И. П. ГУРСКИИ
ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ
И. П. ГУРСКИЙ
ФУНКЦИИ
И ПОСТРОЕНИЕ
ГРАФИКОВ
ПОСОБИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЕЙ
ИЗДАНИЕ 3-е, ИСПРАВЛЕННОЕ
И ДОПОЛНЕННОЕ
ИЗДАТЕЛЬСТВО «ПРОСВЕЩЕНИЕ»
Москва 19 6 S
Гурский И. П.
Г95 Функции и построение графиков. Пособие для
учителей. Изд. 3-е, испр. и доп. М., «Просвещение»,
1968.
215 с. с илл. 150 000 экз. 37 к.
Книга содержит большое число задач, посвященных исследованию как
элементарных, так и неэлементарных функций средствами элементарной
математики с последующим построением графиков.
2-2-2
155-68
51 (07)
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Данное пособие предназначается для учителей математики сред-
них школ, для учеников IX—X классов средних школ и для лиц,
готовящихся к конкурсным экзаменам по математике при посту-
плении в высшие учебные заведения. Этим пособием могут поль-
зоваться также студенты тех высших учебных заведений, где после
изучения теории пределов и основ аналитической геометрии
знание этих разделов закрепляется построением соответствующих
графиков, как раз таких, какие приводятся в данном пособии.
Автор сознательно исключил из средств, используемых при
построении графиков, элементы высшей математики. Здесь изла-
гается построение графиков средствами элементарной математики
на основании исследования функций в той степени, в какой это
возможно при пользовании только этими средствами.
Известно, что методы высшей математики позволяют строить
любой график. Однако знаний тех элементов высшей математики,
которые даются в средней школе, для этой цели недостаточно.
С другой стороны, большое количество графиков, иногда весьма
интересных, может быть построено средствами исключительно
элементарной математики. Наиболее трудные из этих графиков
требуют для своего построения хорошего знания многих разделов
элементарной математики, а подчас и остроумного применения этих
знаний. Построение графиков средствами элементарной математики
может служить материалом для закрепления и усовершенствования
учениками и абитуриентами своих знаний по многим важным разде-
лам элементарной математики.
Математическая строгость формулировок в данном пособии
иногда сознательно приносилась в жертву наглядности и легкости
понимания учениками рассматриваемых вопросов. Тем не менее
изучение исследования функций и построения их графиков по дан-
ному пособию, несомненно, будет хорошей подготовкой к дальней-
шему усвоению методов более полного исследования функций сред-
ствами высшей математики.
В этом пособии автор попытался обобщить свой многолетний
опыт работы по подготовке абитуриентов к конкурсным экзаменам.
Кроме того, был использован материал из различных задачников:
3
П. С. Моденова, К. У. Шахно и др. Приведено большое количе-
ство примеров, предлагавшихся на конкурсных экзаменах при посту-
плении в различные высшие учебные заведения (Московский госу-
дарственный университет, Физико-технический институт, Инженерно-
физический институт, Энергетический институт, Высшее техническое
училище им. Баумана и др.).
Все замечания и пожелания по данной книге автор примет
с благодарностью и просит направлять их по адресу:
Москва, И-18, 3-й проезд Марьиной рощи, 41. Издательство
«Просвещение», редакция математики.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Во второе издание внесены следующие исправления: заново
написана вторая часть § 2. Исправлены неточности в построении
нескольких графиков. Даны более простые объяснения к графикам,
изображенным на чертежах 243, 244 и 246. График на чертеже
245 заменен другим, так как ранее помещенный здесь график
функции |y|=lgx дан на чертеже 42. Исправлены замеченные
опечатки.
Приношу большую благодарность всем лицам, приславшим свои
замечания по первому изданию.
Автор
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третье издание внесены изменения и дополнения к § 8 гла-
B£i I. В главе V несколько графиков, построенных недостаточно
точно, изъято, так как их уточнение возможно только с помощью
методов высшей математики. Добавлены примеры для самостоятель-
ных упражнений. Внесены некоторые исправления в текст и исправ-
лены замеченные опечатки.
Приношу глубокую благодарность всем лицам, приславшим заме-
чания ко второму изданию.
Автор
ВВЕДЕНИЕ
Если две величины, характеризующие какой либо процесс, изме-
няются в ходе процесса так, что между изменением одной и другой
из этих величин имеется определенная зависимость, то говорят, что
между этими величинами существует функциональная связь
или функциональная зависимость.
Та переменная величина, которая в данном процессе изменяется
независимо от другой величины, называется аргументом. Та же
переменная величина, значения которой определяются значениями
аргумента, называется функцией.
Функциональная зависимость записывается символически так:
У=Кх)
и читается: у есть функция от х (игрек равняется эф от икс).
Здесь х — аргумент, т. е. независимая переменная,
У — функция, значение которой зависит от значения х.
Определение. Переменная величина у называется функ-
цией от переменной величины х (аргумента), если каждому допу-
стимому значению х соответствует определенное значение у.
Всякая функциональная зависимость между двумя величинами
может быть изображена плоскостным графиком. Для этого на
плоскость наносятся оси координат; горизонтальная — ось абсцисс
и вертикальная — ось ординат. По оси абсцисс откладываются в не-
котором масштабе различные значения аргумента х — «абсциссы»
различных точек графика, по оси ординат — соответствующие им
значения функции у — «ординаты» тех же точек графика. Каждая
пара координат, абсцисса и ордината, дает одну точку графика.
На чертеже 1 построена точка М с координатами хг и yt. Эти
координаты обычно записываются в скобках рядом и разделяются
точкой с запятой. Точка обозначается: М (хх; у\).
Примечание. Точку М не следует искать на пересечении прямых
тМ и т' М. Проще поступить так: отложить абсциссу От, затем из точки т
отложить ординату тМ. На чертеже 1 ход построения точки показан стрелками.
Мы здесь не будем рассматривать построение графиков по точ-
кам, так как этот способ громоздкий, несмотря на свою кажущую-
ся простоту. К тому же он не всегда приводит к цели, вследствие
5
того что без предварительного исследования функции
могут быть пропущены наиболее интересные, характерные
точки: вершины кривой, некоторые точки пересечения кривой
с осями координат и т. д. Более того, самый характер кривой
может быть искажен, притом тем сильнее, чем реже взяты точки;
может оказаться невыявленной, например, симметрия кривой и т. д.
Во избежание подобных недочетов и для того чтобы основное
внимание уделить выявлению характера изучаемой функцио-
т'

Ордината точки М
Ось абсцисс
Абсцисса точки М
Черт. 1.
пальной зависимости, построению графика должно предшествовать
исследование общих свойств заданной функции, нахождение вычис-
лением основных, характерных точек графика и исследование
поведения кривых графика на разных участках между этими
точками.
График строится по найденным характерным точкам и с
учетом выявленных общих свойств функции и поведения кривых
графика на различных участках. Для контроля правильности по-
строения графика вычисляют дополнительно координаты одной
или нескольких контрольных точек и наносят их на график.
Контрольные точки служат также для уточнения кривых гра-
фика на отдельных участках.
ГЛАВА I
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ
ЕЕ ГРАФИКА И ПОРЯДОК ПОСТРОЕНИЯ ГРАФИКА
А. ОБЩИЕ СВОЙСТВА ФУНКЦИИ
§ 1. ОБЛАСТЬ СУЩЕСТВОВАНИЯ (ОПРЕДЕЛЕНИЯ) ФУНКЦИИ
Областью существования или областью опреде-
ления функции называется совокупность всех значений аргу-
мента, для которых функция определена (т. е. существует и име-
ет действительные значения). Например:
1)	y=arcsinx — функция существует при
(1)
2)	У=1ёх — функция существует при
____	0<х<оо;	(2)
3)	у=Т/х*— 9 — функция существует и имеет действительные
значения при
(3)
Совокупность всех точек числовой оси, заключенных между дву-
мя какими-нибудь точками этой оси, называется промежутком.
Крайние точки промежутка называются концами промежутка.
Промежуток с включением его концов называется замкну-
тым или закрытым промежутком, а также отрезком или
сегментом.
Например, область существования функции y=arcsinx (при-
мер 1) — замкнутый промежуток (сегмент, отрезок) от —1 до +1.
Наряду с обозначением (1) для замкнутого промежутка употребля-
ется и такое обозначение:
[-1, 11.	(1а)
Промежуток без включения его концов называется открытым
промежутком или интервалом.
7
Для функции y=lgx (пример 2) область существования —
открытый промежуток (интервал) от 0 до <х>. Для открытого про-
межутка (интервала) наряду с обозначением (2) употребляется обо-
значение
(О, со).	(2а)
Если один конец присоединяется к промежутку, а другой нет,
то такой промежуток, открытый с одной стороны и замкнутый
с другой, называется полуоткрытым промежутком или полу-
интервалом.
Для функции у=) х2—9 (пример 3) область
два полуинтервала:
(—00, —3]
и
[3, со)
существования —
(За)
Примечание. Из приведенных обозначений общепринятыми являются
лишь понятия «промежуток», «отрезок» и «сегмент». Понятие «интервал» мно-
гими авторами применяется для обозначения всякого промежутка; тогда говорят:
«открытый интервал», «закрытый интервал», «полуоткрытый интервал», так же
как «закрытый, открытый и полуоткрытый промежутки».
На графике промежутки существования функции обозначаются
утолщением оси абсцисс (черт. 2), причем замкнутый конец про-
межутка обозначается точкой (черт. 2, а и 2, в), а открытый конец
(не включенный в область существования) — кружком (черт. 2,6),
стрелкой (черт. 2, б и 2, в) или совсем не обозначается.
' Г1 •
(a) y=arcsinx J . '
© у=1дх
о*
Черт. 2.
Если отыскание области существования функции не является
самостоятельной задачей, а служит для построения графика этой
функции, то рекомендуется промежутки существования ограничивать
на чертеже вертикальными штриховыми прямыми, как показано на
чертеже 2, а и 2, в.
8
Примеры
Функция не существует, когда знаменатель равен нулю. Сле-
довательно, в области существования функции должно выполняться
условие: х1 2 3—1#=0, откуда х2#=1, или х#=±1.
Таким образом, область существования функции состоит из трех
интервалов: (—со, —1); (—1, 1); (1, оо).
2.	у= V1 —х2.
Функция не существует, когда подкоренное выражение отри-
цательно. Следовательно, имеем: 1—х2>0, откуда х2^1,
т. е. —1 < х «С 1.
Область существования функции — отрезок [—1,1].
3.	y=V х— 1.
Имеем: х—1>0, откуда х>1.
Область определения функции — полуинтервал [1; оо).
4.	у—--------.
УТП
В отличие от предыдущего примера подкоренное выражение
не может равняться нулю. Имеем: х—1>0, откуда х>1.
Область существования функции — интервал (.1, сю).
Здесь должны быть рассмотрены следующие ограничения:
1)	х + 1 > 0,	откуда х > —1;
.2) х — 1 > О,	откуда х > 1;
3) Vx+l^Vx — 1, откуда х+1 ^х—1, т. е. 1^—1,
что выполняется всегда.
Следовательно, х > 1.
Область существования функции — полуинтервал [1, оо).
Система ограничений:
1) х + 1 > 0,	откуда х > —1;
.2) х — 2 > 0,	откуда х > 2;
3) l^x-f-l^P^x — 2, что выполняется всегда.
Получаем х > 2.
Область определения функции — полуинтервал [2, оо).
9
X— 1
7. у=	.
7 V х+1
Необходимо, чтобы
— >0 и х+1^0.
х+1
Получаем систему,
включающую 2 неравенства и 1 уравнение:
-—- >0,
х+1
—- = 0,
*4-1
х+1 =#0.
Первое неравенство выполняется в двух случаях:
, откуда
т. е.
х> 1;
1бр-|<0
[ х 4~ 1 <0
, откуда
(х< 1
(х<—1
, т. е. х<—1.
Из условия (3) следует: х-]-1у=0, т. е. х#=—1.
Из уравнения (2) следует: х— 1=0, т. е. х=1.
Таким образом, условия (1а) и (2) дают х>1, а условия (16)
и (3) дают х<—1.
Область определения заданной функции состоит из одного откры-
того и одного полуоткрытого промежутков:
(—со; —1); [1; со).
8.	y=V—х2+5х — 6.
Имеем: —х24-5х—6>0.
Решаем уравнение —х2+5х—6=0, или, что то же самое,
х2 — 5х4-6=0. Корни уравнения: xt=2, х2=3.
Так как коэффициент при 1-м члене квадратного трехчлена
(стоящего под радикалом) отрицательный, то областью положи-
тельных значений трехчлена будет промежуток между корнями
xt и х3 уравнения. К области определения относятся также и корни
Xi и х2, соответствующие нулевым значениям трехчлена. Следо-
вательно, область определения функции представляет собой зам-
кнутый промежуток [2; 3].
9.	y=lg(—х2+5х—6).
Область существования этой функции отличается от области
существования предыдущей функции только тем, что в нее не входят
концы промежутка, так как — х2 |-5х — 6>0.
10
Следовательно, область существования данной функции — интер-
вал (2, 3).
10.	y=lg (*~2)
ь	Ха
Здесь должны быть введены следующие условия:
1)	знаменатель не может принимать значение, равное нулю,
т. е. х2#=0, откуда следует х#=0;
(х — 2) (х — 3) Л
2)	-	—---->0; а так как знаменатель — существенно по-
ложительная величина, то отсюда вытекает, что
(х—2) (х —3)>0.
Решение этого неравенства приводится к решению двух систем:
1)	I Х~2>°’ и 2) ( х~2<0>
I х — 3>0	( х — 3<0.
Откуда лх>3 и х2<2.
Итак, имеем: —оо<х<0; 0<х<2; 3<х<оо.
Область определения функции состоит из трех интервалов:
(—со; 0); (0; 2); (3; со).
11.	y=lg[x(x — 3)(x+5)L
Выражение в квадратных скобках должно быть положительным,
т. е. х(х — 3)(х+5)>0.
Покажем два способа решения задачи.
1-й способ.
Неравенство выполняется, если
’ х>0,
х — 3>0,
х4~5 >0,
откуда получаем х>3,
либо
2)
х > 0,
х — 3<0,
х 4- 5<0,
— система противоречива,
11
либо
3)
х — 3>0,'
х < О,
х + 5<0,
— система противоречива,
либо, наконец,
х + 5>0,
х < О,
х — 3<0,
откуда получаем: —5<х<0.
Учитывая условия (1) и (4), находим, что область существо-
вания заданной функции состоит из двух интервалов:
(—5; 0) и (3; оо).
2-й способ.
Корни (0; 3; —5) многочлена, находящегося в левой части
неравенства х(х — 3)(х+5)>0, расположим в порядке возрастания:
—5; 0; 3.
Построим интервалы: (—оо; —5); (—5; 0); (0; 3); (3; оо).
Эти интервалы являются интервалами знакопостоянства многочлена
х(х—3)(х4-5), так как границами смежных интервалов являются
корни многочлена. При переходе из одного интервала в смежный
с ним многочлен меняет знак.
В крайнем левом интервале, например при х— —10, многочлен
—10(—10 — 3)-(—10-]-5)<0. Следовательно, положительным много-
член будет во 2-м и 4-м интервалах.
Отсюда заключаем, что область существования заданной фун-
кции— два интервала: (—5; 0) и (3; со).
Из сравнения обоих способов решения неравенств, у которых
левая часть состоит из произведения нескольких двучленов,
легко видеть, что уже при трех двучленах 2-й способ предпочтитель-
нее. Этот способ называется способом интервалов.
12.	y=V16 —х2+2^~3.
Имеем систему:
1)
2)
3)
16 — х2>0,
х>0,
х=#3.
Из неравенства (1) имеем: х2<16, откуда
|х|4.4, т. е. —4<х<4.
12
Получаем систему:
х<4,
Х=?^3.
Область определения функции — два полуинтервала:
[0; 3) и (3; 4].
13.	у=Уз2*-2 4-9* — 10.
Имеем:
З2*-2 +9* —10>0,
9* • -4-9* — 10>0,
9
9*-- — ю>0,
9
9* •
9* >9,
х>1.
Область определения функции — полуинтервал [1; оо).
14	у_2*2 —lpg(x+5)
]/8 —x3
Одновременно должны выполняться следующие два условия:
1) выражение под знаком логарифма должно быть положительно:
х-|-5>0, откуда х>—5;
2) подкоренное выражение знаменателя — число неотрицательное:
8 — х3>0; а так как вместе с тем знаменатель не может быть ра-
вен нулю (/8 — xVO), то оба эти условия вместе выражаются
неравенством 8—х3>0, откуда получаем: х3<8, т. е. х<2.
Условия (1) и (2) совместно дают
—5<х<2.
Следовательно, область существования функции — интервал
(-5; 2).	__________
15. y=v sinx-f-cosx.
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
sinx4-cosx>0.
13
Преобразуем это выражение:
smx+cosx=cos----------x]+cosx=2 cos — cos---x
\ 2	}	4	\4
= V<2cosf—---xY Следовательно,
\4 J _
V 2 cos	— xj>0,
cos/1-- —x^>0,
\4	]
откуда
2л& —— x<2 л k +—,
2	4	2
или: 2nk— — < — х<2л&4- —,
4	4
или:
—2 л/г
3 л
T
а так как k — любое целое
Черт. 3.
число (положительное и отрицательное),
то можно записать:
2 л k ——<х<2 л k +—.
4	4
Область существования функ-
ции представляет собой бесконечное
множество отрезков (черт. 3):
2nk—2лАг+—
L 4	4 J’
где k — любое целое число.
1—cos х
Злрсь знаменатель не может равняться нулю: 1 — cosx#=0,
откуда cosx#=l, т. е. х=#2л£.
Область существования — бесконечное множество интервалов:
(2л&; 2(^+1) л), где k — любое целое число.
17. y=arcsin------.
7	14-х»
Прежде всего заметим, что знаменатель не равен нулю ни при
каких вещественных значениях х.
Далее,
так как
2х
Т+х»
представляет собой sin у, то
2х
14-х»
14
Отсюда, поскольку знаменатель положителен при всех значе-
ниях х, на него можно помножить все части двойного неравенства:
— I — х2 < 2х< 14-х2;
получаем систему:
| 2х > — 1 — ха.
| 2х < 14-ха;
или
( х24-2х4-1>0,
I х2 —2x4-1 >0;
или
Г (х 4- 1)а > 0,
( (х — 1)2>0.
Эти условия выполняются при любом значении х. Следователь-
но, область существования функции — вся числовая ось х-ов,
т. е. интервал (—оо; со).
18. y=tgx4-tg2x.
Одновременно должны быть введены ограничения для обоих
слагаемых:
1) для 1-го слагаемого: х=#л£-}--^-;
2) для 2-го слагаемого 2х^л&4~, т. е. х=#^4—
Область определения функции легко находится при нанесении
результатов введенных ограничений на числовую ось (черт. 4).
И
при к=-1
--И-o-g—I о—-о—&~
-2л -л -%-%
при К-0 при к-1
^0—0—^ I- О—-О-"Ъ	1'0 О' »
ОЛ ЛЗЛ „ 5Л ЗЛ7Л ъг 5Л X
42^424^ 2
Черт. 4.
Она представляет собой бесконечное множество интервалов—
по три интервала для каждого периода:
I /	Jt i • Л \	/ <	* Л f  л \
о-----; ««4—; |«л4—; «л4—;
4	4 / \	4	2)
(1	। «ГБ t_ . 3
ь + -; £л4-—,
2	4 /
где k — любое целое число.
15
Если нанести ограничения на тригонометрический круг, то
изображение полученных выше трех интервалов будет более на-
глядным (черт. 5).
19 у— cfg* —ctg2*+ctg3x
tg4x
Здесь должны быть наложены следующие ограничения:
1)	для 1-го слагаемого числителя:
х^ лЛ;
2)	для 2-го слагаемого числителя:
2х=£л&, ху=—;
2
3)	для 3-го слагаемого числителя:
Зх=#лk, х=^~~;
4)	для знаменателя:
а)	4х=#—4~л&; х =#—+—;
’	2	8	4
б)	tg4x=#0; 4х=#л&; х^ —.
4
Легко видеть, что 1-е и 2-е ограничения входят в 4-6. Остает-
ся система:
О\ , Л&
3) х*-^\
О
л \	, ЗТ । Л k
4-а) х#=—F---;
'	8	4
Л Ct\ ! Л Л
4-6) х#=—.
4
Придавая частные значения числу k, получим:
/о\	/ л Л 2 л
из условия (3): х^О; —; —; л и т. д.;
О о
/ д \	, л 3 л 5 л 7 л
»	»	(4-а): х¥=—; —; —; — и т. д.;
о О О О
I л £ \	! f\ л л 3 л
»	»	(4-б):х=#0; —; —; —;лит. д.
Следовательно, область определения заданной функции пред-
ставляет собой бесконечное множество интервалов:
16
1) (kn-	2)	7+*я): 3)	+	?+*'')
4) (v + *n'¥+fen):5)(v+Z:n;? + A:,’);6>(7+*It;v + fe
\ о	о	/	\ о	Z J \ Z	о
^7\ Z “t ♦ /	СС I 1-	\ О \ / ^ Ct  f	3 Ct I f \
7)	гс_+^я; т+йяb 8) —— -Vkn ;
\ о	о /	\ J	4 J
9) (у+&л; l^-kn}; 10)Zy+£rt; (&4-1)лк
Некоторые из этих интервалов можно объединить:
/1 \	/с\ { k vt зт । k 31 \
(1) и (6):	—; -+— ;
\ 2 о Z /
(5) и (10): №+k л;
\ о
— +k л
2
Во избежание ошибок при нахождении области существования
тригонометрических функций рекомендуется наносить ограничения
на тригонометрический круг, как показано на чертеже 6.
20.	y=arcsin(x2—6x4-4).
Так как х2 — 6x-|-4=siny, то имеем двойное неравенство:
—1<х3 —6x4-4 <1.
Левое неравенство:
х2 — 6х4-4>—1, откуда
х2 — 6x-j-5>0.
Правое неравенство:
х2 — 6х4-4<1, откуда
х2 — 6х4-3<0.
’Э
Заказ № 355
17
Находим корни уравнений:
х2 — 6х+5=0;
Xj=l; х2=5.
Неравенство х2 — 6х 4> —1
выполняется при
xt 1 и х2 5.
х2—6х+3=0,
х1,2=3±/9—3^3 + 2,45,
х1^0,55; х2^5,45.
Неравенство х2 — 6х-|-4	1
выполняется при
0,55	х<5,45.
Система обоих неравенств дает решение:
0,55<х1<1;
5<х2<5,45.
Область существования заданной функции — два закрытых про-
межутка: [0,55; 11 и [5; 5,45].
21.	y=arccos(x2— 6х+8).
Аналогично предыдущему —1<>2 — 6х+8< 1.
Левое неравенство:
х2 — 6х+9>0,
Х1,2 =3.
Неравенство выполняется при
любом значении х.
Правое неравенство:
х2—6х+7<0,
xi,2 = 3 ± V9 —7=3±V2,
хх^1,6; х2^4,4.
1,6<х<4,4.
Область определения функции — сегмент [1,6; 4,4].
22.	y=lg(l —х2).
Имеем: 1—х2>0, откуда х2<1; |х|< 1.
Следовательно, — 1 < х < 1.
Область определения — интервал (—1; 1).
23.	y=lg 11 — х2|.
Поскольку 11 — х21 представляет собой величину неотрицатель-
ную, необходимо, чтобы выполнялось лишь одно условие:
|1—х2|=#0, или 1—х2=/=0,
откуда х2=#1 и х#=±1.
Следовательно, область определения — три интервала:
(-со; -1); (-1; 1); (1; сю).
24.	y=V| х | —8.
Имеем: |х| —8>0, откуда |х[>8, т. е.
х>8, х< —8.
18
Область существования функции — два полуинтервала:
(—оо; —81 и [8; со).
25.	y=lg(|x| — 8).
В отличие от предыдущего примера выражение в скобках не
может равняться нулю.
Имеем: |х|— 8>0, т. е. х>8 и х<—8*
Область существования — два интервала:
(—эо; —8) и (8; оо).
26.	y=arcsin(x— 3).
Имеем: —1<1х—3<1.
Отсюда, прибавляя ко всем трем частям неравенства по (+3),
находим:
2<х<4.
Область определения функции — отрезок: [2; 41.
27.	y=arcsin (| х | — 3).
а)	При х > О —1<х— 3	1, т. е., как показано в предыдущем
примере, 2 < х < 4.
б)	При х<0 —1<—х— 3<^1, откуда
2<— х<^4, т. е. —4<х<^— 2.
Следовательно, область существования функции — два отрезка:
[-4; -2] и [2; 4].
28.	y=arcsin(x2— |х|).
а)	При х > О имеем двойное неравенство: —I < х2 —х < 1.
Левое неравенство:
х2 — х-[-1>0,
Так как корни мнимые и
коэффициент при х2 положитель-
ный, то неравенство выполняется
при любом значении х > 0.
Правое неравенство:
х2 — х — 1 < 0,
х,.2 = ±±/±+1 = Ц1,
х^ — 0,62; ха^+1,12,
т. е. —0,62 < х<^ 1,12.
Учитывая неравенство х>0,
находим: 0^х^1,12.
Следовательно, при условии (а)
0 < х < 1,12,
—1 < х2+х < 1.
б)	При х<0 получаем двойное неравенство:
2*
19
Левое неравенство:
х2+х4-1 > О,
Неравенство выполняется при
всех значениях х.
Правое неравенство:
х2+х— 1 <о,
хг^—1,62; х2^+0,62,
т. е.
—1,62 <х<0,62.
Учитывая, что х<0, нахо-
дим: — 1,62<х<0.
При условии (б) — 1,62 < х < 0.
Окончательно на основании условий (а) и (б) имеем:
— 1,62<х< 1,12.
Область определения функции — сегмент [—1,62; 1,12].
29.	|у|=1—х2.
Так как | у | — число неотрицательное, то должно быть:
1 — х2 > 0. Откуда х2 < 1, т. е. | х | < 1.
Следовательно, —1 <х< 1.
Область определения — сегмент [—1; 1].
30.	|у|=lgx.
Так как | у | > 0, то 1g х > 0, откуда х > 1.
Кроме того, для правой части следовало бы ввести ограничение
х > 0, но оно входит в предыдущее условие.
Следовательно, х > 1. Область определения функции — полуин-
тервал [1; со).
31.	|yl = lg(3—х).
Имеем систему:
1) lg(3-x)>0,
2) 3 — х > 0.
Из условия (1): 3 — х> 1; — х> —2; х<2.
Из условия (2): 3 — х > 0; — х > — 3; х < 3.
Следовательно, х<2.
Область определения функции — полуинтервал (—оо; 2].
20
§ 2.	ГРАНИЦЫ ИЗМЕНЕНИЯ ФУНКЦИИ. ОБЛАСТЬ ПЛОСКОСТИ,
В КОТОРОЙ РАСПОЛОЖЕН ГРАФИК
Построение графиков некоторых функций облегчается, если
вслед за областью определения функции найти границы, в кото-
оых изменяется сама функция (у), т. е. ввести ограничения по оси
у-ов. К таким графикам относятся графики обратных тригоно-
метрических функций (главных значений), алгебраических дробей
и некоторые другие.
Совместно область существования функции и границы, или
интервалы, изменения функции определяют область плоско-
сти, в которой расположен график функции.
Примеры
1. y = arcsinx.
Границы изменения функции:
л
~2
Следовательно, область плоскости, в
определяется неравенствами:
которой лежит график,
— 1<х< 1,
На графике область плоскости удобно
прямыми (черт. 7).
ограничить штриховыми
Черт. 7.
Черт. 8.
2. y=arctgx.
Границы изменения данной функции:
Л	л
— Т<У<-2’*
Ими и определяется область плоскости, в которой расположен
график (черт. 8), так как область существования — вся горизон-
тальная ось: (— со < х < сю).
21
3. У=-^—•	(1)
а)	Область определения находится из условия:
х2 — 1 =# 0.
Получаем:
х2 =# 1, т. е.
х =^= +1.
Область определения — три интервала:
(—оо; —1), (—1; +1) и (1; оо).
б)	Границы изменения функции найдем, составив новую функ-
цию, в которой аргумент (х) заданной функции рассматривается
как функция, а функция (у) — как аргумент, т. е. выразив в задан-
ной функциональной зависимости х через у.
Из выражения (1) находим:
у(х2—1) = 2,
ух2 — у=2,
ух2=у -J- 2,
Х2 = ^±2,
У
и, наконец,	__
х=±|/^.	(2)
Для того чтобы х в выражении (2) имел вещественное зна-
чение, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие
условия:
1) У^О,
2) ->±2>0.
У
Второе условие лучше разбить на два:
2а) £t2=0, откуда сразу находим: у=—2,
У
26)	> 0, что будет иметь место в двух случаях:
У
1) f у+2 > 0,	2) (у+2<0,
\ у > 0,	(у < 0,
f У > —2,	(у < —2,
IУ > 0,	(У < 0,
У>0.	у<—2.
Объединяя полученные результаты, находим границы изменения
функции:
у >0
и
У<-2.
22
Область плоскости, в которой расположен график (черт. 9):
— оо<х<1, —1 < х<1, 1<х<со;
—2, 0 < у < оо.
— оо
4.	у=—•	(3)
7	х2+1
а)	Так как х2>0, то знаменатель (х24-1) не может быть ну-
лем ни при каких значениях х; следовательно, область определе-
ния функции — вся числовая ось х-ов.
б)	Для установления границ изменения функции находим зави-
симость х от у.
Из равенства (3) имеем: ух24-у=3х,
ух2 — Зх+у=0.	(4)
заметим, что при х=0 у=0. Для исследова-
других значений (у =# 0) находим дискриминант
Прежде всего
ния допустимости
уравнения (4):
Отсюда
О=32 —4у2> 0.
9
4 ’
_з
' 2
Границы изменения функции:
-1,5<у<1,5.
Область плоскости, в которой расположен график, показана на
чертеже 10.
5.	у=Л+1.
’ 2*-3
Это так называемая дробно-линейная функция (см. § 25).
(5)
23
а) Область определения заданной функции находится из усло-
вия, что знаменатель не может равняться нулю: 2х—3 ^- 0; отсю-
з
да и, следовательно, область определения функции состоит
£
б) Для установления границ изменения функции находим функ-
цию, обратную заданной. Из равенства (5)
у(2х — 3)=х+2,
2ху — Зу=х-|-2,
х(2у - 1)=Зу+2,
у_____________________________Зу+2
Л —	•
2у- 1
Чтобы х имел вещественное значение,
но, чтобы
имеем:
(6)
необходимо и достаточ-
график этой дробно-ли-
2у — 1 =/= 0, т. е.
Область плоскости, в которой лежит
нейной функции (черт. 11):
— оо < х < 1,5; 1,5 < х < оо;
у < 0,5; 0,5 < у < оо.
В этом частном случае, когда заданная функция дробно-линей-
ная, помимо общего метода установления границ изменения функ-
ции, может быть применен еще и такой способ:
Х-4-2
Находим Пт у = Пт ----------------.
•*-*±00	*->±Оо2х— 3
— оо
24
Делим числитель и знаменатель правой части почленно на х и за-
тем переходим к пределу:
lim у = lim --------——
х
Значение — при х => + оо должно быть исключено. Сле-
довательно, границы изменения заданной функции:
— оо < у < 0,5 и 0,5 < у < оо, как и получено выше.
Необходимо отметить, что нахождение границ изменения функ-
ции требуется для весьма ограниченного числа видов функций.
Чаще достаточно исследовать только область определения функции.
§ 3. ЧЕТНОСТЬ И НЕЧЕТНОСТЬ ФУНКЦИИ. СИММЕТРИЯ.
ПЕРИОДИЧНОСТЬ
Функция называется четной, если она не меняет своего зна-
чения при перемене знака аргумента:
Функция называется нечетной, если при перемене знака ар-
гумента она меняет свой знак, но сохраняет абсолютную величи-
ну (модуль):
f(-x)=-f(x).
Простейшие примеры четных и нечетных функций
Алгебраические функции
1) у=£х2, где k — постоянное число;
k (— x)2=kx2 — функция четная.
2) y=kx\ где k — постоянное число;
k (— х)3 = — kx3 — функция нечетная.
Вообще степенная функция, т. е. функция вида y=kxm, яв-
ляется:
а)	четной, если аргумент возведен в любую четную степень:
y=kx2n\
б)	нечетной, если аргумент возведен в любую нечетную сте-
пень:
y=£x2«+i
(в частности, линейная функция y—kx).
25
Функция, в которой аргумент находится под знаком модуля
(| х |), четная, так как |—х| = |х|. (Модулем, или абсолют-
ным значением действительного числа, называется само число,
если оно неотрицательно, и число с противоположным знаком, если
оно отрицательно: |х|=х, если х> 0; |х| =— х, если х < 0.)
Тригонометрические функции
1)	y=cosx четная, так как cos(—x)=cos(x). Остальные функ-
ции нечетные:
2)	y=sinx,	sin(—х)= — sin х;
3)	y=tgx,	tg(—х)= —tgx;
4)	y=ctgx,	ctg(—x)= — ctgx.
График четной функции симметричен относительно оси у-ов.
Например, на графике, изображающем функцию y=kx2 (черт. 12),
левая (штрих-пунктирная) и правая
ветви графика симметричны относи-
тельно оси у-ов.
График нечетной функции симметричен относительно начала
координат, например график функции y—k^ (черт. 13).
Примечание. Г рафик, изображающий нечетную функцию, будем назы-
вать косо симметричным.
Из сказанного видно, что при построении графиков четных
и нечетных функций достаточно построить только правую ветвь
графика — для положительных значений аргумента. Левая же полу-
чится автоматически как симметричная или косо симметричная.
Таким образом, четность или нечетность — это особое свойство
функции, облегчающее построение ее графика.
График получается симметричным относительно горизонталь-
ной оси в том случае, если функция у входит в четной степени
или под знаком модуля, например y2=kx (черт. 14).
26
Функция называется перио-
дической, если существуют
такие постоянные неравные нулю
числа (со, 2<о, Зсо и т. д.), от
прибавления которых к аргу-
менту х значение функции не из-
меняется:
/(х-р/гш)=/(х) при Л = ±1;
±2; ±3; ...
Наименьшее положительное
число <о, от прибавления кото-
рого к аргументу не изменяется
значение функции, называется
п е р и од о м функции.
Примеры простейших периодических функций
1)	y=sinx— период 2 л.
2)	y=cosx—период 2л.
3)	y=tgx— период л.
4)	y=ctgx— период л.
Период суммы периодических функций равен наименьшему крат-
ному периодов всех слагаемых. При этом не должны учитываться
периоды тех подобных членов, сумма которых после приведения
обращается в нуль. Например, функция
у=2 sin 4x4-3 sin x4-sin (х — л)4-2 sin (х4-л)
после приведения принимает вид:
y=2sin4x,
так как
3 sin х4- sin (х — л) 4- 2 sin (х4- л)=0.
Период заданной функции
2 л л
(0 = = —,
4	2
т. е. тот же, что период функции
y=2sin4x.
Периоды остальных слагаемых заданной функции не учитыва-
ются, так как сумма этих слагаемых тождественно равна нулю.
Функции, не обладающие свойствами четности, нечетности
и периодичности, будем называть функциями общего вида.
Примеры
1.	у=2х4 — х2.
х)=2(—х)4 — (--х)2=2х- — х2=/(х) — функция четная.
27
2.	у=2х4-х8 — 0,5х®.
/(—х)—2 (— х)4-(—х)3 — 0,5 (— х)5=—2х— х34-0,5х®=
=—(2x4-х3 — 0,5х6)— — /(х) — функция нечетная.
3.	у=х4-2х2.
/(—х)= —х4-2(—х)2= —х4-2х2 =/= +f(x)— функция общего
вида.
4.	у=х34-7. Функция не обладает свойствами четности или
нечетности, так как
/(—х)=(—-х)34-7= — х34-7	±(х34-7).
5.	у=х3 — х24-7.
— х) = (— х)3 — (— х)2 4- 7 — — г3 — х2 4- 7 =# ±f (х) — функция
общего вида.
6.	у=14-2х2. Функция четная, так как
/(—х)=14-2(— х)2=14-2х2=/(х).
7.	у=2х. Функция не обладает свойствами четности или нечет-
ности, так как
8.	у=2~*!. Функция четная, так как
/(— х)=2~ (-х)г=2~хг	(х).
9.	у=2х* + х. Функция не обладает свойством четности или
нечетности, так как
И— х)=2(-х)г+(-х)=2х'~х^ ±у.
ах+а~х -
Ю. у——--------. Функция четная, так как
а-*+а-(-х) а~х+ах
qX _ ft~X
11. у=-----------. функция нечетная, так как
с, . а~х — а~ (-*) а~х — ах
Н- *)=-----------5-------=------;----=
f (— х) =— ------=-------=/= ± у — функция общего вида.
— х-|-2	ах (2 — х)
13.	у=-£±1, где а > 1.
ах — 1
-4-1
f (_х) - a~X+1 = qX______= (1 + ах)Дх 1+ах = _у
а~х — 1	ах (1 — ах) 1 — ах У
ах
— функция нечетная.
28
ах4-1
14.	у—х . Функция четная, так как
ах — 1
/ (_ л)=(_ х).	_ х 2+i = x*±L=y.
15.	y=x2— | xj. Функция четная, так как
/(_ х)=(— х)2 — I — х| = х2 — |х|=у.
16.	у=31 *1. Функция четная, так как
Д—х)=3'~х 1=31*1
17.	у2=3х2 — х+1. Функция симметрична относительно оси
х-ов, так как
(-у)2=у2.
18-	|У| =2х — 3. Функция симметрична относительно оси х-ов,
так как
|у|=1 —У|.
19.	cosy=x. Функция симметрична относительно оси х-ов,
так как
cos(— у)=cos у.
20.	y=sinx4-cosx.
а)	Функция не обладает свойством четности или нечетности,
так как
/(—x)=sin(—x)4-cos(—х) =— sinx+cosx^= ± у.
б)	Функция периодическая, с периодом 2 л, так как
sin(x-f-2 л)+cos (х 4-2 n)=sinx-|-cosx.
21.	y=2tgx— cosx.
Функция не обладает свойством четности или нечетности; период
функции со=2 л, так как
2 tg (2 л 4-х) — cos (2 л 4-х)=2 tg х — cos х.
22.	y=2tgx-f-sin2x.
а)	Функция нечетная, так как
f (— х)= — 2 tg х — sin 2х= — у.
б)	Функция периодическая, с периодом л, так как
2 tgx+sin2x=2 tg(x4-n)4-sin (2x4-2 л)=2 tg (х4-л)4-
4-sin [2 (х4-л) ].
23.	у=1 — tg-|-. Функция периодическая, с периодом 2 л,
так как
i-tgf=1-*41+4=1-‘8^-
29
24.	Найти период функции y=sin2x-f-tg.
а)	Так как sin 2x=sin (2x4-2 n)=sin [2(х+л) ], то период первого
слагаемого функции л;
б)	tg —= tgf—4-rty=tgp^\ следовательно, период второго
слагаемого 2 л.
Период функции будет наименьшим кратным периодов ее сла-
гаемых, т. е. (о=2 л.
25.	Найти период функции y=cos — 4-tg-^--
3	5
л;
S X	[ X , n \	/ХТЬЛ\
a)	cos —= cos I—=cos —---; период
3	\ 3	/	\ 3 /
6)	tg-f= tg(т+ = tgпериод 5л.
Период функции — наименьшее кратное чисел 6 л и 5 л, т. е.
со=ЗО л.
3	2
26.	Найти период функции y=sin — x4-5cosy х.
a)	sin —х = sin X-J-2 л^ = sm — ^хл^; период
б)	cos —x=cos —хН-2 л =cos —(х-{-3 л); период
3	\ 3	/	3
g
Наименьшее кратное чисел — л и Зл, т. е. период функции
(о=24 л.
8 о 2
— л=2 — л.
3	3
3 л.
Б. нахождение характерных точек графика
К характерным точкам графика относятся:
а)	точки пересечения кривых графика с осью х-ов, т. е. значе-
ния х при у=0;
б)	точки пересечения с осью у-ов, т. е. значения функции
у при х=0;
в)	граничные значения функции, т. е. ее значения на границах
промежутков существования;
г)	точки, в которых функция принимает максимум или минимум,
т. е- Утах» Ут1п> и соответствующие им значения X.
§ 4. ТОЧКИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ГРАФИКА С ОСЯМИ КООРДИНАТ.
ИНТЕРВАЛЫ ЗНАКОПОСТОЯНСТВА
Удобнее сначала находить ординаты точек пересечения кривых
графика с осью у-ов, т. е. у=/(0), так как это производится
весьма просто из очевидного условия х=0.
30
Затем находятся абсциссы точек пересечения кривых графика
с осью х-ов, для чего надо приравнять нулю функцию у:
у=/(х)=0
и из полученного уравнения вычислить х.
Примеры
1. y=log2(x+4) — 1.
Точки пересечения с осью у-ов:
у (0)=log2 (0+4) - 1 = log2 4 — 1 =2 — 1 = 1.
Имеем одну точку пересечения графика с осью у-ов (0; 1).
Точки пересечения с осью х-ов:
log2(x+4)— 1=0, log2(x+4) = l,
х+4=2, х=—2.
Следовательно, график пересекается с горизонтальной осью
в одной точке (—2; 0).
2. y=sinx+0,5.
Точки пересечения с вертикальной осью:
у(0)=sin0+0,5=0,5. Одна точка пересечения (0; 0,5).
Точки пересечения с горизонтальной осью:
sinx+0,5=0, sinx=—0, 5,
х=—	1)^+Лл.
О
Так как эта функция периодическая, с периодом 2 л, то доста-
точно определить точки пересечения для одного периода (2 л).
При £=0	хг=——; точка (——; oV,
6	\ б /
л	1	/ 1	\
» fe=l	х2=—}-л=1—л; <гочка /1—л; 0 г,
2	6	6	\ 6	/’
» k=2	х3=——+2л=1—л — эта точка относится также
6	6
15	ят । л
—	-----Ь2л.
6	6
Участки кривых графика между соседними точками пересечения
с осью х-ов имеют постоянный знак, т. е. являются интерва-
лами знакопостоянства функции. Полезно определить
и наметить на графике знаки интервалов знакопостоянства.
Для функции y=log2(x+4)—1:
при х < — 2 у < 0;
при х > — 2 у > 0.
31
Для функции y=sin *4-0,5:
Л	1
при —— +2r.k < х < 1— л4-2 л k, например, при х=0 у>0;
6	6
при к + 2л k < х < 1-|-л-/-2л#, например, при х=~^ У<0.
§ 5. ГРАНИЧНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ФУНКЦИИ
Значения функции на границах области существования, если
промежуток замкнутый, находятся просто подстановкой в уравнение
функции граничных значений аргумента.
Если граница промежутка области определения функции откры-
тая, то находится предел функции, когда аргумент стремится к гра-
ничному значению:
lim V,
где а — абсцисса открытого конца промежутка.
Иногда функция имеет разные пределы при приближении аргу-
мента к граничному значению слева и справа. В этом случае нахо-
дятся 2 предела:
lim у и lim у ,
х —* а — 0	х а + О
где а — 0 условно означает приближение слева, а+0 — справа.
Примечание. Если промежуток изменения функции открытый, то
полезно найти предельные значения аргумента, когда функция приближается
к границам открытого промежутка:
lim х,
У-> b
где Ь — ордината открытой границы промежутка изменения функции.
Иногда приходится находить два предела:
lim х и lim х ,
у -» Ь — 0	у -< b + О
т. е. при приближении к границе снизу и сверху.
§ 6. МАКСИМУМЫ И МИНИМУМЫ ФУНКЦИЙ *
Максимум функции — это ее значение в такой точке, в кото-
рой оно является наибольшим в любой, достаточно малой окрестно-
сти этой точки.
Минимум — это значение функции в такой ее точке, в кото-
рой оно является наименьшим в любой, достаточно малой окрест-
ности этой точки.
* Строгое определение понятий максимума и минимума функции см.
в курсах высшей математики.
32
На чертеже 15 в точках M15 Л4а, М3 функция имеет максимум,
а в точках Nlt N2, N3 — минимум.
В точке А функция не имеет максимума, несмотря на то что
в этой точке она достигает наибольшего значения в промежутке
[хх; х2]. Точно так же в точке В функция, хотя и имеет наимень-
шее значение в том же промежутке, но это ее значение не является
минимумом.
Максимум (или минимум) функции означает, что функция имеет
наибольшее (наименьшее) значение по сравнению с ее значениями
в достаточно близких соседних точках с обеих сторон.
Максимумы и минимумы функции, как это следует из определе-
ния, являются вершинами кривой, изображающей функцию.
В курсе элементарной математики изучаются максимумы и мини-
мумы некоторых тригонометрических функций (синусов и косинусов)
и параболических функций, т. е. функций, выраженных квадратным
трехчленом y=ax2-f-bx+c (в частных случаях — квадратным двучле-
ном y=ax2-j-c и одночленом у=ах2).
Нахождение вершин кривых тригонометрических и параболиче-
ских функций излагается в главе II.
В других случаях нахождение максимальных и минимальных
значений функций требует более или менее сложных преобразова-
ний функции. Построение графиков таких функций отнесено
к последней главе; там же показаны и некоторые приемы определе-
ния максимума и минимума функций.
В. ИССЛЕДОВАНИЕ ВИДА КРИВЫХ,
ИЗОБРАЖАЮЩИХ ФУНКЦИЮ,
НА РАЗНЫХ УЧАСТКАХ ГРАФИКА
Здесь имеются в виду участки кривых графика между двумя
соседними характерными точками (граничные точки области суще-
ствования, точки пересечения графика с осями координат, точки
максимума и минимума). Вид графика на промежуточных участках
3 Заказ № 353
33
между двумя соседними точками пересечения с осями координат
обычно довольно четко выявляется, если известен вид графика
на конечных участках, т. е. на участках между концом графика
и соседней характерной точкой, которой обычно является точка
пересечения с одной из осей координат.
Поэтому в первую очередь рекомендуется провести исследование
вида кривых на конечных участках графика.
Далее выявляются интервалы возрастания и убывания
функции и характер возрастания и убывания ее на различных
участках, т. е. направление выпуклости кривых на разных участках
графика.
§7. НАХОЖДЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНЫХ И ГОРИЗОНТАЛЬНЫХ АСИМПТОТ
Асимптотой называется прямая, к которой неограниченно
приближается график, имеющий бесконечную ветвь, при удалении
этой ветви в бесконечность.
Асимптоты бывают наклонные, горизонтальные и вертикальные
(черт. 16).
Мы будем рассматривать главным образом вертикальные и гори-
зонтальные асимптоты. С наклонными асимптотами встретимся при
изучении графиков повышенной трудности в главе V, где о них
и будет сказано.
Вертикальные асимптоты обычно проходят через открытый конец
области существования функции.
Горизонтальные асимптоты обычно проходят через открытый
конец интервала изменения функции.
Например, для дробно-линейной функции у=-------, рассмотрен-
ия— 3
34
ной в § 2 (пример 5, черт. 11), прямая х=1,5, проходящая через
открытый конец промежутка области существования функции,
является вертикальной асимптотой, так как при х?-+1,5 у->±оо;
прямая у=0,5 является горизонтальной асимптотой, так как у —>0,5
при х —* ± ос.
Поэтому, после того как найдены интервалы области существо-
вания и изменения функция, на чептеже через точки, соответствую-
щие концам интервалов, следует провести
вертикальные и горизон-
тальные штриховые прямые.
Построив асимптоты, можно исследовать, каким образом кривые,
изображающие на графике функцию, приближаются к асимптотам
(черт. 17).
Вертикальная асимптота имеет абсциссы х=1,5. Надо узнать,
каким образом кривые графика подходят к асимптоте слева и спра-
ва, т. е. найти значения у при х, немного меньшем 1,5, и при х,
немного большем 1,5. Записывается это условно таким образом:
при х->1,5— 0 и при х-> 1,54-0 (см. § 5).
Для данной функции будем иметь:
б) lim
Х-». 1,54-0
(1,54-0)4-2
2(1,54-0) — 3
Ьсо.
Здесь условно принято, что 2(1,5 — 0) < 3 и 2(1,5-|-0) > 3 на
бесконечно малую величину.
3*
35
Следовательно, кривая слева от вертикальной асимптоты ухо-
дит в (—оо), что на чертеже 17 показано утолщенным отрезком (а);
кривая справа от асимптоты уходит в (+оо) — отрезок (б).
Горизонтальная асимптота имеет ординаты у=0,5. Надо найти
значения абсцисс точек кривых, изображающих заданную функцию
при у, немного меньшем 0,5 (снизу), и при у, немного большем
0,5 (сверху), т. е. значения х при у=0,5— 0 и при у=0,5+0.
Для этого сначала из заданного уравнения находим х как функ-
цию у.
в) Нт х =
у-^0,5—0
х+2	2+Зу
У=------ . откуда х=-----
2х — 3
2+3 (0,5 — 0)
—•— -------'— =—со, так
2(0,5-0) —1
2+3 (0,5+0)	,
—	1	7 =+оо, так
2 (0,5+0) — 1
2у—1’
как 2(0,5 —0)< 1;
г) lim х =
у-»0,5+0
Кривая снизу от асимптоты уходит в
что и отмечено на чертеже 17 утолщенными отрезками (в) и (г).
хЧ-2
Ясно, что кривые, изображающие функцию у=-----------, пойдут
2х — 3
приблизительно так, как показано на чертеже 17 штриховой линией,
и, следовательно, вид кривых на разных участках графика опре-
делился.
Если бы предварительно были найдены точки пересечения с
осями координат, то левую ветвь можно было бы провести точнее.
Восполним этот пробел.
При х=0
как 2 (0,5+0) > 1.
(—со), сверху —в (+оо),
.. 0+2	2	./л	2\
у=—— =------; точка А 0;----1.
0 — 3	3	\	3)
х+2=0; х=—2; точка В (—2; 0).
При у=0
Эти точки отмечены на чертеже 17; через них сплошной линией
проведена уточненная левая часть графика.
Для уточнения правой части графика, не пересекающей осей
координат, найдем одну контрольную точку, например, при %=3,5
3 54- 2
у=у—- = 1,375; имеем точку С (3,5; 1,375). Через эту точку про-
ведена сплошной линией правая часть графика.
§ 8. ВОЗРАСТАНИЕ И УБЫВАНИЕ ФУНКЦИИ.
ВЫПУКЛОСТЬ И ВОГНУТОСТЬ КРИВЫХ. ТОЧКИ ПЕРЕГИБА
Функция /(х) называется возрастающей в некотором про-
межутке, если в этом промежутке большим значениям аргумента
соответствуют и большие значения функции.
Функция называется убывающей в некотором промежутке,
если в этом промежутке большим значениям аргумента соответству-
ют меньшие значения функции.
36
Возрастание и убывание функции обычно довольно просто уста-
навливается по виду функции.
Кривую называют выпуклой в некотором промежутке, если
в этом промежутке она направлена выпуклостью вверх, т. е.
кривая расположена под каса-
тельной к ней в любой точке
этого промежутка (участки I на
чертеже 18).
Кривую называют вогнутой
в некотором промежутке, если
в этом промежутке она направлена
вогнутостью вверх, т. е. кри-
вая расположена над касатель-
ной к ней в любой точке проме-
жутка (участки II на чертеже 18).
Черт. 18.
Точка графика, в которой меняется направление выпуклости,
называется точкой перегиба. Касательная к кривой в точке
перегиба пересекает график.
Определение направления выпуклости основано на том, что если
для любой пары значений аргумента и х2 в каком-либо проме-
жутке выполняется неравенство:
то кривая выпуклая в этом промежутке (черт, 19);
б) f (
2	2
то кривая вогнутая в этом промежутке (черт. 20).
§ 9. ПОРЯДОК ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИИ И СОСТАВЛЕНИЯ
ЕЕ ГРАФИКА
В целях экономии времени при построении графиков следует вы-
работать более или менее определенный порядок исследования функ-
ции. Разумеется, в отдельных случаях возможны отступления от
37
принятого порядка; более того, часто тот или иной пункт, а иногда
и несколько пунктов исследования можно опустить.
Выработанный и принятый порядок исследования функции и по-
строения ее графика — это канва, которой рекомендуется придер-
живаться, в особенности при построении новых, малознакомых гра-
фиков.
Можно рекомендовать в общем случае следующий порядок
исследования функции и построения ее графика, который, как сле-
дует из вышесказанного, не является обязательным, а лишь реко-
мендуемым.
А. Исследование общих свойств функции
1.	Область существования (определения) функции.
1а. Интервалы изменения функции и область плоскости, в кото-
рой расположен график.
После того как найдены область существования и, если тре-
буется, интервалы изменения функции, желательно вычертить оси
координат и нанести границы областей условными обозначениями и
штриховыми прямыми. При этом следует иметь в виду следующие
практические указания:
а)	если область существования представляет собой полупло-
скость, то и оси координат вычерчивать только для этой полу-
плоскости; например, для функции y=logx область существо-
вания х > 0; для нее надо вычертить оси координат только правой
полуплоскости (черт. 21, а); для функции y=arcctgx, для ко-
торой 0, следует вычертить только оси верхней полуплоскости
(черт. 21, б) и т. д.;
б)	если график расположен на части плоскости, то оси коорди-
нат надо вычерчивать только в пределах, немного превышающих
границы этой части плоскости, как это сделано, например, для функ-
38
ции y=arcsinx (см. черт. 7); в этом случае удобно несколько
увеличить масштаб;
в)	во всех случаях следует иметь в виду, что масштабы для
вертикальной и горизонтальной осей должны быть одни и те же
Л
и что л, — являются постоянными величинами и выражаются не-
точными числами: л « 3,14	3 и —	1,57 ~ 1,5; так что, если
2
принять масштаб, например, 2 клетки (1 см) за 1 единицу, то для
следует отводить примерно 1,5 см — 3 клетки или немного бо-
лее, и т. д.
2.	Четность и нечетность функции; симметрия (в том числе
относительно горизонтальной оси). Периодичность.
При четности или нечетности функции нет необходимости иссле-
довать весь график, а достаточно рассмотреть только правую часть
графика (для х 0), так как левая часть будет симметрична или
косо симметрична правой.
При наличии симметрии относительно горизонтальной оси надо
исследовать только верхнюю часть графика для у 0, а нижняя
может быть легко нанесена, как симметричная.
Если функция периодическая, то достаточно провести исследова-
ние только для одного периода; если же, как это чаще бывает,
периодичности сопутствует четность или нечетность функции, то —
для половины периода. Функция общего вида исследуется во всей
области существования.
Этим заканчивается общее исследование кривой и подготови-
тельная работа для вычерчивания графика. Затем приступают к по-
строению графика, начав с нанесения характерных точек.
Б. Нахождение и нанесение на график характерных
точек функции
3.	Точки пересечения с осью у-ов.
За. »	»	» х-ов.
4.	Граничные значения функции, т. е. значения ее на границах
области определения и интервалов изменения функции, или пределы,
к которым стремится функция при приближении к этим границам.
5.	Максимумы и минимумы функции (вершины кривых).
Как сказано выше, этот пункт выполняется обычно только при
построении графиков квадратных трехчленов и некоторых тригоно-
метрических функций и при построении некоторых графиков повы-
шенной трудности, отнесенных к последней главе.
6.	Прочие характерные точки.
Все найденные в пп. 4—6 точки наносятся на график.
39
В. Исследование поведения кривых графика на разных участках
(между характерными точками)
7.	Исследование кривой на конечных участках.
а)	Вертикальные и горизонтальные асимптоты.
б)	Характер приближения кривых к асимптотам с разных сто-
рон («концы» кривых при этом желательно наносить на график, как
показано на чертеже 17).
в)	Возрастание и убывание функции.
г)	Выпуклость и вогнутость кривых графика; точки перегиба.
8.	Исследование кривых на промежуточных участках. Возраста-
ние и убывание, выпуклость и вогнутость.
9.	Вычисление координат одной, двух, редко большего количества
контрольных точек.
Необходимо подчеркнуть, что выполнение последнего пункта совер-
шенно обязательно: во-первых, для уточнения графика; во-вторых, для
того, чтобы до известной степени убедиться в правильности построений.
При отсутствии контрольных точек график ни в коем случае
нельзя считать законченным.
В заключение следует отметить, что для построения далеко не
всякого графика есть надобность в полном или почти полном иссле-
довании по приведенной схеме. Во многих случаях некоторые пункты
схемы можно опустить. Это относится прежде всего к графикам
функций, свойства которых исследованы в теоретическом курсе эле-
ментарной математики, например к графикам квадратных трехчленов,
линейных функций и т. п. В особенности это относится к простей-
шим графикам, как графики линейных функций, для которых нам
известно основное свойство, достаточное для построения графика
(прямая определяется двумя своими точками), и другие простейшие
графики, свойства которых хорошо изучены.
Даем сводку рекомендуемого порядка исследования функций для
составления графиков, причем пункты, которые приходится выполнять
редко, сдвинуты вправо.
1.	Область существования (определения) функции.
1а. Область изменения функции.
2.	Четность, нечетность, симметрия относительно горизонтальной
оси. Периодичность. (После этого вычерчиваются оси координат.)
3.	Точки пересечения с осью у-ов.
За. Точки пересечения с осью х-ов.
4.	Значения функции на границах области определения.
4а. То же — на границах области изменения функции.
5.	Максимумы и минимумы функции.
6.	Прочие характерные точки.
7.	Вертикальные и горизонтальные асимптоты. (Этот пункт
обычно совпадает с пп. 1, 1а и 4.)
8.	Исследование поведения кривых на различных участках.
9.	Контрольные точки.
40
У пр ажненля
Найти область определения функций:
1. У — lg V х — 3.
е	1	1	1
5.	v = — 4- ——	.
|х|	|х|-1	| х |4-2
6.	у — 1g (х2 — 1).
7.	у = sin —-— .
Igx
8.	= log2 log3 log4|x|.
л	• X~ 1
9.	у = arcsin---- .
x+l
10., |_y| = 4 —x2.
Найти область изменения функции:
21. у = arcsin р^4— х2.
2
22. у = arcctg — .
П. у = ]/ Х4_ 16х34-48.
12.	у = V — х 4- 1g х.
13.	у = arccos (х24-2 | х |).
з.-----------------------
14.	у = у lg [sin (lg х)].
15.	_y = V\g2x— 4tgx-|-3.
2x
16.	j, = arain^j-?-.
,7.	_ /arcefgx
\ arctg x /
18.	у = ctgл x4- arccos 5х.
19.	j/ = logsinxcosx.
20.	у = logjrcflos x lg 1)*
I
24. у = 10*+2 .
. x-|-l
25*. j = lg —.
23.
У =
54-х
2х—1
Установить четность и нечетность и
оси следующих функций:
26. у = sin х — ctg х.
симметрию относительно горизонтальной
32. у = х~*4-cos х.
27	., =	28._v=9^. ЗЗ.у’ = Зх--2.
cos х	2А
«Л о а . •	34. IУ I4-V = sinx.
29.	у = 2xa4-sin х.	1/1,7
а	35. I v I — cos х.
30.	у — х arcctg х.	1 1
31.	у = 1 / х2----.
У хг
Найти период функций:	_
оо- у — I COS X I»
36. J = 7sin3x — 0,5ctg —.	'
3	39. у = sin4 х 4-cos4
37. у = sin 12x4-у j — ctg j x — 1.	40. у * = sin x tg x.
* Здесь и дальше звездочкой отмечены примеры повышенной трудности, дву-
мя звездочками — трудные примеры.
41
ГЛАВА II
ПОСТРОЕНИЕ ПРОСТЕЙШИХ ГРАФИКОВ
§ 10. ГРАФИКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Линейная функция имеет вид:
y=kx-\-b,
(1)
где Ь — отрезок, отсекаемый данной прямой на оси у-ов, так как
при х=0 у=&-0+6=6; k — тангенс угла наклона прямой к оси
х-ов, так как &=-^^=tg(p (черт. 22).
Таким образом, прямую, изображающую любую линейную функ-
цию, можно построить так: на оси у-ов отложить отрезок 6 и через
эту точку провести прямую под углом <p=arctg£ к оси х-ов.
Проще, однако, построить прямую по двум точкам, из которых
одна точка (0; 6) есть точка пересечения прямой с осью у-ов;
другая точка может быть определена при любом значении х,
в частности, можно найти точку пересечения прямой с осью х-ов,
вычислив значение х при у=0: 0=£х+6, откуда х=— —.
42
Примеры
1.	у= — 0,5х — 2 (черт. 23).
При х=0 у=—2; точка М(0; —2);
при у=0 —0,5х—2=0, откуда х=—4; точка ЛЦ—4; 0).
Через эти 2 точки проводится прямая.
у=Ь
Частные случаи линейной функции.
а)	При отсутствии свободного члена линейная функция имеет
вид: y=kx; график функции есть прямая, проходящая через начало
координат (черт. 24). Если k^>0, прямая расположена в I и III
четвертях, в частности при
jfe=l, т. е. при у=х, пря-
мая наклонена к оси х-ов
под углом 45°; если k < 0,
прямая расположена во II
и IV четвертях, в частности
при k=—1, т. е. при у=
=—х, прямая наклонена к
оси х-ов под углом (—45°).
б)	При k=Q выражение
(1) принимает вид: у=&;
графиком функции является
прямая, параллельная оси
х-ов и отстоящая от нее
на расстоянии b (черт. 25). Это видно, во-первых, из того, что
fc=tg(p=O, т. е. угол <р, образованный этой прямой с осью х-оз,
равен нулю. Во-вторых, поскольку в выражении у=Ь отсутствует
координата х, это равенство имеет место при любом значении х,
т. е. у=Ь при всех х, а это и есть прямая, параллельная оси х-ов.
в)	Уравнение х=а выражает прямую, параллельную оси у-ов
(черт. 25), так как это равенство имеет место при любом значе-
нии у.
О
а
Черт. 25.
43
г)	Уравнение у=0 выражает ось х-ов, так как оно удовлетво-
ряется для любой точки оси х-ов. Уравнение х=0 выражает ось у-ов.
2.	у=| х| (черт. 26).
Заданную функциональную зависимость можно записать в виде
двух более простых уравнений:
1)	у—х при х > 0;
2)	у——х при х < 0.
График функции состоит из двух полупрямых, заданных этими
уравнениями.
Для построения графика можно провести исследование и приме-
нительно к общей схеме (§ 9).
Так как у > 0, то оси координат вычерчиваем только для верх-
ней полуплоскости.
/(—х)=| — х|=|x\—f(x), следовательно, функция четная. По-
этому вычерчиваем только правую ветвь (при х > 0), представляю-
щую собой прямую у=х. Левая ветвь ей симметрична.
3.	у=|—xj.
График тот же, что для функции у=|х| (черт. 26), так как
I—х| = |х|.
4.	у=—| х | (черт. 27).
Здесь у^О; поэтому вычерчиваем оси координат только для
нижней полуплоскости.
Функция четная; правая ветвь графика — прямая у= — х, ле-
вая— ей симметрична.
Тем же графиком изображается и функция у=—]/х2.
5.	у = =4 (черт. 28).
1*1
Область существования функции — два интервала: (—оо; 0)
и (0; со), так как при х=0 получаем неопределенность У=— •
Поэтому на чертеже 28 нулевая точка выделена кружком.
Функция нечетная, так как /(—х)=—-—-=—=—/(х).
44
Правая ветвь (при х>0) представляет собой полупрямую, урав-
нение которой у——~~, или у=—1.
X
Левая ветвь (при х<^0) косо симметрична правой.
X	I х I
Таковы же графики функций: у=-------у=—у=----------------
—|х| X	X
__ 2%
Функция у=------- изображается такими же двумя полупрямыми,
но расположенными вдвое дальше от оси
Уп
2-
	. -	61
О
-1Q
-2-
Черт. 28.
6. |у|=х (черт. 29).
Область существования функции: х>0, так как |у|—число
неотрицательное.
График симметричен относительно оси х-ов, так как |у|=|—у|.
При у^-0 имеем полупрямую у=х; при у<0 — полупрямую,
ей симметричную относительно горизонтальной оси.
§11. ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ
Простейшая степенная функция имеет вид:
у=х«,	(2)
где п — любое положительное число.
При п=1 выражение (2) переходит в уравнение прямой (у=х),
проходящей через начало координат под углом 45° к оси х-ов.
Рассмотрим только правую ветвь графика степенной функции,
расположенную в I четверти (черт. 30).
При л>1 правая ветвь графика обращена выпуклостью вниз.
При п<1 правая ветвь обращена выпуклостью вверх. Все кри-
вые (при всех п) пересекаются в точке (1; 1), так как при х=1
у= 1" = 1. Справа от этой точки кривые проходят тем выше, чем
больше показатель степени п.
45
При построении полного графика степенной функции у=хп
необходимо иметь в виду следующее:
а)	если степень четная (n=2k), то функция у=х2к четная, так
как — x)2k, график функции симметричен относительно
оси у-ов и существует только в верхней полуплоскости, например
у=х2 (черт. 31, а)\
б)	если степень нечетная (я=2&+1), то функция у=х2А+х не-
четная, график функции косо симметричен и расположен в I и III
четвертях, например у=х3 (черт. 31, б);
в)	если показатель степени дробный и может быть приведен
к правильной дроби — (т и k — взаимно простые числа), то могут
k
быть три случая:
1)	знаменатель — четное число (при этом числитель всегда число
нечетное); функция существует при х > 0, так как четная степень
извлекается только из неотрицательного числа; ее график расположен
2
в I четверти, например график функции у = х2 (черт. 31, в);
2)	знаменатель — нечетное число, числитель — число четное,
2	2
например у—х3-, функция четная, так как f(—х)=(—х)3 =
— у (—*)—у х2 = х3 =f(х)\ график такой функции расположен
в I и II четвертях (черт. 31, г);
3)	знаменатель и числитель — нечетные (взаимно простые) числа,
1 1
например у=х3; функция нечетная, так как /(—х)=(—х)3 =
46
© у=1^7
= у/~—х—— у"х = —х3 =—/(х); график такой функции распо-
ложен в I и III четвертях (черт. 31, д).
Примеры
з
1.	у=х4.
Запишем эту функцию так: у=у'Гх3.
Область существования функции [0; оо), так как х> 0; так же
и у > 0.
Кривая расположена в 1 четверти аналогично графику, приведен-
ному на чертеже 31, в.
2.	у=—х2.
Так как х2 > 0, то у «СО. График (черт. 31, е) расположен в
нижней полуплоскости и представляет собой зеркальное изображение
кривой у=х2 (черт. 31, а) относительно горизонтальной оси.
3.	у——х3.
График представляет собой зеркальное изображение относительно
горизонтальной оси графика функции у=х®, показанного на чертеже
31, б.
з
4.	у=х2.
Это так называемая полукубическая парабола. Ее уравнение
можно записать в таком виде: у=|/гх3, откуда видно, что область
существования этой функции [0; со), так как х > 0; также и у > 0.
График состоит из одной ветви, расположен в I четверти и имеет
такой же вид, как правая ветвь квадратной параболы (черт. 31, а),
только несколько положе (черт. 31, ж).
5.	у=х|х|.
Функция нечетная, так как f(— х) = — х | — х | — —х | х I =
=-/(*).
При х>0 у=х2. Правая ветвь представляет собой график пра-
вой ветви квадратной параболы (черт. 31, а). Левая ветвь косо
симметрична правой. Вся кривая имеет вид кривой, показанной на
чертеже 31, б, но протекает более полого.
6.	у=—х|х|.
График этой функции представляет собой зеркальное изображе-
ние предыдущего графика относительно горизонтальной оси.
§ 12.	ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ
С ОТРИЦАТЕЛЬНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ
Общий вид функции:
у=х~п, или У=-п,	(3)
где п — любое положительное число.
48
Свойства функции:
1)	Для функции с отрицатель-
ными показателями х^О и уу=О,
т. е. график не пересекает осей
координат.
2)	График проходит через точку
(1; 1).
3)	Оси координат являются асимп-
тотами, так как:
а)	при у=»0 сверху (при
я>0 и у>0);
б)	при у —> оо х => 0 справа (по
той же причине).
Следовательно, правые ветви гра-
фиков, изображающих функции с
отрицательными показателями, рас-
положены в I четверти, как показано на чертеже 32. В зависи-
мости от величины показателя степени п кривая будет круче или
положе.
существует в верх-
правой, например,
4) При п четном (n=2k) функция четная и
ней полуплоскости; левая ветвь симметрична
У (черт. 33, а).
х2
5) При п нечетном (n=2&4-1) функция нечетная; левая ветвь
косо симметрична правой, например, у=— (черт. 33, б).
х3
4 Заказ № 35S
49
(4)
как
для
§ 13. ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
Простейшая логарифмическая функция имеет вид:
y=logax (а>1).
Область существования функции — интервал (0; со), так
х>0. Поэтому на чертеже 34 оси координат вычерчены только
правой полуплоскости.
Функция не обладает свой-
ствами четности и нечетности
(функция общего вида).
Кривая пересекает ось х-ов
в точке (1; 0), так как у=0
при х=1. (Эта точка нанесена
на чертеже 34.)
Функция возрастающая во
всей области существования,
так как если а> 1, то loga х2>
>logaX! при х2>хг
Ось у-ов является асимптотой кривой, так как у -> — со при
х—>0 («конечный» участок кривой при ее приближении к асимптоте
нанесен на чертеже утолщенной линией).
Кривая выпуклая на всем протяжении, в чем нетрудно убедиться
сравнением логарифма любой точки с полусуммой логарифмов сосед-
них с ней точек (1-й всегда больше).
На чертеже нанесены две контрольные точки:
1) при х—а y=logaa=l; точка (а; 1);
2) при х=——а~1 у=—logaa=—1; точка ; —1\
График функции y=log]X [о<—
а '
Исследование этой функции можно провести в той же последо-
вательности, как и функции (4), от которой она отличается только
следующим:
а)	функция убывающая, так как при х2>хг
log±x8<log±x1;
а	а
(4а)
б)	при асимптотическом приближении к оси у-ов. т. е. при
х->6, у—>оо;
в)	кривая вогнутая на всем протяжении.
График функции можно построить проще, если воспользо-
ваться следующим равенством:
logj_x= — logax.
а
50
Следовательно, график функции (4а) можно получить из графи-
ка функции (4), переменив знаки ординат на обратные, т. е. вы-
чертить зеркальное изображение относительно горизонтальной
оси графика, помещенного на чертеже 34, что и сделано на чер-
теже 35.
Примеры
1.	y=lg|x|.
Область существования функции — два интервала: (—оо; 0) и
(0; оо), так как х=#0. Функция четная, так как /(—х)=
=lg| — ^| = lg|x|=/(x).
Вначале строится правая ветвь графика (при х>0), а затем
левая ветвь вычерчивается симметрично правой относительно оси
у-ов (черт. 36).
Ук
Черт. 36.
Тем же графиком изображается функция y=lg|— х|, так
как i л | = I — х |.
2.	y=log± |х|.
10
График этой функции (черт. 37) представляет собой зеркальное
изображение относительно оси х-ов графика функции y=lgx,
так как log i [х|= — lg|x|.
ю
4*
51
Этот график можно получить и непосредственно с помощью
тех же рассуждений, что в примере 1.
10g4 x;
3.	У=| logjxU
При у > О | log4x | =
при у<0 | log4%| = — iog4x.
Отсюда получаем простой способ вычерчивания графика этой
функции (черт. 38).
Сначала наносится график функции y=log4x, затем нижняя
ветвь этого графика (для у<0) переносится наверх как зеркаль-
ное отображение, а внизу стирается. На чертеже 38 нижняя ветвь,
которая переносится наверх, условно перечеркнута.
Контрольная точка 11 получается так:
2
4
4.	у= logj/|.
График функции строится
тот же вид (черт. 39).
5-	У=| logs i*11-
аналогично предыдущему и имеет
52
Функция четная, так как /(—x)=|log3|—х||=]log3|х||=/(х).
Следовательно, можно вычертить сначала только правую ветвь
графика при х>0, т. е. график функции у = |log3 х |, так как
при х>0 |log31х11 = |log3хI; эта ветвь будет иметь тот же вид,
что график на чертеже 38. Затем
левая ветвь вычерчивается сим-
метрично правой (черт. 40).
у= logA|x| .
з
График этой функции будет
тот же, что и предыдущий, так
как правая ветвь графика строит-
ся так же, как и график на
чертеже 39, а левая — ей симмет-
рична.
7. y=lg(—х).
6.
Область существования: (—со, 0), так как (—х) > 0, откуда
х<0. При х=—1 y=lg|—(—l)] = lgl=0, т. е. ось х-ов пе-
ресекается графиком при х——1.
Ось у-ов является асимптотой, так как
Iimy=— оо.
х->0
Функция убывающая на всем протяжении, так как с увеличе-
нием х уменьшается (—х), а следовательно, уменьшается и y=lg (—х).
Контрольная точка (—10; 1), так как при х=—10 y=lg(—х)=
=lg 10=1.
По этим данным построен график функции (черт. 41).
8. |y| = lgx.
Так как |у|>0, то lgx>0; откуда получаем, что х>1.
Следовательно, область существования заданной функции полу-
интервал [1, оо).
Функция симметрична относительно оси х-ов, так как |у|=|—у|.
53
Для у>0 это будет часть известного уже нам графика y=lgx
при х > 1. Кроме того, появляется симметричная ей ветвь для
у^О (черт. 42).
9. |У 1=lgU|.
Эта функция симметрична относительно обеих осей.
Правая ветвь графика та же, что на чертеже 42 для функции
|y|=lgx. Левая ветвь ей симметрична (черт. 43).
§ 14. ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Простейшая показательная функция имеет вид:
у=ах (где а>0 и а^1).	(5)
Область существования функции — вся числовая ось х-ов:
(—со, оо).
Область изменения функции: 0<у<оо; график проходит
выше оси х-ов, нигде ее не пересекая. Поэтому оси координат
графика достаточно вычертить только для верхней полуплоскости.
График пересекает вертикальную ось при х=0, т. е. при
у=а°=1, в точке (0; 1).
Дальнейшее исследование функции у=ах приводит к различ-
ным результатам в зависимости от значений основания а.
1. При а>1 (черт. 44) функция возрастающая, так как
с увеличением аргумента х увеличивается и функция у=ах при
всех значениях аргумента х.
54
Правая ветвь графика уходит в оо, так как
lim у— lim ах=а°°= + <х>.
Х-*+°° Х-Н-ОО
Ось х-ов является горизонтальной асимптотой графика, к ко-
торой график приближается при х-> — оо, так как
lim y=Iim ах=а~°° ——=0.
X—ОО х-*—оо	а°°
2. При 0<а<1 (черт. 45) функция убывающая, так как при
возрастании аргумента х функция у=ах убывает при всех зна-
чениях х, что легко видеть, если заменить а на —, где b> 1.
/IV 1
Получаем:
у=ах—
где Ьх — функция возрастающая
по предыдущему.
Левая ветвь графика уходит в оо, так как
(1
—) =lim6—*=&»=оо.
Ь /	Х-»-00
Ось х-ов является горизонтальной асимптотой графика, к ко-
торой график приближается при х—>оо, так как
limy=lim a*=lim [ —V = lim	=—=0.
r—OO A. -+-0O «-КО \ b /	* ->0O	f)°°
На чертеже 44 показаны две контрольные точки:
1) при х=2 у=а2; точка (2; а2);
2) при х=—2 у=а~2=—; точка (—2; — Y
аа	\	а9/
В5
График функции у=|а*| тот же, что и график функции
у — ах, так как ах— величина существенно положительная.
График функции у=а~х вычерчивается аналогично, таю как
а—*==—=/—V. Следовательно, при 0<п<1 график функции
ах \ а /
у=а~х тот же, что и график функции у=ах при а>1
(черт. 44); при а> 1 график функции у=а~х тот же, что график функ-
ции у=ах при 0<а<1 (черт. 45).
Примеры
1.	у=2^.
Функция четная, так как /(—х)=2! ~х,=21х,=/(х) (черт. 46).
Вычерчивается сначала только правая часть графика (при х>0);
левая часть ей симметрична. Конт-
рольная точка (2; 4), так как при
х—2 у=22=4.
И
V
-3	1 2 3 X
Черт. 46.
Черт. 47.
Не следует смешивать график этой показательной функции
с графиком квадратного двучлена у=х24~1, представляющим собой
приподнятый на единицу график функции у=х2 (черт. 31, а).
График двучлена плавно переходит из области отрицательных
значений х в область положительных, и кривая в самой нижней
точке имеет горизонтальную касательную, график же показатель-
ной функции у=2|х| имеет в нижней точке две различные на-
клонные касательные, справа и слева; в этой точке кривая имеет
перелом.
Такие же графики имеют и функции: у=2' -х'; у=|—2,х’|;
y=f— )“|х1 и т. п., так как |—х|=|х|; |—2|=|2|; /—)~|х,=2|х1
\ 2 ]	( 2 у
И т. д.
_ И \ I*'
2.	у= -] .
У (2/
Как и в предыдущем примере, вначале вычерчивается только
правая ветвь графика, имеющая вид правой части графика, изо-
браженного на чертеже 45, левая ветвь ей симметрична (черт. 47).
Контрольная точка [2; -1-), так как при х=2 у=—.
56
Тот же вид имеют графики функций: у=2~И; у—
2/
_1
2
1*1
И т. д.
У =
§ 15.	ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
y=sinx.
(6)
Область существования — вся числовая ось (—оо; со).
Область изменения функции: —
Функция периодическая, с периодом 2 л, так как sinx=
=sin(x-j-2 л).
Поэтому достаточно построить график только для 0<фс^2л;
для других значений х график повторяется.
Кроме того, данная функция нечетная. Поэтому достаточно
а затем построить косо симметричную кривую для полупериода
— л < х <0; после этого получившуюся кривую для периода
— л<х<л повторять.
Характерные точки в пределах полупериода 0^х<л:
а)	точки пересечения с осью х-ов: у=0 при х=0 и при х=л;
б)	максимум функции (вершина кривой): у=1 при х=—.
По этим точкам на чертеже 48 вычерчена кривая для положи-
тельного полупериода (справа от начала координат — утолщенная
кривая с намеченными на ней характерными точками); затем на-
несена косо симметричная кривая для отрицательного полупериода
(Слева от начала координат — утолщенная кривая). Затем тонкой
линией нанесена кривая на всей числовой оси х-ов.
На чертеже взята контрольная точка: х=- ^0,52; у=
6
. л 1	/ Л	1 \
=sin—=—; точка —; — I.
62’	Кб	2/
y=cosx.	(7)
67
Область плоскости, в которой расположен график этой функ-
ции, та же, что и для предыдущей функции.
Период функции 2 л.
Функция четная. Поэтому характерные точки находим только
для положительного полупериода 0^х<л:
а)	точка пересечения с осью х-ов: у=0 при
б)	вершины кривой: у =4-1 при х=0 и у=—1 при х—л.
Контрольная точка: при — ~ 1,04 y=cos -7 = ^; точка
3	3	3
1^3* 2 Г
График функции построен на чертеже 49.
y=tgx.	(8)
Область существования — бесконечный ряд открытых интерва-
лов: лп-------, лп 4— ), так как х=£лп+—.
Ц 2/ \ 2П	2
Концы интервалов на оси х-ов (черт. 50) отмечены светлыми
кружками.
Черт. 50.
58
Заданная функция периодическая, с периодом л. Функция не-
четная. Поэтому можно ограничиться построением кривой для поло-
жительного полупериода р); Для этого полупериода находим
точку пересечения графика с осью х-ов: у=0 при х=0; точка (0; 0).
Функция возрастающая. Вертикальная прямая, проходящая через
точку [ —; 0|, является асимптотой, так как lim у=со (на чертеже
\ 2	/	п
X-f—
2
50 асимптота нанесена штриховой линией).
Контрольная точка: при х= —
4
По этим данным на чертеже 50
1)	кривая
для положительного
Я 1	7 Л
y=tg—= 1; точка( —
нанесены:
полупериода О,
2)	кривая
симметричная
3)	кривые
для отрицательного
первой;
для остальных периодов.
y=ctgx.
я
2/
полупериода 0, — —) — косо
2 У
(9)
Функция исследуется аналогично предыдущей.
Область существования: (лп; л(п-{-1)).
Период л. Функция нечетная.
Точка пересечения с осью х-ов: у=0 при (для 1-го полу-
периода); точка ^0;
Функция убывающая. Вертикальная прямая, проходящая через
начало координат, является асимптотой.
Контрольная точка: при х=~ y=ctg-^-=l; точка lj.
На основании этих данных на чертеже 51 проведена кривая для
1-го положительного полупериода (утолщенная кривая с нанесенны-
ми на ней характерными точками).
Затем проведена косо симметричная ей кривая для 1-го отри-
цательного полупериода (утолщенная кривая).
Для остальных периодов проведены такие же кривые тонкими
линиями.
y=secx.	(10)
Функция четная, периодическая, с периодом 2 л (так как
1 \
secx = ——.
cosx)
Характерные точки графика и поведение графика на границах
интервалов существования функции находятся из соотношения:
59
при х=2лп у=1;
Л
при х->—+2 л и — О,
т. е. при
+ 2 л п слева, а также
справа
при х->я-) л(2«-[-1)4 О, т. е. при х->— | л(2п+1)
2	2
я
2
при 1 2лп О, а также при х-+~- -J-л(2п-]-1) — О
2	2
у—> —оо.
60
Прямые х=у+лл являются вертикальными асимптотами гра-
фика (черт. 52).
Контрольная точка: х=—;	y=sec —=2; точка 2L
у=cosec х.	(И)
График этой функции (черт. 53) построен аналогично предыду-
щему на основании зависимости: cosec х= ——.
sinx
Заданная функция нечетная и периодическая, с периодом 2 л.
Прямые х=пп являются вертикальными асимптотами графика.
Примеры
1.	y=sin|x|.
Эта функция четная, так как f(—x)=sin|—х |=sin | x\=f(x).
При х>0 sin | х | =sin х, т. е. на положительной полуоси х-ов
кривая будет обыкновенной синусоидой; на отрицательной по-
луоси (при х<0) кривая ей симметрична (черт. 54).
61
2.	y=|sinx|.
При sinx>0 |sinx|=sinx, т. e. y=sinx. Следовательно, на
участках, где sinx>0, график будет тот же, что и график функ-
ции y=sinx (на чертеже 55 эти участки показаны утолщенными
линиями).
При sinx<0 |sinx| =— sinx, т. е. у=—sinх; следовательно,
части графика функции у=sinx, расположенные ниже оси х-оз,
Черт. 55.
зеркально отобразятся и будут расположены над осью х-ов (как
показано на чертеже 55 тонкими линиями).
Из чертежа видно, что данная функция четная, периодическая,
с периодом л.
3.	у=| sin |.х 11.
При х>0 | sin | х| |=|sinx|, т. е. на правой полуоси графйк тот
же, что и для функции y=|sinx|. Так как функция четная, то
левая часть графика симметрична правой (черт. 55).
4.	y=cos|x|.
cos|x|=cosx, так как cosx=cos(—х).
Следовательно, график этой функции тот же, что и функции
y=cosx (черт. 49).
Черт. 56.
5.	y=|cosx|.
График этой функции (черт. 56) строится на основании тех же
рассуждений, которые были проведены для функции y=|sinx|
(пример 2). Все ветви графика с положительными ординатами для
функции y=cosx остались на месте (на чертеже 56 изображены
утолщенными линиями), а ветви графика с отрицательными орди-
натами отобразились зеркально относительно оси х-ов (на чертеже
56 показаны тонкими линиями).
6.	y=)cos|x||.
График функции тот же, что и график функции y=]cosx|.
62
7-	y=tg|*|.
Функция четная, так как tg]—x|=tg|x|.
При х>0 y=tgx, следовательно, на положительной полуоси
х-ов график тот же, что и график функции y=tgx (черт. 50).
На чертеже 57 эта часть графика показана утолщенными ли-
ниями. Левая часть графика нанесена симметрично правой части
(тонкими линиями).
8.	y=|tgx|.
График этой функции (черт. 58) получается из графика функ-
ции y=tgx (черт. 50), если часть этого графика, расположенную
ниже оси х-ов, зеркально отобразить относительно этой оси.
Черт. 58.
9.	y=|tg|x||.
График тот же, что и график предыдущей функции (черт. 58),
так как:
а)	при х>0 |tg|х11=|tgх|, потому что tg|x| = tgx;
б)	функция четная.
63
Графики функций y=ctg|x|, y=|ctgx| и y=|ctg]x|| могут
быть построены на основании тех же соображений, что и графики
в примерах 7—9.
10.	yaeSec|x|.
Так как secx — функция четная, т. е. secx=sec(—х), то
sec|x|=secx, и график данной функции тот же, что и график функ-
ции у=secx (черт. 52).
11.	y=cosec|x|.
Функция четная. Справа от оси у-ов график тот же, что и график
функции у=cosecх (черт. 53), так как при х>0 cosec |x|=cosecx.
Левая часть графика строится симметрично правой (черт. 59).
64
12.	y=|secx|.
Строится график функции y=secx (черт. 52), затем все ветви
графика, расположенные ниже оси х-ов, зеркально отображаются
относительно этой оси (черт. 60).
Исходный график лучше строить штриховой линией, затем об-
вести сплошной линией окончательный график, а лишние штрихо-
вые кривые стереть или перечеркнуть.
Черт. 61.
13.	у=|cosec х||.
Строится график функции y=cosec[x[ (черт. 59), затем все
ветви графика, расположенные под осью х-ов, зеркально отобража-
ются относительно этой оси (черт. 61).
§ 16.	ГРАФИКИ ПРОСТЕЙШИХ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ
ФУНКЦИЙ
у—arcsinx.	(12)
Область существования: [—1; 1].
Область изменения функции — замкнутый промежуток
_« <У<Д
2	2
На чертеже 62 область плоскости, в которой расположен график
данной функции, ограничена штриховыми вертикальными и горизон-
тальными прямыми.
Функция нечетная, так как /(—x)=arcsin(—х)=—arcsinx=
=—f(x). Поэтому достаточно построить кривую только для положи-
тельных значений х, т. е. для 0 х < 1. Для отрицательных значе-
ний х кривая строится, как косо симметричная. Характерные точки:
а)	точка пересечения с осью х-ов: у=0 при х=0, так как
arcsin (0)— 0;
5 Заказ № 355	65
б)	на правой границе области существования функции, т. е. при
1	• 1 Л	(л л \
х= I y=arcsinl=—; точка 1; — .
2	\	2/
Далее надо исследовать функцию на выпуклость и вогнутость,
чтобы выяснить протекание графика в промежутке между найденными
двумя точками. Но здесь такое исследо-
вание оказывается слишком громозд-
ким.
Поэтому в данном случае лучше
воспользоваться тем обстоятельством,
что график функции y=arcsinx пред-
ставляет собой часть графика функции
y=Arcsinx. А этот график легко
строится на основании того, что функции y=Arcsinx и у=sinx яв-
ляются взаимно обратными функциями.
На чертеже 63 на графике функции y=Arcsinx выделен утолщен-
ной линией искомый график функции y=arcsinx, который затем
перенесен в большем масштабе на чертеж 62. Для уточнения нахо-
дим контрольную точку, например, для x=-^y=Arcsin
точка (—; 0,52
\2
1__л
7~"б
y=arccosx.
-0,52;
(13)
График строится аналогично предыдущему на основании того,
что он является частью графика функции y=Arccosx (черт. 65).
На чертеже 64 нанесен отдельно искомый график функции
y=arccosx.
66
Контрольная точка при х=— у=arccos = у ~ 1,04; точка
2	2 о
(Ь 1,04).
Область существования — вся числовая
Область изменения функции:
Функция нечетная, так как /(—х)—
=arctg (—х)——arctg х=—/(х).
График проходит через начало коор-
динат, так как при х=0
у=arctg (0)=0.
оо).
Черт. 64.	Черт. 65.
Для правой ветви кривой
Iimy=lim arctg х=^-, т. е. прямая
Х-.СО х-»со
У=~ является горизонтальной
Контрольная точка
График функции построен
на чертеже 66.
у=arcctg х. (15)
Область существования:
асимптотой.
, так как arctg 1—-^-^0,79.
Черт. 66.
Область изменения функ-
ции: 0<у<л.
Свойствами четности или
нечетности функция не обла-
дает, так как arcctg (—х)=л — arcctgx#= + arcctg х.
График расположен целиком над осью х-ов, так как у>0.
5*
67
Ось у-ов пересекается при у = arcctg 0=-^.
Ось л-ов и прямая у=л являются асимптотами графика, так как
lim у = lim arcctg х=0;
х->оо
lim у — lim arcctg х—л.
Х-—ОО Х->—00
1 л\	/ 1 3 \
1; — и —1; — л , так как
4/	\	4 /
arcctg “ = 1; arcctg -^= — 1.
Контрольные точки:
Черт. 67.
График построен на чертеже 67.
Примеры
i.	y=arcsin|x|.
Функция четная. Правая ветвь графика та же, что для функции
у—arcsinx (черт. 62), так как при х>0 arcsin| x|=arcsinx. Левая
ветвь ей симметрична (черт. 68).
2.	у=| arcsinx |.
График этой функции получается из графика функции у=arcsinx
(черт. 62), если часть графика, расположенную ниже оси х-ов, зер-
кально отобразить относительно этой оси (черт. 68),
3.	y=|arcsin|x||.
68
Так как функция y=arcsin | х| положительна на всем интервале
существования, то график функции у=|arcsin|х|| будет тот же, что
и график функции y=arcsin|x|.
4.	y=arccos|x|.
Функция четная. Правая часть графика та же, что и для функ-
ции y=arccosx, левая — ей симметрична (черт. 69).
5.	y=|arccosxl.
График тот же, что для функции y=arccosx, так как функция
y=arccosx положительна во всей области существования.
6.	у=|arccos|х||.
График тот же, что для функции y=arccos|x| (черт. 69), так
как последняя положительна на всем интервале существования.
7.	у—arctg (х|.
Функция четная. Правая ветвь графика та же, что и для функции
у=arctg х, левая — ей симметрична (черт. 70).
Тот же вид имеют графики функций:
а)	у=| arctgх|, так как этот график получается из графика функ-
ции у=arctg х (черт. 66), если часть графика, расположенную ниже
оси х-ов, зеркально отобразить относительно этой оси.
б)	у=|arctg| х| |, так как функция у=arctg[ х| положительна на
всем интервале определения.
8.	y=arcctg|x|.
Функция четная. Правая часть графика та же, что и для функции
y=arcctgx, левая симметрична (черт. 71).
9.	y=|arcctgx|.
График тот же, что и для функции y=arcctgx (черт. 67), так
как эта функция положительна на всем интервале определения.
По той же причине график функции y=|arcctg| х> | тот же, что
для функции y=arcctg|x|.
69
Упражнения
Построить графики функций:
41.	у= 4 — х.
42.	|_у | — 2х.
44.	| у | = 2.
45.	у2 = х2.
46.	у = —0,5х | х |.
47.	у = —ЗУ х .
48.	у = У[х[.
49.	у2 = —х.
50.	IJF |=-—.
о 
V *
51.	у = 3|-Ч
52.	|_у| = 2|х|.
53.	у = log Зх2.
54.	1 у [ = log ] х.
2
55.	|>| = log8(—х).
56.	у = ctg | х|.
57.	у = | sec | х 11.
58.	у = | ctg | х 1 ].
59.	у = — | arccos | х 11.
60.	у = arcctg | х |.
ГЛАВА III
ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРИЕМЫ ПОСТРОЕНИЯ
УСЛОЖНЕННЫХ ГРАФИКОВ
§ 17.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС (СДВИГ) ОСИ х-ов
Разберем этот прием на примере построения графика функции
у=х2+1.
График этой функции можно построить, пользуясь общими прие-
мами, изложенными в предыдущих разделах:
1)	область существования: (—оо; оо), т. е. вся числовая ось;
2)	область изменения функции — полуоткрытый интервал 1^у< со;
3)	функция четная;
4)	при х=0 у=1, т. е. кривая пересекает ось у-ов в точке (0; 1);
в этой точке функция имеет минимум, так как х2=0, откуда у > 1;
5)	контрольная точка: при х=2 y=4-f-l=5; точка (2; 5).
По этим данным график функции построен на чертеже 72.
Тот же график можно построить проще, воспользовавшись уже
известным нам графиком функции у=х2 (черт. 31, а). Для этого
наносим штриховой линией график функции у=х2 (черт. 73), назовем
его исходным графиком.
71
Сравнивая графики функций у=х24-1 и у=х2, видим, что орди-
наты у графика заданной функции на 1 больше ординат исходного
графика. Следовательно, исходный график надо перенести на 1 вверх,
как это и сделано на чертеже 73.
График функции у=х24-1 можно построить еще проще, если вос-
пользоваться тем же исходным графиком (у=х2), но вместо перене-
сения всей кривой вверх на 1 перенести ось х-ов на ту же 1 вниз,
как показано на чертеже 74. Тем самым относительно новой оси
х-ов все ординаты кривой у==х2 увеличиваются на 1 и получается
график заданной функции у=х2+1.
Следовательно, график функции у—/(х)+&, где /(х) — простей-
шая функция, график которой нам известен, можно построить сле-
дующим простейшим приемом (черт. 75).
Строится известный нам график функции y=f(x), причем гори-
зонтальная ось вычерчивается штриховой линией. Затем она сдвигается
на (—6). Это и есть истинная ось х-ов; первоначальную же гори-
зонтальную ось, нанесенную штриховой линией, можно стереть.
Например, для построения графика функции у=/(х)4-3 гори-
зонтальная штриховая ось графика функции y=f(x) сдвигается на
3 единицы вниз, т. е. на (—3); для построения графика функции
у=/:(х) — 3 горизонтальная штриховая ось сдвигается на (4-3),
т. е. на 3 единицы вверх.
§ 18.	ПАРАЛЛЕЛЬНЫЙ ПЕРЕНОС (СДВИГ) ОСИ у-ов
Разберем этот прием на примере построения графика функции
у=(х4-1)2.
Общий метод построения графика:
1)	область существования — вся числовая ось;
2)	область изменения функции — полуоткрытый интервал
0<у<со;
72
3)	функция не обладает свойствами четности и нечетности;
4)	при у=0 (х+1)2=0, или х+1==0, откуда х= —- 1, т. е.
кривая пересекает ось х-ов в точке (—1; 0);
5)	при х=0 у=1, т. е. кривая пересекает ось у-ов в точке (0; 1);
6)	контрольные точки:
х = 2; у=(2+1)2=9; точка (2; 9);
х=—3; у=(—34-1)2=4; точка (—3; 4).
По этим данным график функции построен на чертеже 76.
Другой способ построения графика функции y=(x-f-l)2 показан
на чертеже 77.
Вначале строится (штриховой лини ей) график исходной функции
у=х2.
Далее замечаем, что каждая ордината графика функции у=(х+1)2
равна той ординате исходного графика, которая соответствует абсцис-
се х-f-l, т. е. на 1 большей, нежели действительная абсцисса
исходного графика.
Например, при х=1 у=(х-Ь 1)2=22=4, т. е. при х=1 надо
отложить по оси у-ов не I2, а 22=4, т. е. (14-1)2. Эта ордината
точки А исходного графика соответствует абсциссе х—2, а для
графика заданной функции она соответствует абсциссе х=1, следо-
вательно, точку А надо сдвинуть по оси х-ов на (—1), в точку
Таким же образом и все точки исходного графика должны быть
сдвинуты по оси х-ов на (—1), т. е. весь график исходной функции
должен быть сдвинут влево на 1, что сделано на чертеже 77.
73
Проще вместо перенесения всей кривой на 1 влево сдвинуть ось
у-ов на 1 вправо, как это показано на чертеже 78.
Таким образом, график функции y=f(x-}-d), где f(x)— простей-
шая функция, график которой нам известен, строится так (черт. 79).
Наносится график функции y=f(x), причем вертикальная ось
у-ов вычерчивается штриховой линией. Затем эта вертикальная ось
сдвигается на (+«). Это и будет истинная ось у-ов; первоначальную
вертикальную ось можно затем стереть.
Черт. 78.
Например, для построения графика функции y=/(x-f-3) верти-
кальная ось графика функции / (х) сдвигается на 3 единицы вправо,
т. е. на (-|-3); для построения графика функции y=f(x— 3) верти-
кальная ось сдвигается на 3 единицы влево, т. е. на (—3).
Примечания. 1. Необходимо иметь в виду, что сдвиг оси у-ов надо
производить на величину «добавка» к положительному значению аргумен-
та х, так что если задана функция у = f (—х+о), то ее надо сначала преобра-
зовать в функцию y = f[—(х — а)] и принять за исходную функцию /(—х),
а затем сдвинуть ось у-ов на (—а), т. е. на добавок к (+х).
Пример. у=(—x-f-1)2.
Преобразуем: у=[— (х — 1)]2=(х — I)2.
Приняв за исходную функцию у=х2, как и при построении графика функции
у = (х+1)2 (черт. 78), сдвигаем ось у-ов на (—1), т. е. на добавок к (+х)
(черт. 80), а не на (+1), как на чертеже 78.
Для построения графика функции у = (—х+1)3 следует, преобразовав ее в
функцию у = [—(х—I)]3, принять за исходный график заданной функции
у = (— х)3 = — х3 и сдвинуть ось у-ов на (—1).
2. Если требуется построить график функции у = f (х+а)4-Ь (черт. 81), то
сначала строится график функции y = f (х), причем обе оси наносятся штриховы-
ми линиями. Затем горизонтальная ось сдвигается на (—Ь), т. е. в сторону,
обратную знаку добавка к функции, вертикальная ось сдвигается на
(+а), т. е. в сторону знака добавка к аргументу.
74
Если имеется добавок только к функции или только к аргументу, то при
построении исходного графика можно также обе оси координат нанести штрихо-
выми линиями; затем одну из них сдвинуть, а другую обвести сплошной линией.
§ 19. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ГРАФИКА ПО ОСИ х-ов
Этот прием чаще применяется при построении графиков тригоно-
метрических функций. Поэтому разберем его на двух примерах гра-
фиков тригонометрических функций.
1-й пример (на растяжение).
y=sin —х.
2
Общий метод построения графика:
1)	область существования — вся числовая ось;
2)	область изменения функции: —1 «С у «С 1;
3)	функция нечетная, периодическая; период функции найдем из
равенства
sin —=sin (— +2 n^ = sin /*+4л V ©=4 я.
2	\2	/	\ 2 /
Следовательно, достаточно построить часть графика для половины
периода 0 < х< 2 л;
4)	характерные точки:
. Л . I	п 1	(0	го
а)	при y=iO sin— х=0, откуда — х={ , или х=/	, т. е. кри-
2	2	[л	(2 л
вая пересекает ось х-ов в точках (0; 0) и (2 л; 0);
б)	максимум функции равен 1 при ^-х=-|р т- е- ПРИ х=я.
По этим данным на чертеже 82 построен график заданной функ-
ции; сначала график строился для положительного полупериода
75
(утолщенная часть графика), затем на отрезке, соответствующем
отрицательному полупериоду, построена косо симметричная кривая
(тонкая линия) и, наконец, на остальном протяжении кривая изобра-
жена штриховой линией.
График функции y=sin-^-x можно построить проще, приняв за
исходный известный нам график функции y=sinx, нанесенный штри-
ховой линией на чертеже 83. Замечаем, что период исходной функции
y=sinx соо—2 л, а период заданной функции y=sin — х со=4л,
Черт. 82.
т. е. вдвое больше периода исходной функции. Таким образом, гра-
фик, который требуется построить, получится из исходного графика
(штрихового, на чертеже 83) путем растяжения его по оси х-ов
вдвое.
Черт. 83.
2-й пример (на сжатие).
y=sin Зх.
Общий метод построения графика тот же, что и в примере
первом:
1-й и 2-й пункты исследования те же;
3)	период функции находится из равенства
sin Зх=sin (3x4-2 n)=sin3 fx4~—
2	1	1
откуда период со=—л, полупериод — ш=—л;
3	2	3
4)	характерные точки:
а)	при у—О sin3x=0, откуда Зх=1®, х=
1л
О
-j, т. е. кривая пере-
3
76
секает ось х-ов в точках (0; 0) и
о\
з /
б)	максимум функции равен 1 при Зх= —, т. е. при х=—.
2	6
По этим данным график построен на чертеже 84 в той же после-
довательности, как и предыдущий график.

Черт. 84.
График функции y=sin3x проще построить методом сжатия
по оси х-ов исходного графика у=sinx в 3 раза (черт. 85), так
2
как период —л заданной функции в 3 раза меньше периода 2л ис-
3
ходной функции.
&=sinx,
YL	---- • о
'м /	</=sm Зх
Черт. 85.
Таким образом, график функции y=f(nx\ если известен график
функции у=/(х), строится посредством сжатия по оси х-ов
этого исходного графика пропорционально коэффициенту п при
аргументе, а именно:
если п>1, то сжатие в п раз;
если 0<п <1, то растяжение в — раз.
§ 20. РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ ГРАФИКА ПО ОСИ у-ов
1-й пример (на растяжение).
у=2 sinx.
Строить этот график методом полного исследования функции не-
целесообразно. Отчетливо видно, что ординаты графика в 2 раза
больше ординат исходного графика у=sinx. Поэтому график задан-
ной функции строится путем удвоения всех ординат исходного гра-
77
фика, т. е. путем растяжения исходного графика по оси у-ов
в 2 раза (черт. 86).
2-й пример (на сжатие).
у =—sinx.
По тем же соображениям этот график строится способом умень-
шения всех ординат исходного графика в 3 раза, т. е. сжатием
исходного графика по оси у-ов в 3 раза, что сделано на том же
чертеже 86.
Таким образом, график функции y=tnf(x\ если известен график
y=f(x), строится посредством растяжения по оси у-ов исход-
ного графика пропорционально коэффициенту т при функции,
а именно:
если /п>1, то растяжение в т раз;
если 0</и<1, то сжатие в — раз.
т
Примечания. 1. Если требуется построить график функции y = mf(nx),
то сначала строится штриховой линией график исходной функции у = f (х),
а затем этот исходный график сжимается по оси х-ов в п раз и растя-
гивается по оси _у-ов в т раз.
2. На графиках, разобранных в этой главе, все исходные штриховые линии
(первоначальные оси координат, сдвинутые в дальнейшем, и исходные графики)
можно стереть или перечеркнуть по окончании всех построений.
ГЛАВА IV
ПОСТРОЕНИЕ УСЛОЖНЕННЫХ ГРАФИКОВ
При построении усложненных графиков целесообразно, за весьма
редкими исключениями, пользоваться вспомогательными приемами —
сдвигом осей координат и деформацией простейших графиков.
Разумеется, те же графики можно строить и на основании
непосредственного исследования заданной функции по ее характерным
точкам.
В этой главе большинство графиков построено обоими способами.
При этом отпадает надобность в дополнительных контрольных точках,
так как два способа построения графиков взаимно контролируются.
Те графики, которые построены одним способом, непременно
должны проверяться контрольными точками.
При построении графиков искусственными приемами в особенно-
сти нужна проверка характерных точек графика (точек пересечения
с осями координат и т. п.).
§ 21. ГРАФИКИ ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
1. у—\х — 2| (черт. 87).
1-й способ.
Строим график исходной функции у=[х[, оси координат пред-
варительно вычерчиваем штриховыми линиями. Затем ось у-ов сдви-
гаем на (—2). Ось х-ов остается на месте.
79
2-й способ.
Рассматриваем график как состоящий из двух ветвей, имеющих
каждая свое аналитическое выражение:
I) при х — 2>0, т. е. при х>2, у—х— 2;
2) при х — 2<0, т. е. при х<2, у=—х4-2.
Обе ветви представляют собой прямые. Каждая из них может
быть построена по двум точкам. Обе ветви графика имеют общую
точку при у=0, представляющую собой вершину графика; вычислим
абсциссу этой точки:
у=|х — 21=0; х=2.
Имеем точку (2; 0) — общую для обеих ветвей графика. Найдем
координаты еще одной точки для каждой ветви:
для правой ветви: х=5; у=5—2=3; точка (5; 3);
для левой ветви: х=0; y=0-f-2=2; точка (0; 2).
2. у=| — х-/-3|—1 (черт. 88).
1-й способ.
Для построения графика заданную функцию преобразуем так,
чтобы выявить добавок к положительному значению аргумента, т. е.
переменим все знаки выражения под модулем на обратные:
у=|х —3|—1.
Исходный график у=| х| относим к штриховым осям координат.
Затем переносим ось у-ов на (—3) и ось х-ов на [—(—1)],
т. е. на (-J-1).
2-й способ.
График имеет две самостоятельные ветви; каждая из них может
быть выражена своим уравнением:
1) при —х+3>0, т. е. при х<3, у= — х+З— 1, или у=—х-р2;
2) при —х-|-3<0, т. е. при х >3, у= — (—х-{-3) —1=х — 3—1,
или у=х — 4.
Найдем координаты вершины графика при —х+3=0;
х=3; у= — 1.
Вершина (3; —1).
80
Дополнительные точки для каждой полупрямой:
для левой ветви: х=0; у=ОЧ-2 = 2; точка (0; 2);
для правой ветви: х=4; у=4—4=0; точка (4; 0),
§ 22. ГРАФИКИ КВАДРАТНЫХ ФУНКЦИЙ
Общий вид квадратного трехчлена:
y=?ax2+bx-t-c,
где а, b и с — любые вещественные числа (положительные, отри-
цательные, рациональные, иррациональные).
График представляет собой параболу с вертикальной осью.
Дадим два способа построения графиков квадратного трехчлена:
1) способ выделения полного квадрата и дальнейшего построения
графика с использованием вспомогательных приемов, рассмотренных
в главе III;
2) построение графика на основании излагаемого в курсах алгеб-
ры исследования квадратного трехчлена.
1-й способ.
1)	выделяются два первых члена правой части трехчлена и в них
выносится за скобки первый коэффициент а:
у=(ах2+&х)+с;
у—a fх2+—
\ а /
2)	Выражение в скобках можно рассматривать как часть квадра-
та двучлена, заключающую квадрат первого числа (№) и удвоенное
произведение первого числа на второе: — х=2х отсюда видно,
а	2а
Ь	Ьг
что второй член есть —, а его квадрат —.
Прибавляем этот квадрат второго члена (-Ц} к двучлену в скоб-
ках с целью получения полного квадрата алгебраической суммы,
а чтобы величина заданного выражения не изменилась, одновременно
/ 2, ъ , ь- ьг \ ,
его же вычитаем: у=а л Ч—х-4------------4-с\ затем вычитаемое
\ а 4аг 4а*/
выносим за скобки и присоединяем к свободному члену с:
3)	Для построения графика функции, представляющей собой пре-
образованный квадратный трехчлен, за исходный график принимается:
6 Заказ № 355	81
при а>0 график функции у=х2 (черт. 89, а);
при а<0	»	»	у=—х2 (черт. 89, б).
Оси координат для исходных графиков, как и сами исходные
графики, на чертеже 89 нанесены штриховой линией; вертикальную
ось лучше нанести штрих-пунктиром, так как она является осью
симметрии графика (см. ниже).
4)	Ось у-ов сдвигается на величину — , вследствие чего получа-
2а
ется график функции yj.= ±fx+—Y. Этот график затем растягива-
ется в |а| раз по вертикальной оси, и получается график функции
/ ( ь\2
у*=а[х+ъ) 
-X /Л	/	b2\ lb2 \ D
о) Ось х-ов сдвигается на величину — с---=--------с . Вспом-
\	4а/	\4а	/
ним, что дискриминант квадратного трехчлена
D=b2 — 4ас.
Следовательно, ось х-ов сдвигается на величину —,
4а
равную
Ь2
----с.
4а
Таким образом, график квадратного трехчлена у=ах24-6х+с
построен, и можно стереть все штриховые линии, кроме вертикаль-
ной оси исходного графика, которая, как видно из чертежа 89, яв-
ляется осью симметрии построенной кривой.
Недостатки этого способа построения следующие:
82
1) не определяются точки пересечения кривой с осями коорди-
нат, вследствие чего координаты этих точек, как характерных,
должны быть вычислены дополнительно после построения графика;
2) необходимость растяжения графика при наличии неравного
+1 коэффициента при х2, вследствие чего кривая строится дважды.
Второй из этих недостатков отпадает, если а= + 1.
Тогда имеем функцию:
у=±х2+рх+д.
Ось у-ов сдвигается на
для функции у==х2+рх+д,
для функции у=—x2+px-}-q.
Ось х-ов сдвигается на
—q\ для функции y=x2±px-]-q,
----qj для функции у=—x2-j-px+g.
Первый из указанных недостатков не имеет существенного зна-
чения, так как точки пересечения графика с осями координат мож-
но рассматривать как контрольные, вследствие чего можно не брать
дополнительных контрольных точек.
2-й способ.
Как сказано, график квадратного трехчлена представляет собой
параболу с вертикальной осью симметрии, причем если 1-й коэффи-
циент положительный (а>0), то ветви параболы направлены вверх,
а ордината вершины параболы представляет собой минимум функции
(черт. 89, а); если 1-й коэффициент отрицательный (а<0), то ветви
параболы направлены вниз, а ордината вершины параболы представ-
ляет собой максимум функции (черт. 89, б).
Исследование функции квадратного трехчлена можно было бы
продолжить по общей схеме. В этом, однако, нет необходимости,
так как по виду квадратного трехчлена легко устанавливается, что
х может принимать любые вещественные значения, т. е. что область
существования функции — интервал (—оо; оо), а по оси у-ов график
ограничен вершиной параболы.
Поэтому, определив по знаку 1-го коэффициента относительное
положение вершины параболы (минимум, если 1-й коэффициент по-
ложительный; максимум, если он отрицательный), можно перейти
сразу к определению характерных точек.
1)	Чтобы установить, пересекает ли парабола ось х-ов, вычисля-
ем дискриминант заданного трехчлена:
D=b2— 4ас. •	(1)
83
6*
Если D>0, то парабола пересе-
кает ось х-ов в двух точках, так как
пересечение оси х-ов определяет-
ся нулевыми значениями трехчлена
у=ах2+Ьх-\-с, т. е. корнями урав-
нения ax24-6x-j-c—0; это квадратное
уравнение при D>0 имеет 2 вещест-
венных корня: Ху и х2.
Если 0=0, то парабола касается
оси х-ов своей вершиной, так как при
0=0 оба корня уравнения равны.
Если О<0, то парабола не пере-
секает и не касается оси х-ов, так
как в этом случае |/" D представляет
собой мнимую величину, и уравнение
у=0 не имеет вещественных решений,
т. е. график функции не пересекает
и не касается оси х-ов.
2)	Если окажется, что О>0, то
вычисляются абсциссы точек пересе-
чения (или абсцисса точки касания)
с осью х-ов, для чего решается урав-
нение ах2+&х+с=0.
_ ь±УЪ а
Получаем: хЬ2=-----------. За Ху
рекомендуется принять меньший ко-
рень, что соответствует точке, лежа-
щей слева от оси симметрии параболы.
Эти точки наносятся на ось х-ов.
Рекомендуется наносить их не точками,
а косыми утолщенными черточками.
Для трехчлена с положительным 1-м
коэффициентом (а>0) черточки нано-
сятся раструбом вверх (черт. 90, а),
для трехчлена, у которого а<0, косые
черточки наносятся раструбом вниз (черт. 91, а)\ такие отметки
указывают направление ветвей параболы в первом случае вверх, во
втором — вниз.
3)	Определяются координаты х0, у0 вершины параболы.
_Х1+х2 _ ь
0	2 2а
(2)
Для параболы, пересекающей ось х-ов, удобнее х0 определять по
формуле х0=Х1^—; для параболы, касающейся оси х-ов, х0=х1>2;
для параболы, не пересекающей оси х-ов, пользуются вторым
84
b
выражением для х6, т. е. х0=------а
2а
если а-1, то х0=—у (соответствен-
но приведенному квадратному уравне-
нию).
Определив х0, можно нанести на
график вертикальную ось параболы,
имеющую уравнение х=х0.
Из выражения (2) для х0 видно,
что положение оси параболы не зави-
сит от величины свободного члена.
Если менять свободный член, оставляя
неизменными другие коэффициенты
квадратного трехчлена, то парабола
будет перемещаться вдоль своей оси,
что иллюстрируется чертежами 90,
а, б, в (при а>0) и 91, а, б, в
(при а<0).
Для определения у0 необходимо
в квадратный трехчлен подставить
ь
значение х=х0=——, в результате
чего получим:
(Ь \ 2
----1 +^|
2а/	'
.	. ь*
+с -------he =----he
4а 2а	4а
=-±(6>-4ас)=-^.
4а	4а
Вместо того чтобы каждый раз
вычислять у0 по значению соответст-
вующей абсциссы (х0), целесообразнее
воспользоваться выведенной формулой:
Вершину параболы рекомендуется отмечать на графике не точкой,
а дугой: при а>0 выпуклостью вниз, при а<0 выпуклостью вверх;
такие пометки указывают, что в первом случае (а>0) вершина
является точкой минимума (черт. 90), во втором случае (а<0) — точ-
кой максимума (черт. 91).
4)	Вычисляется ордината точки пересечения параболы с осью
у-ов, для чего в квадратный трехчлен подставляется х=0:
у=ах2-\-Ьх-{-с=с
(у равняется свободному члену).
85
На чертеже наносится соответствующая точка (0; с), а затем
наносится ей симметричная точка Сг
5)	Проводится кривая, при D>0 по 5 точкам, при D<0 по
3 точкам.
В дополнение (особенно при построении по 3 точкам) можно
взять еще одну контрольную точку и ей симметричную, что дает 2
дополнительные точки.
Примеры
1.	у=х2+6х+5 (черт. 92).
1-й способ.
Преобразуем трехчлен, выделив в нем полный квадрат.
у=(х24-6х)4-б = (х24-2-Зх+
_|_ З2 — 32)+5 = (х2+2-Зх+
+ 32) —9+5=(х+3)2—4.
Итак, у=(х-|-3)2—4.
Строится график исходной
функции у=х2.
Ось у-ов сдвигается на (+3),
т. е. на 3 единицы вправо; ось
х-ов сдвигается на (+4), т. е.
на 4 единицы вверх.
После перенесения осей коор-
динат необходимо уточнить точки
пересечения графика с осями
координат.
Здесь эта проверка выпол-
няется при построении графика
вторым способом.
2-й способ.
Вершина параболы является
точкой минимума (ветви параболы
направлены вверх), так как а=
= 1>0.
парабола пересекается с
1) D=&2 — 4ас=62 — 4-1-5= 16>0,
осью х-ов в двух точках.
2)	Решаем уравнение х24-6х+5=0 (по теореме Виета); получаем
Xj=—5; х2= —1. Эти точки на оси х-ов отмечаем (черт. 92) косы-
ми черточками раструбом вверх.
3)	Определяем координаты вершины параболы:
3 (зная х0, проводим ось параболы);
Уо=-~
4а
16
4-1
4.
86
4)	Точка С пересечения графика с осью у-ов имеет ординату
у=5 (при х=0). На чертеже 92 нанесена также точка Ct(—6; 5),
симметричная точке С (0/5) относительно оси параболы. Абсцисса
этой точки вычисляется так:
xCl = 2х0=2 • (—3)=—6.
2. у=0,5х2+3x4-6 (черт. 93).
1-й способ (черт. 93, а).
Выполняем преобразования:
y=0,5(x24-6x)4-6 = 0,5(x24-2-3x4-32 — 32)4-6=0,5(x24-2-3x4-
+32) —9-0,54-6; у=0,5(х4-3)24-1,5.
Исходная функция: у=х2.
Ось у-ов сдвигается на (4-3).
Полученный график у=(х4-3)2 растягивается в 0,5 раза, т. е.
сжимается в 2 раза.
Затем ось х-ов сдвигается на (—1,5).
Примечание. Сжатие графика по вертикальному направлению производит-
ся до перенесения оси х-ов. Если бы мы отнесли сжатие графика на по-
следнюю операцию, т. е. после перенесения осей координат, то в этом случае
коэффициент сжатия пришлось бы отнести ко всей функции, вынеся его за скоб-
ки: у = 0,5 [(*+3)4-0,75].
В этом случае, следовательно, ось х-ов сдвигается на (—0,75), а не на
(-1.5).
2-й способ (черт. 93, б).
Ветви параболы направлены вверх (а=0,5>0).
87
1)	D=b2—4ас=32—4 0,5-6=—3<0. Парабола не пересекается
с осью х-ов.
2)	Уравнение не имеет вещественных корней — значит, вся пара-
бола расположена над осью х-ов.
3)	Абсцисса вершины параболы:
х —__ь —___ 3 —____з
° 2а 2-0,5
На этом расстоянии от оси у-ов проходит ось симметрии пара-
болы.
Ордината вершины параболы: у0=
4) Точка пересечения с осью у-ов
имеет ординату: у0=с=6; ей
симметричная относительно
оси параболы точка С± имеет
абсциссу х=2х0=—6.
Можно вычислить еще точ-
ку D, например, при х— — 1
у=0,5(— I)2 4-3 (- 1)4-6=
= 0,5-34-6=3,5.
На чертеже 93 (б) нанесена
и симметричная ей точка Dv
3. у=—х2 — 6x4-1 (черт.
94).
1-й способ.
Преобразования:
у=—(х24-6х)4-1 =— (х24-
4-2’Зх4-32 — 32)4-1 =
=—(х24-2 • 3x4-З2) 4-324-1;
у=— (х 4-3)2 4-10.
Исходная функция у=—х2.
х-ов сдвигается на (— 10).
и вершина является точкой
Черт. 94.
Ось у-ов сдвигается на (4-3). Ось
2-й способ.
Ветви параболы направлены вниз,
максимума, так как а=—1<0.
1) D=b2 — 4ас=(—б)2— 4 (—1.1)=364-4=4О>О.
2) Решаем уравнение —х2 —6x4-1=0. (Можно, при желании,
поменять знаки, а лучше их не менять во избежание путаницы.)
6±‘/d	6+1^40 _6±6,4
*1.2~	_2	~	_2	~ _2 ’
6,2; х2^4-0,2.
88
—2
проходит вертикальная ось па-
40
3)	Абсцисса вершины параболы:
xx+X2_— ь_ —6
0	2 2а
На этом расстоянии от оси у-ов
раболы.
Ордината вершины параболы:
D
Уа—---------------------—-----------= 1U.
/0 4а	4(—1)
4)	Ордината точки С пересечения графика с осью у-ов (при
х—0): у=с=1.
5)	Координаты дополнительной точки D:
при х——1 у=—(—I)2 —6(—1)4-1=—14-64-1=6.
4.	у=| — х2— 2x4-51 (черт. 95).
Так как здесь модуль функции, то знаки внутри модуля можно
поменять на обратные, что в
данном случае представляет
некоторые удобства. Получаем:
у=|х24-2х — 5|.
План построения графика
данной функции такой: строим
штриховой линией параболу
у=ха4-2х— 5, затем часть
графика, расположенную в об-
—I-
-/
X
Черт. 95.	Черт. 96.
ласти отрицательных значений у, зеркально отображаем относитель-
но оси х-ов.
Построение вспомогательной параболы функции у=ха4-2х— 5
проводим 1-м способом, для чего выполняем преобразования:
у=ха4-2х— 5=(ха4-2x4-1)—1 — 5=(х4-1)а—6.
Строим график исходной функции у=ха.
89
Ось у-ов сдвигается на (+1). Ось х-ов сдвигается на (+6).
Нижняя ветвь параболы (штриховая) переносится в верхнюю по-
луплоскость симметрично оси х-ов.
Контрольные точки:
1)	при х=0 у=| 4-5 |=5; точка (0; 5);
2)	при х=—4 у=|—16+8+51=| — 31=3; точка (—4; 3).
5.	у=|2х2— х| (черт. 96).
План решения задачи.
Вычерчивается штриховой линией график вспомогательной функции
у=2х2 —х. Затем та часть графика,
>1
Черт. 97.
которая расположена ниже оси
х-ов, зеркально отображает-
ся относительно этой оси.
Квадратную функцию
у=2х2— х можно рассмат-
ривать как частный вид
квадратного трехчлена при
с=0. График ее — парабола,
проходящая через начало
координат; ветви параболы
направлены вверх. Эту пара-
болу удобнее вычерчивать
по 2-му способу, так как
корни уравнения 2х2 — х=0
легко находятся разложе-
нием его левой части на
множители:
2х2 — х=х(2х— 1);
имеем:
х(2х— 1)=0;
Xi=0; х2=|.
Ось параболы отстоит от оси у-ов на
расстоянии
v _Х1±Хг_ 1
0	2	4
Ордината вершины параболы:
п 2	„ / 1 \2	1	1
Уо— 2хо х0—21	— — —.
\ т: /	**	О
Контрольная точка:
х=1; у=(2-12 — 1)=1; точка (1; 1).
6.	у=—х2+2| х+21+4 (черт. 97).
Эта функция распадается на две:
90
1) когда выражение под знаком модуля х-|-2>0, т. е. х>—2,
то |х+2|=х4-2 и у=—х2--2(х 4-2)4-4=—х24-2x4-44-4, т. е.
у=— № 4-2x4-8;	(а)
2) когда х4-2<0, т. е. х<—2, то |х-|-2|=—(x-j-2) и у=
=—х2 — 2 (х4-2)4-4=—х2 — 2х—44-4, т. е.
у=—х2 —2х.	(б)
При х-|-2=0, т. е. при х=—2, очевидно, выражения (а) и (б)
дают одну и ту же точку. Из выражения (а): у——(—2)24-2(—2)4-
4-8=—4 — 44-8=0; из выражения (б): у=—(—2)2— 2(—2) =
=—44-4=0.
Эту точку А (—2; 0) отмечаем на чертеже 97.
Затем на том же чертеже строим обе параболы (а) и (б) штри-
ховыми линиями. Ввиду того что оси координат общие для обеих
парабол, график нельзя строить способом сдвига осей. Поэтому про-
водим общее исследование обеих функций.
а)	у=—х24-2х4-8.
Ветви параболы направлены вниз, т. е. вершина ее является точ-
кой максимума.
Дискриминант £>=22 — 4• (—1)-8=36>0. Парабола пересекает
ось х-ов в двух точках. При у=—х24-2x4-8=0
1,2	—2	—	(х2=4.
__2+4
Абсцисса оси параболы: х0=—-—=1;
.	36
ордината вершины параболы: у0=————.
С осью у-ов парабола пересекается при у=8, т. е. в точке
(0; 8); симметричная ей точка имеет координаты: х=2х0=2-1=2 и
у=8, точка (2; 8).
б)	у=—Xs — 2х.
Функция представляет собой частный вид квадратного трехчлена,
когда свободный член с=0. График ее —парабола, которая прохо-
дит через начало координат, так как ее уравнение у——х2 — 2х
удовлетворяется нулевыми значениями обеих координат (х=0 и у=0).
Вершина параболы является точкой максимума.
Разложив правую часть на множители, получаем:
У=—х(х4-2).
Корни уравнения — х (х 4- 2)=0:
х1=0; х2=— 2.
Вторая точка пересечения с осью х-ов: (—2; 0).
91
Ось параболы отстоит от оси у-ов на расстоянии
v  *i+*2 0 — 2  .J
0	2	2
Ордината вершины параболы:
Уо=~ х0(х0+2) = 1 •(- 1-}-2)=1.
По вычисленным точкам обе параболы вычерчены штриховыми
линиями (черт. 97).
Возвращаясь к начальным условиям, замечаем, что функция (а)
выражает заданный график при х>—2, т. е. справа от х=—2,
функция (б) — при х<4—2,
т. е. слева от х=—2. На
этих участках части пара-
бол (а) и (б) обводим сплош-
ной линией, после чего
штриховые линии могут
быть удалены. На чертеже
97 обводка условно пока-
зана рядом со штрихо-
выми линиями.
Контрольные точки:
Черт. 98.
1) х=3;. у=~31 2+213+21+4=—9+10+4=5; точка (3; 5);
2) х=—3; у=—(—3)2+2j —3+21+4 = —9+21 —1|+4 = —9+
+2+4=—3; точка (—3; —3).
7. у=2х2— |х| (черт. 98).
Функция распадается на две:
1) при х>0 х =х\ у=2х2 — х;
2) при х<0 х = — х; у=2х2+х.
Первая функция исследована в примере 5 (см. черт. 96). По-
строим ее график штриховой линией на чертеже 98.
92
Вторая функция у=2х34-х или у=2% (х+0,5).
Находим корни уравнения 2х(х~-0,5)=0: Xj=0; х2=—0,5. (Обе
кривые (1) и (2) имеют точку в начале координат.)
Абсцисса вершины параболы: х0=——0,25.
Ордината вершины параболы: уо=2-(О,25)2— 0,25=—0,125.
Обе параболы нанесены штриховыми линиями на чертеже 98.
Из первой параболы берем участок в правой полуплоскости, из
второй — в левой полуплоскости. Эти ветви парабол обведены сплош-
ной линией. Штриховые ли-
нии после построения гра-
фика можно стереть.
Контрольные точки:
1) х=1;у=212— 111 =
= 1; точка (1; 1);
2) х=—1; у=2(—I)2 —
|—1|=1; точка (—1; 1).
Замечание. График фун-
кции у — 2х2 — | к | можно по-
строить значительно проще, если
учесть, что данная функция
четная, так как /(—х) =
= 2 (—х)2 — | х | = 2х2 — | х | =
= f (х). Поэтому можно пост-
роить только правую часть гра-
фика при х > 0, т. е. правую
часть графика функции у=
=2х2 — х. Левая часть графика
строится симметрично относи-
тельно оси J-OB.
8.	у=(5 —х)(х-f- 1)
(черт. 99).
Выполнив умножение
двучленов в правой части
этого выражения, можно
получить квадратный трех-
член:
у=— х24-4х-“5.
В этом, однако, нет необходимости, так как характерные точки
проще находятся по первоначальному виду функции.
1)	При у=0 х,=5; х«=—1; имеем точки пересечения с осью
х-ов; (5; 0) и (-1; 0).
Дальнейшее исследование проводим обычно.
2)	Ось параболы имеет абсциссу
_х1+х2 _5—1_9
2	2
Ордината вершины параболы:
Уо=(5 - х0)(х0+1)=(5-2)(24-1)=9.
93
3)	Точка пересечения с осью у-ов:
х=0; у=(5—0)(0+1)=5; точка (0; 5).
Контрольная точка:
х=5,5; у=(5— 5,5) (5,5+1)=—3,25; точка (5,5; —3,25).
9. у=(5— х) | х+11 (черт. 100).
Функция распадается на две.
1) При х+1>0, т. е. при х>—1, у=(5—х)(х+1). График
этой функции рассмотрен в примере 8. На чертеже 100 строим этот
график, причем часть его при х>—1 сплошной линией, а другую
часть — штриховой линией.
2) При х+КО, т. е. при х<—1, |х+1|=—(х+1) и
у=(5— х)|—(х+1)|, или у—(х— 5) (х+1). Замечаем, что ордина-
ты этой параболы равны по абсолютной величине и противоположны
по знаку ординатам 1-й параболы у=(5— х)(х+1) при х<—1. По-
этому, не производя ее исследования, наносим на график при х<—1
ординаты 1-й параболы с противоположными знаками, т. е. строим
зеркальное отображение штриховой части графика 1-й параболы.
Контрольная точка:
х= —1,5; у=(5+1,5)-| — 1,5+11 = 6,5-0,5=3,25;
точка (—1,5; 3,25).
94
10. у=(5— | х|)-(%4-1) (черт. 101).
Функция распадается на две.
а) При х>0 у=(5— х)-(%4-1). График этой функции рассмот-
рен в примере 8 (черт. 99).
сплошной линией, осталь-
ную часть — штриховой (эту
часть можно не вычерчи-
вать).
б) При х<0 |х| =—х;
у=(54-х)(х4-1) — это пара-
бола, ветви которой направ-
лены вверх.
1)	При у=0 хг=—5;
Х2=	1.
2)	Абсцисса вершины
параболы:
v +	5—1 О.
ордината вершины пара-
болы: у0=(5—3)(—34-1)=
= —4.
3)	При х=0 у=5-1 =5;
точка (0; 5). Это — точка
пересечения параболы с осью
у-ов, общая с точкой 1-й
параболы.
Контрольная точка:
Строим часть этого графика при х>0
х=—6; у=(5— 16|)-(—64-1)= — 1 •(—5)=5; точка (—6; 5).
11. у=(5— |х|)-(| х|4-1) (черт. 102).
Замечаем, что данная функция четная, так как
Л-х)=(5-|-х|)=(|-х|4-1)=(5~|х1).(|х|-|-1)=/(х).
Поэтому строим сначала только правую часть графика, при
х>0; в этом случае заданную функцию можно записать так:
у=(5 —х)(х4-1).
График этой функции построен на чертеже 99 (пример 8).
На чертеже 102 строим правую часть этого графика. Левая
строится симметрично относительно оси у-ов.
§ 23. ГРАФИКИ НЕКОТОРЫХ СТЕПЕННЫХ ФУНКЦИЙ
СТЕПЕНИ ВЫШЕ ВТОРОЙ
1. у=(1—х)3 (черт. 103).
График — кубическая парабола.
1-й способ построения графика.
95
Функцию следует сначала преобразовать так, чтобы видеть чи-
словой «добавок» к положительному значению аргумента, т. е. дваж-
ды поменять знаки: у——(х—I)3.
Строим график исходной функции у——х3. Вертикальная ось пе-
реносится затем на величину добавка к аргументу х, т. е. на (—1).
2-й способ построения графика.
1) Область существования: (—оо; оо) — вся числовая ось.
1-й способ.
1а) Интервал изменения функции:
(—оо; оо).
2)	Функция общего вида.
Таким образом, общее исследование
этой функции не указывает никаких
особенностей, которые можно было бы
использовать для построения ее графика.
3)	Точки пересечения с осью х-ов:
у=0, т. е. (1—х)3=0, откуда х=1.
Имеем одну точку пересечения: Л(1; 0).
За) Точки пересечения с осью у-ов:
х=0, откуда у=(1—0)3= 1; точка В(0;
1).
4)	Поведение кривой на разных участ-
ках:
а)	при уменьшении аргумента от х=1
функция возрастает (приблизительно по
кубическому закону) от 0 неограниченно;
б)	при увеличении аргумента от х= 1
функция уменьшается от 0 до — оо (по
кубическому закону).
2. у=|—х3|-{-1 (черт. 104).
Так как | — х3| = |х3|, то функцию
можно записать так:
У=|х3| + 1.
Исходная функция у=|х3| четная. График ее — кубическая па-
рабола с вертикальной осью — по очертанию похож на квадратную
параболу (у=х2), только несколько круче.
Построив график этой функции, горизонтальную ось затем пере-
носим на (—1).
2-й способ.
1.	Область существования — вся числовая ось х-ов.
1а. Область изменения функции — полуинтервал 1<у<оо.
2.	Функция четная, так как
/(—х)=| (—х)3 |4-l=i х3
3.	При хо=О у=1, вершина параболы (0; 1).
96
4.	При х>0 функция возрастает по кубическому закону.
Несмотря на то что график построен двумя способами, для уточ-
нения его дополнительно вычислена контрольная точка (—1; 2).
3.	у=х4 — 2 (черт. 105).
1-й способ.
Исходный график у=х* имеет тот же вид, что у=х2, только
значительно круче.
Ось х-ов сдвигается на величину добавка к функции, взятого с
обратным знаком, т. е. на (+2).
2-й способ.
1.	Область существования — вся числовая ось х-ов.
1а. Границы изменения функции:—2<у<оо.
2.	Функция четная.
3.	Вершина параболы имеет координаты: хо=0; у0=—2.
4.	Точки пересечения с осью х-ов:
при у=0 х4— 2=0, откуда х1,2=у/<2^+1,2;
имеем точки: (1,2; 0) и (—1,2; 0).
5.	При возрастаний х (в правой полуплоскости) ординаты у рас-
тут по закону 4-й степени.
Из сравнения двух способов построения графиков степенных
функций видно, что пользование вспомогательными приемами упро-
щает построение этих графиков.
7 Заказ At 355
97
§ 24. ГРАФИКИ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ДРОБНЫМИ
ПОКАЗАТЕЛЯМИ СТЕПЕНИ
1.	у=}Лх—1 —2 (черт. 106).
1-й способ.
Строится график исходной функции у=Ух, после чего ось х-ов
переносится на (-J-2), т. е. на обратную по знаку величину добавка
к функции, а ось у-ов — на (—1), т. е. на величину добавка к ар-
гументу.
Если ограничиться таким построением, то следует дополнитель-
но уточнить абсциссу точки пересечения графика с осью х-ов.
2-й способ.
1.	Область существования (1; оо) определяется из условия:
х—1>0, откуда х>1.
2.	Функция общего вида.
3.	Точка пересечения с осью х-ов:
при у=0 V х—1—2=0; V х —-1=2; х—1 = 4; х=5; точ-
ка А (5; 0).
За. С осью у-ов график не пересекается (см. п. 1).
4.	При х—>оо у—>оо.
2.	у=3—1^1—2х (черт. 107).
1-й способ.
Преобразуем функцию так, чтобы был выделен добавок к аргу-
менту х:
=3— /2 V— (х — 0,5).
у= —V2 • V — (х — 0,5) Ч-З.
98
Исходная функция: у~—V—х. Для этой функции область
существования (— оо; 0), т. е. левая полуось. Область изменения
функции у С 0, так как перед радикалом стоит знак минус.
Следовательно, график функции расположен в 3-й четверти.
Он косо симметричен графику у=1^х (см. черт. 31, в). На черте-
же 107 график исходной функции нанесен штриховой линией.
Затем переносится ось у-ов на величину добавка к аргументу,
т. е. на (— 0,5); полученный график функции V —(х — 0,5)
растягивается в ^2 ^1,4 раза.
После этого ось х-ов переносится на обратную величину до-
бавка к функции — V 2 • V — (х — 0,5), т. е. на (— 3).
2-й способ.
Возьмем функцию в первоначальном ее виде (до преобразования):
у=3 — / 1 — 2х.
1.	Область существования найдется из условия: 1—2х > 0;
откуда 2х < 1 и х=^ 0,5. Область существования: интервал
(—со; 0,5).
2.	Функция общего вида, так как не обладает свойствами чет-
ности или нечетности и периодичности.
3.	Точки пересечения графика с осью х-ов:
у=0, т. е. 3 — К1 — 2х =0; откуда 1^1 — 2х —3;
1—2х=9; 2х=—8; х=—4; одна точка пересечения: А (—4; 0).
7*
£9
За. Точки пересечения с осью у-ов:
х=0, т. е. у=3—К1—0—2;
одна точка пересечения: В(0; 2).
4.	Граничные значения функции:
при х=0,5 у=3—К1— 1—3; точка (0,5; 3);
при х—>— со у—> — оо.
5.	Поведение кривой на разных участках.
На всей области определения кривая возрастающая, так как при
уменьшении аргумента х увеличивается вычитаемое (подкоренное
количество), т. е. функция уменьшается.
3. у=2 —	—х| (черт. 108J.
1-й способ.
Так как |1 — х|=|х— 11, то функцию можно записать так:
У=— К 1^—11+2.
Исходная функция у=—|/"|х| четная, график которой со-
стоит из двух ветвей: правая ветвь есть график функции — V х;
это зеркальное относительно горизонтальной оси изображение
графика функции у = Vx (см. черт. 31, в). Левая ветвь исходного
графика симметрична правой.
Затем ось у-ов переносится на (—1), т. е. на добавок к аргу-
менту, а ось х-ов на (—2) — на противоположную величину добав-
ка к функции (—	11 — х | У
2-й способ.
1.	Область существования — вся числовая ось х-ов, т. е.
(—оо; оо), так как |1—х|>0 при любом значении х.
2.	Функция общего вида.
3.	Точки пересечения с осью х-ов:
у=0, т. е. 2 — ]/"| 1 — х| =0;	=2;
П—х| = 4; 1—х= + 4; хх=—3; х2=5.
100
Две точки: Л(—3; 0) и В (5; 0).
За. Точки пересечения с осью у-ов:
х=0 у=2—V1 =1; точка С(0; 1).
4.	Граничные значения функции:
при X—>+оо у^>—оо.
5.	График имеет два участка:
1)	при 1 — х> 0, т. е. при х<1, у=2— V 1 —х;
2)	при 1 — х < О, т. е. при х > 1; у -2 — Vх— 1.
На границе обоих участков имеем точку: х=1, у=2;
точка D(l; 2).
§ 25. ГРАФИКИ ДРОБНО-ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Дробно-линейная функция — это такая алгебраическая дробь
у=Е£±?? у которой числитель и знаменатель представляют собой
cx+d
линейные функции.
В числителе — линейная функция ах+&.
В знаменателе — линейная функция cx-\-d.
Во всякой дробно-линейной функции можно выделить целую
часть, как показано на сле-
дующем примере:
3 — 2х 2х — 3
1 — X X— 1
_ (2х-2)-1 9 1
X— 1	X— 1*
График всякой дробно-
линейной функции можно
построить как способом
непосредственного исследо-
вания функции (в данном
примере исследования функ-
3____________2х\
ции у =--------, так и с
1 — х /
применением вспомогатель-
ных приемов после предва-
рительного преобразования
функции (в данном при-
мере — в функцию у=------—
х —
8 Заказ № 355
101
Примеры
1. у=3~~2* (черт. 109).
1 —X
1-й способ.
Преобразуем функцию с выделением целой части:
У=----Ц+2.
X— 1
Строим график исходной функции у=— — относительно штрих-
пунктирных осей.
Затем ось у-ов переносим на (—1), а ось х-ов на (—2).
2-й способ.
Запишем функцию так:
у 2*~3
X— 1
Дробно-линейная функция имеет две асимптоты: горизонтальную
и вертикальную. Расположение этих асимптот рекомендуется вы-
явить в самом начале исследования функции (при определении ее
области существования и интервалов изменения).
1) У~>±°о» когда х=>1, т. е. х=1 — это уравнение вертикаль-
ной асимптоты.
Область существования функции: (—оо; 1); (1; -}-оо).
2) limy=lim — ~3=lim ---------—=2, следовательно,
X-r±0O Х->+00 X- 1 X->±OOj 1
X
у=2 — уравнение горизонтальной асимптоты.
Интервалы изменения функции:
— оо <у<2 и 2<у<оо.
При этом,
когда х стремится к 1 слева, т. е. х^И—0, у=»4-со;
когда х стремится к 1 справа, т. е. х-И+0, у-»—оо.
Точки пересечения графика с осями координат:
__з
при х=0 у=—-=3; точка Д(0; 3);
при у=0 2х — 3=0; х=—; точка В(1,5; 0).
2
График этой функции — гипербола с горизонтальной и верти-
кальной асимптотами.
2. у= (черт. ПО).
102
1-й способ.
Преобразуем функцию таким образом, чтобы аргумент входил
в нее с положительным знаком и без коэффициента:
333	1,5
у=---=----—------=------;
1—	2х 2(0,5—х) —2(х —0,5)	х —0,5
График исходной функ-
ции у—--------- наносится
х
штриховой линией.
Затем ось у-ов перено-
сится на (—0,5), после чего
весь график растягивается
в 1,5 раза по вертикали.
2-й способ.
1.	Асимптоты.
Горизонтальная: при х оо
у=0; горизонтальной асимп-
тотой является ось х-ов.
Вертикальная: при у —>оэ
1 — 2х=0; х=0,5 — урав-
нение вертикальной асимп-
тоты.
2.	Точки пересечения с
осями координат:
с осью х-ов кривая не
Черт. ПО.
пересекается, так как эта ось есть асимптота;
с осью у-ов: при х=0 у=3; точка А(0; 3).
3.	Для уточнения можно найти еще одну точку, например
при х=3 у——-—=—0,6; точка В(3; —0,6).
Как и предыдущий, этот график представляет собой гиперболу
с горизонтальной и вертикальной асимптотами.
3.	у=----1 (черт. 111).
1 —|х|
Так как заданная функция четная, то, пожалуй, проще будет
построить ее график на основании непосредственного исследова-
ния функции.
1)	Область существования определяем из условия: 1 — |х|У=0;
ху= + 1, получаем три интервала: (—оо; —1); (—1; 1); (1; оо).
Прямые х=1 и х=—1 являются вертикальными асимптотами.
8*
103
2)	Функция четная. Следовательно, достаточно построить одну
ветвь, например правую.
3)	Граничные значения для правой ветви:
а)	при х=0 у=1; точка Л(0; 1);
б)	lim у= lim—-— = ±оо;
X -> 1’	। 1 — х
при х—>1 слева, т. е. при х < 1,у->-|-оо;
при х —> 1 справа, т. е. при х> 1, у-> — оо;
в)	при х=»оо у^О.
По этим точкам легко строится правая часть кривой; левая —
ей симметрична,
Контрольные точки:
1)	х=2; у——1; точка (2; —1);
2)	х=0,5; у=2; точка (0,5; 2).
2	2
4.	у=-------, или у= ------ (черт. 112).
И + х|	1+х
1-й способ.
Исходный график у=— строится штриховой линией.
1*1
Затем ось у-ов сдвигается на (+1), после чего график растяги-
вается вдвое по вертикальному направлению.
2
Лучше за исходную принять функцию у=— с тем, чтобы из-
1*1
бежать операции растяжения графика.
104
2-й способ.
1.	Область существования
функции определяем из усло-
вия: х#=—1; имеем два интерва-
ла (— оо; — 1) и (— 1; -f-co).
Прямая х— — 1 является
вертикальной асимптотой.
1 а. Изменение функции
ограничено условиями:
а)	у > 0, как модуль;
б)	у¥=0, так как при у->0
Х->оо.
Следовательно, у>0, т. е.
функция расположена в верх-
ней полуплоскости; у->0 при
х-> + <х>, т. е. ось х-ов яв-
ляется горизонтальной асимп-
тотой.
2.	График пересекается с
осью у-ов при х=0 и у=2,
т. е. в точке Д(0; 2).
3.	Для уточнения
ную точку, например при х=—3 у
Черт. 112.
и проверки вычисляем еще одну контроль-
—гг~т=1; точка (—3; О-
§ 26. ГРАФИКИ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. у — lg (1 — х) (черт. 113).
Черт. 113.
1-й способ.
Преобразуем функцию так, чтобы аргумент имел положитель-
ный знак, для чего выносим за скобки (—1):
y=lgl — (х — 1)].
Строим график исходной функции у—lg(—х), затем ось у-ов
переносим на (—1).
105
2-й способ.
y=ig(i — %).
1.	Область существования найдется из условия: 1—х>0, х<1;
интервал (—оо; 1).
2.	Функция общего вида.
3.	Точки пересечения с осью х-ов: при у=0, т. е. lg(l—х)=0,
1—х=1, х=0; точка (0; 0) — начало координат.
За. Точка пересечения с осью у-ов та же (начало координат),
так как при х=0 y=lg 1=0.
4.	Граничные значения функции:
lim у = lim lg (1 — х)=—оо.
Х-+ 1	Х-* 1
При х->—оо у —> оо по логарифмическому закону.
Несмотря на то что график построен двумя способами, нужна
контрольная точка для уточнения левой ветви графика: при х=—9
y=lg(l + 9)=1; точкаЛ(—9; 1).
При построении графика только 1-м способом потребовалось бы
дополнительно уточнение точек пересечения графика с осями
координат.
2.	y=lg(|x|4-l) (черт. 114).
Свойство четности этой функции облегчает построение ее
графика.
1-й способ.
Правая ветвь графика (при х>0) выражается уравнением
y=lg(x+ 1).
Исходная функция: y=lgx; график ее строится штриховой
линией; затем ось у-ов переносится на (+1).
Замечание. Было бы грубой ошибкой строить этот график на основании
исходного графика _y=lg|x| с передвижкой оси у на (+1), так как (+1) при-
бавляется к аргументу х только при х>0; при х<0 добавок (+1) относит-
ся к (—х), так как при х<0 | х |=—х.
Если бы мы приняли за исходный график y=lg|x|, то после сдвига
оси у на (+1) график не оказался бы симметричным, т. е. нарушилась бы
четность.
106
2-й способ.
При х>0 функция y=Ig(x4- 1) возрастающая, график ее на-
правлен выпуклостью вверх. Две точки этого графика получаются
довольно просто:
1)	при х=0 у=1g 1=0, т. е. кривая проходит через начало
координат;
2)	при х=9 y=lg(9+ l)=lglO=l; точка Д(9; 1).
По этим данным вычерчивается правая ветвь графика; левая
ветвь строится симметрично.
При построении графика только по 1-му способу также потребо-
валось бы вычисление одной дополнительной точки (например,
точки А) для уточнения графика и в качестве контрольной.
3.	y=lg|x|4-l (черт. 115).
1-й способ.
Исходная функция: y=lg| х|. Замечание к предыдущему гра-
фику (пример 2) не относится к данному графику, так как (4-1)
добавляется здесь не к аргументу, а к исходной функции. По-
строив график исходной функции, ось х-ов переносим на (—1).
Если ограничиться этим способом построения данного графика,
то, помимо контрольной точки, надо найти точки пересечения
графика с осью х-ов. В данном случае эти точки находятся при
построении графика на основании общего исследования функции.
2-й способ.
1.	Область существования заданной функции — вся числовая ось,
кроме точки х=0.
2.	Функция четная, так как |—х| = |х|.
3.	Точки пересечения с осью х-ов: у=0, т. е.
igII~ь 1=0; ig|*|=—1; |x|=-o,i; х =+о,1.
Для правой ветви графика имеем точку Л(0,1; 0).
За. С осью у график не пересекается, так как х#=0 (см. п. 1).
4.	Граничные значения функции (для правой ветви):
a)	limy=lim lg|x| 4~ 1=—°°«
107
Несмотря на то что график построен
тельно получить еще одну точку,
6)	limy=limlg|x| 4-1 = оо.
X-rCO x-»oo
5.	Контрольная точка.
При х= 1 y=lgl 4-1 = 1, точка В(1; 1).
двумя способами, жела-
например при |'х| = 10
у _ 1g Ю 4- 1=2; точ-
ки С (10; 2) и Сг(—10; 2).
4.	у=log, (2x4-3)
Г
(черт. 116).
1-й способ.
Прежде всего преоб-
разуем выражение в скоб-
ках с целью выявления
величины добавка к аргу-
менту.
Получаем:
2
Строим (штриховой линией) график исходной функции у=logi х.
Затем этот график сжимается вдвое по горизонтали, в результате
чего получаем график функции logi_2x. После этого ось у-ов пере-
2
носится на (4-1,5).
Замечания. 1. Важно понять, что когда множитель относится к аргу-
менту, растяжение — сжатие производится в горизонтальном направлении и
предшествует переносу в том же направлении оси у-ов, аналогично тому, как
растяжение — сжатие по вертикали производится до переноса в вертикальном на-
правлении оси х-ов.
2. Когда при построении графика производятся многократные операции по
переносу осей координат и растяжению — сжатию кривых, то рекомендуется
проверка графика не менее чем двумя-тремя контрольными точками.
Можно заменить подобную проверку построением графика вторым способом.
Чтобы избежать операции сжатия графика, надо принять за ис-
ходную функцию
y=logi_(2x).
2
2-й способ.
y=log2 (2x4-3).
2
1.	Область существования находится из условия:
2х4-3>0;
получаем интервал (—1,5; оо).
108
Когда х->— 1,5, у—>оо, пря-
мая, заданная уравнением х—
=—1,5, является асимптотой гра-
фика.
2.	Функция общего вида.
3.	Характерные точки:
а)	точка пересечения с осью
х-ов: при у=0, т. е.
logi (2х4-3)=0; 2x4-3= 1; 2х=
2
=—2; х=—1; точка Л(0; —1);
б)	точка пересечения с осью
у-ов: при х=0 у= logi (2x4-3) =
Г
= logi 3^—1,5; точка В(0; —1,5).
2
5.	у=logo (2 — | х |)	(черт.
117).
Функция четная, вследствие
чего строится вначале одна ветвь,
а другая проводится ей симмет-
рично.
1-й способ.
При х>0 y=log2(2 — х).
Преобразуем это выражение так,
чтобы аргумент имел положитель-
ный знак:
y=log2[—(х —2)].
Строим график исходной
функции у=log2(—х). Затем ось
у-ов переносим на (—2), после
чего левую часть этого графика
стираем. Получаем правую ветвь
графика, левая ветвь строится ей симметрично относительно оси
у-ов (черт. 117, а).
Проще построить сначала левую ветвь графика (при х^О),
преобразовав функцию таким образом:
y=log2[2 —(—х)]; y=log2 (24-х).
В этом случае исходный график проще: y=lgx (черт. 117,6).
Ось у-ов переносится на (-1-2), после чего правая часть графика
(штрихового) стирается и заменяется кривой, симметричной левой
части графика.
109
2-й способ (черт. 117, в).
1)	Область существования находится из условия: 2 — | х | > О,
т. е.
|х| < 2; получаем интервал (—2; 2).
2)	Функция четная.
3)	Характерные точки:
а)	точка пересечения с осью х-ов: при у=0, т. е. при
log2(2— |х|)=0, или 2 — |х|=1; |х|=1; х=±1; для правой
ветви имеем точку Л(1; 0);
б)	точка пересечения с осью у-ов: при х=0 y=log2(2 — 0)=
=log22=l; точка В(0; 1);
в)	lim у = lim log2 (2 — х)=—сю; прямая х=2 (а также
х-+2	х->2
х=—2 для левой ветви) является вертикальной асимптотой.
Из приведенных в этом параграфе сравнений можно видеть, что
вспомогательные приемы при построении графиков логарифмиче-
ских функций не имеют столь заметных преимуществ, как при по-
строении графиков линейных, степенных и дробно-линейных фун-
кций, рассмотренных в предыдущих параграфах.
§ 27. ГРАФИКИ ПОКАЗАТЕЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
1. у=Зх+1 (черт. 118).
1-й способ.
Исходная функция у=Зх.
Ось у-ов сдвигается на (+1).
Необходимо еще проверить точку пересечения графика с осью
у-ов (координаты этой точки вычислены ниже при построении
графика вторым способом).
2-й способ.
1.	Область существования — вся числовая ось х-ов.
1а. Интервал изменения функции 0<у<оо.
2.	Функция общего вида.
3.	Характерные точки:
а)	с осью х-ов график не пересекается;
б)	точка пересечения с осью у-ов: при х=0 у=3х=3; точка
Л (0; 3);
в)	граничные значения функции:
limy=lim3x+1 = oo; при этом функция растет быстрее аргу-
Х->ОО №>ОО
мента;
lim у=lim Зх+1=0; ось х-ов — горизонтальная асимптота.
Х~*—зо Х-*—оо
Дополнительная точка (уточняющая); х= •—1; у—3°=1;
точка В(— 1; 1).
но
2.	у=3 1x1+1 (черт. 119).
1-й способ.
Замечаем, что функция четная, поэтому вначале достаточно по-
строить только правую часть графика. При х^О функция записы-
вается так: y=3v+1. Исходная функция: у=Зх. Ось у-ов сдвигается
на (+1), после чего левая часть
полученной кривой стирается, а
левая ветвь искомого графика
строится симметрично правой.
Точку пересечения с осью у-ов, представляющую собой общую
точку для правой и левой частей графика, следует вычислить до-
полнительно.
2-й способ.
1.	Область существования: (—оо; оо).
1а. Интервал изменения функции определяется из условия:
|х| > 0; у>30+1; у>3, т. е.
3<у<оо.
2.	Функция четная.
3.	Точка пересечения с осью у-ов: при х=0 у=3; точка
А (0; 3) — общая для правой и левой ветвей графика.
4.	При X —> + оо у—> оо.
.11)
5.	На участке справа от оси у-ов, т. е. при х>0, функция воз-
растающая, кривая выпуклая.
Контрольная точка: при х=1 у=31+1=9; точка (1; 9).
3.	у=3|х+11 (черт. 120).
1-й способ.
Исходная функция: у=3|х|. Ось у-ов переносится на (+1).
2-и способ.
1.	Область существования: (—со; со).
1а. Интервал изменения функции определяется из условия:
|х+11 > 0;
получаем: у > 3°; у > 1;
1 < У< со.
вида состоит из двух ветвей:
е. при 1, y=3v+1;
е. при х < — 1, у=3-<*+1>, или у=^у+1.
%4-1=0, т. е. х=—1, у=3~1+1=3°= 1;
2.	Функция общего
а) при %4-1 > 0, т.
б)	при хЧ-1 < 0, т.
Общая точка: при
точка Л(—1; 1).
3.	Точка пересечения с осью у-ов:
х=0; у=31=3; точка В(0; 3).
Примечание. Координаты точек А и В следовало бы вычислить так
же и при построении графика по 1-му способу в качестве контрольных.
112
4.	Iimy=lim3|x+l 1 = oo.
*-►±00 X-*±OO
При х+1>0 функция y=3x+1 возрастающая;
при x-f-1 <0 функция у=3~(л+1) убывающая.
Возрастание и убывание функции более резкое, нежели возраста-
ние аргумента.
4. у=3||х|-11 (черт. 121).
1-й способ.
Замечаем, что функция четная, так как |х| = —х|, и поэтому
исследуем только правую часть графика (при х > 0).
При этом функция имеет вид:
у=3 |х~ 11.
Исходная функция: y=3l v|. Ось у-ов переносится на (—1) и
обводится только правая часть графика (при х > 0); все, что слева
от перенесенной оси у-ов, стирается.
Затем строится левая часть графика (при х <10) симметрично
правой.
Общая точка для правой и левой частей графика вычислена
ниже (2-й способ, п. 2).
2-й способ.
1. Область существования: (—оо; со).
1а. Интервал изменения функции найдется из условия:
11 х | — 11 > 0, отсюда у > 3°, т. е. у 1.
2. Функция четная. Уравнение правой части графика имеет вид:
у=3|х~ Ч. Следовательно, правая часть графика (при х>0) состоит
из двух ветвей, уравнения которых:
при х— 1 > 0, т. е. при х> 1, у=Зх-1;
при х — 1 < 0, т. е. при х<1, у=3_<Л-1), или
Общая точка для обеих ветвей:
при х—1=0, т. е. при х=1, у=3°=1; точка Л(1; 1).
3. Точка пересечения с осью у-ов: при х=0 (т. е. при
х—1<0) у=(-|-^ 1=3; точка В (0; 3).
4. Iimy=lim3|x” 11 =со.
Х-гОО *->оо
На основе этих данных легко строится правая часть графика.
Левая — симметрична ей.
Сравнение построения графиков показательных функций разными
способами показывает, что в общем применение вспомогательных
приемов облегчает построение графиков показательных функций,
особенно если при этом учитывать и общие свойства функций,
такие, как четность и др.
из
§ 28. ГРАФИКИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. y=2+cos[x + —) (черт. 122).
1-й способ.
Перепишем функцию так:
y=cos (х 4~)+2.
Строим график исходной функции y=cosx (косинусоиду).
Ось у-ов переносится на	по горизонтальному направ-
лению. Затем ось х-ов переносится на (—2), т. е. на 2 единицы
вниз.
2-й способ.
1.	Область существования — вся числовая ось х-ов.
1а. Границы изменения функции определяются из условия:
откуда получаем:
2 — 1<у<2-;-1;
1 у 3.
2.	Функция не обладает свойствами четности или нечетности
из-за наличия добавка к аргументу.
2а. Функция периодическая, с периодом 2 л, так как
2-4-cos^x+y^ = 2 + cos ^x+y^-t-2£ л .
Поэтому вычисляем характерные точки графика только для одного
периода, например для
0<х+— <2 л, т. е. — — <^х<^1 —л.
3	3^3
114
3.	Характерные точки:
х — ——;	y=2-|-cos0=3; точка А (— —; з\
3	\	3	/
х==_y=2+cos-=2; точка fif-; 2\
3	2	6 Л	2	\б /
л	2	/ 2	\
х —----Ьл=—л; у=24-созл=1; точка С — л; 11;
3	'3	\ 3	/
х= — —+— л=1 — л;	y=24-cos—=2;	точка р/14л;2^;
3	26	2	\ 6	/
тг	9	/ 2	\
х~ _-4-2 л =1 — л;	y=2-|-cos2 л=3;	точка Е 1—-л;3].
3	3	\ 3	/
На чертеже 122 график заданной функции для этого одного
периода выделен утолщенной линией.
2. у =1,5 — 2sin/Зх-f--') (черт. 123).
1-й способ.
Запишем функцию так:
у= — 2sin (Зх+— W 1,5.
Преобразуем выражение в скобках таким образом, чтобы выявить
добавок к аргументу х:
у—— 2sin 3 lx
+-)]+1,5.
12/J
Строим график исходной функции у=—sinx.
Деформация по горизонтальной оси (сжатие втрое) обязательно
/ . л\
предшествует горизонтальному сдвигу оси у-ов на +— , а де-
У 12'
формация по вертикальной оси (растяжение вдвое) должна предшест-
вовать вертикальному сдвигу оси х-ов на (— 1,5).
Порядок построения графика, следовательно, такой:
1)	строится график функции у=—sinx;
2)	график сжимается по оси х-ов в 3 раза;
115
3)	ось у-ов переносится по горизонтали на
4)	график растягивается по оси у-ов в 2 раза;
5)	ось х-ов переносится по вертикали на (— 1,5).
Можно выполнить построение и в такой последовательности.
Сначала производится деформация исходного графика в обоих
направлениях, затем — сдвиг обеих осей.
Но нельзя сдвиг оси по какому-либо направлению производить
ранее деформации графика в этом направлении.
2-й способ.
у= 1,5 — 2 sin ^Зх-}~);
1.	Область существования: (—оо; оо).
1а. Интервал изменения функции определяется из условия:
— 1 < sin(Зх+^ <1; 1,5 —2-Ку < l,5-f-2-l;
— 0,5 у < 3,5.
2.	Функция не обладает свойствами четности или нечетности.
2а. Функция периодическая, с периодом —, так как
.2 /гл' |
3.	Характерные точки для одного периода, например для периода
— — < х	— — + —,	т. е. — —	х — л,	намечаем через —	пе-
12	12	3	12	12	4
2л л
риода, т. е. через —=— :
3-4 6
1) х=—-; у= 1,5 — 2-0= 1,5; точка а(—~- 1,5);
'	12	7	\ 12	/
2) х= —у=1,5 —2-1=—0,5;
7	12 6 12 7
точка в(—; —0,б\
\12	/
3)*=12+6 = Г Н.5-2.0=!,5; точка С (4 ; 1,5);
4) х =	У=1,5-2 (-1)=3,5; точка D&; 3,5);
5)х= —^-+^-=^4; у= 1,5— 20= 1,5; точка е(— ; 1,5).
'	12	3	12 7	I 12	/
116
3. y=0,5tgf—х-{-—)—1 (черт. 124).
\ 3	6 /
1-й способ.
Преобразуем заданную функцию:
y=0,5tgf|(x+i)
[3 \	4 /
— 1.
Исходный график — тангенсоида (y=tgx).
По горизонтальной оси график растягивается в 1,5 раза
' 3	7
Растяжение графика следует начать с переноса вертикальных
асимптот и нулевых точек функции, затем перенести точки, соответ-
Обозначения:
Окончательный график
График для одного периода
при построении вторым	1
способом	। ||	Н*
-----Вспомогательные оси координат
-----Исходный график и его.асимптоты
-----График, растянутый по оси X
— Окончательный <
Черт. 124.

ствующие tgx=±l. В дальнейшем также следить за этими
точками.
По вертикальному направлению график сжимается в ^=2 раза.
При этом нулевые точки функции так и останутся нулевыми;
сжатие по оси у-ов лучше начинать с точек, соответствующих зна-
чениям tgx=±l.
Далее производится сдвиг осей координат;
(I л \
4— 1>
4/
ось х-ов — на (4-1).
117
2-й способ.
1. Область существования находится из условия:
2	л , л .
—	=#—рлп
3	6	2
2	, л л .
3^* 2 ~?+яп;
2	л	.
— х Ф —Но;
3	3
. л	,	3
Х#=----ЯП.
2	2
Получаем множество интервалов
-+-лп<х< л (П-4-1),
ИЛИ
—4-— лп<х<2 л +— лп.
2	2	2
2. Функция периодическая. Период найдем из условия:
. /2	. л \	. Г / 2	। л \	.	1	4. 2 Г /	. л \ . 3	1
tg =tS	Н7 +7«л •
\3 и/ [\3 о/ J 3 L\	4/	2	J
„	,	3
Период функции — л.
3. Характерные точки для одного периода, например для пе-
риода
л _	, 1
----< X < 1 — л.
4	4
Этот период выбран таким образом, чтобы в крайних точках тан-
V	л	1
нулю. Характерные точки выбираем через — пери-
4
3
— л.
8
y=0,5tg(-^+i)-l=-l;
х 3-4 о/
точка АI — —; — 1);
\	4	/
2)	х=--, y=0,5tg(- 4+41— 1 = 0,5tg + -1=0,5;
8	° \3 8	6/	4
точка в(—; — 0,51;
\8	I
гене оыл равен
ода, т. е. через
i\	л
1) х=-------;
118
3)	t-,1; lim У—0,5 tg	- 1 =0,5 tgi - 1 = + co;
2 л	\ o 2 О /	£
x	'
2
a)	lim }’= 4-oo I слева от x—— j;
n Л \	2 /
x -*-0
2
6)	limy=—оо (справа от x=—);
n , A \	2/
x —— -F Э
2
4)	x=l?; y=0,5tg(-|.^+^-1=0,5 tg^-l=-1,5;
о	\ о о О /	4
точка СI— ; — 1,5^;
\ В /
5)	х=^-, y==0>5tg(4.-^4-^-l=0,5tgn-l = -l;
4	\ 3	4 б /
D/ 5 л । \
I—; — 1 .
\ 4 I
На чертеже 124 по вычисленным точкам построен график для
одного периода (отмечен двойной линией с нанесенными па ней
характерными точками). Затем следует нанести асимптоты через ~
периода I—) от крайних точек 1-го периода и через период ( — л )
одну от другой, после чего построение всего графика не представит
затруднений.
-е—• График	одного периода при построении по 2-му способу
125).
1-й способ.
Нельзя принять за исходную функцию y=sin|x|, так как |х[
не является независимым аргументом, а некоторой функцией (/(х) =
119
= |х|), и добавок	относится не к аргументу х, а к этой
функции.
В самом деле, заданная функция распадается на две:
1) при х > О y=2+sin (х-4-^-j;
2) при х^О у=2+ sin(—x-f-—V
\	3 /
В этих выражениях исходные функции разные:
1) y=sinx,
2) у=—sinx.
Добавки к аргументу тоже разные:
Вследствие этого пришлось бы для правой части графика пере-
нести ось у-ов на	а A*13 лев°и на I — — I, что, разумеется,
невозможно сделать на одном и том же графике.
Однако в этом нет необходимости. Важно заметить сразу, что
заданная функция четная, так как | — х|=|х|. А в этом случае,
как мы уже знаем, достаточно произвести построение только одной,
например правой, части графика (при х > 0), а затем левую часть
графика построить симметрично правой относительно оси у-ов.
При х > 0 заданная функция запишется так:
или
y=sin 1x4-^ J4-2.
Дальнейшее построение весьма просто.
Строим график исходной функции у=sinx (синусоиду).
Ось у-ов сдвигаем на	т- е- вправо.
Ось х-ов сдвигаем на (—2), т. е. вниз.
Затем все, что оказалось слева от оси у-ов, можно стереть и
построить левую часть графика симметрично оставшейся правой
части.
Находим общую точку для обеих частей графика (при х=0):
y=2+siny=24-^^2,87; точка (0; 2,87).
120
2-й способ.
1.	Область существования: (—со; оо).
1а. Множество значений функции определяется условием:
откуда
2— 1<у<2+1,
1 <У < 3.
2. Функция четная и периодическая, с периодом 2 л.
3. Характерные точки для одного периода, например для пери-
ода 0<х<2л:
1) хо=О; y0=2+sin—^2,87 —это общая для обеих ветвей
3
графика точка, координаты которой (0; 2,87) получены выше.
2)	Функция имеет максимум при х+—=-^> т. е. при хх —
3	2
у=2-f-sin-=3; точка ; з").
2	3	6 71	2	\6	}
3)	Далее берем точки через
а)	при х2=—|— =— y2=2sin-----Ь —)= 2 + sinл=2; точка
6	2	3	\ 3	3 /
; 2V
\ 3	/
б)	при х3=~^- y3=2+sin^y-+-^=2 — 1 = 1; точка 1).
4) Граничная точка при х4=2л у4=2Ч-sin »2,87; точка
(2 л; 2,87).
На чертеже 125 для этого периода кривая выделена утолщенной
линией.
5. у=2 — sin х+—
3
(черт.
126).
1-й способ.
Функцию перепишем так:
у= —sin|x+-^|+2.
исходной функции у=—sin | х|. Ось у-ов пере-
ось х-ов — на (—2).
График имеет две ветви, уравнения которых различны:
1)	при х+-|>0, т. е. при х> —
Строим график
/ , л \
носим на IН— , а
\ з)
2-й способ.
9 Заказ К: 355
121
3
3 ’
или
y= — sin —lx
y=sin
И)+2-
1.	Область существования: (—оо; оо).
1а. Интервал изменения функции определяем из условия:
— 1 С — sin f х +— ] < 1,
V 3/
т. е.
—14-2	14-2, или 1 у3.
2.	Функция не обладает свойствами четности или нечетности.
2а. Функция периодическая, с периодом 2 л. Точнее следовало
бы сказать, что две функции (функции для обеих ветвей) периоди-
ческие, с периодом 2 л.
3.	Общая точка для обеих ветвей графика:
х=— — ; у= — sin|0|4-2=2; точка
3
4.	Другие характерные точки для одного периода правой ветви
графика:
х=£---=^; у=-sin-£4-2=-14-2=1;
3	2	2	3	6 '	2
точка
122
2)	х	; y= —sin л4-2=2; точка 2^;
’	6	2	3 л	\ 3	/
О \	2Х I	1	* 3 2Т I О 1 I л о
3)	х =---— = 1— л; у=— sin-----Р2=1+2=3; точка
3	2	6	2
1|п; 31;
4)	х= — — 4-2 л=1 — л; у=2; точка fl —л; 2V
3	3	\ 3	/
4а. То же для одного периода левой ветви графика:
4-2=sin(— ^4-2=— 14-2=1; точка (-у;
2)	х= — — у= —	y=sin(—л)4-2=2; точка
— 1-я; 2);
3	/
3) х=—1 — л — —— — 1 — л; y=sinf——'j4-2=3; точка
’	3	2	6	7	\	2 )
— 1-я; ЗУ,
6	)
4)х=— — — 2л=—2 —я; у=2; точка f—2 —я; 2V
3	3	\	3	/
Построение графика по такому количеству точек не встречает
затруднений.
На чертеже 126 отмечена общая для обеих ветвей графика точ-
/	эт	\	/	1	\
ка [-----; 2 и еще одна точка / — 1 — л; 21 — контрольная.
\	3	/	\	3	/
6. у= 14-0,75
tg(?”i) (черт-127)-
1-й способ.
Прежде всего заданное выражение преобразуем с целью выявле-
ния величины добавка к х:
у=0,75 tg -
у=0,75	+1
I 4 \	3/1
Строим график исходной функции у=| tgx|.
Этот исходный график деформируется так:
9*
123
а)	по горизонтальному направлению растягивается в 2 раза
сжатие в — раза\ при этом вначале переносятся нулевые точки
2	/
исходного графика и его вертикальные асимптоты;
б)	по вертикальному направлению ординаты уменьшаются, состав-
ляя 0,75 от ординат исходного графика.
Обозначения;
—------Вспомогательные оси
-------Исходный график и его вертикальные асимптоты
— о—о—Растянутый вдвое исходный график
-------Окончательные оси координат и окончательный, график
——- График для одного периода достроенный по 2-му способу
-----Сдвиг вертикальных асимптот
Черт. 127.
Затем переносятся оси координат:
а) ось у-ов на |—-+;
б)	ось х-ов на (—1).
2-й способ.
у= 1+0,75
1. Область существования функции — множество интервалов,
определяемых из условия:
Л I	Л X Л  ZX
-------Н2лп<-------------< —+2лм.
2	6 2 2
Получаем:
—+2лп
3
X Jt
2
откуда
9 it
•{-2 лп > х>------------------1-2 лп,
3
124
или
2.
2а.
— —+2 л п < х < —+2 лп.
3	3
1а. Интервал изменения функции найдем из условия:
I — —— | >0, откуда получаем у> 1.
к 6	2 /
Функция не обладает свойством четности или нечетности.
Функция периодическая, с периодом 2 л, так как
+ + л	+л/л х	х+2пл\
tg I-----— tg I---------п Л1 — tg I--------I.
6кб 2/	6\6	2	/ 6кб 2 /
3. Характерные точки для одного периода.
На основании исследования, произведенного
период: —— <х<—. Вычисляем координаты
3	3
1	л
валы, равные — периода, т. е. через
-+—) =1+0
6 3-2/
= l+0,75tgy не существует, поэтому вычисляем предел:
limy0 =1+0,75 tgИ-(-2-г+0)] =
L6 \	6 /J
3
в п. 1, выбираем
точек через интер-
л
1) х0—
2)	хг=—У1= 1+0,75tgл= 1; точка /у; 1).
2 л	4 л
3)	х2=------1-2 л——; у2 не существует; вычисляем предел:
3	3
3
2л . л “
ха =-----—  ,
3	3	2	6
= l+0,75|tg—
= 1+0,75 tg(—у+о) =|— оо| = + оо.
4)	Очевидно, что здесь для уточнения графика надо взять еще
одну точку, например в промежутке между точками х0 и х±:
у =1+0,75 tg[-—(——)] =
6 /3	|_6 к 12/]
= 1+0,75=1,75; точка 1,75).
По вычисленным точкам строится график для одного периода
(на чертеже 127 утолщенная линия), а затем — для ряда периодов.
125
Сравнение различных способов построения графиков тригономет-
рических функций показывает, что вспомогательные методы построе-
ния значительно облегчают решение задачи, в особенности если при
этом использовать очевидные свойства заданной функции (симметрию,
периодичность).
§ 29. ГРАФИКИ ОБРАТНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
1. y=n-|-arcsin(x+l) (черт. 128).
1-й способ.
Строим график исходной функции
на (4-1), а ось х-ов — на (—л).
2-й способ.
1.	Область существования опре-
деляется из условия:
—1<х4-1<1, или —2<х<0.
1а. Множество значений функции
определяется условием:
y=arcsinx. Ось у-ов сдвигаем
Черт. 129.
я
~2'
Обозначения:
------Вспомогательные оса
координат
-----Исходный график
—о—о— Грасрик после растяжения
по горизонтальному направ-
пению в 2 раза
^——Заданный график
я
2
Зл
2
2.	Функция общего вида.
3.	Характерные точки.
а)	Граничные значения:
х=—2; y=n+arcsin(—1)=л— ^-=-р точка —2;
х=0; у=—; точка А); — 1
2	\	2}
126
б)	Промежуточные точки:
х=—1; y=n+arcsinO=ii; точка (—1; л);
х= — —; у=л+агс8Ш—= 1 —л; точка (—	1-^-л\
2 z	2	6	\	2	6 У
2. у=п — 3 arccos (у+ 1) (черт. 129).
1-й способ.
Преобразуем заданную функцию:
у=—3 arccos	(х+2)^+л.
Строим график исходной функции: у=—arccos х.
Деформация графика.
По горизонтальному направлению график растягивается в 2 раза
(сжатие в раза); по вертикальному направлению — растяжение
в 3 раза.
Ось у-ов сдвигается на (+2), а ось х-ов —на (—л).
2-й способ.
у=л — 3 arccos (-4-1 ].
1. Область существования функции находится из условия:
1, откуда
2
—2<-
2
- 4<х<0.
1а. Область изменения функции:
0<arccos I — + 1)	л, откуда
— л С — arccos (—4-1) С О,
^2	/
л — Зл^у^л — 3-0,
—2л«^у<^ л.
2. Функция общего вида.
3. Характерные точки.
а)	Граничные значения:
х=—4; у=л — 3 arccos (—2+1)=л — 3 л——2 л;
точка (—4; —2 л);
х=0; у=л — 3 arccos 1 = л; точка (0; л).
б)	Промежуточные точки:
х——2; у=л — 3arccos(—14-1)=л —
127
/ П	Л \
точка —2;------;
\	2;
x= — 1; у=л — 3arccos, — —+ 1 )=л — 3arccos — =
7	\	2 J	2
=л—3^=0; точка (—1; 0).
3. y=-^+arcctg (0,4x4-1) (черт. 130).
1-й способ.
Необходимо прежде всего преобразовать заданное уравнение
таким образом, чтобы выявить размер добавка к аргументу х:
y=arcctg 0,4
y=arcctg [0,4 (х-|-2,5)1+
График исходной функции у=arcctg* растягивается по горизон-
тальному направлению в ^-=2,5 раза.
Затем производится сдвиг осей координат:
ось у-ов сдвигается на (+2,5), а ось х-ов — на^—
2-й способ.
1.	Область существования: (—со; оо).
1а. Интервал изменения функции определяем из условия:
Получаем:
0 < arcctg (0,4x4-1) < л.
£+0 < у <
-< У< —
2	2 ‘
128
2.	Функция общего вида.
3.	Характерные точки.
а)	Граничные значения:
lim у=—+л =—,
х->-£	2	2
limy=—+0 = —.
х^+оо 2	2
кэ |а
б)	Точка пересечения графика с осью у-ов: х=0; у=
Этих данных достаточно для построения графика.
4. у=2 arcsin | х+0,51— — (черт.
131).	2
1-й способ.
График исходной функции у=
=arcsin|x| растягивается в 2 раза по
оси у.
Затем переносится ось у-ов на
(+0,5), а ось х-ов — на
2-й способ.
1. Область существования функции
находится из условия:
—1<х+0,5<1,
Штриховыми линиями показаны:
исходный, график и вспомога -
тельные оси.
откуда
— 1,5<х<0,5.
2. Область изменения функции
Черт. 131.
найдется из условия;
0 < arcsin | х+0,51 < у,
откуда:
— < у < 2-— — —
2	2	2’
3.	Функция общего вида.
4.	Характерные точки.
а)	Граничные значения:
х =—1,5; y=2arcsin|—1| — — =—; точка (—1,5; —
2	2	\	2/
х=0,5; у=—; точка (0,5; — Y
2	\	2/
129
л	л	я.
?	2~	б’
точка
б)	Промежуточные точки:
х=—1; y=2arcsin|—0,5 [ — — = 2
2
__л \
— 6/
х=—0,5; y=2arcsin0——=——;
7	2	2
х=0; у=2 arcsin 10,51 — — =2-— —
2	6
точка I—0,5; — —);
\	2 /
л л.
2~~ ?’
(/ч	л \
0; — — I.
Примечание. Точку (3), как точку пересечения с осью _у-ов, следовало
бы найти также и в том случае, когда график строится только по первому способу.
5.	y=|arctg(x+l)|+n (черт. 132).
1-й способ.
Строим график исходной функции y=|arctgx|.
Ось у-ов переносится на (+1), а ось х-ов — на (—л).
2-й способ.
1.	Область существования: (—оо; оо).
1а. Множество значений функции находим из условия:
0 < | arctg (х+1) | < -р откуда
2
получаем:
л
3 л
~2
2.	Функция общего вида.
3.	Характерные точки.
а)	Граничные значения:
limy=-=+n=^.
*•♦±00 i	i-
130
б)	Промежуточные точки:
х=0; у=arctg 14-л = 1—л; точка А); 1—я);
4	\	4 )
х=—1; y=arctg 04-я=л; точка (—1; я);
х——2; y=|arctg(—1)Ц-я= 1— я; точка (—2; 1—л\
4	\	4 /
Сравнение разных способов построения графиков обратных триго-
нометрических функций показывает, что вспомогательные приемы
построения графиков быстрее приводят к цели, особенно если в вы-
ражение для функции входят модули, так как при построении этих
графиков общим способом требуется вычислять координаты большого
количества точек.
У пр ажнения
Построить графики функций:
61.	у = |х-М|+2.
62.	у = 1 — 211 — х |.
63.	|у| = 1 — 2х.
64.	у = |3 —2ха|.
65.	у = — ха+3| х|.
66*. у = — 2ха — 3| х+4| +4.
67. у= |2 — х| (х+3).
68*. у = (6-31 х |) (0,51 х | +1).
69.	у=2+ЗУГх— 1.
70.	у = Iх 8 —х — 1.
71.	у = ]Л),5|2 — х|.
72.	у = ¥Г х+ |х—11.
73*.^=!^ ]х|+3 — б|.
76.у = 2_^3.
х —2
	| х| +2 1
77*. у =	|х|-4|-
78.	у = 3 —21*1-1.
79*. у = 2+31 1 ~ । х । L
80.	у = log з(х — 2)а.
81.	У — log2(| х| — 1) — 1.
82.	у = | log 2 | х — 3( [ — 1.
/ л \ 1 84. у = 1 — lsinfx-Ь— 1 •	
	[
85. у =	sec х — —	. \	4/|
	1 . 1 л
86. у =	sin х+— .
87. у =	/	л \ 1 1— ctg(0,5x+—) . \	4 / |
88. у = “ — | arctg (х —2) |.
U
89. у = я + | arcsin | х — 211.
90. у = arccos (0,50 — [х |).
ГЛАВА V
ГРАФИКИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
§ 30. ГРАФИКИ СЛОЖНЫХ ФУНКЦИЙ
Сложной функцией в математике называют функцию от функции,
когда функция зависит от аргумента не непосредственно, а через
посредство «промежуточной» функции:
У=Л<Р(х)].	(1)
Здесь функция у зависит от аргумента х не непосредственно,
а через посредство «промежуточной» функции ф(х). Обозначив ф(х)
через v, получим:
y=f(v), где о=<р(х).	(1а)
Промежуточную функцию о=ф(х) называют внутренней, а функ-
цию y=f(v) — внешней функцией.
Примеры сложной функции:
у=lgsinx, здесь v=sinx;
у=sin arccos x, v=arccos x;
y=cos^ x, v=]/r x.
В примере сложной функции y=]/rlgsinx имеем «трехступенча-
тую» функциональную зависимость функции у от аргумента х:
У=Ф1/1<Р (*)]}>	(2)
где
v=<р (х)=sin х — тригонометрическая функция;
u=f (о)=lg v — логарифмическая функция;
у=ф(и)=]/' и — степенная функция.
Можно себе представить сложную функцию и с большим коли-
чеством «ступеней».
Заметим, что термин «сложная» функция в математике не проти-
вопоставляется понятию простоты начертания или исследования функ-
ции, а указывает на вид, «конструкцию» функциональной зависимости.
Графики сложных функций можно строить, как и графики про-
стых функций, на основании общего исследования функции. Напри-
132
мер, функции y=~Y и У=-у, графики которых были построены
в § 12 (черт. 33), являются в сущности сложными функциями, здесь
внутренние функции степенные: о=х2 и v=x3, а внешние — функции,
выражающие обратную пропорциональность:
У=—
V
При исследовании сложной функции надо быть особенно внима-
тельным при определении области существования функции и уста-
новлении таких общих свойств функции, как четность, нечетность,
периодичность функции, а также при установлении вида графика
вблизи границ и на границах области определения функции.
В область существования сложной функции (1) войдут только те
значения аргумента из области существования внутренней функции
v=cp(x), для которых соответствующие значения внутренней функ-
ции v, рассматриваемой как аргумент внешней функции, войдут в
область существования функции y=f(v). Для иных х функция (1)
не имеет смысла.
Во многих случаях построение графика значительно облегчается,
если предварительно вычертить штриховой линией график внутренней
функции, а затем построить график заданной функции, полагая ор-
динаты штрихового графика аргументом внешней функции.
Можно рекомендовать также следующие приемы, облегчающие
построение графиков сложных функций.
а)	Построить график с помощью вспомогательного (штрихового)
графика внутренней функции, а затем произвести общее исследова-
ние функции в порядке проверки.
б)	Построить график на основании общего исследования заданной
сложной функции, затем вычертить график внутренней функции
с целью проверки характерных точек заданного графика.
в)	Предварительно выявить основные свойства заданной функции
(периодичность, четность), облегчающие построение графика, затем
построить вспомогательный график внутренней функции и график
заданной функции для участка, ограниченного: одним периодом —
для периодической функции, правой частью графика — для четной
или нечетной функции и т. д.
г)	Если график легко строится на основании общего исследова-
ния функции, то этим можно и ограничиться, проверив правильность
построения одной-двумя контрольными точками.
Примеры
1. у=lg cos х (черт. 133).
1. Область существования заданной функции найдем на основа-
нии следующих соображений.
Область существования внутренней функции v=cosx— вся чис-
ловая ось х-ов. Но так как эта функция является аргументом
133
внешней (логарифмической) функции, то в область определения за-
данной функции входят только те значения аргумента х, для кото-
рых v=cos х>0.
С другой стороны, множество положительных значений внутрен-
ней функции v=cosx ограничено сверху единицей: cosx<l.
Таким образом, область определения заданной функции найдется
из условия:
О < cos х < 1.
Получаем множество полуинтервалов:
1а. Интервал изменения заданной функции определяется тем же
условием: 0<cosx< 1, откуда
— оо <lgcosx<0.
2. Функция четная, так как cosx=cos(—х), а следовательно,
и lgcosx=lgcos(—х).
2а. Функция периодическая, с периодом 2 л, равным периоду
внутренней функции v=cosx.
На основании свойств (2) и (2а) ограничиваем определение
характерных точек заданной функции одним полупериодом, например:
0<х<-.
2
3. Характерные точки
а) при х=0 cosx=l;
б) при х=— cosx=0;
2
на границах полупериода:
у=1g cos х=1g 1 = 0; точка (0; 0);
y=lgcosx=lgO не существует.
Находим предел:
limу=limlgcosх=—со, здесь мы имеем вертикальную асимпто-
ту, уравнение которой х=—.
134
4.	Контрольная точка:
х=—; y=lgcos-^=lg — ~—0,3; точка (—; —0,3
3	&	3	2	\ 3
По этим точкам строится правая часть графика (для полупериода);
левая часть симметрична правой относительно оси у-ов.
Построение графика функции от функции с предварительным
построением графика внутренней функции дано в следующем при-
мере.
Аргументом для внешней (логарифмической) функции y=21ogeo
являются ординаты графика (штрихового) внутренней функции (си-
нусоиды).
Синусоида вычерчена только для одного периода:
0 < х < 2 л,
так как заданная сложная функция имеет тот же период, что и
внутренняя функция.
Рассматривая штриховой график, устанавливаем, что:
а)	при х=0 и х=л sinx=0, и заданная функция не существует;
lim у = lim 2 log 4sin х= — оо
х +0 х -> 4-0
И
limy = lim 21og4sinx=—оо.
х-> rt — 0 х л — 0
Следовательно, через точки х=0 и х=л проходят вертикальные
асимптоты;
б)	при х=^- sinх— 1 и у=2 log4sinx=2 log4l=0;
точка (Pi;
\2	)
в)	при л < х < 2 л заданная функция не существует, так как
sin х < 0.
J35
Контрольная (она же уточняющая) точка:
х=—; sinx=0,5; у=2 log40,5=2 log 4 — =
6	2
= 2^——W—1; точка
\	2,/	\6	)
Из сравнения способов построения графиков в примерах 1 и 2
легко видеть, что предварительное построение графика внутренней
функции упрощает процесс построения заданного графика, в особен-
ности если учитываются некоторые свойства заданной функции (сим-
метрия, периодичность).
3.	y=lg tgx (черт. 135).
Эта функция периодическая, с периодом со=л, так как lgtgx=
= lg tg (x-j-л). Поэтому график вспомогательной (внутренней) функ-
	Y.	1 (0;0)	(о;2л)
~		1	-	- -2л	-л	О	f л ^л 2л X
Черт. 136.
ции o=tgx построен на чертеже 135 только для одного периода
/__л\
\ *2’ 2/
Для этого периода имеем:
а)	когда tgx->oo, y=lgtgx—>оо;
б)	когда tgx->0, y=lgtgx—> — оо;
в)	у=0, когда tg х— 1, т. е. при
По этим данным и построен график.
136
4.	y=Mgcosx (черт. 136).
Область существования функции найдется из условия:
lgcosх>0, что возможно при cosx>l; но так как cosx>l, то
остаются только значения cosx=l, что имеет место при х=2лп.
При этом
у=У lg cos 2 лп =	1=0.
Следовательно, график заданной функции представляет собой
множество точек (2лп; 0), т. е. точек на оси х-ов при х=2лп.
К этому выводу можно прийти сразу, если обратиться к графику
функции у=lg cos х (см. черт. 133).
5.	y=V Igtgx (черт. 137).
Область существования функции находится из условия:
lgtgx>0, т. е. tgx> 1, что соответствует множеству полуинтерва-
лов: —л	х< —|-л п.
Функция периодическая, с периодом со=л, так как
Черт. 138.
]/ lg tg х = V^lg tg (х+л). В точках х=—Ч-лл y^V'lg^O. При
4
у—>оо; прямые х=^+лп являются вертикальными
асимптотами. График по этим данным построен на чертеже 137. Этот
график можно построить также на основании графика функции
Ю Заказ Nt 355
137
y=lgtgx (см. черт. 135). На чертеже 137 график этой функции,
как промежуточный (u=lgtgx), нанесен для одного периода. Задан-
ный график y=V lg tg х
Черт. 139.
I с вспомогательным, графиком
в точках, где у= 1; при у < 1
заданный график проходит
выше, при у > 1 — ниже вспомо-
гательного графика.
6.	y=sin2x (черт. 138).
График заданной функции
строится на основании вспомо-
гательного графика — синусо-
иды y=sinx. На чертеже 138
этот график нанесен штрихо-
вой линией для 0 < х < 2 л.
Точки и=0ио=1 синусо-
иды совпадают с точками у=0
и у=1 заданного графика. На
тех участках графика, где орди-
наты синусоиды положительны,
А график заданной функции про-
ходит ниже синусоиды, так как
квадраты чисел, меньших еди-
ницы, меньше самих чисел.
На участках графика, где орди-
наты синусоиды отрицатель-
ны, график заданной функции
проходит также выше оси
х-ов.
х=— y=sin2
4
Для уточнения графика
берем контрольную точку: при
/л 1
точка I—; —
\4 2
если предварительно преоб-
и строить график функции
сжать его вдвое по горизон-
1\
2/
Замечание. Данный график легко построить,
1 — cos 2х 1	1
разовать функцию smzx =--------= — — — cos 2х
if	£
I 1
>= 2“7cos2jr-
Построив график исходной функции у = — cos х,
тальному и вертикальному направлениям и перенести затем ось х-ов на
7.	y=tg V <чеРт- 139>-
X2
На графике вспомогательной функции v=~^- намечаем точки,
0	JI.	з j i
; —; л; —; 2л и т. д.
2	2
138
Достаточно наметить эти точки только на правой ветви вспомо-
/ хР \
гательного графика, так как внутренняя функция /v=—учетная, а
следовательно, заданная функция тоже четная:
tgV=tg^=^"’ так как *2=(—х)2-
л»	£
По абсциссам точек, намеченных на вспомогательном графике,
построен график заданной функции
V=tgy = tgu.
Черт. 140.
уЗ
8.	y=sin-^- (черт. 140).
Вспомогательный график внутренней функции v=~^ построен
только справа от вертикальной оси, так как заданная функция не-
четная.
Правая ветвь заданного графика построена теми же приемами,
что и предыдущие графики. Левая — косо симметрична ей.
9.	y=cos20>5x (черт. 141).
На вспомогательном графике внутренней функции v==20,5* наме-
от 3 от
чены точки с ординатами р=—; л; — и т. д.
2	2
Эти точки снесены на ось абсцисс, и по ним построен заданный
график.
Заметим, что v> 0; когда v->0, то у—cosy—>1, так что пря-
мая у=1 является асимптотой левой ветви графика.
10*
139
10.	y=ctglog2x2 (черт. 142).
Заданная функция, как и вспомогательная, четная. Поэтому по-
строение проведено только для правой части графика (при х > 0).
Черт. 141.
Левая часть графика симметрична правой. Внутренняя функция, на-
несенная штриховой линией для правой части графика, предваритель-
но преобразована: и= 2 log21 х |.
Черт. 142.
В остальном построение графика выполняется аналогично преды-
дущим.
140
2
11.	y=sin — (черт. 143).
x
2
График вспомогательной функции v=— построен только для пра-
х
вой ветви (для х> 0), так как заданная функция нечетная. Левая
ветвь заданного графика построена косо симметрично правой.
Часть графика вблизи оси Y
при увеличенном горизон-
тальном масштабе
YL(v)
Черт. 143.
На чертеже 143 вертикальный масштаб для вспомогательного
графика уменьшен для большей компактности чертежа. Изменение
одного лишь вертикального масштаба для вспомогательного графика
внутренней функции допустимо, так как не отражается на постро-
ении заданного графика.
При построении правого конца правой ветви графика учтено, что
л
при V < — sin V < V.
12.	y=cosf—(черт. 144).
Замечаем, что заданная функция четная, так как cos [—=
\ X /
=cos—. Поэтому вначале производим построение только правой
X
части графика, для чего сначала строим правую часть графика
внутренней функции (о=—1 На ней размечаем точки, соответст-
141
л 3 л
вующие v=—, л, —,
&
2 л и т. д. Для этих значений v находим
значения заданной функции у=cos v и наносим их для соответству-
ющих значений аргумента х.
Часть графика вблизи оси Y
в увеличенном масштабе
Черт. 144.
Левая ветвь графика (при х<0) строится симметрично правой.
При х—>оо и—>0 и у->1. Следовательно, прямая у=1 является
горизонтальной асимптотой графика.
13.	у=sin logo,5 * (черт. 145).
На графике вспомогательной функции у=logo. 5* нанесены точки
у=—, л, ——л. Эти точки снесены на ось абсцисс, и по ним
142
На чертеже 145, вверху справа, в искаженном масштабе дан
общий вид графика для большего диапазона значений аргумента х.
14.	y=sin logo.s | *1 (черт. 146).
Функция четная, так как | — х| = |х| и sin logo,5]—х| =
=sin logo,51 x |.
Правая часть графика (при х > 0) представляет собой график
Черт. 146.
функции у=sin logo, 5Х (черт. 145), так как при х>0 |х|=х
и sin logo,51 -*1=sin logo,5X.
Левая часть графика симметрична правой.
Черт. 147.
15.	у=| sin logo,5I (черт. 147).
Вычерчивается график функции y1=sin logo, 5 х, показанный
на чертеже 145. Затем часть графика, расположенная ниже оси
х-ов, зеркально отображается отно-
сительно этой оси.
16.	у—ах* при а > 1 (черт. 148).
Заданная функция четная.
Вспомогательная функция о=ха;
правая часть графика этой функции
нанесена штриховой линией.
График заданной функции у=а°
при а > 1 проходит выше графика
вспомогательной функции v и пере-
секает ось у-ов в точке (0; 1),
так как при х=0 у=1.
Левая ветвь графика симмет-
рична правой.
17.	у=2^х (черт. 149).
График внутренней функции
t>=lgx нанесен штриховой линией.
Находим характерные точки.
143
1)	При х= 1 u=lgl=O; у=2°=1; точка (1; 1).
2)	При х=10 u=lglO==l; у=21=2; точка (10; 2).
3)	limy= Hm2ls*= lim2”=0,
х 0 х -> 0	и -*► — оо
т. е. при х—>0 у --»0; точка (0; 0) не существует.
= 2 g* 10 = 2lg,xIg2
Остается неясным протекание графика вблизи левой границы
области определения. Поэтому здесь требуется дополнительное
исследование заданной функции.
Преобразуем правую часть заданной функции.
iga х
2,gx
Следовательно, на множестве х > 0 2lgx=xlg2, и заданная функ-
ция может быть записана так:
y=xlg 2 на множестве х > 0.
А так как 1g 2^ 0,3^—, то можно записать:
3,3
з.з/-
у = у х на множестве х > 0.
Это — степенная функция, график которой, как показано
в главе I, касается вертикальной оси в начале координат.
Черт. 150.
18.	y=2s,nx (черт. 150).
Заданная функция периодическая, с периодом 2 л, так как
2sin х=2sln (х + 2А л). Поэтому достаточно построить график для одного
144
периода, например для 0 «С х 2 л, как это показано на чертеже
утолщенной линией.
График внутренней функции v=sinx для периода 0^х<2л
нанесен штриховой линией. Для того же периода находим харак-
терные точки графика заданной функции.
1)	При х=0, л, 2 л u=sinx=0; у=2°=1; точка (0; 1).
2)	При х= t’=sin-y=l; у=2г = 2; точка ; 2^.
3)	При х=— v=sin—=—1; у=2~1= —; точка ( —; —V
' F 2	2 Л 2	\ 2	2/
По этим точкам на чертеже проведена утолщенная кривая
y=2sinx для одного периода, а затем тонкой линией — для других
значений аргумента.
Черт. 151.
19.	y=cos|sinx| (черт. 151).
Заданная функция периодическая, с периодом л, четная, так
как cos [sin (—x)]=cos(—sin х)=cos (sinx). Поэтому можно было
бы строить вначале график только для полупериода. Однако
в данном случае удобнее строить график вначале для целого периода,
так как кривая имеет ряд точек перегиба, и судить о ее характере
надежнее, если график строится для целого периода. В остальном
построение проведено таким же образом, как и в предыдущем при-
мере.
20.	y=ctg(sinx) (черт. 152).
Функция нечетная, периодическая, с периодом 2 л. Прямые
х=лп являются вертикальными асимптотами графика.
Порядок построения графика тот же, что и в предыдущих при-
мерах.
21.	y=sec(sinx) (черт. 153).
Порядок построения графика тот же.
22.	y=arccosV< х (черт. 154).
Так как область существования внутренней функции v=V^ х—
полуинтервал [0; оо), а для внешней функции —1^о<1,
т. е. —1<х<1, то областью существования заданной функции
будет сегмент [0; 1].
Граничные точки графика:
при х=0 u=)/<0=0,
145
у = arccos 0=—; точка
2
при х=1 v=V 1 = 1,
y=arccos 1 =0; точка (1; 0).
Этих данных недостаточно для построения графика. Чтобы уста-
новить вид графика, заданную функцию представим так:
j/* x=cosy,
или
x=cos2y при 0^у<
л
2 ’
так как 0 < х < 1.
График функции x=cos2y построен на чертеже 154 штриховой
линией аналогично построению графика на чертеже 138. График
146
заданной функции представляет собой часть штрихового графика
при 0<у<у.
Для уточнения найдем две контрольные точки:
1) х=0,25, Т/Лх=0,5; y=arccos0,5 = —; точка /0,25; —
3	\	3
23.	y=arcctgx2 (черт. 155).
Функция четная. Внутренняя функция о=х2; на чертеже построе-
на только правая часть ее графика. Граничные точки:
lim у = lim у = lim arcctg о=0.
X ± 00	± 00 и-*±оо
Промежуточные точки:
1) при х=1 v=l, y=arcctgl = —; точка fl; —
4	\	4
2) при х=0 о=0, y=arcctgO=—; точка (0; —
24. y=arcctg — (черт. 156).
Вспомогательная функция о=—.
х
Граничные точки для правой части графика:
1) lim y=lim arcctg о=0;
4- 0 и-*оо
2) lim у = lim arcctg v=—.
х-*-оо о-» 0	2
147
Граничные точки для левой части графика:
1) limy = limarcctgu=jt;
х — 0 и — оо
2) limy = lim arcctg о= —.
х -> — оо v-»- — 0	2
Промежуточные точки:
х=1; о=—=1; y=arcctgl=—; точка fl; —);
х	4	\	4 !
25.	y=arcsinlgx (черт. 157).
Внутренняя функция y = lgx. Область существования функции
находим из условия: —l^i/=lgx^l, получаем: 0,1 <х< 10.
148
Характерные точки графика:
при v=—1, что соответствует х=0,1, у— — точка ^0,1;
л \ •
Т/’
при о= 1, т. е. при х= 10, у=-^-; точка ^10;	;
при v=0, что соответствует х=1, y=arcsin0=0; точка (1; 0).
Контрольная точка:
х=——	; u=lgx=lg 10
/10	3
1
2	1
26.	y=arctg(lgx) (черт. 158).
Область существования заданной функции: (0; оо).
Область изменения функции: — — < у < — .
Внутренняя функция u=lgx; график ее нанесен штриховой
линией.
Граничные значения заданной функции:
0/ л \
— оо; у—и—— 1;
при х=»оо о=+оо; У-
Характерные точки:
х=1; u=lg 1=0; y=arctgO=O; точка (1; 0);
х—10; o=lg 10=1; y=arctgl—точка (10; --V
4	\	4 /
На чертеже график вычерчен с разрывом.
27.	y=lgarcctgx (черт. 159).
Внутренняя функция v=arcctg х.
Граничные значения функции:
149
при х -> — оо v -> л; у -> 1g л;
при х—>со у->0; у->— со.
Дополнительные точки:
1)	при х=0 о=arcctg 0=-у; y=lg-^-; точка ^0; 1g у
2)	при о=1 №s0,6; y=lgl=O; точка (~ 0,6; 0);
3)	при х=10 u=arcctg 10=arctg	0,1; y = lgO,l =— 1;
точка (10;	— 1).
28.	y=arcsinax при a> 1 (черт. 160).
Область существования функции находится из следующих усло-
вий:
1)	ах > 0;
2)	—1 <ах<^ 1, так как ax=siny.
Учитывая оба эти условия, имеем:
0<ах<1,
откуда — оо < х < 0.
Внутренняя функция v=ax\ график ее вычерчен в пределах
области существования заданной функции.
Граничные значения:
1)	lim у — lim arcsin с=0;
—оо 0
2)	х=0; с>=а°—1; y=arcsin 1 =
150
На всем протяжении график заданной функции y=arcsina* про-
ходит выше вспомогательного графика v=ax, так как в I четверти
дуга больше своего синуса.
Неясным остается вид графика у левой границы. Для уточне-
ния представим заданную функцию в таком виде:
ах—sin у при 0<у^-^-;
x=loga sin у при 0 < у <	.
£
На чертеже 160 штриховой линией построен график функции
x=logasiny при 0 < у < л. Построение проведено аналогично
построению графика y=lgcosx на чертеже 133.
График заданной функции составляет часть этого графика;
на чертеже 160 выделен утолщенной линией.
Черт. 161.
29.	y=arctga* при а> 1 (черт. 161).
Внутренняя функция v=ax.
Граничные значения:
1)	limy = limarctgv=0;
x —► — оо и 0
2)	lim у= lim arctg v=-^- •
Дополнительная точка:
х=0; v=a°=l; y=arctgl = —; точка [0:
4	\	4 /
На всем протяжении график заданной функции V—arctg а*
проходит ниже вспомогательного графика и=ах, так как в I четверти
дуга меньше своего тангенса.
1S1
30.	у=sin(arcsinx) (черт. 162).
Область существования заданной функции: [—1; 1], так как
х является синусом некоторого числа.
График данной функции проще построить непосредственно, без
вычерчивания вспомогательных графиков, воспользовавшись простым
свойством заданной функции, а именно в пределах области суще-
ствования sin (arcsin х)=х.
Следовательно, в этой области заданная функция эквивалентна
31.	y=tg(arctgx) (черт. 163).
Так как tg(arctgx)=x, то график данной функции представ-
ляет собой прямую у=х, где — со < х < оо.
32.	у=arcsin (sin х) (черт. 164).
Заданная функция периодическая, с периодом 2 л, так как
arcsin (sin х)=arcsin sin (х+2 л) ].
Функция нечетная, так как arcsin [sin (—х) 1=arcsin (—sinx)=
=—arcsin (sin х). Поэтому достаточно построить вначале график для
половины периода:
0 < х л.
При 0<х<
— arcsin (sin х)=х, т. е. график представляет собой
отрезок прямой у—х.
При |<х
< л необходимо найти такую дугу х0 в I четверти,
для которой имело бы место равенство sinх0=sinx. Это будет
дуга х0=л — х, так как sinx0=sin(n — х). Получаем х0+х=л,
т. е. если дуга х находится во II четверти, то х0 — в I четверти.
Таким образом, при — «Сх<^л у=arcsin [sin (л — х)1, причем, так
как дуга (л — х) находится в I четверти, то arcsin [sin (л — х)1 =
152
=л —х; получаем уравнение прямой у—л — х, которую можно
построить по двум точкам:
•ГС	«ГС «ГС
при х=— у=л------------------=—;
г 2 7	2	2
Л / JT 3"С
I—; —
\ 2	2,
при х=л у=л— л=0; точка В (л; 0)
На чертеже 164 график для полупериода [0; л] изображен утол-
щенной линией (ломаной); для второго полупериода [—л; 0] гра-
фик построен косо симметрично первому и изображен утолщен-
ными штрихами по тонкой линии. Дальше используется свойство
периодичности функции.
Примечание. Можно в самом начале провести прямую у = х на
•ГС	«ГС
33.	у—arccos (cos х) (черт. 165).
Функция периодическая, с периодом 2 л, четная, так как
arccos [cos (— х) ]=arccos (cos x).
Для полупериода [0; л] имеем отрезок прямой у=х; для
второго полупериода [—л; 01—отрезок, симметричный первому,
нанесен на чертеже утолщенными штрихами по тонкой линии.
Остальная часть графика строится как обычно для периодиче-
ской функции.
П Заказ № 365
153
34.	y=arctg (tg х) (черт. 166).
Функция периодическая, с периодом л, так как arctg (tgx)=
= arctg [tg (x + л) ], нечетная, так как arctg [tg (— х) ] =
=arctg(—tgx)=—arctg (tgx). Тем не менее в этом случае удобнее
сразу строить график для полного
(ТС .«ГС \
м	/
для ко-
Черт. 166.
торого arctg (tgx)=x; получаем прямую у—х на интервале
/—— \, т. е. без включения крайних точек.
Остальная часть графика строится, как для периодической
функции.
35.	y=arcctg(ctgx) (черт. 167).
Черт. 167.
График строится аналогично предыдущему.
36.	у=arcctg(sinx) (черт. 168).
График внутренней функции с=sinx построен для одного
периода [0; 2 л].
1)	При х=6л и=вт^л=0; y=arcctgO=—; точка /&л;
2	\	2 J
2)	При х=-^- o=sin ~=1; y=arcctg 1=~; точка .
3)	При х = ^- u=sin — =— 1; y=arcctg(— 1) =-yS точка
/3	3 \
(--л; —л .
\ 2	4 /
154
В точке (2) имеем минимум функции, в точке (3) — максимум.
Далее график строится, как обычно для периодической функции.
37. у=arcsin (arcsin х) (черт. 169).
Внутренняя функция v=arcsin х.
Характерные точки:
1) при v=—1 у=arcsin (—1)=— —
2
2) при у=1 у=arcsin 1=—
3) при и=0 y=arcsin0=0; (х=0).
граничные точки;
39. у=arctg (arctg х) (черт. 171).
40. у=arcctg (arctg х) (черт. 172).
Построение графиков функций, приведенных в примерах 38—40,
выполнено теми же методами, что и предыдущих. Порядок построе-
ния виден из чертежей 169—171.
11*
155
41.	y=V x2—1 (черт. 173).
Внутренняя функция v=x2— 1. Заданная функция существует
при 0 и равна при этом y=V v.
Этот график весьма просто строится и методом непосредствен-
ного исследования.
1)	Область существования функции находится из условия
х2—1>0, т. е. х2 > 1, откуда находим: х<—1; х>1,
т. е. область существования: (—со, —1] и [1; оо).

Черт. 172.
2)	Функция четная.
3)	При х = ±1 о=0; у=0;
при X -> ± оо у -> 4- ОО.
42.	у=у/Г х2—1 (черт. 173).
Вспомогательный график тот же, что и в примере 41. Заданную
ЗУ-
функцию можно записать так: у= у v.
156
Общее исследование функции.
1)	Область существования: (—₽о; оо).
2)	Функция четная.
3)	Минимум функции имеет место при х=0:
3/-----~	,
Упнп У =
4)	При х= + 1 у=0;
при Х-> ± оо
у -> + со.
Положительные ординаты этого графика равны ординатам пре-
43.	y=zlg(l—х2) (черт. 174).
Внутренняя функция о=1 —х2.
Характерные точки:
1)	при х=0 ymax=igi=0;
2)	при X —> ± 1 у -+ — со.
44.	y=lg(xa—1) (черт. 175).
Вспомогательная функция о=ха — 1.
Характерные точки:
1)	при о=1 (х=+]/Г2) у=0; точки (±]Л2; о);
2)	при о=10 (х=±]/" 11) у=1; точки ^±]/И; 1)-
Граничные значения:
1)прих->±1 о-»-0,	— со;
2)	при X -> + со О —> со, у -> оо.
45.	y=lglgx (черт. 176).
Внутренняя функция y=lgx.
157
Характерная точка:
при х=10 o=lgx=l,
y=lgl = O; точка (10; 0).
Граничные значения функ-
ции:
1)	при к -> 1 v -> 0,
у -> — оо.
2)	при х -> оо v -> оо,
у -> оо.
46.	у=2х* -1 (черт. 177).
Внутренняя функция и—
=л2 — 1.
Характерные точки:
1) при х=0 имеет место
минимум функции:
о=-1; У=2-=Ь,
Л»
точка f0; —V
\	2/
2) при х=±1 у=0; у=
=2°=1; точки (—1; 1) и (1;
1);
3) при о=1 (х = ]/~2) у=2; точка (^/^2; 2).
На чертеже показаны только характерные точки правой ветви
графика, так как заданная функция четная и график симметричен
относительно оси у-ов.
Граничные значения:
при х -> ± оо о -> оо; у -> оо.
47. у=а1~*‘ при а> 1 (черт. 178).
Функция четная.
Внутренняя функция v— 1 — х2.
158
Граничные значения: при х-> + оо v->—оо; у->0.
Характерные точки:
1) при х=0 функция имеет максимум:
0=1; Утах=а; точка (0; а);
2) при х=±1 о=0; у=а°=1; точки (1; 1) и (—1; 1).
Черт. 177.	Черт. 178.
Примечание. Графики, приведенные на чертежах 174—179, легко стро-
ятся на основании непосредственного исследования заданной сложной функции,
как это показано на некоторых из них. Следует отметить, однако, что пользо-
вание вспомогательными графиками делает все построения более наглядными
и надежными.
§ 31.	ГРАФИКИ СУММЫ И РАЗНОСТИ ДВУХ ФУНКЦИЙ
Наиболее общий метод построения графиков суммы или разно-
сти двух функций заключается в том, что предварительно строятся
(штриховыми линиями) два графика для обеих функций, входя-
щих в сумму или разность, затем складываются или вычитаются
ординаты этих кривых в характерных точках (пересечение кривых
с осями координат, максимумы и минимумы, точки перегиба кри-
вых и т. д.). По полученным точкам строится искомый график и
производится проверка несколькими контрольными точками.
Если график суммарной функции имеет экстремум (максимум
или минимум), то нахождение точки экстремума средствами элемен-
тарной математики возможно только при наличии каких-либо спе-
циальных свойств заданной функции.
Упрощающие приемы построения графиков суммы и разности
функций:
а)	Если дана сумма функций, то строится график одной из них,
более простой (например, линейной функции); затем к ней при-
159
страивается график второй функции, ординаты которого отклады-
ваются от соответствующих точек первого графика.
б)	Если задана разность функций, то строится (штриховой линией)
график уменьшаемой функции и от нее откладываются ординаты вы-
читаемой функции, взятые с обратным знаком. Иногда удобно вы-
чертить (штриховой линией) график вычитаемой функции с обрат-
ным знаком и ординаты обеих кривых (уменьшаемой функции и
вычитаемой с обратным знаком) сложить.
в)	Сумма или разность двух функций преобразовывается в од-
ну функцию, если это возможно и есЛи вычерчивание графика та-
кой функции проще.
г)	Построение графика алгебраической суммы функций упрощает-
ся, если использовать свойства четности, нечетности, периодичности
и т. д.
Ниже приводятся примеры, иллюстрирующие как общий прием,
так и упомянутые упрощающие приемы построения графиков сум-
мы и разности двух функций.
Примеры
1.	у=х—sinx (черт. 179).
Имеем две функции: ух=х и у2 = — sin г.
Строим график первой функции, затем от него (а не от оси х-ов)
откладываем ординаты второй функции. Для облегчения построе-
160
ния параллельно прямой уг—х проведены две вспомогательные пря-
мые: y=x-f-l и у=х — 1. На этих прямых находятся вершины
синусоиды.
2.	y=x-f-tgx (черт. 180).
Построение аналогично построению предыдущего графика.
3.	y=x+lgx (черт. 181).
Строится прямая уг=х.
Характерные точки графика:
1)	при х=1	У1=1; y=l+lgl = l; точка Л(1;1);
2)	при х=10 у1=10; y=10-+-lgl0=ll; точка В(10;11).
Из чертежа можно видеть, что область существования задан-
ной функции (0; оо), т. е. та же, что и для второго слагаемого
y2=lgx.
4.	у=х—arcsinx (черт. 182).
Заданная функция нечетная, так как
(—х) — arcsin (—х)=—x+arcsinx=—(х — arcsin х).
Поэтому построение можно выполнить только для правой части
графика (при х > 0).
Строим два вспомогательных графика:
ух=х и у2~-arcsinx.
161
Ординаты искомого графика представляют собой разность: уг—уа.
Характерные точки:
1)	у1=0; у2=0; у=0; точка (0; 0);
х= 1 (граничная точка), 1, у2=arcsin 1 = -^-, у=——1~
~—0,57; точка (1;—0,57);
3) х=0,5, У!=0,5, у2=
— arcsin 0,5 = -^-^0,52; у=—0,02;
точка (0,5;—0,02).
Левая часть графика построена
косо симметрично правой.
Из чертежа видно, что область
существования заданной функции
та же, что для второго слагаемо-
го, т. е. для функции у2=arcsin х —
сегмент [—1; 1].
5.	y=arcctgx— х (черт. 183).
Строим вспомогательные гра-
фики:
y1=arcctgx и у2=—х.
2)
Ординаты обоих графиков складываются. Замечаем, что прямая
у2=—х является асимптотой заданной кривой. Вторая асимптота
имеет уравнение: у3=л—х. Характерная точка: при х=0 y=arcctgO=
Область существования [—1; 1] заданной функции совпадает
с областью существования функции =sin (arcsin х). В этой
области yx=sin (arcsin х)=х, также и уг=х.
Следовательно, у=у1 —у2=0.
163
=arcsin(sinX)
График функции — отрезок оси х-ов в пределах [—1; -fl].
7. у=х-|-ctg (arcctg х) (черт. 185).
164
Область существования заданной функции —вся числовая ось
Х-ОВ (—оо; со).
У1=х;
y2=ctg (arcctg Х)=Х]
У=У1+У2—х+х=2х.
График функции — прямая, проходящая через начало координат
под углом а к оси х-ов, где
a=arctg2.
8.	у=х+arcsin(sinx) (черт. 186).
Заданная функция нечетная. Поэтому построение графика про-
водим только для х > 0.
Строим полупрямую уг=х и от нее откладываем соответствую-
щие значения функции у2=arcsin(sinx). Левая часть графика
строится косо симметрично правой.
9.	y=x+arctg(tgx) (черт. 187).
Построение этого графика аналогично построению предыдущего
графика.
Черт. 188.
10.	у=х — arccos (cos х) (черт. 188).
Строим два вспомогательных графика:
ух=х и у2—arccos (cos х).
1-65
Справа от вертикальной оси ординаты графика заданной функции
получаются как разность соответствующих ординат вспомогатель-
ных графиков:
У=У1~У2-
Слева от оси у-ов сделано дополнительное построение графи-
ка функции —у2=—arc cos (cos х). Затем ординаты уг и (—у2)
складываются.
It. у=х — arcctg(etgx) (черт. 189).
График этой функции строится так же, как и предыдущий.
12.	y—l^xA-lgx (черт. 190).
Вспомогательный график у^/ х. Ординаты функции уг=1g х
откладываются не от оси х-ов, а от вспомогательного графика ух.
Характерные точки: _
1)	при х=1 у1=У’1 = 1; y2=lgl=0; у=1; точка А (1; 1);
2)	при х=10 у1=/Т6; y2=lgl0=l; у=/Тб+1; точка
В (10; /16+1);
3)	limy=—оэ.
х-*0
166
Область существования заданной функции: (0; со), т. е. та же,
что и функции y2=lgx.
Черт. 190.
13.	у=]/гх — cos х (черт. 191).
Строим графики двух функций (штриховыми линиями): у1=]/г х
и у2=—cosx. Второй график построен только для х>0, т. е. в
пределах области существования функции у±=ргх. График задан-
ной функции строится в этих же пределах сложением ординат: У1+у2-
14.	у=arcsin(sinх)—р^х (черт. 192).
Помимо двух вспомогательных графиков функций ух=
=arcsin (sin х) и у2=]Лх, построен дополнительно еще один вспо-
могательный график: у3=—Vx. От точек этого дополнительно-
го графика (у3) отложены ординаты ух.
Кроме того, отмечены точки Л и В, в которых графики функ-
ций уг и у2 пересекаются, т. е. у—ух—У2=0; эти точки снесены
на ось абсцисс.
167
15.	у=\Г~х—ах при а>1 (черт. 193).
Вспомогательные графики: уг=]/х и у2 = —ах.	От точек
кривой у3=—а* отложены ординаты у1=]/гх.
16. у=ах-\-а~х при а>1 (черт. 194).
Вспомогательные графики: уг=ах и у2=а~х.
График заданной функции строится
сложением ординат вспомогательных
графиков:

При х=0 заданная функция имеет минимум:
ymin=a°4-a-0= 1 +1 =2.
Найдем минимум данной функции.
Обозначим ax-\-a~x=k.
(а)
168
Заметим, что:
1)	область существования заданной функции: (—оо; оо), т. е.
функция существует на всей числовой оси х-ов:
2)	ах > 0 и а~х > 0 и, следовательно, k > 0.
Преобразуем равенство (а):
-^±1=4.	(6)
а»
Так как ах ¥=0, то равенство (б) равносильно равенству:
d*x+\=axk, откуда получаем:
а2х — k‘ ах+1=0.	(в)
Решаем уравнение (в) относительно ах:
k2
Видим, что ах имеет действительное значение при ->1, или
£а>4, т. е. |£|>2.
А так как £>0, то |&|=& и, следовательно, &>2.
Таким образом, &min=2, т. е.
x)njin=2-
Подставляя в равенство (г) значение £га1п, находим, что
9 Г 4
ах—— + 1/--------1=1, т. е. х=0.
2 “ |/ 4
12 Заказ № 355
169
17.	y=logttcosx+cosx (черт. 195), где а>1.
Так как заданная функция периодическая, с периодом 2л, то
л__________________________________________ Зл
построение проведено для одного периода: — — <^х<
Вспомогательные функции: yx = cosx и ya=logacosx.
Функция yr=cosx является внутренней для функции у2—
=logacosx, что учитывается при построении второго графика.
Граничные значения:
при х—*^—-^-4-Oj и —0
yx=cosx —*0 и y2=logacosx —*—оо; следовательно, у—*—оо.
Характерная точка:
при х=0 yx=cosx=l; y2=logal=0; у=1, точка (0; 1).
При х < функция не определена, так как cos х 0,
и вспомогательная функция у2=logcosx не существует.
Черт. 196.
18.	y=tgx4-logatgx (черт. 196), где а>1.
Строится аналогично предыдущему графику.
Построение проведено для одного периода (л): 0<х<л.
При — х < л функция не существует.
2
9
19.	у=х+— (черт. 197).
х
Функция нечетная, так как
Построение графика проведено для х>0.
170
Вспомогательные графики: ух=х и уа=—.
х
Прямая Ух=х является асимптотой искомого графика.
Кроме того, при х>0 функция имеет минимум, который для
функций данного вида может быть определен следующим образом.
k
Возьмем функцию в общем виде: у=х-]— при х>0.
х
Так как среднее арифметическое двух положительных чисел
больше среднего геометрического этих чисел или ему равно, то
k

Минимальное значение суммы х-\~— имеет место при условии,
k —
что х4- — = 2j/£ ; откуда получаем:
x2+k = 2xVk\ х2 — 2Vkx+k=Q\
(х-Уа>)2=о;
x=Vk и ——]/k.
X
Для заданной функции, следовательно, имеем:
Упнп=2|/ 2 при х=- = К2.
X
Левая ветвь графика косо симметрична правой.
20.
у—х—— (черт. 198).
Функция нечетная. Построение проведено для х>0.
Вспомогательные функции: ух=х и у2=—-.
X
Ординаты искомого графика получаются алгебраическим сложе-
нием ординат ух и у2. Так как ординаты графика у2 отрицательны,
то они откладываются вниз от графика ух.
Прямая У1~х является асимптотой для искомого графика, причем
правая ветвь графика приближается к этой асимптоте снизу.
172
Кроме того, имеем:
1) при х —>0 у=х— — —> — оо;
2) при х=1 у1=1; —у2= —1; у=уг — у2=0.
21.	y=sinx-|-cosx (черт. 199).
Черт. 199.
Преобразуем заданную функцию:
у=sin x+cos x=sm x+sin / — — x) = 2 sin — cos I x — — 1 =
=/2cos (x— — V
\	4/
Строим график преобразованной функции:
y=V^2 cos (x — — L
\	4/
22.	y=cosx— sinx (черт. 200).
Черт. 200.
Аналогично предыдущему преобразуем данную функцию:
I л	\
cosx— sinx—cosx— cosl-----х =
\2	/
2*	* I \	1 f Л * I \
sin — sin [ х--- — V 2 sin I x-
4	\	4/	\	4/
и строим график функции:
у=~ V^sinfx— .
k 4/
173
23.	y=sinax — cos2 x.
Так как. sin2x — cosax= — cos2x, то график заданной функции
можно построить, как график функции
у——cos2x.
§	32. ГРАФИКИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ЧАСТНОГО ДВУХ ФУНКЦИЙ
Произведение и частное двух функций поддаются общему иссле-
дованию, на основании которого и может быть построен график.
Часто построение графика упрощается, если предварительно
построить вспомогательные графики функций, входящих в произ-
ведение или частное.
Иногда произведение или частное возможно преобразовать так,
что построение графика преобразованной функции оказывается проще.
Эти и некоторые другие приемы построения графиков произведе-
ния и частного двух функций иллюстрируются следующими приме-
рами.
Примеры
1.	y=xsinx (черт. 201).
Черт. 201.
Строятся (штриховыми линиями) вспомогательные графики функ-
ций, входящих в заданное произведение: у^х', y2=sinx.
Перемножение этих графиков упрощается благодаря тому, что
функция ya=sinx периодически принимает значения 0 и 1. В пер-
вом случае искомый график y=xsinx пересекает ось абсцисс,
во втором — касается вспомогательной прямой у^=х.
174
Так как функция ya=sinx периодически принимает еще значе-
ние (—1), то построение облегчается, если построить еще одну
вспомогательную прямую: у8=—х (на чертеже эта прямая построена
штрих-пунктирной линией).
Для всех х=2лп— ~ заданный график касается этой вспо-
могательной прямой, так как для этих значений х
sinx=—1.
Так как заданная функция y=xsinx четная [(—x)sin(—х)=
=(—х)(—sinx)=xsin х], то указанное построение проводится только
для правой части графика; левая часть графика строится затем сим-
метрично правой.
2.	у=—xcosx (черт. 202).
Так же, как и в предыдущем случае, помимо графиков двух
вспомогательных функций: уг=—х и y2=cosx, входящих в задан-
ное произведение, построен еще третий вспомогательный график
функции: у8=х.
Далее построение аналогично предыдущему.
3.	y=Ed-il (черт. 203).
sin х
Замечаем, что заданная функция нечетная, так как —=
sin (—х)
175
"l/" I I	"if I I
——— ———1—L. Поэтому построение проводится только для
— sinx sinx
правой части графика, левая часть графика строится затем косо
симметрично правой.
На чертеже построены два графика вспомогательных функций,
входящих в заданное частное: у1=1/<| х | и y2=sinx, и третий вспо-
могательный график: Уз = —V | х |.
Остальные построения аналогичны предыдущим.
Следует особо объяснить вид графика при х —> О, так как в этом
о
случае получается неопределенность вида —, которую следует
раскрыть.
Известно, что	т. е. что при х-+ Osinx — x (чи-
х->0 X
тается: sinx эквивалентно х). Следовательно, можно записать:
1-	1- х «.	1
lim y=hm -— = lim —- = oo.
x->0 X	%
4. y=^H_? (черт. 204).
X
Функция четная, так как
sin (—х) —sin x sin x
(—x)	—x	x
176
Вспомогательные функции: yx=sinx; у2 = — и у3=— —.
Л'	X
Заданный график строится как график произведения: угу2 =
5. y=ax\ogb х, где а>0; и 6>1 (черт. 205).
Вспомогательные функции: уг=ах', у2—logftx.
Так как область существования функции У2~ х есть интер-
вал (0, оо), что определяет область существования заданной функ-
ции, то и график вспомогательной функции
У1=ах построен только для х>0.
Заметим, что при x—b y3=logft6=l
и У=У\У2=аь, получаем точку Л(&; аь).
6.	у=|х|Кха — 1 (черт. 206).
Функция четная. Построение про-
водится для правой части графика; левая
часть графика симметрична правой.
Вспомогательные графики: У1=|х|;
У2= /х2—1.
При х=+/2 у2=^ (/2)2— 1 =
= 1, поэтому график заданной функции
пересекает прямую ух = | х | в точке
А(V2- У~2).
При х= + 1 у2—0 и у=0.
Черт. 205.
177
7.	(ЧерТ. 207).
И
Функция нечетная, так как
Вспомогательные графики функций yx=arctgx и y2=Jx|
строены только для х>0.
ПО-
-2
—3
Черт. 207.
Характерные точки	(для правой	части	графика):
1)	i	=	l,
х-Н-о Х-Ч-О 1*1	Ж-+0	X	х-*+0Х
так как при х—*0 tgx^x;
2)	lim у— lim -с— х =0;
Л->-03	Х-«-СО | X I
178
3)	при х=Гз y = ?£51ell=_5_=£!V±~0,6. точ.
/з з/з 9
ка (1,7; 0,6).
8.	у=-^ (черт. 208).
log4x
Вспомогательные графики: y^cosx; y2=log4x.
Находим область существования заданной функции.
Числитель y^cosx не дает никаких ограничений для х.
Знаменатель y2=log4x обусловливает:
а)	х>0,
б)	log4x=#0, т. е. х=#1.
Следовательно, область существования заданной функции состо-
ит из двух интервалов: (0; 1) и (1; оо).
Так как х>0, то и вспомогательный график ух строится только
для правой полуплоскости.
Характерные точки:
1)	limy=lim-^-^-==——=0;
х-0	х->-0 10g4 X — оо
2)	lim у =	± со. Прямая х= 1 является асимптотой графика;
х-1 log41
3)	при х=4 ya=log44=l, поэтому искомый график пересекает
график вспомогательной функции ух при х=4;
4)	при х=-^-4-ля y1=cosx—0, у=0 — в этих точках заданный
£
график пересекает ось абсцисс.
График колеблется около оси абсцисс, приближаясь к ней.
179
§ 33. ГРАФИКИ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
Дробно-рациональная функция — это такая алгебраическая дробь,
у которой числитель и знаменатель представляют собой многочлены
некоторой степени.
Дробно-линейная функция (§ 25) представляет собой частный
случай дробно-рациональной функции, в которой показатели степе-
Черт. 209.
ней старших членов числи-
теля и знаменателя равны 1.
Если степень старшего
члена числителя меньше
степени старшего члена
знаменателя, то рациональ-
ная алгебраическая дробь
называется правильной.
Если рациональная дробь
неправильная, то делением
числителя на знаменатель
можно ее представить в виде
суммы целого многочлена
(частное) и рациональной
правильной дроби.
Элементарная матема-
тика не располагает средст-
вами исследования вся-
кой дробно-рациональной
функции общего вида. Однако некоторые частные виды этих функ-
ций могут быть исследованы средствами элементарной математики.
К ним относятся, помимо ранее рассмотренных дробно-линейных
функций (§ 25), функции вида:
в)
а	„ b	а	„ ad	ad	b
------ ---ХЛ_|_— _ —	—
___axn+b_ с с	с с2	t2	c
V~~ac“+d~~ ~d
хл+—
c
= C-f--A_;
xn+B
г) y—----------
ax2+bx-\-c
и некоторые другие.
d
хп+ —
с
b	ad
а . с	с"
c	d
хп-|- —
с
180
Примеры
Функции типа (а) преобразуются почленным делением числителя
на знаменатель:
axn+b а . Ъ д . В
схп с схп хп ’
после чего построение графика значительно упрощается и произво-
дится по правилам, изложенным в главе IV.
1.	у=—+2 (черт. 209).
X2
Строится график исходной функции:	Затем ось х-ов пере-
мещается (параллельно) на (—2).
2-	у=3~^(черт-210)-
Преобразуем заданную функцию: у=3 —
1 = з _ 2
0,5х2 х2
График исходной функции у=-----------, показанный на чертеже
х2
штриховой линией, растягивается по вертикали вдвое, после чего
ось х-ов сдвигается на (—3).
Построение графиков функций типа (б) производится обычно
на основании непосредственного исследования заданной функции.
181
Графики функций типа (в) получаются из графиков функций
типа (б) с последующим параллельным переносом оси у-ов на (—с).
з-	у=^ <чеРт-211>-
Выделим в заданной функции целую часть:
1 „ц 1
ха — 2 х« — 2 х8 — 2 х8 — 2’
Получим следующие интервалы области существования:
Прямые	—вертикальные асимптоты графика.
Функция четная, следовательно, график симметричен относитель-
но вертикальной оси.
Значения функции на границах интервалов существования для
правой части графика:
1
1) limу=lim--------= lim------=1;
*-►00	*-»00 X2 - 2	*-»00 1	2
— X»
«ч	1.	«‘-1	2+0 — 1	,	,
2) lim y-hm	= 2+Q-—2'“ + “•
а+о ж-с/а+о)
182
о. Г	v х« — 1	2 — 0 — 1
3)	lim y=lim ---------=--------= — оо.
г- г-	№ —2 2 — 0 — 2
х-+у 2 —0 х-*(У 2 —0)
Эти результаты получаются проще, если провести исследование
функции, преобразованной путем выделения целой части.
la) lim y=limfl-|—-—) = 1;
Х->00 х->осД X2 — 2/
2а) lim у= lim fl-]——] = оо;
За) lim y=lim fl-4—-——со.
'	.—	f r— \ х* 2/
х-ЧУ 2 —0) *->(/ 2 —0) 4	z
Из пункта (1) видно, что прямая у=1 является горизонтальной
асимптотой графика.
Точки пересечения графика с осями координат:
1) при х=0 у=°~1 ——; точка f0; —1;
’ н	7 0 — 2	2	\	2/
2) у=0 при х2—1=0, т. е. при х= + 1; точка (1; 0)—для
правой части графика.
Область существования определяется из условия х2— 2^0,
т.
е. х¥=±/2: (-оо; -/2); (-/2; 1/2); (У2; со).
Функция четная.
На чертеже сначала построен график функции у=—Ц
т. е.
183
тот же график, что и в примере 3 (черт. 211), только в данном
случае горизонтальной асимптотой является сама ось абсцисс.
Затем часть графика, заключенная в интервале (—V 2; V 2)
(на чертеже изображена штриховой линией), зеркально отображена
относительно оси х-ов.
5- (черт- 213)-
Область существования та же, что и в примере 3. Функция
четная.
Для правой половины графика имеем:
/—	/— Ijc’ — 21
2 ±0	2 ±0
2)	limy= 1 (см. пример 3);
Х->00
3)	при х=0 у=-=у-=—точка Д^О; —
4)	у=0 при х2—1=0, т. е. при х=±1; точка (1; 0)—для
правой части графика.
Для построения графиков функций типа (г) укажем два способа.
1-й способ.
Строится график функции:
v=ax24-6x+c.
о	k
Затем вычисляются значения у=— в характерных точках:
V
а)	в точке максимума или минимума знаменателя v,
б)	в окрестностях точки, где v=0, т. е. находится предел функ-
ции у при и -> 0 (справа и слева);
184
в)	находится предел, к которому стремится заданная функция
у, когда v —» ± оо;
г)	в точке, где вспомогательная кривая v пересекает ось у-ов,
т. е. при х=0.
Этот способ иллюстрируется следующими двумя графиками
функции
k
у—--------->
axz+bx+c
где а>0, а другие коэффициенты таковы, что
а)	знаменатель ах2+6х+с имеет два действительных корня
(черт. 214);
б)	знаменатель не имеет вещественных корней (черт. 215).
На чертежах вспомогательные графики функции и и асимптоты
нанесены штриховыми линиями.
13 Заказ № 355
185
2-й с п о с о б.
Этот способ заключается в непосредственном исследовании за-
данной функции, для чего знаменатель заданной функции пред-
ставляется в виде произведения: v=a(x — хх)(х— х2), где хх их2 —
корни уравнения у=0.
После этого легко находятся:
а)	область определения заданной функции — из условий:
х — х^О и х — х2=^0;
б)	граничные значения функции у:
1)	при х-*Xj + 0;
2)	при х—»х2±0;
3)	при х—» ±оо;
в)	характерные точки:
1)	координаты вершины графика при х=*1+*2
л ,	— 2х— 1 .	П1£?\
6-	У=--------— ----- (черт. 216).
х2 — 2
Выделяем целую часть заданной функции:
186
Получаем сумму двух функций: линейной у1== х4-1 и правильной
рациональной дроби
1
х3 — 2
Графики обеих функций нанесены на чертеже штриховыми
линиями.
Заданный график построен суммированием ординат характерных
точек обоих графиков:
У=У1+Уг-
Преобразуем заданную функцию в сумму двух более простых
функций таким образом:
____ х+2 __(х4-1)4-1 _ *4~1 ।	1	__ 1	,	1
У~ х3 '— 1~ х3 — 1 ~ х3 — 1 х3 — 1— х— 1 х3 — Г
Итак, у=У1+у2, где
1 1
Л =----Г’ У2=-г—Г-
X — 1	X2 — 1
На чертеже график первой функции (ух) построен штриховой
линией, а второй (у2) — штрих-пунктирной.
График заданной функции построен суммированием ординат
характерных точек обоих графиков.
13*
187
§ 34. ГРАФИКИ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ В НЕЯВНОМ ВИДЕ
Если переменные х и у связаны между собой уравнением, не
разрешенным относительно у, то говорят, что функция задана в не-
явном виде F(x, у)=0, например ху—ху=0.
Примеры
1.	sin2(nx)+sin2(nу)=0 (черт. 218).
Область определения и множество значений заданной функции
найдутся на основании следующих соображений.
Черт. 218.
Сумма квадратов двух величин может равняться нулю только
тогда, когда каждая из этих величин равна нулю, т. е.
sin2(nx)=0 и sin2 (л у)=О, или sin(nx)=0 и ып(лу)=0.
Отсюда находим: лх=лл и лу=лк, где пи k — любые целые
числа.
Сокращая обе части этих уравнений на л, находим: х=п
и y=k, т. е. график функции представляет собой множество точек
с любыми целочисленными координатами.
2.	sin(x4-y)=0 (черт. 219).
Находим: (х-f-у)=л п, откуда у—л п — х, где п — любое целое
число.
Следовательно, график заданной функции представляет собой
серию параллельных прямых:
при « = 0 у=—х,
» п—1 у=л — х,
» п—2 у=2 л — х,
при п——1 у——л — х,
» п=—2 у=—2 л — х,
188
Черт. 219.
3.	у=| у | cosx (черт. 220).
Функция четная, так как | у | cos(—x)=[y|cosx.
Заданную функцию можно представить двумя более простыми
функциями:
1)	при у>0 y=ycosx;
2)	при у<^0 у——ycosx.
Следовательно, при у>0, в результате деления обеих частей
уравнения (y=ycosx) на у, имеем: cosx=l, откуда х=2лл,
где п — любое целое число.
189
Таким образом, при у>0 график представляет собой серию полу-
прямых, параллельных оси у-ов (расположенных выше оси х-ов):
х=0 —ось ординат;
х=2л;
х=4л;
х=—2 л;
х——4л;
При у<0, в результате
=—ycosx) на у, получаем:
деления обеих частей уравнения (у—
cosx=— 1, откуда х=л(2п-|-1), т. е.
имеем серию полупрямых, параллельных оси у-ов (расположенных
ниже оси х-ов):
х=л;
х=3л;
х=5л;
х=—л;
х=—Зл;
х=—5 л;
При у=0 заданная функция принимает вид: 0=0cosx, откуда
находим, что х — любое действительное число, т. е. имеем прямую:
у=0 — ось абсцисс.
На чертеже график показан утолщенными линиями.
190
4.	|х+у]=1 (черт. 221).
Заданное уравнение распадается на два:
1)	х+у=1;
2)	х+у=—1;
1-е уравнение представляет собой уравнение прямой:
у=— х-|-1;
2-е уравнение — уравнение прямой:
у——х — 1.
Следовательно, график заданной функции представляег собой две
параллельные прямые.
5.	cos ' у2-1-х2 ) = 0 (черт. 222).
Заданное уравнение равносильно уравнению
л]/у2-|-Х2
где п — любое неотрицательное целое число, так как лУу2-рХ2 >0.
Делим обе части этого уравнения на л:

191
График представляет собой серию концентрических окружностей,
имеющих уравнения:
УУ2+х2 =-у, т. е. Я=0,5 (ед.);
]/у2_|_х2 =1Д т е ^^1,5 (ед.);
Vу2 4-х2 =2,5, т. е. Я=2,5 (ед.);
6.	(x-|-|x|)2-|-(y-|-jy|)2=4 (черт. 223).
Заданное уравнение распадается на 4 уравнения — более простых.
1.	При х>0 и у>0, т. е. в I четверти:
(х+х)2+(у+у)2=4;
4х24-4у2=4;
х2-гу2 — 1.
Это — уравнение окружности радиуса /?=1 с центром в начале
координат. Но так как х>0 и у>0, то имеем -i- окружности
(квадрант).
2.	При х<0 и у>0, т. е. во II четверти:
(х — х)2+(у+у)2=4; 4у2=4; учитывая, что у>0, получаем урав-
нение: у=1.
Это — уравнение прямой, параллельной оси х-ов, но так как
х<0, то имеем полупрямую, расположенную во II четверти.
192
3.	При х<0 и у<0, т. е. в III четверти:
(х— х)24-(у— у)2=4; 0=4, что невозможно.
Функция не существует.
4.	При х>0 и у^О, т. е. в IV четверти:
(х+х)24-(у— у)2=4; 4х2=4; х2=1;
учитывая условие х>0, получаем уравнение: х=1.
Это — уравнение прямой, параллельной оси у-ов, а так как у^О,
то имеем полупрямую, расположенную в IV четверти.
7. cosх —cosy=0 (черт. 224).

Черт. 224.
Заданную функцию можно записать так:
cos х=cos у,
откупа у=±х — 2яп, где п—любое целое число.
Получаем две серии параллельных прямых.
I серия
У=х;
у=х4-2л;
y=x-j-4n;
у=х — 2л;
у=х — 4л;
II серия
у=— х;
у=—х+2л;
у=—хЧ-4л;
у=—х — 2л;
у — —х — 4 л:
193
§ 35.	РАЗНЫЕ ГРАФИКИ ПОВЫШЕННОЙ ТРУДНОСТИ
1. |yj4-|x|=l (черт. 225).
Заданная функция четная, так как |—х]=|х|; значит, график
симметричен относительно вертикальной оси.
Функция симметрична также отно-
сительно горизонтальной оси, так как
I—У|=|У1-
Следовательно, достаточно исследо-
вать заданную функцию только в I
четверти, т. е. при х>0 и у^О. При
этом |х|=х и |у|=у, заданная функция
принимает вид;
х4-у=1, или у=1—х.
~3	Это — прямая. К заданному графику
относится отрезок этой прямой, про-
Черт. 225.	ходящий в I четверти.
В остальных четвертях график достраивается симметрично отно-
сительно обеих осей координат.
2.	|у|=|х| (черт. 226).
Так как |х]=|—х| и |у|=|—у|, то график симметричен относитель-
но обеих осей координат.
В I четверти, т. е. при |у|=у и |х|=х, имеем прямую, проходя-
щую через начало координат: у=х.
В остальных четвертях график достраивается симметрично отно-
сительно обеих осей.
3.	у = /(х + 1)а+^(х —1)а (черт. 227).
Так как ^(x-j-1)2 = |х+1| и V (х— 1)2=|х— Ц» т0 заданное
194
уравнение равносильно такому.
Рассмотрим 4 случая:
у=(х+1)4-(х—1); у—2х — отрезок прямой, проходящей через
начало координат.
1
у—— (х+1) — (х — 1); у= — 2х — отрезок прямой, проходящей
через начало координат.
3)
1
у=(х-{-1)— (х—1); у=2—отрезок прямой, параллельной оси
абсцисс.
( х+1<.0->х^— 1 ’
4)(х—1>0-»х >1
— система несовместна.
4.	у =
(черт. 228).
Заданная функция преобразуется так:

195
Область определения функции найдется из условия:
х+ 1 >0; х>— 1.
При этом | Vх+14- 11 = Vх+1 +1.
Следовательно, заданная функция может быть записана так:
у = Vх+1 +1+| V х+1 — 1|.
При Vx~hl — 1>0, что соответствует
Кх + 1>1 и х+1>1,	х>0, откуда |Ух+1—1|=
= V х+1 — 1 и у= Ух+1+1+ Vx+l — 1=2 Vx—1.
При V’x-j-l— 1<0, что соответствует х<0, находим:
|Vx+l— 1|= — l^x+1 + l и
у = V х+1 + 1 — V х+1 + 1=2.
У|
О	X
Черт. 229.
5.	у=2 х (черт. 229).
Заданную функцию можно записать так:
И
У=27
Область определения находится из условия: х=#0;
(—оо; 0) и (0; оо).
X
а)	при х^О имеем: у=2х =2. Прямая у=2;
б)	при х<0 у—2 Х=2~1=Л Прямая У=^-
6.	y=logv2 (черт. 230).
Область существования находим из условия: х>0 и х+1:
(0; 1) и (Г, со).
196
Далее преобразуем заданную функцию так:
log2x
При 0<х<1 log2x<0 и у<0.
При х> 1 у>0.
Находим пределы:
1)	lim у—lim -А_=_1-------=—0;
х-*о х->о log2Jf limlog2x
2)	lim y=lim —J—= -—J-------=—co;
х-и-о х-и-о log2x lim log2x
—0
3)	lim у = lim —-—=4-oo.
x-14-0	x-»l+0 10g2X
Прямая x—1 является асимптотой графика.
4)	lim У=-тг—---=0.
x-oo lim log2x
x-*oo
Дополнительные точки:
x—2; y=l; точка A (2; 1);
x=-; y=—1; точка В (0,5; —1).
2
7.	M=2,/ l~x (черт. 231).
Область существования находим из условия:
1 — х>0; х<1.
197
Следовательно, область существования — полуинтервал (—оо; 1].
График симметричен относительно оси абсцисс. Поэтому прово-
дим исследование для верхней части графика, т. е. при у>0; при
этом |у |=у и у=2^1~\
a)	lim y=lim 2
X -Г—оо	х-->—оо
= оо.
б)	При х= 1 у=2°=1; граничная точка (1; 1).
в) Дополнительные точки:
1) х=0; у=2; точка А (0; 2);
2)х=—3; у=21<1~(“3)=23=4; точка 3; 4);
3)х=—8; у=21<ГГ^=23=8; точка С(—8; 8).
Нижняя часть графика строится симметрично верхней.
8. |y|=sin х (черт. 232).
Область существования найдется из условия:
O^sinx^ 1.
198
Левый предел объясняется тем, что |у|>0, т. е. sinx — величина
неотрицательная. Область существования заданной функции:
2лл< х < л (2п 4-1).
Черт. 232.
Строится сначала верхняя часть графика, т. е. график функции
у = sinx в пределах найденной выше области существования задан-
ной функции, т. е. при sinx>0.
Нижняя часть графика строится симметрично верхней.
9.	у = sln 5+W >ln » (черт. 233).
Преобразуем заданную функцию:
(i+W).
199
Далее строим два вспомогательных графика функций:
у1=1+|х| и у2=0,5 sinx.
Замечаем, что заданная функция нечетная, так как
д _____ sin (—х) + |—х| sin (—х)  —sinx—|х| sin х 
2	2
Поэтому вспомогательные графики строим только для х>0.
Ординаты характерных точек графика заданной функции нахо-
дятся как произведение: у=у1-у2.
10.	y=cos4 x-f-stn4 к (черт. 234).
Преобразуем заданную функцию:
y=(cos4 x-f-sin4 х + 2sin2 х cos2 х) — 2sin2 х cos2 х=
=(sin2 x-J-cos2 x)2 —sin2 2x — 1 — i sin2 2x.
Следовательно, у— 1 — sin2 2x.
Строим исходный график: y= — sin2x, сжимаем его в 2 раза по
горизонтали и по вертикали и сдвигаем ось абсцисс на (—1).
На чертеже вместо сжатия графика по обеим осям в одно и то
же число раз (в 2 раза) изменен (увеличен) масштаб в 2 раза.
2х
11.	у=arcsin а (черт. 235).
Область существования: интервал (—оо, оо) (см. стр. 14, при-
мер 17).
Функция нечетная, так как
(/ ч . 2-(—х)	. / 2х \	. 2х
/ (— х)=arcsin —-—— = arcsin-----------= — arcsin-------=
'	7	1+(—х)а	\	1+ха/	1+ха
=-/(4
Характерные точки ищем только для правой части графика.
200
2
a)	lim 2x = lim—— = 0,
x-*oo 1 + x» x->co ~4-1
xa+
lim у=arcsin 0=0.
л->оо
б)	При x=0 у=arcsin 0=0, график проходит через начало ко-
ординат.
в)	Функция имеет наибольшее значение
у = — при  —  = 1, т. е.
7	2	1+х»
2х= 14-х9; х9 — 2x4-1 =0; (к — 1)9=0; х= 1; точка /1; -у).
\ « ]
Черт. 235.
Уточним вид графика в промежутке между характерными точками.
Заметим, что заданная функция может быть записана так:
Сравнивая это выражение с общеизвестной подстановкой
у	у
2Н	2сЦ
sin у=-----— -------------,
1+tg2^	1+ctg2^-
видим, что уравнение функции удовлетворяется значениями:
x=tg-^- либо x=ctg
или
^=arctgx либо ^= arcctg х.
И Заказ Nt 355
201
Применяя ту или иную подстановку, следует иметь в виду, что
функция у—arcsin f (х) изменяется в пределах:
Л	л
----< У < —.
2	2
Откуда
Следовательно, заданная функция допускает подстановки:
при —1 <х<1 =arctgx, или y=2arctgx;
при х<—1 и х> 1 у = arcctg х, или y=2arcctgx.
В правой части график заданной функции будет частью графика
y=2arctgx при х<1 и частью
графика y=2arctgx при х>1,
что и показано на чертеже 251.
Левая часть графика пост-
роена косо симметрично правой
части.
12. у = arctg — + arcctg —
х	х
(черт. 236).
Область определения: (—со; 0),
(0; оо), так как х=#0.
В пределах области опреде-
ления заданное уравнение экви-
валентно уравнению:
у=arcctg х-f arctg х (при х=#0).
Известно, что arctg х-у arcctg х=^ .
Следовательно, график заданной функции представляет собой
прямую у=—, параллельную оси абсцисс, для всех значений х^О;
при х=0 функция не определена.
Упражнения
Построить графики функций;
91. у — lg cos х. X8	95. у = 2Х~Х.
	96. у = lg arctg х.
93. у = sin —. X	97. у = lg (Xs— 1).
94. y = 3,gJt.	98. у = lg | xs — 11.
202
99. у = 1g | 1 — x21.
100.
cos 2x
cosx
106. у = | x 4-21 — | x —11.
107. у = V (x4-l)2 — K(x—I)24-
4- V (x4-3)2 — /(x —3)2.
102.
101. cos® x+sin2 у = 0.
x2+2
У =
x‘ —Г
108.	sin (x — y) = 0.
109.	|y|4-ytgx = 0.
2
x2 — 5x4-6
110.	|x — y| = 2.
104. y= 1g (x2 — 3x4-2).
105. у = Зж+‘.
111. (x—|x|)24-(y — lyI)9 =9.
14*
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ К УПРАЖНЕНИЯМ.
1. (3; ео).
2.	(—оо; —2); (2; «).
3.	(—оо; 1,25); (1,25; оо).
4.	(—2; 2);
5.	(—оо; 0); (0; 1); (1; оо).
6.	(—оо; —1); (1; оо).
7.	(0; 1); (1; оо).
8.	(—оо; —4); (4; оо).
9.	[0; оо).
10.	[—2; 2].
11.	(—оо; —2 /з]; [—2; 2]; [2]/3;
12.	Не существует.
13.	[1—VF; ]/2—1].
14.	(102пя; 10rt<2n+I>).
оо).
15.
16.
17.
18.
л	Л1
лл — — ; лп+— ;
X	J
л
л n+arctg 3;
(—оо; оо).
(—ео; —1); (—1; 0); (0; оо).
х<0, причем х=£—1, —2, —3, ...
19. ^2лп; 2лп+~
20. Не существует.
л
21.	0<у<—.
22.	0 < v < л.
1 1
23.	—oo<j< —; —<у<оо.
24.	0<_у<1; 1<> < оо.
25.	Ig2<y< оо.
26.	Нечетная.
27.	Нечетная.
28.	Функция общего вида.
29.	Общего вида.
30.	Общего вида.
31.	Четная.
32.	Четная.
33.	Четная — симметричная относительно обеих осей координат.
34.	Общего вида.
35.	Четная, симметричная относительно обеих осей координат.
204
36.	б л.
37.	л.
38.	л.
зЧ-
40. 2 л.
205
49.
50.
51.
Черт. 251.
Черт. 252.
206
57.
Черт. 255.	Черт. 256.
61.	Исходная функция у = | х |; вертикальная ось переносится на (+1), го-
ризонтальная— на (—2).
62.	Исходная функция у =—21 х |; вертикальная ось переносится на (—1),
горизонтальная — на (—1).
63.	Функция симметрична относительно горизонтальной оси; для
у = 1 — 2х.
64.	В графике функции у = 3 — 2ха нижняя ветвь графика переносится на-
верх— как зеркальное изображение.
65.	Функция четная; при х>0 у = —х’+Зх.
66.	При х > —4 у — —2хг — Зх —8; при х<—4 у = —2х2 + 3х4-16;
при х — —4 у = —28.
207
Функция четная. Для правой ветви исходная функция у = V х ; верти-
ось переносится на (+3); горизонтальная — на (4-6); нижняя ветвь гра-
х = 2, горизонтальная
у = 1,5; при у = О
х4-2 I
х — 4 *
67.	При х<2 у=(2— х)(х4-3); при х> 2 у—(х— 2) (х4-3); при х = 2
и х — —3 у = 0.
68.	Функция четная, преобразуется: у =1,5 (4 — х2).
69.	Исходная функция у = 3 Кх ; вертикальная ось переносится на (—1);
горизонтальная — на (—2).
з.—
70.	Исходная функция у = — V х; вертикальная ось переносится на (—8),
горизонтальная — на (+1).	_____
71.	Исходная функция у —1^0,51 х |; вертикальная ось переносится на
(-2).
72.
73.
кальная
фика переносится наверх симметрично относительно горизонтальной оси.
74.	Асимптоты: х = 5 и у=1.
75.	При х>0; у = 1---; при х<0 у ---------1.
х	х
„ „ л 2х —3
76.	При х > 0 у =----— ; вертикальная асимптота
X 1 -
2x4-3
асимптота у — 2. При х<0 У — ~-----------. При х = 0
2—	х
х = ±1,5.
77.	Функция четная. При х>0 у =
78.	Функция четная. При х>0 исходная функция у = —2х; вертикальная
ось переносится на (—1), горизонтальная на (—3). При х = 0 у = 2,5.
79.	Функция четная. Для х>0 у = 2ч-3| х~ 1исходная функция у =
= 3|х|, вертикальная ось переносится на (—1), горизонтальная на (—2). При
х = 0 у = 5.
80.	Исходная функция: y=log3x2; вертикальная ось переносится на (—2).
81.	Функция четная. Область существования (—оо; —1) и (1, оо). Для
х > 1 исходная функция у = log2 х; вертикальная ось переносится на (—1), гори-
зонтальная на (4-1). При х-*±1 у-*—сю.
82.	Исходная функция у = | log2 | х ||; вертикальная ось переносится на (—3);
горизонтальная--на (4-1).
83.	Функция периодическая: <о = 2л. Исходная функция y = cosx; верти-
/ л\
кальная ось переносится на +~ . график растягивается по вертикали в 2 раза,
\ о
затем горизонтальная ось сдвигается на (+1).
84.	Исходная функция у = — | sin х |; вертикальная ось сдвигается на
/
— , горизонтальная — на (—1).
\ 6 /
85.	Исходная функция y = |secx|; вертикальная ось переносится на
(л \
~ 4)'
(л \
4-— .
6 /
87.	Период функции <о = 2 л. При х = 0 у = 0; при х = у = 1; при х = я
Зл
у — 1,5; при х -* — у-' ± оо; при х = 2 л у — 0.
208
88.	Исходная функция у —— ]arctgx|; вертикальная ось переносится
, <,	/ л \
(-—2), горизонтальная — нд I—— 1.
89.	Исходная функция у = | arcsin | х||; вертикальная ось переносится
(—2), горизонтальная — на (—л).
90.	Функция четная. При х>0 у = arccos (х — 0,50); при х = 0
я
у = arccos 0,50 = у.
на
на
Черт. 259.
Черт. 260.
209
95.
96.
97.
98. График симметричен относительно прямой х= 1; при х>1 имеет тот же
вид, что и предыдущий график.
99.
100.
210
211
Черт. 274.
Черт. 276.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию.................................... 3
Предисловие ко второму изданию...•.......................
Предисловие к третьему изданию................................... —
Введение.......................................................   5
Глава I. Исследование функции для построения ее графика
и порядок построения графика
А.	Общие свойства функции .....................	7
§ 1.	Область существования (определения) функции............ —
§ 2.	Границы изменения функции. Область плоскости, в которой
расположен график................................... 21
§ 3.	Четность и нечетность функции. Симметрия. Периодичность. 25
Б. Нахождение характерных точек графика......................... 30
§ 4.	Точки пересечения графика с осями координат. Интервалы- знако-
постоянства........................................ —
§ 5.	Граничные значения функции................. 32
§ 6.	Максимумы и минимумы функций................ —
В.	Исследование вида кривых, изображающих функцию, на разных участ-
ках графика..................................... ...	33
§ 7.	Нахождение вертикальных и	горизонтальных асимптот ....	34
§ 8.	Возрастание и убывание функции. Выпуклость и вогнутость
кривых. Точки перегиба............................... 36
§ 9.	Порядок исследования функции и составления ее графика ...	37
Упражнения..........................	41
213
Глава II. Построение простейших графиков
§10.	Графики линейных функций............................... 42
§11.	Графики простейших степенных функций.................. 45
§ 12.	Графики простейших степенных функций с отрицательными
показателями............................................... 48
§13.	Графики простейших логарифмических функций............. 50
§ 14.	Графики простейших показательных функций.............. 54
§ 15.	Графики простейших тригонометрических функций......... 57
§16.	Графики простейших обратных тригонометрических функ-
ций ....................................................... 65
Упражнения..........................	70
Глава III. Вспомогательные приемы построения
усложненных графиков
§ 17.	Параллельный	перенос (сдвиг)	оси х-ов................. 71
§ 18.	Параллельный	перенос (сдвиг)	оси у-ов................. 72
§ 19.	Растяжение и	сжатие графика	по оси х-ов............... 75
§ 20.	Растяжение и	сжатие графика	по оси у-ов........	77
Глава IV. Построение усложненных
графиков
§ 21.	Графики линейных функций.............................. 79
§ 22.	Графики квадратных функций............................ 81
§ 23.	Графики некоторых степенных функций степени выше
второй..................................................... 95
§ 24.	Графики алгебраических функций с дробными показателями
степени.................................................... 98
§ 25.	Графики	дробно-линейных функций...................... 101
§ 26.	Графики	логарифмических функций...................... 105
§ 27.	Графики	показательных функций......................... ПО
§ 28.	Графики	тригонометрических функций................... 114
§ 29.	Графики	обратных тригонометрических функций.......... 126
Упражнения ........ .....................................   131
214
Глава V. Графики повышенной
трудности
§ 30.	Графики сложных функций.................................. 132
§ 31.	Графики суммы и разности двух функций.................... 159
§ 32.	Графики	произведения и частного двух	функций............. 174
§ 33.	Графики	дробно-рациональных функций..................... 180
§ 34.	Графики	функций, заданных в неявном	виде................ 188
§ 35.	Разные графики повышенной трудности...................... 194
Упражнения..................................................... 202
Ответы и указания к упражнениям................................ 204
Исаак, Павлович Гурский
ФУНКЦИИ И ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКОВ
Редактор Н. И. Никитина
Художественный редактор В. С. Эрденко.
Технический редактор ЛЬ И. Смирнова
Корректор Р. Б, Штутман
Сдано в набор 22/V 1968 г. Подписано к
печати 4/XI 1968 г. 60x90‘/ie. Бумага тип.
№ 2. Печ. л. 13,5	Уч.-изд. л. 10,23
Тираж 150 тыс. экз. (Тем. пл. 1968 г. № 155)
Издательство «Просвещение» Комитета по
печати прн Совете Министров РСФСР, Мо-
сква, 3-й проезд Марьиной рощи, 41
Типография изд-ва «Уральский рабочий»,
г. Свердловск, проспект Ленина, 49.
Цена без переплета 27 к. Заказ 355.
переплет 10 к.
юлка к
СССР
у
Библиотека
бесплатных
учебников на
сайте:
ussrvopros.ru
(перейти
каталогу