■ Нелинейные
волны
намагниченности
Динамические
и топологические
солитоны
А.М. КОСЕВИЧ
Б.А. ИВАНОВ
А.С. КОВАЛЕВ

УДК 531 + 539.2
Нелинейные волны намагниченности.
Динамические и топологические солитоны / Ко-
севич А. М., Иванов Б. А., Ковалев А. С—
Киев : Наук, думка, 1983.— 192 с.
В монографии на основе
квазиклассического и квантового описаний магнитоупоря-
доченных сред выясняется физическая
природа магнитных солитонов. Изложено
представление о них как связанном состоянии
большого числа элементарных возбуждений
магнетика — магнонов. Рассмотрена
математическая теория солитонов в одно-, двух-
и трехмерных системах, позволяющая с
единой точки зрения и в рамках одной модели
рассмотреть самые разнообразные
локализованные решения: динамические и
топологические солитоны, доменные границы,
магнитные вихри и т. п. Описано различие
между динамическими и топологическими соли-
тонами. Рассмотрены возможность
экспериментального обнаружения солитонов и их
значение для термодинамики магнетиков.
Для специалистов в области физики
твердого тела и теоретической физики.
Ил. 52. Ьиблиогр.: с. 183—189,
Ответственный редактор В. Г. Барьяхтар
Рецензенты А. С. Бакай, В. М. Цукерник
Редакция физико-математической
литературы
1704060000-428 ,_л со
К М221@4)-83 I79"8S
'q) Издательство «Наукова думка», 1983

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Глава 1. Нелинейная динамика магнитоупорядоченных сред 8
1. Классические и квантовые модели магнитных систем 8
2. Магноны — элементарные возбуждения поля намагниченности в
ферромагнетике ... . . . 13
3. Интегралы движения и адиабатический инвариант уравнений
динамики намагниченности - .19
4. Динамика намагниченности ферромагнетика с одноосной
анизотропией ... 25
5. Спиновые комплексы как магнитные солитоны . 30
6. Солитонные решения уравнений самосогласованного поля для
неидеального бозе-газа магнонов — 35
7. Динамические и топологические солитоны 41
Глава 2. Одномерные солитоны . . 45
8. Магнитные солитоны в легкоосном ферромагнетике 46
8.1. Уравнения динамики намагниченности D6) 8.2. Точные односолитонные
решения уравнений Ландау — Лифшица E0). 8.3. О полной интегрируемости
уравнений динамики намагниченности в одноосном ферромагнетике E8). 8.4.
Солитоны в более общих моделях легкоосного ферромагнетика F0).
9. Динамика солитонов в двухосном ферромагнетике . 64
9.1. Динамические уравнения для намагниченности с учетом магнитоди-
польного взаимодействия F4). 9.2. Доменные границы и спиновые волны
в двухосном ферромагнетике F7) 9.3. Двухпараметрические магнитные
солитоны G2). 9.4 Анализ движения солитона G7).
10. Многосолитонные состояния в двухосном ферромагнетике .... 87
10.1. Метод Хироты для нахождения солитонных решений уравнений
Ландау — Лифшица (87). 10.2. Многосолитонные решения. Взаимодействие
магнитных солитонов и доменных границ (92)
11. Магнитные солитоны в легкоплоскостном ферромагнетике .... 96
11.1. Анизотропная легкая плоскость (96). 11.2 Динамика ферромагнетика с
изотропной легкой плоскостью A01). 11.3. Солитоны при наличии магнитного
поля A04).
12. Квазиклассическое квантование магнитных солитонов .... 107
12.1 Квазиклассическое квантование солитонов в легкоосном
ферромагнетике A08) 12.2 Квазиклассическое рассмотрение солитонов в двухосном
магнетике A15) 12.3. Коллективные возбуждения легкоплоскостного
магнетика в магнитном поле, перпендикулярном легкой плоскости A21).

13. Солитоны в антиферромагнетиках 124
13.1. Эффективные динамические уравнения и спиновые волны A24). 13.2
Уединенные волны намагниченности в коллинеарной фазе A28) 13.3 Волны
поворота в антиферромагнетике A31)
Глава 3. Трехмерные и двухмерные магнитные солитоны • 134
14. Динамические солитоны в трехмерном легкоосном ферромагнетике 135
15. Двухмерные солитоны . . . 145
16. Топологический анализ локализованных солитонов 152
16.1. Общая классификация A52). 16.2 Топологические свойства двухмерных
солитонов A53). 16.3. Многое о л итон ные решения A54). 16.4. Трехмерные
локализованные солитоны A57).
17. Дисклинации и вихри в магнетиках 161
17.1. Вихрь намагниченности в легкоплоскостном ферромагнетике A62). 17.2.
Топологический анализ вихря A66). 17.3 Роль анизотропии в плоскости
легкого намагничивания A67). 17.4. Дисклинации в изотропном
антиферромагнетике A69). 17.5. Влияние анизотропии на дисклинации в
антиферромагнетиках A72). 17 6. Трехмерные солитоны в магнетиках A74).
18. Проблема связанных состояний магнонов и солитоны в
трехмерном магнетике 175
18 1. Слабосвязанные состояния двух магнонов A76). 18.2. Трехмерные
малоамплитудные солитоны A79).
Список литературы 183

ПРЕДИСЛОВИЕ
В последнее десятилетие физика твердого тела активно вторгается
в область существенно нелинейных эффектов и явлений. Однако что следует
понимать под существенно нелинейными эффектами? Известно, что любая
линейная теория в физике твердого тела верна с точностью до пренебрежения ан-
гармонизмами (нелинейностями), и давно известно, к чему приводит учет ангар-
монизмов.
Традиционно ангармонизмы считались слабыми и потому описывались
в терминах линейной теории. В линейном приближении возбужденное состояние
системы представлялось как идеальный газ квантовых волн (квазичастиц: фо-
нонов, магнонов и др.). Ангармонизмы обусловливали рассеяние отдельных волн
друг на друге, вызывали явления типа удвоения частот отдельных волн,
приводили к тому, что квазичастнцы из «голых» превращались в «одетые», но
представления об отдельных волнах (квазичастицах) как элементарных
возбуждениях системы оставались.
Подобный подход уместен при малой степени возбуждения изучаемых
систем. Если степень возбуждения не мала, то использование линейной теории
невозможно, а линеаризация динамических нелинейных уравнений, описывающих
эволюцию изучаемой физической системы, становится мало осмысленной
процедурой. Оказывается, что сам язык, т. е. терминология и способ описания
явлений, основанный на представлениях линейной теории, перестает быть
адекватным наблюдаемым эффектам. Тогда говорят о существенно нелинейных
явлениях. Возникают новые образы, новые слова, новые понятия, применяются
новые математические методы исследования. В частности, слово «солитон»,
рожденное нелинейной механикой и не так давно вызывавшее удивление, сейчас
прочно вошло в теорию магнетизма.
В настоящее время нет общепринятого определения солитона. Под
магнитным солитоном будем понимать локализованное в пространстве собственное
решение динамического нелинейного уравнения для поля намагниченности.
Солитон является своеобразным неоднородным возбуждением этого поля,
сосредоточенным в малой области пространства и способным перемещаться, сохраняя
свою динамическую структуру. Такое определение солитона эквивалентно
понятию уединенной волны и соответствует переводу этого слова на русский
язык.
Заметим, что линейные уравнения типа уравнения Шредингера для
отдельной частицы или уравнения колебаний кристаллической решетки также
допускают локализованные решения. Локализованное решение таких уравнений
возникает тогда, когда нарушается однородность пространства — в рассмотрение
включается созданное внешним источником потенциальное поле или вызванное
5

внешними причинами искажение кристаллической решетки. Таким образом,
локализованное состояние в линейных системах возникает как вынужденное.
Солитон же является самолокализованным состоянием нелинейной системы
и существует в однородном пространстве. Центр его локализации обычно не
фиксируется, т. е. может свободно перемещаться.
Но способность к движению не является специфичной для солитона. В
линейных системах путем подходящей суперпозиции можно создать пакет волн,
который в виде локализованного состояния будет существовать в однородном
пространстве и обладать способностью перемещаться. Однако за счет дисперсии
парциальных волн, образующих пакет, он будет размываться при своем
движении и изменять форму. Солитон как собственное решение нелинейных уравне- .
ний при движении не изменяет свою структуру. Это свойство солитона
хотелось бы представить в терминах отдельных волн (нормальных колебаний). Пакет
нормальных колебаний линейного поля размывается по той причине, что
отдельные волны независимы и движение каждой из них никак не
согласовано с движением остальных. Теперь представим, что взаимодействие
нормальных колебаний учтено. Если взаимодействие будет иметь характер
притяжения, то можно надеяться, что оно окажется в состоянии предотвратить
«разбегание» волн. Тогда возникает сгусток (кластер) нормальных колебаний,
являющийся самосогласованным связанным состоянием большого числа эл*>
ментарных возбуждений системы. Действительно, согласно теории элемен»
тарных возбуждений, локализованное в пространстве возмущение
макроскопического поля должно отвечать связанному состоянию элементарных
возбуждений.
Точка зрения, согласно которой солитон является связанным состоянием
большого числа элементарных возбуждений, возникла при рассмотрении
макроскопических полей, представляющих собой классический предел квантовых
бозе-систем. Авторы неоднократно подчеркивали, что этот подход справедлив
при анализе не только бозе-систем [17, 64], но и магнитных систем,
элементарные возбуждения которых (магноны) не являются чисто бозевскими [55, 56,
70—73, 138, 139, 67]. Позже к этой точке зрения пришли другие исследователи
[143, 109, ПО].
Нелинейная динамика намагниченности магнетиков, проанализированная
под углом зрения «солитонной науки», является темой настоящей монографии.
Установлено, что макроскопические уравнения динамики намагниченности
в магнетике являются удобной модельной системой для изучения нелинейных
явлений. Во-первых, она имеет определенный самостоятельный интерес, так
как относится к реальному физическому объекту. Правда, следует отметить, что
изучаемые модели не полностью описывают реальный магнетик, поскольку
редко учитываются диссипативные процессы и не всегда принимается во внимание
магнитодипольное взаимодействие.(/Во-вторых, в этой системе произведен
полный учет нелинейных взаимодействий, чем обеспечивается правильное описание
нелинейных эффектов при любой их интенсивности. В-третьих,
феноменологическая теория магнитоупорядоченных сред имеет микроскопическое квантово-
механическое обоснование. Параметры феноменологической теории очень
простыми соотношениями связаны с параметрами гамильтониана Гейзенберга,
и потому существует редкая возможность одновременного описания сложных
нелинейных явлений в одной системе как на классическом, так и квантовом
языке,
6

В работе 'не приводится квантовое описание магнитных солитонов. Но во
^сех случаях, когда известны результаты квантовомеханического анализа (в
основном это относится к одномерным задачам), проводится надлежащее
сравнение, и всегда убеждаемся в согласованности квантового и макроскопического
описания одних и тех же явлений.
В .работе только упоминаются блестящие результаты, относящиеся к
математическому аспекту теории солитонов в одномерных магнетиках
(доказательство полной интегрируемости нелинейных уравнений, возможность решить для
них задачу Коши, разработка современных методов интегрирования,
основанных на использовании обратной задачи рассеяния [49, 93] и др.). Эта сторона
теории солитонов не анализировалась, так как внимание авторов было
сосредоточено на рассмотрении конкретных решений уравнений динамики
намагниченности в магнитоупорядоченных средах и выяснении зависимости, их
структуры от размерности пространства* вида магнетика и типа магнитной
анизотропии. В случае одномерного ферромагнетика без внешнего магнитного полъ
изученные типы решений исчерпывают все независимые (в смысле так называемой
асимптотической независимости) локализованные решения. В других случаях
такого утверждения сделать нельзя. В частности, при рассмотрении двух-
и трехмерных солитонов можно сделать очень мало общих утверждений,
касающихся хотя бы приблизительной систематики типов решений. Но для
трехмерных солитонов получен ряд результатов, связанных с их топологическим
анализом, и это нашло отражение в данной работе.

ГЛАВА 1
л
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА
МАГНИТОУПОРЯДОЧЕННЫХ СРЕД
Мы будем рассматривать солитоны классических уравнений
динамики намагниченности, описывающих пространственную
неоднородность и эволюцию во времени макроскопических систем. Однако
нам придется неоднократно обращаться к квантовому рассмотрению
соответствующих магнетиков и трактовать некоторые результаты на
полуквантовом языке. Поэтому естественно начать с обсуждения
точек соприкосновения классической и квантовой теории нелинейных
свойств магнетиков.
В настоящей главе представлены некоторые выводы из теории
классического поля намагниченности в каноническом виде,
допускающем непосредственное квазиклассическое квантование. В то же время
обсуждены свойства простейших квантовых магнитных систем,
относящихся к микроскопической теории магнитных солитонов. В данной
главе внимание сосредоточено на формулировке динамических
уравнений классического поля намагниченности в гамильтоновом виде,
формальной схеме перехода от спинового гамильтониана дискретной
кристаллической решетки к макроскопической энергии магнетика
в длинноволновом приближении, возникновении локализованных
динамических состояний намагниченности (магнитных солитонов), их
квазиклассическом квантовании.
1. Классические и квантовые модели
магнитных систем
Рассмотрим динамику нелинейных волн и солитонов в маг-
нитоупорядоченных кристаллах, т. е. эволюцию сильно возбужденных
состояний магнетиков. Для этого используем макроскопическое
описание магнитных кристаллов, основные положения которого
излагаются ниже на примере ферромагнетика.
Макроскопическая теория ферромагнетика при низких
температурах основана на возможности описания состояния магнетика с
помощью вектора намагниченности М, равного магнитному моменту
единицы объема кристалла. Вектор М, являясь непрерывной
функцией координат, может изменяться от точки к точке в кристалле, но
его длина всегда сохраняется и в нулевом приближении совпадаег
с номинальной намагниченностью М2= М\ = const, где М0 =2\i0s/as;
S

\i0 — магнетон Бора (\х0 > 0); s — спин атома; а3 — атомный объедо
(объем элементарной ячейки кристалла).
Энергия ферромагнетика Е с любым медленно изменяющимся
в пространстве неоднородным распределением намагниченности
может быть записана как функционал вектора М:
? = jr|M,^jd3*, A.1)
где /, k — координатные индексы, i, k = 1, 2, 3.
Уравнение движения для вектора намагниченности, получерное
Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшицем A935 г.), в бездиссипативнои cpejte
имеет вил [76. 771 '
имеет вид [76, 77]
____?,„ л 11#> шл^ _ _ _
? = -gMxH„ H, = -jg, A.2)
где g — множитель, который для электронных спиновых магнитных
моментов равен 2\i0/h (h — постоянная Планка); Н* — эффективное
магнитное поле, представляющее собой функциональную
производную от энергии по магнитному моменту.
Уравнение A.2) обычно называют уравнением Ландау — Лифшица.
Явная запись входящей в это уравнение плотности магнитной
энергии зависит от конкретизации модели и согласуется с
микроскопическим гамильтонианом системы.
Традиционно при микроскопическом (квантовом) описании
магнитных свойств ферромагнитных и антиферромагнитных кристаллов
прежде всего вспоминают простейшую модель Гейзенберга.
Основываясь на ней, полагают, что «магнитная» часть гамильтониана
кристалла имеет вид •
# = - 2 2Hn-n')SnS„s A-3)
п, п'
где п — номер-вектор узла кристаллической решетки; Sn — оператор
спина атома в этом узле. Набор обменных интегралов $- (п) полностью
характеризует взаимодействие, обеспечивающее магнитное
упорядочение в кристалле.
Если учитывать взаимодействия лишь ближайших соседей в
кубическом кристалле, то гамильтониан A.3) можно привести к виду
# = -#¦ ? snsn+no) (i-4)
п, п0
где п0 — номер-вектор ближайших соседей любого кристаллического
узла.
Ферромагнитное упорядочение возникает при #- > 0,
антиферромагнитное— при #- < 0. Ферромагнетик с гамильтонианом A.4)
называется изотропным. Тривиальное обобщение, позволяющее
учитывать анизотропию магнитных взаимодействий, сводится к замене
A.4) гамильтонианом
Ж = — Е (tyiSnSn+n0 + ^2^nSn+n0+ г/'з^п^п-нь), A -5)
?

где суммируется по всем узельным индексам (в дальнейшем эти
индексы не будут указываться под знаком суммы).
Модель магнетика с гамильтонианом A.5), в котором обменные
константы #1, ^2, #-3 различны, принято называть X — Y — Z
моделью. Правда, часто содержание модели сужают, предполагая спины
равными 1/2. Поскольку в дальнейшем будет использоваться
квазиклассическое приближение, справедливое лишь при больших спинах,
последнее предположение делать не будем.
Записывая гамильтониан A.5), следует иметь в виду, что обменное
взаимодействие по своей природе изотропно и величины #-х, #-2, #-3 не
сильно различаются. Поэтому необходимо учитывать не только
обменную анизотропию, но и одновременно так называемую одноионную
анизотропию, представляя гамильтониан в виде
W = — Zi (^l^nSn+n0 + ^2^nSn+n0 + ^3^nSn+n0) —
-IS^^+^^l, A.6)
где /Си K3 — характеристики одноионной анизотропии. Слагаемое,
пропорциональное (SnJ, отсутствует, так как предполагается, что
в каждом узле Sn = const. Уравнение движения для оператора спина
имеет стандартный вид
й^ = [Ж. SJ. A.7)
где [Л, В] = А В — В А — коммутатор операторов Л и В.
Переход от микроскопического описания ферромагнетика,
опирающегося на гамильтониан A..4) или A.5), к макроскопическому,
исходящему из представления о магнетике как о сплошной среде,
совершенно не тривиален и его обоснование является сложной
физической проблемой. Ей посвящено большое число работ, среди
которых важное место занимает работа Херринга и Киттеля [123]. Эту
проблему не будем затрагивать, поскольку она достаточно полно
освещена в работе [2], а обратим внимание на формальную процедуру,
которая позволяет выполнить такой переход.
Процедура перехода от гамильтонианов A.4), A.5) и квантовоме-
ханического уравнения движения A.7) к энергии магнетика A.1)
и уравнению движения для вектора М состоит в следующем.
1. Заменим оператор спина в узле кристаллической решетки
классической величиной, равной магнитному моменту, приходящемуся
на один узел
s°—|гм---|гм(х^ (L8)
где хп — радиус-вектор n-го узла кристаллической решетки.
2. Использовав непрерывность функции М (х), разложим
М„+По = М (xn) + xt (n0) -^ + -i xt (n0) xk (n0) gj^j- -\ A.9)
i i k
10

3. С учетом малого различия обменных констант #> положим
fk = fo + \a2Jk> А = 1, 2, 3. A.10)
Подставим A.8) — A.10) в A.4) или A.5), ограничившись
квадратичными по а членами разложения (xt (п0) — а), опустив
слагаемые, пропорциональные М2, и перейдя от суммирования по узлам
кристаллической решетки к интегрированию по объему кристалла.
Постулируется, что полученный результат можно отождествить с
энергией магнетика A.1). Оказывается, что
^4«A|J-тм^-40з< (lid,
где
Если в качестве исходного брать гамильтониан A.5), то константы
анизотропии имеют вид
В случае гамильтониана A.6) получаем
р. - Ш*1^^ ¦ р. - Ш'h=h^- (U4)
Весьма существенно, что эффективная анизотропия, описываемая
вторым и третьим слагаемыми в плотности энергии A.11), существует
даже в том случае, когда одноосная анизотропия в гамильтониане
A.6) отсутствует (/Сх = К$ = 0): она возникаетза счет анизотропии
неоднородного обмена {tyx Ф #-2 Ф tyz).
При Pi = 0 ферромагнетик называется одноосным. Если к тому же
Рз > 0, то имеет место анизотропия типа оси легкого намагничивания.
В основном состоянии ферромагнетика с подобной анизотропией
вектор намагниченности направлен вдоль «легкой оси». В дальнейшем
одноосный ферромагнетик с анизотропией такого типа будем называть
легкоосным.
Если рх = 0 и рз < 0, то имеет место анизотропия типа плоскости
легкого намагничивания (в основном состоянии вектор М лежит в
плоскости, перпендикулярной выделенной оси), а такой магнетик иногда
называют легкоплоскостным.
Процедура перехода от уравнения A.7) к классическому
уравнению движения для вектора намагниченности очевидна. Следует
осуществить переход A.8), по обычным правилам заменить коммутаторы
классическими скобками Пуассона и взять в качестве функции
Гамильтона энергию A.1).
Предложенный метод перехода от A.4) и A.5) к A.1) и A.11) в
общем случае не может рассматриваться как строгий физически после
довательный вывод формулы A.11) для плотности энергии
анизотропного ферромагнетика. Только для изотропного и легкоосного ферро-
U

магнетиков, спины атомов которых велики (Sn > 1), в случае слабых
возбуждений описанная процедура приобретает силу вывода [76].
Это связано с тем, что основное классическое состояние такого
ферромагнетика совпадает с его квантовым основным состоянием (все
спины направлены вдоль одной оси, например оси z) и при малых
отклонениях от основного состояния компоненты спина Sz в главном
приближении может считаться с числом [2, 76].
Выражение A.11) может быть получено феноменологически, и
тогда оно входит в макроскопическую теорию магнитоупорядоченных
кристаллов. Правда, при феноменологическом подходе нельзя дать
микроскопических определений параметрам аир, однако есть
уверенность в общности используемого выражения при описании
неоднородных состояний магнетика, в которых намагниченность
претерпевает слабые пространственные изменения.
В дальнейшем при изучении нелинейных волн намагниченности
будут использоваться уравнение движения A.2) и
феноменологические выражения типа A.11). При обсуждении соотношений выводов
макроскопической теории магнетизма и результатов квантовомехани-
ческой теории будут подразумеваться выражения вида A.12) — A.14).
При учете внешнего магнитного поля Н выражение A.11) должно
быть дополнено так называемой зеемановской энергией
8W = — НМ.
Сформулируем модель и запишем основные уравнения динамики
намагниченности в антиферромагнетиках. Согласно представлениям
феноменологической теории [2, 76] магнитная структура простейшего
антиферромагнетака состоит из двух подрешеток,
характеризующихся локальными плотностями магнитных моментов Мх (г, t) и М2 (г, t).
При достаточно низких температурах в антиферромагнитном
состоянии М* = М2 = Ml, где М0 = const.
Введем векторы антиферромагнетизма L и намагниченности М:
L = MX —М2, М = МХ + М2. A.15)
По определению
ML = 0, M2 + L2 = 4Mo. A.16)
Основное состояние двухподрешеточного антиферромагнетика в
отсутствие магнитного поля отвечает полной взаимной компенсации
намагниченности подрешеток
Мх = — М2, М = О, L = 2МХ. A.17)
Возбужденные состояния антиферромагнетика описываются
примерно так, как и ферромагнетика. Для каждой подрешетки
справедливы уравнения типа A.2), которые с помощью элементарных
преобразований можно представить в виде
^-^MxH^ + LxHf), H*=-§, A.18)
12

Определение эффективных магнитных полей в A.18) предполагает,
что магнитная энергия антиферромагнетика представлена как
функционал векторов М и L.
В одноосном антиферромагнетике запись плотности магнитной
энергии очевидным образом обобщает выражение A.11):
W7 1 /11/12 . 1 / дм2 . 1 /ам\2
-4^-1р2М2-МН, A.20)
где А — константа энергии однородного обмена; ах, а2 — константы
неоднородного обмена (аг > 0); рь р2 — константы одноосной
анизотропии. Обычно а ~ Аа2 и рх, р2 <^ А. Внешнее'магнитное поле Н
будем считать параллельным оси анизотропии. Аналогично
ферромагнетикам одноосные антиферромагнетики можно разделить на две
группы. Если рх > 0, то при Н = 0 в основном состоянии магнитные
моменты подрешеток ориентированы вдоль оси анизотропии иМ = 0
(антиферромагнетик с анизотропией типа «легкая ось»); если Pi < 0,
то минимум энергии достигается в том случае, когда вектор L
перпендикулярен к оси анизотропии иМ-0 (анти ферромагнетик с
анизотропией типа «легкая плоскость»).
Во внешнем магнитном поле Н в зависимости от его величины
устойчивы следующие фазы антиферромагнетика с анизотропией типа
«легкая ось».
1. При 0 < Я < #х = 2M0V$i(A + Рх) устойчива коллинеарная
фаза, в которой вектор L параллелен оси анизотропии, а М = 0.
2. При #2 < Я < Не устойчива «перекошенная» фаза (фаза спин-
флопа), в* которой вектор L перпендикулярен к оси анизотропии,
аМ#0. Характерные поля Я2 и Яе, ограничивающие область
существования фазы спин-флопа, равны Я2 = 2М0 V$i {А — 2р2 — Pi) »
« 2М0 VWi> П. = 2М0 (А - р2) « 2М0Л.
3. Наконец, при Я > Не существует ферромагнитная фаза, в
которой магнитные моменты подрешеток параллельны: М = 2Mlf
L = 0.
Ясно, что если Я2 > Ях, то может существовать еще одна
устойчивая фаза, однако в дальнейшем она не будет обсуждаться.
2. Магноны — элементарные возбуждения поля
намагниченности в ферромагнетике
Дадим краткое квантовое описание слабовозбужденных
состояний ферромагнетика, характеризующихся малым отклонением
вектора М от его направления в равновесном (невозбужденном)
состоянии. Обозначим
М = М0 + т, B.1)
где М0 — равновесная намагниченность; m — малая к ней добавка.
13

Пусть ось г параллельна М0. Тогда слабость возбуждений означает,
что тх + ml <g Mo, и в линейном по |ш| приближении можно
считать Мг « М0 = 2s\i0/v0, где s, v0— суммарный спин и объем
элементарной ячейки кристалла (vQ = а3). Компонента тг появляется
как динамическая переменная только в квадратичном по |ш|
приближении.
При таких возбуждениях свободные движения вектора m
напоминают малые гармонические колебания кристалла. Подобно
гармоническим колебаниям кристаллической решетки они могут
распространяться в виде спиновых волн, каждая из которых обладает
квазиволновым вектором к и частотой о, связанными законом дисперсии со =
= (о (k). В квантовой картине спиновая волна трансформируется
в набор квазичастиц —магнонов, спектр энергии которых е = йсо (k).
Как обычно в теории квазичастиц, состояния магнонов в
безграничном кристалле классифицируются по значениям вектора к. Если
энергия магнитного возбуждения ферромагнетика Е невелика, то ее
можно представить как сумму энергий магнонов в разных квантовых
еостояниях
Я= У] Йсо(к) пк, B.2)
к
где nk — число магнонов в состоянии к (число заполнения
состояний к).
В том приближении, в котором магноны не взаимодействуют, они
ведут себя как бозе-частицы. Поэтому слабовозбужденное состояние
магнетика эквивалентно состоянию идеального бозе-газа,
характеризующегося некоторым набором чисел заполнения /г*. Последнее
отражено в записи энергии B.2).
В терминах динамических характеристик спиновых волн легко
сформулировать условие правомерности макроскопического
рассмотрения неоднородной намагниченности кристалла. Понятие поля
намагниченности, т. е. представление о векторе М как непрерывной
функции координат, можно ввести только в том случае', когда средняя
длина спиновых волн велика по сравнению с периодом кристаллической
решетки: ak <^ 1. Это условие определяет область применения так
называемого длинноволнового приближения.
В рамках длинноволнового приближения допустимо квантовое
описание намагниченности, если считать компоненты вектора М (г)
не классическими величинами, а операторами с перестановочными
соотношениями
[МДг), М,@] =-2ф0^шМ/(г)б(г-г/), B.3)
где еш — единичный антисимметричный тензор третьего ранга.
Известно (см., например G61), что в линейном по | m | приближении вели-,
чины ту и /поиграют роль канонически сопряженных «обобщенных
координат и импульсов» поля намагниченности. Поэтому, как отмечено
еще в работах [128, 135], они стандартным путем могут быть выраже-
14

ны через бозевские операторы уничтожения и рождения магнонов
at и ак:
тх (г) = У*ф X <**'* + ^"^ B-4>
к
т„ (г) = i Y^r X fa*"" ~ <&ег-<*),
к
где У — объем системы.
По определению бозевских операторов уничтожения и рождения
а?ак = /ik, akaf = nk + 1. B.5)
Выражение для оператора mz, согласованное с B.4), имеет вид1
тг (г) = - 2-?-° V a+ak/^i(k-k')r. Be6)
к, к'
Вычислим с помощью B.4) и B.6) в квадратичном по ак и а*
приближении средний квадрат намагниченности в возбужденном
состоянии, характеризующемся определенным набором чисел заполнения
{пк}. Для этого запишем
М2 ss М\ + тх + tny + 2M0mz.
Подставим B.4) и B.6) в эту формулу, а затем воспользуемся
известными свойствами средних значений квадратичных комбинаций
операторов ак и а\
<акак>) = (atat) = 0, {ataw) = ЛкД (k — k'),
где
дол-!1' к = 0,
AW-{0, k#0.
В результате несложных вычислений получаем
<М*> = М\ + ^ V «akat>) -<а?ак)) *№-*'* =
= M: + »5](akat-a^k>.
к
Учитывая B.5), а также то, что сумма по всем состояниям 2 равна
v
числу элементарных ячеек в кристалле, получаем
<М*> = Ml + l^i. = (|«J s (S + 1), B.7)
где у о — атомный объем (v0 = a3).
1 Согласование заключается в том, что с заданной точностью выполняются
перестановочные соотношения B.3)
тх (г*) ту (г2) — ту (гг) тх (ri) ^ — 2ф0М0б (гх — г2),
mi/(ri) mz (**) "" m2 (r2) % (fi) ^ —2ф0т^б (гх — r2).
15

Итак, при слабых возбуждениях среднее значение (М2> не
зависит от степени возбуждения, поэтому основное предположение
макроскопической теории намагниченности ферромагнетика оправдывается:
<М2> = const. Но при макроскопическом описании ферромагнетика
вектор М считается классической величиной, для которой М2 = Ml.
Последнее возможно только при s > 1, что следует из B.7). Это
означает, что изложенная схема квантования поля намагниченности
может привести к обычным классическим результатам только в том
случае, когда динамика спина отдельной элементарной ячейки является
квазиклассической. Следовательно, формулы B.4), B.6) должны
восприниматься как результат квазиклассического квантования поля
намагниченности.
Известно, что уточнение выражений спиновых операторов через
бозевские операторы рождения и уничтожения магнонов в любой
последовательной схеме связано с разложением по параметру \lV~s.
В частности, обычно применяемая схема Холстейна — Примакова
028] может быть оправдана только при условии l/]/"s С 1. Не
вдаваясь в тонкости обоснования квантовой теории поля
намагниченности, все требуемые условия будем считать выполненными.
Вернемся к формуле B.6). Суммарное изменение г-компоненты
вектора магнитного момента всего кристалла
[ тг (г) d3x = — 2\i0 2 atak = — 2\i0 2 пк. B.8)
k k
Из B.8) следует, что каждый магнон уменьшает равновесную
намагниченность на величину 2|л0 и соответствует «перевороту» одного
электронного спина (одному спиновому отклонению). В то же время
число магнонов N в возбужденном состоянии ферромагнетика
определяется как полное число спиновых отклонений:
N = ~ W»1Щ (Г) d%X = 2]Го 1 (М° ~ Мг (Г)) dH- B<9)
В дальнейшем при макроскопическом описании поля
намагниченности для определения числа магнонов будем использовать
формулу B.9).
При квантовом описании в качестве гамильтониана поля
намагниченности выступает энергия магнетика A.1), плотность которой
является функцией компонент вектора М и их пространственных
производных. Если гамильтониан задан, т. е. если известна плотность
энергии магнетика, то соотношения B.4) и B.6) позволяют
определить энергетический спектр магнонов — достаточно диагонализо-
вать гамильтониан.
Получение закона дисперсии магнонов почти тривиально в случае
одноосного ферромагнетика с анизотропией типа легкая ось.
Пренебрежем магнитодипольными взаимодействиями (последнее можно
оправдать, например, при р> 4я). Тогда магнитная энергия ферромаг-
16

нетика A.1), отсчитанная от энергии основного классического
состояния, имеет вид
1 г* г дМ.дМ, 9 9 1
Е=\\[«Щ-Щ-ПМ\-М1)ух. B.10)
Подставим в B.10) выражения B.4) и B.6), оставив только
квадратичные по операторам ак и at члены, и проинтегрируем их по
объему
*-тЯ-*),+-№),-*ил]Л-
= jx0M0 2 [ak2 (а?ак + ака?) + 2$а?ак].
Воспользовавшись формулами B.5), получим
Е = Е0+%г(к)пЪ
к
B.11)
где Е0 — энергия нулевых колебаний поля намагниченности, а
e(k)s= йй(к) = 2pfx0M0{l +| k2\. B.12)
После введения стандартных обозначений
Й(о0 = 2PMf0, l*0=j, B.13)
где <о0 — частота однородного ферромагнитного резонанса; /0 —
характерная магнитная длина, запись B.12) упростится
е(к) = йсо0[1 + (/0&J]. B.14)
Видно, что спектр энергий магнона имеет щельЙсо0. Обычно /0 > а,
тогда даже в длинноволновом приближении (ak <^ 1) вполне
возможны волновые векторы, для которых l0k > 1.
Поэтому квадратичный закон дисперсии
B.14) справедлив в интервале энергий,
ширина которого значительно превышает
ширину щели йсо0. График закона
дисперсии B.14) изображен на рис. 1 сплошной
кривой, штриховая линия имеет наклон,
определяющий минимальную фазовую
скорость магнонов vm = 2со0/0.
Вычисление гамильтониана поля
намагниченности с точностью, превышающей
гармоническое приближение (с учетом ан-
гармонизмов), позволяет описать
взаимодействие магнонов. Проанализируем
взаимодействие магнонов влегкоосном
ферромагнетике, сохраняющееся в пределе fe->0. ^ , 0
^ if"-. г рис J Закон дисперсии спи-
Оказывается, что оно полностью обуслов- новых ВОЛн в одноосном фер-
лено магнитной анизотропией. Для его ромагнетике.
2 3-49
17

описания достаточно вычислить в следующем приближении
последнее слагаемое в B.10). Снова подставим в B.10) выражения B.4)
и B.6), сохраняя члены четвертого порядка по операторам ак и at'.
Е = Е0+%г(Ъ)пк + Жвз. B.15)
Последнее слагаемое в B.15) равно
ЖВ5 = - 2р (^J J d*x ? ata^atfi^^^-^ =
= - Т^2 S <?<Ь>аЬак'? (k - k' + kx _ ki), B.16)
где сумма вычисляется по всем волновым векторам.
Оператор Жвз играет роль гамильтониана парных взаимодействий
магнонов. Правда, располагая операторы рождения и уничтожения
в требуемом порядке
^ва = ^ Zj як ^ У af ак>аКаКА (к + к' — кх — кх),
видим, что Жвз содержит слагаемое, перенормирующее щель в спектре
невзаимодействующих магнонов. Но при s > 1 это слагаемое можно
опустить, положив
Жвз = - ^ ? аЫаКаК А (к + к' - кх - К). B-17)
Таким образом, взаимодействие магнонов в ферромагнетике с одно-
ионной анизотропией типа легкая ось имеет характер притяжения,
т.е. для длинноволновых магнонов характерна тенденция
скапливаться в одной области пространства.
Наличие притяжения магнонов в одномерной системе является
в определенном смысле критичным, так как обязательно приводит
к образованию связанного состояния двух и больше магнонов. В
трехмерном ферромагнетике проблема связанного состояния двух
магнонов ставит прежде всего вопрос об интенсивности притяжения
магнонов. Обсудим этот вопрос. Гамильтониан B.17) может быть порожден
следующим потенциалом контактного взаимодействия двух частиц:
U(r) = -U0vMr), U0 = 2^, B-18)
где г — расстояние между магнонами. Так как
то магноны притягиваются очень слабо. А если учесть, что ширина
энергетического спектра магнонов значительно превышает ширину
щели йсо0, то легко заключить, что пара длинноволновых магнонов
не может образовать связанного состояния.
18

Итак, магноны в легкоосном
ферромагнетике притягиваются,
и фактически притяжение
является причиной макроскопических
явлений, связанных с
возникновением локализованных в
пространстве возбуждений
намагниченности. Правда, это притяжение
слишком слабое для создания
связанного состояния двух магнонов
в трехмерном случае. Но ситуация
изменяется при одновременном
«связывании» большого числа
магнонов: даже столь слабое
притяжение может обеспечить
образование связанного состояния
достаточно большого числа магнонов.
Если бы магноны были чисто бозевскими частицами и
существовало только взаимодействие B.18), то с увеличением числа связанных
магнонов N возникшее локализованное состояние уплотнилось бы
и при N ->¦ оо произошел бы коллапс. Но тот факт, что бозоны
являются паулевскими (а не бозевскими) частицами, навязывает такую
кинематику магнонов, которая на малых расстояниях приводит к их
эффективному расталкиванию. В результате возможность коллапса
исчезает, и возникают условия для образования стабильного
связанного состояния большого числа магнонов.
Рис. 2. Угловые переменные для
вектора намагниченности.
3. Интегралы движения и адиабатический
инвариант уравнений динамики
намагниченности
Существует несколько вариантов выбора переменных ве
личин, в терминах которых записываются уравнения Ландау — Лиф-
шица. Чаще всего используются угловые переменные 8 и ф, задающие
пространственную ориентацию вектора М (рис. 2)
Мх + iMy = Мо sin Qe^9 Mz = М0 cos 0.
C.1)
Уравнение движения вектора намагниченности A.2) в угловых
переменных 6 и ф имеет вид
.. fi 06 2ii0 6E
sinw^ = —щ--^,
bmD dt hM0 66 i
C.2)
где в правых частях стоят вариационные производные энергии A.1),
являющейся функционалом 0 и ф.
Уравнениям C.2) можно сопоставить функцию Лагранжа с
плотностью [29, 99, 98J
*e^(,_coee)?-irf
C.3)
19

предположив плотность энергии W функцией 9 и ср, а также их
градиентов.
Относительно выбора плотности функции Лагранжа C.3) полезно
сделать следующее замечание. Запись C.3) приспособлена для
вычисления интегралов движения локализованных возбуждений в
ферромагнетике, основное состояние которого отвечает 0 == 0. В
частности, оно удобно в случае легкоосного ферромагнетика.
Очевидно, что в однородном магнетике уравнения C.2) всегда
обладают двумя интегралами движения: полной энергией A.1) и
полным импульсом поля намагниченности
Р = — f-7TTV9^ = -^ Г О— cosQ)Vq>d*x. C.4)
Для любого локализованного возбуждения соотношение C.4)
эквивалентно следующему:
Р = _ MJ> J фу cos 9 <Рх. C.5)
Дальше понятие импульса будет использовано также для
динамических возбуждений, не являющихся локализованными, т. е. для
которых функция 6 (г) не исчезает на бесконечности. Таковыми
являются плоские спиновые волны и доменные границы. Для них
определения C.4), C.5) не эквивалентны, и каждый раз требуется выбирать
определение импульса, соответствующее его механическому смыслу.
Кроме энергии и импульса, могут существовать аддитивные
интегралы движения однородного магнетика, порожденные угловой
симметрией функции W. Заметим, что изменению угла ср соответствует
прецессионное движение вектора М вокруг оси г, от которой
отчитывается угол 9 в C.1). Если плотность энергии не зависит явно от ср,
т. е. она инвариантна относительно поворота вектора М вокруг оси
прецессии, то существует интеграл движения
tf = ytj(l — cosGJd8*. C.6)
Действительно, как следует из C.3), обобщенной координате q>
отвечает канонически сопряженный импульс
А» = —т^— = ^7— A — cos 0).
д дЛ\ ^°
\д*'
В том случае, когда ср — циклическая координата, интеграл C.6)
.должен сохраняться.
Сравнивая C.6) с B.9), заключаем, что выражение C.6) совпадает
со средним числом спиновых отклонений в возбужденном состоянии
ферромагнетика. Для локализованного в пространстве неоднородного
возбуждения магнетика, когда на бесконечности 6 = 0, интеграл
C.6) ограничен. При N > 1 величину N можно считать
целочисленной, называя ее числом магнонов, связанных с локализованным
возбуждением [73, 139].
20

Предположение о целочисленное™ интеграла движения N
соответствует квазиклассическому квантованию локализованных
решений в одноосном ферромагнетике.
Если магнетик является изотропной однородной средой, то его
возбуждения наряду с C.4) будут обладать сохраняющимся полным
моментом количества движения поля намагниченности
К = - -^[«^ф!** = -?? A-совв)[гуф]Лг. C.7)
В том случае, когда вектор К направлен по оси прецессии (оси
г), интегралы движения C.5) и C.7) могут оказаться зависимыми.
Введем цилиндрические координаты р, %, г и рассмотрим осесиммет-
ричное распределение намагниченности, при котором 6 не зависит о 7
угла х, а ф — от координаты р. Тогда из C.7) следует
Кг =—jT J A—cose)&ppdpdz,
2ц0
где бф — изменение функции ф при обходе вокруг оси z,
2Я
Так как вектор М — однозначная функция координат, то
приращение угловой переменной ф должно быть кратным 2я. Поэтому
Кг = —hvNt v = 0, ±1, ±2, ... C.8)
Таким образом, интегралы движения Кг и N в этом случае
действительно пропорциональны, и коэффициент пропорциональности
принимает дискретный ряд значений.
Пусть некоторое локализованное возбуждение магнетика обладает
отличным от нуля импульсом поля намагниченности C.4). Это
означает, что «центр тяжести» возбуждения перемещается2 с некоторой
постоянной скоростью V. В простейшем случае такое движение
отвечает поступательному перемещению возбуждения,
сопровождающемуся прецессией вектора намагниченности с фиксированной частотой:
9 = 9 (г — V0, Ф = i|> (г —V/) + со/. C.9)
Здесь со — частота прецессии в системе координат, движущейся со
скоростью V.
2 Можно ввести несколько другое определение полевого импульса
отличающееся от C.4) на величину— (hM0/2\x0(\ — Mz/M0) ф)*,. При этом даже
при неподвижном центре тяжести возбуждения импульс может быть не равен
нулю.
21

Рассмотрим изменение энергии A.1) при малых вариациях
функций 6 и ф, имея в виду уравнения C.2)
б? = j" bWd*x = j(g 6в + ЩбФ) d?x =
=т? I (sin e w m ~sin e т Ч **• <3-10>
Перепишем C.10), учитывая C.9) и используя интегригрование по
частям, а также опуская обращающиеся в нуль внеинтегральные
члены
6? = ©^jsine68d8* — V^j{(l— cos9)V6^ +
+ sin9(v^Ne}d3A:.
Принимая во внимание, что
bN = •%*-[ sin 669 Л,
бр = _ ЛМо Г |(! _ cos е) уб^ + sin e (уг|)) g0j dzx
приходим к соотношению [73]
ЬЕ = Йсо8ЛГ + V6P. C.11)
Таким образом, для любой самолокализованной волны
намагниченности вида C.9) справедливы дифференциальные соотношения
у=*^,*а> = ^. C.12)
Первое соотношение C.12) устанавливает характерную для
механики частиц связь между скоростью и импульсом, вытекающим из
соответствующего уравнения Гамильтона. Сопряженное ему
уравнение Гамильтона представляет собой запись закона сохранения
импульса волны в однородном магнетике:
d? _ дЕ (Р, N) _п
dt ~~ дХ ~~ U>
где X — положение центра тяжести локализованной волны (V =*=
- dX/dt).
Второе соотношение C.12) определяет физический смысл
величины со. При увеличении числа магнонов в локализованном
возбуждении на единицу энергия возрастает на йсо (Р, N). Следовательно,
Й(о (Р, N) является минимальной энергией квазичастицы в магнетике,
который содержит движущееся локализованное возбуждение.
Если переписать второе выражение C.9) в виде
ф = яр (г — Vt) + Ф (t)
и ввести определение со = d<b/dt, то уравнение Гамильтона,
сопряженное второму соотношению C.12), будет выглядеть так:
»?-- ssfta-a (з.1з,
22

Уравнение C.13) сводится к закону сохранения числа магнбнов
в магнетике, энергия которого не зависит явно от ср.
Таким образом, возможность представить 0 и ф в виде функций
с разделенными переменными C.9) связана с сохранением числа маг*
нонов N в рассматриваемой системе
Если магнитная анизотропия такова, что плотность энергии
зависит от ф, то C.6) перестает быть интегралом движения3. Однако
и в этом случае для локализованных решений определенного типа
удается построить процедуру квазиклассического квантования и
получить ряд общих соотношений между интегралами движения без
использования явного вида плотности энергии [72].
Естественным обобщением двухпараметрических решений C.9)
.являются нелинейные волны намагниченности, движущиеся с
постоянной скоростью V и обладающие периодичностью по времени с
периодом Т = 2я/со в системе координат, движущейся вместе с волной. Это
решения вида
9 = 9 (г — Vt, t), ф = ф (г — W, /),
е<&, <+ Т) = 9F,'/), C.14)
ехр{/ФF, /+Г)} = ехр{нр(?, t)}.
Решения такого типа описывают компоненты вектора
намагниченности C.1) как периодические функции времени в системе координат,
движущейся со скоростью V.
Самолокализованной волне отвечают такие решения C.14), в
которых на бесконечности 0 = 0, а градиент уф ограничен. Построим
адиабатический инвариант поля намагниченности в такой волне.
Заметим, что движение намагниченности периодично по времени
в системе координат, движущейся вместе с волной (g = г — V/ =
= const). Именно в этой системе координат естественно ввести
адиабатический инвариант. Используем явный вид импульса р^,
отвечающего обобщенной координате ф, и запишем выражение для
адиабатического инварианта в стандартном виде [95, 62, 7]
о
X^(l-cose)(f?M=const^ C.15)
Рассмотрим изменение адиабатического инварианта / при малых
вариациях функций 0 и ф. Нетрудно убедиться, что
2я 2цо J ,) l \d//t=const \d//$=const TJ
C-16)
3 Примером магнетика, в котором N не сохраняется, может служить
ферромагнетик с плотностью энергии A.11) при рх ф О и р3 Ф 0.
'23

При записи второго слагаемого в выражении C.16) использовалась
периодичность функций 60 (?, t) и бф (?, /) по времени при
постоянном | = const и проинтегрировано по частям. С учетом равенства
перепишем выражение C.16) в виде
«-?&М*Й*-я«»)+
О
т
+ 5й 1^7 V1 #* 1 Л sin 9 F9?ф ~ *PVe)- C.17)
О
Сравнивая первое слагаемое в C.17) с C.10), заключаем, что оно
пропорционально ЬЕ. Интегрирование по частям во втором слагаемом
C.17) приводит к выводу, что оно пропорционально 6Р. Таким
образом,
соб/ = 6? — V6P. C.18)
При выводе C.18) учитывалось, что энергия и импульс поля
намагниченности являются интегралами движения, поэтому
интегрирование б? и 6Р по времени свелось просто к умножению их на период 7\
Но обычно рассматривают энергию как функцию адиабатического
инварианта и интегралов движения. Поэтому C.18) следует
переписать в виде
б? = V6P + соб/. C.19)
Поскольку локализованное возбуждение классического поля
намагниченности характеризуется конечным значением
адиабатического инварианта /, то возможно квазиклассическое квантование
этого возбуждения с обычным условием
/ = hN9 N > 1, C.20)
где N — целое число.
В случае решений типа C.8) выражение для адиабатического
инварианта C.15) переходит в C.5) для числа спиновых отклонений,
и C.20) превращается в тождество. Таким образом, условие
квантования C.20) является обобщением квазиклассического квантования,
основанного на предположении о целочисленности C.5). В то же
время целому числу N в C.20) можно придать смысл числа связанных
магнонов в локализованном возбуждении типа C.14).
Естественно, что подстановка условия C.20) в формулу C.19)
приводит к соотношению C.11).
Обратим внимание на другую форму записи дифференциального
равенства, сопряженного соотношению C.11), в системе с
сохраняющимся числом магнонов N. Введем полную функцию Лагранжа
24

где X определяется формулой C.3). Для локализованной волны тип»
C.8)
I = ру + hN<* — E> C.21>
Если энергия локализованного возбуждения Е не зависит явно от
координаты его «центра тяжести» и угловой переменной <р, то на
основании C.11) и C.12) можно заключить
8L = P6V + hN 6©. C.22)
Функция Лагранжа самолокализованной волны в качестве
независимых переменных, как и должно быть, имеет обобщенные скорости
V и со. Отвечающие этим скоростям обобщенные импульсы имеют вид
Р = ?^))^ = ^-^- C-23>
Таким образом, солитон типа C.8) имеет полное механическое
описание как частица с импульсом Р и собственным угловым моментом
ЙЛЛ Но в отличие от спина элементарной частицы угловой момент
локализованной магнитной волны связан с макроскопическим
прецессионным движением намагниченности, и частота прецессии со
определяет энергетический спектр возбуждений солитона с фиксированным
импульсом Р.
В заключение еще несколько слов о квазиклассическом
квантовании магнитных солитонов. При введении целочисленного параметра
в записи адиабатического инварианта C.20) встречаемся с условием
N > 1. Но даже в том случае, когда число магнонов сохраняется
и N — интеграл движения, такое условие, безусловно, остается
в силе как свидетельство макроскопичности используемой схемы
описания магнетика.
Дело в том, что в классическом самолокализованном колебании
одновременно определяется (задается) как амплитуда, так и фаза
нелинейной волны ф (амплитуда волны однозначно связана с числом
элементарных возбуждений N)> а в квантовомеханической системе это
невозможно. Известно, что неопределенность каждой этой величины
удовлетворяет соотношению
6#6ф~ 1.
Таким образом, при квазиклассическом описании максимально можно
рассчитывать на то, что фаза имеет неопределенность бф —* N~1/2r
а число квантов N — относительную неопределенность 6N/N — N~1/2.
Поэтому сформулированное вначале утверждение имеет смысл лишь
при N > 1.
4. Динамика намагниченности ферромагнетика
с одноосной анизотропией
Обсудим известные динамические свойства легкоосного
ферромагнетика, обратив внимание на те, которые существенны при
анализе нелинейных волн намагниченности.
2S

Исходим из простейшего выражения для плотности энергии
одноосного ферромагнетика типа A.11) с р, =0, но с учетом внешнего
однородного магнитного поля, направленного вдоль оси анизотропии.
В терминах угловых переменных 9 и ф плотность энергии
записывается следующим образом (р = рз):
W = 1 аМ20 [(V9J + sin2 0 (уфJ] + ^ рМ02 sin20 + М0Н A — cos 6).
D.1)
Запись D.1) приспособлена для изучения легкоосного
ферромагнетика (Р > 0), так как энергия отсчитывается от энергии однородно
намагниченного основного состояния F = 0). Поэтому вначале
предположим, что E > 0.
Считая магнитное поле внешним, т. е. заданным, собственное
магнитное поле неоднородно намагниченного магнетика не учитывается,
другими словами, не учитывается магнитодипольное взаимодействие.
В некоторых задачах пренебрежение магнитодипольным
взаимодействием может быть оправдано предположением р > 4я. В том случае,
когда этого недостаточно, D.1) будет рассматриваться как плотность
энергии для некоторой модельной системы, допускающей простое
явное описание нелинейной динамики.
Уравнения C.2), порожденные плотностью энергии D.1),
выглядят следующим образом:
1\Д6 - [ 1 + /02(УФJ1 sin 0 cos 0 + J- (g - 0)Я) sin 0 = 0,
l20 div (sin«6Vq>) - ± ft sin 0 = 0, D.2)
где использованы обозначения B.13) и со^ =2\i0H/h.
Как отмечалось выше, при магнитном поле, направленном вдоль
оси анизотропии, основное состояние ферромагнетика отвечает 0 = 0.
Малые отклонения от такого основного состояния всегда могут быть
описаны в виде плоских волн типа
в = в0« 1, <р= ©* —кг, D.3)
причем частота со и волновой вектор к связаны законом дисперсии для
спиновых волн
ю_©я = со0[1 + (М0J]. D-4)
Заметим, что, во-первых, при Н = 0 закон дисперсии D.4)
совпадает с B.14), полученным при квантовом рассмотрении легкоосного
ферромагнетика. Во-вторых, учтем, что в линейном приближении
магнитное поле приводит лишь к сдвигу частоты: если определить
новую частоту как со' = со— соя, то для нее получаем обычный закон
дисперсии B.14).
Интеграл движения N не имеет смысла для спиновой волны
(интеграл C.5) расходится). Однако можно ввести плотность магнонов
в спиновой волне
26

Из этого выражения следует, что амплитуда спиновой волны, как
и должно быть, пропорциональна корню из плотности магнонов
80сх> У п.
Импульс спиновой волны C.4)
Р = ШУ, D.5)
что полностью соответствует представлению о том, что каждый магнон
имеет квазиимпульс Йк.
Иногда удобно иметь закон дисперсии в системе отсчета,
движущейся с групповой скоростью волны v = dco'/dk. Перепишем закон
дисперсии в этой системе отсчета, выразив частоту через групповую
скорость:
со = о' _kv = со' — 2 (kl0J = co0 [l — QOT D.6)
где vm = 2(о0'о —минимальная фазовая скорость магнонов с законом
дисперсии B.14).
Величина со положительна для v < vm и отрицательна для v >vm.
Отсутствие симметрии относительно оси со = 0 связано с выбором
вполне определенного основного состояния (9 = 0). Ясно, что
прецессия вектора М' относительно оси анизотропии (при фиксированном*
в Ф я/2) в разных направлениях физически не эквивалентна.
Использовав D.6), фазу спиновой волны <р, определяемую вторым
соотношением D.3), можно переписать в следующем виде:
е = е0, Ф = со/-(^)г-^-. D.7)
Эта запись понадобится при анализе солитонных решений в
одноосном ферромагнетике.
Неоднородная намагниченность, являющаяся в определенном
смысле другим предельным состоянием ферромагнетика, порождается
наличием плоской доменной границы в магнетике. Допустим, что
внешнее магнитное поле отсутствует (Н = 0) и вдоль оси х
распределение намагниченности соответствует равновесному состоянию 0 = 0
при х = —оо и равновесному состоянию 0 = я при х — оо. Тогда
магнетик находится в двухдоменном состоянии, распределение
намагниченности в котором зависит только от координаты х.
Будем искать решение уравнений D.2) в виде
0 = 0 (*), ф = ф (х),
предположив производную ду/дх ограниченной. Тогда ф = ф0 =
= const, и для функции 0 (х) возникает уравнение
/o2|^=sin0cos0. D.8)
Уравнение D.8) легко интегрируется и его решение, описывающее
двухдоменное состояние намагниченности, имеет вид
0 = 2arctgexp(^^l D.9)
21

где х0 = const — параметр,
определяющий положение центра
переходной области от одного к
другому домену (рис. 3, а). Решение
D.9) называют доменной
границей, или доменной стенкой.
Поскольку 0 в доменной стенке
поворачивается на 180°, то ее называют
180-градусной доменной границей.
Введенная в B.13) магнитная
длина /0 определяет порядок
величины ширины (или толщины)
доменной границы. Для
справедливости использованного
длинноволнового описания необходимо
предполагать, что /0 > а, где а —
межатомное расстояние.
Хотя график функции D.9) на
рис. 3, а не симметричен, состоя-
ния9 = 0и6 = я физически
равноценны. Поэтому более удобной
характеристикой неоднородности
намагниченности при наличии
доменной границы служит величина отклонения вектора
намагниченности от равновесного направления, а именно, величина
м^ГЩТК=м0*ш= сЬ1(Л0,о)//0] • DЛ0>
Функция D.10) и ее график (рис. 3, б) описывают типичное
уединенное локализованное возмущение, попадающее под общее
определение солитона. Таким образом, 180-градусная доменная граница
представляет собой простейший одномерный солитон поля
намагниченности.
В пренебрежении магнитодипольным взаимодействием доменная
граница в одноосном ферромагнетике не может перемещаться.
Действительно, при смещении доменной границы на 6х0 величина N
должна измениться на
г~>~~
я
0
iMi
|/
Л
у 1
1
'о
¦—k—-
¦л
It
1
X
^~-т
Рис. 3. Доменная граница:
а — изменение ориентации магнитного
момента; б — распределение отклонения
намагниченности от равновесной величины.
W
М0а*
блгл
Но так как N — интеграл движения, то такое изменение невозможно
[58].
Если отвлечься от модели ферромагнетика с анизотропией типа
ось легкого намагничивания и предположить некоторую зависимость
энергии Е от угловой переменной ф (или учесть магнитное дипольное
взаимодействие), то возможно собственное движение доменной
границы даже в отсутствие внешних сил. В дальнейшем придется
встречаться с такими ситуациями.
Интересен пример возмущения, похожего в некотором смысле на
доменную границу D.9), так называемая волна поворота в одноосном
28

ферромагнетике с анизотропией типа плоскость легкого
намагничивания.
Вернемся к записи плотности энергии A.11) и положим в ней р3 =
= Pi = Р > 0. Тогда в отсутствие внешнего магнитного поля (Я = 0)
равновесию отвечает состояние с Му = 0, и плотность энергии
возбужденного состояния ферромагнетика приобретает вид
W = ~ аМ\ [(уЭJ + sin2 9 (v<pJl + y PMo sin2 9 sinaq>. D.11)
Выражение D.11) определяет плотность энергии легкоплоскостного
ферромагнетика, у которого плоскостью легкого намагничивания
служит плоскость xz (в равновесии sin <р = 0 при произвольном
значении угла 0).
Из D.11) и A.2) вытекают уравнения движения
/JAB — [sin2 ф + /02 (yepJ] sin 9 cos 9 = — ~ |? sin 9, D.12)
l0 div [sin2 9уф] — sin2 9 sin ф cos ф = — ^ sin 9,
где l\ = a/p и й(о0 = 2Рц,0М0.
Будем искать решение уравнений D.12) в виде волны
стационарного профиля
9 = 0 (Х — vt), ф = ф0 = const, D.13)
перемещающейся с постоянной скоростью V.
Легко убедиться, что уравнения D.12) совместны при условии
СО52ф0
-Ш'- DЛ4>
когда они сводятся к уравнению типа D.8)
/0 j-5 = sin^0 sin 9 cos 9.
Это уравнение имеет следующее интересное решение:
е = 2агс.8ехрAЛ-У-)гтГ<}, <415>
которое определяет волну поворота [4]. Решение D.15) описывает
такое распределение неоднородной намагниченности, для которого Мг~
= М0 при х = —оо и Мг = —М0 при х = + оо. Вектор М
поворачивается на 180°, и его «выход» из плоскости легкого намагничивания
характеризуется величиной
Af, = Af0sin<p0sine(* —W) = M0sinq>0
и\ • x—Vt[
ch jsinqH—j—)
x-Vt(' D.16)
Поскольку ось анизотропии совпадает с осью у, то в таком
ферромагнетике должна сохраняться у-проекция полного магнитного
29

момента, с отклонением которого от равновесного значения (Му = 0)
можно связать число магнонов:
00
— 00
Как видим, движение волны поворота с постоянной скоростью не
противоречит сохранению числа связанных с ней магнонов. Значит,
интеграл движения N вовсе не зависит от скорости волны поворота.
Он является постоянной величиной, составленной из параметров
задачи, поэтому не может быть физической характеристикой
рассматриваемого возбуждения магнетика.
5. Спиновые комплексы
как магнитные солитоны
Впервые полный анализ возбужденных состояний
одномерного ферромагнетика на простейшей модели выполнен в работе Бете
[107]. Он развил последовательную квантовую теорию возбуждений
изотропной ферромагнитной цепочки со взаимодействием ближайших!
соседей, предположив спин узла s = 1/2, т. е. нашел все состояния
системы, описываемой одномерным гамильтонианом типа A.4), и
получил спектр энергий этой системы.
Оказалось, что слабовозбужденное состояние (ДМ2 = 2(i0)
рассматриваемого ферромагнетика всегда может быть представлено как'
свободная спиновая волна с законом дисперсии
е (k) = 2f sin2 (f). E.1)
Если kMz/2\x0 == N ^ 2, то реализующие возбужденное состояние
магноны ни в каком приближении не могут рассматриваться
абсолютно независимыми. Кроме состояний, которые представлены в
виде набора независимых спиновых волн, всегда существуют связанные
состояния магнонов (спиновые комплексы), энергия которых лежит
вне непрерывного спектра спиновых волн. Спиновый комплекс
перемещается как единое образование с вполне определенными энергией Е
и полным импульсом Р9 между которыми существует связь:
E{N,P) = 2-§^{^), E.2)
где N — число магнонов в комплексе.
Оказалось, что энергия комплекса из N магнонов меньше
суммарной энергии свободных N магнонов, если положить Р = Nhk> где
hk — квазиимпульс отдельного магнона (минимальная энергия N
свободных магнонов равна Ne (&)). Из последнего, а также хорошо
известного свойства решений уравнения Шредингера вытекает, что
полученное Бете неоднородное состояние локализовано вблизи «центра
тяжести» спинового комплекса.
30

Таким образом, на квантовом языке описано локализованное воз--
буждение, которое при N > 1 называют магнитным солитоном.
Сделаем несколько важных выводов, связывающих анализ Бете
с современным подходом к решениям макроскопических уравнений
динамики намагниченности. Во-первых, Бете нашел все
стационарные квантовые состояния одномерной цепочки спинов и
классифицировал спектр соответствующих собственных значений энергии. Во-
вторых, показал, что спиновые волны и их комплексы не только
исчерпывают все возможные стационарные состояния спиновой цепочки,
но являются независимыми возбуждениями. Последнее вытекает
непосредственно из линейности уравнения Шредингера для
соответствующей квантовой задачи. В-третьих, установлено, что многомагнон-
ный комплекс представляет собой двухпараметрическое
локализованное состояние магнитной цепочки (у Бете в качестве этих
параметров выступают N и Р).
Изложив точные квантовомеханические результаты, необходимо
отметить успехи в изучении классических уравнений Ландау — Лиф-
шица, относящиеся к изотропному одномерному ферромагнетику.
В работах Лакшманана [140] и Тахтаджана [156] доказана и
продемонстрирована их полная разрешимость.
Возвратимся к спиновым комплексам. Следующей по сложности
магнитной системой, в которой изучены спиновые комплексы,
является гейзенберговская цепочка с однооснор анизотропией (с
гамильтонианом A.5), в котором#-х = $2Ф ty3). Впервые полное решение
квантовой задачи возбуждений такой системы дано в ряде работ Янга и Ян-
га [164—166]. Спектр возбуждений анизотропной гейзенберговской
цепочки рассматривался позже Овчинниковым [80]. Явная функцио
нальная зависимость энергий связанных состояний спинов от N и Р
получена Гочевым [35] для 0 <#^ =#-2 < #> Основной результат
работ [80, 35] может быть переписан путем тождественных
преобразований в следующем виде:
E-Vti-f, < + 2 —j$-i . E.3)
где ch B/ЛУ = #V#v
Формула E.3) обобщает соотношение E.2) и при #-3 = #4= #- (N*-+
-* оо) переходит в последнее.
Через много лет после работы Бете [107] исследования Бакстера
[106] завершились доказательством полной интегрируемости
квантовой одномерной X— Y — Z модели (со спином s = 1/2). Сразу после
этого в работе Джонсона, Кринского и Мак-Коя [131] был найден
спектр наиболее низколежащих уровней энергии состояний,
аналогичных спиновым комплексам Бете.
Поскольку в системе, описываемой гамильтонианом A.5), число
магнонов не сохраняется, то спиновый комплекс в X—Y—Z модели
не может характеризоваться определенным числом связанных
магнонов. Однако роль соответствующего целочисленного параметра может
31

исполнять величина N, возникающая при квантовании
адиабатического инварианта C.20). Действительно, энергетический спектр
возбуждений, найденный в работе [1311, характеризуется двумя
параметрами: суммарным импульсом Р и целочисленным параметром N,
связанным в классическом пределе с адиабатическим инвариантом.
Формула для уровней энергии связанных состояний спинов
записана в [131] при вполне определенных соотношениях между обменными
интегралами tyx, tyy и #v Рассмотрим соотношения (#* >y-y>tyz>
> 0), для которых полученное в работе [131] выражение для энергии
переписывается в виде [6]:
X [sin'(g) + «,»cos'(g)sn»D. ?)]"' , E.4)
где sn (r\) — эллиптический синус Якоби; К — полный эллиптический
интеграл I рода. Модуль эллиптического интеграла q задается
соотношением
а модуль эллиптических функций q определяется как корень
уравнения
где ? находится из условия
en BS, ?) = ff, E-7)
гв котором сп (ц) — эллиптический косинус Якоби.
Упоминавшийся выше целочисленный параметр N входит в E.4)
через посредство аргумента функции sn (ц):
4-c?fc2*;JV<^--l. E.8)
К (q) 6
Для получения спектра энергий связанных состояний магнонов
в случае одноосной анизотропии достаточно сделать в E.4)
предельный переход tyy ->- tyxi при котором </->(), q' -+¦ 1, а следовательно,
q -> 1, q' -> 0. В пределе получаем соотношение E.3).
Подчеркнем, что подобно спиновым комплексам Бете,
возбуждения с энергиями E.4) являются двухпараметрическими состояниями
одномерной X — Y — Z модели, а возбуждения с энергиями E.3) —
двухпараметрическими связанными состояниями в одноосном
ферромагнетике.
Для того чтобы получить прямое свидетельство того, что спиновые
комплексы имеют отношение к солитонам поля намагниченности,
32

следовало бы проанализировать предельные свойства волновой
функции спинового комплекса в координатном представлении при N > 1.
Не ставя себе целью последовательно излагать квантовые свойства
одномерного ферромагнетика в общем виде, ограничимся анализом
слабовозбужденных состояний магнетика [56]. В § 2 отмечалось,
что при достаточно слабых возбуждениях динамика магнитной
системы эквивалентна динамике разреженного неидеального бозе-газа
магнонов.
В случае анизотропии типа ось легкого намагничивания
неидеальность газа магнонов проявляется в их взаимном притяжении на малых
расстояниях, причем в трехмерном случае для потенциала
притяжения может быть взято выражение B.18). В одномерном случае его
аналогом является формула
U (х) = — aUJS (*), U0 = 2frx20 > 0, E.9)
и гамильтониан взаимодействия магнонов в координатном
представлении
^вз=? U(Xi — x,), E.10)
где %i — координата /-го магнона.
Оператор кинетической энергии отдельного магнона в
длинноволновом приближении получается из B.14) путем замены k -> — i\/,
поэтому в одномерном случае
e^-^coo-flg, E.11)
где т — масса магнона, определяемая формулой
В одномерном случае притяжение E.9) неизбежно приводит к
возникновению связанного состояния пары частиц, а гамильтониан E.10)
для N частиц обусловливает появление связанного состояния
большого числа бозонов. Координатная часть волновой функции ./V
частиц, взаимодействующих по закону E.9), находится из уравнения
Шредингера
N
fi2 X д2Ф V
2т~хдх* i<i E.12)
где энергия отдельной частицы отсчитывается от уровня йсо0.
Уравнение E.12) допускает точное решение [145]. Если
ограничиться случаем, когда полныйдшпульс всех квазичастиц равен нулю,
то координатная часть волновой функции
Ф(*ъ х2, ... , л:^)-ехр|— ajj^Yi\xi — xi\}> EЛЗ)
а энергия связанного состояния
mill а2
3 3-48
33

С помощью волновой функции E.13) легко найти плотность маг-
нонов в связанном состоянии. Если х0 — координата центра тяжести
бозонов, то их плотность р (х) определяется формулой
00
Р {х — х0) = ^ ... \dxx ... dxi/D2 (*i .. • xN) X
N N
Можно показать [64, 111], что при больших значениях N функция
р (х) стремится к
, ч mU0a N2 /с 1СЧ
p(x) = ^7^vT {5Л5)
Магноны оказываются локализованными, и линейный размер
области локализации по порядку величины равен
Так как отклонение намагниченности от равновесного значения
непосредственно связано с плотностью магнонов4
(М2 - М0) а2 = —2^0 р (*), E.17)
то неоднородность намагниченности оказывается тоже
локализованной — действительно возникает неподвижный магнитный солитон.
Поскольку уравнение Шредингера обладает галилеевой
инвариантностью, то решение E.15) с неподвижным центром тяжести означает,
что существует также решение типа
р (х, t) = р (х— W),
где V — скорость поступательного перемещения солитона как
целого. Энергия такого движущегося солитона отличается от E.14)
дополнительным слагаемым — кинетической энергией, равной ^- mV2N.
Ранее отклонение намагниченности от равновесного значения
характеризовалось углом 9. Тогда при 9 <^ 1 в E.17) можно положить
Мг — М0 = — -j M0Q2, и окажется, что
ch
4 Множитель а2 в левой части E.17) появился в связи с тем, что
намагниченность М всегда определяется как магнитный момент единицы объема, а
одномерная спиновая цепочка — как магнетик, площадь поперечного сечения
которою равна а2.
34

Зависимость E.18) схематически
представлена на рис. 4. Как и в
случае спиновой волны, амплитуда
солитона пропорциональна корню из
средней плотности магнонов
еп
V Ах'
E.19)
Таким образом, комплекс
достаточно большого числа элементарных
возбуждений рассматриваемой
системы ведет себя аналогично солитону.
Рис. 4. Распределение плотности
магнонов в связанном состоянии.
6. Солитонные решения уравнений
самосогласованного поля для неидеального
бозе-газа магнонов
Как отмечалось в § 1, вывод уравнений динамики
намагниченности согласно микроскопическим представлениям принадлежит
к очень сложным вопросам теоретической физики, от обсуждения
которых воздержимся. Однако если исходить из того, что
слабовозбужденное состояние ферромагнетика в термодинамическом отношении
эквивалентно разреженному бозе-газу магнонов, то можно наметить
схему вывода или записи макроскопических нелинейных уравнений,
описывающих поведение намагниченности в магнитоупорядоченном
кристалле и обладающих солитонными решениями.
Прежде всего убедимся, что для N > 1 решение типа E.15) может
быть получено методом самосогласованного поля Хартри [64, 111].
Заменим волновую функцию Ф (хъ х2> . •. , xn) произведением
N
nty(xt)- Тогда одночастичная функция в самосогласованном поле
будет решением уравнения
*» ^ _ ъ ?< j dXib {xi _ хд ,^ {Xi) p ^ {Xih
е<ф (Xl) = —
2m
dx\
где 8 — одночастичная хартриевская энергия. Это уравнение
эквивалентно нелинейному стационарному уравнению Шредингера
ЙЗ + t+W-o.
Нормированное решение уравнения F.1) имеет вид
где Ал; определяется формулой E.16), а хартриевская энергия
F-1)
F-2)
а»
35

Полная энергия связанного состояния в приближении Хартри
л/2// С * mUia2
00
Плотность числа бозе-частиц в состоянии с волновой функцией
n
П'ф(^), очевидно, равна р(х) = Nty2(x). Поэтому найденная в
4=1
приближении Хартри плотность магнонов совпадает с E.15),
полученной из точного решения при Af>l. В то же время энергия
F.3) при больших N совпадает с E.14). Таким образом,
приближение самосогласованного поля вполне хорошо описывает одномерную
систему взаимодействующих магнонов при Af>l.
Итак, связанное состояние большого числа элементарных
возбуждений одномерной бозе-системы эквивалентно солитону
нелинейного уравнения Шредингера F.1).
Следовательно, стационарные неоднородные распределения
намагниченности легкоосного ферромагнетика могут быть найдены как
решения нелинейного уравнения F.1). Перепишем это уравнение,
предварительно введя функцию
W{x) = VN^{x)e-^y
квадрат модуля которой определяет плотность магнонов в кристалле,
т. е. функцию, модуль которой фактически пропорционален углу 9 при
0^1. Выделим явно в уравнении F.1) энергию Йсо0 = 2Cfx0Af0,
соответствующую однородному ферромагнитному резонансу, а также
запишем одночастичную энергию Хартри в виде Йсо. Тогда вместо
F.1) получаем
ЫУ = Ы0Ч-^%?-аи0\Ч?ГЧ?. F.4)
Заметим, что F.4) является стационарным вариантом нелинейного
уравнения Шредингера
. дУ яд2*? т , . vT(. .« т асо0 ,л _.
—1-^=®01ъ—— ®0W + u0\W\2W; "о = — F.5)
для функции, нормированной на полное число магнонов
W\*dx = N.
$
Уравнение F.5) хорошо изучено и «солитонный» аспект его
решений подробно описан в работе [93].
Итак, представление о неидеальном бозе-газе магнонов приводит
к динамическому нелинейному уравнению F.5). В линейном
приближении это уравнение описывает спиновые волны с законом дисперсии
co = c0o{l + (?/oJ}. F.6)
36

В нелинеаризованной форме уравнение F.5) имеет солитонные
решения типа F.2). Обратим внимание на любопытное поведение этих
солитонов при N -> оо.
Из E.14) и F.3) следует, что с увеличением N энергия,
приходящаяся на одну частицу, понижается пропорционально N2 до сколь
угодно малых значений. Область локализации такого
/^-частичного связанного состояния с увеличением числа частиц уменьшается
обратно пропорционально N, а плотность частиц бесконечно
возрастает (р @) — N2). В системе как бы происходит коллапс.
Формальная причина подобного нефизического поведения
полученного решения при N -* оо заключается в выходе за пределы
использованных приближений. Во-первых, анализировались слабые
возбуждения магнетика, предполагая тем самым 0 С 1. Во-вторых,
основывались на длинноволновом рассмотрении, которое требует
выполнения условия Ах > а. Первое из этих предположений (9 <^ 1)
связано с более сильными ограничениями, так как на основании
E.19) его можно переписать в виде aN <^ Ах. С помощью выражения
E.16) для Ах достаточное условие выполнения обоих предположений
можно представить как усиленное неравенство
JV«tflf A/1 = 4s(l0). F.7)
Описание солитонов в приближении Хартри справедливо только
при выполнении неравенства F.7). Но так как мы исходили из
неравенства N > 1, то весьма существенным является предположение Nx > 1.
Физическая причина коллапса в изложенной схеме заключается
в полном пренебрежении отталкиванием магнонов. Дело в том, что
представление о магнонах как бозевских частицах является
приближенным. Из смысла спиновых отклонений следует, что с увеличением
амплитуды солитона плотность магнонов не может превысить
величины 2s + 1 на одно межатомное расстояние, при которой угол 0
достигает максимального значения 0 = я. Учет высоких членов
разложения плотности энергии магнетика по степеням 02 неизбежно
приводит к эффективному отталкиванию магнонов на малых расстояниях,
что ликвидирует коллапс. Пример изучения плотности частиц в
модельной одномерной системе бозонов, испытывающих трехчастичное
отталкивание на малых расстояниях [64], подтверждает
сформулированное утверждение.
Довольно очевидна эволюция формы солитона по мере увеличения
его эффективной амплитуды, т. е. числа связанных в нем частиц. После
того как максимальная плотность квазичастиц в солитоне достигает
значения, при котором отталкивание на малых расстояниях
полностью компенсирует притяжение, дальнейший рост плотности в центре
солитона прекращается, и возрастание числа N приводит к
увеличению размера образования с практически постоянной плотностью
и энергией связи частиц [64]. Возникающее при этом связанное
состояние большого числа частиц естественно рассматривать как каплю
конденсированного состояния этих частиц. Иное поведение у системы бозе-
37

частиц с отталкиванием. В приближении Хартри состояние такого
газа описывается уравнением, аналогичным F.4):
eW==-M^ + So\^\^' ?«><>• F-8)
Такая система сразу может изучаться в термодинамическом
пределе (N -»- оо), поскольку уравнение F.8) имеет однородное решение,
отвечающее основному состоянию бозе-газа (е = 60,^ = Ч'о):
1^"оР = ^-0 = Po = const, F.9)
где р0 — плотность газа (число частиц на единицу длины одномерного
газа).
Динамику газа частиц с отталкиванием описывает уравнение,
аналогичное F.5):
являющееся классическим аналогом уравнения Гросса — Питаев-
ского [76] для слабонеидеального бозе-газа частиц с отталкиванием.
Уравнение F.10) пригодно как для изучения элементарных
возбуждений, так и нелинейных волн в газе.
Основное состояние, характеризующееся параметрами F.9),
вырождено по фазе, поэтому спектром возбуждений такой системы
(бесщелевым) является боголюбовский спектр неидеального бозе-газа
(см., например [76]):
(o = ^l/l-f.—.с2 = ^. F-11)
Для его получения достаточно положить
^ = (Кр"о+6)Г**\ 6«<р0>
и линеаризовать уравнение F.11) по комплексной функции g (л:, t).
Вернемся к описанию газа магнонов в одноосном ферромагнетике.
Взаимодействие магнонов было порождено энергией анизотропии,
а притяжение — положительным знаком константы анизотропии (|J >
> 0). Поэтому магнитные возбуждения в одноосном ферромагнетике
с анизотропией типа легкая плоскость намагничивания (Р < 0) будут
отталкиваться. Следовательно, газ магнонов в легкоплоскостном
ферромагнетике может описываться уравнением F.10), в котором \^?2\
дает плотность спиновых отклонений от основного состояния (когда
9 = я/2). Тогда параметры уравнений F.8) и F.9) или закона диспер*
сии F.11) должны иметь такой порядок величины
8o~foo0=2|P|M4o, §^~# = nrj. F-12)
Ниже увидим, что малые отклонения намагниченности от
основного состояния в ферромагнетике с анизотропией типа легкая плос^
28

кость намагничивания
описываются уравнением F.8), а закон
дисперсии магнонов — соотношением,
аналогичным F.11).
Кроме боголюбовских
возбуждений типа плоских волн с
законом дисперсии F.11) в
одномерном бозе-газе могут существовать
низкоэнергетические
локализованные возбуждения, впервые
полученные Либом при анализе
квантовых микроскопических
уравнений, основанных на точном гамильтониане системы бозе-частиц
с б-образным отталкиванием [142]. Позже показано [129], что либов-
ские состояния являются специфическими солитонными решениями
нелинейного уравнения F.10), параметры которого естественно
выражаются через характеристики взаимодействующих бозе-частиц.
Решение, перемещающееся со скоростью V вдоль одномерного бозе-газа,
выглядит так [160]:
Рис. 5. Распределение плотности бозе-
частиц в темных солитонах:
/ — неподвижном, 2 — движущемся.
ЧГ(х, t) = W1(x — Vt)e n ,
F.13)
где в0—одночастичная энергия F.9), отвечающая основному
состоянию газа, а функция х?1 (Q определяется выражением
,1(в.-^-,/ГЩ.^/Г^|. (б.н,
Причем квадрат модуля функции Т можно представить в виде (? ==
= х — Vt)
1«П2 =
(
Ш"
¦1.
4r1|« = pJth»(i.i^i_(]L\,) + {с'
F.15)
Ясно, что при х = ± оо газ равновесен (|Y|2= |Чго|2= Ро)» а
в центре солитона (х = Vt) возникает разрежение \^г @)|2 =
= {Vlcf p0 < р0. Таким образом, солитонное решение F.13)
описывает движущуюся полость с сильно пониженной плотностью
(аналог поры или пузырька в конденсированном состоянии вещества).
Последнее послужило поводом назвать такое возбуждение темным соли-
тоном.
Покоящийся темный солитон (V = 0) имеет область локализации
порядка величины Ах — /0 и создает в своем центре полное
разрежение Чг @) = 0 (рис. 5, кривая 1).
При предельной для темного солитона скорости V = с солитон
полностью размывается (область его локализации Да; = /0/Kl — {Vlcf
обращается в бесконечность), а значение |Ч?|2 в его центре равно
плотности р0 на бесконечности (рис. 5).
39

В легкоплоскостном
ферромагнетике \УР1 (?) |2 определяет
величину отклонения вектора
намагниченности М от «легкой»
плоскости, т. е. величину Мг>
если ось z совпадает с
магнитной осью кристалла.
Равновесное значение Mz на
бесконечности (х = ± оо) может
задаваться магнитным полем,
параллельным оси г. Фазу
функции }?1 (I) в F.14) можно
связать с направлением проекции
вектора М на «легкую»
плоскость. Так как фаза функции
F.14) различна при х — — оо и при х = + оо, то это решение
является некоторым аналогом волны поворота, рассмотренной в конце §4.
Двухмерным подобием неподвижного темного солитона является
вихрь в неидеальном бозе-газе [82], для рассмотрения которого
следует обратиться к двухмерному варианту нелинейного уравнения
Шредингера F.10)
»*!? = -ЁДЧг + го|ЧГ|2чг. F.16)
Рис. 6. Распределение плотности частиц
вблизи вихря в неидеальном бозе-газе,
9 = г/г0.
' dt
2т
Воспользуемся полярными координатами (г, %) и представим решение
уравнения F.16) в виде
-i% t + ьг
W==0(r)e n , v = 0, ±1, ±2, ... F.17)
Функции Ф (г) находятся как решение уравнения
Ш + 7?) + («.-?)«-^* = 0. <6Л8>
удовлетворяющее очевидному условию на бесконечности Ф (оо)=
= Vpo- В то же время непосредственно из свойств уравнения F.18)
вытекает, что при г -> 0 функция Ф (г) имеет стандартное
разложение
Ф(Г) cvd r'v'.
Следовательно, при v Ф 0 в центре неоднородного распределения
бозе-газа (г = 0) плотность обращается в нуль по закону
р(г) со г^Ч г-*0.
Решение нелинейного уравнения F.18) с указанными граничными
условиями может быть найдено численным интегрированием. В
работе [82] получено решение для вихря су = 1. График функции Ф (г)
приведен на рис. 6, где г0 = й /V2mg0o0. Распределение плотности
вблизи оси вихря действительно напоминает распределение
плотности в темном солитоне (см. рис. 5).
40

7. Динамические и топологические солитоны
Часто солитоны стабилизируются наличием интегралов
движения типа Еу Р и N, введенных в § 3. Такие солитоны называются
динамическими и существуют как стационарные состояния только
в меру сохранения величин Е, Р, N. Если включить в уравнения
движения сколь угодно малые возмущения, разрушающие эти интегралы
движения, то динамические солитоны могут быть ликвидированы,
и возбужденный магнетик будет переведен в основное состояние.
При этом переход магнетика из возбужденного состояния в основное
сопровождается непрерывной деформацией поля намагниченности.
Иногда говорят, что динамический солитон топологически
эквивалентен основному состоянию. Например, неоднородное состояние
одномерного ферромагнетика типа, изображенного на рис. 4,
топологически эквивалентно основному.
Однако возможны особые решения уравнений поля
намагниченности, которые порождаются структурой самих уравнений и связаны
с общей симметрией поля намагниченности. В частности, в одноосном
ферромагнетике эта симметрия проявляется в вырождении основного
состояния (вакуума) 0 = 0 и 0 = я. Весьма существенно, что два
основных состояния разделены потенциальным барьером.
Одномерное решение уравнений Ландау — Лифшица, как бы соединяющее
два вакуума (доменная граница на рис. 3, а), описывает такое
неоднородное состояние намагниченности, которое никакими конечными
деформациями поля намагниченности не может быть сведено к
основному. Подобные решения принято называть топологически
особыми им отвечают топологические солитоны.
Существуют некоторые простые топологические утверждения,
позволяющие объяснить ситуацию с топологическими солитонами.
Введем единичный вектор m = M/M0, отображающий пространство
магнетика на поверхность единичной сферы (рис. 7). В случае одноосного
ферромагнетика экватор этой сферы разделяет ее на два физически
эквивалентных полушария с полюсами 0 = 0 и 0 = л, отмечающими
положения вакуумов.
В 'одномерном ферромагнетике единичный вектор m (х) зависит
от одной координаты, поэтому любому распределению
намагниченности отвечает некоторая линия на единичной сфере. Так,
динамическому солитону (см. рис. 4) отвечает петля типа а на рис. 7,
начинающаяся и заканчивающаяся в одном из полюсов. Очевидно, что все
подобные замкнутые петли непрерывной деформации можно перевести
Друг в друга, а также просто стянуть в полюс. Это означает, что
соответствующие возбуждения действительно можно превратить в
основное состояние.
Следовательно, в одномерном одноосном ферромагнетике солитон,
определяемый как локализованное возмущение поля
намагниченности @ = 0 при х = ± оо), может существовать лишь в качестве
динамического особого решения. Он топологически неустойчив.
Топологически устойчивой является доменная граница. Доменной границе
на единичной сфере отвечает кривая линия, начинающаяся в одном
41

Рис. 7. Разворот вектора
намагниченности в солитонах:
о, — динамическом, Ь —
топологическом.
из полюсов и оканчивающаяся в
другом (рис. 7, кривая Ь). Так как
состояния с9 = 0иА = я разделены
потенциальным барьером и не могут быть
трансформированы друг в друга
малыми непрерывными деформациями,
то доменная граница топологически
устойчива.
Включая в число солитонов также
топологически особые решения типа
доменных стенок, расширяем
определение солитона. В дальнейшем под со-
лИтоном будем понимать любую
неоднородную намагниченность,
отвечающую основному состоянию на
бесконечности. При этом не требуется,
чтобы основные состояния в различных
бесконечно удаленных точках
совпадали.
Но так как поведение решения
уравнений Ландау — Лифшица на
бесконечности связано с определенными
физическими свойствами неоднородного
состояния намагниченности, будем
различать солитоны двух типов. Если
при наличии солитона во всех
бесконечно удаленных точках (в одномерном
случае — при х = ± оо)
намагниченность магнетика соответствует одному
основному состоянию, то такой солитон
иногда называют локализованным. Для
локализованного солитона все
бесконечно удаленные точки отождествлены, отвечают основному
состоянию и не содержат никакой информации о характере
намагниченности в конечной области магнетика. Если в различных бесконечно
удаленных точках состояния намагниченности различны, то следует
говорить о нелокализованном солитоне. В случае нелокализованного
солитона анализ состояния магнетика на бесконечности позволяет
сделать заключение о некоторой неоднородности намагниченности
в конечных областях магнетика.
Однако принадлежность неоднородных распределений
намагниченности к локализованным или нелокализованным солитонам не
связана с их топологической устойчивостью. Вспомним солитон ^типа
волны поворота в легкоплоскостном ферромагнетике, описанный в § 4.
На единичной сфере ему отвечает траектория, получающаяся в
результате сечения единичной сферы плоскостью, проходящей через две
диаметрально противоположные точки А и В на экваторе (рис. 8).
Но в ферромагнетике с анизотропией типа легкая плоскость все точки
экватора отвечают основным состояниям, не разделенным энергети-
Рис. 8. Разворот вектора
намагниченности в волне поворота.
42

ческими барьерами. Поэтому непрерывной деформацией путем
смещения точек А и В вдоль экватора дугу АСВ можно стянуть в точку.
Следовательно, волна поворота является динамическим солитоном,
стабилизированным его энергией.
В двухмерном ферромагнетике вектор m (x) отображает плоскость,
т.е. пространство магнетика х = (xl9 x2)f на часть поверхности (или
всю поверхность) единичной сферы. Такая простая геометрическая
ситуация (отображение двухмерного пространства на двухмерную
сферу) позволяет сформулировать весьма удобный критерий
топологической устойчивости локализованного солитона, понимаемого как
неоднородное решение уравнений динамики намагниченности,
отвечающее основному состоянию 0 = 0 на бесконечности. Существует
топологический инвариант (степень отображения или топологический
заряд), связанный с обсуждаемым решением [16, 81] следующим
образом:
Q = l \<Ю = ± Jsin0(x)d9(x)d<p(x), G.1)
(х)
где dO — элемент телесного угла, в котором изменяет свое
направление единичный вектор m (x) при перемещении вдоль плоскости
магнетика; 0 = 0 (х), ф = ф (х) — локализованное решение уравнений
Ландау — Лифшица на плоскости.
Оказывается, что инвариант Q принимает только целочисленные
значения. Если Q = 0, то локализованное решение двухмерных
уравнений Ландау — Лифшица топологически эквивалентно основному
состоянию. Если Q = п, где п = 1, 2, 3, .., то решение описывает
топологический солитон, и вектор m (x) обеспечивает полное
покрытие (один или несколько раз) поверхности единичной сферы.
Рассмотрим распределение намагниченности, обладающее центром
симметрии в плоскости магнетика, и введем полярные координаты р
и х, связанные с центром симметрии. Будем считать, что 0 = 0 (р)
и ф = ф (х). Тогда из G.1) следует
Q = ljsinedeJdV=gJsined9t G.2)
О
Как отмечалось, ввиду однозначности вектора М как функции
координат изменение угла <р при обходе вокруг центра р = 0 должно быть
кратным 2я:
бф = 2jxv, v = 0, =р1, ц=2, ... ,
где v — целочисленный параметр, входящий в C.8).
Из G.2) следует
Q = -?[l-cos9@)]. G.3)
43

При записи G.3) учитывалось, что 0 (оо) = 0. Непрерывное
распределение вектора намагниченности при v Ф 0 может отвечать
состояниям только двух типов: для одного типа cos 0 @) = 1, для
другого cos 0 @) = —1. Из G.3) следует, что осесимметричное
двухмерное распределение, для которого в центре 0 @) = 0, не может
обладать топологическим зарядом (Q = 0), а потому эквивалентно
основному состоянию. Если же 0 @) = я, то Q = v, и топологический
заряд симметричного распределения намагниченности однозначно связан
с суммарным моментом количества движения поля намагниченности
магнетика C.8).
В трехмерном ферромагнетике топологический инвариант
вводится более сложно. Не будем конкретизировать его определение,
поскольку еще вернемся к описанию трехмерных топологических со-
литонов.

ГЛАВА 2
ОДНОМЕРНЫЕ СОЛИТОНЫ
В предыдущей главе рассмотрение носило общий
характер, не зависящий от конкретного вида решений динамических
уравнений. Здесь основное внимание будет уделено получению явного
вида решений, описывающих возбужденные состояния магнетиков и их
свойств.
В настоящей главе ограничимся рассмотрением лишь одномерных
задач. Одномерность существенно уменьшает вычислительные
трудности и позволяет в ряде случаев получить выражения для
интересующих решений через элементарные или специальные функции.
Результаты решения одномерных задач дают возможность сделать ряд
общих качественных выводов относительно ситуации в двух и трех
измерениях, поскольку многомерным солитонам разного вида могут
быть сопоставлены их одномерные аналоги. Следует только уточнить
термин «одномерность». Необходимо различать решения, зависящие
от одной пространственной координаты, но описывающие возбуждения
в двух- и трехмерной среде, и решения для действительно
одномерных магнетиков. В последнем случае речь может идти о
квазиодномерных магнетиках, в которых магнитные атомы, несущие спин,
образуют одномерные цепочки, разделенные немагнитными атомами, а
магнитное взаимодействие вдоль цепочек на несколько порядков
превышает взаимодействие между ними. Следует помнить, что при изучении
одномерных магнетиков с неоднородным намагничиванием, кроме
распределенного вдоль магнитной цепочки вектора намагниченности
необходимо в общем случае учитывать также и создаваемое им
существенно трехмерное магнитное поле. Поэтому полная задача
становится существенно многомерной.
В настоящей главе рассмотрены решения, зависящие от одной
пространственной координаты, которые можно переносить на случай
квазиодномерных магнетиков только в пренебрежении учетом
собственных магнитных полей.
Собственные магнитные поля, обусловливающие магнитодиполь-
ное взаимодействие в магнетиках, будем учитывать только в том
случае, когда можно установить локальную связь между
напряженностью магнитного поля и намагниченностью. Известно, что это
возможно лишь в заведомо одномерных задачах.
45

8. Магнитные солитоны в легкоосном
ферромагнетике
8.1. Уравнения динамики намагниченности. Изучение со-
литонных решений начнем с ферромагнетика с наиболее простой
анизотропией — анизотропией типа оси легкого намагничивания.
Включим в рассмотрение однородное внешнее магнитное поле,
направленное параллельно оси анизотропии. В простейшем варианте, когда
энергия анизотропии квадратична по компонентам вектора М,
магнитная энергия приобретает следующий вид:
*-$(%)'-?м1-нм» (8Л)
где ось г совпадает с осью анизотропии; Н — напряженность
внешнего магнитного поля.
При записи (8.1) предполагается, что намагниченность
ферромагнетика зависит от единственной координаты |. В выбранной модели
(без учета магнитодипольных взаимодействий) координаты не входят
явно в выражение для энергии (8.1), поэтому направление оси ? может
быть произвольно ориентировано относительно оси анизотропии.
Наконец, заметим, что плотность энергии (8.1) отсчитывается от энергии
основного состояния магнетика в магнитном поле.
Полезно указать порядки величин а и C в выражении энергии
(8.1). Для обычных ферромагнетиков а—a2I/\i0M0—ае2/\х0М0 —
~ aWf-iQ, где е— заряд электрона, поэтому а — 100 см2.
Константа анизотропии |5 может изменяться в широких пределах. Но, как
правило, величина /0 = Ка/Р значительно превосходит межатомное
расстояние а, что оправдывает рассмотрение ферромагнетика в
рамках длинноволнового приближения с помощью дифференциальных
уравнений.
Подставляя выражение для плотности энергии магнетика (8.1)
в уравнение Ландау — Лифшица A.2), для данной модели получаем
их конкретный вид
sk Ъ + а Iм W]+ р [Мег1 {Шг) + 1Шг] н = ° (8-2)
где е2 — единичный орт вдоль оси z. Для векторного произведения
двух векторов А и В использовалось обозначение [АВ] = А X В.
При решении разных задач будут использоваться различные
записи уравнений Ландау — Лифшица (8.2), в частности векторная.
Сейчас воспользуемся более наглядной записью этих уравнений в
угловых переменных C.1), когда (8.2) сводится к системе двух
уравнений D.2). Если намагниченность зависит только от одной
пространственной координаты ?, эти уравнения имеют вид
а % - [р + а (I)]sin е cos 9+w0sin Qm = кsin e' (8-3>
д (
*р\ * ,-„а19
^sin2eIJ-2i^SineiF=0- <8-4>
46.

Исследование решений
уравнений Ландау — Лифшица (8.3),
(8.4) для легкоосного
ферромагнетика (Р > 0) начнем с рассмотрения
спиновых волн конечной
амплитуды. Они описывают
распространяющуюся вдоль оси ? волну
прецессии вектора намагниченности М
с постоянной амплитудой. В такой
волне
9 = 0О = const, ф
¦(*?—©*),
где k — волновое число магнонов;
5 — частота прецессии в
лабораторной системе координат.
Подстановка решения в таком виде
в уравнения (8.3), (8.4) дает следующий закон дисперсии спиновых
волн:
Рис. 9. Область существования соли-
тонов (заштрихована).
0)
^ = Л + со8 0о{1Ч-(*/„)»},
(8.5)
где со0 = 2Р(х0М0/Й совпадает с частотой однородного резонанса в
отсутствие магнитного поля; h = НфМ0 — внешнее магнитное поле
в безразмерном виде. Поскольку поле Н приводит лишь к сдвигу
частоты прецессии, удобно определить новую частоту со' = со — hco0.
Естественно, что при конечной амплитуде колебаний
намагниченности частота 6з зависит от амплитуды. Но в случае малых колебаний
(90 <^ 1) закон дисперсии (8.5) совпадает с законом дисперсии
«линейных» спиновых волн D.4).
Аналогично D.4) закон дисперсии (8.5) записан в лабораторной
системе координат. Поскольку в дальнейшем нас будет интересовать
динамика локализованных возбуждений, характеризуемых скоростью
перемещения как целого, то перепишем соотношение (8.5) в системе
отсчета, движущейся с групповой скоростью магнонов. Групповая
скорость v = d(o'/dk = 2/0(o0 cos Q0kl0i и зависимость частоты
прецессии от скорости в движущейся системе координат имеет вид
@ = СО
. kv = со0 cos 0011 — L
(8.6)
\2(о0/0 cosG0/
В случае «линейных» магнонов (в пределе 80 -> 0) соотношение
(8.5) переходит в D.6).
График зависимости (8.6) в этом пределе @О -> 0) соответствует
параболе АА (рис. 9). Частота «линейных» магнонов отрицательна,
если их групповая скорость превышает минимальную фазовую ско-
?^Ь спиновых волн vm = 2/0co0. Отсутствие симметрии выражения
lo.b) относительно оси со = 0 связано с выбором вполне определенного
основного состояния (М || ej, прецессия вектора намагниченности
округ которого в разных направлениях физически не эквивалентна.
47

В то время как состояние магнона в линейном приближении
характеризуется одним независимым параметром (например, k или v),
нелинейная волна —двумя (v и Э0). В качестве независимых
параметров часто удобно выбирать групповую скорость волны v и частоту
прецессии со в движущейся с такой скоростью системе. С их помощью
можно выразить все остальные характеристики волны. В частности,
'безразмерная частота прецессии в лабораторной системе
Выясним вопрос об устойчивости спиновых волн с конечной
амплитудой, для чего рассмотрим малые отклонения 66 и бф относительно
нелинейной волны с законом дисперсии (8.5). Будем считать 69 и бф
пропорциональными exp {i (q% — vt)} и линеаризуем систему (8.3),
(8.4) по 69 и бф вблизи решения типа прецессионной спиновой волны.
Легко убедиться, что v и q связаны соотношением
? = B (kl0) cos80 + K(g/0J-sin2e0[l + (fe/0J]} (<//»).
При любом значении волнового вектора магнона к найдутся
возмущения с параметром ql0 < sin90 V \ + (&/0J, которые будут
экспоненциально возрастать со временем, что указывает на
неустойчивость решений с 0 = const. Инкремент неустойчивости максимален
при ql0 = —r sin90Kl + (kl0J. Следовательно, при малых
амплитудах (90 <^ 1) длинноволновые спиновые волны неустойчивы
относительно флуктуации с линейными размерами, приблизительно
равными /0/90.
Заметим, что неустойчивость однородных колебаний с законом
дисперсии (8.5) непосредственно вытекает из известного критерия
Лайтхилла [62]. Из закона дисперсии (8.5) следует, что в пределе
в0->0 оказывается <32со7д?2 = 2/осо0 и Ло'/дво = — ^ {1 + (&/0J},
поэтому (<Э2со7д&2)/(дсо7д9о) < 0. Последнее указывает на
неустойчивость нелинейных спиновых волн с законом дисперсии (8.5).
Следовательно, устойчивые решения уравнений |Ландау—Лиф-
шица необходимо искать в классе локализованных в пространстве
функций. Поиск таких решений начнем с анализа малых отклонений
вектора намагниченности М от равновесного направления (вдоль оси
анизотропии). Здесь удобно использовать несколько иную, чем (8.3),
(8.4), запись уравнений Ландау — Лифшица, введя вместо двух
вещественных функций 9 (|, t) и ф (?, t) одну комплексную if> =
= Мх + iMy. При этом третья компонента вектора намагниченности
Мг=у Ml — Ж2. Уравнение для комплексного поля г|>(|, t)
выглядит следующим образом:
'S#-«*.S + «*1F + №И«+ "*=«• (8.8)
48

Малым отклонениям намагниченности от основного состояния
(9 <^ 1) соответствуют значения |г|)|2<^Л1о, при которых для М2
можно ограничиться приближением Мг = М0— |я|)|2/2М0.
Проведенный выше анализ неустойчивости спиновых волн показал, что при 0 С
<^ 1 пространственный масштаб возникающей неоднородности имеет
порядок величины Д?~ /0/9~ /0М0/|я|)| > /0. Поэтому прежде
всего следует проанализировать те решения уравнения (8.8), для
которых /0^<1. Последнее неравенство, а также условие | of» |2 <С
<Л4о позволяют упростить уравнение (8.8), сохранив в нем лишь
нелинейные члены порядка j^|2i|). В результате получаем широко
обсуждаемое в различных физических приложениях нелинейное
уравнение Шредингера:
'it-^ + A + *)*-55l*!, + -°- M
Впервые описание магнонных возбуждений с помощью
нелинейного уравнения Шредингера предложено в работах [30, ИЗ].
Уравнение (8.9) допускает локализованное решение (г|) = 0 при ? = ± «>),
явная запись которого имеет следующий* вид:
где
«/о = /1 - ~ - (?;J, Vm = 2/0(о0. (8.11)
Здесь, как и ранее, внешнее магнитное поле включено в
перенормировку частоты прецессии. Решение (8.10) описывает движущееся со
скоростью V возмущение на фоне однородного состояния
намагниченности. Вторым независимым параметром решения является со-частота
прецессии вектора М в системе отсчета, движущейся вместе с центром
тяжести возбуждения (т.е. со скоростью V). Эти параметры (V, со)
являются независимыми и полностью характеризуют свойства соли-
тонного решения (8.10). Из определения (8.11) следует, что решения
такого типа существуют лишь при выполнении неравенства
5 + (?|'<'- <812>
Таким образом, допустимые значения V, со лежат под параболой
Л А (см. рис. 9). Поскольку упомянутая парабола является графиком
закона дисперсии спиновых волн, то частота локализованного
возбуждения при любой скорости солитона V лежит ниже частоты спиновой
волны с той же групповой скоростью. Это отвечает представлению
о том, что частота локальных колебаний всегда лежит вне сплошного
спектра соответствующих элементарных возбуждений.
Вспомним, что уравнение (8.9) получено при условиях |il)|<M0
и /0 g| < 1. Первое из этих условий дает х/0 <? 1, а второе сводится
4 3-48
49

«i^-<9 + (l+*)*-^[l + (^)'j|*P*/A«S-0. (8.13)
к требованию V < Vm. Следовательно, решение (8.10) правильно
описывает солитоны исходных уравнений Ландау — Лифшица только
при значениях V, со, лежащих вблизи вершины параболы АА (см.
рис. 9). Однако, если известна структура солитонного решения (8.10),
нетрудно изменить уравнение (8.9) так, чтобы оно правильно
описывало, магнитные солитоны, перемещающиеся с достоянными
скоростями, для любых скоростей при х/0 < 1, т.е. для точек V, со вблизи
всей параболы на рис. 9. Главным из отброшенных при переходе от
уравнения (8.8) к уравнению (8.9) членов, зависящих от отношения
V/Vm, является слагаемое (а/2М0)| ^|2(d2i|Vd?2), которое, как видно
из решения (8.10), приближенно равно — P(V/VmJ \ty\2ty/2M0. Учет
этого слагаемого перенормирует коэффициент в последнем слагаемом
(8.9). Добавив это слагаемое, можно заменить (8.9) на
0H dt
Солитонное решение уравнения (8.13)~выглядит так:
Уравнение (8.13) выведено более последовательно в работе [30],
в которой получено решение (8.14).
Уравнение (8.13) правильно описывает малоамплитудные
магнитные солитоны, движущиеся с произвольными скоростями. При х/0 -*
-> 0 амплитуда возбуждения убывает, область локализации 1/х
возрастает, и в пределе х/0 = 0 солитонное решение переходит в
выражение для линейных магнонов.
При удалении от линии к10 = 0 выражение (8.14) перестает быть
решением точного исходного уравнения Ландау — Лифшица (8.8).
При произвольных соотношениях параметров V и со решение
уравнения (8.8) может существенно отличаться от выражения (8.14.)
8.2. Точные односолитонные ped ения уравнений Ландау —
Лифшица. Найдем солитонные решения в простейшем случае, когда зави-
мость от координаты и времени входит в единственную комбинацию
I — Vt i 8 = 9 (I — Vt), ф = ф (I — Vt). Воспользуемся для этого
записью уравнений Ландау — ЛифгЙица в форме (8.3), (8.4). Для
таких решений система дифференциальных уравнений в частных
производных (8.3), (8.4) сводится к системе обыкновенных
дифференциальных уравнений:
1\
Щ - [' + * Ш] *¦ о «9 - кsta e %=»• <8-15>
|{/2o^e|-?cose} = o. (8.16)
Солитонными решениями уравнений (8.15), (8.16) будут решения,
удовлетворяющие следующим граничным условиям при ? = + оо:
е = 0,^<оо. (8.17)
50

Интегрируя уравнение (8.16) с учетом граничных условий на
бесконечности (8.17), получаем связь угловых переменных 0 и ф:
loi^~(rJ^W)' (8Л8)
Подставляя выражение dcp/dg в уравнение (8.15), приходим к
обыкновенному дифференциальному уравнению для угла 0
«*D)+-»D){«-A-)-^D)+Й'—D)}-о.
(8.19)
Это уравнение легко проинтегрировать один раз. После
интегрирования с учетом граничных условий на бесконечности получаем
'^И^тМи-(?)¦.
Еще одно интегрирование приводит к следующему выражению:
t„2 A) _ (Ут\ W (о Ш
'ё \2j~\V ) 2ch*x (I — Vt) - (х/0)« • ^0ZU>
где %l0 = V\ — (VIVmf. Впервые это частное решение для
магнитного солитона в одноосном ферромагнетике получено Ахиезером и
Боровиком [3]. Обращает на себя внимание то, что допустимые значения
скорости перемещения магнитного солитона лежат в конечном
интервале— Vm ^ K^ Vm. На рис. 9 этим значениям V соответствует
интервал оси скоростей, отсекаемый параболой АА и лежащий внутри
ее. Интересно проанализировать предельный случай, когда скорость
V -> 0. При этом правая часть выражения (8.20) бесконечно
возрастает, и значение 0 в центре тяжести солитона асимптотически
стремится к п. Таким образом, в середине солитона возникает область
почти полностью перемагниченного магнетика. Размер этой области
легко оценить: границы области определяются теми значениями g —
— Vt, при которых знаменатель в (8.20) сравнивается с числителем.
Поскольку при малых скоростях членом VIVm можно пренебречь по
сравнению с единицей, размер перемагниченной области оценивается
так: А = /0 In (VJV). Ширина переходной области определяется
параметром 1/х и становится порядка магнитной длины /0. Само
выражение (8.20) при V < Vm можно приближенно переписать в виде
6 = 2arctg W 2 У +^ /ol 2 j /oj ,
позволяющем заключить, что в пределе V -+ 0 соотношение (8.20)
точно переходит в решение D.9) для неподвижной доменной границы,
если в ходе предельного перехода координату g отсчитывать от точки
расположения одной из переходных областей g = ±Д/2. Таким
образом, точка V = со = 0 (см. рис. 9) особая, поскольку в ней солитон-
ное решение превращается в две бесконечно удаленные доменные
границы. В случае малых, но конечных V, данный магнитный солитон
4*
51

Рис. 10. Распределение намагниченности в
движущемся однопараметрическом солитоне при
А > /0.
представляет собой
большую область
перемагниченного магнетика,
ограниченную двумя
доменными границами разных
знаков. Такое состояние
может рассматриваться как
связанное состояние двух
доменных границ.
Представление о характере
распределения
намагниченности в таком солитоне
дает рис. 10.
Существование точного (хотя и частного) решения (8.18), (8.20)
наводит на мысль о возможности нахождения точного выражения
для магнитного солитона при произвольных значениях параметров V
и со. Сравним структуру точного решения (8.18), (8.20) при со = 0
со структурой приближенного решения (при со Ф 0) (8.10). Легко
заметить, что их основное отличие заключается в том, что в
выражении (8.10) при произвольных параметрах У и со, кроме зависимости
углов 9 и ф от комбинации g — Vt, появляется дополнительная
прецессия вектора М в движущейся системе отсчета, т.е. дополнительное
слагаемое бф = a>t. Поэтому естественно и общее решение уравнения
(8.3) искать в аналогичном виде
0 = 9(g-W)> <p = 4>(g-W) + ©f.
(8.21)
При такой подстановке уравнение (8.16), а следовательно, и связь
между углами 0 и ф (8.18), не изменяются. Однако в уравнении (8.15)
появляется дополнительное слагаемое (со/со0) sin 9, что видоизменяет
зависимость d9/dg от 9:
I
ае
0 дБ
-««(*)/«-D)-(?)¦-¦?«-(*). <**>
Несмотря на некоторое усложнение это уравнение, как и при
<о = 0, интегрируется в элементарных функциях. Обобщение соли-
тонного решения (8.20) на случай произвольных значений У и со
выглядит следующим образом:
*ш-
W2
Qch*K(t — Vt) — (Q — QjJ/2
(8.23)
тде х/0 = V1 — (со/со0) — (V/VmJ; Q — ранее введенный параметр
(8.7), который в лабораторной системе отсчета представляет
безразмерную частоту прецессии магнитного момента в нелинейной спи-
.новой волне с параметрами V и со. Он может быть записан в виде
a-/oi + 4(x/0)«(Ty\
52

где
Qx
со
CD0
+ 2
Urn
в лабораторной системе координат определяет безразмерную частоту
прецессии магнитного момента в солитоне с теми же параметрами V
и со.
Подставляя решение (8.23) для 9 в формулу (8.18) и интегрируя ее,
получаем выражение для фазы прецессии магнитного момента в
солитоне
*-«-?Чг+««[У
th
*F-W)].
(8.24)
Решение (8.23), (8.24) впервые получено в работах [70, 71] и позже
в [143].
В общем решении (8.23), (8.24) совершенно естественно возникает
параметр х/0, и при малом его значении это решение переходит в
приближенное (8.13).
В частном случае ю = 0 решение для магнитного солитона
переходит в формулу (8.20). Полученным магнитным солитонам
соответствует вся область под параболой А А (см. рис. 9).
Интересно проанализировать выражение (8.23) для неподвижного
солитона, когда V = 0. При этом в зависимости от знака частоты о
решение существенно различается. Для положительных частот оно
упрощается и приобретает стандартный солитонный вид
*t-/S-i-
ch
{V'-Zi)
(8.25)
Этим решениям,
впервые полученным в работе
[56], отвечает интервал @,
(о0) на оси частот.
Различный функциональный вид
решения при V = 0 и ]/Ф 0
является следствием
отсутствия галилеевой
инвариантности исходных
динамических уравнений.
При малых частотах
прецессии, т. е. вблизи
точки 0 на рис. 9, магнитный
солитон представляет
собой широкую область
практически перемагниченного
магнетика, отделенную от
остальной части
ферромагнетика двумя доменными
границами разных знаков
Щ
1 —'
J
Г\
я
1 Л
— 11
(
jc)
1г
1
19
б
"Л:
<*7 \
г0
\
^
Рис. И. Распределение
литоне при |о) | < оH:
а — а)>0;б — <о<0.
намагниченности в со-
53

(рис. 11, а). В отличие от ситуации, изображенной на рис. 10, в данном
случае солитон неподвижен и перемагничивание среды связано с
дополнительной прецессией вектора намагниченности. Вращение
вектора М во всем объеме происходит синхронно. Такое состояние, как
и в случае солитона типа, изображенного на рис. 10, также можно
рассматривать в качестве связанного состояния двух доменных границ
разных знаков. В обоих случаях связывание доменных границ
является проявлением динамики намагниченности. В первом происходит
движение солитона как целого, а во втором случае — постоянная по
скорости вращения синхронная прецессия. Поэтому данный
магнитный солитон можно назвать динамическим. Использовав выражение
(8.25), несложно оценить размер области перемагничивания: при
со <^ оH ее длина А = Z0 In (оз0/со).
Рассмотрим для неподвижного солитона случай отрицательных
частот, когда локализованная прецессия намагниченности
происходит в «обратном» направлении. Из общего решения (8.23) в этом
случае вытекает следующая формула для магнитного солитона:
принципиально отличающаяся от (8.25) тем, что в ее правой части
стоит гиперболический косеканс, а не гиперболический секанс. Этим
решениям на рис. 9 соответствует полуось со < 0.
Решение типа (8.26) характеризуется особым поведением в точке
? = ?0, гДе постоянная величина ?0 не фиксируется
сформулированными выше условиями, так как является произвольным параметром
решения. Из выражения (8.26) вытекает, что при переходе через
точку I = 10 угол 6 (I) имеет скачок 69 = 2я. Поскольку сама
функция 9 (I) определена только в интервале 0 < 9 < я, такой скачок
не имеет особого физического смысла (в точке ?0 все компоненты
вектора М остаются непрерывными). Если внимательнее проследить за
поведением производной d\|)/d? при V ->- 0, то из (8.18) при
отрицательных частотах вытекает предельная формула
lim Щ/dt) = -яб (Б - ?0)>
где 8 (?) — дельта-функция. Таким образом, переход от угла 9 = я
к9 = —я при постоянном направлении прецессии сопровождается
скачком фазы на половину периода (8ср = —я). При этом все
физические характеристики непрерывно изменяются на всей координатной
оси. В частности, из выражения (8.26) вытекает непрерывная
зависимость z-проекции вектора намагниченности от координаты:
™г '"о Г ch» X (Е— V/) + (€Do/| Ш |) J •
С помощью решения (8.24) несложно найти и остальные компоненты
54

вектора М. Например, при V= О и со < 0 для х-проекции намагни*
ченности имеем
6
Мх = М0 ' 'Г' , .— > ч Юп /о— sin со/.
ch2 I/ 1
Таким образом, все компоненты вектора намагниченности
являются вполне гладкими непрерывными функциями.
При малых по абсолютной величине отрицательных частотах форма
магнитного солитона мало отличается от таковой для малых
положительных частот (для V = 0) (рис. 11, б). Отличие заключается в том^
что при отрицательных частотах 9 @) = я и дд/д%0Ф 0. Вектор
намагниченности вращается синфазно, но фазы вращения в областях
g > 0 и ? < 0 различаются на п.
В общем случае локализация неоднородности намагниченности
при отличных от нуля скорости перемещения солитона и частоте
прецессии магнитного момента сопровождается локализованным в той же
области разворотом вектора М, дополнительным к его развороту
в обыкновенной спиновой волне. Как видно из выражения (8.24),
полный разворот, дополнительный к развороту в спиновой волне,
Дф = —2 arctg у
и изменяется от Дф =0 при V =0, со>0 до я при V=0, со <0. Если
отвлечься от прецессии, характерной для спиновой волны и
описываемой первыми двумя членами в формуле (8.24), то легко представить
распределение намагниченности в магнитном солитоне. Изобразим
траекторию, которую описывает конец вектора m =? М/М0 на
поверхности единичной сферы при изменении координаты от — оо до <х>.
Рассмотрим совокупность точек (V , со), лежащих на дуге, которая
охватывает особую точку V = со = 0 (рис. 12). Начнем с точки Л;,
где V = 0 и со > 0. Такому состоянию солитона отвечает траекторий
на рис. 13, а. При V > 0, со > 0 (рис. 12, точка В) траектория
солитона имеет вид петли, показанной на рис. 13, б. При V > 0, со < 0
(рцс. 12, точка С) поведение солитона описывается траекторией,
изображенной на рис. 13, е. Наконец, в точке D, когда V = 0, а со < 0,
траектория на единичной сфере превращается в окружность,
проходящую через оба полюса @ = 0 и 9 = я) (рис. 13, г).
Как отмечалось выше, при любых соотношениях параметров в
области, непосредственно прилегающей к точке 0 (рис. 12), решение для
магнитного солитона представляет собой достаточно широкую область
перемагниченного магнетика, ограниченную с двух сторон
доменными границами разных знаков. При приближении к точке V = со = 0
размер перемагниченной области безгранично увеличивается. При
удалении от точки V = со = 0 область локализации солитона сужается и
достигает минимального размера порядка величины /0 на линии х/0=
= Q, представляющей собой эллипс, охватывающий начало
координат на плоскости (V, со). Размеры осей эллипса — порядка Vm и со0.
5*>

Этот эллипс интересен тем, что внутри него лежат точки V, со, для
которых солитон можно представить как связанное состояние двух
четко выраженных доменных границ. Вне этого эллипса состояние
солитона невозможно описать в терминах доменных границ, так как
их индивидуальность полностью исчезает.
При дальнейшем удалении от начала координат на плоскости (V,
со) характер магнитного солитона существенно изменяется. Он не
имеет такого уплощенного вида, как на рис. 10, 11, и А перестает
характеризовать форму солитона. Теперь форма солитона существенно
зависит от соотношения параметров У и со. При приближении к
границе области существования солитонов, т.е. параболе х/0 = 0,
область локализации солитона, как видно из выражения (8.23),
становится порядка 1/х и безгранично возрастает с уменьшением х. При
этом амплитуда солитона убывает пропорционально х/0, и выражение
(8.24) сводится к соотношению для свободных магнонов ср = ТЫ — &?,
где величина волнового вектора k и частота прецессии в лабораторной
системе координат со связаны с групповой скоростью магнонов
соотношениями kl0 = V/Vm и (Ь = о) — kV. Примерное распределение
намагниченности в этом случае приведено на рис. 14, а.
В области, непосредственно прилегающей к полуоси V = 0, со <
< 0, вид магнитного солитона совершенно иной. Здесь при удалении
от точки со = 0 область локализации продолжает уменьшаться и
становится меньше /0: А — /0 V®q/\ <*>|. Примерный вид солитона при
очень малых скоростях приведен на рис. 14,6, а при V = 0 — на
рис. 14, е.
Анализируя солитоны при со < 0, следует помнить, что нельзя
исследовать слишком большие по абсолютной величине
отрицательные частоты. При со/со0< — {ijaf — (V/VmJ градиенты очень
велики dQ/d% — 1/а, и
длинноволновое рассмотрение магнетика
теряет смысл. Область значений V,
со, в которой длинноволновое
приближение не пригодно, отделяется
Рис. 12. Положение точек (F, со), Рис. 13. Разворот намагниченности в
отвечающих солитонам разного ха- солитонах:
рактера. а — г отвечают точкам А — D на рис. 12,
56

nil-**
*""^x
19
a
f9
/
\
6
e
6
fc /
v "X
s^
» l/1^
N^W
1
Ьч/t
1
T7t
1
I
% \
параболой ВВ (см. рис. 9).
Однако, когда магнитная дли
на /0 намного превосходит
межатомное расстояние а,
существует конечный интервал
отрицательных со вблизи оси
V = О, в котором солитоны
имеют вид, приведенный на
рис. 14, б.
Остановимся на важном
частном случае изотропного
ферромагнетика, поскольку
такая модель допускает
наиболее простое и
непосредственное сравнение с квантовой
задачей Бете [107] для
изотропной цепочки спинов.
Переходу от одноосного
ферромагнетика к изотропному
соответствует значение
параметра анизотропии р = 0.
При этом одновременно
обращаются в нуль со0 и Vm,
а магнитная длина /0
становится бесконечной. В качестве
характерной частоты удобно
выбрать со* = 2a\i0M0/ha2y
а характерным размером становится межатомное расстояние. В
терминах этих величин закон дисперсии спиновых волн в изотропном
ферромагнетике выглядит наиболее просто
со = со* (akJ.
При р -* 0 из выражения D.9) следует естественный вывод об
отсутствии доменных границ в изотропном ферромагнетике, что
связано с пренебрежением магнитодипольными взаимодействиями. Как
будет показано в § 9, при описании одномерных возмущений
ферромагнетика магнитодипольное взаимодействие может быть учтено как
одноосная анизотропия в направлении распространения волны с
эффективной^ константой р = —4я. Поэтому при учете магнитостатиче-
ских полей изотропный магнетик ведет себя как анизотропный с
анизотропией типа плоскость легкого намагничивания. В таком
магнетике, как показано в § 4, существует аналог доменной границы —
волна поворота, разворот вектора намагничивания в которой дается
выражением D.15).
Но если отвлечься от магнитостатических взаимодействий, то
окажется, что доменные границы в изотропном ферромагнетике
отсутствуют. Однако рассмотренные выше двухпараметрические
динамические солитоны существуют и в изотропном ферромагнетике. Нетрудно
Рис. 14. Распределение намагниченности в
солитонах:
а — малоамплитудном (х /о < 1), б — медленном не
малой амплитуды; в — неподвижном с о> < 0.
57

получить из выражения (8.23) следующий результат (V* = 2асо*)!
jh ММ2
f 2 (_е\ <*>* \ у* / /о 97ч
_*L __±Ш ! (8.28)
д$ ~~ а V V*/ cos2 @/2) #
Это решение впервые приведено в работе [141], а также [71].
В отличие от солитонов в анизотропном (одноосном)
ферромагнетике, рассмотренных выше, в изотропном ферромагнетике магнитные
солитоны могут существовать только при отличных от нуля значениях
частоты прецессии вектора намагничивания. В движущейся вместе
с солитоном системе отсчета эта частота принимает только
отрицательные значения: со < — У2/4(о#а2. (Парабола на рис. 9, ниже
которой существуют локализованные решения, касается оси скоростей.)
8.3. О полной интегрируемости уравнений динамики
намагниченности в одноосном ферромагнетике. Большое внимание к солитонам
8 одномерном ферромагнетике, описываемом уравнением Ландау —
Лифшица (8.2), вызвано тем, что это уравнение при отсутствии
внешнего магнитного поля X является полностью интегрируемым [25, 27,
74]. Эго означает, что в принципе можно найти решение уравнения
(8.2) для любого момента времени, если произвольное начальное
возбуждение системы удовлетворяет определенным условиям на
бесконечности (этим условиям удовлетворяют, в частности, и солитонные
решения). Конечно, реальные магнетики описываются более
сложными (и не являющимися в общем случае интегрируемыми)
уравнениями, однако многие физические явления могут быть поняты при
анализе решений уравнений Ландау — Лифшица (8.2). А в связи с их
интегрируемостью упомянутые явления проявляются в очень
простом виде и допускают естественную интерпретацию.
В наши планы не входит обсуждение проблемы полного
интегрирования одномерных уравнений Ландау — Лифшица. Это
специальная тема математической теории нелинейных уравнений, которой
должно быть посвящено отдельное исследование. Но легко показать,
что уравнения Ландау — Лифшица могут быть сведены к
нелинейному уравнению Шредингера, математическая теория которого
достаточно полно изложена в работе [931.
Как показано выше, при малых степенях возбуждения магнитной
системы, когда МХУ Му <? Мг~М{Ь уравнение (8.2) приближенно
может быть заменено нелинейным уравнением Шредингера (8.9) для
комплексной функции г|) = Мх + iMy. Подобное приближение весьма
полезно и часто используется.
Обратим внимание на существование точных преобразований,
позволяющих перейти от уравнений Ландау— Лифшица к нелинейному
уравнению Шредингера. Впервые эквивалентность уравнений
Ландау — Лифшица для изотропного ферромагнетика и нелинейного
уравнения Шредингера была показана Лакшмананом [140]. В наибо-
-58

лее простой и физически ясной форме соответствующее
преобразование предложено Котляровым [74].
Уравнения Ландау — Лифшица для изотропного ферромагнетика
в угловых переменных получаются из (8.3) предельным переходом:
Р->0, (d0ll~->2a\i0M0/h = ov22 и имеют вид
(8.29)
Введем комплексную функцию
4 = aM0{^ + ismQ^}exp{iq>-i J A — сое в)-§t d|}. (8.30)
« 00
Несмотря на громоздкость, это преобразование имеет простую
структуру. Квадрат модуля предэкспоненциального выражения
пропорционален плотности энергии изотропного ферромагнетика
Подынтегральное выражение в экспоненте пропорционально
плотности полевого импульса, входящего в выражение C.4). Если функции
0 и ф удовлетворяют уравнениям (8.3), (8.4), то функция W —
нелинейному уравнению Шредингера
Уравнение (8.31) является одним из .первых нелинейных
уравнений в частных производных, проинтегрированных методом обратной
задачи теории рассеяния [52]. Эквивалентность (8.31) уравнению
Ландау — Лифшица доказывает тем самым и полную
интегрируемость последнего. Уравнение для динамики намагниченности
изотропного ферромагнетика было проинтегрировано непосредственно
Тахтаджяном [156], но несколько позже работы Лакшманана [140].
Магнитному солитону (8.27), (8.28) соответствует следующее
выражение для солитона в соответствующем уравнении Шредингера:
f = 2M0 , V ю* {vJ t е-'м*-^— (8.32)
Возвратившись к одноосному ферромагнетику, можно убедиться,
что соответствующие уравнения Ландау — Лифшица также эквива-
59

лентны нелинейному уравнению Шредингера. Обобщением формулы
(8.30) является замена полевых переменных [74]
^ = Mofo{-|+tsine-|-^sin0}exp{^-t j A-cosG) — ^}.
— 00
(8.33)
Если угловые переменные 0 и q> удовлетворяют уравнениям Ландау —
Лифшица (8.3) при Н = 0, то функция W удовлетворяет следующему
нелинейному уравнению Шредингера:
jL <№ /2
щ dt °
+ ^-^№^==0. (8.34)
В данном случае (8.34) в точности совпадает с уравнением (8.9)
при отсутствии внешнего магнитного поля. Эквивалентность (8.2)
и (8.34) доказывает полную интегрируемость уравнений Ландау —
Лифшица для одноосного ферромагнетика.
8.4. Солитоны в более общих моделях легкоосного
ферромагнетика. Рассмотрим возможные обобщения простейшей модели
легкоосного ферромагнетика, который характеризуется плотностью
энергии (8.1). Прежде всего более сложную структуру может иметь
энергия магнитной анизотропии. В общем случае энергия магнитной
анизотропии одноосного ферромагнетика имеет вид произвольной
функции М\. Однако обычно ограничиваются [98, 43] лишь следующим
обобщением выражения для энергии магнитной анизотропии:
Wa = -^M*-~M$/Ml
(8.35)
Так как плотность энергии (8.35) не зависит явно от угла ф, то
предложенное обобщение не нарушает закона сохранения числа маг-
нонов в возбужденном
ферромагнетике. Важно заметить, что характер
основного состояния ферромагнетика
с энергией (8.35) существенно зависит
от соотношения параметров р и 8.
Для простоты ограничимся случаем
Н = 0. Тогда при одновременном
выполнении неравенств р + б > 0 и
2|3 + б > 0 основным по-прежнему
является состояние с Мг = ± М0,
т. е. ферромагнетик является легко-
осным. Прир <0, 2р + б <0 имеем -
дело с легкоплоскостным
ферромагнетиком, где основное состояние ссот-
„ л ветствует М7 = 0 (оно вырождено по
5^$^ азимутальному углу Ф). Наконец,
/-легкоосный ферромагнетик; 2- ПРИ Р >0, ? + б < О В ОСНОВНОМ
легкоплоскостной ферромагнетик; 3 — СОСТОЯНИИ (также ВЬфОЖДеННОМ ПО
ферромагнетик с ориентацией намагни- \ лл ¦ л/г
ченности по конусу. аЗИМутаЛЬНОМу углу) Мг = + М*
6+2р=0\ -
ШЁ
^^z/^
\щ
'5
==¦ 1 =1
=—\ =^ 1
8+р=0
60

(О < М* < М0), и вектор намагниченности лежит на
поверхности конуса с раствором 0 <% < у. Секторы на плоскости ф, б),
отвечающее трем описанным возможностям, приведены на рис. 15 под
номерами 1—3. Хотя эти возможности соответствуют одноосному
ферромагнетику, легкоосным он является только при р + б > 0, 2f5 +
+ б > 0. Остановимся подробнее на этой ситуации. Учет второго
слагаемого в энергии анизотропии (8.35) приводит к появлению
дополнительного члена б [Mez] (Ме2K/Мо в уравнении Ландау — Лифшица
(8.2). При этом в системе уравнений (8.3), (8.4) для полярных углов 0
и ф уравнение (8.4) вообще не изменяется, а (8.3) приобретает вид
(Я = 0)
«|g-(p + ecos.e + ^
(8.36)
Основные возбуждения в системе со сложной легкоосной
анизотропией (8.35) те же, что и ранее: спиновые волны, доменные границы
и магнитные солитоны. Возникающие отличия незначительны.
Исключение составляют системы с параметрами |J и б, примыкающими
к границам области существования легкоосного ферромагнетика.
Если (о0, /0 и Vm определить с помощью формул йсо0 = 2( |5 + б) \х0М0,
1\ = а/(Р + б) и Vm = 2(о0/0, то в их терминах закон дисперсии
спиновых волн D.3) вообще не изменяется (Э0 < 1), совпадая с D.6),
а закон дисперсии нелинейных магнонов имеет вид, мало
отличающийся от выражения (8.5)
А = cos 90 {1 + <«.)» - & sin (?)}. (8.37)
Для доменной границы, которая в данной модели также не может
перемещаться, выражение более громоздкое, чем D.9):
tg(<L) = l/c*sh*(JL) + l ± оsh (±) , (8.38)
где а = 1^Bр + 6)/B|J + 26). Знаки «±» соответствуют доменным
границам с противоположными граничными условиями на
бесконечности. Вдали от линий [5 + 6 = 0 и 20+6 = 0 форма такой
доменной границы мало отличается от рассмотренной выше (выражение
D.9)). Значительно изменяется форма доменной границы только
вблизи границ области существования. Около линии 6 -f 2C = 0
доменная граница расщепляется на две, одна из которых разделяет
области с 0 = 0 и 9 = я/2, а вторая — области с 0 = я/2 и 9 = я.
Центры этих стенок находятся в точках с координатами g =
= ±/0 In (а/2). При приближении к линии 6 + 2р = 0 величина
ст~>-0 и доменные границы расходятся на бесконечное расстояние.
Вблизи другой границы области существования ф + 6 = 0)
поведение выражения (8.38) совсем иное. Во-первых, магнитная длина 1\ «
*= а/(Р + 6) безгранично возрастает. Однако при этом стремится
к бесконечности и параметр а. Поскольку отношение (а//0) остается
61

конечным, то, введя обозначение /х = 10/о == у • " и разложив
гиперболические функции в формуле (8.38), приходим к более
простому выражению для доменной границы
tg| = Ki + (/i?J±/ii.
Наиболее интересен неэкспоненциальный, степенной ход зависимости
6 от g на больших расстояниях в одномерной системе. Уединенные
решения в одномерных системах, имеющие степенные асимптотики,
обычно называются степенными, или алгебраическими солитонами
[133, 42, 102, 130, 181. В данном случае речь идет об алгебраической,
или степенной доменной границе. Приведем также выражение для
проекции вектора намагниченности в доменной стенке на
плоскость ху:
М± = М0 sin 0 = ±
Мо
/i + Ci»1
Алгебраические доменные границы в магнитоупорядоченных средах
рассматривались также в работах [10, 14].
Наконец, для третьего основного типа возбуждений
ферромагнетика — магнитного солитона, т.е. для убывающего на бесконечности
решения типа (8.21) уравнение (8.36) допускает интегрирование и
сводится к следующему:
(8.39)
С помощью качественного анализа на фазовой плоскости можно
убедиться, что уравнение (8.39) имеет солитонные решения при (со/со0) ^
< l—(V/VmJ. Это решение выражается с помощью эллиптических
интегралов и в явной записи весьма громоздко. Однако общий его
характер близок к характеру магнитного солитона при б = 0. В
частности, в окрестности точки V = со = 0 он представляет собой
связанное состояние двух доменных границ разных знаков (хотя сами эти
границы имеют теперь более сложный вид). Когда параметры V и со
расположены около линии (со/со0 ) = 1 — (WVm)a, соответствующей
закону дисперсии спиновых волн, возбуждение имеет стандартный
вид малоамплитудного солитона типа (8.10), отличаясь от него
перенормировкой параметров х, 10 и Vm9 а также множителем
УФ + 6)/(Р + 36).
Следовательно, усложнение явного вида плотности энергии
одноосной анизотропии не приводит к качественному изменению харак-'
тера магнитного солитона в такой системе, хотя и усложняется
конкретный вид решения.
Другое возможное обобщение рассмотренного ферромагнетика
заключается в отказе от предположения об изотропии обменного
взаимодействия. Учитывая подобное обобщение, будем считать, что
анизотропия обменного взаимодействия имеет ту же симметрию, что и одно-
62

ионная. Тогда выражение для плотности магнитной энергии в
простейшем случае приобретает вид (магнитное поле не учитывается)
^i(f),+?№),->i- <8-40>
При осх > — а такое усложнение системы не принципиально. При
выборе энергии в форме (8.40) остается симметрия системы
относительно вращения вокруг оси z и по-прежнему сохраняется полная
проекция вектора намагниченности на эту ось. Следовательно,
доменные границы в таком ферромагнетике также не могут перемещаться.
Спиновые волны в такой системе идентичны спиновым волнам в
одноосном магнетике с изотропным обменным взаимодействием.
Действительно, при переходе к анизотропной обменной энергии (8.40)
уравнение (8.4) не изменяется, а (8.3) приобретает вид
(a + a1sin«e)g-{p+a(^.),-o1(D,}Sinecose +
+ 1етгж51пе = °- <8-41>
В спиновой волне D.3) значение угла 0 постоянное @ = 0О),
поэтому из уравнения (8.41) выпадают все слагаемые, содержащие
параметр аг.
Для солитонных решений типа волн (8.21) можно воспользоваться
соотношением (8.18), после чего уравнение (8.41) один раз
интегрируется, и в результате получаем
_ 2tg| /со, (•)-(?)'_? cosS(|). ,8.42,
Из уравнения (8.42) можно получить выражение для магнитного
солитона в неявном виде через эллиптические интегралы. Более
простым, по-видимому, является численное интегрирование этого
уравнения, проведенное Тьеном и Райтом [159]. Приведенные
результаты свидетельствуют о том, что учет обменной анизотропии мало
изменяет форму солитона. Амплитуда солитона, которая, как
следует из выражения (8.42):
9тах = 2arccos ]/ у (-^- + q)
вообще не зависит от параметра аг. Ширина солитона при увеличении
аг возрастает, а при аг -* — а стремится к нулю. Малоамплитудные
солитоны со значениями V и о, лежащими вблизи кривой закона
дисперсии спиновых волн, имеют точно такой вид, как и в случае
изотропного обмена Действительно, при учете анизотропии обменной
энергии (at Ф 0) в уравнении (8.8) для динамики намагниченности
изменяется только одно слагаемое: член Щ (д2М2/д%2) заменяется на
63

{а + а^-ф (d2Mz/d?2). Однако, как указывалось в п. 8.1, при
нахождении малоамплитудных солитонов это слагаемое можно не
учитывать. Таким образом, для магнитного солитона вновь приходим к
выражению (8.10).
Следовательно, простейшая модель, характеризуемая плотностью
энергии (8.1), является достаточно хорошим приближением для
качественного изучения солитонов в легкоосном ферромагнетике.
9. Динамика солитонов
в двухосном ферромагнетике
9.1. Динамические уравнения для намагниченности с
учетом магнитодипольного взаимодействия. До сих пор рассматривался
легкоосный ферромагнетик, т.е. среда, в которой энергия
анизотропии зависела только от проекции вектора намагниченности на
выделенную ось, а магнитные свойства в плоскости, перпендикулярной
этой оси, были изотропными. Это наиболее простая модель,
допускающая существование возбуждений типа магнитных солитонов. Но она
обладает рядом существенных недостатков. Прежде всего невозможно
описать в рамках рассмотренной модели движение доменных границ,
в то время как в экспериментах такое движение наблюдается [79, 98].
В стороне остается также вопрос о собственных магнитных полях,
связанных с неоднородностью намагниченности. Как отмечалось
ранее, невозможность движения доменных границ связана с сохранением
полной проекции вектора намагниченности на выделенную ось, что
в свою очередь связано с изотропией энергии в плоскости,
перпендикулярной этой оси. Но поскольку энергия анизотропии описывает
©заимодействие намагниченности с кристаллической решеткой, то
неравноценность различных направлений в кристалле приводит к
возникновению анизотропии магнитных свойств также и в базисной
плоскости (перпендикулярной «легкой» оси). Величина этой анизотропии
существенно зависит от симметрии кристаллической решетки.
Обычно энергию магнитной анизотропии представляют в виде
суммы членов, содержащих произведение четного числа компонент
единичного вектора m = М /М0 типа
Wa = А1ктьтк + Вттт{тктхтт +Diklmnpmimkmlmmmnmp + •• -, (9.1)
где Л, В, D — тензоры, характеризующие свойства кристалла. Число
независимых компонент материальных тензорных констант
очевидным образом связано с симметрией кристаллической решетки [2,94].
Из (9.1) следует, что магнитную анизотропию в плоскости,
перпендикулярной выделенной оси, можно описать с помощью
квадратичных по mt выражений только в наиболее низкосимметричных
кристаллах. В частности, в кристаллах триклинной, моноклинной и
ромбической систем энергия анизотропии представима в виде
w* = \ м*2 + 4 PirMJ + \ М*22. (9.2)
Но так как М2 = const, то выражение (9.2) перенормировкой кон-
•64

стант анизотропии всегда можно свести к плотности энергии
анизотропии, содержащейся в A.11)
В7. = —i-PiAl»--jPaAfl (9.3)
Если z — ось наиболее легього нгм; гничивания, то р 3 > IPi-
Ограничимся решениями, зависящими только от одной
пространственной координаты ? (направление ? произвольно ориентировано
относительно направлений главных осей анизотропии). Уравнение
для динамики намагниченности в таком двухосном кристалле примет
вид
J- 4? + а [м-^ ] + Рз [MeJ (Me,) + рх [MeJ (Me,) + [МН] = О,
(9.4)
где е, — единичный орт вдоль оси х. Уравнения динамики
намагниченности в терминах угловых переменных Э и <р выглядят таким
образом (при Н || е2):
ос^ —[рз + сб(-||J—Pxcos^jsinecose
+
+ ^sinel="^sine^ (9-5)
^ Й (sin2 e f)—Pl sin2 e cos ^sin ^ —ади7sin e "Ir = °- <9-6>
При различном соотношении параметров рх и рз уравнения (9.5)
описывают следующие физические ситуации: при рх = рз = 0—
изотропный ферромагнетик, при рз >0, рх = 0 — одноосный
ферромагнетик с анизотропией типа легкая ось, а при Рз = Pi > О —
анизотропию типа «легкая плоскость» («легкой» является плоскость xz).
При отрицательном рх уравнение (9.5) описывает легкоосный
ферромагнетик с анизотропной плоскостью, перпендикулярной оси z, а при
положительных рх Ф рз — магнетик с неизотропной легкой
плоскостью xz.
В описываемом двухосном ферромагнетике полная проекция
вектора намагниченности на легкую ось уже не сохраняется.
Действительно, как видно из уравнения (9.6), д/dt j Мг&\ =— B}x0Pi//i)x
x\dlMxMr
Обсудим вопрос учета магнитодипольного взаимодействия. Учет
магнитного поля Н<т>, создаваемого намагниченностью М, в ряде
случаев принципиален. В частности, он может привести к появлению
в уравнениях Ландау — Лифшица эффективной анизотропии того же
вида, что и обсуждавшаяся выше. При учете собственного магнитного
поля Н<т> к энергии ферромагнетика необходимо добавить
слагаемое [2]:
Wm=^Hlm)i (9.7)
5 3-48
65

где H(w) определяется уравнениями магнитостатики
rot П{т) = 0, div (H(w) + 4яМ) = О
и условиями непрерывности тангенциальных составляющих вектора
магнитного поля и нормальной составляющей магнитной индукции
на границе ферромагнетика.
При произвольной геометрии образца и общем виде решения
собственное магнитное поле Н(т) выражается через намагниченность М
интегрально. В результате подстановки Н<т^ в выражение (9.7) для
вектора М получаем интегродифференциальные динамические
уравнения. Однако в одномерных задачах связь Н(т) и М остается
локальной.
Рассмотрим магнетик очень больших размеров и ограничимся
решениями, зависящими только от одной пространственной координаты
?. Предположим, что образец имеет форму пластины,
перпендикулярной оси ?, и вне его (? = ± оо) магнитное поле отсутствует. Тогда
граничные условия для нормальной составляющей вектора индукции
06 (± >) — 0) выделяют единственную отличную от нуля
компоненту вектора H(w), являющуюся решением уравнений магнитостатики
#f > = _4яМь
Следовательно, получаем
Wm = 2дМ|. (9.8)
Даже в случае одноосного ферромагнетика энергия (9.8)
обусловливает некоторую эффективную анизотропию в плоскости,
перпендикулярной оси анизотропии, если ось | не совпадает с выделенной
осью. В частности, если z — ось анизотропии, а g совпадает с осью х>
то для полной магнитной энергии одноосного ферромагнетика
получаем
w = т {-iff ~тм* + 2пМ1- (9-9>
Формально энергия (9.9) относится к двухосному ферромагнетику
с pj = —4я. Даже в изотропном ферромагнетике ф = 0) магнитоста-
тические поля создают эффективную магнитную анизотропию типа
плоскости легкого намагничивания, перпендикулярной направлению
распространения волны.
Другая простая ситуация возникает при возбуждениях,
распространяющихся вдоль легкой оси. В этом случае H{zm) = —4яМг,
и приходим к энергии одноосного ферромагнетика с
перенормированной константой анизотропии:
Если ось ? расположена под произвольным углом к осям
магнитной анизотропии, добавка энергии (9.8) приводит к более сложным,
но очевидным перенормировкам констант анизотропии.
66

9.2. Доменные границы и спиновые волны в двухосном
ферромагнетике. Рассмотрим двухосный ферромагнетик в отсутствие
магнитного^ поля. Воспользуемся введенными выше параметрами /0 =
= ]/ -?- и Йсо0 = 2^0УИ0Рз и будем измерять координату в едини-
цах /0, а время — в единицах 1/со0. Тогда уравнения динамики
намагниченности (9.5), (9.6) перепишутся в следующем безразмерном
виде:
gp — {1 + (jfJ + ecos2cp}sinecos9 + sin9 |j-= О, (9.11)
^(sin26-||) + esin2ecos9sin9 —sin 6-^ = 0, (9.12)
где s = —Pi/Рз — отношение констант анизотропии.
Как выяснено выше, в одноосном ферромагнетике магнитные со-
литоны при предельных значениях V и со представляют собой либо
модулированные по амплитуде спиновые волны, либо связанные
состояния двух доменных границ разных знаков. Поэтому анализ
возможных решений уравнений (9Л1), (9.12) необходимо начать с
доменных границ и спиновых волн. Решение для доменной границы в
двухосном ферромагнетике впервые найдено Уокером [161, 98] (см. также
[4]). Для границы, перемещающейся со скоростью V, оно имеет вид
9 = 2arctgexp {sVl + ecos2q>(g — Vt)}9 q> = const. (9.13)
Здесь
s=ik\dlu{M<>~M^
принимает значения ±1 и различает доменные границы разных
знаков, т. е. границы с противоположными значениями Мг (+ оо). Часто
эту величину называют топологическим зарядом доменной границы.
Не зависящий от координаты и времени азимутальный угол <р
в выражении (9.13) связан со скоростью перемещения V следующим
образом:
V^-s gc^l^?^. (9.i4)
]/ ! + 8 COS2 ф
Отсюда следует максимальная скорость перемещения доменной
границы (так называемая уокеровская скорость)
V0 = \VT+l-l\. (9.15)
При 8 = 0 (одноосный ферромагнетик) уокеровская скорость
обращается в нуль, и свободная граница оказывается неподвижной.
Зависимость ф (V) двухзначна и, в частности, существуют два
неподвижных решения (V = 0), отвечающие значениям ф = ах/2 и ср =
= 0. Если первое слагаемое в энергии анизотропии (9.3) связано
с учетом магнитодипольного взаимодействия в легкоосном
ферромагнетике (при этом ось I совпадает схие= 4я/C3), то доменную границу
с ф = я/2 называют блоховской, а границу с ф = 0 неелевской. В бло-
ховской стенке разворот магнитного момента происходит в наиболее
5* 67

«легкой» плоскости, перпендикулярной направлению движения
доменной границы, в неелевской доменной границе — в самом трудном
направлении.
Сохраним названия блоховской и неелевской границы также и для
двухосного ферромагнетика. Если е > 0, то блоховской будем
называть границу, для которой ф = я/2, а неелевской, — для которой
<р = 0.
Несложно найти полную энергию доменной границы,
приходящуюся на одну элементарную ячейку в ее плоскости. Подставим
решение (9.13) в выражение (9.3) для плотности энергии при Н = 0
и вычислим полную энергию доменной границы
Е = аг2$3М20 (-?-) Vl + 8Соэ2ф. (9.16)
Видно, что энергия блоховской границы Ев = 2$гМ1а*A0/а)
при е > 0 меньше энергии неелевской границы Ец = Ев V1 +8.
В то время как ширина блоховской границы равна /0, неелевская
стенка более узкая, ее ширина равна 10/}^1-\-г. Несмотря на
различную энергию в случае одномерного магнетика (цепочка
магнитных атомов), обе доменные границы являются устойчивыми
относительно малых произвольных возмущений их формы. (В трехмерном
случае ситуация может быть иной.)
Блоховской и неелевской доменным границам отвечают
различные значения полевого импульса. Для доменных границ можно
использовать определение импульса, приведенное в сноске на с. 21,
сводящееся в данном случае к
Р-.(*«$» ,9.17)
Неподвижным неелевским и блоховским границам соответствуют
разные импульсы: для неелевской границы он равен нулю, для
блоховской РБ = (nhM0a2/2\i0).
Использовав определение импульса (9.17), перепишем выражение
для энергии (9.16) в виде
Ее=Е(Р) = Еб Vl +8Cos2(^Ps/2PB). (9.18)
Легко убедиться, что энергия Е как функция импульса Р играет
роль функции Гамильтона. Действительно, дифференцируя
выражение (9.18) по Р и сравнивая результат с выражением (9.14) для
скорости, убеждаемся в справедливости гамильтоновых уравнений C.12)
Mi z=v — ~ dp — дЕ
dt —V ~ дР' dt ~ ago '
где во втором уравнении через ?0 обозначена координата центра
тяжести доменной границы. Поскольку энергия (9.18)) не зависит от
«58

g0, то второе соотношение выражает закон сохранения импульса
доменной стенки.
Иначе обстоит дело при наличии внешнего магнитного поля. При
этом импульс перестает быть сохраняющейся величиной, и
движение доменной границы приобретает качественно другой вид.
Если магнитное поле мало (Я < Р3М0), т0 оно может
рассматриваться как малое возмущение исходной системы. При этом решение
уравнений (9.5), (9.6) в безразмерных переменных для доменной
границы имеет функционально тот же вид, что и (9.13)
9 = 2arctgexp{sl/ 1 + е cos2 <р (? —?0)Ь (9Л9)
но теперь угол ср зависит от времени, а движение центра стенки ?0 не
равномерно
d\Q ecoscpsincp
J.'T-jZ*"'' (9'20>
Уравнениям (9.20) можно дать наглядную трактовку. При малом
внешнем воздействии на систему в основлом приближении можно
считать, что функциональный вид решения (9.13) сохраняется, однако
содержащиеся в нем параметры ср и V становятся функциями
времени (зависимость У от времени удобнее заменить зависимостью от
времени координаты центра тяжести доменной границы ?0,
входящей в выражение (9.19)). Заметим, что подобный учет возмущения
соответствует так называемому адиабатическому приближению в
теории нелинейных уравнений [78, 63]. В том же приближении можно
считать, что кинетическая энергия (9.18) в функции Гамильтона
также сохраняет свою зависимость от Р, а полная функция
Гамильтона
сю
E = E(P)-sa* $ HMz(l-U)dl. (9.21)
— 00
Тогда из первого уравнения Гамильтона C.12) сразу следует первое
из уравнений (9.20).
Чтобы получить второе уравнение (9.20), заметим, что в
адиабатическом приближении сохраняется соотношение (9.17), а изменение
полной энергии Е при смещении центра доменной границы на
величину 6?0
8Е = —2sa2HM08t0. (9.22)
Используя (9.17), (9.22) и второе уравнение Гамильтона C.12),
получаем второе уравнение (9.20).
Уравнения (9.20) тривиально интегрируются и дают следующее
окончательное выражение для динамики доменной границы:
Бо = "J Kl +ecos2/i/, ф = ht. (9.23)
69

Таким образом, в постоянном однородном внешнем поле доменная
граница совершает периодические колебания,, сопровождающиеся
прецессией вектора намагниченности с половинной частотой. Амплитуда
колебания ^0 == ~ (Y\ + г—1). В одной точке остановки граница
является чисто блоховской, а в другой — чисто неелевской. Разность
энергий неелевской и блоховской границ ?н — Ев = Ев(У\ + е — О
точно равна работе внешней силы 2sHiM0a2 на длине, равной
амплитуде колебания /0А?0. Таким образом, средняя по периоду колебания
стенки энергии магнетика сохраняется Изложенный анализ движения
доменной стенки приведен в работах [79, 98].
Впервые задача движения доменной границы в магнитном поле
рассмотрена Слончевским [154], ограничившим свой анализ случаем
8 <^1, но при произвольных Я. В этом пределе решение
динамических уравнений Ландау — Лифшица упрощается:
e = 2arctgexp{s(?-?0)},
где
-4т-= — sscoscpsincp, -^- = h. (9.24)
Таким образом, колебательный характер движения доменной
границы в однородном магнитном поле сохраняется и в этом случае.
Осцилляторный характер движения доменной границы в
постоянном магнитном поле всецело обусловлен периодической зависимостью
энергии (9.18) от импульса границы. Аналогичное явление известно
в электронной теории металлов, когда в идеальном кристалле блохов-
ский электрон совершает колебательное движение под действием
однородного постоянного электрического поля [77]. Однако включение
любых диссипативных процессов типа рассеяния электрона на
дефектах разрушает это колебательное движение и приводит к
возможности в среднем равномерного движения электрона в постоянном
электрическом поле. Подобная ситуация наблюдается и в магнетике.
В работе Слончевского [154] подтверждено, что учет торможения
доменной границы при внешнем магнитном поле, меньшем, чем
некоторое критическое значение, приводит к возможности стационарного
движения доменной границы с постоянной скоростью, т. е. к
движению, впервые описанному Уокером [161]. При больших значениях
поля может реализоваться либо осциллирующее движение [154],
либо усложнение структуры границы [44].
При рассмотрении спиновых волн в двухосном ферромагнетике
воспользуемся записью уравнений движения (9.4) с помощью
комплексной функции ty = Мх + iMy. При этом уравнение (8.8)
обобщается следующим образом:
Ш9*± -мг2± + ъ°^+ ад + | Мг «> + Г) = 0. (9.25)
Учитывая, что и линеаризуя уравнение (9.25) по
малым отклонениям М от основного состояния MZ = M0, получаем
70

для г|? линейное уравнение (систему двух вещественных линейных
уравнений):
dt
(9.26)
Уравнения для спиновых волн на фоне другого основного
состояния Mz= —М0 получаются при изменении знака перед временной
производной в уравнении (9.26).
Решение уравнения (9.26), соответствующее спиновой волне,
распространяющейся в направлении положительных ?, имеет
следующий вид:
(9.27)
г|? = г|H ]/1 — -i- cos 2d ег1 arct§ <c ** *>,
где О = Щ — Ы + а0 — фаза спиновой волны; а0 — произвольная
начальная фаза; постоянные D и С выражаются через волновое число
k следующим образом:
D=l
2A+*2)
с-у
1+&2#
Частота прецессии в лабораторной системе координат & и
волновое число k связаны таким соотношением:
ю = V(l + ?2)A+е + ?2). (9.28)
Это есть (в безразмерных переменных) закон дисперсии спиновых
волн в двухосном ферромагнетике. В системе координат, движущейся
с групповой скоростью спиновой волны V = k B + 2k2 + e)/u),
закон дисперсии выглядит сложнее, но его асимптотики могут быть
получены легко. При малых скоростях (V < 1) частота в движущейся
системе координат со » V\ + е {1 — V2/ D + 2е)}, а при больших
скоростях (У>1) частота со « — У2/4. Наконец, при со = 0
групповая скорость перемещения спиновой волны совпадает с минимальной
фазовой скоростью и равна Vm = 1 -f V"l + е. Таким образом,
зависимость со = со (V) имеет качественно
тот же характер, что и в случае
одноосного ферромагнетика
(соотношение D.6)). На рис. 16, где
приведена зависимость со (У), отрезок
—Vo ^ У ^ ^о на оси абсцисс
представляет собой область допустимых
значений скорости доменных границ
при двухосной анизотропии.
В пределе е ->0 параметры D и С
выражения (9.27) принимают
предельные значения D -* оо, С -> 1,
и приходим к выражению для
спиновой волны в одноосном магнетике. Рис* 16- Зависимость со (V) для
Важной пгобрннпгтью гпинпвпй С1™овых волн в двухосном фер-
ШЖНОИ ОСООенностью СПИНОВОЙ ромагнетике и область существо-
ВОЛНЫ При 8 Ф 0 является ТО, вания солитонов.
71

что ее амплитуда не постоянная величина 02 — GjMl—-^-cos20j
и это согласуется с несохранением z-проекции намагниченности.
Проекция вектора М на плоскость (ху) описывает своим концом
эллипс с соотношением полуосей М°у/М°х = С. Эллипс сжат в
направлении х, что является естественным следствием того, что х — ось
самого «трудного» намагничивания.
С увеличением анизотропии, когда 8 -*¦ оо, величина С возрастает,
и траектория все сильнее прижимается к оси у, и в пределе С -> оо
вектор намагниченности движется в плоскости (zy).
9.3. Двухпараметрические магнитные солитоны. Рассмотрим
магнитные солитоны в двухосном ферромагнетике. Поскольку при малых
значениях анизотропии е двухосный ферромагнетик весьма близок
к легкоосному магнетику, то естественно ожидать существования
локализованных в пространстве возбуждений типа динамических соли-
тонов. Впервые на возможность таких решений уравнений Ландау —
Лифшица при е Ф 0 указано в работах Елеонского с соавт. [39, 40],
в которых возбуждения легкоосного ферромагнетика
анализировались с учетом магнитодипольного взаимодействия (е = 4it/p). В этих
работах численно найдены автомодельные (зависящие только от
| — Vt) решения со скоростями в интервале V0 < V < Vm и
убывающие при ? -> ± оо. Следовательно, этим решениям соответствуют
точки на рис. 16, попадающие в интервал скоростей между уокеров-
ской скоростью и минимальной фазовой скоростью магнона.
Распределение намагниченности при малых значениях 8, полученное
численным интегрированием соответствующих уравнений, было
весьма близким к таковому при 8 = 0. Однако амплитуда
возбуждения оказалась слегка модулированной: на гребне магнитного соли-
тона наблюдалась слабая (в меру малого значения г) рябь (рис. 17).
С увеличением 8 периодический рельеф на солитонной зависимости
9 = 6 (I — Vt) проявлялся более отчетливо.
Таким образом, численный расчет указал на более сложный
характер солитонов в двухосном магнетике по сравнению с их
аналогами в одноосном случае. Причину этого усложнения нетрудно понять,
если вспомнить, что малоамплитудный солитон всегда можно
представить себе как спиновую волну, локализованную в пространстве.
В одноосном случае амплитуда спиновой волны (величина 0)
постоянная, изменяется лишь фаза прецессии магнитного момента, в
двухосном магнетике изменяется не только фаза, но и величина 0. Поэтому
при учете ангармонизмов
становится сложнее и характер
солитона, порожденного
такой более сложной спиновой
волной.
Основная цель данного
параграфа заключается в
нахождении явного выражения
Рис. 17. Автомодельное самолокализованное Для магнитного ДВухпарамет-
решение в двухосном ферромагнетике. рического солитона и В изу-
72

чении структуры солитона при различных соотношениях его
параметров. Как будет показано ниже, структура солитона столь
сложна и громоздка, что получить его прямым интегрированием
уравнений (9.11), (9.12) трудно. Вообще говоря, солитонное решение для
одноосного магнетика получалось интегрированием динамических
уравнений также только после угадывания его основной структуры
(8.21): мы предположили, что двухпараметрическое решение
отличается от автомодельного наличием дополнительной прецессии вектора М.
Предположение (8.21) было достаточно простым и следовало из
анализа приближенных солитонных решений. В случае двухосного
магнетика при нахождении солитонного решения также существен
элемент угадывания, но здесь угадать решение гораздо труднее. Поэтому
не целесообразно сразу приводить окончательное точное решение.
Вначале изучим частные и более простые решения и сравним их с
соответствующими выражениями для одноосного магнетика. Далее
проанализируем изменение структуры этих решений, порожденное
двухосной анизотропией. После этого структура общего решения станет,
если не очевидной, то гораздо более понятной.
Начнем с магнитного солитона с неподвижным центром тяжести.
Это решение впервые получено в работе [59]. Как и в случае
одноосного ферромагнетика, предполагалось, -что вектор намагниченности
прецессирует одинаково во всех точках ?, т. е. угловая переменная q>
не зависит от координаты: ф == ф (/). Однако в двухосном магнетике
переменные полностью не разделяются, и угловую переменную 9
следует считать функцией не только координаты ?, но и времени: 0 =
= 0 (?, t). Поскольку угловая переменная <р принята не зависящей
от координаты, то динамические уравнения (9.11), (9.12) упрощаются
~ — A + е cos2 ф) sin в cos8+ -|f. sine = 0, (9.29)
— = е cos ф sin ф sin в. (9.30)
Уравнение (9.29) не содержит производных по времени от функции
0, а ф не зависит от ?. Поэтому уравнение (9.29) является
обыкновенным дифференциальным уравнением для 0, в котором коэффициенты
зависят от / как от параметра (через зависимость cos <p и dy/dt). Это
уравнение легко интегрируем и при положительной производной
dy/dt > 0 получаем
tg2"= ду/dt ch2xg ' (9-31^
где
ха = 1 + е cos2 ф — -^ . (9.32)
Положительным значениям производной ду/dt отвечают
положительные частоты прецессии вектора намагниченности. При
отрицательной производной dy/dt вместо (9.31) получаем
2 |дф/д/| %Ь*~к%
73

Подставив решение (9.31) в уравнение (9.30) с учетом соотношения
(9.32), легко убедиться, что полученное уравнение удовлетворяется
при du/dt = 0, т. е. когда х = const. Величина х — единственная,
которая характеризует найденное солитонное решение. При постоянном
¦х соотношение (9.32) превращается в дифференциальное уравнение
для нахождения азимутального угла. Решение этого несложного
уравнения определяет зависимость угловой переменной ф от времени
tg Ф = { / 1 + Ш2 + й] *8 ^ + V). <9-33>
где связь частоты прецессии со с параметром х, характеризующим
степень локализации солитона, описывается соотношением
со = КA—х2)A+е —х2). (9.34)
Радикал в соотношении (9.34) понимается как алгебраическая
функция параметра х2, которая при вещественных х2 может
принимать не только вещественные, но и мнимые значения. Определим эту
функцию так, чтобы при изменении х2 от 0 до 1 частота со была
положительной, а при х2 > 1 + 8 — отрицательной.
Заметим, что соотношение (9.34) совпадает с законом дисперсии
линейных спиновых волн (9.28), если в последнем выражении
произвести замену k -> /х. Для локализованной волны параметр х играет
гу же роль, что и волновое число для нелокализованных возбуждений.
Определяемая соотношзнием (9.33) угловая переменная ф
функционально совпадает с фазой прецессии в линейной спиновой волне (9.27),
если в ней произвести ту жэ замэну k -+ in.
Воспользовавшись выражением (9.33), перепишем соотношение
(9.31) в явном виде
««•Ьт^ + Й'-я^И + т))^ <9-35)
Явный вид солитонного решения (9.33), (9.35) существенно
зависит от величины частоты прецессии со. Этот параметр изменяется
в интервале 0 ^ со ^ У 1 -f е при 0 ^ х2 ^ 1 (солитонам такого типа
соответствует положительный отрезок оси ординат под параболой АА
на рис. 16).
Мы рассмотрели магнитные солитоны в двухосном ферромагнетике,
ограничиваясь решениями, «центр тяжести» которых неподвижен.
Однако естественно предположить, что, как и для рассмотренного
ранее одноосного ферромагнетика, в данной системе существуют соли-
тонные решения более общего вида, центр тяжести которых
перемещается со скоростью V.
Можно ожидать, что, как и в случае одноосного ферромагнетика,
решениям такого типа будет соответствовать область параметров V,
со под параболой А А на рис. 16.
Чтобы угадать примерный вид магнитного солитона в двухосном
ферромагнетике, вспомним, что решение типа движущегося двух-
74

параметрического солитона одноосного ферромагнетика можно
рассматривать как «зажатую» в солитоне спиновую волну. Влияние не*
линейности, приводящей к «компактизации» спиновой волны,
сводилось к двум моментам.
Во-первых, нелинейность модулировала амплитуду спиновой
волны, приводя к локализации возбуждения, и функция, «вырезающая»
солитон из спиновой волны, имела вид
1* 2 ch2 к (g — Vt) + G (V, со) *
Во-вторых, нелинейность приводила к дополнительному развороту
Аф = —arctg {В (У, со) thx(| — Vt)}
азимутального угла в солитоне по сравнению с характерной фазой
спиновой волны фс.в = —Щ + (St + у, где х = х (У, со).
Наиболее простое предположение о форме двухпараметрического
солитона в нашем случае сводится к тому, что влияние нелинейности
будет аналогичным, хотя величины G, В и х будут другими функциями
параметров У и со. Однако поскольку .характер самих спиновых волн
в данном случае более сложный, то естественно предположить, что
исходное выражение для угловой переменной ф будет функционально
совпадать с выражением (9.27)
Фс.в =— arctg {С (У, (o)tg(kl — &t — y)}.
Дополнительная зависимость амплитуды солитона от координаты
и времени, происходящая от координатной и временной зависимостей
амплитуды спиновой волны, должна определяться теперь тоже
выражением (9.27). Предельный случай неподвижного магнитного солитона
(9.35) подсказывает, что амплитуда движущегося солитона должна
быть пропорциональна величине
tg2|~?>(y, ©)-cos2(A?-«rf-Y).
Поэтому решение для движущегося двухпараметрического
магнитного солитона в случае двухосного ферромагнетика должно иметь
следующую структуру [5, 6]:
V$-r *
Ф = —arctg (В th x)
d = k\ — Ы — у,
где х, Ф — фазы соответственно движения солитона как целого и
спиновой волны, «зажатой» в солитоне; у, ?0 — произвольные постоянные;
А, В, С, D, F, х, k и со — вполне определенные функции двух
независимых параметров У и со, характеризующих данное решение.
Напомним, что частота прецессии магнитного момента Ъ в лабораторной
системе и частота со в движущейся со скоростью У системе связаны
соотношением со = со + kV.
А + ch 2x '
X) — arctg(Ctgfl),
% = K(Z-Vt-i0),
(9.36)
(9.37)
75

Часть входящих в общее решение (9.36), (9.37) величин может быть
найдена из решения линейной задачи. Действительно, асимптотика
решения (9.36), (9.37) при l — Vt — t0-+oo, когда 6 < 1,
удовлетворяет линейному уравнению (9.26). Но в отличие от решения этого
уравнения (9.27) для спиновых волн теперь мы должны считать
величину if>0 зависящей от ? и t if>0~exp{—x(g— Vt)}. Подставляя
величину г|) в таком виде в линейное уравнение (9.26), находим для
этой функции явное выражение
я|; = V(V/2k) {A//2^J — 1 j-1/2 — cos 20 х
Xexp{-x-^arctg[(-^+ ]/ Щ*- l) tgo] -
-;arc.g(/D)!+l-2-|)}, (9.38)
где параметры k, x и со, V связаны следующими соотношениями:
Ew=1+t+*2-x2' (9-39>
(©» + 4W){(^-J- l} = (~J. (9.40)
Соотношения (9.39) и (9.40) играют для солитонов ту же роль, ко«
торую для спиновых волн играет закон дисперсии (9.28). При V =
= k = 0 эти соотношения переходят в выражение (9.34) для
неподвижных солитонов (для которых 5 и (о совпадают), а при х = 0 получаем
закон дисперсии спиновых волн (9.28). Поскольку скорость
перемещения солитона как целого V и частота прецессии в движущейся со
скоростью V системе координат со являются наиболее физическими
параметрами, то все остальные параметры двухпараметрического решения
естественно выражать через эти два. Тогда соотношения (9.39), (9.40)
дают в неявном виде параметры k и х через V и со, а значит, и через
У и со. Однако явная запись этих зависимостей весьма сложна и
громоздка. Математически более удобно в качестве параметров выбрать
hx, характеризующие волновой вектор локализованных в солитоне
спиновых волн и размер области локализации самого солитона. Если
вместо двух вещественных параметров k и х ввести один Ж = k +
+ /х — комплексный волновой вектор, а вместо У и со — параметр
Q = со + ixV — комплексную частоту, то два соотношения (9.39)
и (9.40) можно записать единым образом:
Q* = A + я*) A + е + Ж2). (9.41)
Формально эта запись в точности совпадает с законом дисперсии
линейных спиновых волн в двухосном ферромагнетике (9.28).
Сравнивая выражение (9.38) с асимптотикой солитонного решения
(9.36), (9.37) при I — Vt -+ оо, находим значения параметров Ву С
и D. Для нахождения оставшихся двух параметров А и F, определяю-
76

щих амплитуду солитона и являющихся поэтому чисто нелинейными
характеристиками решения, необходимо подставить выражения (9.36),
(9.37) в исходное уравнение (9.12). Окончательные выражения для
всех входящих в решение величин выглядят так:
л= (a>/2kx)_^ в = j^E}/2?xJ + i _(S/2fex),
К((о/2?хJ+1
D =
C=(^{Vl-Bk/V)*+l), (9.42)
Vl-BkJV)* '
F = №{(Vl2kf— l)/8.
Запись (9.42) соответствует е > 0. При e < 0 радикалы в D и С
меняют знаки.
Выражения (9.36), (9.37), (9.41), (9.42) полностью определяют
динамику двухпараметрических солитонов в двухосном
ферромагнетике.
9.4. Анализ движения солитона. Анализ характера солитона
в двухосном ферромагнетике начнем с подробного рассмотрения более
простого выражения для неподвижного солитона (9.33), (9.35). Как
отмечалось, вид этого решения существенно зависит от величины
частоты прецессии. Положительным частотам в интервале 0 ^co^Kl + е
соответствуют 0<х2<1. При со->1Л +е решение (9.33), (9.35)
переходит в выражение (9.27) для линейных спиновых волн при
k=0. При 1 + в — со2 < 1 амплитуда солитона становится малой
вшах = 2 У 1 -f е — со2/]/г2 + 8 <^ 1. Форма возбуждения имеет
стандартный солитонный вид, но его высота в центре (g = 0)
периодически изменяется со временем между 0min и 0тах, где 0min/emax =
= 1/1Л+8 (рис. 18, а).
Рис. 18.
Колебания
намагниченности в
малоамплитудном (а) и соли-
тоне с предельно
большой
амплитудой (б).
\JL
J
в
"пил
а
f9
_. _ь____
д
5
Sminy
*"~
ааааь*
. Mtig»? j
77

Более интересно поведение солитона при малых частотах со<
< V1 -f е. В этом случае двухосность ферромагнетика существенно
проявляет себя даже при малом параметре анизотропии е< 1. Хотя,
как и в одноосном магнетике, при малой частоте прецессии солитон
можно рассматривать как связанное состояние двух доменных
границ (рис. 18, б), теперь эти границы начинают колебаться
относительно друг друга. Солитон как бы пульсирует, положение его
граничных областей осциллирует, а ширина солитона Д периодически
изменяется от Amln до Атах- При этом между «замыкающими»
солитон доменными границами имеется широкая область перемагниченного
магнетика (Amin>l). Амплитуда колебаний |тах— ?тт доменных
границ существенно зависит от величины е, а также от
соотношения 8 и со. Если е < со < 1, то амплитуда колебаний мала ?тах —
— ?min= о~ < 1- При этом средний размер перемагниченной области
<А> = I In со j и совпадает с размером солитона в одноосном
ферромагнетике при со<1. Присо<8 размах относительных колебаний
доменных границ возрастает. Минимальный размер солитона не
зависит от частоты: ?min = In (VTje) > 1, но максимальный размер
нарастает с ее понижением: graax = In Ke/oo2. При этих параметрах
солитон существенно отличается от магнитного солитона в одноосном
магнетике: амплитуда «пульсаций» становится очень большой ?тах —
— ?min = ln(e/(o) > 1. Интересно, что при этом средний размер
солитона (А) = ?-тах + ?min = | In со | по-прежнему совпадает с
подобной характеристикой солитона в одноосном ферромагнетике.
Проанализируем изменение фазы угловой переменной ф при коле-
бании солитона. Область перемагничивания максимальна при со/ +~ Y—
= я/2 + шт, т.е. при значении ф = я/2, и минимальна при Ш + у =
= пп, что соответствует ф = 0. Следовательно, если солитон
рассматривать как связанное состояние двух доменных границ разных
знаков, то в процессе колебания относительно общего центра тяжести
они периодически превращаются из блоховских в неелевские и
обратно. При максимальном удалении стенки являются чисто блохов-
скими, а при максимальном сближении — чисто неелевскими.
При увеличении параметра анизотропии е минимальное
расстояние между границами уменьшается и при 8 ^ 1 становится порядка
величины магнитной длины. Таким образом, при максимальном
сближении доменные стенки в этом случае теряют свою индивидуальность.
Амплитуда колебаний солитона при 8 ^> 1 увеличивается.
Для того чтобы иметь общее представление об изменении ф в
магнитном солитоне, удобно воспользоваться уравнением (9 32) и
изобразить его интегральные кривые (траектории) на фазовой плоскости
(Ф, dyldf) (рис. 19).
Рассмотренным выше солитонам соответствует кривая /, для
которой 0 ^ х2 ^ 1. Стрелка указывает направление движения (в
данном случае — направо, что соответствует положительной частоте
прецессии). Предельному случаю со = 0 (х2 = 1) отвечает кривая 2 на
рис. 19. Поскольку момент касания фазовой траекторией оси абсцисс
78

jt-^ч
2-^v
5"*\
4 **ч
5-^
У
Ъ^/х~
<$&C
Щ
dt
^"\
K>
L-Os
^
у*
^//
<?BУУ
^
«-—
<-»— 1
"Л
Рис. 19. Интегральные кривые
уравнения (9.32):
/ — 5 расшифрованы в тексте.
в точках ф = я/2 или <р =
= —я/2 достигается за
бесконечное время, то это
решение апериодическое. В нем
при t '-> оо фаза и амплитуда
ведут себя следующим
образом: ф = я/2 — 1/(8/), е =
= 2arctg ехр [± | + In t] для
| -> 4- оо соответственно.
Следовательно, связанное
состояние двух доменных
стенок разваливается, и
доменные границы расходятся на
бесконечное расстояние. Их относительная скорость 2 (In t)lt в
пределе стремится к нулю, и возбуждение вырождается в две
неподвижные блоховские границы. Можно сказать, что полученное
решение описывает рассеяние двух блоховских доменных границ,
при котором их скорость на бесконечности обращается в нуль. При
таком процессе направление намагниченности в доменной границе
до и после рассеяния изменяется на я,
До^сих пор значения параметра к2 рассматривались в интервале
О ^ х ^ 1. Если х2 > 1 -f в, то частота прецессии становится отри
цательной, что следует из выражения (9.32) (кривая 5, рис. 19). Со
литонное решение с отрицательными частотами со и неподвижным
центром тяжести описывается следующими выражениями:
<P-arctg{[t/7T(gF
tg4=M^^ (9.44)
Это решение аналогично решению (8.26) для легкоосного
ферромагнетика. При малых со этот солитон имеет примерно такой вид, как
и солитон, изображенный на рис. 18, б, однако при ? = 0 его
амплитуда 0 = я. Как и в одноосном магнетике, фазы прецессии в таком со-
литоне в левом и правом полупространствах различаются на я.
Однако при отрицательном знаке частоты характер относительного
колебания связанных доменных границ несколько иной, чем при
положительных со: при максимальном удалении границы являются чисто
неелевскими, а при максимальном сближении — блоховскими.
Предельному случаю х2 = 1 + г снова соответствует
апериодическое движение. Для предельного перехода в формулах (9.43) и (9.44)
надо выбрать определенным образом фазу колебания: у = я/2. Тогда
при *->оо азимутальный угол ф = 1/(^0 —-^- sign |, a 6 = 2arctgx
X ехр [ + у 1 -f 81 + In /] для I -у + оо соотретствешю. Эти 'функции
описывают рассеяние двух доменных стенок, имеющих на
бесконечности нулевую скорость. Однако в данном случае при бесконечном
удалении друг от друга доменные границы становятся чисто
неелевскими (кривая 4, рис. 19).
?
2|оI
¦]tg(wf + v)} —?signg. (9.43
79

Анализ фазовых траекторий на
рис. 19 показывает, что между
апериодическими движениями с
траекториями 2 и 4 существует целый
класс движений, отвечающих
траекториям типа 3, также
соответствующих апериодическим
движениям. Этому классу решений отвечают
промежуточные значения
параметра х2: 1 < х2 ^ 1 + е. Как видно
из рис. 19, в этом интервале пара-
Рис. 20. Плоскость комплексной пе- метра х2 имеются решения двух ти-
феменной Q. пов: одному соответствуют
траектории (а'а),а второму — траектории
{а'Ь') или (Ьа). В обоих случаях имеет место рассеяние двух доменных
границ друг на друге, причем совпадают как начальные, так и
конечные состояния. Однако в первом разворот <р происходит в
направлении увеличения фазы, а во втором — уменьшения. В первом случае
в момент сближения стенок они являются чисто блоховскими, а во
втором — чисто неелевскими. В пределе t -> ± со на таких
траекториях ф Ф лл, пп + я/2, что соответствует границам, движущимся
с конечной скоростью. Явное решение для первого типа легко
получить из формул (9.33), (9.35), аналитически продолжив величину со
в область мнимых значений. Если положить у = 0 и заменить со -> —
— /v, где
v = ]/(x2— 1)A +6 —х2), (9.45)
то при этом апериодические решения, отвечающие траекториям типа
(а'а), приобретают вид
Ф = arctg{(iL ± ]/(fJ2-l) thv*} , (9.46)
^? = Т^Ц<*2^+ J/Щ^}. (9.47)
Здесь верхний знак относится к интервалу 1 < х2 < 1 + е/2
а нижний — к интервалу 1 + е/2 < х2 < 1 + е. При изменении х
от 0 до 1 + е решение (9.35), (9.36) непрерывно переходит в решение
{9.46) и (9.47). Если решениям с разными значениями х2 сопоставить
точки на плоскости комплексной переменной Q = со + iv, то им
соответствует линия / на рис. 20. Асимптотики апериодических решений
при / -> сю совпадают с предельными уокеровскими решениями для
доменных границ (9.13): tgG/2 = (Vb/V«) exp{ + x(? — V„f)}
соответственно для I > 0 и I < 0. Здесь параметр V» = v/x задает
скорость доменных границ на бесконечности. При v < 1 и х2->- 1, со = +0
две блоховские доменные границы сближаются до минимального
расстояния |1пе|. После рассеяния намагниченность в каждой стенке
разворачивается на я. При v <С 1 и х2-> 1 + е, со = — 0 имеем дело
Aiv
YhT
(О
?0

с рассеянием двух неелевских доменных границ, причем в процессе
рассеяния направление намагниченности в доменных стенках
практически не изменяется. Минимальное расстояние сближения порядка
величины |ln(e/v2)|, и при v-^О решение переходит в однородное
состояние намагниченности. При v~8—1 стенки сближаются на
расстояние порядка магнитной длины и при этом сильно
деформируются.
Итак, переход от периодических к апериодическим решениям
связан с переходом от вещественной частоты со к мнимой
величине tv, пропорциональной скорости относительного движения (v =
= BVJ х/2).
Аналогично могут быть найдены явные выражения и для решений,
соответствующих фазовым траекториям типа (Ьа). Для их
нахождения воспользуемся выражениями (9.43) и (9.44) и произведем в них
аналогичную замену со -> iv (при этом надо выбрать фазу у = я/2).
В результате получаем
i = |— arctg {[i + /Ш'-l ] * v(}, (9.48)
где верхний знак относится к области 1 ^ х2 ^ 1 + -|-, а нижний —
к 1 + у ^ х2 ^ 1 + е. Эти выражения непрерывно переходят в
периодические решения (9.43), (9.44) при v = 0 и со =—Ои
оканчиваются в точке v = 0, со = +0 на плоскости комплексной
переменной Q (рис. 20, кривая 2). Снова имеем рассеяние двух доменных
границ с ненулевой скоростью относительного движения на
бесконечности. Однако теперь направление вектора намагниченности в двух
стенках отличается на я.
Интересно сравнить решения двух рассмотренных типов при
одинаковых значениях х2. Возьмем для примера предел х2 -> 1 + ? и v ->
-> 0. Тогда решения первого типа будут описывать рассеяние двух
неелевских границ с параллельным направлением магнитных
моментов в обеих доменных границах. Само это направление в процессе
рассеяния не изменяется. Решение второго типа также описывает
рассеяние двух неелевских доменных стенок, но в них направления
магнитных моментов противоположны и в ходе рассеяния направление
каждого магнитного момента в стенках изменяется на я.
Перейдем, наконец, к изучению магнитных солитонов: в общем
случае, когда отличны от нуля не только частота прецессии, но и
скорость перемещения солитона как целого. В зависимости от
соотношения этих параметров форма солитонов и характер их движения могут
существенно различаться. Поэтому выделим те области изменения
параметров, хде поведение солитона заведомо различное. Этим
областям, естественно, соответствуют случай слабонелинейных
возбуждений и случай предельно нелинейных солитонов.
6 3-48
81

В области соотношения
параметров, близких к
закону дисперсии спиновых волн
(вблизи кривой А А на рис. 16)
двухпараметрические
возбуждения имеют вид слабо-
локализованного
малоамплитудного солитона, близкого
к спиновым волнам. Обрат-
Рис. 21. Распределение намагниченности НОМу (предельно нелинеЙНО-
в двухпараметрическом солитоне. му) случаю отвечают области
частот и скоростей вблизи оси
V = 0 и отрезка оси скоростей — V0 < V < 1/0. Напомним, что сам
этот отрезок со = 0 отвечает той ситуации, когда магнитный соли-
тон превращается в апериодическое возмущение.
Рассмотрим солитоны с малой амплитудой, которым соответствуют
малые значения х. Из выражений (9.36) и (9.37) следует, что в этом
случае солитон представляет собой локализованное в области с
пространственными размерами 1/х отклонение намагниченности от
равновесной, перемещающееся с групповой скоростью V. Амплитуда этого
возбуждения дополнительно периодически модулирована с
характерным расстоянием порядка величины l/k. Периодический рельеф
движется по гребню солитона со скоростью v = co/fc (рис. 21).
Скорости перемещения солитона V и движения модулирующего
его рельефа v связаны соотношением v = V + co/fe. Таким образом,
в солитонах с со > 0, которым соответствует область под кривой АА
в верхней полуплоскости на рис. 16, модуляция движется быстрее
самого солитона. Нижняя полуплоскость со < 0 соответствует солито-
нам, в которых модуляция движется медленнее солитона. Наконец,
при со = 0 скорости v и V совпадают, и имеем предельный случай
автомодельного решения, изученного в работах [39, 40]. Отметим,
что snocmnbKy общее солитонное решение содержит произвольный
параметр у, то автомодельное решение при со = 0 вырождено по этому
параметру — существует целый класс автомодельных решений с
различными значениями у, только два из которых (для у = 0 и у = л)
обсуждались в работе [401. Указание на целый класс автомодельных
решений, отличающихся непрерывным параметром, содержалось в
работе [41], где наличие такого параметра связывалось с определенным
нетривиальным интегралом движения.
Конечно, отчетливая картина периодического рельефа (рис. 21)
существует не при всех значения V, со или х, k. При увеличении х
(удалении от кривой АА) градиенты огибающей солитона становятся
больше, и периодический рельеф становится менее отчетливым. Если
зафиксировать х, то при понижении параметра k рельеф менее заметен
(это связано с уменьшением градиентов поля в спиновой волне).
В частности, при малых х модуляция мало заметна для V *Q х. Но
поскольку градиенты поля намагниченности зависят также от констант
(9.42) — сложных функций параметров решения — то в общем
случае картина очень сложна. Дополнительное усложнение связано
82

с тем, что результаты существенно зависят от величины
анизотропии 8.
Ситуация полностью проанализирована для специального случая
автомодельных решений в работе [40]. Установлено, что при анизот-
ропии s < (\ 2 + IL— 1 и малых скоростях 1/0 < V < V* =
= Vv2m — VI производная <Э0/д? обращается в нуль только в одной
точке I — W = 0, и следовательно, модуляция практически не видна.
При больших скоростях V* < V < Vm появляются другие точки,
в которых dQ/dl = 0, и рябь становится существенной. При большой
анизотропии 8 > (]/*2 + IL — 1 отчетливо видна периодическая
структура амплитуды солитона для всех скоростей в интервале
v0<v<vm.
Перейдем к изучению другой области параметров, в которой
нелинейность уравнений проявляется гораздо существенней.Если
малоамплитудным солитонам, близким к линейным решениям,
соответствовал предел х -> 0, а отличный от нуля параметр k
классифицировал различные решения, то противоположную сильно нелинейную
ситуацию описывает предел k -* 0. При этом различные решения
соответствуют разным значениям х. На рис. 16 область k = 0 состоит
из полубесконечной прямой (У=0, co^V^l-f е) и отрезка прямой
(со = 0, —yo^V^l/0). Точки этого многообразия характеризуются
различными значениями х2. Если по указанному отрезку оси
скоростей провести разрез, то увеличению значения х2 от 0 до оо
соответствует движение вниз по оси частот от точки со = V1 + е
с обходом линии разреза. В точке V = 0, со = -f-0 параметр х2= 1,
а в точке V = 0, со = —0 величина х2 = 1 + 8 (на краю разреза —
в точке со = 0, V = V0, имеем х2 = 1 -f e/2).
Вид решения, соответствующего оси V = 0, ранее подробно
обсужден. Отметим только, что выражения для солитонов с
неподвижным центром тяжести могут быть непосредственно получены и из
общего выражения (9.36), (9.37) в пределе V -> 0, k -> 0, если
отношение V/k конечное. Действительно, при со > 0 из соотношения
(9.42) вытекает А = + 1, В = 0, и приходим к выражению (9.35).
При отрицательных частотах А = —1 и В = оо, что приводит к
выражениям (9.43), (9.44) для амплитуды и фазы. При этом в фазе
появляется член —j-signg, т. е. фазы вращения в левом и правом
полупространствах различаются на п.
Динамика солитона приобретает особенно характерный вид при
малых частотах. В этом случае магнитный солитон рассматривается
как связанное состояние двух доменных границ, которые с малой
частотой совершают колебательные движения около своего общего
центра тяжести (см. рис. 18, б). Качественно такой же вид имеет
солитон и в более общем случае, когда его параметры лежат в узкой
области вокруг линии разреза на оси скоростей. Но в общем случае
колебательное относительное движение доменных границ, связанных
в солитоне, сопровождается дополнительным перемещением центра
6*
83

их колебаний с постоянной скоростью V. При удалении вдоль линии
разреза от оси частот размах колебаний связанных доменных границ
становится меньше, и при уокеровской скорости V0 приходим к
стационарному движению солитона.
Остановимся на пределе о ->0в интервале скоростей —V0 ^ V ^
^ V0> которому соответствует появление апериодических решений,
описывающих рассеяние доменных стенок друг на друге. Ранее
исследовался частный случай таких решений, соответствующий
неподвижному центру тяжести решения (V = 0). В общем случае | VI < V0
при о) = 0 доменные .границы имеют после рассеяния при t -> оо
ненулевую скорость в системе отсчета, движущейся со скоростью V.
В этом можно убедиться, проанализировав выражение (9.42) в пределе
k = 0, V ф 0. Действительно, если у = я/г, то
F-+(>iV/kJ/e, D-+ 1 + 2k2/V2,
F{D-cos2,)^{l + (lV-^tJ}.
Кроме того, C-^V/k и Ctgft^+lV— у*. Если для краткости
записи ввести функцию скорости s = Vty*m — V2) (VI — V2), то
предельные апериодические решения можно записать в виде
^т-т- л + сьа ' (9'5°)
ф = —arctg (В th х) — arctg (-? X + rf). (9.51)
Здесь верхний знак относится к верхнему берегу разреза (со = + 0),
а нижний — к нижнему (со = —0). По-прежнему при увеличении t
скорость разбегания доменных границ логарифмически стремится
к нулю.
Проследим за направлением векторов намагниченности в доменных
границах после их разбегания. Если ф1? ф2 — азимутальные углы
соответственно в первой и второй доменных границах, то при V = 0
и о = + 0 имеем фх = ф2 = я/2 — намагниченность в двух блохов-
ских стенках ориентирована параллельно. Далее по мере
перемещения вдоль разреза угол фх увеличивается, а ф2 — убывает. По
достижении уокеровской скорости векторы намагниченности ориентированы
под прямым углом фх = Зя/4, ф2 = я/4. При перемещении к точке
V = 0, со = —0 по нижнему берегу разреза разворот увеличивается,
и в пределе получаем две неелевские границы с противоположной
ориентацией магнитных моментов.
В терминах солитонных решений уравнений Ландау — Лифшица
можно довольно полно рассмотреть вопрос о взаимодействии
доменных границ. Хотя нашей основной задачей является изучение
магнитных солитонов, однако эти две проблемы очень тесно связаны.
Действительно, в случае неподвижного центра тяжести солитона
выражение для магнитного солитона (9.33), (9.35) простым выходом парамет-
?4

ров решения в комплексную область значений превращалось в
решение (9.46), (9.47), описывающее рассеяние двух доменных границ.
Обратимся теперь к общему выражению для двухпараметрического
магнитного солитона при V ф 0. В решении (9.36), (9.37) заменим
частоту колебательного движения со мнимой величиной iv. Из (9.39) видно,
что для сохранения вещественности решения необходимо
одновременно заменить волновой вектор k мнимой величиной io. Произведя
указанную замену в величинах (9.42), входящих в решение, и введя для
удобства параметр размерности частоты, связанный со скоростью
(г) = Ух), можно переписать решение (9.36), (9.37) в виде
• fra е _ *Ч 1/" 1 + B*Р/Ч)а ch 2(<*? - у*) - 1 /осоч
ё 2 ~~ av У l+Bxa/vJ ch2(xg —л0 + 1 ' К '
_arctgJi^^±2Lth(al-v0}. (9.53)
Запишем в более симметричном виде также связь между
параметрами решения (9.39), (9.40)
(^+vJ = {l+8-(x + aJ}{(x + aJ-l), (9.54)
(т, _ vJ = {1 + в — (х — аJ} {(х — аJ — 1}. (9.55)
Выражения (9.52) — (9.55) описывают процесс рассеяния двух
доменных границ друг на друге в общем случае. Частные случаи
такого рассеяния соответствовали решению (9.46), (9.47). В общем
случае выражения (9.52), (9.53) описывают весьма разнообразные
случаи рассеяния, отличающиеся соотношениями параметров этих
решений. Более того, даже при одних и тех же параметрах решения вид
решений может быть различным. С такой неоднозначностью решений
сталкиваемся и при рассмотрении изолированных доменных границ.
Как видно из уокеровского решения (9.13), (9.14), при заданной
скорости V и знаке s доменной границы, даже если фиксировать характер
стенки — блоховский или неелевский, т. е. величину ]/l-fecos2<p,
все равно остается неоднозначность в выборе азимутального угла. Этот
угол остается определенным с точностью до прибавления к нему
значения я. В случае изолированной границы такая неоднозначность
никак не проявляется, однако при рассеянии двух доменных стенок
становится существенной.
Не останавливаясь на всем разнообразии вариантов рассеяния,
рассмотрим для определенности решение со следующими соотношениями
между параметрами: пусть х, ц, a, v положительны, х > а (что
фиксирует основное состояние 9 (g = rt оо) = 0), v > т] (при этом в
лабораторной системе отсчета доменные границы движутся в
противоположных направлениях) и щ > av (это соответствует движению
центра тяжести пары стенок слева направо). До рассеяния (при t -*
85

-> — оо) решение приближенно может быть представлено в следующем
виде:
6 ~ 2 arctg ехр {(к + а) (? - Vlt - gf)} +
+ 2 arctg ехр {— (к — <x)(g — v2t — g^)} — я, (9.56)
а после рассеяния (при /ч-> + оо) оно видоизменяется:
6 ~ 2 arctg ехр {(к - a) (g - uaf - g+)} +
+ 2 arctg ехр {—(к + а) (? — ^ - ?+)} — д. (9.57)
Здесь введены скорости и фазы отдельных доменных стенок:
v, =
__ у + л
V — Т]
?- = -? = ¦
х + а
In a
х— а
2 (х + а)
БГ БГ = ¦
1па
2 (х — а)
(9.58)
где а
а |/ у2
X Г <п2
+ 4х2а2
т]2 + 4х2а2 '
Траектории рассеивающихся доменных границ удобно изобразить
на плоскости (g, /) (рис. 22).
Центр тяжести двух границ перемещается со скоростью V =
= • * 2 2 = (xy)—ov)/(x2— а2), а величина скорости каждой
доменной границы в системе центра тяжести v = | v± — v21/2 = (xv —
— ат])/(х2 — а2).
Итак, формулы (9.52), (9.53) позволяют детально количественно
описать весьма интересное и важное обстоятельство — физическую
идентичность левой доменной границы до рассеяния и правой — после
рассеяния и соответственно правой до рассеяния и левой — после.
Из выражений (9.56), (9.57) следует, что у них совпадают скорости
и размер, а следовательно, энергия и импульс. Но, конечно, знаки
левой границы до рассеяния и
правой после рассеяния
противоположны, и направления вектора
намагниченности в этих доменных
границах различны. Из
выражения (9.53) вытекает, что
соответствующие углы ф равны по
величине, но противоположны по
знаку. Это находится в соответствии
с предыдущими результатами.
Действительно, из определения
импульса доменной границы (9.17)
следует Р со s<p. Поэтому при
сохранении импульса Р изменение
знака доменной стенки влечет за
собой и изменение знака
азимутального угла.
В момент столкновения
индивидуальность доменных границ
Рис. 22. Схема рассеяния доменных
границ.
86

может сохраняться, если минимальное расстояние между ними в
момент наибольшего сближения остается значительным (намного
большим магнитной длины). Но если следить только за асимптотиками
решения, а не интересоваться самим моментом столкновения, то
можно считать, что доменные стенки проходят друг через друга. При этом
у доменных границ скорость, импульс и энергия сохраняются,
изменяются лишь знаки границ, знаки азимутальных углов вектора
намагниченности и фаза движения каждой доменной границы. Такой
процесс можно рассматривать как упругое взаимодействие. Как видно
из выражений (9.58), при выбранных соотношениях между
параметрами а < 1. Доменные границы, проходя друг через друга, как
бы притягиваются. Ниже будет показано, что это свойство
сохраняется при произвольных соотношениях параметров.
Заметим, что в рассмотренных выше примерах существовали две
однотипные рассеивающиеся границы (две неелевские или две блохов-
ские). В принципе допускаются такие предельные значения х, сг, v,
(Л, набор которых соответствует взаимодействию одной блоховской
и одной неелевской границ. Эти значения таковы:
х=1+|, а = ?, -v = ri = 0. (9.59)
Предельный переход v -> 0, т\ -* 0 в (9.59) должен выполняться
при v/r) < 1 + е/2.
10. Многосолитонные состояния
в двухосном ферромагнетике
ЮЛ. Метод Хироты для нахождения солитонных решений
уравнений Ландау — Лифшица. Работами Боровика, Робука [27]
и Склянина [153] доказано, что уравнения Ландау — Лифшица для
одномерного двухосного ферромагнетика являются полностью
интегрируемой динамической системой. Это означает, что по начальному
распределению намагниченности решение может быть восстановлено
в любой момент времени. Кроме того, доказан асимптотический
принцип суперпозиции. Солитоны сохраняют свою индивидуальность,
и все их взаимодействие сводится к обмену фазами при прохождении
друг через друга. В последнем убедились в § 9 на примере двухпара-
метрического решения, описывающего взаимодействие двух доменных
границ.
Одним из эффективных методов изучения нелинейных
динамических систем является метод обратной задачи рассеяния. Не будем
останавливаться ни на доказательстве полной интегрируемости изучаемой
системы, ни на методе обратной задачи теории рассеяния, подробно
изложенных в [93, 49, 88].
Рассмотрим многосолитонные решения уравнения Ландау —
Лифшица, использовав так называемый формализм Хироты [125, 127].
Метод Хироты заключается в нахождении функционального
преобразования исходных полевых переменных (в нашем случае углов 0 и ср)
87

к новым переменным, для которых уравнения принимают более
простой полилинейный вид и потому допускают решения в виде
стандартных конечных рядов экспонент. Для нахождения такого
преобразования очень важно записать известные решения нелинейного
уравнения в виде функций, аргументами которых являются экспоненты вида
exp (xjg — vtt + oLt)- Возвращаясь к уокеровскому решению для
одной движущейся доменной границы (9.13), замечаем, что в качестве
такой функции естественно выбрать tg @/2).
Несмотря на т® что в угловых переменных 0 и ф решения выглядят
наиболее наглядно, при вычислениях удобно пользоваться вместо
двух вещественных функций 0 и <р одной комплексной. (Нами
неоднократно использовалась, например, функция г|) = sin 0 exp др.)
Поэтому вместо двух вещественных полей tg @/2) и ф введем одно
комплексное
^ = tg(-|)^. A0.1)
Компоненты поля намагниченности выражаются через величину
w следующим образом:
Мх+1Му = МоТ^., УИг = М01^=!. A0.2)
Выбор преобразования A0.1) не случаен. Ранее отмечалось, что
областью изменения вектора m = М/УИ0 является поверхность
единичной сферы с координатами 0 и ф на ней. Простейшим
преобразованием двухмерного многообразия точек на поверхности этой сферы
в многообразие точек на плоскости является так называемая
стереографическая проекция [38] г = ctg 0/2, ф = %, где г и % — полярные
координаты на плоскости проектирования, a ctg 0/2 exp AC —
комплексная координата на ней. (Замена ctg @/2) на tg @/2)
несущественна и связана с удобством такого выбора преобразования, при котором
основному состоянию соответствует значение w = 0.) Формально
удобство стереографической проекции заключается в том, что величина w
изменяется в бесконечных пределах (в отличие от 0, ф и г|э). Кроме
того, уравнения Ландау — Лифшица в терминах w не содержат ни
тригонометрических функций (как в случае угловых переменных), ни
квадратных корней (как в случае функций \р), а только степени самой
функции w и ее частных производных. Поэтому такое преобразование
довольно часто используется при изучении свойств магнетиков [16,
163].
Уравнения (9.11) и (9.12) в терминах w записываются так:
A~Ш ~ W) W~ W* V Ж + ~|f ) ^* + A — ww*) \w + ^(w + w*)}+
Решение для изолированной доменной границы в новых
переменных выглядит просто
w = gxe5-ve*+cvH«Pef A0.3)
88

где а0 — произвольная вещественная постоянная, связанная с
началом отсчета координаты и времени, а параметры решения х0 и v0
выражаются через фазу ср0 следующим образом:
и0 = sVl +ecos2(p0, A0.4)
v0 = — 8 cos ф0 sin ф0. A0.5)
Здесь, как и в предыдущем параграфе, s= ±1 и характеризует знак
доменной границы. Из выражений A0.4), A0.5) вытекает связь
параметров х0 и v0
v02 = K2-l)(l+s-x2o)> 0°-6>
играющая для доменных границ роль закона дисперсии линейных
спиновых волн.
Выбранные параметры х0, v0 и ф0 очень просто связаны с
динамическими характеристиками доменной границы (энергией Е, скоростью
V и импульсом Р):
Е = Ев\к0\, V = v0/x0, Р = РБ—sqv
Здесь Ев, Рб — соответственно энергия и импульс блоховской
границы. Из выражения A0.6) следует, что х? изменяется в интервале
1 < xj* < 1 + е, a v2, — в интервале 0<v* ^ 1 -f 8/2. Как видно из
соотношений A0.4), A0.5), одним и тем же значениям х0 и v0
соответствуют два различных угла ф0, отличающихся на я. Таким
образом, заданной величине \V\ отвечает восемь различных доменных
границ (два направления движения, два значения ф0 и два типа
стенок, определяемых принадлежностью к «квазинеелевским» и «ква-
зиблоховским» границам5). Поэтому удобно пользоваться параметром
Ф0, который однозначно характеризует вид доменной границы.
Перепишем в новых переменных двухпараметрическое солитонное
решение, причем начнем с наиболее симметричного по форме
выражения (9.52), (9.53), описывающего рассеяние двух доменных границ-
Введем обозначения
п = (КгJ + 4х*а2 + т|) /2ха, у = {V'v2 + 4х2а2 — v)/2xa,
? = ol — vt, % = xg — r\t
и преобразуем выражения (9.52), (9.53) к следующему простому виду:
*0±- l/31E-ELL i/ l + fothp»
1ё 2 V on ch% * 1 + G th XJ ' /j07v
ri9= l/l + CythXJ 1-mthg
V 1 + (n th 02 1 — iy th % •
5 Можно-показать, что изменение знака доменной границы, т.е. параметра
s, не дает новых состояний в классификации доменных границ: оно эквивалентно
повороту системы координат и изменению значения qv
8Э<

Использовав соотношения между параметрами решения, сведем A0.7).
к компактной записи через экспоненты
w = ,_Г+С% • Ч/ = х'& -v/f + a/ + /Ф/( ./=1,2, A0.8)
где хх 2 = х + а, vx 2 = г] ± v, а связь новых параметров х,., v^
и ер, определяется соотношениями, аналогичными A0.4)—A0.6):
v2 = (xj — 1) A + 8 — х«), х» = 1 + е cos2 ф.. A0.9)
Оказывается, величина а12 совпадает с введенной ранее а (см.
(9.58)). С помощью величин х; и vt- запишем
X Xl VxtXa— 1) —V2(xl —1)
а12 = -^-:—- 5 г • A0.10)
12 *2 + Kl Vl(x5-l)+V8(xJ-l) '
Как указывалось в § 9, In a12 определяет сдвиг фазы при
рассеянии доменных границ. Поэтому для выяснения характера их
взаимодействия параметр а12 удобнее переписать в следующем виде:
Sill2 (ф! — ф2) _ 1 (Xi — Х2J
2 Ь (Xi + xJ2 - e sin2 ((pi + фа) .
Отсюда, в частности, видно, что при е > 0 величина а12 > 0. Кроме
того, если кг и х2 одного знака, то а12 < 1 и In а12 < 0 (напомним,
что параметр анизотропии 8 предполагался лежащим в интервале
0 < 8 < оо). Если хх и х2 разных знаков, то а12 > 1 и In a12 > 0.
Из выражений A0.8) — A0.10) следует, что для рассмотрения всех
физически различных ситуаций при рассеянии двух доменных
границ достаточно анализа хх, х2 > 0. При этом намагниченность на
бесконечности соответствует основному состоянию (Мг (т± оо) = М0).
Решения с щ < 0 в точности переходят в решения с щ > 0 при
соответствующем изменении знаков v* и не приводят к новым типам
рассеяния доменных границ. Наконец, при разных знаках х, изменяется
основное состояние системы: Mz(± оо) = — М0. Легко убедиться,
что все возникающие при этом решения получаются из решений
с xt- > 0 простым вращением магнетика вокруг оси ? на 180°.
При щ > 0 характер взаимодействия доменных границ
определяется соотношением знаков v* : при vt < 0 обе доменные границы
движутся справа налево, при vt>0— слева направо, при vx > 0,
v2 < 0 — навстречу друг другу. Остановимся на встречном движении
доменных границ. Обозначим через wi приближенное решение A0.8)
вблизи координаты центра i'-й доменной границы |/ (%г = (vxt —
— а^/хх, ?2 = (—v2t — а2)/х2, граница 1 движется слева направо)
а граница 2 — справа налево). Тогда до столкновения (t ->¦ — оо
W± = gxi?—V+ai+'<Pi, хю2 = e-mX^"'*it-"a*-i^+ ' ln °12 ', A0.11)
после столкновения (/->-foo)
Wl = ^-x^+v^-aj-tV^ [ In a12 \^ w^ _ ex2l+v2t+(x2+i<?^ (Ю. 12)
90

Сравнив асимптотики A0.11) и A0.12), можем считать, что
доменные границы, сталкиваясь, проходят друг через друга. В процессе
столкновения центр каждой границы дополнительно сдвигается по
ходу движения на величину | In a121 /щ Этот сдвиг можно
рассматривать, как результат эффективного притяжения доменных границ.
Такой характер взаимодействия является общим и не зависит от
конкретного выбора знаков и величин щ и V;. Как указывалось выше,
заданным значениям х и v соответствуют две доменные границы,
отличающиеся противоположными направлениями вектора намагниченности
в границах, т.е. углами ф и ф + я. Это приводит к тому, что при
столкновении границ заданному набору щ и vt- соответствуют четыре
различные ситуации, отличающиеся взаимными направлениями
намагниченности в каждой доменной границе фх = ф°, ф? + я, ф2 =
= Фг> Ф? + я- Однако сдвиги фаз во всех четырех случаях в
точности одинаковы.
Таким образом, на примере решения A0.8) снова подтвердилось
существование асимптотического принципа суперпозиции: две
доменные границы проходят друг через друга без потери своей
индивидуальности, и все их взаимодействие сводится к простому изменению фазы
движений. Естественно, этот принцип обобщается и на случай
большего числа доменных границ. Непосредственной подстановкой в
исходные динамические уравнения можно убедиться, что решение для
трех взаимодействующих доменных границ выглядит следующим
образом [19, 201:
где T]t-, Kh vt и ац определяются соотношениями A0.8)—A0.10),
в частности
*1 — *к VK(X*-l)-Vt.(X*-l)
Щк =
*<+хк vK(x?-i)+v,(x;;-i) '
а я123 = <h2a13a23. Последнее соотношение является проявлением
принципа суперпозиции. Действительно, если парахметры решения A0.13),
например, таковы, что доменная граница 1, двигаясь слева направо,
обгоняет две другие, то, как следует из A0.13), приближенное
решение для нее до и после столкновения выглядит так:
Wi(t-+> —оо) = еЪ, Wi (?-> оо) = e7li+lnaU3-!nel,t
Таким образом, полный сдвиг фазы движения In (a123/a23) = In a12 +
+ In a13, т.е. представляется в виде суммы сдвигов фаз при
прохождении доменной границы через каждую из двух остальных стенок.
Общее решение, описывающее динамику произвольного числа
доменных границ, естественно обобщает выражение A0.13) и может
быть записано в следующем виде [19, 20, 126]:
91

— -\^+' "", + • 00-14)
где Л/" — число доменных границ; [А] — целая часть числа А; лА —
символ суммирования по в'сем комбинациям из N элементов по /;
*Ь, xi» vt определяются и связаны соотношениями A0.8) и A0.9).
Предэкспоненциальные множители а$1, ... , asp выражаются в виде
произведений величин а..:
(п)
Y\asksV Я>2,
k<i " 00.15)
11, п = 0, 1,
где (п) — произведение всех парных комбинаций из п элементов.
Из обобщенного принципа суперпозиции вытекают следующие
важные результаты. Поскольку в пределе t -> оо доменные границы после
столкновений расходятся на бесконечное расстояние,
упорядочившись по скоростям, и при этом их индивидуальность не теряется, то
для каждой в отдельности выполняются соотношения (9.16), (9.17).
Поскольку в этом пределе доменные границы не взаимодействуют, их
энергии и импульсы следует просто сложить, чтобы получить полную
энергию Е и полный импульс Р системы. Но так как энергия и
импульс являются интегралами движения, то, следовательно, в любой
момент времени выполняются соотношения
N
Е = ЕБ% Ix,|, A0.16)
N
Р=Ръ~^ЩП^ (Ю.17)
1=1
Этот результат строго доказан в работе Склянина [153].
Аддитивность интегралов энергии и импульса позволяет рассматривать
совокупность доменных границ в терминах газа упруго
взаимодействующих частиц.
10.2. Многосолитонные решения. Взаимодействие магнитных со-
литонов и доменных границ. Определим место магнитных солитонов
в общей классификации многопараметрических решений уравнений
Ландау — Лифшица для двухосного ферромагнетика. В предыдущем
параграфе показана тесная связь между решениями для магнитного
солитона и двух взаимодействующих доменных границ. Последнее
решение получается из выражения для магнитного солитона при
переходе по его параметрам в комплексную область. Это свойство
сохраняется и при записи решений в стереографических проекциях.
Действительно, переходя к таким проекциям A0.1) в общем выражении
92

(9.36), (9.37) для магнитного со-
литона, можно убедиться, что оно
также преобразуется к виду A0.8),
где хх = х + ik, х2 = х — ik,
vx = ц + ш, v2 = г) — ?5. Таким
образом, параметры xt- и vt-
становятся комплексно-сопряженными.
Зависимость между параметрами
X; и Vf сохраняет вид A0.6):
v? = (х? — 1) A + в — и?), а связь
величины а12 с xf. и vt- — вид
соотношения A0.10). Правда,
выражение для а12 через постоянные фазы
экспонент выглядит несколько
иначе:
^2- 8 81ПМФ1 + Ф2)
Параметр ai2 остается вещественным, но становится отрицательным.
Кроме того, другими становятся зависимости для к( и v,- от
постоянных фаз т]? = а. + др., заменяющие теперь соотношения A0.4), A0.5):
%\ = 1 + 8 Ch2 ^ ^ / '
П.ЛЛ(^)Л(^).
Из четырех параметров а/ и ср* можно составить две комбинации,
выражающиеся через величины хх и х2 = х*. Оставшиеся после этого
два параметра являются произвольными, так как они связаны с
выбором координаты центра тяжести магнонной капли и с отсчетом фазы
внутренних колебаний намагниченности в ней.
Введем в рассмотрение плоскость комплексной величины х + ik
(рис. 23). На ней магнитному солитону соответствует пара комплексно-
сопряженных точек (bb'). Если эта пара лежит на мнимой оси (ss')>
то имеем дело с пределом линейных спиновых волн (см. рис. 16,
кривая А А). Если пара комплексно-сопряженных точек стягивается
в одну на вещественной оси, то случаю |х|>1/~1+е отвечает
предел V = 0, со < 0, а случаю | х | < 1 — предел V = 0, со > 0
(ср. с рис. 16). Наконец, точкам d на вещественной оси в интервале
значений 1 < | х | < V\ + e соответствуют свободные доменные
границы.
До сих пор предполагалось, что в магнитном солитоне х2 = х*
и v2 = v^, что соответствует солитону в ферромагнетике,
находящемся в основном состоянии (Mz(±oo)= +M0). В случае
противоположного основного состояния (Мг(±оо) = —М0) параметры
магнитного солитона связаны соотношением х2 = —х?.
<
1 dl
11 0
1
Г
>s 1
i ii ж
Г" ¦ HI >"
1 VuT\
-s' |
lb'
Рис. 23. Комплексная плоскость
переменной х + ik.
A0.18)
A0.19)
93

Рис. 24. Рассеяние солитона на доменной границе.
Прямая подстановка солитонного решения в формулы для энергии
и импульса магнетика приводит к выражениям, близким к A0.16)
и A0.17):
?c = ?B(|Rex1| + |Rex2|) = 2?B|Rex1|, A0.20)
2
Рс = Рб~ (cpiSignRex! + (p2signRex2 — я). A0.21)
Доменные границы и солитоны (бионы) составляют полный
набор решений уравнений Ландау — Лифшица, отвечающих состоянию
однородной намагниченности на бесконечности. Все взаимодействие
этих возбуждений сводится лишь к изменению фазы их движения при
прохождении друг через друга. Полная энергия магнетика
представляет собой сумму энергий отдельных доменных границ A0.16) и
энергий солитонов A0.20), а полный импульс — сумму импульсов
доменных границ A0.17) и импульсов солитонов A0.21). Как показано
Скляниным [153], в общем случае в выражения для энергии и
импульса дополнительный аддитивный вклад вносят также малые
осцилляции намагниченности. Аддитивность интегралов энергии и импульса
позволяет рассматривать совокупность всех возбуждений данной
нелинейной системы в терминах газа невзаимодействующих частиц трех
сортов: доменных границ, магнитных солитонов (бионов) и свободных
нелинейных магнонов.
Рассмотрим более подробно взаимодействие солитона с доменной
границей (рис. 24). Взяв решение A0.13) для трех доменных границ,
предположим, что две из них «связаны» в бион. Если бион образован
доменными границами 2 и 3, то во всех выражениях необходимо
считать х2 = х* и х* и v2 = v*. Этот процесс аналитически
рассмотрен в работе [20].
Все взаимодействие солитона с доменной границей определяется
константами а12 и а13 = af2. Аналогично рассеянию двух доменных
94

границ, взаимодействие биона с доменной границей также носит
характер эффективного притяжения. Сдвиг центра тяжести доменной
границы при ее взаимодействии с магнитным солитоном
Д?дг = it I In (flisflis) I = it I ln (flwflw) I-
Здесь использован модуль логарифма, так как а12а13<\. Сдвиг
центра тяжести солитона Д?с = —-9-А?дг- Так как в отличие от
доменной границы солитон характеризуется не только положением
центра тяжести, но и фазой внутреннего колебания, то рассеяние
солитона на доменной стенке приводит к дополнительному сдвигу
фазы этого колебания. Этот сдвиг фазы определяется величиной
АФ = — -i In (аи/а18) = arg (ala).
Явное выражение сдвига фаз через параметры солитона и
доменной границы имеет сложный и громоздкий вид. Однако это выражение
упрощается в предельном случае рассеяния линейного магнона на
доменной границе. Как указывалось выше, линейные магноны
получаются из выражения для магнитного солитона в пределе х = Rex2 =
= т) = Rev2 = 0. При этом сдвиг фазы магнона [20]:
AO = n-2arctg|+2arctg(^- ?—) . A0.22)
Этот результат можно получить, решая линеаризованную задачу
возбуждений магнетика, содержащего доменную границу (в
одномерном случае подобная задача возникает при исследовании
проблемы устойчивости доменной границы). Для неподвижной блоховской
или неелевской границы задача решается довольно просто [162], но
с учетом движения границ она становится достаточно сложной и
громоздкой. Добавки, связанные с движением стенок в пределе малых
скоростей перемещения, рассматривал Тиль [158]. Формула A0.22)
обобщает полученные ранее результаты на все допустимые скорости
доменных границ, вплоть до уокеровской скорости.
Точное выражение для сдвига фазы магнона A0.22) позволяет
определить изменение плотности состояний магнонов при наличии
доменных границ, что необходимо знать при построении
феноменологической термодинамики магнетиков [108, 21, 97].
Для рассмотрения взаимодействия двух магнитных солитонов
необходимо взять общее решение A0.14) в случае четырех доменных
границ и попарно «связать» эти границы. Пусть 1 и 2 относятся к
первому солитону, а 3 и 4 — ко второму. При этом, как и в предыдущих
случаях, взаимодействие солитонов сводится к дополнительным
сдвигам координат центров тяжести каждого солитона и сдвигу фаз
колебаний намагниченности в них. Сдвиг центра тяжести первого
солитона Д?1а = ,ReXi | In {al3aua2Ba2t) I, а второго Д?34 = — 2Re^ X
X\\n(al3aua2sa24)\. Взаимодействие по-прежнему носит характер
эффективного притяжения, поскольку а13аиа23аи вещественна и меньше
95

единицы. Соответственно сдвиги фаз внутренних колебаний АФ12 =
= — y In (а13аы/а23ам) и АФ34 = у In (а13а23/аыаи). В предельном
случае рассеяния двух линейных магнонов получаем нулевой сдвиг
фаз.
В частном случае изотропного магнетика сдвиги фаз солитонов
при их рассеянии друг на друге приведены в работе Фогедби [121].
Рассеяние солитонов в одноосном магнетике численно исследовалось
в работе [26].
11. Магнитные солитоны в легкоплоскостном
ферромагнетике
Рассмотрим ферромагнетик с анизотропией типа
плоскости легкого намагничивания. Если иметь в виду формальную сторону
дела, то свойства магнетика с такой анизотропией могут быть
получены в результате предельного перехода по параметрам анизотропии
из свойств двухосного ферромагнетика.
Конечно, динамику легкоплоскостного магнетика можно было
рассмотреть в § 8. Для этого в уравнении Ландау — Лифшица (8.2)
следовало бы изменить знак у константы анизотропии |5 (в
легкоплоскостном магнетике |3 < 0). Однако при такой замене существенно
изменяется основное состояние магнетика — вектор М лежит в
«легкой» плоскости. Поскольку симметрия солитонного решения сильно
отличается от таковой в легкоосном магнетике, нельзя использовать
явные выражения для солитона в легкоосном случае (8.22), (8.23),
сделав в них замену E -> — |3. Этому вопросу следует посвятить
отдельный параграф.
После изучения солитонов в двухосном ферромагнетике нет
необходимости в новых решениях уравнений Ландау — Лифшица для
легкоплоскостных солитонов, можно воспользоваться предельными
выражениями для найденных в § 9, 10 солитонных решений. Кроме
того, можно изучить солитоны не только в случае изотропной
плоскости легкого намагничивания. Оказывается, что интересные эффекты
могут быть обусловлены магнитной анизотропией в легкой плоскости.
Для намагниченности двухосного ферромагнетика единственным
параметром динамических уравнений является величина е,
характеризующая анизотропию в разных направлениях и пробегающая
интервал значений от —1 до + оо. Предельным значениям
соответствуют^ магнетики с анизотропией типа «легкая плоскость». В случае
8 = —1 «легкой» является плоскость xz и свойства магнетика в этой
плоскости изотропны. В противоположном пределе е > 1 вектор
намагниченности М практически лежит в плоскости zy. Однако при
этом «легкая» плоскость анизотропна, и направление оси z является
легчайшим. Свойства и характер уединенных решений в этих
пределах различны.
11.1. Анизотропная легкая плоскость. Поскольку при 8 > 1
наиболее выделена ось х, то перейдем от использованных полярных
координат, связанных с осью z, к новым, связанным с осью х. Будем отсчи-
S6

тывать новый полярный угол % от
плоскости zy, а новый
азимутальный угол г|) — от направления оси
z (рис. 25). В новых переменных
Mx = M0sm%y
My = Af0cos%sini|),
Mz = Af0cos%cosi|;. A1.1)
Очевидна связь углов в новой
и старой системах координат:
cos 0 = cos г|) cos x»
tg ф = sini|) ctg%. A1.2)
Выраженные через углы % и if>
уравнения движения намагниченности
(9.11) и (9.12) приобретают
следующий вид:
Рис. 25. Выбор новых угловых
переменных X, ty для вектора
намагниченности.
\г~ \Щ) +cos2ll}}sinXcosx + cosx-^-=0,
^I cos2 х -щ-} — cos2 x sin i|) cos i|) — cos % — = 0.
A1.3)
A1.4)
Длинноволновое приближение, в котором справедливы уравнения
Ландау — Лифшица A1.3) и A1.4) в безразмерных величинах,
предполагает выполнение неравенства a (d/dg) <C 10 = V а/Р- Поэтому
порядок величины первого члена в уравнении A1.3) можно оценить
как (д2х/д|2)<С(/0/яJ- В пределе сильно анизотропного магнетика
с 8 ^(/0/аJ (предполагаем, что /0>#) из уравнения A1.3) вытекает,
что x<CJI/2, и вектор намагниченности М слабо отклоняется от
плоскости уг (другая возможность %->я/2, очевидно, соответствует
неустойчивому положению равновесия).
Линеаризация уравнений A1.3) и A1.4) по малому значению угла
X упрощает эту систему:
\2
тН&)'-«'Ь-*+-
д2г|> , • , д%
-ф — COS^Sin^ — -gj-:
dt
= 0,
0.
A1.5)
A1.6)
Из уравнения A1.5) при е ^ {IJdf следует приближенное
соотношение между азимутальным и полярным углами
1_ д^
е dt •
1
A1.7)
При этом задача существенно упрощается, так как после
подстановки соотношения A1.7) в A1.6) последнее сводится к уравнению
в частных производных для одной величины of>:
1 д2г|) д2я|)
Т1Й2" Щ?
+ sin я|> cos г|) = 0.
A1.8)
7 3-48
97

1
1 / *^*^1/
\Л >
12
//TV ^„
Iм 4\V^
—Z^T^
/ /
/ /
/ /
После замены и = 2\f> и
перехода к новой независимой переменной
т = Ks t получаем так
называемое синус-уравнение Гордона (sin-
Gordon equation, или уравнение SG):
0. A1.9)
Рис. 26. Разворот намагниченности в
солитоне с малой частотой.
Уравнение Ландау — Лифшица
для легкоосного ферромагнетика
впервые сведено к A1.9) в работе
[117]. Однако автор исходил из
других соотношений параметров
в модели ферромагнетика. Чтобы
объяснить схему вывода
уравнения A1.9) в указанной работе,
рассмотрим одноосный ферромагнетик
(легкая ось г), в котором волна
намагниченности
распространяется в направлении,
перпендикулярном легкой оси (например, вдоль оси л:). Если учесть магнитодиполь-
ное взаимодействие, то участвующая в обсуждении такой задачи
плотность магнитной энергии определяется выражением (9.9).
Сравнение этого выражения с (9.3) показывает, что учет магнитоди-
польного взаимодействия порождает эффективную анизотропию,
характеризующуюся значением рх = —4зт. Тогда роль е выполняет
величина е = 4я/р. В случае слабоанизотропного магнетика ($ <^ 4я
и, следовательно, е> 1. Этих неравенств достаточно для сведения
уравнений Ландау — Лифшица к A1.9).
Свойства уравнения A1.9) подробно изучены (см. работы [48, 50,
51, 101, 112, 114, 124, 149—1511). Уравнение SG так же, как и
уравнение Ландау — Лифшица, является полностью интегрируемым и
допускает солитонные решения типа перегибов, соединяющих области
си = 0иа = 2я, а также типа локализованных динамических
возбуждений, в которых состояния системы при ? -* ^ оо идентичны.
Поскольку в нашем случае уравнение SG описывает магнетик, то
решения первого типа представляют доменные границы в
легкоплоскостном магнетике, а решения второго типа — магнитные солитоны.
Так как поле намагниченности векторное, то магнитные солитоны
и доменные границы в магнетике имеют более сложную структуру, чем
соответствующие решения скалярного уравнения SG. В нашем случае
это проявляется в том, что наряду с изменением угла я|) происходит
неоднородное динамическое изменение угла %.
Выражение для доменной границы в легкоплоскостном
ферромагнетике со слабой анизотропией в легкой плоскости, вытекающее
из A1.9) и A1.7), имеет следующий вид:
*«2arctgexp{^=,(E-^}
(НЛО)

х = -
1/ 8 (в—V»)
ch
)/8
AЫ1)
F-W)
Ц/8-V2
где У — скорость перемещения солитона в единицах /Осо0.
Вектор намагниченности лежит практически в анизотропной
легкой плоскости yz и лишь слабо (кроме предельно больших скоростей),
в меру 1/е выходит из нее. Максимальная скорость движения доменной
границы Утах = Уг и в пределе больших 8 фактически совпадает
с уокеровской скоростью V\ + в — 1.
Структура магнитного солитона в легкоплоскостном
ферромагнетике качественно совпадает со структурой солитона в двухосном фер.-
ромагнетике при е — 1, но вектор намагниченности прецессирует по
очень вытянутой траектории, практически лежащей в плоскости yz
(легкой плоскости). Для неподвижного солитона (V — 0) с малой
частотой прецессии вид этой траектории вблизи центра солитона
представлен на рис. 26.
Легко найти явный вид такого магнитного солитона. При © > 0
г|? == 2 arctg
/
8—СОа
COS (<dt)
* ch^e-^
X = -2
V*
¦Ртг*) J
ft?*')'
ch | r "_w § sin (<ot)
У г
..IV г— w2,\ . e—uJ
A1.12)
A1.13)
Перегибы (доменные границы) A1.10), A1.11) и осцилляционные
солитоны — бионы — A1.12), A1.13) явл яются основными типами
нелинейных коллективных возбуждений в системе, описываемой
уравнением SG. Полная интегрируемость уравнения SG позволила
доказать, что любое начальное локализованное возмущение системы с
течением времени (формально при t ->- оо) распадается на определенное
число перегибов A1.10) и осцилляторных солитонов A1.12),
сохраняющих свою индивидуальность. Для солитонов справедлив
асимптотический принцип суперпозиции.
Уравнение A1.9) значительно проще уравнений Ландау —
Лифшица и часто используется для описания магнитных свойств
квазиодномерных магнетиков при обсуждении экспериментальных
результатов по динамике и термодинамике нелинейных возбуждений [148,
1371. Однако необходимо иметь в виду следующее. Хотя в нашем
случае уравнение SG получено в качестве предельного перехода от
уравнения Ландау — Лифшица и, несомненно, близко к последнему по
своим свойствам и структуре, тем не менее они существенно различны.
Уравнение A1.9) в отличие от (9.11), (9.12) является
Лоренц-инвариантным. Кроме того, уравнение A1.9) является уравнением второго
порядка по времени, и замена знака частоты в решении этого
уравнения, например, в выражении для биона, не изменяет его вида.
7*
99

В то же время для солитонов,
возникающих из уравнения (9.4), вид
соответствующих решений
существенно различный для
положительных и отрицательных частот
прецессии вектора намагниченности.
Подобные замечания относятся и к
доменным границам. Выражения
A1.10), A1.11) описывают только
квазиблоховские стенки и не
описывают неелевских границ.
Для выяснения соотношения
между решениями двух упомянутых
уравнений рассмотрим изменение
области существования магнитных
солитонов в двухосном ферромагнетике в пределе больших г.
Кривая АА9 ограничивающая область двух параметров У, со, при
которых существуют солитоны в двухосном ферромагнетике,
пересекает ось абсцисс (со = 0) в точках, определяющих минимальную
фазовую скорость магнонов Vm = Vl + е + 1 ** У~г (Рис- 27). При
е > 1 верхняя часть этой кривой (со > 0) превращается в
полуокружность
ю = 1/Т=?Г A1.14)
Рис. 27. Область существования
солитонов в пределе е> 1.
Одновременно уокеровская скорость V0 = Vl + в — 1 также
стремится к V0 ~ Ve, поэтому отрезок оси абсцисс (—Vot V0)
фактически доходит до полуокружности A1.14). В результате область
двухпараметрических солитонов совпадает с полукругом (со > 0)
под кривой A1.14). Точки (V, со) этой области отвечают осцилля-
торным солитонам уравнения SG, достаточно хорошо
моделирующим двухпараметрические солитоны в легкоплоскостном
анизотропном ферромагнетике. Хотя формально решение уравнения SG не
зависит от знака частоты со, но оно отвечает только тому
приближенному решению соответствующих уравнений Ландау — Лифшица,
которое характеризуется положительной частотой. Решения
уравнений Ландау — Лифшица с отрицательными частотами не переходят
в решения уравнения SG. Действительно, предполагалось, что
характерные размеры изменения всех полей намного превосходят атомное
расстояние а, т. е. в безразмерных величинах, в которых
записывались уравнения A1.3), A1.4), dldl<lja. Кроме того, переход от
уравнения Ландау — Лифшица к уравнению SG предполагал
определенное соотношение между пространственными производными
и параметром анизотропии ферромагнетика d/d|<CVa^ у в. Из
этих неравенств следует, что в выражениях для магнитного солито-
на (9-36), (9-37) параметры k и х, характеризующие
пространственное распределение намагниченности, должны быть малы: k, х<Уб.
Выразим k и х через К и со с помощью соотношений (9.39), (9.40)-
100

Рис. 28. Область
существования солитонов в
легкоплоскостном ферромагнетике.
Тогда окажется, что условие перехода
от уравнения Ландау — Лифшица к
уравнению SG выполняется только при
положительных частотах практически
для всех точек под окружностью
A1.14), за исключением малых
окрестностей точек V ~ ± У"г, со = О,
относительные площади которых
уменьшаются при 8 ~> оо.
11.2. Динамика ферромагнетика
с изотропной легкой плоскостью.
Рассмотрим другой предельный случай,
также соответствующий
ферромагнетику с анизотропией типа легкая
плоскость. Этому случаю предельного значения г — —1 отвечает
изотропия свойств ферромагнетика в легкой плоскости, которой является
плоскость xz. Основное состояние ферромагнетика, в легкой
плоскости которого нет выделенного направления, характерно тем, что
лежащий в легкой плоскости вектор М может быть направлен
произвольно. Другими словами, оно бесконечно вырождено.
Прежде всего рассмотрим область параметров V и со, при которых
существуют магнитные солитоны в легкоплоскостном магнетике. Во-
первых, при г -+ — 1 максимальная частота прецессии в движущейся
системе координат сотах = V1 + в стремится к нулю. Во-вторых,
уокеровская скорость, при отрицательных 8 равна V0 = 1—V\ -f e,
вместе с минимальной фазовой скоростью магнонов Vm = 1 +
+ Vl +8 стремится к единице. Таким образом, область
положительных частот уменьшается и в пределе 8 = — 1 вообще исчезает
(рис. 28). Область допустимых параметров V и со ограничена кривыми
ЛЛ, отражающими закон дисперсии линейных спиновых волн в
легкоплоскостном ферромагнетике:
uc.b = kVT+k\ A1.15)
Параметрическая запись уравнения кривой АА на рис. 28 при
V > О такова:
ю = —-Д=, У=^Ж. A1.16)
Подставляя в (9.27) значение & = —1, получаем явное выражение
для решений, описывающих спиновые волны в легкоплоскостном
ферромагнетике:
92 со k2 + cos2 (kl — йс. вО. (И-17)
tg<P = i2 tg(*? —«>с.вО-
A1.18)
При малых волновых векторах (k < 1, а значит, и со < 1) из
A1.17), A1.18) следует
6 « Му/М0 со cos (fcg— <5С.В/), ф « 0.
101

Рис. 29. Колебания
намагниченности в спиновой волне при
малых частотах.
Из рис. 29 видно, что вектор
намагниченности при малых частотах
колеблется практически перпендикулярно
легкой плоскости.
При больших волновых векторах
(k > 1) ситуация иная:
0 = COnst, ф = —kl + СОс.в*,
т. е. вектор намагниченности прецесси-
рует по конусу с почти постоянным
раствором. Однако имеется очень
существенное различие между динамикой
намагниченности в такой спиновой волне
легкоплоскостного ферромагнетика и
движением вектора М в спиновой волне
легкоосного или двухосного
ферромагнетика, где вектор намагниченности
тоже движется либо по конусу постоянного раствора (легкоосный
магнетик) либо с дополнительным нутационным движением
{двухосный магнетик). В легкоосном ферромагнетике прецессия
намагниченности происходит вокруг оси, выделенной анизотропией свойств
вещества. В случае ферромагнетика с анизотропией типа плоскость
легкого намагничивания прецессия в спиновой волне происходит
вокруг произвольного направления в легкой плоскости.
Причиной этого является то, что основное состояние этой системы
бесконечно вырождено в отличие от двухкратного вырождения во всех
рассмотренных выше случаях. То, что в решении A1.17), A1.18)
колебания связаны с осью z, является случайным обстоятельством и
вызвано удобством выполнения предельного перехода.
Зная выражения A1Л7) и A1.18) для спиновых волн, нетрудно
представить характер динамики намагниченности в магнитном соли-
тоне с параметрами У и со, близкими к таковым в линейной спиновой
волне, т.е. лежащими в области, прилегающей к линии А А на рис. 28.
Вектор М в солитоне прецессирует тем же способом, что и в
спиновой волне, по закону A1.17), A1.18), но амплитуда волны
оказывается локализованной. Солитонное решение в данной области
параметров можно представить в виде ряда по степеням малой амплитуды.
Впервые малоамплитудные магнитные солитоны в легкоплоскостном
ферромагнетике были найдены асимптотическим методом в работе [60].
При этом дополнительно учитывалось магнитное поле Н, лежащее
в легкой плоскости, однако, если положить поле равным нулю, то
результаты работы [60] совпадают с представленными в данном
параграфе.
В основном приближении по малой амплитуде решение для
магнитного солитона имеет следующий вид:
е _ х Vk2 + cos2 (ki— at)
ch{x(l-Vt)}
A1.19)
где с5с.в— закон дисперсии A1.15) линейных спиновых волн. Четыре
102

величины ft, х, V и 5> связаны двумя
соотношениями (9.39), (9.40). Как
следует из (9.39), величина х
характеризует отклонение скорости солитона и
частоты прецессии М в нем от значений
этих величин в спиновой волне:
*-Ц^A
Si/
0)с .в " с. в,
,A1-20)
Рис. 30. Траектории вектора
намагниченности в солитоне:
1 — 3 — на больших расстояниях;
4,5 — вблизи центра солитона.
где Vc. в(?) определяется формулой
<9.39) при х = 0.
Если, например, зафиксировать
частоту прецессии со, то при различии
между скоростью солитона V и
групповой скоростью спиновой волны с той же
частотой Vc. в амплитуда солитона и
область его локализации так зависят от
скорости: emaxcv> yVc.B — V и Д? *> (VC.B —V)~1/2- В отличие от
магнитных солитонов в легкоосном магнетике групповая скорость
огибающей солитона всегда больше* скорости движения модуляции
его амплитуды.
Проанализируем характер магнитных солитонов в предельно
нелинейном случае, когда их параметры существенно отличаются от
параметров линейной спиновой волны. Ограничимся описанием
покоящихся солитонов (V = 0) с со < 0, которым отвечает значение k = 0
и для которых 1 ^ х2 < сю. При предельном переходе следует иметь
в виду, что при k = V = 0 сохраняется конечным отношение (V/k) =
= A — 2х2)/со. Из общих формул (9.36), (9.37) при этом получается
*T-V*i
к2 — sin2corf 1
1 sh к& >
9-arctg{^pltgco^,
A1.21)
A1.22)
где |<d| = ики2 —1, и угол <р испытывает скачок на л при
переходе от отрицательных к положительным ?.
При больших частотах (напомним, что при /0 > а можно
рассматривать большие х и большие частоты, оставаясь в рамках
длинноволнового приближения: х < IJa) амплитуда прецессии
намагниченности почти постоянна и солитон практически не отличается от
солитона в легкоосном ферромагнетике (формула (8.26): ф = со/ и tg0/2»
«l/shK|<D|g).
При малых частотах динамика намагниченности носит более
сложный характер, и траектория конца вектора намагниченности при
различных значениях ? приближенно описывается формулой
tg-l^(COS2(p+(D2)~"
shg
A1.23)
103

Эти траектории схематически изображены на рис. 30. На больших
расстояниях от центра солитона (|?!>1) вектор М прецессирует
вокруг некоторого направления в легкой плоскости (в данном случае—
направления оси z), колеблясь практически в легкой плоскости хг
(траектории 1—3). Вблизи центра солитона (|?| <^ 1) прецессия
вектора намагниченности происходит вокруг направления Э = я, и
вектор намагниченности колеблется перпендикулярно легкой плоскости
(траектории 4 и 5).
Наконец, рассмотрим предельный случай со = 0, —1 ^ V < 1,
которому отвечает отрезок оси скоростей на рис. 28. На этом отрезке
k = со = со = 0 при условии, что 5/& = BV2 — l)/V, а параметр
к2 = У\ — V* пробегает значения от 0 до 1. При приближении к
линии со = 0 солитон приобретает вид связанного состояния двух
областей резкого перемагничивания среды, в которых 9 изменяется от 0 до
я и от я до 0 на расстояниях порядка A— У2)~1/2. Мы намеренно не
говорим о связанном состоянии двух доменных границ. Как
отмечалось в § 7, доменные границы связывают области магнетика,
находящиеся в разных основных состояниях и разделенных
энергетическим барьером. В данной системе граница разделяет два состояния,
в которых вектор намагниченности лежит в одной и той же плоскости,
и состояния с6 = Ои0=яне разделены энергетическим барьером.
Такое распределение намагниченности топологически не отличается
от состояния однородной намагниченности и его принято называть
волной поворота вектора намагниченности (см. § 4, 7).
Впервые выражение для волны поворота в легкоплоскостном
ферромагнетике получено в работе [3]. Его просто получить из общего
решения (9.36), (9.37) для связанного состояния двух волн поворота.
Для этого надо перейти в систему координат, связанную с центром
тяжести одной из волн, т. е. положить х0 = —lni—r-cos(feg—wf)f *
Искомое решение получается в пределе k-+Q и <о-**0 при о>/& =
= BУ2— 1)/1/. В волне поворота
e^arctg^13^-^, A1.24)
Ф0 = arccos V. A1.25)
Таким образом, вектор намагниченности разворачивается в
плоскости, образующей с легкой плоскостью угол ф0 (см. рис. 8). В
неподвижной волне поворота разворот происходит в плоскости,
перпендикулярной легкой плоскости, а в пределе V -*• 1 — в самой этой
плоскости.
11.3. Солитоны при наличии магнитного поля. В ферромагнетике
с анизотропией типа плоскости легкого намагничивания очень
существенно влияние внешнего магнитного поля. Включение даже малого
поля меняет характер основного состояния, а следовательно, и вид
локализованных решений. Пусть свойства магнетика изотропны
в легкой плоскости. Тогда при наличии поля, лежащего в легкой
плоскости, снимается непрерывное вырождение основного состояния,
и в равновесии вектор намагниченности ориентируется вдоль поля.
104

Если поле перпендикулярно легкой плоскости и его значение меньше
| р | М0, то в основном состоянии вектор М лежит на поверхности
конуса с раствором arccos (Я/| pj M0). Непрерывное вырождение
основного состояния сохраняется, но возникает составляющая вектора №1
вдоль поля. Наконец, при Я > | р | М0 в основном состоянии
намагниченность во всех точках выстраивается вдоль поля.
В случае, когда магнитное поле перпендикулярно легкой
плоскости и Я > | р| М0, солитонное решение может быть получено
непосредственно на основе изученных выше двухпараметрических
решений уравнений динамики намагниченности легкоосного
ферромагнетика. Из уравнения (8.3) следует, что магнитное поле может быть
включено в сдвиг частоты прецессии намагниченности. Поэтому солитов
по-прежнему описывается выражением (8.23). Однако во всех
входящих в эту формулу параметрах необходимо сделать замену ($->•—|Р|
и со-*со— соя, где со// = 2|i0# ft. Если измерять время в
единицах 1 /со0 = й/21 Р |(л0Л10, а координату — в единицах /0 = |Л*/|Р|>
то формула (8.23) перепишется в виде
tg2y = ^—i • 0Ь26)
Qch«x(? —W)+-g-(Qi^)
где х2 = — 1 — со + соя — (W2J,
2 =y2l—v\ Qx = со-соя+ V*/2. A1.27*
Локализованное решение существует для к2 >0. В случае р > О
(легкоосный магнетик) амплитуда солитона обращалась в нуль на
границе области существования (х2 = 0). В легкоплоскостном
магнетике (Р < 0) только при V > 2 амплитуда солитона стремится
к нулю при х2 -* 0. Если V < 2, то при х2 -> 0 возникает
алгебраический солитон, имеющий степенные асимптотики на бесконечности [130}
Амплитуда алгебраического солитона ограничена при V < 2
и стремится к нулю при V -> 2.
Случай Я < |р|М0 требует особого рассмотрения. Пусть
плоскость zx является плоскостью легкого намагничивания,,а магнитное
поле направлено вдоль оси у. Тогда в уравнении (9.4) надо положить
Pi = Рз> а последний член заменить слагаемым [Ме-1 Я. Тогда
уравнения для углов 6 и ф в безразмерных переменных приобретают вид:
Ц
sin2ф + (^j Jsin6cose+ g?sine + /isin(pcose = 0, A1.29)
^sin20^|J — sin2 0 sin ф cos ф — JJsin9 +/isinBcoscp = 0, A1.30)
где /1 = Я/|р|АГ0.
105

Ограничимся изучением
автомодельных решений этих уравнений
типа волн поворота. Легко видеть,
что допускаются решения вида D.13)
с фиксированным значением угла
ф = ф0. Более того, зависимость
параметра <р0 от скорости
перемещения волны V остается в точности
такой, как и в отсутствие магнитного
поля: V = cos <p0. Однако
зависимость угла 6 от пространственной
координаты теперь более сложная,
чем описываемая выражением A1.24).
Впервые оно получено в работе [130].
Рис. 31. Разворот вектора намаг- Характерной особенностью этого ре-
яиченности в волнах поворота. шения является то, что при
заданной величине скорости перемещения V
существуют две различные волны поворота. В первой волне поворота
Atgl==|/T=y« + Kl— V2 — h4h{Vl— V2 — ft2(g — W)/2)fA1.31)
а во второй
h tg !_ = У I— V2 + V\— V2 — ft2cth (Vl~ V2 — hm — Vt)/2).
A1.32)
При ft -> 0 обе зависимости A1.31) и A1.32) переходят в формулу
A1.24).
Различие между решениями A1.31) и A1.32) поясняет рис. 31,
на котором изображены конус основных состояний магнетика и
плоскость ф = ф0. Пересечение этой плоскости со сферой радиуса М0
представляет траектория намагниченности в волне при изменении
аргумента ? — VL Так как формулы A1.31) и A1.32) описывают
локализованные непериодические решения только при вещественных
аргументах гиперболических функций, скорость волны стационарного
профиля не может превосходить максимального значения Утах =
= 1/1 — /г2, 1/щах совпадает с минимальной фазовой скоростью
спиновых волн в этой системе. При V < Vmax плоскость ф = arccos V
пересекает конус основных состояний. Сектор плоскости, лежащий
внутри конуса, на рис. 31 заштрихован. При ? — Vt = ±oo вектор
М лежит на поверхности конуса, но разворот происходит по-разному
8 волне первого и второго типов. В решении A1.31) вектор М
поворачивается внутри конуса, проходя заштрихованный сектор. Решению
A1.32) соответствует движение вне конуса на дополнителный угол
в противоположном направлении. Рассмотрим поведение волн
поворота при максимальной скорости перемещения V = Vmax. Когда
V-^Vmax, угол ф0 стремится к величине arcsinft, т. е. плоскость
Ф = ф0 становится касательной к поверхности конуса. Решение
первого типа превращается в однородное состояние ф = arcsin ft, 9 = я/2,
106

а второе решение переходит в 360-градусную доменную границу.
Проделав в выражении A1.32) предельный переход Y\ — h2 — K2->0,
легко убедиться, что эта доменная граница имеет степенные
асимптотики на бесконечности
Ьт=1 + Щ=ЪЯ- <1ЬЗЗ)
При скоростях V > Vraax плоскость ф = ф0 не пересекает конус
основных состояний и вектор М вращается в ней в одном
направлении, что соответствует периодической нелокализованной волне.
Если магнитное поле направлено в плоскости легкого
намагничивания, то оно нарушает поворотную симметрию в этой плоскости,
и тем самым сильно усложняет задачу нахождения точных решений
для локализованных возбуждений в ферромагнетике. Нам известны
лишь приближенные решения такой задачи. Для случая малой
амплитуды солитонные решения найдены и рассмотрены в работе [60].
Другая возможность нахождения приближенных солитонных
решений в данной системе возникает при очень малых магнитных полях:
#<(Ш0. Ограничимся только анализом возбуждений, в которых
вектор намагниченности слабо отклоняется от легкой плоскости 0 ^
^ я/2. Тогда в уравнениях (9.5) и (9.6) удобно перейти к углу Ф,
отсчитываемому в легкой плоскости от направления магнитного поля
(в данном случае — направления z). Уравнения (9.5), (9.6) для углаФ
приближенно (в меру длинноволновости и малости Н) сводится к
синус-уравнению Гордона
|?-|? + *»1пФ = 0. (П-34)
Описанная процедура перехода от уравнений Ландау — Лифшица
к синус-уравнению Гордона проделана, например, в работе [148].
Различные солитонные решения уравнения A1.34) хорошо изучены
и подробно описаны (см., например, [93]), поэтому на них не будем
останавливаться.
12. Квазиклассическое квантование магнитных
солитонов
В предыдущих параграфах структура и свойства
солитонов в разных магнетиках анализировались на основе
макроскопических уравнений Ландау — Лифшица. Но существует ряд одномерных
моделей магнетиков, изученных на квантовомеханическом уровне,
например спиновая цепочка Гейзенберга. В ряде работ Бете [107],
Янга и Янга [164—166], а также Бакстера [106] был найден спектр
энергий и классифицированы возбужденные квантовые состояния
одномерной спиновой цепочки как с изотропным, так и с
анизотропным обменом. Это позволяет сравнить результаты классического
и квантового описаний магнитоупорядоченных сред и выяснить кван-
товомеханическую природу магнитных солитонов.
107

12.1. Квазиклассическое квантование солитонов в легкоосном
ферромагнетике. Магнитные солитоны в легкоосном и изотропном
одномерном ферромагнетике достаточно полно изучены в § 8. Основное
внимание уделялось изучению явного вида пространственного и
временного распределений плотности намагниченности в таких
возбуждениях.
Но поскольку квантовый анализ магнитных систем всегда
предполагает нахождение энергетического спектра их возбуждений, то для
сравнения квантовых и классических результатов прежде всего
необходимо найти энергию магнитного солитона.
После нахождения энергии перейдем от классических параметров
(частоты прецессии вектора намагниченности со и скорости
перемещения центра тяжести солитона V) к величинам, имеющим квантовоме-
ханический смысл, например полевому импульсу солитона и числу
спиновых отклонений в нем. Для конкретного решения уравнений
Ландау — Лифшица необходимо вычислить три интеграла движения:
число спиновых отклонений N, полный полевой импульс Р и полную
энергию Е. Заметим, что уравнение (8.3) является полностью
интегрируемым, и с этим связано наличие у такой системы бесконечного
числа интегралов движения [153]. Если упорядочить эти интегралы
движения по порядку содержащихся в них пространственных
производных, то N, Р и Е представляют собой первых три интеграла в этом
ряду: N — интеграл движения, не содержащий пространственных
производных, Р содержит первую степень уф, а Е— вторые степени
градиентов от угловых переменных. Явные выражения этих
интегралов для случая одноосного магнетика приведены в гл. 1 (см. B.9),
C.4) и B.10)).
В случае одномерной цепочки эти выражения перепишутся
следующим образом:
число спиновых отклонений
00
N = &1 (M0-Mz(l,t))dl, A2.1)
— оо
полевой импульс
00
Р = -|го .f (Мо-МИ|, 0)fC A2-2)
~~~00 ч
энергия
— оо
В определения этих трех интегралов движения введен
дополнительный множитель а2 для сохранения прежних размерностей всех
физических величин, приведенных в гл. 1. Если считать, что дальнейшие
вычисления относятся к одномерному магнетику, то естественно полагать
произведение а2М0 его намагниченностью, имеющей физическую
размерность магнитного момента единицы длины магнетика. Если плос-
108

кую нелинейную волну рассматривать в трехмерном магнетике, то
все аддитивные интегралы движения следует отнести к площадке а2
в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны.
Первый шаг квантования движения магнитных солитонов
сводится к тому, что полное число спиновых отклонений N считается
целочисленным и рассматривается как дискретное квантовое число.
Поскольку в силу макроскопичности описания магнетика N > 1,
то подобное квантование аналогично квазиклассическому боровскому.
После такого квантования N приобретает смысл числа магнонов,
связанных с макроскопическим локализованным состоянием
намагниченности.
Прежде всего с помощью выражения (8.23) найдем распределение
плотности числа спиновых отклонений (числа магнонов) в солитоне.
Поскольку (cPM0/2\i0)=s (s—спин атома), то в расчете на одно атомное
расстояние плотность магнонов п (?) = s A — cos 0), а полное число
00
магнонов N = aj n (?) d?. После подстановки в эту формулу (8.23)
— оо
получаем
nil, t) = ^^ —. A2.4)
Qch{2x(E-w> + 2-2-
Из этой формулы вытекает, что при со и V, близких к нулю, график
пространственного распределения магнонов весьма близок к
графикам, приведенным на рис. 11. В этом пределе солитон представляет
собой магнонную каплю с почти постоянной плотностью, которая
близка к максимально возможной плотности магнонов пт = 2s (что
соответствует полностью перевернутым спинам). Для неподвижного
магнитного солитона с частотой прецессии, близкой к со0> выражение
A2.4) принимает стандартный солитонный вид
Интегрируя выражение для плотности магнонов A2.4) по всей
координатной оси, легко получаем полное число магнонов в солитоне
N = &
arshllTJ--2-arSh\2 V (Wco0J+4(Wm)* )• <12'6)
где Ыг = 4s (l0/a) — характерная для одномерных задач величина
(см. E.22)). В пределе со ->• со0 для неподвижного солитона (V = 0)
из выражения A2.6) следует к10 « (N/N±)9 и распределение
плотности A2.5) можно переписать в виде
n(t) = 2s{ ^ \\ A2.7)
Ich (Nal/Asi0) J
Принимая во внимание соотношения E.9) и E.11), легко
убедиться в том, что эта формула совпадает с выражением E.15), если учесть,
что п (I) = ар (?). Таким образом, соотношение A2.7) действительно
109

Рис. 32. Линии постоянных N и Р Рис. 33. Зависимость N (V, о) для
на плоскости V, со. солитона в одноосном ферромагнетике.
правильно описывает распределение плотности магнонов в спиновом
комплексе при малом числе связанных частиц. Это дополнительно
подтверждает, что число спиновых отклонений N имеет смысл числа
магнонов, образующих солитон, а сам солитон можно
интерпретировать как связанное состояние большого числа магнонов.
Из выражения A2.6) следует, что на плоскости (V, со),
представленной на рис. 9, 12 и 32, линия, соответствующая заданному
значению числа связанных в солитоне магнонов, является эллипсом
(кривая 5 на рис. 32):
° — sh2 BNiNx) #
Примерный график зависимости N = N (V, со) приведен на
рис. 33. При N <^ Nt эллипс, отвечающий постоянному значению
N, «прижимается» к параболе АА, соответствующей закону
дисперсии свободных магнонов, а при N -+ оо стягивается к началу
координат.
Зависимость N = N (V, о) весьма важна, так как ею определяется
устойчивость солитонов. В случае одноосного ферромагнетика
динамические уравнения точно интегрируемы, и разрешимость начальной
задачи Коши, которая асимптотически при / -*• оо дает солитонное
решение, обеспечивает его устойчивость. В общем случае вопрос
устойчивости требует специального, достаточно сложного
рассмотрения. В работе [146] критерий устойчивости солитонов в ряде систем
сводится к неким дифференциальным неравенствам, накладывающим
ограничения на зависимости интегралов движения от параметров со-
литонного решения. Например, применяя идеи, изложенные в
работах [28, 1461, к данной системе, можно убедиться, что для
неподвижных солитонов критерий устойчивости сводится к требованию
dN/da> < 0 при о > 0 и V = 0. Из A2.6) следует, что это требование
НО

удовлетворяется, чем подтверждается устойчивость магнитных соли-
тонов с со > 0. Независимо можно убедиться в устойчивости солито-
нов с со < 0.
Изучая магнитные солитоны с малыми частотами и скоростями
(со С со0, V <^ 1/т), когда плотность-магнонов п (?) практически
постоянна в области пространства, занятой солитоном, отмечалась
аналогия такого состояния с каплей конденсированного вещества (магнон-
ной каплей). Однако это сравнение условно, и нет смысла далеко
продолжать аналогию, что очевидно при рассмотрении эффективной
массы магнонов, связанных в солитоне, а также распределения
в солитоне плотности импульса. Из определения плотности полевого
импульса A2.2) вытекает следующая связь ее с плотностью магнонрв:
р = —Й*г (дф/д|). Воспользовавшись соотношением (8.17) /0 (дф/д?) =
= — (V/VmJ cos @/2) и связью угла Э с плотностью п A2.1): п =
= s A — cos Э), найдем окончательную связь плотности импульса
с плотностью магнонов:
р = туП-Лт_, A2.8)
где т = h/(l0Vm)— масса свободного магнона (см. E.11)); пт= 2s —
максимально возможная плотность магнонов. Если ввести
эффективную массу связанного в магнонной капле магнонат*V = р/п, то для
нее из выражения A2.8) получаем
m* = m-Jhi-9 A2.9)
что при учете явного выражения A2.4) для п (?) дает
W,"W{1+Qch2xg-yo + Q1b <12Л0)
куда входит параметр Qx (У, со), определяемый, как и раньше,
соотношением йг = VQ* — 4 (/0%J (Vl Vm)*.
Таким образом, только в случае малоамплитудного солитона, в
котором п <? nm = 2s, масса всех связанных в солитоне магнонов близка
к массе свободного магнона т. Вблизи точки V = со = 0, когда
плотность магнонов в центре капли стремится к максимальному значению
2s, ситуация существенно иная. Эффективная масса магнонов в центре
солитона неограниченно возрастает. При отрицательных частотах
и V = 0 в центре солитона т* = оо (при этом в центре солитона
локализуется весь импульс возбуждения).
Вычислим значения полевого импульса магнонной капли.
Подставив величину A2.4) в A2.8) и проинтегрировав его по координате,
получим
P = ?arccosg?, A2.11)
где Р0 — максимально возможный импульс солитона
P0=^s. A2.12)
Заметим, что Ра = 2Рб> где РБ— импульс блоховской границы.
Ill

Как уже отмечалось, фиксированному числу связанных в солитоне
магнонов соответствует эллипс на плоскости (У, со) (кривая S на рис.
32). Разным точкам на этом эллипсе соответствуют различные
значения импульса Р. Импульс неподвижного солитона с положительной
частотой прецессии равен нулю. При понижении частоты и обходе
начала координат по кривой N = const импульс монотонно
увеличивается, достигая максимального значения Р0 для неподвижного солитона
с отрицательной частотой (движение из точки а в точку Ь на рис. 32).
Заданному значению импульса на рис. 32 соответствуют кривые R,
определяемые соотношением
Z-bfalglVT+r-v}.
где v = (V/Vm) sin (nP/P0).
Выражения A2.6) и A2.11) связывают параметры V и со с N и Р,
которые в ряде случаев более удобны, так как являются
интегралами движения. Явная зависимость V и со от Р и N определяется
следующими формулами:
й) __ cos2 (яР/2Р0) sin2(jrP/2P0)
V sin (nP/P0)
Vm shBN/N1)
A2.14)
Если ввести полную эффективную массу солитона М* = PIN,
то из соотношения A2.14) она может быть выражена через скорость
солитона V и число связанных в нем частиц N следующим образом:
м* = тЫ{ттатс^тт*ъШ}> A2Л5)
где т — масса свободного магнона. В пределе малых скоростей, когда
V <^Vm sh BN/N1)f эффективная масса солитона не зависит от
скорости
«•-""тв1- A2Лб>
При N С Ni эффективная масса М* совпадает с массой N свободных
магнонов.
С помощью соотношений A2.3) и A2.4) выражение для двухпара-
метрического магнитного солитона (8.23) может быть преобразовано
# следующему простому виду:
sh2 (N/Nj) + sin2 (яР/2Р0)
vffl-
ch2 к (| — Vt) — sin2 (яР/2Р0)'
A2.17)
Энергию магнитного солитона вычислим, подставляя решение
<8.23), (8.24) в выражение A2.3)
Б-**УЪМ /!-?-(&)". 02.18)
J12

Для выяснения физического смысла размерного коэффициента в этой
формуле сравним ее с энергией доменной границы. Подставив решение
D.9) для доменной границы в выражение для энергии A2.3), легко
убедимся, что энергия доменной границы Е0 = 2 |Л*Р а2Мо-
(Аналогичный результат получим и с помощью формулы (9.16), положив
в = 0.) Заметим, что 2Е0= Н<й0Ы19 это отвечает интерпретации
характерного числа магнонов Nx. Таким образом, энергию солитона
можно представить в виде
Е = 2Е0(к10). A2.19)
Эта форма записи совпадает с выражением энергии солитона в
двухосном ферромагнетике A0.20). Энергию A2.18) в пределе е -+ 0 можно
получить из более общего выражения A0.20).
Зависимость энергии от частоты и скорости является гладкой и не
содержит особенностей при V = со = 0. При приближении к точке
V = со = 0 величина Е стремится к значению 2Е0. Это естественно,
так как при V = со = 0 магнитный солитон превращается в две
доменные границы, разнесенные на бесконечное расстояние.
Выразив в формуле A2.18) частоту со и скорость V с помощью
соотношений A2.13), A2.14) через импульс и число связанных в соли-
тоне магнонов, получим функцию Гамильтона самолокализованной
волны в таком виде:
Ж (Р, N) = E (P, N) = НАГ» (th ? + ^S?} • A2'20)
Продифференцировав выражение A2.20) по N и Я, легко
убедиться в выполнении дифференциальных соотношений C.12).
Наиболее любопытным свойством A2.20) является наличие
периодической зависимости энергии от импульса с периодом порядка
величины Р0 — Л/а. Обычно в теории твердого тела появление
периодической зависимости от импульса, т.е. переход от импульса к
квазиимпульсу, связан с проявлением дискретности кристаллической
решетки. В нашем случае среда изначально предполагалась сплошной,
и параметр а появился в формуле A2.12) при переходе от М0 к s.
В кристалле Pmax = nh/a, что соответствует A2.12) при s = 1/2.
При малом импульсе связанного состояния (Я <^ ^о) функция
Гамильтона принимает вид таковой для частицы с массой, равной
эффективной массе солитона М* A2.16):
ж = Е*+т-*> <12-21>
где Е* = 2Е0 thiN/NJ — энергия покоящегося связанного
состояния N магнонов.
Проанализируем функцию Гамильтона A2.20). При
фиксированном числе связанных магнонов N функция Е (Р) является монотонной
при возрастании импульса от 0 до Р0. Периодичность зависимости Е
от Р имеет формальный характер, так как физически различным
состояниям соответствуют значения импульса в интервале 0 ^ Р ^ Р0.
8 3-48
ИЗ

Зависимость энергии от числа магнонов N монотонна только при
Р = 0 и Р = Р0, причем в первом случае она монотонно
увеличивается с ростом N, а во втором — монотонно убывает. При
произвольном промежуточном значении Р функция Е (N) немонотонна: при
убывании N от N = оо (при движении по линии R на рис. 32 от
начала координат) вначале энергия убывает от 2Е0 до минимального
значения Emin = 2?0 sin(nP/P0) при N = N, где
г, д . (cos (тт Р/2Р0) \
N = Arch ь/ , пттгтг,
а затем неограниченно возрастает при N -*-0. Поскольку (dE/dN)p=
= Й(о, то значению N соответствует точка пересечения кривой R
с осью скоростей. Таким образом, если в ферромагнетике возбудить
солитон с импульсом Р и энергией Е в интервале Emin ^ Е < 2Е0,
то возможно образование двух различных типов солитонов с разными
числами связанных в них магнонов и с противоположными
направлениями прецессии намагниченности. Возникновение того или иного
солитона зависит от способа возбуждения магнетика.
Введем энергию, приходящуюся на один связанный магнон в со-
литоне 8 (Р, N) = Е (Р, N)/N. Представляя суммарный импульс в
виде Р = hkN, эту величину запишем следующим образом:
(Р N)-hc» ЫШЛ
>(P,7V)-fico0 {N/Ni)
1+-
? <«.)•!
sh*
\1)
A2.22)
При N <^ Nt и kl0 <^ A^/Af в основном приближении по малым
параметрам N/Nt и Р/Р0 получаем е (Р) « Л<5 (k). Легко
убедиться, что всегда выполняется неравенство
8 (Р) < ПЪ (k). A2.23)
Здесь h <5(й)— энергия свободного магнона B.14). Таким образом,
энергия на одну частицу в связанном состоянии меньше энергии
свободного магнона при том же фиксированном импульсе на одну
частицу hk.
Можно доказать и более сильное неравенство
Е (Р, N) <E(P — hk, N—\) + /ш {k). A2.24)
Для этого воспользуемся тем, что при макроскопическом описании
всегда N J> 1 и Р > hk. При этом величину Е (Р — hk, N — 1) вблизи
Е (Р, N) можно разложить по малым добавкам. Учтем формулы C.12)
и заметим, что соотношение A2.24) сводится к условию kV < со (k) —
— со, которое выполняется всегда при 1 — (о)/со0)— (V/VmJ > О,
т. е. в области связанных состояний. Фактически неравенство A2.24)
означает отсутствие черенковского излучения при движении
магнитного солитона [71, 72].
И4

Интересно сравнить результаты квазиклассического квантования
магнитных солитонов в рамках макроскопического описания с
результатами точного квантования соответствующих квантовых систем.
Как отмечено в § 1, классические уравнения для динамики
намагниченности могут быть получены из гейзенберговской модели
анизотропной цепочки спинов при малом различии обменных интегралов
в разных направлениях. Рассмотренному легкоосному
ферромагнетику соответствует гейзенберговская цепочка с 0 <tj-x =§-2 < #>
Спектр возбуждений такой квантовой системы рассмотрен в [164—
166, 80, 35] и приведен в настоящей работе (см. E.3)). Сравнивая
выражение E.3) с результатом квазиклассического квантования
локализованных состояний A2.20), видим, что функциональная
зависимость от N и Р в обоих случаях абсолютно тождественна [57].
Поскольку выражение E-3) получено для цепочки со спином s= 1/2,
то при сравнении с квазиклассическим выражением в последнем
нужно положить s = 1/2. При этом Р0 = nhla и^ = 2 {IJa).
Воспользовавшись формулами A-10), A-12) и A.13), легко получить, что при
малом различии обменных интегралов a2/, <g ty0, выполняется
неравенство /0 ^>а, т. е. условие длинноволнового приближения. Кроме
того, при этом Vfl — f2\ = ti(oJfl9 a f3/ft = 1 +-i(a//0J и,
следовательно, N* = Nx. Таким образом, в длинноволновом
приближении (Ni> 1) результаты квазиклассического квантования энергии
солитона A2.20) совпадают с квантовым выражением E.3) при
любом значении числа связанных магнонов N9 а не только при N>1,
что имеет место при квазиклассическом подходе.
Остановимся на частном случае изотропного магнетика. Для этого
во всех формулах необходимо сделать предельный переход р -*¦ 0.
Если учесть, что при |5 -+¦ 0 величины со0 —15 -> 0, Nt — р~1/2 ->• со,
а со0А^ -* const, то из выражения A2.20) легко получить формулу
для спектра возбуждений изотропного ферромагнетика
? = 8aMo2a^-sin2(^J. A2-25)
Если в этом выражении положить s = 1/2 и воспользоваться
соотношением A.12), то убеждаемся в точном совпадении этой формулы с
результатом Бете для изотропной спиновой цепочки E.2).
12.2. Квазиклассическое рассмотрение солитонов в двухосном
магнетике. Перейдем к более сложному случаю квантования солитонов
в двухосном ферромагнетике. Очень важное отличие двухосного
ферромагнетика от одноосного заключается в том, что полная г —
проекция намагниченности A2.1) перестает быть интегралом движения.
Хотя развитая выше схема квазиклассического квантования
магнитных солитонов опиралась на то, что N — интеграл движения, ее можно
обобщить и на случай двухосного ферромагнетика. Для этого
необходимо построить выражение для адиабатического инварианта (см. § 3).
Поскольку в магнитном солитоне (9.36), (9.37) движение
намагниченности периодично во времени с периодом Т = 2я/1 со|в системе отсче-
8*
115

та, движущейся вместе с солитоном (g — Vt = const), то
адиабатический инвариант системы имеет стандартный вид C.15)
т
I==hwA ^тМ(М0-мЛь 0)(^_v<=const- A2-26)
Легко сообразить, что величина / совпадает со средним по углу
прецессии <р числом магнонов в солитоне с точностью до множителя
2яй.
Подставив в выражение A2.26) формулы (9.36), (9.37), для
адиабатического инварианта несложно получить следующее неявное
выражение:
sn2(j-, <7) = x2 + ?2B2— %VBy A2.27)
где В определяется формулой (9.42); V и 5 выражаются через k и к
с помощью соотношений (9.39), (9.40); sn (u> q) — эллиптический
синус Якоби с модулем q = (I + г) ~х^\ /0 = tiNtf. В пределе
одноосного ферромагнетика, если е -> 0, roq -*• 1 и соотношение A2.27)
переходит в A2.6).
Интересно, что физически различным состояниям
намагниченности отвечают значения адиабатического инварианта, лежащие в
ограниченном интервале
О < / < /max = /off (<7), A2.28)
где К (q) — полный эллиптический интеграл первого рода. Таким
образом, если в одноосном ферромагнетике при описании физически
различных состояний встречаемся с конечным интервалом "изменения
импульса поля намагниченности Р, то в двухосном возникает
дополнительно конечный интервал изменения адиабатического
инварианта /.
Квазиклассическое квантование заключается в требовании C.20):
/ = hN,
где N — целое число, которому можно придать смысл среднего числа
связанных магнонов в солитоне. Оказывается, что среднее число
магнонов N, образующих солитон в двухосном ферромагнетике,
ограничено сверху значением NxqK (?). При переходе к одноосному
магнетику q -> 1, К -* оо, и верхний предел числа связанных в солитоне
магнонов неограниченно увеличивается. Следовательно, при
усложнении модели делается более сложной квазиклассическая трактовка
солитона как магнонной капли при больших N. В двухосном
ферромагнетике такая капля не может содержать среднее число магнонов,
большее чем N±qK(q)'
Отметим, что аналогичная ситуация появления максимального
значения адиабатического инварианта и максимального значения
квантового числа N возникает и при квазиклассическом квантовании
116

бионных решений в
синус-уравнении Гордона [90, 91, 115]. На
тесную связь уравнений Ландау —
Лифшица с уравнениями SG ранее
неоднократно указывалось.
Из выражения A2-27) следует
что функция N == N (со, V)
напоминает зависимость для легкоос-
ного ферромагнетика (рис. 33).
В частности, число N обращается
В нуль на ЛИНИИ X = 0, СООТВетст- рис. 34. Зависимость N (со) при V =
вующей закону дисперсии СПИНО- = 0 для двухосного (сплошная линия)
ВЫХ ВОЛН. ОтЛИЧИе ОТ СИТуаЦИИ В и ОДНООСНОГО (штриховая ЛИНИЯ) фер-
одноосном магнетике возникает ромагнетиков.
лишь при частотах, близких к нулю.
Если в одноосном магнетике точка V = со = 0 особая и в ней W=oo, то
теперь особым является целый интервал \V\ < V0 линии со = 0 на
плоскости (V, со). На этом интервале число Af достигает своего максимального
значения; Nmax = N±qK (q)- В частном случае неподвижного солитона
зависимость N = N (со) становится особенно простой. Для положительных
частот sn (N/Ntf) = х, а для отрицательных sn (N/Nl9 q) = j/l + e/x-
(Напомним, что при V=0 величина х2=1 +-|- + К(е/2J + юJ.
Зависимость N=N(со) при V — 0 приведена на рис. 34, штриховой кривой
отвечает предельная зависимость Af(co) при со->0 в случае
одноосного ферромагнетика.
Как и в легкоосном магнетике, при всех частотах выполняется
неравенство со (dN/дю) < 0, что свидетельствует об устойчивости
магнитного солитона. Последнее естественно, так как уравнения
Ландау— Лифшица для двухосного ферромагнетика полностью
интегрируемы.
Заметим, что при — 1 < г < 0, когда q>\> приведенные выражения
необходимо преобразовать, воспользовавшись обычным переходом к
эллиптическим функциям с модулем, равным \/q:qsn(uy q) =
= sn(<7^, 1/G). При таких значениях е максимальное значение
адиабатического инварианта /max = hK (-г) -г- •
»ч ч
Рассмотрим полевой импульс и энергию солитона в двухосном
ферромагнетике. Для полного импульса остается прежнее
выражение A2-2), в которое необходимо подставить решение (9.36), (9-37);
в результате получаем A0-21). Если в основном состоянии Mz~
= -[. м0У то в формуле A0.21) можно считать Р = РБ~ (<Pi + Ф2— л).
С учетом Р0 = 2Рб и соотношений A0-18), A0-19) это выражение
легко преобразовать к виду
Р = ^агссоБЛ, A2.29)
1
1
\н
1
'р
/
/
/
/у
//
/S
\
\
\
k \
\\
\ч
0
\ (О
ч\чж
117

где А определяется выражением
(9.42): Л=5[й2+ B&хJ]-1/2. Если
в формуле A2Л1) для импульса
солитона в легкоосном магнетике
параметры Q и Qx переписать в
терминах 65, k и х, то легко
убедиться в идентичности выражений
A2Л1) и A2-29). Подчеркнем, что
и в двухосном ферромагнетике
сохраняется периодическая
зависимость характеристик магнитного
солитона от его импульса, а
максимальное значение полевого
импульса сохраняется таким же, как
и в одноосном магнетике: Ртах =
Для нахождения полной энергии двухосного ферромагнетика
необходимо заменить формулу A2.3) выражением
l/X
rJ%
1 \ \\
if yfC
i—- , ^
—^z^--~
^^4
Рис. 35. Зависимость Е (V, со) для
солитона в двухосном
ферромагнетике.
a2l
#и
dm
¦tnl + eml]
A2.30)
Для солитонного решения результаты вычислений приведены в
§ 10 (см. A0.20)):
Е = 2?Б |R:xj = 2?Бх, A2.31)
где зависимость х (У, со) в неявном виде определяется более сложно,
чем в одноосном случае (формула A2-18)), а именно,
соотношениями (9.39), (9-40). Однако в обоих случаях параметр х определяет
характер экспоненциального убывания намагниченности вдали от
солитона при?~>-±оо. Сравнивая A2-31) и A2.19), видим, что
зависимость энергии солитона от хара<теристики его локализации
х в рассмотренных примерах выражена одинаково6.
Для одноосного ферромагнетика график энергии Е как функции
V и со не приводился, поскольку она имела простой вид A2.18)
и не содержала особенностей. В двухосном магнетике эта
зависимость имеет особенность на отрезке оси скоростей — V0 ^ V ^ V0.
Из формул (9.39)и (9.40) легко найти зависимость Е = Е (V) на этом
отрезке. В неявном виде и для безразмерных величин она выглядит
так (напомним, что значения х и Е фактически совпадают):
KV= J/V- 1)A+8 — X2).
Воспользовавшись выражениями (9.13) и (9.15) для скорости и
энергии доменной границы, нетрудно убедиться, что Е (V) = 2?дГ (V).
Примерный характер зависимости Е (V> со) приведен на рис. 35, где
fi При сравнении необходимо учитывать, что энергия доменной стенки
в одноосном магнетике Е0 совпадает с энергией блоховской границы в
двухосном. Кроме того, двухосный случай рассматривался в безразмерных
величинах, что вызывает отсутствие множителя 10.
118

замкнутая кривая R соответствует удвоенной энергии доменной
границы 2?дг- Это естественный результат, поскольку, как отмечалось
ранее, вдоль линии разреза на участке оси скоростей — V0 ^ V ^ V0
решение для солитона превращается в две доменные границы,
расходящиеся на бесконечное расстояние.
Воспользовавшись выражениями A2.27), A2.29) и A2.31) для
энергии, импульса и адиабатического инварианта магнитного соли-
тона в двухосном ферромагнетике, а также использовав соотношения
между параметрами (9.39) и (9.40), можно найти зависимость энергии
солитона от импульса и адиабатического инварианта [6]
С учетом условия квантования формула A2.32) дает
квазиклассический спектр локализованных возбуждений двухосного
ферромагнетика. Сравним его со спектром возбуждений соответствующей
квантовой системы. Квантовым аналогом классического магнетика
является так называемая X—Y—Z модель, описывающая
гейзенберговскую цепочку спинов, в которой все три обменных интеграла tyi
различны и спин s = 1/2. Спектр возбуждений такой системы получен
в работах [106, 131] и приведен здесь (см. формула E.4)).
Процедура перехода от X—Y—Z модели к двухосному
классическому магнетику предполагает близость по величине всех обменных
интегралов. Воспользуемся формулами A.10), A.12) и A.13) и
рассмотрим соотношения E.4) — E.8), учитывая, что а/C3 = I2 и
^/03 = — е. Так как отношение fxlfz = 1 — {a/kf A + е)/2° и
(я/'о) С 1> то из выражения E.7) следует, что ? = (a/l0) V\ + г/2 <С 1.
При этом из соотношения E.6) вытекает, что q«q'.
Выражение E.5) можно переписать в виде q2 = е/A +е). Тогда
показатели эллиптических функций, входящих в выражение для
энергии E.4), примут вид q «'q,= A + в)-1/2. Зная величины q,
q' и ?, легко переписать формулу для определения параметра т)
в виде г\ = N (a/l0) v ^~8. Наконец, из соотношений A.13)
находим У?1 — ?1=4аЧ0М1$У1 + г. Таким образом,
установлены соотношения между всеми параметрами, входящими в
выражения для энергии E.4) и A2.32). Положив в формуле A2.32) спин
равным 1/2 и учитывая, что I = hN, а 10 = Ш^, убеждаемся в
тождественности квазиклассического выражения A2.32) и точного
квантового результата E.4).
При уменьшении 'анизотропии (е -> 0) модуль эллиптических
функций q ->- 1, и эллиптические функции Якоби переходят в
гиперболические. В таком пределе выражение A2.32) превращается в A2.20)
длдрдноосного ферромагнетика.
119

Вернемся к замечанию, сделанному в п. 12.1. Правильный спектр
энергий квазиклассическое квантование обычно дает только при
N > 1. В данной работе получено точное совпадение с квантовым
результатом при любых значениях N. В квантовой механике отдельной
частицы возможны случаи, когда квазиклассический спектр энергии
совпадает с точным квантовым спектром, например, в случае
одномерного гармонического осциллятора. Подобные случаи наблюдаются
и в теории солитонов: в свое время было показано [86, 157, 144], что
спектр энергии бионов в системе, описываемой уравнением SG,
совпадает с таковым для соответствующей квантовой системы. Ранее
показано [71], что спектр энергии солитонов в изотропном
ферромагнетике эквивалентен спектру энергии спиновых комплексов Бете.
Позже к такому же выводу пришел Фогетби [120]. Сейчас мы убедились
в таком совпадении для спектра энергии магнитных солитонов в лег-
коосном и двухосном ферромагнетиках.
Если указанное совпадение имеет место, то классическое
выражение A2.32) позволяет найти спектр энергий не только связанных
состояний магнонов (спиновых комплексов), но и спектр одномагнонных
возбуждений в одномерной X—Y—^цепочке со спином s = 1/2 и
межатомным расстоянием а. Действительно, положим N = \. Тогда
///0 = l/(#i<7) = (a/2l0)Vl + е <С 1 и, следовательно, в том
приближении, в котором осуществлялся переход к макроскопическому
описанию магнетика qsn(I/I0) = (а/2/0)< 1. Следовательно, формула
A2.32) принимает вид (Р = Ш)
Е = 2Е0 B1J a) {sin2 (oft/2) + (а/2/0J cos2 (aft/2)}1/2 X
X {sin2 (aft/2) + A + e) (a/2/0J cos2 (aft/2)}1/2 =
*= 8aM20 {asin2 (aft/2) + (a/2JP3 cos2 (aft/2)}1/2 x
X {a sin2 (aft/2) + (a/2J (p8 — px) cos2 (aft/2)}1/2. A2.33)
Выражение A2.33) совпадает со спектром одномагнонных
возбуждений в X — Y — Z модели [106], если fl — fl^ftl- В
длинноволновом приближении (aft < 1) получаем
Е = 2$3М]а*У [I + (kl0f)[l +г +(kl0)*l A2.34)
Соотношение A2.34) совпадает с выражением (9.28), определяющим
исходный закон дисперсии магнонов (см. также [2, 76]).
Отмеченное совпадение спектров энергии не случайно и,
по-видимому, связано с полной интегрируемостью как классических
одномерных уравнений Ландау — Лифшица, так и их квантового аналога:
X—Y—Z модели. В последнее время разработан квантовый метод
обратной задачи рассеяния [84—87, 92, 96, 157], подчеркивающий
глубокую взаимосвязь классических и квантовых точно интегрируемых
систем.
Хотя в настоящее время нельзя полностью проследить за
взаимосвязью классических и квантовых систем, сама возможность
предсказать спектр квантовых возбуждений дискретной цепочки по
спектру макроскопических волн соответствующего континуального
аналога является замечательным обстоятельством.
120

12.3. Коллективные возбуждения легкоплоскостного магнетика
в магнитном поле, перпендикулярном легкой плоскости. В
предыдущих параграфах обсуждено квазиклассическое квантование двух
параметрических солитонов (бионов) в магнитных системах, для которых
известны эти решения, но подробно не изучена динамика простых
(однопараметрических) решений типа доменных границ. В легкоосном
ферромагнетике доменная граница неподвижна, и потому ее
динамическое поведение тривиально (граница покоится и энергия границы
не зависит от ее положения).
В двухосном ферромагнетике динамика доменной границы
характеризуется зависимостью Е (Р), описываемой формулой (9.17). При *
е = —1 эта формула приобретает вид
E(P) = Ebsin^. A2.35)
Поскольку случай 8 = —1 соответствует легкоплоскостному
ферромагнетику (с легкой плоскостью xz), то соотношение A2.35)
является функцией Гамильтона для волн поворота D.14), D.15).
Сравним формулу A2.35) с законом дисперсии спиновых волн
легкоплоскостного магнетика A1.15), который в размерных единицах
приобретает вид
e(p) = />co0/0|/l+(fJ. A2.36)
При Р = р -*¦ О получаем
Е(Р)/г(р) = 1.
Таким образом, при РФО волна поворота имеет энергию A2.35),
меньшую энергии одного магнона с тем же импульсом. Следовательног
волны поворота являются аналогами либовских состояний в
неидеальном бозе-газе [142,69].
Допустим, что к ферромагнетику с анизотропией типа легкая
плоскость намагничивания приложено магнитное поле, параллельное оси
анизотропии (оси у) и имеющее величину # < jj3j М0. В таком
магнетике существует два типа динамических локализованных
возбуждений, аналогичных волнам поворота и описываемых формулами A1.31)
и A1.32).
Магнитное поле, параллельное оси у, не нарушает поворотной
симметрии в плоскости xz. Поэтому величины Р и N, связанные с осью у,
являются интегралами движения. Поскольку на бесконечности в
волне поворота Му = M0h = Я/1 C| Ф О, то необходимо уточнить
определение динамических величин ?, Р и N, отнеся их к возбуждениям,
отличающимся от основного однородного состояния в магнитном поле:
Е = а" I * (| (Щ)* - 4 (Му + Я/Р)»}, A2.37)
N = ^dl{M0h-My). A2.39)
121

Энергия A2.37) солитона первого типа оказывается равной
EAV) = EB{Vl-h*-V*-harctgVl~-h*-V2}y A2.40)
где ЕБ = 2a2Va\$\M20; h = Н/\ Р| М0; скорость перемещения волны
поворота V измеряется в единицах со0/0.
Энергия солитона второго типа Е2 (V) отличается от выражения
A2.40) на независящую от скорости величину
Е2 (V) = Ег (V) + nhEB. A2.41)
Импульсы солитонов двух различных типов также различаются
на некоторую постоянную величину
РЛП = Р^ЧУ-Щ^-Н™ЧЩ^Ц, (.2.42)
PAV) = Pi(V) + hP0 sign У, A2.43)
где sign V — знаковая функция; Р0 = nha2M0/[x0 — предельный
импульс поля намагниченности. Заметим, что я?Б = (oJ0P0.
Энергия солитонов является четной, а импульс — нечетной
функцией скорости V. Характерно, что энергия солитона второго типа не
может быть меньше пкЕъ> а его импульс по величине не может быть
меньше hP0.
Числа спиновых отклонений A2.39), соответствующие
распределению намагниченности в солитонах первого и второго типов, равны
^i(F) = -^0arctg]/l""^"/2, A2.44)
N2(V) = Nl(V)+nN0y A2.45)
где NQ = -—2 V а/\ р |. Снова заметим, что характерное число маг-
нонов порядка величины N0. Соответственно определению A2.39)
число спиновых отклонений Nt (V) < 0 в волне первого типа и
N2 (V) > 0 — в волне второго типа. Отрицательные значения числа
спиновых отклонений ^(Ю означают, что происходит увеличение
проекции вектора М на ось анизотропии в волне поворота первого
типа по сравнению с величиной этой проекции в равновесном
состоянии. Интервалы изменения величин Е, Р и N определяются
тем, что 0<1/2< 1—А2.
Сравнив A2.40), A2.41), A2.44) и A2.45), можно заметить, что для
солитонов обоих типов
Е = EbVl— Я2 —1/2 + 2^#, A2.46)
где первому слагаемому можно придать смысл кинетической энергии
солитона, а второму — его энергии во внешнем магнитном поле.
Однако следует иметь в виду, что решение типа A1.31) и A1.32) —
это однопараметрическое решение, а потому величины N и V
однозначно связаны, что вытекает непосредственно из A2.44) и A2.45).
122

Поэтому в отличие от ситуации с двухпараметрическими солитонами
кинетическая энергия волны поворота не может изменяться
независимо от ее потенциальной энергии во внешнем поле, и разделение
энергии на два слагаемых является в определенном смысле формальным.
На основе полученных зависимостей динамических интегралов
движения от скорости V нетрудно проанализировать функции
Гамильтона солитонов, т. е. зависимости их энергий от импульсов. Поскольку
мы убедились, что при фиксированной скорости V энергии и
импульсы солитонов двух типов различаются на постоянные
величины, достаточно изучить зависимость Е = Е (Р) для одного из них,
допустим, для солитона первого типа.
Прежде всего заметим, что импульс солитона первого типа це
может превосходить величины Ртах = --.роA—К). Во всяком
случае, независимые возбужденные состояния классифицируются
значениями импульса в интервале — Ртах<Р<Ртах. Формально можно
ввести значения Р вне указанного интервала, предположив энергию
периодической функцией Р. Однако такое формальное обобщение
в данном случае не приводит к каким-либо физическим выводам.
Появление предельного значения для импульса солитона в
длинноволновом приближении является следствием галилеевой
неинвариантности исходных уравнений поля.
При малых импульсах спектр солитонных возбуждений мало
отличается от боголюбовского спектра спиновых волн
*(р) = /*о0/0 Yl-h2 + (EwJ • A2-47)
В частности, если воспользоваться справедливым для солитона
соотношением V = дЕ/дР, то можно убедиться, что при Р-*0
оказывается V-+ V\ —h2. По мере возрастания импульса энергия солитона
монотонно растет, достигая максимального значения при максимальном
значении импульса
E^ = Eb{^r^F2-harctg^^}.
Можно убедиться, что ?™ах меньше энергии магнона с импульсом
Р = Апах- Это значит, что солитон первого типа может
рассматриваться как коллективное возбуждение ферромагнетика, которое
обладает импульсом Р и имеет энергию, меньшую энергии магнона с тем
же импульсом. Другими словами, магнитные солитоны первого типа
являются возбуждениями, аналогичными либовским возбуждениям
в неидеальном бозе-газе с отталкиванием [142, 69].
Но вспомним, что имеются еще солитоны второго типа. В
неидеальном бозе-газе, динамика которого в приближении
самосогласованного поля описывается нелинейным уравнением Шредингера,
подобные солитоны отсутствуют. Они специфичны только для
легкоплоскостного ферромагнетика.
Минимальный импульс солитона второго типа равен hP0 и
отвечает энергии лЛ?Б. Скорость солитона в этом состоянии мак-
123

симальна и равна 1^1 —h2. С ростом импульса энергия Е2(Р)
монотонно возрастает, а скорость V (Р) уменьшается. При Р = hP0 + Ртак
скорость солитона обращается в нуль (V = 0). Но при всех Р энергия
солитона второго типа меньше энергии отдельного магнона с таким
же импульсом [69].
Полезно выяснить, каковы свойства волны поворота второго типа
в состоянии с минимальным импульсом hP0. Будем рассматривать
солитон как связанное состояние магнонов. Тогда оказывается, что
при Р = hP0 на один связанный магнон приходится энергия
E2/N2 = hEB/N0 = Йсоо/l A2.48)
Сравним выражение A2.48) с законом дисперсии магнонов A2.47).
Из сравнения видно, что величина A2.48) совпадает с энергией
свободного магнона, обладающего импульсом
и h hP0
r /0 JtiV0
Таким образом, можно заключить, что при достижении предельной
скорости V = V1 — h2 в солитоне второго типа полностью исчезает
взаимодействие между образующими его магнонами, и он
«рассыпается» на свободные спиновые волны. Вспомним, что при
достижении предельной скорости волна поворота второго типа превращается
в алгебраический солитон A1.33).
13. Солитоны в антиферромагнетиках
Обсуждая общие свойства уравнений Ландау — Лифшица
для двухподрешеточного антиферромагнетика, используем
динамические уравнения A.18) и A.19) для магнитного момента М и вектора
антиферромагнетизма L. Динамика двухподрешеточного
антиферромагнетика определяется уравнениями для четырех независимых
переменных (а не двух, как в случае ферромагнетика), и это существенно
увеличивает сложность анализа поля намагниченности.
Однако при естественном для антиферромагнетика
предположении, что энергия релятивистских взаимодействий мала по сравнению
с энергией обмена, уравнения для М и L могут быть сведены к одному
уравнению для вектора L. При этом М просто выражается через L и
dL/dt. Такое эффективное уравнение допускает практически столь же
подробное количественное исследование, как и уравнение Ландау —
Лифшица для ферромагнетика.
13.1. Эффективные динамические уравнения и спиновые волны.
Выделим в A.18) и A.19) главные члены прежде всего слагаемые,
содержащие константу однородного обмена А. Вспомним выражение
для плотности магнитной энергии одноосного антиферромагнетика
A.20) и заметим, что константа А входит в Нт, давая слагаемое ЛМ.
Ясно, что оно сохраняется только в уравнении A.19). Член,
содержащий эту часть эффективного магнитного поля, заведомо больше
124

членов, содержащих пространственные производные векторов М и L
и имеющих порядок величины аМ/Х2 — AM (aA,J, где К —
характерный линейный размер неоднородности поля намагниченности.
В длинноволновом приближении (а < к) все слагаемые с
градиентами намагниченности в уравнении A.19) могут быть опущены. Кроме
того, в этом уравнении можно опустить слагаемые, порожденные
энергией магнитной анизотропии, так как обычно р1э р2 < Л. Тогда
уравнение A.19) приближенно переписывается в виде
?1Н<н-ли)ц. A3-1)
Допустим, что М2 < L2. Тогда уравнение A.19) можно разрешить
относительном:
М =
[гИ+^1МНЦ1- A3-2)
Так как при записи A3.2) использовано неравенство
m2«l2^ ml A3.3)
то соотношение A3.2) имеет место только в не очень сильных
магнитных полях (Я <^ АМ0) и при не очень высоких частотах (Йсо <^
<?\i0AM0). Перечисленные неравенства позволяют считать, что A3.2)—
самосогласованная связь вектора М с вектором L и его производной
по времени.
При той же точности рассмотрения в уравнении A.18) можно
опустить пространственные производные вектора М, тогда
получаем
-?0д-т = ai [LAL] +[MH] + ^ [Le*]- <13-4>
Подставляя A3.1) в A3.4), получаем уравнение для вектора
антиферромагнетизма L
[L (c'AL - Щ] = 4f (LH) | + Ш (LH) [LH] -
-(*% [Lez]. A3.5)
Здесь введены обозначения для характерной скорости с и
частоты со0:
c=4-^-°VA^i. A3.6)
Уравнение A3.5) есть упомянутое выше уравнение для вектора
антиферромагнетизма, описывающего динамику
антиферромагнетика при выполнении условий
Йо) « ii0AM09 Н < АМ0, М2 « IA A3.7)
125

Уравнение A3.5) и соотношение A3.2) иногда удобно записывать
в безразмерном виде с помощью векторов
т=ж0' ' = 2ж- A3-8)
Из A3.8) и A.16) следует, что векторы m и 1 связаны
соотношениями
ml-0, ш2 + 12=1. A3.9)
Введем наряду с безразмерными векторами A3.8) безразмерные
координаты и безразмерное время, выбрав в качестве единицы длины
с/(о0, а в качестве единицы времени — 1/со0. Тогда уравнение A3.5)
принимает вид
(Al-g)]-2g(lh) + (l-/i2)[le2](lez) = 0, A3.10)
где h = Н/Н1 и считается, что Н параллельно оси г.
Уравнения A3.10) были выведены в работе [15] (см. [14, 10]), а
также получены в работе [1] без использования модели подрешеток.
Заметим, что если уравнение A3.10) умножить скалярно на
вектор 1, то получим
¦зНт?-=°- <13Л1>
Формально это означает, что длина вектора 1 не изменяется. Если
к этому добавить использованное при выводе A3.2) и A3.10) условие
т2 <^ 1, то вектор 1 можно считать единичным. Таким образом,
уравнение A3.10) является анизотропным вариантом уравнения динамики
поля единичного вектора [81, 93], которое широко обсуждается в
современной нелинейной теории поля.
В дальнейшем будет удобнее использовать уравнение A3.5) в
угловых переменных, которые вводятся стандартным образом:
lx = sin 6 cos ф, ly = sin 0 sin cp, 1г = cos 6.
Уравнения динамики намагниченности в терминах 6 и <р
принимают вид (в размерных переменныхO
- ™-Ш + № ~ S)"~с* (Ш ~4sin e cose = °. <Ш2>
д?2
"Jlh,»!6-ff"ta,,(-«ff+5)
Отметим, что при Я = 0 пространственные и временные
производные входят в уравнения A3.12) только в лоренц-инвариантных
комбинациях, причем характерная скорость, входящая в
преобразование Лоренца, равна с. Легко убедиться, что величина с совпадает
с минимальной фазовой скоростью спиновых волн при Н = 0.
7 Заметим, что, как и в случае ферромагнетика без учета магнитодиполь-
ного взаимодействия, вид одномерной волны нама1ниченности в ангиферромаг-
нетике не зависит от направления ее распространения. Координата в этом
направлении по-прежнему обозначена ?.
126

Рассмотрим на основе уравнений
A3.12) спиновые волны конечной
амплитуды в антиферромагнетике.
Для этого положим, аналогично (8.4),
8 = 90 = const, ф = со* — &?.
A3.13)
Тогда частота со и волновое
число k связаны законом дисперсии
(ш-сояJ = о)о + ^2, соя = ^.
A3.14)
Из A3.14) следует, что одному и
тому же значению k отвечают две
частоты, отличающиеся величиной (при
Н ФО) и знаком (вспомним, что
2ix0H < йсо0):
~со— соя^ ± V<»1 + c2k2' A3Л5)
Таким образом, существуют две ветви спиновых волн. График для
а/ = со — (Оя приведен на рис 36.
С учетом характера движения намагниченности в спиновой волне
A3.13) можно заключить, что вектор 1 в любой фиксированной точке
| = const совершает прецессионное движение, направление которого
различно для двух ветвей спиновых волн. При Н = О частоты
прецессий противоположных направлений совпадают по величине, а при
Н Ф 0 они различны.
Следовательно, в линейном приближении @О <^ 1) при Н = О
в каждой точке ? = const наряду с циркулярной поляризацией
колебаний вектора 1 возможна поляризация в плоскости
<р = Фо = const, Э = в/*-*2 A3.16)
с тем же законом дисперсии A3.15) при Н = 0.
Подобно анализу закона дисперсии волн в одноосном
ферромагнетике (см. § 4) запишем закон дисперсии A3.15) в системе отсчета,
движущейся с групповой скоростью волны v
со = со'—Ь = ш — соя — k~= ±co0]/l-(~)\ A3.17)
Любопытно, что при v = с частоты обеих ветвей A3.17) совпадают
и равны нулю.
Если энергию элементарного возбуждения (магнона) записать
в стандартном виде в = й | ю|, и учесть, что 2\х0Н < Йсо0, то
в = й|Ло; + с<А2±2|х0#. A3.18)
Рис. 36. Закон дисперсии спиновых
волн в антиферромагнетике.
127

При Н = 0 соотношение A3.18) принимает вид, характерный для
•частиц в лоренц-инвариантной теории
г = Уг1 + с2р\ 80 = Йсо0, р = й*. A3.19)
Из формулы A3.19) вытекает, что величина с — действительно
минимальная фазовая скорость магнонов при Н = 0. Как и в случае
ферромагнетика, закон дисперсии A3.18) или A3.19) справедлив
в достаточно широком интервале волновых чисел k (или импульсов р)*
Это связано с тем, что возникающий в нашей модели параметр с
размерностью длины заведомо превышает межатомное расстояние
l«=i~Via»a- A3-2°)
Поэтому длинноволновое приближение ak < 1 применимо даже для
<ck > оH. Заметим, что условие ak <? 1 можно переписать с учетом
413.18) в виде
со < щ = 4\i0M0A/h. A3.21)
Две ветви закона дисперсии A3.18) отвечают двум знакам частоты
прецессии вектора 1 в спиновой волне. В отсутствие магнитного поля
{Н = 0) законы дисперсии обоих типов спиновых волн совпадают.
Наличие магнитного поля делает неравноправными два направления
прецессии, вследствие чего происходит разделение закона дисперсии
A3.18).
13.2. Уединенные волны намагниченности в коллинеарной фазе.
В коллинеарной фазе равновесному состоянию отвечают значения
в = 0 или 8 = я при неопределенном угле ф. Как и в случае
ферромагнетика, интерес представляют уединенные волны, оставляющие
антиферромагнетик в равновесии на бесконечности.
По аналогии с (8.21) будем искать решение уравнений A3.12) в
виде
6 = е (g — Vt)y ф = я|) (I — Vt) + оO A3.22)
и начнем с возмущения, отвечающего следующим граничным
условиям при I -+ ± оо: 0 = 0 или я, (dQ/dl) = 0 и производная chf>/d?
ограничена. Функции 0 (?) и ty (?) находятся из системы
обыкновенных дифференциальных уравнений
(^2 — ^2) 5р — {^о + ^ (^|J — (со — I/1|J} sin0 cos9 = 0, A3.23)
(с« _ Vt) I (sin2 e |) + v® |- (sin2 0) = 0, A3.24)
где © = о)'— о>я. Уравнение A3.24) имеет решение
*(?) = *?, к = —^щ- A3-2Б)
Перепишем уравнение A3.23) с учетом A3.25)
|т — х! (У. *>) sine cos 9 = 0, A3.26)
128

где
*:=«>. »>=АФ-5-?}- 03.27)
о
Ясно, что уравнение. A3.26) имеет локализованное решение
нужного типа только при к\ > 0.
Уравнение A3.26) не обладает локализованными решениями с
одинаковыми 31 а шниями 9 при | = + со и ? = — со, но оно допускает
решение вида
tgy^expKG/, ©)(g-W)}, A3.28)
обладающее свойством 9 (+ оо) = л и 0 (— оо) = 0.
Из условия к\ > 0 и явного выражения A3.27) следует, что
решение A3.28) существует только в том случае, если параметры V и о>
удовлетворяют условию
¦?+^<L 03.29)
о
Таким образом, на плоскости У, <о область существования
полученных решений лежит внутри эллипса (рис. 37), уравнение которого
совпадает с законом дисперсии A3.17), если V — групповая скорость
магнона.
Характерный размер области неоднородного распределения
намагниченности A3.28) Д? = \ЫХ. Для того чтобы согласовать выражение
A3.28) с длинноволновым приближением, необходимо считать Д? >
> а. Как следует из A3.27), последнее условие нарушается при
скоростях У, очень близких к предельной скорости с. Сразу же видно,
что при о) = 0 оно нарушается, начиная с с2 — V2 ~с2 (со0а/сJ. Но
в силу условия A3.20) со0а <^ с, и выход за рамки длинноволнового
приближения возможен только в очень малых окрестностях вершин
эллипса V = =?с на рис. 37, т.е. фактически только при предельных
скоростях движения солитона. Для описания столь быстрого солитона
требуется квантовое микроскопическое рассмотрение с
использованием конкретных моделей обменного взаимодействия атомных спинов
в решетке магнитоупорядоченного
кристалла.
Проанализируем характер
полученного решения, зависящего от V
и со. Оно описывает нелинейную
волну, перемещающуюся со скоростью
У, причем в системе отсчета,
движущейся с волной, вектор 1 совершает
круговую прецессию вокруг оси г
с частотой со и амплитудой, равной
sin 0. Легко видеть, что
отклонение вектора намагниченности m от
его равновесного значения т=0ло- Рис. 37. Область существования
кализовано В СОЛИТОНе И быстро солитонов в антиферромагнетике.
9 3-48
129

(экспоненциально) убывает вдали от его центра. Действительно,
вычисляя намагниченность с помощью формулы A3.2) и используя
A3.28), получаем
(-)
тг= чю*/ sine, A3.30)
!-(т)
т+ = тх + Шу = ^- I ТТ7Т2-cos9 — iKiv \ e*>
где
sin9 = ch[M^v/)], cose=-th[x1(?-W))- A3.31)
Из A3.30) и A3.31) следует исчезновение вектора намагниченности
m при \ ->¦ ?=> оо . Поведение вектора 1 иное. Вдали от солитона 1
стремится к разным предельным значениям: I -* е2 при g ->- — оо
и 1 -* — е2 при ? -> + оо. Однако знак вектора 1 не имеет физического
смысла , так как в плотность энергии антиферромагнетика даже при
Н ф 0 входят только четные степени 1. Следовательно, значения 1
и —1 описывают одно и то же локальное физическое состояние
антиферромагнетика.
Таким образом, состояние, описывающееся формулами A3.30)
и A3.31), весьма похоже на локализованные двух параметрические
солитоны в ферромагнетике. В то же время поведение вектора 1 в
таком солитоне напоминает поведение намагниченности в
180-градусной доменной границе ферромагнетика, и солитон такого типа
является обобщением 180-градусной доменной границы антиферромагнетика.
Обычно доменной границей называют волну стационарного профиля
(со' = 0). Движение доменной границы с малой скоростью
рассмотрено в работе [И]. Структура такой границы, движущейся со скоростью
V, описывается формулами A3.30) и A3.31) при со' = 0 , а ее
ширина /я определяется соотношением
'"(У) = '• 1-Ш' _(».)' ' A3'32)
Скорость доменной границы не может быть больше некоторой
предельной скорости VK ^ с. При Н = 0 предельная скорость совпадает
с минимальной фазовой скоростью спиновых волн с (этот результат
получен в работе [8] другим способом). Если Н Ф 0, то VK совпадает
с минимальной фазовой скоростью магнонов нижней ветви A3.18)
и VK(H) = cVl— H2/Hl При Н^Нг имеем VK-+0. На пределе
устойчивости коллинеарной фазы (Я = HY) доменная граница
останавливается и полностью размывается Aи = оо).
130

Энергия единицы площади движущейся доменной границы
определяется формулой ^
Е (V) = 8М20 V^Ji \-(Н1Нг)* A3 33)
При малых значениях скорости границы (V <^ Ук) легко получить
E(V) = E0 + m*V*/2,
где Е0 = 8М20 V ахрх A — H2/Hl) — энергия покоящейся доменной
границы; т% — ее эффективная масса,
ft2p
Из этих формул видно, что Е0 убывает, а т% растет с увеличением
внешнего поля. Исследованию динамики доменных границ в двухпод-
решеточных магнетиках посвящены также работы [9, 53, 45, 46, 10].
13.3. Волны поворота в антиферромагнетике. Перейдем к
описанию уединенных волн намагниченности в так называемой спин-флоп
фазе антиферромагнетика (при Н > Я2). Равновесное состояние этой
фазы соответствует ориентации вектора m вдоль оси z (вдоль
магнитного поля) и ориентации вектора I перпендикулярно этой оси F =
= я/2). Угол ф в равновесии не фиксирован (ф = ф0, где ф0 —
произвольная постоянная величина), что является следствием
предположения об одноосной магнитной анизотропии.
Характер вырождения основного состояния сближает спин-флоп
фазу антиферромагнетика с ферромагнетиком с анизотропией типа
плоскости легкого намагничивания (см. § 11). Анализ показывает, что
в этих системах существуют сходные типы солитонов. В частности,
в спин-флоп фазе антиферромагнетика могут существовать волны
поворота вектора 1. Начнем с рассмотрения этих нелинейных волн.
Обсудим вид граничных условий, обеспечивающих
локализованные решения. Ситуация здесь примерно такая, как и в случае
легкоплоскостного ферромагнетика. Можно записать
е = ? при 1= ±оо. A3.34)
Граничные условия для угловой переменной ф выбираются так,
чтобы локализованное возбуждение обладало конечной энергией и
вектор m имел равновесное направление на бесконечности. Так как
плотность энергии неоднородного обмена антиферромагнетика A.20)
содержит слагаемое, пропорциональное sin2 9 (V<P2)> то ПРИ 9 (± оо) Ф
Ф 0 условие конечности энергии приводит к следующему граничному
условию для ф:
щ->0 при \^± оо. A3.35)
9*
131

Использовав формулу A3.2) для намагниченности, легко
убедиться, что вектор m совпадает со своим равновесным значением на
бесконечности только при выполнении условия
-|^0 при 1^± оо. A3.36)
Из A3.35) и A3.36) следует, что в выражении A3.22) для искомой
функции ф необходимо положить со' = 0, т.е. считать
Ф = * (Б - Vt).
Интегрируя A3.24) с использованием граничных условий A3.34)
и A3.35), легко получить для функции -ф
| = -^ctg*e. A3.37)
С учетом этого выражения уравнение для угла 0 принимает вид
(С2 v**q 1 *% 2
.sine cose = у2(*и cose ¦
с2—V2 sin39
с
A3.38)
Решение уравнения A3.38) с граничным условием A3.34) можно
представить так:
cos9^hvc<T* . A3.39)
где
chjc,(g-W)'
2Ч 2 2
м О
(о^-со^A -У2/с2) 2 с2-У2
A3.40)
Используя формулу A3.37), видим, что значения угла ф при | -> + оо
и I -> — оо различаются. Таким образом, уединенные волны
намагниченности в спин-флоп фазе антиферромагнетика представляют собой
волны поворота вектора 1: после прохождения волны вектор 1
возвращается в плоскость, перпендикулярную оси анизотропии, однако
значения угла между направлениями 1 при ? -> + оо и ? ->- — оо
зависит от скорости волны, а именно:
Ф (+ оо) — ф (— оо) = — я + 2Ф. A3.41)
Эти волны поворота существуют при V < с и Н > Я2 [105].
Рассмотрим поведение уединенной волны поворота при подходе
к границе области ее существования. При V -> с амплитуда волны
стремится к нулю, однако к нулю стремится также и область ее
локализации 1/ха, т.е. при V -> с характерный размер области
неоднородности намагниченности сравним с постоянной решетки а, и, как
отмечалось выше, для описания нелинейной волны при V ->¦ с необходимо
применять микроскопическое рассмотрение.
Волны поворота такого типа могут существовать и в
антиферромагнетике с анизотропией типа легкой плоскости. Для такого магнетика
J 32

Pi < 0 и даже при # = О равновесное направление вектора 1
перпендикулярно избранной оси анизотропии. Основное состояние при
Н ^ Не определяется формулой
е = у, m=sini|Hez, sint|>0 = p-. A3.42)
В силу этого граничные условия для G и ф надо выбрать в том же
виде A3.35), A3.36), что и для спин-флоп фазы легкоосного
антиферромагнетика.
Легко показать, что решение, описывающее волны поворота в
легкоплоскостном антиферромагнетике, дается формулами A3.37) —
A3.41), если в них заменить со^ на — | рх \А D|10М0/ЙJ. При этом волна
поворота существует при всех V < си Н < Не, однако ширина волны
имеет макроскопический размер только при выполнении неравенств
(>-?)»(^),я«я,.
Волны поворота в антиферромагнетике впервые рассмотрены в
работах [4, 24].

ГЛАВА 3
ТРЕХМЕРНЫЕ И ДВУХМЕРНЫЕ
МАГНИТНЫЕ СОЛИТОНЫ
Переходим к изучению солитонов, в которых
намагниченность зависит более чем от одной пространственной переменной.
В трехмерных солитонах отклонение намагниченности от ее
равновесного значения локализовано во всех направлениях, а в двухмерных —
в двух измерениях. Последние могут представлять интерес не только
для описания квазидвухмерных магнетиков и тонких магнитных
пленок, но также для построения солитонных решений, имеющих
цилиндрическую геометрию в трехмерном магнетике.
Неодномерные солитоны возникают при изучении нелинейной
динамики реальных трехмерных систем, но для описания некоторых
аспектов такой динамики могут использоваться полученные в гл. 2
одномерные решения, если рассматривать их как плоские
(зависящие от одной переменной) возмущения. Во всяком случае, один
из типов рассмотренных одномерных решений, описывающий
движущиеся доменные границы, хорошо известен и широко изучается как
теоретически, так и экспериментально. Однако свойства
одномерных решений изменяются при трехмерных возмущениях. При
переходе к трехмерному случаю, по-видимому, теряется свойство точной
интегрируемости рассмотренных выше магнитных систем. Кроме того,
многие локализованные магнитные солитоны оказываются
неустойчивыми относительно нарастания начальных возмущений,
нарушающих одномерность солитонов.
Все это означает, что если полученные в предыдущих главах
результаты могут описывать многие аспекты нелинейной динамики
квазиодномерных (строго говоря, одномерных) магнетиков, то для
трехмерных магнетиков необходимы дополнительные исследования. Они
должны включать, во-первых, анализ условий существования
(например, устойчивости) полученных выше одномерных решений в
трехмерном случае, во-вторых, анализ специфических неодномерных
солитонов.
Трехмерные солитоны гораздо менее изучены, чем одномерные.
Существует лишь несколько примеров расчета отдельного солитона
в неодномерном случае [103, 104, 122], и лишь недавно стали
появляться работы, посвященные взаимодействию неодномерных
солитонов [22, 1471 и применению к неодномерным задачам метода обратной
задачи теории рассеяния [93].
Естественно, что анализ неодномерных солитонов значительно
сложнее и, как правило, невозможен без применения численных
методов. Несмотря на всю мощность современных вычислительных ма-
134

шин и численных методов, это довольно громоздкие расчеты. Кроме
того, если структура солитона описывается численными кривыми,
весьма нетривиальным делается весь дальнейший анализ: изучение
устойчивости, влияния физических возмущений и т.д.
Есть еще одна причина слабого проникновения солитонной
идеологии в область неодномерных задач, заключающаяся в том, что
неодномерные солитоны реже бывают устойчивыми, чем одномерные.
Это подтверждают строгие математические утверждения типа теорем
запрета. Известно ([116], см. также [146]), что в однокомпонентной ло-
ренц-инвариантной системе достаточно общего вида в трехмерном
случае не существует устойчивых солитонов с конечной энергией.
В частности, к подобным системам относится модель, описываемая
трехмерным синусоидальным уравнением Гордона. Численные
исследования [23] показали неустойчивость даже более общих
нестационарных решений этого уравнения.
Этот и ряд других примеров показывают, что класс трехмерных
систем, в которых существуют устойчивые солитоны, значительно
уже, чем одномерных систем.
Необходимо отметить, что при изучении физических приложений
теории солитонов вопрос об устойчивости солитонов более
естественно решать на физическом языке, а не на языке формальных
математических ограничений. Для того чтобы солитонные состояния
проявились в реальной физической ситуации, не требуется их абсолютная
устойчивость, а нужно только, чтобы эти состояния были достаточно
долго живущими. Однако нас больше интересует случай, когда в
некоторой упрощенной модели солитонные состояния устойчивы, а
конечное время жизни приобретают лишь при обобщении этой модели.
Проблемы устойчивости трехмерных солитонов и существования
связанных состояний квазичастиц (магнонов — в случае магнитных
солитонов) очень тесно связаны. Их совместный анализ на
квазиклассическом уровне позволил получить ряд новых результатов.
Например, доказано существование связанных состояний N квазичастиц
для систем, в которых не образуются связанные состояния двух
квазичастиц. На основе анализа слабосвязанных состояний двух
магнонов в трехмерном случае (предсказанных в работах [54, 83]) доказана
возможность существования устойчивых трехмерных солитонов
малой амплитуды. Этот анализ существенно связан с учетом в
уравнениях движения старших пространственных производных.
Необходимость учета в некоторых солитонных задачах старших производных —
одна из важных специфических черт неодномерных солитонных задач.
Отметим, что точно интегрируемое двухмерное уравнение
Кадомцева — Петвиашвили (см. [93]) содержит старшие производные.
14. Динамические солитоны в трехмерном
легкоосном ферромагнетике
Начнем со случая трехмерного солитона с неподвижным
центром тяжести в простейшей модели одноосного ферромагнетика
D.1). Как уже отмечалось, наличие однородного внешнего магнитного
135

поля можно учесть тривиальным переопределением параметров соли-
тона (частоты прецессии), поэтому будем пока считать Н = 0
(обсуждение роли внешнего поля проведем ниже).
Структура солитона в одноосном ферромагнетике определяется
решением уравнения D.2), которое соответствует модели D.1) для
одноосной анизотропии и сводится к системе двух нелинейных уравнений
в частных производных (переменные х, у, z, t). Ограничимся
отысканием некоторых частных классов решений этих уравнений. Вид
простейших решений, отвечающих динамическим солитонам в
трехмерном случае, легко угадать, зная структуру одномерных солитонов.
Как было показано, вид динамического солитона в одноосном
ферромагнетике существенно упрощался при V = 0— при этом азимутный
угол ф = со/ не зависел от координаты, а полярный угол 0 — от
времени. Легко убедиться, что и в трехмерном случае решение такого
типа не противоречит уравнениям D.2).
Так как в этом решении v<P = 0> то емУ отвечает нулевое
значение импульса Р и момента импульса К (см. формулы C.4) и C.7)).
Отсюда следует, что такое солитонное решение «скалярно», т.е. не
характеризуется никакой векторной величиной, и его можно искать
в центрально-симметричном виде
0 = 6 (г), г = |г|; ф = ®t + ф0, Фо = const. A4.1)
Уравнение, определяющее 0 (г) для трехмерного солитона в
одноосном ферромагнетике получим, подставив A4.1) в D.2):
« fd20 2 dQ) (о
lo \d?z + 7 dr) - sin0 cos0 + ^ sin0 = 0. A4.2)
При изучении трехмерных солитонов интерес представляют только
решения, в которых намагниченность отвечает основному состоянию
вдали от солитона, т.е. граничное условие для солитона выберем в виде
0 (г) ->0 при г -* оо. A4.3)
Хотя уравнение A4.2) можно проинтегрировать только численно,
вопрос о локализованных решениях этого уравнения удается
проанализировать качественно практически до конца, не прибегая к явному
виду решений. Это можно проделать, используя метод фазовой
плоскости [100].
Обозначим 0' = dQ/dr и рассмотрим фазовую плоскость @, 0').
Поведение интегральных кривых (траекторий) на этой плоскости
удобно изучать стандартным методом, введя функцию С (г),
являющуюся первым интегралом движения «редуцированного» уравнения,
которое получаем из A4.2) исключением члена с первой производной.
Функция С (г) имеет вид
CW-^/:(g), + ^cos«e-Jcose. A4.4)
136

Легко убедиться, что С (г)
является монотонно
убывающей функцией координаты г:
dC 9/2 1 М9\2
dr = -2l«T\dr) • A4«5)
т. е. уменьшается с
увеличением г.
Для качественного
анализа решений уравнения A4.2)
изобразим на фазовой
плоскости ЛИНИИ ПОСТОЯННОГО Рис- S8- Фазовая плоскость уравнения
уровня величины С, услов- A42):
НО Называя ИХ ИЗОЭНергеТИ- ' ~ 5 ~ Р^ФР°ваны в тексте.
ческими кривыми8 (рис. 38).
Следует только учесть, что полярный угол 8, по определению,
изменяется в интервале 0 ^ 0 < я. Допуская на фазовой плоскости
отрицательные значения 8, следует помнить, что переход с положительной
полуоси @ >0) на отрицательную (8 <0) связан с изменением фазы
прецессии на полпериода (на величину дх). Точки (±60, 0),гдесоз80 =
= со/со0, являются фокусами, отвечающими С = —со2/2соо и
описывающими состояние однородной прецессии магнетика с частотой со.
Выход на эти предельные состояния не интересен по двум причинам.
Во-первых, они не локализованы F = 80 = const =^=0), а во-вторых,
механически неустойчивы. Линия А соответствует С = Са = 1/2 —•
— (о/(о0 и проходит через начало координат и точки (±0!, 0), где
cos 8X = 2 со/со0 — 1. Линия В отвечает значению С = Св= 1/2 +
+ (о/оH и проходит через точку 8 = я на оси абсцисс и точки 6' =
= % = ±2 V^co/coo на оси ординат. Кривые А и В суть сепаратрисы,
разделяющие фазовую плоскость на три области. В первой (С <СЛ),
внутри сепаратрисы, расположены кривые, замыкающиеся вокруг
одного из фокусов. Во второй (СА <С < Св) между сепаратрисами
проходят изоэнергетические кривые, охватывающие оба фокуса.
Третьей области (С > Св) принадлежат изоэнергетические кривые,
не пересекающие ось 8' = 0, в дальнейшем они не изучаются.
Фазовые траектории уравнения A4.2) пересекают
изоэнергетические кривые, поскольку вдоль них величина С уменьшается с
увеличением г.
Будем искать ограниченные при г = 0 самолокализованные
решения, которые автоматически удовлетворяют условию dQ/dr =0 при
г = 0 (начальная точка интегральной кривой лежит на оси 8' = 0).
Для определенности примем, что 6 > 0 при г = 0.
Ясно, что фазовые траектории, начинающиеся внутри сепаратрисы
Л, заканчиваются при г -> оо в фокусе 8 = +80 и описывают
Если под г понимать время, то редуцированное уравнение совпадает
с уравнением движения нелинейного консервативного осциллятора, а
уравнение A4.2) включает силу трения, пропорциональную «скорости» 6', и
соотношение A4.5) определяет обычную связь изменения энергии системы с диссипатив-
ной функцией не консервативного нелинейного осциллятора.
137

неустойчивые нелокализован-
ные состояния.
Следовательно, начало фазовой
траектории Э = 6 @),
описывающей локализованное
состояние, должно лежать, по
крайней мере, в интервале
Эх < 6 @) < я на оси
абсцисс. Как правило,
фазовые траектории,
начинающиеся в этом интервале,
пересекают сепаратрису Л,
Рис. 39. Разные типы решений уравнения а потому «выпадают ИЗ
04-2). игры», заканчиваясь на
одном из фокусов 0 = ± 6#
(кривые /, 3, 5 на рис. 38). Кроме этого многообразия
фазовых траекторий, существуют кривые, соответствующие дискретному
набору значений 0 @), которые заканчиваются в начале координат
при г -+• оо (кривые 2 и 4У рис. 38). Эти избранные траектории
описывают исчезающие на бесконечности решения уравнения A4.2), т.е.
интересующие нас локализованные состояния.
На основе указанных свойств интегральных кривых проводилось
численное интегрирование этого уравнения [55, 56]. Используем
«метод стрельбы», состоящий в решении ряда вспомогательных задач
Коши с различными начальными условиями 0 @). Сущность метода
ясна из рис. 39, на котором изображены две «вспомогательные»
интегральные кривые, заканчивающиеся в фокусах 0 = +0о и 0 = —0О.
Как только получилась пара таких траекторий, дальнейший выбор
0 @) проводился уже в интервале @Х @), 02 @)), снова строились
кривые Q[ и 02, и эта процедура продолжалась до тех пор, пока
локализованное решение не было найдено с нужной точностью. Поиск
локализованного решения упрощался качественно различным
поведением при г -> оо решений с неудачно выбранным начальным
условием 0 @).
Асимптотическое поведение функции 0 = 0 (г) для
локализованных состояний легко получить, линеаризуя уравнение A4.2) при
0 <g 1. Оказывается, что для этих решений при г -> оо
e,r, = ^expj-(i_y'"i}, ,н.б)
следовательно, при со < со0 функция 0 (г) быстро (экспоненциально)
убывает. Если со ^ со0, то убывание 0 (г) в динамическом солитоне
связано только с множителем \1г в A4.6). Такого убывания
недостаточно для того, чтобы солитон можно было считать локализованным.
В частности, при со ^ со0 интегралы, определяющие энергию и число
магнонов в солитоне, расходятся при больших г. Итак,
локализованный динамический солитон может существовать только при со < со0.
Локализованные решения естественно классифицировать по числу
нулей (узлов), т.е. пересечений оси dQ/dr = 0 фазовой траекторией.
138

«Основному» состоянию отвечает монотонно убывающая функция
в (г), фазовая траектория которой изображена кривой 2 на рис. 38.
Дальнейший анализ будет посвящен выяснению характерных черт
«основного состояния», в котором функция 9 (г) является монотонно
убывающей.
Прежде всего изучим структуру решения при оа <с со0, для
которого значения СА и Св мало различаются (Св —Сл = 2со/со0), и
сепаратрисы А и В почти совпадают (на рис. 38 крайние точки сепаратрис
характеризуются величинами 9Х = я — 21Ло/оH, dQ/dr = 2 j/(o/co0).
Следовательно, 9@) лежит в узком интервале Д9~ 2)Ло/со0 вбли-
зи 9 = я. Так как вблизи точки 9 = я производная d9/dr мала, то
существует достаточно большой интервал изменения переменной г,
в котором 9(f) практически не отличается от я:
е(О-е@) = -1[я-9@)](?)\ (Н.7)
Поскольку я — 9 @) < 2 ]/Wco0, то из A4.7) следует, что вплоть до
г ~ /0 можно считать 9 (г) ~ 9 @) — я (как убедимся в
дальнейшем, эта оценка существенно занижает размер области, в которой
(9 (г) — я | <^ 1). Поведение функций 9 (г) при г > /0 в случае
(о <С со0 также легко устанавливается. Действительно, в этом случае
характерный параметр длины /0, определяющий порядок величины
производных функций 9 (г), мал по сравнению с г. Поэтому член с первой
производной в A4.2) меньше, чем со второй, и уравнение^A4.2) при
г>/0йш<(й0 сводится к одномерному
/o2g = sin9cos9. A4.8)
Решение уравнения A4.8), исчезающее на бесконечности (г -+ с»),
известно
cos9(г) = th 1ГТ" j , R = const.
Отметим, что это решение описывает распределение намагниченности
в плоской доменной стенке в ферромагнетике (см. формулу D.9)).
Таким образом, при со <С со0 локализованное решение описывает
следующее состояние магнетика. В макроскопической области радиуса
R > /0 намагниченность соответствует номинальной, но с обратным
направлением вектора М (9 ^ я). Эта область отделена от остального
магнетика сферической «доменной границей» с радиусом R и толщиной
/0, в которой совершается прецессия намагниченности с частотой со
и углом 9, зависящим от координаты г. Практически вся энергия такого
состояния сосредоточена в переходной области толщиной /0 и
совпадает с энергией сферической доменной границы:
Е = 4яЯ22р/0Мо. A4.9)
Число перевернутых спинов в таком состоянии определяется столь
же просто, если учитывать только объемную его часть:
*-$«•(?). (Н.Ю)
139

Использовав формулу A4.10), а также условие C.12), радиус
самолокализованного решения можно связать с величиной со:
Я(<о) = 2/0^»/0.
Теперь легко получить следующие асимптотически точные
выражения, связывающие энергию самолокализованного колебания Е
с числом спиновых отклонений N при со <С со0:
Е = 2Ы3г0(^У = Зг0мB^У'\ е0 = Йсо0, A4.11)
а также частоту прецессии — с числом N:
со = 2со0(|^. (Н.12)
Здесь введен параметр
N3 = 4ns (У3 = 2я^° /03» 1. A4.13)
По порядку величины характерное число магнонов в трехмерном
случае N3 равно максимально возможному числу спиновых
отклонений в объеме порядка f0. В одномерном случае аналогичную роль
играет число Nlf введенное в предыдущей главе.
Сравнив выражения для частоты прецессии и энергии солитона,
можно убедиться, что величина Йсо меньше энергии, приходящейся
на каждый магнон
а. 2 Е
Из A4.12) следует, что условие со <С со0 соответствует требованию
N » N39 при котором Е < г0М.
Удается проанализировать свойства самолокализованного
решения и в другом предельном случае со0— со <С со0. Если частота со очень
близка к со0, то сепаратриса А прижимается к началу координат
@Х <С 1). Но траектория «основного» состояния, не пересекающая
оси dQ/dr = 0, должна начинаться вблизи сепаратрисы А, а потому
для нее следует ожидать 9< 1.
Предположив малость угла 9, легко получить для него уравнение
Введем новый масштаб пространственных координат, используя
езразмерную переменную
х=тт l/I^Z, A4.14)
и определим новую искомую функцию ^(л:):
9= ]/2(l-?-)¦(*)• A4.15)
140

Тогда для г|) получим нелинейное уравнение
свойства которого изучались ранее [34] в связи с задачами
нелинейной теории поля. К этому уравнению сводится задача трехмерного
солитона простейшего нелинейного уравнения Шредингера и
волнового уравнения с кубической нелинейностью. Вид решения A4.16)
хорошо известен (правда, впоследствии оказалось [103, 28],что
соответствующие солитоны неустойчивы). Используем его для анализа
магнитного солитона при со -* со0. Основное самолокализованное
решение уравнения A4.16) обладает «амплитудой» г|? @) ^ 4,34 и
спадает на расстояниях Ал; —1. Следовательно,
в@)=/2A-у*@)~/ТЗ|«1.
что оправдывает исходное предположение 0 (г) <с 1. Далее,
масштабное преобразование A4.14) показывает, что самолокализованное
состояние имеет область локализации
Дг~/0/1Л_^»/в,
т.е. очень сильно «размазано» в пространстве.
Запишем теперь в том приближении, в котором справедливо
A4.16) при со ->¦ со0, энергию связанного состояния
?=^{а(у9J-4е^зх + ^о|{02_^е^Л A4.17)
и число связанных магнонов
n-t%1 {»-&»)**• о4-18)
Сравнивая A4.17) и A4.18), а также принимая во внимание A4.14)
и A4.15), получаем
Е = г0Ы+ е<Д3 |Л-~ 5> 04-19)
где
a N3 определяется формулой A4.13). Аналогично из формулы для N
получим
УТ^ = А^, 04-20)
где А = ^ I ty2dsx. Комбинируя A4.19) с A4.20), выведем
асимптотическую зависимость энергии связанного состояния от N при
со->со0
E = z0N+e0NAB(-Njf)\ A4.21)
141

*(г)Г~* ~— | Таким образом,
асимптотические формулы для энергии
связанного состояния и числа
магнонов N удается выразить
через константы А, В —
введенные выше интегралы от
функции г)? (#), определяемой
уравнением A3.16). При этом между
константами А и В существует
соотношение, позволяющее при
их вычислении находить
численными методами только одну
из них.
Для получения связи А и В
достаточно воспользоваться соотношением C.12). Используя формулы
A4.19), A4.20), получаем А = В, Учитывая это, приходим к выводу,
что локализованное состояние при со0 — со «С со0 обладает следующей
особенностью:
Рис. 40. Распределение намагниченности
в трехмерном солитоне при различных
значениях со:
i — о> ss 0,1 о>0; 2 —* °> =» °»5 о>о; 3 — о> =* 0,915 wqS
# — » в 0,99а>0-
—.{'-("*П
> е,
0>
<(О0.
A4.22)
Условие со0 — со <С со0 соответствует требованию N ^ N3. Таким
образом, существуют два типа локализованных состояний, отвечающих
N ;> N3: рассмотренное выше «жесткое» состояние (со <С со0), в
котором существует область 9 (г)^ я, намагниченность изменяется в
узком интервале переменной г (Дг — /0), и «размазанное» состояние
со0 — со < со0 (рис. 40).
Для выяснения характера самолокализованных решений
уравнения A4.2) и анализа зависимости Е (N) при произвольных
значениях параметра со было проведено численное интегрирование9.
Представление о распределении намагниченности в связанном состоянии
при не малых со дает рис. 40, который демонстрирует также
справедливость нашего анализа самолокализованного решения при со <С со0
и пространственную «размазанность» решения при со0 — со <С <о0.
Результаты численного расчета зависимостей со = со (N) и Е =
= Е (N) приведены на рис. 41 и 42, Оказалось, что со и ? являются
двузначными функциями N. Это указывает на существование двух
ветвей связанных состояний. Физический смысл этого результата
сводится к утверждению, что в трехмерном случае N магнонов могут
образовывать связанные состояния двух типов, отличающихся, кроме
частоты прецессии и энергии, также характером пространственного
распределения намагниченности.
8 низкочастотных состояниях область неоднородности
намагниченности на оси г не превышает по порядку величины толщину ста-
9 Численные расчеты выполнены в вычислительном центре ФТИНТ АН
УССР А. А. Моторной и В. И. Хатунцевым под руководством К. В, Маслова,
142

Г У
105
0,95
Y/r//////////HV4////f////////f/&A.
I
V"j Ю N0/Ns
15 X
*/*
Рис. 41. Зависимость частоты
прецессии cd от числа магнонов в
трехмерном солитоне. Кружками обозначены
результаты численного счета.
Рис. 42. Зависимость энергии,
приходящейся на один магнон, от числа
магнонов N.
тической доменной стенки. Высокочастотные колебания имеют слабо
выраженную локализацию, и характерный размер области
локализации увеличивается обратно пропорционально величине V <*H—со
при со -* со0. Как оказалось, график функции со (N) имеет
вертикальную касательную при со = со* = 0,915со0> N = N * = 9,08А/3 и
вблизи этой точки хорошо аппроксимируется квадратичной параболой.
Использовав последнее и соотношение C.12), легко показать, что
вблизи точки окончания графика Е (N)? т.е. точки N = N#, имеет
место разложение
E(N) = E (tf J + Йсо* (N -NJ±C(N- Nj\
A4.23)
в котором E (N*) = 1,034 ?0N*, С = const. Знаки « + » в этом
выражении относятся к верхней и нижней ветвям связанных состояний.
Проведенный анализ устойчивости таких сслитонсв показьвает,
что они устойчивы только при Еыпслнении неравенства d&ldN < 0.
Это означает, что сслитоны Еерхней Еетви абсолютно неустойчивы
относительно малых возмещений. Начальная стадия развития
неустойчивости проходит так же, как коллапс трехмерных солитонов
нелинейного уравнения Шредингера, затем солитон может, например,
перейти на нижнюю ветвь, испустив «лишнюю» энергию в виде
магнонов. Солитоны (магнонные капли) нижней ветви устойчивы
относительно малых возмущений. Квазиклассическое квантование
позволяет сделать более сильное утверждение об устойчивости солитонов
этой ветви относительно произвольных возмущений. Ясно, что
стабильным и относительно произвольных возмущений будут только
состояния, для которых запрещен распад на магнонные состояния
непрерывного спектра (напомним, что гамильтониан D.1) коммутирует
с z-проекцией полного спина и число магнонов сохраняется).
Из рис. 42 видно, что при N* < N < N0 (N0 = ll,3Af3) энергия,
приходящаяся на один магнон, больше минимальной энергии магнона
непрерывного спектра
^>Йсо0, A4.24)
143

if условие устойчивости относительно распада на магноны
непрерывного спектра не выполнено. Заметим, что речь идет именно о распаде,
происходящем в результате не малого возмущения всей магнонной
капли, так как условие возможности излучения одного магнона, или,
что то же самое, п магнонов при n<JV, имеет вид
Самым слабым оказывается условие устойчивости относительно малых
возмущений. Итак, состояния нижней ветви при N < N0
являются метастабильными: они устойчивы относительно малых
возмущений, но могут распадаться на магноны в результате не малых
возмущений.
Необходимо отметить, что указанная классификация состояний
характерна не только для магнитных солитонов, но и для других
трехмерных динамических солитонов. Наличие двух ветвей зависимости
<о (N), неустойчивость солитонов, относящихся к верхней ветви этой
зависимости, и разделение солитонов нижней ветви на стабильные
и метастабильные характерно для всех известных в настоящее время
моделей, допускающих существование динамических солитонов в
трехмерном случае. К ним относятся уравнения Шредингера с
насыщением нелинейности [28] и более сложной нелинейностью, чем |t|)|2i?
1104], а также модель двух связанных полей, рассмотренная в работе
1122]. Графики зависимостей Е (N) и со (N) для всех этих моделей
похожи на рис. 42, 41, если N — соответствующий интеграл движения,
<о — характерный параметр, определяющий временную зависимость
решения.
При учете внешнего магнитного поля, направленного вдоль легкой
оси ферромагнетика, к энергии ферромагнетика добавляется обычная
зеемановская энергия намагниченности во внешнем поле, в данном
случае ее можно записать в виде
Ен = 2\i0HN.
При этом зеемановская энергия отсчитывается от энергии состояния
однородно намагниченного ферромагнетика. Положительному
значению Я соответствует параллельная ориентация магнитного поля и
намагниченности основного состояния ферромагнетика. Нетрудно
убедиться, что уравнения для распределения намагниченности в
магнитном поле отличаются от уравнений при Я = 0 только заменой
величины со величиной со = со— со#, где со я = 2[г0Я/Й. Учитывая это,
нетрудно представить себе графики зависимостей со (N) и Е (N) во
внешнем магнитном поле. График зависимости со (N) при Я Ф 0
получается просто смещением графика со (N) при Я = 0 вверх на
величину соя, а график зависимости Е (N)/N при Н Ф0 — смещением
графика вверх на 2|д0Я.
Интересно, что при Я < 0 существуют статические неоднородные
состояния ферромагнетика с конечным числом спиновых отклонений.
Для выяснения смысла этих состояний необходимо отметить, что во
внешнем поле, параллельном оси анизотропии (Я < Ял), сущест-
144

вует два однородных устойчивых состояния ферромагнетика:
стабильное при Н > 0 и метастабильное при Н < 0, т. е. при
антипараллельной ориентации магнитного поля и намагниченности.
Найденные статические неоднородные решения с конечным числом
спиновых отклонений, существующие при Н < О, фактически
являются зародышем области с обратным направлением намагниченности
в безграничном однодоменном ферромагнетике, находящемся в мета-
стабильном состоянии (Я < 0), т.е. обычным критическим зародышем
стабильной фазы в метастабильной.
Подобное распределение намагниченности напоминает
«сферический домен». Необходимо иметь в виду, что.в отличие от обычной
теории цилиндрических доменов в тонких пленках в этом рассмотрении
пренебрегали магнитодипольным взаимодействием.
15. Двухмерные солитоны
Для полноты картины динамических солитонных решений
опишем двухмерный аналог трехмерных магнонных капель. Анализ
магнонных капель в двухмерном ферромагнетике фактически
сводится к анализу локализованных решений вида A4.1), в которых
угловая переменная 9 зависит от двух координат х и у в плоскости
магнетика. Если магнонная капля локализована в окрестности х = у = 0,
то в простейшем случае функция 9 (х, у) обладает осевой симметрией
и зависит только от р, где р2 = х2 + У2'-
9 = 9 (р), Ф = со*. A5.1)
Функция 9 (р) находится как решедие двухмерного аналога
уравнения A4.2)
^(Р+Т^) +^sine_sin0cose = O. A5.2)
Это уравнение определяет также угловую переменную 9 в осесим-
метричном трехмерном динамическом солитоне, если отклонение
намагниченности от равновесного направления локализовано вдоль
некоторой прямой линии. Выберем ось г вдоль линии солитона; тогда
решение уравнений Ландау — Лифшица можно искать в виде
9 = 9 (р), ф = Ы + qz + ф0. A5.3)
Функция 9 (р) по-прежнему определяется уравнением A5.2), но с
переопределенными значениями параметров /0, со0:
*о-> лГ——=» со0-^со0 [1 +(<?/0J]. /15.4)
V 1 + я21\
Анализ структуры обоих «двухмерных» решений проводится
одинаково и сводится к интегрированию уравнения A5.2) с
естественными граничными условиями (однородность намагниченности вдали
от линии солитона и отсутствие особенностей уравнения A5.2))
9 = 0 при р = оо, j- = 0 при р = 0. A5.5)
Ю 3-43
145

Качественный анализ
уравнения A5.3) методом
фазовой плоскости и
численное нахождение
решений «методом стрельбы»
проводится точно так же,
как и для трехмерной
«капли». Двухмерный
случай отличается от
трехмерного лишь меньшей
(в два раза) «константой
релаксации» в
соотношении A4.5)
43. Зависимость со == со (N):
Рис.
1, 3 — схематическое изображение для одномерного
и трехмерного случаев; 2 — для двухмерного
динамического сол итона.
dp о \do)
Ф
тера убывания 0 (р) при р
циальный множитель
const
в(р) =
Последнее не изменяет
экспоненциального харак-
заменяет лишь предэкспонен-
к,
Р
И
ехр - 1 + {qloy
СО
со0
V2
Локализованные состояния существуют только при условии
со< со0 (?) s со0 [1 + (qlofh
где со0 (?) — частота спиновой волны с волновым вектором q в
линейной теории. Таким образом, имеется еще одно подтверждение, что
частоты нелинейных локализованных состояний лежат ниже
непрерывного спектра частот соответствующих элементарных возбуждений.
Поскольку величина со0/? в одноосном ферромагнетике не зависит
от константы анизотропии (со0^ = 2\х0 M0a/h), то при q Ф О
локализованный двухмерный солитон в трехмерном случае может
существовать и в изотропном ферромагнетике (C = 0). В этом случае условие
© < со0 (q) заменяется на со < 2 \i0M0aq2/h.
Анализируя вид функции 8 (р) при различных значениях со/со0,
можно заметить закономерности, характерные для функции 6 (г),
отвечающей трехмерному солитону. При со < со0 солитону
по-прежнему отвечает «жесткое», а при со0 —- со < со0 — «размазанное»
состояния. Последнему соответствует, как и в трехмерном случае,
решение вида A4.15), но с другой, естественно, функцией^ (х),
которую обозначим ф (х). Существенное различие двух- и трехмерного
случаев проявляется при анализе зависимости энергии и частоты
прецессии солитона от числа магнонов.
Зависимости Е (N) и со (N) в двухмерном случае были найдены
численными методами в работе [66]. Зависимость со (N) при q = О
приведена на рис. 43 в виде кривой 2. Численный анализ показал,
что зависимость со (N) является однозначной и со монотонно убывает
146

с увеличением N. Последнее совместно с условием dco/dN < 0 и
свидетельствует об устойчивости (см. [28, 146]) динамического магнитного
солитона в двухмерном случае.
Как и в трехмерном случае, можно получить аналитически асимп
тотики этих зависимостей при ш ->0и при со -*• со0. Для больших
N (N ^> N2), когда со -* 0, имеем
со (N) = со0 уЩ , E(N) = 2е0 V7fN2, A5.6)
где N2 — характерное число магнонов в двухмерном случае,
совпадающее с максимальным числом спиновых отклонений на площадке
радиуса lQ:
N^2ns(l^y = n(all)^. A5.7)
Ниже убедимся, что существование жестких состояний и аналогичные
зависимости Е и со от N характерны также для солитонов более
сложного вида, обладающих топологическим зарядом.
Двухмерный динамический солитон отличается от трехмерного
(а также от двухмерного топологического солитона) поведением при
юо — <° ^ <»о- Проанализируем состояние солитона при со -> со0.
Связь N и со можно получить из A4.15). В основном приближении по
A — <о/со0) число магнонов N не зависит от со:
N = Nt№*xdx** 1,8^2,
т.е. N стремится к постоянной величине при со -* со0. Напомним, что
в одномерном и трехмерном случаях (ID, 3D) за счет основного
приближения по A—со/со0) возникала существенная зависимость от со:
ID ЛГ(ю)со К©о —ю.)
3D N (со) со 1
У со0 — со, J
со0 — со < со0.
Зависимости со (N) при со -> со0 для одномерного и трехмерного
случаев условно изображены кривыми / и 3 на рис. 43. Оказывается,
что двухмерный случай является избранным и для него характер
изменения N с частотой со при со -* со0 может быть выяснен только
численным анализом.
Чтобы подчеркнуть особое положение двухмерного случая,
выпишем значения N (со) в пределе со -*• со0 для разных размерностей
солитона:
ID N = О,
2D N = const - 1,8#2, A5.8)
3D N = оо.
Важной особенностью как двух-, так и трехмерной магнонных
капель является то, что для существования капли необходимо, чтобы
число магнонов в капле было больше некоторого критического значения
10*
147

NKP, причем NKp — N2 в двухмерном магнетике и NKp~N3 — в
трехмерном. Таким образом, в обоих случаях Лгкр>1. Ниже
рассмотрим эту закономерность подробнее.
Нетрудно найти более общие, чем A5.1) или A5.3), решения
уравнений Ландау — Лифшица, предполагая угловую переменную <р
зависящей от направления в плоскости ху. Введя на этой плоскости
полярные координаты р, х, легко убедиться, что уравнение D.2) допускает
решение вида
в = в (р), Ф = а* + vx + Ф0, A5.9)
где v — целое число, v = 0, +1, +2, ±3, ... Тривиальную
зависимость ф от 2 типа A5.3) не будем обсуждать, так как ее учет ничем не
отличается от проведенного выше для v = 0.
Функция Э(р) удовлетворяет уравнению
^о {|р + ir || — ^ sin в cos в| + ^- sine — sin в cos e = О. A5.10)
Граничными условиями для поиска локализованных решений
этого уравнения являются однородность намагниченности (9 = 0) вдали
от солитона, и требование регулярности уравнения A5.10) на оси
(р = 0). Последнее одновременно с требованием ограниченности
энергии солитона приводит к условию
9 = я/и, т = 0, ;±:1, 2=2... при р -> 0. A5.11)
Решения такого вида описывают весьма интересные в физическом
плане солитоны, характеризующиеся дополнительным интегралом
движения — моментом импульса поля намагниченности Kz.
Рассмотренным выше трех- и двухмерным магнонным каплям с v = 0
соответствует Кг = 0. В § 3 показано, что решение A5.9) отвечает
моменту количества движения
Kz = —hvN. A5.12)
Решения с v ф 0 интересны и в той связи, что они описывают
топологические двухмерные солитоны (см. § 7).
Перейдем к обсуждению вида решения A5.9), удовлетворяющего
граничным условиям A5.11) при различных значениях т и v.
Поведение солитонного решения уравнения A5.10) с v Ф 0 на бесконечности
остается таким же, как и для случая v = 0. Из анализа этого
поведения, в частности, следует, что локализованные решения возможны
дишь при со < со0.
При р ->- 0 решение уравнения A5.10) имеет разложение
e = nm + (^),v,(-ir, P«Po> 05.13)
где р0 = const может быть найдено только согласованием граничных
условий 9 = 0 при р = оо и A5.13) для одного и того же решения.
Рассмотрим прежде всего солитон cm = 1, для которого 0 ->0 при
р -> оо и 6-* я при р -> 0 (рис. 44). Солитон cm = 1 и v =#=0в отличие
от рассмотренного динамического солитона с m = v = 0 имеет
фиксированное максимальное значение амплитуды, равное я. Достаточно
148

очевидно, что различие между
топологическим солитоном с т = 1,
v Ф О и динамическим солитоном
с v = 0 будет незначительным при
со < со0 или N > N2, так как в этом
случае амплитуда динамического
солитона 0О близка к я. Различия
проявляются фактически только
в поведении 0 (р) при р -> 0: для
динамического солитона 6 -> 0О —
— Лр2, ДЛЯ топологического 0 -> Рис. 44. Распределение намагничен-
—> Я /р/р I v{ ности в двухмерном топологическом
При N < N2 различия в струк- солитоне с v = L
туре солитонов этих двух типов
значительны и даже принципиальны. В частности, как убедимся ниже,
двухмерный солитон с т = 1 и v Ф 0 существует при сколь угодно
малых N. Малым N отвечает малый размер области локализации
солитона #(при N <С N2 получается R < /0), что позволяет довольно
полно аналитически исследовать солитонные решения. Рассмотрим
этот случай подробнее.
Если принять R < /0, то легко убедиться, что энергия
анизотропии менее существенна при анализе структуры солитона, чем
обменная энергия. Оценим соответствующие слагаемые в уравнении A5.10)»
Обменная энергия порождает первый член в A5.10), взятый в
фигурные скобки. Оценка порядка его величины такова:
2*е l\db 'oV . ft ft (IjlY
где R — характерный размер области неоднородного распределения
намагниченности. Энергия анизотропии порождает последнее
слагаемое в A5.10), порядок величины которого — единица. Следовательно,
при R < /0 энергия анизотропии не существенна. Таким образом,
в основном по малому параметру (R/l0J приближении уравнение
A5.10) можно заменить на
d2Q , 1 dQ v2 . л л л /иг in
л + —~j о- sin 0 cos 9 = 0. A5.14)
dp2 ' р dp p2 v '
Уравнение A5.14) масштабно инвариантно. Если функция 6 =
— / (р) — решение уравнения, то функция / (Лр), где А = const,
также является решением этого уравнения.
Формально это уравнение описывает статические (со = 0)
солитонные решения в изотропном ферромагнетике10; оно исследовано в
работах [16, 163]. Решение уравнения A5.14), удовлетворяющее нужным
граничным условиям, известно, и может быть записано в виде
^l^f)'"'' # = c°nst. A5.15)
10 Отметим также, что уравнение A5.14) описывает так называемые инстан-
тонные решения некоторых киральных моделей теории поля в двухмерном
пространстве-времени (см. подробнее работу [81]).
149

Вернемся к уравнению A5.10). При малом, но конечном, значении
R/l0 его решение можно представить в виде разложения по степеням
(Я/'оJ:
e(p) = e0(P) + (/fL<p)+...> A5-16)
ограничиваясь первым членом разложения.
Найдем зависимости Е — Е (N) и со = со (N) при N <^ N2.
Вычислим вначале предельное значение энергии солитона при jR <^ /0.
В основном приближении вклад в энергию солитона дает только
неоднородный обмен, и можно записать
00
Е0 = ~ ааМ\ , {(уЭJ + (у<?J sin2 Щ 2npdp =
о
00
= лааМ: f {(§) + ? sin2 90j pdp, A5.17)
О
где 90 (р) определена формулой A5.15).
В результате вычисления получаем
Е0 = 4naaMl\v\ = 2e0N2 |vj, A5.18)
где е0 = 2[лорМ0.
Поскольку выражение A5.18) не зависит от N, то оно справедливо
и при N = О, совпадая с известной оценкой предельной энергии
сингулярного солитона в двухмерном случае [16, 155].
Если в основном приближении на основе решения A5.15)
вычислить число магнонов N, преходящихся на один атомный слой, то
оно будет пропорциональным R2:
*_*,(« )«р^ A5.19)
Заметим, что входящий в A5.19) интеграл не имеет смысла
(расходится ) при | v| = 1. Это свидетельствует о том, что в изотропном
ферромагнетике двухмерному локализованному солитону с | v | = 1
формально отвечает бесконечно большое число связанных с ним
магнонов N, хотя энергия такого солитона остается конечной.
Следовательно, двухмерный солитон с |v| = 1 может обладать конечным N
только в анизотропном ферромагнетике.
Так как N пропорционально R2, то для нахождения зависимости
Е (N) необходимо вычислить энергию с большей точностью, чем дает
формула A5.17).
Первая поправка к A5.18) состоит из двух слагаемых. Первое
проистекает из энергии анизотропии, вычисленной с помощью
решения A5.15):
00
Еа = 1 рМ02 а Г sin2 90 2лрф. A5-20)
о
150

Вычислив этот интеграл и сравнив его с A5.19), легко убедиться, что
Еа выражается непосредственно через N
?a=J_e0W. A5.21)
Второе слагаемое в поправке к энергии получается
непосредственно из формулы A5.17) для обменной энергии, если поставить в нее
разложение A5.16) с учетом члена, пропорционального (R/l0Jt и
оставить члены, линейные по Qt:
Б* = *М\ (| У J (§ § + J sinGoCOsOA} 2*prfp.
0
Если учесть, что функция 90 = 90 (р) удовлетворяет уравнению
A5.14), то можно убедиться, что Е0в = 0. Таким образом, поправка
к энергии, пропорциональная (R/l0J, обусловлена только энергией
анизотропии A5.21). В результате для энергии солитона получаем
E(N) = s0{2N2\v\+±Ny A5.22)
Эта формула выражает энергию солитона как функцию числа маг-
нонов при достаточно малых N с точностью до слагаемых порядка
(N/N2J или (/?//0L. Использовав ее и соотношение C.12), можно
вычислить с той же точностью частоту прецессии солитона
<о(Л0=у?г A5-23)
Зависимость A5.23) получена в ряде работ численным анализом
решений уравнения A5.10). В работе [66] показано, что для солитона
с v = 1 предельное значение частоты при N -> 0 равно со0. Солитон
с v = 2 рассмотрен в работе [68], где в широком интервале N (вплоть
до N ~ 10~ZN2) наблюдался выход зависимости со (N) на значение
Рис. 45. Зависимость со GV) для двух- Рис. 46. Зависимость E(N) для то-
мерного топологического солитона; но- пологического солитона с v = 1, 2,
мера кривых совпадают со значениями з, 4, EQ = aaNl\.
топологического, заряда. Штриховая
линия относится к динамическому солито-
ну.
151

со0/2. Наконец, случай v = 3,4 численно проанализирован в работе
[33], в которой снова подтверждена зависимость A5.23). Результаты
найденных зависимостей со = со (N) изображены на рис. 45. На этом
же рисунке штриховой линией изображена обсужденная выше
зависимость со (N) для нетопологического солитона (v = 0). Зависимости
Е (N) приведены на рис. 46. Из этого рисунка видно, что при N -> 0
результаты численного анализа соответствуют формуле A5.22).
16. Топологический анализ
локализованных солитонов
16.1. Общая классификация. В предыдущих параграфах
рассмотрены примеры магнитных солитонов различных типов.
Некоторые из них (трехмерный и двухмерный солитоны с v = 0)
непрерывным преобразованием поля намагниченности заведомо можно
перевести в однородное состояние, отвечающее основному состоянию
ферромагнетика. Такому преобразованию отвечает непрерывное
уменьшение амплитуды солитона, связанное, например с увеличением
его частоты до значения со0. Для некоторых других солитонов такое
преобразование (уничтожение солитона непрерывной деформацией
поля намагниченности) провести нельзя. Например, двухмерный со-
литон cm=l,v^0 обязательно имеет амплитуду, равную я, и это
препятствует его уничтожению.
Как отмечалось, солитоны, которые непрерывной деформацией
поля динамической переменной (для ферромагнетика — поля
намагниченности) нельзя перевести в основное состояние системы,
называются топологическими. Исследуем топологические свойства
солитонов в ферромагнетиках более строго.
Топологические солитоны удобно разделить на две группы по
свойству локализации динамической переменной (для ферромагнети*
ков—намагниченности). Если вдали|От солитона распределение
намагниченности однородное, то будем говорить о локализованном
топологическом солитоне. Если на большом расстоянии от солитона
намагниченность все же зависит от координат, т.е. имеет разные
предельные значения при отходе от солитона по разным направлениям, то
будем говорить о нелокализованном топологическом солитоне. Иногда
такой солитон называют топологической особенностью, так как нело-
кализованные солитоны нередко связаны с существованием
особенности динамической переменной.
Перейдем к изучению локализованных солитонов, для которых
характерно, что всем бесконечно удаленным от солитона точкам
координатного пространства соответствует одно и то же значение
намагниченности М0, отвечающее основному состоянию магнетика. Чтобы
учесть это свойство функции М (г), удобно считать, что она задана
не на пространстве радиус-вектора г, а на пространстве, полученном
отождествлением («склейкой») всех бесконечно удаленных от солитона
точек. Топология такого пространства, естественно,, отличается от
топологии исходного пространства, причем существенно, какой
именно солитон (трех-, двух- или одномерный) изучается. В дальнейшем
152

условие тождественности бесконечно удаленных точек не всегда будет
упоминаться, но всегда будет считаться выполненным.
16.2. Топологические свойства двухмерных солитонов.
Проанализируем вначале топологические свойства солитонов, локализованных
в двух измерениях — подобные солитонные решения исследовались
в предыдущем параграфе. Будем считать, что ось солитона
по-прежнему совпадает с осью г. Если исключить тривиальную зависимость
типа A5.3) угловой переменной ф от 2, то можно считать, что
намагниченность в солитоне зависит от двухмерного радиус-вектора,
принимающего значения на плоскости (х, у). С учетом локализации солитона
будем считать, что бесконечно удаленные точки плоскости (х, у)
отождествлены. Как отмечено в § 7, вместо намагниченности М удобно
ввести единичный вектор m = МШ0. Равновесное значение вектора m
на бесконечности обозначим т0.
Вектор m принимает значения на единичной сфере (в дальнейшем
будем говорить «сфера т2 = 1» или S2 т2 = II1. Иными словами,
функция т (х, у) отображает плоскость (х, у) на единичную сферу
т2 - 1.
Функция т (х, у), отвечающая однородной намагниченности (т =
= т0), отображает всю плоскость (х, у)*в одну точку на сфере т2 = 1.
Назовем такое отображение тривиальным. Топологический анализ
двухмерных солитонов выясняет, существуют ли отображения
плоскости на сферу S2, которые непрерывной деформацией нельзя
перевести в тривиальное.
В § 7 упоминалось, что каждому отображению плоскости на сферу
можно сопоставить так называемый инвариант отображения
(топологический заряд) Q, такую величину, которая не изменяется при
непрерывных деформациях функции m (x, у). Для поля единичного вектора
m инвариант отображения определяется выражением [38, 81]
где еар— абсолютно антисимметричный тензор второго ранга, а, р =
= 1,2. Величина Q принимает целочисленные значения, Q = 0, +1, ±2
и т.д. Очевидно, что для тривиального отображения Q = 0.
Легко убедиться, что приведенное определение топологического
заряда Q совпадает с формулой G.2). Действительно, запись для Q
в угловых переменных имеет вид
Если функция m (x, у) отображает плоскость не на всю сферу
т2 = 1, то область значений m будет ограничена на сфере некоторым
замкнутым контуром, который либо проходит через точку т0, либо
11 Для сферы в (k + 1)-мерном пространстве в топологии принято
обозначение Sk. Индекс k совпадает с числом параметров, определяющих положение
точки на этой сфере.
15а

охватывает ее. В обоих случаях непрерывной деформацией этот
контур может быть стянут в точку т0. Следовательно, при таком
отображении Q = 0. Геометрический смысл последнего результата прост:
любая дуга G = const, попадающая в область отображения,
проходится в прямом и обязательно в обратном направлении, поэтому
интеграл Q = 0. Подобное отображение эквивалентно тривиальному,
и распределение намагниченности М = М0т топологически
эквивалентно основному состоянию.
Если Q Ф 0, то функция m (#, у) отображает плоскость (х, у) на
всю сферу т2 = 1. Величина | Q\ указывает, сколько полных обходов
сферы т2 = 1 совершает при этом вектор т. Отображение с Q Ф0
отвечает распределению намагниченности, которое непрерывной
деформацией не может быть сведено к основному состоянию.
Для вычисления топологических зарядов двухмерных солитонов,
рассмотренных в § 15, можно воспользоваться формулой G.3). Для
солитонов с нечетными значениями параметра т (что означает
cos В @) = —1 в формуле G.3)) оказывается Q = v. Следовательно,
подобные солитоны с v Ф 0 являются топологическими и никакой
непрерывной деформацией поля намагниченности их нельзя перевести
в основное состояние.
16.3. Многосолитонные решения. Топологические представления
полезны не только для установления устойчивости отдельных
солитонов, но и анализа некоторых свойств многосолитонных решений.
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим два солитона в двухмерном
магнетике с топологическими зарядами Qx и Q2, расположенных на таком
большом расстоянии, что распределение намагниченности в одном
из них не возмущается наличием другого. Вычисляя топологический
заряд для такой пары солитонов, убедимся, что он равен Qx + Q2.
Пусть теперь солитоны сближаются (например, рассеиваются друг
на друге). Описывая эволюцию этой пары в рамках уравнения
Ландау — Л ифшица, не допускающего разрывов поля намагниченности,
можно утверждать, что топологический заряд поля намагниченности
не изменяется и остается равным Qx + Q2. Это означает, что
топология накладывает определенные ограничения на характер эволюции
системы. Например, при Qx + Q2 Ф 0 в результате взаимодействия
должен обязательно остаться хотя бы один топологический солитон,
причем его заряд будет равным Qx + Q2. Если в результате
взаимодействия возникнет несколько солитонов, то опять-таки сумма их
топологических зарядов будет равна Q±+ Q2. Иными словами, эволюция
поля намагниченности в рамках уравнения Ландау — Лифшица
происходит таким образом, что сумма топологических зарядов солитонов
остается постоянной
SQ, = const. A6.2)
i
Это свойство делает топологический заряд поля намагниченности
двухмерного ферромагнетика формально эквивалентным
электрическому заряду, т.е. топологические заряды солитонов в этом случае
«складываются», как и электрические заряды.
154

Как показано, топологические соображения позволяют установить
некоторые качественные свойства двухмерных Л/'-солитонных
решений. Это особенно актуально в связи с тем, что число неодномерных
моделей, для которых возможно аналитическое исследование Af-соли-
тонных решений, невелико.
Известным примером многосолитонных решений являются
полученные Белавиным и Поляковым [16] статические Af-солитонные
решения в изотропном двухмерном ферромагнетике. Для демонстрации
этого решения введем новую комплексную переменную для описания
намагниченности
тх + imti
»--Ёш? = <****>
а положение точки на плоскости (х, у) будем определять
комплексным числом z = х + iy.
Областью изменения w и z являются комплексные плоскости,
дополненные бесконечно удаленной точкой z = оо и w = оо.
В этих переменных решение вида A5.15) записывается следующим
образом:
w = гУ при v > 0, w = z~v при v < 0, A6.3)
где z — величина, комплексно-сопряженная z. Энергия Е и
топологический инвариант Q в этих переменных имеют вид [81]
г» л луг2 С d2x (dwdw , dw dw\ /in AX
E = inaaMl 1 (T+M?(* « + й Ш)• <16-4)
n 1_ f d2x /dwdw dwdw\ nf, ^
Равновесные распределения намагниченности определяются
минимизацией функционала энергии, в результате которой возникает
уравнение
д2 2w (dw dw'
~w =
dzdz l + l^l2
("¦!)• с«м>
Легко видеть, что произвольная аналитическая функция, т. е.
функция, подчиняющаяся уравнениям Коши — Римана:
dw л dw л пс7\
^ = 0или^ = 0, A6.7)
является решением уравнения A6.6). Это функции вида w — wx (z)
или w= w2 (z). Необходимо только потребовать, чтобы w± (z) или
тг (г) имели определенный предел при \г\ -> оо. Считая
распределение намагниченности на бесконечности равновесным @ = 0 при | г\ ->
-*- оо), находим, что в качестве граничного условия следует взять
Щ> Щ -** °° при \z\ -> оо.
155

Отсюда следует, что решение A6.7), описывающее статическое
состояние изотропного ферромагнетика, является рациональной
функцией вида
--П(Чг1П(^. ««>
где k^n. Решение w2 можно записать в том же виде, заменив z на z.
Нетрудно убедиться, что для каждого из них энергия равна AnaaMln,
а топологический заряд Q = п для wx (z), Q = —п для w2 (z).
Комплексные параметры аь А?, Ь/, с\ определяют конкретный вид
решения — число, положение и размеры солитонов.
Нули функции A6.8) определяют те точки на плоскости (х> у),
в которых намагниченность ориентирована против равновесного
направления на бесконечности (9 = я). Такую точку можно считать
осью (центром) солитона. Следовательно, функция типа A6.8)
описывает многосолитонное решение с суммарным топологическим зарядом
п. Если все параметры at и bj различны, то имеем УУ-солитонное
решение, причем каждый из солитонов обладает зарядом Q = 1. Если
среди ai9 bj имеются совпадающие, то число солитонов меньше я, но
заряды некоторых из них в таком случае больше единицы. В частном
случае, когда k = n и все at равны, решение A6.8) совпадает с A6.3)
и описывает один солитон с зарядом Q = п, расположенный в точке
z = at.
Известно, что энергия состояния не зависит от параметров а(, Ai9
bj, Cj и тем самым от положения солитонов. Как следствие, получаем
вывод о том, что в изотропном двухмерном ферромагнетике сила,
действующая со стороны одного солитона на другой, равна нулю,
если топологические заряды солитонов имеют одинаковый знак
(решение с топологическими солитонами разного знака не имеют простого
вида A6.8)). Это свидетельствует о весьма сильном вырождении этой
модели. При учете магнитной анизотропии это вырождение снимается:
из всех решений вида A6.8), имеющих топологический заряд я,
наименьшую энергию имеет решение с k = n и одинаковыми ai9
описывающее один солитон с Q = п [155]. Это означает, что взаимодействие
солитонов с одинаковыми топологическими зарядами имеет характер
притяжения, во всяком случае при К <С Af2, когда A6.8) является
хорошим приближением для описания анизотропного
ферромагнетика12. Очевидно, что солитоны с разными топологическими зарядами
также притягиваются, так как их энергия при аннигиляции
уменьшается. Таким образом, топологические солитоны в двухмерном
ферромагнетике притягиваются независимо от знаков их топологических
зарядов.
12 Численный анализ показывает, что для топологических солитонов
?i (Ni) + Ег (N2) > Е2 (JV, + А/-.), здесь Еп (N) — энергия солитона с Q — п.
Отсюда следует, что взаимодействие солитонов с любым N носит характер
притяжения.
156

16.4. Трехмерные локализованные солитоны. Рассмотрим
трехмерные топологические солитоны, в которых возмущение
локализовано и намагниченность стремится к равновесному зйачению т0=
= е2 при г -*• оо [37]. Топологические свойства солитона
определяются свойствами отображения трехмерного пространства с
отождествленными бесконечно удаленными точками {г} на двухмерную сферу
S2m2 = 1.
Аналогично тому, как плоскость с отождествленными бесконечно
удаленными точками эквивалентна сфере 52, пространство {г}
эквивалентно сфере S3.
Таким образом, при топологическом анализе солитона
сталкиваемся с отображением сферы S3 на сферу т2 = 1. Известно, что
различные отображения S3 -* S2 классифицируются целочисленным
инвариантом Хопфа Я. Следовательно, распределение намагниченности
в локализованном солитоне можно характеризовать инвариантом
Хопфа Я. Основным свойством топологического инварианта Я
является то, что он не изменяется при любых непрерывных изменениях
функции m (г).
Однородному распределению намагниченности отвечает Я = 0.
Следовательно, любое распределение с Я Ф 0 топологически
отличается от однородного и не может быть переведено в него непрерывным
изменением функции m (г). В связи с этим магнитный локализованный
солитон в трехмерном пространстве удобно характеризовать значением
инварианта Хопфа Я, который играет роль топологического заряда.
Перейдем к построению солитонного решения поля
намагниченности. Заметим, что отображение сфер различной размерности
(интересно отображение S3 ->¦ S2) представляет собой более сложную
математическую задачу, чем отображение сфер одинаковой размерности
(S2 -* S2).
Для объяснения способа решения этой задачи воспользуемся
следующими геометрическими представлениями [32]. Единичная сфера
53 — гиперсфера в четырехмерном пространстве, по которой
пробегает четырехмерный единичный вектор v^ (v, v4), \i = 1, 2, 3, 4.
Представим этот вектор в виде v = n sinX, v4 = cosX, где n —
единичный трехмерный вектор.
Известно, что каждой точке на сфере S3 можно сопоставить
элемент группы вращений в трехмерном пространстве SOC). Пусть
Oik(i> k = 1, 2; 3)— ортогональная матрица, осуществляющая
поворот в трехмерном пространстве. Одной из возможных реализаций
матрицы Oik является соотношение
Olk = Ь1к + 2 (v,vA - >Ча) - 2v4e,ft/v/. A6.9)
Подействовав матрицей A6.9) на вектор т0 = е2, переведем его
в другой единичный вектор. Ясно, что множество всех матриц Oik
обеспечивает получение всевозможных значений m из любого т0.
В частности, можно получить вектор тс = Oikm\ = Oiz1
пробегающий все точки на сфере 52:
m = е2 A — 2v2) + 2v (vez) + 2v4 [vej
157

или й терминах X, п
m~ e2cos2X + 2rw2sin2X + sin 2X [пег]. A6.10)
Конкретный вид зависимости намагниченности от координат и
времени определяется видом функций X (г, t) и n (r, t). Эти функции
должны быть такими, чтобы компоненты вектора m удовлетворяли
уравнениям Ландау — Лифшица. Однако функция X и две
независимые компоненты вектора п не могут однозначно определяться двумя
уравнениями Ландау — Лифшица. Остающаяся свобода в выборе
функций X и п позволяет описать распределения намагниченности,
отвечающие различным инвариантам Хопфа.
Оказывается, что инвариант Хопфа поля намагниченности
определяется через компоненты единичного четырехмерного вектора vM
следующим образом:
1 Г ^v6 ^Vy ^v5
я==ж* *x*4***p*di.ddi- <16Л1>
•j ilk
Напоминаем, что e//*(i\ /, k — 1, 2, 3)— абсолютный
антисимметричный тензор в трехмерном пространстве; га^ — абсолютный
антисимметричный тензор в четырехмерном пространстве (а, C, 7,6=1,2,3,4).
Инвариант Н представляет собой число обходов единичной сферы
53 вектором Vp,, когда радиус-вектор г пробегает все пространство.
Введем полярные углы Ф и Ф, определяющие ориентацию
единичного трехмерного вектора п
пх = sin Y cos Ф, rty = sin W sin Ф, п2 = cos Y. A6.12)
Тогда определение инварианта Хопфа можно переписать в виде
Н = ±^ sitfXsinW dXdW с1Ф. A6.13)
Если при полном изменении г в координатном пространстве функции
X, W и Ф изменяются на величины 6Х = я, bW = я, 6Ф = 2я# Ф 0,
то это обеспечивает ненулевое значение инварианта Хопфа, равное
Н (напомним, что Н — целое число).
Введем сферические координаты г (г, ft, %) и ограничимся
анализом топологических солитонов в одноосном ферромагнетике. Можно
показать, что в ферромагнетике с анизотропией типа легкая ось
существуют решения уравнений Ландау — Лифшица, для которых
ф = н% + at + Ф0, Ф0 = const, A6.14)
а функции X и W не зависят от времени и угловой координаты Х-
Решение такого типа описывает простейший динамический
топологический солитон, в котором вектор m прецессирует вокруг оси г
с частотой со и амплитудой, зависящей только от координат гид:
mz = 1 — 2 sin2 ? sin2 X, A6.15)
тх + imy = 2 sin T sin X (cos W sin X — i cos X) е?ф.
158

Поле намагниченности A6.15), очевидно, обладает такими
интегралами движения: полной магнитной энергией Е и числом спиновых
отклонений N. Как отмечалось выше, у двухмерного топологического
солитона проекция момента импульса поля намагниченности на ось
анизотропии отлична от нуля, причем величина Kz определяется то*
пологическим зарядом солитона. Это утверждение справедливо и для
трехмерного солитона, обусловленного отображением Хопфа. Чтобы
убедиться в этом, запишем выражение для соответствующей
компоненты момента импульса поля намагниченности в терминах
вектора v^:
Подставляя A6.14) в A6.16), легко убедимся, что вклад второго
слагаемого в К2 обращается в нуль при интегрировании по %, и
проекция момента импульса поля намагниченности на ось z принимает вид
^=-^°1^51'п2Х51"п2ЧГ(Ш-
Сравнивая это выражение с записью N через vu
N = ^§A— mz)d*x = ^2sm2Xsm*Wd*x,
получаем, что Кг выражается через N и значение инварианта Хопфа Н
Кг = — hHN. A6.17)
Заметим, что аналогичное соотношение получено для двухмерного
топологического локализованного солитона (магнонного вихря) A5.12).
Видимо, можно сделать общее утверждение, что квантовомеханиче-
ским аналогом (естественно, в квазиклассическом приближении)
топологических локализованных солитонов являются вращающиеся маг-
нонные капли, в которых проекция суммарного орбитального момента
импульса магнонов квантуется согласно условию A6.17).
Перейдем к исследованию структуры солитона, которая
определяется соответствующими решениями уравнений Ландау — Лифшица
для функций X (г, О) и W (г, #), В эти уравнения частота входит как
параметр.
Уравнения дляХ (г, #) и V (г, ft) представляют собой систему двух
нелинейных уравнений в частных производных, которые даже в
простейшем случае изотропного ферромагнетика нельзя
проинтегрировать или хотя бы свести к уравнению в обыкновенных производных,
допускающих численное интегрирование. Поэтому функции X (г, ft}
и W (г, О) найти нельзя. Однако, пользуясь топологической
инвариантностью, можно описать общие свойства поля намагниченности.
Поступим следующим образом. Возьмем простейший вариант
зависимостей X и W от координат, обеспечивающий нужный инвариант
Хопфа. Тогда достаточно выбрать функции Хи?в видеХ = X (г),
? = о, гдеХ (оо) = 0 иХ @) = я.
159

1
1 1
V\Ui
1 t42r
7
^t
I
y\
При таком выборе «пробных»
функций и при условии A6.14)
параметры X, ?и Ф независимы, и
вычисление Н по формуле A6.13)
сводится к тривиальному
интегрированию, дающему необходимый
результат.
Можно убедиться, что при
указанном выборе трех угловых
переменных вектор m не является
решением уравнений Ландау —
Лифшица. Истинное их решение с
выбранным значением Н должно отличаться
^ _ п от «пробного» непрерывной деформа-
Рис. 47. Распределение намагни- „ r r r лТ _тт
ченности в трехмерном топологи- *иеи поля намагниченности. Учиты-
ческомсолитонесЯ= 1 при N>N3. вая простые энергетические
соображения, можно построить
распределение намагниченности в соли!*оне путем непрерывной деформации
-«пробного» распределения.
Ограничимся случаем Н = 2=1. Легко понять, каким образом
можно построить солитон, отвечающий минимуму энергии при
заданном числе магнонов N. Будем считать, что N 3> N3 (характерный
размер солитона R много больше 10). Очевидно, что при этом
энергетически выгодна такая конфигурация намагниченности, при которой
в солитоне существует большая область объема порядка R* > /о, где
mz близко к —1. Эта область определяет N, но не дает вклада в
энергию солитона. Область с тг^ —1 отделена от остального магнетика
доменной границей с топологией тора. Минимальной площади
границы и, следовательно, минимальной энергии солитона отвечает
форма тора, близкая к форме просверленной сферы с отверстием порядка
10 (рис. 47). Оценивая Е и N для такого солитона и вычисляя со как
(dElbdN), в главном приближении по (l0/R) или (N3/N) получаем
формулы, аналогичные таковым в случае динамического солитона
(магнонной капли) с Н = О (см. § 14). Это понятно, так как основной
вклад в энергию солитона с формой «просверленной сферы» дает, как
•и в случае динамического солитона, доменная граница, близкая к
сферической, а главный вклад в число N — область внутри доменной
границы, близкая к сфере.
Итак, в главном приближении по l0/R энергии топологического
и динамического трехмерных солитонов совпадают. Вопрос о том,
какой из этих двух солитонов выгоден энергетически, например,
в наиболее интересном случае N > NSl остается открытым, и может
быть выяснен численным интегрированием системы уравнений
Ландау — Лифшица. Ответ на вопрос не очевиден — напомним, что для
двухмерного топологического солитона энергия на один магнон
IE (N)/N] больше, а частота со (N) — меньше, чем для динамического
солитона с тем же значением N. Описанное распределение
намагниченности в солитоне имеет довольно сложный вид. Приведем
наглядные соображения, позволяющие объяснить появление этого решения.
160

Рассмотрим магнонный вихрь (см. § 15), для которою <р = v% +f
+ qz, т.е. импульс поля намагниченности направлен вдоль оси z.
Если представить сечения такого вихря плоскостями z = z0 =
= const, то распределения намагниченности в двух плоскостях,
находящихся на расстоянии Az, повернуты друг относительно друга на
угол Аф = qkz. Линии, соединяющие точки с одинаковым значением
намагниченности в вихре, представляют собой винтовые линии,
закручивающиеся вокруг линии вихря, вдоль которой тг = —1.
Энз [118] обратил внимание на то, что, если Аф = 2зх, 4я, .., то
при изгибе и замыкании вихря конечной длины его сечения совпадут,
т.е. можно построить замкнутый топологический вихрь в магнетике.
Легко убедиться, что он будет полностью эквивалентен солитону с
ненулевым инвариантом Хопфа, а следовательно, с отличным от нуля
моментом импульса. Действительно, при q ФО в вихре отличен от
нуля импульс поля намагниченности вдоль оси z. При замыкании вихря
возникает отличная от нуля проекция момента импульса на
направление, перпендикулярное плоскости вихря. Поскольку момент
импульса солитона однозначно связан с топологическим инвариантом,
то описанная процедура «изгибания» вихря должна привести к
распределению намагниченности, с топологической точки зрения
эквивалентной солитону с ненулевым инвариантом Хопфа.
Представляет интерес вопрос существования статических солитонов
векторных полей, т.е. в нашем случае солитонов с со = 0. Условие
существования таких солитонов определяется более сильным
требованием, чем условие существования динамических солитонов.В статическом
случае необходимо требовать не условного минимума функционала
энергии при заданном значении N, а абсолютного минимума энергии.
Впервые эту задачу поставил и проанализировал Энз [118] для
модели векторного поля, энергия которого в статическом случае
совпадает с энергией одноосного ферромагнетика. Энз показал, что
энергия солитона такого поля пропорциональна его радиусу R. Так как
при уменьшении R уменьшается энергия солитона, распределение
намагниченности с нулевым инвариантом Хопфа в этой задаче не от-'
вечает минимуму энергии, что свидетельствует об отсутствии
статических солитонов конечного радиуса.
Это демонстрирует упоминавшуюся выше неустойчивость стати*
ческих солитонов относительно схлопывания. Для того чтобы обойти
эту сложность, Энз рассмотрел обобщение своих уравнений, добавив
в них четвертые производные по координатам. Оказалось, что в таком
случае статическое решение существует [119], однако его
характерный размер в случае магнитных солитонов порядка постоянной
решетки, т.е. для описания такой особенности нельзя пользоваться
макроскопической теорией магнетизма.
17. Дисклинации и вихри в магнетиках
Рассмотрим нелокализованные топологические солитоны,
для которых даже вдали от солитона намагниченность зависит от
координат. Как отмечалось, для существования таких солитонов необ-
11 3-48
161

ходимо вырождение основного состояния системы по некоторому
непрерывному параметру (или параметрам). Непрерывным
вырождением по фазе конденсата обладает сверхтекучий Не II, для которого
фаза конденсата является параметром вырождения основного
состояния системы. Существование линейных топологических солитонов
(вихрей) в Не II обусловлено тем, что пространство изменения
параметра вырождения, или пространство вырождения, представляет собой
окружность.
17.1. Вихрь намагниченности в легкоплоскостном
ферромагнетике. Модель чисто одноосного ферромагнетика с анизотропией типа
легкая плоскость обладает таким же характером вырождения, как
Не II. Для этой модели считается, что энергия анизотропии Wa
зависит только от М\ (ось г — ось анизотропии), не зависит от
азимутального угла ф и обладает минимумом при 0 Ф О, п. В простейшем
случае Wa — | Р | Mz/2, и минимуму энергии системы соответствует 9 =
= я/2.
Угловая переменная <р, от которой плотность энергии
легкоплоскостного ферромагнетика не зависит, играет роль фазы в Не II и
свойства вырождения этих систем одинаковы. Поэтому следует ожидать
существования одинаковых типов топологических солитонов в этих
системах. Заметим, что по аналогии со сверхтекучей скоростью в
легкоплоскостных магнетиках вводят понятие спинового сверхпотока [89].
Надо отметить, что на самом деле непрерывное вырождение
кристаллических магнетиков может быть только приближенным и
снимается при учете анизотропии в базисной плоскости ху. Однако для
многих одноосных магнетиков анизотропия в базисной плоскости
мала по сравнению с чисто одноосной анизотропией, и в некоторых
случаях ею можно пренебречь. Ниже обсудим условия применимости
чисто одноосной модели количественно, а теперь перейдем к анализу
топологических солитонов в ферромагнетике с анизотропией типа
легкая плоскость.
Будем считать, что внешнее магнитное поле Н параллельно оси
трудного намагничивания (оси г). Рассмотрим цилиндрический солитон,
в котором намагниченность зависит только от координат х> у. Введем
в плоскости (х, у) полярные координаты: х = р cos %, у = р sin %.
Легко убедиться, что уравнение D.2) имеет статическое решение вида
6 = 6 (р), ф = vx + Фо, Фо.= const, A7.1)
здесь v — целое число, v = 0, ±1, ±2, ...
Подставляя A7.1) в D.2), получаем обыкновенное
дифференциальное уравнение для функции 0 (р)
4@+iS) + (i-^)-ne„e-*dne-a (ВД
Здесь h= H/\$\M0, /0 = j/a/'|P|; напомним, что в ферромагнетике
с анизотропией типа легкая плоскость C < 0.
J 62

Потребуем, чтобы вдали от солитона (р -*• оо) намагниченность
отвечала своему равновесному значению:
0 -> 0О, cos 90 = ft при р -* оо, A7.3)
а на оси солитона (р = 0) все физические величины были бы
ограничены, для чего необходимо потребовать
0 -> 0, sin2 Э (уфJ -* 0 при р -> 0. A7.3а)
Заметим также, что уравнения D.2) формально допускают и
динамические решения вида ф = v% + со/, однако для них при р -> оо
угол 0 (оо) отличается от равновесного: cos 0 (оо) = (ft — co/g| р | М0).
Поэтому не будем рассматривать решения с прецессией
намагниченности.
Граничным условиям A7.3) и A7.3а) удовлетворяет решение,
имеющее следующие предельные свойства. Вблизи оси солитона
(Р-0):
e=(^)'Vf, р0 = const. A7.4)
Поведение решения при р -*- оо зависит от параметра ft. При
кФ0,1 решение характеризуется степенной асимптотикой
0 Р2 У 1 — /I2
а при ft = 0 намагниченность стремится к своему равновесному
значению экспоненциально
в *+С-ЦГ5\ A7.5а)
2 Ур
При ft = 1 на бесконечности 0 = 0, зависимость
намагниченности от координат пропадает, а поэтому решения типа нелокализован-
ных солитонов отсутствуют.
Постоянные коэффициенты С в A7.5а) и р0 в A7.4) определяются
из того условия, чтобы одно решение уравнения A7.2) имело
правильное асимптотическое поведение при р ->- 0 и р -> оо.
Решение с предельным поведением такого типа напоминает вихрь
в сверхтекучей бозе-жидкости. В самом деле, распределение угла ф
совпадает с распределением фазы сверхтекучего конденсата, а
поведение величины sin 0 — с плотностью сверхтекучего
конденсата.Плотность конденсата стремится к своему равновесному значению вдали
от линии солитона и обращается в нуль на его оси. Решение типа A7.1)
обладает отличной от нуля z-компонентой момента импульса поля
намагниченности, приходящейся на один атомный слой солитона
Кг = —vh У* a f (cos0o — cos0)d2* = — hvN, A7.6)
где N — число спиновых отклонений на один атомный слой,
перпендикулярный оси солитона. Отмеченные свойства позволяют назвать
!!•
163

и 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 р
Рис. 48. Распределение намагниченности в магнитном вихре при
различных значениях h:
1 — 0,95; 2 — 0,7; 3 — 0,4; 4 — 0,1; 5 — 0.
такое состояние поля намагниченности магнитным вихрем. Как
видим, топологический анализ магнитных вихрей и вихрей в
сверхтекучей жидкости проводится одинаково, целое число v играет роль
топологического заряда. В то же время это решение напоминает
двухмерные топологические солитоны в жидких кристаллах, согласно
такой классификации подобное решение можно назвать магнитной дис-
клинацией [136]. Однако топологические свойства дисклинаций в
жидких кристаллах несколько иные и ближе к свойствам двухмерных
топологических солитонов в антиферромагнетиках, которые
рассмотрим ниже.
Перейдем к вычислению распределения намагниченности в
магнитном вихре. При v = 1 это решение построено в работе [69]
численным методом с помощью ЭВМ и использования метода стрельбы.
В данном случае реализация метода стрельбы была следующей: при
заданном значении параметра ft подбирается такое значение параметра
р0 в формуле A7.4), при котором решение монотонно приближается
к предельному значению 0 = 0О (рис. 48). При ft, близких к единице,
намагниченность в магнитном вихре слабо локализована и с
увеличением р функция 8 (р) медленно приближается к предельному
значению Э0 ^ |^2 A — ft). Характерный масштаб изменения 0 (р) — по-
i рядка величины Z0/V 1—ft. С уменьшением ft крутизна кривых уве-
1 личивается и при ft = 0 возникает функция, которая при р = 3/0
только на 5 % отличается от своего предельного значения 0О = я/2
^(рис. 48, кривая 5).
Кривые на рис. 48 при ft < 1 качественно не отличаются от
кривых распределения плотности сверхтекучей компоненты слабонеиде-
164

ального бозе-газа в вихре, описанном Питаевским [82]. О
качественном соответствии структур вихрей в магнетике и бозе-газе говорилось
выше. Однако в некоторых условиях возникает количественное
совпадение распределений плотности параметра порядка в этих
особенностях. Например, как отмечалось, при ft -> 1 значение 0 (р) в вихре
мало F(p)<]/2(l—ft)), и тригонометрические функции в
уравнении A7.2) можно заменить их разложениями в ряд по степеням 6:
'г(?+Ц-Й+<1-">е->=°- о">
При записи A7.7) учтено, что 1 —ft <C 1 и опущено слагаемое типа
(v2/p2) 93, вклад которого в решение мал при р -> оо и р ->- 0.
Введя обозначение 0 = ]/A — А)фF), I = (p/l0)V\—h>
приходим к уравнению Гросса — Питаевского для функции t|>(?).
Вычислим физические характеристики, связанные с магнитным
вихрем. Заметим, что число спиновых отклонений (а следовательно,
и момент импульса поля намагниченности A7.6)) ведут себя
по-разному при ft = 0 и ft =^= 0. В отсутствие магнитного поля поведение
функции 0 (р) на бесконечности A7.5а) обеспечивает сходимость
интеграла в A7.6), и поэтому N конечно. Если ft Ф 0, то в силу A7.5)
интеграл в A7.6) логарифмически расходится, причем с
логарифмической точностью
N^n^p f (cos0o-cos0)xd* = ^v2/2ft2lnf, A7.8)
0
где R — радиус обрезания, в качестве которого можно выбрать
поперечный размер магнетика.
Энергия магнитного вихря ведет себя иначе: она логарифмически
велика для всех значений магнитного поля, при которых существует
вихрь (ft < 1). Дело в том, что плотность энергии неоднородного
обмена содержит слагаемое типа
(V9Jsin20 = 4sin29>
которое приводит к логарифмической расходимости интеграла,
определяющего энергию магнетика, при любом законе приближения
8 (р) к равновесному значению 0О Ф 0. С логарифмической точностью
можно получить для энергии, приходящейся на один атомный слой
вихря
2 я
Еs 2nv*a &) \ sin2 0-? = Jtaav2 A — ft») М20lnf . A7.9)
Точное значение отличается от A7.9) слагаемым, которое конечно
при R -> оо. Имея явный вид решения уравнения A7.2) при v = 1
и различных значениях ft, можно уточнить выражение A7.9), при
165

Рис. 49. Зависимость параметра A (h)
от магнитного поля.
этом аддитивную поправку удобно
записать в мультипликативном
виде под знаком логарифма
Е = пааМ* A - A2) In [ A (А) ?]
A7.10)
и найти функцию A (А)
численными методами.' Для этого
воспользуемся предельным поведением
функции 0 (р) A7.5) на больших
расстояниях от оси вихря.
Будем считать, что при р > рх
формула A7.5) правильно описывает
искомое решение ft (p). Точку рх выберем из того условия, чтобы
численные кривые 0 (р) и их производные с заданной точностью
совпадали при р = рх с асимптотической функцией A7.5) и ее
производной. После отыскания такой точки энергия вихря
вычисляется как сумма двух интегралов на интервалах 0 < р < рх и pt ^
< р < R, причем на втором интервале пользуемся формулой A7.5).
Полученный ответ представляется в виде A7.10) и строится
график A (А) (рис. 49). При А -* 1 график описывает линейную
функцию А, экстраполяция которой дает А -> 0,2 при А -> 1. Если А -> 0,
то график функции А (А) подходит к точке А = 4,2. Таким
образом, энергия магнитного вихря (дисклинации) в цилиндрическом
образце легкоплоскостного ферромагнетика в отсутствие внешнего
магнитного поля определяется формулой [69]
Е = пааМ201п^2^У
17.2. Топологический анализ вихря. Для описания
топологических свойств нелокализованных солитонов достаточно рассмотреть
распределение параметра порядка вдали от солитона. Если
распределение параметра порядка описывается такой функцией, что, даже
используя только ее асимптотическое поведение вдали от солитона,
можно доказать, что ее нельзя перевести непрерывной деформацией
в тривиальную, то соответствующий солитон будет топологическим.
Вдали от солчтона возмущения поля параметра порядка убывают.
В частности, для любой системы можно указать такую
характерную длину, чго на расстоянии, большем этой длины, модуль
параметра порядка не изменяется. Для Не II этой длиной является длина
когерентности, для магнетика — магнитная длина /0, вернее,
величина /0 / У~1 — А. Вдали от солитона можно считать, что модуль
параметра порядка (в нашем случае sin 6) практически постоянный,
и в пространстве изменяется только параметр вырождения — фаза
конденсата или азимутальный угол ср.
Для топологического анализа двухмерного солитона в
легкоплоскостном ферромагнетике рассматриваем свойства функции ф (#, у),
166

считая, что она задана на всей плоскости (#, у), за исключением
области с размером порядка /0 вблизи оси солитона.
Рассмотрим поведение ср на некотором простом контуре у,
окружающем линию солитона и проходящем на большом расстоянии от
нее (р > /о). Такой контур можно выбрать, например, в форме
окружности радиусом р0> /0. Положение точки на окружности
определяется углом х- Рассмотрим функцию ср = ф (х) на этой окружности.
Нел окал изованный солитон является топологическим, если эту
функцию никакой непрерывной деформацией нельзя перевести в
тривиальную ф (х) = ф0 = const.
Для легкоплоскостного ферромагнетика такие распределения
намагниченности могут существовать. Действительно, областью
изменения угла ф является окружность (одномерная сфера S1). Если при
обходе вокруг линии солитона изображающая точка один или
несколько раз обегает окружность S1 в одном и том же направлении и снова
приходит в исходную точку, то очевидно, что такую функцию нельзя
свести непрерывной деформацией к постоянной величине.
При таком движении изображающей точки функция ф обязательно
приобретает приращение на целое число 2я, а поэтому заведомо не
может быть сведена к ф = ф0 = const. Этот интуитивный результат
является следствием строгого математического утверждения, что при
любых непрерывных деформациях функции <р (х), принимающей
значения на окружности и имеющей область определения на окружности,
остается неизменным целочисленный топологический инвариант v
v = lf^(X) = lJ'(g)dX. A7.11)
sl о
Ясно, что этот инвариант определяет алгебраическое число обходов
изображающей точкой окружности, на которой задан азимутальный
угол ф. Он играет роль топологического заряда вихря.
При слиянии вихрей их топологические заряды складываются.
Различные распределения намагниченности с одним значением v
можно переводить друг в друга непрерывной деформацией. Для
состояний с разными v этого делать нельзя. В частности, нельзя
непрерывной деформацией поля намагниченности уничтожить вихрь, хотя в
результате этого энергия системы понизилась бы. Уничтожить солитон
можно, создавая в системе разрывы поля намагниченности на
бесконечной поверхности, опирающейся на линию вихря и достигающей
границ образца. В безграничном магнетике такой разрыв будет
сопровождаться бесконечной энергией. Таким образом, состояние
магнетика с вихрем отделено от основного (стабильного равновесного)
бесконечно высоким барьером. Поэтому в процессе динамики
топологический инвариант v может измениться только за счет выхода вихря на
поверхность магнетика.
17.3. Роль анизотропии в плоскости легкого намагничивания.
Обсудим роль анизотропии в базисной плоскости легкоплоскостного
магнетика. Запишем энергию анизотропии магнетика в виде
w (в, Ф) = ^а0(9) + ^;(е, Ф), A7.12)
167

где W°a зависит только от М\ и определяет чисто одноосную
анизотропию; Wa зависит #от инвариантов, которые выделяют
неэквивалентность направлений в базисной легкой плоскости. Для W\ можно
ограничиться слагаемым W°a = —РМ z/2, а вид Wa определяется
структурой магнетика. Например, для тетрагонального кристалла
следует записать
Wa= \ foMlM* - | р4Л1 J sin* 0 sin2 2Ф, A7.13)
для гексагонального или ромбоэдрического кристалла
W* == -^ [(Мх + Ш/ - (Мх - Ш/] = p6 Ml sin6 6 sin 6Ф A7.14)
(для ромбоэдрического кристалла инвариант четвертого порядка
пропорционален Mz и обращается в нуль, если момент лежит в базисной
плоскости).
С константой анизотропии Р' связана характерная длина /о =
^l^a/P'. Ее физический смысл определяется тем, что анизотропия
в базисной плоскости проявляется, если характерные масштабы
неоднородности больше /о. Напомним, что аналогично была введена
магнитная длина /0 = Ка/Р> определяющая расстояния, на которых
начинает проявляться одноосная анизотропия.
Будем считать р ^> р\ в этом случае Г0 ^> /0. При этом возникает
следующая картина: на расстояниях р <С 1'0 анизотропия в базисной
плоскости не существенна, и распределение намагниченности в вихре
определяется формулами, полученными выше в рамках чисто
одноосной модели. Если отойти от линии вихря на расстояние р ^ /о, для
описания намагниченности необходим учет анизотропии в базисной
плоскости.Усложнения, связанные с необходимостью учета энергии
магнитной анизотропии W'a @, ф), в какой-то мере компенсируются
тем, что при р ^ Г0 ^> 10 можно не учитывать изменение угла 0,
полагая 0 = 0О. Возникающие при этом уравнения для функции ф (х, у)
довольно сложные. Однако общую картину распределения
намагниченности вокруг вихря можно представить следующим образом [134].
Пусть v = 1. Тогда на расстояниях р — 1'0 от оси вихря простая
зависимость ф = ф0 + % нарушается, и ф становится нелинейной
функцией %. При дальнейшем возрастании р увеличивается размер
областей, в которых распределение ф близко к однородному и М
совпадает с одним из направлений легчайшего намагничивания в базисной
плоскости (для магнетиков тетрагональной таких направлений
четыре, для магнетиков гексагональной и ромбоэдрической симметрии —
шесть). При р >> Г0 формируются однородно намагниченные домены
в форме секторов, намагниченность которых близка соответствующим
направлениям легчайшего намагничивания. Эти домены разделены 90-
или 60-градусными доменными границами, толщина которых порядка
1'0. Распределение намагниченности для тетрагонального магнетика
с Р' > 0 (оси хи у — легчайшего намагничивания) изображено
схематически на рис. 50. Значение топологического инвариант A7.11) для
168

такого распределения остается,
естественно, таким, как и для
вихря без учета анизотропии в
базисной плоскости, однако энергия
становится пропорциональной не
In R, a R. Несмотря на это,
энергия барьера, разделяющего это
состояние и состояние с однородной
намагниченностью, значительно
(в Кр/Р' раз) больше, чем энергия
этого состояния.
Итак, приближенные модели,
отвечающие легкоплоскостному
ферромагнетику, существенно
определяются пространственными
масштабами задачи. Даже такую
фундаментальную характеристику
модели, как пространство
вырождения, в этих моделях естественно считать разной при р <^ ю и прв
р > Г0. На малых расстояниях энергией анизотропии в базисной
Плоскости можно пренебречь и исходить из непрерывного
пространства вырождения (окружности S1). На больших расстояниях
заведомо имеет место дискретное вырождение.
При изменении масштаба изменяется структура солитона:
аксиально-симметричный вихрь превращается в систему пересекающихся
на оси солитона доменных границ. Однако общие топологические
свойства солитона одинаковы во всех моделях — топологический
инвариант не может измениться при переходе от одной модели к другой^
если между ними существует непрерывный переход.
На совсем малых расстояниях а < г <С /0 можно пользоваться
чисто обменным приближением, считая вырождение наиболее
сильным: пространство вырождения является сферой М2 = М\, т.е.
сферой S2. Естественно, при этом может измениться классификация со-
литонов.
17.4. Дисклинации в изотропном антиферромагнетике.
Рассмотрим цилиндрические солитоны в изотропном антиферромагнетике.
Как отмечено в § 13, состояние двухподрешеточного коллинеарного
антиферромагнетика13 удобно описывать в терминах векторов гаи I,
связанных условиями
ml = 0, т2 + I2 = 1.
13 Слабая неколлинеарность подрешеток антиферромагнетика даже при
И — 0 может быть вызвана обменно-релятивистским взаимодействием Дзяло-
шинского. Будем рассматривать коллинеарные антиферромагнетики, для которых
это взаимодействие отсутствует. Отметим лишь, что взаимодействие Дзялошин-
ского отсутствует для таких магнетиков, для которых переход из
парамагнитной в антиферромагнитную фазу идет с увеличением периода решетки (см.
подробнее [94]).
Рис. 50. Распределение
намагниченности в базисной плоскости вдали от
магнитного вихря с v = 1.
169,

Основному состоянию коллинеарного антиферромагнетика в
слабом магнитном поле (Я < Нг) отвечает т= 0, т.е. I2 = 1. Таким
образом, в основном состоянии антиферромагнетика |||= 1, и если
ограничиться обменным взаимодействием, то основное состояние
оказывается вырожденным по направлениям единичного вектора 1.
Однако в отличие от ферромагнетика пространство вырождения
изотропного антиферромагнетика представляет собой не просто сферу
I2 = 1, а имеет более сложную структуру. Дело в том, что вектор 1
не является истинным вектором, и скорее аналогичен директору п
в нематических жидких кристаллах. Векторы 1 и —1 описывают одно
и то же состояние антиферромагнетика.
Известно [36, 65], что если в кристалле антиферромагнетика
имеется краевая дислокация определенной ориентации, то при обходе
вокруг нее направление вектора 1 изменяется на —1.
Эта неоднозначность вектора 1 как функции координат не
связана с каким-либо разрывом спиновой плотности и демонстрирует
возможность существования особых неоднородных распределений
векторов ТЛг и М2, обусловленных неразличимостью двух подрешеток
в избранной модели антиферромагнетика. Такая тождественность
состояний с 1 и —I сохраняется и при макроскопическом описании
антиферромагнетика, не опирающемся на представления о магнитных
подрешетках.
Тождественность состояний 1 и —1 приводит к тому, что
пространство вырождения изотропного антиферромагнетика представляет
собой сферу единичного радиуса S2 (I2 = 1), на которой нужно
отождествить диаметрально противоположные точки.
Следует подчеркнуть, что такая ситуация с пространством
вырождения в антиферромагнетике отличается от ситуации с пространством
вырождения в одноосном ферромагнетике (при Н = 0). Состояния
ферромагнетика с векторами намагниченности М и —М эквивалентны
только в энергетическом отношении (точнее, в отношении
внутреннего состояния образца). Однако эти состояния ферромагнетика
физически различны в отношении взаимодействия с внешними полями.
Что касается состояний антиферромагнетика с векторами 1 и —1, то
они физически неразличимы.
Как убедимся, наличие такого свойства изотропного
антиферромагнетика принципиально при топологическом анализе двухмерных не-
локализованных солитонов. В частности, в изотропном
антиферромагнетике существует один класс топологических двухмерных
солитонов, отсутствующих в ферромагнетике. Начнем с анализа именно
этих солитонов.
Топологические свойства таких солитонов не могут быть описаны
простым интегральным топологическим инвариантом типа A7.11), для
их анализа требуются иные топологические методы. Топологические
свойства цилиндрического солитона определяются характером
функции 1 (г), заданной вдоль контура у, окружающего линию солитона
на расстоянии, меньшем магнитной длины /0. При обходе вокруг
солитона по замкнутому контуру у изображающая точка рисует
некоторую линию Г на сфере!2 = 1. Очевидно, что эта линия должна быть
170

либо замкнутой, либо соединять
различные, но физически тождественные
точки. Для антиферромагнетика такой
линией может быть, например, линия,
соединяющая диаметрально
противоположные точки сферы.
Функция 1 (г), заданная на
контуре у, осуществляет отображение
замкнутого контура у в координатном
пространстве на контур Г в пространстве
вырождения системы.
Солитон топологически устойчив,
если ему отвечает такое отображение Рис. 51. Пространство вырож-
Y -* Г, которое непрерывной деформа- дения изотропного антиферро-
цией нельзя свести к тривиальному ото- магнетика,
бражению у -> 10, где 10 — одна
фиксированная точка в пространстве вырождения. Это может быть тогда,
когда в пространстве вырождения системы существуют такие
контуры Г, которые нельзя стянуть в точку непрерывной деформацией.
В топологии контуры, которые можно перевести друг в друга
непрерывной деформацией, называются гомотопными.
Каждому классу гомотопных контуров Г отвечает определенный
тип топологических солитонов. Солитоны, относящиеся к разным
классам гомотопных контуров, нельзя перевести друг в друга
непрерывной деформацией. Контуру, который можно стянуть в точку,
отвечает нетопологический солитон.
Легко видеть, что в пространстве вырождения изотропного
антиферромагнетика существуют два класса гомотопных контуров Г:
любой контур гомотопен либо контуру Г о, который возможно
стянуть в точку, либо контуру типа Г1э соединяющему диаметрально
противоположные точки на сфере I2 = 1. (рис. 51). Следовательно, в
изотропном антиферромагнетике кроме нетопологических солитонов есть
только один тип двухмерных топологических солитонов. По аналогии
со сходными сингулярными состояниями в нематических жидких
кристаллах будем называть двухмерные топологические солитоны
в антиферромагнетиках дисклинациями. Интересно сформулировать
на языке гомотопности контуров свойства солитонов-вихрей в Не II
или легкоплоскостном ферромагнетике. Для указанных систем
пространство вырождения представляет собой окружность S1. В данном
случае гомотопными являются контуры, которым отвечает одинаковое
число обходов окружности в заданном направлении, т.е. одинаковое
значение введенного выше топологического заряда v A7.11).
Перейдем к количественному описанию дисклинаций в
антиферромагнетиках. Локально-устойчивой статической дисклинаций внутри
каждого класса (Г0 или Тг) отвечает локальный минимум энергии
изотропного антиферромагнетика.
Рассмотрим прямолинейную дисклинацию, расположенную вдоль
оси х. Пусть 1 лежит в плоскости (гу), т. е. lz = cos 0, ly = sin 0,
lx = о, 0 = 0B, у), где 2 = pcosx, y = psinx-
171

Угловая переменная 0 определяется уравнением
Д6 = 0, A7.15)
которое получаем тривиально, обобщая уравнения A3.12) на
двухмерный случай при со0 = О, Н = О, ф = const.
Имея в виду изучение изменения функции 9 при обходе по
замкнутому контуру вокруг оси дисклинации, будем интересоваться
зависимостью 9 от полярного угла %. Легко убедиться, что существует
решение уравнения A7.15) следующего вида:
9 = уХ + 90, 0O = const, A7.16)
где т — целое число, называемое индексом Франка.
Четному индексу Франка (т = 2&, k = 0, +1, ±2, ...)
соответствует изменение функции 9 при обходе вокруг оси дисклинации, равное
целому числу 2я F9 = 2nk). Поэтому дисклинации с т = 2k отвечает
контур типа Г0, и такая дисклинация не является топологической.
Если т = 2k + 1, то дисклинация топологическая, поскольку ей
отвечает контур 1\. Все дисклинации с т = 2k + 1 относятся к одному
гомотопическому классу, а потому могут быть переведены друг в друга
непрерывной деформацией.
Энергия дисклинации, как и любого двухмерного нелокализован-
ного солитона, логарифмически зависит от размера образца R
Е (т) = 2агаМ* J d2x (y9J = пагт2аМ1 кД. A7.17)
17.5. Влияние анизотропии на дисклинации в
антиферромагнетиках. Рассматривая задачу топологических свойств поля
намагниченности вокруг дисклинации в антиферромагнетике в обменном
приближении, пренебрегали магнитной анизотропией. По смыслу
топологических характеристик такое приближение оправдано, если
влияние анизотропии приводит к появлению эффектов, описываемых
непрерывной деформацией поля намагниченности. Но конкретный
вид неоднородности распределения вектора антиферромагнетизма на
больших расстояниях может быть получен только при учете
магнитной анизотропии.
Рассмотрим для примера влияние одноосной анизотропии на
дисклинации в антиферромагнетиках. Оказывается, что учет анизотропии
приводит к существенно разным результатам в антиферромагнетиках
с анизотропией типа легкая ось и типа легкая плоскость [14].
Начнем с анизотропии типа ось легкого намагничивания. Пусть
в равновесном состоянии вектор 1 параллелен избранной оси
кристалла (оси z). При обходе вокруг дисклинации вида A7.16) вектор 1
совершает разворот на угол я, поэтому он должен существенно откло-:
няться от легкой оси. Наличие анизотропии делает невыгодным
равномерный в пространстве разворот вектора 1, и по мере удаления от
дисклинации увеличивается относительный объем области магнетика,
б которой вектор 1 параллелен оси г. Разворот вектора 1 сосредоточен
в узкой области шириной /0, представляющей собой 180-градусную
172

доменную границу в поле вектора
антиферромагнетизма. Для
сравнения на рис. 52 приведены схемы
направлений вектора
антиферромагнетизма, полученных в
обменном приближении (рис. 52, а) и при
учете одноосной магнитной
анизотропии (рис. 52, б). Штриховые
линии на рис. 52, б ограничивают
область существенного разворота
вектора 1. Поскольку div 1 Ф О,
то «линии тока» вектора 1 могут
оканчиваться на границе
доменной стенки. При р > /0 структура
границы слабо зависит от наличия
дисклинации и достаточно точно
описывается формулой
Свойства дисклинации в
одноосном антиферромагнетике
оказываются аналогичными свойствам
дисклинации в нематическом
жидком кристалле при наличии
магнитного ПОЛЯ Н [47]. Рис. 52. Распределение вектора 1:
Однако Важно Не СТОЛЬКО СХОД- а - вблизи; б - вДали от °си дисклинации.
ство дисклинации и доменных
границ в антиферромагнетике и в жидком кристалле, сколько отличие
свойств доменных границ в антиферромагнетике от таковых в
ферромагнетике.
Доменная стенка в ферромагнетике не может иметь «края» в объеме
кристалла — она должна либо образовывать цилиндрическую
поверхность с замкнутой направляющей, либо выходить на поверхность
магнетика. Для ее уничтожения необходимо «опрокинуть» вектор М
во всем объеме, ограниченном доменной стенкой.
Доменная стенка в антиферромагнетике, как было показано, может
оканчиваться на линии дисклинации, которая является ее краем.
Две параллельные дисклинации противоположного знака или
замкнутая дисклинационная петля могут ограничивать доменную
стенку в антиферромагнетике, полностью расположенную в объеме
образца.
Так как по обе стороны от доменной границы в
антиферромагнетике кристалл находится в одном равновесном состоянии, то для ее
уничтожения достаточно «развернуть» вектор 1 только в доменной
стенке. Для начала процесса «разворота» вектора 1 достаточно создать
в плоскости доменной стенки кольцевую дисклинацию достаточно
большого радиуса R > /0. Необходимая для этого энергия конечна
и имеет порядок величины <xMq10.
17в

Перейдем к рассмотрению анизотропии типа плоскость легкого
намагничивания. В случае такой одноосной анизотропии даже при
р > 10 антиферромагнетику отвечает непрерывное вырождение.
Пространство вырождения в этом случае представляет собой экватор
сферы на рис. 51, т.е. окружность. Точнее, в силу эквивалентности
состояний с I и —1 пространство вырождения является окружностью
с отождествленными диаметрально противоположными точками.
Дисклинации в таком магнетике полностью эквивалентны
прямолинейным дисклинациям в плоском образце нематического жидкого
кристалла. В частности, они описываются решениями
0--J, Ф = |-Х + const, A7.18)
где по-прежнему /2 = cos0 и ось г совпадает с осью анизотропии;
X — полярный угол в легкой плоскости; т — индекс Франка.
Необходимо подчеркнуть, что в данном случае решение A7.18)
с различными т описывает дисклинации, относящиеся к разным
гомотопическим классам. Этим существенно отличаются дисклинации
в легкоплоскостном антиферромагнетике от подобных дисклинации
в изотропном антиферромагнетике, где все дисклинации с четными
индексами Франка т не являются топологически устойчивыми. На
больших расстояниях (р 3> U) необходимо учитывать «понижение»
вырождения системы по сравнению с изотропным случаем, что
приводит к появлению новых классов топологически устойчивых
дисклинации.
Точно такими же свойствами обладают и дисклинации в спин-флоп
фазе антиферромагнетика, которая реализуется в легкоосном
антиферромагнетике, находящемся в достаточно сильном магнитном поле
(Я > Я2, см. § 1).
Непрерывное вырождение легкоплоскостного антиферромагнетика
сменяется дискретным при учете анизотропии в базисной плоскости.
Учет этой анизотропии проводится так же, как и при анализе вихрей
в легкоплоскостном ферромагнетике.
17.6. Трехмерные солитоны в магнетиках. Перейдем к анализу
нелокализованных солитонов, намагниченность которых зависит oi
трех декартовых переменных [311. Аналогично анализу
цилиндрических солитонов, окружим центр солитона удаленной от него
замкнутой поверхностью, например, сферой о. Для выяснения
топологических свойств нелокализованного солитона достаточно изучить
распределение намагниченности на этой сфере.
Если функция М (г), где г б а, такова, что никакой непрерывной
деформгцчей ее невозможно свести к тривиальной М = М0 = const,
то солитон обладает топологической устойчивостью. Для
топологической классификации подобных солитонов можно воспользоваться тем,
что отображение сферы( в данном случае сферы о) на сферу (для
магнетика — на сферу в пространстве вектора намагниченности М2 =
= Ml) характеризуется топологическим инвариантом — степенью
отображения.
174

Если положение точки на сфере определяется полярным и
азимутальным углами 8 и %, то топологический инвариант (топологический
заряд)
Напомним, что m = МШ0. При таком определении топологический
заряд принимает целочисленные значения.
Мы уже воспользовались аналогичным топологическим
инвариантом при классификации двухмерных локализованных солитонов (см.
формулы G.1) или A6.1)). Тождественность этих определений
вытекает из топологической эквивалентности сферы и плоскости с
отождествленными бесконечно удаленными точками.
Солитону с N = ± 1 мс жно сопоставить простейший вариант
распределения намагниченности
обладающей особенностью в начале координат. Такой солитон
принято называть «ежом».
18. Проблема связанных состояний магнонов
и солитоны в трехмерном магнетике
При обсуждении свойств неидеального газа магнонов в § 2
был затронут вопрос о связанном состоянии двух квазичастиц под
действием потенциала взаимодействия B.18). Напомним, что в
одномерной (ID) системе притяжение сколь угодно малой интенсивности
обеспечивает связанное состояние двух частиц. Именно это является
причиной того, что в одномерном магнетике могут существовать
солитоны намагниченности со сколь угодно малой амплитудой.
В трехмерном случае пара квазичастиц может образовать
стационарное связанное состояние только в том случае, если интенсивность
их притяжения U0 превышает некоторое критическое значение UK
порядка величины ширины зоны свободного движения квазичастицы.
Ширина зоны свободного магнона определяется обменной энергией #-.
И связанное состояние двух магнонов с равным нулю суммарным
импульсом, как показано в [1521, возможно только при Рщ^о > Л^
где т) — численный параметр порядка величины единицы. В
рассматриваемой ситуации выполняется обратное неравенство (($|А0Л1 оС^)
и условие связывания пары магнонов заведомо не выполняется.
Именно поэтому в 3D ферромагнетике с эффективным притяжением
магнонов B.18) невозможно существование устойчивых
малоамплитудных солитонов.
В § 14 показано, что стабильному трехмерному солитону может
отвечать только большое (сравнимое с N.s) число связанных магнонов.
Другими словами, связанные состояния N магнонов существуют
только при Л/^ ^ iV0—Л^з — (s^/2(jt0pM0K/2. Принятое условие $\i0M0<^
< sty означает, что N3^> 1, и это неравенство оправдывает квазиклас-
175

сическое описание связанных состояний в трехмерном магнетике.
Если предположить Pji0^o— sty> то ^о— 1» и> следовательно, наш
вывод не противоречит результатам работы [152].
Итак, анализ вопроса о магнитных солитонах и их
квазиклассическое квантование показали, что если в ферромагнетике не могут
образоваться связанные состояния двух магнонов, всегда возможно
образование связанных состояний большого числа магнонов.
По-видимому, можно сделать следующее общее утверждение,
касающееся бозевских квазичастиц в трехмерном кристалле. Если
величина потенциала притяжения бозонов U0 недостаточна для
образования связанных пар (U0 < UK)y то могут образоваться связанные
состояния N частиц при N > NK~ (UJU0)*/2. Следует ожидать, что это
утверждение справедливо для любых систем, в которых существуют
трехмерные стабильные солитоны. К ним относятся рассмотренные
уравнения динамики ферро- и антиферромагнетиков, а также
нелинейное уравнение Шредингера с определенным типом нелинейности.
В то же время, воспользовавшись аналогией с одномерным случаем,
можно предположить, что малоамплитудные солитоны устойчивы
в такой трехмерной системе, в которой при сколь угодно слабом
притяжении могут образовываться связанные состояния двух квазича-
•стиц.
18.1. Слабосвязанные состояния двух магнонов. Если закон
дисперсии свободной квазичастицы записать в виде е = е (к), а
отвечающую ему плотность одночастичных состояний обозначить v (e), то
уровень энергии Е связанного состояния двух квазичастиц с
контактным взаимодействием типа B.18) можно выразить как решение
уравнения
1 _ Uoa* Г d*k /io п
1 ~ BJtKJ 2г(к)—Е' \iOL)
Перепишем A8.1) в виде
¦ -«.Ьс^Ь- <ад
где е0 = 8 @); Де — энергия связи пары частиц.
В Ш системе для частиц с квадратичным законом дисперсии
в = е0+^ A8.3)
плотность состояний имеет стандартную особенность
V(8) со (8—80)~1/2, е-^80
и интеграл в правой части A8.2) расходится на нижнем пределе при
Ле = 0. В силу этого уравнение A8.2) всегда имеет решение при
Де > 0 для сколь угодно малого U0.
В 3D системе плотность состояний частицы с законом дисперсии
{18.3) имеет более слабую особенность
V(e) со (8 — 80I/2, 8^80
176

и интеграл в правой части A8.2) сходится при Ле = 0. Это является
формальной причиной отсутствия решения уравнения A8.2) для
достаточно малых U0. Именно отсюда вытекает вывод, что две
квазичастицы могут образовывать связанное состояние только тогда, когда
интенсивность потенциала их притяжения U0 больше некоторого
характерного значения UK, о котором шла речь выше.
Итак, критичным для связывания пары частиц является сочетание
закона дисперсии A8.3) и размерности пространства. Оказывается,
что условия образования связанных состояний в трехмерном случае
могут быть гораздо менее жесткими, если энергетический спектр
квазичастиц существенно зависит от некоторого внешнего параметра,
при определенном значении которого эффективная масса
квазичастицы обращается в бесконечность. Дело в том, что при обращении
массы частицы в бесконечность особенность в плотности состояний на
краю сплошного спектра, становится более сильной, чем
стандартная особенность Ван-Хова [12, 13]. А так как условия образования
связанного состояния существенно зависят от характера плотности
одночастичных состояний на краю спектра, при указанном значении
внешнего параметра эти условия могут измениться.
Покажем, что физически возможна такая зависимость закона
дисперсии от внешнего параметра и такая деформация энергетического
спектра в некотором интервале значений этого параметра, при
которых связанные состояния в трехмерном случае образуются при
сколь угодно малом притяжении /70.
В качестве примера, иллюстрирующего общую схему, рассмотрим
энергетический спектр двухподрешеточного кубического
антиферромагнетика, находящегося во внешнем магнитном поле Я. Как
показано в [12, 13], закон дисперсии для активационной ветви магнонов
в такой системе при малых квазиимпульсах k имеет вид
в(k, H) = 4V3s%0+V3sf0(l-§^j(ak)*+...y A8.4)
где #-0 — нулевая фурье-компонента обменного интеграла; s — спин
атома; Я* = 2 КЗ sfQ.
Из A8.4) следует, что при Я -*¦ Я* эффективная масса магнонов
обращается в бесконечность по закону
т{Н)= ,- ^Я*
и поэтому при Н -> Н% необходимо учесть следующие члены
разложения закона дисперсии по степеням квазиимпульса к.
Рассмотрим бозевские квазичастицы, закон дисперсии которых
в длинноволновом приближении для наиболее симметричного случая
записывается в виде разложения
г(к)=г0 + ^ + ук*. A8.5)
Обычно, когда эффективная масса т конечна, последним слагаемым
в A8.5) пренебрегают и получают закон дисперсии A8.3). Предпола-
12 3-48
177

гая возможность обращения в нуль величины 1/т, оставим последнее
слагаемое в A8.5).
При описании взаимодействия частиц будем по-прежнему считать,
что амплитуда парного взаимодействия не обращается в нуль при
стремлении импульсов к нулю и соответствует притяжению.
Предположение о конечности предельного значения амплитуды
взаимодействия является естественным для квазичастиц с «активационным»
законом дисперсии, а допущение о притяжении необходимо для
изучения вопроса о связанных состояниях пары квазичастиц.
Перепишем уравнение A8.1) в виде
U а3 С dsk
1 = B^j2[e(k)-e0] + Ae* A8'6>
Очевидно, что соотношение A8.6) определяет положительную энергию
связи при условии
Ура* Г dk
2 л2 J 2yk*+ h2/m^ ь
из которого следует
Из A8.7) вытекает, что если при некотором значении внешнего
параметра эффективная масса частицы обращается в бесконечность
(т = оо), связанное состояние пары частиц может образоваться при
сколь угодно слабом их притяжении. С другой стороны, из A8.7)
следует, что при фиксированной величине потенциала U0 требуемое
условие всегда выполняется для достаточно больших масс
т> т1
=2пЫ
Учитывая последний вывод, находим энергию связи при т = оо.
Элементарный расчет приводит к формуле
Аг
¦*№¦ <18-8>
Таким образом, обращение эффективной массы квазичастицы
в бесконечность настолько облегчает условия «связывания» частиц,
что связанное состояние действительно возможно при сколь угодно
малом притяжении, и энергия связи Ае степенным образом зависит
от потенциала U0.
Связанному состоянию отвечают характерные волновые векторы,
порядок величины которых определяется очевидной оценкой
Следовательно, при малых потенциалах притяжения выполняется
условие ak <C 1, оправдывающее использованное длинноволновое
приближение (в частности, замену амплитуды взаимодействия пары
частиц ее предельным значением для нулевых квазиимпульсов).
178

Полученные результаты неявно основаны на особенности
плотности состояний, отвечающей закону дисперсии A8.5). Легко убедиться,
что при т = оо [12, 13]
v (е) сч> (е - во)'4.
В свою очередь, предельно простой закон дисперсии A8.5),
характеризующийся одной эффективной массой т (а не тензором масс),
возможен только в очень симметричном случае, например, при кубической
симметрии. Особенности решения задачи связывания пары частиц
при иной симметрии кристалла обсуждены в [54].
Возвращаясь к зависимости эффективной массы от внешнего
параметра (например, от магнитного поля Я), следует заметить, что для
обратной массы как функции этого параметра
точка Я = #*, в которой эта функция обращается в нуль (а (#*) =
= 0), ничем не выделена, поэтому вблизи ее величина а (Н) может
быть как положительной, так и отрицательной. Другими словами'
при переходе через значение т — оо с изменением параметра Н
изменяется знак эффективной массы. Но если в законе дисперсии т < 0,
то для функции е (к) точка к = 0 является точкой максимума и,
следовательно, не соответствует нижнему краю энергетической
полосы. Нижний край энергетической полосы будет соответствовать
некоторым точкам к = кт (в кубическом кристалле их будет не
меньше шести), в которых функция 8 (к) будет иметь обычные минимумы,
отвечающие локальным квадратичным законам дисперсии.
Исключение составляет случай, когда благодаря некоторой симметрии
возникает «поверхность минимумов». Тогда минимуму энергии
квазичастицы в обратном пространстве отвечает поверхность
к* - ь2 - h*
на которой 8 = ет = 80 — yk*m.
Ясно, что при этом особенность плотности состояний такая же, как
в одномерном случае, а поэтому, безусловно, обеспечивает условия
«связывания» пары частиц.
18.2. Трехмерные малоамплитудные солитоны. Рассмотренная
выше задача двухмагнонных связанных состояний может служить
ориентиром при поиске систем, в которых существуют устойчивые
трехмерные солитоны малой амплитуды [61]. Рассмотрим модель системы,
в которой закон дисперсии бозевскнх квазичастиц определяется
формулой A8.5), а взаимодействие квазичастиц сводится к б-образному
парному притяжению. Ограничиваясь наиболее характерным случаем
т= оо, сопоставим закону дисперсии A8.5) гамильтониан отдельной
квазичастицы
8 = 80 + тДД, A8.9)
где Д — оператор Лапласа.
12*
179

Подобно тому, как гамильтониан отдельного бозона E.11)
порождает одномерное уравнение Хартри F.4), гамильтониан A8.9) вместе
с энергией взаимодействия B.18) приводит к трехмерному
нелинейному уравнению самосогласованного поля намагниченности
Йоп|> = йю01|> + ?ЛЛ^ — ?/0а3 N>| 2,Ф, A8.10)
где функция г|) нормирована на полное число магнонов
$|г|)|2й3* = #, A8.11)
а йсо —одночастичная энергия Хартри, Йсо0 = е0. По существу, кван-
товомеханический смысл частоты со такой же, как частоты прецессии
вектора намагниченности М. В частности, выполняется второе
соотношение C.12)
Йсо = ^, A8.12)
где
Е = §{у\АЦ\2 + г0\Ц\2-^\Ц\*}с1*х. A8.13)
Будем искать локализованные центрально-симметричные решения
уравнения A8.10), полагая
г|> = Ф (г) е~ш, г2 = х2 + у2 + z2.
Тогда функция Ф определится как решение уравнения
dr* ' r dr3 ' y V
Предположим со < со0 и введем новый масштаб координат, т. е.
новую безразмерную переменную х:
и новую искомую функцию
Ф{г) = УЩ^!{х). A8.16)
Тогда для / (х) получим нелинейное уравнение, не содержащее
никаких параметров
S+tS+'-/3=°- A8Л7>
Качественный анализ такого уравнения значительно сложнее,
чем рассмотренных выше уравнений второго порядка. Нет даже
формального доказательства того, что уравнение A8.17) обладает решением
солитонного типа, отвечающим граничным условиям
dl\ =0 и /=0 при х=оо. A8.18)
Допустим, что интересующее нас солитонное решение существует.
180

Тогда оно обладает следующей асимптотикой на бесконечности
(х -* оо):
f(x) = f0e У'2е V* A8.19)
В отличие от обычных солитонных решений функция A8.19)
осциллирует при х -* оо.
Для солитона важна зависимость его параметров со и ? от числа
связанных магнонов N. Чтобы ее установить, вычислим прежде всего
по формуле A8.12) величину N
N = [Щ^<4 (V.J4^,Ass4a]Г (х) х>dx. A8.20)
о
Так как интерес представляют малоамплитудные солитоны, то
среднее число связанных магнонов, приходящихся на одну
элементарную ячейку кристалла, следует считать значительно меньшим
единицы (Л/а3 <С 1г):
ак-ш)л<<1
Поскольку порядок величины А не может сильно отличаться от
единицы, то условием малой амплитуды солитона является неравенство
Й (со0 — о) < U0.
Перепишем A8.20), введя характерное для задачи с т = оо число
магнонов N„:
*-[^fV.. *.-($% (.8.2.)
При наличии неравенства Й (о0 — о>) <С U0 условие
квазиклассичности рассмотрения (N > 1) требует предположения N» > 1.
Заметим, что при т = оо порядок величины ширины зоны свободного
движения квазичастицы с законом дисперсии A8.5) можно
определить как величину уа*. Поэтому требование N* > 1 означает, что
интенсивность потенциала притяжения квазичастиц U0 должна быть
значительно меньше ширины зоны их свободного движения. С точки
зрения постановки задачи это наиболее интересная область
параметров.
Вычислим теперь на основании A8.13) энергию солитона
о
Используя соотношение A8.12), находим связь интегралов А и В
? = — -~Л<0.
181

Учтем эту связь и найдем зависимость Е от N
? = Й^{1-Т^(?L}- A8.23)
Поскольку энергия, приходящаяся на один магнон в связанном
состоянии E/N, меньше энергии свободного магнона, то обсуждаемый
солитон можно считать устойчивым.
Квазиклассической формулой A8.23) можно пользоваться только
при N > 1, однако полезно вычислить с ее помощью энергию связи
двух частиц (N = 2)
А 2 тт I 2 \* 32 (а?ил*
^^^иЛК) =5?(~П' A8.24)
Сравнивая A8.24) с A8.8), видим, что эти результаты совпадают с
точностью до численных множителей, давая одинаковую зависимость
от параметров у и f/0. Это дополнительно подтверждает
согласованность нашей схемы рассмотрения малоамплитудного магнитного со-
литона.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ u
1. Андреев А. Ф., Марченко В. И. Симметрия и макроскопическая динамика
магнетиков.— УФН, 1980, 130, вып. 1, с. 39—63.
2. Ахиезер Л. #., Барьяхтар В. Г.% Пелетминский С. В. Спиновые волны.—
М. : Наука, 1967.— 368 с.
3. Ахиезер И. Л., Боровик Л. Е. К теории спиновых волн конечной
амплитуды.— ЖЭТФ, 1967, 52, вып. 2, с. 508—513.
4. Ахиезер И. А., Боровик А. Е. О нелинейных спиновых волнах в
ферромагнетиках и антиферромагнетиках.— То же, вып. 5, с. 1332—1344.
5. Бабич И. М., Косевич Л. М. Влияние магнитодипольного взаимодействия
на динамику одномерного солитона намагниченности.— Письма в ЖЭТФ,
1980, 31, вып. 4, с. 224—227.
6. Бабич И. М.. Косевич Л. М. Нелинейные двух параметрические возбуждения
в анизотропном ферромагнетике.—ЖЭТФ, 1982, 82, вып. 4, с. 1277—1286.
7. Бакай Л. С, Степановский Ю. П. Адиабатические инварианты.— Киев :
Наук, думка, 1981.—284 с.
8. Барьяхтар В. Г., Иванов Б. А., Сукстанский Л. Л. К теории движения
доменных границ в магнитоупорядоченных кристаллах.— Письма в ЖЭТФ.
1978, 27, вып. 4, с. 226—229.
9. Барьяхтар В. Г., Иванов Б. А., Сукстанский Л. Л. Динамика доменных
границ в редкоземельных ортоферритах.— Письма в ЖТФ, 1979, 5, выи. 14,
с. 853—856.
10. Барьяхтар В. Л, Иванов Б. А., Сукстанский А. Л. Нелинейные волны и
динамика доменных границ в слабых ферромагнетиках.— ЖЭТФ, 1980, 78,
вып. 4, с. 150^—1522.
11. Барьяхтар В. I., Боровик Л. ?., Попов В. А., Стефановский Е. П.
Колебания доменных стенок в антиферромагнетиках.— ФТТ, 1970, 12, вып. 11,
с. 3289—3297.
12. Барьяхтар В. Г., Квирикадзе Л. Г., Попов В. А. Об особенностях плотности
состояний квазичастиц в кристалле.— ЖЭТФ. 1970, 59, вып. 3, с. 898—906.
. Барьяхтар В. Г., Квирикадзе А. Г., Яблонский Д. А. Особенности
плотности состояний спиновых волн и поглощение света в ферритах.— ФТТ, 1971,
13, вып. 11, с. 3225—3231.
14. Барьяхтар И. В., Иванов Б. Л. О нелинейных волнах намагниченности
антиферромагнетика.— Донецк, 1980.— 61 с. (Препринт / АН УССР.
Донец, физ.-техн. ин-т; № 80—4).
15. Барьяхтар И. В., Иванов Б. А. Нелинейные волны намагниченности
антиферромагнетиков.— ФНТ, 1979, 5, вып. 7, с. 759—770.
14 В списке литературы использованы следующие сокращения: ДАН СССР
(Доклады Академии наук СССР), ЖТФ (Журнал технической физики), ЖЭТФ
(Журнал экспериментальной и теоретической физики), УМН (Успехи
математических наук), ТМФ (Теоретическая и математическая физика), УФЖ
(Украинский физический журнал), УФН (Успехи физических наук), ФНТ (Физика
низких температур), ФММ (Физика металлов и металловедение), ФТТ
(Физика твердого тела).
183

16. Белавин А. А., Полчков А. М. Метастабильные состояния двухмерного
изотропного ферромагнетика.— Письма в ЖЭТФ, 1975, 22, вып. 10, с. 503—
506.
17. Богдан М. М., Косевич А. М. Квантование самолокализованных колебаний
в одномерной ангармонической цепочке.— ФНТ, 1976, 2, вып. 6, с. 794—802.
18. Богдан М. М.. Ковалев А. С. Об устойчивости степенных солитонов в
одномерных нелинейных системах.— Письма в ЖЭТФ, 1980, 31, вып. 4, с. 213.
19. Богдан М. М., Ковалев А. С. Точные многосолитонные решения одномерных
уравнений Ландау — Лифшица для неизотропного ферромагнетика.— Та
же, вып. 8, с. 453—457.
20. Богдан М. М., Ковалев А. С. Точные многосолитонные решения уравнений
Ландау — Лифшица для одномерного неизотропного ферромагнетика.—
Свердловск, 1980.— 36 с. (Препринт / АН СССР Урал. науч. центр, Ин-т
физики металлов; № 80—4).
21. Богдан М. М., Ковалев А. С. Вклад доменных границ в низкотемпературную
термодинамику одномерного ферромагнетика.— ФНТ, 1981, 7, вып. 1,
с. 127—130.
22. Боголюбский И. Л., Маханьков В. Г., Швачка А. Б. Динамика
столкновений двухмерных пульсонов в рамках ср4 теории поля.— Дубна, 1977.— 10 с.
(Препринт / Объед. ин-т ядер, исслед.; № Р2—10473).
23. Боголюбский И. Л., Маханьков В. Г. Динамика сферически-симметричных
пульсонов большой амплитуды.— Письма в ЖЭТФ, 1977, 25, вып. 2Г
с. 120—123.
24. Боровик А. Е. Нелинейные спиновые волны в антиферромагнетиках,
находящихся во внешних магнитных полях.— УФЖ, 1968, 13, вып. И, с. 1014—
1018.
25. Боровик А. Е. N-солитонные решения нелинейного уравнения Ландау —
Лифшица.— Письма в ЖЭТФ, 1978, 28, вып. 10, с. 629—632.
26. Боровик А. Е., Маслов К- В. Двухсолитонные решения уравнений Ландау —
Лифшица в нелинейной динамике ферромагнетиков.— ФНТ, 1978, 4, вып. 1,
с. 94—100.
27. Боровик А. ?., РобукВ. Н. Линейные «псевдопотенциалы» и законы
сохранения для уравнения Ландау — Лифшица, описывающего нелинейную
динамику ферромагнетика с одноосной анизотропией.— ТМФ, 1981, 46, вып.
3, с. 371—381. ;
28. Baxumoe H. Г., Колоколов А. А. Стационарные решения волнового
уравнения в среде с насыщением нелинейности.— Изв. вузов. Радиофизика, 1973„
16, вып. 7, с. 1020—1028.
29. Власов К. Б., Оноприенко Л. Г. Резонансные явления в магнитоодноосных
монокристаллах ферродиэлектриков, обладающих доменной структурой.—
ФММ, 1963, 15, вып. 1, с. 47—54.
30. Волжан Е. ?., Гиоргадзе Н. Я., Патарая А. Д. О слабонелинейных волнах
плотности намагниченности в магнитоупорядоченных кристаллах. — ФТТ,.
1976, 18, вып. 9, с. 2546—2555.
31. Воловик Г. Е., Минеев В. П. Исследование особенностей в сверхтекучем Не*
и жидких кристаллах методами гомотопической топологии.— ЖЭТФ, 1977,
72, вып. 6, с. 2256—2274.
32. Воловик Г. Е., Минеев В. П. Частице подобные солитоны в сверхтекучем
Не3.— То же, 73, вып. 2, г. 767—773.
33. Воронов В. #., Иванов Б. Л., Косевич А, М. Двухмерные динамические
топологические солитоны в магнетиках.-— ЖЭТФ, 1983, 84, вып. 6, с. 2235—
2241.
34. Гласко В. Б., Лерюст Ф., Терлецкий ЯП., Шушурин С. Ф. Исследование
частицеподобных решений нелинейного уравнения скалярного поля.—
ЖЭТФ, 1958, 35, вып. 2, с. 452—457.
35. Гочев И. Г. Связанные состояния магнонов в линейной анизотропной
цепочке.—ЖЭТФ, 1971, 61, вып. 10, с. 1674—1678.
36. Дзялошинский И. Е. Домены и дисклинации в антиферромагнетиках.—
Письма в ЖЭТФ, 1977, 25, вып. 2, с. 110—113.
37. Дзялошинский Я. ?., Иванов Б. А. Локализованные топологические
солитоны в ферромагнетике.— То же, 1979, 29, вып. 9, с. 592—595.
184

38. Дцбровин Б. Л., Новиков'С. #., Фоменко Л. Т. Современная геометрия.—
М*. : Наука, 1979.— 759 с.
39. Елеонский В. М.у Кирова Я. Я., Килагин Я. Е. О скорости движения до-
менных границ.— ЖЭТФ, 1976, 71, вып. 6, с. 2349—2355.
40. Елеонский В. М., Кирова Я. Я., Кулагин Я. Е. О предельных скоростях
и типах волн магнитного момента.— ЖЭТФ, 1978, 74, вып. 5, с. 1814—1821.
41. Елеонский В. М.у Кирова Я. Я., Кулагин Я. Е. Новый закон сохранения
для уравнения Ландау — Лифшица.— ЖЭТФ, 1979, 77, вып. 1, с. 409—413.
42. Елеонский В. М., Кирова Я. Я., Кулагин Я. Е. О магнитных солитонах,
распространяющихся вдоль оси анизотропии.— Письма в ЖЭТФ, 1979,
29, вып. 10, с. 601—605.
43. Елеонский В. М., Кирова Я. Я., Кулагин Я. Е. О случайном вырождении
самолокализованных решений уравнений Ландау — Лифшица.— ЖЭТФ,
1978, 75, вып. 6, с. 2210—2219.
44. Елеонский В. М., Кирова Я. Я., Кулагин Я. Е. Движение доменных границ
во внешнем магнитном поле.— ЖЭТФ, 1979, 76, вып. 2, с. 705—710.
45. Елеонский В. М., Кирова Я. Я., Кулагин Я. Е. О точных решениях
уравнений Ландау — Лифшица для слабых ферромагнетиков.— ЖЭТФ, 1980, 79,
вып. 1, с. 321—332.
46 Елеонский В. М., Кирова Н. Н., Кулагин Я. Е. О точно решаемых моделях
для двухподрешеточных магнетиков.— ЖЭТФ, 1981,80, вып. 1, с. 357.
47. Де Жен П. Ж. Физика жидких кристалов.— М. : Мир, 1977.— 400 с.
48. Жибер А. В. Законы сохранения для уравнения иц— иХх+ sin и = 0.—
Функцион. анализ и его прил., 1977, И, вып. 1, с. 65—66.
49. Захаров В. Е. Метод обратной задачи рассеяния.— В кн.: Кунин И. А.
Теория упругих сред с микроструктурой. М.: Наука, 1975, с. 226—273.
50. Захаров В. ?., Тахтаджян Л. Л., Фаддеев Л. Д. Полное описание решений
«sin-Gordon» уравнения.— ДАН СССР, 1974, 219, вып. 6, с. 1334—1337.
51. Захаров В. ?., Тахтаджян Л. Л. Эквивалентность нелинейного уравнения
Шредингера и уравнения ферромагнетика Гейзенберга.— ТМФ, 1979, 38,
вып. 1, с. 26—35.
52. Захаров В. Е., Шабат А. Б. Точная теория двухмерной самофокусировки
и одномерной автомодуляции волн в нелинейных средах.— ЖЭТФ, 1971,
61, вып. 1, с. 118—134.
53. Звездин Л. /С. О динамике доменных границ в слабых ферромагнетиках.—
Письма в ЖЭТФ, 1979, 29, вып. 10, с. 605—610.
54. Иванов Б. А., Косевич А. М. К теории связанных состояний квазичастиц
в трехмерных кристаллах.— ФНТ, 1976, 2, вып. 6, с. 786—793.
55. Иванов Б. А., Косевич А. М. Связанные состояния большого числа магно-
нов в трехмерном ферромагнетике (магнонные капли).— Письма в ЖЭТФ,
1976, 24, вып. 9, с. 495—499.
56. Иванов Б. А., Косевич Л. М. Связанные состояния большого числа магно-
нов в ферромагнетике с одноионной анизотропией.— ЖЭТФ, 1977, 72,
вып. 5, с. 2000—2015.
57. Иванов Б. Л. О квазиклассическом рассмотрении связанных состояний
большого числа магнонов в одномерном ферромагнетике.— ФНТ, 1977, 3,
вып. 8, с. 1036—1039.
58. Иванов Б. А. О предельной скорости магнитных доменов и доменных
границ в ферромагнетиках.— ФНТ, 1978, 4, вып. 3, с. 352—361. °
59. Иванов Б. А., Косевич Л. М., Бабич И. М. О локализованных нелинейных
колебаниях в ферромагнетиках.— Письма в ЖЭТФ, 1979, 29, Bbin.jj 12,
с. 777—780.
60. Иванов Б. А., Косевич Л. М., Манжос И. В. Квантовое и классическое
описание слабосвязанных состояний магнонов в ферромагнитной цепочке.—
ФНТ, 1979, 5, вып. 2, с. 170—180.
61. Иванов Б. Л., Косевич Л. М. О существовании устойчивых трехмерных со-
литонов малой амплитуды.— ФНТ, 1983, 9, вып. 8.
62. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах.— М. :
Наука, 1973.— 175 с.
63. Карпман В. Я., Маслов Е. М. Теория возмущений для солитонов.—¦ ЖЭТФ,
1977, 73, вып. 8, с. 538—559.
185

€4. Ковалев А. С, Косевич A.M. Связанные состояния W бозонов в одномерной
системе с парным и трех частичным взаимодействием.— ФНТ, 1976, 2,
вып. 7, с. 913—918.
65. Ковалев А. С, Косевич Л. М. Дисклинации и домены в
антиферромагнетиках.— ФНТ, 1977, 3, вып. 2, с. 259—260.
66. Ковалев Л. С., Косевич А. М., Маслов К. В. Магнитный вихрь
—топологический солитон в ферромагнетике с анизотропией типа легкая ось.— Письма
в ЖЭТФ, 1979, 30, выи. 6, с. 321—324.
67. Косевич Л. М. Нелинейная динамика намагниченности в ферромагнетиках*
Динамические и топологические солитоны.— ФММ, 1982, 53, вып.З,
с. 420—446.
68. Косевич А. М., Воронов В. П. Топологический динамический солитон
в двухмерном одноосном ферромагнетике.— ФНТ, 1981, 7, вып. 7, с. 908
69. Косевич Л. М., Воронов В. Я., Манжос И. В. Нелинейные коллективные
возбуждения в лег ко плоскостном магнетике.— ЖЭТФ, 1983, 84, вып. 1,
с. 148—160.
70. Косевич Л. М., Иванов Б. Л., Ковалев А. С. Нелинейная локализованная
аолна намагниченности ферромагнетика как связанное состояние большого
числа магнонов.— Письма в ЖЭТФ, 1977, 25, вып. 11, с. 516—520.
71. Косевич Л. Af., Иванов Б. Л., Ковалев А. С. Нелинейная локализованная
волна намагниченности ферромагнетика как связанное состояние большого
числа магнонов.— ФНТ, 1977, 3, вып. 7, с. 906—921.
72. Косевич А. М., Иванов Б. Л., Ковалев А. С. Нелинейная локализованная
волна намагниченности в ферромагнетике как связанное состояние
большого числа элементарных возбуждений системы.— Киев, 1978.— 28 с.—
(Препринт / АН УССР. Ин-т теорет. физики; № 76 Р).
73. Косевич А. М.у Иванов Б. А., Ковалев А. С. Нелинейная волна
намагниченности ферромагнетика как связанное состояние большого числа
элементарных возбуждений системы.— В кн.: Нелинейные волны. М. : Наука, 1979,
с. 45—61.
74. Котляров В. П. Эквивалентность уравнения Ландау — Лифшица и
нелинейного уравнения Шредингера.— ДАН УССР. Сер. А, 1981, № 10, с. 9—13.
75. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. К теории магнитной проницаемости
ферромагнитных тел.— В кн.: Ландау Л. Д. Собр. тр. М. : Наука, 1969. Т. 1,
с. 128—143.
76. Лифшиц И. М., Питаевский Л. П. Статистическая физика.— М. : Наука,
1978. Ч. 2.— 448 с.
77. Лифшиц Е. М., Азбель М. #., Каганов М. И. Электронная теория
металлов.—М. : Наука, 1971.—415 с.
78. Мак-Лафлин Д., Скотт Э. Многосолитонная теория возмущений.— В кн.:
Солитоны в действии / Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. М. : Мир, 1981,
с. 210—268.
79. Малоземов Л., Слончевски Дж. Доменные стенки в материалах с
цилиндрическими магнитными доменами.—М. : Мир, 1982.—384 с.
80. Овчинников А. А. Комплексы из нескольких спинов в линейной гайзенбер-
гозской цепочке.— Письма в ЖЭТФ, 1967, 5, вып. 2, с. 48—51.
8\. Переломов А. М. Решения типа инстантонов в киральных моделях.— УФН,
1981, 134, вып. 4, с. 577—609.
82. Питаевский Л. П. Вихревые нити в неидеальном бозе-газе.— ЖЭТФ, 1961,
40, вып. 2, с. 646—654.
83. Пигшевский Л. П. Слабосвязанные состояния возбуждений в трехмерных
кристаллах.— ЖЭТФ, 1976, 70, вып. 2, с. 738—749.
84. Склянин Е. /С- Квантовый вариант метода обратной задачи рассеяния.—
В кн.: Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III: Записки
науч. семинаров Ленингр. отд-ния Математ. ин-та им. В. А. Стеклова, 1980,
95, с. 55—128.
Яз. Склянин Е. К. Метод обратной задачи рассеяния и квантовое нелинейное
уравнение Шредингера,—ДАН СССР, 1979, 244, вып. 6, с. 1337—1341.
86. "Склянин Е. /С., Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной
задачи. I.—ТМФ, 1979, 40, вып. 2, с. 194—220.
87. Склянин Е. К-, Фаддеев Л. Д. Квантовомеханический подход к вполне инте-
186

грируемым моделям теории поля.— ДАН СССР, 1978, 243, вып. 6, с. 1430—
1433.
88 Скотт Э., Чу Ф., Мак-Лафлин Д. Солитон — новое понятие в прикладных
науках.— В кн.: Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в
приложении к электронике. М. : Сов. радио, 1977, с. 215—284.
89. Сонин Э. Б. Бездиссипативные потоки и сверхтекучесть.— УФН, 1982,
137, вып. 2, с. 267—304.
90. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Существенно нелинейная одномерная
модель классической теории поля.— ТМФ, 1974, 21, вып. 2, с. 160—174.
91. Тахтаджян Л. Л., Фаддеев Л. Д. Существенно нелинейная одномерная
модель классической теории поля.— ТМФ, 1975, 22, вып. 1, с. 143.
92. Тахтаджян Л. Л., Фаддеев Л. Д. Квантовый метод обратной задачи и XYZ
модель Гайзенберга.— УМН, 1979, 34, вып. 5, с. 13—63.
93. Теория солитонов. Метод обратной задачи / В. Е. Захаров, С. В. Манаков,
С. П. Новиков, Л. П. Питаевский / Под ред. С. П. Новикова. М. : Наука,
1980.—320 с. il>
94. Туров Е. Л. Физические свойства магнитоупорядоченных кристаллов.—
М. : Изд-во АН СССР, 1963.— 224 с.
95. Уиэем Дж. Линейные и нелинейные волны.— М. : Мир, 1977.— 624 с.
96. Фаддеев Л. Д. Квантовые вполне интегрируемые модели теории поля. —
В кн.: Проблемы квантовой теории поля: Тр. 5 междун. совещ. по нелок.
теориям поля, Алушта, 1979, с. 249—299. (Препринт / Объед. ин-т ядер,
исслед.).
97. Федянин В. /С., Юшанхай В. Ю. Вклад солитонной моды в динамический
структурный фактор одноосного ферромагнетика.— ФНТ, 1981, 7, вып. 2,
с. 176—180.
98. Куберт Л. Теория доменных стенок в упорядоченных средах.— М. : Мир,
1977.— 306 с.
99. Цукерник В. М. Квантовая механика спиновой волны в ферромагнетике.—
ФТТ, 1968, 10, выи. 4, с. 1006—1011.
100. .Янкаускас 3. /С. Радиальное распределение поля в самофокусирующемся
пучке света.— Изв. вузов. Радиофизика, 1966, 9, вып. 2, с. 412—415. _
101. Ablowitz M. J., Каир D. /., Newell Л. С, Segur H. The initial value
solution for the sine-Gordon equation.— Phys. Rev. Lett., 1973, 30, N 25,
p. 1262—1264.
102. Ablowitz M. J.у Satsuma J. Solitons and rational solutions of nonlinear
evolution equations.— J. Math. Phys., 1978, 19, N 10, p. 2180—2186.
103. Anderson D. L. Т., Derrick G. H. Stability of time-dependent particlelike
solution in nonlinear field theory.—Ibid., 1970, 11, N 4, p. 1336—1346.
104. Anderson D. L. T. Stability of time-dependent particlelike solution in
nonlinear field theories.— Ibid., 1971, 12, N 6, p. 945—952.
105. Bar'yakhtar I. V.y Ivanov В. Л. Nonlinear waves in antiferromagnets.—
Solid State Communs., 1980, 34, N 7; p. 545—547.
106. Baxter R. J. One-dimensional anisotropic Heisenberg chain.— Ann. Phys.,
1972, 70, N 2, p. 323—337.
107. Bethe H. J. Eigenwerte und Eigenfunction der linearen Atomkette.—
Z. Phys., 1931, 71, N 2, S. 205-271.
108. Bishop A. R., Nakamura Д\, Sasada T. Transfer integral and collective
coordinate for the free energy of a classical ID uniaxial Heisenberg ferromagnet.—
J. Phys. С : Solid State Phys., 1980, 13, N 21, p. L515—L521.
109. Bishop A. R. Validity of classical statistical mechanics for ferromagnetic
Heisenberg chains with aneasy plane.— Ibid., N 4, p. L67—L72.
110. Bishop A. R. Comments on nonlinear excitations in the anisotropic
Heisenberg chain.—Z. Phys. B, 1980, 37, p. 357—361.
111. Calogero F., Degasperis A. Comparison between the exact and Hartree
solution of a one-dimensional many-body problem.—Phys. Rev. A, 1975, 11,
N 1, p. 265—269.
112. Caudreij P. /., Eilbeck J. C, Gibbon J. D. The sine-Gordon equation as a
Model Classical Field Theory.— Nuovo, Cim. B, 1975, 25, N 2, p. 497—512.
113. Corones J. Solitons as nonlinear magnons.— Phys. Rev. B, 1977, 16, N 4,
p. 1763—1765.
187

114. Currie J. F. Aspects of exact dynamics for general solitons of the
sine-Gordon equation with applications to domain wall.— Phys. Rev. A, 1977, 16,
N 4, p. 1692—1699.
115. Dashen #., Hasslacher D., Neveu A. Particle spectrum in model field
theories from semiclassical functional integral techniques.— Phys. Rev. D,
1975, 11, N 12, p. 3424—3450.
116. Derrick G. H. Comments on nonlinear wave equations as models for
elementary particls.— J. Math. Phys., 1964, 5, N 9, p. 1252—1254.
117. Enz U. Die Dynamik der blochschen Wand.— Helv. phys. acta, 1961, 37,
S. 245—251.
118. Enz U. A new type of solitons with particle properties.—J. Math. Phys.,
1977, 18, N 3, p. 347—353.
119. Enz U. A particle model based on stringlike solitons.— Ibid., 1978, 19, N5,
p. 1304—1306.
120. Fogedhy H. С The spectrum of the continuous isotropic quantum Heisenberg
chain: quantum solitons as magnon bound states.— J. Phys. С : Solid State
Phys., 1980, 13, N 9, p. L195—L200.
121. Fogedhy H. C. Magnon-solyton phase shift analysis of the classical continuous
Heisenberg chain.— Phys. scr., 1980, 22, N 4, p. 404—405.
122. Friedberg /?., Lee T. D., Sirlin A. Class of scalar-field solution in three space
dimensions.—Phys. Rev. D, 1976, 13, N 10, p. 2739—2761.
123. Herring C, Kittel C. On the theory of spin waves in ferromagnetic media.—
Phys. Rev., 1951, 81, N 5, p. 869—880.
124. Hirota R. Exact solution of the Sin-Gordon equation for multiple collisions
of solitons.— J. Phys. Soc. Jap., 1972, 33, N 5, p. 1459—1464.
125. Hirota R. Direct method of finding exact solutions of nonlinear
evolution equations.—In: Lecture notes in mathematics/ Eds bv A. Dold,
B. Eckmann. New York : Springer-Verlag, 1976, p. 40—68 (Baklund
Transformations; N 515).
126. Hirota R. Bilinearisation of soliton equations.— Hiroshima, 1981.— 15 p.—
(Preprint / Hiroshima Univ. Tech. Rep. — NA—8).
127. Hirota #., Satsuma J. A variety of nonlinear network equations generated
from the Backlund transformation for the Toda lattice.—Suppl. Progr.
Theor. Phys., 1976, N 59, p. 64—100.
128. Holstein Т., Primakoff H. Field dependense of the intrinsic domain
magnetisation of a ferromagnet. — Phys. Rev., 1940, 58, N 3, p. 1098—1114.
129. Ishikava M., Takayama H. Solitons in a one-dimensional Bose-system with
the repulsive delta-function interaction.— J. Phys. Soc. Jap., 1980, 49, N 4,
p. 1242—1246.
130. Ivanov В. Л., Kosevich A. M., Manzhos I. V. Algebraic soliton in a
ferromagnet in the presence of the magnetic field directed along the anisotropy axis.—
Solid State Communs, 1980, 34, p. 417—418.
131. Johnson J. D., Krinsky 5., McCoy В. М. Vertical-arrow correlation length
in the eight-vertex model and the low-lying excitations of the X—Y—Z Hamil-
tonian.— Phys. Rev. A, 1973, 8, N 5, p. 2526—2547.
132. Kaczer J. Domain configurations of the uniaxial infinite cylinder.— Czech.
J. Phys. B, 1962, 12, p. 354—360.
133. Каир D. /., Newell A. C. An exact solution for a derivative nonlinear Schro-
dinger equation.— J. Math. Phys., 1978, 19, N 4, p. 798—801.
134. Khodenkov H. E. Nonstationary equations of motion for magnetic bubble
domains.—Phys. status solidi, 1981, 63, p. 461—473.
135. Kittel С, Abrahams E. Relacsation processes in ferromagnet ism.— Rev*
Mod. Phys., 1953, 25, N 1, p. 233—238.
136. Kleman M. Dislocations, disclinations and magnetism.— In: Dislocations
in solids Ed. by F. R. N. Nabarro. Amsterdam : North-Holland, Publ. Co,
1980, vol. 5, p. 349—402.
137. Kiems J. /?., Steiner M. Evidence for soliton modes in the one-dimensiona
ferromagnet CsNiF5.—Phys. Rev. Lett., 1978, 41, N 16, p. 1137—1140.
138. Kosevich A. M., Ivanov В. Л., Kovalev A. S. Magnon drops: a new type
of collective excitations of ferromagnet.—J. Phys., 1978, 39, buppl. 8,
p. Cb826—827.
188

139. Kosevtch A. M.f Ivanov В. Л., Kovalev A. S. Dynamical and topological so-
litons in a ferromagnet.—Physica D, 1981, 1/2, p. 363—373.
140. Lakshmanan M. Continium spin system as an exactly solvable dynamic
system.— Phys. Lett. A, 1977, 61, N 1, p. 53—54.
141. Lakshmanan M., Ruijgrok T. W., Thompson C. J. On the dynamics of a
continuum spin system.— Physica A, 1976, 84, p. 577—590.
142. Lieb E. H. Exact analysis of an interacting bose gas. II. The excitation
spectrum.—Phys. Rev., 1963, 130, N 4, p. 1616—1624.
143. Long K- A., Bishop Л. R. Nonlinear excitations in classical ferromagnetic
chains.—J. Phys. A, 1979, 12, N 8, p. 1325—1339.
144. Luther A. Eigenvalue spectrum of interacting massive fermions in one
dimension.— Phys. Rev. B, 1976, 14, N 5, p. 2153—2159.
145. McGuire J. B. Study of exactly soluble one-dimensional N-body problems.—
J. Math. Phys., 1964, 5, N 5, p. 622—636.
146. Makhankov V. G. Dynamics of classical solitons (in non-integrable systems).—
Phys. Rep., 1978, 35, N 1, p. 1—128.
147. Makhankov V. G. Computer experiments in soliton theory.—Сотр. Phys.
Communs, 1980, 21, p. 1—49.
148. Mikeska H. I. Solitons in a one-dimensional magnet with an easy plane.—
J. Phys. С : Solid State Phys., 1978, 11, N 1. p. L29—32.
149. Nakamura /0, Sasada T. Classical one-dimensional uniaxial ferromagnet:
role of Bloch walls in statistical mechanics.— Solid State Communs, 1977,
21, N 9, p. 891—894.
150. Nakamura /<"., Sasada T. Statistical mechanics of classical one-dimensional
Heisenberg ferromagnet with single-site anisotropy.— J. Phys. С : Solid
State Phys., 1978, 11, N 2, p. 331—343.
151. Rubinstein «/. Sine-Gordon eauation.—J. Math. Phys., 1970, 11, N 1,
p. 258—266.
152. Silberglitt R.f Torrance I. Effect of single-ion anisotropy on two-spin-wave
bound state in a Heisenberg ferromagnet.— Phys. Rev. B, 1970, 2, N 3.
153. Sklyanin E. K- On complete integrability of the Landau—Lifshitz equation.—
Leningrad, 1979.— 32 p. (Preprent / Academy of science of USSR.
Leningrad Department Steklov Mathematical Institute; E—3).
154. Slonczewski J. С Dynamics of magnetic domain walls.— Int. J. Magn.
1972, 2, p. 85—97.
155. Sokalski K. Instantons in anisotropic ferromagnets.— Acta phys. pol. A,
1979, 56, N 4, p. 571—574.
156. Takhtaian L. A. Integration of the continium Heisenberg spin chain through
the inverse scattering method.— Phys. Lett. A, 1977, 64, N 2, p. 235—237.
157. Thacker H. B. Exact integrability in quantum field theory and statistical
systems.—Rev. Mod. Phys., 1981, 53, N 2, p. 253—285.
158. Thiele A. A. Excitation spectrum of magnetic domain walls.— Phys. Rev.
В., 1973, 7, N 1, p. 391—397.
159. Tion J.y Wright J. Solitons in the continious Heisenberg spin chain.—
Ibid., 1977, 15, N 7, p. 3470—3476.
160. Tsuzuki T. Nonlinear waves in the Pitaevskii — Gross equation.—J. Low
Temp. Phys., 1971, 4, N 4 p. 441—457.
161. Walker L. R. (unpabl.). Quoted by Dillon F. Dynamics of domain walls.—
In: Magnetism / Ed. by G. T. Rado, H. Suhl, New York: Pergamon press,
1963, vol. 3, p. 451—465.
162. Winter J. M. Bloch walls excitation.—Phys. Rev., 1961, 124, N 2, p. 452—459.
163. Woo G. Pseudoparticle configurations in 2-dimensional ferromagnets.—
J. Math. Phys., 1977, 18, N 6, p. 1264—1266.
164. Yang C. N., Yang C. P. One-dimensional chain of anisotropic spin-spin
interactions. I. Proof of Bethe's hypothesis for ground state in a finite system.—
Phys. Rev., 1966, 150, N 1, p. 321—327.
165. Yang C. N., Yang C. P. One-dimensional chain of anisotropic spin-spin
interactions. II. Properties of the ground-state energy per lattice site for
an infinite system.— Ibid., p. 327—339.
166. Yang C. N., Yang C. P. One-dimensional chain of anisotropic spin-spin
interactions. III. Applications.—Phys. Rev., 1966, 151, N 1, p. 258—264.
189

Арнольд Маркович Косевич,
Борис Алексеевич Иванов,
Александр Семенович Ковалев
НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ
НАМАГНИЧЕННОСТИ.
ДИНАМИЧЕСКИЕ
И ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СОЛИТОНЫ
Утверждено к печати ученым советом Физиков
технического института низких температур
АН УССР
Редактор Б. В. Хитровская
Оформление художника В. Б. Харика
Художественный редактор И. П. Антонюк
Технический редактор Г. М. Ковалева
Корректоры Е. Л. Дубарь, Э. М. Киянская
Информ. бланк № 5612.
Сдано в набор 07.02.83. Подп. в печ. 01.09.83. БФ
01946 Формат 60х90/1в Бум. типогр. № 1. Лит.
гарн. Вые. печ. Уел печ. л. 12,0. Усл. кр.-отт. 12,0.
Уч.-изд. л. 13,6. Тираж 1700 экз. Заказ 3-48. Цена
2 Р- 30 к' Зак. 3951.
Издательство «пауков* думка». 252601 Киев 4,
ул. Репина, 3.
Отпечатано с матриц книжной фабрики
им. М В. Фрунзе, 310057, Харьков-57, ул. До-
нец-Захаржевского, 6/8 в областной книжной
типографии, 290000, Львов, Стефаника, 11,

В ИЗДАТЕЛЬСТВЕ «НАУКОВА ДУМКА»
В 1984 г. ВЫЙДУТ В СВЕТ КНИГИ:
Давыдов А. С. Солитоны в молекулярных системах. 20 л.
3 р. 30 к.
В монографии излагается теория коллективных возбуждений
в квазипериодических структурах, описываемых нелинейными
уравнениями, учитывающими взаимодействие внутримолекулярных
возбуждений со спонтанными локальными нарушениями
трансляционной симметрии. Рассматриваются возбуждения типа эксито-
нов и солитонов в альфаспиральных белковых молекулах.
Исследованы солитоны в молекулярных системах с нелинейным
взаимодействием между молекулами. На основе представления о
солитонах обсуждается вопрос так называемого кризиса в
биоэнергетике. Это представление используется для объяснения
механизма сокращения поперечно-полосатых мышц животных,
исследованы динамические свойства солитонов в квазиодномерных
молекулярных структурах: условиях их образования и движение
под влиянием внешних полей с учетом диссипации.
Для физиков, биофизиков, математиков.
Петров Э. Г. Физика переноса зарядов в биосистемах. 35 л.
5 р. 50 к.
В монографии изложены современные физические
представления о происходящих на молекулярном уровне процессах переноса
энергии бестокового возбуждения и зарядов в биологических
системах. Особое внимание уделяется переносу на большие
(в молекулярных масштабах) расстояния, когда энергия и заряд
транспортируются от одних мест реакции к другим.
Проанализирована важная роль квазирегулярной структуры белковых
цепей в осуществлении переноса. Показано успешное использование
методов теории твердого тела и неравновесной статистической
механики в описании явлений переноса. Основное внимание
уделено теоретическому аспекту. Вместе с тем конкретно рассмотрены
перенос электронов в гемопротеинах, модели переноса протона,
донорно-акдепторный электронный перенос, перенос бестокового
возбуждения и солитоны и др.
Для физиков, химиков и биологов.
Барьяхтар В. Г., Криворучко В. #., Яблонский Д. А. Функции
Грина в теории магнетизма. 20 л. 3 р. 30 к.
В монографии излагаются теоретические методы изучения
высокочастотных и термодинамических свойств магнитоупорядочен-
ных кристаллов — ферро-, антиферромагнетиков и ферритов.
Описан классический метод, основанный на феноменологическом
уравнении движения магнитных моментов. Подробно исследована
проблема квантования спиновых волн. Рассмотрены основные
методы квантового расчета свободной теории и тензора высокоча-

стотной магнитной восприимчивости магнетиков, основанные на
диаграммной технике для бозевских и спиновых функций Грина.
Изучено влияние симметрии спинового гамильтониана на
структуру спектров магнонов, амплитуды их взаимодействия и
асимптотическое поведение тензора высокочастотной магнитной
восприимчивости.
Для специалистов по физике твердого тела, а также
преподавателей и студентов физических факультетов.
Предварительные заказы на эти книги принимают все магази-'
ны книготоргов, магазины «Книга — почтой» и «Академкнига».
Просим пользоваться услугами магазинов — опорных пунктов
издательства: Дома книги — магазина № 200 C40048, Донецк-48,
ул. Артема, 147а), магазина «Книжный мир» C10003, Харьков-3,
пл. Советской Украины, 2/2), магазина научно-технической книги
М 19 B90006, Львов-6, пл. Рынок, 10), магазина «Техническая
книга» B70001, Одесса-1, ул. Ленина, 17) и магазина издательства
«Наукова думка» B52001, Киев-1, ул. Кирова, 4). Магазины во
Львове, Одессе и Киеве высылают книги иногородним заказчикам
наложенным платежом.