Текст
                    Задачники «Дрофы»
И. Ф. Шарыгин
Геометрия
КЛАССЫ
9-П
От учебной задачи к творческой
Учебное пособие
Москва
Издательский дом «Дрофа»
1996


УДК 373:514 ББК 22.151я721 Ш26 Серия «Задачники «Дрофы» основана в 1996 г. Шарыгин И. Ф. Ш26 Геометрия: 9—11 кл.: От учебной задали к творческой: Учеб. пособие. — М.: Дрофа, 1996. — 400 с: ил. — (Задачники «Дрофы»). ISBN 5—7107—0763—5 В пособии собраны и систематизированы более 1000 задач по планиметрии с решениями, большинство которых являются авторскими. Книга адресована учащимся физико-математических классов и школ, слушателям и преподават елям подготовительных отделений вузов, а также читателям, занимающимся самообразованием и готовящимся к поступлению в вуз. УДК 373:514 ББК 22.151я721 ISBN 5—7107—0763—5 © «Дрофа», 1996
Неизвестному любителю геометрии посвящается ПРЕДИСЛОВИЕ Есть такой обычай на Руси — вечерами заниматься геометрией. , Фольклор Откуда берутся геометрические задачи? Кто автор геометрических шедевррв, безымянно кочующих по различным сборникам? К сожалению, во многих случаях установить авторство практически невозможно. Часто составители сборников геометрических задач не сообщают никаких имен, делая редкие исключения для великих и далеких. Возможно, впрочем, что в большинстве подобных случаев мы имеем дело с приписываемым, а не реальным авторством. Много лет тому назад — много по меркам одной человеческой жизни—просматривал автор этой книги комплекты журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики», издававшегося в России в конце XIX века. Помню, что много прекрасных геометрических задач составил один читатель. В память врезалось название «Егорьевские золотые прииски» — место, где он жил и работал. Одну из его задач я нашел затем в журнале «Mathematical Monthly», вышедшем значительно позднее и, естественно, под другой фамилией. Впрочем, история человечества полна несправедливостей, на фоне которых проблемы авторства геометрических задач выглядят поистине пустяками. Что касается данного сборника, то в нем достаточно большое число оригинальных задач. Из этого, конечно, не следует, что все неподписанные задачи составлены автором. С другой стороны, практически все решения являются авторскими, хотя наверняка далеко не все они являются самыми красивыми и короткими. Сборник состоит из трех частей. Первые две—это несколько переработанный сборник «Задачи по геометрии. Планиметрия» (М., Наука, 1982. Библиотечка «Квант». Вып. 17). Третья часть содержит 380 задач, объединенных в группы по 10 задач. Некоторые из них публиковались в разделе «Задачи» журнала «Математика в школе» в 1986 —1994 годах. Кому адресована эта книга? Как ею пользоваться? Во-первых, опытный учитель сможет найти в этой книге задачи, которые можно использовать в школьной практике, теоремы, дополняющие школьный курс геометрии, и просто полезные идеи. 3
Во-вторых, эта книга может помочь подготовиться к конкурсному экзамену, к его геометрической части. Большая часть первого раздела имеет конкурсную направленность. Если вы освоили первые 150 — 200 задач, справились с первыми двумя-тремя задачами каждого десятка третьего раздела, то вы готовы к экзамену на хорошем университетском уровне. В-третьих, математические олимпиады. Среди 1000 с лишним задач, имеющихся в книге, очень много таких, которые по содержанию, уровню сложности соответствуют задачам математических олимпиад различных категорий. В-четвертых, в книге есть задачи и более высокого уровня, назовем этот уровень творческим. Чтобы справиться с этими задачами, даже очень сильному геометру придется изрядно потрудиться, возможно, несколько дней и даже больше, хотя для решения любой из них никаких знаний, выходящих за рамки школьной программы, не требуется. Подобные задачи-проблемы могут быть использованы в работе математического кружка. И наконец, в-пятых. Если у вас плохое настроение, вы устали, возьмите интересную геометрическую задачу, сделайте большой и красивый чертеж и... Поверьте, хорошая геометрическая задача может прекрасно заменить самого лучшего психотерапевта. Но не только. Не исключено, что терапевтические возможности геометрии выходят далеко за рамки «психо», и врачи зря не обращают на нее внимания. А пока—занимайтесь геометрией и будьте здоровы! P.S. А все же, отуда берутся геометрические задачи? Общий и полный ответ здесь вряд ли возможен. А в частности... В частности, очень много новых задач содержится в этой книге. Надо только суметь их извлечь. Наверное, каждая содержательная геометрическая задача может быть источником целого ряда новых. Для этого с ней надо некоторое время «повозиться», посмотреть с разных сторон, попробовать перефразировать, обобщить. В результате удивительным образом может возникнуть новая, совершенно не похожая на «родителя» задача. Например, возьмем ту же задачу № 255... Автор
Φ ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФАКТЫ И ТЕОРЕМЫ ЗАДАЧИ НА ВЫЧИСЛЕНИЕ Все незначительное нужно, Чтобы значительному быть. И. Северянин 1. Доказать, что медианы в треугольнике пересекаются в одной точке й делятся ею в отношении 1:2. 2. Доказать, что медианы делят треугольник на шесть равновеликих частей. 3· Доказать, что диаметр окружности, описанной около треугольника, равен отношению его стороны к синусу противолежащего угла. 4. Пусть вершина угла находится вне круга и стороны угла пересекают окружность. Доказать, что величина угла измеряется полуразностью дуг, высекаемых его сторонами на окружности и расположенных внутри угла. 5. Пусть вершина угла находится внутри круга. Доказать, что величина угла измеряется полусуммой дуг, заключенных между его сторонами и их продолжениями за вершину угла. 6. Пусть АВ — хорда окружности, I — касательная к окружности (А — точка касания). Доказать, что каждый из двух углов между АВ и / измеряется половиной дуги окружности, заключенной внутри рассматриваемого угла. 7. Через точку М, находящуюся на расстоянии а от центра окружности радиуса R (а > Я), проведена секущая, пересекающая окружность в точках А и В. Доказать, что Μ Α-ΜΒ постоянно для всех секущих и равно а2 - R2 (квадрату длины касательной). 8. В окружности радиуса R через точку М, находящуюся на расстоянии α от ее центра (a<R), проведена хорда АВ. Доказать, что AM · MB постоянно для всех хорд и равно R2 - а2. 9. Пусть AM — биссектриса треугольника ABC. Доказать, что ВМ: СМ = АВ: АС. То же верно для биссектрисы внешнего 5
угла треугольника. (В этом случае Μ лежит на продолжении стороны ВС.) 10. Доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 11. Стороны треугольника равны a, b и с. Доказать, что медиана та, проведенная к стороне а, вычисляется по формуле та = ^\/2Ь2 + 2с2-а2. 12. Даны два треугольника, у которых одна вершина Л— общая, а другие вершины расположены на двух прямых, проходящих через Л. Доказать, что отношение площадей этих треугольников равно отношению произведений двух сторон каждого треугольника, содержащих вершину Л. 13. Доказать, что площадь описанного многоугольника равна гр, где г — радиус вписанной окружности, ρ—его полупериметр (в частности, эта формула справедлива для треугольника). 14. Доказать, что площадь четырехугольника равна полупроизведению диагоналей на синус угла между ними. 15. Доказать справедливость следующих формул для площади треугольника: Λ a2sin5sinC Λ Λ«> . л ♦ „ . „ S = 2R2 sin A sinJS sinC, 2 sin Л где Л, В и С — углы треугольника, а—сторона, лежащая против угла Л, R—радиус описанного круга. 16. Доказать, что радиус окружности, вписанной в прямо- . а+Ь—с угольный треугольник, вычисляется по формуле г = , где а и Ь—катеты, с—гипотенуза. 17. Доказать, что если а и Ь—две стороны треугольника, α — угол между ними и / — биссектриса этого угла, то , 2abcos % 1 = Г2"· а + Ь 18. Доказать, что расстояния от вершины Л треугольника ABC до точек касания вписанной окружности со сторонами АВ и АС равны ρ — α, где ρ — полупериметр треугольника ABC, а = ВС. 19. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется соотношение АВ + CD = AD + ВС, то существует окружность, касающаяся всех его сторон. 6
20. а) Доказать, что высоты в треугольнике пересекаются в одной точке. б) Доказать, что расстояние от вершины треугольника до точки пересечения высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны. * * * 21. На одной стороне прямого угла с вершиной в точке О взяты две точки А и В, причем ОА = ау ОВ = Ь. Найти радиус окружности, проходящей через точки А и В и касающейся другой стороны угла. 22. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с, а один из острых углов равен 30°. Найти радиус окружности с центром в вершине угла в 30°, делящей данный треугольник на две равновеликие части. 23. В прямоугольном треугольнике даны катеты α и 6. Найти расстояние от вершины прямого угла до ближайшей к ней точки вписанной окружности. 24. В прямоугольном треугольнике медиана равна т и делит прямой угол в отношении 1:2. Найти площадь треугольника. 25. В треугольнике ABC даны стороны J5C=a, С А=6, АВ — с. Найти отношение, в котором точка пересечения биссектрис делит биссектрису угла В. 26. Доказать, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного Треугольника до боковых сторон равна высоте этого треугольника, проведенной к боковой стороне. 27. Доказать, что сумма расстояний от любой точки внутри правильного треугольника до его сторон равна высоте этого треугольника. 28. В равнобедренном треугольнике ABC на основании АС взята точка Μ так, что АМ = а, МС = Ь. В треугольники АВМ и СВМ вписаны окружности. Найти расстояние между точками касания этих окружностей со стороной J5M. 29. В параллелограмме со сторонами а и b и углом α проведены биссектрисы четырех углов. Найти площадь четырехугольника, ограниченного биссектрисами. 30. В ромб с высотой h и острым углом α вписана окружность. Найти радиус наибольшей из двух возможных окружностей, каждая из которых касается данной окружности и двух сторон ромба. 31. Определить острый угол ромба, в котором сторона есть среднее геометрическое его диагоналей. 7
32. Диагонали выпуклого четырехугольника равны а и Ь, а отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны. Найти площадь четырехугольника. 33. Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны АВ\ точки Μ uN делят AD на три равные части. Найти ΔΑΜΒ + ΔΑΝΒ + ZADB. 34. Две окружности пересекаются в точках А и В. Через точку А проведены хорды АС и AD, касающиеся данных окружностей. Доказать, что AC2 BD = AD2 ВС. 35. Доказать, что в прямоугольном треугольнике биссектриса прямого угла делит пополам угол между медианой и высотой, опущенными на гипотенузу. 36. На окружности радиуса г выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделенной на три дуги, которые относятся как 3:4:5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найти площадь треугольника, образованного этими касательными. 37. Около окружности описана равнобочная трапеция с боковой стороной ί, одно из оснований которой равно а. Найти площадь трапеции. 38. Две прямые, параллельные основаниям трапеции, делят каждую из боковых сторон на три равные части. Вся трапеция разделена ими на три части. Найти площадь средней части, если площади крайних S\ и 5г. 39. В трапеции ABCD известно, что АВ = а, ВС — Ь (афЬ). Определить, что пересекает биссектриса угла Л: основание ВС или боковую сторону CD. 40. Найти длину отрезка прямой, параллельцой основаниям трапеции и проходящей через точку пересечения диагоналей, если основания трапеции равны α и 6. 41. В равнобочной трапеции, описанной около окружности, отношение параллельных сторон равно к. Найти угол при основании. 42. В трапеции ABCD основание АВ равно а, а основание CD равно Ъ. Найти площадь трапеции, если известно, что диагонали трапеции являются биссектрисами углов DAB и ABC. 43. В равнобочной трапеции средняя линия равна а, а диагонали взаимно перпендикулярны. Найти площадь трапеции. 44. Площадь равнобочной трапеции, описанной около круга, равна 5, а высота трапеции в два раза меньше ее боковой стороны. Определить радиус вписанного в трапецию круга. 8
45. Площади треугольников, образованных отрезками диагоналей трапеции и ее основаниями, равны S\ и £2. Найти площадь трапеции. 46. В треугольнике ABC угол ABC равен а. Найти угол АОС, где О—центр вписанной окружности. 47. В прямоугольном треугольнике проведена биссектриса прямого угла. Найти расстояние между точками пересечения высот двух получившихся треугольников, если катеты данного треугольника равны а и Ь. 48. Прямая, перпендикулярная двум сторонам параллелограмма, делит его на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Найти острый угол параллелограмма, если его стороны равны а и Ь (а < 6). 49. Дан полукруг с диаметром АВ. Через середину полуокружности проведены две прямые, делящие полукруг на три равновеликие части. В каком отношении эти прямые делят диаг метр АВ? 50. Дан квадрат ABCD, сторона которого равна а, и построены две окружности. Первая окружность целиком расположена внутри квадрата ABCD, касается стороны АВ в точке Е, а также касается стороны ВС и диагонали АС. Вторая окружность с центром в точке А проходит через точку Е. Найти площадь общей части двух кругов, ограниченных этими окружностями. 51. Вершины правильного шестиугольника со стороной а являются центрами окружностей, радиусы которых равны a/v2. Найти площадь части шестиугольника, расположенной вне этих окружностей. 52. Вне окружности радиуса R взята точка А, из которой проведены две секущие: одна проходит через центр, а другая— на расстоянии R/2 от центра. Найти площадь части круга, расположенной между этими секущими. 53. В четырехугольнике ABCD известны углы: ΔΌΑΒ — 90°, ZDJ5C = 90°. Кроме того, ΌΒ = a, DC = 6. Найти расстояние между центрами двух окружностей, одна из которых проходит через точки D, А и J5, а другая—через точки В, С и D. 54. На сторонах АВ и AD ромба ABCD взяты две точки Μ и N так, что прямые Μ С и NC делят ромб на три равновеликие части. Найти ΜΝ, если BD = с2. 55. На стороне АВ треугольника ABC взяты точки Μ и N так, что AM: MN: NB = 1:2:3. Через точки Μ и N проведены прямые, параллельные стороне АС. Найти площадь части треугольника, заключенной между этими прямыми, если площадь треугольника ABC равна 5. 9
56. Дана окружность и точка А вне ее. АВ и АС—касательные к окружности (В и С—точки касания). Доказать, что центр окружности, вписанной в треугольник ABC, лежит на данной окружности. 57. Вокруг равностороннего треугольника ABC описана окружность и на дуге ВС взята произвольная точка М. Доказать, что АМ = ВМ + СМ. 58. Пусть Η — точка пересечения высот ААВС. Найти углы Δ ABC, если ζΒΑΗ = α, ΖΑΒΗ = β. 59. Площадь ромба равна 5, сумма его диагоналей — га. Найти сторону ромба. 60. Квадрат со стороной а вписан в окружность. Найти сторону квадрата, вписанного в один из полученных сегментов. 61. В сегмент с дугой 120° и высотой h вписан прямоугольник ABCD так, что АВ:ВС— 1:4 (ВС лежит на хорде). Найти площадь прямоугольника. 62. Площадь кругового кольца равна 5. Радиус большей окружности равен длине меньшей. Найти радиус меньшей окружности. 63. Сторону правильного десятиугольника выразить через R—радиус описанной окружности. 64. К окружности радиуса R из внешней точки Μ проведены касательные Μ А и MB, образующие угол а. Определить площадь фигуры, ограниченной касательными и меньшей дугой окружности. 65. Дан квадрат ABCD со стороной а. Найти радиус окружности, проходящей через середину стороны АВ, центр квадрата и вершину С 66. Дан ромб со стороной а и острым углом а. Найти радиус окружности, проходящей через две соседние вершины ромба и касающейся противоположной стороны ромба или ее продолжения. 67. Даны три попарно касающиеся окружности радиуса г. Найти площадь треугольника, образованного тремя прямыми, каждая из которых касается двух окружностей и не пересекает третью. 68. Окружность радиуса г касается некоторой прямой в точке М. На этой прямой по разные стороны от Μ взяты точки А и В так, что Μ А = MB = α. Найти радиус окружности, проходящей через А и В и касающейся данной окружности. 69. Дан квадрат ABCD со стороной а. На стороне ВС взята точка Μ так, что ВМ = ЗМС, а на стороне CD — точка N 10
так, что 2CN = ND. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник AMN. 70. Дан квадрат ABCD со стороной а. Определить расстояние между серединой отрезка AM, где Μ — середина ВС, и точкой N на стороне CD, делящей ее так, что CN: ND = 3:1. 71. В треугольнике ABC из вершины -А выходит прямая, делящая пополам медиану BD (точка D лежит на стороне АС). В каком отношении эта прямая делит сторону ВС? 72. В прямоугольном треугольнике ABC катет С А равен 6, катет СВ равен а, СИ — высота, AM—медиана. Найти площадь треугольника ВМН. 73. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что ΔΑ = = а>90° и ВС—а. Найти расстояние между точкой пересечения высот и центром описанной окружности. 74. Вокруг треугольника ABC, в котором ВС = α, ΔΒ = а, АС = β, описана окружность. Биссектриса угла А пересекает окружность в точке К. Найти АК. 75. В окружности радиуса R проведен диаметр и на нем взята точка А на расстоянии а от центра. Найти радиус второй окружности, которая касается диаметра в точке А и изнутри касается данной окружности. 76. В окружности проведены три попарно пересекающиеся хорды. Каждая хорда разделена точками пересечения на три равные части. Найти радиус окружности, если одна из хорд равна а. 77. Один правильный шестиугольник вписан в окружность, а другой описан около нее. Найти радиус окружности, если разность периметров этих шестиугольников равна а. 78. В правильном треугольнике ABC, сторона которого равна а, проведена высота ВК. В треугольники АВК и ВСК вписано по окружности и к ним проведена общая внешняя касательная, отличная от стороны АС. Найти площадь треугольника, отсекаемого этой касательной от треугольника ABC. 79. Во вписанном четырехугольнике ABCD известны углы: ΔΌΑΒ = а, ААВС = β, ΔΒΚΟ = у, где К — точка пересечения диагоналей. Найти ZACD. 80. Во вписанном четырехугольнике ABCD, диагонали которого пересекаются в точке К, известно, что АВ = а, ВК = Ь, AK = c,CD = d. Найти АС. 81. Вокруг трапеции описана окружность. Основание трапеции составляет с боковой стороной угол а, а с диагональю — угол β. Найти отношение площади круга к площади трапеции* 11
82. В равнобочной трапеции ABCD основание AD равно а, основание ВС равно Ъ, АВ = d. Через вершину В проведена прямая, делящая пополам диагональ АС и пересекающая AD в точке К. Найти площадь треугольника BDK. 83. Найти сумму квадратов расстояний от точки М, взятой на диаметре некоторое окружности, до концов любой из параллельных этому диаметру хорд, если радиус окружности равен R, а расстояние от Μ до центра окружности равно а. 84. Общая хорда двух пересекающихся окружностей видна из их центров под углами 90° и 60°. Найти радиусы окружностей, если расстояние между их центрами равно а. 85. Дан правильный треугольник ABC. Точка К делит сторону АС в отношении 2:1, а точка Μ делит сторону АВ в отношении 1:2 (считая в обоих случаях от вершины А). Доказать, что длина отрезка КМ равна радиусу окружности, описанной около треугольника ABC. 86. Окружности радиусов R и R/2 касаются друг друга внешним образом. Один из концов отрезка длины 2R, образующего с линией центров угол, равный 30°, совпадает с центром окружности меньшего радиуса. Какая часть отрезка лежит вне обеих окружностей? (Отрезок пересекает обе окружности.) 87. В треугольнике ABC проведены ВК— медиана, BE — биссектриса, AD — высота. Найти длину стороны АС, если известно, что прямые ВК и BE делят отрезок AD на три равные части и АВ = 4. 88. Отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к радиусу окружности, описанной около этого треугольника, равно Л. Найти угол при основании треугольника. 89. Найти косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности. 90. Найти площадь пятиугольника, ограниченного прямыми ВС, CDу AN, AM и BD, где А, В и D—три вершины квадрата ABCD, N — середина стороны ВС, Μ делит сторону CD в отношении 2:1 (считая от вершины С), если стороца квадрата ABCD равна а. 91. В треугольнике ABC даны: ABAC—ot, έΑΒΰ=β. Окружность с центром в В проходит через А и пересекает прямую АС в точке К, отличной от А, прямую ВС—в точках Ε и F. Найти углы треугольника EKF. 92. Дан квадрат со стороной а. Найти площадь правильного треугольника, одна вершина которого совпадает с середи- 12
ной одной из сторон квадрата, а две другие расположены на диагоналях квадрата. 93. На сторонах квадрата ABCD взяты точки Μ, Ν и К, где Μ—середина АВ, N лежит на стороне ВС, причем 2BN = NC, К лежит на стороне DA, причем 2DK = К А. Найти синус угла между прямыми МС и NK. 94. Через вершины А и В треугольника ABC проходит окружность радиуса г, пересекающая сторону ВС в точке D. Найти радиус окружности, проходящей через точки 4, О и С, если АВ = с; АС = 6. 95. В треугольнике ABC сторона АВ равна 3, а высота CD, опущенная на сторону АВ, равна \/3. Основание D высоты CD лежит на стороне АВ, отрезок AD равен стороне ВС. Найти АС. 96. В окружность радиуса R вписан правильный шестиугольник ABCDEF. Найти радиус круга, вписанного в треугольник ACD. 97. Сторона АВ квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причем остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Длина касательной СК, проведенной из вершины С к той же окружности, равна 2. Чему равен диаметр окружности? 98. В прямоугольном треугольнике меньший угол равен а. Перпендикулярно гипотенузе проведена прямая, делящая треугольник на две равновеликие части. Определить, в каком отношении эта прямая делит гипотенузу. 99. Внутри правильного треугольника со стороной 1 помещены две касающиеся друг друга окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника (каждая сторона треугольника касается хотя бы одной окружности). Доказать, что сумма радиусов этих окружностей не меньше, чем (\/3 - 1)/2. 100* В прямоугольном треугольнике ABC с острым углом А, равным 30°, проведена биссектриса BD другого острого угла. Найти расстояние между /центрами двух окружностей, вписанных в треугольники ABD и CBD, если меньший катет равен 1. 101. В трапеции ABCD углы А и D при основании AD соответственно равны 60° и 30°. Точка N лежит на основании ВС, причем BN :NC = 2. Точка Μ лежит на основании AD, прямая ΜΝ перпендикулярна основаниям трапеции и делит ее площадь пополам. Найти AM: MD. 102. В треугольнике ABC заданы ВС = α, /.Α = α, Ζ.Β = /?. Найти радиус окружности, касающейся стороны АС в точке А и касающейся стороны ВС. 13
103. В треугольнике ABC известно: АВ = с, ВС = а, ΖΒ = β. На стороне АВ взята точка Μ так, что 2АМ = ЗА/В. Найти расстояние от Μ до середины стороны АС. 104. На стороне АВ треугольника ABC взята точка М, а на стороне АС — точка N, причем ЛМ = ЗМВ, a 2AN = NC. Найти площадь четырехугольника MBCN, если площадь треугольника ABC равна S. 105. Даны две концентрические окружности радиусов R и г (R> г) с общим центром О. Третья окружность касается их обеих. Найти тангенс угла между касательными к третьей окружности, рыходящими из точки О. 106. В параллелограмме ABCD известно: АВ = a, AD = Ь (6>а), ΔΒΑΌ — ol (а<90°). На сторонах AD и ВС взяты точки К и Μ так, что BKDM — ромб. Найти сторону ромба. 107. В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна с. Центры трех окружностей радиуса с/5 находятся в его вершинах. Найти радиус четвертой окружности, которая касается трех данных и не содержит их внутри себя. 108. Найти радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла величины а хорды длины а, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно 6. 109. На стороне ВС треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и АС в точках Μ и N. Найти площадь треугольника ΑΜΝ, если площадь треугольника ABC равна 5, a zBAC = a. 110. В окружности радиуса R проведены две взаимно перпендикулярные хорды MN и PQ. Найти расстояние между точками Μ и Р, если NQ = а. .111. В треугольнике ABC на наибольшей стороне J5C, равной Ь, выбирается точка Μ. Найти наименьшее расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников ВАМ иВСМ. 112. В параллелограмме ABCD известны АВ = а, ВС = Ь, ZABC = а. Найти расстояние между центрами окружностей, описанных около треугольников BCD и DAB. 113. В треугольнике ABC известно, что ΔΑ = α, В А = а, АС = 6. На сторонах АС и АВ взяты точки Μ и iV, где Μ — середина АС. Найти длину отрезка ΜΝ^ если известно, что площадь треугольника ΑΜΝ составляет 1/3 площади треугольника ABC. 114. Найти углы ромба, если площадь вписанное в него круга вдвое меньше площади ромба. 14
115. Найти площадь общей части двух квадратов, если у каждого сторона равна а и один получается из другого поворотом вокруг вершины на угол 45°. 116. Во вписанном в круг четырехугольнике две противоположные стороны взаимно перпендикулярны, одна из них равна а, прилежащий к ней острый угол делится диагональю на части а и /?. Определить диагонали (угол α прилежит к данной стороне). 117. Дан параллелограмм ABCD с острым углом DAB, равным а, в котором АВ = а, AD = b (а<6). Пусть К — основание перпендикуляра, опущенного из вершины В на AD, а М—основание перпендикуляра, опущенного из точки К на продолжение стороны CD. Найти площадь треугольника ВКМ. 118. В треугольнике ABC из вершины С проведены два луча, делящие угол АСВ на три равные части. Найти отношение отрезков этих лучей, заключенных внутри треугольника, если ВС = 3АС, ААСВ = а. 119. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = ВС) проведена биссектриса AD. Площади треугольников ABD и ADC равны соответственно S\ и S2· Найти АС. 120. Окружность радиуса R\ вписана в угол величины а. Другая окружность, радиуса R,2, касается одной стороны угла в той же точке, что и первая, и пересекает вторую сторону угла в точках А и J5. Найти АВ. 121. На прямой, проходящей через центр О окружности радиуса 12, взяты точки А и В так, что О А = 15, АВ = 5. Из точек А и В проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой ОАВ. Найти площадь треугольника ABC, где С — точка пересечения этих касательных. 122. В треугольнике ABC известно ВС = α, ΔΑ = α, ΔΒ = β. Найти радиус окружности, пересекающей все его стороны и высекающей на каждой из них хорды длины d. 123. В выпуклом четырехугольнике отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, равны соответственно α и 6 и пересекаются под углом 60°. Найти диагонали четырехугольника. 124. В треугольнике ABC на стороне ВС взята точка Μ таким образом, что расстояние от вершины В до центра тяжести треугольника АМС равно расстоянию от вершины С до центра тяжести треугольника АМВ. Доказать, что BM = DC, где D — основание высоты, опущенной на ВС из вершины А. 15
125. В прямоугольном треугольнике ABC биссектриса BE прямого угла В делится центром О вписанной окружности так, что ВО:ОЕ = уД: л/2. Найти острые углы треугольника. 126. На отрезке АВ длины R как на диаметре пострюена окружность. Вторая окружность такого же радиуса, как и первая, имеет центр в точке А. Третья окружность касается первой окружности внутренним образом, второй окружности — внешним образом, а также касается отрезка АВ. Найти радиус третьей окружности. 127. Дан треугольник ABC. Известно, что АВ = 4, АС = 2, ВС = 3. Биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке К. Прямая, проходящая через точку В параллельно АС, пересекает продолжение биссектрисы АК в точке Μ. Найти КМ. 128. Окружность с центром, расположенным внутри прямого угла, касается одной стороны угла, пересекает другую сторону в точках А и 3 и пересекает биссектрису угла в точках С и D. Хорда АВ равна \/б, хорда CD равна у7. Найти радиус окружности. 129. В параллелограмме лежат две окружности радиуса 1, касающиеся друг друга и трех сторон параллелограмма каждая. Известно также, что один из отрезков стороны параллелограмма от вершины до точки касания равен л/3. Найти площадь параллелограмма. 130. Окружность радиуса R проходит через вершины А и В треугольника ABC и касается прямой АС в точке А. Найти площадь треугольника ABC, зная, что ΖΒ = α, ζΑ = β. 131. В треугольнике ABC биссектриса АК перпендикулярна медиане ВМ, а угол В равен 120°. Найти отношение площади треугольника ABC к площади описанного около этого треугольника круга. 132. В прямоугольном треугольнике ABC через середины АВ и АС проведена окружность, касающаяся стороны ВС. Найти ту часть гипотенузы АС, которая лежит внутри этой окружности, если АВ = 3, ВС = 4. 133. Дан отрезок а. Три окружности радиуса R (а < 4R) имеют центры в концах отрезка и в его середине. Найти радиус четвертой окружности, касающейся трех данных. 134. Найти угол между общей внешней касательной и общей внутренней касательной к двум окружностям, если их радиусы равны R и г, а расстояние между их центрами равно \/2(Я2 + г2) (центры окружностей находятся по одну сторону 16
от общей внешней касательной и по разные стороны от общей внутренней касательной). 135. Отрезок АВ есть диаметр круга, а точк$ С лежит вне этого круга. Отрезки АС и ВС пересекаются с окружностью в точках D и Ε соответственно. Найти угол CBD, если площади треугольников DC Ε и ABC относятся как 1:4. 136. В ромбе ABCD со стороной а угол при вершине А равен 120°. Точки Ε и F лежат на сторонах ВС и AD соответственно, отрезок EF и диагональ ромба АС пересекаются в точке М. Площади четырехугольников BEFA и ECDF относятся как 1:2. Найти ЕМ, если АМ:МС= 1:3. 137. Дана окружность радиуса R с центром в точке О. Из конца отрезка ОА, пересекающегося с окружностью в точке М, проведена касательная к окружности АК. Найти радиус окружности, касающейся отрезков АК, AM и дуги МК, если ZOAK = 60°. 138. В круг вписан равнобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС и ZB = /?. Средняя линия треугольника продолжена до пересечения с окружностью в точках D и Ε (DE \\ АС). Найти отношение площадей треугольников ABC и DBE. 139. Дан угол а с вершиной О. На одной его стороне взята точка Μ и восставлен перпендикуляр в этой точке до пересечения с другой стороной в точке N. Точно так же в точке К на другой стороне восставлен перпендикуляр до пересечения с первой стороной в точке Р. Пусть В—точка пересечения прямых ΜΝ и КР, а Л — точка пересечения прямых ОВ и ΝΡ. Найти О А, если ОМ = а, ОР = Ъ. 140. Две окружности радиусов Я и г касаются сторон данного угла и друг друга. Найти радиус третьей окружности, касающейся сторон того же угла, центр которой находится в точке касания данных окружностей между собой. 141. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно а. Доказать, что четыре точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности. Найти радиус этой окружности. 142. Доказать, что отрезок внешней касательной к двум окружностям, заключенный между общими внутренними касательными, равен длине общей внутренней касательной. 143. В круге с центром О проведены два взаимно перпендикулярных радиуса О А и ОВ, С—точка на дуге АВ, такая, что ZAOC=60° (ZJ?OC=30°). Окружность с центром в А и радиусом АВ пересекает продолжение ОС за точку С в точке D. Доказать, 17
что отрезок CD равен стороне правильного десятиугольника, вписанного в окружность. Возьмем теперь точку М, диаметрально противоположную точке С Отрезок MD, увеличенный на 1/5 своей длинь^, принимается приближенно равным полуокружности. Оценить погрешность этого приближенного равенства. 144. Дан прямоугольник со сторонами 7 и 8. Одна вершина правильного треугольника совпадает с вершиной прямоугольника, а две другие находятся на его сторонах, не содержащих этой вершины. Найти площадь правильного треугольника. 145. Найти радиус наименьшей окружности, содержащей равнобочную трапецию с основаниями 15 и 4 и боковыми сторонами, равными 9. 146. ABCD— прямоугольник, в котором АВ = 9, J5C = 7. На стороне CD взята точка Μ так, что СМ = 3, а на стороне AD — точка N так, что A/V = 2,5. Найти радиус наибольшей окружности, которая помещается внутри пятиугольника ABCMN. 147. Найти наибольший угол треугольника, если известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник с вершинами в основаниях высот данного треугольника, в два раза меньше наименьшей высоты данного треугольника. 148. В треугольнике ABC биссектриса угла С перпендикулярна медиане, выходящей из вершины JB. Центр вписанной окружности лежит на окружности, проходящей через точки А, С и центр описанной окружности. Найти АВ, если Ж7= 1. 149. Точка Μ удалена от сторон правильного треугольника (от прямых, на которых расположены его стороны) на расстояния 2, 3 и 6. Найти сторойу правильного треугольника, если известно, что его площадь меньше 14. 150. Точка Μ удалена от сторон угла в 60° на расстояния л/3 и Зл/З (основания перпендикуляров, опущенных из Μ на стороны угла, лежат на сторонах, а не на их продолжениях). Прямая, проходящая через М, пересекает стороны угла и отсекает треугольник периметра 12. Найти площадь этого треугольника. 151. Дан прямоугольник ABCD, в котором АВ = 4, J5C = 3. Найти сторону ромба, одна вершийа которого совпадает ci, a три другие лежат по одной на отрезках АВ, ВС и BD. 152. Дан квадрат ABCD со стороной 1. Найти сторону ромба, одна вершина которого совпадает с А, противоположная лежит на прямой BDy а две оставшиеся—на прямых ВС и CD. 153. В параллелограмме ABCD острый угол равен а. Окружность радиуса г проходит через вершины Л, В и С и пересекает 18
прямые AD и CD в точках Μ и N. Найти площадь треугольника ΒΜΝ. 154. Окружность, проходящая через вершины А, В и С параллелограмма ABCD, пересекает прямые AD и CD в точках Μ и N. Точка Μ удалена от вершин J3, С и D соответственно на расстояния 4, 3 и 2. Найти ΜΝ. 155. В треугольнике ABC известно, что zBAC = k/6. Окружность с центром в Л и радиусом, равным высоте, опущенной на ВС', делит площадь треугольника пополам. Найти наибольший угол треугольника ABC. 156. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что ZB = 120°. Найти общую хорду окружности, описанной около ABCу и окружности, проходящей через центр вписанного круга и основания биссектрис углов Л и С, если АС= 1. 157. В треугольнике ABC сторона ВС равна а, радиус вписанной окружности равен г. Определить радиусы двух равных окружностей, касающихся друг друга, причем одна из них касается сторон ВС и ВАУ а другая—ВС и С А. 158. В окружность радиуса R вписана трапеция. Прямые, проходящие через концы одного основания параллельно боковым сторонам, пересекаются в центре окружности. Боковая сторона видна из центра под углом а. Найти площадь трапеции. 159. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна с. В каких пределах может меняться расстояние между центром вписанного круга и точкой пересечения медиан? 160. Стороны параллелограмма равны а и 6 (а фЪ). В каких пределах может меняться косинус острого угла между диагоналями? 161. Через точку Μ внутри треугольника ABC проведены три .прямые, параллельные сторонам треугольника. Отрезки прямых, заключенные внутри треугольника, равны между собой. Найти длины этих отрезков, если стороны треугольника равны а, & и с. 162. В треугольнике ABC помещены три равные окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Все три окружности имеют одну общую точку. Найти радиусы этих окружностей, если радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника ABC равны г и Д. 163. В треугольнике ABC проведена медиана AD, IDAC 4- +ZABC = 90°. Найти ABAC, если известно, что АВфАС. 164. Три окружности радиусов 1, 2 и 3 касаются друг друга внешним образом. Найти радиус окружности, проходящей через точки касания этих окружностей. 19
165. В равнобедренный треугольник вписан квадрат единичной площади, сторона которого лежит на основании треугольника. Найти площадь треугольника, если известно, что центры тяжести треугольника и квадрата совпадают. 166. В равностороннем треугольнике ABC сторона равна а. На стороне ВС лежит точка D, а на АВ — точка Ε так, что BD = a/3y AE = DE. Найти СЕ. 167. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла С проведены биссектриса CL (CL — а) и медиана СМ (СМ = 6). Найти площадь треугольника ABC. 168. В трапецию вписана окружность. Найти площадь трапеции, если известны длина а одного из оснований и отрезки 6 и с?, на которые разделена точкой касания одна из боковых сторон (отрезок 6 примыкает к данному основанию а). 169. В трапеции диагонали равны 3 и 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 2. Найти площадь трапеции. 170. Окружность радиуса 1 вписана в треугольник ABC, в котором cosJB = 0,8. Эта окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной стороне АС. Найти длину стороны АС. 171. Дан правильный треугольник ABC площади S. Параллельно его сторонам.на равном расстоянии от них проведены три прямые, пересекающиеся внутри треугольника и образующие в пересечении треугольник ΑχΒχΰι площади Q. Найти расстояние между параллельными сторонами треугольников ABC nAiBiCi. 172. Стороны АВ ή CD четырехугольника ABCD перпендикулярны и являются диаметрами двух равных касающихся окружностей радиуса г. Найти площадь четырехугольника ABCD, если BC:AD = k. 173. В угол, величина которого а, вписаны две касающиеся друг друга окружности. Определить отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла. 174. В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной АВ, как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АС и ВС в точках Μ и N. Найти ΜΝ, если ВС = а, АС = Ь, АВ = с. 175. Расстояние между центрами двух окружностей равно а. Найти сторону ромба, две противоположные вершины которого лежат на одной окружности, а две оставшиеся—на другой, если радиусы этих окружностей равны йиг. 20
176. Найти площадь ромба ABCD, если радиусы окружностей, описанных около треугольников ABC и ABD, равны R и г. 177. Дан угол величины а с вершиной в А и точка В на расстоянии а и Ъ от сторон угла. Найти АВ. 178. Даны ha и /ι& — высоты треугольника ABC, опущенные из вершин А и В, и длина ί биссектрисы угла С Найти /.С. 179. Около прямоугольного треугольника описана окружность. Другая окружность того же радиуса касается катетов этого треугольника, причем одной из точек касания является, вершина треугольника. Найти отношение площади треугольника к площади общей части двух данных кругов. 180. В трапеции ABCD дано: AB = BC = CD = a, DA = 2a. На прямых АВ и AD взяты точки EnF, отличные от вершин трапеции, так, что точка пересечения высот треугольника CEF совпадает с точкой пересечения диагоналей трапеции ABCD. Найти площадь треугольника CEF. * * * 181. Высота прямоугольного треугольника ABC, опущенная на гипотенузу АВ, равна h, D — основание высоты, Μ и N — середины отрезков AD и DB. Найти расстояние от вершины С до точки пересечения высот треугольника CMN. 182. ABCD — равнобочная трапеция с основаниями AD и ВС] АВ = CD — а, АС = BD = Ь, ВС = с, Μ — произвольная точка дуги ВС окружности, описанной около ABCD. Найти отношение ВМ + МС AM + MD' 183. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 1, основание равно а. Около треугольника описана окружность. Найти хорду, пересекающую боковые стороны треугольника и делящуюся точками пересечения на три равные отрезка. 184. MN — диаметр окружности, MN = 1, А и В — точки окружности, расположенные по одну сторону от MN, С — на другой полуокружности. Дано: А — середина полуокружности, MB = 3/5, длина отрезка, образованного при пересечении диаметра MN с хордами АС и ВС, равна а. Чему равно наибольшее значение а? 185. ABCD — выпуклый четырехугольник, Μ — середина АВ, N — середина CD. Известно, что площади треугольников ABN и CDM равны, а площадь их общей части в к раз меньше площади каждого из них. Найти отношение сторон ВС и AD. 21
186. ABCD— равнобочная трапеция {AD || ВС), в которой острый угол при большем основании равен 60°, диагональ равна л/3. Точка Μ удалена от вершин А и D соответственно на расстояния 1 и 3. Найти МС. 187. Биссектриса каждого угла треугольника пересекает противоположную сторону в точке, равноудаленной от середин двух других сторон треугольника. Следует ли из этого, что треугольник — правильный? 188. В треугольнике даны две стороны а и Ь (а > Ь). Найти третью сторону, если известно, что a + ha^b + hb, где ha и ht—, высоты, опущенные на эти стороны (ha—высота к стороне а). 189. АВCD^- выпуклый четырехугольник, описанный около окружности диаметра 1. Внутри ABCD существует такая точка М, что Μ А2 + MB2 + МС2 + MD2 = 2. Найти площадь ABCD. 190. ABCD — четырехугольник: АВ = а, ВС = Ь, CD = с, DA = d; а2 + с2 фЬ2 + d2, с φ d, M.— точка прямой BD, равноудаленная от Л и С. Найти отношение BM.MD. 191. Меньшая сторона прямоугольника ABCD равна 1. Рассмотрим четыре концентрические окружности с центром в А и проходящие соответственно через В, С, D и точку пересечения диагоналей прямоугольника ABCD. Известно, что существует прямоугольник с вершинами на построенных окружностях (по одной на каждой). Доказать, что существует квадрат с вершинами на построенных окружностях. Найти сторону этого квадрата. 192. Дан треугольник ABC. Перпендикуляры, восставленные к АВ и ВС в их серединах, пересекают прямую АС в точках Μ и N так, что ΜΝ = АС. Перпендикуляры, восставленные к АВ и АС в их серединах, пересекают ВС в точках К и L так, что KL = -BC. Найти наименьший угол треугольника ABC. 193. На стороне АВ треугольника ABC взята точка Μ так, что прямая, соединяющая центр описанной около ABC окружности с точкой пересечения медиан треугольника ВСМ перпендикулярна СМ. Найти отношение ВМ:ВА, €>сли ВС:ВА = к. 194. Во вписанном четырехугольнике ABCD, в котором АВ = = ВС, К — точка пересечения диагоналей. Найти АВ, если ВК = Ь, KD = d. 195. Интерпретировать геометрически уравнение 1 и системы 2, 3 и 4. Решить уравнение 1 и системы 2 и 3. В системе 4 найти Х + У + 21 22
2) < 1) y/x2 + a2-axV3 + у/у2 + Ь?-Ьуу/3 + у/χ2 + у2-ху>Д = = у/а2 + Ь2 (а>0, 6>0); Ι χ = >Д2 — я2 + \/у2 — а2, y=y/x*-lP + y/z2-!P, [ г = \Л/2 — с2 + ν ж2 — с2; 3) х2 + у2 = (а~х)2 + 62 = а2 + (6-у)2; {ж2 + жу + у2 = а2, y2 + 2/* + *2 = 62, *2 + гж + х2 = а2 + 62. 196. Сторона квадрата равна а, произведения расстояний от противоположных вершин до прямой I равны между собой. Найти расстояние от центра квадрата до прямой /, если известно, что ни одна из сторон квадрата не параллельна /. 197. В треугольнике ABC одна из сторон в два раза больше другой, кроме того, ΔΒ = 2zC. Найти углы треугольника. 198. Окружность касается равных сторон АВ и АС равнобедренного треугольника ABC. Пусть Μ — точка касания со стороной АВ, N—точка пересечения окружности с основанием ВС. Найти AN, если АМ = а, ВМ = Ь. 199. ABCD—параллелограмм, в котором AB=fcJBC, К и L — точки на прямой CD {К—на стороне CD), а М — точка на J3C, причем AD — биссектриса угла KAL, AM — биссектриса угла КАВ, ВМ = а, DL = b. Найти AL. 200. Дан параллелограмм ABCD. Прямая, проходящая через вершину С, пересекает прямые АВ и AD в точках К и L. Площади треугольников КВС и CDL равны ρ и q. Найти площадь параллелограмма ABCD. 201. Дана окружность радиуса R и две точки Л и В на ней, АВ = а. Две окружности радиусов χ и у касаются данной в точках А и В. Найти: а) отрезок общей внешней касательной к двум последним окружностям, если обе они касаются данной одинаковым образом (внутренним или внешним); б) отрезок общей внутренней касательной, если окружность радиуса χ касается данной внешним образом, а окружность радиуса у касается данной внутренним образом. 202. В треугольнике ABC известно: АВ = 12, ВС= 13, С А-15. На стороне АС взята точка Μ так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВМ и ВСМ равны. Найти отношение AM: МС. 23
203. Радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника равны соответственно г и Д. Найти его площадь, если известно, что окружность, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей и через точку пересечения высот треугольника, проходит по крайней мере через одну вершину треугольника. 204. Дан прямоугольник ABCD, в котором АВ = 2а, ВС = = αv2. Ha стороне АВ как на диаметре во внешнюю сторону построен полукруг. Пусть Μ—произвольная точка на полуокружности, прямая MD пересекает АВ в точке Ν, а прямая Μ С—в точке I/. Найти AL2+BN2 (задача Ферма). 205. Окружности радиусов R и г касаются друг друга внутренним образом. Найти сторону правильного треугольника, одна вершина которого совпадает с точкой касания, а две другие лежат на разных данных окружностях. 206. Две окружности радиусов R и г (R > г) имеют внешнее касание в точке А, Через точку J5, взятую на большей окружности, проведена прямая линия, касающаяся меньшей окружности в точке С. Найти ВС, если АВ = а. 207. В параллелограмме ABCD находятся три попарно касающиеся окружности, причем одна из них касается также сторон АВ и ВС, другая — АВ и AD, а третья—ВС и AD. Найти радиус третьей окружности, если расстояние между точками касания на стороне АВ равно а. 208. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке М, угол между ними равен а. Пусть Οχ, 02, Оз, 04 — центры окружностей, описанных соответственно около треугольников ABM, ВСМ, CDM, DAM. Определить отношение площадей четырехугольников ABCD и Οχ 020304· 209. В параллелограмме площади S проведены биссектрисы его внутренних углов. Площадь четырехугольника, получившегося при их пересечении, равна Q. Найти отношение сторон параллелограмма. 210. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка Μ, а на стороне ВС — точка N. Отрезки AN и В Μ пересекаются в точке О. Найти площадь треугольника CMN, если площади треугольников ОМА, ОАВ и ОВМ соответственно равны S\, 5г, Si. 211. Точка пересечения медиан прямоугольного треугольника лежит на окружности, вписанной в этот треугольник. Найти острые углы треугольника. 24
212. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану ВМ на три равные части. Найти отношение ВС: С А: АВ. 213. В треугольнике ABC срединный перпендикуляр к стороне АВ пересекает прямую АС в точке М, а срединный перпендикуляр к стороне АС пересекает прямую АВ в точке N. Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой ВС. Определить углы треугольника ABC. 214. Площадь трапеции ABCD с основаниями AD и ВС равна S, AD: ВС = 3; на прямой, пересекающей продолжение основания AD за точку D, расположен отрезок EF так, что АЕ \\ DF, BE||CF и АЕ:DF — CF:BE = 2. Определить площадь треугольника EFD. 215. Сторона ВС треугольника ABC равна а, радиус вписанного круга г* Найти площадь треугольника, если вписанный круг касается окружности, построенной на ВС как на диаметре. 216. Дан правильный треугольник ABC со стороной a, BD — его высота. На BD построен второй правильный треугольник BDC\ и на высоте BD\ этого треугольника—третий правильный треугольник BD\C<i. Найти радиус окружности, опиеанной около треугольника СС\С2- Доказать, что ее центр находится на стороне треугольника ABC (C2 находится вне треугольника ABC). 217. Стороны параллелограмма равны а и Ь (а ф b). Через вершины тупых углов этого параллелограмма проведены прямые, перпендикулярные сторонам. Эти прямые при пересечении образуют параллелограмм, подобный исходному. Найти косинур острого угла данного параллелограмма. 218. В треугольнике KLM проведены биссектрисы KN и LP, пересекающиеся в точке Q. Отрезок PN имеет длину 1, а вершина Μ лежит на окружности, проходящей через точки Ν, Р, Q. Найти стороны и углы треугольника PNQ. 219. На диагонали АС выпуклого четырехугольника ABCD находится центр окружности радиуса г, касающейся сторон АВ, AD и ВС. На диагонали BD находится центр окружности такого же радиуса г, касающейся сторон ВС, CD и AD. Найти площадь четырехугольника ABCD, зная, что указанные окружности касаются друг друга внешним образом. 220. Радиус окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, равен 1. Известно, что на этой окружности лежит центр окружности, проходящей через вершины А, С и точку пересечения высот треугольника ABC. Найти АС. 221. В треугольнике ABC взяты точки Μ, Ν и Ρ; Μ и N — на сторонах АС и ВС, Ρ — на отрезке ΜΝ, причем AM :МС = 25
= CN: NB = MP: PN. Найти площадь треугольника ABC, если площади треугольников AMP и BNP равны Τ и Q. 222. Дана окружность радиуса R и точка А на расстоянии а от ее центра (a>R). Пусть К — ближайшая к А точка окружности. Секущая, проходящая через А, пересекает окружность в точках Μ и N. Найти МАГ, если площадь треугольника ΚΜΝ равна S. 223. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = ВС) через конец Ε биссектрисы АЕ проведен перпендикуляр к АЕ до пересечения с продолжением стороны АС в точке F (С — между А и F). Известно, что АС = 2m, FC = т/4. Найти площадь треугольника ABC. 224. Два одинаковых правильных треугольника ABC и CDE со стороной 1 расположены на плоскости так, что имеют только одну общую точку С и угол BCD меньше, чем π/З. Точка К — середина АС, точка L—середина СЕ, точка Μ—середина BD. Площадь треугольника KLM равна л/3/5. Найти BD. 225. Из точки К, расположенной вне окружности с центром О, проведены к этой окружности две касательные КМ и ΚΝ (М и N—точки касания). На хорде ΜΝ взята точка С (МС<CN). Через точку С перпендикулярно к отрезку ОС проведена прямая, пересекающая отрезок NK в точке В. Известно, что радиус окружности равен R, ZMKN = a, MC = b. Найти СВ. 226. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Точки М, Q, N и Ρ являются основаниями перпендикуляров; опущенных из вершины Ε соответственно на стороны АВ, ВС, CD (или их продолжения) и диагональ AD. Известно, что EP = d, отношение площади треугольника MQE к площади треугольника PNE равно к. Найти ЕМ. 227. Дана прямоугольная трапеция. Известно, что некоторая прямая, параллельная основаниям, рассекает ее на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Определить основания исходной трапеции, если ее боковые стороны равны end (d>c). 228. На боковых сторонах KL и MN равнобочной трапеции KLMN выбраны соответственно точки Ρ и Q так, что отрезок PQ параллелен основаниям трапеции. Известно, что в каждую из трапеций KPQN и PLMQ можно вписать окружность и радиусы этих окружностей равны R и г соответственно. Определить основания LM и ΚΝ. 229. В треугольнике ABC биссектриса угла А пересекает сторону ВС в точке D. Известно, что АВ - BD = а, АС + CD = 6. Найти AD. 26
230. Используя результат задачи 229, доказать, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, ее за^ ключающих, минус произведение отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой. 231. Дана окружность с диаметром АВ. Вторая окружность с центром в А пересекает первую окружность в точках С и D и диаметр в точке Е. На дуге СЕ, не содержащей точки D, взята точка М, отличная от точек С и Е. Луч В Μ пересекает первую окружность в точке N. Известно, что CN = a, DN = Ь. Найти ΜΝ. 232. В треугольнике ABC угол В равен π/4, угол С равен π/6. На медианах ΒΝ и CN как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках Ρ и Q. Хорда PQ пересекает сторону ВС в точке D. Найти отношение BD: DC. 233. Пусть АВ — диаметр окружности, О — ее центр, АВ — = 2R, С — точка на окружности, Μ— точка на АС. Из Μ опущен перпендикуляр ΜΝ на АВ и восставлен перпендикуляр к АС у пересекающий окружность в точке L (отрезок CL пересекает АВ). Найти расстояние между серединой АО и серединой CL, если AN = a. 234. Около треугольника ABC описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку J5, пересекает прямую АС в точке М. Найти отношение AM: МС, если АВ:ВС = к. . 235. На прямой последовательно расположены точки Л, В, СиО, причем АС = аАВ, AD = βΑΒ. Через А и В проведена произвольная окружность, СМ и DN—две касательные к этой окружности (М и N—точки на окружности, лежащие по разные стороны от прямой АВ). В каком отношении прямая ΜΝ делит отрезок АВ? 236. ABCD — описанный четырехугольник, отрезки от А до точек касания равны а, отрезки от С до точек касания равны Ь. В каком отношении диагональ АС делится диагональю BD? 237. Точка К лежит на основании AD трапеции ABCD, причем АК = XAD. Найти отношение AM: MD, где Μ — точка пересечения с AD прямой, проходящей через точки пересечения прямых АВ и CD и прямых ВК и АС. Беря λ=1/η (η = 1,2,3,...), получить способ деления данного отрезка на η раздых частей с помощью одной линейки, если дана прямая, ему параллельная. 238. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой АВ, равной с, на высоте CD как на диаметре построена окружность. Касательные к этой окружности, проходящие через точки А и В, 27
касаются ее в точках Μ и N и пересекаются при продолжении в точке К. Найти МК. 239. На сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты точки Си Αχ и Вг так, что АСХ: С\В = В Αχ :АгС = СВХ :BxA = k. На сторонах А\В\, В\С\ и С\А\ взяты точки С2, А2 и В2 так, что А\С2 : С2В\ — В\А2 : А2С\ = С\В2 : В2А\ = Ι/fc. Доказать, что треугольник А2В2С2 подобен треугольнику ABC, и найти коэффициент подобия. 240. В треугольнике ABC даны R и г—радиусы описанной и вписанной окружностей. Пусть Αχ, В\, С\ — точки пересечения биссектрис треугольника ABC с описанной окружностью. Найти отношение площадей треугольников ABC и А\В\С\. 241. Имеются два треугольника с соответственно параллельными сторонами и площадями S\ и S2, причем один из них вписан в треугольник ABC, а другой около него описан. Найти площадь треугольника ABC. 242. Определить угол А треугольника ABC, если известно, что биссектриса этого угла перпендикулярна прямой, проходящей через точку пересечения высот и центр описанной окружности этого треугольника. 243. Найти углы треугольника, если известно, что расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот вдвое меньше наибольшей стороны и равно наименьшей стороне. 244. Дан треугольник ABC. На луче В А возьмем точку D так, что BD = ВА + АС. Пусть К и Μ — две точки на лучах В А и ВС соответственно таких, что площадь треугольника В DM равна площади треугольника ВСК. Найти ΔΒΚΜ, если zBAC = a. 245. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна AD и ВС, причем АВ = y/AD · ВС. Пусть Ε — точка пересечения непараллельных сторон трапеции, О — точка пересечения диагоналей, Μ — середина АВ. Найти ΖΕΟΜ. 246. На плоскости даны две прямые, пересекающиеся в точке О, и две точки А и В. Обозначим основания перпендикуляров, опущенных из А на данные прямые, через Μ и Ν, а основания перпендикуляров, опущенных из J5, —соответственно через К и L. Найти угол между прямыми ΜΝ и KL, если Zi4OJS = a<90°. 247. Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке А. Из О—центра большей окружности—проведен радиус OJ5, касающийся меньшей окружности в точке С. Найти ZBAC. 28
248. Внутри квадрата ABCD взята точка Μ так, что ΖΜΑΒ= = 60°, ZMCD = 15°. Найти zMBC. 249. В треугольнике ABC известны углы Δ А = 45°, ΖΒ = 15°. На продолжении стороны АС за точку С взята точка Μ так, что СМ = 2АС. Найти Z4MJ3. 250. В треугольнике ABC, в котором ZB = 60°, биссектриса угла А пересекает ВС в точке М. На стороне АС взята точка AT так, что ΔΑΜΚ = 30°. Найти ZOKC, где О—центр окружности, описанной около треугольника АМС. 251. Дан треугольник ABC, причем АВ = ЛС, Zj4 = 80°. а) Внутри треугольника взята точка Μ такая, что ZMBC = 30°, zMCB = 10°. Найти Δ AM С. б) Вне треугольника взята точка Ρ так, что ZPBC — ZPCA = 30° и отрезок 5Р пересекает сторону АС. Найти ZPAC. 252. В треугольнике ABC дано: ZB = 100°, ZC = 65°; на АВ взята точка Μ так, что ZMCB = 55°, а на ЛС — точка ЛГ так, что ZNBC= 80°. Найти ZATMC. 253. В треугольнике ЛВС дано: АВ = ВС, ZB = 20°; на АВ взята точка Μ так, что ZMCA = 60°, а на СВ — точка ΛΓ так, что zNAC = 50°. Найти ZiVMC. 254. В треугольнике ЛВС дано: ZB = 70°, zC = 50°; на АВ взята точка Μ так, что ZMCB = 40°, а на Л С — точка Лг так, что ZNBC = 50°. Найти ZNMC. 255· Пусть Μ и iV—точки касания вписанной окружности со сторонами ВС и В А треугольника ABC, К — точка пересечения биссектрисы угла Л с прямой MN. Доказать, что ΖАКС = 90°. 256. Пусть Ρ и Q — такие две различные точки окружности, описанной около треугольника ЛВС, что РА2 = РВ · PC, QA2 = QBj QC (одна из точек — на дуге ЛВ, другая — на дуге АС). Найти разность ZPAB — ZQAC, если разность углов В и С треугольника ABC рабна а. 257. На данной окружности взяты две фиксированные точки Л и В, ^ АВ = а. Произвольная окружность проходит через. точки Л и В. Через Л также проведена произвольная прямая I, вторично пересекающая окружности в точках С и D (С—на данной окружности). Касательные к окружностям в точках С и В (С и В — точки касания) пересекаются в точке М\ N — точка на I такая, что CN = AD, DN = CA. Какие значения может принимать ZCMN? 258. Доказать, что если в треугольнике один угол равен 120°, то треугольник, образованный основаниями его биссектрис, прямоугольный. 29
259· В четырехугольнике ABCD дано: /.DAB = 150°, Z.DAC + +ΖΑΒ£> = 120°, ΔΌΒΟ-ΔΑΒΌ = 60°. Найти /Β DC. * * * 260. В треугольнике ABC дано: АВ = 1, 4С = 2. Найти J3C, если известно, что биссектрисы внешних углов А и С равны между собой (рассматриваются отрезки от вершины до точки пересечения соответствующей биссектрисы с прямой, на которой лежит противоположная сторона треугольника). 261. На стороне СВ треугольника ABC взята точка D так, что CD = otAC. Радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. Найти расстояние между центром окружности, описанной около треугольника ABC и центром окружности, описанной около треугольника ADB. 262. Около прямоугольного треугольника ABC {/С = 90°) описана окружность. Пусть CD — высота треугольника. Окружность с центром в D проходит через середину дуги АВ и пересекает АВ в точке М. Найти СМ, если АВ = с. 263. Найти периметр треугольника ABC, если ВС—а и отрезок прямой, касательной ко вписанному кругу и параллельной ВС, заключенный внутри треугольника, равен Ь. 264. В треугольнике проведены три прямые, параллельные его сторонам и касающиеся вписанной окружности. Они отсекают от данного треугольника три треугольника. Радиусы окружностей, описанных около них, равны R\, i?2, Яз· Найти радиус окружности, описанной около данного треугольника. 265. В окружности радиуса R проведены хорды АВ и АС. На АВ или на ее продолжении за точку В взята точка М, расстояние от которой до прямой АС равно АС. Аналогично, на АС или на продолжении ее за точку С взята точка N, расстояние от которой до прямой АВ равно АВ. Найти MN. 266. Дана окружность радиуса R с центром О. Две другие окружности касаются данной изнутри и пересекаются в точках А и В. Найти сумму радиусов двух последних окружностей, если известно, что ZOAB = 90°. 267. В круге радиуса R проведены две пересекающиеся перпендикулярные между собой хорды. Найти: а) сумму квадратов четырех отрезков этих хорд, на которые они делятся точкой пересечения; б) сумму квадратов хорд, если расстояние от центра круга до их точки пересечения равно а. 30
268. Даны две концентрические окружности радиусов г и R (г < Р). Через некоторую точку Ρ меньшей окружности проведена прямая, пересекающая большую окружность в точках В и С. Перпендикуляр к ВС в точке Ρ пересекает меньшую окружность в точке А. Найти РА2 + РВ2 + РС2. 269. В полукруге из концов диаметра проведены две пересекающиеся хорды. Доказать, что сумма произведений отрезка каждой хорды, примыкающего к диаметру, на всю хорду равна квадрату диаметра. 270. Пусть а, 6, с и d—длины сторон вписанного четырехугольника (а и с—противоположные стороны), /ια, /ι&, hc и hd — расстояния от центра описанного круга до соответствующих сторон. Доказать, что если центр круга — внутри четырехугольника, то ahc + cha = bh(i + dhb» 271. Противоположные стороны четырехугольника, вписанного в окружность, пересекаются в точках Ρ и Q. Найти PQ, если касательные к окружности, проведенные из Ρ и Q, равны α и 6. 272. В окружность радиуса R вписан четырехугольник. Пусть Р, Q и Μ — соответственно точки пересечения диагоналей этого четырехугольника и продолжений противоположных сторон. Найти стороны треугольника PQM, если расстояния от Р, Q и Μ до центра окружности равны а, 6 и с. 273. Четырехугольник ABCD описан около окружности радиуса г. Точка касания окружности со стороной АВ делит эту сторону на отрезки а и Ь, § точка касания окружности со стороной AD делит ее на отрезки α и с. В каких пределах может меняться г? 274. Окружность радиуса г касается изнутри окружности радиуса R; точка А—точка касания. Прямая, перпендикулярная линии центров, пересекает одну окружность в точке В, другую— в точке С. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC. 275. Две окружности радиусов Риг пересекаются; А — одна из точек пересечения, ВС—общая касательная (В и С — точки касания). Найти радиус окружности, описанной около треугольника ABC. 276. В четырехугольнике ABCD дано: АВ=а, AD = b; стороны ВС, CD и AD касаются некоторой окружности, центр которой находится в середине АВ. Найти ВС. 277. Во вписанном четырехугольнике ABCD дано: АВ = а, 31
AD = b (a > 6). Найти ВС, если известно, что ВС, CD и AD касаются некоторой окружности, центр которой находится на АВ. * 278. Дан выпуклый четырехугольник ABCD, в котором АВ = AD. Внутри треугольника ABC взята точка Μ так, что ZMBA = ZADC, ZMCA = ZACD. Найти ZMAC, если zBAC = a, ZADC - ZACD = φ,ΑΜ<ΑΒ. 279. Две пересекающиеся окружности вписаны в один угол; А—вершина угла, В—одна из точек пересечений окружностей, С — середина хорды, концами которой являются точки касания первой окружности со сторонами угла. Найти ZABC, если известно, что общая хорда видна из центра второй окружности под углом а. 280. ABC — равнобедренный треугольник; АС— ВС, BD — биссектриса, BDEF — прямоугольник. Найти ZBAF, если ZBAE = 120°. 281. Около треугольника ABC описана окружность с центром в точке О. Касательная к окружности в точке С пересекается с прямой, делящей пополам угол В, в точке К, причем угол ВКС равен половине разности утроенного угла А и угла С треугольника. Сумма сторон АС и АВ равна 2 + л/3, а сумма расстояний от точки О до сторон АС и АВ равна 2. Найти радиус окружности. 282. Точки, симметричные вершинам треугольника относительно противоположных сторон, являются вершинами треугольника со сторонами Vo, л/8, \/Ϊ4. Определить стороны исходного треугольника, если известно, что длины их различны. 283. В треугольнике ABC угол между медианой и высотой, выходящими из угла А, равен а, угол между медианой и высотой, выходящими из угла В, равен β. Найти угол между медианой и высотой, выходящими из угла С. 284. Радиус круга, описанного около треугольника, равен R. Расстояние от центра этого круга до точки пересечения медиан треугольника равно d. Найти произведение площади данного треугольника и треугольника, образованного прямыми, проходящими через его вершины перпендикулярно медианам, из этих вершин выходящим. 285. Точки А\, Аз и А$ расположены на одной прямой, а точки А2, А\ и Aq — на другой прямой, пересекающейся 32
с первой. Найти угол между этими прямыми, если известно, что стороны шестиугольника (возможно самопересекающегося) А\А2А^МММ равны между собой. 286. Две окружности с центрами 0\ и 0<ι касаются изнутри окружности радиуса R и центром О. Известно, чтр 0\0*ι = α. Прямая, касающаяся первых двух окружностей и пересекающая отрезок Οι Ο2, пересекается с их общими внешними карательными в точках MhJVhc большей окружностью в точках А и J3. Найти отношение AB:MN, если: а) отрезок О1О2 содержит точку 0\ б) окружности с центрами 0\ и 0<ъ касаются друг друга. 287. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны АС в точке М, стороны ВС — в точке N; биссектриса угла А пересекает прямую MN в точке К, а биссектриса угла В пересекает прямую MN в точке L. Доказать, что из отрезков МК, NL и KL можно сложить треугольник. Найти площадь этого треугольника, если площадь треугольника ABC равна S, угол С равен а. 288. На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты две точки Μ uN так, что BM+BN=AB. Доказать, что прямые DM и DN делят диагональ АС на три отрезка, из которых можно сложить треугольник, причем один, угол этого треугольника равен 60°. 289. Дан равнобедренный треугольник АВС\ АВ=ВС, AD — биссектриса. Перпендикуляр, восставленный к AD в точке D, пересекает продолжение АС в точке Е, основания перпендикуляров, опущенных из В и D на АС,—Μ и N соответственно. Найти ΜΝ, если АЕ = а. 290. Из точки А под углом а выходят два луча. На одном луче взяты две точки В и Βχ, а на другом — С и С\. Найти общую хорду окружностей, описанных около треугольников ABC и ABiCi, если АВ - АС= ΑΒχ - АС\ = а. 291. Пусть О — центр окружности, С—точка на окружности, Μ — середина ОС Точки А и В лежат на окружности по одну сторону от прямой ОС так, что ΔΑΜΟ — lBMC Найти АВ, если АМ-ВМ = а. 292. Пусть Л, В и С — три точки на одной прямой. На АВ, ВС и АС как на диаметрах построены три полукруга по одну сторону от прямой. Центр окружности, касающейся всех трех полукругов, находится на расстоянии d от прямой АС Найти радиус этой окружности. 293. В окружности радиуса R проведена хорда АВ. Пусть Μ — цроизвольная точка окружности. На луче Μ А отложим отрезок MN (MN = R), а на луче MB—отрезок МК, равный рас- 33
стоянию от Μ до точки пересечения высот треугольника МАВ. Найти ΝΚ, если меньшая из дуг, стягиваемых АВ, равна 2а. 294. Высота, опущенная из вершины прямого угла прямоугольного треугольника на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Определить углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры окружностей, если высота исходного треугольника равна h. 295. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h. Доказать, что вершины острых углов треугольника и проекции основания высоты на катеты лежат на одной окружности. Определить длину хорды, высекаемой на прямой, содержащей высоту, этой окружностью, и отрезки хорды, на которые она делится гипотенузой. 296. Окружность радиуса R касается прямой / в точке А, АВ — диаметр этой окружности, ВС — произвольная хорда. Пусть D — основание перпендикуляра, опущенного из С на АВ. Точка Ε лежит на продолжении CD за точку D, причем ED = ВС. Касательные к окружности, проходящие через £?, пересекают прямую / в точках К и N. Найти KN. 297. В выпуклом четырехугольнике ABCD дано: АВ = а, AD = Ь, ВС = р-а, DC = ρ - Ь. Пусть О — точка пересечения диагоналей. Обозначим через а угол ВАС. К чему стремится АО у если а->0?
ИЗБРАННЫЕ ЗАДАЧИ И ТЕОРЕМЫ ПЛАНИМЕТРИИ Мальчик, дальше! Здесь не встретишь ни веселья, ни сокровищ! Но я вижу— ты смеешься, эти взоры—два луча. На, владей волшебной скрипкой, посмотри в глаза чудовищ И погибни славной смертью, страшной смертью скрипача! Н. Гумилев § 1. Теорема Карно 298. Даны две точки А и В. Доказать, что геометрическое место точек Μ таких, что AM2 — МВ2 = к (где к—данное число), есть прямая, перпендикулярная АВ. 299. Пусть расстояния от некоторой точки Μ до вершин Л, В и С треугольника ABC выражаются числами а, Ь и с. Доказать, что ни при каком d Φ О ни для одной точки плоскости расстояния до вершин в том же порядке не могут выражаться числами y/a2 + d, y/tP + d, Vc2 + d. 300. Теорема Карно. Доказать, что для того, чтобы перпендикуляры, опущенные из точек А\, В\ и С\ на стороны ВС, С А и АВ треугольника ABC пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы А\В2 - ВС\ + С\ А2 - АВ2 + В\С2 - -О4? = 0. 301. Доказать, что если перпендикуляры, опущенные из точек А\, J5i и С\ на прямые ВС, С А и АВ соответственно, пересекаются в одной точке, то и перпендикуляры, опущенные из точек Л, β и С на прямые JSiCi, С ι Αχ и А\В\, также пересекаются в одной точке. 302. Дан четырехугольник ABCD. Пусть А\, В\ и С\ —точки пересечения высот треугольников BCD, ACD и ABD. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из А, В и С на прямые В\С\, С\А\ и А\В\ соответственно, пересекаются в одной точке. 303. Даны две точки А и В. Доказать, что геометрическое место точек Μ таких, что kAM2 + lBM2 = d (где А;, /, d—данные ® 35
числа, k + Ιφϋ), есть или окружность с центром на прямой 4J3, или точка, или пустое множество. 304. Цусть А\, 4г, ..., Ап — фиксированные точки, fci, &2> ..., кп—данные числа. Тогда геометрическим местом точек М, таких, что сумма к\А\М2 + къАъМ2 + ... + кпАпМ2 постоянна, будет: а) окружность, точка или пустое множество, если к\ + &2 + · - · + кп φ 0; б) прямая, пустое множество или вся плоскость, если к\ + &2 +... + кп = 0. 305. Даны окружность и точка А вне ее. Пусть окружность, проходящая через Л, касается данной в произвольной точке В, а касательные к ней, проведенные через точки А и 13, пересекаются в точке М. Найти геометрическое место точек М. 306. Даны две точки А и В: Найти геометрическое место точек 'М таких, что AM:MB — кф\. 307. Три точки Ау В и С расположены на одной прямой (В — между А и С). Возьмем произвольную окружность с центром в В и обозначим через Μ точку пересечения касательных, проведенных из А и С κ этой окружности. Найти геометрическое место точек Μ таких, что точки касания AM и СМ с окружностью лежат внутри отрезков AM и СМ. 308. Даны две окружности. Найти геометрическое место точек Μ таких, что отношение длин касательных, проведенных из Μ к данным окружностям, равно постоянной величине fc. 309. Пусть прямая пересекает одну окружность в точках А и Ву а другую — в точках С и D. Доказать, что точки пересечения касательных к первой окружности, проведенных в точках А и 23, с касательными, проведенными ко второй окружности в точках С и D (рассматриваются точки, в которых пересекаются касательные к разным окружностям), лежат на одной окружности, центр которой находится на прямой, проходящей через центры данных окружностей. 310. Возьмем три окружности, каждая из которых касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Доказать, что перпендикуляры, восставленные к сторонам треугольника в точках касания этих окружностей, пересекаются в одной точке. 311. Дан треугольник ABC. Рассмотрим всевозможные пары точек М\ и Мъ таких, что АМ\: ВМ\: СМ\ = АМ2 : ВМ2 : СМ^ Доказать, что все прямые М\Мъ проходят через фиксированную точку плоскости. 312. Расстояния от точки Μ до вершин Л, В и С треугольника равны соответственно 1, 2 и 3, а от точки М\—соответственно 36
3, νΪ5 и 5. Доказать, что прямая ММ\ проходит через центр круга, описанного около треугольника ABC. 313. Пусть А\, В\, C\—основания перпендикуляров, опущенных из вершин А, В и С треугольника ABC на прямую /. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из Αχ, В\ и С\ соответственно на ВС, С А и АВ, пересекаются в одной точке. 314. Дан правильный треугольник ABC и произвольная точка D; Αχ у J?i и С\—центры окружностей, вписанцых в треугольники BCD, CAD и ABD. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из вершин А, В и С на В\С\, С\А\ и А\В\ соответственно, пересекаются в одной точке. 315. Даны три попарно пересекающиеся окружности. Доказать, что три общие хорды этих окружностей проходят через одну точку. 316. На прямых АВ и АС взяты точки Μ и JV соответственно. Доказать, что общая хорда двух окружностей с диаметрами СМ и ΒΝ проходит через точку пересечения высот треугольника ABC. 317. На плоскости дана окружность и точка N. Пусть АВ — произвольная хорда окружности. Обозначим через Μ точку пересечения прямой АВ и касательной в точке N к окружности, описанной около треугольника ΑΒΝ. Найти геометрическое место точек М. 318. Внутри окружности взята точка А. Найти геометрическое место точек пересечения касательных, проведенных к окружности в концах всевозможных хорд, проходящих через точку А. 319. Даны числа а, β, 7 и *· Пусть ж, у, ζ — расстояния от точки Μ внутри треугольника до его сторон. Доказать, что геометрическое место точек Μ таких, что ax + Py + yz = k или пусто, или отрезок, или совпадает со множеством всех точек треугольника. 320. Найти геометрическое место точек Μ, расположенных внутри данного треугольника и таких, что расстояния от Μ до сторон данного треугольника равны сторонам некоторого треугольника. 321. Пусть Αχ, В\ и С\ —середины сторон ВС, С А и АВ треугольника ABC. На перпендикулярах, опущенных из некоторой точки Μ соответственно на стороны ВС, С А и АВ, взяты точки ^2, J?2 и Сч. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из А\, В\ и С\ соответственно на прямые В2С2, С2А2 и А2В2, пересекаются в одной точке. 37
322. Дана прямая I и три прямые fa, fa и fa, перпендикулярные /. Пусть А, В и С три фиксированные точки на прямой /; А\ —произвольная точка на fa, B\ — на fa, С\ — на fa. Доказать, что если при каком-то положении точек А\, В\ иd перпендикуляры, опущенные из Л, £ и С на прямые В\С\, С\А\ и А\В\ соо^ве^тйеййЬ, пересекаются в одной точке, то эти перпендикуляры'будут пересекаться в одной точке всегда. (Если Αχ, Βχ и С\ не лёжа* на одной прямой.) 323. АА{, ВВ\, СС\—высоты треугольника ABC, Αι, Вч и Сг —проекции А, В и С соответственно на В\С\% С\А\ и А\В\. Доказать, что перпендикуляры, опущенные из Аг, Β<ι и Сг соответственно на ВС, С А и АВ, пересекаются в однрй точке. § 2· Теоремы Чевы и Менелая. Аффинные задачи 324. Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны медианам данного, составляет 3/4 площади данного треугольника. 325. Дан параллелограмм АР CD; прямая, параллельная ВС, пересекает АВ и CD соответственно в точках EvlF, прямая, параллельная АВ, пересекает ВС и DA соответственно в точках С?иЯ. Доказать, что прямые ЕВ, GF и BD пересекаются в одной точке или параллельны. 326. А\ В, С и D—четыре фиксированные точки на прямой /. Через А и В проведены произвольно две параллельные прямые, через Сй; D—Две другие параллельные прямые. Проведённые йрям&е' образу1С)т параллелограмм. Доказать, что диагонали этого napeuijie^oipaMtMa пересекают I в двух фиксированных точках. 327. Дан'^етырехуголь!нйк ASCD; 0 — точка пересечения диагоналей АС и BDfM—точка; йа АС такая, что AM—ОС, N — точка на BD ^акая, что BN^OD, К ίί L—середины АС и BD. Доказать, что прямые ML; NK, а также прямаягсоеди- йяющая точки пересечения медиан треугольников ABC и ACD, пересекаются в одной точке. 328. На стороне ВС треугольника ABC взяты точки Αι и Аг, симметричные относительно середины ВС. Точно так же на стороне АС взяты точки В\ и В2, а на стороне AB-*Ci и С^. Доказать, что треугольники А\В\С\ и АгВгС^ равновелики, а центры >гяж£сти треугольников А\В\С\% А^В^Ръ и ABC лежат на одной прямой. 38
329. Через Μ— точку пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая стороны АВ и АС соответственно в точках К и L и продолжение ВС в точке Ρ (С между Ρ и В). Доказать, что JL = _i_ + JLjj: 330. Через точку пересечения диагоналей четырехугольника ABCD проведена прямая, пересекающая АВ в дочке Μ и CD в точке ЛГ. Через Μ и N проведены прямые, соответственно параллельные CD и АВ и пересекающие АС и Я1> в точках U7 и F. Доказать, что BE \\ CF. 331. Дан четырехугольник ABCD. На прямых АС и SZ) взяты соответственно точки К и Μ так, что #ЛТ || ADy AM \\ ВС. Доказать, что KM || CD. 332. Пусть Ε — произвольная точка на стороне АС треугольника ABC. Через вершину В проведем произвольную прямую /. Прямая, проходящая через Ε параллельно ВС, пересекает / в точке АГ, а прямая, параллельная АВ,— в точке Л/. Доказать, что AN || СМ. * * * 333. Стороны выпуклого четырехугольника разделены на (2п +1) равных частей каждая. Соответствующие точки деления противоположных сторон соединены друг с другом. Доказать, что площадь центрального четырехугольника составляет 1/(2п + 1)2 часть площади всего четыр^хугрдьнн[ка. 334. Прямая, проходящая через середины диагрналей АС и BD четырехугольника ABCD, пересекает: стороны АВ и DC соответственно.в точках Μ и i\[. Доказать, что Sdqm — Sabn- 335. В параллелограмме ABCD вершины Л, J5, С и D соединены с серединами стррор CD, ADr АВ я.ВС соответственно. Доказать, что площадь четырехугольника, образованного этими прямыми, составляет 1/5 площади параллелограмма. 336. Доказать, что площадь восьмиугольника, образованного прямыми, соединяющими вершины параллелограмма с серединами противоположных сторон, равна 1/6 площади параллелограмма. 337. На сторонах АС,и ВС треугольника,AJ3C ро внешнюю сторону построены два параллелограмма ACDE и BCFG. Продолжения DEn FD пересекаются в точке Н. На стороне АВ построен параллелограмм ABML, стороны AL и ВМ которого равны и параллельны НС. Доказать, что параллелограмм 39
ABML равновелик сумме параллелограммов, построенных на АС и ВС. 338. Через концы меньшего основания трапеции проведены две параллельные прямые, пересекающие большее основание. Диагона<ли трапеции и эти прямые разделили трапецию на семь треугольников и один пятиугольник. Доказать, что сумма площадей трех «треугольников, прилежащих к боковым сторонам и меньшему основанию трапеции, равна площади пятиугольника. 339· Пусть ABCD — параллелограмм, точка Ε лежит на прямой АВ, F—ра прямой AD (В—на отрезке АЕ, D—на отрезке AF), К — точка пересечения прямых ED и FB. Доказать, что четырехугольники ABKD и CEKF равновелики. * * * 340. Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Пусть Αχ, Βχ, С\—три точки на прямых ВС, С А, АВ соответственно. Введем следующие обозначения: _ АСХ ВАх СВХ Д*: СгВ АХС ВХА' suxlACCx ζϊιχΔΒΑΑχ нщ^СВВх sinzGxCB siazAxAC ζιηΖΒχΒΑ' Доказать, что i?=Д*. 341. Теорема Чевы. Для того чтобы прямые ΑΑχ, ΒΒχ, ССх пересекались в одной точке {или все три были параллельными), необходимо и достаточно, чтобы R= 1 (см. задачу 340) и при этом из трех точек Αχ, Βχ, Сх нечетное число (т. е. одна или все три) точек лежало на сторонах треугольника ABC, а не на продолжениях сторон. 342. Теорема Менелая. Для того чтобы точки Αχ,Βχ, Сх лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы R = 1 (см. задачу 340) и при этом из трех точек Αχ, Βχ, Сх четное число (т. е. нуль или две) точек лежало на сторонах треугольника ABC, а не на их продолжениях^ ACi Примечание. Можно вместо отношения -%-=? и других ОхВ рассматривать отношения направленных отрезков, которое будем обозначать I уть) и определять следующим образом: 40
\(m\= Ad (ACX\ —* JT~S> [ тг~Б 1 положительно, когда векторы AC\ и C\B одинаково направлены, и отрицательно, если они напра- (АСЛ влены противоположно друг другу. ( jr~5 1 имеет· ойисл лишь для точек, расположенных на одной прямой.) Легко видеть, что (АСЛ „ отношение I -р^-= I положительно, если точка С\ леяфт на отрезке АВ, и отрицательно, если С\—вне АВ. Соответственно, вместо R будем рассматривать произведение отношений направленных отрезков, которое обозначим R. Далее введем направленные углы. Под направленным углом АСС\ и др. будем понимать угол, на который надо повернуть С А вокруг С против часовой стрелки до совпадения луча С А с лучом СС\. Теперь вместо Д* будем рассматривать R* — соответствующее произведение отношений синусов направленных углов. Задачи 340, 341, 342 следует теперь переформулировать, 340*. Доказать, что Я = R*. 341*. Теорему Чевы. Для того чтобы прямые АА\, ΒΒχ, СС\ пересекались в одной точке (или были параллельны) необходимо и достаточно, чтобы R = 1. 342*. Теорема Менелая. Для того чтобы точки Αχ, Βι, С\ лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы Я = -1. 343. Доказать, что если три прямые, проходящие через вершины треугольника, пересекаются в одной точке, то и прямые, им симметричные относительно соответствующих биссектрис треугольника, также пересекаются в одной точке или параллельны. 344. Пусть О — произвольная точка плоскости, Μ и Ν — основания перпендикуляров, опущенных из точки О на биссек> трисы внутреннего и внешнего угла А треугольника ABC] P и Q аналогично определены для угла В; R и Τ—для угла С, Доказать, что прямые MN, PQ и RT пересекаются в одной точке или параллельны. 345. Пусть О—центр окружности, вписанной в треугольник АВС} Aq, Во, Со—точки касания этой окружности со сторонами ВС, С А, АВ соответственно. На лучах OAq, ОВо, ОСо взяты соответственно точки L, Μ, Kf находящиеся на равных расстояниях от О* а) Доказать, что прямые AL, ВМ и СК пересекаются в одной точке, б) Пусть Αχ,Βχ, С\ —проекции А, В, С на произ- 41
вольную прямую ί, проходящую через О. Доказать, что прямые A\L, B\M и С{К пересекаются в одной точке (Хирано). 346. Для того чтобы диагонали AD, BE и CF вписанного в окружность Шестиугольника ABCDEF пересекались в одной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство AB-CD-EfF*BC-DE-FA. 347. Доказать, что: а) биссектрисы внешних углов треугольника пересекают продолжения противоположных сторон треугольника в ipex точках, расположенных на одной прямой; б) касательные к описанной около треугольника окружности в вершинах треугольника пересекают его противоположные стороны в трех точках, расположенных на одной прямой. 348. Окружность пересекает сторону АВ треугольника ABC в точках С\ и С^, сторону С А—в точках В\ и i?2, сторону ВС — в точках Αχ и л42. Доказать, что если прямые ΑΑχ, ΒΒ\ и СС\ пересекаются в одной точке, то и прямые АА2, ΒΒ<ι и СС2 также пересекаются в одной точке. 349. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты точки Ci, Αχ и В\. Пусть С2 —точка пересечения прямых АВ и ΑχΒχ, Аъ — точка пересечения прямых ВС и В\С\, В2— точка пересечения прямых АС кА\С\. Доказать, что если прямые АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке, то точки Α<ι, В2 и C*i лежат на одной прямой. 350. Прямая пересекает стороны АВ, ВС и продолжение стороны АС треугольника ABC соответственно в точках Ζ), Ε и F. Доказать, что середины отрезков DC, AE и BF лежат на одной прямой (прямая Гаусса). 351. Дан треугольник ABC?. Определим на стороне ВС точку Αχ следующим образом: Αχ —середина стороны KL правильного пятиугольника MKLNP, у которого вершины К и L лежат на ВС у а вершины Μ и Ν —соответственно на АВ и АС. Аналогичным образом на сторонах АВ и АС определены точки С\ и В\. Доказать, что прямые АА\, ВВ\ иСС\ пересекаются в одной точке. 352. Даны три попарно непересекающиеся круга. Обозначим через Αχ, Α<ι, As три точки пересечения общих внутренних касательных к любым двум из них, а через -Βχ, 1?2, Вз —соответствующие точки пересечения внешних касательных. Доказать, что эти точки располагаются на четырех прямых по три на каждой (Αι, А2у В3; Аи В2, Л3; Ви Л2, А3; Ви Я2, Въ). 353. Доказать, что если прямые, проходящие через вершины А, В и С треугольника ABC параллельно соответственно прямым В\С\, С\А\ и А\В\, пересекаются в одной точке, то и пря- 42
мые, проходящие через Αχ, Βχ и С\ параллельно прямым ВС, С А и АВ, также пересекаются в одной точке (или параллельны), 354. Дан треугольник ABC, Μ— произвольная точка плоскости. Биссектрисы двух углов, образованных прямыми AM и ВМ, пересекают прямую АВ в точках С\ и С^ {Pi —на отрезке АВ), точно так же на ВС и С А определяются tqhkh Αχ κΑ2,Βχ и 52. Доказать, что Αχ, А2, Βχ, В2, Ci, C2 располоясецы до три на четырех прямых. 355. На сторонах ВС, С А и АВ треугольника АВС7 взяты соответственно точки Αχ, Βχ, Си а на сторонах Βχ6α(, Οχ Αχ, Α\Β\ треугольника А\В\С\ — А2, В2, (?2· Известно, что прямые Α4χ, ВВ\, СС\ пересекаются в одной точке, а также прямые А\А2, ВхВг, С\С2 пересекаются в одной точке. Доказать, что прямые АА2у ВВ2, СС2 пересекаются э одной точке^ (или параллельны). 356. Пусть АВ CD — четырехугольник, Ρ — точка пересечения ВС и AD, Q — точка пересечения С А и BD, R—точка пересечения АВ и CD. Доказать, что точки пересечения ВС и QR, С А и RP, АВ и PQ лежат на одной прямой. 357. Дан угол с вершиной О. На одной стороне угла взяты точки Αχ, А2, A3, А4, а ца другой —Βχ, В2г Вз, ί?4· Прямые ΑχΒχ и Л2В2 пересекаются в точке Ν, а прямые Л3В3 и А4.В4—в точке М. Доказать, что для того, чтобы точкиО, N ц Jli были на рдной прямой, необходимо и достаточно выполнения равенства (ОВЛ (ОВЛ (ВзВЛ (О АЛ /0Л2\; /Α3ΛΛ Vob3; ; \obJ \bxb2J * \,р4з/' V44J" Ui^2/' (См. примечание к задачам 340, 341, 342.) 358. Дан треугольник ABC. На сторонах ВСМСА и АВ взяты соответственно точки: А\ и А%} JB\ и В2, С\ и С2 тгре,. что АА\, ВВ\ и СС7х пересекаются в одной точке и АА2, ЁВ2 и СС2 также пересекаются в одной точке. Доказать, что: а) точки пересечен ния прямых А\В\ и АВ, В\С\ и ВС% С\А\ и С А лежат на одной прямой /χ. Точно так же точки А2, В2 и С?2 определяют прямую /2; б) точка Л, точка пересечения прямых 1\ и 12, а также точка пересечения прямых В\С\ и В2С2 лежат на одной прямой; в) точки пересечения прямых ВС и В2С\, С А и С2А%? АВ и А\В\ лежат на одной прямой. 359. Произэольная прямая пересекает прямые АЙ, ВС и СА в точках К, Ми L соответственно,-а прямые ΑχΒχ, Βχόχ и С\А\ — в точках ϋίχ, Λ/χ, иΧχ. Доказать, что если прямые А%М, B\L и С\К пересекаются в одной точке, то и прямые АМ\% BL\ и UKχ также пересекаются з.одной точке. 43
360. Дан треугольник ABC и точка D. Точки Е, F и G находятся соответственно на прямых AD, BD и CD, К — точка пересечения AF и BE, L — точка пересечения BG и CF, hi — точка пересечения СЕ и AG. В точках Р, Q и R пересекаются соответственно DK и АВ, DL и ВС, DM и АС. Доказать, что шесть прямых AL, EQ, ВМ, FR, СК и GP пересекаются в одной точке. 361. Точки А и А\, В и В\, С и С\ симметричны относительно прямой Ι, Ν — произвольная точка на /. Доказать, что прямые AN, BN, CN пересекают соответственно прямые В\С\, С\А\, А\В\ в трех точках, расположенных на одной прямой. 362. Пусть Ль Лз, А*> — три точки на одной прямой, Ач, А\, А% — на другой. Доказать, что три точки, в которых попарно пересекаются прямые А\Аъ и А\Аь, АъАъ и А$А§, А%А± и Α^Αχ, лежат на одной прямой (Папп). § 3. Геометрические места точек 363. Через точку переселения двух окружностей проведена прямая, вторично пересекающая окружности в двух точках А и J5. Найти геометрическое место середин отрезков АВ. 364. Даны точка А и прямая /, В — произвольная точка L Найти геометрическое место точек Μ таких, что АВМ — правильный треугольник. 365. Дан правильный треугольник ABC. На продолжении его сторон АВ и АС за точки В и С взять1 точки D и Ε так, что BDCE = BC2. Найти геометрическое место точек пересечения прямых DC и BE. 366. Даны три точки А, В и С на прямой, D — произвольная точка плоскости, не лежащая на этой прямой. Проведем через С прямые, параллельные AD и BD, до пересечения с прямыми BD и AD в точках PnQ. Найти геометрическое место оснований Μ перпендикуляров, опущенных из С на PQ, а также найти все точки D, для которых Μ — фиксированная точка. 367. На стороне АС треугольника ABC взята точка К, а на медиане BD — точка Ρ так, что площадь треугольника АР К равна площади треугольника ВРС. Найти геометрическое место точек пересечения прямых АР и ВК. 368. Через данную точку О внутри данного угла проходят два луча, образующие данный угол а. Пусть один луч пересекает одну сторону угла в точке А, а другой луч — другую 44
сторону угла в точке В. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из О на прямую АВ. ,369. В окружности проведены два взаимно перпендикулярны^ диаметра АС и BD. Пусть Ρ—произвольная точка окружности, РА пересекает BD в точке Е. Прямая, проходящая через Ε параллельно АС, пересекается с прямой Ρ В в точке М. Найти геометрическое место точек М. 370* Дан угол, вершина которого — в точке Л, и то^ка В. Произвольная окружность, проходящая через А и J5, пересекает стороны угла в точках С и D (отличных от А). Найти геометрическое место центров тяжести треугольников ACD. 371. Одна вершина прямоугольника находится э данной точке, две другие, не принадлежащие одной стороне,—на двух заданных взаимно перпендикулярных прямых. Найти геометрическое место четвертых вершин таких прямоугольников. 372. Пусть А—оДна из двух точек пересечения двух данных окружностей; через другую точку пересечения проведена произвольная прямая, пересекающая одну, окружность в точке J3, а другую — в точке С, отличных от общих точек этих окружностей. Найти геометрическое место: а) центров окружностей, описанных около ABC; б) центров тяжестей треугольника ABC; в) точек пересечения высот треугольника ABC. 373. Пусть В и С—две фиксированные точки данной окружности, А — переменная точка этой же окружности. Найти геометрическое место оснований перпендикуляров, опущенных из середины АВ на АС. 374. Найти геометрическое место точек пересечения диагоналей прямоугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через четыре данные точки плоскости. 375. Даны два круга, касающиеся друг друга изнутри в точке А. Касательная к меньшему кругу пересекает большую окружность в точках В и С. Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных в треугольники ABC, 376. Даны две пересекающиеся окружности. Найти геометрическое место центров прямоугольников с вершинами на этих окружностях. 377. Внутри круглого биллиарда в точке А, отличной от центра, лежит упругцй шарик, размерами которого можно пренебречь. Указать геометрическое место точек Л, из которых можно так направить этот шарик, чтобы он, минуя центр биллиарда,, после трех отражений от границы попал в точку А. 378. Через точку, лежащую на равном расстоянии от двух данных параллельных прямых, проведена прямая, пересекаю- 45
щая эти прямые в точках Μ η N. Ыайуи геометрическое место вершин Ρ равносторонних треугольников ΜΝΡ, 379. Даны две точки А и В и прямая /. Найти геометрическое место дентров окружностей, проходящих через А и*В и пересекающих прямую /. 380. Даны Две точки О и М. Определить: а) геометрическое место точек плоскости, которые могут служить одной из вершин треугольника с центром описанного круга в точке О и центром тяжести в точке Μ; б) геометрическое место точек плоскости, которые могут служить одной из вершин тупоугольного треугольника с центром описанного круга в точке О и центром тяжести в точке М. 381. В окружность вписан правильный треугольник. Найти геометрическое место точек пересечения высот всевозможных треугольников, впис&нных в эту же окружность, две стороны которых параллельны двум сторонам данного правильного треугольника. 382. Найти геометрическое место центров всевозможных прямоугольников, описанцых около данного треугольника. (Прямоугольник будем называть описанным, если одна вершина треугольника срвладает с вершиной прямоугольника, а две другие лежат на двух, не содержащих этой вершины, сторонах прямоугольника.) 383. Даны дэа квадрата, с соответственно параллельными сторонами. Определить геометрическое место точек Μ таких, что для любой точки Ρ из первого квадрата найдется, точка Q из второго такая; что треугольник MPQ т— правильный. Пусть стороны первого квадрата равны а> второго—6. При каком соотношении между α и 6 искомое геометрическое место точек не пусто? 384* Внутри дайного треугольника найти геометрическое место точек Μ, для каждой из которых )цля любой точки iV, лежащей на границе треугольника, можно найти такую точку Ρ внутри или на его границе, что площадь треугольника ΜΝΡ не меньше 1/6 площади данного треутл&нфса; 385. Даны две точки А и /. Найти г^&етрическое ыесго точек В таких, что Ьуществует треугольник ABC с центром вписанного круга в точке /, веб углы которого меньше а (60° < а < 90°). 386. Точки Л, В и С расположены на одно# прямой (В — между А и С). Найтд геометрическое место точек Μ такдх, что ctg Δ ΑΜΒ + ctg ΔΒΜ С =? fc. 46
387. Даны две точки А и Q. Найти геометрическое место точек В таких, что существует остроугольный треугольник АВС^ для которого Q—центр тяжести. 388. Даны две точки Аи Н. Найти геометрическое место точек В таких, что существует треугольник ABC, для которого Я — точка пересечения высот и все углы которого больше а (α<π/4). 389. На плоскости даны два луча. Найти геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от этих лучей. (Расстояние от точки до луча равно расстоянию от этой точки до ближайшей к ней точки луча.) 390. Дан угол и окружность с центром в точке О, вписанная в этот угол. Произвольная прямая касается окружности и пересекает стороны угла в точках Μ и N. Найти геометрическое место центров окружностей, описанных около треугольников ΜΟΝ. 391. Даны две окружности, на них взяты по одной точке А и В, равноудаленных от середины отрезка, соединяющего их центры. Найти геометрическое место середин отрезков АВ. 392. Дан отрезок АВ. Возьмем на АВ произвольную точку Μ и рассмотрим два квадрата AMCD и MBEF, расположенные по одну сторону от АВ. Опишем около этих квадратов окружности и обозначим через N их точку пересечения, отличную от М. Доказать, что: a) AF и ВС пересекаются в JV; б) ΜΝ проходит через фиксированную точку плоскости. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих центры квадратов. 393. Дана окружность и точка А. Пусть Μ—произвольная точка окружности. Найти геометрическое место точек пересечения срединного перпендикуляра к отрезку AM и касательной к окружности, проходящей через М. 394. Две окружности касаются друг друга в точке А. Одна прямая, проходящая через А, пересекает вторично эти окружности в точках В и Су другая — в точках В\ и С\ (В и В\ — на одной окружности). Найти геометрическое место точек пересечения окружностей, описанных около треугольников АВ\С и АВСХ. 395. Найти геометрическое место вершин прямых углов всевозможных равнобедренных прямоугольных треугольников, концы гипотенуз которых лежат на двух заданных окружностях. 396. Стороны данного треугольника являются диагоналями трех параллелограммов. Стороны этих параллелограммов параллельны двум прямым — I и р. Доказать, что три диагонали этих параллелограммов, отличные от сторон треугольника, пересекаются в одной точке М. Найти геометрическое место точек 47
Μ, если / и р — две произвольные взаимно перпендикулярное прямые. 397. Пусть В и С — две фиксированные точки окружнсвти, А — произвольная точка этой окружности; Η — точка пересечения высот треугольника ABC, Μ—проекция Я на биссектрису угла ВАС, Найти геометрическое место точек М. 398. Дэн треугольник ABC. Пусть D—произвольная точка на прямой J5C?, Прямые, проходящие через D параллельно АВ и АС, пересекают АС и АВ в точках EvlF. Найти геометрическое места центров окружностей, проходящих через точки D, Ε и F. 399. Дан ABC—правильный треугольник. Найти геометрическое место точек Μ внутри этого треугольника таких, что ΔΜΑΒ + ШВС + ZMCA = π/2. 400. Внутри треугольника взята точка Μ такая, что существует прямая I, проходящая через Μ и разбивающая данный треугольник на две части таким образом, что при симметрии относительно I одна часть оказывается внутри или на границе другой. Найти геометрическое место точек М. § 4. Треугольник. Треугольник и окружность 401. Из Ёвршины А треугольника ABG опущены перпендикуляры AM и AN на биссектрисы внешних углов треугольника (В и С). Доказать, что отрезок MN равен полупериметру треугольника ABC. 402. В треугольнике ABC проведена высота BD, AN — перпендикуляр к АВ, СМ—перпендикуляр к ВС, причем AN=DC, CM = AD. Доказать, что М и N равноудалены от вершины В. 403. Доказать, что для любого прямоугольного треугольника радиус окружности, касающейся его катетов и описанной окружности (изнутри), равен диаметру вписанной окружности. 404. Доказать, что если одна сторона треугольника лежит на фиксированной прямой плоскости, а точка пересечения высот совпадает с фиксированной точкой, то окружность, описанная около этого треугольника, также проходит через фиксированную точку. 405. Дан треугольник ABC; пусть А\, В\ и С\—точки окружности, описанной около ABC, диаметрально противоположные вершинам А, В и С. Проведем через А\, В\ и Сг прямые, параллельные ВС, СА и АВ. Доказать, что треугольник, образованный этими прямыми, гомотетичен треугольнику ABC с коэф- 48
фидиентом 2 и центром в точке пересечения высот треугольника ABC. 406. Доказать, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты, лежат на одной прямой. 407. На продолжении стороны АВ треугольника ABC за точку В взята точка D так, что BD = СВ. Точно так же на продолжении стороны СВ за точку В взята точка F так, что BF — AB. Доказать, что точки А, С, D и F лежат на одной окружности, центр которой находится на окружности, описанной около треугольника ABC. 408. Три равные окружности проходят через точку Я. Доказать, что Η является точкой пересечения высот треугольника, вершины которого совпадают с тремя другими точками попарного пересечения окружностей. 409. Пусть Ρ — произвольная точка окружности, описанной около прямоугольника. Две прямые, проходящие через Ρ параллельно сторонам прямоугольника, пересекают стороны прямоугольника или их продолжения в точках К, L, Μ и N. Доказать, что N—точка пересечения высот треугольника KLM. Доказать также, что основания высот треугольника KLM, отличные от Р, лежат на диагоналях прямоугольника. 410. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD, BE и CF. Прямая, перпендикулярная AD ц проходящая через середину AD, пересекает АС в точке Р. Прямая, перпендикулярная BE и проходящая через середину BE, пересекает АВ в точке Q. Наконец, прямая, перпендикулярная CF и проходящая через середину CF, пересекает СВ в точке R. Доказать, что треугольники DEF и PQR равновелики. 411. В равнобедренном треугольнике ABC (АВ = ВС), D — середина АС, Ε — проекция D на ВС, F—середина DE. Докаг зать, что прямые BF и АЕ перпендикулярны. 412. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон АВ й АС в точках С\ и Βχ} а окружность, касающаяся стороны ВС и продолжений АВ и АС, касается прямых АВ и АС в точках С^ и В^ Пусть D—середина ВС. Прямая AD пег ресекается с прямыми В\С\ и В2С2 в точках Ε и F. Доказать, что ВЕСЕ—параллелограмм. 413. В треугольнике ABC проведена биссектриса внутреннего угла AD. Построим касательную / к описанному кругу в точке А. Доказать, что прямая, проведенная через D параллельно I, касается вписанной окружности треугольника ABC. 49
414. В треугольнике ABC проведена прямая, пересекающая стороны АС и ВС в точках Μ и N так, что ΜΝ — AM + BN. Доказать, что все такие прямые касаются одной и той же окружности. 415. Доказать, что точки, симметричные центру описанного около треугольника круга относительно середин его медиан, лежат на высотах треугольника. 416. Доказать, что если высота треугольника в у/2 раз больше радиуса описанного круга, то прямая, соединяющая основания перпендикуляров, опущенных из основания этой высоты на стороны, ее заключающие, проходит через центр описанного круга. 417. Пусть ABC — прямоугольный треугольник (zC = 90°), CD — высота, К—точка плоскости, причем АК = АС. Доказать, что диаметр окружности, описанной около треугольника АВК, проходящий через вершину А, перпендикулярен прямой DK. 418. Через вершину А треугольника ABC проведена прямая параллельно ВС;, на этой прямой взята точка D так, что AD = АС + АВ; отрезок ΌΒ пересекает сторону АС в точке Е. Доказать, что прямая, проведенная через Ε параллельно ВС, проходит через центр вписанной в треугольник ABC окружности. 419. Две окружности проходят через вершину угла и точку, лежащую на биссектрисе. Доказать, что отрезки сторон угла, заключенные между окружностями, равны. 420. Дан треугольник ABC и точка D. Прямые AD, BD и CD вторично пересекаются с окружностью, описанной около треугольника ABC, в точках А\,В\ и С\ соответственно. Рассмотрим две окружности: первая проходит через Л и А\, вторая— через В и JSi. Доказать, что концы общей хорды этих двух окружностей и точки С и С\ лежат на одной окружности. 421. Через вершины А, В и С треугольника ABC проведены три параллельные прямые l\, fa и /з· Доказать, что прямые, симметричные /i, fa и /з соответственно относительно биссектрис углов А, В, С, пересекаются в одной точке, расположенной на окружности, описанной около треугольника ABC. 422. Доказать, что если Μ — точка внутри треугольника ABC и прямые AM, В Μ и СМ проходят соответственно через центры окружностей, описанных около треугольников ВМС, СМ А и АМВ, то Μ—центр окружности, вписанной в треугольник ABC. 423. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC взяты точки А\, В\ и С\ соответственно. Пусть Μ — произвольная точка плоскости. Прямая ВМ вторично пересекает окружность, 50
проходящую через Αχ, В и С\ в точке #2, прямая СМ пересекает окружность, проходящую через Αχ, Βχ и С в точке СЬ, а прямая ЛМ—окружность, проходящую через А, Βχ и Ci, в точке Лг- Доказать, что точки Лг, #2, Сг и Μ лежат на одной окружности. 424. Пусть Αχ — точка, симметричная точке касания окружности, вписанной в треугольник ABC, со стороной ВС, относительно биссектрисы угла А. Аналогично определяются точки В\ и С\. Доказать, что прямые ΑΑχ, ΒΒχ, СС\ и прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружности треугольника ABC, пересекаются в одной точке. 425. Пусть ΑΑχ, ΒΒχ, СС\—высоты треугольника ABC, Прямая, перпендикулярная АВ, пересекает АС и А\С\ в точках К и L. Доказать, что центр окружности, описанной около треугольника KLBx, лежит на прямой ВС. 426. Четыре равные окружности проходят через одну точку Л. Доказать, что три отрезка, концы каждого из которых отличны от Л и являются точками пересечения двух окружностей (противоположные концы каждого отрезка не принадлежат одной окружности), пересекаются в одной точке. 427. Дан прямоугольный треугольник ABC; угол С — прямой, О — центр вписанной окружности, Μ — точка касания вписанной окружности с гипотенузой, окружность с центром в Μ, проходящая через О, пересекается с биссектрисами углов Л и 2? в точках К и L, отличных от О. Доказать, что К и L — центры окружностей, вписанных в треугольники ACD и BCD, где CD — высота треугольника ABC. 428. Доказать, что в треугольнике ABC биссектриса угла Л, средняя линия, параллельная АС, и прямая, соединяющая точки касания вписанной окружности со сторонами СВ и СА, пересекаются в одной точке. 429. Доказать, что три прямые, проходящие соответственно через основания двух высот треугольника, концы двух его биссектрис и через две точки касания вписанной окружности с его сторонами (все точки расположены на двух сторонах треугольника), пересекаются в одной точке. 430. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC взяты точки Αχ, Βχ и С\ так, что прямые АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке. Доказать, что если АА\ является биссектрисой угла В\А\С\, то ΑΑχ —высота треугольника ABC. 431. На сторонах ВС, С А и АВ треугольника ABC взяты соответственно точки А\, Βχ и С\ так, что /,АА\С = ζΒΒχΑ = = £СС\В (углы измеряются в одном направлении). Доказать, что центр окружности, описанной около треугольника, ограни- 51
ченного прямыми АА\, ВВ\ и СС\, совпадает с точкой пересечения высот треугольника ABC. 432. Вершины треугольника A\B\Ci расположены на прямых ВС, С А и АВ (Αχ — на ВС, Вг —на С А, С\ —на АВ). Доказать, что если треугольники ABC и ΑχΒχΰι подобны (сходственными являются вершины А и А\, В и В\, С и С\)> то точка пересечения высот треугольника А\В\С\ является центром описанной около треугольника ABC окружности. Верно ли обратное утверждение? 433. На каждой стороне треугольника взято по две точки таким образом, что все шесть отрезков, соединяющих каждую точку с противоположной вершиной, равны между собой. Доказать, что середины этих шести отрезков лежат на одной окружности. 434. В треугольнике ABC на лучах АВ и СВ отложены отрезки AM = CN=p, где ρ—полупериметр треугольника (В лежит между Аи Μ и между С и Ν). Пусть К—точка описанной около ABC окружности, диаметрально противоположная В. Доказать, что перпендикуляр, опущенный из К на MN, проходит через центр вписанной окружности. 435. Из некоторой точки окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, проведены прямые, параллельные ВС, СА и АВ пересекающие СА, АВ и ВС в точках Μ, Ν и Q соответственно. Доказать, что Μ, Ν и Q лежат на одной прямой. 436. Доказать, что три прямые, симметричные произвольной прямой, проходящей через точку пересечения высот треугольника, относительно сторон треугольника, пересекаются в одной точке. 437. Теорема Лейбница. Пусть Μ — произвольная точка плоскости, G—центр тяжести треугольника ABC. Тогда выполняется равенство 3MG2 = Μ А2 + MB2 + Μ С2 - -(АВ2 + +ВС2 + СА2). 438. Пусть ABC — правильный треугольник со стороной а, Μ — некоторая точка плоскости, находящаяся на расстоянии d от центра треугольника ABC. Доказать, что площадь треугольника, стороны которого равны отрезкам Μ A, MB и МС, /к выражается формулой 5= -гт \а2 — 3d2|. 439. Даны два правильных треугольника: ABC и А\В\С\. Найти геометрическое место таких точек Μ, что два треуголь- 52
ника, составленных из отрезков Μ A, MB, МС и МА\, ΜΒχ, МС\ соответственно, равновелики. 440. Дан треугольник ABC. На лучах АВ и СВ откладываются отрезки АК и СМ, равные АС. Доказать, что радиус окружности, описанной около треугольника ВКМ, равен расстоянию между центрами вписанной и описацной окружностей треугольника ABC, а прямая КМ перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанной и описацной окружностей. 441. Через вершину треугольника проведена прямаяг перпендикулярная прямой, соединяющей центры вписанной и описанной окружностей. Доказать, что эта прямая со сторонами данного треугольника образует два треугольника, для которых разность радиусов описанных окружностей равна расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей исходного треугольника. 442. Доказать, что если длины сторон треугольника обраг зуют арифметическую прогрессию, то: а) радиус вписанного круга равен 1/3 высоты, опущенной на среднюю сторону; б) прямая, соединяющая центр тяжести треугольника с центром вписанного круга, параллельна средней стороне; в) биссектриса внутреннего угла, противолежащего средней стороне, перпендикулярна прямой, соединяющей центры вписанного и описанного кругов; г) для всех точек этой биссектрисы сумма расстояний до сторон треугольника постоянна; д) цертр вписанной окружности, середины наибольшей и наименьшей сторон и вершина угла, ими образованного, лежат на одной окружности. 443. Пусть К— середина стороны ВС треугольника ABC, Μ— основание высоты, опущенной на ВС. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается стороны ВС в точке D] окружность вневписанная, касающаяся продолжений АВ и АС и стороны ВС, касается ВС в точке Е. Общая касательная к этим окружностям, отличная от сторон треугольника, пересекает окружность, проходящую через К и М, в точках F и С. Доказать, что точки D, Е, F и G лежат на одной окружности. * * * 444. Доказать, что центр тяжести треугольника, точка пересечения высот и центр описанного круга лежат на одной прямой {прямая Эйлера). 445. Какие стороны пересекает прямая Эйлера в остроугольном и тупоугольном треугольнике? 53
446. Пусть К — точка, симметричная центру описанной около ААВС окружности относительно стороны ВС. Доказать, что прямая Эйлера треугольника ABC делит отрезок АК пополам. . 447. Доказать, что,на прямой Эйлера треугольника ABC существует; такал точка Р, что расстояния от центров тяжести треугольников АЕ?Р, АСР, САР соответственно до вершин С, А и В ра»цы; между собой, 448. Пусть Ρ — такая точка внутри треугольника ABC, что углы АРВ, РВС и СРА равны 120° (предполагаем, что углы треугольника ABC меньше 120°). Доказать, что прямые Эйлера треугольников АР В, В PC и СРА пересекаются в одной точке. Примечание. Πρϊϊ решении этой задачи используется результат задачи 597. 449. Доказать, что прямая, соединяющая центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника, является прямой Эйлера треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами данного треугольника. * * * 450. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из прриз;вр-?ц>ной точки ркружности, описанной около треугольника, ц$> стороны треугольника, лежат на одной прямой (прямая Симеона).. 451. Доказать, что угол между прямыми Симеона, соответствующими двум точкам окружности, измеряется половиной дуги между, этими точками. 452. Пусть М — точка ркружности, описанной около треугольника ABC. Прямая, проходящая через Μ перпендикулярно ВС у вторично пересекает окружность в точке N. Доказать, что прямая Симеона, соответствующая точке М, параллельна прямой AN. 453. Доказать, что проекция стороны АВ треугольника ABC на прямую Симеона, соответствующую точке М, равна расстоянию между проекциями точки Μ на стороны АС и ВС 454. Пусть АА\, ВВ\, СС\—высоты треугольника ABC. Прямые АА\У ВВ\, СС\ вторично пересекают окружность, описанную около треугольника ABC, в точках Α*χ, i?2, C2 соответственно. Прямые Симеона, соответствующие точкам Лг, #2> ^2> образуют треугольник А3В3С3 (^з—точка пересечения прямых Симеона, соответствующих точкам 2?2 и С-г и т. д.). Доказать, что 54
центры тяжести треугольников А\В\С\ и А3Я3С3 совпадают, а прямые АА\, ВВ\, СС\ пересекаются в одной точке. 455· Пусть А\, В\ и С\—точки на окружности, описанной около треугольника ABC, такие, что ^АА\+^ВВ\+ ^СС\ — = 2кп (все дуги измеряются в одном направлений, К—целое число). Доказать, что прямые Симеона точек A\;Bi 'й С{ относительно треугольника ABC пересекаются в одной точке. 456. Доказать, что касательная к параболе в fee вершине является прямой Симеона треугольника, образованного при пересечении любых трех других касательных к той же параболе (Шюллер). * * * 457. Доказать, что середины сторон треугольника, основания вершины и середины отрезков вершины от вершин до точки их пересечения лежат на одной окружности—«окружности девяти точек» (Эйлер). 458. Пусть Я— точка пересечения высот треугольника, D — середина какой-либо стороны, К — одна из точек пересечения прямой HD с описанной окружностью (D между Η и К). Доказать, что D—середина отрезка НК. 459. Пусть Μ — точка пересечения медиан треугольника, Ε — основание какой-либо высоты, F — одна из точек пересечения прямой ME с описанной окружностью (М между £7 и F). Доказать, что FM — 2EM. 460. Высота, опущенная на сторону ВС треугольника ABC, пересекает описанную окружность в точке «Αι. Доказать, что расстояние от центра окружности девяти точек до стороны ВС разно \ЛМ. 4 461. В треугольнике ABC АА\ —высота, Я—точка пересечения высот. Пусть Ρ—произвольная точка окружности, описанной около треугольника ABC, Μ—точка на прямой HP такая, что НРНМ = НА\ НА (Я—на отрезке MP, если треугольник ABC — остроугольный и вне его, если он—тупоугольный). Доказать, 4to M лежит на окружности девяти точек треугольника ABC. 462. В треугольнике ABC В К—высота, BL—медиана, Μ и N — проекции точек А и С на биссектрису угла В. Доказать, что точки К, L, Μ и N лежат на одной окружности, центр которой находится на окружности девяти точек треугольника ABC. 55
463· Пусть Η—точка пересечения высот треугольника, F— произвольная точка описанной окружности. Доказать, что прямая Симеона, соответствующая точке F, проходит через одну из точек пересечения прямой FH с окружностью девяти точек (см. задачи 450, 456). 464. Пусть I — произвольная прямая, проходящая через центр окружности, описанной около треугольника ABC, L, К, и Ρ—проекции А, В и С на /. Проведем через L прямую, перпендикулярную ВС', через К — перпендикулярную АС, через Ρ — перпендикулярную АВ. Доказать, что эти три прямые пересекаются в одной точке, расположенной на окружности девяти точек треугольника ABC. 465. Дан треугольник ABC] ΑΑχ, ΒΒ\ и СС\ — его высоты. Доказать, что прямые Эйлера треугольников АВ\С\, А\ВС\, А\В\С пересекаются в такой точке Ρ окружности девяти точек, ддя которой один из отрезков РА, РВ, PC равен сумме двух других отрезков (Виктор Тебо). 466. Доказать, что три окружности, кайедая из которых проходит через вершину треугольника, основание высоты, опущенной из этой вершины, и касается радиуса описанного около треугольника круга, проведенного в эту вершину, пересекаются в двух точках, расположенных на прямой Эйлера данного треугольника. 467. Рассмотрим три окружности, каждая из которых проходит через одну вершину треугольника и основания двух биссектрис — внутренней и внешней, выходящих из этой вершины (эти окружности носят название окружностей Аполлония). Доказать, что: а) эти три окружности пересекаются в двух точках (Μχ и Мг); б) прямая М\М2 проходит через центр круга, описанного около данного треугольника; в) основания перпендикуляров, опущенных из точек М\ и Μ<ι на стороны треугольника, служат вершинами двух правильных треугольников. 468. Прямая, симметричная медиане треугольника относительно биссектрисы того же угла, называется симедианой. Пусть симедиана, выходящая из вершины В треугольника ABC, пересекает АС в точке К. Доказать, что АК.КС=АВ2:ВС2. 469. Пусть D—произвольная точка на стороне ВС, Ε и F— точки на АС и АВ такие, что DE параллельна АВ, a DF параллельна АС. Окружность, проходящая через D, Ε и F, вторично пересекает ВС, С А и АВ в точках D\, Е\ и Fi соответственно. Пусть Μ и N—точки пересечения DE и F\D\, DF и D\E\. Доказать, что Μ и N лежат на симедиане, выходящей из вершины А. При этом, если D совпадает с основанием симедааны, то ок- 56
ружность, проходящая через D, Ε и F, касается стороны ВС. (Эта окружность называется окружностью Туккера). 470. Доказать, что общие хорды описанной около данного треугольника окружности и окружностей Аполлония являются симедианами этого треугольника (см. задачи 467, 468). * * * 471. Дана трапеция ABCD, в которой боковая сторона CD перпендикулярна основаниям AD и ВС. Окружность с диаметром АВ пересекает AD в точке Р(Р отлична от Л). Касательная к окружности в точке Ρ пересекает CD в точке М. Из Μ к окружности проведена вторая касательная, касающаяся ее в точке Q. Доказать, что прямая BQ делит CD пополам. 472. Пусть Μ и N — проекции точки пересечения высот треугольника ABC на биссектрисы внутреннего и внешнего угла В. Доказать, что прямая MN делит сторону АС пополам. 473. Дана окружность и две точки А и В на ней. Касательные к окружности, проходящие через А и J5, пересекаются в точке С. Окружность, проходящая через С, касается прямой АВ в точке В и вторично пересекается с данной в точке М. Доказать, что прямая AM делит отрезок СВ пополам. 474. Из точки Л, расположенной вне окружности, проведены к ней две касательные AM и ΑΝ (Μ и N — точки касания) и секущая, пересекающая окружность в точках К и L. Проведем произвольную прямую /, параллельную AM. Пусть КМ и LM пересекают I в точках Ρ и Q. Доказать, что прямая ΜΝ делит отрезок PQ пополам. 475. Диаметр окружности, вписанной в треугольник ABC, проходящий через точку касания со стороной ВС, пересекает хорду, соединяющую две другие точки касания, в точке N. Доказать, что AN делит ВС пополам. 476. В треугольник ABC вписана окружность. Пусть Μ — точка касания окружности со стороной АС, МК — диаметр. Прямая В К пересекает АС в точке N. Доказать, что AM = NC. 477. В треугольник ABC вписана окружность, Μ—точка касания окружности со стороной ВС, МК—диаметр. Прямая АК пересекает окружность в точке Р. Доказать, что касательная к окружности в точке Ρ делит сторону ВС пополам. 478. Прямая I касается окружности в точке А, пусть CD — хорда окружности, параллельная /, В — произвольная точка прямой /. Прямые СВ и DB вторично пересекают окружность 57
в точках L и К. Доказать, что прямая LK делит отрезок АВ пополам. 479. Даны две пересекающиеся окружности. Пусть А — одна из точек их дересечения. Из произвольной точки, лежащей на продолжении общей хорды данных окружностей, проведены к одной из ни* дэе касательные, касающиеся ее в точках Μ и N. Пусть Ρ и Q — точки пересечения (отличные от А) соответственно прямых Μ А и ΝΑ со второй окружностью. Доказать, что прямая ΜΝ делит отрезок PQ пополам. 480. На высоте BD треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны АВ и ВС соответственно в тачках К и L. Прямые, касающиеся окружности в точках К и I/, пересекаются в точке М. Доказать, что прямая ВМ делит сторону АС пополам. 481. Прямая Ζ перпендикулярна отрезку АВ и проходит через В. Окружность с центром на I проходит через А и пересекает I в точках С и В, касательные к окружности в точках А и С пересекаются в АГ, Доказать, что прямая DN делит отрезок АВ пополам. 482. Около треугольника ABC описана окружность. Пусть N — точка пересечения касательных к окружности, проходящих через точки В и С, М—такая точка окружности, что AM || J5C, К — точка пересечения MN и окружности. Доказать, что К А делит ВС пополам. 483. Пусть А — проекция центра данной окружности на прямую I. На этой прямой взяты еще две точки В и С так, что АВ = АС. Через В и С проведены две произвольные секущие, пересекающие окружность в точках Р, Q и Μ, Ν соответственно. Пусть прямые NP и ЦQ пересекают прямую Ζ в точках R и S. Доказать, что RA = AS. 484. Дан треугольник ABC; Αχ, Bi, C\—середины сторон ВС, С А и*АВ, К и L — основания перпендикуляров, опущенных из вершин В и С на прямые А\С\ и А\В\ соответственно, О — центр окружности девяти точек. Доказать, что прямая А\0 делит отрезок KL пополам. * * * 485. Пусть точки А\, Вь С\ симметричны некоторой точке Ρ соответственно относительно сторон ВС, С А и АВ треугольника ABC. Доказать, что: а) окружности, описанные около треугольников А\ВС, АВ\С, АВС\, имеют общую точку; б) ркружности, 58
описанные около треугольников А\В\С, А\ВС\, АВ\С\, имеют общую точку. 486. Пусть АВ — диаметр полукруга, Μ — точка на АВ. Точки С, D, Ε и F — лежат на полуокружности так, что lAMD = /.EMB, LCMA — LFMB. Пусть Ρ—точка пересечения прямых CD и EF. Доказать, что прямая РМ перпендикулярна АВ. 487. Перпендикуляр, восставленный к стороне АВ треугольника ABC в ее середине D, пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке Ε (С и Е—«по одну сторону от АВ), F — проекция Ε на АС. Доказать, что прямая DF делит периметр треугольника ABC пополам и что три такие прямые, построенные для каждой стороны треугольника, пересекаются в одной точке. 488. Доказать, что прямая, делящая периметр и площадь треугольника в одинаковом отношении, проходит через центр вписанной окружности. 489. Доказать, что три прямые, проходящие через вершины треугольника и делящие его периметр пополам, пересекаются в одной точке N {точка Нагеля). Пусть Μ — центр тяжести треугольника, /—центр вписанной окружности, S—центр окружности, вписанной в треугольник с вершинами в серединах сторон данного. Доказать, что точки Ν, Μ, Ι и S лежат на одной прямой, причем MN = 2IM, IS = SN. * * * 490. Обозначим через а, 6 и с стороны треугольника ABC, a + b + c = 2p; G—точка пересечения его медиан, О, /, 1а — соответственно центры описанного, вписанного и вневписанного кругов (вневписанный круг касается стороны ВС и продолжения сторон АВ и AC), R, г, га — их радиусы. Доказать справедливость следующих соотношений: а) а2 + 62 + с2 = 2р2-2г2-8Яг; 6)OG2 = R2-±(a2 + b2 + c2); B)IG2 = ^(p2 + 5r2-16Rr); г)ОГ2 = Д2-2Дг (Эйлер); д)0/2=Я2 + 2Дга; е)Л2 = 4Д(га-г). 59
491. Пусть ВВ\ и СС\ —биссектрисы углов В и С треугольника ABC. Доказать (в обозначениях предыдущей задачи), что (b + a)(c + a)R 492. Доказать, что точки, симметричные центрам вневписан- ных окружностей относительно центра описанной окружности, лежат на окружности, концентрической вписанной окружности, с радиусом, равным диаметру описанной окружности. 493. Доказать, что сумма площадей трех треугольников, вершинами каждого из которых являются три точки касания вне- вписанной окружности с соответствующей стороной треугольника и продолжениями двух других сторон, равна удвоенной площади треугольника, сложенной с площадью треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника, 494. Найти сумму квадратов расстояний от точек касания вписанной в данный треугольник окружности с его сторонами до центра описанной, если радиус вписанной окружности равен г, а радиус описанной—R. 495. Через основания биссектрис треугольника ABC проведена окружность. Доказать, что одна из хорд, образованных при пересечении этой окружности со сторонами треугольника, равна сумме двух других. 496. Пусть АА\, ВВ\ и СС\—биссектрисы треугольника ABC у L — точка пересечения прямых АА\ и В\С\, К — точка пересечения А\В\ и СС\. Доказать, что ВВ\ является биссектрисой угла LBK. 497. В треугольнике ABC на сторонах АВ и ВС взяты точки К и L так, что AK?=KL = LC. Через точку пересечения прямых AL и СК проведена прямая, параллельная биссектрисе угла В, пересекающая прямую. АВ в точке М. Доказать, что AM— ВС. 498. В треугольнике ABC биссектриса угла В пересекает прямую, проходящую через середину АС и середину высоты, опущенной на АС у в точке М\ Ν—середина биссектрисы угла J5. До-s казать, что биссектриса угла С является также и биссектрисой угла MCN. 499. а) Доказать, что если в треугольнике равны две биссектрисы, то треугольник равнобедренный (Штейнер, Л е м у с). ί б) Доказать, что если в треугольнике ABC биссектрисы углов, смежных с углами 4иС, равны между собой и обе одновременно расположены или внутри или вовне угла ABC, то АВ = ВС. Верно ли, что из равенства двух внешних биссектрис треугольника следует его равнобедренность? 60
500. Про данный треугольник известно, что треугольник,' образованный основаниями его биссектрис, является равнобедренным. Будет ли верным утверждение, что и данный треугольник является равнобедренным? * * * 501. Пусть ABCDEF— вписанный шестиугольник. Обозначим через К точку пересечения АС и BF, а через L — точку пересечения СЕ и FD. Доказать, что диагонали AD, BE и прямая KL пересекаются в одной точке (Паскаль). 502. Дан треугольник ABC и точка М. Прямая, проходящая через М, пересекает прямые АВ, ВС и С А соответственно в точках Си Μ и В\. Прямые AM, ВМ и СМ пересекают окружность, описанную около треугольника ABC, соответственно в точках Л2, Да и Сг- Доказать, что прямые А\А2, В\В2 и С\С2 пересекаются в одной точке, расположенной на окружности, описанной около ААВС. 503. Через точку пересечения высот треугольника проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Доказ;ать, что середины отрезков, высекаемых этими прямыми на сторонах треугольника (на прямых, образующих треугольник), лежат на одной прямой^ * * * 504. Даны треугольник ABC и произвольная 1ючка Р. Основания перпендикуляров, опущенных из Ρ на стороны треугольника ABC, служат вершинами треугольника А\В\С\. Вершинами треугольника А^В^Сь служат точки пересечения прямых АР, ВР и СР с окруждостью, описанной около треугольнику ABC, отличные от точек А, В и С. Доказать, что треугольники A\BiCi и А2В2С2 подобны. Сколько найдется для разностороннего треугольника ABC таких точек Р, что соответствующие треугольники А\В\С\ и А2В2С2 подобны треугольнику ABC? 505. Пусть А\, В\, С\ —основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки Μ соответственно на стороны ВС, СА, АВ треугольника ABC. Доказать, что три прямые, проходящие через середины отрезков В\С\ и Μ А, С\А\ и MB, A\B\ и МС, пересекаются в одной точке. 506. Пусть S — площадь данного треугольника, R—радиус описанного около него круга. Пусть, далее, S\ — площадь треугольника, образованного основаниями перпендикуляров, опу- 61
щенных на стороны данного треугольника из точки, удаленной от центра описанного круга на расстояние d. Доказать, что В? (Эйлер). 507. Доказать, что если А, В, С и D — произвольные точки плоскости, то четыре окружности, каждая из которых проходит через три точки: середины отрезков АВ, АС и AD; В А, ВС и BD] С А, СВ и CD; DA, DB и DC, имеют общую точку. 508. Пусть ABC — треугольник, D — произвольная точка плоскости. Треугольник, образованный основаниями перпендикуляров, опущенных из D на стороны треугольника ABC, будем называть педальным треугольником точки D относительно треугольника АВСУ а окружность описанную около педального треугольника,— педальной окружностью. Обозначим через D\ точку, в которой пересекаются прямые, симметричные прямым AD, BD и CD относительно биссектрис углов А, В и С (соответственно) треугольника ABC. Доказать, что педальные окружности точек D и D\ совпадают. 509. Рассмотрим четыре точки плоскости, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что четыре педальные окружности, каждая из которых соответствует одной из рассматриваемых точек относительно треугольника, вершинами которого являются три оставшиеся, имеют общую точку. 510. Прямая, проходящая через центр окружности, описанной около треугольника ABC, пересекает АВ и АС в точках С\ и В\ соотзетственно. Доказать, что окружности, построенные на ВВ\ и СС\ как на диаметрах, пересекаются в двух точках, одна из крторых лежит на окружности, описанной около ABC, а другая — на окружности девяти точек треугольника ABC. § 5. Четырехугольник 511. Пусть ABCD—.вписанный четырехугольник, АВ—диаметр. Доказать, что проекции сторон AD и СВ на прямую DC равны. 512. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, О — точка пересечения его диагоналей, Е, F и G — проекции В, С и О на AD. Доказать, что площадь четырехугольника равна ADBECF 20G 62
513. Пусть ABCD— выпуклый четырехугольник. Рассмотрим четыре окружности, каждая из которых касается трех сторон этого четырехугольника. а) Доказать, что центры этих окружностей лежат на одной окружности. б) Пусть η, Γ2, гз, г4 — радиусы этих окружностей (гχ—не касается стороны ΖΧ7, аналогично r<i не касается стороны Ζλ4, т^ч тт АВ CD ВС AD гз — АВ, т\ — ВС). Доказать, что 1 = Η . Γχ Гз Г2 Г4 514. Доказать, что для площади S вписанного четырехугольника справедлива формула 5= у/{р — а)(р — Ь)(р — с)(р — d) (здесь ρ—полупериметр, а, Ь, с, d—стороны). 515. Пусть 2φ—сумма двух противоположных углов описанного четырехугольника, а, Ь, с и d—его стороны, S—площадь. Доказать, что 5=Vabcdsunp. 516. На сторонах АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки Μ и iV, делящие их в одинаковом отношении (считая от вершин А и С). Эти точки соединены со всеми вершинами четырехугольника, в результате чего ABCD разбит на шесть треугольников и 9Дин четырехугольник. Доказать, что площадь получившегося четырехугольника равна сумме площадей двух треугольников, прилежащих к сторонам ВС и AD. 517. В окружности проведены диаметр АВ и не пересекающая его хорда CD. Пусть Ε и F—основания перпендикуляров, опущенных из точек А и В на, прямую CD. Доказать, что площадь четырехугольника AEFB равна сумме площадей треугольников АСВ и ADB. 518. Дан выпуклый четырехугольник Q\. Прямые, перпендикулярные его сторонам и проходящие через середины сторон, образуют четырехугольник Cfo· Точно так же для четырехугольника Q2 образован четырехугольник фз- Доказать, что четырехугольник Q$ подобен исходному четырехугольнику Q\. 519. На противоположных сторонах ВС и DA выпуклого четырехугольника взяты точки Μ и N так, что . В Μ: Μ С = = AN:ND = AB:CD. Доказать, что прямая MN параллельна биссектрисе угла, образованного сторонами АВ и CD. 520. Диагонали разбивают выпуклый четырехугольник на четыре треугольника. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны. Доказать, что данный четырехугольник — ромб. 521. Диагонали четырехугольника разбивают его на четыре 63
треугольника равного периметра. Доказать, что данный четырехугольник— ромб. 522. О четырехугольнике ABCD известно, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA, DAB, равны. Доказать, что ABCD—прямоугольник. 523. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Пусть Μ—точка пересечения касательных к окружности, проходящих через Л и С, N — точка пересечения касательных, проведенных через В и D, К — точка пересечения биссектрис углов А и С четырехугольника, L—точка пересечения биссектрис углов В и D. Доказать, что если выполняется одно из утверждений: а) М принадлежит прямой BD, б) N принадлежит прямой АС, в) К лежит на BD, г) L лежит на АС, то верны остальные три утверждения. 524. Доказать, что четыре прямые, каждая из которых проходит через основания двух перпендикуляров, опущенных из вершины вписанного четырехугольника на не содержащие ее стороны, пересекаются в одной точке. 525. Пусть АВ и CD—две хорды окружности, Μ — точка пересечения перпендикуляров, восставленных к АВ в точке А и к CD в точке С, N—точка пересечения перпендикуляров, восставленных к АВ и CU в точках В и D. Доказать, что прямая MN проходит через точку пересечения ВС и AD> 526. Пусть ABCD—параллелограмм. Через точки А и В проходит окружность радиуса R. Другая окружность того же радиуса проходит через точки В и С. Пусть Μ—вторая точка пересечения этих окружностей. Доказать, что радиусы окружностей, описанных около треугольников AMD и CMD, равны R. 527. Пусть ABCD — параллелограмм. Окружность касается прямых АВ и AD и пересекает BD в точках Μ и N. Доказать, что существует окружность, проходящая через Μ и N и касающаяся прямых СВ и CD. 528. Пусть ABCD — параллелограмм. Построим на диагонали АС как на диаметре окружность и обозначим через Μ и N точки пересечения с этой окружностью прямых АВ и AD. Доказать, что прямые BD, MN и касательная к окружности в точке С пересекаются в одной точке. 529. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, 0\, Ог, 03, ^4 —центры окружностей, вписанных в треугольники ABC, BCD, CDA, DAB, a #1, #2, #3, #4—точки пересечения высот тех же треугольников. Доказать, что О1О2О3О4 — прямоугольник, а четырехугольник Я1Я2Я3Я4 равен четырехугольнику ABCD. 64
530» Дан треугольник ABC, D—произвольная точка плоскости. Доказать, что точки пересечения высот треугольников ABD, BCD, CAD являются вершинами треугольника, равновеликого данному. 531* Доказать, что если в четырехугольник можно вписать окружность, то: а) окружности, вписанные в два треугольника, на которые данный четырехугольник разбивается диагональю, касаются друг друга, б) точки касания этих окружностей со сторонами четырехугольника Являются вершинами вписанного четырехугольника. 532. Доказать, что если ABCD— вписанный четырехугольник, то сумма радиусов окружностей, вдисацных в треугольники ABC и ACD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BCD и BDA. * * * 533. Теорема Бретшнейдера (теорема косинусов для четырехугольника). Цустьа, 6, с, 4 —последовательные стороны четырехугольнику, т и п — его диагонали, А и С—два противоположных угла. Тогда выполняется соотношение т2п2 5= а2<? + b2d2 - 2abcd cos(4 + С). 534. Теорема Птолемея. Пусть а, 6, с, d—последова- тельные стороны вписанного четырехугольника, a m и η—его диагонали. Доказать, что тп = ac+bd, 535. Доказать, что если ABC — правильный треугольник, Μ — произвольная точка цлоскости, #е лежащая на окружности, описанное около треугольника ЛВС, то существует треугольник, стороны которого равны М4, MB и Μ С (теорема Помпею). Найти угол этого треугольника, лежащей против сторонры, радной MB, если £АМС = а. 536. Пусть ApCD — вписанный четырехугольник. Четыре окружности а, /3, η и δ касаются окружности, описанной около четырехугольника ABCD соответственно в точках А, В, С и D. Обозначим через ία0 от)эезок касательной к окружностям а и /?, причем ίαβ—отрезок общей внешней касательной, если а п β касаются данной одинаковым (внутренним или внешним) образом, и отрезок общей внутренней касательной, если а и β касаются данной различным образом (аналогично определяются величины £β7, tas и т, д.). Доказать, что <а^ + ^7^о='«7^ (обобщенная теорема Птолемея). 65
537. Пусть α, β, η и δ — четыре окружности на цлоскости. Доказать, что если выполняется соотношение ίαβί-γδ + tpjtfia = ίαΊίβδ, (*) где tap и τ· Д· отрезки общих внешних или внутренних касательных к окружностям а и β и т. д., причем для любых трех окружностей берутся или три внешние касательные или одна внешняя, а две внутренние, то окружности а, /?, η и δ касаются одной окружности. * * * 538. Продолжения сторон АВ и CD выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке К, а продолжения сторон AD и ВС — в точке L, причем отрезки BL и DK пересекаются. Доказать, что если выполняется одно из трех соотношений: AB + CD = BC + AD, BK + BL = DK,+ DL, AK + CL = AL + CK, то выполняются и два других. 539. Продолжения сторон АВ и DC выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке К, а продолжения сторон AD и ВС — в точке L, причем отрезки BL и DK пересекаются. Доказать, что если выполняется одно из трех соотношений: AD+DC=АВ+СВ, AK+CK=AL+CL, AK+CL=AL+CK, то выполняются и два других. 540. Доказать, что если существует окружность, касающаяся прямых АВ, ВС, CD и DA, то ее центр и середины АС и BD лежат на одной прямой. 541. Пусть ABCD — вписанный четырехугольник. Перпендикуляр к В А, восставленный в точке А, пересекает прямую CD в точке Μ, перпендикуляр к DA, восставленный в тЬчке А, пересекает прямую ВС в точке N. Доказать, что ΜΝ- проходит через центр окружности, описанной около четырехугольника ABCD. 542. Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, Ε — произвольная точка прямой АВ, F—произвольная точка прямой DC. Прямая AF пересекает окружность в точке М, прямая DE — в точке N. Доказать, что прямые ВС, EF и MN пересекаются в одной точке или параллельны. 543. Доказать, что основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника на его стороны, являются вершинами четырехугольника, в который можно вписать окружность. Найти радиус этой окружности, если диагонали вписанного четырехугольника перпендику- 66
лярны, радиус данной окружности равен R, а расстояние от ее центра до точки пересечения диагоналей равно d. 544. Диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны. Доказать, что середины его сторон и основания перпендикуляров, опущенных на стороны из точки пересечения диагоналей, лежат на одной окружности. Найти радиус этой окружности, если радиус данной окружности равен Д, а расстояние от ее центра до точки пересечения диагоналей четырехугольника равно d. 545. Доказать, что если четырехугольник вписан в окружность радиуса R и одновременно описан около окружности радиуса г, причем расстояние между центрами этих окружностей 1 1 1 равно а, то выполняется соотношение т=—^т + тт;—τπ = ~о; (R+d)2 (R-d)2 г2 при этом существует бесконечно много четырехугольников, одновременно вписанных в большую окружность и описанных около меньшей окружности (в качестве одной из вершин можно взять любую точку большей окружности). 546. Выпуклый четырехугольник разделен диагоналями на четыре треугольника. Доказать, что прямая, соединяющая центры тяжести двух противоположных треугольников, перпендикулярна прямой, соединяющей точки пересечения высот двух других треугольников. 547. Пусть ABCD—вписанный четырехугольник, Μ κ Ν — середины АС и BD. Доказать, что если BD является биссектрисой угла ANC, то и АС—биссектриса угла BMD. 548. Пусть ABCD—вписанный четырехугольник. Противоположные стороны АВ и CD при продолжении пересекаются в точке К, а стороны ВС и AD—в точке L. Доказать, что биссектрисы углов ВКС и BLA перпендикулярны и пересекаются на прямой, соединяющей середины АС и BD. 549. Диагонали четырехугольника перпендикулярны. Доказать, что четыре прямые, каждая из которых соединяет одну из вершин четырехугольника и центр окружности, проходящей через эту вершину и две смежные с нею вершины четырехугольника, пересекаются в одной точке. 550. Пусть Р, Q и Μ — соответственно точки пересечения диагоналей вписанного четырехугольника и продолжений его противоположных сторон. Доказать, что точка пересечения высот треугольника PQM совпадает с центром окружности, описанной около данного четырехугольника (Б рок ар). 551. Пусть ABCD—описанный четырехугольник, К—точка пересечения прямых АВ и CD, L — точка пересечения прямых 67
AD и ВС. Доказать, что точка пересечения высот треугольника, образованного прямыми KLy AC и BD, совпадает с центром окружности, вписанной в четырехугольник ABCD. 552. Пусть ABCD — выпуклый четырехугольник, Ζ ABC = = Δ ADC\ Μ и N — основания перпендикуляров, опущенных из А на ВС и CD соответственно, К—точка пересечения прямых MD и NB. Доказать, что прямые АК и MN перпендикулярны. * 553. Доказать, что четыре окружности, описанные около четырех треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости, имеют общую точку (точка Микеля). 554. Доказать, что центры четырех окружностей, описанных около четырех треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости, лежат на одной окружности. 555. Даны четыре попарно пересекающиеся прямые. Пусть Μ — точка Микеля, соответствующая этим прямым (см. задачу 553). Доказать, что если четыре из шести точек попарного пересечения данных прямых лежат на окружности с центром О, то прямая, проходящая через две оставшиеся точки, содержит точку Μ и перпендикулярна прямой ОМ. 556* ЧетЬфе попарно пересекающиеся прямые образуют четыре треугольника. Доказать, что если одна прямая параллельна прямой Эйлера (см. задачу 444) треугольника, образованного тремя другими прямыми, то этим же свойством обладает и любая другая прямая. 557. Дан треугольник ABC. Прямая пересекает прямые АВУ ВС и СА соответственно в точках D, Ε и F. Прямые DC, AE и BF образуют треугольник KLM. Доказать, что окружности, построенные на DCy AE и BF как на диаметрах, пересекаются в двух точках Ρ κ Ν (предполагается, что эти окружности попарно пересекаются), причем прямая ΡΝ проходит через центр окружности, описанной около треугольника KLM, а также через точки пересечения высот треугольников ABC, BDE, DAF и CEF. 558. Дан треугольник ABC. Произвольная прямая пересекает прямые АВ, ВС и СА соответственно в точках Д £7 и F. Доказать, что точки пересечения высот треугольников ABC, BDEy DAF и CEF лежат на одной прямой, перпендикулярной прямой Гаусса (см. задачу 350). 68
559. Доказать, что срединные перпендикуляры, восставленные к отрезкам, соединяющим точки пересечения высот и центры описанных окружностей четырех треугольников, образованных четырьмя произвольными прямыми плоскости, пересекаются в одной точке (точка Эрвея). 560. Рассмотрим шестнадцать точек, являющихся центрами всевозможных вписанных и вневписанных окружностей для четырех треугольников, образованных четырьмя пересекающимися прямыми плоскости. Доказать, что эти шестнадцать точек можно разбить на четыре четверки двумя способами так, что каждая четверка лежит на одной окружности. Центры этих окружностей при разбиении первым способом лежат на одной прямой, а при разбиении вторым способом—на другой прямой. Эти прямые перпендикулярны и пересекаются в точке Микеля—общей точке описанных около четырех треугольников окружностей. § 6. Окружности и касательные. Теорема Фейербаха 561. На прямой расположены последовательно точки Л, В, С и D так, что ВС = 2АВ, CD = AC. Одна окружность проходит через точки А и С, а другая—через точки ВиВ. Доказать, что общая хорда этих окружностей делит отрезок АС пополам. 562. Пусть В—точка отрезка АС. Фигура, ограниченная дугами трех полуокружностей с диаметрами АВУ ВС и СА, расположенными по одну сторону от прямой АС у носит название сапожный нож, или арбелос Архимеда. Доказать, что радиусы двух окружностей, каждая из которых касается двух полуокружностей и прямой, перпендикулярной АС и проходящей через 2?, равны между собой (задача Архимеда). 563. Три окружности проходят через две данные тбчки плоскости каждая. Пусть Οι, Ог, Оз —их центры. Прямая, проходящая через одну из точек, общую всем трем окружностям, вторично пересекает их соответственно в точках Αχ, Α^ А$. Доказать, что ΑχΑ^. Л2А3 = 0ι02· O2O3. 564. Даны две непересекающиеся окружности. Доказать, что четыре точки касания общих внешних касательных к этим окружностям лежат на одной окружности; точно так же четыре точки касания общих внутренних касательных лежат на одной окружности и четыре точки пересечения общих внутренних касательных с обпщми внешними касательными лежат на третьей окружности; при этом все три окружности—концентрические. 69
565. Даны две непересекающиеся окружности. Третья окружность касается обеих данных внешним образом и имеет центр на прямой, проходящей через центры данных. Доказать, что третья окружность пересекает общие внутренние касательные к данным окружностям в четырех точках, образующих четырехугольник, две стороны которого параллельны общим внешним касательным к данным окружностям. 566. Даны две окружности. Через центр одной из них проведена прямая, пересекающая эту окружность в точках Л и С, а другую окружность — в точках В и D. Доказать, что если АВ:ВС = AD:DC, то окружности перпендикулярны, т. е. угол между касательными к ним в точке их пересечения—прямой. 567. Точки Л, В, С и D лежат на одной окружности или на прямой; через точки i и В, В и С, Си Д D и А проведены четыре окружности. Обозначим через Βχ, Си ϋχ и Αχ точки пересечения (отличные от Л, 2?, С и D) соответственно первой и второй, второй и третьей, третьей и четвертой, четвертой и первой окружностей. Доказать, что точки АиВиСхл Dx лежат на одной окружности (или на прямой). 568. Пусть из точки Л, взятой вне окружности, проведены к окружности две касательные AM и ΑΝ (Μ πΝ—точки касания) и две секущие, и пусть Ρ и Q—точки пересечения окружности с первой секущей, а К и L — со второй. Доказать, что прямые РК, QL и ΜΝ пересекаются в одной точке или параллельны. Получить отсюда способ построения с помощью одной линейки касательной к данной окружности, проходящей через данную точку. 569. Дана окружность с центром О и точка Л. Пусть В—произвольная точка окружности. Найти геометрическое место точек пересечения касательных к окружности в точке В с прямой, проходящей через О перпендикулярно АВ. 570. Даны окружность и две точки А и В на ней. Пусть N — произвольная точка прямой АВ. Построим две окружности, каждая из которых проходит через точку N и касается данной: одна в точке Л, а другая в точке В. Обозначим через Μ вторую точку пересечения этих окружностей. Найти геометрическое место точек Μ. 571. Через фиксированную точку А внутри окружности проведены две произвольные хорды PQ и KL. Найти геометрическое место точек пересечения прямых РК и QL. 572. Две окружности пересекаются в точках А и В. Произвольная прямая проходит через В и вторично пересекает первую окружность в точке С, вторую—в точке D. Касательные к пер- 70
вой окружности в С, а ко второй — в D пересекаются в точке М. Через точку пересечения AM и CD проходит прямая, параллельная СМ, пересекающая АС в точке К. Доказать, что KB касается второй окружности. 573. Дана окружность и касательная к ней /. Пусть N — точка касания, NM—диаметр. На прямой NM взята фиксированная точка А. Рассмотрим произвольную окружность, проходящую через А, с центром на I. Пусть С и D—точки пересечения этой окружности с /, а Р и Q—точки пересечения прямых Μ С и MD с данной окружностью. Доказать, что хорда PQ проходит через фиксированную точку плоскости. 574. Точки Οχ и О2 — центры двух пересекающихся окружностей, А — одна из точек их пересечения. К окружностям проведены две общие касательные, ВС и EF—хорды этих окружностей с концами в точках касания (С и Ε наиболее удалены от Л), Μ и N — середины ВС и EF. Доказать, что Ζθι А02 = ΔΜΑΝ = 2АСАЕ. 575. В окружности проведен диаметр АВ, CD — хорда, перпендикулярная АВ. Произвольная окружность касается хорды CD и дуги CBD. Доказать, что касательная к этой окружности, проведенная из точки Л, равна ЛС 576. Дан круговой сегмент. Две произвольные окружности касаются хорды и дуги этого сегмента и пересекаются в точках Μ и N. Доказать, что прямая ΜΝ проходит через фиксированную точку плоскости. * * * 577. Даны дйа равных непересекающихся круга. На двух общих внутренних касательных берем две произвольные точки F и F'. Из обеих точек к каждому кругу можно провести еще по одной касательной. Пусть касательные, проведенные из точек F и F1 к одному кругу, встречаются в точке Л, к другому — ή точке J5. Требуется доказать, что: 1) прямая АВ параллельна прямой, соединяющей центры кругов (в случае неравных кругов проходит через точку переселения внешних касательных); 2) прямая, соединяющая середины FF1 и АВ проходит через середину отрезка, соединяющего центры кругов. (Эта задача была предложена читателям журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики» профессором В. Ермаковым* Журнал этот издавался в России в прошлом веке. Задача была опубликована в 14 (2) номере журнала за 71
1887 г. За решение задачи читателям была обещана премия — литература по математике.) 578. Даны три окружности α, β и 7· Пусть Ιχ и fe—общие внутренние касательные к окружностям а и β, га χ и тп2 — общие внутренние касательные к окружностям β и j, щ и П2 — общие внутренние касательные к окружностям 7 и а. Доказать, что если прямые l\, m\ и η χ пересекаются в одной точке, то и прямые fc» wi2 и ri2 также пересекаются в одной точке. 579. Дуга АВ окружности разделена на три равные части точками С и D (С—ближайшая к А точка). После поворота вокруг А на угол π/З точки В, С и D перейдут соответственно в В\, С\ и D\ (С, D и В\ по одну сторону от АВ), F — точка пересечения прямых АВ\ и DC\, Ε — точка на биссектрисе угла В\ВА такая, что BD = DE. Доказать, что треугольник CEF правильный (Финлей). * * * 580. Дан угол с вершиной А и окружность, вписанная в него. Произвольная прямая, касающаяся данной окружности, пересекает стороны угла в точках В и С. Доказать, что окружность, описанная около треугольника ABC, касается фиксированной окружности, вписанной в данный угол. 581. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка D. Рассмотрим окружность, касающуюся отрезка AD в точке М, отрезка BD и окружности, описанной около треугольника ABC, Доказать, что прямая, проходящая через Μ параллельно BD, касается окружности, вписанной в треугольник ABC. 582. В треугольнике ABC на стороне АС взята точка D. Пусть Οχ—центр окружности, касающейся отрезков AD, BD и окружности, описанной около треугольника ABC, a O2 — центр окружности, касающейся отрезков CD, BD и описанной окружности. Доказать, что прямая 0102 проходит через центр вписанной в треугольник ABC окружности — точку О, причем OiO:O02 = tg2(¥>/2), Τ№φ = ΔΒΰΑ (Виктор Тебо). * * * 583. Доказать, что окружность девяти точек (см. задачу 457) касается вписанной в треугольник окружности и всех вневпи- санных окружностей (Фейербах). 72
584. Пусть Η — точка пересечения высот треугольника ABC. Доказать, что окружность девяти точек касается всех вписанных и вневписанных окружностей треугольников АНВ, ВНС, СНА. 585. Доказать, что точка пересечения диагоналей четырехугольника с вершинами в точках касания окружности девяти точек треугольника ABC со вписанной и вневписанными окружностями этого треугольника лежит на его средней линии. 586. Обозначим через F, Fa> Fb и Fc точки касания окружности девяти точек треугольника ABC со вписанной и тремя вневписанными окружностями (Fa точка касания с окружностью, центр которой 1а и т. д.). Пусть далее А\ и А2, B\ и В2) С\ и С2 — точки пересечения с противоположными сторонами биссектрис внутренних и внешних углов А, В и С соответственно. Доказать подобие следующих треугольников: &FaFbFc и AAiB\Ci, AFFbFc и &AiB2C2, &FFcFa и &ВгС2А2, &FFaFb и АСгА2В2 (Виктор Тебо). § 7. Комбинации фигур. Перемещения на плоскости. Многоугольники 587. На сторонах ВС, С А и АВ треугольника ABC во внешнюю сторону построены квадраты BCDE, ACFG, БАНК. Пусть FCDQ и ЕВКР — параллелограммы. Доказать, что треугольник APQ—равнобедренный прямоугольный. 588. Пусть ABCD — прямоугольник, Ε — точка на ВС, F — на DC, Εχ —середина АЕ, F\ —середина AF. Доказать, что если AAEF правильный, то и треугольники DE\C и BF\C также правильные. 589. На катетах АС и ВС прямоугольного треугольника во внешнюю сторону построены квадраты ACKL и BCMN. Доказать, что четырехугольник, ограниченный катетами и прямыми LB и NA, равновелик треугольнику, образованному прямыми LB, ΝΑ и гипотенузой АВ. 590. На сторонах выпуклого четырехугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Доказать, что если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то отрезки, соединяющие центры противоположных квадратов, проходят через точку пересечения диагоналей четырехугольника. 591. Доказать, что если центры квадратов, построенных на сторонах данного треугольника во внешнюю сторону, служат вершинами треугольника, площадь которого в два раза больше 73
площади данного, то центры квадратов, построенных на сторонах треугольника во внутрь его, лежит на одной прямой. { 592. На сторонах J5C, С А и АВ треугольника ABC во внешнюю сторону построены треугольники А\ВСУ В\СА и С\АВ так, что zAiBC^zCiBA, zCiAB = ZBiAC, ΔΒχΟΑ = ΔΑιΟΒ. Доказать, что прямые АА\, ВВ\У СС\ пересекаются в одной точке. 593. Пусть ABC—равнобедренный треугольник (АВ = ВС); BD—его высота. Круг радиуса BD катится по прямой АС. Доказать, что пока вершина В находится внутри круга, дуга окружности, расположенная внутри треугольника, имеет постоянную длину. 594. По двум пересекающимся прямым с равными скоростями движутся две точки. Доказать, что найдется такая фиксированная точка плоскости, которая во все моменты времени от них равноудалена. 595. Два велосипедиста едут по двум пересекающимся окружностям. Каждый едет по своей окружности с постоянной скоростью. Выехав одновременно из одной точки, где пересекаются окружности, и сделав по одному обороту, велосипедисты вновь встретились в этой точке. Доказать, что существует такая неподвижная точка, расстояния от которой до велосипедистов все время одинаковы, если они едут: а) в одном направлении (по часовой стрелке); б) в разных направлениях. 596. Доказать, что: а) поворот вокруг точки О на угол α эквивалентен последовательному применению двух осевых симметрии, оси которых проходят через точку О, а угол между осями а/2; параллельный же перенос эквивалентен двум осевым симметриям с параллельными осями; б) два последовательных поворота вокруг точки 0\ на угол α и вокруг точки 0<ι на угол β (О < а < 2π, О < β < 2π, повороты делаются в одном направлении) эквивалентны одному повороту на угол а + β вокруг некоторой точки О, если а + /?^27г. Найти углы треугольника 0\0<ιΟ. 597. Дан произвольный треугольник ABC. На его сторонах как на основаниях построены три равнобедренных треугольника АК J5, BLC^CMA с углами при вершинах AT, L и М, равными а, β и 7, α+/?+7=2π. Причем все три треугольника расположены или вне треугольника ABC или внутри его. Доказать, что углы треугольника KLM равны α/2, β/2, η/2. 598. Пусть ABCDEF—вписанный шестиугольник, в котором АВ = CD = EF = Д, где R—радиус окружности, О —>ее центр. Доказать, что точки попарных пересечений окружностей, описанных около треугольников ВОС, DOE, FOA, отличные от О, служат вершинами правильного треугольника со стороной Я. 74
599. На сторонах выпуклого четырехугольника во внешнюю сторону построены ромбы, острый -угол каждого из них равен а. При этом углы двух ромбов, прилежащие к одной вершине четырехугольника, равны. Доказать, что отрезки, соединяющие центры противоположных ромбов, равны, а острый угол между этими отрезками равен а. 600. Дан произвольный треугольник. На его сторонах вовне построены равносторонние треугольники, центры которых служат вершинами треугольника Δ. Центры равносторонних треугольников, построенных на сторонах исходного внутрь его, служат вершинами другого треугольника δ. Доказать, что: а) треугольники Δ и δ равносторонние; б) центры треугольников Δ и δ совпадают с центром тяжести исходного; в) разность площадей треугольников Δ и δ равна площади исходного. 60L На плоскости даны три точки. Через эти точки проведены три прямые, образующие правильный треугольник. Найти геометрическое место центров этих треугольников. 602. Дан треугольник ABC. На прямой, проходящей через вершину А и перпендикулярной сторойе J3C, взяты две точки Αχ и Α*ι так, что АА\ = AA*i = ВС (А\ ближе к прямой ВС, чем Л2). Аналогично, на прямой, перпендикулярной АС и проходящей через В, взяты точки В\ и Β<ι так, что ВВ\ = BB<i = AC. Доказать, что отрезки Α\Β<ι и А2В1 равны и перпендикулярны. * * * 603. Доказать, что описанный многоугольник, все стороны которого равны, является правильным, если число сторон нечетно. 604. Через центр правильного η-угольника, вписанного в единичную окружность, проведена прямая. Найти сумму квадратов расстояний До этой прямой от вершин п-угольника. 605. Доказать, что сумма расстояний от произвольной точки внутри выпуклого многоугольника до его сторон постоянна, если: а) все стороны многоугольника равны; б) все углы многоугольника равны. 606. Подуокру^сность разделена точками Aq , А\,..., ·4.2η+ι на 2п + 1 равных дуг (Ло и ί42η+ι—концы полуокружности), О — центр полуокружности. Доказать, что прямые А\А2П, А2А2П-1, ..., ΑηΑη+ι образуют при пересечении с прямыми О An и ОАп+\ отрезки, сумма, длин которых равна радиусу окружности. 607. Доказать, что если из произвольной точки окружности опустить перпендикуляры на стороны вписанного 2п-угольника, 75
то произведения длин этих перпендикуляров через один будут равны. 608. Пусть Л1А2... Ап—вписанный многоугольник; центр окружности находится внутри многоугольника. Система окружностей касается данной изнутри в точках А\, А2, ..., Ап, причем одна из точек пересечения двух соседних окружцостей лежит на соответствующей стороне многоугольника. Доказать, что если η нечетно, то все окружности имеют равные радиусы. Длина внешней границы объединения вписанных окружностей равна длине данной окружности. 609. Рассмотрим окружность, в которую вписан правильный (2п+1)-угольник j4ii42...;42n+i. Пусть А—произвольная точка дуги ΑιΑ2η+ι> а) Доказать, что сумма расстояний от А до вершин с четными номерами равна сумме расстояний от А До вершин с нечетными номерами. б) Построим равные окружности, касающиеся данной одинаковым образом в точках А\, А2, ..., А2п+\. Доказать, что сумма касательных, проведенных из Л к окружностям, касающимся данной в вершинах с четными номерами, равна сумме касательных, проведенных к окружностям, касающимся данной в вершинах с нечетными номерами. 610. а) К данной окружности проведены дае касательные. Пусть А и В—точки касания, С—точка пересечения касательных. Проведем произвольную прймую ί, касающуюся данной окружности, не проходящую через А и В. Пусть и и ν—расстояния до I от i и В\ w — расстояние до / от С. Найти uv/w2, если ААСЁ = а. б) Вокруг окружности описан многоугольник. Пусть /—произвольная прямая, касающаяся окружности и не совпадающая ни с одной из сторон многоугольника. Доказать, что отношение произведения расстояний от вершин многоугольника до / к произведению расстояний от точек касания сторон многоугольника с окружностью до I не зависит от положения прямой /. в) Пусть I — произвольная касательная к окружности, А\А^... А2п—описанный около окружности 2п-угольник. Доказать, что произведение расстояний до I от вершин с нечетными номерами и произведение расстояний до / от вершин с четными номерами находятся в постоянном отношении, не зависящем от I (предполагается, что / не содержит вершин многоугольника). 611. Во вписанном многоугольнике проведены непересекающиеся диагонали, разбивающие его на треугольники. Доказать, 76
что сумма радиусов окружностей, вписанных в эти треугольники, не зависит от того, как проведены диагонали. 612. Пусть А\А2...Ап— многоугольник периметра 2р, описанный около окружности радиуса г, В\, В2, ..-, Вп— соответственно точки касания сторон А\А2, АъАг, ..., АпА\ с окружностью, Μ — точка, находящаяся на расстоянии d от центра окружности. Доказать, что MBlA1A2+MB%-A2A3 + ... + MBl.AnAl = 2p(r2 + d2). 613. Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, Μ — произвольная точка окружности. Доказать, что проекции точки Μ на прямые Симеона (см. задачу 450), соответствующие точке Μ относительно треугольников ABC, BCD, CD А и DAB, лежат на одной прямой (прямая Симеона четырехугольника). Далее по индукции определим прямую Симеона (п + 1)- угольника через прямую Симеона η-угольника. А именно, для произвольного вписанного (п 4- 1)-угольника и точки М~ на окружности проекции этой точки на всевозможные прямые Симеона этой точки относительно всевозможных п-угольников, образованных η вершинами этого (п + 1)-угольника, лежат йа одной прямой—прямой Симеона (п + 1)-угольника. 614. Внутри окружности α находится окружность β. На окружности а заданы две последовательности,точек: А\, А2, А$, ... и В\, В2, B$, ..., следующие в одном и том же направлении, и такие, что прямые А\А2, А2А$, А$А4, ... и В\В2, В2В$, Β$Β±, .., касаются окружности /?. Доказать, что прямые А\В\, А2В2, Афъ, ... касаются одной окружности, центр которой находится на прямой, проходящей через центры окружностей а и /?, 615. Используя результат предыдущей задачи, доказать следующее утверждение (теорема Понселе). Если существует один η-угольник, вписанный в некоторую окружность а и описанный около другой окружности β, то существует бесконечно много η-угольников, вписанных в окружность а и описанных около окружности β, причем за одну из вершин такого n-угольнйка можно взять любую точку окружности а. 616. На сторонах правильного треугольника PQR как на основаниях во внешнюю по отношению к треугольнику PQR сторону построены равнобедренные треугольники PXQ, QYR и RZP, причем ό Ο = ~(n+2zC), где А, В, С — углы некоторого треугольника ABC. 77
Пусть Aq—точка пересечения прямых Ζ Ρ и YQ, Bq—точка пересечения прямых XQ и ZR, Со—прямых YR и ХР. Доказать, что утлы треугольника AqBqCq равны соответствующим углам треугольника ABC. Используя полученный результат, доказать следующую теорему Морлея: если углы произвольного треугольника разделены на три равные части каждый (получившиеся прямые называются триссектрисами), то три точки, являющиеся точками пересечения пар триссектрис, прилежащих it соответствующим сторонам треугольника, являются вершинами правильного треугольника. 617. Будем считать, что вершины треугольника ABC следуют друг за другом в положительном — против часовой стрелки — порядке. Для любых двух лучей а и β символом (а,/?) будем обозначать угол, на который надо повернуть луч а против часовой стрелки до совпадения с лучом β. Обозначим через αχ и а[ два луча, выходящие из А, для которых {АВУа\) = (αι,α^) = = (a'vAC) = -ζ^Α, αΐ2 и с/2 — лучи, для которых (АВ,с*2) = о = («2,6*2) = {а'2,АС) = ~(Ζ^ + 2π), и, наконец, аз и а'3—лучи, о для которых (АВ,аз) = (аз,аз) = (а'3,АС) = -(/.Α + Απ) (а*, а£, о где г = 1,2,3, соответственно будем называть триссектрисами первого, второго и третьего родов). Точно так же для вершин В и С определим /?,, /3} и 7*, 7* (j,fe = 1,2,3). Через α</?/γ* будем обозначать треугольник, образованный при пересечении соответственно прямых (не лучей) а% и /3j, fij и 7*, 7* и α£. Доказать, что при всех г, jy k таких, что i+j + k-Ι не кратно трем, треугольники ai/?j7Jfe —правильные, их стороны параллельны, а вершины расположены на девяти прямых, по шести на каждой прямой (полная теорема Морлея). § 8. Геометрические неравенства. Задачи на максимум и минимум 618· В начале XIX века итальянским геометром Мальфатти была поставлена следующая задача: из данного треугольника вырезать три круга так, чтобы сумма их площадей была наибольшей. В более поздних исследованиях под окружностями Мальфатти стали понимать три окружности, попарно касающиеся друг друга, каждая из которых касается также двух сторон 78
данного треугольника. Доказать, что для правильного треугольника окружности Мальфатти не дают решения первоначальной задачи. (Лишь в середине XX века было установлено, что окружности Мальфатти ни для какого треугольника не дают решения первоначальной задачи.) 3 619. Доказать, что р^ -v6i?r, где ρ—полупериметр, гий— радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника. 620. Доказать, что периметр треугольника, вершинами которого являются основания высот данного остроугольного треугольника, не превосходит половины периметра данного треугольника. 621. Доказать, что если треугольник, составленный из медиан данного треугольника, является тупоугольным, то меньший угол исходного треугольника меньше 45°: 622. Пусть ABCD— выпуклый четырехугольник. Доказать, что хотя бы один из четырех углов ВАС, DBC, ACD, ΒΌΑ не превосходит π/4. 623. Доказать, что медиана к большей стороне треугольника образует со сторонами, ее заключающими, углы, величина каждого из которых не меньше половины наименьшего угла треугольника. 624. Доказать, что если в треугольнике ABC угол В тупой и АВ = АСIX то ZC > ZA/2. 625. Доказать, что окружность, описанная около треугольника, не может проходить через центр вневписанной окружности. 626. В треугольнике из вершины-Л выходят медиана, биссектриса и высота. Какой угол больше: между медианой и биссектрисой или между биссектрисой и высотой, если угол А дан? 627. Доказать, что если медианы, проведенные'из вершин В и С треугольника ABC, перпендикулярны, то ctgJ3+ctgC>2/3. 628. Дан треугольник ABC, АВ < ВС. Доказать, что для произвольной точки Μ на медиане, проведенной из вершины В, ΔΒΑΜ>ΔΒΰΜ. 629. Из внешней точки А к окружности проведены две касательные АВ и АС и середины их D и Ε соединены прямой DE. Доказать, что эта прямая не пересекает окружность. 630. Доказать, что если прямая не пересекает окружность, то для любых двух точек прямой расстояние между ними заключено между "суммой и разностью длин касательных, проведенных из этих точек к окружности. Доказать обратное утвер- 79
ждение: если для каких-то двух точек прямой утверждение не выполняется, то прямая пересекает окружность. 631. В треугольнике ABC углы связаны соотношением 3ΔΑ - — Δθ < π. Угол В разделен на четыре равные части прямыми, пересекающими сторону АС. Доказать, что третий из отрезков, на которые разделена сторона АС, считая от вершины А, меньше АС/А. 632. Пусть а, Ь, с, d—последовательные стороны четырехугольника. Доказать, что если S — его площадь, то 5^ (ас + +М)/2, причем равенство имеет место только для вписанного четырехугольника, диагонали которого перпендикулярны. 633. Доказать, что если длины биссектрис треугольника меньше 1, то его площадь меньше V5/3. 634. Доказать, что треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли выражение а2+Ь2+с2- <8ir положительно, равно нулю илц отрицательно (а, 6, с—стороны треугоЛьника, R—радиус описанного круга,). 635. Доказать, что треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным в зависимости от того, будет ли его полупериметр соответственно больше, равен или меньше суммы диаметра описанного круга и радиуса вписанного. 636. Доказать, что если длины сторон треугольника связаны неравенством а2 + Ь2 > 5с2, то с—наименьшая сторона. 637. В треугольнике ABC угол В средний по величине: Δ Α < ΔΒ < ZC, I—центр вписанной окружности, О—центр описанной окружности, Η — точка пересечения высот. Доказать, что / лежит внутрц треугольника ВОН. 638. Треугольники ABC и AM С расположены так, что Μ С пересекает АВ в точке О, причем АМ + МС=АВ + ВС. Докаг зать, что если АВ=ВС, то ОВ > ОМ. 639. В треугольнике ABC точка Μ лежит на стороне ВС. Доказать, что {AM - АС)ВС ^ {АВ - АС)МС. 640. Пусть а, Ь, с — стороны треугольника ABC, Μ — произвольная точка плоскости. Найти минимум выражения Μ А2 + +МВ2 + МС2. 641. Стороны угла, равного а, являются бортами бильярда. Какое наибольшее число отражений от бортов может сделать бильярдный шар (размерами шара можно пренебречь)? 642. Четыре деревни расположены в вершинах квадрата со стороной 2 км. Деревни соединены дорогами таким образом, что 80
йз каждой можйо пройти в любую другую. Может ли общая длина дорог быть меньше 5,5 км? 643. Точка А расположена между двумя параллельными прямыми на расстоянии α и & от них. Эта точка служит вершиной угла, равного а, всевозможных треугольников, две другие вершины которых лежат по одной на данных прямых. Найти наименьшее значение площади таких треугольников. 644т Дана окружность радиуса R с центром в точке О, АВ — ее диаметр, точка Μ находится на радиусе О А, причем АМ:МО=к. Через точку Μ проведена произвольная хорда CD. Чему равно наибольшее значение площади четырехуголыщка ACBD? 645. Дан угол с вершиной A jn две точки Μ я N внутри него. Через Μ проводится прямая, пересекающая стороны угла в точках В и С. Доказать^ что для того чтобы площадь четырехугольника ABNC была наименьшей, необходимо и достаточно, чтобы прямая ВС пересекала AN в такой точке Р, что ВР=МС. Да1*ь способ построений этой прямой. 646. Вершина угла α находится в точке О, А—фиксировав ная точка внутри yniat. На сторонах yrjia ваяты точки Μ &Ν так, что ΖΜΑΝ — β(α + β<π). Доказать, что если Αλί ?=ΑΝ, то площадь четырехугольника ОМА$ достигает максимума' (среди всевозможных четырехуголькйков, получающихся при изменении Μ и Ν). 647. Учитывая результат предыдущей задачи, решить следующую. Внутри угДа с вершиной О вЗята точка А: Пряма* О А образует со сторонами угла углы ψ и ф. При каких β можно найти на сторонах угла точки Μ и N такие, что ΔΜΑΝ^β [ψ + φ + β < π) и площадь четырехугольника OMAN максимальна? 648. Дкн треугольник ОВС (Z00C=q), Для каждой Уточки А на стороне ВС определим точки Μ и N на ОВ и ОС так, что ζΜΑΝ = β (α+$ <π) и площадь четырехугольника ОМ AN была бы максимальной. Доказать, что эта максимальная площадь достигает минимума для таких" точек А, М и i\T, для которых MA=ANi а прямая МАГ параллельна ВС. (Такие точки найдутся, если утлы В и С треугольника ABC не превосходит 649. Пусть ABCD*— вписанный четырехугольник. Диагональ АС равна а и образует углы α и β соответственно со сторонами АВ и AD* Доказать, что площадь четырехугольника заключена 81
a2 sin(a 4- β) sin β a2 sm(a + β) sin a между величинами -—— и —:—~ . 2sma 2sin/? 650. Дан угол а с вершиной в точке О и точка А внутри него. Рассмотрим всевозможные четырехугольники OMAN, у кото· рых вершины Μ и N расположены н;а сторонах угла и такде, что ζΜΑΝ = β (α + β>π). Доказать, что если среди этих четырехугольников найдется такой выпуклый четырехугольник, что ΜΑ = ΑΝ, то этот четырехугольник имеет наименьшую площадь среди всех рассматриваемых четырехугольников. 651. Внутри угла с вершиной О дана точка А такая, Что О А образует углы φ и ф со сторонами данного угла. При каких β можно найти на сторонах угла точки Μ и N такие, что ΔΜΑΝ = β (φ + φ + β>π) и площадь четырехугольника OMAN минимальна? 652. Дан треугольник ОВС, ΔΒΟΟ = α; для каждой точки А на стороне ВС определим точки Μ и N соответственно на ОВ и ОС так, что δΜΑΝ = β и площадь четырехугольника OMAN была минимальной. Доказать, что эта минимальная площадь будет максимальной для таких точек Α, Μ и Ν, для которых Μ А = AN и прямая MN параллельна ВС. (Если такой точки А пет, то максимум будет достигаться в конце стороны ВС для вырожденного четырехугольника.) 653. Найти радиус наибольшего, круга, который можно покрыть тремя кругами радиуса R. Решить задачу в общем случае, когда радиусы равны R\, /?2, из· 654. Можно ли покрыть тремя единичными квадратами квадрат со стороной 5/4? 655. Чему равна наибольшая площадь правильного треугольника, который можно покрыть тремя правильными треугольниками со стороной 1? . 656. В треугольнике ABC на сторонах АС и ВС взяты точки Μ и Ν, а на отрезке ΜΝ—точка L. Пусть площади треугольников ABC, AML и BNL соответственно равны S,PnQ. Доказать, что 657. Пусть< а, Ь, с, S-γ- соответственно стороцы и площадь некоторого треугольника, α, β, j—углы другого треугольника. Доказать, что a2ctga + b2ctg/? + c2ctg7^4S, причем равенство имеет место лишь в случае, когда оба треугольника подобны. 658. Доказать неравенство а2 + Ь2 + с2 ^ 4SV3 + (а - Ъ)2 + (6 - —с)2 + (с — а)2, где а, Ь, с, S—соответственно стороны и площадь треугольника (Фи не л ер, Хадвигер). 659. Дан треугольник со сторонами а, Ь и с. Определить площадь наибольшего правильного треугольника, описанного около 82
данного, и площадь наименьшего правильного треугольника, в него вписанного. 660. Пусть Μ — произвольная точка внутри треугольника ABC. Прямая AM пересекает окружность, описанную около лт>л л тт ВМСМ^Л ABC в точке А\. Доказать, что —JT7— ^ 2г, где г — радиус А\М вписанной окружности, причем равенство достигается, когда Μ совпадает с центром вписанной окружности. 661. Пусть Μ — произвольная точка внутри треугольника ABC. Доказать, что АМьш^ВМС + BMsinzAMC + +СМ sin Δ АМВ <р (ρ—полупериметр треугольника ABC) и par венство достигается, когда Μ совпадает с центром вписанной окружности. 662. Пусть Λι, /i2, Лз — высоты треугольника ABC, a uy v, w — расстояния до соответствующих сторон от точки Μ, находящейся внутри треугольника ABC. Доказать неравенства; и v w б) /11Λ2/13 ^ 27ши17; в) (hi - и) (Лг - ν) (Лз - w) ^ 8wvw. 663. Пусть Л—длина наибольшей высоты нетупоутольного треугольника, R и г—соответственно радиусы описанной и эпи- санной окружности. Доказать, что Д+г<Л(Эрдеш). 664. Доказать, что радиус окружности, описанной около треугольника, составленного из медиан сгстроугольного треугольника, больше 5/6 радиуса окружности, описанной около исходного треугольника. 665. Доказать, что сумма квадратов расстояний от произвольной точки плоскости до сторон треугольника принимает наименьшее значение для такой точки внутри треугольника, для которой расстояния до соответствующих сторон пропорциональны этим сторонам. Доказать также, что эта точка является точкой пересечения симедиан (см. задачу 468) данного треугольника (точка Лемуана). 666. Дан треугольник, все углы которого меньше 120°. Докаг зать, что сумма расстояний от произвольной точки до вершин этого треугольника принимает наименьшее значение для такой точки внутри него, из которой каждая сторона треугольника видна под углом 120° (точка Торичелли). 667. Доказать, что среди всех треугольников, вписанных в данный остроугольный треугольник, наименьший периметр имеет тот, вершинами которого являются основания высот данного треугольника. 83
668. Доказать, что сумма расстояний от точки внутри треугольника до его вершин не меньше, чем 6г, где г — радиус вписанной окружности (Ш ρ е й б е р). 669. Для произвольного треугольника доказать неравенство , „ ' ■ ч ЬссозЛ Ьс+а2 (обозначения обычные) — h а <р < . Ь+с а 670. Пусть К—точка пересечения диагоналей выпуклого четырехугольника ABCD, L — точка на стороне AD, N — на стороне ВС, Μ — на диагонали АС, причем KL и ΜΝ параллельны АВ, LM параллельна DC. Доказать, что KLMN—параллелограмм и его площадь меньше 8/27 площади четырехугольника ABCD (Хаттори). 671. Два треугольника имеют общую сторону. Доказать, что расстояние между центрами вписанных в них окружностей меньше, чем расстояние между несовпадающими вершинами (Залгаллер). 672. Дал треугольник ABC, углы которого равны α, β и η. Треугольник DEF описан около треугольника ABC так, что вершины А, В и С находятся соответственно на сторонах EF, FD и DE, причем Z.ECA = Z.DBC = Z.FAB = φ. Определять значение угла φ, при котором площадь треугольника EFD достигает наибольшего значения. 673. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC взяты соответственно точки А\, В\, С\. Доказать, что площадь треугольника AiB\Ci не меньше, чем площадь хотя бы одного из трех треугольников: АВ\С\, А\ВС\, А\В\С. 674. Пусть О, Ι, Η — соответственно центры описанной, вписанной окружностей и точка пересечения высот некоторого треугольника. Доказать, что 675. Пусть Μ — произвольная точка внутри треугольника ABC] χ, у и ζ—расстояния от Μ соответственно до А, В и С; и, ν и w—расстояния от Μ соответственно до сторон ВС, С А и АВ] а, Ь, с—соответствующие стороны треугольника* ABC; S—его площадь; R и г—радиусы описанной и вписанной окружностей. Доказать неравенства: а) ax + by + cz^4S; б) x + y + z^2(u + v + w) (Эрдеш); в) xu + yv + zw^2(uv + vw + wu)] г)2 - + - + -U- + - + -; \х у Z/ и ν w д) xyz^— (u + v)(v'+w){w + u); ΔΤ 84
е) xyz > —uvw] r ж) xy + yz + zx^ —(uv + vw + wu). r 676. В данном треугольнике проведем медиану к большей стороне. Эта медиана разбивает треугольник на два. В каждом из получившихся треугольников также проведем медиану к большей стороне и т. д. Доказать, что все получающиеся треугольники можно разбить да конечное число классов таким образом, что все треугольники, принадлежащие одному классу, подобны между собой. Доказать также, что любой угол любого получающегося при этом треугольника не меньше половины наименьшего угла исходного треугольника. 677. Найти треугольник наименьшей площади, которым можно покрыть треугольник со сторонами, не превосходящими 1.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ Другие по живому следу Пройдут твой путь за пядью пядь. Но пораженья и победы Ты сам обязан различать. По В. Пастернаку 678. В параллелограмме ABCD угол ABD равен 40°. Найти угол DBC, если известно, что центры окружностей, описанных около треугольников ABC и CD А, лежат на диагонали BD. 679. Биссектрисы углов трапеции делят каждое из ее оснований на три равные части. Найти площадь трапеции, если ее высота равна 1. 680. Дан квадрат ABCD, Μ—середина CD. На отрезке АС взята точка Ρ так, что zABP = ZCPM = a. Найти величину а и отношение, в котором Ρ делит АС. 681. В выпуклом четырехугольнике ABCD точка Ε — пересечение диагоналей. Известно, что площади треугольников ABE и CDE равны между собой, диагональ АС является биссектрисой угла 4, АВ = 4. Найти ВС. 682. Найти углы треугольника, если квадрат, построенный на одной из его второй, равновелик полукругу, построенному на другой и правильному треугольнику, построенному на третьей. 683. Две окружности с радиусами riiR(r<R) внешним образом касаются друг друга. Прямая касается этих окружностей в точках Μ и N. В точках А и В окружности касаются внешним образом третьей окружности. Прямые АВ и ΜΝ пересекаются в точке С. Из точки С проведена касательная к третьей окружности, D—точка касания. Найти длину отрезка CD. 684. На основании АС равнобедренного треугольника ABC взята точка D так, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, равен радиусу окружности, касающейся отрезка CD и продолжений отрезков BD и ВС. Доказать, что радиус каждой из этих окружностей равен 1/4 высоты треугольника ABC, произведенной к боковой стороне. φ 86
685. Внутри треугольника ABC взята точка М. Прямая, проходящая через В параллельно МС, пересекает прямую AM в точке Лх, прямая, проходящая через С параллельно ЛМ, пересекает В Μ в точке Βχ, и, наконец, прямая, проходящая через А параллельно ВМУ пересекает СМ в точке С\. Доказать, что сумма площадей треугольников MB Αχ, МСВ\ и МАС\ не меньше площади треугольника ABC. Для какой точки Μ эта сумма равна площади треугольника ABC? 686. Доказать, что в правильном 54-угольнике можно выбрать 4 диагонали, не проходящие через его центр, пересекающиеся в одной точке (СИ. Токарев). 687. Медианой пятиугольника будем называть отрезок, соединяющий его вершину с серединой противоположной стороны. Доказать, что если 4 из 5 медиан выпуклого пятиугольника пересекаются в одной точке, то и 5-я медиана также проходит через ту же точку. * * * 688. Около окружности описана равнобокая трапеция ABCD. Боковые стороны трапеции АВ и CD касаются окружности соответственно в точках Μ и К, а, основание AD — в точке Р. В каком отношении прямая СР делит отрезок МК? 689. В прямоугольном треугольнике ABC один из острых углов равен 30°, Μ — середина гипотенузы АВ, О — центр вписанной окружности. Чему равен угол ОМС? 690. На плоскости даны две пересекающиеся прямые /χ и ^· Найти геометрическое место таких точек Μ плоскости, для которых расстояние между основаниями перпендикуляров, проведенных из точки Μ на прямые /χ и /2, равно заданной величине а. 691. В треугольнике ABC угол В равен 36°, угол С равен 42°. На стороне ВС взята точка Μ так, что BM=R, где R—радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Найти угол MAC. 692. На плоскости отмечены две точки А и В. Найти геометрическое место точек С плоскости таких, что медиана к стороне ВС перпендикулярна стороне АС. 693. Площадь прямоугольного треугольника равна S. Найти площадь треугольника с вершинами в основаниях перпендикуляров, проведенных из точки пересечения медиан данного треугольника HJa катеты и гипотенузу. 87
694. В окружность к вписан треугольник ABC такой, что ZACB = 30°. Окружность к\, центр которой лежит на окружности к, проходит через AvtCvt пересекает прямую АВ в точке D такой, что А лежит между D и В и DB = y/bAB. Определить: а) углы треугольника ABC] б) площадь треугольника ABC, если известно, что биссектриса угла АСВ равна I. 695. Через вершину С квадрата ABCD проведена прямая, пересекающая диагональ BD в точке К, а срединный перпендикуляр к стороне АВ в точке М. Найти LOCK, если ΔΑΚΒ = ΔΑΜΒ. 696. На одной стороне угла дана точка А. Произвольная окружность, проходящая через А и касающаяся в этой точке стороны угла, пересекает другую сторону в точках В и С. Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных в треугольник ABC. 697. Найти геометрическое место точек Μ внутри правильного пятиугольника, каждая из которых является серединой не менее чем трех отрезков с концами на различных сторонах этого пятиугольника. * * * 698. Окружность касается прямых АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Точка А лежит между точками ВиДа точка С — между точками В и Е. Найти площадь треугольника ABC, если длины сторон АВ и АС соответственно равны 13 и 1, а точки A, D, Ε и С лежат на одной окружности. 699. В трапеции КРМН длина боковой стороны МН равна 7л/2. Окружность, проходящая через точки К, Ρ, Μ, пересекает прямую К В в точке Е. Длина отрезка РЕ равна 14, а угол РЕК равен 45°. Найти длину основания КН. 700. Внутри правильного треугольника ABC взята точка О так, что АО:ВО:СО = а:Ь:с, где а2 + Ь2 = с2. Найти угол АОВ. 701. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса острого угла А, пересекающая катет ВС в точке А\. Прямая, перпендикулярная АА\, пересекает АА\ в точке К и гипотенузу АВ в точке М. Доказать, что угол между прямыми СК и Αχ Μ равен половине угла А. 702. Пусть О—центр некоторой окружности, АВ — ее хорда. Произвольная окружность, проходящая через точки О и А, пересекает данную окружность вторично в точке Μ и прямую АВ в точке К. Доказать, что ВК = КМ. 88
703. Центры трех попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей расположены в вершинах прямоугольного треугольника с периметром 2р. Найти радиус окружности, которой все три данные касаются изнутри. 704. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены прямоугольники такие, что отношение общей, стороны треугольника и прямоугольника к другой стороне прямоугольника есть число постоянное для всех трех прямоугольников. Доказать, что отрезки, соединяющие вершины треугольников с центрами противоположных прямоугольников, пересекаются в одной точке. 705. Дан параллелограмм ABCD. На сторонах ВС и CD вы- гж лт CN о МВ ораны соответственно точки мил, такие, что -гт=г = 2 · ттт^· ND МС Диагональ BD пересекает отрезки AM и AN соответственно в точках Ρ и Q. Доказать, что площадь треугольника ΑΜΝ вдвое больше площади треугольника APQ. 706. Даны две окружности. Найти геометрическое место середин всевозможных отрезков с концами на этих окружностях. 707. Дана полуокружность с диаметром АВ и центром О. На отрезках АО и ВО) как на диаметрах, построены две полуокружности с центрами 0\ и 02, расположенные по ту же сторону от прямой АВ, что и первая. Окружность с центром Оз касается полуокружностей с центрами О и Οι, окружность с центром 04 касается полуокружностей с центрами О и 02, окружности с центрами Оз и 04 касаются друг друга. Доказать, что 0100403 — параллелограмм. * * * 708. В треугольнике ABC угол А равен а. Окружность с центром Οχ проходит через А и касается ВС в точке J5. Другая окружность с центром в точке 02 также проходит через А и касается ВС в точке С. Пусть Ρ—отличная от А точка пересечения окружностей. Чему равен угол 0\РО<р. 709. Диагональ трапеции делит ее на два подобных между собой треугольника. Отношение боковых сторон трапеции равно 2. Найти отношение оснований трапеции. 710. В треугольнике ABC проведены высота СН и биссектриса СК\ N — проекция К на ВС, прямые NH и АС параллельны. Доказать, что угол АСВ в 2 раза больше угла ВАС. 711. Диагонали четырехугольника ABCD перпендикулярны и равны. Найти его углы, если 89
712. На сторонах AD и CD ромба ABCD построены правильные треугольники ADK и CDM, причем точка К расположена по ту же сторону от AD, что и ВС, а точка Μ расположена по другую сторону от CD, чем АВ. Доказать, что точки J5, К и Μ лежат на одной прямой. 713. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса г. Меньшее основание трапеции равно а. Найти расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до центра окружности. 714. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием ВС проведена высота AD. На отрезках АВ и AD взяты соответственно точки F и Μ так, что zAFM = ZBFC, ZFBM = ZFCB. Найти LFCB. шлш rr / . A . B . Сч2^ 2A 2B 715. Доказать, что (sin-+sm~ + sin —-y <cos — + cos — + л С 2 2 2' 2 2 +cos —-, где A, J5, С—величины углов треугольника ABC. Δ 716. Пусть α, 6, с—стороны треугольника, S—его площадь. Доказать, что при любом φ имеет место неравенство (б2 + с2)(1 - cos</>) + a2 cos φ > 4Ssiny>. 717. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC взяты соответственно точки С\ и 4ι; Μ и Λίχ—середины АС и AiCi, прямая В Μ пересекает окружность, описанную около А\ВС\, в то'чке К\ i а прямая ВМ\ —окружность, описанную около ABC, в точке К. Сами описанные окружности пересекаются в точке Р, а прямые А\С\ и АС пересекаются в точке Г. Доказать, что 6 точек Μ, Μχ, AT, ΑΓχ, Ρ и Т лежат на одной окружности. * * * 718. В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит ее на отрезки, разность которых равна одному из катетов треугольника. Найти углы треугольника. 719. На стороне АС треугольника ABC взят отрезок КМ. Прямые, проходящие через К и Μ параллельно ВС, пересекают АВ в точках К\ и М\ соответственно, а прямые, проходящие через К и Μ параллельно АВ, пересекают ВС в точках Κ*ι и Мг- Доказать, что сумма площадей трапеций КК\М\М и ΚΚ<ιΜ<ιΜ в 2 раза больше площади треугольника ВКМ. 720. В треугольнике ABC проведена медиана AM. Может ли радиус окружности, вписанной в треугольник АВМ, быть ровно 90
в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник АСМ? 721. В трапеции ABCD (AD || ВС) диагонали пересекаются в точке О. а) Перпендикуляры, проведенные из*точек В и С соответственно на АС и BD, пересекаются в точке Μ, а перпендикуляры из А и D соответственно на BD и АС — в точке К. Доказать, что точки Μ, К и О лежат на одной прямой. б) Перпендикуляры, проведенные к диагоналям АС и BD в точках С и В соответственно, пересекаются в точке Р, а перпендикуляры к ним в точках А и D пересекаются в точке N. Доказать, что точки Ρ, Ν и О лежат на одной прямой. 722. Доказать, что в произвольном треугольнике отношение наименьшей высоты к наименьшей биссектрисе больше, чем V2/2. 723. Диагональ АС выпуклого четырехугольника ABCD делит пополам диагональ BD. Известно, что АВ > AD. Какой угол больше: ВС А или DCA? 724. Пусть О — центр окружности ω, \OF — ее радиус, Ρ — середина OF. Луч света, пущенный из точки А окружности, отразившись от радиуса в точке Р, пересекает окружность в точке В. Пусть Г — середина АВ, а точка X' симметрична Τ относительно Р. Доказать, что Т' лежит на окружности ω (Ε. Μ. Гольберг). 725. Медиана треугольника, выходящая из одной вершины, равна высоте, проведенной из другой вершины, и равна 1. Высота, проведенная из третьей вершины, равна \/3. Найти площадь треугольника. 726. В остроугольном треугольнике ABC угол В равен 30°, Я — точка пересечения его высот. Οι и Ог — центры окружностей, вписанных в треугольники АВН и СВН соответственно. Доказать, что угол между прямыми ΑΟ*ι и СО\ равен 45°. 727. Дан угол с вершиной А. На одной из его сторон взяты точки В и j?i, а на другой—С и С\. Прямые ВС и В\С\ пересекаются в точке М. В окружности, описанной около треугольника ABC у проведена хорда AD, параллельная BiCi, а в окружности, описанной около ΑΒχΟι, проведена хорда ADi, параллельная ВС. Доказать, что прямая DD\ проходит через М. * * * 728. Пусть О — центр одной из вневписанных окружностей треугольника ABC. Доказать, что центр окружности, описан- 91
ной около треугольника АВО, лежит на окружности, описанной около ABC. 729. В треугольнике ABC угол В равен 100°. В этом треугольнике проведена биссектриса угла С, пересекающая АВ в точке jK, а на стороне АС взята точка D так, что угол CBD равен 20°. Доказать, что угол CED равен 10°. 730. Доказать, что если продолжения биссектрис углов А, В и С треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках А\у В\ и С\ соответственно, то справедливо неравенство ΑΑχ + ΒΒχ + СС\ >АВ + ВС + С А. 731. В трапеции ABCD каждая из диагоналей АС и BD равна основанию АВ, Μ — середина CD. Найти углы трапеции, если ΔΜΒΟ = ΔθΑΒ. 732. В правильный треугольник ABC вписана окружность ω. Через произвольную точку Μ £ω проведены прямые, параллельные сторонам треугольника и рассекающие его на три треугольника и три параллелограмма. Доказать, что сумма площадей полученных треугольников раЬна сумме площадей параллелограммов. 733. На сторонах АВ, ВС и СА треугольника ABC взяты соответственно точки С\, Αχ и В\. На стороне АС во внешнюю от треугольника сторону построен треугольник АСВ^ так, что ZACB2 = zAiCiBi, ZCAB2 = zCiAiBi. Доказать, что площадь четырехугольника А\ВС\В2 равна площади треугольника ABC. 734. Дан треугольник АОС. Точка В выбрана на стороне АО так, что LCAO = ZBCO. Построена окружность ω с центром О и радиусом ОС. Окружность ω\ проходит через точки В и О и пересекает окружность ω в точках Μ и К. Доказать, что точки Л, Μ и К лежат на одной прямой. 735. Внутри треугольника ABC взята точка О. На лучах О А, ОВ, ОС построены векторы единичной длины. Доказать, что сумма этих векторов имеет длину, меньшую единицы. " 736. В прямоугольник ABCD вписан правильный треугольник так, что одна вершина лежит в вершине Л, а две другие—во внутренних точках его сторон, не содержащих вершину А. Доказать, что площадь одного прямоугольного треугольника, отсекаемого стороной правильного вписанного треугольника, равна сумме площадей двух других таких прямоугольных треугольников. 737. Найти множество середин всех отрезков, концы которых лежат а) на данной полуокружности, б) в фигуре, являющейся объединением диагоналей квадрата. 92
* * * 738. Около окружности описана прямоугольная трапеция. Через вершину ее острого угла провести прямую так, чтобы она делила трапецию на две равновеликие части. 739. На плоскости отмечены две точки А и J3. При помощи одного циркуля построить точку С так, что ЛС = 2А13, проведя не более трех линий. 740. Проведя наименьшее количество линий (окружностей и прямых с помощью циркуля и линейки), построить перпендикуляр к данной прямой, проходящей через данную точку а) вне этой прямой, б) на этой прямой. 74Х. Фигура на плоскости ограничена четырехзвенной ломаной ABCDE, все звенья которой равны, а углы между соседними звеньями прямые (Л, В, С, D — вершины квадрата, D — середина отрезка АЕ)} и дугой АЕ окружности с центром в С. Разрезать эту фигуру на две равные фигуры. 742. Можно ли квадрат разрезать на три не равных, но подобных прямоугольника? 743. Разрезать прямоугольный треугольник с углом А = 30° на четыре части, из которых можно сложить квадрат. 744. Удвоить данный отрезок при помощи «прямого угла» — инструмента, позволяющего проводить прямые линии (как линейка) и строить прямые углы. 745. На плоскости даны точки А и О и прямая /. При помощи «прямого угла»(см. задачу 744), найти точку пересечения окружности с центром О, проходящей через Л, с прямой I. 746. Построить треугольник по стороне, сумме двух других сторон и радиусу вписанной окружности. 747. Построить треугольник по углу А, углу между медианами, выходящими из вершин β и С, и расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей. * * 748. На плоскости дан угол с вершиной О и окружность внутри угла. На окружности заданы точки А и В. Найти на окружности точку Μ так, чтобы прямая AM пересекала одну сторону угла, а прямая В Μ—другую сторону в точках, равноудаленных от вершины О. 749. Внутри треугольника дана точка М. Построить окружность с центром в Μ такую, чтобы хорды, образуемые этой окружностью при пересечении со сторонами треугольника, были 93
бы равны сторонам некоторого прямоугольного треугольника. Для каких точек Μ такую окружность можно построить? 750. Построить треугольник по стороне а, проведенной к ней высоте h и радиусу г вписанной окружности. 751. Разрезать неравносторонний треугольник на три части так, чтобы одна часть являлась треугольником, подобным исходному, а из двух оставшихся можно было сложить треугольник, также подобный исходному. 752. На отрезке АВ как на диаметре построена окружность; внутри ее взята точка Р. Построить все точки М, лежащие на диаметре АВ, такие, что РМ = МК, где К—точка окружности иМК±АВ. 753. По трем точкам Л, В и С построить точку D так, чтобы четырехугольник ABCD был и вписанным, и описанным. 754. Доказать, что вписанный четырехугольник можно разрезать не более чем тремя прямыми, не пересекающимися внутри этого четырехугольника, на части, из которых можно составить прямоугольник (Е. М. Гольберг). 755. На плоскости даны квадрат, прямая I и точка А. С помощью одной линейки провести через точку Μ прямую, перпендикулярную L 756. Построить отрезок, соединяющий две данные точки плоскости, если имеется только линейка (односторонняя), длина которой меньше расстояния между точками. 757. Дан «пятак», при помощи которого мы можем через любые две точки, расположенные друг от друга на расстоянии, не превышающем диаметра «пятака», построить любую из двух окружностей данного радиуса, проходящих через взятые точки. При помощи этого «инструмента» для заданных точек А и В построить точку С, лежащую на прямой АВ и такую, что ВС = АВ. * * * 758. Вокруг треугольника ABC описана окружность, точки Αι, Βχ и С\ диаметрально противоположны точкам А, В и С; ilo, Во и Со — середины сторон ВС, С А и АВ соответственно. Доказать, что прямые A\Aq, ΒχΒο и С\Со пересекаются в одной точке. 759. Пусть а, Ь и с—три последовательные стороны четырехугольника, α и β—соответственно углы между сторонами а и 6, бис. Доказать, что имеет место равенство 5 = 0,5(obsina + bcsin/3 — acsin(a+ /?)), 94
где S — площадь четырехугольника. 760. Доказать, что в разностороннем треугольнике прямая, проходящая через центр вписанной окружности и точку пересечения медиан, пересекает наибольшую и наименьшую стороны этого треугольника. 761. В треугольнике ABC угол В равен 120°. Биссектриса угла ABC пересекает сторону АС в точке М, а биссектриса угла, смежного с углом ВСА, пересекает продолжение стороны АВ в точке Р. Отрезок MP пересекает сторону ВС в точке К. Доказать, что угол АКМ равен 30°. 762. Дано несколько остроугольных треугольников. Из сторон данных треугольников строится новый по следующему правилу: его наименьшая сторона равна сумме наименыдих сторон данных треугольников, средняя по длине сторона равна сумм? средних сторон, а наибольшая сторона равна сумме цацбол^ших сторон данных треугольников. Доказать, что косинус большего угла получившегося треугольника больше, чем 763. Даны окружность к с центром О и две прямее, пересекающиеся в О. Для произвольной точки Ρ окружнорти к на луче О Ρ отложен отрезок OMi равный сумме расстояний от Ρ до прямых. Найти геометрическое место точек М. 764. Дан разносторонний треугольник ABC. Найти на сторонах АВ, ВС, С А соответственно точки С\, А\ и В\ так, чтобы треугольники A\B\Ci, АВ\С\, А\ВС\, А\В\С были подобна дан^ ноь*у треугольнику ABC. 765. Даны произвольный треугольник ABC и точка X вне его; AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать^ что площадь одного из треугольников ХАМ, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других. 766. Дан выпуклый четырехугольник ABCD. Провести через С прямую, пересекающую продолжения сторон АВ и AD в точках Μ и К соответственно, так, чтобы — h — принимало Sbcm Sdck наименьшее значение. 767. В треугольнике ABC стороны АВ и ВС равны, На сторонах АВ, ВС и С А взяты соответственно точки К, Μ и Ρ так, что АК: KB=В Μ: Μ С *= СР: РА. В каких пределах может меняться периметр треугольника ABC, если КМ = MP = 11 * *' * 768. На стороне квадрата во внешнюю сторону построен прямоугольный треугольник, гипотенуза которого совпадает со сто- 95
роной квадрата. Доказать, что биссектриса прямого угла этого треугольника делит площадь квадрата пополам. 769. Две прямые, перпендикулярные стороне АС треугольника ABC\ делят этот треугольник на три равновеликие части. Известно, что отрезки этих прямых, заключенные внутри тре* угольника, равны между собой и равны стороне АС. Найти углы треугольника ABC. 770. Найти наибольшее значение площади треугольника, вершины которого расположены на трех концентрических окружностях с радиусами 1, 3\/2 и 5. 771. На Сторонах АВ, ВС, СА треугольника ABC взяты точки Ci, -Αι, Β\ соответственно так, что прямые АА\, ВВ\, СС\ пересекаются в точке О. Прямая, проходящая через О параллельно АС, пересекает А\В\ и В\С\ соответственно в точках К и М. Доказать, что ОК — ОМ. 772. Прямая, проходящая через середину Μ стороны АВ треугольника ABC параллельно биссектрисе угла С, пересекает прямые АС и ВС в точках К ъЕ. Доказать, что МК-МЕ—гагы где га и гь — радиусы вневписанных окружностей, касающихся сторон ВС и АС. 773. На стороне АС треугольника ABC выбраны точки К и Μ так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВК и СВМ, равны между собой· Доказать, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВМ и СВК, также радны между собой. 774. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты АА\, ВВ\, СС\. На отрезках А\С\, С\В\ взяты соответственно\ точки Μ й N так, что lMAA\ = LNAC. Доказать, что Μ А — биссектриса угла C\MN. 775. В выпуклом четырехугольнике ABCD сторона АВ равна диагонали BD, кроме того, ZB АС=30°, ZADC=150°. Доказать, что диагональ АС служит биссектрисой угла BCD. 776. На сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты соответственно точки Ci, Αι и Βχ так, что отрезки АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке. Пусть Μ—проекция А\ на В\С\. Доказать, что МА\ -^-биссектриса угла ВМС. 777. Известно, что в данное треугольнике каждая медиана больше любой его высоты. Доказать, что: а) наибольший угол этого треугольника больше 150°; б) наименьший угол меньше 5°30'. 96
* * * 778. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны углы: IBАС = 20°, ZJ3C4 = 35°, ZJ3DC = 40°, ΔΒΌΑ = 70°. Найти угол между диагоналями этого четырехугольника. 779. В выпуклом четырехугольнике ABCD известны углы lBAC = 40°, ZJ?O4 = 70°, ZJ32X7 = 20°, ZBDA = 35°. Найти угол между диагоналями этого четырехугольника. 780. Доказать, что при произвольном а существует треугольник со сторонами у а2 — а +1, γα2 + я +1, у/4а2 + 3 и площадь этого треугольника не зависит от а. < 71Ц. В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке Μ, ΔΑΜΌ = 120°, AM = Μίλ Пусть Ε — произвольная точка на стороне JBC, К и Ρ—такие точки на сторонах АВ и CD соответственно, что КЕ параллельна диагонали АС, а РЕ параллельна диагонали BD. Доказать, что центр описанной около треугольника КЕР окружности расположен на стороне AD. 782. Пусть А—фиксированная точка некоторой окружности, а В — фиксированная точка заданной прямой. Произвольная прямая, проходящая через А, пересекает окружность вторично в точке D, а прямую в точке С. Окружность, описанная около треугольника BCD, пересекает данную окружность вторично в точке Е. Построить прямую AD таким обр'азом, чтобы длина отрезка СЕ была минимальной. 783. Дана окружность и точка А вне ее. Из точки А проведены к окружности две касательные АВ и АС (В и С — точки касания). Пусть Μ—произвольная точка прямой, проходящей через середины АВ и АС. Доказать, что касательная к окружности из точки Μ равна Μ А. 784. В треугольнике ABC проведена биссектриса ВВ\, Οχ, 02 и О центры окружностей, описанных соответственно около треугольников АВВ\, СВВ\ и ABC, R\, i?2 и R — их радиусы. Доказать, что 00\ = 00\ = R2 - ДхД2. 785. Внутри треугольника ABC взята точка О. Через точку О проведена прямая I, пересекающая стороны АС и АВ. Расстояния от А, В и С до / равны соответственно /ι^, Ь>в и Лс· Доказать, что имеет место равенство /ι л · Sboc = Лв · 5лос + /ic · Злов- 786. В прямоугольном треугольнике ABC прямая, проведенная через середину катета ВС и центр вписанной окружности, пересекает катет АС в точке М, а прямая, проходящая через точки касания вписанной окружности с АС и АВ, пересекает высоту треугольника ABC, опущенную на гипотенузу, в точке N. Доказать, что CM = CN. 97
787. Прямая пересекает стороны АВ, ВС и С А треугольника ABC соответственно в точках С', А' и Bf. Доказать, что три точки, симметричные соответственно точкам А, В и С относительно середин отрезков В'С', С1 А! и А'В', лежат на одной прямой. * * * 788. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Его диа- гойали пересекаются в точке К. Окружность, проходящая через А, В и К, пересекает ВС и AD в точках Μ и N. Доказать, что ΚΜ = ΚΝ. 789. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная ις гипотенузе, делит этот треугольник на два. Доказать, что сумма радиусов окружностей, впдсанных в исходный треугольник и два получившиеся, равна высоте исходного треугольника. 790. Точка К лежит на стороне CD квадрата ABCD, биссектриса угла ВАК пересекает сторону ВС в точке L. Доказать, что BL + KD = AK. 791. Даны две окружности, касающиеся друг друга внешним образом. Пусть А — точка касания общей внешней касательной к окружностям с одной из них, В—точка этой окружности, диаметрально противоположная точке А. Доказать, что длина касательной, проведенной из точки В ко второй окружности, равна диаметру первой окружности. 792. Внутри квадрата ABCD взята точка Μ так, что ZMBC= = ΔΜΌΒ = а. Найти угол MAD. 793. В плоскости даны три отрезка АВ, CD и EF. Построить все точки М, для которых треугольники MB A, MCD и MEF равновелики. 794. Дан вписанный четырехугольник ABCD, обозначим через Αχ у Βχ, C\ и D\ основания перпендикуляров, проведенных из точки пересечения диагоналей четырехугольника ABCD соответственно к АВ, ВС, CD и DA. Доказать, что прямые ΑιΒχ, АС и D\C\ пересекаются в одной точке. 795. На сторонах треугольника ABC вне его построены равносторонние треугольники ABR, ВСР, ACQ. Точки Αι, В\, С\ — середины сторон ВС, С А, АВ\ точки R\,P\, Qi —середины PQ, QR, RP. Доказать, что а) отрезки J?iQi, P\A\, R\C\ равны друг ДРУгу; б) прямые B\Q\, Р\А\, C\R\ пересекаются в одной точке; в) центры тяжести треугольников ABC и PQR совпадают. 98
796. На сторонах выпуклого четырехугольника ABCD как на основаниях построены четыре подобных равнобедренных треугольника ABM, CDP, BCN и ADQ, причем первые два расположены вовнутрь, а последние два—вовне данного четырехугольника. Доказать, что MNPQ—параллелограмм. 797. Стороны четырехугольника ABCD служат диагоналями квадратов AQBP,, BKCL, CVDT, DNAM (точки Q, К, V, N расположены вне четырехугольника ABCD). Доказать, что а) четырехугольники NT К Ρ и QI^VM— равные параллелограммы, стороны которых соответственно перпендикулярны; б) отношение площади четырехугольника ABCD к площади параллелограмма NT К Ρ равно |tga|, где a — угол между АС и BD, a ^90°. * * * 798. Около окружности с центром О описан четырехугольник ABCD, прямые АВ и CD пересекаются в точке К, а прямые ВС и AD пересекаются в точке М, причем точка D принадлежит отрезкам СК и AM. Доказать, что LAOK-Z.COM. 799. В треугольнике ABC выполнены соотношения tgA = = -tgi?=-tgC Найти а.Ъ.с. Δ О 800. В прямоугольном треугольнике длины медианы и высоты, проведенных к гипотенузе, равн^ тик соответственно. Вычислить длину биссектрисы прямого угла этого треугольника. 801. Определить площадь треугольника, если даны стороны а и Ъ и биссектриса / угла между ними. 802. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон АВ, ВС и С А соответственно в точках ζί',Α' иВ'. Прямая А'В' пересекается с АВ в точке Р. Доказать, что касательные, проведенные цз середины отрезка PC' к вписанной и описанной окружностям треугольника ABC, равны между собой. 803. В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром О на стороне АВ. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны ВС и АС соответственно в точках Μ и Ν, а прямая, соединяющая точки касания сторон ВС и АС с полуокружностью, пересекает отрезки ОМ и ON в точках Ρ и Q. Доказать, что MN = 2PQ. 804. Расстояния от некоторой точки плоскости до трех последовательных вершин прямоугольника равны 3, 4 и 5. Найти площадь прямоугольника. 99
805. На сторонах треугольника как на диаметрах построейы окружности. Отрезки общих внешних касательных к этим окружностям равны га, n и fc. Найти периметр и площадь треугольника. 806. Найти углы треугольника, ортоцентрический треугольник которого (треугольник с вершинами в основаниях высот данного) подобен исходному треугольнику (В.Е. Куценок). 807. Дан треугольник ABC. Окружность с центром О проходит через вершины А и В и пересекает стороны АС и ВС в точках D и Е. Обозначим через Μ точку пересечения окружностей, описанных около треугольников ABC и DEC, отличную от точки С. Доказать, что угол ОМС равен 90°. * * * 808. Длины сторон произвольного треугольника равны а, Ь, с. Доказать, что выполняется неравенство а2 + Ь2 + с2 < 2(ab + be + +са). 809. Доказать, что в любом многоугольнике есть, по крайней мере, две стороны α и о такие, что 1 ^ ~ < 2. а 810. В четырехугольнике ABCD углы Ли С равны 90°. Доказать, что периметр вписанного в ABCD четырехугольника не меньше, чем 2АС. 811. В выпуклом четырехугольнике сумма квадратов сторон и диагоналей равна га. Доказать, что его площадь не превосхо- га Дит?. 812. Даны прямая I и две точки А и Ц вне ее. Найти на прямой / такую точку М, для которой AM2 + В Μ2 достигает наименьшего значения. ^ * 813. Из вершины некоторого угла выходят два луча, расположенные внутри угла. Некоторая прямая пересекает стороны угла в точках А и В, а лучи — в точках К и М. Доказать, что отношение КМ/АВ будет наибольшим при условии АК=*МВ. 814. Дан угол с вершиной О. Построить точки Л и В на сторонах углк и точку Μ внутри угла так, чтобы АМ+ВМ = а, где а—данный отрезок, и площадь четырехугольника ОАМВ была наибольшей. 815. Сумма расстояний от точки Μ до двух соседних вершин квадрата равна а. Каково наибольшее значение суммы расстояний от точки Μ до двух других вершин квадрата? 100
816. Дана прямая I и точки Л и В по одну сторону от нее. Найти на прямой I точку, из которой отрезок АВ виден под наибольшим углом. 817. В треугольнике ABC проведены биссектрисы внутренних углов j4;4i, JSBi, СС\. Доказать, что периметр треугольника А\В\С\ не превосходит половины периметра треугольника ABC. * * * 818. Доказать, что если в треугольнике выполняется равенство ab cos С + be cos A + ca cos J? = с2, где а, 6, с—стороны треугольника, A, J5, С — противолежащие им углы, то этот треугольник прямоугольный. 819. Доказать, что если сумма квадратов сторон выпуклого четырехугольника равна сумме квадратов его диагоналей, то этот четырехугольник — параллелограмм. 820. Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Докажите, что окружности, построенные на ее боковых сторонах как на диаметрах, касаются друг друга. 821. Стороны пятиугольника в порядке обхода равны 5, 6, 10, 7 и 8. Доказать, что в этот пятиугольник нельзя вписать окружность. 822. У пятиугольника все углы равны. Доказать, что для любой его точки сумма расстояний до всех сторон постоянна. 823. На окружности взяты четыре различные точки A, J5, С, D, причем AB=BD. Касательная к окружности, проходящая через Л, пересекается с прямой ВС в точке Q, R—точка пересечения прямых АВ и CD. Доказать, что прямая QR параллельна прямой AD. 824. Две окружности пересекаются в точках А и В. Хорда АС первой окружности касается второй, а хорда AD второй касается первой. Прямая CD пересекает первую окружность в точке М, отличной от В. Доказать, что прямая MB делит AD пополам. 825. Дан параллелограмм ABCD. На прямой АВ взята точка М. Прямая, проходящая через Μ и середину ВС, пересекает прямую АС в точке АГ. Прямая, проходящая через К и середину AD, пересекает прямую CD в точке Р. Доказать, что ВС параллельна MP. 826. В ромб ABCD вписана окружность. Одна касательная к окружности пересекает прямые АВ и ВС в точках К и М, а другая касательная пересекает прямые AD и CD в точках Ρ и Т. Доказать, что прямые КР и МТ параллельны. 101
827. Биссектриса каждого угла треугольника пересекает противоположную сторону в точке, равноудаленной от середин двух других сторон треугольника. Следует ли из этого, что треугольник правильный? * * * 828. Дан угол величиной 75° с вершиной в точке О. На его сторонах взяты точки А и В так, что ОЛ=д/2, ОВ = л/3. Внутри угла взята точка С так, что ОС = л/б/2 и ZC0A = 30°. Доказать, чта точки Л, В и С лежат на одной прямой. . 829. Пусть а, 6, с, /ια, /ι&, hc — соответственно стороны и высоты треугольника. Доказать, что выполняется равенство (а - hb){b-hc){c-ha) = (α- hc)(b- ha)(c- hb). 830. Точка О— точка пересечения высот остроугольного треугольника ABC, Л1, J5i, C\—основания высот. Доказать, что АО2 + ВО2 + СО2 > 4(0А\ + ОВ\ + ОС\). 831. Построить треугольник по стороне, противолежащему углу и радиусу вписанной окружности. 832. Рассмотрим вписанную и описанную окружности некоторого треугольника. Известно, что существует бесконечно много треугольников, для которых эти окружности также являются вписанными и описанными. Найти геометрическое место, точек пересечения медиан таких треугольников. 833. В сектор с центральным углом 60° и единичным радиусом вписан прямоугольник (все вершины на границе сектора). Чему равно наибольшее значение площади таких прямоугольников? 834. На плоскости даны точки А и J5. Рассмотрим всевоз- можные точки С этой плоскости, для которых АС — ВС = а, где а — заданный отрезок. Найти геометрическое место центров окружностей, вписанных в треугольник ABC. 835. Стороны шарнирного четырехугольника равны (последовательно) а, Ь, с, d. Чему равно наибольшее значение суммы средних линий таких четырехугольников? (Средняя линия— отрезок, соединяющий середины противоположных сторон.) (Н. Седракян). 836. Вокруг равнобедренного треугольника ABC (AB = ВС) описана окружность. На дуге АС этой окружности, не содержащей точки В, взята хорда КМ. заданной длины таде, что отрезки 102
AM и KB пересекаются в точке Ε, а отрезки КС и В Μ пересекаются в точке D. При каком положении хорды КМ площадь четырехугольника AEDC будет наибольшей? 837. Найти геометрическое место центров всевозможных правильных треугольников, вершины которых расположены на сторонах данцого квадрата. * * * 838. Из точки А, расположенной вн^ окружности, проведены две касательные AM и ΑΝ (Μ и Ν — точки касания) и секущая, пересекающая окружность в точках Ρ и Q. Пусть L — середина PQ. Доказать, что ZMLA = ZNLA. 839. В прямоугольном треугольнике проведена высота к гипотенузе. Расстояние между центрами окружностей, вписанных в два образовавшихся треугольника, равно а. Найти радиус окружности, вписанной в исходный треугольник. 840. Через точку М, расположенную вне данной окружности, проведены две секущие. Одна из них проходит через центр О окружности и пересекает ее в точках А и J5. Вторая секущая пересекает окружность в точках С и D. Окружности, описанные около треугольников АОС и BOD, вторично пересекаются в точке Р. Доказать, что ΔΜΡΟ = 90° 841. Пусть а, Ь, с и S—соответственно стороны и площадь одного треугольника, а, /?, 7— углы другого треугольника. Доказать, что имеет место неравенство a2ctga+62ctg/3+c2ctg7^45, при этом равенство достигается, если треугольники подобны. 842. Пусть Η — точка пересечения высот треугольника ABC, Μ — середина АС. Доказать, что прямая МН проходит через точку пересечения окружности, описанной около ABC, и окружности с диаметром ВН. 843. Дан шестиугольник ABCDEF. Прямые ВС, AD и EF пересекаются в одной точке. Прямые CD, ED и AF также пересекаются в одной точке. Доказать, что прямые DE, CF и АВ пересекаются в одной точке или параллельны. 844. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены прямоугольники ABLK, BCNM, CAQP. Доказать, что прямые, проходящие через А, В и С перпендикулярно соответственно KQ, LM и NP, пересекаются в одной точке. 845. Пусть основания трапеции равны α и 6, а углы при основании а равны а и β. Докажите, что необходимым и достаточ- 103
ным условием для того, чтобы в эту трапецию можно было бы Ь а в вписать окружность, является равенство - = tg — · tg —. 846. Прямые, пересекающие стороны АВ и CD параллелограмма ABCD, делят его на трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. Доказать, что произведение длин оснований этих трапеций, расположенных на АВ, равно произведению длин оснований, расположенных на DC. 847. Для данного прямоугольного треугольника рассмотрим три окружности, каждая из которых имеет центр на одной из сторон треугольника и касается двух других его сторон. Доказать, что радиус окружности, касающейся этих трех окружно- 3 стей и содержащей внутри себя их центры, равен -г, где г — радиус окружности с центром на гипотенузе. * 848. На плоскости расположены четыре точки таким образом, что попарные расстояния между точками принимают два различных значения. Наибольшее расстояние между точками равно 1. Какие значения может принимать наименьшее расстояние между точками? 849. Дан остроугольный треугольник ABC. Найти геометрическое место точек Μ, для которых ΔΜΑΒ = 1МСВ, άΜΒΑ = = АМСА. 850. Дан прямоугольный треугольник ABC. На гипотенузе АВ взяты точки K,.D, Μ так, что CD — высота треугольника ABC, CK и СМ — биссектрисы углов ACD и DCB соответственно. Доказать, что центр окружности, описанной около треугольника КСМ, совпадает с центром окружности, вписанной в треугольник ABC. 851. Четырехугольник описан около окружности. Доказать, что прямые, соединяющие соседние точки касания, пересекаются на продолжении диагонали или параллельны ей. 852. В треугольнике ABC угол А равен а. Прямая, проходящая через А перпендикулярно биссектрисе угла ВАС, пересекает прямую ВС в такой точке М, что ВМ = ВА + АС. Найти углы В и С треугольника ABC. 853. На плоскости даны две точки А и В; найти геометрическое место таких точек С, что для треугольника ABC выполняется равенство αβα = Ь/?& (а и Ь — стороны ВС и АС, 104
βα и Ъь — длины соответствующих этим сторонам биссектрис) (В. Е. Куценок). 854. На плоскости даны две точки А и В. Найти геометрическое место таких точек С, что для треугольника ABC выполняется равенство ата = Ьть (та и ть—длины медиан к сторонам ВС и АС) (В. Е. Куценок). 855. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Обознаг чим через Μ и N точки пересечения прямых АВ и CD, ВС и AD соответственно. Пусть В\ — точка пересечения данной окружности с окружностью, проходящей через точки В, Μ и iV, отличная от В. Доказать, что прямая Β\Ό делит отрезок МАГ пополам. &56. Во вписанный четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Пусть i4i, J?i, С ι и D\—точки касания этой окружности со сторонами четырехугольника. Доказать, что а) четыре точки пересечения противоположных сторон обоих четырехугольников ABCD и A\BiC\D\ лежат на одной прямой /; б) прямая I перпендикулярна прямой, проходящей через центры описанной и вписанной окружностей четырехугольника ABCD. 857. На сторонах АВ и ВС треугольника ABC {АВ Φ АС) во внешнюю сторону построены треугольники АВМ и ACN, причем zMAB = zNAC=a (a< |V ZMBA = ZNCA. На прямой AD, где D — середина ВС, взйта точка Р, равноудаленная от Μ и N. Доказать, что ΖΜΡΝ = π — 2α. * * * 858. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием АС проведена биссектриса CD. Прямая, перпендикулярная CD и проходящая через D, пересекает АС в точке Е. Найти ЕС, если AD = 1. 859. В остроугольном треугольнике PQR (PQ > QR) проведены высоты РТ и RS, QN—диаметр окружности, описанной около треугольника PQR. Известно, что величина острого угла между высотами РТ и RS равна с^ PR = α. Найти площадь четырехугольника NSQT. 860. Противоположные стороны вписанного четырехугольника равны а и Ь, угол между диагоналями равен а. Найти радиус окружности, описанной около этого четырехугольника. 861. На прямой взяты две точки А и В. Две окружности касаются этой прямой в точках А и В и касаются между собой. 105
Третья окружность касается первых двух внешним образом и прямой АВ. Найти радиус окружности, проходящей через А и В и касающейся третьей окружности, если АВ = а. 862. Внутри треугольника имеются две точки. Расстояния от одной из них до сторон треугольника равны 1, 3 и 15, а от другой (в том же Порядке) — 4, 5 и 11. Найти радиус окружности, вписанной в данный треугольник. 863. Внутри параллелограмма ABCD находятся три попарно касающиеся окружности: первая, радиуса Д, касается сторон ВС и AD, вторая — сторон АВ и ВС, а третья — сторон АВ и AD. Пусть Μ и N—точки касания двух последних окружностей со стороной АВ. Доказать, что MN = R. 864. В треугольнике ABC угол А равен 60°. На стороне АВ взята точка К так, что АК— -АС. Найти ВК, если расстояние от Δ центра описанной около ABC окружности до стороны АС равно а. 865. В треугольнике ABC угол А равен 30°. На стороне АВ взята точка К так, что АК равно расстоянию от центра описанной около ABC окружности до АС. Найти ВК, если АС = а. 866. В равнобедренном треугольнике ABC боковые стороны АВ и ВС равны а. На основании АС взяты точки К и Μ так, что ΖΚΒΜ = 90°. Найти MJ5, если —- = —— + ——. AM МК МС 867. На плоскости расположены две окружности с радиусами йиг, расстояние между их центрами равно а. Некоторая окружность касается двух данных внешним образом в точках К и М. Прямая КМ пересекает линию центров данных окружностей в точке D. Найти длину касательной, проведенной из D к третьей окружности. * * * 868. Доказать, что у любого выпуклого четырехугольника можно выбрать три вершины А, В и С (АВ и ВС — стороны четырехугольника) так, что параллелограмм АВСВ\ содержит (внутри себя или на границе) четвертую вершину четырехугольника. 869. На плоскости даны η точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Доказать, что среди них можно выбрать три точки А, В, С так, чтобы ни одна из данных точек не лежала вне окружности, описанной около треугольника ABC. 106
870. На плоскости расположены 2п+3 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой, никакие четыре не лежат на одной окружности. Существует ли окружность, проходящая через какие-либо три из этих точек и ограничивающая круг, внутри которого лежит ровно половина оставшихся точек? 871. Какое наибольшее число точек молено поместить в кольцо с внутренним радиусом 1 и внешним радиусом \/2 так, чтобы расстояние между любыми двумя точками было бы не менее 1? 872. Расположить на плоскости 11 одинаковых квадратов так, чтобы они не налегали друг на друга и выполнялось условие: как бы.ни окрасить квадраты в яри цвета, обязательно найдутся два квадрата одного цвета, прилегающие друг к другу частью стороны (не точкой). 873. Выпуклый четырехугольник разрезан прямыми на η вписанных четырехугольников- Доказать, что если η нечетно, то данный четырехугольник тоже вписанный. Верно ли это утверждение при четном п? 874. На плоскости расположены 100 точек. Доказать, что существует конечное множество кругов, удовлетворяющих условиям: 1) любая из данных точек лежит внутриодного из кругов; 2) любые две точки разных кругов удалены друг от друга более чем на 1; 3) сумма диаметров всех кругов меньше 100. 875. На стороне ВС треугольника ABC взята точка D так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ABD и ACD, равны. Найти ADy если АВ = с, ВС—а, СА = Ь. 878. На плоскости дан угол с вершиной О. Вершина С равнобедренного треугольника расположена на одной его стороне, а основание АВ — на другой. Одна окружность вписана в треугольник О АС (точк;а А на отрезке OJ3), а другая окружность касается отрезка ВС и продолжений ОС и ОВ. Доказать, что сумма радиусов окружностей равна высоте треугольника ABC, проведенной к АВ. 877. На плоскости дан треугольник. Для каждой внешней по отношению к треугольнику точке плоскости А зададим отобраг жение А! = Т(А) таким образом, что середина отрезка АА! есть одна из вершин треугольника, причем весь треугольник расположен в части плоскости, получающейся при повороте луча АА' вокруг А против часовой стрелки на угол, не превышающий 180°. Определить для каждого натурального η > 2 множество точек Л, для которых Тп(А) = Т{Т(Т..,Т(А))) = А. η 107
* * * 878. Пусть М—точка пересечения двух окружностей с центрами Οχ и О2, точки А и В лежат соответственно на первой и второй окружностях и Ζ.ΑΜΒ = 90°. Доказать, что выражение Αθ\ + Β Οχ - АВ2< не Зависит от выбора точек А и В. 879. Найти углы треугольника ABC, если биссектрисы внешних углов Аи В равны стороне АВ. (Биссектриса внешнего угла А треугольника ABC есть отрезок биссектрисы угла, смежного с углом В АС\ концами которого являются точка ее пересечения с прямой ВС и точка А.) 880. Построить треугольник, если на плоскости указаны три точки: центр вписанной в него окружности, середина какой-то стороны и основание высоты, проведенной к этой стороне. 881. На плоскости нарисован угол, внутри которого отмечена точка О. Провести через О такой отрезок ВС, для которого -=грг + -р^г принимает наибольшее значение, если: а) точки В и С В U G U лежат на сторонах угла; б) если точки В и С лежат на сторонах угла или их продолжениях. 882. Сторона AD квадрата ABCD отображена симметрично относительно некоторой прямой. При этом А и D перешли в точки А! и D' такие, что D' расположена на отрезке ВС и отрезок A'D' пересекается со стороной АВ в точке Е. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник EBD1, равен А'Е. 883. В окружности радиуса г проведен диаметр АВ. Произвольная окружность с центром в В пересекает АВ в точке С. Через С проведена прямая, перпендикулярная АВ. Найти радиус наибольшей окружности, касающейся этой прямой, а также первой окружности внутренним рбразом, а второй внешним образом (при изменении радиуса второй окружности). / 884. На прямой расположены последовательно три точки А, В и С. Отрезки АВ и АС служат диаметрами двух окружностей, на большей окружности взята точка Μ такая, что ВМ = МС. Третья окружность касается отрезка ВМ, а также двух первых окружностей. Доказать, что перпендикуляр, проведенный из центра третьей окружности на прямую АС, проходит через точку В (Сан гак у). 885. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и ВС, в которой AC— CD. Через середину AD проведена прямая, пересекающая Сайгаку — это общее название задач, составляющих содержание так называемой «Японской храмовой геометрии» (XVII—XIX веков). 108
АВ и BD соответственно в точках К и Μ. Доказать, что угол между прямыми АС и СК равен углу между прямыми DC и СМ. 886. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен г. Через вершины В и С проведена окружность ω, касающаяся вписанной в ABC окружности и пересекающая АВ и АС с точках N и I/. Окружность радиусом г ι касается дуги NL окружности ω и отрезков AN и AL, а окружность радиусом г2 касается дуги ВС (не содержащей точек N и L) окружности ω, а также отрезка ВС в его середине. Доказать, что имеет место равенство г2 = 4г1Г2 (Сангаку). 887. В окружность вписана трапеция ABCD (AD и ВС — основания). Пусть окружность, вписанная в треугольник ACD, имеет радиус г и касается AD в точке М. Докажите, что радиус окружности, касающейся отрезков AM, ВМ и описанной около ABCD окружности/ также равен г. * * * 888. Внутри треугольника ABC находится окружность ω, касающаяся ВС в той же точке, что и вписанная в ABC окружность. Из В и С к окружности ω проведены касательные, пересекающиеся в точке К и пересекающие С А и В А в точках Ρ и М. Доказать, что в четырехугольник АР К Μ можно вписать окружность. 889. Четырехугольник ABCD описан около окружности с центром О; К, L, М, i\T — точки касания сторон четырехугольника с окружностью {К на АВ, L на ВС, Μ на CD, N на DA). Доказать, что LiV OBOCs+OAOD KM~OAOB + OCOD* 890. На сторонах АВ и ЛС треугольника ЛВС вне его построены параллелограммы ABKL и ACMN так, что АВ: AL = = АС : ЛАГ = t, ZBAL = /ЛСМ = α. Выразить медиану AS треугольника ABC через длину отрезка iVL. Найти угол между прямыми AS и NL. 891. В окружности проведен диаметр АВ и перпендикулярно ему хорда CD, пересекающая диаметр в точке Е. Пусть Μ— некоторая точка отрезка ЛЕ, а радиус окружности, касающейся данной внутренним образом, отрезка MD и продолжения СМ, 1 1 1 in ч равен г. Доказать, что - = -тт-т 4- -rj= (Сангаку). 109
892. В треугольнике ABC сторона АВ меньше стороны АС. На стороне ВС взята точка В1 такая, что АВ1 = АВ. Доказать, что радиус окружности, касающейся отрезков АВ1, В1 С, а также изнутри описанной около ABC окружности, в два раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник АВ'С (Сангаку). 893. Доказать, что в плоскости треугольника ABC существует точка Μ такая, что AM2 - ВС2 = ВМ2 - АС2 = СМ2 - -АВ2. Доказать, что отрезки АМ\, ΒΜ*ι и СМз, где Μχ, Μ<ι и Мз — соответственно точки пересечения медиан треугольников В СМ, СМ А и АМВ, равцы и проходят через общую точку (А. А. Ягубьянц). 894. Дан угол и окружность внутри него. Построить касательную к окружности такую, что отсекаемый от угла треугольник содержит окружность и имеет наименьший периметр. 895. Найти наименьшее значение периметров всевозможных треугольников, содержащих две касающиеся внешним образом окружности с радиусами R и г. 896. Найти наименьший по площади треугольник, содержащий две равные касающиеся окружности радиусом R. 897. Около окружности описан четырехугольник ABCD. Прямая, проходящая через А параллельно ВС> пересекает прямую CD в точке 2?ι, а прямая, проходящая через С параллельно AD, пересекает прямую АВ в точке D\. Доказать, что в четырехугольник AB\CD\ можно вписать окружность. * * * 898. В четырехугольнике ABCD имеет место равенство АС— — ΑΌ. На АВ взята точка Μ такая, что ΔΜΌΑ = Z.ABD. Доказать, что ZACM = ZABC. 899. Существует ли четырехугольник, у которого можно изменить положение любой вершины, оставив три другие на месте, так, что четыре получившиеся точки служат вершинами четырехугольника, равного исходному? (С. И. Токарев). 900. Биссектриса и медиана, выходящие из одной вершины треугольника, образуют с противоположной стороной соответственно углы 60° и 45°. Докажите, что радиус описанной около этого треугольника окружности равен биссектрисе, выходящей из указанной вершины. 901. Четырехугольник ABCD вписан в окружность, Μ—некоторая точка на окружности. Проекции Μ на прямые АВ и 110
ВС— точки Ρ и Q, а проекции Μ на CD и DA — точки К и L. Доказать, что прямые PQ, KL и 4С пересекаются в одной точке. 902. Во вписанном четырехугольнике ABCD на сторонах АВ и ВС взято по две точки на каждой: Αχ, К и С\, Μ соответственно. Известно, что В Αχ = α, J3Ci = с, AD = m, CD =* η, J5UT = J5M и отрезки Αχ Μ и (7χΑΓ пересекаются на диагонали J5D. Найти ВК и ЯМ. 903. Дан угол величиной а с вершиной О и точка Ρ вне этого а угла. На стороне угла взяты точки К и Μ так, что ΔΚΡΜ = — Li и точки О и Ρ расположены по одну сторону от МК. Доказать, что окружность, проходящая через точки Ρ, Μ и К, содержит фиксированную точку плоскости. 904. Обозначим через N точку пересечения диагоналей вписанного четырехугольника ABCD. Прямая, проходящая через Ν, пересекает АВ и CD в точках Р\ и Qi, а окружности, описанные около ANB yi CND, в точках Рг и фг соответственно. _ М>х NQX Доказать, что — = _. 905. В круге проведен диаметр АВ,уС— некоторая точка на АВ, Μ—точка внутри одного полукруга, а точки К и L—внутри другого полукруга, причем ZCKL = ZMAB, ZCLK = ^MBA. Доказать, что ломаная ALMKB делит площадь круга пополам. (Отрезки AL и ВК не пересекают сторон треугольника LCK.) 906. На плоскости имеется четырехугольник. Некоторая прямая пересекает стороны и диагонали (или их продолжения) в точках К; L, Μ, Ν, Ρ и Q (последовательно). Доказать, что если KL = PQ, то и LM = NP. 907. Через вершину В равнобедренного треугольника ABC с основанием АС проведена прямая, на которой взяты точки Μ и Ρ так, что отрезок Μ С пересекает сторону АВ, а отрезок АР — сторону ВС и £MAB+ZPCB = 90° + ^, где a = zABC. Доказать, что угол между прямыми МС и АР постоянен. Найти этот угол. * * * 1 908. Доказать, что acosA + bcosB ^ с, где а, 6, с—стороны треугольника, А и В — углы, противолежащие сторонам а и 6 соответственно. 909. Внутри выпуклого четырехугольника ABCD находится точка М. Известно, что ΔΒΜΑ = ZCMD = 90°, ВМ = fc-AM, ill
MD = к · MC. Найти площадь четырехугольника ABCD, если BD = d. 910. В трапеции ABCD с основаниями АВ и CD диагонали пересекаются в точке О, Μ—точка ВС такая, что ОМ параллельна АВ. Прямая пересекает АВ, ОМ и CD соответственно в „ г ^ АК ML DQ х ττ точках К, L и Q так, что -гт= = -г-г- = -ргр; = А. Найти А. К d LU QO 911. Радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен 7>а радиус вневписанной окружности (касающейся ВС и продолжений АВ и АС) равен R. Окружность радиуса а (а<г) касается сторон АВ и АС треугольника ABC. К этой окружности из точек В и С проведены касательные, отличные от АВ и АС. Эти касательные пересекаются в точке D. Найти радиус окружности, вписанной с треугольник BCD. 912. Центр окружности расположен на основании ВС равнобедренного треугольника ABC. Окружность касается боковой стороны АВ. Боковая сторона равна а, длина касательной к окружности, выходящей из В, равна Ь. Некоторая касательная к окружности пересекает лучи АВ и АС в точках К и М, причем треугольник АКМ содержит окружность. Найти наименьшее значение периметров треугольников АКМ, получающихся при изменении касательной КМ. 913. Две окружности с радиусами R и г касаются прямой /. На прямой I берется отрезок ВС, содержащий точки касания окружностей. Из точек В и С проводятся касательные к «ближайшей» окружности (отличные от I). При этом точки В и С берутся так, что эти касательные пересекаются в точке А, расположенной с той же стороны от /, что и данные окружности. Среди всех получившихся таким образом треугольников ABC возьмем треугольник AoBqCq с наименьшим периметром. Доказать, что если 2р периметр AoBqCo, то ВоСо =р - y/pRr. 914. Все стороны четырехугольника ABCD различны. Биссектрисы углов А и С пересекаются на диагонали BD. Прямые BD и АС пересекаются в точке Q так, что AQ = QC, BQ = а, DQ = b. Найти АС. 915. Пусть К и Μ — середины диагоналей вписанного четырехугольника. Противоположные стороны этого четырехугольника при продолжении пересекаются в точках Ε и F, L — середина EF. Известно, что KL = a, ML = b. Найти EF и отношение диагоналей данного четырехугольника. 916. В четырехугольнике ABCD выполняются равенства ZBAD = Ζ ADC = 84°, ZBCD = /BDC = 66°. Доказать, что диагональ АС является биссектрисой угла BAD. 112
917. Доказать, что выпуклая фигура площади S может быть покрыта треугольником площади не более 2S. (Можно считать доказанным, что существует треугольник наименьшей площади, покрывающий заданную фигуру.) * 918. Диагонали вписанного в окружность радиуса R четырехугольника ABCD пересекаются в точке М. Известно, что АВ = ВС = a, BD = т. Найти радиус окружности, описанной около треугольника ВСМ. 919. В окружности проведен диаметр АВ, точки С и D на окружности такие, что прямые АС и BD пересекаются. Пусть Μ — точка пересечения этих прямых. Касательные к окружности в точках С и D пересекаются в точке К. Доказать, что прямая Μ К перпендикулярна АВ. 920. В треугольнике ABC проведены биссектрисы внутренних углов ΑΑχ, ΒΒχ, СС\. Прямая, перпендикулярная ΑΑχ и проходящая через середину ΑΑχ, пересекается с прямыми ΒΒχ и СС\ в точках К и М. Доказать, что окружность, описанная около треугольника АКМ, проходит через центр вписанной в ABC окружности. 921. Срединный перпендикуляр к диагонали АС вписанного четырехугольника ABCD пересекается с прямыми AD и CD в точках Ρ и Q. Доказать, что биссектриса угла ABC является также биссектрисой угла PBQ. 922. Пусть ABCD — вписанный четырехугольник, в котором лучи АВ и DC пересекаются в точке К, а лучи ВС и AD пере- секаю!ся в точке L. Ε—проекция К на AL, F—проекция L на АК. Доказать, что прямая FE делит пополам диагональ BD. 923. Четырехугольник, диагонали которого равны тип, вписан в окружность радиуса 2R и описан около окружности Л „ тп 4R2 „ радиуса 2г. Доказать, что —о = 1. 4г2 тп 924. Пусть Μ—произвольная точка плоскости, не лежащая на высотах треугольника ABC. Прямая, проходящая через Μ перпендикулярно AM, пересекает прямую ВС в точке Αχ. Анаг логично определяются точки Βχ и С\. Доказать, что точки Αχ, Βχ и Сх лежат на одной прямой (СВ. Маркелов). 925. Пусть Μ — некоторая точка в плоскости треугольника ABC такая, что прямая, проходящая через Μ параллельно ВС, проходит через центр описанной около ABC окружности. Пусть P,Q и R—проекции Μ на прямые АВ, ВС и С А. Доказать, что 113
окружность, проходящая через Р, Q и R, содержит фиксированную точку плоскости. 926. Диагонали выпуклого четырехугольника ABCD пересекаются в точке О. Обозначим через г\, Γ2, гз и т\ соответственно радиусы окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВОС, COD и DO А. Известно, что выполняется равенство 1 1 1 1 гг 1 = 1 . Доказать, что: Г\ Гз 7*2 **4 а) в четырехугольник ABCD можно вписать окружность; б) центры окружностей, вписанных в треугольники АОВ, ВАС, COD и DOH, лежат на одной окружности (И. 3. Вайнштейн). 927. На сторонах АВ, ВС и С А треугольника ABC взяты соответственно точки D, Ε и F так, что радиусы окружностей, вписанных в треугольники ADF, BDE и CEF, равны ме^сду собой. Пусть радиус каждой из этих окружностей равен г\, го — радиус окружности, вписанной в треугольник DEF. Докажите, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен Го + г\ (X. Фукагава). * * * 928. Заданный треугольник разрезать на три части, из которых, не переворачивая их другой стороной, можно было бы составить треугольник, осесимметричный данному. 929. Из точки А окружности проведены две хорды АВ и АС. На хорде АВ дана точка М. Провести через Μ хорду PQ, пересекающую АС в точке N так, что РМ = QN. 930. Диагонали трапеции ABCD {ВС параллельна AD) пересекаются в точке О. На отрезках АО и OD взяты точки Μ и N так, что ZBMD — ZANC. Доказать, что точки J5, Μ, Ν и С лежат на одной окружности. 931. Биссектриса угла А треугольника ABC делит противоположную сторону на два отрезка: а и 6, а > 6. Касательная к окружности, описанной около ABC, проходящая через вершину А, пересекает прямую ВС в точке D. Найти AD. 932. В равнобедренном треугольнике ABC (AB=BC) с углом при вершине В, равном 20°, на стороне АВ взята точка Μ так, что В Μ = АС. Найти угол AM С. 933. На плоскости прямоугольника ABCD взята точка Μ так, что /.ВМС + <LAMD = 180°. Найти сумму углов В СМ и DAM. 114
934. Доказать, что если окружности, проходящие соответственно через вершины А и В, В и С, С и А треугольника ABC', имеют общую точку,~отличную от вершины, то и окружности, симметричные Данным относительно сторон АВ, ВС и СА соответственно, также имеют общую точку. 935. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС диагональ АС равна боковой стороне CD. Прямая, симметричная BD относительно AD, пересекается с прямой АС в точке Е. Доказать, что прямая АВ делит отрезок DE пополам. 936. Доказать, что если центр окружности, вписанной в треугольник ABC', середина стороны АВ и точка касания вневпи- санной окружности со стороной ВС лежат на одной прямой, то этот треугольник прямоугольный. 937. Биссектриса угла В треугольника ABC пересекает описанную около ABC окружность в точке Μ. Ρ — точка, симметрична^ центру вписанной в ABC окружности относительно середины АС. Прямая MP вторично пересекает описанную около ABC окружность в точке К. Доказать, что из трех отрезков К А, KB и КС один равен сумме двух других (В. О. Гордон). * * * 938. Диагонали четырехугольника равны тип. Проекции вершин этого Четырехугольника на его же диагонали служат вершинами другого четырехугольника. Доказать, что площадь тп второго четырехугольника не превосходит —-р. 939. Через вершину А треугольника ABC проведена прямая, перпендикулярная медиане к стороне ВС. Эта прямая пересекает высоты, выходящие из В и С (или их продолжения), в точках К и М. Доказать, что А—середина КМ. 940. В треугольнике ABC на стороне АВ взята точка К так, что радиус окружности, вписанной в треугольник АСК, равен радиусу окружности, касающейся отрезка KB и продолжений СК и СВ. Пусть радиус каждой из этих окружностей равен г. Докажите, что имеет место равенство S = (а + Ь)г, где S — площадь ABC, а —ВС, Ь — АС. 941. Точки А, В и С в указанном порядке расположены на прямой, АВ = а, ВС = Ь. Точка D находится на расстоянии d от этой прямой. Найти площадь треугольника с вершинами в центрах окружностей, описанных около треугольников ABD, BCD, ACD. 115
942. Доказать, что окружность, проходящая через основания перпендикуляров, опущенных из вершины С параллелограмма ABCD на прямые АВ, BD ή DA, проходит через центр параллелограмма. 943. На продолжениях боковой стороны КМ трапеции КМСВ за точку К и за точку Μ взяты точки А и D соответственно так, что KA = MD и ABCD — выпуклый четырехугольник. Диагонали АС и BD и прямые В К и СМ делят этот четырехугольник на семь треугольников и один пятиугольник. Доказать, что площадь треугольников, прилежащих к сторонам АВ, ВС и CD, равна площади пятиугольника. 944. Точки А, В и С расположены на одной прямой. Проведем через-Л и В произвольную окружность а. Окружности β и 7 проходят соответственно через А и С и через В и С и касаются окружности а. Найти геометрическое место вторых точек пересечения окружностей β и 7· 945. Окружность, вписанная с треугольник ABC, касается стороны АВ в точке D. Ε — точка на стороне АС. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ADE, BDE и ВСЕ, имеют общую касательную. 946. Даны два треугольника ABC и AiB\C\. Внутри треугольника А\В\С\ взята точка Р, а на сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены треугольники АВК, BCL и АСМ так, что ΔΚΑΒ = ΔΡΑχΒχ, ΔΚΒΑ = ζΡΒχΑχ, ZLBC = = zPJ?iCi, zLCB = zPCiBi, zMCA=zPCiAi, lMAC=£PAxCx. Доказать, что треугольник KML подобен педальному треугольнику точки Ρ относительно треугольника А\В\С\ (напомним, что педальный треугольник—это треугольник, вершинами которого являются проекции точки Ρ на стороны треугольника AiB\C\, см. задачу 508). 947. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены треугольники АВК, BCL и САМ так, что ΔΚΒΑ = = ШСА = а, ίΚΑΒ = ΔΒΜ = β, ШАС = ЛВС = у, α + β + +7=90°. Доказать, что углы треугольника KLM равны 2α, 2β и 27- * * * 948. Через вершину А треугольника ABC, в котором АВ φ Φ АС, проведены биссектрисы внутреннего и внешнего угла и касательная к описанной окружности. Эти прямые пересекают ВС соответственно в точках А\, Лг, А$. Найти ААз, если АА\ =га, АА2 = п. 116
949. Найти геометрическое место точек М, расположенных внутри квадрата ABCD и таких, что ZMAD + ΔΜΒΑ + ΔΜΟΒ + +ZMDJ3 = 180°. 950. Диагональ АС четырехугольника ABCD является биссектрисой углов А и С этого четырехугольника. На стороне ВС существует точка К, отличная от JB, для которой АК = АВ. Доказать, что окружность, описанная около треугольника АВК, проходит через точку пересечения АС и KD. 951. Даны три попарно пересекающиеся окружности. Пусть А и J5, С и D, Ε и F—пары точек, в которых пересекаются соответствующие пары окружностей, Μ—любая точка плоскости, не лежащая на прямых АВ, CD и EF. Доказать, что окружности, описанные около треугольников АМВ, CMD и EMD, помимо Μ имеют еще одну общую точку. 952. На диагонали АС вписанного четырехугольника ABCD взяты точки К и Μ так, что ΔΑΒΚ = ZCAD, ZADM = ABAC. Доказать, что АК = СМ. 953. Пусть ABCD—четырехугольник, в который можно вписать и около которого можно описать окружность. Проведем через центр вписанной в ABCD окружности прямую, параллельную одной из его сторон. Доказать, что длина отрезка этой прямой внутри ABCD равна четверти периметра ABCD. 954. Пусть ABCD—выпуклый четырехугольник, противоположные стороны которого АВ и CD при продолжении пересекаются в точке К, а ВС и DA — в точке М. Обозначим через Р, N и L соответственно точки пересечения биссектрис углов BAD и BCD, ABC и ADC, а также углов, смежных с углами АКС и АМС. Доказать, что точки Ρ, Ν и L лежат на одной прямой (С. В. Маркелов). 955. Пусть Υ—центр вписанной в треугольник ABC окружности, прямая, проходящая через Υ перпендикулярно ΑΥ, пересекается с ВС в точке М, а прямая, проходящая через Υ перпендикулярно CYy пересекается с АВ в точке N. Прямые AM и CN пересекаются в точке Р. Доказать, что прямая PY перпендикулярна АС (СВ. Маркелов). 956. Пусть ABCD — четырехугольник, вписанный в окружность с центром в О. Возьмем на АВ и DC соответственно точки Μ и N так, что ОМ || DC, ON || АВ, а на АС и DB — точки Ε и F соответственно так, что ОЕ \\ DB, OF \\ АС. Доказать, что MN\\EF (С. В. Маркелов). 957. На: дуге АС окружности, описанной около треугольника ABC, не содержащей точки В, взята произвольная точка Р. Пусть Y\ и Υ<ι—центры окружностей, вписанных в треуголь- 117
ники АВР и СВР. Докажите, что окружность, описанная около треугольника Y1Y2P, проходит через фиксированную точку. * * * 958. Острый угол параллелограмма равен а, т и η—диаго- нали, т^п. Доказать, что ctg— Э —- 2 η 959. В окружности проведена хорда АВ. Пусть С — произвольная точка окружности. Μ—середина двухзвенной ломаной АСВ. Найти геометрическое место точек М. 960. На стороне ВС треугольника ABC взята точка Р, отношение расстояния от которой до АС и АВ равно а. На стороне АВ взята точка Q, отношение расстояний от которой до АС и ВС равно β. Доказать, что если а + /?= 1, то отрезок PQ содержит центр вписанной в ABC окружности. 961. В окружности проведен диаметр, на котором взята фиксированная точка М. Пусть А и В — две точки на окружности, лежащие по одну сторону от диаметра и такие, что AM и ВМ образуют равные углы с диаметром. Доказать, что прямая АВ проходит через фиксированную точку цлоскости (Е. М. Гольберг). 962. Точки А я В расположены по одну сторону от прямой /. τ* *# ι AM Для каждой точки Μ на прямой I рассмотрим отношение -ттп- Доказать, что наибольшее и наименьшее значения этого отношения достигаются й точках М\ и Мъ, в которых окружность с центром на / и проходящая через А и В пересекается с прямой I. 963. Через вершину В треугольника ABC проведена прямая ί, пересекающая биссектрису угла А в точке К и описанную около ABC окружность в точке N (отличной от В и С). Пусть Q — центр окружности, проходящей через точки А, К и С. (Q отлична от N). Докажите, что при изменении / окружность, проходящая через точки С, N и Q, содержит фиксированную точку, отличную от С. 964. Вйутри треугольника ABC расположен треугольник AiB\Cij точка Aq делит отрезок В\С\ в отношении, равном отношению расстояний от В\ и С\ до ВС. [ -т~7Г = -т"> где d\ — \A0G1 «2 расстояние от В\ до ВС, d*i—расстояние от С\ до ВС). Аналогичным образом на С\А\ и А\В\ определяются точки Bq и Со· Доказать, что если прямые АА\, ВВ\, СС\ пересекаются в одной 118
точке, то в одной же точке пересекаются и прямые A\Aq, B\Bq, C\Cq, а также прямые AAq, BBq, CCq. 965. Внутри треугольника ABC находятся три окружности с центрами О а, О в и Ос и радиусами га, г в и гс- Каждая из окружностей касается двух сторон треугольника: окружность с центром О а касается АВ и АС, окружность с центром Ов касается В А и ВС, окружность с центром Ос касается С А и СВ. Точка А\ расположена на отрезке ОвОс и делит его в отношении гв - гс (считая от точки Ов)- Точно так же на отрезках ОаОв и ОаОс задаются точки С\ и В\. Доказать, что прямые АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке. 966. Дан треугольник ABC и точка М, не лежащая ни на одной из его высот. Срединный перпендикуляр к отрезку Μ А пересекается с прямой ВС в точке Αχ. Аналогично на прямых С А и АВ определяются точки В\ и С\. Доказать, что точки Αχ, В\, С\ лежат на одной прямой. 967. Две прямые, пересекающие противоположные стороны четырехугольника ABCD, делят его на четыре четырехугольника, в каждый из которых можно вписать окружность. Доказать, что отрезки прямых внутри ABCD равны. Доказать также, что в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. * * * 968. Диагональ АС является осью симметрии выпуклого четырехугольника ABCD. Рассмотрим два правильных треугольника АВК и ВСМ (точка К с той же стороны от АВ, что и точка С, точка Μ расположена по другую сторону от ВС, чем точка А). Доказать, что точки D, К и Μ лежат на одной прямой. 969. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается АС и ВС соответственно в точках N и К. Доказать, что хотя бы один из углов, MB А или КАВ, меньше 30°. 970. Известно, что на сторонах CD и AD четырехугольника ABCD есть точки К и Μ соответственно такие, что каждая из прямых АК и СМ делит четырехугольник на две равновеликие части. Доказать, что КМ делит пополам BD. 971. На основании АС равнобедренного треугольника ABC взята точка D, а на отрезке BD — точка К так, что AD: DC = = ΔΑΚϋ: ADKC = 2:1. Доказать, что ZAKD = ZABC. 972. Внутри остроугольного треугольника ABC взята точка К так, что ΔΑΚВ = 90°, έΒКС = 180° -ZACB. В каком отношении прямая ВК делит сторону АС, если высота, опущенная на эту сторону, делит ее в отношении λ, считая от вершины А? 119
973. Обозначим через О и Υ соответственно центр описанной и вписанной окружностей треугольника ABC. Известно, что ΖθΥΑ = 30°. Доказать, что один из углов В или С равен 60°. 974. Угол А треугольника ABC равен 96°, угол В равен 48°. Найти углы треугольника ΑΟΥ, где О и Υ соответственно центры описанной и вписанной окружностей. 976. Пусть А и В две фиксированные точки данной окружности, Ρ — переменная точка этой окружности. На продолжении биссектрисы угла АРВ за точку Ρ берется точка Μ так, что РМ = АР + ВР. Найти геометрическое место точек М. 976. Шбсть окружностей касаются окружности ω одинаковым образом (внутренним или внешним) в точках Л, В, С, D, Ε и F, причем каждая окружность касается двух соседних. Доказать, что диагонали, соединяющие противоположные вершины шестиугольника ABCDEF, пересекаются в одной точке. (Задача о семи кругах.) 977. На плоскости даны три непересекающиеся попарно окружности. К ним проведены все общие внутренние касательные, которые ограничивают шестиугольник ABCDEF. Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке (Д. А. Терешин). * * * 978. Найти площадь треугольника, вписанного в параллелограмм, если известно, что оставшаяся часть параллелограмма представляет собой три треугольника единичной площади. 979. На сторонах АВ и ВС квадрата ABCD взяты точки Ε и F так, что BE = BF, N—основание перпендикуляра, опущенного из В на СЕ. Доказать, что Z.DNF = 90°., 980. Пусть Υ—центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямые AY, BY и CY пересекают описанную около ABC окружность соответственно в точках А\у В\ и С\. Докажите, ч ΥΑι-ΥΒχ п ^ ΥΑΎΒ п что: а) —-rrpi— = R] б) — = 2г, где it и г соответственно YC YC\ радиусы описанной и вписанной окружности треугольника ABC. 981. Имеются два треугольника ABC и А\В\С\, в которых AB = AiBu BC = BiCv Кроме того, ZJ?4C = 30°, ZBCA = 31°, zAiBiCi = 3°. Найти оставшиеся углы треугольника AiB\Ci. 982. В заданном треугольнике ABC на стороне АС берется произвольная точка D. В, треугольники ABD и BDC вписываются окружности. Общая внешняя касательная к этим окруж- 120
ностям, отличная от АСУ пересекает BD в точке М. Докажите, что длина отрезка ВМ не зависит от выбора точки D. 983. Пусть Μ—основание высоты, опущенной на сторону ВС в треугольнике ABC. Окружность, проходящая через В и С, пересекает АВ и АС в точках К и Ρ соответственно. Пусть Ε и F середины КС и ВР. Доказать, что треугольник EFM подобен треугольнику ABC. 984. Пусть А и В—две фиксированные точки плоскости, С— произвольная точка одной из двух полуплоскостей, задаваемых прямой АВ. На сторонах АС и ВС треугольника ABC во внешнюю по отношению к ABC сторону построены два прямоугольных треугольника АСК и ВСМ, в которых ZCAK=ZCBM = 90°, ΚΑ f MB , "77T ^ fc> "Б77 =т> гДе * и m — фиксированные числа. Дока- зать, что отрезки КМ содержат фиксированную точку плоскости, которая делит каждый из этих отрезков в одном и том же отношении. Найти это отношение. 985. Докажите, что в любой треугольник можно вписать правильный треугольник, периметр которого не превосходит половины периметра исходного треугольника. 986. В данный треугольник вписан другой треугольник. Доказать, что если все 4 образовавшихся треугольника равновелики, то вершинами вписанного треугольника являются середины сторон исходного. 987. Доказать, что выпуклый четырехугольник тремя прямолинейными разрезами, образующими треугольник, нельзя разрезать на четыре равновеликие части. * * * 988. Даны три окружности, попарно касающиеся друг друга, причем первая содержит вторую и третью. Пусть А и В — точки касания первой со второй и третьей; С — точка касания второй и третьей окружностей. Через С проведена хорда в первой окружности, касающаяся второй и третьей. D — середина этой хорды. Доказать, что С — центр окружности, вписанной в треугольник ABD. 989. В треугольнике ABC, в котором ВС < ВА, через вершину С проведена прямая, перпендикулярная биссектрисе BE. Эта прямая пересекает биссектрису BE в точке F, а медиану BD — в точке G. Доказать, что отрезок EG делится отрезком DF пополам. 121
990. Внутри равнобедренного треугольника ABC (AB = = ВС) даны точки Μ и N так, что Δ.ΜΑΒ = ZNCA и ZNAC = /.ΜСВ. Доказать, что прямая ΜΝ проходит через точку В. 991. На плоскости даны два неравных правильных треугольника с общим центром. Их вершины попарно соединены прямыми. Доказать, что эти прямые либо образуют правильный треугольник, либо пересекаются в одной точке. 992. На сторонах треугольника ABC построены прямоугольники АВВ\А\, BCC\B<i и САА2С2. Доказать, что срединные перпендикуляры к отрезкам А\А2, В\В2 и С\С2 пересекаются в одной точке. 993. На окружности, описанной около треугольника ABC, взята точка Μ; Ν — точка внутри треугольника ABC. Точки А\ у В\ и С\ симметричны точке Μ соответственно относительно прямых AN, BN и CN. Известно, что прямые АА\, ВВ\ и СС\ параллельны. Доказать, что N — центр вписанной в треугольник ABC окружности. 994. Дан шестиугольник ABCDEF. Известно, что внутри него имеются точки К, L и Μ такие, что ABLK, CLMD и FEMK — прямоугольники. Доказать, что внутри него существуют точки Р, Q и Τ такие, что BCQP, DETQ и AFTP — прямоугольники, причем суммы площадей прямоугольников в первом и во втором случае равны (Ε. Μ. Гольберг). 995. Пусть A, В, С, D — четыре точки на окружности, Μ — точка пересечения прямых АС и BD. Некоторая прямая, проходящая через М, пересекает данную окружность в точках М\ и Μ*ι и пересекает окружности, описанные около треугольников АВМ и COM, в точках N\ и #2, отличных от М. Доказать, что M\N\ = M2N2 (В. Ю. Протасов). 996. Доказать, что биссектрисы внешних углов разностороннего треугольника пересекают противоположные стороны в трех точках, лежащих на одной прямой, причем, эта прямая перпендикулярна прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей данного треугольника. 997. Отрезок МК перпендикулярен прямой, проходящей через центры вписанной и описанной окружностей треугольника ABC, а его концы лежат на сторонах этого треугольника. Доказать, что для всех точек отрезка МК сумма расстояний до сторон ABC одна и та же (А. А. Ягубьянц). 122
* * * 998. Доказать, что площадь прямоугольной трапеции с основаниями а, Ъ, описанной около окружности, равна ab. 999. В трапеции ABCD с основаниями AD и ВС проведены 4 прямые: через А параллельно BD, через В параллельно CD, через С параллельно АВ, через D параллельно АС. Эти прямые AD пересекаются в одной точке. Найти —-. ВС 1000. Через точку пересечения двух перпендикулярных прямых 1\ и /2 проходит окружность. На этой окружности можно найти три точки А, В и С, обладающие следующим свойством: касательная к окружности, проведенная через каждую из этих точек, высекает на прямых 1\ и fo отрезок, серединой которого являетдя соответствующая точка. Доказать, что треугольник ABC правильный. 1001. На сторонах ВС, СА и АВ треугольника ABC взяты точки А\, В\ и С\ так, что прямые АА\, ВВ\ ц СС\ пересекаются в одной точке. Обозначим через А^, Β*ι и С?2 соответственно середины В\С\, С\А\ и А\В\. Доказать, что прямые ΑΑ<ι, ΒΒ<ι и С&2 пересекаются в одной точке. 1002. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон ВС, С А и АВ соответственно в точках А\, В\ и С\. Пусть Лг, -Вг и Сч точки на вписанной окружности такие, что Α\Α<ι, Β\Β<ι и C\C*i пересекаются в одной точке. Доказать, что прямые АА2, ВВ2 и ССч также пересекаются в одной точке. 1003. Диагонали четырехугольника, вписанного в окружность с центром в. О, пересекаются в точке Q, Μ и К— середины диагоналей. N и Ρ — проекции О и Q на МК. Доказать, что ΝΜ = ΡΚ. 1004. Пусть ABCDEF — вписанный шестиугольник, в котором AF параллельна BE. Хорда BE пересекается с хордами АС и FD соответственно в точках Ρ и Q, Μ — точка пересечения QC и BD, К—точка пересечения PD и ЕС. Доказать, что КМ параллельна AF. 1005. Две окружности пересекаются в точках А и В. КМ— общая касательная к этим окружностям. (К и Μ — точки касания, А ближе к КМ, чем В.) Пусть Ρ—проекция Μ на прямую АК. Доказать, что В А—биссектриса угла РВК. 1006. Можно ли тремя прямыми разрезать квадрат на семь равновеликих частей? 1007. Окружность пересекает каждую из сторон треугольника ABC в двух точках. Пусть К и Μ—точки пересечения этой 123
окружности со стороной ВС. Касательные к окружности, проходящие через К и Μ, пересекаются в точке А\ (предполагается, что центр окружности не лежит на сторонах треугольника). Подобным образом определяются точки В\ и С\. Доказать, что прямые АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке. * * * 100& На плоскости проведены две "прямые, пересекающиеся в точке О, Ρ — фиксированная точка плоскости. Произвольная окружность с центром в О пересекает одну прямую в точках А и J9, а другую — в точках С и D. Доказать, что отношение tgZAPJ?: tg ZCPD одно и то же для любой окружности. 1009. В треугольнике ABC проведена медиана BBq и биссектриса ВВ\. Прямая, проходящая через В\ параллельно J5C, пересекает BBq в точке М. Доказать, что МС перпендикулярна ВВ\. 1010. Внутри ромба ABCD находится точка Μ такая, что ΔΜΒΌ = ZMCA = 30° и отрезки MB и Μ С не пересекают диагонали ромба. Найти Ζ AMD. 1011. Доказать, что если а, /?, η—углы треугольника, х, у, ζ — произвольные числа, то имеет место неравенство 2xycosa + +2,!ΐζ£θ$β + 2ζχζο$η^χ2 + у2 Λ-ζ2. 1012. Пусть а, 6, с стороны треугольника ABC (AB = с, ВС = а, С А = 6). Тогда для любой точки Μ и произвольных чисел ж, у, ζ имеет место неравенство (х+у+ζ)(χΜА2 +цМВ2 + +zMC2) ^ жус2 + ι/ζα2 + zxb2. 1013. Пусть α, 6, с стороны треугольника ABC, Μ — некоторая точка. Докажите неравенство аМА2 + ЬМВ2 + сМС2 > abc. Для какой точки Μ имеет место равенство? 1014. Пусть А—одна из точек пересечения двух окружностей с центрами Οχ и 02- Доказать, что прямая, проходящая через А перпендикулярно медиане треугольника 0\ΑΟ<ι, проведенной к стороне ΟχΟ2, высекает на данных окружностях равные хорды. 1015. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются, в точке М. Прямая I высекает на окружностях, описанных около треугольников АВМ и COM равные хорды. (Указанные хорды равны, но не совпадают.) Докажите, что прямая I высекает равные хорды на окружностях, описанных около треугольников ADM и ВСМ. 1016. Пусть АВ и CD—две общие касательные к двум пересекающимся окружностям, Μ—одна из точек их пересечения. 124
Прямые AM и В Μ вторично пересекаются с окружностью, описанной около треугольника CMD в точкахРиК соответственно. Доказать, что АВРК—параллелограмм. 1017. Дана прямая I и две точки А и В вне ее. Пусть Μ — произвольная точка на /. Прямая ρ симметрична прямой В Μ относительно биссектрисы между прямыми AM и I. Найти геометрическое место проекций точки А на прямую р. * * * 1018. Рассмотрим три точки, каждая из которых симметрична точке касания окружности, вписанной в данный треугольник, относительно биссектрисы противолежащего этой стороне угла. Докажите, что эти три точки служат вершинами треугольника, подобного данному. 1019. На двух противоположных сторонах квадрата и на его диагоналях отмечено по точке. Квадрат стерли, а отмеченные точки оставили. Восстановите квадрат. I 1020. Доказать, что если в выпуклом четырехугольнике ABCD имеет место неравенство AB+BD < AC+CD, то АВ < АС. 1021. Внутри треугольника ABC существует точка Μ такая, что АМ-ВС = ВМ-СА = СМ- АВ. На лучах Μ A, MB и МС возьмем точки А\, В\ и С\ так, что МА\ — ВС, МВ\ = СА\, МС\ =АВ. Докажите, что А\В\С\—правильный треугольник (А. А. Ягубьянц). 1022. На окружности ω с центром О взяты точки А и В. Касательные, проходящие через А и В, пересекаются в точке Р. Хорда МК окружности ω проходит через середину АВ. Доказать, что пересечение отрезка ОР с окружностью ω есть центр вписанной в треугольник МКР окружности (С. В. Маркелов). 1023. На плоскости даны три точки Л, В и С. Найти геометрическое место точек Μ плоскости, для которых прямая, проходящая через Μ перпендикулярно СМ, пересекает отрезок АВ. 1024. На плоскости отмечено конечное множество точек. Известно, что для любых двух отмеченных точек АиВ отмеченная точка М, такая, что ζΑΜΒ = α, где а — заданный фиксированный угол. Чему равен угол α? (Μ. Евдокимов). 1025. Пусть А, В и С—углы некоторого треугольника. Рассмотрим последовательность Ак> Вк, С*, задаваемую равенствами Ам = 90° - -Ак, Вк+Х = 90° - -Вь Ск+г = 90° - -Ск, 125
Aq = A, Bq = B, Cq —С. Введем следующие обозначения: α*, Ьк, ск—стороны некоторого треугольника с углами -4^, J5^, Ск (понятно, что при каждом к такой треугольник существует), Sk— площадь этого треугольника, м-ή±Ά±Α *г _ (q* - h?+(h - а*?+(ck - α*)2 Доказать, что , a) Mk+i=Mk-Nk] б) M0-No-Ni-N2 — -.-Nk>2V3. (При А; = 0 неравенство пункта б) превращается в известное неравенство Финслера и Хадвигера, см. задачу 658.) 1026. Доказать, что для того, чтобы треугольник был остроугольным, необходимо и достаточно, чтобы сумма расстояний от его вершин до точки пересечения высот была бы меньше р+г (р—полупериметр, г—радиус вписанной окружности). 1027. Биссектриса угла BAD параллелограмма ABCD пересекает прямые ВС и DC в точках Μ и N. Доказать, что а) центр окружности, описанной около треугольника CMN, лежит на окружности, описанной около треугольника CBD\ б) если К — точка пересечения окружностей, описанных около треугольников CMN и CBD, то ZAKC—90°. * * * 1028. Хорда АВ пересекает противоположные стороны и диагонали вписанного четырехугольника в точках К, L, Μ и Р. (Точки следуют в указанном порядке на АВ, К и Ρ—на сторонах, L и Μ — на диагоналях четырехугольника.) Положим АК АР Q AL AM -χβ=α> 'рв=Р> ~LB=X' ~ΜΒ = У' Д°казать> что °& = ХУ- Покажите, что из утверждения этой задачи следует теорема о «бабочке» (задача 483). 1029. Пусть ABCD вписанный четырехугольник, Μ — некоторая точка описанной около него окружности, расположенная на дуге АВ, не содержащей С и D. Хорды Μ С и MD пересекают АВ в точках К и Р. Доказать, что длина отрезка К Ρ будет наибольшей в случае равенства АК = РВ. 1030. Дана равнобочная трапеция ABCD с основаниями AD и ВС. После поворота вокруг точки С точки А и В перешли соответственно в А' и В1. Доказать, что середины отрезков СВ, СВ1 и DA1 лежат на одной прямой (В. Ю. Протасов). 126
1031. Пусть У—центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На сторонах АВ и АС возьмем соответственно точки Ρ и К так, что АР=АК. Обозначим через Q вторую точку пересечения окружностей, описанных около треугольников ΡΒΥ и КCY. Доказать, что окружность, касающаяся АВ и АС в точках Ρ и #, проходит через Q и касается окружности, проходящей через J5, С и Q. 1032. В угол с вершиной А вписана фиксированная окружность 7· Произвольная касательная к этой окружности пересекает стороны угла в точках В и С, причем окружность.7 вписана в треугольник ABC. Окружность ω проходит через точки В и С так, что хорда ВС делит ω на две дуги с фиксированной угловой величиной. (Дуга, расположенная вне треугольника ABC, имеет постоянную величину.) Доказать, что окружность ω ка- сается двух фиксированных окружностей, касающихся прямых АВиАС(В. Ю. Протасов). 1033. Через вершины В и С треугольника ABC проходит окружность ω так, что вершина А расположена вне ограниченного окружностью ω круга. Рассмотрим окружность (одну из двух) λ, касающуюся отрезков АВ и АС и окружности ω. Пусть Q — точка касания окружностей X и ω. Доказать, что биссектриса угла BQC проходит через центр вписанной в ABC окружности (В. Ю. Протасов). 1034. Пусть В\ и С\ середины сторон АС и АВ треугольника ABC, Y\ — центр окружности, вписанной с треугольник АВ\С\. Возьмем на сторонах АВ и АС точки Ρ и Ρχ, К и К\ OL соответственно так, что АР = АЙГ, АР\ =^АК\9 ΖΥχΡΒ = 90° — —, OL ΔΥ\Ρ\Α~ —, α = ABAC. Докажите, что каждая из двух окруж- ностей, касающихся АВ и АС в точках Ρ и К и в точках Р\ и К\, касается окружности 9 точек треугольника ABC. При этом точки Ρχ и К\ есть точки касания АВ и АС со вписанной в ABC окружностью. (Тем самым мы получаем утверждение теоремы Фейербаха, задача 583.) 1035. Даны две непересекающиеся окружности 71 и 72· Произвольная окружность ω касается окружностей 71 и 72 внутренним образом и пересекает их общие внутренние касательные в точках A, J5, С, D. (Обозначения выбраны так, что дуга АВ содержит точку касания ω и 71 у а Дуга CD — точку касания а; и 72·) Доказать, что угловые меры дуг АВ и CD постоянны и равны удвоенным углам, образованным общими внутренними касательными к 71 и 72 с их общей внешней касательной (В. Ю. Протасов). 127
1036. Внутри треугольника ABC располагается последова- тельность окружностей: 1-я вписана в угол Л, 2-я касается 1-й и вписана в угол В, 3-я касается 2-й и вписана в угол С, 4-я вновь вписана в угол А и касается 3-й и т. д. Доказать, что седьмая окружность совпадет с первой. 1037. Внутри треугольника ABC есть точка Μ такая, что ВС — AM — СА — ВМ = АВ - СМ. Доказать, что радиус окружности, вписанной в треугольник В СМ, равен а — га, где а = ВС, га—радиус вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны ВС (А. А. Ягубьянц). * * * 1038. В четырехугольнике ABCD углы А и С равны 90°. Доказать, что периметр вписанного в ABCD четырехугольника не меньше, чем 2АС. 1039. Найти наименьшее значение выражения: y/l+x2-x + γ 1 + χ2 - жл/З. 1040. На плоскости имеется несколько правильных треугольников, покрывающих общую площадь 1. Доказать, что из них можно выбрать несколько непересекающихся треугольников, занимающих общую площадь не менее 1/16. 1041. На плоскости даны 1000 точек и окружность радиуса 1. Доказать, что на окружности найдется точка, сумма расстояний от которой до этих точек не меньше 1000. 1042. На сторонах треугольника ABC во внешнюю сторону построены правильные треугольники АВСх, ВС Αχ и САВ\. Обозначим через ^2, i?2 и C<i середины отрезков В\С\, С\А\ и А\В\ соответственно. Доказать, что углы между прямыми АА2, BB2 и СС2 равны 60°. 1043. Вычислить с точностью до 2 наименьшую суммарную длину разрезов, которые необходимо сделать, чтобы перекроить единичный квадрат в прямоугольник с диагональю, равной 100. 1044· Фигура Φχ получается из фигуры Φ в результате некоторого поворота. Может ли получиться, что объединением фигур Φ и Φχ будет некоторый прямоугольник, центр которого принадлежит Ф, но не принадлежит Φχ. 1045. Найти положительные числа ζχ, вд, - - -, #ιο> удовлетворяющие системе уравнений {xi+X2 + ..- + Xk)(xk + Xk+i + --- + xio) = l, fe = l,2,..., 10. 128
1046. В окружности проведены три попарно пересекающиеся в точках А, В и С хорды. Рассмотрим окружность, касающуюся лучей АВУ АС и изнутри в точке А\ данной окружности. Аналогично определяются точки В\ и С\. Доказать, что прямые АА\У ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке. 1047. Доказать, что система уравнений {а\х\ + а,2Х2 + яз^з + а±х± — 0, Ь\Х\ + &2^2 + ί>3#3 + &4#4 = 0, всегда имеет! решение ж?, ж§> жз> *4 Для которого max|a$| ^ ^л/2-1. * * 1048. Точки Fi и F2 являются фокусами эллипса и гиперболы. Пусть А — некоторая точка на гиперболе. Прямые AF\ и AF2 пересекает эллипс в точках В и С соответственно (В и С по одну сторону от прямой F1F2). Доказать, что прямые BF2 и CF\ пересекаются на гиперболе. 1049. На плоскости взяты четыре точки так, что все попарные расстояния—целые числа. Докажите, что хотя бы одно из этих расстояний является четным числом, а хотя бы одно делится на три. 1050. На плоскости изображена дуга, являющаяся в некоторой декартовой системе координат дугой параболы у = ж2. С помощью циркуля и линейки построить оси этой системы координат. 1051. Пусть £>ι—произвольный выпуклый η-угольник, при г ^ 1 обозначим через £>i+i выпуклый η-угольник, вершины которого лежат в серединах сторон D*, S{—площадь многоугольника Д(г = 1,2,3,...): а) при η = 5,6 выразить S3 через S\ и S2; б) при η = 7 выразить 54 через Si, S2 и S3. 1052. Стороны АВ и CD четырехугольника ABCD пересев каются при продолжении в точке Р, а стороны AD и ВС — в точке К (точка D лежит на отрезках АК и СР). Внутри четырехугольника взята точк$ О так, что ΔΑΟΚ = ZCOP. Доказать, что биссектрисы углов АОС и BOD перпендикулярны (С. В. Маркелов). 129
1053. Найти геометрическое место точек, являющихся точками пересечения высот всевозможных треугольников, образованных тремя прямыми, касающимися параболы. 1054. Доказать, что директриса параболы, касающейся трех сторон неравнобедренного треугольника и прямой, содержащей три центра окружностей Аполлония (см. задачу 467) этого треугольника, совпадает с прямой Эйлера этого треугольника. 1055. К некоторому эллипсу проведены две параллельные касательные. Окружность касается внешним образом эллипса и построенных касательных. Доказать, что расстояние между центрами эллипса и окружности равно сумме полуосей эллипса. 1056. К эллипсу в точках Μ и К проведены две касательные, пересекающиеся в точке А. Доказать, что углы MAF\ и KAF2, где F\ и F2 — фокусы эллипса, равны между собой. 1057. Центры десяти окружностей расположены на большой оси эллипса, причем первая окружность касается второй, вторая — третьей, ..., девятая — десятой. Кроме того, все эти окружности касаются изнутри эллипса. Доказать, что γ4(γ4 + γιο) = γ7(γ7 + γι), где τi—радиус ΐ-й окружности (Сангаку).
ОТВЕТЫ И РЕШЕНИЯ 1. Основные геометрические факты и теоремы. Задачи на вычисление 17. Биссектриса разбивает треугольник на два, площади которых равны соответственно γ sin f, у sinf, а площадь всего треугольника f sina; значит, (f + ^)sinf = f sina, l=»2=Jg*. 19. Возьмем окружность, касающуюся сторон АВ, ВС и С А. Если эта окружность не касается стороны DA, то, проведя касательную DAi (Αχ —на АВ), получим ADAAi, у которого одна сторона равна сумме двух других. 20. Проведя через вершины треугольника прямые, параллельные противоположным сторонам, получим треугольник, для которого высоты исходного треугольника являются перпендикулярами, восставленными к сторонам в их серединах. 21. ψ. 22. §У^. 23. ^(a + b-Vo*TS*). 24. 2^. 25. ψ. 28. l2=*l. 29. |(a-b)2sina. SO. ftg2*=a. 31. 30°. 32. f. 33. 90°. 36. r2(2>/3 + 3). 37. Va(2i-a). 38. |(Si + S2). 39. Если a > Ь, то биссектриса пересекает боковую сторону CD\ если о < Ь, то—основание ВС. 40. !$. 41. arccos^f. 42. ^л/ЗЬ2 + 2аЬ-а2. 43. а2. 44. |^/|. 45. (л/ЗГ+л/Зг)2· 46. 90° + f. 47. ^V^TF. 48. arcsin(£-l). 49. (6-7γ):2τγ:(6-7γ). 50. £(л/2-1)[(2\/2-1)тг-4]. 51. £(6л/3-6-тг). 52· f (f + ^)· 53. |v^=^. 54. f 55. fS. 58. Если а < 90°, β < 90°, то углы A ABC равны 90° - а, 90° - /3, а+/3; если а>90°, /?<90°, то а-90°, 90°+/3,180°-а-/3; если а<90°, /3>90о,то90° + а,/?-90°, 180°-а-/3. 59. \^&=45. 60. f. 61. ||Л2. 62. у/^ф^ц. 131 ®
63. В равнобедренном треугольнике с углом при вершине π/5 биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных треугольника, один из которых подобен исходному. Ответ: &=±R. 64. R2 [ctgf - |(π-α)]. 66. f у/Ш. 66. "<4^°+1>. 67. 2г2(2л/5+3). 68. ^rl. 69. щ^щ. 70. ψ. 71. 2. 72. τ^η. 73. f (tgf -ctga). W. 2g8r Я- ^· W. «J. 77.a(f + i).78. «M. 79. j0+7-a). 80. ****. 81. 2ginCin2<?. 82. 1^21^/4^ _(b-o)2. 83. 2(Д2 + а2). 84. Возможны два случая: оба центра расположены по разные стороны от общей хорды и по одну. Соответственно две пары ответов: а(уД-1), о^(л/3-1) и ο(ν/3 +1), o^(V5+1). 86. $=&. 87. л/13. 88. агссоз1**^. 89. |. 90. *£. 91. |, «+I-I π ' 2 a + f-f 92. α22ν| 3. (Возможны, вообще говоря, два треугольника, но у одного из них две вершины лежат на продолжениях диагоналей.) 93. Ь§. 94. £. 95. у/1. 96. f(V5 - 1). 97. λ/ΪΟ. 98· iSi-1· 100· |ν/96-54^. 101. 3 : 4. 102. af^f ctg2±£. 103. ±^/25α? + <? + 10αο(Χ>8β. 104. §S. 105. i^il$- Ю6. a4.e>a-2atco8a Ш 8 m yW+tf+aaHn f 5cos2a. aww. 2(6—асоза) 10 2cosf *"* uv^o »*. 110. V4u2-o2. 111. |. 112. Va2 + b2 + 2abcosa · |ctga|. 113. J^b2 + |o2- fobcosa. 114. arcsinf и π-arcsinf. 115. a2(y/2~ 1). "«· SfBg. SJSSj· ™- i«(b-«cos«)sin3a. 118. |£|±{. 120. 4cosf ^(Л2 --Ri) (i?2sin2§ + J?icos2§). 121. ψ. 122. Jf + sj\C™*ip· 123· W + P-αδ, Vo^ + ^ + ob. 125. 15°, 75°. 126. ^. 127. 2yfi. 128. V2. 129. £(2^3 + 3). WO· "й&ЗГ'· !«· ^з^· 132. 1,1. 133. ,&. 134. f и arccos^. 135. 30V136. a^. 137. ΜψΆ. Ш. 4^/jEgg. 139. > , ",6*»" (В треугольнике ΟΝΡ отрезки К Ρ и ЛМ являются высотами, поэтому ОА—высота.) 140. Ц£. 141. |. 143. Погрешность не превосходит 0,00005 радиуса окружности. 132
144.2л/113-56\/3.145. 7,5.146.3^. 147. ψ. 148. &b£*. 149. ^. 150. 4\/3.. 151. f(4-\/7). 152. ^. 153. 2r2 sin2 α sin2α. 154. 2|. 155. Απ +1 arccos(l _:>£). 156. #Ί5(2-\/5). 157. ar/(a + 2r). 158. Если a < ^, то задача имеет два решения: R2 sina (l ± sinf); если |^α<π—одно: Д2sina(1 +sinf). 159. От f (Зх/2-4) до f. 160. От If^gi до 1. 161. ab+lc+ca' (Докажите, что если через точку внутри треугольника проведены прямые, параллельные его сторонам, то сумма коэффициентов подобия отсекаемых треугольников по отношению к данному треугольнику равна 2.) 163. Возьмем на прямой В А точку Αχ так, что А\В = А\С. Точки Αχ у A, D и С лежат на одной окружности (ZDAiC = 90° - -Z.ABC = /.DAC). Следовательно, ΔАхAC = ZAXDC = 90°, а значит, и^ВЛС = 90°. 164. 1. 165. 2|. 166. ±§a. 167. fi!±<a£3IE. 168. °2+aa!*~6). 169. 6. 170.3. 171. Если Q^ |S, то искомое расстояние будет ^-{y/S—y/Q). Если же Q< \S, то возможны два ответа: ^(\/S± y/Q). 175. Пусть А и В — две соседние вершины ромба, Μ — точка пересечения диагоналей, Οι и 02 — центры окружностей (Οι — на AM, 02 — на ВМ). Имеем: АВ2 = AM2 + ВЫ2 = (02А2 - -02М2) + (ΟιΒ2-ΟιΜ2) = Д2 + г2 - (ΟχΜ2 + 02М2) = Д2 + г2 - о2. Ответ: л/Д2 + г2 —о2. Шея3 г3 • (дЧга)д ■ 177. АВ = ν^Η^Η*060080, если Я лежит внутри данного угла или вертикального к нему, АВ = Ve3+^~2obcosa B остальных случаях. "8.2arcsin|I^y. "9. Й- 180. Поскольку £?F перпендикулярна СО (О — точка пересечения диагоналей), а из условия следует, что АС—биссектриса угла Л, равного 60°, AE = AF = EF. Если К — середина EF, то АО = 2а&, СО = а&, СКОК = ЕК2 = \АК2. Ответ: ^ и 2o2V5. 181. f Λ. Ι 182. Обозначим ZBAC=ZBDC=a, ZCBA=ZBCD=fi, ΔΒΑΜψφ. Τ/Μ,ττα BM+MC _ sin<H-sin(q-y) _ sinf cos(f-y>) _ sina _ АОГДа AM+MD - Βϊη{β+α-φ)+ΒΪη(β+φ) ~ sin(/?+f )cos(f-v>) "" sin(/?+a)4-ei4/? - с I ~~ a+b' 133
183· Всегда имеется хорда, параллельная основанию треугольника, делящаяся боковыми сторонами на три равные части (безусловно, 0 < о < 2). Ее длина 2as+i - Кроме того, если о < 1/л/2, то существует еще одна хорда, не параллельная основанию, обладающая тем же свойством. Длина этой хорды 3/V9 —2о2. 184. Пусть ВС и АС пересекают MN в точках Ρ и Q. Обозна- ним: ££ = *. Тогда Ц = %£ = ЧШ = *- Значит> МР=Ш1- Аналогично MQ = ^·. Для χ получаем уравнение -^ - -^ = о, Зах2 + (7а - 1)ж + 4а = 0. Поскольку Д^0и0<а<1, то наибольшее значение а равно 185. Из равенства Sabn = Scdm следует, что Smbn = Smcn, так как MN — медиана треугольников ABN и CDM. Значит, BC\\MN, точно так же AD \\ MN, т. е. ABCD—трапеция, в которой AD и ВС основания. Ответ: 2-3F * 186. Имеем: AD > DM - AM=2: С другой стороны, AD < ^rf^ = 2. Следовательно, AD=2, Л1)—большее основание и точка Μ лежит на прямой AD. Ответ: у/1. 187. Пусть BD — биссектриса в треугольнике ABC, Αχ и С\ — середины ВС и АВ, DA\ =DC\. Возможны два случая: 1) ΔΒΑχΌ — -ABC\D и 2) £BAiD + ZBCiD = l80o. В первом случае АВ = ВС. Во втором случае повернем треугольник AC\D вокруг D на угол C\DA\ так, чтобы С\ перешла в Αχ. Получим треугольник со сторонами ~^, Й2Г£> <Йс (а' * и с—стороны Δ ABC), подобный треугольнику ABC. Следовательно, ^~: α = ^: Ь = —^: с, откуда α -f с=Ь>/2. Поскольку а ф с, то хотя бы одно из двух неравенств Ьфа, Ьфс—верно. Пусть Ьфс, тогда Ь+с=а>/2, Ь=а, и мы получаем треугольник со сторонами а, а, а(>/2 — 1), обладающий данным свойством. Таким образом, с точностью до подобия существуют два треугольника, удовлетворяющих условию задачи: правильный и треугольник со сторонами 1,1, л/2 — 1. 188. Если а — угол между сторонами а и Ь, то из условия следует: а + bsina ^ Ь + asina, (a - b)(sina - 1) ^ 1, sina > 1. Отсюда a = 90°. Ответ: >/a2 + b2. 189. Докажите, что из всех четырехугольников, описанных около данной окружности, наименьшую площадь имеет квадрат. (Можно воспользоваться, например,, неравенством tga + tg/?^2tg[(a + /?)/2], где α, β—острые углы.) С другой стороны, Sabcd < ъ(МА-МВ + +MBMC + MC-MD + MD-MA)<t\{MA2+MB2) + \{MB2 + MC2) + + \{МС2 + MD2) + \{MD2 + MA2) = 1. Следовательно, ABCD — квадрат площади 1. 190. Обозначим: ВМ = ж, DJA = j/, AM = ί, ΔΑΜΒ = <ρ· Предположим, что Μ лежит на отрезке BD. Запишем для треугольников АМВ и AMD теорему косинусов, исключим cos^N получим: 134
l2(x + у) + жу(я + у) = о2у + d2^. Аналогично получается соотношение 12(х + 2/) + яу(* + ») = Ь22/ + с2^· Таким образом (о2 - Ь2)з/ = (с2 - сР)х. Ответ: а2-Ь2 Ι 191. Бели вершины прямоугольника лежат на концентрических окружностях (две противоположные на окружностях радиусов R\ и Дг, а Две оставшиеся на окружностях радиусов Дз и Д4), то должно выполняться равенство: Щ + И% = Щ + Щ- Докажем это. Пусть А — центр окружностей, вершины К и Μ прямоугольника KLMN лежат на окружностях радиусов R\ и Д2, a L и JV—на окружностях радиусов Д& и А*. В треугольниках АКМ и AEJV медианы, выходящие из вершины А, равны, равны также стороны КМ и LN. Из этого следует справедливость нашего утверждения. Пусть вторая сторона прямоугольника равна х9х>1. Радиусы R\, Д2, Дз> #4 в некотором порядке равны числам 1, ж, л/ж2 + 1, \\/х*~ЛЛ. Проверяя различные возможности, найдем: х2 = 7, Λι = 1, Дг = 2>/2, Дз = л/2, Д4 = л/7. Рассмотрим квадрат ΚχΏχΜχΝχ со стороной у, вершины которого лежат соответственно на окружностях радиусов Дх = 1, Д3 — \/2> Д2 = 2л/2, r4 =? \/7. Обозначим: ΖΑΛΓιΖα = <р, тогда ZA#iJVi = 90° ± φ или у? ±90°. Записывая теорему косинусов для треугольников ΑΚχΣχ и ΑΚχΝχ, получим: Г 1 + г \ 1 + аг 2-2a;cos^ = 2, Г 2a:cosy? = a:2~l, ;2±2a;sin^ = 7, I ±2xsinv? = a:2-6. Возводя последние два равенства в квадрат и складывая их, получим: 2я4-18я2 + 37 = 0,я2=4(9±^7). Ответ: y^(9±v^). 192. Докажем сначала следующее утверждение. Если перпендикуляры, восставленные к АВ и ВС в их серединах, пересекают АС в точках Μ и N так, что МЛГ = ААС, то либо tgAtgC7 = l-2A, либо tg AtgC = 1 + 2λ. Обозначим: АВ = с, ВС = о, АС = Ь. Если отрезки перпендикуляров от середин сторон до точек Μ и N не пересекаются, то 2 cos Л 2cosC 2(1 -A)sin5cosAcosC = - (sin 2(7 +sin 2Л) =» 2(1 - λ) sin(A + С) cos AcosC = sin(A + (?) cos(A - C) => 2(1 - λ)cosAcosC = cosAcosC + sinAsinC =* tgAcosC=l-2A. Если же эти отрезки пересекаются, то tg AtgC= 1 + 2λ. В нашем случае λ = 1, т. е. либо tgAtgC = -l, либо tgAtgC = 3. Для углов В и 135
С получим (λ = 1/2) tgBtgC = 0 (это невозможно) или tgBtgC = 2. Система ' tgAtgC = -l, tgBtgC = 2, А+В+С=к { не имеет решения. Значит, tgi4tgC = 3. Решив соответствующую систему, найдем tgA = 3, tgB = 2, tg(7 = l. Ответ: π/4. 193. Обозначим: R—радиус описанной около ABC окружности, 0 — ее центр, N — точка пересечения медиан АВСМ. Перпендикулярность ON и СМ равносильна равенству CN2 — MN2 = СО2 — ОМ2. Пусть АВ = 1, MB = я, СМ = у, тогда MN2 = ±(2у* + 2я2 - к2), CN2 = \{2y2 + 2k2-x% C02=R2, ОМ2 = R2coa2C + {x-\f. Получаем для ж уравнение: 2х2 — Зж + Л2 = 0. Ответ: 3±у/^-м* (если 1 < к < ^*р, то обе точки находятся внутри отрезка АВ). 194. Если О —середина АС, то АВ2 = ВО2 + АО2 = В#2 - -К02 + А02 = ВК2 + (АО-АК)(АО + АК) = ВК2 + АКСК = Ь2 + М. Ответ: у/Ъ2 + bd. 195. 1. Ломаная из трех звеньев по длине равна отрезку, соединяющему ее концы. Это возможно лишь тогда, когда все ее вершины лежат на этом отрезке, χ = ^g^, у = ^gj. 2. я, j/, z являются сторонами треугольника, высоты которого равны о, Ь и с, причем этот треугольник не должен быть тупоугольным. Для нахождения х, у> ζ воспользуемся тем, что треугольник, стороны которого обратно пропорциональны высотам данного, подобен данному треугольнику, х-^у У = Ш> * = §Ь> где 5 = ^P(P"":)(P"i) fa ~ с) > 2Р= α + F + с · Задача имеет решение, если lil>yl 1 il\l 1 ι 1 ч1 3. Рассмотрим в прямоугольной системе координат точки -4(о,Ь), Β(χβ), С(0,у). Из данной системы следует, что ABC—равносторонний треугольник. При повороте на угол 60° вокруг А в соответствующем направлении точка В переходит в С. Можно найти уравнение прямой, в которую перейдет ось ж-ов при таком повороте. (В частности, угловой коэффициент равен ±\/5.) Ответ: ж = — о±Ь\/3, у = -Ь±о\/3. 4. Если χ ^ 0, у ^ 0, ζ ^ 0, то ж, у, ζ являются расстояниями до вершин прямоугольного треугольника ABC, в котором катеты ВС и С А равны о и Ь, от такой точки Μ внутри него, из которой все его стороны видны под углом 120°. Для определения суммы x+y+z повернем АСМА вокруг С во внешнюю по отношению к ААВС сторону на угол 60°. Μ и А перейдут при этом в Μι и Αχ. Тогда ΒΜΜχΑχ —прямая и, следовательно, χ + у + ζ=В Μ + СМ + AM=В Л ι = У α2 + Ь2 + оЬ\/3. 136
я + a^siny?, x + α*ψ cosy?. χ2 -%- sin2 у? Аналогично рассматриваются случаи, когда одна из переменных отрицательна (отрицательной, вообще говоря, может быть не любая из них), и др. Ответ: ±у/а2 + Ь?±аЬ\/3. 196. Пусть χ — расстояние от центра квадрата до прямой /, φ — острый угол, образованный одной из диагоналей квадрата с 2. Расстояния от вершин квадрата до I в порядке обхода равны -a^siny?!, ж —a^cosy?. По условию х2 — \ cos2 φ\9 откуда или tg2 φ = 1, что невозможно по условию, или ж2=а2/4. Ответ: а/2. 197. Из условия ZB = 2ZC следует соотношение между сторонами треугольника: Ъ2 = <? + ас. Перебирая всевозможные варианты: Ь = 2с, о = 2с, Ь = 2а, о = 26, получим, что о = 2с, так как в других случаях не будет выполняться неравенство треугольника. Ответ: ZC = 7r/6, ΖΒ = τγ/3, Ζ4 = τγ/2. 198. Пусть D—середина ВС. Имеем: Ь2=ВМ2 = (BD+DAT)(&D - -DN) =BD2-DN2 =AB2-AD2 -DN2 = (а+Ь)2 - AD2 - DN2. Отсюда ЛЛГ2=А02+2?ЛГ2=(о + Ь)2-Ь2 = о2 + 2аЬ.Ответ:л/а2 + 2аЬ. 199. Возьмем на ВС точку N так, что AABN подобен AADL. Тогда ΔΝΜΑ = ZMAtf + ΔΚΑΌ = ZMАВ + ZD4L = ΔΜΑΝ. Следовательно, MJV = A/V = kAL. Ответ: § + Ь. 200. 2^/^д. 201. а) %yJ{R±x){R±y), « + » соответствует внешнему касанию окружностей, «-»—внутреннему, б) %у/(11+х)(Я-у). 202. Пусть АМ:МС=к. Условие равенства радиусов окружностей, вписанных в треугольники АВМ и ВСМ, означает, что их площади относятся, как периметры. Отсюда, поскольку отношение площадей равно fc, получим ДМ = 13/^12» Из этого равенства, в частности, следует, что 12/13 < к < 1. Записывая для треугольников АВМ и ВСМ теоремы косинусов (относительно углов ВМ А и ВМС) и исключая из этих уравнений косинусы углов, получим для к квадратное уравнение с корнями 2/3 и 22/23. Учитывая ограничения для fc, получаем ответ: ib = 22/23. 203. Пусть ABC—данный треугольник, О, К, Η—соответственно центр описанной окружности, центр вписанной окружности и точка пересечения высот ААВС. Воспользуемся следующим фактом: для произвольного треугольника биссектриса любого его угла образует равные углы с радиусом описанной окружности и высотой, выходящими из той же вершины (докажите). Из того, что окружность, проходящая через О, if и Я, содержит, по крайней мере, одну вершину А АВС (пусть это будет вершина А), следует, что ОК = КН. Точка К находится внутри хотя бы одного из треугольников: ОВНу ОСН. Пусть это АОВН. Угол В не может быть тупым. В треугольниках ОВК и НВК имеем: ОК^НК, KB — общая сторона, 137
ΔΟΒΚ^ΔΗΒΚ. Значит, АОВК = АНВК, так как в противном случае ΔΒΟΚ + /ВЯК" = 180°. чего не может быть (К внутпи АОВН). Следовательно, ВН=ВО=Д. Расстояние от О до АС равно \ВН= § (задача 20), т. е. ΖΒ = 60° (ΖΒ—острый), АО=Д\/3. Если теперь Аь В\ и С\ —точки касания вписанной окружности со сторонами ВС, С А и АВ, то BAi =BCi = пД СЛХ + ΑΟι =(7Βχ + ΒχΑ = АО=Я>/3. Периметр треугольника равен 2>/3(iZ+r). Теперь легко найти его площадь. Ответ: >/3(Я + г)г. 204. Пусть Ρ—проекция Μ на АВ, АР = а + х. Тогда РВ = а-ж, MP = y = V^F, ^JV = (e + x)^, ΛΓΒ = 2ο-(α + χ)^ = _ »ν^(»-«+»ν^) ^= а^а+х+уУг) Отсюда OV2+» ' OV2+» AL2+NB2=, У 4>2 + 2V2aj/ + 2y2 + :E2)== (aV2 + y)2 (a2 + 2ч/2ау + 2j/2 + (a2 - y2)) = 4a2. 205. Пусть сторона треугольника х и стороны, выходящие из общей точки окружностей, образуют с прямой, проходящей через центры, углы а и β; α±/?=60°, тогда cosa=^, cos/?= ^ (или наоборот). Найдя sin α и sin/3, из уравнения cos(a±/3) = | получим, что сторона Rry/Ϊ правильного треугольника равна удД а_Дг. 206. Проведем прямую ВЛ и обозначим через D вторую точку пересечения с меньшей окружностью. Рассмотрим дуги АВ и AD (меньшие, чем полуокружность). Прскольку общая касательная к окружностям в точке А образует с АВ и AD равные углы, то и центральные углы, соответствующие этим дугам, равны. Следовательно, ^§ = ^, AD = a%, BC = y/BDBA=ayJ&*. 207. Обозначения: Οι, Οι и О—центры окружностей (первые две касаются АВ), ж, у и R—соответственно их радиусы. Общие касательные к окружностям Οι и Ог, Οχ и О, Ог и О равны соответственно 2у/хуу 2y/Rx, 2у/Щ. По условию 2v/Sj/ = a. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΟιΜ 02 с прямым углом при вершине Μ; 0\М || ВО, Oi02=s + 2/, 02М = 2Д-(я; + 2/), 01М^\2\/Ш-2У/Щ\ (ОгМ равен разности общих касательных к окружностям с центрами О, Οι и О, 02). Таким образом (х + j/)2 = (2Л - χ - j/)2 + (2л/Дя - 2у/Щ)2, откуда β=2ν/Ϊ2/ = α. 208. Заметим, что О1О2О3О4 — параллелограмм с углами α и тг - α (О1О4 -L АО и 020з || АО, значит, О1О4 || 0203 и т. д.). Если 138
К — середина AM, L — середина МС, то 03#4 = ^ = шЬ' Анал°- гично, 02Ог = sgfc; следовательно, 50lo3o3o4 = АС£$С° = f» Ответ: 2sin2a. 209. Биссектрисы параллелограмма при пересечении образуют прямоугольник, диагонали которого параллельны сторонам параллелограмма и равны разности сторон параллелограмма. Следовательно, если а и Ь — стороны параллелограмма, a — угол между ними, то 5 = aftsina, Q = i(a-b)2sina, j = #fc». Ответ: *ЮЫ*+*>8. 210. Обозначим через χ площадь треугольника ΟΜΝ, через у площадь треугольника CMN, тогда §^ = ^ = Ц, ж = ^, $£ = 5ι±» = ,=#йЬ-Искомая "*■» рмна Sl%(^feyS2)'2 211. Пусть в треугольнике ABC угол С прямой, Μ — точка пересечения медиан, О — центр вписанной окружности, г — ее радиус, ΔΒ = а; тогда АВ = г (ctg f + ctg (f - f)) = Effigy, CM = |ЛБ, CO = r>/2, OM = r, ZOCM = a — j. Записывая теорему косинусов для АСОМ, получим 1=2+^^-^^ д=4^-8А Ответ: \±агссо84^3А 212· Пусть отрезки медианы равны а. Обозначим через χ меньший из отрезков, на которые разделена точкой касания сторона, соответствующая медиане. Теперь все стороны треугольника можно выразить через а их. Стороны, заключающие медиану: ау/2+х, Зол/5+ж, третья сторона: 2ау/2 + 2х. Используя формулу длины медианы (задача 11), получим 9а2 = \[2(ау/2^х)2^2(За^2 + х)2-(2ау/2 + 2х)2], откуда χ = ол/2/4. Ответ: 10:5:13. 213. Пусть ВС = о, Δΰ>ΔΒ, D и Е—середины АВ и АС. Четырехугольник EMDN — вписанный (так как ΔΜΕΝ = ΔΜΌΝ = 90°), ΜΝ = a, 2£D = а/2, MN — диаметр окружности, описанной около MEND. Следовательно, ΔΌΜΕ = 30°, ZC4JS = 90° - ΔΕΜΌ = 60°, ΔθΒΑ=ΔΕΌΝ=ΔΕΜΝ=ΔΕΜΟ/2 = 15°, ZACB=105°. Ответ: ΖΛ= = 60°, ΖΒ = 15°, ZC\=105° или Ζ4 = 60°, ZB = 105°, ZC = 15°. 214. Обозначим через К и М соответственно точки пересечения прямой EF t AD и ВС. Пусть Μ лежит на продолжении ВС за точкой В. Если AD = За, ВС = о, то из подобия соответствующих треугольников следует, что 2Ж = AD = 3a, MB=BC = a (рис. 1, о). Кроме того, ME = EF = FK. Если Λ — высота трапеции, то расстояние от Ε до AD равно f Λ, S#d# = αΛ, 5kdf = \Sedk = χ = J5. Если же прямая -BF пересекает основание ВС в точке М, то ВМ = |о (рис. 1, б). В этом случае ^ = 2: | = | и расстояние от Ε до AD равно |Л, так что Sefd = \Sedk = £-За-|Л=^5.£)твет: \S или ^г5. 139
Рис. 1 215. Пусть О—центр вписанной окружности, Μ—середина ВС, К', L, N — точки касания вписанной окружности со сторонами АС, АВ и ВС треугольника. Обозначим: АК = AL = χ, CK = CN = у, BL = BN = ζ, y + z = a. По условию ОМ = | - г. Следовательно, NM = у/ОМ2 - ON2 = J^ - аг и один из отрезков, j/ или ζ, равен | - л/^ - аг, а другой § + J9^ - or. Приравняем выражения для площади треугольника по формулам Герона и 5=pr: y/{x + y + z)xyz = = (ж + у + я)г =* xar = (а; + a)r2 => χ = ~~. Таким образом, искомая площадь равна (^ + oj r = ^. Рис. 2 216. Докажем, что если С\ и Сг (рис. 2) находятся по другую сторону от ВС, чем вершина А, то центр окружности, описанной около ДССаСг, находится в точке О на стороне АВ, при этом ВО = \АВ. Проведя высоту СМ из вершины С, получим, что ВС\СМ — прямоугольник. Значит, перпендикуляр, восставленный к СС\ в середине, проходит через О. Учитывая, что С\Съ || BD и 140
C\C<i = \BD, получим, что перпендикуляр к С\Съ в его середине также проходит через О. Теперь легко найдем искомый радиус: он равен \/СМ*+МО* = J^ + ^ = ^λ/Ϊ3. V 4 16 4 217. Разберите два случая: 1) когда основания перпендикуляров находятся на сторонах параллелограмма и 2) когда один из перпендикуляров не пересекает сторону, на которую он опущен. В первом случае приходим к противоречию, а во втором получим, что cosa = т^-*, где a—острый угол данного параллелограмма. 218. Выразив угол PQN через углы треугольника и учитывая, что ZPMN + £PQN = 180°, найдем: ΔΡΜΝ = 60°; отсюда ZNPQ = = ZQMiV = 30°, ZPNQ = £PMQ = 30°, т. е. APQN—равнобедренный с углами при стороне PN по 30°, PQ = QN= 1/V3. 219. Из условия следует, что ABCD—трапеция, BC\\AD, AC — биссектриса угла BAD] значит, АВ=1?С, аналогично ВС=CD. Пусть АВ = ВС = CD = о, AD = Ь. Расстояние между серединами диагоналей 2г, следовательно, ^^ = 2γ. Проведем высоту ВМ из точки В на i4D, получим, что AM = ^ = 2г, ВМ = 2г. Следовательно, о = АВ = 2г\/2, Ь=4г + 2тУ2. Ответ: 4г2(>/2 + 1). 220. Обозначим углы А, В и С соответственно через а, /3 и 7· Пусть Я — точка пересечения высот, О — центр окружности, проходящей через Л, Я и С. Тогда ЛНОС = 2ЛНАС = 2(90°-у), ΔΗΟΑ = = 2ZffC4 = 2(90°-a). Но ZAOC = 180° - /3 (так как ВАОС — вписанный), 2(90° - 7) + 2(90о - а) = 180° - /3, 360° - 2а - 27 = 180° - /3, 2/3 = 180° - /3, /3 = 60°, АС = 2Дsin/3 = V5. 221. Обозначив отношение ^^ = λ, будем иметь: Smcp = χ> Scpjv = AQ, Smcp = &CPNI следовательно, (Γ/Q) = \3,Лавс = = ^-^CMiv=^(? + AQ)==^(T+A2Q) = (A+l)3Q=(T1/4 +Q1/3)3. 222. Если О — центр окружности, то площадь AOMN в ^я Р33 больше площади ΔΚΜΝ. Если ZMON^a, то ^|-sin a ==—^5, sina = a V* MW- 4Л" = Я^, MJV = 2iisin- = iV2-2c^^ Задача имеет решение, если S < д ^ ~ д^. 223. Если ZBAC = ABC А = 2а, то по теореме синусов найдем: J J57 — 2msin2o jp« ЛД — 2msin2o фя„им пбпячпм £го — 2m sin 2a Л/2/ - sin 3a ' -** - cosa - sin 3a cos a' 1аким ООразОМ, 4Ш - 3in3aC08a, откуда cos 2a = ^, S4BC = m2tg2a = ^^S. 224. Точки С, Μ, J? и L лежат на одной окружности, следовательно, ZCML=ZCDL=30°. Точно так же ZCMff = 30°; таким образом, Z.LMK = 60° и ALMK — правильный, ifL = 2/>/5. По теореме 141
косинусов найдем, что cos ZLCif = -3/5. Поскольку ZDCB^ZLCK- -120°, то DB: 225. Пусть А—точка пересечения прямых ВС и КМ. Четырехугольник ONBC—вписанный (ZOCB==ZOJVB = 90°), следовательно, Z.OBC = ΔΟΝ С = а/2. Точно так же вписанным является четырехугольник СМ АО и ZCAO = ZCMO = a/2, т. е. ΔΟΑΒ—равнобедренный. Итак, CB = AC = COctg N R2 + b2-2Rbcos^ctg^. 226. Точки 2?, MyBnQ (рис. 3) лежат на одной окружности с диаметром BE, а точки Еу Ру D и N—на окружности с диаметром ED. Таким образом, Z.EMQ = ZEBQ = = 180° - Z.EDC = ZSZWV = Z.EPN; аналогично ZEQM = ΔΕΝΡ, τ. е. AEMQ подобен ΔΕΡΝ с коэффициентом подобия л/fc. (Для полноты решения необходимо рассмотреть и другие случаи расположения точек.) Ответ: dy/k. 227. Продолжив непараллельные стороны трапеции до пересечения, получим три подобных треугольника, причем коэффициент подобия между средним и большим треугольником и между меньшим и средним один и тот же. Обозначим этот коэффициент через λ, большее основание—через ж, радиус большей окружности — через R. Тогда отрезки, параллельные большему основанию, равны соответственно Ад: и А2ж, большая боковая сторона нижней трапеции — 2Д*, второй радиус — АЛ. Значит, Я + АЯ=§. По свойству описанного четырехугольника ж + Аа: = 2Д + 2Д£. И наконец, опустив из конца меньшего основания всей трапеции перпендикуляр на большее основание, получим прямоугольный треугольник с катетами с, χ - А2 ж и гипотенузой d. Таким образом, имеем систему Рис. 3 ι е(1 + А) = 2Д^, s(l-A2) = V5^2, Д(1 + А) = с/2, откуда А^-^3—. Ответ: основания равны ^-V^2-^ и <*+уЦ3-с3 228. Опустим из центров окружностей перпендикуляры на одну из боковых сторон и проведем через центр меньшей окружности прямую, параллельную этой стороне. Получится прямоугольный треугольник с гипотенузой R + г, одним катетом R — г и острым углом при этом 142
катете α, равным острому углу при основании трапеции. Таким обрат о. I~R зом, cos α = щ%. Большее основание равно 2Л ctg —=2R\f—. Меньшее основание равно 2т tg — = 2т к I ~. 229. Возьмем на стороне АВ точку К так, что ВК = BDy а на продолжении АС—точку Ε так, что CE=CD. Покажем, что AADK подобен &ADE. Если Л, В и С—величины углов ААВС> то ΔΌΚΑ = = 180° - ΔΌΚΒ = 180° - (90° - ZB/2) = 90° + ZB/2, ZAJDE = 180° - - ZCED - ΔΑ/2 = 180° - \{ΔΑ + Ζ(7) = 90° + ΖΒ/2. Таким образом, ΔΑΚΌ=Δ ΑΏΕ. Кроме того, по условию ΔΌΑΕ=ΔΌΑΚ. Ответ: л/о& 230. В обозначениях задачи 229 AD2 = (AC + CD)(AB - BD) = = ACAB-CDBD + {AB CD-ACBD). Но слагаемое в скобках равно нулю, поскольку (см. задачу 9) j^ = _ BD -CD· 231. Продолжим BJV и CN до вторичного пересечения со второй окружностью в точках К и L соответственно; MN = JVif, так как ΔΑΝΒ = 90° и МЙГ есть хорда окружности с центром в А. Так как равны соответствующие дуги, то ΔΏΝΚ^ΔΒΝΟ^ΔΒΝϋ. Таким образом, LN = ND = b, MN NK=MN2 = ab, MN = Vab. 232. Заметим, что PQ ±CB. Пусть Τ — точка пересечения ΜΝ и PQ, L и К — основания перпендикуляров, опущенных из С и В на прямую MN (L и К лежат на окружностях, построенных на CN и В Μ как на диаметрах). Используя свойства пересекающихся хорд в окружностях, получим PT-TQ = NT-LT, PT-TQ = MT-TK. Но LT = CD, TK = DB (так как CLKB — прямоугольник, a PQJLCB). Таким образом, NTCD=MTDB, w== ππ» τ· е· прямая PQ делит СВ и MN в одном и том же отношении, значит, PQ проходит через А, a D есть основание высоты. Ответ: BD: Z?C = 1: у/3. 233. Пусть ΖΒΟ(7 = 2α, ZBOL = 2/3. Тогда AC = 2jRcosa, CL = = 2iisin(a + /3), C,M = (7Lcos(90o-i9)=2fisin(a + /3)sini9, AM = AC- - CM = 2ii(cosa - sin(a + /3)sin/3) = 2#cos/3cos(a + /3) и, наконец, AW=a = AM cosa = 2iicosacos/3cos(a+/3). С другой стороны, если JSf, Ρ и Q—середины АО, СО и CL соответственно, то ufP= |AC=/icosa. Далее, PQ = Л/2, ΔΚΡ€} = ZifPO + ZOPQ = a +180° - ZCOL = 180° - -a - 2/3 и, по теореме косинусов, КQz =* ^+R2 cos2 a+Д2 cos a cos(a+ +2/3) = ^ + 2ii2rosaco$/3a>s(a + /3) = ^ + ito. Ответ: J —+ Да. 234. Из подобия треугольников МАВ и МВС следует, что М4 = МА MP ДА» а МС~МВ' МС ВС2 143
235. Из задачи 234 следует, что $£, = |§, $gr = Щ. Если К— точка пересечения MN и АВ, то АК _ Samn AM · ANamZMAN KB Sbmn ΜΒ·ΝΒάηΖΜΒΝ~ I AC AD Ι αβ V ВС ΒΌ~*\(α-1)(β- i)· 236. Пусть К, L, Μ и N—точки касания сторон AJ3, ВС, CD и DA с окружностью. Обозначим через Ρ точку пересечения АС и ίίΜ. Если ΖАКМ = <р} то ZKMC = 180° - у?. Таким образом, АР ^Sakm _ \ΑΚ·ΚΜ®ηφ _ АК а PC ~ 5*мс " \КМ · MCsin(180° -<р)~МС~У Но в таком же отношении разделит АС и прямая NL. Значит, прямые АС, КМ и NL пересекаются в одной точке. Применяя телсе рассуждения к диагонали BD, получим, что BD также проходит через точку Р. Искомое отношение равно а/Ь. 287. Пусть Ρ и Q — точки пересечения соответственно В К и АС, АВ их DC. Прямая QP пересекает AD в точке Μ, ВС — в точке iV. Используя подобие соответствующих треугольников, запишем -гт=-= __BN__MK__AK-AM -^AM-xAD м ** - „4М_ - * ϊ£^ = ΠΓ> откуда 3 = ^. Ответ: ^γ. Если λ=£, то AM^^AD. Таким образом, взяв сначала К совпадающей с D (λ = 1), получим в качестве М\ середину АВ, взяв К совпадающей с Μι, найдем, что Мч отделяет 1/3 от AD и т. д. 238. Пусть KM=KN=x, AD=j/, DB=z. Тогда CD=y/yzy y+z=c. Радиус вписанной в ДАйГВ окружности равен \CD=\y/yz. Выразим площадь треугольника АКБ по формулам Герона и S=pr. Получим уравнение \/(x + y + z)xyz = (χ + у + я) ^ γ/j/S. Учитывая, что у + ζ = с, найдем ж = с/3. 239. Проведем через Аъ прямую, параллельную АС. Пусть R— точка пересечения этой прямой с АВ. Из того, что ^r = fj^J· = £> ^^ = fc, найдем ^§ = /fcДva ■ Точно так же, проведя через Съ прямую, параллельную АСУ до пересечения с ВС в точке 5, получим, что £?§ = ^Дчд. Поэтому точки Д, Аг, Сг и 5 лежат на одной прямой, параллельной АС. Таким образом, стороны ААВС и АА2В2С2 соответственно параллельны. Теперь нетрудно получить, что А2С2 = RS - ДА2 -C2S — АС \1 - /fc+* u), поэтому коэффициент подобия равен тс^г· 144
240. Воспользуемся следующей формулой для площади треугольника: S = 2Л2 sin A sin В sin С, где Л, Б и С — углы треугольника. Тогда площадь треугольника A\BiC\, где А\, В\ и С\—точки пересечения биссектрис ААВС с описанной окружностью, будет равна оп2 · л + в · В + С . С + 4 л„2 С А В с Si = 2Д sin—-—sin—-—sin—-— = 2Д cos — cos — cos—, a #■ = 2 2 2 2 2 2' 5l = 8sinysinf sin £. С другой стороны, BC=2RamA, r(ctgf+ ctg§) = = 2ДзтЛ, r = 4Rsinysinysiny. Таким образом, J^- = ^. 241· Пусть О—центр подобия вписанного и описанного треугольников, Μι и Мг—две сходственные вершины (Μι лежит на стороне АВ), отрезок О А пересекает вписанный треугольник в точке К. Тогда SoMiK = ASi, Som2a = λ£2, ^—— = ΤΓΓΓ = \/"ο"ι откуда ΟΟΜ2Α UM2 V θ2 So Μι A = AV5i52, где λ= °jflJC. Рассмотрев шесть таких треугольников и сложив их площади, получим: 5лвс = VS1S2. 242. Пусть О — центр описанного круга, Я — точка пересечения высот ААВС- Поскольку прямая ОН перпендикулярна биссектрисе угла А, то она пересекает стороны АВ и АС в таких точках. К и М, что АК^АМ. Таким образом, ZAOB = 2ZC (считаем, что угол С —острый); ΔΟΑΚ = 90°- Δθ = ΔΗΑΜ. Значит, АО АК^ АН AM и OA = HA = R (R — радиус описанного круга). Если D — основание перпендикуляра, опущенного из О на ВС, то OD = АН/2 = Я/2. Следовательно, cos Л = cosZ-DOC = 1/2, ZA = 60°. 243. Докажите, что треугольник будет остроугольным, прямоугольным или тупоугольным, если расстояние между центром описанной окружности и точкой пересечения высот будет соответственно меньше, равно или больше половины наибольшей стороны. Ответ: 90°, 60°, 30°. 244. Условие S&bdm = S&bck означает, что BD · В Μ = ВК · ВС, т. е. (В А + АС)ВМ=ВК · ВС (1) Проведем через Μ прямую, параллельную АС; пусть L — точка пересечения этой прямой с В А. Докажем, что LM = KL; отсюда будет следовать, что искомый ΔΒΚΜ— \lBAC— §. Поскольку ABLM и ABAC подобны, то LM = Щ · АС, ВЬ = Щ-АВ. Теперь найдем из (1) ВК и посчитаем: KL=BK-BL= Щ£& ВМ- Щ АВ= Щ АС, откуда LM = .КХ. 245· Пусть AD = а, ВС = Ь. Опустим из О перпендикуляр ОК на АВ. Теперь найдем: ЯК = Vob^' ## = >/оЬ^ь, Μίί = ^ - проверить, что ОК* = ЕКМК. Ответ: 90°. 246. Заметим, что точки Α, Μ, Ν и О лежат на одной окружности (рис. 4). Следовательно, ΔΝΜΟ = Z0AN= 90° -ZAON. Значит, при 145
повороте О А вокруг О на угол φ прямая ΝΜ повернется на такой же угол φ (в другом направлении), а при перемещении А по прямой О А прямая ΝΜ перемещается параллельно самой себе. Отсюда следует, что искомый угол равен а. 247. Если 0\ — центр меньшей окружности, a ΔΒΟΑ = у?, то ΔΒΑΟ = 90° - f, ΔΟΟχΑ = 90° + φ, ZCAOi = 45° - f. Таким образом, ZBAC = ΔΒΑΟ - ΔΟΑΟχ = 45°. 248. Построим на АВ внутри квадрата правильный треугольник АВК. Тогда ΔΚΑΒ = 60°, ZKCD = 15°, т. е. К совпадает с М. Ответ: 30°. 249. Пусть Μι симметрична Μ относительно ВС. СВ — биссектриса yrjia МСМ\. Из того, что ^MiCj4 = 60° и АС=\СМ\У следует, что ΖΜχΑΟ = 90°, значит АВ — биссектриса угла М\АС> кроме того, СВ—биссектриса угла Mi CM, т. е. В равноудалена от прямых М\С и М\ А и лежит на биссектрисе угла, смежного с углом АМ\С. Итак, ZBMC = ZBMiC = 75°. Ответ: 75°. 250. Если ZBi4(7=2a, то легко найдем, что ΔΚΜΟ=ΔΜΚ(7=30° + +а, т. е. МС — КС. Продолжим *МК до пересечения с окружностью в точке iV; АКМС подобен AKAN, значит, AN=KN = R—радиусу окружности (так как ZAMN=30°). Точки Л, А" и О лежат на окружности с центром в JV, ΔΑΝΟ=- 60°, следовательно, ΔΑΚΟ=30° или 150°, в зависимости от того, тупой или острый угол AM С. Ответ: 30° или 150°. 251. а) Проведем биссектрису угла А и продолжим ВМ до пересечения с нею в точке N (рис. 5). Так как ВЛГ = М7, то ΔΒΝΟ = 120°, значит, и углы BNA, CNA также по 120°, ZNCA = ZNCM = 20°, т. е. ANMC = ANCA, МС = АС. Следовательно, ААМС—равнобедренный, и ΖАМС = 70°. б) Точки М, Р, А и С лежат на одной окружности (М из пункта а)). ZP4C ==ZPMC = 40°. 252. Опишем около АМСВ окружность (рис. 6) и продолжим BN до пересечения с нею в точке М\; СМ\ = СМ, так как углы, на них опирающиеся (80° и 100°), в сумме дают 180°; ZMiCM==ZMiBM==20°, т. е. JVC —биссектриса угла Μι СМ и AMiCN = ANCM, ΔΝΜΟ = = ZWMiC = ZCMB = 25°. 253. Возьмем на ВС точку К (рис. 7) так, что ΔΚΑΟ = 60°, Mif || АС. Пусть L—точка пересечения АК и МС\ AALC—правильный, A AN С—равнобедренный (подсчитайте углы). Значит, ALNC— также равнобедренный, ZLCN = 20°. Теперь найдем углы NLM и MKN—они по 100°, так как AMKL—правильный, то углы KLN и NKL по 40°, т. е. KN=LN и AMKN=AMLN, ANML=AKMN=Z0°. 146
с ю Рис. 5 Рис.6 147
254. Возьмем точку К (рис. 8) так, чтобы ZKBC = ZKCB = 30° и обозначим через L точку пересечения прямых МС и ВК. Так как ABNC — равнобедренный (ZNBC = ΔΝΟΒ = 50°), то ZKNC = 40°. Точка L есть точка пересечения биссектрис треугольника NKC (LK и LC — биссектрисы). Следовательно, NL также биссектриса угла KNC и ZLNB =60°; ЯЛГ, в свою очередь,—биссектриса угла MBL\ кроме того, BN J. ML; значит, ВЛГ делит ML пополам и ΔΜΝΒ = ZBNL = = 60°, aZJVMC = 30o. 255. Пусть О—центр вписанной окружности; точки С, О, if и Μ лежат на одной окружности (/СОК = Ζ Α/2 + ZC/2 = 90° - ZB/2 = = /К MB = 180° - ZKMC] если же точка if—на продолжении NM, то ZCOif = ZCMif). Таким образом, Z0#C = Z0MC = 90°. 256. Если Ρ лежит на дуге АВ, Q—на дуге АС, то обозначив угол Рис. 8 Рис. 9 РАВ через у>, а угол QAC через ^, получим два соотношения: Г 8ΐη2(ϋ-<ρ) = 8ίη<ρ8ίη(.Β + (7--¥>), Запишем разность этих равенств, после преобразований получим: sin(B + С - φ - ^) sin[(B - С) + (<р - ф)) = sin(B + С - <р - ^) Αη{φ - ^), откуда (поскольку 0 < В + С — у> — <0<π), В — С + φ — ψ = π — (φ — ψ). Ответ: ^. 257. Докажем, что &CMN подобен АСАВ (рис. 9). Имеем: /MCN = ZCBA. Поскольку четырехугольник CBDM — вписанный, _Л СМ _ sin/СВМ _ sin /CD M _ в\п/РЁА _ 4£> _ СЛГ о /ПА/ГАГ — т0 ев - sinZcMB - sinZcDB - sinZADB -Sb-Ib* Латает, ZGMiV - = /.ВСА, т. е. искомый угол равен или ^ или π — ^. 258. Пусть ZABC = 120°, ВД АЕ, СМ—биссектрисы Δ ABC Покажем, что DE — биссектриса угла BDC, a DM — биссектриса угла BDA. В самом деле, BE—биссектриса угла, смежного по отношению с углом ABDy т. е. Ε для AABD является точкой пересечения биссектрисы угла BAD и угла, смежного с углом ABD\ значит, Ε равноудалена от прямых АБ, BD, AD\ таким образом DE—биссектриса угла В DC. Точно так же DM—биссектриса угла BDA. 148
259. Обозначим: ΔΑΒΌ=α, ZBDC=(p. По условию ZDAC=120°- -α, LBAC = 30° + α, ZADB = 30° - α, ZDBC = 60° + α. По теореме синусов для треугольников ABC, BCD, ACD получим f§ = ffiff,"^^ = = *S*k^> Ш = 2iHSb2i. ^ = tS-tf Перемножая эти pa, венства, будем иметь: sin(30° — α + φ) = 2 cos(30° + α) sin φ => 2 cos(60° + +α) sin(30° - <ρ) = 0; таким образом, IBDC = у? = 30°. 260. Так же, как и в задаче 17, была получена формула биссектрисы внутреннего угла треугольника ABC, можно доказать, что биссектриса внешнего угла А вычисляется по формуле 1а = ~тт г~ \Ь-с\ Α /Ϊ (АВ = с, ВС = о, СМ = Ь). Найдем sin у: sin— = i/-(1-cosj4) = /l / Ь2 + с2-а2\ /(в + Ь-с)(а + с-Ь) „ =V η —гьг-у=V ite—- Находя точно так же 1с у выражая sin j и sin у через стороны треугольника, приравнивая 1а и ic, получим: * |£.СГ = V |6,^Г . По условию Ь = 2, с= 1. Значит, о должно удовлетворять уравнению у/а + 1= *\£^\ =>► (α—1)(α2 — α — -4) = 0. Но и Φ1, следовательно, ВС = о = 1+^. 261. Если О и Οχ —центры окружностей, описанных около ААВС и AADB, то ΔΑΟΟχ подобен AACD. Ответ: аД. 262. Бели К—середина дуги АВ, О — центр круга, AB = 2R=c, то CM2 = CD2+DM2 = CD2+DK2=ADDB+R2 + D02 = (R + DO)(R- -DO) + R2 + DO2 = 2Д2 = <?/2. О τ в е т: с>/2/2. 263. Пусть КМ—отрезок, параллельный ВС, N и L—точки касания вписанной окружности со сторонами АС и ВС. Как известно (см. задачу 18), AN = AL = p — a, где ρ—полупериметр ААВС. С другой стороны, AN=AL—полупериметр ААКМ, подобного А АВС. Следовательно, £^ = £,р=^. Ответ: ^. 264. Если а, Ь, с—стороны данного треугольника, то периметры отсекаемых треугольников будут 2(р —о), 2(р — Ь), 2(р-с), где ρ— полупериметр данного треугольника. Следовательно, если R — радиус описанной окружности, то R\ +Й2+Дз= \^ + ^ΪΓ + εϊΓ; Я=Д. Ответ: Д1+Д2 + Я3. 265. Если ΖΑ=α, то АМ=4£, ΛΝ = ^, т. е. AM:AN = AC: АВ; таким образом, ΔΑΜΝ подобен ААВС с коэффициентом подобия jfc, поэтому MN = $£ = 2R. 266. Пусть Οι и Ог — центры пересекающихся окружностей. Обозначим их радиусы через χ и у, ОА = а. Поскольку треугольники ΑΟΟχ и АОО2, как следует из условия, равновелики, то, выражая их площади по формуле Герона и учитывая, что Οχ А = х, 149
00\ = Д-ж, P2i4 = j/, 002=R-y, получим после преобразований (Д - 2х)2 = (Д - 2у)2> откуда, поскольку χ φ у, получим: х + j/ = Д. Ответ: Д. 267. Пусть АВ и CD—данные хорды, а М—их точка пересечения. а) Дуги АС и В£> в сумме составляют пол-окружности; следовательно, AC2+BD2=№2, таким образом, AM2+MC2 + MB2+MD2 = = AC2 + BD2 = 4R2. Ответ: 4Д2. б) ЛВ2 + С^2 = (ЛМ + МБ)2 + (СМ + М^)2=4Д2 + 2АМ.МВ + +2СММ1> = 4Д2 + 2(Д2-а2) = 6Д2-2а2. Ответ: 6Д2-2а2. 268. Если Μ — вторая точка пересечения ВС с меньшей окружностью, то ВМ=РС (М —между В и Р), ВР=МР+ВМ, РА2 + РВ2 + +РС2 = РА2 + (РВ-РС)2 + 2РВРС = РА2 + МР2 + 2РВРС = 4г2 + +2(Д2-г2) = 2(Д2 + г2). 269· Обозначим длины отрезков хорд, как на рис. 10, диаметр — через 2г. Используя то, что углы, опирающиеся на диаметр, прямые, а ху = ш/, получим х(х + у) + u(u + +ν) = (и + ν)2 + ж2 - ν2 = (и + ν)2 + +m2 = 4r2. 270. Если α, /3, 7» σ — Дуги, соответствующие сторонам о, Ь, с и d, то доказываемое равенство соответствует тригонометрическому sinf cos^ +cosf sin^ =? sinfcosf + +cos f sin f, или sin s±l - sin ^. 271. Пусть ABCD— вписанный четырехугольник, АВ и CD пересекаются в точке Р, А и D — на отрезках ВР и СР. ВС и AD пересекаются в точке Q, С и D — на отрезках BQ и AQ. Опишем около AADP окружность. Обозначим через Μ точку пересечения этой окружности с прямой PQ. (Докажите, что Μ на отрезке PQ.) Имеем: ZDMQ=ZDAP = ZBCD. Следовательно, четырехугольник CDMQ — вписанный. Поскольку по условию касательные, проведенные из Ρ и Q к исходной окружности, равны о и 6, то QM-QP = QD-QA = b2, Ρ Μ · PQ=PDPC=α2. Сложив эти равенства, получим PQ2 = о2+Ь2. Ответ: \/а2 + Ь2. 272. Отрезок QP равен (см. задачу 271) у/(р-№) + {<?-№) = ssV^ + c? —2Д2. Пусть ABCD—данный четырехугольник, Q—точка пересечения АВ и СХ> (Л на отрезке «BQ). Для нахождения длины PQ опишем окружность около AQCA; обозначим точку пересечения QP с этой окружностью через N. Поскольку ZANP=ZACQ = ^ABP, то точки Ау Ву iV, и Ρ также лежат на одной окружности. Имеем: QPQN = QAQB = b2-R2> PNPQ = CPPA=R2-a2. Вычитая второе равенство из первого, получим QP2 = Ь2 + а2 - 2Д2. Аналогично, РМ2=с24-о2~2Д2.Ответ:дМ=л/Ь2 + с2-2Д2,дР=УЬ24-а2-2Д2, РМ = %/с2 + а2-2Д2. 150
273. Радиус вписанной окружности заключен между величинами радиусов двух предельных случаев. Он не может быть меньше радиуса окружности, вписанной в треугольник со сторонами α + Ь, Ь + с, с + а, который равен 5/р, где S — площадь, ρ—полупериметр тре- 5 J(a + b+c)abc I abc _ угольника; таким образом, г > — = — = \ ; . С дру- р α + b + c у а + о + с гой стороны, г меньше радиуса окружности, изображенной на рис. И (на этом рисунке противоположные касательные параллельны, точка С «убегает» в бесконечность). Поскольку для углов α, β и у, отмеченных на рисунке; выполняется равенство α+β + 7 = ^/2, tga = c/p, tg/3 = a/p, tg7 = b/P> гДе Ρ — Радиус изображенной окружности, то tg(a + /3) = ctg7, или yt*l% — f, откуда p = y/ab + bc+ со. Таким обра- / abc ЗОМ, 4/ ; < г < y/ab + bc + ca. -Ь + с 274. Пусть Μ — точка пересечения прямой СВ с линией центров данных окружностей. Обозначим: AM=χ, ZACB = (p, AB2 = 2rx, ЛС2 = 2Дж, siny>= -£g. Если ρ—радиус окружности, описанной около ААВС, то ρ=^ = ^ = ν^. Ответ: л/Ш. Рис. 11 Рис. 12 275. Пусть Οι, 02— центры окружностей, А — наиболее удаленная от ВС точка их пересечения, ΖθιΑ02 = φ. Покажем, что ABAC = φ/2. (Для другой точки угол будет 180° - f.) В сайом деле, ABAC = 180° - ZABC - АВСА = 180° - (90° - ΔΑΒΟχ) - (90° - -ZAC02) = ΖΑΒΟι + ^Ж702 = ΔΒΑΟι + ZCA02 = <ρ - ZBAC. Пусть Οχ02 = о. Проведя 02М || ВС (М на ОхВ), получим ВС = 02М = = у/а?-(R-r)2. Из ΔΟι^402 найдем, что cosy? = 2Rt таким 151
ВС образом, радиус окружности, описанной около ДАВС, равен . ^ = 2sinj ν/α2 - (R — г)2 = v —. - = ySr. Ответ: \Лйг (для обоих треугольников). 276. DO и СО—биссектрисы углов ADC и DOB. Обозначим через а, /3 и 7 величины соответствующих углов (рис. 12). Но а 4-2/3 + 27+ +α=2π; значит, а+/3+7=яг; отсюда следует, что ZDOA=7> ΔΟΟΒ^β и ΔΛίλΟ подобен АСОВ; следовательно, AD СВ = ЛООВ = АВ2/4. Ответ: о2/4Ь. 277. Из условия задачи следует, что биссектрисы углов С и D пересекаются на стороне АВ. Обозначим эту точку пересечения через О. Опишем около ADOC окружность. Пусть if — вторая точка пересечения этой окружности с АВ. Имеем: ZDKA = ZDCO = \£DCB = = |(180ο - ZDAK) = \{ΔΌΚΑ + ZADK). Значит, 4#if A = ZADif и AD = Aif. Аналогично ВС = Bif; следовательно, AD + СВ = АВ. Ответ: о —Ь. 278. Возьмем на луче МС точку JV так, что AN = АВ = AD. Поскольку fj^MgA = ^ = ^ = fja^gc и ШСА = ^сд „ sin ΔΜΝΑ = sin ZADC=sin Ζ ABM, т. е. углы ABM и AflVA или равны или в сумме дают 180°. Но Μ внутри ΑΑΒΝ, значит, ΔΑΒΜ=ΔΜΝΑ. Теперь можно доказать, что ААВМ = AAMN\ ZNAC = ΔΜΝΑ - -£NCA = /.ADC-/.ACD = ip. Ответ: af*... 270. Обозначим через К и L точки касания соответственно первой и второй окружностей с одной из сторон угла, а через Μ и N — вторые точки пересечения прямой АВ с первой и второй окружностями. Пусть О — центр второй окружности. Поскольку А — центр подобия данных окружностей, то ^ = ^Г = Ж = ^> <>ткУДа Aif · AL = AAL2 = ААВ · A/V~= АВ2. С другой стороны, из подобия треугольников АКС и ALO имеем: АК· AL = АО·АО. Следовательно, АС-АО^АВ2; значит, треугольники ABC и АОВ подобны. Ответ: f или π— j. 280. Пусть Zi?AF=y>, ZDBA^a, ΔΌΑΒ — 2α (из условия следует, что Л, £ и F по одну сторону от BD и ZRDA < 90°, т. е. а > 30°). По теореме синусов для треугольников DEAy DAB и BAF имеем: Щ _ 8tn(120°-2a) _ OrfWQn° + r*V ^Ш - sina - 1 ΊΠ - sin(30°+a) "" Ζ€08νύυ τ«Λ ΛΒ ~ sin3a ~ 4cos(30<»+a)cos(30o-a) > Ш = COSinyy)- Перемножая равенства, найдем, что 0О88^у) = 2cos(a- -30°), откуда ZBAF = <p = 30°. 281. Рассмотрим два случая. 1) Отрезок ВК пересекает АС. Из условия ΔΒΚΟ = 3^А~^с будет следовать, что ΔΟ = 90° (ZBOif = ZB + Ζθ, ZOBif = ^, 3ZA-ZC + (Ζβ + zC,) + ^ _ lg0o и т д) Следовательно, точка О находится на АВ и сумма расстояний от О до АС и АВ равна \ВС\ 152
таким образом, ВС = 4>2 +>/3 = АС + АВ> АВ, т. е. катет больше гипотенузы—противоречие. 2) Отрезок ВК не пересекает АС. В этом случае Z.CBK = = 180° - ^f, /.ВСК = Ζ Α, ΔΒКС = 3Zil~zc (по условию); значит, (ΐ80° - ^) + ZA + 3^*-ZC = 180°, откуда ΔΑ = 30°. Возможны вновь два случая. 2а) Центр описанной окружности, точка О — внутри ААВС. Пусть перпендикуляр, опущенный из О на АВ, пересекает АВ в Ν, а АС в If, а перпендикуляр, опущенный на АС, пересекает АС в Μ, ΑΒ в L. Обозначим ОМ = х, ON = y\ x + y = 2 (по условию), (Ж = 2я/\/3, МК = х/у/3, AK = 2NK=2y+4x/V5, AM = AK-MK = 2y + xV5. Аналогично найдем: AN=2я+j/>/3. По условию AN+AM = |(АВ+АС) = = |(2 + >/3). С другой стороны, АЛГ-Ь AM = (2+ V3)(ж+ 2/) = 2(2-hv^). Противоречие. 26) Точка О—вне ААВС. Можно показать, что тупым является ΔΒ. Иначе, если ZC>90°, 3^A~^C <0, таким образом, О находится внутри сегмента АС, не содержащего В; впрочем, на ответ это обстоятельство не влияет. В обозначениях предыдущего пункта будем иметь: АМ = 2у-ху/Ъ, AN = yy/3-2x. Из системы у + χ = 2, AM + AN = (2 + +V%-(2 + VS)x = *Ь5 найдем: ж = fJj^=|^AM=|~^, радиус окружности равен у/AM2 + МО2 = ^ а/34 - 15V5. 282. Если Ci —точка, симметричная С относительно АВ, a i?i — симметрична В относительно АС, то (как обычно, а, Ь, с—стороны ААВС, 5—его площадь) CiB? = Ь2 + с2 - 2bccos3A = а2 + 2bc(cos A - -cos3A) = o2-*-8bcsin2i4cosA=o2-*-16(b2-*-c2-o2)^y. Таким образом, получим систему уравнений: aW + 1652(Ь2 + с2 - а2) = 8Л·2, aW + 1652(о2 + Ь2 - с2) = 8а2Ь2, a W + 16SV + о2 - Ь2) = UcV. Вычитая второе уравнение из первого, учитывая, что а ф с, найдем 4S2=*b2. Заменив S2 в уравнениях на Ь2/4, получим: a2c2 + 4(b2-c2-a2) = 0, а2\?<? + 4Л? + 4^ο2 - 4Ь4 - WaV = 0, Ь2 = 452. Обозначив а2(? = ж, а2 + с2 = у, будем иметь: Г 4t/ — χ = 46 \ i(b2-14) + 4b2y=4b4. 153
Умножив в последней системе первое уравнение на Ь2 и вычтя из вто- ' рого, найдем х(2Ь2 -14) = 0, откуда Ь = \/7. Ответ: 1, \ft, у/8 или у/±(21-у/Ш), у/7, ^(21 + V217). 283. Докажите, что tga= 25 ' где & — площадь треугольника (аналогично для других углов) .Ответ: arctg | tg a ± tg β\. 284. Найдем котангенс угла между медианой и стороной треугольника ABC. Если ΔΑχΑΒ^φ (ΑΑχ— медиана Δ ABC, обозначения обычные; а, Ь, с — стороны треугольника, та, ть, тс — его медианы, 5 —площадь), то ctgy? = 2c~ah™P = **~™«»в = *&jj=£. Пусть Μ — точка пересечения медиан ДАВС; прямые, перпендикулярные медианам, выходящим из вершин А и В, пересекаются в С\\ ZMC\B = ΔΜΑΒ = φ (четырехугольник МАС\В вписанный). Следовательно, Smbc, = \ (|m6)2ctgg = {*«2+**2-*№*+И-») Пло_ щадь искомого треугольника есть сумма площадей шести треугольников, каждая из которых находится аналогично. В итоге получим (°2+1622^2)2 = 27(У>2 (равенство а2 + Ь2 + с2 = 9(Д2 - d2) докажите самостоятельно). О τ в е τ: 2Ζ (Д2 — d2)2. 285. 60°. 286. Заметим сначала, что MN равна общей внешней касательной к окружностям с центрами 0\ и Οι (задача 142). Следовательно, если радиусы этих окружностей χ и у, χ + у = 2Л — о, то ΜΝ = у/а2 - (ж - у)2. Пусть у>—угол, образованный АВ cO\Oi,L— точка пересечения АВ и О1О2· Имеем 0\L = ·£&- = jjfz^» siny? = = ϋ7Γ = ^> OL = \x + OlL-R\ = ^2x + a-2R\ = ^a\x-y\, АВ = 2л/Я2-0£28т2у> = Igy/at-ix-y)2 = ψΜΝ. Ответ: ^ (в обоих случаях). 287. Угол АКБ равен 90° (см. задачу 255). Пусть R—точка пересечения ВК и AC, Q — точка ВК такая, что NQ || АС. Используя обычные обозначения, будем иметь: AR = АВ = с, MR = с — (р — > -a)=p-b = NB, ш = ъ§ = ъе = ь^ (считаем Ь>с). Поскольку MN = 2(р - с) sin ^, то ДЖ = о sin f. Аналогична для других отрезков. Искомый треугольник подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия sin (а/2). Его площадь равна 5 -sin2 (a/2). 288. Пусть АМ = х, CN = y, х + у = а, a—сторона квадрата. Обозначим через Ε и F точки пересечения MD и DN с АС. Отрезки АЕ, EF, CF легко вычисляются через о, х, у, после чего можно проверить равенство EF2 = АЕ2 + FC2 - АЕ? · FC. 289. Пусть Ρ—точка пересечения прямой DE с АВ, К — точка на АВ такая, что Я7?|| АС, ΔAKD—равнобедренный (ZKDA=£DAC = = ΔϋΑΚ). Значит, KD — медиана в прямоугольном треугольнике и ΜΝ = \ΚΌ = \ АР = | АЕ = £а. 154
290. Пусть второй точкой пересечения окружностей, описанных около А АВС и ААВ\С\, будет Αχ. Из условия следует, что ВВ\ = = CCi, кроме того, Δ АВА\ = Ζ АС Αχ и ΔΑΒχΑχ = ZAC\Ai. Следовательно, ΑΑχΒΒχ = AAiCCi. Значит, AiB = AiC. Пусть ΔΑΒϋ-β, ΔΑΟΒ = у у ΔΑΒΑχ = ΔΑΟΑχ = ψ. Так как АА\ВС равнобедренный, то ΔΑ\ΒΟ = ΔΑιΟΒ, т. е. β + φ = Ί-ψι ψ =\{l"β) и> если РЗДиус окружности, описанной около Δ АВС, равен R, то ΑΑχ = 2iisin:^; но AB-AC=2ii(sin7-sin/3) = 4iisin:^cos^2=2i4i4isinf; следовательно, Α Αχ = 2^. 291. Заметим, что точки А, О, М, В лежат на одной окружности (ΔАМВ измеряется полусуммой дуги АВ и дуги, симметричной АВ относительно ОС, т. е. ΔΑΜΒ = ΔΑΟΒ). Далее на AM отложим отрезок МК, равный MB; тогда А АКБ подобен АОМВ. Ответ: АВ = 2а. 292. Пусть АВ = 2г, ВС = 2R, Οι —середина ЛВ, 02 —середина ВС, Оз — середина АС, О — центр четвертой окружности, радиус которой х. Из условия следует, что Οιθ3=Λ, ОгОз=г, OiO = r + E, 020 = R + х, О3О=R + г — х. Приравнивая выражения для площадей треугольников ΟχΟΟζ и О1ОО2, полученные по формуле Герона и как полуцроизведение соответствующего основания на высоту, получим два уравнения: Г yJ{R + r)r{R-x)x = \Rd, \ <sJ{R + r + ж)Лгж = | (Д + r)d. Возводя каждое из них в квадрат и вычитая одно из другого, найдем, что x = d/2. Ответ: d/2. 293. Пусть Ρ — основание перпендикуляра, опущенного из N на прямую MB, тогда MP = Дсоза; следовательно, MP равно расстоянию от центра О до АВ; но расстояние от вершины треугольника до точки пересечение высот вдвое больше, чем расстояние от центра описанного круга до противоположной стороны (задача 20), т. е. МР= \МК. Отсюда следует, что если Μ находится на большей из дуг, т. е. Δ АМВ=а, то ΝΚ=R; если же Δ АМВ=180° - α (т. е. Μ—на меньшей дуге окружности), то NK2 =B2(l-*-8cos2a). Ответ: NK=R, если Μ — на большей дуге окружности; ΝΚ = Ry/\ + 8cos2 α, если Μ — на меньшей дуге окружности. 294. Пусть АВС—данный треугольник, CD—высота, 0\ и Ог — центры окружностей, вписанных в AACD и ABDC, К и L — точки пересечения прямых DO\ и ΌΟι с АС и СВ. Так как AADC подобен ACDB, а KD и LD — биссектрисы прямых углов этих треугольников, то Οι и Ог делят соответственно KD и LD в одинаковом отношении. Значит, #Χ||Οιθ2. Но четырехугольник CKDL — вписанный (ΔΚΜ = ZKDL = 90°). Следовательно, ZCtfL == ZCDL = π/4, ΔΟιΚ = ΔΰΌΚ = π/4. Таким образом, прямая О1О2 образует с 155
катетами углы в π/4. Если Μ и N — точки пересечения 0\0<ι с СВ и АС, то ACM02 = ACD02 (С02 — общая, A02CD = £02CM, Z.CD02 = ZCM02). Значит, CM = JVC = h. Ο τ в е т: углы треугольника равны π/4, π/4, π/2, а площадь—ft2/2. Рис. 13 295. Обозначения понятны из рис. 13. CKDL — прямоугольник. Поскольку ZLKA = 90° + a, ZL.Bj4 = 90° - а, то четырехугольник BLKA — вписанный, LC ftcosa 1 ., Л Если Я—радиус окружности, то Я= 2sin<£ 2siny> (1) (2) Поскольку ZLOK = 2<р, то OiV = iicosy? = 5^ = ^^ (использовались равенства (1) и (2)), ОМ = CW sin(90° — 2a) = = ft§j~f£ = /ictg2a, и, наконец, получим выражение -PQ = QM = = y/R?-OM2 = J fe22 -h2ctg22a = fcji(l + ctg2^)-ctga2a = у 4 sin ν? V 4 = h\ -(Ι Η я—) -ctg22a = -7-, PQ = /ц/5. Если теперь отрезки V 4 sbr2.a 2 156
PD и DQ хорды обозначить через χ и j/, то ж+у=/ц/5> xy = h2, откуда найдем, что искомые отрезки хорды будут равны vy1fe, ^""1Л. Второе решение. Пусть PD = ж, Z?Q = у. Имеем систему χ · у = = BDDA = h2,CPCQ = {h-x){h + y) = CKCA = h2. 296. Пусть (рис. 14) Ρ и Q — точки касания касательных, проведенных из 2?. Докажем, что EP-EQ- BD. В самом деле, ЕР2 = = (#Я + DC)(ED - DC) = ED2 - -DC2 = ВС2 - DC2 = BD2 (по условию ED = ВС). Обозначим: IfiV = = «,' PN = ЛГА = j/, EQ = £?P.= = BJ3 = г. Тогда ίί£? = χ + у - г. Имеем: Я/гялг = |я;(2Я-г); с другой стороны, Sken = *Sjrcw+5#оя — -SeON = |Д(» + Х + »-2?-у-2?) = = Д(ж —. я). Таким образом, |а?(2Л- -z) = R(x-z),x = 2R. Ответ: 2Д. 297. Найдем сначала lim ^. Обозначим: ZC=/?. Имеем: ОС Sbdc 1(р-и)(р-Ь)яш0' |absina (1) Но по теореме косинусов а2 + Ь2 — 2abcosa = (ρ — о)2 + (ρ — Ь)2 - 2(р - -a)(p-b)cos/J^cos/J=ite^^ in/3 = νΊ-οοβ2/?= >/(1-COB/')(1+coe/'): sin (2) _ y/ab(\ - cosa^p2 - 2ap- 2ftp+аЬ-)- aftcosa) ~~~ (р-а)(р-Ь) Если а -> 0, то cos а -> 1; следовательно, ^^ва = \/2cosf -> \/2 при α ^-> 0. Получим из (1), (2) с учетом последнего замечания lim 4£ = лЛ„ «л?, h\. Поскольку АС -*р, то lim АО = — *?/"*—.. 2. Избранные задачи и теоремы планиметрии 298. Докажите, что если D—проекция Μ на АВ, то AD2 —DB2 = = АМ2-МВ2. 299. Если бы такая точка нашлась (обозначим ее через Ν), то прямая ΜΝ была бы перпендикулярна всем трем сторонам треугольника. 300. Если Μ — точка пересечения перпендикуляров, опущенных из Αχ и Вг на ВС и АС, то (см. задачу 298) MB2 - МС2 = АХВ2- АгС2, 157
Μ С2 —MA2=BiC2—BiA2; складывая эти равенства и учитывая условия задачи, получим, что MB2 —MA2 — С\В2 — С\ А2, т. е. Μ лежит на перпендикуляре, проведенном к АВ через С\. 801. Из результата задачи 300 следует, что условие того, чтобы перпендикуляры, опущенные из А\, Βχ, С\ на стороны ВС, С Α ή АВ пересекались в одной точке, такое же, как и условие пересечения в одной точке перпендикуляров, опущенных из А, В и С на В\С\, СхАх πΑχΒχ. 302. Заметим, что перпендикуляры, опущенные из точек Αχ, Βχ и Сх на прямые ВСУ С А и АВ соответственно, пересекаются в точке J9, затем воспользуемся результатом задачи 301. 303. В задаче 304 доказывается более общий факт. Из рассуждений задачи 304 будет следовать, что центр окружности расположен на прямой АВ. 304. Введем прямоугольную систему координат. Если координаты точек Ль А2, ..., Ап — (хх,ух), (я2,Ы, ···> (хп,Уп), точки М — (хуу), то наше геометрическое место точек будет задаваться уравнением а(ж2 + 2/2) + Ья + с2/ + й = 0, где а = кх +к2 + -.. + кп\ отсюда и следует наше утверждение. 305. Если В — точка касания, О — центр данной окружности, то ОМ2 - AM2 = ОМ2 - ВЫ2 = ОВ2 = Л2. Значит, Μ лежит на прямой, перпендикулярной О А (см. задачу 298). 30β.ν Условие, определяющее множество точек М, эквивалентно условию AM2 — к2 В Μ2 =0, т. е. это есть окружность (см. задачу 304). Эта окружность называется окружностью Аполлония; ее центр, как легко убедиться, лежит на прямой АВ. 307. Поскольку MB является биссектрисой угла АМС^ то j$g = = g§. Следовательно, биссектриса внешнего угла по отношению к углу AM С пересекает прямую АС в постоянной точке К: j^ = ^, и искомое множество точек Μ есть дуга окружности, построенной на ВК как на диаметре, заключенная между прямыми, перпендикулярными отрезку АС и проходящими через точки АиС. 308. Пусть Οχ и Ог—центры данных окружностей, г χ и гъ — их радиусы, Μ — точка искомого множества, Μ Αχ и ΜΑ<ι — касательные. По условию Μ Αχ = kMAi. Следовательно, МО2 - к2МО\=г2 - к2г\. Значит (см. задачу 303), искомое множество точек Μ при к φ 1 есть окружность с центром на прямой 0\Оч, при к = 1 искомое множество есть прямая, перпендикулярная ΟχΟι. 309. Пусть (рис. 15) К и L — точки пересечения касательной ко второй окружности, проходящей через D, с касательными к первой, проходящими через В и Л, а М и N—другие две точки. Легко видеть, что ZDKB = ZCMA (каждый из этих углов равен половине разности углов, соответствующих дугам АВ и CD). Поэтому (на нашем 158
рисунке) Z.LMN + ZLKN = 180°. Следовательно, четырехугольник KLMN — вписанный. Далее имеем: тг^ = DK KB sm/lDBK _ sin \ АВ sin ΔΒΌΚ sin \^ DC' Рис. 15 Аналогично находятся отношения длин касательных, проведенных через точки L, Μ и N. Все эти отношения равны между собой; значит, центр окружности, описанной около KLMN, лежит на прямой, проходящей через центры данных окружностей (см. задачу 303). 310. Выразив расстояния от вершин треугольника до точек касания, проверьте выполнение условия задачи 300. 311. Пусть АМг : ВМг : СМг = = ρ : q : г. Тогда множество точек Μ таких, что (г2. - q2)AM2 + (ρ2 -1 -r2)BM2 + (q2 - p*)CM2 = 0, есть прямая линия, проходящая через Μχ, М2 и центр описанного около A ABC круга (см. задачу 304). 312. Точки Μχ и М2 принадлежат множеству точек М, для которых 5МЛ2 - 8MB2 + ЗМС2 = 0. Это множество есть прямая линия, и, очевидно, центр описанного круга удовлетворяет условию, определяющему это множество (см. задачу 304). 313. Пусть ΑΑι = α, ВВг =Ь, CCi =с, ΑχΒχ =s, Bid =2/, (ΛΑχ =*. Тогда АВ? = а2 + ж2, BiC2 = c2 + j/2 и т. д. Теперь легко проверить условие задачи 300. 314. Пусть ЛО = я, BD = y, CD = z, АВ = а. Обозначим через Л2, В2, С2 точки касания окружностей, вписанных в треугольники BCD, CAD и ABD со сторонами ВС, САУ АВ. Перпендикуляры, проведенные через точки Лх, Βχ, С\ к сторонам ВС, СМ и ЛВ совпадают с перпендикулярами, восставленными к тем же сторонам в точках Л2, В2, С2. Но ВЛ^ = ^^-у А2С = ^ifp; аналогично находятся ЛС2, С72В, ЛВ2, В2С. Теперь легко проверить условие задачи 300. 315. Примените условие задачи 300, взяв в качестве точек Л, В и С центры окружностей, а в качестве точек Лх, Βχ, Сх —по одной из точек пересечения окружностей (Лх—одна из точек пересечения окружностей с центрами В и С и т. д.). 316. Возьмем третью окружность с диаметром ВС. Общими хордами первой и третьей, а также второй и третьей окружностей являются высоты треугольника, опущенные из вершин В и С. Следовательно (см. задачу 315), общая хорда данных окружностей также проходит через точку пересечения высот треугольника ABC. 159
317. Пусть О — центр данной окружности, R—ее радиус, Μ С — касательная к ней. Имеем; МО2 - ΜΝ2 = МО2 - MB · ΜΑ = МО2 - —МС2 = Д2, т. е. точка Μ лежит на прямой, перпендикулярной прямой ON (см. задачу 298). Легко показать, что все точки этой прямой принадлежат нашему множеству. 318. Пусть О — центр окружности, г — радиус окружности, О А=о, ВС—некоторая хорда, проходящая через Α, Μ—точка пересечения касательных. Тогда ОМ2=ВМ2 + г2, AM2 = ВМ2 - ^ВС2 + С^ВС - В А =ВМ2-ВС,ВА + ВА2 = = ВМ2-ВААС=ВМ2-г2 + а2. Таким образом, ОМ2 - AM2 = 2r2 -о2, т. е. (см. задачу 298) искомое множество точек есть прямая, перпендикулярная О А. Эта прямая называется полярой точки А относительно данной окружности. 319. Покажите, что если М\ и Мг—две различные точки, принадлежащие нашему множеству, то любая точка Μ отрезка прямой М1М2 внутри треугольника также принадлежит этому множеству. Для этого, обозначив через х\> у\, ζ\ расстояния от М\ до сторон треугольника, через жг, J/2» 22— расстояния от Мг, можем выразить расстояния ж, у, ζ от Μ до сторон через эти величины и расстояниям между Μχ, Μ2, Μ. Так, например, если ΜχΜ = fcMiM2 и направления ΜχΜ и М1М2 совпадают, то χ = (1 - fc)a?i + йжг* у = (1 - fc)2/i + %г, ζ = (1 - fc)2i + fc^2. Отсюда следует, что если равенство выполняется для трех точек внутри треугольника, не лежащих на одной прямой, то оно будет выполняться для всех точек треугольника. Замечание. Утверждение задачи останется верным для произвольного выпуклого многоугольника. Более того, можно рассматривать все точки плоскости, но при этом расстояния до прямой от точек, расположенных по разные стороны от нее, должны браться с противоположными знаками. 320. Для того чтобы расстояния ж, у, ζ были сторонами треугольника, необходимо и достаточно выполнения неравенств x<y+z, у < z + Xy z <x + y. Но множество точек, для которых, например, х = у + ζ есть отрезок с концами в основаниях биссектрис (в основании биссектрисы два расстояния равны, а третье равно нулю, следовательно, равенство выполняется; а из задачи 319 следует, что это равенство выполняется для всех точек отрезка). Ответ: искомое геометрическое место состоит из точек, расположенных внутри треугольника с вершинами в основаниях биссектрис. 321. Поскольку перпендикуляры, опущенные из Лг, Въ и Сг соответственно на BiCiy C\A\ и ΑχΒχ, пересекаются в одной точке, то ■ 160
(задача 301) и перпендикуляры, опущенные из Αχ, В\ и С\ на В2С2, СъАъ и А21?2, также пересекаются в одной точке. 322. Обозначим через αχ и а2 расстояния от Л до прямых /2 и /з соответственно, 6χ и &2—расстояния от 5 до прямых 1$ и ίχ соответственно, С\ и с2 — расстояния от С до прямых f χ и ί2 соответственно, ж, j/, ζ—расстояния от Αχ, В\ иС\ соответственно до f. Для того чтобы перпендикуляры, опущенные из А, В и С на В\С\, С\А\ и -ΑχΒι соответственно, пересекались в одной точке, необходимо и достаточно выполнения равенства (задача 300) АВ\ - ВгС2 + СА? - ΑχΒ2+ВС? - -СхА2 = 0, или (а? + у2) - (с^ + з/2) + (с2 + ж2) - (bg + χ2) + (b2 + ζ2) - -(а2 + г2) = 0, что приводит к условию а2 - а\ + Ь? - Ь2 + с? - с| = 0, не зависящему от я, j/, z* 323. Нам достаточно проверить выполнение условия (задача 300) АВ\ - В2С2 + СА| - А2В2 + ВС\ - С2 А2 = 0. Заметим, что треугольники ВВ2С1 и АА2С1 подобны, значит, АС\ CiB2=BCi ·ί7χΑ2, кроме того, ZAC1B2 = ZBCxА2, следовательно, АВ| -ВА| = (АС? - CxJ92) + +(СхВ2 ~~ Ci^l)· Записав соответствующие равенства для СА^ — АС\ и ВС2 — СВ2 и сложив их, получим, что разности, стоящие в первых скобках, в сумме дадут нуль (применяем условие задачи 300 к треугольникам ABC и AiB\Ci\ получим нуль, поскольку высоты пересекаются в одной точке). Нетрудно доказать, что АА2, В«В2 и СС2 проходят через центр описанной около ABC окружности, т. е. сумма разностей во вторых скобках тоже равна нулю. 329. Проведем через К и L прямые, параллельные ВС, до пересечения с медианой AD в точках N и 5. Пусть AD = 3o, MN = xay MS = -υα Поскольку ^ = 4§- Ш. = Ш то4£ = М£ Й±Й2.-£ ι/ = -£- -ί/α. поскольку ΝΚ--χχ, νκ ΜΝ>το Ίν μν> piSj: —β» »""ι-β· Равенство ш = Ш + Ш эквивалентно равенству ш = Ш + Ш> •^ = ^ + i. Подставляя j/ = j§j, получим верное равенство. 331. Пусть О — точка пересечения диагоналей АС и BZ?; воспользовавшись подобием соответствующих треугольников, получим с5с "" UB ос "" ОТ 75Х"" oF > что и треоовалось. 332. Пусть F и D — точки пересечения EN и ЕМ соответственно с АВ и ВС. Докажем, что ΔΑΡΝ и AMDC подобны. Используя подобия различных треугольников и равенство противоположных сторон параллелограмма, будем иметь; ш^ШШ^ШШ^ШШ^ =£&■$=№.** АЛ™ "Од06**1 ΔΜ2Χλ 333. Утверждение задачи вытекает из следующих двух фактов. 1) Бели на сторонах четырехугольника ABCD взяты точки К, L, Μ πΝ так, что стороны AJ5, ВС, CD и DA разделены этими точками в одинаковом отношении (ψχ = j^ = jfe = ^), то и отрезки КМ и LN своей точкой пересечения Ρ разделены в том же отношении. В самом деле, из того, что прямые KL и ΝΜ параллельны диаго- нали АС следует: ft-ft-ft-jft-ff ·£-|| ·|*-||. 161
2) Если на сторонах АВ и CD четырехугольника взяты точки Κχ πΚ,Μχ иМ так, что ^г = ^ = ^, АКг=КВ, DMX = СМ, то площадь четырехугольника ΚχΚΜΜχ составляет ^ часть от площади четырехугольника ABCD. В самом деле, Sbkc = §j«SUbc> SaMyD = = I^Sacd = ш5^· Следовательно, S^CMx = (l - fj) Uibcp = = JIjSabcd. Аналогично SKikmmx = ^Sakcm^ Таким образом, Sj^tfMMi = ^aw-Sabcd = ~5. 334. Пусть К — середина DB, L — середина AC, Sanm = Scnm (поскольку^AL = LC), точно так же Sbnm = Spmn\ откуда следует утверждение задачи. 335. Если Μ— середина DC, N — середина ВС, К и L — точки пересечения DN соответственно с AM и АВ, то ηΜτ = £££ = I, т. е. АК=^АМ] следовательно, Sadk = \Sadm = £ · \S= %S (S—площадь параллелограмма). Таким образом, площадь искомой фигуры будет S-±SAdk = \S. 336. Пусть Q — середина AD, N — середина ВС, Μ— середина DC, К, Р, Д —точки пересечения DN и AM, QC и DN, QC и AM. Тогда DK = \DN, DP = PN, QP=PC, QR=\QC, §££*= «£.££ = _1 1-Х с —X 5 _ S "" 3 ' б "" 15> °ДР* "" 15 ' 8 "" 120' Следовательно, от четырехугольника, рассмотренного в задаче 335, отрезаются четыре треугольника площади ^; таким образом, площадь искомого восьмиугольника будет f ~ ^ = f · 337. Пусть прямая НС пересекает АВ и LM соответственно в точках Τ и Ν, прямая AL пересекает ED в точке К и прямая В Μ пересекает PG в точке Р. Имеем: Sacde = Sachk = Satnl, Sbcfg = Sbchp = Sbmnt\ таким образом, Sacde + Sbcfg = Sabml- 338. Обозначим через Q площадь пятиугольника, s\, 82 и s3 —площади треугольников, прилежащих к одной боковой стороне, к меньшему основанию и к другой боковой стороне; χ—площадь треугольника, заключенного между треугольниками площади з\ и 82, у—площадь треугольника, заключенного между треугольниками площади 82 и «3- Тогда 8\+х+82 = 82+у + 8з = \(х+у + 82 + 0). Таким образом, 8i+*X + S2 + S2+y + Sz = X + y + S2 + Q^Si + 82 + S3 = Q. 339. Если 5—площадь параллелограмма, то Sabk+S%cd = \S, с другой стороны, Sdec=Sekc+Skcd = \S, значит, Sab к = Sjsjtc; аналогично Sard = Skcf] складывая два последних равенства, получим: Sabkd = Scekf- 340. Имеем: gS = f^= №&£%& = &&№■ "^ чив аналогичные равенства для отношений ^п£ и §^ и перемножив их, получим требуемое утверждение. 341. Покажем, что если прямые АА\, ВВ\ и СС\ пересекаются в одной точке (обозначим ее через М), то R* = 1 (а следовательно, 162
ий=1; см. задачу 340). По теореме синусов для A AM С имеем: sln^^AC = ΉΌ* Записав аналогичные равенства для треугольников АМВ и ВМС и перемножив их, получим требуемое утверждение. Обратно, если Д=1 и все точки Αχ, Βχ, С\ лежат на сторонах треугольника (или лишь одна из них), то, проведя прямые АА\ и ВВ\, обозначим точку их пересечения через М\\ пусть прямая СМ\ пересекает АВ в точке Сг* Учитывая условия задачи и доказанную необходимость условия R = 1, будем иметь, что ^^ = Ζ£β> причем точки С\ и С2 лежат одновременно или на отрезке АВ, или вне его. Следовательно, d и Сг совпадают. 342. Пусть Αχ, Βχ, С\ лежат на одной прямой. Проведем через С прямую, параллельную АВ, и обозначим через Μ точку ее пересечения с прямой Α\Βχ. Из подобия соответствующих треугольников получим: jfy = ^f-, ij^ = -^г. Заменив соответствующие отношения в выражении R (см. задачу 340), получим, что Л = 1. Обратное утверждение доказывается аналогично тому, как это было сделано в задаче 341 (проведем прямую ΒχΑχ, обозначим через Сг точку ее пересечения с АВ и т. д.). ' 343. Проверьте, что если для данных прямых Д* = 1, то и для симметричных будет так же. При этом, если прямая, проходящая, например, через вершину А, пересекает сторону ВС, то и прямая, ей симметричная относительно биссектрисы угла, также будет пересекать сторону ВС (см. задачи 340, 341). 344. Если Aq, Во, Со—середины отрезков АО, ВО, СО соответственно, то построенные прямые оказываются симметричными прямым АоО, BqO, CoO относительно биссектрис треугольника AqBoCo (см. задачу 343). 345. а) Пусть прямая В Μ пересекает АС в точке В', а прямая СК пересекает АВ в точке С. Проведем через Μ прямую, параллельную АС, и обозначим через Ρ и Q точки ее пересечения соответственно с АВ и ВС. Очевидно, ^^ = jM:. Проведя через К прямую, параллельную АВ и обозначив через Ε и F ее точки пересечения соответственно с С А и СВ, будем иметь: Щ^ = |^. Аналогичное построение сделаем для точки L. Заменяя отношения, входящие в R (см. задачу 340), учтем, что для каждого отрезка в числителе найдется равный ему в знаменателе, например: РМ=КЕ. б) Пусть для определенности прямая I пересекает отрезки Со А, СА0 и образует с ОК острый угол φ. Прямая A\L делит отрезок МК в отношении (от точки М) s™*1 - Аналогично находятся отношения, в которых делятся стороны KL и LM треугольника KLM. Нам надо доказать, что имеет место равенство Д = 1 (см. задачу 340). Заменим отношения отрезков отношением площадей соответствующих треугольников. R будет содержать в числителе SlmAh а в знаменателе— SkmCi- Докажем, что f*^*1 = fn$, где А и С —углы треугольника 163
ABC. Очевидно, что fggg=fjgf. Кроме того, AAiB0Ao=AC0B0Ao + +ΔΑ\ BqCq—90°—4^-+φ (это следует из того, что окружность с диаметром АО проходит через В0, Со η Αι) и ΖΒοΑ\Ο^ΖΒοΑΟ—^φ. Точно так же ZB0CiO= ψ и ZCiB0C0 = (Э0° - ψ) +ZCiOL= (Э0° г- ψ) + + (180° -Z.C- ZBqOCx ) = 90° - ψ + (ZBoCMi - ZC) = 90° - ZB/2 + +(180° - ΔΑ- AC-<p)=90°+ΖΒ/2-φ, τ. e. sinZj4iB04o=sinZCiBoCo. Таким образом, gjj = fg&f^ = £f=|. = jtf. Пусть г- радиус вписанной окружности, OL = OK = OM = a. Будем иметь: 2 SlMAx SlOM + SlOMAi _ %*SaqOBq + ^SaqOBqA! SkMCx SKOM + SKOMd ^ScqOBo + tScoOBoC! _ ^SaqOBq + (SaqBqA! - SaqOBq) _ (7) - ISaqOBq + SaqBqAx _ sin С ^Sc0OBo + (SC0B0C1 - 5coOBo) (7) - lSc0OB0 + ^CoBoiPx sin^ (Последнее равенство следует из того, что 5*°°*° = Sc*Vcl ^ вЕ§·) Точно так же выделим в числителе и знаменателе представления R еще две пары величин, отношения которых будут соответственно Р**" Ш и fro· Значит> Л = 1· Остается лишь доказать, что. число точек пересечения прямых LA\, КС\ и МВ\ соответственно с отрезками KM, ML и LK—нечетно. 346. Рассмотрим треугольник АСЕ, через вершины которого проведены прямые AD, CF и ЕВ. Синусы углов, образованных этими прямыми со сторонами треугольника АСЕ, пропорциональны хордам, на которые они опираются; следовательно, условие Д= 1 (см. задачу 341) эквивалентно условию, данному в задаче. 347. Проверьте, что выполняется равенство R = 1 (в пункте б) воспользуйтесь результатом задачи 234) и что все три точки лежат на продолжениях сторон треугольника. Таким образом, наше утверждение следует из теоремы Менелая (см. задачу 342). 348. По свойству секущих, проведенных из внешней точки к окружности, или по свойству отрезков хорд окружности, проходящих через одну точку, будем иметь: ВС\ · ВСъ = ВА\ · ВА2, СВ\ · СВъ = = СА\ · С Αι, АВ\ · АВ2 = АС\ · АСъ. Теперь легко проверить, что если утверждение теоремы Чевы (равенство R=1) выполняется для точек Αχ\ В\, С\, то оно выполняется и для точек Аъ, Въ, С*. При этом из утверждения задачи следует, что или все три точки Аъ, Въ, Съ лежат на соответствующих сторонах треугольника, или только одна из них (см. задачу 341). 349. Записав равенство R = 1 (согласно теоремам Чевы и Менелая—см, задачи 341,342) для точек Αχ, Β\, С\\ А\, В\, Съ\ А\, Въ, С\\ Аъ, В\,С\, мы получим, что для точек Аъ, Въ, Съ выполняется равенство Д = 1. Теперь осталось лишь доказать, что или все три точки Аъ, 164
Β<ι, Съ лежат на продолжениях сторон треугольника (так будет, если точки Αχ, Βχ, С\ —на сторонах треугольника), или лишь одна находится на продолжении (если на сторонах треугольника одна из точек Αχ, Βχ, С χ), и воспользоваться теоремой Менелая (см. задачу 342). 350. Воспользуйтесь теоремой Менелая (см. задачу 342). В качестве вершин данного треугольника возьмите середины сторон треугольника ABC, на сторонах и продолжении сторон которого лежат рассматриваемые точки. 351. Если а—длина стороны пятиугольника MKLNP, Ь—длина стороны пятиугольника с одной стороной на АВ, с—длина стороны пятиугольника, у которого одна сторона—на АС, то ^£х = |, jjfy = L· ^ %2± = £. Перемножив эти равенства, найдем, что Я= 1, и воспользуемся теоремой Чевы (задача 341). 352. Проверьте, что точки Αχ, Аъ, -Аз и Βχ, Вг, Вз находятся на сторонах треугольника ОхОгОз (Οχ, Οι, Оз—центры окружностей) или на продолжении этих сторон и отношение расстояний от каждой из этих точек до соответствующих вершин треугольника ΟχΟ^Οζ равно отношению радиусов соответствующих окружностей. Далее можно воспользоваться теоремой Менелая (см. задачу 342) для каждой из этих троек точек. 353. Утверждение задачи следует из задач 340, 341. 355. Воспользуемся равенством gjnjjf^c? = 3§}"' fjuj*· Получив аналогичные равенства для других углов и перемножив их, получим наше утверждение на основании результатов задач 340, 341. 356. Применим теорему Менелая к треугольникам ABD, В DC и DCA (задача 342*, примечание): (β) · (§§) · (££) = -1, (Ш)ЧШ:(§§) = -1Л^)-(^)-(^) = -1(АМиЛГ-точки пересечения соответственно АВ и PQ, ВС и QR, АС и PR). Перемножив эти равенства, подучим (jfj) · (f§) · {$&) = —1» 2- е. точки L, Μ vlN—на одной прямой. 357. Рассмотрим систему координат, осями которой являются данные прямые (это так называемая «аффинная» система координат). Уравнение прямой в этой системе, как обычно, имеет вид ах + by + с = 0. Докажем сначала необходимость данного условия. Пусть точка N имеет координаты (u,v), а тоща, Μ — (Xu,Xv), уравнения прямых ΑχΒχ, Л2В2, АзВзу -А4В4 будут соответственно иметь вид: у — v = kx(xr-u), y — v = k2(x — u), y — Xv = ks(x — Xu), у — Xv^k^x — Au). Тогда точки Αχ, Α<ι, -A3, Μ, расположенные на оси х, соответственно будут иметь координаты г* — -j^v, и — -j^v, Ли - -j^v, Aw — цу, а точки Βχ, Вг, Вз, В4, расположенные на оси у, соответственно будут иметь координаты υ — kxu, v —few, Αν —fc3Aw, Αν — fojAu. Теперь легко проверить выполнение равенства, данного в условии. Достаточность, как обычно, можно доказать от противного. 165
358. В пунктах а) и в) надо воспользоваться теоремами Чевы и Ме- нелая (задачи 341* и 342*, примечание). В пункте б), кроме этого, используется результат задачи 357; при этом удобно, как и в задаче 357, рассмотреть аффинную систему координат, в которой осями являются прямые АВ и АС, а точки В и С имеют координаты (0;1) и (1;0). 359. Обозначим через S точку пересечения црямых А\М, B\L и С\К. Применим к треугольникам SMK, SKL и SLM теорему Мене- лая (задача 342*, примечание), получим [z^m) ' i^Ts) ' (ϋΓ#) = "^ Ш ■ (») · (»)—!. (») · (») 'Ы -"Ι- Перемножив эти равенства, получим: \LxMJ \Мгк) \KxLJ К ' Равенство (1) является необходимым и достаточным условием того, чтобы прямые А\М, B\L и С\К пересекались в одной точке. Необходимость уже доказана. Достаточность доказывается, как обычно, от противного. (Обозначим через 5' точку пересечения А\М и B\L, проведем S'Ci, обозначим через К' ее точку пересечения с данной прямой и докажем, что К и К' совпадают.) Поскольку равенство (1) переходит в себя при замене К, L, Μ на К\, Li, Mi и наоборот, то утверждение задачи доказано. 360. Применяя теорему Чевы (задача 341*, примечание) к треугольникам ABD, ВВС и CDA, получим: (^f) · (fg) · (§f) = 1, (Ш) · (Ш) · (й) - 1. (Ш) · № Ш = 1· Перемножив эти ра- венства, получим: (р§)(§§)(^) = 1)т. е. прямые AQ, BR и СР пересекаются в одной точке. Обозначим ее через N. Пусть Τ—точка пересечения PG и DN. По теореме Менелая (задача 342*, примеча- ние) имеем (ft) · ($) · (g§) = -1, откуда (#) — (#) · (Щ) = - -г. (i»)—(»)·(»)-4е· ϊ. (^)=-(i+(^))=-^±s±i2· Таким образом, (^) == a^ffi"7Q. В этом же отношении отрезок ДЛГ разделится другими прямыми. 361· Рассмотрим сначала предельный случай, когда точка N находится «в бесконечности»; тогда прямые A/V, BJV и CN параллельны прямой ί. Пусть расстояния от точек А, В и С до прямой I равны о, Ь и с (для удобства предположим, что А,5иС—по одну сторону от /). Прямые, параллельные Ζ и проходящие через А>В иС, пересекают прямые В\С\ yC\A\HL ΑχΒχ соответственно в точках Α<ι, Β<ι и Съ. Легко видеть, что £$ = ф, К = Й8. Ш = ©■ Перемножая эти ра- венства, получим, что выполняется утверждение теоремы Менелая— задача 342 (необходимо еще проверить, что на продолжениях сторон 166
треугольника ΑχΒχΟχ находится нечетное число точек из 4г, В2, C2)· Значит, точки А2у i?2) C2 лежат на одной прямой. Общий случай можно свести к рассмотренному, если, например, спроектировать заданное расположение треугольников из какой-либо точки пространства на другую плоскость. При этом можно добиться, чтобы симметричность треугольников не нарушалась, а точка N перешла бы в бесконечность. Можно и не прибегать к пространственным рассмотрениям. Введем систему координат, выбрав за ось χ прямую / и взяв начало координат в точке N. Сделаем преобразование х1 = 1/ж, у1 = у/х. При этом точки оси χ (у = 0) перейдут в прямую у* = 0; точки, симметричные относительно оси ж, перейдут в симметричные относительно прямой $/=0; прямые перейдут в прямые; прямые, проходящие через начало координат, перейдут в прямые, параллельные прямой у' = 0 (это преобразование, по существу, и есть вышеуказанное проектирование). После такого преобразования получим уже рассмотренное расположение. 362. Будем считать, что данные прямые параллельны. Этого можно добиться с помощью соответствующего проектирования или преобразования координат (см. решение задачи 361). Применим к треугольнику ΑχΑ^Μ (рис. 16, Ν'Κ* параллельна данным пря- Рис.16 мым) теорему Менелая (задача 342). Будем иметь: j^ · jfjfc · $щ = _ Αι А* . Ал Α* β ΜΝ' = Αι Ал . ΜΝ' . Ал Αι _ Αι А* я МАь я Ал Αι = aZAq К'М А&А\ К'М А^Ал А&А\ ЛзМ As Ал А&А\ = 4± ^ tt =4^ ^ ^ = 1· Таким образом, точки L, ΛΓ и К на одной прямой. Можно было бы в соответствии с примечанием к задачам 341 и 342, рассматривать вместо j^ и др.— отношения ( Т^м) и ДР· ^ этом слУчае произведение соответствующих отношений будет равно (-1). 167
364. Искомое геометрическое место точек состоит из двух прямых, проходящих через точку, симметричную точке А относительно прямой 1У и образующих углы в 60° с прямой ί. 365. Искомое множество есть дуга ВС окружности, описанной около ААВС, соответствующая центральному углу в 120°. 366. Бели N—точка пересечения прямых PQ и АВ, то ^ = Щ = = 1с» т· е· ^ — фиксированная точка. Искомое множество есть окружность с диаметром CN. Если теперь Μ—фиксированная точка, то D лежит на прямой, параллельной прямой ΜΝ и проходящей через такую фиксированную точку L на прямой АВ, для которой Ajl -s Ajl^ причем L так же расположена относительно отрезка АВ, как N относительно отрезка АС. 367. Треугольники АВР и ВРС равновелики. Теперь из условия следует равновеликость треугольников АВР и АРК. Это значит, что АР делит ВК пополам. Искомое геометрическое место есть средняя линия, параллельная АС. 368. Пусть С — вершина данного угла, β— его величина. Опустим из О перпендикуляры ОК и OL на стороны угла (рис. 17, а). Рис. 17 Около четырехугольника ОКАМ можно описать окружность. Следовательно, ΔΚΜΟ = ΔΚΑΟ. Аналогично lOML = ZOBL. Значит, ZKML = ΔΚΑΟ + ZOBL = α + /3, т. е. Μ лежит на дуге окружности, проходящей через К и L и вмещающей угол а + β\ при этом все точки этой дуги принадлежат нашему множеству. Если а</3, то этим наше множество исчерпывается. Если же α > β> то добавятся точки Μ по другую сторону от прямой KL, для которых ZKML = а - β (рис. 17, б); при этом множеством точек будет пара дуг, концы которых будут определяться предельными положениями угла АОВ. Если лучи неподвижного угла β и подвижного α продолжить—вместо углов рассматривать лары прямых,— то искомое множество бу- 168
дет парой окружностей (содержащих обе дуги, о которых говорилось выше). 369. Пусть Ρ лежит на ^ВС. Рассмотрим четырехугольник DEPMy ZDEM^ZDPM = 90°, следовательно, этот четырехугольник вписанный. Значит, ΖΡΜ25 = ΖΖλΡ2? = 45°. Искомое геометрическое место точек есть прямая DC. 870. Рассмотрим случай, когда точка В лежит внутри данного угла. Прежде всего заметим, что все получающиеся ABCD (рис. 18) Рис. 18 подобны между собой, поскольку ZBCD^ZBAD, /.BDC^ZBAC. Поэтому, если N — середина CD, то постоянными будут углы BNC и BND. Опишем около ABNC окружность. Пусть К—вторая точка пересечения этой окружности с АС. Поскольку 1ВКА = 180° — ZBNC, то точка К фиксирована. Аналогично, фиксированной будет точка L—вторая точка пересечения окружности, описанной около ABND, с прямой AD. При этом ILNK = ZLNB + ΔΒΝΚ = 180° - ABDA + + /.ВСК = 180°, т. е. N лежит на прямой LK. Множество точек N есть отрезок LK, а геометрическим местом центров тяжести AACD будет отрезок, ему параллельный, делящий АК в отношении 2:1 (получается с помощью гомотетии с центром в А и коэффициентом 2/3). 371. Если О — вершина угла, ABCD—прямоугольник (А фиксирована), то точки А, Ву С, Д О на одной окружности. Следовательно, ^СОА = 90°, т. е. точка С лежит на прямой, перпендикулярной О А и проходящей через О. 372. Заметим, что все получающиеся треугольники ABC подобны между собой. Следовательно, если взять в каждом треугольнике точку К у делящую сторону ВС в одном и том же отношении, то, поскольку ZAKC сохраняет постоянное значение, точка К будет описы- 169
вать окружность. Значит, точка М, делящая АК в постоянном отношении, также будет описывать окружность, получающуюся из предыдущей с помощью гомотетии с центром в точке Лис коэффициентом k — AM/ΑΚ. Это рассуждение используется во всех пунктах: а), б) и в). 373. Пусть К—середина АВ, а М — основание перпендикуляра, опущенного из К на АС. Все треугольники АКМ подобны между собой (по двум углам), следовательно, будут подобны все треугольники АВМ. Теперь легко получить, что искомое геометрическое место точек есть окружность с хордой ВС, причем углы, опирающиеся на эту хорду, равны углу АМВ или к нему дополнительному. (Меньшая дуга этой окружности расположена цо ту же сторону от ВС, что и меньшая дуга исходной окружности.) 374. Если Му Ν} L и К—данные точки (М и N — на противоположных сторонах прямоугольника, L и К также), Ρ—середина ΜΝ, Q — середина KL, О — точка пересечения диагоналей прямоугольника (рис. 19), то LPOQ — 90°. Следовательно, искомым геометрическим местом точек будет окружность, построенная на PQ как на диаметре. 375· Обозначим радиусы данных окружностей через Лиг (й)г), точку касания хорды ВС с меньшей окружностью—через D\ пусть К и L — точки пересечения хорд АС и АВ с меньшей окружностью и, наконец, О—центр окружности, вписанной в А АВС. Поскольку угловые измерения дуг АК и АС одинаковы, то АК = гх, АС = Rx; отсюда получим DC2 = АС СК = (R - r)Rx2. Аналогично АВ = Ry, DB2 = (R - r)Ry2, следовательно, Щ = | = ^§, т. е. к М^\^ Ρ ^*^^i Q \j О Ν Рис^ 19 АО AD — биссектриса угла ВАС. Далее, имеем: ^ ас Их y/(R-r)Rx = у jf?7. Таким образом, искомым геометрическим местом точек будет окружность, касающаяся изнутри двух данных в той же точке А с радиусом p = rffi=^^. 376. Пусть Οχ и Ог—центры данных окружностей, прямая 0\Оъ пересекает окружности в точках А, В, С, D (последовательно). Рассмотрим два случая. а) Прямоугольник KLMN расположен таким образом, что противоположные вершины Ку Μ лежат на одной окружности, a L и N — на другой. В этом случае, если Ρ — точка пересечения диагоналей (рис. 20, а), то ОгР2 - 02Р2 = (ОгК2 - КР2) - (02L2 - LP2) = ОгК2 - — Oil? = ϋ? - Щ, гДе <Ri и ^2 — радиусы окружностей, т. е. точка 170
α) б) Рис. 20 Ρ лежит на общей хорде окружностей; при этом исключается середина общей хорды и ее концы, так как в этом случае прямоугольник вырождается. б) Две соседние вершины прямоугольника KLMN лежат на одной окружности, а две—на другой. Поскольку перпендикуляры, опущенные из 0\ на ΚΝ и из Оъ на LM должны делить их пополам, то прямая 0\Оъ является осью симметрии прямоугольника KLMN. Пусть #2 <R\ и радиус 0<iL образует угол φ g линией центров. Проведем через L прямую, параллельную О1О2· Эта прямая пересечет окружность Οχ в двух точках—К\ и ίΓ2, и точке L будут соответствовать два прямоугольника: K\LMN\ и K2LMN2 (рис. 20, б). При изменении φ от 0 до π/2 угол ф, образованный радиусом ΟχΚχ с лучом О1О2, меняется от 0 до некоторого значения фо при дальнейшем изменении φ (от яг/2 до π) ф уменьшается от фо до 0. При этом центры прямоугольников ΚχΏΜΝχ опишут отрезок от середины CD до середины ВС, исключая крайние точки и точку пересечения этого отрезка с общей хордой. Аналогично, центры прямоугольников K2LMN2 будут заполнять интервал с концами в серединах АВ и AD (концы интервала не входят в наше геометрическое место точек). Если три вершины прямоугольника, а значит, и четвертая лежат на одной окружности, то центр прямоугольника совпадает с центром соответствующей окружности. Таким образом, искомое геометрическое место точек есть объединение трех интервалов: концы первого—середина АВ и середина AD, концы второго—середина ВС и середина CD, концы третьего—точки пересечения окружностей. При этом исключается середина общей хорды. 377. Если В и С—первая и вторая точки отражения, О—центр, то ВО — биссектриса угла СВА. Путь шарика симметричен относительно диаметра, содержащего С, поэтому А лежит на этом диаметре. Если ZBCO = ZCBO = <р, то ΖΑΒΟ = φ, ΔΒΟΑ = 2φ\ применяя теорему синусов к ААВО (В0 = Я, ОА=^а) получим: ^^ = ^^, 171
откуда cos2y>= ^~, и при а> j можно найти φ. Ответ: точки, расположенные вне окружности радиуса Л/3 с центром в центре биллиарда. 378. Искомое геометрическое место точек—две прямые, перпендикулярные данным прямым. 379. Если прямая АВ не параллельна /, то существуют две окружности, проходящие через А и В и касающиеся 2. Пусть их центры— 01 и 02· Искомое геометрическое место точек есть прямая 0102, исключая интервал (0102). Если АВ параллельна ί, то искомое геометрическое место точек состоит из одного луча, перпендикулярного /. 380. а) ПуспгА (рис. 21) — вершина некоторого треугольника. Продолжим отрезок AM за Μ на величину ΜΝ = j AM. Точка N является серединой стороны, противоположной вершине А, следовательно, N должна находиться внутри описанной окружности, т. е. внутри окружности с центром в О и радиусом О А. Опустим из О перпендикуляр OR на AN. Должно выполняться неравенство AR > RN. Если Ζ AM О ^ 90°, то это неравенство вы- полняется автоматически. Если же Рис·21 ZAMO<90°, то AM^MR>MN + +МД =» !ЛМ - \АМ > 2MR =» AM > 4MR. Но R лежит на окружности а с диаметром ОМ, значит, А должна быть вне окружности, гомотетичной окружности а с коэффициентом 4 и центром гомотетии в М. Далее, точка N не должна попасть на окружность а, так как в противном случае сторона треугольника, серединой которого она является, будучи перпендикулярной ON, лежала бы на прямой AN, т. е. в£е вершины треугольника были бы на одной прямой. Следовательно, А не должна лежать на окружности, гомотетичной α с центром гомотетии Μ и коэффициентом—2. Таким образом, если мы возьмем на прямой ОМ последовательно точки L и К так, что LO: ОМ: МК = 3:1:2, и построим как на диаметре на LM окружность 1, на МК—окружность 2, то искомым геометрическим местом точек будут все точки вне окружности 1, исключая точки окружности 2, кроме точки К (точка К входит в наше геометрическое место точек). б) ]Если О — центр описанного круга, Μ — центр тяжести треугольника, то К (см. пункт а)) будет точкой пересечения высот треугольника (см. задачу 20). Но для тупоугольного треугольника расстояние от центра описанного круга до точки пересечения высот больше радиуса описанного круга. Следовательно, вершины тупоугольного треугольника находятся внутри окружности 3, построенной на LK как на диаметре, вне окружности 1, исключая точки 172
Рис. 22 окружности 2 (при этом вершины тупых углов находятся внутри окружности 2). 381. Пусть ABC (рис. 22) — исходный правильный треугольник, A\B\Ci—произвольный треугольник, у которого А\С\ \\АС, , ΑχΒχ \\АВ, О—центр круга, Οχ —точка пересечения высот ΑΑχΒιΟχ. Пусть ΔΒΟΒχ = φ. Поскольку 0\В\ || ОВ, то ΔΟΒ\0\ = φ\ так как АС\0\В\ = £С\ОВ\ = 120°, то четырехугольник С\0\ОВ\ вписан в некоторую окружность, и, значит, АО\ОС\ =.£0\В\С\ =30° — ψ. Таким образом, ΖθιΟΒ = <ρ+120ο + 30°--<ρ==150ο, τ. е. прямая ΟΟχ параллельна СВ. Для того чтобы определить, сколь далеко точка Οχ может «уйти» по этой прямой, заметим, что для определения положения точки 0\ нужно через переменную точку В\ провести прямую, параллельную ОВ, до пересечения с прямой, проходящей через О параллельно СВ. Наиболее удаленные точки, очевидно, получатся для концов диаметра, перпендикулярного ОВ. Таким образом, частью нашего геометрического места точек будет ΜΝ — отрезок прямой, параллельной СВ, длиной 4R с серединой в О, а все геометрическое место точек—три таких отрезка (концы отрезков исключаются). 382. Бели ABC (рис. 23)—данный треугольник и вершина описанного прямоугольника AKLM совпадает с А (В — на KL, С\— на LM), то L принадлежит полуокружности с диаметром ВС, причем углы ABL и ACL тупые, т. е. у L будет два крайних положения: L\ и Li, £LiCA = ZL2BA = 90°, центр же О будет описывать дугу, гомотетичную дуге L1L2, с центром гомотетии в А и коэффициентом 1/2. Ответ: если треугольник остроугольный, то искомое множество есть криволинейный треугольник, образованный дугами полуокружностей, построенных на средних линиях как на диаметрах и обращенных внутрь треугольника из средних линий; если же треугольник не остроугольный, то искомое множество состоит из двух дуг 173
Рис. 23 полуокружностей, построенных таким же образом на двух меньших средних линиях. 383. Если (рис. 24) повернуть первый квадрат вокруг точки Μ на 60° или по часовой стрелке, или против, то он должен целиком попасть внутрь второго. Обратно, каждому квадрату, расположенному внутри большего, равному меньшему, стороны которого образуют углы в 30° и 60° со сторонами большего, соответствует точка Μ, обладающая нужным свойством. (На рисунке этот квадрат обозначен штриховой линией.) Эта точка будет центром поворота на 60°, переводящего квадрат ABCD в квадрат AiB\C\Di, ее можно получить из Οι поворотом в нужном направлении на 60° вокруг О. Рассмотрим крайние положения квадратов A\BiC\D\ (когда две вершины попадают на стороны большего). Их центры служат вершинами квадрата KLKNy сторона которого соответственно равна Ь — \а{\/%+1) (стороны квадрата KLRN параллельны сторонам данных квадратов, центр совпадает с центром большего). Центры другого семейства ква- 174 Рис. 24
дратов, образующих со сторонами большего квадрата углы 30° и 60°, также заполняют квадрат KLRN. Таким образом, искомое геометрическое место точек состоит из объединения двух квадратов, один из которых получен из квадрата KLRN поворотом вокруг Q на 60° в одном направлении, другой—поворотом на 60° в противоположном направлении. Задача имеет решение, если Ь^ |(>/3+1) (точки Ρ и Q могут быть на границе своих квадратов). 384. Такая точка Μ одна—центр тяжести треугольника (точка пересечения медиан). Легко видеть, что в этом случае для любой точки N на границе треугольника в качестве точки Ρ можно взять одну из вершин треугольника. Возьмем какую-либо другую точку Μι. Будем считать, что эта точка находится внутри илц на границе A AMD у где Μ—центр тяжести A ABC, D—середина АС. Проведем через, Μι прямую, параллельную BD> и в качестве N возьмем точку пересечения этой прямой с AD, а через Мг обозначим ее пересечение с AM. Очевидно, что для любой точки Ρ внутри или на границе треугольника площадь ΑΜχΝΡ не превосходит площади одного из треугольников ΑΜ2Ν, M2NC, Μ2ΝΒ. Очевидно также, что Sam2n < Samd = jS- Далее, если AD = DC = о, ND = я, то Sm^nc _ M*N NC _ α2-χ2 < ι Наконеп Sm*nb _ M*N "D - (a~;)x с 1 Smdc "" md Ш-^r-^ 1- наконец, Samd - MD -χ$- * az< <;i. 385. Если Ay By С — углы A ABC у то углы AABI равны γ, у, 90° + γ (рис. 25); следовательно, искомое геометрическое место то- Рис. 25 чек — пара треугольников, две стороны которых—отрезки прямых, а третья—дуга, являющаяся частью сегмента, построенного на ΑΙ и вмещающего угол а/2. 386. Восставим к ВМ в точке Μ перпендикуляр; пусть Ρ — точка пересечения этого перпендикуляра и перпендикуляра, восста- 175
вленного к исходной прямой в точке В. Покажем, что величина РВ постоянна. Пусть ZMBC = φ\ через К и L обозначим основания перпендикуляров, опущенных из А и С на MB. По условию ψ% + + TU = *. но LC = ВС**<Р> Ж = ΒΑΛιφ. Значит, ^^ + ^^ = — L ^ ВМ±ВК , BMTBL -ЬмВМ/1 , 1 U ( ВК BL \ _ - k *> ΒλΒΪηφ + έόήηφ ~ k ** ШП} \Ш +Έθ) ± \В1Ш^ " ВС sin φ) ~ = * ** ж|= квАвс ^РВ:=1 Щ+Ш >что и требовалось. Следовательно, искомое геометрическое место точек—две окружности, касающиеся прямой АС в точке В, с диаметрами, равными т^§§· 387. Продолжим AQ за точку Q и возьмем на этом луче точку Μ так, что QM = jAQ, и точку Αχ так, что Μ Αχ = AM; M—середина стороны ВС треугольника ABC] ZCBAX = ZBCA, ζΑΒΑι = 180° - ZBAC. Следовательно, если мы построим на AM, MAi и ААХ как на диаметрах окружности, то искомое геометрическое место точек будет состоять из точек, расположенных вне первых двух и внутри третьей окружностей. 388. Разберите четыре случая: треугольник ABC — остроугольный, один из углов А, В или С—тупой. Во всех случаях можно выразить величины углов треугольника АВН через углы треугольника ABC. 389. Если концы лучей не совпадают, то искомое геометрическое место точек состоит из частей следующих линий: биссектрис двух углов, образованных прямыми, содержащими данные лучи, срединного перпендикуляра к отрезку, соединяющему концы лучей, и двух парабол (парабола есть геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и данной прямой). Если концы лучей совпадают, то искомое геометрическое место точек состоит из биссектрисы угла, образованного лучами, и части плоскости внутри угла, образованного перпендикулярами, восставленными в концах лучей. 390. Пусть А—вершина угла. Можно доказать, что центр окружности, описанной около ΔΜΟΝ, совпадает с точкой пересечения биссектрисы АО и окружности, описанной около AMN. Пусть α—величина угла, г—радиус окружности, К—середина АО. Возьмем на бис- сектрисе АО точки L и Ρ так, что AL= ginf (lr+8inf), AP= ginf(lr_sinf)· Искомое геометрическое место точек состоит из отрезка КL (причем К не входит, a L — входит в это множество) и луча, лежащего на биссектрисе, с началом в Р. 391. Обозначим: Οι, 02— центры окружностей, ги г2— их радиусы, Μ — середина АВУ О — середина Οι02. Имеем (по формуле длины медианы, задача 11) OiM2 = \{2r\ + 20iB2 -iB2), 02M2 = = i(2ri+202A2-AB2), OiB2 = |(0102+40B2-2r|), 02A2 = |(OiOi + +40 A2 - 2r\). Таким образом, Οι Μ2 - 02M2=r\ -r\, т. е. (задача 298) точки Μ расположены на перпендикуляре к Οχ02. Если окружности разного радиуса и не пересекаются, то искомое геометрическое ме- 176
сто точек состоит из двух отрезков, получающихся следующим образом: надо из отрезка с концами в серединах общих внешних касательных выкинуть точки, расположенные между серединами общих внутренних касательных (если Μ— точка отрезка с концами в серединах общих внутренних касательных, то прямая, проходящая через Μ перпендикулярно ОМ, не пересекает окружности). В остальных случаях (окружности пересекаются или равны) искомое геометрическое место точек—весь отрезок с концами в серединах общих внешних касательных. 392. а) Так как ZFNB = 90°, ZCNM = 135°, ZFNM = 45° (предполагаем, что AM > MB), то Z.FNC = 90° и С, N и В на одной прямой и т. д. б) Рассмотрим равнобедренный прямоугольный треугольник АВК с гипотенузой АВ (К по другую сторону от АВ, чем квадраты). Четырехугольник ANBK — вписанный, следовательно, ZANK = ΖΑΒΚ = 45°, т. е. ΝΚ проходит через М. Искомое геометрическое место точек есть средняя дания треугольника ALB, где L—точка, симметричная точке К относительно АВ. 393. Пусть N — точка пересечения срединного перпендикуляра и касательной, О — центр окружности, R—ее радиус. Имеем: ON2— -ΝΑ2=R2+MN2 - ΝΑ2=R2. Таким образом, искомое геометрическое место точек — прямая, перпендикулярная О А (задача 298). 394. Если Οχ и Ог — центры данных окружностей, Q\ и Qi — центры окружностей, описанных около треугольников АВС\ и АВ\С, то 0\Q\OiQi — параллелограмм. Прямая Q1Q2 проходит через середину отрезка 0\Оъ (точка D). Вторая точка пересечения окружностей, описанных около треугольников АВС\ и АВ\С — симметрична точке А относительно прямой Q1Q2· Искомое геометрическое место точек есть окружность с центром в точке D и радиусом AD. 395. Пусть Οχ и Оъ — центры данных окружностей, т\ и г ι—их радиусы. Рассмотрим два равнобедренных прямоугольных треугольника с гипотенузой 0\Оъ— 0\ОъО и 0\0<ιΟ\ Искомое геометрическое место точек есть два кольца с центрами О и О' й радиусами: внешним — ^(п +гг) и внутренним *ψ\τχ — гг|. Докажем это. Пусть Μ — точка на окружности Οι, Ν — на окружности 02· Если Μ — фиксирована, а N пробегает вторую окружность, то вершины прямых углов равнобедренных прямоугольных треугольников описывают две окружности радиуса ^гг, получающиеся из окружности Ог с помощью поворота вокруг Μ на угол 45° (в одну и в другую сторону) и последующей гомотетией с центром в Μ и коэффициентом \/2/2. Пусть Оц — центр одной из этих окружностей. Точка Ом получена из (?2 поворотом вокруг Μ в соответствующем направлении и гомотетией с центром в Μ и коэффициентом >/2/2. Но Ом можно получить с помощью соответствующего поворота и гомотетии с центром 02· 177
Следовательно, когда Μ описывает окружность 0\, Ом описывает окружность радиуса *£τγ с центром в О или О1. 396. Объединение трех построенных параллелограммов представляет собой параллелограмм, описанный около данного треугольника, разделенный на четыре меньших. Нетрудно выразить отношения, в которых каждая из рассматриваемых диагоналей делится другой диагональю, через отрезки сторон большого параллелограмма. Если параллелограммы являются прямоугольниками, то, параллельно перенеся две из трех рассматриваемых диагоналей, образуем из них треугольник, равный данному, а это означает, что углы между ними или равны соответствующим углам треугольника, или дополняют их да 1в0°. Искомое геометрическое место точек есть окружность, проходящая через середины сторон данного треугольника. 897. Докажем, что ^ = \соа/*ВАС\, где D — точка переречения AM с окружностью. Пусть О—центр окружности, Ρ — середина ВС, К — середина АН. Треугольники DO А и МКА подобны. Значит, ^ = 25ϋ ^ оШ = I C0S^BAC\. Искомое геометрическое место точек состоит из двух дуг, принадлежащим двум различным окружностям. 398. Пусть В0 и Со — середины сторой АС и АВ, ВВ\ и СС\ — высоты, К — середина DE (рис. 26), GK и CoN перпендикулярны АВ, BqM перпендикулярна АС. Тогда Щ^ = β^ = ^г^- = §§ (последнее равенство следует из подобия треугольников DCE и ABC, К, Ρ и Со, С\—соответствующие точки в этих треугольниках). Точно так же срединный перпендикуляр к DF пересекает ΜΝ в точке Li такой, 4X0 7ш = §ϋ' τ· е· точки Ln L\ совпадают. Искомым геометрическим местом точек является прямая MN. 399. Очевидно, что любая точка любой высоты треугольника ABC принадлежит искомому геометрическому месту точек. Покажем, что других точек нет. Возьмем точку М, не лежащую на высотах треугольника ABC. Пусть прямая ВМ пересекает высоты, опущенные из вершин Ли С соответственно в точках М\ иМг. Если бы для всех трех точек Мь М2 и Μ выполнялось условие задачи, то имели бы место равенства /МАМ\ = ZMCMi, ZMAM2 = £MCM2 и тогда пять точек Α, Μ, Μι, Мг и точка С\, симметричная С относительно прямой ВМ, лежали бы на одной окружности, что невозможно. 400. Заметим, что если через Μ проходит какая-либо прямая I, обладающая нужным свойством, то существует или прямая 1\, проходящая через Μ и какую-либо вершину треугольника, или прямая Ь, проходящая через Μ перпендикулярно какой-либо стороне треугольника, обладающая этим же свойством. В самом деле, пусть прямая I пересекает стороны АВ и СВ треугольника ABC в точках Со и Ао и точка В\, симметричная В относительно /, внутри ААДС. Будем вращать Ζ вокруг Μ так, чтобы В\ приближалась по дуге соответствующей окружности к АВ или ВС до тех пор, пока точка Со или Во не совпадет с вершиной С или А (получим прямую 1\) или В\ не попадет 178
A В D С Рис. 26 на соответствующую сторону (получим прямую /г). Обозначим через α множество точек нашего треугольника, расположенных внутри четырехугольника, ограниченного биссектрисами к меньшей и большей стороне треугольника и перпендикулярами, восставленными к меньшей и большей стороне в их серединах. (Если данный треугольник— равнобедренный, то α—пусто. Во всех остальных случаях α—четырехугольник или пятиугольник.) Искомое геометрическое место точек состоит из всех точек треугольника, исключая внутренние точки а. 402. Имеем: MB2 = а2 + с2cos2 А = а2 + <? - <?&т2 А = а2 + <? - -о2 sin2 С = <? + а2 cos2 С = NB2. 404. Докажите, что точка, симметричная точке пересечения высот треугольника относительно стороны треугольника, лежит на описанной окружности. 406. Пусть Η — точка пересечения высот ААВС> AD — высота, К у L, Μ, Ν—проекции D на АС, СН, ИВ и В А соответственно. Воспользуйтесь тем, что К и L лежат на окружности с диаметром CD, L и Μ — на окружности с диаметром HD, Μ и N—на окружности с диаметром DB. 408. Докажите, что радиус окружности, описанной около рассматриваемого треугольника, равен радиусу данных окружностей, а эти окружности симметричны описанной окружности относительно сторон треугольника. 409. Пусть ABCD—данный прямоугольник, К, L, Μ и N на, прямых АВ, ВС, CD и DA соответственно, Р\—вторая точка пересечения прямой LN с описанной около ABCD окружностью (первая точка— Р). Тогда ВРг || KN, PXD \\ LM и ZBPXD = 90°. Значит, KN ± LM. Кроме того, LN ±КМ] таким образом, N—точка пересечения высот 179
AKLM. Пусть теперь, для определенности, L и N внутри сторон ВС и DA. Обозначим АВ = а, ВС=Ь, КР=х, PN—y. Прямая KN делит BD в отношении к*?Г, считая от вершины В. В таком же отношении разделит BD и прямая LM. 410. Отрезки АР, BQ и CR можно выразить через стороны треугольника, например: AP=zjj^. 411. Если К—середина ЕС, то DK \\ АЕ и DK1BF. 412. Проведите через D прямую, перпендикулярную биссектрисе угла А, обозначьте точки ее пересечения с АВ и АС через К и Μ и докажите, что АК = AM = ^. Поскольку ACi = ΑΒι =ρ — α, AC^—BCi—V (ρ—полупериметр ААВС,а7 Ь, с—его стороны), то точки К и Μ будут серединами отрезков С\Съ и В\Въ. 413. Докажите, что I образует с AD такие же углы, что и прямая ВСу касающаяся нашей окружности. Отсюда следует, что другая касательная к окружности, проходящая через Д будет параллельна /. 414. Построим окружность, касающуюся прямых ΜΝ, АС и ВС таким образом, чтобы точки касания Ρ и Q с прямыми АС и ВС были вне отрезков СМ и CN (это будет окружность, вневписанная в треугольник MCN). Если R—точка касания ΜΝ с окружностью, то MP^MR, NQ = NR, следовательно, MN=MP + NQ; но по условию MN = Μ А + ΝΒ. Таким образом, одна из точек Ρ или Q лежит внутри соответствующей стороны, а другая—на продолжении. При этом CP = CQ = \(СР + CQ) = \{АС + СВ), т. е. построенная окружность постоянна для всех прямых. 415. Если О — центр круга, описанного около ААВС, D — середина СВ, Η—точка пересечения высот, L—середина АН, то AL=OD и, поскольку AL \\ OD, то OL делит AD пополам, т. е. L симметрична О относительно середины AD. 416. Пусть BD — высота треугольника, причем BD^Ry/2, где R — радиус описанного круга, К и Μ — основания перпендикуляров, опущенных из D на АВ и ВС, О — центр описанного круга. Если угол С — острый, то ΔΚΒΟ = 90° — /.С. Поскольку четырехугольник BMDK—вписанный, тр- ШКD = ΔΌΒΜ = 90° - ZC. Значит, ΔΜΚΒ = 180° - 90° - (90° - 1С) = ZC; следовательно, ВО 1 КМ. Но Sbkm = ^BD2 sin АзтВзтС = iZ2sinj4sini?sinC = \Sabc- (Мы воспользовались формулой S = 2Д2 sin Л sin В sin С.) С другой стороны, если h\ — высота АВКМ, проведенная из вершины В, то \S = \АС · BD = Sbkm = \KMhx = \BDhx sinB, значит, Λχ = ^4^ = Я; учитывая, что BOLKM, получаем, чтсо точка О лежит на КМ. 417. Заметим, что AADK подобен ААВК, поскольку АЙГ2 = АС2 = = AD-AB. Если О—центр окружности, описанной около ААВК, то Z04JD + δΑΌΚ = 90° - ZAiCB + LADK = 90°: (Предполагалось, что ΖΑΚ В—острый; если ΖΑΚ В — тупой, то рассуждения аналогичны). 180
418. Докажите, что прямая, параллельная ВС и проходящая через Е, делит биссектрису угла А в том же отношении, в каком ее делит биссектриса угла С. 419. Если О—вершина угла, А—точка на биссектрисе, ΒχπΒ2 — точки пересечения со сторонами угла одной окружности, С\ и С2 (Βχ иС\ — на одной стороне)—точки пересечения другой окружности, то ΔΑ6ι<7ι=ΔΑΒ2<72. 420. Воспользуйтесь тем, что общая хорда двух окружностей, проходящих через Α, Αχ и В, Βχ, проходит через D (задача 315). 422. Если О — центр окружности, описанной около ААМВ, то iMAB = 90° - ΔΟΜΒ = ZBMC -180°. Таким же будет и ZMAC. 423. Нетрудно доказать, что рассматриваемые окружности пересекаются в одной точке. Обозначим ее через Р. В случае расположения точек, указанного на рис. 27, ΖΡΒ2Μ=1&0°-ΔΒΒ2Ρ=ΔΡΰχΒ=180° - Рис. 27 -ЛРСхА=£РВхА = /.РА2А = Ш° - ΔΡΑ2Μ, τ. е. точки Р,В2,МиА2 лежат на одной окружности. Точно так же докажем, что на одной окружности лежат точки Р, В2, М, С2, а следовательно, пять точек Ρ, М, А2,В2, С2 лежат на одной окружности. Замечание. Можно было, не апеллируя к чертежу, поступить следующим образом. Воспользуемся тем, что окружности, описанные около АВхСху ΑχΒΟχ и АхВхС, имеют общую точку при любом расположении Αχ,Βχ, Сх на прямых ВС, С А и АВ (точка Р). Применим это же утверждение для треугольников АМВ, ВМС и СМ А, на сторонах которых берутся точки соответственно Сх, В2, А2\ Αχ, В2, С2\ Βχ, Аъ, В2. 424. Докажите, что стороны треугольника ΑχΒχΰχ параллельны соответствующим сторонам треугольника ABC. 181
425· Докажите, что при перемещении прямой KL центр описанной около KLB\ окружности описывает прямую линию. 426. Докажите, что любые два отрезка делятся пополам своей точкой пересечения. 427. Если KN — перпендикуляр из К на АВ, ZCAB = а, то KN _ АК _ АО-КО _ AO-2QM sin % _ ЛО-2ЛОвш2 f _ СХ> тт~ ом - ло - ло 3ST—"" Ιϋ *" = °°8α = Ш· Поскольку ААСВ и AACD подобны, то из предыдущего следует, что ΚΝ равен радиусу окружности, вписанной в AACD, а так как К лежит на биссектрисе угла А, то К — центр окружности, вписанной в &ACD. Аналогично доказательство для L. 428. Обозначим через С\ и Αχ середины АВ и ВС, В1 и А1—точки касания вписанной окружности с АС и ВС. Пусть, для определенности, с^Ь (Ь и с—стороны Δ ABC), тогда биссектриса угла А пересекает продолжение С\ А\ в такой точке К, что 4ι#=~р, а прямая В'А' должна пройти через ту же точку К, поскольку треугольники if Αχ Α' и А'В'С равнобедренные, А'С = В'С, ΑχΚ = ΑχΑ\ ΔΑΆχΚ^ΔΑ'ϋΒ*. 429. Рассмотрим угол с вершиной А. На одной стороне угла рзяты три точки—В\, В2, Вз > а на другой—Ci, С2, С3. Из теоремы Мёнелая (задача 342, примечание) следует, что для того, чтобы прямые BiCi, Въ Сг, Я3С3 пересекались в одной точке, необходимо и достаточно выполнения равенства \В20\ J \ θ2 A J \rfz&l / \ С/зЯ / (отношения понимаются в смысле, указанном в примечании). В самом деле, если равенство (1) выполняется, то из теоремы Менелая будет следовать, что прямые В2С2 и В3Сз пересекают сторону B\Ci треугольника ABiCi в одной точке. 430. Проведем через А прямую, параллельную ВС, и обозначим через К и L точки ее пересечения с AiCi и А\В\ соответственно. Имеем: ^- = ^, §^ = ^. А по теореме Чевы (задача 341) ϋΊ3 ' Т^' wi = *> значит> KA = AL. Но, если Α Αι —биссектриса угла KA\L, то, поскольку КА = AL,.AAi перпендикулярна KL, т. е. ΑΑι — высота ДАВС. 431. Пусть К—точка пересечения Α Αχ и RBi, Η—точка пересечения высот треугольника ABC. Точки А, К, Η и В лежат на одной окружности (углы АКБ и АНВ либо равны, Либо в сумме дают 180°, в зависимости от того, как расположены точки if и Я, по одну сторону от прямой АВ или по разные). Радиус этой окружности равен R — радиусу окружности, описанной около ДАВС. Если φ—угол между ΑΑχ и АН, то KH = 2Rshi(p. 432. Пусть Я— точка пересечения высот треугольника ΑχΒχΰχ. Точки Αχ, Я, В\ и С лежат на одной окружности, точки £ь Я, Ci 182
и А — также лежат на одной окружности, причем радиусы этих окружностей равны, углы НВ\С и ΗΒχΑ или равны или дополняют друг друга до 180°. Следовательно, НА—КС. Обратное утверждение неверно. Для каждой точки Αχ на прямой ВС существует, вообще говоря, два треугольника AiBiCi и ΑχΒ[Οχ (Βχ иВ[ —на АС, СхиС[ — на АВ), точки пересечения высот которых совпадают с центром описанной около ААВС окружности, причем один из них подобен ААВС, а другой—нет. Так, например, если ABC—правильный треугольник, -Αι —середина ВС, то в качестве Βχ и С\ можно взять середины АС и АВ, а в качестве В[ и С[ — точки н$ продолжении АС и АВ за, С и В, СВ[ =СВ, ВС[ =ВС. Обратное утверждение будет верным, если потребовать, чтобы точки Αχ,Βχ и С\ были расположены на сторонах ААВС, а не на их продолжениях. 433. Докажем, что центр искомой окружности совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот). Пусть BD — высота, Я^ точка пересечения высот, а К и L—середины построенных отрезков, выходящих из вершины В, BK^BL^l, Μ — середина BD. Тогда 1ГЯ2=1Я2=МЯЧ1ГМ2 = /2~ВМ2+МЯ2=12~^ + (ВЯ~^)2 = =I2 + ВН2—ЯЯ · BD=I2 - ЯЯ · Яр. Нам осталось доказать, что произведения отрезков высот, на которые каждая делится их точкой пересечения, равны: Проведем высоту АЕ. Ввиду подобия АВНЕ и AAS[D имеем: BH-HD = AH-HE, что и требовалось. 434. Обозначим (рис. 28): ВС—а, СА=Ь, АВ=с. Проведем через центр вписанной окружности прямые, параллельные АВ и ВС, до пересечения с АК и КС в точках Ρ и Q; в треугольнике OPQ имеем: ZPOQ = = ΔΑΒΟ, OQ=p-c, OP = p-a, где ρ—полупериметр ААВС. Но по условию ΔΝΒΜ-ΔΑΒΟ, ΝΒ=ρ-α, МВ=р—.с. Следовательно, APOQ = = ANBM. Если на прямой О Ρ взять Μχ так, что ОМ\ = OQ, а на OQ — точку Νχ так, что ΟΝχ = OP, то ΑΟΝχΜχ = ANBM и соответствующие стороны В Μ и ΟΜχ, ΒΝ и ΟΝχ окажутся соответственно параллельными. Значит, ΝχΜχ || ΝΜ. Докажем, что ОК ±ΝχΜχ, так как в четырехугольнике OPKQ два противоположных угла прямые, то он вписанный, следовательйо, ZOKP=£OQP. Далее, ΔΚΟΡ+ΔθΜχΝχ = ΔΚΟΡ+/.Ο0ΐΡ=ΔΚΟΡ+ +Δ0ΚΡ=90°, а это значит, что ΟΚ±ΜχΝχ. 435. Пусть для определенности Ρ лежит на дуге АС. Точки А, Μ, Ρ, Ν лежат на одной окружности, значит, ΖΝΜΡ = Ζ.ΝΑΡ. Анало- Рис. 28 183
Рис. 29 гично, Ρ, Μ, Q, С — на одной окружности, ZPMQ = 180° - ZPCQ = = 180° - ZPAiV = 180° - ZPMN. 436. Пусть ABC—данный треугольник (рйс. 29), Я— точка пересечения его высот. Заметим, что точки, симметричные Я относительно его сторон, лежат на окружности, описанной около треугодь- ника ABC (см. задачу 404). Если Н\—точка, симметричная Я относительно стороны ВС у то прямая ίχ, симметричная I относительно той же стороны, проходит через Н\. При повороте I вокруг Я на угол φ прямая 1\ повернется вокруг Н\ на тот же угол ψ в противоположном направлении. Следовательно, если Ρ— вторая точка пересечения прямой 1\ с описанной окружностью, то радиус ОР {О — центр описанной окружности) повернется на угол 2φ вокруг О в соответствующем направлении. Те же рассуждения справедливы и для двух других прямых, симметричных /. Но если / совпадает с какой-либо высотой треугольника, то утверждение задачи очевидно (точка Ρ совпадает с соответствующей вершиной треугольника). Следовательно, это утверждение справедливо всегда. 437. Пусть точки Л, Я, С и Μ в декартовой системе координат имеют координаты соответственно (zi,yi), (я2>Ы> (жз,2/з)> (я,у), координаты точки G—(*1+*з+ч ^ι+Уа+У?). Тогда справедливость доказываемого утверждения следует из тождества 3 (х — 2i±2ja±2i) = [χ — -xi)2 + (х - Х2)2 + (х -хз)2 - $ ((xi -X2)2 + (Х2 - хз)2 + (хзтхг)2) и аналогичного соотношения для ординат. 438. Рассмотрим случай, когда точка Μ (рис. 30) лежит внутри треугольника ABC. Повернем треугольник АВМ вокруг А на угол 60° так, чтобы В перешла в С. Получим треугольник АМ\СУ равный ААВМ, ΑΑΜΜχ — правильный, следовательно, стороны ACMMi 184
равны отрезкам MA, MB, МС. Аналогично получим точки Мъ и М3. Площадь шестиугольника АМ1СМ3ВМ2 равна удвоенной Мг площади ДАВС, т. е. равна о2\/3/2. С другой стороны, площадь этого шестиугольника складывается из трех правильных треугольников: ΑΜΜχ, СММ3, ВММч и трех треугольников, равных искомому. Следовательно, 3S + (MA2+MB2 + MC2)^=a2^. Воспользовавшись результатом задачи 437, получим: 35 + (ЗЙ2 + а2)^ = а2^, откуда 5 = ^j(a2 - 3d2). Аналогично рассматриваются другие случаи расположения точки М. 439. Воспользуйтесь результатами задач 438 и 303. Искомое геометрическое место, вообще говоря, состоит из прямой и окружности. 440. Пусть (рис. 31, а) О—центр описанной, а J—центр вписанной окружности. Опустим из О и / перпендикуляры на АВ и ВС; ON, OP у IL, IQ. Если о, Ь, с—соответственно длины сторон ВС, С А и АВ, а ρ — полупериметр Δ ABC, то ВК = \с - Ь|, ВМ = |а - Ь|, BN = с/2, ВР = а/2, BL=BQ^p-b,JVL = i|o-b|,PQ = ||c-b| (см. задачу 18). Следовательно, если провести через О прямые, параллельные сторонам АВ и ВС до пересечения с перпендикулярами, опущенными из /, то получится &ORS, подобный АВКМ, с коэффициентом подобия 1/2. Но окружность, построенная на 01 как на диаметре, является Рис. 30 Рис. 31 185
описанной для AORS. Следовательно, радиус окружности, описанной около АВКМ, равен 01. Для доказательства второй части задачи заметим, что если на прямой OS отложить отрезок Οϋι, равный ОД, а на OR отложить отрезок OS\, равный OS, то прямая Si их будет параллельна КМ (рис. 31, б); но ZOR1S1+ZIOR1 =ZORS+HOS=90°, τ: е. SiRilOI. 441. В обозначениях задачи 440 проведем через А прямую, перпендикулярную 01, обозначим через D ее точку пересечения с прямой ВС. Докажите, что разность радиусов окружностей, описанных около треугольников ABD и ACD, равна радиусу окружности, описанной около треугольника ВКМ. 442. Пусть стороны треугольника равны а, Ь и с, причем Ь = (а + +с)/2. а) Из равенства рг = |ЬЛь (р — полупериметр, г — радиус вписанного круга, hb — высота, опущенная на сторону Ь) получаем: |{а + Ь + с) = |ЬЛь; но а + с=2Ь, так что /i6 = 3r. б) Это утверждение следует из того, что г = |/ι&, а точка пересечения медиан делит каждую медиану в отношении 2:1. в) Продолжим биссектрису BD до пересечения с описанной окружностью в точке М. Если доказать, что О — центр вписанной окружности— делит ВМ пополам, то тем самым будет доказано и наше утверждение. (Проведем диаметр ΒΝ, тогда прямая, соединяющая центры вписанной и описанной окружностей, будет параллельна ΝΜ, а ΔΒΜΝ = 90°.) Но АСОМ — равнобедренный, так как АСОМ = ZOCM = \{Δθ + ΔΒ). Значит, СМ = ОМ. Из условия Ь=(а + с)/2 по свойству биссектрисы получаем, что CD = α/2. Пусть if —середина СВ; ACKO = ACDO (CK = CD, ZKCO = ^OCD); отсюда следует: ΔΒΚΟ-ΔΟΌΜ, кроме того, ZDCM = гОВК = ΖΒ/2, CD = BK, т. е. ABKO = ACDM, СМ = ВО, значит, ВО = ОМ, что и требовалось. г) Возьмем любую точку на биссектрисе. Пусть расстояния до сторон ВС и В А равны х, а до стороны АС—у. Имеем: \{ах + сх + by) = ^5Δ =* Ь(2ж + у) = 25Δ =» 2s Η- 2/ = /ι6. д) Если L — середина ΒΑ, то нужный нам четырехугольник гомотетичен четырехугольнику ВСМА с коэффициентом 1/2 (см. пункт в)). 443. Пусть N—точка пересечения общей касательной с ВС. Нам достаточно проверить, что FN · NG = KN · NM = DN · NE. Все отрезки легко вычисляются, поскольку BD = CE = p — b, DE=z\b — c|, ψ% = £ = £■— (га —радиус окружности, касающейся стороны ВО и продолжений сторон АВ и АО), и т. д. 444. Проведем через вершины треугольника ABC прямые, параллельные противоположным сторонам. Они образуют AA\B\Ci, подобный ААВС; он получается из ААВС с помощью гомотетии, центр 186
которой — в общем для A ABC и ΑΑχΒχΟχ центре тяжести, а коэффициент равен —2. Точка пересечения высот для ААВС является центром описанной около ΑΑχΒχΟι окружности. Следовательно, точки О (центр описанной окружности), G (центр тяжести) и Я (точка пересечения вершины ААВС) лежат на одной прямой, причем 0G= \GH, G—на отрезке ОН. 445. В остроугольном треугольнике прямая Эйлера пересекает наибольшую и наименьшую стороны. В тупоугольном—наибольшую и среднюю. 447. Покажите, что требуемым свойством обладает такая точка Ρ на прямой Эйлера, для которой РО^ОН (О—центр описанного круга, Η — точка пересечения высот); при этом для каждого треугольника расстояние от центра тяжести до противоположной вершины исходного треугольника равно |Д, где R—радиус окружности, описайного около ДАВС, а прямая, проходящая через центр тяжести этого треугольника и противоположную вершину исходного, проходит через О. 448. Пусть С\—центр описанной около ААРВ окружности, а Сг —точка, симметричная С\ относительно АВ. Аналогично для треугольников В PC и СРА определим точки Αχ и Лг, В\ и Вг- Поскольку треугольники АС\В, АС^В, ВА\СУ ВАъС, СВ\ Л, СВ^А равнобедренные, с углами при вершинах по 120°, то треугольники А\В\С\ и А2В2С2 — правильные (см. задачу 597). Подсчитав углы четырехугольников с вершинами Р, А^у Вч, Сг, можно доказать, что эти точки (Р, Лг, «Вг, Сч) лежат на одной окружности. Далее, если Η—точка пересечения высот треугольника АР В, то, поскольку РН—С1С2 и, значит, РНСчС\—параллелограмм, прямая С\Н (прямая Эйлера треугольника АР В) проходит через середину РСч- Но РСъ—хорда окружности с центром Си следовательно, С\Н перпендикулярна РС2· Таким образом, три наших прямых Эйлера совпадают с серединными перпендикулярами отрезков РС2> РВ2 и РАг, а поскольку точки Р, Лг, i?2, C2 лежат на одной окружности, то эти прямые пересекаются в ее центре—центре правильного треугольника Лг-ВгСг. Из результата задачи 592 следует, что эти три прямые Эйлера пересекаются в точке пересечения медиан треугольника ABC. 449. Пусть ABC—данный треугольник, стороны которого о, Ь и с, причем а ^ Ь ^ с, Αχ, Βχ, С\ — точками касания вписанной окружности, I—центр вписанной, О—центр описанной окружности. Поскольку / по отношению к AiliBiCi является центром описанной окружности, то достаточно доказать, что прямая 10 проходит через точку пересечения высот АА\В\С\. Отложим на лучах АС и ВС отрезки АК и BL, AK=BL = c, а на лучах АВ и СВ—отрезки AM и C7V, AM = СЛГ = Ь. Как известно (см. задачу 440), прямая 10 перпендикулярна LK и МЛГ, значит, LK\\MN. Обозначим: ΔΚΙιΟ^ΔΒΝΜ^φ. По теореме синусов 1S7
для треугольников KLC и BNM КС~Ь-с~ siny? ' W BN _ а-Ь_ sin(fl-y) МВ~Ь-с~ 8ϊηφ ' (2' Проведем теперь в треугольнике AiBiCi высоту на сторону Bid. Пусть Q — точка ее пересечения с прямой Ю. Нужно доказать, что Q — точка пересечения высот ΑΑχΒχΰχ. Но расстояние от / до B\d есть Ι Αχ cos Αχ = г sin у. Значит, должно выполняться равенство 4iQ = 2rsin^. Углы AQIAx можно выразить через углы А АВС и φ, а именно: ZQIAx = 180° -φ, ZQAxI = ^B^c- Нужно доказать, что 2sin γ = oin/sinLgy <* 8ΐα(φ + С) - sin(B - φ) = siny>. Последнее равенство следует из (1) и (2). 450. При доказательстве используется тот факт, что если из какой-либо точки Ρ опустить перпендикуляры РК и PL на прямые, пересекающиеся в точке М, то Р, К, L и Μ будут лежать на одной окружности*. 451. Воспользуйтесь результатом задачи 246. 453. Расстояние между проекциями Μ на АС и ВС равно CM sin С Если К и L—проекции Μ на АВ и ВС, то проекция АВ на прямую КL (это и есть прямая Симеона) равна AB\cosZBKL\=iAB\cosZBML\ = = ABsinZCBM = CM sin С. 454. Докажите, что стороны треугольников ΑχΒχϋχ, A2B2C2 и А3В3С3 соответственно параллельны. 455. Докажите, что прямая Симеона, соответствующая Αχ, перпендикулярна ВхСх (то же и для других точек). Далее, можно доказать, что прямая Симеона, соответствующая точке Αχ, проходит через середину ΑχΗ, где Η—точка пересечения высот треугольника ABC (см. также решение задачи 463). Следовательно, прямые Симеона являются высотами треугольника, вершины которого—середины отрезков ΑχΗ, ΒχΗ, dH. Замечание. Можно доказать, что для произвольных точек Αχ, Βχ, d прямые Симеона этих точек относительно треугольника ABC образуют треугольник, подобный треугольнику ΑχΒχΰχ, при этом центр описанной около него окружности совпадает с серединой отрезка, соединяющего точки пересечения высот треугольников ABC и ΑχΒχΰχ. 456. Прежде всего нужно проверить справедливости следующего утверждения: если перпендикуляры, восставленные к сторонам (или * Более подробно о семействе прямых Симеона можно прочесть в книге: Н. Б. Васильев,В. Л. Гутенмахер. Прямые и кривые.— М.: Наука, 1978. 188
продолжениям сторон) треугольника в точках пересечения с некоторой прямой пересекаются в одной точке Μ, то Μ лежит на окружности, описанной около треугольника. (Это утверждение является обратным по отношению к утверждению задачи 450.) Рассмотрим параболу у = ах2. Произвольная касательная к ней имеет вид: у = кх + fa (касательная имеет единственную общую точку с параболой, значит, дискриминант уравнения ах2 = кх + Ь равен нулю). Эта касательная пересекает ось χ в точке ж = ^. Перпендикуляром к касательной в этой точке будет прямая у = -£(ж — ^) = — f-Ь^. Следовательно, все такие перпендикуляры проходят через точку (0;^) (фокус параболы). Теперь воспользуемся замечанием, сделанным в начале решения. 457. Пусть ABC— данный треугольник, Η— точка пересечения его высот, Αχ, Βχ, С\—середины отрезков А#, ВН, СН; ААъ— высота, Аз—середина ВС. Будем считать для удобства, что ABC — остроугольный треугольник. Поскольку ZB\A\C\ =ZBAC и ΔΒιΑ2(7ι = АВгНСи то ZBXA2CX = 1ВХНСХ = 180° - ZBiAid, т. е. точки Αχ, Βχ, Αι, С\ лежат на одной окружности. Также легко видеть, что ZBiA3Ci = ZBiHCi = 180°-£BiAiCu т. е. точки Аь Вь А3, Сг тоже лежат на одной (а значит, на той же) окружности. Отсюда следует, что все 9 точек, о которых говорится в условии, лежат на одной окружности. Случай тупоугольного треугольника ABC рассматривается аналогично. Заметим, что окружность девяти точек гомотетична описанной окружности с центром ъ\Н и коэффициентом 1/2 (именно так расположены треугольники ABC и AiBiCi). С другой стороны, окружность девяти точек гомотетична описанной окружности с центром в точке пересечения медиан треугольника ABC и коэффициентом -1/2 (именно так расположены треугольники ABC и треугольник с вершинами в серединах его сторон). 458. Наше утверждение следует из того, что D лежит на окружности девяти точек, а эта окружность гомотетична описанной окружности с центром в Я и коэффициентом 1/2 (см. задачу 457). 459. Наше утверждение следует из того, что Ε лежит на окружности девяти точек, а эта окружность гомотетична описанной окружности с центром в Μ и коэффициентом —1/2 (см. задачу 457). 460. Это расстояние—полусумма расстояний до ВС от точки пересечения высот Η и центра описанного круга, а последнее равно половине НА. 461. Пусть Мо — середина HP, Ао — середина НА, Ао, Αχ и Мо лежат на окружности девяти точек. Следовательно, Μ также лежит на этой окружности, поскольку из условия задачи следует равенство M0H-HM=AqH-HAi и Я одновременно или внутри или вне каждого из отрезков М0М и ΑοΑχ. 462. Докажем, что Μ и N находятся на соответствующих средних линиях треугольника ABC. Если Ρ—середина АВ, то ΔΜΡΑ = 189
=2ΔΑΒΜ=/.ABC=ZAPL. Пусть, для определенности, ABC—остроугольный треугольник, ZC ^ Δ А, тогда ΔΜΝΚ = 180° - ΔΚΝΒ = = /.КСВ = ΔΜΏΚ (воспользовались тем, что точки К, Ν, В и С на одной окружности, а также тем, что ML параллельна ВС). Значит, Μ, L, iV и if на одной окружности. Далее, ΔΏΜΚ=ΔΡΜΒ + ΔΝΜΚ = = |ΖΒ + ΔΒΜΚ = |ΖΒ + Ζ А Если О — центр окружности, описанной около ALMK, то Δ10Κ=2ΔΏΜΚ=ZB+2Z4=180°-ZC+Zi4=180°-- -ZLPif (ZLPUf = ΖAPtf - ΔΑΡΏ = 180° - 2ΔΑ -ΔΒ = Δϋ- ΔΑ), т. е. О лежит на окружности, проходящей через L, Ρ и if, а это и есть окружность девяти точек. 463, Поскольку середина FH лежит на окружности девяти точек (см. задачу 457), то достаточно ιίο- казать, что и прямая Симеона, соответствующая точке F, делит FH пополам. Пусть К—проекция F на какую-либо сторону треугольника, D — основание высоты, проведенной к той же стороне, Ηχ — точка пе- "В ресечения этой высоты с описанной окружностью, ΗχΌ = HD (см. за- Рис. 32 дачу 404, решение), L—точка пере? сечения прямой Симеона с той же высотой и, наконец, Μ — точка на прямой ##ι, для которой FM || KD; тогда AFMHx = AKDL (FM = KD, оба прямоугольные и ΔϋίΚ = ΔΜΗχΡ, поскольку высота треугольника является прямой Симеона, соответствующей вершине, из которой она выходит, и можно воспользоваться утверждением задачи 451). Нетрудно также показать, что направления совпадают, т. е. FKHL — параллелограмм, откуда и следует наше утверждение. 464. На рис. 32 О — центр описанной окружности, Αχ, Βχ, Οχ — середины сторон, L и К — проекции А и В на Ι, Μ — точка пересечения прямых, проходящих через L и К перпендикулярно ВС и С А. Треугольник ABC, для определенности,— остроугольный треугольник. Докажем сначала, что С\ является центром окружности, описанной около AKLM. Точки Αχ, О, К, Сх, В — на одной окружности. Следовательно, ΔΰχΚΏ = ΔΟΑχΟχ = 90° - Δΰ, точно так же ZCiUf = 90° - ZC. Значит, КСх = CXL, ΔΏϋχΚ ** 2ZC, а поскольку ΔΚΜΏ = ZC, наше утверждение доказано. Далее, КМ перпендикулярна АхСх, КСх = СгМ, значит, ΔϋχΜΑχ = ΔϋχΚΑχ = 180° - ΔΒ, то есть Μ лежит на окружности, описанной около ΑχΒχϋχ. 465. Обозначим через Я точку пересечения высот треугольника ABC, а через Αι, Въ, Съ— середины отрезков АН, ВН, СН. Заметим, что треугольники АВхСх, АхВСх, ΑχΒχΰ подобны между собой (соответствующие вершины обозначены одинаковыми буквами), причем Αΐι #2 и Съ— соответственно центры описанных около них ок- 190
ружностей. Докажем сначала следующее утверждение: три прямые, проходящие через точки А2у В2 и С2 и одинаково расположенные относительно треугольников АВ\Си A\BC\, Α\Βχΰχ, пересекаются в одной точке на окружности девяти точек. Заметим, что прямые Α2Βχ, В2В, и С2В1 одинаково расположены относительно треугольников ABiCiy A\BC\ и А\В\С и пересекаются а точке Βχ, лежащей на окружности девяти точек. Поскольку точки А2х В2у С2 лежат на окружности девяти точек, то очевидно, что и три прямые, получающиеся из прямых А2.В1, В2В и С2Вх поворотом на один и тот же угол вокруг точек А2у В2 и С2 соответственно, также будут пересекаться в одной точке, расположенной на окружности девяти точек. Пусть теперь Ρ—точка пересечения прямых Эйлера треугольников ABiCi, A\BC\ и A\BiC. Обозначим: ΔΡΑ2Α = φ. Для удобства будем считать, что треугольник ABC остроугольный, а точка Ρ лежит на дуге ΒχΑ2 окружности девяти точек (рис. 33). Тогда в JRilC BiLfj /φΊΓ\\ </Ы\\ / \У \ b ϊ^τ^ 1 \ci i£"^\ С Рис. 33 ΖΡΑ2Αχ = №ο-φ,ΖΡΑ2Βχ = №ο-φ-ΖΒχΑ2Αχ=№ο-φ-ΖΒχ01Αχ = = 2ΔΟ - φ, ЛРА2Сг = 1§0° - φ + 180° - 2ΔΒ = 360° - φ - 2ΖΒ. Поскольку хорды Ρ Αχ, ΡΒχ и РСх пропорциональны синусам углов, на них опирающихся, то осталось доказать, что из трех величин siny>, sin(2C — φ), — sin(2B-l·^) одна (в нашем случае первая) равна сумме двух других, т. е. siny? = sin(2C — φ) — sin(2B + φ). Но в треугольнике AA2H:AA2 = Ry AHx = 2RcosA (к—радиус описанной окружности, Л cos Л — расстояние от центра описанного круга А2 до Bid), ΔΗχΑΑ2 = ΔΑ + 2ΔΒ-180°. По теореме синусов для ААА2Нг: 191
— ψ) — sin(2B + y>) = siny>, что и требовалось. Таким образом, доказано утверждение в случае остроугольного треугольника. Случай тупоугольного ААВС рассматривается точно так же. 466. Пусть ABC—данный треугольник, Αχ, Βχ, Сх —середины соответствующих сторон. Докажите, что окружность, проходящая, наг пример, через вершину А и удовлетворяющая условию задачи, проходит через точки пересечения внутренней и внешней биссектрисы угла А со средней линией В\С\. Значит, для всех точек Μ этой окружности будет выполняться равенство ΒχΜ :СхМ=ВхА:СхА=Ь:а (см. задачу 306). Таким образом, если Μχ и Μι —точки пересечения двух таг ких окружностей, то ΑχΜχ :ΒχΜχ \C\M\ =а:Ь:с (то же для точки Мг), поэтому Μχ и Мч будут принадлежать третьей окружности. Кроме того, М\ и Мг принадлежат прямой, для всех точек Μ которой выполняется равенство (с2 - Ь2)АгМ2 + (а2 - с?)ВгМ2 + (Ь2 - а2)С\М2 = 0 (см. задачу 311 и ее решение). Эта прямая проходит через Центр описанного около ΑΑχΒχΰχ круга и через точку пересечения его медиан (проверьте это, выразив длины медиан через стороны), т. е. она совпадает с прямой Эйлера ΑΑχΒχΰχ, а, значит, и ААВС. 467. а) Аналогично тому, как это было сделано в задаче 466, можно доказать, что эти три окружности пересекаются в двух точках Μχ и Мг, причем ΑΜχ :ΒΜχ :СМх =Ьс:ас:оЬ (также для М^). б) Следует из а) задачи 311. в) Докажите, что если Μ внутри ААВС, то ΔΑΜχΟ = 60°+ ΔΒ, ΔΒΜχΑ = 60° + Δΰ, ΔΰΜχΒ = 60° + ΔΒ (можно воспользоваться для этого теоремой Бретшнейдера—задача 533). 468. Возьмем на ВС точку Αχ, а на В А точку Сх так, что В Αχ =ΒΑ> ВСх = ВС (ААхВСх симметричен ААВС относительно биссектрисы угла В). Очевидно, В К делит пополам АхСх. Построим два параллелограмма ВАхМСх и BCND (соответствующие стороны параллелограммов параллельны, точки В, К, Ми N — на одной прямой); CN=ΜΑχ$ζ = 2£, следовательно, 4* = 4В=|§£. 469. Имеем (рис. 34) ΔΡΕχΑ = ΔΕΌΡ = ΔΑ\ значцт, AF = EXF, ZFExN = ZFDB = ZC, ZEXFN = ΔΑ. Следовательно, AEXFN подобен ААВС, j$ = ψ$ = ^§, ΔΑΡΝ = 180° - ΔΑ. Теперь можно показать, что AN — симедиана. Для этого рассмотрим параллелограмм АСА\В\ ΑΑχ делит пополам ВС, ААСАх подобен AAFN, значит, ΔΝΑΡ = ΔΑχΑΟ. 470. Окружность Аполлония, проходящая через вершину В треугольника ABC, есть геометрическое место точек Μ, для которых j^£ = 4S (задача 467, решение). Следовательно, если D—точка пересечения этой окружности Аполлония и описанной около ABC окружности, то прямая BD делит АС в отношении f|££ = q%\^ = $В*· 471. Пусть N — точка пересечения BQ и CD, О—центр окружности, R—ее радиус. Заметим, что ΔΝΒΟ]=\ΔΡΜ(). (Если Q на отрезке ΝΒ, то ΔΝΒΰ=90°-Δ<2ΒΡ=90°-±Δ<2θΡ=%ΔΡΜ().) Значит, 192
Рис. 34 треугольники NBC и РОМ прдобны, CN = ВС^ = R$fe = iZff = = \BP=\CD. 472. Пусть Η — точка пересечения высот, О — центр описанного круга, В\ —середина С А. Прямая ΜΝ проходит через середину В Η — точку К', ΒΚ = ΒχΟ. Докажите, что прямая ΜΝ параллельна ОВ (если ZC > ΔΑ, то ΔΜΚΝ = 2ΔΜΒΝ = ZC-ZA = ΔΟΒΗ). 473. Пусть прямая AM вторично пересекает окружность, проходящую через В, С и Μ в точке D. Тогда Z.MDB = ΔΜΒΑ = /.MAC, /MDC = /MBC = /MAB. Следовательно, ABCD—параллелограмм. 474. Из решения задачи 234 следует^что $£ — ж* Можно считать, что I проходит через N. Применим к ΔΝΚΡ теорему синусов. Заменим отношение синусов отношением соответствующих хорд. Будем иметь: дгр _ NK sin ΔΝΚΡ _ NKsin ΔΝΚΜ _ NK дгдт „ _ _ ΝΡ- sinZKPN - sinZKMA -]ШШИТ-Д· 475. Пусть О—центр вписанной окружности, К и L — точки касания со сторонами АС и АВ, прямая* проходящая через N параллельно ВС', пересекает стороны АВ и АС в точках йиМ. Четырехугольник OKMN — вписанный (ΔΟΝΜ = ΔΟΚΜ = 90°); следовательно, Δ0ΜΝ = Δ0ΚΝ, аналогично — /ORN = ZOLN, но ZOLN = ZOKNy значит, ΔθΞΝ = ΔθΜΝ и AORM — равнобедренный, ON — высота; таким образом, RN = NM. 476. Если ВС=а, СА = Ь, АВ = с, то, как известно (см. задачу 18), МС = °+^"-с. Проведем через К прямую, параллельную АС] обозначим ее точки пересечения с АВ и ВС Соответственно чер^з Αχ и С\. Окружность, вписанная в ААВС, является вневписанной (касается А\С\ и продолжений В Αχ и BCi) для ΔΑχΒΟχ. Но AAiBCi подобен ДАВС. Следовательно, окружность, вневписанная в ABC, будет касаться АС в точке N; обозначим точки касания ее с продолжениями 193
ΒΑ и ВС соответственно через Rn L. Имеем: BR = BL= §(а + Ь + с), значит, AN = AR=RB-BA^*&=£ = MC. 477. Проведем через К прямую, параллельную ВС. Обозначим через L и Q точки пересечения касательной в точке Ρ с прямой ВС и построенной прямой, ей параллельной, а через N — точку пересечения АК с ВС. Так как CN = BM (см. задачу 476), то достаточно доказать, что NL = LM\ но PL = LM, значит, нужно доказать, что PL = NL. Поскольку APLN подобен APQK, в котором PQ — QK, то PL = NLhCL = LB. 478. Пусть Μ — точка пересечения прямой LK с АВ. Из подобия треугольников КМВ и Μ LB имеем ВМ2 = ML · МК. Но и AM2=MLMK. 479. Пусть (рис. 35) В — вторая общая точка окружностей, С — Рис. 35 точка на прямой АВ, из которой проведены касательные, и, наконец, К — точка пересечения прямых MN и PQ. Воспользовавшись теоремой синусов и результатом задачи 234, получим: j£j = — РМ sin ΔΡΒΜ _ ВМ "" вт ΔΡΒΜ Ш ~~ sin ΔΒΡΜ Bin ΔΡΒΜ _ ΜΑ - ICB sin ΔΡΒΜ tqvtjw образом, обозначив через α угол ΔΑΜΒ, а через /3—угол ΑΡΒ (α и /3 постоянны), получим: ^ = y§f · ^пд - Аналогично найдем: щ} = у %в · sn^a+Ж· **° по теореме Менелая (см. задачу 342) ^$$ = 1. Значит, Qtf/*P=1. 480. Проведем через Μ прямую, параллельную АС, до пересечения в точках Αχ и С\ с прямыми .В А и ВС. Имеем: ΖΑιίίΜ = 90ο — -ZJ3UCM=90° - ΔΚΒΌ=ZB AD=Zif ΑχΜ; следовательно, Δ# Μ Αχ — 194
равнобедренный и ΑχΜ = АЖ. Аналогично МС\ — ML; но KM—ML, значит, А\М = MCi, т. е. прямая ВМ делит АС пополам. 481. Пусть Μ — точка пересечения ND и АВ, а Ρ—точка пересечения касательных к окружности в точках А и D. Поскольку прямые NC, AB и PD параллельны, то из подобия соответствующих треугольников получим: AM = DP AN NP' (1) MB MD АР %rn KT„AP T777 = Т7=Г = Т77Г, MB = JVC-rrzr J JVC iVD JVP' NP (2) но DP = AP, NC = AN. Следовательно, правые части выражений (1) и (2) равны, т. е. АМ=МВ. 482. Будем считать, что D — середина СВ и AD пересекает вторично окружность в точке К. Докажем, что касательные к окружности в точках В и С пересекаются на прямой МК. Рассмотрим четырехугольник СМВК. Для того чтобы касательные к окружности в точках С и В пересекались на диагонали МК, необходимо и достаточно (см. задачу 234), чтобы ^ = ^; но £М rs^rsgS — ^zr^s: Mjlm (в первом и последнем равенстве использовалось то, что СМ = АВ, АС = MB ввиду параллельности AM и СВ, во втором и четвертом—подобия AABD и ACDK, AADC и AKDB, в третьем—то, что AD — медиана.) 483. Пусть О — центр окружности, Νχ, Μχ, Р\, R\—точки, симметричные точкам Ν, Μ, Ρ, R соответственно относительно прямой О А, К — точка пересечения прямых N\R\ и QS. Нужно доказать, что точки ϋι, S и К совпадают. Точки N\, M\ и В лежат на одной прямой, симметричной прямой NMC; Νχ, Р\ и R\ — также на одной прямой, симметричной прямой NPR (рис. 36). Точки В, Νχ, Q и В К лежат на одной окружности, так как ΔΒΝχΚ = ΔΜχΝχΡχ = ΔΜΝΡ = = ZPQM = ZBQK. Точки В, Nu Q и R\—также на одной окружности, поскольку /*N\R\B = ΔΝ\Ρ\Ρ= = ZJViQP = ZJViQB. Следовательно, пять точек В, N\,Q,R\,K—на одной окружности; но точки N\, R\ и К — на одной прямой, значит, Ri и К сливаются. 484. Ограничимся случаем, когда ABC — остроугольный треугольник. Рассмотрим параллелограмм ΑχΜΟΝ (Μ и N на А\В\ и Рис. 36 195
A\Ci). Поскольку A\0 образует с А\С\ и А\В\ углы (90^- ΔΒ) и (90°-ZC), то ΑχΜ _ ΑχΜ _ cosB _ i4iL ~Ajf~ll0~7^~JJC' 485. Утверждения задачи следуют из факта: если на каждой стороне треугольника построить окружности таким образом, что сумма угловых величин их дуг (расположенных по ту же сторону, что и треугольник), равна 2π, то эти окружности имеют общую точку. 486. Возьмем точки Е\ и Fi, симметричные точкам Ε и F относительно АВ. После этого задача сводится к частному случаю задачи 483. 487. Возьмем на продолжении АС за точку С точку Μ так, что СМ = СВ; тогда Ε — центр окружности, описанной около АМВ (АЕ = ВЕ, ΔΑΕΒ = Z.ACB = 2ΔΑΜΒ). Из этого следует, что F — середина AMу a DF делит периметр ААВС пополам. Кроме того, DF параллельна ВМ, а ВМ параллельна биссектрисе угла С треугольника ABC\ т. е. DF—биссектриса угла D треугольника DKL, где К и L—середины АС и СВ. 488. Пусть прямая пересекает стороны АС и АВ треугольника ABC в точках Μ и N. Обозначим: АМ + AN=2L Радиус окружности с центром на МЛГ, касающейся АС ιί АВ> равен £шд., а по условию samn = sabg = г, где ρ и г — соответственно полупериметр и радиус вписанной окружности ААВС. 489. Докажем, что при гомотетии с центром в Μ и коэффициентом —1/2 точка N переходит в / (очевидно, что при этой гомотетии / переходит в S). Пусть ABC—данный треугольник, Ао, Во и Со— соответственно середины сторон ВС> С А и АВ, А\ — точка на стороне ВС такая, что АА\ делит периметр пополам. Легко видеть, что А\ —точка касания со стороной ВС вневписанной окружности, касающейся также продолжений АВ и АС, Аъ—точка касания вписанной окружности со стороной ВС. Имеем: ВА2 = СА\. Восставим к ВС в точке Α<ι перпендикуляр, обозначим через D точку его пересечения с АА\. Повторяя рассуждения, проведенные в решении задачи 476, докажем, что A2l = ID. Следовательно, прямая А$1 параллельна Α Αχ. Бели сделать гомотетию, о которой говорилось в начале, то прямая АА\ перейдет в прямую AqI. Точно так же другие две прямые, делящие пополам периметр, перейдут соответственно в BqI и CqI. Значит, все эти три прямые пересекаются в такой точке ΛΓ, которая переходит в / при этой гомотетии. Из этого следует утверждение задачи. 490. а) Воспользовавшись для правой части формулами г = ~, Д= £££, 5 = у/р(р — о)(р — Ь)(р — с), где S — площадь треугольника ABC, легко докажем требуемое соотношение. б) Воспользуйтесь формулой Лейбница (задача 437), взяв в качестве Μ центр описанного круга. 196
в) Воспользуйтесь формулой Лейбница (задача 437), взяв в качестве Μ центр вписанного круга. Для вычисления, например, Μ А2 опустим перпендикуляр МК на АВ\ имеем: МК = г, АК=р — о; значит, AM2 = (ρ — о)2 +г*. Аналогично вычисляются MB2 и МС2. При упрощении правой части воспользуйтесь результатом пункта а). г) Пусть Μ — точка пересечения биссектрисы угла В с описанной окружностью. Если 10 = d, то BI · IM = R2 — сР. Треугольник ICM равнобедренный (Ш = СМ), так как LCIM = \{ΔΒ + Δΰ) и Z/CM=|(ZB + ZC). Следовательно, R2-<P = BIIM = BI CM = -^2usin5 = 2iir. sinf 2 д) Доказывается аналогично пункту г). е) Расстояние между проекциями / и 1а на АС равно α Возьмем точку К так, что ЛГ || АСУ IaK JL АС В прямоугольном треугольнике 1К1а имеем: ΖΚ7/α = |ζΑ, IK = a, IaK = ra — r. Таким образом, 491. Проведем через О прямые, параллельные АВ и АС, и обозначим через L и К точки пересечения этих прямых с перпендикулярами, опущенными из 1а соответственно на АВ и АС. Докажем подобие треугольников АВ\С\ и OLK. Имеем: /.ΒχΑΟχ = Z.LOK, АВг = Jfe, ACi = ,£, OL =p- f = |(α + 6), ΟίΓ = ρ- f = J(o + c); таким образом, ^> = |£ί — _2Ьс^ Но QIa—диаметр окружности, описанной около AOLK* Следовательно, В\С\ = (c+%\(b+a)LK = =j?+^oiasmA=(;+j;fca)R.oia. 493. Докажите, что площадь Qa треугольника с вершинами в точках касания вневписанной окружности с центром 1а можно вычислить S2 по формуле Qa = Sabc$r = 2Rtp-a) > гДе все обозначения те же, что и в задаче 490. Аналогичные формулы могут быть получены для площадей других треугольников. (См. решение задачи 240.) 494. Пусть О — центр описанной около ААВС окружности, В\ — середина АС, N — точка касания с АС вписанной окружности; тогда AN = p-a, CN = p-c (см. задачу 18), ON2 = ОВ\ +ΒχΝ2 = = A02-ABt + B1N2 = R2-£ + (p-a-%)2=R2-(p-a)(p-c). Аналогично определив квадраты расстояний до других точек касания и сложив их, получим, что искомая сумма равна ЗЯ2 — (ρ —α)(ρ —с) — - (р — с) (р — Ь) — (р — Ь) (р — о) = ЗЛ2 - М. Воспользовавшись для площади треугольника формулой Герона и формулами 5 = рг, 5 = ^f, получим г2 = (Р~°)(р~6)(Р"-с) ^ 4Лг = ^. Сложив последние равенства и воспользовавшись тождеством (р — а) (р—Ъ) (р — с) + аЬс=р((р — о) (р — -Ь) + (р - Ь)(р - с) + (р - с)(р - а)) = рМу найдем, что Μ = 4Rr + г2. Ответ: ЗД2-4Дг-г2. 197
495. Произведение длин отрезков от вершины А треугольника ABC до точек пересечения стороны АВ с данной окружностью будет равно такому же произведению для сторона АС. Каждый из этих отрезков легко выразить через стороны треугольника и рассматриваемые хорды. Таким образом получим систему из трех уравнений, позволяющую выразить хорды через стороны треугольника. Чтобы избежать перебора вариантов, удобно выбрать какое-то направление обхода треугольника и считать отрезки направленными, а их длины— произвольными действительными числами. 496. Пусть KinLi— такие точки на ВС и В А, что КгК \\ LiL\\ ВгВ. Достаточно доказать, что треугольники ВК\К и BL\L подобны, т. е. Ш = Ш' Имеек Ш = !£' Ы = 1£> и по свойству биссектрисы (задача9) j^ = f$-f£ = ^ ражение симметрично относительно α и с, а значит, оно равно также ■fern. Пусть Z.KAL = /.KLA = ip, ZKCL = /.LKC=il>. Тогда /BKL = = 2φ, Z.BLK = 2ф, 2<p + 2^ = 180° - ΖΒ. Если Q —*очка пересечения AL и КС, то Z.AQC = 180° - (φ + ψ) = 90° + \δΒ. Проведем через Μ прямую, параллельную ВС, до пересечения с КС в точке Ν, тогда MQ—биссектриса угла AMN и Z.AQN = 90° + \£В. Отсюда следует, что Q — точка пересечения биссектрис треугольника AMN (см. задачу 46); значит, ΔΑΜΝ подобен AKBL, а ΔΚΜΝ подобен АКВС. Пусть AK = KL = LC = x, АМ = у, MN = z. Тогда £; = £;, f=f = f, откуда 2/ = о. 498. Пусть βχ — середина ЛС. Продолжим биссектрису до пересечения в точке В2 с перпендикуляром, восставленным к АС в точке В\. Точка В2 лежит на описанной окружности. Проведем через Μ перпендикуляр к АС; пусть L — точка его пересечение ~с АС, К — с ВВ\, тогда KM = ML. Проведем через К прямую, параллельную АС у пересекающую АВ и ВС соответственно в точках D и Е. Если G и F — проекции D и Ε соответственно на АС, то Μ—центр прямоугольника GDEF, причем ΔΌΜΕ подобен ААВ^С (ADME получается из ААВ2С при гомотетии с центром в В). Имеем: ctgZMCL=jfe = jfr + £g = 4|l + 2f£ = ctgf + 2ctgC. Если теперь В'—основание биссектрисы, Ρ и Τ—проекции N и В* соответственно на ВС, TOctgZJV(7B = ^ = ^-f^ = f£ + 2|^=ctgf + 2ctgC,,T,e. ZMCA = ZiVCB. 499. а) Эта известная задача имеет много различных доказательств. Приведем одно из них, основанное на следующем признаке равенства .треугольников. Два треугольника равны, если они имеют соответственно равные стороны, противолежащие углы и биссектрисы этих углов. Докажем этот признак. Рассмотрим два треугольника АСВ и АСВ\, в которых ΔΒ = ΔΒ\ {В и В\ по одну сторону от АС). Эти треугольники имеют общую описанную окружность. Можно счи- 198
тать, что В и В\ лежат по одну сторону от диаметра этой окружности, перпендикулярного АС. Пусть биссектриса угла В пересекает АС в точке Д а биссектриса угла В\—в точке D\, Μ — середина АС, N — середина дуги АС, не содержащей точек В и В\. Точки В, D и N — на одной прямой, точки В\, D\ и N — также. Пусть В и В\ не совпадают, а, значит, не совпадают также D и D\. Предположим, что MD > MD\\ тогда BN < ΒχΝ, DN > D\N. Следовательно, B\D\ = ΒχΝ - ND\ > BN - ND = BD — противоречие. Пусть теперь в Δ ABC биссектриса ΑΑχ равна биссектрисе СС\. Применим только что доказанный признак к треугольникам ΒΑΑχ и ВСС\. б) Если обе внешние биссектрисы углов Л и С треугольника ABC расположены внутри угла В, то доказательство можно провести точно так же, как и в пункте а). Пусть эти биссектрисы расположены вне угла В. Будем считать, что ВС>ВА. Возьмем на СВ точку В\ так, что СВ\ = АВ\. Обозначим ΔΒχΑΰ' = ZBCi4 = a, ΖΒχΑΒ = φ, L—точка пересечения внешней биссектрисы угла С с АВ, Μ—точка пересечения внешней биссектрисы угла А с СВ. Остальные обозначения понятны из рис. 37. По условию Рис. 37 CL=AM, кроме того, CL\ =ΑΜχ, так как АВ\АС—равнобедренный, СМ{ = AM, поскольку ACLiM[ = ΔΑΜιΜ. Далее СМ[' > СМ{, так как ZM['M[C>£M{CA>90°. С другой стороны, точки С, A, L и М[* лежат на одной окружности, в которой острый угол, опирающийся на LC (ZLAC) больше острого угла, опирающегося на М"С. Значит, AM = СМ[ < СМ{' < CL. Противоречие. 199
В общем случае из равенства внешних биссектрис не следует равнобедренность треугольника. В задаче 256 дается пример такого треугольника. 500. Пусть ABC—данный треугольник, AAi, ВВ\У СС\ — биссектрисы. Если ΑχΒχ =A\Ci, то или ΔΑχΒχΟ = ΖΑχΟχΒ (в этом случае ААВС будет равнобедренным) или ΔΑχΒχΟ+ΖΑχΟχΒ = 180°'. Во втором случае повернем ΔΑχΒχΟ вокруг точки Αχ на угол ΒχΑχΟχ. В результате треугольники ΑχΟχΒ и ΑχΒχΟ окажутся приложенными друг к другу и образуют треугольник, подобный ААВС. Если стороны ААВС есть о, 6 и с, то стороны получившегося треугольника будут равны ^£-, ^ и ^ + ^. Учитывая их подобие, получим: ^ α + Ь а + с Ь + с (1) ^ Ь3 + с3 - о3 + Ь2с+Ь2а + с2Ь + с^а - а2Ь - а2с + обе = 0. Обозначим: cos/.ВАС = ж. По теореме косинусов Ь2 + с2 — а2 = 2Ьсж. Умножая последнее равенство последовательно на о, Ь и с и вычитая из (1), получим 2ж(о + Ь + с) + а=0^о = —^ f-. 2х +1 Поскольку 0 < о < Ь + с, то --<ж<0. (2) Заменив в теореме косинусов а через Ь, с и ж и обозначив Ь/с = А, получим для λ уравнение (4а: + 1)λ2 — 2А(4ж3 + 8х2 + х) + Ах +1 = 0. Для того чтобы это уравнение при условиях (2) имело решение (Л>0, \ф 1), должны выполняться неравенства 4ж3 + 8ж2 + д:>0, (3) 70 = (4ж3 + 8я2 + ж)2 - (4* +1)2 = 4 (4) = (2ж + 1)2(д: + 1)(2ж-1)(2ж2 + 5д: + 1)>0, где J3 — дискриминант квадратного уравнения. Система неравенств (2), (3), (4) удовлетворяется при —\<х< ν^~5. Таким образом, исходный треугольник — не обязательно равнобедренный. Однако доказано, что это может иметь место только в том случае, когда один из углов исходного треугольника тупой и его косинус находится в интервале (—|, 4~5)> что соответствует 200
углу приблизительно от 102°40' до 104°28'. Если х = -1, построенный треугольник будет вырождаться, при χ = у^\"ь будем иметь Zi4iSiC=Zi4i(7iB = 90o, т. е. два случая, которые выделены в начале решения, для этого значения угла совпадают. 501. Пусть Μ—точка пересечения AD и KL: KM Sard ^AKADsmZKAD .^AKCD ML "" Sald "" \DLADsm£ADL "" DL-AF' (Использовано то, что синусы вписанных углов пропорциональны хордам.) Аналогично, если М\ —точка пересечения BE и KL, то получим: Щ; = jM§- Но из подобия AAKF и АВКС, ACLD и AFLE имеем: ^ = §|т, §Г ^ Г§» перемножив эти· равенства, получим, что ΉΖ = Й' т. е. Μ и М\ совпадают. Замечание. Можно показать, что утверждение задачи сохраняется, если А, Ву С, Д Ε и F—произвольные шесть точек на окружности. Обычно теорема Паскаля формулируется следующим образом: если А, В, С, D, 2?, F — точки на окружности, то три точки, в которых пересекаются прямые АВ и DE, ВС и EF, CD и FA, лежат на одной прямой. 502· Пусть N — точка пересечения прямой А^А\ с окружностью, отличная от Аъ. Применим к шестиугольнику ABCC2NA2 (возможно самопересекающемуся) теорему Паскаля (задача 501). Точки пересечения прямых АВ и C2-/V, ВС и NA2 (точка Αχ), ССч и АА^ (точка М) лежат на одной прямой. Следовательно, АВ и C2N пересекаются в точке С\. 503· Пусть данные взаимно перпендикулярные прямые—оси χ и у прямоугольной системы координаъ Тогда высоты треугольника лежат на прямых у = k{X (i = 1,2,3); стороны треугольника при этом должны иметь угловые коэффициенты -^, а из условия принадлежности вершин {х%уУг) высотам находим отношения свободных членов Ci в уравнениях сторон Лэд + ж = с<: с\ = fci2/3+a3, C2 = къЦз + хь, 2/з = кзХз =► Ц· = klks+i> и т* п* ^Ри п°Дх°ДЯ1Дем выборе единицы длины можно взять С{ = к+кТ, где к = kifaks. Точки пересечения прямой hy + χ = ■%$- с осями: (о,]^) и (j-jifc»0)» середина (Р<) отрезка между ними— f 2(k+ki) * 2(к+кЛ )' Углов°й коэффициент прямой Р1Р2 —j. Точно такими же будут угловые коэффициенты прямых Р2Р3 и РзРь Поэтому точки Ρι, Ρ2, ^з лежат на одной прямой (ее уравнение: ку + х = 1/2). Замечание. Соединив прямыми точку Η пересечения высот треугольника с точками Ρχ, Р2, Р3, получаем любопытное следствие. 201
Пусть αϊ, с*2, аз —углы треугольника, перечисленные против часовой стрелки, οχ, θ2, Оз — прямые,, на которых лежат πpoτивoπqлoжныe им стороны; через точку Я проходят три.прямые pi, Р2» Рз так, что углы между Р2 и рз, Рз и pi, pi и р2 (отсчитываемые против часовой стрелки) равны соответственно αϊ, α2, α3. Тогда точки пересечения pi с αχ, рг с θ2, рз с оз лежат на одной прямой. Предлагаем читателю рассмотреть частные случаи этой теоремы (многие из них—красивые и далеко не очевидные геометрические факты) и сопоставить ее с задачей. Еще одно замечание: в нашей задаче вместо середин отрезков, высекаемых на сторонах треугольника, можно было брать точки, делящие их в одинаковых отношениях. Эти точки также окажутся на одной прямой. 504. Для определения углов треугольника А\В\С\ воспользуйтесь тем, что точки Ρ, Α\, Βχ, С\ лежат на одной окружности (так же для других четверок точек). Если Ρ внутри треугольника ABC, то £А\С\В\ ^ΔΑιΟιΒϊ = ΔΑΡΒ - ZACB. Для разностороннего треугольника ABC существует восемь различных точек Ρ таких, что соответствующие треугольники А\В\С\ и А2В2С2 подобны треугольнику ABC (при этом треугольник А2В2С2 ему равен). Причем шесть точек лежат внутри описанной около треугольника ABC окружности, а две—вне ее. 505. Рассматриваемые прямые являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника A\B\Ci. 506. Обозначения: ABC—данный треугольник, Μ—точка, находящаяся на расстоянии d от центра описанной около ABC окружности, Лх, Βχ, Сх —основания перпендикуляров, опущенных из Μ на ВС, С А, АВ, А2,В2, Сг—точки пересечения соответственно AM, Β Μ, СМ с описанной около ААВС окружностью, о, Ь, с—стороны ААВС, οχ, 6χ, сх, θ2, i>2, C2 — стороны соответственно треугольников А\В\С\ и А2В2С2, 5, 5χ и 52—соответственно площади этих треугольников. Имеем 0x = i4Msin;4 = j4M—. (1) Аналогично находятся Ь\ и с\. Из подобия треугольников В2МС2 и ВМС получим: θ2 _ В2М _ С2М . Т~"СЙГ"" ~ВМ' 1 ' Аналогичные отношения будут для ^ и ^. Треугольники ΑχΒχ(7χ и Л2В2С2 подобны (см. задачу 504); кроме того, Учитывая все это, имеем: S\ 5χ S>2 Οχ&ι θ2&2^2 _ Oi&iC2 S S2 S θ2&2 obc 06c 202
AM BM Α<ιΜ 1 ._. . m. 1 ,„o ,o. (Во втором равенстве использовалось подобие АА\В\С\ и Д^-ВгСг и равенство (3), в четвертом—равенства (1) и (2) или их аналоги.) Замечание. При d = ii площадь треугольника, образованного основаниями перпендикуляров, оказывается равной нулю, т. е. эти основания расположёны на одной прямой. Прямая эта называется прямой Симеона (см. задачу 450). 507. Утверждение следует из более общего факта: если на сторонах треугольника построены окружности таким образом, что их дуги, расположенные вне треугольника, в сумме измеряются 4π или 2π, то эти окружности имеют общую точку (в нашем случае в качестве такого треугольника можно взять треугольник с вершинами в серединах ААВС и доказать, что три окружности, проходящие через середины АВ, АС и AD\ ΒΑ, ВС и BD\ СА, СВ и CD, имеют общую точку). 508. Утверждение вытекает из следующего факта. Пусть произвольная окружность пересекает стороны угла с вершиной N в точках Л, В и С, D; перпендикуляры, восставленные к сторонам угла в точках А и Dy пересекаются в точке К, а перпендикуляры, восставленные в точках В и Су пересекаются в точке L. Тогда прямые NK и NL симметричны относительно биссектрисы этого угла. В самом деле, ΔΑΝΚ^ΔΑΌΚ (точки А, К, D и N — на одной окружности). Точно так же £LNC = Z.LBC. Затем Z.ADK = 90° - ΔΑΌΝ = 90° - ZNBC = = ZLBC. (Предполагалось, что ABCD — несамопересекающийся четырехугольник .) 509. Пусть А, Ву Су D — данные точки, D\—точка пересечения прямых, симметричных прямым AD, BD и CD относительно соответствующих биссектрис ААВС. В предыдущей задаче было доказано, что педальные окружности точек D и Ό\ относительно ААВС совпадают. Пусть прямые, симметричные прямым ВАу С А и DA относительно соответствующих биссектрис ABCD у пересекаются в точке Αχ. Нетрудно доказать, что А\ и D\ симметричны друг другу относительно прямой СВ. Следовательно, педальные окружности точек D (или D\) относительно ААВС и А (или Αχ) относительно ABCD проходят через середину D\A\. Определив аналогично точки В\ и С\, увидим, что каждая из рассматриваемых.педальных окружностей проходит через середины соответствующих отрезков, соединяющих точки А\у В\у С\ и D\. Таким образом, задача свелась к задаче 507. 510. Пусть Въ и Сг —точки, диаметрально противоположные точкам В и С, Μ — вторая точка пересечения В2В\ с описанной около ААВС окружностью, С[ —точка пересечения АВ и С2М. По теореме Паскаля (задача 501), примененной к шестиугольнику АВ2СМВС2, точки О (центр окружности), В\ и С[ лежат на одной прямой, т. е. С[ совпадает с Сг. Но ΔΒΜΒχ =ΔΒΜΒ2 =90°, ZCMCi =ZCMC2 =90°; значит, М — одна из точек пересечения окружностей с диаметрами ВВ\ и СС\. Пусть N — вторая точка пересечения этих окружностей. 203
Их общая хорда MN содержит точку пересечения высот треугольника ABC— точку Я (задача 316). Если ВВ0 — высота Δ ABC, то МННВ=ВННВо. Значит (см. задачу 461), N лежит на окружности девяти точек ААВС. 515. Пусть радиус окружности равен г, а углы между соседними радиусами, проведенными в точке касания, в порядке обхода равны 2а, 2/9, 2% 2δ (а + /? + 7 + *=я0· Тогда S = r2(tga + tg/3 + tg7 + tgi). (1) Стороны четырехугольника будут равны (найдем одну) r(tga+tg/3) = =гсо8(аас^ и т·д· Поскольку sin(a+/3)=sin(7-fi), sin(/3+7)=sin(a+6), то формула, данная в условии, приводится к виду л sin(a 4- β) sin(/9 4- 7) sin(7 + α) ,ολ o=r - - . (г) cos a cos β cos 7 cos d Осталось доказать равенство правых частей (1) и (2) при условии, что α + /3 + 7 + £ = π· Второе решение. Пусть a—угол между соседними сторонами а и Ь, /?—угол между сторонами с и d, a 4-/3 = 2у>. По теореме косинусов о2 4- Ь2 - 2abcosa = с2 4- d2 - 2cdcos/3 или (о - Ь)2 4- 2оЬ - 2obcosa = (с - —d)2 4- 2cd - 2cdcos/3. Но о - Ь = с — d, значит, об - cd=abcosa - cdsin/3. (1) Кроме того, 2S = absina4-cdsin£. (1) Возводя равенства (1) и (2) в квадрат и складывая их, получим 45?4-(ab~cd)2 = (obcosa-cdcos/3)^4-(obsina4-cdsin^)2, откуда 252 = = obcd(l - cos(a 4- β)) = 2obcdsin2 φ. 516. Докажем, что Sbna'= Sbmc + Samd- Если ^ = Щ = λ, то Sbmc = (1 - А)5влс, Samd = ^Sbad- С другой стороны, обозначив через /ΐχ, hi и ft расстояния от D, С и ЛГ до АВ, найдем что ft = Afti 4- (1 - A)ft2. Следовательно, 5лвлг = \АВ · ft = \\ABh\ 4- (1 - -λ) £ ABft2 = XSabd + (1 - А)5влс = SUmd + «Sbmc- 518. Углы между сторонами, а также между сторонами и диагоналями четырехугольника Qi выражаются через углы между сторонами, а также между сторонами и диагоналями четырехугольника Q\. (Диагонали четырехугольника Qi перпендикулярны соответствующим диагоналям четырехугольника Q\ и проходят через их середины.) 519. Рассмотрите параллелограммы АВМК и DCML и докажите, что KL делит DA в том йсе отношении, что и точка JV, а прямая MN является биссектрисой угла KML. 204
520. Докажем сначала, ч^о диагонали данного четырехугольника делятся в точке пересечения пополам, т. е. что четырехугольник—параллелограмм. Пусть ABCD—данный четырехугольник, О — точка пересечения диагоналей. Допустим, что ВО < OD, АО < ОС; рассмотрим ΑΟΑχΒι, симметричный АОАВ относительно точки О; очевидно, радиус окружности, вписанной в ΑΟΑχΒχ, меньше радиуса окружности, вписанной в AOCD, а по условию они равны. Итак, О — середина обеих диагоналей. Докажем, что все стороны четырехугольника равны. Воспользуемся формулой S =рг (5 — площадь, ρ— полупериметр, г—радиус вписанной окружности треугольника). Поскольку у ААВО и АВОС площади и радиусы вписанных окружностей равны, то равны и их периметры, т. е. АВ=ВС. 521. Аналогично тому, как это было сделано в предыдущей задаче, докажите, что диагонали четырехугольника дедятся пополам точкой пересечения. 522. Из условия задачи следует, что ABCD (рис. 38) — выпуклый четырехугольник. Рассмотрим параллелограмм АСС\А\У у которого стороны АА\ и СС\ равны и параллельны диагонали BD. Треугольники ADA\, CDC\ и C\DA\ равны соответственно треугольникам ABD, BCD и ABC. Следовательно, отрезки, соединяющие D с вершинами Л, С, С\, А\> делят па- Рис. 38 раллелограмм на четыре треугольника, у которых равны радиусы вписанных окружностей. Если О — точка пересечения диагоналей параллелограмма АСС\А\^ то D должна совпадать с О (если J3, например, внутри АСОСг, то радиус окружности, вписанной в AADAi, больше радиуса окружности, вписанной в А АО Αχ и тем более в ACDC\). Таким образом, ABCD—параллелограмм, но, кроме того, из задачи 520 следует, что АСС\А\ — ромб, т. е. ABCD — прямоугольник. 523. Необходимым и достаточным условием выполнения всех четырех пунктов является равенство АВ · CD = AD · ВС. Для пунктов а) и б) это следует из теоремы о биссектрисе внутреннего угла треугольника, для пунктов в) иг)—из результата задачи 234. 524. Пусть ABCD—данный четырехугольник. Будем считать, что углы А и D—тупые, В и С—острые. Обозначим основания перпендикуляров, опущенных из вершины Л, через Μ и iV, а из вершины С — через К и L (рис. 39, a), R—точка пересечения MN и LK. Заметим, что А, К, N, С, L, Μ лежат на одной окружности с диаметром АС. Покажем, что МК || LN: ZMKL=ZMAL=90° - ΔΒ = ПССВ = tfCLN. Ta- vwu лЛпоол», MR — МК — sinZMCK _ sin(ZC+ZB-90°) _ cos{ZA-ZB) ким образом, w - ш - BinZLAN - βϊώ\ζα+Ζβ-9οο) - sMZa+Zb-w*)· Пусть теперь Р и Q — основания перпендикуляров, опущенных из 205
α) б) Рис. 39 вершины В, а 5 — точка пересечения ΜΝ и PQ (рис. 39, б). Так как ΔΡΝΒ = ΔΡΑΒ = ZC, то PN || DC, т. е. MQNP — трапеция (ANBP—вписанный четырехугольник с диаметром АВ). Таким обра- ОЛЖЖ MS _ MQ _ i4Bcos(Zi4+ZD--180o) _ cos(Zi4-ZB) /Ά* „Λ„ΛΤ„„Λ зом, w = ^ = ^J(^b7^|,qo,/ = sin(^+%~90o)' (Мы использовали то, что MQ—проекция АВ на DC; угол между АВ и DC равен ΔΑ+ΔΌ -180°.) Итак, точки Л и 5 делят ΜΝ в одном и том же отношении, т. е. они совпадают; значит, три прямые пересекаются в одной точке. Легко теперь показать, что все четыре прямые пересекаются в этой же точке. 525. Найдем, в каком отношении ВС делит ΜΝ. Это отношение равно отношению |мс?д = ^ncobZcba· Аналогично, отношение, в котором AD делит MN, равно $£™lzadc · ^° эти отношения равны, так как ZBCD = ZBAD, £CBA = ACDA, a AAMC подобен ADNB. 526. Возьмем точку М\ так, что ВСММ\—параллелограмм. М\ лежит на окружности, проходящей через точки В, Μ и А. Поскольку АМ\ =DM (ADMMi—также параллелограмм), треугольники CDM и ΒΑΜχ равны, т. е. радиус окружности, описанной около ACDM, равен R. Таким же будет радиус окружности, описанной около AADM. 527. Обозначим через К и L точки касания данной окружности с прямыми АВ и AD. Пусть для определенности К и L внутри отрезков АВ и AD. Возьмем на прямой СВ точку Ρ так, что ВР=ВК, В между Ρ и С, а на прямой CD точку Q, DQ = DLy D между С и Q. Имеем: CP=CB+BK=CB+AB-AK=CQ. Окружность, проходящая через Ρ и Q и касающаяся прямых СВ и CD, пересечет BD в таких точках М\ и JNTi, для которых будут выполняться равенства ВМ\ -ΒΝχ =ΒΜ -ΒΝ\ CN\ · СМ\ = CN · СМ. Из этих равенств можно получить, что М\ и Νχ должны совпасть с Μ и N. Аналогично рассматриваются другие случаи расположения точек. Можно избежать перебора вариантов, 206
задав на прямых АВ, ВС, CD и DA положительные направления и рассматривая направленные отрезки на этих прямых. 528. Для определенности будем считать, что В и D внутри окружности. Обозначим через Ρ и Q точки пересечения прямой BD с окружностью (Р—ближайшая к В), а через L — точку пересечения СВ с окружностью, I—касательная к окружности, проходящая через С. Рассмотрим треугольник PCN, из вершин которого выходят прямые PQ, NM и Ζ. С помощью теоремы Чевы (задача 341), рассуждая так же, как в задаче 346, получим, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы прямые PQ, NM и I пересекались в одной точке, является выполнение равенства РМ CQ Ж7 MCQN СР К) С другой стороны, в шестиугольнике ALPMCQ диагонали AM, LC, PQ пересекаются в одной точке. Значит, (см. задачу 346) ALPMCQ = LPMCQA. (2) Очевидно, NC = AL, QN = LP, CP = QA. Таким образом, из справедливости равенства (2) следует справедливость равенства (1). 529. 1. Поскольку Οχ—центр окружности, вписанной в треугольник ABC, то ΔΒΟχΑ = 90° + \lBCA (задача 46). Значит, ΔΒΟχΑ = ΔΒΟ±Α и четырехугольник ΑΒΟχΟ^ является вдисанным (рис. 40, а), следовательно, смежный угол с ΔΒΟχΟ± равен ΔΒΑΟ± = Рис. 40 = \ZJBAD. Аналогично, угол, смежный с /.ВО\Оъ, равен \lBCD. Но \(£BAD + ABCD) = 90°; значит, ΔθΑΟχ02 = 90°. 2. Для доказательства второй части покажем сначала, что расстояние от вершины треугольники до точки пересечения высот полностью определяется величиной угла при этой вершине и длиной противоположной стороны, а именно (рис. 40, б): СИ = СВ^^Ζοαβ = = 5^ cosa=ABctga. Поскольку четырехугольник ABCD вписанный, 207
то АН3 — ВЙ2 и АН3 ||Β#2; значит, АВЩНз— параллелограмм. Таким образом, точка пересечения АНъ и ВНз делит АНъ и ВН3 пополам. Рассматривая другие параллелограммы, получим, что отрезки ЩА, Н3В, #4(7, H\D пересекаются в одной точке (М) и делятся ею пополам, т. е. четырехугольники ABCD и Я1Я2Я3Я4 центрально симметричны относительно точки Μ (рис. 40, в). 530· Если стороны треугольника ABC, противолежащие вершинам А, В и Су равны соответственно а, Ь и с, а углы ADB, ВВС и CD А равны α, β и у (считаем, что α + /3 + 7 = 2π), то расстояния от точки D до точек пересечения высот треугольников ADB, ВВС и CD A равны абсолютным значениям величин cctga, actg/3, 6ctg7 (см. решение задачи 529). Нетрудно убедиться, что площадь треугольника с вершинами в точках пересечения высот AADB, ABDC и ACDA будет равна |cctgaoctg^sinB-*-|flctg/3bctg7sinCf-*-|bctg7cctgasini4 = = S'i4Bc(ctgactg/3-fctg^ctg7 + ctg7ctga) = 5i4Bc) поскольку выражение в скобках равно 1. (Докажите это, учитывая, что α + β + Ύ = 2π.) Аналогично рассматриваются другие случаи расположения точки D (когда один из углов—а, β, 7—равен сумме двух других). 531. а) Пусть ABCD — данный четырехугольник, R и Q — точки касания окружностей, вписанных соответственно в ААВС и в AACD с прямой АС. Тогда (см. задачу 18) RQ=\AQ-AR\ = \\{AB+АС-ВС)-. -{AD + AC- CD)\ = \\AB + CD- -AD-BC\. Так как ABCD —описанный четырехугольник, то АВ + +CD = AD + BC, т. е. RQ = 0. б) Если К, L, Μ, Ν — точки касания окружности со сторонами четырехугольника, а Кχ, L\, Μι, JVi — точки касания окружностей, вписанных в ААВС и AACD (рис. 41), то ΝχΚ^ΝΚ, MxLi И ML· Докажем, что и KxLx \\KL, ΝχΜχ \\ΝΜ. Поскольку окружности, вписанные в ААСВ и AACD, касаются между собой на диагонали в точке Р, то AN\ = AP = AM, т. е. N\M\ \\NM. Следовательно, четырехугольник K\LiMiN\, как и четырехугольник KLMN, является вписанным. 532. Пусть (рис. 42, а, б) Οι, Ог, 0з, О а—соответственно центры окружностей, вписанных в ААВС, ABCD, ACDA и ADABi Поскольку О1О2О3О4—прямоугольник (см. задачу 529), то 0\Оз = = 02#4. Если К и L — точки касания окружностей, вписанных в ААВСГи AACD, с АС, то KL = \\AB + CD-BC-AD\ (см. решение задачи 531). Аналогично, если Ρ и Q — точки касания соответствующих окружностей с BD, то PQ = KL. Проведем через Оз прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением 0\К. Получим 208
с с Рис. 42 АО\ОзМ, аналогично построим ΔΟ2Ο4Λ· Эти два прямоугольных треугольника равны, так как у них Οιθ3 = 0204} О3М = KL = PQ = = OtR. Значит, OiM = C?2-R; но 0\М равен сумме радиусов окружностей, вписанных в ААВС и AACD, a ОгЯ равен сумме радиусов окружностей, вписанных в AACD и ABDA (см. также задачу 611). 533. Пусть в четырехугольнике ABCD (рис. 43) АВ = о, ВС = Ь, CD = с, DA = d, ЛС = m, BD = п. Построим на стороне АВ во внешнюю сторону треугольник АКВ, подобный треугольнику ACDy причем /ВАК = /DCΑ, /АВК = ZCAD, а на стороне AD построим ΔΑΛίΟ, подобный ААВСу /DAM^/BCA, /.ADM = /.CAB. Из соответствующего подобия получим: АК = ^, АМ= %,KB=DM=^. Кроме того, ZtfBD + /MDB = ZCAD + / ABD + +/BDA + /CAB = 180°, т. е. четырехугольник KBDM — параллелограмм. Значит, КМ = BD = п. Но /КAM = /А + ZC. По теореме косинусов для Δ#AW имеем: η2 = 55 Ш)2 + (£f)2 -2 (5?) (Μ) cos(^+с)> откуда ™2"2 =fl2c2+b2rf2 - -2abcdcos(A + C). Второе решение. Опустим из С перпендикуляры СЕ, CF и CG соответственно на BD, AD и АВ. (Пусть для определенности точка Ε лежит на отрезке DB, F и G—на продолжениях АВ и AD.) Обозначим /ADB = φ, /ABD = 7· Точки Ь, 25, С и F лежат на одной окружности с диаметром CD^c. Значит, 25F = csiny>. Аналогично G# = bsin7, F<3 = msinA. Кроме того, /FEC = /FDC = 180°-/ADC, /СEG=180°-ΖABC. Значит, ZF£K7=ZA + ZC По теореме синусов для треугольника ADB имеем sin</?=fca, sin7 = fcd, sinA = fcra. Записав 209
теорему косинусов для AFEG и заменив его стороны соответствующими выражениями, получим теорему Бретшнейдера. 534. Утверждение теоремы Птолемея является следствием теоремы Бретшнейдера (задача 533), поскольку для вписанного четырехугольника Δ А + ZC = 180°. 535. Если MB—наибольший из отрезков МАУ MB, Μ С, то, применив теорему Бретшнейдера (задача 533) к четырехугольнику АВСМ, получим, что MB2 = ΜΑ2 + МС2 -2МA-MCcos(^AMC + 60°), т. е. MB < ΜΑ + МС, поскольку Δ AM С φ 120°. 536. Заменив в выражении ίαβίΊδ + tpytfia = ta<yt0S (1) отрезки касательных по формулам, полученным при решении задачи 201, убедимся, что если соотношение (1) выполняется для каких-то окружностей а, /?, у и δ, касающихся данной соответственно в точках А, В, С и J3, то оно выполняется для любых таких окружностей. Осталось проверить справедливость соотношения (1) для какого-либо частного случая. Если а, /3, η и δ— окружности нулевого радиуса, то получаем обычную теорему Птолемея (задача 534). Можно, чтобы не ссылаться на теорему Птолемея, взять окружности а и 5 нулевого радиуса, окружности β и 7, касающимися как окружности, описанной около четырехугольника ABCD, так и касающимися хорды AD. В этом случае справедливость соотношения (1) легко проверяется. Отсюда, в соответствий со сделанным замечанием, получаем его справедливость во всех случаях (тем самым одновременно доказана и обычная теорема Птолемея). 537. При доказательстве нашего утверждения будем пользоваться приемом, называемым «расширением» окружностей. Суть этого при-. ема в следующем. Пусть две окружности, например а и β, касаются некоторой окружности Σ внешним образом. Рассмотрим окружности α', β1 и Σ', концентрические соответственно α, β и Σ. При этом, если радиус окружности Σ' больше радиуса окружности Σ на величину χ, а радиусы окружностей а' и β' меньше радиусов α и β на ту же величину χ (χ—достаточно мало), то окружности а' и β1 будут касаться окружности Σ' внешним образом, а общая внешняя касательная к окружностям а' и β1 равна общей внешней касательной к окружностям а и β. Также рассматривается случай, когда а и β касаются Σ внутренним образом. Если же а и β касаются Σ одна внешним, а другая внутренним образом, то при увеличении радиуса Σ радиус первой уменьшается, второй — увеличивается, общая внутренняя касательная к окружностям а' и β1 при этом не меняется. Рассмотрим для определенности случай, когда в равенстве (*) (см. условие задачи) фигурируют лишь отрезки обпщх внешних касательных. (Заметим, что ни одна из окружностей не может находиться внутри другой.) Докажем, что окружности α, β, у и δ касаются некоторой окружности Σ одинаковым—или все внешним или все внутренним— образом. Пусть радиусы окружностей а, /?, η и δ не все 210
равны между собой (случай равных радиусов легко рассматривается отдельно), и, для определенности, га — радиус окружности α—наименьший. Рассмотрим окружности α', β[', У, <$', где о! — окружность нулевого радиуса—точка, совпадающая с центром окружности a, a /?', 7;> δ' — окружности, концентрические окружностям β,^,δ с радиусами, уменьшенными на величину га. Для дальнейших рассуждений воспользуемся следующим утверждением: если /?', 7;, δ* —три окружности, ни одна из которых не расположена внутри другой и хотя бы одна из них не нулевого радиуса, то существует в точности две окружности Σχ и Ег, каждая из которых касается окружностей /?', у' и δ1 одинаковым образом (Г). К этому утверждению вернемся в конце решения. Возьмем на окружностях Σι и Ег точки αχ и аг так, что -rLX^- = = ^2eL = j*LeL = \t причем αχ и аг расположены на дугах, не содержа- щих точки касания окружности 7'· Для трех четверок окружностей (α',/?'^')^')) (αΐιβ,ιΊ,>δ,)) (а2,Р,у\6') выполняется соотношение (*); для первой — это утверждение нашей задачи, для двух других—'-на основании утверждения задачи 536. (α', αχ, аг —окружности нулевого радиуса.) Следовательно, -р^- = -г2^ = т2-^- = μ. «2^' <*2V ''a'V Но геометрическое место точек Μ, для которых отношение касательных к двум фиксированным окружностям постоянно, есть окружность (см. задачу 11). Значит, αχ, α^ и а' принадлежат как геометрическому месту точек, для которых отношение касательных, проведенных к окружностям β1 и 7;, равно λ, так и геометрическому месту точек, для которых отношение касательных, проведенных к ркружно- стям /3' и У, равно μ. А это означает, что а' должно совпадать с αχ или аг. Пусть αχ и аг совпадают. Докажем, что в этом случае окружности, определяемые параметрами Л и μ, касаются. Возьмем λ φ λ, но достаточно близко к λ, λ определит на Σχ и Σ2 две точки άχ и аг, для которых —^т = 7Τ*Τ = ^· Найдем: μ = —^ = γ2^-;. Значит, окружности, соответствующие параметрам λ и μ, имеют общую хорду άχά2. Если λ-»λ, то μ*->μ, |άχα2|-»0, т. е. окружности, соответствующие параметрам чА и μ, касаются в точке αχ = аг* Таким образом, α', /?', 7' и δ1 касаются или Σχ или Σ2. «Расширяя» соответственно Σχ или Σ2 на величину ±ra, получим, что а, /3, 7 и δ касаются некоторой окружности или прямой (Σχ или Σ2 могут являться прямой) или имеют общую точку. Бели в равенстве (*) некоторые из отрезков являются отрезками общих внутренних касательных, то нужно доказывать существование окружности Σ, касающейся а, /3, 7 и δ и такой, что те из окружностей а, /3, 7> δ-, для которых в равенстве (*) фигурирует общая внутренняя касательная, касаются Σ различным образом. Соответственным образом должно измениться утверждение (Г). 211
Вернемся к утверждению (Г). Делая «расширение», можно свести его к случаю, когда одна из окружностей /3', η\ δ имеет нулевой радиус— является точкой. Читатель, знающий, что такое «инверсия», легко докажет, что утверждение (Г) теперь оказывается эквивалентным утверждению, что любые две окружности, не расположенные одна внутри другой, имеют в точности две общие внешние касательные. (Более подробно об инверсии, а также о задачах 536, 537 можно прочесть в книге: Яг л ом И. М. Геометрические преобразования.— М.: Физматгиз, 1956, гл. II, задачи 261, 273.) Замечание. Если три из четырех данных окружностей а, /?, 7> ί имеют нулевой радиус — являются точками, доказательство можно существенно упростить. Сделайте это самостоятельно. В дальнейшем (см. задачу 583) нам потребуется именно этот частный случай. 538. Покажите, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным для того, чтобы существовала окружность, вписанная в четырехугольник ABCD (см. также задачу 19). 539. Покажите, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным для того, чтобы существовала окружность, касающаяся прямых АВУ ВСу CD и DA, центр которой находится вне четырехугольника ABCD. 540. Пусть ABCD—описанный четырехугольник, О — центр вписанной окружности, Μχ—середина АС, М2— середина BDy r — радиус окружности (расстояния от О до сторон равны г), х\, у\, ζχ, и\ —соответственно расстояния от М\ до АВ> ВС, CD, DA; %2i2/2» *2, и2— соответственно расстояния от М2 до тех же сторон. Поскольку AB + CD = BC + DA, то АВг - BCr + CDr - DAr = 0. Кроме того, АВхг - BCyi + CDzi - ОАщ = 0, АВх2 - ВСу2 + CDz2 - DAu2 = 0, а это и означает, что точки О, М\, М2 лежат на одной прямой (см. замечание к задаче 319). Точно так же разбираются другие случаи расположения точек Л, В, С и β и центра окружности. При этом нужно использовать соотношения,* возникающие между отрезками АВУ ВС, CD у DA (см. задачи 538, 539), и, как сказано в замечании к задаче 319, если какие-то две точки окажутся расположенными по разные стороны от какой-либо прямой, то соответствующим расстояниям нужно приписывать разные знаки. 541. Обозначим через L и Ρ соответственно точки пересечения прямых AM и AN с окружностью. Как следует из задачи 501, прямые BL, DP и MN пересекаются в одной точке. Но BL и DP—диаметры^— пересекаются в центре окружности, следовательно, MN проходит через центр окружности. 542. Воспользуйтесь теоремой Паскаля (задача 501). 543. Пусть (рис. 44) Ρ—точка пересечения диагоналей, a A", L, Μ, Ν—основания перпендикуляров, опущенных из Ρ на АВ, ВС, CD и DA соответственно. Так как четырехугольник PKBL—вписанный, то ZPKL=ZPBC, аналогично ΔΡΚΝ=ΔΡΑΏ\ но ZPBC=ZPAD, так как они опираются на одну дугу. Следовательно, К Ρ — биссектриса 212
угла NKL; значит, биссектрисы углов четырехугольника KLMN пересекаются в точке Р, которая и является центром вписанной в четырехугольник KLMN окружности. Пусть теперь диагонали АС и BD перпендикулярны, R—радиус данной окружности, d—расстояние от Ρ до ее центра, APPC = R2-<P. Радиус искомой окружности г равен, в частности, расстоянию от Ρ до KL. Обозначив ΔΚΙ,Ρ=ΔΑΒΡ=α, LPBC-β, найдем: r=PLsina= Рис. 44 Рис. 45 544. Пусть (рис. 45) ABCD—данный четырехугольник, Ρ—точка пересечения диагоналей, К — середина ВС, L — середина АЬ. Докажем, что прямая LP перпендикулярна ВС. Обозначив через Μ точку пересечения LP с ВС, будем иметь: ZBPM' = LLPD = ΔΑΏΡ = = ZPCB. Следовательно, -РМ ± ВС. Значит, OK || LP. Аналогично РК || LO, и KOLP — параллелограмм, LK2 + РО2 = 2(LP2 + РК2) = = 2 ( ^ψ- + £J- j =2Л2. (Если хорды AD и ВС переместить так, чтобы они имели общий конец, а соответствующие дуги продолжали одна другую, то образуется прямоугольный треугольник с катетами AD и ВС и диаметром 2Д, значит, AD2 +BC2 = 4i?2.) Следовательно, LK2 = 2R2 — <Р и точки L и К лежат на окружности с центром в 5 — середине РО и радиусом 1/2>/2Я2 — сР. Но ALMK—прямоугольный, MS — медиана, М5 = \LK = |>/2Д2-<Р, т. е. Μ лежит на той же окружности. Ответ: 1/2\/2Д2 —d2. 545· Из двух предыдущих задач следует, что если диагонали вписанного четырехугольника перпендикулярны, то проекции точки пересечения диагоналей этого четырехугольника на его стороны служат вершинами четырехугольника, который можно вписать в окружность и около которого можно описать окружность, причем радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами полно 213
стью определяются радиусом окружности, описанной около исходного четырехугольника, и расстоянием от ее центра до точки пересечения диагоналей вписанного в нее четырехугольника. Следовательно, при вращении диагоналей исходного четырехугольника вокруг точки их пересечения четырехугольник, образованный проекциями этой точки, будет вращаться, оставаясь вписанным в одну и ту же окружность и описанным около одной и той же окружности. Легко также показать, учитывая выражения для радиусов вписанной и описанной окружностей, полученные в двух предыдущих задачах, что предлагаемое к доказательству соотношение для таких четырехугольников выполняется. Для завершения доказательства нам осталось доказать, что любой «вписано-описанный» четырехугольник может быть получен из вписанного четырехугольника со взаимно перпендикулярными диагоналями вышеуказанным способом. В самом деле, если KLMN — «вписано-описанный» четырехугольник, Ρ—центр вписанной окружности, то, проведя прямые, перпендикулярные биссектрисам КР, LP, MP, NP и проходящие через К, L, Μ и N соответственно, получим четырехугольник ABCD (рис. 44). При этом ΔΒΡΚ = ZKLB = = 90° - \lMLK (использовано, в частности, то, что у четырехугольника PKBL противоположные углы прямые и, следовательно, он вписанный). Аналогично ΔΚΡΑ =* ΔΚΝΑ = 90° - \ΔΜΝΚ и, значит, έΒΡΑ=ΖΒΡΚ+ΖΚΡΑ=№°- \{ΔΜΙΚ+ΖΜΝΚ) = 90°. Таким образом, все углы В PA, APD, DPC и СРВ прямые, Ρ—точка пересечения диагоналей четырехугольника ABCD, рами же диагонали перпендикулярны. Нетрудно показать, что ABCD — вписанный четырехугольник, поскольку ZABC + Δ ADC = ZPBL + ΔΡΒΚ + £PDN + ΔΡΏΜ = = ZPKL + ZPLK + ΔΡΜΝ + ZPNM = \{£NKL + ZKLM + ZLMN + +ΔΜΝΚ) = 180° Примечание: см. также задачу 615. 546. Середины сторон четырехугольника образуют параллелограмм, диагонали которого параллельны отрезкам, соединяющим центры тяжести противоположных треугольников. Другой параллелограмм образуют четыре высоты рассматриваемых треугольников, выходящие из вершин четырехугольника. Стороны первого параллелограмма параллельны диагоналям четырехугольника, а второго—им перпендикулярны. Кроме того, стороны второго параллелограмма в ctga раз больше соответствующих сторон первого (а — острый угол между диагоналями четырехугольника). 547. Докажем, что оба утверждения (BD — биссектриса угла ANC, АС — биссектриса угла BMD) эквивалентны равенству АВ · CD = AD · ВС. Возьмем на дуге BAD точку Αχ так, что DA\ = АВ. Условие задачи эквивалентно тому, что прямая А\С проходит через N — середину BD, т. е. равенству площадей треугольников DA\C и АХВС, откуда DAX · DC=В Αχ · ВС, т.е. АВ CD-AD- ВС. 214
548. Перпендикулярность биссектрис доказывается без труда'. Докажем второе утверждение. Пусть Μ — середина АС, N—середина BD. Из подобия треугольников АКС и BKD следует, что ΔΜΚΑ = = ΔΝΚΌ и jfif = j|§, т. е. биссектриса угла ВКС является также и биссектрисой угла MKN и делит отрезок MN в отношении ^j£ = ^. Очевидно, что в этом же отношении делит MN и биссектриса угла ALB. 549. Пусть ABCD—данный четырехугольник, О—центр окружности, описанной около треугольника ABC, Οχ и Ог—центры окружностей, описанных около треугольников DAB и BCD, К и L—соответственно середины сторон АВ и ВС. Точки Οχ и 0% лежат на ОК и OL, причем §^ = §j£. Это следует из того, что Οχθ2 перпендикулярна DB и, следовательно, ΟχΟ^ параллельна LK (LK параллельна АС). Значит, прямые ΑΟχ и СОъ делят ОВ в одном и том же отношении. (Применим теорему Менелая—задача 342—к треугольникам ОКБ и OLD.) 550. Обозначим радиус окружности через R, а расстояния от Р, Q и Μ до центра—соответственно через о, b и с. Тогда (задача 272) QP2 = а2+ Ь2-2Д2, QM2 = Ь2 +с2-2Д2, РМ2 = с2*а2-2Д2. Если О — центр окружности, то для того чтобы QO была перпендикулярна РМ, необходимо и достаточно выполнение равенства (задача 298) QP2-QM2 = OP2-OM2, или (о2+Ь2-2Д2)-(Ь24-с2-2Д2) = о2-с2. Аналогично проверяется перпендикулярность других отрезков. 551. Если M,N,PnQ—соответственно точки касания сторон АВ, ВС, CD и DA с окружностью, то, как следует из решения задачи 236, MP и NQ пересекаются в точке пересечения АС и BD. Точно так же докажем, что прямые MN и PQ пересекаются в той же точке, что и прямые АС и KL, а прямые MQ и NP—в той же трчке, что и прямые KL и BD. Теперь для четырехугольника MNPQ воспользуемся результатом предыдущей задачи. 552. Обозначим: ZDAN-^ZMAB—φ. Пусть L—точка пересечения AM и ΝΒ, Ρ—точка пересечения AN и DM, Q—точка пересечения АК и MN. По теореме Чевы (задача 341) для ΔΑΜΝ имеем: NQ ^AL NP = SNab Sdnm = QM LM ' PA SNmb ' SDam _ $AN-£fcdnZNAB \ANNMtg4>CQs/.ANM _ = |AMJVMtg^cosZi^^Ar.i^i4MsinZMil£)" _ A/VcosZA/VM "AMcosZAMiV' т. e. Q делит JVM в том же отношении, что и высота, опущенная из А на JVM. 215
554. Докажите сначала следующее вспомогательное утверждение: если Л, В и С— точки на одной прямой, Μ — произвольная точка плоскости, то центры окружностей, описанных около треугольников Μ АС у МВСу МСА, и точка Μ лежат на одной окружности. Затем используйте результат задачи 553. / 555. Обозначим точки пересечения прямых через Л, В, С, Dy Ρ, Q (расположены точки так же, как в решении задачи 271); О—центр окружности, проходящей через А, В, С и Д R—ее радиус, а и Ь— касательные, проведенные к окружности соответственно из Ρ и Q. То, что Μ лежит на PQ, было доказано в процессе решения задачи 271. Кроме того, там же было доказано, что PM-PQ = a2> QM -QP = b2y QP2 = Va2 + b2. Таким образом, РМ = ^J^, QM = -j£-p. Кроме того, РО = л/о2-Д2, QO=vV-Я2. Следовательно, РО2 - Q02 = о2 - —Ь2 = РМ2 - QM2. А это означает, что ОМ ± PQ. Для завершения доказательства необходимо рассмотреть случай, когда (в тех же обозначениях) на окружности расположены точки А, С, Ρ и Q (см. также задачу 550 и ее решение). Рис. 46 556. Если перемещать одну прямую параллельно самой себе, то прямая Эйлера треугольника, одной из сторон которого является перемещаемая прямая, будет перемещаться параллельно самой себе. Учитывая это, задачу легко свести к следующей. Пусть Л, С и D — три точки на одной прямой, В— произвольная точка плоскости. Если прямая Эйлера треугольника ABC параллельна BD, то прямая Эйлера треугольника CBD параллельна АВ (рис. 46). Докажем это. Обозначим: ZBCD = φ (считаем, что С между А и Д 216
φ < 90°), Οχ и Ηχ—центр описанной окружности и точка пересечения высот &АВС, Ог и Яг—эти же точки в ABCD. Опищем около ΑΒΗχ окружность, Μ — точка ее пересечения с ΟχΗχ. Докажем, что четырехугольники ΟχΑΜΒ и ОчВЩВ подобны. Прежде всего треугольники ΟχΑΒ и O2DB — подобные равнобедренные треугольники, a ZMAB = /.MHiB = £HiBD = /.H2BD (BD параллельна ΟχΗχ), ШВА = ZMHiA=ZH2DB (ΑΗχ и DH2 перпендикулярны СВ). Подобие четырехугольников доказано. Далее: /.О2Н2В = ΔΟχΜΑ = = Ζ#ιΜΑ = ΖΗχΒΑ = ШчВА, т. е. Н2О2 параллельна АВ. 557. Из результата задачи 316 следует, что общая хорда окружностей с диаметрами АЕ и DC (а также DC и ДР, BF и АЕ) содержит точки пересечения высот треугольников АВСУ BDEy DAF и CEF. Пусть далее К—точка пересечения АЕ и 2X7, L—точка пересечения АЕ и ДР. По теореме Менелая (задача 342) для треугольников ΒΕΑ и Ε АС имеем: ш'Ш'Ш = 1^ Ш'Ш'Ш = 1' Раздел™ эти равенства почленно одно на другое и учитывая, что ^§ · ^§ · ψξ = 1, получим: ^27 =: т§- Рассмотрим окружность с диаметром АЕ. Для всех точек Ρ этой окружности отношение Щ;—постоянно (см. задачу 306). То же верно и для окружностей с диаметрами DC и BF. Таким образом, три этих окружности пересекаются в двух точках Ρχ и Рг таких, что отношения расстояний от Ρχ и Рг до К, L и Μ для них одинаковы. Теперь можно воспользоваться результатом задачи 311. 558. Утверждение следует из результата предыдущей задачи. 559. Обозначим через 1(АВС) срединный перпендикуляр к отрезку, соединяющему точку пересечения высот и центр описанной окружности треугольника ABC. Пусть прямая пересекает стороны ВС> СА и АВ треугольника ABC соответственно в точках D, Ε и Р. Докажем сначала, что при перемещении прямой DEF параллельно самой себе точка Μ пересечения прямых l(DFB) и l(DEC) описывает прямую линию. Пусть точки D\9 Е\, Fi] D2, Е2, F21 Ds, Bk, Рз соответствуют трем положениям этой прямой. Прямые l(DiF{B) ц ί(Ζ?»25ί<7), где г = 1,2,3, пересекаются между собой в М* и пересекают прямую ВС в точках N{ и Ki. Легко видеть, что точка N2 делит отрезок, ΝχΝ$ в том же отношении, что и точка #2 делит отрезок ΚχΚ$. Это отношение равно отношению, в котором D2 делит DxDs (в том же отношении 2?2 делит ЕхЕз, a F2 — Р1Р3). Поскольку прямые l(DiF{B параллельны мфкду собой и прямые l(D{EiC) также параллельны между собой, то прямая l(D2F2JB) делит отрезок ΜχΜ$ в том же отношении, что и прямая l(D2E2C)) т. е. Мг лежит на отрезке ΜχΜ3. Покажем теперь, что точка Μ описывает прямую I (ABC). Для этого достаточно доказать, что для двух положений прямой DEF соответствующая точка Μ лежит на 1(АВС). Рассмотрим случай, когда эта прямая проходит через А (точки Ε и F совпадают с А). Введем систему координат, в которой точки Л, В, С и D имеют координаты А(0,а), 5(0,6), C(0,c), Z?(0,d). Найдем уравнение прямой 217
1(АВС). Точка пересечения высот треугольника ABC имеет координаты (0,-^), центр описанного круга—(^г,| (а+тг))· Запишем уравнение прямой 1(АВС): ж(Ь + с)+2/(а +—1 = + Ьс Т~а · Заменяя в этом уравнении с на d, получим уравнение прямой l(ABD)y а заменяя Ь на d—уравнение прямой l(ACD). Можно проверить, что все три прямые имеют общую точку 0(«о,И>), где х0 = |(b + c + d)-^, jfo = £(а2 -Ье-cd-db). Этим доказательство завершается, поскольку случай, когда прямая DEF проходит через В или С, равнозначен рассмотренному. 560. Пусть ί, τη, η и ρ — прямые, образующие наши треугольники (рис. 47, а). Введем следующие обозначения: Ρ—центр окружности, вписанной в треугольник, образованный прямыми I, т и п, Pi —центр вневписанной окружности того же треугольника, которая касается стороны, лежащей на прямой I. Такой же смысл будут иметь обозначения L, Mp, Nm и т. д. L Μ Рт Ν, N Ρ Мр Ln Μι Lm Nm Pi P„ Np L" Mn Ql <?2 Q3 Q4 В приведенной таблице четыре Фочки, расположенные в одной строке или одном столбце лежат на одной окружности, причем центры окружностей, соответствующие строкам, лежат на одной прямой— q\y а центры, соответствующие столбцам, на другой — q%\ Яг и qi перпендикулярны и пересекаются в точке Микеля (задача 553). Докажем это. То, что указанные четверки лежат на одной окружности, доказывается несложно. Обозначим через О», Qi (i = 1,2,3,4) центры соответствующих окружностей. Докажем, что 0\Оъ перпендикулярна Q1Q3 и Q2Q4· Если в треугольнике (Ι,τη,ή) угол между I и т равен а, то ZLNMi = ZLmPM = 90° + f; следовательно, ΔΏΟχΜι = ZLm02M = 180° - α. Точно так же ZLPmM = £LmPxMx = =α/2, ZLQiM=ZLmQ3M/=a. Треугольники W\Μ/, Lm02M, LQiM, LmQsMi—равнобедренные, их боковые стороны соответственно перпендикулярны (например, 0\L и LQ\). Далее (рис. 47, б), Q\0\ — -Οι<?§ = (а? + <?)-(о2 + d2) = (62+c2)-(b2 + d2) = 02Q?-02<9§. Следовательно, 0\Оъ и Q\Qz перпендикулярны. Точно так же докажем 218
м„ N„ Рп α) Μ? Рис. 47 219
перпендикулярность 0\0<ι и Q2Q4 (рассмотрим прямую, на которой расположены точки JV, Р, iVp, Рп). Поэтому Q1Q3 и Q2Q4 параллельны (если эти точки не лежат на одной прямой). Точно так же параллельными будут Q\Qa и Q2Q3 (они перпендикулярны ОхОз), Q1Q2 и Q3Q4 (они перпендикулярны О1О4), Э- из этого следует, что Qii Q2> Qs> Qa лежат на одной прямой—вд также и Οχ, Ог, Оз, О4 лежат на одной прямой—q\. Очевидно, q\ и φ перпендикулярны. Будем перемещать прямую m параллельно самой себе. Пусть I/, L^, 01, О2 соответствуют прямой то'. Отношение ^^ = 2ГТ7"" посто- янно (оно равно ^-), а это означает, что при перемещении-Ш прямая О1О2, т. е. gi, проходит через фиксированную точку. Точно так же через фиксированную точку проходит прямая дг- Поскольку q\ и q^ перпендикулярны, то их точка пересечения описывает окружность. Но когда т проходит через А (а также В или О), то точки L и Lm сливаются с А, прямые О1О2 и QiQ$, т. е. q\ и #2 проходят через А (соответственно В или О). Таким образом, точка пересечения q\ и φ пробегает описанную около треугольника ABC окружность. Перемещая другие прямые —1> га, ρ—докажем, что точка пересечения gi и дг принадлежит любой окружности, описанной около одного из треугольников, образованных прямыми Z, m, га, ρ, τ. е. прямые q\ и 92 пересекаются в точке пересечения окружностей, описанных около этих треугольников—точке Микеля. Заменим, что «попутно» доказано, что четыре окружности, описанные около четырех треугольников, образованных четырьмя прямыми плоскости, пересекаются в одной точке (задача 553). 563. Обозначим одну из точек пересечения, через которую проходит прямая, через С. Пусть Βχ, Вч, В% — основания перпендикуляров, опущенных соответственно из 0\,02, Оз на прямую, а К и Μ — точки пересечения прямых, параллельных ЛхЛг, проходящих через Οχ и Ог соответственно с О2В2 и Оз-Вз- Поскольку В\ и Вч — середины хорд А\С и ОЛг, то Β1Β2 — Α1Α2Ι2. Если α—угол между прямыми Αχ Аз и °1°з,то ^ = ^=2^ = 2cosa; аналогично ^ = 2cosa. 565. Пусть Οχ и Ог —центры окружностей, ϋχ и i?2 — их радиусы, Οιθ2=α>,Μ—точка пересечения общих внутренних касательных. Окружность с диаметром 0\0ч проходит через точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными, При гомотетии с центром в точке Μ и коэффициентом °"-д1"-да эта окружность перейдет в окружность, касающуюся данных внешним образом, с центром на ОхОг. 566. Пусть Μ — одна из точек пересечения окружностей; тогда Μ А и Μ С — биссектрисы (внешнего и внутреннего) угла Μ треугольника BMDy поскольку окружность с диаметром АС—геометрическое место точек М, для которых ^ = Ц§ (см. задачу 306). Пользуясь соотношениями между углами прямоугольного A AM С и ΔΒΜΟ, 220
убедитесь, что радиусы описанных окружностей этих треугольников, проведенные из вершины М, взаимно перпендикулярны. 568. Заметим (рис. 48, а), что ΔΑΡΜ подобен AAMQ> AAPL б) Рис. 48 подобен AAKQ, AAKN подобен AALN] из этих подобий получаем: Ш} = ТЩ» рГ = 4ь» Ж = 1ш · Перемножая эти равенства и учитывая, что ЛМ = АЛГ, получим, что jjra · ψ% · j/g = 1, а это (см. задачу 346) и есть необходимое и достаточное условие того, чтобы прямые MN, РК и QL пересекались в одной точке. Способ построения касательной с помощью одной линейки понятен из рис. 48, б. Числа 1,2,... показывают последовательность проведения прямых. 569· Искомое множество есть прямая — поляра точки А относительно данной окружности (см. задачу 318)* 570. Углы AMN и BMN можно выразить через центральный угол, соответствующий дуге АВ данной окружности (необходимо разобрать различные случаи расположения точки N); после этого можно определить ZAMB. Искомое геометрическое место точек есть окружность. 571. Воспользуйтесь результатами задач 568 и 318. Полученное геометрическое место точек совпадает с геометрическим местом точек задачи 318, т. е. это есть поляра точки А относительно данной окружности. 572. Обозначим (рис. 49) через О точку пересечения AM и DC. Проведем через точку В касательную ко второй окружности и обозначим точку пересечения ее с АС через К (как и в условии). Очевидно, что утверждение задачи эквивалентно утверждению, чтоГКО || СМ. Пусть угол, опирающийся на дугу АВ в первой окружности равен а, во второй —/3, тогда ZBCM = ZBAC, ZBDM = ZBAD, ZDMC = = 180° - ΔΒΏΜ - ZBCM=180° - ΔΒAD - ABAC=180° - ΔΌAC; следовательно, ADMC—вписанный четырехугольник, ZAftiC = /3. Далее, если касательная ВК пересекает DM в точке L, то ZKBO = £LBD = = ZBDL = ZCAM; значит, четырехугольник ΚΑΒΟ также вписанный 221
Рис. 49 и ΔΚΟΑ = ΔΚΒΑ = /3, т. е. КО || СМ (точно так же рассматриваются случаи других взаимных расположений точек D, В и С). 573. Поскольку окружность с диаметром CD проходит через фиксированную точку А на MN (MN-LCD), то CNND = NA2 (1) есть величина постоянная. Обозначим через К точку пересечения PQ с MN. Покажем, что ψ^— величина постоянная. Заметим, что /РЫП— 1АП° /РМП- QiiQxxMT мк — spmq _ PM-MQ __ МЛГ MN _ MN* Z/4Vy-180 -ArMQ, значит, ш~Ъ^~ PN-NQ-Ш'Ш-ΊΪΝ* (использовано равенство (1) и то, что AMNP подобен AMNC, а ΔΜΛΓ<3 подобен AMND). 574. Равенство Δθ\ΑΩι=ΔΜΑΝ следует из результата задачи 279, равенство Ζθι ЛО2 = 2ZCAE было доказано в процессе решения задачи 275. 575. Пусть О и Οχ —центры двух рассматриваемых окружностей (О — середина АВ), К — точка касания окружностей (К на прямой 00\), N — точка касания окружности Οχ с прямой CD, Μ — точка пересечения АВ и CD. Поскольку ΟχΝ параллельна АВ и треугольники ΚΟχΝ и КО А подобные равнобедренные, то точки К> N и А лежат на одной прямой. Обозначим через t касательную к окружности Οχ из точки А (считаем, что окружность Οχ внутри сегмента СВР). Имеем: t2 = AN · АК = АС2 ввиду подобия треугольников ACN и АКС. 576. Пусть А — середина дуги данной окружности, не входящей в сегмент, касательные к окружностям, вписанным в сегмент, из А равны (задача 575). Из этого следует, что А лежит на прямой M/V, поскольку АО Ι - АО\ = 0\М2 - ОъМ2, где 0\ и 02 — центры окружностей. 222
577. Рассмотрим общий случай произвольных окружностей. Пусть точки F и F' расположены, как показано на рис. 50. Обозначения по- М Рис. 50 нятны из рисунка. Докажем, что существует окружность, вписанная в четырехугольник АКВМ, после чего воспользуемся результатом задачи 352. Для этого достаточно доказать, что (см. задачи 538, 539) BF + BF' = AF' + AF. (1) Учитывая, что BL = BT, a FS = FT, получим: BF = BL-FS, и аналогично FA = FQ - АЕ, BF' = F'P - BL, F'A = AE- F'jR. Подставляя эти выражения в (1), получим: BL-FS+F'P-BL = AE-F'R+FQ- -ΑΕτ*F'R + F'P = FQ + FS=*PR = SQ. Точно так же разбираются остальные случаи расположения точек F и F1 на касательных (при этом учитываем результаты задач 538, 539). Поскольку каждая касательная точками касания и точкой пересечения разделена на 4 части, то таких случаев будет 1/2 · 42 = 8. Для доказательства второй части заметим, что середины АВ, FF1 и центр третьей окружности Оз, вписанной в АКВМ, лежит на одной прямой (см. задачу 540). Но поскольку радиусы данных окружностей равны, то АВ параллельна 0\Оъ (Οχ, Ог—центры данных окружностей); А и В лежат на прямых ОхОз и О2О3. Значит, прямая, проходящая через Оз и середину АВ, делит 0\Оъ пополам. 578. Пусть (рис. 51) Μ — точка пересечения касательных ίχ, m\ и щ, N — точка пересечения fa итг. Проведем через N прямую п^, касающуюся а, отличную от fa- Так же, как это было сделано в задаче 577, можно доказать, что прямые τηχ, ηχ, тг и п'2 касаются одной окружности, причем эта окружность является вневписанной по 223
Рис. 51 отношению к треугольнику PMQ (касается стороны PQ), т. е. совпадает с 7· Замечание. Рис. 51, с точностью до обозначений, соответствует общему случаю расположения окружностей, удовлетворяющих условию задачи. ' 579. Докажем, что прямая D\C проходит через О — центр дуги АВ, а прямая DC\ — через Οχ —центр дуги АВ\ (рис. 52). Треугольник DAD\ —правильный, DC = AC, следовательно, D\CLDA и D\C проходит через О. Аналогично DC\ ±ΰχΑ. Точка Οχ лежит на дуге АВ, поскольку она получается из О поворотом вокруг А на π/3. Пусть обе дуги измеряются величиной 6а (для удобства а > φ/6). Тогда ΔΑΟχΟχ = 2α, ΔΟχΟχΑ = f - Cx —α, ZFACx = 2α. Следовательно, ZAFCx = π - 2α - (§ -α) = § - α = = ZFCxA, т. е. AF=АСХ = АС. Докажем, что треугольники FAC и EDC равны. Имеем AF = AC = DC = DE, ZCDE = LCDB - ΔΒΌΕ = π - 2α - - (π - 2ΔΌΒΕ) = -2α + 2 (2α - f) =? = 2α - | = Z.FAC; таким образом, FC = СЕ. Далее найдем:ч ZDCE = = 22L - α, ΔΒχΡΌ = | — а (измеряется полусуммой соответствующих дуг), ZBiFC=тг - ZCFA = f + α, ZDFC = fir, ZZJOF = π - fir„- а + f = = f - а и, наконец, ZFCE= (ψ - α) - (f - α) = f. 580. Разберем два случая: 1) ААВС описан около данной окружности; 2) окружность касается продолжений сторон АВ и АС. В А Рис. 52 224
В первом случае рассмотрим окружность, касающуюся сторон угла в точках Μ и N и описанной около ААВС окружности внутренним образом. Пусть о, Ь, с—стороны треугольника ABC, r—радиус данной окружности, ΔΑ = a, AM = AN = χ. Воспользуемся обобщенной теоремой Птолемея (задача 536): ха = (Ь — х)с + (с — х)Ь, откуда х = sUfe = (a+b+ffiina = 5& τ· е· ж постоянно. (Можно доказать, нто МЛГ проходит через центр данной окружности.) Во втором случае нужно взять окружность, касающуюся сторон угла и описанной около ААВС окружности внешним образом. 581. Обозначим стороны ААВС как обычно: о, Ь, с; пусть BD = d, AD = bi, AM = x. Воспользуемся обобщенной теоремой Птолемея (задача 536); ха + (d — Ь\ + х)Ь = (Ь — ж)с, откуда a + o+c v' Возьмем на АВ точку N так, что M./V параллельна ЯР. Имеем Ol Οι 5ΛΛίΑί=(οτ) 5^=Ш ΐ^σ = οΤ65ΛΒσ· (2) Пусть г — радиус окружности, касающейся ΜΝ, а также продолжений AN и AM. Тогда из (1) и (2) следует, что 2Samn 2x2Sabc 2Sabc г = ■ AM + AiV-AflV te(bi+c-d) 0 + 6 + ^ т. е. г равняется радиус окружности, вписанной в Δ ABC, что и требовалось. Второе решение. Докажем следующее утверждение, эквивалентное нашему (эквивалентность достаточно очевидна). Пусть окружность α касается стороны АС треугольника ABC в точке Μ и описанной около ABC окружности (точка касания на дуге АВ). Прямая УМ, где Υ — центр вписанной в ABC окружности, вторично пересекает a в точке Р. Тогда прямая ВР касается окружности а. (Формулировка и метод доказательства предложены В. Ю. Протасовым.) Обозначим через D точку пересечения ВР с АС. Тогда прямая, проходящая через Μ параллельно BD> будет касаться вписанной в ABC окружности (так как MY—биссектриса угла между этой прямой ц Μ С). Пусть N — точка касания ас дугой АВ, Ε — середина дуги АС. Прямая BY проходит через Е. Можно доказать также, что и прямая MN проходит через Е. Углы ΔΝΒΕ и ΔΝΡΜ равны (угловые меры дуг NM и NE равны). Отсюда следует, что точки N, В, F, Ρ лежат на одной окружности, поэтому ΔΒΡΝ = ΔΒΥΝ. 225
Далее, ΕΥ = Ε А (см. решение задачи 490, г). Треугольники ЕМ А и ΕΑΝ подобны (ΔΜΕΑ^ΔΝΕΑ, ΔΜΑΕ = ΔΟΑΕ = ΔΕΝΑ). Поэтому ΕΜ·ΕΝ = Ε Α2 = ΕΥ2. Значит, треугольники ΕΥΜ и ΕΝΥ подобны. Поэтому ΔΒΥΝ = ΔΡΜΝ, а из этого следует касание В Ρ и а. 582. Обозначим через Μ и К точки касания окружностей с центрами 0\ и Οι с АС. Из результата предыдущей задачи следует, что ΔΟχΌΜ = ΔΟΚΌ = f, ΔΟ^ΌΚ = = ΔΟΜΏ = 90° - f. Продолжим (Ж и ОМ до пересечения с Οχ Μ и 0<ιΚ соответственно в точках L и Р (рис. 53). В трапеции LMKP с основаниями LM и Ρ К имеем ^^ = |^ = ^^. Следовательно, О1О2 проходит через точку пересечения^циагоналей трапеции — точку О. Кроме того, ОхО ^LM Mfftgf 2£ 0O2-ptf~Mifctg§ g 2' 583. Утверждение этой задачи можно доказать с помощью результата задачи 537, точнее ее частного случая, когда три окружности имеют нулевой радиус—являются точками. Этими точками в данном случае будут середины сторон треугольника. 584. Утверждение этой задачи следует из теоремы Фейербаха (см. задачу 583) и из того, что треугольники АВСУ АНВ, ВНС, СНА имеют одну и ту же окружность девяти точек (докажите). 585. Пусть в ААВС для определенности, а^Ь^с. Обозначим через ill, Bu С\ середины сторон ВС, САУ АВ, а через F, Fa, Fb> Fc — точки касания вписанной и вневписанных окружностей с окружностью девяти точек ДАВС. Нужно доказать, что в шестиугольнике CiFcFAxFaFb (точки, взятые в указанном порядке, образуют шестиугольник, так как а < b ^ с)диагонали C\Au FcFa и FFb пересекаются в одной точке, для этого достаточно доказать (см. задачу 346), что CiFc · Λ1ι · FaFb = FCF - AiFa ■ FbCi. (1) Используя формулы, полученные в задаче 201, найдем: ^ „ Ъ-а I R _. с-Ь / R „„_ (a + b)R „„_ (b-a)R . „ c-b /R „_ a + b /Д *F°=—v RT2ra>FbCi=—ν rt^· 226
После этого равенство (1) легко проверяется. Замечание. Можно доказать, что точки пересечения противоположных сторон четырехугольника, вершинами которого являются точки касания вписанной и вневписанных окружностей данного треугольника с его окружностью девяти точек, лежат на продолжениях средних линий этого треугольника. 586· Используя формулы задач 490, 491, 585 (в последней задаче см. ее решение), найдем J*fj- = ^?ffi$j^f - Такими же будут отношения других соответствующих сторон треугольников FaFbFc и AiBiCi. Точно так же доказываются подобия других пар треугольников. При этом следует для величин А\Вч и др. получить формулы, аналогичные формуле задачи 491. 587. Докажите, что AABP^AACQ. Для этого достаточно доказать, что ΔΚΒΡ = ААВС и AFCQ = ААВС (по двум сторонам и углу между ними): /QAP=/CAB + /CAQ + /ВАР = /CAB + /CAQ + +/CQA = /CAB +180° - /QCA = /CAB + 90° - /QCF = 90° (предполагалось, что /CAB < 90°; рассуждения в случае /CAB > 90° аналогичны). 588. Поскольку /FE\E = /FCE = 90°, то четырехугольник FEiEC -»- вписанный, /FCE\ = /FEEi = 60°. Аналогично, вписанным является четырехугольник FE\AD и /E\DF = /E\AF=60°, т. е. ADE\C—правильный. Точно так же доказывается, что правильным является ABF\C. 589. Обозначим через Р, Q и R точки пересечения соответственно LB и AC, AN и ВС, LB и AN. Пудть ВС = о, АС = Ь. Достаточно показать, что Sacq = Sapb (обе эти площади отличаются от рассматриваемых добавлением площади A APR). Из подобия соответствующих треугольников получим CQ = PC=-£^. Следовательно, Sacq = \АС · CQ = ^щ, Sapb = Sacb - 5Рсв = \ab - щ^у = ^bj. 591. Докажите, что площадь треугольника с вершинами в цейтрах квадратов, построенных на сторонах данного треугольника и расположенных вне него, и площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов, построенных на тех же сторонах вовнутрь данного треугольника, соответственно равны S+1(о2+Ь2+с2) и \S—|(о2 + Ь2 + с2)|, где о, Ь, с, S—стороны ичшощадь данного треугольника. 592. Обозначим: /А\ВС = а, /А\СВ = /?; тогда АА\ делит ВС В ОТНОШеНИИ DaBHOM SaBA* = WB>li8in(ZB+a)| с . sin£ . sin(/B+a) В ОТНОШеНИИ, раВНОМ Saca^ - ^AC-CAiun{/C+0) b sin α ainUC+β) · Проделав эти же выкладки для других сторон треугольника ABC, воспользуйтесь теоремой Чевы (задача 341). 593. Пусть KL—дуга окружности, находящаяся внутри треугольника ABC. Продрлжив стороны АВ и ВС за точку В, получим дугу MN, симметричную дуге KL относительно диаметра, параллельного АС. Поскольку /В измеряется дугой, равной \{^ KL+ ^ MN) = 227
=^ KLy то дуга KL имеет постоянную длину и ей соответствует центральный угол, равный углу В. 594. Пусть О (рис. 54) — точка пересечения прямых, А и Αχ—два положения точки на одной прямой, В и В\ — положения в эти же моменты времени другой точки. Восставим к АВ и ΑχΒχ перпендикуляры в их серединах и обозначим через Μ их точку пересечения; ΑΑΑχΜ = ΑΒΒχΜ по трем сторонам— один получается из другого поворотом на угол АОВ с центром Μ. При этом повороте любое положение точки на АО приходит в соответствующее положение точки на ОВ, так что Μ обладает нужным свойством. 595. а) Пусть А и В—точки пересечения окружностей, А — точка, из которой велосипедисты выехали, Μ и Ν'—положения велосипедистов в некоторый момент времени. Если Μ и N—по одну сторону от АВ, то ΔΑΒΜ = ΔΑΒΝ, если по разные, то ΖΑΒΜ + ΖΑΒΝ = 180°, т. е. точки В, Μ и N расположены на одной прямой. Если L и К — точки окружностей, диаметрально противоположные В (L и К фиксированы), то поскольку ZLNM = ΔΝΜΚ = 90°, то середина LK — точка Ρ — будет равноудалена от N и Μ. Можно убедиться, что Ρ симметрична точке В относительно середины отрезка, соединяющего центры окружностей (рис. 55, о). Рис. 54 а) Рис. 55 б) Пусть Οχ и 02— центры окружностей. Возьмем точку Αχ такую, что ΟχΑ02Αχ— параллелограмм. Легко видеть, что AM Οχ Αχ = = ΔΝ02Αχ, так как ΜΟχ =ΟχA=02Au ΟχΑχ=02Α±Ν02, ΔΜΟχΑχ == = φ + ΖΑΟχΑχ = φ + ΖΑ02Αχ = ΔΝ02Αχ, где φ — угол, соответствую- 228
щий дугам, пройденным велосипедистами (рис. 55, б). Таким образом, искомые точки симметричны точкам пересечения окружностей относительно середины отрезка Οχ02· Замечание. В пункте а) можно было поступить точно так же, как и в пункте б). А именно, взяв точку Ρ таким образом, что ΔΟ1ΡΟ2 = ΔΟ1ΑΟ2 (А и Ρ—по одну сторону от Οι02 и не совпадают), легко доказать равенство соответствующих треугольников. 596· б) Используйте результат пункта а). Замените поворот вокруг Οι двумя осевыми симметриями, взяв в качестве оси второй симметрии прямую О1О2, а поворот вокруг точки 02 —двумя симметриями, взяв в качестве оси первой симметрии прямую Οι02. Замечание. Если а + β = 2π, то последовательное применение данных поворотов, как легко убедиться, эквивалентно параллельному переносу. Ответ: если α + β<2π, то углы равны f, §, π-2^, если α + /3>2π, то углы равны π — у, π - f, Щ&-. 597. Произведем последовательно три поворота в одном направлении вокруг точек К, L и Μ (или вокруг #Ί, L\ и М\) на углы а, β и 7· Поскольку а + β + 7 = 2π, то получившееся преобразование есть параллельный перенос (см. задачу 596). Но поскольку одна из вершин исходного треугольника при этом остается неподвижной, то неподвижными должны остаться все точки плоскости. Таким образом, центр третьего поворота (точка М) должен совпадать с центром поворота, получающегося в результате последоваг тельного применения двух первых: вокруг точек К и L. Теперь можно воспользоваться результатом задачи 596. 598. Обозначим: ΖΒΟΟ=2α, ΖΰΟΕ=2β, ZFOA=2<y. Пусть К, Μ и L—соответственно точки пересечения окружностей, описанных около треугольников ВОС и AOF, ВОС и DOE, AOF и DOE. Точка К — внутри треугольника АОВ, причем ΔΒΚΟ = 180° - ZBCO = 90° + а, Ζ;4ίίΟ=90ο+7> а поскольку а+/?+7=90°, ΖΑΚΒ=90°+β. Точно так же ί,—внутри треугольника FOE и ZOLF=90° + 7, ZOLE = 90° + /3, ZFL£ = 90° + α. Значит, OL = АК, ZifOL = 27 + ZtfOЛ+ZLOF = 27 + +^#ОА+//ША=90°+7=^АК'О; таким образом, треугольники KOL и ΑΚΌ равны, т. е. #Х=АО=Д. Аналогично доказывается, что и две другие стороны треугольника KLM равны Л. 599. Обозначения: ABCD — данный четырехугольник, Οι, 02, Оз, О4 — центры ромбов, построенных соответственно на АВ, ВС, CD, DA; К и L — середины сторон АВ и ВС, Μ — середина диагонали АС. Треугольники ΟχΚΜ и O2LM равны (ΟχΚ = \АВ = LM, KM=\BC = 02L, ZOiKM = Z02LM). При этом, если ΖΑΒ(7 + α<π, то эти треугольники расположены вовнутрь треугольника 0\М02, а если ZABC + а > π, то эти треугольники находятся вне треугольника 0\М02 (углы ромбов с вершиной В равны а). Таким образом, 0\М =ч02М, Δθ\Μ02 = π - α. Точно так же ОзМ = O4M, ΖΟ3ΜΟ4 = π — α. Следовательно, треугольники 0\МОъ и 02МО^ 229
равны, и один получается из другого поворотом вокруг Μ на угол π — α. Отсюда следует утверждение задачи. 600. Пусть ABC—данный треугольник, AiBiCi—треугольник Д, А2В2С2 — треугольник δ (Αχ и А^ — центры треугольников, построенных на ВС), стороны треугольника ABC, как обычно, равны ' о, Ь, с. а) То что треугольники ΑχΒχΰχ и А2В2С2—правильные, следует, например, из результата задачи 597. б) Докажем более общее утверждение. Бели на сторонах ААВС во внешнюю (или во внутреннюю) сторону построены подобные треугольники АгВС, ВгСА, СХАВ так, что ZAxBC = ZBiCA = ZCiAB, LA\CB = ΔΒχΑΟ = Z.C\BA, то точки пересечения медиан треугольников ABC и ΑχΒχΟι совпадают. Заметим сначала, что если Μ — точка пересечения медиан ААВС, то = 0 и, обратно, если выполняется это равенство, то Μ — точка пересечения медиан ААВС. Осталось проверить, что МА\ + МВ\ 4- ΜС\ = 0, или (Ш+АС^ + ^+ВА^ + ^+СВг)^. Но Ш+Ш+мЬ^О. Кроме того, ;4(7ι+Β;4ι+(7.Βι=0, поскольку каждый из векторов АС\, ВА\, СВ\ получается из AS, Bu, CA поворотом на один и тот же угол (ZA\BC) и умножением на одно и то же число. в) Рассмотрим более общий случай. На сторонах ААВС во вне и во внутрь его построены как на основаниях равнобедренные треугольники АгВС, BiCA, CiBA и А[ВС, В[СА, С[ВА, в которых отношение высоты, опущенной на основание, к длине основания равно к. Пусть О — центр описанной около ААВС окружности, о, Ь, с — его стороны, Ао, В0, Со — соответственно середины ВС, С А, АВ. Будем считать для определенности, что АВСУ—остроугольный треугольник. Тогда Sa^oCx = \МО · CiOrniB = \{OA$ + ka)(OC0 + + Jfcc)sinB = \OAq · OCosinB + \k2acAnB + |(оОС0 + сО Ao)sinB = = k2SABC + Sa0oco + 4&2 (так как (аОСо + cOAq) sin2? = (aRcosC + +ci?cosA)sini? = (acosC + c(OsA)#sin.B==|b2). Получив аналогичные соотношения для треугольников А\ОВ\ и В\ОС\ и сложив их, найдем: «SUiBid = (ЗА;2 + \) Sabc + f (α2+Ь2+с2) (это равенство остается справедливым, если ААВС—тупоугольный). Для AAiB[C[ будем иметь: Sa[B[C[ = ||(α2 + &2 + с2) - (3JRC2 +|) 5вбс|. Следовательно, если |(о2 + +Ь2 + ^ _ (3fc2 +1) £лвс > 0, то S^Bid - SiiiBicj = (6fc2 + J) S,4bc, если же £(о2 + б2 + с2) - (З*2 + J) 5лвс < 0, то S^BiCi - йцвде = = |(о2 + Ь2 + с2). Можно доказать, что всегда о2+Ь2+с2 ^ ^у/ZSabc (в задаче 658 доказывается более сильное неравенство), а это означает, что при fc= ~т« разность площадей треугольников AiBiCi и AJBJCJ равна Sabc- 601. Пусть три данные точки образуют треугольник ABC. Возможны два семейства правильных треугольников, описанных около 230
ААВС. Первое семейство получается следующим образом. Построим на сторонах треугольника окружности таким образом, что дуги этих окружцостей, расположенные вне треугольника, измеряются углом 47г/3. Возьмем произвольную точку А\ окружности, построенной на ВС, прямая А\В вторично пересекает окружность, построенную на В А в точке С\, а прямая А\С пересечет окружность, построенную на С А в точке В\. Треугольник A\BiC\—один из треугольников первого семейства. Обозначим через Е, F и С? точки пересечения биссектрис AA\BiCi с окружностями, построенными на сторонах данного треугольника. Точки Е, F и G — фиксированы (Е — середина дуги окружности, построенной на ВС и расположенной по ту же сторону от ВС, что и ААВС). Точки E,.F и G являются центрами правильных треугольников, построенных на сторонах ААВС внутрь его. Треугольник EFG—правильный (см. задачу 600), его центр совпадает с точкой пересечения медиан треугольника АВС. Центр ΑΑχΒχΰχ лежит на окружности, описанной около EFG, квадрат радиуса этой окружности равен (см. решение задачи 600) \ (° *2+С— 25л/3), где о, Ь, с—стороны, S—площадь ААВС. Второе семейство правильных треугольников, описанных около ААВС, получается, если построить на сторонах ААВС окружности, дуги которых,, расположенные вне ААВС, равны 2π/3. Искомое геометрическое место точек состоит из двух концентрических окружностей, центры которых совпадают с точкой пересечения медиан ААВС, а радиусы равны 602. Докажем, что треугольники СВ\А2 и СА\В% получаются один из другого поворотом около точки С на угол 90°. В самом деле, АСААг^АСВВг (BBx=AC,BC=AAi, /.CBBx^ZCAAx), а поскольку ААг LBC и ВВг ±АС, то ВХС± АХС. Точно так же А2С и В2С равны и перпендикулярны. 603. Докажите, что касательные к окружности, проведенные из вершин, между которыми расположена одна вершина многоугольника, равны. Отсюда следует, что для многоугольника с нечетным числом сторон точки касания являются серединами сторон. 604. Заметим, что если рассмотреть систему из векторов, имеющих начало в центре правильного га-угольника, а концы в его вершинах, то сумма этих векторов равна нулю. В самом деле, если повернуть все эти векторы на угол 2π/η, то их сумма не изменится, а с другой стороны, вектор, равный их сумме, повернется на этот же угол. Значит, и сумма проекций этих векторов на любую ось равна нулю. Вернемся к задаче. Если φ—угол между данной прямой (обозначим ее через I) и одним из векторов, то остальные векторы образуют углы y> + ^f, ^ + 2—, ..., y> + (n —1)~. Квадрат расстояния от fc-й вершины до I равен sin2 (y? + fc~) = |(l-cos(2y> + fc^)). **° вели" чины cos (2φ + к~) можно рассматривать как проекции на / системы 231
η векторов, образующие с J углы 2φ + к***· (к=0,1,..., η -1). При η нечетном эти векторы образуют правильный га-угольник, при га четном будет дважды повторенный j-угольник. Ответ: §. $05. а) Бели сторона многоугольника равна о, S—его площадь, χχ, Х2У..., хп—расстояния от некоторой точки внутри него до сторон, то утверждение задачи следует из равенства S = (α$χ + ох2 +... + α#η)/2. б) Рассмотрим правильный многоугольник, содержащий данный внутри себя, стороны которого параллельны сторонам данного. Сумма расстояний от произвольной точки внутри данного многоугольника до сторон правильного—постоянна (пункт а) и отличается от суммы расстояний до сторон данного на постоянную величину. 606. Обозначим через Βχ, 1?2, ···, Вп+1 точки, симметричные Αχ, Лг, ..., Αη+χ относительно диаметра АъА2П+и Ck и С'к— точки пересечения прямой AkA2n+i-k с ОАп и ΟΑη+χ. Пусть 2?*-ι и^ — точки пересечения прямых AkBk-i и AkBk+x с диаметром. Очевидно, что эти же точки являются точками пересечения с диаметром прямых BkAk-i и AkBk+i- Очевидно, что ADk-iAkDk =АСкОС'к. Таким образом, сумма отрезков С*С£ равна сумме отрезков Dk-1Dk (fc = l,...,ra), D0 = Aqj Dn = О, т. е. равна радиусу. 607. Пусть А (рис. 56) — данная точка, Ak— какая-то вершина 2га-угольника, Bk-i и В* — основания перпендикуляров, опущенных из А на стороны, заключающие А*, а* и /?* — углы, образованные прямой AAk с этими сторонами (/?* =ZAAkBk-x, a* = /.AAkBk). Поскольку около четырехугольника ABk-xAkBk можно описать окружность, то ZABfc-1-B*=<**, ZABkBk-i =/3* (или дополняют эти углы до 180°); таким образом, по теореме синусов ^^ = fj^, ABh-^Bk^ = ^ΖίΆΐ\' Пф^ножая эти равенства для fc = 2,4,...,2η, заменяя индекс 2га +1 на 1, получим требуемый результат. <Ю8. Докажите, что если Ok и Ok+i — центры окружностей, касающихся данной окружности в точках Ak и Ak+x, В — точка их пересечения, лежащая на хорде AkAk+x; г*, rk+i—их радиусы, то г к + r*+i =r, ZAkOkB = ZAk+xOk+iB = <iAkOAk+x (г—радиус данной окружности, О—ее центр). Отсюда следует равенство радиусов через один, что при га нечетном приведет к тому, что все они — по г/2. Кроме того, ^ АкВ+ ^ BAk+χ =^ AkAk+χ (берутся длины меньших дуг соответствующих окружностей). 609. а) Пусть А — произвольная точка окружности (А — на дуге ΑχΑ2η+ι)· Обозначим сторону многоугольника через о, а длину диагонали, соединяющей вершины через одну,— через Ь. По теореме Птолемея (задача 534) для четырехугольника AAkAk+xAk+2 имеем:' AAk а+AAk+2Q>=AAk+x Ь (к=1,2,... 2η -1). Аналогичные соотношения можно записать для четырехугольников Α2ηΑ2η+\ΑΑχ и Α2η-\·ιΑΑχΑ2: ΑΑχα + AA2n+ib = АА2По>> 232
Дь- Ак+х У N а-у Рис. 56 Рис. 57 ΑΑ2η+χα + АА\Ь = АА2о. Сложив все эти равенства, оставляя вершины с четными номерами справа, а с нечетными слева, получим требуемое утверждение. б) Наше утверждение следует из пункта а) и результата задачи 206. (Аналогичную формулу можно получить в случае внутреннего касания.) 610. а) Пусть I пересекает АС и ВС соответственно в точках К πΝ и касается окружности в точке Μ (рис. 57). Обозначим: АС—ВС=ау АК=КМ = х, BN = NM=y. Очевидно, ^=<fl~ffi~rt, но по теореме косинусов для ACKN верно равенство (х + у)2 = (а — х)2 + (о — у)2 — -2(а - χ) (а - у) cos α -* sin2 f = y^Jvl· ν. Таким образом, ^y = sin2f. (Аналогично рассматриваются другие случаи расположения прямой ι.) б) Воспользуемся результатом пункта а). Перемножая соответствующие равенства для всех углов η-угольника, получим квадрат искомого отношения, а само отношение окажется равным 1/ (sinЦьsinЦ*...sin^j*·), где αχ, аг, ..., αη—углы многоугольника. в) Воспользуемся результатом пункта а). Если обозначим точки касания сторон ΑχΑ2> А2А3,..., Α2η-χΑ2η, ΑΐηΑχ с окружностью соответственно через В\} В2у ..., ifen-ь #2п, через a*i, Хг,..., a?2n-i> ^2η — соответственно расстояния от Αχ, А2, ..., А2п до /, через j/i, 2/2, ···> 2/2n — соответственно расстояния от Βχ, В2, ..., В2п ДО /, то получим: τ2 У2пУ\ *™2Ψ τ2 2/12/2 sin4 ^2η _ 2θ2' 2 2/2η-ΐ2/2η 8Ш 2«k' где αχ, аг, ..., ot2n— углы многоугольника. Перемножая равенства, содержащие χχ, жз, ..., Ж2п-ь и деля на произведение остальных раве