С. А. ПАН КРАТОВ
доктор технических наук профессор

ДИНАМИКА МАШИН
ДЛЯ ОТКРЫТЫХ ГОРНЫХ
И ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ

(ОСНОВЫ ТЕОРИИ И РАСЧЕТА)

ИЗДАТЕЛЬСТВО <МЛШП ВОСТРОЕ III! Е>

Москва — 19G7
УДК 621 879.-1S00I 1 001.24

В ы иге изложены основы теории динамических процессов
в машинах тля открытых горных и земляных работ, входящих
в роторные комплексы' роторных экскаваторах, отвалообраю-
щтелях н ленточных конвейерах Большое внимание отведено
теории динамических процессов, описываемых нелинейными
системами дифферента чьны.х у равнений, в том числе задачам
динамического расчета конструкций отвалообразователей н ро
торных экскаваторов, содержащих канаты и ванты большой
длины.

Излагаются практические способы решения нелинейных за-
дач динамики машин для открытых горных п земляных работ,
основанные па аналитических методах, и методы решения на
электронных вычислительных машинах. Дается решение основ-
ных задач по динамике перехо шых и стационарных режимов
ленточных конвейеров и методы оценки напряжении в ленте
при переходе через ролпкоопоры. Излагаются основы методов
спите >а оптимальных динамических систем машин.

Книга предназначена для научных и нпжеперно-те.хппче-
ск lx работников научно-исследовательских, проектных и кон-
структу) скнх организаций и заводов, занимающихся исследо-
ванием, проектированием, расчетом, конструированием н про-
изводством машин для открытых горных н земляных работ
Опа может быть полезна также студентам старших кхреов
инжеперно-стронтсльных, политехнических и горных вузов

Рецензент д-р техн наук И. П. Крутиков
3—2—7

186—67


Светлой памяти моего брата.

ПАНКРАТОВА Виктора Александровича,
отдавииго жизнь в боях за Родину в 1943 £>
посвящается этот труд.

ВВЕДЕНИЕ

В последние годы в СССР получили значительное развитие исследо-
вания в области создания и использования на открытых горных работах
комплексов машин непрерывного действия: роторных экскаваторов
(рис. 1), ленточных конвейеров (рис. 2) п отвалообразователей (рис. 3).

Эти комплексы машин обеспечивают наивысшую производительность
труда на открытых горных работах н являются наиболее экономически
эффективными средствами механизации вскрышных и добычных работ
на карьерах открытой добычи полезных ископаемых.

Эффективность роторных комплексов тем выше, чем больше произво-
дительность н радиус действия машин. Этим объясняется то, что в по-
следние годы спроектированы и изготовлены роторные комплексы
с громадной производительностью и радиусом действия. Производитель-
ность роторных экскаваторов доведена до 10—И тыс. м3 грунта в час,
длина стрелы отвалообразоватсля до 180 м. а скорость ленты конвейе-
ров до 7—9 м!сек.

Естественно, что при этих условиях приобретают исключительное
значение вопросы долговечности и надежности машин, входящих в
комплексы. Каждый час простоя машин вызывает большие убытки.
Выход из строя одного агрегата вызывает простои всего комплекса ма-
шин. В то же время излишние запасы прочности приводят к увеличению
начальной стоимости машин. Часто получаемые при этом параметры
машин оказываются неприемлемыми ни с конструктивной, ни с техноло-
гической точки зрения.

Необходимо также отметить, что в ряде случаев увеличение веса
узлов и кажущееся на первый взгляд увеличение прочности не только
нс приводит к большей надежности н долговечности машин, ио даже к
уменьшению их. Так, увеличение площади поперечного сечения канатов
подвесок стрел большой длины может привести к тому, что пзгпбные
напряжения в местах заделок канатов ввиду больших амплитуд попереч-
ных колебаний при условии резонанса окажутся столь существенными,
что, несмотря па снижение напряжений растяжения, эквивалентные рас-
четные напряжения на усталость не уменьшатся, а увеличатся.

Успехи науки в области расчетов машин для открытых горных работ,
достигнутые в последние годы, столь значительны, что их трудно пере-
оценить. Многочисленные экспериментальные работы ио исследованию
действительных нагрузок и напряжений в узлах машин позволили разра-
ботать более совершенные методы расчета. Эти методы расчета с боль-
шим успехом внедряются на заводах. Однако широкое внедрение новых
методов расчета сдерживалось необходимостью достаточно быстрого
проектирования ввиду ограниченного срока, отводимого проектировщи-
кам новой техники. В последние годы получило развитие применение
Рис 1 I’oicjpnuii экскаватор па карьере открытой добычи полезных
ископаемых

Рис. 2 Ленточный KOiiiiviicp на карьере открытой юбычн полотых ис-
копаемых
вычислительной техники для выполнения наиболее
трудоемких расчетов и возможности внедрения в
проектирование новых методов расчета шачитсль-
110 расширились. Многие заводы и проектные нпстп-
туты, ведущие проектирование и изготовление но-
вых образцов машин для открыт! х горних и земля-
ных работ, оснащены лучшей вычислительной аппа-
ратурой.

Нельзя считать оправданным то положение, при
котором возможности вычислительной техники не-
измеримо выше, чем уровень применяемых мето тов
расчета машин, тем более чю погрешности этих
мето юв могут быть весьма существенными

Вычислительная техника дает возможность ин-
женерам находить решения в значительно более точ-
ной постановке.

Применение более современных методов расче-
та позволит иначе оценить методы проектирования
машин. Сейчас более ясны недостатки применяю-
щихся в настоящее время методов проектирования
и расчета и необходимость разработки принци-
пиально новых методов расчета и проектирования
машин, основанных па применении вычислительной
техники.

Основными недостатками методов расчета п
проектирования машин дчя открытых горных работ,
которые используются в настоящее время, яв-
ляются:

I)	Отсутствие учета статистических закономер-
ностей, свойственных рабочим процессам машин
для открытых горных и земляных работ, н учета
статистического распре юления условий работ в ши-
роком смысле.

2)	Отсутствие экономико-статистических расче-
тов. обосновывающих оптимальность принятого ре-
шения.

3)	Невозможность предугадать особенности ди-
намических характеристик машин на стадии проек-
тирования и определение динамических факторов
лишь после окончания проектирования.

4)	Невозможность предугадать достаточную оп-
тимальное гь выбранного варианта решения.

5)Недостаточно точное аналитическое описание
физических закономерностей н процессов, происхо-
дящих при работе машин.

О iiioii и । основных особенностей рабочих про-
цессов машин для открытых горних п земляных ра-
бот является то, что условия их выполнения имеют
статистический характер. Если машины выпуска-
ются сериями, то они проектируются по так пазы
ваемым расчетным условиям работ, которые могут
быть сре гнпми, либо наиболее тяжелыми, либо ка-
кими-то другими, выбор куторых юстаючно субъ-
ективен. .Машины могут проектироваться также па
заданные условия работ, если эти машины имеют
единичное ii.ni уникальное исполнение. Однако такое проектирование до-
статочно редкое. Более часто встречаются случаи, когда выпускаются
несколько машин очного типоразмера, предназначенных для работ в
различных карьерах. В этих случаях часто бывает весьма целесообраз-
ным некоторое изменение параметров машин для удовлетворения кон-
кретных условии, легко выполняемое на заводе-изготовителе б з каких-
либо существенных дополнительных затрат.

Однако это обычно не делается, поскольку предугадать без проведе-
ния трудоемких расчетов возможность такого изменения зачастую быва-
ет невозможно.

При работе машины в одном н том же карьере воздействие на ее ра-
бочие органы со стороны грунта носит статистический характер, в силу
статистического характера свойств самого грунта. В послечипе годы
были проведены экспериментальные исследования по выявлению стати-
стических закономерностей работы землеройных машин в условиях не-
которых карьеров. Несмотря па го, что эти эксперименты носили одно-
сторонний характер, использование полученных результатов позволяет
более объективно учесть особенное in рабочих процессов машин при их
проектировании.

Учет такого типа статистических особенностей должен быть дополнен
учетом статистических особенностей работы машин в различных карье-
рах. Получение данных по характеру и свойствам разрабатываемых по-
род в различных карьер; х вполне возможно. Однако возможность
учесть эти данные до сих пор не использовалась. Тем не менее статисти-
ческие данные в широком смысле слова являются основой для разработ-
ки методики экономико-статистического расчета машин для открытых
горных н земляных работ, а также основой для оценки надежности и
долговечноегп машин.

Отсутствие экономико-статистических расчетов, обосновывающих оп-
тимальность принятою решения, а также расчетов, обосновывающих
паде кпость и долговечность, объясняется также тем, чго методика рас-
чета их в достаточно общем виде не существует.

Разработка этой методики, основывающейся па свойства случайных
функций, должна вестись с учетом решения задач на вычислительных
машинах с использованием анализаторов случайных функций, а также
оптимизаторов получаемых решений.

С учетом сказанного по,i\чаем таким образом методику расчета и
проектирования машин, в которой аппарат статистического исследова-
ния применяется не для решения одного какого-либо вопроса (будь то
надежность, долговечность, экономическая целесообразность и статисти-
ческая достоверность выводов), а для комплексного решения всех воп-
росов вместе.

Использование статистического аппарата еще не дает возможности
сказать, чго полученное решение является оптимальным. Важнейшим
фактором работы машины являются динамические характеристики узлов
машины н машины в целом амплитуды и частоты свободных и вынуж-
денных колебаний и гекрсменты затухания.

Предугадать динамические характеристики в процессе проектирова-
ния на основании принятой методики невозможно. Всделствне этого
получаемое решение хорошее со всех других точек зрения может ока-
заться негодным в силу плохих динамических характеристик.

Метод проектирования машин но заданным динамическим характери-
стик >м в сочетании с методом проектирования по экономико-статистиче-
ским показателям, включая вопросы надежности и долговечности и ис-
пользование методов математического программирования позволяет в
6
первом варианте получить проект машины, удовлетворяющий перечис-
ленным выше требованиям в оптимальном решении.

Экономико-статистические методы до 1жиы основываться па правиль-
ном представлении о работе машин.

Экономико-статистические методы расчета в основе своей должны
иметь правильное'представление о физических процессах, происходящих
в машинах. Ошибки в оценке и представлении физических процессов
в дальнейшем при статистической переработке могут привести к совер-
шенно неверным выводам.

Важнейшими с точки зрения надежности и долговечности машин
являются динамические процессы. К исследован то ишамнческнх про-
цессов в достаточно точной постановке сводится основное содержание
книги.

Экономико-статистические методы, оперируя с статистическими вели-
чинами, должны строиться не па фотографическом отображении обоб-
щенных статистических данных но долговечности и надежности деталей
и узлов машин и машин в целом, а на принципах дифференцированной
статистики с оформлением статистических уравнений, в которых сумми-
рование допускается лишь родственных статистических величии.

К сожалению, до настоящего времени не всегда исследователи под-
ходят с этой точки зрения к проблемам обеспечения надежности и дол-
говечности машин.

Дифференцированная статистика, разделяя статистические процессы
па группы, основывается на точных знаниях физических закономерно-
стей работы машин и узлов, без которых описание статистических про-
цессов может быть только фотографичным. Задача исследования состоит
в том, чтобы добиться возможности управления статистическими за-
кономерностями работы машин в целях получения оптимальных ре-
шений.

Необходимо отметить, что по отношению к машинам для открытых
горных работ еще нельзя утверждать, что проектирование и расчет их
основывается на достоверных знаниях о характере работы их узлов.

До последнего времени, например, динамический расчет роторных и
от юковшовых экскаваторов и отвалообразователей, конструкции кото-
рых содержат канаты и ванты большой длины, производился из условия
замены гибких элементов невесомыми упругими связями.

1 loi решность при расчете да прочность гнбк! х элементов при этом
может ока аться весьма большой н носит не только'Количественный, но
и качественный характер.

При точной постановке задачи расчета динамических процессов в
конструкциях, содержащих гибкие элементы большой длины, в частности
стреловых конструкций, следует учитывать собственный вес гибких эле-
ментов и инерционные нагрузки, действующие на них при колебаниях.

Динамический расчет простейших стреловых конструкций экскавато-
ров и отвалообразователей сводится к исследованию колебаний наклон-
ной стойки на гибкой весомой подвеске.

Деформации элементов могут быть выражены через перемещения Д
к?, V, опре еляющие соответственно угловое перемещение наклонной
стойки (или перемещение головки стопки), максимальные прогибы гиб-
кой подвески и стойки.

Подвеска и сгонка участвуют в двух перемещениях: в собственных
пиибных перемещениях, эпюра которых близка к синусоидальной, и в
хгловом перемещении, происходящем вследствие перемещений головки
стоп и, эпюра которого изменяется по линейному закону в зависимости
or расстояния от опоры подвески пли пяты стойки.
Инерционная нагрузка, действующая на подвеску н на стопку в на-
правлении их перемещений, вызывает дополнительные усилия вдоль под-
вески и вдоль стопки.

Известно, что частота колебании гибкой подвески и частота пзгибных
колебаний стойки зависят от действующих на них продольных сил.
Таким образом, мгновенное значение частот поперечных колебаний под-
вески н стойки будет зависеть от значении вторых производных по вре-
мени от перемещений [, и н тс, следовательно, дифференциальные урав-
нения колебаний юлжны содержать нелинейные члены в виде произ-
ве тений коордппйг на вторые производные от координат.

Перемещение концов стержня происходит как за счет линейной де-
формации растяжения пли сж< тин, таг и за счет изменения формы при
поперечных перемещениях. Известно, что относительные линейные пере-
мещения концов стержня пропорциональны квадратам величии попереч-
ных перемещений. В уравнение, определяющее перемещение [, будут вхо-
дить нелинейные члены, содержащие и2 и w2.

Таким образом, тнфферепцпальные уравнения колебании наклонной
стойки на гибкой подвеске будут иметь нелинейный характер следую-
щего вида:

+ k -г; + Z,(2it	\ = f (Z),	(I)

dP	'	\ ‘ dp )	‘'

i = 1, 2, ...

7 / d-Z: \

где Zz 12,,-- —пел шинные фхнкнпи от перемещении и их вторых про-

\ dP I

взводных не ниже второго порядка;

Л(0 —функции, определяющие внешние нагрузки.

Они легко приводятся к уравнениям вида

Ух....У,.)-	&

Задача о поперечных колебаниях элементов, входящих в конструкции
вантовых стрел, в упрощенной постановке может рассматриваться как
задача о колебаниях стержня, на который воздействуют полигармонп-
ческне нагрузки.

Характер изменения нагрузок, действующих вдоль элемента, опреде-
ляется законом колебаний конструкций. Эти колебании в общем случае
являются ноличастотнымп.

Точное решение задачи о колебаниях стержня под воздействием про-
дольных п поперечных гармонических нагрузок сводится к решению
нелинейного дифференциального уравнения с коэффициентами при ли-
нейных членах, являющимися квазпперподпческпмп функциями (в част-
ном случае периодическими функциями).

В общем виде уравнение имеет следующий ви д:

d-x , о dx , / X'l	Д иг/ dx d-x X .

----4- 2f -	( аа — \ а= cos w.-f 1 х 4 Т( х,- ,- 4-

dP т щ \	‘	‘ ) К d! dp ) 1

i

4- Ул cos = о 	ft)

i

Такого же рода дифференциальные уравнения приходится исследо-
вать при решении задач о поперечных колебаниях конвейерных лепт,
вызываемых продольными колебаниями, которые возникают вследствие
эксцентрицитета приводных барабанов. Поскольку число барабанов у
конвейера обычно бывает не менее двух и диаметры и числа оборотов их
могут быть различными, характер возмущения, действующего па коп-
вейсрпсю лешу в продольном направлении, будет включать не менее
двух периодических функции с различными периодами.

Таким образом, методика расчета динамических процессов в конст-
рукциях, содержащих гибкие элементы большой длины, а также в лен-
точных конвейер ix приводит к необходимости исследования систем не-
линейных дифференциальных \равнении, которые могут быть отнесены
к системам дифференциальных уравнений, близких к системам Ляпуно-
ва, а та я е к исследованию систем нелинейных уравнений с квазпперио-
дическпми коэффициента мп.

В литературе имеются исследования аналогичных задач ддя возму-
щения, содержащего одну гармоническую функцию. Исследований за дач
тля возмущении, содержащих две и более гармонических функций, пра-
ве тело мало.

Вследствие этого оказалось целесообразным дать по тробпое изложе-
ние практических .методов исследования задач нелинейной динамики
при ква.зппернодпческом возмущении.

Целесообразным явилось также достаточно подробное изложение
практических методов получения решений систем нелинейных шфферен-
цпатьных уравнений, связанных нелинейными членами, поскольку коле-
бания стреловых конструкций,содержащих канаты н ванты большой ми-
ны, опнсываю1ся такого рода системами дифференциальных уравнений.

для конструкций больших размеров и достаточно гибких роль нели-
нейных факторов может оказаться очень бодьшой. Тем не менее методы
расчета машин для открытых горных работ с учетом нелинейных факто-
ров не нашли еще широкого применения. Между тем, многие динамиче-
ские процессы, происходящие в машинах для открытых горных работ,
невозможно объяснить исходя из линейной динамики.

Нельзя, например, объяснить из линейных представлений тот хорошо
известный производственникам факт, что в вантовых стрелах возможно,
казалось бы случайное, ко leGaniie отдельных вант бодьшой амплитуды
при сравнительно малых колебаниях других элементов. Вследствие этого
исследованию конструкций машин для открытых горных работ в нели-
нейной постановке в книге уделено достаточно внимания.

К исследованию получаемы : нелинейных дпфф( репциа.н.пых уравне-
ний применяются методы, разработанные на основе работ А. М. Ляпуно-
ва {II]. Его теория устойчивости движения в последние годы приобрела
исключительное значение.

При исследовании динамических процессов в машинах для открытых
горных работ п особенно при проектировании машин с оптимальным!!
пшампческпмн характеристиками большое значение имеют методы ре-
шения задач об устойчивости движения. Например, при отыскании па-
раметров машин, при которых не возникают резонансные явления.
Очень важно обеспечить, чтобы частоты поперечных колебаний канатов
п вант не находились в резонансных соотношениях с частотами измене-
ния действующих па них нагрузок, а если это не удастся выполнить, что-
бы амплпту ты их колебаний не превосходили допускаемых.

Использование методов расчета задач об устойчивости движения
тает возможность подобрать параметры конструкций таким образом,
чтобы напряжения в элементах были бы минимальными, а конструкции
экономичными.

В конструкциях, не удовлетворяющих условиям устойчивости, воз-
можна концентрация энергии (колебаний в отдельных элементах и узлах,
куда «перекачивается» энергия ко. ?бапнй от других узлов п элементов.
В этом случае допускаемая энергоемкость конструкции по количеству
кинетической энергии, которую она может воспринять при работе, явля-
ется весьма ограниченной.

Другим классом задач об устойчивости движения в приложении к за-
дачам динамического расчета машин для открытых горных работ яв-
ляются задачи, физический смысл которых сводится к тому, чтобы огра-
ничить условия «восприятия» энергии колебании от источника возмуще-
ния проектируемой конструкцией. Рассмотрим основные теоремы тео-
рии устойчивости движения Л. М. Ляпунова.

Пусть имеем какой-то физический процесс, выражающийся системой
дифференциальных уравнений

-^2_ = Yt(t, У1,...,уп)	(4)

(Н

(s= 1, 2.... п),

где//— некоторые параметры, характеризующие данный физический
процесс, /— время или некоторый другой параметр, в зависимости от
которого ставятся остальные.

Пусть //„• = /,(/) есть частное решение данной системы дифференци-
альных уравнений, выражающее некоторое изменение параметров дан-
ного физического процесса во времени (некоторое «движение»). Назо-
вем это твнжепие невозмущенным и всякое другое, отличающееся от пе-
го, будем называть возмущенным движением. Разность значений пара-
метров в каком-нибудь возмущенном и певозмущенпом движениях на-
зывается возмущениями. Тогда имеет место следующее определение
устойчивости, данное Л. М. Ляпуновым.

Невозмущенное движение называется устойчивым по отношению к
величинам г , если для всякого положительного числа г, как бы мало
оно ни было, найдется другое положительное число r]fe), такое, что для
всех возмущенных, движений ys = ys(t), для которых в начальный мо-
мент t = t0 выполняются неравенства

(5)

буоут при всех / > /0 выполняться неравенства

|У5(0-А(/)|<е-	(6)

В противном с учае невозмущенное движение называется неустой-
чивым.

Если обозначить через xs возмущения

xs = ys — fAt)	(7)

(s = I, 2..п)

и принять их в качестве новых переменных, то для них мы получим сле-
дующие дифференциальные уравнения:

= Xs (/, х,..х„) = Ys (f, Х1 + А...хп + /„) - У, а, /i,	, /„) •

at

(«)

Эти уравнения называются дифференциальными уравнениями возму-
щенного движения.

Эта система уравнений имеет, очевидно, тривиальное решение

л*1== х2 — •.. “ Хп == 0-	(^)

ш
Определение устойчивости можно сформулировать теперь следую-
щим образом.

Певозмищенное движение называется устойчивым., если для всякого
положительного числа е, как бы мало оно ни было, можно подобрать
другое положительное число т](е), такое что для всех возмущенных дви-
жений, для которых в начальный момент времени t0 выполняются нера-
венства

(Ю)

при всс\ t > /0 будут выполняться неравенства

к(/)|<8.	(II)

Если при этом Iiinx,(f) =0, то возмущенное движение называется
t—x>

устойчивым асимптотически.

В последнее время даны некоторые другие определения устойчиво-
сти, принципиально не отличающиеся от определений устойчивости,
приведенных выше. В частности, дано опрс елепне устойчивости при по-
стоянно действующих возмущениях.

Таким образом, исследование устойчивости приводит к необходимо-
сти проинтегрировать дифференциальные уравнения возмущенного дви-
жения. Однако получить общий интеграл уравнений возмущенного дви-
жения обычно бывает практически невозможно. При исследовании
устойчивости ранее обычно пользовались методом линеаризации
уравнений

Сущность этого метода заключается в следующем: правые части
возмущенного движения (8) разлагаются в ряды по степеням Хя

~~Г~ —	+ • - • + Psnxn + '^s (Л Л'1, • • •, хп)	0^)

at

(s = 1, 2 ... п).

X*—совокуппоегь членов выше первого порядка по отношению к
х в функциях Л\.

Для решения задачи устойчивости рассматриваются более простые
уравнения, так называемые уравнения первого приближения

—~ — РЛ1Х1 + • • • + Psnxn	(' $)

dt

(s — 1, 2, ..., п).

Однако это решение за тачн не является строгим.

Л. М. Ляпунов решил задачу по определению достаточных и необ-
ходимых условий, при которых вопрос об устопчпвосзи решается пер-
вым приближением. Эта задача решена нм для установившихся и пе-
риодических движений, а также для широкого класса пеустановпвших-
ся движений. А. ЛА. Ляпунов рассмотрел также ряд случаев, когда при
нсследовапип устойчивости рассмотрения уравнений первого приближе-
ния недостаточно. Разработанные методы решения данной задачи
А. М. Ляпхнов разделил па две группы. К первой группе, ’которую он
назвал первым методом, оп отнес способы, которые приводят к опреде-
лению общего или частного решения дифференциальных уравнений
возмущенно!о движения.

Ко второй группе, второму мето ту, оп отпсс способы решения задачи
устойчивости, которые нс требуют нахождения частных пли общих реше-
ний уравнений возмущенного движения. По этому методу разыскивают-
ся некоторые функции от /, xt,...,xn, обладающие свойствами, из кото-
рых вытекает устойчиво или неустойчиво возмущенное движение. Для
второго метода А. М. Ляпунова установлен ря i весьма эффективных
теорем, которые позволили решить задачу об устойчивости но первому
приближению н рассмотреть ряд случаев, когда первое приближение не
решает задачи.

Очевидно, чго прежде чем исследовать устойчивость какого-либо
решения системы дифференциальных уравнений (4), надо найти его,
т. е. каким-либо способом решить данную систему дифференциальных
у равнений.

Нахождение решений уравнения (4) представляет известные
тру дпосгп. В работах А. Л1. Ляпунова «Общая задача об устойчивости
движения» и Пуанкаре А. «Новые методы небесной механики» и «Кри-
вые, определяемые дифференциальными уравнениями» дапы методы
отыскания периодических решений и исследования вида интегральных
кривых нелинейных дифференциалы! х у равнении.

Эти методы основаны на идее введения в дифференциальные урав-
нения некоторого малого параметра и разложения правых частей диф-
ференциальных уравнений ио степеням малого параметра.

При этом уравнение (4) приобретает следующий вид:

—iji, .. .,yin) Ч uV'V) (/1, т/i,.. -, уп)	ц'У A2’ (ti, У1.у,,)

at

(14)

(s 1,2....п),

где |i— параметр, который полагают малым;

),(SU),	—аналитические функции от /, уь .... у,, и непрерывные перио-

дические функции /.

Отбрасывая в уравнениях (14) малые члены, получают упрощенную
систему уравнений, которую называют порождающей.

Решение порождающей системы принимается в качестве первого
приближения. Л. М. Ляпуновым и Л. Пуанкаре исследованы вопросы о
соответствии периодических решений порождающей системы уравнений
решениям данной системы и найдены условия, при которых заданному
периодическому решению порож дающей системы уравнений

= Л"’ (/.. iff'.УЛ	(I.-.)

№ ч(') 0=1.-’... 'О

соотвс1ствует одно п только одно периодическое решение уравнения (4).

Отличными от изложенных методов для отыскания решения пелипеп
пых уравнений являются методы Ban-дер-11оля, значительно развитые и
обобщенные 11. М. Крыловым п П. И. Боголюбовым, давшими весь-
ма эффективные методы для решения многих задач нелинейной ме
ханнкп.

Решение дпфференцниалы1ы\ уравнений (4) в нервом приближении
представляется в виде

ys =	(|G>

где <z. и а. есть некоторые функции 1, медленно изменяющиеся со вре
МОНОМ.

Что особенно ценно, II. М. Крыловым п II. II. Боголюбовым даны
практические методы, которые позволяют найти формальное решение
уравнений (14) в случае, если правая часть уравнений является фуикни-
д2
ей ква шпернодпчеекой. Разработанные ими мето цл дают возможность
iiaiini решения цгя систем с несколькими степенями своботы, как в слу-
чае отсутствия резонанса между собственными частотами колебаний, так
н в случае, когда резонанс имеет место.

Зги методы носят название асимптотических методов.

При решении задачи динамического расчета стрел отвалообразовате-
лей приходится решать системы нелинейных дифференциальных урав-
нений, правые части которых являются функциями квазниерподпческп-
мп. Известно, что такие решения, строго говоря, целы» получить в виде
ря 1<>в но сюнепям малого параметра, если отсутствуют члены, со-
о|вегствующне затуханию, поскольку ряды оказываются расходящи-
мися.

Существует довольно обширная литература, посвященная вопросам
отыскания квазпнерподическпх (или почти периодических) решений
нелинейных систем дифференциальных уравнений и их псследов; пня.
Имеются фундаментальные работы: Л. Воля [6], Г. Бора [7], А. Безп-
ковича [26], И. Фавара, Б. М. Левитана [10], В. И. Арнольда [3], а также
многочисленные исследования других авторов и, несмотря па это. дан-
ный вопрос еще не является до конца исследованным.

Тем не менее, если рассматривать получаемые в вн те ря тов решения
не как точные, а как формальные, то при практпческг х расчетах асимп-
тотические методы И. М. Крылова п И. И. Боголюбова, а также и другие
методы отыскания решений в вн те ря дов по степеням малого параметра
являются вполне оправ данными. Больше того, при известных условиях,
решения, получаемые этими методами, обладают свойствами точных ре-
шений п их исследование можно пропзво тпть темп же методами, что и
исследования периодических решений. Учитывая также то, что в реаль-
ных системах всегда имеет место затухание, и кроме того, процесс обыч-
но длится конечный промежуток времени, по остается никаких сомнений
в законности применения асимптотических методов.

В книге даны методы отыскания формальных квазпперподнческпх
решений, которые приводят, на паш взгляд, к удобным расчетным
схемам.

Прп ПЗЛОЖСННН методов решения задач по нелинейным колебаниям
конструкций машин г.тя открытых горных п земляных работ особое
внимание уделено методам исследования квазпнерподическпх решений.
Несмотря на го, что применяемые методы нахождения квазиперподп-
ческпх решений формальные, гем по менее логическая гостоверность
правильности получаемых практических результатов нс вызывает со-
мнений. Надо сказать, что будучи принципиально достаточно простыми,
методы имеют довольно громоздкую структуру. Вследствие этого д 1Я
основных задач получены решения в окончательном виде, использование
которых связано лишь с арифметическими вычислениями.

Решение нелинейных задач ишампкп машин для открытых горных
п .емляных работ удобно производить па элсктроппо-моделпрующнх
установках. Прп этом сложные системы часто приходится упрощать,
поскольку число пптегрпру ошпх н умножающих блоков в этих установ-
ках бывает весьма ограничено.

Используя пай донную форму аналитических решений, с помощью ма-
тематических машин можно легко получить основные расчетные коэффи-
циенты, входящие в решение. Этим самым находится путь значительного
сокращения арифметических расчетов, связанных с определением этих
коэффициентов. С другой стороны, если пытаться, например, получить
с помощью электронного моделирования форму амплитудно-частотных
характеристик нелинейных колебаний, приходится решать большое
количество вариантов, расшифровка и увязка которых связаны с вы-
полнением большого количества весьма трудоемких вычислительных
операции. Таким образом совместное использование аналитических ре-
шении п моделирования даст возможность получить решение с наимень-
шими затратами времени.

Там, где это необходимо, постановка решения динамических задач
пр дставлена в обшей форме, и расчетные схемы предлагается получать
для совместных электромеханических систем. Однако, учитывая, что
этому вопросу уделено достаточное внимание в работе (17], здесь ем\
уделяется сравнительно мало места, хотя исследование динамических
процессов в электромеханических системах есть единственно верный ме-
тод решения вопроса о динамике машин для открытых горных и земля-
ных работ.

В настоящей книге наибольшее внимание уделяется вопросам, срав-
нительно мало освещенным в литературе, но в то же время имеющим
важнейшее значение при оценке надежности и долговечности машин для
открытых горных и земляных работ. К такого рода задачам относятся
л задачи ио нелинейной динамике машин для открытых горных и земля-
ных работ.

Важным классом задач, которым отведено достаточное место в кни-
ге, яв 1яются задачи по исследованию динамики переходных и устано-
вившихся режимов работы ленточных конвейеров. Динамические про-
цессы в ленточных конвейерах в основном имеют природу волновых
процессов.

В зависимости от типа задач решение их выполняется либо методом
Фурье, либо методом Даламбера (разрывных функций). Продольные и
поперечные колебания конвейерных лепт происходят совместно, однако
совместное исследование их связано с большими трудностями и ввиду
ограниченного объема книги решение этих задач дается в приближен-
ной постановке.

Достаточно просто решение задач но динамике ленточных конвейеров
выполняется методом моделирования на электронно-моделирующих
установках.

Большое внимание уделяется вопросам устойчивости лент скоростных
ленточных конвейеров и определению напряжений в лепте при переходе
через роликоопоры. Все вопросы изложены в решениях, данных для лен-
точных конвейеров с однобарабанпым приводом. Нетрудно, однако, из-
ложенные методы исследования и решения динамических задач распро-
странять па ленточные конвепсры с двухбарабанным приводом.

При изложении методов динамического расчета роторных эксквато-
ров за расчетную схему принимается наиболее общая схема с роторной
стрелой, имеющей зависимую систему дополнительных подвесок. В этом
разделе подробно описываются методы составления дифференциальных
уравнений колебаний с учетом коэффициентов демпфирования, включая
трепне в блоках полиспастных систем.

В предлагаемой вниманию читателей книге впервые ставится задача
о синтезе динамических систем машин для открытых горных и земляных
работ в целях получения оптимальных решений. Эти методы требуют
своего дальнейшего развития п пет сомнения в том, что развитие мето-
дов динамического расчета машин пой ют по указанному направлению.
Это направление дает возможность применять методы линейного и дина-
мического программирования для решения задач по проектированию
оптимальных конструкций машин.

Там, где это необходимо, приводятся схемы решения задач на эдект-
ронно моделирующих установках.
Возможности применения вычислительной техники при проектиро-
вании и расчете машин для открытых горных и земляных работ огром-
ны и будут постоянно возрастать.

Весьма важно, правда, отметить, что и сама постановка задач долж-
на соответствовать уровню развития вычислительной техники, что, к со-
жалению, не всегда соблюдается. Дальнейшее развитие методов расче-
та и исследования машин немыслимо без применения математических
машин.

Уровень аналитических методов исследования и точность постановки
динамических задач должны быть значительно более высокими, чем го,
которые используются в настоящее время. Содержание настоящей кни-
ги может явиться основой для развития более современных аналитиче-
ских методов исследования динамики машин для открытых горных п
земляных работ.

Кинга написана па основе исследований автора. В эксперименталь-
ных исследованиях принимали участие капли, аты технических паук
В. II. Бакалеей, Б. Н. Волков, Д. К. Гришин, О. И. Келен и В. Б. Цвет-
ков.


ГЛАВА 1

ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ.

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

Квазилинейные системы дифференциальных уравнений являются
простейшими системами нелинейных дифференциальных уравнений.
.Четоды решения этого типа уравнений разработаны наиболее полно.

В квазилинейных системах дифференциальных уравнений обычно вы-
теляется некоторая переменная или постоянный параметр, которые счи-
гаютея малыми по величине, так'называемый малый параметр р. Если
величина р равна нулю, то квазилинейная система дифференциальных
уравнений становятся линейной.

Квазилинейными системами дифференциальных уравнений описы-
ваются многие динамические процессы в машинах. Иногда малый пара-
метр специально вводится формальным методом в систему нелинейных
тнфферепциальных уравнений, чтобы иметь возможность применить хо-
рошо разработанные методы исследования квазилинейных систем диф-
ференциальных уравнений к более общим системам нелинейных диффе-
ренциальных у равнений.

Часто малый параметр вводится в нагрузочные члены, тем самым
характеризуя то, что амплитуда возмущающих нагрузок является вели-
чиной юстаточио малой.

Существует довольно много задач по динамике машин дтя открытых
горных н земляных работ, которые могут быть описаны системами ква-
зилинейных 1иффере11цпалы1ых уравнений или системами, которые
могут быть приведены к квазилинейным.

К такого рода задачам относятся, например, задача о про 1апьио-по-
перечных колебаниях гибкого или упругого стержня, продольно-попереч-
ных колебаниях конвейерных лент и многие задачи динамики стрело-
вых констру ецпп. Известно, что при поперечной деформации стержня
происходит про юльная деформнцпя, относительная величина которой,
но сравнению с поперечной деформацией, является достаточно
малой.

Величина продольной деформации может быть охарактеризована не-
которым малым коэффициентом, который можно принять за малый пара-
метр. Очевидно также, что продольная деформация пропорциональна
квадрату поперечных перемещении стержня. Вследствие этого наряду
с малым параметром в уравнение продольно-поперечных колебаний
стержня войдут нелинейные члены второго порядка.
Продольные перемещения массы стержня вызывают дополнительные
инерционные нагрузки, девствующие вдоль стержня, величина которых
пропорциональна производной по времени от продольных перемещений
массы стержня.

Нагрузки, действующие вдоль стержня, вызывают изгибающий мо-
мент, пропорциональный произведению величин этих нагрузок па вели-
чину поперечных перемещении, и, как следствие этого, возникают допол-
нительные поперечные перемещения. Таким образом, в уравнениях,
описывающих колебания стержня, будут содержаться члены второго
порядка в виде произведений координат, характеризующих поперечные
перемещения па вторую производную по времени от координат, характе-
ризующих продольные перемещения с коэффициентами при произведе-
ниях, имеющих достаточно малую величину. Наличие малого парамет-
ра в нелинейных дифференциальных уравнениях дает возможность при
практических расчетах искать решение в виде рядов по степеням мало-
го параметра. Получаемые решения существенно зависят от того, име-
ется ли резонанс между собственными частотами колебаний, описывае-
мых соответствующей линейной системой дифференциальных уравнений.

В реальных конструкциях случаи резонансов между собственными
частотами колебаний могут иметь место. Так может оказаться, что часто-
та продольных колебаний ленты в конвейерах будет находиться в про-
стом рациона льном соотношении с частотой поперечных колебаний. Во
многих случаях резонансы являются нежелательными. Однако имеются
с |\чан, когда явление резонанса делает работу конструкций более
благоприятной.

При резонансе между собственными частотами колебаний конструк-
ций может происходить быстрый переход энергии колебании от одной
степени свободы к другой или от одного узла конструкции к другому.

Это дает возможность управления динамическими процессами в ма-
шинах в целях обеспечения большей долговечности узлов, направляя
переход энергии колебаний в нужном направлении.

Разработка теории управления динамическими процессами в маши-
нах для открытых горных работ является задачей, решение которой воз-
можно на основе нелинейной теории динамических процессов.

Ниже рассматриваются методы решения квазилинейных дифферен-
циальных уравнений как в перезонанспых, так н в резонансных случаях.

Пусть имеем систему дифференциальных уравнений следующего вида

-^- = as>lx14- . . .+ as,nxn + fs(t) + fiFs(/. *i.xn, p),	(1.1)

at

где f-(l) —непрерывные периодические функции от t периода 2л,
разлагающиеся в ряды Фурье;

Г.(/, A'i,...,x„, и)—аналитические функции переменных ад.А',, н пере-

менной |t при достаточно малых ее значениях, и пери-
одические, триода 2л, функции от переменной /, раз-
лагающиеся в ряды Фурье;

ич-,- — постоянные коэффициенты.

Если положить |i = 0, то получим линейную систему, которая назы-
вается порождающей системой.

Если характеристическое уравнение порождающейся системы

Яц I — р	«1,2................ О|,л

«2.1	02,2 Р............ а2. п	_ 0	(12)

Ол, I Ял. 2................. Ол.	п Р
не имеет пи корпя, равного пулю, пи корпя вида ±ki, где к— целое чис-
ло, либо мало от него отличается, то такой случай называется исре-
зонаиспым.

Решение системы (1.1) в этом псрезопаиспом случае можно искать
в виде ря ьа

*s = x(s°) + l‘*s1) * * * У+....	(1.3)

(s = 1, 2,___ п)

где x<i>—периодические функции периода 2л.

Подставляя этот ряд в систему уравнений (1.1) и приравнивая чле
пы с одинаковыми степемямн р, можно получить следующие системы
обыкновенных линейных дифференциальных уравнений для определе-
ния функций Х'Ф

= us>1 х‘*’ 4- ... + as.„ л*’ + fl*’.	(1.4)

(х= 1. 2..... и; k= 1, 2, ...)

В этих сист< мах Л*’—целые рациональные функции с периодически-
ми коэффициентами от тех для которых / < /г, т. е. известные перио-
дические функции. Доказано, что существует одна и только одна система
рядов (1.3) с периодическими коэффициентами, формально удовлетво-
ряющих системе (1.1), причем эти ряды сходятся и действительно пред-
ставляют искомое решение.

Вели харкатерпстическое уравнение порождающей системы (1.2)
имеет пару чисто мнимых корней вида ±ki, 1де i — целое число, либо
мало от него отличается, то такой случай называется резонансным.
В этом случае изложенным способом уже нельзя получить решение, по-
скольку ряды будут расходиться (при фиксированном р), а при к, рав-
ном целому числу, вообще не существуют.

В данном случае с помощью линейного преобразования с постоянны-
ми коэффициентами систему дифференциальных уравнений (1.1) можно
привести к следующему виду:

— ky + ф(0 + Рф(Л х, У, ад.......хт. р);

at

= kx 4- ф (/) + рЧ' (/, х, у, х„ .... х„„ и);
at

1	4- • • -+^s, тХт 4- °sx + Ь*У + (Ps (О +

at

4- (Л х, у, Xi, ..., х,„,р),	(1.5)

(s = 1, 2,..., т)

где т = п — 2; функции гр, ф, Ф, ’И, q\, Ф. того же типа, что н [s н F
в уравнениях (1.1);	б>,	— постоянные.

Порождающая система в данном случае имеет периодическое реже
ние, зависящее от двух произвольных постоянных. Оказывается, чго пе-
риодическое решение системы (1.5), а следовательно, и (1.1) существует
лишь при определенном значении этих постоянных. Как и в нерсзопаис-
ном случае, решение ищется в ви ге рядов по степеням р

х = х(0) 4- р**1’ 4- р2х<2) 4- ..

У == 1^0) 4- руО> 4- Ргу<2) 4- • • •;

x< = x(s°>4-ux‘,)4-p242)4-...;	(1-6)

(s= I, 2....0	т)
Подставляя эти ря гы в систему уравнении (1.3) и приравнивая чле-
ны с одинаковыми степенями р, можно получить следующие системы
уравнении для определения коэффициентов х<‘>, х^ :

= kx“> +
di

dx(‘>

— = k, r x*!0 4- .. 4- fcs'.mX,,, 4 asx(,) 4-	'I’s0,	(1.7)

(s = I, 2.....m)

где Ф">,	<|Ф’ целые рациональные функции с периодическими ко-

эффициентами от тех xW, yd\ х!1>, для которых / < i.

Для того чтобы хФ и уФ получились периодическими, необходимо и
достаточно, чтобы выполнялись следующие соотношения:

2п

{<1>( >(т) sin /гт — ЧГ(,)(т) cos&т) dx = 0;

о

2п

ЦФ'>(т) cos k- 4- 'И')(-) sin/гт} d- = 0.	(1.8)

о

При этом хФ, уФ будут иметь следующий вид:

х<'> = аФ (/) 4- М, cos kl 4- sin kt;

yio - pu> (/) jj,- sin kt 4- M, cos kt,	(1.9)

где «('>(/) и pu)(/) — периодические функции, а Л1 п A’,-—произвольные
постоянные.

Подставляя найденные значения хФ п уф в последние т уравнений
системы (1.7) и решая их, можно получить значения х<'>, которые будут
перво гпческимн функциями, зависящими от Л1, и

Условия (1.8) позволяют последовательно определить произвольные
постоянные А1, и А', н, еле ювательно, получить искомое решение в виде
рядов (1.6). При определенных условиях, относящихся к системе урав-
нении (1.8), эти ряды будут единственными и сходящимися при доста-
точно малых значениях р. Если в уравнениях (1.1) fs = 0, a Fs нс зави-
сят от /, го такие системы уравнений называются автономными. Запи-
шем их в следующем ви ге:

“ = —	Рф(*. У. р);

-у- - kx 4- р'Р(х, у, xJt р);	(1.10)

= k.i -Ч + - • • + Ь^тхт 4- а4х 4- 1\у 4- рФь(х, у, Хь .... х„„ р).
dt

(s = 1,2, ..., т)

Если средн корней характеристического уравнения

Ь] л —Р	bf ,2 ........... ^i t m

^2,1	^2,2---р ... Ьг.гп _Q	(1 Н)

km. I	Ут. 2............Ущт	I*
пет корпя, равного пулю, а также корней вида ±nki, где п — целое чис-
ло, то порождающая система от системы (1.10) имеет периодическое
решение

x4°> _	= 440sin kt, xl0) = <ps(/, 7W0),

rie Af0—произвольная постоянная.

Оказывается, что система (1,10) также имеет периодическое решение,
по период этого решения уже будет зависеть от значения произвольной
постоянной Мо.

Для вычисления этою решения вместо переменной t вводят некото-
рую ipyryio переменную х с помощью подстановки

t= '-U 4-Л11Ч А..р2+ ...).	(1.12)

Вместо уравнений (1.10) получаются следующие

=	+	н Л1Н+ •••);

d/ \	к /

-7^ = Гх + т 'И*1 +Л1Ц + •••);

d/ \ k /

* = — (&. 1*1	- • • + ^s, тХт + а^х bsy рФБ) (I 4- Aip + • • •)• (1.13)

“Z *

(s = 1, 2, .... т)

Решение ищут в виде следующих рядов:

х = x(0)(z) 4-H*(I1(z) + P2*(2)(Z.) +•••.•

у =	(/.) + hi/1’ (z) + н2у(2) (z) + • • •;

xs = *(s0)(z) +	(/) + P2*(s2)(/) + . - -,	(1.14)

(s = 1, 2, .... m)

гте коэффициенты являются периодическими функциями х постоянного
периода 2л. При этом полагают

= ^1)0 =	=	= о.	(1.15)

Подставляя ряды (1.14) в систему (1.13) и приравнивая члены с оди-
наковыми степенями р, получают системы уравнений для определения
коэффициентов рядов.

Для х'°>, у(0>, получим

rfx(0) _ _^(0).

<1/.

dyW = х(0>.

~^-= —№ 1/1°>4- ... +ь тх^ + а^ + Ь^).	(1.16)

dr 1г

(s = 1. 2....т)

Решая эту систему и имея в виду условия (1.15), будем иметь

дзо) = yV^cos /; г/<0’ — Л70sin /; x(s0) = <ps .	(1-17)

(s= 1, 2, ..., m)

Для x(I), уС), д-d) система уравнений будет следующей:

= — у01 —	• sin/4- — ф( Alo-cos/, M0.sin/, <pz f-у-А , o') ;

dy_	к \	\ к )	/
—— -= jd1 > 4- hiMQ cos / + — xv( A40cosy, A40sin/, <p. f—Y o\
dy	k \	\ k J J

Лг(1)	i

—7— = 4	я'1” + • • • + К mXm’ + asX(l) 4- ьу’) +

ay	«

+ ± (bs.t x’,0’ + ... + fes. „x^ + «sx,0> + V^+O^x’0’, y'°\ хГ, 0). (1.18)
(s = 1, 2..................................................m)

Чтобы полученная система уравнений (1.18) имела периодическое
решение, необходимо выполнение следующих соотношений:

2г.

1ф ^AJ0cos/, A40sin/,	ojcos/ +

b

+ V Г/И0со5 7, A40sin/, (p’so)f— Y 0
\ k /

• sin /] dy = 0;

2л

— 2Л1Л10 4—— С [ф M0cos/, A40sin/, tp,0’(— \ ol • sin/ —
nk J I	\ k )

0

— Чг I Mo • cos /, Mo sin /, <(i*50) f 4" Y 0 cos /.j = 0 •	(1-19)

Из уравнений (1.19) получаем значения Л1о и /1Ь а из уравнений
(1.18) х*11, у<>> и х*2 в следующем виде:

x(i) = 4-A^cos/ 4- A\sin/;

у<>) = i|)(D(y) 4- M1Sin / — /Vjcos /;

^s” = cp‘s”(zb

(1-20)

где Mi и N\ — произвольные пока постоянные, a <p(”, ф(,) 11 <p,sl)—неко-
торые перво тические функции у, из которых ф’^зависят от A4t и Л'|.

Постоянные Л41 и Vb а также h2 вычисляются из условия периодично-
сти второго приближения.

Таким образом, можно 'найти решение с любой степенью точности.
При этом ряды (1.14) получаются сходящимися. Период решения будет
выражаться следующим образом:

4-Л1р4-Л2ра4-...).	(1-21)

Квазипериодические решения

В реальных -конструкциях соотношения между частотами собствен-
ных колебании конструкций и соотношения между частотами собствен-
ных колебаний и частотами нзхщнеппя внешних нагрузок могхт быть
любыми, в том числе и иррациональными.

В этом случае колебания конструкции уже нельзя выразить в виде
периодических функций. Эти колебания выражаются функциями более
общими, относящимися к классу квазпнерподическнх функций

С точки зрения инженерной разделение функций на периодические
и квазипериодические является формальным, так как никогда нельзя
точно определить частоту колебаний конструкций. Одпако с точки зре-
ния методов решения динамических задач такое разделение функции
является очень важным. Введение понятия квазппериодических функций
дает возможность более коротким путем находить искомые решения.

Квазнпсрподнческпмн функциями от переменных х>......%г периодов

ть .... тг называем такие функции ф(хь —. Хг), для которых справедли-
вы следующие соотношения:

ф(Х1.- • •./*-!. Z*+T*.Z*+.Ф(/1......Z*-1. /*, Z*+1.- ••./,) 0 (1.22)

(/=1. 2, .... г)

тождественно для любых х«-

Если выполняются соотношения (1.22), то будут выполняться также и
любые ipyrnc соотношения из следующих:

'|Г ...........+	Ѱð1’ • • • ’	+ Сат'°т’ ' *

-T(Zi......Z.C,.../.Ст, .... ZJ = O	(1.23)

для любых o’]...ст™, где (л — любые числа из 1, 2.г, а са.— любые

целые числа.

Если все периоды ti(i = 1, 2,.... г) соизмеримы между собой, то дан-
ную квазпперподичсскую функцию можно пре (.ставить как периодиче-
скую от некоторой новой переменной, являющейся линейной комбина-
цией от старых переменных.

Если какие-либо два периода несоизмеримы меж :у собой, то любую
квазипериоднческую функцию от переменных х» (*’= 1. 2,... ,г) можно
представить как квазпперподичсскую от двух данных переменных.
Вследствие этого переменные х« могут быть выбраны, вообще говоря,
произвольно.

Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
dx' ,	.	.	,	.

—— Os. I-Vl + ••• 4-«s.nXn + fs(/) + (lFs(/, X!.x„, p),	(1.24)

dt

(s = 1, 2, .... n)

где fj(Z)—непрерывные квазипериодические функции от t, разлага-
ющиеся в кратные ряды Фурье;

Е”$(/, *1. р)—аналитические функции переменных х(...хп и перемен-

ной ц при достаточно малых ее значениях, п периодиче-
ские функции от переменной I, разлагающиеся в кратные
ряды Фурье;

as,i — постоянные коэффициенты.

Пусть характеристическое уравнение

«1.1—Р

«2.1

«п,1

имеет Х2 пар мнимых

«1,2	• • •	...	«|,п

«2,2---р -	• • «2,п

(1 -25)

^п,2	. .	. .	Р

корней ±o>Kz (к = 1, 2,..., хг), которые будем по-

лагать пока различными.

В этом случае уравнения (1.24) с помощью линейной подстановки

можно привести к следующему виду

-^- = «1.1^1 + -..+«1.2«,Х2<,+/1(/)+рЛ(/. ХЬ ...,х„, ц);
at

d*2x

—~—- = «2х,. 1-Х1 + • • • + «2»,, 2х,Х2х, + /гх, (Л + Р-Ггх, V. *1. • - - . Хп> I1)’
dt
Л

= «2м, I. 1*1 +• . .-|~a2x,+ l. + /2«,+ l (/) + nf2«.+ l	. .,X„, p),

— °n, 1*1 4-  • • 4- an, nXn 4- fn (/) 4- pF„ (/, Xi, ... ,x„, p)>

(1-26)

где характеристическое уравнение тля первых 2х2 уравнений содержит
все х2 пар мнимых корней.

Решение порождающей системы уравнений, соответствующей систе-
ме (1.26), будет зависеть от 2х2 произвольных постоянных.

Строго говоря, в данном случае нельзя получить решение в виде
рядов по степеням р, коэффициентами которых будут квазипериодиче-
скпе функции, поскольку ряды не будут сходиться.

Если положить, что функции f,(7) и F,(7, Х|,..„ xn) разлагаются в
кратные ряды Фурье, число членов которых конечно, то можно получить
формальное решение в виде рядов по степеням р. Эти ряды также не
будут сходиться, хотя члены их и будут убывать. Веле ictbiic этого при
практических расчетах обычно ограничиваются количеством начальных
членов рядов соответственно требуемой степени приближения.

Для решения поставленной задачи заменим систему дифференциаль-
ных уравнений (1.26) системой дифференциальных уравнении в частных
производных. Положим, что функции п Х|,..„ хп, р) есть квази-
перподпческие функции от переменных %, = он/ (< = 1, 2,..., xi) периодов
2л. Введем также следующие переменные %'. = <.),/ (* = xi + 1,...,х),
соответствующие мнимым корням характеристического уравнения (1.25)
х = xi 4- х2. Получим следующую систему дифференциальных уравнений:

4-/,(/1.....Z.x.)4	pF,(/i.../л.. xlt .... х„, р);

(/ = 1, 2.2/2)

\Т	дх: ,	\Д	дх;	,	, г,	. ,

.--------Е т ,	,	ai, i*i 4" • • • 4- ai,	пХп 4- / (zi.	• • •> /.о) 4*

д'

4-pF4(/.i...z.x,.	*i...*п. Р^-	(1-27)

р = 2х24- 1. .... ’)

Положим теперь

/л = 7л (1 4- Лд Р 4- Л<2 р2 4- • • •).
(< = ’-14-1..................%)

где Л», j— неопределенные постоянные.

Уравнения (1.27) будут в этом случае иметь следующий вид:

~~ П (1 + Л*41 + Л*2Р2 4" • • •) =
о/./ ж ж

/.-I	к I

„	k'i

2«»

= | У. аих1 + h (z«.+ i. • • Z«) 4- рТ7,- (z«.+i. • • •. Zx, Xi, ...xn, p)] x

x fl О 4-A*.P 4-Лл,Р24- •••)•

*=i

(« = 1.......2x2),
 wj  — |~] (I -+Л*|Ц + Лир’ -f- ...) -

—	d/./

/= I	*= I

*+/
п

=	+ А (/«.+Ь •  • • /.«) +	(7.ч+ь • •. 7.0 Xi.Хп, р)| X

i 1

х fi (i +:w+w+-..)-	(i-28)

(i = 2x2 + I, .... n)

Решение полученных уравнений ищем в виде рядов по степеням р

% (71....7«) =хГ(7л. • • - . 7.«) + H^’CZi.7«) + • • - .	(1-29)

(4 = 1,2 , .... п)

где —периодические функции периодов 2л ог переменных •/)..

Подставляя ряд (1.29) в уравнения (1.28) п приравнивая члены
с одинаковыми степенями р, подучим системы уравнений для последо-
вательного определения различных степеней приближении искомых не-
известных.

Уравнения первого приближения получаем такими же, как если бы
мы в уравнениях (1.28) положили р = 0

’	<Эх,0)

V	\ auXfi0} + fi (/«,+............

/“	/-

(1=1.......2/.2)

х <Эх,0>	",

\	= V	+ А (/«.+1 ••••’/.«) •	(1.зо)

д-/,1

/=1	Т=1

(1 = 2у.2+ 1.....л)

Решение этих уравнений принимаем в следующем виде:

4°’ = у . cos Nk sin x’z0)(/.x,+i, • • •. 7«)>’	0-31)

*=-i

(/ = 1.....х2)

x!0’ = x',"’(zi.....z.).

(/ = X2 + 1, ..., n)

Для нахождения второго приближения х*.1’ приравниваем в уравне-
ниях (1.28) члены, содержащие р в первой степени при подстановке
в них (1.29)

а?1»

\ <0; —— =	О,, /х'/1’ 4- Fi (/х,+1, .... /«, x(t0), ...» 4°’, 0) —

,,

2х«

х 11] «I. z40) + fz(7.x.+b • • • . 7.x) I;
z=i

(/ = 1, .... 2xs)
dx'” n

= J a,-. zxP ’ + (z„+I, .... /„ x\°\ ...,x<°\ 0) —
i=i	1 i— i

(1-32)

(i = 2x2 + I.n)

Уравнения (1.32) имеют квазипериодичсское решение, если первые
2x2 уравнений имеют также квазнпернодические решения.

Условия существования квазппериодических решений можно найти,
если привести первые 2xj уравнений к нормальной форме, считая правые
части уравнений известными функциями от t, разлагающимися в крат-
ные ряды Фурье.

Всего получаем 2хгхг уравнений для определения 2хгх2 неизвестных

. (i = 1, .... 2х.Л

М* о L । х I и хг неизвестных Лл, I (k = 1,..., хг) -

Следовательно, хг неизвестных Л1*о можно определить произвольно.
Остальные неизвестные находятся путем решения уравнении (1.32).

Таким образом, получается решение в следующем приближении. Оп-
ределение дальнейших приближений производится аналогичным обра-
зом.

§ 2.	СИСТЕМЫ ЛЯПУНОВА И СИСТЕМЫ, БЛИЗКИЕ

К СИСТЕМАМ ЛЯПУНОВА

Дифференциальные уравнения динамических процессов в машинах
для открытых горных и земляных работ не всегда могут быть представ-
лены в виде квазилинейных, поскольку не всегда коэффициенты прп
нелинейных членах можно считать малыми величинами. Колебания
длинных стрел экскаваторов и отвалообразователсп и особенно конст-
рукций стрел, содержащих канаты и ванты большой длины, описывают-
ся системами дифференциальных уравнений более общего вида.

Искусственное введение малого параметра может быть сделано в
том случае, если пр ^положить амплитуды колебании элементов конст-
рукции достаточно малыми.

Однако применение изложенных методов решения систем квазилиней-
ных дпфферепцнальпых уравнений в этом случае не всегда возможно.
Прп построении рядов по степеням введенного малого параметра может
случиться, что решение найти не удастся. Если имеется одно нелинейное
дифференциальное уравнение указанного вида, то решение можно полу-
чить в впде рядов ио дробным степеням малого параметра [13]. Очевид-
но, что аналогичный метод можно использовать и в более общем случае
систем не пшенных дифференциальных уравнений.

Пусть имеем систему нелинейных дпфферепцнальпых уравнений

~-£~ = as, 1*1 + • • • 4" as.m *m4~ 2(s (Xi, . .., xm), (1.33)

(s = I ___ Z/l)

где aSi j — постоянные, a Xs — аналитические функции переменных
..............ne ниже второго порядка малости по отношению к
этим переменным.
Если характеристическое уравнение системы (1.33) имеет по крайней
мере одну пару чисто мнимых корней ±М п они являются простыми, а
их целые кратности не являются корнями характеристического уравне-
ния, то данную систему можно привести к следующему виду:

-^- = — ку + Х(х, у, хь .... хт);
at

-^- = Хх + У(х, у, х^..., xm);

= bs.i*i + ... + bsmxm -|- Xs (х, у, Xi, ..., хт). (1.34)

(s — I, .. , m)

Если данная система у равнений имеет первый интеграл

Н = х2 + у2 + W (Xi....xm) + S = const,	(1.33)

где I — квадратичная форма переменных Xi,..., х,п, а

S — аналитическая функция от х, у, Х|,..., х„„ разложения которой
начинаются членами не ниже третьего порядка по отношению
к переменным, го такие системы называются системами Ляпу-
нова.

Как показал Ляпунов, путем подстановки

х = pcosO; у = psin 6; xs = pzs (s = 1, ..., m) (1 .36)
n используя первый интеграл (1.35), систему (1.34) можно привести
к следующей:

Р =-- ц 4-p2G(p, zjt 0);

—*  = Cs, 1^1 + ... + Cs, mzm + yUs (fl, Z , 0),	(1.37)

iZO

(s = 1, 2..in}

где p — величина достаточно малая;

U, и G — аналитические функции переменных ц, zh..., г„„ у кото-
рых коэффициенты разложения являются полиномами
относительно cos 0 и sin 0.

Тем самым получили систему, для которой можно построить перио-
дическое решение, период которого будет, очевидно, зависеть от началь-
ных значений переменных х, у, xs.

Не останавливаясь па теории вопроса, разберем практические спосо-
бы получения более общих квазиперподнчсских решений.

Пусть имеется система нелинейных дифференциальных уравне-
ний (1.33), характеристическое уравнение которой содержит х2 пар
чисто мнимых корней ±ХТ I (у = 1, 2,..., х2). В этом случае вместо систе-
мы (1.33) можно рассматривать следующую:

1 ку “7“-Os, jXj + ... + Os, тХт -f- Xs (Xi, . . ., Х,„),	(1.331)

v=l /v	(s=l.......m)

где -/л = /Х-J.

Будем искать квазнпернодические решения системы (1.33) с перио-
дами

TV = J=-(1+ЛТИ+Й?И2+ •••).	(1-38)

где |i — некоторый параметр, который считаем малым и которому про-
порциональны и шальные значения всех переменных.
Систему (1.33[) будем считать приведенной к следующей:

дх

7-у , ' = QS, 1X1 + • • • 4" as, 2х,Х2х1 + Xs (Xi, .... хт);

v 1

(s = I......2х2)

“Г-5----Qs, 1X1 + ... + Os, тХт + Xs (xlt ..., xm).

~	d*V

V=|	T

(s = 2х»+ 1, .... m)

Причем первые 2хг уравнений содержат все чисто мнимые
Заменяя переменные через тт при помощи подстановки

/v = М1 + ^Тр + ЛгЦ2 + -..),

(1.332)

корни.

(1.39)

будем иметь

, П (1 + ^P + Л2Р +•••) =
— 1 1

V=I T «•'V

= [Os, |Xi + . . . 4- Os. 2x,X2x, + Xs (Xj,. . ., Xm)|	J”J	(1	ft{p Ц- /1гр2 + . . . )

1=1 ..... Xt

(S= I, ...» X2)

П (1+Л5р4-Л^24-...) =

<TT

V=1	i-f-t

= [Os.lXi 4- . . . 4- Os, mXm 4- xs (xb . . ., Xm)l	(14-Л'1Ц4-/12р24-...).

(s = 2x2 + !..../Л) (1.40)

Решения полученных уравнений ищем в виде

xs = pXs ’ ("1, ...» tZj) 4" р x*s ’ (^i, .... xXt) 4- - • •,	(1-41)

где х^’> (ti,..., тх ) — квазпперподпческпе функции от переменных п
периодов 2л.

Подставляя разложения (1.41) в уравнение (1.40) п приравнивая
члены с одинаковыми степенями ц, мы получшм уравнения для опреде-
ления л’Р н /г)0 аналогично, как и в ранее рассмотренных случаях.
Как п для периодических решений, если нет резонанса между собствен-
ными частотами ко. ?бапий, разложение периодов 7’, содержит толы >
четные степени ц.

Пусть имеем следующую систему дифференциальных уравнении

= Os. 1 X! 4- ... 4- as,rxr 4- Xs (xi, ...» xr) 4- (t xb ..., xr, >). (1.42)

(4=1, 2....Г)

v — параметр, который можно считать малым.

Будем считать, чго порождающая система уравнении

.=O,.,xl,’'+...+«..4,” + XI(.iJ"'... x!m) 0.43)

at
является системой Ляпунова, a f*(t, Х|,„., х,, т) аналитические функции
переменных х, и v и квазнпсрподнческие функции переменной t.

Систему (1.42) называют близкой к системе Ляпунова.

Положим, что система уравнен»ii (1.42) может быть приведена
к следующей:

—~~ = Os, I *1 4" - - - +OS, 2х,*2х, 4- Xs (*i> • • •. хг) Ц- Vs V. *!»•••> xr, •*);
at

(s= 1....Ъ2)

-^- = o$, iXj 4- ... 4-Os.rXr 4-Xs(xi, ..., xr)4-v/s(^. Xi,...,xr, v). (1.44)
at

(s = 2v.2 + 1, .... r)

Характеристическое уравнение для первых 2х2 уравнений содержит
все х2 пар мнимых корней	соответствующих характеристическо-

му уравнению системы (1.42).

Порождающая система уравнений (1.44) может быть записана сле-
дующим образом:

—~~ = Qs. 1*1 4" • • - 4" Os. 2х, 4“ Xs Gi> • • • >
at

(.s=l....2v.t)

.$ = os. i?! 4- ... 4" Os. rcr 4- Xs (;i,	(1.45)

at

(s =	4-1....r)

Для системы уравнении (1.45) можно построить формальные квази
периодические решения, зависящие от 2хг произвольных постоянных,—
начальных значений искомых функций. Задавая соотве сгвующн.м обра-
зом начальные значения искомых функций, можно получить квазннерпо
дичсскпс решения системы (1.45), имеющие определенные заданны
периоды. В качестве квазипсрподического решения системы уравне-
ний (1.45) можно выбрать также тривиальное решение = ... = сг = 0.
которое является частным случаем общего квазипсрподического решения
п получится всякий раз, если примем начальные значения всех искомых
функций уравнения (1.45) равными нулю.

Порождающее решение системы (1.43) может быть выбрано весьма
различно п соответственно этому можно получить разнообразные реше-
ния системы уравнении (1.42).

Рассмотрим сначала квазипериодичсское решение {y*s°> (7)}, имею-
щее в качестве порождающего решение ci = ... =	= 0.

При практическом вычислении этого решения можно искать его в ви-
де рядов

xs (0) (0 = '-Xs. I (/) 4- '2Xs,2 (П 4- • • .	(1 • 46)

(S=l, 2.....г)

с квазнпе|М1одпчсекпм11 коэффициентами, которые должны удовлетво-
рять уравнениям вида

dxs k

------= as. 1*1, k 4” • • • 4- as. rXr, k 4" fs. *,

где fs. h — суть целые рациональные функции с квазнпернодпческпмп
коэффициентами от тех х,.,, для которых / < k.
Пусть теперь характеристическое уравнение имеет хотя бы одну пару
чисто мнимых корней ±pj, для которых р, —, или мало отличается от

СО;

I

, тогда, относя поправочные члены в правую часть, придем к соотно-
шению /), = —. В этом случае нельзя удовлетворить (в общем случае)
уравнению (1.42) формальными ря шмп .vs = гл(,,(/) 4-v2.r[2)(/) 4-... с
квазпперподпческпмп коэффициентами, гак как уже первое приближе-
ние не всег га дает решения [13].

Однако все же можно подобрать такие ряды с квазпперподпчеекпмн
коэффициентами, 1 огорые будут формально удовлетворять данным
уравнениям. Заметим, что в данном случае всегда будем иметь простой
резонанс. По для систем с neci олькпмп собственными частотами может
иметь место одновременно несколько резонансов. При одном резонансе
первого порядка задача ничем не будет отличаться от задачи нахожде-
ния периодического решения. Вели при этом 2/,— младшая степень ве-
личины pi в разложении периода, соответствующего резонирующей
частоте Т, =-^-(1 4- А'>/р, '-f-/i^-+ [ р42/‘ 1 +...), то решение еле чует

Pi	1

иск 11 ь в виде рядов

1	2

Xs = х«'+	+ _	(!. 47)

Для случая, когда имеется k резонансов, аналогично можно полу-
чить решения в вп ге рядов

•|	_!_ (1 4. Ч + 1______ )

xs = х< Vli' 1 + л<2<Л‘+1	(2'«+ 1 > • • •,2/* + 1 >' + ...	(1.48)

It наибольшее из всех /j (/ = 1, 2,..., k).

Рассмотрим теперь квазнпернодические решения систем уравнений,
близких к системам Ляпунова, которые при v -- 0 обращаются в порож-
дающие решения с периодами

Л = —= —(1 ч-л.'р2-]-...).
"г Pi

(« = 1..х2)

Здесь могут встретиться весьма разнообразные случаи. Так, если
функции fs в системе уравнений являются квазпперподпчеекпмн с пе-
риодами Т, =	(/ = у.2 4- 1,..., х), то числа /г,- могут быть линейными

комбинациями чисел шг Поскольку периоды 7\ зависят от 2хг произ-
вольных постоянных, то, подбирая соответствующим образом значения
этих постоянных, можно получить определенные значения периодов Т
Для этого еле густ подчинить эти произвольные постоянные хг опреде-
ленным условиям.

Различные способы получения указанных решений применяются
в дальнейшем при решении систем дифференциальных уравнений дви-
жения стрел. Укаже 1 здесь только, что решение систем Ляпунова и сис-
тем, близких к ним, а также квазилинейных систем существенно зависит
от того, имеет ли место резонанс между собственными частотами коле-
баний или пет. Для того, чтобы яснее показать это, разберем здесь до-
статочно подробно случай автономной системы с двумя степенями сво-
боды, когда частоты колебаний их настроены в резонанс.
§ 3. АЛТОПОМНЫГ (-пстгмы

Речения уравнений в случае резонанса
собственных частот

Хвгопомпымп системами являются типе, в которых суммарная энер-
гия (вожения и энергия деформации остается постоянной.

Если пренебречь рассеиванием энергии вследс!вне диссипативных
сил, к автономным споемам могут быть отнесены конструкции, па ко-
торые воздействуют лишь постоянные нагрузки и эпершя колебании ко-
торых за счет ра< оты внешних нагрузок не изменяется.

В этом случае при расчетах конструкций машин тля открытых гор-
ных и земляных работ определяются закономерности собственных коле-
баний конструкции, которые возникаю! и продолжаются после воздейст-
вия внешних нагрузок.

В линейных автономных спсчемах для каждой из форм колебаний
экершя остается постоянной. Cool ношение между энергиями колебаний
отдельных форм может бьиь любым. Оно опре теляется к*мп внешними
воздействиями, которые вызвали эти колебания.

В автономных нелинейных систем ix соотношение между энергиями
колебаний от тельных форм не может быть произвольным. Ойо подчи-
няется определенным закономерностям в зависимости от соотношений
между частотами колебаний и oi характера нелинейных членов. Если
вызвать пропзво 1ьпые колебания для каждой из форм, го пачпе1ся пере-
ход энергии колебаний от одной формы к другой в направлении того
соотношения, которое должно сущеегвовагь в стационарном установив-
шемся состоянии. Переход энергии колебаний происходит тем быстрее,
чем ближ система находится к резонансу между собственными частота-
ми колебаний отдельных форм.

Резонансные соотношения могут быть различными. Чем ниже поря-
док резонансного соотношения, тем, вообще говоря, быстрее совершается
переход энергии колебаний от одной формы к другой.

В общем случае порядок резонанса определяется це.гыми числами т
и п в резонансном соотношении ш/<!1 = пк2, где и к2— частоты колеба-
ний первой п второй формы. В задачу расчета входит определить соот-
ношения между амплитудами колебании в каждой из форм и зависи-
мость частот от амплиту i колебаний. Важной задачей является также
определение закона установления ко 1сбапий.

В конструкциях машин дтя открытых горных п земляных работ пере-
ход энергии колебаний от одной степени свободы к другой наблюдается
весьма часто. Найдя решение задачи и используя его, можно получить
возможность управлять этим переходом; либо делать его медленным,
если он не желателен, либо делать его быстрым, если он обеспечивает
более б (агоприятпыс условия для конструкции.

Регулируя коэффициенты при иелпнейных членах, можно менять на-
правление перехода энергии колебаний, обеспечивая тем самым распре-
деление энергии в нужном соотношении, или отводя ее в узлы конструк-
ций, для которых она не является опасной или которые специально для
этого служат, обладая значительным демпфированием, или отводя се
и отдавая источникам энергии движения машин, что является наиболее
рациональным. Можно также направить энергию колебаний к рабочим
органам машины, если это будет способствовать повышению эффектив-
ности технологического процесса.

Рассмотрим методы решения задачи о колебаниях автономных сис-
тем при резонансе между собственными частотами колебаний.
Для простоты будем рассматривать случай автономной системы
с двумя степенями свободы прп условии, что соответствующие данной
спсгеме две частоты свободных колебаний настроены в резонанс.

Пусть имеем следующую систему дифференциальных уравнений:

+ o'i ~ + 02	+ а'3х + а'4у =	(х, х, у, у, р);

+ bl + Ь'2	+ Ь'*х + Ь*У =	(х’х’ У’ У’ '49)

dt-	dt	at

Допустим, что характеристическое уравнение порождающей системы

(1гх .	• dx ,	• dy ,		,	„

+ щ — + а2 —+ а3х + а<у = 0;
ш2	at	dt

+b't-^-+b2-^-+b’3x + b'Ay = 0	(1.50)

имеет две пары чисто мнимых корней ±/г, i и ±k'2i, и что щ/г/ ~ ttk2 .

Положим, что tnki = nk2 4-*ра, так что, если дать небольшие измене-
ния коэффициентам а' и bj; а' = а,- + ра,; /?z' = Ь, 4- цЬ, и о гнести чле-
ны, содержащие р, к правым частям уравнений, то получим сне гему
уравнений, у которой порождающая система будет иметь две пары чисто
мнимых корней k2i и kti и mkt = nk2.

В этом случае порождающая система уравнений

d2x ,	dx ,	dy	.	,	_

_.,2 + °i т- + а2 ~т.—I* °зх +	алУ — 0;

dt*	dt	dt

— +	— +	ь2—	+ Ь3Х +	bty =. О

dt* 1 dt dt •*	*

допускает семейство (в данном случае) периодических решений с перно-
2лл	2лгм

дом----------, зависящих от четырех произвольных постоянных

kl	kz

х0 — Л401 • cos + ТИо2 • sin + Л103 cos — kxt + A1OI - sin — kit;
n	n

Уь = tVo1cos*i/ -J- Az02  sin£j/ + A03cos m kit 4- A04sin — kit.
n	n

Здесь коэффициенты An, являются линейными функциями от коэф-
фициентов Л101-. При дальнейшем исследовании можно было бы подьзо-
вагься этой формой решений, мы, однако, для простоты рассуждений
будем пользоваться другой формой уравнений (1.49) п (1.50). Известно,
что с помощью линейных преобразований неизвестных систему уравне-
ний (1.19) можно привести к следующему виду:

4- ktx = рД (х, х, у, у, р);

4- k у =	(х, х, у, у, р),

dt*-

(1.51)

где tnki = ttk2 (обозначения приняты прежними).

В случае, если mki — nk2 4- ра, то, отнеся члены, содержащие р, к
правым частям урмвпепнй, можно получить уравнения (1.51) с точным
выполнением соотношения mki = nk2.
Порождающая система уравнений (1-51)

-^-+^хо = 0;

от2

-^+^о = 0	(1.52)

2лл 2 "ил
также допускает семенство периодических решении периода -----=-----,

kt k2
зависящих or четырех произвольных постоянных

х0 = М'о cos kit + No sin kit;

y0 = M"o cos— kit + N"o sin— kit.	(1.53)

n	n

Или, если соответствующим образом выбрать начальную фазу для
переменной х0,

х0 = Mo cos kit;

Уо — Al0cos — kit + Л/osin — kit.	(1.53j)

n	n

Таким образом имеем периодическое решение порождающего урав-
нения, зависящее, кроме начальной фазы, еще от трех произвольных по-
стоянных. Согласно общей теории периодических решений системы
уравнений (1.49) и (1.51) будут иметь периодическое решение лишь для
определенных значении произвольных постоянных М'о , М' , N"o.

Пусть л'о(0) +₽|=Л1о + ₽|—начальное значение х в искомом ре-
шении. Задаваясь начальными значениями хй (0) = 0;

£/(0) = М; + ₽2; Й0) = ^ + ₽3,

будем искать решения уравнения (1.51) в следующем виде:

х (t, Pi, Pi, Рз, у) = х0 (/) Л1Р1 + и |Сг 4- О'Рх 4- T)jP-> 4- Т^зРз + ^ip+ • • •)

У Pi> Рг. Рз. р) = У о (0 4* Лоро	Лар3 4*

+ И {Сг 4" ^iPi + DiP.. 4- ^зРз + £гР + - • • I -

Очевидно, что

Ai = cos kit; Л, = cos — kit; Л3 = sin — kit.
n	n

Пусть
„ , 2лл , 2лгл ,
Г 4- а =-------------------------Ь а =------ а

*1	Л2

период искомого решения.

Из условий периодичности будем иметь

х (Т 4* «, Рх-. и) — х (0, р,-, р) = х {4* а. Р*. р) — Мо — Pi = 0;
\ kl	/

х (Т 4- «, Р,-, р) = х 4- а, р,., р) = 0;

(/(Т-ра, р.-.ц)-^, р„	в.цА-Л^-Р, =0;

у (Г 4- а, р„ р) - у (0, р,., р) = у 4- Р„ р) - No - Рз = 0.
Разлагая полученные равенства в ряды по а, подучим

(1 -54)

Определяя из второго уравнения «,

п подставляя его значения в остальные три уравнения, полччпм

Здесь Qi, Q2, Q3 — некоторые функция от р,, ц.

Для того чтобы полученная система \равнении имела решение fi,-, об-
ращающееся в нуль при ц = 0, необходимо, чтобы выполнялись условия

(1.56)

3 Заказ 314

33
Если при этом детерминант

не равен пулю, то решение будет единственным и аналитическим.

Величина Ct	удовлетворяет следующему уравнению:

4- klCt = Д (х0, х0, у0, Уд, 0)
at3

и начальным условиям С|(0) = 0; 6^(0) = 0.
Отсюда

t

Ci = у- | fi [х0 (6). *о (6). Уо (/i). У о (Л), 0] sin ki (l — h) dh=0.
1 о

Условие Ci(-^4=0 принимает следующий вид:
\ ki )

iT.n

.	•	• mki i

I fi[M0cos,kiti,— Z^Mosinkit, Mocos 6 +

+ No sin -^-ti,-----—1 (Mo - sin—‘-/i — /V0cos	/ J , o! sin^/jd/!

n	n \	n	n / J

или, полагая kdi — и
2rn

I fi [Mo cos u, — kiM'o sin u, M0cos — и + No sin — u,
J	n	n

0

--f m"o sin — и — No cos — «Vol sin и du = 0.
n \ n	n J A

Путем аналогичных операций преобразуя остальные уравнения (1.56),
можно получить их в следующем виде:

2m

С /1 [Mo cos и, — kxAlo sin и, /Ио cos — и 4- 7V0 sin —

JI	п	п

о



2пт

tllk, ! ла” •, ttl	Kt” ni

—- Mo sin — и — A'ocos —
n \	n	n

sin и du = 0;

Мд

Л2

[* I , л	л	л •	ж

I 7г M0cos~u,—	• sin — u, Mqcosu -f- No • sinn,

0

— k2 (Alo sin и — No cos w), 0] sin udu —

2r.n

__ki" m ( Л [Mocosu, — ^iMosinu, Mo cos — и + No • sin— u,
° nkt J	n	n

о

----(Mo • sin — и — No cos — u \ , ol cosudu = 0;

n \	n	n / J

2x/n

| LjAloCOS— ut-------—£2Aiosin — u, Al0cosu 4-

J	m	tn	m

о
+ No sin и, — kz (7И0 • sin и — No cos u), OJ cos и du —
2-n

—Mo (—J* j* /ipWoCOsu, — Z^/Wosinu, Л10 cos — и +
b

No sin — a, — ky ( M“q sin — и — No cos—4), ol • cos и du = 0. (1.58)
n n \ n	n / J

Величина I)} ( 2--Л удовлетворяет следующему уравнению:
к /

+ k2iL>\ =	+	=	—/^[-^-j-sin*!/

dt9	\ дх /	\ дх / \дх /	\ дх J

и начальным условиям

D\ (0) = D\ (0) = 0.

Скобки означают, что после дифференцирования величина ц должна
быть положена равной нулю, а величины х, х, у, у должны быть замене-
ны их значениями в порождающем решении.

Решая уравнение для £>{, получим

t

Di =—I [ — -) cos/г/г — /?! ( —— )	sin Аут

kt J L\ дх Jt=x	\ дх

о

sin#! (/— t)Jt.

После этого легко показать, что

/ 2лл \ __ dPt(M0, Мо, /Уо)

* \ ki J	дМ'о

2-.п

где Pi (М'о, Mo, No) = J /jpWocosu, — ki /Ид sin и, /Ио cos и +
и

+ Nosm— и,--------f/Ио sin — и — No cos — uV 0 I sinu du = 0.

n	n \	n	n / J

Аналогично можно показать, что

ni / 2лл \ dP|(AJ0, Mo, Wq)

£УО I -- j = ---------------

\	/	AM’

и

>,i / 2лл \	д1\(М0, Мд, Л/д)

ь'з ( —— ) =-----------;---- .

\ ,{i /	dN0

Таким же образом может быть получено, что величина

^2 / 2ЛП \ __	2^0' М(р No)

\ к1 /	дМ'о

где

Ps(М'о, Mo, No) = /гГ/ИоСОЗ — и,-------— fc-MoSin— и, .M0cosu +

т т	т

о L

4- No • sinu, — A!2(A40sinu — Л/дСОзи), 0 ] sin u du;

3<

35
D2, ( -пп А —	лАр *о)

\ ki /	с?Л/*

п2 / 2лп X (Л40. Мо, No)
( —-.— ) = ---------------;-------;

X ki /	dN0

jj2 / 2ЛИ \	(Mo, Mo, A'o)

\ ki /	a.Mp

где

Q-.(.Vi;, MiNl) = 2f f.
b

VIо cos — u,-----— kMo sin — n, Al0 cos и +

m m	m

+ No sin ч, — k, (Л1о sin и — Nr, cos u), o| • cos и du;
^2=JQ-(Mo>Mo^o) .

<>M0

• 2	dQ,(M',M'o,N’o)

L>3 —--------------- .

5V0

Полученные формулы позволяют вычислить детерминант (1.57) и ес-
ли он не равен пулю, го получить решение уравнении (1.58), а если кор-
ни уравнении (I 58) будут простые, единственное и авалишческое
решение уравнении (1.51).

Переходим к вопросу о практическом решении уравнении (1.51).
Пусть

2лп ,	2 л/л .	2лн ,, , .	, , , ,	... _п.

т = —-----1- 04 = —----1- 04 = —- (1 + ftjp -I- /ьр2 + ...) (1.59)

«1	k.	kt

период решения. Полагаем

t=^-(\+hty -ЬМ3+	+ftiP + M2+ ...).

К £	Ко

Произведя замену переменной / на / в уравнениях (1.51), получаем
их в следующем виде:

+ Л«Н	/«Р’ о +

rfx1	k2t I «

+ Лхц + h4v +...)-'

у, (1+ Л.р + /ьр2 + • - • Г1 -7^. р]  (1 + А1Р + м* + . - .)2;

т	“7.

4- tn2y (1 4- /4Р 4- /ьр-	I х, к1- (1 4- fhy 4-

^х-	k2 L «

4-й.’Ц24-	^(1 Л1«< 4-Л.»Ц2+ ...)~'^,|1|(14-й.М+ЛгМ24-...)а.

а/ т	«X I

(1.60)

Искомому нерпо шческому решению системы уравнении (1.51) с пе-
риодом (1.59) отвечает периодическое решение уравнений (1.60) с перио-
дом 2п, причем этот период уже не будет зависеть от р. Решение урав-
нении (1.60) будет также аналитическим относительно р.

36
Ищем периодическое решение уравнений (1.60) в виде следующих
рядов:

х = х(0» (х) + 0*1 (х) + и2*2 (х) + • • ;
У = У(0, (х) + ИУ1 (х) + ГУ* (х) + • • • .

(1.61)

г де Af(x) » V«(x) —периодические, периода 2д, функции от переменной
X 0 =1,2...)

Поскольку— = 0 прп t = 0, необходимо должны выполняться сле-

дующие соотношения:

- ) =-°-
t/z /z=o

(1.62)

(/ = 1.2, ...)

Выше было доказано, что существует периодическое решение урав-
нений (1.51) и решение уравнений (1.60), вследствие этого существует,
по крайней мере, одна пара рядов (1.61), формально удовлетворяющих
уравнениям (1 60). Если эга пара рядов единственная, то она обязатель-
но представляет решение, и поэтому ряды (1.61) должны быть сходя-
щимися.

Уравнения (1.60) решаем обычным способом. Подставляем ряды
(1.61) в уравнения (1.60) и приравниваем члены с одинаковыми степе-
нями р. Получаем следующие уравнения для нахождения функции
'<(/). У/(х)

d2x,

dy*
d2t/0

o = 0;

+ т2Уо = °-

dy2

Учитывая (1.62), будем иметь

d2Xt
dy2

х0 = Mo cos nyj

у0 = Л(о cos /их -ф Wo sin ту,

— 2/|1Л1о cosnx -ф — fi [Mо cos nx- — ^i^fo sin ny.
k\

Л1о • cos z«x+ Wo sin z«x> — ki W sin mx — Wo cos my), 0|;

4 Ф m2Ui = —2Ai (Mo cos ту -ф No sin my) +-^-f2 [Л I о cos ny,—Apllosinnx,
dl-2 '	kl

Mo cos my -ф No sin my, — k2 (Mo sin my — No cos my), 0].

Чтобы полученная сие гема уравнений имела периодическое решение
периода 2л, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие
соотношения:

2п

Р^М^МоМ^ [ [Дм'о • cos ну, — А’рИо • sin пу, Мо cos ту+
о

-ф AZosinrnx>—k* (Alosinmx — Wo cos ту) 0 sin/ix^x = Ф
2n

— 2й1Л'1о-1—-— f fi |Alo cosny, —kiMo • sin/ix, Mocosmy ф
пк1 J

0

+ Wo sin my,— k2 (Л40 sin my — No cos my), O] cos ny dy = 0;
2к

— 2А^о Ч—— f [г [Mo cos п/, — kiM'o sin л/, Mo cos ту +
л/г2 J

О

4-JVosinnz, — A2(A'Iosinz7/y—N0cosmy), О] sinmydy = 0,	(1.63)

2«

— 2/ijMo 4—— f f" [Mo cos ny, — kxMo sin ny, M0cos my Ц-
лл| J

о

+ No sin my, — k2 (Mo sin my — No cos my), O] • cos my dy.

Предположим, что одна из величин M'Q, М~ , N^ отлична от пуля
и имеет единственное значение. В этом случае величина /1( получает
вполне определенное значение. Определив ее из соответствующего урав-
нения п подставляя в остальные уравнения, получим систему из трех
уравнений для определения Mo, Мо, No.

При выполнении условий (1.63) будем иметь

Xi = ф! (у) + Мt cos ny + N i sin ny,

У1 = ''Pi (7.) + M"\ cos mx+	sin my,

где <pi (x) и i|u(x) — периодические, периода 2л, функции от переменной у.

Постоянные М\, N't, М\ , А/, определяются из начальных усло-
вий (1.62) и из условий периодичности функций х2 п у2. Из этих же ус-
ловий определяется постоянная ft2. Диалогичным образом можно опреде-
лить все остальные приближения. Положим, что все постоянные /ц, й2,...,
hi-i и все функции хь х2..., xj-й у\, у2..., yi-i уже вычислены и что постоян-
ные ,Ni_{ ,Ml"_l , N^j остались неопределенными.

Напишем уравнения для определения 1~х приближений Xi и yi

+ n2x, = — 2fi{Mo cos ny — 2hix^i 4-	y'Q- 'j x,„i +

dy2	k\ \ дх у

п ( df, (х, х, у, у. 0) \ dx,_! (х) тз у д^(х, х, у, у, 0) \ ..

Л, К	дх	/ dy	fe2 \	ду	)

, dfi(x, х, у, у, 0)	р'.

ЛД ду ) dy

+ mtyl = — 2ht (Mo cos ту 4- No sin my)— 2hlyl-l Ч-
dy2

, л2 (	df2(x. x, у.	у, 0) \	„	, л /	д\г(х, х, у, у,	0) \	dxt_} (у)

k2{ \ дх j	/гА dx / dy

x. У. у, 0) i m / df2(x, x, y, y, 0) \^<-i ('/) p~(1.64)

/г| \	dy	/ J k2\	еу	) dy

и F’{ —целые рациональные функции от х(0) , i/(0), xt, yt, .... xj_2, yi-2
с постоянными коэффициентами. Опи также зависят от hi ( и не за-
висят от 1ц. Круглые скобки означают, что после дифференцирования
в полученных функциях величины х, х, у, у должны быть заменены соот-
ветственно величинами Мосс&пу,—k^MosAnny, Mocosmy)-No sin ту,
— k2 (Mo sin my— No cos my)-
38
Подставив значения Xt-ь У1—1 в полученные уравнения, можно их
представить в следующем виде:

— *1 -Ь п2х, = — 2ftzMo cos nx — 2Ai (Mz'_i cos n-y + Wz-i sin ny) +

nV d^x.x.yj^x (m;_i cqsnx + yv;_i sinлх) +

k2\ dx )

4- fL( sh(x,x,y,	sinnx + N;_t cosnx) +

*1 к d'x /

/ gft(x,x,y.y.0)X	. cos + sin mx) +

k2 \ dy )

4- — / —1±(*• Xt У’ У’ °) \ (— Mt_\ sin mx 4- Nt— i cosnr/) + Ft (x);

\ dy /

— ‘ + m2y, = — 2AZ (Mo cos m/4- Wo sin tn/) — 2At (Mz_i cos tn/ 4-

rf ’/2

,	\ , n2 / df2(.x, x, y, y. 0) X /

+ Ni-1 Sin my) 4- — ( ————---------------------------- (Mz_

/?, \ ox /

cos «x + Wz-i sin nx) +

+ — ( ^2<x' x- У" У' °) \ (— Mz-i sinnx + Wz-i cosnx) +
ki \ die /

+	( dft{X’ X' У' У' 0) ) (Mz'_i cos mx + Wz-i sin tn-/) 4-

k2 \ dy J

m-f 0f2(x, x, y, y, 0)

^2 \ dy

(— Mz'_! sin tn/ 4- Wz-i cos m/) + Ft {/),

где Fi и Fi —известные периодические функции периода 2л от пере-
менной х-

Условпя периодичности для xz и i/z будут иметь следующий вид:
,	2-

—2/izMo — гмС, 4- М‘~'пг С [( Удх.х.у.у.О)
nk2 J К ЭХ
о

cos nx —

. / д[. (х, х, у, у, 0) \ .	1	,

— «1 (—- -------.	—- ) Sin П/} cos nx d-/ 4-

\	дх / J

 2т-

+ Nt_tn2 Г J /	aft(x,;,jz,p,0)	\ sin пх + ki 7	<У,(х,;,у,у,0)	X cos	|	х

nk2 J К дх	)	\ дх	)	}

о

-	2 2'	.

X cosnx^x+	X. у. у. 0) )cosmx —

, / df. (x, x, у, у, 0) \ .	1	,

— «2 ( — ~—- I sin my) cos П X dx 4-

k dy / J
о

ov

х (	. 'г.—У| Г —у-;-----1- soa х

*z г
г	°. г

(	/	^	\	/ Г,д \1 f

X lXi»U!4 (0-/?‘/?;x--^r^-XwSO4 (0^-x:x)^| J-LjS7 +
«г г .

О

+'ZpZu/soax { Xu soa( (о .х	+Xu uis( -(о </г	)} j X

“г

Uu	,	/	хр	ч

X — -------1- Хр XlU SO3 S Xu UIS I . .g .—7 ..,— I T.y —

3«1-,/V	V к (О ?*й-x'x)-iQ J '

0	.

( *Q M f

—	«» к (о‘Л‘/г-х-^Р/р )J J HI-;W + '"W’VS — °JVZV2 —

«г г 1

о

!0 = XpXwuis • ?j | — +XpX?/uis X
x *z

L. ( r,.e \. ... f	Mf

X {Xwsoo (o .й ,л ,x .X)i}e J^+Xwuis^ (О-Л‘й‘х‘х)1/р /(J гщ1_/^
a3

(	( r,Q Ar

+ ZpXu uis Xiu uis (Q 1/? </? .y-} Iy-) ъц -

0	7

( 4Q	f

— Xius03^ (g./f./p* .X)1/P yjJ	4-XpXuuis X

г

о ,

к, / XQ	А .. f Xfe>	Ai C

X I Xu SOS к	(0-й‘Л‘х‘х)|/р	)	'V + Z,/U!s \	(о‘л‘л‘х‘х)1/0	/I J	zii1~’n *"

аг

( f XQ \

+Xp Xu Uis Xu uis	-

0	.

f	AH

— Xusoa^ (0-й'й‘х‘х)1/р )] J zU\-tvJ + 1 XVS —

^Z

0

10 = Xp Xu soa j------------Ь Xp 7.ii sos |xiu soa x

=*г

о 7

/	1,0	A (	AH	z*u

x \	(о ‘Й ‘Й -X ‘x) 4q	) o?/ +Zw	“Is \	(o •/» •/; -X -X) 4ff /I J	"k

иг 6
xsin

df2_(x, x, y, y, 0)
d'y

2r' X

icos x cos d%+~ J F' cos '"x dy=0;
J	b

оь кГ м. и’ । ^l—in С f / df„(x, x, y, y, 0) \

— 2htN0 — 2hrNt _i 4--------— I ’(	\ cosny—

лЛ? J l> dx /

о

, ( df2(x, x, y, y, 0) \ .	1	. . ^z—i"2

— I f2V — y y ' ) sin«xl sin 1---------------2—x

\ dx	J \	nfci

2r

_ f [ / dfe(x, x, v, y, 0) \ .	. , / df2 (x, x, у, у, 0) X i	, .

X I ———-—- । sin nv + I ——------------------1— ----) cos ny\ x sin my d-/ +

Jl\ dx J	\ дх / "I

0

-	2 2^	.	.	.

 Ml- i”1 C (/ df2 (x, x, y, y, 0) \	, t dfo(x, x, y, y,0) \ •	)

4---------I ——--------- •	1 | cos my — «> I — '— y y -1 sin my J x

nkl J l\ dy ) K A dy } Al

.	2	2r-	.	.	.

• j । fy-i"1 f (f df„(x, x, y, y, 0) 1 . til df,(x, x, y, //, 0) \

X sin mydy-\--------— I I—J a—— sin my+ AJ—- ----------------—- )x

л&2 J ” dy J	X ду I

X cos/nx) sinH—“I Fz sin mydy = 0.	(1.65)

о

Начальные усчовия (1.62) дают

qiZ-lW+JV/-, =0.	(1.66)

Из уравнений (1.65) и (1.66) при выполнении условий, необходимых
для однозначного определения ht, можно однозначно определить посто-
янную hi, а также	, Л1/_| ,	.

Таким образом, доказано, чго существует то.пко одна пара рядов
вида (1.61), формально удовлетворяющих уравнениям (I.5I), эти ря 1Ы
и дают искомое решение.

Аналогично приведенному случаю могут быть рассмотрены более
сложные случаи резонансов собственных частот в автономных системах.
Однако здесь их рассматривать не будем.
ГЛАВА II

ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ.

ПРАКТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

§ 1. УРАВНЕНИЯ В ВАРИАЦИЯХ

В предыдущей главе исследовали вопрос о нахождении периодиче-
ских и квазипсриоднческнх решений общего вида для систем обыкновен-
ных нелинейных дифференциальных уравнений. Нашли также условия,
при которых эти решения имеют место. Чтобы эти решения имели физи-
ческий смысл, необходимо чтобы те движения, которые они выражают,
были бы устойчивыми. Задача об устойчивости того или иного вида пе-
риодического движения в общем виде решена А. М. Ляпуновым [11].

Решение вопроса для движений квазипернодических может быть
представлено в виде формального обобщения решения вопроса об ус-
тойчивости движения периодического. С практической точки зрения при
исследовании колебаний механических систем машин для открытых
горных работ разделение движений па периодические и квазипериодн-
ческне не имеет особого значения, поскольку вычисление частот колеба-
ний выполняется с большими допущениями. Вследствие этого, можно
анализировать вопрос о существовании решений па основе исследова-
ния периодических движений.

Исследование линейных дифференциальных уравнений с периодиче-
скими и квазииернодическнми коэффициентами приходится выполнять
при решении задачи об определении условий устойчивости стационарных
движении или равновесия конструкций машин для открытых горных и
земляных работ, в том числе исследовании условий возникновения па-
раметрических резонансов для вант, стоек, для конвейерных лепт.

Определив границы неустойчивости (границы параметрического ре-
зонанса) в зависимости от частот и амплитуд возмущений, можно уста-
новить условия и подобрать параметры конструкций таким образом,
чтобы колебания не возникали, если они не желательны, пли возникали,
если они необходимы по условиям выполнения технологическою про-
цесса. Исследование линейных дифференциальных уравнений с периоди-
ческими и квазинернодическнми коэффициентами не дает ответа па во-
прос, каковы будут амплитуды колебаний.

Предположим, что некоторая материальная система совершает дви-
жения, описываемые дифференциальными уравнениями вида

....хг).	(2.1)

(1=1...г)
Пусть мы нашли некоторое решение данной системы дифференциаль-
ных уравнений

*z = <PzW-	(2.2)

(»= I....г)

Чтобы решить задачу об устойчивости полученного решения, состав-
ляют дифференциальные уравнения возмущенного движения. Движе-
ние Xi = ф,(/), которое исследуется, называется невозмущениым движе-
нием. Всякое движение, с которым оно сравнивается, возможное для
данной системы дифференциальных уравнений, например решение при
других начальных условиях xit называется возмущенным движением.
Разности между ними у, = х,-— называются возмущениями.

Как уже было сказано, для исследования устойчивости составляются
дифференциальные уравнения возмущенного движения, т. е. уравнения,
которым удовлетворяют функции

У< = Xi — ф4- (/)	(2.3)

(/=-1.2..г).

называемые возмущениями.

Эти дифференциальные уравнения подучатся, если вместо х, в
уравнение (2.1) подставить х, = у, + (р,(/). При этом получаются сле-
дующие дифференциальные уравнения

-^7 = А', (/, <pi + уI, ..., <рг 4- yr)	Xi (t, <(?i.<pr).	(2.4)

at

0=1.2.....г)

Разлагая правые части в ряды по у,, получим следующие дифферен-
циальные уравнения при необходимых предположениях:

= РпУ1 + • • • + РиУг + У Л r J/1 У1 - • • Уг'	(2.5)

at

0= 1.2....г).

где сумма распространена на все целые неотрицательные числа /п,,
удовлетворяющие условию Zm,->I.

Соответствующие формуле (2.5) линейные уравнения

= РпУ1 + • • • + РиУг	(2-6)

at

0 = 1.2...г)

называются уравнениями в вариациях п играют большую роль при ис-
следовании устойчивости.

Имеют место следующие два свойства уравнений в вариацп х.

I.	Если исходная система (2.1) допускает семейство решений

х, = hi, ..., hk)	(2.7)

7 = 1.2...........ri.

зависящее от k произвольных параметров h;, и певозмущениое движение
принадлежит этому семейству и соответствует значениям h, = /zj пара-
метров, то уравнения в вариациях (2 6) допускают k решений

(/= I..k-, z=I,2.г).

где производные вычисляются для невозмущениого движения.
2.	Если система (2.1) допускает первый интеграл

F(i,Xi....х,) = const,	.	(2.9)

то и система в вцшацпях (2.G) допускает первый интеграл

Н =	+ --- + (~^~\Уг = const,	(2.Ю)

\ дх /	\ дхг )

где скобки обозначают, что производные вычислены для невозмущешю-
го движения.

Если правые части (2.1) есть периодические функции от I и если
rp,(Z) тоже периодические функции от t, то правые части уравнений воз-
мущенного движения будут периодическими функциями от I.

Известно, что системы линейных шфференциальпых уравнений с
периодическими коэффициентами допускают решения вида

1/х = С’«'Л(/).	(2.11)

где а< — характеристические показатели;

в/ = ^-1пР/,	(2.12)

2л

р,-— характеристические числа, определяемые из соответствующих
характеристических уравнении;

Pt(l) —периодические функции периода Т = —, если характерпстпчес-
и>

кие числа простые

в

Р.(П = 52?-,’lr,-(/).	(2.13)

i-i

Если характеристические числа кратные кратности Р, где Чг,(/) —
периодические функции периода Т.

Характеристические уравнения имеют вид:

«11-----(*	«12 • • •	• • .«],,

«21	«22	(•......................«2„

(2.1 1)

где iitj—коэффициенты уравнений;

У<7 G + Л = «о У1 (0 + «г; У-2 (0 + • • • +	У и, (I):	(2.15)

z/o(/)— ФУ11 ^ментальная система решений уравнений (2.6).

В первом приближении вопрос об устойчивости решения разрешается
его характеристическими показателями. Если вещественные части их от-
рицательные, то иевозмущеипое движение в первом прпб жжении устой-
чиво и иритом асимптотически и, наоборот, иевозмущеипое движение бу-
дет неустойчивым, если хотя бы один характеристический показатель
имеет положительную вещественную часть. Если вещественные части не-
которых хара герпетических по азателей равны пулю, а остальных —
отрицательны, то иевозмущеипое движение в первом приближении может
быть как устойчивым, так и неустойчивым. А именно, если характерис-
тические показатели с пулевыми вещественными частями являются про-
стыми, то соответствующие решения уравнений (2.1) будут ограничен-
ными п. следовательно, иевозмущеипое движение будет устойчиво (ио не
асимптотически). То же самое будет справедливо, когда некоторые ха-
11
рактеристпческпс показатели с равными пулю вещественными частями
будут кратными, если только число групп решении, соответствующих
каждому такому показателю, равно его кратности. По если кратность
хотя бы одного показателя, с равной нулю вещественной частью, превы-
шает число соответствующих ему групп решений, то среди этих решении
будут так io, которые содержат вековые члены, и поэтому певозмущепное
гвнженпе будет в первом приближении неустойчивым.

На вопрос, что получится, если учесть в уравнениях возмущенного
движения также и нелинейные члены, дают ответ следующие теоремы
Ляпунова:

Теорема 1. Если вещественные части всех характеристических показа-
телей периодического движения отрицательны, то это движение будет
устойчиво и притом асимптотически, каковы бы пи были члены высших
порядков в уравнениях возмущенного движения.

Теорема 2. Если вещественная часть хоть о цюго характеристического
показателя периодического движения положительна, то эго твнженне
неустойчиво, каковы бы ни были члены высших порядков в уравнениях
во <му щепного движения.

Когда периодическое движение, не имея характеристических показа-
телей с положительными частями, имеет показатели с вещественными
частями, равными нулю, то задача устойчивости первым приближением
не решается. Устойчивость или неустойчивость движения будут решаться
также членами высших порядков.

Значение вещественных частей характеристических показателей за-
висит от того, будут ли модули соответствх ощпх величин щ бо папе,
равны или меньше единицы. Следовательно можно высказанные теоре-
мы выразить еле туюншм образом.

Чтобы периодическое движение было устойчивым, необходимо, что-
бы выполнялись условия

|Р,1<1.	(2-16)

(г = 1,2..т)

Эти условия будут также и достаточными для устойчивости, если они
выполняются со знаком неравенства. Можно, показать, что для автоном-
ных систем выполняется теорема, установленная Андроповым и Виттом.

Если характеристический показатель с равной пулю вещественной
частью какого-нибудь периодического движения является простым
и вещественные части оставшихся характеристических показателей это-
го движения отрицательны, то это движение устойчиво.

§ 2. УРАВНЕНИЯ ХИЛЛА

Дифференциальное уравнение с периодическими коэффициентами
_^_ + о(/)х = 0,	(2.17)

ш-

। де а(1)—периодическая функция, называется уравнением Хилла.
Решением этого уравнения является функция

' in

х = сТ %(/),	(2.18)

где Т — период функции;

<1 (/) — периодическая функция от I периода Т.

Рассмотрим уравнение

— -- + (о0 4- 20j cos mJ 4- 2tbcos x = 0,	(2.19)

где ел и ora—находятся в рациональном соотношении.
Это уравнение широко используется в физике и механике. В част-
ности, это уравнение описывает параметрические колебания стержней,
на которые действуют продольные силы, изменяющиеся по бигармоии-
ческому закону. Если один из коэффициентов <ц или а2 равен нулю, то
имеем частный случай, задачу о параметрических колебаниях стержней
под воздействием продольных сил, изменяющихся по гармоническому
закону. Решение задачи сводится к определению границ «неустойчиво-
сти» нулевого решения пли, иначе говоря, к определению границ резо-
нансных областей.

Как уже было указано выше, решением уравнения (2.19) является
функция вида (2.18).

Рассмотрим вопрос об устойчивости решения.

Устойчивым решением будет такое, которое остается ограниченным
при любом t, п неустойчивым решением будет такое, которое при Л-*-оо
может принимать любые, сколько угодно большие по модулю значения.

t,

—-Inp
Иначе говоря, для устойчивости необходимо, чтобы модули функций е
были бы ограничены для любого времени.

Так как функция a(t) есть четная функция от I, то коэффициенты
уравнения пе изменяются при замене t на —/, а следовательно, реше-
нием уравнения будут и функции вида

t In 1

х= ет Р<р(/).	(2.20)

Но это значит, что если характеристическое число действительно и от-
лично от ±1, то найдутся решения, ему соответствующие, которые будут
неограниченно возрастать со временем. Если же характеристические
числа будут комплексны, то они будут иметь модули, равные единице,
и движение будет ограниченным.

Границам областей неустойчивости будут соответствовать кратные
корни

Р = ±1.	(2.21)

Поскольку характеристические числа не могут принимать нулевых
значении, в интервале —1 <р< 1р может принимать только комплексное
значение.

Отсюда следует, что два периодические решения одинакового пери-
ода будут ограничивать область неустойчивых решений.

Для опре 1елс11ия условий, при которых имеют место периодические
решения, будем искать их в виде рядов.

Для краткости периодические решения, периоды которых кратные
k.n	r

——и—— , будем называть периодическими решениями с периотами
<1>1 <оа

kiTt k л

—— и  - .

«1 «1>3

,,	4л 4л

Периодическое решение с периодами — и — ищем в виде ряда

<01	<0г

х(Г) = V aAi4tsin	t + ₽4Л, cos ( *»«>..	/.	(2.22)

feI,fe2=—со....—3, —1, 4-1, 4-3......4-00

Будем считать, что в коэффициенты а*,*, и р*,*, входят все коэффи-
циенты двойного ряда, для которых аргумент, стоящий под знаком sin и

cos, равен ±

fe<^<4-^2<^2 т е вместо двойного ряда функцию х(/)

можно
было бы представить в виде простого ряда. Однако всегда мы будем
представлять периодические функции в виде двойного ряда, поскольку
это имеет свои преимущества.

Подставляя ряд (2.22) в уравнение (2.19), получим следующие си-
стемы алгебраических уравнений для определения коэффициентов а*,*,
»

(ktWt 4- fes(l)»)2 л	,	.	.	, .

Оо------<**,.*, + а1(а*Н-2.*, + «*,-2.*,) +

4 J

4" а2(ал,.л,-|-2 4"	2 ) = 0;

k1 = — оо........—3, — 1, + 1, 4-3, + ... +. ka = + I, 4-3.....................4-	<х

в уравнениях k, 1 перед а±*. । знак минус.

[ Оо -	+w ] ₽*,», 4- О1 (₽*,+2 л, 4- ₽*,_2.*,)4-

4" а2(Р*,.л,4-2 4“ Р*!.2 ) — 0.	(2.23)

^i = — оо, ... — 3, — 1, 4- 1, 4-3, 4- ...,4"Л;; ^2 = 4- 1, 4-3, .... 4" °-

2л 4л

Периодическое решение с периодами — и — ищем в виде ряда

,,. уч . / fe.w, 4-	\ , , о I 4- А;,<1)2 X ,

X(О = 2j «*.*.sin ( 1	* j t 4- Р*,*,COS (	— \ t.

(2.24)

kx = — оо....—2,0 4-2 ..., 4- оо; Л2 = 4-1, 4-3. 4-°°

Подставляя в уравнение (2.19), получим следующие системы алге-
браических уравнений для определения коэффициентов а*,*, и р*,*,

w2 \	л

а0 — а2.----------) * “о, 1 4- «1 (а2,1 + <*—2.1) 4- Огао.з = 0;

<	4 /

о0-----fcgfa)2)—j akt _|_ О1 (а*1+2.*, 4- <**,-2.*,) 4"

4- аг(<**!.*!-! 2 + <**,.*,-2 ) = 0;

= — oo, ..., — 2,0.4-2.........-f-oo; fe2 = 4- 1, 4~3, ...,-f-oo

в уравнениях k, 1 перед a; *.1 знак минус.

( ао 4- а2------- ) Ро. 1 4- ai (Рг, 1 4- Р—2.1) 4~ О2ро,з — 0;

\	4 /

[ Оо- (fc|<0| +-fc-^-j ₽*,*. 4- Я1(Р*,+2.Ъ 4- Р*.-2.*,) 4-

4- «2 (Р*,.*,+2 4- Р*,.4,-2) = 0.

= — 00, ..., — 2,0, 4-2,____,-j-oo; ka = 4-1, 4-3, ...,4-00

(2.25)

г,	4л 2п

Решение с периодами — и —

<U1	(D3

ищем в виде ряда

Х(О = V»».,*. • sin	₽*„*, • со8р1Ы| + *гШЧ/. (2.26)

\	2	/	\	2	]

^1= + 1, 4-3, ...» 4“ °°>	= — °°» . •.» — 4, — 2, 0, 4-2, 4“4, ...» 4~°°
Подставляя решения в уравнение (2.19), получим системы алгебраи-
ческих уравнений для определения коэффициентов а*,*, и р*,*,

<0| \

о 4~ Oj------— I ос] ,о -{ О1<хз .о Ч- а2 (°Ч .2 Ц- а—1.2) = 0;

4 /

Wo-----------~.к, 4* «1 (а*|+2	4- аЛ,—2 .*,) 4"

4

4-	(“* .*,+2 4" «*, .*,-2) = 0;

kt = 4-1, 4-3.....4- со; k2= — со.......— 4, —2, 0, 4-2, 4-4, .... 4- со;

в уравнениях k, 1 перед u±*,i знак минус

«о — ai--------) Pi .о 4* «1₽з.0 4* °2i(Pi .2 4" Р 1.2) — 0;

а0-----₽*, kt 4- Ui (P*,+2	4- P*,-2 .*,) 4-

4

4- °2(P*,.*,+2 4- P*,.*i—2) = 0;	(2.27)

= — 00 f ...» — 3, — I, I» -h 3, ,,., -f- 00 j kn — 0, +2, "f- 4, ...» H“ 00;

Решение с периодами —-и — ищем в виде ряда
<01	(1)2

\Ч	• /	\ . г*	f -j— ZZoCO-2 \ . /о oO\

_a*. *,sin 1 ‘-r -	f+ P*1,*.cos(-!-!-±——}l.	(2.28)

fe1 = —oc....—4, —2, 0,4-2, 4-4......4-	oo; fe; = 0, 1-2, 4- 4.4-00.

Подставляя в уравнение (2.19), получим следующие системы алге-
браических уравнений для определения коэффициентов а*,*, и р*,*,:

[(fe.W.-k feoCO,)1 I	,	.	,	. .

w0----s-i- '	~ ^.k, 4- ai(a*>+2.*, 4- «*.-2.*.) 4-

4

4- °2(w*,.Л.Ц-2 4- akt.к,—2) = 0;	(2.29)

ki = — ~, .... —4, —2, 0, 4-2, 4-4.....4-	00; k2 = 0, 4-2, 4-4. 4-	co;

в уравнениях k. 0 перед a h,2 и уравнениях —k, 2 перед a?,, 0 знак минус

[w0----^1<Х)| J Ра,4- Wi(p*,+2,*I 4- Р*<-2.*,) 4-

4- <ь(Р*,.*,+2 4-	2) = 0.	(2.30)

ki = — ое.....—4, —2, 0, 4-2, 4-4..........4-°°;	k2 = 0, 4-2, 4-4....4-00;

Для периодической функции а(1) известно, что детерминанты систем
уравнении для онределения коэффициентов ряда имеют нормальную
форму. Условиями существования периодических решении будет ра-
венство нулю детерминантов полученных систем алгебраических урав-
нении.

Пусть at и а2—>-0. В этом случае решения с периодами — и — бу-

<U1	<1)2

дут лежать вблизи частот он и <02, удовлетворяющих соотпошсния1м

4- ^>(”> ~ 2 j/a0 ;	(2 31)

= — со, ..,, — 3, — 1, 4-1, 4-3,	4-00• ^2 =~ 4“ ।> 4“3» ...» 4-°°
Решения с периодами — и — находятся вблизи частот wi и со2>
(1)! (1)2

удовлетворяющих соотношениям

^1Ы1 + k»to2 si. 2 ]/а0 ;	(2.32)

к1 = — v.....—4, — 2, 0, 4-2, 4-4,	4-со; fe2 = 4- I, 4-3..4-оо

,,	4л 2л

Решения с периодами — и — вблизи частот <di и 012, удовлетворяю-
UJj	<1)о

щнх соотношениям

4-	&•>(•).	2 /о0 .	(2.33)

~ 4- 1 4-3, ..., 4- °°: k2 — — 00, ..., — 4, — 2, 0, 4-2.4"°^.

г,	2л 2л _

Решения с периодами — и — вблизи частот «н и о>2, удовлетвори-
CD1 (0g

Ю1ЦПХ соотношениям

4- &2ю2 ss 2 \'га^;	(2.34)

kt = — Х-, ..., — 4, — 2, О, - 2,4-4..4-^; fe, = 0, 4-2, 4-4.4-сю.

Эти формулы можно объединить, записав

kitoi 4- k*to2 st; 2 ]/u0 ;	(2.35)

ft, = — <x..—2, — I, 0, 4- I, 4- 2, ..., 4- 00; k2 0, 4-1, 4-2.4-00.

Эти соотношения определяют те линии на плоскости параметров, в
которые вырождаются области неустойчивости при Я1—►() и а2—► ().

Если <о1 и <i>2 находятся в рациональном соотношении, на прямой час-
тот полччнм значения Лцо] 4- /с2«>2 в виде дискретно расположенных
точек.

Если — число иррациональное, то значения 4-Л2ш2 могут быть
СОл

сделаны сколь угодно близкими к любому заданному числу. В этом
случае получаем полное заполнение прямой частот и для любой ча-
стоты будет иметь место неустойчивость, т. е. при любой собственной ча-
стоте системы будет иметь место резонанс (аналогично решениям нели-
нейных систем дифференциальных уравнений при квазпперподнческой
возмущающей силе). Практически это не имеет места, ввиду наличия за-
тухания п нелинейных факторов.

Прежде, чем перейти к учету затухания, надо рассмотреть характер

_	О	0)1

областеп неустойчивости, считая отношение-------рациональным числом.

ы2

Области неустойчивости обозначим так же, как и соответствующие
частоты двумя значками, первый из которых относится к первой часто-
те, второй ко второй частоте. Области неустойчивости ((H) и (10) будем
называть первой п второй главными областями неустойчивости.

В первом приближении они определяются следующими равенствами:

О
107

«о + “1-----= 0;

°—	4

(0р

Qq 4- ------= 0.	(2.36)

4

Откуда

Шцр = 2 V a0 + at ;

Ы2кр = 2 ]/ а0 ±	(2 • 37)

4 Заказ 314	19
или

1	1 I

~ I~ #1»
4

2	W2 ,

(lOrtp —-------T Oo.

(2.38)

Эти формулы выведены в предположении, что по границам основ-
ных областей неустойчивости решения могут быть представлены в виде

х(1) =

<!>./
otl .oSin

РСО|/

HOCOS-^

п х(/) =

(I)
а0 j sin —

2

РСО../

0.1 COS ‘

(2.39)

Чтобы учесть влияние гармоник, следует рассмотреть определители
более высоких порядков. Возьмем определители четвертого порядка

а0 ±  «2	wi	О2  (со, + 2ьь)2  “°	4  4- cii  0	(/о  ±°1  (- со, + 2сог)г  а°'	4  0	01  0  0  Зсо^	= 0(2.40)
	4				
				°0	4	
и					
	2				
а0 ± a-i —	ь)2  4	«1	«1	По	
«1		(2со, + со,)2  0	4	±«•2	0	
					= 0. (2.41)
«1		+ «2	(— 2с.), 4- со,)2  "°	-	4	0	
				Зсо";	
о->		0	0	а°—Г	

Для первого определителя будем иметь

	2	2 / 2	2\ л 2  со ।	«[(<*>; — <«2) —	1	
— ш	1	— —			(2.42)
“0	111		•	
	4	со j — со,	±1"! —-’ю)	

Дтя второго определителя

“о ± О.-		^(<oj	o>j’) —i			(2.43)
	4	СО]’ — <«2	±а2-	?<О2	

В обоих случаях получаем поправку второго порядка малости по
отношению к щ п а2.

5о
Для определения областей неустойчивости 11 п —11 рассмотрим оп-
ределитель (2.44) второго порядка

«о

(tOi +«ag)-

«о

о, ± °ч

(— со, + <о2)2

= 0.

(2.44)

4

4

Ширина областей неустойчивости будет определяться
формулами

следующими

а{ 1 •11
и кр

I2	1

— +(«i±a»)2--------—

(Di • <i)2

4

°оЛ

- (°* ~~0) 21

+ («I ± а,)2 ——-
со,  со2

(2.45)

4

Для определения областей неустойчивости 02 и 20 рассмотрим опре-
дели гели (2.46, 2.48) четвертого порядка и определители (2.47, 2.49) вто-
рого порядка.

Для области 20

4Ы|

"°	4

a2

— «2

«1

O2

«о —

4 (<>, + CO;)2

a,

4 (- co, b<o.)2

(2.46)

«О

«1

и.

2«1

4(0$

= 0.

o.

'o

(4со,)=
4

(2.47)

Для области 02
4 со?

’ + -Г

— «1

«2

«1

«о

4 (со, -р <os)2

—«1

«о

4 (- со, СО..)2

(2.48)

«2

«о —

(1со,Г2

«о

2а2

4 со?

“°------Т~

= 0.

(2.49)

Ширина областей неустойчивости будет определяться
формулами:

Для области 20

следующими

1*

я?

«0 =	+

3Wj
„2

1с/|о>
он (4<о| -

4а‘,со

(2.50)

Зы,

о>'

— u>

«1

и

4

0

0

= 0

0

0

О

О

о

4

О

0

4

°	4

О

О

= О

4

о

О

4

2«т
Для области 02

О 2	о	/9	9\ *	'I

ЗИ» Ы1	— Ы| )	I

2	2	О 2	J	(2.51)

a,	4<i?e{	2а?

а0 = со? 4- —— +-----L2------+ _2_.

и ~ о 2	/л 9	9\	9

Зш7> (Oi (4со2 (О])	(О 7,

Ширина всех областей неустойчивости получилась пропорциональной
о2, т. е. а в степени суммы абсолютных значений индексов.

Аналогично можно получить, что ширина областей неустойчивости
21, 30, 12, - 12 будет третьего порядка малости по отношению к вели-
чинам а, и аг.

Приближенно можно принять, что ширина области неустойчивости
есть малая величина порядка значений параметров а, и о2 в степени,
равной сумме абсолютных значений чисел, обозначающих номер об-
ласти.

Перейдем теперь к определению влияния затухания на распре се-
ление областей неустойчивости.

Дифференциальное уравнение параметрических колебаний прп учете
затухания имеет следующий вид

х- 2е 4- (о0 4- 2at cos	4- 2а2 cos со,/) х = 0.	(2-52)

UP	dt

Не проводя подробных исследований, которые выполняются анало-
гично как и для уравнения без затухания, укажем здесь лишь основные
особенности.

Неустойчивость проявляется лишь при определенных критических
значениях параметров О| и а2.

Если считать эти величины одного порядка, получим, например, для
(W, 4- со..)2

о0 =———-—, что критические значения параметров должны удовлет-
4

ворять уравнению

± (('h<')>)2(<ot ± со.)е.	(2.53)

Для главных областей неустойчивости имеем

О! = ± ею,; |
о. = ± еМо. I

(2.54)

Значение критических параметров, необходимых для возбуждения
к —

неустойчивых колебании, пропорционально। е, где k равно сумме абсо-
лютных значений индексов, характеризующих об часть неустойчивости.

Практически получение областей неустойчивости высоких поря гков
почти невозможно. Если имеются системы дифференциальных уравне-
ний с периодическими коэффициентами рассмотренного вида, то в об-
щем случае распределение областей пеустопчивости определяется
уравнением

Vn,'2(= У*,®,,	(2.55)

где £2,-— частоты собственных колебаний системы;
со,-— частоты возбуждающих нагрузок:

л,-. ki — целые числа.


г л л в л in

НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 1. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Исследованные выше системы лилейных дифференциальных урав-
нений с периодическими коэффициентами являются частным случаем
нелинейных систем дифференциальных уравнений. В то же время они
являются уравнениями в вариациях соответствующих нелинейных сис-
тем дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Это значит, что исследование линейных систем уравнений дает правиль-
ный ответ, при известных обстоятельствах, относительно устойчивости
решения соответствующих пел инейных систем дифференциальных урав-
нений. Однако практически бывает также важно определять, по какому
закону нарастают амплитуды колебаний (процесс \становления ампли-
туд) и каковы будут максимальные их значения. Дело в том, что в реаль-
ных системах всегда имеются нелинейные факторы, которые могут огра-
ничить значение амплитуд колебаний, если лаже имеет место согласно
теории линейных уравнений неустойчивость.

Возьмем следующее нелинейное дифференциальное уравнение с пе-
риодическими коэффициентами

fl У

------1- 2е----h (а0 4- 2р. cos сох( 4- 2ро2 cos со./) х 4-

+ '17х, —, — ^ = о.	(3.1)

\ dt dt2 )

Уравнением этого вида описываются колебания стержней под воз-
действием продольных сил, изменяющихся по бпгармоппческому закону,
при учете нелинейных членов. К такого же рода уравнению приводит
задача о колебании канатов и вант большой длины.

В этом уравнении

... ( dx d2x \	,

’И I х, ~~ц~ )—функция не ниже второго порядка относительно пе-
dx d2x
ременных х, —, — .

r	dt dt2

Ищем решения в виде следующих рядов:

X U) = V] ай,.й, sin (	) 14- ₽*,.*, cos +	) ,. (3.2)

fcl = —oo...— 2,0, 4-2....4-	oo; fe2 = 0, 4-2.4-00
x(/)=V«M|.

+	z + p*	cQS (	) t, (3	3)

kY = — oo,..., — 2,0,1-2,..., + oo; k2 = + 1, 4- 3.....+	oo

x(Z) = V • sin	) I + COS ( M.±M2) t. (3 4)

ki~ — oo,...,— 3, — I, -|- I, + 3,_,+ oo; fe2 = 0,4-2.4-00

x(/) = V • sin ( MjJ-.Ms ) t 4- cos( fe|<01 *) t. (3.5)

==   , . . . , 3,  1 , 4" 1 । + 3, . . . , 4" ОС J /^2 ==4” 1 1“ 3, . , . ,+ OO

Будем искать решение, подставляя ряды (3.2) — (3.5) в уравнение
(3.1), причем каждый раз функцию 'И^х,	будем разлагать в со-

ответствующий двойной ряд Фурье

1ТГ (	\	г	^’iCOi	, п Г?	/ ^’1^1 +	2^2 \ 1 zQ

Чг л,-----,-------- = У/. ъ sm 1 1 —	/4- г. . cos 11 И, (3.6)

\ dl dt- / —I/*.•*.	(	2	/	*••*,	(	2	/

kj = —oo,...,— 2,0, + 2,...,+ °0* &2=0, + 2,...,+ oo

где

4 г.
Ai<Oi-b fcitoj
f (a 6	\ - М.4-Мг Г wfx tlx rf2* X v

2л .1 Ц ’ dt ' dt* J*
о

XSin (fe»(01 + fe^)Zrff;	(3.7)

4k
£1W1 + £2<JJ,
Fk k(ak k • ₽* k) = feltri-+ fez<°2 f т (X. — , — X
b

X cos + dt.	(3.8)

^i= —	— 2,0, 4-2,...,4-°°.k> — 0, 4- 2,.... 4- °0

Соответственно для остальных двойных рядов

d*x \ уз f .п / *IwI 4 Л2«ог X , , р rrv,( Mi + ^2«>2 X ,
dt dl- J	2 j ь'-к‘	\	2 J

ki — — oo,..., — 2,0, 4-2,..., 4-°°; kt = 4- 1,4-3,..., 4- oo

(3.9)

где

ыа
b

X Sin	1 df,	(3.10)
4 г.

F la R \ - к1ы' + fe2(°2	f	w(x rfx d2x К

2n	|	Цх’ dt ’ dt* Г

0

X cos(fe|(0' +k^1 dt;	(3.11)

fex = — oo.....— 2,0, 4-2,..., 4- oo; k2 = + 1,4-3..., 4- oo

I* /	dx

T I X,-------

\	dt

dbc_\
dt2 )

ktMi 4- &2Ы2
2



 Г4	/	“1“ ^2^3

+ k.*,COS T

fcj — — oo,..., — 3, — i,4-i,4“3,...,4-oc; ^2= o, 4-2,..., 4-00

(3.12)

где

fcitoi+A’jO),

f / a r \  fei0>i + ^2<Ог	(*	nr / r dx d-x \

ik,.k,(%.v P*,.*,)- 2ч	|	Цх> dt ’ d/, Jx

d

X sin (^i + ^-X^
2

(3.13)

Fkt.kt (akt.kJ

4r.

k,a>,+k,utt

feitoi 4- k2ti>2 i’ 4, / dx d2x \

2л ,1	\ ’ dt ’ dt2 ) *

О

ХСО5(/{'(,)|^М:г)< J/,
2

(3-14)

ki = —	— 3, — 1,4-1,4- 3,..., 4- oc; A’2 = 0, 4- 2,..., + 00

k s\nik^ + k^-\t + Fk rospw-+ к (3.15)

\ dt dt2)	2	/	*-**	1	2	/

— — 00 ,..., — 3, — 1,4- 1» 4~ 3,..., 4~ » ti2 4~ 1» "I- 3,..., 4~ 00

где

k,<i>,+kta>,

0

(/e,w, 4- к.,ы.>) t

XSin  1 1	-

d2x
dt2

x

dt;

2

(3.1G)

F. . (a. .

___

^iwi + к.м2 C

2л

0

Xcos(fe|(O|+—2<0,)< dt.

dx
~dt~'

d2x
dt-

(3.17)

x

2

+ OO.

Подставляя ряды (3.2) в уравнение (3.1), что соответствует отыска-
2л 2л

пню периодических решении периодов — и —, и собирая члены
с sin и cos, имеющие одинаковые аргументы, получим следующую
систему нелинейных алгебраических уравнений для определения коэффи-
циентов ряда (3.2):

°оРо,О 2^^1Рг,0 + 2ц02Ро,2 + Л).О = 0’

(«О — “1)а2,0 + Р"1«4.0 + М°2 (Д2.2 + а-2,2) + 2е(О1₽2,0 + Л.О = °’'

(«О”Ы?)Р2.0 +B°i(₽4.o + ₽O.o) + M«2(₽2,2 +Р-2.2)—2гМ1а2,0 +Г2.О=0’

(°0	$*2) “0.2+ llOi ’0.4+ н°2 (®2,2 а—2,2) + 2eft>2Po ,2 fo, 2 = 9’

(«О	W2)Po.2 +	(Ро,4 "I" Ро,о) "I" llOl (Р2,2 + Р—2,2)	Zet02®0,2	^0.2 9’

(kM, + кмЛ- 1	,	,	,	, .	.

а» -	4 '	*. + а*.-2.*.) +	(«*„*,-2 +

+ “*,.*.-2) + 6 (^“1 + ^2“2) Р*,.*, + /*.,*. = °’

|°О	] Р*,.*, + ^1 (Р*,-| 2.*, + Р*,-2.*,) + Н°2 (Р*..*,+2 +

+ Р*,.*,_2) + f Vwi + *2(,ь) %.*, + Fki kt = 0,	(3.18)

fcj = — 00...., — 2,0, • 2,...,-|- oc; fe2 = 0, -|- 2,... ,4-00

(в уравнениях k, 0 перец u-*_ 2 н в уравнениях — k, 2 перед а*.о знак минус),
где f*.,*,п F*,.*, определяются по формулам (3.7), (3.8).

Подставляя ряды (3.3) в уравнение (3.1), что соответствует огыс-
2л 4л	-

капию периодических решении периодов — и —, и собирая члены
(О,	й>2

с cos и sin, имеющие одинаковые аргументы, получим следующую сн-
стему нелинейных алгебраических уравнений для определения коэффи-
циентов ряда:

о0 — Hai----4~)а*'°	I’102 (а*,2	а—*-2) + М°1аз,о +	• Р|>0 + f ।_ 0	— 0;

ао “Ь H°i	4~/ 1 •0	^1°2 ^'-2	1.2) "Ь Н°1Рз.о	twiai .о + ^1 .о 0’

^а0	"	^а*,.*, + ^а1 (а*,+2.*, + а*,—2.*,)	^а2 (а*,.*,+2 +

+ а*„*,_2) + е (^1ю1 + Л»®») РА1 kt + /*„*,=

^а0	1	jp*,.*, + ^а1 (Pftj + 2.*, + Р*,—2.*,) На2 (Р*,.*,+2 +

+ Р*,.*,-2) “ Е	“*,.*, + F*,.*, ^ °’	(3 •19)

fei — + 1,4-3,00;	= — ос,...,— 4,—2,0,4-2,... ,-|-оо;

(в уравнениях k. 1 перед (z£*. । знак минус), где /*,. *, и F*,. *, определяют-
ся по формулам (3.10), (3.11).

56
Таким же образом для периодических решений с периодами — и
wi

2л -

— будем иметь следующую систему алгебраических уравнении для

<о2

определения коэффициентов ряда (3.4)

/	g>2 \	п

I ао	4~ / а°-1	а0.3 "Ь	(а2.1 + а— 2,1) + 6 WsPo. 1 + 7(1.1 = О’

/	w| \

^«0 4“	~ J ₽0.1	Р-а1Рс.З 4" 1*Я2 (Р2.1 4" Р—2.1) fWS®0.1 4" Fq.I = О’

а° -	j akt kt + цо, (afci+2 kt + aft,_2 J + P«2	+2 +

+ “*„*,-2) + e (Mi + М») P*,.*, + fk,.k, = °;

p^ + (Рл +2	+ pft_2k } + (pfti2 +

+ Pjt,,^,—2) — 6 (Mi + М2)	+ Fktkt = 0;

kt = — 00...—	2,0,4-2.4-oo; fc2 = +1,4-3..4-00;	(3.20)

(в уравнениях k, I перед a±/t, । знак минус), где f*,.*,H Fk,.k, определя-
ются но формулам (3.13), (3.14).

Для периодических решений с периодами — и — будем иметь сле-
ы, ю2

дующую систему алгебраических уравнений для определения коэффи-
циентов ряда (3.5)

°о—	+ ^)2 ] а, , 4-ц (С| — а2)а_, , +ца1а314-ца2а134-

+ е(Ю! +Ю2)Р1.1 + А.1 =

°0 ~ (<01	+Ц(а> +Я2) Р-1Л +Н«1Р3Л + И°1>Р1.3 ~

— е(го, +<о2)а, , 4- F, , =0;

|0о-----(	a_i t 4-ц(а,— а2)а, , 4-иа1<х_3,4-ца2а_, 34-

+ е(—W, 4- <*>2)Р_, , + /_и = 0;

[ап— ~ (О1^-(Ог)2 Р-и + ц^ + а^Р,., +ра1Р_3.1+ Ра2Р-1.з —
— е(—со, +ю2)а_1>1 +F_, I =0;

а0

(fet<01 4- k,w2)2
4

"Ь Rai (а*,4-2.л, + akt—2.*,) +	+

+ %.ft.-2) + е (М1 + *2“2) Р*„*. + А,.*, = °’
^°0	{ * 1 *4 12 |	(Р*1+2Л. +’ Р*1—2.*,) Ч" ^2 (Р*„Л,+2 Ч"

4" ₽*,.*.-2) ~ е(/г1<01 +/г2Ш2)%.*,+ Fkt.kt =0>	<3’21)

fei — — оо,.,., — 3, — 1, + 1, 4“ 3,оо; = -|“ 1 * 4~ 3,...»4“ °°«

(в уравнениях /г. 1 перед а±й. i знак минус), где ft,.*, и F*,.*, определя-
ются по формулам (3.16), (3.17).

Учитывая лишь первые члены разложения, получим следующие при-
ближенные системы уравнений для определения первых коэффициентов
искомых рядов.

И «системы уравнении (3.18) получим

^оРо.о Ч" 2и1МРг.о Ч" 211О2Р<>.2 Ч" Fo.o (®2.0’ ао.2’ Ро.0’ Ро.2* Рг.о)

(°0 Wl) а2.0 Ч- 2h°iP2.0 Ч" ^2,о(а2.О’ ао.2’ Ро.0’ Р<).2’ ^2,о) =

(«0 ®'l)Pj.O ” В°1Ри.О 2р(,)!а2.0 + ^2.0 (а2.0’ а0.2’ Ро.0’ Ро.2’ Р2.0) =

(°О	W-j)' ао,2 + 2fW1POi2 + fo.2 (а2,0’ а0.2’ Ро.0’ Ро.2’ Pj.o)

(do ^i)” Ро.2 Ч llWjPo.O 2fW2a0.2 Ч" ^0,2 ($*2,О’ а0.2’ Ро.0’ Р(>.2’ Р2.0)	(^ - 22)

Из системы (3.19) получим

(	(О? \

( ао	уа1.о Ч" EtoiPi.0 Ч- f 1.0 (ai.o' Pi.o) ~ 0’

(	(О? \

Ч" liui	“j Pi.о «°iai.o Ч- F1.O (ai.o’ Pi,о) =	(3.23)

Из системы (3.20) получим

(	«2 А

l^o J*^s ~ Jаод Ч" ^гРо.I Ч- fo.i (ао. 1 • Ро. 1) О,

^о0 + ра..---До.,— f®2ao.i Ч-^о.Л^.о Род) °-	(3-24)

И, наконец, из системы уравнений (3.21) получим следующую:

|O0_!2i±^)i]aI , +^(0, —a2)a_, , +6(0, Ч-и^р, , +

Ч" Лд (“ко а—и* Pi.p Р—и) = о;

ро_ <У»	Р[л + и (Q| -|_ а2)	л - е (Ш| +<о2)а, , +

Ч" ^i.i (ai.p а— i.p Pi.p Р— i.i) = О’

ро_b^t^'|a_iд +и(О1_О2)а, , + е(— ш, Ч-^Р.,., Ч-

Ч~ f— и (ai.p а—i.p Pi.p Р—i.i) ~ о»

°о ——2	Р_1Л ч- р («, Ч-а2)р, , —е(—(О, Ч-«2)а-1.1 Ч"

Ч F—i.i (ai.p а—i.p Pi.p Р— i.i) = 0-	(3.25)

Характерным является то, что в главных областях «неустойчивости»
согласно уравнениям (3.23), (3.24) колебания происходят так, что в пер-
вом приближении ист взаимного влияния действующих на систему пе-
риодических сил с разными частотами.

58
Для того чтобы решить задачу о процессе установления найденных
периодических колебаний, воспользуемся методом Ван-дер-Поля. Для
этого полагаем, что коэффициенты a*,.*,!! р*,.*, являются функциями

. <»/	<>>Д	м.,(	о>,/

медленно изменяющимися ио сравнению с sin-^-, cos -у , sin-yj cos—у
так, что за период изменения указанных функций коэффициенты а*,.*, и
будем считать постоянными.

При решении задачи о процессе установления колебаний также бу-
дем искать лишь первое приближение. В этом случае для главных об-
ластей «неустойчивости» все будет происходить так, как бугто мы име-
ем две отдельные задачи по решению дифференциальных уравнений с
периодическ imii коэффициентами: одно уравнение, имеющее перподн-

. .	2л

ческпе коэффициенты периода —, н другое уравнение с периодическими

W1

2л

коэффициентами периода —. Так, например, для исследования колеба-
0>2

ппй в первой главной области «неустойчивости» можно решение искать
в виде

х(/) = ai(0sin+ ₽! (/)cos,	(3.26)

где <t! (/) и РИО медленно меняющиеся функции.

Подставляя это решение в уравнение (3.1), с известным прпблпже-

инем можно получить

.2 ”

rf-Oj
~dt*^

+ 2е^-
dt

+ f ( а1,

'Ф1 ।

-<l>1 И°1-

dat d2a, „ d^i cZ-p!

dt ’ dt* ’P1’ dt ’ dt*

СО'

«1 — +

4

^Р.
dt*

n	da.

+ 2e —— + <ot ——h a0 +
at	dt

«1

Pl — F «1«1 +

1

Л-р(а </a‘ d2ai R rfPi rf'Pi

\ ’’ dt ’ dt* ’ P1’ dt ’ dt* ’’
Пли еще более приближенно, считая е малым

(3.27)

rf3,
—

dt

°о —

da.

(О, — 1
dt

— «о + м«1

4

Ь)1

4

а, — «>!₽! +/(«!, РЭ = 0;

Pi +	— Р (alt РЭ — 0.

(3.28)

Аналогично для второй главной
лучить, приняв

области неустойчивости можно по-

x (t) = a. (/) - sin + P-. (I) cos

(3.29)

CO? ‘

w2 ——
dt

da.
co..

’ dt

4

co?

а2 — tobPs + [ (a-i, Р-) — 0;

«<> + pa-2-------;

4

Р> 4-е<о>а2 — FР2) = 0. (3.30)

а0 — ро->

Рассмотрим теперь вопрос относительно устойчивости стационарных
колебаний, происходящих в главных областях «неустойчивости».
Возьмем решение в первой области неустойчивости

x(f) = »isin-^ + p?cos	(3.31)

где и” и удовлетворяют уравнениям (3.23).

Давая решениям некоторые возмущения £, т], так, что

ai — ®i + Pi — Pi + 1].	(3.32)

и используя уравнения (3.28), получим следующие уравнения возму-

щенного движения:

de,
<х>! ------ =

d/

Т] + ech; — F (a« + ;,	4- i]);

E — ecojT) + f (a° 4- P" 4- i]).

(3.33)

di]

<•>! ------ =

(It

Откуда, разлагая f и F в ряды но степеням | н т), получим уравнения

в вариациях:

₽1=₽1	₽i=?i

о . о	„о

₽!-.’!	|=Р|

Характеристическое уравнение полученной системы будет иметь вид

'”1 I df \	( df \

"о + «1Н-------4- —	™	—еш, —Ло),

4	\ dui / о \ dPi j 0

(3.35) будут

Условия, что корни характеристического уравнения
иметь отрицательные действительные части, имеют вид

(3.36)

>0. (3.37)

си
Подробные исследования колебаний стержней под воздействием
продольных сил, изменяющихся по гармоническому закону Р = Ро +
+ Р, cos 0/ были сделаны В. В. Болотиным [5].

Исследовались решения уравнений вида

+ 2е	+ О* (1 — 2р cos «/) х + Т |х, ~	= 0.	(3.38)

В случае учета одной нелинейной инерционности, оказывающей наи-
большее влияние па амплитуду установившихся колебаний стержня,
функция Чг имеет следующее выражение

(3.39)

(3.40)

следующим

где Л1 — сосредоточенная масса на конце стержня;

т — распределенная масса стержня;

/ — длина стержня.

Амплитуда установившихся колебаний определяется
выражением:

(3.41)

Резонансная кривая параметрических колебаний стержней в случае
нелинейной инерции представлена па рис. 1 (пунктиром нанесено иеус
юш.ивое решение).

В случае нелинейной инерционности решение, соответствующее не-
затухающим колебаниям, остается устойчивым н вне области неустойчи-
вости пулевого решения. Это вызывает явления «затягивания» (рис. 5).
Если непрерывно увеличивать возмущающую частоту, то в точке М
возникнут иезатухающие колебания с амплитудой Л1Л1 j. При дальней-
шем увеличении частоты амплиту да постепенно уменьшается и стано-
вится равной пулю в точке N. Если идти обратно, то изменение ампли-
туды пойдет по кривой но амплитуда может про юлжать увели-
чиваться и после точки Л4,_ Лишь в точке Lt происходит срыв и
амплитуда скачком делается равной пулю.
Влияние затухания на амплитуды установившихся ко юбаний про-
является лишь при Ршш >—. В противном случае расчет можно про-
изводить по приближенной формуле

А =	‘ I 1-Л2 + И .	(3.410

k | х )

Зависимость амплитуды поперечных колебаний от постоянной
составляющей продольной силы, если она гравитационного происхож-
СР

денпя и определяется формулой А1/=—где коэффициент С, имеет
еле lyiomnii вн i

Л = — 1/----------------[1 — /г2 +---—----

/гл2 V CPo + 0,27G |_	2(Р,— Ро)

G — собственный вес стержня.

Минимальные амплитуды имеют место при

Р - ±Р -	1

1	2	3	2 Р

(3.412)

Уменьшения амплпту I можно достигнуть путем введения в систему
продольной упругости, а также путем увеличения коэффициента зату-
хания (см. рис. 6 п 7).

Рис 6 Зиппснмость амплп
туты \становившихся коле-
баний от коэффициента про-
дольной упругости

Рнс 7. Зависимость амплитуды устапо-
внвшнхея колебаний от коэффициента
пульсации н декремента ттухання

1) Д-0; 2) Д-0.1; 3) Д - 0.2

Учитывая, что колебания стержней под воздействием продольных
сил, изменяющихся по гармоническому закону, подробно описаны в
литературе, в la.п.пейшем основное внимание уделяется исследованию
колебаний стержней но i воздействием нагрузок, изменяющихся но
бигармоппческому закону и в особенности комбинационным резо-
нансам.

Резонансы, соответствующие главным областям неустойчивости 01
и 10, могут быть исследованы без учета взаимосвязи этих колебаний
с использованием решений для случая, когда действующие силы нзме
ИЯЮ1СЯ ио гармоническому закону.

Исследование колебаний соответствующих областям неустойчивости
02. 20 дано в подробном изложении в § I для более общих уравнений
с правой частью. В реальных конструкциях манит для открытых гор-
ных работ усилия в стержнях изменяются по более сложным квазипе-
риодпческим законам.
§ 2. КОМБИНАЦИОННЫЕ РЕЗОНАНСЫ ПРИ КОЛЕБАНИЯХ
УПРУГИХ-СТЕРЖНЕЙ ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ ПРОДОЛЬНЫХ СИЛ,
ИЗМЕНЯЮЩИХСЯ ПО Г>И1 армоничес кому закону

Задача исследования колебаний стержней по i воздействием про-
дольных переменных сил. изменяющихся по закону

Р (/) = Во + Bi cos <<>!/ + В . cos со./,	(3.42)

Рис. 8. Резонансные кривые параметрических колебаний
при бнгармоннчсском возмущении н комбинационном
±Wi 4-
резонансе Q =------------------------

сводится к исследованию следующего дифференциального уравнения

-с1-х 2е + 12я (1 — 2IK/J cos *•>,/ — 2р«.. cos «ь/) х 4~

где

4 Т (х, -х , — = 0,	(3.43)

\ dt dt- J

х — обобщенное поперечное перемещение точек стержня (де-
формация стержня);

е—коэффициент, учитывающий затухание колебаний;

Q — собственная частота поперечных колебаний стержня,
загруженною постоянной составляющей Во продольной
силы;

р — малый параметр;
Qi и a2— коэффициенты, определяющиеся через амплитуды коле-
баний нагрузки В, и В2;

Чг— функция, учитывающая нелинейные члены, характери-
зующие кочебання стержней.

В случае учета одной нелинейной инерционности [5]

где х — коэффициент, имеющий малое значение.
Почагаем

лец 4- mat2 = О

(3.44)

(3.45)

где л и т— достаточно большие целые числа.

Таким образом, P(t)—периодическая функция времени.

Ищем решение дифференциального уравнения (3.43) в виде

* .\	• (D  Ct>»	Л	(Di (Do .	•	— (D. - (Do . i

X (/) = Ли SHI —- - t 4- Pu cos —/ 4- a_,! Sin--------? — t +

2	2	2

+ P-11COS	t.	(3.46)

Система уравнений для определения коэффициентов имеет следую-
щий вид:

("оз----(wj 42"г)- j Л| ( + 2^2 (Oi _	а_( j _ е (Ы1 4- cd2) 0,, 4-

+ /н(«н, Рн. <*— н> Р-н) = 0;

Гуг  (Wl 4- <02)^1 Р1 ( + 2^Q2 (О1 + Ог) р_н + е (Ю1 + Ю2) Л1 ( +
L

+ f i 1 С*! i> Pi ь «—11» Р-п) = 0;

Г оз-----(_ (У1_+_5^1. | а_,, 4- 2pQ2 (at — л2) a, 1 — е(— <о( 4- ю2) р_| 1 4-

4 J

4- /—11 (an, Pn, a_и, P—n) = 0;

------Cl^+^)2. ] p_,, 4- 2p22(Ui 4- a2) Pj, 4- e(_cd, 4- cd2) a-, j 4-

4- f-11 («11. Рн. a-n. P-11) = 0.	(3. 47)

Здесь

/н («i 1. Pi 1. «-и. P-i 1) = — x	— ССцЛн +

4

aHa-H +₽!!₽-! I [„	,2 O ,.2].

+ *------------------- l«-l 1©1  P—11w2j.

F11 (c<i 1, Ph, a—11, P—11) = — x	Pi Mi 1 +

4

. . al|O-H+ P113-11 [o 2	„	2|.

+ x-------------------1P-1 iWi — a-i |W21,

/—11 (ai I, Pi 1, a_i 1. P— 11) = — *  --———cc_ 1 Mil i 4-

4

+ x

Qlla-ll +Р11Р-Н

2

[eq!«! — Pi i©2|;
F_ii(«h, Ph, а_ц, р_ц) = —x ——W~—р_цЛ-н +
4

+«[р„ш;—»„<	(3.48)

где	Ли = «и 4-Рн; Л^|i = aL|। + Р—11-

Пас будут интересовать гармонические колебания с частотами
(О, -4- (Оо — со, 4“ (о«

———— и ------В связи с чем следует рассмотреть решения, соот-

ветствч ющие двум областям неустойчивости нулевых решений.

Первую область неустойчивости нулевых решений, в которой про-
. (О, 4- (О»
исходят колебания с частотен--——, обозначим индексом +11, вто-

-	«	„	« — <0> + <02

рую область неустойчивости нулевых решении с частотой--1-- —

индексом —II.

Рассмотрим случаи весьма малого затухания Л = —— = 0.

Обозначим

«о, + /<о»	,

---й-------kl1'

t, i = 0, ± 1, ± 2, ...

В данном случае не можем получить решений, происходящих
с одной частотой, соответствующих каждой из областей неустойчивости
II и —II, за исключением специальных случаев. Так, для области
11 будут иметь место также и колебания с частотон ----- —, правда,

имеющие весьма малые амплитуды. Кроме того, каждое решение, за
исключением решений с нулевой амплитудой, будет иметь фазу, от-
личную от нуля, хотя и на очень малую величину. П< яучпть точное
решение задачи практически весьма сложно, поэтому будем искать
приближенные решения. Рассмотрим следующие четыре решения; два
для области 11 и два для области —11.

Для области неустойчивости пулевых решений 11.

Первое решение. Полагаем ац«Лц, причем величины а н, Рг.,
fi-н считаем величинами более высокого поря ща малости, чем ац-

Из третьего уравнения системы (3.47), учитывая (3.18), находим
приближенное значение а_ц

a_n =--------2Р(О(- »?) пц - (3.49)

1	feLn 2/<20 ‘ Ли*

Поскольку х— величина малая, можно принять

2н (л. — а»)	2н (п.	а») .	,о

a-н =-----к 1 --- «II 1 ‘	~ /111-	(3.50)

<-£|| «-£>>

Таким образом получаем, чго величина а_ц пя области неустой-
чивости пулевых решений II имеет порядок малости по отношению
к ц па единицу более высокий, чем величина ац.

5 Заказ 314	65
Подставляя найденное значение а_ц в первое уравнение системы
(3.47), можно получить следующее значение для цц = Л1(:

Лй =—!—Г1—---------4и-~(°' , °2р 1 -	(3.51)

xfefi [	1—<-|| J

Поскольку рассматриваем колебания вблизи резонанса, считаем
величину I—Л'у, величиной второго порядка малости по отношению р,
следовательно, величина Л^, будет также величиной второго порядка
малости но отношению р. Решая совместно второе н четвертое урав-
нения системы (3.47), получим следующие выражения дзя ₽ц и р_ц:

711 1к02х

[21‘ (a, -a2)\2-2^2(at-a2)k202

^n*2ox(gl ~дг)11

1-*?. II

2(а1 +аг) +

(3.52)

2 (I — ^—11^ |(1 ~ ^—11 ) ( 1 ~	1 xfcl 1 н )

А?|^о2 х I2!1 (а|	~**нлн) -

|2Н (а,	“г))2 ^о2

2(1

(3.53)

2(1 — 11) 1(1 —кн ~^iMh) (1	।i)

Очевидно, что порядок малости величин Ри п р_ц по отношению
к р и х на единицу выше порядка малости величины а_ц.

Все величины а_ц, Рн, р_ц обращаются в пуль прп а( = а2 и полу-
чаем колебания с одной частотой.

Второе решение. Полагаем рц = Ли, причем ап, а_ц, Р-ц — ве-
личины более высокого порядка малоегп по отношению к величинам р
и х. чем величина 0ц. Аналогично предыдущему, получаем следующие
выражения для рц, ап, 0-ц, а-ц

4|Р(О| + п2У



2р (Щ -Ь °г)

1 — k2



Д3 k2 7

Д । |	(а, -|- а2

«н =

2(1 —fc

)2

l-fe2

— а

а11а-И ,2

2	к°2

2
Д, , fe20x j2(i («, + a2) (I fej ।	, Д, ,)

|2ji (a, + a2)]2 fe|0	Д11^02»‘ (ai + аг)

“ ---------jT \ “ 2,1 (al “ a2 ) + ---;---~2---------

2(1-fei,,)	_______________1 — feg-n

2	(1 — Л-..У (o —	— ^?1Л?,)(1 —Л^|,) —

,	/	\ “lla II 2 И

— |2(i(a,-a2)+x------------fc02 1

. (3.54}

Колебание с одной частотой получается в случае П| = —а2.

Для области неустойчивости нулевых решений —11 получим два
решения.

Первое решение а-н=Л-и. где ац, Ри, £-ц— величины более
высокого порядка малости, чем а_ц:

«2 ~д2	1 Г1 Ь- 4ц-(а1— а2)а ' .

CC-IL—Л-11 =  ----- 1  «-11---------------- ,

xfe2,,	1— fe?i

2ц (flj — a2)

а-li;

Л111*02х 2(i (a, — a2)|2 — 2(i (a, ~ai)k02 I2,» (°i + n2) +

Л-НхЛ201‘ (al a2)

Л—n^o2x 2fi (a,	a2)(‘ ^—il	x^_ |И_ |1)

2(i-fc2I);(i-feiII-xfel,^2_11)(i-fe2I)_

^4—i iy-^2oM (°i	n2)

l-fe2,

2

(3.55)

2fi (a, + o2)-f-

Колебание с одной частотой получается при О| = a2.

Второе p e hi e н и e p-ц = Л и, причем, как и рапсе, ан, рн, а_ц—
величины более высокого порядка малости, чем р_ц
о2 ~ д2 _	1	11 ь2 1,12

р 11 =Л_| । = —------ 1 — /г_ц------------—

х/г_ 11	1 k,,

о	2|i (a, |- а2)

Рн =----------------- р-11.
хн —

лЗ «,2
л—11к20х

2Ц («1 +о2)|2	+ а2) fe20 [2Н(Л1 — О2) +

Л1цх*о2н(д1 +о2)	|

+ »-fe|l______________1

2(i-*L)I0-£>i-x*2 ц^ц)(1-^и)-

А2 । ]хЛц2>1 (а| Ч- а2) "|2|

- 2Р (щ -п2)Ч- ------—~2---------

I 1 ^20Х 11 (а1 Ч- а2) (I “ fc-

[2ц (л, Ч~о2

.2

•02

I 1	**— 1 1^—1 1) —

A'L.f |Xfep2H (°1	a2)

2Ц (а, — л.) |-

~_____l-fei.

i-^hO1-*?!
4z i |х^ог11 (а1 4" аг)

. (3.5G)

1-fe?

В данном случае (5ц = о_ц = ац = 0 при а> = —а2.

Уравнения установления колебаний получаются следующим обра-
зом. Полагаем, что коэффициенты функции х(1) являются медленно
меняющимися функциями, а также, что коэффициент затухания мал,
так что------<1 и ----------< 1. Подставляем решение

Ю| 0>2	— (Oj + ы2

х(1) ац (/)sinЧ pi 1 (/) cos w‘ + Ыг / 4- а_ц (/) sin -г- t -т

4-p_,,(/)cos	(3.57)

в уравнение (3.43).

Здесь ац(/), |*п(0, а_ц(0, Р-п(0 медленно меняющиеся функция,
так что

Получим следующие соотношения установления колебании, показыва-
ющие как изменяются функции ац(/), Ри(/), <i-n(0> P-hU) во времени

(oh I- и.)	[^’2 - (С01 +4-2~ ] . I- 2p‘J2 (а, - а2) а_!! -

— к (<>। Ч- от>) р> j Ч- f i i(ai 1. Pi i. Я—н. Р—10;

(fl)1 4 f0.)	= _|l,2_	«». + <^.Ip 2 02(Oi + f/2)p_,, 4_

У ' dt |	4 J

4- p(wi J о»2)аи 4- /;п (ац, рц, а_ц, р_ц);
(_co, + (rt2)1 = p22_	a_,, + 2p2*(U1 -O2)a,

— e(—coi + шг) P— 11 + f— 11 (041, Ри, а—и, P—11);

(- шс -I o),)—= — [О®— (-м.+ш2)°-1 p_f ( _ 2ио2 (Of + Ог) p( t +
a/	|	4

4~ e(— o)i + 0)2)a—11 + F— 11 (ai 1, Pi 1, a—11. P—11)-	(3.59)

Исследуем теперь вопрос устойчивости подученных решении.

По Ю/кнм, что имеем стационарное решение, удовлетворяющее сис-
теме уравнении (3.47):

«п=«н; Рн=Рн; a_|i=aLn; р_ц=р’_ц.	(3.60)

Дадим этим значениям an, «_ц, Ри, Р-и некоторые возмущения

«I । = СС| ।-|-Q1,- Рн = Р> । 4->)11;

а_11 = а_| । 4-nJ Р—11 = Р— 11 4* т,— I ь	(3.61)

Уравнения возмущенного движения получаются в следующем виде:

(со, + 0)2)-^12- = Го®---0£l±^11 £1, +	(о, -a2) с_!I -

at [	4 J

— e((,)i 4-«>2) П11 4-/н («I । 4-«н. Рн 4-Tin. «-и 4-«-и. Р-н Ц-и);

(со, -I- со,) = - [«2* - ...^-±_(Д_йг.1 TJ,, — 2pL« (о, + a2) i]-i 1 4-
at	[	4 J

4- e((0| 4- o)2) 5ц 4* ^11 (ai 1 b «11> Pi 1 4- 41 1. a— 11 4" «— 11. P—11	Л-u);

(- 0), 4- «,)	= Ге2 - j—1 5_,, 4- 2pL« (a, -o2)«11-

Л |	4 J

— e (— co 1 4~ w2) 4 - u 4* f— 11 (ai 1 4- «11. Pi 1 4~ 4i 1» cc—11 4" 5—11.

P-n 4- 4-n);

(—0)1 4- to,) d" 11 = — [‘J2--i+ Ыг)~-1J! — 2|iQ2 (01 4- 02)411 +

at	[	4 J

4-e(—0)1 4- «2)«-11 4- F-ч (an 4- Ни. Pi i 4- 4n. a-n 4- c-и. P-11 4* 4-11)-

(3.62)

Разлагая ftl, FH, f_B, F-и в ряд по степеням £ц, |_ц, 4н, 4-11
н оставляя лишь члены разложения, линейные относительно возмуще-
ния, получим уравнения в вариациях

(о)! 4-o)2)-^-=[q2-----(t0> + Ыг)г 1;ll4-2pQ2(ai —о2)^_ц—е(о)| 4-о)2) т]ц4-

at I	4	1

(сог 4- О),)	= — р2а---------<Ь); + (Ог)а I Т],, _ 2р*22 (а । 4- о2) т)-11

at (	4 J

— e(o)| 4-0)2) 5ц - ( J7*1 ) 5ii—( 7ih —
\ oau Jo \ OPn Jo
(- Ю1 + Ю2) ^=11 = Fs= - (И1+/г)*1	, 4- 2(12= («, - а2) С,, -

dt L	4 J

Аналогичное обозначение принято для производных от F.

Таким образом, уравнения в вариациях получены в виде линейных
однородных уравнений первого порядка. Решение ищем в виде

с	ht	° м t	м	° м	глч

5ii=cu<? ; Пн = Пп<? ; Ln=;-iie ; т]-н^П-нс .	(3.64)

Характеристическое уравнение получим в следующей форме (3.65)
см. стр. 71.

Для того чтобы стационарное решение

«п=вц, Pii=Pu, ct_ii= ct_и,

P-i i = P -i i

было устойчиво, необходимо, чтобы все корпи полученного характери-
стического решения имели отрицательные действительные части. Из
уравнения (3.65) получаем характеристическое уравнение четвертого
порядка в виде

doft4 + dift3 + d2ft= + d3ft 4- d4 = 0.

(3.66)

Усповия отрицательности вещественных частей корней этого уравнения
(по Гурвицу) имеют следующий вид:

d0 >0, di > 0, d2 >0, d3 > 0, d4 > 0, d^ — dod2 > 0,

d3 (djd2 — d0d3) — dod4 >0.	(3.67)

Рассмотрим каждое из четырех решений.

Для первого решения области II положим ап = А1Ь а-п = Рп =
= Р-п = 0, тогда

= -ЗД?,Х-	(Л±.\ -.= -Л?,У.-((й1+<1)^;

\ daIt /о	4	\ дРп /о	4

/	хД2, 2	/df_||\	хДп 2

I------I —--------(£>|; I-----j =----------со2.

\ да_ 11 у о	2	у да_ 11 /0	2

Остальные производные, входящие в уравнение (3.65), равны пулю.

Опуская члены более высокого порядка малости, уравнение (3.65)
можно привести к виду (3.68).
7и
Q8_	+	2jl22(a,-Cl2) + (—1—)	- 8 (CO,+ CO2) - Й (CO, + M2)

4 Tl<?a,Jo' 1	2	k<3a_j|/o k03nA>

a/n \
d3_ii 'o

/ 0/-n\

2цУг (a, - аг) + ——
\ "«и /о

(-cot+coa)8	I 0/-11 \

4	\ da_।j /q

——	—------- — e (- м, + й>2) - Л (— co, + co2)

0pu /о \ 03— и /

/ 0Гц \

\ 0011 /0

+ 8 (CO, + CO J + 11 (CO, + CO.,)

0F11 \
0a_j, 'o

(co, + m2)2

—--------;----+

0fn \
. 0Pn I

o

t 0^11 \
2f<Q»(a, Hi) + hr- L
\ 03-11 /0

= 0.

(3.65)

0^-4 \
da„ /о

0F_(i \

—----- I + E (— CO, + co2) + h (— co, + co2)

0“-и /о

2ц 2» (а, + а2) + ———

\ ори /о

2« —

(— Mi + цг)2
4

^_(со,_±_соа)2_зЛ21Х	(СО, + СО;)3  4	2ЦУ» (а, — а2)	— г (со, + со2) — Л (со, + со2)	0	
2ц2’ (а, — а2)	У2 —	(-СО, + С02)2	1	,  4	+	2	0	-е(-	Mi + м2) — Л(— М| + м2)	= 0.
8 (со, + со2) 4- Л (со, + сог)		0	22-	(СО, + С02)2	2 (Ml + Mj)1  "	4	лИх 4	2ц 22 (о, +а8)	(3.68)
0	-		М14-со2)+ Л (— со, + coj	2ц2(а, + а2)	й2-	_ (~ M, + м2)2 4	
Определяя коэффициенты полученного характеристического уравне-
ния d0, dh d2, d3 и di и подставляя пх в условие устойчивости реше-
ния (3.68), получим, что данное решение ап = Ац, Рп = а_ц = р п = О
будет устойчиво при выполнении следующего неравенства:

«1«2<0.	(3.69)

Аналогично можно получить, что решение Ри = /1ц, ап = а-ц =
= р_ц = 0 будет устойчиво, если

а1а2 > 0.	(3.70)

Точно также решение а-ц = А_п, Р-н = Рп = ап = 0 устойчиво при
«!«..< 0,	(3.71)

а решение

р_п —А_ц, «I । = а_ 11 = Pi 1 = 0
будет устойчиво при

aia»> 0.	(3.72)

Выводы относительно условий устойчивости того или иного решения
можно было сделать также из расположения областей неустойчивости
нулевых решений и характера возрастания амплитуд колебании (см.
рис. 8). Если |о1| = |о2|, области неустойчивости пулевых решений бу-
дут начинаться в точках

.,	— СО] |- <х>2 о	+ <х>г

U-1  -------- И	'	~ и

2	"	2

На основании приведенных графиков возрастания амплитуд колеба-
ний, соответствующих областям неустойчивости пулевых решений II
и —11, можно видеть следующие характерные особенности:

1.	При |о||=/= |а2| колебания с частотой 4-<Oi4-<os возникают
всегда лишь при частоте собственных колебаний стержня, загруженного
продольной силон Во, превышающей -------------, или соответственно

—<й^+ <i)2, какнм бы способом эти колебания пи получали (путем ли
увеличения пли уменьшения собственных частот колебаний).

Лишь в случае |ai| = |а2| колебания с частотами Ш1 И2 и

——-	возникают при значении частоты собственных колеоапии

системы, равном значениям комбинационных частот.

2.	При непрерывном изменении какого-либо параметра U|, а2 от лю-
бой величины до обратной ей по знаку в точке, когда какой-либо пара-
метр делается равным пулю, происходит изменение фазы колеба-
п

иия па —.

2

§ 3. КОЛЕБАНИЕ СТЕРЖНЕЙ. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕОДНОРОДНЫХ
УРАВНЕНИЙ С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Колебание стержня при наличии эксцентриситета продольной силы,
переменных продольных сил, начальной кривизны и т. п. описываются
неоднородными дифференциальными уравнениями. Рассмотрим следую-
щее дифференциальное уравнение, соответствующее колебанию стержня
при перечисленных условиях:

d^~ 4- 2е + "2 (1 — 2p.aj • cos Wj/ — 2pa2 cos w2t)x 4-

4-	, d = b0 4-	cos ah/ 4- 2pfc2 cos a>2/,	(3.73)

\ dt dt* 1
где

(	dx	d*x X	n Г/ dx \2 . d*x 1

Чг x,----, ------| = 2xx-----) 4-x----- -	(3.74)

\	dt	dt* / W dt J dt* J

Решение уравнения (3.73) будем искать в виде

х = Ро.о 4" «2,0 • sin он/ -f* Рг, о cos о>|/ 4* «о. 2 • sin юг/ 4~ Р0.2 • cos <02/. (3.75)

Подставляя это выражение в уравнение (3.73), получим следующие
уравнения для определения коэффициентов:«2.о. «о.2. Ро.о. Р2.0» Р0.2;

Ро.о — |x«i Р2.0 — ц°2 Р0.2 — *Ро.о |4-	= Ьо\

(1 —®2.о---------—Р2.0	1'-п1«2.о[Л| 4-2Ро.о] = 0;

л

(1 п^)Рг,о4------?—«2.о — 2р.Я|Ро.о — 7-П1Р2.о 1^4^ 4" 2рц.о| 2цЬ>;

л

(1 — nf) «о. 2----— Ро. 2	yzJ2 «о,2 | Аг 4* 2р?, о | = 0;

л

(1—Пг)Ро,2 4-----~—«0.2— 2р,а2Ро.о — уИ2Ро,2 |Ао 4* 2Ро,о] = 2р£ь,	(3.7G)

где

<0.	<0, А 2ле .2	„2	. о2 .2	„2	. в2

/21 = —“ , П2 = —; А = —-— ; Л2.0 = «2,0 4- Р2.0» Ао,2 = «0.2 4- Ро.2-

Обозначим критическое значение коэффициента возбуждения

(3.77)

В данном случае колебания с частотой о>( и колебания с частотой
о>2 оказывают слабое влияние друг на друга. Вследствие этого для каж-
дой частоты решение можно находить отдельно и задача ничем не будет
отличаться от аналогичной задачи с периодически меняющимися коэф-
фициентами н правой частью. Приведем здесь лишь известные резуль-
таты для колебаний с частотой Ю| (5].

Различают три различных случая поведения системы в зависимости
от значения параметров рш. Если < цК;>«, то задачу можно решать в
линейной постановке. Система находится вне области неустойчивости.
Для определения коэффициентов можно получить следующие формулы:

(1 —я?) (2РД1&о — 2Pfti)______.

о . ,	(’-«|) - 2|‘2 («1^0 —Ь|)

Ро.о =0о 4---------------------------.--- .

(1_„;)(1_„2_21ЛЗ) + (-2А)

л.А
2р (ai^o — 6Г)

«2,о=--------------------------z Лч  -	(3.78)

Аналогичные формулы можно получить для коэффициентов

Ро.о. Ро,2 И Clo.2-
Если решать задачу о колебаниях стержня, имеющего начальное
искривление уо(£) = с•sin	"а котоРый действует сила No +

+ Nt cos wit 4- N't COSW2Z и если обозначить

п -	•

И 1 Щ 2(Л/Я —Л/о) ’

Р а2 = и» =--------------- ,

2(/V, — /V0)

(3.79)

если к тому же отсчитывать постоянную составляющую прогиба от на-
чального педеформпрованиого состояния

jBq = с -J- Ро.о,	(3.80)

то получим следующую формулу

с Г	2^1 (1—«й

Во =------- 1 + --------—-----12-------

1--^-	(I—?) О-

(3.81)

Амплитуда колебании, происходящих около нового начального поло-
жения, определяется по формуле

Соответствующие формулам (3.81) и (3.82) графики приведены на
рис. 9—12.

Второй случай, когда ца цкра, например: ц > 2нкр и можно пре-

небречь влиянием затухания.

Рис 9 Зависимость постоянной
составляющей динамического
прогиба от соотношения частот

и 0.2 Q4 0.0 0,8 £-

Рчр

Рис. 10 Зависимость постоян-
ной составляющей динамиче-
ского прогиба от коэффициен-
та пульсации



Уравнения для определения коэффициентов решения (3.75) в этом
случае будут иметь следующий вид:

(1 — ni)а2,0 — •/. • Д|<Х2,о (А2>о + 2Ро,о) = 0;

Ро.о—Р1Р2.0 7- • HiPo.oAi.o = ——5;

Ня — rV0

(1 —ti~i) Р2.0 — 2piPo,o — * • л^Рг.о (А2,о + 2Ро,о) — 2ср.| •	(3.83)
Первое решение аг,о = ^2,0; Ро.о = Рг, о = О будет тем же, что и для
однородных уравнений.

Рис II. Зависимость ампли-
туд колебании от соотноше-
ния частот*
а — с учетом переменного ха-
рактера собственной частоты,
б — без учета переменного
характера собстнспноЛ частоты

Рис 12 Зависимость макси-
мальных амплитуд колебаний
от коэффициента пульсации

Для второго решенияа2.о =0; Ро.о=/=О, $2.0 = А2.0 можно получить

следующие выражения:

Ро.О = м CN\:	Н>^2,о;

Лтд - ”0

л _____ BicWo I

Л2 о — у-----------------

Ns-N„ 1 +2р1

(3.84)

где у определяется из уравнения

У3 + Зру 4-	= 0.

(3.85)

в котором

I „2 9,.2 9.,„2 / с^0 _ \2

3	1	' (/Vs-aU

>.n2(I+2g?)

/ 4H,<W0 I У .
\Л/а-Л/0 1+2н2/

2рс

No

Ns

2 / 4И1с/У0 I	V

27^,-Л'о	1-}-2р2 у "

(3.86)

Резонансная кривая (рис. 13) напоминает резонансную кривую, со-
О1вегствую1цую дифференциальному уравнению с постоянными коэф-
фициентами

d-x

dt*

)- ы2х — ух3 = Q COS tiyt.

(3.87)

В данном случае также возможны явления затягивания. Амплитуда
вынужденных колебаний, соответствующих частоте п*, определяется из
условия равенства пулю дискриминанта

Q2 4- Р3 = О-

(3.88)

75
Корпи уравнения (3.85)

I/i = — 2 Vq -,

3 г	Hi

'/2 = //з =

(3.89)

т. е. переход за точку приводит к увеличению амплитуды в два раза
и изменению фазы па противоположную.

Для случая No = 0 формулы будут
иметь следующий вид:

Зр =

Рис
при

13. Резонансная кривая
цаЗ>рак,, для области
неустойчивости (20)

---------; q
х^(1+2)ф

Л2.0 =

X-«is (1+2^)

14е

l*ic

(3.90)

. (3.91)

Соответствующая частота п1я определит-
ся нз условия

3	о о

— 7.(1+2ц;) в;

2|«1

. (3.92)



Формулы (3.91) и (3.92) можно упростить, если пренебречь малыми
более высокого порядка

4s2.o=2i3/—;	(3.93)

Р' 7.(1+2ц2)

---1~2!L_-	(3-94)

*	1 + 3) (цс)-х

В случае «затягивания» амплитуда вынужденных колебаний может
быть определена но следующей формуле:

Л2.0 = 2] | р | cos <р/3,
где

д

cos <р =

При пеботьшом «затягивании» cos <р/3 ~ 1, тогда

Если 7У0 =£ 0, то

Лг.о =

1 — nf — 2м?
ЗхЛ2 (I + 2|12)

(3.95)

(3.96)

Может оказаться, что вследствие наклона резонансной кривой ам-
плитуды колебаний, подсчитанные по формуле (3.9G), будут меньше,
76
чем амплитуды, подсчитанные по линейной теории с учетом затухания.
Сопоставление результатов применения того или иного расчета сделано
па рис. 14.

Если m < 0,7рк;>, то наименьшее значение х, начиная с которого надо
производить расчет по нелинейной теории, определи юн по формуле

(3.97)

В заключение приведем решение уравнения (3.73) без правой части
для области неустойчивости (20), являющееся частным случаем уравие-
ипя с правой частью.

Границы областей «неустойчиво-
сти» в первом приближении опреде-
ляются выражениями:

L’ - Wl + 2р.2 а2;

Е‘= оъ. (3.98)

Рис. 15. Зависимость амплитуд
установившихся колеб ninii 1 > z
от ко ффпнпепта пульсации и от
1ек|цмента латухапия:

а — для области псустойчнпостн (01):
б — для области ие)стоПч>1ш>сгн (02)

Рис 14 Сопоставление результатов рас-
четов по линейное теории (кривая а) и
по нелинейной теории (кривая б)

Амплитуда ко (ебаний с учетом затухания определяется формулой

(3.98)

Графики зависимости амплитуд колебании А | х от коэффициентов
пульсации и от (атухапия для областей неустойчивости (01) и (02) при-
ведены па рис. 1.5.

Аналогичные результаты получаются для области 02.

§ 4. КОЛЕБАНИЕ СТЕРЖНЕЙ КОМБИНАЦИОННЫЙ РЕЗОНАНС
В СЛУЧАЕ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕОДНОРОДНЫХ УРАВНЕНИИ
С ПЕРИОДИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Ьудем искать решение дифференциального уравнения, соответствую-
щее комбинационным частотам (О| + <по и —+ (о2. Для этого неои.хо-
шмо подставить в уравнение (3.73) одно из следующих решений:

* = Ро.о - «2.0 • Sill С), t 4- 02.0 • COSO)! t-\ «0.2 • Sill (02 t + 00.2 COS(I)2 / +

4- a2.2 sin (o)| 4- m2 ) t 4~ 02.2 eos (wi 4- o)2 ) t	(3.99)

77
для комбинационной частоты (W| 4- 0)2) н

X = Ри t о 4"" #2.0 ’ S1П to| t	^2.0 COS to| t ~f~ Otg 2 ’ Sill too t4"

+ Po.2 COS(|>2 t + «-2.2 Sin(—<01 + “t ) t + 0—2.2 COS (—0)! + ю2 ) t (3.100)
для комбинационной частоты (— оц, -t-coa) -

Нахождение решений в обоих случаях будет идентичным, поэтому
будем заниматься одним из них, например, первым.

Итак, в пашу задачу входит исследовать решение уравнения, соответ-
ствующего комбинационной частоте (со] + юг). Подставляя выражение
(3.99) в уравнение (3.73), получим следующие алгебраические уравнения
для определения коэффициентов

«0 00.0 + Р-«1 02.0 + Р-°2 00,2 + Fo.O = ^о J

(ао — С0|) «2.0 4“ 2fW| 02 ,0 4~ На2 «2.2 + /2.0 — 0:

(«0 О)2) «0,2 + 2ею2 00.2 +	«2,2 “Ь /о,2 = О’

[ао — (ч*| 4- “2 )г1 «2.2 4- 2е(о>! 4* °)2) 02.2 + Р-аг «2.0 4*	«0,2 4~ /2,2 = О

(ао — <•>?) 02. о — 2е<о । «2,о 4* |*-и2 02,2 4" 2р. а i 0о. о 4~ ^2,о = 2р.Ь| ;

(ао — о)2) 0о.2 — 2ро>> «о,2 4	02.2 4- 2ца2 0о.о 4* ^о.2 — 2р.Ь2 5

[ао — (о)| 4 0)2 )2| 02.2---2е (<О| 4- “2 ) «2.2 4- Н«2 02.0 4"	00.2 + ^2.2 = О,

(3.101)

где значения F0o, ho, fo2. Ьг, F20, F02, F?2 определяются по формхлам
(3.102) — (3.108).

^0.0

2 л

- =-----“О)20о.о«2,О + — О)? «2.0 («0.202,2 -0О.2«2,2)--

------ Ы?0О.О02.О---~ Ю102.О («0.2«2,2 + 00.202 .2)-

----~Ы20О.О«О,2 4	Ь)2«0.2 («2.002.2 — 02,О«2,2) 
2	4

----2 (0’00.000,2 ---Ы20О.2 («2,0«2,2 4" 02.002.2) —

------ (°)| 4- О>2 ) 0О.О«2. 2 4-~ (Ы1 4* ©2 ) («2,000,2 -02.О«О.г)-

----~(Ы1 4" ы2 )20О,О02.2---— (Ю1 4" ы2 )2 («2,0«0,24* 02,000,2)!

(3.102)

= ---Ш10О.О«2.О +~°Л0О.О («0.202.2 -----0О.2«2.г)---

W1	12 о2 \	2 а2 .	(W1 + О)»)2 о	о

-----—«2.0 («2.0 02.о) <О|«2,О02.0 4----------------—-— 0О.О«О.202.2  

----— (ю! 4"	)2 «0.2 («2.0«0.2 -02,000,2) ---
4

-----— (О) | — 0)2 )2 «0.2 («2.0«0.2 4- 02,000.2)--- 00,000.2«2.2 —

----— (О)| + О)2 )® 00.2 («0,202,0 4" 0О.2«2,о)	----- (о)| — О)2 )2 0о,2 («О .202,0 —

4-------------------------------------------------4
— Ро, 2СС2. о)

со2

2

P0.0P0.20c2.2-------(2о)| 4- (02 )2сс2.2 («г.оссг.г — Рг.оРг.г)--

4

1	2	О)|

---~О)2«2.2 (СС2.0а2.2 + Р2.0Р2.2) 4-------------— P0.0CC0.2P2 ,2 ---

-------(2о) 1 -J- о>2 )2 Рг, 2 (ссг. 0Р2.2 4* Рг, оосг .2) —
4

------о)гРг, г («2. 0Р2,2 — Рг. оосг. 2);	(3. 103)

4

-2• = — ы? Ри.оРг.о-------------w?Po.o (ссо.госг.г — Р0.2Р2.2) —

. .2

/2	о \	2 2л

Рг.о («2.0— Рг.о)— О)|«2.оРг.о

(СО] СО.?)2 Д

--------------ро, 0«0. 2СС2.2 -------

--(о)| 4- (02 )2 «0.2 (СС2 ,оРо, 2 4" Р2.0СС0.2) 4*

4

4----- (о)| — ю2 )2 «О . 2 (ОСг.оРо .2-Р2.0СС0.2)-( 1 9	P0.uP0.2P2,2 4-

4-----(<*>| 4* 0)2 )2Ро.2 (ссг.оссо.г — Рг.оРо.г) —

4

1	“г

---— (о)| — о>2 )2Ро,2 (осг,оОСо.2 4- Рг.оРо.г)------— Ро.оССо.гОСо.г —

------— (2со| 4- 0)2 )2«2.2 (ссг.оРг,2 — Рг.оссг.г) 4*

4

1	2	ыг

— о)2«2.2 (ссг.оРг.г — Рг.оссг.г)---— Р0.0Р0.2Р2.2 4-

4—— (2о)। 4- 0)2 )2 Рг.г (осг.оссг.г — Рг.оРг .г)------о)2»Рг .2 («г.оссг.г — Рг.оРг .г);

4	4

(3.104)

—<^’-2— = — о)2 Ри. оао.2 4—— ИгРо.о (осг, оРг, г — Рг,оССг,г) —
2	ч

-----«о,2 («о.2 — Ро.г) —о)2«о.2Ро,2 4"	И-— Ро.оССг,оРг.2 —

-----(о)| 4~ 0)2 )2«2,о (ссг.оссо.г — Рг.оРо.г) —
4

---------------------------------------------------(o)i — 0)2 )2«2.о («г,оССо.2 4* Рг.оРо.г)----------1 ~Ро.оРг.оосг.г —
4---------------------------------------------------2

в---------— (о)| 4-0)2 )2Рг.о (ОСг.оРо.2 4-Рг.оССо.г) —

4

о
1

-------(о)| — о)2 )2 Рг .о (ссг .оро.г — Рг .оССо.г)-— Ро.оРг .оосг.г —

4	г

------(о)| • 2о)2 )2«2.г (ссо.гСсг.2 — Ро.гРг.г) —
4

, ,2

|	2	(j) ।

	о)|«2.2 (ссо.гссг.г 4" Ро.гРг.г) 4	Ро.оССг.оРг.г —
4-------------------------------------------2

---— (о)। 4-2о)2 )2Рг.г (осо.гРг.г 4~Ро.2СС2,г)	—о)|Рг,2 («о.гРг.г — P0.2ot2.2k
4--------------------------------------------------4

(3.105)
—°'— = — <О^Ро.оРо,2--------7“<0 >Po.O (tt2,0tt2.2-P2.0P2.2) — (O2tto.2Po .2 —

2x	'2

2

“2 Д /"„2 fi2 \	(“I 4- <02)2 д „	„

P0.2 \tto,2----РО.2?------------------P0.0tt2.0tt2.2-------

----—((01 4" (°2 )2tt2.0 (tto.2P2.fl 4" Ро.2®2.о) +
4

4---^-(<01 — (02 )2«2.o («О.гРг.О — Po.2«2.o)

4

(<01 + <0g)2

P0.0P2.0P2 ,2 +

2

4---~ (<01 4" C02 Г P2.O («0,2«2.0  Po.2«2.0) 

4

1	W1

----~(<01  (02 )2 P2,0 («0.2«2.0 4" P0.2P2.0)	— Po.O«2.O«2,2  

4	2

----— f(01 4" 2(02 )2 «2,2 («О.2Р2,2 -Po,2«2.2)4"
4

1	2	<^1

4" — (0i«2.2(«о.гРг.г — Ро.гаг.г)------------— P0.0P2.0P2.2 4"

4—7 (<oi (-2(02 )2Рг,2 (tto.2tt2.2 — Ро.гРг.г) —

-----—(01P2.2 (tto.2tt2.2 ---Ро.2р2.г)>
4

(3.106)

~^2 = — (<01 4- w2 )2Po.0«2.2------((01 4" (02 )2 Po.o («2,oPo,2 4" Рг.0«0.2)-

----~~ ~2—a‘2 -2	-P2.2) (<°1 4" «2 )2«2.2P2.2 
2

1

-----— Po.O«2.0P0 .2----— (2(01 4- (02 )2 «2.0 («2 .0«2 .2 -Рг.оРг .2)-

-----J-COjCX^.O («2.0(22.2----P2.0P2.2)
4

<i)2

Po.otto.2P2.0 —

----(2(0] + «О )2 P2.0 (CC2.0P2.2 4" P2,0<X2.2) 4"
4

2

I 2

4---— (O2P2.0 (tt2,oP2.2 — P2 ,0tt2 .2)----------— Po.otto.2P2 .0 —

4	'2

-----— (<O1 4" 2(02 )2tto,2 (tto,2tt2,2 — Ро.гРг.2)--------

4

----— (ofao.2 («o.2«2.2 — Ро.’Рг.г)

4

<i)2
Po.oP<>,2«2 .0 -----

----—((01 4-2(0 )S Po,2 («О.2Р2 ,2 4* Po.2«2 .2)--

4

----7- (OlPo.2 («0.2p2.2 --Po.2«2.2);

4
—2 ~2— =  ((01 4- (02 )2р0.0р2 .2 4--- (<01 4" <02 )2 ро .0 («2 .0«0.2 — Ро,2р2 .о) 4"

2х	2

4- ^<ri|	Р2.2 («2,2 — Р2.2) — (<°i 4 <«>2 )2 «2.2Р2.2 4-

<о2	1

4----— Ро,о«2,о«о.2-------(2<oi 4- <ог)2«2,о («2.0Р2.2— Р2.0СС2.2)—

2	4

(О2

	<02«2.0 (СС0.2Р2 .2 + ₽0.2^2,2)	—-Р0.0Р2,0р0.2 4"
4----------------------------------------2

4—г (2(01 + «2 )аР2.о(а2,оа2.2 + Рг.оРг.г) —
4

2
I 2	Л	^1 Q

------0 (а0.2СС2.2 — Р0.2Р2.2) 4---------~ Ро.0«0.2^2,0 —

----L (<|)1	2(02 )2fX0.2 (<Хо.2р2.2 — Ро,2^2.2)---

2

-----— <oi«o,2 («2.0Р2.2 + Рг,о«2.2)-----— Р0.0Р0.2Р2.о +

4----—(<01 4- 2(02 )2Ро.2 (ао.2<Х2.2 +Р0.2Р2.2)--

4

-----<О1Ро,2 («2,0«2 .2 — р2 .оРг.г).

4

(3.108)

1. Пусть коэффициент ц. < цкр и нелинейность системы достаточно
мала, так что можно считать, что линейные уравнения дают удовлетво-
ри тельиые по точности результаты.

В этом случае имеем систему неоднородны к линейных алгебраичес-
ких уравнений, опредетитсль которой

°0 —  — ((0, Л- (О;)5		11СГ2	0	0	0	2е (<£>! Ц- (о>)
	2  ”— ^2	0	0	0	2е<о2	0
	0	2 О0—	0	2e(i>t	0	0
0	0	0	“о		и а»	0
0	0	— 2е(о,	2(101	°0~ “1	0	Н°2
0	— 2е(0о	0	2р а2	0	°о — “1	
— 2е (сд Ц- (о2]	0	0	0	И°2		°о —  (<*>. 4- <oJ2

отличен от нуля.

Система, следовательно, имеет не пулевые решения.

6 Заказ 314	g(
Решая систему уравнений (3.101), можно получить значения для
«♦.2 и Pi.2- Выражения для Ро.о, “2,о. “о,2. Р2.0. Ро.2выписывать не будем,
поскольку значение их более высокого порядка малости, за исключе-
нием значения р00. которое близко к Ьо. Итак

— 4^0^11*02 (“J + <о») - е (а0 — <о?) (о0 — wj) [(а0 — <о^) +
л (°о ~ “D] + 4°ос (<oI + w .)(а0— “i )(во — ш2) [:*°11^2 (°о— “2) Ь

а2.2

______________+v-a^bt (о0 — со 1)]	
1 (l’°i)2	(на»)2

[а0 - (ад | а>2)=Г- - 2 —'—-I-	-

( °0 w2 °0 Wl

(3.110)

I(hoi)2+ pa»)-]2

°o(°o - wi)(«o — “I)

(pg.)4

°o («и - ^i’)2

(lia..)'	)

~ [g0 - (^l + <o2)sl +

«o(a0 — “-•) I

(Had2

’о-ш

(Jtnd2 ]2 _ 2 Г______(Bad2______ ,

К-“>?)] °° L(0*-“?)(°o-“2)2

_________(Ba*)2

1(В«д2 — (В0»)2]- + [2г (сож + <о.)В

2Mll"d(lig») |(о0 —wi) • (°о — “2) [ [(Р°2)2 ("о ш1) +

+ (В"д2 (а0 — *»з)| + 1а0 I(B°d2 (д0 — Ч) + (В°д2 (°о “ ЧГ] х

Р2 2

X [b^iBQj (ао — а>?>) + B^BOi (°!

Kliad2 I- (1‘а»)-]2

(В»д2

«о — “5

(в»,)1

аи(а0-^)(а0-(^)

X [ad — (со, + <o.)2J +

(Вад2

(а0 а)

Ж)
о _ “2)

(ВО;)2

2
о0 —а>|

(ВД-д*

“и (а0 — i

2

(3.111)

("и ~ “1)

(В°»)2

2

X



аи

„-«Ж “22).

ХКрад' — (Вад2!2 4 Г2е (“Ч + а»»))2

По этим выражениям можно построить кривые зависимости ампли-
туды комбинационных колебаний от частоты £2=1 а0 и от отношения
— . Укажем лишь па особенности полученного решения. Комбипаиноп-
Вкр
пые колебания при ркр > р возникают в случае, если даже Oi = 0 или
1)2 = 0. Комбинационные колебания могут иметь место также, когда =
= Ь2 = 0 пли а2 — bt = 0. Например, если на стержень действует про-
дольная периодическая сила одной частоты и поперечная периодическая
сила другой частоты. Комбинационные колебания имеют малую амплп-
|уду, ее in «1 = «2 = 0, Ь\ =/= 0 и Ь2 =# 0. На стержень, например, действу-
ют поперечные силы с частотой <»| и w2 при достаточно малой нелинейно-
сти, амплитуда комбипацпоппых колебаний будет величиной очень
малой.
2ц > 2цкр, так что можно пренебречь влиянием затухания.

Уравнения (3.101) примут следующий вид:

(йо	11О2а2,2 "Ь /г.О	О’

(а0 —с^)а0 2 + ца(а2 2 + [02 = 0;

[а0 — (ш, 4- <о2)г1 а2 2 4- Ц«2а2.о + 11а‘ао,2 + /2.2 = °*

°0 Ро.0 "b P"U1 Р2.0 + Р"°2 Ро.2 "Ь ^0.0	^0’

(^0	Ш1) Р2.0 + В^2 Рг,2	211^| Ро.о "Ь ^2.0 ~

(°О	м2) Ро,2 11а1 Рг.2	211°2 Ро.0 "Ь ^0.2 = 211^2’

К - («1 + «ь)21 Р2>2 + ца2 Р2.0 + На, Pd,2 + Л.2 = °>	(3 • 112)

где значения f> о, fo2, /'г,о, F0.2, f2.2> F2.2 определяются по формулам
(3.102)—(3.108).

Рассмотрим следующие два решения

Первое решение: а2.о, ао.г. Р0.0, Р2.0. Р0.2. Р2.2 имеют порядок мало-
сти более высокий, чем а? р;я9 о —Л9 9. В первом приближении этими
значениями можно удовлетворить систему уравнений (3.112). Очевидно,
что первое решение будет тем же, что и полученное решение для случая,
когда правые части уравнении (3.112) равны пулю.

Второе решение можно получить, ести положить р2.2 = Л2>2 и
остальные м эффнцпепты равные величинам, имеющим более высокий
порядок малости, чем р22, за исключением коэффициента р00.

Из пятого и шестого уравнении системы (3.112) можно получить

а	Ы>1______ио2	д_________Ч’О|__ О	.

г*2.0 ~~	о	•>	Z12,2	о	Но.0’

а0~	Ш1	«0-“1	«о-**»!	3

о	_	21^2_____l‘°i	л	_	21‘Ог	a	V •	)

^0.2 —	2	2	У,2.2	2	Р°.0'

° 0	^2 и0 ^2	и0 ^2

Из четвертого уравнения будем иметь

м	2р2	а А	।

РО.О “ ~ п	9	*	9

°о ао а0 —	а0 - (1)2

_ц^_ Г______1__ ______1____

,,	2 +	>	2.2-

«о ^Ио_Ы1 а0 — ы2

(3-114)

Тогда

о	2paibo	2р3Я|	°/>!	।

Р2.0	2	7	2\-'	/	2\	2	2

и0 Ш1 °0\°0	а0 \а0	ш1) L °0	0)1 а0 — Ш2

jia„

°0 Ш1
2ц bz	2|ia„b0	,	2р.эа„

-------—-------------—-	 р 	--
а0 — ы2 °о (°о —-----------------------------------°о (°о — “г)

(3J15)

°0 — ш2 °0	\ “0 ~ Ы1 аО — U2 /I

Подставляя найденные значения рг.о и р0.2 в последнее уравнение
системы (3.112), получим следующее алгебраическое уравнение для
определения амплитуды комбинационных колебаний 4 22

+ -^-(2<о1+(о2)2

2цЬ,
о0 —(О2

+ 2L (Ш1 + 2(о.,) f-----------------

/	2\ I 9 4	I	2

°о(°о —“|) /	\ а0~ “2

о0 —(О2

°о (Оо~®2)

---------2pO.fe0-----М Д2 2_ |4/ ((о1 -I- (о.,)2 Р2°1^о
о0(о0 — ы2) /J ’ I	о2

+ — (2ci>i 4~ ы3)2

4ц2\а2
(а0 ~ “?)2

—4|‘2Д1°А. 1 • 2L (Ы1 -|- 2(0,)2 Г _ +

*о(*о-^)2]	2	’	22)2

4р2о,оА

«О («О— 22)2

4р2 (0^2 + о .bj • b0

°0 (°0 - “2) (°о	“2)

_______2уМ>,Ь2

(«о ~ “D («о - “г)

2ц20[02^о
^(«0-“?)(«0--2)

1^2.2— /«(«I 4 (02)2 +

V _	_	v	Q ।

+ — (2i.ij 4- со,)- ---------------— 4- — (coj 4- 2(о2)2 -----------------— 4-

2	(о0 - ы'у i	(а0 - со2)2

2Ц01Ь0

°о (°о — “1)

. х ( 2 .	2\	рга,о, 1 Лз .

+ — (w 1 4- «>) -------------------— Л2. г + ца,

~	(ао — “1)(°о — “2) I

2цЬ1
о0 —ш2

2ц3о;
ао (ао —

2|юаЬп
°о (°о - “«)

(3.11G)

Отыскание решения полученного кубического уравнения аналогично
отысканию решения в случае, если пас интересуют колебания с частота-
ми W1 п «г, можно производить графически. Дтя этого преобразуем урав-
нение (3.116) к следующему

Ул + Зру 4- 2? = О,

(3.117)
где

р2о,о4>,

+ "у (2(0, + ш.р

2 I	2	2

°р \ ао Mt "р о>2
4|i2ala<b0

4ргЬ2о,

°Р (°Р - Ш?)2
4|12о1агЬ0

У — ^2,2'

где

Х / ° 1 !

"2 (<О] + <о:

°0 (°0
2|‘^А

2l^ala2bl

4ц2 (atb„ + b0

°р (о0 ~ <0|) (°о ~ <>£) ао (°о — “|) (о0 ~

„2Л2

X	Н °2

X (&>! 4- (oj- + —(Su»! + <02)2 --— +

2	(°P-“1)

х

+ — (“1 + 2<о2)2 -	—

2	(Ор-*»2)2

Зр = -^-

ds 3 \ ds J

(3.118)

________Ц2010г___________

(flp - О’2) (о0 - <о?.)

(3.119)

(3.120)

2 2	2 2

j	,	.	.2 И Oi	М °2	,	.	, ^2ata2

di = °о — (“i + “г) — ,---------- —  -------- —(pci + НОг)--

(°р - оМ (о0 - w2)	°о

,2	4(!2Ьо

2

°0 Ш2

+ ~ (2<й1 + w2)2

2^!

Ор —О’2

2рЬоаг

2p<hb0

Ор

I2

Qibi
op — и>2

0{Ьг

2
°0 — ш2

Ор(о0 — «>?)

2 . X / 9

+ ~ (О’! + 20).,)’-

21 • bt

2

Ор — О>2

Ор-о>1)

2цо1Ь0

2|)Ьг

Ор — Ь)2

2pbi

. о0-«>?

2^цЬ0

Ор (Ор <>)2 )

d2 = - 4/. (<о1+<ог)2±!^ /-Ц. +-----Ц.

Ор \«р —0>!	О0—<14

-----(2о>х + 0)2)2

4рга1<7гЬ0

Ор(о0-«)2)2

----(oh + 2w2)2

4р2Ь2а1
(о0-о)2)2

4Ц2О1ОА

ор (°0	W2/

1

3

о

-<о|)2

.(°0-‘ul)(O0-‘*>2)



2

______^bjbj_______________2р2 о| о2 bl
(ор-о>1)(а0-<о2) а2 (о0 - <о2) (о0 - <о2)

4ц2 Ц- aj^i) bQ

ао (ор — 0)^) (о0 — <о|)
2 2

da = — *(coi 4- <«8)2 — -J- (2(0! + <o.,)2-	2 - — -J-(<»i + 2w2)2 X

2	(°o-“l)	2

----!L2L_ z K + (,)22)------------------------;
(«0-<»i)2 ~T	(Oo-<o2)(flo_<o2)

C?0 —

+

_21A_
o0 —<o?

Gcfen

Q0 —“2

-poA

°0 (°0 ”

<’?)

2pb2

“o — °>2
a.b.

o0 ( o0 — <o2) \ a0 - <o2

2>‘3O1

°o(°o-“?) \

_______2|»o2^o

°o ( °o ^г)

Cfo^/n "\

°o - “2 /

afii
a0 - <o2

(3.121)

+

2|i3fl.

Корпи уравнения (3.117) можно определить как координаты точек

П = —Зру — 2q с пар 1болой ij = /у3.

пересечения прямой

Рис. 16 Резонансная кривая при
комбика Шонном резонансе

Q » <0[ +

Резонансная кривая имеет вид, ана-
логичный виду резонансных кривых дтя
частот <01 и «г (рис. 16). Если уменьшать
частоту собственных колебаний стержня,
то амплитуды будут увеличиваться плав-
но до точки /ь где происходит резкое из-
менение амплитуды на величину 1\1}
(примерно в два раза). При дальнейшем
уменьшении частоты £2 происходит плав-
ное уменьшение амплитуды комбинаци-
онных колебаний. Если изменять £2 от
малых значении к большим, то изменение
амплитуды пойдет ио кривой /2/} . При-
чем, в этом случае возможно затягивание.

Амплитуду колебаний, соответствующих точке /} , можно опреде-
лить из условия равенства нулю дискриминанта уравнения

<72 + Р3 = О,

„ 3/—	3/—	„

У1 = — 2Г7; Уг=Уз=] д =

(3.122)

(3.123)

Как и в случае колебании с частотой ин или o>2 увеличение ампли-
туды в точке tig в два раза происходит с изменением фазы па противо-
положную

(3.124)

Если b0 = bi = b2 = 0, будем иметь обычные параметрические ко-
лебания с частотой «>| + (о2. В случае, если <п = а2 = 0, имеем обычные
вынужденные колебания с комбинационной частотой си + о>2, по с малой
амплитудой. Комбинационные колебания могут возникнуть, если «1 =
= Ь2 = 0 или а2= Ь\ = 0.


Г Л Л В A IV

КОЛЕБАНИЯ НАКЛОННЫХ СТОЕК
НА НЕВЕСОМЫХ ГИБКИХ ПОДВЕСКАХ

§ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ НАКЛОННЫХ СТОЕК
НА НЕВЕСОМЫХ ГИБКИХ ПОДВЕСКАХ

В izKiieniiiiiMii конструкциями машин для открытых горных и зем-
ляных работ являются стреловые конструкции. Or веса стретовых кон-
струкции зависит общий вес машпи. Общая динамика машин в значи-
тельной мере опрс еляется динамиков стреловых конструкции.

Частоты колебаний стреловых конструкции большой длины очень
низкие, затухание колебаний происходит достаточно медленно. Вслед-
ствие этого существенное значение имеют нелинейные факторы, которые
связывают колебания в горизонтатыюй плоскости с колебаниями в вер
шкальной и юскостп.

Простейшими конструкциями стрел являются решетчатые стрелы
с одной головной подвеской. Длина таких стрел бывает весьма боль-
шой. Стрела имеет момент инерции поперечного сечения, изменяющийся
но длине стрелы. При расчете колебаний можно считать, что стрела
имеет постоянное поперечное сечение, значение которого выбрано та-
ким образом, чтобы дифференциальные уравнения колебаний стрелы
ост 1лнсь бы прежними.

Решетчатые конструкции стрел при расчете колебаний можпо заме-
нять стержнями сплошного поперечного сечепня, приписывая им приве-
денный момент инерции поперечного сечепня и вес из условия, чтобы
коэффициенты при членах, входящих в дифференциальные уравнения,
остались бы прежними.

Таким образом, задачу о колебаниях простейших стреловых кон-
струкции можно представить как задачу о колебаниях паклоппой сгонки
па гибкой подвеске.

Наклонные стойки являются основными элементами машпи для от-
крытых горных и земляных работ: экскаваторов, отвалообразователей,
а также различных конструкций крапов. Пссле шваппе колебаний на-
клонных стоек важно для установления особенностей динамических про-
цессов в экскаваторах и отвалообразователях. В целях упрощения
математических выкладок речь будет идти о па лонных стойках па не-
весомых гибких подвесках. В дальнейшем исследуем колебания стоек
с учетом веса подвесок, вызывающего поперечные дефорх ацпп подвески.
Невесомые гибкие подвески можпо представить как невесомые упругие
связи, пе воспринимающие изгибающих моментов.
Простейшие стрелы обычно имеют шарнирную опору в вертикаль-
ной плоскости и опору в виде заделки в горизонтальной плоскости.

В состоянии равновесия на стойку действуют в вертикальной пло-
скости распределенные и сосредоточенные нагрузки от собственного ве-
са и веса подвески, которые могут быть приведены к сосредоточь пой ы
ле Qo. действующей па голову стойки. Сила Qo вызывает продольное
усилие в подвеске Nn0 и продольное усилие в стойке No (рис. 17)

No = Wn0cosx04-Qsin70.

При колебаниях стойки в вертикальной плоскости и на стоику п па
подвеску действуют дополнительные инерционные нагрузки, которые
можно привести к силе Qu. действующей па головку стойки.

Сила Qu изменяется во времени по закону, опредепяющемуся зако
ном колебания стойки и подвески. Опа вызывает усилия в подвеске Nnu
и дополнительное усилие, действующее вдоль стойки, Nu.

Рис 17. Расчетная схема наклонной стойки на невесомой гибкой
подвеске

Усилия 7V„U и Nu изменяются по тому же закону, что и Qu, который
может быть выражен в виде периодической функции.

В конструкциях роторных экскаваторов, кроме инерционных сил,
со стороны ротора на стрелу действуют периодические нагрузки, обус-
ловленные взаимодействием ковшей с грунтом. Составляющие усилий
от роторного колеса, передающиеся иа стрелу, действуют как вдоль
стрелы, так и по направлению, перпендикулярному к оси стрелы.

В конструкциях отвалообразователей, а также и роторных экскава-
торов иа стрелу действуют периодически изменяющиеся нагрузки со
стороны конвейерной лепты, роликоопор и барабанов.

Конвейерная лента при движении испытывает обычно поперечные
колебания, которые передаются иа несущие конструкции машин. Перпо-
88
дпческая нагрузка от роликоопор и барабанов проявляется вследствие
наличия эксцентриситетов.

Периодически изменяющиеся нагрузки па стрелу могут действовать
также при передвижении машины в виде кинематического возмущения.

Таким образом в данном случае имеем задачу о колебаниях стерж-
ня под воздействием пе только поперечных, ио и продольных сил, изме-
няющихся, если пренебречь затуханием, по периодическому закону.
Методы решения такого рода задач были рассмотрены выше.

Колебания стойки могут происходить также в горизонтальной пло-
скости.

Тщательный анализ показывает, что между колебаниями стойки
в вертикальной плоскости н колебаниями стойки в горизонтальной пло-
скости имеется определенная связь.

Эта связь состоит, во-первых, в том, что при вертикальных колеба-
ниях, как уже было сказано выше, вдоль стопки действует переменная
нагрузка, которая при определенных условиях (при так называемом
условии «параметрического резонанса») может вызвать интенсивные
колебания стойки в горизонтальной плоскости.

С другой стороны, деформация стойки в горизонтальной плоскости
приводит к тому, что расстояние между верхней и нижней опорой стой-
ки уменьшается. Вследствие этого всякая деформация стойки в горпзоп-
галыюй плоскости вызывает перемещения стойки в вертикальной пло-
скости. Следовательно, колебания стойки в горизонтальной плоскости
могут вызвать ко 1ебапия в вертикальной плоскости.

Таким образом, колебания стойки в вертикальной и в горизонталь-
ной плоскостях оказываются взаимосвязанными.

Расчетная схема наклонной стойки показана па рис. 17.

Введем следующие обозначения:

г, g— текущие координаты вдоль стойки;

То — угол наклона стойки к горизонту;

6—угол наклона подвески к горизонту;

х — угол между осью стойки и подвеской;

х(£, /) — прогиб стойки в горизонтальной плоскости;

z/(g, /) — прогиб стойки в вертикальной плоскости;

и(/) — перемещение верхнего конца стойки в вертикальной пло-
скости, перпендикулярное оси стойки;

/ — длина стойки;

L —длина подвески;

пг(£) —погонная масса стойки;

/*(£) —расчетный момент инерции сечения стрелы при изгибе в го-
ризонтальной плоскости;

^(g) — расчетный момент инерции сечения стрелы при изгибе в вер-
тикальной плоскости;

N— усилие сжатия стойки;

R — усилие в подвеске;

7. —удлинение подвески от единичной силы;

g) —функция влияния для прогибов стрелы в горизонтальной
плоскости;

Ky(z, g) —функция влияния для прогибов стрелы в вертикальной
плоскости;

<7.v(g, О —поперечная нагрузка па стойку в горизонтальной плоскости;

</y(g, О —поперечная нагрузка па стойку в вертикальной плоскости;
у — угловое перемещение стойки.

При выводе уравнений колебаний стойки воспользуемся методом
интегральных уравнений.
Интегро-дифференциальное уравнение поперечных колебаний стер-
жня имеет следующий вид:

w (г, 0 + ]’« (?) К (?, с) - &-~} • d; - f N (;. t) — ~} dwft} & +

+	(г, ;)q(;. t)d; + j U M (*, /)dj = O,	(4.1)

где интегрирование распространяется па всю длину стержня.

Здесь

X'(z, /) —прогиб стержня в точке с координатой z в момент времени 1\
K(z, g) —функция влияния прогибов — прогиб стержня в точке с абс-
циссой z от единичной силы, приложенной в точке с абсцис-
сой £;

A'(g, О —сила, действующая вдоль стержня;

w(g) —погонная масса стержня;

</(g, О—погонная поперечная нагрузка, действующая на стержень;

И(£, /) —распределенный изгибающий момент.

В \равнение вошли следующие составляющие:

I*’	ГХ1/, -X 0*w(£,t)	'

—- а; — прогиб стержня в точке z от инер-

ционных сил;

Д’(z, ;)<?(;,/) d;— прогиб стержня в точке z от нонерсч
пой нагрузки.

Если имеются сосредоточенные поперечные силы, вместо обычных
интегралов следует ввести интегралы в смысле Стильтьеса

jK(z, !j)dQ(c, t).

При этом на концах стержня поперечную силу следует считать рав-

ной пулю.



— прогиб стержня в точке z от попереч-

ных сил Q(z, /)=.V(z, /) t возникающих при изгибе стержня от
dz

leiieiBiin па него продольной силы N(z, i).

J <)Л (г, 5)	— прогиб стержня в точке z от действия распре-

делеиного изгибающего момента Л1(£, /).

Если имеются сосредоточенные изгибающие моменты, вместо этого
интеграла следует ввести интеграл в смысле Стильтьеса

J ОК (г. а

d.W (;, /).

Функция влияния K(z, g) может быть вычислена по формуле

*(г, с)= J

М&,г)М(С, О
’ KJ(t)

сГ„

(4.2)

гдс.И(г, g)—фуп чЦпя влияния изгибающего момента для данного
стерж! я.

Так, для копсолыюй балки длиной /

K{Z’ 5) = Р dU' (4-3)

О
Определим выражение для усилия W(g, /), действующего вдоль
стойки. Обозначим через Ф(£) функцию влияния опорной реакции на
верхнем конце стойки. Полпая реакция па верхний конец стойки опре-
(елнтся следующим выражением:

В = 1’ф (!) [тя (;)	+ ЧС- ')]	(4.4)

о

Для простейшей наклонной стойки

ФО--5-;	(4.5)

в- f-ЧтК)	+	/)]л	(4.6)

J I I ' \	d/2 I dt2 ) н \

о

Усилие в подвеске

« =	+Х^>) + ?(=./)1Л (4.7,

sin •/ J I |	\ dt- I dt2 }	J

о

Сила, действхющая вдоль стрелы, определится из следующего вы-
ражения:

N = ctgz С А-/-^21 +_L_^n +?(;,/)U. (4.8)

J I L \ dt- I dl2 J	J

о

Напишем теперь выражение для перемещения верхнего конца стре-
лы в вертикальной плоскости.

При поперечных перемещениях стер; ня происходи г смещение кон-
цов его вдоль осн, проходящей через точки, опрс елявшне положение
концов его в начальном положении (рис. 18-21).

Это смещение определяется следующей формулой:

б = <4-9>

о

где <( (^) —функция, определяющая форму поперечных перемещений.
Если происходит лишь у повое перемещение стержня, то

_йФ=2Н0	(4 10)

d? I

В этом случае

б==Л1!1.	(4.Ц)

Используя эти соотношения можно записать

„М,Д^+Д_ГС(^Д)!« +

sin х	tgx [J \	/

о

+ I ( —А(-‘° У * - У(/,° - °2 w ("7J-г)1 •	(4‘12)

J \ д' /	L cos х	\ L cos х	I J J

о
Подставляя значение R, получаем



(4-13)

Рис. 18 К определению перемещения
наклонной стоики в вертикальной плос-
кости при реформации подвески

Рис. 20. К определению перемещения
стопки в вертикальной плоскости при
перемещении верхнего копна стопки в
горизонтальвов плоскости

Рис. 19. К определению перемеще-
ния наклонной стойки и вертикальной
плоскости при прогибе стойки

Рис 21 К определению перемещения
наклонной стойки в вертикальной плос-
кости за счет изменения длины проек-
ции стойки (а) и подвески (б) на пря-
мую, соединяющую опорные точки стой
кн в начальном состоянии

В этой формуле первый член определяет перемещение верхнего кон-
ца стойки из-за деформации подвески. Второй член учитывает нелиней-

ные перемещения

1	1' / о у

»g* J \ J

о

d; —перемещение вследствие прогиба стрелы в вер-

тикальной плоскости;

1

I
I

—J— ( / dx(^, t) у & — перемещение за счет деформации стрелы в го-
tgx J \	)

о

рнзоп галыюй плоскости;

1	х- (I, I)

-----------— --перемещение из-за изменения длины проекции
tg х L cos х

подвески па прямую, соединяющую опорные точки стойки в начальном
состоянии при перемещении верхнего конца стойки в горизонтальной
плоскости на длину д(/, /);

v-(Z) /	1 I ,

-----— I------------—перемещение за счет изменения длины проск-
tg х \ L cos х I /

цнй подмески и стойки па прямую, соединяющую опорные точки стойки
в начальном состоянии при перемещении верхнего конца стойки в вер-
тикальной плоскости па длину и(/).

Эги формулы легко получаются из рассмотрения рис. 18 21.

Теперь составим систему уравнений, определяющих колебания на-
клонной стойки на невесомой подвеске,

i

x(z,t)+[m (;) Кх (г, е)	de +

J	01

о

+ р1е,!|'А[_т(5)(-Г>+Л^)]аг)х
О о

X	fi + f К* (z, е) qx (5, t) = 0;

о

y(Z, /)+	+

J	L	< dt* )

о

+i clg	+x x

.1 l i l '	l dl1 Л J

0

x «хьа d. + c K, n =0.
U'	Oz,	J

(4.14)
Решение полученной системы у равнений должно удовлетворять сле-
дующим граничным условиям.

При с = О

При ; = I

у = 0,	= 0; х = 0; — = 0:

* в?	dt,

у = 0; -^- = 0; -^ = 0; -^ = —

J dt~ д'2 dt? L

(4.15)

Прежде, чем приступить к изучению полученных систем иптсгро-
дифференпиальных уравнений, установим сначала некоторые соотно-
шения [5].

Уравнение собственных колебании стержня

v(x,t) + ^m^)K(x, ;) d2v^ ° d- — 0	(4.16)

с помощью подстановки

v (х. 0 = ф (х) sin (ы/ 4- Z)

(4.17)

приводится к следующему интегральному уравнению

<р(х) —w2 j‘m(;)/C(x, c)(p(;)d; = 0.	(4.18)

Спектр фундаментальных функций <р,(х) (t = 1, 2,...) дает совокуп-
ность форм собственных колебаний стержня.

Спектр фундаментальных чисел ы((/ = 1, 2, 3...) даег совокупность
частот собственных колебаний.

Функции <р(х) нормированы с весом т(х)

f т (х) <рА (х) <р,- (х) dx = । * ПрИ \~k	(4.19)

o'	(0 при i =/ k,

т. e.

i

pn(x)[<pft(x)|2dx = I.	(4.20)

b

Функция влияния K(x, £) в случае, если т(х)=£0 при 0^x=Sl, может
быть ирс итавлена в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда но
фундаментальным функциям <рт(х)

К(х, ;) = V -т‘(х)ф'К) .	(4.21)

«—I	‘

Упругую кривую стержня от действия любой поперечной нагрузки
можно представить в виде разложения в ряд но формам собственных
колебаний стержня

ОО

цу (х) = VJ <2*Ф* (х).	(4.22)

к— I

Из уравнения статической устойчивости прп действии па стержень
продольной нагрузки N(£)

i \ Гл/ t-\	(х, £) дю (£) , п

Щ (х) — 1N (?) —-----------------------di = 0.

J d<i

(4.23)

Дифференцируя его почленно и считая, что продольная нагрузка задана
94
с точностью до некоторого параметра ц, можно получить стедмощес
интегральное уравнение (обозначая w(x) = ф(х))

(х)--а С N (;) д-К (х. £) .	(?)	= 0	<4 21)

dx J	дхд^, d<i,

_	...	dil ь(х)

Спектр фундаментальных функции этого уравнения-	-даст со-

вокупность углов поворота сечений стержня при потере статической
устойчивости, сиекгр фундаментальных чисел щ, дает совокупность кри-
тических параметров. Функции —нормированы с весом N(х)
dx

^«W.dx=|l "Р"	(4 ,5)

J	dx dx (0 при i ¥= Л.	'

При ЛЧх)>0 по веси длине стержня ядро -------------— может быть

dxd^
представлено в виде абсолютно и равномерно сходящегося ряда:

те (х> Jl'i 1I2L

д2К (х, £) _	dx d>	26)

dxdJ,	a-k

1

Если этот ряд проинтегрировать почленно, получим

К (х, £) = V U) 4-е,	(4.27)

Л=1

где с — некоторая постоянная, равная нулю, если стержень имеет хотя
бы одну жесткую опору.

Из формулы (4.27) следует, что любую упругую кривую от действия
любой поперечной нагрузки можно представить в виде ряда

и> (х) = V (х),	(4-28)

равномерно сходящегося, если стержень сжат по всей длине*. Из фор-
мулы (4.18) следует

i

\т^)К(х, i)Vk(.)di	(4.29)

Вводя обозначенне

Fik (О = Ц- Г N(*, t)	‘ dx.	(4.30)

ы? ,)	dx dx

‘ о

получим

J N (5, z)	-^L di = V Fik (/) <pz (X).	(4.31)

о	’	1T1

* В дальнейшем будем применять разложение по формам собственных колебаний
стержня.
Представим функции x(z, t), y(z, t), q(z, t) в виде следующих рядов:

x(z, t) = VXft(/)<p^(2);  Л=1	(4.32)
у (г, t)= ^Yk{t)<^(z); k=i	(4-33)
qAz, 0= V71(0(X(z);  *=i	(4-34)
qAz, t)= V THz) Q2 (г).  *=i	(4-35)

Подставляя эти разложения в систему уравнений (4.14), получим

оо	оо	I

Vxk(/)(z) + Vf«фкхъф*(9& +
л- j

*=1	Л=|	о

ОО	г ОО	I	I	-

+ Vx.(0 V;-^-ctg,j^<pf©«+^elg.j£-mC)<rs х

*= i	. <> ।	о	о

X	<£ -U V 71 (/) J Kx (z, ;) Qxk (») dz = 0;

oo

oo

dt2
о

I

^^\rn®Ky(z, c)

«/ J
0

Л=1

<12у(П

„4 f /trvjtrl Г dKy(z^)

Ct£x | p m ® & J--------------	--------

d'

+ ^ТЦГ) f/C(z, ?)Q2(Qd; = 0;
л-i b

v(Z) +

_A_	+

Sin2 x J I
0

d2v X

dt* sin2 %

уЛ!^>Л_
0

oo

^r-Tyk(t) f-Q*u) dg—ctgxFV
n2X	J I

0	k=

• d<p% (') dip? (*)

d*

dt, 4-

Ы



pis rfra<s+

0



o

о

J
о

i- dq^(')	d<pf(’) <pjG)<pf(O

I--------------------at,----------------

J d; d^	L cos x

о

Leos x /

-0.
Введем следующие обозначения:

Л = J

о

‘ дк> (г, {•) d4% (i) ,с XT п

о



d*

где

f& =

дКЦг, □
di

I	Г	dtp?	'*ф*

ю?	j	<аг

»	о

г	<т

d; — >
d$

Й/лф;5 (г),

где

ш? j

IX 0

-1— VC^(z),

Ы1У Л=1

где

Ъ = C^(^Q;(;)^;
о

где

j<(z,
6

I

ЫМ *±1

(* <р* (О Q7 (Е)

0

D?s = |! "tf1-1

J de,
о

'• d<p* (У <Лр* (У

---------de,;

di

о
l
a,=ctgz |
b

X

di

di

Ф*(ОФ*(О
d;-------------

L cos x

jm (С)

cp^Qdi; b =ctgz j

r-

de,;

a( — ---------a,;

cos 7

b ------------b, p =

COS X

L cos x I



о

о

l



b

I

X r iW

sin2 x J I
и

(4.37)

Здесь (<>iX — частоты собственных колебании стопки, загруженной
осевой сплои N,, в горизонтальной плоскости;

он;/ — частоты собственных изгибпых колебании стойки, за-
груженной осевой силон Ло в вертикальной плоскости.

7 Заказ 314	97
Испотьзуя эти выражения, систему уравнений колебаний стойки
можно преобразовать к следующей:

уч d:Xk(l)
dt2

* I

dl*

C^(0 = 0;



- pv2 (0 - J (t) =0.	(4.38)

i i

Приравнивая коэффициенты при одинаковых <р/, (г) пулю, получим
следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений:

d-Xk (Л ,	2 (v ,л , V4 пх v ,л I ХЧ „ d2Yt (Z) ,

—ттг----Нолх А*(0+ X В*,Х,(/) X ctf - -	- +

dt-	(	dt2

i=i	»=1

+ *•^4+ Vc^(/) = °j;

dt1 |	J

/ - 1
(kt = 1,2, oc)

{D^YtYk + Ц^Х,-Х*|

d2v(t)
dt2

Ctg 7-

OO
_pD2(O_vr7;(/) = o.
>-i
§ 2.	ПРИВЕДЕНИЕ УРАВНЕНИИ КОЛЕБАНИЙ НАКЛОННЫХ СТОЕК
К КАНОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Исследование систем дифференциальных уравнений движения стои-
ки в общем виде (4.39) достаточно сложно и практически в большин-
стве случаев не необходимо.

Вследствие этого целесообразно ввести некоторые упрощения.

Прежде всего будем учитывать лишь основные гармоники колеба-
ний, влиянием высших гармоник па амплитуды и частоты i пебапнй
основных гармоник будем пренебрегать.

Будем также считать, что прогиб стойки от статических нагрузок
достаточно мал. Формы колебаний можно задавать или определять ме-
тодом последовательных приближений.

Будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:

+ <£Х (!) + В'а -^-Х (/) + В'6 X (о +	(0-0;

+ «ФЛО + А, + В и У (,) +

+ Bt-^-y(/) + O7y(/) = 0;

/Pf(Z) +±и((} + ^^У(П CtRX^ y.,_

df1 ' b’ ’ b' df1 b’

+	---Z_r(/) = 0.	(4.40)

b	b b

Перепишем эту систему уравнений следующим образом:

(12Х , 2v . I V d2Y V d*v 'Г !1\

 , 2 + ыхХ + bxX -)- cxX — - — exTx (/),
dt2	dl2	dt1

d:Y , 2IZ , „ d2v , . ,z d1}	, .z d2v	,л

	h ou----byY--------J- CvV----= CyTу (/),
dt1-----------------------------------------y dl2 y dt2 y dt1 y y

‘f? 4- W 4- 4т +	= e°T° V)-	(4-41)

dt2	dl*

Уравнении собственных колебании стойки запишутся следующим
образом:

d2\	2	» ул d-}	yZ d2v

— ---- — шхл т	СхА ---- — О,

dl2	dZ2	dt'-

1 2V 1	1 t v

-----)- Wvl 4- av----1- bvY-
dt2 y y dt2 y dt2

d2v
dt2

= 0;

t,2v  2 i	 I 1/2 , „ v2 , » „2 л

	г (Opt/ Hv	"b Ьц1	"b dvv — 0.
dl2-------------------------------------------------dt2

(4.42)

В целях упрощения математических выкладок в дальнейшем целе-
сообразно иметь уравнения колебаний стойки в наиболее простои (кано-
нической) форме.

Введем новые координаты £, т), £ следующим образом:

zY = ^; Y = 1| 4- £: v = £01 4-	(4.43)
где kt п k2—коэффициенты распределения.

wyby ау-^у .

1 -“2

“fry _

1 - 0>с	<»Х

Подставляя выражение (4.43)

в уравнения (4.4'2), получим

(4.44)

(4.45)

d4 +	+ ЬЛ(-^- + V (k.	+ k. > = ехТх (I);

dt2	dt2 dl2 р	1 di2 - dl2 j *' >’

4г 11 + /Л<\1 + 4г ।1 + /г’ау> + (*1 + $ +

at*	- di*

+ », (-) + О () + С, (., + о (t,	+ k, % ) _ е,Т, W;

4? 1*1 + °л + 4г + °*’ +	+k® + Мп + С)2 4-

at-	at£

+ Ср« + dv (А>Р| + W = evTv (I).	(4.46)

Перепишем последние два уравнения, поделив второе уравнение
на и,,, а третье па «„

(Л. + 1 \ + _f^!L /	1А п 4- 2^ 4-

di2 \ ао ) dt* V aD J ао 1 а0

+ ~ (П + У2 + — «2 + — (*1П + f^)2 = Л- (/)•	(4	•	47)

Пр	Пр	Пр	Пр

Умножив второе из этих уравнений сначала па kit а потом па k2
11 складывая каждый раз с первым уравнением, получим следующие два
уравнения:

4- hbL (1| 4- £)« + 2i£sl » 4. М? (£, 1Д 4- k.£f = Ту (I) 4- — Л. (0:
Пр	Пр	с/р	Пу	Пр

,2 + _feA (А>1,( + к.}2 _5_ Ti (/) + Tv (t}
Пр	Пу	Пр

4- ^(4 4-С)3 4--^
Оо	Оо
Вводя сокращенную запись коэффициентов, в итоге получаем сле-
дующею систему нелинейных дифференциальных уравнений:

d1 2<; , 2 ► .	►	.	>. d2£ т /л-

-----р Ых С 0С| ;  ОС.13" ---------- = 11 (/),

dt*	dt*	dt*

d2>] I 2_ , o d2T) a „ d*i> , о r rf2n a d*£

+ P-’29	"+ Р-’зП "ТГ + P32^ “a?" + ^33^”й7Г +

dt2	at?	dt£	dt-	at2

+ A2;2 + А? (ч + 02 4- А? (/e, q (- ^)2 = 7\ (Z);

d*t, . 2r ,	rf2>) , d*t, .	<- d2q .

— 4- 0>-Л 4- Y22.1 — 4- Y23H — 4- Y32b —- 4-

4- Y33S 4г + Дз^ + Хз (’1 + & H Дз 4 -* k ь)2 = (0- (4 • 49)

§ 3. СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НАКЛОННЫХ СТОЕК

Полагая правую часть уравнений (4.49) равной пулю и полагая, что
колебания происходят с достаточно малой амплитудой, можно положить

5 = р?; П = м; С = р£.

(4.50)

Будем иметь следующую систему дифференциальных уравнений:

d*£ ,	2 е , I „ rf2!] , у d*^	„

------------------ 4“ W* S "Ь И I ^12’ - “Н '^13^------ — 0»
dt*----------------------------------------------------*	" dt2 3 dt2

d2l) . 2 .	I о	rf2T) О	. о r rf24 о r d2£ |

„,= + »л + R ₽=» -^ + ₽<» ^- + «	« 7^ +

4- АП2 4- А?(П 4- £)2 4- \?(А?|>) 4- k £)2| = 0;

d2C 2^ .	d‘r) . d‘2C r d2r]

— 4-	4- р |y22’1	+ Y2311 — 4- У32^	4-

4 узз£ + ^з£2 4 Aj(t) - £)" 4-Аз(&|7) 4-&г£)2 = 0.

(4-51)

Решение этих уравнений существенно зависит oi того, в каких со-
отношениях между собой находятся частоты колебаний <>.», «д, со>

Рассмотрим для примера как получается решение уравнений в слу-
чае резонанса между частотами собственных колебаний типа сох соГ),
cox?sco:. Пусть сох= <dv .

Используя методы решения систем нелинейных диффере11циалы1ы.х
уравнений, изложенные в главе I, от дифференциальных уравнений в
обыкновенных производных, надо перейти к дифференциальным уравне-
ниям в частных производных по переменным Т| и тз, определяемых соот-
ношениями:

1 4- Л4* Л2 Р-2 4* • • •

Ts =________L*_______,

• 4-	4- Л2 н2 4*...

(4.52)

(4.53)

где

/л = ш

7.3 —

(4.54)

(4.55)

Ю1
Получаем слечующую систему дифференциальных уравнений:
4- W -~~+	(i + л Th 4- ftfa2 4-. -.) ( i 4- a?h 4-

ОЦОТз	OViOTg /

+ ft-l*2 4- • • •) 4- [Дз$2 + дз (rj 4- S)" 4- Vt(AiT) 4" &2C)21 0 + ft*p +

+ ftfa2 + • • • )2(1 4" ft?p 4- Л?р24- • • • )2} = 0.	(4.56)

Решение полученной системы шффереицнальных уравнений ищем
в виде рядов

£ = $0 4-^14-^2 4-.--

П = ho 4- НП1 4- Нг>12 4----

S = So 4- IlSi 4- Н2?2 4- - - • •	(4-57)

где £>, i)i, — периодические функции от переменных ть т3 перио-
дов 2л.

Производные этих функций будем считать удовлетворяющими сле-
дующим начальным условиям:

при ri = 0, т3 = О

(,= 1,3)(/ = 0, 1, 2, 3,...)

Для go, г)о, So получим следующую систему дифференциальных
уравнений:

Дт,т,^о 4“ ы^о — 0;

дт.т,»1о 4- <°2По = °;

Ат.т.Со + «2So = 0.	(4.59)

Здесь \-lT, оператор дифференцирования
а	2 д2 . л	д2 з д2	ггл

Дт,т, = “х - — 4- 2«)ЛЫ; ——- 4- <•>-. — -	(4.60)

ср2	дул, д -

Решением этой системы ирп условиях (4.58) будут

£0 = Ло costi;

т]о = /IoCosti;

So — Ль cos т3.	(4.61)

Для ci, ip, Si система уравнений будет иметь следующий вид:

^т,т,$1 4" шх£| = —С0Дт,т,(«12110 4- <*1з£о) — 2h^a>x^-~---

— 2ftfa; — — (ftj + ft?) аъЛО; —---------(2ft? 4- 2ft?) COx^o;

^TjdT3

At,-Jii 4" b>2i]i = — »)одт,т, (РггПо 4* P23S0) — Д^о — Aj(i]o 4- So)2 —

— Д? (ft! no 4- A2S0)2 — 2ftfa2 d'2110 — 2ft?fa —
drf	дт%

- (ft? 4- Л?)	------(2Л? 4- 2Л?) <o*no;

C’TiC/Tjj
AT1T,S1 + W:S1 =   Т]оAT,tj (у22>]0 + Y23C0) Аз'О Дз.(Т]о + So)2 

- Аз (Лию + /г2?о)2 - 2й“о>2	-----2Й^-^ -

Orf	дх$

-(й? + й?)адо; — (2й? 4- 2Й?) о)^о.	(4.62)

дт,от3

Чтобы уравнения (1.62) имели периодические решения, необходимо
й] = й? = О.	(4.63)

Дтя |г, >|2 и S2 получим следующую систему дифференциальных
уравнении:

Ат,т,*2 + а>х£г = — |с|Аг,т, («1240 + «13S0) + «оАт,та(«12Т)1 + »1зщ) 4~

+ 2gn (h2 4- hv<) со2 4- 2o>;^-^5_	ю?2й$	4- 2Юх<.>- (h2 4- й°)	;

dr*	д-cl	д'1дх< J

△т,т,*12 4" to2T]2 =   l">3lАт,тэ(ргр>3о + Р23С0) 4" TjO'Ar.t, (02 >Т]|	р23Ь1) •

+ ^Лг.г.фзгПо + РззСо) + ?оАх.т,(Рз2П! 4- Рзз£г) 4~ 2 (й* 4" й“) <o2po +

4- со22й? 4- <о?2й£ - ’10 4- 2gvo: (h2 4- й?)	- 4- 2A&£i 4-

дт*	дт|	^1^.4

4_2\?(Т|о4' Sp)(Ai + Si) 4" 2A?(/f|i|o 4"Л2^о)(й|Т]| 4" fe^i)!;

△т.тЛг 4-	= — 1Ч1Ат,т, (уггЧо 4- Y23S0) 4- *]oAtlT, (Y2241 4- Y23S1) 4-

4" S |Ат,т, (узг'Чо 4" узз£о) 4" СоАТ1т, (уз24 i 4" Y33S1) + 2 (й* 4" й?) <O;So 

4- Ш;2й? -^=- 4- О&й? + (hx2 4- й?)	4-

дт~	dtj	дтАз

4- 2Д£о'! 4- 2Дз(т)о 4- So)(ni + Si) + 2ДШ’Рю + *2So)(Mi 4- ^>S0)- (4.64)

Определив из уравнений (4.59) н (1.62) значения go, т]0. So и значе-
ния gt, Ль Si и подставляя их в систему уравнении (1.61) из условия
существования периодических решений * для gz, туг» S2 получим следую-
щие соотношения для определения величин й£ и й^

h2 = On (An)2 4" ai2(Ao) 4* Qi3 (АГ>)2 4- ОцА АЗ;

с	п	,	(ЛЪ3

йо = а2\ (Aj) 4" а22 (Ао) 4" °2з (Ай) 4_ ° 4АоАо‘ 4* °25-----«

^о

h> = G31 (AS) 4-аз2(Ао‘) 4-азз (Ап)* 4-а34А Arf. (4.65)

Значения й', й" определяют поправку к частотам колебаний. Чем
больше амплитуды колебаний, тем больше значение поправок. Часто-
та колебаний уменьшается с увеличением амплитуды колебании. Из
анализа полученных зависимостей следует также, что колебания по
могут существовать при AJ = 0 и А„ 0, т. е. если имеются котебаппя
по координате g, то обязательно будут иметь место колебания по ко-
ординате Т].

* Везде пол условием существования решений подразумевается отсутствие в реше-
нии вековых членов.
В то же время в первом приближении олсбання по координате i|
могут существовать при отсутствии колебаний по координате с. Это
говорит о том, что при возбуждении колебаний в горизонтальной плоско-
сти при резонансе между частотами колебаний тина сох = со, часть энер-
гии колебаний обязательно перейдет в энергию колебаний в вертикаль-
ной плоскости; по при возбуждении колебаний в вертикальной плоско-
сти обратного перехода энергии в первом приближении может и не быть.

Если отсутствует резонанс между собственными частотами колеба-
ний, то решения получаются путем перехода к уравнениям в частных
производных по трем переменным

_______71_________.

_______7.2________ .

1 А/в^А/1&2А...’

-------,	(4.66)

1 +	+ Лог*2 А .. *

/л =

/2 =

7з =-wj.	(4.67)

В этом случае также получаем, что h\ = h^ — h\ O,h*Jiy, h° нахо-
дятся из соотношений следующего вида:

йг = оц (/1о)2 А 2 (Ло)2 А И|з(Лг>)2;

tl2 — 021 (Ли)2 4" Й22 (Ло) А а23 (Ai) J

/12 = 031 (Ai)2 4- a32(/Id)' А азз (/1 ) •	(4.68)

Частота колебаний получается зависящей от амплитуды колебаний,
по зависимость здесь иная. Решение существует при любых значениях
амплитуд колебаний. Частота колебании но каждой нз степеней сво-
боды зависит от значений амплитуд колебании, соответствующих всем
степеням свободы.

Интересные результаты можно получить, исследуя собственные ко-
лебания стоики при следующих резонансных соотношениях:

со,, = 2сох или <0; — 2сох.

Пусть, например, имеется резонанс

<о,= 2сох.	(4.69)

В этом случае решение можпо получить, если перейти от обыкновен-
ных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производ-
ных по переменным ti и тз, определяемым соотношениями

Э =----------;	(4.70)

1 4-hfp. АЛХ + ...

ts =---------£2—------; Z1 =	/3 = со;Л	(4.71)

1 АЛ^АЛ^р2 А...

Существенной особенностью получаемого решения является то, что
h\ 0 при h" — 0.
Между амплитудами кодсбаний Л* и Лд существует определенное
соотношение, выражаемое следующей формулой

^Х 4~ ^1СХ _ (А))	/	J2\

,с”	' (»о)2 ‘

Таким образом, в случае резонанса со^ = 2<ох имеется переход
энергии колебаний нз горизонтальной плоскости в вертикальную и
обратно из вертикальной плоскости в горизонтальную до тех пор пока
не будет выполняться соотношение (4.72).

Частота колебаний зависит от амплитуды; причем эта зависимость
выражается в виде функций по только от членов второго порядка по
отношению к амплитудам колебаний, но и членов первого порядка.

Величина /1* может быть определена по следующей формуле:

+	(4.73)

2	л;-

Не останавливаясь более подробно па исследовании собственных
колебаний наклонной стопки, перейдем к исследованиям вынужден-
ных колебаний.

§ 4. ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ НАКЛОННЫХ СТОЕК

Дифференциальные уравнения вынужденных колебаний наклонных
стоек (4.19) были получены ранее в § 2.

В правой части этих уравнений содержатся функции от времени,
которые мы будем считать периодическими. Пусть в горизонтальной
плоскости на стойку дсйствхют периодические нагру кп с частотой (о(
и в вертикальной плоскости па стойку действуют периодические на-
грузки с частотой (i>2. Поскольку нас будут интересовать формальные
решения, ограничения на частоты (щ и о)2 по вводим. Будем считать,
что амплитуды вынужденных нагрузок малы п можпо выделить ма-
лый параметр.

Представим функции в правой части уравнении в следующем виде:
7\(/) =^i^i coswi/;

7\ (/) = X2F2 cos со2/;

7с(/) = Лгй’асозсог/.	(4.74)

В целях упрощения математических записей будем полагать —
= \?J = 0, что не изменяет общности получаемых решений. При этом
отмстим, что в большинстве случаев

А? «А?;

Аз « Аз-	(4.75)

Таким образом будем исследовать следующую систему дифферен-
циальных уравнений вынужденных колебаний наклонных стоек

— +	+ а 12; ч- а.зс = Мд cos со,/;

-^-+ со^+Ргзт]^- +Р23Л^- +	4-

dfi ‘	d/2 г 1 d/2	dt2

+	4- А»2 4- А?(Т| 4- ?)2 = cosco2/;
сР£ .	. rf2i] . rf2C , r .

— + «^4-722^— +Y234—4-Y32C—+

4" узз£ — £ + Дз'2 4- Д3 (>] 4- С)2 = ^2^2 cos (€>2/.	(4.76)

at-

Решение этих уравнении существенно зависит от того, имеются ли
резонансные соотношения между частотами собственных колебаний
или нет.

/. Вынужденные колебания наклонных стоек
при отсутствии резонанса

между собственными частотами колебаний

а) Колебания стойки при отсутствии резонанса с внешними силами

Полой им для простоты, что малые параметры Xi, Zj и Х5 одного
порядка и можно положить

Л|==Х2 = Л2 = Х.	(4.77)

Решение в данном случае можно искать в виде еле (ующи.х рядов

1 — ^>i (/) 4- ?2(/) 4" • • •:
У!*0* = Хк)| (/) 4-А27]2 (/)	...;

С(0) =	(/) 4 ^2(/)4--..-

(4.78)

Подставляя эти ряды в уравнение (1.76) и приравнивая члены с
одинаковыми степенями X, получим

4-®2^i = coscoi/;
JZ3

I 2	£'	,

~~ 4- Ы,Г|I = Г-2 COS С>2/;
at-

d 4 “(Ci =/72СО5С0г/.	.	(4.79)

Для gi, г] 1 и Ci получим следующее решение:

Hi = ——- coschZ;

(1)^ — й).

Ci = —---------cos о)»/.	(4.80)

О)? — <о|

Для С2» Пг. Сг получим следующую систему уравнений:

d2g2 । 2е .	► d25i ।	- rf2C п.

—— 4- ьъ&г 4- ai2;i —— 4- ai3d----------= 0;

dt2	dP	dt2

+ 0W2 4- Р22Ч1 J1 + 023-Ш d^' 4- ₽32Ci d ?' +

at2	at2	at-	at-

4- РззСi -?Е‘- 4- Д*£| 4- ^2 См 4- 5i)2 = 0;
dp
(Pt* -f I	।	d2?i I < d’Th I

+ «сС2 + Y22T]! —- + Y237] I — + 732^! ~ +

4 Уззъ1 4- A£i 4" Аз(>]1 + Ci)2 = 0.	(4.81)

Очевидно что в случае отсутствия рс зонансов получим решение с
частотами

для «: о»!, 2wlt wj -р to.., оц - <os, io. .. .;

для vj: <о», 2iob 2to., оц 4- co2.  to2, 2 (toj 4- to2) ...;

для £: to.., 2tolt 2iu., tot 4-®2, u,j—too, 2 (<•>! 4-too).

При рсзопапсе, а это может случиться, если сох будет равно одной
из частот (0|, 2(О|, оц 4- со2..., а также, если со, или будет равно од-
ной из частот иг, 2(0|, 2oj2, о>| 4- <02..., решение следует находить по иной
схеме.

системы
еоотно-

б) Колебания стойки в случае резонанса с вынуждающими нагрузками

Исходя из основных результатов общей теории, приведенных в гл. I,
легко видеть, что в данном случае следует искать решения
уравнений (4.76), для которых удовлетворяются следующие
шепия

Л .(О,	/1,(0,

Н^О, 4" И ..to. —-------------------1---------------------

(1 р /г[р + ...)	(1-р/г}н- -р ...)

Л3(0.

+ (14-Л?2 4-<'24-...) ’

где П; и п— целые числа.

Разберем несколько случаев резонансов низших порядков.

1) Случай резонанса частоты оц на частоте ыт и частоты d>2 на час-
тоте (о., при Ы| ~(1)л; ы2 » tov. Этому случаю соответствует выполнение
следующих равенств:

toj =-----—-------, (1)2 =--------------.	(4.83)

1 4- /’гР-2 -Р ...	1 -р Л2|*-2 4- —

Положим в данном случае

с = р;; т,= ртр С = рС;	(4.84)

Х| — р37.,; Л2 = р3Х2; Х2 = р3Л2.	(4.85)

Примем в качестве независимых переменных xi. Х2. тз

Zi= toi/; /2 = to2/; /з = со;/==-:з(1 -р Л2р2 4- .. .)	(4.86)

Система дифференциальных уравнений (4.76) будет иметь следую-
щий вид

ь>2 —7- (1 -р ft2ii2 4- •••)'(! 4- Л-?!*2 4- • • • )2 4-

a7.i

+	(1 + Л5(.2 +.. .)2 (1 +	+...)’ +

5/2

4- toH -^7 (1 4- Л2р2 4- .. .)2 (1 4-й2р2 4- - • •)* 4-
5т3

(4.82)
4- 2сохсо, —(1 + A41 4- • •-)(! + A2p2 + •••)(* + A412 4~ • • -)2 +
^7.15/2

+ 2cox<i)r (1 + A 412 4- .. .) (1 + A412 + . - .)* (1 + /1412 + - - •) +
д-дйтз

4- 2co,co; 0 + A412 + • • •) 0 + Alp-2 + • • •)(! +	+.•-) +

4- cox£(l 4" A2H2 4- • • -)2 (1 + A2p2 4- • • •) (I + Ajji2 + • • -)2 +

4-p (co2/«125—7-	+Л*Н2 + ---ГО +A?|i24- •• -)2 +

I \	й'/.2 d/i )

+ co2 /al2'	4- «1з«	(1 4- W 4- .. -)2 (1 4- htf 4- - - -)2 +

\ й/J й/J)

4- ®; \«12; -^-7- 4- «1зс	4*A2p2 4- .. -)2 (1 4-A2p2 4" • • -)2 +

^3	йт| J

4- 2co,co, /ai2? —7--F«i3? - д—О 4 A412 4- • • -) 0 + A?)’2 4- - - -) X

\ d/.jd/.o	d/Adfz)

X (1 4 hfy2 4- • • •) + 2(1>х<0; /ос12?  -h a 13? ——X

\ йу.1йг3	й/лдтз)

X (1 4-ftV+ •••)(« +й^24- ..-)2(1 +ЛУ+ ..-) +

4- 2w,co;/+«1з£зЙ-)0 +/^2 + ---)2(l 4-АУ + .••) X

\ д/.2дтз	дХгдтзУ

X (1 4" A?p2 4* • • -)l +	1 cos (1 + A2p 4- • • -) X

X (1 4-Й2Р2 4- .- )2(1 4-A2V4- .--)2 = 0;

X (1 4- A2p2 4- • • -)2 + 2сож<о;	(1 4- A’H2 4- • - -)(1 + Л2Ц2 + • - -)2 X

X (1 4- Л“и2 4-  • •) + 2ш,шс	(1 4-	4- •  • )2 (1 +	+ - • -) x

X (I 4-AjP24* ...)4-<o2n(l +AJu24- -.-)z(1 4-ft?|<24- -.-Г X

(1 4- ftjfi2 4- - - • )2 4- P |a>2 ^p22i)	4- ₽j3’l +

+ M—т + M -^-"1 (I H A^2 + - - - )2(1 + A2V 4- ... Г +
d/.f d/J J

+ o>2 / ₽«n -d2qr 4- M -2 2- + Рзз€ + РззС X

дУ?2	dl\	дУ?г	дУ.\ )

x (1 4- Л^Г- 4- ... )2 (I 4- A2V4- • - -)2 4- 0)? /PzPi 4 Ргз 4	4-

' к ^з	йт2
«2 -Ц- (1 4- л>2 + •  • )2 (1 + A"jr + • • -)2 + «>? -Ц- (1 + А^г +  • • )2Х

д/2, *	*	' д/22

+ 2^.,	(1 4- Ajii4 + . -.)(1 4- Л>,г 4- • - •) (1 4-	4- • • -Г- 4-

(7/-| О‘-л

+ 2o>xt».-^-(l +Л>2 Ь ...)(1 4-А''г4- ...)г(1 4-А>24- ...)4-
y/.j от3

X (1 4- А?Цг I- - - • )2+ w2 (Yii’l $7 + TV +	4

\	Ы'2	д'1-2	д,2

4- О)? (Y„n - L 4-’.у«Ч —7 4- Y32>	4- Ys3S (> + А>4 +• . . .)2Х

\	0*5	дтз	drJ	Этз /

X(14- А^|12 4- • • • )2» + 2wxw^ (у22ц —— ' 4- V-231!	4- Узгъ ..	4*

z	\ ^d/jd/.o	CJ/-1 с>/-2	d/jd/o

4-Y33?:-^V)(l 4-ЛХ-4- ...)(1 +W+ ...)(1 4-Л^24- ...)24-

( yJ4 . дг£, ,	»- d2rl г \ V

4- 2coxW; ( у .21] ——--J- y-23i| -—— 4- Y32t h VrC  I x

\ cJZj (JT3	^/.1 ^^3	VTgt	0/-1 uTg /

X(1 4-A-y-4-•••)(! +й>Ч...)г(1 4-Л>’4- ...)4-

I O (	I	< Г дгЪ I Г d2£ \ V

4- 2w.,W; (y-1) —— 4- Y2s4 4- Y32^ 7—— 4- Y33?  .-7- I x
\ dl2 dx3	d/.2 dTj	d/.2	^' 2 ^т.з /

X (1 4- A£i2 +...)•-(! 4- A|K 4- • • •) (1 4- A"!!2 4- • • •) 4- [Д^4 4-
4 yv(1. + £)2] (1 + ft.^2 + ...)»-(! Д- Лу}12 + .. ,)2(1 + Луи2 +...)= +

+ cos(1 4- л>2 + • • • )2 (1 + й>И2 +-..)•( 1 + Л^12+ • - • )2} =0. (4.87)

Решение полученной системы дифференциальных уравнений будем
искать в виде рядов:

с = ?о(/1. /•'> тз) + (Zi> Z2. тз)	Z.2. т3)4-...;

4 = Tlo(Zi. /2, t3)4-|u1i(Z.i. Z.2. 13) + и2,1’.(/ь Z.2, тя)4-...;

£=£o(Zi. Z.2, T3) + p£i(Zb Z.2, Ъ)+ ii2b2(Zi. /•-. “з)+--.. (4.88)

1 де с.,, ц,, £, — квазинериоднческие фуш инн от переменных периодов 2л.
Для £0. Но, So получаем следующую систему дифференциальных урав-
нений:

Ах.х,^ + 0)2 ’о = °:

+ “чПо = °:

V./.t.So 4-	= X2f 2 cos 7-2 •	(l •89)

Решение этой системы уравнений запишем в виде

с0 = Ло cos /,; ц0 = Ло‘ COS /2, Со = Ао cos т3 Д- F — cos /2,	(4.90)

(I) — (1)“

где Л.°, Afi,/J—произвольные пока постоянные.

Для Si, >|ь £1 система уравнений будет иметь вид

А/4" (°x'i +	(аг2’1о " а1з?п) = 0;

^|‘/.->Ч1 4*	4* ЧоА/д.т, (Р22Ч0 4" P23S0) 4* ^Дцх,-, (Р3РЪ 4* Рзз(-о)

4* Л* А? (Чо 4" So)2 = 0;

Az.z.t.Si 4" °’; Ci Чо ,7,т,(у-у’Чо 4" Y23C0) ?qA? /.^(Уз-зЧп 4" Узз'го)

4-Аз со 4- \з(Чо4-и2 =0.	(4.91)

Подставляя в уравнения значении go, ц0, go н решая затем их, будем
иметь

Ь>.,

2(2®д +<о,)
ы./о

2(2<ot — о,)

2 (2<ov шс)

ъ." f" \

«13 —;2 2— I cos (/д 4- /.2)
/

^2Л2	\

13 ---------Т I COS (/1 — Z.2) 4-

ы; — <о; /

<о. Д’4,;

---------rcos(/-i

2(_’<о - ш_)

+ /Tcoszi 4- /?| sin /!,•

Ч1 — “ Р22 Ио)2 4-

4-м<+Л w+—+-^тУ+

2<о,	2ы,	2ы„ \	ы: — ы; 1

ъ	\	л \	л /

Av

4-	«4

г®:

Рдо^-г^г^о

2(шс-шл)

2 (ы: — со2)

Рзз^о' + Рзз —2~ | 4-
ы; — )
*2^2

C07 — CO2

.2

Л 2 cos 2’/i
2[(2<d,)’- - co2}

P . A; 4* Рзз

CO, " /

+ Л11 Рз2^6 + Рзз

+ — (/Io (Р22И0 + P32

6 I \

2
CO? — co2
X9/7 2
CO? — co2

* •»

^2^2

(О- — Cl).

<07 r /

+ I P’A’ + Рзз

*-2f 2

<02-<02

A 2 Л pl o' + _Q2 2 -M
\	— w> / J

_1_ Д/л/ЛЦ2

cos (7.2 + ~з)

, I V> ^2

cos (7.. — t3)

(ып~ ы:)2 — ы?_

- “—m °; cos 2т3 4- Л? cos /.2 + в? sin /г;
2 [(2co.)‘ - co2]

----Y22 Md)2 + — Y33 (Al)2 +

2co?	2

4

2co? (co? — co2)

<^2F2

2<o? (co2 — co2)

X

+ 7— (A'1)2
b

Д V \

Y33 + —r cos 2t8 4-
co: /

— 3V ---------— COS 2/! + A\ cos t8 + Bi sin t3.

2 [(2co )3 — co? j

(4.92)

Для £2. Иг и получим следующую систему дифференциальных
\равнений:

А/^.т.'г + <0^2 = ClAZtZlT, (<X12l|0 + а13^о) + «oAZ1Z,t1(«12T]1 +«13^1) +

+ 2с0 (hi + hy2 + /22) «2 + 2<d? (hy2 + й?) -^ + 2(0^ (^ + й") -	+

dfi	d/.i

+ 2(0; (/22 + Л2) —~ + 2(Ох<о (йг + Й2 + 2/1-г)-----------h

dtl

4 2(од<о; (hi + 2hv + h ?) ^-+ 2<о)1Юи (2hi + hy 4- ft5) 4- cos

= 41AZ1z,t,(P2»T]0 + Рзз^о) + 4oAz.Z.r,(P22lQl 4- P23S1) +
+ £1	(₽32ijo + ₽зз£о) + ^оЛх./.тДРзгП! + ₽зз£1) +

+ 2(ft! + Л? + Л ) <о1,По + 2о)2 (Л. + Л •)	+ 2«?g (ft$ + Л •)	+

д/i	д/2

+ 2о>; (hi + ft!) —*]/ + 2<ол<о, (ft! + hi + 2ft ) ——~~ +
dtj	o/.i^Za

+ 2Wx<0; (hi + 2ft^ + hi) + 2(0,0); (2hX2 + Й2 + ft!)  +

З7.1ОТ3	«/«ОТ,

. k2F2 cos /2 + 2 [A? (i)o 4- So) (>| 1 + Si) 4 Afco'i

^/.х.тЛг о);£г = HiA/iXit. (Y22Ho 4- YaaSo) + 4i'\.x,t.(Y22Hi 4- Y-’3»i) +

+ (уз2И0 + Y ’ w») ^oA/1Z,Tj (y >2 ') 1 4- Y33ti) + 2 (hi 4- Л? \-hi) (O;So 4*

4- 2<DxO), (hi 4- hi 4 2ft!)	+ 2(0x0); (hi 4- 2hi 4- ft!) 4-

д/лд/Л	д/лд з

4- 2o),o);(2ft* 4 ft! 4- ft') ~ ~—h 2Дз£о£1 4- 2Лз (По + So) V*]i + Si)- (4.93)

Подставляя в правые части уравнений значения Zj0. По. So » £1. Пь Si
из условия существования квазннерноднческн.х решении для £2. П2. S2.
получим следующие соотношения для определения ftj, h^, hy.

h2 = ci 11 (/I. )2 4-^12 Mo)’ 4" ° 13 M >)2 4"

« = a., «4	(Д!)! + aa (& + аг, “T +

<o" — ы~

Л,	k'F’	( k"2F"2 У

4 «25	~2-	4- «20	4- «27 I •	9	+ -^T-

<1)7—11/	<07 — <0, Лп'	\ <07—<0, / 2<ozZ5

4 »l	, T| 0	\	,	/	4 0

h2 — «31 Мб) 4* «32 Mo)’ 4* «33 Mo)2 4" «34

Из условий резонанса (4.83)

(4.94)

(4.95)

(4.96)

можно определить амплитудно-частотные .характеристики,
телыю, и написать общее решение (полагаем р = 1)

Шх — Ш1 — «И Ми) 4"«12Мо)	«13 (А1) 4"

1 a 12 4Т‘ I а ( К2Г‘2 Y 1 Xl/1
+ «14—;---------— /1(1 -«15 —;-------------— ] I----------—-

<07 — <0,	\ <0; — “S / ^Мо



8 Заказ 314

а слсдова-

113
(0,(-----0)2 =

«21 M»)2 + «22 Md)2 4" «23 M<">)2 + «24

X2/-2 Mo)'

, „	^2F2 MS)2 , „	^2F2 Mi)2 , „

4" «25 —---------------h «26 —--------------h «27

4' — “r, zo	— % ло

CO- -

*2^2
biz — <1)2

b>>

\2

X2f2

hi = a3l (Лг)2 4* «32 Md) 4- «33 M<>) 4" «34

1’1." V
л27 2 I .

—-------Г I + °3S

0: — <o_ /

2<i)2/1j

^2^2

<0i — <1)2 j

Г—
I л<
(4-97)

w2;

В данном случае можно было бы положить, что Х2 имеет бопее
высокий порядок малости, чем Л[ и Х2 и получить более простые, ио
вместе с тем и более приближенные выражения для амплитудно-час-
тотных характеристик.

В дальнейшем для упрощения выкладок будем пользоваться прие-
мами, позволяющими получить наиболее простые выражения. Кроме
того, не будем выписывать в явном виде ни решения для гр, ни
решения для £2, 1)2. ^2, поскольку они имеют лишь вспомогательные зна-
чения.

2) Случай резонанса частоты ш, на частоте о>^ при 2<oi ~ он,. В дан-
ном случае будем находить решение при следующем соотношении ча-
стот

Т~ = -^-(1 4-Лг рг 4-• •-)•	(4.98)

2<О!	%

В качестве независимого переменного примем

Zi = «>i/	(4.99)

и будем рассматривать только вынужденные колебания, которые б>-
дут вообще говоря периодическими.

Положим

5 = р;; rj = pvj; С = р£; К = р’	(4.100)

Система дифференциальных уравнений получится в следующем
виде:	f

(<о \2 d-t	/а \2 /	<Рт1	d2t \

f 4+^41+^ + -)2+Pf	+

2 / “/1	\ z / \	“ai	“м /

4- р'*МЛ cos (1 4- р2 4- • • • )2 = 0;

f—“Г? 4-о)2и(1 4-Й2Р34--.-)2 4-pf-^Л ₽2.П -4- 4- p23i)	4-

\ 2 J <//[	\ 2 J у d/f	d^

4- М 4- ₽3з£	4- р [Д£2 4- Дг СП 4- ОТ = 0;

^Zi	/

/ <О„ \2 d2^	9	v	„	/ <0- \2 / cZaT)

НЧ -4-4-0)^(14-^P24--..)2 + p(^) Y22r)-2L4-Y23r)fi4-

\ 2 ) d/{	\ 2 / \ d,i	“/1

+ y32^ —> 4- Узз£4- p [Д5 4- Д3 (n 4- ОТ = 0.	(4.101)

d‘ZT	dXt /
Решение полученной системы дифференциальных уравнений будем
искать в виде следующих рядов

с = Ъ + н"' «„ +	+ р’7’

•I = По + p^i + р2пг + • • •;

£ = to-Ь-4-- - - -	(4.102)

Подставляя эти ряды в систему уравнении (4.101), получим для
ьо. Цо. £о следующую систему уравнений:

/ ы, \2 d2£0

(44 -^ + ш^о = °-	(4.103)

\ z / а/л

Решение этой системы запишем в следующем виде:

.t 2<х>,
;0=-/ocos -^-у ;

ri

Ио = 43 COS 2/ь

г 2ы.

Ъ» = Ло cos —- /j.
“о

Для £, получим

2 d2Z,.

—-Г- +	= MFj cos / !•

d/j

Откуда

(4.104)

(4.105)

(4.106)

Для si, r]i, £i получим следующую систему уравнений:

<ог \2 d2^!

2 / d7i

>	₽ ^о\ n

«12’0	+ «13^о L= 0;

°’. A2 t/2,h	I »	1 ( % A2 (R	d!l,°	I R d2£°	. R r d2T)o	.

IT ) ,2“ +	+ I ) I Pw’lo + p23’lo .— + ₽32^0 .75- +

2 / dy, -	\ 2 / \	d/i	d'/\	d4

+ Рзз?о —уЛ + Аг £0 + А* (ц0 4- ^)г = 0;

d7.i )

 ( ш>> А2 (	6/2,10 .	d^° ,	6/2,10 ।

1 vd V”':"+v“"°++

+ Y„t0^.'\+ ме + д5(% ч-ЬУ-0.	(4.107)

dll 7

8'

11Г>

Y </г£>
2 7
Для q2. П2. Ka подучим следующую систему дифференциальных урав-
нений:

(W, \2 (/21К	/ <о, \2 /	</2П,	<l~Kl	rf2!].

- )  ~2~ + 6’чГ12 + ( “7" ) ( Р22П0 "ТТ 4" РиЯо ~тт~ + Рз-^о ~~ +

2 / d/т 1	\ 2 / \	</-/1	d/ \	d/ i

+ Мв 4- ₽ИЧ1 + ₽2зП.	+ ₽Я2 £1	+

d/.f	d/?	d/.f	d/j	<//? J

- 2A2^', + 2A*+2Лз(4o 4" WOli 4" Si) A2(o,(i|n = 0;

4- A^7, 4- 2 V^i J- 2 \У (ilo 4- rj (.h + Si) + Л VCo =0. (4.108)

1! 111 дя предварительно Го. 6*,» 2ь »|o. »|i. So. Si и подставив н.\ в систе-
му уравнении (-1.108), пз условия существования решений для Е2. Ц2. w
получим следующие соотношения:

Л2 = Оц(/1о) + ^12(^0) 4" и1з(^п) •

й2 = а21 (Ли) + /?2-» (Ло) о23 (Л|) 4" °24

/12 — «31 (Ло) 4" «32 (Ло')' 4- «33 (Л,) .

(4.109)

Лмплитудио частотные характеристики будут иметь следующий вид:

от,, — 2(01 = |яи (Ло)* 4" °12 (Ло)2 4" °1.Я(Л|') | 2(Oi;

со1( — 2u>i — «21 (Ло) 4" //-it (Ли) 4” °2s(A1)	«24

w,t — 2wi = |«31 (Л )‘ 4* «32 (Ли)2 4* «зз (Ло) ] 2<О(.	(4.110)

3)	Случай резонанса частоты ац на частоте <•>., при ои == ш,,. Решение
будем искать при следующем соотношении частот:

J_(t+^ + .. .)=Д-.	(4.1П>

За независимое переменное примем Xi = <»|f-	(4.112)

Рассмотрим вынужденные колебания. В данном случае будем по-
лагать

5 п = гп; К> = pS; М = p^i-

(4.113)
Система дифференциальных уравнений получится в следующем виде:

+ Рз2? —> +	+ (Аг;2 + А* (ч + 0=1(1 + Л^а +  • - )2) = 0;

‘°?	+ ыс- U + Л2Ра + • • -)2 + f Y«n ^7 + Т-зИ ~^7 + Уз2£ ““7 +

' d-/.i	I ' \ df.\	dxl	dXi

+ Узс£ ^7) + lАз;2 + Аз (Т| + £)21 (1 + Л?Р2 + • • • )2] = о. (4.114)
dXi }	J

Ищем решение в виде следующих рядов:

*"	»* 1	• । . . 2* 1	«

С — ?о + pil + Ц ?2 + • • • •

31 = 7Ю + ll,h 4-Ц21к 4- •••;

^ = ^о + 1^1 + р2^4-....	(4.115)

Для £о, Цо, So получаем следующую систему дифференциальных урав-
нений.

w2 ^Цг 4- ю%о = ^1 Fi cos уд;

d7i

2 rf24o i 2 А
wTj —10 + <0,4)0 = 0;

d/i

(1)2_!^zk. + (0:Co = 0.	(4.116)

d'Z?

Решение этой системы представим в виде

£о = Л5 cos — /1 ---X-1F1 - cos /j ;

Т)0 = /oCOS/i;

?0 = 4cos^Z1.	(4.117)

(Or,
Для 5b T)i, £i система уравнений будет иметь следующий вид:

.2 </25l	, f2r . ,2/	,.	(12Чо I „ ►	^о\_л.

(оТ| —-—)- сеьДи 4" <°<) [ «12;о —— + «1 з?о —~ ) - и,
rfZi	\	^/.Г	dXi )

0)q------Р Wt,t)l 4- Юг, I Р22П0	,,L 4- ₽23’|0 —— 4- ₽32?0 -—4- ₽33to  — ) 4-

d-X?	dzf	d-x2	d-ц	d-f\ )

4" Дг£о 4" Д2 (T)o 4" to)2 = 0;

,,2 d2£i , ,s2^ 1 ..2 / d2T)o <	„ d2£0 ,	(^Чо  . у d2£0\ ,

^4  r- 4“	4"	[ Y223)0  — 4- У23Т)о  — 4“ Y32t0   —h УЗЗЬО --- ) 4“

d-xl	< dXj	dX2	d.z2	dz2 J

4" Аз^2 4" A3 (r,o 4" £<>)2 = 0.	(4.118)

117
Для g2. 42. S2 система уравнений будет иметь следующий вид:

“V"	а,2'° ~Т" + а* ~~Т" + а,2'‘ —Т"

dX?	\	dZ?	dX?

+ ai3?i —+ <°хЛ?5о = 0;
dx? /

ю2 ~7‘ + Ю’Д2 + <*>? (P22TJ0—7" + РгзЛс—~~ + P32S0 —~ +
dx?	dx?	dx?	d7.i

+ P33S0	+ Р22Л1	+ РгзЛ 1	+ Рз2^1	+

dx?	^Х?	dx?	dXT

+ P33S1 A + 2ДХо^1 + 2Аг (Ло + So) (л< + Si) + ю ’ЛгЛс = 0;
dX? J

2 d2£» . jc. 2 / d2T)t	d2^i L r d2T), .

(OTj --+ (О;^2 +	| У22Л0 ----+ УгЗ^О----------- + Y32^0 --- " +

dx?	\ dX?	dX?	dx?

+ Y33?0	+ У22Л1	+ У23Л1	+ Y32^	+

dx?	dx?	dx?	dZf

+ Узг?1 ~	+ 2Ax'o'i + 2Д’з(Ло + £о)(Л1 + £1) + wc/i2^o = 0. (4.119)

dXi J

Решая уравнения (4.117), (4.118) и подставляя найденные значе-
ния tjo. Ло. So. Si. Ль Si в систему уравнений (4.119) из условий существо-
вания решения для g2. Лг. S2. получим

йг = 031

(71о) + 032 Me) + O33 (Ло)2 + O34 До—; 1 ~ + O35

<о; — <0*

(4.120)

Амплитудно-частотные характеристики можно записать в следую-
щем виде:

(0| — Or, = ?Оц (До)2 + 012 (До)2 + 013 (Д ) +



+ 014 До


0)1	(0Tf= Гй21 (Al)2 + fl22 (A )2 + O23 (A'l)2 + O24 AS —* —

1	<i)2 — <i)2

wi Wi, = w3i (A'i)2 A 032 (A() + 033 (A,)2 4"

+ 034^0 — 1 1 - 4-035
% —“x

(4.121)

4)	Случай резонанса частоты ы2 на частоте <ох при юг ~ 2шг. Будем
искать решения при следующем соотношении частот:

— =v-(l +/12Р2+ ...).	(4.122)

о2 2сох

За независимое переменное примем

y2 = w2f.	(4.123)

Введем малый параметр следующим образом:

с = цс, П ЦТ).’ £ =	^-2 =	х.2=р%.	(4.124)

Система дифференциальных уравнений получается в следующем
виде (при ?.i = 0)

(2Ых)2 _f?X 4- ^(1 4- ftfp2 4- .. ,)2 4- и (2юх)г (а12$	4- «13:	= 0;

d-Z2	\ dX2	^.2 J

(2o)xf -^3- 4- о2 n (1 4- hfp2 4- • - • )2 4- H J (2wx)2 (₽22n	4-

dX2	I \	J*2

4- ₽2зЯ —+ ₽32? —J- 4- ₽зз£ —4- Аг^2 4- Дг (n 4- £)2 4-
^/2	d^2	d’d J

4~ ^2^2COS/21 (l 4- fi2^ 4" • • •) j= 0:	(4.125)

(2wx)2	4- w^(l 4- hx\i2 4- • • - )2 4- Р j(2wx)2 f у22Ц —y- 4-

d7.l	1	\	d*2

+ УгзЯ ~ + Y32? —4- узз? "ЦЛ + [Дз£2 4- Аз (т| + £)2 +

dX2	dX2	dX2 J

4" ^2^2 cos /21 (1 4“ A2p2 4- • - •) |=0.

(4.126)

Ищем решение в виде следующих рядов:

£ = £о+^1 + 1^4- •••;

п = По + РП1 + р2П2 + • •

£ = £o + ^i + |i2k+ ....	(4-127)

119
Для go. >)о, to получаем следующую систему дпфферепцнальпых урав-
нений.

(2wx)2	4- (o^o = 0; 4y.l	
(2<ox)2	4- ®2no = 0;  4'Z]	
(2«J2	J^S- 4- (fa0 = 0.  4y.l	(4.128)

Решение этой системы представим в виде

5o = ^ :os-^-;

7(о = ЛЗ COS —i- /.2,
2wr

go = Ло cos — /2.	(4-129)

2<ох

Для 5Ь т)ь £i система уравнений будет иметь следующий вид:

(2<ох)2	+ (2о>л)2 / а12;о —у- + «1з?о —у-А = 0;

4/1	\	dK /

(2ш )2	+ оД,), + <2шД2 (₽2,Пи - Пп- 4- ₽2.,Но	4-

4/1	\ d7J	4/1

4- Рз’-So-^v- 4- ₽3з&> -^А +	+ Д^° + Х2/?2 cos Z2 = 0;

47-1	d/J )

(2шДг 4- 0)%, 4- (2о\)2 (121П0	4- ^зЧо +

d/J	\	d/‘	d/5

4- YmSo-^v- 4- ?зз£о — А + А^о + А* (Т’° +	+ C°S /2 = °’

dxl dyj /

(4.130)

Для £2, ’12, Хя система уравнений будет иметь следующий вид:
(2(оД2 Jlk.	+ (2q)J2 /d2ni +	4-

dy$	\	4/2	4-/,2

4- «!&	4- СЧ& -^A + 0)2/z^° = °’

4-/J	4y2 )

(2coJ2 _4"-’h_ 4- ш2П2 + (2iOx)2 /p,21lo _42’1.._ 4- p2.,)|0-^ 4-
4/2	d/2	d/2

4- РэзСо-^- 4- Рзз?о 4- p-ru - > 4- ₽лзН1 4- ₽32^	4-

4/1	4-/.1	d/1	d/.l	4/5

4- Рз3£1-^А + 2Ж| + 2Д2 (П° + (Th + S1) = 0:
4'/-2 J

(2cox)2 d~~ 4-	4- (2<ох)2 / угзПо—у- 4- УззПо 4-

d/-l	\	4-/5	d/2
Y32C0----7---г УззСо----7--г У22Я1 ----7“ 4 YioHl -----7--Г Y32-1	- Г

d/j	d/.f	d-/2	d/.2	d/2

+ Y33C1 —T-'') А 2Дз£о£1 + 2A3 (ц0 4- Co) (v(i 4" Ci) — 0-
d/J J

Решая уравнения (4.128), (4.130) и подставляя найденные значения
Со. По. Сэ. Ci. Hi. Ci в систему уравнений (4.131), из условия существова-
ния решений для g2, Пг. Сг получим:

= «11 (А)2 4- а 12 (Ai)2 А л i з (А)2 4- ° к -------~ А «15---------——- ;

(2<ох)2-(о-	(2<ox)2-co,t

hz = ci21 (А)2 А ^22 (А/)’ + «2з (Аб)2;

Л2 = о3| (Ао)2 4" °32 (Ad)2 4" изз (Аб)2 •	(4 • 132)

Амплитудно-частотные характеристики будут иметь следующий вид:

(О2—<1)х =

° 11 ( Ао)2 -| а 12 (А)2 А° 1 з (А)2А ° i 4-22—- А «и----—п

(2<ох)2 —со2 (2юх)- —<о?

со2 — сох = [а21 (А)2 4" °22 (Ар)2 А о23 (А)21 со2;

со.;

со2— сох = [a3i (А)2 4" °32 (А')~ 4"и33(А)2| со2. (4.133)

5) Случай комбинационного резонанса частот (щ и (»2 на частоте со,,,
<•> А (о2 ~ <о,. В данном случае решение будем находить для следующего
соотношения частот:

—J------= — (1 4-Л2|л24- ••)	(4.134)

(01 + СОд	€0^

В качестве независимых переменных примем
СО,/
/1 = <Oj/; /2 = со2/; То “ -----------------!----- (4.13d)

1	4- Л2Р2 А ...

Решение можно получить, если положить

£ = |Д; п — рп; С = рС; К = р*ЛА1; Х2 = ц’Ч2; Х2 = р’ *Хг (4.136)
и искать его в виде следующих рядов:

? = ^o+p,4v, + p^1+...;

ч = По 4-р,/’П', 4- РП14- -• •;

C = Co + m’’Cv.4-pCi +....	(4.137)

Система дифференциальных уравнений для ij, 1], £ имеет в тайном
случае следующий вид:

со] й (1 Л^р2	ш2 (1	. J2 и2 _^_z_ _р

. dZ2, д72	дх2

4-	2со1соо ——— (1 4" Ар2 А • • • )2 A 2C0JC0, ——4— (1 4" А2и2 4" • • •) 4"
о/лО/.г	д/1дт2

А 2со2со^ — (1 А А2р А - • •) А	(1 A hi[i~ А  • ) А

Оу £(/Т g

А Р Jw2	—у- А а13£ д (1 А А412 А ••• )2 А

I \	*4	)
4- (о2 / а1г£ —-у 4- а13£ -д Л (1 4* Л2|12 4" • •  )2 +

\	^2	д/2 J

4- <’Д (~ 4- «1з?	+ 2к>1<о2 (а>2?	+ а1з? —-£- ) X

у дт|	дт| у	\	о/|«<2	дулду2 /

X (1 4- Л2Ц2 + - • • )2 4-2wi<o,_ Га15£ -~— 4- «13?-/^ -) х

\	«Х1дЧ	^/1йт2 /

X (1 + Л2р.2 + -••) + 2(02(0,; (а12£	4- а1з? у~~) X

\	«Х.2«*г	<гх2«*2 /

X (I 4- Л2ц.24~ • • • )| 4 Р-' ’^1^1 cosZi (1 + Л2ц.2 ... )2 = 0;

ci2	(1 4- Л^2 + • • - )2 + col (1 4- Л&2 + •  • )2 + (о2	4-

дх2

2(Oj(o2 —-—у (1 4-Ii2\i -}-...) 4" 2(о2(оГ1 — у— (1 4-Л2|л 4* - • •) 4"

2(02(0,, —-—~ — (1 4- Лг|А 4” • • -) + (О’.П (I + Л2|х 4" • • • )2

®Х2«Г1

4- Jl ((О? /022*1	4- 023 '1	+ 032? —J + 033?	(1 + Л^И2 4- • • - / 4-

I \	^2 dx2t ду2 )

4- О)2 (022*1 -д-*1- 4- 02зЛ —у + 032? —~ + 033? —уЛ (1 + Л2|Х2 4- - • • )2 4-

\	3-/2	cb/j ду2 ду2 J

1	2 /о ^2П Я	. й <• д2Т] .о f. д2С \ ,

4~ (*М 022*) ----— + 023*1 у + 032? у 4- 033?-------------у ) +

дт2	дх22	дх2	дх2 J

4- 2(01<»2 ( 022*1 -у ~ Ь 023*1 у У	Ь 032? ——у--------Ь

+ 0зз? у ~у—) (1 + ^гЦ2 4- • • - )2 4- 2(o1(o,Y022t)	----h

й/дй/г /	\	«/.Аг

+ 02з*1 у ---------Ь 0з2? у ”*5'  4* 0зз? у 5	(1 4- Л2Ц2 4- • • •) 4-

д/лат2	«ЭуддТз	д/лдхг )

4- 2(02(0,, <0227)	4- 023*1 ~~ 4- 032?	- 4-

\ д/.^дТо	^У.2^Т2	^/.2^Т2

4- 0зз? ~д^дт" У* +	+ • • •) + 1^г?2 4-Аз(*1 4- ?)2] (1 4- Лгц2 4- • - -)2| 4-

4“ М ’Хг^г cos/г (1 4*	4"--*) = 01

4-Л&2 4-...)2 4-о2-^у(1 4-^И2 4-...)2 4-(о2-^4-

^х2	д/2	дх2

4“ 2(Oi(o2----— (1 4~ Л2|л 4- • • •) 4- 2(Oi(o^ ——— (14* Л2и 4” • • •) 4*

<У/1Й/_2	«У.1«*2

2о)г(оч — (1 4- Л2(12 4- —) 4" (•*;?( 1 4- A2ji2 4- • -  )2 4-

«Хг«*г

1	( 2 /	<Э2Т) . дгъ,  г <Эгп , г дг^ \ ,| . .У 2 .	.2 .

- ц 1(0| [ у22*1— —|- Y23*)—у 4^Тзг? у 4”Узз? у)(14"Л2|х 4"---) 4-

I \	^4	д7,	^Х.1 )

4- о>2 (угг*! —у 4- Угз*1 —у 4- Узг? —у 4- Узз? —у(1 4- Л2р.2 4- • • • )2 4-
\	ду2	dfi	)
. 2 /	a«r)	. d't,	. r д2ц	. г д% \	,

4- со, [ у22т) — '-4- У»3Т) —- 4- у-«£ —~ 4- у3-£ —- 1 4-
\	дт2	дт2	Эт2	dt? j

.о I а2л	аг; _ <э-г)

4- 2(0!(02 (у22т] —— - 4- y,:.it ——-----ь у32„ — — 4-

\	^/l^/2	/ 2	^fay /_2

4" Узз? ~~5—(1 4“ Л'р.2 4- ... )2 4- Stojto, Гу22Л Д1--------Р

д'/лду, /	\ o/.iOTj

4- УгзЛ ~\,а 5--Ь Узз£ , ?------Ь Узз£ ‘7/5—) U +	+ • • •) 4"

д-/,дт2	дул&т2	о/^йт» J

. п / ааП	. r д2г)

4- 2ш2о>, у22л 4- У2зЛ	4- у32? — 2- 4-

4- Уззъ .? — (1 4- Лг|12 4- • • •) 4-1 \х5' 4- Лз (п 4-£)2] О 4- Л2р24- • • - )24-
/ 2^"^2 J

4- |х* ‘^г^г cos /2 (1 4- Лгр2 4- - • • )2 = 0 -	(4-138)

Подставляя вместо |, т], | их выражения из (4.137) и приравнивая
члены с одинаковыми степенями р, получим следующие системы диф-
ференциальных уравнений для последовательного определения значе-
ний go, 1)0, ^0; g*,, Tj.f, CVt; Т)1, £|... Для Io. no. Io получим следующую
систему:

△xi 4" соДо = 0;

Ал.х.т,Ло 4- со2Ло = 0;

△xa.r,Co4-co?lo=0.	(4.139)

Решение этой системы запишем в следующем виде, полагая, что
начальные условия выбраны соответствующим образом:

^о = А cos “v- (/д 4- /2);

U)

т]0 = Ло cos (/д 4- /2);

л *

g0 = Ло COS(/! 4- /о).
С°г

(4.140)

Для л* > система уравнений будет иметь следующий вид:

АХ1Х«1»^’/, 4- cox^v, 4 XiF 1 cos/д = 0;

△х./.т.Л'. 4- <о2л*/. 4- №2 cos/2 = 0;

А/лх.ч^*', 4-ci)?g>, 4-^2^2008/2 =0.	(4.141)

Возьмем частные решения этой системы уравнений в следующем
виде:

• t*	со»- /	,	»	А.»/*।

Я>/, = а ... cos (7д 4- у2)--------1 -1— cos /ь

<°! — <»х

Л1/. = л*\ cos (7л 4- Z2)---L^2-2— COS /г;

“2-4;

cos (-/д 4- y2)-------—f2„ - COS y2.	(4.142)

— to.
Для i)i, £i система ypainiciiiiii будет иметь следующий вид:

ш 51	5оА/1Х1Х1 (®i»«fo а1з£о) = 0;

^ZiZ»Ti’1i 4" °4’li 4" ’lu (Pzi’ki 4- Р>з£о) м> \а,Хг (Рзг’1и 4" Р.чл?о) 4"

4" V5ij 4" A? (’jo 4" to) = 0>’

AZ1Xj|,£i 4 “ctj 4- T)0Ax.z.4 (Yii’lo 4- Y2:>uo) 4- £nA/1Z14 (Y:i2»)o 4- T33W 4-

4- \£2 4- Al (По 4- So)2 = 0.	(4.143)

Нс выписывая спетому уравнений для „ >3»,, С»,, запишем систему
уравнений для £2, т)2. £2

\.х.тЛ» 4- <”х52 = 5iA/,z.,-.(апПо + «Л 4- 5эАх./л (“i’-Hi 4- «13^1) 4-

(2 d2t0 I 2

й),’Й’+(02'^Г +

4- 2o)1<o-> а-ъ0----1- т^о. ——°----Ь (в2(в, —- '’°----И ю*5(Л — 0.	(4.144)

д/дду?	^71^2	’	/

Ч.х.ч‘12 4- w?12 = ih Ч./r, (P«n« 4- P23U 4- ПоА/./,ч(Р-’ ’ll 4 P23C1) 4-

4" bl-\iZj-, (Рз2’1о 4- Рзз£о) r £0A/iZ.-« (p:i2’ll 4 P.n£l) — 2/12 Ло,--]°

\	^/.1

,	2 32Пп . n d2n,	t)2ii0 ,	d2ri0 .	2	\ ,

4* <Bo —	4 2ci)iii).> — —( (Bito,-----------4" (Bo(or----------4“ (o^jo ] 4“

&/1	' t'/.id/.z	‘ д/А»	fyAs  J

4” ’I*/» ^zt/i'i(р22П-, 4- p23£-,) 4- £ Ддл(Ра 4- Рзз£-.) 4-

4- 2A%£i 4- 2Ao (i|0 4- £0) (П1 4- £.) 4- A2^2, 4- A?(n-, 4- £ J2 = 0;

4- <B;£2 — Ч1А (y«’1o Ys3£o) 4* ’JoA/.zrj (Y«eTn 4* Y2»£i)

4" £1 (УзгЛо 4" Узз?о) ' ^oA/^jT.. (Yes’ll 4- Узз»1) 2Лг ^<bJ	—Ь

V d/.i

4-	4- 2(o1(o2	4 (Di®.,	4- (02(04 ^-^n— 4- (ofrcA 4-

dy2	d/td/2	а/.1<Н2	д/_^т>	J

’V .AZ1X,t,(Y12’11 j 4- Y23?’ J Г £l «A/1Z,X1 (t32’1’', 4* Уаз^.л) 4"

|- 2АХЛ, 4- 2Л;(»lo 4- ;0)(’h 4- s.) 4- Аз52,4- A?(n., 4- £ ,)2 = 0.

Решая систему уравнений (4.139), (4.141), (4.143) и подставляя
найденные значения £0, i)0, Хо, £•,. iji t, lii-, и ||, т]|, £( в систему уравнении
(4.144) пз условия существования периодических решений для |2. Цг. £2.
получим

Л2 = (ii 1 (Ло)2 4- «12 (Ло)" 4* «1з (Ли)2;

Л2 = «21 (Ль)* 4- «22 (Лг)2 4" «23 (Ло)2 +

КЖГ, >-2f2	1	, _	^2F2	1

—	-------- ---- О 25	------- »

о о л 9 л г 1	**	9	9	9	9 а г

со* — со, со^ — со,	— coj со? — cog A j

/12 = «31 (Ли)* 4" «з2 (Ло)2 4" «зз (Ло)2 •
Амплитудно-частотные характеристики в шипом случае получаются
в следующем виде:

<•>», — ((>! + (о2) — oi । (А))1 2	«12 (Ai)' + «1з (А>)2;

СО»,--(crti 4- (0>) = «2 I (/10)2 4- «22 Md) + fl23 (Л^)2 4"

,	.	^2^2 I ,	. XiFt ^2^2	1

4-	а„.---—---------------------) «,,---—-------------------;

G>2 — G>2 to2 — G>2 Aj	G)2 — W2 GT — G>2 A J

wTj — (o)j 4" <02) = «.и (A>)	« 2 (Ai) A «зз (Ль) •	(4.146)

Аналогично можно рассмотреть резонансы при следующем соотно-
шении частот:

COj 4" т2 ~ <0/, <01 — <0-2 ~ <0^, <0!-(1)2 ' (0х; 2(01 ~ сох и т. д.

И. Вынужденные колебания наклонных стоек при резонансе
между собственными частотами колебаний

а)	Колебания стоек при отсутствии резонанса с внешними силами

Если рассматривать лишь колебания, происходящие с периодами
вынуждающих сил, то решение дифференциальных уравнений в пер-
вом прпбтижеппп не будет отличаться от решения для случая, когда
пет разонаиса между собственными частотами колебании.

Решение, как и прежде, ищется в виде рядов

?и’ = ?Л(/)+Л25.(/)+

г,«” = Л1|1(/)4 Vii2(/)4-

	(4-147)

Колебания будут состоять из суммы колебании, происходящих с ча-
стотами Aio>i 4-&2<'»2. где /г, и /?2—целые числа. Чем выше порядок
чисел Л?| и /г2, тем меньше амплитуда гармоник.

б)	Вынужденные колебания стоек при резонансе
с внешними нагрузками

1) Случай резонанса сщ = оь и о>2 == о)», при со», ~ 2о>д. Рассмотрим
случай резонанса собственных частот оь, = 2о>д и резонанса <>! на ча-
стоте со», а о)2 иа частоте ш»,. Для этого необходимо выполнение сле-
д\ lonui.x равенств

I

G>i

• 1

€0g

Положим здесь

(4.14В)

—— (1 4-Л р 4* ^2р2	 • •)•

2и)х

Е = Р& Г) = ИП! ь = Ръ; М |1%; >-2 = р2Аг; Л2 = р2Хг- (4.149)

Как и прежде, примем в качестве независимых переменив х

U) /

71 “hA /г = со2/; т. =----------------------

14-Л?н4-Л5р2 +

(4.150)
Получим следующую систему дифференциальных уравнении:

®2	(1 4- Л? р + hl ц2 4- .. .)2+ (2® )2 J!|-(l 4- Л?И 4- hip2 + -../ +

й/j	di2

4- со? (1 4- й|ц 4- Лги2 -Ь • • )2 4- (2®,)2 —(1 4- Л?Н 4- Л?р2+   • )2 +
дх^	«7.^X2

4- 2о) (о: —- (1 4-ЛТр 4- h*^2 4- ...)(1 4- hip 4- hip2 4- ...) +-
d/.атз

+ 4ш*0’- “ГТ-+ Л*Р 4-Л2Р2 4- • • -)(1 4-Л”|1 4-Л412 + •••) +
о/2от3

4" ®2? (1 4 Л*р 4- й£р2 4-... )2 (1 4* й1|1 + Л2Р.2 4- - --)2 +

4-111®2 («12? “-? 4- а1з? а £ А (1 4- Л?р. 4- Лгр2.4- ... )2 4-

I к

4- (2(од)2 ( «12? —4- «13? —(1 4- й”р 4- hip2 4- ... )2 4-
к д/2 д/l J

4- со? («12? —— 4- а1з? —	(1 4- hip 4- Л$р2 4- - • - )2 +

к дтз дх \ )

4- (2<ох)2 f «12? — J1-Ь «13? , 5— (1 4- Й1Ц 4" й°р2 4" • •  )2 +

\	й7.1^/.2	3/.1б7.2 7

4" 2со со; f«i>? ————р«13Я——(1 4" /hp 4"h?p + ...) х
\	071<П3	д/1дт3 J

х (1 4-й°р + Л°р2 4- —) 4" 4<од®с (^«12?—a —Ь

к О у 2^"^ 3

4"«1з?“т——)(1 4" йц1 4"йгЦ2 4- • • -)(1 + й°р + Л р2 + • • •) —
д/лдт3 )

— ‘hiP 1 cos /1(1+ Л]р + Лор + ... )2 (1 + hip + йгр + ... )2} = 0;

<о; —J- (1 + hip + hip2 + .. ,)2 + (2со )2—3- (1 + hip + hip2 + . .. )2 +
d/.l	&il

+ ®?-^(1 +hlp+hlp2 + ...)2+4(о2—^J-(l +Л?р+Л?р2+ ...)2 +
«Х1О/2

4" 2(0 (0;	1 (1 + й*р + ЙД*2 + - . .)(1 + Л”|Л +Й2|Х2 + . . .) +

<Л/.1О*3

+ 4о)лЫ; —— J1 (1 + h\р + h>p2 + ...) (1 + й°р + Лгр2 + ...) +
ОI2ОТ3

4- (2(')ДГ (1 +Л?р + йгр2 + .. .)2 (1 + Й?р +йгр2 + .. .)2 •; +

I I 2 fa 3*П	. о д2£,	. а	. о д-t, \

+ р / Р22П------— + Ргз*!---— + Рзг£--— + Рзз?----| X

I к	^-1	/

X (1 + hip + Й2р2+ . . . )2 + (2®д)2 (022*1  + 023*1   +

к Э7.2	d/2

+ ₽зг£—“ + Рзз£—(I + hip + hip2 + .. .)2 +

dl22	dl2 J
	2 /о	32т)	 О 32£	. О <- d2’l	I О f 32£ \	v

+ <>:( р22Ц —— + РгзЛ---------у 4" Рзгь ~ + Рзз? Г 1 X

\	Зт2	дх}	дх}	дх})

х (1 4- Л1р. 4- ^рЧ  • - )2 4- (2<од.)2 (₽«<]	4- РззП~— 4-

\	З7.1З7.2	о/л&/г

4- Рз2?-т^ - + ₽зз£ /а . ) U 4- Л.р 4- -г .. -)2 4-
ЗудЭ/.з	З/дЗ/, /

. о Zr	. й «	। R г д'Ч _i_ R Г д'^ \ V

4- 2со ,0): / Рг-’Т; — _ —Ь ргзЛ------------h Рзг?-----------г Рзз?----------- ] *

\ 37дЗт3	3/,дт3	д, ,дт3	д'/|дт3 )

х (1 4- Л*Р 4- Л2р2 4- •••)(! 4- ЛЦ1 4-Л2р2 4- • • •) 4-

4- 4(0х(л>: (р2гЧ ---------Ь РгзЯ ~“---------Ь Рз.?

\	3/2Зт3	о/мх3	d/_dt3

4- Рзз? a.f 3—'j (1 4- Л*р 4- Л2р.2 4- • • •)(1 4- Лцл 4- А?р2 4- • • •) 4-
3/ ,дт3 /

4- [Д2£2 4" Дг Сп 4" ?)210 4"Л|р 4"Л2р2 4" • • •)"(1 4"Л”р 4" Л2р2 4" • • -)2 —
— \2Р2 cos Z2 (1 4- tfp 4 ^р2 4- • • • )2 (1 4- Л.Р 4- Л?р2 4- • • - )2} = 0;

w2 —7 (1 4- Л°р, 4- Л2р 4- • • -)24- (2<ол)2—* (1 4-	4- Л2р2 4-  • -)2 4-

Зу?	&&

4 «2 —(1 4- Л'р 4- Л2Р2 4- • • -)2 4- 4(d2	(1 4 *Fp 4- ^р2 4- • • -)Ч

дх}	д!лд1л

4~ 2(ох(ос —— ’ — (1 4- Zzfp, 4- Л2р2 4" • • •) (1 4”	4-Л2р2 4"  • •) 4"

O/1OT3

4- 4со О; ——-— (14* ^fp, 4- Л2р2 4- • • •) (1 4- ^ip. 4~ Л2р< 4“ • • •) 4~

а/2от3

, f 2 / d2r] . дК . а=т) . Y \

4- И J w* ( Ytsn ' 4- У2зП —~ 4- Y32<= —т- 4- 7зз? —7- ) X

I \	37.2	dy2	dy2	dy2 J

х (1 4- р 4 Л?р2 4- • • - )2 4- (2(Dj2 (у^	4- ТззП 4-

З/.2	3/2

4- Ys2?—7- + Y33?—(1 4- Л°р, 4- Лгр-* 4-  • •/ 4- и»: Лу=»*1 —7" 4-
Зу.2 3/1 J	у дх}

4- Y»1! д 2 + Y32? —у 4- Y32?	2 (I ”1”	+ ^2Р2 4- • • • )2 +

З^з дхз дхз J

2 Z	32Г)	.	dJ^ ,5-	32Г)	5-	32£	\

х (^•“Т|	^2зГ* Т-1---------^’г2Ь л-z 1------TTi ) Х

\ .	аУ.|()/2	З/дй/г	д/.,Д/г	З/дй/; )

X (1 4" Л1Р 4" Л2р, + ...) 4- 2со (0; буггЯ “г—J'-------------Ь Y2»1! “7—Ч------Ь

\ 3/дЗт3	3/ддт3

4-Y»s?“7 "? "4-Y3??~t~—) (1 4- ^ip 4- Л2р2 4-  • ) х
3-/ддт3	3/ддт3 /

X (1 4- Л°р. 4- Л°р2 4- - • ) 4- 4содС1); (\’22П -7^7 — 4- Y231! —д — 4-

+	+ Ya^ (1 + Л'Н + Л2Н2 4-  • ) (1 4- Л.р 4-
А°р2 ...) 4- [Л*?2 4- \з (я 4" О 1(1 4" Ацх 4- А2|а2 4- - • • )2 х

х (1 Л|Ц 4 Aoji 4" • • •) } = cos /,2 (1 4" Л]|л 4" А2р 4" • • •) X

X (1 4-Л?Н 4-Л°Н2 + -••)2-	(4-151)

Решение полученной системы дифференциальных уравнений будем
<скагь в nine следующих рядов:

£ = 5о(/ь /г. т3) 4-(Zi. 7.2. "з) 4-Ц2^(Хь /2, т3)4-...;

т) = >|о(/1. /г, “з)4 И’11(/.1. /2, т3) 4- p2i]2(/b /а, т3)4-...;

C = Co(Zi. /-> "з) 4-цС1 (7л> /г- ~з) 4~ Р-2Сз (/ь /ъ Ts)4-.--. (4.152)

где с,, ц,, Xi—периодические функции от переменных х<-Хг. тз перио-
дов 2л.

Для Со. т)о, Со получим следующую систему уравнений:

д/>х«'.^о 4"	= 0;

v/o.-J)o 4- (2<ох)21]о = 0;

+ ('&о = cos /2.	(4-153)

где А/,/,-» — оператор дифференцирования

а!.\	^/.2

	2 do ।	л 2 d—	. о	।

+	°*с —г—Ь	4о)х ——----1- 2ю	ю- ——----1-

дх}	д/.1<>/2	й/Аз

4~ 4ю (0;-----------.

d/odt3

(4.15!)

Решение системы уравнений (4.153) имеет следующий вид:

£о = Ли cos/д;

1|, = Д? cos/_2;
г

Со = Ло COS Ts 4- ——— - cos 72,	(4.155)

шс -ч;

где Л:о, 4jj, Л,} — произвольные пока постоянные.

Для iji, т]|, Ci система уравнений будет иметь следующий вид:

А/.х.-Л1 4 <”& 4- <оДх.х.ъ (ai2r)o 4- «иСо) — ZiFi cos Z1 4-

4- w22/j?	4- (2wJ2 2Л,	+ (o?2hf+ 4to22h" —’°— 4-

d/2	d/J ’ дт2	о/дс'/.з

4- 2iox6l, (ftf 4- Л?)	4- 4coxo); (At 4- Л?)	4-	(2Af + 2A?) = 0;

<Д10т3	d/.jdTa

^XiXi’»1)!	(^ш»)2 ’ll  ЙОДХ1Х1‘» (P22Tlo 4" РгзСо) 4" СоДХ1Х1х« (Psa'lo 4" Рзз?о) —

— ХоАг cos /_2 4" I ^2^'o 4" Д2 (Яо 4" Co/l 4"	—|-

4- (2ю v)2 2А? —^5- 4- to22/xt - 2по 4- 4w22h? —-1!!— _|_

д/2	dr2	d/.id/.z

4- 2ю(At + A?) d 5°- 4- 4(o v<o; (At 4- A?)	4-

<>/.1дт3	'	d/.^x3

4- (2(0x)2i10(2At 4- 2Л?) = 0;
^xrx»-.£i +	4"	(УггПо 4" УгзСо) 4* £оАх,х,т, (УзгПо 4" Узз^о) 4"

+ [ДКо 4- Аз (По 4- £о)21 4- <о22А? /Чо - + (2«)2 2Л?	+

0/-107.2	&£

4-	4- 4(о22А?	4- 2(ох(о; (АТ 4- А°)	4-

дх%	07.10X2	0X10*3

4- 4(0/0; (АТ 4- а?) -Д2- 4- (О:2£о(2Af 4- 2А?) =0.	(4.156)

0X20*3

Из условия существования квазипсрподического решения для пер-
вого уравнения получаем значение А*

Aj = -L- Га12 (2(ох)2 АЗ 4- «13 ~7^-------- 4-	•	(4-157)

4(о2 L	w2—(2(ох)1	2w2Aj

Из условия существования квазипсрподического решения для вто-
рого уравнения получаем значение А(х

At = —J— [АТ (Ао)2 4- 2>.^] -	(4.158)

16w2Aj

Приравнивая оба соотношения, получаем

..о	9	.	XqFqAS , ,	87.1F1A5

AT (At,)2 - 16<о2а, 2 (АЗ) - 4а, з 2 2 0 , 4- 2X2F2-------= о. (4.159)

(о£—(2wx)2	А’о

Это соотношение связывает значения амплитуд Aj и Aj.

Амплитудно-частотную характеристику можно записать в
щих двух видах:

следую-

(01

(Ох —(01 = —

4 со2

а12 (2(ох)2 AJ4- а18

^2^2

<о2 — (2<ох)2

klfl<01

2(о2А»

(Ох —(Oi =

<01

1(xo2AJ

AT (Ab)2 4" 2X2F 2

(4.160)

2	) Случай резонанса 2(0| =» (оч при wx « <о^. В данном случае реше-
ние следует искать при следующем соотношении частот:

-J- = -2-(l 4-ЛТн24- - ..)= —(1 4-AW 4- ••)•	(4.161)

2о>1	<°ч	<ох

За независимое переменное примем

7л =	(4.162)

Как и в случае отсутствия резонанса между собственными частота-
ми колебаний следует положить

5 = и?; и = м; ^ =	= н**М-	(4.163)

Решение полученной системы уравнений, содержащей малый пара-
метр ц, можно найти в виде следующих рядов:

; = 4- и' *«„ 4- n?i 4- р,;* Ь,-, 4-  • •;
и = Ио 4- PHi 4- р2И2 4- - - -;

£ = 4- р£1 4- р2£2 4- •  • •

9 Заказ ЗМ

(4.164)

129
3	(ссь, как п во всех предыдущих ел) ianx, можно было бы искать
решения, не приводя системы уравнений к системе, содержащей малый
параметр. Например, положив Xi = p”*7.i, можно искать решения си-
стемы уравнений непосрстствеппо в виде рядов

; = 11"'о + В* *?'. + В2й + В *'£*/, + • • • ;

П = ВЧо + B2,li 4 11% 4- • ••;

S = pSo 4-B2Ci + В^-4- - •• •	(4.163)

Для членов разложения получим следующие системы дифференци-
альных уравнений:

ДЛЯ §о, l]o, to

I 2 / rf7?

/ 0>, \2 </2>)o	.	2 n

{ —i- I ---+ «'Mio = °.’ .

k 2 ) d/2l

V_£^_ + (.)^c- o.	(-1 jwo

I 2 ) df2,

Для £./t

/	rf".,, +	= cos У1.	(4.167)

I 2 / dfi

Для gi, тр, ti

+	(М7Я1Л^- + ,„5.	) =0;

\ 2 /	f/7.l	\ 2 / \	(/7л	d7| }

(ll>, \2 d-l,	/ O>, \2 I	M-	.>ȣ

9	-^+W''1 + H4	+[^<.-^-4-

2 ) df\	\ 4 ) \	d/\	df\

4- [!,«?<> d2 ? 4- Mo - U \ So 4- (no + So)2 0;

d '/ ~i	d 7. i )

I b>,, \2 d^,	,2	/ о»,. \2 / rf21i	d2r

\t)	+ ,,,'Y‘2 +	(P"110	+

4- P:i2?o —V" 4- Рзз?0 —V- 4” Pm7)!-----------------------7“ 4" Р23П1 —4"

d-z2	d/2	df2	d/2.

4" Рз2?1-----7- 4” РззС1  7-^4" 2^2-Oil + Д&у, 4-

*/л	‘I/2 /

4- 2AJ (>lo 4- So) (*)i 4- Si) — АзЬбЛо = 0;
4 2лП>(о4-Со)(>ц 4	0.	(4.169)

Определив предварительно £0, ро, Со. £=. Сь ’h Сь подставим их зна-
чения в систему уравнении ьдя £2. Чг. Сг- Из условия возможности квази-
псрподическпх решении можно получить следующие соотношения:

И* 112= (l\I (/1ц)~ 4- «12 (Ai) «13 (Al) - «|4/1|)/1о 4"

Л2 /?2=«21(Ai)~	«22 (Ло)* ~ «23 (А))2	«24/1"Ио‘4~

4- «25

hi = h^

«и (Я«)" 4- «32 (До)2 4" «зз (А)2 4- «зМоЛо-

(4.170)

II амплитудно-частотные характеристики будут иметь следующий вид:

(4.171)

3) Случай резонанса «а <пЛ при = <•>,,. Решение будем искать
при следующем соотношении частот.

— = — (I 4-Л;и2 4-	(4.172)

(01	(Ох

За независимое переменное примем

/з (о,/.	(4.173)

Будем искать решение в виде следующих рядов при Л1 = р3Х|:

£ = 11;о 4- p2£i 4- |1я«г 4- • - • ;

ч =P4o4-p2’ii4-p:i’i2 4- •••;

С = рСо 4-и2м 4-р:,С2 4-• • - •	(4.174)

9*	131
Систему дифференциальных уравнений для нахождения значений
£>, Л*. S< получим в следующем опте

Для £0, т]0, So

+ со = 0;
drf

«4-^+<о?Со = 0.	(4.175)

dx?

Для Si, Пн Si

m + РззЛо	+ ₽2зТ)о	+ Рз’-So +

dX?	d'-*	d^	dx*

+ PssSo ^°~ 4-------lA’*>	+ ^°)2I = O’

d/.\

«’x	----1-	51 4" u,x ( УггЧо ——F Уэд Ло —~—F

d/Л	\ d/f	d/?

4- Y32S0	4- Узз5о -d ^2 A 4- Дзй 4- Аз (no 4- So)2 •	(4.176)

d'/j	d^i J

Для Sz, 112. 5г система уравнений будет иметь следующий вид:

-4-
dX?

S2 4" а12Со

d24i
dX?

+ аП’О

<Р£1
d‘Xi

4- al3ci - -^-cosZ14- йгсо = 0;
d/, “x

^-4- Ъ 4- Р22П0	4- Р23П0	+ P32S0	+

d/Л	d/Л	dy’	d/j

+ Рзз5о 4- Р22Л1	4- (Wi! 4- ₽a25i	4-

dfi	df^	d/]	d/.f

4- Рзз?1	—F	4—[A^oci 4- A? (no 4- So) (>Ji 4~ £i)| = 0;

dx?

2 d2S- 2 I 2 /	d2»],	d^i	f. d2T)!

ШХ----------F w сПг 4- "’x I У»2По 7---F Y'33TIO----7---F YasSo---------F

dXi	\	d/?	dZ2	d/-

. r d’-S, ,	„ dlT)0 , .. <Kn , .. . <Г-ъ ,

4" Уззьо----;---F УггЛх------Г~ -------------- 4- УзгМ------ ~ 4"

d/Л	dy?	rf/2	Jx2

4- Узз?1 —4~ <°;/i2So 4" 2Аз5оС1 4" 2Aj (no 4~ So) (iQi + Si) = 0.	(4.177)

dX? )
Решая уравнения (4.175) и (4.17G) и подставляя найденные значе-
ния £о, £|, т]о. Tji, So. Si в систему уравнений (4.177) из условия существо-
вания решений для £2. т]2, S2. получим следующие соотношения:

/12 = «1 I (71ц)2 + «12 (Т1 о)2 + «13 (^о)2 + «hAqAq + «15-Ц4 5-~ !

“х Т’о

t (л*)3

/12 = «21 (Ло) 2 + «22 Md)2 4" «23 (Ао)2 + «2чЛоЛо + «25-------- •

7*0

йг = «з । (Ао)2 + «32 (Ао)2 4“ «зз Мд)2 4- G34A0A0.	(4.178)

Амплитудно-частотные характеристики будут иметь следующий вид:

(Of — от, = «| । (Ао)2 + «12(Ао1)2 + «13 (Ао)2 4~ «нАоЛо 4~ «is —---г*;

“х ло

(Ла)3

(Oj — <£>х = «21 (Ао)2 4" «22 (Ао)2 4~ «23 (Аб)8 4~ «24А0Л0 4~ «25-»

Ло'

<«>1 — <ох = «31 (Ао)2 4* «з2(Ло)2 4- «зз (Аб)2 4~ «34 АбАб. (4.179)

4)	Случай резонанса сог = 2wx при сох = (От,. Решение будем искать
при следующем соотношении частот:

(I 4-/г;и2 4-...).	(4.180)

ю., 2юх

За независимое переменное примем

/.г — "’г/-	(4.181)

Положим

Х = ц2Х.	(4.182)

Решение будем искать в виде следующих рядов:

? = 1«о 4- Рг£| 4- М3;г 4- - • • ;

И = рь 4-	4- иЧ 4- - • • ;

S=-pSo4-P2Si4-P3S2+ ••• •	(4.183)

Систему дифференциальных уравнений для нахождения значений
Si, n<- Si (1 = 0, 1, 2,...) получим в следующем виде:

Для £о, т)о> So

(2«)А)г-^“ 4-со2?о=0;

^2

(2WJ2-^4-<o2-/)o = 0;
dx!

(2<oJ2-^+(o2C= 0.	(4.184)

Для E|, т)Ь

(2<ox)2	4- <o& 4- (2<ox)2 (a„£o 4- a13J0 Л = 0;

^/.2	\ dZ2	^X2 J

(2шх)2	- + co2?., + (2oix)2 (P22Tj0	 4- P«-'io 4-

rfxf	V d7.l ^X1

4- P32S0 —~—h P33S0 —4" A^o 4- A2 (no 4- So)2 4- ^2 F2C0S '/2 = 0;

<*X5	dX2 )
(2<ох)2	4 (2<ох)2 (Y.,,7l0 J2’1n- + узз-По-^ +

''/J	\	'/7.2	‘‘7.2

4" Уз2?о-----—F ¥зз?о —"I- Лз?о + Аз (7io + £о)2 — KiF2 cos /2 = О-

^xi </z2 J

(4.185)

Для S2, Hz. ^2 система уравнении будет иметь следующий вн т:

(2g>x)~ ——(- <0^2	(2<ох)2 («12^0---!*—h эС|з;о —-Ч—h

d-Z5	d-/J	dZ?

+ au^i ---------—I~ai3:i —4 ^(,)i’O =

‘‘it	‘‘/.2 /

(2e>x)2-^;- 4 w2-,l2 4- (2a>x)2 (p22-,w	4- р2Л1	4- p3.,£0 Z21 - 4-

<‘7.2	\	(/Z.2	‘‘7.2	‘‘7.2

+ ₽33t0	4- Р-Ч1 A- + M W + Рзз£1 +

<'X2	‘‘Xi	‘‘7.1	d7.2	‘‘7.1 J

w*/k>7(0 + 2A2£o5i	2 \o (v(0	t0) (v(1 4~ £1) — 0;

4 со-Л^о 4 2 \fc£i 4 2 \I(/)„ 4- Q(>ц + ti) =0.	(4.18fi)

Решая уравнения (1.181) н (4.185) н подставляя найденные зна-
чения £о, &ь Цо. <)ь ?о. в систему уравнений (4.18G) из условия существо-
вания решений дтя ^2. ’12. ^2. получим следующие соотношения:

Ао = Л|| (/1о)2 4- Oj2 (/Io) 4- П|.» (Ли)2 + ЯцД|)До 4-

(4.187)

Амплитудно-частотные характеристики будут иметь следующий вид:
оь — 2<ох «|। (/1«)24- 012(Ad) -01з(Ло) 4 оцЛцЛо 4*

Х.>	Х9 Гп

4-а '-----=— -----\-а '---—— ;

J (2wx)2 — >«х	2о>х)г — Wj

(4.188)
5)	Случай резонанса <oi + <i>2 = о>г, при (», = ю,. В данном случае
решение системы (4.76) получится по тон же схеме, что и в случае
отсутствия резонанса между собственными частотами колебаний.

; = в?о + н’"?1, + |12ч -г п* '’’., + - - • ;

ч =ч‘ч.. в’,ч,,4 р2П1+к* ч«,+ ---;

ь —,u>o Р ’ь1, + ll'ti ‘ Р ’%>’,+ ••••	(4.189)

При этом надо положить

Л.1 = р’ 'Xj; = р’ *Х2; ^-2 = р* %>.	(4.190)

Решение следует находить для следующего соотношения частот:

_!_(1 _|_Л«р2_|_ ...).	(4.191)

'"1 + ш„

В качестве не зависимых переменных можно принять

7z l,W; т2 =—------.	(4.192)

I +Л?Р2 + ...

Подставляя ряды (1.189) в систему уравнений (1.76) п приравни-
вая члены с одинаковыми степенями р, получим следующие системы
дифференциальных у равнений для последовательного определения
значении с0. Чо. ?о. ?,.	„ Е|. i|i, £i-:

Для со. Чо, £о

Ч/.тЛ-1-тХ °:

Чх.т.Чо + и i]0 = 0;

&,/,тЛоЧ to?tn = 0.	(4.193)

Решение этой системы при соответствующим образом выбранных
начальных условиях можно записан, в следующем вп ie:

»о — cos (Zj р /2);

Чо = /1о cus (/j +/2);

Го = 4 cos (/, + /.).	(4.194)

*1

Для Ь „ т,1., система уравнении будет иметь следующий вид:

-^/17,т,?1/, Ч- <0,^1, -р	j cos 7, = 0;

, -Р <'>?] ', Ч ^2^-2 cos Z2 = U;

Ах./^Л1', + to2^i,-рcos'Z2 = 0.	(4.195)

Возьмем частное решение эюй системы уравнений в следующем
виде:

5*, = .cosf/.! -р 7.2)---1 — cos 1

ш| —

Ч1, = x4?1cos(71 + 72)		X'г;  	cos Z2;  0>2 —	
	А'ч, cos (7, -р /.,) -	Х2 /' 2  CUS /о.	(4.196)
		и>2 —	
Для gi, t]i, gi система уравнений будет иметь следующий вид:

Ах.х.т. Ч + w>Si 4~ SeAx.x,!, (ai2*)o 4* аи£о) = 0;

Ax,x,-:, *h 4" w,.*li 4- ПоАхд.т, (Р22Л0 4“ Ргз^о) 4~

4*	(Рз2*1о 4" Рзз£о) 4- ^2 ?o 4- А?(По 4* go)2 = 0;

Az.z.r.gi 4* <°c £1 4~ Ho-^z/ZjT, (Y’2*lo 4" Yasgo) 4-

4- ^Az.z.t, (Ъогю + Y?3£o) 4- Аз So 4- A? (t)0 4- go)2 = 0;	(4.197)

Нс выписывая систему уравнении для g>-„ *)»;„ g»/„ запишем систему
уравнений для £2. *12, ^2

Ax.z.-r, 4- ®2,Ss = чАх,х,т, (ai2*]o 4* а1з£о) 4- СоА/./.т, (а12*ц 4~ а 13^1) 4~

4~ S'/.Az,х,х,(ai2*i,,1 4- «13g'/.)— 2/12/со, —у- + о>2——4-2(01(11, —  ’’°—Ь
у ЭХ, д/г	д/.,д/,

4- сохсо,	—h (0,(0,	—Ь coi ?о = 0;

Of j С/Т2	С*'2 ^"^2	/

Ах.х.т,*1с 4- 04*12 = *)i Ах.х.т, (р22*1о 4~ P23S0) 4- ЛоАх.х.т. (Р22Н1 4” P*3gi)

4“ glAz.Z.T. (Рз2*1о 4~ P.3sSo) 4- goAx.X.t. (Рз2*11 4" Рзз£1)-

- 2Л?/Ш?	+ «?	+ 2»,», -?*- + »,», -&•- +

дХ, д/2	д/лд/2	д/.2дх2

4- юаРч 4W По) 4 *11 •, Ах ,х,т. (Р>’*)/, 4- p23g'/.) 4- g- .Ах.х.т. (Р32*1'. 4-
О/~2 vTo	/

4- ₽Mg'/.) 4- 2АУ (т1о + go) (*11 4- gi) 4- 2А£Л 4- А? (тр/. + g.,,)2 4- A&\ = 0;

Ах.х.т, g3 4- юс £2 = *11Ах,х,т, (У22*1о 4- Y23£o) 4” *1оАх,х,т, (Y22TI1 4- Yasgi) 4"

4- giA/.х.т. (Узг*1о 4" Ys3go) 4- goAx.z.T, (у32*11 4" Yas^i) 2Лг i 4*
\	д/4

4"	& р° 4- 2(0|С0, - & —(- соро,) —— ------1- (о2со,——-|- (o^goA +

дх|	д/( Э/,	о/^дт.	дх2дт2	J

4- *l,,.Az1x1т1(Y2zrl, 1 4* Y23?‘ i) 4" g‘ «А/,х,т, (7'82'1', 4~ YssS'/i) 4-

+ 2Д$(no + go) (п, 4- ^1) 4- 2А&5х + A3 (п-/, 4- ,)2 4-	, = 0. (4.198)

Решая системы уравнений (4.193), (4.195), (4.197) и подставляя
найденные значения |0, *1о, go, 5 1,,	g’;,, si, *li, gi в систему уравнений

(4.198), из условия существования квазипериодических решении для
£2, *)г, g2 получим

йг = °ii (Л)2 + о13 Мо)2 4- °1з (?^о) 4~ Оц4ох4о +

X.f! ^2f2	1 ,	^F’2	1 .

. (-*14. ----- • --------- “ ------ "T" ^*1Л	>

•	1& о 2	2	2	*0 л 2	2	2 я*

W* — ci)j ur — u>2	/1q	— Wj wj - CD2 /10

/Д$ЛЗ

Л2 = (*2i (z4o) 4- °22 (z4o‘) 4* w23(z4b) 4~	-f- a2i--------(-

ло

K.f, X2r2	If .. M5	X2F2	I

—11= Опл-------- • --------- “| ^2?	„	„	>

-2--?	“2-4	(->,-“?) H-»i)

/zz = ti31 (Ло)2 + аз2 (Ло)2 4- «зз (Ло)2 4~ о?4ЛцЛо.	(4.199)
Амплитудно-частотные характеристики получатся в следующем
виде:

— (wj -|- <о2) = ai । (Ао)2 «12 (Ао)2 + 013 (Ао)2 4-Оы АоАо

СО*--(а>1 + <02) — 021 (А|)2 + 022 (Ао)2 + 023 (Ао)2 4“ о мАоАо +

1	. п'	1 •

25	26	2	2	2	2 лт1 '	2	2	2	2 лт *

Л J	< — о>| о/ — о>2	(О* — <оу ОК — Ш2 ^0

со,,— (<0i + со2) ~ Оз, (Ао)2 + 032 (Ао)2 + Оз j (Ао)2 + O34 АоАб.	(4.200)

§ 5 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОЛУЧЕННЫХ РЕШЕНИЙ. АМПЛИТУДНО-
ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ

1)	Случай отсутствия резонанса между частотами собственных коле-
баний. Полученные уравнения амплитудно-частотных характеристик по-
зволяют судить о значениях амплитуд колебаний стрелы в горизонталь-
ной и вертикальной плоскостях в зависимости от амплитуд и частот
колебаний действующих на стрелы квазппериодических нагрузок. Нс
давая подробного анализа их, остановимся на некоторых свойствах.

Рис. 22 Амплитудно-частотные характеристики в случае резонанса с>1
= <0х и <о2 = со,, и отсутствии резонанса между собственными частотами
колебаний

В случае главного резонанса (например, при действии па стрелу в
горизонтальной плоскости нагрузки, изменяющейся периодически с ча-
стотой, близкой к частоте собственных колебаний стрелы в горизон-
тальной плоскости) амплитудно-частотную характеристику можно
представить в следующем виде, рассматривая значения /1g и Ag как
некоторые параметры:

со* — сО1 = ац(Ао) + Ом (Аб) 4* wi3 (Аб)2 +	(4-201)

20^

Это уравнение можно представить в виде, изображенном па
рис. 22, а. Аналогично для колебаний стрелы в вертикальной плоско-
сти в случае главного резонанса амплитудно-частотная характеристи-
ка будет иметь следующий вид:

со* — (02= o»i(Ао) O22(Аб) 4~ °2з(Ао) 4* °2«---'—. (4.202)

2‘'Ц-4о
Кривые, cooTBciCTByiouuie этому уравнению, представлены па
рис. 22, б, причем за параметры следует принять ?10 н lic.ni в пер-
вом уравнении изменять амплитуды Л’* и /1^, а во втором уравнении
амплпту ц>1 .l(j п Л,-, все кривые передвигаются параллельно влево ii.ni

вправо в зависимости от знаков коэффициентов ( пя определенности
положим, что кривые передвигаются вправо). Это зцачнт, что в пер-
вом случае амплитуда колебаний /1J, а во втором случае амплитуда
колебании будет меньше, так как часть энергии переходит к другим

степеням свобо ты.

Анализ амплитудных кривых, а также определение устойчивости
решений могут быть с телапы аналогично подобного рода задачам в си-
стемах с одной степенью свободы. В случае резонанса 2<oi = <»,, харак-

Рпс 23. Амплпту uio-частоткые ха-
рактеристики в случае ре «шансон
= 2<1>г п <'»j = 210.,

тер п вид амплитудно-частотной ха-
рактеристики будет тот же, что и в
предыдущем случае, по при 2со| =<>»ж,
значения амплитуд колебаний будут
пропорциональны не величине
(А.'/г)1 *. а величине (7.|/?i)'/>.

Поскольку считаем 7Ч п 7.2 малыми
величинами одного порядка, то мож-
но сказать, что значения амплитуд
будут более высокого порядка мало-

С1И 110 отношению к 7,.

В случае резонанса о>| = <•»,, вид
амплитудпо-час годной характерце ги-
ки для Д'1 будет отличаться от ампли-
тудно-частотных характеристик пер-

вых двух случаев тем, что все точки кривых будут передвинуты влево
и.in вправо в зависимости от знаков коэффициентов па величину



_2i£i_r

(4.203)

Если положить «25 = «26 = 0, то получим амплитудно-частотную
характеристику того же вида, что п раныне, но значения амплитуд
колебаний при «ц = <о,. будут пропорциональны петнчпнам уже пер-
вого порядка малости. Наличие членов (1.203), приводящее к смещс
нпю характеристик, может существенно изменить значения установив-
шихся колебаний для той или иной частоты колебаний вынуждающей
силы.

В случае ре шнапса <н2 = 2<»v амплитудно-частотная характеристи-
ка для колебаний стрелы в горизонтальной плоскости будет иметь вид,
изображенный на рис. 23. Значения амплитуд установившихся колеба-
нии будут величинами порядка '/г по отношению к Л.

В случае резонанса <> + <о2 = <о, амплитудно-частотная характери-
стика будет того же вида, что п при 2с«>| = о,,. Значения амплитуд ус-
тановившихся колебаний при оц + (o2 = ю, будут иметь порядок ма-
шет н 2/3 по отношению к 7..

2)	Случай, когда имеет место резонанс между частотами собственных
колебаний. При соотношении частот собственных колебаний 2wt = «ц
памп рассмотрен лишь случай главного резонанса, когда <0| = cuY;
<ч_ = <•»,., как наиболее интересный. Резонансы при других соотношени-
ях между частотами собственных колебаний н частотами колебаний
вынужденных сил нами не рассматриваются, поскольку для стрел, не
имеющих дополнительных подвесок, такое соотношение меж ду частн-
ыми собственных колебаний в случае, если V не является величиной
достаточно малой, следует считать недопустимым.

При leiicTBiin па стрелу нагрузки в горизонтальной плоскости, из-
меняющейся с частотой (Di = <1>х, и прп денствип па стрелу натру ikii в
вертикальной плоскости, изменяющейся с частотоп <<»2 = оц, имеют
место амплитудно-частотные характеристики следующего вида:

Wi	/Г»	<> ,	^"2 ^2	,	Х1/ 1<-1|

<ох — со1 — —— а12 (2сох)- /1,; -|- ап ——------ +  ------— !

4о>*	<i>?—(2ыд)2 '-toxz*o

Ulx-------ll>! =

<”1

16юхД£

△г (^о)	2Z.2/-2].

(4.204)

Носкотьк\ существует определенная зависимость между Ли н
амплитудно-частотные характеристики будут иметь вид, изображенный
на рис 24, как для резонанса гол = <»i, так и для резонанса 2<о< = <о2.

Рис 24 Амплитудно-частотные характеристики в случае резонансов
ы> = <•>, и ы2 = ыи при t->u = 2<|»х

В случае обоих резонансов вид амплитудно-частотных характери-
стик остается toi же, по кривые пойдут круче. При изменении велпчп-

>-2 ^2	г

пы ----------кривые 6у дут перемещаться по аосцнссс параллельно.

<ч?—(2юх)г

При соотношении частот собственных колебаний стрелы <ох = <ог
амплитудно-частотные характеристики для резонансов при различных
соотношениях частот колебаний вынужденных сил и собственных ко-
лебании в первом приближении будут иметь тот же вид, что п в случае
отсутствия резонанса меж ду частотами собственных колебаний. Раз-
ница бу дег заключаться в том, чю в данном случае в уравнения ам-
плитудно-частотных характеристик будут входить члены с пропзвсде-

1 я.	'/ <’о)Э ъ

пнем амплитуд	а также члены b-------. Эти члены изменяют

'о

крутизну характерце гик п влияют па распределение энергии колебании
между отдельными степенями свободы.

Если (о2 = 2<щ = 2ыг,, то резонанс будет иметь место в обеих степе-
нях свободы прп одинаковом виде амплитудно-частотных характери-
стик. Как в горизонтальной, так и в вертикальной плоскостях устанав-
ливаются амплитуды колебании одного порядка, зависящие от коэф-
фициентов амплнту дио-часготпых характеристик.

Исследование систем дифференциальных уравнений колебании на-
клонных стоек может быть выполнено методом физического и элек-
тронного мо делнровання.
Исследования методом электронного моделирования проводятся па
основе систем дифференциальных уравнений, составленных для реаль-
ных конструкций стрел. Если требуется определить как будут изме-
няться колебания стрел при изменении того или иного параметра стрел
(длины подвески, длины стрелы, веса подвески и стрелы), требуется
определить коэффициенты уравнений для различных избранных пара-
метров и для них провести электронное моделирование.

При электронном моделировании необходимо включать члены, учи-
тывающие затухание колебаний конструкций. При исследовании от-
дельных физических закономерностей (например, коэффициентов, ха
растеризующих переход энергии колебаний от одной степени свободы
к другой) иногда желательно не вводить в уравнения члены, учитыва-
ющие затухание колебаний.

Точность решения задачи при электронном моделировании соответст-
вует точности, с которой составлена система дифференциальных урав-
нений.

Физическое моделирование может дать более точное представление
о происходящих динамических процессах. Учет особенностей конст-
рукций, в том числе учет нелинейных факторов, при физическом моде-
лировании более полный.

Физическое моделирование осуществляется по правилам теории по-
добия. Условиям подобия в данном случае должны удовлетворять
как геометрические, так и динамические характеристики (соотношения
масс и жесткостей) конструкций стрел и их элементов. В этом случае
можно получить динамические процессы в моделях стрел, достаточно
точно соответствующие динамическим процессам в реальных конструк-
циях стрел.

На рис. 25 показана схема стенда для испытаний моделей стрел.
На этом сгенде при помощи двух вибраторов вызывались периодиче-
ские колебания, действующие на «стрелу» в горизонтальной плоскости,
соответствующие колебаниям скорости поворота экскаватора или отва-
лообразователя, и периодические нагрузки, действующие на «стрелу»
в вертикальной плоскости. В качестве модели стрелы была использована
дуралюмиипевая труба длиной 1600 мм, диаметром 41 мм при толщине
стейки fi = 1 мм. Для придания модели стрелы «собственного веса» qc
на трубу надевались свинцовые грузы, равномерно распределенные по
длине.

Изменение собственных частот нзгнбпых колебаний модели стрелы
в горизонтальной плоскости <о.г и в вертикальной плоскости иц достига-
лось путем изменения qr. Верхний конец модели стрелы мог быть за-
креплен от горизонтальных перемещений при помощи специальных
расчалок ыя изменения соотношения между частотами <i>A- и (>,, .

Изменение частоты колебаний модели стрелы на подвеске осуще-
ствлялось п)тсм изменения жесткости подвески, а также величины
груза на крюке Q.-. Изменение коэффициентов уравнений колебаний
при нелинейных члена достигалось изменением углов а п р и длины
подвески.

При испытаниях с помощью проволочных датчиков записывались
следующие величины: напряжения изгиба в горизонтальной плоско-
сти ох, и в вертикальной плоскт стп ov в сечении, расположенном по-
средине модели стрелы; напряжения изгиба в горизонтальной плоско-
сти Ох, в сечении, расположенном на расстоянии 125 мм от пяты, усилия
в подвеске стрелы Рп и в подвеске груза Р?р; крутящий момент Мкр,
вращающий поворотную платформу и создающий периодическую на-
грузку в горизонтальной плоскости.
Рис. 25. Схема стенда для испытаний моделей стрел:

I — модель стрелы; 2 — вибратор вертикальных колебаний: 3 — внбра
тор горизонтальных колебаний; 4—8 датчики для определения напряжений
и усилий

Рпс. 2G Колебание модели стрелы при 2o>i = соv:
I — напряжение нзгнба о горизонта л иной плоско
стн OXi; 2 — напряженно изгиба в вертикальной
плоскости 3 — крутящий момент, действующий
на поворотную платформ!
На рис. 26, 27 даны осциллограммы, характеризующие колеоапие
модели стрелы при следующих резонансных соотношениях: 2(.ц = <•»„
При О»ч<и>х, <О|=<»(/ При (0|/><0д.

Модель стрелы подвергалась периодической нагрузке, девствовав-
шей в горизонтальной плоскости. Легко видеть, что при указанных
резонансных соотношениях от нагрузки, действующей в гори тонта.ть-
пои плоскости, возникают колебания модели стрелы в вертикальной
плоскости, амплитуда которых достаточно велика. Если бы решать

Рис. 27. Колебание модели стрелы
при on o>v:

I — напряжение изгиба в горизонтальной
плоскости 2 — напряжение изгиба
в вертикальной плоскости п^2; 3 — кру-
тящий момент, действующий из поворот
ную платформу

задачу в лпиеиноп постановке, к>
такого рода колебания получить бы-
ло бы невозможно

Таким образом, доказывается,
что решение задач по колебаниям
наклонных стоек без учета нелиней-
ных факторов может привести не
только к количественно, по и к каче-
ственно неверным результатам.
Приведенные мето нл аналитическо-
го решении задачи о колебаниях
наклонной стопки, несмотря па их
кажущуюся громоздкость, достаточ
по просты для практического не
но.п.зоваппя и выполняются по ЗИ-
НОВОЙ схеме.

Важным является то, что имея
вид аналитических решений для ис-
сле туемого варианта колебаний
стойки, можно легко вычислить ко-
эффициенты, в.хо тящие в выраже-
ния амплитудно-частотных харак
icpiicTHK, используя электронное
моделирование. Для этого па ю оп-

ределить амплитуды колебаний для нескольких (по чнелх коэффици-

ентов, входящих в одно из уравнений амплитудно-частотных характе-
ристик) частот колебаний вынуждающих нагрузок

Решая полученные алгебраические уравнения относительно коэф-
фициентов, получим пх значения. Ви д уравнений амплитудпо частот
пых характеристик тает возможность значительно сократить объем
исследований па электроипо-моделнрхющнх установках, проводя их
лишь тля ограниченного количества частот колебании.

Очевидно, что метод совместных аналитических решений и решений
па электронпо-моделирующпх установках является наиболее эффектив-
ным исследованием нелинейных колебании наклонных стоек.
>♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦<

ГЛАВА V

РАСЧЕТ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИИ,
СОДЕРЖАЩИХ КАНАТЫ И ВАНТЫ БОЛЬШОЙ ДЛИНЫ

§ I. Oli out НК1 НАПРЯЖЕНИИ В КАНАТАХ И ВАНГАХ бОЛЬШОИ ДЛИНЫ

Канаты и ванты бо гыиоп длины, в к гибкие элементы, имеют ши-
рокое распространение в машиностроении. Они применяются в стрело-
вых конструкциях экскаваторов, отвалообразователен, крапов и в гру-
1их конструкциях под'ьемно-грапспортпнх машин.

Нельзя счтать, что исследователи уделяли мало внимания разра-
ботке методов расчета канатов и папт. Существует довольно шачн-
тельпое количество работ по исследованию сил, гействующпх па кана-
ты и ванты, входящие в i инструкции машин, по мето гам расчета и
исследованию прочности гибких элементов.

Тем не менее некоторые вопросы, имеющие важное значение для
расчета голговечпостп канатов большой глины, нс полечили достаточ-
ного освещения в литературе.

К такого рода вопросам относится задача определения амплитуд
колебании канатов и вант, входящих в юпстрхкцпи узлов машпи, и
пзгибпы.х напряжении в канатах и цангах в местах заделки.

Задача расчета амплитуд колебании канатов н вант в простейшем
случае сводится к анализу механической системы, состоящей из жест-
ких па изгиб и гибких элементов.

Дифференциальные уравнения для такого рода систем при учете’
провеса гибких элементов получаются нелинейными.

Пслииейпып характер уравнений подтверждается тем известным из
экспериментов фактором, что частоты колебаний такого рода систем за
висят от амплитуды. Резонансные соотношения в этом случае могут воз-
никать при кратном соотношении частот собственных колебаний.

Прове генные нами экспериментальные исследования конструкции
стрел, а также исследования их па электронно-моделнрующнх установ-
। ах подтверждают указанные положения.

Амплитуда колебаний канатов и вант имеет существенное значение
в оценке действительных напряжений в ка (атах и вантах большой
длины.

Дотговечиость канатов н вант в основном определяется тем, i акова
величина гействптельпых напряжений в проволоках н каков характер
изменения этих напряжений во времени. При оценке долговечности ка-
натов и вант обычно определялись величина и характер средних по сече-
нию каната напряжений в проволоках. Истинные значения напряжений
в проволоках не оценивались.
Если происходит изгиб каната, распределение напряжений в прово-
локах получается неравномерным и ошибка в определении действитель-
ных напряжении может оказаться очень большой. Как показывают на-
блюдения за состоянием стреловых конструкций машин чаще всего
выходят из строя тс канаты и ваиты, длина которых, а следовательно, и
изгибающий момент в заделке больше. Это служит еще одним доказа-
тстьством того, что величина пзгибных напряжений в канатах и вантах
имеет существенное значение при оценке долговечности.

Исследование напряжений в проволоках канатов для наружного
слоя может быть выполнено методом непосредственпого измерения с по-
мощью специальных датчиков. Оценку напряжений в проволоках, рас-
положенных внутри каната, непосредственным измерением выполнить
до настоящего времени не удалось. Вследствие этого для оценки напря-
жений в проволоках, расположенных по всему сечению каната, целесо-
образно использовать косвенные методы. Одним из таких методов яв-
ляется метод исследования формы прогиба каната вблизи заделки под
воздействием статических и динамических нагрузок.

Зная форму прогиба каната, можно определить радиус кривизны ка-
ната в месте заделки. Прп известных продольных и поперечных нагруз-
ках, действующих на канат, радиус кривизны каната однозначно связан
с приведенным моментом инерции поперечного сечения каната (с жест-
костью на изгиб каната), если предположить, что модуль упругости ка-
ната постоянный и определенный. По величине момента инерции можно
определить расчетную модель сечения каната, приняв некоторые пред-
положения относительно характера работы каната и характера взаимо-
действия проволок.

Экспериментальным путем, определив закономерность изменения мо-
мента инерции сечения каната в зависимости от конструкции каната, его
длины, а также действующих на него продольных и поперечных нагру-
зок, можно построить расчетные зависимости и графики, используя ко-
торые, аналитически определить действительные значения напряжений
в проволоках каната.

Дифференциальное уравнение колебаний каната без учета диссипа-
тивных сил имеет следующий вид:

+	(5.1)

дх* dxi дР F дх*дР F	7

где Е — модуль упругости каната, отнесенный к суммарной площади по-
перечного сечения проволок;

J — момент инерции поперечного сечения каната;

о — натяжение каната, отнесенное к суммарной площади попереч-
ного сечения проволок;

р — погонная плотность каната, приведенная к суммарной площа-
ди поперечного сечения проволок;

/ — массовый момент инерции поворота сечения каната;

F — суммарная площадь поперечного сечения проволок;

ц— погонный вес каната;

х — координата вдоль каната;

у — поперечные перемещения каната.

При расчете напряжений в канате с достаточным приближением
можно считать, что форма колебаний каната близка к синусоиде

у = Y sin sin £2/,	(5.2)

где / — длина каната;

£2 — частота поперечных колебаний каната.
Частота поперечных колебании каната может быть определена по
следующей формуле:

n2EJ

° + —PF*

Q2 =---------—-----.	(5.3)

/р (>/J	'

Г л2

В этом случае уравнение, определяющее дснствитсльную форму про-
гиба, с достаточной степенью приближения может быть записано в елс-
1\ющем виде:

dx*

„ д'У q
----<5 —-----1---7

dx1 F

/p n2
~F~ P

-sin — = 0.
i

(5.4)

Решение уравнения должно удовлетворять следующим
условиям при жесткой заделке концов каната

। ранпчпым

(//)х—о = 0;

(//)х—z = 0;

= 0;

= 0.

(5-5)

Полагая

d2u

—— = z;
dx2

EJ

Р2=с.

(5.G-5.8)

имеем

d2z

dx2 a2

Sill-------.

I

(5.9)

-----<

2 ___

F ’

F Р

Общим решением уравнения будет

z .1 sh — x + Sell — x+

(£

Я

£2F

n2 /p

P___F_

n2a2

P

(5.10)

а

Г- ь

12-1 SHI-------- .

I

Интегрируя дважды, получаем

1/	i4——— sli — X + В

а

— ch

32

3.

а

дх2

2&F

+ Qsin^- + Cx + D, (5.11)

где

J___F_

л-‘а2

P

O2JZ

(5-12)

Q =

Р

Используем теперь
пых постоянных.

Ил первого условия

граничные условия

и моем

I) = — В

а2

для определения иронзволь-

(5.13)



пл второго условия получаем

Л-^-sh ₽ / + B_^_(ch A/-1') + ^/2 + c/ = 0;	(514)

p- a	p- \ a J 2p-/-

10 Заказ 314

115
из третьего условия имеем

-Лу + ^<2 + С = °;	(5.15)

из четвертого условия имеем

— Л— ch —/ + В sh 1 +	-------Q 0.	(5.16)

р а и «	З2/- I

Используя эти уравнения, получаем

A sli — /

В =--------;	(5.17)

1	— ch Р /
а

2Г ар	1а

г —	<//	1 сн

Таким образом, форма прогиба каната определяется следующим вы-
ражением:

----лз Q\ sh_p_x__21Lq\X

р= \ 2Fap la J а р2 I 2/ a[i la J

sh — I

x----(1 —ch P-x) + -^-(x2-/x) + Qsin^. (5 20)

! —cl, -M U '	1

a

Если колебание отсутствует, то

У =

Ash_₽_x_^L

2f₽3 a 2/ 3

sh — I
a

1 — ch — I
a

-5— (x2 — lx).

21P-	’

(5-21)

При выводе формул, определяющих форму прогиба каната, предпо-
лагалось, что момент инерции поперечного сечения каната постоянен
по длине каната. Это предположение можно считать справедливым, если
концы каната свободно могут перемещаться (депланировать), а также с
достаточным приближением в случае шарнирно опертых концов каната.

При шарнирном опирании концов каната поперечные перемещения
точек могут быть определены по следующей формуле:

У =

(( —ch — /)
д \a	/

3‘tf i. Р ,
Sil -------- I

a

sh — x---------— ch

a P3/'

+ -^(x2-/x)-4-Qsin-^.	(5.22)

Изгибающий момент по концам каната равен нулю. Максимальное
значение он имеет но середине каната, где имеется больше свободы
взаимному перемещению проволок в канате. Заметим, что канат с шар-
нирным закреплением концов должен обладать большей общей гибко
стью.
Если канат нс испытывает растяжения, силы в апмодействпя между
проволоками определяются условиями свивки. Обычно эти силы имеют
относительно небольшое значение, вследствие чего силы трепня между
ними малы и при изгибе каната каждая из провозок изгибается и скру-
чивается независимо от других.

При достаточно больших растягивающих силах, вследствие того, что
каждая из проволок имеет форму пружины сложно! конфигурации,
между проволоками возникают значительные силы взаимодействия, при-
возящие к тому, что силы трепня между ними имеют достаточно боль
шую величину. Чем ближе к центру пряди и каната расположен.! прово-
лока, гем большие силы взаимодействия она испытывает, тем большие
силы трения приходится преодолеть, чтобы сдвинуть проволоки. Тем
больше, следовательно, должна быть деформация изгиба каната пли ра-
диус изгиба каната, после которого начинается относительный сдвиг про-
волок. Относительный сдвиг проволок в канате начинается сначала в
наружных слоях каната и по мере увеличения деформации изгиба про-
исходит сдвиг между проволоками, находящимися ближе к центру ссчс-
пня каната н пряди. При больших растягивающих усилиях и малых из-
гибающих моментах канат ведет себя как жесткий металлический
стержень, момент инерции поперечного сечения которого определяется
с учетом полноты заполнения металлом поперечного сечения каната.
При увеличении изгибающего момента увеличиваются деформации из-
гиба, происходят смещения наружных проволок и момент инерции по-
перечного сечения каната уменьшается. Увеличение натяжения каната
вызывает при этом увеличение момента инерции сечения каната. Смеще-
ние проволок снимает с них напряжение изгиба до величины, определяе-
мой радиусом кривизны каната и величиной силы трения меж ту прово-
локами. Вследствие этого может оказаться, что напряжения в наружных
слоях проволок будут меньше напряжений в проволоках, лежащих во
внутренних слоях.

Относительные перемещения проволок при переменной нагрузке
могут привести к износу их, особенно при наличии абразивных
частиц.

При колебаниях канатов нзгнбиые напряжения изменяются во вре-
мени ио определенному закону. Соответственно этому закону изменя-
ются суммарные напряжения в проволоках каната с частотой, равной
частоте колебаний каната. Вследствие этого основное влияние па дол-
говечность каната имеет усталостная прочность проволок.

Усталостные явления вместе с износом могут преждевременно вывес-
ти канат из строя.

Износ проволок абразивными частицами, а также контактные напря-
жения при взаимодействии проволок, особенно в заделках, могут приве-
сти к значительной концентрации напряжений и существенному сниже-
нию усталостной прочности.

Если концы каната заделаны и лишены возможности деплаипровать,
то взаимное смещение проволок будет тем более ограниченным, чем
ближе сечение каната находится к месту заделки. В этом случае нзгнб-
иая жесткость каната, вводимая в расчет, должна быть больше в сече-
ниях, расположенных вблизи заделки, чем изгибпая жесткость каната в
сечениях, расположенных от заделки на достаточно большом расстоя-
нии. Если учесть то, что изгибпая жесткость каната зависит от натяже-
ния, то решение задачи в корректной постановке становится сложным н
пока что не получено. Однако этот вопрос имеет важное значение, по-
скольку без его решения невозможно построить эпюру изгибающих мо-
ментов но длине каната и определигь концевые моменты защемления,
1ь*	147
необходимые для инженерного расчета максимальных напряжений в
проволоках каната в местах заделки.

В дальнейшем дается приближенный формальный метод оценки на-
пряжений в проволок i\ канатов.

Для проволоки, или суммы проволок, пе связанных друг с другом,
можно пользоваться следующими формулами для определения макси-
мального прогиба и изгибающего момента, который в этом случае про-
порционален величине второй производной от прогиба.

Прогиб в середине про юта

(5-23)

+ (5'24>

Изгибающий момент в середине пролета

/Ux_Z2=-^-g.	(5.25)

Изгибающий момент в заделке:

Л1Х_О = LJ Г-^-----— Qi;	(5.2G)

[2Fu3 la J

Лlx=o = - Ql 1,	| ЁТГ=.	(5.27)

2	| п/- I

Легко доказать, чю напряжения
ствеппого веса н при

изгиба в заделке от действия соб-
колебаипях с одной п той же амплитудой пе зави-
сят от диаметра нрово ок, ес-
ли напряжение or растяжения
п длина проволок о ща и та
же.

Рис. 28. Стенд для проведения исследова-
ний канатов

а — общий вид; б — натяжное устройство

Таким образом, если имеет-
ся одна нрово кжа большого
диаметра, или несколько про-
волок малого диаметра, сум-
мари.in площадь поперечного
сечения которых равна п ю-
ща ш поперечного сечения од-
ной проволоки бо ibiuoro диа-
метра, при одном и том же
иа гяжаппп напряжения из! п-
ба в заделке будут одинако-
выми. Для канатов, свитых из
отдельных тонких проволок,
распре юление изгибающего
момента по длине будет отли-
чаться от распределения изги-
бающего момента по длине
сплошного стержня вследствие
того, что момент инерции по-
перечного сечения канта по
длине будет переменным. Мо-
мент инерции поперечного се-
чения каши а в значительной
степени зависит от натяжения

н поперечной деформации каната. Изучение этого вопроса, имеющего
важное значение для оцет i напряжений в канатах, возникающих
вследствие изгиба, может быть выполнено, как уже упоминалось выше,
методом исследования формы прогиба капата под воздействием стати-
ческих и динамических нагрузок.

Такого рода исследования были проведены в лаборатории кафедры
конструкций машин Университета дружбы пародов имени Патриса Лу-
мумбы и на стенде УЗТМ с участием Б Н. Волкова.

Стенд, иа котором проводились исследования в лаборатории (рис. 28),
позволял одновременно проводить измерения растягивающего усилия в
канате и его поперечной деформации.

Радиус кривизны каната в месте заделки определялся следующим
образом: ддя фиксированных точек капата определялось н.х перемещение

1234561

500

500 -

500

дойна троса =3i7cn
сосредоточенный груз =в,7кг

1654321

Рис. 29 Схема измерений
перемещений точек капата:
а — размещение прогпбомерон;
о — формы прогибов при раз-
личных натяжениях

• 50

500

Точки NN

при воздействий дополнительной поперечной распределенной нагрузки
нигепсивиостыо q (рис. 29). Кривая прогиба каната вблизи заделки при-
нята в виде

у = ах* ]- Ьх3 + сх2,	(5.28)

откуда радиус кривизны каната в заделке можно было определить из
соотношения

^=-А- = -^--	(5-29)

2с

Ух -о

Па рис. 30 показан полученный из опыта .характер зависимости ра-
диуса кривизны каната ТК 6x37(1+0+12+18) в месте «аделкп от на-
пряжения растяжения его и величины поперечной нагрузки q при сле-
дующих данных: длина каната I = 317 см, диаметр капата d = 1,95 см,
диаметр проволок 6 = 0,09 см, распределенная поперечная нагрузка
q = 0,135 кГ!см = 135 н/лц модуль упругости каната Е = 1,4 X
X 106 кГ/см2 = 0,14 • 106 мн/м2.

Если принять, что модуль упругости каната при полученных величи-
нах деформаций сохраняет постоянное значение, то можпо получить из-
менение величины момента инерции сечения каната в зависимости от
натяжения. Воснотьзусмся следующим соотношением, определяющим
радиус кривизны в заделке для растянутого стержня при воздействии по-
перечной нагрузки:

R =---------*-------,	(5.30)

gi _ д

2fap Fp

где	_____

Формула (5.30) получена при решении задачи о прогибе растянутого
стержня под воздействием равномерно распределенной поперечной на-

грузки. Здесь:

/пр — приведенный момент инерции
каната;

о„ — растягивающее напряжение;

F — поперечное сечение каната.

мость коэффи-
циента а от по-
гонной нагрузки q

Рис. 30. Зависимость радиуса кривизны
R и приведенного момента инерции J
каната в месте заделки от напряжений
растяжения

Разрешая формулу (5.30) относительно приведенного момента инер-
ции, получаем

, _ q2PR2aHF

пр 4E(aHF + qR)2 '	(5.31)

При приближенной оценке изгпбпых напряжений в канатах и вантах
можно использовать следующее выражение для радиуса кривизны ка-
ната в месте заделки в зависимости от натяжения и поперечной на-
грузки

/? = а(<7)<‘.	(5.32)

На рис. 31 приведен график изменения коэффициента а в зависимо-
сти от q. полученный в результате описанных экспериментов.

На рис. 32 показаны графики изменения радиуса кривизны в месте
заделки в зависимости от натяжения для различных значений q.

150
Обозначим через k отношение приведенного момента инерции попе-
речного сечения каната 1Пр к моменту инерции сечепня каната J, рабо-
тающего как цельный стержень.

Рис 32. Зависимость ра-
диуса кривизны каната
в месте заделки от натя-
жения каната при раз-
личных значениях q:

1 — q, 0.268 н/см, 2 —
gi - 0.536 н/см; 3 — дг -
—0.804 н/см; 4 — g,— \.3f> н/см

Рис. 33 Зависимость коэффициента
. Jnp
к = —— от натяжения каната при
J
различных значениях q;

! — д, — 0.268 н/см; 2 — д,— 0.536 н/см,
3 — q, - 0.804 н/см; 4 - д< — 1.31 н/см

г те g — коэффициент сплошности поперечного
для канатов открытой свивки 0,7, а
типа 0,9.

На рис. 33 п 34 показаны графики измене-
ния коэффициента k в зависимости от натя-
жения и поперечной нагрузки q.

Очевидно, что с увеличенном натяжения
приведенный момент инерции поперечною се-
чения каната возрастает, а с увеличением по-
перечной нагрузки момент инерции попереч-
ного сечения каната уменьшается.

При проведении эксперимента на специаль-
ном стенде был использован канат закрытого
типа длиной 18 м. Шаг свивки наружных
Z-образных элементов был равен 730 мм.

По ГОСТу 7G7G---55 канат имел следую-
щую характеристику: диаметр каната d =
= 70 мм; диаметр круьтых проволок 4,4 мм,
количество G1 шт.; клиновидные проволоки:
1-й слой — высота 4,5 мм, количество 30 шт;
2-н слой — высота 5 мм, количество 33 шт.;
2-образныс проволоки — высота 6 мм, колп-

сечения каната, равный
для канатов закрытого

Рпс 34. Зависимость ко-
эффицкента k = от
поперечной нагрузки q
при натяжении каната,
равном ор = 120 мн/м2.

честно 37 шт., всего проволок 1G1 шт.; площадь поперечного сечения
всех проволок каната 32,92 см2; вес 1 м каната 27,2 кГ; суммарное раз-
рывное усилие всех проволок в канате 395 т.
Вследствие того, чго существующая конструкция заделки ванта нс
позволяет произвести установку измерительных элементов непосредст-
венно у начала заделки, была установлена искусственная заделка на
расстоянии 200 .ни от обычной заделки. Искусственная заделка пред-
ставляла собой два полукольца диаметром, равным диаметру капата,
устанавливаемых с натягом. Канат натягивался гндродомкратом. По-
перечная нагрузка осуществлялась с помощью мостового крана.

В процессе эксперимента для различных значений натяжений кана-
та при различных прогибах, вызванных различными поперечными на-
грузками, с помощью тензодатчиков определялись напряжения в наруж-
ных проволоках капата и с помощью специальных прогнбомеров, вы-
полненных в виде балок, работающих на изгиб с пак «сенными на них

Рис. 35. Схема установки датчиков и прогнбомеров при исследовании каната закрытый
типа диаметром 0 70 лм<:

а — размещение по длине, б — размещение по поперечному сечению

тензодатчиками, определялись прогибы каната в сечениях, расположен-
ных на различном расстоянии от искусственной за гелкн.

Для оценки величины и характера распре юления напряжений по пе-
риферии сечения каната иа расстоянии 15 мм от искусственной заделки
иа наружные проволоки были наклеены 100-омпыс датчики сопротивле-
ния в G симметрично расположенных точках /, //. ///, IV, V. VI.

Чтобы установить характер и величину и.згпбпых напряжений по дли-
не капата па наружные проволоки в точках /, 7, 8, 9, 10, II, 12, 13 были
наклеены такие же датчики. Определение прогибов каната производи-
лось в точках 16, 17, 18. 19, 20. Схема установки датчиков и прогпбоме-
ров показана па рис. 35.

В результате проведенных экспериментов удалось определить рас-
пределение напряжений в проволоках но сечению капата и по длине ка-
ната, а также установить величину напряжений в заделке при одновре-
менном растяжении капата продольной сплои и изгибе поперечной силой
в различных сочетаниях.

На рис. 3G показано распределение напряжении по сечению каната
вблизи заделки. Эпюра напряжении не учитывает неравномерного рас-
пределения напряжений между отдельными проволоками, которое осо-
бенно существенно проявляется при растяжении каната, начиная от
нуля или очень небольших растягивающих нагрузок.

Кривая 1 является пулевой линией; 1 рнвая 2 дает эпюру распреде-
ления напряжений по сечению каната при растяжении его. Среднее зна-
чение напряжений равно 12-1,0 мн!м2.
При воздействии поперечной нагрузки, вызывающей изгиб каната,
кроме изгиба, канат испытывает дополнительное напряжение растяжения.

Кривая дает эпюр} распределения дополнительных напряжении
растяжения, а кривая А — на-
пряжении изгиба при прогибе
каната, равном 263 мм

Кривая 4 дает эпюру распре-
щлення дополнительных напря-
жений растяжения, а кривая Б—
напряжений изгиба при прогибе
каната, равном 360 лги.

Максимальные напряжения
изгиба в первом случае состави-
ли 145,0 мн/м2, во втором случае
130.0 мн/м2.

Характерной особенностью
суммарной эпюры распределения
напряжений по периферии сече-
ния каната, имеющей яйцеобраз-
ную форму, ЯВЛЯС1СЯ существен-
ная разница в напряжениях изги-
ба для проволок, испытывающих
дополните плюс растяжение при
изгибе и для проволок, испыты-
вающих дополнительное сжатие
при изгибе. Величина напряже-
ний сжатия значительно меньше,
чем величина напряжений изги-

Точки бон та			П \ш\ О			У	И
Средв напрйжениеб0		в кг с ft1 ЦАО					
А	J напряжен бр	263					
	^згиб напр бц	-1450	-551);320		•915	•345	-205
6	Л нэпря* ен бр	526					
	к.<ги6 нагр б 4	-1800\-603		•335\и2^4№			370

P1IC. 36. Эпюра распре (сЮния напряже-
ний в поперечном течении каната вблизи
заделки:

1 — нулевая линия: 2 — пл — напряжение
от перпиначалы1О1и натяжения каната: 3, 4
, А Б

(Ор и о р — дополнительные напряжения
растяжения от воздеПствнм поперечных на-
грузок при прогибе / — 2(>3 лит и / “ 360 мм.

А и Б — кривые н.зпряжсниП изгиба при
прогибе

ба. Кроме того, максимальные
напряжения растяжения и сжа-
тия при изгибе оказались для
точек, расположенных па проти-
воположных концах диаметра
поперечного сечения каната, по-
вернутого относительно плоско-
сти изгиба па угол приблизи-
тельно равный углу свивки па-

ружных проволок в канате

Па рис. 37 представлены кривые, во азывающне зависимость допол-
нительных напряжений растяжения и изгиба, возникающих при воздей-
ствии на канат поперечной нагрузки, в функции от прогиба канатов.

В месте приложения нагрузки кривые н // дают суммарные эпю-
ры напряжений изгиба и напряжений вследствие дополнительного рас-
тяжения для точек / и /V при предварительном растяжении 185,0 мн/м2,
а кривые 2, и 2{ при предварительном растяжении 80 мн/м2.

Кривые /2 н /2 а,ог только напряжения изгиба для точек / и /V
при предварительном растяжении 185 мн/м2, а кривые 22 и 2.\ напряже-
ния изгиба при пре (варителыюм растяжении 80 мн/м2.

На рис. 38 показано как изменяются напряжения изгиба ио длине ка-

ната в зависимости ог расстояния ог за юлки.

Предварительное растяжение было равно о0 = 130,0 мн/м2.

Величина прогиба под нагрузкой составляла f = 282 мм и f = 352 мм.

В первом случае дополнительные напряжения растяжения составили
26,0 мн/м2, во втором они составили 52 мн/м2.
Напряжения изгиба в заделке в том и другом случае имели большую
величину, около 300—350 мн!м2. Величина напряжений изгиба быстро
уменьшалась по мерс удаления сечения от заделки. На расстоянии 12,0—
15,0 см от заделки изгпбныс напряжения были небольшими.

Па рис. 39 показаны аналогичные кривые при предварительном рас-
тяжении оо = 260 мн/м2 и прогибах f = 30,2 см, f = 37,2 см и f = 44,7 см.

Дополнительные напряжения растяжения при этом составили Лор =

Рис. 37. Зависимость дополнительных
напряжений изгиба от прогиба f для
то юк / и IV:

/> н / [ —суммарные напряжения изгиба

= 26,0 мн!м2, Дор = 52 мн/м2 и Дор =
= 79 мн!м2 соответственно.

Рис. 38. Изменение напряжений изгиба по дли-
не каната при о0 = 130,0 мн!м2:

/ — при поперечной нагрузке, вызывающей прогиб
I “ 282 мм; И — при поперечной нагрузке, вызы
вающей прогиб f — 352 мм; /'. II' — дополнительные
напряжения растяжения

Рис. 39. Изменение напряжений изгиба по дли-
не каната прн Оо = 260 мн)м-:

/ — при поперечной нагрузке, вызывающей прогиб
/ — 417 мм; II — при поперечной нагрузке, вызываю-
щей прогиб f — 372 мм; Uf — прн поперечной
нагрузке, вызывающей прогиб 7 ° 302 мм;

Г, 1Г, ИГ — дополнительные напряжения растяже-
ния

и напряжения дополнительного растяже
имя при 0о “ 185.0 мн/м3; 2t и 2^ — сум
мариые эпюры напряжений изгиба и на-
пряжений дополнительного растяжения
прн Со-80 мн!м3; I. и — напряжения
нзШба прн о0 “ 185 мн/м3; 23 н 2 %— на-
пряжения изгиба прн Оо — 80 мн/м3

Существенным является то, что темп снижения напряжений в за-
висимости от расстояния от заделки с ростом предварительного натяжс
ния уменьшается.

Определение нзгнбны.х напряжений в канатах может быть выполнено
приближенно расчетным путем, если принять некоторую модель попе-
речного сечения каната. Можпо, например, считать, что канат работает,
как жесткий стержень, приведенный момент инерции /ПР и момент со-
противления гс'пр, которого составляют £ часть от момента инерции и мо-
мента сопротивления сплошного стержня, имеющего тот же диаметр, где
|— коэффициент сплошности.

В этом случае I



I EJnpb\,

(5.34)
где /,ч, приведенный момент инерции поперечного сечения каната;

wnp—приведенный момент сопротивления поперечного сечения ка-
ната. Остальные обозначения прежние.

Нетрудно показать, что если вместо сплошного круглого стержня взя-
ли сумму стержней меньшего диаметра при условии, что суммарная
площадь поперечного сечения сохраняется, то при том же натяжении
величина максимальных напряжении в заделке остается неизменной.
Разница будет состоять в том, что по длине стержня напряжения будут
убывать тем быстрее, чем меньше его диаметр, или чем меньше момент
пперцнн поперечного сечения.

Радиус криви шы стержня в месте заделки тем меньше, чем меньше
момент пперцнн поперечного сечения стержня.

Учитывая это обстоятель-

ство, можно показать, что по-
рядок величины нзгнбпых на-
пряжений в заделке одни и тот
же. вне зависимости от того,
какой момент инерции попе-
речного сечения при расчете
будет принят.

Более точное определение
напряжений в проволоках ка-
ната может быть выполнено,
если представить канат состоя-
щим из двух слоев: верхний
спой, в котором проволоки на-
ходятся нод воздействием
больших растягивающих на-
пряжений и вследствие этого

Рис. 40. Распределение напряжений по се-
чению каната:

а — папрмженчя изгиба. / — экспериментальная
кривая. 2 — теоретическая кривая; б — эпюра
дополнительного сжатия вследствие изгиба; в —
эпюра дополнительного растяжения вследствие
поворота сечении относительно линии А—Б

силы трения между ними столь велики, что можно считать эту часть
работающей как сплошной стержень, н нижний слой, в котором напря-
ження изгиба имеют другой знак и напряжения растяжения достаточно
малы, работающий как сумма отдельных не связанных друг с другом

проволок.

\нализ распределения по сечению дополнительных напряжений в
проволоках каната при воздействии на пего поперечных нагрузок пока-
зывает, что эпюра дополнительных напряжений может быть с достаточ-
ным приближением представлена в виде кривой (рис. 40,а).

Эту эпюру можно заменить двумя. Одна из эпюр (рис. 40,6) имеет
характер постоянных по сечению напряжений сжатия, равных макси-
мальному напряжению сжатия при изгибе, вторая эпюра (рис. 40, в) со-
ответствует эпюре п.згибиых напряжений при угловом перемещении

жесткого сегмента относительно основания.

Естественно, что описанная модель поперечного сечения каната —
это лишь первое приближение, которое можно принять для оценки мак-
симальных значении изгибных напряжений в канате.

Граница раздела двух слоев может быть установлена приближенно
следующим образом (рис. 41).

Момент инерции сечения каната согласно полученным эксперимен-
тальным данным может быть представлен в виде следующей формулы:

j n2^Le -И —(1-е	).	(5.35)

пр 64	64

Можно подобрать и другую формулу для выражения эксперимен-
тально полученного закона изменения /пр в функции от натяжения о и
155
поперечной нагрузки q, где п — число проволок в канате: Л - диаметр
проволок; d—диаметр каната; о — напряжение в проволоках каната
исле дствие начального растяжения, kt, /г2 и k3, k^, /г5, k6 — коэффициенты,
определяемые опытным путем; S—коэффициент сплошности попереч-

ного сечения каната.

Пусть хи проволок находятся в верхнем слое, площадь которого
будет

(5.36)

площадь поперечного сечения проволок нижнего слоя.

Момент инерции поперечного сечения каната можно в этом случае

представить в виде суммы

Рис 41 Расчетная схема сече-
ния каната из двух слоев

моментов инерции нпж icro и верхнего слоя
(рис. 41)

J = JH + Je,	(5.37)

где

Л = (1-х)н^-;	(5.38)

Ja =	(1 + 3/е cos а — 4k2) 4-

64

+	(/г — sin а)2.	(5.39)

В этой формуле

,	4 sin3 а

Л= --------;	(5.40)

3.[

тр = 2а— sina.	(5.41)

Приравнивая значение момент пнерпнп, найденного из эксперимен-
тов пли по прпве денной выше формуле, значению момента инерции, оп-
ределяемому для двух слоев, численными расчетами можно получить
значение ц, определяющее границу обоих слоев.

Дальнейший ход решения за дачи по определению максимальных на-
пряжений в канате сводится к следующему.

Изгибающий момент Л1и разделяется между обоими слоями про-
порционально их жесткостям или моментам инерции.

= —(5.42)

= • <5-43)

Очевидно, что максимальные значения напряжений следует опреде-
лять для верхнего слоя.

Имеем

°ue=2k^.	(5-41)

где

= ~2Je .	(5. 45)

rf— 2yd

Заметим, что более точная оценка напряжений в канате в месте за-
делки может быть получена, если определять кривую прогиба, используя
156
расчетную схему, в которой предполагается, что вблизи заделки канат
имеет большую жесткость, чем на значительном расстоянии от нее

Наблюдение за долговечностью канатов н вант экскаваторов и отва-
лообразовагелей подтверждают изложенные здесь представления о ра-
боте канатов и вант под воздействием поперечных нагрузок. Установле-
но, чю чем длиннее канат, тем меньше его долговечность. Разрушение
каната происхо ат в основном в местах заделки.

Рис. 42. Учел крепления вант

Рис 43 Узел крепления вант

Попытки применения шарнирных креплений заделок канатов к несу-
щим конструкциям в виде инштнх кинематических нар не всегда д нот
желательный результат, так как момент трепня в низших кинематических
парах всле дствие плохих условий смазки и коррозии обычно бывает весь-
ма большим. Узлы крепления канатов и вант показаны па рис. 42 14.

Рис 41 Коиструктнвп. я схема ia телки вант

Па рис. (4 > и 4(>) показаны типичные случаи разрушения канатов
обычной свивки, а па рис. (47— 19) поюзаны типичные случаи разруше-
ния вант, выполненных из канатов закрытого типа. На рис. 50 показаны
куски разрушенных проволок канатов закрытого типа.

Разрушение иархжпы.х проволок обычно происходит в основном
вследствие усталостных факторов. Исследование разрушенных прово-
лок показало, чго вследствие высоких контактных напряжений в местах
сопряжения проволок, имеющих различное направление свивки, име-
ются пластические деформации, свидетельствующие о концепт рации на-
пряжений.

Чтобы оцепигь шачение изгибпых напряжений в вантах в реальных
конструкциях машин для открытых горных работ, кафедрой конструк-
ций манит Университета дружбы пародов имени Патриса Лумумбы
были проведены эксперименты в производственных условиях. Целью
157
Рис. 45. Разрушение канатов обычной свивки

Рис 16 Разрушение канатов обычной сиивкн

Рис 47 Разрмвеппе канатов закрыто- Рис 48. Разрушение канатов закрытого
г<> тина	типа
Рис <9. Разрушение канатов закрытого типа

Рис 50. Проволоки верхнего слоя каната закрытого типа, разрушенные
вследствие усталости

Рнс. 51. Установка датчиков для исследования напряжений в прово-
локах
экспериментов являлось исследование формы прогиба в изгпбпых на-
пряжений в местах заделки вант вантовой стрелы экскаватора.

На рис. 51 показаны места установки датчиков для пссле ювапия на-
пряжении в проволоках.

На рис. 52 показаны места установки прогпбомсров ддя исследова-
ния формы прогиба ванта.

Эксперименты были проведены при различных положениях рабочего
оборудования и различных натяжениях вант, определение которых было
выполнено путем замера частоты собственных колебаний вант.

Кроме исследований напряжений при статических нагрузка , были
записаны напряжения и ишампчсских режимах. В результате проведен-
ных экспериментов было установлено, что в различных конструкциях

Рис 52. Установка татчнков тля исследования формы прогиба каната
машин в производственных условиях величина изгпбпых напряжений
в вантах вблизи за телок может быть очень бо ипиой н иметь тот же по-
рядок, что 11 напряжения растяжения.

При работе машин возникают колебания канатов п вант с большой
амплитудой, вследствие которых пзгнбпые'напряжения вблизи заделок
имеют переменный характер.

Учитывая, что значение амплитуд колебаний напряжений велико, их
влияние па устатостную прочность проволок является весьма сущест-
венным.

На рис. 53 показана типовая осциллограмма изменения напряжений
в наружных проволоках вант большой длины мощного экскаватора в
процессе работы.

На рис. 51 показана часть осциллограмм, характеризующая измене-
ние изгпбпых напряжений в вантах вследствие колсбаппн, вызванных
колебанием конструкций при повороте экскаватора с переменным чис-
лом оборотов.

В силу несовершенного характера работы зубчатого зацепления ме-
ханизма поворота на поворотную платформу экскаватора действует пе-
ременная iiaipy.na, изменяющаяся с частотой, равной частоте входа и
выхода зубцов и< зацепления пли частоте повторений ошибок зацеп
лопни.
Прн определенном числе оборотов вепцевой шестерни частота из-
менений нагрузки совпадает с частотой колебаний вант. Вследствие
этого при разгоне или торможении происходит явление так называемо-
го прохода через резонанс, при котором амплитуда колебаний вант мо-
жет оказаться очень большой.

Рис. 53. Типовая осциллограмм.! изменения напряжении в наружных проволоках вант
мощного жск.пытора

/ -5 напряжения я проволоках; 6 — усилие в канате

Результаты проведенных исслс ювапнп показывают, что напряжения
в проволоках канатов и вант вследствие изгиба в местах заделок могут
достигать значительной величины и тем выше, чем меньше натяжение
и больше прогибы и амплитуды колебаний.

‘Подъем груженого ковша

Рис. 54 Осцилло!ра.мма резонансных колебаний ванта зкеканатора ЭШ 15 40 при
повороте:

/ 4. 7 — вертикальные перемещения ванта в различных точках у залеткя; 5 — натяжение ванта.
8	гиризонгалиное перемещение ванта вблизи 3dдетки

Необходимо иметь в виду, что изгпбпые напряжения в канатах и
вантах в местах заделок в очень сильной степени оказывают влияние
па величину декрементов затухания поперечных колебаний канатов и
пан г.

Г.С.1П выполнить крепление концов канатов к металлоконструкциям в
Ы) 1е шарнира с .малым коэффициентом трения, то декременты затуха-
ния колебаний могут оказаться очень малыми.

I) Заказ .III	|fi|
Мнит Ф 12,5 мм; подвеска заделкой', 6- 500кг/смг; (j 3,3kкг/м

На рис. 55 показаны
осциллограммы попереч-
ных колебании кан.ча
диаметром 1,95 см 1 =
= 317 см при жестком и
шарнирном креплении
концов н натяжении о =
= 50,0 мн/м2.

Декременты затухания
колебаний при шарнир-
ном креплении концов
оказались значительно
меньшими, чем при жест-
ком креплении концов.

Декременты затухания
колебаний оказались так-
же зависящими от натя-
жения каната и от вели-
чины поперечной нагруз-
ки.

Tai нм образом, если
обеспечить конструкции
заделок канатов та! ими,
чтобы изгибине напряже-
ния в канатах оказались
достаточно малыми, пеоб
холимо либо ввести спе-
циальные демпферы но
перечных колебаний, ли
бо другим способом огра-
ничить амплитуды попе-
речных колебаний. В про-
тивном случае Koncipy'K-
цпя может оказаться ди-
намически неустойчивой п
амплитуды колебаний ка
патов и вант будут иметь
очень большую величину

Этим самым доказы-
вается, что решение во-
проса О (ОЛГОВСЧНОСТИ
конструкций машин для
открытых горных и зем-
ляных работ, содержа-
щих канаты п ванты боль-
шой длины, невозможно
без разработки ‘методов
расчета амплитуд колеба-
ний канатов и вант. Уве-
личение долговечности
конструкций машин с ка-
натами и вантами боль-
шой длины может быть
юстнгнуто, если они бу-
дут проектироваться так,
что величины максимальных прогибов канатов и вант вследствие ста-
тических н динамических нагрузок будут ограничены в заданных
пределах.

Задачей расчета конструкций, содержащих канаты и ванты большой
длины, является не только определение величии амплитуд и частот ко-
лебаний, но и установление таких соотношений параметров конструк-
ции, при которых колебание будет пропсхо, итъ вне резонансных соотно-
шений, п а шлптуда колебаний бу ют iimiik ограниченную величину.

Ниже излагаются методы, позволяющие достаточно точно выполнять
расчеты по определению амплитуд и частот кодебаиий конструкций, со-
держащих канаты и ванты большой длины, а также условий, при кото-
рых будут иметься резонансные соотношения.

§ 2. О РАСЧЕТЕ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ СТРЕЛОВЫХ КОНСТРУКЦИИ,
СОДЕРЖАЩИХ КАНАТЫ И ВАНТЫ БОЛЬШОЙ ДЛИНЫ.

УПРОЩЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Работа стрел отвалообразоватслей к экскаваторов сопровождается
крутильными ко । Нациями, возникающими при воздействии на стрелы
динамических нагрузок.

Крутильные колебания конструкций вантовых стрел были обнаруже-
ны нами при испытании шагающего экскаватора — драглайна ЭШ 14/75
№ 3. Стрела экскаватора пе имела специальных вант, воспринимающих
крутящие моменты.

На рис. 56 показана осциллограмма крутильных колебаний стрелы.
В дальнейшем все вантовые стрелы экскаваторов и oi валообразователей

Рис. 56. Осциллограмма крути тьиых колебаний вантовой стрелы S1H 14/75

стали проектироваться с введением в конструкции специальных вант,
воспринимающих крутящие моменты.

Нагрузки, вызывающие крутильные колебания вантовых стрел, име-
ют инерционный хараыср. Опп возникают при колебаниях стрел в гори-
зонтальной плоскости [17] и особенно в том случае, когда имеется резо-
нанс между частотами крутильных н изгпбпых колебаний стрел. Вслед-
ствие этого важно с достаточной точностью рассчитать частоты крутиль-
ных колебании и амплитудно-частотные характеристики, так как кру-
тильные колебания стрел описываются нелинейными дифференциаль-
ными уравнениями. В задачу расчета входит также определение ампли-
туд колебаний вант.

И*	163
Крутящие моменты в современных конструкциях стрел в основном
воспринимаются специальными канатами; жесткий центральный пояс
обычно воспринимает значительно меньшую долю нагрузок.

На схеме, представленной на рис. 57, для восприятия моментов, вы-
зывающих кручение стрелы, предназначены ванты Он 1н; Он—1л, 1в—
2п; 1в -2л.

При решении за гачи на кручение стреловых конструкций в нервом
приближении можно считать, что вся нагрузка воспринимается кана-
тами Поскольку нагрузки, вызывающие скручивание стрел, обычно бы-
вают относительно небольшими, то и натяжения вант, воспринимающих
эти нагрузки, назначаются небольшими.

Натяжения вант горизонтальных ферм в процессе работы могут из-
меняться в очень широких пределах и принимать достаточно малые зна-

06	16	?в

Рис. 57. Гео-
метрическая
схема ван-
товой стрелы

0	12	3

чепия Натяжение канатов подвески, вант вертикальных ферм отвало-
образователей при отсутствии затру тки транспортеров также может
иметь небольшую величину До последнего времени при динамических
расчетах стреловых конструкций и составлении расчетных схем величина
натяжения обычно в расчет не вводилась.

При небольшой глине вант и достаточном их натяжении такая при-
ближенная постановка динамических тадач допустима. При определении
частот колебании можно рассматривать ванты как прямолинейные
стержни, работающие на растяжение без учета их поперечных переме-
щений.

Прн большой длине ваш и недостаточном их натяжении частоты ко-
лебаний стрелы оказываются существенно таннсящпми от величины на-
тяжения и глины вант Эта «авиенмоеть носит нелинейный характер. Ча
стоты колебаний оказываются зависящими от амплитуды. Для того
чтобы установить сколь существенны пн особенности колебаний стрел,
рассмотрим за гачу крутильных колебаний, поскольку в *тон задаче вли-
яние нелинейных факторов, связанных с нзгпбпон геформацией стрелы,
несущественно и решение можно получить в достаточно корректной по-
становке.

Опре телепне часто! крутильных колебаний вантовых стрел с учетом
натяжения вант может быть сведено к решению следующей за дачи
(рис.58). На жесткой крестовине расположены гвео гнпаковые массы Л(.
1\ крестовине кренятся гва каната равной длины /, которым дается „ре 1-
.......... натяжение Го. где Г—тощадь поперечного сечепня каната

Обозначим: </ — объемный вес каната; Е— модуль упругости кана-
та; Е — текущая координата вдоль каната; // — координата, перпепгн
кулярная п(с/) —продольные перемещения точек каната; i£'(jO —по-
перечные перемещения к>чек каната.
Выделим элемент каната ьяиной d'i. Перемещение точки /1 с коорди-
натой g будут и и w, где и — перемещение в направлении оси Е. w — пе-
ремещение в направлении осп г| (рис. 59).

Чтобы щппсать уравнения продольных и поперечных колебании ка-
натов подвески, введем новую систему координат Е' и т/, где *' направ-
лено по канату, т]' направлено перпендикулярно д'. Обозначим персме-
пюппя в этой системе координат через и'

Перемещения точки А с
координатой будут и' и
тс', перемещения точки В с
координатой д' + dE' бу дуг

ди

dw

d;' II w' 4

d;

a:

ds =

Длипи элемент.! AB пос-
ле деформации будет равна

«+ а“

(5.46)

Пренебрегая членами третьего порядка малости, имеем

Рис. 58. Расчетная схема крутильных колебаний
стрел, содержащих канаты и ванты большой
1Л11НЫ



ds = dHl + ,Л< + -	(5.47)

( Л; 2 \ dt, J J

О шосн тельное удлинение определяется формулой

Поскотику
имеем

и = и' cos а; £ = £' cos а; w = щ' cos а,

(5.48)

(5.49)

(5.50)

То же самое выражение для относительного удлинения можно было
получить и не переходя к другой системе координат.

Рис 59. К расчету деформаций и перемещений канатов при изгибе
а — удлинение; б — изменение угла наклона

Учитывая, что прогиб w достаточно ма i, а также то, что скорость
звука в канате ио сравнению с длиной каната весьма велика, можно


считать, что значения напряжения растяжения каната ле зависят от
координаты Для того чтобы учесть влияние массы каната (обычно
значительно меньшей массы груза), вместо массы груза Л1гр бе дем вво-
дить в расчет привезенную массу

М = Мгр + ~т1,	(5.51)

о

где т - погонная масса каната

Будем также считать возможным исходя из симметрии системы ко-
лебания правого и левого каната рассматривать раздельно, относя мас-
сы Л1 в полной мере к каждому из канатов. Как показывают исследова-
ния ггго можно сделать без существенных погрешностей в том случае,
если амплитуды колебании достаточно малы.

В общем случае следует принять более строгую расчетную схему,
учитывающую совместные колебания обоих канатов.

Исходя из сделанных предположений получаем следующее уравнение
продоль11ых колебаний

ди I / dw \2 Го Л! / д-ti \	] Г, . I / йи» \2"| го,

2	/ I F ЕЕ \ dt2 [	2 \ й= /

Уравнение поперечных колебаний получается из условия равенства
нулю проекций па вертикальную ось сил, действующих па выделенный
элемент длиной

Поскольку натяжение каната приняли постоянным по тине, будем
иметь

Г. , I / ди) \21 д2ш Г М / д2и \	"1 д2и>

	 т	3	(  \ д\ ) | дГ- |	F \  Г.	1 / йьу \2’  ”Ч1 + т( 0= )  „ 1 > йа> \2  ечь величиной 1 — 1 по ср  тстые уравнения  i	1 / йи> \2	 о	М	dt2 /ь-z | авнепшо с / д2и \
В дальнейших исследованиях будем использовать выражения (5.55),
соответствующие более простой постановке задачи.

Инге рируя первое уравнение системы и обозначая C/(/)<p(Z) = U(t),
получим

U 4-	4- Ч' 4- — Ч'2 = ° I----------.	(5.57)

24а2 ла 4Z	Е EF dP

Подставнв теперь выражение ic(SO из (5.56) во второе уравнение си-
стемы (5.54), будем иметь

„ . л; гГ-’Г	.Г	Л1	d2U 1 Г	q	л2	. л;	llrl	CQ.

/и sin— ------=q+ °—	- —-----------------Sin—- Чг .	(0.58)

I dP	L	F	dP \_	a	I- I ]

Умножая обе части уравнения (5.58) па sin— dt и интегрируя от

(1 то Z, получаем

ml	d24	2qlM iPU________ал»	у л2А1	d2U

2	dP	sicF dP	21 ~Г 21F	dP	‘ V ’

Исходя из упрощенной постановки задачи, уравнения (5.57) п (5.59)
шпншем следующим образом:

d2V . 2П, cPU	. d2U	п

-------h <1)ФЧГ — а, —--о, т------= 0;

dP	dP	dP

4- о2 u 4-V 4- M'2 = d.,	(5.60)

где

.2 л-а	4оЛ1 . л2Л1 2 EF

*ф = —— ; ах = —------------; иг =--------; <о„ =--------;

тр	ncmF	тРГ	Ml

2qEF	. ifiEF	.	cF	q-PEF

Ur, — —------: o2 =----------; a, ==-----------!------ .

лаМ	4MP	“	M	24a2AI

(5.61)

Коэффициент d2 определяет начальное удлинение канатов, в силу сим-
Mcipiin схемы его можно при расчете не учитывать.

Решение о породной системы дифференниа 1ьпых уравнений будем
искать в предположении, что парциальные частоты собственных колеба-
ний груза и каната ми и Ь)ф значительно отличаются друг от друга.

Рели пренебречь силами инерции при поперечных колебаниях кана-
та. то частота колебаний груза будет определяться следующей фор-
мулой:

ЕГ n*tfF

Tai им образом, расчетная жесткость каната уменьшается в
, 8q2PE
1 + - . - раз.

.*i4a3

При длине каната более 50 м и натяжении менее 100 мн/м2 поправка
ока пявастся весьма существенной.

Исходя из подученного выражения казалось можно было бы сделать
вывод, что при уменьшении натяжения капата частота колебаний груза
уменьшается. Однако такой вывод оказывается ошибочным. Если опре-
гелить частоты колебаний с учетом сит инерции капата при попереч-

ных котсбани х, то получим следующие выражения:

w.b + “u + ala2 I 1/ (юф + “и + а1а2) о 9

,2=------------------------- ±JZ --------------

(5.63)
Па рис. GO - G3 показаны зависимости <о^ , ы2 , «2 и ю2 от длины
и натяжения каната при грузе 20 т. Ока иявается, что при уменьшении
натяжения каната, частота <.ц. близкая по значению к частоте <•>«. не
только не уменьшается, по таже пескочько увеличивается.

Для получения более точного решения задачи и определения зависи-
мости частот колебаний от амплитуды колебаний рассмотрим решение

Рис 60 Зависимость квадратов парциаль-
ных частот колебаний и». (сплошная линия)
" ''•и (пунктирная линия) от натяжения
о мн/я2 при длине / — 50. 70 и 100 м (кри-
вые 1, 2. .’Л. Диаметр каната 64 ч.и

Рис (И. Зависимость квадратов иарци-
'пьных частот колебаний о>ф (сплошная
о

линия) и шы (пунктирная линия) от
(липы каната при натяжении о = 5(1; 75;

100 ян/к2 (кривые /, 2, 3)

нелинейных уравнении (5.60) Введем новую координату т. удовчетворя-
ющую следующему соотношению:

о/ = т (1 + Л2р2 + Л4р4	(5.64)

где р — малый параметр.

Положим теперь, чго колебания малы п можно принять

’1Г = рх; U = ру.	(5.65)

Подставляя (5.64) п (5.65) в уравнение (5.60). получим без учета
правой части

<й2 * + и ,х (1 Л .р2	. )2 — «ро2 -----pbpo2 —— х = 0;

«т2	Ут2	(/т-

0)2 ^7 4 <о2у(1 4-Л»м24- ...)2 + «2х(1 4-Л2р24- • • • )2 4-

4- В^х2 (I 4- Л..И2 4- ... )2 = 0.	(5. бб)

Решение уравнения (5.GG) бу (см искать в вн ie

х = х0 4- рхт 4- ц2х2 4- ... ;

У — Уо 4- РУ1 4- В2!/2 4- • - - -	(5.67)

Подставляя это решение в систему уравнений (5 66) п приравнивая
члены с одинаковыми степенями р, по |учпм (ля х0 п у0

о d'-x0	2	.. d~r/„	„

w* , Ь 4- ЮфХ0 —	~!± = 0;

ат-	ат2

w2 4- й)«у0 4- о = О-	(5.68)

ах-
Решение этой системы уравнении запишем в следующем виде:

х0 = /10 cos т;

Уо = Л0/гсо5-,	(5.69)

где k — коэффициент распределения.

Рис. 62. Зависимость частот коле-
баний Ш( (сплошная линия) и о»2
(пунктирная липни) от натяжения
о .ин/л2 при длине I = 50. 70 и
100 м (кривые 1, 2, 3)

Рис. 63. Зависимость частот колеба-
ний Ю| (сплошная .шипя) и <ч:
(пунктирная линия) от глины каната
при натяжении каната о — 50, 75,
100, 125, 150 мк/мг (кривые 7, 2,
3. 4, 5)

Для Х| н yt получим следующую систему уравнений:

9 d2x.	„ д*ц, ,9	>	» <Рцп

<оа---------о^)2-----1-	= fcxXoto2 —— ;

(1т2	(1т2	1	10 dx2

°S dr2’ + Ы“У| + °2Х1 = — Ь2Х°'	(3-70)

Подставляя значения х0 и уо, будем иметь следующее решение систе-
мы уравнений (5.70):

kbr

2<0ф

о)2/1о -|-

Г — 4ы2 + <в2

L 2D2~

Аа^Ь,,
”-^2т

Ло COS 2т + cos т;



bi =

+ a^kM2 Al 4- Г и*ь'км-
2«и	2£>2т

(- 4ш2 4- w ) Ь2

Ло cos 2т 4- Atk cos т,

(5-71)



где

Ь^2-. = (4<о“ — о> -) (4<о2 — w„) — 4ю2а|а2.

(5.72)

I6‘J
Система уравнений для х2, У2 запишется следующим образом:

2 (Рх2	V d-tfn .2	2 ni . <	2 (Рц,

со ----------Ojor—— 4- СО4Л2 =— (0>V(j2/t2 + bjXuto — - 4-

dxz	dx2	dx'2

(5.73)

ат2

со2 “тт2- + “"!/2 4- «2X2 = — (со2 с/о 4- а2Хо) 2Л2 — 2b2x0Xi •
dx-

Условием существования периодических решений системы уравнений
(5.73) является отсутствие в решении вековых членов. Для •написания
*того условия выпишем для обоих уравнений системы (5.73) члены в
правой части, содержащие cost.

Получаем для правой части первого уравнения

[— 2тогЛ24-

— 45|й2со4 bib со со2 —

— Ь2/г2сос 4--------62со4со2/г'

4

к-Ь‘ы
2<о?

/IoJcost.

Дтя правой части второго уравнения имеем

]— 2 (со,2/г 4- Яг) Лг 4- Г —— (— 261Ь2Лто« 4- — bib^lae со2 —

-2а^,2) + -kb^]Al]Cosx.

J I

Условие существования периодических решений запишется следую-
щим образом:

[2со| 4-2Л(со„£ 4-я2)]Й2 = (—— (—^то4 — 4fei52(o4 4- bi^co^co2—
(. D2t

— b2k2ai6 4- — Ь(со4со2/г2 — o1^/?l5>co4 4--'----Ь - k~ (— 2b1b2/?co4 4-

4	/	2(4 D2x

4- — b&ktovl — 2aib,w) 4- - ,6=0>2 I Л2.	(5.74)

2	6)2 I

У словие (5.74) определяет зависимость частоты колебаний от ам-
плитуды. Чем больше значение h, тем меньше частота колебаний.

§ 3. О РАСЧЕТЕ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ СТРЕЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ.
СОДЕРЖАЩИХ КАНАТЫ И ВАНТЫ БОЛЬШОЙ ДЛИНЫ. УТОЧНЕННАЯ

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При достаточно больших амплитудах крутильных колебаний распре-
деление инерционных нагрузок между правыми и левыми канатами нель-
зя считать одинаковым. Ниже излагается решение задачи, в котором
учитывается действительное распределение нагрузки между канатами

Обозначив коэффициент распределения инерционной силы через н.
получим, чго если па один из канатов системы действует инерционная
сила, равная
то на другой канат будет действовать инерционная сила, равная

(1 — п) 2М

д'и
дГ-

Тогда уравнения продольных колебаний правого и левого канатов
запишутся в следующем виде:

ди, 1 / dw, \2________ I а2 ___	, 2М	/ д2и2 X ' [ ।	1 / йа)2 \2

“ |-fi”	( ~П) ЕГ dt- }i	i L1	+ V \ г); )	’

(5.75)

Уравнения поперечных колебаний канатов можно получить из усло-
вия равенства нулю проекций на вертикальную ось всех сил, шествую-
щих па элемент каната длиной

1 + _L(

L 2 \ &, J

Так как натяжение канатов по длине приняли постоянным, то будем
иметь

= Q

(5.76)

.,	_	„	I /дяЛ?

Если пренебречь величиной выражения-I— I значительно мень-
шей единицы, то уравнение (5.75) и (5.76) получаем в более простом
ни ie:

Функции и (с,, /) и а’(ъ. О представим в следующем виде:

н(£, /) = U (5) ср (/);

£'(с, /) =	— £) -г sin-^-'Jr(/).	(5.79)

2g	I

Интегрируя уравнения (5.77)

чаем

Ui +

q2P

24о2

+ -^
ЛО

• 'И,

и обозначая СМОтИО =

л- ,jf2 _	/___п 2Ml . (liU । •

41	' E	EF </Г-

полу-

t/2+^L+2fL.4r2 + 2^T22 = -°	(5.80)

2	24g2 л  а 2	4/	E	’ EF dl2
Подставив зависимость для
лсчаем следующие выражения

a'(g, 0 из (5.79) в уравнения (5.78), по-

tn sin —
I

т sin —
I

I
•-sr-’+l
rf2V. , I
--- — Q + °
dP '

2М cPU. 1
/I-----------

Г dP

, 2М d4Jx
tl)---------

Г dP

— sin — Ч',
/2 t

Л .	.11, п-

— sin — ’!'« .

/2	I

(5.81)

Умно кая обе части уравнения (5 81) на sin dg
то /. получаем

п интегрируя от О

ml d-'Vt 4nqlM iPU^ л"а	лл2Л1 d'U{

~2~ ’ ~~dP naF ’ dP 2l~ ' 7f dP~ 1

ml dt'V2 _ 4(1— n)qlM d4J±

2 dP	ncF dP

л~° sjr I (* H) ~T~y^ d*Ux у	$2)

21	~ "Г IF dP	>

Величина коэффициента распределения п может
след) юшсго выражения:

быть определена из

2ql_
ли
n =---------

2MI

41

Ml

• —

£/•

iPUt
dP

d‘Ut
dP

(5.83)

с —

О

а

Подставляя выражение (5.83) в уравнения (5.81) и (5.82), получаем
спстемх уравнений в следующем виде, полагая nt = —iiz = и.

+ ((,4 + Д*)Ч', Ч \,^2 + a, + зь,<и, + 2Ь,’И,Т2 +
dt-	dt-

+ Ь,Чг2_с, чг, =0;

4^- + (4 + 4)’1'г +	+ «1	+ ЗЬ|Т1 + 2(^*2 +

dt1	dl-

+ biVj’+d-^T2 = 0;

(it2

-U- 4- ^UU 4- «2*1'1 — «2*1'2 4 />2*1'? — i>2*Ir2 = C2.	(5.84)

dt1

Значения коэффициентов при ’l'i, T2, U и их производных системы
уравнений (5.84) следующие:

л2а . ,2 4q2E

11)л	~ , —Х»ь ~

тР	л2о’т

4дМ .	л2дЕ

ллЕт ’	2таР

_л2И_ -
inFP ’

2 ЕГ	qEF . л-EF	aF q-PEF

Wtt —-------«	—--------s ba — -------- . C*>	------- ~|	•

Ml “ лай * 8MP ’ Al 2-lu-\W

(5.85)

Ввезем новую координату т, удов ютворяющую следующему соотно-
шению:

io/ = т (1 4- /ьр2 4- Л4р4 4- ...),	(5.86)

где (I —малый параметр.

Предположив, что колебания малы, можно принять
Ч\ = рхь Ч'2 = рх.; U = р • у.

(5.87)
Подставляя выражения (5.86) и (5.87) в систему уравнении (5.84),
получаем без учета правой части

0,2	X1 О + Л-и2 ++ • • -)2 +

dx2

+ ^ix > (1 + Л2р2 + Л«р4 + • • -)2 — H|W2 -yv" + Р/?1 0 + Л2Н2 +
dx-

+ Л414 + - • -)2 (Зх2 4-2х[Х2 + х2)-— рС|<о2Х|	= 0;

(°2 ‘t*2 Ч ((°2	+/'2Ц2 /Up4 + •• -)2 +

ат-

\ Х| (I + Л2р2 + Л*р + • - • -)2	«)С02	1—Ь

dtz

4 P^i (I + Л2р Ллр 4_ • • •) (Зх2 + 2х|Хг + Х|) + рсщ) х->	=0;

</т

СО2-^-+ 1а>21/ +«>Х| ---и2Х2-гЦЬзХ? — ||Л»хН| (I 4- Л21|2 4-/цр4	...)	0.

dr2

(5.88)

Решение системы уравнении (5.88) ищем в следующем вн ie:

Xi = х10 + pxn Р р2х12 + ....;

х> = х20 -р рх21 4- р2х22

У = Уо + РУ1 + Р2'/2 +...................... (5.89)

Подставляя решение (5.89) в систему уравнений (5.88) и приравни-
вая члены, по содержащие р, нулю, получаем уравнения для определе-
ния шачепип Хю, х20 и Уо'

«2 Ч (4 + 4) х10 + А2х2о - «1«2	= 0;

dx-	dx2

п t/2Xon . / 2 . А 2\	« А 2	.	2

(0“	“—h (<*>* + Л J *20 + △ о + и i w —~ — 0;

dx2	dx2

to2 - -° - 4 w2!/o4-"2X|o — «2X20= 0-	(5.90)

dr2

Решение системы уравнении (5.90) запишем в следующем виде:

Х10 = /1ocost;

х20 = —/10cos т;

z/o = Mocost;	(5.91)

где k—коэффициент распределения амплитуд колебаний.

Приравнивая нулю члены уравнении, содержащие р в первой сте-
пени. подучаем систему уравнений для опре юления значений Л'ц, х2| и у\

<, d2Xn / 2 , • 2\	.2	2 d'-lh

СО —-----р + \>)Х||4" V;,X2| -----C/цО —— =

</т-	<1т2

= — bi (Зх?о + 2Х|ОХ2О + х2о) 4 сро2 х10;

dr2

0)2 -+V- +	+ А-Ь	-?Т = - ь (34о + Ч 0*20 Ч-

dT2	dr2	1U zu

+ *2о) — с1ю2-^Г*го;

<°2-уг ч-<о2У1 + «»Хц — О2х21 =— Ь2х20 + Ь2х20.	(5.92)
Подставляя значения х10, х20, р(1 и их производных в систему (5.92),
получим уравнения, решение которых можно найти в виде

Хц = Д cost + Bt 4- Ci cos2т;

х21 = — 1! cos - 4 fi * + C-г cos 2т;
yi — kA\ cos т 4 Bs 4- C3cos 2т.

(>.93)

Система уравнений для определения Х|2, *22 и у2 запишется следую-
щим образом:

ш2 d—— + (со.2 4-	) *г 4 А2*-» — ri tj2 = — (со| + \2) X|02ft2 —

dx-	dx2

— Л2х>п2Л. — (Ах1оХц — 2bi (*2oxu + *w*« + *11*20) + Ci«2 (*11 d'‘J° 4-
v	\ dx2

O)2	+ (®| 4- A?) X22 + \?x12 4- «1«2 4т = —	+ A>)x202/^ —

dx-	dx2

— tyuPhz — Glhx20x2i — 2bi (Xj0*ii 1- *10*21 + *11*20) — ci<°; (x20	+

+*21-^;

dx- )

(02	+ сЛ/2 _]. д2Х12 _ ПЛ2 = _ ^уи2Ь-, — а, (х10 — л20) 2/г. —

</т-	‘

— 2Ь2 (х1(Ли — х20х21).	(5.94)

Условием существования периодических решении системы урав-
нений (5.94) является отсутствие в решении вековых членов. Для напи-
сания этого условия выпишем для всех уравнений ч ieiiw в правой
части, содержащие cos т.

Для правой части первого уравнения получаем

Pi = 2^h., +

(4bi 4- С1со2/г) —^'~c,?gL 4. fa +^c^k] X
2(o>2 + 2\2) k Г- /

— 4b t—ctw-k

2 ( - -ho2 +	+ 2Л;)

Для правой части второго уравнения имеем

Р2 = — ~<°фЛ2 — 1(^’1 4’ ера*/?)

’ (ы2 + 2Д2

— 1/>| — C|0)"fe
2(	1о>2	о>24-2Л.?)

Для правой части третье о уравнения получаем

Р3 = 2(МУг-\ 2а,

- 4bt Cfiirk

О)?-, 2Xl

(5.95)

/Г.

(5.95)

— 4£>| — ctM-k

/15.

(5.97)


Условие отсутствия в решении вековых членов, при Р\ — Р? + ЬР3 =
= 0 запишется следующим образом:

Л-. [	+ 2k + 2«2)] =

= /(— 46, — 2kb* — c^kf—'—

1	^ + 2Д*

— 4bt — с,о>2/г
2(_4и2 + (02+2Д2)

(5.98)



+

Уравнение (5.98) определяет зависимость частоты колебаний 01 ам
плнтуды. Чем больше шачепие Лг. тем меньше частота колебаний.

DiiciiMocTii от натяжения канатов тля
частоты <»| прп уточненном решении
задачи крутильных колебании-

I — при длине стрелы I — 50 м: 2 — при
длине стрелы I — 70 ж; 3 — при длине
стрелы I “ 100 м

h.

Рис 65 График функции £ =—2в за-
впснмостн от длины стрелы для час-
тоты Ы| при уточненном решении за-
дачи крутильных колебаний:

I — при натяжении каната о — 50,0 мн м .

2 — при натяжении каната о — 75.0 мн!м

3 — при Нчпяжснин каната о — 100.0 мн м

4 — при натяжении каната 0 — 125.0 мн м

5 — при натяжении каната о — 150.0 мн<м*

h2

На рис. 64 и 65 показаны зависимости / = ~.2 в функции длины ка-
ло

пата / для колебаний, происходящих с частотой, близкой к (0|. Анализ
полученных зависимостей позволяет сделать вывод, что при одной и той
же амплитуде колебаний Ло изменение частоты колебаний сщ тем су-
щественнее, чем меньше натяжение в канате. Однако даже при натя
женин в канате о = 150 мн/м2 значение поправки при больших амп шту-
та.х колебании весьма существенно.

При увеличении длины каната значение х уменьшается, но если
учесть, что прп одном и том же начальном возмущении по скорости, со-
ответствующей процессу шагания экскаватора или отвалообразовадечя,
амплитуда колебаний прямо пропорциональна квадрату длины каната,
то поправка к частоте колебании при одном и том же возмущении будет
тем больше, чем больше длина каната.

Величина поправки к частоте колебаний как показывают расчеты и
эксперименты, проведенные на реальных машинах, может доходить до
«30%- В случае резонанса между частотами собственных колебаний ам-
нлптуда колебаний канатов может оказаться настолько большой, что
повлечет за собой быстрый выход канатов из строя.

Таким образом провезенное исследование показывает, что при боль-
шой длине канатов и небольшом их натяжении расчет стреловых конст-
рукций обычными методами может привести к существенным погреш-
ностям.

§ 4. КОЛЕБАНИЯ СТРЕЛ ПРОСТЕЙШЕГО ТИПА НА ГИБКОЙ ПОДВЕСКЕ
БОЛЬШОЙ ДЛИНЫ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Рассмотрим теперь тадачу по колебаниям конструкций стрел в вер-
тикальной плоскости. Расчетная схема представлена па рис. 66.

В первом приближении изменением расстояния между 'пятой и голо-
вой стрелы при изгибе стрелы будем пренебрегать. Будем считать также
усилие в канате равным распору или натяжению. Й вестпо, что даже

Рис 60 Расчетная схема колебаний стрелы простейшею
типа на гибкой позвескс большой длины в вертикальной

плоскости

при сравнительно больших стрелах прогиба каната ошибка при этом
получается несущественной. Так, при прогибе каната, равном ~L, отно-
шение максимального усилия к минимальном} составляет 1,078, а при
прогибе-^уТ всего 1,02.

Введем еле lyiomne обозначения:

уо — начальный угол наклона стрелы к горизонту;

у— угол, определяющий перемещение стрелы от начального поло-
жения:

до—начальный угол наклона подвески к горизонту;

6 -угол, определяющий угловое перемещение подвески от начального
положения;

х угол между подвеской н стрелой;

и перемещение элемента подвески в золь се;

и прогиб стрелы;

а.1—црогпб канатов подвески;

/<• длина стрелы;

I — расстояние ог пяты зо места крепления подвески к стреле;

/.—длина подвески;

г/,- — погонный вес стрелы;

qn — погонный вес подвески;

g — текущая координата по подвеске;

текущая координата по осн стрелы;
Е — модуль упругости материала стрелы;

Еп модуль упругости канатов подвески;

п — напряжения в канатах подвески;

F„— площадь канатов подвески;

/ — момент инерции сечения стрелы.

Функцию н(^, /) представим в следующем виде, учитывая, что ско-
рость распространения продольной волны деформации в подвеске доста-
точно велика и, следовательно, натяжение по всей длине подвески мож-
по считать одинаковым.

,с	E/sin-z. .

и (5, /) = —--------------у (/)•

(5.99)

Функцию ct'(£, I), как и прежде, можно представить в виде следующе-
го выражения:

w (I, t) = -<?nCOS-6° £ (L — £) + sin	V (/).	(5.100)

L

Если длина консольной части стрелы не велика, то с гостаточпым
приближением функцию поперечного прогиба можпо представить в сле-
дующем виде

v(^, /) = V(/)sin-^-.	(5.101)

При большой длине консольной части следует использовать ботее
точное выражение.

Определим усилие в подвеске стрелы от действия собственного веса,
веса подвески и от действия пиерциоппых сил.

Усилие в подвеске от действия собственного веса стойки и подвески
из уравнения .моментов относительно пяты стрелы определится следую-
щим образом:

3of

COS Tn
2 sin x

qnL cos y0

2 sin x

(5.102)

Если обозначить через qc приведенный погонный вес стрелы, равный
9с=<7с + -Г--	(5.103)

и

го получим следующую формулу:

=	[(5.Ю4)

2 sin х

Определим усилие в подвеске от инерционных сил, возникающих при
угловых колебаниях стрелы.

Усилие в подвеске от пиерциоппых сил, действующих па стрелу, при
угловых колебаниях стрелы

°i^n

— С>с^с

3gl sin х dP

(5.105)

Усилие в подвеске от инерционных сил, действующих па подвеску при
продольных колебаниях ее за счет углового перемещения стрелы, опре-
деляется еле lyioiiieii формулой;

о „г,, =-------Sin /.------.

2 " 3g dt*

|2 Закал 314

(5.10b)

177
Усилие в подвеске от инерционных сил, действующих на подвеску
при поперечных перемещениях подвески за счет углового перемещения

стрелы, равно

qnLl cos2 х d2y

3gFn sin x dt2

(5.107)

Суммарное усилие в подвеске от инерционных сил, действующих на
подвеску при продольных и поперечных перемещениях за счет углового
перемещения стрелы, определится следующей формулой:

°2Fn

 QnLt d2y
3g sin х dt2

(5.108)

Усилие в подвеске от инерционных сил, действующих па подвеску
при поперечных колебаниях подвески, можно найти, интегрируя реакции
от элементарных сил, действующих па стрелу, и составляя уравнения
моментов относительно пяты стрелы

с q„L cos х (PV
asF„ =—---------------

ng sin x dt2

(5.109)

Усилие в подвеске от инерционных сил, действующих на стрелу при
изгпбпых колебаниях стрелы, определим из следующего выражения:

„ Р — qcl

ng sm 7.

I . л/,
— sin —
л I

lc
I

COS

d2V
dt2

(5.110)

Суммарное напряжение в подвеске можно теперь записать в виде
следующего выражения

а _ qJc cos у„______qcl2 d2y ____ qcl d2V ______ qnL etg x d-V j ।

2sinxf„ Sgsinxf,, dt2 n sin ->Fn dt2 xgFn dt2 ’

где

ЧС = Че(4+-у)>	<5112)

\ I3 4c I J

=	---~-cos—(5.113)

Используя найденное выражение напряжений в канатах подвески,
запишем уравнения продольных и поперечных колебаний канатов. Урав-
нение продольных колебаний канатов имеет следующий вид:

ди 1 7 dw V _ qclc cos yQ qcl2 d2y 

de, 2 \ cl; /	2 sin ?EnFn	3gsin *EnFn dt2

Vd d2V  q„L etg x d2V	„ j j 4

ng sin vEnFn dt2 ngEnFn dt2

Подставляя в это уравнение выражения для функций «(?,/) и
из (5.99) и (5.100), умножая на и интегрируя от 0 до L, получим, ис-
пользуя граничные условия для функции u(g, /):

г । 1 Г ?«cos6o 12/з  29„Lc<>s60
’	6 L o0Fn J	nauFn

Я* ЦГ2 I <?nL* Ctg *
4L	ngEnFn dt2

 <d2L d2y

"t" 3gEnFn sin x di2

qclL d2V _ qclcL cos ?„
ngEnFn sin x dt2	2EnFn sin x

(5.115)
Преобразуем несколько полученное уравнение, разделив все члены
уравнения па коэффициент при — , Производя перестановку членов,

получим

d2y ,
dt2 "Г

tylcEnFn sin2 *
qclzL

6gqnEn cos 60 sin x

'F +

3qnL cos x
ngj2

d-V
dt2

। 3qf d2V _ 3n2gEnFn sin x ya = fockg cos Yn 	cos2 6°sin *

n^Z d‘2 4qcl2L2	2qcP	2^0Fnl2

Уравнение поперечных колебаний канатов подвески имеет следую-
щий вид

<?n <Pw  Чп = <Ру I cos х
g	dl2 'Г g 4 dt2 L

qclc cos Yq
2 sin x

ЯсР d2y

3gsinx dt2

qcl ePV qnL ctR x ePV
ng sin x dt2 ng dt2

d2w

-—=qncosb0.
de,2

(5.117)

Подставим в это уравнение выражение ie>(£, /) из (5.100). Умножая
теперь обе части уравнения иа sin de, и производя интегрирование от
0 до L, по 1учпм следующее выражение:

qnL (РУ g„ZL cos х d2y Г qclr cos ?„  qcl2 d2y  qcl d2V __________

'2g dt2	ng dt2 £ 2sinx	3gsin x dt2	ng sin x dt2

__ qnL etg x d2W 11 2qnL cos 60
ng dt2 J £ nc0Fn

+ — У (Z)l =

2L	л

COS 60.

(5.118)

Производя умножение и группируя, будем иметь

2g

2^L2 COS б0 Ctg X
n2ga0Fn

d2W
dt2

n2qclc cos To у
4L sin x

qnlL cos x
ng

2q„fr LZ2 cos d0 \ d2y _ 2qnqrLl cos60 d2V _ nq„ cig x dgy

3ngo0F„sinx J dt2 n2go0Fnsinx dt2 ‘2g dt2

 п2дсР у <Py ____ nqd у d2V _ 2q„L cos 60

6gL sin x dt2 2gLsinx dt2 n

qnLqcle cos y0 cos 6n
nej'n sin x

(5.119)

Запишем теперь уравнение изгибиых колебаний стрелы. Это уравне-
ние имеет следующий вид:

итт + -^+—	(6-|2°)

<%* g dt2 g dt-

Подставим в эго уравнение выражение и(£,/) из (5.101). Умножая
все члены уравнения па sin dt, и интегрируя от 0 до I, получим после
некоторых преобразований
( „ . tdc	nlc \	/ nlc\

ми ас, . ( Z2sin—— — n//ccos— I	4gZ cos у0 I 1 — cos —— I

d2V n*E/gIZ , 4 \	/	I j d2y	\	I /

---1	~ v H-------------------— -----———----------------— -- .

(5.121>

12*	179
Введем следующие обозначения:

Л^с1ссо5уа	Q,	2^.Z,2cos60c(gz

of = --------------- ; о0 = —-------------------"—°— -

4Z. sin zo0	2g	n-gonFn

(li _ _ 4nlL cosx 2qnqcLl- cos 60 .
nga0	3ngo0/’„ sin z a0 ’

,, _	-ЧпЧсШ cos 6„	. n _	nqn etg z .	^qcP

u2	.	» **3 —	»	’‘4 — --Z------- «	-----------Z

n-go0/ „ sin xo0	2ga0	6gZ.sinxa0	2g£sinzn0

j _ 2g„L cos b0________qnLqclc cos y0 cos 6U . w2 _ 3gicLnFn sin2 x .

ло0	na0Fnsinza0 ’ v	=tiL

bgqnFn cos d0 sin x _ 3qnL cos x .	_ _3qc_ .	_ ЗлгрЕп/-„ sin x .

-io0gf/2	nqcl-	nqcl	4qcFL-

d = '.iqdcg cos Vo _ ^W<s4sinx = n<E/g

2qcP	‘2qcO~rnP ’ °	4d*

(... . nlc	nlc \	, ,	/, л/с X

l /- sin-— л//с cos- I	lg/ cos y0 I 1 — cos- 1

G = — ---------------------l—L ; (1Я ---------i. (5.122)

я Л> ,	, •	\	. 2л/с

I 2л/с — I sin —-— I	2л/с — /sin —j—

Формулы (5.122) определяют значения квадратов парциальных час-
тот колебании mJ, о>/, о>и п значения коэффициентов при линейных н
нелинейных членах, входящих в уравнения и определяющих взаимоза-
висимость между колебаниями, соответствующих различным степеням
свободы. Таким образом имеем систему трех уравнений второго поря дка.
При выводе этих уравнений не учтены дополнительные нелинейные фак-
торы, определяющие взаимозависимость между колебаниями стрелы в
вертикальной плоскости и ко «ебанпямн стрелы в горизонтальной пло-
скости. Колебания стрелы в горизонтальной плоскости были исключены
из рассмотрения.

Таким образом, исследование задачи о колебаниях стрел, содержа-
щих канаты в ванты большой типы с учетом их собственного веса,
дается в упрощенной постановке. Предполагается, что параметры стрелы
выбраны таким образом, что резонансные соотношения между частота-
ми собственных колебаний стрелы в вертикальной п в горизонтальной
плоскости отсутствуют. Эго предположение сделано исходя из того, что
наличие ре нюансных соотношений не является желательным. Поэтому
пз исследований, выполненных в гл. IV, рекомендуется так подбирать па-
раметры стрел чтобы частоты колебаний в вертикальной п в горизон-
тальной плоскости не находились в соотношениях, определяющих резо-
нансы низких порядков. Если таких соотношений избежать нс удается,
то следует рассматривать задачу в более общей постановке, когда со-
ставляются уравнения для колебаний п вертикальной п в горизонтальной
плоскости. Для стрел большой глины, поперечные перемещения которых
при пзгпбпых информациях достаточно велики, решение задачи по ко-
лебаниям стрелы в вертикальной плоскости надо выполнять с учетом
дополнительных нелинейных членов. В этом случае в уравнение попереч-

,	illv il'-v

пых котсбашш стрелы вон гут члены типа v, а — и, а в уравнение
угловых колебаний стрелы войдут дополнительные члены, содержащие о2.
Методы исследования уравнений в этом случае остаются прежними.

Как показывают конкретные расчеты, определение амплитуд коле-
баний канатов без учета указанных дополнительных членов не приводит
к большим погрешностям, если отсутствуют резонансные соотношения
между частотами изгпбпых колебаний стрел и частотами поперечных и
продольных колебаний подвесок. Если имеются резонансные соотноше-
ния, то дополнительные нелинейные члены следует учитывать. Конструк-
ции стрел, выполненные так, что между частотами колебаний возможны
резонансы низких порядков, еле тует признать неудовлетворительными.
В этом случае в результате быстрого перехода энергии ко ебапин от од-
ной степени свободы к другой в какой-либо из них могут возникнуть ко-
лебания большой амианту ты, которые вызовут большие дополнительные
напряжения в стреле или подвеске.

Сами по себе исследования 'Колебаний стрел простейшего вида яв-
ляются интересной задачей.

Целью исследований является выбор таких параметров стрел, кото-
рые бы приводили к тому, чтобы напряжения в элементах, долговечность
которых очень важно обеспечить, были бы минимально возможными.
Можно подобрать параметры стрел так, чтобы амплитуды поперечных
колебаний подвески были бы малыми Это даст возможность избежать
больших изгпбпых напряжений в канатах подвесок в местах заделок.

Применение методов математического моделирования позволяет вы-
полнить анализ в более общем виде и чать качественную оценку реше-
ниям. В дальнейшем для упрощения математических выкчадок будем
рассматривать задачу в приближенной постановке, имея в виду, что
перейти к исследованию задачи в более точной постановке не составит
большого труда.

Систему уравнений можно теперь записать в следующем виде

d2v (PV	(Ру	d-V w (РЧ л

------со* 'К — а, —-----а.----------а?1г —1-а?1г----------------аД'-------------— О
rf/2 4	dr- ‘ dP 3 dP 4 dtn--dt-

(l2y I 2 j wr . f	I t

—— -|~ cOyV -4- /)• 1 4- bn-bu-------4- Ьа1 ~

-T "O’Y -Г 1 -Г - d[2	3 d(2 1 4

—	=JS.	(5.123)

dP	dp 3

Если пренебречь и.згибпыми колебаниями стрелы, то уравнения
упрощаются. В этом случае имеем

4-V ,	2 „г (Ру	(Ру	d2'Y _

	E (Oii 'F — a, —r-as4r — 		= 0
dP----------------------------------------dP 8 dP-di-

+ 4y + /Ъ'К + b2 + bt'V* = d2.	(5.124)

Мы имеем уравнения, аналогичные рассмотренным ранее уравне-
ниям крутильных колебаний. Разница состоит в том, чго коэффициенты
уравнений имеют другие выражения и имеются дополнительные члены
w	х, d2'r

аДг ----- и 6.,-----.

dP ' dr-

Решение полученной системы нелинейных дифференциальных урав-
нений будем искать, используя метод малого параметра. Положим, что
колебания малы и можно принять

’F = цх; у = (Ч/,	(5.125)

где ц — малый параметр.
Введем новую координату т, удовлетворяющую следующему соот-
ношению:

ot = т(1 Л2р2 + й4р4 ..).	(5.126)

Решения х и у будем искать в виде

х = х0 4- рх, 4- ргх3 4- • • •

У = Уо + РУ1 + Ц2Уг + • • •	(5.127)

Подставляя указанные выражения в исходную систему и приравни-
вая члены с одинаковыми степенями р, получим для хо и уо

2 ^"Хо ।	2	[	2 ^*Уо _ О.

® —— 4- (0ЧХ0 4- 0,(0* —— = U,
dza	dxa

^4-	+ °2Х° + С2“2	= °-	(5 •128)

Решение этой системы запишем в следующем виде:

х0 = /10 cos т;

Уо — Aokcosr,	(5.129)

где k — коэффициент распределения.

Приравнивая члены с р2, получим для х( и у\

<0	---р (ОцХ, 4-0,(0	— 0,Х0<0 — --рС,Хо(О —-у ,

(о2 -уу- 4- ЫуУх 4- о2х, 4- с2<о2 -уу- = — 62хо-	(5.130)

Аналогично, для х3 и у2 будем иметь

4- «ч х2 4- о,®2	= — <о2.хо 2Л3 4- А,х0®2 -у*1- 4-

dx2	dx2	dx-

«	9 d2Un i ** d“Xt . n d2Xg

+	+ Ci<o-x0 —L 4- c,(0-x, —2- ;

dx-	dx2	dx2

(o2	4-	> + o»x- 4- C2W2 = — (юуУо + °2X0) 2A2 — Zb^XoXi. (5.131)

dx2	dx2

Условием существования периодических решений системы уравне-
ний (5.131) является отсутствие в решении вековых членов. Подставляя
значения хо, у0, а также решения х( и у/, системы (5.130) в уравнения
(5.131) и выписывая члены, содержащие cost, получим выражения для
определения соотношений между Л2 и поправкой к частоте h2.

Таким образом, частоты сш.г колебаний системы стойка — подвеска
зависят от амплитуд колебаний н могут быть определены по следующей
формуле:

"'•2 = ГТТ’	<5-132)

1 4- л2

где е,| 2—частоты колебаний линейной системы (без учета нелинейных
членов).

Па рис. 67 представлены графики зависимости квадратов частот коле
баиий о)|, (02. парциальных частот (оф, и коэффициентов распределе-
ния A|, k2 от изменения для линейной системы.

На рис. 68 даны амплитудно-частотные характеристики для нели-
нейной системы но каждой пз частот. Здесь Лоф и Аи1 —соответственно
182
шплитуды колебаний каната и стойки. Расчеты проводились прн сле-
дующих данных: /с = 25 м; у0 = 18°; б0 = 2°; qc = 250 кГ/м, Fn =
= 0,00097 л2.

Как следует из графика (фис. 68) при длине каната более 34 м
величина hz/A 2 для первой и второй частоты имеет различные знаки.

В соответствии с формулой (5.132) при увеличении амплитуд низкая
частота должна увеличиваться, а высокая уменьшаться. При опреде-

Рнс. 67. Изменение квадратов частот
колебаний наклонной стойки и коэффи-
циентов распределения амплитуд коле-
баний в зависимости от длины под-

Л2

Рис. 68. Изменения фу пкцпй

ОФ

Л2

вески L:

I — кривая изменения ш2: 2 — кривая изме*
9	*>

«синя со~; 3 — кривая изменения сор 4 — крн
пая изменении со--; 5 — кривая изменения kt°.

п ? = —в зависимости от длины
Лот
подвески:

I — кривая изменения у (<”<1= ——	2 —

6 — кривая изменения ks

лепных значениях амплитуд они мо-
гут стать равными друг другу. Для
подтверждения полученных зависи-
мостей решение уравнений (5.124)
для различных значений L было
произведено на электропио-моду-

кривая изменения/ (Ш|) -	3— крн-

т

от
h, .

пая

изменениях,! (со?)

изменения х? (со.)

з2
0Ф

- -4. «а,)

лпрующей установке ЭМУ 10 (рис. 69).

Чтобы проследить изменение

Рис. 69. Схема электронного моделирования колебаний наклонной стойки
на гибкой подвеске большой длины в вертикальной плоскости
каждой из частот М| u i.»2 в отдельности, начальные условия и переме-
щения задавались пропорционально коэффициентам kt и /г2.

На рис. 70 представлены решения, иллюстрирующие увеличение
низкой частоты (соответствующей первой форме колебаний) при воз-

Рис. 70 Осциллограммы колебаний наклонной стойки с низкой частотой в за-
висимости от значений начальных условий:

а — начальные отклонения яро — 0,1 м. у0 — 0.000174 рад; б — начальные отклонении
яро — 1 м, Yo " 0,00474 рад; о — начальные отклонения яро — 1.32 м, ъ — 0,00025 рад

растапнп

первоначально задаваемых амплитуд. Так, при малых возму-

щениях (рис. 70, а) <о( близка к частоте линейных колебаний, равной
1,285 гц. На рис. 70, в эта частота достигает 1,74 гц.

Рис. 70, б соответствует приблизительному равенству частот обеих
гармоник, о чем свидетельствует наличие биений и двух форм ко еба-
ппй с близкой частотой.

На рис. 71 можно заметить уменьшение высокой частоты прп уве-
личении начальных амплитуд колебаний. Если при малых амплитудах
(рис. 71, д) wo = 1,67 гц, то па рис. 71, г опа равна 1,11 гц.

Рис. 71. Осциллограммы колебаний наклонной стойки с высокой частотой в зависимости
от значений начальных условий:

а — начальные отклонения яро — 0,05 м, То — 0,0028 рад; б — начальные отклонении яро — U.I8 jm,
у0 — 0,010'2 рад; в — начальные отклонении яро — 0.2 м. То — 0.012 рад; г — начальные отклонения
яро — 0,32 м. То — 0,079 рад

Решения системы (5.(24) прп различных начальных условиях про-
водились также па цифровой вычислительной машине «Мнпск-1». Срав-
нение полученных результатов показало, что точность решения па ЭМУ
вполне удовлетворяет практическим требованиям.
Таким образом проведенное исследование показало, что необходимо
учитывать нелинейные факторы. Влиянием этих факторов объясняется,
очевидно, возникновение больших амплитуд колебаний конструкций и
особенно канатов подвески, зачастую приводящих их к преждевремен-
ному разрушению.

§ 5. КОЛЕБАНИЯ СТРЕЛ С БОКОВЫМИ ВАНТАМИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ
ПЛОСКОСТИ. УТОЧНЕННАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

При расчете колебании стрел в горизонтальной плоскости можно
упростить задачу, полагая что распределение инерционных нагрузок,
действующих па правые и левые боковые ванты, одинаково. Эго вред-

но южепие не приводит к существенным погрешностям при расчетах,
если амплитуда колебаний стрелы не велика. При больших амплитудах
колебании распределение инерционных сил меж гу правыми и левыми

вавтамв нельзя считать одинаковым и
требуется решение задачи в более точ-
ной постановке.

Момент инерционных сил относи-
тельно ня гы стрелы равен

d2v । qcP d-Zc ।
3g dt2 ' ng dP

 qnU- cos ‘o <РУпг qnlL cos

ng dP	ng dl2

(5.133)

iae и— амплитуды колебаний
правых п левых вант
в горизонтальной пло-
скости;

Z— амплитуда нзгибпых
колебаний стрелы;

v — угловое перемещение

Рис. 72. Расчетная схема колебаний
наклонной стойки с боковыми ванта-
ми в горизонтальной плоскости

стрелы.

Полагая, что /г-я часть момента воспринимается левыми вантами
и (1 — k)-я часть момента воспринимается правыми вантами, будем

иметь следующие уравнения:

Дщ  1 / у , 1 / у = о_, _ k qcP d2^ qcl d2Z I
dt, 2 \ д' )	2 \ dt, ) E [ 3g dP ng dP

. qnI	d2Wn?

— — COS v0-----—

ng	dP

ng

<Р'РАг

COS Д) ---

dp

1 .

n siii

dun	 1	/ V2	. 1	/ dwn, у	= an	. J	_ z,	Г qcP	d2 ,

д' 2	\	de, )	2	\ dt, ) E	k ’	[ 3g	dP

. qcl	d2Z	, q„L	d2Wn,	, qrL	d2W „  + —	h - COS v0	n- +	COS >0		  ng	dP	ng	dp	ng	dP	rv1. . • (S-134)  E-tr n sin

Уравнение нзгибпых колебаний стрелы

. Чс_ d2Z 4 qe_ j d2-i
Р + I dP + л g dl2
Напишем теперь уравнения поперечных колебаний канатов боковых
вант

q„ [ d2u>A, f. t	d2v \	(	k Г qcl2 d2-i

gFn \ dt2 L u dt2 ) I fnsinv0 [ 3g dt2

1 gd	d2Z_	qnL  -lg— COS Vo	d2Vv	, qnL	COS Vo	d^Ai -	1 &Wai	= 0;
яе	dt2 ’	ng	dt-	ng		dt2 J	j a₽2	
4n	< d2tt>n.	 i- I  + L	COS v	d2-,	) — {°n	1	- k Г	qrP d2-,	Ц-
gFn	dt2	L	dt2		Fn	sinv0 [	3g dP	
, 4d	d2Z ,	qnL  - 	COS v0	dnVnt	1 qnL	COS v0	d^At 1	] д2и>пг	= 0;
						dt2 J		
•iff	dt2	ng	dt2	ng			J di2	

4n d2u>j,e	k Г ЧсР d2< qcl d2Z q„L _______________ d2V„t

g/„ dt2 1 Л rnsin^0 L 3g dt2 ng dt2 ng	dt2

I	d2^!) &wAe __ <7„cos60 .

+ ng ° dt2 Jf de2 ~ F ’

4n d2wnil _ l0 I 1 —Г QcP d2^ qcl <PZ 9„Z. d2Wne

gFn dt2 I n -r F„sinv0 [ 3g dt2 ’’’ ne dt2 ng 0 dt2

4- -£nLcos^-^dl —n = 9ncos6o_	(5 13|

ng	dt2 JJ dt2 Fn

Представим функции u(=>. t) и щ(£, t) в следующем виде:
«„ G, t) = U„ (I) <p„ (/); uA (;, /) = UA (;) <p4 (/);

0= sin 4ns(t); w,e(i, I) = sin
Lr	Lt

^„e=-V^«(/-?) + sin-^- T„e(Z);

2a„Fn	L

wA, =	$ (/ - 5) + sin	4'„ (/).	(5.137)

2On* n	F

Обозначим

и(L, t) = U(t).	(5.138)

Тогда можно записать

п l <£,1-? cos2 60

UAi) = -^- n	+/sinv(0;

L	^Fn

=	^7^°------/sinvovi/),	(5.139)

E	24O2 f*

где L — длина подвески; 60 — угол наклона канатов к горизонту.

Интегрируя уравнения продольных колебаний, предварительно под-
ставив значения zz(g, /), w(=,, t), получаем

П~ W2 _L C0S2 6° _L 29nL C0S 6° V -L ”2 U-2 —

AI Лг	9	9	”	Г Г ' AI Л»

2Л _4^^ + ^j^ + jm£cosv0^^ +

Fn [ 3g dt2	ng dt2	ng	dp

	_osI	L

"I -- VUo >Л	-I	•

ng	dt2 J fj/nSinvo
где

Аналогично

илп+ ^Ч2пг +
4L

anL

+ (l-/e)

Учитывая,

что

Имеем

и,ft) л

q2Pcos26o k 2<?nZ.cos6n

24a^n

ПОп1:п

Чг 4-

1 Hfl b

— Uf2 =

41 *

’ qcP d*v

. 3g dP
qnL

-12— COS v0
ng

Un(0 =

2qnL cos 6,
na.,Fn

qd <PZ

ng
d24n,
dP

dP

+ -^COSvQ
ng

L

EnFn sin v0

^Pcos2^ +(/д/).

c,I

En	F2n
onL	q2L3 cos2 60
En	24o*^

+ Un(0,



~	+ ТГ 4 ~ + TF “ k

4L	4L

. qcl d2Z . qnL

+ —-----------h COS V.

ng dP ng

, _^ + _9nLcos, ^L
° dP + ng C°S ° dP

d”Vn!
dP

(5.141)

(5.142)

(5.143)

'qcP_ d^_
3g dP
L

’*0

__f[\ । 2qnL. cos 6p
лапГ„

+ A£^£ + _^Cos

ng dP ng



г QcP d2-.

3g

dP

vo

О^пг
dP

qnL d2V
ng ° dP

£п^п	*0

(5.144)

Если пл = csn = о, то

2qnL cos 6n

Л“

k =

noFn
qcP d2, qcl d2Z

4L



3§ dt2 ng di2

qnL d2Wnl qnL ^г\

+-----cos 'o -+--------cos vo —7Z~ IX

ng ° dP ng dP ]

L

EnFn sin v0

I

2

(5.145)

Вместо двух уравнений запишем одно

. -	, 9л ^-3 cosl

/sinvov (/) 4--If!--—-

24a2 Д2

qnL cos 6И ____у

nofn

л2

8/.

(П

+ Ч'*о - Ч'*г- Ч'*.)

aL 1 /qd2 d2i , qd d2Z

^LCOSVo^K-

ng ° dP

En	2 k 3g dP

, q„L cP4',f '

4-	cos -/0----

ng ° dP ,

ng dP

I.

п sin *о

(5.146)

Рассмотрим теперь уравнения поперечных колебаний канатов. Под-
ставив выражение ьу, умножим обе части уравнений па sin de. и про-
интегрируем от 0 до L.
Получаем

qn
gF,

L d-W.

dt2

, LI

-|----cos /„

Л

d

k

qd2 d2.

dt2

ng dt2

4- qnL cos >0
яд

^4fn, , q„L

dt2

Л'’

Ftl sin v0 \ 3g dt2

COS v0-------- ) -----’И ,г

° dt2 J 2L ‘

q„
gFn

£ d24r,

2 df-

LI

---COS VO

Л

d2<

dt-

qd d2Z . qnL

—----------h COS /0

ля dt2 ng

d-W,:
dt2

 i l~fe

+- ° + ~r~--------

[ Fn sin v0

qnL	d24'_,g

-HL— COS v0------

ng	dt2 .

qd- d2.

3q dl2

— Ч'„е = 0;

2L

qnL d-4',.,

2gFn

dt2 L

qnL

—— COS v0
ng

k
a---------

Fn sin <0
d2V.

dt

(qcl- d-y
l Зя dt2

2qnL cos 60

qd d2Z

ng
n2

dt

qnL

d-'V.

'LgFn ,
। q„L
ng

dt2

d2Vj,
COS /o ------

° dt2

7 J \	naFn

1 — fe (qcl2 d2*
Fn sin -»0 \ 3g dt2

'2q„L cos fin
.ioFn

2L

qcl d2Z

ng dt2

3	\

qnL d2'V,

C0S'»~^
ng	dt-

qn cos fl„	21.

F	л

, q„L	d2V,

ng	dt2

q„ cos <\ 2L

/•

(5.147)

Подставляя значение k в эти уравнения, будем иметь,

Qn
gFn

L d2V^ . LI	d2->

------— 4----cos >0	
2 dt2 n------dt2

qnccs fiuEn .у
ncFn

^('ИЪ4-	4- '1^4-'^)

8Z“

Qn ।
gFn '
n~Ea

8P

+ COS >0
ng

L dWnr ,

d-Vnr . q„L

1

2Fn sin v0
а2чяг\~

q I- dy
3g dt-

qd d2Z

ng dt2

dt-

dt2

LI

— cos >0

ng
d2,
df2

COS i0------

0 dt2

— 4' =0;

2L '

(Ч'ле + Ч'л. +	+ ^e) 4

qn cos 6„En
naFn

f qcl2 d2<

(Ъ,4-Ч',.в) h

4- COS v0
ng

qnL d2V„, Г

>-gFn dt2 ‘Ч

d24n, , qd-

2fnsin<0 \
d2V

3g dt2

qd d2Z

ng dl2

dl2

COS v0

лг

dt2

— V,,.- = 0;

2L ‘ i

+ tL + 'k,2I0)

On c°s fl Elt
noFn

I qd 2 d -

(У.. + %.,) + ('FL + 4';. 4-
о/“

4- -^cos ,

ng

qnL <22Ула

2f„sin <0
d!V,e

’° dt

3g dt2

2q„ cos f>„L
naF,.

qd d2Z

ng dt2

— 4f,e

2L ,e

4nL	d24rne

ng	dt2

2qn cos fl, L
nFn

2gFn dt2

qn cos fln/-n
л<тГп

Cr,e + vne) +

n2En

8Z2

1	/ ~qd2	d2<
2Fr, sin -o	к Зд	dt2

qd d2Z . qnL

dt2

ng

d-4rn,

COS v0------—

0 dt2

ng

1 2<7„cosfinZ.	1 1X2
\ naFn	2L

 4nL	d2V te

4- —— COS v0----

ng ° dl2

Преобразуем полученные уравнения.

^-Cos6|l-/j . (5.118)

nFn
Уравнение колебаний стрелы

I 6 sin- •pEnFtiS_________fiqngEn sin >p cos <\t	,	__цГ .

. .«> >	" ,r	„	\ 1 ne 1 iej 1

dt2	qclL	n<iqcl-

। 3qe d2Z । 3<7nLcos»Q f d2V„e । d-Wje 3n2E„F„sin >0Д ^2

ziqcl dt- nqcl2 \ dt-	dt- >	4qcl-L-

oL __ ‘In cos2,V3 \ Gfnfn sin >ng -5 j 4>J.

En	'Mo2/2	) QclL*	k ’	'

-T ^в-ч';,-'П,) =

N равнения поперечных колебапнй канатов без учета членов третьего
порядка

! л2оц1п	|lr j 2/ cos	*0	d24	( n£ngcos60 /м. j w 4 1If

75	1	77	1 "Г	T	К 1 je T 1 nrd 1 te

dt- q„L2	л	dt2	al2

__ nS^cP	d~‘	y _	Я(?с/	d2Z	y ___

bqnL2	dt2 ,г	2qnL2	dt2	M

Л COS vo ,	I d-Vne иг	^‘Чглг qf \ Q.
2L '  . n~Ggi*n yy j  ,1	.,	r пг г  t/Ь	qnL2  л2дсР  6</„L2	1 dt2 1 ’г 1 dr- 4 11 j ' °’  21 cos *0	d“'* । Л-Ejig cos 60	।  л	dt2	oL2  <p' ip .	^4d d2Z „f ,  dt2 пг'Г 2qnL2 dt2 пг

л cos ч0 . r/24rn. „f dWju
2L \ dt2 "г ‘Г dt2

d2V,. n2og/, Ц. , 4<7ng£n cos2 6„ lllf l|f 2q I2 cos 60 d2>

dt-	qnf-	nzo-F„	3To/„sin^ dt2

2q, /cos 6ц d2Z 2<7nL cos <0 cos 60 </-Чг„г 2q,1Lcos-<0cos60 ri V«?

zi2aFn sin <0 dt2 nWnsin <0 dt2	n2o/’nsin/0 dt2

(Ч,	+ Гпв) 4,	+ nEnRC^ (Ч,2г ч я,2в + %2г + 4,2 J _

си -	2cyL2

_______n2qct2 d2. X|f_________________nqcl <PZ
bqnL2^\r\4a dt2 ’° 2g„L2sin/0 dt2

л______d~Wng _____________л_____<РЧглг (j, _ q.

2Lsinv0 dt2 '* ‘IL sin>0 dt2 1,e

d-'lrni,
dl2

n-agFn

QuL2

'Г„.+

4qngCn cos2 6n

•<o2/n

('Irw+ T„e)+

2q, I2 cos fi0 rf-1

3no/'nsin ,0 dt2

2qclcos6„ d2Z
n2aFn sin <n dt2

2qnL cos <0 cos 60	^^пг_

л2оГ„ sin <0 dt2

+

2q„Acos cosfip (РУлг ।
л-of., sin n dt2

-с^^-0-(ч\а+,ипд)1»% +

+ —n^-^6,>- ('fL + tL +	+

2gL2

___________d-Z |jr	л____

2q„L2 sin -,0 dt2	2Lsinr0 dt2 ne

\равнение нзгпбпых колебании стрелы

л2</с/2 d2'	(|f

bq„L2 sin >0	dt2

+ -^~— %", = 0-

2L sill -<0	dl~

(5.150)

£7л4р	4/d^ = q	(5.151)

dt2 qcl* л dt2
bi

Введем следующие обозначения:

2	6sin2<nEnFng .	2_ n2ogFn . д 2 _

<0, =-------=------- ,	<0о = --------- ,	Д<0,. =

qJL	qnL2

2 л*Е1ц
(ог =-------— ;

qJ

6<7„££nsinvncos60- _ 3g„t,cos»0 .
Ui = ------------------ , Ur> - ------=----- ,

noqcP	nqcP

Зл-рЕп/'п sin v0 .
4qcPL2

21 cos •/„

I)., =- -
aL2

2qrP cos 60

Cl — ----------- )

ЗлоЕп sin <0

_	nEndcos&o	.

c'-------rt?		•“

4qnpEn cos2 6n
л2а-7'

аз — —=—;
nqcl

<?n cos2 6„L3
24o2f2

6EnFn sin <oa
"qcPL

t . iPqcP
cos60; b3 =	\ ;

bgnL2

_ 2gf/cos60 .

4-2 —	“	,

л2оЕп sin /0

n2gfP

GqnL-sin^

Ct =

2g,,/.2	6

ЛСО^^о

2L

Сз _ 2gnL cos <0 cos6n .

л2оЕп sin 'o

лд<4 .	„	л

C “j

2gnE2sin<0	2L sin <0

Л

Л

Перепишем уравнения в новых обозначениях

(5.152)

+ °з + °4 f'1 - + - 4 ~	’) = °0’

at*

d24,;
dt2

d2>

dt2

+ t2(^e + 'Fne)-b3
f d^n. , d2^ \

dt2 dt2

IS

d~'' ur
dt2 ,г

= 0;

b BJn'Kjj -|- bl



d"Vni
dt2

+ со,2.Гпг + bi + b2 (¥ „ + ’Fw) + b3 Vne +
at2	al*

+ h у + b6f	Ч'пг = 0;

dt2 n 6\ dt2 dt2 J n

d2'Fj„ m2uf I Дю2 /Ш I ur \ c t c
d/2 +«nF.ie+A<0n(Yld+ Tne) Ci d(3 Сг d(2

~ c« -^r- ~ —L- + МУ., + y„.)	(vL + тл2в +

at2	at*	2.

i nr2 I iir2 )_____c d~' ur _____r _<PZ_ iy ______	w _______

+ ’l«s-l- Cb dp i св тлв c7 di2 елв

___c di'Vjt? у __________„
’ dt2

+ ^пв + Д<о2 (V ,e + 4'ne) + Ci + сг

dt-	dt2	dt2

r d2^
Сз~^~

+ c3 + Cl (V „ + 4'ne) Yn. + (vL + 4^+ y'L+'i'2.) + cb %ie +
dt-	2	al*

w i c d2Wni	d2VAf у = O’

dt2 yn‘ + ci dl2	yn„ + Ci di2 'Vn„	U,

d2Z .	2 7 . . d2v n

--------h <nzZ + di----= 0.

dt2	dt2
Запишем теперь характеристическое уравнение. Не приводя прс\е-
жуточных преобразований, имеем

(Л -} юп) (Л- + ып + 2До)п) [(1 — 2a2bi)X. Ч- (2<оп -|- ы, — 2a2bi<on -|-

4-2a|Ci—4а|Ь|Сз)Х4 4-(<о* 4-2(Оп<о!-j-2aiC|Wn)^2 +	=0.	(5.154)

Это уравнение распадается на три

Л2 4- ооп = 0; V 4- о' 4- 2Дсо2 = 0;

(1 — 2a2bi)Xe 4- (2w2 4- w2 — 2аг^1о>2 4- 2а1с1 — 4а1Ь1с3) А.4 4- (w4 4- 2ы2ы? 4-

4~ 2О1/?1<0л)А 4~ b)nG)v = 0.	(5.155)

Первое из уравнений (5.155) определяет частоту поперечных коле-
бании канатов в горизонтальной плоскости, второе уравнение опредс
шет частоту поперечных колебаний канатов в вертикальной плоскости
при жестком закреплении концов. Третье уравнение определяет частоту
колебаний стрелы и вант.

При условии отсутствия резонанса между собственными частотами
колебаний решение системы нелинейных уравнений может быть полу-
чено следующим образом:

Для каждой из частот колебаний вместо координаты I вводится но-
вая координата т следующим соотношением:

со/ — т(1 4- Л2р2 4- й4р.4 4- ...); со/ = тИ,	(5.15G)

где ц — малый параметр;

Г=14-М’4-Л.Н44-...;	(5.157)

Если положить Z = 0, то уравнения запишутся следующим образом:

“	. . + w-v —	(1 n« — V,«) 1 + °2«2 ~ТГГ- Ч--+

dx2	\ dt2 dr2 /

со2

4- ал (Ч'2, 4- Ч'2. - 4f2, - Ч*2.) v = 0;

dt2
ar	I

d2'j

dt2
d2^,

4-М'1'лв + Ч',1в)Ч'

dt2 di2

- 0;

’m ,

CO2

-+ю"4 - -+b^2-rr+b*	-+

dx2	dx2

4-	— Ч'лг 4- bbw2 (—4- Ч'пг= 0;

3 dr2 л b \ dr2 dr- / "

. d2W ,a , 21If M I A 2	, >lr	о d2*	о d2<F,,,

o>2----— 4- a)„4r4 + До)п (Ч7.. 4- T_e)4 — Ci<02----c3o>2------— -

dx2	dx2	dx2

- c3^	+ C4 (4^ 4-4U Ч'„. V 4-J±_ 1 4^ 4- Ч'2. 4- 4'L 4-

dx-	2 \

• nr2 \ v’	2 ur	2	nr	2 iz iff n

+ ! ne) 1 — c50)2 — Чглв — C7a>2 —Ч/Лв—C7w2 —ЧГлв = 0;

dx-	dx2-	dx2

0)2	+ U’X.^+ △‘*м(Ч'лв+’1'п,)Г + ^>24t +

dr2	dr2

4- СЗФ2 - 4- c3w2 4- ct (V,, 4- 4U Y„e v 4.-^- (Ч'2г 4- Ч'2. 4-
dr2	dr2	2

+4^ +4^) V 4- с^-^пв 4- c^-^vne 4- clU>2 4'ne=0. (5.158)
dx2	dx2	dx2
Решение системы уравнений будем искать в следующем виде:

v = Ro + Н,/ + И3'" + • • •;

Ч' ,.= |Л + fi2^ +	+ ... ;

•I „г ИЧ'°г + р2Ч^ + р3Ч^ + ... ;

Ч',в-	+ р2т;. Ч рХ. + ... ;

Ч'пв=рЧС + р2 ЧС. + И3 . .	(5.159)

Подставляя это решение в систему уравнений и приравнивая члены
с одинаковыми степенями р, получпм для v0, Чг°г, 'И °г, 'И °в, Чг°в одно-
родную линейную систему уравнений, решением которой будет являться

?0 = /10COS Т> Ч'лг = ^l-^o cos т; Ч^лг = Л2Л0 cos т; 4f°e — &3Л0 cos т;

Ч'°в = й4ло cos т.	(5.1 60)

О ишм пз решений будет следующее:

*2 = ki, kt = — k3; >0 = /10 cos т; Ч^. =	= /?p40cos т;

Чг°. = — lF°e =/г3ДоС°5т.	(5.161)

Для>ь ¥Лг, Ч^г, Чглв, Ч',,» получим следующую систему дифферен-
циальных уравнений:

я. ,	„ ,	,	,	/ d24r' d2v' \

+<oS +O1(TM-V.e) + a2a)2(—4^ + —-^) +

di-	\ di-	di2 /

+ «4 l(4't)2 + (Ч^)2 - (Ч^)2 - W] - 0;

u>2 4гГ~ + l0"'F- +	+ b> ('r"« + 'F-)-

di2	di1

- b30>2 Ч'°г - b^* ( —+ —f- ) 4>°г = 0;
di-	\ di2	di2 J

-2	- + ^пг +	(y0„ + ЧО Ч'°г 4- baU>2 -ri^ +

di2	dt2	di2

+ b™*

d2y° d2^0
тпг

4^ = 0;

dx2	dx2



d2’F'	, ,	9 . ,	, .	„ d2-/'1 d2y'

~~ + o>2T „ + \<o2 ('Гл. + V„.) - c1W2---------------------------c3or------

dT2	dx2	dx»

d2V'

- си + с. (П + Ч-s.) < + -Й.	+ Ori+ (v;,)’+

jo	r/2 Hf 0	.2 yr 0

+ (4'°e)2| - c5...2	’!•% - cX- Ч'л. - C7<..2 >F e = 0;

0)2	+ Аш« (’I’;. + 4Q + С1ш2 + cX +

dT2	dx2	dx2

+ <V’2	+ 4'°.) 4^°. +	1(4^)2 + (lP^)2 + (4^)2 +

+ (‘Ил.)21 + ^«2 44 vS. + C7">2 -4/^- ^Л. + C^- -Ч'^°пв = 0.

dx»	dx2	dx2
Подставляя значения 7 цг®г> чг”в, Чгл« • получим

я» <	/ d2*?'	d24r' \

4? + «V + О1 - Ч^в) + а«с.г ( —+	;* ) =- 0;

dx-	\ dx2	ах-	/

2 <1 Упг . , 21Г'	, ,, ,,2 <1-> к 2 rf-'o nr® I К d Ил* 1

•  —---------1- 01,Д	-р О|О)	+ D30’ ——- I лг + I  —--------------------р

</т-	dx1	dx2	\ dx2

d2V” \	0

+ —" Ч'°г = 0;

dx- J

я2 иг' « . Л	.	a^j	d2*V'

">2 ——+ ">ЛГ ’» + ^"’n ('lr-w + '1U — Cl"’2 ~J~.--------------------Сз“? ——

dx-	dx-	dx1

c-"~‘	+ г+ (,'") + WJ2 +	-

,,	d24f®	a2ur®

о <* '0 11Г®	-	°	П& 11’® л . 2	Л? 11Г® A

— c5»>- —Чглв — c7<9- ——— Ч M — с^л2 ——- T ,e = 0;
dr-	dx2	dx2

d2w' -> 		. .	ИЧ'	dJ4f'

or —	+ 0)7.4^ 4- Ди,2 ('Г.,в + 4Q + C1<->2	+

dx1	dx2	dx-

(l-W *

4 C3"’2 ~d^~+	+ ('K°e)2 + (u °г)2 + ('r°e)2l+

+ ffi'"2 ,,r°« + <v>2 —У7™ + c^~ -^7^- yfne = 0. (5’163)
dx2	dx1	dx2

Покажем, что систему из пяти уравнений можно заменить системой
из трех уравнений. То, что решение однородной системы можно полу-
чить из трех уравнений, ясно из предыдущего. Правая часть третьего
хравнения равна правой части второго уравнения с обратным знаком.
Правая часть четвертого н пятого уравнения равны между собой.

Решение от постоянных слагаемых правой части получаем из урав-
нении

0L / + Ох (4<в — ¥'„) = 0;	= /1; W2'K„ = - Л;

«оЖ. + Л-2 (Ч'« + ЧО =- — В; о)2'Г;в	\«>2 ('Г™ + 'Г',,) = В;

<4 (X. - 4Q = 2/3, (<о2 -г 2 \й)2) (Ч'/,, 4- 4Q = 0; Ч'то - 4f',e. (5.164)

Таким образом, решения от постоянных слагаемых правой части
тля правых вант равны и обратны но знаку решениям для левых ваш.

Решения от слагаемых правой части, в которые множителем вхо-
шт cos 2т, мож! о записать с помощью детерминантов. Преобразуя вы-
ражения, можно показать, что

чС = - Чг',г; Ч',;в = - Ч';в.	(5.1G5)

13 3.11,.,, 314	193
Система из пяти уравнений может быть теперь заменена eiicTCMoii
из трех уравнении

и.2 — + и2/ — 2а^'яв = 0;

</т2

о)2	4 o>«4'L +	— — Ь3ы2 Т.% = 0;

lit-	t/т-	(IT2

>2-^ +ы^;в_С1Ы^ +rj(41,)2+№2l-^24r4-==o-

dx2	dx3	dx2

(5.166)

Отсюда

w2 -^С-+ w2v' — 2«,4C = 0;
dx-

d^v'	,K- '	h 2b

co2------— + o),2,4rjg 4- bpo2 —-— = — b:ld)2/e, cos 2t Ao=----------------я<,)—(1 4* cos 2т) Ль

dx2	dxa	2

rf2T'e
dx1

+ Wn'r'io — Ci«2

Cgto ^2

2

(1 4- COs2t)/(J.

(5.167)

Общее решение однородного уравнения запишем следующим обра-
зом:

v' = H0COS т; v',e= — Чгпг — k\A\ COS т; Флв = — ^‘пв = Й2Л1 cos т. (5.168)

Частное решение от постоянных слагаемых правой части опреде-
ляется следующими выражениями:

, 2а|'*Глг	а,Ьлагк, .2.

' = —— =---------------Д°’

ОТ	«>?>„

_	U-- _	Л2.

1 лг — — 1 пг —------------— /10.

(fe2l + к2> С4 + k2W2C&
2(02

Д20.

(5.169)

Ес in положить •' = # cos 2т; Чглг = D cos 2т; Чгл» = Е cos 2т,
то частное решение от переменных слагаемых правой части найдется
пз еле тующих уравнений

(— -1ш2 4-<о?) В —	=0;

— 4^to4B 4 (—4to2 4- w2) L> = — 1зЬ^±- /12;

4с10)2В 4- (- ‘lo>2 4- «?,) E = - (fe‘ +-2) ±i2“2cs Лй;

z;=(-^4-:)B;

201

( *!<•> 4- G> ) (— 4(0	«> )	h tifik 9	/•"(--

— •lb1to--!-'1 --- M--------- В =— K1 zlo. G*-1'1'

2a,	2
Отсюда

ci । b2 co A’ । /1 л
вл^ы2 — ( — 4co2 + co2) (— 4<iT 4- co2)

М-'^+^м?» cos2t>.

Kxij/^o)2 —?(—4co2 4-co2) ( — 4c»2 + co2)

11r'	(^ + *5)c4 + M>-c5 ,

1 л«> — ~	r-

>«(— 4co- + co-)

8a । b | co2 (— 4co2 4- co2) — (— 4co2 + co2)2 ( - 4co2 4- co2) |

(5.171)

Таким образом окончательно имеем

,	.	, (	а .А.со2 Ar.

•/ = ЛCOST4---------4LTJ- +

t Ч*ю„

4----------------------------------1 Л? cos 2т;

8a,/?! co2 ( - Ico2 4- co2) (— 4co2 4- co2)J

4'L = Mi cos T 4- J- +

I -4

18a,b| co" — 2 (— 4co2 4- co2) (— 4co2 4- co2)

’1<г = M. cos T - f-------4-

l Ч

b‘, (—4co2 4" ll>2) <»2A 1	I .о

+----------—	-----:----------—-----—- Ли cos 2т:

16U|ft|Co2 — 2(—4coJ + •• )( — lw* 4- 0)2) I

-	-	I (fe? 4- ^?) c. 4- A ><o2c«

'Ил. = - 'F„. = к2Л,cost 4----------1	2; ,	-----5- -

I -Ч

(Ar2 4- *2) c4 4- A2o>2c5

--------------------------lb:|C1-^---------:----------------1 /15 cos 2т.	(5.172)

8cii/>i<o2 (— lo)2 4- wn) (— ‘*l°2 ‘ wn)2 ( ‘ ',l°2 + Wv)J

Система уравнении для /',Чг’г, Чг’г, Чг„в запишется следующим
образом:

2 -	/ -	- ч	( </2Т*	cf Ч'' \

со2 ——- 4- c>)2v 4- (4f,le — Ч'л.) 4- о2с.)г ( —— -1-- )

dt-	\ ат-	ат- /

<.)%0 - (>и;. - 4QJ 2/i2 - 2с/4 ('1<?1С 4-	-

'И’Лг-ТлЖ.);
«2	4- blM- _^v°M2h.. - ь. ('Ил. + 4Q ч'',г -

rfr-	dr2

’^ + М!

4'L+

j-w"	я-* *	л-»к"

to2 -----4L 4- 0,2qr;, + \w2 (q<ie + qQ _ c,or df' - r;tW2 -^- 4-

dx2	dx-	dx-

(Z“ lF*

+cS(o« —| - <ж. - дШ|; (r,. 4- <.)j 2h2 - Cj (ч';.	ч<„) у-

dx2

- c4 (qf;e 4 Ч',м) 'И,. - c4 (O 'te 4 4r< Ж. 4 €€ 4- Ч^Ж.) 4-
d-,'	°	<P-M	 J	d24'' \

Ул. 4- c5(0- 5^- 4',,. 4- C^? ( —^- 4- —~ Ж. 4-
dx~	dx-	\ dx2 dx2 J

(	. d2V° \	,

	„	•» I	fU	ЛС I

4 c7w- ( —— - ^— -	) Тл.;

\ dx- dx2 /

“• d?? + «’Ж- + A«»('IfL 4- чС) 4- Q«»	4- <yo» +

dx2	dx2	dx-

d~ ‘И*	i	о

c3<02	f- 0>Ж. -	('Ил. 4- Ч'п.)] 2/ь. - С4 (Ч'л,

4- 4S,.) 'И,',. - с, (Ч';в 4- 4Q ‘И,. - с4 (ЧОИ 'г 4- ‘Ил?Гi. 4- Ч^Ч^

4- Тп.’и,;.) - с.»2 d"' <,. - с,<о2	'И«« -+

dx2	dx2	\ dx-

А2<г\иг-

4-------— I Ип.— С(0)” ( ——--------1------—— I Ип..	(0.1/3)

dx2 /	\ <1т'2 dx- J

Выпишем члены правых частей \равнений, которые содержат cost
Правая часть первого \ равнения

(— и?	2«1/гв) 2Л2ЛО

I, б>.‘ь.	bs( -4ог ог) от/. ।

4- 'lajty — , я° 1 4----------------------------------------!------- .1,.

‘2<о,	3‘Л/1/?|<о2-1( - 1о>2	о>,)( - 1ог о>2)

Правая часть второю уравнения

-(bX2ft. l0 4-ft:.w2( - .10)



1>л ( 1оГ or) orfe|/1o
32<»1Л1<»2 I ( - 4о>2 — о>2) ( Тот -4- со2)

2w7i

2/г<|>2 (ki 10);
о

Ь3 ( 4со2 + co2) со2k ] Л2
IGa/fjCO2 — 2 (— 4or 4- со2) (  4со2 + со2

Правая часть третьего уравнения

— соп^12й2/1о — /?3со2 (— Ло)

/>3 (— 4со2 + со2) со2Аг (Л2
3‘Ас,Ь,<о2— 4 (— 4со2 + ы2) ( —4 <

- Й3<о2Мо

4 --------;

Кхь/лсо'

/>3CO2*i	.2

-----------Ио —
2о>2

-2fc5or(Mo)2

b3( 4<о2 + со2) <о2Дг1Л,

? — 2 (— 4со2 + со2) (— 4со2

Правая часть четвертого уравнения

со2й32Л2Л0 - c<k .До (- (fe? + fei)c4+M4 Л2 _ Л2 (fe? + A2)C4 + A2(o2c5
2CO2	2со2 (—4со2 то2)

la^go^fe,	|

8«1й1со2(—4со2 4-со2)— ( 4со2 4- <о„)" (—4со2 4-со*) |

4-	(_ До) I (fe?-i-fei) ч + ^2^5 Л20 _

I ч

2со2 (—4со2 4" <°л)

________________________4alb3clw*kl

8е, />! со2 (— 4со2 4- со2) — (— 4со2 4- ы2)2 ( - 1<о2 4 со;)

4- сД3о/ (— 4) Ло--------

8й| fc| со2

Q| b3u>2klA2________________

(— Ico2 4- со2) ( - 4со2 4- со;’)

4 <?70)22&i (— До)

2со2 (- 4со2 + со2)

4а1й3<-1со4/г1

«а( fcj со2 (— 4<о2 4- со2) — (— 4со2 4- со2)2 (—4<о2 4- со;)

Правая часть пятого уравнения

o);7?32//2^o~ с Д’-Ло

Ло-Л?

(feiк1) 4-fe2co2 с5
2со2(-4о?4-0

8в| й] с.>2 (— 4со2 4- со2) — (— 4со2 4- «2)г (— 4со2 4 <'>2)

— С5О)‘ (— Ло) I

Ло — Ли

( к1 4- ) с4 4- k2u>2 с5
2со2(-4со24-со2)

____________________________4а, bjCttifk,_____________________________
83! />! со2 (— 4со2 4- со2) — (— Ico2 -р (о2)2 ( 1со2 4- <о2)
4* QA’;ico2 (— 4) До

________Qi M'Mo_________

8a, b} <o2 — (— 4w2 4 co*) ( — Ico2 4- co2)

— C'fi)~2kl (— Zo)

( b i 4* ^2) c4 4* ^’2w* c5

8a, b, m2 ( — ко2 4- co2) — (— 'Ico2 4* <o,-)2 (— 40)2 4* <o2)

Умножая правую часть каждою из уравнении па соответствующий
коэффициент распредстсппя, произведем суммирование их.

Условием отсутствия в решениях вековых членов будет равенство
ну.но полученной суммы. Полученное уравнение дает возможность опре-
делить поправку к частоте I12 в зависимости от амплитуды колебании.
Не прово (я промежуточных выкла юк, запишем это уравнение в следую-
щем вп тс:

|о\ 4* ®2 (2/г? + 2/’2) — 2«|^з| 2й2 = 12«л^| (2ВЛе 4- Плг) —

— 263о»2А’? (2Вл. 4- Плг) —	(4Л3О, 4- 2Влв + £>ле)

— 2с7Л*3 (213 м + Олв)| Al,	(5.174)

где

yj ___	а,Ь3С0%|	.	_ />3(0%,

8а, />,0)2 — ( - 4со2 4- со2) (	1со2 4- со2)	2со2

D =_______________63 (~ 4o>24-w?)o>2fe|___________ = _ (fef 4-^;) с4 4-/г.с.>гс5

16а, Ь\со2 — 2 (— -1 со2 4- со2) (—ко2 4* о’2)	2со2

D = _ |(fe24-/^)c14-fe2(t)2c5 .

(	2wn(-4o>2 + ,,‘n)

•la^cyo4/.,	I

8a, b,co2( - Ico2 4- co2) — (— Io2 4-co2)2 ( —4co2 4-co2))

Рассмотрим теперь, чем будет отличаться решение задачи, если
у пяты стрелы имеется упругая заделка. Будем полагать, что жсс!кость
стрелы на изгиб достаточно велика и можпо нс учитывать пзгибпые ко-
лебания стрелы или возможно принять, что форма колебании остается
без изменения. Используя прежний метод и полагая, что тействующая
па стрелу инерционная нагрузка распределяется между левым вапгом,
правым ватом и упругой заделкой в отношении /г(:^2:(1—k\—/г2).
получим следующие уравнения угловых колебаний стрелы

У AD +S, = - k\A —;

-U.AO+Sn = k2A -L;

сп

^л(/) = (1-А’1-/г2)/1-Ь-,	(5.176)

где	S, = Ч'лв 4- Н,2г 4* 'I L;

ла/ „	1/.	4L
^l'n

W I л~ ur2 _1_	_ Uf2 •

1 ne i ..	1 m i . _	1 ne>

4L	41

qcP d'-.	, qcl d’2Z , q,,’. ,P4„ _	, qnl. d-'V ,e

3g dr- .ng dt- ng dt-	ng dt*

~  ^«/"n S*n '0 .

c2— жест1осгь упругой задеткп, приведенная к голове стрелы в направ-
лении перемещения (7Л.

Вычитая из первого уравнения (5.17G) второе, имеем

2(7,=

сп

Опре (слив отсюда (7, н подставив в третье уравнение, получим

(5.178)

2с„	2

Имеем также такие уравнения

/d । 4- ^2 р 1	— ^2

(1	^2)

С»

S, — S,

2c,

с»

1

271

) 2А

S„-S,

c2

*r+*.=

2/1

(5.179)

n

1 + - —
2с,,

Суммируя первое уравнение (5.179) со вторым, получим

Имеем также

2/г1==

sn-.s,

.s„-s,
-------с,

2А 2

c...

(5.180)

c„;

Л» — ki —

Д

A

»П

Sn-S

2k. =

2А

<=г

А Сп-

(5.181)

Таким образом

1_ SnTs-

I
/?!= ----------

k2 =

Sn + S

А

S,

С,‘ л С-
А

с.
сп
. S,,

A

ks = 1

C2
cn

k, k. —-----------------------

с»

cn

(5.182)
пли

В.месю трех уравнений запишем теперь одно

U, + S,=

---M — Sncn — Sl(cn+ r>)].

(5.183)

Отсюда

Подставляя

Zsin-'0->

и, =

ut

—:----[И

2cn + c«

fn(S„ 5,)].

(3.184)



А

2сп + с„

(5.185)

значения функций получим

ЪпЦЧ, - У„„)

2

—if \— ) яа^п
^n*n sin ‘Jo/

oL

.10

1|Г2 ____ нг2 )

— 1 пг — * пв}

L

2+7,- ~
П* /I 0

/ ^fZ2 d2'^ qcl d2Z

2RnFn sin -.0 -j- Lc2

+ cos >0

ng

d-Wne , q„L

----— -4-	- cos v

3g dp
d34'

ng dP

Л3



0 dP

(5.186)

Уравнения
образом:

поперечных колебаний канатов запишутся следующим

qn / L а^лг
gFn \ 2 dP

, LI	d-t

+------ COS vo-
lt-----dt~



Сг

cz) |

л-

Fn sin-<0

21

Т,г= 0

qn / L d-4'n>
gFn \ 2 dP

. LI

4-----cos v0

Я

<P>
dP

\ cn )

Л + $ i£n + $n (cn J r2)

u

Fn sin <0

(>.187)

QnL d4',e

2gFn dP

с---

А — Sncn + s , (cn + С;)

Cz

2 4- —

Fn sin '<0

Qn
oFn

_ V

2L ',6

Fn '

QnL d^ne

2gFn dP

A -4- SjCn -4- Sn (cn + Co)
( 2 + — ) Fn sin -/0

Подставляя значения функций получим

Qn / L d2Q! n

gF

dP

LI	db

+------COS'O —

л	dl-

X

qrP <P-.

qcl d2Z

3g dp ng dl-

q„L

n COS v0

Qn
aFn

2 4-

2L ne

cd.

FnEn s in /0

-4ne , QnL

dP

ng

<7n

(3.188)

Г’п sin '-о

d2V

cos ,0---

0 dp
E„Fn sin 'о ( tyL. ur ]	л-	nr 2 । n- w2

r----1 ---7“ * пв "1-—	1 m -r ——- *ne I

L \ zicFn	AL	AL	/

En/?nSin '°	+ С» W -<lL 4' ,e	+ — 4f^	+ ---	‘I'Ll ] 1 — У. lt	= 0;

L	Дло/'„ ,e AL	IL	AL '

q„ / L d2V„.
gF„ к 2 dP

II

----cos v0

Л

d2:

dp

n^n $in vo

F„sin 0

X

x I ( QcP	d'~‘	। qcl ——	-Sn-

l\ Зд	dt2	‘ zig dl2 ng

COS Vo

d-’K„.	qnL	d2V

4- - — cos >n---------1

dP	ng	dt-

+

Fnl’ n sin 2°
L

F.nF 4sin->0
L

+ сЛ ('Fne + Ч'лг +	Ч'?^ 1 Тлг = 0;

J \ ncFn	AL	А!. /I IL

I

<lnL d2'V te

2gFn dl2

c„L

FnE„ sin <0

________| ( qd- d2.

•\ Зд dP

Fnsin ‘0

qcl	d27	qnL	d-'V,.	qnL	d-T	\

— -7,- + cos % —«V4- +	COS >0 —5-

ng	dt-	ng	dt-	ng	di-	)

__ EnFn sin <q	/ 2gL	n~	ф.2	। n~	ip \ __
L	\ noFn	"e AL n" AL Пв)

4—°- + сЛ	Ч'лв + Tl, 4- 4'L) I

L	J \ naFn	AL	AL ) I

q„L d2Vn„

2дГ„ dP

I ifin sin ‘'o

// qcl~ d2! . qcl d~Z qnL d-W^ , qnL d-4r ,г \

I \ 3g dP ng dP ng	dP zig 0 dt2 /

। £n^n sin v0 / 2qL , л- । n- ^f2 \ _j_
L \ naFn ,e AL	AL )

+ c2) ('F„e + Т;г + -22- т;Л|1

L	/ \ псГ„	AL	AL J} j

(5.189)

Структура уравнений получилась прежней. Если положить с2 = О,
то получим уравнение колебаний стопки с шарнирной пятой.

В заключение приведем некоторые результаты исследования коле-
баний в горизонтальной плоскости стойки с боковыми вантами и с шар-
нирной пятой, выполненного па электроппо-моделирующей установке.

На рис. 73 приведена структурная схема моделирования колебаний
стойки с боковыми вантами в горизонтальной плоскости.
Рис 73 Структурная схема моделирования колебаний стойки с боковыми вантами в горизонтазьной плоскости
На рис. 74 даны зависимости частот колебаний стоики с боковыми
вантами в горизонтальной плоскости от длины стопки для всех пяти
частот колебаний прп натяжении вант, равном 75 мн/м2, q = 2500 н/лг.

фигуре приведена зависимость ча-
ваптамп от длины сгонки в случае

v — 15', Fn = 0,0005 №. Н । ион же
сгогы колебании стойки с боковыми
если расчет встется без учета соб-
ственного веса вант.

На рис. 75 даны зависимости ча-
стот колебаний стойки с боковыми

п — 75 .ин л2:

Г — Х(ю,); 2 — х(о> ); 3 — х(о 1

Рис 75 Зависимость частот колеба-
ний стоики с боковыми вантами в го-
ризонтальной плоскости от натяже-
ния вант при 1г = 10 .и:

I — частота со(; 2 — частота со ; 3 — ча-
стота со.; 4 — частота <•)«: 5 — частота <<>«,;
Ь — частота колебаний стойки без учета
собственного веса ва нт

вантами в горизонтальной плоскости от натяжения вант при длине
стопки 40 м. Здесь же приведена частота колебаний сгонки, вычис-
ленная без учета собственного веса вант, которая пе зависит от натя-
жения.

На рис. 76 показаны графики функции у =	, определяющих но-

Ло

пр тики к частотам колебаний в зависимости от амплитуды, для трех
взаимосвязанных гармоник в функции от длины стойки при о=75 мн/м2.
На рис. 77 приведена осциллограмма колебании стойки длиной 40 л
при q = 2500 н/.u, v = 15°, Fn = 0,0005 л2, lc = 40 л без учета нелиней-
ных факторов.

Рис. 77. Осциллограмма колебаний стойки с боковыми вантами в горизонта ь
нои плоскости при длине стойки 40 м:

п — 75 мн лГ, fl — 250 кГ1м\ F п — 0.0005 .м ; v — 15° без учета иелинеПных факторов

На рис. 78 приведена осцилло рамма колебаний этой же стоики
с учетом нелинейных факторов.

Рис 78. Осциллограмма колебаний стойки с боковыми вантами в горизонталь-
ной плоскости при длине стойки 40 л:

<у — 75	q — 250 кГ’ч. Гп — 0,0005 м-„ v — (5° с учетом нслнпсПных факторов

Очевидно, что учет нелинейных факторов вносит существенные из-
менения в амплитуду колебаний вант в вертикальной п в горизонталь
ной плоскостях.

Колебание вант происходит как в горизонтальной, так и в верти-
кальной плоскостях, что является существенной особенностью работы
такого рода конструкций.
>♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦<

ГЛАВА \ 1

ДИНАМИКА ЛЕНТОЧНЫХ КОНВЕЙЕРОВ

§ 1.	КРУТКОГ ОПИСАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ
ЛЕНТОЧНЫХ КОНВЕЙЕРОВ

.1ситочные конвейеры предназначены для транспортирования грунта
пан отработанной горной порода! при производстве открытых горных п
земляных работ. В последние годы конвейерный транспорт па карьерах
открытой добычи полезных ископаемых получает все более широкое рас-
пространение вследствие существенных преимуществ его перед другими
видами транспорта, обеспечивающими наибольшую технико-экономиче-
скую эффективность.

Магистральные ленточные конвейеры входят в роторные комплексы,
ленточные конвейеры яв шются также транспортирующими органами в
роторных экскаваторах и отвалообразователях.

Благодаря тому, что происходит постоянное улучшение технико-эко-
номических показателей лепточпых конвейеров вследствие роста мощно-
сти приводов, роста производительности п скорости движения лепты,
роста длины конвейеров в о том ставе п длины конвейерных линий,
преимущества конвейерного транспорта становятся все более очевид-
ными.

Вместе с тем становится все более очевидным необходимость обеспе-
чения достаточной юлговечпос гп и надежности ленточных конвейеров.

Сх шественное увеличение скорости движения лепты (до 7-:-9 м/сек).
хвглпчеппе длины конвейеров требуют перехода к качес1венпо новым
меюдам расчета ленточных конвейеров.

Основу новых более современных методов расчета лепточпых кон-
вейеров составляют исследования динамических процессов, происходя-
щих в лепточпых конвейерах как в переходных, так п в стационарных
режимах работы

Применявшиеся ц> сих пор методы расчета лепточпых конвейеров без
учета динамических факторов не отражают де! ствптслыюго характера
п.х работы и не могут дать ответа па многие вопросы, возникающие при
проектировании п расчете скоростных лепточпых конвейеров.

В настоящей главе излагаются основы аналитических методов ис-
следования щпамическпх процессов в лепточпых конвейерах, необходи-
мых для обеспечения достаточной долговечности и надежности.

Основными узлами ленточного конвейера (рис. 79) являются следую-
щие: конвейерная лепта, приводные и натяжные барабаны; отклоняю-
щие барабаны, служащие 11Я увеличения угла обхвата лептой привод-
пых барабанов или изменения направления движения лепты; приводы,
включающие двигатели, муфты в зубчатые передачи; верхние и пижппс
ро шкоопоры, поддерживающие лепту п придающие ей желаемую форму;
ро шкоопоры, воспринимающие давление грунта в местах загрузки кон-
вейера; натяжные устройства, обеспечивающие тоста точнее предвари

Рис 79. Схема ленточного конвейера:

/ — локтя; 2 — приколкой барабан с приводом; 3 — натяжной барабан с натяжным
устройством; 4 — отклоняющий барабан. > — верхние н нижние ролмкоопоры; ь — устрой
стно, нрсдокраняющсс ленту от боковых сходов; 7 — устройство для очистки ленты.

а — загрузочное устройство с ролнкоопорамп дли ленты

тельное натяжение лепты для того, чтобы сохранялась форма ленты
между соседними ролнкоопорамн; устройства, предохраняющие ленту
от боковых сходов; устройства для очистки лепты от налипающих па нее
частиц транспортируемого материала; несущих конструкции лепточпш
конвейеров.

Рис 80 Ролнкооноры ленточного конвейера, установленные пот
углом 20'

Почти все узлы ленточ) ого конвейера за исключением устройств про-
тив боковых сходов п для очистки лепты могут оказывать существенное
влияние па динамику лен точных конвейеров.

Схшествует довольно обширная литература, в которой описываются
копстрхкцни ленточных конвейеров и их узлов, а также рабочие процес-
сы конвейеров. Вследствие этого здесь дается лишь краткое описание
\злов и рабочих процессов конвейеров в гой мере, в которой это пео6м>
димодля понимания дни imiikh леи точных конвейеров.
Конвейерная лента является основным элементом ленточного кон-
вейера. Она выполняет одновременно функции грузоиссушсго и тяго-
вого органа. Лента опирается па роликооноры и огибает тяговые,
натяжные и отклоняющие барабаны. В целях обеспечения большей про
нзводительностн верхней (рабочей) ветви ленты с помощью специально
установленных ро.шкоопор (рис. 80) прпдастся желобчатая форма
(рис. 81). Угол наклона боковых ролнкоонор обычно выбирается рав-
ным 20°. В пос ic.uiee время все чаще стали применять конвейеры.

хгол наклона боковых роликов
в которых равен 30 и даже
45°. Нижняя (холостая) ветвь
ленты может быть плоской пли
слегка ; елобчатой. Расстояние
между ролнкоопорами для хо-
лостой BCIBH лепты значитель-
но большее, чем расстояние
между ролнкоопорами для ра
бочей ветви ленты. В месте за-
грузки, там где материал по-
дастся па лепту, роли соопоры
устанавливаются с значитель-
но меньшим расстоянием меж-
ду нами, чем расстояние меж-
ду остальными ролнкоопорами.

С помощью натяжного уст-
ройства в лепте создается пер-
воначальное натяжение, необ-
ходимое для того, чтобы, во-
первых, была обеспечена несу-
щая способность ленты и ее
форма, во-вторых, достаточная
сила сцепления лепты с при-
водным барабаном для обеспе-
чения передачи необходимого
тягового усилия от барабана к
лепте. Натяжение лепты обе-
спечивает также в значитель-
ной мере устойчивость лепты
против боковых сдвигов.

Прп выборе минимально до-

Рнс. 81 Ленточный конвейер прн транспорти-
ровании кусковатою материала

пусгпмого натяжения лепты в литературе и принятых нормах проекти-
рования ленточных конвейеров предписываются следующие соотно-
шения:

Sraltl>5«7,+ </„)/.

где </.,— погонный вес лепты;

г/,1 — погонный вес груза па лепте;

I—расстояние между ролнкоопорами.

Минимальное натяжение ленты должно быть таким, чюбы макси
мальпый прогиб лепты между опорами пе превосходил величины
(0,02—0,03) /. Большие значения допускаются прп меньших скоростях
движения лепты. Прн разработке указанных рекомендаций и норм ш-
нампческпе факторы в полной мере не учитывались.

П.1ТЯЯ сине лепты изменяется но длине 1опвейсра. В рабочей ветви
ленты горизонтальных конвейеров натяжение уменьшается с увелпче
пнем расстояния от приводного барабана. В холостой ветви ленты гори-
зонтальных конвейеров натяжение увеличивается с увеличением рас-
стояния от приводного барабана. Изменение натяжения лепты ио длине
конвейера обусловливается силами сопротивления, которые приходится
преодэлевать при движении лепты. Они могут быть представлены в ви-
де распределенных по лепте и сосредоточенных в отдельных местах.

К распре деленным силам сопротивления могут быть отнесены
сопротивления вращению ролпкоопор в подшипниках, сопротивления
качению лепты по роликоопорам, сопротивления деформированию сыпу-
чего или кусковатого материала вследствие изменения формы лепты
и формы поперечного сечения материала на лепте в пределах пролета
между роликоопорами. Для наклонных конвейеров к распределенным
нагрузкам относятся также составляющие силы веса лепты п грапспор-
iпруемого материала

К сосредоточенным силам сопротивления относятся сопротивления,
действующие в местах огибания лептой барабанов, сопротивление в ме-
стах загрузки конвейера и сопротивления в местах промежуточной раз-
грузки

Закон изменения натяжения лепты по длине конвейера может быть
принят в первом приближении прямолинейным.

Лепта приводится в движение за счет сил сцепления между привод-
ными барабанами и лептой.

Тяговое усилие IV7, которое может быть передано барабаном и равное
разности между натяжением набегающей н 5ге сбегающей ветвей
лепты, может быть определено по следующей формуле:

(еЦ“с— 1),

где ц — коэффициент, характеризующий сцепление ленты с барабаном;
и,-— дуга скольжения;

kT — коэффициент запаса, равный 1,15—1,20.

Наибольшее тяговое усилие, которое способен передать барабан оп-
ределяется формулой

W = 5сб(ец“ — 1),
где а— угол обхвата лентой барабана.

Основное требование, предъявляемое к конвейерной ленте, — долго-
вечность. Стоимость лепты состав 1яет до пятидесяти процентов стоимо-
сти всего конвейера. Срок службы ленты значительно меньше срока
слуи бы других узлов конвейера.

Основу лепты составляет каркас (рис. 82). В качестве каркаса в боль-
шинстве типов лент служат тканевые прокладки из хлопчатобумажного
пли синтетического волокна (рис. 83). Прокладки часто разделены рези-
новыми прослойками—сквпджамп. Снаружи прокладки защищены от
повреждений обкладками из натурального или искусственного каучука
с высокой стойкостью иа абразивное изнашивание и с достаточной дод
говечпостыо.

В последнее время считается более желательным, чтобы плетенье
ткани выполнялось с прямолинейной прочной основной и редким топким
утком. Прочность в поперечном направлении достигается тем, что в тя-
говый каркас закладываются прокладки из специальной уточной ткани
Аналогичное строение имеют лепты с каркасом из уточно-шнуровой плн
кордовой ткани (рис. 84).

В последнее время в качестве каркаса стали также применять гибкие
стальные тросы из очень топких проволок (рис. 85). Лепты, имеющие
208
Рис. 82 Каркас лепты пз высокопрочной хлопчатобумажной ткани

Рнс 83 Типичные схемы плетспня ткани каркаса ленты

14 Зака в 314

Рис. 84. Схема каркаса ленты с кортовой осно-
вой

2119
кдркас из стальных тросов, обладают наименьшей вытяжкой. Приме
и я ю гея также ленты с каркасом из стальной полосы н с каркасом из
стальной сетки (рнс. 86).

В канатпо-.тен точных конвейерах лента (рнс. 87) желобчатыми ка-
навками опирается на несущие канаты, которые служат также в качест-
ве тяговых органов. Чтобы придать ленте поперечную жесткость, в нее
завулканпзовываюгся специальные металлические поперечные рессоры.

Рис. 85. Лента с каркасом нз стальных тросов

Рис. 86. Лента с каркасом нз стальной сст^н
продольном п поперечном направлении

Излагаемые в книге методы исследования динамических процессов
могут применяться для конвейеров с любым типом конструкций лепт.
Расчетная схема для канатпо-.тенточных конвейеров имеет гу особей
пость, что массу ленты и транспортируемого материала нельзя считать
жестко связанной (даже с учетом коэффициента приведения) с тяговым
органом (канатами). Эту связь
необходимо считать упругой.
Коэффнцпен г, характеризую-
щий жесткость, зависит от пз-
гнбиоп жесткости в плоскости
лепты завулканизпруемых в
лепту металлических рессор.

Прн расчете динамических
процессов в ленточных конвейе-
рах необходимо знать фнзико
механические свойства лепт.
Основными из них являются
модуль упругости лепты Е в
(вдоль основы и вдоль утка), от-

несенный к поперечному сечению ленты пли к единице ширины про-
кладки; модуль сдвига G, коэффициент Пуассона ц, плотность материа-
ла ленты р. коэффициенты, характеризующие внутреннее трение в леп-
те и демпфирование.

Важным узлом лептонных конвейеров является натяжное устройст-
во, обеспечивающее достаточную величину нач ьтьного натяжения ленты

Обычно для коротких ленточных конвейеров натяжное устройство
выполняется винтового типа, тля ленточных конвейеров большой длины
применяется натяжное устройство грузового тина. В нервом случае ось
барабана неподвижна в процессе работы конвейера, во втором случае
натяжной барабан опирается на подвижные опоры; натяжение осуществ-
ляется подвешенным на полиспасте грузом. Расчетные схемы при вывод
пении динамического расчета конвейеров в том и другом случае сущест-
венно различны. С шествуют и другие тины натяжных устройств (канат-
но-лебедочные, гидравлические). С точки зрения расчета динамических
210
процессов в .юнточных конвейерах за наиболее общин тип натяжного
устройства может быть принято грузовое натяжное устройство. В этом
случае в расчетную схему должны быть включены жесткость канатов
полиспаста н масса груза натяжного устройства.

Рис 87. Лента канатно-ленточного конвейера

Переходные режимы работы ленточных конвейеров существенно за-
висят от типа приводных п тормозных устройств.

Привод включает в себя приводной барабан, редуктор и двигатель.
В привод могут входить специальные муфты.

И*	2JJ
Приводные барабаны могут иметь специальную футеровку тля луч-
шего сцепления с лептон. При малых коэффициентах сцепления в пере-
ходных режимах работы может произойти пробуксовка ленты по бара-
бану.

Приводные барабаны получают вращение or электродвигателей
(обычно асинхронных, переменного тока с короткозамкнутым или с фаз-
ным ротором).

Приводы могут быть одпобарабапныс, двухбармбанпые и трехбара-
банные. Здесь излагаются методы динамического расчета ленточных
конвейеров с одпобарабапным приводом. Распространение методов рас-
чета па ленточные конвейеры с двух- п трехбарабанным приводом
достаточно просто.

Если па ленту воздействует продольный силовой импульс, в лепте
распространяется волна деформации со скоростью и, равной

где Е и о— модуль упругости и плотность материала лепты п груза н i
лепте, приведенные к площади поперечного сечения лепты

При включении привода ленточного конвейера движение удаленных
участков лепты начинается лишь спустя некоторое время, за которот
фронт волны от приводного барабана дойдет до данного сечения ленты.
Для длинных конвейеров время прохождения волны деформации по всей
длине конвейера может составить несколько секунд. Форма фронта вол-
ны изменяется по длине конвейера в зависимости от внешних и внутрен-
них сопротивлений деформации и движению ленты и нелинейных факто-
ров, характеризующих фпзпко-механпческпс свойства лепты п взаимо-
связь продольных и поперечных воли деформации.

Поперечные волны распространяются от источника возбуждения со
скоростью, отличающейся от скорости распространения продольных
волн деформаций. Таким образом, по вся масса лепты и груза па пей
приводится в движение одновременно.

Аналогично, останавливая барабан конвейера, мы не останавливаем
сразу всю ленту. Вследствие этою движущиеся участки лепты набегают
па остановившиеся и натяжение лепты может оказаться стоть малым,
что лента потеряет устойчивость и произойдет образование складки
(рис. 88). Выправление ленты при этом требует значительного труда
н времени. Очевидно, что предварительное натяжение лепты и переход-
ный режим работы конвейера должны быть такими, чтобы исключить
возможность потерн устойчивости лептой.

Определение напряжений в лейте и формы прогиба лепты является
важнейшим этапом проектирования и расчета ленточных конвейеров.
Большое влияние иа величину м,п епмальных напряжений в лейте оказы-
вают дополни тельные напряжения, возникающие в пусковых н тормоз-
ных режимах, и напряжения изгиба, возникающие в ленте при переходе
через ролпкоопоры. Последние имеют важное значение при оценке дол-
говечности лепты.

При переходе через ролпкоопоры напряжения в лепте, в том числе
напряжения сдвига, периодически изменяются. Эго может привести
к преждевременному расслаиванию ленты. Переход через ролпкоопоры
сопровождается скольжением транспортируемого матери i ia по лепте,
которое вызывает износ обкладок лепты. Изменение формы и величины
прогиба ленты между ро шкоопорамп, как в продольном, так н в попе-
речном направлении, вызывает деформацию транспортируемого мате-
риала и существенно сказывается на величине сопротивления движению
ленты.
Если загрузка ленты неравномерная, при движении лепты происхо-
дят поперечные колебания. Поперечные колебания ленты могут также
быть вызваны наличием эксцентриситета в ролпкоонорах, колебанием
несущих металлоконструкции, а также продольными колебаниями леп-
ил. Последние в свою очередь могут иметь место не то 1ько в переходных
режимах во время пуска н остановки конвейера, а также и во время
стационарных режимов, если имеются эксцентриситеты в барабанах,
огибаемых лентой. В этом случае при вращении барабана происходят
периодические продольные перемещения ленты у барабана, распростра-
няющиеся вдоль пее в виде волн деформации. Вследствие этого пагяже-
ппе лепты периодически изменяется. Поскольку прогиб лепты зависит
от на 1Яженпя, он также будет периодически изменяться. При резонансе

Рис. ЯК Потеря устойчивости ленты и образование складки при тормо-
жении ленточного конвейера большой длины

в< никнут значительные амплитуды колебании ленты. Наряду с обычны-
ми резонансами могут иметь место параметрические и комбинационные
резонансы.

Существенной характеристикой ленты совместно с транспортируемым
материалом является величина и характер внутренних и внешних
диссипативных сил. От них зависит не только амплитуда продольных
и поперечных колебаний лепты, по также форма и величина прогиба
движущейся лепты. Эта зависимость проявляется тем в большей степе-
ни, чем больше скорость движения ленты.

При расчетах необходимо учитывать, что фпзико-ме.хапические свой-
ства ленты могут изменяться с течением времени всле цтвпе усталости,
старения и вытягивания лепты.

При решспнп задач о динамических процессах в лепте вследствие
того, что ускорения участвующих в них масс имеют сравнительно не-
большую величину, можно принимать массу грунта на lenre, жестко
спей связанной. Однако следует сказать, что такая постановка задачи
является упрощенной. Масса грунта является распределенной по высоте
и имеет ограниченное сцепление с лептон.

Более правильно при составлении уравнений, описывающих динами-
ческие процессы в ленте, оперирован» е приведенными или эквивалент-
ными массами.
Приведенные или эквивалентные массы грунта можно представить
в виде произведения 1ейсгвн1елыюй массы грунта на некоторый коэф-
фициент приведения, который определяется физико-механическими свой-
ствами грунта, высоюй слоя грунта и механическими характеристиками
лен гы.

т = kmd,

где т>- действительная погонная масса грунта;

k— коэффнцпен г приведения.

Определение коэффициента приведения может быть выполнено либо
экспериментальным путем, либо расчетным при представлении грунта
в виде некоторой расчетной модели.

Величина i оэффнцнепга приведения может быть различной При рас-
чете динамических процессов в леше, транспортирующей грунт или отра-
ботанную горную породу, его можно принимать равным 0,7-з-1,0. При
расчете приведенных масс лен точного конвейера естественно необходи-
мо учитывать массу вращающихся ролпкоонор, приводя ее к распреде-
ленной вдоль ленты массе. Приведение следует выполнят!, из условия
равенства кинетической энергии вращения роликоопор энергии двпже
пня приведенной массы, заменяющей ротикоопоры, скорость которой
равна скорости двп кепня ленты.

Ролпкооиоры должны иметь малые эксцентриситеты и хорошую ба-
лансировку, чтобы не вызвать большие вибрационные нагрузки на несу-
щие конструкции ленточных конвейеров и не вызвать больших амплитуд
поперечных колебаний лепты. При динамических расчетах переходных
процессов в ленточных конвейерах обычно все статические сопротивле-
ния движению лепты приводятся к ролнкоопорам и характеризуются
коэффициентами.

Для лен точных конвейеров большой длины величина этих коэффи-
циентов может оказать существенное влияние на напряжение в ленте
прп переходных режимах.

Для регулирования динамических процессов в пусковых режимах ра-
боты ленточных конвейеров могут применяться специальные приводы,
включающие см нерегулируемые муфты, например, гпдрав'1ическпе
муфты, электромагнитные порошковые муфты, электромагнитные муф-
ты скольжения. Имеются попытки программного управления пусковыми
процессами. Выбор н расчет муфт, а также программных пусковых уст-
ройств может быть выполнен правильно лишь в том случае, когда оценка
п расчет динамического процесса в ленте выполнены достаточно точно.
Расчет и исследование динамических процессов в ленточных конвейерах
необходимо выполнять с учетом взаимосвязи приводов, включая эле-
менты регулирования с исполни тельным органом конвейера—лентой.
Только в этом случае можно получить падежные результаты расчета.

Решение задачи исследования динамических процессов в ленточных
конвейерах в настоящее время легко может быть выполнено в указанной
комплексной постановке, если использовать при з том электроппо-моде-
лнрхющне установки и вычисли тельные машины.

На динамику ленточного конвейера существенное влияние может ока-
зать цшампка несущих металлоконструкций, особенно для так ix машин
как отвалообразовагели с стрелой большой длины.

Таким образом, задача полного исследования динамических про-
цессов в ленточных конвейерах достаточно многогранна. Вслс гствпе
этого ниже излагаются лишь основные принципиальные вопросы дина-
мического расчета лептонных конвейеров.
§ 2.	УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ ПЛОСКОЙ ЛЕНТЫ
ЛЕНТОЧНЫХ КОНВЕЙЕРОВ

Плоская конвейерная лепта представляет собой гибкую пластину,
многократно опирающуюся па ролпкоопоры. Желобчатая конвейерная
леи га представляет собой гибкую оболочку, многократно опирающуюся

па ролпкоопоры.

Поперечные деформации конвейерной ленты сравнимы с се толщиной.

Вследствие этого при рассмотрении колебаний лепты следует исходить

пз нелинейной теории гибких

Рис. 89 Расчетный элемент
ленты между роликоопо-
рами

Рис. 91. К определению
• шпы элемента после де-
формации

пластин и оболочек *.

Для вывода уравнении рассмотрим
деформацию лепты. Обозначим через
а — расстояние между ролнкоонорами,
b — ширину лепты н h — толщину лепты
(рис. 89).

Рис. 90. К расчету деформаций
и плоскости ленты

Выберем систему координат следующим образом: плоскость д, у сов-
падает со сре шиной плоскостью лепты в нс сформированном состоя-
нии. Ось .v направим вдоль конвейерной лепты, ось z — перпендикуляр-
но ll.TOCI ости х, у.

Обозначим также через

и— перемещение точек сре miiioii плоскости вдоль лепты;

л — то же, поперек ленты;

о.’ — то же, перпендикулярно поверхности лепты.

Деформации удлинения в направлении осей х, у обозначим через
гд-, г-p. геформацпп сдвига через у.

Ви гелям элемент сре питого слоя с сторонами <Zv и dy (рис. 90).

Перемещение точки А с координатами х, у, будет и, v; перемещение
п	, ,	.	ди .	.	ди .

точки В	с координата ин х Ч- dx, у оудст и	Ч-dx, v Ч-dx;	перемещение

дх	дх

1ОЧКП С с координатами х. у Ч- dy будет и + — dy, v +-v- dy.

ду ' ду

* В о л > м и р У. С. Гибкие пластины и обо ючки. М ГТТИ 1966 г
Из рис. 91 новая длина стороны dx будет равна

llSl=ла = iZ (dx+4- dx у -|- (-^dx у* =
У \ дх J \ дх J

.(1,0 ди / ди \2
dx 1+2 -- , I - 1 •+

I дх \ дх )

ду
дх

ди \2 / ди \- |
дх )	\ дх ) _ J

(6-1)

(6.2)

dst = dx [ 1 + у

Относиie.ii.noe удлинение в направлении х в згом случае будет равно

е'

dsi — dx
dx

I / dv

2 I dx

(6.3)

Полагая, чго информация в срединной плоскости достаточно мала.

получим

ди

дх

(6.4)

Аналогично можно полу чип.

е

dv
ду

(6.5)

Деформацию сдвига у можпо определить из рис. 90
, dv , du
v_v.+%= —+—.

(6.6)

Определим теперь деформации, обусловленные прогибом.

Из рис. 92 получим, чго квадрат новой длины элемента dx будет

и/

Z

Рис 92 к

расчету

деформаций ленты псле ictbiic
изгиба

7’/

w' аГа*
В

(ds,y = (dx)2

Квадрат
элемента dy

(ds2y = (dy)2

w'a^y

НОВОЙ
будет

(6.7)
длины

Отсюда
ds.. — dx

Oy ) Г
(6.8)

I / ды

2 К дх

ds' = dy 1 4

Деформация в направлении х
- ds, — dx
е = —--------------------------

х dx

L ( fa

2 dx

(6-9)

(6.10)

(6.11)

аналогично

.	d>2 — dy

~ dy

JL ( fa V
2 \ dy )

(6.12)

Деформацию сдвига можно получить из треугольника А2В2С2. Пусть
угол между сторонами dx и dy после деформации будет ------у. Дли-

ну стороны В2С2 находим пз следующего равенства

(ds2)2 = (dx)2 + (dy)2 + (-~dy — -^~ dx
\ dy dx

((>.13)
Поскольку по теореме косинусов

(ds3)2 = (ds2)2 + (ds')2 — 2dseds' cos — y^;

(Л	\	дю <)ю

-----V I ~ у, получим у =---------.

2	/	дх ду

(6.14)

(6.15)

Таким образом, получим следующие уравнения, определяющие де-
формации срединной поверхности ленты

е,

(G.16)

(6.17)

ди . dv , ды дю

у =-------!------1--------

ду дх дх ду

(6.18)

Дифференцируя первое уравнение два раза но //, второе два раза но
, третье одни раз но х, другой р« з но у, после некоторых преобразова-

Рис. 93. Напряжения в лейте
вследствие равномерной теформа-
цнн по толщине

Рнс. 94. Напряжения в ленте
вследствие изгиба



ний получаем так называемое уравнение совместности или неразрывно-
сти деформации

d2vx	d2fy	d2y	/ ffiw

ду2	дх2	дхду \ дхду

d-ю й2ю
дх2 ду2

(6-19)

Для случая, когда лента имеет начальный прогиб w0, уравнения
(6.1G)—(G. 18) будут иметь следующий вид:

е

ди_ д.

’ дх 2

_ dv , I

У Оу ' 2

е,

д(ю0 + ю)р

дх

d(w0 + юШ

Оу J

_1_ ( У'

2 \ дх ) ’

_ ди । dv j д(ю0 + w) д (ю0 -|-ю) _ _дю„ дю0
ду дх	дх	ду	дх ду

д2гх	д2^  д2у = Г д2 (wa + ю) ]2 _ ( ^Юр у _

Оу2 дх2 дхду

дхду

_ д2 (ю0 + ш) д2 (ю0 + а>) сЯЮр

дх2

ду-

дх2

о
дУ

(6.20)

Перендсм к выводу уравнений равновесия ленты.

Напряженное состояние лепты можно представить как состоящее из
двух: первое— равномерно распределенное по то ццине (рис. 93), а вто-
рое — напряжение изгиба (рис. 94).
Внутренние силы, действующие на единицу длины лепты, будут
определяться еле тующнмп выражениями:

+4

Л1Д — j °xuzdz;
h

2

+4

Му = J
h
T

(6.21)

изгибающие моменты (рис. 95);

(G.22)

Хналогпчно можно потупить

11 = xltzdz— крутящий момент;
h

~~2

(6.23)

моментов в ленте	Обозначим через— интенсивность

внешней нагрузки, in — сре иною плот-
ное ib материала лепты. Для пологой оболочки и пластинки при состав-
лении уравнений равновесия по координатам х, у можно исходить из
недеформпрованного состояния. При составлении уравнений равновесия
по координате z необходимо исходить из деформированного состояния.

Действующие па выделенный элемент усилия показаны на рис. 96;

<7<о — натяжение лепты.

Приравнивая нулю сумму проекций всех сил па ось х, получим без
dOrn dty vn

счета юстаточпо малых членов —— и у
дх ду

в*о +	+-Vе"d*] h dy — [=х0 + °х1л dy + (т + -^-dy\h dx-

дх J	\ dy J

— xh dx — tn hdxdy = 0;

dax , dx	cPu	n	.„

— — H---------tn-----=0.	(6.26)

dx dy	dt"	V

Ana.ioi Нино из условия суммы проекций всех сил на ось у

doy
~д^

<Pv

dp

0.

(6.27)

т — =
Составляя уравнения моментов всех сил относительно линии, лежа-
щей в плоскости левой грипп н параллельной осн у, получаем

(Мх + dx\ dy — Мх dy+(li+ — dy} dx — Hdx —

\	dx /	\ dy /

— (q tnh dx dy —-------------dtf dx —-------(Qx +	dy dx +

V dt- J 2 dy	2 k * dx )

+ 1л — (—dx dy 0.	(6.28)

x dt2 \ dx J

Pnc. 96. Cx ма усилий, действующих па выделенной элемент ленты

Отбрасывая малые высшего норядк , получим

(И1Л dff nt d2 ( du X n	zr on

- —4---------Qx4-/,/;z — ( ] = 0.	(G.29;

dx dy x x dt- \ dy J

Хпалогично из уравнения моментов относительно осп х

=0	(G.30)

dx dy J ' dt- \ dx )

Составим теперь уравнение проекции енл па вертикаль для элемен-
та. находящегося в изогнутом состоянии (рис. 97, 98).

Суммируя проекции всех сил после деления на dx dy, получаем
без учета начального прогиба
Соотношения между деформациями п напряжениями определяются
следующими уравнениями:

а) Для равномерно распределенных напряжений

(6.32)

(G.33)

(6.34)

°Х —----------(ех + PaEv);

х 1 —f yh

i Р1Н2

(G.35)

(G.3G)

т = Gy.

Для напряжении вследствие изгиба

Ez I
cxu —-------; I -- -

1 — Md*2 \ дх-

Ег ( д'-ю
Оуц —-----------I    П

(6.37)

дгш
ду-
дгш
дхг

(6.38)

(6.39)

_2Gz-^-
дх ду

Здесь

(G.40)

Е\ и Е2— модули упругости в направлении .г н в иаправтенин у;
pi, J’2— коэффициенты Пуассона.

Рис. 97. Схема сил, действующих на эле-
мент ленты в изогнутом состоянии в пло-
скости г, х

Рнс. 98. Касательные усилия, дей-
ствующие па изогнутый элемент
ленты

Изгибающие п крутящие моменты определяются следующими форму-
лами:

(6.41)

(6-12)

(6.43)
le	d —	£y,,s	(6.44)
	12(1 -	
	I)2 = 	;  12(1-PiP.,)	(6. 15)
	Dk = - Gh3;  12	(G.1G)
	Di[i.. = D it	(G.47)

Поперечные силы Q, и Q4 определяются но следующим формулам.

г. д ( д-и.’	d-w \	<) / д2^ X	. d- ( Нш \

Q. = — Di — I----- Нц )— 2Dt—(-------------------} + /zm-----(----). (G.48)

dx \ dx-	dy2 )	dy \ dx dy )	dt2 \ dx )

Вводя обозначения

/)3 =	4 2Da,	(6.49)

получим у равнения

Обозначим

A1 1	— H1P2 ’				(6.53)
					(6.51)
1	— Pll‘2 ’				
At	= G.				(6.55)
Пз (G.26) и (6.27) бу'де.м иметь					
A^ + Zejp.^ dx	dx	‘3 dy	d'2u  Hl	  dt2	6;		

/г н + k„ Я Д>„	— щ — = 0.	(G. 56)

‘ dy dy dx dl2
Используя соотношения (6.16) (6.18), но (учим

д'и

*[ ~дхд

' д2и

'' L ду2

д2и ,

’ dw д2ш

дх дх2

<)2и	,

&V

dw д2цу

дхду
d2w

|	“ [ дхду

d'2w dw [ dw
dx dy dy dx

ду дх ду

iftw "I	<Fu „

----- — in------= 0;
dy3 J	df2

‘ d3v , dw d2s>

д2и

dx dy dx dy dx

d3v , d2w dw

[Л/2

dw d2w

ду ду-

_ дхду

дх2 дх3 ду дх дх ду

— т

— = 0;

dl-

(6.57)

Orcio.ui

Для случая, когда имеется iiana.ibiibii'i прогиб, имеем
+• и

ди . I ( да \- . да с)^'о

-----1— I — ) Н--------------

дх 2 \ дх ) дх дх

) д- (а> + te0)

>°1	<>№

д2и

7х-

д*а

div д2а

да д2ап

дап д-iv

। да

ду дх ду

д-и

дх
д^’о
ду
да

дх2

<92ш

дхду

ду2

ду ду2

да д2а
дх дх ду

дх дх2
да д2а0

дх дх2
, да.

d2v
дхду

ду дх ду
, да0 д2а
ду оу'
дав д2а ,

дх
да д:ап
ду ду2
да Й2СС'О

— П1 — I.()
dt2 j dx

Г д2и

дх ду

дх дх ду

дх дх ду _

доу(,
ду

X

d2v I д (а + ~'п) _ 2Д ( ди
dt2) ду	3 \ ду

dv । t)fu’o + u-) д(х-„ +«)  д*ц

дх их ду	дх ду

(6. (.(I)

Для случая, когда имеется начальный прогиб, имеем также

А>	1 й2“ -1	да	д-а	да	д2а0		д2а	1 _L k и I	-L	да	д-а
	1 дх2 1	1 дх	дх2	дх	дх2	1 дх	дх2 .	1 'Ч >2	, , Ч  J	{дхду	ду	дхду '

, cte cPu-o ,	да,, д-и "] , t [ д2и ,			дГ-а ,	д2а	да ,	
1	,	-1 л	'  ду дх ду	ду дхду J ' ' 3 [ ду		« 1	дх ду	дх ду	ду	
. ди) д-и)  дх ду2	. д2а	дав	да  ду	дх		. , д2.	уп да	+	
	дх ду		ду2	1 дх ду ду			
	।	<^П	3tWa 1 т	д2и	= 0.			(6.61)
	1 дх	ду2 J	dt2				
L дхду	, да	д^а	д2а  1 ду	дх ду	дап	да	д2а0	h	
	дх д		дх	‘ дх	дх ду		
, , Г <r-v		д2а	д2а	да,,	, да  1	д^-а^ 1	+	
1	-[ ду2	1 Ох	ду2	ду2	ду		ду2 J		
-1- k F д2“	d2v	д2а да ,	да	д-а	д2а ।	fc'n	
1 а| дхду '	дх2	дх2 ду '	дх	дхду	дх2	ду	
। да д2ав	1 &ts>B	да , да„	д2а		d2v	-0.	(6.62)
дх дхду	дх2	1 ду	дх	дхду		di2		

§ 3. ВЫВОД УРАВНЕНИИ КОЛЕБАНИИ ДЛЯ ЖЕЛОБЧАТОЙ ЛЕПТЫ

Желобчатую лепту можно представить как гибку о пологую нилпп 1-
ричсскую оболочку с начальными прогибами, сравнимыми с толщиной
оболочек, приводящими ее к оболочке с ненулевой гауссовой криви.июн

г=^кхку^о,

где Кх—кривизна оболочки в нормальном сечении по х;

Ку— кривизна оболочки в нормальном сечении по у.
Выберем координатные липин .г и у таким образом, чтобы они совпа-
дали с линиями кривизны срединной поверхности. Координату z будем
отсчитывать по нормали к поверхности, считая z положительным по на-
правлению к центру । рпвпзпы. Перемещения точек срединной поверхно-
сти вдоль линий х. //, z обозначим через и, v, и.

Начальные кривизны линий х, у обозначим через КЛ, Ку.

П\сть ра тиус кривизны элемента,
после «формации будет рх — w.

Относительная деформация в этом

(рж — а>) ДО — Рх«/0

первоначально равный

случае будет равна

а)

РЛг/()

Рх

= — &КХ-

(6.63)

Аналогично чтя

направления у

еу=: —

(6.64)

Таким образом

Рис 99 К определению изме-
нения кривизны при дефо nia-
iiiiii желобчатой ленты

уравнения для деформаций срединной поверхности
будут иметь следующий вид:

ди v \ ( да) \2

ех = -Г
дх

до

Еу~ ду

ди

Kuw

до , да) да)

у =	+ —г- + ~;—г

ду дх дх ду

(6.63)

Уравнения совместности деформаций по-
лучают следующий вид:

д2е.

д~гу

ду2 дх2

д2^ д2ю

д-у	I d-w

дхду	\ дхду

дх2 ду-

„ d2w „ д‘^)

()и-	их2

Обозначим через x.v, x(Z
op типа гпые липни х н //, а
Для пластинки имеем
д-а>
ух —-------------------’

дх2

изменения кривизны,
через х «кривизн}»

(6.66)
которые получают ко-
кручепия поверхности.

д2и)

~д^~'

д2а>
дхду

(6.67)

Кх

2

у

Из рис. 90 имеем

w

Дх, =

И'

Рх

РА — w

Рх(Рх —W)

(>’-

(6.68)

Гакнм образом

у

<9!ю

дх2

д2ш

ду2

dlw
дхду

Рх

W

Рр

(6.69)

(6.70)

(6.71)
Для оболочки с начальным прогибом будем иметь

ди „

------Kxw
дх

d (a> h to„)
dx

dv „

fy = -----KyW

y ду И

dp-| tt>0)
d‘J

12

2

du	dv

dy	dx

д (to + ton) d (ц> + Юп)

дх

ду

dw0 dw0
dx dy

(6.72)

Уравнение совместимости деформаций

d2ex d2erz d2y

dy2 dx2 dx dy

*(Х) 1 u>n) I2

д- (w а>0)

д2 Ро +	, iFwq

dx2

ду*

дх2

dx dy J
d^o yr

CPw

ду’-

Ку

d'-^J

дх2

(G.73)

Идя тем же пулом, что п для плоской лепты, получим следующие
уравнения колебаний желобчатой лепты:

d;K

dx'2

? dw	dw

x dx	dx

d'-и . d2t>

d2w
дх2

d2v

дх ду

Ку

dw . dw d2w

ду2 дх ду

d2w dw	dw d2w

dx dy dy	dx dy2

dx dy dxdy J

—/и-^-= 0; (6.74)

dt2

/г2р

d2u
dxdy

„ dw	dw

Л,---- t----

ду	d“

d*w

дх дх ду

д2и

d'2v , d2w dw

| d2v j. dw
L ду2 y ду

ди d2w I

дхду

дх'2

dx'2 dy dx dx Oy

т

dw d*w 1 .

T- —----	+

dy dy- J

^- = 0; (6.75)

Di-^-+2D3

dx*

d*w

№

дх* ду2

ду*

- KXW +

- Kyw

dw д2а>

d2v

д

[ dx*
dw d*w

dx

dax0 i

дх дх1

дх ду дх

(KyW) +

ду дх ду

дх

-Kvw -h

'2г'1

du
dx

X

02w
dy2



dKtl
dy

&w

dw	dw

W — Ky—+— ...
dy	dy dy-

д2и

Ых ...

, do tin
4----— rn

dy

. d2w

q — mh-------

4 dl2

dx dy

d2v I]
dl2 Jj

Ox

dy
dw

2/U^-
’ I dy

d2 ( dw
dt2 \ dx

dw . dw d-w T
-----1------------
dy dx dxdy J

du	dw dw "I

л--------1----------

dx	dx dy

д (г <l2
/I '>u I y di2

dw
dy

15 Заказ 3|4

(6.76)

225
D1^L + 2D3-^
дх*	дх2ду2

+D2

ду* LI L <5-*

2 dw dw„
ду ду

dw
дх

+ °хо | - Кх +	) + к Г  ------М +

) \	дх2 )	(	[ с)х2 дх

dw d2w &2w dwQ , dw d*w0 1 . < Г 02v д ... . , dw d2w
+-57 «-+	+ 777^| + ^=

ДРхо  7 <Ри

дх	\	J/2

Ф 4 Wq)
dx

-%--K^ +
dy J L dx

ду дх ду дх ду

d2wn d2w dw0

dw
dy

dw
dy

4 У4У+-^-^-1+«J (- k,+	)+

2 \ dx / dx dx J * J \ y dy2 /

{, Г <92u dKy v dw dw d2w . d2w dwB dw d-w0
“ [ dy2 dy	y dy dy dy2 dy2 dy dy dy2

. , Г d2u dJ\x ix dw dw d2w dw d2w0 . d2w dwn
[ dx dy dy	dy dx dx dy dx dx dy dx dy dy

dQyo _______7rH _d2v \ 3 d (u1 + tci0) _______________2/? Г du

dy \ dt2 /I dy	3 | dy

dw dw
dx dy

dw dw0
dx dy

dw
dy

d2 (w 4- tt'p)
dx dy

।	l d2w

+ q — mh------

4	dt2

§ 4. ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОНВЕЙЕРНЫХ ЛЕНТ И УПРОЩЕНИЯ
УРАВНЕНИИ КОЛЕБАНИИ

(6.77)

Конвейерная лента, выполненная на тканевой и кордовой основе,
имеет переменный модуль упругости, зависящий от натяжения ленты,

Рис. 100. Кривые нагрузка —
деформация для ленты с рези-
новой обкладкой н без нее

а следовательно от деформации ее (рис. 100,
101). При этом зависимость тем существен-
нее, чем меньше натяжение ленты. Если ось
х направлена вдоль конвейера, то 0x0=# 0;
0vo = 0.

Существенной особенностью ленты яв-
ляется то, что можно считать, что лента

практически пе воспринимает крутящих мо-
ментов. Значение коэффициента Пуассона

практически можпо считать равным нулю.

Значением пперционных нагрузок ио
направлению коордпнаiпой липни у мож-
но пренебречь.

И ня в виду указанное выше, уравнения
колебаний лепты приобретают такой вид:

I. Для плоской лепты

д2и	, dw d2w 1 d2u

...	. _|------- — т---------------------

дх2 дх их2	dl2

с>2о	dw d2w

ду2	ду ду2

=-0;

(6.78)

(6.79)
Рис. 101. Кривые нагрузка — деформация для бслтинговой ленты

С учетом начальных прогибов

, Г । <FW ।	<^'o

dx2 dx

i Г d2f
k.,--------

~ L dy~

dx2

дх

Dt-^

дх*

2

dw d2w
+ ~dy~ dy2
^ = a[(z
dy* [I
) d2 (w + a-'p)

dx2
dw

, dwB d»w

+ dx dx2
d2wB , dwB

d2«	„

— m---------= 0;

dt2

(6.81)

d2w

ду ду2

dy dy2 J

\2 j dw dwB
dx / dx dx

(6.82)

xu I dx2
dw dwB ] ] d- (w -|- tt'„)

Оу ду J J

ду1

dw d2w j dw d2wB
dx dx2 dx dx2

dwB (Fw cta.ro ________________m d~u | d (w 4- w0)	. Г d2v

дх дх2 P dx dl2 J дх I 2[ dy2

dw d2w dwB d2w

dy dy2

dy dy2

dw
dy

d_(W0) I	h^w

dy1 JJ dy J 4 dt2

. d Г.	d2 ( dw \ 1 । д Г r	d2 / dw \ ~|

4---Ixm-------f----) H-----Lm--------1----) .

dx [	dt2 \ dx ) J dy |_ * dl2 \ dy / ]

2. Для желобчатой ленты

(6.83)

д*и
дх»

dw

dx

dw d2w

dx dx2

— m

d2u
~dP

= 0;

d2v	dw । dw d2w

dy2 y dy dy dy2

(6.84)

(6.85)
= h

I / cto \2"l
rl’dTJ I

+D., №

<).?«	- dy*

ди гл

-----Kjv +
dx

tl/C;,.	., du

—*-w — Kx — +

Ox	Ox

С учетом начального прогиба

д2и „ dw dw (Fw . Ow i)’2a»0 Owo t)2»

Ox2 x Ox Ox Ox2 Ox dx- Ox Ox2

(6.87)

02v ftj Ou 02u

------i\v--------1------------

</y-	" Oy Oy Oy-

OK, „ 0u> du d2u <Fu 0ue

-----± w — K*----- 4-----------1---------°

Ox	Ox Ox Ox2 Ox2 Ox

du 0“Uf)	li~W OUft	Q.

Oy	Oy2	dy2	Oy

Kw + — (—Y 4- — -^2-
x 2 \ Ox / Ox Ox

(6.88)

+

д'- (и uv)

dx2

02u

Ox2

d~wn
Ox2

dK„
dy

+ q — mh

dax0 _ / d2u \T <) (o> + ^o)

Ox	dt2 JI Ox

,2	du Ou)o 1

’	dy	Oy |

Ou	Ou d2-^

Oy	Oy Oy2

d2u 0	.

------------fx,n
dl2 Ox *

_rf-
dt2

+ ^2

Kptt» +

02 (tc 4- K'o)

dy2 )
du)ft Ou O'-

dy2 dy Oy

diz< \ |	d

dx /j	dy	'

Oy2

d2

d2v

dy2

dy

du \ 1

dt2 \ dy

(6.89)

§ 5. УПРОЩЕНИЕ УРАВНЕНИЙ И ВВЕДЕНИЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫХ
НЕЛИНЕЙНЫХ ЧЛЕНОВ

Для реальных конвейерных установок перемещения v весьма Мали
по сравнению с перемещениями it п ими можно пренебречь. Можно счи-
тать также значения Д2 и Е2 равными пулю, поскольку в направлении у
о1с\1сгвует натяжение. При милых натяжениях лепты модуль упруго-
сти ее значительно меньше, чем модуль упругости ленты при нормаль-
ных натяжениях. Будем также счтать кривизну лепты в продольном
направлении равной нулю н решать тадачу, исходя из начальных про-
гибов.

Изменение натяжения лепты достаточно медленное, так что

дх

можно положить равным пулю.

228
При сделанных предположениях получаем следующую систему диф-
ференциальных уравнений в частных производных, описывающих про
юлыю-поиеречпые колебания ленты:

(6.90)

(6.91)

Уравнение (6.90) описывает продс н>ные колебания в лепте; урав-
нение (6.91) описывает поперечные колебания в ленте. Эти уравнения
оказываются совместными и образуют систему ввиду наличия нелиней-
ных членов. Таким образом, продольные и поперечные колебания лепты
оказываются взаимозависимыми. Поперечные колебания ленты могут
вызвать продольные колебания и продольные колебания лепты могут
вызвать поперечные колебания. Очевидно, что наиболее пежетательпым
является переход энергии продольных колебании лепты в энергию по-
перечных котебаппй. Расчеты показывают, что обратный переход энер-
гии колебании от поперечных к продольным не вызывает значительных
юполпнтельных напряжений в лепте. В дальнейшем расчеты прово-
дятся без учета взаимосвязи между продольными п поперечными коле-
баниями лепты. Учет влияния продольных колебаний па поперечные ко-
лебания ленты дан в § 14.

При выводе дифференциальных уравнений колебания конвейерных
лепт в целях упрощения математических выкладок определение зна-
чении гравитационных и инерционных сил производилось тля эле-
мента dx, dy исходя из выражений

dm = mh dx dy,
dq q dx dy.

Более точные уравнения можно получить, если принимать во внима-
ние изменение длины лепты при прогибе. В этом случае опре юление
гранигационпых п инерционных сил следует выполнять по формулам

dm —

2

21	,

dx dy.

(6.92)

В этом случае упрощенные уравнения продольно-поперечных коле-
баний запишутся следующим образом
Из уравнений (6.90), (6.91), если пренебречь нелинейными членами
можно получить раздельно уравнения продольных колебаний и уравне-
ния поперечных колебаний лен гы. Учитывая, что коэффициент Пуассона
для лепт мал, эти уравнения можпо записать в следующем виде, пола-
гая, что перемещения груза при деформации ленты не влияют па вели-
чину упругих хара сгеристпк ленты.

Уравнения проЮЛьпых колебании ленты

с d*U	d*u	п

Е----------р--------= 0.

дх-	dt*

Уравнения поперечных колебаний ленты

(6.95)

(6.96)

------------°о--------Ь р'	
F дх* дх*-------------dt*

В этих уравнениях:

Е—приведенный модуль упругости ленты;

F—площа ц> поперечного сечения лепты;

/—момент инерции поперечного сечепня лепты;

/' — момент инерции поворота поперечного сечения груза и ленты;

р — погонная масс.) груза и лепты, отнесенная к поперечному сече-
нию лепты:

р' — погонная масса груза и ленты, отнесенная к поперечному сече-
нию лепты и груза;

q—погонная нагрузка на лепту;

оо — начальное напряжение ленты.

В уравнениях колебаний лепты не были учтены диссипативные си-
лы (см. § 8).

§ 6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТОТ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
КОНВЕЙЕРНЫХ лент

Определение частот продольных колебаний конвейерных лент отпо-
ен гея к задачам динамического расчета, которые сводятся к расчету
системы, состоящей из распределенных и сосредоточенных масс. Рас-
пределенные массы соответствуют рабочей п холостой ветви конвейер-
ной леигы. Сосредоточенными массами являются приводимые к лепте
массы натяжного п приводного барабанов, а также масса натя лгого
груза. Сосредоточенные массы опорных роликов могут быть включены
в распределенные массы лепт. Знание частот колебаний позволяет све-
сти задачу динамического расчета к исследованию простейших механи-
ческих систем, состоящих из упругих связей и сосредоточенных масс, что
значительно упрощает решение задачи.

Рассмотрим вначале простейший ленточный конвейер (рис. 102), со-
стоящий из приводного и натяжного барабана и натяжного груза.

Введем еле ivioimic обозначения:

.v — координата вдоль транспортера;

«|(х, /) — перемещение точек рабочей ветви лепты при деформации;
z/o(.v, /) —перемещение точек холостой ветви лепты прн деформации;

pi — погонная плотность рабочей ветви ленты с материалом, отне-
сенная к поперечному сечению ленты;

(>2 — погонная плотность холостой ветви ленты;

S — площадь поперечного сечения лепты;

«ь а2 — скорость распространения волны деформации для рабочей н
холостой ветви лепты;

£i — модуль упругости рабочей ветви:
Ei—моду ib упругости холостой ветви;

ft — толщина лепты;

/ — длина транспортера;

/1 — момент инерции натяжного барабана;

ri — радиус натяжного барабана;

/2—момент инерции приводного барабана п привода,приведен-
ные к осн вращения приводного барабана;

г2 — радиус приводного барабана:

т — масса натяжного груза, приведенная к координате х.

Рассмотрим сначала задачу в предположении равномерного раенре-
юлепия материала по ширине ленты.

Уравнения бегущих волн деформаций для рабочей и хо остов ветвя
лепты имеют следующий вид:

= Е, дг», .

dt- Pj dx* ’
^2	Е2 d tin	Л».

dt-	p2	dx-

пли

_ a2 дгЩ .

dt- 1 dx1 '

_^±_ = q2_^_. (6.98)
dt2	dx* v ’

Рис 102. Расчетная схема конвейера при определении
частот продольных колебаний

Модуль упругости для рабочей и х< тосгой ветви примем одинаковым
и постоянным

= Е2 = Е.

Граничные условия определяются следующими соотношениями:

Ищем решение в следующем виде:

tti =	(х) (Д cos pt + Ex sin pt);

и., = U2 (x) (A2‘cos pl + B2 sin pt),

(6.100)

где

Ux (x) =Cx cos	+ Dx s in ;

ei

U2 (x) = C2 cos -f- D2 sin .

a2

at

(G.101)


Подставляя значения щ и и? в уравнения (6.99), получаем

SE I — /Л — — о..] =	(— С. + С»),

I Я1 «2 I 2г]

SE L\ +	D-. j =	(— Ci — С.,);

SE-------— Cjsin + — D±cos + — C2sin —------------------------— Dv cos -^-1 =

Ci	«1	«1	«1	о..	a.. a_ ~ a2 J

= -~2~ fCiCOS + О, sin-p— ;
r2 X	al	°I /

Ci cos + E>i sin = — С., cos —--------------D., sin .	(6.102)

G1	G j	U2

Имея в виду, что

Е = aipi — «4»2,	(6.103)

вводим обозначения:

i’Pi/ = Mt',

____11___ — ___11 _ = = /?<>;

—— = — = /г3;	= <Г1;	= <р...	(6. 104)

2Sp,Z 2М,	3	«,	11 «а	’

Получаем следующую систему уравнении:

kiCi — Д.С.+- Di — — 1/ -^-Ц, = 0;

4’1	*Р1 г Pi

^3^1 4* ^3^2 Ч---^1 1------1 /	^2 ~ 0;

«и 41 V р»

(----—sintpj — k> cosqy^ Ci 4—— \/ sin<p.,Co -|-

\	4i	"	/ 4i F	P2

+ I — cos tpi — k> sin <| Л Di----— 1 / -^1- cos <p2^2 = 0;

\ <Ti	/ <Ti V P2

cos cpjCi + cos q’2Cs 4- sin tpi sin <f?D2 — 0.

(6.105)

Условием существования нетривиального решения полученной систе-
мы уравнений является равенство нулю дегермннапга системы (6.106).

		—	1		
			<P1	44 F Pi	
^3		^3	I  •Fi	—  4i V Pi	0 (6.106)
1  	 sin <| ! — *Рх	1  Ф1	I [ Pl  » 7Ts,n’'*	1 	cos 4 , -  4i	"7	ф2  4’i r Pi	
— k„ COS ср J			— k„ sin 4		
cos цд		COS (jpo	sin cpI	sin 4 2	

Таким образом получаем

.характеристическое уравнение, решая ко-

торое, будем иметь значения р частоты колебаний.
В раскрытом виде характеристическое уравнение имеет следующий
вид:

2'11

cpi (Ai— /^i) + 4'1	(/<6 Ai)—

Р»

— 2&|£о&з»Р?| si” (Pisin <р» +

2

>P1

-El-(2/^34-*A4-A’A)-
Рг

sin <p! • cos ср» 4- [<( ? (2^ + kik, 4- /г./г») —

-fi/"1 + -Р,У

\ У p2 Р» /J

sin ср» cos ср, —

— 2<P1

Pl (kx 4- k* 4- ks) cos cp। • cos <p» = 0.

Рассмотрим ряд частных случаев.

а)	Случай kx — 0. Моментом инерции натяжного барабана можно
пренебречь. Характеристическое уравнение имеет mil

sin q t sin cp. +

sin 4, cos ср»

-1 4- — ) sill cp.COScf! —
Р» Р» 'J

— 2q>!

’jCOSCfjCOS ([., = 0.

(6.107)

б)	Случай k3 = оо. Конвейер с винтовым натяжным устройством

sin <p! sin cp2 +

COS <P! COS (p2 = о.

sin <| j cos ср» 4 q j (2£i 4 /г») sin ср» cos cpt —

(6.108)

в)	Случай k3 = оо, р2 = (>|. Конвейер с типовым натяжным устрой-
ством без нагрузки

1 4-П—й1^»<р/] sin2cpx 4-<р! (2А’! 4-fc,)sin (p!COS<p! — cos2 ср! =0 (6.109)

или

[2 - £,/г2<р?] tgcp, 4- (2kx 4- A.-) 4 i = 0;	(6.110)

tg(p! = (2fe| + fe2),l> .	(6.111)

ktk.,q>2 —2

Уравнение (6.110) совпадаете решенном задачи для распределенной
массы, несущей по концам сосредоточенные грузы.

г)	Случай k3 = оо, kx = 0. Конвейер с винтовым пагяжпым ycrpofici-
вом; моментом инерции натяжного барабана можно пренебречь

2 I X -Р,-4- fl 4- — sin <рх sin ера 4-^,<Г1 1 f —siiupicos<p»4-

I р» \ р» )	у р»

4-^2 sin Ср2 COS<P!-21/"^ COSCP! cos ср» =0.	(6.112)

J Ра
Другие частные случаи получаются столь же просто.

Учет неравномерной по ширине загрузки транспортерной ленты мож-
по произвести еле ующпм образом. Упругая характеристика транспор-
терной ленты обладает той особенностью, что модуль сдвига лепты много
меньше модуля упругости ленты на растяжение — сжатие. Ввиду этого
транспортерную лепту можпо представить состоящей из большого коли-
чества узких транспортерных лепт, имеющих равномерную загрузку
по ширине.

Учтем здесь также, что усредненный модуль д 1я рабочей ветви ленты
отличается от усредненного модуля холостой ветви ленты.

Положим, что

Ei—Eiti,	(6.113)

где п— коэффициент, зависящий от среднего натяжения рабочей и хо
лостой ветви.

Для принятых предположений граничные условия для системы урав-
нении (G.99) запишутся следующим образом (вводя координату у, пер-
пендикулярную направлению движения ленты, и обозначая ширину лен-
ты через 2Ь)
+ь

1 Г 7 ди, X j _ п 7 диа X = Jt 7 д2^   д*иа X

2b J X дх )х=о ' X дх )х=о	2r^SEi X &1~	дР 7 *=<>’

• ь

1 I' / ди\ \ j 1 nf^ut\ = т ( дг<<1  d*ut X

2b .) \ дх /х=о J \ дх /*=о 2SE, X дР дР )х=о’
—ь

{И1)х=1 = (—ti2)x=Z-	(6.114)

Пз условия отсутствия скольжения транспортерной ленты по бараба-
н\ имеем

G (у) = G = const;

Ci cos —-----1- Di (y) sin pl - = Д = const.	(6.115)

(>/) (>/)

Отсюда

Ci(!/)=-------------------(6.116)

pl , Pl
sin—- - tg——-
(>j)	(y)

Здесь

Ui = (7i (x, у) (Д cos pt + В sin pt);

ii» = U2 (x, у) (Л cos pt 4- В s in pt);	(6.117)

(7i (x, y) = Ci cos	4- Di (y) sin —px -;

°i vj)	°i (>/)

(78 (x,//)=(72 (x) = C2cos-^- + D2sin‘-^- .	(6.118)

a2	a2

Подставляя искомые решения (6.117) в уравнения (6.114) и учитывая
условия (6.115), аналогично предыдущему, получае.м следующее харак-
теристическое уравнение (6.119), определяющее значения частот
колебачшп.

Полученное характеристическое уравнение достаточно общее. Это
уравнение, а также уравнение (6.106) могут быть испотьзованы и прн
234
ipyriix конструкциях ленточных транспортеров, 'в частности при распо-
оженип приводной станции v натяжного барабана.

kt-ks

+ь

2Ь ,1 с, (у) sin

пр р/

— — cos—
аг аг

0.(6.119)

at	и	ut

Уравнение решается численным методом или методом постсдова-
тедьиых приближений.

После нахождения частот колебании можно для дальнейших иссле-

дований, псподьзуя известные методы приведения. заменить конвейер
простейшей механической системой из двух или трех масс, связанных
упругими звеньями. При точных расчетах динамические нагрузки следу-
ет определять, рассматривая конвейер как систему с распределенными

массами.

Рассмотрим методику определения частот продольных колебаний лен-
ты для наиболее общей схемы конвейера с одпобарабаппым приво-
1ом (рпс. 103).

Рис 103 Расчетная схема конвейера при определении час-
тот продольных колебаний и расположении привозного б
рабаиа между концевыми барабанами

Введем следующие обозначения:

х— координата вдоль конвейера;

и(х, J)—перемещение точки рабочей ветви лепты прп деформации;
Ui. аг. «з — углы поворота соответственно приводного, головного п натяж-
ного барабана при деформации ленты;

Z1 — перемещение натяжного барабана при информации лепты:
z2 — перемещение патяжпого груза;
I—	длина транспортера;

Р — погонная плотность рабочей ветви ленты с материалом, отне-
сенная к единице ширины одной прокладки;

« — скорость распространения волны деформации для рабочей
ветви ленты;

Е—модуль упругости лешы, отнесенный к с шпице ширины
прокладки;

Ji — приведенный к осн приводного барабана момент инерции
привода и приводного барабана;

fi, н г3— соответственно радиусы приводного, головного и натяжного
барабанов:

т — масса натяжного груза;

Ci п с2— жесткость соответственных участков .холостой ветвп ленты:
с3—жесткость натяжного каната;

/| п 4 — длина соответствующих участков конвейера;

В—	ширина ленты;

i	- число прокла док ленты;

р— круговая частота колебаний.

Рассмотрим задачу, принимая во внимание следующие допущения:

I.	Модуль у пру гос го лешы и рабочем диапазоне нагрузок постоянен.

2.	Моменты инерции концевого, натяжного и отклоняющих барабанов
не считываются из-за малости величии.

3.	Массы вращающихся частей ролпкоонор включены в распределен-
ную массу ветвп лепты с грузом.

Имеем следующие уравнения.

Уравнение бегут! х волн деформаций вдоль груженой ветви
конвейера

д2» (xt)  Е # д2н (xt) нл1[ 0ги (х/) _ д-и (х/)
дР (> дх-	др	дх1

при начальных условиях

и (0, /) = а„г2, it (I, t) = а3г3 ф- zt.

Уравнение движения приводного барабана

Ci [и (0, /) — ctp-jJ — с2 |Zj — и (I, I) 4- air,]-= 0.

rt аР

Уравнение движения головного барабана

ЕВ, (-^(х-	-с, [«(0, /)-яЛ] = 0.

\ их )х=п

Уравнение шпжсиия натяжного барабана

ЕВ1 (-	+ с. {и (/, /) — а.г.1 = 0.

\ дх ) х-t

Уравнение цшжеиня натяжного груза

C3U2 — Zi) +т-^_ = 0.

Условие равновесия натяжного барабана

EBi ()	+ с. [zt — и (I, t) + ap-i ] + с3 (г3 — гх) = 0.

\ дх )х- I

(6.120)

(6.121)

(6.122)

(6.123)

(6.124)

(6.125)

(6.126)
Ищем решения этих уравнений в виде

и — [Ai cos	4- Ло sin — | sin pt;

\ « « /

a1=^3sinp/; a» = ?l4sinp/: а3 = /l5sinpt;

Zi = ZgSinp/; z2 = Л-sinp/.	(6.127)

Подставляя значения неизвестных (6.127) в уравнения (6.121) —

(6.126) н вводя обозначение р— = q, полечим систему сравнений
а

Ai — г2А4 = 0; At cos fp + А2 sin <р — r3A3 — Ав = 0;

(ct + с» cos q) А л + СоА2 • s in <р + ( р2 —-fjCj — г,со Л3 — СоЛв= 0;

V ri	)

c,Ai — EBi — А* —/\CiAy = 0;
а

(с2 cos <р-— EBi sin <р) At + (с.sin q + — EBi cos q>) Л2 — ric»/l3 = 0;

\	a	j \	a	}

c3Ae + Go*™ — c3) Л7 - 0;

( с- cos <p + — EBi sin q> ) Л1 + ( c> sin cp + — EBi cos <p ) Л.» —

\ « / \ « /

- Г1Мз 4- (Сз - c2) Лв = 0.	(6.128)

Система (6.128) представляет собой систему однородных алгебраиче-
ских уравнении относительно Л,- (t = I. 2, 3. 4. 5. 6, 7). Система имеет
нетривиальное решение, если се определитель равен пулю.

I	0	0	- 't	0	0	0
COS <р	sin (p	0	0	—r3	—I	0
< л	Со CoS <р	c2 sin (j	ri r|Cj CjCo	0	0		 C2	0
fl	— — EBi a	— П‘|	0	(1	0	0
CoCOS fp —  — — EBi sm ip a	c2 sin cp -f- p  4-	EBi cos  a	—ПСо	0	и	и	0
0	l)	0	0	0	Ся	p2'» -C3
c2 COS (p + p  4- E/h'sinfp a	c2 sin q' —  p  — — EBi cos a	- 'it?	0	0	^3 — ^2	0

Раскрыв детерминант (6.129), получим характеристическое уравне-
ние системы ((>.128), откуда можпо найти значение частот р продольных
колебаний ленты.
Рассмотрим часто встречающийся частный случай: натяжное устрой-
ство— винтовое, с3 = оо и г, = г2 = 0.

Тогда уравнения (6.125) и (G.12G) нс имеют места. Система (6.128)
примет вид

Ai — г2А4 = 0; Ai cos <р 4- Л2 sin <р — г3А& = 0;

(ci + c2cosfp)/li 4-c2^2sinrp + (рй—---------->\Ci — г&>)As = 0;

CxAj — EBi — 71» — i\Ci As = 0;
a

c-> cos <i*-— EBi sin <p )	+ ( c2sin <p + — EBi cos <p ) Л» — r,c»A, = 0.

a	/	\	a	)

(6.130)

Определитель, составленный из коэффициентов системы, имеет вид

1	0	0		0
COS €р	sin (р	0	и	— Г2
Су -|- ct cos <р	с2 sin (р	- А  р2 — — г,с, — ГуС2 ri	0	0
Cl	— — EBi а	~Vi	0	0
р cos ср — — EBi sin <р а	р c2sin ср 4-— EBi cos <р а	— ryCg	0	0

Или в развернутом виде
ci + cz cos <р

с2 sin <р

р  		 EBi а	— ГуСу	=0.
р  с2 sin (р г — EBi cos (р а	г1сг	(6.132)

c2cos<p	—EBi sin 4

а

Так как г2г3 =#= 0, то имеем	
.	, Ji	
Cj + С2 COS (|	с2 Sin (р	р* — — rvCy — Г'С2  г 1	
р  Г.	' •	fit	— Т Г		n
	—о.
Р	Р  tocos <р —	EBi sin ц>	c2sm(p+ — EBi cos (p	—rxc2	(6.133)
a	a	

Раскрыв определитель и проведя упрощения, получаем характеристи-
ческое уравнение системы (6.130) в следующем виде:

р* ks sin <р — р3 k (сг 4- с») cos <р — р2 (CjC» +

ri	'1	\	П '

+ ri£2c2) s in <р — 2prlkclci (1 — cos <р) = 0;	(6.134)
где

, EBi

k =------

a

Пренебрегая	упругостью вертикальных участков ленты	у прпводного
барабана, имеем	EBi .	EBi  Cl —	—, с2 =	,  /, /2	(6.135)
Обозначим	/1 + /2 = 1 = const.  11 = tl.	(6.136)
Тогда	EBi	EBi  С1 —	_. i C‘l — ,,,		(6.137)
или	c	c  C1 —	» C2 —	>	(6.138)
где	• — £  EBt C =	.  1	(6.139)

Подставив значения (G.138) Ci п в уравнение (6.134), получим

p* — k2 sin <p — p3 k----------cos <n — p* (rtk2 — + —-----------(-

G	G fc(l— О	\.	4 r, £(1—O

+ G/г2 s in <p — 2p^k (1 — cos<p) = 0.	(6.140)

Или в общем виде

Лр4(1 —£)£sinrp— Бр'л cos гр — Гр2 sin <р — Др (I —cos<p) =0, (6.141)
где

г /2 . А 2	Е3^3 , Д Е2^2

Г = г^с + —- С2 = Г1------(- —!----— ;

rt	сН	rt

Д = 2Г11гс2 = 2n -E3B3‘3 .	(6.142)

ap

Рассмотрим два примера

1. Вычислим значения частот продольных колебаний р прп различ-
ных значениях £ для отвального конвейера роторного экскаватора
ЭР Г-350/1000.

Расчет н ы с да п ны е

Ширина лепты В = 120 см.

Число прокладок ленты i = 6.

Длина конвейера I = 24 м.

Модуль упругости принимаем Е = 1,2- 106 н1м.
При более точных расчетах следует принимать приведенный модуль
упругости с учетом прогиба ленты, подсчитываемый по формуле

^пГ=-----------------н/л 1 прокл.,

12 о3 (В/)2

где q — погонная нагрузка на ленту;

— расстояние, между роликоопорами рабочей ветви;

о — среднее натяжение ленты, отнесенное к 1 м одной прокладки.

Удельный вес грунта и лепты у = 12 000 н/м3 (ориентировочно).

Площадь сечения грунта на ленте Ггр = 0,12G5 м2.

Площадь сечения ленты Ел = 0,0216 Л12.

Радиус прпво uioro барабана г( = -у = 0,350 м.

Момент инерции барабана Jq = 72,4 кгм2.

Привод конвейера

Двигатель ЛО-83-6, мощностью Л’ = 40 кет с п ~ 980 об!мин.

Маховой момент двигателя GD2 = 57 нм2.

Редуктор КЦ-25 с передаточным числом ipco = 9,03.

.Момент инерции редуктора принимаем равным 20% от момента
инерции двигателя, приведенного к осн вращения приводного барабана.

Момент инерции прпво того барабана

Л-71.2<A =72,4 + 1.2 — 7— 9,032 = 214,4 кая2.

10

Погонная плотность рабочей ветви ленты с материалом, отнесенная
к 1 м одной прокла тки

= T(/>P + />) = 1200 _0.1481 = 2 2 кги2
gUi	1,20-6

Скорость распространения продольной волны деформации

о _ 1/ А = 1 /	= 218 м/еек.

У р У 25,2

Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение (6.141) ио форму-
лам (6.142)

Д = ГЕШ \2 = 214,4 / 1,2 - 10» 1,2-6 \2	. 1()10.

г, \ а )	0.35 \	218	)

B = (EEi)- = 214,4 (1,2- 10» • 1,2-6)* = 874 1()10.

г, al 0,35	218-24

Г _	(ЕВ/)3 Jj (EBi)2 _ 0,35- (1,2- 10» - 1,2- 6)3

“Г1 аЧ + r, Р ~	2182 - 24

д_ 214•4	( 12 • '0* - 1.2 - 6 \ = 27 7  Ю'-'-

'	0,35	\	24	)	'

Д = 2r	= 2-0,35 (‘-2- Ю» - 1,2- 6)з = зг>о

аР	218 - 242

р/ 24	~	1

<р = -— =-----р	0,11 р рад.

* а 218

равнение (G 141) после сокращения па 1010 примет вид

Е(р) = 96р»(1 — ;); sin 0,11 р— 874 р3 cos 0,11р — 27700р2 sin 0,11р —

— 3G0 000р (1 — cos 0,11р) = 0.	(G. 143)
Пулевые значения функции F(p) соответствуют решениям уравне-
ния (6.143)

Имеем следующие значения частот колебаний основного тона и пер-
вой гармоники:

При ; = 0 и ; = 1-	Pt = 28,6 рад/сск = 4,55 гц

р2 — 47,3 рад/сск = 7,53 гц.

При - = 0,25 п £ - 0,75. pi = 28,6 рад/сск = 4,55 гц,

р., = 39,3 рад/сск = 6,26 гц.

При с, = 0,5	Pi = 28,6 рад’сск — 4,55 гц,

р2 = 36,8 рад сек = 5,87 гц.

В данном примере основная частота колебаний (р\ = 4,55 eq) не за-
висит от места расположения прнво ia. Частота первой гармоники умень-

шается с приближением приводного ба-
рабана к половине длины конвейера
(рис. 104).

2. Вычислим значения частот про-
дольных колебаний при различных зна-
чениях £ для отвального конвейера отва-
лообразователя ОШ-105/1500 (предпола-
гая ось натяжного барабана, жестко за-
крепленной в направляющих).

Рис. 104. Зависимость частоты
продольных колеблши лепты от-
вального конвейера экскаватора
ЭРГ 350/1001) от места распочоже-
ппя приводного барабана:
а — частота оспопиого типа:
б — частота мерного обертона

Расчетные дан и ы е

Ширина лепты В — 1,20 м.

Число прокладок i = 6.

Длина конвейера I = 100 м.

Модуль упр\ гос ги лепты £ = 1,2• 106 н/м

1 прокл.

Удельный вес груша н ленгы (ориентировочно) у= 12000 н/м3.

Площадь сечения грунта на лепте £гр = 0,1265 л<2.

Площадь сечения лепты £л = 0,0216 л2.

Радиус приводного барабана =

= 0,75 м.

•2

Момент пперцнн барабана Jo = 800 0 кгм2.

Привод конвейера

.'(внгатель ФАЛК О 1410-6 мощностью 380 кет с п = 985 об/мин.

Маловой момент двигателя GD2 = 1700 нм2.

Редуктор ЦД-2-150 с передаточным числом (pr.i = 17,2.

Момент инерции приводного барабана и привода, приведенный к оси
вращения барабана

Л = Jc + 1,2 ^-iped = 800,0 + 1.2^~ • 17.22 = 16200,0 кем2.

Вычислим коэффициенты, входящие в уравнение (6.141), по форму-
лам (6.142)

4 = f У =	16200 (	'-2-10°-1,2-6	v	3390 10,0.

i\ \	a J	0,75 \	218	/

__ Ji _________ 16 200 (1,2- 10*  1,2* 6)- 7420 1010*

~ г,	al ~ 0,75	218 - 100

16 Заказ ЗИ	241
(ев,)
a-l

7i = 0 75 (1.2- НГ-- 1,2.6)»

г, Р '	218 • 100

16200(Г,2. «0° Ь2-6Г- = 268(ю.101о

0,75	100

Д = 2Г1	= 20,75	= 44 400 . 10,0

al2	218 • 100а

pl 100 п лс А

Ф = q- = Р = 0,46/7 рад.

Уравнение (6.141) после сокращения па 10'3 примет вид

/•' (/)) = 3,39/г4 (1 — с); sin 0,46р — 7,42р3 cos 0,46/) —

— 26,8p2sin 0,46р — 44,4р(1 —cos0,46p) = 0.	(6.141)

Нулевые значения функции F(р) соответствуют решениям уравне-
ния (6.144)

Имеем следующие значения частот основного топа и первой
гармоники.

При £ = 0 и ; = 1,0

При с = 0,25 и ; = 0,75

Прн $ = 0,5

Pi = 6,07 рад/сек = 0,967 гц;
р» = 11,87 рад/сек = 1,892 гц.
рх = 5,89 рад/сск = 0,938 гц;
р2 = 10,53 рад сек. — 1,678 гц.
/, = 5,83 рад сек 0 928 гц;
р. 10,1 рад, сек = 1,(508 гц.

В данном случае основная частота колебании (р() почти не зависит
от места расположения приводного барабана, а частота первой гармони

Рис. 105 Зависимость частоты
продотьпых колебаний .ic-аты от-
вального конвейера огвалоибра «>-
ватсля ОШ 105/1500 от места рас-
положения приводного барабана
и — частота основного тона;
о — частота первого обертона

кн уменьшается с приближенном привет-
ного барабана к половине длины конвей-
ера (рнс. 105).

На основании проведенного исследо-
вания можно сделать следующие вы-
воды:

1.	Основная частота колебаний почти
не зависит от места установки привод-
ного барабана. При опредслснн!! ее при-
ближенного значения можно полагать,
что приводной б грабан расположен в
конце конвейера, что криво шт к более
простому решению.

2.	Частота первого обертона cymeci-
венио зависит ог места установки при-
водного барабана и значительно умень-

шается прн перемещении его к середине
длины конвейера.

3.	При установке барабана в середине длины конвейера частоты ко-
лебаний основного тона и первого обертона могут оказаться близкими
друг к другу п колебания лепты будут происходить с биениями. В >том
случае дополнительные динамические нагрузки в конвейерной ленте не-
обходимо определять с учетом обеих гармоник колебаний.
§ 7.	ПРИБЛИЖЕННЫЙ МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИИ
В КОНВЕЙЕРНОЙ ЛЕНТЕ ПРИ ПУСКЕ И ТОРМОЖЕНИИ

При пуске мощных ленточных конвейеров в ленте возникают допол-
нительные напряжения, носящие динамический характер. Рассмотрим
мето д приближенного определения дополнительных пусковых напряже-
нии в ленте с учетом механических характеристик двигателя и места
установки приводного барабана. Расчет носит приближенный характер.

так как не учитываются процессы отражения волн деформаций от кон-
цевых и промежуточных барабанов. Следует отметить, что #тот вопрос
имеет шачение только для коротких конвейеров. Для конвейеров значи-
тельной длины (тО м и ботее) рассматривать вопрос отражения вообще

пет смысла из-за быстрого затухания колебаний в ленте.
Рассмотрим решение по-

ставленной задачи для кон-
вейера с однобарабаппым
приводом, расчетная схема
которого представлена па
рис. 106. Пусковой момент
привода может изменяться
по одному из следующих за-
конов

И(/)=А10; /И(/)=Мос-н;

Л1(/)=.И0(1 — е~и).

Первый случаи скачк'ооб-

Рис. 106. Расчетная схема копвепера для опре-
деления динамических нагрузок о переходных

режимах

разного изменения крутяще-
го момента при постоянной

его величине соответствует внезапному включению муфты пли тормоза.
Второй случай соответствует изменению кр тшцего момента при приводе
от асинхронного двигателя с фазным ротором. Третий случай, являю-
щийся линейной । омбнпацнен первых двух, соответствует изменению

крутящего момента при приводе о г управляемого двигателя постоянного

тока.

В целях упрощения решения сделаем следующие допущения:

1.	Погонная масса порожний ветви не учитывается.

2.	Момент пперцнн всех пепрпводных барабанов при составлении
уравнений не учитывается.

3.	Модуль упругости ленты в ipe щлах рабочих нагрузок принимается
постоянным.

Уравнение бегущих воли деформации по груженой ветви лепты имеет
следующий вид

д2и „ д2и
— =- а---------.

дР дх2

(6.143)

Уравнение движения приводного барабана имеет следующий вид
j/a_+Z£|af_U1(0, /)] + — [ar —пдО, z)]=Af(/). (6.146)
dl2 I,	/о

В mix уравнениях:

J—момент инерции приводного барабана с учетом привода н двп
гате 1я;

а угол поворота приводного барабана;

и — перемещение точек груженой ветви;

х — координата вдоль осн ленты;

16*

243
г— радиус приводного барабана:

ЛГ(/)—избыточный крутящий момент па приводном барабане;

с—жесткость единицы длины груженой ветви ленты;

а — скорость распространения волн деформаций по груженой ветви
лепты

/ р

|/у,	(6.147)

г те £— модуль упругости ленты;

Р приведенная к поперечному сечению ленты плотность перемеща-
емого груза и материала ленты.

Решением уравнения ((>.145) являются функции

»i (*. /) = /1 (at — *1);

а2(х, t)= f2(at — х2).	(G.148)

Функции iz, (л', /) п zz2(r, I) соответствуют воинам деформаций, иду-
щим от правого п левого концевых барабанов.

Полагаем, что значения л( отсчитываются от левого, а д2— от право-
го концевого барабана (рис. 103). Обозначим at — x = z и запишем
уравнение (6.146) совместное граничными условиями для груженой вет-
ви ленты

+--" |ar-A(z)l+ С/ [ar-fk(z)l=Al(z);

Jz- /,	I,

7 Jar — Л (z)| ~ cf{ (z);

4

— far — f2 (z) 1 = ef'z (z),	(6.149)

Z2

где C| и c2 — жесткость единицы длины правого и левого участка холо-
стой ветви;

/| и 12— длина правого и левого участка холостой ветви

I tyC	1пС

С1	с2

Практически можно принимать /1 = /ь /2 = h-

Преобразуем два последних уравнения системы (6.149) и запишем си-
стему следующим образом:

a-J -% +	[аг - (z) 1 + ~ far - /2 (z) 1 = М (/);

dz-	l2

+ f « = 0;

4	4

- h (Z) — h (Z) + у a = 0.	(6.150)

»2	»2

Характеристическое уравнение выражается определителем

Ja-k- + — + /,	1,  г	г 	С  ll  _k	1	г  0	— 0	Hi 1 S11
				V’ -1
т	/|			
г	П	_/,_1		
	и	/£			
или в раскрытом вито

Ja-k3+Ja-( 1 +— V' + — + r2c(— + — ^1 A+-^=0. (6.152)
\ Z, l2J Z,Z2 \ Z, L J] l,l2

Обозначив /t = V it /2 = (1 — *)/, получим

JuWM, (1 — 5) + Ja2lk2 + (Ja2 + r-cl) k + 2r-c = 0. (G. 153)

Если все корпи характеристического уравнения (6.153) юйствптель-
ные, то решение системы (6.150) запишется в виде

Л (z) = Де‘'г + Л2ек,г + Аяек‘г + f? (z);

(г) = В1С‘,г + B2ek'z + В,е*’г + (zY

а = C1Ck'z + С2е"’2 + C3ck,z + а .	(6.1 >4)

В общем случае о шп из корней характеристического уравнения —
действительный, а два других могут быть комплексно-сопряженными,
т. е. имеем 3 корпя: k\ и ky±ik”.

Тогда решение системы (6.150) запишется в виде

Д (z) = Atek'z + в 2 (Л2 sin k2z 4- /13 cosk2z) 4- f't (z);

[, (z) = BiCk,z + c 2 (B> sin k2z + Bz cos /e2z) + f (zY,

a = Clck,z 4- e 2 (C2 sin k2z 4- C.z co k2z) 4-a (~)>	(5 • 155)

где [['(z); /^(z); a* — частные решения уравнений системы, зависящие
от вида правой части уравнении (6.150).

Для получения частного решения системы уравнении с правой частью
преобразуем первое уравнение системы (6.150) и запишем ее следую-
щим образом:

Jfl2 + rcf ' & + rcf ‘2 (2) = yU
az-

-hW -^-h(z)4- <-«=-0;

— /2 (Z) — Д (z) + -J- a = 0.	(6.156)

‘2	‘2

I. Рассмотрим случай Ai(t) = /Ио

Проинтегрируем первое уравнение по z

Ja2 4- гс | Д (z) 4-	(z) 1 = Aloz 4- N.	(6.157)

где .V—постоянная интегрирования, которую можно положить равной
пулю.

Таким образом получим систему уравнений

JU"‘ "л + ГС1Z1 (2) + fi (2)| = -Иог;

/I(z)+ -5-Л(г)-4-а = О;
ч	ч

/г (г) 4-Л	“Г a	°'

*2	‘2

(6.158)
Умножив первое уравнение системы (6.158) на
вым уравнением системы (6 156), получим

1

— и суммируя с пер-
‘2

Ja2 +	+ гс Р'(2) + (г) + (г) + г Л(г)1= У + м°-

Ш	<2 CIZ	со	с»	|	<2

(6.159)

Имеем также

h (z) + j~h (г) = -Jl/J (?) + -J- /, (z);
*2	*2	*2

« = — [/.' (г)Л + fi (Z)].

Г

(6.160)

(6.161)

Используя соотношения (6.160) и (6.161), получим

Ja2h(z) + Ja2(-' h <z) + 1т7~ + г2с(-г + -г) I Мг) +
\ *1	*2 /	L *1*2	\ *1	‘2/1

+	- Л (г) =	+ -^	(6 •1G2)

*i*a	*1*	‘i



J«4(l l2h (г) +	(г) + l^2 + r2cl] fi (z) +

4- 2r2cfi (z) = Morz 4- Mor (1 — £) I.	(G. 163)

Характеристическое уравнение имеет вид (6.153), а решение выража-
ется системой (6.154) или (6.155).

Частное решение полученного уравнения ищем в виде

f (г) = Az 4- В.	(6.164)

Потставив это решение в уравнение (G.162) и определив значения Л
и В методом сравнения коэффициентов, получим:

/.(*) =

Г->(г) =

2гс	Л40 (		Л-	Jaa > r-c )	1 »
	Аге				
•М° г+ 	Af0 ,	Р1-	^2	Ja2 >	
2гс 1	Arc ’			r2c ,	1 »

* VL Мо (. Ja2 \

а* = —— г 4----------a-1 I---------)

2r2c 4г2с \ г2с /

(6.165)

ИЛИ

fi(z) = Az4-4H(1-2^/-^?-|’’
2rc	Arc |	r-c

Z.:w = _^o.2 + ^k.[(2^_i)/_2£il,-
2rc	4rc	r-c J

Общее решение (6.167) системы дифференциальных уравнении

(6.158)	может быть записано в еле lyiomcM виде:

а)	при трех действительных корнях характеристического уравнения
(6.163)

А (z) =	4- AiCk'z 4- А^ 4- iz 4-	z---^1 >

2rc Arc L	r'c 1
f2 (z) = B^'z + B^z + B3ck,z + z +	Г(2£ - 1) I - -^-1;

•	2rc 4rc |	r~c 1

a (z) = CYeh'z + C.ektZ + C3ek*z 4- z + - U° - (I —	; (6.167)

2r*c 4r2c \ r2c j

6)	при одном тсйсгвительпом и дв>х комплексно-сопряженных кор-
нях характеристического уравнения

Л (г) = Лхск'г + с 2 (/12 sin /г?г 4- Аз cos A’2z) 4-	г 4-

Чгс

4--^ (i_2C)/-22il.

А ГС L	r2c

f2 (z) — B\ek,z + c 2 (B2 sin k2z + B3 cos k2z) + -^2- z 4-

2rc

+ _Ч_Г(2С-1)/--^|;

4rc L	r~c

a (z) ~ C\ek'z e 2 (C2 sin k2z 4- C3 cos /гit) 4—^2- z 4-

2r2c

4-_*к_Л-----.	(6.168)

4Лс \ r2c J

Между коэффициентами /1,-. Bt и Ci имеется связь, устанавливаемая
системой уравнении (6 158). Подставляя в эту систему общее решение
системы однородных уравнений, получим:

а)	при всех действительных корнях характеристического уравнения

Д = —г —

(V14-D

Д =------------— С'„

(kil.^ I)

i = 1, 2, 3

(6.169)

б)	при одном действительном и двух комплексио-сопряжсп-ных кор-
нях характеристического уравнения

h = --------Си	В, = -----------Сь

V/4-J	Ml-5)^4- 1

л _.r(k^.l+l)C2 + rk^lC3 в < [fe2(l-O<-l-lJC24-^;(l-O/C3

(fe2V4-1)*4-(fc'2M)2 ’	|*2(1-0'4-1]24-|^(1-Q1]2

А _ г (fe2;Z4- 1)C3—rfe2yc2	_ л [fe'(i —£)Z4-1] С3 —rfeoO—ШС2

(/^4-l)24-(fV)2 ’	[*2(1 —0/4-1]24-[*2(1 —OZ]2

(6.170)

Значение коэффициентов С(. С2 и С3 определяется из начальных
условий.

2. Рассмотрим теперь случай А1(/) = Л10е~А/

Имеем систему уравнений

Ja2	+ rcf '	+ rch = Л1°с~

+	(z)--y-a = 0;

Ч	*1

ZHz) 4--J- /| (z)-4-a = 0,
‘2	‘2

(6.171)
которую аналогично изложенному можно принести к одному уравнению
третьего порядка

J«2C(1 -5) l~h (z) + Ja-lf] {z) + |J«2 + Л/| h (z) +

+ 2rcf1(z) = Mor {1-1)1-	(6.172)

Л	Л

Характеристическое уравнение имеет вид ((>.153), а решение выража-
ется системой ((>.154) или ((>.155) в зависимости от того, имеет ли урав-
нение ((>.153) все депствпте.п.ные или один действительный н два ком-
плексно-сопряженных корня.

Частное решение уравнения (6 172) ищем в визе
______________________________________л_

fi(z) = Ас~“ + В = Ле а* + В.	(6.173)

Подставив это значение в уравнение (6.172) п определив значения 1
и В методом сравнения коэффициентов, получим частное решение си-
стемы (6.171) в виде

Mfn	| е~и

J	/	r2cl \

- — £(1— OZ-’X3 + ЛХ2 — I Л1+------)Х+!>-с

а	\	а 1

оМ0
\ ** /

J	/	r2cl \

— — £ (1 — Е) /2Х3 4- JZX2 — ( Ja 4---------- ) X + 2г-г

а	\	a J

X /а \ Г . а 1

—A,o(v-’z)	е

а \ X /	X |

J	/	r2cZ \

— —£(1— C,)Z2X=* + ЛХ2 — ( Ja -|---)Х 2г'-с

о	\ а /

аМа .

2гсХ

2гсХ

2г-с}.

(6.174)

Общее решение системы имеет вит (6.151) или (6.155) в зависимости
от вида корней характеристического уравнения.

Соотношение между коэффициентами Л(, В,, С, (i = 1, 2, 3) выража-
ется равенствами (6.169) пли (6.170) в зависимости от того, имеет ли
характеристическое уравнение все действительные или одни действи-
тельный и два комплексных корня.

Для определения дополнительных напряжений в лепте необходимо
определить значения fj(z) п f(z) п полученные величины умножить па
модуль хпрхтостн ленты

адоп= Ef'{z).	(6.175)

Очевидно, что дополнительные напряжения в лепте как по величине,
так и но характеру изменения но длине ленты, будут «ависегь от места
положения приводного барабана (от величины £). Если на одном конце
конвейера возникают юполиптельные напряжения растяжения, то на
другом конце в тот же момент времени — напряжения сжатия.

Вотпы напряжений растяжения и сжатия движутся павстрсчх друг
другу. При встрече их в середине конвейера происходит изменение вели-
чины и формы бегущих воли. Искажение фронта волны происходит
также за счет рассеяния энергии деформаций.

Пзто/кенный метод дает возможность определить приближенное
значение величины н формы бегущих воли деформаций и более правиль-
но определить параметры конвейера.
Приведем пример по (счета дополнительных напряжений в ленте при
пхеке конвейера со следующими данными (конвейер отвалообразователя
6111-105/1500 НКМЗ):

Ширина ленты П = 120 <w

Число нрокла нж i = б.

Длина конвейера / = 100 .и.

Модуль упругости лепты Е = 1.200 мн/м 1 прокл.

Удельный вес грунта и ленты (ориентировочно) у = 12 000 н/м3.

Площадь сечения грунта па лепте = 1265 си2.

Площадь сечения ленты 7'л = 216 см2.

Радиус приводного барабана г =	750 мм.

Момент инерции привода и приводного барабана, приведенный к осп
приводного барабана, = 16 200 кгм2.

Момент инерции груженого конвейера, приведенный к осп вращения
двигателя /2 = 305 кгм2.

Привод конвейера

Двигатель ФАМС.О 1410-6, мощностью 380 кет, а = 985 об!мин.

Махово* момент щигателя GD2 = 1700 нм2.

Максимальный момент двигателя Л1,Ппх = 2,4 /W)IOJK.

К. п. д. двигателя т] = 92% cosep = 0,87.

Редуктор ЦД-2-150 с перед i точным числом грса = 17,2.

Номинальный момент па валу щигателя

= 9750 — = 9750 • — = 3760 нм.
н,,м	п	985

Пусковой момент двигателя изменяется на каждой ступени по закону

Ald3 = A?-M.

Для определения параметров А п 7. для каждой ступени проведем
расчет естественной и пусковой характеристик двигателя.

Расчет ведем но формуле

А1 = МХ----?---,	(6.176)

S SK

—+ —
SK S

где Л1 н Мк—текущее и критическое значение момента;

х н хк— текущее и критическое значение скольжения.

При Мт,1ч = 2,4 Л1„„.н н xH()JK = 0,015 имеем

1 = 2,4-------------.

0,015 sK
—---- _| .к-

sK 0,015

Отку ia получаем -х\ — 0,0687.

Уравнение естественной характеристики имеет вид

—	4.8Л1но«	________18040	.	(6.177)

s J\0687 s 0,0687 "

0,0687 + s	0,0687 + s

Данные расчета .характеристики сведены в таблице.
Данные расчета естественной характеристики

As точки	я	М нм	№ точки	S	Л/ нм
1	1	1230	10	0,06	8950
2	0,8	1540	11	0,01	7820
3	0,6	2010	12	0,035	7300
1	0,4	3010	13	0,03	6620
5	0,3	3910	14	0,025	5790
6	0,2	5600	15	0,02	•18:ю
7	0,1	8130	16	0,015	3760
К	0,08	89.4)	17	0,01	2570
9	0,0687	902 )	18	0,005	1300

1 к кхсствеиную характеристику строим графически (рис. 107) нс\о (я
из следующих условий

число ступеней принимаем т = 5;

пиковый момент ограничиваем величиной

Рис 107 Механические характе-
ристики двигателя ФЛМСО 1410-6

Mi = 1,6МНОЖ = 1,6 • 3760 = 6020 нм;

кратность моментов

Т f= s / 376о

И SHMX Г 0,015-0020

2,11;

переключающий момент

М2 =	= — = 2850 нм. (6.178)

X 2,11

Построив кривую разгона (см. рис.
107), напишем уравнения зависимости мо-
мента иа валу двигатетя от скольжения
для каждой ступени.#*’* , Г

Al<Je = 6020s при l>s> 0,474,

и  6020 s = 12700 0 474 s 0 224
0,474

6020 s =2G900 Q 224 > s о, 106;
0,224

MIV=6020 S= 56800s, 0,106	0,0502;

0,106

Так как

д]у = 6020 s _ 120000s 0 0502 > s > 0,0238.
0,0502

IDO	nn0

io соотношения (6.179) примут вид
= 6020 — 57,5(0

Л1£= 12700 — 121(0

Л1&1 =26900 — 2570)
Л15У= 56800 — 542(d

--------— о) = 1 — 0,00955с),
я • 1000

при 0 о 55;

при 55 ^-с)	81,2;

при 81,2 > га Z>93,6;

при 93,6 w 99,4;

Л1У, = 120000 — 1146(о при 99,4 > о > 102,4.

(6.179)

(6.180)

(6.181)
Значение коэффициента 2. определяется соотношением 2. =—, где
J г

величина В определяется для каждой ступени из соотношении (6.181),
считая, что

= А Ь Вт.

Тогда имеем

} =	= о,189; 2.., = -1^- = 0,398: Х1п =

305	11 ЗОо	111

257

305

= 0,841;

X|V =	= 1,78; Xv = 1146- = 3,76.

305	305

(6.182)

II мепеиис пускового момента по ступеням во времени определяется
\равнениями

Md. = 6О2Ое-0-189'; Aldi = 12700с-0’3''8': Л1^’ =- 26900с-0’844';

Al" = 56800с-1’78'; Ala. = 120000с-3-76'.

(6.183)

Время разгона конвейера па каждой ступени определяем пз условия,
что мпппмачьпый (переключающий) момент М2 = 2850 нм, а максималь-
ный— .И| = 6020 нм для каждой ступени.

Имеем для первой ступени

Ah = 6020с-0-189'* = 6020, 2, = 0;

М2 = 6020с-0’189'* = 2850, 22 = 3,95.

Счедовате. 1ьпо, для первой ступени 0 t < 3,95, а время
/г = 12— 1\ = 3,95 сек.

Аналогично получим:

раз) опа

для II ступени 1,88<2<3,76,
для 111 ступени 1,77 < ( < 2,66,
для IV ступени 1,26^ 2 <1,68,
для V ступени 0,795<2 <0,995,

2ц = 1,88 сек;

2|ц = 0,89 сек;

2iv = 0,42 сек;
tv = 0,2 сек.

Значения момента па валу приводного барабана во время пуска вы-

числим пз соотношения

Л1 = Мов - tjp ip = AfJe0,9 • 17,2 = 15,5/VU.

Имеем по ступеням

AI, = 9 3400с-0-189'	при	0 <2<3,95;		
А1„ = 197000 ’°-398'	при	1,88 <	U<	: 3,76;
А11И = 41 7000<-0’844'	при	1,77 <	д<	2,66;
Mlv = 88 Ю00<?-1’78'	при	1,26 <	и <	1,68;
AIV = 1860000с-3-76'	при	0,795«	<2<	0,995.

Для составления характеристического уравнения (6.153) вычислим
некоторые параметры конвейера.

Погонная плотность рабочей ветвп лепты с материалом отнесенная
к 1 м одной прокладки

f'p + Fj- = 1200(1265 + 2l6)^-^ = 252 • 10-1 кс/л2.
gBi	1,20-6
Скорость распространения продольной волны деформации вдоль гру-
женой ветви

Жесткое гь единицы длины лепты

с = EBi = 1,2 • 10“ • 1,20  6 = 864 • 104 н.

Характеристическое уравнение имеет вид

Jiii-Ec, (1 — £) k3 + JjC^lk2 4- (Jiii2 4- r2cl) k -J- 2. r-c = 0.

Вычислим eio корни при наших данных (приводной барабан — в го-
лове конвейера)

16200  218- • 100/г2 4 (16 200 • 218* 4 0,75* • 864 - 10‘ - 100)k 4-

4-2 • 0,752 • 864 • 104= 0;

7700/г2 4- 125,64? 4- 0,972 = 0.

Отку.д ।

k = — 0,00815 ± 0,00774г; /г, = 0; /<?'. = — 0,00815; k2 = 0,00774.

Подсчитаем сначала дополнительные пусковые напряжения в лепте
прн разгоне конвейера па первой с ту пени.

Частное решение системы (6.171) выражается соотношениями (6.171).
Для нашего случая

f, (г) = — 8,48е—0,0008<i7z 4- 8,29; /’ (г) = — 9.30t?_°ooo867z4- 8,29;

а* = — 11,Зе_0>000867г4- 11.06.

Оощсе решение системы определяется выражениями (6.155)

(г) = е~°'П08|5г(Д sin 0,00774г 4- Д cos0,00774z) — 8,48c_0,000867z4 8,29;
/2(г) = с~°-008|5г (Д sin 0,00774г 4~ Д cos 0,00774г) — 9,3<?—0,0<r0867z 4-8,29;
а = e_0-°08l5z(C.,sin0 00774г С3 cos 0,00774г)— 1 l,3c-0 00U8b7z 4- 11,06.

(6.184)

(“отношения между коэффициентами ДД и С,- (i = 2,3) обуславли-
ваются соотношениями (6.170). При наших данных получим

Д = 0,75С<>; Д = 0 75С3; В., =- 0,219С2 4- 0,916С3;

В3 = 0.219Д-0.916С..	(6.185)

Тогда общее peiiieiiiie (6.181) запишется в виде

Л (z) = 0,75с—°’00815z(C2sin 0,00774г 4-С3 cos0,00774г) —
— 8,48е—0,000867z 4-8,29;

/.(z) c~°'008l5z Ц0.219С. 4- 0.916С3) sin 0 00774г 4- (0.219С, -

0,916C.)cos0,00774z| - 9,3c"0,000867z 4-8,29;

а = е-0•008 l5z (С2 sin 0,00774г 4-С3 cos 0,00774z) — 1! t3e-°-0008G^	11 06

(6.186)
Значения коэффициентов и Сз можно определить из системы
(6.186) при начальных условиях

fi(0) = f4(0) = a(0) = 0.

11олучпм

С2 = — 1,044; С3 = 0,246.

Подставив полученные значения в выражения ((>.186), получим окон-
чательно общее регион не

/1(г) = с-0 008,5г(- 0,783 sin 0,00774z ’ 0,1845 cos 0,00774г) —

— 8,48е—0,000sc'z + 8,29;

/>(<)= с—°’00815z (—0,0033 sin 0,00774г 4* 1,011 cos 0,00774г) —

— 93e-0,0008C7z 4-8,29.	(6.187)

Вычислим производные

(г) = e-°-008l5z(0,00495sin0,00774z —0,00757cos0.00774z) +

4 0,00735c-o,oo°867z;

/'.(г) = c—°’00815z(—0,0078 sin0,00774г- 0,00826cos0,00774г) +

4 0 00806c-o,oo°8C7z.

Вспомнив, что z = at — x, вычислим значение f',(z) при ,v = 0, r. e.
при г = at = 218/. Получим

fl (0, П = e~' -78' (0,00495 sin 1,69/ — 0,00757 cos 1,69/) 4 O,OO735c-0, l89'.

при 0 ^ / ^ 3,95

График функции «' = /,(0,/) представлен па рис. 108. При / = 3,95

fl (0, /) =-- 0,00348;	(0, /) = 0,00381.	(6.188)

Рис 108. Изменение дополнительных напряжении в лен

тс во времени в период пуска

Максимальное значение деформации Tjn.iv =/[ (0, /) max = 0.00712,
но соответствует напряжению

°тах етах^ = 0,00712- 1,2 - 10,! — 8550 Н !М 1 ПрОКТ.

Вычислим дополнительные напряжения в ленте при разгоне конвейе-
ра на Н ступени.
Частное решение системы (G.171) в этом случае будет выражаться
следующим соотношением:

ft (г) = — 8,62с-0> 001825z + 8,33;

f(z) = — 10,54е—°’00l825z + 8,33;

а* = — 11,5с—0,00l825z + 11,12.

Соотношения между коэффициентами XI „ В,, Ci (i = 2,3) остаются
неизменными для всех ступеней п выражаются соотношениями (6.185).

Значит общее решение системы (G.18G) будет

(z) =- О,75с-0’00815z (С2 sin 0,00774z + Cs cos 0,00774s) —

— 8,26e—0 00,825z + 8,33;

/»(z) = c-0-008l5z |(0,219С» + 0,916C3) sin 0.00774s +

+ (0.219С,— 0.916С») cos 0.00774s] — 10,54c-0-00l825z + 8,33

a = c-oo°8l5z[C2sinO,OO774z + C3 cos 0,00774s] — 11,5e—° •001 H25z +11,12.

(6.189)

Вычислим производные

fl (z) =c-0,008l5z|(—0,00611C. — O,OO58C3) sin 0,00774z +

+ (0,0058C., —0,00611C3) cos 0,00774s] + 0,0157c-0'001825z;

f., (2) = c—o,o,'8l5z|(O,0053C2 —0,00916C3)sin0,00774z +

+ (0.00916C. + 0,0051C3) cos 0,00774г] H 0,0192c-oool825z. (6.190)

Значения коэффициентов Ci и C3 определим пз начальных условий
для II ступени. Значения деформаций ленты в момент включения
II ступени (/ = 1,88) должны соответствовать деформациям, получен-
ным лептой в конце разгона конвейера па 1 ступени (G.188).

Имеем при t = 1,88, s = 1.88-218 = 408,75. (Цг) = 0,00348 и f'2 U) =
= 0.00381.

Подставив эти значения в выражения (6.190), получим Со 17,24;
С3 = - 2,17.

Toi та соотношения (6.190) примут вид

fi (г) = е-0-и0815-'(- 0,0928sin0,00774s + 0,113 со<0,00774s) +

+ 0,0157с—°’0ul825z;

f'2 (z) = c-o,oo8l5z(O,Ol 11 sin 0,00774s + 0,146 cos 0.00774s) 1

+ 0,0192c-0,00 l825z.	(6.191)

Опрсде нм зависимость деформации от времени для ленты у привод-
ною барабана прп х = 0 или s — at = 218/.

Получим

К1 (/) = fi (0, /) = с-1,78' (—0,0928 sin 1,69/ + 0,113 cos 1,69/) +

+ 0,0157с- °-398f;	(G.192)

при 1 88	3,76

График этой функции представлен па рнс. 108.
.Максимальные значения деформации лепты при разгоне конвейера
па 11 ступени е, т.1Х = Л'(0. Отах = 0,00614. Как видим, деформации, а
следовательно, и напряжения и лепте при разгоне на 11 ступени меньше,
чем при разгоне па I ступени па 14%.

Начальными условиями для расчета III ступени являются значения
функции (6.191) при/ = 3,76, т. е. Z\ =218-3,76 = 819,7;

[{(0; 3,76) =г 0,00365; f2 (0; 3,76) = 0 001 >0.

Проведя аналогичный расчет для разгона конвейера па III ступени,
получим зависимости деформации от времени и расстояния от левого
концевого барабана в следующем виде:

et= (at — х) -= e'°-ooa}5z (—0,128 sin 0,00774z + 0,0622 cos 0,00774z) +

+ 0,0319e-oou387z	(6.193)

при z = at — x.

Значение деформации у левого концевого барабана (при г = 0
и z = 218/) б) (ет выражаться соотношением

е, = /,' (0, /) = е~1,78' (— 0,128 sin 1,69/ + 0,622 cos 1,69/) + 0,0319с-0,8“'
при 1,77^/^2,66.

(6.194)

Максимальное значение деформация при разгоне конвейера па III
ступени Pm.iv = 0,00532. Эта величина меньше соо1ве1ствующеп> зна-
чения при разгоне па II ступени па 13%. Дальнейший расчет м< жпо по
производигь, так как ист основании ожидать увеличения напряжения
в лепте при включении последующих ступеней.

Диализируя полученные результаты легко установить:

1.	Максимальные дополнительные напряжения в лепте возникают
при разгоне конвейера па I ступени пускового реостата.

2.	Максимальные напряжения в данной лепте при пуске конвейера
с приводом от асинхронного двигателя с фазным ротором примерно в
2 раза превышают статические напряжения.

§ 8. ПРОДОЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЛЕНТОЧНЫХ КОНВЕЙЕРОВ
С УЧЕТОМ ПОГЛОЩЕНИЯ ЭНЕРГИИ КОЛЕЬАНИИ

Методы расчета динамических процессов в ленточных конвейерах,
вследствие которых возникают продольные деформации ленты, мог\т
быть различными в зависимоегн от длины ленты и от скорости распро-
странения упругой волны в ленте.

Для коротких конвейеров целесообразно решение задачи методом
Фурье, для длинных конвейеров при достаточно больших коэффициентах
темпфирования — методом разрывных функций.

Для конвейеров достаточно большой длины, но в случае, если умень-
шение амплнту ты за счет демпфирования при прохождении расстояния,
равного длине конвейера, невелико, необходимо применять метод харак-
теристик. В целях упрощения задачи модули упругости на участках
1 и'ючеп и х ыостоп ветви лепты можно принимать постоянными.

В силу больших значений коэффициентов внутреннего трения в кон-
вейерах большой длины можно рассматривать лишь прямую волну
деформаций лепты.

Введение к< эффицпептов внутреннего трепня в уравнения колебаний
может быть выполнено в действительной или в комн leKcuoii форме.
В нервом случае при одночастных колебаниях коэффициент трения опре-
деляется для данной частоты колебаний с тем, чтобы имелось соответст-
вие между обеими постановками задачи.

Рассмотрим сперва задачу по опредетеппю дополни гельпых дефор-
мации лепты конвейера вследствие наличия эксцентриситета приводного
или натяжного барабана величиной А. Наличие эксцентриситета приво-
ди г к тому, что в концевом сечении лепта испытывает периодические
перемещения, онре деляемые по формуле

и (0,t)~ Ас‘ы1,	(6.195)

где <>— угловая скорость вращения барабана.
Дифференциальное уравнение волновых процессов в ленте в дейст-
вительной форме имеет следующий вид:

„	д2и , —	, д2 /	ди \	д2и п	. пг.

а-------р	-----(-----1--------- 0,	(6.196)

дх2	дх2 \ dt J dt2	'

где а =	------скорость распространения волны при отсутствии зату-

хания;

•»]—коэффициент, учитывающий внутреннее трепне.
При частоте колебаний м

т| = — 1],	(6.197)

со

где i| — коэффициент внутреннего трепня в лепте.

Представим функцию и(х, t) в виде произведения

u(x,l) = f(x)eiat.	»	(6.198)

Подставляя его в уравнение (6.196), будем иметь

о2 no2j	= 0.	(6.199)

dx2	dx2

Уравнение 6ci ущпх волн для случая представ деипя внутреннего тре-
пня в комплексной форме имеет следующий вид:

д2и	д2и р

дх2	dt2 ~

(6.200)

Полагая, что решение имеет ппд (6.198), получаем то же уравне-
ние (6.199).

Перепишем уравнение (6.199) следующим образом:

=-----f(xy	(6.201)

dx2	а=(1 Рд2) '	1

Обозначая

Л2 = — (l)2(1~<n) ,	(6.202)

а’(1+п2)

получим следующее решение

и = [Се~1х + /Vх] • elat.	(6.203)

Пусть

У = а-Н₽.	(6.204)

где

а > 0.
Имеем, принимая во внимание лишь прямую волну,
« = Л-е-,а+,'”х+/“'.

Из равенств

ю2

2сф =----”ш2 —

°2(l+ns)

определим значения а и р.

Ести q достаточно мало, то

— ;а = -^-.

а	2а

Прп этом

COS

(6.205)

(6.206)

(6.207)

(6.208)

(6.209)

Потупили движущиеся со скоростью а волны деформации, амплитуда
которых уменьшается но мере удаления от источника возбуждения.

Более точные выражения для а и р имеют следующий вид:

В этом случае

(6.210)

—TjCO	___X

и = Ае“ 2 1 1	'+’’> ’cos

(6.211)

Существенным здесь явчяется го, что скорость волны деформации
зависит от коэффициента затухания. С увеличением коэффициента зату-
хания скорость волны деформаций увеличивается.

Определим максимальное значение и пряжений в ленте.

Напряжения в лепте определяются выражением

/ ди — дги

а =	------Е (|-------

\ дх dxdi

(6.212)

НЛП

1 ' n2+(> +n2) * ) I ,
----!---1--!—L2— ) COS (0/ —

1 + n2 /	\

co

_________VrtX________

al 7) I г»,’+(!+»,’Л* (_	(!

1 " I7 \1/ц- n-= -ь (1 + П2/ в

I + ns

i + ns

,  /	. COX

Xsin co/----------

\ aV'i-

(6.213)

V i-W

17 Заказ 314

257

a J 2
отсюда

7}(|>X

0 _ ЕА.>(1 + 1|2)’ « е	aV2 I I +>,*+(I+',•)’ * X

а

X sin I со/------1 / -----------!-----1-----1	+ф

L oj 2 V 1 + т)2 I 1 + Ч2

(6.214)

(6.215)

где ф — сдвиг физ, определяемый соотношением

tg ф =--’L  .

i+FH-n2

Максимальное значение о в сечении, определяемом координатой х,
получается равным

_______\сох______

0тах(л)=^<0(1 + пг),/2с «/rVi+iW’ .	(6.216)

При х = О

omJx(0) = — (1 +11г)‘‘.	(6.217)

а

Очевидно, чго чем бо ынс значение q, тем больше будет напряжение
в лепте. Напряжение в лепте прямо пропорционально чпс iy оборотов
барабана и обратно пропорционально скорости волны деформации. На-
пряжения в груженой ветви ленты будут сущеегвепно больше папряже
иий в холостой ветви лепты.

Определим напряжения в ленте, если конец лепты перемещается по
экспоненциальному закону. Решение этой задачи важно для анализа
динамических процессов в ленточном конвейере, оборудованном асин-
хронными двигателями переменного тока. Асинхронные двигатели
наиболее часто применяются для привода ленточных конвейеров малой
и большой мощности

н(0,/) = А-р'.	(6.218)

Решение этой з	адачи в дальнейшем нам потребуется при определении

напряжений в конвейерной лепте в режимах пуска п выбега.

В этом случае уравнений (6 196) Полагаем, что	получаем различные результаты при использовании и (6.200).  и(х, f) = f(x) e~pt.	(6.219)

При представлении коэффициента внутреннего трения в дсйствнтель-

пой форме	7]=-^-	(6.220)  Р
имеем	a* <Pf(x)_р2^х) о.	(6.221)  dx2	dx2

При представлении коэффициента внутреннего трения в комплексной
форме

о2 ~dx^ + a4ri	(6.222)
Разные уравнения приводят к разным результатам. Будем использо-
вать уравнение в комплексной форме. В этом случае

		[ (х).	(6.223)  dx2	a2(l +<ч)
Обозначим		== р2(| ~/7;) .	(6.224)  аг((-Н*))	тт(1-гг.2)

Получаем следующее решение

	и = [Ce~ix 4- D е'х] с-р1 .	(6.225)
Пусть опять	Х=а + Ф,	(6.226)
где	а > 0.
Тогда	и = Ле-(а+<₽)х-Р<.	(6.227)
Из равенств	«2~Рг=	.	(6.228)  a- (1 + т]-)  2аВ =		 (6.229)  о2(1+^)

определим значения а и р

	а=±—;Р = +-^-.	(6.230)  а	2а

Учитывая лишь прямую волну деформации, получаем

	— — <oi—х, -^xi  и = Ае и	е 2“ ;	(6.231)
НЛП			 (Ot—X)  и =Ле а	cos-^-x.	(6.232)  2а

Мы получили волну деформации, распространяющуюся со ско-
ростью а, амплитуда которой убывает по мере удаления от источника
возмущения. Закон затухания получился отличным от закона затухания
при гармоническом возмущении.

Определим теперь более точное выражение для перемещений и(х, i).

Пз уравнений (6.228, 6.229) определим

Р . / 1 i ’ 1
а = ----— I /-------]------,

а I 2 I 1 + т)-	| 1 + т?

В  ------	1	-  -.	(6.233)

2 ) I +

Отсюда

— (Гт + 1 х—оЛ	Г)РХ

«=-Лс°	1+,‘ 1 и.,'	Jxcos——--------- . ...	(6.234)

V 2- al 1 +т)2 + (1

ИЛИ

и = Ле' и* Г 7Т? + » r+’<* ~ cos--7=—	===-.	(6.235)

aV2 ) 1 +^ + (1 +

17*

259
Скорость распространения волны получилась той же самой, что и
для случая гармонического возмущения в зависимости от коэффициента
внутреннего трепня. Важно то, что скорость распространения волны де-
формации не зависит от частоты и noi азателя экспоненты. При уменьше-
нии величины показателя экспоненты коэффициент, определяющий зату-
хание д 1Я данной координаты х, увеличивается и прп р —>-0 приближает-
ся к единице.

Таким образом при перемещении конца лепты ск >чком (имеется
в виду достаточно быстрое изменение) от пуля до какой-то постоянной
величины вдоль лепты будет распространяться волна деформации, со
скоростью

а =----- с> ----------- (6.236)

1 / 1 1

У 1++»t+v
практически без затухания.

Аналогичный вывод можно сделать из уравнения (6.209), когда конец
ленты перемещается но закону «(0,/) = At. В этом случае также можно
пе учитывать затухание

и (х, /) = A [t-—j.	(6.237)

Напряжение в лейте прп экспоненциальном возмущении определяет-
ся следующим образом:

==£А(1-7))[-%.1/ —J—+ -=L=cos

I а V 2 V 1 + Л2 М+>)2

TiP

_________ух____________

а /2 У 1+л2 + (1+^)’А

______________ _ —	-1 X

aV?  /l+^ + d + T)’7’ аР 2 • Г1 +лг + (1	.

X Л’ 2-/l+?+	(6 239)

При х = 0 имеем

а = ЛЕ р <1	е-Р‘.	(6.240)

а

Величина напряжения прп х = 0 определяется той же формулой, что
и при отсутствии затуханий, если предположить, что скорость распрост-
ранения волны деформаций равна а и вместо А подставить А = А (1—q).

Это дает возможность значительно упростить решение задачи по
определению напряжений в лепте конвейера прп пуске и выбеге.

Прп определении закона изменения напряжений в ленте при х = 0
можно формально учесть затухание, приняв, что величина действующей
нагрузки и скорость распространения волны деформаций вдоль груже-
ной и холостой ветвп определяются следующими выражениями:

(6.241)

(6.242)
(6.243)

где £'i — расчетный модуль упругости груженой ветви ленты;

pi — плотность материала и лепты, отнесенная к поперечному сече-
нию ленты;

£2— расчетный модуль упругости холостой ветви лепты;

Рг— плотность материала лепты;

i)i — коэффициент внутреннего трепня в груженой ветви лепты;

т]2— го же, в холостой ветви.

Используя полученные результаты, опре юлим напряжения в кон-
вейерной лепте при пуске и выбеге.

Ленточные конвейеры обычно оборудуются приводами с асинхрон-
ными двигателями переменного тока. Для небольших конвейеров при-
меняются асинхронные короткозамкнутые двигатели, для больших кон-
вейеров применяются асинхронные двигатели с фазными роторами.

В нервом случае и во втором случае для каждой ступени реостатного
пуска изменение крутящего момента па валу двигателя приближенно
можно принять изменяющимся по закону

М (/) = Мое~Р‘.

(6.244)

Для получения закона движения барабана и закона изменения напря-
жений в лепте, сбегающей и набегающей па барабан, запишем уравне-
ние волновых процессов па основании сделанных выше замечаний сле-
дующим образом:



d2Uj	d2ut

~дх2	di*~

= 0;

«2

<Э'2«2	d2U«

дх2	dt2

(6.245)

Решением этих уравнений являются

«г = fi (ail — х) + (f! (oj + х);

«2 = /2 («2/ — *) + ф 2 (a2t + х).	(6.246)

Исходя из принципа Деламбера будем иметь для приводного бараба-
на при х = О

— — -^г + EiS-^- — f2S—1—= О, (6.247)
г? dt-	дх	дх	rL

где S — площадь поперечного сечения ленты.

Из условия непрерывности

— —и2 при х — 0.	(6.248)

Иоско шку

Hi (0, /) = fi (ait); и. (О, /) - [2 (о2/),	(6.249)

то

—	(«|0 — EiSfi («1О + E2Sf'2 (a.,t) + -	= 0. (6.250)

ri	'*

Из соотношения (6.248) имеем

Д («10 =--/2(02/).	(6.251)

261
Дифференцируя это равенство, получим

«i/i («if) = — «2/2 («2/).	(6.252)

Учитывая это соотношение, из уравнения (6.250) иол/чпм

---+ £2^ W (а,() +-^~ = 0.	(6.253)
r i	\	"2 J	г*

Заменяя a\t = z, имеем

Гл + Е.-^-
f.(z) +-----=^- r.fi(z)- -Л<(2;1 =0;	(6.254)

/jOJ

£i=6OPi; C2=«ip2,	(6.255)

где pi и P2 — приведенные плотности груженой и холостой ветви.
Тогда

h U) + (	_	- \ ,2  pi +p2_£e_)_2_S/l(z)-  «1 / Ji	““ — »	Х'>  J|<1|	(6.256)
h (?) +	/	 	\	2  (±ipl±^)^_67;(z)-  х п1 /Л	ЛИЕь _п Л"?	(6.257)
Обозначая  _oi(’i + “Я’2 _ e  O1  получим  c- / . ,	2 .s / , , M (0 /•,  fi (z) + ^1 — fl (z) — -	‘  J,	J। • и ।		= 0.	(6.258)  (6.259)
Пусть	_ JL  = 'М^	- Z  >	(6.260)
имеем	2 5 ,	— «Г| — г	—  fi (г) = Ае J' + Be	р __ Z  а»	(6.261)
Легко получить  Если при	$ = 		  / 9 S	р \  er? —+— J.E,  \ Л	о, 1		(6.262)

/ = 0; f । (z) =0, то .4 = — В.

В этом случае, получаем следующее выражение для окружной скоро-
сти барабана, определяющее также скорость перемещения поперечных
сечений лепты при х = О

[(z) = — —----------(е~ Z — е-Н),	(6.263)

{	Р 4 I с

\	01 /

где

Y==er2_S_	(6.264)

JI
3 шепяя z через

z = Hit — X

(6.265)

ii вводя затухание, получим следующее выражение бегущих воли дефор-
мации

[ 1 (х, I) = ------- е “• cos---------------- 7,1/71	—---------

Ъ.е,	। и-А+О + ^Г'*

\ «1 '

— С—х) cos ----—___ ---------—_

“I I 2 ) 1+^ 4 (1 ч-чй"7’ '

(6.266)

Значение напряжений определяется пз следующей формулы:

£ ( dfl ъ А

\ дх	dxdf)

(6.267)

При изменении крутящего момента скачком о г пуля до А1о выражение
для волны деформации определяется следующей фор ly.’ioii:

fi (х. О

А10Р,
ez-j.SVf,

с~ Т(а,1—х)

(6.268)

Рассмотрим эт} же задачу в более общей постановке. Будем пола
гать, что па валу барабана действует момент, создаваемый приводом от
асинхронного двигателя (короткозамкнутого или с фазными ротором).
Величина крутящего момента па валу барабана будет зависеть от угло-
вой скорости барабана и определяется следующим соотношением:

Л1(1) = А — В-^,	(6.269)

где /1 п В — постоянные;
или

М(/) = д_ ,'(„,/).	(6.270)

п

Уравнение движения получается в следующем виде:

----(«(/) - /Л5/1 М + E2Sf2 fat) + А	-Л,‘ /J fat) = 0; (6.271)
ч	ri-г f

или

Г1

(6.272)

11реобразу я, получаем

r\ E,S4-£j-^-S 4-Ва,
Л (г) +----------f (г)

ЛП1

Яг,

= 0.

(6.273)

Отсюда

((>.274)
Обозначая

получим

d£(4i. + ^+ »	>

JjfZ] \ t/j	(1ъ J

h(*) + zM*)----------^ = 0;

•/I°I

/'« = -^-(1-6-^).
A°iZ

Переходя к координатам х, i и вводя затухание, получаем

Л (х, t) =

1	_ e-z(« J-x) cos-- . W

a, /2 ] 1 +П2-

(G.275)

(6.276)

(6.277)

(6.278)

Максимальное значение дополнительных напряжений в лейте не пре-
восходит значения

________AEt_______

Гг ^'iS+-^£2S + -^l

(6.279)

Во тиа деформаций, идущая от приводного барабана, дойдя до конца
конвейера, па котором значение р меняется скачком, отразится и пойдет
обратно в виде волны деформации противоположного знака. Время, в те-
чение которого волна проходит двойную длину конвейера, равно

Т=~.	(6.280)

«1

Таким образом, максимальное значение напряжений в ленте от ди-
намических нагрузок может быть определено по формуле

°тах

AEt

а,	Ва,

EtS + —1 • E.S +	Д

Д2	’ Г1

(1 — е-2Д).

(6.281)

§ 9. ОБ УЧЕТЕ СОПРОТИВЛЕНИИ В РОЛИКООПОРАХ КОНВЕЙЕРОВ ПРИ
ОПРЕДЕЛЕНИИ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК В ЛЕНТЕ В РЕЖИМАХ ПУСКА

Учет сопротивления в роликоонорах конвейеров при определении
динамических нагрузок в лепте может иметь существенное значение
лишь в режимах пуска. В режимах выбега сопротивления в ролпкоопо-
рах оказывают воздействие иа ленту, снижающее значение дополнитель-
ных динамических нагрузок в лепте.

При пуске конвейера от приводного барабана вдоль рабочей и холо-
стой ветви ленты распространяются упругие волны деформаций. Доходя
до ролпкоопоры, эти волны встречают сопротивление, изменяющееся
2итп

скачком от пуля до величины--L , где mmp— момент трения в роли-

d

коопоре, d — диаметр ролика. Величина сопротивления в дальнейшем
может быть принята постоянной. При этом от опорного ролика по на-
правлению к приводному барабану будет распространяться отраженная
264
,	2rnm„

волна деформации того же знака при напряжении в ленте, равном--------.

dS

Напряжения, вызываемые в ленте вотпой деформаций, иду щеп от бара-
бана, будут уменьшаться па ту же величину. Обратная волна деформа-
ций, дойдя до барабана, отразится от него и с тем же знаком пойдет
опять от барабана к другому концу лепты. Так как интенсивность обрат-
ных волн незначительна, в начале разгона они пе будут оказывал,
влияния на движение приводного барабана.

Вследствие этого можпо предположить, что в процессе разгона па
приводной барабан, помимо динамических нагрузок, бу ivt действовать
нагрузки, изменяющиеся по закону

Pia(t)=
dlP\

Pid(t) = ad,	(0.282)

dlp2

— относится к рабочей ветви ленты;

Рм — то же, к холостой ветви;

1РЪ — расстояния между роликоопорамп;

d — диаметр ролика.

«1, «2 —скорости распространения волны;

При учете затухания следует принять вместо а значение а.

Закон изменения волны деформаций при движении ее вдоль ленты
будет отличаться от того закона, который получается при отсутствии
трепня в ролпкоопорах. Отличным будет и воздействие па барабан со
стороны ленты, а следовательно и закон движения барабана.

Уравнение (6.253) в этом случае будет иметь следующий вид:

----; (а,/) - (Et + Е2 Sfi (о,/) +	- (Р1д + P2d) = о.

П	\	а2 J	ri

(6.283)

Рассматривая задачу с учетом совместной работы привода и лепты,
получим следующее уравнение:

(ai0 — (Pi +	S/i (ait) -]-----

П	\	а2 J	ri



Отсюда

mrr.pi „	1	ттрг

------- Uj "Д---------UO

г*/ \ 1	1 Г 2 EiS

/1(2) + — <1

I от

ГПтр* ^2
d?lp2 a i

z = 0.

(6.284)

(6.285)

+

Решением этого уравнения является

fi (z) = ki + k2z + k2e~7Z,

2

-±7Г+------

XM2	у V ta2t

Л

mntpl ।___

o.

01

mmpi । mmp2
djpi d?lpi

a2

z.

(6.286)

(1 -е-^-

"Prx
Эта волна деформации идет от приводного барабана к другому кон-
цу конвейера. Учитывая во шу деформации, идущую от роликов, полу-
чаем следующий закон изменения напряжении в рабочей ветвп лепты
конвейера у приводного барабана

Аг 1	। П mmpi । mmip2

(1 — е-х0-') —

r\ £t
“SiJ17.

d^pi djp’i

I i ОТДФ1Л1 i
djp^

$.2X7)

Экспериментальные исследования переходных режимов в ленточных
конвейерах moijt быть выполнены методом теизомстрпроваиия дефор-
мации в прокладках ленты с помощью специальных датчиков пз нихро-
мовой проволоки, юпуск нощах достаточно большие удлинения. Датчи-
ки наклеиваются на прокла.ц и, после вскрытия верхнего слоя резины.

После наклейки датчиков соединение верхнего слоя резины с проклад-
кой восстанавливается.

Такого ро та эксперимен ты были выполнены под нашим руководством
О. И. Кслепым и В. Б. Цветповым в 1964 г. Испытания были проведены
на наклонном ленточном конвейере.

Длина конвейера 90 и.

Угол наклона конвейера 16°20'.

Ширина ленты 1200 ил. Число прокладок 8.

Материал прокладки ОПБ-5. Скорость ленты 1,6 м1сек.

Привод конвейера был оснащен асинхронным короткозамкнутым
двигателем тина АО-94-6 мощностью 75 кет. Приводной барабан уста-
новлен в головной части.

Тарировка датчиков производилась методом заданных усилий в ла-
бораторных условиях па прессе.

Па рис. 109 показана схема размещения датчиков полейте.

И<1 рис. 110 показана типовая осциллограмма изменения напряжений
в рабочей ветвп лепты в период п^ска и работы прп порожнем конвейере.

Па рнс. Ill показана типовая осипллогр мма изменения напряже-
ний в рабочей ветви лепты в период пуска и работы при груженом юн
вейере.

(ополпитсльпые напряжения в лепте при груженом конвейере зна-
чительно выше кшо.пштельпых напряжений в лепте для порожнего кон-
вейера. Наибольшие напряжения имеют место у приводного барабана.
26G
4330

Рис. 110 Осциллограмма изменения напряжений в рабочей ветви ленты при порожнем конвейере

Рис. Ill Осциллограмма изменения напряжений в рабочей ветви ленты при груженом конвейере
Напряжения па другом копие 1« пвейера вследствие затухания динами-
ческих процессов, вызываемого наличием диссипативных сил, составля-
ют всего 15 20%. На этих же осциллограммах показан закон измене-
ния крутящего момента на валу приводного барабана.

Сопоставление полученных экспериментальных данных с расчетом
показывает, что расчетные данные с достаточной для практических це
лей точностью ыют значения максимальных дополнительных напряже-
ний в лепте в переходных режимах.

Следует обратить внимание па то, что при пуске ленточного конвейе-
ра иногда наблюдаются колебания в приводе конвейера с достаточно
большой амплитудой. Иногда эти колебания отсутствуют. Причиной
возникновения этих колебаний является наличие достаточно больших
зазоров в передачах. При пуске двигателя происходит ударное нагру-
жение механической системы привода, вызывающее колебания с боль-
шой амплитудой.

При расчете динамических процессов в лепточпых конвейерах учет
зазоров в передачах может быть сделан введением ненулевых началь-
ных условий по скорости. При пуске конвейера возможно проскальзыва-
ние ленты по приводному барабану, которое может вызвать автоколеба-
ния.

§ 10. ЭЛЕКТРОННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ РЕЖИМОВ
ЛЕНТОЧНЫХ КОНВЕЙЕРОВ*

Для определения величины и характера изменения напряжений, воз-
никающих в прокладках лепты в период пеустаиовпвшегося движения,

а также для исследования влияния

Pirc 112. Расчетная схема привоза кон-
вейера

различных параметров конвейера на
этот процесс, можно использовать
элекгроиио-моделпру ющпе анало-
говые машины типа ЭМУ-8, ЭМУ-10
и т. д.

В настоящем параграфе рас-
смотрены основные положения и
методы моделирования, а также
представ теп результат решения кон-
кретной задачи.

Расчетная схема привода кон-
вейера, трансмиссия которого со-
стоит из зубчатого редуктора, сое-
едппеппого с валами двигателя и
барабана муфтами, представлена

иа рис. 112 и 113. Обозначим:

Mdo—крутящий момент двигателя, приведенный к валу привод-
ного барабана;

МСг—момент статического сопротивления конвейера;

Ji, Jz, h — соответственно моменты инерции вращающихся частей
двигателя, редуктора и барабана, приведенные к валу
приводного барабана;

Ji2 — объединенный момент инерции ротора двигателя и ре-
дуктора;

й, т'2 — жесткости соответствующих валов с муфтами;

<?i2 — жесткость трансмиссии, приведенная к валу приводного
барабана;

§ 10 написан О. И. Келе ним.
р — угол попорота вала двигателя, приведенный к валу при-
водного барабана;

а — угол поворота приводного барабана;

6 — суммарный зазор в трансмиссии.

Рассмотренная ранее система уравнений (6.149), описывающая дви-
жение масс конвейера при иеустаповившемся движении, с учетом жест-
кости трансмиссии примет вид

Jяа~ —т~,—h rcf I (z) + rch (z) 4* ci2 (a — P) + Л4ст = 0;

dzl 2 * * *

J 12a2 ——|- Cj2 (P — о.) — Mde‘
dz2

h (z) + 4-^«(z)--ra = 0;

4	<1

f 2 (z) +-!-f2 (z) —4-a=0.	(6.288)

*2	*2

Определение объединенных моментов инерции и жесткостей можно

Рис ИЗ Расчетная схема для определения приведенных моментов инерции
и жесткостей-
а — действительная, б — приведенная

производить по методу Черевкова. Для схемы (см. рис. 113) получим

J,2 -= J, + Л;	(6.289)

ci2=—-------i*7A—j—•	(6-29°)

[	+	^2

\	^2 /	^2

Ви д функции изменения крутящего момента двигателя зависит от
пусковой характеристики двигателя. При ступенчатом пуске асинхрон-
ного двигателя с фазным ротором

Л1Л = Л — Вы = Л — оВт_.	(6.291)

dz

где Л и В — параметры искусственной характеристики двиытечя, по-
сюяппые для каждой ступени реостатного пуска;

и— скорость распространения упругой волны вдоль рабочей
ветви ленты;

ip — передаточное число трансмиссии.

При короткозамкнутом пуске асинхронного двигателя крутящий мо-
мент изменяется по нелинейной зависимости

(2 4- <?) V>o

dp

(i)0 — а  ip ———
dz

l \2	dB .	9. ,

(О'л)- I — d'p (2 q^K) + (। J + s2) o»2

(6.292)

dB

при U<n—— < (OO,

dz
где pm —кратность максимального момента двигателя;

Л1,|ОЛ— поминальный момент двигателя;

Лк — критическое скольжение;

wo—угловая скорость вращения магнитного ноля двигателя;

q— постоянный коэффициент уравнения механической характе-
ристики двигателя.

Для получения машинных уравнений система (6.288) разрешается
относительно пысшпх производных. Кроме того, для предотвращения пе-
регрузки ЭМУ прп непрерывном возрастании величии а и 0 два по-
следних уравнения продифференцированы еще раз по z

(2	s	Ч J3	з

ci"Jjo	a JJ2

h U) == 4“ ~ 7"

Ч	<1

/.:(г)=-^а'--^-Д(2).	(6.293)

/о	*•>

Прп реостатном пуске двигателя с фазным ротором система уравне-
нии (6.293) принимает вид

«" =	ф-«)-------~ h Ю-------;

U‘J3	aJ3	a-J3	a2J3

P" = ^7-------/<7-₽'+-тНа-₽);

ci J jo	aJ j»	«/jo

h U) = -J- —Г h <г);
1	4

f:2(z) = -La'--L f’2(Z).	(6.294)

• *>	*2

При пуске конвейера от асинхронного короткозамкнутого двигателя
задание функции-М— ио уравнению (6.292) может осуществляться раз-
ами

личными способами: с применением электронных и электромеханиче-
ских множителей и делителя, с применением функционального преобра-
зователя прн соответствующей линейно-кусочной аппроксимации кривой
механической характеристики двигателя.

Для обеспечения условия отсутствия упругой силы со стороны
приводного барабана в период выбора зазора в трансмиссии в структур-
ную схеме вводятся параллельные каналы с ограничителями. Всшчпиа
ограничиваемого напряжения назначается пропорциональной величине
зазора.

Структурная схема соединения решающих блоков машины для моде-
лирования системы ((>294) приведена на рис. 114.

Передаточные коэффнцпенгы п постоянные напряжения опреде-
ляются из уравнений, связывающих электрические напряжения, полу-
чаемые па выходе усилителей, которые при моделировании системы без
учета зазоров имеют вид

U1 —-----(^11^3 + ^12^7 + ^13^8 +

Р

(7S =-----(k31U0 + ksiU2) =----(А?чо(7ь-^31^tl^l)’

р	р
ик =------- (/42^0 + МА + kMUA) = - — (k6tU1 - /г41/гмиз + k6iUA);

p	P

U7 = — — (k7lU2	— krU7) =------	(*„£/, — k^U,};

P	P

U6 =-------- {k61U2 + /г82(/8) =---L (A8,(/8 _ k2lkMUi). (6.295)

p	p

Примем величины масштабов по вертикальной оси

1/40 - ,

А (г)

т3 =-----(6.296)

/2 <г)

по горизонтальной осп р =
г

= —, где т — машинное
г

время.

Имея в виду условное
г	d

обозначение р = —, си-
' dx

стому (6.295) можно при-
вести к виду

а" = ргА11Ая1(Р — а) —

-р^-^/Дг)-

--М^13 -5 /2 (г) + — ^14^0

лц	т!

Рис. 114 Структурная схема соединения решающих
блоков ЭМУ для моделирования переходного процес-
са в ленточном конвейере с учетом зазоров в привод-
ном механизме с приводом от асинхронного двигате-
ля с фазным ротором

Р" = — kMUA -цУ' + p2A31A41Ae3(a — Р),
/П1

ft (z) = р -k21kna' —	(z);

rn2

fi (г) = p — A2iA81a' — pA82f2 (z).
m2

(6.297)

Сравнивая полученную систему уравнений с исходной системой
(6.294), получим следующие выражения, определяющие значения пере-

даточных коэффициентов:

А’11^31 = —ГГ- „ ’	^21 = Н ^32 = Aib

о "Уз |t“

к	ГС	m,	1	k h ь —	Cj2	1
Л-12 —	» .		•	*31*- 41*63	
a~J3		)1		a2Ji2 ц*
	ГС	/и,	1 - .	ipS 1 .
	a-J3	т3	>	К62  Н	aJI2 в
klJJc	Mem	т.	• А	Л т7
	O‘J3	Н		
kn	г		1 	k-n —	1
	«1	/П1	>	к72  И	Ph ’
/^81	г		' ‘	k,-	1
	' 1г	mi	>	«82  И	р/2

(6.298)
Параметры параллельных цепей с ограничителем, моделирующие
влияние зазора в трансмиссии, определяются из условии обеспечения
отсутствия упругой силы со стороны приводного барабана в период вы-
бора зазора,а именно

^14 = ^11» ^61^61 = ^41^вЗ> ^8 —

где 6 — суммарный зазор, выраженный в радианах.

Схема соединения решающих блоков ЭМУ при моделировании систе-
мы с короткозамкнутым пуском с использованием функционального нре-

тг

^71 — “7
• I

Рнс 115. Структурная схема соединения
решающих блоков ЭМУ для моделиро-
вания переходного процесса в ленточ-
ном конвейере с учетом зазоров в при-
водном механизме с приводом от асин-
хронного короткозамкнутого двигателя

^81 —

т3

PG

1

/2 т, и

р/2

(6.299)





1

• —

Для настройки функционального преобразователя имеем уравнения

A mr ipB Ut

ивыхкю = cVls и +—J12	;	(6.300)

pfS-Vl/2+ _aZpC Ut+D
\mi I °

^„ = ^70.	(6.301)

где

= lhnMHOMip(2 + g) sK(0o;
я) =	>

0)q

C = (2 + ?sK)w0;

D = (l+?s«4-s«)wo.	(6.302)
Задаваясь опр деленными значениями напряжения U6 в пределах
О Ue < t подсчитывают величины напряжении Uax, UBNX па
aZp

входе и выхо е фупкцпопалыюго преобразователя прп определенных
значениях коэффициентов k62 и k70. Величины этих коэффициентов вы-
бирают так, чтобы максимальная величина напряжения па функцио-
нальном преобразователе не превышала 100 в.

В результате решения машинной системы уравнении (0.207) полу-
чаются I рпвые, выражающие' зависимости электрических напряжении,
пропорциональных величинам fj(z) и /j (г) в функции от машинного
времени т. Полученные кривые легко пересчитываются па соответствую-
щие деформации лепты конвейера

*1 = [i U) =--— = — - — Ih = —т Ji,;

т2	т2

е, = /' (г) = — -^ -=--ft, = — mi2h,,	(6.303)

т з	"‘3

где Ei и е,— деформации лепты, распространяющиеся соответст-
венно от левого и правого концевых барабанов вдоль
рабочей ветви лепты;

/тти7 и ти„— масштабы соответствующих электрических напряже-
ний, полученные пз тарпровочпых осциллограмм;

zn,i и т 2 — масштабы величии деформаций ленты;

Л1 и h..--ордипагы па осциллограмме.

Перст чет абсциссы с машинного времени па аргумент функции бегу-
щей волны производится по формуле

z — at— х = — = ——/,	(6.304)

Н И

где т-—масштаб машинного времени, подсчитанный по отметкам вре-
мени, имеющимся па осцилло рамме;

X—абсцисса па осциллограмме.

Для получения закона изменения деформации во времени в опреде-
ленном сечении лепты (х = const) пересчет абсциссы осциллограммы
производится по формуле

t = ГП,/--— ,	(6.305)

а

т.

где int — масштаб времени, определяемый зависимостью int = —- .

В частном случае прп х = 0

t —	(6.306)

Для получения закона изменения деформации лепты ио тлпие кон-
вейера и определенный момент времени (/ = const) пересчет абсциссы
осциллограммы производится по формуле

х = at — тх/,	(6.307)

т.
где тх— масштаб длины; тх = —.

f

До момента встречи воли деформаций, бегущих с обоих концов кон-
вейера, имеем равенства

е = ед пли е = е-2,	(6.308)

где Е- — суммарная деформация.
С момепа встречи воли в какой-либо определенной гонке до момента,
когда в эту точку придет отраженная волна, имеем равенство

е = б! + е2 = f 1 (at — х,) (л'^4- f'2 (at — х2) т) (х2),

(С). 309)

где t](xi), т](хг) —коэффициенты, учитывающие затухание.

Сложение кривых, выражающих изменение деформаций Е| и г2,
можно производить графически, причем их необходимо привести к од
ному масштабу. Так, для получения графика суммарных деформации
в масштабе mtl необходимо при сложении ординаты Л2 пересчитать но
формуле*

Величина и характер изменении допо тигельных напряжении в .теп
те опре гелятотся в и редиол ожегши постоянства динамического модуля
упругости

°доп

По предложенной методике были смоделированы пусковые режимы
наклонного копвейергг длиной I = 8(> м с шириной лепты В = 1200 мм
Моделирование производилось без учета жесткости трансмиссии и зазо
ров. Пример осциллограммы, полу-
ченной при решении одного из ва-
риантов, представтеп па рис. I 16.

Рис. 116. Осциллограмма зинпстт пере
ходкого процесса в ленточном кон-
вейере на ЭМУ

Рис. 117. График изменения дополт п-
тельных nyi копых напряжении у
приводного барабана, полученный в
результате моделирзвания

Па рис. 117 представлен график изменения дополнительных пусковых
напряжений > приводного барабана, полученный в результате oopaOoi
ки осциллограммы. Сопоставление результатов моде шровапия с резуль-
татами экспериментов тало достаточно хорошую сходимость.

При проведении моделирования была сделана оценка влияния мо-
мента инерции, загрузки лепты и физико-механических свойств ленты иа
величину дополнительных динамических напряжений в лепте. Получен
пые результаты подтвердили справедливость сделанных ранее выводов
Чем больше загрузка лепты и чем меньше момент пперцнн привода, техг
больше юно тпптелт.ные напряжения в лепте. Увеличение скорости рас-
пространения упругих воли деформаций в лепте приводит к уменьшению
юполпптелытых напряжений в .тенге.

Исследование ишампческпх процессов в ситочных конвейерах
в пусковых режимах может быть выполнено также путем замены рас
пре деленной массы ленты и транспортируемого материал;! несколькими
сосре югоченпымп массами, связанными невесомыми упругими звень-
ями. Силы статического сопротивления приводятся к выбранным со-
средоточенным масс тм.
Диссипативные силы типа внутреннего трепня приводятся к упругим
связям. В этом случае получаем мпого.массовую динамическую систему,
колебания которой описываются системой линейных дифференциальных
уравнений второго порядка.

Для обеспечения точности решения число заметаемых масс выби-
рается достаточно большим. Вследствие этого число дифференциальных
уравнений также получается большим, что значительно усложняет про
цесс моделирования и исследования динамических процессов.

Существенным недостатком этого метода является также то, что тре-
буется достаточно высокая точность расчета коэффициентов уравнений,
поскольку в системах дифференциальных уравнений высокого порядка
небольшие ошибки в коэффициентах уравнений могут привести к значи-
тельным погрешностям в результатах решения.

Однако метод исследования динамических процессов в лепте путем
замены ее сосредоточенными массами в ряде случаев применять целесо-
образно. Гак при оценке влияния неравномерности загрузки лепты осо-
бенно, если опа не регулярная, пли при исследовании динамических
процессов при транспортировании штучных грузов этот метод может
оказаться более простым, чем метод, основанный па применении раз-
рывных функций или метод характеристик.

Прн постоянной загрузке ио длине ленты легче моделировать с ис-
пользованием метода разрывных функций. Число потребных решающих
усилителей не велико и точность решения получается достаточно высо-
кой, а трудоемкое!ь расчета значительно уменьшается. Преимущества
этого метода особенно значительны при исследовании динамики лен-
точных конвейеров большой длины.

§ 11. О ВЫБОРЕ НАТЯЖЕНИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИИ ЧАСТОТ ПОПЕРЕЧНЫХ
КОЛЕБАНИИ КОНВЕЙЕРНЫХ ЛЕНТ

До последнего времени в имеющейся литературе по расчету ленточ-
ных конвейеров рекомендуется выбирать минимальное натяжение леп-
ты Опин пз условия, чтобы максимальный прогиб лепты i]rn.o находился
в следующих пределах

т,га3х< (0.025-4-0.03)/.

где /—расстояние между ролпкоопорамп.

Метшее значение рекомендуется выбирать тля быстроходных кон-
вейеров. Однако эта рекомендация в настоящее время не может быть
признана удовлетворител1>пой, так как прн назначении минимального
натяжения лепты не учитывались в полной мере динамические факторы.

В связи с этим рассмотрим за тачу об опрх'дслеппн натяжения лепты
в более точной постанов! с. Эта за тача сводится к решению вопрос.!
о влиянии скорое!!! движения лепты па частоту колебаний и па величину
максимального прогиба. Аппарат решения такой задачи достаточно хо-
рошо разработан, пос ольку она является аналогом задачи о расчете
конструкций па подвижную нагрузку.

Coci.ibi.i уравнение колебаний ленты с учетом скорости движ пня.
В общем виде уравнения колебаний лепты получены в § 2—5. Здесь при-
водится упрощенный вывод уравнений в целях большей наглядности ре-
шений

Для простош будем прспсбрс!ать рнботой лепты на изгиб. В этом
случае лепт;! может быть уподоблена струпе, па которую действует по-
стоянное натяжение.
Для составления уравнения колебаний леи гы рассмотрим участок
лепгы длиной \.г (рис. 118).

Обозначим

Р — плотность массы ленты и груза на ленте, приведенные к попе-
речному сечению лепты;

F— поперечное сечение лепты;

о(х,/) —натяжение лепты, отнесенное к единице площади поперечного
сечения;

т](х)— прогиб ленты;

I — расстояние между ролнкоопорами;

q(x, /) — погонная нагрузка па лепту;

v — скорость движения лепты.

Масса выделенною участка лепты

i\m = pF \х.	(6.313)

Рнс 118. (Лема сил. чсГн'Твчю-
uuix на пы.целенный момент
ленты при и н нбе

Сила инерции, епствующая па выде-
ленный участок лепты в направлении ц,
равна

P„ = pFAx-^. (6.314)

Приравниваем ее к действующим в
этом направлении усилиям

pFAx = — Fa (х) sin а (л) 4 F а (х 4-

4 Хх) sin а (х + Дх) (- q (xt) Дх.

(6.315)

Предположим, что пагяжеппе лепты между опорными роликами из-
меняется незначительно и что a(.v) достаточно мал, тогда

sina(x) = tga(x).	(6.316)

Поскольку
ах
получим

d-ц _ Г/ di; \	____/ дл У 1 ' <7(х/) Ху

* dt' [\ дх /х+лх \ дх /х]	Г

Переходя к пределу прп \.v->-(), будем иметь
d2») _ о 3*1)  «у (х/)
dt2 р дх2 Гр

11оскольку

. =	+ 2v 4- V1 ,

dt2 dl2	dxdt	dx2

(6.317)

(6.318)

(6.319)

((>.320)

\равнение колебаний запишется следующим образом:

+	0.	(6.321)

Of2 dxdt \ р ' с/х- /р

Бхдем искать решение полученного уравнения в виде ряда

'(*. /)

V Л О)ЧД (л),

(6.322)

!• I
где q/, (л) —формы колебаний лепты
, .	. knx

<Г; (х) -sin—

Подставим ряд (6.322) в уравнение (6.321)

(6.323)

<FTk
dt2

<P,(x) + 2oV-^*.^ +
dx dx

*=-1

V2—

dt2

<P<ek  <l(x, l)

/(•

= 0;

(6.324)

илп

.1 rfT* . 1’лх о	dTk

k -----— sin---------k 2v >--------------

J dt2 I	I dt

k-. i

knx

COS — 
Z

*^-i

Умножим

интервале от

полученное

О до Z

? Г dlTb

7\sin

hnx  q(x, Z) _ q

уравнение па sin

— v2

Fp

(6.325)

(ЯХ ,

— ax ii проинтегрируем в

ksix . inx . .

sin------sin--------dx +

Z z



I

о

<r>	I

V2knv dTk i* • £лх fjrx
------------- I sin--cos----

• I dt .1 l i
i=l	0

dx — | sin dx = 0;

.1 fp Z
о

(6.326)

поскольку

k = 1,2, 3...

t

S' . knx inx .

sin-------cos-------dx =

I	I

b

0

•Ilk2
n(k2-F)

(k ± i) — четное
(k 4= z) — нечетное.

(6.327)

Интегрируя, получим (при q(x, t) = q — const)

d2Tk . f a ,\ /г2 л2	. 8o ХЛ ki	dT,	4q

----— + (---------v2 )	T2 H	>	— = ——;
dt2 \ p ) I2-------------------------------------------I-k2 — i2 dt kn(>F

i=2, 4, g...

(fe= 1, 3, 5...)

d~Th  7 о  ^2\ k2n? y2 । 8a
dt2 \ p ) I2	I

CO

= o. (6.328)
k2 — F dt

/=!. 3, 5...

(k-2, 4, 6...)

Характеристическое уравнение полученной системы дифференциаль-
ных уравнении имеет следующий вид:
/ а	9л2		0	8t> 6 , 	X  /	5	8t> 12 , / 7 X
0	.	1 °	п*  к2+ --D2) —  \l>	I'		8t) 2 , —	X  I 3	4 .  1 15 X
8о 6 —	к  1 5	Зу	2  / з Х		/а	X 4л2  v+(7-t'2) —	0
8г> 12 л /	7 *	0		8t> 4 , I	15 X	/а	\ 25л2

(6.329)

В первом приближении значение квадрата паиппзшей частоты коле-
бании определяется выражением

(6.330)

Во втором приближении частота первого тона и в первом приближе-
нии частота второго гопа определяются как

v2 = 5а-R2 _ рЛ^5а + У-у

,/2 =	+	(-5а+?*-)2 - 4аг,	(6.331)

где

а =	— иа) -у- ;	(6.332)

.	16 t>	(6.333)
3 I	

Если использовать лишь первое приближение, то значение критиче-

ской скорости движения лепты получается равным



(6.334)

11ри этом лепта теряет работоспособность.

Если колебания отсутствуют и движения лепты пет, то уравнение
упругой линии определяется соотношением

	о d2r) _ <? W _ 0  P dx2	p	(6.335)
при  Откуда	q(x) = const; d2n = <7 dx2	а	(6.336)
	Я = -^-x(Z —x);	(6.337)
	-  Umax,- to .	(6.338)
В случае движения ленты и отсутствия колебаний

=---Ч--;	(6.339)

dx2 t>2p — а

Ч=,х(/-х);	(6.340)

nmax<, = —(6.341)

8 (а — о2р)

T)max а =-= Y,	(6.342)

Птах с ° — К2Р

где у — динамический коэффициент.

Чтобы .максимальный прогиб ленты пе превышал допустимого по нор-
мам, необходимо натяжение лепты определять из следующего соотно-
шения

с = сс + п2р,	(6.343)

где п, — натяжение лепты, определенное при рассмотрении статической
задачи.

Как для сохранения устойчивости движения ленты, так и для сохра-
нения регламентируемого прогиба ленты при выборе натяжения долж-
ны учитывать скорость движения лепты. При практических расчетах
можно исходить пз формулы (6.343).

Здесь не учтен вопрос о движении материала при переходе ролико-
онор, который может привести к требованию, чтобы прп больших ско-
ростях натяжение ленты выбиралось бы большим, чем найденное по
формуле (6.343).

§ 12. БОЛЕЕ ТОЧНЫЙ РАСЧЕТ КРИТИЧЕСКОЙ СКОРОСТИ ДВИЖЕНИЯ
И ЧАСТОТЫ ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЛЕНТЫ

Особенностью работы ленточных конвейеров является зависимость ча-
стоты поперечных колебаний ленты от скорости се движения. Чем боль-
ше скорость, тем меньше частота поперечных колебаний. Скорость лен-
ты, при которой частота поперечных колебаний лепты равняется пулю,
называется критической скоростью движения ленты. Если скорость дви-
жения ленты близка к критической, прогиб лепты становится весьма
большим и лепта теряет работоспособность.

Рассмотрим теперь как влияет па величину критической скорости
движения лепты и па частоту поперечных колебаний поперечная жест-
кость лепты па изгиб.

Принимая предыдущие обзпачения, обозначим J — момент инерции
поперечного сечения лепты.

Уравнение поперечных колебаний лепты запишется следующим об-
разом (6.90):

—фр-^1---------------------№’	= о.	(6.344)

F дх* дх2 dt2 F

Поскольку

_Ё11Е = _^Ъ + 2у-^1-+	.	(6.345)

d/2 dt2 dxdt	дх2

Уравнение колебаний запишется в следующем виде:

д**1 + (у2Р — °) -д2*1 + р д 11 + 2ц>	-q (х, t) = 0. (6.346)

F дх*	дх2 ' dt2	dxdt 4
Будем искать решение полученного уравнения в виде следующего
ряда:
ОО

т!(л-, /) = V 7’л(/)«Га,(х),	(6.347)

л-i
где (р. (л) —формы колебаний лепты,

<Р* (*) = s'n	(6.348)

k = I. 3. 3... .

Подставим ряд (6.347) в уравнение (6.346)

\д (РТ к	knx , ,, ХЛ /*л dTк	/>’лг

sin----2vn \---------------— cos---------

' dt- I	I dt	I

k I	«1

or.	ос

/г2л2 / 2	\ Х~1 т k:vc kfT* EJ Х'Ч т ^лх ,	\ Л

— (!'(>—о)^Л sin—---------------—— ^^sin —-------------q(x.t) 0.

fi	k i

(6.319)

Умножим полученное уравнение па sin

tlx и проинтегрируем в

интервале от 0 до I, получим

VI Г	I /	2 X Т I	Т "к,

21р	+—(° -vw г*+——- Iх

«=л

I	оо	I

J' .	knx inx . . X'l 2гр£л </7\ i‘ . kxx ixx ,

sin ----sin-----dx 4- X —----------— I sin---cos----dx —

I I	I dt ,1	/	/

o	<—i	о

i

— q (x, t) sin ,n* dx — 0.	(6.350)

b

k = I, 2, 3...

Поскольку

r knx i~tx	0	«—четное]

I sin—— cos	 dx =	2/ k	}	(6.351)

J /	I	---------- k ± i— нечетное,

о	л k2 — P	>

Иигегрпруя, получим при q(x, l)= q = const

d2Tk , Г kW .	, /г«л* EJ I

P^r+[—("-<»*>+ — — |T,+

 8v	ki dTj q _ g.

I	k2 — P dt kn ~

i = 2, 4. 6...

I, 3,5...

(6.352)

(PTь	/г2л2 .	k*n* EJ ' q,

p ---— 4- ---------(o — pu2) 4----------------Tk 4-

1 dP P ' ’ I* F k

k = 2, 4, 6...
С учетом лишь двух членов ряда, характеристическое уравнение, он
ределяющсс частоты колебаний, запишется в следующем виде:

(6.353)

В нервом приближении частота колебаний определится следующей
формулой:

>2 = — (— + — — — u2V	(6.354)

Г- \ р	Е{, Р J	'

Критическая скорость движения лепты бу 1ет равна

о EJ л2
Р + F(> Р

(6.355)

Без учета жесткости ленты частота поперечных колебаний и крити-
ческая скорость движения лепты определяется следующими соотноше-
ниями:

•Л = — ( — — v2 V	(6.356)

Р \ Р )

(/f.	<6да7>

Оцепим влияние жесткости ленты, вычислив отношение

(6.358)

Коэффициент п, характеризующий влияние жесткости ленты па ве-
личину критической скорости движения, для обычных лепт не превышает
1,05ч-1,1. Вследствие этого при практических расчетах величину крити-
ческой скорости лепты можно определять по формуле (6.357).

Аналогичный вывод сделан и для случая определения частот попе-
речных колебаний лепты.

Болес точные значения величины критической скорости движения
лепты и частоты поперечных колебаний получим, используя уравнение
колебаний лепты, полученное с учетом моментов инерции поворота се-
чений лепты п груза (6.90)

EJ^ _о +	-----0.	(6.359)

Г дх* дх* dP /•' dP \ дх* J

В первом приближении, используя тот же метод, что и для у прошен-
ного уравнения, можно получить

(6.360)

где р' — погонная масса лепты и груза па лепте, отнесенная к поперечно-
му сечению груза и лепты;

р — погонная масса лепты и груза па ленте, отнесенная к попереч-
ному сечению лепты.
Значение критической скорости движения определяется по следую-
щей формуле:

/ n2EJ

I / ° + ~рГ

v-- = \/ —(6-361’

Г <’ + pF

§ 13. ИЗГИБНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ КОНВЕЙЕРНЫХ ЛЕНТ

Определение изгпбпых напряжений в конвейерной ленте является од-
ним пз важнейших вопросов, решение которого необходимо при опрсде-
лспин надежности и долговечности ленточного конвейера.

Изгпбныс напряжения в ленте при переходе через ролпкооиоры из-
меняются с достаточно высокой частотой. С той же частотой изменяются
напряжения сжатия лепты по толщине. Такой характер изменения на
пряжений приводит к тому, что прочность связи прокладок ленты на от-
рыв с течением времени уменьшается, что может привести к расслоению
лепты. Особое значение это приобретает для скоростных ленточных кон-
вейеров, скорость движения лент которых доведена до 7—9 м/сек.

Следует уделять большое внимание влиянию внутреннего трения на
изгпбныс напряжения в ленте. Этот вопрос в литературе до последнего
времени пе освещался. В целях упрощения исследования принимаем не-
которые стационарные значения модуля упругости ленты. Решение за-
дачи с учетом переменности модуля упругости па основе нижеприведен-
ной методики по представляет больших трудностей. Введение коэффи-
циента внутреннего трения в дифференциальное уравнение поперечных
колебаний ленты может быть выполнено в комплексной пли действитель-
ной форме, причем конечный результат для поставленной здесь задачи
в обоих случаях будет одним и тем же. Мы будем пользоваться действи-
тельной формой зависимости напряжений от коэффициента внутреннего
трепня, выражаемой следующим образом

а = £^<4- р •	(6.362)

где Е — приведенный модуль упругости ленты;

5 — относительное удлинение ленты;

р — приведенный к частоте изменения напряжений коэффициент
внутреннего трепня.

Действительная форма коэффициента внутреннего трения делает бо-
лее \ зобным решение этой задачи па аналоговых вычислительных ма-
шинах.

Не вдаваясь в подробности вывода дифференциального уравнения
поперечных колебаний движущейся ленты (6.90), запишем его с учетом
моментов инерционных сил поворота сечений в следующем виде:

EJ <?4г) д2г) . d2q	7р* d2 / d2r] \ .

~~дТ*	° дх' ГР ~dC2	F dt2' \ dt2 ) +

+	(6.363)

F dt \ дх* )	’ dt F

г ic z — коэффициент, учитывающий внешние диссипативные силы.
Используя соотношения

dr]	dx dr]	I dr] .

dt dx dt dt dx dt

d'4 _ va । 2v Д2Ч । ^4
dt2 Ox2 ”r dxdt ”r dt2 ’

(6.364)

(6.365)
получаем следующее уравнение:

EJ . EJ dsn . / EJ Ip' 2\ <?Ъ]

F dx*	' F	dx*dt \	F F J dx*

-2u /p-	-------------------(a-pu2) -^- +

/••	dx'dt F	dx2 dt2 v '	’ dx2

+ 2''^ + o

। dq i , _£n_ = <?(*• Q
dt2 ' dt ”r ' dx F

(6.366)

Это уравнение определяет деформацию п колебания движущейся
конвейерной лепты или ременной передачи.

Стационарная форма прогиба конвейерной лепты или ременной пере-
дачи определяется исходя из следующего дифференциального уравнения:

EJ <)6n

Ilf------------

F dx*

Ы If*' v2

^_(a_pU2)
dx*	‘ dx2

F

F

+ /D = О

' dx F

(6.367)

Нагрузку 17(.v, /) можно считать постоянной и равной

q(x, t) = q = const.	(6.368)

Для установления формы кривой прогиба определим корпи характе-
ристического уравнения

ро Xй -|- -у------у- о2^ X4 — (<з — ро2) X2 /оХ = 0. (6.369)

Коэффициент /, характеризующий потери энергии па внешнее тре-
ние, достаточно мал и им можно пренебречь. В этом случае получаем

_^_Х54-—-^о2)Х4 —(а —ро2)Х2 = 0.	(6.370)

Два корня пулевые

Х4 = Х6=0.	(6.371)

Остальные корни определяются из следующего уравнения:

рУ_^_Х34- (-у- — -у-^2)*2 — (° — рУ2) = 0.	(6.372)

В приведенных уравнениях:

Е — приведенный модуль упругости ленты н/м2;

J — приведенный момент инерции поперечного сечения ленты отно-
сительно липни контакта груза е лептой

о — натяжение ленты, отнесенное к поперечному сечению н/л2;

F— площадь поперечного сечения м2;

I — приведенный момент пперцнн груза и лепты относительно по-
перечной липни контакта груза с лентой jw4;

v — скорость движения ленты м/сек-,

о' — погопная масса ленты и груза па ней, отнесенная к сумме попе-
речных сечений ленты и груза кГ/м2-,

о — погонная масса лепты и груза па ней, отнесенная к поперечному
сечению ленты кГ/м3-,

q — погонная нагрузка на ленту h/jm;

jt — приведенный к частоте коэффициент внутреннего трепня 1/гек;

I—расстояние между двумя роликоопорами м\

х — координата вдоль ленты м;

г] — поперечная деформация лепты м.
Один из корней (/.J действительный, а два других могут Гиль либо
тоже iciiciBiiie.ibiibiMii, либо комплексно-сопряженными. Вид, величина
корпя п знак его зависят от скорости лепты.

В первом случае получаем следующее решение

1,	= А/,х + Л?*х 4- Л:/’х + •. qxi ,. + А4х 4- А6. (G. 373)
2^и — ро-)/’

Во втором случае имеем

т)	= /Ip’ ,х 4- Л2е х sin рх 4* Лз(> coS Р* 4———— , ~ _—г • U* F А&.

2 (о — /> v2) г

(6.374)

I.	Рассмотрим случай действитечьных корней

Коэффициенты Ль А2, А3, А4, А5 определяются исходя пз граничных
условии. В качестве граничных условии для конвейерной лепты можпо
принять следующие:

Исйользуя граничные условия, получаем следующие соотношения
I. Ai 4- А2 4~ Ая 4- At 4* 716 = 0;

II.	Л/-'1 4- Л/*' 4- Л/’' 4- qP ~ + AJ 4- Л6 ~ 0;

2 (а — рсЯ) г

III.	Л12ц 4- Л,Хг 4- Л3Х3 4" А4 = Л]Х1в 1 -f- A.Sk2c * 4_ Л3Х3<? 1

/•(<т — ро2)

IV.	Д|Аи 4* А^кг 4- ЛДз 4———-—— — Л|Л?еХ1/ 4* Л2Х2 с ,l 4-
/• (о — ро2)

4- ЛДз e*J 4-

ч .

F (а ро2)

V.	Л । X. । 4" Л2Х2 ЛзХ.'з ЛД-| с '1 4" Л2Х2 с ’ 4- Л ДзС * -

(6.276)

Из последних двух уравнений имеем:

ЛДтО — е '1) -1-Л2ХИ1 — ex,z)4-Л3Хз(1 —?’')= 0;	(G.377)

Л,Х?(1 — сМ) 4- .12X2(1 — ?*') 4- ЛДз(1 — ?•') = О.	(6.378)

Умножая уравнение (( 377) па Х| и вычитая из уравнения (G.378).
пол\чаем

Л2Х2(Х2-Х,)(1 -?’z)4- ЛзХз(Хз-Х,)(1 -?*') =0.	(G.379)

Отсюда

—---------------------/1.».

Л2,(Хз-Х,)(1-Л9	-

Производим подстановку в уравнение (G.377), получаем
Л.Х2 (1 -?•') 4-ЛJХ22 (1 -?'z)-1^2~3')(1~Л<)

(6.380)

(6.381)
Отсюда

Л ,Х| (I - ех'| + Л2Хз (1 -с^) (1 -	- М = 0.

.1,41(1 -гм) И2/Л (1 -еЫ) =0.

Л:| — Л]

Таким образом

Я — _	0 ~ c*'f) (f'3 ~ Ki)

' Х*(1-Л')(х3~х2)

Выражаем . 13 через Л,

А =
л{(х3-х2)(1-г.')

Из \равнения I вычитаем II

И, (1 - е'1) 4- Л(1 -^) + АО ~еХг‘) = ——2 - + АЛ
2 (G — рО2) /

11< уравнения III

Ail, (1 - ?') 4- АХ. (1 - е “) 4- ЛЛз(1 -	= Г1 41-

(6.382)

(G.383)

(6.384)

(6.385)

(6.386)

(6.387)

О)-389)

(6.390)

(6.391)

(6. 392)

(6.393)

В последнее уравнение производим подстановку коэффициентов 1г
н Л3, выраженных через Л,

<	, /, __ >if\ X) (Х3 —Х,)(1 — сХ|<)	 'ч (Х2 — Х,)(1 — сХ|<)	_

И1 L 1 '	7	Х2 (Х3 — Х2)	Х3 (Х3 — Х4

=-------q--.	(6.388)

/• (о — ре‘)

Преобразуя, имеем

। л i | >. Г Х2Х3 (Х3 Х2) . Х[Х3 (X, ——Х3) -К Х[/... (Х2 X,) "j _

‘1 11 — 1 ' L	х (Хд - X J

= ql
Г (и — ре2)

Откуда

А__________Ql___ Х2Х3 (Хд Х2)

1	Л(а-ру2) ' х,(1-Л')*

Определяем остальные коэффициенты:

А _________ч?____x3Xj (Xi Xt)	_

2	Г (с — ра-)	Х,(1— ez,z)W	’

________qi	ХД2 (Хд — xt>	.
:i / (0-ре2) Хд(1—?•')'
л ql__________________________f М_1_\

4	Г (с — ре2) \ Z/V	2 ) ’

г ic

X2 X2 ( Х3 - Л2) + X2 xf ( X, — хл) х2 х| ( Х2 — X,)
XiX2X3

Л' = 7цХ2 (Лд — X,) 4 ХдХд (7v3 — X. )4* Х3Х1 (Xt — /..,).

(6.394)

(6.395)

285
Имеем также

Л - k ч'
Г (о — Ру2) N

(6.396)

где

4X3 (Хз Хд)_Х3Х[ (Xi — Х3) Х[Хд (Хд — X,)

х, (1 - е’Х: (1 - е™) Х3 (1 - е

(6.397)

Произведя подстановку значений коэффициентов Ah А2, А3, А<, Я5 в
уравнение (6.373) и соответственно преобразовав его, получим уравне-
ние прогиба лепты в следующем виде:

ХоХд (Хл — Хд)

Ql
/ (о — ри-) /V

X. (1 -?')

Х^Х 1 (Хд	X j)

Xn(l — ?«Z)

(1 -?"*) +

Х]Х» (?.[ — Х2)
Х3 (!-?•')

Mx	Nx 1

/	2 J

(6.398)

Вторая производная от уравнения (6.398), необходимая тля опреде-
ления напряжении в ленте, имеет следующий вид:

(1-А

dx1

____Ql____Г XiX2X3 (Х3	Х2) J*x XiX2X3 (X, — Х3)	।
Г (a — pt/-) [	(1—?-'),V	+	(I—

(	XjXnXj (X» Xi) ~>.,х । 1 ]	/п

+	(!-?•')№	° +~7|-	‘°-

2. Рассмотрим случай комплексных корней

Здесь одни корень действительный Х(, а два других 7.2 и Л3 — ком-
плексные

X, = а -|- 0т; Х3 — а — 0т.	(6.400)

Коэффициенты а и р являются действительной и мнимой частью ком-
плексных корней Хг и Х.з-

Подставляя эти значения в формулу (6.398), получаем:

= Ql (______________(а2 НЯ(1 ~еХ,Х)______ , хг___г ,

Г(а-Ре=) | Х2(1-?'')(2Х,а-Х2-а2-р2)	*	2

( X, а3 — X2 а2 — ЗХ,а32 4- X2 З2 )[ eat sin 3/ — c“*sin fix -f-ea,x~rl) sin p (x — /)|

P ( a2 4- 32) (• + e23f— 2cxf cos ?/) (2X|a — X2 — a2 — p2)

(ai33- 3Xj a2p + 2X2<«P) 11 — cxl cos p/ — cax cos px + ea (x 1 cosP(x —/)]
,3(a2	P2)(l . e211 — 2c1/cosp/)(2XIa — X2 - a2 — p2)

_X2 (3a2-p2-2X,a ) - (a2 + p2)2

X, ( a2 + (J2) (2X,a - X2 - a2 - ₽2) I j '

(6. 101)

Вторая производная, необходимая для определения напрял сипи в
лепте, имеет следующий вил:

£ц_ Ql (_____________________X.CaSJ-P3)?1*__________+

rf/- Г (о— риО | ((.М_ i)(2X,a — X2 — а2 — 02)

Xi (а1 4 зг) сах (Xi sin Рх - a sin 0х 4- В со5 Зх)
3 (2Zta — X2 — а2 — Р2)(1 4- е211 — 2е 1 cos р/)

_____________________Xi (а2 4- Р2)_______________
р (2Х,а — X2 — а2 — р2) ( I 4- e2al — 2eal cos 3 )

X ea<Jt+O|XiSin0(x —/) —asinp (х —/) 4- 0 cos 0 (x —/)| 4- -yj •

(6.402)

(1 _<?.')
Решение задачи по определению формы прогиба ленты и п.згнбш \
напряжений в ленте дано в предположении, что транспортируемый мате-
риал жестко связан с лептой. Естественно, что такое предположение яв-
ляется приближенным. В действительности связь транспортируемого ма-
териала с лентой может нарушаться и форма прогиба лепты будет отли-
чаться от полученной расчетом. Нами было доказано, что суммарное
давление грунта на ленту остается постоянным даже, если материал при
переходе через ролпкоопоры при больших скоростях движения будет
отрываться от лепты. Эго даст основание утвержхать, что, несмотря па
изменение формы лепты, величина изгибпых напряжений в лепте па ро-
лпкоопора.х нс будет сильно отличаться от расчетной, что подтверж таст-
ся экспериментальными данными. Естественно, что в дальнейшем целе-
сообразно исследовать задачу в более точной постановке.

В последнее время были проведены экспериментальные исследования
изменения напряжений в ленте наклонного конвейера, работающего па
транспортировке железной руды.

Измерение напряжении в лепте производилось электротеп.зомстрпчес-
кпм методом с записью на светолучевом осциллографе. Тензодатчики
сопротивления, ппотопленные из нихромовой проволоки, наклеивались
непосредственно па прокладки лепты. Тарировка датчиков производи-
лась па образце испытуемой лепты, нагружаемой па разрывно* машине
в лабораторных условиях. На рис. 111 (кривые /) пре гетавлепы типовые
осциллограммы изменения напряжений в лепте при переходе через ро-
ликоопоры для груженого конвейера, а па рис. 110 показаны типовые
осциллограммы напряжения в лепте при иерсхоте через ролпкоопоры
для конвейера без загрузки.

Эксперимент был проведен одновременно с записью напряжений в
переходных режимах, описанных выше. На этих же осциллограммах по-
казано изменение напряжений в лепте прн заходе ее па барабан.

Анализ полученных осциллограмм позво яет сделать очень важный
вывод.

Изгибпые напряжения в лепте при переходе через ролпкоопоры мо-
гут быть весьма большими и превышать напряжения в лепте при
огибании барабана.

Напряжения изгиба тем больше, чем меньше натяжение лепты. Но
мере увеличения натяжения ленты по тлппс конвейера изгибпые напря-
жения уменьшаются. Заметим, что в рассматриваемом случае суммар-
ные напряжения в лепте, для соответствующих точек, по длине лепты
изменялись незначительно. Величина суммарных напряжений в ленте па
роликоопорах оказалась значительно, в 2 4- 6 раз превышающей напря-
жения в лепте в середине про юта между ро шкоопорамп. Таким обра-
зом. напряжения в ленте изменяются циклически с частотой перехода
через ролпкоопоры.

Естественно, что такой характер изменения напряжении в лепте не
может по вызвать снижение ее долговечности вследствие усталостных
факторов. Следует также указать на то, что при переходе через ролп-
коопоры происходит деформация грунта, па что тратится значительная
часть энергии, потребляемой приводом, а также перемещение грунта
относительно лепты, что вызывает износ ленты. Износ ленты при пере-
ходе через ролпкоопоры, имея в виду большое количество ролпкоопор по
длине конвейера, следует учитывать при расчете толговечносгн лепты
так же, как и следует учитывать закон изменения напряжений в лепте
прн переходе через ролпкоопоры.

В качестве примера расчета изгибпых напряжений в лепте были оп-
ределены напряжения в стандартной лепте шириной В = 1200 мм, при
числе прокладок i = о при различных натяжениях ленты, различных
скоростях твпжеппя и различных расчетных коэффициентах внутрен-
него । рения

Результаты выполненных расчетов показаны на рис. 119-121.

На рис. 119 показана форма прогиба лешы между ролнкоопорами
при скорости движения v = 2 м/сек и v = 8 м/сек и натяжении о =

= 1,5 мн/м2.

С ростом скорости твпжеппя
тенты прогиб лешы увеличивается
Прогиб ленты прп f = 8 м/сск в
инном случае оказался почти в
2 раза больше, чем прогиб лепты
при скорости 2 м/сек.

Рис 120 Изменение пзтнбпы.х напря-
жений в лейте па длине одного про
лета

I при V — 8 м!сек. 2 — при V — 2 м!сек

Рис. II!) Форма прогиба лепты в
пролете между ролнкоопорами

I — при V - 2 м1сек. 2 — при V — 8 м'сек

На рис. 120 показано изменение изгпбпых напряжении в лепте па
длине одного пролета прп натяжении лепты о= 1,5 мн/м2 и скорости
твпжеппя v = 2 м/сек и v = 8 м/сек. Очевидно, что так же, как и про-

Рнс 121 Зависимость югпбпых
напряжений в ленте на ролико-
опорах от скорости движения
ленты

гибы, при \велпчеипп скорости дви-
жения лепты изгнбпые напряжения в
лен гс увеличиваются.

Гак в рассматриваемом случае из-
гпбпые напряжения при скорости леп-
ты 8 м/сек почти в 2 раза оказались
выше, чем изгнбпые напряжения прп
скорости лепты, равной 2 м/сек

Зависимость пзгпбны.х напряжений
от скорости движения представлена
на рис 121.

Чем ближе скорость движения лен-
ты к крп। нческоп, гем быстрее идет
рост изгпбпых напряжении в лейте с

\величеппем скорости.

Увеличение натяжения в лепте приводит к уменьшению

изгпбпых

напряжений.

На рис. 122 показано изменение изгпбпых паиряжеппп в лепте прп

п тмепеппп натяжения ленты прн скорости движения v = 2-з-10 м/сек.
Кривая прогибов ленты и кривая напряжений в лепте в пролете меж-

ду ролнкоопорами оказались несимметричными вследствие влияния вво-
тпмого в уравнение расчетного коэффициента внутреннего трения.
E-SOfiMHlrf E-lOOft"»!"*-

Рис. 122. Заносимость изгибпых напряжений в лейте па роликоопорах
от натяжения прн различных значениях модуля \ upvrocTii

/1-0,05	/1 = 0,10	/1=0,15

Рис. 123. Зависимость изгибпых напряжений в лепте па роликоопорах от расчет-
ного модуля упругости Е мн/м2;

1 — V — 2 м/сек; 2 — и — 5 м/сек; 3 — и — 8 м/сек
Коэффициент внутреннего трения оказывает существенное влияние
на изгибные напряжения в лепте, особенно при больших скоростях дви-
жения ленты. Чем больше коэффициент внутреннего трения в ленте, тем
в тех же условиях меньше значение нзгибпых напряжении.

Вчиянис коэффициента внутреннего трения иа величину нзгибпых
напряжений в ленте показано на рис. 123.

Оценка влияния коэффициента внутреннего трения на долговечность
ленты может быть дана лишь после тщательного исследования этого

вопроса.

Сопоставление напряжении в ленте, полученных при эксперименте

и расчетом, показали, что приведенные выше аналитические зависимости

достаточно хорошо согласуются с экспериментом и могут быть исполь-
зованы для определения напряжении в ленте конвейера при расчете

Рис 124. Зависимость нзгибпых
напряжений от напряжений рас-
тяжения, отнесенных к единице
ширины прокладки

ее на долговечность, прочность и устой-
чивость.

На рис. 124 показана завнеимоечь
нзгибпых напряжений в ленте от напря-
жения растяжения, отнесенного к одному-
метру ширины прокладки, ио (ученная на
основе описанных выше экспериментов.
При уменьшении натяжения ленты ианря-
, жения изгиба возрастают.

Вследствие этого следует считать
оправданными рекомендации по увеличе-
нию начального натяжения конвейерных

лепт и с точки зрения полхченпя мень-
ших эквивалентных расчетных напряже-
ний в ленте нрн оценке ее долговечное!и.

Очевидно, также, что желательно
стремиться к тому, чтобы изменение на-

пряжений в ленте вследствие сопротивления вращению опорных роли-

ков и вслсдст вне деформаций лепты и грунта нрн переходе через ро-
ликоопоры было бы минимальным. После .нее достигается при увели-
чении начального натяжения и уменьшении прогиба ленты между ро-

ЛНКООПОр !МИ.

Желобчатая форма ленты, обеспечивающая большую приведенную
жесткость ленты па изгиб, приводит к тому, что напряжения в денге от
изгиба будут иметь меньшее значение, чем для плоской ленты. Доста-
точно точный расчет напряжений изгиба в ленте с учетом желобчатой
формы может быть выполнен с использованном зависимостей, получен-
ных в § 1, 2, 3 настоящей главы, если имеются достоверные эксперимен-
тальные данные по фнзико-мсхапическнм характеристикам ленты.

§ 14. ПОПЕРЕЧНЫЕ КОЛЕГ.АНИЯ КОНВЕЙЕРНЫХ ЛЕНТ,
ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПРОДОЛЬНЫМИ СИЛАМИ

При работе ленточных конвейеров с большой скоростью движения
ленты очень часто наблюдаются поперечные колебания ленты с большой
амплитудой. Амплитуда колебаний обычно имеет максимальные значе-
ния вблизи установки барабанов. Исследование частотных характеристик
этих колебаний показывает, что в большинстве случаев частота этих ко-
лебаний находится в рациональном соотношении с числом оборотов ба-
рабанов. Это говорит о том. что одной из основных причин поперечных
колебаний является периодическое изменение натяжения ленты вслед-
ствие эксцентричного расположения барабанов на осях. При этом имеют
место периодические перемещения концов ленты в продольном направ-
290
лснпн. Выше было получено следующее выражение для напряжений в
лепте, вызываемых перемещением концов ленты с данной амплитудой С,
равной эксцентриситету барабана, происходящих по закону

z/(0. /) = Ccosii>f;

(6.403)

=„ = СС<о(1 + е 2 V . X+.I+V)3'* cos (®/ -
а

----Wx—A/ —--------|-—-4г-т-- + ф ),	(6.404)
а I 2 V 1 j- V- I 1 +- п - Ч

где ф—сдвиг фаз, определяемый соотношением

1+iAw (б-405)

В этих формулах

С —эксцентриситет барабана:

Е	— модуль упругости лепты;

1]	— расчетный коэффициент внутреннего трения в лепге прн про-
дольных колебаниях;

а — скорость распространения продольной волны деформации;

х— расстояние исследуемого пролета от барабана;

си — частота вынужденных колебаний, равная угловой скорости
барабана.

Таким образом, общее напряжение растяжения в ленте может быть
записано в виде следующего выражения:

а = а0 (х) + (х) cos со/.

(6.406)

где оо(л) — напряжения от начального натяжения.

Прп наличии эксцентриситета у натяжного н приводного барабанов
очевидно, что

3 = °0 (Х) + °-1 (А) COS + °d2 (х)COS

(6.406,)

где член с индексом 1 относится к первому барабану, член с ни юксом 2
относится ко второму барабану.

Уравнения колебаний ленты будут представлять собой нелинейные
уравнения с квазнпериоднчсскнмн коэффициентами. Очевидно, что ре-
зонансные колебания ленты могут происходить прн выполнении следу-
ющих соотношений-



(6.407)

где <2— частота собственных поперечных колебаний ленты;

Ао. &i. ^2 — целые числа.

Как и прп колебаниях стержней главными резонансами будут резо-
нансы при соотношениях

<2=J-lrt2.	(6.408)

Методика исследования различного рода резонансных колебаний
лип аналогична меюдике исследования резонансных колебаний стерж-
19*	291
ней, поэтому здесь приводится исследование резонансных колебании
лишь для соотношении Q = -у<о, Q = со; индекс при <о опускаем.

Учитывая то, что длина элемента ленты при расстоянии по абсцис-
се, равном d£, определяется формулой

(6.409)

уравнение колебании ленты .можно записать в следующем виде:

Г. 1 ( ду \21 dhj .	2 СТ-у .

l + -.,(-7-)	Р-77- —(co + adcos(.)f — pt/2)-5+

|	2 \ d; /	d/2	d22

+ -z2?L=9rl +

dt	2 \ d2 7

(6.410)

где у — поперечный прогиб ленты;

£—расстояние до сечения лепты от одной из ролпкоопор исследуе-
мого пролета;

v — скорость движения ленты;

q—погонная нагрузка на ленту, отнесенная к поперечному сече-
нию ленты;

р—погонная масса ленты конвейера и груза на ней, отнесенная
к поперечному сечению ленты;

X—коэффициент потерь на трение, определяющий затухание ко-
лебаний.

Представим значение прогиба в виде суммы постоянной и перемен-
ной составляющих

У&Л) ~Уо (5) + У (t) sin	(6.411)

где

9(5-0

_	COS ——------

Уо(;) = -^1п-----Г2(а0-рс2)	(6.412)

9	9/

cos ——--------

2/2 (a0-pd2)

Или приближенно

!/о(;) = -М(/-5),	(6-413)

2ац

где I — расстояние между роликоопорами и

°о-°о — Р^2-	(6.414)

Подставим значение y(ij/), в уравнение (6.410), а затем умножим
правую и левую часть на sin^y dg и проинтегрируем от 0 до I. Полу-
чаем следующий вид уравнения поперечных колебаний ленты

4г + 2в 4- ’_’2 (1 4- •• cos «/) у — bitj- 4-
ah	at

4-	+ М2 4г = bo+ licosti)/.	(6.415)

dt-	ah
Коэффициенты уравнения определяются следующими соотношениями;

28 =

(6.416)

bi

Ь> =----------*---------

’ Г. . PQ2 1

8Z2

4<W

(6.417)

(6.418)

(6.419)

(6.420)

(6.421)

(6.422)

Н =

а)	Определение амплитуд параметрических колебаний
для главного резонанса

Для простоты рассмотрим сначала колебания конвейерных лепт,
происходящие при выполнении соотношения

‘2 =-у.	(6.423)

При этом будем считать, что колебания имеют гармонический ха-
рактер. Такого рода колебания, как говорилось ранее, называются
параметрическими.

Решение уравнения (6.415) будем искать в следующем виде

у = a sin-у- + р cos .	(6.424)

Подставим решение (6.424) в уравнение (6.415). Соберем раздель-
со/	со/	, f

но члены, содержащие sin—и cos — и приравняем коэффициенты при

них пулю. Получаем

(о2	о ,	tl2-> ЗЬяы2 , , , п

— а — еюВ 4- ‘2-а — а------------------------------— а (а- + ₽-) = 0;

4	2	16

_ J±P + ewa + Q2p + ^Lp_^!_p(a’-+p2) = 0; (6.425)
4	2	10
Обозначим через А амплитуду колебаний

		Д2 = а2 4- Р2.			(6.426)		
Тогда можно	записать						
		10s		02	У2/ , 3Z>3w- Л2		4- с«р = 0;	
		4		2	16			
		О)2	<»2	£2-v j 3/>3W- Л2	Р	— еыа — 0.	(6.427)
		4		2	16			
Отсюда							
							
		Л2	4	1	1г- -4- 1 / '	2	e2<i)2	(6.428)
			ЗМ3 1	— 1/ 4		<2« ’	
где							
				k = — . 2С			(6.429;

Характерно, что ограничение амплитуд параметрических колебании
происходит главным образом за счет членов третьего порядка. Коэф-
фициенты при членах второго порядка в выражение для амплитуды
колебании пе входят. Следует учесть, что получены решения лишь в
первом приближении. При более точных решениях в выражения для
амплитуд установившихся колебаний войдут также коэффициенты при
нелинейных членах второго порядка.

б)	Определение амплитуд поперечных колебаний лент
при условии взаимодействия параметрических и вынужденных
колебаний

Болес общее решение дифференциального уравнения поперечных
колебаний конвейерных лент можно найти, если искать его в виде сум-
мы членов, определяющих параметрические и вынужденные колебания.

Представим это решение в следующем виде:

у- ро + c^sin-у- - Pi cos+ a2sin ю/ + р,cosatf. (6.430)

Подставляя выражение (6.430) в уравнение (6.415), соберем раз-
дельно члены, не содержащие гармонических функций, а также члены.

содержащие

<о/	ы/

SII1----- , COS ----, Sin (£>t, COSCO/.

2	2

Получаем систему следующих уравнений, определяющих
Ро. Ct|. Рь «2, р2

<у.р 1	р о2 4Л)-| fe.trt2 „2 bj + bcO)2 л2

-- Ри 4----------Р1Ро--------------- -4,----------/12 —

значения

— Pi(Pi—«|)+ 7 ctip,ct2] = bn;
I о	1

— F<”P1 + <J2«1 ф-ОД

4	2

Л,1 + _5^\(_а1Р2 + Р1ал)
\	о /

(аИ? + ахД2) —	t3<o-p0 (Pjao — ccjp.,) = 0;

10	4

- -у- Pl +	4 2*p1 4- Pi - (ft, +	M2) (Pips 4- аЛ) -

- (2l’i +	PuP. - (PX + Ml) - 7 Wo (aLa2 4- P1P2) 0;

\	4 /	10	4
— ы2ав — 2ecDp2 4- ‘J2a2 —

aiPi — (2&i + I w) Poa —

Зб,<02 Г л 2 ।	«2 ,

----------— Cto/l 1 + Ct i/1 >

4

= 0;

3

-orp.. + 2FGXZ. + «?’₽, + L^p0 - (fh + p| a>
\	4/2

РДЛ? + М1+—(P' —(6.431)
4	3 J

Решив полученную систему нелинейных алгебраических уравнений,
полхчпм значения:

Ро — постоянной дополнительной динамической составляющей про-
гиба;

cti и Pi — определяющих амплитуд}- и фазу колебаний, происходя-
„	<0

щп\ с частотой ;

2

ц2 н Р2 — определяющих амплитуду и фазу колебаний, происходя-
щих с частотой ю.

Рассмотрим ряд частных случаев:

1) Система находится вдали от резонансов

В этом случае задачу можно решать в линейной постановке. При
этом система уравнений для определения коэффициентов значительно
упрощается.

IГмеем

(₽о +

+ 02 +	ai _ ew₽i = 0.

- - +<J2 +	₽* + Ewa‘ =0:

4	2 /

(— со2 + ’-!2)a2 — 2е«рг = 0;

(— о2 + S22) р2 4- 2Ewa2 = р.	(6.432)

Пз выражении (6.432) следует, что приближенно можно принять

«1 = Pi = 0;

___________2<>|Гы_________.

(_ („2 4- у2)2 4- 4Е2(02 ’

___Н <о"4 2^1 И___
( ы24-Уг)а4-4еоы2

(6.433)

2)

Система находится в зоне резонанса

о». Можно считать, что

в резонансных областях ограничение амплитуд колебаний происходит
в основном за счет iie.niiieinti ix членов. Влиянием диссипативных сил
на амплитуду колебаний можно пренебречь. При отыскании решений
можно исходя из логических соображений задаваться примерным ви-

дом решения.

В этом случае уравнения служат для уточнения решения и провер-
ки правильности его. По существу это есть первый этап решения ме-
тодом последовательных приближений Поэтому при необходимости
получения более точных выражений для амплитуд колебаний можно
использовать последующие приближения.
Положим, например, что колебания происходят таким образом, что

(6.434)

В этом случае получаем

Pi — 0; ai —

(6.435)

Значения 0] и а2 имеют более высокий порядок малости, чем 0О и
02, поэтому при практических расчетах их можно полагать равными
нулю.

Приближенное значение для А, имеет то же значение, что и тля «чи-
стого» параметрического резонанса и может быть определено по фор-
муле (6.428).

Рассматривая полученные значения 0О, си, 0Ь аг, 0г как первое при-
ближение, из системы уравнений (6.431) можно получить второе при-
ближение и т. д.

3)	Система находится в зоне резонанса Q = ш. Первое решение.
В этом случае можно положить, что

а2 ~ Л; 0О « 0; ₽2	0.	(6.436)

Получаем

a, 40^-g).	(6.437)

зь,	'	'

Из системы уравнений

— — 4-224--^- —4-	а,—

+ МЬр1=0;

\	о /

- (Ьг 4- -у Ьм )	+ (-"у- + “ +-^--^^2) Pi = 0 (6.438)

можно определить соотношение между 0] и аь

Подставляя это соотношение в первое уравнение системы (6.131),
получим следующую зависимость, определяющую щ,

| — (	(1 4-	kA.,j а? = b0 4- b' V"*0	(6-439)

Очевидно, что решение существует при
k	(4Ь1 + ^)(1+^

6^3ыгЛ.

Второе решение. Положим, что в первом приближении можно
принять

а20 =	Р20 = ^20-	(6.141)

Полагая также, что порядок малости величин а.\ и 0| выше, чем
величины 02о, то значение 0О определяется из следующего приближен-
ного соотношения

₽0=	“Г"40)-	(6-442)
Значение р2 определится пз кубичного уравнения

_ 2^ р*-------₽2 + (_ W2 + ог + .,ро) р2 = и (6.443)

Очевидно, что cti и Pi в первом приближении можно принять рав-
ными нулю.

Как и при исследовании колебании стержней можно получить, что
пз обоих решений устойчивостью обладает первое.

Удобным методом исследования уравнения поперечных колебаний
конвейерных лент, особенно при наличии бигармонических коэффици-
ентов и бигармонических нагрузочных членов является метод электрон-
ного моделирования.

Пусть имеем уравнение поперечных колебаний лепты следующего
вида:

+ 2в + У2 [ 1 + v, cos о,/ + -a. cos ы>/ ] у — biy2 +
at*	at

4- Ьгу 4- b^y2 — (ij coscoj/ 4- р2cos<o2/. (6.444)

В более удобной для электронного моделирования форме это урав-
нение может быть записано следующим образом:

= — 2е ------£?2у — f О2 (v, cos wxZ 4- v2 cos w2/) 4-

4- 62 зтг] У + № — ьзУ2 + Micos “iZ 4- B2 cos w2/.	(6.445)

at* J	at*

Обозначая

L>2vx=/7x;	(6.446)

имеем

= — 28 —-----U-y — (Hi cos «1/ 4- H > cos io >/ 4- fr- - У 4*

dP	dt	\	'	dP )J

4 frx.V2 — bzy2 4- px cos 4- Hi cos <d2Z.	(6.447)

Структурная схема электронного моделирования полученного урав-
нения приведена на рис. 125. Схема содержит три электронных множи-
теля, а также устройства для получения гармонических возмущений.

Электрические нагружения, пропорциональные cos ы/, получаются
в результате решения вспомогательных уравнений типа

J^4-(o2x = O,	(6.448)

dp

при начальных условиях

—	=0;

dt Ji^—o

Xt^0 = U0,	(6.449)

где (я — заданная частота возмущения.

Расчет передаточных коэффициентов производится по общеприня-
той методике. Необходимо заметить, что передаточные коэффициенты
прн нелинейных членах оказываются зависящими от масштабов пере-
мещений.
Некоторые результаты электронного моделирования поперечных
колебаний конвейерной ленгы, вызываемых изменением натяжения
ленты, носящим бнгармоннческин характер, приведены на рис. 126-
128.

приняты следующие.

Исходные данные для расчета были

Рис. 125. Структурная схема моделирования попе-
речных колебаний ленты при бнгармоническом из-
менении натяжения в лепте

Средняя погонная за-
грузка лепты 5 н/сж
(0,5 кГ/см).

Средняя плотность ма-
териала ленты н транспор-
тируемого материала, от-
несенная к поперечному
сечению ленты, р7 =

= 14,56 X 103 нсск21м*
(14,56 X Ю 6 кГсек/см^).

Предварительное па
гяжепне ленты оо = 3,5
мн!м2 (35 кГ/см2). Ско-
рость движения ленты
v = 8 м!сек. Амплитуда
изменения натяжения
ленты со = 0,01 о0.

Собственная частота
поперечных колебаний
ленты £2 = 27 Цсек.

На рис. 126. а приве
дсны осциллограммы, ха
растеризующие резонанс
<О| = £2, а также характер
установления колебаний.
Па рис. 126,6, в показаны
осциллограммы для слу-
чаев, когда частота про-
дольных колебаний пли

угловая скорость вращения барабана составляет 30 и 24 Цсек, т. е.
примерно на 10% больше и меньше частоты собственных поперечных
колебаний ленты. Заметно уменьшение амплитуд колебаний в том и

Рис 12G. Осциллограммы поперечных колебаний лепты при изменении натяжения по
гармоническому закону в условиях резонанса он = й н вблизи него:

а — колебания при рсзоиапсс ы» — 27 Цсск — Q: б — колебания вблизи резонанса ап — 30 /сек Q.
в — колебания вблизи резонанса о>( —- 24 //ссксС

другом случае, однако это изменение амплитуд колебаний происходит
неодинаково, что говорит о существенно нелинейном .характере данной
шнамическон системы.

Па рис. 127, а приведена осциллограмма поперечных колебаний
конвейерной лепты прн комбинационном резонансе — <о2 = £2, когда
ом = 10 \/сек и о>2 = 13 1/сек.
Амплитуда установившихся колебании при комбинационном резо-
нансе превышает даже амплитуду колебании при обычном резонансе.
Для сравнения на рис. 127, б, в приведены осциллограммы колебаний
при угловой скорости барабанов, равной оц =40 \1сск и о>2 = 13 \1сек
отдельно. Амплитуда колебаний при частоте возмущений, равной
40 \!сек, очень мала.

Рис 127. Осциллограммы поперечных колебаний лепты при изменении натяжения по
бигармоннческому закону и условиях комбинационного резонанса:

а — колебание при резонансе <О| — 40 Цсск, <о2 — 13 Цсск\ б — колебания при изменении натяже-
ния но гармоническому закону (Oi — 40 Цсек\ в — колебания при изменении натяжения
но гармоническому закону о), — 13 / сек

Амплитуда колебаний при частоте возмущений, равной 13 1/сек,
значительно больше, чем при частоте 40 \1сск, ио много меньше ампли-
туды колебаний при резонансе. Колебания при частоте 13 1/сек нс

'6)

1сек

।-------1

Рис. 128. Осциллограммы поперечных колебаний ленты при изменении натяжения по
бнгармопическому закону в условиях комбинационного резонанса <01 + 102 = &

п — колебания при ре юна нее <0| 4- <о2 — Q. он — 18 l/сек, й)2 — 9 Цсск\ б — колебания при измене-
нии нляження по гармоническому закону «ь — 18 Цсек\ о — колебания яри изменении натяжения
но гармоническому закону <•» -> 9 1[сск

имеют гармонического характера, поскольку система близка к дсмуль-
тннлнкационпому резонансу 2<d2 = £.2 и кроме частоты ы2 ирояв шется
частота £2.

На рис. 128, а приведена осциллограмма поперечных колебаний кон-
вейерной ленты при комбинационном резонансе «ц + о>2 = Q, когда
он = 18 Мсек и <оо = 9 \/сек. Амплитуда установившихся колебаний при-
мерно юн же величины, чго и амплитуда колебаний при комбинацион-
ном резонансе он <о2 = £2.

Амплитуда колебаний при отдельных возмущениях с частотой ом =
= 18 Мсек и с частотой <о2 = 9 \/сек значительно меньше, чем при
комбинационном ре онансе (рис. 128, б, в).
Негармонический характер колебаний объясняется тем, что систе-
ма близка к демультипликатюиным резонансам Зои = 2Q и 3<»2 = <}.
Чем выше поря цж резонанса, тем меньше отклонение от гармониче-
ского характера колебаний, поскольку амплитуда резонансных коле-
баний уменьшается с увеличенном порядка резонанса.

Таким образом, наличие эксцентриситетов в барабанах ленточного
конвейера может привести к поперечным колебаниям конвейерной лен-
ты с большой амплитудой.

Поперечные колебания ленты вызывают дополнительные напряже-
ния изгиба, п исполнительные сопротивления движению лепты вследст-
вие деформации материала, находящегося на лепте, и гистерезисных
потерь. Вследствие этого при проектировании ленточных конвейеров
целесообразно параметры их выбирать таким образом, чтобы избегать
резонансных соотношений. Определяя ширину резонансных областей
по методике, изложенной выше, можно получить соотношения между
натяжением, скоростью движения лепты и загрузкой ленты, определя-
ющие зоны устойчивой безрезоиапсион работы конвейера.

Амплитуда изменений напряжений в лейте прн наличии эксцентри-
ситетов барабанов тем меньше, чем дальше сечение лепты расположе-
но от барабана. Поэтому особенное внимание следует уделить тому,
чтобы избегать резонансных соотношений для участков лепты, распо-
ложенных вблизи барабанов.

В сечениях ленты, расположенных па достаточном расстоянии от
приводных и натяжных барабанов, амплитуды колебаний напряжений
в лепте имеют обычно небольшое значение вследствие затухания коле-
баний в лепте и не вызывают значительных поперечных колебаний леп-
ты. Естественно, что следует рекомендовать при изготовлении и монта-
же барабанов ленточных конвейеров добиваться достаточно точной
геометрической формы барабанов и достаточно точного центрирования
барабанов па оси. Прп расчетах следует иметь в виду, что поперечные
колебания лепты, вызванные периодически меняющимися продоявны-
ми силами, могут в свою о 1ередь, особенно при наличии резонансных
соотношений, вызвать колебания несущих конструкций, в частности
стрел отвалообразователен и роторных экскаваторов.

Особенно важное значение расчеты такого рода колебаний имеют
для ленточных конвейеров, скорость движения ленты которых велика,
поскольку амплитуда колебаний напряжений в лепте тем больше, чем
больше число оборотов барабана в единицу времени при одном п том
же эксцентриситете.

Следует также иметь в виду, что чем больше скорость движения
лепты, тем меньше частота поперечных колебаний.

Конкретные расчеты конвейеров показывают, что при большой ско-
рости движения лент вероятность получения резонансных соотношений
возрастает.

В заключение следует отмстить, что если частота продольных коле-
баний много больше частоты поперечных колебаний, то про юльиыс
колебания могут привести к кажущемуся увеличению жесткости леп-
ты. При этом поперечные прогибы ленты уменьшатся и лепта приобре-
тет большую стабильность.

Чтобы это показать, запишем уравнение поперечных колебаний
лепты прп наличии продольных кодсбаний в следующем наиболее про-
стом виде без учета нелинейных членов

—Е	(—----oio2sinw/^ п = 0.	(6.450)

de Р \ р	/ '
Здесь р — погонная масса лепты с учетом груза;

I — расстояние между роликоопорамп;

а — амплитуда продольных колебаний ленты;

<» — круговая частота продольных колебаний ленты;

<т — постоянное натяжение ленты.

Применяя к этому уравнению метод усреднения II. II. Боголюбова,
получим, что частота поперечных колебании будет определяться следу-
ющей формулой

, / 1 Г °-Т2	2 . Л2*7	„• (СП

= Р2 |> “ +W	(Ь-451>

Отсюда непосредственно следует, что жесткость ленты увеличи-
лась в к раз. где

Z?=l+— —	(6.452)

2 Р а

§ 15. МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ АМПЛИТУД ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ
ЛЕНТЫ, ВЫЗЫВАЕМЫХ КОЛЕБАНИЯМИ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИИ

Анализ соотношения собственных весов несущих конструкций и
копие! ериоп ленты с загрузкой показал, что вес конвейерной лепты
с загрузкой значительно меньше веса несущих конструкций. Это гово-
рит о том. что форма колебаний несущих конструкций при условии
учета совместной работы их с ленточными конвейерами мало будет
отличаться от формы колебаний, в предположении отсутствия колеба-
ний ленты.

Таким образом, форма колебаний может считаться определенной
исходя из обычного динамического расчета конструкций. Вследствие
этого задача сводится к установлению влияния колебаний несущих
конструкций па амплитуду поперечных колебаний лепты.

Основная частота собственных колебаний несущих конструкций
обычно бывает значительно меньше частоты поперечных колебаний
ленты. Это относится к таким конструкциям, как роторные экскаваторы,
отвалообразователи, отвадьиые мосты.

Существо вопроса сводится к определению амплитуды поперечных
колебании конвейерной ленты при внешнем кинематическом возмуще-
нии, действующем по всей длине конвейера.

Особенностью задачи является то, что во всех пролетах между
роликоопорамп ленточного конвейера кинематическое возмущенно в
большинстве случаев действует в одном направлении.

Нели формы собственных колебаний несущих конструкций имеют
точки перегиба, то кинематическое возмущение действует па конвейер-
ную лепту в одном направлении по длине между точками перегиба
фо| м колебаний.

Второй особенностью задачи является то, что частота собственных
поперечных колебаний ленты переменна ио длине лепты вследствие из-
менения натяжения зенты.

Обозначим прогиб ленты через т](х, /), а перемещение конструкции
через V(x, /).

В этом случае уравнение вынужденных колебаний конвейерной лен-
ты имеет следующий вид:

££	_ а ‘ ч +	( + V) _	\ +

F dx* дх2 ' dP '	/’ dp \ дх2 J

+ |,и-т-	+	=	(6.453)

г dt \ дх* J at
Если пренебречь коэффициентами внутреннего и внешне о демпфи-
рования и влиянием инерции поворота, что для решения данной задачи
дИ . dij d-V d-r)
вполне возможно, а также учесть, что------«----- и ----- <——, тоурав-

•’	дх дх дх2 дх2

пение колебаний можно значительно упростить и iipniiTii к следующему
виду уравнения колебаний лепты:

EJ d‘i)	, d2Tj	д2!]	_ d2Tj	d-V ,с 1С.,

F дх«	1	’ дх2 н dt2 ‘ дхд/ 1 dt-	’

Отсюда, полагая

К = K(x)sin •//;	(6.455)

-y-ff — (3 —	+ p-^ + 2tp-y^ = pK(x)'2siii'/. (6.456)

/• дх’	дх2 dt2	dxdt

Наиболее простым методом решения задачи, очевидно, является
метод приведения, основанный па замене движущейся ленты неподвиж-
ной, жесткость и натяжение которой выбраны таким образом, что ча-
стота собственных колебаний последней равна частоте собственных ко-
лебаний двп/i ущспся лепты, которая определяется из следующего вы-
ражения:

'5.л =

+ а — t)2p

Ip’ РР

F ‘+’ л2

(6.457)

где I расстояние между ролпкоопорамп.

Квадрат частоты колебаний неподвижной лепты равен

EJ л2

2 _ F Р + °
,Н * ~ ;Р'	«,р

F + л2

(6.458)

Обозначим приведенный момент инерции через JnP и приведенные
напряжения через сп1>.

Таким образом приведенный момент инерции н натяжение лепты
определятся следующим выражением:

Jnp=-	(6.459)

С

спр = а — ри2.	(6.460)

Если ие учитывать влияние инерции поворота, то приведенный мо-
мент инерции равен действительному. В этом случае:

JnP = J;	(6.461)
°пР = ° — р^2-	(6.462)
Получаем следующее уравнение:	
EJ„P _д’ч _	д2ц	д2ч _	d2V  F ’ dx*	пр дх2 + dt2	dt	(6.463)
или, учитывая формулу (6.455)	
-Jn-E	— а _2Л_ р . д П. _	,2 sjn  Г dx*	пр dx*	' дх2	v	(6.461)
Значение опр зависит от расположения выбранного пролета. Однако
для соседних пролетов эти напряжения могут быть приняты одинако-
выми.

Если принять, что по длине лепты изменение У(л') на расстоянии,
равном расстоянию между ролнкоопорами, тоже невелико, то задача
сводится к определению амплитуды колебаний бесконечно длинной
миогопролстной балки, растянутой до напряжения <тпр- Эта задача мо-
жет быть заменена задачей по колебанию балки, защемленной с кон-
цов и растянутой до напряжения п„р.

Форму колебания леи гы определяют в виде ряда, либо исходя пз
следующего выражения:

1] (х) = CjC2* -j- С2е~ах -|- С3 sin ах 4- С4 cos ах	(6.465)

пли более простого

Ч = Чо^1—cos '	(6.466)

Амплитуда колебаний может быть определена следующим образом.
Пусть перемещения лепты прп колебаниях представлены в следую-
щем виде:

r) = EA(/)uz«W'	(6-4С7)

i

где W,,(х)—форма колебаний, соответствующая i-й гармонике;

fi(t)—функция, определяющая изменение перемещений во вре-
мени

i

где р, — частоты собственных колебаний ленты.

i

|’ pV(x)UMx) '2sin ddx
Ч',- = 5-------------------.	(6.469)

|’W';(x)pdx
о

§ 16. ОПРЕДЕЛЕНИЕ АМПЛИТУД КОЛЕБАНИИ НЕСУЩИХ КОНСТРУКЦИЙ
ПОД ВОЗДЕЙСТВИЕМ НЕСБАЛАНСИРОВАННЫХ РОЛИКООПОР
И ПОПЕРЕЧНЫХ КОЛЕБАНИИ ЛЕНТЫ

/. Динамические нагрузки от несбалансированных роликоопор

При изготовлении и монтаже роликоопор ленточных конвейеров в
зависимости от точности и принятых допусков последине приобретают
ту или иную величину дсбалаиса. Дебаланс может быть охарактеризован
величиной эксцентриситета роликоопоры, значение которого для всех
роликоопор данного конвейера можно принять постоянным исходя пз
статистического за! она распределения.

Таким образом при работе ленточных конвейеров величину нагрузки
от несбалансированных роликоопор па несущие конструкции можно при-
нять постоянной по длине, изменяющейся во времени по еле {ующему
закону:

Р = cirrsinio/,	(6.470)

gl
где

Gp = SG,.p cos a,,	(6 .471)

r—эксцентриситет ролика;

GiP — вес i-го ролика;

щ — угол наклона ролика к горизонтальной прямой, перпендикуляр-
ной осн конвейера;

d— диаметр ролика;

о» определяется из следующего соотношения:

ш =	(6.472)

Таким образом

Р = —£-----sin----1.	(6.473)

lg d2 d	'

Если известим формы колебании несущих конструкций ленточных
конвейеров, то решение задачи по определению амплитуд упругих коле-
баний может быть произведено следующим образом.

Представим функцию, описывающую колебания несущих конструк-
ций, в виде следующего ряда:

11 = Е/к(0^(х),	(6.474)

К

где VK(.v) — форма k гармоники колебаний несущих конструкций.
Значение функции fK(/) определяется следующим выражением:

i

fK (/) = —	(т) sin рк (t - X) dz.	(6.475)

Рк

О

Здесь

i

\PVK(x)dx

Ч'А(т) =т-5----------1	(6.476)

| V* (х) т (х) dx
о

где т(х)—погонная масса конструкции.

Подставляя значение Р, имеем

(	2t>

4Gprv2 \ VK(x)dx sin — t

Ч'я (т) =----.	(6.477)

Zgd2 f V2K (x) m (x) dx

0

Формы колебаний конструкций могут быть определены в виде рядов.
При определении формы колебаний методом последовательных прибли-
жений [18] получаем значения отношений амплитуд колебаний в отдель-
ных точках конструкции.

Для сложных конструктивных решений часто бывает удобным пред-
ставление функций, определяющих форму колебаний, в виде степенного
ряда

V (х) — а0 + ахх + а2х2 + а^х2 + .. .	(6.478)
В ряде случаев удобно представлять форму колебаний в виде суммы
гармонических функций, а иногда комбинации гармонических и гипер-
болических функций. Ино1да удобно представлять решение в виде ком-
бинации степенного и raj ионического ряда.

Для стрелы экскаватора с одной головной подвеской формула пере-
мещений может быть представ гена в виде

И (х) = kx + Л sin .	(6.479)

Для стрел с дополнительными подвесками и вантовых конструкций
(Z (х) = /•' (х) -р *1> (х);	(6.480)

F (х) = У* а,х‘,	(6.481)

i 0

где Ф(л) для шарнирного соединения секций определяется для каждого

пролета в виде функции

Л

Ф, (х) =6Z sin

I;

(6.482)

где /1 — глина секции;

bt — коэффициент (если функция F( ) монотонная, его следует .при-
нимать одного знака).

Для жесткого соединения отдельных секций функция Ф(х) может
быть принята в следующем виде

Ф(х) (/sin ,	(6.483)

v /,
<=о
где k—число пролетов.

В общем случае форма гппамически.х колебаний определяется расче-
том несущей конструкции. Для рассмотренных случаев можно составить
общие выражения, дающие возможность определять динамические на-
тру шн па конструкции со стороны песбатапспрованных роликоонор.

Расчетные выражения для двух основных случаев определяются сле-
дующим образом:
/ I— I \
п	л I х — X Ч )

I)	VK (х) = а,х' -|- bi sin —А---L—L Zjt	(6.484)

3=0
где
г-i I

zs = 1 для х в интервале у1 Ij-t- V //,
/-=•	Г"!

z-i	I

zt = 0 для х вне интервалаV -е- у h-
i 1	/=1

(6.485)

В обоих случаях х изменяется от 0 до х=^1,.

1ля указанных случаев определяем значения ihK, fK, н по формулам
(6.477), (6.474, 6.475).

20 Заказ ЗИ	gg
II. Динамические нагрузки от поперечных колебаний ленты

Решение за щчи по определению амплитуды колебаний коистрхкцпй
под воздействием поперечных колебаний ленты может быть выполнено
аналогично решению предыдущей задачи (п. I).

Инерционная нагрузка в этом случае при приближенном расчете
может быть выражена формулой

i

Pt =тЛ р2л{ 5 Vt (х) s i n р titdx	(6.486)

о

для одного пролета; где тЛ— погонная масса лепты и груза.

Прн приближенных расчетах значение частоты поперечных колеба-
ний лепты ри можно принять среднее ио длине конвейера.

В формуле (6.186) V'i(x) —форма колебаний ленты в пределах одно-
го пролета, которая может быть представлена в виде следующего вы-
ражения:

КДх) - Hzsin-у-.	(6.487)

Таким образом для i пролета имеем

pt =	sin р	(6. 468)

л

Если считать, что ри постоянно по длине конвейера, то задача по
определению амплитуд колебаний несущих конструкций от колебаний
ленты будет решаться точно так же, как и задача ио определению ам-
плитуд колебаний несущих конструкций от несбалансированных ролико-
опор и могут быть использованы полученные ранее формулы.

Значение частот колебаний рл можно определить по приближенной
форму де

р а = -п- 1 /	.	(6. 189)

/ у t>

Если в пределах длины конвейера <т0 меняется значительно, то это
следует учитывать при расчете.

В этом случае функции 11'к(т) следует определять ио следующим
формулам-

’ V*(x) A (*)lo0(x)-pv-l 1	—------— д/х

Ч' = ь______________________________________р_______ (С 4ди)

/-р	L

V2 (х) т (х) dx

О

Подставляя выражения для VK(x) и производя пигегрироваипс, полу-
чаем функцию Чгк(т), которую следует подставить в выражения (6.475)
и (6.474), определяющие формы и амплитуды колебаний несущих кон-
струкций.

Расчет формально остается прежним: некоторое усложнение вносит
необходимость интегрирования входящих в выражения интегралов. Од-
нако, если выбраны формы колебаний конструкций и зависимость натя-
жения от координаты вдоль длины конвейера, можно получить расчет-
ные формулы в замкнутом виде.


ГЛАВА Vil

ДИНАМИКА ОТВАЛООБРАЗОВАТЕЛЕЙ

§ I. КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ КОНСТРУКЦИИ И РАБОЧИХ ПРОЦ1 ССОВ
ОТВАЛ ООБРАЗОВАТ1Л Е И

Отвалообдазователь (рис. 129) представляет собой машину, входя-
щую в роторный комплекс п предназначенную для отсыпки отработанной
породы в отвалы. Основными узлами oiиалообразователя являются: при-
емная консоль с приемным ленточным конвейером, отвальная консоль

Рис 129 Отвалообразоватсль со стрелой с гремя дополнительными подвесками
с радиусом разгрузки 100 .и

с отвальным ленточным конвейером, консоль противовеса с противове-
сом, надстройка, поворотная платформа, опорпо-поворотнос устройство,
ходовая рама и ходовое оборудование. Натяжные устройства ленточных
конвейеров достаточно большой длины выполняются грузового типа.

Отработанная порода поступает с магистрального конвейера в при-
емный бункер приемной консоли п передается на приемный ленточный
конвейер. Приемный ковейер транспортирует породу к поворотной плат-
форме, на которой установлены перегружатели. С их помощью материал
перегружается па отвальный конвейер, который транспортирует его по
20*	307
наклонной отвальной стреле в отвалы. После отсыпки отвала на высоту,
ограничиваемую высотой головы отвальной стрелы, отвалообразоватсль
может, вращая поворотную платформу вместе с отвальной стрелой, про-
изводить отсыпку отвала в другом месте, либо отвалообразоватсль пере-
мещается па ходовом оборудовании вдоль магистрального конвейера и
производит отсыпку I рупта с повой установки.

Хо ювое оборудование отвалообразователя может быть рельсовым,
гусеничным, шагающим или рсльсошагаюншм. В первом случае мы име-
ем плавное перемещение отвалообразователя, по ограниченную манев-
ренность, во втором случае перемещение происходит с периодическим
подъемом и опусканием отвалообразователя вследствие неравномерной
деформации грунта в зависимости ог местоположения опорных гусенич-
ных катков по отношению к гусеничным тракам; по .машина имеет до-
статочную маневренность. Шагающее ходовое оборудование обеспечи-
вает большую маневренность, ио передвижение связано с значительными
'вертикальными и угловыми перемещениями отвалообразователя, что не
может не вызвать значительных амплитуд колебаний металлоконструк-
ций. Рельсошагающее ходовое оборудование обеспечивает большую
маневренность. Передвижение происходит при периодических редких
подъемах п опусканиях машины на сравнительно небольшую высоту,
вследствие чего динамические факторы проявляются в меньшей степени,
чем при обыкновенном шагающем ходовом оборудовании.

Передвижение отвалообразователя, таким образом, всегда связано
с некоторыми кинематическими возмущениями, которые вызывают оле-
бапие конструкций и дополнительные динамические нагрузки. При тро-
гании с места динамические нагрузки обуславливаются переходными
процессами в приводах механизмов передвижения. В зависимости от
вида ходового оборудования определение динамических нагрузок про-
изводится исходя из различных предпосылок. При рельсовом ходовом
оборудовании динамические нагрузки следует определять при трогании
с места, рассматривая переходный процесс в электромеханической си-
стеме. В этом случае составляются дифференциальные уравнения пере
ходпого процесса в электромеханической системе, включающей в себя
привод механизма передвижения, массы и упругие элементы, входящие
в силовые передачи к приводным колесам, массы п упругие элементы,
входящие в металлоконструкции. В зависимости от типа привода урав-
нения составляются по методике, изложенной в работе [18].

При передвижении по рельсам вследствие наличия большого коли-
чества опор, спаренных между собой в балансирные тележки, вертикаль-
ное перемещение машины получается достаточно малым, вследствие
чего не возникают скоть-лпбо значительные динамические нагрузки. При
гусеничном ходовом оборудовании, кроме нагрузок в переходных режи-
мах при трогании с места, иногда целесообразно бывает выполнить рас-
чет при периодических вертикальных перемещениях, возникающих вслед-
ствие различной деформации грунта в зависимости от того, как распо-
ложены катки ио отношению к гусеничным тракам. Определение высоты
подъема и опускания машины может быть выполнено при расчете ходо-
вого оборудования, однако лучше всего исходить из данных, полученных
в результате эксперимента. Закон изменения вертикального положения
отвалообразователя может быть представлен в виде гармонических
функции

h = hnsinmj,	(7.1)

где u>.s — круговая частота, характеризующая период изменения верти-
кального положения машины.
В этом случае в уравнения движения узлов конструкции, которые
представляются жестко связанными с ходовым оборудованием, вместо
координат 1/1, определяющих положение узлов, следует подставлять ве-
личины у, + А, подобно тому как это делается при исследовании коле-
баний упругих систем при кинематическом возмущении. При шагающем
ходовом оборудовании, а также при рельсошаг потом .ходовом оборудо-
вании максимальные амплнтх гы колебаний конструкций возникают при
посадке опорной базы па грунт. Амплитуды колебаний определяются
исходя из расчета собственных колебаний конструкций при заданных
начальных условиях — начальных скоростях движения масс. Начальные
скорости движения масс легко подсчитываются нехотя из расчета кине-
матики шагания. Динамические нагрузки от воздействия грунта, посту-
пающего па приемную консоль в месте загруз! и, вследствие неравномер-
ности потока грунта не имеют обычно существенного значения и носят
статистический характер. Вследствие поперечных колебании конвейер-
ных тент приемного и отвального конвейера при условии наличия резо-
нансных соотношении, или близких к ним. могут возникнуть значитель-
ные амплнтуты колебании конструкций отвалообразователя. Однако
следует иметь в виду, что поскольку натяжение ленты по длине конвей-
ера переменно, и пленяется по длине конвейера и частота поперечных ко-
лебаний ленты.

Обычно частота поперечных к пебаппй ленты бывает значительно
выше главных частот колебаний несущих конструкций, вследствие чего
дополнительные динамические иагру <ки могут оказаться небольшими.
То же самое можно сказать и о динамических нагрузках вследствие
отсутствия полной балансировки роликоонор. Частота внешнего возму-
щения оказывается весьма большой. Следует иметь в вп гу, что при ра-
боте роликоопор может иметь место эффект Зоммсрфсль да. Ролпкоопо-
ры как бы самонастраиваются па одну фазу. В этом случае динамиче-
ское возмущение от всех роликоонор может быть выражено гармониче-
скими функциями с одной и той же фазой. Весьма существенными дина-
мическими нагрузками могут оказаться нагрузки, причиной которых яв-
ляется неудовлетворительная балансировка барабанов, особенно уста-
новленных в головных частях приемной консоли и отвальной стрелы.
Число оборотов барабанов в секунду бывает того же порядка, что и час-
тот! колебаний конструкций. Вследствие этого проверку резонансных
соотношений этого случая проводить целесообразно. Целесообразно так-
же при наличии условий, близких к резонансу, определение амплитуд
колебаний конструкций и элементов конструкций, частоты колебаний
которых могут иметь тот же порядок, что п частоты изменения действую-
щих нагрузок. Необходимо также иметь в виду, что частоты колебании
элементов конструкций могут находиться в резонансных соотношениях
с частотами колебаний самих конструкций. Колебание элементов кон-
струкций, массы которых значагелыю меньше всей массы конструкций,
во многих случаях нс могут оказать существенного влияния па частоту
и амплитуду колебаний конструкций. О тако обратное влияние может
быть весьма существенным. Колебания конструкции, даже ко да амп.ти-
ту га их мала, при наличии резонансных соотношений можег вызвать
колебания элементов конструкций с большой амплитудой. В силу
существующих нелинейных связей могут проявляться г зкже комби-
национные и дсмультпплпкационпые резонансы, а также резонансы
параметрического типа. Вследствие этого расчеты па резонанс долж-
ны считаться основными при динамических расчетах отвалообразова-
телей. В равной мерс это относится и к конструкциям роторных экска-
ваторов.
Динамические нагрузки в конструкциях, возникающие при пуске
ленточных конвейеров, обычно оказываются небольшими, если не гово-
рить о специальных узлах, непосредственно их воспринимающих. При
повороте отвалообразователя в переходных режимах возникают динами-
ческие нагрузки большой величины, определение которых может быть
выполнено нехотя из рассмотрения электромеханических систем, подоб-
но юму как это выполняется для одноковшовых экскаваторов [17].

В связи с тем, что при повороте могут работать конвейерные установ-
ки, целесообразно выполнение совместною расчета колебаний конструк-
ций в вертикальной и горизонтальной плоскости, а также крутильных
колебаний конструкций отвальных стрел, поскольку вследствие наличия
нелинейных факторов, оказывающих значительное влияние на качест-
венный характер динамических процессов, указанные колебания оказы-
ваются взаимосвязанными. При исследовании динамических процессов
в этом случае наряду с системами уравнении, описывающими пер ход-
ите процессы в электромеханических системах поворотного м хапнзма и
колебания конструкций в горизонтальной плоскости, записываются урав-
нения колебаний конструкций в вертикальной плоскости и уравнения
крутильных колебании. При этом целесообразно учитывать главным об-
разом основные гармоники колебаний. Гармоники высших порядков сле-
дует учитывать прп исследовании резопапсньх колебаний н прн малых
декрементах затухания.

Динамика отвалообразователей в очень сильной степени опрсделяет-
ся параметрами отвальных стрел.

Конструкции отвальных стрел могут быть тех же типов, что и кон-
струкции стрел траглайнов. Основными из них можно считать сле-
дующие.

I.	Конструкции стрел простейшего типа с одной главной подвеской.
На рис. 130 показана конструктивная схема отвалообразователя с стре-
лой простейшего типа. Приемная консоль отвалообразователя использу-
ется также в качестве противовеса.

На рис. 131 показана конструктивная схема отвалообразователя с
двумя отвальными стрелами простейшего типа.

2.	Конструкции стрел с дополнительными подвесками зависимого, не-
зависимого и комбинированного типов с дополнительной мачтой н
без нес.

В зависимом типе подвесок усилия в каждой подвеске непосредствен-
но связаны с усилиями в других подвесках, входя п общий полиспаст.
В комбинированном тине подвесок главная подвеска не связана непо-
средственно с промежуточными.

В независимом типе подвесок крепление всех подвесок осуществляет-
ся независимо друг от друга [17].

На рнс. 132 показана конструктивная схема отвапыюго моста со стре-
лой, имеющей две дополнительные подвески. Три секции стрел соединя-
ются между собой с помощью шарниров.

На рис. 133 показана конструктивная схема отвалообразователя со
стрелой, имеющей три дополнительные подвески, и дополнительной мач-
той. Соединение секций стрелы меж ту собой жесткое.

3.	Вантовые конструкции стрел. На рис. 131 показана конструктивная
схема отвалообразователя со стрелой по типу вантовой фермы. Подача
грхнта осуществляется из специальной траншеи с помощью многоков-
шового приемного устройства, подающего грунт на приемную консоль.

На рис. 135 показана конструктивная схема отвалообразователя со
стрелой, выполненной по типу вантовой фермы с одной промежуточной
стойкой п па рнс. 13G с двумя промежуточными стойками. Секции стрел
310
Рис 130. Конструктивная схема отвалообразователя со стрелой простейшего типа


соединяются шарнирно. Число секций может бить больше числа пане-
лей фермы. В этом случае они поддерживаются промежуточными ван-
тами.

4.	Конструкции стрел тина «качающиеся» (рис. 137). Нагрузки, дей-
ствующие в горизонтальной плоскости, воспринимаются теми же гиб-
кими элементами, которые воспринимают нагрузки, действующие в

Рис. 134 Конструктивная схема отвалообразователя со стрелой по типу вантовой фермы
с тремя панелями:

а — отвалообразователь; б — погрузочное устройство

вертикальной плоскости.

Стрелы отвалообразователей воспринимают нагрузку от собствен-
ного веса, веса грунта па конвейере и веса самого конвейера (рис. 138),
а также динамические нагрузки от инерционных сил.

Существенное значение на работу конструкций стрел отвалообразова-
гелей имеют ветровые нагрузки. Изучение их и разработка методики
расчета еще нс закопчены и мож ю лишь ориентироваться па сущест-
ву юшпе нормы.

Основные особенности динамических процессов в отвалообразовате-
ле определяются конструктивными формами отвальной стрелы п наличи-
ем ленточных ковейеров. В отличие от стрел драглайнов, в которых ос-
новные нагрузки определяются весом ковша с грунтом, в отвалообразо-
вателях основные нагрузки вызываются весом элементов конструкции и
инерционными силами, действующими на них. При наличии элементов
большой длины обеспечить достаточное натяжение их для любого рабо-
чего процесса п положения стрелы не всегда удается. Поэтому конструк-
ции отвальных стрел обычно приходится рассчитывать с учетом провеса
314
Рис 135 Конструктивная схема отвалообразователя со стрелой по типу ван-
товой фермы с двумя панелями и шарнирным соединением секций стрелы

Рис. 136. Конструктивная схема отвалообразователя со стрелой по типу ван-
товой фермы с тремя панелями и шарнирным соединением секций стрелы
i пбких элементов. Обеспечение долговечности гибких элементов требу-
ет выполнения расчета их амплитуд колебании. Колебания гибких эле-
ментов оказывают существенное влияние на их io.iiовсчпость.

Рис 138. Ленточный конвейер иа отвалообразователе

Основой расчета динамических процессов в отвалообразователе яв-
ляется расчет шнампческпх процессов тля стреловых конструкции боль-
шой длины

В целях 5 прощения исследовании следует широко применять при-
ближенные методы расчета, в частности методы последовательных
приближений, дающие возможность выбрать основные формы колеба-
...[17].
§ 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ СТРЕЛ
С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ПОДВГСКАМИ НЕЗАВИСИМОГО ТИПА
И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ МАЧТОЙ

Положим, что каким-либо приближенным методом нам удалось рас-
пре гетеппые массы секций стрелы отнести к выбранным узлам
[рис. 139]. Очевидно, что массы, отнесенные к узлам, будут зависеть от
того, какова нзгпбпая жесткость стрелы и какова жесткость на растя-

жение подвесок.

Приведенные к узлам
массы для разрезных стрел,
5 которых узлы 2, 3, 4 вы-
полнены в виде шарниров,
не воспринимающих изги-
бающих моментов, будут от-
личаться от приведенных
масс в случае стрел со
сплошными балками жест-
кости.

Введем следующие обо
значения:

тельными подвесками независимого типа и ю-
иолнптелыюп мачтой

4 —текущая координата вдоль элемента;

—длина э 1емепта между узлами j и I;

у —угловое перемещение стрелы всле тетвпе деформации подвес-
ки мачты, равное угловому перемещению мачты;

ш, — масса, отнесенная к i узлу;

F.-, —площадь поперечного сечения элемента;

у, —перемещение массы /и, в направлении, перпендикулярном
осп стрелы, вследствие деформации подвески;

/) — перемещение сечепня гибкого элемента вдоль него;

1) -поперечное перемещение гибкого элемента;

о,_(— начальное натяжение в элементе подвески;

Ев —модуль упругости канатов подвески;

y,_j —погонный вес элемента;

—усилие в элементе i— /от единичной силы, действующей в
э к-меите т — п.

Очевидно, что можпо записать выражение для а'1', используя найден-
ные ранее решения для простейшей конструкции стрелы.

В случае шарнирного сочленения секций имеем

	0	‘Л—Т+1	Т+1 cos То . ?/—Aeli—Ав ' с<*То .  ci—Ав	.	1	>	(7.2)
	2smcii	2sin<if	
или:		
	о	?«-т+1 н-i cos To  °i—4e— —.	>	(7.3)
	2 sin и/	
где		

__	।	—Ae^i—Ав	ц

<?/-<+1 = -/ г । Ч---------------•	(7.4)

'z-t+i

Если масса стрелы отнесена
стрелы па изгиб, выражения для
в еле гующем виде

к узлам и если пренебречь работой
натяжения подвесок можпо записать

0 rM^-COSfe

О|-4«= --------- -

sin щ

(7.5)
Уравнения продольных колсбаппн подвесок запишутся легко, если
известны суммарные усилия в подвесках.

Суммарные усилия и подвеске равны сумме статических усилия и
усилия, вызываемых динамическими нагрузками. По аналогия с простей-
шей конструкцией стрелы можно записать

(Ру	d2t/i X   g,-_

dt2	dt'1 )	:ig

(7.6)



rtbgcosYo m,
:—

SHIT/	Sill©/

Уравнения продольных перемещений канатов подвески можно запи-
сать в еле lyioHieM виде:



2

^1-4в

cos y0

sin а/

^,-4.

Sin ах-

I

_rf2y
dp

‘-'Л
dp

dt'-

—4л

(7.7)

\, д2 / I

V

i = 1,2,3,4

Определим усилие в подвеске 4в 5«. От силы о; в подвеске мачты
возникает усилие, равное

।	о, sin (а,- + а0)

°4«—5» —	: ~~~	~

sm(P-! ап)

(7-8)

Учитывая усилия от инерционной силы, действующей на массу /п4я,
получим

V ct sin (et/+ et0)
°4e— 5e— ______J : ~7~	~

sin (P + a0)

"Ma f0-4a d2y II	COS («„+Y, )

sin (B + a0) dt2 sin (3 + a0)

(7.9)

нлп, подставляя значения о,, будем иметь

34в—5в —

miR cos То

sill U;

,	d2-{

+^q_

dt2 J

d2y Tiijegcospx,,-, y„)

dt2 sin (fl 4 a0)

(7-10)

где

z«4e = т4в + mie_5e sin2 (Yo — Po);	(7.11)

'О—4e

"Че = «»4в + 4" n,4e-5e —1,-50 .	(7.12)

‘О—4а

4j—ie

sin а,

sin (<I; + nn)
sin (P + an)

W4«fo-4a
sin ( i -j- ani

Уравнение продольных колебаний подвески мачты будет иметь сле-

чующий вид:
du4e-5a
Hl

dw4«-5e \2
/
Г CT/gCQSYo

_ b'h«R cos (цп4 yo)
1 sin (3 + a0)

/>Цд^о—4« d2-?

sin Uj

sin a.

t а‘У ,
‘° “777 '
dt1

sin (3	<i„) dt2

d-iji \

dl2

^,-4e
dt2

sin (a, + a0) ।1

sin(₽+a0)J £/4e_5„

(7.13)

etg*,—1~~
e ' dt1



"Ц
Запишем теперь уравнения поперечных кол “банки подвесок

—+—- %	cos “ - с“ -1 '"'с“т" -

g dt~	g at2	| sin a;

—(lio + ^l\ _ 5-^^. c{g a, £Zi=J_‘l =
sin a, \ dt'1 dt2 /	ng	dt2 j 4

= <7,-4» cos (y0 —a,);

£у-5а, [ d	_Z9~4e . cos (a<) p) 5 I — h«4«cos(n0 I yn)g_

S [ dl~ he—Se	e^~ J I sin (3 -j- a„)

т4в1о-4в + V [ w,gsin V» — m‘ //. <f2Y [	\

sin (P + a0) (IE “L sin a/ sin а Д '° dP dP )

<7,-4.',-4а .	^-4в

------------cig а,----------

ng	dl2

I sin (<i, -pa„) 1

I sin (3 + a0) ‘

и и,’. Г

-	= 9ы-5в cos (Yo— Р). (7.14)

Как и прежде, представим функции «,;(?, Z) н aytJ(g, Z) в следующем
виде:

l\ =Uu(q) • <p t (ty,
„ qn cos (v„ — a,-)	„	nc.

&0 =	. ?------' (hi - $ 4- sin T,z (/).	(7.15)

2ai/	4J

Подставим эти выражения в полученные уравнения и проинтегрируем
в пределах от i до j. Обозначим

IU G,4 - и (^.)1 ср,.,- (z) = Uif (z);	(7.16)

oo_4e = mzgeosvo.	7 ,7

sin a*

о

с4л—5в —

m4Bg cos (»q-1-То) . у zn,g cos yn sin (а,-	a,)

sin (3 + а„)

sin а,-

sin (Р + a,,)

(7.18)

Получим

2

f/,-_4e(z)4-4-
о

?,4„cos(yn — а,)

?,4„cos(yn —

2°?-4в

п2

4	/,_4в

w1 , i mtli-4s
r ,-4n -f- ——---:—

Vz-4eS,n

сРу
dt2

«о

а.-4в

। ^2у<

dt1

'!f,-4a4-

2

^i — 4nh—4n ।	^^1—4я  °i—4e h—4e

i= 1,2, 3, 4

?4«-5a cos (Yo - 3) 1 2

2a4e-5e

l34e-5e 4

2 <740-5. cos(To-3)Z,._4e (|f

_0

°4e-5e

I Л:

4 ^4e— 5e

^«-5.4-

m4e l0-4e

he—5e

Ев 14в-5в sin (a0 4- P) (IP

<?,_4a^-4e

ng	dp

6

n

sin (Ut- 4- an) I _ p04e-5a Z4a-5a
sintiio + P) EeF4e_5e ~ EeF4e_5e

(7-19)
Подставив выражение <о(£, I) в уравнение поперечных колебаний ка-
натов, получим (для канатов i — 4в)

4o . л;

------Sin-----—

g 'i-ie

^^-40	,	<7,-40

dp

X

___Г ffl,gcosYn mt
sin uz sin az

Г ?z_4ecos<To — a<)

g

rf2T . 42iji
dp' dP

i t	i ‘Z2T

4e-bzo-i - cos a,| —r —

dP

qi-^l^4e ctg a.

ng	dP

о°



sin '-"-y/-4»

Zi —4o

= qi-m cos (y0 — at). (7.20)

Умножим правую и левую
грнруем от i до 4в. Получим

Л₽ ...

часть уравнения па sin----------at, и проинте-

Z;_а«

Qi—4e h—4а

2g

X ^У--
dP

^i-4.
dP

О
0<-4а

sin at

X —2

<7,-4, C0S (То ~ »«) Z,-4o

°,°-4вП

Ql—4ell—4e
ng

, d2y . d2y, >

‘° dP dP >

_ "2 _ur.

2/

ZIi—4o

4 4oZ0-4IZi-4o cos «*

Qj—4e h~4e
ng
2Ql—4elj—4<,

Л

^g

d2^,

ctg a ------

6 ‘ dP

X

X

cos(yo — a,). (7.21)

Аналогично для подвески 4в—5в получим

94а—5aZ4a—5а	'^4а—5а

?4a—5oZ0—4aZ4a—5acos(a0 I 3) d2y

2g

О
а4о- 5а—

dP

,n4oZ0—4с (Ру

ng

dP

n,i

sin (3 + a0) dt2

sin ai

d2y d2yt
i(>~dP + dp

fy—4aZ;—4o

ng

ctg a,-

</'У,-4а
dP

sin (a, 4- a0)

п2
^4в—5в

4'4-5,

sin (Р + a0) J [

2q4e—5а Z4o—5а

__2 ^4о—5а COS (То	Ро) Z4a—5а

4о—5о

л

cos (Yo — ₽)•

(7.22)

Из геометрических

соотношений имеем

</40-5 в = 1о-4» Sin (a0 4- р) Y;
Ui—te = у* sin az.

(7.23)

Используя эти соотношения, получим следующие уравнения коле-
бании:

y,sinaz4- —
О

У,-4а C3S (То - «,) Р

2о?_4вс<»То

1	"2 Y* t <

4 Z,_4o ,/~4в +

6-4.+ —
Л

mi li-4«

EeFz_4esina



2o'z’_4ecosT0

I ^-4-
10 dt2 +

<7Z-4aZ/-4.Ctga,- d^z 4.

ngEeFl-4o

'«gcosy0/,.4a

dP

Eel'i-4e sin a>

d2y, \ ,
~^) +

O<i—4e li—4e

Е‘1'.-4в

i= 1. 2, 3, 4.
I	. Ox I 1 И4в-5« cos(To —3)12;3	,

‘o-4® sin (a0 + P) Y + — -------—-q-------	/««-5® +

6 L ^4®-5®

4 ?4®-5® COS(Y0 — ₽o) *4®-5® ur , I Л2 ur2 ,

>	O-O	1 4®-5® 'Г 4 l	Г4в-5в -Г

Л	^O4e_5e	4	4 в— 5®

.	ffl4® *0 — 4® *4®-5®	d2?	mt /j	d2? tPtJj \ 

EeF4в-5в sin («о + 3) d*2	sin at \ ‘ ° d/2 dt* J

?,-4,*,-4®	. а <*2у.-4« 1 sin (gz + a0)	*4«-5«	= о°в_Бв /4.-5®	(7 24)

‘ dt* J sin(g0 + P) Ee-F4e_Se EeF4e_5e

Таким образом, можно записать уравнения колебании стрелы в сле-
дующем виде, вводя сокращенные обозначения коэффициентов и относя
в правую часть постоянные члены и вторые производные:

«нУг + «.-2^.-4® + a,.sV-4® = dt - ba - bi2 - biS

dt~	аР	dP

i = 1,2, 3, 4;

°61Y T" ^52^4®—5® + ^53ЧГ4в—5®

d*y
dt*

*^-4, .
dt* ’

- ur 1 T &У1	I d*y .

a.i$ i = d: — Ьц ——-----b,2 —- — b.3------

J 1	1 dt* J dt* J dt*

Cjl dt* 4,-4e

_c	4 — c d24f/~4a 4S 4

jl dt* 11 e JS dt* 4 '-4e

j= 1,2, 3, 4;

V4	d'yj ПГ	n rf2V UT	VL d24fi-4e Ur /7 9СЦ

>Сб/ t2 I 4®—5®	C66 i 4®_5®	—	4 4e—5®. (7.25)

Производя решение полученной системы дифференциальных уравне-
ний, методом последовательных приближений получаем форму главных
колебаний. Это дает возможность свести решение системы дифференци-
альных уравнений к решению одного нелинейного дифференциального
уравнения.

Если принять Цв-ъо равной нулю, то получим уравнение колебании
1ля стрел с дополнительными подвесками независимого типа и без до-
полнительной мачты.

§ 3.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ СТРЕЛ
С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ ПОДВЕСКАМИ ЗАВИСИМОГО ТИПА
И ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ МАЧТОЙ

В конструкциях стрел этого типа усилия в дополнительных по вес-
ких находятся между собой в линейной зависимости.

Можно записать

OZ_4® = ^ziO|_4®.	(7.26)

Приближенно можно считать, что это соотношение сохраняется и при
динамических режимах нагружения.

21 Заказ ЭЛ	321
Начальные натяжения подвесок о°_4влегко определяются исходя из

уравнения моментов относительно пяты стрелы

У o“_4e l0_i sin af =	mtg cos у0;

oj°-4« 2j knlQ_i sin	mtg cos y0 Zo-,;

о Im^cosyoZo,,.

°1—4o —	:	

2Mo~i5,nai

(7.27)

(7-28)

(7.29)

Как и прежде, будем считать, что приближенными методами нам
удалось отнести распределенную массу стрелы к выбранным узлам пу-

Piic. 140. Расчетная с сма стрелы с дополнитель-
ной no iBccKoii зависимою типа и дополните.imioh
мачтой

тем предварительною опре-
деления формы колебаний
стрелы.

Исходя из геометриче-
ских соображений, а также
схемы запасовкн канатов
подвески, можно установить,
как изменяется усилие в ка-
натах подвески при дефор-
мации стрелы при колеба-
ниях 11 при воздействии па
нее дополнительных инерци-

онных нагрузок.

Рассмотрим для простоты стрелу с одной дополнительной подвеской
(рис. 140), выполненной по типу подвески роторного экскаватора, опи-
санного в гл. VIII.

Введем следующие обозначения:

5 —текущая координата вдоль элемента;

hi —длина элемента стрелы между узлами i п /;

Ф(£) —форма поперечных деформаций стрелы;

у —угловое перемсщспне стрелы вследствие деформации подвески
мачты, равное угловому перемещению мачты;

nii — масса, отнесенная к узлу;

—	площадь поперечного сечения элемента;

Е — модуль упругости материала стрелы;

Ji, — жесткость на изгиб элемента;

у,- —перемещение массы /и,- в направлении, перпендикулярном
осп стрелы, вследствие деформации подвески;

ут — максимальный прогиб стрелы;

//,-,(£, 0 — перемещение сечения гибкого элемента вдоль него;

ьу/у (?, /) —поперечное перемещение гибкого элемента;

—	начальное натяжение в элементе подвески;

Е„ — модуль упругости канатов подвески;

'И,- —амплитуда колебаний подвески;

О —угловое перемещение стрелы за счет деформации подвески;

qtj —погонный вес элемента;

А™"—усилие в элементе ij от единичной силы в элементе /пн;

Y —максимальный прогиб стрелы;

— изменение расстояния между концами каната;

Mt —перемещение точки крепления каната по двески к стреле по на-
правлению каната;

а — угол поворота рычага полиспаста подвески;

Zi, /2 —длина канатов подвесок;

т(£) —распределенная масса стрелы;
Л| и Л2— плечи рычагов полиспаста подвески;

S,— усилия в канатах подвески, идущей к голове;

S2—усилия в канатах дополнительной подвески.

Пз геометрических соображений имеем:

(7.30)

(7.31)

Представим функции «.-9(е, /) и ау, (£, /) в виде следующих выра-
жений:

ии& 0 = <70(?)<р/у(/);

R. п _	?(/(/_э + sin2i!LViiю.

zoi(	l‘j

(7-32)

Подставляя эти выражения в соотношения для и S2, умножая на
dz, и интегрируя по длине канатов, получаем:

Si

б/i . 1

/.	6

EaFz

?t^ecos(Y0—«J It

zol—4в

яа|-4в

гк?_4в(/);

~<72 4acos(Y0—а2)/2 2

2о°

L	ZO2—4в

2<72-4e cos (Yo — a2)
ла2-4в

Т2-4в(/) +

+ т2тч'1-<в(/)-

4 4

(7.33)

Если Fi = F2, то из условия равновесия плеч рычагов имеем:

6/1

<7i 4ecos(To—“i)/j

4ecos(Yu a>)

=.h.

/>

2^-4,	.1

2 — 4в С° s (То аг) /;

Л0?-4в

Чт,_4в(/)+±_J =
4 /I J

2^2-4 C0S (То- “»)

ЯСТ2-4в

^2-4в +

1 л2

, .	. 1 Г<7|_4ecos (То-«1) /1 2

Wi Mi +	4- —

(	6

2(т1-4в

+4- т?-"1 ~ '*= (- 4л-“'+Л,«+т-
4 Л J (	6

2?,_4 cos(Y0-«i)/i

-----55Д6------Т,-“+

| <72-4e cos (То—«2)/212
L	za2—4e	J

2?,_4fl/2cos(Y0-a2)	[ „2	2	>

-I---------б--------- 1 2-4 в + — —— Т 2-4 в I

я°2—4в	4 /г 1

(7-34)

Отсюда получаем следующие формулы для определения угла пово-

рота рычагов au

ai =

1

h~ l2 + 4h*

{/12/EX/2 +

~?2—4а cos (y0—g2) lz 12

M-4e	J +

6

2a°

za2—4e

4 /

+

2<?2-4e/i/2cos(To-«2)w	. л2/, nr2 . , Л/ /JJi, r<7i-4ecos(To-ai)/i'|»

-----—о-------- * 2-4e +-  ч 2-4e—filial------f  ------—0-------- ---

яо2—4e	4/-2	6	[_	2a1_4e J

2<7|4e/i/2 cos(Y0 — «i)

no"-<e

iir, .	n21- Чг? л

1 1—4e---------	* 1— 4ei

4/1

(7.35)
Или, подставляя выражения для Mi, Д/2

△Л = UJo0 + fb(^)y]sinai; Д/2 = 1/здО +'I’(U/1 sina2, (7.36)
получаем

1 к , ч а , ж/гчх/1 •	, W‘2 r,?2-4ecos (То—«г)Л12

ai = —----------—	+ *&)yisma2 + -Lp- --------- --------- +

/i^/2+4/i2/, I	6 L	2oS—4e	J

। 2?2-4o/i2/1/2 COS(Yo—a") uf	Л? Л2/, Uf2 z. z rz n i a zr \ w, •„

4----------n--------- i2-4e 4— ------—Г2-4e—hil2 [<io0 + Ф(£i) У]sina! —

na2-4e	4

r?|_<8COS(Yo—Д1) /112

I M-4o 1

2<7,_4AziZ2 cos (Yo-OiU.

0	* I— 4o

"° 1-4,

-4,1. (7.37)

4 h J

Отсюда значения d/| и б/2 получатся в следующем виде:
= ,7, ,\г2,— [^АЛ Uzo6 + ф (5з)У] Sina, + 4h*l21

li* l2 + 4h*l

+ Ф(^)У15!па1+-А1^

?2-4e cos (Yo—сь) 1г 2	2ft1/i2?2 4e/1/1 cos (Yo- а2),

2о2-4о

П°2-4о

+ ”ЩЛ ч-Щ, + (л/ы, +	(-L	1! +

4/«	(о L 2о1-4в

6/. = —----------——

/i?/2 + 4/i-2/.

4Л1Л2/2|Ло0 4-Ф(£1)У]5Й1а1 +

+ hi /2 U20® 4" *1* (£2) У] sina2

2^V2

3

r?2-4«cos (Yo—«2) Л

I	9n°

L	/o2—4e

8/i|/i/2g2_4ecos(Yo-«2) ur л2/?^ ...г	. 2/ii/i2/t/,

--------------0-----------4 2-4«	-----Ч'2_4в 4	-----
na2_4o--------------------/2-----------------3

I ?1-4qCos(Yo—alXl]

L 2^-4, J

+ 8<?1 4.M1/1/2Ca(Yo-ai)y| 4a +	^2	)	(7 38)

^"-40	Z1	>

Подставляя этн значения в выражение для S, и S2 (733), получаем
Мал(Ло0 4- Ф А)У)sina2 4-
h\l2 + 4h2l{ I

4- 4Л2/2[/1о0 + <b (l-J У) sin a! +

I <72_4,cos (Yq— a2) /2

L ^2-40

2/ii/i./i/2?2_4ecos(Y„-a2)	. n'-lith.l, .„2	,	r?i-4ocos (Yo- «1) Gp

---------0---------- T 2-4o -I--—4'2-40 4----------- ----------------- 4-

ЛО2-40	4/2	3 L	2O|- 4o	J

0/. 2 ;2	/.2 /2	ч

+	<7i-4«cos(Yo-a>)V.-40 +	Tf_40 ;	(7-39)

n°2-4o	4	J

S2/2 _ ________1

E„Ft ~ /4/2+4/if/,

4Л1/ь/2 /1о04-Ф(с1)УЬ1па1+Л2/2[/2о0+*1>(;,)У]8!па2+

( /11/|/2 fg|-4pCos(To- O|)/l 12	2<7i 4^i/i/2COs(Yo—«1) v( 4e

t 6 I 2<7°_4o	1 +	ло'|’ 40

4 h*l*

j 1 [?2-4qCOS (Yo—«г)Л]2
t 61	2a?_4o I

2?2 4,cos(yo —a2)
n02-4o

__ ЛЛ^1
6
Выражения для усилий S,_4e можно записать в следующем виде:

С	-ОС	т1 (t	I 1	I	\

s,-4e =	F>-<• - ^а- г° W + '-°	~

--Ъ-Ав^-Ав ct а. ^i-Ae^  у ( <РФ (') \	{7 40)

ng	dl2	\ d*8 /Ь—li

□отставляя значения S,- в предыдущие уравнения, будем иметь

hihjx [Z2o0 4- Ф('2)И sina2 4- 4Л’/2 [Zlo0 4- Ф(с,) yjsina, 4-

г'гчЧ

?2-4ecos(Vo—“2)^12	^hyhJylzq2 iec°s(Y0— «г)

n2l.h.h,

41.

6 L 2o!

44 4 + 4h| z'
. 6

.0	~	„„o

2—Ав I	no2—4e

r?i—4«cos (Yu-аОЛр 8/i|4

'F2-4. +

0	?l—4eCOS(y0-

яст1-4.

9n°

Zal-4e

ft? 4	9

2 1 W2 . —

,	* I — Ae —

l2

n‘l h ‘PV 1 Г <

--------r10 “ZT * 110

sinai \ dt2	dt2

+ £HL\ctga, -I™®] yl;
dl2 /	ng	dt2 \ d^s / E=ti J

[Zlo0 + Ф (£,) yjsincq + Zz?Zg[ZtoO + Ф (?•_>) Vasina.. 4-

(7.41)

?i 4ecos(y0—a,)/q2	8/i2/1/2gl 4ecos(Y„—a.)

“al-4e

лст?-4в

4'1_4e4- —=/i-44_4«4-

In

Л? 4 [?2-4acos (Yo—«г)'гр
“б-!	2o2°_4e J '

(Л|	l-i4* 4/i2 'll	( n

=------------------ 1	au

F	l:	I	2—4e

2—4e	’

2/ij Zf g2 4ffcos(Yo «2)
яст2—Ав

4- -2Л?44-4. =

Л12
sin a2

r d2? , , d’O , d-y2 '
20 dt2 + 20 dt2 + dl2

3

Ч 2—40'2—Ae	d24'2_4e

-----------Ctg Oo	
ng & -	dt2

d;s

(7-42)

При выводе этих уравнений считаем, что масса стреты заменена дву-
мя, приведенными к точкам i = I, i = 2.

Можно также записать уравнения в интегральной форме. Из условия
равенства моментов сил относительно пят стрелы будем иметь
im(Wgcosy0 4-	+	4-°i-4«Z10sin0,4-02^20 510 0.=

\	or ar ar /

— SjZiqSiit otj 4- 52Z2qsin a2.
Подставляя значения Si и S2, получаем

(7.43)

U

F. F. ..sin a. г	,

= “^-TV^T7-/‘i/i2Zll/2oO +Ф(;.)П Sin 02 4- 4ft?Z2lZi0 4- Ф (Ъ) Vising 4-

"I *2 ’ ^^2 1

/,/;/!/Ь ?2-4«cos(To—«2) /2] 2

2/i1/i2Z1/2<72 4ecos(Yo-a2)i

L 20^4. J
d|4ecos(Yn—a,) /,12

•'гст2-4.
8/i| 4 <7t— 4«	,

4'2-4. 4

n’Zj/ij/^

4/2
ft2/2

9л1’

zol- Ав

ло®-4

'2

'Pf-4.? 4-

6

2/1?/?
4* 2 / л» 2—	[/1э0 4- Ф (?>) У] sinat 4- ti\l2 [/го0 4" ® (£2) У] sinа2 4*

Zi1Z2 + 4,,2ZI I

! 2/1^3 rgi-^costYo-oJ/iy ) 8ft2ZiM|_4acos(Yo-ct,),if, «	n2/^ « ) (? 44

3 L 2°?-4e J	nCT?-4o	’ 4Z1 ’j

Уравнение изгпбпых колебании стрелы в интегральной форме имеет
следующий вит:

, - а ‘с г it: \ i \ Г&2У (s> 0 । <f’O ।	d2? 1 I I

y(z, /)=- j	s— 4- s-£ ds +

b	L	J

4- V G (5,s,) Sz (s,/) sin az = 0,	(7.45)

где G(g,.<>)— функция влияния для прогибов стрелы от вертикальных сил;

£, s — текущие координаты вдоль стрелы

%

СХ>

G (;, S) = V /г,- <Pf(S)<l7(S) ,	(7.46)

ГТ4

где ч Д5) —форма колебаний стрелы;

со,- — частоты изгпбпых колебаний стрелы;

kt — нормирующие множители.

С достаточным приближением можно принять

у (x,t)=Y(t)sin	(7.47)

чо

лх ns

sin----sin---

G (x, s) =	---60 2 /10 ;	(7.48)

2	<1)7

ш2 = М'пц.	(7.49)

1	,4

"lZIO

где — приведенный момент инерции сечения стрел.
Уравнения поперечных колебаний канатов подвесок можно записать

в следующем виде:
^-4« <*Ч-4«

g dt2

Qi—te <Pv	к \

---------7T (^0/cos ai — w—4«) cos az —

g dt-

----(I ^L+l	ct	_

sina, \ 0 dt- 0 d? dt2 J ng	dt2

- Y ( d3d2~\ t 1 ^3^- = <7,-4, cos (Yo - a,.).	(7.50)

\	/6-tz J Oc>l—4e

Уравнение поперечных колебании подвески мачты

У Ав— 5в

' ,-Se

dt2

^4e— 5e

cos (a0 4- P)« —7
ar

___ ('»4»gcos(«o ЬУо)

sin (3 4- a0)

sin (a0 4- a,)

sin (a0 4- ₽)

<7l 4eZI—4e

ng

°?-4.

zn,

sinaz

clga'~ir-

g

^,^4в^^)—4в	<py	I ^W4e—5e

sin (3 4- a0) dt2	I ^4e-5e

= ?4«-5eCOS(Yo — P)-

(7.51)
Подставляя выражения для ay(g, /), умножая затем правую и левую
части уравнений па sin — de, и интегрируя от i до /, получим уравнения
поперечных колебаний подвесок в следующем виде:

л2

2?Z—4а 11— 4в	,

-----------cos(y„

л

(7.52)

Уравнение поперечных колебаний подвески мачты получим аналогич-
ным образом:

Члв-Ъв 14в-5е ^<Г4а-5а . ? 1а-5а 10-4в14в-5в cos <а" + 3) d2y  (miog cos (а0+у0) .

2g	d/2	ng	dt'1 I sin(u04-₽)

sin (<i0 + a,)
sin (a0 + ₽)



ao	(dty , d20

l—ie sin a, \ d/2 "T" d/2

etga! <P- I~4>	Y

ng	dt'1 \ d*s /t=Ji

,,l4i‘ If)— te
sin (a0 + ₽)

?4e-Secos(Vo-3o)f4e 5a
d’e-s.11

',f4»-5e
z,4e—5e

*?4.—5a ^4a—5a

Л

cos (y0 4- P).

(7.53)

Уравнение
дующий вид:

продольных колебании подвески мачты будет иметь сле-

Д"4а-5а  I / dw4e-Se V __ | »U„g COS (qn + Tn)
d2 2 у dl J ( sin (a0 + ji)

т4в (о—4 а dJy
sin (a0 + 3) dt2

sin (q0 -|ax)
sin (a0 + 3)

о _	>»i

l—4e sin aj

dt—4e^l 4e
ng

etgeq

1____

^в^4в—5в

(7-54)

После подстановки выражений и^-ьв и а’4в-г>а уравнение поперечных

л^	.

колебании подвески умножим иа sin------- ag и интегрируем по g от 4е

Ue— 5а

.до 5в:

/о-4, Sin (an + р)у +4-

6

?4а-.5асге(То-₽)12 .3

9л”	I ^4в—5в

ZO4e-5e	J

4 ?4а-5а cos(Yo~ P)f4,-5a

Л	2О?_

Лв—ив

m^gcostan+y,,)
sin (au -f- 3)

/П4д /О—4а
sin (a0 + 3)

ЧЧв_5а+4--А-'1Г4а-5а =
4 '4в-5«

d'2y .	sin (a0 + a,)

d/2	H sin (a0 -f- 3)

X
X °j

mtl{1

sin «!

d2y (РО \ _
dp + dP )

Ctg a,

ng

^4e—5e

^|4e

dP

£«^4в—5в

(7.55)

Вводя сокращенную запись коэффициентов уравнений, подучаем сле-
дующую систему нелинейных дифференциальных уравнений:

°10® +	+ а12^ 1—4в + СИзТг— 4в + ОцТ?— 4e + (Jis'Po—4в =

— ^1 + felo

d20

d'-y

---- "I ^11 --

dP	dP

d-Y

'12 ----- >

dt2

2	о

°20^ + O21O 4-	I—4e + (123^2—4e + 0241 I—4e + a25XV 2—4e =

. , . d2Y
= “2 + 020 —~
dP

d20

'21 ----

dP

+ fc2.^

2" dP

°30Y + О31У + Оз2^4в—5e + ОззЧГ4в—Se = ^3 + ^30	+

. ,	1 b

+ 031	+ 032

a4O^'l—4e + °41^ + °42'l’l—4«У = ^-4 -j- 640

^!-4e .

dp

< ь	. b

—^— + 04' dt2 +04 2 dp

< b dlv < nr	4e , ur rf20 ,

+	---bC4o'I'l-4e----------F C4|4'l-4e—~' +

dP	dt-	dl-

. nr <РУ . nr d2y
+ C42,F 1—4a	-- + C43T |—4a ;	,

а1л	at‘

d2X¥, Ла л игл	H2V

ЯбоЧ'г—4e +	+ ^52^2~4вУ=	+ b50-------------1- £>5j - 4- bs?-

at-	dt2	dt-

+ Ьзз + Сбо'Иг—4e-----------4’ + C51^2—4e

dP	dt-

(PO

dP

. nr d'V
+ 052 И2-4в~7—
(!P

+ С534'2_4в-^-;

dt2

ur < IZ 1 . b d24,4a- 5a , ,	(PO , ,	(PY .

Oeo'I 4«— 5a + Ogj^ = do + &60----—------b 6g 1 ———h bo2 +

dt-	dr-	dt-

l ь d2y i ur d~'yi«-5e . „ w d20
dp	dt-	dP

+ С6гЧ'4а_5а + 063^4.-5.	-	(7 - 55)

dt-	dt-

Первые два уравнения системы (7.56) представляют собой продоль-
ные колебания подвесок стрелы, записанные либо в форме уравнений
(7.41) и (7.42), которые получаются, если массу стрелы привести к двум
точкам приведения, либо в форме уравнений (7.44) н (7.45). Уравнение
(7.44) описывает колебание стрелы за счет деформации подвесок, выра-
жающееся в виде углового перемещения стрелы. Это \равнение получе-
но из условия равенства моментов относительно пят стрелы. Уравнение
(7.45) описывает изгибпые колебания стрелы. Выбор формы претставле-
ння первых двух уравнений системы (7.56) не имеет особого значения.
Следует, правда, сказать, что представление этих уравнений в интеграль-
ной форме (7.44) и (7.45) дает обычно более точные результаты.
Третье уравнение системы (7.56) описывает колебания стрелы и мач-
ты за счет деформации подвесок мачты. Эти колебания проявляются в
угловом перемещении стрелы п мачты.

Четвертое п пятое уравнения системы (7.5G) описывают поперечные
колебания головной и промежуточной подвесок, а шестое уравнение опи-
сывает поперечные колебания подвески мачты. Все уравнения связаны
между собой либо линейными, либо нелинейными членами или теми и
другими. При определении формы прогиба стрелы поперечные колеба-
ния подвесок в первом приближении можно не учитывать.

Решение системы уравнений может быть выполнено методом после-
ювательиых приближений путем определения коэффициентов распреде-
ления амплитуд колебаний и исследования отдельных нелинейных
уравнений. Достаточно точные исследования можно выполнить методом
электронного моделирования.

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ ВАНТОВЫХ СТРЕЛ
С ПРОМЕЖУТОЧНЫМИ СТОИКАМИ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ плоскости

Исследование колебаний вантовых стрел с промежуточными стой-
ками в общем виде с учетом поперечных колебаний вант достаточно
сложно.

В этом случае дифференциальные уравнения колебаний следует
составлять с учетом поперечных деформаций самой стрелы (балки
жесткости). Число дифференциальных уравнений колебаний получает-
ся большим, а анализ их стоть трудоемким, что получить решение с до-
статочной точностью бывает невозможно. Использование современных
вычислительных машин в этом случае является необходимым. Достаточ-
но надежными могут оказаться приближенные методы анализа колеба-
ний такого рода механических систем как аналитические, так и с при-
менением вычислительной техники. Для различных конструкций стрел
более удобными п более точными методами динамического расчета
.могут оказаться различные приближенные методы решения динами-
ческих задач. Обычно нрн использовании приближенного мето а ре-
шения принимаем во внимание результаты экспериментальных иссле-
дований и наблюдений за колебаниями конструкций. Проведенные
экспериментальные исследования показывают, что при колебаниях
конструкций стрел основное значение имеют главные гармоники коле-
баний.

Так, установтено, что форма колебаний балки жесткости, даже в том
случае, если она состоит из отдельных шарнирно-сочлененных балок,
может быть описана гладкой кривой и мало зависит от амплитуды коле-
баний, если механическая система достаточно линейна.

Для нелинейных механических систем стреловых конструкций фор-
ма колебаний балки жесткости нс является постоянной в течение цикла
олебанпй. При отклонении стрелы вниз от положения равновесия при-
веденная жесткость упругих связей (вант) может быть иной, чем при
отклонении стрелы вверх.

В этом случае, если попытаться представить форму колебаний бал-
ки жесткости в виде коэффициентов распределения амплитуд колеба-
ний или формы колебаний, они не будут постоянными и могут быть
выражены в виде функции от времени и от амплитуды колебаний. Ре-
шение задачи в этом случае становится сложным.

Однако при приближенном решении динамических задач для опре-
деления приведенных к выбранным координатам масс элементов кон-
струкций, участвующих в колебаниях, коэффициенты распределения ам-
плитуд колебаний необходимо бывает знать.
В большинстве случаев погрешность, получаемая при определении
приведенных масс из какой-либо одной стабильной формы колебаний,
бывает ие велика и мало сказывается на окончательных результатах
расчета. Еще более точные результаты могут быть получены, если
принять коэффициенты распределения амплитуд колебаний пли формы
колебаний в виде некоторых средних из двух значений, определенных
для отклонений стрелы вверх и вниз от положения равновесия прп
ожидаемых максимальных значениях амплитуд колебаний.

Определение коэффициентов распределения амплитуд колебаний
пли форм колебаний может быть выполнено методом последователь-
ных приближений без составления дифференциальных уравнений ко-
лебаний [17].

Задача решается следующим образом:

Задаются распределением точек приведения в оль длины стрелы
(обычно их выбирают в узлах ферм) и предполагаемой формой коле-
баний.

Первоначальное распределение масс выбирают так, чтобы при пред-
полагаемой форме колебаний удовлетворялись следующие соотно-
шения.

Для масс, расположенных между двумя точками приведения А и В,

в



(7.57)

В

р«(=)Ф(^)ИВ-^)^.	(7.58)

(В),)

А

где /Vlj-л— масса, отнесенная к точке Л;

ЛЕ=в— масса, отнесенная к точке В;

Ф(5) — форма колебаний;

wi(<)—погонная масса;

ri и В — точки приведения;

£— текущая координата;

АВ— расстояние между точками А и В.

, Ести <1>(В) = 0, то масса ЛЕ^дне определяется. Интегралы в пра-
вых частях уравнений понимаются в смысле Стильтьеса. Максимальное
значение Ф(Л) пли Ф(Д) можно принять ранным единице.

После того как оире (едены первые приближения масс, из решения
статической задачи от воздействия нагрузок М, Ф(£) определяются зна-
чения деформаций стрелы в выбранных точках приведения и подбира-
ется новая форма Ф|(£) таким образом, чтобы тахф|(£) = 1, а отноше-
ния между значениями Ф(£) в выбранных точках приведения равнялись
бы отношениям найденных деформаций. Обычно Ф(£) выражается в
виде ряда

Ф(?) = >>оД	(7.59)

/=о

При определении Ф(£) учитываются граничные условия. Число
членов ряда впбнрастся так, чтобы иметь возможность определить все
коэффициенты члрпов ряда.

При определении форм колебании желательно учитывать дефор-
мацию по только упругих связей и масс, входящих в конструкцию стрс-
МО
лы, ио п упругих связей и масс всей машины, в том числе упругости
грунта, ходового оборудования и надстройки.

Наиболее точным будет расчет в том случае, если определяются фор-
мы колебаний для всех узлов машины одновременно и учитывается их
взаимосвязь.

Если определять формы колебаний с учетом нелинейных характери-
стик упругих связен, то необходимо принять значения максимальных
амплитуд колебаний гпахФ(£) равными не единице, а допустимой при
расчете по прочности (пли усталости) величине. Чтобы рассчитать
формы колебаний, необходимо знать характеристики упругих связей в
функции от деформаций и от начального натяжения.

найти форму колебаний пли коэффнциен-
колебапнй, то необходимо при расчете

Если хотим более точно
ты распределения амплитуд
методом и ос л ед о в а тел ы I ы х
приближений учитывать
инерционные нагрузки от
колебаний вант. Тем самым
определяется и форма коле-
баний вант.

Однако прн обычных
расчетах форму колебаний
можно определять прибли-
женными методами.

После того как опреде-
лены коэффициенты распре-
деления амплитуд колеба-
ний (или формы колеба-
ний) и найдены значения

Рис. 141. Расчетная схема стрелы вантового
типа

приведенных масс, расчет можпо вести либо исходя лишь из найденных
значений приведенных масс, полагая, что коэффициенты распределения
амплитуд колебаний не являются определенными, либо считать, что
действительная форма колебаний является заданной. В последнем слу-
чае расчет является менее трудоемким, по и менее точным. Однако для
обычных расчетов его можпо рекомендовать.

При состав пенни уравнений колебаний стрел (рис. Ill) будем ис-
ходить из того, что инерционные массы балки жесткости и вант, опре-
деляющих частоты и амплитуды колебаний, определены заранее при-
ближенными методами н отнесены к определенным узлам.

Таким образом, распределенные массы вант будем принимать во вни-
мание лишь при описании поперечных колебаний вант.

Введем следующие обозначения:

ь— текущая координата пдоль элемента;

/>д— длина элемента между узлами /, j;

у —угловое перемещение стреяы вследствие деформации подвески;
nit — масса, отнесенная к узлу;

F,j — площадь поперечного сечения элемента;

tji перемещение массы tn, в направлении, перпендикулярном осн
стрелы, вследствие деформации стрелы;

Щд(Х, О— перемещение сечепня элемента вдоль пего;

г0о(б' 0— поперечное перемещение элемента;

—начальные натяжения в элементе </’;

Ев — модуль упругости вант;

qtj — погонный вес элемента;

k’"!‘ —усилие в элементе// от единичной силы, действующей в элемен-
те пт.
Для продольных перемещении элементов вант имеем

ди1—2в		1 / ^1— 2а V _	°?-2а__________т,	Л	d-y	. d-yx \

t>\	2 \ д' J	eafl-2e	£«F!-2esin“l	Ч	rf*2 J/2 )

- _£^=ZLctggl ri2-V|--2"- ;

^EtFt_2e B dl-

du2e—3a	1 ( йи,2а-3в \*	a2a—За	. I—2a Г ИЦ

д'->	2 '	д',	/	£в£2а—Зе	L £e£2e—3esln “i

, <71-2^1-2, cf	£У1-2а

di- J ngEeF2e_3e b dt-

*?2e—3 Z2 i—3a	о ^~^2в—За

-----.77	Pi	t:— >
ЯДЕ/2в-Зв----------------di'

dl,2—3e	I /	^2—За V	_	g2—3e _________П1-.____ /j	d-у	dl/2

д',	2 \	д', J EeF2_3e	EeF2_3e sin u2	V 21	dt-	dt-

. I-2a Г tnx (. d2Y

«2-зв	:-----(zu 77

L £e£2-3esinaI \ dt

41 —2eZ 1 —2a . rf2 I —2a

---------clg ’i	:----

^EeF 2_3e b	dt-

^2—3aZ2—3e
n"EeF2_3e

X ‘^’-за

Ctg“2----dP~

(12в—31^2в—3в COS Pi rf24f2a—3e .

HgE F^^	sina2 dt-

?.-28Z.-2a с{	^У.-2а

^SEeF3e_Ae ь dt-

?2a—3aZ2a—3a	n	d2'^2e— 3a )	,2—3a

---—---------Ctg P,------—-----} — A3«-4«

^Eel 3„_ie	dt- |

m2

3a-4aSina=

I fP!/> \ i »J-2«	'”1	(1 d-У

H---7T~ + k2~3e ~TF7------:--1 zu ——

d‘- J 1Уз«-1«5|ПЙЛ dl~

£,2a/1 28 ctM0(i *^38-48
ngFeF3e-4e	dr~

i,3—Зв

--«За—4a

m3

cPy

af 3a—4o

34 dt-

ngEeF 3e_ie

\ + «3^3-3. ctg

/	n£teF3(,_4o

‘,:^2 — 3e | _

dt-

«3

d^3-3e
dt-

w36/3a-4	d-y _ ?2«-38f2a-3«sin(44 + Pl) ^^2«-3a 

EeF3(1_4esin(B2 + i'>) dt-	ng sin (u4 + (32)	dt-

<7г 3Л-За<|П (04-«г) ri2y2-3a _ <73-3aZ3-3»sin («4 - O3)	rf2>y3-3a ,7 эд,

ng sin (a4 + [ij	dt-	ngsin(u4 + p2)	dt-
g|-2e	^1-2» , gl-2»cos«l(f2-4 +^1-2») d2Y 

g dP	g	dP

Г°?-2в — (lu ~~ 4-

L	\

_ ?.-2eG-2e_ ctg aj ^.-2» I
ng	d/a J

X —--------= q\-2e cos (Yo — аг);

2e

Q2e—Зв d^w2e~3e ,	^2в—Зв cos 31(^3—4 ~ ^2в—Зв) d2y

g

dP

dP

S

<?2e—3e

/?

d2y

^в-зЛв-зв ctgPi

ng

dt2 dt2 )
rf2^2e—Зв 1 ®2£4,2в—Зв

dt2

<71—2eZl-2e

Ctg aj

ng

d!'i'l-2e
dP

Л'2
°’2в—Зв

— <?2e—Зв cos (y0 Pi);

^2—Зв d2a>2—Зв

, <?2—Зв cos a2 (^3—4 + ^2—Зв) Ipy

0
02-:

g
m2

dP

Чз—Зв

Зв------:-----

sin u2

li—i

d2y , d2y2

dt2

ctgai.
ng

<?2в—Зв12« -Зв COS 31

dt2 J
^У.-гв 1
dt2 J
^Угв-зв ]

g

I—2e

2—Зв

dt2

d2y

ng sin a2

^Чз-зв

dt2

Ч2—Зв12—Зв

ng
^г-Зв

at \ ’ dt2

^ЧГ2-Зв

Ctg a,-----^-2-

dt2

dl* < d^_3e

<?з— Зв cos аз (G—4 — £з—з«) d2y

Чз—3в13—Зв

ng

g

^З-Зв

Ctg a3--

Б 3 dP

= ?2-3eCos(a0 —a»);

dP
д^з-зв
я-2

-Зв

d2y
~dP

— <7з—Зв cos (у0	a3).

g

?3в—4e rf2tt,3e—4e	<73в—4в*3в—4 cos (З2 + a«) *3e—4e (Py

dt2

. 2e-3"

i—4в	«Зв—4е

g^B—ie

d2y I d-Vi

dt2

dt2

dt2

41 —2e »	•	. .

------Zi_2ectgat X

ng

£^1-21,
dP

Ч2в—Зв12в—Зв „4„о	d2^2e-Зв )	,2—Зв

-------------Ctg Pl	—----- — «Зв-4в
ng-----------dt2 J

(Py

dP

»,l-2e

— «2—Зв

^2-Зв*2-Зв

nit

sin Qt

ctga2

ng
Я2—Зв12—Зв
ng

d2V

d^2-3e )
dP

,	^'^З-Зв

ctg a»----

Б 8 dP

—~ /|-2eCtg
ng

/, d2y d2
nil ______L_

. 24 dt2

-2e
dP

34 dt2

m3e

sin (З2 + a*)

, d^i

‘3-‘

g

92в-3в?2в-3в sin («4 + 31) ^2в-3в

?2—зв^2—3es'n (a4	a:) d2W? 3e

ng sin (a4 + ₽2)

dt2

ng

dt2

g3-3ef3-3esin(«4 —«3) ‘РЧ'з-Зв ) ^^Зв-4в
ng sin (a* + p2)	dP J д*зв_4в

(7.61)

= <7зв-4в COS (y0 — 60 — ₽2) •
Функции t) и w, (g, Z) представим в следующем виде:

=	(7.62)

/} = 4./cos (Т,-a,)	(/	+ s.n 4r (()

2aii	hi

Подставим эти выражения в исходные уравнения (7.60) и (7.61)
и проинтегрируем в пределах от i до j.

Обозначая

[Uu &) - Utj (£,.)] ф,7 (Z) = иtj (Z),	(7.63)

получаем

2е

УI— 2в +

—— l2(Z,_2e —2^)"	+

2в

2»

Г 9l 2ecOS(Tn — Щ)

2g?-2a

п COS

ZI—2е

-^-(ZI_2e-2^)'FI_2^ +

Zl — 2е

2е

С 1 Л2

2 /2

‘I-2е

COS2

г1— 2в

W1ZI—2е
fcefl-2esi"«l

</2Y . ‘Рух

dt'1 dP

 4| —2eZI —2a ctg f-, ‘l'V,~2e -	°?—2eZl—2e

JlgEe6i_ 2e	dt-	^a^I—2a

(7-64)

Интегрируя, получим

,,	,1 91-2ecos<Yo — «1)

I J t _О л —I— - -------------

4 4l—2ecos(Yo" ulHl 2a

t)J)

2al— 2ti

X 4r!_2a + j Y?-2. +	(f ^Y

4 Z|_2e	E'e^l — 2asinul X dt-

<ir- }

	1—2^1—28 CJ a d-'¥l_.2e _ g?_2aZl—2e

^EZ>-2a	‘ dZ*	^>-28

(7.65)

Аналогично для остатьпых уравнений будем иметь

' 428-Зв cos (Yo — 31) I2

2°28-3«

/28-За Ч

4 4га- 3acos(Yo —31) /г»-3а

п	2а2в—За

U^e—зв + —

6

^-2^ -+

X

1 я2 >	1—2» /	,п1

X 'If2a—За +	~~ ^28—За + Л’2в—За Z2a—За	.-г.-	:	X

4	‘2а—За	L Le‘ 2e-3eMnul

/ . (Ру (РУ1 X 4|-2a,|-2actgccl	^Ч-г»

Х \ 14 dP + dP ) + лгЕЛга-за dP

| 42a-38f28-3a cfg р1 d-'¥.y„_3e
ngEe/-2e_3e * dp

a0 I

°2e—Зе*2а—3e •

^в^2в—3в

(7.66)

,,	,11 42-3aCOS(Yo —«г) |2

Ui-u+v l——J

4 <?2—3e cos (Yo аг) Z2—За

«	2g$-3«

ЧГ2—Зе +

1 Лг

4	Z2—Зе

vu. + -

£eFl—3es,n a2
EeF2-3asin «I

. ?l—2aZ|—2a	^'l—2a 1  ^2—За?2—Зе	^'^г-За

ng£eF2-3« dt* 1 ’Ч^'г-За “ rfp

Ч-2в—3el2e—3a Z2—3a cos 31 ^^28—3a  g2—3eZ2—3a .

ng£/2-3a sin«2	dl~	ЕвЕ2-Зв

(7.G7)

t/з-зв + -±-

6

<73-3«cos(?n —a3)]2

2o3-3e

,3	,	4

‘3—Зв 4-----

Л

?3—3e COS (To ~ a-4 Z3—Зв
2g3—Зв

'Кз-зв +

, 1 Л2 ,Ir2 ,	m2l3—Зв

+ ~Г ------- 1 З-Зв + -—7------:----

4	13-3в	£ef3-3es,n«3

 gj—3в*3—Зв	ct a	d2XF3—.ie	_	g3—3eZ3—Зв	.

+ лдЕ/3_3в	C g 3 dt2	~ Ей1'3_3в

(7.68)

Узе—4в + —

6

g3e-4ecos(Vo —Зг)
2g3e—4в

I2 з

/зв—4« +

93л_4в COS(Y0 — Р»)/Зв_4в	1 пз	2

---------—й--------------- I Зв-4 в 4	----------- " Зв- 4в
2°3в—4л-------------------1 Z3e—4в

'«1 Л rf-т i ^Z/l \ i
W--------:—77^ *—7777 ) +

V3e-4eS,n(II \ dt~ llt J

, <7i_2eZI—2в	rf2>lri—2в] , Ч2в-3в12в—3eZ3e—4в c,fi 3l rf-4r2e-3e j ,

1------------ct2 “» —-----------------------------------------^2----< +

Л£ЕвГЗв-4в	dt~ J	«££ef3e-4e	dl 1

4" Лзв—4в^3в—4в

m 2

Е/зв-4esin a2

I 1	1

4" ^2—Зв ‘2—Зв x

/н,	/, <Py , d-yt \ , <7i_2eZi-2e	б/2’ИЗв -48

V3.-..sma. ('•’ЗЛ + <» ) +	W

^2—3eZ2—Зв

лЯ^в^3в—4а

,	rf24/2—Зв ) , , 3—Зв /

ctg «а——— 4-*3в—4в Зв—4в

dt- J

g3-3eZ3-3e_ ct	^Ч'з-зв

^а^3в-4в	dE

	m3eZ3e—4eZ3e—4	d-у ^2в—3eZ2e-3eZ.3e-4esin (°4 4- 31) ^*У2в-3в 

EeFЗв-4в sin (3г 4- 6)	dt1 ngEel Зв_4в sin (a4 + p2) dt-

 ?2—3eZ2—3eZ3e—4esin (K« — a2>	^2Ч'г—3« 

ЛД'Е/.ie_4e sin (a4 4- 3»)	dt2

Я3—3в13—3^3в—4в Sln (a4 ~ «з) ^Уз-Зв _ g3e—4eZ3 I—4 в
яя£в£3в_4в5т(а44-₽г) dt-	ЕвЕзв-4в

(7.69)

Подставим теперь выражение и>(£, /) в уравнение поперечных колеба-
ний канатов. Для поперечных колебании канатов с длиной /|_2о получим

<71-2в л'	rf2Vj_2„ ,	<Z1_2„(Z24+4)cosa, (Ру [• о

------Sin -----------------1-----------------------77----[°1—2а —
- "Ф..- '"-’•'J-* ctgy,

\ at- dt2 ]	ng

<^l-2a
dt2

0i—9» cos (y0 — a.)	n2	г,'

O - ----L--T-sin-^’FI_2e = 9,_21,cos(Yo-a,). (7.70)

ai—2e	‘n	‘1—2e

Умножим правую п левую части уравнения на sin — - -dt, и проил-

4-2»

тсгрнруем от 1 до 2 в, получим

9|—2е/1—2е ^^1—2» 	91 —2e(2/24/i—2aCosa| + Z2_2aCOSa|) d2y

2g dt2	ng	dt2

ctga

ng s dt-

2/1 2e01 2e cos (y0 — at)

1X0 JJ— 2e

J-—2—T,
2'l-2e

—2e

_ 291—2»
1 —

/1_2ecos(Yo — 04). (7.71)

П

Аналогично остальные уравнения поперечных колебаний вант получим
в следующем виде:

9га—За <2'з4 + Z2e—За) 12в— За cos 31

ng



dt2 "Г

?2e—3»?2в—За ^^га—За
2g	dt2

d2v d2^ \
dt2 "Г dt2 J

?2e—3e/2e—3e
Jig

9|— 2» ^1—2»
ng

dt2

Ctg ₽!

d2^r2„—3e |

dt2 j

2f2a-3a92a-3a cos <Vo ~ 31)
яа2а—За

1- ~~ Тга-За] - 2<?2<’~3<’ /2а-3а COS (Yo - 0^	(7 • 72)

2'2а-3а	J П

92—3eZ2—За ri2y2—Зе 	92 За (2/зч + *2—За) 12-Зв cos a2	d2y

2g	dt2	ng	dt2

0
о 2—За--

'”2 Л d2y
sin a2 \ 24 dt2

Я Х-2вЧ-2е dggi
ng

92а—За cos 31

ng sin aa

^-2.
dt2
^У2е-3а
dt2

9г—За/2—За	d2W2_ Зв

	Ctg a,	
ng----------------------dt2

2Z2 3</72 3ecos(y0 —a2)

na2-3e

__Л2

2^2—За

^2-3.

------/2—3eCos (Yo — oc2)»
я

(7-73)

93—Зе^З—3e	V	93—Зе (2*ЗЧ + *3—3a) *3—3a COS «3	d2y

2g dt2	ng	dt2

.Го	/,	d2y	d2gs \____ 93—з</з—За	l d2V3 3tl i

[	\	dt2	dt2 ) ng	dt2 J

v Г 2Z3_3^z3_3e cos (Yo — as) n2

X -------------------------------------T3-3e ==

na3_3e	2Z3_3e

=	h-зе cos (Yo - a3);	(7.74)
У ie—Aehe—Ae ^г<^3я—4я , ^Зя—4eZ3e—4eZ3e—4COS(32+ a<) (Py

g

1 ГГ °
+ °3e—Ae

dt2

i 2e—3e (» 1—2e

— «Зе—4e |«2e-3e --------

(	[sin di

ng

, _d^y

14 dt3

d/a

У\— 2ell— 2e	ft d24rl_2

------------- Ct6 ₽» ----------

Tig	(it2

_^я-зЛ,-Зе ctgpi

ng

I 2—
---A?3e—4e

+?	1 d2Z/i

dt3

4l— 2eZl— 2e

----------- CtgOCj

ng

dt2

^i-2e

1 -2я
2—Зя

^2,-3, |

dt2 j

d2y . d2yi \

__ /,$—Зе

--«Зе—4е

34

frY

dt3

гпзв ,

----------------г Z Зя—4
sm (B2 4- a4)

<b 3</2-3e sin (“3 — “г)

dt3

 &Уз
dt2

d3y 1

^-3eZ2-3e cfg g>

ng

Уз-звЬ-Зв ct

ng

dt2 dt

d^2-3e
dt2
^3-3e
dt3

^2e—Зв12в—Зв sin (a* + 31)	d3V2e 3e

dt3	ng sin (a4 4" З2)	dt2

d~'V2 3„	?3—3eZ3—3es'n (a«	a»)	^^З—3e

ag sin (u4 + 32)

dt3

ngsin(a4 + p2)

dt3

' 2Z3e 4e<73e 4ecos(Y0 —32)

na3e—4e

2?3e 4e

л3

2/3e—4e

Тз-4.1 =

Z3e—4e COS (Yq	02) •

(7-75)

Установим теперь связь между перемещениями U, и перемещени-
ями ук. Из геометрических соотношений имеем

Uзв—ле = he—a sin (02 + «4) у;

Уз-Зв = Уз sin а3;

Ui-зв = t/2 sin а2;

Ui-2e + Uze-3e= 1/2 (sin 0! — sin си) + t/i sin си.

(7.76)

Используя эти соотношения, запишем уравнения колебании масс
/«I, /н2, tn3, Ша в следующем виде:

t/jsinaj + t/2(sin0j —sinai) 4--^

6

Vj.z.cos^o-ai)]» 3

2a?—2e

6

у 2,- Зв cos (Yo - 31) p

2°2e-3e

j 4 <72«-3«cos(Vo-Pi)f:

Я	2a2e-3e

mI 4— 2e

,3	. 4 ffi_2.cos(?0-oi)zi

Z2e—3e + — ----------—---------

Л

2а1—2е

—2e

Tl-2. +

2е—Зе цг ~	।

I 2е—Зе Т

Я3

4Zi-2e

h I—2e 1 m
к2в-3в12в-3вт1

V?_2.+ -^-
4Z2e-3e

^гя—Зя +

d3y , d2yt

. E,F\-2e Sin <4 Ев?2в-3в Sin <4 J V
/2	nil

¥1—2e *1—2e	. 4—2e П—2e l2e—3eK2e—3e

14 dt3 “T dt3

ngEeFt_2e

У2в—3в 12в-3в	. о

ngEeF2e_3e '8P1

п£ЕвЕ2е— 3e

£^-3.

dt2

ctg«i

„О I

aI-2e Ч—2е

<^1-2в-
dt2

p2—Зя *2я-Зя .

EeFl— 2я

ЕвЕ2в-Зв
Z3--4 sin (02 4- «4)у +4-

6

4	*73а-4в C0S (Yo — ₽2) l3e—4e

2°3e— 4а

Г * 473e-4e cos (Yo - ₽2) I2

2°3e—4a

Ч'зв-4а 4—~ ~
4 I

-2— 'Из2в-4в 4-

Зв 4e

4- Z?3a-4a !&2a-3a he—4a

^-^-2» ctg

*^3.-4.

*4', _2,

dl-

, f 2в Зв/

Г^Зв— 4e 3e— 4e

Mo

f»l______

'eF3e 4asintzl

/ (Py	(Pyt

11 4 ----- 4--------

dt*	dC-

*?2a—За Z2a-3a Z3a—4a . R dJ<F2a_ За
«Д^За-4.	8P1	d‘*

(1 ^Y , d2*/-\ , /!-?«/ . ,

I EeF3e-4a sin “2

dt

dt-

Г______("•_____(/ _f{X + _Ё2"*_\ + gl-2*Z1-2£ ctg a. rf2,r3»-^ 1 +

I £e£3e-4esinal \ dl~ dt~ / лЯ£аГЗв-4в	dP

n^e* 3fl—4e

'ГУ2-За I .3—3a /

——-----, 4" «За— 4а‘3а-4а

dP J

M3

EeF3e—4a

, *?3—3aZ3—3a ,	d-’lf3_3e 1 (	w3aZ3e-4e/3e-4 ‘Py

4------------с1ь аз —	4" .. r	—~	4*

"££<,/• 3a-4a	dt~ J	Ee^3e-4asin (02  «l) Л*

^2a-3a he Зв 13в—4в sil1 (u4 4~ 3|) dg<F2a_3e

I’fi£eF3e-4asin(a4 + f12)	d/2

<?2-3a/2-3«^3a-4«si'1 К ' “ >) ^У2-3«
^в' зв-4a Sin («4+ 02)	dl*

J Чз—Зв h—Зв he—4e S * *'n (K4	*4) d~^3—3a   g3e—4a Ge—4a .

ng£/3e_J|esin(a1 + 32) dp	EeF3e 4e

, 1 Г Ч2-ЗвСО5 (Yo-“Z) 1 2/3	, 4>-3acos(Yo-“2)Z2-3eiI,

J/2Sina2 4- — --------------------- h-3e 4-------------T------------ J 2-3a 4-

6	Z°2-3e	?g2-3a

, I Яг ur2 , m2l> 3a ft d-y , tPy.,\ ,

+ -ZTT ’-3,+	+	+

„ ; I —2«f
+ «2—3e«2—3e

£af2-3aSir,al

*71-28 Zl—2a ^4f|-2a		*72-3812-Зв	Д~У2-Зе

пя^г-за dF- . ЫЕв^-зв 2 d^

Чув-зв he Зв h-Зв cos ft, d*y2e-Be _ g2-3e h-.ie .
ngEel2_3e silKI., dP	EeF2-3e

 g3-3e cos (Yo — «3)
*°S-3.

4 Ч3—3a cos (Yo ~ аз) l3—3a lIr j 1 Л2 nr> ,	,n2 l3—3e

-------------Й------------ 1 3-3a 4- — ------ гз-за 4* -77------:----

Я	2g3—3a	1 Z3—3a	£aZ 3—3aS,n a3

, d2y . d u3\ , Ч3—зв1з—Зв .w ^"'^3—3a	°3—3eh—;

“ + + Г 8 “3 —
Запишем теперь полученные уравнения с сокращенным обозначе-
нием коэффициентов, относя в правую часть постоянные члены и чле-
ны, включающие вторые производные.

Уравнения продольных колсбаппн

«11(/1 + «12^/2 F «.з'И,-2e + Оц'1Г2в—Зе + °15'Ifl2—2е + «Ic'^Je—Зе =

dt—Ьц

dr

d-у I,
-----(/in	

dt2	dt2

b d2'^ 

14 dt- ’

«21 42 4* «22Klf2—Зе 4" «2з'1Г2—3e = t/2--------£>21 -~-------£>22 —77-----

dt-	dt-

d2W. •>«	d2'V9	d2y.,„ ,,

_ b ---------_ b...--------------?=^- — b .5---------3e ;

dt2	dt2 '•* dt2

«31//3 4" «32К1Г3—Зе + «Зз'1Г3—3e = ^3-----£>31 -------£>32 —7 — £>33

at- dt-

«41 Y 4" °42'If3e— 4e + «l.l1lf3e—4e = d| — fr4 |

&У1
dt2

£>42

d-y.

dt

— £>43

d-Ц:

dt

dt2	dt2

, ^^2_3e

— «46 ---7 ;--

dt2

ь diV2-*‘

bw-^=^-—bt9
dt2

d

di2

(7.78)

Уравнения поперечных колебаний

ur	1 I d24y , d2y , rf24ri_2e

«51'lf|-2e =<£5 —£>51 ~T------b52—--------£>53---—-------

dt2	dt2	dt2

- W a'Ut ur rf2V ur	2e

— C5I 1 1-2.—- — C521! I-2e—- — С53Ч !_2e-----------—

ur	I I d2t/t	. d2y	.	^'^1—26 I

«61 ^ге—зе	= df,	— bf>i ——---бь2 — ;-----«63-------------be4 —

dt2	dt-	dt-

— «61 'ir2e-3e  ----«62г1Г2в—3e  ----«бз'^гв-Зе------7~"

a7dV2-3e=d7-b7l^-b72^-b73^-b7,^=^
dt2	dt2	dt2	dt2

Л	rf"4/2e—Зв	(,	^'^2—Зв	„ llr d2ih	ur d2t/2

-	------b’‘	-------C11 -Sr - с'2Тг-3‘ -7?

~ Cn'l’2-3. 4т - «Л'2-З.	---ед'Г.-з. ‘F'I'V -

at£	ah	dt2

--«7б'1Г2-Зв -——;
at2

ur	1	t, ^гУз	i	е^У i	tJi’l,3—Зв

«8! Тз-Зв =	ds —	bsl	——-bsz -----Ькз ---------

dt2	dt2	dt2

„ ur dbh ur (РУ ur ',24,3-3e

-— «81 P3—Зв  -«82^3-38 —------«8з'Гз-Зв -—---- ;

dt2	dt2	dt2

22»

339
«91У3в-4в = d9 - 691	- *92	- 693 -^- ~ Ьд, -^- -

d/a	d/-	dt'1	di*

-b

“	d/2

^2.-3.

<^2-3.

— bgy----—---

Л»

^'з-зв
d/2

л ^Зв—4e	d2»/i ,lf d2!/!	„ irr d~U3

dt-	dt-	dt*	dt1

d-v	d2,F._2.	d24'9. ,,

— «Э4Узв-4в --------Css4r3e_4e------—-------«96Узв-4в---------—------

dt-	dt*	dt*

d*V2 з«	d2^t з«	d2^ 4<

- «97Узв—4.-------- с98Узв-4в-------------~=~-----c99'F3e-4e-------• (7-79)

dt~	dt*	di-

Решение полученной системы дифференциальных уравнений целесо-
образно производить приближенными методами. Как показывают эк-
сперименты, колебания происходят таким образом, что амплитуды
колебании определяются лишь первой формой колебаний. Отыскание
первой формы колебаний легко может быть выполнено методами по-
слетовательш ix приближении. Частоту колебаний полагают равной еди-
нице или любой другой постоянной величине.

Запишем уравнения процесса последовательных приближений по
отысканию форм колебаний.

«5|У^2в ~	+ &52уА + ЬбзУ*—2в +

+ «51У||—2вУ1 + С52У||—2вУ* + «5зУ*—2вУ*—2в;

ШиУгв^зв = do + Ьту* + бегу* + бьзУ*— 2в + Ьб411Г2в—3» +
+ «б1У2в—звУ* + «сгУгв—звУ* + «бзУ2в—звУ*—2в + Сб4У*в—звУ*в—зв!
Я7|У2^3в = dy 4 Ьу1У\ + Ьу2У2 4" by^yk + 674У?—2в + Ьуз^У^в—Зв +
+ ЬуаЧГ2—Зв + «лУ*—1 вУ1 + С72г1Г2—ЗвУ2 + СТЗ^—ЗвУ*;

«Blaise = ^8 4- bsi Уз	/?8311;3—Зв +

+ Св|'1гз_зву$ + Св 2 Уз—ЗвУ* + С8зУз—ЗвЧГ3—Зв,’

«91 У Зв—4в = dg + Ьд\У\ -р Ьд2У2 + ^9зУз + Ьд^ + б95У1_2в У

+ Ьдъ^2в— Зв + ЬдуЧГ2—Зв + Ь9вУз—Зв + &99Узв— 4в +

+ «91 У Зв- 4в[/1 + «ЭгУзв—4вУ2 + «93 У Зв—4вУ* +

+ С94Ч^._4вУ* 4“ «95Узв-4вУ*—2в 4" «ЭбУзв—4вУ2в—Зв 4"

4 с97Уэв-4вУ2-зв 4- с98Узв-4вУЗ-Зв 4- с99Узв-4вУзв-4в; (7.80)

«41У** 1 4" °42Узв^4в 4- «4зУзв-4вУзв--4в = ^4 4- &41У?4_ Ь^2Уу 4- 6|зУз 4-
4- &44у4 4" 645У*—2в 4" 6|бУ*в—Зв 4" бч7У2—Зв 4" ^ЧвУз—Зв 4" ^49Узв—4в!

«з1(/зЬ1 4* «з-гУз^зв 4- «ззУ^звУз^зв = ^з 4" ^з1Уз h Ьзгу* 4" ЬззУз-зв:
«21У2+! 4- «22У|±Зв 4- а23У2±1вУ2±Зв =

=	4" bziyg 4" bizy11 4" Ь-2зУ*—2в К б24У2-Зв 4" бзбУгв—Зв!
+ «12(/2 ' + tfla'I'tise + °1-|ЧГ2«—3« +	2e+

+ Oig’F^3 4'£!3e = di + bi itj^ + bi,/ + bi3Vf_2e + bi(7.81)

Верхние индексы указывают номер приближения. Полученные зна-
чения следующего приближения умножают на нормирующий множи-
тель таким образом, чтобы одна пз искомых величии всегда была рав-
на одному п тому же значению. Лучше всего в качестве такой величины
выбрать либо у, либо уь

Более точные результаты можно получить, если в уравнениях попе-
речных колебаний вместо членов	подставить 'И*-Нцм-Н . Прп

приближенных расчетах в уравнениях продольных колебаний нелиней-
ные члены мои по относить в правую часть как члены ЧГ('1Г£.

После того как определены коэффициенты распре теления для по-
ложительного значения выбранной за основную неизвестной величины,
следует выпол шть процесс последовательных приближении для отри-
цательного значения выбранной за основную неизвестной величины.
Формы колебаний дтя нелинейных систем дифференциальных уравне-
нии в том н другом случае получаются разными.

В дальнейших расчетах за окончательную форму колебаний можно
принять некоторую среднюю из двух найденных. Более точно форму
колебаний можно определить нз условия, что переход от нее к каждой
из двух найденных рапсе форм требует затраты одного и того же козп-
чества энергии (по абсолютной величине) на деформацию упругой
системы.

Выбор формы колебаний даст возможность заменить исследование
системы дифференциальных уравнений исследованием одного диффе-
ренциального уравнения по одной нз коор пшат.

За такую координату лучше всего выбрать либо у либо щ.

Выбрав, например, за основную координату у п имея

У< = Ьу;	(7.82)

можем получить дифференциальное уравнение колебании в слсдмощсм
виде:

d2y . , . о . d’y А
— + <огу + О1У“ + »гу — = 0.

(7.83)

Исследование этого уравнения не представляет труда. Связь между
частотами и амплитудами колебаний определяется следующим урав-
нением:

где

hi —

и, —	ю2е2^ (<jt — лло2)

ы4

(7.84)

Исследование остальных форм колебаний может быть выполнено
приближенными методами следующим образом.

Пусть, исходя из решения линейной системы без учета поперечных
колебаний вант, определены формы колебании стрелы. Можно поло-
жить, что учет поперечных колебаний вант не вызывает значительных
изменений в формах колебании стрелы и привести систему уравнении
продольных колебаний к одному уравнению. Рассматривая совместно
полученные уравнения с системой уравнений поперечных колебании
вант, имеем возможность, используя метод последовательных прибли-
жении, получить коэффициенты распределения амплитуд колебаний п
для координат, определяющих поперечные колебания вант.

Исследование остальных форм колебаний в полном виде выпочнять
нецелесообразно. Необходимо только выполнить исследование попе-
речных колебаний вант, собственные частоты которых находятся близ-
ко к резонансным по отношению к колебаниям, происходящим по най-
денным выше формам колебаний.

В этом случае за основные уравнения принимаются уравнения попе-
речных колебаний вант, имеющих между собой линейную связь, а ос-
тальные неизвестные принимаются в виде заданных функций

Так, для вант 2—3 в будем иметь следующее уравнение поперечных
колебаний:

<h-3e 12-зв	2</2-зя 12-зв ctfi а2 соу (Уп ~ аг)

л'°2-3« 11Г	. л<7э_Звс‘«а2 6 V2-3.

-------- » 2—Зе -|-----------------------

2—Зе	2₽

d'Y,
2—Зв

d/2

COS (уо

21>-звЧ2-звсо&(Уо-и>) . (' т2 . к2-з2"‘1 \// d2V I

---------о------Г \ --'---:+

2	\ sin а.> sin щ / \ at2

, d-y, X ^-зе^г-зе cos (Уо — аг) , *h-2<fl2-»t f2-3e ctg а1 сос (Уо ~ а>)

/	™2-Зв	-^г-зе

sina.

-3<71-2ectfiul

л?2-Зе ctfi а2 di4'

%Sl2—ie

d-’V.

^2.-3ecos₽l

2/2_3esina;J

2^2—Зе
^2.-3.
—Ь-э»

dt2

(7.85)

Это уравнение аналогично уравнению поперечных колебаний кон-
вейерных лент, вы ываемых действующими периодически продольными
силами. Оно может быть исследовано аналитическим методом пли ме-
тодом электронного моделирования. Левая часть уравнения (7.83)
описывает собственные линейные поперечные колебания выделенного
ванта. Правая часть содержит нелинейные члены второго порядка в ви-
де произведений функций и их вторых производных.

Если предположить, что колебания выделенного ванта нс изменяют
существенно ни частоту, пн амплитуду колебаний стропы, описываемых
координатами у и </>, то можно получить систему нелинейных уравнений,
описывающих колебания вант. Правые части этих уравнений будут со-
держать заданные функции, произведение заданных функций па коор-
динаты, характеризующие поперечные колебания вант, и нелинейные
члены. При приближенных расчетах можно па первом этапе пренебре-
гать взаимным влиянием поперечных колебаний вант. В этом случае
необходимо проводить исследования отдельных уравнений.

Однако следует иметь в виду, что связь нелинейными членами меж-
ду уравнениями поперечных колебаний вант говорит о том, что возмо-
342
жен переход энергии колебании от одного ванта к другому. Такого
рода явления обычно наблюдаются при работе отвалообразователей и
экскаваторов.

§ 5. УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ «КАЧАЮЩИХСЯ» СТРЕЛ

Простевшие конструкции «качающихся» стрел имеют пяту в виде
универсального шарнира и две подвески, расположенные в плане под
углом vo к осп проекции стрелы.

Боковая проекция качающихся стрел простейшего типа ничем пе
отличается от боковой проекции обычных стрел, выполненных в виде
наклонной стойки. Вследствие этого уравнения колебаний стрел кача-
ющегося типа в вертикальной плоскости буд^т иметь тот же вид, что и
уравнения колебаний наклонной стойки па гибкой подвеске.

Схема стрелы приведена па рис. 142. Обозначим v, у — угловое пере-

мещение стрелы в горизонтальной
и вертикальной плоскостях; Z—ам-
плитуда изгибпых колебаний стропы
в горизонтальной плоскости.

При перемещении наклонной
стоики па угол у увеличение рас-
стояния между опорами подвесок
составит величину ALn, равную

i\Ln = lc s i п (у0—60) cos >оу (7.86)
Длина подвески равна

Ln=-ln—.	(7.87)

cos >0

Проекция усилий в подвесках

S°p = —V"— ,	(7.88)

2sin(Y„ — 60)

где

£ = <7,+ 2-^.	(7.89)

I cos

Рис. 142 Расчетная схема стрелы «ка-
чающегося» типа
а вид сбоку; б — вид сверху

Для каждой подвески имеем

qO qO q ________ qcl cosyQ

Ом — О» —	.

2sin(Y0 — 60) cos<0

(7.90)

Проек щя \сплин в

подвеске с учетом пиерциоппых' сил

S„n

gel cos yn qcF d2y  2q„ln cos (y0 — 6U) iP4

2 sin (To — <%) 3g sin (у0 — Д>) Л2	л# sin (у0 — fi„) cos ve dl-

_________qcl d2V .
tt£sin(y0 — 60) dF

(7-91)

отсюда

qcl cos yn 4c lc d'V

2sin(y0 — fijeos-'o 3£sinfy0 —6„)cosv0 dt2
2y„/„ cos (y„ — 6U) dJT qcl (FV_

ngsin(y0 d0) cos2 v0 dt2	ngsin (y0—d0) cos-<0 dt2
Полагая, что kt часть инерционных сил воспринимается левыми ка-

натами, и (I—kt) часть инерционных сил воспринимается
канатами, можно записать

йр а вы.мп

S,

S,

qcl cos Yo________

4sin(Y0 — 60)cos -z0

2?n/n cos (Yo—6n) d24f

ng sin (y0 — 60) cos2-«0 dt2

qjcos y0 n

4 sin (Yo — 60) cos >0
2чп ln cos (Yn — 6n)
ng sin (Yo — 6o) cos2-z0

d24

ЧГР

d"y

3gsin (Yo — 60) cos z0 dt2

4cl__________ d2V ~

ng sin (yo — <5U) cos -<o dt2 J

ч Г q I	-Y

3gsin(Y0 — <50) cos/n dt2

<7<J

d2V I

di- ng sin (Yo — 60)sin-z0 dt2

(7.93)

Если теперь учесть инерционные силы, действующие в горизонталь-
ной плоскости, п считать, что k2 часть этих сил воспринимается левыми
канатами, а (1—k2) часть сил воспринимается правь мп канатами, то
получим

S =

qc I cos To

4 sin (Yo — 60) cos -/0

2gn/ncos(Yo-6n) d24

k,

ЧсР

d-y

3g sin (Yn — 60) cos v0 dt2

________ 4cl____________ <PV '

.-igsin(Yo — <50)cos2'zo dt2 ngsin(Yo —6o)cos-<o dt2

-Л2

ЧсР <P‘

4d d27. qnln cos -0 d24M qdn cos *n &Ч

3gsin-/0 dt2 ng sin >o dt2 ngsin-<0

dt2

ngsinv0 dp

S	cos Yo

4 sin (Yo — 60) cos <0

।	2<7nM cos (Yo — 6n)

ng sin (y0 — 60) cos2 z0

l/1 ___h \ Г____ЧсР______



d2V

3g sin -z0 dt1

С другой стороны,



' ди

Sn = EeF,

fl'

ди.



QcP

3gsin(Y0— 60)cosv,

d2Y

7 ~dP

4d

dt2	ng sin (Yo — 60)sin vo

_ । 4d d2Z q„ln cos v,
' ng sin -z0 dt2 ng sin >o

4dn cos ~'p d-Ч "1

ng sin >„ dt2 J

d2Vl
dt2 +

'o d24ne
dt2

(7.94)

(7.95)

Приравнивая, получаем уравнения продольных колебании

канатов

— k

ЧсР

2 _i_ 1

' + 2 \ fl-

^Y

2 1

<7f/cos у0

FttF„ 1 4 sin (y0—60) cos v0
4Jn cos (Yo — 60)	( d2Vn„ ,

d-Ч

3g sin (Yo — <50) cos v0 dt2

__________qcl	d2V~

ng sin (Yo — 60) cos» »0

ng s in (Yo — 6o) cos VO dt2

--^2

ЧсР

d2<

t2 dt2

qcl d2Z

cos vo d2x¥ пг
ng sin v0 dt2

3gsin v0 dt2 ng sin v0 dt2
qnln cos d24A: I

ng sin v0 dt2
dun

d'

-(1 -Л1)

2 , 1 ( dwn„
+ 2 \ d2

qcp

2

<№лв
dt2

. 3gsin(Y0 — 60)cos -'0

. qci 

d*y
dt2

1	(____qcl cos Yo

EeFe I 4 sin (Yo — 60) cos v0
qnln cos (yn — <50)	/ d24

ng sin (Yo — <50) cos2 v0 \ dt

Кн-мГ	'ЧсР_ dz

Jig Sin (Yo — 6o)sin -'o
qd <PZ , q„lncosv0

dt2 j	" L 3g sin -v0 dt2

d2Wnr- , qnln cos ч0 d2tF4. ~| |

ng sin-/0 dt2 ngsinv0 dt2

ng sin v0 dl2

(7.96)

Запишем условия равновесия в вертикальной н в горизонтальной
плоскостях. Приравнивая пулю сумму проекций всех сил па перпендику-
ляр к оси стрелы, имеем

(5Л+sn)cos>0= gc;osv-°- -
2sin(Yo — 0ц)

qnln cos (Yo — ^o) f d2q!na d2^



d2y

3gsin(Y0 — <50) dt2

qd d2V

ng sin (Yo — f>o) cos v0 \ dt2

dt2

rcgsin (у0 — <50) dt2

(7.97)

Из условия равенства нулю суммы моментов всех сил относительно
пяты стрелы в горизонтальной плоскости имеем

s„-s

qcP

db

4cl

d2Z1

3g si n v0 cos (y0 — 60) dl2

qdn cos *o

d2^

ng sin <0 cos (Yo — 60) dt2

ng si n v0 cos (y0 — 60> dt2
q„l„ cos 40 d2y ,г
ng s i n чв cos (yo — 60) dt2

(7.98)

Уравнения

нзгибпых колебаний

EIen*

I*

I*

V + ^ —
g dt2
z	qc_d^

g dt2

стрелы

, 4 qe . d2V

я g

л g

df

Qd

1^=0.
dt2

(7.99)

Уравнения
дующем виде:

<7n ।
gFe ’

поперечных колебаний канатов можно записать

в сле-

— Ь,

’ d2w ,г . f. t
-----— + £ — cos
, dt2 L °

qd2________।

qcl cos Yo

4 sin (Yo — <50) cos i0

3g s i n (Yo — <50) cos ч0 dt2

qd ______________ d2V

2<?n/n cos (y0 — 60)
ng sin (y„ 60) cos2 -.0

I ic?_______

d-4'ne
dt2

>PVM

dt2

qd d2Z

ng sin (Yo — 60) cos dt2 [

। qnln cos vp / d2Vnl ।
ng sin '0 \ dl2

qn (d2wne . «. I d2 i

gF„ \ dt2 L 0 dt2

/1 a 1 Г__________<kp________

3gsinv0
d^e V
dt2

dt2 ng sin v0 dt2

। <Ри> 1г _ q.

I dt2

qcl cos Yo

(7.100)

( 4 sin(Y0 — 60)cosv0
d-y  2?n/ncos (Yo —6n) x

d*Vn,
dt2
d2-,

d24

3gsin(Y0 —60)cos v0 dt2 ng sin(Y0 —60)cos2 v0

« \ _i 9?/ d~V ]	.. __. . Г

dt2 J

qd d2Z

dt2 ng sin-v0 dt2

sin (Yo — 60) cos'/ц
j. qnln cos -'o / d2WM
ng sin \ dt2

qd'-

— X

d2^,

dt2

[ 3g sin/0

= q.

d^2
£и_ (	+ ; ± cos (Yo - &,)	- [--------^/cosv"___________

g/e\ dt2 L	dt1 ) I lsin(y0 60)cos'0

_ ki I__________Чс?__________ d^ q„ln cos (Yo — 60)	/ d2>F„„

1 L 3g s in (yo — 60) cos -o dt2 ng sin (y0 — 60) cos2 <0 \ dP

d~'Y,« \ _______________q?l___________ d2V 1 _ k Г qcP d2v u qcl d2Z

dt2 / ng sin (Yo — 60) cos <0 dP J '[.Sgsin vo dt2 1 ngsin>0 dt2

। gJn cos2o /	. d2V,. \ | д2а>ля _ qn cos <50 .

ng sin-<0 \ dP dt2 J J d'2 Fe

4n / d2wne
gP. \ dt2

+ Cy-cos(Y0 —60)-^r)
l.	at* )

[ qcl cos Yo__________________

I 4 sin (y0 — 60) cos v0

<kP tf-y
3gsin(Y0 - 60)eos v0 dt2

।4nln cos (Yo 6q)_________/ d~4rntJ

ngsin(Y0 — <50) cos- 'o \ dP

+-----------------+ (1	r_.^ d±

dP / ngsm(Y,> &0) cos -/0 d/2 J	|_3gsin 'o dP

____4fl d-Z . <7n^n cos •vq / if-Tng . d2W t/ X | d2^,^ _______ qn cos 60

ng sin <o dP ngsin^o \ dP dp / j di2	/•'„

(7.100)

Представим функции Ui(g, /) и иу,(д, /) в следующем виде:

«п(с. О = ^п(?)<р„(0;

иЛ^ Л = ^л(0<р.,(/);

(С, /) = Sin 'Гпг (/);

где

Обо шачим

^,?(;. /) =sin-^- Т„(/);

wn4 (с. /) =--J— с (L — Q + sin Чгпв;

2a^e	L

(«. О =----— 5 (L — 0 + sin ’F

Оо = Оо =-------^cosY.,-------=	-

4sin(Yo —60) COS-/Q

и(/, /) = (/(/);

(7.101)

(7.102)

(7.103)

имеем

,, ал£ q^.Ls cos2 fi0

u, (0 = -7---------. n.e , + /sin v V (0 + /sin (Yo — 60) Y (0;

L°	24(Ол)’Лв

o„7 q~J2 cos2 6(.

U,At) = -r--------I sin v Ч0 + / sin (Vo-6o)Y(O- (7.104)

Интегрируем уравнения продольных колебаний, предварительно
подставив значения »i(g, /), w, (g, t).
После необходимых сокращении получаем

/sin 7Uv (/) -Ь I sin (Yo_ б ) Y (z) + 4r4'2. + 4- 4'2. =
na^f.	4£	4L

__L_ l—/it _______^rP_________rf2Y । <M»cos(Y„ —fi0) / rf-y„B
। 3psin(Y0 — />0)cosv0 dt2 n£sin(Y0 — 60) cos2 ч0 \ dt2

\ _j_______4d________£V_1 _ k qc? d-L

dt- ) ngsin(v0 —60)cosv0 dt2	3gsinv0 dt2

_|_ 4d <PZ + <?„/ncosv0 /_^Ч'„г .	.

ngsitivn dt2 ng sin v0 \ dt2 dt2 / I j ’

- /sin >0>(/) /sin (Yo- 60) Y (/) + -	4'„. 4-	T2. +	4';I? =

naOf.	4L	IL

qJn cos (yu — 60)	/ d2V„„

ng sin (уд — 60) cos2 >0 \ dt2

___________Qcl2___________ d2Y ।

3gsiii(Y,> Ли) cos-.0 dt2
,	qcl

I ------------------------------

dt2 J ng sin (y0 — 60) cos jq

d-V -
dt2

+ (l -*2)

<7c/2	(/2~' | qd d27 q„l„ co / d2W,„ rf-У ,. \ 11 .

3g sin-.0 dt2 ng sin/0 d12 ng sin »0 \ dt2 di2 / j’

2/ sin (Yo - 60) Y +	4'„. +	(4'2. + Y«. +

+ Ч'2г + Ю = --^

Ed.

।	<7„/n cos (Yn —/>n)	/ rf2V„,	[

ng sin (Yo — Лд) cos Sq \ dt2

qrP d-’Y 

3g sin (Yo — So) dt1

qcl d2V 1.

dt2 ) ng sin (Yo 60) dt1

2/ Sin >0- +	-----4'ne 4-	('1'2. - ’l',2.. Ч 'K2. - 4'2,) =

^nre	iL

= _.L _ Г qc’2 d2. __________________________qcl ______ d2Z +

EaFe | 3g sill >u cos -/0 dt2 ng sin v0 cos'<0 dt2

[ qdn cos *0	/ d2'lrne j d2V „ \ 1	p 1(

ngsin>0cosYo \ dt2 dt2 J

Из полученных уравнении легко установить, что

(7.106)

Для нсслстонапия процессов колебании стрел необходимо иметь два
уравнения. Из четырех уравнений выбираем последние та.

Рассмотрим теперь уравнения поперечных колебаний канатов. По I-
сшвп.м значения io(g, /), после чего умножим обе части уравнения на
sin — (Г^ п проинтегрируем от 0 до L. Получим

2<7« /_L	 11 cos ,t d2‘ X _ [ qcl cos yn_

g/’e \ 2 dt2 n ° dt2 )	12 sin (Yo -60)cos >0

qd-d-y 2qnln cos (Yo — Л,,) f d2'V

3g sin (Yo — Ло) cos dr1	ng si n (Yo — 6„)cos2 -.0 X dt2
+ d2Wn„ \_______________qd__________<PV _ QcP <P‘

dt* ) ng sin (yn — 60) cos >0 dt2 3g sin 70 dt*

Qcl d-Z qnln cos / d2Vn,	Я2 ,F

ngsinv0 di2 jigsin^ \ dt2 dl2 / I 21 n	*

2qn f _L_ d-'Vm  LI cos v d2< \f qd cosyn__________________________

gFe \ 2 dt2 л ° dt2 J I 2sin(Y0 —6„)cosv0

qeP d2y _ 2<7n/n cos (Yn — 6n)	/ d24'n,  d2^,

3"sin(Yo - 6(1)cosv0	dl2 n£sin(Yo — 60)cos2-<0\ dl2 dt2

qcl d2V + qcP d2.	qdc d2Z

ng sin (y0 — 60) cos70 dt2 3gsin/0 dt2 n"sin<0 dt2

। q,,ln COS ~'p /	।

ng sin <0	\ dt2

d2^t \| л2 T
di2 Jf 2l„ '

= 0;

(7

. 107)

I _L_^> L + LL cos (Yo - 6o)^v_l - J--------------------

gFe I 2 dt2 л	dl2 I I 2sin(Yo—60)cos v0

_______qd2________d2v _ 2g„/,,cos(Yo-6o)	/ d2Vn, d2^,, \
3gsin(Yo — 60)cosv0 dt* л£? sin (Yo — 60) cos2-j0 \ dt2 dt2 )

qcl d2V qcP d2;qd ‘PZ

л/jsinfYo —6O)C°S 'O dt2 3/j sin dt2	ng sin‘0 dt2

____qdncos ~'o	I d2Wni	^2<1ГЛ? X 1 Г 2</o	n2 ~|	_ 2<7„f„	.
ng sin 70	\ dt2 dt2 /J | nc„Fe	2ln	”J nFt

^L- Г £4% + U_ cos (Yo _ go) _^L 1 _ (-----------------------

gFe [ 2 dt2 n	dt2 J I 4 sin (Yo— 60) cos 70

qcP d2x  2qnln cos (Yo~6n) I d2Vne	Л2УЛД \

3gsin(Y0 — 60)C0S 70	dt2	л£51п(у0 — 60)cos2vo dt2 dt2 /

qcl	d2V , qd2 d2-, , qd d2Z ,

------------------------------- -j------------------J- ---------- — -j-

Jig sin (Yo — 60)coS 70 dt2 3gsin j0 dt‘ лgsin <0 dt2

 д^п cos i0 I d2Vn-> d2W\ 1 I 2qnL . л2 у 1 _ 2qnln i-j
sgsin-o к dt2 dt2 Hi no0F„ f 2/„	~ nF ' '

108)

Преобразуем полученные уравнения.

Уравнение колебаний стрелы в горизонтальной плоскости

d-<

dt2

6 sin 70 cos 40EeF g
gdl

&gnE„g sin v0 cos v0
nqd'o0



&gn! cos >n l <Р'¥пг	d2^^ \	3<7C	d2Z

nqrF	\ dt2 dt2 J	ngcl	dt2

+

J n2EeFe sin -0 cos ‘Ug
4qd2L2

(^ + '^e-4^-Tje) = 0.

(7

.109)

Уравнение к лебапнй стрелы в вертикальной плоскости

d'-y

dt2

 6g sin2 (Yo — fiu) EeFe
gdL

GgqnEe sin (у» — 60)

nqcl^Oo

(Чпв+ ^,в) +

6<7„£cos(Yo-6o) / d2Wn„	</2Ч'л„ \	3qc	d2V

nqd~ cos 7n	\ dt2	dt2 /	nqcl	dt2

3n2SEd-Lsin(Y0_Gd (11-2г + V2e + Т2г + Trj.= 0

AqcL2l2

(7

.110)
Уравнения поперечных колебаний подвесок

(РУм n2c0gFg ,р 21 cos /<, <Р>_____________________________n2gcl2_____________d2y ,р

dt2	gnL2 'u n dt2 6<7n/_2sin(-y0 —fi0)cos ,0 dt2

______n2gcl2 d2>	________________ngcl____________d2V _________
6<7nL2sinv0 dP ,г 2<7„L2 sin (y0 — 60)cos <0 dt2 '*

__________л<?4_____d~Z гр___________л F8 cos (Yo 6q)	/ d24! лв	d24?nt1 ।
2gaL2 sin v„ dl2 лг £sin(y0 — 60) cos2 <0 \ dt2 dt2 / ,г

______яРп cos v0 Г d2Vne . d2 'У ,8 1 гр _ «
2Lsinv0 [ dP 'Г dt2 J 'г~ ’

&Упг  n2a0gF„ гр . 2/ cos >0 rf2v____________________________n2grP______________d2y ,p

dt2 gnL2 пг л dt2 G^n£ssin(y0 —60)cos v0 di2 ne

_____л-<7 P_____d2'* гр_________________n<lcl___________ d-V (p

6<7.n£2sin/0 dt2 пг 2<7n£2sin(y0 — 60) cos -0 dl2 пг

• JX<7c/	ip _ cos (yo — 60)	/ rf2ytc d2'¥ne \ y

2g„L2sin\0 dl2 "г £sin(Y0— 60) cos2 -0 \ dt2 dt2 ) M

nFe cos 40 I d2Vne	d2 *F <г 1 гр  Q-

2L sin v0 L dP dl2 J

(РУ^в  Jt2aogF гхг i Г_L cos (v ___________fi ) -I_______2l?cf2_________ I -L-

dP gnL ”	[ 2	°	° Зла0 sin (у0 — 60) cos /0 | dt2

2gcl	d2V , 2gcP d2. ,	2g cl	d2Z ,

-4--------------------------------"7~--------------------- *д------------------- ["

n2aosin(Yo — 6o)cos v0 dt2 3naosin i0 dt2 n2ff0sin'/0 dt2

4<7nLcos(Yo —60)	/ d2Wne । (РУлп \ । 2<7n/ncosv0 / ^2УПг_ ।

n2a0sin(Yo — 60)cos2-<0 \ dt2 dt2 ) n£a0sin <0 \ dt2

(РУяг \ ,______________JpgcPFe________d2y y nFa cos (у0 — fi„) / d2Vn

dt2 /	6<7n£2sin(Y0 — 60)cos -<0 dt2 лЛ Lsin (у0 — 6o) cos2 v0 \ dt2

 (РУ ,* \ гр i________________________________Ё!Е_хр I ^cPF' (P‘ гр i

dt2 J na 2<7n£2sin (Yo —6o)cos v0	dP “ 6^nL2sin/0 dt2 je

ngdr	d2Z ,p nF cos -,n / d2Vne	42Улг \ гр

2gnL2 sin «о	dt2	2Z.nsin-<0 \ dt2 dt2 J *

_________Idg cos Yo_______.

n 2ла0 si n (Yo — 60)cos 'o

(РУМ । Jt2aogF8
dt2 gnL2

Чпв +

-у cos(Yo—fi0)4-

__________3grP_________1 (Py +

Зла0 sin (Yo — 60) cos ^o J dt2

2gcl d2V 2gct2	d2. 2gcl  d2Z

n2aosin(Yo — Co) cos Vo	dt2	3naosinvo	dt2	л2а051П>0	dt2

_l_____4<7n£n cos (Yo Co) / d2tFn8	d2^^ \ । 2<?n/n cos v0	।

n2a0sin(Yo — 60)cos2v0 \ dt2 dP ) n2a0sinv0 \ dP

 Л2Улг \ ।____________n2gcPFe____________d2y ,p . nF„ cos (y,> — Co) / d24ne

dP / 6<jnL2 sin (Yo — 60) cos v0 dP ne Lsin(Y0 — C0)cos2 v0 \ dP

, ^Уло \ 4r _|______________ngclFg__________d2V Y  n^cPFa d2. ,p

dP / nd 2<7„L3sin(Yo — C0)cosv0 dP ne 6gnL2 sin -0 dP пв
nqclF„ d?Z у . nfrtcos<0 / rf8T„.
2qnL2 sin ->0 dt- ntt 2L sin -«0 \ dt3

rf2V„. \

dt2 I

ne

_ 2g fr/gcos y„	j

я	2лап si n (y„ — <50) cos v0

Уравнения изгпбпых колебаний стрелы

d-Z	n*Ehg	у	4l	d->

dt1	qcl*	л	dt2	’

-gL-L-^eg v + ^£_^r=g	(7 1

dP	qcl*	n	dt2

Введем следующие обозначения:

2	6sin2-'0cos vn Äà g . 2 6gsin2 (yn — 6n)/iefe .	2 n-a,gF„ .

OX = ----------—-----------, <0-1 == --------Ji----------- , CD,, — ---------- ,

qcLl	qcLl	qnL2

,2 _ ^A-g .	2 _ n4 * *f/eg .

<0« —	> <0ce —----------->

qj*	qd*

„ _	cos v0 .	_ 6<7„ t cos vn .	_ 3qc

U|j — -------------—-------- , Uoj — -------=-------, U31 — —=  ,

na^Pqc	~	лдсЕ	nqcl

b,

3gn-E.,F„ sin >0 cos ?0

4qtPL*

«12 =

f>gqnE„ sin (yn — 60) ф	dqn' cos (y(, — 6U) .

---------------------» t*c2 = -------—------------»
no0qcF---------------" nqcP cos /o

3qc .
n</<4

Ьзз — b-^n

3n2gE„/„ sin (Yq — /)„) .

1&L2P

°13 — «14 —

21 cos v0

_________nqd_________

2qnl2 sin (yo — i\>) cos >0

nFe cos (y„ — 6„)

L sin (Yo — an) cos2 70

3 = «16 = -f C0S (Vo - йо) + 1-------7^-;----------- •

2	3na(l sin (Yo — 6n) cos v0

__________. a _ a _ _ 4qn L cos (y„ — 60)
n*o0sin(Yu- 6(i)cos -/o ’ ,л	л2а„ sin (Yo — 60) cos2 <0

2<7„/„cos>o , y> z_	2qcP

—	«46 —	.	:	»	«53 —	«36 —	„	>

n-au sin	Злсгц n >0

'2qd
ata------(,ue ~	7,

n-aosin <0

Ьц — bt0 —

GqnL2 sin (Yo — 6„) coa v0

:e —

лГ, cos (Yo — 60)
L sin (Yo 60) cos2 <0

Ьзз = bM =-----------------------------

2q„L2 sin (Yo — ou) cos >n

bK = -b

Jpq l2Fe
6qL2 sin ч0

bib —	^50 —

лдс1Ев .
2i7„42sinvo

лЕа cos ‘n .

2L sin iD



b^b — Ьвй —

4 . j 2? ,	qclg cosy»

---» «16 —	1	”	7—	T~. •

л	я 2na0 sin (Yo — <>o? cos v0

(7.113)
Напишем теперь уравнения, используя сокращенные обозначения
коэффициентов

d2v 2 I /и, иг \ I (	' I d-V ,г \ I

-/2-+®,v+O11(F„e- I +	+	+

+ °31	- 4 - +	- 4= 0;

а/-

+ <*?¥ + ап- (Ч'и. + Ч'ля) + «*« (-4-

dl-	\ dt- at-

4-	а32	+ bK (Ч'*г + 4'L 4- Ч';в 4- ¥*•) = 0;

dt-

+ о,--------bi3-y- У,* — Ь.,3 — Ч',г — 6,3 — Ч' ,, -

dP -г -г- 1.1 dp 13 dti яг -я dl, U .3 dt. ,г

’ л¥,е — Ь5, f-^5- + IF 1г — b„.	'Г- ,г =

df- ’ k d/i dP ) "	\ dt2 dt- )	'

4-	«X» 4- «13-^----+ b23 -~-	-

dt-	dt-	dt-	dl-

- Ьзз	Ч'пг 4- b43 -^- Т„г - 653	',Г"г +

d-V

d'-y

а2'УЛ11
dl2

-rOi-

dl2

dl2
d 'K,. \

dt-

dt-
d2v
°5 dt-

— Ox,

d-V„fl
dt-

d‘Z.

dlJ

dt2

dC-

d-W „

++-'J>)v-+- '»	+

4- 655 -5-	4- (-^+',r'“=J'i:

dl-	\ dt- at- )

-g-4-0^4-017 -5' = 0; -5-+^ + u‘8-5- = 0- (7-U4>

dt2	dt2	dt2	dt2

Если жесткость стрелы на изгиб достаточно велика, то можно рас-
сматривать более простые уравнения

d2-' .	2 . zlIf ur ч I I d24'ni , d24\,, \ .

-—4- «>.. V 4- UU (Ч'„о — 4' ,e) 4- «211	- 4- —4-

dt*	\ dt2	dt- /

4- b,, (4'iL 4- 4^ - 4'L - 4'*e) = 0;

4- WvY 4- «12 (4% - ¥ fe) 4- «22 (-5^ 4-	4-

dt-	\ dt-	dl- J

4- bt2 (T,t 4-	4- VL 4- ¥л2.) = 0;
^-^-+ «>«‘F ,г + oI3 — + b13 -^L Чле — b23 -^- V
dt2 « ,e-T 13	d/2 -Г 13 d(2 ле 23 л„

_b (-^- I OT"«VP
dP + dt* J 

I (,J2W I a	__b

df. +^пе + а13— — 0I3

-b	 _gy^\u,

68 к Л« + dt2 J™

V I h w h
dfl Тлг + °23—	Osa

= 0;

<PV,
dt2

d^n,
dt2

+ bn

<Г-Уиг
dt2

4-

d24u \
dP J

4^ = 0;

dFVM

dl2
d"¥

dt2

+ Wr ie + °15	+ 1

al£

^\ + а.л^-+Ь^

1 J di2	d

+ bib —— V ,e + b^s
di2

<PVnt , <РТлв

dt2 dt2 J \
_i_ h I d>4n<, ,

dt2
d^n. , d-V^

dt2 dt2

dt2

»e = o>

dt2

^- + <0,^4-^

d2y
dP

d^m
dt2

d2< , «,
a55 "л/a $ls
dt2

dt2

d2^

 ^гУла \ Hr  b	d2 ' 4Z -j- b ( d2^ni I d2Wjtf \y	,7

dp j "e 4b dp ^ne+°«v dp + dr- )*пв~а“-

Получили систему из шести нелинейных дифференциальных уравне-
ний второго порядка.

Рассмотрим линейную часть уравнений.

Запишем характеристическое уравнение.

	>	2	3	4	5	6
1	Хг + <1>2	0	0 13^	0	0	0
2	0	X2+w2	fljjX2	0	0	0
3	в21Х2	a21X2	Х2+<о2	0	— a»i	+ аи
4	0	0	0	X2 + <о2	и22^>* + а12	в2.Л2 -рви
5	п4ЬХ2	п46Х2	пЬ6Х2	й«Х2	(1 + о36) X2 + + “п	о36Х2
6	-atiV	- о„Х2	— aS6^a	вцХ,2	а36Х2	(1 4"°зь) ^24- + “п

Из первой строки вычитаем вторую и к пятой строке прибавляем
шестую.
1 		2	3	4	5	6	
1	+ <	-(Х2 + + ыл)	0	0	0	0	
2	и	х24-о2		0	0	0	
3	а21Х2	а21Х2	л2 + ь>2	0	— «и	°и	= 0.
4	и	О	0	X2 4 о?	°22^*2 4" °12	°22^2 4~ °12	(7.И7)
5	0	0	0	2о16Х2	(1 4- 2aS6) X2 4	(1 + +2о36) Х2+(й2	
6	-о«Х2	— О45Х2	— яббХ2	ОцХ2	о36Ха	(14-Озб) X2 4- + “п	

Из первого столбца вычтем второй, из шестого столбца вычтем
пятый.

	1	2	3	4 1	5	6	
1	2(Х24- + -2)	— (Ха4- + «»2)	0	0	0	0	
2	— (Х24- + ^)	X2 4- «>2	п13Х2	0	0	и	
3	0	а21Х2	Х24-о>2	0	— «и	2оц	= 0. (7.118)
4	0	0	0	Л2 4-0»?	iZoj^2 4~ ^12	0	
5	0	0	0	20цХа	(1 4-2а36) Х24- 4- “2	0	
6	0	— о«Х2	— аы№	о16Х2	о36Х2	^24-<о2	

Разделим первую строку на 2 и прибавим ко второй, разделим ше-
стой столбец на 2 и прибавим к пятому.

1	>	2 1	3	4	5	6
'1	2(Х24-<«2)	-(Х24- 4- о»2)	0	0	0	0
2	0	т<‘!+ 4-«2)	«13Х2	0	0	0
3	0	о21Х*	Х24-ш?	0	0	20ц
4	0	0	0	X2 4- <>?	4" °ia	0
5	0	0	0	2о16Х2	(1 4-2а36)Х24- 4-о»2	0
6	0	— o4sX2	— «мХ2	оиХ2	(1 4- aab) X2 4- 4-<о2 1 '"п	X2 4-“2

23 Заказ 314

353
Перепишем полученный детерминант следующим образом:

1 1		2	3	4	5	6
1	2(Х2 + + “>?.)	-(Х2 + + ип)	0	0	и	0
2	0	+	2«ИГ-	0	0	0
3	0	«2,Х2	X2 + о»2	2«ц	0	0
4	0	— а«Х2		*2 + ч;	(' + °зз) X.2 Т	НцХ2
5	0	и	и	и	X2 + со2	+ «12
6	0	0	и	0	^«Х2	(I +  4 2«36) X2 + “2

= 0. (7.120)

Легко видеть, что характеристический детерминант
представлен в вн ie произведения трех детерминантов

может быть

2(л2 + (о2)

/.	О),	а2> >2 4~ ^12

2о1ьГ- (1 +2а3-)К2+<£

>2 + 4	2а,зХ2	0
о21Х2	Л 2	2  )- -f- СОМ	2а ц
—	-а3Л2	^2+<о2

= 0.

(7.121)

Характеристический определитель для линейной системы дифферен-
циальных уравнений распадается иа три определителя:

X ф- (j),i = 0;

12	2  2а, А2	Н“ ^12  (l-|-2aS6)Z 4-о)п	= 0.
х2+«2 а.,,/2	2а i-Х2	0  Х2-{-<1)2	2а, 1	= 0.	
— «4гЛ2	— Hss^2	+ Ып	

(7.122)

(7.123)

Первый характеристический определитель дает частоту собствен-
ных колебании ис весок. Соответствующая форма колебаний флг =
= — фпг и остальные координаты равны нулю.

Второй определитель даст две частоты колебании стрелы в верти-
кальной плоскости, что соответствует двум частотам ко ебанин стрелы
с одной подвеской, идущей к голове. Колебания в горизонтальной пло-
скости не происходя г.

Третий определитель дает три частоты колебаний, соответствующих
колебаниям стойки с боковыми вантами. Колебания стрелы в верти-
кальной плоскости нс происходят.
Этим самим доказывается возможность в линейной постановке за-
дачи рассматривать раздельно колебания подвески, колебания стрелы
в вертикальной плоскости и колебания стрелы в горизонтальной пло-
скости.

Энергия колебаний стрелы в вертикальной плоскости в cn.iv симмет-
рии системы даже при учете нелинейных факторов, ес ш пег резонанс-
ных соотношении, пе бу чет переходить в энергию колебаний стрелы в
горизонтальной плоскости. При этом перекачка энергии колебаний пой-
дет нз горизонтальной плоскости в вертикальную, так как колебания
стрелы в горизои тальпой плоскости связаны нелинейными членами
с колебаниями стрелы в вертикальной плоскости.

Исходя из изложенного практический метод исследования колеба-
ний стрелы качающегося типа может быть сведен к следующему.

Полученная система уравнений с помощью линейных преобразова-
ний сво hitch к трем линейно-независимым системам уравнений: опи-
сывающим собственные колебания канатов — одно уравнение, собствен-
ные колсбаппн стрелы в вертикальной плоскости — два уравнения,
собственные колебания стрелы в горизонтальной плоскости — три
уравнения.

Определяя для последних групп уравнений формы колебаний и вы-
бирая главные из них, сводим все решения к исследованию системы
трс нелинейных уравнений — задаче достаточно простой

§ (>. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ КОНСТРУКЦИЙ
ОТВАЛООБРАЗОВАТЕЛЯ

Дифференциальные уравнения колебаний конструкции отвалообра-
зователя легко могут быть состав тепы, если определены формы коле-
баний отвальной стрелы и приемной консоли. В первом приблнженни
можно считать, что поперечные колебания канатов не оказывают суще-
ственного влияния па формы колебаний, если опрсде шть их продоль-
ную жесткость с учетом провеса. При более точных расчетах колеба-
ния канатов следует учитывать.

Рассмотрим, как составляются уравнения колебании конструкций
отвалообразователя в вертикальной плоскости при отвальной стреле,
выполненной с дополнительными подвесками независимого типа с до-
полннгетьиой мачтой (рнс. 143).

Введем следующие обозначения:

<р(|—угол отклонения поворотной платформы ш счет юформацпп
грунта и теформаппп элементов ходовой рамы и ходового
\стройства;

cv— приведенная жесткость, соответствующая углу отклонения по-
воротной платформы;

сн—жесткость надстройки, определяющаяся в паправлеппн пере-
мещений головы надстройки, параллельных поворотной плат-
форме;

хн—перемещение готовы надстройки вследствие деформации;

Су — расстояние между точками i и j;

b — расстояние ият консоли от прямой, относительно которой про-
исходит опрокидывание поворотной платформы;

7К—угловое перемещение консоли за счет цформацпи подвески
консоли;

Jo—момент iiiiepmni отвалообразователя относительно прямой, во-
круг которой происходит опрокидывание отвалообразователя;

/?з— длина консоли;
— расстояние центра тяжести противовеса до пят консоли;

/3—длина подвески консоли;

— угол наклона подвески к осн консоли;

75 — угол наклона подвески к перпендикуляру к поворотной плат-
форме;

Мпрот— масса противовеса;

wi2— распределенная масса консоли;

Л/Л(/) — момент относительно пят консоли от внешних нагрузок, дей-
ствующих на приемную консоль;

«/ — угол между направлением прямых 0 — i и ц — i;

я'о — угол между направлением прямых 0 — 4в и ц— 4п.

Остальные обозначения приняты прежними пли обозначены па рас-
четной схеме (рис. 143). Точкой ц обозначена проекция прямой, отно-
сительно которой происходит опрокидывание поворотной платформы.

Рис. 143. Расчетная схема отвалообразователя

Прп составлении уравнений колебаний используем полученные ранее
уравнения колебаний стрел.

Имеем следующие уравнения продольных колебаний канатов
подвесок стрелы:

и,-since,- 4------

6

<7,4в cos (у0 — а,) з

2<4о

<7,-40cos (у0 — а.) lj_4e
2<4о

Y/-4O +

mili-4e	f,	d2y	, еРу,- \	, n,,/,-4ecosai	/, (Р?о \ ।

V/-4esi"a/	V	dF dt* )	£//-4^™,

. <7,'_4o Ч—ie clg ai dtv^^g ___ ai—4e 4a .

BgFer,_40	dt*

Z= 1,2, 3, 4

/o-4o’sin (a0’+ 0) у — xH cos (y0 — 0) + 4“
D

?4o-5oCOS(Yo —3)

2a4o-5o

J

lie— 5e +

4	<?4o—5o cos (Yo ₽) ^4e—5o

2a°

ur i_________L rc2

* 4e—5e 4

4 Z4e-5e

^40-50 +

П
mie /4®-5®/0-4® d2y "'4® (4.-5® Z4-4eCOSa0 d=90

£/4e-5esin<ao + 3) dp

^4®-5®sin(ao + P) d‘2

т;

(Py

dP

J^L+Z^os;.^’

dP	‘ dP ,

<7,-4A-4®ctg а.

-4®

dP

sin (a, + an) '4®—5®
sin(a0 + ₽)	e/4e_5e

°4®—5® '4®—5®
£®f4®-5®

(7.124)

<0

”g

Уравнения поперечных колебаний

шутся следующим

образом:

подвесок отвальной стрелы запи-

е,-4в1,4в <':'Т,4в

dP

/2

<7,-4® 4-4®

ле

О	ГГЦ

0,-4®------

sin а,

9

4®'i—4®

2<li-4e l0 - i li- 4«COSa/

ле

'.-4®cos

ле

ле

(ai+°<) 1 ЛГп

dt2

, tPy

,0 dP

9'-4в‘‘-4в ctg

(PV

<Ръ

/ sin af.	dP

—2Qi-4ecos (To —«<) <i-4e

ле

dt2

d-y
dP

———-'F _

2'1-4®	"

^4e—5e ^4e— 5в 6^'^4e 5e

2е

dt

*7-4®—5в ^4в—5в

ле

( О

% °4e—5в

 4а '/—4®

cos(Yo — а,);

<74в 5в/0-4в,4в-5вС05(ао + 3)	<Ру

ле

dP

2^4®—5в 'ч—4® Z4®—5a

cos (а0 + 3 а(',)

т4в10-4в (Ру

ле

т4в 'ц-4асо5 а0 d2<ft)

dP

sin(₽ + a0) dP

sin (Р + а0) dP

^8



л

~'n‘

sin a,

' d2y d2,fl .	< tP<ro\

in----------------Г*u— t COS Ctt---- I

'° dt- dr- 4	dr I

4( 4®'i—4®	4 y.

------------c‘gcc« X
ле

rfi4r.-4e

X ——

dP

sin(ct, +«n)

. sin(P + a0)

—2

‘fie-Se cos (То — ₽o)Z4e— 5в

,o

У4^5
9/	‘

Zf4e-5e

2<?4в= 5®'4®—5®	/ о,

-cos (т0 — ₽).

(7.125)

л

Уравнение изгибных колебании приемной консоли, имеющей обыч-
но весьма высокие частоты собственных колебаний, выписывать не
будем. Оно не будет отличаться от уравнений нзгибпых колебании кон-
соли противовеса роторного экскаватора, рассмотренного ниже.

Уравнение колебаний консоли на подвеске так же, как и уравнение
колебаний консоли противовеса роторного экскаватора, запишется
следующим образом, если предположить, что расстояние прямой,
357
относительно которой происходит опрокидывание отвалообразователя,
до поворотной платформы достаточно мало.

+ мпрот (/?;)2	- Г-^(r3 +	+ MnpemR'3 х

О	I lil	|_ О \	Z /

X (/?з + &)]	СкГ--> sinh’4Y< + /?3 ^sinV4sinTK = Л1к (/) (7 126)

*3	*3

В этом уравнении пе введены члены, учитывающие влияние попе-
речных колебании подвесок приемной консоли па общую динамику
отвалообразователя, чтобы несколько упростить изложение материа-
ла, а также потому, что длина приемной консоли относительно невели-
ка п угол наклона канатов подвесок к горизонту достаточно большой,
влияние поперечных колебаний канатов подвесок консоли противовеса
на общую динамику отвалообразователя бывает малым. В то же время
считаем необходимым подчеркнуть, что оценка условий параметриче-
ского резонанса в данном случае может оказаться необходимой.

Напишем теперь выражение, определяющее величину деформации
надстройки. Если предположить, что жесткость основания отвалообра-
зоватсля бесконечно велш а и <р0 = 0, то связь между колебаниями от-
вальной стрелы и приемной консоли осуществляется через перемещения
надстройки. Чем больше жесткость надстройки, тем в меньшей степе-
ни осуществляется эта связь.

Деформация канатов подвески консоли определяется следующим вы-
ражением:

Дк = /?3sin у4ух + sin уБхн.	(7.127)

Усилие в подвеске консоли может быть записано следующим об-
разом:

°к = —* ~ (₽з si n у4ук + si п у5х„) + а".	(7.128)

< J

Усилие в подвеске отвальной стрелы определяется следующей фор-
мулой:

Е Г (

С4в-5в = - а *- R -4«sin (а0 + ₽) у — хн cos (у0 — ₽) +

*4о—5e 1

1 Г <74e_5e COS <То - Р) 12,3

+ Т ---------7^---------- Но-50 +

b L ^40-50 J

। 4	^4 о—5oCOS(lo по)^4а—5о	। 1 «	2щ2	1 । О	/у 1 OQ\

"I	* 4в—5e	Me—5в^ * 4в—। ^4в—5е«	V •

"	^4о-5о	4	J

Используя эти соотношения, получаем следующую зависимость, оп-
ределяющую величину деформации надстройки:

ЕКГК ,п 	, • ч 	°?|ПЬ ,

хн =------№sm у4ук + sin уБхя)sin у5------------------1-

сн*3	еН

+ ЕвГ4в-5в] /о-4в sill (а0 + 3)у — Хнcos(у0 — 0) +
сн '4e—5e I

Чцв—5«cos(To — Р) I2 -з	4

------------------ ‘4e-5e Н------

5оС06 (То-ао)/4в-5в 1К

77	l4e

^а4в—5л

4- -Д_ 4f4e_5e| cos (у„ — ₽)

Зв +

(7.130)
Отсюда

EKFKsin-yt	. £</4o_5ecos2(Yn-₽)| F.KFK D .

-----—--------------1-------------------- =--------!L-5- R3 sin y4 sin у5д

cnh	сн Цв—5e	j сн‘з

------a^ny,. ---------— I/osin(a0 p)7 4-

C«	CH ^4e—5e ’

[ <?4« -5» COS(Yo —P)12

L 2<T4e-5e

<74e_5ecos(Yo-«n)Z4e-5<.,If
-----------------------------------------------------------I 4e-5e +



+	---’K|e_5e!cOS(Yo-p)

4,4e-5e	)

(7.131)

Остается теперь написать уравнение колебании отвалообразователя
на упругом основании.

Это уравнение может быть получено либо пз условия равенства мо-
ментов, вызываемых инерционными силами, действующими на поворот-
ную платформу, к которой приводится жесткость всех узлов опорного
и ходового устройств и жесткость гранта, моменту, действующему на
поворотную платформу со стороны упругого основания. Либо из усло-
вия равенства моментов относительно прямой, вокруг которой происхо-
дит опрокидывание поворотной платформы отвалообразователя, от
сил. передающихся на поворотную платформу и надстройку со стороны
подвесок стрелы п приемной консоли, пят стрелы мачты и приемной
консоли, и момента от инерционных сил, действующих па надстройку и
поворотную платформу.

Исходя из первого условия будем иметь следующее уравнение ко-
лебании отвалообразователя на упругом основании:

Qi-iel2i_ie , 2gi_4eZ,(_,./J._4ecofi(ai4-a;)
— -------------------------р -----------------------------

Л£	ng

?4а-5в 14в-5» | 2?4а-5в 1ц—4e Z4e 5а C0S ( П0—^0	₽)

ng	Xg

ii ’ d2y

гп:10. ilu-i cos а, —-

14	dt2

+ /п4в/0-4</ч-<в cosao

^Г4в-5в

dt2

(R3 + v b)2 + Mnpom R’3 (Rs + &)1	4-

o \	z J	J at-

+ W,/,! i cos a- =0.	(7.132)

В этом уравнении первый член определяет момент от инерционных
сил, действующих па все узлы экскаватора, при перемещении экскава-
тора, вызванном деформацией упругого основания.

Второй член определяет момент от сил упругого сопротивления де-
формированию основания. Третий и четвертый члены определяют мо-
мент от инерционных сил, возникающих прн поперечных колебаниях
канатов. Пятый и шестой члены учитывают момент от инерционных
сил. возникающих при угловом персмещсипп стрелы и мачты за счет
деформации подвески мачты. Седьмой член определяет момент от
инерционных сип, возникающих при перемещениях консоли за счет де-
формации подвески консоли. Восьмой член определяет момент от инер-
ционных сил, возникающих от нзгибпых колебании стрелы за счет де-
формации подвесок, с учетом того, что вся масса стрелы отнесена к ме-
стам крепления подвесок.

Методика составления уравнении колебании отвалообразоватсля в
горизонтальной плоскости, если выбраны формы колебаний отвальной
стрелы и приемной консоли, не отличается от методики составления
уравнений колебаний роторного экскаватора для переходных режимов,
изложение которой привечено в следующей главе, а также от методики
составления уравнений колебаний драглайнов. При наличии горизон-
тальных или наклонных вант большой длины следует учитывать их по-
перечные колебания, используя методы, изложенные выше.

При колебаниях конструкций отвалообразоватсля в гори читаль-
ной плоскости будут происходить поперечные колебания вант и гиб-
ких подвесок не только в горизонтальной, но и в вертикальной пло-
скости.

Очевидно, что в более точной постановке следует выполнить реше-
ние пространственной динамической задачи с учетом взаимосвязи ко-
лебаний конструкций в вертикальной плоскости, колебаний конструк-
ций в горизонтальной плоскости, крутильных колебании конструкций и
собственных колебаний отдельных элементов. Методика составления
уравнений изгибпо-крутильпых колебаний стреловых конструкций изло-
жена в работе П7].

Особое внимание при исследовании динамических процессов при
повороте отвалообразоватсля, так же как и при повороте роторного
экскаватора, следует уделять колебаниям, вызываемым нагрузками,
возникающими при работе зубчатых передач поворотного механизма.
Экспериментальные исследования показывают, что всл< щтвие наруше-
ний нормальной кинематики зацепления шестерни с зубчатым венцом
при повороте отвалообразоватсля или роторного экскаватора на конст-
рукции могут действовать нагрузки, изменяющиеся с частотой входа
зубьев в зацепление, выхода из зацепления или частоты повторения по-
грешностей зацепления. При условии наличия резонансных соотношений
амплитуда колебаний конструкций может при этом оказаться очень
большой.

Решение задачи по наследованию динамических процессов следует
производить в комплексной постановке с учетом взаимосвязи динамики
привода с динамикой конструкций и механизмов.

Методика постановки и решения такого рода задач изложена в ра-
боте [17].

Из приведенного выше анализа динамики конструкции отвалообра-
зователя следует, что проверку на резонанс необходимо выполнять
с учетом нелинейных факторов. Периодические нагрузки, действхю-
щие в горизонтальной плоскости, могут вызывать резонансные колеба-
ния конструкций или элементов в вертикальной плоскости, и на-
оборот.

Во всех случаях динамического расчета следует использовать при-
ближенные методы решения. Можно рекомендовать производить опре-
деление форм главных колебаний без учета поперечных колебаний
гибких элементов и без учета нелинейных членов.

После того как определены формы колебаний, можно перейти к ис-
следованию совместных колебаний с учетом поперечных деформаций
гибких элементов. Введение в уравнения членов, учитывающих дисси-
птаивпые силы, выполняется обычным образом.
§ 7. КОЛЕБАНИЯ КАНАТОВ И ВАНТ, ВЫЗЫВАЕМЫЕ ПРОДОЛЬНЫМИ
И ПОПЕРЕЧНЫМИ НАГРУЗКАМИ, ИЗМЕНЯЮЩИМИСЯ

ПО БИГАРМОНИЧЕСКОМУ ЗАКОНУ

Наблюдение за работой отвалообразователей, одноковшовых и ро-
торных экскаваторов, конструкции которых содержат канаты и ванты, а
также выполненные экспериментальные исследования показывают, что
часто в отдельных канатах и вантах возникают колебания большой
амплитуды, происходящие с частотой, близкой к частоте собственных
колебаний, когда шачепие внешних инерционных нагрузок, действую-
щих па канаты н ванты, мало. Если масса отдельных канатов и вант
по сравнению с массой всех металлоконструкций машины мала, то
единичные колебания канатов и вант нс оказывают существенного
влияния па общее колебание конструкций и они могут рассматривать-
ся раздельно.

Анализ частотных характеристик собственных колебаний канатов н
вант и частоты изменения действующих па них нагрузок показывает,
что причиной такого рода колебаний являются параметрические воз-
мущения.

При небольших, сравнительно, колебаниях конструкций в канатах
происходит периодическое или квазипериодическос изменение натяже-
ния или точнее изменение расстояния между концами канатов. Так,
если происходит колебание конструкций в горизонтальной и в верти-
кальной плоскостях с частотами он и <i)2, то натяжение в канате может
изменяться по закону

а = а0 4- odI cos (i)tt + °<)2 cos ы2/.	(7.133)

Могут быть и более сложные законы изменения натяжении в кана-
тах, определяющиеся законом колебаний конструкций. Если принять
допущение, что колебания единичных канатов и вант нс оказывают
существенного влияния па частоты и амплитуды главных гармоник
колебаний конструкций машин, то задача по исследованию колебаний
канатов и вант сводится к исследованию дифференциального уравнения
следующего вида:

4- 2е 4- 22 U 4- '1 cos wit 4- >2 cos ] у —
a/-	at

— bjy2 4- b2y 4- bsy2	= p! cos WjZ 4- p2 cos w2t	(7.134)

at*	at-

Это уравнение имеет тот же вид. и то же содержание, что и урав-
нение поперечных колебаний конвейерных лепт, вызываемых продоль-
ными силами, описанное в § 14 гл. VI.

Коэффициенты уравнения определяются по формулам, аналогич-
ным формулам, приведенным для поперечных колебаний лепт, cc.ni
положить в них скорость о = 0. Отсюда и весь анализ и методы реше-
ния задачи остаются прежними.

Как и прежде, при резонансных соотношениях частот могут возни-
кать значительные колебания. Отметим здесь лишь то, что значение
коэффициентов при нелинейных членах для канатов получаются зна-
чительно меньшими, чем для лент. Меньшими получаются и коэффи-
циенты, учитывающие демпфирование колебаний.

Вследствие этого при одних и тех же относительных возмущениях
амплитуды колебаний в канатах могут иметь значительно большие от-
носительные значения.
Резонансные соотношения определяются следующим уравнением:
Ло'-> = У *,-Ч.	(7.135)

где Q— частота собственных колебаний каната;

ин—частоты колебаний конструкций;

Ло, к,— целые числа.

Болес существенное значение имеют резонансы низких порядков:
кп = 2; Лп = I; /?, = 0; Л,- = 1; /г, = 2.

Моделирование и расчет колебаний выполняются так же, как и для
конвейерных лент (см. § 14 гл. VI). В канатах возникают значитель-
ные напряжения изгиба. Прп конструировании машин для открытых
горных работ еле дуст избегать указанных выше резонансных соотно-
шений.

Изменение частот I псбаппй вант может быть достигнуто за счет
изменения натяжения, длины п площади поперечного сечения вант,
что вытекает пз формулы для определения собственных частот колеба-
ний запт.

л*ов _ q2_

Q2 =-----Р-----2^-- 3G

где оо—натяжение каната, отнесенное к площади поперечного се-
чения;

/ — длина каната;

q — погонный вес каната, отнесенный к площади поперечного се-
чения каната;

Р—погонная плотность каната, отнесенная к площади попереч-
ного сечения каната.

Основы расчета колебаний стержневых элементов иод воздействием
продольных и поперечных нагрузок изложены в гл. 11 и 111.

Расчет амплитуд поперечных колебаний гибких элементов имеет
большое значение прп оценке их долговечности. До настоящего време-
ни такого рода расчетам прп проектировании конструкций машин для
открытых горных и земляных работ нс уделялось должного внимания.
Между том, может оказаться, что именно долговечностью гибких эле-
ментов определяется надежность и долговечность конструкций машин
для открытых горных и земляных работ. Естественно, что амплитуды
поперечных колебаний гибких элементов будут тем большими, чем
строже выполняются резонансные соотношения.

Вследствие этого одной из задач расчета и проектирования конст-
рукций, содержащих канаты и ванты большой длины, является выбор
значений параметров конструкций и их элементов, исключающих ус-
ловия возникновения резонансов, особенно резонансов низких по-
рядков.

В качестве примера решения задачи по исследованию поперечных ко-
лебаний канатов, находящихся под воздействием продольных и попереч-
ных нагрузок, изменяющихся по бигармоничсскому закону, рассмотрим
решение задачи по колебанию каната закрытого типа длиной / — 45 Л(
и диаметром 54 лл. входящего в конструкцию стрелы отвалообразоватс-
ля. Уравнение к дсбапнй каната, разрешенное относительно старшей
производной с числовыми значениями коэффициентов, имеет следующий
вид:

Ч> = — 0,154' — 153'Р — [4G(coscd,/ + cos о ./) + 0.00089Ф] Ч' ф-

4- 0,01 Т2 — 0,000617Ч'2Ч' + 3,74 cos «ц/ -ф 4,45 cos w2/;	(7.137)
(»i и d>2 — частоты колебаний нагрузок (например, частоты колебаний
конструкций стрелы в вертикальной п в горизонтальной плоскостях).

Структурная схема электронного моделирования этого уравнения
прицелена на рис. 144.

На рис. 145 показаны осциллограммы, полученные при различных
соотношениях частот изменения нагрузки <о1 и частоты собственных ко-
лебаний й в частном случае воздействия па канат нагрузки, изменяющей-
ся по гармоническому закону.

Очевидно, что чем ближе частота возмущающей нагрузки находится к
резонансным соотношениям 2ю| = й; = й; вц = 2й, тем больше амп.ш-

Рнс 144. Структурная схема электронного моделирования поперечных колеба
вин канатов н вант, вызываемых про юльнымн н поперечными нагрузками

туда установившихся колебаний. При очень близких к резонансным
соотношениям амплитуда колебаний была очень большой.

Наибольшее значение амплитуды колебаний соответствует парамет-
рическому резонансу ю| = 2Й. При резонансе 2«>| = й амплитуда коле-
баний значительно меньше.

На рис. 146,а показана осциллограмма колебаний капата при ком-
бинационном резонансе ю|— юг = й, а на рис. 146, б показана осцилло-
грамма колебаний каната при комбинационном резонансе g>i — юг = 2Й.
На рис. 146. в показана осциллограмма колебаний каната при комбыпа-
циопиом резонансе вц— юг — -t- . Амплитуда колебании при указанных
резонансах имеет одни и тот же порядок и достаточно велика.


0.157м

Рис 145. Осциллограммы колебаний вант, полученные методом электронного моделиро-
вания, при различных соотношениях частот вынуждающих нагрузок о»; и частоты соб-
ственных поперечных колебаний:

« — <о, — 0.110; б — u)i — 0.4750; в — <о, — 0 80; г — <о, — 0,9550; д — <о, — 1.GO: е — <о, — 1.80

Рис 146 Осцилло; раммы колебаний вант, полученные методом электронного моделиро-
вания при воздействии нагрузок, изменяющихся по бнгармоническому закону прн ком-
бинационных резонансах:

с — <о <0,-0; <0,-5 hceK; <о_-- 17.4 Цсек; С — <о2 —<0,-20; u>,-5 I сек; ьъ - 29.fi Цсек;

о — <о - <о,—; <о, — <1.5 1,сек; <о2 — 10.7 Цсек
Аналогичные осциллограммы при комбинационных резонансах
сщ-Ног = Q, <i>! + g>2 = — и <>»i + 0)2 = 2Q показаны па рис. 147. Резонанс
<<)| + (.)2 = Q получен для различных частот оц и щ2; в том и другом случае
амплитуда колебаний имеет одни и тот же порядок.

Проведенные исследования показывают, что значения дополнитель-
ных напряжений в канатах при больших амплитудах колебании могут

Рис. 147. Осциллограммы колебаний ванта, полученные методом электронного модели-
рования при воздействии нагрузок, изменяющихся по бнгармоннческому закону при
комбинационных резонансах:

«	loi + (i)2 - С, Hi — 3.4 Нсек; (а2 — 9 Нсек; 6 —	+ ш3 — Q, u»i — 5 / сек; со — 7.4 1‘сек;

и —	+ ц>2 — ——, ц>1 — 2 / сек; <о2 — 4.2 Цсек; г —	+ <i>j — Wi  15.8 Нсек, — 9 Нсек

быть весьма существенными. Влияние их на усталостную прочность ка-
натов может оказаться решающим.

При проектировании конструкций, содержащих канаты и ванты, сле-
дует так подбирать параметры, чтобы резонансные колебания нс возни-
кали. Надежность и долговечность в этом случае будут значительно более
высокими. Весьма целесообразно также вводить специальные демпферы
и ограничители колебаний.
ГЛАВА VIII

ДИНАМИКА РОТОРНЫХ ЭКСКАВАТОРОВ

§ I.	КРАТКОЕ ОПИСАНИЕ КОНСТРУКЦИИ И РАБОЧИХ ПРОЦЕССОВ
РОТОРНЫХ ЭКСКАВАТОРОВ

Роторные экскаваторы предназначены для разработки вскрышных
горных пород или твердых полезных ископаемых, имеющих достаточно
однородные механические свойства и достаточно малое сцепление ча
стнц.

Процесс работы роторного экскаватора является процессом непре-
рывным Рабочим органом является роторное колесо с установленными
па нем ковшами, число которых выбирается в зависимости от диаметра
роторного колоса, числа его оборотов и заданной производительности.
Работа каждого из ковшей имеет периодический характер. Непрерыв-
ность процесса об\слотпвас1ся наличием большого числа ковшей, сме-
няющих друг друга в работе. Разгрузка ковшей осуществляется обычщ
на питатели, передающие грунт на конвейер роторной стрелы. Черсч си-
стему питателен грунт передается дальше па конвейер ра грузочпой
стрелы или перегрузочного моста.

Основными узлами конструкций роторного экскаватора являются
'следующие: роторное колесо с ковшами, устанавливаемое па роторной
стреле вместе с приводом; роторная стрела, опирающаяся пятами па по-
воротную платформу; разгрузочная стрела пли разгрузочный мост, не
входящий в конструкции роторного экск ватора; консоль противовеса
и противовес для уравновешивания конструкций роторного экскаватора
относительно поворотной платформы п ходового оборудования; надстрой-
ка роторного экскаватора, служащая опорой для подвесок роторной
стрелы, консоли противовеса и разгрузочной стрелы (если она имеется);
поворотная платформа, па которой размещается оборудование ротор-
ного экскаватора; опорно-поворотное устройство, иа котором располо-
жена поворотная и штформа; нижняя рама, па верхней части которой
расположен рельсовый круг опорно-поворотного устройства, а нижняя
часть опирается на .ходовое оборудование; ходовое оборудование, кото-
рое мо кет быть рельсовым, гусеничным, шагающерельсовым.

Различают роторные экскаваторы с псвыдвижпой стрелой и ротор-
ные экскаваторы с выдвижной стрелой, которые обеспечивают лучшую
технологию открытых горных работ, позволяя работать концентрически-
ми в плане стружками. Экскаватор с невы твижпой стрелой может рабо-
тать лишь серповидными стружками. Роторные экскаваторы с выдвиж-
ной стрелой имеют более сложную конструкцию и обычно бывают боль-
шого веса.
Однако в последние годы складывается мнение, что для мощных ро-
торных экскаваторов конструкции с выдвижной стрелой более рацио-
нальны, тем более, что относительная разница в весе для новейших
конструктивных решений между мощными роторными экскаваторами с
выдвижной и псвыдвижпой стрелой оказывается незначительной.

Па рис. 148 показана конструктивная схема роторного экскаватора
ЭРГ 350/1000 завода имени 15 .тетин ЛКСМУ с восемью ковшами па
роторе и невыдвпжиои стрелой. Роторная стрела решетчатого типа после
проведенных экспериментальных исследований динамики экскаватора
была заменена трубчатой стрелой, обладающей значительно большей
жесткостью па кручение и изгиб, так как наличие резонансных явлений
в первом исполнении экскаватора могло мтачптельпо сказаться па его
долговечности. Уве шчение жесткости роторной стрелы позволило значи-
тельно улучшить динамические характеристики экскаватора. Наличие
резонансных зон для этого экскаватора было установлено нами при про-
ведении исследования динамики методом электронного моделирования
па ЭМУ-8.

Сделанные выводы подтверждены результатами натурных испыта-
ний экскаватора ЭРГ 350/1000.

На рис. 149 показана конструктивная схема мощного роторного экс-
каватора ЭРГ-1600 конструкции НКМЗ с выдвижной стрелой и с ша-
мстром ротора 11,425 м, снабженного десятью ковшами емкостью
1600 л.

Роторная стрела экскаватора решетчатой конструкции. Динамические
характеристики экскаватора существенно зависят от положения ротор-
ной стрелы. Вследствие этого ширина резонансных областей достаточно
вс тика и выбор параметров экскаватора такого тппг толжсп выполнять-
ся па основе тщательных исследований динамических процессов.

Па рис. 150 приведены аналогичные конструктивные схемы мощ-
ных роторных экскаваторов 3600-1—1.MG п 4000-1 фирмы Крупп с
ковшами емкостью 3600 и 4000 л с невыдппжной стрелой решета юго
। ина.

При изменении положения роторной стрелы с\щественно пзмепяс1ся
жесткость подвески балансира. Вследствие этого имею гея резонансные
области, которые при динамическом расчете следует тщательно апалп-
шровагь, особенно если число оборотов ротора изменяется в зависимо-
сти от характеристик разрабатываемых пород.

На рис. 151 показан мощный экскаватор с ковшами емкостью 4000 л
фирмы Крупп с невы ишжной стрелой п наклоняющейся надстройкой
для изменения положения роторного к леса по высоте забоя. Конструк-
ция механизма изменения положения надстройки может быть выполне-
на таким образом, чтобы динамические характеристики экскаватора для
различных положений рабочего оборудования изменялись незначитель-
но. Эта конструкция может быть выполнена механического типа в виде
полиспастного механизма пли гидравлического типа.

В том и в другом случ. с механизм изменения положения надстройки
имеет ограниченную жесткость, изменяющуюся в опре телеппых преде-
лах, в зависимости от положения надстройки.

На рис. 151 н 152 представлены конструктивные схемы мощных ро-
торных экскаваторов фирмы Лаохаммср с выдвижной и с нсвыдвпжпой
стрелой SRS 1500.40/5.25 и SRS 1500.35/15.0, имеющие приблизительно
одни н тс же параметры и линейные размеры. Экскаватор с выдвижной
стрелой выполнен по современной схеме. Разница в весе экскаваторов
не превышает 10%. Вес экскаватора с выдвижной стрелой 4480 т. Вес
экскаватора с псвыдвижпой стрелой 4180 т.
19735

Рис 148 Роторный экскаватор ЭРГ 350/1000
24 Заказ 314

Рис. 149. Роторный экскаватор ЭРГ 1600— 31
б

Рис 130. Сравнительные конструктивные тайные экскаватора 3000-1-LG н экскаватор)
401X1-1-Крунн:

а — экскаватор 4000 1-Крупп; б — экскаватор 3600-I-LMG

Рис. 151. Экскаватор фирмы Крупп с ковшами емкостью 4000 л с качающейся над-
стройкой

Динамические характеристики экскаватора с выдвижной стрелой из-
меняются в больших пределах, чем динамические характеристики экска-
ватора с певыдвпжиой стрелой, одиако в значительно меньших преде-
лах, чем динамические характеристики экскаваторов с выдвижной стре-
лой выполненных ранее конструкций.

Таким образом, гля большинства конструкций роторных экскавато-
ров динамические характеристики, и следовательно, и частоты собствен-
ных колебаний, ив являются постоянными, а изменяются с изменением
положения рабочего оборудования. Это приводит к необходимости весь-
ма подробных исследований ишампческих процессов в роторных экска-
ваторах при их проектировании.

При работе роторного экскаватора вследствие периодичности работы
ковшей реактивное воздействие грунта, передающееся иа роторное ко-
лесо и далее иа все конструкции роторного экскаватора, изменяется ио
периодическому закону. Вследствие этого на конструкции роторного
экскаватора действуют периодические нагрузки, вызывающие колебание
конструкций. Поскольку равнодействующая реактивных нагрузок рас-
положена в пространстве под некоторым углом к вертикальной плоско-
сти, проходящей через ось стрелы, колебания могут возникнуть как в
вертикальной, так и в горизонтальной плоскости. Кроме того, могут
иметь место крутильные колебания, поскольку равнодействующая на-
грузок на роторное колесо экскаватора обычно не проходит через ось
жесткости роторной стре1Ы.

Необходимо отметить, что величина и характер периодических нагру-
зок. действующих па роторное колесо экскаватора, зависит как от фи-
зико-механических свойств грунта, формы и размера ковшей, так и от
высоты снимаемой стружки.

Существенна разница в законе изменения нагрузок при копании ме-
тодом горизонтальных и вертикальных стружек.

Лишь при определенной высоте стружки (обычно при h = 0,50, где
D — диаметр роторного колеса) начало копания для одного ковша сов-
падает с концом копания для другого ковша, и лишь в этом случае
крутящий момент па валу роторного колзса изменяется скачком (точнее
весьма быстро) столько раз за одни оборот ротора, сколько ковшей па
нем устаповдепо. В остальных случаях число скачкообразных изменений
крутящего момента за одни оборот ротора в два раза больше числа
ковшей.

При стопорении роторного колеса в случае встречи ковшом весьма
твердого грунта значительная часть кинетической энергии роторного
колеса и привода может перейти в энергию колебаний конструкций ро-
торного экскаватора. Динамические процессы при работе роторного экс-
каватора и при стопорении роторного колеса имеют основное шачение.
Динамические нагрузки при передвижении роторного экскаватора и при
выполнении других вспомогательных операций имеют меньшее значение
с точки зрения общей динамики роторного экскаватора. Отсюда, конеч-
но. нельзя делать вывод, что динамические процессы в этом случае нс
следует рассчитывать. Пх значение для отдельных узлов роторного экс-
каватора может оказаться очень большим.

Экспериментальные и теоретические исследования динамики ротор-
ных экскаваторов показывают, что наибольшие динамические иагру jkii
в \з ах возникают при наличии резонансных соотношений между часто-
тами собственных колебании конструкций роторного экскаватора и час-
тотой изменения внешних нагрузок. При этом могут появляться резонан-
сы высших порядков. Периодический характер реактивного воздействия
па роторное колесо со стороны грунта носит негармонический характер.
372
Оно может быть представлено в виде суммы гармоник часюгы которых
па.хо 1ЯТСЯ между собой в рациональных соотношениях и кратны часто-
те основной гармоники. Важное шачеиие на (ипампку роторного экска-
ватора при периодическом характере внешнего воздействия имеет деми- •
фпроваппс колебаний вследствие наличия диссипативных сил.

Вследствие того, что конструктивные схемы роторных экскаваторов
и конструктивное оформление основных узлов роторных экскаваторов
могут бып> разнообразными, описание методов исследования динамиче-
ских процессов выполняется для одного пз типов конструкций, имеющего
достаточно общее конструктивное выполнение главнейшего нз узлов —
роторной стрелы экскаватора.

Роторная стрела выполнена по типу стрелы с (ополпптелыюй под-
веской зависимого типа. Очевидно, если принять жесткость каната допол-
ни ге пяти подвески равной пулю, получим решение задачи для случая,
koi да роторная стрела не имеет дополнительных подвесок. Ес ш предпо-
ложить, что непосредственная связь между дополнительной по (веской и
главной подвеской отсутствует, получим роторную стрелу с «независи-
мым» типом подвески. •

Мето тика исследования дифференциальных уравнений, описывающих
динамические процессы в роторном экскаваторе, для любых конструк-
тивных форм, может быть принята гой, которая здесь излагается, по-
скольку изложение дается в достаточно общем виде. Для роторных экс-
каваторов с выдвижной стрелой при составлении уравнений колебаний
в вертикальной плоскости необходимо учитывать возможность смещения
опорных пят роторной стрелы за счет деформации металлоконструкций,
па которые стрела опирается, например деформации консоли противо-
веса.

Таким образом, уравнение угловых колебаний роторной стрелы будет
связано с уравнениями угловых и изгпбпых колебаний консоли проти-
вовеса.

§ 2.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫ! УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИИ КОНСТРУКЦИИ
РОТОРНЫХ ЭКСКАВАТОРОВ В ВЕРТИКАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

Исследование колебаний конструкций роторных экскаваторов в вер-
тикальной плоскости является чаще всего основным содержанием дина-
мического расчета роторных экскаваторов, поскольку амплитуда коле-
баний реактивных нагрузок в вертикально!! плоскости имеет наибольшее
значение.

Излагаемые ниже методы получения дифференциальных уравнений
колебаний имеют достаточно общее значение, поскотьку за основу при-
нята конструкция роторного экскаватора с весьма общим «зависимым»
типом подвески роторной стрелы (рис. 153. 154). Этот гпп потвескп
выполнен таким образом, что при колебаниях роторной стрелы происхо-
дит перемещение точек крепления потвесок за счет углового перемеще-
ния рычагов, заменяют ix блоки обычных полиспастов.

Прп угловом перемещении рычагов вследствие трепня происходит
дополнительное рассеяние энергии колебаний. Излагаемая ниже методи-
ка позвотяет попять то значение, которое играют коэффициенты полез-
ного действия блоков полиспастов или рычагов на динамику машин.

«Зависимый» тип подвесок с точки зрения расчета, если не учитывать
иелиисппые члены и влияние провеса канатов, является более общим,
чем «независимый» тип подвесок.

Желая особо ио (черкнуть особенности динамического расчета в этом
случае, конструктивное оформ leiinc остальных узлов роторного экскава-
373
тора, па примере которого излагается методика динамического расчета,
принято наиболее простым, содержащим наименьшее количество вводи-
мых в расчетную схему узлов.

Рис 153. Расчетная схема роторного экскаватора для составления уравнений колебании
в вертикальной плоскости без учета деформативиости основания

В целях упрощения изложения методики динамического расчета не
принимаем во внимание особенности колебаний, связанные с тем, что
конструкции роторных экскаваторов включают ленточные конвейеры,
учитывая, что этому вопросу ранее было уделено достаточное внимание.

Дифференциальные уравнения колебании необходимо составлять
с учетом рассеяния энергии колебаний. Рассеяние энергии колебаний
может происходить за счет гистерезисных потерь вследствие внутреннего
трения, за счет потерь па деформацию грунта, в том числе в перегрузоч-
ных устройствах, па транспортерной лепте и грунта основания. Рассея-
374
нпе энергии колебаний в этом случае может быть охарактеризовано
дополнительными членами, пропорциональными скорости деформации.

Рассеяние энергии колебаний конструкции экскаватора имеет важное
значение при определении динамических нагрузок в элементах в случае
работы экскаватора в режимах, близких к резонансным. Гели режимы
работы экскаватора далеки от резонансных, уменьшение динамических
нагрузок вследствие наличия сил трения и других потерь пе имеет столь
существенного значения.

Частотные характеристики для конструкций экскаватора при учете
затухания мало отличаются от частотных характеристик, определенных
без учета затухания колебании.

В общем случае при строгом учете рассеяния энергии колебаний
вследствие трепня коэффициенты потерь следует вводить в дифферен-
циальные уравнения колебаний в комплексной форме. При этом аппарат
решения получаемых дифференциальных уравнений почти не усложня-
ется. Однако при решении на ЭМУ получаемых уравнений пе всегда
оказывается возможным это решение выполнить. Введение коэффициен-
тов потерь в комплексной форме обусловлено тем, что для большинства
элементов конструкций получаемые декременты затуханий зависят
от частоты колебаний. Для одиэчастотпых колебаний формально можно
ввести вместо коэффициента потерь, определяемого из физических нред-
ставлспни, приведенный к частоте коэффициент потерь ц = Где

<о ’

«> — частота колебаний, и получить правильный результат. При много-
частотном колебании принципиально этого нельзя сделать и коэффи-
циент потерь необходимо вводить в комплексной форме.

Однако, если ставить задачу по исследованию лишь резонансных ре-
жимов колебаний с достаточной степенью надежности подучаемых
результатов, можно ввести в уравнения приведенный к резонансной
частоте коэффициент потерь.

• (8Л)

topes

Учитывая сказанное, будем составлять систему дифференциальных
уравнений с использованием коэффициента потерь в действительной
форме, исходя из следующего уравнения:

О = д(е+ц-^-).	(8.2)

Эксперименты, выполненные на реальных машинах, указывают па то,
что большое влияние иа динамические процессы в машинах для откры-
тых горных работ, в том числе в роторных экскаваторах, оказывает рас-
сеяние энергии колебаний вследствие трения в кинематических парах,
которое можно характеризовать как внешнее трение.

При инженерных расчетах удобнее всего внешнее трение характери-
зовать через коэффициенты полезного действия кинематических пар,
представленные в виде отношения работы сил, приложенных к ведомому
звену, к работе силы па ведущем звене. Иногда, в частности для рычаж-
ных систем, коэффициенты полезного действия можно представ зять как
отношение моментов сил движущих и сил сопротивления.

Существенной особенностью введения в дифференциальные уравне-
ния членов, учитывающих рассеяние энергии колебании вследствие
внешнего трепня, является то, что эти члены, представляемые в виде
375
некоторых обобщенных сил сопротивления, имеют различные знаки в
зависимости от направления движения. Эти силы сопротивления имеют
направление всегда обратное по отношению к направлению движения
направлению скорости.

Чтобы указать это, силы внешнего сопротивления вво 1ятся с множи-
телем sign (и), где v — обобщенная скорость движения:

sign (0 = 1, если v > 0;

sign (0 = — 1, если v < 0.

Если пренебречь колебанием поворотной платформы вследствие ко-
нечной жесткости осиованП/1 и опорного устройства и жесткости меха-
низма качания, об учете которых сказано в конце параграфа, то дина-
мические процессы в роторном экскаваторе могут быть сведены к коле-
баниям роторной стрелы и консоли противовеса.

Колебания роторной стрелы и консоли противовеса включают в себя
изгнбпые колебания и колебания за счет угловых смещений, происхо-
дящих вследствие деформаций подвесок и надстройки.

Прн составлении уравнений колебаний роторную стрелу и консоль
противовеса можно рассматривать раздельно. Связь между колебания-
ми роторной стрелы и консоли противовеса при сделанных предположе-
ниях осуществляется через надстройку. Чем больше жесткость надстрой-
ки, тем мсисс ощутима эта связь. Если бы надстройка имела бесконечно
большую жесткость, можно было бы рассматривать колебание только
роторной стрелы. Для реальных конструкций приходится составлять сов-
местные уравнения колебаний роторной стрелы и консоли противовеса.

Колебания стрелы происходят как сумма двух основных перемеще-
ний: углового перемещения стрелы, определяемого координатой ф1 (2),
и перемещений точек стрелы вследствие изгиба, определяемых координа-
той у(х, I). Соответственно этому необходимо иметь два уравнения, опре-
деляющие закон ко юбапий.

Прежде чем перейти к составлению уравнений, определим соотноше-
ния между перемещениями точек крепления подвесок и усилиями в этих
подвесках, а также силами внешнего и внутреннего трепня.

Подвеска стрелы ротора выполнена зависимого типа (см. рис. 151).
Этот тип подвески является кинематически более общим, чем обычная
полиспастная по теска. Если плечи рычагов ht и ho равны между собой,
то кинематически такая подвеска будет соответствовать обычной поли-
спастной подвеске. В отличие от полиспастной подвески блоки в такой
подвеске отсутствуют и не тратится энергия на изгиб каната прп огиба-
нии блоков, что приводит к меньшим коэффициентам демпфирования
колебаний. Однако прп больших диаметрах канатов обычная полиспаст-
ная подвеска с блоками становится пе конструктивной. Кроме того, в
полиспастной подвеске будет происходить значительный износ каната,
вследствие чего долговечность ее будет небольшой. Учитывая то, что
демпфирование котебаний может быть искусственно увеличено за счет
увеличения .моментов трепня в шарнирах рычагов подвески, для боль-
ших машин ей следует отдать предпочтение пере i обычной полиспаст-
ной подвеской. Прп удлинении какой-либо из ветвей подвески происхо-
дит угловое перемещение всех рычагов подвески. Исходя из расчетной
схемы имеем следующие соотношения, определяющие зависимость меж-
ду угловыми перемещениями рычагов подвески, удлинениями ветвей
подвески и перемещениями точек крепления подвесок к стреле.

б/i = hjO-i -{ A/jj

б/i = hi («о — oil) -f A/iJ
6/i = ft1(a3 —02) +A/t;

6/i = hl(ai — a3) + Al1;

6/2 = — h2at + Д/2,	(8.3)

где fi/1 — удлинение первой ветви подвески, идущей к голове стрелы,
длиной Л. Длины всех ветвей подвесок одинаковы, поэтому во всех урав-
нениях стоит 6/(;

Л1— длина плеча рычагов коромысла, к которым крепятся ветви по-
лиспаста, идущие к голове стрелы;

/г2 — длина рычага коромысла, к которому крепятся ветви полиспаста,
идущие к середине стрелы (канаты дополнительной подвески);

\/i — перемещение точек крепления головной подвески но направле-
нию подвески;

\12—перемещение точек крепления дополнительной подвески по на-
правлению подвески;

а, — угол поворота рычага коромысла.

Имеем также следующие соотношения, вытекающие из условия рав-
новесия рычага:

6/i=6/2-^7-.	(8.4)

/ix/2

Из соотношений (8.3) получаем

«2 = 2^;

as = 3ab-

a4 = 4ai;	(8.5)

Отметим здесь очень важное обстоятельство: знак угловых перемеще-
ний всех рычагов один и тот же. Это же относится и к знаку скоростей
угловых перемещений рычагов.

Используя соотношения (8.3) и (8.5), получаем

6/i = h\O.\ -J- А/х;

6/2 = — 4A9a! 4“ А/г-	(8 -5)

Из соотношения (8.4) имеем

ftiai + A/i = (- 4/ioa! 4- AZ2)’-^7--	(8 - 7)

Отсюда

ax = MiAG-AJqAG	(8 8)

'2 + 4А| Zi

Получили необходимые геометрические соотношения, которые теперь
можно использовать для получения уравнении, определяющих усилия в
элементах. Однако при выводе соотношений, точнее при определении
соотношений (8.3), (8.4), пе учли трепне в шарнирах коромысла.

Уравнения (8.3) с учетом трения в шарнирах коромысла будут иметь
следующий вид:

6/1 =	4*А/ь

б/i = hi (аг — ct-j) 4- A/i.'

б/? = 61(03 — 02) 4- Л/ь

6/1 = hi (a4 — a3) 4* А/ж;

6/2 = — A2a44-А/2.	(8.9)

где ин дексы вверху при /1 указывают помер ветви.
Имеют место также следующие соотношения:

„ „ б/!/ц	б/?й,	/б/}	б/?\	I dat I „

ЕКГК = EkFk -LL _ EKFK (-± + -J-J Мк sign |	(8.10)

6/1 =6/?—(б/1 +6/?)-^- sign 1-^-1.	(8.11)

hi I Л I

Обозначим

^=PK,	(8.12)

hi

гте Мк— момент трения в шарнире коромысла при давлении на опору,
равном единице;

Рк — приведенное к точке крепления каната усилие трения в шарни-
ре кривошипа при давлении на опору, равном единице;

Ек и FK—модуль упругости и площадь поперечного сечения капата.
Имеем

6/1 = б/i - (6/1 + 6/i) Рк sign |	;

i те

6/? = 6/? - (6/? + 6/?) Рк sign I	1;

6/? = 6Zt - (6/? + 6/t) PKsign	1;

Л I

fill =	— (e/f +	) pk sign I—

Учитывая приведенное выше замечание, имеем

sign |	da j di	= sign	da2 dt	|-s,8n| | s,en| Л‘-|
6/1	(1 + P* sign		do-x I dt 1	)= 6/?(1-Z\sign
6/i	^1 +l\sign|-		da, |\  dt 1/	= 6/,1(l-P„sign|-^-|);

1 +^s'gn

fi/i ( 1 + resign

6f}	б/? _ б/*

6l2t	Ы] St*	111 ’

6/1 = 1]i6/i = T)?6/? = n?6/t = ^Пгб/з-т^
«И2

П1 =

1 — /\sign	da,	
	dt	1
1	sign	da.	
	dt	" 1
1	Л1/' P	sign|	da
Гк		dt

П2 =

1 + PK sign

(8.13)

(8.14)

(8.15)

(8.16)

(8.17)

(8.18)

(8.19)

1 —
Значения коэффициентов 4, и 42 в зависимости от знака угловой ско-
rfa,
ростн— меняют свою величину скачком

’ — Рк

К п
1 + Рк П2

1-Рк

h.l.

+^р‘

1-рк

(8.20)

(8.21)

Из уравнений (8.9) можно получить следующие соотношения:

а2 = 2ах -)

(1 - П1)6<? .

аа = 2а2 — а! +

а4 = 2а8 — аг 4

б//

Учитывая, что—
Л1
лости, получаем

л.

л.

(1-4.)^
а.

(8.22)

аь п отбрасывая величины второго порядка ма-

«2 = 2<Х1 + (1 ---------41) <Х1,'

а8 = 3а1 4-3(1 — r]i)ai;
«4 = 4^ 4-5(1 — гц) вр

(8.23)

111 соотношения

61, = -11264

1	А,/»

(8.24)

получаем

Л11а1 4-2(1 — 41) ad 4- Д/, = т]2 {— Л2 [4at 4-5(1 — "41) ail 4* -^4} ‘ l_ :

(8.25)

[2(1 —41) Л) Л 4- 42 И 4*5(1 — 4,)[ fto/J a, = 40Л0/1Д/2 — /ц/оА/ь

a  42^2^|A/o --------------- Л|/;Л/|	(g 20J

Aj/2[1 4- 2(1 — 4,)) <- Л|/1Г)2[4 4-5(1 — 4,)]
пли

д ___ — /i|/2&(i	(g py)

Л^/, (3 — 2Т),) + hzli (9 — 54,) 42

Очевидно, что погрешность в определении <ij без учета коэффициента
4, составит всего несколько процентов, и определение угла можно про-
изводить по упрощенной формуле

a _	Ai^A/,	(g 28)

А,(2 4* 4А2(,

Определим значение Л/, п S,:

6/1 =/ii[a14-2(l-4i)«il4*A4 = ftl3-24i|ai4- Vi: (8.29)

f>l4i

Е F 
^к‘ ю
hJhMs — h\ у- Л/Л (3 — 2t],) + /4 ~~ Л/, + 4Л2 Л/,
____________ч /_________________4_________~

Л?/г + 4Л^

(3 — 211,) М:л/г — (2 — 21],) /q -у- Д/, + 4/4, V,
st = EKFK-------------------------------------------.	(8.30)

Ai/I + 4ft22/1

Суммарное значение усилии в восьми подвесках, идущих к готово
стрелы, будет равно

(3 — 2тц)Л1Л2Д/2 — (2— 2т),)Л| -у А/, + 4Л2А/,
S, = 2 (1 4- т)! 4- гр 4- 4i)	:—1--------------•

лр2 4- 4/4/,

(8.31)

Суммарное усилие в двух дополнительных подвесках будет равно

S, = 2^2_EkFk = 2 -/,А' EKFK =

А1 /-

(3 - 2 т],) Л2А/2- (2 - 2т)1) — -у Д/, + 4Л1Л,А/,
г, г- Г?	п.. /,	,,, п„,

При небольших значениях коэффициента тр жесткость подвески
бу дет существенно зависеть от величины т) , и чем меньше тр, тем больше
будет значение жесткости подвески. Однако нас сейчас бу ют интересо-
вать не столько то, каким образом определить точное значение расчетной
жесткости подвесок, сколько то, как можпо определить величину потерь
в шарнирах коромысла подвески при колебаниях стрелы.

Предположим, и это действительно имеет место для конструкции
стрелы исследуемого экскаватора, что перемещение стрелы будет вызы-
вать вссг ia угловое перемещение коромысел подвески. Прн колебаниях
усилия в подвесках изменяются по закону, близкому к периодическому,
и для определения коэффициента потерь можно принять некоторое сред-
нее значение усилия в подвесках н средний угол поворота рычагов
коромысла.

Примем средний угол поворота рычагов коромысла равным

afp = 2,5т, 4-2,25(1 — .],)«,.	(8.33)

Для простоты можно принять

аср = 2.5a,.	(8.34)

Среднее значение усилий So можпо принять равным суммарному уси-
лию в подвесках стрелы от веса роторной стрелы экскаватора и веса
ротора с загрузкой грунтом.

Работа сил трения в шарнирах коромысла определяется следующим
выражением:

Атр.к — SUP JiiO.cp = 2,5S0P КЛ1<Х1.	(8.35)

Подставляя значение щ, получим

Атр.к = 2,58^ ---------------------------- (8 36)

^1^2 (3 — $1]1) + T)2^2^1 (9 —
Если взять частные производные по \Л и \/2, то noiviiiM обобщен-
ные силы трепня, отнесенные к головной н промежуточной подвеске:
-----------------------------------------мэдф---------------.	(8 37)
/ф2(3 — 2Т),) 4 Т]„Л^/, (9	5ц,)

Fmp, =----------------------------- (8 38)

Л1^2 (3 — 21)1) -	(9 — 5i)i)

Эти силы Летует ввести в дифференциальные уравнения колебаний
стрелы с учетом перемены направления сил при изменении знака ско-
рости

2,5SriPKh2ilnSien(hJ1Al2—hll2Ml}

'"'Pi—	-	-	;	(8.3J)

Л jz2 (3 — 21)0 4-Zi2Z, (9 — 5th) ’ll

p __	(Л4/1Д/.. IijlnSI^	40)

/i?Z2 (3 — 21)0 + Zi^Z, (9 — 5110th

Этим самым решается приближенно вопрос о введении в уравнения
сил трения в коромыслах. Учет сил трения в коромыслах подвесок кон-
соли противовеса может быть опущен в связи с тем, что при одинаковой
длине всех ветвей канатов подвески углового перемещения коромыслов
п.111 блоков нс происходит.

Введение в уравнения коэффициентов внутреннего трепня па основа-
нии зависимости

(8.41)

производится просто.

Вместо значения сх, где с — жесткость капата, а х— деформация
/	d*\

капата, следует подставить с{ х 4- цк— ).
\	dt /

Таким образом, усилия Si и S2 с учетом внутреннего трепня можно
записать в следующем виде:

2 (1 — ц, + т], -|-1),) EKFK г	in о ч/2 /•> л»

Si = —----------------—------- (3 — 21],) hih.&li — (2 — 2i]i) /и Д/щ-

ZqZn + ^Z,	1	zi

4-	4лНд/, 4- Ма. Г(3 - 2П1) Л,Л2 - (2 - 2ц,) Л? 4-	1 ];

L	dt	dt	dt J J

(8.42)

s,	=---------------------1(3 — 2i],)	— (2 — 21),) — A Mi 4- 4/1 ,Л .Л/, 4-

t]2 ( A|Z2 4-4Zi?Z,) I	/f2 li

4- u .[(3 - 2т),) ft? -----(2 - 2П1) A V' 4- 4ЛЛ -^-1 I. (8.43)

dt	Zi2 Z, dt	dt J )

Теперь можно записать уравнение колебаний стрелы па подвеске из
условия равенства пулю суммы моментов сил относительно пят стрелы.
Это хсловпе записывается счедующим образом:

R

[ (х)х (4- X dx 4- MpomR (-^-R 4-

]	az2 dt2 ) po \ dr- dr- J

4- S,/?i sin y, 4- S2R2 sin y3 + P • R + Мдв = 0,

(8.44)

341
здесь и в дальнейшем:

у — прогиб стречы;

<pi — угловое перемещение стрелы;

х — текущая координата;

/»|(л) —погонная масса стрелы;

Мрот — масса ротора;

Р — вертикальная составляющая нагрузок со стороны грунта;

.V—составляющая нагрузка вдоль стрелы со стороны грунта;

М,1в— момент на валу двигателя;

R — длина стрелы ротора;

Ri—расстояние точки крепления главной подвески от пяты
стрелы;

/?2 — расстояние точки крепления промежуточной подвески от
пяты стрелы;

рк — коэффициент демпфирования вследствие внутренних потерь
на трепне в канатах.

Остальные обозначения понятны нз расчетной схемы (рис. 153).

Значения \G и \/2 определяются пз геометрических соображений

Л/i = «Ti/?! sin у, 4- iji (R^ sin Yi — Уз cos уь-

\/2 = q>iR„ sin y3 + t/i (R-z) sin y3 + Уз cos y3.

(8.45)

Подставляя в уравнение (8.44) значения и S2, а также значения

+ x^)dx + MP^(^R +

d-ut(R) \ ,
dt2 J

Л/, п \/2, получаем:
R

. 2(1 4-41 + 111sin Yi г	Г/	, d<P« \ d •

4-------~{(3 2гц) Л1Л» (<₽! 4- Рк т  ) R* sin уз +

1г]1г + Alfyi ।	Lx ht I

। ((p \ । .. dy, (R?)
+ I У1 \Кг) 4- [I*

\
рл1-(2-2щ)
dy,(R,)	\  I

' - - Рк smyi — (i/3

at	\

sin уз —

jsinyi + (У1(/<1) +

ZZ-K^K^z sin Уз x
т)2(Л)/г + 4Л?)/1)

x [(3 — 2П1) л? Г(ч>1 + Рк-^-) ^2 Sin Уз + (yi (#г) + Рк sinT3 —
(	L\	«J /	\	at J

Уз + Рк cos Y3] + Г— (2 — 2гц)
dt /

hlk

Й2 li

[(<P + Рк ) x



X Ri sin yi + ( У (Ri) + Рк) sin Yi —

X	dt /

- f Уз + Рк -^7-} Rl cosy.ll + PR + Mtia = 0.	(8.46)

X	dt )	| J

Перейдем теперь к выводу дифференциального уравнения изгпбпых
колебаний стрелы. Уравнение изгибпых колебаний стрелы в интеграль-
ной форме имеет следующий вид:

у (х, t) + р = — V G (x,st) Mt Г	s JLlI —

dt	—*	' 11 ‘ [ dt2	dt2 J

R

— f ci (x. s) m (s) Г d*yi (s’ ° 4- s -^2-1 ds + £ «Л (x, s,) Р,- (s,-, /) 4-

J	L dt*	at“ J

о
R

+ S (x’S|) Мизг (sif 0- f TV (s, /)	(x- s) ds = 0.	(8.47)

“ os	J	os os

0

В этой формуле Gj(x, Sj)— функция влияния для прогибов стрелы от
вертикальных сил; х, s — текущие координаты вдоль стрелы; р—коэф-
фициент, учитывающий демпфирование в металлоконструкциях.

Решение уравнения изгибпых колебаний балок сводится к отыска-
нию форм в частот колебаний. Учитывая, чго расстояние между цент-
ром тяжести установки ротора до места крепления головной подвески
много меньше длины стрелы, а также то, что жесткость головной подве-
ски достаточно велика, можно задать приближенную форму ко leoainiii
стрелы ротора в виде функции

}\ (х) =а sin —,

(8.48)

удовлетворяющей граничным условиям.

Произвольное задание функции Ki(x) приводит к тому, чго собствен-
ные частоты изгибпых колебании роторной стрелы будут несколько
выше фактических.

Однако, учитывая то, что эти частоты колебании значительно отли-
чаются от частоты колебаний вынуждающей силы, получаемая погреш-
ность при определении максимальных величин динамических нагрузок
не будет иметь существенного значения.

Функцию влияния Gi(x, s) можпо представить в следующем виде:

(8.4У)

где <р,(х)—форма колебаний стрелы; ы,- — частота изгибпых колебаний
стрелы; К, — нормирующий множитель.

При этом

Л(х)=£ здДх);	(8.50)

Л—1

!/i (*. 0 = 5 Ук (0 (р«	(8 •51)

k 1

В нашем случае

ОО

Л(х) =	(8.52)

*-i

Беря лишь один член ряда, получим

f/i(x,/) = V(/)sin-^-;	(8.53)

. лх . ns

S1F1 "7-Sin ----- ~

Gt (x, s) =---mR1	,	(8.54)

®i	2

где

<0? = ^-.	(8.55)
Подставим выражения tji (х, t) и Gt(x, s) в уравнение (8.47):
mR. I iz r.x ,	dYi	• nx лл . nx . n/? / d2^ . n/?

—— МЛ (/)	—- sin----------= — /W_o_sin------sin------(------sin-------h

2 I	’ dl J R,	pom Rt Rt \ dt- Rt

R

r-> d’’li \	1 Г sinnx sinns / (PY i . ns ,	<F<i. \ . .

4- R —— )--------|-------------------m I------- sin----h S —— ) ds 4-

r dt- ) co2 ,) /?!	/?! к dr- Ri dr )

0

,	1	nx	. nR	n 1	nx	.	n/?»	e	.	.

4------sin----sin-------P--------sin-----sm —— S» sin у, 4-

0)2	R	R1	w2	Rl	Rl ~

R,
Мл	n	nR	S»cosy3K,	('/ n \2	. nx /	„ ns \2

4----22-----cos----------------—— I ( ------ ) sin-----( cos — ) —

o>2	R,	Ri o>2	J к Ki J «1 к Ri J

I	1	0

я

— Yi \n(—Ysin— (cos— Yds.	(8.56)

J к Ri J Ri \ Ri J

В этом уравнении три последних члена учитывают влияние па попе-
речные изгибпые колебания стрелы продольных сил. В случае, если ча-
стота изменения этих сил не находится с частотой собственных колеба-
ний о>1 в соотношение \ v = Aioi, где k = 1 : 2, или близких к этому соот-
ношению, действие продольных сил можпо не учитывать. Опп несколько
снижают частоту поперечных изгибпых колебаний стрелы и тем больше,
чем больше величина этих сил приближается к критической эйлеровской
силе Если же величина продольных сил значительно меньше эйлсров-
CI оп критической силы, влиянием их на частоту изгибпых колебании
можпо пренебречь.

В полученном уравнении: Мое — момент па валу роторного колеса,
создаваемый приводом; Р — вертикальная реакция грунта.

Выпишем значения необходимых нам интегралов:

«я	<я

я	о	я,	я,

sin	= ~~ j sin2 ф^ф = — | ------ sin 2ц> 4- -^- ф

о	о	о

= -^!_sin^4- Ъ	=	+

-In Ri я 2 Ri 4л	Ri	2

ns	г,	nR

— = ф; при s = /?, ф = — ;

Ki	Ki

пЯ

R	Rl	о2

Issin—ds='——I ф51Пф dtp = ——sin-2^------^^-cos-^-

Rl • n2 J v F r n® Ri П Ri

= RtR cos n<R~Rd
n	Ri

9

ZlLsin
яа	R,

r-R,	r.R,

R,	ч	Я,

^cos-^-^ ds = cos2 tpdtp = ——	^узт2ф 4-у ф

b	b	b

Ri	^Rs , 1 Rt nR2 _

In	Ri + 2 n	Ri

Ri  n/?2

—i- sin—

4n Ri

+ ~R.-
Подставим найденные значения интегралов в уравнение (8.5G) и по-
лучим, после сокращения на sin ,

f J/j 1 (l I \ | Mpom gjn2 nR I Mpom tlR 4-tft 

2 X ‘ dt ) ш2 Rt di- ш2 Rt dt3

+ Л1.Г1 p +-^-sin	1 d*Y' I r_?iR C0G MR-RJ __

L 2 4л	/?1 J dt2 {rt2 л

R> n(R-R,)	d2<p,	1	. nR n 1	. я/?, . c

-----rSin----5-----— ----°--------Sin ---P 4-----Sin-----Siny-S,—

Л2	Rl	dr- ш2 Rt 0)2 Ri ГЗ -

_ 2L cos — = 0.	(8.57)

<0? Ri Rt	v

Чтобы получить окончательный вид уравнения нзгибпых колебаний,
необходимо подставить значение S2 из уравнения (8.43), предваритель-
но заменив значения А/| и \/2 их выражениями через )'i и <р2.

AZj = <рл Л?л sin у1 — у3 cos Y1;

(8.58)

Д/2 = <Pi/?2 sin у3 4- FjSin —*2- — у8 cos у3;

(8.59)

(Yt + и + /Ч”. sin2 —

2 UTl Л/Т	Rt

d2Yi j MpOm	я-R d2<Pi ।

-	о HI-------------

dt2 Ы2	Ri	dta

">i	1 n i Ri (R — Ri)n ] tPEj ffij Г RiR я (R — R,)

w2 L 2 4л Rt J Ла и2 L л R1

R\	. л (R —	RJ I d2<p!	1	. nR	n Мдв	л	nR

n2	R I dt3	Ш2 Rj	Ш2	Rt	Ri

2EKFK sin-------sin y3

4------di,	г f(3 — 2>li) Л? Г<pi/?2 sin y, 4- Y, sin —

ПеС1! /2 + 4*2/1) to2 I	I

	(	1 гл •	1 dy 1	•	\	1

— y3cosy34-pK —^-/?2SinY34--—^Sin—^--------TT-cos Y3) 4-

\ at	at Rt at	/J

4- 4/2^2 — (2 — 2qJ

T-] f sin Yi — Уз cos Yi 4-
“2 <1 J L

4-be f-77-^isinYi —-% со5уЛ1} = 0.
\ at	at	/ )

(8.60)

Преобразуя, получаем

я«Е71

2EKFKsin у3 sin2 Л, (3 — 2т),)

2R3t

я*Е1

—Г	+

2R3

Ч2(Л? /2 4-4/12 Г,)

nR„ „

2E«Fk sin у3 sin2 —— h\ (3 — 24) ц*
''1

4-(/ii 6>4- M2/i)

dt

I лл • 2 ^R 1 mR ! mRi 	^(R — Rj)

4- MDOm sin2------------------ sin —5------

L	Rt 2 4л	Rt

d3Y

dt3
(Г	л3 /

4-\ 4M2-(2-2Tk)-J-A
I	lli li

/?isinyi

I 2EkFk/?j (3	2т] i ) Л1

П-(Л? Z2 +4Л2 Z,)

xsin

nR2 . , I .

—— sin2 Y3 J <Г1 4-

(2-2m)

/1, II .

Z?i siii yi +

HR..

2E,FK sin —
K K R,

sin2y3R2 (3 —2r)j) ftf

i)2(/if Z2 4 4/if Z,)

Иж^Г + 1 Л1р°п sin V’ +
dt I	Ri

RiR rn_ ^(R-Rd _ Ri n(R —R,)
V- v_/O	Olli

Ri

Ri

d’<h
Л-

l‘l I

4ЛЛ (2 2П1)-^;а

cos Yl 4

я/?.

2EK/?Ksin——- sin y3

 

t]2 (/if Z2 4 4Л; Z,)

Xcosys(3 —2i],) Л, j y3 — j

^hih2

Л? I 1

(2 —2m)----f- COSY1 +

л2 z, J

я R»	•>

2EKFKsin —sin Тз cos y3 (3 — 2rj,) h\
Ri

•|2(AfZ2 + 4/Jf/1)

dy3 . ziR r, .. я nR _
Sin-----------P - Ma.-----COS---= 0.

* dt Rl ° Rt Rt

(8.G1)

Определим теперь окончательное выражение уравнения, описываю-
щего колебания роторной стрелы на подвеске. Подставляя в уравне-
ние (8.46) выражение у(х, I) пз (8.53) и производя интегрирование, по-
лучаем

RiR «(R-Ri) Ri a(R —Ri) ] (FYl , ml? <F,,
K- \_/O	Olli

n	R,	л2	Rj J dP 3 dp

++ ^po„,7?sin ;R-

a i	i\ । a i

,	. hR2 dK, \ .	/	dy3 \

+	sin -J- ) sIn Ys — ( Уз + Ик -Д7-) cos Ye

/<! at /	\	at J J

4- ^4Л2 — (2 — 2ih) //? j 4- pK sin у,

(.. । .. ^//з A rnc«, ll । 2EKFKR2sinT3 f/o 9 \ /.•>

~ ( Уз +	~Z“ 1cos Yi 4-----—л---------—Л-

X	Л/ П Пз(Л?/24- 1/rfZ,) \

dq1. \ r> •	, / - aR2 ,z .	. nR., dY. X .

4-pK ' )J?ssinY34-(sin—— VS 4-|*Asin—------—1 )sinY3

at /	\	at /

— (1/3 4- pK -^7-) cos Y-J 4- рЛ1Л2 -(2 — 2m)X

x[fipi4 P^-^-^iSiriYi

\	at J

{уз 4-

^-)cos yi]} 4- PR 4-^a

Nr'=0.

(8.62)
Производя преобразования, получаем:

2 (1 + T)i + nf + ’ll)
Л, /2 + 4Л2 /,

EKFKRi sin’Y! sin y3sin

2EKlKR2sin2 y3 x
Л? (^l G + 4^2 G)

xsin

nR2

F,

2(1 + ’ll + 4? 4- ’1?)
h2t l2 + 4Л2 7,

EKPKRi sin Yj sin y3 sin

nR2

2EKFKR2 sin2 ya sin yy-
M*! /2 + 4/11/,)

dVi
dt

+ („.[-g^-cos	-

_±Lsill

Л2	7?!

. ч r-> •	л/? I d-K. ,

+ A1p„Rsm -771^-1

Г 2(1 + t], + I)? + ’ll)
I 7i? I., + 4ft2 /,

x£«+«/?iSin Yi |(3 —21]1)//1Л2/?25!пуз + рЛ> — (2 — 2г],)Л2 sin Yi} +

+ -2^?2S^ V3 l(3 - 2щ) Afosin у + Г4M, -

n2(ft2/2 + 4/i2/1) I	L

- (2 -2n.) 4M K.si" V J]1 (<0. + H. * ) + (MmR‘ +	-

«2*1 J	J \	ot /	\	3 j at-

Г 2 (1 + ’ll + ’ll + ’ll) ГСП' (zQ O X I, I,	1

------------;---^K\^iSinYi (3 - 2»h) ЛЛ COSY3 +

[L l>2l‘2 + 4h2ll	i

+ Г4/12	(2	27]1)ft^|C0SY1'+-^^^-((3-2lh)/2r +

I-	GJ J ’i,(/i2/2 + 4ft2/i) I

+ |4ЛЛ (2-211!)-^Los у!] (т7з + |«л d^\ + PR + Alde-Nr' = 0.

L	hJi I II \ dt /

(8.63)

Перейдем теперь к еоставлеппю дифференциальных уравнении ко-
лебаний консоли противовеса в вертикальной плоскости.

Уравнение колебаний консоли противовеса па подвеске потупим пз
условия равенства моментов сил относительно пят консоли противовеса.
Эго условие записывается следующим образом:

+x^\dx+M„mR'\±^ +^й]+

J	\ ul~	at- }	at£	at-

0

+ S»/?3 sin y4 = 0.	(8.64)

Здесь R3 — длина копеоли противовеса;

R$—расстояние центра тяжести противовеса от пят консоли;

/?з — расстояние точки крепления подвески к противовесу от
пят консоли;

/712 — погонная масса консоли противовеса;

Alnpom —масса противовеса;

<р2 —угол поворота консоли;

1/2 — прогиб консоли противовеса;

S3 — усилие в подвеске противовеса;

Y4 — У1°л между подвеской и осью консоли.
Полагаем

Уй(х, /) = sin--У» (0-	(8.65)

R"3

Определим теперь усилие S3 в зависимости от перемещений готовы
консоли п головы надстройки с учетом потерь па внутреннее и внешнее
гренке.

Подвеска консоли противовеса состоит из десяти одинаковой длины
ветвей канатов, кренящихся к рычагам коромыслов равной длины.
В этом случае при изменении расстояния между концами подвески угло-
вые перемещения рычагов коромыслов можно принять равными пулю п
гем самым пренебречь потерями па трепне в кинематических парах.
Коэффициент внутренних потерь может быть учтен обычным образом.

Усилие в подвеске консоли противовеса будет пропорционально удли-
нению Д/к

\/ж= \/1+ \/2,	(8.66)

где

A/i = #зфг sin у4,	(8.67)

A4 = f/3sinY5-	(8.68)

Таким образом,

Д/ж = /?зф2 sin + уз sin у5;	(8.69)

Y4 — угол между направлением подвески консоли противовеса и осью
консоли;

у5 — угол между направлением подвески противовеса и перпендику-
ляром к осн надстройки.

С учетом трепня будем иметь для десяти ветвей подвески пло-
щадью FK

s _ IOFKE,
8 1з

Ri Ф2 Sin + ys sin у5 4- px

, . dy. \
fa sin ~h~ +s,n
dt	at j

(8.70)

Подставляя выражения y3 и S3 в уравнение (8.64), получим

«3	р’

г Г . лх <РУ2 . xd^.i. ..	( . '1Л I о' ±~(fj \ i

m2x sin — —dx 4- Mnpo,nR3 I sin - df. + d(i )

J L R-t	I	\ з	/

U	3

4-	—^Sin yJ(fa фг5П^,’, 4-^sinYs) 4-pJfasin + s>n Ys 0.

*з	]_	\	at	al /J

Интегрируя, получаем

m2R3 diY2
n dt1

3 dt-

протез |

л/?з d-Y.

Ri

dl-

”hR3 d-<p

4- 10/xfc\^3sin yd

1з

siny* I- yssinY54-Px(^3Sin y4 dq- 4- sin

\	at	dt i

=0.

(8.71)
Преобразуем несколько полученное уравнение:



* т	г

. .	ягу. mJ?-,

4“ ^прот/?з sin	|	+ - 1 23-i +Mnpi(„, (7?з)2

10СкГЛ/?з’ .	/	d<r„ \	10EKFK/?3Siny4siny6 ,

d-----:------sin2 у4 (<р2 + рк ) Ч--------------------------( Уз +

‘з	X	at /	<з	\

= 0.
dt /

(8.72)

Уравнение изгпбпых колебаний консоли противовеса в вертикаль-
ной плоскости запишем в интегральной форме

У, (х, I) + И2	- у а (х, Si)	+ s< ^тг] -

«3

f Gi (x, s)m (s) Г д-У2Is'---	^G2(x, si)Pi(si,t)+

,1	L dt-	dt2 J

о

R

+ yi J)G2 M) AI ,	(S, /) dc.?(f-s) dy^s.l) ds = 0>	(8.73)

&s	J	ds ds

о
где

их ns
sin —— sin—~

G2 (X, s) = -I7 —^-7——;	(8-74)

mR3 o>2

0)2 = 2^1г..	(8.75)

m2R3

Подставляя значения у^(х, t), 62(x, s) и производя интегрирование,
получаем

— 3- Гу +и, Jlkl +2^nsin2^-

2	[ И dt J ш2

m2 Г 1 n" , ^3 - (Я3 — Яз)Л 1 d%

----- - 3	---s 111-------- I-

w? 2 4п	Я3 I Л£

U I 2	‘nporri .	J'»\3 u 4'

~dP~ + Sin_/?T

^3 CO3 4^3-^).

Я2

-R3) 1

--------1 dt2

1

— sin

^-siny4S8 = 0.	(8.76)



*3

11одставляя значение S3, получим

m„R3

Mnpom gjp2 -1^3

d2Ya

7?3 dt2

, ‘^npotn R3 .

)------------Sin

co*

n/?3

R'3 dt2

m2

1	। R3 sin(^3 ^з)л d:Ya m2 Рз^з co;. n (^3—R3)

2	3 ,Jl *	R’3 dP ш2 л C°S R"

О	A	О



CTsin п(^ + *з)
я2	Р’з

d’<p.
dt2

1	л/?з

— Sin----^-Sin y,

<i>2

*3

I0EKfK v

13 x

4

X I /?з«Г2 sin y4 + y3 sin yb + pK ( R3 sin y4 -^-= -|- sin y5 1 = 0. (8.77)
Группируя члены и производя преобразования, получаем

л4Е/2

2(^)3

m2^3 . (Я» *з) л

л4Е/2Р2

2(/?d3

d-Yz
dZs

Mnpom^n^~ +rn2
R3

/?3^

IOEKFK .
---2-2-sm

/»

dY.
dt

-+ Mnpronsin2

л/?3 . «2^3

IOEKFK r,” . nR, . „	/	, dtp, >

—-E-!E Яз sin	sin2 y4 (<pa + Рк ,

1з	R3	\	dt }

..n_ “ (W3 — Rs) (R3)2 . л(Л3—₽3)ll d2q
olll	I j—

В’з

л3

d/3

R, .	•	/	, dy. \

sin y4 sin y6 ( уя + |1л	).

1	dt /

лЯ

*з

(8.78)

Вз

«з

2



Нам осталось теперь нависать условие равновесия сил, действующих
на надстройку перпендикулярно оси надстройки. Обозначим приведен-
ную к голове надстройки жесткость надстройки через сн. Значение сн
определяет силу, которую надо приложить к голове надстройки перпен-
дикулярно ей, чтобы деформация надстройки вдоль направления дей-
ствия силы был । равна единице.

С учетом коэффициента внутреннего трения р3 в элементах надстрой-
ки будем иметь следующее уравнение:

с.

Уз + Рз } = Si cos у± + S4 cos y3 - S3 cos уБ.
d/ /

(8.79)

Подставляя значения Si, S2 и S3. получаем

с.

i dy,
Уз + Рз-^-
dt

2(1 + »1| +n? + n?)£«/?Kcosy1 f

ftf/2 + 4ft2/,

4Л1-(2-2П,)Л| -Mx
li J

jsinyt z/jCOsyO + p,

+ (3-2i|.)fti/b

d'ti
dt
ziR,

cos Yi

/?,

— УзСОзТз

</<h

dt

/?2sin Уз +

dy, . л₽2
——sin —-

dt

2EKFK cos y3

Пг(Л|/2 + ^/,)

Ri

4Л1Л.,_(2-2Ч1)-!--^

/«2	<1

dy.

COS у,
dt 3

(<piRi sin Yi — y9 cos Yi) +

d«p,	dy,

—--------cos yi

dt	1 dt

?2siny:,+

-|“ У i sin



лЯ»

Ri

— Us cos ys + P,

sin у3 +

dt

. :iR.
SIH------'

Ri

dy,
 COS y3
dt 13

__\OEKFKcvs y5

/з

sin y4 + r/ssin y3 +

+ P« (fosiny,-^--j-siiiys-^-) }.

Как уже было сказано в начале настоящего параграфа па
н амплитуды колебаний конструкций роторного экскаватора

(8.80)

час юты
в верти-

калыюй плоскости может оказать существенное влияние податливость
грунта и опорных устройств (ходового оборудования, ппжнен рамы, по-
воротной платформы и опорно-поворотного устройства), а также подат-
ливость механизма качания верхнего строения роторного экскава юра.
390
Оценка податливости грунта и опорных устройств роторного экска-
ва юра так же, как и при расчете отвалообразователей, может быть вы-
полнена введением некоторого коэффициента податливости или коэф-
фициента основания или коэффициента жесткости его (рис. 155).

Обобщенным коэффициентом жесткости основания можно называть
коэффициент, характеризующий момент, действующий в плоскости ко-
лебаний и вызывающий единичное угловое перемещение поворотной
платформы или верхнего строения экскаватора. Иногда требуется вво-
дить в расчет коэффициенты жесткости, характеризующие жесткость
грунта основания и жесткость основных узлов опорных устройств,
а также механизма качания и учесть существующие зазоры в узлах [17].

При введении обобщенных коэффициентов жесткости основания рас-
чет усложняется, хотя и пе столь существенно. Если учитывать кппетп-

Рпс 1№ Расчетная схема роторного экскаватора для составления уравнений коле-
баний в вертикальной плоскости с учетом деформатнввостп основания

ческую энергию колебаний поворотной платформы вместе с надстрой-
кой, то необходимо введение дополнительного уравнения.

При составлении дифференциальных уравнений колебаний вместо
координат <р| и <р2, характеризующих угловые перемещения роторной
стрелы и консоли противовеса, следует ввести в членах, определяющих
инерционные нагрузки <р( + <р0 и <р2 + <р0, где <р0— координата, характе-
ризующая угловое перемещение поворотной платформы в вертикальной
плоскости. Такое представление перемещений приводит к некоторым по-
грешностям за счет того, что ось поворота экскаватора пе совпадает
е пятами роторной стрелы и консоли противовеса.

Более точные уравнения получим, если перемещения точек стрелы и
консоли противовеса будем представлять в виде суммы пе угловых, а ли-
нейных перемещений с учетом их направлений.

«Линейные перемещения точек стрелы ротора и консоли противовеса
за счет угловых перемещений выражаются в виде произведений угло-
вых перемещений их иа расстояния от прямой, относительно которой
производи юн опрокидывание поворотной платформы. При определении
iiiiepunoniiilx нагрузок па конструкции роторного экскаватора следует
вторую производную по времени от углового перемещения умножить
па расстояние от прямой, относительно которой производится опроки-
дывание поворотной платформы до центра тяжести рассматриваемого
узла и па массу единицы длины роторной стрелы пли приемной консоли.
Массу ротора или противовеса следует умножить па косинус угла между
осью стрелы и направлением, по которому отсчитывается расстояние от
выбранной точки до прямой, относительно которой происходит опроки-
дывание экскаватора

Следует указать на то, чго прямая, относительно которой происходит
опрокидывание поворотной платформы, в общем случае не лежит в пло-
скости поворотной платформы пли опорно-поворотного устройства. Кро-
ме углового перемещения при опрокидывании, поворотная платформа
может иметь поступательное перемещение. С достаточным приближе-
нием во многих случаях поступательным перемещением поворотной
платформы при опрокидывании можно пренебречь. При точных расче-
тах ииог г i его следует учитывать. Однако следует сказать, что в боль-
шинстве случаев можно ограничиться исследованием колебаний кон-
струкций роторного экскаватора в вертикальной плоскости исходя из
упрощенной постановки задачи, тем более, что часто бывает трудно опре-
дели гь, относительно какой прямой происходит опрокидывание пово-
рогной илагформы.

Полученные уравнения колебании конструкций роторного экскавато-
ра в вертикальной плоскости в случае, когда требуется учесть упругость
основания, следует допочипть уравнением угловых колебаний всего экс-
кава юра на упругом основании. По приводя промежуточных выкладок,
запишем уравнения колебаний конструкций роторного экскаватора в
вертикальной плоскости с учетом упругости основания.

Уравнение нзгибпых колебаний роторной стрелы

2EKFK sin у3 sin2ftf (3 — 2т],)

т)2 (Л|/2 +

2ЕКЕЛ sin Уз sin2 —— h\ (3 — 2r])pK

+------------------Rl -----

Т)2 (ftf/2+4/^/0

' я«Е/,
2/?f

|wporasin

2л/?

Я.

+ si„ я (/?-/?,)	+|Г4М2_(2_2111) АЛ] fl1SinV1 +

4 Л	Г\£ J и/2	([_	Лл <1

2ЕкЕя/?2(3-2щ)Л1	я/?,

ч---------------------sin-----— sin- Vs

T)2(/4/2 + 4/4/,)

4Л1Лг — (2 — 2 гц)

X

2EKFKsin

X sin уд -j-

Я/?.> о	. 9

sin-y3/?3(3 — 2г),)Л?
*1

T)2(/if/2 + 4Л2/|)

„ Jr.

dt

И +

+ { R sin +m	sin

(	/?1	Я	/?,	Я	/?!

rf2(Ti । I лл .	, •	я/? i ~ Г ^/?	я(/?— Я1)

+{M„.„(/e + <,)s,n—+m,J-^-Cos-L-

iLsin-M*^

Я	/?!

|	- {[ 4ЛА. - (2 - 2^)-^- ±

J	ft, /,

cos Y1 +

c .	я/?2 .

2EKFK sin sin y3

’h (/zi^2 +

cos Ys (3 — 2щ) h\ y3 — {[4й1Л2 —
Л3 t

_(2-2П1)-^ ±

Ло /1

о	о

2EKFK sin ——- sin y3 cos ys (3 — 2r)() Л|

COS yi 4----------------5----------------------------

t]2(ft2 /2 + 4Л|/()

X ------------sin nR P — Mb— cos  nR = 0,	(8-81)

Гк dt	Rt	Ri R,

где
R
(‘	ns ,

I (s + a) sin ds

m, = m!^-K-------------------- ,	(8.82)

(‘ . ns
| s sin ——- ds
J Ri
0

a — расстояние пяты стрелы до перпендикуляра к стреле, проходящего
через точку, относительно которой происходит опрокидывание пово-
ротной платформы.

Уравнение колебаний роторной стрелы па подвеске

2 0 +т), +r)f + т)?)
л2/2+4Л2/,

FkPkRi s’n Yi s’n Ys s'n

nR2
Ri

4- 2£KFK/?2sinJY3 s.n л^у1 + pO+Tii + ^+jjl) x
Чг (Л|)2-f-4Л2/])	J _	Л|/2 4- 4Л2/ i

„n	2£KFKR2sin2Yssin-—

X^F^iSinYiSinY3sin^ +-----------—-------—p-	+

Ki	т)2(Л|/2+4Л|/,)	dt

+ L, Л2.cos	sin »<*-«>.! +

I L « Ri ** Ri J

+ MpomR sin

nR I d*Yt

Rt J dt* +

EJ^Ri sin YiK3

— 2th) hjhiRz sin уз +

4/if -(2 — 2П1) Л? sin Y1| +

h _ 2YK₽2SinJ\ ((3 - 2iH) h\R2 sin уз 4- 14/hAe -
т)2(л2/2 +4Л2/,)

zo о x ,1^2 1 г, • I /	, dtr. \ , I..	. m1R2\ri2tfI

— (2 — 2тц) p?1siny1/ I qh + pK ——J + lMpomR2 4	- I —

• 12*1 ]	J \	J \	«J / “•	1"

+ (R 4- a) + (R + -y a)]

d2ip0
dt*

2(1 4-T), +т)2 + т)3)	.	.2

-------------7-------- EkFkR sm Y1 {(3 — 2ih) hJh cos y3 4-	—
л2/24-4л2/,

— (2 — 2т)1)Л?у-] cosyij 4-

„ л л?/3 1	Г

— (2 —2rh)— — cosyil
Holt I	)

2EkFkR2 sin Ys
т)4(Л?/24-4Л2/1)

(i dy3

Уз + Ик "

dt

(8.83)
Уравнение пзгнбных колебаний консоли противовеса

я*Е1а ~1 у . я*Е12ца I
z(R3)3 J 2	2(Л)3 J

^-+ М,
dt

' sin2
прот

^3

где

Sin
4л

d2Yt
dt2

R"3 Sin sin* Л<p2 + Нк +

l3	R3 \	dt ]

+ U„p<Wl/?8 sin - + m2
l	^3

(R3)2 

-——sin

/?3*3	n(/?3— fl3)

------cos-----------

n	R3

<51^11	+ K„ (% + ») sin

R3 JI dt 1

*з*з cos я^з-^з) ^3^sin n^3~^3^
л	R3 n*	R3

. 10£.FK	л/?. .	•	/	, dys \

4----, ~ sin-^2-sin y4 Sin у6(£/з + Рк—77-1

‘s	R3	\	dt }

dl<f0 .
dt2

(8.84)

Я,
f	Л8

I (s + b) sin--ds

J	R3

m2 = m2-^—-------------------

P	JIS

I s sin--ds

J	R3

(8.85)

b — расстояние пяты консоли до перпендикуляра к осп консоли, прохо-
дящего через точку, относительно которой происходит опрокидыва-
ние поворотной платформы экскаватора.

Уравнение колебании консоли на подвеске

I Л Г п' •, П^3 1 d'Y г .	т2^3 . лл / Г>'\2 ^*Ф2

4" Мпротез Sin	I 4	Ч-^лрот(^з)

j	<j	ut“

fa + -о &) + M„™R3	+

10ЕжГк/?3

10Ек^/?з51Пу451Пуь

1з

1з

'	। dy3

//з + Пк—77
at

(8.86)

Условие равновесия сил, действующих па надстройку, останется

в прежнем виде:

2О +Ч| 	C0STi (Г •>	9 I

_ V -Г II -Г IIT-Л/ -------П 4ft2 _ (2 _ 2т1|) h2 х

Л*/24-4Л*/(	IL	li J

X |(<ri/?isinY1 — £/scosy1)4-pAf^1sinY1-^- — cos71 -^-1

\	dt	dt /

4" (3----21]!) hi/l;

2 (<Ti/?2 sin Ys 4-У1 sin

я/?2	\ .

—— Узсоэдз 4-

«1	/
+ и‘ ('?!Sin v’+ 5in “ ДГ cos Ч]} +

2£Kf к cos уя	I

П2 (А? 12 +	I

4M2-(2-2ih)-r-V
h2 li

I(q>i/?isin Yi — £/э c°s Yi) +

4- цк Isin у, --------cos yi + (3 — 2tji) h\ Ц<Р1/?2 sin y3 4-

\	al	at /

+ Л sin	— y3cos y3 + pK R2 sin Ya + sin	cos у2) —

_J.?£«r«cosb Г^{f2 sjn у4 + lj3 sin Y5) + |1k /fl’ sin у4 ^L? + sjn Ys 1

(8.87)

Уравнение колебаний роторного

I -4- c cn 4- c u d<r°
‘0	.... T 4% т сОГгр ..

at£	at

экскаватора на упругом основании

+ (^(^ + 0)5-10-^ +

I	Al

+ 2^cos 2LV-™
L л Ri

_^Lsin_£<^Ll) ^i_ +
л	R1 ]| dP

+ [Л1РОП1/? (R + a) + {R + A a) J	- { Млрот(7?з +

-{ />)sin 4- m-,
*з

*3*3	л(^3 — ^з)

------cos	

л----*3

sin *{/^~R3} 11 d2Y*
n« /?; Ji dr-

MnpomR3 (R3 + b) +	(/?3 + -|- 6)	+ Mde +

+ P(R + a) — Nh =0.	(8.88)

где /о суммарный момент инерции конструкций экскаватора отиосп-
гельно линии опрокидывания.

В дополнение к полученным уравнениям, особенно при исстслованпн
тинамнкп привода роторного колеса, требуегся добавить дифференци-
альные уравнения, описывающие колебания ротора относительно осн
вращения. Эти колебания происходят вследствие того, что жесткость
валов и передач от роторного колеса к двигателю является конечной.
Обычно эти колебания имеют весьма высок ю частоту и не сказываются
сильно па общих закономерностях динамических процессов, происходя-
щих при работе роторного экскаватора. Однако при опрсюлении дина-
мических нагрузок, действующих па элементы и узлы привода, введение
этих уравнений в общую систему дифференциальных уравнений оказы-
вается необходимым. Эти уравнения имеют простой вид

Jpom d4,i V—°- + с(ф — a) + СИл_---) + Л1.р = 0;

рот dt-	н ’	* пр\ dt dt) р

^в-'^+С(а-ф) + СРлр(-^--^) + Ли= 0.	(8.89)

При комплексном методе расчета Идв подставляется в функции от
электрических величин, описывающих переходный процесс в электро-
приводе. В уравнения колебаний роторной стрелы па подвеске п колеба-
нии экскаватора па упругом основании войдут дополнительные чле-
ПЫ / рот ,
dl*
В этих форму iax: ф — угол поворота роторного колеса;

а — угол поворота якоря двигателя, приведенный к валу ротор-
ного колеса;

С — жесткость привода, приведенная к валу роторного к дсса;

Цпр — коэффициент, учитывающий затухание колебании в приводе;

/р.,т—момент инерции роторного колеса с учетом массы грунта, на-
ходящегося в ковшах, относительно осп вращения;

]йв—момент инерции привода, приведенный к валу роторного ко-
леса;

Л/.р — момент, действующий па роторное колесо со стороны грунта

Исследование полученных уравнений легко выполняется па электрои-
по-модслирующих установках. Моделирование динамических процессов
в роторных экскаваторах впервые было выполнено нами в 1961 г. при
исследовании динамики роторного экскаватора ЭР1ПР 2600 50/5, произ-
водительностью 11 000 м'л/ч конструкции НКМЗ. В дальнейшем в
1962—1963 гг. были выполнены исследования динамических нагрузок
методом электронного моделирования ЭРГ-350/1000 и ЭР Г-400/1 000,
а также более подробные исследования экскаватора ЭРШР 2600 50/5

Задание функций, описывающих изменение реактивного воздействия
грунта па роторное колесо экскаватора, выполнено с помощью специаль-
но сконструированных электрических приставок к ЭМУ. Методика со-
ставления машинных уравнений принята обычной.

Прн моделировании процесса стопорения роторного колеса следует
иметь в виду, что связь роторного колеса с грунтом односторонняя. На-
грузки со стороны грунта при стопорении могут действовать только в
одном направлении. При отходе режущей кромки от грунта прн коле-
баниях конструкций связь с грунтом нарушается.

Обычно линейная скорость движения режущих кромок ковшей за
счет вращения ротора бывает значительно большей линейной скорости
режущих кромок ковшей за счет колебаний роторной стрелы экскава-
тора или ротора экскаватора вследствие динамики машины, поэтому
отрыв режущих кромок от грунта обычно не наблюдается. Случай от-
рыва режущих кромок от грунта более вероятен для очень прочных и
хрупких пород. Колебания роторной стрелы экскаватора приводят к то-
му, что линейная скорость движения режущей кромки оказывается не
постоянной в тем большей степени, чем больше амплитуда колебаний
роторной стрелы. Линейная скорость режущей кромки ковша без учета
поворота экскаватора может быть определена по следующей формуле:

VK = рЛфгCOS[З)2 + hivsinii + Ф1 (/?+г)-Г Фо(^+г + «)12- (8.90)

Эту формулу при больших амплитудах колебаний стрелы экскавато-
ра следует использовать для корректировки и увязки закона изменения
реактивного воздействия грунта па роторное ко песо с колебаниями ро-
торной стрелы экскаватора, которые приводят к тому, что масштаб вре-
мени в графиках, описывающих реактивное воздейс1вие на ковши со
стороны грунта, приходится выбирать переменным.

Введение в дифференциальные уравнения ко сбаппй конструкций
роторного экскаватора дополнительных членов, учитывающих затухание
колебаний, можно выполнить приближенным более простым методом.

В этом случае сначала должны быть получены уравнения колебаний,
не содержащие членов, учитывающих затухание. Полученные уравнения
приводятся к такому виду (без учета нелинейных членов):

х/ + <х, + А(ху) = Л;	(8.91)

/,/=1,2....л; j ф i
Подставляя в уравнения х,- 4- р,х,- вместо х,-, получаем

* *	2 ’	*>

xz + 11,(0, Xi 4- <oj xt 4- fi {Xj) = F,
i.i=i.2.....nj i

(8.92)

6.
где p, = — — .
r 2 л <0,

Значения коэффициентов 6,- вводятся исходя из опытных данных.

Так, декремент затухания колебаний металлоконструкции, например
изгибпых колебаний стрел, можно принять 6; = 6,084-0,1, для затуха-
ния колебаний канатных систем можпо принять б; = 0,25 4-0,4. Решение
полученных таким образом уравнений получается более простым.

Введение членов, учитывающих затухание колебаний, в уравнения,

описывающие динамические процессы в роторных экскаваторах, упро-
щенным приближенным мето том может быть выно шсио также и в ме-
нее строгом виде без приведения уравнений к виду (8.91).

В этом случае составляются уравнения колебаний без учета сил
внешнего и внутреннего трепня. Вид этих уравнений легко получить из
системы (8.8U), приняв т] = 1 и р, = 0. Заменив в получении без учета
диссипативных сил уравнениях г,, <pj, уз па У; 4 р;---, <р.- г р.-——,

dl	dt

dy3
dt

Уз 4 р

получаем систему дифференциальных уравнений

с включе-

нием членов, учитывающих затухание.

Значение коэффициентов щ можпо получить из экспериментальных
данных пли используя приведенные выше рекомендации. Если при пере-
мещении, соответствующем какой-либо координате, происходит дефор-
мация и металднческнх конструкций и канатов, то можно принимать за
расчетный приведенный коэффициент, учитывающий затухание колсба
пнй. Приближенное значение приведенного коэффициента можпо поду-
чить по следующей формуле:

Р»«б1 4

И/ =

б; 4 Cj

(8.93)

где рн и pat — коэффициенты затухания для стали и канатов;

Си- и C2i — расчетные жесткости металлоконструкций и жесткость
канатов при деформации, опредечяемой соответствую-
щей координатой.

При введеппи коэффициентов затухания в действительной форме
необходимо учитывать, что они должны быть приведены к соответствую-
щей частоте колебаний. Если исследуются резонансные колебания, их
следует приводить к резонансной частоте. Если исследуются вынужден-
ные колебания, их следует приводить к частоте изменения нагрузок.

При исследовании мпогочастотиы.х колебаний необходимо перехо-
дить па представление членов, учитывающих затухание, в комплексной
форме. Приближенно можно сделать приведение к главной гармонике
колебаний, поскольку представление коэффициентов затухания в ком-
плексной форме затрудняет моделирование получаемых дифференци-
альных уравнений.

Вводя сокращенные обозначения коэффициентов после некоторых
преобразований, сводящихся в основном к исключению из уравнений
переменной уз, характеризующей деформацию надстройки, можно по-
лучить следующую систему дифференциальных уравнений, описываю-
щих динамические процессы при колебаниях конструкций роторною
экскаватора в вершка iwioii плоскости без учета уравнений колебаний
ротора относительно привода

Фо = — О1Ф1 — а2ф2 + «3Г1 — о4У2 — ад>0 — «5pi<p0 — ааР — а7Мдв;

Ф1 = — bi<p0 — Ь-У! — Ьзф! — 6,р2ф1 — b^i — btY j — Ь5<р2 —

— 6ьРзф2 + ЬвР + Ь7Мдв;

ф2 = — с1фо — &гХ 2 — с3ф2	с3113<р2 — С4Ф1 — С4Р2Ф1 — сьУ 1 — СзщУ!;

Л = ^1ф0 — 4-Ф1 — </3ф1 — <4Нгф1 — dfYi — т/4р4У 1 — ь/Бф2 —

— 4>11зФг — dgP — d7Mds;

i'2 = —	о — е»фг — е3У2 — е3рБУ2.	(8.94)

Чтобы исключить паразитные связи в структурной схеме моделиро-
вания па Э.МУ-8, необходимо несколько преобразовать уравнения, так
чтобы два любых уравнения не содержали вторых производных от двух
одинаковых координат (это требование пе всегда бывает обязательным).

Получаем следующую систему дифференциальных уравнений:

Фо = Л	~ Лфг — АУ> — Аф1 — Л4ц2ф1 — Ay j — Лбр4У t +

+ Лф2 + ЛизФг — А? Фо — А7 р !<₽(, — А6Р — А9Мдв;

Ф1 — Д1Ф0 — ^гф1 — ^зРдФт + BSY! + В3р4У j — В4Ф2 —

— ^«НзФг + С&Р В0Мдв;

Фг =	— су j—су2 + С4<р0 -}- С4Щф0—C5q>2—С5 р з<р> —

— Qpi — СвРгф! — C7Y! — С7р4Ул 4- С8Р -}- CeAIt)e;

Yi = — £>1^2 — D,Y л — D9Y0 — D3pt<Po — ^Лфг — ^РзФг —

- Я5Ф1 - Ds9^Pi - Dyt - £>вр4Л - D7P -

К. = £>Ф1 + /-2Ф1 + £3Р2ф1 + Су л -|- /:3р4У л + £4ф2 +

+ £4‘зф2 — су 2 — Е5р51<2 — Свр — E7Mde.	(8.95)

На рис. 156 представлена структурная схема для электронного моде-
лирования полученной системы дифференциальных уравнений колеба-
ний конструкций роторного экскаватора ЭРП1Р 2600 50/5 в вертикаль-
ной плоскости с учетом затухания колебаний *.

Задание фуш ций Abe и Р, имеющих пилообразный характер, выно i-
нялось с помощью специального прибора — релаксатора (рис. 157). От-
дельные участки пилообразной кривой могут быть иредсгавлены в виде
постоянной и переменной составляющих. Постоянные панряжения пода-
вались с помощью периодического включения реле. Для образования
переменных составляющих использовались два RC контура, выходные
напряжения которых являются функциями времени

U = U0{l—e V J’	(8.96)

* Псследованпя выполнены совместно кафедрой строи ельпых машин МПСИ вм.
Куйбышева и кафедрой конструкций машин УДП нм. П. Лумумбы под руководством
автора.

398
Рис 156. Структурная схема для электронного моделирования ho-ieCainifi роторного
экскаватора в вертикальной плоскости
где г — постоянная времени. Включение контуров RC, а также реле,
управляющих постоянными напряжениями, осуществлялось с помощью
реле времени.

Рис 157. Принципиальная схема релаксатора, задающего нагрузку на конст-
рукцию роторного экскаватора при моделировании

На рнс. 158 показаны осциллограммы, полученные при моделирова-
нии свободных колебании конструкций экскаватора в вертикальной пло-
скости при различных начальных условиях без затухания и с затухани-
ем. В последнем случае высшие гармоники колебаний быстро затухают
п фактически имеются одпочастотпые затухающие колебания.
26 Заказ 314

50

Рис. 158. Осциллограммы колебаний конструкций роторного экскаватора ЭРШР-2500 — в вертикальной плоскости:
О

о

в — с учетом затухания при мгновенном приложении нагрузки р - 100 т; б — сонетом затухания при начальном отклонении ф; - 0.0015рад-, в — без
учета затухания при мгновенном приложении нагрузки р - 100 т; е — без’учета затухания при начальном отклонении ф: - 0,001а рад
50

Рис 159. Осциллограмма колебаний конструкций роторного экскаватора ЭРШР-2600 -—в вертикальной плоскости при числе оборотов ро-
5

тора п = 5,2 об мин:

а — с учетом затухания прн Л - 0,50; б — с учетом затухания при Л “ 0.65D в — без учета затухания при Л - 0.50; г — без учета затухания при ft — 0.65D
50

Рис 160. Осциллограммы колебаний конструкций роторного экскаватора ЭРШР-2600—в вертикальной плоскости в резонансном режиме
О

при числе оборотов ротора п = 3,8 об!мин, h = 0,50:

а — без учета затухания; б — с учетом затухания
Ия рис. 159 показаны осциллограммы колебании конструкций ротор-
ного экскаватора, получающиеся при работе экскаватора с различной по
высоте стружкой (Л = 0,5/9 и h = 0,65/9, где /9— диаметр ротора), и
числе оборотов ротора, равном 5,2 об/мин.

При обоих значениях h ко «сбанпя мало отличаются друг от друга,
поскольку загрузочные кривые идентичны. При h = 0,5/9 вход и выход
ковшей из грунта совпадают, и число скачков нагрузки за оборот ротор-
ного колеса равно числу ковшей, а при Л = 0,65/9 число скачков в 2 раза
больше, так как вход и выход ковша из грунта по времени нс совпа-
дают, в последнем случае вторые скачки небольшие п мало сказыва-
ются на форме нагрузочной кривой. Система находится вне резонанс-
ной области. II в том и в другом случае амплитуда колебании не
велика.

На рис. 160 показаны осциллограммы колебаний конструкций ротор-
ного экскаватора при Л = 0,5/9 и числе оборотов ротора, равном п =
= 3,8 об/мин. Система находится в резонансной области, без учета зату-
хания амплитуда колебаний быстро возрастает. При учете затуха-
ния амплитуда колебаний имеет ограниченную величину и не превы-
шает начальных амплитуд колебаний, возникающих при включении
ротора.

§ 3. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИИ
КОНСТРУКЦИИ ЭКСКАВАТОРА

Крутильные ьочебания конструкций роторного экскаватора проявля-
ются в основном в крутильных колебаниях роторной стрелы. На с грезу
воздействуют скручивающие моменты, вызываемые периодически изме-
няющимися во времени реактивными воздействиями грунта на роторное
колесо экскаватора. Роторное колесо обычно устанавливается несим-
метрично относительно осп стрелы. Равнодействующая усилий конання
нс проходит через ось жесткости роторной стрелы. Вследствие этого
имеется момент, вызывающий кручение стрелы.

Крутящий момент воспринимается самой стрелой и подвесками стре-
лы, которые передают усилия на надстройку, вызывая се деформацию
(кручение и изгиб). При этом вследствие неодинакового смещения
подвесок । hico.hi противовеса происходит кручение консоли проти-
вовеса.

Таким образом, кручения роторной стрелы, надстройки и консоли
противовеса оказываются связанными между собой.

Инерционные силы нрн крутильных колебаниях экскаватора в ос-
новном оире щляются моментами инерции роторного колеса и проти-
вовеса.

Моменты инерции стрелы ротора и консоли противовеса оказывают
влияние на характер формы крутильных колебаний стре1ы и консоли
значительно меньшее, н в практических расчетах во многих случаях ими
можно пренебречь.

При учете моментов инерционных сил распределенных масс стрелы
ротора п консоли противовеса, исходя из приближенной формы крутиль-
ных колебаний, получаемая ошнб а в частотных характеристиках и ам-
плитудных колебаниях нс будет иметь существенного значения.

Из условия Даламбсра дифференциальные уравнения крутильных
колебаний могут быть записаны следующим образом:

4°'-+sin yi+=0;

К( — /<2
PU2 + S2«2 sin Y3 + dCck - (02 - 0,) +	02 = 0:

-i\2	*'2

- + P-<3 + Ss«3sin Y* + e3 = 0.	(8.97)

dt*	Rz

В этих уравнениях:

/рк—момент инерции установки ротора на кручение, определяемый
по формуле

JPK = r]dm,	(8.98)

Vpom

где Г| — расстояние массы dm установки ротора от оси закручивания
роторной стрелы. (Интеграл берется по всему объему установ-
ки ротора);

Jkk — момент инерции противовеса на кручение, определяемый по
формуле

JKK= f fam;	(8.99)

у
г прот

г2— расстояние массы dm противовеса от оси закручивания кон-
соли;

T’ui — приведенный к ротору момент сил инерции на кручение ротор-
ной стрелы;

Ри2— приведенный к промежуточной подвеске момент сил инерции
на кручение роторной стрелы;

А.з—приведенный к противовесу момент сил инерции па кручение
копсо in противовеса;

0i — угол кручения ротора (приближенно можпо считать, что 0|
равен углу поворота сечения роторной стрелы в месте крепле-
ния основных подвесок).

Й2 — угол кр чеппя стрелы ротора в сечении, к которому крепятся
промежу точные подвески;

Оз — угол кручения противовеса (приближенно можпо считать, что
Оз равен углу поворота сечения консоли противовеса в месте
крепления подвесок);

Si — суммарное усилие в ветвях головной подвески роторной стрелы;

Yi — угол наклона подвески роторной стрелы к осн стрелы:

О| — половина расстояния между правыми и левыми ветвями под-
весок;

S2- суммарное усилие в ветвях промежуточной подвески роторной
стрелы;

уз— угол наклона промежуточных подвесок роторной стрелы к осп
стрелы;

а2—половина расстояния между правыми и левыми ветвями про-
межуточных подвесок;

5з — суммарное усилие в ветвях подвесок консоли противовеса;

Y< — угол наклона подвески консоли противовеса к оси консоли;

«з — половина расстояния между правыми и левыми ветвями под
весок консоли противовеса;

с.к — жесткость на кручение единицы длины роторной стрелы;

скк — жесткость па кручение единицы длины консоли противовеса;
Снк — жесткость на кручение надстройки.
Функцию, описывающую закон крутильных колебаний, на основании
сказанного выше можно принять в виде

0(х, t) = xQ(t).	(8.100)

Подсчитаем кинетическую энергию крутильных колебаний роторной
стрелы. Обозначая момент инерции единицы длины роторной стрелы
через JCK, будем иметь

«	гг R,

т JcK С / de	JcK ( ао, X )2

1	и  J \ dt J  0 Rt—Rt  > У й 0  [учаем	2 J i dt /?2j _Lo  Гр +  /?!-/?. Jj JJ  4- 2k 0* 4-	(),o
+ 4ЛАА/1 + Ик IP - 2щ) h]\l2 - (2- 2t]i) h-	I;

«2 ‘1	J J

S3 = ^EkF“- (AZ3 + цД).	(8.106)

‘3

Значения Л/|, \l?, \/3 определяются следующими выражениями:

Д/i =a101sin-y1 — y3cosy2,*

△/., = a,02sin уз — уз cos у2;

A/j = а,03 sin у4 + уз cos у5,	(8.107)

где у2, 72’ Y5 — углы между подвесками и перемещением головы над-
стройки у' при кручении.

Подставляя их в выражения для Sb S2, S3, подучаем

2(1 +r)t + т]2-}-1]3).		-

Sj =-------------{(3 — 2гц) hxh2 (a202 sin y3 — y3 cos y2)+

^ + 4/^

4A2 — (2 — 2m) Л?-y-1 (mOisinyi — y3cosy2) -Ьрк[[(3 —
‘1

—2T]1)h1ft2(H2b2sin у., — УзСО5?2) + 4Л2 — (2 — 2i]t) A? M

»1 J
X (ajOjSiny! — Уз cosy,)]]};

X

S2 =-----?e*Fk |(3 — 2m) А? («20» sin y3 — y3 cos y2) 4-

n-(A?z2+ 4ft^)

ft?
4AIA2-(2-2m)-7L
ft2

y- (mOjsiny!— уз cos y2) 4”	[ [(3 — 2va)A? x

Г	ft? i

X (a202 sin y3 — y3 cos y2) + 4AtA2 — (2 — 2m) — -f-

L	"2 <1 .

X (aiOisinyi — y3Cosy2)]]};

X

S, = —~kFk [as03sin y4 + уз cos y5 + pK (a36s sin y4 + y3 cos y5)]. (8.108)
‘3

Уравнение, связывающее усилие Sb S2. S3, имеет следующий вид:

(, dy3 \

Уз + Ик —— ) = Si cos y2 + S2 cos уз — S3 cos ys. (8.109)
Л /

С учетом затухания колебании в металлоконструкциях стрелы и кон-
соли противовеса уравнения (8.105) примут следующий вид:

( JPK +	^4^4’01 + JCK	+ Si sin У1«1 +

+<°‘ - °’) + -e’-) = °;

Kj - /<2

Jck —i r.—" 9i + JCK —- 02 + S2 sin y3a2 4— CK (0j — 0i) 4-
o	3

4--^024- -Cckd р(б2-ё1)+Ис-^б2 = 0;
/\2	--*\2	К*

(JnK +	4- S8siny6a3 +	03 4- b3 = 0.	(8.110)
Подставляя значения Sb S2, S3, получим следующие уравнения кру-
тильных колебаний:

— ^3

CK 3

₽! — /?,

CK 6

n'?)^6Ksiri y,a,
—--------------- X

Л?/2 + 4Й5/,

(3 — 21]!) /^Л» (л20> sin y3 — y3 cos у2

(оД sin у, — уз cos y2) +)4 11(3 — 2t1i) М2 («2 sin ys62 — cos y2 Уз) +
+ j— (2 — 2тн) Л? у- + 4Л? j (a! sin у Д — cos y2 у3)j jj +

+ -уу^-(01-°2) + у^- Д-e2) = 0;

+ JCK4- 0= + —2-^4sin^ 1(3 - 2П1)h\ (я2е2sin y3 -

6	3	112(^2-1-4^/!)

— Уз cos T2) 4- — (2 — 2T]!) 4 4 + 4Мг (Mi sin yt — yacos y2)+
hi /1

+ Рж [КЗ — 2i]i) h2i (п2 sin уз б2 — cos у2 у'3) +

+ 4ЛХЛ.] X

X (oisinу!^! — cosу2уз]]I +—-^d-(02 — 0i) + -^-02 +

К j-r\2	<\2

ПК

Нс(O2 - 01) + ~ He 02= 0;

/<1 — i\2	^2

} Д -г 10Mk sin т<Оз | sin v< у' cos T.)
/	‘3

+	=0;

*'з	*V3

,2

^1^2+ 4ft|/|

{(3 — 2т]!) /ij/i2 (a202sin ys —

— y3 cos 72) + Рк (3 — 2i]t) hih2 (a2 sin уД — cos y2 y'2) +

+ (2 — 2т]!)Л?-^- + 4ЛЛ [(«! sin Т!0я
*1 J

COS у2 Уз) +

+ pK(a1siny161 —cos у2уз)]| 4-----. 1(3 —2т]!)/?! X

П2(Л?/2 + ‘1Л^)

x |(a2 sin y302 — cos y2 Уз) +pK„(a2 sin y3 02 — cos у2уз)] +

Л3

+ -(2-2П1)МЛ +4Л,//2
h„ I.

«iSin^Oj — cos у.у'з) +

+ рл (ai sin уД — cos y2 уз) I}----------------cos y5 X

‘3

где p,., Цкп—коэффициенты, учитывающие затухание крутильных коле-
бании металлоконструкции роторной стрелы и консоли противовеса.

X

X

X

3

Л
Для вынужденных крутильных колебаний конструкций роторного
экскаватора в правую часть первого уравнения следует подставить вы-
ражение крутящего момента в функции времени. Для этого проекцию
равнодействующей реакции грунта на перпендикуляр к оси стрелы сле-
дует умножить на расстояние от осп стрелы.

При определении максимальных амплитуд свободных колебаний при
стопорении определяется начальная скорость поворота роторного колеса
прн кручении стрелы (О()о из условия стопорения.

Уравнения крутильных колебаний роторного экскаватора получаются
достаточно простыми, если пренебречь демпфированием колебаний.

Рис. 1G1. Структурная схема электронного моделиро-
вания крутилып х колебаний конструкции роторного
экскаватора

Вследствие этого собственные колебания могут быть легко рассчитаны
без применения методов электронного моделирования. Если предста-
вить действующие па роторную стрелу во время работы крутящие мо-
менты в виде некоторых функций, образующих ряд Ф рьс, то нс пред-
ставит больших затруднений и расчет и исследования вынужденных кру-
тильных колебании. Однако исследование крутильных колебаний
с учетом демпфирования, а также с учетом реального воздействия грун-
та па роторное колесо экскаватора следует рекомендовать выполнять
методом электронного моделирования. Основное внимание следует уде-
лять проверке условий возникновения резонансных режимов колебаний,
являющихся нежелательными.

Расчеты показывают, что одна из трех частот колебаний обычно бы-
вает значительно выше двух остальных частот. Это говорит о том, что
полученную систему дифференциальных уравнений можпо упростить.
Очевидно, что можно пренебречь величиной кинетической энергии кру-
чения металлоконструкции роторной стрелы по сравнению с кинетиче-
ской энергией ротора, пли, точнее, привести момент инерции массы стре-
лы к ротору экскаватора. Это дает возможность установить однознач-
ную зависимость между координатой 02 и координатой Оь

Определив та <же пз последнего уравнения у' н подставив его в
остальные уравнения, систему дифференциальных уравнений крутильных
409
410

Рис 162. Осциллограммы крутильных колебаний конструкций роторного экскаватора ЭРШР— в резонансном режиме при числе оборо-
Э

тов ротора л = 4,5 об!мин h = 0,50:

а — первый вариант нагрузки, без учета затухания, б — второй вариант нагрузки, без учета затухания; в — первый вариант нагрузки с учетом зату-
хания, г — второй вариант нагрузки с учетом затухания
к лебаний роторной стрелы и консоли противовеса можно привести
к двум дифференциальным уравнениям следующего вида:

«о01 + aiOi 4*	4" I1 4“ аЛ) = Мкр;

Ь0б3 4- Мз 4*	4" Н (^з®'з 4" ^4^'1) = О,	^8.112)

где А1кр — крутящий момент относительно осн роторной стрелы, дей-
ствующий па нее со стороны грунта;

р — приведенный коэффициент демпфирования колебаний.

При более точных расчетах следует учесть деформацию упругого
основания, на котором расположена поворотная платформа (грунт и
опорная конструкция экскаватора). При деформации упругого основа
иия происходит качание экскаватора в плоскости, которую приближен-
но можпо считать расположенной перпендикулярно оси стрелы.

Ниже приводятся некоторые результаты электронного моделирова-
ния крутильных олебаипй роторного экскаватора ЭР1ПР 2600 50/5, вы-
полненного на ЭМУ-8.

На рис. 161 показана структурная схема электронного моделирова-
ния. Момент МКр, вызывающий скручивание роторной стрелы, опреде-
лялся как сумма двух моментов:

U,,— суммарный момент, возникающий вследствие эксцентричного при-
ложения вертикальной составляющей равнодействующей усилий
резания всех одновременно работающих ковшей относительно осп
стрелы;

<U, —суммарный скручивающий момент от горизонтальных составляю-
щих усилий резания.

В зависимости от направления поворотного движения роторной стре-
лы эти моменты либо складываются, либо вычитаются.

Во втором случае средняя величина крутящего момента меньше, ио
скачки изменения момента могут получиться большими. Вследствие это-
го электронное моделирование следует выполнять для обоих вариантов.

На рис. 162 показаны осциллограммы крутильных колебаний, по-
лученные в результате моделирования для обоих вариантов нагрузки,
в случае резонанса без учета и с учетом затухания. Число оборотов
роторного колеса п = 4,5 обочин, высота стружки h = 0,5/9. Для обоих
вариантов нагрузки осциллограммы получились сходными. Величина
нагрузок в данном случае получилась большей для первого варианта,
хотя установившаяся амплитуда колебаний системы с затуханием поду-
чилась одного и того же порядка.

Очевидно, что затухание существенно сказывается на процессе кру-
тильных колебаний. Так же, как и при колебаниях конструкций в вер-
тикальной плоскости, величина начальных амплитуд колебаний, возни-
кающих вследствие быстрого приложения нагрузки, оказалась выше
амплитуд установившихся колебаний.

§ 4.	ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ КОНСТРУКЦИИ
ЭКСКАВАТОРА В ГОРИЗОНТАЛЬНОЙ ПЛОСКОСТИ

В этом параграфе излагается метод составления дифференциальных
уравнений колебаний конструкций, включающих сосредоточенные и рас-
пределенные массы, исходя из дифференциальных уравнений в частных
производных. Эю не значит, что нельзя здесь применить другие методы
составления дифференциальных уравнений колебаний, например метод
интегральных уравнений или метод, основанный на применении уравне-
ний Лагранжа второго рода. Метод составления уравнений колебаний,
основанный на уравнениях в частных производных, иногда бывает х дой-
ным и гает общее и точное решение. Изложение его здесь оправ-
дывается желанием дать разнообразные методы решения динамических
задач.

Расчетная схема экскаватора для составления дифференциальных
урапненпн колебании в горизонтальной плоскости приведена на рис. 163.

Рис. 163 Расчетная схема роторного экскаватора для составления урав-
нений колебаний в горизонтальной плоскости

Введем еле гующис обозначения:

— масса ротора;

wii —погонная масса стрелы ротора;

Л1П —масса противовеса;

т погонная масса консоли противовеса;

Р(4, z, I) —функция, характеризующая реактивное воздействие грхнта
на роторное колесо в горизонтальной плоскости;

л-) н Х2 —текущие координаты вдоль стрелы и консоли;

Zi н z2 — перемещения точек стрелы и консоли при изгибе;

Рк н р2г —коэффициенты, учитывающие затухание колебаний;

ф —угол поворота экскаватора;

/и и hi —моменты iiiiepmiii поперечных сечений стрелы и консоли в го-
ри тонталыюй плоскости;

Jpo — момент пперцнн ротора относительно осп, прохо гящей через
центр тяжести ротора с приводом;

/,1в —момент пперннн противовеса относительно осн, проходящей
через центр тяжести противовеса;

Ме —.момент внешних сопротивлении вращению экскаватора;

Ма« — момент движущих сил, который может быть некоторой функ-
цией от скорости и угла поворота;

/пп —приведенный к осн вращения момент инерции поворотной
платформы с приводом и надстройкой.

Задача оказывается довольно простой, если считать, что влияние
погонного веса стреды и консоли на форму колебании мною меньше,
чем влияние па форму колебаний массы ротора и противовеса. В этом
случае получаем механическую систему, состоящую из трех масс, свя-
занных между собой упругими связями.

Если нельзя пренебречь влиянием па форму колебаний распре шлей-
ных масс стрелы и консоли противовеса, то имеем задачу по колебаниям
балки переменного сечения с тремя сосредоточенными массами, связан-
ными между собой упругими связями.
Если пренебречь инерцией поворота сечений роторной стрелы и кон-
соли противовеса, то уравнение колебаний можч о записать в с едую-
щем внде^ (в данном случае принимаем запись уравнений колебаний в
форме дифференциальных уравнений в частных производных):

гг ^<г1	1 z \	У . гг

-	+	"г1	(*1)	~ + *1 —ГГ I +	 Т = Р1 U1,	Л;

\ М* Л- I	dtdx]

Е1йг —у- -j- пг> (х2) f 2 + л'г 'j -Е р2гЕ/2г--------------у = /ь (х2, /)-	(8.113)

дх}	\ йЕ Л- /	dtdx}

где /)1(л'1, /) п Р2<Х2, I)—нагрузки, действующие на стрелу ротора и кон-
соль противовеса в горизонтальной плоскости.

При определении частоты и формы колебании члены, учитывающие
затухание, могут быть опущены.

Определим граничные условия колебаний роторной стрелы и консоли
противовеса (в рассматриваемом варианте конструкции роторного экс-
каватора бс дэвые связи можно не учитывать).

Для А| = R имеем два условия, равноценные: первое — уравнению
поперечных (поступательных в горизонтальной плоскости) колебаний
установки ротора и второе — уравнению крутильных колебании уста-
новки около вертикальной осп, проходящей через ось крепления к стреле.

В качестве граничных условий для сечения, расположенного в месте
крепления ротора, следует взять пе геометрические, которые в данном
случае являются неопределенными, а силовые.

О що пз граничных условий будет определяться равенством инерци-
онной нагрузки, действующей па роторное колесо экскаватора при ко-
лебаниях в горизонтальной плоскости, перерезывающей силе, в месте
крепления ротора-к стреле, определяемой через третью производную от
прогиба роторной стрелы по координате, направленной вдоть стрелы.
Если исследуются вынужденные колебания, то к инерционной нагрузке,
тейетпующей па роторное колесо экскаватора, следует добавить проек-
цию реактивного воздействия грунта па перпендикуляр к осп роторной
стрелы в горизонтальной плоскости.

Второе граничное ус ювпе определяется равенством момента от инер-
ционных сил. действующих на роторное колесо экскаватора при коле-
баниях вследствие углового перемещения ротора относительно верти-
кальной оси за счет поворота экскаватора и за счет поворота концевого
сечения роторной стрелы, определяемого изгнбпой деформацией стрелы,
моменту ог внутренних сил, возникающих при изгибе стрелы.

Если исследуются вынужденные колебания, то к моментам от пнер
ппопных сил, тействующих па роторное колесо экскаватора, следует до-
бавить момент от реактивного воздействия грунта на ротор относитель-
но перпендикуляра к осн стрелы в вертикальной и юскостп, проходя-
щего через ось i решения ротора к стреле.

Аналогичные условия имеем для консоли противовеса при д2= R^-
При Х| = 0; Х2 = 0 имеем одно условие, равноценное условию для урав-
нений крутильных колебаний платформы.

Это условие одновременно является основным условием связи между
к псбаппямп роторной стрелы и консоли противовеса.

Первое условие для Х| = R записывается следующим образом. Инер-
ционная нагрузка при поступательном движении ротора равна
Эта нагрузка должна быть равна сумме перерезывающей силы, дей-
ствующей па конец роторной стрелы с обратным знаком и внешней на-
грузки. Таким образом,

мР(-дт)	+ £/*(+ м'г' <8-1,5>

\ dt1 Jx^R	dxf JX1_K

Второе условие для х> = R имеет следующий вид:

Аналогичные условия получаем для х2 = R$i

Для Х| - 0; л'2 = 0 имеем

+ Assign

dt

мдв а, ч. ч

(8.118)

Решение задачи об определении форм колебаний стрелы ротора и
консоли противовеса можно было бы произвести методом последова-
тельных приближений. Значительно более сложно определить форму и
частоту колебаний в общем виде, однако в этом случае раз полученное
решение можно в дальнейшем использовать для исследования колеба-
ний других конструктивных решений роторных экскаваторов.

Для получения решения, учитывая линейный характер уравнений,
предположим, что колебания совершаются гармонического типа с часто-
той р. Запишем решение в виде

Zi = Zi (х) sin (pt + <р);

z2 = Z2 (x) sin (pt 4- <p);

ф = *F sin (pt +q>).	(8.119)

Подставим элн решения в исходные уравнения. Полагая правую
часть уравнений (8.113—8.118) равной нулю, и пренебрегая членами,
учитывающими затухание п Ь2 достаточно малыми, получим

Е11г - /n1Zr (Zt + xtT) = 0;

ЕД, ------(Z., + Х2ЦГ) = 0;

dx*2

El и (- Л1рр2 [Л (R) + R4\= 0;

\ <4 Л,=д

Е1»(^\	—+4'1=0;

\ dxl Jx,= R	\_\dxiJxt-=R J
ЕГ2г (. - М„? [Z, (R3) + /?>] = 0;
dx.2 Jxt Rz

ElJ^-\ 4 ELle (-^Л	- jnnp*4 = 0.

\ dxl Jx.-O	\ dx2 )xt. и

(8.120)

Первые два уравнения (8.120) могут быть переписаны следующим
образом:

---a*Zt = а<Чх1;

dx*

— a*Z2 = а ’ Ч'х-.,	(8.121)

dx2

где

4 W1P- .

- Ми ’

4	'”-Р

“2 ~

(8.122)

Общие решения уравнении (8.121) запишем в следующем виде:

(Ai) —	(а1Л’1) •  EyT (otiXt) 4- CJJ (atXi) DjV (a,x,) — ’lrXi;

Z2 (x) = /12S (a„x2) + B.T (a2x2) + C2U (a2x2) 4- DZV (a2x2) — 4f x2, (8.123)

где

S (ax) = (ch ax 4- cos ax);

T (ax) = (sh ax J- sin ax);

U (ax) = (ch ax — cos ax);

V (ax) = -i- (sh ax — sin ax).

Из условия Z|(())= 0 и Z2(0)= 0 получаем A। = 0; A2 = 0.

,,	dZ, dZ„

Напишем значения — и —-

dxi dx2

'1 — ai (®i*i) + CfT(atXt) 4- E>iU (a1x1)] — 4f,
dxi

= a2 [C2S (a2x2) 4- C2T (a2x2) 4- D.U (a ,x2)] — 4r.
dx2

тл	fd%t\	n (d^i\	л

Из условия I — )	=0,1—*)	=0 получаем

Kdxi/x^O	\dx2/x,= 0

=	B2=^-.

ai	a?

(8.124)

(8.125)

(8.126)

(8.127)
П вставляя полученные решения в остальные уравнения, имеем

t/i.4

-Л1рр2

Г— и (&1R) + С1У (^R) + DtS (а^)] —

L«i

V T(alR) + ClU(alR)+DlV(4R)]= 0;

£/.д

-г -

3, Г - U (а2й) 4- C2V (аМ + D2S (a^j) -

г- т (а,/?;) + C2U (0,^3) +	(a,Rs) j = 0;

ЕЦ& [у- v (а./?) + CLS (а,/?) + DJ (atR)] -

— JpeP1 «1

S (a,R) + CjT^R) + U.U (а,/?) ] = 0;

£/2/x2 [ — V Ш 4* C2S (х2Кз) 4- E)2T(я2/^з)| —

— JMPZ а»

— S (5-2/?л) 4* C2T (<х>/?з) 4- D2U (я2/?з)1 — 0;

.«2	J

EI.^ 4- EI2^C2 - J„nP2V = 0.	(8.128)

Соберем члены для одних и тех же коэффициентов:

IEI^V (atR) — Л1рР-и (о^Я)] Ct + [£/u«?S (atR) — Мрр'У(^)] D, +

ИрЯ'Т (aiR)

Ч' = 0;

L	«i J

[£/iXs(aiR) — JpoP^iT(’l#)ICi 4- [Elif. \T(a-iR) — Jp p-^iU^iR)] Di 4-

4- [£7u,ail/ (y-iR) - Jpep2 S (aiR) ] 4' = 0;
(аг/?з) —	(а?/?з)1 C2 4-

4- [EI2^S (a2R'3) - MnPW (a.2R3)\ D2 +

J- £/2г72^/(а2/?з) —

M„p^(a2/? )
«2

~МпР

. “а

+ EIi^U^iR) —

T = 0:

[Ef2,a2S (a^Rs) — Jnep^2T (a^Ry,)} C2 4-
4- [Ef2.a^T (а.2/?3) — JMp-i2U (а2Яз)1 Цг 4-

4- [ E/^a., V (а2/?з) JneP2 S (а,^) ] 4' = 0;

£/1га?С! 4- £/2г а2Сг — Jnnp2W = 0.

(8.129)

Характеристический определитель для определения частот колебаний

будет иметь следующий

а2
0
о

«5

вид:

Ь,
Ь2
0
0
0

0
0
«3
o4
br.

0
0

Ь4

0

С1
сг
с3

с«

Съ

= 0, (8.130)

где iii, bi, d — коэффициенты уравнений.
416
Раскрывая характеристический определитель, имеем

ч-а (biC. — сЛ) (а3Ь4 — b3at) + b5 (bscA — с3Ь4) (а^ — Ь^.) +

4 c3(albi — a2bl)(a3bi — b3ai)=O.	(8.131)

Подставляя значения а„ bi, а, получим

EI^ilEl^S^R) -MppzV(alR)] х

х [Е/uC4ilz(7i/?) — JpeP2S (atR)] — [Eli.ajT (aiR) — Jрвр^,и(а^)\ x

X

I
f

EI^U (a,/?) -

Mpp-T (aiR)

41

{[EI2,aty (a,R3) —

— Mnp4J (a^R t)] [EI, a2T(cufo) — JneP^.U (а.,7?з)1 —

— [EI2.a\S (а2/?з) — Л1пргУ (cufts)] [El-lta2S (a^Rz) — J^^rT(а2Яз)1 +

J- EI2a {[EI2 a?S (a,R3)— Л1пр~У (a^R3)[ x
x |£/2л#(а2/?з)-ЛиР25 (a^)] -
— [Е12га2Т(а.2/?з) — Jnep2a2U(a_R3)] x

EI2a2U (а2/?з)

MnP-T (a„R )

X

x }[Е1иа3У (aiR) — Mnp4J(aiR)] [EIi^T(а^) — Jt,cp-atU(aiR)\—

— [EIi.a2iS (atR)	Jpep~aiT(ajR)! [EIt,a3S (atR) — Mpp:V (atR)I) —

- JnnP-{\^l	(»iR) — Mpp4J (aiR)] [EI 1;а]Т (aiR) —Jpep2a.iU («iR)l —

I EI! ,a?S (atR) — Jрср-^Т (a^)] [EI, ,a?S (atR) — Мрр*У (a,R)]} x

X {[Е12га3У (ovRz) — МпР*и (a*Rs)\ [EI«,a2T (a.,R3) — J^ph.^U (a2/?3)]

- [E/,.a]S(a.,R3) М„р-У (a../?.',)! [E/2/z£S (а2Яз) — Jn0P2^T(aiR3)]} = 0.

(8.132)

Решение пожученного уравнения можно выполнить численным или
г р а ф и ч ее к и м м етодо м.

Определяются значения частот колебаний, а затем вычисляются соот-
ношения между I оэффицнеитамп С„ £),, 4fi и тем самым находится фор-
ма колебании стрелы ротора и консоли противовеса.

Упростить характеристическое уравнение можно следующим обра-
зом. В зависимости от соотношений /пя, Мр и Л1п можпо предугадать
одп\ или обе формы колебаний. Значения Jрв и Jne можпо положить в
ряде случаев равными 0.

Для экскаватора ЭРШР-2600 50/5, например, масса противовеса в
3—4 раза больше массы консоли противовеса. Вследствие этого форму
прогиба консоли можно принять как прогиб консольной балки с грузом
па конце

2-г (х2) =	(3R3 - х2)	(8.133)

1-.СЛИ момент инерции поворотной платформы достаточно бодыиой,
так что MPR форму прогиба роторной стрелы можно определить
как форму колебаний консольной балки с грузом па конце. Если этого
27 Заказ ЗИ	417
сделать нельзя, то задача сводится к нахождению формы колеба
Hiiii Z| (х).

Решение уравнений записывается в следующем виде:

z^ZjWsinfpf + tp);

Z2 =	<3/?з - *2) *2 sin (Pt + <p).	(8-134)

•“'з

При Х2 = /?8

Z2(/?s)=Z2o;	(8.135)

как и прежде

ф — ’Fsin (pt + ф).	(8.136)

Зная форму прогиба, можно получить нриве енную массу консоли
и противовеса к расстоянию R'3:

29 пи	т2 /?з

пп = Мп + 140	~ Мп +	5/?  2	(8.137)

В данном случае имеем одно дифференциальное уравнение колебании
роторной стрелы в частных производных

(8.138)

Характеристическое уравнение значительно упрощается. Имеем

-----a*Zi=a]X1,	(8.139)
dxi

где
=	(8.140)

Решая, получим

Z, (х) - - V Т (a1Xl) Ь CtU (7.lXl) + Dy (а.хО - 4%.	(8.111)

«1

Аналогично предыдущему получаем следующие уравнения:

[£/1га?И (a./?) - Mpp-U (atR)| С, + | E/ua?S (atR) — Mpp V (atR) 1 Dt +

+ E/^U^R)

^МРТМ

“i

‘F =0;

[£/1 a?S (a,/?) - JP,p-^T (a.R) 1 C\ + \E1^T (a,/?) - Jpep2XlU (atR) 1 D, +

+ [EI^V^tR) — Jpep2^ (^iR) I 4f = 0;

3EI.,

+ MnnP2 Z-.u + p2A4nn/??F = 0;

Eli,o4C1 + — F- Z2u - JnnP:V - 0.

A3

(8.142)
Из двух последних уравнений получаем:

PlMnnR3 Т

Z2e=-

ЗЕ/2г

(8.143)

4" Л1ПпР*

«з

V =

ЗН/2? Р~Мпп /?3/?3

(8.144)

JnnPZ+	„3

ЗА/2г -|- MrtnP R3

Характеристическое уравнение записывается в следующем виде:
{L'/ua?lZ (^R) — Mpf?U (at7?) + | £/1гсс? U (a.R) — MpP*T (a,/?) aj x



X

\Ef^T (a.R) - JррЧ)^ (a.R)] -

3£72г Р'Мпп R3R3

ЛшР*+

ЗЕ/2г + Мп,1Р2/?з

S (atR) -JpeP2ai7'(a1/?)+ ^/„a,V(a./?)-

Р‘Мчп R3R3

J/uiP' 4~	о

а 2г+ л1,шр7?з

X |/?/i/x?S (a-iR) — MPp~V (at/?)l = 0.

(8.145)

Рипенне этого уравнения может быть выполнено проб и кепным ме-
тодом.

При практических расчетах можно применить прием приведения рас-
пределенной массы роторной стрелы к массе, расположенной в центре
тяжести ротора. Определяется частота колебании консольной балки с
грузом на конце по формуле

_1____Д,-

2л /»

mi

(8.146)

где /— тлипа балки;

Hi] — погонная масса
а, — коэффициенты,
отношения

балки:
определяемые

no графикам в зависимости or

n = ^-
mtR

Частота котсбанпп невесомой ба тки
по формуле

с грузом па конце определяется

1

2л

3A7U.

R3 "при..

(8.147)

-J^SM)



Приравнивая значения v,-t получаем возможность определить Мприв-
Значение Л1,ч,ия для консоли можно определить этим же способом или
способом, приведенным выше.
Таким образом, задача сводится к решению системы, состоящей из
трех масс, связанных двумя невесомыми связями.

Ботес точно можно решить задачу методом последовательных при-
ближении.

После приведения расчетной схемы к системе, состоящей из трех
масс, дифференциальные уравнения могут быть записаны следующим
образом:

М„п

+ &.

Xt~R

д3гх
dxf

x, R

мпп

4- Чп (R 4А) -~
dl-

-УЕ1..1 ^-\

'=R>	" I ^2 )х^

+ М„(К+Ьг) 

4 £72.ц

^=0;
dt*

= /’(ф. г, ty

/ <?s*i \	/	\

=0 + Е11г k /x,-0 bl Ь £/1гИ’ k dx'\dt /х, 0

(	bl+E/J-^-\	+ ElJ-^\ b.,+

\ dx}dl /Х1_о	\ 0x2 /Х1=о	\ dx2 /x,=o

. r— t	/	\	if*/	/	^*^2 \	/.

4” £/».p2.’ I-7^“ I “Г	I -"-- J - —

 k 6xpt /X1=O	 \dx dt Д1=о

4 Assign—$- = А4йв(ф, /V	(P.148)

dt	\ dt )

Как было указано выше, при приближенных расчетах можно принять

Z1 =

(3/? —xt)x[
2«’

(3/?з — X.,) х2
^3

с2(/)-

(8.149)



Подст.шляя в уравнения (8.149) значения Z) и Z2. имеем

+ 2^-. (t, +	+ Ч. (R +к.)	- р W. г. D-.

м-	(£--+"=' 4^)+м’-№+=0;

J.„ -7*- +	[(« +‘.) t. + I'... (R +	+

+ :зи^ ?! + (Я,+bj+ Assign Л<л (♦. 4?- ')'

(8.150)

В этих уравнениях:

Alpn—приведенная масса ротора н роторной стрелы;

Alnn—приведенная масса противовеса и консоли противо-
веса;

^(ф. Л—функция, характеризующая реактивное воздействие
грунта;
Л1л>(ф, — • Л —крутящий момент привода поворота, приведенный
\ dt }

к оси поворота.

Подученную систему из трех уравнении целесообразно исследовать,
мето юм электронного моделирования, если требуется решить задачу
о вынужденных колебаниях и достаточно точно отразить закон измене-
ния реактивного воз щйствия грунта па роторное колесо экскаватора.
Если учитывать жесткость привода поворота, то к трем уравнениям до-
бавляется четвертое, описывающее колебания якоря двигателя. Вме-
сто в третье уравнение подставляется произведение жесткости при-
вода па относительное угловое перемещение поворотной платформы и
якоря цшгателя.

Исследование колебаний в слу iae, если функция, определяющая из-
менение реактивного воздействия грунта па роторное ко icco экскава-
тора, представлена в виде ряда Фурье, может быть легко выполнено
авалигпческп.

Ниже приводятся некоторые результаты исследования методом элек-
тронного моделирования па ЭМУ-8 колебаний конструкций роторного

Рис 1GI Структурная схема электронного моделирования колебаний конструкций ро-
торного экскаватора в горизонтальной плоскости

экскаватора ЭРП1Р-2600 50/5 в горизонтальной плоскости Дифферен-
циальные уравнения колебаний были приведены к следующему виду:

Ь °* (£1 — Ф) "Ф (ti — ф) = Мв;

4 (ьг — Ф) 4- /?iji (с2 — ф) = 0;

СоФ4'^’1(?1----Ф) ^1(^2 ф) Сф (?i —ф) h (со — ф) =

•	М'ст,	(8.151)

где ф— уч.твое перемещение поворотной платформы;

ci — угловое перемещение массы ротора;

£2— угловое перемещение массы противовеса;

— момент относительно осп поворотной платформы, действующий
па конструкции роторного экскаватора со стороны грунта при
копании;

Мов— момент привода поворота, приведенный к осп поворотной плат-
фо| мы;

Мст— момент сил статического сопротивления вращению поворотш и
платформы.

При комплексном методе расчета А10в надо представить в виде функ-
ции о г угла поворота платформы и ввести уравнения, описывающие ди-
намические процессы в электрической схеме привода.
а)

Осц№4

0,00331рад

h-4r

М!6)

ЩОгврад''}

0,001брад

0,439 6'J

[0^6376

‘ ЗОООвбрад

О 10 20 30 40 50 60 to 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 230 290 300
О.ООЗоад	*	При к



О 10 20 30 40 50 60 10 80 90 100 НО 120 130 140

8)

О 10 20 30 40 50 60 10 ВО 90 100 НО 120 130
г)

Рис 165 Осциллограммы колебаний конструкций роторного экскаватора ЭРШР-2600— в горизонтальной плоскости при числе оборотов рото-
и

ра п = 4,5 об/мин

а — с учетом затухания при h - 0.5D; б — с учетом затухания прп h - 0.650; е — без учета затухания при Л - 0.50; с — без учета затухания прп Л - 0,650
Осц№6

QO0254 рад

0,003рад

0,00Ю5рад

0.637д

80 90 МО НО '20 130 КО 150 160 ПО 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290

О 20 30 4 0 50 60 70

Осц.№14	0,00209рад

Midi

^~^'0,00132~

а)

0,00173рад

0,00035рад

17,3456^0,4786

__'---------



Рис IGG. Осциллограммы колебаний конструкций роторного экскаватора ЭРШР-2600— в горизонтальной плоскости при числе оборотов ротора
5

п = 5,2 об!мин‘

а — с учетом затухания h - 0,650; б — с учетом затухания h - 0,50; в — без учета затухания h - 0.65D; е — без учета затухания h - 0.5D
При приближенном анализе динамических процессов в роторном
экскаваторе можно Положить значение Мйв— МС1п равным средне!! вели-
чине момента Мв, учитывая, чго в процессе работы экскаватора пово-
ротная платформа вращается в среднем с некоторой постоянной ско-
ростью
т

.\1в =-у Medt.	(8.152)

и

При приближенном анализе динамических процессов можно также
представить Л1« в виде некоторой функции от Мв.

При исследован!!!! процесса стопорения механизма поворота следует
пало кнть одностороннюю жесткую и ш упругую связь, ограничиваю-
щую перемещение роторного колеса экскаватора по координате в
одном направлении и допускающем такое перемещение в другом на-
I! р<| влек III!.

В этом случае в первое уравнение системы вместо Л1в войдет член
Сгрьь Стрелка показывает, что связь действует лишь в одном направ-
лении. В качестве начальных условий принимается ф = ф0. Момент в
приводе поворота прн стопорении возрастает до максимального значе-
ния. Прн комплексном методе расчета характер возрастания момента
получается в результате решения самой задачи. При упрощенном ме-
тоде расчета можно принять скачкообразное изменение момента при-
вода поворота.

Решение за дачи было выполнено с использованием ЭМУ8 (рис. 164).

Па рис. 1G5 показаны осциллограммы, полученные при моделнрова-
!!!!!! колебаний конструкций экскаватора в горизонта ibiioii плоскости
с учетом и без учета затухания при числе оборотов ротора, равном п =
= 4,5 об/мин и высоте стружки h = Of>D п ft = 0,65£).

Затухание наиболее существенно сказывается па амплитудах высших
lap мопик.

Имеется разница между амплитудами колебаний при разных значс
пнях высоты стружки, поскольку в данном случае нагрузочные кривые
существенно различны.

Па рас. 166 показаны аналогичные осциллограммы при числе обо-
ротов ротора, равном п = 5,2 об/мин. Разница в колебаниях прн р 1з-
Л11ЧНОЙ высоте струж и в данном случае еще более существенна Зату-
хание играет ва кную роль н значительно уменьшает максимальные зна-
чения амплитуд колебании.

§ 5. О РАСЧЕТЕ НАГРУЗОК НА РОТОРНОЕ КОЛЕСО
ЭКСКАВАТОРА ПРИ РАКОТЕ

Прн работе роторного экскаватора па роторное колесо передается
крутящий момент от привода роторного колеса и усилие круговой по-
дачи от приводи механизма поворота.

В процессе работы па ковши экскаватора воздействует реактивное
усилие со стороны грунта. Это усилие определяется механическими свой-
ствами грунта и параметрами стружки. При больших скоростях реза-
ния, очевидно, должен вставать вопрос о динамическом возденствии
грунтовой массы па роторное колесо. При полной оценке нагрузок па
роторное ко есо приходится учитывать т< кже гравитационные силы, воз-
действующие со стороны грунта.
Реактивное усилие со стороны грунта па ковши роторного колеса
обычно представляется в виде трех составляющих. Основная составляю-
щая— касательное усилие копания, которую часто можно принять рав-
ной касательной составляющей усилия резания, направлена ио направ-
лению мгновенной скорости режущей кромки ковша с обратным знаком.
Перпендикулярно к пей в плоскости вращения роторного колеса дей-
ствует радиальная или нормальная составляющая «отпора» грунта.
Кроме этих двух составляющих реактивного усилия на роторное колесо
действует боковая составляющая, преодоление которой осуществляется
усилием круговой подачи. Обычно соотношение между нормальной, бо-
ковой п касательной составляющими реактивного воздействия па ковш
устанавливается ко ОДицпсптамн, которые выбираются в зависимое™
от механических свойств грунта, параметров стружки, геометрических
особенностей режущих органов и кинема i пческнх особенностей движе-
ния режущей кромки.

Таким образом, основой расчета реактивного воздействия грунта на
роторное колесо экскаватора является определение касательной состав-
ляющей усилия резания грунта.

Имея касательную, нормальную и боковую составляющие реактив-
ных усилий на роторное колесо экскаватора со стороны грунта в функ-
ции времени и беря их проекции на оси координат х, у, z (ось х направ-
лена вдоль стрелы, ось у направлена перпендикулярно оси стрелы в пло-
скости роторного колеса и ось z направлена перпендикулярно плоскости
роторного колеса), получим расчетную схему усилии, действующих со
стороны грунта па роторное колесо экскаватора. Эти усилия переносим
в центр роторного колеса с добавлением соответствующих моментов.

XapaKiep изменения усилий во времени зависит от того, как выпол-
няется работа — вертикальными или горизонтальными стружками. Прп
работе вертикальными стружками площадь поперечного сечения струж-
ки, срезаемой ковшом, изменяется от минимума до максимума: при ра-
боте горизонтальными стружками площадь поперечного сечения изме-
няется от максимума до минимума. Как будет ясно из дальнейшего, во
втором случае воздействие на динамическую систему н прузок будет
• юл ее 11 еб.л а го п р и ят11 ы м.

Поск ).н>ку при работе роторных экскаваторов происходит периоди-
ческая смена ковшей, участвующих в процессе копания, воздействие
па роторное ко есо усилий будет изменяться по периодическому закону.

Этот закон для каждой составляющей усилия пли момента обычно
представтястся в виде графиков — результатов суммирования реактив-
ных воздействий па все ковши, участвующие в работе

Эти графики представляют собой периодические функции, которые
можно представить в виде соответствующих рядов Фурье. Этим самым
расчет динамических процессов может быть сведен к расчету механиче-
ских систем на воздействие гармонических внешних сил, период кото-
рых кратен периоду смены ковшей, участвующих в работе:

Tt = iT = -^-,	(8.153)

шг

где <> — угловая скорость вращения ротора;

z — число копшей роторного колеса;

I - целое число;

Г — период главной гармоники.

При цшампческом расчете роторных экскаваторов нельзя бывает
ограничиваться исследованием колебаний под возде ictbiicm лишь основ-
ной гармоники, поскольку могут иметься резонансные соотношения с
высшими гармониками, влияние которых, правда, вследствие наличия
затухания может оказаться и малым.

При электронном моделировании динамических процессов графики
действующих па роторное колесо нагрузок могут не разлагаться в ряды
Фурье, поскольку их обычно бывает нетрудно смоделировать, выполняя
специальные приставки к электрошю-моделирующим установкам.

Весьма важно отметить, что параметры стружки определяются не
только кинематикой роторного экскаватора, по п динамическими про-
цессами, происходящими при их работе. При колебаниях стрелы ротор-
ного экскаватора происходит пе только изменение параметров стружки,
но н изменение скорости резания, т. е. скорости режущей кромки по от-
ношению к грунту. Формально это выражается в к 1жущемся периоди-
ческом изменении числа оборотов роторного колеса экскаватора.

Если учесть к тому же форму мех отческой характеристики приво-
дов и переходных процессов в приводах роторного колеса и механизма
поворот!, а также упругие характеристики грунта, то получим задачу
о исследовании динамического процесса в полном объеме.

Укажем также на то, что упруго-пластическое сопротивление грунта
деформированию является сильным ограничителем амплитуд колебаний
роторного колеса вместе со стрелой па подвеске. Решение задачи в та-
кой постановке ок зывастся сложным. Большое разнообразие механи-
ческих свопств грунта вынуждает при динамических расчетах ими за-
даваться н тем самым отходить от реальной задачи.

Konciр\ктора обычно интересует величина максимальных значений
нагрузок, возможное значение которых можно получить, приняв упро-
щенна ю модель реактивного воздействия на роторное колесо экскавато-
ра со стороны гранта.

Если динамическая система находится далеко от резонансной обла-
сти, амплитуды колебаний бывают малыми, при работе ковшей ротор-
ного экскаватора без крупных сколов. Поэтому наибольшее значение
здесь имеет определение резонансных областей и амплитуд в резонанс-
ных областях. Исследование колебаний в резонансных областях обя-
зательно следует выполнять с введением членов, учитывающих демп-
фирование.

Необходимо обратить внимание па то, что при определении расчет-
ных графиков по реактивному воздействию грунта па ковш экскаватора
следует исходить из такой модели грунта, принимая которую, можно
получить реактивное воздействие, качественно наиболее близко отвечаю-
щее реальным нагрузкам. Как уже указывалось ранее, касательное уси-
лие резания направлено по касательной к траектории движения режу-
щей кромки ковша, которая совпадает с линией действия скорости дви-
жения режущей кромки И, и направлено против скорости V.

Вектор скорости V явдяется суммой двух скоростей: окружной ско-
рости 17,, = 1.»/>г и скорости от поворота стрелы

Vc = ioc (/? cos у 4- rsin₽),	(8.154)

где у — \ ол наклона стрелы к горизонту;

<>, — угловая скорость поворота стрелы.

.' гол наклона вектора скорости V к плоскости ротора /. определяется
по зависимости

Z = arctg	+	.	(8.155)
Для подсчета величины касательной составляющей усилия резания
грунта рабочим органом роторного экскаватора в настоящее время су-
щее гвует целый ряд способов, которые явились результатом большого
количества работ различных авторов. Средн работ, проведенных в этом
плане, еле гует отметить работы 10. Л. Ветрова, Д. И. Федорова, a Tai же
работы, прове денные кафедрой «Строп тельные машины» MUCH имени
В. В. Куйбышева под руководством П. Г. Домбровского.

Несмотря на то, что в последнее время были получены уточненные
методы определения нагрузки на рабочие органы землеройных машин,
широко используются прежние методы. Это метод подсчета касательной
составляющей усилия резания по площади поперечного сечения струж-
ки и удельному усилию копания грунта, отнесенному к единице площади
поперечного сечепня стружки и метод подсчета по длине режущей кром-
ки и удельному усилию резания грунта, отнесенному к единице длины
режущей кромки.

Такое широкое применение этих методов объясняется тем, что они
очень просты.

Одновременно с этим, разнообразие условий, в которых работает
одна и га же землеройная машина, разнообразие физико-механических
свойств экскавпруемых пород п другие факторы не позволяют широко
применять современные уточненные методы определения нагрузок ввиду
их сложности.

Принятые упрощенные методы расчета не приводят прн проекiкрова
пнп землеройных машин к ошибочным конструктивным решениям бла-
годаря тому, что имеется значительный опыт проектирования машин
с использованием этих методов. Опп дают приемлемые результаты прн
определении мощности приводов рабочих органов машин. Однако прн
определении динамических нагрузок, действующих на узлы роторного
экскаватора, они дают в ряде случаев резутьтаты, значительно отли-
чающиеся от действительных. Эго было установлено прн эксперимен-
тальных исследованиях динамических нагрузок, действующих в узлах
ЭРГ 330/1000.

Таким образом, чтобы иметь возмг кпость выполнить динамические
расчеты, neofходнмо иметь более уточненные методы определения на-
грузок, тенствующпх па рабочие органы землеройных машин.

На основании анализа опубликованных результатов эксперименталь-
ных исследований нами был разрнботап новый метод окре етеппя рас-
четой । асателыюй составляющей усилия копания грунта рабочим орга-
ном землеройных машин.

Предлагаемый ниже метод расчета не может служить для установ-
ления закономерностей процесса резания грунта в зависимости от фор-
мы и размеров рабочего органа, а также от физико-механических
свойств экскавпруемых грунтов.

Как будет видно ниже, оп дает вполне удовлетворительные резуль-
таты при определении нагрузок, действующих па рабочий орган земле-
ройной машины, н можег быть использован при практических расчетах
рабочего органа машины, пока не будут разработаны более надежные
и простые методы расчета процесса резания грунта.

Известно, чго основными составляющими касательного усилия i опа-
ння грунтов рабочими органами землеройных машин являются сопро-
тивление смятию грунта режущей кромкой рабочего органа и сопротив-
ление отделению стружки. Первое пз них пропорционально площа m
режущей кромки, участвующей в смятии грунта, второе пропорциональ-
но площади поперечного сечепня стружки. Остальные составляющие
имеют менее существенное значение.
Рис. 167. Зависимость удельного усилия
резания от площади поперечного сече-
ния стружки:

1 — уголь: 2 — тяжелый суглинок: 3 — мел

Если отнести касательную составляющую усилия конапня к площади
поперечного сечения стружки п определить условный коэффициент
k (н/.и2), то можно построить график изменения его ог нлощ щи попереч-
ного сечения стружки.

Диалогичные графики получены 10. А. Ветровым, Д. II. Федоровым
(рис. 167) и другими исследователями.

Характерной особенностью всех этих кривых является то, что их ха-
рактер близок к гиперболическому.

Обозначим касательную составляющую усилия копания через /\
а площадь поперечного сечения стружки через f. Тогда соответствующая
экспериментальная кривая (см. рнс.
168) может быть записана уравне-
нием

/г=—=а+—;	(8.156)

I f

Р = а  f + b. (8.157)

Величина b нс зависит от площа-
ди поперечного сечения стружки.
Если у 1есть сказанное выше, то
можно принять

b = k„S. (8.158)

где S — площадь режущего периметра, участвующею в смятии грунта,
ks— некоторое у дельное сопротивление смятию грунта.

Обозначая kt = а — удельное сопротивление отделению стружки,
соответствующее сопротивлению грунта сдвигу, получим следующую
формулу для определения касательной составляющей усилия копания
грунтов рабочими органами зем тройных манит

P = kff + ksS.	(8.159)

Полученная таким образом формула с двумя коэффнцпен га мн I и
постоянной величины позволяет определить с достаточной точностью
каса те ibiiyio составляющую сопротивления конапня при .тюбом значении
площади поперечного сечения стружки. В этом случае расчет сохра-
няет простоту применявшихся ранее методов, являясь лишь их обоб-
щением.

Необходимо отмстить, что полученная формула имеет в значитель-
ной мере формальное содержание. Она не учитывает физического ха-
рактера процесса резания и не позволяет, например, определить как
изменится усилие резания при изменении формы режущего органа. Оба
расчетных коэффициента долж 1ы назначаться с учетом эксперименталь-
ных данных и опыта нроек!нроваппя землеройных машин. Для один ;
п тех же । рунтов расчетные коэффициенты могут оказаться различными
для различных типов и размеров рабочих органов, а также зависящим!!
от состояния рабочего органа — характера износа п затупления.

Выход рабочею органа из зацепления с грунтом сопровождается яв-
лением скола. Явление скола появляется тогда, когда усилие конапня
становится равным усилию, необходимому для того, чтобы произвести
сдвиг грунта, оставшегося неразрушенным. В этот период двпл еппя ра-
бочего органа, как показали резуль а гы исследования процесса конапня,
428
проведенные па роторном экскаваторе ЭРГ-350/1000, закон изменения
касательной составляющей усилия копания носит линейный ниспадаю-
щий характер. Поэтому зависимость, описывающая такое изменение,
может быть представлена в следующем виде:

р — р (\

*	1 max I 1

Р — ^тах
Рейх

(8.1 GO)

где Ртах—максимальное значение касательной составляющей усилия
копания в момент начала явления скола:

Р— поворот исследуемого
ковша от 'вертикали
(осн у);

Ртах— угол поворота ковша,
при котором наступа-
ет явление с ола
грунта, т. е. угол по-
ворота ковша, соот-
ветствующий Pm,i4;
Рьых — угол поворота ковша,
па котором наблюда-
ется явление скола.
Величина угла рвых для раз-
личных экскавирусмых грунтов
различна и определяется их фи-
зико-механическими свойствами.
Таким образом, весь график
изменения касательной состав я-
ющей усилия копания разделяет-
ся па два участка: участок, па ко-
тором усилие возрастает и опи-
сывается уравнением

Рис. 1G8 Зависимость касательной состав-
ляющей усилия резания одного ковша от
угла поворота ротора, вычисленная:

/ — экспсрнментальные данные. 2 — но туплен
ной формуле; Л — по переменному, в зависимости
от площади поперечного сечения стружки, удель-
ному* усилию резания, отнесенному к площади
поперечного сечен ня стружки; 4 — по постоянно*
му удельному усилию ре 1.1 ния, отнесенному к
площади поперечною сечения стружки. 5 — по
постоянному удельному усилию резания. отнесен-
ного к периметру режущей кромки

Р = ^S+kff,

и участок, па чотором усилие уменьшается и описывается ур шпсиием

р — р fi —

1 — г max I 1

Р — Ртах \

Рейх /

Для того ч обы сопоставить различные методы определения касатель-
ной составляющей усилия копания, рассмотрим ряд графиков, ирг став-
ленных па рис. 168 Здесь кривая 4 построена по зависимости



(8.161)

где = const — удельное усилие резания, отнесенное к площади попе-
речного сечения стружки;

f— площадь поперечного сечения стружки.

Кривая 5 построена по зависимости

Р = kpp.

(8.162)

где lip—удельное усилие резания, отнесенное к длине режущей кромки
рабочего органа;

р— периметр режущей кромки.
Кривая <3 построена по зависимости

P = k\f,

(8.163)

гдеkj =/= const — удельное усилие резания, отнесенное к единице площа-
ди поперечного сечения стружки;

f— площадь поперечного сечения стружки.

Кривая 2 построена по зависимости (8.159) и (8.160). Кривая 1
представляет собой типовую осциллограмму изменения окружного уси-
лия копания, полученную при испытании роторного экскаватора ЭРГ
350/1000 при резании угла вертикальными стружками.

Из сопоставления графиков следует, что характер кривых 3, 2 наибо-
лее близко приближается к действительному характеру изменения
окружного усилия. Если учесть, чго при построении кривой 3 использо-

Рпс 164 Типовые графики изменения во времени составляющих усилия копан ih
и моментов. ieiicTB\ ющпх па роторное колесо лкскапатора

на тся/ej =/= const и что зависимость Р = /?' f не описывает процесс выхо та
ковша из грунта, то прн подсчете касательной составляющей усилия ко-
пания грунта лучше пользоваться зависимостями (8.159) и (8.160), в
которые входят коэффициенты kf = const и ks = const.

Предложенная методика определения усилия была применена при
исследовании динамики ротора роторного экскаватора ЭР1ПР 2600 50/5.
Кроме касательного усилия резания грунта Р при р течете динамики
роторного экскаватора необходимо знать величину и характер измене-
ния радиального усилия резания Р02, бокового усилия резания Роз и уси-
лия подъема грунта.

Усилия Р02 и Роз опрсде 1ЯЮ1СЯ по следующим формулам:

Рог = (0,2-=-0,4)Р	(8.164)

Р01 = (0,25 - 0,3) Р.	(8.165)

При подсчете нормальных усилий нужно учитывать, что углы реза-
ния для различных режущих кромок различны. Для боковых режущих
кромок оп будет Ьг>. Причем угол резания будет зависеть от соотношения
между величиной скорости Vp и Кс, т. е. от угла
430
Величина касательного усилия резания, приходящаяся на каждую ре-
жущую кромку, принимается пропорционально длине данной режущей
кромки

P’i= — р„	(8.166)

Р
где Р—общее касательное усилие, подсчитанное по формулам
(8.1 >9) и (8.160);

р — периметр режущих кромок;
р,—длина участка режущей кромки;

Р.—касательное усилие резания приходящееся па режущую
кромку.

Вид кривых па графиках, показывающих характер и величину изме-
нения нагрузок па роторное колесо экскаватора, зависит от соотношения
между числом оборотов, числом ковшей, диаметром ротора и высотой
стружки.

На рис. 169 показаны типичные кривые, полученные при принятой
модели грунта.

§ 6.	ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИИ КОЛЕБАНИИ
ПРИ СТОПОРЕНИИ РОТОРА ЭКСКАВАТОРА

Существенной особенностью расчета роторных экскаваторов являет-

ся то, что стопорение роторного колеса
одноковшового экскаватора.

В одноковшовых экскаваторах ко-
личество движения и кинетическая
энергия массы,'взаимодействующей не-
посредственно с грунтом пли породой
большой прочности, невелика, посколь-
ку основная приведенная масса, кине-
тическая энергия и количество движе-
ния которой являются иаибо iee суще-
ственными, разделена с массой, вхо-
дящей в непосредственный контакт с
породой, упругой связью. Деформация
упругой связи в этом случае опреде-
ляется величиной кинетической энергии
этой массы.

отлично от стопорения ковша

Рис J70. Расчетная схема для опре-
деления начальных условий твиже-
ння конструкций роторного экскава-
тора при стопорении роторного ко-
леса

В роторных экскаваторах приведенная масса ротора, взаимо тейст-
вующая непосредственно с породой, разделена с ней упругой связью
с большой жесткостью. Вследствие этого при встрече ковшей ротора с
очень крепкой породой происходит явление, близкое к яв icmiio удара.
Закон движения и начальные условия колсбаппн в этом слу iae надо
определять исходя из закона изменения количества движения и момента
количества движения выбранной расчетной схемы при ударе.

Задача формулируется следующим образом. Имеется тело с массой
Л1 (рис. 170) п моментами инерции относительно главных осей координат
/л», /«и, Тело вращается около оси у со скоростью со. Скорость посту-
пательного движения центра масс равна пулю. В момент времени /
происходит внезапное наложение связей в точке, координаты которой
(х, у, о), где х—радиус роторного колеса; у - расстояние плоскости,
проходящей через середину режущих кромок ковшей от центра масс.

Требуется найти закон движения ротора после наложения связей.
Введем следующие обозначения:

ых’ (,>z — составляющие угловой скорости ротора после удара;

Fx Fy Fz — составляющие ударного импульса.

Имеем следующие соотношения:

— Al (w> — ш'гу) = FX;	(8.167)

— Л1 (ыхх — ы'хг) = Fb;	(8.168)

— Л1 (ы'ху — ы'ух) = Fz;	(8.169)

= yFz —z Fy;	(8.170)

-J,jy = zFx — xFz;	(8.171)

Jzzv2 = *Fy — l)Fx-	(8.172)

Уравнения (8.167- 8.169) выражают закон изменения количества
движения. Уравнения (8.170—8.172) выражают закон изменения момен-
та количества движения. Исходя из принятой расчетной схемы, имеем
z = 0. О 1СВПДПО также Fx = 0. Тогда из первого уравнения системы
имеем оГ = 0, а из второго уравнения Fv = 0.

Таким образом, приходим к следующей системе уравнений:

— М(ы'ху — Ыух) = FZ,

Jxx^x =

Jyy (co — toy) = — xFz.	(8.173)

Из второго уравнения системы (8.173) имеем

Fz= хх х .	(8.174)

у

Подставляя значение Fz в первое и третье уравнения системы (8.173)
и решая ее, получим

и*	JVyMxya

М (х~ Jхх y~Jуу) -f- JXxJ у у

ыу  ------^(^х + Му;)ы------	(8 j 75)

Л4 (x'lJxx -р у2 Jyv) -р JXXJу у

Скорость центра масс определяется из следующего соотношения:

vz = ы'ху — ЫуХ.	(8.176)

Начальная угловая скорость роторной стрелы о’ определится выра-
жением

со>-^-,	(8.177)

где /?— расстояние от центра масс до пят стрелы.

При расчетах роторного экскаватора в первом приближении мож! о
пе учитывать явление уд»ра, происходящее в месте соединения ротора
со стрелой. Приближенно можно также приведенную массу стрелы от-
носить к центру вращения ротора.

При срабатывании муфты предельного момента дополнительно сле-
дует учитывать изменение крутящего момента с Л)„ол, до Мтах скачком.
.Итах— максимальный момент, пропускаемый муфтой

Если муфта предельного момента выполнена в виде фрикционной
муфты, то при проскальзывании могут возникать автоколебательные
процессы вследствие трепня [17].
P icner динамических процессов при изменении действующих на ме-
ханическую систему нагрузок скачком на определенную величину не
представляет каких-либо затруднении. При решении задачи для прос-
тейших механических систем с небольшим числом степеней свободы мо-
гут быть использованы готовые решения, приводимые, обычно, в книгах
ио динамике машин.

Прп стопорении роторного колеса движение подачи, осуществляемое
приводом механизма поворота, также прекращается. Вследствие этого
кинетическая энергия масс, участвующих в движении поворота роторно-
го экскаватора, можем перептп в энергию деформации упругих элемен-
тов. Вследствие этого возникнут собственные колебания конструкции
роторного экскаватор?! в горизонтальной плоскости. Амплитуда этих ко-
лебаний в основном определяется начальными условиями— «'форма-
циями и скоростями движения элементов перед стопорением роторного
колеса.

II тпболыппе амплитуды колебаний вызываются за счет кинетической
энергии привода поворота. Часть энергии прп стопорении переходит в
энергию деформации грунта,

В настоящее время еще нет достаточно надежных методов, которые
давали бы возможное >ь получить величину энергии, затрачиваемую па
деформацию грунта при стопорении, расчетным путем. Вследствие этого
приходится ориептироваться па экспериментальные коэффициенты.

Обычно грунт представляется в виде некоторой расчетной модели
среды, обладающей упругими и пластическими свойствами, а также
свойствами внутреннего п внешнего трения. При представлении модели
следует иметь в виду, что величина динамических нагрузок в конструк-
циях роторного экскаватора в очень сильной степени зависит от коэф-
фициента упругости грунта, а также от величины предельных нагрузок,
вызывающих разрушение грунта.

Следует также иметь в виду, что грунт должен представ 1яться в ви-
де односторонней связи и может в первом приближенно лишь поглощать
кинетическую энергию колебаний, но пе отдавать ее. При стопорении ре-
жущего органа, происходящем в форме пеунругого удара, в груше воз-
никаю! волновые процессы, энергия которых в значительной мере не
возвращается рабочему органу машины. Это обстоятельство не всегда
учитывается в расчетах, хотя оно имеет достаточно важное значение.

§ 7.	О СИНТЕЗЕ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ МАШИН
ДЛЯ ОТКРЫТЫХ ГОРНЫХ РАБОТ

Используемые в настоящее время методы динамического расчета ма-
шин сами по себе не могут дать ответ па вопрос о том, оптимально ли
принятое конструктивное решение и оптимальны ли принятые парамет-
ры динамических систем машин.

Вопросу о выборе оптимальных решений металлических конструкций
машин из условия расчета па статические нагрузки уделялось достаточ-
но внимания в ряде работ.

Значительно меньше внимания уделялось до сн.х нор вопросу проек-
тирования конструкций с оптимальными динамическими .характеристи-
ками и вопросу о проектировании конструкций с заданными динамичес-
кими характеристиками.

До сих пор методика динамического расчета сводилась лишь к пове-
рочным расчет1м. к определению частот и амплитуд колебаний элемен-
тов п, следовательно, величины и характера переменных во времени на-
пряжений, вызываемых инерционными силами. Наиболее трудоемкими
28 Заказ 314	433
при этом для расчета при большом числе степеней свободы динами-
ческих систем был попрос определения корней .характеристических урав-
нений. Определение корней характеристических уравнений при порядке
уравнений более четвертого возможно лишь приближенными методами.

Трудоемкость динамических расчетов была в последнее время значи-
тельно снижена в связи с применением электронных вычислительных

машин.

Использование этих машин дает возможность па основании сравне-
ния вариантов выбрать оптимальные решения.

Основная трудность при расчетах с помощью электронных вычисли-
тельных машин зак. ючается в получении достаточной точности расчета.
Если на машинах типа «Урал», «Минск», т. е. па машинах дискретного

Рис. 171. Простейшая динамическая си-
стема из двух масс

счета можпо получать достаточную
точность решения для большинства
встречающихся задач, то решеине
на аналоговых машинах при высо-
ком порядке уравнений и большом
количестве неизвестных с достаточ-
ной точностью получить в ряде лу-
чаев бывает невозможным.

Следует отмстить также и то, что частоты колебании определяются
па основании сравнительно трудоемкого гармонического анализа. При
многочастотпых колебаниях небольшие погрешности в машинных диф-
ференциальных уравнениях могут дать значительные ошибки по часто-
там и амплитудам колебаний гармоник высокого порядка.

В то же время в ряде случаев при наличии резонансных областей

точность расчета динамических характеристик, в том числе старших
гармоник, требуется очень высокой.

Ввиду изложенного, в настоящее время назрела необходимость про-
ведения исследований в области проектирования мантии по заданным
динамическим характеристикам, или, иначе говоря, по синтезу динами-
ческих систем машин для открытых горных и земляных работ.

К основным задачам синтеза динамических систем можпо отнести

следующие:

1.	От ределеиие жесткостей упругих элементов и масс динамической
системы из условия заданных амплитуд колебаний при воздействии за-
данных нагрузок.

2.	Определение жесткостей упругих элементов и масс динамической
системы из условия заданных частот собственных колебаний.

Для того чтобы пояснить постановку задач по синтезу динамических
систем машин, рассмотрим простейшие динамические системы, состоя-
щие из совокупности последовательно соединенных элементов — масс и
невесомых упругих звеньев.

Пусть, например, дана система, состоящая из двух масс mt и т2 в
двух жесткостей с1 и с2. На массы пц и /и2 действуют изменяющиеся по
гармоническому закону нагрузки P|Sin ц>/ и P2sin ю/ (рис. 171).

Обозначая через xj и х2 координаты смещения масс пц и т2 относи-
тельно положения равновесия, имеем следующую систему дифферен-
циальных уравнений, описывающих движение масс:

dx* + CiXl — с2 (х2 — X!) = /’jsin w/;
d/2

m2 d Xa + c2 (x2 — XJ = P2 sin w/.
d<a

(8.178)
Решением, описывающим вынужденные колебания системы, будет
следующее:

*1 = Л1 sin о/;

х2 = А« sin “Л	(8.179)

Исходя из уравнении синтеза динамической системы, так же, как и
при обычном решении динамических задач, получим, подставив решения
(8.179) в систему (8.178),

(— mpo2 + ct + с2) At — сгЛ-> — Рх;

—	4-	— ш»(о2) А2 = Р2-	(8.180)

Используя эти уравнения, можно решить следующие задачи;

1.	При заданных значениях амплитуд колебаний и заданной нагруз-
ке определи гь значения жесткостей упругих элементен, если массы
н т2 известны.

И юем следующие уравнения, разрешающие эту задачу

Р- + А п „со2

с2 = ———*-	;

Ло - Л|

Р| + Ро 4 <!- (,П,Л 1 + /ИоЛ.,)	g 181)

Л

2.	При заданных значениях амплитуд i олебаппи и заданной нагрузке
определить величину масс mt и in2, ести жесткости упругих элементов
с, и с2 известны.

Имеем следующие уравнения, решающие эту задачу:

__ —Р2 + сг(Л2— Л,) .

//<2 —----------------»

т, =	М .	(8.182)

<о2Л1	'	’

3.	При заданных значениях амплитуд колебаний и заданной нагрузке
определить значение 1Щ и с2. если жесткость с, и масса /л2 известны.

Имеем следующие уравнения, решающие эту задачу:

Ро — ЛоТПоЫ1

с2 = —------— - —;

л2-л,

= С,И *—-* Л + у1-"1^'? .	(8.183)

Цю2

4.	При заданных значениях амплитуд колебаний и заданной нагрузке
определить значения /п2 и с(, если жесткость с2 и масса пц известны.

Имеем следующие уравнения, решающие эту задачу:

Р, 4- с, (Л. — Л,) 4- //цю-Л,

Ct =-------------------------- .

___ Рг 4 с2(Л2 — Л ।)

Г/t о ~~ ‘	~	—

иг Л ,

(8.184)

5.	При заданных значениях амплитуд колебаний и за тайной нагрузке
определить значения т2 и с2, если жесткость с и масса /и, известны.

Имеем следующие уравнения, решающие эту задачу:

с2

_ — Pi ~КС1 — /ПДО2) Л ।,
Л2— Л,

28'

ш2 =

— Рг 4~ с2 (Ло — Л,)

<о2Л2

435
Отметим здесь, что произвольное задание значений с2 и //г2
данных значениях амплитуд колебаний нагрузок невозможно.

Эти задачи могу г быть обобщены. Пусть имеется п масс и п
связей (рнс. 172).

Для первой задачи имеем
л	п

Pi + У Ы-ni^i
i—к	i=K

С- ------------------,

4-лк. ,
при /1() = 0; 1г = I, 2, 3, .... п.

Для второй задачи имеем

т ___ Ск (Л*	1) с*-н 0* । । ~ ^к) Рк

м’Ак

при за-
упругпх

(8.186)

(8.187)

прп еп+| = 0; /г = 1, 2, ..., п.

Уравнения (8.186) и (8.187) могут быть использованы для решения

следующих задач.

6.	При заданных значениях k амплитуд колебании и п — 1г жестко-
стей определить остальные и — k значений амплитуд колебаний и 1г жест-
костей, если значения масс и нагрузок заданы. В частных случаях

а)	Определить значения At, А2... An-i, t'i прп заданных с2, с3...сп

и А,,.

б)	Определит!» шачеиия с,„ /12.. Д>, при заданных Af, ct,..cn i-

Рис 172. Динамическая система из п масс

7. При за тайных значениях /г амплитуд колебаний и и — 1г масс опре-
делить остальные и— /г значений амплитуд колебаний и k масс, если
значения жесткостей упругих элементов и нагрузок заданы.

В частных случаях а) Определить значения /л,, Ah Л2.../1п-| при за-
данных ш2, т3, .... тп и -1(1. б) Определить значение tnn, А2, .../!„ при
заданных nih

б) Определить значения т„, /12.../1„ при заданных Alt

8.	Заданы значения kf величин жесткостей, k2 величин масс и /г3
величин амплитуд колебаний (ki + k2 + 1г3 = л), определить значения
остальных величии (л— kf) жесткостей, (л— k2) масс и (и—k3) ампли-
туд колебаний.

Важным классом задач синтеза динамических систем являются зада-
чи по последовательному синтезу, которые формулируются следующим
образом.

Пусть имеется динамическая система, на которую действуют задан-
ные нагрузки, состоящие пз и упругих связен п п масс, подобранных та-
ким образом, что амплитуды колебаний этх масс являются заданными.
Необходимо через {n + l)10 упругую связь с,1+1 присоединить (л + 1)"’
массу ш„ц, па которую должна воздействовать заданная нагрузка
P„+i, н прп этом амилпту та колебаний масс с номерами i = 1 4-л сохра
нить пр жпн.мп, а амилпту та колебаний массы Л!„+1 толжпа быть раина
заданной. Значения с„ । и tn„+l определяются через следующие уравне-

пня:	Си(Лп ^>1—1)	тпЫ Ы	Рц .	,п . nqv  Gi-н	,	(8.188)  лп 1 - лп с,,(	— А„ 1) — /«„огД- — Р„ — Р„ , ,  тп+т = — 1 -				=					—.	(8.189)
К тому же ви ту задач относится следующая очень важная задача.

9.	Пусть имеется динамическая система, на которую действуют за-
данные нагрузки, состоящие из п упруги: связен и п масс, подобранных
таким образом, что амплитуды колебании этих масс, являются задан-
ными. Необходимо разделить массу т„ на две массы т'п и т'п, ( через
упругую связь, при заданном распределении нагрузки Р„ па две нагруз-
ки и Ptl j, ц'пствхющпс на обе массы таким образом, чтобы ампли-
туды колебании масс /«,' n/n^j равнялись заданным.

Для простоты рассмотрим задачу для замены двух.массовой системы
трехмассовой. Имеем следующую систему уравнений:

(—	то2 + С]. 4- с2) Ai — с2А> = Pi,

— с-А, 4- (с2 — тм-) А., = Р2.	(8.190)

После замены т2 через т'2 и т3 и Р2 через Р'., и P'z получаем

(—	4- 4- с2) — с2Л2 — Pit

— Со/1, 4- (с2 — лг2ш2 4- с3) А2 — сэАэ = Р2;

— С3А2 4- (сз — Щзь>”) А3 = Р3.	(8.191)

Первое уравнение осталось без изменения. Второе и третье уравнения
перепишем следующим образом, используя соотношение т2 + /н3 = "h-

— С2А1 4- (с2 — т.ь2 4- mjo? 4- с3) А2 — сзА3 = Ль

— С2А2 4~ (сз— щ3<т>") A3 = Р3.	(8.192)

Отсюда

.	7^3 4~ Р2 ^1С2—А2С2 —| Л2МоЬ)

ПЦ = —:-------------------------—

(Л3 - Л.) ш2

или

_ р2-р;-р;

Пз (Л3-А)^ ’

Сs = Рз + Лз(,>2"'3 =	—N ±<~рз^2	(8.193)

^3 —' ^2	М3 —”

Из уравнения (8 193) следует, для того чтобы /п3>0, необходимо

Р> > Р-> 4- Pl

Таким образом, если мы желаем, чтобы амплитуда колебании сохра
пилась, необходимо, чтобы прн разделении массы т2 па две т'2 и т'3
упругой связью сз суммарная нагрузка была бы меньше первоначально
действу ющей.

Если желаем сохранить нагрузку, то в этом случае необходимо, чтобы

т '2 4- т 'з < т 2 \

Пусть

т2 4- Шз = т2 < т2.
тогда

(m2 - ш")

д3—дг
р' + А3<02т'3

Д3 — Д3

Решение задачи по синтезу динамических систем с заданными частот-
ными характеристиками может быть выполнено исходя из тех же урав-
нении, чго и при решении предыдущей задачи.

Если требуется подобрать параметры, при которых наименьшая час-
тота равняется заданной, в уравнениях, определяющих значения вели-
чин масс н жесткостей, следует положить Р,- = 0 и частоту <» принять
равной заданной. В этом случае остальные частоты колебаний получа-
ются определенными, а следовательно, может оказаться так, чго полу-
ченное решение не бу гет удовлетворять всем поставленным условиям.
Так, пног а бывает важно, чтобы некоторые из частот колебаний пе на-
ходились в простейших рациональных соотношениях пли чтобы соотно-
шения между частотами колебаний равнялись заданным.

Характерным примером такого рода задач является задача по выбо-
ру параметров подвески стрелы экскаватора, крапа, отвалообразовате-
ля, роторною экскаватора.

Проведенными нами исследованиями показано, что при поперечных
колебаниях подвесок в местах заделок канатов нзгибиыс напряжения
могут оказаться весьма большими и существенно снизить долговечность
канатов.

Ввиду нелинейной связи между угловыми колебаниями стрелы и по-
перечными колебаниями подвески, последние могут возрастать вслед-
ствие перекачки энергии колебаний, особенно при резонансных соотно-
шениях между частотами колебаний. Поэтому необходимо выбирать па-
раметры стрелы гак, чтобы угловые колебания стрелы пе оказались в
резонансных (пли близким к ним) соотношениях с поперечными коле-
баниями подвески.

Уравнение колебаний стрелы и подвески простейшей конструкции
имеет следующий вн i без учета нзгибпых колебаний:

dP

i 2ur	d2V irr

+ (o/F — a. —£------—-

1 dp 3 df

a6T-----

dP

= 0;

+ M' +	= d*-	(8 •19-1)

i де у — yr ювое перемещение стрелы;

’lr— поперечное перемещение подвески посредине длины.

Коэффициенты а(, аз, а5, blt b2, b4, d2 и парциальные часто 1Ы колеба-
ний оъ и 0)^ определяются соотношениями (5.122).

Очевп то, что резонанс первого порядка будет при выполнении сле-
дующих соо тошен и й:

«! = 2<о2,	(8.195)

где <•>! — частота, близкая к парциальной частоте угловых колебаний
стрелы;

<•>2—частота, близкая к парциальной частоте поперечных колебаний
подвески.

Пе является желательным также резонанс

(Dl = <О2

(8.196)
При проектировании стрел необходимо выбрать параметры их так,
чтобы частоты колебании о), и ю2 находились в соотношениях, далеких
от соотношений (8.195) и (8.196).

Пусть требуется спроектировать стрелу, частоты которой находятся
в соотношении

«1 = К(о2,	(8.197)

где к — некоторое число, выбираемое таким ооразом, чтобы резонанс
отсутствовал.

Параметры подвески можно установить пз следующих соотношений:

2 2

2	, <ОТ ОС

;

1	(-

2	2 ____

Если погонный вес стрелы много больше погонного веса подвески, то
можпо получить следующие соотношения после подстановки значений
коэффициентов:

Зл-’д2Е„ cos yn sinx 2 2	2 4	,q ,па\

—-— ------12--- — coid)-> = к w2;	(8. 198)

2pL3

^clc cos Vn +	= 0)2 -|_ 0)2 = (1 4. K2) „2,	(8.199)

2qnL2sinx qclLp

где En— модуль упругости подвески;

70—угол наклона стрелы к горизонту;

х— угол между подвеской и стрелой;

L — длина подвески;

р — объемный вес материала подвески;

1С —длина стрелы;

т/с — погонный вес стрелы;

qn — погонный вес подвески.

Укажем здесь на то, что соотношение (8.198), определяющее зависи-
мость произведения квадратов частот от длины подвески, определяет
так ке и равное ему произведение парциальных частот угловых колеба-
ний стрелы и поперечных колебаний подвески.

Важной особенностью этого уравнения является то, что произведе-
ние частот не зависит пи от длины, пи от веса стрелы и не зависит от
площаin поперечного сечения подвески. Вследствие этого уравнение
(8.198) удобно принять за основное уравнение синтеза динамических сн
стем стреловых конструкций. Из этого уравнения легко определить один
из параметров Ln, k, wj, уо, х, если заданы остальные, и, используя най-
денные значения, из уравнения (8.199) определить еще один из пара-
метров—дп, чтобы удовлетворить поставленной при синтезе задаче о
проектировании динамической системы с заданным соотношением частот
колебаний.

При решении задачи о синтезе динамической системы стрелы прос-
тейшего типа следует рекомендовать по заданным значениям он, k, у0
определять длину подвески и угол между подвеской и осью стрелы.

Этими параметрами проще всего варьировать при проектировании
стреловых конструкций.

Следует также учесть, что от этих параметров в значительной степе-
ни зависит переход энергии колебаний из горизонтальной плоскости в
вертикальную и обратно.
В заключение ук 1жем на то. что специальные уравнения синтеза
динамических систем можно установить и для других важных задач рас-
чета и проектирования машин для открытых горних и земляных работ.

Изложенные здесь некоторые вопросы синтеза динамических систем
могут рассматриваться лишь как введение в важную область исследова-
нии но проектированию и расчету машин для открытых горных работ с
оптималытыми динамическими характеристиками.

Проектирование машин с оптимальными динамическими характерис-
тиками в ближайшее время должно явиться главным направлением
развития методов расчета машин для открытых торных и земля-
ных работ. Это направление является одной пз важнейших составных
частей общего метода проектирования машин но заданной экономически
оправданной на тежносги и долговечности машин, основанной на объек-
тивных статистических закономерностях рабочих процессов и свойств пе-
рерабатываемых материалов. Общее решение задачи о проектировании
оптимальных конструкций машин возможно с применением методов ма-
тематического программирования, линейного и нелинейного с хчетом
стохастического характера условии работы манит. Эта задача в настоя-
щее время еще только формулируется. Решение ее на различных этапах
может быть различным, поскольку изменяются и совершенствуются ма-
териалы, применяемые в промышленности, изменяются п совершенству-
ются техно тогнческие процессы ио изготовлению машин и их узлов, из-
меняются и совершенствуются конструктивные формы п сами конструк-
ции машин и элементов машин.

Остается неизменным главное требование к методам расчета, выпол-
нение которого является необходимым для получения обьектинных ре-
шений методами математического программирования. Необходимо
глубоко изучить (физические процессы, происходящие при работе машин,
знать их природу н уметь представлять их в виде математических зако-
нов или моделировать методом физического или математического моде-
лирования.

Ошибка в (физическом представлении процесса может свести па пет
всю дальнейшую трудоемку ю работу по расчету машины, и представление
об оптимальности решения той пли иной машины сделать ошибочным.

Так представление .динамических задач по расчету мапнш для oti ры-
тых горных и земляных работ в виде линейных механических схем мо-
жет привести пе только к количественным, по и к качественным ошиб-
кам. Если получено, что в линейной системе отсутствуют резонансы, то
это не значит, что их нс будет в реальной машине, так как вследствие
наличия нелинейных (факторов могут существовать резонансы более об-
щего вида.

Эго не значит, что пе следует до разработки физических основ рас-
чета рабочих процессов в машинах вести исследования в области созда-
ния методов математического программирования в применении к за та-
чам расчета мапнш для открытых горных н земляных работ в целях по-
лучения специальных алгоритмов, решающих вопрос об оптимальных
коне тру ктпгшы.х и технологических решениях машин.

В настоящее вр мя имеется уже достаточно конкретных исследова-
ний физических процессов, происходящих в машинах 1ля открытых
горных и земляных работ, которые позволяют иметь объективную оценку
многих пз этих процессов. Следует лишь иметь в виду, что объективность
того или иного процесса может не иметь абсолютного характера, по-
скольку сам процесс может зависеть от целого ряда параметров в нели-
нейном смысле и при опре елейных соотношениях этих параметров по-
лучать другое качественное содержание.
.Методы решения задач по выбору оптимальных конструктивных
параметров машин для открытых горных и земляных работ должны
быть увязаны с методами по проектированию оптимальных техноло-
гических процессов проведения открытых горных работ. В после шее
время при iipocKiiipoBainiii технологических процессов открытых горных
н земляных работ начинают применяться методы матемагпческого про-
граммирования для выбора наиболее экономически оправданных реше-
нии. Однако эти решения обычно еще пе увязываются с решением зад; I
но проектированию машин для открытых горных и земляных работ.
Основные рабочие параметры мапшп оказываются целиком подчиненны-
ми технологическим факторам без обратной связи. В дальнейшем сле-
дует прпппмагь по внимание то обстоятельство, чго выбранные таким
образом параметры мапшп могут затруднить проектирование их в до-
статочно оптимальном варианте. Так, например, динамические процессы
в роторных экскаваторах обусловливаются в основном периодически
изменяющимся по ве шчипе реа дивным воздействием грунта на ротор-
ное колесо экскаватора. Если период изменения реактивного воздействия
грунта совпадает с периодом колебании конструкции, то в результате
резонанса амплитуда колебаний конструкции может оказаться весьма
большой, что приведет к существенному увеличению динамических на-
грузок иа конструкции роторного экскаватора. Обычно в конструкциях
роторных экскаваторов собственные частоты колебаний оказываются
зависящими от положения рабочего оборудования и изменяются в оире
деленных пределах. Таким образом, имеются некоторые области распре-
деления частот колебаний, встедствне чего резонансные явления могут
оказаться весьма вероятными. Спектр частот ко leoaimii конструкций ро-
торного экскаватора состоит из нескольких частот, н имеется несколько
резонансных' областей, определяющих положение рабочего обору топа-
ния роторного экскава юра, inioi та частично перекрывающих друг тру га.
Подобрать значения параметров конструктивных уз. ов машины так,
чтобы исключить возможность проявления резонансов, может оказаться
трудно пли даже невозможно без значительного утяжеления узлов и
машины в целом. Однако говорить о том, что найденное решение яв-
ляется оптимальным, нельзя. В этом случае необходимо изменить задай
иыс и полученные в результате расчета технологического процесса пара-
метры экскаватора, что приведет к изменению расчетных данных техно-
логического процесса и к пеоб.ходпмости выполнения новых расчетов,
если экономические оценки допускают такую возможность.

Упрощение увязки технологических расчетов рабочих процессов ма-
шин для открытых горных и земляных работ с расчетом самих машин и
с самой технологией открытой добычи может быть достигнуто, если бу-
дут разработаны специальные алгоритмы, позволяющие достаточно
быстро производить оценку того или иного параметра.

Так, представляется возможным для таких машин, как роторные
экскаваторы, отвалообразова гели, одноковшовые экскаваторы, в случае,
если они проектируются ио типичным конструктивным схемам, иолу чип.
зависимости, определяющие такие важнейшие динамические характери-
стики, как спектр частот колебаппп конструкций в функции от веса ма-
шин и узлов и ог линейных размеров основных элементов. Пиог та оказы-
вается возможным, поскольку вес машины определяется производитель-
ностью п линейными размерами, установить зависимости, определяющие
спектр частот колебаний конструкций, от производительности маишиы и
о г ее линейных размеров. Это как раз те параметры мапшп, которые тех-
нологи псно п.зуют при разработке проекта технологии он рытых горных
и земляных работ.
Динамические процессы в машинах для открытых горных и земляных
работ являются, вообще говоря, нежелательными процессами, поскольку
они приводят к возрастанию действующих на узлы машин нагрузок,
и в силу переменного характера их вызывают усталость материала кон-
струкций. Динамические процессы в машинах для открытых горных и
земляных работ могут привести к нарушению рабочих процессов машпи,
они значительно снижают долговечность элементов и узлов машин и
машины в целом.

Всчедствпе этого исследование динамических процессов в машинах
для открытых горных и земляных работ должно иметь основной целью
не столько определение максимальных динамических нагрузок, дейст-
вующих па конструкции и узлы машин, сколько определение путей сни-
жения или устранения динамических нагрузок. Овладение методами ис-
следования динамических процессов в машинах для открытых горных и
земляных работ дает возможность понять физическую природу и на-
учиться управлять ими, направляя энергию динамических процессов в
наиболее трудно уязвимые узлы или специально предназначенные для
этого узлы и конструкции, или отводя ее из машины, или не допуская
поступление ненужной для рабочего процесса машин внешней энергии,
исходящей от привода. Лишь в специальных случаях может оказаться,
что введение в рабочий процесс динамических факторов необходимо,
поскольку оно ведет к увеличению производительности и в конечном сче-
те к повышению экопомичес ой эффективности рабочего процесса ма-
Н1ПНЫ с учетом фактора времени.

Тенденции развития машин для открытых горных работ таковы, чю
скорости рабочих процессов постоянно возрастают. Вследствие этого
динамические процессы являются, вообще говоря, и неизбежными про-
цессами. Роль теории динамических процессов будет становиться все
более значительной. Основой ее должно являться правильное представ-
ление о физической природе динамических процессов. Следует всемерно
путем проведения экспериментальных работ с все более гонкой и глу-
бокой проработкой методики экспериментов стремиться к тому, чтобы
более тщательно изучить физическую природу динамических процессов.
Многие вопросы еще по до конца исследованы. Не ясны в полной мере,
например, динамические характеристики конвейерных лепт и канатов,
пет еще многих расчетных коэффициентов, позволяющих надежно учи-
тывать демпфирование динамических процессов, пет достаточных дан-
ных для описания динамических процессов в механизмах силовых пере-
дач и приводов машин, пет достаточных данных, характеризующих дина-
мические свойства грунтов и горных пород в естественном и разрыхлен-
ном состоянии. Все это вносит некоторую ориентировочность в проведе-
нии расчетов, связанных с исследованием динамических процессов. Одна-
ко есть полное основание рассчитывать на то, чго многие из недостаточ-
но изученных вопросов в ближайшее время будут исследованы в доста-
точной мерс.

В последнее время, например, были получены весьма важные данные
о динамических процессах в механических передачах машин, работаю-
щих в режимах резких изменений нагрузок. Так, при проведении нами
исследований конических зубчатых передач конусных дробилок различ-
ных типов были обнаружены колебания крутящих моментов па валах
передач, происходящих с большой амплитудой и имеющих частоту 100
800 гц. Частоты колебаний соответствовали частоте входа и выхода зуб-
цов из зацепления, а также парциальным частотам собственных коле-
баний валов с насаженными па них шестернями и муфтами в том числе
п высшим гармоникам.
Причинами такого рода колебании являлось наличие больших зазо-
ров в зубчатых передачах, резонансные соотношения между парциальны-
ми частотами колебаний механизмов и числом входа зубцов в зацепле
ние и выхода из зацепления в единицу времени, а также автоколебания
вследствие трения.

Такого же рода колебания могут иметь место н в машинах для откры-
тых горных и земляных работ,— одноковшовых п роторных экскавато-
рах и отвалообразователях. Подобного же гппа колебания были обнару-
жены нами в механизме напора прп испытании карьерных одноковшо-
вых экскаваторов.

Теоретические исследования в области машин для открытых горных
и земляных работ основываются па экспериментальных данных. В то же
время опн дают возможность более четкого и более глубокого проведения
и анализа экспериментов. Накопление объективных данных возможно
лишь в том случае, если будут регистрироваться точно условия прове-
дения экспериментов, а результаты экспериментов глубоко анализиро-
ваться. Так, при определении реактивного воздействия грунта на рабо-
чие органы землеройных машин следует весьма тщатетыю описывать
физико-механические свойства грунтов и все геометрические характери-
стики процесса резания, а также состояние машины.

При анализе экспериментальных данных п использовании статистиче-
ских оценок обязательно выделение закономерностей, определяющихся
свойствами самой машины, и закономерностей рабочей среды. Без этого
сделать правильные выводы пз экспериментов псвозмож ю.

Изложенные в настоящей монографии мего 1.ы анализа динамических
процессов в машинах для открытых горных п земляных работ, очевидно,
в дальнейшем будут значительно развиты и уровень расчета эт ix машин
будет соответствовать той важной роли, которую они играют в народном
хозяйств страны.
ЛИТЕРАТУРА

1	\ и дрон <> в А А и В и т т Л \ Об устойчивости по Ляпунову. ДЕ, ЖЭТФ, т. 3.
вып. 5. 1933.

2.	Хидро нов \ А и Хай к и и С. Э. Теория колебаний. ,М —Л.. ОНТИ. 1937.

3.	Л р и о л I» д В И О неустойчивости динамических систем со многими степенями сво-
боды ДАН СССР, т. 156, Ms I. 1964.

4	Бо 10.11060 в 11 И н .Митропольский Ю. А. Асимптотические методы
в теории нелинейных колебаний. ЛЕ, Физмлтгиз, 1963

5	Болотин В. В. Динамическая хстойчивость упругих систем. М., Гостсхпздат,
19 6

6	Б о I в П. О некоторых дифференциальных уравнениях, применяемых в механике
ДЕРПТ. 1900.

7.	Бор Г. Почти периодические фхиктш. ЛЕ ГТТИ, 1934

8.	Крилов II ДЕ н Боголюбов II II. Введение в нелинейную механику. Киси.
изд. АН УССР, 1937

9.	Крылов II М и Боголюбов II 11. Приложение методов нелинейной механики
к теории ст.111поиа|М1ых колебаний Киев, ни. АП УССР. 1934.

10.	.'I е в и т а п Б М Почти перноднчсск ic функции. ДЕ, ГТТП, 1953.

II	Ляпунов \ ДЕ Общая задача об устойчивости движения. ДЕ. Гостсхпздат. 1950

12.	.Малкин И Г. Методы Ляпунова н 11ханкарс в теории иедипенных колебаний
М. Л., Гостсхпздат, 1947

13.	Ma । к и п II. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний М, Госгех-
11.1 дат, 195G.

11. М а и д е л ыи т а х| Л.	И.	и Па пале к сп Н. Д О явлениях	ре шнапса II	рода

М, ЖЭТФ, т. II. вып	7	8. 1932.

15.	М л и д е л ь in т a xi Л	II	н П а и а л е к д и II Д. и др. Новые	исследования	нели-

нейных котдб.ншй. ДЕ, Радпоиздат, 1936.

16	Мандельштам Л. И. Системы с периодическими коэффициентами со многими
степенями свободы к .малой пелинеи юстыо. ЛЕ, ЖЭТФ, вып. II, 1945.

17.	Панкратов С. Л. Конструкция и основы расчета главных узлов экскаваторов
и кранов М , ЛЕингиз, 1962.

1^	Панкратов С Л. О практпческ ix методах решения chctcxi нелинейных диффе-
ренциальных уравнений Пзв. АН СССР, OTJI. т. 6. 1956.

19.	Панкратов С. А. Солдаткин Е. И, Федоров Д. И К вопросу опреде-
ления касательной гоставлякицеп усилия копания, действующей на рабочие органы
роторных экскаваторов. «Строительные и дорожные машины», 1961, .Vs 9

20.	Н х а 11 к я р е \. О кривых, определяемых ин|>фереиш1альпых|п уравнениями
ДЕ—Л., Гостсхпздат, 1947.

21	Релей Д. В Теория 1вука М.. Гостехнздат, 1955.

22	Стокер Д 11елн|1сйпыс колебания в механических и электрических системах. Л ,
Ин. лит, 1953

23.	Стретт М Д. Ф\ икиип Ляме. ЛАатье и родственные им в физике и технике, М,
ГТТП. 1935.

24.	Челомеи В II Динамическая устойчивость элементов авиационных Монструкцнй.
ЛЕ, Аэрофлот. 1939.

25.	Четасв II Г Устойчивость движения. Паука, 1965

21 Weslplial «I landbuch tier Eiirdergurte». Leipzig. 1964. VEB. Deutscher Verlag fur
Gro nd st oiiindtislrie.
О ГЛЛВЛЕНИЕ

Введение ............................................................... 3

Гяичи / Практические методы решении систем нелинейных дифференциальных
уравнений .............................................................. 16

§ I.	Квазилинейные системы тпфференциалы1ых уравнений. I1ернодп ie-
скне решения ..................................................„... 16

§ 2.	Системы Ляпунова и система, близкие к системам Ляпу нона..... 23

§ 3.	Автономные системы .......................................... 30

Г luuu // Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффици-
ентами. Практические методы исследования ................................ 12

§ I	Уравнения в вариациях ....................................... 42

§ 2.	Уравнения Хилла ............................................. 45

Глапа Ш Нелинейные уравнения с периодическими коэффициентами ........... 53

§ I	Периодические решения нелинейных уравнений с периодическими
коэффициентами ......................................................В

§ 2.	Комбинационные реюнансы при колебаниях упругих стержней под
воз (енетвпем продольных сил, н.дменяющнхея но Лигармоннческому
законх ............................................................ 63

§ 3.	Колебание стержней Исследование нео цюродных уравнений с перио-
дическими коэффициентами .......................................... 72

§ 4	Колебание стержней. Комбинационный резонанс в случае нелинейных
неоднородных уравнений с периодическими коэффициент imh ........... 77

Г нот /V Ко хебаиия наклонных стоек на невесомых гибких подвесках ...... 87

§ 1.	Днффгренцпальиые уравнения колебаний наклонных стоек на неве-
сомых гибких по (восках ........................................... 87

§ 2	Приведение уравнений колеб iiinii наклонных стоек к канонической
форме ............................................................. 99

§ 3	Собственных колебания наклонных стоек ...................... 101

§ 1.	Вынужденные колебания наклонных стоек ...................... 100

§ 3.	Исследование полученных решении Амплитудно-частотные характе-
ристики ........................................................... 137

Гита V Расчет элементов конструкции, содержащих канаты и ванты большой
длины ................................................................... 1 13

§ 1.	Об опенке напряжений в канатах -н вантах бодыиой длины ...... I	13

‘145
§ 2.	О расчете крутильных колебаний стреловых конструкций, содержа-
щих канаты н ванты большой длины. Упрощенная постановка задачи 163

§ 3.	О расчете крутильных колебаний стреловых конструкций, содержа-
щих канаты н ванты большой длины. Уточненная постановка задачи 170

§ 4	Колебания стрел простейшего типа на пбкой подвеске большой
длины в вертикальной плоскости ..................................   176

§ 5.	Колебания стрел с боковыми вантами в горизонтальной плоскости.
Уточненная постановка задачи ...................................... 183

Глава VI. Динамика ленточных конвейеров ................................ 205

§ 1.	Краткое описание динамических процессов ленточных конвейеров ... 205

§ 2.	J авнення колебаний плоской ленты ленточных конвейеров......... 215

§ 3.	Вывод уравнений котебаннй для желобчатой ленты .............. 223

§ 4.	Физические свойства конвейерных лент и упрощения уравнений
колебаний ......................................................... 226

§ 5.	Упрощение уравнений и введение дополнительных нелинейных членов 228

§ 6.	Определение частот продольных колебаний конвейерных лент .... 230

§ 7.	Приближенный метод определения напряжений в конвейерной ленте
при пуске и торможении ............................................ 213

§ 8.	Продольные колебания ленточных конвейеров с учетом поглощения
энергии коДебаиий ...............................................   255

§ 9.	Об учете сопротивлений в ролнкоопорах конвейеров при определении
динамических нагрузок в ленте в режимах пуска ..................... 264

§ 10.	Электронное моделирование переходных режимов ленточных конвей-
еров .............................................................. 268

§ II.	О выборе натяжения и опрс елении частот поперечных колебаний
конвейерных лепт .......................-... ....................   275

§ 12.	Болес точный расчет критической скорости движения н частоты по-
перечных колебаний ленты .........................................  279

§ 13.	Изгпбныс напряжения конвейерных лент ........................ 28°

§ 14.	Поперечные колебания конвейерных лепт, вызываемые продольными
силами ..........................................................   290

§ 15.	Методика определения амплитуды поперечных колебаний ленты, вы-
зываемых колебаниями несущих конструкций .......................... 301

§ 16.	Опре (слепне амплитуд колебаний несущих конструкций под воздей-
ствием несбалансированных роликоопор н поперечных колебаний
ленты .........................................-................... 303

Глава VII. Динамика отвалообразователей .................................	307

§ 1.	Краткое описание конструкции и рабочих процессов отвалообразова-
тслей ..................................-.......................... 307

§ 2.	Дифференциальные уравнения колебаний стрел с дополнительными
но (песками независимого типа и дополнительной мачтой ............. 317

§ 3.	Дифференциальные уравнения колебаний стрел с дополнительными
подвесками зависимого типа и дополнительной мачтой .........-...... 321

§ 4.	Дифференциальные уравнения колебаний вантовых стрел с промежу-
точными стойками в вертикальной плоскости ......................... 329

§ 5	Уравнения колебаний «качающихся» стрел _______................. 343

§ 6.	Дифференциальные уравнения котебаннй конструкций отвалообразо-
ватсля ..........................................................   355

§ 7.	Колебания канатов н вант, вызываемые продольными и поперечными
нагрузками, изменяющимися по бнгармопическому закону .............. 361
Глава VIII. Динамика роторных экскаваторов .............................. 366

§ 1.	Краткое описание конструкции и рабочих процессов роторных
экскаваторов .................................................... 366

§ 2.	Дифференциальные уравнения колебаний конструкций роторных
экскаваторов в вертикальной плоскости ........................... 373

§ 3.	Дифференциальные уравнения крутильных колебаний конструкции
экскаватор....................................................... 104

§ 4.	Дифференциальные уравнения колебаний конструкций экскаватора
в горизонтально!! плоскости ..................................... 411

§ 3.	О расчете нагрузок на роторное колесо экскаватора при работе . 424

§ 6.	Определение начальных условий колебаний прн стопорении ротора
экскаватора ..................................................... 431

§ 7.	О синтезе динамических систем машпи тля открытых горных работ 433

Литература .............................................................. 141
Серафим X тексаидроввч Пл икра г о в

ДИНАМИКА МАШИН ДЛЯ ОТКРЫТЫХ
ГОРНЫХ и ЗЕМЛЯНЫХ РАБОТ

Редактор издательства // В Доброе

ГсхпичсскиЛ редактор 7 Ф. Соколова

Коррскiоры //. // Шарунини и Н 1 Иир.чзен

Переплет художника А Д. Михаи юни

Сдано в производство 23/V НМЛ г.
Подписан»» к печати IH/1I 1967 г
Т-1)Ь|ГЛ Тираж 3000 экз. Печ л. 39.2 Бум. л. И
• Уч. нчд л. 36. Темпла к 1‘м»7 г.. № 18<>

Формат 70 X lOB'/ie Цена 2 р 35 к. Зак 311

IЬдатс7ьстпо «МДШ!! IIOCTPOEI1111»,
Москва. Б-бЬ. I П БасманныИ нер„ 3

Экспериментальная типография ВН11ИПП

Комитета по печати прн Сонете Министров СССР

Москва 11-51. ЦветИоЛ бульвар 30
Замеченные опечатки

Стр	Строка	11апечатано			Следует читать	
103	Формх ла (4 60)	2 °2	„	Д2	о Й2  - ш* —- -4- 2ы,<о.	 <о;  л	'•о-о;	' 0J			9 а2	о»	о-  - <•’<“ b2'-h<i>.-	Ч-к>- —  ' dt2	VlT^Ts *ат-	
3U1	3-я сверху	и — axin.ui ix да				а—трньедеаная к 1 .-мплтуда	
319	2-я сверху	- V-4.) cos ос,. -			-ч — 4е)	
ЯО	3-я снизу	cos у0  4		2  G-t«	I2 з	4  -° 1	1 2о.  1 — 4г	1 —	
		•л 2o^_4ecosy(,				
325	Ф< pMx.iii (7.4(1)	- У			— ЕЛ	
325	Формх ла (7 II)	1	1  “ ' 43 1		 ..,'i	_/7i±±iki у  iF.3 1--, 1	
325	Формх ia (7.42)	_	у 1  </;•> I			- , |	
326	6-я снизу	— У	FJY				
326	2-я снизу		</3<i> \		- J	'•‘I' \
			d-j )			/II3 /
326	8-я снизу	-1 ,_4в) cos ос—					
327	Формх 1ы (7 52). (7 51) н (7.51)	—	/ </3<1> X	/  Ш	-г4			ri1'!’ У d'7)
328	2-я сверху	—	/ </»ф 1 dl3 )			
346	Формула (7.102). и знамена-  >e.ie	cos Х-о				
356	6.я спи iy	;Ч-4в				
356	2-я ситу	^4в -5в			2	
358	Формула (7.129)	1  5в			I  ** ^49—Se	
358	Формх ла (7.130)	4			32	
418	Формх la  18.139)	«hi			« '^1	

Поправки

1	На сгр. ЗИ — 350 в формулах (7.94к (7 “(>>. i7 981, |7 Л0|. (7.105). (7.107),
(7 108/. (7 111) вместо cos x 0 u числи ie ie всюду де (жен быть cos

2	. Па cip 19 — 350 в форм) ie (7.111) в внраж-ннях с с, везде постаишь член Ft.

3	. На cip. 350 в формх ie (7.111) в коэффшик и...х rl3. b,t. я4Ь, «1е, Ь(ь. d,t
вместо cos х-0 поставить cos

4	Hi cip 350 в формуле (7 113) в коэ|>ф||.шг:1 i.ix a;i. uJb, <i4S, <iib. авь, dlt пос le
o0 везде iiociaimib член F,.

С А Панкратов. Зак >14 •Динамика машин для открыты гор!Ы и земляных работ».