\А\\^{В\А~В}. Доказать, что: (а) ~ есть отношение эквивалентности на множестве F всех формул; (б) фактор множество F/ ^ ^ {||^4||Je F) есть булева алгебра, где ||^41| < ||2?|| <=> Ь (^4з i?) в ИВ (эта алгебра называется алгеброй Линденбаума для ИВ); (в) А выводима в ИВ тогда и только тогда, когда ||^4|| есть наибольший элемент 1 алгебры F/ «. 36. Пусть SB — булева алгебра. Поставим ей в соответствие логическую матрицу (J?; {1}, &, v, з, -.), где х&у = х(~)у, xvy = x{Jy, xz)y = — x U J, -i x = —х. Доказать, что А выводима в ИВ тогда и только тогда, когда А общезначима во всех логических матрицах, соответствующих булевым алгебрам. 37*. (а) Пусть Т — ультрафильтр на алгебре Линденбаума F/ « (см. задачу 35). Для произвольной переменной Р положим значение Р равным и, если ||Р|| е Г, и л в противном случае. Доказать, что для любой формулы А Ае Т<^> А истинна при этих значениях переменных. (б) Вывести из (а) теорему о полноте исчисления ИВ (см. задачу 32). 38. Пусть А — формула, А — система формул, 9Я — логическая матрица. Доказать, что если все формулы из А общезначимы в 9Я
§ 3. Исчисления высказываний 73 и непосредственное следствие общезначимых в 9Я формул есть общезначимая в 9Я формула, а формула А не общезначима в 9Я, то А независима от А. 39. ПустьЛГ={0, 1, 2}, D={0},x&y = max{x, y},xvy = = min{x, у}, xз j = max{0, у — x}, -. x = 2 — x. Доказать, что формула A= ((Рз (Gd^))d ((Рз G) з(Рз Л))) не зависит от А, где А = {(Рз (Q=> Р)), ((-, Рз -, 0 з ((0з Р))}, используя логическую матрицу (М; Д &, v, з, -.). 40*. Доказать независимость схем исчисления ИВ. 41. Пусть L — исчисление высказываний со схемами аксиом: LL(Az>(Bz>A)), L2. (04зР)з((,4з(Рз С))з(^з С))), L3. (Ь^з^Р)з(Рз^)) 4 (А з Р) и правилом вывода . В (а) Доказать, что все выводимые в L формулы выводимы также в ИВ. (б) Доказать теорему дедукции для L. (в) Положим (^&Р) = ^(^з^Р), (AvB) = (^Az)B). Доказать, что все выводимые в ИВ формулы выводимы в L. 42. Доказать, что: (а) все выводимые в ИИВ формулы выводимы в ИВ; (б) (-i-iP=> Р), (Pv^P) невыводимы в ИИВ. 43. Для исчисления ИИВ доказать теорему о дедукции: если Г, АЬИВ, то ГЬи(АзВ). 44. Пусть ИИС — исчисление секвенций, которое отличается от ИС отсутствием правила 11. Доказать, что: (а) если формула А выводима в ИИВ, то секвенция Ь А выводима в ИИС; (б) если секвенция Аи ..., Ап \- В выводима в ИИС, то имеем Аъ ..., Ап Ьи В; (в) если секвенция Аъ ..., Ап \- выводима в ИИС, то имеем Аъ ..., Ап\-И(В&-,В); (г) если секвенция \- В выводима в ИИС, то формула В выводима в ИИВ. 45. Доказать, что: (а) hH(iD^i); (б) Ьи-гп(-гпЛзЛ); (в) -,-,Д -н^(,4зР)Ьи^Р.
74 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 46*. Доказать, что если формула А выводима в ИВ, то формула —i—i ^4 выводима в ИИВ. 47. Пусть Мп = {0, 1, ..., п), D={0}, x&у = тзх{х, у}, xvy = . , ГО, если х > у, ГО, если х = п, = mm{x, у), х^у= \ , -i*= i [у, если х < у, [п, если х < п. Доказать, что: (а) все выводимые в ИИВ формулы общезначимы в Шп = (М; D, &, v, з, ^> (л=1, 2, ...). (б) формулы An = ((Pl = P2)v...v(Pl = Pn + l)v...v(Pn = Pn + l)) невыводимы в ИИВ (п = 1, 2, ...). 48*. Пусть 9Л = (М; D, &, v, з, -.) — логическая матрица такая, что множество общезначимых в 9Я формул совпадает с множеством формул, выводимых в ИИВ. Доказать, что множество М бесконечно. § 4. ЯЗЫК ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ Пусть I, J, К— произвольные множества. Рассмотрим алфавит 6 = 6iU62U63U64U65U66, где ©i = {vo> vb v2? •••} — предметные переменные, ©2 = {^V'he / (ntE ^} — предикатные символы, (53 = {fp)j& j (nje ^) — функциональные символы, ©4 = №к)ке к — предметные константы, &5 = {&, v, з, -., V, 3} — логические символы, ©6 = {5 5 (?)} ~~ вспомогательные символы. РР1 называется пГместным предикатным символом, fp называется nj-местным функциональным символом, символ V называется квантором общности, а символ 3 — квантором существования. Названия остальных символов и сокращенные обозначения приведены в § 1. о = &2 U ©з U ©4 назовем сигнатурой. На дальнейшее зафиксируем некоторую сигнатуру о. Дадим определение терма сигнатуры о. 1. Предметные переменные и предметные константы являются термами.
§ 4. Язык логики предикатов 75 2. Если/2 — я-местный функциональный символ из а и th ..., tn — термы, то fn(tu ..., tn) — терм. 3. Никаких термов, кроме построенных по пп. 1 и 2, нет. Терм называется замкнутым, если он не содержит переменных. Атомной формулой сигнатуры о назовем произвольное слово Pn(tu ..., tn), где Рп — л-местный предикатный символ из о, a tu ..., tn — термы сигнатуры о. Дадим определение формулы сигнатуры о. 1. Атомная формула есть формула. 2. Если An В — формулы, то -. A, (Az) В), (А& В), (Aw В) — формулы. 3. Если А — формула, ах — предметная переменная, то V хА, то 3 хА — формулы. (В этом случае V хА и 3 хА называются областью действия квантора V х или 3 х соответственно.) 4. Никаких формул, кроме построенных по пп. 1—3, нет. Вхождение переменной х в формулу называется связанным, если оно находится в области действия квантора V х или 3 х, и свободным в противном случае. Переменная х называется свободной переменной формулы А, если в А имеется свободное вхождение х, и связанной переменной формулы А, если в А имеется связанное вхождение х. Терм t называется свободным для переменной х в формуле А, если никакое свободное вхождение х в А не находится в области действия никакого квантора V у или 3 у, где у — переменная, входящая в t Формула А называется замкнутой формулой или предложением, если всякое вхождение переменной в А является связанным. Подслово формулы А, которое само является формулой, называется подформулой формулы А. В дальнейшем используем символы х, у, г, хь х2, ... для обозначения предметных переменных (tu t2, ... — для обозначения термов, А, В, ... — для обозначения формул). В случаях, когда речь идет о формуле А и переменных хь ..., хт используется также запись А(хъ ..., хп). Если А(хъ ..., хп) — формула, то через A(tu ..., tn) обозначаем результат подстановки термов tu ..., tn в А вместо всех свободных вхождений переменных хь ..., хп. Пусть М — непустое множество и Rn — некоторое л-местное отношение на М. п-Местным предикатом на М, соответствующим отношению Rn, называется л-местная функция Рп из М в {и, л} такая, что для любых аъ ..., апе М Рп(аъ ..., ап) = ш <^=> (аь ..., ап) е Rn. Алгебраической системой 9Л = (М; а) сигнатуры а называется непустое множество М, где каждому л-местному предикатному
76 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (функциональному) символу из о сопоставлен л-местный предикат (функция) на М, а каждой предметной константе из о сопоставлен некоторый элемент из М. Предикаты (функции, элементы), сопоставленные символам из о, обозначаем теми же символами. Алгебраическую систему 9Я = (М; а) называет моделью, если о не содержит функциональных символов. Мощностью системы 9Л = (М; а) называется мощность М множества М и обозначается через 9Я. Пусть о{ с о2. Система ЭД^ = (М; о{) называется обеднением системы 9Л2 = (М; о2), а 9Л2 — обогащением 9ЯЬ если символы из G\ интерпретируются одинаково в Wl{ и 9Л2. Пусть Мх с М2. Система (модель) 9DTi = (Л^; а) называется подсистемой (подмоделью) 9Л2 = (М2; о), а 9Я2 — расширением 9ЯЬ если все символы из а интерпретируются в SPTx и 9Я2 одинаково на элементах из Мх. Если МхФМ2, то подсистема (расширение, подмодель) называется собственной. Пусть t — терм сигнатуры 5, все переменные которого содержатся среди хь ..., хь 9Л = (М; а) — алгебраическая система. Значение терма t при значениях переменных тъ ..., тке Мопределяется по индукции. 1. Если t есть переменная хь то значение t есть mt. 2. Если t есть fn(tu ..., tn), а значения tu ..., 4 есть яь ..., ап, то значение 7есть/"(яь ..., ап). Предложением сигнатуры о, относящимся к алгебраической системе 9Л = (М; а), называется предложение сигнатуры gm=g\JM. Истинностное значение предложения А, относящегося к 9Я, определим по индукции 0)Я N А будет означать, что А истинно в ЭДТ): (а) 9Я N Р?1 (tu ..., tn), где /\, ..., ^ — термы сигнатуры gm без переменных, тогда и только тогда, когда Р?1 (tb ..., ^) истинно в 9Я; (б) 9Я N (J & 5) тогда и только тогда, когда 9Я N ^4 и 9Я N В; (в) 9Я N (^4 v В) тогда и только тогда, когда УЛ^ А или 9Я N 5; (т) 9Л\= (Az) В) тогда и только тогда, когда 9Л¥А или 9Я N В; (д) 9ЯИ-.^4 тогда и только тогда, когда 9Л¥А; (е) 9Я N V х4 (х) тогда и только тогда, когда 9Я N А (т) для всех те М; (ж) 9Я N 3 х4(х) тогда и только тогда, когда 9Л\=А(т) для некоторого те М. Формула А(хи ..., xk) сигнатуры о, все свободные переменные которой есть хь ..., хь называется истинной е 9Л = (М; а) при
§ 4. Язык логики предикатов 77 значениях переменных тъ ..., mke M соответственно, если предложение А (ти ..., mk) истинно в 9Л. В противном случае А считается ложной в 9Л = (М; о). 1. Пусть/1 — одноместный, g2 — двуместный, h3 — трехместный функциональные символы. Являются ли термами слова: (а) /V(v0, vO); (б) g2(f\v2, /z3(v0, vb v2))); (b)/V(v0), h3(v0, vb v2))? 2. Пусть/1, g2, h3 те же, что в предыдущей задаче, Р1 — одноместный, Q3 — трехместный предикатные символы. Являются ли формулами слова: (а) Q3(v0, /'(v,), h3(vu v2, v2)); (б) (P'^dVv^Q^Vo, vb v2)&PV(vo, vO))); (в) Q3(P\v0), fl(v{), f\v2)); (r)fl(h\v0, vb v2))? 3. Показать, что выражение 3v0Vv!...VvVo (P(v1)&...&P(vVf))9 где Р — одноместный предикатный символ, не является формулой. 4. Выписать все подформулы формулы: (а) Q2(f\v0), g2(v0, v,)); (б) (3v0e2(v0, v,) з -п (Р1 (g2(v0, Vl)) &V v2Pl (v2))). 5. Описать множество термов от одной переменной v0: (а) и функционального символа/1; (б) и функционального символа g2. 6. Какие вхождения переменных являются свободными, а какие связанными в формулах: (а) Vv0(P(v0, vO^VViQCvO); (б) (Vv0P(v0, vO^VViUCvo, vO); (в) (-,3v2Q(v2, v2)&7?(/(vb v2)))? 7. Являются ли свободными для хв А терм £ (а) t=f(v0, v3), x = vb ^ = Vv0P(v0, vi); (б) t=f(vu v2), x = vb i4=(P(vb v2)z)3v2Q(v2))? 8. Доказать, что: (а) терм, не содержащий переменных, свободен для любой переменной в любой формуле; (б) переменная х свободна для х в любой формуле; (в) если А не содержит свободных вхождений х, то любой терм свободен для хв А.
78 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 9. Пусть Ш = (Л; S\ Р3), где 53(х, у, г) = и<=>х + у = 2, Р3(х, у, г) = и<=>х- y = z. Записать формулу с одной свободной переменной х, истинную в УЛ тогда и только тогда, когда: (а) х = 0; (б) х=1; (в) х = 2; (г) х четно; (д) х нечетно; (е) х — простое число. 10. Записать формулу с двумя свободными переменными х и у, истинную в 9Я из задачи 9 тогда и только тогда, когда: (а) х = у; (б) х<у; (в) х<у; (г) х делит у; (д) х и у являются простыми числами-близнецами. 11. Записать формулу с тремя свободными переменными х, у и z, истинную в 9Я из задачи 9 тогда и только тогда, когда: (а) 2 — наименьшее общее кратное х и у. (б) 2 — наибольший общий делитель х и у. 12. Записать предложение, выражающее в модели 9Я из задачи 9: (а) коммутативность сложения; (б) ассоциативность сложения; (в) коммутативность умножения; (г) ассоциативность умножения; (д) дистрибутивность сложения относительно умножения; (е) бесконечность множества простых чисел; (ж) всякое число есть сумма четырех квадратов; (з) существование н.о.к. и н.о.д. для чисел, отличных от нуля. 13. Записать предложение, выражающее в модели 9Я из задачи 9: (а) несуществование единицы; (б) простых чисел — конечное число; (в) всякое число можно представить в виде суммы двух квадратов; (г) для всякого числа существует строго меньшее число; (д) существование наибольшего натурального числа. Истинны ли эти предложения в модели 9Я?
§ 4. Язык логики предикатов 79 14. Записать предложение, выражающее в модели 9Я из задачи 9: (а) простых чисел-близнецов бесконечно много; (б) всякое четное число, большее 2, есть сумма двух простых. 15. Записать предложение, выражающее в модели 9Я из задачи 9 то, что уравнение Зх2 + 2х+ 1 = 0 имеет в точности два различных корня. 16. Записать предложение, выражающее в модели 9Я из задачи 9, что система уравнений Зх - у = О, х + у = 1 не имеет решения. 17. Пусть М — множество точек, прямых и плоскостей 3-мерного евклидова пространства со следующими предикатами: Т(х) = и <=> х — точка; Пр(х) = и <=> х — прямая; Пл(х) = и <=> х — плоскость; Л(х, у) = и <=> х — лежит на у. Записать следующие формулы: (а) через каждые две точки можно провести прямую; если эти точки различны, то такая прямая единственна; (б) через каждые три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести единственную плоскость; (в) определение параллельных прямых; (г) определение параллельных плоскостей. 18. В модели из задачи 17 записать: (а) аксиому Евклида о параллельных прямых; (б) аксиому Лобачевского о параллельных прямых. 19. Подобрать предикаты и записать: (а) аксиомы Гильберта для евклидовой геометрии; (б) аксиомы для геометрии Лобачевского; (в) аксиомы для геометрии Римана. 20. Рассмотрим модели с одним 2-местным предикатом R(x, у). Записать, что данный предикат R(x, у): (а) рефлексивен; (б) симметричен;
80 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (в) транзитивен; (г) является отношением эквивалентности. 21. Записать в сигнатуре т = (<, =), где < и = есть 2-местные предикаты, аксиомы: (а) частично упорядоченного множества; (б) линейно упорядоченного множества. 22. Пусть М — частично упорядоченное множество и Q2(x, у) = и^х<у. Записать, что: (а) х есть наименьший элемент; (б) х есть минимальный элемент; (в) х лежит между у и г\ (г) множество плотно упорядоченно; (д) каждый максимальный элемент является минимальным. 23. Пусть М = Р(А), где А — некоторое множество, и Записать, что: (а) х есть пересечение у и г\ (б) х есть объединение у и г\ (в) х=0; (г) х = А; (д) х есть дополнение у. 24. Рассмотрим ЯП = (Р(А); =, /2, £2>, где /2(х, у) = хПу, g2(x, у) =xUу, = — предикат равенства множеств. Записать, что: (а) хеу; (б) х есть одноэлементное множество. 25. Записать в сигнатуре т = (<, =) аксиомы: (а) упорядоченного множества с наибольшим и наименьшим элементом; (б) дискретно упорядоченного множества; (в) решетки; (г) дистрибутивной решетки; (д) дедекиндовой решетки; (е) дистрибутивной решетки с относительными дополнениями; (ж) булевой алгебры; (з) атомной булевой алгебры. 26. Записать в подходящей сигнатуре аксиомы:
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов 81 (а) квазигруппы; (б) лупы; (в) полугруппы; (г) коммутативной полугруппы; (д) коммутативной полугруппы с сокращением. 27. Записать в подходящей сигнатуре аксиомы: (а) группы; (б) абелевой группы; (в) упорядоченной абелевой группы; (г) полной группы. 28. Записать в подходящей сигнатуре аксиомы: (а) кольца; (б) ассоциативного, коммутативного кольца; (в) кольца Ли; (г) области целостности; (д) тела; (е) поля; (ж) алгебраически замкнутого поля; (з) вещественно замкнутого поля. 29. Путь Ш = (JT; Р\ g\ 0), где gl(x) = x+ 1, а Р1 — произвольный одноместный предикат, 0 — нуль. Записать аксиому индукции для Р\ 30. Пусть 9Л = (М; Q2, Р1), где М — вполне упорядоченное множество, Q2(x, у) <=>х< у, Р1 — произвольный одноместный предикат. Записать аксиому трансфинитной индукции для Р1. § 5. ВЫПОЛНИМОСТЬ ФОРМУЛ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ Формулу А сигнатуры о назовем выполнимой, если существует такая алгебраическая система, что А истинна в 9Я при некоторых значениях свободных переменных. Формулу А сигнатуры о назовем тождественно истинной (или тавтологией), если А истинна в любой алгебраической системе сигнатуры а при любых значениях свободных переменных. Будем говорить, что формула А семантически следует из множества формул Г (символически Г N А), если для любой алгебраической системы 9Я из истинности в 9Я всех формул из Г при некоторых значениях переменных следует истинность А в 9Я при тех же значениях переменных. Если А N В и В N А, то пишем А- В. Формула вида Q\XX... QnxnA, где А — бескванторная формула, Qi есть V или 3, называется предваренной (или пренексной)
82 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА нормальной формой. Если все Qt есть V, то эта форма называется ^-формулой (или универсальной формулой)', если все Qt есть 3, то эта форма называется 3-формулой (или экзистенциальной формулой). Если существует / (0<i<n) такое, что QU ..., Qt есть 3, а б/+ъ •••> Q« есть V, то эта форма называется скулемоеской нормальной формой (или 3V-формулой). Путь Р — одноместный предикатный символ, не входящий в о. Любой формуле А сигнатуры о сопоставим формулу рР(А) (называемую релятивизацией А относительно Р) следующим образом: рР(В) = В для атомарной формулы В, pP((BlvB2)) = (pP(Bl)vpP(B2)), pP((Bl&B2)) = (pP(Bl)&pP(B2)), pP((Blz>B2)) = (pP(Bl)z>pP(B2)), рР(^В) = ^рР(В), рР(\/хВ) = \/х (Р(х) з рР(В))9 рР(3 х В) = 3 х (Р(х) & рР(В)). Пусть о содержит двуместный предикатный символ =. Обозначим через КЕа класс алгебраических систем сигнатуры о таких, что в системах из класса КЕа соотношение х = у истинно в том и только в том случае, когда элементы х и у совпадают. Системы из класса КЕа называем нормальными системами. 1. Доказать, что формула А сигнатуры о выполнима в алгебраической системе 9Я = (М; о) тогда и только тогда, когда А выполнима в любом обогащении ЭДГ = (М; с'). 2. Доказать, что для любого предложения А сигнатуры о, относящегося к алгебраической системе 9Я = (М; о), имеем 9Я N А или 9Jl\=—iA. 3. Доказать, что: (а) А выполнима тогда и только тогда, когда -ii не тождественно истинна; (б) А тождественно истинна тогда и только тогда, когда —iA невыполнима. 4. Доказать, что бескванторная формула истинна тогда и только тогда, когда она может быть получена подстановкой из некоторой тождественно истинной формулы исчисления высказываний. 5. (а) Доказать, что если замкнутая V-формула истинна в алгебраической системе, то она истинна в любой ее подсистеме.
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов 83 (б) Доказать, что если замкнутая V-формула истинна в алгебраической системе, то она истинна в любом ее расширении. (в) Привести пример формулы А и алгебраической системы УЛ таких, что дЯ^АнА ложна в некотором расширении и некоторой подсистеме системы 9Л. 6. Пусть 9Л = (М; о) есть подсистема системы Wli = (M{; о). Доказать, что для любого предложения А сигнатуры о, относящегося к алгебраической системе 9Я = (М; о), 9Я N А тогда и только тогда, когда Ш12ИрР(^4), где 9Л2 = (М1; о, Р) есть обогащение 9ЯЬ а рР(А) — релятивизация формулы А, причем для любого ае Mi Ш2^Р(а)^ае М. 7. Выполнимы ли формулы: (а) ЗхР(х); (б) \/хР(х); (в) 3x\/y(Q(x,x)&^Q(x,y)); (г) ЗхЗу(Р(х)&^Р(у)); (д) 3xVy(Q(x,y)z>VzR(x,y,z)); (е) (P(x)z>Vy(P(y))? 8. Являются ли тождественно истинными формулы: (а) (3xP(x)z>\/xP(x)); (б) ^(3xP(x)z)VxP(x)); (в) (3xVjQ(x,j)3Vj3xQ(x,j)); (г) (\/хЗу Q(x,y)^3y\/x Q(x,y))l 9. Пусть ^4 (t) получается из А (х) заменой всех свободных вхождений переменной х на терм t. Доказать тождественную истинность следующих формул, если терм t свободен для хв А(х): (а) \/xA(x)z)A(t); (б) A(t)z>3xA(x). 10. Привести примеры формул А(х) и термов t таких, чтобы формулы (а) и (б) предыдущей задачи не были тождественно истинны. 11*. Доказать, что формула (V х 3 у Р(х, у) & V х V у (Р(х, у) з-, Р(у, х)) & & Vx Vу V z (Р(х, у) з (Р(у, г) з Р(х, г)))) выполнима в некоторой бесконечной модели и ложна во всех конечных.
84 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 12*. Доказать, что формула 3 х V у (F(x, у) з (-, F(y, х) з (F(x, x) = F(y, у)))) истинна в любой модели, содержащей не более трех элементов. 13*. Доказать, что следующие формулы истинны во всякой конечной модели, но не тождественно истинны: (а) 3 х V у 3 z ((F(y, г) з F(x, г)) з (F(x, x) з F(y, x))); (б) (V X! V х2 V х3 (F(xu х{) & (F(xu x3) з (F(xu x2) v F(x2, x3)))) з z>3y\/zF(y,z)). 14. Записать формулу с одноместными предикатами, выполнимую лишь в моделях, содержащих не менее пяти элементов. 15. Доказать тождественную истинность следующих формул: (а) (-,ЗхЛ(х)з-,УхЛ(х)); (б) (3 х {А(х) & (Вз С(х))) з V х (А (х) з -, С(х)) з -, В), где х не свободна в В; (в) (V х (А(х) з -, 5(х)) з -, (3 х А(х) & V х 5(х))); (г) (V х (А(х) з -, 5(х)) з -, (V хА(х) & 3 х 5(х))). 16. Доказать, что если В не содержит свободных вхождений х, то: (а) -1 Vx^(x) ~Зх->А(х); (б) -,ЗхЛ(х)~Ух-,Л(х); (в) (\/хА(х)&В)~\/х(А(х)&В); (г) (В&УхА(х))~Ух(В&А(х)); (д) (ЗхА(х)&В)~Зх(А(х)&В); (е) (5&ЗхЛ(х))~Зх(Я&Л(х)); (ж) (5уУх^(х))~Ух(5уЛ(х)); (з) (VxA(x)vB)~Vx(A(x)vB); (и) (3xA(x)vB)~3x(A(x)vB); (к) (Bv3xA(x))~3x(BvA(x)); (л) (УхА(х)=>В)~Зх(А(х)=>В); (м) (ЯзУхЛ(х))~Ух(ЯзЛ(х)); (н) (ЗхЛ(х)з5)~Ух(Л(х)з5); (о) (5зЗхЛ(х))~Зх(5зЛ(х)); (п) (V х А (х) & V х С(х)) ~ V х (А (х) & С(х)); (р) (3 х А (х) v 3 х С(х)) ~ 3 х (Л (х) v С(х)); (с) Vxy4(x)~ VjM(y), где ^4(х) не содержит у, А (у) получается заменой всех свободных вхождений х в А (х) на у; (т) ЗхА(х) ~ЗуА(у), где А(х) не содержит j>, Л (у) получается заменой всех свободных вхождений х в А (х) на у; (у) УхВ~В; (ф) 3x5-5.
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов 85 17. Пусть А — формула, В — подформула формулы А, Ах — результат замены некоторого вхождения В в А на формулу Вх. Доказать, что если В~ВЪ то А~А{ (теорема о замене). 18. Доказать, что для любой формулы существует эквивалентная ей пренексная нормальная форма. 19. Привести к пренексной нормальной форме, считая А ж В бескванторными формулами: (а) -1 Зх V уЗ z V и А; (б)(3xVуА(х,у) &3xVуВ(х,у)); (в) (3xVyA(x,y)v3xVyB(x,y)); (г) (3x\/yA(x,y)z>3x\/yB(x,y)). 20. Пусть (5 = {{РР1}иь {fjnj}jej, Шкек), Т ~ множество всех термов сигнатуры о. Определить на Т предикаты и функции так, чтобы Т стало алгебраической системой сигнатуры о. 21. (а) Пусть формула сигнатуры о имеет вид V хх ... V хп 3 ух ... ЗутВ(хь ..., хп9 уь ..., ут) для некоторой формулы В (возможно, содержащей кванторы); Фь ..., (pw — л-местные функциональные символы, не входящие в о. Доказать, что для любой системы 9Я = (М; о) существует обогащение dJli сигнатуры o' = oU {фь • ••> Ф™} такое, что ЯЯх 1= V *! ... V хп (3 ух... Зут В(хь ..., хл, уь ..., ут) = = B(Xi, ..., Хю ($1 (Х1? ..., Хл), ..., фш(х1? ..., Хл))). (б) Доказать, что для любого предложения А сигнатуры о существует некоторая V-формула Ах сигнатуры о', полученной добавлением к о новых функциональных символов, обладающая следующим свойством: для любой системы 9Я = (М; о) существует обогащение 9DTi сигнатуры о' такое, что (Добавленные функции в ЭД^ называются скулемоескими функциями.) 22. ДЛЯ формулы \/ ХЗ 2 \/ уЗ U ((у > 2 Z) у > X) & (U < 2) & ^ (U < X)) построить V-формулу, существование которой утверждается в задаче 21 (б). Для системы 9Л = {Jf\ <) найти требуемое обогащение. 23. Для формулы V х V у 3 2 3 t(P(x, t) & -. Р(у, 2)) построить V-формулу, существование которой утверждается в задаче 21 (б). Для любой системы УЛ = (М; Р), где М = {0, 1}, найти подходящее обогащение.
86 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 24. Для формулы V х V у 3 z 3 v V t (-, S(x, у, у) з (S(z, v, x) & P(u, f, f))) и системы 9Л = (.#; 53, P3) из задачи 9 из §4 построить скуле- мовские функции (см. задачу 21 (б)). 25. Доказать, что если формула сигнатуры о выполнима, то она выполнима на некоторой алгебре термов сигнатуры о' з о. 26*. (а) Пусть А (и, х, у) не содержит свободных переменных, отличных от и, х, и у. Доказать, что формула 3 и V хЗ у А (и, х, у) тождественно истинна тогда и только тогда, когда тождественно истинна формула 3 и (Vх(ЗуА(и, х, у) з P(w, x)) з VхР(и, х)), где Р — двуместный предикатный символ, не входящий в А (и, х, у). (б) Доказать, что для любого предложения А можно построить скулемовскую нормальную форму А* такую, что А тождественно истинна тогда и только тогда, когда А* тождественно истинна. 27. Пусть А* — скулемовская нормальная форма предложения А. Показать, что А ~ А* в общем случае неверно. Всегда ли верно, что А\=А*? Аналогичный вопрос для А* N А. 28. Привести к скулемовской нормальной форме: (а) (3xVjQ(x,j)3Vx3jQ(x,j)); (б) 3 xVуЗ z V v R(x, у, z, v); (в) Vx3 у V v 3 2 7?(х, у, 2, v). 29. Пусть Ж = (М; о) — произвольная модель и М с Л^. Доказать, что существует расширение Жх = {Мх\ о) модели М такое, что для любой формулы А(хъ ..., хп) и любых элементов аъ ..., апе М Ж\=А(аь ..., an)<^>dJli\=A(ab ..., яя). 30. Пусть Ж = (М; о) и М = {ти ..., тл}. Пусть С(х) — формула со свободной переменной х сигнатуры oM=o\J M. Доказать, что Ж N 3 х С(х) <=> 9Я N (С(/И!) v ... v С(/ил)); Ж N V х С(х) <=> N (CC/fij) & ... & С(тп)). 31. Доказать, что если алгебраическая система Ж конечна, то для любого предложения А можно построить бескванторное предложение А*, относящееся к Ж, такое, что Ж\= (А = А*).
§ 5. Выполнимость формул логики предикатов 87 32. Доказать, что если алгебраическая система конечна, то для любой формулы можно в конечное число шагов проверить, выполнима она на этой системе или нет. 33. Доказать, что формула вида У х{ ... \/хтА(хи ..., хт), где А(хъ ..., хт) — бескванторная формула без функциональных символов и констант, тождественно истинна тогда и только тогда, когда она истинна в любой модели из т элементов. 34. Доказать, что формула вида 3 хх ... 3 хтА(хъ ..., хт), где А(хи ..., хт) — бескванторная формула без функциональных символов и констант, тождественно истинна тогда и только тогда, когда она истинна в любой одноэлементной модели. 35. Доказать, что формула вида \/х1...\/хтЗу1...ЗупА(хь ..., хт9 уъ ..., уп), где А(хи ..., хт, у и ..., уп) — бескванторная формула без функциональных символов и констант, тождественно истинна тогда и только тогда, когда она истинна в любой модели из т элементов. 36*. Пусть А — формула сигнатуры о = (Рь ..., Рп), где Рь ..., Рп — одноместные предикатные символы. Доказать, что А выполнима тогда и только тогда, когда А выполнима в модели, содержащей не более 2п элементов. 37. Выполнимы ли формулы: (а) \/хЭу(Р(х) = ^Р(у)); (б) 3x\/y3z(Pl(x)^(P2(y)vP3(z))y9 (в) Эу\/х(Р(х) = ^Р(у))? 38. Пусть с = (Ри •••, Рп)> гДе Ри •••> Рп — одноместные предикатные символы. Доказать, что для любого предложения А сигнатуры а существует формула 2?, эквивалентная А, построенная с помощью &, v и -1 из 3-составляющих, т.е. формул вида Зх(В1& ... & Bs), где 5>1иД(1</<5) имеет вид Р(х) или -> Р(х) для некоторого Р из а. 39. Для 3-составляющей С (см. задачу 38) обозначим через С(2?ь ..., Вп) формулу, полученную из С стиранием квантора Зхи заменой всех вхождений подформул Р\(х), ..., Рп(х) в С на Въ ..., Вп соответственно. Доказать, что формула А = (С1& ... & Q&-п Q+1 & ... & -п Ск+т), где Сь ..., Ск+т — 3-составляющие, к>1, т>0, выполнима тогда и только тогда, когда выполнима формула алгебры высказываний
88 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА А1 = (С1(В1Ь ..., В1п) &-! Ск+1 (Вп, ..., В1п) & ... • ••&-> Ск+т(В1Ь ..., В1п) &... &Ск(Вкь ..., i?^)& &^ Q+l (Ди> •••> Дьг)&-" &^ Ск+т(ВкЪ — > Ды))- 40*. Указать метод построения по любому предложению ^4 с одноместными предикатами формулы В исчисления высказываний такой, что выполнимость формулы А эквивалентна выполнимости В. 41. Пользуясь методом задачи 40, установить, выполнимы ли следующие формулы: (а) ^Vx(P(x)3Vy(P(y)3((Q(x)3^00;))vV2P(2)))); (б) Vx3y^(P(j)=>((P(x)=)Q(x))3((Q(x)3i?(x))3i?(y)))); (в) Vx3 гЧу(((Р(у) & е(2))з(?(х)уЛ(2)))з(е(х)^ G(y))). 42. Написать предложение сигнатуры (=): (а) истинное во всех нормальных моделях, содержащих не более п элементов (п > 1), и ложное в остальных нормальных моделях; (б) истинное во всех нормальных моделях, содержащих не менее п элементов (п > 1), и ложное в остальных нормальных моделях; (в) истинное во всех нормальных моделях, содержащих в точности п элементов (п > 1), и ложное в остальных нормальных моделях. 43. Пусть Шп^3хх ... 3 хп\ & -.(*/ = xj) I [l<i<j<n J для п > 2. (а) Доказать, что Шп истинна во всякой нормальной модели, содержащей по крайней мере п элементов. (б) Доказать эквивалентность следующих формул для нормальных моделей: 3v(U£^(x'=^))&Li-(v=x')))' (в) Доказать, что каждое предложение сигнатуры ( = ) эквивалентно на нормальных моделях формуле, построенной из (fb ..., Шп С ПОМОЩЬЮ &, V И -1. (г) Назовем спектром формулы А совокупность мощностей нормальных моделей, на которых выполнима формула А. Пока-
§ 6. Исчисления предикатов 89 зать, что каждая выполнимая формула, построенная из &и ..., Шп с помощью &, v и -., имеет спектр, являющийся объединением конечного числа интервалов вида {т | а< т < Ь) и {т | т > а} (а е Jf, be Jf). (д) Показать, что предложение сигнатуры ( = ) тождественно истинно на нормальных моделях тогда и только тогда, когда оно имеет спектр {т \ т > 1}. 44. Найти бесконечную систему формул сигнатуры (=), выполнимую лишь в бесконечных нормальных моделях. 45*. Привести пример формулы, ложной на всех нормальных моделях с нечетным числом элементов и такой, что для любого четного числа п существует нормальная модель мощности л, на которой эта формула истинна. §6. ИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ Рассмотрим алфавит © = 65x U 652 U 653 U 654 U 655 U б56, где 01—(5б взяты из §4. Понятия и обозначения сигнатуры, терма, формулы, свободной и связанной переменной, предложения определяются, как в § 4. В этом параграфе предполагается, что сигнатура конечна или счетна. Определим секвенциальное исчисление ИПС. Алфавит исчисления ИПС есть & U {\- }. Понятия секвенции, правила вывода и т.п. определяются аналогично соответствующим понятиям для ИС (см. § 3). Исчисление ИПС определяется следующими схемой аксиом и правилами вывода (А, В, С — произвольные формулы; Г, Гь Г2, Г3 — произвольные конечные последовательности формул, возможно, пустые; t — терм, свободный для х в А (х); A (t) получается из А (х) заменой всех свободных вхождений хна t). Схема аксиом: А\- А. Правила вывода: ТХ^А\Т2^В L ГиГ2\-(Л&В) (*ведение&); T^(ASlB) 2. Yy^A (Удален™&); T^(ASlB) 3- гГ^ (удаление &);
90 ЧАСТЬ II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Т\-А 4- ТТ(17я) (введениеу); г\-в 5- r\-(AvB) (введениеv); 6. WAvB);r2,AlrC;r3,BtC Q гьг2,г3кс Г,А\-В 7- г\-(А=>в) (введение =>); Г1\-А;Г2\-(А^В) 8- Гь Г2 Ь 5 (удаление з); Г,Л1- 9- гЬ-^4 (введение-1); 1Л Гх I- ^4; Г2 Н -ь4 Ю. —=7~~г (сведение к противоречию); 1 Ь 1 2 Г Г,-,ЛЬ И- Г|_^ (удаление-,); ГЬ 12. у, л (утончение); Г\-А 13. р „li (расширение); гь4Д,г21-с , 14. — ВАГ \-С (пеРестановка)? Г,А,А\-С 15. г Л1-С (С0КРаЩение); ^ Thi(x) 16. ———— , где х не входит свободно в Г (введение V). 1 г V X Л \-^v ГЬ \/хА(х) 11 ■ T\-A(t) (УД^ение V); r\-A(t) 18- ГЬЗхЛ(х)(введение^ Г, A(x)h В 19. "р~ц—л( \\- ц ' где х не входит свободно в Г, В (удаление 3).
§ 6. Исчисления предикатов 91 Понятия вывода в ИПС и т.п. определяются аналогично соответствующим понятиям для ИС (см. § 3). Определим исчисление ИП. Схемами аксиом исчисления ИП^ являются следующие выражения: 1.(Лз(ЯзЛ)); 2.((ЛзЯ)з((ЛзСВзС))з(ЛзС))); 3.((А&В)=>А); 4.((A&B)z>B); 5. ((А з В) з ((А з С) з (А з (5 & С)))); 6. (^d(^v5)); 7.(Яз(Лу1?)); 8. ((Л з С) з ((5 з С) з ((Л v 5) з С))); 9. ((Л з^б) з (5з -Л)); 10. (-,-,ЛзЛ); П.(УхЛ(х)зЛ(/)); U.(A(t)z>3xA(x)). В схемах аксиом 1—10 А, В, С — любые формулы; в схемах аксиом 11, 12 А(х) — формула, t — терм, свободный для х в А(х), A(i) — формула, полученная из А(х) заменой всех свободных вхождений х на t. Правила вывода ИП: А; {А з В) В (СзЛ(х)) . • (С^УуА(у))' (Л(х)зС) ■ (ЗуА(у)^С)' причем в правилах II и III x не входит свободно в С, а у не входит свободно в А (х) и у свободно для х в А(х). Формула В называется непосредственным следствием формул А и (Az) В) по правилу I; (Сз V у А (у)) и (3 у А (у) з С) представляют собой непосредственные следствия формул (Cz)A(x)) no правилу II и (J (х) з С) ля правилу III соответственно. Выводом в ИП называется конечная последовательность формул Аи ...,Ап такая, что для каждого / (/<i<ri) At есть либо аксиома, либо непосредственное следствие одной или двух предыдущих формул. Квазивывод из множества формул Г есть последовательность формул Аъ ...,Ап такая, что для каждого / (/< /< п) At есть либо
92 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА аксиома, либо одна из формул Г, либо непосредственное следствие одной или двух предыдущих формул. Для квазивывода Д, ..., Д из множества Г и каждого i(\<i<ri) определим по индукции множество формул А (Д) с Г: 1) если Д есть аксиома, то А (Д) = 0; 2) если Д е Г, то А (Д) = {Д}; 3) если Д есть непосредственное следствие Aj и Д(/, к< /), то А(Д) = А(Д)ил(Д); 4) если Af есть непосредственное следствие Д(/</), то А(Д) = А(Д). Выводом из Г в ИП называется квазивывод Д, ..., Д, удовлетворяющий условию: если Д есть непосредственное следствие формулы Aj=(Cz)A(x)) по правилу II или формулы Д= Д(х)з С) по правилу III, то х не входит свободно в формулы из А(Д). Формула А называется выводимой в ИП (символически: \-А), если существует вывод в ИП, оканчивающийся формулой А. Формула А называется выводимой из Г в ИП (символически: ГЬ^4), если существует вывод из Г в ИП, оканчивающийся формулой А. Множество формул Г назовем непротиворечивым, если не существует формулы А такой, что ГЬ^4иГЬ-.А В противном случае Г назовем противоречивым. Множество формул Г сигнатуры о назовем полным, если для любой замкнутой формулы сигнатуры о выполняется Г Ь А или Г Ь -1 А. В противном случае Г называется неполным. 1. Доказать, что любая секвенция, выводимая в ИС, выводима в ИПС. 2. Пусть Д, ...,4 А — формулы ИС, В — формула ИПС, А\, ..., А'т А' — формулы, полученные из Д, ..., Д, А в результате подстановки В вместо пропозициональной переменной Р. Доказать, что если секвенция Д, ..., Ап VA выводима в ИС, то А\, ...,А'п\-А' выводима в ИПС. 3. Доказать, что правила из задач 3 и 6 из § 3 допустимы в ИПС. 4. Пусть у не входит свободно в А (х), у свободно для хв^(х), А (у) получается из А (х) заменой всех свободных вхождений х на у. Построить выводы в ИПС секвенций: (а) 3yA(y)h3xA(x); (б) VyA(x)\-VyA(y). 5. Пусть у свободно для х в формулах Д(х),..., Д(х), В (х). Доказать, что если в ИПС выводима Д(х), ..., Ап(х) \- В(х), то выводима ДО;), ..., Ап(у) Ь В(у).
§ 6. Исчисления предикатов 93 6. Пусть А не содержит свободных вхождений х. Доказать выводимость в ИПС секвенций: (а) ^(УхА=А); (б) \-(ЗхА=А); (в) \-(VxVyB(x,y) = VyVxB(x,y)); (г) ^(ЗхЗуВ(х,у) = ЗуЗхВ(х,у)); (д) \- (ЧхЧyB(x,y)z>4уВ(х,х)); (е) \-(3xVB(x,x)z>3x3yB(x,y)); (ж) h (3 хВ (х) = -, Vх-, В (х)); (з) h(Vx5(x) = -,3x-,5(x)); (и) \-(-,VxB(x) = 3x-,B(x)); (к) Ь (-, 3 хВ (х) = V х-, В(х)); (л) h((Vx5(x)&VxC(x)) = Vx(5(x)& C(x))); (м) h((3x5(x)v3xC(x)) = 3x(5(x)v C(x))); (н) ^((А&\/хВ(х)) = Ух(А&В(х))); (о) Ь ((Л v 3 х В (х)) = 3 х (A v В (х))); (п) h((^&3x5(x)) = 3x(^&5(x))); (р) Ь ((A v V х В (х)) = V х (A v 5 (х))); (с) h (3 х (5 (х) & С (х)) з (3 х (В (х) & 3 х С (х))); (т) h((Vx5(x)vVxC(x)) = Vx(5(x)v С(*))); (у) h ((Л з V х 5 (х)) = V х (А => 5 (х))); (ф) \-((Azi3xB(x)) = 3x(Az>B(x))); (х) К((Ух5(х)зЛ) = Зх(5(х)зЛ)); (ц) К((ЗхЯ(х)зЛ) = Ух(Я(х)=>Л)); (ч) h(3x(S(x)=> С(х)) = (Ух5(х)зЗхС(х))). 7. Доказать, что в ИПС выводимы секвенции: (а) (А = В)\-(-,А = ^В); (б) (А = В)\-((А&С) = (В&С)); (в) (Л = Я)Ь((С&Л) = (С&Я)); (г) (iE5)h((^vC)E(£vC)); (д) (A = B)\-((CvA) = (CvB)); (е) (у1еЦ)Н((ЪС)е(ДэС)); (ж) (А = В)\-((С^А) = (С^В)); (з) Ух(Л = Я)Ь(УхЛ = УхЯ); (и) Ух(Л = Я)Ь(ЗхЛе53хЯ). 8. Пусть А — формула, В — подформула формулы А, Ах — результат замены некоторого вхождения В в А на формулу Ви хь ...,х„ — все свободные переменные формул А и Ах. Доказать, что в ИПС выводима секвенция \/хг, ...,\/х„(В= В{)\- (А = АГ) (теорема о замене для ИПС). 9. Доказать, что для любой формулы А существует пренексная нормальная форма А' такая, что \-(А = А') выводима в ИПС.
94 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 10. Найти пренексную нормальную форму для следующих формул: (а) (Vx3y(A(x)=>B(y,z))=>3xVz(B(x,z)&A(y))), где А и В — бескванторные формулы; (б) (\/xP(x)z>\/y(\/ z Q(x,z)=>VuP(u))). 11*. Пусть А — формула, построенная из атомных формул и их отрицаний с помощью &, v и кванторов V и 3 по любым переменным. Пусть А+ — результат одновременной замены в А & на v, v на &, V на 3, 3 на V, атомных формул их отрицаниями. Доказать, что в ИПС выводима секвенция Ь (A+ = —iA). 12. Пусть А — формула, построенная из атомных формул и их отрицаний с помощью &, v и кванторов V и 3 по любым переменным. Пусть А' — результат одновременной замены в А & на v, v на &, V на 3, 3 на V, атомных формул их отрицаниями. Доказать, что в ИПС: (а) если выводима секвенция Ь (А з В), то выводима Ь (В' з А'); (б) если выводима секвенция Ь (А = В), то выводима Ь^'з^). 13. Показать, что квазивывод в ИП из пустого множества формул есть вывод в ИП. 14. Являются ли выводами в ИП последовательности: (а) (\/x3yA(x,y)z>3yA(y,y)); (б) (УхР(х)зАу)), (\/xP(x)z>\/yP(y)); (в) (А (х) зЗ х А (х)), ((А (х) зЗ х А (х)) з (V х А (х) з (А (х) зЗ хА (х)))), (V х А (х) з (А (х) z)3xA (х)))? 15. Каким требованиям должна удовлетворять формула А (х), чтобы следующая последовательность была выводом в ИП: (а) (A(y)^3xA(x)), (3yA(y)z>3xA(x)); (б) (VxA(x)=>A(y)), (\fxA(x)^\fyA(y))l 16. Доказать, что если Аь ..., Ат А — формулы ИВ, В — формула ИП, Р — пропозициональная переменная и Аь ...,Ап\- А в ИВ, то А{(Р\В), ...,An(P\B)hA(P\B) в ИП. 17. Построить выводы формул в ИП: (а) (VxVyA(x,y)^Vy\/хА(х,у)); (б) (3x3 уА(х, у)зЗ уЗхА(х, у)); (в) (3xVyA(x,y)=>Vy3xA(x,y)). 18. Является ли выводом из Г = {(Сз (А (х))} в ИП, где С не содержит свободных вхождений х, последовательность формул: (а) (Сз^(х)), (CDVxi(x)); (б) ((СзЛ(х))з(Я(7)з(СзЛ(х)))), (СзЛ(х)),(Я(з;)з з(СзЛ(х))), (Зу£(у)з(Сз,4(х))), если С и А (х) не содержат свободных вхождений у?
§ 6. Исчисления предикатов 95 В, Г h A ' В, В, Г Ь Л 5, ГЬЛ ' Г, Л, В, Тх Ь С 19. Построить выводы из Г = {V х (^4 (х) з В (х))} в ИП следующих формул: (а) (3xA(x)z)3xB(x)); (б) (V у А (у) з V z В (г)), где у и г не входят в^(х)и^ (х). 20. Доказать, что следующие правила допустимы в ИП: (а) (б) (б) г, в, а, гх ь с ' 21*. Доказать теорему о дедукции в ИП: если Г, Л Ь Д то Г Ь (Л => 5). 22. Доказать, что если в ИП Г Ь ^4 и Г, ^4 Ь Д то Г Ь В. 23. Доказать, что утверждение задачи 24 из § 3 справедливо в ИП. 24. Доказать следующие правила: (а) V-удаление: V xA (x) \- A (f), где А(х) ж t подчиняются тем же требованиям, что и в схеме аксиом 11; (б) 3-введение: A(t)\-3 xA (х) при тех же условиях, что и в (а); (в) V-введение: ——, где х не входит свободно в фор- rhVxi(x) мулы из Г; i чп Г,А(х)\-В (г) 3-удаление: ——— , где х не входит свободно ни в 1 , J X -/i yX) I 1j формулы из Г, ни в формулу В. 25. Доказать, что формула А (х) выводима в ИП тогда и только тогда, когда выводима формула \/ хА(х). 26. Пусть zu...,zn не входят связанно в А (гъ ..., zn) и в В{гъ ..., zn) и пусть А {гъ ..., zn) \- В{гъ ..., zn) в ИП. Доказать, что существует вывод В{гъ ..., zn) из А{гъ ..., zn) в ИП, в который zь..., zn не входят ни разу в связанном виде. 27. Пусть zu ..., zn не входят связанно в A(zu ..., zn) и в B(zu ..., zn); хь ...,хл — переменные, не входящие связанно в A(zu ..., zn) и в B(zu ..., zn). Доказать, что A (ги ..., zn) h 5 (zl5 ..., zn) <=> J (x1? ..., хл) Ь 5 (x1?..., xn).
96 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 28*. Пусть Г — множество формул сигнатуры о, А — формула сигнатуры о. Доказать, что если Г Ь А в ИП, то существует вывод А из Г в ИП, состоящий лишь из формул сигнатуры о. 29. Доказать, что если формула А выводима в ИП, то секвенция Ь А выводима в ИПС. 30. Доказать, что: (а) если секвенция Аи ...,Ап\- В выводима в ИПС, то Аи ..., ...,АЬ£ вИП; (б) если секвенция Аи...,Ап\- выводима в ИПС, то Аи ..., ...,Ап\-(В&^В) в ИП; (в) если секвенция Ь В выводима в ИПС, то формула В выводима в ИП. 31. Пусть А — формула, В — подформула формулы А, А' — результат замены некоторого вхождения В в Ana формулу В'. Доказать, что если Ь (B=Bf), то (A = Af) (теорема о замене для ИП). 32. Доказать, что если Г Ь А в ИП, то Г N А. 33. Доказать, что все выводимые в ИП формулы тождественно истинны. 34. Доказать, что если множество формул Г выполнимо, то оно непротиворечиво. (Множество Г выполнимо, если существуют алгебраическая система 9Я и значения в 9Я свободных переменных такие, что все формулы из Г истинны при этих значениях переменных.) 35. Доказать, что множество формул Г противоречиво тогда и только тогда, когда любая формула выводима в ИП из Г. 36. Доказать, что если множества формул Г0, Тъ Тъ ... непротиворечивы и 7) с Ti+i (/ = 0, 1, 2, ...), то U 7/ — непротиворечивое множество формул. ' 37*. Доказать теорему Линденбаума: любое непротиворечивое множество формул Т можно расширить до полного непротиворечивого множества той же сигнатуры. 38. Пусть множество формул Г сигнатуры о полно и непротиворечиво. Доказать, что для любых предложений А, В сигнатуры о: (а) Г Ь (А & В) <^=> Г Ь А и Г Ь В; (б) Г Ь (A v В) <^=> Г Ь А или Г Ь В; (в) Г Ь -1А <=> не верно Г Ь ^4; (д) ГЬ(^з5)<^ (не верно Г Ь J) или Г Ь В. 39. Пусть множество Г формул сигнатуры о полно и удовлетворяет условию: для любой формулы сигнатуры о с одной сво-
§ 6. Исчисления предикатов 97 бодной переменной х, если ГЬЗхЛ(х), то T\-A(t) для некоторого замкнутого терма t сигнатуры о. Доказать, что: (а) Г Ь 3 хА (х) <=> Г Ь ^4 (0 для некоторого замкнутого терма ^ сигнатуры а; (б) Г Ь V х^4 (х) <=> Г Ь ^4 (t) для любого замкнутого терма t сигнатуры а. 40. Пусть множество Г U {3 хА (х)} непротиворечиво. Доказать, что если переменная у не входит в Г и в 3 хА (х), то множество Г U {3 х^4 (х), А (у)} непротиворечиво. 41*. Доказать, что любое непротиворечивое множество предложений выполнимо (теорема о существовании модели). 42. Доказать теорему Левенгейма—Скулема: любое выполнимое множество предложений выполнимо в некоторой счетной алгебраической системе. 43. Доказать, что если предложение А невыводимо в ИП, то -1А выполнимо на натуральных числах. 44. Доказать, что формула А тождественно истинна тогда и только тогда, когда А выводима в ИП (теорема Гёделя о полноте ИП). 45. Показать, что если предложение А истинно во всех системах на натуральных числах, то А тождественно истинно. 46. Доказать, что если предложение А выполнимо в некоторой системе, то А выполнимо на натуральных числах. 47. Доказать, что если предложение А истинно на всякой системе, на которой истинны формулы счетного множества Г, то Г Ь А. 48. Доказать, что если множество предложений Г счетно и каждое конечное подмножество Г! с Г выполнимо, то все множество Г выполнимо (локальная теорема Мальцева). 49. Доказать, что если отрицание любой конъюнкции конечного числа предложений счетного множества Г недоказуемо в ИП, то множество Г выполнимо. 50. Доказать для любого предложения А и любого счетного множества Г ГЬ А^Т^А (теорема адекватности). 51. Доказать, что если Г — счетное множество предложений и Г N А, то Г! N А для некоторого конечного подмножества Г! с Г (теорема Мальцева о компактности).
98 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 52. Доказать, что для того, чтобы А была выводима в ИП, недостаточно, чтобы А была истинной на всех конечных системах. 53. Пусть А — бескванторная формула ИП. Доказать, что А выводима в ИП тогда и только тогда, когда А выводима лишь из аксиом 1—10 по правилу I. 54. Выводимы ли в ИП формулы: (а) (3xA(x)z)\/xA(x)); (б) ^(3xA(x)z)\/xA(x)); (в) (Зх\/уА(х, у) з VуЗхА(х, у)); (г) (\/x3yA(x,y)z>3y\/xA(x,y)); (д) ((\/хА(х)^ЗхВ(х)) = Зх(А(х)^В(х)))? § 7. АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ В этом параграфе предполагается, что сигнатура о не более чем счетна. Исчислением предикатов с равенством (ИПР) называется исчисление, аксиомами которого являются: 1) аксиомы ИП сигнатуры о U { = }; 2) аксиомы равенства Е1. \/ х(х = х), Е2. \/x\/y\/z(x = y&y = z)z)X=z), ЕЗ. У х\/у(х = yz) y = x); 3) формулы вида EP.Vxi...Vxn \/ух...\/уп ((х1=у1&...&хп = уп)^(Р(хь...,хп) = Р(уь...,уп))У, E/.Vx1...Vx„VJl...Vj„ ((Xl=yl & ... & Хп = уп) 3 (/■(*!, ..., Хп) =f(yb ..., Уп))) для любого предикатного символа Риз а и любого функционального символа/из о. Правилами вывода этого исчисления являются правила вывода ИП. Выводимость, а также другие понятия, определяются аналогично соответствующим понятиям для ИП. Используем следующее сокращение: 3 ! х А (х) = 3 х (А (х) & V у (А (у) =>х = у)), где А (х) — произвольная формула. Квантор 3 ! читается как «существует единственное х такое, что...». Элементарной теорией сигнатуры о называется множество Т предложений сигнатуры oU{ = }, содержащее все предложения, выводимые из Г в ИПР. Теоремами теории Г называются все фор-
§ 7. Аксиоматические теории 99 мулы сигнатуры о U { = }, выводимые из Т. Системой аксиом для теории Г называется любое множество формул i с Г, из которого выводимы в ИПР все предложения из Т. Элементарная теория Г называется непротиворечивой (противоречивой, полной, неполной), если множество предложений Т непротиворечиво (противоречиво, полно, неполно). Система предложений называется независимой, если ни одно из них не может быть выведено в ИПР из остальных. Моделью теории Т называется всякая нормальная алгебраическая система, в которой истинны все формулы из Т. Алгебраические системы $Ki = (Ml;o) и Ш2 = (М2;о) называются изоморфными, если существует взаимно однозначное соответствие ф между Mi и М2 такое, что для любых тъ ..., тп е М{ и Рп,Г, аео аЯх \=Р(ть ..., тп) <^ ШТ2 N Р(ф (тх),..., ср (тп)), Ф (f(mb ..., тп)) =/(ф (т{), ..., <р (тп))9 Ф (а) = а. Если УЛ изоморфна некоторой подсистеме системы 9РТЬ то дЯ называется изоморфно вложимой в ЭД^. Теорией равенства Е называется множество предложений сигнатуры (=), выводимых в ИПР. Пусть oa = (s, +, •, 0), где s — символ одноместной, + и • — символы двуместных функций, 0 — предметная константа. Через Q будем обозначать теорию, аксиомами которой являются: Ch . V х V у (s (x) = s (у) з х = у); Q2. Vx^s(x) = 0; Q3.\/x(^x = 0z>3y(x = s(y))); Q4. Vx(x+0 = x); Q5. Vx Vу (x+ s (y) = s (x + y)); Q6. Vjc(jc-0 = 0); Q7. V x V у (x • s (y) = x • у + x). Через x < j обозначаем формулу 3 г (г + х = у), а через х < у — формулу (х < у & -1 х = у). Через Р будем обозначать теорию сигнатуры аа, аксиомами которой являются Q\—Q1 и бесконечное множество формул вида VA • V у ((А (0) & V х (А (х) з A (s(x)))) з А (у)), где А (х) — любая формула сигнатуры аа со свободной переменной х. Формула FA называется аксиомой индукции для А.
100 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Введем следующие обозначения: А0 = 0, A! = s(0), ..., Дл + 1 = 8(Дл), ... Через R будем обозначать теорию сигнатуры аа со следующим бесконечным множеством аксиом: К^пр\ Ап + Ар = Ап+р (для любых я, ре Л)\ К^пр\ Ап- Ар = Ап.р (для любых п, р е Jf)\ R^np\ АпФ Ар (для любых п, ре N, пфр)\ R^np\ V х (х < Ап з (х = А0 v ... v х = Ап (для каждого п е Л)\ R^np\ V х (х < Ап v Ап < х (для каждого п е Л). Множество натуральных чисел Jfz s (х) =х+ 1, обычными сложением и умножением и константой 0 называется стандартной моделью арифметики и обозначается через 9rt = (*4r; s, +, •, 0). Пусть ZF — теория сигнатуры ( е ), где е — бинарный предикат, с аксиомами ZF^ZF9. ZFi. Аксиома объемности: VxVу (V z (z e x=z e у) =х = у). ZF2. Аксиома пары: \/ х\/ уЗ z\/ v (v e z = (v = xvv = у)). ZF3. Аксиома выделения: \/хЗу\/ z (z e y=(ze x& А)), где А — формула, не содержащая х и у. ZF4. Аксиома множества подмножеств: \/ хЗу\/ z (z e у = \/ и(ие п ие х)). ZF5. Аксиома множества-суммы: \/хЗу\/ z (z e y = 3v (z e v &v e x)). ZF6. Аксиома выбора: V х (V у V z ((у е х & z е х) з (3 v (v е у) & (3 и (и е z & & и е у) з z = у))) z)3u\/t(texz)3v\/w(v = w=(we u&we t)))). ZF7. Аксиома бесконечности: Зх(\/ у (^3 z (z e у) з у е x) & V w (w e х з zd\/ u(\/ v (v e u=(v = wvve w)) id ие x))). ZF8. Аксиома регулярности: \/ x(3y(ye x)z)3y(ye x & V z (z e zz)^z e y))).
§ 7. Аксиоматические теории 101 ZF9. Аксиома замены: V х (V у V z V w ((j е х & J (у, z) & J (у, w)) з г = w) з z)3rVs(>e r=3 f(7e x&J (7, s)))), где ^4 (7, д) — формула ZF. Используем следующие обозначения: xc:y^\/z(ze xz) z e y); x = 0^Vj-.jg x; x={y} ^У z(ze x = z = y); x={y, z}^\/u(u(E x=(u = yv u = z))\ (x,y)^{{x}9{x9y}Y, (x1? x2, ..., xn) ^ (x1? (x2, ..., xn)) (n > 2); y = xx x ... xx„ ^ V и (mg y = 3zx ...3 zn(zxe xx & ... &zne xn&u = (zu ..., 2Я>)) для я > 2; j = P(x) ^ V г (г g y=2cx); Fn(x) ^ (V j (j g хзЭиЗу(у = (и, у») & & VyVttVy (((у, и) g x & (y, y) g x) з и = у)); у = 8 (x) ^ \/ z (z e у = 3 и ((z, и)) е х)); y = {Jx^\/ z (z e y = 3u(ue x& z e u))\ j = f|x^V z (z g y = \/ u(ue x з z e u))\ z = x{Jy^V u(ue z = (ue xv и g j)); z = xf)y^V u(ue z = (ue x& ue y))\ Ord (x) ^ (V jV г ((z g j & j g x) з г g x) & & V у V 2 ((y g x&2g x)d(2g yvy = zvye z)))\ MA(x, y) — (Ord (y) &xg у & J(x) & V z (z g iDni(i))); Z(x)MOrd(x)&^x = 0&Vy^x = yUM); x = co^(Z(x)&Vj(jgx3^Z (y))); 7V(x) ^ 3 j (y = со & x g y); y = s(x) ^y = x{J{x}; x + y = z^3v (Fn (y) & 5 (y) = s (y) & (0, x) g у & (у, z) <e v & &\/ t\/ u((te 8(v)&^t = y&(t, u)e v) з (s (t), s (к)) g у)); x • j = z ^ 3 у (Fn (y) & 5 (y) = s (y) & (0, 0) g у & (у, г) g G У & V t\/ U(((t, U) G У &-i f = y) 3 (S(0, W + X) G У)).
102 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 1. Доказать, что в ИПР сигнатуры о выводимы: (а) ((xl=yl&...xn = yn)z)t(xb...,xn) = t(yb...,yn)) для любого терма t сигнатуры о; (б) ((х1=у1&...хп = уп)^(А(хъ ...9хп)=А(уи ...,у„))) для любой формулы А сигнатуры о. 2. Доказать, что если Г — множество аксиом теории Г сигнатуры о, дЯ — алгебраическая система сигнатуры о, в которой истинны все формулы из Г, то в 9Я истинны все теоремы теории Т. 3. Пусть предложение А истинно в любой системе, в которой истинны все аксиомы теории Т. Доказать, что А принадлежит Т. 4*. Доказать, что если все аксиомы теории Г истинны в некоторой алгебраической системе, то существует модель теории Т. 5. Доказать, что всякая непротиворечивая теория имеет модель. 6. Доказать, что если предложение А истинно во всех моделях теории Г, то А есть теорема теории Т (теорема о полноте ИПР). 7*. Пусть предложение Vхх... Vхп3 \уА(хъ ..., хл, у) есть теорема теории Г сигнатуры о. Пусть теория Т{ сигнатуры о' = о U {fn}, где fn <£ а, имеет в качестве аксиом все аксиомы теории Т и V х1 ... \/ хпА (х1? ..., хю] (х1? ..., хп)). (а) Доказать, что для любой формулы В сигнатуры & существует формула В* сигнатуры а, удовлетворяющая условиям: 1) если fn не входит в Д то В* = В; 2) (В* = В) есть теорема теории Тх. (б) Доказать, что если В не содержит fn и является теоремой теории Ть то В является теоремой Т. 8*. Доказать, что если элементарная теория Гимеет бесконечную модель, то Т имеет и счетную модель. 9. Доказать, что теория Т имеет модель тогда и только тогда, когда каждое конечное подмножество Тх е Т выполнимо. 10*. Доказать, что если теория Гдля любого натурального числа п имеет модель мощности, большей л, то эта теория имеет бесконечную модель. 11. Доказать, что не существует предложения, истинного во всех конечных моделях и ложного в любой бесконечной модели. 12. Доказать, что если предложение А истинно во всех бесконечных группах, то А истинно во всех конечных группах достаточно большого порядка. 13. Доказать, что теория равенства Е неполна.
§ 7. Аксиоматические теории 103 14. Доказать, что предложение А сигнатуры (=) истинно во всех нормальных системах тогда и только тогда, когда А есть теорема теории Е. 15*. Построить алгоритм, позволяющий по любому предложению сигнатуры (=) узнавать, является ли это предложение теоремой теории Е. 16. Являются ли следующие предложения теоремами теории Е: (а) \/хЗ у \/z (-1 2 = jcv-iy = z); (б) \/x3y\/z3v(v = z&^(z = x&^x = y&v = y))(! 17. Пусть сигнатура о содержит один двуместный предикат Р, Г есть множество предложений, выводимых из Г = {АиА2}, где Al = VxVy(P(x,y)z>^P(y,x)), A2 = \/x\/y\/z(P(x,y)z>(P(y,z)z>P(x,z))). Является ли Т полной теорией? 18. Доказать, что Q — непротиворечивая теория. 19*. Является ли система предложений {Qb ..., Q7} независимой? 20*. Доказать, что в теории Q невыводимы формулы: (а) -I x = s (x); (б) 0 + х = х; (в) s(x + y) = s(x)y; (г) х + у = у + х; (д) (x + y) + z = x+(y + z); (е) х<х; (ж) 0-х = 0; (з) s(x)-y = x-y + y; (и) ху = ух; (к) (xy)z = x(yz); (л) х • (у + z) = х • у + х • z\ (м) (Х + у) • 2 = Х- Z+ у- Z. 21. Доказать выводимость в Q формул: (а) (x + y = 0z>(x = 0&y = 0)); (б) (xy = 0z>(x=0vy = 0)). 22. Доказать, что всякая модель теории Q бесконечна. 23. Определить константу 0 и функции s, + и • так, чтобы моделью теории Q стало множество: (а) Л={0, 1, 2, ...}; (б) ЛЦ{а} = {0, 1, 2, ...; a} (aeJT); (в) Л [J {а, Ь} = {0, 1, 2, ...; о, 6} (о, beJf);
104 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА (г) Jf\JJf' = {§, 1, 2, ...; а0, аь аъ ...} (я/g Jf для всех / и а(Ф cij при гФ]). 24. Можно ли определить константу 0 и функции s, + и • так, чтобы моделью теории Q стало: (а) множество всех целых чисел; (б) множество всех неотрицательных рациональных чисел; (в) множество всех рациональных чисел? 25. Доказать, что теория Р непротиворечива. 26. Доказать зависимость аксиом теории Р. 27. Доказать, что все формулы из задачи 20 являются теоремами теории Р. 28*. Доказать, что существует нестандартная (т.е. неизоморфная системе УХ) модель теории Р. 29. Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р: (а) (x + y = y + zz)X = y); (б) (-, z = 0 з (х • z = у • z з х = у)). 30. Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р: (а) 0<х; (б) ((x<y&y<z)z)x<z); (в) ((x<y&y<x)z)x = y); (г) (x<yvy<x); (д) -нх<х; (е) х< s (х); (ж) 0<s(x); (з) (x<yv^y<x); (и) (х< у v y< xv х = у); (к) (x<y = s(x)<y); (л) х<х + у; (м) (х< y = x+z < y + z); (н) (^y = 0z)x<xy); (о) (-.х=0 з (у< z = х- у< х- z)). 31*. Доказать, что для любой формулы А (х) с одной свободной переменной х следующие формулы являются теоремами Р: (а) (V х (V z (z < х з A (z)) з А (х)) з V хА (х)) (возвратная индукция)', (б) (3 хА (х) з 3 у (А (у) & V z (z < у з -. A (z)))) (принцип наименьшего числа); (в) (\/х(А (х) з 3у(у< х&А (у))) з Vx^i(x)) (метод бесконечного спуска).
§ 7. Аксиоматические теории 105 ( 2 = X _У_ л 32. Введем следующие сокращения: х = rest (у, 2) ^ ((х < 2 & 3 и (у = и • 2 -\- х)) v (2 = 0 & х = у)); х , ^ (3 и (и < у & х = 2 • у + и) v (у = 0 & х = 2)). Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р: (а) V х V у 3 ! 2 (2 = rest (у, х)); (б) \/х\/уЗ\ 33. Записать формулу Пр (х) такую, что Пр (Ал) является теоремой теории Р тогда и только тогда, когда п — простое число. 34*. Введем следующие сокращения: х/у^3 2(у = х-2); 2 = d(x,y) <=> (2 I X& 2 I J & V U ((U I X&U /у) 3 U I 2))\ 2 = dn(xb ..., хп) ^3 и(2 = й{хъ и) & и = dn_i(x2, ..., xn)) n > 2; и = р (х, у, 2) <=> и = rest (x,l+y-(z+ l)). Доказать, что следующие формулы являются теоремами Р: (а) Vxb ...,Vxn3\y(y=dn(xu ...,*„)); (б) \/х\/у\/23\ u(u = $(x,y,z)); (в) V х V у V 2 V и ((2 = d (х, у) & и = rest (х, y))z>z = d (у, и)); (г) VxVy((^x = 0&^y = 0&</(x,y) = s(0))z) d323«3d3w(x-2 = j-« + s(0) & j • v = x • w + s(0))); (д) Vxb ..., \/xn\/yu ...,Vyn((dn(xu ...,xn) = Ai&yi<Xi&... &yn<xn)z)32 (rest (2, x{) =yl&...& rest (2, xn) = yn))\ (е) V x V j V 2 V и 3 jq 3 yx (V 1; (y < 2 3 (3 (x, j, y) = = p (xb jb uO) & p (xb jb s(z)) = и). 35*. Доказать, что любая теорема теории R является теоремой теории Q. 36. Будет ли независимой система формул {R(^) | п,реЛ}и{ЯГР)\п,реЛ}и U {R^} | Щ р е Д п Фр) U {БЦЛ) | п е Л} U {R^} | л е JT) ? 37. Доказать, что стандартная модель арифметики изоморфно вложима в любую модель теории Q.
106 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 38. Доказать в ZF: (а) существование и единственность пустого множества 0: 3!х(х = 0); (б) существование и единственность пары: \/x\/y3\z(z = {x,y}); (в) существование и единственность {х}: УхЗу\у(у={х}); (г) аксиому упорядоченной пары: ((х, у) = (z, u)z) (x = z &у= и)); (д) аксиому упорядоченной л-ки: «*!, ..., Хп) = (уь ..., уп) 3 (Х{ =у{& ... & Хп = уп))\ (е) существование и единственность множества подмножеств: Vx3!y(y = P(x)); (ж) существование и единственность прямого произведения: \/х\/уЗ\ z (z = xxy); (з) существование и единственность прямого произведения: Vx1? ..., \/хпЗ\ у(у = х1х...ххп); (и) существование и единственность области определения функции: \/х(¥п(х)^3\у(у = 8(х))); (к) существование и единственность U х: \/x3\y(y = {Jx); (л) существование и единственность x{Jy: \/x\/y3\z(z = x{Jy); (м) существование и единственность х П у: VxVj3!^(^ = xnj); (н) существование и единственность Пх для х^ 0: \/x(^x=0z)3\y(y = Pix)). 39. Доказать в ZF следующие теоремы: (а) -1 х g х; (б) -1 (хе у & у е х); (в) -. (х g j & j g г & г g х).
§ 7. Аксиоматические теории 107 40. Доказать, что следующие утверждения об ординальных числах являются теоремами ZF: (а) (Ord (z) з (у е z з (х е у з х е z))); (б) ((Ord(x)&j;ex)3Ord0;)); (в) (Ord (х) з W(x)), где W(x) есть формула, означающая, что е есть полный иррефлексивный порядок на х; (г) ((Ord (х) & у = х U {х}) з Ord (у)); (д) ((Отй(х) &V у (V z (z e у=>А(г))=> А(у)))=> А(х)), где А (х) — формула с одной свободной переменной х (трансфинитная индукция); (е) ((Ord (х) & Ord (у)) з (х € у v у е х v x = у)); (ж) ((Ord (х) & -, х = 0) з 0 е х); (з) ((Ord (х) & Ord (у) & х е у) з V и V v ((MA (и, х) & &MA(v,y))=>u = v)). 41. Доказать в ZF следующие теоремы: (а) (V у (у е х з Ord (у)) з Ord (U х)); (б) ((-, х = 0 & V у (у е х з Ord (у))) з Ord (П х)); (в) 3xL (x); (г) 3 ! х(х = ю); (д) (Ord(co)&0e co&Vx(xe юзхЩх}е со)). 42. Доказать в ZF следующие теоремы: (а) (N(x) з Ord (x)); (б) ((N(x)&yex)=>N(y)); (в) V х (N(x) =>3ly(N(y)&y = s (x))); (г) ((# (х) & N (у) & s (х) = s (у)) з х = у); (д) -,s(x) = 0; (е) ((#(х) & -, х = 0) з 3 у (N(y) & х = s (у))). 43. Доказать в ZF принцип индукции для натуральных чисел: для любой формулы А (х) с одной свободной переменной х ((А (0) & V х ((N(x) & А (х)) з A (s (х)))) з V j (JV(y) з Л (у))). 44. Доказать в ZF следующие теоремы: (а) V х У у ((N(x) & N(y)) з 3 ! z (N(z) &x + y = z)); (б) Ух(#(х)зх+0 = х); (в) VxУу ((N(x) & N(y))^x+ s(y) = s (x + y)); (r) V x У у ((N(x) & N(y)) з 3 ! 2 (iV(z) & x • у = z)); (д) Vx(#(x)3X-0 = 0); (е) V x \/y ((N(x) & N(y)) з x • s (y) = x ■ у + x)). 45*. Доказать, что если А есть теорема теории Р, то формула Pjv04), полученная из А релятивизацией кванторов относительно N, есть теорема теории ZF.
108 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА § 8. ФИЛЬТРОВАННЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ Фильтром надмножеством /называется произвольный фильтр на булевой алгебре Р(1), т.е. непустое подмножество D множества Р(1), удовлетворяющее условиям: (а) если X, Ye D, то (XHY) е Д (б) если Хе D, 1с 7с: /, то Ye Д (в) 0гД Фильтр Д удовлетворяющий условию (г) для всех Jc /имеет место Хе D или (I\X) e Д называется ультрафильтром над / Фильтр D называется главным, если он содержит наименьший элемент. Фильтр D называется счетно полным, если для любой счетной системы элементов D ее пересечение принадлежит D. Пусть / = m > N0 . Фильтром Фреше над I называется любой фильтр над /, содержащий Ф = {Х\ 1с / и 1\Х < ш}. Пусть ЯЯх = (Mi, о) и 9Л2 = (М2; а) — алгебраические системы. Отображение ср: Мх —> М2 называется гомоморфизмом из дЯ{ в 9Л2, если для любых Ъъ ..., Ъпе Мх\ (а) art1NP,,(*b ..., bn)^m2\=Pn(^(bl)9 ..., Ф(*й)) для любого предикатного символа Рп е о; (б) ф (Fn (Ъъ ..., Z>„)) = Fn (ф (*!>, ..., ф (Ьп)) для любого функционального символа Fn e о; (в) ф (а) = а для любой предметной константы ае о. Гомоморфизм ф: ЭД^ —> 9Я2 назовем сильным, если выполняется условие (г) если 9Л2 N Рп (ф (Z^), ..., ф (£„)), то существуют Z>'b ..., Z>^ е М{ такие, что Ф (Ъх) = Ф (61),..., Ф (*„) = Ф (Ю и ЯЛ^Р"^, ..., К). Взаимно однозначное соответствие ф между Мх и М2 назовем изоморфизмом между дЯ{ и 9Л2, если ф и ф-1 есть гомоморфизмы. Если ЯЯх изоморфно 9Л2, то пишем ЯЯх ~ 9Л2. Пусть {97l/}/G /— семейство алгебраических систем сигнатуры а, Л// — основные множества 9Jlt. Прямым произведением систем 9DTi(/e /) назовем алгебраическую систему Y\ 3^/ = (П ^' а}' где: (а) для каждого предикатного символа Рп е о
§ 8. Фильтрованные произведения 109 П9Я/ np*(/i, ...,fn)(i)^m^pn(fx(i), ...,л(0) для каждого / е /; (б) для каждого функционального символа Fn e о Fn(fx, ...,fn)(i) = Fn{fl(i), ...,/„(0); (в) для каждой предметной константы ае а а (/) = а. Пусть D — фильтр над /. Определим на Y[ Mt отношение iel f~Dg « {i\f(i)=g(i)}eD и пусть f/D={g\f~Dg), YlMi/D = \f/D\fellMi\. iel [ iel J Полагаем для предикатного символа Рп из о P"(/i/A ...,/„//)) = ■ о{/|Ш111=Рл(/-1(0, ...,/„(0)}е Д для л-местного функционального символа Fn из о P"(/i/A ...,fJD) = F"(fb ...,/„)/D и для предметной константы сизо а = a /D. Система 971 = Y[ %Rj / D = / ]^[ М, / D; о) с так определенны- iel \/е/ / ми предикатами и функциями называется фильтрованным (или приведенным) произведением систем 971/ ло фильтру D. Если Z) — ультрафильтр, то ]^[ 971//D называется ультрапроиз- iel ведением; если все 971/ совпадают и равны 971, то ]^[ 971//D на- зывается ультрастепенью 971 и обозначается 971 /Z). Назовем формулу А(хи ..., хл) сигнатуры а условно фильтрующейся по фильтру D над I, если для любых алгебраических систем 971/ (/е /) сигнатуры а и любых/ь ...,fne Yl^t из того, что
110 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА {/I ал, ил (я (о, ...,/л(0)}€= а следует, что Будем говорить, что формула А (хь ..., хл) сигнатуры а фильтруется по фильтру D над /, если для любых алгебраических систем 971,(7е /) сигнатуры о и любых/ь ...,/„е П^ {/|<H,N.4(/j(/), ..„/„(/Же^^П^/^^^^/Д -,/„/£)• 1. Доказать, что если D — фильтр над /, то /е D. 2. Пусть Xе I. Доказать, что {Y\ 7e /и JTe 7} есть фильтр над /. 3. Пусть D — фильтр над /и Je D. Показать, что Dx = {Xf] J\ Хе D) есть фильтр над /, а также, что если D — неглавный фильтр, то Di — также неглавный фильтр. 4. Доказать, что если какое-нибудь конечное множество принадлежит фильтру, то этот фильтр главный. 5. Доказать, что всякий неглавный ультрафильтр содержит все множества, имеющие конечные дополнения. 6. Доказать, что фильтр D над / есть ультрафильтр тогда и только тогда, когда D является максимальным множеством в множестве всех фильтров над /, упорядоченном по включению. 7. Доказать, что во множестве Ф всех фильтров над /, упорядоченном по включению, {/} есть наименьший элемент. Показать также, что если / > 2, то в Ф нет наибольшего элемента. 8. Доказать, что для того, чтобы над / существовал фильтр, содержащий множество 5с Р(1), необходимо и достаточно, чтобы пересечение любого конечного числа элементов из S было непусто. 9. Пусть /— бесконечное множество мощности а и Ф = {Х\Х<^1ж ~Х <а}. Доказать, что Ф есть фильтр над /. 10. Доказать, что система *F подмножеств множества /содержится в некотором фильтре Фреше тогда и только тогда, когда каждое пересечение конечного числа множеств системы *¥ имеет мощность, равную мощности множества /.
§ 8. Фильтрованные произведения 111 11. Показать, что каждый неглавный ультрафильтр над счетным множеством будет фильтром Фреше. 12. Пусть F — фильтр над I, Aczln FA = {Хр\ A \ Хе F}. Доказать, что для того, чтобы FA было фильтром над А, необходимо и достаточно, чтобы для любого Хе /"было Х[\Аф 0. 13. Пусть F — ультрафильтр над /, ic/и FA = {ХГ\ А \ Хе F). Доказать, что для того, чтобы FA было ультрафильтром над А, необходимо и достаточно, чтобы А принадлежало F. 14*. Показать, что всякий фильтр можно расширить до ультрафильтра. 15. Доказать, что всякий фильтр является пересечением всех содержащих его ультрафильтров. 16. Пусть Fyl G — фильтры над /. Доказать, что FHG={X{JY\Xe Fn Ye G}. 17. Доказать, что если объединение конечной последовательности {Л}/<« подмножеств множества /принадлежит ультрафильтру F, то по крайней мере одно из множеств At принадлежит F. 18. Пусть F — ультрафильтр, a Gu ..., Gn — фильтры над /. Доказать, что если /Ъ Gx П ... П Gm то существует такое / (1 < /< я), что /Ъ G> 19. Пусть множество /бесконечно. Построить ультрафильтр F и семейство ультрафильтров {Gj\Je /такие, что /Ъ Q Gj , но /не содержит Gj ни для какого у. 20. Доказать, что Р| X, где F — ультрафильтр, содержит не XeF более одной точки. 21. Пусть D — фильтр над /и некоторое отношение эквивалентности на / Пусть D~ = {B\3A(Ae D& В={ [х]„ \ х е А})}. Доказать, что: (а) D~ — фильтр над //-; (б) если D — ультрафильтр, то D~ — ультрафильтр; (в) если D — ультрафильтр и [х]_ £ D для любого х, то D~ — неглавный ультрафильтр. 22. Доказать, что фильтр D над /является счетно полным тогда и только тогда, когда не существует убывающей последовательности Х0 з Хх з Х2 з ... элементов Xte D такой, что Q Xt = 0.
112 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 23. Доказать, что ~D есть отношение эквивалентности на Y\ Mitel 24. Доказать, что если/! ~Dgu ...,fn~Dgn то: (а) Pn(fl/D,...,fJD) = Pn(gl/D,...,gJD); (б) Fn(fu...,fn)~DFn(gu...,gn). 25. Доказать, что для любого / iel iel где D={I}. 26. Доказать, что каноническое отображение ф: Y[ 9Я/ —> Yl %Ri/D, iel iel где ф {J) =f/D, является гомоморфизмом Y[ 9Я/ на П 9OT//D. По- казать, что в общем случае этот гомоморфизм не является сильным гомоморфизмом. 27. Доказать, что если предложение, не содержащее -.из, истинно на прямом произведении ]^[9Я/, то оно истинно на iel фильтрованном произведении Y[ %Ri/D по любому фильтру D. iel 28. Доказать, что если Д Dx — фильтры над /и D<^DU то отображение ф, определенное условием ф if/D) =f/Du является гомоморфизмом р[ ЗРТ//2) на Р[ЯЯ//А- iel iel 29. Пусть Je D, D — фильтр над /. Показать, что iel jeJ где Dj— фильтр, образованный пересечениями /с множествами фильтра D. В частности, если D — главный фильтр, состоящий из подмножеств множества /, то iel jeJ 30. Пусть /конечно и D — фильтр над /. Доказать, что Y\ $Ri/D iel изоморфно прямому произведению некоторых систем 9Jlt.
§ 8. Фильтрованные произведения 113 31. Пусть {1к\ке К} — разбиение /и пусть над 1к заданы фильтры Д, а над К— фильтр D*. Показать, что D={X^I\{k\ke KnXf)Ike Dk) e />*} есть фильтр над /и для любых 9Jlt (/е I) 1/D* (ассоциативный закон для фильтрованных произведений). 32. Доказать, что если пересечение /всех множеств фильтра D над / непусто и не принадлежит Д то П тъ/д ~ п wij • I ц шк /Dr I, /е/ jeJ \keJ' J где /' = /\/ ж Df — фильтр над /' образованный пересечениями f со всеми множествами фильтра D. 33. Пусть ф,: ЯЯ,- -> ОТ/ — гомоморфизмы, ф (//2)) = (ф' (/)) /Д где (ф'(Л)(/) = Фу (/(/)) Для/е ^ШТ/, уе /. Доказать, что тогда Ф есть гомоморфизм ^[ЭДТ,//) в TT^t/AD. Доказать, что если iel ml Ф/— сильные гомоморфизмы (изоморфизмы), то таким же является И ф. 34. Пусть ф есть взаимно однозначное соответствие между /и /, D — фильтр над /, Д = {ф (X) \ Хе D). Доказать, что iel jeJ 35. Пусть {Q| ie 1} — семейство множеств, на /задано отношение эквивалентности ~ такое, что /~у => Q= Cj. Доказать, что для любого ультрафильтра D над / существует изоморфное вложение Y[ Ca/D~ в J^Q/Д где D~ строится, как в задаче 21, а Са = Ct для a е //- и / g а. 36. Пусть {1к}ке К— семейство всех конечных непустых подмножеств /, {9Я/}/е i — семейство алгебраических систем сигнатуры о.
114 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Доказать, что существует фильтр D над К такой, что для любого фильтра Di з D над К существует изоморфное вложение Y[ ЯЯ/ в кеК ПП^ iel [it Ik I вх. 37. Доказать, что если А и В условно фильтруются по фильтру D над /, то (А&В), Эх В, V хА также условно фильтруются по D. 38. Доказать, что если An В фильтруются по фильтру D над /, то (А & В), ЗхА также фильтруются по D. 39. Доказать, что атомные формулы фильтруются по любому фильтру. 40. Пусть А фильтруется по ультрафильтру D. Доказать, что -. А фильтруется по D. 41. Доказать, что всякая формула фильтруется по любому ультрафильтру (теорема Лося). 42. Пусть А фильтруется по фильтру D над /, а В условно фильтруется по D. Доказать, что (А з В) и -. А условно фильтруются по D. 43. Назовем формулу хорноеской, если она получается из формул вида -1Д (Az) В), В, где А — конъюнкция атомных формул, а В — атомная формула, при помощи операций конъюнкции и навешивания кванторов. Доказать, что хорновские формулы условно фильтруются по любому фильтру. 44. Доказать, что ультрапроизведение линейно упорядоченных множеств линейно упорядочено. 45. Доказать, что фильтрованное произведение предупорядо- ченных множеств предупорядочено. 46. Доказать, что фильтрованное произведение частично упорядоченных множеств частично упорядочено. 47. Доказать, что фильтрованное произведение групп есть группа. 48. Пусть конечная система 9Я содержит п элементов. Доказать, что любая ультрастепень 9Я содержит также п элементов. 49. Показать, что если мощности всех сомножителей не превосходят натурального числа л, то мощность ультрапроизведения не превосходит п. 50. Доказать, что любое фильтрованное произведение бесконечных систем бесконечно.
§ 8. Фильтрованные произведения 115 51. Пусть для каждого п в семействе {9Я/}/е /имеется лишь конечное число систем мощности п. Доказать, что в этом случае ультрапроизведение ]^[ 9Jt//Z> по неглавному ультрафильтру D iel бесконечно. 52. Доказать, что если для любого / е /имеем 9РТ/ < 9Т/, то для любого фильтра D над / iel iel 53*. Пусть все сомножители 9Jlt (i e Jf) конечны, D — ультрафильтр над Jf и {/1 9Л, =п) <£ D для каждого п eJf. Доказать, что ГТ ЭДТ, имеет мощность континуума. iejf 54. Пусть все сомножители 9Л, (ie Jf) конечны или счетны, D — неглавный ультрафильтр над множеством натуральных чисел Jf и имеем {/1 9Л, = п) <£ D для каждого натурального п. Доказать, что мощность ГТ %Ri/D равна континууму. is Л 55*. Доказать, что если D не является счетно полным ультрафильтром над /и для каждого натурального п имеем {/1 9Л, = п) <£ Д то Y[ yRi/D имеет мощность не меньше континуума. iel 56. Пусть все 9Jlt (ie I) счетны и5- счетно полный ультрафильтр над /. Доказать, что р^ЯЯ,-/!) = К0- 57. Пусть (At\ <) — частично упорядоченные множества (ie Jf), причем At содержит / минимальных элементов. Какова мощность множества минимальных элементов в ультрапроизведении ГТ Aj/D, если D — неглавный ультрафильтр над Jf? iejf 58*. Доказать, что для каждого бесконечного множества /существует такой фильтр D над /, что для каждого фильтра Д над /, содержащего Д и каждой бесконечной системы 9Я mI/Dl > 27.
116 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 59. Доказать, что для любой бесконечной алгебраической системы УЛ и любой данной мощности m существует ультрастепень системы 9Л, мощность которой больше т. 60*. Доказать, что если D — не счетно полный ультрафильтр над / и алгебраическая система 9Я бесконечна, то естественное вложение ср: 9Я —> 9Л1 /D, т.е. ф(я) =f/D где/(/) = а для всех / е /, не будет взаимно однозначным соответствием между 9Я и Ж1 /D. § 9. АКСИОМАТИЗИРУЕМЫЕ КЛАССЫ Обозначим через Ка класс всех алгебраических систем сигнатуры о. Класс ^алгебраических систем сигнатуры о назовем аксиоматизируемым, если существует элементарная теория Т(К) сигнатуры о такая, что К есть семейство всех моделей теории Т(К). Система аксиом X для теории Т(К) называется системой аксиом для К. Класс К называется конечно аксиоматизируемым, если существует конечная система аксиом для К. Класс ^называется универсально аксиоматизируемым, если существует система аксиом для К, состоящая из V-формул. Алгебраические системы из класса Сбудем называть К-системами. К-подсистемой (К-расширени- ем) данной системы 9Я будем называть систему из класса К, являющуюся подсистемой (расширением) 9Я. Класс К назовем абстрактным, если вместе с каждой алгебраической системой К содержит все ей изоморфные алгебраические системы. Системы дЯ = (М; о) и 9Я' = (М'; о) назовем элементарно эквивалентными, если для любого предложения А сигнатуры о ЯП\=А<*Ж\=А. Отображение ср: М-> М' назовем элементарным, если для любой формулы А (хь ..., хп) и любых тъ ..., тпе М дЯ\=А(ть ..., тп) <=> 9Я' И^4(ф (тг), ..., ф (тп)). Система 9Я' называется элементарно вложимой в 9Л, если существует элементарное отображение 9DT' в 9Я. дЯ называется элементарной подсистемой ШГ, а 9Я' — элементарным расширением 9Л (символически 9Л -< 9Л'), если: (а) Ш — подсистема ЯЯ'; (б) тождественное отображение 9Я в 9Я' является элементарным.
§ 9. Аксиоматизируемые классы 117 Пусть УЛ = (М; о) есть подсистема системы 9Ж Говорим, что дЯ есть подсистема, порожденная множеством А<^М, если 9Я есть наименьшая подсистема системы ШГ, содержащая множество А. Подмоделью алгебраической системы 9Л = (М; о) называется любая подмодель модели 9Я' = (М; о'), где о' получается из о заменой всех функциональных символов fn на предикатные символы P/ + l и Ш'\=Р/ + 1(т19 ..., тп, тп + 1) <^>9П\=/(т19 ...,тп) = тп + 1. Диаграммой алгебраической системы 9Я = (М; о) называется множество D(Wl), составленное из всех истинных в 9Я атомных предложений, относящихся к системе 9Я, и их отрицаний: D(Wt) = = {Рп (тъ ..., тп) \Рпео, тъ ..., тп е М, Ш^Рп (тъ ..., тп)} U U {-. Рп (тъ ..., тп) \Рпео, тъ ..., тп е М, Ш N -, Рп (тъ ..., тп)}. Полной диаграммой алгебраической системы 9Я = (М; о) называется множество FD (9Я) всех истинных в 9Я предложений сигнатуры о, относящихся к системе 9Л. 1. Доказать, что класс Ка аксиоматизируем. 2. Доказать, что объединение и пересечение аксиоматизируемых классов являются аксиоматизируемыми. 3. Пусть К— аксиоматизируемый класс, 9Я е Кж 9Л' изоморфна 9Я. Показать, что 9Я' е К. 4. Пусть К— аксиоматизируемый класс, {/| /е /, ЭД^-е К) е Д где D ультрафильтр над /. Доказать, что ^Q9JI//Dg К. iel 5. Доказать, что если класс ^алгебраических систем аксиоматизируем, то класс JC всех бесконечных систем из К также аксиоматизируем. 6. Пусть К — аксиоматизируемый класс, содержащий конечные системы со сколь угодно большим числом элементов. Построить бесконечную систему из класса К. Доказать, что ^содержит бесконечную систему мощности континуума. 7. Доказать, что не являются аксиоматизируемыми: (а) класс конечных групп; (б) класс конечных абелевых групп; (в) класс циклических групп.
118 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 8. Доказать, что класс полей конечной характеристики неаксиоматизируем. 9. Пусть 9Я0 = (М0; <), Wl{ = (М{; <), ... — семейство вполне упорядоченных множеств такое, что Мк+ х>к+\. Доказать, что ультрапроизведение ГТ 9PT//D вполне упорядоченно относительно < тог- ie.AT да и только тогда, когда D — главный ультрафильтр. Вывести отсюда, что класс вполне упорядоченных множеств неаксиоматизируем. 10*. Доказать, что класс К аксиоматизируем тогда и только тогда, когда он замкнут относительно ультрапроизведений и элементарной эквивалентности. 11*. Доказать, что элементарная теория Г имеет модель тогда и только тогда, когда выполнимо каждое конечное подмножество Т0 с Т (локальная теорема Мальцева). 12. Доказать, что любая непротиворечивая теория имеет модель (теорема о существовании модели). 13. Доказать, что для того, чтобы класс К был конечно аксиоматизируем, необходимо и достаточно, чтобы К ж его дополнение KG\Kбыли аксиоматизируемы. 14. Пусть К— конечно аксиоматизируемый класс и Y\ $fti/D e К, iel где D — ультрафильтр над /. Доказать, что {/1 9Я/ е К} е D. 15. Пусть К— аксиоматизируемый класс, содержащий конечные системы со сколь угодно большим числом элементов. Доказать, что класс бесконечных систем из К не является конечно аксиоматизируемым. 16. Доказать, что не являются конечно аксиоматизируемыми классы: (а) бесконечных групп; (б) бесконечных частично упорядоченных множеств; (в) бесконечных линейно упорядоченных множеств. 17. Доказать, что класс полей характеристики 0 не является конечно аксиоматизируемым. 18. Пусть теория Г имеет бесконечную модель. Доказать, что для любого бесконечного кардинального числа m существует модель для Г, мощность которой больше, чем m (теорема Мальцева о расширении). 19. Пусть для любого п е Jf теория Г имеет модель мощности, большей п. Доказать, что для любого бесконечного карди-
§ 9. Аксиоматизируемые классы 119 нального числа m существует модель для Г, мощность которой больше, чем т. 20*. Доказать, что если каждое конечное обеднение конечной подмодели модели 9Я изоморфно вложимо в некоторую модель из класса К, то 9Я изоморфно вложима в подходящее ультрапроизведение моделей из К. 21. Пусть D (9Я) есть диаграмма системы 9Л = (М;с) и ЯЯ' = (М'; о U М) — модель для D (9Л). Доказать, что Ш изоморфно вложима в (М; о). 22. Пусть УЛ = (М; о) — конечная алгебраическая система конечной сигнатуры. Доказать, что существует 3-предложение А сигнатуры о такое, что для любой системы 9Я = (М; о) А истинно в 9Я тогда и только тогда, когда 9Я' изоморфно вложима в 9Л. 23. Пусть о — конечная сигнатура, <$Ri = {Mi\ о) (/е /) — система конечных алгебраических систем сигнатуры о и существует п такое, что Mt < п. Доказать, что для любого ультрафильтра D над /существует /0 е /такое, что ТТЭД?,//) D ЭД?/о. 24. Пусть 9Я = (М; о) — алгебраическая система, А — непустое подмножество М и 9#/ = (А/,-; а) (/е /) — семейство всех подсистем в 9Я таких, что 9Я/зА Доказать, что dJl = (f>\Mi;c) есть подсистема в 9Я, порожденная множеством А 25. Доказать, что если Wli = (Ml;a) есть подсистема системы 9Я, порожденная множеством А, то А^ есть множество всех значений термов сигнатуры о, когда переменные принимают значения в множестве А. 26. Пусть 9Я = (М; а), А — непустое подмножество М. Доказать, что подсистема 9Л', порожденная множеством А, имеет мощность не более чем тах<м, о, К0 [• 27. Доказать, что каждый аксиоматизируемый класс состоит из обеднений алгебраических систем некоторого универсально аксиоматизируемого класса. 28. Доказать, что каждая система из аксиоматизируемого класса К конечной сигнатуры содержит конечную или счетную ^Г-подсистему. 29. Пусть К— аксиоматизируемый класс, сигнатура о которого имеет мощность р, и пусть 9Я = (М; а) — некоторая ^Г-система.
120 ЧАСТЫ1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА Доказать, что каждое подмножество А с М, имеющее мощность ш, содержится внутри подходящей ^Г-подсистемы системы 9Я мощности не выше р + т+ К0 (теорема Левенгейма—Скулема). 30. Доказать, что каждая бесконечная система 9Я = (М; о) аксиоматизируемого класса К допускает ^Г-расширение любой наперед заданной мощности, большей М + о. 31*. Построить пример аксиоматизируемого класса Этакого, что класс ^содержит конечные модели со сколь угодно большим числом элементов, а все бесконечные модели из К имеют мощность не меньше мощности континуума. 32*. Построить пример аксиоматизируемого класса Этакого, что в ^существует счетная модель, а все отличные от нее модели класса К, являющиеся расширениями этой модели, имеют мощность, не меньшую мощности континуума. 33*. Доказать, что если аксиоматизируемый класс К содержит систему мощности m > К0, то для любого n > 2m существует ^Г-система мощности п. 34. Предположим, что справедлива обобщенная гипотеза континуума: для любых кардинальных чисел m, n из m < n < 2m следует, что m = п или п = 2Ш. Доказать, что тогда для любого аксиоматизируемого класса ^справедливо в точности одно из следующих условий: (а) мощности конечных систем из К ограничены некоторым натуральным числом, и К состоит лишь из конечных систем; (б) мощности конечных систем из К ограничены некоторым натуральным числом, и существует бесконечное кардинальное число m такое, что для любого бесконечного кардинального числа п класс К содержит модель мощности п тогда и только тогда, когда п > ш; (в) мощности конечных систем из К не ограничены, и существует бесконечное кардинальное число т<2*° такое, что ^содержит систему бесконечной мощности п тогда и только тогда, когда п > т. Привести примеры классов для каждого из случаев (а), (б), (в). 35. Доказать, что если ср: М —> М' — элементарное отображение, то ф одно-однозначно и для каждой формулы А(хи ..., хп) и любых тъ ..., тп е Мимеем 9Л\=А(ть ..., тп) <=> 9Я' \=А(<р (тх), ..., ф (тп)).
§ 9. Аксиоматизируемые классы 121 36. Пусть 9t = (*4r;<), ЯЯ = (М;<), где Л — множество натуральных чисел, М — множество положительных целых чисел. Показать, что 91 и ЯЛ элементарно эквивалентны, но 91 не является элементарным расширением ЯЛ. 37. Пусть М — множество четных чисед, ЯЛ = (М; <), 91 = (.#; <), где < — обычный порядок. Является ли ЯЛ элементарной подмоделью 91 ? 38. Пусть 9t = (2!;+, •) — поле действительных чисел, С = (5?; +, •) — поле комплексных чисел. Является ли (£ элементарным расширением 91? 39. Доказать, что для любого ультрафильтра D над / каноническое отображение ср: ЯЛ —> ЯЛ7/Z), определенное условием Ф (6) =//Д где/(/) = Z> для всех / е 7, является элементарным вложением ЯЛ в УЯ1 /D. Доказать, что если ЯЛ — конечная система, то ф есть изоморфизм ЯЛ на ЯЛ7 /D. 40. Пусть ЯЛЛ = {Мп\ <) — линейно упорядоченные множества (п е *#); Мп содержит 2п + 1 элемент. (а) Построить изоморфизм множества целых чисел (Z; <) в ГТ ЯЛ,/А если Z) — неглавный ультрафильтр на Л'. (б) Будет ли этот изоморфизм элементарным отображением? 41. Пусть FD (ЯЛ) есть полная диаграмма системы ЯЛ = (М; о) и ЯЛ' = (М'; a U М) — модель для FD (ЯЛ). Доказать, что ЯЛ элементарно вложима в (М; о). 42. Доказать, что для любой бесконечной системы ЯЛ = (М; о) и любого кардинального числа m существует элементарное расширение системы ЯЛ мощности, большей т. 43. Пусть ЯЛ = (М; о) есть подсистема системы ЯЛ' = (М'; о). Доказать, что для того, чтобы ЯЛ была элементарной подсистемой ЯЛ', необходимо и достаточно, чтобы для любой формулы А (хь ..., хт у) сигнатуры о и любых тъ ..., тл е М из ЯЛ' N ЗуА (ти ..., тл, у) следовало существование такого те М, что ЯЛ N ^4 (ти ..., тл, т). 44. Доказать, что каждая бесконечная система конечной или счетной сигнатуры о является элементарным расширением счетной системы сигнатуры о. 45. Пусть ЯЛ = (М; а) — бесконечная система, 1с ¥и m - такая мощность, что max]а, X, К0 I < m < М . Доказать, что существует элементарная подсистема ЯЛ' = (М'; а) мощности m такая, что Ic Af'.
122 ЧАСТЬ П. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА 46. Пусть дЯ = (М; о) — бесконечная система и m > maxj M, о |. Доказать, что УЛ обладает элементарным расширением мощности т. 47*. Пусть 9ЯЬ ..., дЯп,... — множество систем таких, что 9Я/+1 есть элементарное расширение 9Jlt для любого /. Доказать, что (J 9Я/ есть элементарное расширение каждого 9Jlt. i 48*. Доказать, что класс К аксиматизируем тогда и только тогда, когда К является абстрактным, замкнутым относительно ультрапроизведений и замкнутым относительно взятия элементарных подсистем. 49*. Доказать, что класс К систем сигнатуры о универсально аксиоматизируем тогда и только тогда, когда для любой системы 9Я сигнатуры о из того, что каждое конечное обеднение каждой конечной подмодели системы 9Я изоморфно вложимо в некоторую ^Г-систему, следует, что 9Я принадлежит К. 50. Показать, что класс К тогда и только тогда универсально аксиматизируем, когда К является замкнутым относительно ультрапроизведений, абстрактным и наследственным (замкнутым относительно взятия подсистем). 51. Пусть класс К аксиоматизируем, a SK — класс систем, изоморфных подсистемам ^Г-систем. Доказать, что класс SKуниверсально аксиоматизируем. 52*. Доказать, что для того, чтобы 9Я и Wl{ были элементарно эквивалентны, необходимо и достаточно, чтобы существовал такой ультрафильтр D над подходящим множеством У, для которого существует элементарное отображение 9Я в 9РТ/ /D. 53. Доказать, что если 9Я и Wl{ элементарно эквивалентны и 9Я конечна, то 9DTi конечна и изоморфна 9Я. 54. Доказать, что для того, чтобы непротиворечивая теория Т была полной, необходимо и достаточно, чтобы все ее модели были элементарно эквивалентны. 55. Показать, что класс моделей категоричной теории состоит (с точностью до изоморфизма) из одной конечной системы. (Теория называется категоричной, если все ее модели изоморфны.) 56. Пусть Т — элементарная теория, не имеющая конечных моделей, которая m-категорична в некоторой бесконечной мощности т. Доказать, что Т — полная теория. (Теория называется ш-категоричной, если все ее модели мощности m изоморфны.)
§ 9. Аксиоматизируемые классы 123 57. Доказать, что теория плотно упорядоченных множеств (см. задачу 13 из § 5 части I) без наименьшего и наибольшего элемента является полной. 58. Пусть Г — полное множество предложений сигнатуры о, Г0 з Г, Г{ з Г — два непротиворечивых множества предложений таких, что все предметные константы из Г0 и все функциональные и предикатные символы из Гх входят в о. Доказать, что множество Г0 U Гх непротиворечиво. 59. Пусть Г — полное множество предложений сигнатуры о, А — предложение, все предметные константы которого входят в о, Г U {А } непротиворечиво. Доказать, что если Г выполнимо в системе 9Л = (М; о), то множество {A}\JFD(9Jl) непротиворечиво. 60. Пусть ЯЯ = (М;а) есть обеднение системы ЗРТ1 = (М1; а>, 9Л2 = (М2; а) — элементарное расширение ЯЯ. Доказать, что существует элементарное расширение 9Я3 = (М3; с{) системы Wl{ такое, что (М3; о) есть элементарное расширение 9Л2. 61*. Пусть Г — полное множество предложений сигнатуры о, А — предложение сигнатуры с{ з о, В — предложение сигнатуры о2 з о и с{ П о2 = а, причем все предметные константы А и все предметные константы В входят в о. Доказать, что если Г U {А } и Г U {i?} непротиворечивы, то Г U {А В} непротиворечиво. 62. Пусть Г — полное множество предложений сигнатуры о, ^4 — предложение сигнатуры Oi з а, В — предложение сигнатуры о2 з о и Oi П а2 = а. Доказать, что если Г U {^ } и Г U {i?} непротиворечивы, то Г U {А, В} непротиворечиво. 63*. Пусть А — предложение сигнатуры оь В — предложение сигнатуры о2 и Ь(^э5) в ИП, а -.^4 и i? невыводимы в ИП. Доказать, что о = а! П а2 непусто и существует предложение С сигнатуры а такое, что Ь(^эС) и Ь(Сз5) в ИП (интерполяционная теорема для ИП).
Часть III ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ § 1. ЧАСТИЧНО РЕКУРСИВНЫЕ ФУНКЦИИ Будем изучать частичные числовые функции fn(хь ...9хп) (п= 1, 2, ...), т.е. функции, определенные на некотором подмножестве М<^*Жп с натуральными значениями. Для любых Аь...5о„е1и любых функций fk и gs пишем f(ai9 ..., fl//fc) = = g(aJi9 ..., ял), если значение f(aii9 ..., ^) и g(aJi9 ..., ял) не определены или эти значения определены и совпадают. л-местная функция fn(xb ..., хп) называется всюду определенной, если bf" = Jfn. Следующие всюду определенные функции назовем простейшими: sl (х) = х+ 1, о1(х) = 0, 4Л (хь ..., хп) = хт (при \<т<п). Будем говорить, что функция п (х1? ..., хп) = g (fi (х1? ..., хп)9 ...9fm fa, ..., хп)) получается с помощью оператора суперпозиции из функций gm, fu •••ifm- Скажем, что функция hn(xb...,xn)=gm(tb...,tm) получается с помощью оператора подстановки из функций g, /ь ...9fm9 если ti =fj (xJi9..., Xj)9 где хУ/ есть одна из переменных хи ..., хл или ^ есть одна из переменных хь ...9хп. Скажем, что функция fn+l (xu ..., хП9 у) получается из функций gn (хь ..., хп) и hn+2 (хь ..., хП9 у, г) с помощью оператора примитивной рекурсии, если она может быть задана схемой примитивной рекурсии:
§ 1. Частично рекурсивные функции 125 /"+1(хь ..., х„, 0) = g"(xu ..., х„), Г+1(хь ..., х„, у + \) = /г"+2(хь ..., х„, у, Г+1(хь ..., х„, у)). Для п = 0 схема примитивной рекурсии имеет следующий вид: ДО) = а, f(y + i) = g(y,f(y))> где а — постоянная одноместная функция, равная числу а. Будем говорить, что функцияfn (xu ..., хп) получается из функции gn+l (хь ..., хп, у) с помощью оператора минимизации ([i-оператора), и обозначать fn (хь ..., хп) = [iу [gn + l (хь ..., хп9 у) = 0], если выполнено условие: fn (хь ..., хп) определено и равно у тогда и только тогда, когда g(xu ...,xn, 0), ..., g(xu ...,xn,y- 1) определены и не равны 0, a g(xu ..., хт у) = 0. Функция Р {хъ ...,х„) называется примитивно рекурсивной (прф), если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции и примитивной рекурсии. Функция fn (хь ..., хп) называется частично рекурсивной (чрф) или частично вычислимой, если она может быть получена из простейших функций с помощью конечного числа применений операторов суперпозиции, примитивной рекурсии и минимизации. Функция fn (хь ..., хп) называется общерекурсивной (орф) или вычислимой, если она частично рекурсивна и всюду определена. Говорим, что функция fn (хь ..., хп) получается из функций gn+l (хь ..., хп, у) и hn (хь ..., хп) с помощью ограниченного \i-onepamopa, если \iу [gn+1 (хь ..., хп, у) = 0] определено для всех хь ..., хп и не больше, чем h (хь ..., хп), и fn(xl,...,xn) = VLy[gn + 1(xl,...,xn,y) = 0]. Говорим, что функция fn+l получается из gn, hn + s+\ t{1, ..., tsl возвратной рекурсией, если она может быть задана схемой: \/п+\хъ ..., хп, 0) = gn(xu ..., хп), fn+\xx,..., хп, у + 1) = Ал+я+1(хь ..., хл, j, /(хь ..., хл, гх(у +1)),... ...,f(xl,...,xn,ts(y + \))), где tx(y+l)<y, ...,ts(y+l)<y.
126 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ Используем обозначение fn (хь ..., хп) = \iу [g (хь ..., хп9 y) = h (xl9 ..., хп9 у)]9 если выполнено условие: fn (хь ..., хп) определено и равно у тогда и только тогда, когда g(xu ..., хП9 /) и h (хь ..., хл, /) определены для /=0,1, ...,у, но g(xb ...,хл, 1)фН(хъ ...9хП9 i) при /<у и g(xb...,x„,y) = /z(xb...,x„,y). Подобным образом используются обозначения: \iy[g (хь ..., хп9 у)фк (xl9 ..., хл, у)]9 \iy\g (хь ..., хл, у) < h (xl9 ..., хп9 у)], \iy[g(xl9 ...9xn9y)<h(xl9 ...9xn9y)]9 и т.д. Будем говорить, что функция/(х) получается из функции g (x) с помощью итерации, и обозначать f(x) = ig(x), если J/(0) = 0, \f(x + \) = g(f(x)). Будем говорить, что функция/(х) получается из функции g (x) с помощью обращения, и обозначать f(x) =g~l (x), если f(x) = [iy[g(y)=x]. Пусть G — некоторое семейство л-местных частичных функций. Функцию Fn+l назовем универсальной функцией для G, если G = {F(09xl9...9xn)9 F(l9xl9...9xn)9 ...}. 1. Доказать, что любая примитивно рекурсивная функция всюду определена. 2. Доказать, что если функция fn(xu ..., хп) примитивно рекурсивна, то следующие функции примитивно рекурсивны: (а) fi (xu хъ ..., хп) =f(x2, xu ..., хп) (перестановка аргументов); (б) f2 (хь хъ ..., хп) =f(x2, ...,xm Xi) (циклическая перестановка аргументов); (в) /3 (хи ..., хП9 xn+l) =f(xl9 ..., хп) (введение фиктивного аргумента); (г) /4(*ь ..., хп-1) =/(хъ Х\9 ..., хп_х) (отождествление аргументов). 3. Какие функции получаются из простейших с помощью лишь суперпозиций?
§ 1. Частично рекурсивные функции 127 4. Доказать, что из о1 и 1£ с помощью суперпозиций и схем примитивной рекурсии нельзя получить функции х + 1 и 2х. 5. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: (a) f(x)=x+n; (б)/(х) = и; (в) Дх,у) = х + у; (г) f(x,y)=x-y; (д)/(х,у)=ху(здесъ 0° = 1); (е) /(х, у) = х! (здесь 0! = 1). 6. Какая функция получается из g и h с помощью схемы примитивной рекурсии: (а) g (х) =x, h (х, у, г) = 2х; (б) g(x) = x, Л(х, у, г)=х2? 7. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: / ч / ч [05 если * = 0, (а) sg(x)= J ' [1, если х > 0; /*\ — / \ f0' еслих>0, (б) sg(x) = ^ I, если х = 0; (в) х- 1 = (г) х-у = 0, если х = 0, х -1, если х > 0; 10, если х < у, [х - у, если х > у; (д) 1*-у|; (е) max(x,j); (ж) min(x,j). 8. Доказать следующие равенства: (а) x-y = s(x)-s(y); (б) х+(у-х)=у+(х-у); (в) x-(y + z) = (x-y)-z\ (г) (х-у)-2 = (х-2:)-у. 9. Пусть gw+ *, aw, pw примитивно рекурсивные функции. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: (а) / (хь ..., хт хп+1) = 2j £{хъ •••? хп> 0 5 /=о
128 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ (б)Г + 2(хь...,хюу,г): ]Г#(хь ...,хл,/), если y<z, i=y О, если у > z\ (в) fn + m(xb ...,хп,уи ...,ут) = Юи .-, Ут) ]Г g(xu ..., хП9 /), если a(yh ..., ут) < (X уь ..., jw), О, в остальных случаях; хи+1 (г) fn+ (хъ •••> *л> ^л+i) - n^(xb •••? хл? 0; /=0 (Д) Г + 1(ХЬ ...,Хп,у, Z): Д#(*ъ ...,xn,i), если у < z, i=y О, если у > z\ (с)Г + т(хь...,хп,уь...,ут) = Р(Л, -.., Ут) И g(xu ..., хп, /), если a(yh ..., ут) < (X уь ..., jw), О, в остальных случаях. 10. Доказать, что если/получается из примитивно рекурсивных функций g и h с помощью ограниченного ju-оператора, то / примитивно рекурсивна. 11. Пусть функции//2, /л, ..., /л обладают следующим свойством: для любых натуральных значений хь ..., хп одна и только одна из этих функций равна 0. Скажем, что функция g1 кусочно задана, если gn(xu ..., хп) h$(xh ..., хп), если /f (хь ..., хп) = 0, й*(*ъ ..., хп), если /Дхь ..., хл) = 0. Доказать, что если функции /г0л, ..., К,/5, .../Г примитивно рекурсивны, то gn примитивно рекурсивна.
§ 1. Частично рекурсивные функции 129 12. Доказать, что следующие функции примитивно рекурсивны: (а) ( частное от деления х на у здесь л = X (б) rest (х, у) — остаток от деления х на у (здесь rest (х, 0) = х); (в) т (х) — число делителей числа х, где т (0) = 0; (г) о (х) — сумма делителей числа х, где о (0) = 0; (д) lh (х) — число простых делителей числа х, где lh (0) = 0; (е) л; (х) — число простых чисел, не превосходящих х; (ж) к (х, у) — наименьшее общее кратное чисел х и у, где к(х,0) = к(0,у) = 0; (з) d (x, у) — наибольший общий делитель чисел хну, где </(0,0) = 0; (и) р (х) — х-е простое число (р (0) = 2, р (1) = 3, р (2) = 5, ...); (к) long (x) — номер наибольшего простого делителя числа х; (л) ех (х, у) — показатель степени х-го простого числа р (х) в каноническом разложении на простые множители числа у, где ех (х, 0) = 0; (м) [/*]; (н) [Щ (о) [хЩ где [Щ х; (п) [ех] (Р) [ех]\ (с) Сух (здесь С?= 1 при у<х). 13. (а) Доказать, что функция с(х, у) = (х + у)2 + Зх + у (шнторовская нумерующая функция) осуществляет взаимно однозначное соответствие между Jf2 и ^"(нумерует пары натуральных чисел). (б) Пусть /(х) и г(х) таковы, что с (/(х), г(х)) =х. Доказать, что / (х) и г (х) примитивно рекурсивны и / (с (х, у)) = х, г(с(х,у)) = у. 14. Для каждого п > 1 определим функции с (х1) = х1,
130 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ с (х1? х2, х3, ..., хп + 1) - с (с (х1? х2), х3, ..., хп + 1) (см. задачу 13). Пусть cni (\<i<ri) таковы, что cn(cni (х), ..., сш (х)) =х. (а) Доказать тождества сп1(сп(хъ ...,хл))=х/для \<i<n. (б) Доказать, что функции сп и cni примитивно рекурсивны. (в) Доказать, что функции сп (хь ..., хп) осуществляют взаимно однозначные соответствия между Jfn и Jf (нумеруют кортежи натуральных чисел длины п). 15. Как из одноместных частично рекурсивных функций и функций сп(хъ ...,хл) получить все частично рекурсивные функции? 16*. Назовем одноместную функцию f(x) функцией большого размаха, если она каждое натуральное число принимает в качестве своего значения бесконечное число раз. (а) Пусть пара функций {/j (х),/2 (*)) отображает »#на Jf1. Доказать, что / (x) и f2 (x) — функции большого размаха. (б) Пусть fi (x) — произвольная примитивно рекурсивная функция большого размаха. Построить примитивно рекурсивную функцию f2 (x) так, чтобы функции / (x) и f2 (x) осуществляли взаимно однозначное соответствие между Jfn Jf1. 17*. Рассмотрим функцию Гё'деля р (х, у, z) = rest (х, 1 + у (z + 1)). Доказать, что, какова бы ни была конечная последовательность натуральных чисел аи ..., ат система уравнений Гр(х, у, 0) = <хо, [р(х, у, п) = аП9 имеет по меньшей мере одно решение х, у. 18*. Доказать, что если функции g, h, tu ..., ts примитивно рекурсивны и/получается из них возвратной рекурсией, то функция/примитивно рекурсивна. 19. Доказать, что функция, перечисляющая по порядку числа Фибоначчи: Д0) = 0, /(1) = 1, f(n + 2) = f(n) + f(n + l), примитивно рекурсивна.
§ 1. Частично рекурсивные функции 131 20. Пусть функции/и g определены следующим образом: f/(0) = fl, g(0) = b, \f(x + l) = hi(x,f(x),g(x)), [g(x + l) = h2(x,f(x),g(x)). Доказать, что если функции h{ и h2 примитивно рекурсивны, то функции/и g примитивно рекурсивны. 21. Пусть fin+l, ..., fkn+l определены с помощью совместной рекурсии: \/Г\хи .-, хп, 0) = g?(xu ..., хп), \/Г\хи...9хП9у + 1) = | = hf+k+l(xu ..., хп, у, Мхь ..., хп, у),..., fk(xu ..., х„, у)) для всех \<i<k. Доказать, что если функции gu ..., gk , hb ..., hk примитивно рекурсивны, то функции /ь ...,Л примитивно рекурсивны. 22. Доказать, что всякая примитивно рекурсивная функция общерекурсивна. 23. (а) Доказать, что суперпозиция общерекурсивных функций есть общерекурсивная функция. (б) Доказать, что, применяя оператор примитивной рекурсии к общерекурсивным функциям, мы получим общерекурсивную функцию. (в) Привести пример общерекурсивной функции, из которой с помощью ц-оператора получается функция, не являющаяся общерекурсивной. 24. Доказать, что если функция f(xb ..., хп) частично рекурсивна, то следующие функции частично рекурсивны: (а) fi (хь хъ ..., хп) =f(x2, хъ ..., хп) (перестановка аргументов); (б) f2 (хь хъ ..., хп) =f(x2, ..., хт Xi) (циклическая перестановка аргументов); (в) /з (хъ •••> хт xn+i) =/(хь •••> хп) (введение фиктивного аргумента); (г)^(хь ..., xn_i) =f(xi, Xi,..., xn_i) (отождествление аргументов). 25. Доказать, что: (а) существует в точности К 0 частично рекурсивных функций;
132 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ (б) существует частичная числовая функция, не являющаяся частично рекурсивной; (в) существует всюду определенная числовая функция, не являющаяся общерекурсивной. 26. Доказать, что частично рекурсивны следующие функции: (а) нигде не определенная функция со, т.е. функция со с пустой областью определения; \х - у, если х > у, (б) /(Х, У) : [не определена в остальных случаях; (в)/(х,у)=\ X —, если у делит х, У не определена в остальных случаях; (г) f(x,y) = 12, если zy = х, [не определена в остальных случаях; (д) функция, определенная в конечном числе точек. 27. Доказать, что если функции gn+l, hn+l и tn+l частично рекурсивны, то следующие функции частично рекурсивны: (а) \iу [g(хь ..., хт y) = h (хь ..., хт у)]; (б) [Iу [g(хь ..., хп,у)Фк (хь ..., хп,у)]; (в) \iy[g(xu ...,xn,y)<h(xu ...,xn,y)]; (г) \iу [g(хь ..., хт y)<h (хь ..., хт у)]; (Д) \iy[g(xu...,xn,y) = 0 и h(xu...,xn,y) = 0]; (е) \iy\g(xu...,xn,y) = 0 или h(xu...,xn,y)<t(xu...,xn,y)]. 28. Доказать, что функция fn+\ возникающая из частичных функций gn и hn + 2 с помощью оператора примитивной рекурсии, может быть получена с помощью специальной рекурсии вида: F(x, 0) = х, F(x,y + l) = G(F(x,y)) и суперпозиций из функций gn, hn + 1, о, s, I£ ж с, I, r из задачи 13. (б) Доказать, что функция/(х), получающаяся из а и h{x,y) с помощью оператора примитивной рекурсии, может быть получена с помощью итерации и суперпозиций из функций a, h, о, s, 1^ и с, /, г из задачи 13.
§ 1. Частично рекурсивные функции 133 29. Доказать, что функция fn, получающаяся из частичной функции gn+l с помощью ц-оператора, может быть получена из функций g, I£ и с, /, г из задачи 13 с помощью суперпозиций и ц-оператора специального вида. F(x) = \iy[G(x9y) = 0]. 30*. Доказать, что функция fn + l, получающаяся с помощью оператора примитивной рекурсии из всюду определенных функций gn vl hn + 2, может быть получена из этих функций и функций +, -, s, о, 1^ и с, /, г, р из задач 13, 17 с помощью суперпозиций и jlx—оператора специального вида из задачи 29. 31. (а) Пусть ур2 = а0, ахаъ ... — разложение числа ур2 в бесконечную десятичную дробь. Доказать общерекурсивность функции ап. (б) Пусть е = а0, ахаъ ... — разложение числа е в бесконечную десятичную дробь. Доказать общерекурсивность функции ап. (в) Пусть 71 = а0, ахаъ ... — разложение числа л; в бесконечную десятичную дробь. Доказать общерекурсивность функции ап. 32*. Пусть а = а0, ахаъ ... — разложение действительного числа а в бесконечную десятичную дробь. Число а назовем общерекурсивным {конструктивным), если ап — общерекурсивная функция от п. Доказать, что алгебраические числа общерекурсивны. 33. Доказать, что: (a) i {ах + Ь) = Ъ ах -1 а-\ при а> 1; (б) i (в) i ( 1 + л Х + 1 + sgx; х + 1 = 2х- 1; •\х- 1 (г) i (sg х+ 2х) = 2Х х - sg x; (д) i (х + 1 + л/ Ах + 1) = х2 + х; (е) i(x + l + 2[>/T]) = x2. 34*. Доказать, что следующие функции могут быть получены из функций s (х) = х + 1 и q{x)=x-\ \Г~х с помощью операций подстановки, итерации и сложения двух функций:
134 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ (а) 1т (хь ..., хп); (б) о(х); (в) sg(x); (г) sg(x); (д) ах+Ьу + с; (е) х2; (ж) (з) [Щ; (и) х-у; (к) х-у; (л) с(х,у); (м) /(х); (н) г(х). 35*. Доказать, что всякая примитивно рекурсивная функция может быть получена из функций s (х) = х + 1 и q (х) = х - Гл/^с 1 с помощью операций подстановки, итерации и сложения двух функций (теорема Р. Робинсона). 36. Доказать, что: (а) 7,1 (/(х)) =/(/11(х)) =ДГ1 (f(x))) =/(x); (б) Г1 (fit1 (х))) =Г1 (х). 37. Доказать, что: (а) если f~l (x) определена в какой-нибудь точке а, то /СГ1 (а)) = а; (б) если f~l (x) всюду определена, то /(Г1(х)) = //(х); (в) существует f(x) такая, что f~l (x) всюду определена, но Г1 (А*)) *//(*). 38. Доказать, что: (а) (х+1)_1=х-1; (б) (о(х))"1 = 0-х; (в) (2xyl=f, (г) (х2)"'=^;
§ 1. Частично рекурсивные функции 135 пЛ-1 (д) (е) ([Щ = пх\ (ж) q (х) = х + х + 1 , где ?(*) = *-[Vxl ; (з) q _1 (2х) = х2 + 2х; (и) д~1(2х+1) = х2 + 4х + 2; (к) q _1 (2х + 2у) = (х + у)2 + 2х + 2у. 39*. Доказать, что следующие функции могут быть получены из функций s(х) = х + 1 и # (х) = х- Гл/lc"I с помощью операций подстановки, обращения и сложения двух функций: (а) 1т (хь ..., хп); (б) о(х); (в) sg(x); (г) sg(x); (д) ах+Ьу+ с; (е) х2; (ж) (з) [Щ\ (и) х-у; (к) х-у; (л) с(х,у); (м) /(х); (н) г(х). 40. Пусть/(х) = \iy [h (x, у) = 0]. Доказать, что/(х) может быть получена из h, s(x) = x+ 1 и #(х)=х- [л/Т] с помощью операций подстановки, обращения и сложения двух функций. 41*. Доказать, что всякая частично рекурсивная функция может быть получена из s(x)=x+l, q(x) = x- \Jx\ с помощью операций подстановки, обращения и сложения двух функций {теорема Ю. Робинсон). 42*. Рассмотрим следующие функции Аккермана: В(0,у) = 2 + у;
136 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ В(х+ 1, 0) = sgx; В (jc+ 1, у + 1) = В (х, В (jc+ 1, у)); ^4(х) = В (х, х). Назовем всюду определенную функцию/(хь ...,хл) В-мажо- рируемой, если существует натуральное число т такое, что /(*!, ..., х„) < 5 (/и, тах(х1? ..., хп) + 3). Доказать, что: (а) В (х, у) ж А (х) общерекурсивны; (б) £(л + 2,х+1)>2х+1; (в) Д(л+1,х+2)>Д(л+1,х+1); (г) J?(/i + 2,jc+3)>J?(/i+1,jc + 4); (д) простейшие функции 5-мажорируемы; (е) функция, полученная с помощью суперпозиции из 5-мажорируемых функций, В-мажорируема; (ж) функция, полученная с помощью примитивной рекурсии из 5-мажорируемых функций, В-мажорируема; (з) функция А не является примитивно рекурсивной. 43. Доказать, что не существует примитивно рекурсивной функции, универсальной для семейства всех л-местных примитивно рекурсивных функций. 44. Доказать, что не существует частично рекурсивной функции, универсальной для семейства всех л-местных общерекурсивных функций. §2. МАШИНЫ ТЬЮРИНГА Машина Тьюринга Т полностью определяется: (а) внешним алфавитом ^4= {а0, аъ ..., ап} (где а0 = 0, а{ = 1); (б) алфавитом внутренних состояний Q= {q0, qu ..., qm}; (в) программой, т.е. совокупностью выражений T(i,j) (i= l, ..., m;j=0, ..., я), каждое из которых имеет один из следующих видов: qtaj^qkah q^^ qkatR, q^j^ qkatL, где 0<к<т, 0<1<п. Выражения T(i,j) называются командами. Машинным словом или конфигурацией называется слово вида AqkatB, где 0 <к<т, 0 < /< я, А ж В — слова (возможно, пустые) в алфавите ^4. Пишем а?для обозначения слова atat... at (храз). Пусть даны машина Т и машинное слово M=AqtajB, где 0 < /< т. Обозначим через М? слово, которое получается из Мпо правилам:
§2. Машины Тьюринга 137 (1) для / = 0 положим Mj = M\ (2) для / > О (а) если T(i,j) имеет вид qtaj^>qkah то Mj = Aqka{B\ (б) если T(i,j) имеет вид qtaj^qkaiR, то: (Ъ{) если В не пусто, то Mj = Aa{qkB, (Б2) если В пусто, то MT' = Aaiqka0; (в) если T(i,j) имеет вид qtaj^ qkatL, то: (ВО если A = Axas для некоторых Ах и as, то Mj = Axqk as at В, (B2) если В пусто, то М/ = qk a0 at В. Положим МР = М, М£п + 1) = (М£п)у. Говорим, что машина Т перерабатывает машинное слово М в слово Мъ если М^п) = Мх для некоторого п. Пишем М=>ТМи если машина Т перерабатывает М в Mi и при этом не используется пункт (В2) определения. Пишем М\=$ТМХ, если машина Т перерабатывает слово М в слово Mi и при этом не используются пункты (Б{) и (В2) определения. Говорим, что машина Т вычисляет л-местную частичную числовую функцию /, где 5у с *#л, ру с Л, если выполнены следующие условия: (а) если (хь ..., хп) е 5у, то машина Т останавливается, т.е. перерабатывает слово ftOl^O ... 1Хя0 в некоторое слово Aq0B и при этом слово Aq0B содержит f(xb ..., хп) вхождений символа 1; (б) если (хь ...,хп)<£ 5у, то машина, начиная работу со слова M=qi0lXl0 ... 1Хя0, работает бесконечно, т.е. #0 не входит в М^л) ни для какого п. Говорим, что машина Т правильно вычисляет функцию/л, если выполнены условия: (а) если (хь ...,хп)е 5у, то дх01Х10 ... 1Хи0 ^г^01/(хь"'Хи)00 ... 0; (б) если (хь ...,хп)<£ 5у, то машина, начиная работу со слова ^01Х10 ... 1Хя0, работает бесконечно. Функция / называется вычислимой (правильно вычислимой) по Тьюрингу, если существует машина, которая вычисляет (правильно вычисляет) функцию / Пусть Тъ Т2, Т3 — три машины Тьюринга с одним и тем же внешним алфавитом **/= {а0, аъ ..., ап}, с алфавитами внутренних состояний (?1 = {?0>?1> •••>?/■}> (?2 = {?О>01>->05Ь (?3 = {?0>?1> •••>?*} и программами 77ь 772, 773 соответственно. Композицией Т{ • Г2 машин Ti и Г2 называется машина Т, программа которой есть
138 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ объединение множеств Sf Щ и S^'"qsn Пъ где Sqn]H означает Чг+1 4r+\-~4r+s 4i множество команд, полученных из П заменой всех qj на qt. ?аЖетШешш -«. Г, „ (Г,, 7» по <* *> [символически Ti\ 1 L где qh #7е Qu называется машина Т7, программа ко- 1«/ = Гз J торой получается следующим образом: из Щ исключаются команды Тх (/, к) и 7\ (/, к) для £=0, 1, ..., п; полученное множество называем П{\ тогда Пусть А = aSo... ач — слово в алфавите {а0, аъ аъ ...}. Положим Если M=AqtajB — машинное слово, то полагаем у(М) = 2К1{А)-У-У'-7кг{в\ Номером команды T{iJ) назовем число Я(Щ, Л) = 4,';И ' где s = 0, если T(i,j) есть <7/Я/-> qkab s=\, если T(i,j) есть #/Я/—> -^qkatL, s = 2, если T(i,j) есть <7/Я/-> q^^iR- Номером Х(Т) машины Тьюринга Тназовем произведение всех номеров команд T(i,j) машины Т. 1. Какую функцию f(x) вычисляет машина Т со следующей программой команд: ql0^q20R, ^l-^l, q20^q0l, q2\^>q2\Rl 2. Пусть машина Т имеет следующую программу: q{0 -> q00. Какие функции /j (x), ЛС^ъ *2)> •••>/* (*ь •••?^)? ••• вычисляет эта машина? 3. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет функцию f(x) = х + 1.
§2. Машины Тьюринга 139 4. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет функцию о (х) = 0. 5. Построить следующие машины Тьюринга: A. Перенос нуля: qfiOVO ^Aq001x00. Б+. Правый сдвиг: ^001*0 |=>Б+ 0lxq00. Б". Левый сдвиг: Ol^O |=>Б- q00lx0. B. Транспозиция: Ol^OFO ^в 01401*0. Г. Удвоение: ^01*0 =^г #001х01х0. Цл. Циклический сдвиг: q{0lXl0lX2... 01^0 ^Цп q00V2... 01Хи01Х10. Кл. Копирование: q{0lXl... 01^0 =^K„ #001Xl... oboi*1... 01^0. 6. Построить машину Тьюринга, которая правильно вычисляет функцию 1^ (хь ..., хп) (где \<т<п). 7. (а) Пусть функции f(x) и g (x) правильно вычислимы по Тьюрингу. Показать, что функция h (x) =f(g (х)) правильно вычислима по Тьюрингу. (б) Пусть функции Дхь ...,хп) и g{(xu ...,хт), ..., gn(xu ...,хт) правильно вычислимы по Тьюрингу. Показать, что функция h (хь ..., хп) = /(& (хь ..., хт), ..., gn(xb ..., хт)) правильно вычислима по Тьюрингу. 8. Построить машину Тьюринга для правильного вычисления функций: (а) х + у; (б) х^ 1; (в) sg(x); (г) sg(x); (д) х-у, (е) х-у; / ч Х wv (з) X _~2_ 9. Доказать, что: (а) если функция fn+l получается из правильно вычислимых по Тьюрингу функций gn я hn+2 с помощью примитивной рекурсии, то/л + 1 правильно вычислима по Тьюрингу; (б) если функция fn получается из правильно вычислимой по Тьюрингу функции gn + l с помощью ц-оператора, то/л правильно вычислима по Тьюрингу.
140 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ (в) у (х, у, г) = Х\ 10. Доказать, что любая частично рекурсивная функция правильно вычислима по Тьюрингу. 11. Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции а, р, у такие, что: (а) а (х, у) = Х(Тх • Т2), если X (Тх)=х и X (Т2)=у; (б) $(х) = Х(Т) для некоторой машины Т7, перерабатывающей слово q{0 в слово q{0lx0; Г — т Л ТА1 1 ,ecimX(Tl)=x,X(T2)=y,X(T3) = z. W = 7з , 12. Построить примитивно рекурсивные функции у" (хь ..., хп) такие, что v (qfll*... 01*"0) = У(х1,...,хй). 13. Построить примитивно рекурсивную функцию р (s, к, /, и, v) удовлетворяющую условию: если u = kt{A), v = kr(B), 0<s<2, то р (s, к, I, u,v) = v {{AqidjBYj), где T{iJ) есть qtaj^qkai при s = 0, qfij —> q^iL при s=l, qfij —> qkatR при 5 = 2. 14. Построить примитивно рекурсивную функцию о (t, /,у, w, v), удовлетворяющую условию: если u = kt{A), v = kr(B), t=X(T), qt входит в алфавит внутренних состояний, а я,- — во внешний алфавит машины Т, то о (7, /,у, w, v) = v {{Aq^^S)'^. 15. Построить примитивно рекурсивную функцию т (7, х), удовлетворяющую условию: если t=X(T), x = v(M), где М= AqtajB — машинное слово в алфавите машины Т7, то x(t,x) = v(Mr). 16. Построить примитивно рекурсивную функцию w(t, х, у), удовлетворяющую условию: если t=X{T),x = v (М), где М — машинное слово в алфавите машины Т, то w (t, x,y) = v {M^y)). 17. Построить примитивно рекурсивную функцию £ (х), удовлетворяющую условию: если х = v (А/), то £ (х) есть число вхождений символа ах в слово М 18. Доказать, что если машина Т вычисляет /(хь ..., хп) и tQ = X(7), то: (а) (хь ..., хп) е 8у <^=> ех (1, w (70, у" (хь ..., хп), у)) = 0 для некоторого у; (б) Дхь ...,xj = e(w(r0, y"(xb ...,хл),/*л + 1 (70, хь ...,хп))), где /*л+1(70,Хь ...,xj = |aj[ex(l, w(70, f(xu ...,xn), y)) = 0], а функции у, w и £ взяты из задач 12, 16 и 17.
§2. Машины Тьюринга 141 19. Доказать, что любая вычислимая по Тьюрингу функция частично рекурсивна. 20. Доказать, что функция вычислима по Тьюрингу тогда и только тогда, когда существует машина Тьюринга с внешним алфавитом {0, 1}, вычисляющая эту функцию. 21. Доказать, что существует двуместная частично рекурсивная функция U(t, x), универсальная для семейства всех одноместных частично рекурсивных функций. 22. Доказать, что существует {п+ 1)-местная частично рекурсивная функция Un+l (t, хь ..., хп), универсальная для семейства всех л-местных частично рекурсивных функций. 23*. Доказать, что следующие функции не являются частично рекурсивными: (a) h(x,y)-- 1, если х есть номер машины Т и машина Т останавливается, начиная работу с машинного слова ftOFO, 0 в противном случае; (6)g (х) = h (х, х); (в) h0(x) 1, если х есть номер машины Т и машина Т останавливается, начиная работу с машинного слова ^0, 0 в противном случае. 24. Доказать, что существует примитивно рекурсивная функция S(z, х, j, w) такая, что S(z,x,y,w) = 1, если z = Х(Т) и машина Т перерабатывает слово #i01x0 в слово q00ly0...0 не более чем за wшагов, 0 в противном случае. 25. Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции р, Тъ Тъ ... такие, что: (а) U(m,x)=p([iy[Tl(m,x, y) = 0]); (б) Un+l (m,xu ...,xn)=p(\iy[Tn(m,xu ...,xn,y) = 0]).
142 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ § 3. РЕКУРСИВНЫЕ И РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫЕ МНОЖЕСТВА В дальнейшем под множеством мы будем понимать лишь подмножества множества натуральных чисел Jf, множествами п-ок (кортежей длины п) будем называть подмножества множества J\T (п > 1). Пусть Р — я-местный предикат на множестве Jf. Функция 6Р(хь ..., хп) называется представляющей (или характеристической) функцией для предиката Р, если эта функция удовлетворяет условию ГО, если Р(хъ ..., хп) = и, VpKXi,...,xn)-< [1, если P(xi,..., хп) = л. Предикат Р называется рекурсивным или вычислимым (примитивно рекурсивным), если его представляющая функция общере- курсивна (примитивно рекурсивна). Множество п-ок М называется рекурсивным или вычислимым (примитивно рекурсивным), если предикат Р(хъ ..., хп) = и <=> <=>(хь ...,хп)е М является рекурсивным (примитивно рекурсивным) предикатом. Множество п-ок М называется рекурсивно перечислимым или вычислимо перечислимым, если существует (п + 1)-местный примитивно рекурсивный предикат 7?м(хь ..., хл, у), удовлетворяющий условию (хь ...,х„)е М <^=> 3j7?M(x1? ...,х„, у). Для любого множества п-ок М определим характеристическую функцию %м(хъ •••> х«) и частичную характеристическую функцию Хм*(хь ...,хл) следующим образом: [О, если (хь ..., х„)е Ж, Хм(хь...,хп) = \ [1, если (хь...,х^)^ Ж; ч [О, если (хь ...,х„)е Ж, [не определено, если (хь ..., х„) £ М. Если/— л-местная частичная функция, то множество Г/= {(^1, -.., Xn,f(Xi, ..., Хл)> | (Х1? ..., Хл) G 5у} называется графиком функции/. Функция/(хъ ...,хл) называется доопределением функции g(xu ...,хл), если Г^сГ^и bf=Jf.
§ 3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества 143 1. Доказать, что следующие предикаты примитивно рекурсивны: (а) х = у; (б) x + y = z; (в) х-у = г\ (г) х делит у; (д) х четно; (е) х и у взаимно просты; (ж) Зл(х=12 + 22+... + л2); (з) 3 п (х= 1 + 2 + ... п). 2. Доказать, что если Р(хъ ...,хл) и (2(хь ...,х„) — рекурсивные (примитивно рекурсивные) предикаты, то следующие предикаты также рекурсивны (примитивно рекурсивны): (а) (Р(хь ...,хп)& Q(xb ...,xj); (б) (P(xu...,xn)v Q(xu...,xn)); (в) -,Р(хь ...,хи); (г) (Р(хь ...,хл)=> Q(xb ...,xj); (д) Р(хьхьхз, ...,*„); (е) P(f(xu...,xm), хт+ь...,хт + п_1), если Дхь ...,xj - орф (прф). 3. Доказать, что если предикат 7? (хь ..., хт у) рекурсивен (примитивно рекурсивен), то предикаты 3 y(y<z & R(xb ..., хю у)) и V у (у < z => R (хь ..., хп, у)) также рекурсивны (примитивно рекурсивны). 4. Доказать, что если предикат 7?(хь ...,xn,y,z) примитивно рекурсивен, то М = {(хь ..., хп) \ 3 у 3 г R (хь ..., хп, у, z)} — рекурсивно перечислимое множество. 5. Доказать, что существует множество, не являющееся рекурсивно перечислимым. 6. Доказать, что любое конечное множество натуральных чисел примитивно рекурсивно. 7. Доказать, что множество л-ок рекурсивно (примитивно рекурсивно) тогда и только тогда, когда его характеристическая функция общерекурсивна (примитивно рекурсивна). 8. Доказать, что если / — общерекурсивная (примитивно рекурсивная) функция и а — фиксированное число, то множество решений уравнения f(xu ...,хп) = а рекурсивно (примитивно рекурсивно). 9. Пусть функция/частично рекурсивна, но не общерекурсивна. Доказать, что область определения функции f~l примитивно рекурсивна.
144 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 10. Доказать, что если множества А и В рекурсивны (примитивно рекурсивны), то множества АГ\В, A{J В, Ж\А также рекурсивны (примитивно рекурсивны). 11. Доказать, что если множества^ и В рекурсивно перечислимы, то множества АП В и A{J В рекурсивно перечислимы. 12. Доказать, что всякое примитивно рекурсивное множество рекурсивно перечислимо. 13. Пусть множества Аж В отличаются конечным числом элементов. Доказать, что: (а) если А рекурсивно, то В рекурсивно; (б) если А рекурсивно перечислимо, то В рекурсивно перечислимо. 14. Доказать, что если множество А и его дополнение Ж\А рекурсивно перечислимы, то А рекурсивно (теорема Поста). 15. Пусть Мс Jfn. Положим сп(М) = {сп(хь...,хп)\(хь...,хп)еМ}, где сп определена в задаче 14 из § 1. Доказать, что: (а) М примитивно рекурсивно тогда и только тогда, когда сп(М) примитивно рекурсивно; (б) М рекурсивно тогда и только тогда, когда сп(М) рекурсивно; (в) М рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда сп(М) рекурсивно перечислимо. 16. Пусть Мс J\f— непустое множество. Доказать, что Мрекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда существует примитивно рекурсивная функция а (х) такая, что М= {а (х)\хе Jf). 17. Пусть М— непустое множество л-ок. Доказать, что множество М рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда существуют одноместные примитивно рекурсивные функции аь ..., ап такие, что М = {(oqCx), ..., ап(х)) | х е Jf}. 18. Пусть общерекурсивная функция/(х) удовлетворяет условию: f(x) >х для всех хе Ж Доказать, что область значений pf функции /рекурсивна. 19. Доказать, что бесконечное множество А рекурсивно тогда и только тогда, когда А есть множество значений строго возрастающей общерекурсивной функции.
§ 3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества 145 20. Доказать, что непустое множество А рекурсивно тогда и только тогда, когда А есть множество значений монотонно (не обязательно строго) возрастающей общерекурсивной функции. 21. Доказать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое множество содержит бесконечное рекурсивное подмножество. 22. Доказать, что каждое бесконечное рекурсивно перечислимое множество представимо в виде A = pf для некоторой общерекурсивной 1-1-функции/ 23. Доказать, что график общерекурсивной функции рекурсивен. 24. Доказать, что если график гу функции /рекурсивно перечислим, то функция/частично рекурсивна. 25. Доказать, что полный прообраз рекурсивного множества относительно общерекурсивной функции рекурсивен. 26. Пусть А — рекурсивное множество,/— общерекурсивная функция с pf=Jf, f(A)C\f(Jf\A) = <Z>. Доказать, что f(A) рекурсивно. 27. Пусть А, В — рекурсивно перечислимые множества, а С — рекурсивное множество такие, что Af)B=0, icCciUA Доказать, что А рекурсивно. 28. Пусть f,g— общерекурсивные функции, причем g — 1-1-функция. Пусть также имеем/(х) > g (x) для всех х. Доказать, что если р^ рекурсивно, то pf рекурсивно. 29. Пусть А, В — рекурсивно перечислимые множества. Доказать, что существуют рекурсивно перечислимые множества Ах с А, В{^В такие, что Ах П В{ = 0, Ах U B{ =A U В. 30*. Доказать, что: (а) функция, получающаяся с помощью суперпозиции из функций с рекурсивно перечислимым графиком, имеет рекурсивно перечислимый график; (б) функция, получающаяся с помощью схемы примитивной рекурсии из функций с рекурсивно перечислимым графиком, имеет рекурсивно перечислимый график; (в) функция, получающаяся с помощью \х-оператора из функции с рекурсивно перечислимым графиком, имеет рекурсивно перечислимый график; (г) график любой частично рекурсивной функции рекурсивно перечислим.
146 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 31. Доказать, что функция частично рекурсивна тогда и только тогда, когда ее график рекурсивно перечислим {теорема о графике). 32. Доказать, что область определения частично рекурсивной функции есть рекурсивно перечислимое множество. 33. Доказать, что множество значений частично рекурсивной функции рекурсивно перечислимо. 34. Доказать, что любое рекурсивное множество рекурсивно перечислимо. 35. Доказать, что множество л-ок рекурсивно перечислимо тогда и только тогда, когда его частичная характеристическая функция частично рекурсивна. 36. Доказать, что: (а) образ рекурсивно перечислимого множества относительно частично рекурсивной функции рекурсивно перечислим; (б) полный прообраз рекурсивно перечислимого множества относительно частично рекурсивной функции рекурсивно перечислим. 37. Доказать, что множество А решений уравнения f{xu ...,xn) = a рекурсивно перечислимо, если/— частично рекурсивная //-местная функция. 38. Доказать, что если/л+1 — частично рекурсивная функция, то множество М = {( хь ..., хп) \ 3 у/{хъ ...,хп,у) = 0} рекурсивно перечислимо. 39. Пусть Мъ ..., Mk — попарно непересекающиеся рекурсивно перечислимые множества л-ок,/, ...,/ — частично рекурсивные функции. Доказать, что g{xu ..., хп), определенная следующим образом: Шхи...,хп), если (xi,...,xn)eMu g(Xl9...,Xn) = < \fk(xi,...,xn), если {xu...,xn)eMk, [не определена в остальных случаях, частично рекурсивна. 40*. Доказать, что любая частично рекурсивная функция /(хь ..., хп) представима в нормальной форме Клини, т.е. в виде
§ 3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества 147 Дх1? ..., хп) = I ([it [g (х1? ..., хп, t) = 0]), где g(xu ...,xn,f) — подходящая примитивно рекурсивная функция, а / — функция из задачи 13 из § 1 (ср. с задачей 25 из § 2). 41. Доказать, что частичная функция/(хь ...,хп) представима в виде Дхь ...,хл) = ц,Г [#(*!, ...,х„, 0 = 0] для подходящей примитивно рекурсивной функции g(xb ..., хю f) тогда и только тогда, когда график функции/(хь ...,хл) примитивно рекурсивен. 42*. Пусть F(x, у) определена с помощью рекурсии по двум переменным: Ш0, у) = cp(j), < F(x + 1, 0) = \|/(х, ,F(x, а(х)), ,F(x, ,F(x, у(х)))), [,F(x + 1, j + 1) = т(х, у, F(x, F(x + 1, у))). Доказать, что если функции ср, \|/, а, у, т общерекурсивны, то функция F общерекурсивна. 43*. Доказать, что множество Н={х\ЗуТ1(х,х,у) = 0}, где Тх — функция из задачи 25 из § 2, является рекурсивно пере- числимым, но не рекурсивным. 44. Доказать, что если область определения частично рекурсивной функции fn есть рекурсивное множество, то fn имеет рекурсивное доопределение. 45. Доказать, что если V(n, x) есть частично рекурсивная функция, универсальная для класса всех одноместных частично рекурсивных функций, то множество М = {х \ V(x, x) = 0} рекурсивно перечислимо, но не рекурсивно. 46. Найти частично рекурсивную функцию/(х), не имеющую общерекурсивного доопределения. 47. Найти частично рекурсивную функцию/(х), не представи- мую в виде f(x) = w[g(x,y) = 0] ни для какой общерекурсивной функции g.
148 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 48. Доказать, что если V(n, x) есть частично рекурсивная функция, универсальная для класса всех одноместных частично рекурсивных функций, то множество G = {п | V(n, x) — общерекурсивная функция} не является рекурсивно перечислимым. §4. НУМЕРАЦИИ КЛИНИ И ПОСТА Введем обозначения: [х,у] = с(1(х),с(г(х),у)), [x]2l = c(l(x),l(r(x))), [x]22 = r(r(x)), [хьхъх3, ...,хп] = [[хих2],х3, ...,хп] (для п>2), Мл1 - [M2l]/i-l,b •••> Мл,/1-1 - [M2l]/i-l,/i-b [х]т=[х]72 (Для п > 2), К2 (х0, хх) = U(l (х0), с (г (х0), хх)), Kn + l (хо,хи ...,хп) = Кп([х0,х1],хъ ...,хп) (для п>2), где функции с, /, г определены в задаче 13 из § 1, a U(x, у) — в задаче 21 из § 2. Функцию К2 называем клиниевской нумерующей функцией, и если/(х) = К2(т, х) для всех х и некоторого т, то называем число т клиниевским номером функции /и обозначаем/^ Кт — КТУ1. Отображение к: *#—> Чъ где Чх — семейство всех одноместных частично рекурсивных функций, называется клиниевской нумерацией семейства Чх. Аналогичным образом определяется клиниевская нумерация п-местных частично рекурсивных функций. Если рекурсивно перечислимое множество А есть совокупность значений функции К(п,х) для некоторого п, то число п назовем постовским номером множества А и обозначим А = кп = кп. Отображение к: *#—> £Р, где $Р — семейство всех рекурсивно перечислимых множеств, называется постовской нумерацией семейства 9. Пусть A, B<^jV. Будем говорить, что функция / т-сводит А к Д если хе A<^>f{x) e В. А называется т-сводимым к В (символически А<тВ), если существует общерекурсивная функция /, которая m-сводит А к В. Рекурсивно перечислимое множество А называется т-универ- салъным, если к нему m-сводится любое рекурсивно перечислимое множество.
§ 4. Нумерации Клини и Поста 149 Рекурсивно перечислимое множество А называется креативным или творческим, если существует общерекурсивная функция fA такая, что для любого х их)^(ЛПпх)[](-АП-пхУ 1. Доказать, что: (а) [х, у] осуществляет взаимно однозначное соответствие между Jf1 и Jf\ (б) [хь ..., хп] осуществляет взаимно однозначное соответствие между JT и Jf\ (в) [[х]21, [х]22]=х, [[х,у]]21=х, [[х,у]]22 = у; (Г) [МлЬ -"•> [Х]пп\ = Х-> [[ХЬ ••••>ХЛ\т = ХЬ \J\) YX\ ? • • • ? Хгт Хт + Ь • • • ? Хп\ = 11Х\ ? • • • ? Хт\ ? Хт + Ь • • • ? ^tzJ ? (е) с (х0, с(хь х2)) = [с (х0, хО, х2]. 2. Доказать, что: (а) a (Xq, X\, ..., хл, хп+1,..., хл + /я>) = = А ([Xq, Х^, ..., Хп\, Хл + i, ..., Хл + mJ, (б) ^Г (с (х0, Xi), х2, ..., хп) = U (х0, хь х2, ..., хл). 3. Доказать, что: (а) Кп + 1(х0, хь ..., хп) является универсальной для всех //-местных частично рекурсивных функций; (б) для любой частично рекурсивной функции fn + m существует примитивно рекурсивная функция gn такая, что Дхь ...,хп,уи ...,ym) = Km+l(g(xb ...,xn), уь ...,ут). 4. Доказать, что всякая частично рекурсивная функция/имеет бесконечно много клиниевских номеров. 5. Построить примитивно рекурсивные функции, дающие по клиниевским номерам исходных одноместных функций клини- евские номера функций, получающихся из исходных: (а) с помощью суперпозиции; (б) с помощью обращения; (в) с помощью итерации; (г) с помощью взятия суммы двух функций. 6. Доказать, что существует рекурсивно перечислимое множество Р, удовлетворяющее условиям: (а) если х е Р, то кх есть примитивно рекурсивная функция; (б) для любой примитивно рекурсивный функции /существует х е Р такое, что /= кх.
150 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 7. Доказать, что существует общерекурсивная функция, универсальная для семейства всех одноместных примитивно рекурсивных функций. 8. Построить примитивно рекурсивные функции, дающие по клиниевским номерам исходных функций клиниевские номера функций, получающихся из исходных: (а) с помощью суперпозиции; (б) с помощью примитивной рекурсии; (в) с помощью ц-оператора. 9. Доказать, что для любой частично рекурсивной функции /(хь ...,х„) существует такая примитивно рекурсивная функция g(xb ..., хп), что для любого х \к/(хъ ..., хп), если Дхь ..., хп) определено, rcg(xb ..., хп) = \ [со в противном случае. 10*. (а) Доказать, что для каждой частично рекурсивной функции f(xi, ..., хт у) существует такая примитивно рекурсивная функция g(xu...,xn), что Ы(хъ ..., хп, g(xu ..., хп)), если Дхь ..., хп, g(xh ..., хп)) определено, со в противном случае. Kg(xu ..., хп) = (б) Доказать, что для каждой частично рекурсивной функции f(x) существует такое натуральное число а, что \к/(а), если f(a) определено, JCCI — л [со в противном случае. (теорема о неподвижной точке). 11. Доказать, что для любой частично рекурсивной функции f(x, у) существует число п такое, что f(n, у) = кп (у) для всех у. 12. Доказать, что существует число п такое, что: (а) кп(0) = п; (б) кп(п) = п. 13. Доказать, что существует примитивно рекурсивная функция/такая, что для любого х, если кх есть общерекурсивная функция, то %*(/(*)) = Kf(x) • 14*. Построить частично рекурсивные функции ка такие, что:
§ 4. Нумерации Клини и Поста 151 (а) Ка = Х{а}\ (б) Ка = х\а)\ (в) ка = х%{а}. 15*. Пусть &*— семейство всех одноместных частичных функций. Отображение F. &*^&< назовем эффективным оператором, если функция g (п, х) = (F(kh)) (х) частично рекурсивна. Доказать, что для любого эффективного оператора F существует частично рекурсивная функция/такая, что /= F(j). 16. Доказать, что для любых частично рекурсивных функций а, у, 5 существует частично рекурсивная функция / удовлетворяющая условиям: (а) если а (х) = О, то f(x) = 0; (б) если а (х) > 0, то f(x) = у (f(b (х))). 17*. Пусть *sd — некоторое непустое семейство одноместных частично рекурсивных функций, отличное от семейства всех таких функций. Доказать, что множество /с_1(^/) = {х\кхе ^/} не является рекурсивным (теорема Раиса). 18. Доказать, что следующие множества не рекурсивны: (а) А{ = {х | кх — константа}; (б) А2 = {х\ кх(а) = Ь}, где a, b — фиксированные числа; (в) А3 = {с(х,у)\уе дкх}; (г) А4 = {с(х,у)\уе ркх}; (д) А5 = {с(х,у)\кх=ку}. 19. Доказать рекурсивную перечислимость множеств всех кли- ниевских номеров следующих семейств одноместных частично рекурсивных функций: (а) функций, определенных в точке 0; (б) функций/таких, что f(a) = Ъ для данных чисел а ж Ь] (в) функций с непустой областью определения. 20. Доказать, что всякое рекурсивно перечислимое множество имеет бесконечно много постовских номеров. 21. Пусть *sd— некоторое непустое семейство рекурсивно перечислимых множеств, отличное от семейства всех рекурсивно перечислимых множеств. Доказать, что множество 7Г_1(^/) = {х\кхе ^/} не является рекурсивным (теорема Раиса).
152 ЧАСТЬ III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 22. Доказать, что не рекурсивны множества: (а) {х\кхФ0}; (б) {х\кх = Jf}\ (в) {х\ае 7гх}, где а — фиксированное число; (г) {х\ кх конечно}; (д) {с(х,у)\пх = Пу}. 23. Доказать, что рекурсивно перечислимы множества всех постовских номеров следующих семейств рекурсивно перечислимых множеств: (а) содержащих данное число а; (б) непустых. 24. Доказать, что для любой частично рекурсивной функции fn существует примитивно рекурсивная функция gn такая, что _ |я/(*ь ...,*„)> если Дхь ..., хп) определено, [0 в противном случае. 25. Доказать, что для каждого рекурсивно перечислимого множества P<^Jfn+l (я>0) существует такая примитивно рекурсивная функция а(хъ ..., хп), что (х0, хъ ..., хп) е Р <=> х0 е ка(Хь ...5 Хпу 26. Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции /, g, h, и, v, w такие, что: (а) пхГ\пу = п/{Х9У); (б) nx\Jny = ng{Xty); (в) {х} = кНх); (г) {c(s,t)\senx, te ку) = ки(jc>y)\ (Д) Ky(Kx)=Kv(x,y)'> (е) ку (кх) = nW(X,yy 27. Доказать, что существуют примитивно рекурсивные функции/и g такие, что: (а) $кх=Рк/(х)1 (б) PKx=&Kg(x)- 28. (а) Доказать, что для любой частично рекурсивной функции fn+l существует примитивно рекурсивная функция gn такая, что 71 •g(xu ..., хп) nf(xu...,xn,g(xu...,xn))> если Дхь ..., хп, g(xh ..., хп)) определено, 0 в противном случае.
§ 4. Нумерации Кати и Поста 153 (б) Доказать, что для любой частично рекурсивной функции /существует такое число я, что Гя/7Д), если f(a) определено, ка = i [0 в противном случае (теорема о неподвижной точке). 29. Доказать, что для любого рекурсивно перечислимого множества M<^Jfn + 1 существует примитивно рекурсивная функция gn такая, что (х0, хь ..., хп, g (хь ..., хп)) е М^х0е ng(Xh _ХпУ 30. Доказать, что существует число п такое, что: (а) кп = {п}\ (б) кп = {п2}; (в) кп = Л\{п}. 31. Доказать, что отношение <т рефлексивно и транзитивно. 32. Доказать, что всякое рекурсивное множество m-сводимо к любому непустому множеству с непустым дополнением. 33. Доказать, что если А m-сводимо к рекурсивному (рекурсивно перечислимому) множеству, то А рекурсивно (рекурсивно перечислимо). 34. Доказать, что множество К1 = {с(х,у)\хе Ку} является т-универсальным. 35. Доказать, что каждое m-универсальное множество не рекурсивно. 36. Доказать, что множество К= {х | х е кх} является креативным. 37. Доказать, что каждое креативное множество не рекурсивно. 38. Доказать, что если А — креативное множество, А <т В и В рекурсивно перечислимо, то В креативно. 39*. Доказать, что каждое креативное множество является т-универсальным. 40. Доказать, что множество m-универсально тогда и только тогда, когда оно креативно.
154 ЧАСТЫП. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ 41*. Доказать, что множество К2 = {х\кхФ0} является креативным. 42. Доказать, что существует примитивно рекурсивная функция о (х) такая, что машина Тьюринга с номером о (х) вычисляет функцию кх. 43. Доказать, что множество Н из задачи 43 из § 3 является креативным.
ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Часть I. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ § 1. Операции над множествами 3. Множество {0} имеет один элемент 0, а множество 0 не имеет элементов. 7. Нет. Пусть х е А П В; тогда х е С. Таким образом, х е (J П 2?) \С. 11. Докажем, например, (е). Пусть хе Ap\(B\J С). Тогда xe^4nxe2?UC. Если хе В, то хеАПВ, а значит, хе (АО В) U 04П С). Если хе С, то имеем хе ^П С, а значит, хе (АПВ){](АП С). Итак, ^П(^и С) с: с:(АПВ)и(АПС). Пусть х е (J П В) U С4 П С). Если х е J П В, то х е А и х е 5. Отсюда следует, что хе А и хе B{J С, т.е. хе A(~)(B{J С). Если х е АГ\ С, то х е А и х е С. Отсюда следует, что xe^4nxe2?UC, т.е. хе АП (B\J С). Итак, (АС) В) U 04 П С) сЛП (Я11 С). 12. Докажем, например, (а). Пусть х е -(^4 П 5). Это означает, что х е £/и х<£ А(~) В. Отсюда следует, что х<£ А или х£ В. Если х е А, то х е -Д а значит, хе (-A)\J(-B). Если хе В, то хе -2?, а значит, хе (-A)\J(-B). Итак, -(^П В) с Ы) U (-5). Пусть хе (-J) U (-2?). Если хе -А, тохе t/и хе Д а значит, х<£ А(~)В. Отсюда следует, что х е -(А Г\В). Если х е -2?, то х е £/и х е 2?, а значит, х е ^4 П 2?. Отсюда следует, что х е -(J П В). Итак, (-Л)11(-Я)с-(,4ПЯ). 13. (в) Пусть АС) В с: С и хе А. Рассмотрим два случая: хе В или хе -В. Если хе В, то хе ^4П2?с: С, т.е. хе (-5) U С. Если хе -Д то хе (-J?) U С. Пусть ^4 с (-В) иСихе^4П2?. Тогда хе А и хе В. Значит, хе С. (д) Пусть (А\В) U 2? = J и хе В. Тогда ясно, что хе А
156 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Пусть В с: А. Тогда (А\В) U В= (А П (-В)) U B= (A U В) П П((-Я)11Я)=А (е) Пусть (АП В) U С=ЛП (J?U С). Тогда СсЛП (J?U С), а значит, С с: А. Пусть СсА Тогда (ЛП В) U C= (Л11 С) П CBU C)=Af](B[j С). 14. Докажем, например, (в). Пусть хе А П (В - С). Тогда xeJnxei?-C Отсюда следует, что если х е В, то х е С, значит, х е ^4 П В, но х е А П С. Если хg С, то хе 5. Значит, хе АО С, ко х<£ А(~)В. Таким образом, хе (АПВ)-(АПС). Итак, АП(В- С) с:(АП В) - (АП С). Пусть хе (АПВ)-(АП С). Если х е ,4 П £ и х ё ,4 ПС, тохеА, хе В,х<£ С. Значит, хе Ар\(В- С). Если хе АГ\ Сихе АГ\В,то хе А,хе С,хе А Значит, jcg А[)(В- С). Итак, (АПВ)-(АП С) с с^ПСВ-С). 15. Докажем, например, (а). Пусть xg (^ U ... U Ап) - (В{ U ... U Вп). Если существует / (1 < /< п) такое, что хе Аь такое, что для всех j= 1, ..., п имеем хе By Тогда xg At- Д, а значит хе (А{ - В{) U ... U (Ап- Вп). Если существует / (1 <i<ri) такое, что хе Д, то для всех j= 1, ..., п имеем х е Аг Тогда х е At- Д, а значит х е (А{ - Д) U ... U (Ап - Вп). 16. (в) Пусть А - В= С. Тогда В- С=В- (А-В) = В- (В-А)=А (см. задачу 14 (а), (г)). 17. (a) A\JB = A-B-(AnB), А\В = А^(АПВ); (б) АПВ=(А1)В)-А-В, A\B=(A{JB)^B; (в) АПВ = А\(А\В), A\JB=(A-B)-[A\(A\B)]. 18. (а) Из А и В с помощью операций Пии могут получиться лишь множества А, В, A{J В и А(~)В, которые все отличаются от А \В, например, при А = Вф0. (б) Пусть множество С получается из А и В с помощью операций П и \. Число применений операций П и \ для получения С из А и В назовем высотой множества С. Индукцией по высоте множества С докажем, что С является подмножеством или А, или В. Если высота С равна 0, то С = А или С=В и утверждение доказано. Пусть С имеет высоту л+1, а для всех множеств меньшей высоты утверждение доказано. Тогда С= DП Е или С= D\E для некоторых множеств D и Е, высота которых меньше п + 1. В обоих случаях Се Д а по индуктивному предположению D — подмножество А или В. Таково же и С. Итак, из А и В с помощью опера-
Часть I. Теория множеств (§ 1) 157 ций П и \ могут получиться лишь подмножества А или В. Но A U В не всегда является подмножеством А или В. 19. Необходимые свойства операций - и П находятся в задачах 11 (б), (г), 14 (а), (б), (в), (ж), (з) и 16 (в). Вычитанием в рассматриваемом кольце множеств является операция -, что следует из задачи 16 (в). 21. (а) Пусть А = {аъ ..., ап) и 5с1 Для каждого элемента at имеются две возможности: at е В или at е В. Всех подмножеств А имеется 2-2-...-2 = 2". (б) С/. 22. (а) Пусть Се Р(^П^),т.е. С^АПВ. Тогда Се J и СеД а значит, Се Р(^) и Се Р(£). Итак, Р(АП В) е Р(^) П Р(Я). Пусть Се Р(Л)ПРСВ). Тогда Се Р(^) и Се Р(В), т.е. Се J иСсДа значит, С<^А(~)В. Таким образом, Се Р(^4П^). Итак, Р(А)ПР(В)^Р(АПВ). (в) Пусть Се P(A[jB). Тогда CeJUA Положим^ = СГЫи В{ = СП 5. Тогда С = А{ и^и^с^^с 5. Если ^ е Р(^) и Д е Р(В), то ^ е^ и ВХ^В. Тогда 23. Если {{а}, {а, Ь}} = {{с}, {с, d}}, то второе множество должно содержать элемент {а}, т.е. {а} = {с} или {а} = {с, d}. В обоих случаях а = с. Теперь осталось доказать, что из {a, b) = {a, d) следует Ъ = d. Если а = Ь, то a = d и, значит, Ъ = d. Если а Ф Ь, то а Ф d, значит, b = d. Обратное очевидно. 24. (а) Неверно. Например, А = 0, В={0}, С={{0}}. (б) Неверно. Тот же пример, что и в (а). (в) Верно. Докажем от противного. Пусть хе АП С; тогда, так как A{J Се В, то хе В. Но хе АП Д а значит, хе -С. Это противоречит тому, что х е С. (г) Неверно. Например, возьмем J= C^i?. (д) Неверно. Например возьмем три попарно непересекающихся непустых множества. 26. Пусть, например, At={0}, An+l=An\J{An}. 27. X=(C\A){JB. В самом деле, 5cIc(-i)U5 (из первого уравнения по задачам 13 (б), (в)) и СП {-A) clc С (из второго уравнения по задачам 13 (а), (г)). Отсюда B[j (СП (-i))clc ((-А) []В)ПС= ((-А) П С) U (ЯП С) = = ((-Л) ПС) U А Легко проверить, что Х= (C\A){J В удовлетворяет данной системе.
158 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 2*.X=(A\B)\JC. 29. (а) Система имеет решение тогда и только тогда, когда Д с Ai и Д с (-^4/) U Д для всех /,у е / При этом условии решением системы является любое X такое, что |J Д П (-Д) с: Хе с=П(("4) иД) (см. задачу 13(a), (б), (в)). (б) Система имеет решение тогда и только тогда, когда At с Д и Д П (-Л) с Д для всех /,у е / При этом условии решением системы является любое Хтакое, что (J Д П (-Л) с Xqz Q 5/ (см. задачу 13 (а), (б), (г)). зо.х=с\в. 31. (б) Использовать тождества задач 11 и 12. (г) Используя (а), заменить каждое уравнение системы уравнением, в правой части которого стоит 0. Полученную систему Ai = 0, ...,Ап = 0 заменить одним уравнением A{ U ... U Ап = 0. Используя (б), привести полученное уравнение к виду (Af]X) U (2?П (-Х)) = 0. Заменить полученное уравнение системой \АПХ = 0, \ВП(-Х) = 0. Используя (в), записать условия существования решения и найти решение. 32. (а) Х=А при условии Сс^сА (б) Х= А при условии CcicA (в) ВU Cclc-i при условии В\J С с:-А. 34. Пусть / — бесконечное подмножество множества Ж, А= f]XlnB=f]Xl. Если хе А, то хе Xt для всех /е Ж. В частности, хе Xt для всех /е /, т.е. хе В. Итак, ic5. Если х е Д то х е Xt для всех / е /. Возьмем произвольное je Ж Так как множество /бесконечно, то найдется ie /такое, что у < /. Тогда хе XjCzXj. Таким образом, хе Xj для всех j e Ж Итак, В с: А.
Часть I. Теория множеств (§ 1) 159 35. Доказательство аналогично данному в решении задачи 34. 36. (в) Пусть х g [кеК . Тогда xg Uи х<£ [J Ак,т.е. хе Ak кеК для всех ке К. Значит, х е -Ак для всех ке К, т.е. xg р (-^). £gX U л к р(-до. Ifcetf ) кеК Итак, - Пусть х g Р| (-Д,). Тогда х е -Ак для всех £ е К. Значит, х е £/и кеК ( Л хе Ak для всех ке К Имеем хе |J Ак и, значит, xg - (J Ак кеК [кеК Итак, р|(-^)£- (J A 1 (е) Пусть xg (J (5ПА)- Тогда существует ке Этакое, что кеК хе ВГ\АЬ т.е. хе В и хе Ак. Имеем хе (J Д., и, значит, ki хеВП U Л. Итак, U (ЯП А) с ЯП U А. fci ki fei Пусть xg Bf] |J А. Тогда хе Вжхе |J A, т.е. существует ке К кеК кеК такое, что х е Ак. Имеем хе В(~)Аьа, значит, хе (J (В П А) • Итак, яп и^с и^пдо. кеК кеК 37. (а) Если х g (J Р| Акь то существует ^ е Этакое, что х g p Д^. keKteT t<=T Это означает, что хе Д^ для любого /g 71. Значит, хе (J Д, для кеК любого te Т. Итак, xg p (J Д,. (б) Пусть, например, Д^=0, если ^т^, и Д^ = «^ Тогда U П4=0, но п и аы=л keJTteJT teJTkeJT 39. (а) Ясно, что Д с: (J Д для всех / е Т. Теперь пусть множество В teT таково, что Д с В для всех / е Т. Тогда (J Д с В (см. задачу 38 (а)). t<=T
160 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (б) Ясно, что Р| At с Ai для всех / е Т. Теперь пусть множество t<=T В таково, что В с Д для всех / е Т. Тогда В с р| Д (см. задачу 38 (б)). 40. Пусть х g Р| Ап. Тогда существует такое к, что х е Д. ле^\{0} Пусть к0 — наименьшее такое к. Ясно, что к0 > 0, так как хе В0. Тогда xg ВК_Х\ВК. 41. Положим B0 = Aq, Bn+l=An+l\(A0U ...UAn). § 2. Отношения и функции 5. Пусть хе (А х В) U (Cx Z)). Тогда х = (у, г) и у е A, z е В или уе С, ze D. Отсюда ye AU С, 2 g £U£ и jc=(y,z)e (^U С) х х (B[jD). Итак, (Jx 5) U (Cx D)c(iUC)x (J?U D). Условие «(С с: А и DqzB) или (icCn BczD)» является необходимым и достаточным, чтобы получилось равенство. 6. Докажем, например, (а). Пусть хе (A\J В) х С Тогда х = (у, z), где у е A{J В, z e С Отсюда у е А или у е В. Значит, (у, z) e A x С или (у, z) e В х С Итак, (A{JB)xC c:(AxC){J(BxC). Пусть хе (Ах С) U (Вх С). Тогда хе Ах С или хе Вх С. Это означает, что х=(у, 2) и в первом случае ye A, z e С, а во втором случае у е 2?, z е С Значит, у е A{J В, ах = (у, z) e (A{J В) х С Итак, (AxC){J(BxC)c:(A{JB)xC. 7. Пусть aeA.be В. Тогда {а, Ь) е А х Д а значит, (a, b) e CxD, т.е. ае С, be D. С другой стороны, (Ь,а)е ВхА, а значит (6, a) g Сх Д т.е. Z?g С, ае D. Тогда {а, а) е Cx Д а значит, ае В. Аналогично, (Ь, Ь) е Сх Д а значит, Z> e А Итак, ^4 = 5. Тогда имеем А х В= Сх Д и по задаче 3 (б) А = С, В= D. 8. Мы считаем, что 0 делит 0. (а) 5^ = ря = Jf, так как (х, х) е R. R1 = {(х, у)\х,уе Jf и у делит х). R R = R; R R~l = Jf2, так как (х, у) е R R~l <=> существует z такое, что х делит z и у делит г. Но такое z легко находится по любым х и у. Надо взять, например, г = х • у. 7?"1 • 7? = Jf2, так как (х, у) g 7?"1 • 7? <=> существует z такое, что z делит х ж z делит у. Надо взять z = 1 для любых х, у. (б) Делается аналогично (а). (в) dR = pR=3), Rl = R, R R = R Rl = Rl R=3)2.
Часть I. Теория множеств (§2) 161 (r)8R = pR=%R-l = и 4х>9у}, R Rl = R {(х,у)\х,уе 3)n2y>3x},R-R={(x,y)\x,ye 3) 1 R=3)2. (Д) 5Л 71 71 ""2' 2~ PR К R l = \ (х, У) | х, у ( 71 71 R R= {(х, у) | sin sinх < у}, -|2 и х > sin j R Rl = 71 71 T 2~ -l 7Г1 7? = <X,J)|X,JG -1, 9. (в) xgS^.jj^ существует у такое, что (х, у) е Д R2 <=> существуют j и г такие, что (х, z) e Д и (z, у) е Д <=> существует г такое, что (х, z) е Д и 2 e 8Ri <=> существует г такое, что (z,x)e Д1, z g p^ и г g 5^2 <=> x g Д'Чр^ П 8^). (г) x g p^. ^2 <=> существует у такое, что (у, х) g Д Д <=> существуют у и z такие, что {у, z) e Д и (z,x) e R2 <=> существует z такое, что z e pR и (z, x) e R2 <^> существует z такое, что z e pR, Z G 5^ И (г, X) G Д <=> XG Д(р^ П 6^). 11. Если R=iA, то для любого отношения Д на ^4 имеем (х, у) g R Д <=> существует г такое, что (х, г) е R и (г, у) е Д, но (х, z) e R только при x=z. Таким образом, 7? Д = Д. Аналогично, Д 7? = Д. Обратно, положим R\ = iA- Тогда, так как R Д = Д, то R=iA. 12. (в) (х, у) g (Д U Д)1 <=> (J, х) g 1?! U Д <=> (у, х) g 7?! или (у, х> е Д2 <=> (x, j) g Д1 или (х, у) g Д1 <=> (x, j) g Д1 U Д1. (д) Пусть R — бинарное отношение между элементами множеств А ж В. Тогда (х, у) g -7Г1 <^=> (х, у) g (Bx A )\R~l <^=> х g Д у е А и (х, у) <£ 7Г1 <^=> <=> х g Д j g ^4 и (у, х) е 7? <=> (у, х) g (ix 7?)\R <=> (у, х) g -R <=> « (^^gC-T?)-1. 13. Если ^^0и5^0,то таких отношений 7? не существует. Пустьхе АР\В. Тогда (х, х) g 7?<=> (х, х) g 7?1 <=> (х, х) g -7?. Получили противоречие. Пусть А[)В=0. Так как Rl^BxA, a -R^AxB, то 7Г1 = = -7? = 0. Отсюда R = 0n R = Ax В. Получили противоречие. 14. (а)2л/я.
162 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (б) пт. (в) Если п > т, то это число равно А™ — числу размещений из п элементов по т\ если п < т, то таких функций не существует. (г) При т = п. 15. (а) (х, у) е Д (Д • Д) <=> существует z такое, что (х, z) е Д и (z, у)е R2 Д <=> существуют z, и такие, что (х, z) е Д, (z, и) е R2 и (и, у) е Д <=> существует и такое, что (х, и) е Д Д и (и, у) е Д <=> о (х,у)е (Д Д) Д. (б) (х, у) е (Д • R2) 1 <=> (у, х) g Д R2 <=> существует г такое, что (у, г)еЛ1и(2,х)еЛ2<=> существуют z такое, что (х, z) e Д1 K(z,y)eRl-i ^ <х, у) е Д"1 • Д"1. ( \ (в) (х, у) е (J 7?/ • (Q <=> существует z такое, что (х, z) e (J Д V /е/ J /g/ и (г, у) е (Q <=> существуют z л ie I такие, что (х, z) e 7?, и (г, у) g Q<=> существует / е /такое, что (х, у) е Д • Q <=> (J (7?/ • 0. (г) Доказывается аналогично (в). ( Л 16. (а)(х,у)е е- П*/ <=> существует z такое, что (х, z) e Q и (г, у) g P| Д <=> существуют г такое, что (х, z) e (Q и (г, у) е Д /g/ для всех / g / <=> (х, у) е (Q Д для всех / е / <=> (х, у) е Q (<Q • 7?/). iel (б) Доказывается аналогично (а). (в) Например, для (а): Д = {(1, 1)}, Д = «О, 1)}, Q= {(1, 0), (1, 1)}. 17. Нет. 19. (а) Пусть be В. Тогда ВА содержит функцию/: А —> Д определенную так: /(х) = Z> для всех х е А 20. Поставим в соответствие {аъ ..., ял) элементу из Ап функцию /: 1-> А, определенную так: /(/) = at. 23. (а)/есть 1-1-функция. (б) /П (8/Х (руП 8/)) и #П ((Р/П 8^) х pg) являются 1-1-функциями. 24. Пусть функции/: А —> >4Х и/: В —> Д осуществляют взаимно однозначное соответствие между ^и^и между 5 и Д соответственно. (а) Функция Т7: Jx 7?—>^ х Д, определенная так: F((a,b)) = = (/(я)>/(^))> осуществляет взаимно однозначное соответствие между Ах В и ^ х Д.
Часть I. Теория множеств (§2) 163 (б) Пусть h e AB\ F(h) =f2 1 • h •/ осуществляет взаимно однозначное соответствие между Ав и Af1. 27. См. задачи 26 и 28. 29. Если R — взаимно однозначное соответствие между А и В, то результат следует из задачи 28. Обратно, 5^ = А, так как R R~l = iA; pR = В, так как R~l R= iB. Если (х, у) е R и (х, z) e R, то (у, г) е R~l R, а значит, у = г. Если (у, х) g 7? и (z, x) g 7?, то (у, 2) e R- R1, а значит, у-г. 32. Условия, когда включения заменяются равенствами, приведены в задаче 33. 33. Пусть /не является 1-1-функцией. Тогда существуют a, be 8f такие, что афЪ nf(a)=f(b). Положим А={а}, В={Ь}. Обратное очевидно. 34. Если х g f(A )\f(B), то существует у е А такое, что/(у) = х и у <£ В. Таким образом, х е f(A \B). 35. Если xg f(A\B), то существует уеАиуе -В такое, что f{y)=x. Таким образом, xef{A). Ясно, что x<£f(B), так как/ есть 1-1-функция. 38. Докажем, например, (а). Пусть хg /_1 (JU В). Это означает, что /(х) е AU В. Если xei, то xg/_1(J). Если /(х) g 5, то xef~l(B). Итак, f-l(AUB)c:f-l(A)Uf-l(B). Пусть хg /-1 04) U/"1 (В). Если хg /^ (А), то/(х) eAc:A{JB, т.е. jcg/^^UJJ). Если хе/~1(В), то f(x) e BczAU В. Итак, г1 (^) ur1 w ег1 (^ и д). 42. В первом случае должно быть pf= В. Во втором случае /должна быть 1-1-функцией. 46. (а) Пусть xg (J P| J/y. Это означает, что существует /0 е / такое, что для всех je /имеем xg Д-7-. Пусть/— функция из J1. Тогда х g 4о/(/о) и х g |J J//(/). Поэтому х g р| (J Aif{i). iel feJ1 iel Обратно, пусть хе |J Р| Atj. Тогда для любого /g /существует 7/ g /такое, что х е Д^. Положим/(/) =/. Тогда имеем х е |J Лу0(0- Поэтому х е Р| IJ Лу(/)- feJ1 iel
164 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (б) Можно использовать (а) из задачи 36 (в), (г) из § 1. 47. По определению. 48. (б) Пусть/g иПДу Тогда существует /0 g /такое, что /е/уе/ fe YlBkj. Отсюда/(/) g ДоУ для любого j е / Поэтому fe ]JXj, j*i jei но/(/0) ^ Л0- Значит,/ё YlAf iel Обратно, пусть fe Y\Xt \ Y\A Тогда/(/) g ^ для всех / и су- iel iel ществует /0 с / такое, что Д/0) £ Л0- Тогда/(/0) е До/о и f(j) е Ву при./* /0. Поэтому fe П ДоУ и/е |J П Д7. ye/ iel jei IK teT 49. (б) Отображение ф: 5' мое взаимно однозначное соответствие: (Ф(/))(0 = /П(Лх10 Для /е])1 -^ Y\ В t осуществляет требуете т ik И fG Г. (в) отображение ср: ^ Y[ Д "^ П ^ 0СУЩествляет требуе- J teT мое взаимно однозначное соответствие: (ф(/))(0 = /П(^хД) для fe IP* и /еГ 50. Пусть tf?G At. Определим функцию/: Т-> [J At следующим teT образом: f(t) = at. 51. Отображение ср: Y[At -> \ Y[ А х П 4 teT ЬеТх heT требуемое взаимно однозначное соответствие: ( ( 4(f) = /п 71 х (J Л, 1 Ь*Т* ) , /п г Г2 х (J Л,: осуществляет >Л h^T2
Часть I. Теория множеств (§ 3) 165 §3. Специальные бинарные отношения 1. R — рефлексивное отношение на А <=> iA с R. 2. R — иррефлексивное отношение на А <=> 7?П iA = 0- Например, пусть R{ = {(х, у)\х,уе Jf, х < у}, R2 = R{1. Тогда R{ • R2 рефлексивно. 3. R симметрично <=> R = R~l. 4. R{ • R2 симметрично =^> R{ R2 = (R\ • R2)_1 = 7?2Г1 • Ril = ^2 ^ь Rx R2 = R2 Rx => (7?! 7?2) - № ^1) - ^1 ^2 - ^1 ^2- 5. (a) 7? антисимметрично <=> R(~) R~l с /4. (6) № U 7?2) П № U T^)1 = № U 7?2) П (Uf1 U R2l); V f)R2 = = (RlnR2~Y- 6. (а) Например, {(x,y)\x,ye 2), \x-y\<l}; (б) {(x,y)\x,yefr, x<y<^}\ (в) {(x, y)\x, ye 2), x<y}; (r) {<x,y)|x,ye ®, x = y = 0}. 7. (а) Например, {(х,у)\х,уе Э), x, y>0}; (6) x e A => (x, y) e R или (у, x) e R для некоторого у => (x, у) е 7? и (у, х) g 7? => (х, х) е 7?. 8. 7? с /4. 9. См. указание к задаче 8. 11. (а) Да. (б) Нет. 14. Rl = R. 15. 7? — эквивалентность => 7?"1 = 7?, 7? 7?с 7?, iA<^R. Обратно, R R1 симметрично для любого 7?. Поэтому 7? симметрично и 7? R=R T^czT?. 16. (a) R{ = R{ Rh (б) J2 = (J2)1 = (7?! R2)1 = R2l Rfl = R2-R1. 17. Разбиению {Д)/е /сопоставляем эквивалентность: 7?= {(х, у) I существует / е / такое, что х, у е Д). 18. Если 7? — эквивалентность, то SP=A/R (см. задачу 13). 19. Полагаем/j ([x]Q) =f(x). Очевидно, [x]Q=[y]Q^f(x)=f(y). Поэтому /j есть взаимно однозначное соответствие между A /Q и f(A), а (г-fl)(x)=Mz(x))=fi([x]Q) =/(*)•
166 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 21. RiU R2 — эквивалентность =^> Rx 7?2 е (R\ U 7?2) • (R\ U 7?2) с eT^UT^ RlUR2 = (Ri iA)U(iA Ri)^Ri Ri- Обратно, пусть R{ U R2 = R{ R2. Тогда R2 R{ = R2l Rfl = = (R{ R2)1 = (R{ U R2)1 = Ri U R2, № U Я2) № U Я2) = № *i) U U (i?2 • ^1) U (7?! • R2) U (7?2 • Ri) с 7?i U 7?2, т.е. 7?! U 7?2 транзитивно. Симметричность и рефлексивность 7?! U 7?2 очевидны. 22. 7?! U 7?2 — эквивалентность =^> R{ R2 = (R{ • 7?2)_1 = 7?2_1 • R{1 = = 7?2 U 7?b Пусть Rx R2 = R2 Rh Тогда (7?x 7?2)_1 = (7?2 Ri)1 = R{1 7?2_1 = = 7?! • 7?2, т.е. 7?! • 7?2 симметрично; (7?! • 7?2) • (7?! • 7?2) = 7?! • (7?2 • 7?!) • 7?2 = = 7?! • (7?! • 7?2) • 7?2 = (7?! • 7?!) • (7?2 • 7?2) с R{ • 7?2, т.е. R{ • 7?2 транзитивно; рефлексивность очевидна. 23. 7?! • 7?2 есть эквивалентность (см. задачу 22). Очевидно, 7?! U 7?2 с 7?! 7?2. Пусть теперь Rx R2<^Q для некоторого отношения эквивалентности Q. Тогда 7?! 7?2 с (7?! U 7?2) • (7?! U 7?2) с 24. Q есть объединение всевозможных произведений вида Rh Rh ... • Rlk (k>\, /J,..., ikel). 25. Пусть А состоит из п + 1 элементов, а е А и множество В<^А\{а) содержит / элементов. Число эквивалентностей 7? на А таких, что [a]R = B{J{a}, равно рп_\. 30. (а), (б) следуют из антисимметричности частичного порядка. (в) 7? = {(х, у)\х,уе 3), х = у = 0 или х Ф 0, у Ф 0, х < у} есть частичный порядок на 3. 33. 7? — предпорядок =^> 7? = 7? iA с 7? 7?. 38. Например, А есть *# с частичным порядком из задачи 29, А\ есть*# с обычным порядком <,f(x) = x. Для линейно упорядоченных множеств см. задачу 8 из § 5. 39. h (х) = {у | у < х} для х е А есть требуемый изоморфизм. 40. Тогда и только тогда, когда 7?! = 7?2. Если 7?! ф 7?2, то существует пара (х, у) такая, что (х, у) е 7?ь (х, у) <£ R2 или (х, у) £ 7?ь (х, у) е R2. В первом случае (х, у) е RX^R{ R2, (у, х) е R2^R{ R2, хфу. Аналогично рассматривается второй случай. Если же 7?! = 7?2, то 7?! 7?2 = 7?! (см. задачу 33). 41. (б) В противном случае А содержит бесконечное подмножество {а, аъ аъ ...} такое, что а> ах> а2> ... или а<ах<а2< ... 42. (а) Например, (т, п) < (ть щ) <=> т < т{ или (m = minn< щ).
Часть I. Теория множеств (§ 3) 167 (б) (ть ..., тк)<(щ, ..., и}) <=> (существует / (1 < /<min (к, /)) такое, что mi = пъ ..., mi_i = ni_h mi<nl)mm(k< lnmi = nh ..., mk = nk). (в) a + bi<cii + b{i <=> a<a{ или а = аъ b< b{. 44. Пусть 7?! — произвольный линейный порядок на множестве Д всех минимальных элементов множества А (см. задачи 41, 43), R2 — линейный порядок на множестве В2 всех минимальных элементов множества А \Д и т.д. Для х, у е А полагаем х< у <=> (хе Д, уе Д-, /<у) или существует / такое, что х, у g Д и (х, у) g Д. 45. Докажем индукцией по т. При m = 1 все элементы А попарно несравнимы и число элементов в А не превосходит п. Пусть т > 1, В — множество минимальных элементов из А. Если С — произвольная цепь в множестве А\В, то С имеет наименьший элемент а (см. задачу 41 (а)) и существует а0е В такой, что а0 < а (см. задачу 41 (б)). Поэтому CU {а0} есть цепь в А, а0<£ Си, следовательно, С содержит не более т - 1 элементов. По предположению индукции (А \В) содержит не более (т - 1) • п элементов, а множество А = (А \В) U В — не более (т-\)п + п = тп элементов. 47. /*([я, Z>]) = (Z>, я) есть требуемый изоморфизм. 48. (а) Все двухэлементные линейно упорядоченные множества изоморфны между собой и самодвойственны. Множества из двух несравнимых элементов также самодвойственны и изоморфны между собой. (б) Любое трехэлементное частично упорядоченное множество удовлетворяет в точности одному из следующих пяти условий: (1) имеются наибольший и наименьший элементы, т.е. порядок линейный; (2) нет наибольшего элемента, есть наименьший; (3) нет наименьшего элемента, есть наибольший; (4) два элемента сравнимы, третий несравним с остальными; (5) все три элемента попарно несравнимы. Частично упорядоченные трехэлементные множества изоморфны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют одному и тому же из условий (1)—(5). Частично упорядоченные множества самодвойственны тогда и только тогда, когда они удовлетворяют одному из условий (1), (4), (5).
168 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 49. (1) => (2). Бесконечная строго убывающая цепь хх>х2> > ... > хп > ... не содержит минимального элемента. (2) => (3). Пусть существует свойство Тэлементов множества^ такое, что для любого элемента ае А из справедливости Т для всех элементов, строго меньших а, вытекает справедливость Т для а, и элемент Ъ е А не обладает свойством Т. Тогда существует Ъх е A, bi< b, такой, что Ъх не обладает свойством Т, и т.д. Получаем бесконечную цепь Ъ > Ъх > ... > Ъп > ... (3) => (1). Пусть Ме\Аж Гесть свойство: а<£ Жили существует минимальный элемент m в множестве М. Допустим, что ае А и все элементы, строго меньшие а, обладают свойством Т. Возможны два случая: (а) существует элемент Ъ е М такой, что Ъ < а, (б) не существует такого Ъ. В случае (а), так как Ъ обладает свойством Т, существует минимальный элемент множества М. В случае (б) а <£ М или а е М и а есть минимальный элемент множества М. Поэтому а обладает свойством Т. Из условия (3) следует, что все элементы множества А обладают свойством Т. Пусть теперь Мф 0, ае М. Тогда Мимеет минимальный элемент. 50. Если все цепи множества вполне упорядочены, то оно удовлетворяет условию обрыва убывающих цепей, и, следовательно, условию минимальности (см. задачу 49). Обратное очевидно. 51. Если А обладает указанным свойством, то для любого неминимального элемента ае А существует точная верхняя грань и {а) множества {х\хе А, х<а] и для любого немаксимального ае А существует точная нижняя грань v (а) множества {х\хе А, х> а}. Если а<Ь,то b = v (v ... (v (a))...) (л раз), а = и(и ... (и(Ь))...) (л раз) для некоторого п. Возможны четыре случая. (а) А имеет наименьший и наибольший элементы. Тогда А конечно. (б) А имеет наименьший элемент а0 и не имеет наибольшего. Тогда любой элемент ае А представим в виде v (v ... (v (a0))...); (п раз) для некоторого п и А изоморфно множеству натуральных чисел с их обычным порядком. (в) А имеет наибольший элемент а0 и не имеет наименьшего. Тогда А изоморфно множеству отрицательных целых чисел. (г) А не имеет наибольшего и наименьшего элементов. Тогда А изоморфно множеству всех целых чисел.
Часть I. Теория множеств (§ 3) 169 52. Все конечные множества и только они (см. задачу 32 и задачу 42 из § 5). 53. (а) Проверим транзитивность < : ф(х,у)=х, y(y,z)=y => => ф(х, г) = ф(ф(х, y),z) = ф(х, фСу, -г)) = ф(х, у) = х. Рефлексивность и антисимметричность очевидны. (б) ф(ф(х, у), х) = ф(х, ф(х, у)) = ф(ф(х, х), у) = ф(х, у). Аналогично, ф(ф(х, у), у) = ф(х, у); ф(з, х) = г; ф(з, у) = г => => ф(г, ф(х, у)) = ф(ф(г, х), у) = ф(г, у) = z. 55. (б) См. задачи 20 и 24. 56. Пусть a, b — максимальные элементы решетки М. Тогда a [j be M, a[jb>a, д U b>b. Отсюда a{Jb = a = b. 57. Если М = {аъ ..., ак}, то ах U ... U ак есть наибольший элемент в М. 58. (а) Семейство конечных подмножеств натурального ряда. (б) Семейство подмножеств натурального ряда с конечными дополнениями. (в) Множество целых чисел. 60. (а) х U у = у => х П = х П (х U у) = х; обратное аналогично. (б) х < х, так как х U х = х U (х П (х U у)) = х; х<у, y<x=>x = xUy=(xny)Uy = y; х<у, y<z => х = хПу = хП(уГ\г)=(хПу)Г\г = хПг; z<x, z<y => г = г п у = О П х) П у = -г П (х П у); х<2, у<2 =^> 2 = 2Uy= OUx) Uy = 2U (xUy). 61. Использовать, кроме определения, тождества из задачи 59. (а) 0 = xf|(-x), l=xU(-x) для любого хе М. (б) Пусть Ьъ Ь2 — дополнения элемента ае М. Имеем Ъ2 = (а П *i) U *2 = (* U *2) П (*i U Ь2) = Ъх U Z>2. Аналогично Z?! = Z?! U b2 = b2. (т) аПЬП [(-a) U (-*)] = [аП *П (-д)] U [д П *П (-*)] = 0; (д П *) U [(-д) U (-*)] = [д U (-д) U (-*)] П [* U (-д) U (-*)] = 1. (е) a<b^b = aUb^-b = -(a{Jb) = (-a)n(-b) => => дП(-*) = дП(-д)П(-*) = 0; дП(-*) = 0=>* = *и[дП(-*)] = (*ид)П[*и(-*)] = *ид=>д<*. 65. Пусть Ах = D U {х}, ^42 = ^ U {у}. Тогда х П w Ф 0 для любого «gD или у(~)иф0 для любого ugD; в противном случае для
170 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ некоторых и, v e D имеем (х U у) П (и П v) = 0 и 0 е D. Поэтому Ах или А2 можно расширить до фильтра (см. задачу 64). 66. (а) => (б) следует из задачи 65. 67. Пусть D — данный фильтр. Тогда семейство S= {Д \ Д есть фильтр на М, Д з D) удовлетворяет условиям леммы Цорна (см. задачи 66 и 68 из § 5) и поэтому имеет максимальный элемент. 68. Имеем а П (-Ь) ф 0 (см. задачу 61 (е)). Из задач 64 и 67 вытекает требуемое утверждение. 69. h(a)Hh (b) = h(aHb), h (a) [jh(b) = h(a U b), -h {a) = h {-a). Поэтому S замкнуто относительно П, U и -. 70. Отображение h, определенное в задаче 69, монотонно и удовлетворяет условию h{x)<h{y) =^> х< у вследствие утверждения задачи 68. Поэтому h есть изоморфизм между Ми h (M). 71. Следует из задачи 57. 72. Отображение /*, определенное в задаче 69, есть изоморфизм между булевой алгеброй М и h (M). Покажем, что h (М) = Р{ёР). Множество & конечно. Пусть A={DU ..., Dk) с SP, аи ..., ак — наименьшие элементы фильтров Д, ..., Dk соответственно. Тогда A = h(ai{J ... U ак): если De h (a{ U ... U ак), то at е D для некоторого /и D = Д в силу максимальности Д, поэтому De А; обратное включение очевидно. §4. Кардинальные числа 2. (в) Пусть / — функция из А на В. Тогда любая функция g: В^>А такая, что g{b) е f~x ({b}) для be В, есть 1-1-функция. 3. Пусть/осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и А2. Положим В0=А, ВХ=АЪ Bn+2=f(Bn) (n = 0, 1, ...). Тогда В0 d^d^d..., А= U(mi)U [JBt = = U №/\^2/+i)U U (Виляли П д/; /GcT^ iejV 1&Л A= (J (5ДД+1)иП5/ = fe.#\{0} /еЛ" = U №i+2\52/+3)U (J (^2,+lVB2,+2) U П Bi- iejY iejY iejV
Часть I. Теория множеств (§4) 171 Имеем f{B2i\B2i+ ,) = B2i+2\B2i+3, т.е. {B2i\B2i+l) ~ (B2i+2\B2i+3). Так как все множества Bt\Bi+l (/ = 0, 1, ...) и П Д попарно не пересекаются, то А~ Ах (см. задачу 24 (в) из § 2). 4. Имеем/(^4 )сД g(B) ci, где/: ^4 —> В и g: i?—ь4 являются 1-1-функциями. Тогда/(g(i?)) е/(^4) с В wf(A) ~ 5 (см. задачу 3). 6. (а) Пусть f(A)czA, где/есть 1-1-функция, я е A\f(a). Положим я0 = #> Я/+1 =/(я/) при />0. Тогда я/+1 е/(... (/04))...) (/раз), но Я/+1 £/(/"(... (/04))...)) (*' + 1 Раз)> поэтому Я/*я7-при /Vy. Значит, ^4 содержит бесконечное подмножество {я0? яь ...}. 7. Пусть ^4 бесконечно, а0 е А. Тогда А\{а0} также бесконечно (см. задачу 5 (б)) и существует ах е А\{а0}. Далее, А\{а0, ах) бесконечно и существует а2 е А\{а0, ах) и т.д. Положим /(0) = а0, /(1) = аъ f{2) = аъ ... Тогда /осуществляет взаимно однозначное соответствие между Jf и А{ = {а0, аъ а2, ...} cl 8. Пусть А бесконечно, В= {Ь0, Ъъ ...} — счетное подмножество А. Тогда А = В[j (А\В) ~ (B\{b0}) U (А\В)=А\{Ь0]. 9. Достаточно доказать утверждение для Ж Пусть /е*#и / бесконечно. Построим/: *#—> /. Возьмем в качестве/(0) наименьший элемент множества /, в качестве/(л + 1) наименьший элемент множества /\{/(0), ...,/(л)}. Тогда /осуществляет взаимно однозначное соответствие между *#и /. 10. (а) Следует из задач 2 (в) и 9. (б) Если А = {а0, аъ ..., ап} (п > 0), то следующая функция/отображает *#на А: /(/) = at для 0 < / < я, /(/) = а0 для / > п. 11. Следует из задач 5 (б) и 9. 12. (а) Пусть A =f(Jf), B = g(Jf) для 1-1-функций/ Jf^A и g: щЛ"-> В. Положим h (2k) =f(k), h (2k+ l)=g(к) при к= 0, 1,... Тогда Л отображает *#на ^4 U В. Так как ^4 U В бесконечно, то A U В счетно (см. задачу 10 (б)). (б) Пусть At= {ая, ..., ain) (/ = 0,1,2,...). Полагаем f(atj) = = щ + ... + Я/_1 +у- 1 для /g Jf,j<nt. Тогда/есть 1-1-функция из U 4 на ЛС (в) Пусть А0 = {а00, аои а02, ...}, Ах = {я10, ап, ап, ...}, А2 = {а20, а2Ъ а2Ъ ...}. Положим Яо = {я0оЬ ^i = {«оь ЯюЬ •••,
172 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Вп = {^ою fli(/i-i)j —9 апо}- Тогда (J At = |J 5/ не более чем счетно (см. задачу (б)). Тогда \J At > А0 = К0- 13. (а) Пусть ^ — счетное подмножество А. Тогда А{ U В~А{ (см. задачи 11 и 12(a)). Поэтому JU В= (А\АХ) U (Л U В) ~ ~(^\4)1М=А (б) Следует из (а), так как .4 = (^4 \2?) U i? и 04 \2?) бесконечно. 14. Пусть А1 = {а0, аи ...}, J2 = {£(ъ *ь •••}• Тогда АххА2 = = (J (^4/ х {£;}), ^4i х {и,} ~^!. Поэтому А{ хА2 счетно (см. задачу ieJT 12(b)). 15. (а) Следующая функция/есть 1-1-функция из JP на*#: /(0) = 0, /(Л) = 2к, f(-k) = 2к- 1 (к= 1, 2,...). (б) Следующая функция / отображает JP2 на £1: f((x,y)) = - при j*0,/«x,j» = 0. У Поэтому й < &2 (см. задачу 2 (в)). Отсюда Л < 91 < $с2 < Л (см. задачи 15 (а) и 14) и й < Л (см. задачу 4). (в) Пусть аъ Ь{ — рациональные числа такие, что а<а{< b{< b, ДО) = fll+Z\ f(n +1) = Ql + f(<n) есть 1-1-функция из JT в [а, *]. С другой стороны, [я, Ъ\[\й<^£1. (г) Следует из (б) и задачи 14. 16. Следует из задач 12 (в) и 14, так как множество всех конечных последовательностей есть объединение поле«# множеств последовательностей фиксированной длины п. 17. Следует из задачи 16. 18. Следует из задачи 16, так как многочлен а^1 + а2хП2 +... ... +акхПк + ak+i можно представить как конечную последовательность элементов счетного множества {х, +} U *Ж 19. Следует из задачи 18, так как множество корней любого многочлена конечно.
Часть I. Теория множеств (§ 4) 173 20. В интервале (я, Ь) можно найти рациональное число с (а<с<Ь). Поэтому данное множество интервалов эквивалентно подмножеству множества £1. 21. Под буквой Т понимаем пару взаимно перпендикулярных отрезков такую, что один из них проходит через середину другого. В точке пересечения отрезков проводим окружность радиусов меньше половины каждого отрезка. Буква Т делит круг на части. В каждой из этих частей существует точка с рациональными координатами. Различным буквам Т соответствуют различные тройки точек. 22. Следует из задачи 20. Любой точке х е А сопоставляем ин- ( 5 5 тервал \х —, х + — 23. Следует из задачи 20. Каждой точке разрыва а сопоставляет интервал ( lim f(x), lim f(x)\. \x—>я-0 х—>я+0 / 24. (а) Следует из задачи 13 (а). (б) Для х е [0, 1] полагаем/(х) = а + (Ь - а)х. Тогда/осуществляет взаимно однозначное соответствие между [0, 1] и [а, Ь]. (в)/(х) = tg х осуществляет взаимно однозначное соответствие между I-|, | I и 3), [а, *] ~ I-|, || (см. (а) и (б)). 25. Возьмем, например, [0, 1] и [0, I]2. Паре действительных чисел (0, а0а{...; 0, b0b{...), где ни одно из этих чисел не имеет 9 в периоде, сопоставляем число 0, афф\Ьх... Далее используем задачу 4. 26. Рассмотрим две окружности, например, с центрами в начале координат и радиусами г ж К Точке (rcoscp, rsincp) сопоставляем точку (R cos ф, R sin cp). 27. З)2 ~ [а, Ь]2 ~ [а, Ь]~3) (см. задачи 24 (а) из § 2, 24 (в) и 25). 28. Следует из задачи 24 (в). 29. Пусть/есть 1-1-функция из Jf на отрезок [0, 1]. Пусть/(л) = 0, an0ani... ank... Строим действительное число р следующим образом: р = 0, 6o^2 •••> гДе [1, если а и Ф 1, Pi = \ 2, если ац = 1.
174 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Ясно, что для любого п имеем/(л) Ф р. Получили противоречие. 30. с, так как 3 = J2{J (3\£Ь) и £1 счетно (см. задачи 15 (б) и 13 (б)). 31. Следует из задач 19 и 13 (б). 32. [0,1] с |J[M + l]c: \J[i,i + l]c9). IE Л IE Л 33. Каждому х е 3 можно сопоставить счетную последовательность рациональных чисел, сходящуюся к х; а так как й- J\f, то и последовательность натуральных чисел. Поэтому 3 не превосходит мощности множества £всех таких последовательностей. Обратно, последовательности натуральных чисел а0, аъ аъ ... сопоставляем действительное число о, g11^ig11^igli:^i... я0+1 раз tfi+1 раз а2+1 Раз 34. (а) Следует из задач 33 и 4, так как множество JT последовательностей натуральных чисел эквивалентно подмножеству множества {0, 1} : последовательности натуральных чисел а0, аъ а2,... сопоставляем ^^,1,^^,1,... до раз а\ раз (б) Следует из (а) и задачи 44 из § 2. 35. (а) Следует из задачи 25. (б) At~Jf для любого /е / (см. задачу 33). Поэтому Y\At ~ (Jf ) ~ Jf х ~ *# (см. задачи 25 (г) и 47 из § 2 и зада- ieI чу 14). 36. (а) с, так как 3 ~ (Jf ) (смдалее указание к задаче 35 (б)). (б) с, так как непрерывная функция / однозначно определяется счетным множеством {(x,f(x)) \xe Щ (которое можно представить в виде счетной последовательности). (в) с, так как монотонная функция однозначно определяется своими значениями на счетном множестве точек: в точках разрыва (см. задачу 23) и в рациональных точках. 37. Можно. Множество В = {х - у \ х, у е А} счетно. Любое ае 3\В удовлетворяет условию задачи.
Часть I. Теория множеств (§ 5) 175 38. Допустим, ср: [0, 1] -> 2)[0,i] есть 1-1-функция из [0, 1] на 2)[0'1]. Положим Дх) = (ф(х))(х) + 1 для хе [0, 1]. Тогда/е ®[0'1] и /= ф (х0) для некоторого х0е [0,1]. Отсюда (ф(х0))(х0) = =f(x0) = (ф(х0))(х0) + 1. Получили противоречие. 40. Пусть ф есть 1-1-функция из А на Р (А). Положим В = {х \ х е А и х£ф(х)}. Тогда В = у(х0) для некоторого х0 е А. Имеем х0 е В^>х0<£ ф(х0) = В, х0 <£ В^>х0<£ ф(х0) =^> х0 е В, т.е. противоречие. Поэтому такой функции ф не существует. 41. Пусть (J ^4 ~ Се Д) е А для некоторых Си Д>. Тогда суще- ieA ствует Be А такое, что 5 не эквивалентно никакому подмножеству множества А0. С другой стороны, В с (J А Получили проти- воречие. 42. Пусть 21 есть множество, содержащее все множества. Тогда Р (21) с 21. С другой стороны, Р(21) > 21 (см. задачу 40). Получили противоречие. 43. (а) Положим, например, Ьп= (ап+ 1) • 2п. (б) Предположим, ф есть 1-1-функция из Jf на А. Положим Ьп=[(ф))п + ... + Мп))п+1].2п. Тогда для любого / имеем п > i => ((Р(/))« < (Ф(0)« < J_ К (((p(/))„ + l)-2" 2й" Поэтому lim^^ = 0 для любого / е Д что противоречит условию. § 5. Ординальные числа 4. Пусть A = Jf, B=fy с обычными порядками. Тогда А = В, но 5. В множестве из п элементов можно выбрать наименьший элемент п способами, поэтому число Оп линейных порядков на п элементах равно п • Оп_{. 6. Пусть А = {аъ ..., ап), где ах< ... < ат В= {аъ ..., ап), где Ь{< ...< Ьп. Положим/(а/) = bt. Тогда/— изоморфизм между А и В.
176 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 7. См. указание к задаче 4. 8. Пусть/— монотонная 1-1-функция из А на В. Тогда/"1 — также монотонное отображение, так как из (х, уе А, но неверно, что хфу) следует, что у<х h/(j)</(x), т.е. неверно f(x)<f(y). 11. Пусть А удовлетворяет условиям (а), (б), (в). Положим f(0) = a0, f(n+ l) = (f(n))\ где n = 0, 1,2, ... Тогда pf=A вследствие условия (в). Если п, те *#и п<т, то/(л) < (f(n))' <f(m) вследствие условия (б), поэтому/— монотонная 1-1-функция из Jf на А. 12. Пусть А бесконечно и Аа конечно для любого а е А. Положим/(а) = А. Тогда/есть изоморфизм АкаЖ 13. Пусть А= {а0, аъ аъ ...} удовлетворяет условиям (а) и (б), £1 = {q0, #ь q2, ...}. Построим/ А -^ £lwg. £1->А. Положим/(%) = q0, g(q0) = a0. Пусть f(a0), ...,f(an) и g(q0), ...,g(qn) уже построены. Если an + i=g(qt) для некоторого / (0<i<n), то положим /(fl/i+i) = ?i. Если an+l£ {g(q0), ...,£(?„)}, то возьмем в качестве f(an+\) первое qt£ {f(a0), ...,f(an), q0, ..., qn), расположенное относительно f(aQ), ...,f(an), q0, ..., qn также, как an+i расположено относительно a0, ..., an,g(q0), ...,g(qn). Далее, если qn+i=f(al) для некоторого / (0</<я+1), то полагаем g{qn + \) = сц- Если qn + \£ {/*(^o)j •••>f(an+i)}> то возьмем в качестве g(qn+\) первое cij £ {а0, ..., ап + ъ g(qo), ..., g(qn)}, расположенное относительно множества {а0, ..., an + i,g(qQ), ...,g(qn)} так же, как qn+i расположено относительно множества {f(a0), ...,/(^ + i)? #о> • ••> qn}- Остается доказать, что/есть изоморфизм А на £1. 14. Пусть А= {а0, аъ ...} — счетное линейно упорядоченное множество. Построим изоморфизм/из А в £1. Полагаем f(a0) = 0. Далее, пусть f(a0), ...,f(an) построены. Если at < at < ... < at i < < an + i < aik+i < ... <ain (где ij<n, \<k< n-1), то выбираем qn+\e £1 такое, что f{aik {) < qn+i <f(aik+i). Если an+i меньше всех аъ ..., am то выбираем qn+l е Этакое, что qn+i <f(a0), ..., qn+i <f(an), а если an+i больше всех аъ ..., ап, то выбираем ?й + 1е £1 такое, что qn +1 >/(яо), •••, fti+i >/(««). ПолагаемДял+ {) = qn+l. 15. (б) Пусть a, be А, а<Ъ. Возьмем множество С с: В всех таких последовательностей (хь ..., хп, хп+ъ хп+ъ хп + 3), (п>0) что xte {a, b) для /=1,...,я, хл+1=хл+3 = £, хп + 2 = а и не существует
Часть I. Теория множеств (§5) 177 i<n такого, что х/ = х/+2 = Ь, хих = а. Тогда С имеет порядковый тип г| (см. задачу 13); утверждение следует из задачи 14. 16. См. указания к задаче 24 из § 4. 17. Рассмотрим случай, когда А не содержит наибольшего и наименьшего элементов. Остальные случаи рассматриваются подобным образом. Пусть В — счетное плотное в А подмножество. Ввиду задачи 13 существует изоморфизм h из В на й. Возьмем ае А. Существуют аъ а2е А такие, что а{< а< а2. Тогда существуют b0, be В такие, что ах< b0< a< b< а2. Далее строим последовательность Ь0, Ьь Ьъ ... элементов из Атакую, что ax<b{)<bi<b2< ... < ... <а< b . Последовательность h (b0), h (b{), h (b2), ... монотонна и ограничена числом h (b), поэтому она имеет пределом действительное число а. Положим/(я) = а. Тогда/есть изоморфизм из А в 3. 20. (а) Проверить, что если А и В — линейно упорядоченные непересекающиеся множества, то отношение < , данное в определении суммы порядковых типов, линейно упорядочивает AUBk A~i=A, Ж = В, Alp[Bl = 0 => А^ + Т^А + В. Аналогично для А В. 21. См., например, задачу 22 (г). 22. (г) Множество, упорядоченное по типу со+ 1, имеет наибольший элемент в отличие от множества порядкового типа со. (е) Пусть А={х\хе J2 и х< л/2}, В={х\хе й и х> V2}. Тогда А = В =г| и А + В =г|. (ж) Пусть А={х\хе 3 и х<0}, В=0, С={х\хе 3 и х>0}. Тогда А = С = Хж А + В + С = г|. (з) Пусть А + В = Х. ТоттА-А^З), В~ Вх с 3, Ах U Вх = 3, Axr\Bi = 0vLa<b для ае Ai&b e В. Поэтому существует в Ах точная верхняя грань а{ или в В{ точная нижняя грань Ь{. Тогда Ai = X+l или Вх = 1 + X Ф X. 23. Например, а = 2, р = со. 24. (д) Множество порядкового типа г|2 удовлетворяет условиям задачи 13 (е). В множестве А порядкового типа сог| порядковый тип множества элементов, не являющихся непосредственно следующими за какими-либо элементами из А, равен ц. Для множества В порядкового типа со(г| + 1) порядковый тип аналогичного множества равен г| + 1.
178 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 26. (б) Например, а = со* р = со, у =2. 28. Пусть А = а, В = р, {Аъ \ Ъ е В} — семейство попарно непересекающихся множеств, упорядоченных по типу а, ср^ — изоморфизмы А на Аь. Тогда следующая функция/есть изоморфизм из ,4хЯна |J Ab:f((a, b)) = q>b(a). be В 31. (а) Нет. (б) Нет. (в) Нет. (г) Да. 34. Пусть ае А не является наибольшим элементом А. Тогда множество {х \ х е А, х > а} имеет наименьший элемент. 35. Нельзя, так как эта цепь не содержит наименьшего элемента. 36. Любое не вполне упорядоченное множество содержит бесконечно убывающую цепь. 37. В противном случае получаем f(f(a)) <f{a\f{f{f{a))) <f(f(dj) и т.д. 38. Следует из задачи 37. 39. Следует из задач 9 (г) и 38. 40. Пусть/i ж/2 — два изоморфизма из А на B,f{ (a) <f2 (a) = Ъ для некоторого ае А. Тогда ffl • f\ есть изоморфизм В в В и (/Г1 • Л)(Ь) < Ъ. Получили противоречие (см. задачу 37). 41. Пусть А и В вполне упорядочены, S={a\ae А, Аа~Аь для некоторого be В}. Тогда S=A или S=Aa для некоторого а0 е А, S~ В или S~ ВЬо для некоторого Ь0 е В. Если S=A, S~ В или S=A, S~ Bbo или S= Aa^ S^B.to утверждение доказано. Случай S=Аа^ S= Bbo невозможен, так как тогда Аа ~ ВЬо и а0 е S=AaQ. 42. Пусть А — бесконечное множество, вполне упорядоченное относительно заданного и двойственного порядков, а0 е А. Тогда В0 = {х | х < а0} или В{ = {х | х > а0} бесконечно. Пусть В0 бесконечно. Тогда В0 имеет наибольший элемент Ьъ далее В0 \{bi\ имеет наибольший элемент Ь2 и т.д. Получаем Ь0 > Ъх > Ь2 > ..., что противоречит полной упорядоченности В относительно <. Аналогично рассматривается случай, когда Вх бесконечно. 43. Предположим, что ВфАх. Тогда А \В непусто и имеет наименьший элемент х. Получаем Axq:Bvlx<£ В. Приходим к противоречию.
Часть I. Теория множеств (§5) 179 44. (а) Следует из задачи 41. (б) Следует из задачи 38. 45. /(р) = W$ для р < а есть изоморфизм из Wa на множество {Щ> I Р < ah упорядоченное отношением включения. См. далее задачу 10. 46. Пусть М — множество порядковых чисел, Мх — непустое подмножество М, ае Мх. Тогда Wa вполне упорядочено (см. задачу 45). Если Мх П Wa = 0, то а есть наименьший элемент в Мх. Если М{Г\№аФ0, то M{r\Wa^JVa имеет наименьший элемент р, который является наименьшим в Мх. 47. (а) Пусть А = (J Wa. Тогда А вполне упорядочено (см. за- aeS дачу 46). Тогда р =А есть искомое порядковое число (см. задачи 45, 38). (б) Существует b <£ S (из (а)). Тогда W$\S вполне упорядочение и содержит наименьший элемент у, который и будет искомым. 48. Следует из задачи 47 (а). 49. Имеем а + 1 > а. Пусть а < р. Тогда Wa a W$ (см. задачу 45), Wa{J {а} есть начальный отрезок W$ или Wa{J {а} = JV$, Жаи{а} = а+1<Щ = $. 50. Пусть а^Оиане является предельным, т.е. а ф sup{p | p < а}. Тогда существует у такое, что р < у для всех р < а, и неверно, что а < у. Поэтому у < а и у есть наибольшее в {р | р < а}. 51. Пусть р — порядковое число. Множество {а | а < р, W$ \Wa конечно} имеем наименьший элемент у. Тогда у=0 или у есть предельное порядковое число, р = у+я, где n=W$ \WT 53. Atс (J Ah поэтому Atвполне упорядочено. /~ 5с (J Ah где iel iel В = {а,-1 а,- есть наименьший элемент в At}. 54. Пусть_а=3, р = 2?, у=С, АП С=ВП С=0. (а) Если В < А, то В подобно начальному отрезку множества А с В, что противоречит задаче 38. (б) Следует из (а). (в) Если А ~ Ва для некоторого а е В, то С U А ~ С U Д,. Обратно, пусть у+а<у+риа>р. Тогда по уже доказанному у + а > у + р. Получили противоречие. Поэтому а < р.
180 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (г) Следует из (а). (д) Следует из (в). (е) Следует из (г). 55. Например, а = 0, (3 = 1, у=со. 56. Пустьа=]4, р = £, у=С. (а) Следует из задачи 54 (а). (б) Пусть А = Ва для некоторого ае В. Тогда Сх А = (Сх В){с а), где с — наименьший элемент С (в), (г) Следуют из (б), (д) Следует из (а). 57. (а) Пусть а = А, р = В. Если а = р, то а - р = 0. Если р < а, то В ~ Аа для ае А; р + А \Аа = Aa{J(A\Aa) = А = а, а - р = А \Аа , р + у! = р + у2 => Yi = у2 (см. задачу 54 (д)). (б) а-у< р-у=> а = у + (а-у) <у+ (р-у) = р (см. задачу 54 (в)). (в) а-у<а-р=>а = у+(а-у)<р + (а-р) = а (см. задачу 54(в), (г)). (г) уа = у(р + (а- р)) = ур + у(а- р) (см. задачу 26(a)), поэтому у (а - р) = уа - ур. 58. (а) а2 < а{ =^> р! = (а{ + р^ -а{< (а2 + р2) - ос2 = р2 (см. задачу 57(b)). _ _ (б) Пусть а = А, р_= В. Тогда у = (Ах В)^а ^ для некоторых ае А, be В. Полагаем 5 = Аа, г= Вь. Имеем у = а£ + 5, так как (А х В )<й Ь) = = (AxBb) U (Аах {Ь}). Пусть у=а£! + 5! = а£2 + 52, 5Ь 52<а. Если £i < £2, то а£! < а£2 (см. задачу 56 (б)). Если 52 < 5Ь то тоже а^ < а£2 по (а). Тогда а^ + 8{ < аг{ + а = а (г{ + 1) < а£2 < а£2 + 52 (см. задачи 54 (б), (в), 26 (а), 49, 56 (а), (в)). Получили противоречие. Поэтому £ и 5 определены однозначно. (в) а = 1 • а < р • (а + 1) (см. задачу 56 (в)). Утверждение следует из (б). 59. Из задачи 58 следует, что а0 = а${ + а2 для некоторых а2 < а{ и рь Далее а1 = а2р2 + ос3, а3 < а2 и т.д. Получаем последовательность а! > а2 > а3 > ... Поэтому ап+ { = 0 для некоторого п > 1 (см. задачу 46). 60. Пусть у не обладает свойством Р. Тогда существует наименьшее ординальное число а<у, не обладающее свойством Р. Все ординальные числа р < а обладают свойством Р. Получили противоречие.
Часть I. Теория множеств (§5) 181 61. Пусть а — порядковое число. Возьмем следующее свойство Р: р есть такое ординальное число, что ар существует и однозначно определено. Это свойство удовлетворяет условиям задачи 60. 62. Например, множество всех бесконечных последовательностей натуральных чисел таких, что лишь конечное число членов последовательности отлично от 0, упорядоченное так: а0, ..., аю ... </Ь0, ..., Ью ... <=> существует п > 0 такое, что ап < Ъп и ак= й^при к> п. 63. Доказательства используют принцип трансфинитной индукции (см. задачу 60). (а) у> 1 и а фиксированы. Р(р) есть следующее свойство: если р > а, то У3 > у06. (б) а и р фиксированы. Р(у) есть свойство ар + т= ар • ат. (в) а и р фиксированы. Р(у) есть свойство (а?)у=а?'у. 64. (а) Рассмотрим случай, когдау=5+1иа^0. Имеем р = сот- - а и а < сот. Представим а в виде а = со6 • г + т, где т < со6 (см. задачу 58 (в)). Тогда г < со и со6+1 = со6(со - (е + 1)) = сот- со6(£ + 1) < р. Случай, когда у предельное, следует из уже доказанного. (б) Трансфинитная индукция по р. (в) Пусть £ — наименьшее такое т, что р < ат. Тогда г > 0 и не является предельным, т.е. г = £ + 1. Далее применяем задачу 58 (в). (г) Последовательно применяем (в). Процесс обрывается, так как всякое множество порядковых чисел вполне упорядоченно. 65. Полагаем 210 = 0, 21д+1 = 21д U {2Q, 2lp = (J 217 для предель- ного р. Для доказательства транзитивности 21д, того, что 21 д = ос, и единственности 21д, используется принцип трансфинитной индукции (см. задачу 60). 66. (2) => (1). Пусть S = {ф | ср: ^i -> |J Zfl, где ^i с Л ср(я) е Х^}. Тогда £ непусто и частично упорядочено по включению. £ удовлетворяет условиям леммы Цорна. Максимальный элемент в S есть искомая функция выбора.
182 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (1) => (4). Пусть 21 = К | / е /}, At f]Aj=0 для /*у, /: /-> (J Д есть функция выбора. Тогда С= {/(/) | / е /} — требуемое множество. (4) =^> (1). Возьмем 21 = {{ZJ xJJ^g^}. Тогда (Ш хХа) П (Ш х!,) = 0 для я* *. Пусть С таково, что ({Ха} х JQ) П С состоит ровно из одной точки са. Тогда са = (Ха, da) для некоторого da e Xa,f= {ca\ae А} есть требуемая функция выбора. (1) => (5). Пусть М — произвольное множество,/— функция выбора на Р (М) \{0}. Рассмотрим семейство Этаких А с М, А ф 0, что А может быть вполне упорядоченно так, что а е f(M\Aa) для любого а е А. Тогда £ непусто, так как {f(M)} е S. Пусть An В — множества из S с указанными полными порядками. Тогда А = В или одно из них является отрезком другого. Поэтому объединение L всех множеств из S само принадлежит S. Если L ф М, то L U {ф (M\L)} е Л Отсюда L = М. (5) => (3). Пусть L есть цепь в множестве М, частично упорядоченном отношением < . Если L = М, то L максимальна. Если ЬфМ, то вполне упорядочим множество А = M\L отношением <ь Любому а е А сопоставим теперь некоторое множество La з L. Если всем b<i а уже сопоставлены Lb, то полагаем La= (J Lb U {я}> если ^ сравним по < со всеми элементами из [J Lb, n La = [J Lb в про- Ъ<\а Ъ<\а тивном случае. (J La есть максимальная цепь, содержащая L. аеА (3) => (2). Пусть Af удовлетворяет условиям леммы Цорна, ае М. Тогда {а} содержится в максимальной цепи L. Верхняя грань с цепи L является максимальным элементом в М. (2) => (6). Пусть 21 — семейство множеств, имеющее конечный характер. Отношение с является частичным порядком. Выберем в 21 некоторое линейно упорядоченное подсемейство 03 = {Д}/е /. Рассмотрим А = [jAj. Пусть С — конечное подмножество А. Тогда С iel является подмножеством At для некоторого / е /, поэтому С е 21. Значит, А е 21. Множество А является верхней гранью семейства 03. По лемме Цорна 03 содержит максимальный элемент. (6) => (2). Пусть А удовлетворяет условиям леммы Цорна. Семейство 21 всех цепей множества А имеет конечный характер и,
Часть I. Теория множеств (§ 6) 183 следовательно, в А существует максимальная цепь. Верхняя грань этой цепи будет максимальным элементом в А. 67. Применить лемму Цорна (задача 66 (2)) к множеству В={х\х>а). 68. Следует из задачи 66 (2). 69. Пусть S есть семейство частичных порядков Q на А таких, что Q^R. Тогда £ непусто, частично упорядочено включением и удовлетворяет условиям леммы Цорна (задача 66 (2)). Максимальный элемент L в S есть требуемый линейный порядок. § 6. Действия над кардинальными числами 1. Пусть m = А, п = В. Множества Аж В можно вполне упорядочить (см. задачу 66 (5) из § 5). Но тогда одно из этих множеств подобно другому или его отрезку (см. задачу 41 из § 5), т.е. m < п или п < т. Использовать также задачу 4 из § 4. 2. Следует из задачи 1. 3. Следует из задачи 40 из § 4. 4. (б), (в), (г) Следуют из задачи 13 (а) из §4. (д) Следует из задачи 32 из § 4. 5. (а)^=^х{0}, В2 = А2х{1}. 7. (в), (г) Доказываются индукцией по п. 8. (б) Например, n = m= К0> так как К0 + 1 = Ко- 9. Пусть А = п, В =тиА<^В. Тогда положим щ = В\А. Например, К0 + 1 = Ко+ 2. 10. (б) Следует из задачи 14 из § 4. (в) Ясно, что Jfx 3) = I) (ЩхЗ)) и {/} х 3)~ 3). Результат сле- дует из задачи 32 из § 4. (г) Следует из задачи 34 (а) из § 4. 12. (е), (ж) Пусть А =п. А можно вполне упорядочить (см. задачу 66 (5) из § 5). Пусть А = а. Тогда а = со • р + у для некоторых порядковых чисел у < со и р (см. задачу 58 (в) из § 5). Отсюда имеем n= K0n1 + n2, где пь п2 — мощности множеств порядковых типов р и у соответственно, п= Ко ni •> так как п2 конечно. Имеем К0 • п = К0 • К0 • i^ = К0 i^ = п (см- заДачУ Ю (б)), n < m n < К0 n = n.
184 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 13. Пусть А = п. Положим есть М = {ср | ср есть 1-1-функция из ВхВ на В для некоторого бесконечного 5ci}. Mнепусто (см. задачи 8 из § 4 и 10 (б)), частично упорядочено включением и удовлетворяет условиям леммы Цорна (см. задачу 66 (2) из § 5). Поэтому М имеет максимальный элемент ср0: В0х В0-> Д. Если Во = п, то п2 = п. Пусть m = Во < п. Тогда А\В0 > m (см. задачу 12 (е)), т.е. А \В0 с Д для некоторого Д мощности т. Имеем (B0UBl)x(B0{JBl) = (B0xB0)U(BlxB0)U(B0xBl)U(BlxBl), В = (Д х Д) U (А) х Д) U (Д х Д) = т2 + т2 + т2 = т + т + т = т, так как ш2 = Д х В0 = Во = т. Существует 1-1 -функция/из В на Д. Положим \|/ ((я, Ь)) = ф0((л, й)), если a, Z> е Д, и \|/ ((а, й)) =f((a, b)), если (д, й) g В. Имеем \j/e Af и \|/=> ф0, что противоречит максимальности ф0. 14. Пусть 2 < m < п и п бесконечно. Тогда n<n + m<n + n = = n2<nm<nn = n. 15. Следует из задачи 34 (а) из § 4. (б) Следует из задачи 33 из § 4. (в) Следует из задачи 36 (а) из § 4. 17. Следует из задачи 25 (а) из § 2. 18. Следует из задачи 44 (а) из § 2. 19. Пусть А = т, В =п ж С=р, пусть А, В и С попарно не пересекаются. (а) Если / осуществляет взаимно однозначное соответствие между А и Д с Д a g — между В и QcC, то fg осуществляет требуемое соответствие между А и С2сС (е) m<n<m + n=>n + n = 2n<mn. (ж) Если п конечно, то оба равенства выполняются только при m = 0. Пусть п бесконечное. Если m + п = п, то K0-m+K0-n = = N0- Отсюда N0-m + n = n (см. задачу 14). Итак, N0-m<n. Если N0m<n, то ш< К0 * m < n . Значит, m < п. Итак, m + п = п (опять см. задачу 14). (з) Если п < пь то существует р такое, что п + р = щ (см. задачу 9). Тогдаiii + m^n + p + m^p + n^n!. (и) Если m бесконечное, то доказывать нечего, так как к m = m (см. задачу 14). Если m конечное, а п бесконечное, топ>Ьти
Часть I. Теория множеств (§ 6) 185 п + к m = n + m = n (опять см. задачу 14). Если m конечное и п конечное, то оба равенства выполняются только при m = 0. (к) Аналогично (и). (л) Следует из задачи 18 и задачи 40 из § 4. 20. (а) Если 2т> К0, то т> К0, и результат следует из задачи 19 (д). (б) Если mn= К о, то 2<ш< К0. Тогда 2n<mn = K0. Значит, п конечное, так как 2*° = с. Если m конечное, то тп конечное. Значит, т= К0. 21. (а) Докажем, что nn<2n. Пусть А =п. По определению /с Ах А для любой fe AA. Итак, nn< 2n n = 2П (см. задачу 13). (б) Следует из (а). 22. (а) Пусть At ~ А для всех / е I, где А = п, / = m, a At для всех / е / попарно не пересекаются. Обозначим через at элемент из Аь соответствующий элементу а из А. Паре (/, а), где /е / и ае А, ставим в соответствие элемент at из At. Таким образом IxA~ \jAt. iel (б) Если тип конечные, то, очевидно, т = п. Если тип бесконечные, тот = т + р = п + р = п (см. задачу 14). Другие случаи невозможны. (в) Аналогично (б). 25. Следует из задачи 25 (е) из § 2. 26. Следует из задачи 25 (ж) из § 2. 27. Следует из задачи 46 из § 2. 28. Пусть {At}iG ь {Д}/е / — системы попарно непересекающихся множеств таких, что A =m/? В =nt. Пусть {ф/}/е/ — система функций таких, что ср, осуществляет взаимно однозначное соответствие между Af и Q с Д. (а) Определим F: {jAt -> (J Bt так: F(a) = <pl{a), если ае At. iel iel (б) Определим F: Y[At -^П5' так: (F(f))0') = <Pj(fU)), если IE I IE I IE I 29. (б) Пусть Aj = m, и /с I. Доопределим функцию/: J^ |J At IE I до функции g: 1^ [jAj так: IE I
186 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ [/(/), если/е/, [at, если / g I\J, где at — произвольный элемент из At. 30. Пусть {Aj}ie ь {Д}/е /— системы попарно непересекающихся множеств таких, что At =mb Д =% Пусть {//}/е/ — система функций таких, что ft осуществляет взаимно однозначное соответствие между Af и С/ с Д. (а) Пусть й/, с,- g Д, й/ ^ с,- для всех / е /, / > 3. Следующая функция ф есть 1-1-функция из {jAf в Y\ Bf- IE I IE I \fi(Oi)9 если i = j, (ф(я/))С/) = j cj9 если / * у, fiidf) Ф ch [bj, если 1ф j, fi(ai) = ch где я,- g Д-, у g /. Случай I <2 проверяется легко. (б) X m/ - П n* вслеДствие (а)- Предположим, что X m* ~ П П/* iel ieI ie I IE I Тогда Yl^i = U^"' где ^i =mb QH Cj=0 при \Ф]. Рассмотрим ieI IeI Mi = {g (0 I g G Q- M с Д, M/ < Сi = mh поэтому Д \Mt Ф 0. Пусть Ag [] (Bi\Mi). Тогда Л (/) e Mhhe Q для всех / g /. Получили про- тиворечие. 31. Имеем X m/ < П m'+1 - m° П m'+1 (см* заДачУ 30 (б)). IE Л IE.Ж IE.Ж 32. Следует из задачи 32 (а). 33. По определению. 34. См. задачу 49 (б) из § 2. 35. Пусть m^° = ^ Ш/, где mt < m/+ h Тогда для всех / е Jf имеем 1еЛ щ < тЧ Значит, YI Щ ^ (тКо )к° = т*° = ^ т, (см. задачи 28 (б), IE Л IE Л 17 (в), 10 (б)). Это противоречит результату задачи 31.
Часть П. Математическая логика (§ 1) 187 Часть II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ЛОГИКА § 1. Алгебра высказываний 1. Формулой является лишь последовательность (в). 2. (а) 9 способов; (б) 19 способов. 4. Индукцией по числу логических связок, входящих в С. 5. Индукцией по числу шагов построения формулы А. 6. Аналогично задаче 5. 8. (а) Р=и; (б) P=Q = n; (в) P=R = n, 0 = л. 9. Делается непосредственно по таблицам истинности. 10. (а) Например, Х= Y= Z= и; (б) например, Х= Y=Z= V= Ж=л и U=n; (в) например, Х= Y= л и Z=h; (г) например, Х= Y= и и Z=л; (д) только при Х= Y= и. 13. Докажем, например, (а). Если при некоторых значениях переменных значение формулы (Bv С) есть л, то при этих же значениях переменных значения В и С также равны л. Тогда при этих значениях переменных одна из формул {Aw В) или (-. A v С) должна иметь значение л. 14. Пусть А- В. Придадим переменным некоторые значения. Если значение А при этих значениях будет и, то значение В также и. Отсюда значение (А = В) есть и. Аналогично рассматривается случай, когда значение А есть л. Обратно. Пусть (А = В) тождественно истинна. Тогда формулы (Az)B) и (Bz)A) тождественно истинны. Если значение А при некоторых значениях переменных есть и, то значение В не может быть л, иначе значение (Az) В) было бы л. Аналогично рассматривается случай, когда значение А есть л. 17. Пусть А (Р\С) зависит от переменных Р0, ..., Рк. Придадим этим переменным некоторые значения. Тогда значение А (Р\С) будет равно значению А, если переменная Р принимает значение, равное значению С, а остальные переменные А имеют значения, совпадающие с заданными.
188 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 18. При вычислении значений А и Ах мы будем использовать значения В и 2?ь которые совпадают, так как В~ Вх. 19—21. Доказываются непосредственно по таблицам истинности. 22. Индукцией по числу шагов построения формулы А, используя задачи 20 (а), (б), (в), (д) и 18. 23. Индукцией по числу шагов построения формулы А, используя задачи 22, 19 (г), (и). 24. См. указание к задаче 23. 25. Пусть у некоторого дизъюнкта В переменные Pt, ..., Pt входят в В без отрицания, а Д, ..., Pjm — с отрицанием. Если множества {Pt, ..., Pt} и {Pj, ..., PjJ не пересекаются, то, придавая Pti, ..., Pik значение л, а Д, ..., Pjm значение и, получим, что В имеет значение л. 26. Аналогично задаче 25. 27. Индукцией по числу шагов построения формулы А. 28. Используя задачу 27, доказать, что А(Р0, ..., Рп) i^4* (-1 Р0, ..., -1 Рп). 29. Пусть значение переменных Рь ..., Рт есть и, а значение переменных <Qb ..., <QW есть л. Требуемой элементарной конъюнкцией является (Р{ & ... & Рт & -1 Q{ & ... & -. (QJ. 30. Сразу следует из задачи 29. 31. (а) Легко заметить, что полученная в задаче 30 дизъюнкция элементарных конъюнкций есть с.д.н.ф. формулы А. 32. Пусть значение переменных Ръ ..., Рт есть и, а значение переменных Qu ..., Qn есть л. Требуемой элементарной дизъюнкцией является (-1 Р{ v ... v -. Рт v Q{ v ... v Qn). 33. Сразу следует из задачи 32. 34. (а) Легко заметить, что полученная в задаче 33 конъюнкция элементарных дизъюнкций есть с.к.н.ф. формулы А. (б) Следует из задачи 25. 35. (a) ((P&Q&R)v(P& Q&^R)v(P&^Q&R)v v(P&^Q&^R)v(^P& Q&R)v(^P&Q&^R)v v(^P&^ Q&R)v(^P&^Q&^R)); (б) ((-,P&0v(-,P&-,0v(P&0); (в) (P&G).
Часть II. Математическая логика (§ 1) 189 36. (a)(PvQvP); (б) ((PvQvR)&(Pv^QvR)& &CPv()v-,P)&(Pv-,£>v-,P)&(-,Pv Qv R)); (в) ((Pv Qv ^ R) & (Pv ^ Qv ^ R) & (Pv QvR)). 37. (а) Например, A=(-,Pv-, Q); (б) ((P& ()&P)v(-,P& Q&R)v(-^P&^Q&R)). 38. ((-,P&-,()&POv(P&-,(?&-, P)v(-,P& Q&^R)). 39.((P& Q&R)v(P& Q& ^ P) v(P&^Q&R)v(-^P& Q&R)); ((P&-, e& -, R) v (-, P& Q&-, P) v (-, P& -, Q& R) v (P& Q&R)). 40. (а) Л = ((Р& 0&P)v(P& ()&-,P)v(-,P& Q&R)v v(^P&^Q&R)); (б) /l = ((P&Q&/!)vbP&^0&-«)); (в) .4 = ((Pv 0v-,P)&(->^v-,0vP)). 41. Попарно не эквивалентных конъюнктов от п переменных имеется 2". Если какой-то из этих конъюнктов не входит в с.д.н.ф. формулы А, то А имеет значение л при соответствующем наборе значений переменных для данного конъюнкта. 42. Легко следует из задач 31 (а) и 34 (а). 43. (а) Меняем в с.к.н.ф. формулы А & на v, v на &. (б) Используя задачу 42, строим с.д.н.ф. формулы А и далее в ней меняем & на v, v на &, Р, на -. Р„ -, Р, на Р,. (в) Меняем в с.к.н.ф. формулы А & на v, v на &, Р, на -. Р„ -, Pt на Р,. 44. Заметим вначале, что (A, v ... v As) ~ ((Al v ... v As) & &(Р v -, Р)) ~ ~ ((А{ &P)v(A{&^P)v ... v (As & Р) v (As & -, Р)); аналогично, (4 & ... & 4) ~ НА & .- & А) V (Р& - Л) ~ ~ ((Л, V Р) & (А, V -п Р) & ... & (4 V Р) & (4 V -п Р)). Используя это, мы всегда можем считать, что у любых формул Аж В заданные нормальные формы содержат одни и те же переменные. (а) С.д.н.ф. формулы {Aw В) получается, если возьмем дизъюнкцию всех конъюнктов с.д.н.ф. для А и с.д.н.ф. для В; с.к.н.ф. формулы {Aw В) получается использованием задачи 42. (б) Используя задачу 42, строим с.к.н.ф. для А и с.к.н.ф. для В. Тогда с.к.н.ф. для {А& В) получается, если возьмем конъюнкцию
190 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ всех дизъюнктов с.к.н.ф. для А и с.к.н.ф для В. Теперь с.д.н.ф. для (А&В) получается, как в задаче 42. (в) Использовать (Az) В) ~ {-^А v В), задачи 42, 43(6), (в), 44(a). 45. Пусть в с.к.н.ф. формулы А отсутствует член (-. Рх v ... v -. Д). Возьмем любой дизъюнкт {Pt v ... v Pt v-. Pj v ... v -. Pj). Он эквивалентен формуле ((Pji & ... & Pj) з (Д v ... v Pi)), если t> 1, и формуле (Д v ... v Pt), если f = 0. Обратно. Докажем, что если в с.к.н.ф. для А имеется член (-. Pi v ... v -I Рк), то А не эквивалентна никакой формуле, содержащей лишь связки &, v, з. Ясно, что в случае, когда все Рь ... Рк имеют значение и, значение А есть л. Но из переменных Ръ ... Рк с помощью связок &, v, з можно построить лишь формулы, значение которых есть и, когда все переменные Ръ ... Рк принимают значение и. 46. Используя эквивалентности из задач 21 (б), (в), формулу^ можно привести к виду {Рх = ... = Р\ = ... = Рп = ... = Рп). Если, например, переменная Р{ входит в данное выражение нечетное число раз, то придадим Рх значение л, а остальным переменным значение и; тогда легко подсчитать, что значение А будет л. Если же все переменные входят в данное выражение четное число раз, то, используя эквивалентность из задачи 21 (а), приведем формулу А к виду (Р{ = ... = Рх) (2к раз). А эта формула тождественно истинная. 47. Непосредственно по таблицам истинности доказывается эквивалентность (А = -. В) —. (А = Ь). Используя эту эквивалентность и задачи 21 (б), (в), приведем формулу А к одному из видов: (Pi = ... = Pi ), если в А имеется четное число вхождений -.; -, (Pt = ... = Pt ), если в А имеется нечетное число вхождений -.. В первом случае результат вытекает из задачи 46. Во втором случае формула А не является тождественно истинной, так как, придавая всем переменным значение и, получим, что А имеет значение л.
Часть П. Математическая логика (§2) 191 § 2. Функции алгебры логики 1. Положим <p(Pi) = vh ф(—i ^4) = -1 <р(А), у((А& В)) = = ф(Л)&ф(2*), <p«AvB)) = <p(A)v<p(B)9 ф((^зД)) = ф(^)3ф(Д). Значению и соответствует 1, а значению л соответствует 0. 2. 22". 3. (а) Все переменные существенны. (б) х. (в) Нет существенных переменных. 4. (a) x&y = ^(^xv^y), xz)y = ^xvy. (б) XV J = -i (-1X&-1 у), ID J = -i (Х&-. j). (в) Х& J = -i (ХЗ-. j), XVJ/ = -.X3J/. (г) -, х = х | х, х & j = (x I y) I (x I y), xvy=(x\x)\(y\y), xz>y = x\(y\y). (д) -.х = хз 0. (е) -.x = x + 1. (ж) x v j = (x з j) з y. 6. (а) Функции, которые можно получить с помощью &, v, з, =, принадлежат Сь а функция -. не принадлежит Q. (б) Функции, которые можно получить с помощью & и v, принадлежат С0, а функция з не принадлежит С0. (в) Функции, которые можно получить с помощью v и з, удовлетворяют условию: существует / такое, что /(хь ..., хь ..., ..., хп) >х/? а функция х& у не удовлетворяет этому условию. 7. (а) Проверить равенство при х= 1 и при х= 0. (б) Заметим, что х^1 «... • х['= 1 тогда и только тогда, когда 8. (а) Следует из задачи 7. (б), (в), (г) Следуют из задачи 4 (а), (б), (в). 9. (а) Следует из задачи 6 (а). (б) Из переменных хь х2, ... с помощью -. можно получить лишь функции, зависящие существенно не более чем от одной переменной. 10. (а) Следует из задач 4 (г) и 8. (б) -1 х = х _L х, х v у = -1 (х _L у) = (х _L у) _L (x _L у) и далее как в задаче 8 (б). (в) -нх = хз 0 и далее как в задаче 8 (г). (г) -нх = х+ 1 и далее как в задаче 8 (б).
192 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 11. (a) —ix = x+ 1 и далее как в задаче 8 (в), используя, что + и • коммутативны, ассоциативны, дистрибутивны и х + х=0, х + 0 = х, хх = х. (б) Число различных «многочленов» от переменных хь ...,хл равно 22, т.е. столько же, сколько и функций алгебры логики от п переменных. 12. (а) Класс функций, полученный из переменных с помощью =, содержится в Сь Для -. см. указание к задаче 9 (б). (б) Класс функций, полученный из переменных с помощью +, содержится в С0. Для -. см. указание к задаче 9 (б). (в) Разделяющие классы С{ и С0. (г) Разделяющие классы L и С0. 13. (а) 0 = х/х и далее как в задаче 10 (в). Разделяющие классы С{ и С0. (б) xv z = [х, х, z], -. у = [0, у, 1] и далее как в задаче 8 (б). Разделяющие классы L, С0 и Q. (в) -.х = х= 0 и далее как в задаче 8 (б). Разделяющие классы Сь L и Cq. 14. Функции, полученные из переменных с помощью =и +, содержатся в L. Можно добавить лишь & или v. 15. Лишь {|} и {/} (см. задачу 10 (а), (б)). Каждая из остальных двуместных функций попадает в один из классов Сь С0, L, М и D. 16. (а) и (б) -1 (х{ v ... v хп) для любого п > 2. 17. Оставить лишь те функции, из которых можно выразить суперпозициями функцию |. 18. (a) xvy=(xz)y)z)у. См. далее ответ к задаче 45 из § 1 и задачу 6 (б), (в). (б) Многочлен из задачи 11 (б) представляет функцию из С0 тогда и только тогда, когда его свободный член равен 0. Разделяющиеся классы для & и + есть С{ и L. (в) Пусть/(хь х2, ..., хл) — монотонная функция. Тогда (см. задачу 7) f(xb X2-> ""> Хп) =х\' П (Х2, ..., Хп) V —. Xi • g (Х2, ..., Хп), п (х2, ..., хп) =/(1, х2, ..., хп), g(x2, ..., хп) -J (0, х2, ..., хп) — монотонные функции и h (x2, ..., хп) >g(x2, ..., хп) для любых хъ ..., хп. Тогда h (x2, ..., хп) = h (x2, ..., хп) v g(x2, ..., хп). Имеем
Часть П. Математическая логика (§2) 193 /(*!, х2, ..., хп)=х{ • (A (х2, ..., х„) vg(x2, ..., х„)) v -.xj • g(x2, ..., x„) = = x1-h(x2,...,xn)vg(x2,...,xn). Продолжая этот процесс, мы придем к выражению функции/ через v, &, 0, 1. Независимость системы легко доказывается. (г) Имеем -. х = (х = 0), х + у = -. (х = у). Каждая линейная функция легко получается суперпозициями из -. и +. Разделяющие классы С0 и Сь (д) Прежде всего заметим, что всякая самодвойственная функция/(хь ...,хп) может быть получена из некоторой монотонной самодвойственной функции с помощью функции -.. Положим: F(xu ...,xn,yu ...,yn)=f(xu ...,хп), если ^хх = уь ..., -^хп = уп\ F(xb ...,xn,yu ...,уп) = 0, если -^хх>уъ ...,^хп>уп и существует / такое, что -.Х/> yt\ ¥{хъ ...,хп,уи ...,уп) = 1, если ^хх<уъ ...,^хл<ул и существует / такое, что -.Х;< yt\ F(x{, ...,xn,yi, ...,yn) = x{ в остальных случаях. Ясно, что/(хь ..., хп) = F{xu ..., хп, -1 хь ..., -. хп). Разбором случаев легко доказать, что функция F является монотонной и самодвойственной. Докажем теперь, что всякая монотонная самодвойственная функция есть суперпозиция функции h (х, у, г) = ху + хг + уг. Доказательство проведем индукцией по числу переменных п, от которых функция/зависит существенно. Если п=1, то имеется единственная такая функция /(х) = х. Имеем h (x, х, х) = х. Если п = 2, то таких функций не существует. Если п = 3, то имеется единственная такая функция h (x, у, г). Пусть утверждение справедливо для функций, существенно зависящих не более, чем от п-1 переменных, и /существенно зависит от п переменных (п>4). Тогда /(хь х2, х3, х4, ..., хп) = = h (f(xi, хь х3, х4, ..., хл),/(хь х2, х2, х4, ..., хл),/(х3, х2, х3, х4, ..., хп)). Если Xi=x2, то в правой части равенства получится /(хь хь х3, х4, ..., хп). (Используется факт, что если а<Ь<с, то h (а, Ъ, с) = Ь.) Если хх = х3, то в правой части равенства получится /(хь х2, хь х4, ..., хп). Если х2 = х3, то в правой части равенства получится /(хь х2, х2, х4, ..., хп). 19. Пусть/(хь ..., хп) £ Q. Тогда/(1,..., 1) = 0 и з е Сь а {0, з} — базис С (см. задачу 10 (в)). ПустьДхь ..., хп) £ Q. Тогда/(0, ..., 0) = 1 и +, v е СЬ а {+, v, 1} — базис С (см. задачу 10 (г)).
194 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 20. (а) Пусть / — немонотонная функция и ах < Ьъ ..., ап < Ьт но l=f(au...,an)>f(bu...,bn) = 0. Тогда -нх=Дх81, ..., х8"), где хг' = х, если at<bh и xEl = ah если at=bi. (б) Добавим к М любую немонотонную функцию/(хь ..., хп). Так как 0, 1 е М, то можем из/получить -. (см. (а)). Заметим, что &, v g M; далее см. задачу 8 (а). 21. (а) Пусть/— несамодвойственная функция и аъ ..., ап таковы, что f(ab ..., ап) =f(-^ au ..., -. ап). Пусть ф(х) =Дх81, ..., х8"), где х8' = х, если Я/ = 0, и х8' = -.х, если Я/ = 1. Тогда ф(х) является константой 0 или 1, так как ср(0) =f(au ..., ап) =/(-> Яь ...,-> ял) = = ф(1); -.ф(х) является другой константой. (б) Добавим к D любую не самодвойственную функцию /(хь ..., хп). Так как -. е D, то можем из/получить 0 и 1 (см. (а)). Функция h (х, у, z) является самодвойственной. Тогда h (х, у, 1) = х v у; далее см. задачу 8 (б). 22. (а) Пусть /(хь ..., хп) — нелинейная функция. Используя задачу 11 (б), функцию/можно представить в виде Х1Х2Ф1 (х3> •••> хя) +Х1Ф2 (х3> •••' хя) +Х2ФЗ (х3> •••> хя) + Ф4 (х3> •••' хя)> здесь ф! (х3, ...,х„) не является константой 0. Выберем я3> •••> #л так, чтобы ф! (я3, ..., яи) = 1. Тогда g(xb x2) =f(xb хъ а3, ..., ап) = = х{х2 + ах{ + Ьх2 + с для некоторых а, Ь, с. Тогда g (х{ + Ь, х2 + а) + + С + tfZ> = Xi & Х2. (б) Добавляя к L любую нелинейную функцию, по (а) получим &. Далее задача 8 (в), так как -. е L. 23. Рассмотрим множество S замкнутых классов, содержащих К ж отличных от С. Тогда £ удовлетворяет условиям леммы Цорна (см. задачу 66 (2) из § 5 части ), так как все классы из £не содержат функцию |. Максимальный элемент в Svl будет искомым пред- полным классом. 24. Следует из задачи 23. 25. Пусть А — предполный класс, отличный от Сь С0, L, D и М. Тогда в А найдутся функции/ £ Сь/ ё С0,/3 £ L,/ £ D,/ £ М. Функции g(x) =/j (х, ..., х) и h (x) =/ (х, ..., х) являются либо функциями 0 и 1, либо одна из них есть -.. В первом случае, вследствие задачи 20 (а), из/ получаем -.. Во втором случае, вследствие задачи 21 (а), из/ получаем 0 и 1. Итак, 0, 1, -. е А. Теперь, вследствие задачи 22 (а), из/ получаем &. Итак, -., & е А и А= С (см. задачу 8 (в)).
Часть П. Математическая логика (§ 3) 195 26. Воспользуемся указанием к задаче 25. Из любого базиса для С можно оставить не более пяти функций: fx <£ Сь f2 <£ С0, Уз £ L, f4 <£ D,/5 £ М. Если/i (х, ..., х) = 0, то/i £ D и можно выбросить^. Если f2 (х, ..., х) = 1, то /2 £ D и можно выбросить f4. Если /j (х, ..., х) =f2 (x, ..., х) = -1 х, то можно выбросить f2. 29. Индукцией по числу шагов построения Т, используя задачи 27 и 28. 30—31. Следуют из задачи 29. 32—33. См. задачу 30. § 3. Исчисления высказываний 1. (a) Ah A, h(Az)A) (аксиома, правило 7). (б) Ъх\ Ah А (аксиома), Х2: (Az)B)h (Az)B) (аксиома), Х3: A, (Az) В) h В (правило 8, Хь Х2), Х4: (Bz) С) h (Bz) С) (аксиома), Х5: A, (Az)B), (Bz) С) h С (правило 8, Х3, Х4), Х6: (^з5), Д (Bz) C)h С (правило 14, Х5), Х7: (^з5), (5з С), Jh С (правило 14, Х6). (в) Из аксиом —i^4 I- —i^4 и -. -. ^4 Ь -. -. Д применяя правила 14, 10, 11, 7, получить Ь (—i—iAz>A). Из аксиом -.Jh-.J и -1 -1А h -1 -1Д применяя правила 10, 9, 7, получить Ь (^4 з -. -. ^4). Применить правило 1. (г) Из аксиом Ah A, (Az)B)h(Az)B), (Az)(Bz)C))h h(Az)(Bz) С)) с помощью правил 8, 14, 15. (д) Из аксиом Ah A, (Az) B)h (Az) В), -. i? Ь -. i? с помощью правил 9, 10, 14. (е) См. указание к (д). 2. Заменить в секвенциях вывода для Аъ ...,Ап\- В каждую формулу D на D(P\C). Доказать индукцией по длине вывода, что при этом получится требуемый вывод. 3. (а) Использовать правила 7 и 8. (б) Использовать аксиому (A&B)h(A&B) и правила 2, 3, 14, 15 и (а). (в) Использовать аксиомы Ah A, Bh В, и правила 1, 14 и (а). (г) Использовать аксиому (Av B)h (Av В) и правила 6, 15. (д) Использовать аксиому —iBh—iB и правила 9, 10, 14. (е) Использовать аксиому Bh В ж правила 10, 11, 14. (ж) Использовать (б) и правило 7.
196 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (з) Использовать (в) и правило 8. 4. По правилу 12 и выводимости Г{ \- следует выводимость Гх Ь -1 (А з А). Далее используем выводимость Ь (А з ^4) и правило 10. 5. Использовать задачу 3. 6. (а) Использовать правила 1 и 7. (б) Использовать аксиомы Ah А, 5Ь5и правила 2, 3 и 8. 7. Использовать задачи 3 и 5. 8. Индукцией по числу шагов построения А из В, используя задачу 6. 9. (д), (е) Использовать правила 1-5 и задачи 3 и 5. (ж), (з) Использовать правила 1-5 и задачи 1 (а), 3 и 5. (и) Zii (Az)B), AhB (правило 8), Х2: (Az>B), Ah(^AvB) (правило 5), Х3: (Az)B), -^(-,AvB)h^A (задача 3 (д)), Х4: 04з£), -п(^^у5)Ь(^^у5) (правило 8), Х5: 04з£), -,(-,>4v5)l--.(-.>4v5) (правило 13), Z6: (Az)B), ^(^AvB)h (правило 10), Х7: (Az)B)h(^AvB) (правило 11). (к) Использовать (и) и задачи 1 (а), 3 (а), (л) Zii -пДД^ьг (правило 13), Х2: -,Д 5h(iD5) (правило 7), Х3: -.(^4з5), i?bJ (правило 14 и задачи 1 (в), 3(a), (Д) и 5 (а)), Х4: Ь (-1 (^4 з 5) з (5з ^4)) (правило 7, дважды), Х5: h((^3 5)v(53^)) (по (и) и 1(b)). 10. Использовать задачу 23 из § 1 и задачу 8. 11. См. задачу 25 из § 1 и задачу 9 (к). 12. Индукцией по длине вывода. 13. Следует из задач 9—11. 14. Использовать задачу 12. Для (д) и (е) воспользоваться также задачей 3 (ж), (з). 15. Привести А к с.д.н.ф. (А{ v ... v As), а^кс.к.н.ф. (В{ & ... & Д). Тогда для любой пары At и Bj секвенция At \- Bj доказуема в ИС и поэтому Aj и Bj имеют общий литерал Су. Полагаем C = v&Ctj. 16. (а) В; (б) (D&A).
Часть II. Математическая логика (§ 3) 197 17. (а) Да. (б) Да. (в) Нет. 18. (а) Л1 = (Рз(РзР)), А2 = ((Рз (Рз Р)) з ((Рз ((Рз Р) з Р)) з (Рз Р))), Л3 = ((Рз((РзР)зР))з(РзР)), Л = СР=>((РзР)зР)), Л5 = (РзР). (б) Ль Л2, А3, А4, А5, ((РзР)з((РзР)з((РуР)зР))), ((Рз Р) з ((Pv Р) з Р)), ((Pv Р) з Р); Ai-A5 взяты из (а). (в) Получается из (а) и аксиомы 9. 19. Пусть Ль ..., Ак есть вывод ^ в ИВ. Доказать индукцией по к, что А\ (Р\В), ...,Ак{Р\В) есть вывод в ИВ. 20. (а) {(Рз(бзР)), Р, Q). (б) {(Рз-,-,0, -.Q}. 21. Вывод состоит из одной формулы А. 22. (г) Если Аъ ...,Ак есть вывод А из Гь 5Ь ..., Вп есть вывод 5 из А, Г2, то ^4Ь ..., Аь Въ ..., i?„ есть вывод из Гь Г2. (д) Аналогично задаче 19. 23. Пусть Въ ..., Вп есть вывод 5из Г, А. Доказать индукцией по п, используя аксиомы 1, 2 и задачу 18 (а), что формулы (Az) Bi), ..., (Az) Вп) выводимы из Г. 24. (а) Пусть Т= (А з (£з А)). Имеем А Ь (7Ъ ^) и В Ь (7Ъ 5). Тогда Д 5 Ь (7Ъ (^ & В)) по аксиоме 5. Отсюда А, В, ТУ- (А & В) иД Bh(A&B). (б), (в), (д), (е), (з) Следуют непосредственно из аксиом. (ж) Использовать задачу 23. (г) Использовать правило —?—-—^—, которое следует из аксиом и задачи 23. 25. Пусть Г\-А, Th ^А; В — любая формула. Тогда Г, -. В \- А; Г, ^ В h ^ А; Г h ^ ^ В; ^ ^ В h В; Г h В. Обратное очевидно. 26. Использовать задачи 23, 24. 27. Следует из задачи 26. 28. Использовать задачи 22—24. 29. Индукцией по длине вывода А в ИВ. 30. Доказать одновременно три утверждения (а), (б), (в) индукцией по длине вывода секвенции в ИС.
198 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 32. Следует из задач 13 и 30 (в). 33. Например, А = Р, В = Q, где Р и Q — различные переменные. 34. Используем задачу 32. Пусть, например, А принимает значение л при значении л для переменных Рь ..., Рк и значении и для переменных 7\+1, ...,Д. Положим Вх = ...= Вк={Р&-. Р), Bk+l = ... = Bn = (Pv^P). Тогда (A(Px\Bb ...,Pn\Bn) тождественно ложна и -1 (А (Р{ \2?ь ..., Рп \Вп) выводима. 35. (а) Следует из задачи 26. (б) ||л||п||я|| = М&я||, M||u||JJ|| = Mvj?||, -мц = ||-.^||. (в) Ь^4=> h (Bz)A) =^> \\B\\ < \\A\\ для любой формулы В. Обратно, пусть ||у4|| = 1. Возьмем Атакую, что Ь В. Тогда \\В\\ < \\А\\ =^> =>Ь(£з,4)=>ЬА 37. (а) Индукцией по числу шагов в построении формулы А, используя задачу 66 из § 3 части I. (б) Пусть неверно Ь А. Тогда \\А \\ ф 1 в F'/« (см. задачу 35 (в)). Существует ультрафильтр Гна F'/« такой, что \\А \\ <£ Т(см. задачу 68 из § 3 части I). Придадим переменным значения, как в (а). Тогда А принимает значение л. 39. А принимает значение 1 при Р= Q=l, R = 2. 40. Следующие логические матрицы доказывают (см. задачу 38) независимость аксиом: 1) М= {0,1,2}; D={2}; х& у- min (х, у); х vу- max (х, у); \2, если х < у, XDp -.Х=2-Х. [у, если х > у; 2) Матрица из задачи 39. определяются, как в § 2. определяются, как в § 2. определяются, как в § 2. определяются, как в § 2. определяются, как в § 2. определяются, как в § 2. D={\}\ -ix=0; v, &, з определяются, как в § 2. 10) М= {0,1,2}; D={2}; x& у- min (х, у); xvymax(x, у); \2, если х < у, [0, если х > 0, >у= \ -.* = \ [у, если х > у; 12, если х = 0. 3) М={0, 1} 4) М={0, 1} 5)М={0,Ц 6) М={0, 1} 7)М={0,1} S)M={0, 1} 9)М={0,1} £={l};x&j = j; v, з 2)={1}; х&у = х; v, з D={l};x&y = 0; v, з ^={1};xvj = j;&, з Z) = {1}; xvy = x; &, з D={\}\ xvy=l; &, з
Часть II. Математическая логика (§ 4) 199 41. (а) Достаточно вывести в ИВ аксиому L3. (б) См. указание к задаче 23. (в) Доказать, что все аксиомы ИВ выводимы в L. 42. (а) Достаточно вывести в ИВ формулу (-.^4з (Az) В)). (б) Использовать матрицу из указания 10) к задаче 40. 43. См. указание к задаче 23. 44. (а) См. указание к задаче 29. (б), (в), (г) См. указание к задаче 30. 45. Использовать задачу 44. 46. Индукцией по длине вывода формулы А в ИВ, используя задачу 45. 47. (б) Формула Ап не общезначима в Мп. 48. Пусть М содержит п элементов для некоторого п е Ж Рассмотрим формулу Ап из задачи 47 и произвольные значения переменных в множестве М. Тогда для некоторой пары /, j (/ ф/) значения Pt и Pj совпадают, и формула Ап принимает значение 0, так как Ьи ((Bv (P= P)) v С) для любых формул В ж С. Поэтому Ап общезначима в 9Я, но невыводима в ИИВ (см. задачу 47). § 4. Язык логики предикатов 1. (а), (б) Да. (в) Нет. 2. (а), (б) Да. (в), (г) Нет. 3. vv не является предметной переменной. 5. (a) {v0, /W /'(/Vo)), •••}; (б) (v0, g2(v0, v0), g2(v0, g2(v0, v0)), g2(g2(v0, v0), v0), g2C?2(vo,v0), g\v0, v0)), ...}• 9. (a) 0(x)^VyS(x,y,y); (б) E(x)^VyP(x,y,y); (в) Д(х) ^3 z(E(2) & S(z, z,x)) ^3z(\/yP(z,у,у) & &S{z,z,x)) (E(z) из (б)); (г) 4(x)^3yS(y,y,x); (д) H(x) ^ -, 4 (x) ^ -, 3 у S (y, y, x) (Ч(х) из (г)); (е) Щх)^(-^Е(х)&УуУг(Р(у, г, *) z> (EC) v E(z)))) (E(2) из (6)). 10. (a) x = y^VzVu(S(x,z,u)z>S(y,z,u)y,
200 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (б) x<y^3z S(x,z,y); (в) х<у^(х<у&-,х = у) (<, = из (а) и (б)); (г) JX(x,y)^3zP(x,z,y). 12. (a) VxVyVz(S(x,y,z)=>S(y,x,z)); (б) V х V у V z V и V и V w ((S(x, у, и) & S(u, z, v) & S(y, z, w)) з з S(x,w,v))\ (e) УхЗу(П(у)&х<у) (П из 9(e), < из 10(6)). 13. Все предложения ложны в системе 971. 20. (a) P^Vxi?(x,x); (б) C^VxVy(R(x,y)=>R(y,x)); (в) Т ^VxV yV z ((R(x,y) & R(y, z))z> P(x, 2)); (г) (Р&С&Т) (Р, С, Т из (а), (б), (в)). 21. (a)41^V^(x<x);42^VxV)'((x<j&j<i)DX=}'); 43 ^ V x V у V z ((x < у & у < z) з х < 2); (б) Чь Ч2, Ч3 из (a), \?xVy{x<yvy<x). 22. Пусть х = у ^ (Q (х, у) & 0 (у, х)). (а) VyQ(x,y); (б) Vj(Q(j;,x)3j; = x). 23. (a)x = yf]z^(Q(x,y)& Q(x,z)&4 u((Q(u,y)& Q(u,z))z> =>G(«,x))); (б) x = y{Jz^(Q(y,x)& Q(z,x)&Vu((Q(y,u)& Q{z,u))=> 3 £>(x, и))); (в) x=0^VyQ(x,j); (г) x = ^^V^(j,x); (д) х = -у^3г3и (г = хПу&г = 0&м = хи)'&м = ^) (П, U, 0, Аиз предыдущих пунктов). 24. (a) xcy^f(x,y) = x. (б) Пусть х = 0 ±=f V j (x с у) (с из (а)). Тогда «х — одноэлементное множество» ^ (V у ((у с х) з (у = x v у = 0)) & -. х = 0). 29. ((Р1 (0) & V х (Р1 (х) з Р1 (gl (х)))) з V хР1 (х)). 30. Пусть х< у ^ (Q (х, у) & -1 Q (у, х)). Тогда (V у (V х (х < у з Р (х)) з Р (у)) з V j; P (у)).
Часть П. Математическая логика (§ 5) 201 § 5. Выполнимость формул логики предикатов 2. См. (д) определения истинностного значения в § 4. 4. Пусть А — бескванторная формула и Аъ ...,Ак — различные атомные формулы, являющиеся подформулами А. Требуемая формула получается заменой всех вхождений Аъ ..., Ак в А на пропозициональные переменные Ръ ..., Рк соответственно. 5. (в) Например, А <=> V х 3 у Р (х, у); Ш = (Jf; Р), где Р (х, у) = и <=> <^>х<у. 6. Индукцией по числу шагов построения формулы А. 7. (а) Выполнима в (J[\ Р), где Р{х) = и <=> х — четное число. (б) Выполнима в (Jf\ Р), где Р(х) — тождественно истинный предикат. (в) Невыполнима. Пусть 9Я — модель, в которой эта формула истинна. Тогда существует элемент а из 9Я такой, что 9ЯН \/y(Q(a, a)&^ Q(a, у)). Отсюда имеем Wl\=(Q(a,a)& & -i Q (а, а)). Приходим к противоречию. (г) Выполнима в модели из (а). (д) Выполнима в (J[\ Q, R), где Q (х, у) = и <=> х>у; R (х, у, г) = и <=> х + у < z. (е) Выполнима в (Jf\ Р), где Р(х) тождественно ложен. 8. (а) Нет. Формула ложна в (Jf\ Р), где Р (х) = и <=> х — четное число. (б) Нет. Формула ложна в (J[\ Р), где Р{х) = и для всех х. (в) Да. (г) Нет. Формула ложна в (Jf\ Q), где Q (х, у) = и <=> х < у. 10. (аМ(х) -ЗуР(х,у), t = y. (б) А(х) ^ VyP(x,y), t = y. 11. Формула выполнима в (*#; Р), где Р (х, у) = и <=> х< у. Пусть формула выполнима в 9Я = (М; Р). Заметим, что Р(т, т) = л для всех те М. Пусть а0 — произвольный элемент из М. Среди элементов х таких, что Р(а0,х) = и, выберем произвольный и обозначим его через а{. Среди элементов х таких, что Р(а{,х) = и, выберем произвольный и обозначим его через а2. Продолжая этот процесс, получим последовательность элементов а0, аъ аъ ... Докажем, что все эти элементы различны. Если / <j, то Р (ah ai+ {) = и, P{ai+U ai+2) = и, ..., P(aj_b cij) = H, а значит, P(ahaj) = n. Таким образом, а^Фйу
202 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 12. Докажем, что если данная формула ложна в какой-то модели УЛ = (М; F), то М >4. Ложность этой формулы в модели означает, что для любого хе М найдется ф(х) е М такое, что F(x, ф(х)) = и, F(y(x), х) = л, F(x, х) Ф ^(ф(х), ф(х)). Отсюда хф ф(х) для любого хе М. Имеем хФфф(х) для любого хе М, так как в противном случае было бы ^(ф(х), фф(х)) = и, F((p(x), х) = л. Так как F(х, х) Ф ^(ф(х), ф(х)), ^(ф(х), ф(х)) Ф ^(фф(х), фф(х)), ^(фф(х), фф(х)) Ф ^(ффф(х), ффф(х)), ТО F(X, X) Ф ^(ффф(х), ффф(х)), т.е. х^ффф(х). Итак, для любого хе М элементы ф(х), фф(х) и ффф(х) ОТЛИЧНЫ ОТ X. 13. (а) Докажем, что если данная формула ложна в какой-то модели УЛ = (М; F), то М — бесконечное множество. Ложность этой формулы означает, что для любого хе М существует ф(х) е Мтакое, что F(x, х) = и, F((p(x), х) = л и для всякого z e M имеем (Т(ф(х), z) з Fг(х, z)) = и. Строим последовательность {ф'Сх)}, где ф°(х)=х, ф/+1(х) = ф(фХх)). Пусть i<j. Тогда имеем F(q>l(x), фу_1(х)) = и, но F((pJ(x),(pJ~i(x)) = n, т.е. (р1(х)Ф(р/(х). Таким образом, данная последовательность состоит из различных элементов. Данная формула не выполняется в 9Л = (*#; F), где F(x, y) = n <^=> х<у. Ы-\ЭхР1(х)&ЭхР2(х)&ЭхР3(х)&ЭхР4(х)&ЭхР5(х)& &Vx Г 5 \\ &(Pj(x)z> &^Pj(x)) /=1 yw 15. (а) Пусть в системе 9Я = (М; о) данная формула ложна. Это означает, что в этой системе -.Зх^4(х) = и, -.\/х^4(х) = л, т.е. 3 хА (х) = л и V хА (х) = и. Так как Мф 0, то такого быть не может. (б) Если бы данная формула была ложной в системе 9Я = (М; о), то в этой системе Зх(А(х) &(Bz) С (х))) = и, V х (А (х) з -> С (х)) = и, -.5 = л. Пусть те Мтаково, что А(т) = и, (Bz) С(т)) = и. Тогда (А (т) з -1 С (т)) = и, а значит, С (т) = л. Имеем В = л, что противоречит -1 В = л. (в) Пусть в системе 9Я = (М; о) данная формула ложна. Это означает, что в этой системе V х (А (х) з -. В (х)) = и, 3 хА (х) = и, \/хВ(х) = и. Существует теМ такое, что А (т) = и. Имеем (А (т) з -1 В (т)) = и, т.е. В (т) = л, что противоречит V х В (х) = и. (г) Если бы данная формула была ложной в системе 9Я = (М; о), то в этой системе V х (^4 (х) з -. В (х)) = и, V х^4 (х) = и, 3 х 5 (х) = и.
Часть II. Математическая логика (§ 5) 203 Существует т е Мтакое, что В (т) = и. Имеем (А (т) з -. В (т)) = и, т.е. А (т) = л, что противоречит V хА (х) = и. 18. Индукцией по числу шагов построения формулы, используя задачи 16 и 17; где необходимо переименовывать связанные переменные по задаче 16 (с), (т). 19. (а) Vx3yV гЗи^А; (б) 3x3z\/y(A(x,y)&B(z,y)); (в) Зх\/у\/ z(A(x,y)vB(x,z)); (г) Vx3y3zVt(A(x,y)=>B(z,t)). 20. Положим значение функции f™J на термах /\, ..., tm равным j j терму fp(tu ..., tm). Предикаты определяем произвольным образом. j j 21. (а) Пусть аъ ..., апе М. Если 9Я N 3 ух... 3 yw В{аъ ..., ял, уь...,уш), то берем в качестве ф/(яь ..., ял) такие Z>/? что 9ЯИР(яь ..., ял, 6Ь ...,Ьт). Если 9Л¥3 у{ ...3 утВ (cii, ..., ап, у{ ... ут), то в качестве Ф/(ль ..., я J можно взять произвольные элементы, (б) Следует из (а). 22. V х V у (((у > ф!(х)) з (у > х)) & (ф2(х, у) < ф^х)) & -, (ф2(х, у) < х)). Например, ф1(х) = х + 1, ф2(х, у) = х. 23. V х V j (Р (х, ф2(х, у)) & -I P (у, Ф1<Х У)))- Положим, Ф!(х, у) = 1 <^=> Р (х, 0) = и; ф2(х, у) = 1 <^=> Р (х, 1) = и. \Х ~ lj еСЛИ * > 0, /41 24. г = фКх, у) = <^ и = ф2(х, у) = 1. [0, если х = 0, 25. Следует из задачи 21. 26. (а) Пусть в некоторой системе 9Я = (М; о; Р) формула 3 и V х 3 у А {и, х, у) истинна, а формула 3 w (V х (3 у ^4 (и, х, у) з з Р (z/, х)) з V х Р(и, х)) ложна. Тогда существует ае М такое, что 9Я N Vx3 у ^4 (а, х, у), 9Я N Vx (3 у А (а, х, у) з Р(а, х)) и 9Я>^ \/хР(а, х). Пусть х0 е Af таково, что Р(а, х0)=л. Тогда 9Я>^ ЗуА (а, х0, у) и 9Л¥\/хЗуА(а,х,у). Приходим к противоречию. Обратно, для любой системы 9Л = (М; о) строим систему ffll = (M; о; Р), где Шх N V и \/х(Р(и, х) = ЗуА (и, х, у)). Тогда ЯЯх N (V х (3 у ^4 (а, х, у) з Р (а, х)) з V х Р (а, х)) для некоторого ае М. Поэтому dJli N V х Р (я, х) и, значит, 9Л\=3 и\/хЗуА(и,х,у). (б) Заметим, что A~3vАлЗ u(Vх(ЗуА(и, х, у) з Р (z/, x)) з з V х Р (w, x))~3w3^3yVx ((^4 (w, г, у) з Р (г/, г)) з Р (г/, х)).
204 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Приводя А к пренексной нормальной форме (см. задачу 18) и используя несколько раз (а) и вышеприведенную эквивалентность, получим искомую А*. 27. Имеем А\=А* (см. указание к задаче 26 (а)). Пусть А = 3 и V х 3 у Q (и, х, у). Тогда в Jf, где Q (и, х, у) = и <=> <=> у<х, Р(и,х) тождественно истинен, А* истинна, А ложна. 1ПП , Л/Г , ч \х, если х е М, 29. Пусть Ъ е Мж ср(х) = \ [Ь, если хе М{\М. Индукцией по числу шагов построения А доказать, что для любых сь ..., сп е Мх имеем 97ti N А (сь ..., сп) <=> 971 N А (ср (с^,..., ф(сл)). 31. Использовать задачу 30. 32. Использовать задачу 31. 33. Если \/х{... \/хтА (хь ..., хт) ложна в какой-то модели 971 = (М; о), то существуют аи ..., яш е Мтакие, что ^4 (яь ..., ат) = л. Тогда данная формула является ложной и в подмодели dJli = (Mi, о), где Mi = {аь ..., ат}. Если некоторые из аь ..., яш совпадают, то использовать задачу 29. 34. Если 3 Xi ... 3 хтА (хь ..., xw) ложна в какой-то модели 971 = (М; о), то она является ложной и в подмодели 971й = ({а}; о), где а g M(см. задачу 5 (б)). 35. Если V*!... Vxw3 у{ ...3 упА{хъ ...,хт, уъ ..., ул) ложна в 971 = (М; а), то существуют яь ...,яше М такие, что 971^3}^ ... ... 3 упА(аъ ..., я,„, уь ..., уп). Тогда эта формула ложна в подмодели 97ti = (Mi, о), где М{ = {аи ..., ат}. Далее применяем, если нужно, задачу 29. 36. Пусть 971 = (М; о). Рассмотрим отношение эквивалентности на М: х~ у <=> ((Р{ (х) = Рх (у)) & ... & (Рп (х) = Рп (у))) = и. Пусть М{ = М/~. Ясно, что Mi < 2п. Положим Pt ([x]) = Pi (x). Индукцией по числу шагов построения А (хь ..., хк) доказать, что для любых аъ ..., аке М имеем 97l1 = (Af1; о) N A ([ai\, ..., [ак]) <=> <=>97t И^4(яь ..., я^). 37. (а) Выполнима на модели 971 = (М; Р), где М = {а, Ь) и Р(а) = ш, Р(Ъ) = л. (б) Выполнима на модели 971 = (М; РъРъРъ), где М = {а} и Р1(д) = Р2(д) = Р3(«) = и. (в) Невыполнима.
Часть П. Математическая логика (§ 5) 205 38. Если подформула С формулы А имеет вид Qу С\ (хь ..., хь у), где Q есть 3 (V), то привести Сх (хь ..., хь у) к виду v &Q, Л J I соответственно & vC/y , где каждое Ctj начинается с квантора или имеет вид Р {г) или -. Р {г) для некоторого Р из о и переменной г. Далее использовать эквивалентности из задачи 16. Повторяя процесс, получим требуемую формулу. 39. Пусть А выполнима в 9Я = (М; о). Каждому Q (1 < / < £) сопоставляем элемент я,е Af такой, что 9Я N (^(я/), где Q= (3 х) Сп(х). Полагаем значение Ду равным значению Pj(at). Тогда А{ истинна. Обратно. Пусть Ах = и при некоторых значениях переменной Btj. Возьмем М={аъ ..., ak} и положим значение Pj(at) равным значению Ду. Тогда 9Я = (М; о) N А. 40. Сначала использовать задачу 38. Затем привести полученную формулу В к д.н.ф. Д, в которой вместо пропозициональных переменных подставлены 3-составляющие. Далее применить задачу 39. При необходимости воспользоваться эквивалентностью C~((3xP(x)&C)v(3x^P(x)&C)). 41. (а) Выполнима. Например, М = {я, b}, P(a)= Q (я) = Q(b) = и, Р(*) = л. (б), (в) Невыполнима. 42. (а) V*! Vx2... Vx„ Vxw+1 (xi = x2v ...vXi = xnvXi = xn+ iv ... ... vx„ = xn+i). (б) См. задачу 43. (в) 3*! 3X2 ••• ЗХЛ (-.Xi =X2& ... &-i Л4 = Хл & ... &-.X„_i =ХЛ & V J (j = XlVj = X2V...Vj = Xj). 43. (в) Использовать указание к задаче 38 и (б). (г) Привести А к д.н.ф. и использовать (а). 44. Например, {&ь (f2, &3> •••} (см- задачу 43 (а)). 45. Записать формулу с = и одним двуместным предикатом Р, означающую, что предикат Р иррефлексивен, симметричен и является всюду определенной 1-1-функцией.
206 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ § 6. Исчисления предикатов 1. Вывод секвенции в ИС является выводом в ИПС. 2. Требуемый вывод получается из вывода в ИС заменой всех формул Сна С (Р\В). 3. Аналогично задачам 3 и 6 из § 3. 4. (а) Из аксиомы А (у) \- А (у) с помощью правил 18 и 19. (б) Из аксиомы \/ xA(x)h\/ хА(х) с помощью правил 16 и 17. 5. Использовать задачу 3 и правила 16 и 17. 8. Следует из задачи 7. 9. Следует из задач 6 и 8. См. также указание к задаче 18 из § 5. 11. Индукцией по числу шагов построения, используя задачи 1, 9 из § 3 и задачи 6 и 8. 12. См. указание к задаче 28 из § 1. 14. (а) Нет. (б) Да. (в) Да. 15. (а), (б) у свободно для х в А (х) и у не входит свободно в А{х). 17. (а) Из аксиомы 11 по правилу II. (б) Из аксиомы 12 по правилу III. (в) Доказать сначала (V у А (х, у) з 3 хА (х, у)). 18. (а) Нет. (б) Да. 21. Пусть Д, ..., Вк — вывод В из Г, А и А(Д) — соответствующие этому выводу множества формул. Докажем индукцией по длине вывода, что каждая из формул (Az) Д) (l<i<k) имеет вывод из Г, причем в этом выводе АХ(А з Д) с А(Д) П Г. Рассмотрим лишь случай, когда Д есть непосредственное следствие Bj=(Cz)Al (x)) по правилу 2. По предположению индукции имеем ГЬ(^з(Сз^(х))) и A^d (Cd^ (jc)))) с ((Cd^ (jc))) П Г и х не входит свободно в Си формулы из A((Cz)Ai)). Возможны два случая. 1. А<£ А((Сз^(х))). Тогда Г Ь (Сз VуАх (у)) и ГЬ(^з(Сз и\/уА{(у))) по аксиоме 1. Имеем A{((Az) (Сз VуА{ (у)))) е сА((СэУМ(У)))ПГ. 2. ^4 е A((Cd^] (x))). Тогда х не входит свободно в А и в Д1((Лз(СзЛ! (*)))). Тогда Г1-(^з(Сз^1(х))), ГК((Л&С)з
Часть П. Математическая логика (§ 6) 207 з^ (х)), Г Ь ((А & Q з V у Ах (у)), Г Ь (Лз (Сз V у^ (у))). Следовательно, Ai((^3 (Сз V j^ (у)))) = Ai(^3 (Сз^ (*))). 24. (в) Пусть Т7 — аксиома без свободных переменных. Тогда ГЬ(Гз^(х)), T\-(T=>VxA(x)), rhVx^(x). 26. В формулах вывода Виз А заменить все связанные вхождения переменных гъ ..., гп на переменные хь ...,хл, не входящие ни в одну из рассматриваемых формул. Доказать, что получится вывод В из А. 27. Использовать задачу 26. 28. Если в выводе А из Г использовались константы или функциональные символы, не входящие в о, то заменяем везде в выводе константы на переменные, не входящие в этот вывод, а f(xu ...,xn) на xh Доказать, что полученная последовательность формул будет выводом А из Г. В полученном выводе все атомные подформулы с предикатами вне о заменяем на R = V у Q (у, ..., у), где Q — предикатный символ из о, а у — переменная, не встречающаяся в выводе. Доказать, что получится требуемый вывод. 29. Доказать аксиомы и правила вывода ИП в ИПС. 30. См. указание к задаче 30 из § 3. 31. См. задачи 8, 29 и 30. 32. Индукцией по длине вывода А из Г. 34. Следует из задачи 32. 35. См. указание к задаче 25 из § 3. 37. Перенумеруем все предложения сигнатуры о: А0, Аь Аъ ... Положим т0=т, Г7] U{Л-К если Tt U{Л} непротиворечиво, 7/+1 = \ [7] U {-1 At} в противном случае, Т= \jTt. iejT Доказать, что все Tt непротиворечивы, Т полно и непротиворечиво. 39. (б) Пусть Г V V А (х). Тогда Г Ь -. V х А (х), Г Ь 3 х-, А (х), Г Ь -1A (t) и Г^ A(t) для некоторого f.
208 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 41. Пусть А0,Аи... — все предложения сигнатуры o' = oU U {с0, сь ...}, где С/ — все предметные константы, не входящие в о. Положим Т0=Т, 7] U {-1 At}, если 7} U {Л} противоречиво, 7] U {3xi?(x), B(cj)}, если 7] U {Л} непротиворечиво, At Ti+i = \ имеет вид ЗхВ(х) и Cj — первая константа, не входящая в 7] и Аи Tj U {Л-} в противном случае T=\jTt. Доказать, что все Tt непротиворечивы, Т непротиворечиво и полно в сигнатуре о' (см задачи 40, 36). Определим 9Л = (М; о). Пусть М — множество термов сигнатуры о' без свободных переменных. Определим на М функции и предикаты из о: значение f{tb ..., tn) есть терм/(/\,..., tn); Доказать индукцией по числу шагов построения формулы А(хь ..., хп), что для любых tu ..., ^е М имеем 9Л\=А (tu ..., tn) <=> <=> 7> J (tb ..., 4)- Тогда 9Я есть искомая система. 42. Построенная в указании к задаче 41 система является счетной. См. также задачу 34. 43. {—iA} непротиворечиво; см. далее задачи 41 и 42. 44. Следует из задачи 25, 33, 43. 45. Следует из задачи 43. 46. Следует из задачи 42. 47. Множество rUb^} невыполнимо и, следовательно, противоречиво. 48. Если Г невыполнимо, то Г противоречиво (см. задачу 41). Так как всякий вывод содержит только конечное число формул, то существует конечное подмножество Г{ с Г, являющееся противоречивым и, значит, невыполнимым.
Часть П. Математическая логика (§ 7) 209 49. Если Г невыполнимо, то существует конечное противоречивое подмножество Г0сГ (см. указание к задаче 47). Конъюнкция формул из Г0 составляет противоречивое множество. 50. Следует из задач 32 и 48. 51. Следует из задачи 50 и того, что всякий вывод конечен. 52. Следует из задачи 13 из § 5 и задачи 33. 53. Следует из задачи 4 из § 5 и задачи 44. 54. Использовать задачу 44. (а), (б), (г) Нет. (в), (д) Да. § 7. Аксиоматические теории 1. Индукцией по числу шагов построения t и А. 2. См. задачу 50 из § 6. 3. См. задачу 50 из § 6. 4. Пусть в 9Я = (М; о) истинны все аксиомы Т. Положим х-у <=> 9Л Nх = у. Доказать, что эквивалентность на М, a ЭД^ = (М/~; о), где я*= [я*Ь /([*iL ...> [хп]) = [/Ч*ь ...> *«)]> ^P([*iL •••, [*J) = = Р(хь ...,xw), для аь f, Ре о, есть требуемая модель. 5. Следует из задачи 41 из § 6 и задачи 4. 6. Следует из задачи 50 из § 6 и задачи 4. 7. Пусть С — атомная формула. Ищем в С первое вхождение терма/(7Ь ..., tn), где tu ..., tn не содержат/ Пусть С' есть результат замены этого вхождения в С на переменную 2, не входящую в С. Положим С+ = 3 z (A (ti, ..., tm 2) & С'). Продолжая этот процесс, получим формулу С* для С, не содержащую / Если С не содержит /, то С* = С. Далее обозначаем через В* для любой формулы В результат замены каждой атомной подформулы Сна С*. Утверждения задачи следуют из задачи 21 из § 5 и задачи 6. 8. Множество Тх = T{J {&u (f2, ...}, где &и Ш2 взяты из задачи 43 из § 5, выполнимо и, следовательно, непротиворечиво. Ввиду задачи 42 из § 6 множество 7\ выполнимо в счетной системе 9РТ. Поступая так же, как в указании к задаче 4, получим нормальную
210 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ модель 9Jti для Тх. Тогда ЭД^ бесконечна, так как с^, б^, ... истинны в $Jli. 9. Следует из задачи 5 и того, что множество формул являются противоречивым тогда и только тогда, когда противоречиво некоторое конечное подмножество. 10. Множество Тх = Т U {<?i, ^2? •••} (см- задачу 41 из § 5) выполнимо, так как выполнимо каждое его конечное подмножество (см. задачу 9). Любая модель для 7\ бесконечна. 11. Следует из задачи 10. 12. Пусть G — множество аксиом теории групп. Множество G{J {&i, (f2? •••} U {-iА} (см. задачу 43 из § 5) невыполнимо. Тогда невыполнимо некоторое конечное подмножество G{J {&и ..., &п} U {—<А} (см. задачу 9). Отсюда А истинна на группах с не менее чем п элементами. 13. Предложения Ш2 и -. Ш2 (см. задачу 43 из § 5) не являются теоремами теории Е (см. задачу 2). 14. Следует из задач 2 и 6. 15. См. задачу 43 из § 5. 16. (а) Нет. (б) Да. 17. Предложение \/ хЗу Р(х, у) ложно в модели 9Jl = (M; P) теории Т7, где М={а}, Р(а,а) = л; предложение -.Vx3yP(x, у) ложно в модели 9Jti = (*Ж; Р) теории Т7, где Р (х, у) = и <=> х < у. Поэтому оба эти предложения невыводимы вГи, следовательно, Т неполна. 18. Стандартная модель арифметики *#является моделью теории Q. 19. Для каждой из аксиом Qt приведем пример системы УЛ = (М; £, +, ^, 0) такой, что на этой системе истинны все аксиомы Q\-Qj, кроме Qt; это будет доказывать независимость системы аксиом {Qu ..., Q7}. л Для Qi. М= {0, 1}, 0=0, s (х) = 1 для всех х, х + у = max (x, у), х " y = min(x, у). Для Q2: М= {0}, б = 0, s (0) = 0, 0 + 0 = 0 ? 0 = 0. Для Q3: M — множество ординальных чисел, меньших со • 2; 0=0, s(a)=a+l, + и • — обычные сложение и умножение ординальных чисел.
Часть П. Математическая логика (§ 7) 211 Для Q4: M= Jf, 0=0, s (х) = х + 1, х + у = у, х " у = 0, если у = 0, х ^ у = х, если у ф 0. для е5 Для Q6 Для Q7 M=Jf, 0=0, £ (х) = х+1, х + у = х, х ^ у = 0. М=ЛГ, 0=0, s (х) = х+ 1, х + у = х + у, х^у = ху+1. М-щЛГ^ 0=0, £ (х) =х+ 1, х + у = х + у, х ^ у = у. 20. (а) Пусть s(x) = М=Ли{а}; 0=0, х +1, если х g ,уГ, а, если х = а, х + у ■ х ■ у = х + у, если х, j g ,уГ, а в остальных случаях, х • у, если х,у е Jf, О, если х = 0 или у = О, а в остальных случаях. Тогда Ш = (М; s, +, ложна при х = а. (б)-(м) Пусть , 0> — модель для Q, но формула -. х = s (x) A/=:*#U{tf, 6}; 0=0, ^(Х): х +1, если х g ^Г, Z>, если х = а, а, если х = Ь, х + у = х + у, если х, jg Л\х + у = £, если у = а или (х = я и у нечетно) или (х = Ъ и у четно); х + у = я, если у = Ъ или (х = я и у четно) или (х= Ъ и j нечетно). * • у = х- у, если х, j g ^ х • у = 0, если у = 0; х • у = Ь, если (х = а и j ^ 0) или (х нечетно и у = Ь); х • у = я, если (х е *#и у = а) или (х четно жу=Ь) или (х = Ъ и у ^ 0). Тогда M=(M;s,+, -,0> — модель для Q, но все формулы (б)-(м) при некоторых значениях х, у, z ложны на 9Я.
212 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 21. (а) Если y = s(z), то 0 = х + у = х+ s(z) = s{x+ z), что противоречит Q2. Если у = О, тох+0 = 0их+0 = х (по Q4). По Е2 и ЕЗ имеем х=0. (б) Если y = s (2), то 0 = х ■ у = х ■ s (z) = xz + х и ввиду (a) xz = О и х= 0. 22. Рассмотрим модель 9Л = (М; s,+,-, 0) для Q. Докажем, что последовательность 0, s (0), s (s (0)), ... состоит из различных элементов. Если sl (0) = sl+k(0), то, применяя /раз Qu получим, что 0 = s^ (0), а это по <Q2 может выполняться лишь при к= 0. 23. (а) См. указание к задаче 18. (б) См. указание к задаче 20 (а). (в) См. указание к задаче 20 (б). (г) Считая а0= К0, ai+i = 2a\ положить s{a^ = at при любом /, s (х) = х + 1 для х е Ж Сложение и умножение определить, как для кардинальных чисел. 24. (а) Пусть г осуществляет взаимно однозначное соответствие между *#и JP. Положим 0 = г (0), s (х) = rsr~l (х), х + у = г (г-1 (х) + + r_1(j;))j х ^ У = r(r_1 (X)' r_1 О0)> гДе 0? ^ +j ' определяются, как в стандартной модели, (б), (в) Аналогично (а). 25. Моделью теории Р служит стандартная модель арифметики. 26. С помощью аксиомы РА для А (х) ^ (-. х = 0 з 3 у (х = s (у))) легко доказать Q3. 27. Докажем, например, (а). Пусть А (х) ^ -. (х = s (х)). Тогда А (0) выводима по Q2, У x(A(x)z)A (s (х))) no Qh По РА имеем V хА (х). 28. Пусть о{ = (s, +, •, 0, с) и Т — теория, аксиомами которой являются все аксиомы теории Р и формулы -. с = А0, -i c = Аь ... Тогда Т выполнима ввиду задачи 9. Пусть 9Я = (М; s, +, •, 0, с) — модель для Т. Допустим, что 9Я и УХ изоморфны и ср — изоморфизм Ш на УХ. Тогда ср(0) = 0, ф (0)) = 5 (ф(0)) = s (0), ... Имеем ф(с) = £для некоторого ке JV, что противоречит взаимной однозначности ф. 31. (а) Применить аксиому индукции Рв для В(х)^\/ z (z<xz)A(z)). (б) Использовать (а) для формулы -.^4(х). (в) Следует из (б). 33. (a) (-^x = Ai&\/y\/z(x = y-zz)(y = Aivz = Ai))).
Часть П. Математическая логика (§ 7) 213 (б) Обычное арифметическое доказательство. 34. (в) Пусть p = d{y,u). Тогда z /x, z /у, а так как х = у ■ х 1У. + и, то z/и. Имеем z/р. Обратно,р/у,р/и, значит, жр/хжр/z. Имеем р = z. (г) Доказать вначале индукцией по х утверждение для х > у > 0. (д) Пусть щ = Х\ ... Хп . Так как d(uhxt) = Ah то существуют xi ] zb Vj такие, что uizi = xivi+ 1 (см. (г)). Искомое z равно щг^* + ... + unznyn. (е) Пусть кг:= р(х, у, /) для 0 < /< z, j = max (z, и, k0, ..., k2). Положим ух =j! Для чисел щ = 1 + (/ + 1) ух и ик = 1 + (/ + 1) ух при / ф к и 0</, k<z+\ имеем d(uh ик) = 1. По (д) существует х{ такое, что rest (хь Uj) = kt для 0<i<z и rest (хь u2+i) = и. 35. Докажем, например, что R\n) и R^n) выводимы в Q для каждого п е Ж Д|0) = V х (х < 0 з х = 0). Пусть х<0и-.х=0. Тогда найдутся z и у такие, что 2 + х = 0 и х = s (у). Имеем 0 = z + x= z + s(y) = s(z+ у), что противоречит <Q2- Пусть R\n) уже доказано и х<Ал+1. Тогда найдется z такое, что z + x = An+i. Если х = 0, то х = А0. Если -. х = 0, тох=5 (у) для некоторого у. Имеем s (An) = An+i = z + x=z + s(y) = = s{z + у). Таким образом, по Qx имеем z + y = An. Тогда по R\n) имеем (у = А0 v ... vy = An). В этом случае (х = А0 v ... vx = Ал+1). Итак, R\n+l) доказано. По Q4 имеем 0 < х и, значит R^°\ Пусть 7?5(л) уже доказано. Если х=0, то х<Ал+1. Если -.х=0, то найдется у такое, что x = s{y). Если у<Ал, то z + y = An для некоторого z, а значит, z + s(y) = = z + x = An+i, т.е. х < Ап + ь Если Ап < у, то г + Ап = у для некоторого z, а значит, г + Ап+ { = s (у) = х, т.е. Ал+ { < х. Итак, 7?5(л+1} доказано. 36. Нет. Например, из В.{°°\ R[n\ R^2\ следует R^l\ 37. Пусть 9Л = (М; s,+,-,0) есть модель для R. Положим Mi = {А, | / е Jf). Рассмотрим подсистему ЯЯх = (М{; s, +, •, 0). Изоморфизмом между 91 и OJCx является отображение ф: *#—> Мь где Ф(/) = А/. 38. (а) Из ZF3, где ^4 ^ -. г = г. Единственность 0 следует из ZFh (б) Из ZF2 и Zf\. (в) Из (б): {х} = {х,х}. (г) Из ZF{ и Z^2. См. указание к задаче 23 из § 1 части I.
214 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ (д) Следует из (г). (е) Из ZFA и ZFX. (ж) Из ZFX и ZF3 для А ^ 3 z{ 3 z2 (z{ е х{ & z2 е х2 & z = (zu z2)), взяв P(P(x1Ux2)) вместо х. (з) Следует из (ж). (и) Следует из (г) и ZF9 для A(t,s)±=t3z ((s, z) e t). (к) Из ZF5 и ZFh (л) Взять в (г) пару {х, у} в качестве х. (м) Из ZF3 при А ^ х g у. (н) Из Z^3, взяв U х вместо х и A (t) ^ V w (и е tz) z e и) при t=x. 39. (а) Из Zi^g, взяв {х} вместо х. (б) Из ZF%, взяв {х, у} вместо х. (в) Из ZF%, взяв {х, у, z) вместо х. 40. (а) Использовать задачу 39 (б), (в). (б) Следует из (а). (в) Следует из (а), задачи 39 (а) и ZF%. (д) По ZF3 существует множество {z \ z е х& -.^4 (z)}. Далее использовать (в). (е) Пусть А (х, у) ^ (х е у v у е х v х = у). Из -. V х V у А (х, у) можно вывести по (д) существование таких х0 и у0, что -. А (х0, у0), V tV u(te x0z)A(t,t))n\/t(t(E Уо=)А (х0, f)). Тогда х0 су0 и у0 с х0. Приходим к противоречию. 41. (в) Пусть х удовлетворяет Zi^ и 2 = {у | у е х& Ord (у}. Тогда £(11г). (г) Следует из (в) и задачи 40 (д), (з). 42. (в) Следует из задач 38 (в), (л) и 41 (д). (е) Пусть (N(x) & -! х = 0) и -> 3 у (#(у) & х = s (у)). Поэтому L (х) ввиду (б). Тогда -.хеш. Приходим к противоречию. 43. Следует из задачи 40 (д). 44. (а), (г) Использовать принцип индукции по х (см. задачу 43) для формул \/y(N(y)z>3\z(N(z)&x + y = z)), \/y(N(y)z>3\z(N(z)&x-y = z)). 45. Пусть Аъ ..., Ап — вывод А в теории Р. Обозначим через А? формулу V X!... V х„Д, где хь ..., хт — все свободные переменные At. Доказать индукцией по /, что pN(A?) есть теорема ZF, используя задачи 42, 43, 44.
Часть П. Математическая логика (§ 8) 215 §8. Фильтрованные произведения 4. Если фильтр D — неглавный, то для любого Хе D существует бесконечная строго убывающая цепочка Id Хх з Х2з ... множеств из D. 5. Следует из задачи 4. 6. См. задачу 66 из § 3 части I. 7. Пусть я, be I, аФЬ, Dx = {Х\ а е 1с /}, D2 = {X\be Ic /}. Тогда не существует фильтра Д содержащего D{ и Бъ так как {а} П {Ь} = 0. 8. Следует из задачи 64 из § 3 части. 10. Пусть *F содержится в фильтре Фреше Ф, Хь ..., Xk e XF. Тогда Хх П ... ПХке Ф. Если ^П.-П^ < 7, то Д№ П ... ГШ е Ф. Противоречие. Обратно. Пусть ^П-П^ = Л 7\У < 1. Тогда 11П...П^П7 = №П...Пад\№П...П1,П(А7))Л. Поэтому *F U Ф, где Ф — фильтр из задачи 9, содержится в некотором фильтре Фреше. 11. Следует из задачи 5. 13. Следует из задачи 11. 14. См. задачу 67 из § 3 части I. 15. Пусть D - фильтр над /, Ic /, Xz D. Тогда Yf] (I\X) ф 0 для любого Ye D. Поэтому D{J{I\X} содержится в некотором ультрафильтре Ф (см. задачи 12 и 14). 18. От противного. Пусть Ххе G{\F, ...,Xne Gn\F. Тогда Хх U ... U Xn e (G, П ... П Gn)\F(см. задачу 17). 19. Например, Gj={X\je Ic/}, F — ультрафильтр Фреше над /. 20. Пусть А = Р| X, a, be А, аф Ъ. Тогда {а} <£ F, 1\{а} <£ F. Про- XeF тиворечие. 22. Пусть Yt?g D для / = 0,1,2,... Положим Xt= (Y0 П ... ...nYd\f\Yj.
216 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 23. Докажем транзитивность ~. Пусть/j ~fbfi~h- Тогда h = U l/i (0 =fi (0 е Д /2 = {/1/2 (0 =/3 (/)} е А /1П/2с/з = {/|/1(0=/з(0}е2)и/1~/з. 25. Требуемый изоморфизм есть ср(/) = {/"}, где/е f^3PT/. iel 26. Пусть 7= {0, 1}, D {{0}, /}, Ш{=(М{; Р1), где 9Я0 N Р(т) для любого me M0, 9Jli¥P(m) для любого те Л^. Тогда гомоморфизм Y[ %Ri на Y[ yRi/D не является сильным. 27. Доказать индукцией по длине формулы А следующее утверждение. Пусть А (хь ..., хп) есть формула без -.из, все свободные переменные которой есть хи ..., хп. Тогда, если Y[ 9#/ ^ ^ (/ь •••>/*)> то /g/ /g/ 28. Проверить, исходя из определения, что для любых /, g, 1) f/D = g/D => Ф(//2)) = Ф(#/А; 2) Ф(^ с/i /А ...,/„/А) = ^л (ф(/! /А,..., Ф(Л/А); 3) Pn(fJD,...Jn/D) = n => Рл(ф(/1/2)),...,ф(/л/2))) = н. 29. Изоморфизм ф: ]^[ 9Я//2) -» ]^[ VRj/Dj определяется сле- /g/ у'е/ дующим образом: ф(/УА =/7 А, где fef] ШТу, /'(/) =/(/) для всех у е /. См. далее задачу 25. 30. Следует из задачи 29, так как каждый фильтр над конечным множеством является главным. ( Л 31. Изоморфизм ф: y^Mf/D ^ Щ П^/А iel кеК\ ielk ID* определяется следующим образом: ф(//А =/*/Dp|e, гДе/* G П П ^7А /"(*) =/7А, /' е П % Г (0 =/(0. ^4
Часть П. Математическая логика (§ 8) 217 ( \ 32. Изоморфизм ср: ]J Щ/D -> П Mj • ]J ЯЯр/Дг опреде- /е/ уе/ [|к/' J ляется следующим образом: q>(f/D) = (fbf2/Dj>), где f e П^Л/, /l(/) =/(/), ДЛЯ У Е /, /2 G П ЮТр, /2 (Р) =/(Р) ДЛЯ р G /'. Ре/' 35. Пусть \|/: р[ Са -^ ]^[Q определяется следующим обра- ocg I/~ /g / зом: \|/ (/)(/) =/([/]) для /g Ц Са. Тогда ср (f/D~) = \|/ (/)/Д есть ае//~ требуемый изоморфизм. 36. Для /g 7 положим Z/={A:|/e Ik}. Тогда для любых /ь ...,/jG / имеем Lt П ... П ЬгФ 0. Положим 1)={Х|Д-П... ... П Д; с: 1с ^Г для некоторых /ь ..., is). Изоморфное вложение ( \ I ср: Р[ЗЯ/ -^ Y[\ ГТ^ \/^1 определяется следующим образом: /g/ k<=K\i<=Ik j/ j(f)=f/Db (f'(kW)=f(i) ДЛЯ /G 4 37. Пусть А (х) условно фильтруется по D и I{ = {i \ 9Jlt N 3 xA (x)} e g D. Тогда для любого ie I\ существует ate 9DT/ такое, что 9PT/N A(at). Возьмем произвольную функцию fe ]^[9Я/ такую, /g/ что/(/) = at для / g Д Получаем 1{ с {/1 9Jlt N ^4 (/"(/))} = L2n L2e Д т.е. П аЯж-/2> N A (f/D). Отсюда П ЯЯ/D ^ЗхА (х). /g/ /g/ 38. Пусть Yl ЯЯ//Д N 3 х A (jc). Тогда П ЯК,-//) N J (///)) для неко- /g/ /g/ торого/G П Ж{. Отсюда {/| ЯК,-1= ,4 (/(/))} g Д и {/1 ЯК,-1= 3 хЛ (jc)} g Д /g/ 41. Следует из задач 38, 39, 40. 42. Допустим {/|ЯЯ,1=(,4зЯ)}с Д ЦЯЯ/О-И (^=> 5). Тогда /g/ Отсюда ((I\I\) U Л) П 1\ = 12 П /i g Dvl I2e Д Противоречие. 43. Следует из задач 37-39, 42. 44. Следует из задачи 41 и задачи 21 (б) из § 4. 45. Следует из задачи 43 и задачи 20 (а), (в) из § 4.
218 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 46. Следует из задачи 43 и задачи 21 (а) из § 4. 47. Следует из задачи 43. 48. См. задачу 42 (в) из § 5 и задачу 41. 49. См. задачу 42 (а) из § 5 и задачу 41. 50. См. задачу 44 из § 5 и задачу 43. 51. Для любого п имеем {/| 9DT/N &п} е , где Шп — формула из задачи 43 из § 5 (см. задачу 5). См. далее задачу 41. 53. Пусть 9Л = (М;с)= Y[ $Rj/D. Построим 1-1-функцию ieJT А/' ср: 2 -> М. Каждому п е Jf сопоставляем число кп такое, что 2К < Щ < 2K+l. Пусть Вк = 2*к9 где ЛГк={0, ..., к- 1}. Существует 1-1-функция фл: Вк -> Мп. Определим \j/: 2 -> Y[ %Rn. Если ye 2 ieJT и ук состоит из первых к членов последовательности у, то (¥ (У))(п) = Фл (Ук„)- Тогда ф (у) = \|/ (y)/Z) есть требуемая 1-1-функция. 54. Из каждого Mt выделим подмножество Nh мощность которого есть min(/, Mt). Утверждение следует из задач 49 и 50. 55. Пусть /= Х0 з Хх з ...; Хп е D, р| Хк = 0 (см. задачу 22); /„ = {/ \ Mt< ri\ e D, Yn = Хп \1п. Тогда / е Yn=> Mt> п. Положим /~у <=> <=>3 n(ij'e Yn\Yn+i). Пусть для а е //-имеем Са = {0, 1,..., л- 1}, если a=Yn\Yn+l.TormY[mi/D> ]J Ca/Z>~ = 2*°. (См. задачи 35, 52, 54.) 56. Можно считать, что *#есть основное множество каждого 9Я,.. Пусть /е Yl Wtt/D. Положим In = {/ \f(i) = n). Тогда 1= \J In. iel tie Л Если Ine D для любого я, то И If £ D для любого л и (Л = 0 е D; противоречие. Поэтому In e D для некото- /2G Л" п и ^ JG JT\{n) рого я е *Ж Следовательно f~Dfm где^ (/) = л для всех / е L 57. с. Следует из задачи 53, так как at есть минимальный элемент в 9Я/? то f/D, где /(/) = at есть минимальный элемент в iel
Часть П. Математическая логика (§ 9) 219 58. Пусть {Ik}ke к — семейство всех конечных непустых подмножеств множества I. Тогда К-I. Поэтому (см. задачу 33) ЫК iel где D2 есть прообраз Dx относительно изоморфизма между К и I. 59. Следует из задачи 58. 60. Пусть Хх з Х2 з ... — последовательность множеств из D такая, что р| Хл = 0 (см. задачу 22). Каждому л е *#сопоставляем элемент Ъп из 9Я так, что £л ф Ът при л ^ т. Определим /g ]^[ 9Я/ iel следующим образом: если для ie /число щ есть наименьшее такое я, что /е Хп, то полагаем/(/) = £л . Допустим, что//Х) = ф(я) для некоторого а из 9Я. Тогда Х= {/1/(/) = а} е D. Для / е X имеем f{i) = bjдля некоторого у g ^(С Пересечение Xfl^+i непусто, так как принадлежит Z). Возьмем /е Xfl^+i- Тогда /(/*) = £„ ^ Ьр так какnt>j+ 1. Противоречие. § 9. Аксиоматизируемые классы 2. Пусть Xi — система аксиом для класса Къ Х2 — для класса ^Г2- Тогда Ъх U Х2 есть система аксиом для К{ П ^Г2; системой аксиом для Кх U К2 является X = {(^ v А2) \ Ах е Хь А2 е Х2}. 3. Пусть ф — изоморфизм из 9Я на 9Ж Доказать (индукцией по длине формулы), что для любой формулы А (хь ..., хп) и любых тъ ..., тп из 9Я выполнено соотношение Ш^А(т1,...,тп) <=> ШГ И^ф^), ..., ф(т„)). 4. Следует из задачи 41 из § 8. 5. Если X есть система аксиом для К, то X U {<?i, if2, 83, ...} (см. задачу 43 из § 5) есть система аксиом для 1С. 6. Пусть для / g jlf, 9РТ/ есть система из ^Гс числом элементов не менее /, D — неглавный ультрафильтр над Jf. Тогда Y[ 9Rj/D удов- iel летворяет всем требованиям задачи (см. задачу 53 из § 8). 7. Следует из задачи 6.
220 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 8. Пусть К— класс полей конечной характеристики. Для любого простого числа р существует поле УЛР характеристики р; это поле определяется аксиомами Rp^\/x(px=0), Фр^Эх(-^х = 0&^2х = 0&...&^(р-1)х = 0 и аксиомами поля. Пусть Р — множество простых чисел, D — неглавный ультрафильтр над Р. Тогда в ЯЯ = Y\ $RP/D истинны все формулы Ф^, реР поэтому ЯЯ g К. 9. Пусть М*з Вк={-к, ...,-1}, где -к< ...<-1<0, D — неглавный ультрафильтр над Ж Положим fk (/) = -(/+ 1) для i<(k- 1), fk (/) = -к для / > к. Тогда f0 /D >/j /D> ... и Y[ ЯЯ//1) не является iel вполне упорядоченным. Если D — главный ультрафильтр, то Y\ yfti/D ~ ЯЯ/о для некоторого /0 е Jf (см. задачу 29 из § 8). Неак- сиоматизируемость из задачи 4. 10. Пусть К замкнут относительно ультрапроизведений и элементарной эквивалентности, Т — множество предложений, истинных на всех системах из К. Пусть Т выполнимо в ЯЯ, T = {Aj\ie 1} — множество предложений, истинных в ЯЯ. Так как -1 Aj <£ Т, то для любого / е / существует система ЯЯ/ е К такая, что ЯЯ/ N At. Положим Ij={i\ ЯЯ/ N Aj}. Существует ультрафильтр D над /, содержащий все Ij (j e J) (см. задачи 8 и 14 из § 8). Тогда Y[ Jfti/D элементарно эквивалентно ЯЯ и ЯЯ е К. 11. Пусть /— семейство всех конечных подмножеств множества Т, Ф/ — конъюнкция всех формул из / е /, ЯЯ/ — система, в которой истинна Ф/. Положим Ik= {i\ie I, ЯЯ/ИФ^}. Тогда 1к{ П ... П 1кп * 0 и существует ультрафильтр D над /, содержащий все 1к (к е I) (см. задачи 8 и 14 из § 8). Имеем Y\ ЯЯ//2) N Ф^ для iel любого ке /(см. задачу 41 из § 8). 12. Следует из задачи 5 из § 7 (для счетной сигнатуры) и задачи 11.
Часть П. Математическая логика (§ 9) 221 13. Если {Фь ..., Фк} есть система аксиом для К, то {-. (Ф{ & ... & Ф^)} есть система аксиом для Ка \К. Обратно, пусть ^ = {Фа \ а е А} есть система аксиом для К, Х2 = {Ч^ | р е В} — система аксиом для Ка \К Тогда X = Xi U Х2 противоречиво и, следовательно, (см. задачу 13), противоречиво конечное множество {Фа , ..., Ф%, *РР, ..., *РР}. Поэтому {Фа1, ..., Фа^} есть система аксиом для К. 14. Следует из задачи 41 из § 8. 15. Следует из задач 6 и 13. 16. Следует из задачи 15. 17. Следует из задач 8 и 13. 18. Пусть А > ш, Г = T{J {-. са = ср | а, р е Д а Ф р}, где са — предметные константы, не входящие в Т. Тогда любое конечное подмножество Г0сГ выполнимо и, следовательно, Г имеет модель (см. задачу 11). Любая модель для Г есть модель для Ги имеет мощность больше, чем т. 19. См. указание к задаче 18. 20. Пусть фу есть изоморфное вложение ^Olij = {Mi\ oj) в модель УХу е К, где Mt есть конечное подмножество М, а ау — конечное подмножество а. Пусть / — семейство всех моделей У1#, Ik[= {9Лу\ Mk<^Mj и Oi<^<jj}. Каждое конечное пересечение hxix П ... П Ikj непусто. Пусть D — ультрафильтр над /, содержащий все Ikh 9Т = Y[ y^ij/D. Пусть f0 — произвольный элемент из Y[ yifj. Тогда следующее отображение ср есть изоморфное вложение Ш в % Гф/,(т), если те Ми q>(m) = fm/D, где fm{{ij)) = \ ; |/о «*,./», если meMf. 22. Пусть Mi = {тъ ..., mk}, В{тъ ..., тк), — конъюнкция всех формул из D($K). Тогда А — 3 Х\... 3 хк В (xi, ..., Хк) есть искомая формула. 23. 9Я = Y[ yRi/D имеет к элементов, где к < п. Поэтому формула С=3х1 ...Зхк(В(хь ...,xk)&Vy(y = x1v...vy = xn)), где В{тъ ..., тк) — конъюнкция всех формул из Х)(9Я), истинна в ЯЯ, и, следовательно, {/1 ЯЯ,- N С} g D. Имеем Ш ~ ЯЗГ, для любого /0 такого, что 9Jlt N С.
222 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ 25. Если Мх есть множество всех значений термов сигнатуры о при значениях переменных из множества А, то (Мх; о) есть подсистема УЛ и содержится в любой подсистеме, содержащей А. 26. Следует из задачи 25. 27. Пусть X — система аксиом для класса К сигнатуры о. Строим по ней систему X' V-формул сигнатуры о' з о, удовлетворяющих условиям задачи 21 из §5. Класс К состоит из обеднений систем класса К* всех моделей для X'. 28. Пусть К состоит из обеднений универсально аксиоматизируемого класса К* сигнатуры о' (см. задачу 27), 9Л = (М; о) е К, УЛ есть обеднение 9DT' из К'. Пусть А — конечное подмножество М, УЛ{ подсистема 9Л', порожденная множеством А. Тогда dJli е К', ЯЯх = (Mi, о) — конечная или счетная ^Г-подсистема ЯЯ. 29. Аналогично задаче 28. 30. Пусть X — система аксиом для К, m > 9Я + о, Wl{ = (М{; о') — модель для X U D (9Я) мощности большей, чем m (см. задачу 18). Пусть McicMb Л = т. Далее применяем задачу 29. 31. Пусть а = {Ру\уе 2 }, X — система всех формул вида 3 х PJx) для всех уе 2 и формул вида (3 л^ ... 3 хп (—.хх = х2 & -■ *i = = х3 & ... -1 хл_! =х„) з V х (-1 Ра(х) v -1 Ру(х))) для л = 2т, (у(0),..., у(т - 1)) Ф (а(0),..., а(т - 1)), m = 1, 2,... Класс ^Г всех моделей для X содержит конечные модели мощностей 2т (т = 0, 1, 2,...); все бесконечные модели из К имеют мощность > с. 32. Пусть c = {fy\ye 2Jf}{J{a[l]Jye 2^}, где [у]т = (у(0), ..., ..., у(т- 1)), X — система всех формул вида /б Цу]т) = Я[б]и Для5> УЕ 2^, V х (/5 (х) =/ (х) з v x=at), где /= 2^ U ... U 2^-, Л={0,1,...Д-1Ь [5]m^[y]m. Тогда (Ж; а), где М = \J 2^4 аЫт = [у]т , /s ([y]J = [8]да, есть счетная модель для X, все собственные расширения которой имеют мощность не меньше, чем с.
Часть II. Математическая логика (§ 9) 223 33. Пусть К есть класс всех обеднений универсально аксиоматизируемого класса К' сигнатуры о' (см. задачу 27), Ш = (М; о) е К, Ш = т. Возьмем ЯЯ' = (М; о') е К'. Пусть /л, gn е о' полагаем fn~gn±=tfn(mi, ..., mn)=gn (mi, —, /ии) для любых/иь ..., тп е М. Из каждого класса эквивалентности выберем по одному функциональному символу, о" получается из о' опусканием остальных функциональных символов. Тогда о" содержит не более, чем 2Ш функциональных символов. Пусть К" — класс, система аксиом которого получается из системы аксиом для К* заменой функциональных символов из о' на эквивалентные им из о", 9#i — система из К" мощности П!>п (см. задачу 18), 9Л2 — подсистема 9ЯЬ порожденная множеством мощности п. Тогда 9Л2 = п (см. задачу 25), дЯ2 е К" и дЯ2 может быть обогащена до системы 9Я3 е К'. Тогда обеднение системы 9Я3 до сигнатуры о входит в К. 34. Следует из задач 6 и 33. Примеры: (а) Х = {^5}; (б) i=Rd^+i), (&и+1=> %п+2), •••}; (в) Ка. 35. 9Л N -1 т{ = т2 =^> 9Л' N -.ф^) = cp(m2); dJl^A(mb ..., m„) =^> =^> ЗРТИ-1>4(/иь ..., /ии) =^> ЯЛ* И-1^4(ф(т1),..., ф(/и2)). 36. Отображение ф: ^Г->М, где ф(я) = я+ 1, есть изоморфизм 9Т на 9Я, поэтому 9Т и 9Я элементарно эквивалентны. Возьмем J(x) = Vy(x<y). Тогда ЯП\=А(1), У1РА(1). 37. Нет. Например, формула 3x(x<2&-iX=0&-.x=2) истинна в 91, но ложна в 9РТ. 38. Нет. Например, формула \/хЗу(у-у = х) истинна в (£, но ложна в 3D. 39. аэги^(*ь ..., *j => {/|аэги^(*ь ..., ьт)} = 1е d => => n^//^h^(/i/A-/-/^)' mejj{i) = bj(j=l,...,m). ЕслиШГ конечна, то Ш1 /D = ЯЯ. 40. (а) Например, положим для яе *Д /е *# /, если /< л, ¥(я)(0 = i л, если / > п:
224 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ / ч/-ч [-/> еСЛИ 1~п> y(-n)(i) = \ {-п, если / > п. Тогда ф(л) = \\f(n)/D есть изоморфное вложение JP в ГТ 9JI//Z). (б) Нет. Формула 3 х V у (х < у) истинна в ]^[ ЯЛу/Д но лож- на в Jp. 42. Из задачи 18 следует, что теория Т= FD (9Я) имеет модель dJli такую, что Wl\ > т. Тогда 9Я элементарно вложима в Wl{ (см. задачу 41). 43. Доказать индукцией по числу шагов построения формулы В{хъ ..., хк), что для любых тъ ..., тке M. Ж^В(тъ ..., тк) => ЗЯх N 5(ть ..., /и*). 44. Пусть 9Я = (М; о) бесконечна, ^4 — счетное подмножество М. Положим А0 = А. Далее, если Ап уже определено, то для любой формулы А (хь ..., хъ у) и любых а{, ..., аке Ап таких, что 9Л N 3 у ^4 (яь ..., яь у), выбираем а = h(A, аъ ..., ^) е Мтакой, что 9Я N А {аъ ..., яь а). Тогда Ап+1 есть объединение ^4Л и множества всех Л (Д аъ ..., ^), a SPTx = ( (J ^4Л; о) есть счетная элементарная подмодель 9Я (см. задачу 43). 45. Аналогично задаче 44. 46. Следует из задач 42 и 45. 47. Доказывается индукцией по числу шагов в построении формулы А. Рассмотрим лишь случай ^4 = Vxi?(x). Пусть аЯ/N VjcJJ(jc), но 9П¥\/хВ(х). Тогда Ж^Зх^В(х) и 9Я N -1 5 (а) для некоторого ае М. Имеем а е Mj для некоторого у>/. По предположению индукции для формулы В имеем ЗЯу-И 5 (а), отсюда ЯЯУ- N 3 х -. i? (х) и ЯЯ,- N 3 х -. i? (х), так как ЯЯ,- -< ЯЛу. Противоречие. 48. Пусть X есть множество предложений, истинных в К, ЯЛ — модель для X. Пусть А — конечная совокупность предложений из FD(Wl), AA(ci, ..., сп) — конъюнкция формул из А, сь ..., сп — все предметные константы, не входящие в о. Тогда имеем ЯЛ N 3 X!... 3 хпАА (хь ..., хп) и, следовательно, существует система ЯЛД е К такая, что ЯЛД N 3 xi... 3 хпАА (хь ..., хл); существуют
Часть II. Математическая логика (§ 9) 225 элементы ^Л,..., dnA из 9ЯД такие, что 9ЯД \= АА (dA,..., 4f)- Для с из 9Я положим dA{c) = dA, если с = с,; ^/Л(с) равно произвольному элементу из 9ЯД, если с£ {сь ..., сп}. Пусть /есть множество всех конечных совокупностей А с Л) (art), Z> — фильтр над У, содержащий все множества 1А = {Л' \ ША> N АА (dxA, ..., dnA)}, дЛ\ = Y\ %RJD. Ael Для с из 9Л полагаем q>(c)=fc/D, где fc(A) = dA(c); ср(с) есть элементарное вложение 9Я в дЛг. Обратное утверждение следует из задач 3 и 4. 49. Пусть класс ^универсально аксиоматизируем, 9Я — система сигнатуры о и каждое конечное обеднение конечной подмодели 9Я изоморфно вложимо в подходящую К-систему. Тогда (см. задачи 4 и 20) 9Я изоморфно вложима в ^Г-систему нУЛе К. Обратно. Пусть X — семейство всех V-формул, истинных на всех системах из К, и система 9Я есть модель для X. Покажем, что если выполнены условия задачи, то 9Я е К Пусть 9#i есть конечное обеденение конечной подмодели art, А есть 3-формула для 9PTi из задачи 22. Тогда 9DTi вложима в некоторую ^Г-систему, так как в противном случае X Ь -. ^4 (-. ^4 эквивалентно V-формуле) и art и-, а поэтому art g a: 50. Следует из задач 20, 48 и 49. 51. Следует из задачи 50. 52. Использовать указание к задаче 48. Взять класс всех систем, элементарно эквивалентных 9РТЬ в качестве К, и 9#i в качестве artA. 53. Если art содержит п элементов, то 9DTi тоже. Из задач 52 и 39 следует Шх ^ Ш. 55. Следует из задач 18 и 53. 56. Пусть Т неполна. Тогда для некоторого предложения А не выполняется ни Т\=А, ни T\=—iA. Поэтому существуют счетные модели artx и art2 теории Т такие, что Wlx^A, Ш2¥^А. Тогда существуют модели art3 и art4 такие, что 9Л3 = art4 = m, ar^ -< Ш3, art2 -< art4 (см. задачу 46). Поэтому art3 и art4 неизоморфны. 57. Теория К0-категорична (см. задачу 13 из § 5 части I) и поэтому полна (см. задачу 56). 58. Пусть Г0 U Гх противоречиво. Тогда противоречиво некоторое подмножество Г0 U {Въ ..., Bk}, где Bje Гь к> 0. Поэтому
226 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ T0h^(Bl&...&Bk) и rohVjCj... Vjc5 ^B(xu ...,х5), где В{съ ..., cs) = (В{ & ... & Вк), cu...,cs — все константы из Въ ..., Вь не входящие в а. Так как Г полно и Г0 непротиворечиво, имеем Г Ь V*! ... VXj -1 2?(хь ..., Ху), поэтому Г^ Ь V Xi ... ... VXj-i 2?(хь ..., я,) и Гх h -1 2?(сь ..., Cj). Противоречие. 59. Следует из задачи 58. 60. Пусть r = FD(dJli)\JFD(dJl2). Любая система, в которой истинны все формулы из Г, удовлетворяет требованиям задачи. Непротиворечивость Г доказывается аналогично непротиворечивости Г0 U П из задачи 58. 61. Пусть Г U {А} выполнимо в ЯЯх = {Мх\ а^, ЯЯх* = {Мх\ а). Тогда FD (9PTi*) U {В} непротиворечиво (см. задачу 59) и выполнимо в 9Л2 = (М2; а2). Имеем ЯЯх* -< 9Л2* = (М2; а). Поэтому существует система ШТ3 = (М3; а^ такая, что Шх -< ШТ3, 9Я2* -< 9^з* = (М3; а). Получаем последовательность 9ЯЬ 9Л2, 9Лз> ••• такую, что SDTi -< ая3 -<... ^ шт2 ^ шт4 ^...; W -< шг2* -< шг3* -<... положим ЛГ= U Ми Ш = (М; dUaj), где ЯУГ,* = <АГ; а), Ш12,+ 1^(Ж; CTl>, iejT 9Л2к -< (М; а2) (см. задачу 47). Тогда Г U {А, В} выполнима в 9РТ. 62. Пусть яь ..., ак — все константы, входящие в А и не входящие в a, ib ..., i„ - все константы, входящие в В и не входящие в о. Тогда формулы ^ = 3 Xi ... 3 хкА (хь ..., х^), 51 = 3j1... ...ЗукА(уь ...,Ук) удовлетворяют условиям задачи 61 и Г U Мь В\) непротиворечиво. Тогда T\J {А, В} непротиворечиво. 63. Пусть Т — множество предложений С сигнатуры о таких, что Ь (Az) В). Предположим, что T{J {-. В} непротиворечиво. Тогда T{J {-. 5} выполнимо в некоторой системе 9РТ. Далее, Г U {^} непротиворечиво, где Г есть множество всех предложений сигнатуры о, истинных в 9РТ. Иначе было бы ^4 Ь -. (С\ & ... & Q) для некоторых Сь ..., Ске Г, -.(Q&...& Qg ГсГ и (Q & ... & Ск) е Г. Из задачи 62 следует, что ГЩД-ii?} непротиворечиво и неверно Ь(^з5). Поэтому T\J{—tB} противоречиво, а значит, Ь ((Q & ... &Ck)z)B) для некоторых Сь ..., Qg Г; (Q & ... & Q есть искомая формула. Если о пусто, А и -. 5 выполнимы, то можно построить счетную модель, в которой выполнима (A&—iB), т.е. не выполняется h (Az) В).
Часть III. Теория алгоритмов (§ 1) 227 Часть III. ТЕОРИЯ АЛГОРИТМОВ § 1. Частично рекурсивные функции 2. Функции/Ь^,/3 и^ получаются суперпозициями из/и 1^\ (а) fi (хь х2, х3, ..., хп) = (в) /з (*Ь •••> x«+l) =/(Л (*Ь •••> x«+l)? •••> Л (*Ь •••> ^л+l))- (г) /i(*b-,*ii-i) = =f{I\ {хъ ~->хп-\)> h {хъ •••? x«-i)? •••> Л2-1 (*ъ •••? */i-i))- 4. Пусть/(хь •••> XJ получена из о и 1£ с помощью суперпозиций и примитивной рекурсии. Тогда/(0, ..., 0) = 0 и х{<1,...,хп<1 =^Дх1? ...,х„)<1. 5. (a)f(x) = s(s(...s(x)...)) (n раз). (б) Дх) = s(s (... 5 (о (х))...)) (п раз). (в)/(х, у) получается примитивной рекурсией из g(x) = Ii(x) и h(x, у, z) = s(I33(x, у, г)). (г) f(x, у) получается примитивной рекурсией из g (x) = о (х) и Л (х, у, г) = I? (х, у, г) + /33 (*, у, -г). (д)Дх,0) = 1, Дх,у+1)=хДх,у). (е)/(0) = 1,/(х+1) = 5(х)-/(х). 6. (а) ххУ; . f J раз (б) Xх J 7. (a)_sg(0) = 0,_sg(x+l) = 5(o(x)). (б) ^g (0) = 1, ^g (jc+1) = o(jc). (в) 0-1 = 0, (х+1)-1=х. (г) х-0 = х, х-(у+\) = (х-у)-\. (д) |х-у| = (х-у) + (у-х). _ (е) max (х, у) = х ■ sg (х- у) + у ■ sg {х-у). (ж) min (х, у) = х • sg (у - х) + у • sg (у - х). 9. Докажем, например, (а): Г+1(х„...,х„,0)=<?(х1,...,х„,0), f" + l (Xj, ..., Х„, У+ l)=g(Xi, ..., Х„, У + 1) +/(Xj, ..., Х„, J).
228 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ h{xu..., хп) ( i \ 10.Дхь ...,хп)= X s§ П^хь ..., хп, j) . /=0 {у=0 J U.g(xu...,xn) = = h0 (хь ..., xn) • sg /о (*ъ ..., xj + ... + A, (xb ..., xn) • sg/, (xb ..., xj. 12. (a) /=i (б) rest (x, y) = x - у x (в) т(х) = ^sg(rest(x, /)). /=i x (г) а(х) = X'" sg(rest(x, /)). /=i (д) x — простое число <=> т(х) = 2 (см. (в)). Тогда X lh (х) = £ sg (| т(/) - 21 + rest (x, /)). /=i (е)тг(х)=Х^(|т(/)-2|) (см. (в)). /=i (ж) £ (х, у) = \iz [z • sg (x • у) + sg (x • у) (sg г + rest (г, х) + + rest (z, у)) = 0] <ху. (з) d(x,y) ху + xsgj + jsgx (см. (ж)). к(х,у) (и) р(х) = \ьу [\п(у) -(х+1)| = 0] < 2f (см. (е)). (к) long(x) = ^y £ sg(rest(x, p(i))) = 0 i=y+\ <X. (л) ex (x, y) = \iz[( sg rest (y, p(x)2 + i)) • sg у = 0] < x (см. (и)), (м) [л^] = ^[^((г + 1)2-х) = 0]<х. (н) р/х| ^^[^((г + ГР^х) • sgy = 0] + sg у х<х.
Часть III. Теория алгоритмов (§ 1) 229 (о) [xyf2^ = iiz[sg((z + l)2^2x1) = 0]<2x. (п) Использовать разложение числа е в ряд. (р) Использовать разложение числа е* в ряд. (с) СУ = XI у\ • \х-у ! sg(x^y) + sg (х-у). 13. / (х) + Г (Х) = [12 sg (Т(2 + 1)(2 + 2)" -X = 0 = z0 (х) < 2х ; 1(х)=х- г0(х)-(г0(х) + 1)' r(x) = z0(x)^l(x). 14. Следует из задачи 13. 15. fn (хь ..., хп) = F(cn (хь ..., xj), где ^(х) =/(ся1 (х), ..., сш (х)). 16. (а) Пусть п е *Ж Рассмотрим последовательность (л, 0), (л, 1), ... Тогда существует последовательность х0, хь ... такая, что /ifo)=/i(*i) = ... = «,^to) = 0,^(*i) = l>...; поэтомух0,хь ... различны. (6)/2(x)=X§g|/1(x)-/1(0| -1. 17. См. задачу 34 (е) из § 7 части II. 18. Ввести вспомогательную функцию f(xu...,xn,i) F(xb...,xn,y)= Y[pj /=0 Доказать, что /"примитивно рекурсивна. Тогда /(*!, ..., хп, у) = ех (у, F(xu ..., х„, у)). 19. Следует из задачи 18. 20. Ввести вспомогательную функцию F(x) = 2f{x)-3g{x\ Доказать, что /"примитивно рекурсивна. Тогда
230 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ f(x) = ex(0,F(x))9 g(x) = ex(l,F(x)). 21. Аналогично задаче 20. 22. См. задачу 1. 23. (в) Например, g(x, y)=x+\. 24. См. указание к задаче 2. 26. (а) со (х) = \iy [s (х) + у = 0]. (б) f(x,y) = \l2[\x-(2 + y)\ = 0]. (в) f(x,y) = \iz[\x-z-y\ = 0]. (T)f(x,y) = vz[\x-zy\ = 0]. (д) Пусть/— л-местная функция, 8f= {(an, ..., ain), ... ..., (ям, ..., я^)}, /(flu, ..., я1и) = bu ...,f(akU ..., я^) = bk; тогда /(x1? ..., x„) = *! ■ sg (\xx - an\ + ... + \xn - aln\) + ... ... + bk • sg (|xj - tfM| + ... + \xn - akn\) + \i2 [z + (I*! - fln| + ... ... + \xn - aln\) + ... + I*! - akl\ + ... + \xn - akn\) = 0]. 27. Использовать следующие соотношения: (а) a = b <=> \a- b\ = 0. (б) афЪ <=> sg |я-6| = 0. (в) я < Z> <=> a- b = 0. (г) я < Z> <=> sg (b- a) = 0. (д) я = 0 и i = 0 <=> a + b = 0. (е) я = 0 <=> или Z> = 0 <=> a • Z>. 28. (а) Введем функцию Тогда 9 (t, y) = a (G(t), у), где G(t) = cn + 2(cnl(t), ..., cjit), 0,g(cnl(t), ..., c^(0)), a(t, 0) = f, a(7, y+l)=G (a(t, y)), G(2) = Cn + \cn + 2^ i(z),...,Cn + 2tn(z), Cn + 2,n+l(2)+h h(cn + 2l(2), ...,Cn + 29n + 2(z))). Имеем f(xb ...,xn,y) = (д(сп(хь...,хп),у)). (б) Аналогично (а).
Часть III. Теория алгоритмов (§ 1) 231 29. Полагаем G(x, y)=g(cnl(x),..., спп(х), у), F(x) = \Ly[G(x,y) = Q\. Тогда Дхь ..., хп) = F(cn(xb ..., xj). 30. Ввиду задачи 28 достаточно рассмотреть случай, когда \f2(x, 0) = х, \f2(x,y + l) = G(f2(x,y)). Для этого случая выразить требуемым образом (используя задачу 29) функции и= U(x, у) и v = V(x, у), являющиеся решением системы уравнений f(x, 0) = р(и, v, 0), Дх, у) = Р(и, v, у). 31. Использовать разложения в ряд чисел л, £, 71. 32. Записать с помощью общерекурсивных функций метод вычисления с наперед заданной точностью корня многочлена с целыми коэффициентами. 34. (а) 1£(хи...,хп) = и(хт). (б) o(x) = ii(s(x)). (В) i5(0). (г) #(2 + 2sgx). (д) ах= 12(х, у) + ... + 12(х, у) (а раз), by = /22(х, у) + ... + /22(х, у) (* раз), с = s (0) + ... + s (0) (с раз). (е) Имеем х + 2k/~x = i(x + l + 2sg#(x + 4)), тогда х2 =i(x + lWx'] + l). (ж) Пусть а(х, у) = q {{x + у)2 + 5x + Зу + 4), тогда — = i(x + 2[</* ] +1 + i(sga(x, q(x)))), х2 +
232 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ X — 2 ( 1 9 = а х + V X — 2 ■>) , X ) (з) Имеем 2 vx = а(х + 2 vx , х), тогда л/Т = ![УЗГ]' (и) Имеем х- у- а(а((х + у)2,х2),у2) (к) Имеем х - у = а(х, у) sg a(a(x, у) + у, х). (л) Имеем с (х, у) ■■ (х + у)2 + Зх + у (м) Имеем / (х) = х - [л/8х + 1] + 1 [V8x + l]- (н) Имеем г (х) = [л/8х + 1] + 1 -(/(х)+1). 35. Индукцией по числу шагов построения данной примитивно рекурсивной функции, используя задачу 34. Рассмотрим лишь случай получения функции с помощью оператора примитивной рекурсии. Ввиду задачи 28 достаточно рассмотреть случай, когда F(x, 0) = х, F(x,y + l) = G(F(x9y))9 где G уже получена требуемым в задаче способом. Положим 9 (х, у) = q([Vx + l]j • sg#(x +1) + G(y) • sg#(x +1). Тогда для функции t (x) = 9 (х, х) имеем '(0) = 0, t(x + i) = e(x, t(x)),
Часть III. Теория алгоритмов (§ 1) 233 t(x) = F(q([yTx]), q(x)), а также t(((y + x)2 + x)2 + у) = F(x, у). Но функция t (х) ввиду задачи 28 (б) получается итерацией и суперпозициями функций, уже полученных требуемым в задаче способом. 39. (а) Ц(хи ..., хп) = qq~\xm). (б) о(х) = q(q~l(x + x) + 1). (в) Аналогично задаче 34 (д). (г) Пусть а(х, у) = q ((х + у)2 + 5х + Зу + 4); тогда х2 = а (#_1(2х), 2x). (д) sg(x) = ?(x2+l). (е) sg(x) = a(l, sgx). (ж) Имеем = q(2q+sg(q(q-l + ss(0)Wl(x). (з) Аналогично задаче 34 (и), (и) Аналогично задаче 34 (к). (к) Имеем \Лх ■■ q(x-q(x))-l + sgx. (л), (м), (н) Аналогично задаче 34 (л), (м) и (н). 40. Имеем /(*) = г ((|(/ (х) + 1) sg h (/ (х), г (х)) - 1|) - I)"1. Далее применить задачу 39. 41. Индукцией по числу шагов построения данной частично рекурсивной функции, используя задачи 30, 39, 40, а также формулы для rest (x, у) и р(х, у, г) из задач 12 и 17. К формуле : [iz[sgy • sg((z +1)у - х) = 0] + х sgj применить задачу 40. 42. (а) Пусть функция определена следующим образом: если п = 3 t, то а(п) = с3 (0, t,2 + t); если п = 3 t+1, то а(л) = с3 (t+ 1, 0, sg f); если п = 3/4 2, a c3i(a(r(0)) + 1 = c3i(a(/(0)) и c32(oc(r (*))) = = Сзз(<х(/(0)), то а(л) = с3(с31(а(/(0)), с32(а(/(*)))+I, с33(а(г(Г)))), в остальных случаях а(п) = с3(0, 0, 2). (Здесь /, г определены в задаче 13, а с3, с31, с32, с33 — в задаче 14.)
234 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Функция а примитивно рекурсивна. Имеем В (х, у) = с33(а (\т[с31(а(п)) = х и с32(а(п)) = у])). Таким образом, Вж А общерекурсивны. (б), (в), (г) Индукцией по я, х. (д) Имеем о(х)<В(0,х), s(x)<B(0,x), 1щ{хи ..., хп) < <В(0, тах(хь ..., хп)). (е), (ж) Проверяем непосредственно, используя (б), (в) и (г). (з) Из (д), (е) и (ж) следует, что всякая примитивно рекурсивная функция является В-мажорируемой. 43. Пусть F(t,xu ..., хп) — универсальная функция для семейства л-местных примитивно рекурсивных функций, являющаяся примитивно рекурсивной. Тогда/(хь ..., хп) = 1 + F(xb хъ ..., хп) = = F(t0,xu...,xn) для некоторого t0. Отсюда 1 + F(t0, t0, ..., t0) = = F(t0, t0, ..., t0). Приходим к противоречию. 44. Заметим, что универсальная функция должна быть всюду определенной. Далее, см. указание к задаче 43. §2. Машины Тьюринга l.f(x) = x+ 1. 2-Л (хь •••> хп) = Xi + ... +хп. 3. Например, qx0^q20R, ftl->?ol> q20^q3lL, q2\^>q2\R, q30^q00, q3\^>q3\L. 4. Например, ftO -> q20R q20 -> q30L, q2\ -> q2lR, q30^q00, q3l^q3OL. 5. Сначала переводим слово Ol^OFO в слово 01x#aF00, равное Ol^^FOl'O при /= 0. Затем слово Ol^^FOl'O переводим в 01x-ii+1)qaly01i+10, если х-/>0, и в 01Ч01Х0, если х-/=0. Г. ?101дс00 = ?101дс-/01/01/при/=0. Слово ftOl'-'Ol'Ol'"переводим в 01О1*-(,Ч1)О1/+1О1/+1, если х-/>0, и в q001x01\ если х-/=0.
Часть III. Теория алгоритмов (§2) 235 ЦЛ.(Б+ ВГ1 (Б-у-1. K„.Ki = Г, Kn+i = (БТ Г (БТ (Цл + 2)л (Б+)2 Кл (Б")2 Ц2п + 2 Цл+1. 6. (ЦХ-1 • (БТ-1 • (О- БТ"1, где О - машина, построенная в задаче 4. 7. (а) Пусть Fia G — машины, правильно вычисляющие / и g соответственно. Тогда Н= G Fправильно вычисляет h. (б) Н= [Кт • (БТ • G, • (БТ • (Цт+1Г • Б+] • ... ... • [Kw- (БТ ^-i • (БТ ■ (Цт+1Г- Б+] • Gn (БТ"1 • ^. 8. (а) Например, 9l0 -> <?20Я, q20^q3lR, q2\^>q2\R, q30^q40L, q3l -> q3lR, (6) 9lo -> <?2оя, q20^q00L, q2\ -> q3lR, q30 —> q40L, q3\ ^> q3\R, q4l -> q50L, q50^q00, q5l^q5lL. (в) ftO -> #207? q20^q00L, q2\ -> q3lR, q30^q40L, q3\ -> q3OR, q40 —> #40Z, #41 —> q00L. 9. (а) Пусть машины Gn Hвычисляют g я h соответственно. Используя G, Н и машины из задачи 5, построить машины Тъ Тъ Тъ Т4, Т5 такие, что ^Ol*1... 01X4)F0 =>ri 01Xl... 01x4)0F#a01Xl... 01ХЧ) =>Га =>т 01Xl... 01x«00F^0F(Xl—x- °>0 ...;
236 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ О1*1...О1*"О1/О1у-/0рО1гО=>Гз J01X1...01X"01'0F-^T01Z0, если y-i>0, ^Гз [01Х1...01х"01'0р-^801г0, если y-i = 0, 01Xl...01x»01'0F-^T01z0^r4 01Xl... Ol^OPOOftO^O =>Г5 #001г. Тогда машина Тх ■ Т2 ■ Тъ ■ \ у ' вычисляет/(хь ...,х„). [Я& = т5 (б) Пусть машина G вычисляет g{xu ...,x„,y). Используя Gm машины из задачи 5, построить машины Тъ Т2, Тъ, такие, что fcOl*1... ОГ-0 =>Г] 01х'... 01х"01#а0; 01Xl... OIMH'&O =>Гг 01х'... 01x"01'^0F(Xl'-'x"'00;. [0Г\..01х"01'ч14а0, если у Ф 0, чр 3 [#0010, если у = 0. Тогда машина Тх- Т2 Г3 вычисляет/(хь ..., хи). 10. Следует из задач 3, 4, 6, 7, 9. Xj-1 Xj+x2 Xj+...+x„+0+2) Па-Па-- П р, 12. у"(х1,...,х„) = 2-3-7-0 '="+' —»-+("-" . 13. Полагаем р(0, Л, /, и, v) = 2B-3*-5'-7v, р(1, к, I, и, v)=2<=» .з*.5ех(0'н)-7 -» ЖПа"(',") . ,n , nftex(s+1,v) р(2, Л, /, и, v)=2 '=° .з*.5ех(0'н)-7ч' р (5, Л, /, и, v) = p(0, к, I, и, v) sgs + + р (1, Л, /, и, v) sg Is- l| + p (2, &, /, и, v) sg |s-2|.
Часть III. Теория алгоритмов (§2) 237 14. Полагаем о (Г, 0, у, и, V) = 2й • 3° • У • 7V, а (Г, /, у, и, v) = p(ex(2, ех(с(/,у), 0), ех (0, ех (с (/,у), г)), ех (1, ех (с (/,у), 0), и, v) при /> О, где р — функция из задачи 13. 15. Полагаем х (t, x) = a (t, ex (1, х), ех (2, х), ех (0, х), ех (3, х)), где о — функция из задачи 14. 16. Полагаем w (Г, х, 0) = х, w(t,x,y+l) = i (t, w (t, x, у)), где т — функция из задачи 15. х 17. г(х) = ^sg|ex(/, ех(0, x))-l| + sg|ex(2, x)-l| + /=о х + ^sg|ex(/, ех(3, x))-l|. /=о 18. Следует из определения вычислимости и задач 12, 16, 17. 19. Следует из задачи 18 (б). 20. Следует из задач 10 и 19, так как вычисления проводились на машинах с алфавитом {0, 1}. 21. Полагаем U(t, х) = г (w (t, yl(x), h2(t, x))) (см. задачу 18). Утверждение следует из задач 10 и 17. 22. Полагаем Un+l(t, хь ..., хп) = U(t, cn (хь ..., хп)), где U определена в задаче 21, ас"-в задаче 14 из § 1. 23. (а) Если h (x, у) частично рекурсивна, то такова же и f(x) = [iy[h(x,x) + y = 0]. Пусть машина Т правильно вычисляет f(x) и Х(Т) = а. Тогда f(a) = 0 <=> h (я, а) = 0 <=> f(a) не определено. Приходим к противоречию. (в) Имеем h0 (a(p(x), x)) =g(x), где аир определены в задаче 11. 24. Следует из задач 12 и 16. 25. (а) Полагаем р(х) = I (x), T\{m, x,y) = S (т, х, / (у), г (у)), где функция S из задачи 24. (б) Аналогично (а).
238 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ §3. Рекурсивные и рекурсивно перечислимые множества z z 3. []0^(хь...,хл,О и sg^9^(xb ..., хп, /) являются требуемы - /=0 /=0 ми представляющими функциями. 4. (хь ...,хп)е M^3tR(xb ..., хп, l(t), r(f)). 5. Доказать, что рекурсивно перечислимых множеств счетное число. 9. 5/-1 — конечное множество. ll.xeA{JB^3y(RA(x,y)vRB(x,y)); хе АП В <* ЗуЗ z (RA(x,y) & RB(x, г)). 14. хл(х) = Qra (х, \iz [в^ (х, z) • еКли (х, г) = О]). 16. Пусть a g Ми х g Af <=> 3 j 7? (х, у). Тогда а(х) = / (х) • sg 9^(/ (х), г (х)) + а • 9^(/ (х), г (х)). 17. Аналогично задаче 16. 18.%Р/(х) = 8ёП|х-Д/)|. /=0 19. Пусть ^4 рекурсивно и бесконечно. Тогда ^4 = pf, где /(0) = цх [%у4(х) = 0], /(* + 1) = цх [%у4(х) = 0 и *>/(*)]. Обратное следует из задачи 18. 20. Пусть А рекурсивно. Тогда А = pf, где /(0) = jux [%А(х) = 0], Дх + 1) =/(*) • %а(х+ 1) + (х+ 1) • sg %А(х+ 1). Обратно, пусть А = pfi где / — монотонная общерекурсивная функция. Тогда, если А бесконечно, то ф(х) Хл(х) = sg]J\x - f{i)\ /=0 где ф(х) = \iz [x<f(z)]. Если А конечно, то оно рекурсивно по задаче 6. 21. Пусть A = pf, где/— примитивно рекурсивная функция. Положим g (0) =/(0), g(x+l) =f(\iy [f (у) > g (x)]. Тогда B=pg есть искомое рекурсивное подмножество А.
Часть III. Теория алгоритмов (§ 3) 239 22. Пусть А = ру, где / — примитивно рекурсивная функция. Положим ( f(0)=g(P),f(x+l)=g W п\ Ssg|g(30-/(/)| = 0 Тогда/есть искомая функция. 23.Xr/^j) = sg|/(x)-j|. 24. ПустьГу= {((^(х), ..., ос„(х), осл + 1(х)) |хе Л), где аь ..., an+i — примитивно рекурсивные функции (см. задачу 17). Тогда /(*!, ..., х„) = а„ + х(мл: [\х{ - щ(х)\ + ... + \хп - ап{х)\ = 0]). 25. Пусть множество А рекурсивно,/— общерекурсивная функция, B=fl (А). Тогда Хв(х) = Ха(/(х)). 26. хЯА)(х) = ха№ [\x-f(t) = 0]). 27. Пусть А = {х| 3 j (/(x, у) = 0)}, В={х\3у (g(x, у) = 0}, где/и g — примитивно рекурсивные функции. Тогда %А(х) = sg(xc(x) +Дх, \iy [Дх, у) • g (х, у) sg XcW = 0])). 28. ye pf о y=/(0)v...vy=/(0, *=цг[{0, 1,...,у}П np,cfe(0),...,g(2)}], т.е. /^juz 2L sgxPjf (и) - П|и - Я(0| w=0 Л /=0 = 0 29. Пусть A = pf, B=pg для некоторых примитивно рекурсивных функций/и g. Вычисляя последовательно значения функций /и g (перечисляя А и В), строим функции и и v, перечисляющие Ахж Вх. Рассмотрим случай, когда существуют числа aeA.be В ж афЪ. Полагаем и(0) = /(0), еслиД0)*6, а в противном случае _ \g(0), если g(0) ф и(0), g(0) Ф я, v ^ '~ \b в противном случае и (х + 1) Дх + 1), если Дх + 1) ё МО),..., ф;)}, а в противном случае
240 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ v(x+l)= <И* +!)' еС™ g(<X + X)* {^0)''"' Ы<"Х + М [Ь в противном случае J Примитивную рекурсивность и и v можно доказать, используя задачи 18 и 20 из § 1. 30. (а) Рассмотрим для простоты случай/(х) =g(h (х)), где Г^ и Th рекурсивно перечислимы. Тогда (х, у) е Г^ <=> 3 u RT (x, у, и), (х, у) g Г^ <=> 3 v RYh (x, у, l>). Имеем (х, у) е Гу <=> 3 z3 u3v (RT (х, г, и) & 7?г (х, г, v)). (б) Докажем для случая специальной рекурсии из задачи 28 (а) из § 1. Пусть /(*, 0) = х, f(x,y + l) = G(f(x,y)) w TG= {(g(t), h (f)) | te Jf), где g я h — примитивно рекурсивные функции (см. задачу 17). Положим: если п = 2t, то а(п) = c3(t, 0, t); если п = 2/4 1 и с3з(ос(/(0)) =g(f(0)> T0 а(л) = с3(с31(а(/(0)), с32(а(/(Г))) + 1, АИО)), в остальных случаях а(п) = с3(0, 0, 0). Примитивно рекурсивная функция а(п) перечисляет множество с3 (Г/). (в) Докажем для случая f{x) = \ьу [g (x, у) = 0], где Г^ рекурсивно перечислим, т.е. Г^= {(cni(t), ос2(0> ос3(0) I *е ^) Для примитивно рекурсивных функций аь а2, а3 (см. задачу 17). По определению ц-оператора (х, у) е ^равносильно утверждению о существовании таких t0, ..., ty_b ty, что /=0 у^ Л £ |ai(r/)-x| + |a2(r/)-/| + ysgna3U-) + a3(^) /=о = 0. Подставляя р (w, и, /) вместо tb получим примитивно рекурсивный предикат Р {и, v, х, у) такой, что (х, у) е гу<=> 3 и 3 v P {и, v, x, у). (Определение и свойства функции р см. в задаче 34 из § 7 части II.) (г) Следует из (а), (б) и (в). 31. Следует из задач 24 и 30.
Часть III. Теория алгоритмов (§ 3) 241 32. Пусть/частично рекурсивна. Тогда (хь ..., хп) е 57 <^=> 3 у ((хь ..., хп, у) е Tf) <^=> <^>3y3zP(xb ...,xn,y,z) для некоторого примитивно рекурсивного предиката Р (см. задачу 31). Другое доказательство следует из задачи 18 (а) из § 2. 33. Tf= {(ai(t), ..., осл+1(0) I ^G ^"} Для подходящих примитивно рекурсивных функций аь ..., ал+1 (см. задачи 31 и 17). Функция g(0 = (x/i+i(0 примитивно рекурсивна и P/=pg. 34. Следует из задач 20 и 33. 35. Пусть (хь ..., хп) е Af <=> 3 у Р(хь ..., хл, у) для примитивно рекурсивного предиката Р. Тогда Хлг(*1, ..., *л) = о (до [ЭрС*!, ..., хл, у) = 0]). Обратное следует из задачи 32. 36. (а) Пусть множество AczJfn рекурсивно перечислимо и/л частично рекурсивна. Тогда f(A) = {g (t) \ te Jf}, где g (t) = =f(ai(t), ..., an(t)) для общерекурсивных функций аь ..., ап таких, что А= {(ai(f), ..., an(t)) | te Jf) (см. задачу 17). (б) Пусть А рекурсивно перечислимо,/— частично рекурсивная функция, B=f~l (А). Тогда Х|(х1? ..., хп) = %%(f(xb ..., хп)) и В рекурсивно перечислимо (см. задачу 35). 37. х*(*ъ .», хп) = х*Грсь ..., хп, а) (см. задачу 35). 38. f(xu ..., хт у) = 0 <^=> 3 г Р(хь ..., хт у, z) для подходящего примитивно рекурсивного предиката Р (см. задачи 37 и 4). 39. График функции g есть объединение графиков частично рекурсивных функций /к (ХЬ •••> хл) + %*Мк (ХЪ •••> хл)- 40. График гу рекурсивно перечислим. Поэтому существует примитивно рекурсивная функция G(xb ...,xn,y,z) такая, что f(xb ..., xn)=y<*3z (G(xb ..., хл, j, z) = 0).
242 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Имеем /(*!,...,хп) = l(\it[G(xu ...,хю l(t\r(t)) = 0]). 41. Если %г примитивно рекурсивна, то взять в качестве g функцию %г. Обратно, = sg ((sgj + ^(xi,..., х„, 0))- sgY[(g(xu ..., х„, /) + g(xb ..., хп, у)) i=0 42. Доказывается аналогично задаче 42 (а) из § 1. 43. Пусть % j/\#<X) = U(m, х) для некоторого т (см. задачу 21 из § 2). Имеем те Н <=> % tf \#(x) = f^(w, *) не определено <=> <=> V у (Тх (т, т, у) Ф 0) <=> т <£ Н. 44. Положим [Дхь ..., хп), если (хь ..., х„) е 5/? g(xb ..., х„) = [0 в противном случае; g есть общерекурсивное доопределение/(см. задачу 37). 45. Пусть М— рекурсивное множество. Тогда %j-\m(x) = V(m, x) для некоторого т. Имеем m e Af <=> %л\м(т) = 1 <=> V(m, т) = \ <=> т<£ М. 46. Например, sg U(x, x). 47. Например,/(х) = х • sg (U(x, x) + 1). Пусть f(x) = \Ly\g(x,y) = 0]. Тогда U(x, x) определено <=> g(x, х) = 0 и, следовательно, множество Низ задачи 43 рекурсивно. Пришли к противоречию. 48. Пусть G — рекурсивно перечислимое множество и g (x) — рекурсивная 1-1-функция, перечисляющая G (см. задачу 22). Пусть h (х) = V(g (х), х) + 1. Тогда h (x) = V(g (m), x) для некоторого т. Тогда h (т) = V(g (т), т) + 1 = V(g (m), т). Пришли к противоречию.
Часть III. Теория алгоритмов (§4) 243 § 4. Нумерации Клини и Поста 2. (а) Следует из 1 (д). (б) Индукцией по п. 3. (a) f(xu ...,xn)=f(xu ...,хп) + 0 у = U(a,y,xu ...,xn) = = Кп+\с(а,у),хъ...,хп). (б) Следует из (а) и задачи 2 (а). 4. Имеем/(х) =/(*) + 0 • у = К3 (а, у, х) = К2 ([а, у], х). Таким образом, числа [а, у] при у = О, 1, ... являются клиниевскими номерами/(х). 5. (а) Имеем К (и, K{v, x)) = К{[т, и, v], x) для некоторого т, тогда /(и, v) = [т, и, v] — искомая функция. (б) Имеем \ьу [К3(и, х, у) = 0] = К3 (а, и, х) = К {[а, и], х) для некоторого а. (в) Пусть \F(u, 0) = 0, [F(u, х +1) = К(и, F(u, x)). Тогда F(u, х) = К([Ь, и], х) для некоторого Ь. (г) К (и, х) + K(v, x) = К([п, и, v], x) для некоторого п. 6. Пусть s=kc, q = Kd. Положим/(0) = c,f(l) = dn /(*) = [т, /(/(Г)), f(r(tm если x = 3t,t±0, [b, f(t)], если x = 3t + l,t*0, [n9f(l(t))9f(r(t))]9 если х = 3t + 2, где т, b, n взяты из указания к задаче 5. Тогда/есть примитивно рекурсивная функция, перечисляющая множество Р (см. задачу 35 из § 1). 7. F(x,y) = K(f(x),y), где/(х) — функция, построенная в задаче 6, есть искомая функция. 8. Аналогично задаче 5. 9. K(f(xb ...,xn),y) = Кп + 2(е, хъ ...,хп,у) для некоторого е. Тогда g(xi, ..., хп) = [е, хь ..., хп] — искомая функция. 10. (а) Имеем K(f(xb ..., хп, [у, у, хъ ..., хп]), f) = К (а, у, хъ ..., хю f) = = К([а,у,хь ...,хп], t).
244 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ Положим у=а, g(xu ..., хп) = [а, а, хъ ..., хп]. (б) Следует из (а). 11. f(x, у) = К{[а, х], у) для подходящего а. Поэтому f(n, у) = К([а, п], у) = К(п, у) для некоторого п (см. задачу 10). 12. Имеем 1^{х, у) = К([а, х],у) для некоторого а. По задаче 8 существует п такое, что к [а, п] = кп. Тогда кп(0) = кп{п) = п. 13. Имеем \кК(х, у), если К(х, у) определено, xg(x, У) = \ [со в противном случае для подходящей примитивно рекурсивной функции g (см. задачу 9). Далее Kg (х,/(х)) = Kf{x) для подходящей примитивно рекурсивной функции/(см. задачу 10). 14. (а) Положим [0 приу = х, [1 при у фх. Тогда F(x,y) = K(g(x),y) для некоторой примитивно рекурсивной функции g,g=Kn для подходящего п. Поэтому Kg<yf^ = /Сдф где/— функция, построенная в задаче 13. Отсюда Kf(n) 00 = Kg(f(n))(y) = F(f(n), у) = Х{/(п))(У)- Полагаем a=f(ri). (б) Применить рассуждения пункта (а) к функции [0 при у = х, g(x, У) = \ [не определено при у фх. (в) Применить рассуждения пункта (а) к функции [0 при у фх, g(x, У) , [не определено при у = х. 15. По задаче 11 существует число е такое, что ке (х) =g(e, x). Полагаем/= ке. Тогда (F(Ke))(x) = g (е, х) = ке(х). 16. Определим оператор F:
Часть III. Теория алгоритмов (§4) 245 (Дф))(*) О, если а(х) = О, у(ф(5(х))), если а(х) > О, не определено, если а(х) не определено. Функция g(n,x) = (F(ien))(x) частично рекурсивна (см. задачу 39 из § 3). Ввиду задачи 15, существует требуемая функция/ 17. Пусть а е к~1(А), Ъ <£ к~1(А). Если к~1(А) — рекурсивное множество, то функция ж> = JZ>, если хек 1(А), \а, если х<£ к~1(А), является общерекурсивной. Ввиду задачи 10 (б) существует число п такое, что к/(п) = кп. Имеем f(n) g к~\А) ^/ig к~\А) <=> f(n) = Ъ <=> f(n) £ кг\А). Приходим к противоречию. 18. (а) и (б) следуют из задачи 17. (в) Множество В={х\0е 8кх} нерекурсивно ввиду задачи 17. Имеем х е В <=> с (х, 0) е Аъ. Поэтому А3 нерекурсивно, (г), (д) Аналогично (в). 19. Следует из задачи 38 из § 3. 20. Следует из задачи 16 из § 3 и задачи 4, так как пустое множество есть рю. 21. Следует из задачи 17. 22. Следует из задачи 21. 23. Следует из задачи 38 из § 3. 24. Следует из задачи 9. 25. Рассмотрим случай, когда п=1. Если Р=0, то в качестве а(х{) берем какой-либо номер пустого множества. Если Рф0, то, ввиду задачи 17 из § 3, существуют примитивно рекурсивные функции а! и а2 такие, что P={(ah(t), <b(t))\teJlr}. Тогда функция
246 ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ [<xi(f), если <x2(f) = У, [не определена в остальных случаях частично рекурсивна и g (у, f) = Ka(j){t). Функция а искомая. 26. (a) tg 7ixП л^ <=> 3 2?i 3 z2 (I^T(x, 2?i) - t\ +1^T(x, 22) - 11 = 0). Далее применяем задачу 38 из § 3 и задачу 25. 27. (а) te Ькх <=> 3 z (K(x, t) = z). Далее применяем задачу 38 из § 3 и задачу 25. (б) Пусть [0, если у = тгх, h(x, у) = \ [не определено в остальных случаях Тогда h (x, у) = Kg(X)(y) для некоторой примитивно рекурсивной функции g (см. задачу 3 (б)). 28. Следует из задачи 10. 29. Следует из задач 25 и 28. 30. (а) Следует из задач 26 (в) и 28. (в) Следует из задачи 29 для М= {(у, х) \ уфх). 34. Рекурсивная перечислимость К{ следует из задачи 38 из § 3. Пусть А = ка. Тогда хе А <=> с (х, а) е Кх. 35. Следует из задачи 33 и существования рекурсивно перечислимого, но нерекурсивного множества (например, см. задачу 43 из § 3). 36. Полагаем^ (х) = х. 37. Если А — креативное и рекурсивное множество, то -А = ка для некоторого а, но (А(~)ка) U (-АГ\-па) = &•> значит, это множество не содержит/(a). 38. Пусть g= ка m-сводит Ay. В. Строим fB следующих образом. Ввиду задачи 26(e) имеем g~l (пх) = nw^ха). Полагаем fB(x) = = gfAw(x,a). 39. Пусть А креативно, а В рекурсивно перечислимо. Применяем задачу 25 к множеству P = Jfx В. Имеем \Jf, если х е В, 7la(x) = \ [0 в противном случае.
Часть III. Теория алгоритмов (§4) 247 Тогда функция fAa{x) m-сводит В к А. 40. Следует из задач 38 и 39. 41. Ввиду задачи 38, достаточно доказать, что К<т Къ где К — множество из задачи 36. Пусть \{а}, если хе кх, [0 в остальных случаях. Можно считать, что а (х) — общерекурсивная функция (см. задачу 25). Функция а(х) m-сводит К к К2. 42. Пусть машина Тьюринга 7\ правильно вычисляет функцию К{х, у), а машина Т2(х) перерабатывает слово g^OFO в <7i01*0170. Существует примитивно рекурсивная функция т(х) такая, что ХТ2 (х) = т(х). Тогда Т2 (х) • Т{ вычисляет кх. Далее см. задачу 11 из § 2. 43. Полагаем fH (х) = eg (х), где g — функция из задачи 27 (б), а о — функция из задачи 42.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Александров П. С. Введение в общую теорию множеств и функций. — М.: Гостехиздат. 1948. 2. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: Наука, 1977. 3. Биркгоф Г. Теория структур. — М.: ИЛ, 1952. 4. БулосДж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. — М.: Мир, 1994. 5. БурбакиН. Теория множеств. — М.: Мир, 1965. 6. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Сборник задач по дискретной математике. — М.: Наука, 1977. 7. Гильберт Д. Основания геометрии. — М.; Л.: ОГИЗ, 1948. 8. Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. — М.: ИЛ, 1947. 9. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Логические исчисления и формализация арифметики. — М.: Наука, 1979. 10. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. Теория доказательств. — М.: Наука, 1982. 11. Гиндикин С.Г. Алгебра логики в задачах. — М.: Наука, 1972. 12. Гладкий А.В. Математическая логика. — М.: ОГТУ, 1998. 13. Гудстейн Р.Л. Математическая логика. — М.: ИЛ, 1961. 14. Драгалин А.Г. Математический интуиционизм. Введение в теорию доказательств. — М.: Наука, 1979. 15. Ершов Ю.Л. Проблемы разрешимости и конструктивные модели. - М.: Наука, 1980. 16. Ершов Ю.Л. Теория нумераций. — М.: Наука, 1977. 17. Ершов Ю.Л. Определимость и вычислимость. — Новосибирск: Научная книга, 1996. 18. Ершов Ю.Л., Палютин Е.А. Математическая логика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1987. 19. Ефимов Н.В. Высшая геометрия. — М.: Мир, 1971. 20. Йех Т. Теория множеств и метод форсинга. — М.: Мир, 1973 21. Кейслер Г., Чен Ч.Ч. Теория моделей. — М.: Мир, 1977. 22. Клини С.К. Введение в метаматематику, — М.: ИЛ, 1957. 23. Клини С.К. Математическая логика. — М.: Мир, 1973. 24. Клини С.К, Весли Р. Основания интуиционистской математики. — М.: Наука, 1978. 25. Ковалъски Р. Логика в решении проблем. — М.: Наука, 1990. 26. Коэн ПДж. Теория множеств и континуум-гипотеза.—М.: Мир, 1969.
Список литературы 249 27. Куратовский К, Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир, 1970. 28. Лавров И.А. Логика и алгоритмы. — Новосибирск: Изд. Новосибирск, гос. ун-та, 1970. 29. Линдон Р. Заметки по логике. — М.: Мир, 1968. 30. Мальцев А.И. Алгебраические системы. — М.: Наука, 1970. 31. Мальцев А.И. Алгоритмы и рекурсивные функции. — 2е изд. — М.: Наука, 1986. 32. Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. — М.: Советское радио, 1979. 33. Марков А.Л., Нагорный Н.М. Теория алгорифмов. — М.: Наука, 1984. 34. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. — 3-е изд. — М.: Наука, 1984. 35. Новиков П. С. Элементы математической лотки. — М.: Наука, 1973. 36. Новиков П. С. Конструктивная математическая логика с точки зрения классической. — М.: Наука, 1986. 37. Петер Р. Рекурсивные функции. — М.: ИЛ, 1954. 38. Расева Е., Сикорский Р. Математика метаматематики. — М.: Наука, 1972. 39. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику алгебры. — М.: Наука, 1967. 40. Роджерс X. Теория рекурсивных функций и эффективная вычислимость. — М.: Мир, 1972. 41. Сакс Дж. Теория насыщенных моделей. — М.: Мир, 1976. 42. Смалъян Р. Теория формальных систем. — М.: Наука, 1981. 43. Справочная книга по математической логике. Т. I—IV. — М.: Наука, 1982, 1983. 44. Соар Р.И. Вычислимо перечислимые множества и степени. — Казань: Казанское математическое общество, 2000. 45. Столл Р. Множества, логика, аксиоматические теории. — М.: Просвещение, 1968. 46. Тайцлин М.А. Теория моделей. — Новосибирск: Изд. Новосибирского гос. ун-та, 1970. 47. Такеути Г. Теория доказательств. — М.: Мир, 1978. 48. ТарскийА. Введение в логику и методологию дедуктивных наук. — М.: ИЛ, 1948. 49. Успенский В.Л. Лекции о вычислимых функциях. — М.: Физмат - гиз, 1960. 50. ФейсР. Модальная логика. — М.: Наука, 1974. 51. Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. — М.: Мир, 1966. 52. Хаусдорф Ф. Теория множеств. — М.: ОНТИ, 1937. 53. ЧерчА. Введение в математическую логику. — М.: ИЛ, 1960. 54. Шенфилд Дж. Математическая логика. — М.: Наука, 1975. 55. Шенфилд Дж. Степени неразрешимости. — М.: Наука, 1977. 56. Яблонский СВ., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. — М.: Наука, 1966.
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аксиома 64, 65 - бесконечности 100 - выбора 21, 44, 100 - выделения 100 - замены 100 - индукции 99 - множества подмножеств 100 - множества суммы 100 - объемности 100 - пары 100 - равенства 98 - регулярности 100 - теории Р 99 - £98 - Q99 - R 100 - упорядоченной пары 106 - л-ки 106 - Цермело 44 Алгебра булева 23 - высказываний 50 - Линденбаума 72 - подмножеств 23 Алгоритм Евклида 43 Алфавит 50 - внешний для машины Тьюринга 136 - внутренних состояний для машины Тьюринга 136 - исчисления 63, 89 Ассоциативный закон 113 Базис замкнутого класса 58 Бесконечная работа машины Тьюринга 137 Вариант схемы аксиом 65 Введение фиктивного аргумента 126, 132 Вложимость изоморфная 99 - элементарная 116 Вхождение подслова в слово 50 - переменной свободное 75 - связанное 75 Вывод 64, 65, 91 - из множества формул 65, 91 Высказывание переменное 50 Вычисление на машине Тьюринга 137 - правильное 137 Гипотеза континуума обобщенная 120 Гомоморфизм 108 - сильный 108 Грань 23 - верхняя 23 - нижняя 23 - точная верхняя 23 - нижняя 23 График функции 142 Диаграмма 116 - полная 116 Дизъюнкт 51, 56 Дизъюнкция 50, 51 - элементарная 51 Дистрибутивность полная 21 Д.н.ф. 51, 52 Доказательство от противного 67 Доопределение функции 142 Дополнение бинарного отношения 14 - множества 7 - элемента в булевой алгебре 23 Закон двойственности 55 Значение истинностное 76 - терма 58, 76
предметный указатель 251 - формулы 51 - функции 14, 15 Изоморфизм алгебраических систем 99, 108 - частично упорядоченных множеств 23 Импликация 50 Индукция возвратная 104 - трансфинитная41, 43, 107 Интерполянт 69 Истина 51 Исчисление высказываний 63 - ИВ 65 - ИВВ65 - ИИС73 - интуиционистское 66 - ИС63 - L73 - предикатов 89 - ИП 91 - ИПР 98 - ИПС89 - с равенством 98 Итерация 126 Квазивывод 91 Квантор общности 74 - существования 74 - единственного числа 98 Класс абстрактный 116 - аксиоматизируемый 116 - алгебраических систем данной сигнатуры 82, 116 - замкнутый 58 -конечно аксиоматизируемый 116 - наследственный 122 - предполный 58 - смежный 22 - универсально аксиоматизируемый 116 - эквивалентности 22 -С57 -С0 59 -Q59 -D59 - KEG 82 -L59 -М59 К.н.ф. 51, 52 Команда 136 Композиция машин Тьюринга 137 Конечный характер семейства множеств 44 Константа предметная 74 Континуум 32 Контрапозиция 67 Конфигурация 136 Конъюнкт 51, 55 Конъюнкция 50, 51 - элементарная 51 Кортеж длины л 142 Лемма Тейхмюллера-Тьюки 44 - Цорна 44 Литерал 51 Ложь 51 Матрица логическая 66 Машина Тьюринга 136 Метод бесконечного спуска 104 Множества изоморфные 23 - подобные 35 - равномощные 31 - равные 7 - эквивалентные 31 Множество 7, 142 - бесконечное 31 - вполне упорядоченное 23 - вычислимое 142 - вычислимо перечислимое 142 - функций из А в В 15 - конечное 31 - континуальное 31 - креативное 148 - линейно упорядоченное 22 - примитивно рекурсивное 142 - пустое 7 - рекурсивно перечислимое 142 - рекурсивное 142 - самодвойственное 29 - счетное 31 - творческое 148 - транзитивное 43 - универсальное 7 - формул выполнимое 96 - неполное 92 - непротиворечивое 65, 92 - полное 92 - противоречивое 65, 92 - частично упорядоченное 22
252 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ - ЛГ6 — 26 - £6 — 26 - ЗВ6 - /я-сводимое 148 - /^-универсальное 148 - л-ок 142 Модель 76 - арифметики стандартная 100 - нестандартная 104 - теории 99 Мощность 31 - алгебраической системы 76 - континуума 32 - порядкового типа 35 -п 31 - Ко 31 -с 31 Надмножество 7 Номер клиниевский 148 - команды 138 - машины Тьюринга 138 - постовский 148 Нумерация клиниевская 148 - постовская 148 Обеднение 76 Область действия квантора 75 - значений 14 - определения 14 Обогащение 76 Образ множества 14 Обращение 126 Объединение 7 - посылок 66 Оператор минимизации 125 - ограниченный 125 - подстановки 124 - примитивной рекурсии 124 - суперпозиции 124 - эффективный 151 Орф 125 Остановка машины Тьюринга Отношение антисимметричное - бинарное 14 - включения 7 - иррефлексивное 22 - на множестве 14 - обратное 14 - принадлежности 7 - рефлексивное 22 - симметричное 22 - транзитивное 22 - л-местное 15 Отображение естественное 26 - монотонное 23 - элементарное 116 Отождествление аргументов 127, 132 Отрезок начальный 36 Отрицание 50 - тесное 55 Переменная предметная 74 - пропозициональная 50 - свободная 75 - связанная 75 - существенная 57 - фиктивная 57 Перерабатывание машинного слова 137 Пересечение 7 Перестановка 64, 90 - аргументов 126, 131 - циклическая 126, 132 Подмножество 7 - плотное 38 - собственное 7 Подмодель 76, 117 Подобие множеств 35 Подсистема 76 - порожденная множеством 117 - собственное 76 - элементарная 116 Подслово 50 Подстановка 14 - в слово 50 Подформула 51, 75 Полином Жегалкина 60 Порядковый тип 35 - двойственный 36 - п 35 - со 36 - К 36 - л 36 - X 36 Порядок двойственный 22 - линейный 22 - плотный 38 - полный 23
предметный указатель 253 - частичный 22 Правило вывода 63 - введения логического символа 63, 64, 67, 70, 89, 90, 95 - удаления логического символа 63, 64, 67, 70, 89, 90, 95 - допустимое в ИВ 66 - ИС65 - ИВ 65 - ИП91 - ИПС89 - ИС63 - modus ponens 65 - подстановки 66, 69 Предикат 75 - вычислимый 142 - примитивно рекурсивный 142 - рекурсивный 142 Предложение 75 - относящееся к алгебраической системе 76 Предпорядок 22 Принцип индукции 107 - максимальности Куратовско- го—Хаусдорфа 44 - наименьшего числа 104 - трансфинитной индукции 41, 43 Программа машины Тьюринга 136 Произведение декартово 13 - кардинальных чисел 44 - отношений 14 - порядковых типов 36 - приведенное 109 - прямое 13, 108 - семейства множеств 15 - слов 50 - фильтрованное 109 - частично упорядоченных множеств 28 Прообраз множества 14 Противоречие 51 Прф 125 Равенство множеств 7 Разбиение 25 Разбор случаев 66 Разветвление машин Тьюринга 138 Разность множеств 7 - порядковых чисел 42 Расширение 64, 76, 90 - модели 76 - системы 76 - элементарное 116 Расщепление посылок 66 Результат замены 50 - подстановки 50, 75 Рекурсия возвратная 125 - по двум переменным 147 - примитивная 125 - совместная 131 Релятивизация 82 Рефлексивность 8, 32.37 Решетка 23 - дистрибутивная 23 Сведение к противоречию 64, 90 Сводимость 148 Связка логическая 50 С.д.н.ф. 52 Сегмент 28 Секвенция 63 - выводимая 65 - доказуемая 65 Семейство подмножеств 7 - Чх 148 - ^ 148 Сечение 66 Сигнатура 74 Символ ^ 6 -^6 -<=>6 Символы алфавита 50 - вспомогательные 50, 74 - логические 74 - предикатные 74 - функциональные 74 Симметрическая разность 8 Симметричность 32, 37 Система аксиом класса 116 - независимая 66 - элементарной теории 99 - алгебраическая 76 - нормальная 82 - предложений независимая 99 - схем аксиом независимая 66 - формул независимая 66 - противоречивая 63 - функций независимая 58 - полная 58 - элементарно вложимая 116
254 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Системы элементарно эквивалентные 116 С.к.н.ф. 52 Скобки 50 Скулемовская нормальная форма 82 Следствие непосредственное 63, 65, 91 Слово 50 - машинное 136 Сокращение 64, 90 Соответствие взаимно однозначное 14 Спектр формулы 88 Степень кардинального числа 45 - множества 13 - порядкового числа 37 Структура 23 Сумма кардинальных чисел 44 - порядковых типов 36 Суперпозиция 58, 124 Схема аксиом для ИВ 65 ИП 91 - ИПР 98 - ИПС89 - ИС63 - примитивной рекурсии 124 Таблица истинности 51 Тавтология 51, 81 Теорема адекватности 97 - Гёделя о полноте 97 - интерполяционная 69, 123 - Кантора-Бернштейна 32 - Лёвенгейма-Скулема 97, 120 - Линденбаума 96 -Лося 114 - Мальцева локальная 97, 118 - о компактности 97 расширении 118 - о графике 143 - дедукции 70, 73, 95 - делении с остатком 42 - замене 68, 71, 85, 93, 96 - неподвижной точке 150, 153 - полноте 69, 72, 102 - существовании модели 97, 118 - Поста 62, 144 - Раиса 151 - Робинсон Ю. 135 -Робинсон Р. 134 - Стоуна 31 - Цермело 44 Теоремы теории 98 Теория категоричная 122 - ш-категоричная 122 - равенства 99 - элементарная 98 - неполная 99 - непротиворечивая 99 - полная 99 - противоречивая 99 -£99 - Р99 -Q99 -R99 -ZF100 Терм 58 - замкнутый 75 - свободный для переменной в формуле 75 - данной сигнатуры 74 Транзитивность 8, 32, 37 Трихотомия 45 Ультрапроизведение 109 Ультрастепень 109 Ультрафильтр 24, 108 Условие индуктивности 29 - минимальности 29 - обрыва убывающих цепей 29 Утончение 64, 90 Фактормножество 22 Фильтр главный 108 - максимальный 24 - на булевой алгебре 23 - над множеством 108 - простой 24 - счетно полный 108 - Фреше 108 Форма дизъюнктивная нормальная 51 - конъюнктивная нормальная 51 - нормальная Клини 146 - предваренная нормальная 81 - пренексная нормальная 81 - совершенная дизъюнктивная нормальная 52
предметный указатель 255 - совершенная конъюнктивная нормальная 52 Формула алгебры высказываний 50 - атомная 75 - выводимая 65, 92 - из множества формул 65, 92 - выполнимая 51, 81 - данной сигнатуры 75 - двойственная 55 - доказуемая 63 - зависящая от системы формул 66 - замкнутая 75 - истинная 76 - ложная 77 - независимая от системы формул 66 - общезначимая 66 - опровержимая 51 - семантически следующая из системы формул 81 - следующая из системы формул 63 - тождественно истинная 51, 81 - ложная 51 - универсальная 81 - условно фильтрующаяся 109 - фильтрующаяся ПО - хорновская 114 - экзистенциальная 82 Функция 14 - Аккермана 135 - алгебры логики 57 - большого размаха 130 . - всюду определенная 124 - выбора 44 - вычислимая 125 --по Тьюрингу 137 - Гёделя 130 - кусочно заданная 128 - линейная 59 - монотонная 59 - нигде не определенная 132 - нумерующая канторовская 129 - клиниевская 148 - общерекурсивная 125 - правильно вычислимая 137 - представимая термом 58 - представляющая 142 - примитивно рекурсивная 125 - простейшая 124 - самодвойственная 59 - скулемовская 85 - существенно зависит от переменной 57 - универсальная 126 - характеристическая 20, 142 - частичная 142 - частичная числовая 124 - частично вычислимая 125 - частично рекурсивная 125 - ^-мажорируемая 136 - л-местная 15 Цепь 22 Число кардинальное 32 - бесконечное 32 - конечное 32 - конструктивное 133 - непосредственно следующее 38 - общерекурсивное 133 - ординальное 36 - порядковое 36 - предельное 37 - элементов множества 31 Чрф 125 Эквивалентность 22 - множеств 31 - формул 51 - элементарная для систем 116 Элемент максимальный 22 - минимальный 22 - наибольший 22 - наименьший 22 - непосредственно следующий 38 ^Г-подсистема 116 ^-расширение 116 ^-система 116 /я-сводимость 148 V-формула 81 3-составляющая 87 3-формула 81 3\/-формула 82 ji-оператор 125 1-1-функция 14
Учебное издание ЛАВРОВ Игорь Андреевич МАКСИМОВА Лариса Львовна ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ, МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ И ТЕОРИИ АЛГОРИТМОВ Редактор Легостаева И. Л. Компьютерная верстка Пелипенко О. А., Тарасюк Л. В. ЛР№ 071930 от 06.07.99. Подписано в печать 25.02.04. Формат 60x90/16. Бумага офсетная № 1. Печать офсетная. Усл. печ. л. 16,0. Уч.»изд. л. 16,0. Заказ № Допечатка тиража Издательская фирма «Физико-математическая литература» МАИК «Наука/Интерпериодика» 117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90 E-mail: fizmat@maik.ru, http://www.fml.ru Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099 Москва, Шубинский пер., 6 ISBN 5-9221-0026-2 9||У85922,|10026У