УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
Н-55
Н-55 Несобственные и Эйлеровы интегралы: контрольные работы
/Составители А.Л. Калашников, В.Н. Фокина, А.М. Федоткин, Н. Новгород,
ННГУ, 2005, 28 с.
Составители: канд. физ.-мат. наук, доцент каф. ЧиФА
ННГУ А.Л. Калашников
ассистент каф. ЧиФА ННГУ В.Н. Фокина
ассистент каф. ЧиФА ННГУ А.М. Федоткин
Рецензент: канд. физ.-мат. наук, доцент каф. ЧМФМП ННГУ
В.С. Кротова
Разработка содержит варианты контрольных работ по разделу курса
«Математический анализ», относящийся к несобственным интегралам без
параметра и с параметром, Эйлеровым интегралам. Исследуется их
сходимость и равномерная сходимость, дифференцируемость. Разработка
будет полезна при проведении практических занятий по математическому
анализу у студентов факультета ВМК и самостоятельной работы.
УДК 517.1(075.8)
ББК 22.161
Глава 1. Несобственные интегралы 1-го рода.
1.1	Контрольная работа.
Вычислить несобственные интегралы 1-го рода по определению с ис-
пользованием формулы Ньютона-Лейбница или установить их расходимость
г x~dx
’ (х2 + 1)(х2 + 2) ’
3
1
1.2	Контрольная работа .
Используя признаки сходимости для знакопостоянных функций, иссле-
довать сходимость несобственных инте^алов 1-го рода:
4
5
1.3	Контрольная работа.
Найти все значения параметров а и 0, при которых сходятся интегралы
1-го рода от неотрицательных функций:
6
1.4	Контрольная работа.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость несобственные
интегралы 1-го рода:
rsin2x ,
з. I------
2 х
7
ио
7. J
о
8.
dx-
9.
Jxcosx’tZr.
0
оо
10.
11.
cos 2x
o . „2
12.
о
о
sign sin In x
14.
13.
16.
19.
°rsinlnx
cosx
COSX
ecosx sin sinx
co sin x •
ce sin sinx
(sinx )
1 — e
22
23.
о
о
15.
18.
25.
31.
34.
sinx dx
1 -e
°f 1 sinx
21. IVxln 1--------
J	v — I
24.
Г-----sin 2xdx.
i x
oc	•
ce sinx
26.
2
2
28.
'rcosl Ox-
29.
es,nx sin sinx
32.
jsinx arctg2xdx •
1 ^'-X
e sinx
sinx
i e
2
2
; 35.
27.
30.
33.
8
1.5 Контрольная работа.
Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значени-
ях параметра а несобственные интегралы 1-го рода:
oo a
rX sinx
Г COSX
2 x“ +lnx
3.
2
00
4.
2
(x + l)a sinx
Inx
“r sinx
I (In(x-hl)-lnx)
sinx
оо
cosx
2
1 1
arctg - arctg 2
7.
J(2x-coslnx)“
8.
QO
|(xorcfgx - ln( 1 + x))“ sin xdx •
2
00
9. J
i
cosx
(2xcoslnx)“
□0
г cos
00
10.
11.
 Л .	3 ,
— sinx dx-
,Ct	9
12.
“fCOSVX
* xa Inx
13.
oo 2	3
f X COSX
/ (3x - arctgxy
14.
оо
/7
оо
15.
18.
jx“ sinsinxdk •
i
21.
xa sin x ,
---------dx •
16.
19.
22.
7sin In x .
I---—sinxar •
sin sin —
.Cf
QO
fx* sin x2dx •
i
17.
20.
23.
jx“ sin—cosxtZr.
i	x
□о
9
10
Глава 2. Несобственные интегралы 2-го рода.
2.1 Контрольная работа .
Вычислить несобственные интегралы 2-го ропэ с помощью формулы
Ньютона - Лейбница или установить их расходимосл ь:
Г dx
о xln“ х ’
V sinx + cosx .
9. L/ =dx-
- vsinx-cosx
н
2
26. f i . —dx ^
о
36. JxlnsinxJx.
0
2	1
37 J(lncosx)cos2xtZr • 33 Jx2lnxtZr-
о	0
40.
1
0
2.2 Контрольная работа.
Исследовать на сходимость интегралы 2-го рода, используя признаки
сходимости для знакопостоянных функций:
16 + х .
------•
16-JC4	
12
13
2.3 Контрольная работа.
Найти все значения параметров а и 0 при которых сходится интеграл
2-го рода от знакопостоянных функций:
10.
13.
I---------dx
J с fix —cos X
2rcos2 lx-е 4x* .
------------------dx
0
, ln"c/?| i]
f_VZ
/ In (1 + x)
carctg(x-1)
-emx
8.
0
11.
1 x
jex-Cf(7x.
о
2 a cosx i . -s
re -vl + 2cosx
cos5 X
jc7?((2r) - 1 n( 1 + x2) -1
0
3V8-x3 -2
f Infgx
Д 4x cosx - 7i sin x)"
ln(2 + x)dv;
0
fin 71 + 2x -xe x ,
I-----------------dx
1 - cos" X
I
18. J(x(l-x))"dr.
0
fSin(arcsmx + x )-x ,
I-------------------dx -
,, sin" x
20.
carctg(x2 +x2a ,
I——-----------—dx-
J xln"(l + x)
'f (l-x)2
^arctga(x-x2)
0
14
fx"(x + 3)
25- / vl-x
I
27, Jx"(l-x)/j InxtZr-
о
ff
2
28 Jsin xcos"xJy-
о
30.
"r sin" 1 x
J (I + /7cosx)"
2.4 Контрольная работа.
Исследовать на абсолютную и условную
сходимость несобственные
интегралы 2-го рода:
0.5 з.
rcos Inx
Л xlnx
л-
2
. 1
1 sin
о
sin — dx
X
’rx + 2 . 1 ,
10	-----sin—dx
n X X
15
В примерах с 11 по 35 исследовать на абсолютную и условную сходи-
мость при всех значениях параметра а, р несобственные интегралы 2-го
рода:
1	1  а
(а	1 ,	(Sin*
20 |х arctgxcos—ax  21	---г—
п	х ’	' • х
. 1
23	----------sin —
о х х
1
1 cos—
24. [—г=^;
о ха \ 1 - X
1
4 cos-
25 f----—dx-
0 A
26.
. 1
1 sin —
о
1
3 j ^arctgx^dx •
0
16
Глава 3. Несобственные интегралы зависящие от параметра.
3.1 Контрольная работа.
Доказать равномерную
сходимость несобственного интеграла при
а е Е:
00
0.5
1.
j х In X
2.
£ = [3;со).
ОС1
3.
4.
О
о
2
5.
Je т cosxdx;
о
Е = [1;оо);
6.
9.
£ = [2;4];
7(ln2 x)sinx
з (х-2Г ’’
7 ln2x
8.
о
о
10. J
о
xdx
ln(l + x)arctgax
cosox
л . ^2
i
,а
J 2
°(х-1)\2-х)
E = [0:2];
0 H_y-2V
rcosx ,
14-
2 Л
E = a > 0-
17
cos ox In r
15.
16.
x sin ax
i
QC
17.
18.
о
£ = [0;oo).
2 v5
19.
x2 - a2
2 .	2x2
20.
sin(or5)
о
21.
о
22 jsin(as7rc)<7r;
о
23
|cosxff(/x; E = [2;oo).
0
ra cos(a2x)
J a + xa
2T = [4;6];
25.
[sin 2x sin —dx, E = [0;0,5].
J	v-	*
0	Л
°rsin(a4x)
J x + a2
E = [l;oo);
27.
E = [2;5] •
28.
о
i
£ = [2;4];
29.
2r dx
J(x-ir’
2
3
30.
QC
31.
6»
ZT = (-oo;0];
32.
о
y-'^'dx,
0
E = [0;3].
33.
Jx3e-“*
0
34.
rlnff X
—=-sinxdc, £ = [0;l].
Г x
35.
|e (IXarctgccc'dx, E = [1;qo)
0
18
3.2 Контрольная работа.
Исследовать на равномерную сходимость несобственный интеграл от
параметра а е Е:
3 ^e-^dx, Е = (0;оо).
2	Е = [0;1].
О
°fsinx2
4.	£ = [°;оо);
6. fsinl^. Е = (0;2).
п X X
7 f°rC,g^-<fc, Я = [0;0,5].
ЛД1-х!)“	’
г dx	£ 5
i |1п(ах)|“	.2 8_ ’
J s dx, Е = [0;1].
ао
12.	Е = [0;«>);
О
ее»
Г 2 -ах2 >
13 Jx е dx,
о
Е = (0;ео).
оо 1 а
fin X .
14. I------sinxdx,
J у
Е = [1;со);
’ _£1 + х2 +а2’
Е = (-оо,оо);
г (х2 - а2 }dx
’ о (х2 +а2)4х^
Е = (О;0;
19
*r dx
oyltl-xW-ax)’
a)E = O^l, b)F. = (0;l);
к 2/
26. Jsinx"d5c,a)E = [2;co),^)E = [l;oo).
о
27. Jcos(ox3)tZr, E = (2;oo).
28.
30 P*n6tX cosxrfr, E = [2;3].
‘ о x
31 jsin(ax + J2)tZr, Е = (0;3].
о
□0
32. jsin(a -2x)dx, E = (l;2].
0
nt
34 (xa 'e-xdx, £ = [3;10].
2
35.
£ = [-l;l];
36. f-sin--2“<fc, £ = (-оо;1].	37. jf0^x	£ = (-oo;oo);
f.x x	f ylx 4 + a x
20
38	£=(2;3);
 о x
39 j(cosx2)arcfg(Qx)dfc,
0
£ = (—co;co).
<r 2
40 jx 3 s\n(a2x)arctg(ax)dxy
i
3.3 Контрольная работа.
Исследовать на непрерывность несобственный интеграл от параметра
при а е Е:
1 р (л й) dx, Е = (-со; ос) .
о
00
3 р1п(ох2)<£с, £ = [1;оо).
о
1 .
rsinx .	1
5.	£ = [°;П;
о х
7.^, £ = (2;оо);
2 + х
г Inx ,	,	.
9 J7	\2—7	£ = (- 00,оо).
'(х-а) +4	4	7’
cos ох
2.
4.
6.
8
10.
о
1
. а
1 sin—
£ = (0;1].
о
о
smx
----е
xdx
'10 —4х + ха’
21
Е = (-оо,оо).
Е = [0;оо).
19 Je т sin x2dx,
о
Е = [О;®).
2i.	£=(°;|];
О |Sin х|
г с х dx	Гл .1
23. J /Г---р Е = М;
о ^|x - а\
рп(1-а2)х	,	.
25. J—----------Е = (-оо;оо).
о х
29. je-™ sin Jxdx, Е = (0,оо).
о
30 fx3cos—dx, £ = (0;2)
’ i х
" 2
22
3.4 Контрольная работа.
11айти область дифференцирования несобственного интеграла от пара-
метра а и применить правило Лейбница:
7sin ах
1. J—«>°;
1 х
г cos ох
П + (х + а)2
ОС
3 Je х cos axdx, |«| < оо .
о
fcos^zr
4	-----г- ах, а > 0.
Л + х2
xsincrx	.	I I
-----<2 <00.
1+х2)2	11
6.
о
г sin ах .	। .
7. Jt—Г^
л 1 т д
8.
□о
о
rl -COSCPC ,	| .
9. J---------е dx,
О	л
10.
г sin ах
о
f arctgax . ,
II. J-™A, |а|<со
о xvl-х
12.
о
13.
I х у]х - 1
14.
У 1п(1 -а2х2)
О Х2л/1 — х2
“ - х2+4
15. Iе 1 Х «>о.
о	’
rxsincix .	. .
23
fln(l + ax')
“>0;
co
19 Je~ax cosxdx, a>0.
о
"r arctg ax	.	। ।
21. J----2— arctgxdx, |a| < oo.
oc
f	. sinx ,
22. к sinar--------dx,
J	x2
0
a > 0-
5
25. fxe sifi a > 0;
0
fl — e .	, .
27.	I---------sinxdxdx, a >0-
* x	’
0
00
29. sin л/xdv, a > 0 •
о
00
24.	* cos axdx, |a| < oo.
о
”fl —e-ar
26. --------cosxdfr, tz>0.
о x
7l-e “
28 ---------cos xdx, a > 0 •
‘ о xex
34.
з
arctgxdx, a > 0;
0
fln(1 + ar x ). ..	2\>
35. J------~4—“ln(l + x2)dx, a>0;
/ x
36.
cos ax - cos x
2
0
38.
00
0
2
COSQXiZr
39. [x4e r cosaxtZx, |ar| < oo •
40.
,x>	- ax • 2
re sm x
J Zz
о
24
Глава 4, Эйлеровы интегралы.
4.1 Контрольная работа.
Используя Эйлеровы интегралы, вычислить интегралы:
2	_______________________________
।
гх° ' Inx J
16. J—j----dx, 0<я<1.
о ’ + x
я
2
19. \tg2a~'xdx,0 < a < \.
о
x
2
17. |sin4 xcos6 xdx •
0
Я • p
fs,n x 1	1
|------dx,p> 1 •
“ 1 + cosx
21.
r tg 'xdx
’ (sinx + cosx)2 ’
0<a <1
25
22.
• sin2" xcos" 1 x
„ (sin2 x + 2cos2 x)a+e
dx, a >0, fl > 0;
2
23. jsin" xcos^xcbc, a >-!,/? >-l-
о
24.
г sin" 1 x
о (1 + flcosxfl
dx,0 < fl < l,cr > 0;
2	3	|
25. jsin2 xcos2 xdx;
0
’j* dx
о \ 3 - cos x ’
oc
27. jx^e'^dx.
о
28.	dx.
о
2
30. jsin/’xlnsinxdk>H>-l• 31 jxex’cZr-
о	0
X
2
37. jsin6 xcos4 xdx ;
0
at
39 InxtZr.
0
40 je * In2 xdx
0
4.2 Контрольная работа.
Определить область существования и выразить через Эйлеровы инте-
гралы:
2.
|х"(1-х^)сЬс;
о
26
• a
C sm
2
28.
о
о
sin “ x In sin xdx . 29
0
л
2
Jsin" xln cosxt/x .
я
sin X
а-1
J11 + k cos x
0
----------,0 < к < 1 .
1 + к cos x	’
31. J
О
2\а i
27
28
Несобственные и Эйлеровы интегралы
Контрольные работы
Составители: Александр Львович Калашников
Валентина Николаевна Фокина
Андрей Михайлович Федоткин
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования «Нижегородский государственный
университет им. Н.И. Лобачевского»
603950, Нижний Новгород пр.Гагарина 23.
Подписано в печать 10.11.2005.	Формат 60x84 1/16. Бумага
газетная. Печать офсетная.Гарнитура Таймс. Усл. печ. л. 1,75.
Зак.№ 1515. Тираж 200 экз. Бесплатно.
Типография Нижегородского госуниверситета. 603000. Н.Новгород,
ул.Б.Покровская, 37.Лицензия ПД №18-0099 от 14.05.01