АЛГЕБРА
"	ТАТАР УРТА ГОМУМИ БЕЛЕМ БИРҮ
J∣j ИӘКТӘБЕНЕҢ 8 НЧЕ сыйныфы ©ЧЕН
н дәреслек
С. А. ТЕЛЯКОВСКИЙ редакциясендә
Россия Федерациясе Мәгариф һәм. фән министрлыгы
тәкъдим иткән
I	бүлек
РАЦИОНАЛЬ ВАКЛАНМАЛАР
II	бүлек
КВАДРАТ ТАМЫРЛАР
III	бүлек
КВАДРАТ ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР
IV	бүлек
ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР
V	бүлек
БӨТЕН КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
Казан • «Мәгариф» нәшрияты
Москва • «Просвещение»
2005

УДК 373.167.1 : 512*08
ББК 22.14 я 72
А47
Дәреслек
1988 елда
гомуми урта
белем бирү
мәктәпләре
ечен дәрес¬
лекләрнең
Бөтенсоюз
конкурсында
беренче урын
алган
Авторлары:
Ю. Н. МАКАРЫЧЕВ, Н. Г. МИНДЮК,
К. И. НЕШКОВ, С. Б. СУВОРОВА
⅛firM-⅜∙ - λ,-*-r-'ι-
Шартлы тамгалар
хәтердә калдырырга тиешле текст
|Ц белергә тиешле материал
мәсьәләне чишә башлау
<] мәсьәлә чишүне тәмамлау
А расламаны нигезли яки формуланы чыгара
4* башлау
О нигезләүне яки формула чыгаруны тәмамлау
221 чишә белү мәҗбүр) саналган дәрәҗәдәге бирем
341 өйдә эшләү өчен бирем
529 авыррак мәсьәлә
Алгебра: Учеб, для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ Ю. Н. Ма¬
карычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред.
С. А. Теляковского.— 12-е изд.— М.: Просвещение, 2004.
Охраняется Законом РФ «Об авторском праве и смежных пра¬
вах». Воспроизведение всей книги или ее части на любых видах
носителей запрещается без письменного разрешения издательства.
Переводное издание учебника выпущено в свет по Лицензион¬
ному договору 3/16 от 14.02.05. Экземпляры переводного издания
подлежат распространению исключительно в Республике Татарстан,
а также среди татарской диаспоры на территориях других субъек¬
тов Российской Федерации.
Алгебра: Татар урта гомуми белем бирү мәкт. 8 нче с-фы
А47 ечен д-лек/Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков,
С. Б. Суворова; Русчадан Ф. М. Хафизова, Л. Ш. Галиева тәрж,.—
Казан: Мәгариф, 2005.— 238 б. : рәс. б-н.
ISBN 5-7761-1497-7
ISBN 5-7761-1497-7 -*■	© Издательство «Просвещение», 1989
© Художественное оформление.
Издательство «Просвещение», 2000
Все права защищены
© Татарчага тәрҗемә, «Мәгариф* нәшрияты,
2005, үзгәрешләр белән

§ 1 Рациональ вакланмалар
һәм аларның үзлекләре
1.	Рациональ аңлатмалар
VII сыйныф курсында без бөтен аңлатмаларның,
ягъни саннардан һәм үзгәрешлеләрдән кушу, алу
һәм тапкырлау, шулай ук нульдән үзгә булган
санга бүлү гамәлләре ярдәмендә төзелгән аңлат¬
маларның рәвешүзгәртүе белән шөгыльләндек.
Мәсәлән,
7a2b, m3 + n3, (х - уХх2 + у2),
bl0-⅛≤), ⅛5,2x = 9
I	о
аңлатмалары бөтен аңлатмалар була.
Бөтен аңлатмалардан аермалы буларак
4α--δ	Ξ±V

2a+l ’ χ2-3xy+y2 ’
п 5
аңлатмалары кушу, алу һәм тапкырлау гамәллә¬
реннән тыш үзгәрешлеле аңлатмага бүлү гамәлен
эченә алалар. Андый аңлатмаларны вакланмалы
аңлатмалар дип атыйлар.
Бөтен һәм вакланмалы аңлатмаларны рацио¬
наль аңлатмалар дип атыйлар.
Бөтен аңлатманың үзенә кергән үзгәрешле-
ләрнең теләсә нинди кыйммәтләрен алганда да
мәгънәсе саклана, чөнки бөтен аңлатманың
кыйммәтен табу өчен, һәрвакыт эшләп була тор¬
ган гамәлләр кулланыла.
Үзгәрешл ел әрнең кайбер кыйммәтләре өчен
вакланмалы аңлатманың мәгънәсе булмаска да
3> -

мөмкин. Мәсәлән, 10 + ~ аңлатмасының а = 0 бул¬
ганда, мәгънәсе юк. а ның барлык башка кыйм¬
мәтләрен биргәндә, бу аңлатманың мәгънәсе бар.
х һәм у үзгәрешлеләре x≠y булырлык кыйммәт-
у
ләр алганда х + ~~∑ аңлатмасының мәгънәсе бар.
л у
Үзгәрешлеләрнең аңлатманың мәгънәсе булыр¬
лык кыйммәтләрен үзгәрешлеләрнең мөмкин
саналган кыйммәтләре дип атыйлар.
Санаучысы һәм ваклаучысы күпбуыннар бул¬
ган вакланма рациональ аңлатманың аерым бер
төре булып тора. Андый вакланмаларны рацио¬
наль вакланмалар дип атыйлар.
5 Ь-3 х+У	3
а’ 10 ’ χz-χy+yz ’ r∏2-n2
вакланмалары рациональ вакланмаларга мисал
булып торалар. Вакланманың ваклаучысын
нульгә әйләндерми торган үзгәрешлеләрнең кыйм¬
мәтләре рациональ вакланмада мөмкин саналган
кыйммәтләр булып тора.
⅜∣8⅜B⅞-,	5
1	нче мисал α(α-9) вакланмасында үзгәрешленең мөмкин са¬
налган кыйммәтләрен табыйк.
► а ның нинди кыйммәтләрен биргәндә вакланма¬
ның ваклаучысы нульгә әйләнүен табу өчен
а(а — 9) = 0 тигезләмәсен чишәргә кирәк.
Бу тигезләмәнең ике тамыры бар: 0 һәм 9.
Димәк, 0 һәм 9 дан башка барлык саннар а үз-
гәрешлесенең мөмкин саналган кыйммәтләре
була. <1 ’
2	иче мисал α=θ> 6 = -1,5 булганда, вакланмасының
кыйммәтен табыйк:
За-b = 3-f-(-l,5) = 2+1,5 = 3sδ = , 7r <1
2αb 2∣(-1,5) f (-3)	-2
О	о
ИСААК НЬЮТОН (1643-1727)
— инглиз математигы, механигы, астрономы
һәм физигы. Лейбництан бәйсез рәвештә мате¬
матик анализ нигезләрен эшкәрткән, классик
механиканың төп законнарын уйлап тапкан, бө¬
тендөнья тартылу законын ачкан.
4

Күнегүләр
1	∣α⅛, (x-y)2-4xy, ^⅛∙^7^-*fl⅛fe>(c + 3)2+7 аңлат¬
маларыннан кайсылары бөтен, кайсылары вакланмалы?
2	7x2-2xp,^,^,a(a-b)-^,l∕n2-∣n2,-^g-8 рациональ
анлатмалары арасыннан
а)	бөтен аңлатмаларны;
б)	вакланмалы аңлатмаларны язып алыгыз.
3	u = 3; 1; -5; i; -1,6; 100 булганда, вакланмалы аң-
—	Z	у
латмасының кыйммәтен табыгыз.
4	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	⅛⅜ , a = -2 булганда; в) х +	, х = ■ | булганда;
б)	Ь = 3 булганда; г)	, у = 1,5 булганда.
5	а) a = -3, b = -1; б) a = 1∣, b = 0,5 булганда,
(a+ft)2-l	„	_
—— вакланмасының кыйммәте күпмегә тигез?
6	Таблицаны тутырыгыз:
X
-13
-5
-0,2
0
X
17
1
≈2
5 3
7
х+5
х-3
7	a нульгә якын булганда, вакланмасының кыйммәт¬
ләрен исәпләү өчен, ≈ 1 - a якынча тигезлегеннән фай¬
даланалар. Бу тигезлекне кулланып, вакланманың кыйм¬
мәтен табыгыз:
a)	1⅛1 ’	6) ‰002 ’ В) 0⅛9 ’ Г) 0,997 '
8	t сәгать эчендә поезд s километр юл үтә. Поездның уртача
тизлеге и ны (км/сәг ләрдә) s һәм t аша күрсәтегез.
Әгәр
а)	t = 3, s = 180; б) t = 2,5, s = 225
булса, и ны табыгыз.
9	Аралары з километр булган А һәм В шәһәрләреннән бер
үк вакытта кара-каршы ике поезд юлга чыга. Беренчесе
υ1 км/сәг тизлек белән, ә икенчесе v2 км/сәг тизлек белән
5

бара. Алар t сәгатьтән соң очрашалар, t үзгәрешлесен s, υ1
һәм υ2 аша күрсәтегез. Әгәр
a) s = 250, υ1 = 60, υ2 = 40; б) s = 310, ι>1 = 75, υ2 = 80
икәне билгеле булса, t ның кыйммәтен табыгыз.
10
11
12
13
14
15
16
17
Вакланма төзегез:
а)	санаучысы х һәм у үзгәрешл ел әренең тапкырчыгышы,
ә ваклаучысы аларның суммасы булсын;
б)	санаучысы а һәм Ь үзгәрешлеләренең аермасы, ә вак¬
лаучысы аларның тапкырчыгышы булсын.
a>⅛
Үзгәрешле нинди кыйммәтләргә ия булганда, рациональ
аңлатманың мәгьнәсе бар:
b, у +y-3'
г) -≡⅛-Π
α(α-l)
Аңлатмадагы үзгәрешленең
ләрен күрсәтегез:
а) х2 - 8х + 9;
мөмкин саналган кыйммәт-
в)
6>6⅛
Аңлатмадагы
рен табыгыз:
а)
а) 11 ,
г)
Д) -⅛⅛"3x5
x2+25
е) —a⅛ +	.
х+8 х
Зх-6 .
7 ’
x2-8 .
4x(x+l) ’
үзгәрешленең мөмкин саналган кыйммәтлә-
б)Л;
у-9
в)	Х±1_;
y2-2y
г)	^;
' y2+3 ’
μ∙, у-6 + у+6 ’
е) 32_У+1.
У У+7
Функциянең билгеләнү өлкәсен табыгыз:
а) у = -J⅛; б) у = 2.x+3 ; в) у = х + —Ц-.
w х-2	’ я x(x+l)	, w х+5
Үзгәрешле нинди кыйммәткә ия булганда, вакланма-
„ &
сының кыйммәте
а) 1 гә; б) 0 гә; в) -1 гә; г) 3 кә тигез була?
Үзгәрешле нинди кыйммәтләргә ия булганда,
a)jςδ. 6)¾3. b)*<*⅛L г)«
’ 8	’ 10 ’	’ х+4	’ х-5
вакланмасының кыйммәте нульгә тигез?
а)	a > 0 һәм Ь > 0;
б)	а > 0 һәм Ь < 0;
икәне билгеле булса,
в)	a < 0 һәм Ь > 0;
г)	a < 0 һәм Ь < 0
вакланмасының тамгасын билгеләгез.
6

18	Үзгәрешленең теләсә нинди кыйммәте өчен вакланманың
кыйммәте түбәндәгечә булуын исбатлагыз:
V 3	4 (α-l)2
а)	уңай;	в)	тискәре түгел;
б)	■ тискәре;	г)	уңай түгел.
19	Калькулятор ярдәмендә вакланманың кыйммәтен табы¬
гыз:
2х—3
а)	х = 2,47 булганда, 3χ+2 нең;
б)	х — 3,18 булганда, нең.
Нәтиҗәләрне йөзенче өлешләргә кадәр түгәрәкләгез.
Кабатлау өчен күнегүләр
20 Күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(х - 10)fx + 10);
б)	(2а + 3) (2а - 3);
в)	(у - 5b)(y + 5Ь);
г)	(8х + у)(у - 8х);
Д) (х + 7)2;
е)	(Ь + 5)2;
ж)	(а - 2х)2;
з)	(ab -1)2.
21 Күпбуынны тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	15αx + 20ау;
б)	36feι∕ - 9су;
в)	х2 - ху;	д) a2 + 5аЬ;
г)	ху - у2;	е) 15c - 10c2.
22 Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	х2-25;
б)	16 - с2;
в)	a2 - 6a + 9;	д) а3 - 8;
г)	х2 + 8х + 6;	е) b3 + 27.
2.	Вакланманың төп үзлеге. Вакланмаларны кыскарту
Гади вакланмалар өчен без мондый үзлек үтәл¬
гәнен беләбез: әгәр вакланманың санаучысын да,
ваклаучысын да бер үк натураль санга тапкыр¬
ласаң, вакланманың кыйммәте үзгәрми. Башка¬
ча әйткәндә, а, Ъ һәм с ның теләсә нинди нату¬
раль кыйммәтләре өчен	тигезлеге дөрес.
Бу тигезлекнең натураль кыйммәтләр алган¬
да гына түгел, бәлки a, Ь һәм с ның ваклаучы
нульгә тигез булмаганда, ягъни b≠0 һәм c≠0
булгандагы теләсә нинди кыйммәте өчен дә дөрес
булуын исбатлыйк.
О & = т булсын. Ул вакытта өлешнең билгеләмәсе
буенча а = Ьт. Бу тигезлекнең ике кисәген дә с га
тапкырлыйк: ас = (Ьт) с.
7

Тапкырлауның урын алыштыру һәм оешты¬
ру үзлекләре нигезендә табабыз:
ас = (Ьс) т.
be ≠ 0, шуңа күрә өлешнең билгеләмәсе буенча
ас — ™
I = т .
Ьс
Шулай булгач,
— = ac f
b bc'^j
Димәк,
а, Ь һәм с ның (биредә Ь ≠ 0 һәм с ≠ 0) теләсә нинди кыйм¬
мәтләре өчен
Ь be	*1'
тигезлеге дөрес.
Үзгәрешл ел әрнең теләсә нинди кыйммәтләре
өчен дөрес булган тигезлекләрне элек без бердәй¬
лекләр дип атый идек. (1) тигезлеге үзгәрешле-
ләрнең барлык кыйммәтләре өчен дә дөрес, бу ва¬
кытта үзгәрешлеләрнең мөмкин саналган барлык
кыйммәтләре өчен дә тигезлекнең уң кисәгенең дә
һәм сул кисәгенең дә мәгънәсе була. Андый ти¬
гезлекләрне шулай ук бердәйлекләр дип атыйлар.
Билгеләмә. Аңлатмага кергән үзгәрешлеләрнең мөмкин са¬
налган барлык кыйммәтләре өчен дөрес тигезлек бердәйлек
,⅛i
Үзгәрешлеләрнең мөмкин саналган барлык
кыйммәтләре өчен үзара тигез кыйммәтләр алган
ике аңлатманы бердәй тигез дип, ә бер аңлатма¬
ны шундый икенче аңлатма белән алыштыруны
аңлатманы бердәй үзгәртү дип атыйлар.
Без үзгәрешлеләрнең мөмкин саналган бар¬
лык кыйммәтләре өчен дә (1) тигезлегенең дөрес
булуын исбатладык. Димәк, бу тигезлек бердәй¬
лек була. ~ бердәйлеге белән күрсәтелгән
үзлекне вакланманың төп үзлеге дип атыйлар.
(1) бердәйлегендә аның сул һәм уң кисәкләренең урынна¬
рын алыштырып табабыз:
ас _ а
be Ь •
Бу бердәйлек рәвешендәге вакланманы аңа бердәй тигез
⅜ вакланмасы белән алыштырырга, яки мондый очрак-
*	»	ас
ларда әйтелгәнчә, вакланмасының санаучысын да, вак¬
лаучысын да уртак тапкырлаучы с га кыскартырга мөм¬
кинлек бирә. Мисаллар китерик.
8

⅜ H4e мисал
21y
3y2
вакланмасын кыскартыйк.
Бу вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да
бер үк Зу тапкырлаучысын эченә алган тапкыр¬
чыгышлар рәвешендә күрсәтик һәм вакланманы
бу тапкырлаучыга кыскартыйк:
i⅛ = I⅛=7 <ι
Зу2 у-Зу у ∙
2 иче мисал	вакланмасын кыскартыйк.
[> Бу вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да
тапкырлаучыларга таркатыйк:
α2-9 _ (a+3)(a-3)
аЬ+ЗЬ fr(a+3)
Килеп чыккан вакланманы a + 3 уртак тап¬
кырлаучысына кыскартыйк:
(a+3)(a-3) = а-з
b(a+3) Ь ’
Шулай итеп,
a2-9 _ а-3 <ι
ab+3b Ь '
(1) бердәйлеге вакланмаларны бирелгән вак¬
лаучыга китерү өчен дә файдаланыла.
⅛>⅛⅛	2х	..
3	иче мисал jy вакланмасын 35z∕d ваклаучысына китерик.
► З5г/3 = 7y ∙ 5y2 булганга күрә, вакланмасының
санаучысын да, ваклаучысын да 5y2 ка тапкыр¬
лап табабыз:
2x	2x∙5y2	10xy2
7y	7y∙5y2	35y3 ∙
5y2 тапкырлаучысын вакланмасының са¬
научысына һәм ваклаучысына өстәмә тапкыр¬
лаучы дип атыйлар.
4	иче мисал 2у-х вакланмасын х - 2у ваклаучысына китерик.
L> Моның өчен әлеге вакланманың санаучысын да,
ваклаучысын да -1 гә тапкырлыйк:
5	5∙(-D	-5
2y-x (2y-x)∙(-l) х-2у •

-5
x-2y вакланмасын вакланма алдына «минус»
тамгасы куеп һәм санаучының тамгасын үзгәр-
—5
теп, аңа бердәй тигез булган - х_2у аңлатмасы
белән алыштырырга мөмкин:
-5 _	5
x-2y x-2y ∙ ≤∣
Гомумән,
әгәр вакланма санаучысының тамгасын (яки ваклаучысы¬
ның тамгасын) һәм вакланма алдындагы тамганы үзгәрт¬
сәк, бирелгәнгә бердәй тигез аңлатма килеп чыга.
Күнегүләр
23 Санаучы белән ваклаучының уртак тапкырлаучысын күр¬
сәтегез һәм вакланманы кыскартыгыз:
а) В;
ох
в! 6a •
' 24a ’
д)
-2ху .
5x2j∕ ’
б)
' 25j∕ ’
г)
, 21bc '
е)
8x2y2
2ху •
24 Вакланманы
кыскартыгыз:
а)
151/2
в) -⅛∙
, -4a2b,
д)
-ах2
ху ;
ж)
24a2c2 .
Збас ’
б)
9bc2
. -6p2q
Г) -2,> ’
е)
Заху .
бау3 ’
з)
63x2y3
42x6y4 '
25 Өлешне вакланма рәвешендә күрсәтегез һәм вакланманы
кыскартыгыз:
а)	4α2fe3 : (2а4Ь2);
б)	3xι∕2 : (6х3у3);
в)	24p⅛4 : (48р2д2);
г)	36τn2n : (18тпп);
д)	-32ft5c : (12b4c2).
е)	-бах: (-18αx).
26 Вакланманы кыскартыгыз:
а)
8⅛ .
24с ’
в) 4q2 •
, бас ’
д)
w a3bs
ж)
56m2ns .
35mn5 ’
б)
5ay e
15by ’
г) ^-∙,
21xy2
∖ χβy4
, x4yβ
з)
25 piq
100p5g
27 Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a) -≡^-∙
' 16i2 ’
б)
8125
2733 '
28 Вакланманы кыскартыгыз:
. a(b-2),	3(x+4) .	a⅛(y+3) .	. 15α(α-b)
' 5(b-2) ’ of c(x+4) ’ b' a2b(y+3) ’ j 20b(a-b) ‘
10

29 Вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да тапкырлау¬
чыларга таркатыгыз һәм аны кыскартыгыз:
3a+12b.	2а-4 .
a, 6ab ’	9 3(a-2) ’
m 15⅛-20c .	„ч 5x(y+2).
o' 10b ’	9 бу+12 ’
30 Вакланманы кыскартыгыз:
д)	a~3⅜- ;
a2-3ab
. 3x2+15xy
е)	х+5у •
y2-16	(с+2)2 .
a' Зу+12 ’	7c2+14c ’
λ a2+10a+25
Д) a2-25	’
5x-15y	6ed-18c
6) x2_9j/2 ;	∏ (d-3)2 ;
у2-9
θ) j∕2-6y+9 •
31	Вакланманы кыскартыгыз:
4 a2-ab+b2 .	a3-b3
а) a3+b3 ’	6>^τ≡r∙
32	a) a = - 2, b = -0,1 булганда,
6)С = |,
о
d = ⅜ булганда,
2j
9c2-4d2 .
18c2d-12cd2 ’
.	о λ λ ~	6x2+12xy
в)	х = ⅛, у = -0,4 булганда, -——-≡-;
3	5xy+10y2
v „ „	„ _ _	х2+6ху+9у:
г)	х = -0,2, у = -0,6 булганда,	—
4x2+12xy
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
33	Вакланманы кыскартыгыз:
x(y-7) .	, p2-25⅞2 .	a2+a+l .
, у(у-7) ’	' 2p-10g ’ Ж' α3-l ’
fn 10a-15⅛.	x2-4x+4 .	„ч Ъ+2
θ' 16a-24b ’	χ2-2x ’	9 b3+8'
2aι+14 .	e1 3y2+24t∕ .
τn2-49 ’	9 yz+16y+64 ’
34	Өлешне вакланма рәвешендә күрсәтегез һәм вакланманы
кыскартыгыз:
а)	(9x2 - у2) : (Зх + у);	в) (х2 + 2х + 4) : (х3 - 8);
б)	(2ab - a) : (4fc>2 - 4b + 1);	г) (1 + α3) : (1 + а).
35
Вакланманы кыскартыгыз:
2x+bx-2y-by.
7x-7y	,
8a+4⅛

0' 2ab+b2-2ad-bd ’
ху-х+у-у2 .
'	x2-y2	’
,	a2+2ac+c2
г)	.
ai+ac-ax-cx
11

3β
—X
37
38
~ аңлатмалары арасыннан
УУ У У
а)	½ вакланмасына бердәй тигез;
б)	вакланмасына капма-каршы булганнарын язып алыгыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	4→j	b)⅛⅛
Ь-а	’ Ь-а
б)	<a~⅜)2 .	а-Ь .
’ (Ь-а)2
Вакланманы
α(x-2y) #
b(2y-x) ’
5x(x-y) .
x3(ι∕-x) ’
За-36 .
12b-ab ’
a)
б)
в)
39
40
41
42
43
44
Г) (Ь-а)2 ’
кыскартыгыз:
7⅛-14⅛2
42δ2-21δ ’
25-α2
3α-15 ’
г)
д)
е)
З-Зх .
x2-2x+l’
Вакланманы кыскартыгыз:
. ax+bx-ay-by	.	7p-35
й) bx-by ’ b'	15-Зр ’
«х a⅛-3⅛-2a+6 .	r∖	18a-3a2	.
'	15-5β	’	,	8β2-48β,
Аңлатманы гадиләштерегез:
™ у6-у8
θ) 4 о ,
У4-у2
I	ft. -Lfl.
а)	a = -j булганда, ;
б)	b = -O,l булганда,
быгыз.
а)
в)
Д)
' а+Ь
е) -(a+⅛)2
(-a-∂)2
з)
. 8⅛2-8a2 .
f a2-2ab+b2 ’
(⅛-2)3
(2-b)2 ’
д)
е)
4-х2 .
10-5x ’
a2-6a+9
27-a3
⅛7-⅛1°.
∂δ-b2 ’
z∙β-√∙4
г) -——
, с3—с2 •
Вакланманы кыскартыгыз:
. (2a-2⅛)2 .	(3c+9d)2 .
a, a-b ,	6, c+3d ’
аңлатмасының
кыйммәтен та-
4x2-y2
r) (10x+5y)2 •
Түбәндәге вакланмаларны 24α⅛2 ваклаучысына китерегез:
5⅛ 7a 1	2
8β3 ’ 3⅛2 ’ 2ab ’ a2b2 ’
2a + b аңлатмасын ваклаучысы a) b га; б) 5 кә; в) За га;
г) 2a - b га тигез булган вакланма рәвешендә күрсәтегез.
(3x+6y)2
b* 5x+10y ’
12

45	a) вакланмасын (α - 6)2 ваклаучысына;
б)	вакланмасын x2 - a2 ваклаучысына;
в)	вакланмасын x3 -1 ваклаучысына;
г)
За
a2+ab+b2
вакланмасын a3 - b3 ваклаучысына;
Д)
7
У-Ь
вакланмасын Ь-у ваклаучысына;
е) вакланмасын 10 - a ваклаучысына;
ж> ⅛
вакланмасын 4-р2 ваклаучысына;
з) Q^2a вакланмасын 2(a2 ~ 9) ваклаучысына китерегез.
46	а) вакланмасын 15x2y2 ваклаучысына;
— Зху2
б)	—⅛- вакланмасын 35a3c3 ваклаучысына;
7a2c
в)	—¾ вакланмасын а2 - 2а ваклаучысына;
г)	—L- вакланмасын x3 + 1 ваклаучысына;
х+1
д)	вакланмасын х-у ваклаучысына;
е)	^4 вакланмасын 16 - а2 ваклаучысына китерегез.
Кабатлау өчен күнегүләр
47	Тигезләмәне чишегез:
а)	-5х = 16;	в)^х = 4;	д)0,6х = 3;
б)	2х = ^;	г) 4x = -2 ;	е) -0,7х = 5.
48	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	662-(26 + 5) (36-7);
б)	16x2 - (4х + 0,5) (4х - 0,5);
в)	2y(y - 1,5х) - 5 (х + 4у) (у - х);
г)	3(a - 26X26 + а) - 0,56 (a - 246).
13

49	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	5bc - 5с;
б)	10п + 15п2;
в)	8ab + 12Ьс;
г)	5y-5x + y2- ху;
Д) а2 - 9;
е) х2 + 10х + 25;
ж)	y2 - 2y + 1;
з)	α3 + 64;
и)	ft3-l.
50	Исәпләмичә генә аңлатмаларны кыйммәтләре үсә бару тәр¬
тибендә урнаштырыгыз:
_5_ : 6,	0,1, — (-7)
16	’ 16 ’ ’ 16 1 '•
Контроль сораулар
1	Бөтен аңлатмаларга, вакланмалы аңлатмаларга мисаллар
китерегез.
2	Нинди вакланманы рациональ вакланма дип атыйлар? Ми¬
сал китерегез.
3	Бердәйлеккә билгеләмә бирегез. Мисал китерегез.
4	Вакланманың төп үзлеген әйтегез һәм исбатлагыз.
5	Вакланма алдындагы тамганы үзгәртү турындагы кагый¬
дәне әйтегез.
§ 2. Вакланмаларның суммасы
һәм аермасы
3.	Ваклаучылары бертөрле булган
вакланмаларны кушу һәм алу
Ваклаучылары бертөрле булган гади вакланмалар¬
ны кушканда аларның санаучыларын кушалар, ә
ваклаучыны үзгәрешсез калдыралар. Мәсәлән,
2,32+35
7 7	7	7 •
Ваклаучылары бертөрле булган рациональ
вакланмаларны да шулай ук кушалар:
α + Ъ _ а+Ь
с с с '
Үзгәрешлеләр мөмкин саналган теләсә нинди
кыйммәткә ия булганда да, ягъни с ≠ 0, бу тигез¬
лекнең дөрес икәнен исбатлыйк.
• — - т, - = п булсын. Ул вакытта өлешнең билге-
с с
ләмәсе буенча a = cm, b = сп. Моннан a + b =
= cm + cn = c(m + п), ягъни a + b = c (m + п).
14

c ≠ 0 булганга күрә, өлешнең билгеләмәсе буенча
m + n=a+b
с
Димәк, с ≠ 0 булганда,
a + Ь _ а+Ь q
с с с ‘
Без бердәйлек таптык, аннан ваклаучылары бер¬
төрле булган вакланмаларны кушу кагыйдәсе чыга:
ваклаучылары бертөрле булган вакланмаларны кушу өчен,
аларның санаучыларын кушарга, ә ваклаучының үзен
калдырырга кирәк.
Бу кагыйдә ваклаучылары бертөрле булган те¬
ләсә никадәр сандагы вакланмаларны кушканда
да кулланыла.
Ваклаучылары бертөрле булган вакланма¬
ларны алу кушу кебек үк эшләнә.
a, Ь һәм с (биредә с ≠ 0) теләсә нинди булганда
да,
α _ Ъ_ _ а-Ь
с с с
тигезлегенең дөрес икәнен исбатлыйк.
• Моның өчен һәм & вакланмаларының сум¬
масы вакланмасына тигез булуын исбатлыйк.
Дөрестән дә,
а-Ь + Ь _ а-Ь+Ъ _ a q
с с с с ‘
Исбатланган бердәйлектән ваклаучылары бер¬
төрле булган вакланмаларны алу кагыйдәсе чыга:
ваклаучылары бертөрле булган вакланмаларны алу өчен,
беренче вакланманың санаучысыннан икенче вакланма¬
ның санаучысын алырга, ә ваклаучының үзен калдырыр¬
га кирәк.
4	3a-7b .	2a+2b	« .
■I нче мисал. 15 һәм 15g⅜~ вакланмаларын кушыйк:
2 нче мисал.
3a-7b , 2a+2b _ 3a-7b+2a+2b _ 5a-5b _
15ab 15afe 15ab 15ab
= 5(a-b) _ д-ь
15ab ЗаЬ '
zj2 I Q	Ад	w
g Λ вакланмасыннан √~η~E вакланмасын алыйк:
5α-15	oα-lo
'	α2+9	6a _ a2+9-6a _ (a-3)2 _ q-3 κ∩
5a-15 5a-15	5a-15	5(a-3)	5 ’
15

n	x2-3 , 2	2x-1
⅛« ≡β мисал, "2+2χ + χ2+2χ - χ2+2χ аңлатмасын гадиләштерик.
[> Биредә вакланмаларны кушканда һәм алганда
эзлекле рәвештә башкармыйча, ә бергә эшләү
җайлы:
x2-3 +	2	_ 2x-l _ x2-3+2-(2x-1) _
x2+2x x2+2x x2+2x	x2+2x
_ x2-l-2x+l = x2-2x = x(x-2) _ х-2	1
x2+2x	x2+2x	x(x+2)	х+2 ■
4 иче мисал.
За 1 6х
2Х_а һәм а_2х вакланмаларын кушыйк.
Вакланмаларның ваклаучылары капма-каршы
аңлатмалар булып торалар. Икенче вакланма¬
ның ваклаучысы алдындагы һәм вакланма ал¬
дындагы тамгаларны үзгәртеп табабыз:
6х _ 6х
a-2x 2х-а '
Хәзер ваклаучылары бертөрле булган вакланма¬
ларны алу кагыйдәсен кулланып була:
3α + 6х _
2x-α а-2х
_ За	6x _ 3α-6x _ -3(2x-α) _ _g 4h
2x-a 2x-a 2x-a 2х-а
Күнегүләр
51	Кушу яки алу гамәлен башкарыгыз:
а)	X- + i∙	в) - + — •
' 3 3 ’	В) У У ’	Д) 9	9 ’
б)	|-|;	r)5£_13£^U e)⅛*-⅜.
55	a a ¾	, о b
52	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
a∖ т _ т~Р .
Р Р ’
Q÷b	а—2Ь.
' 6	6 ’
х+5 _ х+2 .
'9	9 ’
г1 Их-5 . Зх-2 .
, 14х	14х ’
π∖ _ 2y+3 в
λ, Юу Юу ’
8c+25 , 5-2с
e> -βF~ + -6F∙
53	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
v 2x-3y lly-2x .	βv 5α+⅛5 5a-7⅛5 .
4xy	4xy ’	8& 8Ь ’
16

3x-y4 y4+3x.
' 4y5	4ys ’
. 7y-5 10y-19 , 10-15y .
a' 12y	12y	12y ’
γλ а-2 , 2a+5 _ 3-а .
, Sa Sa Sa ,
∖ lla-2b + 2a-3b _ a-b
' 4a	4a	4a
54 Аңлатманы гадиләштерегез:
17-12x ■ 10-x .
a' X	x ’
12pξ1-1ξ^.
3p2	3p2 ’
6yz3y+2.
f by 5y ’
b	3a-2b .
r' 6	6 ’
3p-q _2p+6q p-4q .
^f 5p	op	5p ’
∖ 5c-2d _ 3d , d-5c.
e, 4c 4c 4c’
jκ) 2a _ l~6a + 13-8a .
b	b	b
4⅛-2 2⅛-l . 1
3> 3b	3b 3b‘
55 Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	_ifL_ ⅛<⅛P-
x-4 x-4
б)	_25___aL.
υ, a+5 a+5 ’ .
r) _X=3_ + _1L;
x2-64 x2-64
∖ 2a+⅛ + 2⅛-5a .
(a-b)2	(a-b)2 ’
b) За-l	3⅛-l .
a2-l>2 a2-b2 ’
. 13x+6y llx+4y
e, (x+y)2	(x+y)2
56 a)	Ъ) аңлатмасының 4 кә бердәй тигез;
ab аЬ
б) ⅛r¾- + ⅛⅛ аңлатмасының 2 гә бердәй тигез икәнен
a2+b2 ai+bi
исбатлагыз.
57 а) х = 97 булганда,
x2+L 10 .
х-3	х-3 ’
б)у = -5,1 булганда,
мәтен табыгыз.
аңлатмасының кыйм-
58	a) a = 10,25 булганда, + ~θ ;
Л „	9Ь—1 65-10	u
б) & = 3,5 булганда, &2_g - аңлатмасының кыйммә¬
тен табыгыз.
59	Аңлатманы гадиләштереге&
1 a>
>λ I
+
1
)_2m^ + _2iL.	)aLtlβ+J8-.
, m-n n-m ’	, β-4	4-β
κ∖ a - θ .
6> c-3 3-c ’
5p	10g	x2+9y2 ι 6xy
r' 2q-p p-2q ’	x-3y 3y-x *
2 К 5/123
17

60	Вакланмаларны кушыгыз яки алыгыз:
. 10р _3р_.	х=3__2_. лч_о_ + _3_.
' Р~Ч Ч~Р ’	} х-1 1—х ’	Л) a2-9 9-α2 ’
б)-Ц- + ^-;	r) √lt + F≠!	θ)j⅛ + τj-∙
а-b Ь-а	2a-b b-2a ’ у-1 1-у
61	х ның мөмкин саналган барлык кыйммәтләре өчен аңлат¬
маның кыйммәте х ка бәйле түгеллеген исбатлагыз:
Зх+5 | 7x+3 .	β∖ 5х+1 | х+17
, 2x-l l-2x ’	, 5x-20 20-5x'
62	Аңлатманы гадиләштерегез:
. х2 25	x2+25 . 10х
а) (x-5)2 (5-x)2 ;	t,) (x-5)3	(5-х)3 •
63	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
я\ х2 _ 8(x-2) e fi 64-2a⅛ , 2ab~a2
, x2-16	x2-16 ’ f (α-8)2	(8-a)2 *
64	+ & бердәйлегеннән файдаланып, түбәндәге вак¬
ланмаларны аларның суммасы рәвешендә күрсәтегез:
a)a+5;	6)½⅛	b)⅞⅛5	r)⅛⅛
х	У	2xy	бау
65	Түбәндәге вакланмаларны вакланмаларның суммасы яки
аермасы рәвешендә күрсәтегез:
x2+y2 - 2x-y φ	a2+l .	. a2-3fl⅛
а)^4-;	б)—5 В>Т; г) a3 •
Кабатлау өчен күнегүләр
66	а) a = 2; б) а = — булганда, вакланмасының кыйм¬
мәтен табыгыз.
67	Тигезләмәне чишегез:
а)	3 (5х - 4) - 8х = 4х + 9;
б)	19x-8 (x-3) = 66 — Зх;
в)	0,2 (0,7х - 5) + 0,02 = 1,4 (х - 1,6);
г)	2,7 (0,1х + 3,2) + 0,6 (1,3 - х) = 16,02.
68	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	8x4 - 16х3у;	г) 18b2 - 98а2;	ж) ab + 8a + 9b + 72;
б)	15xy5 + Юу2;	д) х3 - 125;	з) 6т — 12 — 2п + тп.
в)	8а2-50у2;	е)у3 + 8;
69	Аңлатмада үзгәрешленең мөмкин саналган кыйммәтләрен
күрсәтегез:
а^ За • бЪ -⅛r∙	5x . r∖ 7a
z , 2a+25,	' 9+y2 ’	7 3x(x+12) ’	, (a+l)(a-4)'
18

4.	Ваклаучылары төрле булган
вакланмаларны кушу һәм алу
Ваклаучылары төрле булган вакланмаларны ку¬
шуны һәм алуны ваклаучылары бертөрле булган
вакланмаларны кушуга һәм алуга кайтарып кал¬
дырырга була.
һәм j вакланмаларын кушарга кирәк бул¬
сын. Бу вакланмаларны бер үк уртак bd ваклау¬
чысына китерәбез. Моның өчен беренче ваклан¬
маның санаучысын һәм ваклаучысын d га, ә
икенче вакланманың санаучысын һәм ваклаучы¬
сын Ь га тапкырлыйбыз. Табабыз:
a = ad с _ be
b bd ’ d bd'
Хәзер ваклаучылары бертөрле булган ваклан¬
маларны кушу кагыйдәсеннән файдаланырга була:
a . с _ ad . be _ ad+bc
b d bd bd bd '
Шулай итеп,
α , с _ ad+bc
b d bd ,
Ваклаучылары төрле булган вакланмаларны
алганда да шулай ук эшлиләр:
a _ с _ ad _ be _ ad-bc
b d bd bd bd ‘
Димәк,
a _ c _ ad-bc
b d bd ∙
Ваклаучылары төрле булган вакланмаларны
кушканда һәм алганда еш кына ваклаучылар¬
ның тапкырчыгышына караганда гадирәк булган
уртак ваклаучы табып була.
1иче мисал, ; һәм θaft4 вакланмаларын кушыйк.
► Вакланмаларның ваклаучылары — бербуыннар,
12a⅛4 бербуыны иң гади уртак ваклаучы була.
Бу бербуынның коэффициенты вакланмаларның
ваклаучылары коэффициентларының иң кечке¬
нә уртак кабатлысына тигез, ә вакланмаларның
ваклаучыларына кергән һәр үзгәрешленең иң
зур күрсәткечлесе алынган. Әлеге вакланмалар¬
ның санаучыларына һәм ваклаучыларына өстә¬
мә тапкырлаучылар 3bs һәм 2а2 ка тигез.
2*
19

Табабыз:
х , 5 _ x∙3⅛3+5∙2α2 _ 3⅜3x+10a2 <]
4a3b 6ab4 12β3b4	12a3b4
Kl≡o. ⅛+⅛ - ⅛+⅛ аермасын үзгәртик.
► Вакланмаларны уртак ваклаучыга китерү өчен,
һәр вакланманың ваклаучысын тапкырлаучы¬
ларга таркатабыз:
а+3	Ь-3 _ а+3	Ь—3
a2+ab ab+b2 a(a+b) b(a+b) '
ab(a + &) аңлатмасы иң гади уртак ваклаучы
була. Бу вакланмаларның санаучыларына һәм
ваклаучыларына өстәмә тапкырлаучылар Ь һәм
а га тигез.
Табабыз:
а+3	Ь—3 _ а+3	Ь—3 _
a2+ab ab+b2 a(a+b) b(a+b)
_ (a+3)⅛-(⅛-3)a = ab+3b-ab+3a _
ab(a+b)	ab(a+b)
= 3(a+⅛) _ з <j
ab(a+b) ab '
Бөтен аңлатма белән вакланманың суммасы
яки аермасы булган рациональ аңлатманы үзгәр¬
тү вакланмаларның суммасын яки аермасын
үзгәртүгә кайтарып калдырыла.
M≡ мисал, α — 1 - aa+^ аңлатмасын гадиләштерик.
► a - 1 аңлатмасын ваклаучысы 1 булган вакланма
рәвешендә күрсәтәбез дә вакланмаларны алабыз:
n _ 1 _ a2-3 _ а-1 _ a2-3 _
а+1	1	а+1
(a-l)(a+l)-(a2-3) = g2-i-αz+3 _ 2 . <
а+1	а+1	а+1’
Күнегүләр
70	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а\ х_.У_.	гЛ a-b£_.	∞∖	+
a) 2 + 3 ’	Г b a ’	ж) 8y 4у ’
с. _ d .	.	_3	2..	av	17у _ 25у .
' 4 12 ’	af	2x	Зх ’	3j	24с 36с	’
„х £. + S..	„х a . За .	5а _ 7а
b¼ + р ,	)	5c +	4с ’	и>	18fc 45b	-
20

71	Кушыгыз яки алыгыз:
х 5У-3 1 У+2	1 b+2 3c-5
a' 6j∕ 4y ’	b> 15b	45c ’
-4 3x+5 , x-3 m 8⅛+y 6y+b
6' 35x	21x ’ r) 406	30j∕
72
Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
„v 3x 5x .
a>
*r∖ 6д 3 д
6) T-^4^5
bx Ja___2a_.
b' 126 156’
rx θP-ZZ.
π 10 12 ’
Д)
15a-6 а-46 .
12a 9a ’
. 7x+4 Зх-1
θ) 8у бу ■
73
Кушыгыз яки
ч ь 1
a> ^^~a>
алыгыз:
х 1 , 4-2α3
в) 2a7	a10
б) ⅛t + ⅛5
4 2a-3b , 4a-56
Д) a26	a62 ;
x-2y 2у-х
e) xy2 x2y '
74	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
2xy-l Зу-х	1	2_
а) 4x3	6x2 ’ В} 3a3 5a5 ’
ях 1=£
6> ЗаЬ
263-l
6a62 ’
r> 6x5 Зх® •
75	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
axX + X+L.	вх b=a + с=Ь_с=а .
а) ab ас be ,	' ab Ьс ас ’
i-4 ab-b ab-a a2-b2 .	τ,χ 3a6+262 а+26 , а-26
б> ~а	6	ΣΓ'	Г) -~ab Γ~+ 6 •
76	Вакланмаларны алу гамәлен башкарыгыз:
ях Х~У _	x-г .	rx	Зт-п	_	2п-т .
1	ху	XZ ’	'	3m2n	2mn2	’
«х a-26 _ 6-2а	.	■>	36+2c	_	2c-56 .
o' 36	За	’	a,	9b2c	66c2	’
„х P-Ч Р+Ч .	„х 2x-7y 5y-8x
' P342	P243 ’	2x2y 5xy2
77	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
а)	х + -;	в) 3a - A;	д) Al±⅛ _ a ;	3κ)	+ Ъ;
’ у ’	'	4	a	2а
1	. t-h 2	v о 4p2+l	.	(6+c)2
б)	l-a;	r)δb-∙sj е)2р-^-;	з) c-⅛-.
78	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
а)	5-А;	В) a + b-4=½ ;
ла б)
б)	5j∕2-i⅛^5	r)⅛l-b + 5.
21

79	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
a) l-⅞-⅛!	г)
Ә 4	'	4	3
Λ)<⅛i≈-α÷∣4
в)а=2-1_а=3	e)α + b-^±^.
2	3	'	a
80	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	1-≡ + Λ÷Ej	b)3-⅛+^j
б)	3-2-4;	г) βa=l⅛-i⅛i-2.
XX	ә	3
81	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
al	+ —— •	——		—	—		—
' b b+c ’	'	т-п	т+п ’	™	а+2	а-2 ’
х+1 _ х+3 .	ч	2а	1 .	v	_Р	Р_
°’ х-2 х ’	}	2a-l	2a+l,	е)	Зр-1	Зр+1 •
82	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
а) -3*	2⅛-.
й> 5(x+p) 3(x+p) ’
а2	ъ2
0> 5(a-ft) 4(a-t>) ’
.	3 l 2
b∙* ax-ay by-bx ’
ч 13c	12⅛
' bm-bn сп-ст *
х a	a .
p∙f 2x+4 3x+6 ’
е) —+ -i-
7 7a-14 2-а '
83	Вакланмаларны кушыгыз яки алыгыз:
я\ —Р	Р_.	„ч  a  .  a

af 2x+l 3x-2 ’	b' 5x-10 6х-12’
« _6a__ + _2а_ e	5⅛	Ъ_
o> x-2y х+у ’	17 j2a-36 48-16a ,
84	у ның мөмкин саналган барлык кыйммәтләре өчен аңлат¬
маның кыйммәте у ка бәйле түгеллеген исбатлагыз:
5y+3 7y+4	/Иу+13 15y+17
a) 2y+2 3j/+3;	6' Зу-З 4-4у •
85	Аңлатманы гадиләштерегез:
. а2 + _х_ ,	х i—Ъ	4а_.
' ax-x2 х-а ,	' ∣2a2-ab 2ab-b2 ,
b2-4by _ 4у	4у	9х
0' 2y2-by b-2y' τ> 3x2+2xy 3xy+2x2 •
86	Аңлатманы гадиләштерегез:
\ х-25 , 3x+5	v	1	,	1
a> 5x-25	χ2-5x	;	в)	a2+ab	ab+b2	;
гл 12~У	6	.	1	1
' 6y-36	y2-бу	’	'	b2-ab	ab-a2	'
22

87 Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
а)	1"⅛
,	а-о
б)
, а-b	’
„2
в)	т-п + ——;
,	7П + П ’
г) а + Ь-3^-;
’	а+Ь ’
^)*-⅛-3>
e)β2-≡⅛1÷1∙
88	Вакланмаларны алу гамәлен башкарыгыз:
a2+3a		а_.	б}	_У	⅛L

’	ab-bb+3a-4Q	Ь+8 ’	’	3x-2	6xy+9x-4y-6	*
89	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
я\		х!	х_ .	jn	Зх . 	x2+3x

f	3ax-2-x+6β	3a-l’	'	2y+3	4xy-3-2y+6x	'
90	Вакланмаларны кушыгыз яки алыгыз:
x2-3xy	у .
’ (x+y)(x-y) x-y,
fλ c 1 b2-3bc
°’ b-с b2-c2 ’
a-2y y2-5ay
b∙* а+у a2-y2 ’
∖ Q+3	1
r∙' a2-l a2+a '
91 Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
ч Ъ-6 ■	2
а) 4-δ2	2b-b2 ;
. x-12a	4а
в) x2-16β2 4ax-x2 ’
fi. b _ 15b-25a .
' ab-5a2 b2-25a2 ’
а-ЗОу	Юу
r' a2-100y2	10ay-a2 ’
92 Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
. а+4	a e
a' a2-2a a2-4 ’
.. 5b , 16a⅜+30⅛
r' 4a-5	25-16β2 ’
4-х2 _ х+1
0' 16-х2 х+4’
(a+⅛)2 (a-⅛)2 .
a2+ab a2-ab ’
λ 3 , Ь+7
в> 2b+l l-4b2 ’
ч x2-4 _ x2+4x+4
e, 5x-10	5x+10 •
93 Аңлатманы гадиләштерегез һәм x = -l,5 булганда,
х х+1 _ х+2
a, x2-x х2-1;
х+2 _ 1+х
x2+3x x2-9
аның кыйммәтен табыгыз.
94 Вакланмаларны кушыгыз яки алыгыз:
X a2+b2	1
a^ a3+b3 а+Ь ’
х l-α . a2 ,
b' α2-a+l α3+l ’
fix _1_ _ 3Pg .
6) p-q p3-q3 .
х 6a3 +48a _ За2
rl β3+64	β2-4β+16 ‘
23

95	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а1	_4	3_ +	_12_.	.	x2	х+у	.
J∕+2	у-2	y2-4 ’	'	(x~y)2	2x-2y	'
fn	a	3 .	a2 .	„ч	 Ъ	а+Ь_
6j	а-6	α+6 +	36-α2 ’	Г'	(a~b)2	b2-ab •
96	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
ч 2a+b 16а 2a-b .
' 2a2-ab 4α2-b2 2a2+ab ’
б) 	2_+ Л •
' (α-3)2 α2-9 (a+3)2 ’
х-2 6х , 1 .
' x2+2x+4 x3-8 х-2’
v 2a2+7a+3 _ 1-2а	3_
r' β3-l β2+β+l а-1"
97	Аңлатманы гадиләштерегез:
я1 _1	1 2а
' a-4b a+4b 16b2-a2 ’
б)	1	+	1	+-g!

' 2ft-2a 2b+2a a2b-b3 ’
в)	_JL+ 6⅛x .
b' 2x-b b3-8x3 ’
. 2y2+16	2_
Г) j∕3+8	у+2 •
98	Түбәндәге аңлатмаларның бердәй тигез икәнен исбатла¬
гыз:
а)	2&о + 7Γ^q Һәм a + 3 +	;
' a2-3a а-3	a2-3a
a3 a	2 l, 1
б)	a2-4 а-2 а+2 һәм a 1 •
99	Үзгәрешленең мөмкин саналган теләсә нинди кыйммәт¬
ләре өчен
а)	^x+2^-	+ 2х аңлатмасының кыйммәте уңай
сан;
2y2+3u+l y3+2y
б)	υ + y „ y	аңлатмасының кыйммәте тискәре
y2-l у-1
сан булуын исбатлагыз.
100	Ике елга пристаньнары А һәм В бер-берсеннән s км ерак¬
лыкта урнашкан. Алар арасында торгын судагы тизлеге
υ км/сәг булган катер йөреп тора. Елганың агым тизлеге
5 км/сәг булса, катерга А дан В га бару һәм кире кайту
өчен, күпме вакыт t (сәгатьләрдә) кирәк булыр?
а) з = 50, и = 25; б) з = 105, и = 40 булганда, t ны табыгыз.
24

101	Туристлар v км/сәг тизлек белән s км таш юлдан һәм
аннан ике тапкыр озынрак булган авыл ара юлдан үткән¬
нәр. Туристлар авылара юлдан, таш юлдан барганга кара¬
ганда, 2 км/сәг кимрәк тизлек белән үтсәләр, алар күпме
вакыт t (сәгатьләрдә) сарыф иткәннәр? s = 10, υ = 6 бул¬
ганда, t ны табыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
102	а) х = 2 ; 6) х = -1 булганда, 4^2^Σ3^+^2 вакланмасыныЧ
кыйммәтен табыгыз.
2χ-5
103	Функция у = —з— формуласы белән бирелгән, х үзгәреш-
лесе -2 гә; 0 гә; 16 га тигез булганда, функциянең кыйм¬
мәтен табыгыз, х ның нинди кыйммәте өчен функциянең
кыйммәте 3 кә; 0 гә; -9 га тигез?
104	Функция у = х - 4 формуласы белән бирелгән. Аның
графигын төзегез. График буенча
а)	х ның кыйммәте 6 га, -6 га тигез булганда, функция¬
нең кыйммәтен табыгыз;
б)	х нинди кыйммәткә ия булганда, функциянең кыйммә¬
те -2 гә; 0 гә тигез икәнен белегез.
105	Бер үк координаталар системасында у = -4x + 1 һәм
у = 2х - 3 функцияләренең графикларын төзегез һәм
ал арның кисешү ноктасының координаталарын табыгыз.
Шушы ук мәсьәләне функцияләрнең графикларын төземи
генә чишегез. Табылган нәтиҗәләрне чагыштырыгыз.
106	Ике силос чокыры бар. Беренче чокырга 90 т силос, икен¬
чесенә 75 т силос салганнар. Беренче чокырдан икенчесенә
караганда 3 тапкырга күбрәк силос алгач, беренче чокыр¬
да икенчедәгедән 2 тапкыр азрак силос калган. Беренче
чокырдан ничә тонна силос алганнар?
107	a) v = у формуласыннан s үзгәрешлесен v һәм t аша; t үз-
гәрешлесен з һәм υ аша күрсәтегез;
б) р= ™ формуласыннан и үзгәрешлесен р һәм т аша күр¬
сәтегез.
Контроль сораулар
1	Ваклаучылары бертөрле булган вакланмаларны кушу ка¬
гыйдәсен әйтеп бирегез.
2	Ваклаучылары бертөрле булган вакланмаларны алу кагый¬
дәсен әйтеп бирегез.
3	Ваклаучылары төрле булган вакланмаларны кушу һәм
алуны ничек башкаралар?
25

§ 2. Вакланмаларның тапкырчыгышы
һәм өлеше
5.	Вакланмаларны тапкырлау.
Вакланманы дәрәҗәгә күтәрү
Гади вакланмаларны тапкырлаганда, аларның
санаучыларын аерым, ваклаучыларын аерым тап¬
кырлап, беренче тапкырчыгышны вакланманың
санаучысына, ә икенчесен ваклаучысына язалар.
Мәсәлән,
2	4 __ 2 4 _ 8
3	5	3 5	15 •
Теләсә нинди вакланмаларны да шулай ук
тапкырлыйлар:
а с = ас
b d bd'
Үзгәрешлеләрнең мөмкин саналган барлык
кыйммәтләре өчен, ягъни b ≠ 0 һәм d ≠ 0 бул¬
ганда, бу тигезлекнең дөрес икәнен исбатлыйк.
®	= т, = п булсын. Ул вакытта өлеш билгелә¬
мәсе буенча a = bm, с = dn. Моннан ас = (bm)(dn) =
= (ftd)(znn)∙ Ләкин bd ≠ 0, шуңа күрә ас = (bd)(mn)
тигезлегеннән өлешнең билгеләмәсе буенча
тп = М •
Димәк, b ≠ 0 һәм d ≠ 0 булганда,
α с _ ас Q
Ь d bd'
Без бердәйлек таптык, аннан вакланмаларны
тапкырлау кагыйдәсе чыга:
вакланманы вакланмага тапкырлау өчен, аларның санау¬
чыларын һәм ваклаучыларын аерым-аерым тапкырлап,
беренче тапкырчыгышны вакланманың санаучысына, ә
икенчесен ваклаучысына язарга кирәк.
■в^-	а3	65
1	Иче мисал. вакланмасын вакланмасына тапкырлыйк.
► Вакланмаларны тапкырлау кагыйдәсен куллана¬
быз:
a3 . 65 _ a3∙65 _ За <1
452 a2 452∙a2	25
26

pm+2p	pm2
2	me мисал, £	c- вакланмасын -Ң—т вакланмасына тап-
т	τn2-4
кырлыйк.
Табабыз:
pm+2p pm2 _ p(m+2)pm2 _ p2m
т m2-4	m(m-2)(m+2)	т-2 '
		 х—1 х+1
3	нче мисал, ' ~~⅛~ тапкырчыгышын рациональ вакланма
рәвешендә күрсәтик.
Табабыз:
х-1. х+1 = (x-l)(x+l) _ iχ2-l
х+2 х (x+2)∙x	x2+2x '
r 4 me мисал,	вакланмасын x2 - α2 күпбуынына тапкыр¬
лыйк.
Вакланманы күпбуынга тапкырлаганда, башта
күпбуынны вакланма рәвешендә язалар һәм
аннары вакланмаларны тапкырлау кагыйдәсен
кулланалар.
х+а . zχ2 _ a2∖ _ х+а . x2-a2 _
х-а '	, х-а 1
= (х+аХх-аХх+^= 2
х-а
Вакланмаларны тапкырлауның бу кагыйдәсе
тапкырлаучылары өч һәм аннан да күбрәк бул¬
ган очрак өчен дә дөрес. Мәсәлән,
α . с . тп _ ас _ т _ аспг
Ь d п bd п bdn ‘
Вакланманы дәрәҗәгә күтәрүгә мәсьәлә карыйк.
вакланмасының п нчы дәрәҗәсе булган
аңлатмасын үзгәртәбез.
∕aY, _ al
∖b) bn
икәнен исбатлыйк.
© Дәрәҗәнең билгеләмәсе буенча
faAn _ a a a
∖b) b b "∙ b
п тапкыр
икәне билгеле.
27

Вакланмаларның тапкырлау кагыйдәсен һәм дә
рәҗә билгеләмәсен кулланып табабыз:
п тапкыр
SL.a, . a _ aa∙∙∙a _ a"
Ь Ь Ь bb∙... b bn .
п тапкыр п тапкыр
Димәк,
(а\л — 3*.
\ь) Ь» •
Исбатланган бердәйлектән вакланманы дәрә
җәгә күтәрү кагыйдәсе чыга:
\ вакланманы дәрәҗәгә күтәрү өчен, санаучыны да, ваклау
чыны да дәрәҗәгә күтәреп, беренче нәтиҗәне вакланма
ның санаучысына, ә икенчесен ваклаучысына язалар.
5 иче мисал. вакланмасын өченче дәрәҗәгә күтәрик.
Дәрәҗәгә күтәрү кагыйдәсен кулланабыз:
∕2a2∖3 _ (2a2)8 _ 8ag и
\ Ь* /	(М)3	Ь12 •
Кү»>> гүләр
108	Тапкырла: <■
ах_5_.2&.	-∙b1⅛L.1.	∏)-⅛i.5.	„1 И-
За 3 1 В) 4 х ’ д) 10 Ь ’ Ж) 25 8х2
5й. -Z-.	ч 9 5а .	. 18 с3 .	. 3 16a2
О) Sy 10’	r> 2a Т ’	е) е4 24’	з) 4β3 9 ’
109	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
a)ft⅛5	≡)⅛≡5	Д>Й-8Ь2;
⅛y ах	ю тп	δw
® 2a2 5t>2',	⅛⅛5	e> 14αft 2⅜3 '
110	Тапкырлагыз:
a)12.jd-. 6)-8≤L.J^. вч 11S1.12⅛∙ rj 4⅛ .М
a' 5x 12β ’ θ' 15m 4c2 ’ ' 6 β8 ’ ' 3m2 2 ‘
111	Аңлатманы вакланмага үзгәртегез:
a)15*≈⅛	4βα",⅛i
28

2 Аңлатманы гадиләштерегез:
.4⅜x3 7y2	72x4 (
∕ a2	49y4 ’ ‰3 ;	r,	25y5 V	27x5 ) ’
<! -ч	18zn3 22n4	v	35ax2	8a⅛
0'	lln3 ’ 9τn2 ’	Д'	1262y	21ху ’
15jp4 16g5	25x3y3 ( 21ab
b' 8gβ25p3’	e,	14a2b	< 10x2y2J∙
113 Тапкырлагыз:
. 14a2⅛ 8x2
a' 3x3 21a⅛ ’
„ 9a2 5ax3
0' 25x2y бу ;
10x2y2 27a3
9β2 5ху ’
г) 2m3 .∕7a⅞∖
r' 35β⅛2 ∖ 6m3Λ
Д) ∙ ⅛⅛ ■ ∙4ro2∏ ;
w 12τnn2 ’
e>-0i, (^3⅛)∙
114 Аңлатманы гадиләштерегез:
v 2a⅜ 3x2y бах ~ 6zn3n2 49re4 5m4p2
а) 3xy 4ah2 15fe2 ’	0) 35p3 mip3 42zιβ ’
115 Дәрәҗәгә күтәрегез:
116 Дәрәҗәгә күтәрегез:
117 Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
118	Тапкырлагыз:
а) x2-xy у2 .
, у X ’
За at>+⅛2 .
, b2 ' 9 ’
т-п. 2тп .
, тп тп-т2 ’
119	Тапкырлагыз:
∖ 4a⅛ ах+Ьх .
, cx+dx 2ab ’
∖ ma-mb. 2т .
Д' 3n2 nb-na ’
ax-ay ∕ 5xy \
e' 5x2y2 ∖ by-bx / ‘
a) (3α-15i,) ^⅛i
6>
в)	⅛⅛ to'^4j+4b
29

120
Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
a∖ fex+⅛2 х .	\	— д+а2 ,
, х2	x+k’	' a2+as x2yl2 ’
ах+ау x2y ,	. 6a . 2х-2
0; χy2	3x+3y ,	l, x2-xt Зах • ,
121
Аңлатманы гадиләштерегез:	∣
sλ χ2~y2 2x .	n⅜ У2-16 15У .
2ху х+у ’	Юху Зу+12 ’
61 4x2... 3a-ax.	v b-а ЗаЬ
, x2-9 4x ’	f~a"a2-b2'
122
Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
a2-l	7a-7⅛ .	τ,χ	(х+3)2	хг_4
f	a-b	a2+a ’	7	2х-4	Зх+9 ’
m	b2+2bc 5⅛+15	.	гч	(У-5)2	У2-36
’	b+3	b2-4c2	’	,	2y+12	2y-ty'
123
„■>	_ 1 „ _ о	Ьтп-т 16m2-n2 .
а)	m-4,n- 3 булганда, 4m+n 5n-1 ;
б)	х —0,5;	1,5 булганда, ^3x+g ’	аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
124
Тапкырлагыз:
al	x2~l	χ2V ∙	a⅜	a∙2~b2	2a~6	■
’	5ху	1+х ’	,	a2-3a	(a+∂)2	’
fiv	8n2	. m2-4τra .	х	bx+3b	. (*~5)2
f	m2-16 6n	’	‘	χ2-25	ах+За	'
125
Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
. mx2-my2 3nt+12 .	r∖ a2-l a2-a+l .
2τn+8	my+mx,	a3+l β2+2β+l ’
fi, ах+ау x2-xy.	, ⅛2-8	Ь+3	.
, x2-2xy+y2 7x+7y,	fr2-9 52+2∂+4 ’
1 x8-y3	x2-y2 .	. c2+6c+9 c2-3c+9
t х+у x2+xy+y2 ’	, c3+27 Зс+9
12β
Аңлатманы гадиләштерегез:
a∖ x2-10x+25 x2-16 .	в\ У2~25 . 3У+18 .
’	3x+12	2x-10 ’	"7 y2+12y+36 2y+10 ’
l-a2 a2 +4a⅜+4⅛2 .		⅛3+8	2b+3

, ta+3b 3-3a	’	м 18b2+27b ft2-2fe+4*
30

Кабатлау өчен күнегүләр
127	Аңлатманы гадиләштерегез:
х 2a+3c 2b-3a	2c(3α+⅛)
, 2a+c 3a+b 6a2+2ab+3ac+bc ’
g∖ a2-4ac+3⅛c + a+3⅛ + а+2с
a2-ab+bc-ac b-а а-с
128	Велосипедчы беренче 30 км ны и км/сәг тизлек белән, ә
калган 17 км ны 2 км/сәг кә артыграк тизлек белән
үткән. Велосипедчы барлык юлны күпме вакытта үткән?
Вакытны (сәгатьләрдә) t хәрефе белән билгеләгез һәм
a)υ = 15j6)υ=18 булганда, t ны табыгыз.
129	ι∕ = l,2x + 0,9 һәм у = -1,3 х + 4,4 функцияләренең гра¬
фикларын төзегез. Сызымнан графикларның кисешү нок¬
таларының координаталарын табыгыз. Кисешү ноктасы¬
ның абсциссасы һәм ординатасының якынча кыйммәтлә¬
ренең абсолют хаталары нинди?
130	х ны а һәм Ь аша күрсәтегез:
а)	3x + Ь = а;	в) + 1 = Ь;
б)	b-7x = a-b;	г) Ь -	= а.
6.	Вакланмаларны бүлү
Гади вакланмаларны бүлгәндә, беренче ваклан¬
маны икенче вакланманың киресенә тапкырлый¬
лар. Мәсәлән,
3.2-3 5 = 15
8’5	8 2	16 •
Теләсә нинди вакланмаларны бүлгәндә дә шу¬
лай ук эшлиләр. Үзгәрешленең мөмкин раналган
теләсә нинди кыйммәтләре өчен, ягъни b ≠ 0, с ≠ 0
һәм d ≠ 0 булганда да,
a . с_ _ a . d
b ’ d be
тигезлегенең дөрес икәнен исбатлыйк. Моның
өчен һәм тапкырчыгышының га ти¬
гез икәнен исбатлыйк.
О Дөрестән дә,
(a d) с_ _ a (d с\ _ α ι _ а
\Ь с) d b ∖c d∣ Ь Ь'
d = ⅞ булганга күрә, өлешнең билгелә¬
мәсе буенча
a . с_ _ a d
b d Ь с О
31

Табылган бердәйлектән вакланмаларны бүлү ка¬
гыйдәсе чыга:
бер вакланманы икенчесенә бүлү өчен, беренче вакланманы
икенчесенә кире булган вакланмага тапкырларга кирәк.
Бу бердәйлектән һәм вакланмаларны тапкыр¬
лау кагыйдәсеннән файдаланып табабыз:
а . с _ a d = ad
b ’ d be be "
1 нче мисал.
7a2	14a	c
-^3- вакланмасын вакланмасына бүлик.
Вакланмаларны бүлү кагыйдәсен кулланабыз:
7α2 . 14a _ 7α2 b _ a <<
Ь3 ‘ b ft314α 2b2 •
2 нче мисал. вакланмасын вакланмасына бүлик:
х-2 . х+1 _ х-2 х+2 _ x2-4 <-]
х ’ х+2 х х+1 x2+x ’
■ Лт мисал.
a2-9
Зу
вакланмасын a + 3 күпбуынына бүлик.
► Вакланманы күпбуынга бүлгәндә, бу күпбуынны
вакланма рәвешендә язалар да вакланмаларны
бүлү кагыйдәсен кулланалар:
⅛ = (α + 3) =
a2-9 . а+3 _
Зу • 1
_ α2-9 . 1 _ а-3 <ι
Зу α+3 Зу •
Күнегүләр
131	Бүлегез:
∙)^=1⅝i≈	r>⅛⅛-	*)⅛=(*∙<ω
6'⅛⅛=	3>35^⅛∙
β)27<>s⅛
32

132
Аңлатманы гадиләштерегез:
х 6x1. Зх .
f 5y , 10j∕3 ’
frx 8c . 6c2 .
°7 21d2 ' 7d ’
' 12p2 . 6p3 .
, 7d4 ' 35d2 ’
гх 9У2 ■ У5 .
,	20x3'16x,
х 3ab . ( _ 21a2b .
μ,' 4xy ⅛k 10x2j∕ )'
_ 18α2⅛2 . ∕ 9α⅛3 \
f bed Ц 5c2d4∕
133	Бүлегез:
al 6χ2 • х •	rl 6xy2 ∙ (9χ2y2) ■
,m3n,3mn1'	f bab∖Wab),
б)	35x2t∕ . 7ху_ .	⅛nxl. (4m2x)∙
, 12ab 8ab2	Д) 3y3 ∙'*mxf' __
в)	a2⅛3 • (	4b3 \1 eιn2hr . a3b2
, llraιra2 ‘ ∖ 33mn) ’ j 15a bx ‘ 30x2 ’
134	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
ях 3x2 . 9x3 бу .
, by3 ‘ 2j∕2 Зх ’
6x 1Pi 5⅞ . 3Р .
, 10q3 14p2 ’ 4g4 ’
„х 2a⅜ . 2cd2 . a2b .
3c2d ‘ 9ab ‘ c3d ’
. 8x2y , 4xy2 e 2x2y
Г) 7ab2 : 7a2b 1 ab '
135	Аңлатманы гадиләштерегез:
х llm4 . 5τn	. lira3 .	х	4c3d2 . 2cd2 . 2cd	.
, 6ra2 6ra3	' 12raι3 ’	,	9α3x3 ’ 3a2x ' 3a2x2	’
61 8x3 ∙ 4x4	. 7x .	rx	2ax . 3bx . 9b2z
7y3 ' 49j∕2 " у2 ’	уг ' ay 8a2xy ‘
136	Бүдегез:
а)	Д) ⅛^ = (7a-215)j
оХ оХ	иО
б)	— ∙	eι (χ2 _ 4ιy2∖ . 5x-10y e
' 6∂3 ab-b2 ’	е) (Х	х ’
в)	⅛i	ж) (2а~b)2: ~g33^2;
_х бах . 8ax . „х z< ∩~,	•« г „х . (2raι-3ra)2
Г) ^⅛∙3^≡6'	3) (10∞-15n)∙- 2m -
137	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
x2-4y2 . x2-2xy .	3m2-3n2 . 6m-6ra .
ху ’ Зу ’	m2+mp ' р+т ’
6>⅛'⅛!	Д> (x+39)∙.(≈1-⅜≈)∙,
b>S⅛⅛⅛<	θ) <-2-ω + 96≈C(a"-9∂>).
3 К 5/123
33

138	Гамәлне башкарыгыз:
а> Эр2 Зу ’
б)
⅛8-g⅞ ■ 2a-b.
3652 ’ 958 ’
г) (χ2 - 25y2): (x2 + 10xy + 25y2);
.. c2+4c . Зс+12
a> c2-4 ’ с-2 ’
в)(?п2-16n2): (3m+12zt);
.⅛4,⅛
e' pq-2q ' Зр-6 '
139	а) х ≡ 2,5; -1 булганда, : (2х - 2);
б)	a = 26, Ь = -12 булганда,
ның кыйммәтен табыгыз.
140	Бүлегез:
. 3x+6y .	5x+10y	,	.
f x2-y2 ‘ x2-2xy+y2	’	'
б) g2+4α+4.4-⅝2 .	V
0, 16-64	4+Ь2 ’	r'
141	Аңлатманы гадиләштерегез:
β∖ n>2+6m+9 . ат+За .
? 2x2y ' 4ху	’	'
б) -Λ⅛L; ff2t>2 ;	г)
f 7-7p l-2p+p2 ’	’
(3α + 6b):	аңлатмасы-
a2+ax+x2 . a8-x3 .
ax+2ay ’ bx+2by ’
4ffi2-25ra2 . 2m+5n
m2+8 " m2-2m+4 ‘
a2+ax+x2 . g8-x8 .
х-1	' x2-l ’
ap2-9a . р+3
p8-8 '2p-4,
Кабатлау өчен күнегүләр
142	Гамәлләрне башкарыгыз:
_^6_ + _5	452+9.
λ, 25+3 3-25 452-9,
	S+Sb	+	2δ	⅛
' ac+2bc-6ab-3a2 a2+2ab ac-3a2
143	Пристаньнан агымга каршы үз тизлеге 10 км/сәг булган
моторлы көймә кузгалып китә. Көймә чыгып 45 мин үт¬
кәннән соң, аның моторы ватыла һәм 3 сәг тән соң көймә
елга агымы белән яңадан пристаньга кайта. Елганың
агым тизлеге нинди?
144	у — s^- формуласыннан
ΔC
а)	с үзгәрешлесен а, Ь һәм у аша;
б)	а үзгәрешлесен Ь, с һәм у аша күрсәтегез.
34

145	д + ⅜ = с формуласыннан
а)	с үзгәрешлесен а һәм b үзгәрешлеләре аша;
б)	Ь үзгәрешлесен а һәм с үзгәрешлеләре аша күрсәтегез.
146	Функциянең графигын төзегез:
a)y= |х; 6)y = -∣x.
k > 0; ⅛ < 0 булганда, у = ⅛x функциясенең графигы кайсы
координаталар чирекләрендә урнаша?
7.	Рациональ аңлатмаларның рәвешен үзгәртү
+	∙ (χ2 - Зу2) рациональ аңлатмасы ра¬
циональ вакланмалар суммасын күпбуынга бүлен¬
гән өлешне күрсәтә, x2 - Зу2 ка бүлүне ~⅛ ка
тапкырлау белән алмаштырырга була. Шуңа күрә
әлеге аңлатманың рәвешен үзгәртү
вакланмаларын кушуга һәм нәтиҗәне χ2 Jgy»
вакланмасына тапкырлауга кайтып кала. Гому¬
мән, теләсә нинди аңлатманың рәвешен үзгәртү¬
не рациональ вакланмаларны кушуга, алуга, тап¬
кырлауга яки бүлүгә кайтарып калдырырга була.
Вакланмалар белән гамәлләрнең кагыйдәләреннән рациональ
вакланмаларның суммасын, аермасын, тапкырчыгышын
һәм өлешен һәрвакытта да рациональ вакланма рәвешендә
күрсәтеп булганлыгы чыга. Димәк, һәртөрле рациональ
аңлатманы да рациональ вакланма рәвешендә күрсәтергә
мөмкин.
I -	1 у2	Л
1 иче мисал, х+1 -	' x аңлатмасын рациональ ваклан¬
мага үзгәртик.
, Башта вакланмаларны тапкырлыйк, аннары килеп
чыккан нәтиҗәне х + 1 күпбуыныннан алабыз:
1)	1 . x2-4 _ (x-2)(x+2) = х-2 .
' х+2 х (x+2)x х ’
2)	х +1 - x~2 = χ(χ÷l)~(χ-2) _ x2+x-x+2 _
хх	х
3*
35

■МЖимсал-
Ь + a ∖. a2b+ab2 , -∣
a2-ab ab-b2∕ a2+b2
аңлатмасын рациональ вакланма рәвешендә күр¬
сәтик.
О Башта җәя эчендәге вакланмаларны кушабыз,
,	a2b+at>2
аннан соң табылган нәтиҗәне α2+⅛2" вакланма¬
сына тапкырлыйбыз һәм, ниһаять, табылган тап¬
кырчыгышка 1 не кушабыз:
1 ∖ b	. a _ b + а	_ b2+a2 .
' a2-ab ab-b2 a(a-b) b(a-b) ab(a-b) ’
21 ⅜2+a2 . a2b+ab2 = (a2+b2) ab(a+b) = а+ъ .
ab(a-b) a2+b2 ab(a-b)(a2+b2) а-b ’
3)	a+⅛ +1 = а+Ъ+а-Ь _ 2а
' а-Ъ	а-b а-b "
Башкача да язарга мөмкин:
( b . a \. a2b+at>2 . 1 _
∖a2-ab ab-b2) a2+b2
_ I b . a I
∖a(a-b) b(a-b)∣
ab(a+b) .
a2+b2
(b2+a2)ab(a+b) . _ g+⅛ , _ g+b+a-b _ 2a
ab(a-b)(a2+b2) a—b	а—Ь а—Ъ'
Х-У
ЦH⅛" "мисал.	уХ аңлатмасын рациональ вакланма рәве-
y+x^2
шендә күрсәтик.
[> Рәвешүзгәртүне төрлечә башкарырга мөмкин. Са¬
научыны һәм ваклаучыны аерым-аерым рацио¬
наль вакланмалар рәвешендә күрсәтергә, ә анна¬
ры беренче нәтиҗәне икенчесенә бүләргә мөмкин.
Шулай ук вакланманың төп үзлегеннән файда¬
ланып, санаучыны да, ваклаучыны да ху ка тап¬
кырларга мөмкин. Бу очракта рәвешүзгәртү гади¬
рәк булыр:
х_^
У х
	= (y~x)χy = f∙χy-⅜∙χy
f+⅜-2 (f+∣-2)*J∕ fxy+⅜xy-2xy
x2-y2	_ (х-уХх+у) _ х+у
x2+y2-2xy	(х-у)2 Х~У
3f

Күнегүләр
147 Гамәлләрне эшләгез:
a⅜+⅛2 . b3 , а+Ь.
’	3	∙ 3α + Ь ’
х-у 5y x2-xy
Г’ х х2 5у
148
Гамәлләрне башкарыгыз:
б) -⅛
; 1-J∕2
149	Аңлатманы гадиләштерегез:
(2m+l 2τn-l∖. 4m .	fi∖ х+3 (х+3 , х-3\
' ∖2τn-l 2m+l) ‘ 10τn-5 ’	, xf+3 ∖x-3 х+3/'
150	Гамәлләрне башкарыгыз:
х α2-9 ∕6a+l . 6a-l∖.
, 2a2+l ∖ а-3	a+3),
б)
5x+y 5х-у
,x-5j∕ x+5j∕,
, x2+y2
: x2-25{∕2 ’
151	Аңлатманы гадиләштерегез:
а\ (	a	 . 	bζLV-S⅛-.
, ∖b2-ab a2-ab) Ъ-а ’
б) ( *	у— 1 ∙ *2-y2 •
∖xy-y2 x2-xy±~ 8ху
, < 4p-8 _ q+2 λ р ,
l4p3-2p2	g3+2g2J 2q-p ’
r∖ I a-7b . 7a+b ∖. a2+b2
, ∖ab-b2 a2-abl ’ а-Ь
152	Гамәлләрне башкарыгыз:
х a2-25	1	а+5 .
а+3 a2-5a a2-3a ’
1-2х , х2 +3х . 3+х .
, 2x+l 4x2-l ’ 4^+2 ’
в) ⅛~c _ ab-t>2 . a2-c2 .
∕ a+b a2^-ac a2-trl ’
х g2-4 . a2-2a , 2-у
, x2-9 ‘ xy+3y χ2-3 ’
153	Аңлатманы гадиләштерегез:
*)(2*+ι-⅛H2≈-⅛¾b
<p2-g2 q-p) V 4 p+q )
37

в)	(α2 + 2α +1) ∙ (—27 +-Л——М;
∖a+l a2-l а-1)
÷W⅛4)÷1>
^> >-(⅛-s⅛)¼V)≡'
e>⅛≈-4∙t⅛-⅛)+5∙
164 Гамәлләрне башкарыгыз:
а)	(l + -2Jfx-Ξ⅛A в) (χ2-i)LL--L + 1b
∖y χ-y){ х+У )	,∖x-l х+1 I
б)	(a + b - -2fl⅞): (fir⅞ + ; г) (т +1 -	): (т - ∙j3~r).
∖ a+b) ∖a+b а) \	1-т) \	т-1)
155	Аңлатманы гадиләштерегез:
a) . -4.¾.. ∙f-l-+	I	Y
, y2-x2 '[y2-x2 x2+2xy+y2)’
-V С х-2у	1 . x+2y A (x+2y)2 .
' ∖4x2+2xι∕ x2-4j∕2 ' (2j∕-x)2 J 4y2 ’
В) (a+n a2+n2+2an)' (а+п a2-n2),
iλ ( 2a _	4a2	∖. ( 2a .	1 \
, ∖2a+b 4a2+4ab+b2) ∖4a2-b2 b-2a∕'
156	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
ч х+2	3x-3	3_.
, x2-2x+l x2-4 х-2 ’
fi∖ 	0=2	. 1_а	а2+4	2 \.
o' 4a2+16a+16 ' ∖2a-4 2a2-8 a2+2a),
b⅛ ( y2~3v	3У+9>| (1 з\
, ∖y2-6y+9 y2-9J \	у/'
157	Гамәлләрне башкарыгыз:
a⅛ ( g-1	_ l-3a+a2 _ l-3a+a2 _ 1 . a2+l .
, <3a+(a-l)2 a3-l a3-l	a-l)' 1-а ’
б) (_1	S |	2	(χ _ 2χ-l∖
w4x+l x8+l x2-x+l∕∖	Х+1/
38

158	Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	⅛-⅞	=
РЧ Р+Ч \Ч Р) Ч'
б)	(α-4⅛ + δb(α-ft) = -⅛---r4

\ а+Ь I '	’ a+b b—a a2-b2
l,2x2-xy _ 20х
, 0,36x2-0,25<∕2	6x+5j√
159	Бердәйлекне исбатлагыз:
я\ ц+Ь	a=h- = _L_ _ ⅛2-g⅛ .
, 2(a-b) 2(a+b) a-b a2-b2 ’
m 	4>5a+4x	= 50
, 0,81α2-0,64x2	9a-8x,
160	Үзгәрешлеләрнең мөмкин саналган барлык кыйммәтләре
өчен аңлатманың кыйммәте үзгәрешлеләрнең шул аңлат¬
мадагы кыйммәтләренә бәйле булмавын исбатлагыз:
( 2<⅛ + g-⅜ V_2g_ + _fe_.
*' ∖a2-b2 2a+2b) a+b b-a ’
б) -И	2f∑*V2 .(_£

, х—у x2+y2 V(x-y)2 x2-y2)
161	Үзгәрешлеләрнең мөмкин саналган барлык кыйммәтләре
өчен аңлатманың кыйммәте a һәм с га бәйле булмавын
исбатлагыз:
б) ЗаМ	⅛.ff2+g^f2)--2⅛,
∖a-c at-c3 а+с ∕ a2-c2
162	Күпбуын яки рациональ вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)	+	;	г) (∙^∙ + -^-)	;
\	п/	∖q	р) ∖q	р)
, ∖b	a)	\ х у )	\ х	у / ’
,, ⅛+ι)*+(f^ιΓ= е) -i⅛i-ιΓ+62(v÷ι),∙
163	Аңлатманы гадиләштерегез:
ι⅜	⅛fe+1	j∕2+⅜	a+∣+c
a)^i;	6)≡Z1j	в)^;
39

164
165
166
г) -≡∑l'-.
, х_У
У X
Түбәндәге вакланмаларны күпбуыннарның чагыштыр¬
масы рәвешендә күрсәтегез:
о_а	а—Ь	.g	—
аМ;	6>⅛	В)Н
х	с	1	х	у
х урынына бирелгән вакланманы куегыз һәм килеп чык¬
кан аңлатманы гадиләштерегез:
а)	⅛⅛, биредә x=^⅛j
а_х
б)	⅜~, биредә x=f⅛.
αx
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a)	α = b = -^ булганда, нең;
T2+18
б) a = -8, Ъ = 0,6 булганда,
0,2a-⅛
25 r
ның.
Кабатлау ечен күнегүләр
167	а) у = х - 2; б) у = -0,4х + 2 функциясе графигының х лар
күчәре һәм у лар күчәре белән кисешү нокталарының коор-
динаталарын табыгыз. Ьәр функциянең графигын төзегез.
168	а) (0; 4) ноктасы аша үтүче һәм у = Зх турысына парал¬
лель булган; б) координаталар башлангычы аша үтүче һәм
I/ = — 2 х — 8 турысына параллель булган турының тигезлә¬
мәсен языгыз.
169	a) k > 0; Ь > 0;	в) k < 0; Ь < 0;
б) k < 0, Ь > 0;	г) k - 0, Ь > 0
булганда, y = kx + b рәвешендәге формула белән бирелгән
функциянең графигын схематик рәвештә сурәтләгез.
170	Турыпочмаклыкның бер ягы икенчесеннән 20 см га озын¬
рак. Әгәр кечерәк ягын ике тапкыр, зуррак ягын өч тап¬
кыр арттырсак, яңа турыпочмаклыкның периметры
240 см га тигез булыр. Бирелгән турыпочмаклыкның як¬
ларын табыгыз.
171	Аралары 710 км булган ике станциядән кара-каршы тиз
йөрешле һәм пассажир поездлары юлга чыга. Тиз йөреш¬
ле поезд пассажир поездыннан бер сәгатькә алданрак куз¬
гала һәм 110 км/сәг тизлек белән бара. Әгәр пассажир
поездының тизлеге 90 км/сәг булса, тиз йөрешле поезд
пассажир поезды белән ничә сәгатьтән соң очрашырлар?
40

8.	у функциясе һәм аның графигы
Буе х см, ә иңе у см булган турыпочмаклыкның
мәйданы 24 см2 га тигез булсын. Ул вакытта у ның
х ка бәйлелеге у = — формуласы белән белдере¬
лә, х ның кыйммәтен берничә тапкыр арттырган¬
да, у ның тиңдәшле кыйммәте шулкадәр тапкыр
кими, ягъни у үзгәрешлесе х үзгәрешлесенә кире
пропорциональ була. Бу мәсьәләдә х һәм у үзгә-
решлеләре бары тик уңай кыйммәтләр генә
алды. Киләчәктә без у = рәвешендәге формула
белән бирелә торган, х һәм у үзгәрешлеләре уңай
кыйммәтләр дә, шулай ук тискәре кыйммәтләр
дә ала торган функцияләрне тикшерербез. Мон¬
дый функцияләрне кире пропорциональлек дип
атыйлар.
Билгеләмә, у = рәвешендәге формула белән бирергә
мөмкин булган функция кире пропорциональлек дип атала,
эиреда х —бәйсез үзгәрешле, k — нульгә тигез булмаган сан.
Нульдән үзгә барлык саннар күплеге у = -⅛∙
функциясенең билгеләнү өлкәсе булып тора. Бу
исә х ның х ≠ 0 булган барлык кыйммәтләре өчен
— аңлатмасының мәгънәсе булганлыктан килеп
чыга.
1 о
У =х функциясенең графигын төзик. Моның
өчен х ның кайбер уңай кыйммәтләренә һәм
аларга капма-каршы булган тискәре кыйммәтлә¬
ренә тиңдәш у кыйммәтләрен табыйк:
X
1
1,5
2
3
4
5
6
8
12
У
12
8
6
4
3
2,4
2
1,5
1
х
-1
-1,5
-2
-3
-4
-5
-6
-8
-12
У
-12
-8
-6
-4
-3
-2,4
-2
-1,5
-1
41

Координаталары таблицада бирелгән нокталарны
координаталар яссылыгында билгелибез fpac.l).
12
У = — функциясе графигының кайбер үзен¬
чәлекләрен ачыклыйк. 0 саны функциянең бил¬
геләнү өлкәсенә кермәгәнгә күрә, графикта абс¬
циссасы 0 булган нокта юк, ягъни график у күчә¬
рен кисеп үтми, х ка нинди генә кыйммәтләр бир¬
сәк тә, у ның кыйммәте нульгә тигез түгел, шуңа
күрә график х лар күчәрен кисми, х ның уңай
кыйммәтләренә у ның уңай кыйммәтләре тиңдәш.
х ның уңай кыйммәте никадәр зуррак булса,
у ның аңа тиңдәш кыйммәте
шулкадәр кечкенәрәк була.
Мәсәлән, әгәр х = 10 булса,
у =1,2; әгәр x = 100 булса,
у = 0,12; әгәр x=1000 булса,
у = 0,012 була. Димәк, график¬
тагы ноктаның уңай абсцисса¬
сы никадәр зур булса, бу нокта
абсциссалар күчәренә шулка¬
дәр якынрак ята. х ның җи¬
тәрлек кадәр зур кыйммәтләре
өчен әлеге ара теләгән кадәр
кечкенә була ала. Графиктагы
ноктаның уңай абсциссасы
нульгә никадәр якын булса, бу
ноктаның ординатасы шулка¬
дәр зуррак була. Мәсәлән, әгәр
42

х = 0,03 икән, у = 400, әгәр х = 0,0001 икән,
у = 120 000 була.
1 2
у = функциясенең графигы 2 нче рәсемдә
күрсәтелгән. Ул ике тармактан тора. Аның берсе
координаталарның беренче чирегендә, ә икенчесе
өченче чирегендә урнашкан. Теләсә нинди k > 0
булганда, у = — функциясенең графигы шундый
рәвештә була.
3	нче рәсемдә у = -— функциясенең графигы
%	12
төзелгән. Ул шулай ук, У =* функциясенең
графигы кебек үк, ике тармактан торган кәкре-
1 2
дән гыйбарәт. Ләкин У функциясенең гра-
' фигыннан аермалы буларак, ул кәкренең берсе
координаталарның икенче чирегендә, ә икенчесе
координаталарның дүртенче чирегендә ята.
Теләсә нинди k < 0 булганда, у = функция¬
сенең графигы у = функциясе графигы рәве¬
шендә була.
Кире пропорциональлекнең графигы булган кәкрене
гипербола дип атыйлар. Гипербола ике тармактан тора.
Күнегүләр
Q
172	Функция у = формуласы белән бирелгән. Таблицаны
*гутырыгыз:
X
-4
-0,25
2
5
16
У
-4
0,4
1 20
173	Кире пропорциональлек у = формуласы белән бирел¬
гән. Таблицаны тутырыгыз:
X
-1200
-600
75
120
1000
У
-0,5
-1
0,4
174	Поезд, v км/сәг тизлек белән хәрәкәт итеп, А һәм В шә¬
һәрләре арасындагы 600 км га тигез ераклыкны t сәг тә
үтә. a) υ ның t га; б) t ның и га бәйлелеген аңлатучы фор¬
муланы языгыз.
175	Кире пропорциональлек У = ^~ формуласы белән бирелгән.
Функциянең аргументы 100 гә; 1000 гә; 0,1 гә; 0,02 гә
тигез кыйммәтенә тиңдәш кыйммәтен табыгыз. Әлеге
функциянең графигында A (-0,05; -200); В (-0,1; 100);
С (400; 0,025); D (500; - 0,02) нокталары ятамы?
43

176	Ниндидер функциянең кире пропорциональлек икәне бил¬
геле. Аргументның 2 гә тигез кыйммәтенә функциянең
12 гә тигез кыйммәте тиңдәш икәне билгеле булса, әлеге
функцияне формула рәвешендә языгыз.
Q
177 4 нче рәсемдә у = — формуласы белән бирелгән функция¬
нең графигы төзелгән. График буенча
й
8
6
—
4
—
2


3
—|
-4


г
5
•4
~х
■
г
-L
2
1
4
—
6
8
Рас. 4
а)	х ның 2; 4; -1; -4; -5 кыйммәтенә тиңдәш у кыйммәтен
табарга;
б) у ның -4; -2; 8 кыйммәтенә тиңдәш булган х кыйммә¬
тен табарга.
—8
178 у = — формуласы белән бирелгән функциянең графигын
төзегез. График буенча табыгыз:
а) х ның 4 кә; 2,5 кә; 1,5 кә; -1 гә; -2,5 кә тигез кыйм¬
мәтенә тиңдәш булган у ның кыйммәтен;
б)	у ның 8 гә; -2 гә тигез кыйммәтенә тиңдәш булган
х ның кыйммәтен.
179 У = формуласы белән бирелгән функциянең графигын
төзегез һәм график ярдәмендә
а)	х = 1,5; -2,5; 3,5 булганда, функциянең кыйммәтен табыгыз;
б)	аргументның у ны -3 кә; -1,5 кә; 4 кә; 7 гә тигез итә
торган кыйммәтен табыгыз.
180a)i/ = l; б)у = -^; в) ⅛f =	; г) у = -⅞t.
Л	Л	Д-
формуласы белән бирелгән функциянең графигын төзегез.
181	Нигезенең яклары a см һәм b см, биеклеге 20 см булган
турыпочмаклы параллелепипедның күләме 120 см3 га
тигез. Ъ ның a га бәйлелеген формула аша аңлатыгыз.
Ни өчен бу бәйлелек кире пропорциональлек була? Бу
функциянең билгеләнү өлкәсе нинди? График төзегез.
44

182	Кире пропорциональлекнең графигы
а) А (8; 0,125);	б) В (j; 11);	в) С (-25; -0,2)
нокталары аша үткәнен белеп, кире пропорциональлекне
формула белән бирегез.
183	5 нче рәсемдә А пунктыннан В пунктына бару өчен үткән
вакытның хәрәкәт итү тизлегенә бәйлелек графигы төзел¬
гән. Графиктан файдаланып, түбәндәге сорауларга җавап
бирегез:
а)	Хәрәкәт тизлеге 800 км/сәг; 250 км/сәг; 120 км/сәг
булганда, А дан В га бару өчен, күпме вакыт кирәк булыр?
б)	А пунктыннан В пунктына 1 сәг тә; 4 сәг тә; 8 сәг тә;
16 сәг тә барып җитү өчен, нинди тизлек белән хәрәкәт
итәргә кирәк?
в)	А һәм В пунктлары арасындагы ераклык нинди?
184	!/ = “■ функциясе графигының
а)	беренче һәм өченче координаталар чирегендә;
б)	икенче һәм дүртенче координаталар чирегендә урна¬
шуын белеп, k санының тамгасын билгеләгез.
Кабатлау өчен күнегүләр
185	Үзгәрешлеләрнең мөмкин табылган барлык кыйммәтлә¬
ренә ия булганда да вакланманың кыйммәте ул үзгәреш-
леләрнең кыйммәтенә бәйле булмавын исбатлагыз:
5(x-y)2	(3x-6y)2
a' (3y-3x)2 ’	0, 4(2y-x)2 •
45

186	Аңлатманы гадиләштерегез:
/ 3	1	12 \. х+7
\х+2 х-2 4-х2/' х-2 ‘
чо_ 1 _ 1 1 л
187	~ ~ ~ ~ г формуласыннан
а) х ны у һәм z аша; б) г ңы х һәм у аша белдерегез.
Контроль сораулар
1	Вакланмаларны тапкырлау кагыйдәсен әйтеп бирегез.
2	Вакланманы дәрәҗәгә күтәрү кагыйдәсен әйтеп бирегез.
3	Вакланмаларны бүлү кагыйдәсен әйтеп бирегез.
4	Нинди функция кире пропорциональлек дип атала?
k
5	k > 0; k < 0 булганда, У = — функциясенең графигы кайсы
координаталар чирекләрендә урнаша?
I	бүлеккә өстәмә күнегүләр
1 нче параграфка
188	Аңлатманы күпбуынга үзгәртегез:
а)	5x2 (х2-2х + 3);
б)	—8г/2 (y2-5y -1);
в)	(α2-5α + 4) (2а + 3);
г)	(36-2) (fe2-7b-5);
д)	3x2 (-5x2 + 4x -1) + 16х4;
е)	8y6 - 2y3 (1 - 5y - y2 + 4y3)∙,
ж)	(a2 + 7α+3) (а2 - 4а + 2);
з)	(b2 -3fe-5) (∂2 + 3fe-5).
189	Аңлатманы күпбуын рәвешендә күрсәтегез:
а)	(-4x + 7а) (7а + 4х); д) (3α2 - 2b) (9a2 + 6ab + 462);
б)	(3c2 - 8) (Зс2 + 8);	е) (x2 + 5y) (x4 - 5x2y + 25у2);
в)	(2x - 5у)2;	ж) (т - n)3 -(m-n) (m2 + тп + п2);
г)	(p2+ 2)2 ;	з) (х + у)3- (х + у) (х2 - ху + у2).
190	Тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	a2b + ab2;	ж) (a - 2)2 - 25а2;
б)	x3y - ху3’,	з) (Ь + 3)2 - 3662;
в)	7x2-14ху + 21ах;	и)125х3 + 8;
г)	9xy - 3by + 15ау;	к)	216x3 - 27;
д)	х4 - х3 + х2- х;	л)	(а + I)3 + а3;
е)	c4 - 2c3 -c2+ 2с;	м)	(b + 2)3 - 8fe3.
191	Бердәйлекне исбатлагыз:
а)	α4 + a2 + 1 = (a2 + a + 1) (a2 - a + 1);
б)	b3 + b4 + 1 = (fe4 + b2+ 1) (b4- b2 + 1);
в)	c4 + 4 = (c2 - 2c + 2) (c2 + 2c + 2).
192	Вакланманың кыйммәтен табыгыз: а) ; б)	•
46

193
194
195
19β
197
198
199
200
А һәм В шәһәрләре арасы 600 км. Беренче поезд А дан В
га китә һәм 60 км/сәг тизлек белән бара. Икенче поезд В
дан А га беренче поездга караганда 3 сәг кә соңрак куз¬
гала һәм υ км/сәг тизлек белән бара. Беренче поезд
чыгып t сәг үткәч, әлеге поездлар очрашалар, υ ны t аша
күрсәтегез, t = 7; t = 6 булганда, и тизлеген табыгыз.
Аңлатмада үзгәрешленең мөмкин саналган кыйммәтләрен
табыгыз:
a⅜ Зх-8.	„ч 9 .	„л 12 .
a' 25 ’	В) x2-7x ’	∣x∣-3,
б) _37_.	r√'2y+5.	е) 45
' 2y+7 ,	r½2+8 ’	'Ы+2-
а)	х = 2;	* в) х = -3 һәм х = 3;
б)	х = 0 һәм х = 3; г) х = һәм х - |
дән тыш, үзгәрешленең барлык кыйммәтләре өчен мәгъ¬
нәсе булган х үзгәрешлеле вакланма төзегез.
Ваклаучысында х үзгәрешлесе һәм х ның барлык кыйм¬
мәтләре өчен дә мәгънәсе булган вакланма төзегез.
Функциянең билгеләнү өлкәсен күрсәтегез:
a)l∕ = ⅛J
б) У = ~х+5’
в) у = 7х+1
У 2х-6 •
Вакланманы
кыскартыгыз:
ах _99х.
’	22у ’
405ac .
' 45ay ’
д)
35a5y4
28a4y8 ’
м 216bc .
∖ 18abc .
7x4y4
, 180ac ’
, 180ac ’
14x4y14 ’
Вакланманы
кыскартыгыз:
, 17xy+34 .
, 17(xy+34),
г) (<*2-9)2 .
П (3-a)3 ’
ж)
2х-у
x2-0,5xy ’
m (3a-3c)2 .
,n x2-100 .
5a2-3aJ>
9a2-9c2 ’
w х8+1000 ’
3J
a2-0,36ft2 ‘
2b2-2a2 .
e)⅛≤≤∙
(2a-2b)2 ’
j y-4y3 ’
Вакланманы кыскартыгыз:
а) 10a⅛-15⅜2 .	ч 6p2-8pg	.
4α2-6αb ’	9p2-24pg+16g2’
21xy-7y2 .	a2-4a+4 .
6x2-2xy ’	a2+ab-2a-2b ’
V 2x2+10xy ,	, 6x2-3xy+4x-2y .
' x2-25y2 ’ f 9x2+12x+4	’
ж\ a2+4ab+4b2 .
a3+8b3	’
3)	27x3-y3
18x2+6xy+2y2 ’
47

201
202
203
204
2 нче
205
206
207
208
Кыскартыгыз:
_х ⅛14-⅛7+l .
} ft21+l ’
б) *33-1 -
. x(y-z)-y(x-z) .
' x(y-z)2-y(x-z)2 ’
1 a(⅛+l)2-⅛(α+l)2
, a(5+l)-δ(a+l) ’
X33+χ22+χll ’
х2-2y2	,
Әгәр 8y2+^xy вакланмасында х һәм у үзгәрешлеләрен тиң¬
дәшле рәвештә, k ≠ 0 булганда, kx һәм ky ка алыштырсак,
баштагы вакланмага бердәй тигез вакланма килеп чыгуын
исбатлагыз.
3x2+y2	2 ,	3 -
3χ2-y2 вакланмасының х = γ һәм у = γ булгандагы
кыйммәте әлеге вакланманың х = 2 һәм у = 3 булгандагы
кыйммәтенә тигез икәнен исбатлагыз.
a - b = 9 икәне билгеле. Вакланманың кыйммәтен табы¬
гыз:
а\ 36 . ЮЗ . b⅛
а) (α-5)2 ’	6) (b-a)2 ’	≡,
(5a-5⅛)2 .	V a2+a⅛+⅛2
45	’	, ai-tP
параграфка
Аңлатманы гадиләштерегез:
∖ x2-2x _ 4x-9 .
, х-3	х-3 ’
х a2
в) α2-t>2
⅛2
52-a2 ’
. x2-2x 2y-y2
rj x2-y2	y2-x2 •
у2-10	54
5) y_s у_8 ,
Түбәндәге аңлатмаларның күпбуыннарга бердәй тигез
икәнен исбат итегез:
. (y-⅛)2 . У-Ъ
a' у-b+l у-Ь+1’
6x (a+x)2	2a+2x .
, а+х-2 а+х-2 ’
x2-y2 х+у
в' х-у-1 у-х+1 ’
_х ⅛2-9c2 . 2(⅜-3c)
, Ь+Зс-2 2-Ь-Зс '
.	«	,	→ -- ,	α2-126 3ab-4a
а)	α = -0,8, Ъ = -1,75 булганда,	;
х2—2у	4—ху
б)	х = 20, у = 22,5 булганда, χ2+xy+2x ~ x2+xy+2x аңлатма¬
сының кыйммәтен табыгыз. Мәсьәләдә артык бирелмәләр
юкмы?
Бөтен аңлатма белән вакланманың суммасы яки аермасы
рәвешендә күрсәтегез:
а)«±2.	б)£й1.
х a2-2a+4 .	b2+3b-6
В) a ’	τ, b
48

209
210
211
п нинди натураль кыйммәтләргә ия булганда, аңлатманың
кыйммәте натураль сан булыр:
а)«±6 б) 5nr12 В) 3⅛7
, п	'п	' пг
— = 5 икәне билгеле. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
ξ х+у
а) у >
Ξ±v=3
У
а)
У
Вакланмаларны кушыгыз
βx 3⅛2-5⅛-l , 5⅜-3 .
a, b2y + by ’
«х a2-a+l _ x2-l .
, a3x ах3 ’
Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)	x + y + ^-∙,	в) α - “b+ac+bc
4	а+Ь+с
б)	т + п -; г) a2 - b2 -	•
п	а+Ь
Аңлатманы гадиләштерегез:
тп+1 l тп-1 .
т+п т-п ’
б) у ;
в) —;
r)Ξ±⅛
икәне билгеле. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
Х+У ’
в)**;	г)*.
у х
212
в)
г)
яки алыгыз:
1+с c3+y4
C3J∕4 c2y3 ’
c2+x2 _ с+х
c2x6 c3x3 '
213
214
а)
г)
б)
в)
Д)
е)
9a-24⅛ + 21⅛-6a .
a(a-∂) α(α-b) ’
3x+21y 2ху .
x2-49j∕2 + x2-7xj∕ ’
m2-2mn |	2n2
m2-4n2 mn+2n2 *
215
a+b b .
2а а+Ь ’
x+4a а-4х .
За+Зх За-Зх ’
Аңлатманы гадиләштерегез:
2b2-bc 2с .
fe2-0,25c2 2b+c ’
а)
г)
б)
в)
2x-l , 4х+2 .
x2-0,5x x2+0,5x ’
2y2-y _ 2y2+y _ 1 ,
y2-y+j y2+y+j y2-⅛ ’
Үзгәрешл ел әрнең мөмкин саналган барлык кыйммәтләре
өчен
д)
е)
216
a2+0,3a⅛ a⅛-0,7⅛2 .
βft+0,3∂2	a2-0,7a⅛ ’
l,8xy+0,81y2 2х
0,81j∕2-4x2	2x-0,9j∕ ’
6а	8
2,25a2-0,64 ба-3,2 ’
1
1
	1
(a-b)(b-c) ' (c-a)(a-b) τ (Ь-сХс-а)
аңлатмасының кыйммәте нульгә тигез икәнен исбатлагыз.
4 К 5/123
49

217	Аңлатманы гадиләштерегез:
a)	5 I 1	4y~18 ∙
, y-3y+3	y2-9 ,
2α ,	5 _ 4a2+9.
*υ 2α+3 3-2α 4a2-9 ’
. 2⅛2+10⅛ , b2-3b 2b .
’ 3by+15y by-3y 3y'
∖ 14ax-21x _ 6ax+9x , х .
, 10a-15	8a+12	10’
218	Түбәндәге аңлатмаларның
лагыз:
ах+Ьу
(a-b)(x+y)
4m _ 2m+l + 2τn-l .
l4∙, 4m2-l 6m~3 4т+2 ’
еч _I	2_+ 1-.
, (x+y)2 x2-y2	(x-y)2 ’
х 4a2+3a+2_ 1-2а .
hq	a3-l	a2+a+l’
ч	Х~У	3хУ I 1
3' x2+xy+y2 x3-y3 х-у ’
бердәй тигез икәнен исбат
bx-ay	a2+⅛2
(α+b)(x+ι∕) һәм α2-b2 •
219	Аңлатманы гадиләштерегез:
ач 1	+	I	+	1	.
’ a(a-b)(a-c) b(b-c)(b-a) c(c-a)(c-b) ’
—.	∙⅛∙2	y2	j>2
, (x-y)(x-z) (y-x)(y-z) (z-x)(z-y)
220	Вакланманы бөтен аңлатма белән вакланманың суммасы
яки аермасы рәвешендә күрсәтегез:
× x2-3x+6 .	a2+7a+2 .
a,	х-3	,	,	а+6	’
y2+5y-8	3b2-10b-l
б>	у+5	’	г> 	Ь^З	•
x2+7x-25
221	Укучыларга мондый мәсьәлә куела: « —х-5— вакланма¬
сын бөтен аңлатма бөтен вакланманың суммасы рәвешен¬
дә күрсәтергә». Өч җавап алына:
1) x + 5 + ⅛j	2) x + 12 + -¾j	3) -х +	■
7	х-5	7	х-5	7	х-5
Барлык җаваплар да дөресме?
222 Бердәйлекне исбатлагыз:
a) ¾ = 6-⅛
х+3	х+3
б) -α⅛ = α--a⅛.
7 х+Ь	х+Ь
223 а нинди кыйммәткә ия булганда аңлатмалар бердәй тигез:
а)	⅛ һәм 2 + ^_;	в) Д һәм Д-2;
б)	һәм 1 + _А_;	г) ∣±J һәм
50

224
225
226
3 нче
227
228
229
230
231
232
Вакланманы бөтен аңлатма белән вакланманың суммасы
яки аермасы рәвешендә күрсәтегез:
a>⅛ 6>⅛ ≡>⅛	r>f⅛∙
п нинди бөтен кыйммәтләр алганда, вакланманың кыйм¬
мәте бөтен сан була:
х 5n2+2n+3 .	fn (n-3)2 .	, Зп .	,	7п	?
j п ’	0j П ’	' п+2 ’	Г)	п—4	1
Түбәндәге бердәйлек үтәлерлек итеп, а һәм b ның кыйм¬
мәтләрен табыгыз:
я\ 	5х		 a . Ъ .
, (x-2)(x+3) х-2 х+3 ’
61	5x+31	_ a	Ь_
f (x-5)(x+2)	х-5	х+2	’
параграфка
Тапкырлагыз:
∖ x5+x3 x8-χ3 .
, x4-x2 ’ x2+x4 ’
61 2τn5-3zn4 . zn4+2τn2
m4-4m 3m2-2m3
Аңлатманы гадиләштерегез:
-1 m3+m4+m3	m5+m3	fi∖ n2-n4-n6 . n2-l
m3+m2	m4+m3+m2 ’ f 1-п	n5-n3+n '
Гамәлләрне башкарыгыз:
a∖ a2+ax+ab+bx .a2-ax-bx+ab .
a2-ax-ab+bx a2+ax-bx-ab ’
g∖ x2+αx-3x-3a
x2-ax-3x+3a
x2+4x-ax-4a
x2+4x+ax+4β ‘
Бүлегез:
a a-a8 . a9-a2 .	9x2-x6 . x4-3x2
' aβ+a2 a5+β ’	x5+x7 ’ x9+x7 ‘
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)
x2-bx+ax-ab . x2+bx+ax+ab ,
x2+bx-ax-ab ’ x2-bx-ax+ab’
m2+m-mn-n . m2-m-mn+n
' m2+m+mn+n ' т2 -т+тп-п
τn≠n, m≠0 һәм п ≠ 0 булса,	- zn2^l^n2 аңлат-
тп \т п/ (т-п)2
масының кыйммәте үзгәрешлеләрнең кыйммәтләренә
бәйле булмавын исбатлагыз.
4*
51

233	п теләсә нинди натураль сан булганда,
⅛÷⅞M⅜÷i)
аңлатмасының кыйммәте натураль сан булуын исбатлагыз.
234	а теләсә нинди бөтен сан, ә х вакланма сан булганда,
(α-α⅛d).(2α+^
\ а+х ) \ х а-х)
аңлатмасының кыйммәте җөп сан булуын исбатлагыз.
235	х ның 2 дән зуррак булган теләсә нинди кыйммәте өчен
lx+1 , 4 _	. х+1 . x2-5x+3
\ 2х х+3	/" х+3 2х
аңлатмасының кыйммәте тискәре сан булуын исбатлагыз.
236	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(a + 2b + -⅛⅛-): (a - -2⅛-) +1;
∖	a-2b) ∖	a+2b∣
б)	_4_.^E.f⅛⅛-2x + 31,']i
х+у 2x-3y ∖x2-y2	a)
f5x2-15xy	3xy+9y2 Ү/5 g∖
'	x2-9y2	x2+6xy+9y2J'\у х/’
х ( 4α2-6αc	6ac+9c2 \ 6а+9с
f ∖4a2-6ac+9c2 4a2+6ac+9c2∕ 4a2+9c2 '
237	Вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)	ab + -⅛(^⅛-a-bb
a+b∖a-b )
б)	(^--xy + y2∖-^- + ^-∙,
∖x2+xy	J х-у х+у
В) (	1	+	2	,	1	4a2+4ab+b2 .
, <(2a-∂)2 4a2-b2 (2a+b)2)	16a
г) , 4C2	1 + 1 +-2j∣
’ (c-2)4 Цс+2)2	(c-2)2	c2-4)'
238	Аңлатманы гадиләштерегез:
52

239	Бердәйлекне исбатлагыз:
1,6g	2 _	1 f p2+4g2 1λ∣
p-2q 4q2-p2 p+2q	2p {p2-4q2
240	XVIII гасырның атаклы математигы Л. Эйлер тарафыннан
китерелгән бердәйлекләрнең берсе түбәндәгечә:
аз + ьз + (6(2α3+63)V, = ( α(α3+2⅜3)γ
a3-b3 J a3-b3 )
Бердәйлекне исбатлагыз.
241	Үзгәрешл ел әрнең мөмкин саналган барлык кыйммәтләре
өчен аңлатманың кыйммәте а һәм b га бәйле түгел икәнен
исбатлагыз:
∣a2-2a6+j62 ι 6b
ia2^ib2 ia+⅛b'
242	Аңлатманы гадиләштерегез:
v (	0,56-1,5	_ 26-6 λ∣ .	Ь-3	.
, 0,562-1,56+4,5 ⅛63+9 ’ 0,863+21,6 ’
61 fa , за . 26	0,5α-l .
, 0,5a+l 2-а ⅜a2-l 0,5a-2 ’
f 3,6xy+2,ly2 2x 12x2-7xp .
b∙^ ^l,44x2-0,49y2	2,4x-l,4ι∕ J х+Зу ’
г) (—к	⅛	М 0∙5* +-l√⅛ + 2.
, ^0,5x+ι∕ 0,25x2+xy+y2) ∖^0,25x2-y2 2у-х)
243	Рациональ вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)
yz
У-*
У-
б)
X-Z
а-х , х
a 'ra-x .
а+х х~ >
a а+х
в)
XZ ’
244	А (-4; 1), В (8; 0,5), С (0; 0), D (0,01; -400), Е (16; {),
F (40; 0,1), G (1000; -0,004), К (-0,004; -1000) ноктала¬
рыннан кайсылары у = - ½- функциясе графигыныкы була?
245	Р (-9; 18) ноктасы у = & рәвешендәге формула белән
бирелгән функция графигыныкы икәне билгеле. ⅛ ның
кыйммәтен табыгыз.
53

246	а) А (40; 0,025);	в) С (0,016; 61);
б)	В (0,03125; 32);	г) D (0,125; 0,8)
ноктасы у = 1 функциясе графигыныкы буламы?
247	у = функциясе графигының А (10; 2,4) ноктасы аша
үтүе билгеле. Бу функциянең графигы
а)	В (1; 24); б) С (; -120); в) D (-2; 12)
ноктасы аша үтәме?
248	Функциянең билгеләнү өлкәсен табыгыз һәм аның гра¬
фигын төзегез:
’ У ~ (x+l)2-(x-l)2 ’	' У (2-x)2-(2+x)2 ’
61 „ = 18-12x	6 . гч _ 3x(x+l)-3x2+15
, y x2-3x	3-х ’	, y x(x+5)
249	Функциянең графигын төзегез:
,>i, = ⅛	b>!' = ⅛	л’» = -Й!
6>" = ¾Ti	r>≡' = ⅛	e>l, = ⅛r∙
250	k һәм Ь нинди кыйммәтләргә ия булганда, у = — гипербо¬
ласы һәм у = kx + Ъ турысы
a) Р (2; 1); б) Q (-2; 3); в) R (-1; 1)
ноктасы аша үтә?
251	у = һәм у = ах + Ь функцияләренең графиклары
а)	бер ноктада гына;
б)	ике ноктада гына;
в)	өч ноктада кисешә аламы?
252	У = '~ һәм у = ах + Ь функцияләренең графиклары
а)	бер чиректә;
б)	беренче һәм икенче чирекләрдә;
в)	беренче һәм өченче чирекләрдә яткан ике ноктада кисе¬
шә аламы?

9.	Рациональ саннар
Математика курсында без төрле саннар белән
очраштык. Санаганда кулланыла торган 1, 2, 3, ...
саннары натураль саннар күплеген төзиләр. На¬
тураль саннар, аларга капма-каршы булган сан¬
нар һәм нуль саны бөтен саннар күплеген төзи¬
ләр. Бөтен саннардан тыш, безгә вакланма (уңай
һәм тискәре) саннар билгеле. Бөтен һәм ваклан¬
малы саннар рациональ саннар күплеген төзиләр.
Натураль саннар күплеген, гадәттә, N хәрефе
белән, бөтен саннар күплеген Z хәрефе белән,
рациональ саннар күплеген Q хәрефе белән там¬
галыйлар. Нинди дә булса сан тикшерелә торган
күплекнеке икәнен язу өчен, е тамгасын куллана¬
лар. Мәсәлән, 2 саны натураль сан була (яки 2
саны натураль саннар күплегенә керә), дигән рас-
ланманы болай язарга була: 2 ∈ N. -2 саны нату¬
раль сан түгел; моны g тамгасы ярдәмендә язарга
була: -2 g N.
Теләсә нинди рациональ санны йегген санны, шулай ук вак¬
ланмалы санны) вакланмасы рәвешендә күрсәтеп була,
биредә т — бөтен сан, әп — натураль сан. Бер үк рацио¬
наль санны төрле ысуллар белән түбәндәгечә күрсәтеп була.
Мәсәлән,
1	= 2 _ _5_ = 40 . _0 7 _ -7 _ -28 .
2	4	10	80’	’	10	40 ’
≡-5 _ 10 _ 20
® 1	2	4 ’
55

Бирелгән рациональ сан нинди генә вакланма рәвешендә
язылса да, шул вакланмалар арасыннан ваклаучысы иң
кечкенә булган вакланманы күрсәтеп була. Ул вакланма
кыскармый. Бөтен саннар өчен ул ваклаучысы 1 гә тигез
вакланма була.
«Рациональ сан» термины латинча ratio сүзен¬
нән килеп чыккан, татарчага тәрҗемә иткәндә
«чагыштырма» (өлеш) дигәнне аңлата.
Рациональ саннарны унарлы вакланмалар рә¬
вешендә күрсәтүне карыйк.
Мәсәлән, g санын унарлы вакланма рәвешен¬
дә күрсәтик. Моның өчен вакланманың санаучы¬
сын аның ваклаучысына бүләбез:
-
10	I 0,125
8_
20
IL
40
40
0
Димәк, g = 0,125.
= 0,4; 1 2θ = 0,4; -⅛ = -0,025 икәнен нәкъ
шулай ук таба алабыз.
Хәзер гади вакланманы унарлы вакланмага
әйләндерүнең бу ысулын санына карата кул¬
ланыйк. Санаучыны ваклаучыга бүләбез:
8 I 37
80 I 0,216216
74
_60
37
230
222
80
74
60
37
_230
222
8
56

Бүлгәндә килеп чыккан беренче калдык 8 саны
үзе була. Икенче калдык 6 га, өченчесе 23 кә
тигез. Аннары калдыкта тагын 8 чыкты. Бүлүне
дәвам итеп, без, элекке кебек үк, калдыкларга
нульләр өстәп язабыз. Шуңа күрә киләсе калдык
яңадан 6 булыр, аннары 23 кә тигез һәм яңадан
8 гә тигез калдык табарбыз һ. б. Без бүлүне ника¬
дәр генә дәвам иттерсәк тә, калдыкта 0 таба ал¬
мабыз. Димәк, бүлү бервакытта да тәмамланмас.
Q
Мондый очракта θy вакланмасы 0,216216...
чиксез унарлы вакланмасына әйләнә, диләр:
Д =0,216216... .
8 санаучысын 37 ваклаучысына бүлгәндә эз¬
лекле рәвештә 8, 6 һәм 23 калдыклары кабатлан¬
ганлыктан, өлештә дә шул ук тәртиптә өч цифр:
2, 1, 6 кабатлана барыр. Мондый рәвешле чиксез
унарлы вакланмаларны периодик вакланмалар
дип атыйлар. Цифрларның кабатлана торган
өлеше вакланманың периодын төзи. Периодик
унарлы вакланмаларны язганда, периодны, түгә¬
рәк җәя эченә алып, бер тапкыр язалар:
⅛ =0,(216).
Бу язманы болай укыйлар: нуль бөтен, периодта
ике йөз уналты.
7
77 санын шулай ук чиксез периодик унарлы
lz	7
вакланма рәвешендә күрсәтеп була:	=
= 0,58333...= 0,58(3). Бу язма болай укыла: нуль
бөтен йөздән илле сигез, периодта өч.
1	5
,	5q= 5,1(6), -уу =-0,(45) икәнен дә нәкъ
шулай ук күрсәтеп була.
Гомумән, һәр вакланмалы санны я унарлы
вакланма (чикле унарлы вакланма), я периодик
чиксез унарлы вакланма рәвешендә күрсәтеп була.
Теләсә нинди чикле унарлы вакланманы һәм
теләсә нинди бөтен санны периодик чиксез унар¬
лы вакланма рәвешендә язып була, моның өчен
аның уң ягына чиксез санда нуль язалар. Мәсә¬
лән,
2,5 = 2,5000...; -3 =-3,000... .
Шулай итеп,
һәр рациональ санны периодик чиксез унарлы вакланма
рәвешендә күрсәтеп була.
57

Раслауның киресе дә дөрес:
һәр периодик чиксез унарлы вакланма нинди дә булса
рациональ санны бирә.
Мәсәлән, 0,(3) = |; 2,(36) = 2 ⅛ ; 0,0(945) = ⅞.
Бүлүне эшләп, бу тигезлекләрне җиңел тикшереп
була.
Төрле периодик чиксез унарлы вакланмалар
төрле рациональ саннарны бирәләр. Ләкин перио¬
ды 9 га тигез булган вакланмаларны периоды 0
булган вакланмаларның икенче төрле язылышы
дип исәплиләр.
0,(9) = 0,999...= 1,000... = 1;
16,1(9) = 16,1999... = 16,2000...= 16,2.
Периоды 9 га тигез булган чиксез унарлы вак¬
ланмаларны периоды 0 гә тигез булган ваклан¬
малар белән алыштыралар. Гади вакланманы
унарлы вакланмага әйләндергәндә, периоды 9 га
тигез булган вакланманың килеп чыгуы мөмкин
түгеллеген искәртеп китәбез.
Күнегүләр
253	-100; -14,5; -2; -^; 0; 10; 15; 20^ саннарыннан кайсы¬
лары
а) натураль; б) бөтен; в) рациональ сан була?
254	Түбәндәге җөмләләр дөресме:
а)	һәр натураль сан бөтен сан була;
б)	һәр бөтен сан натураль сан була;
в)	һәр бөтен сан рациональ сан була;
г)	һәр рациональ сан бөтен сан була?
255	Дөресме:
а) 27 ∈ N; '6) 2,7 ё N; в) 0 ∈ Z; г) -8 ё Z?
256	Дөресме:
а)	-4elV; в) -4eZ; -4eQ;
б)	5,6 ё N; в) 5,6 ∈ Z; 5,6 ∈ Q;
в)	28еАГ; в) 28 eZ; 28 eQ?
257	Түбәндәге саннарны берничә ысул белән бөтен санның
натураль санга чагыштырмасы рәвешендә күрсәтегез: 1 g;
0,3; -3⅛; -27; 0.
258	Түбәндәге саннарны ваклаучысы иң кечкенә натураль сан
булган вакланма рәвешендә күрсәтегез: 36; -45; 4,2; -0,8;
58

259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
Санны чиксез унарлы вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)	в)	Д) "⅛	ж)-17;	h)"1⅛
б)	|;	r)-ψj	е) 10,28;	з) ⅛5	κ)2⅞.
Санны чиксез унарлы вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а) б) ⅛ в) |;	г)-|; д) 1,347; е)-125.
Рациональ саннарны чагыштырыгыз:
а) 0,013 һәм 0,1004; г) g һәм 0,375;
б) -24 һәм 0,003;
д) -1,174 һәм -ljδ∙,
в)	- 3,24 һәм -3,42; е) ∣J һәм Ц.
Саннарны чагыштырыгыз:
а)	1,009 һәм 1,011; в) -1^ һәм -1,75;
б)	-2,005 һәм -2,04; г) 0,437 һәм .
а)	10 һәм 10,1; в) -1001 һәм -1000;
б)	-0,001 һәм 0; г) һәм
саннары арасында урнашкан берничә санны күрсәтегез.
а)	1,3 һәм 1,4; в) -10 000 һәм -1000;
б)	5 һәм 5^;	г) - д һәм
саннары арасында яткан биш сан әйтегез.
Кабатлау өчен күнегүләр
Аңлатманы гадиләштерегез:
ял a I 3α 2α⅛ .	∕ 1∖ 1-х х
f a~b a+b a2-b2 ’	f ∖ x∣ 1+х χ2-l '
а)	Ике җөп санның суммасы — җөп сан;
б)	җөп һәм так санның суммасы так сан булуын исбат¬
лагыз.
а)	Җөп санның квадраты җөп сан була;
б)	так санның квадраты так сан булуын исбатлагыз.
а)	х = 10; 0,3; 0; -2,7; -9 булса, |х| ны;
б)	|х| = 6; |х| = 3,2; |х| = 0 булса, х ны табыгыз.
59

269	Аңлатманы модуль тамгасыннан башка языгыз:
а)	I а I, биредә а > 0;	в) 12b I, биредә b < 0;
б)	I с I, биредә с < 0;	г) 13c ∣, биредә с ≥ 0.
10.	Иррациональ саннар
0 ноктасы — координаталар турысының башлан¬
гыч ноктасы һәм ОЕ берәмлек кисемтә булсын.
ОЕ кисемтәсе ярдәмендә теләсә нинди кисемтә¬
нең озынлыгын үлчәргә мөмкин.
Мәсәлән, ОВ кисемтәсенең озынлыгын үлчик
(рәс.6). ОЕ кисемтәсе ОВ кисемтәсендә ике тап¬
кыр сыя, һәм моннан соң әле СВ калдыгы кала,
1	1	1	1
Рас. 6
—1	∣	1—1—*
о	e	c в
ул берәмлек кисемтәдән кечерәк. Димәк, 2 саны
ОВ кисемтәсе озынлыгының 1 гә кадәрге төгәл¬
лек белән алынган якынча кыйммәте (киме бе¬
лән) була:
OB≈2.
Тагын да төгәлрәк нәтиҗә табу өчен, берәмлек
кисемтә ОЕ ны 10 тигез өлешкә бүләбез (рәс. 7).
ОЕ кисемтәсенең унынчы өлеше СВ калдыгында
өч тапкыр урнаша. Бу вакытта ОЕ кисемтәсенең
Е	С β
11111111111	∣÷H	►
о	в
Рәс. 7
унынчы өлешеннән кечерәк булган яңа DB кал¬
дыгы кала. 2,3 саны ОВ кисемтәсе озынлыгы¬
ның 0,1 гә кадәр төгәллек белән алынган якынча
кыйммәте (киме белән) була:
ОВ ≈ 2,3.
Үлчәү процессын дәвам итеп, без берәмлек
кисемтәнең йөзенче, меңенче һ. б. өлешләрен
файдаланырбыз һәм ОВ кисемтәсе озынлыгы¬
ның (киме белән) 0,01 гә, 0,001 гә һ. б. кадәр тө¬
гәллек белән якынча кыйммәтләрен табарбыз.
Унарлы исәпләү системасында үлчәгәндә ике
очрак булырга мөмкин: яки кайсы да булса
адымда калдык калмый, яки калдыклар һәр
адымда табылыр.
Беренче очракта үлчәү нәтиҗәсе — натураль
сан яки унарлы вакланма, икенче очракта чиксез
60

унарлы вакланма булыр. Теләсә кайсы натураль
санны һәм теләсә кайсы унарлы вакланманы
чиксез унарлы вакланма рәвешендә язарга мөм¬
кин булганлыктан, чиксез унарлы вакланманы
һәрвакыт кисемтә озынлыгының унарлы үлчәү
нәтиҗәсе дип санарга була.
1	нче мисал. ОС кисемтәсе берәмлек кисемтәнең сенә тигез
булсын. Аның озынлыгын унарлы исәпләү сис¬
темасында үлчәгәндә, 1,75 санын, ягъни 7 не 4 кә
бүлгәндәге унарлы вакланманы табарбыз. Үлчәү
нәтиҗәсен 1,75000... периодик чиксез унарлы
вакланмасы рәвешендә язарга мөмкин.
Q
2	нче мисал. ОК кисемтәсе берәмлек кисемтәнең сенә тигез
булсын. Аның озынлыгын унарлы системада үл¬
чәгәндә, 8 не 3 кә бүлгәндәге кебек үк 2,666...
периодик чиксез унарлы вакланмасы чыгар.
8 нче мисал. ОК кисемтәсе ягы берәмлек кисемтә булган квад¬
ратның диагоналенә тигез (рәс. 8). Берәмлек
квадратның диагонале белән яңа квадрат төзибез
(рәс. 9). 9 нчы рәсемнән күренгәнчә, бу квадрат¬
ның мәйданы берәмлек квадрат мәйданыннан
ике тапкыр зуррак. Димәк, ул 2 гә тигез. О К ки¬
семтәсе яңа квадратның ягына тигез булганлык¬
тан, ОК кисемтәсенең озынлыгы квадраты 2 гә
тигез булган санга тигез.
ОК кисемтәсен унарлы системада үлчәгәндә
периодик булмаган чиксез унарлы вакланма
килеп чыгар. Бу шуның белән аңлатыла:
рациональ саннар арасында квадраты 2 гә тигез булган
сан юк.
• Квадраты 2 гә тигез булган сан рациональ сан
була дип уйлыйк. Ул вакытта аны кыскартылмас
т
— вакланмасы рәвешендә күрсәтергә мөмкин,
61

биредә т — бөтен сан, әп — натураль сан. j = 2,
шуңа күрә ^^2^ = 2 һәм m2 = 2n2 була. 2n2 саны —
җөп сан, димәк, аңа тигез булган т2 саны да җөп
сан. Ул вакытта т саны үзе дә җөп сан була (әгәр
т саны так сан булса, т2 саны да так сан булыр
иде). Шуңа күрә т санын m = 2k рәвешендә күр¬
сәтергә мөмкин, биредә k — бөтен сан. m2 = 2n2
тигезлегенә т урынына 2⅛ ны куябыз: (2k)2 = 2n2,
4⅛2 = 2n2, 2k2 = п2 килеп чыга.
2k2 саны — җөп сан, димәк, аңа тигез булган
n2 саны шулай ук җөп сан. Ул вакытта инде п
саны да җөп сан була. Без ~ вакланмасының
санаучысы да, ваклаучысы да җөп сан була дигән
нәтиҗәгә килдек. Ләкин бу кыскартылмас
вакланма булуына каршы килә. Димәк, квадраты
2 гә тигез булган рациональ сан бар дигән фараз
дөрес түгел. О
Шулай итеп, кисемтәләр озынлыгын унарлы
системада үлчәү координаталар турысындагы
башлангыч О ноктасыннан уң якта ятучы һәр
ноктага уңай чиксез унарлы вакланманы тиңдәш
итеп куя. Киресенчә, ирекле булган уңай чиксез
унарлы вакланма алып, без координаталар туры¬
сында О ноктасының уң ягында ОА кисемтәсе¬
нең озынлыгы әлеге вакланма белән белдерелә
торган бердәнбер А ноктасын таба алабыз.
Әгәр уңай чиксез унарлы вакланмаларга аларга капма-
каршы саннарны һәм нуль санын кушсак, реаль саннар
дип аталган саннар күплеген табарбыз.
Координаталар турысының һәр ноктасына нинди дә булса
реаль сан тиңдәш була, һәм һәр реаль санга координа¬
талар турысындагы нокта тиңдәш була. Реаль саннар күп¬
леген R хәрефе белән тамгалау кабул ителгән.
Чиксез унарлы вакланмалар периодик һәм
периодик булмаска мөмкин. Периодик чиксез
унарлы вакланмалар рациональ саннар була. Бәр
„	т
шундый санны — чагыштырмасы рәвешендә
язарга мөмкин, биредә т — бөтен сан, ә п — нату¬
раль сан. Периодик булмаган чиксез унарлы вак¬
ланмалар рациональ булмаган саннарны бирә.
Аларны иррациональ саннар дип атыйлар («ир»
алкушымчасы кире кагуны, булмауны белдерә).
Иррациональ саннарны чагыштырмасы (биредә
62

т — бөтен сан, ә п — натураль сан) рәвешендә
күрсәтеп булмый. Шулай итеп,
реаль саннар күплеге рациональ һәм иррациональ саннар¬
дан тора.
Иррациональ саннарга мисаллар китерик:
3,010010001... (берләр эзлекле рәвештә бер,
ике, өч һ. б. нульләр белән аерылалар);
-5,020022000222... (нульләр саны һәм икелек¬
ләр саны һәрчак бергә арта).
Әйләнә озынлыгының диаметрга чагыштыр¬
масын белдергән π саны иррациональ сан була:
π = 3,1415926... .
Чиксез унарлы вакланмалар ярдәмендә языл¬
ган реаль саннарны да чикле унарлы вакланма¬
ларның кагыйдәләре буенча чагыштыралар.
Мәсәлән, 2,36366... һәм 2,37011... саннарын
чагыштырыйк. Бу уңай чиксез унарлы ваклан¬
маларда бөтен кисәкләре һәм унынчы өлеш
цифрлары бертигез, ә йөзенче өлеш разрядла¬
рында беренче вакланманың берәмлекләр саны
икенчесенекеннән кимрәк. Шуңа күрә
2,36366... <2,37011... .
0,253... һәм -0,149... саннарын чагыштырыйк.
Бу саннарның беренчесе уңай, ә икенчесе — тис¬
кәре. Шуңа күрә
0,253... >-0,149... .
Реаль саннарны кушарга, алырга, тапкырлар¬
га, бүләргә мөмкин (бүлүче нульгә тигез булма¬
ганда), шуның белән бергә, реаль саннар белән
гамәлләр рациональ саннар белән эшләнә торган
гамәлләрнең шул ук үзлекләренә ия. Практик
мәсьәләләрдә реаль саннар белән гамәлләр
КАРЛ ВЕЙЕРШТРАСС (1815—1897)
— немец математигы, Петербург Фәннәре
академиясенең мактаулы әгъзасы. Математик
анализ һәм математиканың башка бүлекләре
буенча күпсанлы хезмәтләре бар.
63

башкарганда, аларны якынча кыйммәтләре белән
алыштыралар. Якынча кыйммәтләрнең төгәлле¬
ген арттыра барып, нәтиҗәнең тагын да төгәлрәк
кыйммәтен табарга була.
1 нче мисал.
а һәм b саннары суммасының якынча кыйммә¬
тен табабыз, биредә a = ^r, b = 1,7132... .
►
Кушылучыларның якынча кыйммәтләрен 0,1 гә
кадәр төгәллек белән алабыз: α≈0,3, 5=1,7.
Табабыз:
a + b ≈ 0,3+ 1,7 = 2,0.
Әгәр кушылучыларның якынча кыйммәтлә¬
рен 0,01 гә кадәр төгәллек белән алсак, ягъни
a ≈ 0,33 һәм b ≈ 1,71 булса табабыз:
a + b≈ 0,33 + 1,71 = 2,04. <1
2 нче мисал.
Радиусы г = 5 м булган әйләнә озынлыгын та¬
быйк.
t-<i
Әйләнә озынлыгы 1 = 2πr формуласы белән исәп¬
ләнә. π ≈ 3,14 дип алыйк. Ул вакытта
l≈ 2∙ 3,14- 5 = 31,4 (м). <1
Күнегүләр
270	Мисал китерегез:
а)	рациональ санга; б) иррациональ санга.
271	а) Һәр рациональ сан реаль сан була;
б)	һәр реаль сан рациональ сан була;
в)	һәр иррациональ сан реаль сан була;
г)	һәр реаль сан иррациональ сан була дип әйтү дөресме?
272	у; 0; 0,25;-2,(3); 0,818118111... (сигезлекләрне аеручы
берләр саны бергә арта бара); 4,2(51); 217; π саннары
арасында рациональ, иррациональ саннарны күрсәтегез.
273	Дөресме:
	 а) 7,16 еЛГ; 7,16 eZ; 7,16 eQ; 7,16 ей;
б)	409 ∈ N; 409 ∈ Z; 409 ∈ Q; 409 ∈ Й;
в)	π ∈ N; neZ; π ∈ Q; πeR"l
274	Чагыштырыгыз:
а)	7,653... һәм 7,563... ;	в) -48,075... һәм -48,275... ;
б)	0,123... һәм 0,114... ;	г) -1,444... һәм -1,456... .
275	Ике санның кайсысы зуррак:
а)	1,(56) яки 1,56;	г) -0,228 яки -⅛;
б)	- 4,(45) яки - 4,45;	д) π яки 3,1415;
в)	1⅜ яки 1,6668;	е) 3,(14) яки д?
О
64

276	Саннарны чагыштырыгыз:
а)	9,835... һәм 9,847... ; в) 2∣ һәм 2,142;
б)	- 1,(27) һәм - 1,272; г) 1,(375) һәм 11.
277	4,62; 3,(3); -2,75...; -2,63 саннарын үсә бару тәртибендә
языгыз.
278	1,371... ; 2,065; 2,056... ; 1,(37); -0,078 саннарын кими
бару тәртибендә языгыз.
279	a = 1,0539... һәм Ь = 2,0610... булганда, а һәм Ъ ны башта
а)	унынчы өлешләргә; б) йөзенче өлешләргә; в) меңенче
өлешләргә кадәр түгәрәкләп, a + Ъ аңлатмасының якынча
кыйммәтен табыгыз.
280	а = 59,678... һәм Ь = 43,123... булганда, а һәм Ь ны башта
а)	унынчы өлешләргә; б) йөзенче өлешләргә кадәр түгәрәк¬
ләп, а - Ъ аңлатмасының якынча кыйммәтен табыгыз.
281	Радиусы 4,5 см га тигез булган әйләнә озынлыгының
якынча кыйммәтен табыгыз (π санын йөзенче өлешләргә
кадәр түгәрәкләгез).
282	Радиусы 10 м га тигез булган түгәрәк мәйданының якын¬
ча кыйммәтен табыгыз (π санын йөзенче өлешләргә кадәр
түгәрәкләгез).
Кабатлау өчен күнегүләр
283	Аңлатманы гадиләштерегез:
(а+Ь _ а )./а+Ь_ Ь \
\ Ь а+Ь)'∖ a а+Ь) ‘
284	х = - 2,5; 0; 4; 5; 9,5 булганда, 12x - 8∣ аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
285	a) а > 0 һәм Ь > 0;
б)	а < 0 һәм Ь > 0 булганда, I αfe∣ аңлатмасын гадиләштере¬
гез.
286	у = функциясе графигының А (4; - 0,5) ноктасы аша
үтүе билгеле, k ны табыгыз һәм ул графикны төзегез.
Контроль сораулар
≡r i	■ <	,⅛-. ■■■ .'
1	Нинди саннар рациональ саннар күплеген төзиләр?
2	Нинди саннар иррациональ саннар дип атала?
3	Нинди саннар реаль саннар күплеген төзи?
4	Нинди реаль саннарны бөтен санның натураль санга ча¬
гыштырмасы рәвешендә күрсәтеп була һәм кайсыларын
күрсәтеп булмый?
5 К 5/123
65

§ 5. Арифметик квадрат тамыр
11.	Квадрат тамырлар.
Арифметик квадрат тамыр
Квадратның мәйданы 64 см2 булсын. Бу квадрат¬
ның ягы нинди озынлыкта?
Квадрат ягының озынлыгын (сантиметр¬
ларда) х хәрефе белән билгелик. Ул вакытта
квадратның мәйданы х2 см2 булыр. Шарт буенча
мәйдан 64 см2 га тигез, димәк,, х2 = 64.
8 һәм - 8 саннары х2 = 64 тигезләмәсенең та¬
мырлары була. Дөрестән дә, 82 = 64 һәм (-8)2= 64.
Квадратның ягы тискәре сан белән күрсәтелә
аямаганлыктан, мәсьәләнең шартын бу тамыр¬
ларның берсе, ягъни 8 саны гына канәгатьлән¬
дерә. Шулай итеп, квадрат ягының озынлыгы
8 см га тигез.
х2 = 64 тигезләмәсенең тамырларын, ягъни
квадратлары 64 кә тигез саннарны 64 саныннан
квадрат тамырлар дип атыйлар.
■ Билгеләмә. Квадраты а га тигез булган санны а саныннан
квадрат тамыр дип атыйлар.
х2 = 64 тигезләмәсеннән тискәре булмаган та¬
мырны, ягъни 8 санын 64 саныннан арифметик
квадрат тамыр дип атыйлар. Икенче төрле әйт¬
кәндә, 64 тән арифметик квадрат тамыр — квад¬
раты 64 кә тигез булган тискәре булмаган сан.
Билгеләмә. Квадраты а га тигез булган тискәре булмаган
сан а саныннан арифметик квадрат тамыр дип атала.
а саныннан арифметик квадрат тамырны √α
дип тамгалыйлар, у/a тамгасын арифметик
квадрат тамыр тамгасы дип, тамыр тамгасы
астында торган аңлатманы тамырасты аңлат¬
масы дип атыйлар, у/a язмасын болай укыйлар:
«а саныннан квадрат тамыр» (укыганда «ариф¬
метик» сүзен төшереп калдыралар).
Арифметик квадрат тамырларны табуга (яки,
башкача әйткәндә, тамыр алуга) мисаллар ките¬
рәбез:
>/4=2, чөнки 2 — тискәре булмаган сан һәм
22 = 4.
66

71,21 =1,1, чөнки 1,1 — тискәре булмаган сан
һәм 1,12=1,21.
7θ = 0, чөнки 0 — тискәре булмаган сан һәм
02 = 0.
Гомумән,
у/а = Ь тигезлеге дөрес тигезлек була, әгәр ике шарт
үтәлсә:
l)b≥0j 2)b2 = a.
a < 0 булганда, Та аңлатмасының мәгънәсе булмый.
Дөрестән дә, теләсә нинди санның квадраты
тискәре түгел.

Мәсәлән, V-25 ; -s∕-3,7 аңлатмаларының мәгъ¬
нәләре юк.
Арифметик квадрат тамыр билгеләмәсеннән
теләсә нинди а өчен 4а аңлатмасының мәгънәсе булганда,
(>∕α)2 = a
тигезлегенең дөрес икәнлеге килеп чыга.
Күнегүләр
287	а) 5 саны 25 санының арифметик квадрат тамыры икәнен;
б)	0,3 саны 0,09 санының арифметик квадрат тамыры
икәнен;
в)	-7 саны 49 санының арифметик квадрат тамыры бул¬
мавын;
г)	0,6 саны 3,6 санының арифметик квадрат тамыры бул¬
мавын исбатлагыз.
288	Тигезлекнең дөреслеген исбатлагыз:
а)	7121 = 11; в) √‰44 = 1,2;
б)	7169=13;	г) √0,49 =0,7.
289	Тамырның кыйммәтен табыгыз:
а)	√81;	г) 71600 ;	ж) √0,04 ; к)	;
б)	Тб4 ;	д) √2500 ;	з) 7θ,26 ;	л)	;
в)	Тзб ; е) 71θθθθ ; И) 7о?81 ; м) y∕l⅛.
5*
67

290 Исәпләгез:
а) 7400 ;
Д) √0,16 ;
и) Д;
б) 7900;
е) 7θ,64 ;
К) Д.
в) 74900;
ж) Д;
г) 7θ.oι;
3)⅛
291 Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	а = 32, b = 4; а = 33, b =-8; a = 0,65, b = 0,16; а = -25,
Ь = 26 булганда, ∖∣a + b ның;
б)	х = 7; 23; 1,83 булганда, 73х - 5 ның;
в)	х = 0; 0,01; 0,36; 0,64; 1; 25; 100; 3600 булганда,
х + ∙Jx ның.
292 Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	х = 25, </ = 0; х = 0, y = l∙,x=-^∙,y = 0,36 булганда,
4х + Ту ның;
б)	a = 0; 2; 1,5; -22,5 булганда, 74 - 2а ның.
2S∣3 Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	√36 • 716 ;	д) 3√9 - 16;
б)	√81 : 7100 :	е) -7λ∕θ,36 + 5,4;
в)	√0,09 + √'θ,25 ; ж) 0,17400 + 0,2√1600 ;
г)	√0,04-√0^01! з) ∣√0,36 +∣√900.
294	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	0,6 √36 ;
б)	-2,5725 ;
в)	√0,49 + √0J6 ;
г)	√0,64-√0,04!
д)	-√0,0036+√0,0025
е)	√δΓδι - √0,0001 ;
ж)	i√δΓβl - 1;
з)	4-10√0,01 .
295	11 дән 20 гә кадәрге натураль саннарның квадратлары
таблицасыннан файдаланып табыгыз:
а)	√144,√289,√196,√256 ;
б)	7225,7169, √324,√361∙
в)	√‰21,√2^89,√‰69,√3^615
г)	71.44,73,24, √2,56,72,25 .
68

296	Аңлатманың мәгънәсе бармы:
а)	√lδθ ;	b)-√100i д) √(-25) (-4);
б)	√-100 ;	г) √(-10)2 ; е) √-25 • 4 ?
297	Арифметик квадрат тамыры 0; 1; 3; 10; 0,6 га тигез булган
санны табыгыз.
298	х үзгәрешлесенең кыйммәтен табыгыз:
а)	.4x = 4;	в) 2y∣x = 0;	д) у[х -8 = 0;
б)	Vx=0,5;	r)4√x=lj	e)3√x-2 = 0.
299	х үзгәрешлесенең кыйммәте бармы, әгәр
а)	4х =0,1;	в) у[х + 1 = 0;
б)	4х = -10 ;	г) 4х - 3 = 0 булса?
300	Үзгәрешленең нинди кыйммәте
а)	4х = 11;	в) √x = -20 ;
б)	10√x = 3 ;	г) 2√x -1 = 0;
өчен тигезлек дөрес:
д)	5 - √x = 0 ;
е)	2 + 7х = 0 ?
301
302
303
Тигезлек дөрес булырлык итеп, х үзгәрешлесенең кыйммә¬
тен табыгыз:
a) √3 + 5x = 7;
б) √10x -14 = 11; в) J⅜x-⅜ = 0.
V о ∙ Δ
Кабатлау өчен күнегүләр
Миллиметрлы кәгазьдә х ның - 3 тән 3 кә кадәрге кыйм¬
мәтләре өчен у = х2 функциясенең графигын төзегез. Гра¬
фик ярдәмендә:
а)	х = -2,5; -1,3; -0,8; 0,6; 1,7; 2,3 кә туры килә торган у
кыйммәтен;
б)	у ның 1; 2; 5; 7,5 кә тигез булган кыйммәтләренә тиң¬
дәш х кыйммәтләрен;
в)	-1,4;-0,8; 1,2; 2,8 саннарының квадратларын;
г)	квадратлары 0,5; 2,5; 3; 4; 5; 9 га тигез саннарны табыгыз.
х = -2 булганда, х2
мәтен табыгыз.
х -1 + γ⅛-) ∙ zξ2 ⅞ аңлатмасының кыйм-
⅛	J- X/ (∆-X)
304	Модуль тамгасыннан башка языгыз:
a) ∣α2∣; б) ∣α3∣, биредә а > 0; в) ∣α3∣, биредә a < 0.
12.	x2 = а тигезләмәсе
х2 = a тигезләмәсен карыйк, биредә а — ирекле
сан. Бу тигезләмәне чишкәндә а санына бәйле
рәвештә өч очрак булырга мөмкин.
a < 0 булса, x2 = а тигезләмәсенең тамырлары
булмый. Дөрестән дә, квадраты тискәре санга
тигез булган сан юк.
69

Рәс. 11
а = 0 булса, тигезләмәнең нульгә тигез булган
бердәнбер тамыры була.
а> О булса, тигезләмәнең ике тамыры бар.
Моңа ышану өчен, у = х2 функциясенең графи¬
гын карыйк (рәс. 10). а > 0 булганда, у = а туры¬
сы у = х2 параболасын ике ноктада кисеп үтә.
Кисешү нокталарының абсциссаларын x1 һәм х2
дип тамгалыйк. Ул вакытта xf = а һәм xf = a,
димәк, x1 һәм x2 саннары x2 = а тигезләмәсенең
тамырлары. х2 квадраты а га тигез булган уңай
сан булганлыктан, х2 саны а дан арифметик квад¬
рат тамыр була, ягъни x2 = 4a . x1 саны х2 гә
капма-каршы сан булганлыктан, x1 = - 4а .
Мәсәлән, х2 = 49 тигезләмәсенең x1= - √49
һәм х2 = >/49 тамырлары бар, ягъни x1 = -7 һәм
x2=7. x2 = 6,25 тигезләмәсенең тамырлары:
'X1= -λ∕θ, 25 һәм x2 = λ∕θ,25 , ягъни x1 = -2,5 һәм
x2^2,5√ x2 = ∙∣ тигезләмәсенең x1 =--J∣j һәм
x2= у^', ягъни x1 = - f һәм Х2= з тамырлары бар.
х2 = 2 тигезләмәсенең x1 = - л/2 һәм х2 - V2
тамырлары бар. Бу тамырлар — иррациональ
саннар, чөнки квадраты 2 гә тигез булган рацио¬
наль сан юк. у = х2 функциясенең графигы ярдә¬
мендә бу тамырларның якынча кыйммәтләрен
табу кыен түгел: V2 ≈ 1,4 һәм - V2 ≈ -1,4 (рәс. 11).
x2 = 3, x2=5, х2 = 6,5 тигезләмәләренең тамыр¬
лары тиңдәшле рәвештә - л/З һәм 7з , - λ∕δ һәм
л/б , - λ∕6,5 һәм y∣6,5 була. Бу тамырлар шулай
ук иррациональ саннар.
70

Теләсә нинди a > 0 булганда, x2 = а тигезләмә¬
сенең тискәре булмаган у/a тамыры бар; башкача
әйткәндә, нинди генә а > О не алсак та, квадраты а га
тигез булган тискәре булмаган сан табылыр. Бу
теләсә нинди α≥O булганда да, √a аңлатмасының Рәгъ¬
нәсе бар дигәнне аңлата.
Күнегүләр
305	а) х2 — 81; б) х2 = 18; в) х2 = 0; г) х2 = -25 тигезләмәсенең
тамырлары бармы?
306	Тигезләмәне чишегез:
а)	х2 = 36;	в)х2 = 121;	д)х2 = 8;
б)	х2 = 0,49;	г) x2= 11;	е) x2= 2,5.
307	Тигезләмәне чишегез һәм у = х2 функциясе графигы
ярдәмендә аның тамырларының якынча кыйммәтләрен
табыгыз:
а) х2 = 3; б) х2 = 5; в) х2 = 4,5; г) х2 = 8,5.
308	Тигезләмәне чишегез һәм у = х2 функциясе графигы яр-
дәмендә аның тамырларының якынча кыйммәтләрен
табыгыз:
а)х2 = 3,6; б) х2 = 2,8; в)х2 = 1,4; г) х2 = 6.
309	Тигезләмәне чишегез:
а)	х2-0,01 = 0,03;	г)20-һ2 = -5;	ж)|х2 = 32;
б)	80 + z/2 = 81;	д)3х2 = 1,47;	3)-5ι∕2 = l,8.
в)	19 + с2 = 10;	е)|а2=10;
310	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	16 + х2=0; ц в) 0,52=30;
б)	0,3x2 = 0,027; г) -5x2 = ⅛.
311	Тигезләмәне чишегез:
а) (х -З)2 = 25;	в) (х - 6)2 = 7;
'6)(x + 4)2 = 9j	r)(x + 2)2 = 6.
312	х =-3,4; 0; 1,2; 1,6; 2,4 булганда, 78 - 5х аңлатмасының
мәгънәсе бармы?
313	Үзгәрешле нинди кыйммәтләргә ия булганда,
а)	3 4а ; б) -5 7х ; в) 7δc ; г) 7-1 Оһ аңлатмасының мәгъ¬
нәсе бар?
314	Үзгәрешле нинди кыйммәтләргә ия булганда, а) Т2х ;
б)	7-х аңлатмасының мәгънәсе бар?
71

315	Саннарның квадратларын табыгыз: >/25; V81; V2; >/3;-VJ;
√5i-√6^√iX
316	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	(√7)2;	г) (3√δ)2; ж) ;
б)	(-√26)25	д) 0,5 (-√8)2; з) .
в)	-2√14 >/14; е) (-2√15 )2;
317	Исәпләгез:
а)	0,49 + 2 (>/0Л )2; в) (2√6 )2 + (-3√2)2;
б)	(3√11)2 - √6400 ; г) -0,1 (√12θ)2 - (∣√2θ)2.
318	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	2√6∙(-√6)j в) √1Γ44 - 2 (√δΓβ)2;
б)	-13√5)2;	г) (θ,l√7θ)2 + √1~69.
Кабатлау өчен күнегүләр	,
∣x∣ -
319	х = -8;-5; 1; 7; 128 булганда, аңлатмасының кыйммә¬
тен табыгыз.	. ,
X
а) х > 0; б) х < 0 булса, —- аңлатмасының кыйммәте күп¬
мегә тигез?
320	Аңлатманың кыйммәтен исәпләгез:
1—1-
а)	х - -0,5 булганда, —т- ның;
^+x
б)	х = - 0,4 булганда, 1 -I	Ц— ның.
1+~г ,
1+⅜
321	Вакланманы кыскартыгыз:
a∖ 8-х3	.	fi∖ 16a4+16α
' 25x2+100-100x ’	J a2+l-a '
322	Бер үк координаталар системасында схематик рәвештә
У — һәм у = 10х функцияләренең графикларын сурәт-
■ ләгез. Бу графикларның уртак нокталары бармы һәм
булса, ничә?
13.	Квадрат тамырның якынча кыйммәтләрен табу
Практик исәпләүләрдә саннарны еш кына алар-
ның унарлы вакланмаларда белдерелгән якынча
кыйммәтләре белән алыштыралар. Арифметик
72

квадрат тамырның якынча кыйммәтләрен ничек
табарга мөмкин икәнен карап үтик.
х Мәсәлән, >/2 ның якынча кыйммәтен өтердән
соң өч тамгага кадәр табыйк.
I2 кечерәк 2 дән, ә 22 зуррак 2 дән булганга,
>/2 саны 1 һәм 2 бөтен саннары арасында урнаш¬
кан (рәс. 12, а). Димәк, 72 санының унарлы
язылышы болай башлана:
√2 =1, ... .
Хәзер унынчы өлеш цифрын табабыз. Моның
өчен 1,1; 1,2; 1,3; ... унарлы вакланмаларын ике¬
дән зуррак сан чыкканга кадәр квадратка күтә¬
рәбез:
1,12= 1,21,1,22≡ 1,44; 1,32-1,69;
1,42	- 1,96; 1,52 - 2,25	'
була.
1,42	кечерәк 2 дән, ә 1,52 зуррак 2 дән, шуңа күрә
у/2 саны 1,4 тән зуррак, ләкин 1,5 тән кечерәк
(рәс. 12, б). Димәк,
√2=1,4... ,
Йөзенче өлешләр цифрын табу өчен, 1,41;
1,42; ... унарлы вакланмаларны эзлекле рәвештә
квадратка күтәрербез. 1,412 = 1,9881, ә 1,422= 2,0164
булганга күрә, 72 саны 1,41 'дән зуррак һәм
1,42	дән кечерәк (рәс. 12, в). Димәк,
√2 ≡∙1,41 ... ._
Бу процессны дәвам итеп, 7Й санының унар¬
лы язылышы 1,414... дип башлануын табабыз.
Шуңа күрә
√2 ≈ 1,414.
Әле карап үткән алым саннан теләсә нинди
төгәллек белән арифметик квадрат тамыр алырга
1
2
б)
Il	1

√2
1	1	1 ш
1	1
1	1	11	1	1	1
"I1	Г	1 ж
1 1.1
1,2	1,3	1,4	1,5	1,6	1,7
1,8	1,9^* v 2
в)
lllllllllllltlll
√2
	1	1	1	1	1	1

....1	1	1	-
∣IIIIIHII∣IIIII
1 1,1
	 ""l'		"∣,""
1,4 1,41 1,42
lιπl"llll"ll			*
1,8	1,9	2
Рәс. 12
73

мөмкинлек бирә. Практик исәпләүләрдә квадрат
тамырларның якынча кыйммәтләрен табу өчен,
махсус таблицалар яки исәпләү техникасын кул¬
ланалар.
Калькулятор ярдәмендә квадрат тамыр алу
өчен, V~ тамгасы урнаштырылган клавишны фай¬
даланалар. Нинди дә булса саннан тамыр алу
өчен, бу санны калькуляторга кертергә һәм анна-
клавишына басарга кирәк. Экранда тамыр-
ның кыйммәте яктырыр.
Мисал. >/42,5 ны табыйк.
► Калькуляторга 42,5 санын кертәбез һәм >Г там¬
галы клавишага басабыз. Экранда 6,5192024
саны — >/42,5 ның якынча кыйммәте күренер.
Табылган нәтиҗәне таләп ителгән төгәллектәге
тамга калдырып түгәрәклиләр. Мәсәлән, йөзенче
өлешләргә кадәр түгәрәкләп табабыз:
'	√42,5 ≈ 6,52. <1
ры
Күнегүләр
323	Араларында a) >/27 ; б) >/40 ; в) √120 ; г) >/9,2 ; д) >/0,4
саны чикләнерлек итеп, эзлекле килгән ике бөтен сан сай¬
лап алыгыз.

324	Араларында а) >/15 ; б) >/80 ; в) >/200 ; г) ∖Jβ,3 саны чик¬
ләнерлек итеп, эзлекле булган ике бөтен сан сайлап алы¬
гыз.
325	>/б иррациональ санының унарлы язылышында берәмлек,
унынчы өлеш, йөзенче өлеш разрядларының цифрларын
табыгыз.
326	>/10 санының унарлы язылышында берәмлекләр, унынчы
өлеш, йөзенче өлеш разрядларын табыгыз.
327	Калькулятор ярдәмендә
а)	х = 16; 0,25; 3; 245; 0,37 булганда, >/х ;
б)	х = 8,5; 14,1; 0,2549 булганда, >∕x + 4 аңлатмасының
кыйммәтен исәпләгез.
328	Квадратның мәйданы 18 см2 га тигез. Калькулятор ярдә¬
мендә 0,1 гә кадәр төгәллек белән квадратның ягын
табыгыз.
329	Калькуляторда аңлатманың кайсысының кыйммәтен
исәпләү уңайлырак:
a) y∣(a + b)c яки jc(a + b); б) a + >∕b яки 4ъ + α ?
74

330	Аңлатманы калькуляторда исәпләү өчен уңайлы рәвешкә
китерегез һәм аның кыйммәтен табыгыз (җавапны йөзен¬
че өлешкә кадәр түгәрәкләгез):
a) √48,5 7,3 + 39,6 7,3 ; б) 8,567 + √54 .
331	Калькулятор ярдәмендә табыгыз (җавапны йөзенче өлеш¬
кә кадәр түгәрәкләгез):
а)	6 + √17 ;	в) √10 + √15 ;	д) √3,4 4,9 ;
б)	12-√34j	г) √64-√48j	e)6,5 + 3√‰8.
332	Калькулятор ярдәмендә исәпләгез (җавапны меңенче
өлешкә кадәр түгәрәкләгез):
a)	√2 + √3 ; б) T√2.
333	Калькулятор ярдәмендә:
а)	a = 4,8 һәм Ь = 6,2 булганда, √α2 + b2 ;
б)	a = 9,7 һәм Ъ = 5,3 булганда, ∙Ja2 - b2
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз (җавапны йөзенче
өлешкә кадәр түгәрәкләгез).
334	Тигезләмәне чишегез һәм калькулятор ярдәмендә аңың
тамырларының якынча кыйммәтләрен табыгыз (җавапны
йөзенче өлешкә кадәр түгәрәкләгез):
а)	х2 = 30;	в) (х - З)2 = 12;
б)	7x2 = 10;	г) (х + I)2 = 8.
Кабатлау өчен күнегүләр
335	Исәпләгез:
а)	3√0,16 -0,17225; в) 0,3√‰21 √400;
б)	0,2√900 +l,βj⅜∙, г) 5 : √0,25∙√0,81.
336	у = х2 функциясенең графигы
а) у = - 9; б) у = 0; в) у = 25; г) у = 35
турысын кисеп үтәме? Кисеп үткән очракта кисешү нокта¬
ларының координаталарын күрсәтегез.
337	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а) 10 √θΓθl + (-√2)2; уб) 0,3 √25 -1 (√12)2 .
338	х — 7; 10; 0; 3; 8 булганда, х + |х| аңлатмасының кыйм¬
мәтен табыгыз, а) х ≥ 0; б) х < 0 булганда, х + |х| аңлатма¬
сын гадиләштерегез. '
339	Вакланманы кыскартыгыз:
. 4a2-20a+25	9x2+4y2-12xy
aj 25-4α2	’ θ, 4y2-9x2
75

14.	у = А / функциясе һәм аның графигы
Квадратның ягы а см, ә мәйданы S см2 булсын.
Квадрат ягы а ның һәр кыйммәтенә аның мәй¬
даны S ның бердәнбер кыйммәте туры килә.
Квадрат мәйданы S ның аның ягы а га бәй-
лелеге S = а2 формуласы белән бирелә, биредә
a > 0. Киресенчә, квадрат мәйданы 8 ның һәр
кыйммәте өчен а ягының аңа тиңдәш булган бер¬
дәнбер кыйммәтен күрсәтергә мөмкин. Квадрат
ягының квадрат мәйданына бәйлелеге a = Vs
формуласы белән күрсәтелә. S = а2 (биредә a ≥ 0)
һәм a = y∣S формулалары белән бер үк үзгәреш-
леләр арасындагы функциональ бәйлелекләр
бирелә, ләкин беренче очракта квадратның ягы а,
ә икенчесендә мәйданы S бәйсез үзгәрешле була.
Әгәр һәр очракта да бәйсез үзгә-
решлене х хәрефе, ә бәйле үзгәреш-
лене у хәрефе белән тамгаласак,
у = х2 (биредә х ≥ 0) һәм у = у/х
формулаларын табарбыз.
Без у = х2 (биредә х ≥ 0) функ¬
циясенең графигы параболаның
бер кисәге — аның уң тармагы
булуын беләбез (рәс. 13)Γ~ Хәзер
у = у/х функциясенең графигын
төзик.
х ≥ 0 булганда, у/х аңлатмасы¬
ның мәгънәсе бар, шуңа күрә тис¬
кәре булмаган саннар күплеге
у = у/х функциясенең билгеләнү
өлкәсе була.
у = у/х функциясенең кыйммәт¬
ләре таблицасын төзик (бөтен сан¬
нарның квадраты булмаган х өчен
у ның якынча кыйммәтләрен каль¬
кулятор ярдәмендә табарга була):
Рэс. 13
X
0
0,5
1
2
3
4
У
0
0,7
1
1,4
1,7
2
х
5
6
7
8
9
У
2,2
2,4
2,6
2,8
3
76

Рэе. 14
Координаталар яссылыгында координаталары
таблицада бирелгән нокталарны төзик. Коорди¬
наталар башлангычыннан бу нокталар аша сал¬
мак сызык үткәреп, у = 4х функциясенең графи¬
гын табарбыз (рәс. 14).
у=4х функциясенең кайбер үзлекләрен әй¬
теп бирик.
1.	Әгәр х = 0 икән, у = 0 була, шуңа күрә координаталар
башлангычы функция графигыныкы була.
2.	Әгәр х > 0 икән, у > 0 була; график беренче координа¬
талар чирегендә урнаша.
3.	Аргументның зуррак кыйммәтенә функциянең зуррак
кыйммәте тиңдәш була; функциянең графигы өскә таба
китә.
Мәсәлән, √2,6>√1,5,
'6 > √3 .
у = 4х функциясенең гра¬
фигы, биредә х ≥ 0, у = х2 функ¬
циясе графигы кебек үк, пара¬
боланың бер тармагы була. Бу
хәл әлеге графиклар у = х туры¬
сына карата симметрик булудан
чыга (рәс. 15). Графикларның
симметриялелеген исбатлау (а; Ь)
һәм (b; а) координаталы нокта¬
ларның у = х турысына карата
симметрияле булуларына нигез¬
ләнгән.
5 М (а; Ь) ноктасы у = х2 (биредә
х > 0) графигыныкы булсын. Ул
вакытта b = a2 тигезлеге дөрес
була. Шарт буенча a — тискәре
булмаган сан, шуңа күрә a = 4b.
77

Димәк, N (b; а) ноктасының координаталарын
у = у/х формуласына куйганда дөрес тигезлек ки¬
леп чыга, ягъни N (Ь; а) ноктасы у = у/х функ¬
циясе графигыныкы була.
Киресе дә дөрес: әгәр нинди дә булса нокта
икенче графикныкы булса, координаталары шул
ук саннар, ләкин кире тәртиптә алынган нокта
беренче графикныкы була.
Шулай итеп, у = х2 (биредә x≥0) функциясе
графигының һәр М(а; Ь) ноктасына у = у/х функ¬
циясе графигының N (Ь; а) ноктасы тиңдәш була,
һәм киресенчә, М (а; Ь) һәм N (Ь; а) нокталары
у = х турысына карата симметрик булганлыктан,
графиклар үзләре дә ул турыга карата симметрик
булалар. О
Күнегүләр
, 340 Түгәрәк мәйданын S = πr2 (биредә г —түгәрәкнең радиу¬
сы) формуласы буенча, яки S = (биредә d — түгәрәк¬
нең диаметры) формуласы буенча исәпләргә мөмкин.
а)	г ның S ка; б) d ның S ка бәйлелеген формула рәве¬
шендә күрсәтегез.
341	а) Куб өслеге мәйданы S ның кабыргасы озынлыгы а га;
б)	кубның кабыргасы озынлыгы а ның өслек мәйданы
<S ка бәйлелеген формула рәвешендә күрсәтегез.
342	R радиуслы шар өслеге S = πR2 (биредә R — шар радиусы)
формуласы буенча исәпләнә. R ның S ка бәйлелеген
формула аша күрсәтегез.
343	у = у/х функциясенең графигыннан файдаланып табыгыз:
а)	х = 2,5; 5,5; 8,4 булганда, у/х ның кыйммәтен;
б)	у/х = 1,2; 1,7; 2,5 кә тиңдәш булган х кыйммәтен.
344	у = у/х функциясе графигы ярдәмендә табыгыз:
а)	х = 0,5; 1,5; 6,5; 7,2 булганда, функциянең кыйммәтен;
б)	у = 0,5; 1,5; 1,8; 2,3 кыйммәтенә тиңдәш булган аргу¬
мент кыйммәтен.
345	А (64; 8); В (10 000; 100); С (-81; 9); D (25; -5) нокталары
у = у/х функциясе графигында ятамы?
346	а) у = 1; б) у = 10; в) у = 100; г) у = -100 турысы у = у/х
функциясенең графигын кисеп үтәме? Әгәр киссә, нинди
ноктада кисеп үтә?
347	М (121; 11); N (900; 30); А (-400; 20); Е (81; -9) нокталары
у = у/х функциясе графигында ятамы?
78

348	у = √x функциясенең графигы ярдәмендә түбәндәге сан¬
нарны чагыштырыгыз:
a)	yjθ,5 һәм λ∕θ,8; б) y∣4,2 һәм y∣5,7 ; в) 77 һәм 7δ .
349	Кайсысы зуррак:
а)	710 яки √1T ;	г) 7 яки ТбО ;
б)	√0,12 яки √0,15 ; д) √60 яки 8;
в)	ТбО яки ТбО ;	е) 72 яки 1,4?
350	Саннарны чагыштырыгыз:
а)	727 һәм 728 ;	в) 77 һәм 3;
б)	λ∕1,3 Һәм y∣l,5 ;	г) λ∕6,25 Һәм 2,5;
351	Саннарны үсә бару тәртибендә языгыз:
а)	λ∕2,3 , л/10,4 һәм y]19,5; в) 0,5, yj⅜ һәм ;
б)	718, 712 һәм 4;	г) λ∕θ,7 , >]1,7 һәм 1.
Д) Д һәм ^⅜.
Кабатлау өчен күнегүләр
352	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	0,5 7121 +3√0,81; в) √400 - (4√OJ5 )2;
б)	√144 √900 ∙ Tool; г) -3√J -lθ7θ,64.
353	a) 7(~9)2 5 б) (7=9)2; в) -√9*^; г) ~7(~9)2
аңлатмасының мәгънәсе бармы?
354	а) х2 = 11 һәм 7х = 11; б) 2x2 = ⅜ һәм 2Тх =
' тигезләмәләрен чишегез.
355	a) а > 0 һәм Ъ > 0;	в) а < 0 һәм b > 0;
б) а < 0 һәм b < 0;	г) а > 0 һәм Ъ < 0
булса, ∣αh3∣ ны гадиләштерегез.
356	Вакланманың кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз:
a) p⅛^, биредә х<0; б) _*а*4 , биредә х> 0.
Контроль сораулар
1	Арифметик квадрат тамыр билгеләмәсен әйтегез, а ның нинди
кыйммәтләре өчен Та аңлатмасының мәгънәсе бар?
2	а> 0, α = 0, a<0 булганда, x2 = a тигезләмәсенең тамыр¬
лары бармы һәм булса, ничә тамыры бар?
3	Калькулятор ярдәмендә ничек квадрат тамыр алырга икә¬
нен мисал белән күрсәтегез.
4	у = 7х функциясенең билгеләнү өлкәсе нинди? Бу функция¬
нең графигы координаталар яссылыгында ничек урнашкан?
79

§ 6. Арифметик квадрат
тамырның үзлекләре
15.	Тапкырчыгыш һәм вакланмадан квадрат тамыр
V81 • 4 һәм >∕81 ∙ ∙Ji аңлатмаларының кыйммәт¬
ләрен чагыштырыйк:
√81-4 = √324 =18,
√81∙√4 = 9 2 = 18.
Без √81∙4 = √81∙ √4 икәнен күрәбез. Тискә¬
ре булмаган теләсә нинди ике санның тапкырчы¬
гышыннан тамыр да шундый ук үзлеккә ия.
§ Теорема 1.
Әгәр a ≥ 0 һәм b ≥ 0 булса, Jab = Ja-Jb була.
• a > 0 һәм b ≥ 0 булсын. Ул вакытта Jab һәм
Ja ■ Jb аңлатмаларының һәркайсының мәгънәсе
бар.
1) Ja ∙ Jb ≥ 0;	2) (л/а-Уб)2 = аЬ
шартларының үтәлүен күрсәтик.
Ja һәм Jb аңлатмалары бары тик тискәре
булмаган кыйммәтләр генә алганлыктан, Ja ■ Jb
тапкырчыгышы тискәре түгел.
Дәрәҗәнең тапкырчыгыш үзлеген кулланып
табабыз:
(Ja^Jby = (√α)2 ∙(√ft)2 = ab.
Без 1) һәм 2) шартларының үтәлүен күрсәт¬
тек. Димәк, арифметик квадрат тамыр билгеләмә¬
се буенча а һәм b ның тискәре булмаган теләсә
нинди кыйммәтләре өчен түбәндәге тигезлек
дөрес:
•Jab = Ja ∙Jb . О
Исбатланган теорема тамыр тамгасы астында
тапкырлаучылар саны икедән артык булган
очрак өчен дә дөрес.
Мәсәлән, әгәр a≥0, b≥0, c≥0 икән, Jabc =
= JaJb∙ Jc. Дөрестән дә, Jabc =J(ab)c =Jab ■ Jc =
= Ja- Jb ∙Jc .
Шулай итеп, арифметик квадрат тамыр тү¬
бәндәге үзлеккә ия:
тискәре булмаган тапкырлаучыларның тапкырчыгышын¬
нан тамыр бу тапкырлаучыларның тамырлары тапкырчы¬
гышына тигез.
80

Хәзер вакланмадан арифметик квадрат та¬
мырны карыйк.
Теорема 2.
Әгәр a ≥ 0 һәм b > 0 булса, = була.
Ө а > 0 һәм b > 0 булганда, һәм аңлатмала¬
рының һәркайсының мәгънәсе була. Теорема
1 дәге кебек үк исбатлау өчен
z	Г	z ∣-∖2
1) 4= ≥ 0 һәм 2) h≠ = ⅜
' y/b	∖yJb J	Ь
шартлары үтәлүен күрсәтү җитә.
а > 0 һәм b > 0 булганга күрә, у/a ≥ 0 һәм
√∂ > 0, шуңа күрә > 0.
Вакланманың дәрәҗәсе үзлегеннән файдала¬
нып табабыз:
[ >∕o Ү _ (>∕β)2 _ a
l√∂J (√b)2 b∙
Димәк, арифметик квадрат тамыр билгеләмәсе
буенча, теләсә нинди a > 0 һәм b > 0 өчен
£-£•0
Шулай итеп, без арифметик квадрат тамыр¬
ның тагын бер үзлеген исбатладык:
сайаучысы — тискәре булмаган сан, ә ваклаучысы уңай
сан булган вакланмадан тамыр табу өчен, санаучыдан
тамырны ваклаучыдан тамырга бүләргә кирәк.
1 нче мисал. √64 0,04 аңлатмасының кыйммәтен табыйк.
B*, Тапкырчыгыштан тамыр турындагы теоремадан
файдаланабыз:
√64 0,04 = √64 ∙ √0,04 = 8 • 0,2 = 1,6. <
2 иче мисал, д/32 • 68 аңлатмасының кыйммәтен исәплик.
Тамырасты аңлатмасын һәркайсы бөтен санның
квадраты булган тапкырлаучыларның тапкыр¬
чыгышы рәвешендә күрсәтәбез һәм тапкырчы¬
гыштан тамыр турындагы теореманы куллана¬
быз:
√32 -68 = √(16 2) ∙(49 2) =
= √16 49 4 = 1 • 7 1 2 = 56 <
S.-.I
6 К 5/123
81

ш. Jγgg аңлатмасының кыйммәтен табыйк.
► Вакланмадан тамыр турындагы теорема буенча
Гзб~ _ у/зё _ 6
V 1AQ	ΓiβΛ . 1 Я ∙ vj
y/ab = 4a -y∕b^ һәм y[⅜ - бердәйлекләрендә
аларның сул һәм уң кисәкләренең урыннарын
алыштырып табабыз:
у/а ■ у/b = y[ab һәм ~f=r = √⅜ .
Арифметик квадрат тамырларны тапкырлаганда
һәм бүлгәндә бу бердәйлекләрне кулланалар.
4	иче мисал. 720 ■ 7б тапкырчыгышының кыйммәтен та¬
быйк.
► Табабыз: √20 ∙ √5 = 720-5 = 7100 = 10 . <
м 	 	 	 v	—	„
5	иче мисал. —т=- өлешенең кыйммәтен табыйк.
√5
Табабыз:
√5
'80
Күнегүләр
357	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	7100 49 ;	в) 764-121;	д) √0,01 169;
б)	√81 400 ;	г) 7144 ∙0,25 ;	е) √2,25 0,04 .
358	Тамырның кыйммәтен исәпләгез:
a) >∕⅛ ’	в) ’	ж) >∕5⅛ :
6>⅛	r)JiS=	β>J⅛∙
3^9 Тамырның кыйммәтен табыгыз:
a)	√81 900; б) √0,36 49 ; в) ^2∣; г) λ∕l°⅛ •
360. Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	√9∙64∙0,255	г) 5∕jf ∙⅛∣∙1∣s ;
б)	70,36 2,25 144 ;	д) 5∕3⅛ 225 ;
в)	71,21 0,09 0,0∞15	е) 5∕δ⅛∙2∣∣.
82

361	Тамырның кыйммәтен табыгыз:
а)	√0,04 ∙81∙25 ; в) -J1⅜' ⅛ ;
б)	√0,09 16∙0,04! г) 5⅛'24∙
362	Тамырның кыйммәтен исәпләгез:'
а)	7810 40 ;	г) 78 98;	ж) √9O∙6,4,5
б)	√10 250;	д) 750 18;	з) √16,9∙0,4.
в)	√72 32 ; е) √2,5 ∙14,4j
363	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a)	√75 • 48 ; б) √45 • 80 ; в) 74,9 360 ; г) √160 6, 4 .
364	Аңлатманың кыйммәтен исәпләгез:
а)	√132 -122 ;	в)	√3132 -312*	;	д)	√45,82 -44,22 ;
б)	√82 +62 ;	г)	√1222 -222 ;	е)	√21,82 -18,22 .
365	Тамыр алыгыз:
а)	√172 -82 ;	в)	√822 -182 ;	д)	√6,82 -3,22 ;
б)	√32 + 42 ;	г)	√1172 -1082	;	е)	^(1⅛) -(∣)* •
366	Аңлатманы тамырларның тапкырчыгышы рәвешендә
күрсәтегез:
a) √15 ; б) 721; в) √7α ; г) Тзё.
367	Аңлатманы тамырларның өлеше рәвешендә күрсәтегез:
«Й1	r>J⅛∙
368	a) 1°7∏⅛ = Jn∙, б) √n = ⅛√100n
икәнен исбатлагыз.
369	Tτ5≈8,7 якынча тигезлегеннән файдаланып, аңлатма¬
ның якынча кыйммәтен табыгыз:
a) √7500 ; б) √750000 ; в) λ∕δ√75 ; г) √0,0075 .
370	Квадрат тамырның үзлекләреннән файдаланып, дәреслек¬
нең форзацында бирелгән квадратлар таблицасы ярдәмен¬
дә аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	^57 600 ;	г) λ∕129600}	ж) 70,0484 ;
б)	7230400 ;	д) 720,25 ;	з) 70.3364 .
в)	7152100 ; е) 7М1;
371	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a)' √44100; б) 7435600; в) 70,0729 ; г) 715,21.
6*
83

372	Тапкырчыгышның кыйммәтен табыгыз:
а)	√2 ∙ √8 ;	г) √2 ∙ √32 ;	ж) √50 √4J5 ;
б)	√27√35	λ)√13√525	3) √‰2 ^3|.
в)	√28 ∙ √7 ; е) √63 ∙ √7 ;
373	Өлешнең кыйммәтен табыгыз:
4 √2	„ _Т23_	4 √52 v √12 5∞ v √‰5
a) 718 ;	б) 72300	; В) √T1^7	’ Г) √500	’ д) √δ⅛	•
374	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	√∏j ∙√40j	γ) J∣∙-J∣5	ж> √fff^5
б)	√12√31	Λ)√Π0√ξ4j	з)п=.
N ( ОӘ
в)	√162 ∙ √2 ; е) y∣lj ∙ √O2 ;
375	-72 • 73 аңлатмасының кыйммәтен калькулятор ярдәмендә
ике юл белән исәпләргә мөмкин: -72 һәм 7з ның кыйм¬
мәтләрен табарга һәм нәтиҗәләрне тапкырларга яки 72 ■ 7з
тапкырчыгышын л/б аңлатмасы белән алыштырырга һәм
аннары аның кыйммәтен табарга була. Бу ысулларның
кайсысын куллану уңайлырак? Исәпләүләрне эшләгез.
376
Калькулятор ярдәмендә аңлатманың якынча кыйммәтен
өтердән соң ике урынга кадәр табыгыз:
a) √7 ■ √5 ;
в) √10 √11∙√12 ;
'10,2
117
Д) √38,6 ’
√2^3∙√8J
е> Д5
Кабатлау өчен күнегүләр
377	х = -4; -3; 0; 9; 20 булса, Tx2^ аңлатмасының кыйммәтен
? табыгыз, х ның нинди кыйммәтләре өчен ∙fx^ аңлатмасы¬
ның мәгънәсе бар?
378	Модульнең билгеләмәсеннән файдаланып,
а) х > 0; б) х < 0
икәне билгеле булганда, х ∙ I х I аңлатмасын гадиләштерегез.
379	Аңлатманы гадиләштерегез:
a) 2α2 ∙ I α3; б) 4(3а4)2; в) 20a4 ∙ (∣ a3 )2.
380	Ниндидер аңлатманың квадраты рәвешендә күрсәтегез:
а)	а4; б) а6; в) a18; г) ; д) a2h8; е) ■
84

381	Турыпочмаклы параллелепипедның нигезендә ягы а см
булган квадрат ята, параллелепипедның биеклеге b см га,
ә аның күләме V см3 га тигез, а үзгәрешлесен Ь һәм V аша
күрсәтегез.
382	Вакланманы кыскартыгыз:
. l-10α+25α2 .
а) 	5^1	;	б)
383	Тигезләмәне чишегез:
ч 2х х+18 _ оо . х . йч
a) τ-	θ--23÷3θj б)
l-6x+9x2
Зх-1
х-1 , 2х+1 _ Зх-1
3	5	4 ,
16.	Дәрәҗәдән квадрат тамыр	> ;
х = 5 һәм х = -6 булганда, √χ2^ аңлатмасының
кыйммәтләрен табабыз:
√52^ = √25 = 5, λ∕(-6)2 = √36 = 6.
Карап үткән мисалларның һәркайсында сан¬
ның квадратыннан тамыр бу санның модуленә
тигез:
√55^ = ∣5∣, √(≡6j2^ = ∣-6∣.
Теорема
х ның теләсә нинди кыйммәте өчен
√x2=∣x∣	'	(1)
тигезлеге дөрес.
• х > 0 һәм х < 0 очракларын карыйк. Әгәр х ≥ 0
булса, арифметик квадрат тамыр билгеләмәсе буен¬
ча √x^ = х- Әгәр х < 0 икән, -х > 0 була, шуңа кү-
v	рә Vx2 = -х. х ≥ 0 булса, без I х I == х икәнен, әгәр
х < 0 булса, I х I = -х булуын беләбез. Димәк, телә¬
сә нинди х өчен Tx2^ аңлатмасының кыйммәте |х|
аңлатмасының кыйммәте белән тәңгәл килә.
(1) бердәйлеге җөп күрсәткечле дәрәҗәдән та¬
мыр алганда кулланыла. Җөп күрсәткечле дәрә¬
җәдән тамыр алу өчен, тамырасты аңлатмасын
ниндидер аңлатманың квадраты рәвешендә күр¬
сәтү һәм (1) бердәйлегеннән файдалану җитә.
⅝¾, иче мисал, аңлатмасын гадиләштерик.
а16 дәрәҗәсен (a8)2 рәвешендә күрсәтәбез һәм (1)
бердәйлегеннән файдаланабыз:
Ta*8^ = λ∕(a8)2 = ∣a8∣.
85

Теләсә нинди а өчен α8 ≥ 0 булганлыктан, ∣a8∣= a8.
Шулай итеп,
√a^ = a8. <
2	иче мисал. Vx1° (биредә х < 0) аңлатмасының рәвешен үз¬
гәртик.
[> х10 ны (х5)2 рәвешендә күрсәтеп табабыз:
>∕x^ = y∣(x6 )2 = ∣xs | .
х < 0 булганга, х5 < 0, шуңа күрә I x5∣ = -х®.
Димәк, х < 0 булганда,
3 иче мисал.
\[х™ = -x5. <]
√893025 аңлатмасының кыйммәтен табабыз.
893 025 санын гади тапкырлаучылар тапкырчы¬
гышы рәвешендә күрсәтеп табабыз:
√893025 = √3β∙52∙72 = √35^ ∙ √52^ ∙ √72^ =
= √(38)2 • 5 • 7 = З3 • 35 = 27 • 35 = 945. <
Күнегүләр
384	Исәпләгез:
а)	√(0,l)2 ;	г) √(1,7)2 ;	ж) 2√(-23)2 ;
б)	√(-0,4)2	;	Д) √(-19)2 ;	з) 5√522^;
в)	√(-0,8)2	;	е) √242^j	и) 0,2√(-61)2 .	(
385	а) х = 22, -35;	-1 g; 0 булганда,	Vx2^;
б)	a = -7; 12 булганда, 2 Ja? ;
в)	у = -15; 27 булганда, 0,1 4у* аңлатмасының кыйммәтен
табыгыз.
388	Аңлатманы бердәй тигез аңлатма белән алыштырыгыз:
^a)√p15 6)λ⅛2^5	B)3√b2^j γ)-O,2√^5 д) √25^2^.
387
388
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	a > 0 булса, Va2 ны;
б)	п < 0 булса, ны;
в)	с ≥ 0 булса, 3 >[c2 ны;
г)	у > 0 булса, -5 y∣y2 ны;
Гадиләштерегез:
а)	т > 0 булса, 2 ∙Jm2 ны;
б)	a > 0 булса, -3 Va2 ны;
д)	х < 0 булса, V36x2 ны;
е)	у < 0 булса, - λ∕9ι∕2 ны;
ж)	х ≥ 0 булса, -5 √4x2 ны;
з)	a < 0 булса, 0,5 √16a2 ны.
в)	х < 0 булса, λ∕0, 64x2 ны;
г)	у < 0 булса, - y∣0,25y2 ны.
86

389	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	, биредә у ≥ 0;	г) 5 Vα8^;
б)	√m4 ;	д) ∣√ci* ;
в)	y[χ^, биредә х < 0;	е) 1,5	, биредә t < 0.
390	Аңлатманың рәвешен үзгәртегез:
а)	√0,49х18 , биредә х < 0;	в) 15>∕θ>16c12	5
б)	7θjθlβ2β » биредә a ≥ 0;	г) 0,8 λ∕100j∕18	.
391	Аңлатманы гадиләштерегез: ,
а)	7р10 - ны, р > 0 булса;	г) 15	;
б)	√χ18 ны, х < 0 булса;	д) 1,6 Vx8;
в)	»	e) θ,l ны, a < θ булса.
392	Тамырның кыйммәтен табыгыз:
а)	√24^j	в) √2*r;	д) √(-5)4 ;	ж) √34 ■ 52 ;
б)	√34 ;	г) √lθ8 ;	е) √(-2)8 ;	3) √2β ∙ 74 .
393	Исәпләгез;
а)	; в) √(-3)8 ; д) √28∙32 ; ж) √72 ∙ 28 ;
б)	√48 ; г) √(-6)4 ; е) √34 • 5’ ; з) √3β 54 .
394	Тамырасты аңлатмасын e гади тапкырлаучыларның тап¬
кырчыгышы рәвешендә күрсәтеп тамыр алыгыз:
а)	√20736 ;	, в) √28224 ;
б)	√50625 ; г) √680625 .
395	Исәпләгез:
a) √2304 ;	б) √18225 ; в) √254016 .
Кабатлау ечен күнегүләр
396	Саннарны чагыштырыгыз:
k а) 7 һәм >/50 ;
б) -J11 Һәм 3;
в)	->/б һәм 2,4;
г)	2,1 һәм √4,21.
397	-	+ дб-1) ‘ аңлатмасының кыйммәте а га бәй¬
ле түгел икәнлеген исбатлагыз.
87

Рас. 16
(х+5 х \ х2—25
о κ	2 ос)	к— аңлатмасын гадиләштерегез.
X —&Х X —∆u∕	Ә
399	16 нчы рәсемдә у = 2x +2, y = -⅜ -3 һәм у = -2х + 2
функцияләренең графиклары сурәтләнгән, һәр функция
өчен аның графигын күрсәтегез.
400	Цилиндрның күләме V = πR2H формуласы белән исәпләнә,
биредә R — нигезенең радиусы, Н — цилиндрның биекле¬
ге. R үзгәрешлесен V һәм Н аша күрсәтегез.
Контроль сораулар
ИОМ	'У-" -
1	Тапкырчыгыштан квадрат тамыр турындагы теореманы
әйтеп бирегез һәм исбатлагыз.
2	Вакланмадан квадрат тамыр турындагы теореманы әйтеп
бирегез һәм исбатлагыз.
3	√'x2 - 1 х I бердәйлеген исбатлагыз.
4	∙Ja^ аңлатмасы мисалы ярдәмендә җөп күрсәткечле дәрә¬
җәдән ничек тамыр алынуын күрсәтегез.
88

§ 7. Арифметик квадрат тамырның
үзлекләрен куллану
17.	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгару.
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы астына кертү
л/бО һәм 6λ∕2 аңлатмаларының кыйммәтләрен
чагыштырыйк. Бу мәсьәләне л/бО ның рәвешен
үзгәртеп эшләп була. 50 санын 25 • 2 тапкырчы¬
гышы рәвешендә күрсәтәбез һәм тапкырчыгыш¬
тан тамыр турындагы теореманы кулланып таба¬
быз:
√50 = √25∙2 = √25 ∙ √2 = 5√2 .
5√2 <6√2 , шуңа күрә л/бО <6>∕2.
Мәсьәләне чишкәндә, без ТбО ны 5 һәм>/2
саннарының тапкырчыгышы белән алыштырдык.
Мондый рәвешүзгәртүне тапкырлаучыны та¬
мыр тамгасы тышына чыгару дип атыйлар.
6>/2 тапкырчыгышын арифметик квадрат та¬
мыр рәвешендә күрсәтеп, л/бО һәм 6 V2 аңлатма¬
ларының кыйммәтләрен башкача да чагыштырырга
була. Моның өчен 6 санын >/36 дип алыштыра¬
быз һәм тамырларны тапкырлап табабыз:
6√2 = √36 ∙ √2 = √72 .
50 < 72 булганга күрә, >∕50<>∕72. Димәк,
√50<6√2 .
Мәсьәләне икенче ысул белән чишкәндә, без
6 42 аңлатмасын 412 аңлатмасына алыштыр¬
дык. Мондый рәвешүзгәртүне тапкырлаучыны
тамыр тамгасы астына кертү дип атыйлар.
^.нче мисал, ча1 аңлатмасында тапкырлаучыны тамыр там¬
гасы тышына чыгарыйк.
4а4 аңлатмасының a ≥ 0 булганда гына мәгънәсе
бар (әгәр a < 0 булса, α7 < 0 була), a 7 тамырасты
аңлатмасын aβ • а тапкырчыгышы рәвешендә күр¬
сәтәбез, биредә a6 тапкырлаучысы җөп күрсәткеч¬
ле дәрәҗә булып тора. Ул вакытта
4c4 = √aβ a = 4a4 ■ 4а =
4a = a34a . <|
89

2 нче мисал. -4 7х аңлатмасында тапкырлаучыны тамыр там¬
гасы астына кертик.
Тискәре тапкырлаучы -4 не арифметик квадрат
тамыр рәвешендә күрсәтеп булмый һәм шуңа
күрә -4 не тамыр тамгасы астына кертеп бул¬
мый. Шулай да, уңай тапкырлаучы 4 не тамыр
тамгасы астына кертеп, -4Тх аңлатмасының рә¬
вешен үзгәртеп була:
-4>∕x = -1 ■ 4>∕x = -1 • >/16 ■ у[х = -716* . <
3	нче мисал, α√2 аңлатмасында тапкырлаучыны тамыр там¬
гасы астына кертик.
j>> а тапкырлаучысы теләсә нинди сан: уңай, нуль
яки тискәре булырга мөмкин. Шуңа күрә ике
очрак карыйбыз:
әгәр a ≥ 0 икән, ул вакытта a∖∣2 = ∣a∣ 72 = 7a^^ ∙ 72 ≡
=√2a2 була;
әгәр a<0 икән, ул вакытта aT2 = -∣a∣T2 =
= -4а? ■ 4% = -72a2 була. <|
Күнегүләр
401	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	712 ;	в) √80 ;	д) 7125 5	ж) 7363 ;
б)	718;	г) √48 ;	е) √108 ;	з) 7845.
402	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз һәм
' ” табылган аңлатманы гадиләштерегез:
а)	∣√24j	в) -∣√147 ;	д) 0,l√20000j
б)	f √45 ;	г) -∣√275 ;	е) -0,05√28800 .
403. Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	√20 ;	г)	7160;	ж) -0,1257192;
б)	798;	Д)	0,2775;	З) -∣T450.
в)	7200;	е)	О.ТТЗОО;
404	Тапкырлаучыны	тамыр тамгасы астына кертегез:
а)	7710 ; б) 5ТЗ ; в) 6√x ; г) 10yfy ; д) зТ2а ; е) бТзЬ .
405	Уңай тапкырлаучыны тамыр тамгасы астына кертегез:
а) -гТЗ; б) -зТб; в) -?7а; Г) -0,2Tfe.
90

406	Аңлатманы арифметик квадрат тамыр яки аңа капма-кар¬
шы булган аңлатма рәвешендә күрсәтегез:
а)	3√∣j	в) 1-718;	д)5^;
б)	2y∣½∙,	г) -10√0,02j	e)-l√12x.
407	Аңлатманы арифметик квадрат тамыр яки аңа капма-кар-
шы булган аңлатма белән алыштырыгыз:
а)	2√2;	в)-7-ТЗ;	д)1>/18&;
б)	5y∕y∙,	г) -6^2а;	е) -0,l√200c.
408	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	Зл/З һәм -712 ;	в) 5-74 һәм 4-75 ;
б)	у/20 һәм Зл/б ;	г) 2-75 һәм 3-^2 .
409	Аңлатмаларның кыйммәтләрен чагыштырыгыз:
а)	⅜ >/351 Һәм 1 7188 ; в) -724 һәм 1 √216 ;
θ	Δ	о
б)	∣√54 һәм 1-7150 ; г) f√72 һәм 7y∣j .
410	Түбәндәге саннарны үсә бару тәртибендә урнаштырыгыз:
а)	3√3,2√6,√29,4√2 ;
б)	6√2,√58,3√7,2√14 .
411	Чагыштырыгыз:
а)	2-77 һәм 7-72 ;
б)	3√120 һәм 2√270 ;
в)	∣√6 һәм
412	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	√7x2 , биредә х ≥ 0; в) √χ3 ; д) λ∕16ι∕7 ;
б)	√10ι∕2 . биредә у < 0; г) √αr ; е) .
413	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	√8α3 ;	∣b) -748x3 , биредә х < 0; д) √50a7 ;
б)	√300fe5 ; г) √72a4 ;	е) √27cβ , биредә с < 0.
414	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	√6x2 , биредә х ≥ 0;	в) √9a3 ;
б)	λ∕3j∕2 , биредә у < 0;	г) -7δOb4 .
91

Кабатлау өчен күнегүләр
415	Аңлатманы гадиләштерегез:
( 2x+l 2x-l ∖ x2-9 . 1
∖x2-3x x2+3x∕ 7х
416	Мәктәп остаханәсендә укучылар өч көн эчендә 114 китап
төпләделәр. Әгәр икенче көнне укучылар беренче көндә-
гегә караганда 12 китапка артыграк, ә өченче көнне берен¬
че һәм өченче көнне төпләгәннең уе кадәр китап төплә¬
гән булсалар, укучылар һәр көнне ничә китап төпләгән¬
нәр?
417	Тигезләмәне чишегез:
nl 4x-l √7 = 5=х .	2x-9 2(5x+3) _ 1
а} 12	4	9 ’ j 6	15	^ 2 ’
18.	Квадрат тамырларны эченә алган
аңлатмаларның рәвешен үзгәртү
Без квадрат тамырларны эченә алган аңлатмалар¬
ның рәвешен бердәй үзгәртүләрнең кайберләрен
карап үттек. Ал арга тапкырчыгыштан, вакланма¬
дан һәм дәрәҗәдән тамыр алу, тапкырлаучыны
тамыр тамгасы астыннан чыгару, тапкырлаучы¬
ны тамыр тамгасы астына кертү керә. Квадрат
тамырларны эченә алган аңлатмаларның рәве¬
шен бердәй үзгәртүгә башка мисаллар карап
үтик.
иче мисал. З-Тба - V20α + 4√45a аңлатмасын гадиләштерик.
О y∕20a аңлатмасында 2 санын, ә √45a аңлатма¬
сында 3 санын квадрат тамыр тышына чыгарып
табабыз:
3√,5a - >∕20a + 4√45a = 3>∕δa - 2-Tδa + 12>∕5a =
= √5a(3 - 2 +12) = 13√5a . <
2 иче мисал.
Шуңа игътибар итегез, 3->∕5a - 2-Tδa + 12>∕5a
суммасын 13√5a аңлатмасы белән алыштырып,
без охшаш кушылучыларны берләштердек. Бу
алыштыруны, арадагы нәтиҗәне язмыйча гына,
кыскарак итеп эшләргә була.
(3√5 - 6√2)(√5 + 2√2) тапкырчыгышының рәвешен
үзгәртик.
92

► Беренче сумманың һәр буынын икенче сумма¬
ның һәр буынына тапкырлап табабыз:
(3√5 - 6√2)(√5 + 2√2) =
= 3(√5)2 - 6√2 ∙ √5 + 6√5 ∙ √2 -12(√2)2 =
= 15 - 24 = -9. <3
ВЙГнче мисал, вакланмасын кыскартыйк.
► 3 = (л/З)2 булганга күрә, әлеге вакланманың са¬
научысын ике аңлатманың квадратлары аермасы
рәвешендә күрсәтергә мөмкин. Табабыз:
x2-3 _ x2-(√3)2 _ (x+√3)(χ-√3) _ r _ /=• о
x+√3	x+√3	x+√3
О Име мисал. вакланмасын ваклаучысында квадрат тамыр
булмаслык итеп үзгәртәбез.
►	Бу вакланманың санаучысын да, ваклаучысын да
>/2 га тапкырлыйбыз:
с _ сл/2 _ c-⅝∕2
√2	(√2)2	2 •
с
Без вакланмасын аңа бердәй тигез һәм
ваклаучысында тамыр тамгасы булмаган
вакланмасы белән алыштырдык. Мондый очрак¬
ларда вакланманың ваклаучысы иррациональ¬
лектән котылды диләр.
4-Зд/б
5 иче мисал. ⊂∙ , аңлатмасының якынча кыйммәтен каль-
√o-1
кулятор ярдәмендә өтердән соң ике тамгага ка¬
дәр табабыз.
►	Вакланманың ваклаучысын башта иррациональ¬
лектән котылдырсак, исәпләү эше гадирәк булыр.
Моның өчен бирелгән вакланманың санаучысын
да, ваклаучысын да >/б +1 суммасына тапкырлап
табабыз:
' 4-3√6 = (4-3√6)(√6+l) = 4√6-3(√6)2+4-3√6 _
Н Q √6-l	(√6-iχ√6+l)	(√6)2-l	;
√6-36+4 = √6-14
6-1	5	•
Исәпләүләрдән соң
γ∕β~14 ≈ -2,31 <
ә
икәнен табабыз.
93

Күнегүләр
418	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	2л/х + зТх - y∕y ;
б)	-4>∕α + 2y[b + зТа ;
в)	79a + 725a - 736а ;
г)	√16n + T25n - √,9n ;
д)	√5a - 2√20a - зТвОа ;
419	(Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	>/8р - 725 + J18p ;
б)	√16^ + 2√40e - 3√90c ;
в)	5^27 - 4748m - 2712m ;
420	Гамәлләрне башкарыгыз:
а)	(712 + 715) • 3;
б)	√5 (3√5 + 5√8);
в)	(4√3 - 2√6) 2√3 ;
е)	√75 + √48 - √300 ;
ж)	3√8 - √50 + 2√L8 ;
з)	7242-7200 + 78;
и)	ТТ5-ЧЛТЗОО - 727 ;
к)	T9β-772+0,578.
г) 754 - 724 + 7150;
Д) ЗТ2 + Т32 - 7200 ;
е) 2Т72-Т50-2Т8.
г) (зТб-гТз) 75+ 7ёо;
Д) (728 - 2Тз + 77) ∙ √7 + 784
е) (712 + 2718) 72 - 796 •
421	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	73 ■ (712 - 2727);	в) 7β - (710 - 7δ) • 7б ; ’
б)	(572 - 7ТЗ) 7б ;	г) 748 - 2ТЗ (2 - δT12).
422	Гамәлләрне башкарыгыз:
а)	(1 + 3√2 )(1 - 272); г) (7δ - 78)(7δ - зТ2);
б)	(3 + ТЗ)(2 + 73); д) (275 + 712)(712 - 7δ) - 7135 ;
в)	(272 - ТЗ)(ЗТ2 - 273); е) (ЗТ2 - T27)(T27 - 72) - Tδ4 ..
423 Кыскача тапкырлау формулаларын кулланып, гамәлне
башкарыгыз:
а)	(х + y∣y )(х - 4у );
б)	(7a - Jb)(4a + Тй);
д)	(Ta + Tfe)2;
е)	(∖[m - Та)2;
в) (711 - 3)(√1T + 3);
ж) (72 + З)2;
г) (710 + √7)(T7 - 710);
424 Тапкырлагыз:
з) (75 - Т2)2.
а) (275 + l)(2Tδ -1);
д) а + зТб)2;
б) (5√7 - √Γ3)(√13 + 577);
е) (2Тз-7)2;
в) (Зу[2 - 2ТЗ)(2ТЗ + ЗТ2);
ж) (2710-Т2)2;
г) (0,5714 + 73)(73 - 0,5714);
з) (ЗТб-2ТЗ)2.
94

425	Гамәлләрне башкарыгыз:
a) (√6 + √5)2 - 7120 ;
× б) √6θ + (√3 - √5)2 ;
в) (√14-3√2)2 +6√28s
426	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(√^ + iχ√^-l)j
б)	(7x - 4a)(4x + 4a);
в)	(7m + √2)2;
г)	(Тз - √^)2;
г) (3√5 + √15)2 -10√27 ;
Д) (√4 + √i7+√4-√7)2S
е) (√5 + 2√6-√5-2√6)2.
Д) (5√7 -13)(5√7 +13);
е)	(2√2 + 3√3)(2√2 - 3√3)
ж)	(6-√2)2 +3√32 ;
з)	(√2 + √18)2 - 30 •
427
/
428
429
430
431
Квадратлар аерйасы формуласын кулланып, аңлатманы
тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	x2 - 7;	в) 4α2 - 3;	д) у - 3, биредә у > 0;
б)	5 - с2;	г) 11 -u 16&2; е) х - у , биредә х > 0; у > 0.
Аңлатманы тапкырлаучыларга таркатыгыз:
а)	3 + 7з ;	г) а - 5 4а ;	ж) 714 - 41;
б)	10-2710;	д) 4a-42a∖	3)√33 + √22.
в) 7х + х;
Вакланманы
⅛2-5 .
b-7δ ’
m+7β .
6-m2 ’
2-Тх
х-4
е) 73т + 45т ;
кыскартыгыз:
, Ъ-9
r> 7b+3 5
а-Ь
д)	√b+√^;
24х~з4у
е)	4x-9j∕ ;
3> √ΓP
Вакланманы кыскартыгыз:
4x-5 .
25-х ’
√2+2
√2 5
5+√Tδ
√io ;
2√3-3
5√3 ’
ж)	3√^-3√b;
, 4c+ι
з)	—т;
'	V*-L. ∕ V∙
И) aVa+a'
Вакланманың
тылыгыз:
ваклаучысындагы
иррациональлектән ко-
ж> 2√3 ’
з) ⅛5
„ з4ъ_
И) 5√2 •
95

432
433
434
435
436
437
438
439
440
Вакланманың ваклаучысындагы иррациональлектән ко¬
тылыгыз:
b'⅛ ">⅛
β>⅛= r,⅛ e>⅛∙
Вакланманың ваклаучысындагы иррациональлектән ко¬
тылыгыз:
а)	⅛I1	,, 7⅛s	Д1 ⅛t
б)	—¼=;	г) r-9 γ- ;	е) —V½—.
l-√2	ja+y∣b	2√5+5
Аңлатманың якынча кыйммәтен калькулятор ярдәмендә
0,01 гә кадәр төгәллек белән табыгыз:
,	1		2		3	5+3√3
a> √5-2 ’	6> √5-√3 ’ в> √10+√7 ’ r> √3+2 '
Вакланманың ваклаучысындагы иррациональлектән ко¬
тылыгыз:
а)	—sτ=;	в) ■ г—4 r ;	д) —‰=-;
x+4y	√10-√2	3-2√2
б)	—br ;	г) f-12r-s	е)
a-Jb	√3+√6	l+5√2
«)^ = 0,2Л5;
икәнен исбатлагыз.
Аңлатманың рәвешен үзгәртегез:
а)	аД ;	в) ;	д) Җ, биредә a ≥ 0;
б)	>j∣;	r) -J⅛ ;	e) y∕χ2 - ⅞ ’ биредә х ≥ 0.
Аңлатманың рәвешен үзгәртегез:
a)	; б) yβ; в) ; r) ι∕f •
Кабатлау өчен күнегүләр
■ χ2^Qχ+g ~ 2 аңлатмасын гадиләштерегез һәм х = -2,5
булганда, аның кыйммәтен табыгыз.
А дан В га 12 км/сәг тизлек белән велосипедчы чыга, ә
ярты сәгатьтән соң аның артыннан 48 км/сәг тизлек бе¬
лән мотоциклчы кузгала. Мотоциклчы В га велосипедчыга
караганда 1 сәг 15 мин ка иртәрәк килеп җитә. АВ арасы
күпмегә тигез?
96

441 Тигезләмәне чишегез:
a) 33tl + 2^x+1 = 0. б) 2zlθ-⅛ = 2,5.
442	Боҗраның мәйданы S = π(R2 — г2) формуласы буенча исәп¬
ләнә, биредә R — тышкы радиус, ә г — эчке радиус. R ны
, S һәм г аша белдерегез.
443	17 нче рәсемдә сурәтләнгән һәр туры өчен тигезләмә язы¬
гыз, аның графигы шул туры үзе була.
444	Тигезлрмәне чишегез:
а)	х2-7 = 0;	в)(х + 1)2=1;
б)	х2 + 49 = 0;	г) (х - 5)2 = 2.
Контроль сораулар
W¾g⅜⅜y ∙,,∙ '■ "⅛''∙' ■ ’ ■ $ ⅛x ■	z
1	3 \/а аңлатмасы мисалы ярдәмендә тапкырлаучыны тамыр
тамгасы астына ничек кертергә икәнен күрсәтегез.
2	√8α аңлатмасы мисалы ярдәмендә тапкырлаучыны тамыр
тамгасы астыннан ничек чыгарырга икәнен күрсәтегез.
3	-‰ һәм	аңлатмалары мисалы ярдәмендә ваклан¬
маның ваклаучысындагы иррациональлектән ничек коты¬
лырга икәнен күрсәтегез.
B⅛⅛ . им st «ЙМЫ
7 К 5/123
97

II	бүлеккә өстәмә күнегүләр
4 иче
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
параграфка
а һәм Ь саннарының натураль икәнлеге билгеле. Түбән¬
дәге саннар натураль булырмы:
a) a + Ь; б) a -Ь; в) ab; r) ⅜ ?
а һәм Ь саннары — бөтен саннар. Түбәндәге саннар бөтен
сан булырмы:
a) а + Ь; б) а - Ь; в) ab; г) (b≠ 0)?
а һәм Ь саннары рациональ саннар. Түбәндәге саннар
рациональ сан булырмы:
a) а + Ь; б) а-b; в) ab; г) (b≠ 0)?
Әгәр х һәм у җөп саннар булса, а) х - у; б) ху; в) Зх + у
саннарының да җөп булуын исбатлагыз.
х һәм у — так саннар. Түбәндәге саннар җөп яки так сан
булырмы:
а)	х + у суммасы;
б)	х - у аермасы;
в)	ху тапкырчыгышы?
а)	0,002 дән кечерәк булган биш уңай сан;
б)	-γj дән зуррак булган биш тискәре сан;
в)	дән зуррак һәм дән кечерәк биш сан әйтегез.
Түбәндәге
саннарны
периодик чиксез унарлы вакланма
рәвешендә
языгыз:
a) ^∙
а) 64’
г) 27;
ж) ^∙
JKJ 30,
б) -⅛^
Д) ⅛
3) 12
3, 55-
е) ~22’
Рациональ санның квадраты 3 кә тигез булмавын исбат¬
лагыз. (Башта бөтен сан 3 кә бүленмәсә, аның квадраты да
3 кә бүленмәвен исбатлагыз.)
10 һәм 10,1 саннары арасындагы ике рациональ һәм ике
иррациональ санны әйтегез.
а санының рациональ, ә Ь санының иррациональ сан
икәнлеге билгеле, a) а + Ь; б) a - Ь саны рациональ яки
иррациональ булырмы?
98

5 иче параграфка
455 Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a) 0,3 7289;
√0,16
β 2√0J)4 ’
6)-4√0,81 ;
ж) 72500 - √625;
.) J⅜-U
г)	Д— г—;
7256 Тб4
д)	2 √0,0121 + 7100;
и) - 0,03 √10000 + √16 ;
κ) -γ-- + J⅛ •
7зб1 V4
456 Исбатлагыз:
= 2,5;
а)	5-^ + √0^5
б)	11 : (0,15 √1600 - 0,29 7400 ) = 55;
в)	(√255+3√121) = (j√0Λ)9+θ,78√lθθ) = 6;
457	а) х = 2; х = 2,2; х = 5,2; х = 22 булганда, √5x -10 ;
б)	у = 1; у = -1,5; у = -15; у = -37,5 булганда, λ∣6-2y ;
'	'	о. /7
в)	х = 0; 1; 16; 0,25 булганда, -—т=;
O~">J X
г)	a = 0, b = 0; a = 4, Ъ — 7 булганда, 72 a - Ъ ;
д)	т = 0, п = -1; т = 33, п = 2 булганда, 7m - 4п аңлатмасы¬
ның кыйммәтен табыгыз. '
458	Тигезләмәне чишегез:
a)5√x=3j	в)-4==2; д) 1 + √2x = 10.
4√x
г) 7х-5 = 4;
459	√l + √2 + √x =2 тигезләмәсен чишегез.
460	а) Ике иррациональ санның суммасы рациональ сан бу¬
лырга мөмкинме?
б)	Рациональ һәм иррационал^ саннарның тапкырчыгы¬
шы рациональ сан була аламы?
7*
99

461	а) Ике рациональ тамыры булган; б) ике иррациональ та¬
мыры булган; в) тамырлары булмаган x2 = а рәвешендәге
тигезләмәгә мисал китерегез.
462	Аңлатмада х үзгәрешлесенең мөмкин табылган кыйммәт¬
ләрен күрсәтегез:
а)	4x2;	в) Vx2 +1; д) √-x2 ;
б)	4xi-,	г) λ∕(4-x)2 ; е) √-x3 .
463	a һәм Ь ның нинди кыйммәтләре өчен аңлатманың мәгъ¬
нәсе бар:
a) 4ab ; б) y∣-ab; в) 4a4b ; г) √α2fe2 ; д) J-ab2 ?
464	Үзгәрешленең нинди кыйммәтләре өчен аңлатманың мәгъ¬
нәсе бар:
a)÷5	6)-γX-5 b)-J-?
√x	√x+2 √x-l
465	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	√0J6 + (2√θΓT)2; г) (3√3)2 + (-3√3)2;
б)	(0,2√10)2 + 0,5√16 ; д) (5√2)2 - (2√5)2;
в)	7144 - 0,5(T12)2; е) (-З7б)2 - 3(7б)2.
466	Координаталар яссылыгындагы ике нокта: A (x1j yi) һәм
В (х2; y2) арасындагы ераклык d — y∣(x1 - x2)2 + (≈A - У2)2
формуласы буенча исәпләнә. А(-3,5; 4,3) һәм В (7,8; 0,4)
нокталары арасындагы ераклыкны калькулятор ярдәмен¬
дә исәпләп чыгарыгыз.
467	Саннарны чагыштырыгыз:
а)	y∣7,5 һәм 77,6 ; г) y∣2,16 һәм ; ж) 77 һәм 2,6;
б)	ТОЛ һәм 70,01; д) һәм ; з) 3,2 һәм 7θ,8 ;
в)	y∣⅜ һәм 7θ, 3 ; е) һәм70,(3); и) yjl,23 һәм 1,1.
6 нчы параграфка
468	Исәпләгез:
а)	7196 0,81 0,36 ; в) 70,87-49+ 0,82-49 ;
б)	Jl⅛∙5∣ 0,01; г) 71,44-1,21-1,44 0,4.
469	Тамырның кыйммәтен табыгыз:
nx ∕1652-1242 .	bv ∕ 1492 -762 .
' N	164	’	b, V4572 -3842 ’
~ /	98	.	v ∕145,52 -96,52 "
' V1762-1122 ’	π ү 193,52-31,52 ’
100

470	Исәпләгез:
а)	15√20 0,l√45 ;
б)	0,3√10 0,2√15 0,5>/б;
в)
г)
8√5 .
0,4√0^2 ’
√0,48
5√12 ’
471	а < 0 һәм Ь < 0 икәне билгеле.
а)	-Jab аңлатмасын тамырлар тапкырчыгышы рәвешендә;
б)	аңлатмасын тамырлар өлеше рәвешендә күрсәтегез.
472	Аңлатманың кыйммәтен исәпләгез (әгәр аның мәгънәсе
булса):
а)	√(-12)2 ;	в) √∑10f ;	д) √-(-152);
б)	-√L02^;	г) -√(-ll)2 ;	е) -√(-25)2 .
473	Исәпләгез:
a)	3√(-2)β ;	γ)O,1√2i°^5	ж) -√(-2)12 ;
6)-√10tj	λ)0,1√(≡3Fj	3) 2,5√(-0,l)4 .
b)	-3√5γj	е) 100√0,l1° ;
474	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	; г) √253 ; ж) V750∙270 ;
б)	√9i^;	д) √8 162 : > з) √853776 .
в)	√16r ; е) √96 ■ 486 ;
475	х ның нинди кыйммәтләре өчен Vx2^ = (Vx)2 тигезлеге
Дөрес?
476	Үзгәрешленең нинди кыйммәтләре өчен тигезлек дөрес:
а)	λ∕j√ = у2;	в) -Jx^ *= х3;	д) Jdu = - а7;
б)	√x*2^=x6j	г) √^θ=-c55 e)√∂8=547
477	Түбәндәге формула белән бирелгән функциянең графигын
төзегез:
а) У =	; б) у = =^-; в) у = x-Jx2 ; г) у = -x√x2^.
478	Аңлатманың рәвешен үзгәртегез:
а)	√α⅛r5	д)^;
б)	Vi>βc8 , биредә Ь ≥ 0;	е) ^θ1a0 , биредә Ь > 0;
в)	λ∕16x4y12 ;	' ж) , биредә х < 0; у < 0;
r)λ∕θ,25p2t∕β , биредәp≥Q,y≤O-, з) , биредәс<0, а>0.
101

479
7 нче
480
481
482
483
484
485
486
Аңлатманы гадиләштерегез:
a) ; б) √(-α)2(-5)4 .
параграфка
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	0,5 √60α2 ; в) 0,1 √150x3 ;	д) a √18α2fe ;
б)	2,1 √300x4 ; г) 0,2 √225αδ ;	е) -т y∣48ami .
д)	√-3c3;
е)	√-5mб) 7 ;
ж)	aVaδ∖
оч 1
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына чыгарыгыз:
а)	√9a25 , биредә a < 0;
б)	√25a253 , биредә a > 0;
в)	√144a353 > биредә a < 0, b < 0;
г)	√32a4x3 ;
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы астына кертегез:
а) а у/з , биредә a ≥ 0; в) ;
з) — √-x3
'	-V*
Үзгәрешленең нинди кыйммәтләре өчен тигезлек дөрес:
а)	x√3 = √3x2^;	в) √7c2^ = -c√7 ;
б)	yy∣5 = -yj5y2 >	r) √3a2 = — ау/З 7
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы астына кертегез:
а)	х2 ; д) ab y∣⅛, биредә а > 0, Ъ > 0;
б)	- х2 y∕δ ;	е) 2ab , биредә а < 0, b < 0;
в)	-3a.∕⅜a ;	ж) A	, биредә а > 0, b > 0;
г)	За ∙J-д ; з) -ab + , биредә a > 0, b < 0.
Саннарны чагыштырыгыз:
а) 0,2 у/200 һәм 10 y∕δ ;
в) 0,5 V108 һәм 9√3 ;
б) 7^Ц һәм 0,8√50 ; г) ∣ √63 һәм 4,5√28 .
Саннарны үсә бару тәртибендә урнаштырыгыз:
а)	3,∕72, √30 Һәм 7 у/2 в) 8λ∕θ,2,>∕41 һәм ^√250 ;
I—
б)	δJj,√17 һәм ∣√62 ; г) 12√O5,√89 һәм ∣√160.
102

487
Тапкырлагыз:
а)	Vx(Vα - √b);
б)	(√x +7j∕)√x ;
в)	y∕ab(y∕a +7b);
г)	(y[m - yfn)yjmn ;
Д) (Vx + >∕y)(2√x - д/у);
е)	(у/а - Vb)(3>∕α + 2-jb);
ж)	(2√α + y∕b)(3yja - 2√b);
з)	(4>∕x - y∣2x)(yfx - y∣2x) .
488	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(1-Vx)(l + у/х + х);	в) (у/т - Vn)(τn + п + yjmn);
б)	(√α + 2)(α - 2√a +4);	г) (х + λ∕y)(x2 + у - xy∣y).
489	a) √6 + 4√2 = 2 + √2 ; б) √8√3+19 = √3 + 4
икәнен исбат итегез.
490	а) х = 1 + y∣5 булганда, x2 - 6;
б) х = 3 - √3 булганда, x2 - 6х;
в)	х = 2 + у/з булганда, x2 - 4х + 3;
г)	х = булганга, x2 - Зх + 5
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
491	y∣7~T½y∕3 + ∖]7 - 4y∕3 һәм y∣7 + 4λ∕3 ∙ y∣7 - 4y∣3 аңлатмалары¬
ның кыйммәтләре натураль саннар булуын исбатлагыз.
492	Аңлатманың кыйммәте рациональ сан икәнен исбатлагыз:
а) 1_.
, 3√2-4 3√2+4,
61	1 I 1
, 5+2√6 5-2√6 ■
493	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
a> ll-2√30 ll+2√30 ’
4 √5-√3 1 √5+√3
В) √5+√3 √5-√3 5
494
495
5 l 5
6) 3+2√2 3-2√2 ’
Г> ll-√2t + ll+y⅛L ,
,	,	x2-3xy+y2
х = 3 + √5 һәм у = 3 - √5 булганда, —Т+у+2— вакланма¬
сының кыйммәтен табыгыз.
Вакланманы кыскартыгыз:
yfd+y/b φ
, ay[a+by∕b ’
В) 2+yf2x+x ’
а-у/За+З
r' a√a+3√3 •
103

496
497
498
499
500
∕
501
502
503
Вакланманы кыскартыгыз:
Вакланманың
тылыгыз:
в)	2√10-5 .
4-√10 ’
г)	9-2√3 .
3√6-2√2 ’
ваклаучысындагы
_х 2√3+3√2-√6 .
Д) 2+√6-√2 ’
(√io-D2-3
f √iδ+√3-ι ,
иррациональлектән ко-
б) e≠j
b∙Jy
Вакланманың
тылыгыз:
x-y[xy+y .
а) 4~x-ry ’
9+3∙>∕o+g .
3+-∖∕g
r) gy∣b+by[a .
•Jab
ваклаучысындагы
х l-2Vx+4x .
,	l-2√x ’
ж a2⅛+2α>∕⅛+4
ay/b+2
д)М^;
, 5∙j3
. 2-3√2
' 4√2
иррациональлектән ко-
Вакланманың санаучысындагы иррациональлектән коты¬
лыгыз:
а)	⅛⅛	„>	7--^ ;
√x	49-7√α+g
б)	а+^;	г) ....⅞+l...
g√o	тп+у/тп+г
Вакланманың ваклаучысындагы иррациональлектән ко¬
тылыгыз:
а) г- — > б) г -г-—.
√2+√3+l	√5-√3+2
•Jx—y/2
х ның нинди кыйммәтендә χ~2 вакланмасы иң зур
кыйммәткә ирешә?
Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	15^f-√iβδ,	в)бД-^2Т;
б)	√135 + 10√<λ6 ; г) 0,δ√24 +'l<∙√f .
Аңлатманы гадиләштерегез:
-V ( 4а	∙Ja λ⅛ (⅛-a)2
∖y∕a-4b ∙Ja+4b)	2

Ill бүлек
ъ Квадрат тигезләмәләр
§8
Квадрат тигезләмә
һәм аның тамырлары
19.	Квадрат тигезләмәнең билгеләмәсе.
Тулы булмаган квадрат тигезләмәләр
-х2 + 6х + 1,4 = 0, 8x2 - 7х = 0, х2 - g = 0 тигезлә¬
мәләренең һәркайсы ax2+ Ьх + с = 0 рәвешендә
күрсәтелгән, биредә х — үзгәрешле a, Ь һәм с —
саннар. Беренче тигезләмәдә a = -1, Ь = 6 һәм
с = 1,4, икенчесендә a = 8, b = -7 һәм с = 0, өчен¬
чесендә α = l, Ь = 0 һәм c = -θ. Андый тигезлә¬
мәләрне квадрат тигезләмәләр дип атыйлар.
'Билгеләмә, ах2 + Ьх + с = 0 рәвешендәге тигезләмә квадрат
тигезләмә дип атала, биредә х — үзгәрешле, а, Ь Һәм с — нинди¬
дер саннар, өстәвенә a ≠ 0.
a, Ъ һәм с саннары — квадрат тигезләмәнең
коэффициентлары, а санын — беренче коэффици¬
ент, Ь ны — икенче коэффициент һәм с ны ирекле
буын дип атыйлар.
Квадрат тигезләмәне тагын икенче дәрәҗә ти¬
гезләмә дип тә атыйлар, чөнки аның сул кисә¬
ге — икенче дәрәҗә күпбуын.
Әгәр ах2 + Ь + с = 0 квадрат тигезләмәсендә Ъ
һәм с коэффициентларының берсе генә нульгә
тигез булса да, андый тигезләмәне тулы булма¬
ган квадрат тигезләмә дип атыйлар. Мәсәлән,
-2x2 + 7 = 0, Зх2 - 10х = 0 һәм -4x2 = 0 тигезләмә¬
ләре — тулы булмаган квадрат тигезләмәләр. Алар-
ның беренчесендә 6 = 0, икенчесендә с = 0, ә өченче¬
сендә Ь = 0 һәм с = 0.
105

Тулы булмаган квадрат тигезләмәләр өч төрдә
була:
1)	ах2 + с = 0, биредә с ≠ 0;
2)	ах2 + Ьх = 0, биредә b ≠ 0;
3)	ах2 = 0.
Һәр төр тигезләмәнең чишелешләрен карыйк.
1	me мисал, -3χ2 + 15 = 0 тигезләмәсен чишик.
>	Ирекле буынны тигезләмәнең уң кисәгенә күче¬
рәбез һәм килеп чыккан тигезләмәнең ике кисә¬
ген дә -3 кә бүләбез:
-Зх2 = -15,
x2=5,
х = Vδ яки х = - л/б .
Җавап: x1 = Vδ , х2 = --Тб . <1
2	нче мисал. 4x2 +3 = 0 тигезләмәсен чишик.
►	Ирекле буынны тигезләмәнең уң кисәгенә күче¬
рәбез һәм килеп чыккан тигезләмәнең ике кисә¬
ген дә 4 кә бүләбез:
4x2 = -3,
х2=_3
x 4'
Санның квадраты тискәре сан була алмаганлык -
тан, килеп чыккан тигезләмәнең тамырлары юк.
Шулай булгач, аңа тамырдаш булган 4х2 +3 = 0
тигезләмәсенең дә тамырлары булмый.
Җавап: тамырлары юк. <1
с ≠ 0 булганда, ах2 + с = 0 рәвешендәге тулы
булмаган квадрат тигезләмәне чишү өчен, аның
ирекле буынын уң кисәгенә күчерәләр һәм тигез¬
ләмәнең ике кисәген дә α га бүләләр, ах2 + с = 0
тигезләмәсенә тамырдаш булган
тигезләмәсен табалар.
с ≠ 0, шуңа күрә - ~ ≠ 0.
Әгәр - > 0 булса, тигезләмәнең ике тамыры
була:
xι = -J"⅛ һәм x2 =
Әгәр -	< 0 булса, тигезләмәнең тамырлары
булмый.
106

3	нче мисал. 4χ2 + 9x = О тигезләмәсен чишик.
О Тигезләмәнең сул кисәген тапкырлаучыларга
таркатабыз:
х(4х + 9) = 0.
Моннан
х = 0 яки 4х + 9 = 0.
4х + 9 = 0 тигезләмәсен чишәбез:
4х = -9,
х=-2⅛.
4
Җавап: x1 = 0, х2 = - 2-^. О
-* Гомумән, b ≠ 0 булганда, ах2 + Ьх = 0 рәвешен¬
дәге тулы булмаган квадрат тигезләмәне чишү
өчен, аның сул кисәген тапкырлаучыларга тарка¬
талар һәм
х(ах + Ъ) = 0
тигезләмәсен табалар.
х(ах + Ь) тапкырчыгышы тапкырлаучылар¬
ның берсе нульгә тигез булганда һәм бары тик
шул вакытта гына нульгә тигез була:
х = 0 яки ах + Ь = 0.
a ≠ 0 булган ах + Ь = 0 тигезләмәсен чишеп
табабыз:
s	ах = -Ь,
х—*-.
a
Димәк, х(ах + Ь) тапкырчыгышы, х = 0 һәм
х = - булганда, нульгә әйләнә. 0 һәм - санна¬
ры ах2 + Ьх = 0 тигезләмәсенең тамырлары була.
z Шулай булгач, b ≠ 0 булганда, ах2 + Ь = 0
тулы булмаган квадрат тигезләмәнең һәрвакытта
да ике тамыры була.
ах2 = 0 рәвешендәге тулы булмаган квадрат
тигезләмә х2 = 0 тигезләмәсенә тамырдаш һәм
шуңа күрә бердәнбер тамыры бар.
Күнегүләр
504	Түбәндәге тигезләмәләр квадрат тигезләмә буламы:
a)	3,7x2 - 5x + 1 = 0√	r)l-12x = 0Γ
, б) 48x2-x3-9 = 0j	fl)7x2-13 = 0j√
в)	2,lx2 + 2x - j = 0; / е) -х2 = 0?
107

505	Квадрат тигезләмәнең коэффициентларын күрсәтегез:
а)	5x2 - 9x + 4 = 0;	г) -4x2 + 5x = 0;
б)	x2 + 3x - 10 = 0;	д) 6x2 - 30 = 0;
в)	-x2-8х+1 = 0;	e)9x2 = 0.
506	Тигезләмәне αx2 + bx + с = 0 рәвешенә китерегез:
а)	(2x - l)(2x + 1) = х(2х + 3);
б)	(3x + 2)2 = (x + 2)(x-3)j
в)	(х + l)(x + 2) = (2x - 1)(х - 2);
г)	(х + 3)(3x - 2) = (4x + 5)(2x - 3).
507	Бирелгән тигезләмәне аңа тамырдаш булган квадрат тигез¬
ләмә белән алыштырыгыз:
а)	4x2-2x(3x+ 1) = 5;
б)	x2+(l-xχi-3x) = x,∙
в)	-5х(х + 6) = 4(х - 3) - 10;
г)	(х - 8)(2x + 3) = (Зх - 5Хх + 4).
508	Төрле төрдәге тулы булмаган квадрат тигезләмәләргә ми¬
саллар китерегез.
509	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	4x2 - 9 = 0; в) -0,lx2 + 10 - 0;
б)	-х2 + 3 = 0;	γ)j∕2-∣=0j
510| Тигезләмәне чишегез:
а)	Зх2 - 4х = 0; в) 10x2 + 7х = 0;
б)	-5x2 + 6х = 0; г) 4a2 - За = 0;
511	Тигезләмәне чишегез:
а)	2x2 + Зх = 6;	в) 5u2 - 4u = 0;
б)	Зх2 - 2 = 0; г) 7a - 14a2 = 0;
д)	6o2 + 24 = 0;
е)	3m2 - 1 = 0.
д)	6z2 -2 = 0;
е)	2y + y2 = 0.
д)	1 - 4ι∕2 = 0;
е)	2x2 - 6 = 0.
512	Тигезләмәне чишегез:
а)	4x2 - Зх + 7 = 2x2 + х + 7;	в) 10 - 3x2= x2+ 10 - х;
б)	-5⅛r2 + Зу + 8 = Зу + 3;	г) 1 - 2y + 3y2 = y2 - 2y + 1.
513	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	(х + 3)(х - 4) = -12;
б)	ljx + (2x + l)(∣χ-lj =0;
в)	(Зх - I)2 - 1 = 0;
г)	3x(2x + 3) = 2х(х + 4,5) + 2;
д)	18-(x-5Xx-4) = -х2;
е)	(х - iχx + 1) = 2(x2 - 3).
514	Тигезләмәне чишегез:
а)	х2 - 5 = (х + 5)(2x - 1); г) 6a2 - (a + 2)2 = -4(a - 4);
б)	(2x + ЗХЗх + 1) = Их + 30; д) x(7 - 6x) = (1 - 3xχi + 2х);
в)	2х - (х + I)2 = Зх2 - 6; е) (5у + 2Ху - 3) = -13(2 + у).
108

515	Эзлекле килүче ике бөтен санның тапкырчыгышы аның
кечкенәсенең квадратыннан 1,5 тапкыр зуррак. Бу сан¬
нарны табыгыз.
516	Әгәр квадраттан мәйданы 59 см2 булган өчпочмак кисеп
алсак, калган кисәкнең мәйданы 85 см2 була. Квадратның
ягын табыгыз.
517	Квадратның мәйданы түгәрәк мәйданыннан 12 см2 га зур-
рак. Әгәр түгәрәкнең мәйданы 36 см2 га тигез булса, квад¬
ратның ягын табыгыз.
518	Түгәрәкнең мәйданы 1 дм2 га тигез. Түгәрәкнең радиусын
табыгыз.
519	Мәйданы г См радиуслы түгәрәк мәйданы кадәр булган
квадратның ягын табыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
520	Функциянең графигы координаталар чирекләренең кай¬
сысында урнашкан:
a) y = (l-√2 )х; б) у = (√35 - 5,7)х?
521	х = 0,36 һәм х = 49 булганда,	+ аңлатмасының
кыйммәтен табыгыз.
522	Вакланманың кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз (җа¬
вапны тигезсезлек рәвешендә языгыз):
. α2+⅛2	д. (a+⅜)2
а) a2+b2+l,	0, (a-b)2+l'
20.	Квадрат тигезләмәләрне икебуынның квадратын
аерып чыгару юлы белән чишү
Тулы квадрат тигезләмәләр, ягъни барлык өч
коэффициенты да нульгә тигез булмаган тигезләмә¬
ләрне чишүгә мисаллар карыйк. Беренче коэффи-
циентЬг 1 гә тигез булган тигезләмәләрдән баш¬
лыйк. Андый тигезләмәләрне китерелгән квад¬
рат тигезләмәләр дип атыйлар.
x2+10x + 25 = 0
китерелгән квадрат тигезләмәсен чишик.
Тигезләмәнең сул кисәген икебуынның квад¬
раты рәвешендә күрсәтеп табабыз:
,	(х + 5)2 = 0.
Моннан
х + 5 = 0,
х = -5.
Җавап:-5.
109

Тагын бер китерелгән квадрат тигезләмә чи¬
шик:
х2 - 6х - 7 = 0.	(1)
Әгәр х2 - 6х аермасына 9 санын кушсак, ки¬
леп чыккан аңлатманы (х - З)2 рәвешендә, ягъни
икебуынның квадраты рәвешендә язып була.
(1) тигезләмәсенең ике кисәгенә дә 9 ны кушабыз,
ә ирекле буынны уң кисәккә күчерәбез. Табабыз:
х2 - 6х + 9 = 9 + 7.
Бу тигезләмәнең рәвешен үзгәртәбез:
(х - З)2 = 16.
Моннан
х - 3 = -4 яки х - 3 = 4,
х = -1 яки х = 7.
Җавап: x1 = -l, x2 = 7.
(1) тигезләмәсен чишү ысулын икебуынның
квадратын аеру дип атыйлар. Шушы ысул белән
тагын берничә квадрат тигезләмә чишик.
1	нче мисал, x2 + 8x - 1 = 0 тигезләмәсен чишик.
[> Табабыз:
x2+2x • 4-1 = 0,
x2+2x∙4 + 16 = 16 + l,
(х + 4)2 = 17;
х + 4 = - -717 яки х + 4 = -717 ,
х = -4 - >/17 яки х = -4 + 717 .
Җавап: x1 = -4 - 717 , х2 = -4 + -717 . <]
2	нче мисал, х2 - 4х + 10 = 0 тигезләмәсен чишик.
>	x2-2x • 2 + 4 = 4-10,
(х - 2)2 = -6
була.
Җавап: тамырлары юк. <1
3	нче мисал. Зх2 - 5х - 2 = 0 тигезләмәсен чишик.
L> Тигезләмәнең ике кисәген дә 3 кә бүлеп,
х2 -|х-|=0
О о
китерелгән квадрат тигезләмәсен табабыз.
110

Квадрат икебуын аерабыз һәм килеп чыккан
тигезләмәне чишәбез:
x2-2x j-< = 0,
О О
≈≈-M÷(t)4t),÷t∙
„5 __7 cιτ,τjr „5 = 7
x 6	6 яки Х 6 6 ’
х = яки х = 2.
Җавап: x1 = - jj. x2 = 2∙
Күнегүләр
523	Тигезләмәне чишегез:
а)	х2 + 12х + 36 = 0;
б)	x2-x+∣=0.
524	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	х2 - 8х + 15 = 0;
б)	х2 + 12х + 20 = 0;
в)	х2 - 5х - 6 = 0; - f
г)	х2 - 8х - 9 = 0.
525	Тигезләмәне чишегез:
а)	х2 - 4х + 3 = 0;
б)	х2 + Зх - 10 = 0;
в)	х2 J- 9х + 14 = 0;
г)	х2 - 2x - 1 = 0.
526	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	х2 - 6х + 8 = 0;
б)	х2 + х - 6 = 0;
в)	х2 + 4х +3 = 0;
г)	х2 + 4х - 2 = 0.
527	Тигезләмәне чишегез:
а)	2x2 - 9х + 10 = 0;
б)	5x2 + Зх - 8 = 0.
528	5x2 + 14х - 3 = 0 тигезләмәсен чишегез.
111

Кабатлау өчен күнегүләр
529	Аңлатмаларның кайсысы а ның теләсә нинди кыйммәт¬
ләре өчен уңай кыйммәтләр ала:
α2 + 4, (a + 8)2, 5a + 2, a+ 13, (a-4)2 + 4, (a + l)2-17
530	Аңлатманы гадиләштерегез:
(8⅛ + Σ⅛ “ 1) ’ (c⅛ -	•
531	Вакланманы кыскартыгыз:
(3x-6)2	a2+8a+16
а)	(2-х)2 ;	0, (2a+8)2 •
532	(V10 + 5>/з + V10-δT3)2 аңлатмасының кыйммәте рацио¬
наль сан икәнен күрсәтегез.
Контроль сораулар
4
3
5
1 Квадрат тигезләмә билгеләмәсен әйтеп бирегез.
Нинди тигезләмәне тулы булмаган квадрат тигезләмә дип
атыйлар? Төрле төрдәге тулы булмаган квадрат тигезләмә¬
ләргә мисаллар китерегез.
һәр төр тулы булмаган квадрат тигезләмәнең ничә тамы¬
ры бар?
Нинди тигезләмәне китерелгән квадрат тигезләмә дип
атыйлар?
Китерелгән квадрат тигезләмәне икебуынның квадратын
аеру юлы белән чишү ысулын мисал ярдәмендә күрсәтегез.
§ 9. Квадрат тигезләмә тамырларының
формуласы
21.	Квадрат тигезләмәләрне формула кулланып чишү
Квадрат тигезләмәләрне икебуынның квадратын
аерып алу ысулы белән чишү еш кына зур рәвеш-
үзгәртүләр эшләүгә китерә. Шуңа күрә башкача
эшлиләр. Тигезләмәне гомуми рәвештә чишәләр
һәм нәтиҗәдә тамырлар табу формуласы килеп
чыга. Аннары ул формуланы теләсә нинди квад¬
рат тигезләмәне чишкәндә кулланалар.
ах2 + Ьх + с = 0	(1)
квадрат тигезләмәсен чишик.
112

Тигезләмәнең ике кисәген дә а га бүлеп, аңа
тамырдаш булган
x2 + ix + ^- = 0
α a
китерелгән квадрат тигезләмәсен табарбыз.
Бу тигезләмәнең рәвешен үзгәртәбез:
x2+2x+	= (kl) ~Г»
2а \2а/	\2а) a
= ⅛2 с
4a2 a ’
_ ⅛2-4ac
4a2
(2)
(2) тигезләмәсе (1) тигезләмәсенә тамырдаш.
*	t>2-4ac
Аның тамырлары саны —— вакланмасының
тамгасына бәйле, a ≠ О булганлыктан, 4a2 ваклау¬
чысы — уңай сан, шуңа күрә бу вакланманың
тамгасы аның санаучысының, ягъни Ь2 - Аас аң¬
латмасының тамгасы белән билгеләнә. Бу аңлат¬
маны ах2 + Ьх + с = 0 квадрат тигезләмәсенең
дискриминанты дип атыйлар (латинча «дискри¬
минант» — аеручы). Аны D хәрефе белән тамга¬
лыйлар, ягъни
D = Ь2 - 4ac.
(2) тигезләмәсен
рәвешендә язабыз.
Хәзер D га бәйле рәвештә мөмкин булган төр¬
ле очракларны карыйк.
1)	Әгәр D > 0 булса,
-χ- = -⅛p- яки x + -⅛- =
2а 2а	2а 2а
Ь 4р
2а 2а
яки
х = яки х = була.
2а	2а
Шулай итеп, бу очракта (1) тигезләмәсенең
ике тамыры бар:
_ -b-y∣D һәм _ -b+4θ
1	2a	2 2a
8 К 6/123
113

Тамырларны кыскача түбәндәгечә язу кабул
ителгән:
* =	, биредә D = b2 — 4ac. (I)
Бу язманы квадрат тигезләмәнең тамырлары
формуласы дип атыйлар.
2) Әгәр D = 0 булса, (2) тигезләмәсе
(≈÷⅛)i=0
рәвешен алыр. Моннан
x + ^- = 0,
2а ’
х = __ь_
2а '
Бу очракта (1) тигезләмәсенең бер тамыры
бар: -⅛.
Квадрат тигезләмә тамырлары формуласын¬
нан бу очракта да файдаланырга мөмкин. Дөрес¬
тән дә, D = 0 булганда, (1) формуласы
χ = -⅜±√o
рәвешен ала. Моннан
2α
x =
2а ‘
3) Әгәр D < 0 булса, вакланмасының
кыйммәте тискәре була, һәм шуңа күрә
(x + ±-∖2=^-
∖	2a)	4a2
тигезләмәсенең һәм, димәк, (1) тигезләмәсенең дә •
тамырлары юк.
Шулай итеп, квадрат тигезләмәнең дискри-
минантка бәйле рәвештә ике тамыры (D > 0 бул¬
ганда), бер тамыры (D = 0 булганда) булырга
мөмкин яки тамырлары булмаска мөмкин (D < 0
булганда).
(I) формуласы буенча квадрат тигезләмәне чишкәндә тү¬
бәндәгечә эшләү максатка ярашлырак:
1)	дискриминанты исәпләргә һәм аны нуль белән чагыш¬
тырырга;
2)	әгәр дискриминант уңай яки нульгә тигез булса, тамыр¬
лар формуласыннан файдаланырга, әгәр дискриминант
тискәре булса, тамырлары юк дип язарга кирәк.
114

1 иче мисал. 12x2 + 7x + 1 — 0 тигезләмәсен чишик.
► Дискриминантны табабыз:
D = 72-4 • 12 • 1 = 1, Л >0.
Квадрат тигезләмә тамырларының формула¬
сын кулланабыз:
r = -7±√i
24 ’
х =
-7±1
24
Җавап: x1 = - g , x2 = -
2	нче мисал, x2 -12х + 36 = 0 тигезләмәсен чишик.
►	Табабыз:
D = (-12)2 - 4 • 1 • 36 = 0,
I	.12±√0
Х~ 2	’
⅛ _ 12+0
*	2 •
Җавап: 6.
3	иче мисал. 7x2 - 25х + 23 = 0 тигезләмәсен чишик.
►	Табабыз:
D = (-25)2-4 • 7 • 23 = 625 - 644, D < 0.
Җавап: тамырлары юк. <1
Икенче коэффициенты җөп сан булган квад¬
рат тигезләмәләр өчен тамырлар формуласын
башкача язу уңай.
αx2 + 2Ах + с = 0
квадрат тигезләмәсен карыйк. Аның дискрими-
нантын табабыз:
D = 4A2-4αc = 4 (А2-ас).
Тигезләмәнең тамырлар саны А2 - ас аңлатма¬
сының тамгасына бәйле булуы үзеннән-үзе аңла¬
шыла. Бу аңлатманы D1 дип тамгалыйк.
Әгәр D1 ≥ 0 булса, квадрат тигезләмәнең та¬
мырлары формуласы буенча табабыз:
-2A±√4Z∖	-2k±2J^D1 -k±Jl∖
X = 	п	 =	о	 =	, ЯГЪНИ
2a	2a	а	’
х = fe > биредә Dl = k2- ас. (П)
Әгәр D1 < 0 икән, тигезләмәнең тамырлары
булмый.
8*
115

4 иче мисал.
9x2 - 14x + 5 = 0 тигезләмәсен чишик.
Табабыз:
Z>1 = (~7)2 - 9 • 5 = 4,
r _ 7±√4 .. ... 7±2
9 ’	9 ,
Җавап: x1 = x2 = 1. <1
Күнегүләр
533
Квадрат тигезләмәнең дискриминантын исәпләп чыгары¬
гыз һәм тигезләмәнең тамырлары санын күрсәтегез:
534
535
а)	2x2 + Зх + 1 = 0;
б)	2x2+ х + 2 = 0;
Тигезләмәне чишегез:
а)	Зх2-7х + 4 = 0;
б)	5х2-8х + 3 = 0;
в)	Зх2 - 13х + 14 = 0;
г)	2y2 - 9у + 10 = 0;
Тигезләмәне чишегезГ
а)	14x2 - 5x -1 = 0;
б)	~У2 + 3</ + 5 = 0;
в)	2x2 + х + 67 = 0;
в)	9x2 + 6x + 1 = 0;
г)	х2 + 5х - 6 = 0.
д)	5y2 - бу + 1 = 0;
е)	4х2 + х-33 = 0;
ж)	у2 - Юу - 24 = 0;
Q з) р2 +р - 90 = 0.
I
c ⅛
г)	1 -18р + 81р2=0;
д)	-111/+ i/2-152 = 0;
е)	18 + Зх2 - х = 0.
536	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	5х2- Их + 2 = 0;	г) 35x2 + 2x - 1 = 0;
б)	2p2 + 7р - 30 = 0;	д) 2y2 - у - 5 = 0;
в)	9<∕2 - 30</ + 25 = 0;	е) 16x2 - 8x + 1 = 0.
537	х ның нинди кыйммәтләре өчен
а)	x2 — Их + 31 өчбуыны 1 гә тигез булган кыйммәт ала;
б)	х2 - 5х - 3 һәм 2х - 5 күпбуыннарының кыйммәтләре
тигез;
в)	7x + 1 икебуыны 3x2 - 2x + 1 өчбуынына тигез;
г)	-2x2 + 5х + 6 өчбуыны 4x2 + 5х икебуынына тигез?
538	х ның нинди кыйммәтләре өчен
а)	х2 - 6х һәм 5х - 18 икебуыннары;
б)	Зх2 - 4х + 3 һәм х2 + х + 1 өчбуыннары тигез кыйммәт¬
ләр ала?
539	(II) формуласын кулланып, тигезләмәне чишегез
а)	Зх2 - 14х + 16 = 0;
б)	5x2 - 16х + 3 = 0;
в)	х2 + 2х - 80 = 0;
г)	х2 - 22х - 23 = 0;
116
д)	4x2 - 36х + 77 = 0;
е)	15<∕2- 22у - 37 = 0;
ж)	7z2 - 20z + 14 = 0;
з)	<∕2-10<∕-25 = 0.

540
541
542
543
544
545
546
547
548
Тигезләмәне чишегез:
а)	8x2 - 14x + 5 = 0;	д) x2 + 6х -19 = 0;
б)	12x2 + 16х -3 = 0;	е) 5x2 + 26х - 24 = 0;
в)	4x2 + 4x + 1 = 0;	ж) х2 - 34х + 289 = 0;
г)	х2 - 8х - 84 = 0;	з) 3x2 + 32х + 80 = 0.
Тигезләмәне чишегез:
а)	2x2 - 5х - 3 = 0;	д) 3⅛2 - 3⅛ + 1 = 0;
б)	Зх2 - 8х + 5 = 0;	е) х2 + 9х - 22 = 0;
в)	5x2 + 9х + 4 = 0;	ж) у2 - 12у + 32 = 0;
г)	36z∕2 - 12y + 1 = 0;	з) 100x2 - 160х + 63 = 0.
Тигезләмәне чишегез:
а)	5x2 = 9х + 2;	д)	y2 = 52</ - 576;
б)	-х2 = 5х-14;	е)	15p2 - 30 = 22р + 7;
в)	6х + 9 = х2;	ж)	25p2 = 10p - 1;
г)	z - 5 = z2 - 25;	з)	299x2 + 100 х =	500 - 101x2.
Тигезләмәне чишегез:
а)	25 = 26х - х2;	г) Зр2 + 3 = 10р;
б)	Зх2 = 10 - 29х;	д) х2 - 20х = 20х + 100;
в)	у2 = 4у + 96;	е) 25x2 - 13x = 10x2 - 7.
Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	(2x - 3)(5x + 1) = 2x + j;
б)	(Зх - 1)(х + 3) = х(1 + 6х);
в)	(х - l)(x + 1) = 2 ∣5x -101);
г)	- х( х + 7) = (х - 2)(х + 2).
Тигезләмәне чишегез:
а)	(х + 4)2 = Зх + 40;	в)	(х	+	I)2	= 7918 - 2х;
б)	(2х - З)2 = Их - 19;	г) (х + 2)2 = 3131 - 2х.
Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	3(x + 4)2 = 10х + 32;	в) (х + I)2 = (2x - I)2;
б)	15х2 + 17 = 15(x + I)2;	г) (х - 2)2 + 48 = (2 - Зх)2.
Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	χ2~1 - Их = 11; в) = x(10x - 9);
б)	х!±х = 8^7. г) ∣λ-2-∣x = 4x2 + 3
2	3	4	5	5	4
Тигезләмәнең тамырларын табыгыз һәм аларның якынча
кыйммәтләрен 0,01 гә кадәр төгәллек белән унарлы вак¬
ланмалар рәвешендә күрсәтегез:
а)	5x2 - х - 1 = 0;	в) 3(p2 - 2) - у = 0;
б)	2x2+ 7х + 4 = 0;	г) y2 + 8(p - 1) = 3.
117

549	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз һәм аларның якынча
кыйммәтләрен 0,01 гә кадәр төгәллек белән унарлы вак¬
ланма рәвешендә күрсәтегез:
а) х2 - 8х + 9 = 0; б) 2y2 - 8у + 5 = 0.
550	Тигезләмәне чишегез:
а)	0,7x2 = 1,3х + 2;
б)	7 = 0,4у + 0,2г/2;
в)	х2 - 1,6х - 0,36 = 0;
г)	z2-2z + 2,91 =0;
д)	0,2z∕2 - 10г/ + 125 = 0;
е)	⅜x2+ 2х - 9 = 0.
О
551	х ның нинди кыйммәтләре өчен тигезлек дөрес:
а)ух2 = 2х-7; б) x2+1,2 = 2,6х; в) 4x2= 7х + 7,5?
552	а ның тигезлекне дөрес итәрдәй кыйммәте бармы (булса,
ул кыйммәтне табыгыз):
а) За + 0,6 = 9α2+ 0,36; б) 0,4а + 1,2 = 0,16a2 + 1,44?
Кабатлау өчен күнегүләр
553	а) х = -0,5 булганда, ⅛⅛ - ⅛⅛ - ⅛;
б) a = -1,5 булганда, 1-д
За
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
554	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	(√H + √14-2√35)∙^ + √20j
б)	(√5 + √3 - √15)(√5 - √3) + √75 .
555	Төзүне эшләми генә, сызыкча функцияләрнең графиклары
кисешү нокталарының координаталарын табыгыз:
а) у =7x - 1 һәм у = 2х; б) у = Зх - 11 һәм у = 4.
22.	Квадрат тигезләмәләр ярдәмендә мәсьәләләр чишү
Математикада, физикада, техникада күп кенә
мәсьәләләр квадрат тигезләмәләр ярдәмендә чи¬
шелә.
>нче мәсьәлә Турыпочмаклы өчпочмакта катетларның берсе
икенчесеннән 4 см га кыскарак, ә гипотенузасы
20 см га тигез икәне билгеле булса, өчпочмак¬
ның катетларын табыгыз.
[> Кечкенә катет х см га тигез булсын. Ул вакытта
зуррак катет (х + 4) см га тигез. Пифагор теоре¬
масы буенча гипотенузаның квадраты катетлар¬
ның квадратлары суммасына тигез, ягъни
х2 +(x + 4)2 = 202.
118

Табылган тигезләмәне гадиләштерәбез:
x2 + x2 + 8x + 16 = 400,
2x2 + 8x-384 = 0,
x2 + 4x-192 = 0.
Моннан x1 = -16, х2 = 12 икәнен табабыз.
Мәсьәләнең мәгънәсе буенча х ның кыйммәте
уңай сан булырга тиеш. Бу шартны икенче
тамыр гына канәгатьләндерә, ягъни 12 саны.
Җавап: 12 см, 16 см. <1
2	нче мәсьәлә Җисем 40 м/с башлангыч тизлек белән верти¬
каль рәвештә югары ыргытылган. Ничә секунд¬
тан соң җисем 60 м биеклектә булыр?
► Физика курсыннан билгеле булганча, әгәр һава
каршылыгын исәпкә алмасак, вертикаль рәвештә
югары ыргытылган җисемнең t секундтан соңгы
биеклеген һ (метрларда) түбәндәге формула буен¬
ча табарга мөмкин:
h = υ0t-sγ,
биредә υ0 — башлангыч тизлек (м/с ларда), g —
тоткарсыз төшү тизләнеше, якынча 10 м/с2 ка тигез.
Формулага һ һәм υ0 кыйммәтләрен куеп таба¬
быз:
60 = 40⅛ - 5Z2.
Моннан
5t2 - 40* + 60 = 0,
t2 - 8t + 12 = 0.
Табылган квадрат тигезләмәне чишеп, t1 = 2,
t2 = 6 икәнен табабыз.
18 нче рәсемдә һ ның t га бәй-
лелеге графигы бирелгән, биредә
һ = 40f - t2. Графиктан күрен¬
гәнчә, вертикаль рәвештә юга¬
ры ыргытылган җисем беренче
4 с эчендә 80 м биеклеккә кү¬
тәрелә, ә аннары түбән төшә
башлый. Җисем җирдән 60 м
биеклектә ике тапкыр була:
ыргытылганнан соң 2 с үткәч
һәм 6 с үткәч.
Мәсьәләнең шартын табыл¬
ган тамырларның икесе дә канә¬
гатьләндерә. Димәк, мәсьәләнең
соравына мондый җавап биреп
була: җисем 60 м биеклектә
2 с һәм 6 с үткәч була. <1
119

556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
Күнегүләр
Берсе икенчесеннән 6 га зур булган ике натураль санның
тапкырчыгышы 187 гә тигез. Бу саннарны табыгыз.
120 санын берсе икенчесеннән 2 гә кечерәк булган ике
санның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез.
Турыпочмаклыкның буе иңеннән 4 см га озынрак, ә мәй¬
даны 60 см2 га тигез. Турыпочмаклыкның периметрын
табыгыз.
Бер ягы икенчесеннән 10 м га озынрак булган турыпоч¬
маклык формасындагы бакчаны койма белән әйләндереп
алырга кирәк. Әгәр бакчаның мәйданы 1200 м2 булса,
койманың озынлыгын табыгыз.
Турыпочмаклыкның периметры 62 м га тигез. Әгәр туры¬
почмаклыкның мәйданы 210 м2 булса, аның якларын
табыгыз.
Әгәр турыпочмаклы өчпочмакның катетлары суммасы
23 см, ә өчпочмакның мәйданы 60 см2 булса, бу өчпочмак¬
ның катетларын табыгыз.
Әзлекле килүче ике натураль санның тапкырчыгышы
аларның суммасыннан 109 га зуррак. Бу натураль саннар¬
ны табыгыз.
Квадрат формасындагы картоннан 3 см киңлегендәге
тасма кисеп алдылар. Шуннан соң калган турыпочмаклы
кисәкнең мәйданы 70 см2 була. Картонның баштагы
үлчәнешләрен табыгыз.
Турыпочмаклык формасындагы тактаның мәйданы 4500 см2.
Тактаны, берсе квадрат, икенчесе турыпочмаклык булыр¬
лык итеп, ике кисәккә кискәннәр. Кисеп алынган туры¬
почмаклыкның буе 120 см булса, квадратның ягын табы¬
гыз.
Әгәр турыпочмаклыкның бер ягы икенчесеннән 14 см га
озынрак, ә диагонале 34 см га тигез булса, турыпочмак¬
лыкның якларын табыгыз.
Турыпочмаклы өчпочмакның бер катеты гипотенузадан
3 см га кыскарак, ә икенче катеты гипотенузадан 6 см га
кыскарак. Гипотенузаны табыгыз.
Кинотеатрда бер рәттәге урыннар саны рәтләр саныннан
8 гә күбрәк. Барлыгы 884 урын булса, анда ничә рәт бар?
Эзлекле килүче өч бөтен санның квадратлары суммасы
869 га тигез булса, бу саннарны табыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
Вакланманы кыскартыгыз:
V 8α3-27	ax-2x-4a+8
a' 9-12α+4α2’ of 3a-6-ax+2x '
120

570	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	а = 5 һәм Ь = 2 булганда, ^+^2b ι НеҢ’
,.	. ,	„ ,	(>/х-у[уУ+4у1ху
б)	х = 4 һәм у = 6 булганда, 	x+yJxy+ι-- нең"
571	Тигезләмәне чишегез:
a)2⅞^-2=0j б)	+	=
572	Төзүне эшләми генә, у = 13х - 2,6 функциясе графигының
х һәм у күчәрләре белән кисешү нокталарын табыгыз.
23.	Виет теоремасы
х2 - 7х + 10 = 0 китерелгән квадрат тигезләмәсе¬
нең тамырлары 2 һәм 5 була. Бу тамырларның
суммасы 7 гә, ә аларның тапкырчыгышы 10 га
тигез. Без тамырларның суммасы капма-каршы
тамгасы белән алынган икенче коэффициентка, ә
тамырларның тапкырчыгышы ирекле буынга ти¬
гез икәнлеген күрәбез. Тамырлары булган теләсә
нинди китерелгән квадрат тигезләмәнең шушы
үзлеккә ия булуын исбатлыйк.
Теорема
Китерелгән квадрат тигезләмәнең тамырлары суммасы
капма-каршы тамгасы белән алынган икенче коэффици-
Йд. ентка, ә тамырларының тапкырчыгышы ирекле буынга
тигез.
О Китерелгән квадрат тигезләмәне тикшерәбез.
Икенче коэффициентны р хәрефе белән, ә ирекле
буынны q хәрефе белән тамгалыйбыз:
х2 + рх + q = 0.
Бу тигезләмәнең дискриминанты D=p2 - 4q.
D> 0 булсын. Ул вакытта тигезләмәнең ике та¬
мыры бар:
х, = ~p~^- һәм x2 = ~P↑^-.
Тамырларның суммасын һәм тапкырчыгы¬
шын табабыз:
v v .. -P-√O -p+√D _ (-p)2-(√D)2
1	‘ 2	2	2	4
= p2-(p2-4q) = 4¾ =
4	4	4'
121

Шулай итеп,
x1 ÷ *2 = -Р һәм xl ∙ x2 = q. О
D = 0 булганда, x2 + рх + q = 0 квадрат тигез¬
ләмәсенең бер тамыры бар. D — 0 булганда, квад¬
рат тигезләмәнең ике тигез тамыры була дип
исәпләргә шарт куйсак, теорема әлеге очрак өчен
дә дөрес була. Бу D = 0 булганда, тигезләмәнең
тамырларын шулай ук
-p±4d
Х 2
формуласы буенча исәпләп булудан килеп чыга.
Әле исбатлаган теорема күренекле француз
математигы Франсуа Биет хөрмәтенә Биет теоре¬
масы дип йөртелә.
Биет теоремасыннан файдаланып, ирекле
квадрат тигезләмәнең тамырлары суммасын һәм
тапкырчыгышын аның коэффициентлары аша
күрсәтергә була.
ах2 + Ъх + с = 0 квадрат тигезләмәсенең та¬
мырлары x1 һәм х2 булсын. Аңа тамырдаш бул¬
ган китерелгән квадрат тигезләмә түбәндәге рә¬
вештә булыр:
x2 + ⅛χ+c = 0.
a a
Виет теоремасы буенча
Ь	с
xl + x2 = ~а’ *1*2 = а-
Биет теоремасына кире теорема да дөрес.
Теорема
Әгәр т һәм п саннарының суммасы -р га, ә тапкырчы¬
гышы q га тигез булса, бу саннар x2 + рх + q = 0 квадрат
тигезләмәсенең тамырлары була.
• Шарт буенча т + п = -р, ә тп = q. Димәк,
х2 + рх + q = 0 тигезләмәсен
х2 - (т + п)х + тп = 0
рәвешендә язып була.
х урынына т санын куеп табабыз:
m2 - (т + n)m + тп — m2 - т2 - тп + тп = 0.
Димәк, т саны тигезләмәнең тамыры була.
п саны шулай ук тигезләмәнең тамыры бу¬
луын аналогик рәвештә күрсәтергә мөмкин. О
Биет теоремасын һәм Биет теоремасына кире
теореманы куллануга мисаллар карыйк.
122

мисал. 3x2 - 5x + 2 = 0 тигезләмәсенең тамырлары сум¬
масын һәм тапкырчыгышын табабыз.
£> D = 25- 4- 3-2 = 1 дискриминанты — уңай сан.
Димәк, тигезләмәнең тамырлары бар.
x2-^x + ^ = 0 китерелгән квадрат тигезләмәсе¬
нең дә тамырлары шул ук. Димәк, Зх2 - 5х + 2 = О
тигезләмәсенең тамырлары суммасы шулай ук
5	2
3	кә, ә тапкырчыгышы g гә тигез. <]
Виет теоремасына кире теорема буенча квад¬
рат тигезләмәнең тамырлары дөреслеген тикше¬
рергә була.
иче мисал, х2 + Зх — 40 = 0 тигезләмәсен чишик һәм Виет
теоремасына кире теорема буенча дөреслеген тик¬
шерик.
[> Дискриминантны табабыз:
D = З2 + 4 • 40 = 169.
Квадрат тигезләмәнең тамырлары формуласы
буенча табабыз:
, -3±√169
2
„ _ -3±13
2	,
Моннан
x1 = -8, x2=5.
Тигезләмәнең тамырлары дөрес табылган бу¬
луын күрсәтик, х2 + Зх - 40 = 0 тигезләмәсендә
р коэффициенты 3 кә тигез, ә q ирекле буыны
-40 ка тигез. Табылган -8 һәм 5 саннарының
суммасы -3 кә, ә аларның тапкырчыгышы -40 ка
тигез. Димәк, Виет теоремасына кире теорема
буенча, бу саннар х2 + Зх - 40 = 0 тигезләмәсенең
тамырлары була. <]
ФРАНСУА ВИЕТ (1540—1603)
— француз математигы, алгебраик символлар
системасын кертә, элементар алгебра нигезлә¬
рен эшкәртә. Ул беренчеләрдән булып саннар¬
ны хәрефләр белән тамгалый башлый, моның
тигезләмәләр теориясен үстерүгә әһәмияте зур
була.	4
123

3	иче мисал, x2-χ-12 = 0 тигезләмәсенең тамырларын сай¬
лап алу юлы белән табабыз:
► x1 һәм х2 тигезләмәнең тамырлары булсын. Ул
вакытта
x1 + x2 = 1 һәм x1 ∙ х2 = -12.
Әгәр x1 һәм х2 бөтен сан булса, алар -12 саны¬
ның бүлүчеләре була. Шулай ук бу саннарның
суммасы 1 гә тигез икәнен исәпкә алсак, x1 = -3
һәм х2 = 4 икәнен аңлавы кыен түгел. <]
Күнегүләр
573 Тигезләмәнең тамырлары суммасын һәм тапкырчыгы¬
шын табыгыз:
а)	х2 - 37х + 27 = 0;
б)	y2+ 41</ -371 = 0;
в)	х2 - 210х = 0;
г)	i/2-19 = 0;
д)	2х2-9х-10 = 0;
е)	5x2+12x+7= 0;
ж)	-z2 + z = 0;
з)	3x2-10 = 0.
574	Тигезләмәне чишегез һәм Виет теоремасына кире теорема
буенча дөреслеген тикшерегез:
а)	х2— 2х—9 = 0;	в) 2x2 + 7х - 6 = 0;
б)	Зх2- 4х - 4 = 0;	г) 2x2+ 9х + 8 = 0.
575	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз һәм Виет теоремасы¬
на кире теорема буенча дөреслеген тикшерегез:
а)	х2-15х-16 = 0;	г)х2-6 = 0;
б)	х2-6х-11=0;	д)5х2-18х = 0;
в)	12x2 - 4x - 1 = 0; е) 2x2 - 41= 0.
576	Тигезләмәнең тамырларын сайлап табыгыз:
а)	х2-9х + 20 = 0;	в) х2 + х-56 = 0;
б)	x2+llx-12 = 0j г) х2- 19x + 88 = 0.
577	Тигезләмәнең тамырларын сайлап табыгыз:
а) х2+16х + 63 = 0;	б) x2 +2х-48 = 0.
578	х2 + рх - 35 = 0 тигезләмәсендә тамырларның берсе 7 гә
тигез. Икенче тамырны һәм р коэффициентын табыгыз.
579	х2 - 13x + q = 0 тигезләмәсендә тамырларның берсе 12,5 кә
тигез. Икенче тамырны һәм q коэффициентын табыгыз.
580	5x2 + Ьх + 24 = 0 тигезләмәсендә тамырларның берсе 8 гә
тигез. Икенче тамырны һәм Ь коэффициентын табыгыз.
581	10x2 - ЗЗх + с = 0 тигезләмәсендә тамырларның берсе 5,3 кә
тигез. Икенче тамырны һәм с коэффициентын табыгыз.
582	х2 - 12x + q = 0 квадрат тигезләмәсенең тамырлары аерма¬
сы 2 гә тигез, q ны табыгыз.
124

583	x2 + x + с = 0 квадрат тигезләмәсенең тамырлар аермасы
6 га тигез, с ны табыгыз.
584	Түбәндәге тигезләмәләрнең бердәй тамгалы тамырлары
булмавын исбатлагыз:
a) 3x2 + 113х-7 = 0; б) 5x2-291х - 16 = 0.
585
586
Тигезләмәне чишми генә, аның тамырлары барлыгын
ачыклагыз, әгәр булса, аларның тамгаларын билгеләгез:
а)	х2+7х-1 = 0;
б)	x2-7x + 1 = 0;
в)	5x2+17х + 16 = 0;
г)	19x2 - 23х + 5 = 0;
д)	2x2 + 5√3 х + 11 = 0;
е)	llx2-9x + 7-5√2 = 0.
Тигезләмәне чишми генә, аның тамырларының (әгәр алар
булса) тамгаларын билгеләгез:
а)	х2-18х + 17 = 0; г) 5x2 - х - 108 = 0;
б)	х2 - 2х - 1= 0;	д) х2 - -Убх +1 = 0;
в)	х2 - 15х + 56 = 0;	е) √3x2 - 12 - 7√3 = 0.
Кабатлау өчен күнегүләр
587 х ның нинди кыйммәтләре өчен тигезлек дөрес була:
а)	(3x + I)2 = Зх + 1;	г) (3x + 4)2 = 4(х + 3);
б)	(Зх +1)2 = 3(x + 1);	д) 4(x + 3)2 = (2х + 6)2;
в)	(Зх + I)2 = (2x - 5)2;	е) (6x + З)2 = (х - 4)2?
588 Турыпочмаклы өчпочмакның катетлары чагыштырмасы
8:15 кә, ә гипотенузасы 6,8 м га тигез. Өчпочмакның
мәйданын табыгыз.
589
Турыпочмаклы өчпочмакта гипотенузаның катетларының
13
берсенә чагыштырмасы кә» икенче катеты 15 см га ти¬
гез. Өчпочмакның периметрын табыгыз.
Контроль сораулар
I	г-
1 Квадрат тигезләмәнең дискриминанты дип нәрсәне атый¬
лар? Квадрат тигезләмәнең ничә тамыры булырга мөмкин?
2	Квадрат тигезләмәнең тамырлары формуласын языгыз.
3	Икенче коэффициенты җөп сан булган квадрат тигезләмә¬
нең тамырлары формуласын языгыз.
4	Виет теоремасын әйтеп бирегез һәм исбатлагыз, αx2 + Ъх + с = 0
квадрат тигезләмәсенең тамырлары суммасы һәм тапкыр¬
чыгышы нәрсәгә тигез?
5	Виет теоремасыңа кире теореманы әйтеп бирегез һәм
исбатлагыз. хл
125

§ 10. Вакланмалы рациональ тигезләмәләр
24.	Вакланмалы рациональ тигезләмәләрне чишү
2х + 5 = 3(8 - х),
х- — = -Зх + 19,
х	’
х-4 _ х-9
2х+1 х
!и-
1 иче мисал
тигезләмәләренең сул һәм уң кисәкләре — рацио¬
наль аңлатмалар. Андый тигезләмәләрне рацио¬
наль тигезләмәләр дип атыйлар. Сул һәм уң ⅛
сәкләре бөтен аңлатмалар булган рациональ ти¬
гезләмәне бөтен тигезләмә дип атыйлар. Сул
һәм уң кисәкләре вакланмалы аңлатмалар бута¬
ган рациональ тигезләмәне вакланмалы тигез¬
ләмә дип атыйлар. 2х + 5 = 3(8 - х) тигезләмәсе —
бөтен, ә х - — = -Зх + 19 һәм ⅛^⅛ = тигезлә-
мәләре — вакланмалы рациональ тигезләмәләр;
х—1 2х 5х
—2~ + -3- = ~g- бөтен тигезләмәсен чишик.
Тигезләмәнең ике кисәген дә аның вакланмала¬
рына кергән иң кечкенә уртак ваклаучыга, ягъни
6 санына тапкырлыйбыз. Вакланмаларны эченә
алмаган һәм бирелгәнгә тамырдаш булган тигез¬
ләмә табабыз:
3(x - 1) + 4х = 5х.
Аны чишеп, х = 1,5 икәнен табабыз.
≡ нче мисал
х-3 . 1 _ х+5
х-5 х x(x-5)
(1)
вакланмалы рациональ тигезләмәсен чишик.
Алдагы мисалны чишкәндәге кебек тигезләмәнең
ике кисәген дә вакланмаларның уртак ваклаучы¬
сына, ягъни х(х - 5) аңлатмасына тапкырлыйбыз.
x(x-3) +x-5=x+5	(2)
бөтен тигезләмәсен табабыз.
(1) тигезләмәсенең һәрбер тамыры (2) тигезлә¬
мәсенең дә тамыры икәне үзеннән-үзе аңлашыла.
Ләкин (2) тигезләмәсе баштагы тигезләмәгә та¬
мырдаш булмаска да мөмкин, чөнки без аның
ике кисәген дә нульдән үзгә булган санга түгел, ә
нульгә әйләнергә мөмкин булган үзгәрешлене
эченә алган аңлатмага тапкырладык. Шуңа күрә
(2) тигезләмәсенең һәр тамыры да (1) тигезләмә¬
сенең тамыры булмаска да мөмкин.
126

(2) тигезләмәсен гадиләштереп,
x2 - Зх - 10 = 0
квадрат тигезләмәсен табабыз.
Аның тамырлары -2 һәм 5 саннары.
-2 һәм 5 саннары (1) тигезләмәсенең тамыр¬
лары буламы икәнен тикшерәбез.
х = -2 булганда, х(х - 5) уртак ваклаучысы
нульгә әйләнми. Димәк, -2 саны — (1) тигезләмә¬
сенең тамыры.
х = 5 булганда, уртак ваклаучы нульгә әйләнә
г—ч .	х+5
һәм һәм χ(x-5) аңлатмаларының мәгънәсе
булмый. Шуңа күрә 5 саны (1) тигезләмәсенең
тамыры түгел.
Шулай итеп, -2 саны гына (1) тигезләмәсенең
тамыры булып хезмәт итә. <]
Гомумән, вакланмалы тигезләмәләрне түбәндәге тәртиптә
чишү яхшырак:
1)	тигезләмәгә кергән вакланмаларның уртак ваклаучы¬
сын табарга;
2)	тигезләмәнең ике кисәген дә уртак ваклаучыга тапкыр¬
ларга;
3)	килеп чыккан бөтен тигезләмәне чишәргә;
4)	аның тамырлары арасыннан уртак ваклаучыны нульгә
әйләндерә торганнарын төшереп калдырырга кирәк.
вп»	2	1	4-х
3 иче мисал χ2,4 - x2_2x ~ x2+2x тигезләмәсен чишик.
[> Табабыз:
2	1	= 4-х ,
(x-2)(x+2) x(x-2)	x(x+2) 6Ула-
Вакланмаларның уртак ваклаучысы: x(x - 2×x + 2).
Аннары табабыз:
2х - (х + 2) = (х - 2)(4 - х),
2х - х - 2 = 4х - х2 - 8 + 2х,
х2 - 5х + 6 = 0,
D = 25 - 24 = 1,
... .5±√i
2 ’
r , 5±1
Х~ 2 ’
x1 = 2, х2 = 3.
Әгәр х = 2 булса, x(x - 2)(х + 2) = 0 була; әгәр
х = 3 булса, х(х—2×x + 2) ≠ 0.
Җавап: 3. <]
127

Күнегүләр
590
Тигезләмәнең тамырларын табыгыз.
яч Jd_ =	⅛+3 = yz5 .
7 у+3	у+3 ’	e, 2у-1	у+3 ’
6)⅛ = ⅜⅛J	jk)⅛ = ∙^5
x2-4	x2-4	у+1 у
ч 2xi _ -7x+6 .	_х 1+Зх _ 5-Зх .
' х-2	2-х ’	3' l-3x * 1+2х ’
г\ У2-6У =_5_.	и)^И_2хЧ=0
, у-5	5-у ’	' 2x+3 3-2x u ’
д) 2*-1 = Зх+4 .
' х+7	х-1 ’
591
Тигезләмәне чишегез:
а)	2х-5 4 = 0;	д)| = Зх + 2;
б)	= х ∙	е) χ2+4x = 2х •
o' 7-х	’	е> х+2	3 ’
„х x2-4 _ 3+2x .	v 2x2-5x+3 _ θ .
4	2 ’	} 10x-5 “ υ ’
r>⅛ = χ-1∙	≡)⅛⅛V = 0∙
592
Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
χ2 =	7x .	„ч	x2+3	_ 9.
' x2+l	x2+l,	д)	x2+1	-z,
« У2 = 4<3~2y).	х	3	= 1 .
0' y2-6y	J∕(6-y)	’	c'	x2+2	х ’
х x=2 = х±3 .	х . о _ 15 .
b' х+2 х-4 ’	ж) x + z - 4χ+1 ,
х 8у-5 _	9у .	х	x2-5	= 7x+10
, у ~	у+2’	,	х-1	9	'
593
Тигезләмәне чишегез:
aj Зх+1 _ х-1 =	1 •	г)	_4	5_ —1 J	.
, х+2	х-2	’	,	х+3	3-х х-3	’
6x⅛ξ2+E±3=5.	дх 3+^4_ = _5=х_.
у+3	у-3	’	Д'	X х-1 χ2-χ ’
в\ 4	4_	_	5	.	р\	Зу-2	_ 1 _ Зу+4
' 9y2-l	3y+l	l-3y	’	'	у	у-2 y2-2y	‘
594
х ның нинди кыйммәте өчен
2х—1
а)	У = g+θ функциясенең кыйммәте 5; -3; 0; 2 гә тигез;
б)	у - x 2 функциясенең кыйммәте 10; 0; 5 кә ти¬
гез?
128

595
Тигезләмәнең тамырларын
a) a4 + λ⅛=2j
’ х-5 х+5	’
~	_1	- - .
2-х	х-2 3x2-12,
6-х
табыгыз:
. _3_ +JZ- = 1Q.
г)	у-2	у+2 у ’
\ х+3 , х-3 _ о 1 .
д> 7^3+τ73 ~d3'
7y-3	1	5
b* y-y2	У-1 y(!∕-l) ’
4	5x+7 2x+21 _ о 2
596	у үзгәрешлесенең кыйммәтен табыгыз:
3y+9	2y-13
a) Зу-1 һәм 2ι∕+5
вакланмаларының суммасы 2 гә ти¬
гез;
5У+13
б) 5у+4
4-61/
һәм ⅜≡1
вакланмаларының аермасы 3 кә ти¬
гез;
х	У+1	U	10
в)	^Ξ5	һәм	^5	вакланмаларының	суммасы
тапкырчыгышына тигез;
.	6	,	у
г)	һәм	^2	вакланмаларының	аермасы
тапкырчыгышына тигез.
аларның
аларның
597	Тигезләмәне чишегез:
а)	_5	4_ _ 1.
' у-2 у-3 у’
ħ∖ 1	+ 1 = 3 .
υ, 2(x+l) х+2	х+3 ’
в)	—L- + * = 8 .
' х+2	x2-2x	x3-4x
r) -J0_ + -J-=
, y3-y y-y2 1+j∕
Д) 1 +45= _14_
x2-8x+16	х-4
е) —§	4	= 3 .
, х-1 3-6x+3x2
598	Тигезләмәне чишегез:
Ю	+ ^ = _3_.
, (x-5)(x+l) х+1	х-5	’
17	1	х	.
o' (x-3)(x+4) х-3	х+4	’
в) 	4	1— + _L_ _ Q.
' (x+l)2 (x-l)2 x2-l
rt 4--+ 1 ,. =	4

, 9x2-l 3x2-x	9x2-6x+l*
599	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а1 _2Г = J£__6 .
х+1	х-2 х ’
fn 2	_ 1 =	5	.
, y2-3y У-3 y3-9y '
вч 	IS	1_= 6

, 4x2+4x+l 2x2-x	4x2-l
8 К 5/123
129

Кабатлау өчен күнегүләр
600	х = 3 + ∖[δ , у = 3 - >/б булганда, x2 - 2xy + у2 аңлатмасы¬
ның кыйммәтен табыгыз.
601	А(1,5; 7,25) ноктасы; В(-3,2; 9) ноктасы; С(>/3 -1; 7) нок¬
тасы у = х2 + 2х + 5 функциясенең графигында ятамы?
602	Аңлатманы гадиләштерегез:
a)-z≡^=-√^5	6)√^--^=.
y∣X-Jy	∙Jx+>]y
603	Аңлатманың кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз:
а)	⅛⅛^ , биредә а > 0, b < 0;
б)	~∩+b , биРедә a < о, ь < о.
25.	Рациональ тигезләмәләр ярдәмендә мәсьәләләр чишү
Күп кенә мәсьәләләрне чишкәндә, вакланмалы
рациональ тигезләмәләр килеп чыга.
Түбәндәге мәсьәләне карыйк: «Моторлы көй¬
мә, елга агымы уңаена 25 км һәм агымга каршы
3 км барып, барлык юлны 2 сәг тә үткән. Елга
агымының тизлеге 3 км/сәг булса, торгын суда
көймәнең тизлеге күпме булыр?»
х км/сәг — көймәнең торгын судагы тизлеге
булсын. Ул вакытта көймәнең агым уңаена
тизлеге (х + 3) км/сәг, агымга каршы тизлеге
(х - 3) км/сәг була.
Көймә агым уңаена 25 км юл үтә һәм бу
юлны үтү өчен сәг вакыт сарыф итә, ә
агымга каршы 3 км үтә һәм сәг вакыт үт¬
кәрә. Димәк, барлык юл өчен киткән вакыт
( 25 , 3 \
Ь^з+1=з) сәг кә тигез-
Мәсьәләнең шарты буенча көймә барлык
юлны 2 сәг тә үткән. Димәк,
25 . 3
х+3 х-3	"
Бу тигезләмәне чишеп, аның тамырларын та¬
бабыз: x1 = 2 һәм х2 = 12.
Мәсьәләнең мәгънәсе буенча көймәнең торгын
судагы тизлеге агым тизлегеннән зуррак булырга
тиеш. Бу шартны икенче тамыр канәгатьләндерә,
ә беренче тамыр канәгатьләндерми.
Җавап: 12 км/сәг.
130

Күнегүләр
604	Гади вакланманың санаучысы аның ваклаучысыннан
3 кә зуррак. Әгәр вакланманың санаучысына 7 не, ә вак¬
лаучысына 5 не кушсак, вакланма гә зураер. Әлеге вак¬
ланманы табыгыз.
605	Кыскармый торган гади вакланманың санаучысы аның
ваклаучысыннан 5 кә кечерәк. Бу вакланманың санаучы¬
сын 2 гә киметеп, ваклаучысын 16 га арттырсак, вакланма
гә кечерәк булыр. Бу вакланманы табыгыз.
606	Шәһәрдән 120 км ераклыкта урнашкан авылга бер үк ва¬
кытта ике автомобиль чыга. Берсенең тизлеге икенчесе¬
нең тизлегенә караганда 20 км/сәг кә зуррак булганга
күрә, ул билгеләнгән урынга 1 сәг кә алданрак барып
җитә. Ьәр автомобильнең тизлеген табыгыз.
607	А шәһәреннән В шәһәренә велосипедчы чыга. 1 сәг 36 мин
тан соң аның артыннан мотоциклчы чыга һәм В шәһәренә
велосипедчы белән бер үк вакытта килеп җитә. Әгәр дә шә¬
һәрләр арасындагы ераклык 45 км га тигез булып, велоси¬
педчының тизлеге мотоциклчының тизлегеннән 32 км/сәг
кә кимрәк булса, велосипедчының тизлеген табыгыз.
608	Чаңгычыларның берсе 20 км араны икенчесенә караганда
20 мин ка тизрәк үткән. Әлеге чаңгычының 2 км/сәг кә
зуррак тизлек белән барганын белеп, һәр чаңгычының
тизлеген табыгыз.
609	Ике автомобиль бер үк вакытта бер шәһәрдән икенче шә¬
һәргә чыгалар. Беренче автомобильнең тизлеге икенчесе¬
нең тизлегеннән 10 км/сәг кә артыграк һәм ул билгелән¬
гән урынга икенчесенә караганда 1 сәг кә алданрак килеп
җитә. Шәһәрләр арасы 560 км икәне билгеле булса, һәр
автомобильнең тизлеген табыгыз.
610	Поезд 1 сәг кә соңга калуын 720 км арада бетерү өчен,
үзенең тизлеген, расписаниедәге тизлегенә караганда,
10 км/сәг кә арттырган. Поездның расписание буенча
тизлеге күпме булган?
611	Турист көймәдә елга буйлап агымга каршы 6 км һәм күл
буйлап 15 км юл үткән. Ул күл буйлап елгадагыга кара¬
ганда 1 сәг кә озаграк бара. Елганың агым тизлеге 2 км/сәг
икәне билгеле булганда, көймәнең күлдә барган тизлеген
табыгыз.
612	Торгын судагы тизлеге 15 км/сәг булган моторлы көймә
агым уңаена 35 км, агымга каршы 25 км юл үткән. Көймә
агым уңаена агымга каршы баргандагы кадәр вакытта үт¬
кән. Елганың агым тизлеге күпме булган?
613	Торгын судагы тизлеге 20 км/сәг булган катер агымга
каршы 36 км һәм агым уңаена 22 км араны 3 сәг тә
үткән. Елганың агым тизлеген табыгыз.
9*	131

614	Бер штукатурчы үзенең эшен икенчесенә караганда 5 сәг
кә алданрак тәмамлый. Икесе бергә алар шул ук эшне
6 сәг тә башкаралар. Бу эшне ал арның һәркайсы ничә
сәгать башкара ала?
615	Ике эшче бер эшне 12 кендә тәмамлый. Әгәр эшчеләрнең
берсенә бу эшне үзе генә башкару өчен икенчесенә кара¬
ганда 10 көнгә артыграк вакыт кирәк булса, һәр эшче
әлеге эшне ничә көн эшләр?
616	Ике бригада, бергә эшләп, йорттагы фатирларны буяу-агар-
ту эшен 6 көндә тәмамлый. Әгәр бер бригада үзе генә эш¬
ләсә, аңа бу эшне башкарып чыгу өчен, икенче бригадага
караганда 5 көнгә артыграк вакыт кирәк булыр иде. Ьәр
бригада үзе генә бу эшне ничә көн эшләр?
617	Аралары 720 км булган ике шәһәрдән бер-берсенә кара-
каршы ике поезд чыга, һәм алар юл уртасында очраша¬
лар. Икенче поезд беренчесенә караганда 1 сәг кә соңрак
чыга һәм аның тизлеге беренче поезд тизлегеннән 4 км/сәг кә
артыграк була. Ьәр поездның тизлеген табыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
618	Тигезлекнең дөрес икәнен исбатлагыз:
а)		Ц= +	Ц= = 22;	6)^i^ + ^z^ = 18.
ll+2√30 ll-2√30	√5-2 √5+2
619	а) х = 5 + 2 >/б , у = 5 - 2 л/б булганда, ның;
/—	г~	I—	г~	x+^x2+u2
б)	х = √11 + √3 , у = √11 - √3 булганда, 	У— аңлатмасы-
,	ХУ
ның кыйммәтен табыгыз.
620	х2 - 10х + q = 0 тигезләмәсенең тамырлары аермасы 6 га
тигез булырлык q ның кыйммәтен табыгыз.
621	Тамырлары
a)	һәм λ¾t^1; б) 2 - >/з һәм —Ц=
2	2	'	2-√3
булырлык итеп, квадрат тигезләмә төзегез.
26.	Тигезләмәләрне график юл белән чишү
х2 = ~ тигезләмәсен тикшерик. Әгәр бу тигезлә¬
мәнең ике кисәген дә х ка тапкырласак, х3 = 6
тигезләмәсен табарбыз, аның чишү ысулы безгә
билгеле түгел. Шулай да графиклар ярдәмендә
2	6	w
х = — тигезләмәсе тамырларының якынча кыйм¬
мәтләрен табарга мөмкин.
у = х2 һәм у = функцияләренең графикларын
бер координаталар яссылыгында төзибез (рәс. 19).
Бу графиклар бер ноктада үзара кисешәләр.
132

Кисешү ноктасының абсциссасы — х үзгәрешле-
сенең х2 һәм аңлатмаларын тигез кыйммәтле
итә торган кыйммәте ул. Димәк, у = х2 һәм у =
функцияләренең графиклары кисешкән нокта-
-	о 6
ның абсциссасы хδ = — тигезләмәсенең тамыры
була. Рәсемнән күренгәнчә, тамырның якынча
кыйммәте 1,8 гә тигез.
Тигезләмә чишүдә кулланылган ысулны гра¬
фик ысул дип атыйлар.
Тигезләмәне график ысул белән чишүгә тагын
бер мисал карыйк, x3 - 1,2х + 0,5 = 0 тигезләмә¬
сен чишик. Бу тигезләмәне x3=l,2x-0,5 рәве¬
шенә китерик һәм бер координаталар яссылы¬
гында у = х3 һәм y = l,2x-0,5 функцияләренең
графикларын төзик (рәс. 20). Графиклар өч нок¬
тада кисешәләр. Бу исә, x3 = 1,2х - 0,5 тигезләмә¬
сенең, димәк x3-l,2x +0,5 = 0 тигезләмәсенең
дә, өч тамыры булуын аңлата. Тамырларның
якынча кыйммәтләрен, ягъни графиклар кисеш¬
кән нокталарның абсциссаларын таптык:
x1 ≈ -1,3; x2 = 0,5; x3≈ 0,8.
Күнегүләр
622	у = х2 функциясенең графигын төзегез һәм аннан файда¬
ланып: a) x2 = х + 2; б) x2 + 1,5х - 2,5 = 0 тигезләмәсен чи¬
шегез.
133

623
624
625
626
627
628
629
630
631
632
1
2
Тигезләмәне башта график юл белән, ә аннан соң тамыр¬
лар формуласы ярдәмендә чишегез:
а)х2 = 0,5х + 3;	6)x2-3x + 2 = 0.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
а)	& = - х + 6; б) 8 =х2.
у = ~∙ функциясенең графигын төзегез һәм, аннан файда¬
ланып, тигезләмәне чишегез:
а) = х;	б) ® = —х + 6.
~ = ах + Ь тигезләмәсенең (биредә а һәм Ь — нинди дә
булса саннар) ничә тамыры булырга мөмкин икәнен гра¬
фиклар ярдәмендә ачыклагыз.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
а) х3 - х + 1 = 0;	б) х3 + 2х - 4 = 0.
Ь ның төрле кыйммәтләре өчен:
а) 4х = х + Ь; б) 4х = -х + Ь
тигезләмәсенең ничә тамыры булырга мөмкин икәнен гра¬
фиклар ярдәмендә ачыклагыз.
Тигезләмәне график юл белән чишегез:
a)>∕x=6-xj б) 4x = .
Кабатлау өчен күнегүләр
Туристлар билгеле бер вакытта 18 км юл үтәргә тиеш
булалар. Ләкин алар уйлаганга караганда 0,5 км/сәг кә
артыграк тизлек белән баралар, һәм шуңа күрә әлеге
юлны ярты сәгатькә тизрәк үтәләр. Туристлар башта нин¬
ди тизлек белән барырга уйлаганнар?
Бригада билгеле бер срокта 120 га чәчәргә тиеш була. Лә¬
кин планлаштырылган көнлек норманы көн саен 10 га га
арттырып, чәчүне 2 көнгә алданрак төгәллиләр. Бригада
көн саен ничә гектар чәчкән?
Аңлатманы гадиләштерегез:
Контроль сораулар
Бөтен тигезләмәгә мисал һәм вакланмалы рациональ
тигезләмәгә мисал китерегез.
Вакланмалы рациональ тигезләмәне ничек чишәләр, сөй¬
ләп бирегез.
134

Ill	бүлеккә өстәмә күнегүләр
8	нче параграфка
633	Тигезләмәнең квадрат тигезләмәгә тамырдаш (тигезкөчле)
икәнен исбатлагыз:
а)	(х - 3)(x2 + Зх + 9) = x(x - 8)(х +9);
б)	(у + 7)(y2 - 7у + 49) - y(y + 8)(j∕ - 7) = 0;
в)	(2x - l)(2x + 1) + (х - З)2 = 17;
г)	(4x + I)2 - 2x(x - 6) - 1 = 0.
634	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
а)	у2 - 36 - 0;	в) -0,2y2 + 45 = 0;
б)	ly2-⅛ = 0j	г) -∣ι∕2+2∣ = 0.
635	Тигезләмәне чишегез:
а)	8x2 - Зх = 0;	в) х3 + х = 0;
б)	-2x2 + 5х = 0;	г) 2x3 - 50х = 0.
636	Тигезләмәне чишегез:
а)	(х + 2)2 + (х - З)2 = 13;
б)	(Зх-5)2- (2х + 1)2 = 24;
в)	(х - 4)(x2 + 4х + 16) + 28 = x2(x - 25);
г)	(2x + l)(4x2 - 2x + 1) - 1 = l,6x2(5x- 2).
637	Тигезләмәне х ка карата чишегез:
а)	х2 = а;	в) x2 + 4Ь = 0;
б)	х2 = а2;	г) х2 + 9b2 = 0.
638	Икебуынның квадратын аерып чыгару алымын кулланып,
тигезләмәне чишегез:
а)	х2 - 16х + 48 = 0;
б)	х2 + 12х + 27 = 0;
в)	х2 + 10х - 39 = 0;
г)	х2 - 6х - 55 = 0;
д)	х2 + 7х - 18 = 0;
е)	х2-11х + 28 = 0;
ж)	2x2 - 5х + 2 = 0;
з)	Зх2 - х - 70 = 0.
639	Үзгәрешленең теләсә нинди кыйммәте өчен аңлатманың
кыйммәте уңай булуын исбатлагыз:
a)α2 + 4α + llj	в) т2 - 4т + 51;
fiλ x2-2x+7 .	p2-6p+18
'	19	’	r, p2+l •
640	Икебуынның квадратын аерып чыгару алымын кулланып,
a) x2-8x + 27 аңлатмасының иң кечкенә кыйммәте 11 са¬
ны икәнен исбатлагыз; б) а2 - 4а + 20 аңлатмасының иң
кечкенә кыйммәтен табыгыз.
135

9	нчы параграфка
641
642
643
644
645
646
647
648
649
650
651
652
Тигезләмәне чишегез:
а)	4x2 + 7х + 3 = 0;
б)	х2 + х - 56 = 0;
в)	х2 - х - 56 = 0;
г)	5x2-18x +16 = 0;
д)	8х2 + х-75 = 0;
е)	Зх2 - Их - 14 = 0;
ж)	3x2+ Их-34 = 0;
з)	х2 - х - 1 = 0.
х ның нинди кыйммәтләре өчен тигезлек дөрес:
а)	(5х + З)2 = 5 (х + 3);
б)	(Зх + Ю)2 = 3 (х + 10);
в)	(Зх - 8)2 =3x2 - 8х;
г)	(4x + 5)2 = 5x2 + 4х;
д)	(5x + З)2 = 5х + 3;
е)	(5x + З)2 = (Зх + 5)2;
ж)	(4х + 5)2=4(х+5)2;
з)	(2x + Ю)2 = 4(х + 5)2?
Тигезләмәне чишегез һәм дөреслеген тикшерегез:
а)	х2 - 2х - 5 = 0;
б)	х2 + 4x + 1 = 0;
в)	Зу2 - 4у - 2 = 0;
г)	5y2~ 7y + 1 = 0;
д)	2y2 + 111/ + 10 = 0;
е)	4x2 - 9х - 2 = 0.
Тигезләмә тамырларының якынча кыйммәтләрен 0,01 гә
кадәр төгәллек белән алынган унарлы вакланмалар рәве-
шендә табыгыз:
а)	х2-2х-2 = 0;
б)	х2 + 5х + 3 = 0;
в)	Зх2-7х + 3 = 0;
г)	5x2 + 31x + 20 = 0.
а ның кыйммәте нинди булганда, ах2 - Зх - 5 = 0 тигезлә¬
мәсенең тамырларыннан берсе 1 гә тигез?
ах2 - (а + с)х + с = 0 тигезләмәсенең тамырларыннан берсе
1 гә тигез икәнен исбатлагыз.
Әгәр сх2 + Ьх + а = 0 тигезләмәсенең тамырлары булса (би¬
редә с ≠ 0 һәм a ≠ 0), ул тамырлар ах2 - Ьх + с = 0 тигезлә¬
мәсе тамырларына кире зурлыкта икәнен исбатлагыз.
a) а ның кыйммәтләре нинди булганда, a2 + 7α + 6 өчбуы¬
ны һәм а + 1 икебуыны тигез кыйммәтләр ала һәм нинди-
ләрне? б) х ның кыйммәтләре нинди булганда, 3x2 - х + 1
һәм 2x2 + 5х - 4 өчбуыннары тигез кыйммәтләр ала һәм
ниндиләрне?
Беренче өч санның квадратлары суммасы соңгы ике сан¬
ның квадратлары суммасына тигез булган бер-бер артлы
килүче биш бөтен санны табыгыз.
Беренче ике санның квадратлары суммасы өченче санның
квадратына тигез икәне билгеле булса, бер-бер артлы ки¬
лүче өч җөп санны табыгыз.
Спорт мәйданчыгы буе иңеннән 5 м га озынрак булган ту¬
рыпочмаклык формасында. Аның мәйданы 1800 м2. Мәй¬
данчыкның үлчәмнәрен табыгыз.
Бер-бер артлы килгән ике натураль сан суммасының квад¬
раты ал арның квадратлары суммасыннан 112 гә зуррак.
Бу саннарны табыгыз.
136

653
654
655
656
657
658
659
660
661
662
663
664
Турыпочмаклыкның периметры 28 см га тигез, ә туры¬
почмаклыкның ^чиктәш якларына төзелгән квадратлар¬
ның мәйданнары суммасы 116 см2 га тигез. Турыпочмак¬
лыкның якларын табыгыз.
12 × 18 см үлчәмле фоторәсем, киңлеге бердәй булган рам
килеп чыгарлык итеп, кәгазь битенә ябыштырылган. Әгәр
фоторәсем рамы белән бергә 280 см2 мәйдан алып торса,
рамның киңлеген табыгыз.
Футбол буенча мәктәпләр беренчелегенә ярыш вакытында
36 матч уйнала, шул ук вакытта һәр команда башка ко¬
манда белән бер тапкыр гына уйный. Ярышта ничә коман¬
да катнашкан?
Шахмат турнирында 45 партия уйнала. Әгәр һәр шахмат¬
чы икенчесе белән берәр партия уйнаса, турнирда катна¬
шучыларның санын табарга.
Тартманың төбе — иңе буеннан ике тапкыр кечерәк бул¬
ган турыпочмаклык формасында. Тартманың биеклеге
0,5 м. Әгәр тартма төбе мәйданының аның ян стеналары
мәйданыннан 1,08 м2 га кечерәк икәне билгеле булса, тарт¬
маның күләмен табыгыз.
Буе иңеннән 1,5 тапкыр зуррак булган турыпочмаклык
формасында катыргы кәгазь бар. Аның почмакларыннан
ягы 8 см лы квадратлар кисеп алып, күләме 6080 м3 бул¬
ган ачык тартма ясарга мөмкин. Катыргы кәгазьнең
үлчәмнәрен — иңен һәм буен табарга.
Тигезләмәне чишегез һәм Виет теоремасына кире теорема
ярдәмендә дөреслеген тикшерегез:
а)	x2~5√2 х +12 = 0;
б)	x2+2√3 х-72 = 0;
в)	у2-6 у2+ 7 = 0;
г)	p2 - 10р + 7 = 0.
Ь ны табыгыз һәм тигезләмәне чишегез:
а)	2x2 + Ьх - 10 = 0, тамыры 5 кә тигез булса;
б)	Зх2 + Ьх + 24 = 0, тамыры 3 кә тигез булса;
в)	(Ь - l)x2 - (Ьх + 1) х = 72 тамыры 3 кә тигез булса;
г)	(b - 5)x2 -(fe-2) x + b = 0 тамыры гә тигез булса.
Ь ның теләсә нинди кыйммәте өчен 7x2 + Ьх - 23 = 0 тигез¬
ләмәсенең бер уңай һәм бер тискәре тамыры булуын ис¬
батлагыз.
а ның бернинди кыйммәте өчен дә 12x2 + 70x + а2 + 1= 0
тигезләмәсенең уңай тамырлары булмавын исбатлагыз.
Зх2 + Ьх + 10 = 0 тигезләмәсе тамырларының аермасы 41 гә
тигез. Ь ны табыгыз.
5x2 - 12х + с = 0 тигезләмәсенең тамырларыннан берсе
икенчесеннән 3 тапкыр зуррак, с ны табыгыз.
137

665	4x2 + bx - 27 = 0 тигезләмәсенең тамырлары чагыштыр¬
масы -3 кә тигез, Ь ны табыгыз.
666	5x2+13x-6 = 0 тигезләмәсен чишми генә, аның тамыр¬
ларының квадратлары суммасын табыгыз.
667	2x2 - 5х + с = 0 тигезләмәсенең квадратлары аермасы 0,25
кә тигез, с ны табыгыз.
668	4x2 + 5x + c≈=0 тигезләмәсенең тамырларыннан берсе 0,5
кә, ә икенчесе ирекле буынга тигез. Ь һәм с ны табыгыз.
669	х2 + Ъх + с = 0 тигезләмәсендәге Ь һәм с коэффициентла¬
рының әлеге тигезләмә тамырлары икәне билгеле, биредә
с ≠ 0. Ь һәм с ны табыгыз.
670	х2 + рх + q = 0 тигезләмәсе тамырларының квадратлары
суммасын р һәм q аша аңлатыгыз.
671	3x2 + 2x + k = 0 тигезләмәсенең тамырлары x1 һәм х2 икә¬
не билгеле, өстәвенә 2x1 = -3x2 . k ны табыгыз.
672	х2 - 8x + k = 0 тигезләмәсенең тамырлары x1 һәм х2 икәне
билгеле, өстәвенә 3x1 + 4x2 = 29. k ны табыгыз.
10	нчы параграфка
673	Тигезләмәне чишегез:
al x^t^l + 20 _ л .
a, 6	х-1 4’
б) - -Ду = 2;
4	х+2
д)	-a→-i-	=	-2S-
w 1-х	+	1+х	l-χ2 ’
„ч _5	3_	=	20 .
f х-2	х+2	x2-4’
в)	-1Д — —= 1;
х-1 х+1
г)	-l¾ + ∕S- = 35
х-3 1-х
х+2 , х+3 _	29	.
, х+1	х-2	(x+l)(x-2) ’
„х х+2 _ х+1 _	4
, х+3 х-1 (x+3)(x-l) ‘
θ74a)j∕ = ¾⅛5
(x-4)(3x-15).
f y х-9	’
в)	!∕ = ⅛±fi5
1	_ x3-7x2+12x
, y х-3
формуласы белән бирелгән функция графигының х күчәре
белән кисешү ноктасының координаталарын табыгыз.
675	х ның кыйммәте нинди булганда,
5х—7
а)	у = "2^^f функциясенең кыйммәте -6; 0; 0,8; 0,56 га
тигез булыр;
б)	у = x ~+4+θ функциясенең кыйммәте 1,5; 3; 7 гә тигез
булыр?
138

676	Функцияләрнең графиклары кисешү нокталарының κ∞p∙
динаталарын табыгыз:
а)	у = 2х + 3 һәм у =	;
б)	J∕=⅛F һәму= 2х.
677	Тигезләмәне чишегез:
a1 2x+l 3(2x-l)	8	_	0.
, 2x-l 7(2x+l) 1-4x2
б) -У	1_ +	з	= 0.
, y2-9 y2+3y f>y+2y2	’
. 2y-l 8	= 2у+1 .
, 14y2+7y 12y2-3	6j∕2-3y	’
г)	-3	1	=	3
x2-9 9-6x+x2	2x2+6x
9x+12 _	1	= 1 .
xv x3-64 x2+4x+16	х-4 ’
е\ 3	1 =	У+3	.
’ 8y3+l 2y+l 4y2-2y+l ’
ж) 	32	 . 	1	= _1_ .
' x3-2x2-x+2	(x-l)(x-2)	х+1 ’
, 3(x-4) 2(x2+3) x3-4x2+3x-12
678	Тигезләмәнең тамырларын табыгыз:
x√3+√2	x√3-√2 _ 10χ .
а)	x√3-√2 x√3+√2	3x2-2*
l-y∖∣5 l+t∕V5 _ 9у
б)	l+j∕√5	l-j∕√5	l-5j∕2 ■
679
fi	У
а)	һәм -^~2 вакланмаларының суммасы аларның
кырчыгышына тигез булганда;
б)	—⅛ һәм -⅛ вакланмаларының суммасы аларның
у-0 у+а
шенә тигез булганда;
. и+12 , у
в)	у_^ һәм вакланмаларының аермасы аларның
кырчыгышына тигез булганда, у үзгәрешлесенең кыйм¬
мәтен табыгыз.
тап-
өле-
тап-
680	Ике самолет бер үк вакытта бер аэродромнан 1800 км
ераклыкта булган икенче аэродромга очалар. Бер самолет¬
ның тизлеге икенчесенең тизлегенә караганда 100 км/сәг
кә кимрәк булу сәбәпле, ул тиешле урынга 36 мин ка соң¬
рак килә. Һәр самолетның тизлеген табыгыз.
139

681	А һәм В станцияләре арасындагы ярты юлда поезд 10 мин
ка тоткарланган. В станциясенә расписание буенча килеп
җитү өчен, машинист поездның тизлеген 12 км/сәг кә
арттырган. Станцияләр арасы 120 км га тигез булса,
поездның баштагы тизлеген табыгыз.
682	600 км лы юлның ∙j ен үткәннән соң, поездны 1 сәг
30 мин ка туктатып торалар. Ахыргы станциягә вакы¬
тында килеп җитү өчен, машинист поездның тизлеген
15 км/сәг кә арттыра. Поезд юлда күпме вакыт булган?
683	Туристлар 12,5; 18 һәм 14 км лы өч кичү узганнар,
өстәвенә беренче кичүне үткәндәге тизлек икенче кичүне
үткәндәге тизлектән 1 км/сәг кә кимрәк һәм өченчесен
үткәндә шулкадәргә артыграк була. Өченче кичүне үтү
өчен, ал арның икенчесен үтүгә караганда, 30 мин ка ар¬
тыграк вакыт киткән. Барлык кичүгә күпме вакыт үткән?
684	Автомобиль ниндидер тизлек белән А дан В га кадәр
240 км озынлыгындагы юлны үткән. Кире кайтканда ул
ярты юлны шул ук тизлек белән үтә, ә аннан соң тизлеген
10 км/сәг кә арттыра. Нәтиҗәдә кайту өчен баргандагыга
о
караганда g сәг кә кимрәк вакыт китә. А дан В га автомо¬
биль нинди тизлек белән барган?
685	А дан В га кадәр 400 км га тигез араны поезд ниндидер
тизлек белән үтә; ул В дан А га кайтканда юлның g өле¬
шен шул ук тизлек белән кайта, ә аннан соң тизлеген
20 км/сәг кә киметә. Әгәр барлык юлга 11 сәг вакыт кит¬
кән булса, поездның соңгы участоктагы тизлеген табыгыз.
686	Барлык юлга 5 сәг 30 мин вакыт сарыф итеп, теплоход
елга буйлап түбән таба 150 км юл үтә һәм шул ук юлны
кире кайта. Әгәр теплоходның торгын судагы тизлеге
55 км/сәг булса, агым тизлеген табыгыз.
687	Турист моторлы көймәдә елга агымына каршы 25 км
юл үтеп, сал белән кире кайта. Ул көймәдә, салдагыга
караганда, 10 сәг кә кимрәк йөзгән. Әгәр көймәнең тор¬
гын судагы тизлеге 12 км/сәг булса, агым тизлеген та¬
быгыз.
688	Моторлы көймә елга буйлап югарыга таба 35 км үтә дә
18 км араны аның кушылдыгы буенча менә; барлык юлга
8 сәг вакыт китә. Әгәр көймәнең торгын судагы тизлеге
10 км/сәг булса, елганың агым тизлеген табыгыз.
689	А пунктыннан агым уңаена сал агызалар. Аның артыннан
5 сәг 20 мин тан соң шул ук пункттан катер чыга һәм 20
км үткәннән соң салны куып җитә. Катер салга караган¬
да 12 км/сәг кә тизрәк барса, сал бер сәгатьтә ничә кило¬
метр үткән?
140

690	Балыкчы, көймәгә утырып, N пунктыннан елга буйлап
агымга каршы бара. 6 км йөзеп үткәннән соң, ул ишкәк¬
ләрен көймәгә куя, һәм N пунктыннан чыгып 4 сәг 30 мин
тан соң агым аны яңадан N пунктына кайтара. Көймәнең
торгын судагы тизлеге 90 м/мин икәнен белеп, елга агы¬
мының тизлеген табыгыз.
691	Сал А пунктыннан елга агымы уңаена түбән таба йөзеп
киткәч, 2 сәг 40 мин тан соң В пристаненнан аңа каршы
катер чыга. В дан 27 км ераклыкта алар очрашалар. Әгәр
катерның торгын судагы тизлеге 12 км/сәг һәм А дан В га
кадәр ераклык 44 км га тигез булса, салның тизлеген та¬
быгыз.
692	Теплоход аралары 225 км булган А пристаненнан В при¬
станена барырга чыга. 1,5 сәг барганнан соң, аны сәг
туктатып торалар һәм ул, вакытында барып җитү өчен,
тизлеген 10 км/сәг кә арттыра. Теплоходның баштагы
тизлеген табыгыз.
693	Аралары 120 км булган А шәһәреннән В шәһәренә бер үк
вакытта ике автомобиль чыга. Аларның беренчесе
һәрвакыт даими тизлек белән бара. Икенче автомобиль
Q
беренче ∙j сәг тә шундый ук тизлек белән бара, аннан соң
15 мин туктап тора һәм моннан соң тизлеген 5 км/сәг кә
арттырып, В шәһәренә беренчесе белән бергә килеп җитә.
Беренче автомобильнең тизлеген табыгыз.
694	Автобус 400 км га тигез булган А һәм В пунктлары
арасын ниндидер уртача тизлек белән үтә. Кире кайтканда
ул 2 сәг шул ук тизлек белән бара, ә аннары, тизлеген
10 км/сәг кә арттырып, А пунктына 20 мин ка тизрәк
кайтып җитә. Автобус күпме вакытта кайтып җиткән?
695	Мотоциклчы бер шәһәрдән икенчесенә 4 сәг бара. Кайт¬
канда ул беренче 100 км араны шул ук тизлек белән
кайта, ә аннан соң тизлеген 10 км/сәг кә киметә һәм шул
сәбәпле 30 мин озаграк кайта. Шәһәрләр арасын табыгыз.
696	А һәм В шәһәреннән бер үк вакытта ике автомобиль чыга
һәм 5 сәг тән соң алар очрашалар. А шәһәреннән чыккан
автомобильнең тизлеге икенче автомобиль тизлегеннән
10 км/сәг кә кимрәк. Әгәр беренче автомобиль икенче
автомобильгә караганда А шәһәреннән 4 сәг кә алданрак
чыкса, алар В шәһәреннән 150 км ераклыкта очрашырлар
иде. А һәм В шәһәрләре арасындагы ераклыкны табыгыз.
697	М пристаненнан N пристанена кадәр араны катер агым
уңаена 6 сәг тә үтә. Бервакыт N пристанена җитәргә
40 км калгач, катер кире борыла һәм М пристанена кай¬
та. Барлык юлга 9 сәг вакыт китә. Елганың агым тизлеге
2 км/сәг булса, катерның торгын судагы тизлеген табыгыз.
141

698	М пунктыннан N пунктына кадәр араны мотоциклчы 5 сәг тә
үткән. Кайтканда ул баштагы 36 км араны шул ук тизлек
белән, ә юлның калган өлешен 3 км/сәг кә артыграк тиз¬
лек белән үткән. Әгәр кайтканда мотоциклчы юлда, М нан
N га баргандагыга караганда, 15 мин азрак булса, ул башта
нинди тизлек белән барган?
699	Әтисе һәм улы 240 м юл үтәләр. Бу вакытта әтисе улына
караганда 100 адымга кимрәк атлый. Әгәр әтисенең ады¬
мы улының адымына караганда 20 см га озынрак булса,
һәркайсының адым озынлыгын табыгыз.
700	Беренче бригада 160 костюм, ә икенчесе шушы ук срокта
25 % ка кимрәк тегәргә тиеш була. Беренче бригада, икен¬
че бригадага караганда көнгә 10 костюм артыграк тегә
һәм йөкләмәне билгеләнгән сроктан 2 көн элек үти. Икен¬
че бригадага йөкләмәне үтәү өчен өстәмә 2 көн кирәк бул¬
са, ул бер көндә ничә костюм теккән?
701	Эшчеләр бригадасы билгеле бер срокта 768 тузан суыргыч
эшләп чыгарырга тиеш була. Беренче биш көндә бригада
билгеләнгән норманы көн саен үти, ә аннан соң билгелән¬
гәнгә караганда һәр көн 6 тузан суыргыч артыграк эшләп
чыгара, һәм шуңа күрә билгеләнгән вакытка бер көн
калгач, 844 тузан суыргыч әзер була. Бригада план буенча
бер көндә ничә тузан суыргыч эшләргә тиеш була?
2
702	4 көндә 2 трактор бергә эшләп, кырның g өлешен сука¬
лыйлар. Әгәр беренче трактор белән бөтен кырны икен¬
чесенә караганда 5 көнгә тизрәк сукалап булса, һәр трак¬
тор бөтен кырны ничә көндә сукалап чыгар иде?
703	Ике мамык җыю комбайны бергә эшләгәндә, беренче ком¬
байн үзе генә эшләгәнгә караганда, кырдагы мамыкны
9 көнгә тизрәк җыяр иде. Бәр комбайн үзе генә барлык
мамыкны ничә көндә җыеп алыр иде?
704	Бассейнны беренче торба аша тутыру өчен, беренче һәм
икенче торба аша тутыруга караганда, 9 сәг кә артык
вакыт һәм икенче торба аша тутыруга караганда 7 сәг кә
кимрәк вакыт кирәк. Бассейнны бер үк вакытта ике торба
аша тутыру өчен ничә сәгать вакыт кирәк?
705	Ике машинистка бергә эшләгәндә, кулъязманы күчереп
басу өчен, беренче машинистка кулъязманың яртысын
басуга караганда 1 сәг кә һәм икенче машинистка кулъ¬
язманың ен басуга караганда 1 сәг кә кимрәк вакыт
сарыф итәләр. Бәр машинистка кулъязманы ничә
сәгатьтә басып бетерер?
142

706	Ике слесарь заказ ала. Башта беренче слесарь 1 сәг эшли,
аннан соң алар 4 сәг бергә эшлиләр. Нәтиҗәдә заказның
40% ы үтәлә. Әгәр беренче слесарьга заказны үтәү өчен
икенчесенә караганда 5 сәг кә артыграк вакыт кирәк
булса, һәр слесарь бу заказны ничә сәгатьтә башкара алыр?
707	Ике эшче, бергә эшләп, бер йөкләмәне 12 көндә төгәлли
ала. Башта аларның берсе генә барлык эшнең яртысын
эшләгәннән соң, аны икенчесе алыштырса, йөкләмә 25 көн¬
дә төгәлләнер иде. Нәр эшче аерым гына барлык йөклә¬
мәне ничә көндә башкара ала? .
708	Тигезләмәне график ысул белән чишегез:
а)	х3 + 6 = 0;	г)	4х	=	Зх;	ж) 4х = х3;
б)	х3 + х - 2 = 0;	д)	√x = х - 2;	з) 4x = J ;
в)	х3 - х + 4 = 0;	е)	7х = х2;	и) Vx = ^.
709	Vx = ах + Ъ тигезләмәсенең (биредә а һәм Ъ — нинди дә
булса саннар), ничә чишелеше булырга мөмкин икәнен
графиклар ярдәмендә ачыклагыз.

с>0
IV бүлек
Тигезсезлекләр
Ь
Ь+с
с<0
Ъ + с Ь
§ 11.
Санлы тигезсезлекләр
һәм аларның үзлекләре
27.	Санлы тигезсезлекләр
Без теләсә нинди а һәм Ь саннарын чагыштыра
һәм чагыштыру нәтиҗәләрен, =, <, > тамгала¬
рыннан файдаланып, тигезлек яки тигезсезлек
рәвешендә яза алабыз. Теләсә нинди ирекле а
һәм Ь саннары өчен a = b, a <b, a>b бәйләнеш¬
ләренең берсе, бары тик берсе генә үтәлә.
Мисаллар тикшерик.
1.	һәм γ гади вакланмаларын чагышты¬
рыйк. Моның өчен бу вакланмаларны уртак вак¬
лаучыга китерәбез:
5 = 35. 4 = 32
8 56 ’ 7	56 •
5	4
35 > 32 булганлыктан, g > у була.
2.	Хәзер 3,6748 һәм 3,675 унарлы вакланма¬
ларын чагыштырыйк. Берәмлекләр, дистәләр,
йөзләр разрядындагы цифрлар бер-берсенә туры
килә, ә меңнәр разрядында беренче вакланмада 4
цифры, икенче вакланмада 5 цифры язылган.
4 < 5 булганлыктан, 3,6748 < 3,675.
Q
3.	20 гади вакланмасын 0,45 унарлы ваклан¬
масы белән чагыштырыйк. вакланмасын унар¬
лы вакланмага әйләндереп табабыз: τ>θ = 0,45.
4.	-15 һәм -23 тискәре саннарын чагышты¬
рыйк. Беренче санның модуле икенче санның
модуленнән кечерәк. Димәк, беренче сан икенче¬
сеннән зуррак, ягъни -15 > -23.
144

яткан нокта
с>0
о	е »
Ь Ъ + с
с<0
•	е	►
Ъ + с	Ъ
Рэс. 21
Без санның конкрет төренә карап, аларны ча¬
гыштыру өчен теге яки бу ысулдан файдаландык.
Ләкин саннарны чагыштыру өчен барлык очрак¬
ны эченә алган ысулдан файдалану җайлырак.
Әлеге ысул, саннарның аермасын исәпләп, бу сан¬
нарның уңай, тискәре яки нульгә тигез булула¬
рын ачыклаудан тора. Саннарны чагыштыруның
бу ысулы түбәндәге билгеләмәгә нигезләнгән.
Билгеләмә. Әгәр дә а-b аермасы уңай сан булса, а саны
.*■ Ь саныннан зуррак була; әгәр дә a - Ь аермасы тискәре сан
$ булса, а саны Ь саныннан кечерәк була.
Әгәр дә a - Ъ аермавы нульгә тигез булса, a
саны Ь санына тигез булуын искәртик.
Координаталар турысында зуррак сан уңдарак
белән, ә кечерәк сан сулдарак яткан
нокта белән билгеләнә. Дөрестән дә,
а һәм Ь ниндидер саннар булсын.
a - Ь аермасын с хәрефе белән тамга¬
лыйк, a - Ь = с булганлыктан, a — Ь + с
була. Әгәр с уңай сан булса, ул ва¬
кытта Ь + с координаталы нокта Ь
координаталы ноктадан уңдарак, ә
инде с тискәре сан булса, сулда¬
рак ята (рәс. 21). Димәк, әгәр a > Ь булса, а коор¬
динаталы нокта Ь координаталы ноктадан уңда¬
рак, әгәр дә a < Ь булса, сулдарак ята.
Әлеге билгеләмәнең мәсьәләләр чишкәндә
мисал
2 иче мисал
ничек кулланылуын күрсәтик.
а ның теләсә нинди кыйммәтләре өчен
(α - 3)(α - 5) < (а - 4)2
тигезсезлегенең дөрес икәнен исбатлыйк.
Тигезсезлекнең сул һәм уң кисәкләренең аерма¬
сын төзеп, аның рәвешен үзгәртәбез:
(α-3)(α-5)-(α-4)2 =
= a2-3a-5a + 15-a2 + 8a -16 = -1.
а ның теләсә нинди кыйммәте өчен бу аерма
тискәре. Димәк, теләсә нинди а өчен (a - 3Xa - 5) <
< (a - 4)2 тигезсезлеге дөрес. <]
Теләсә нинди ике санның квадратлары суммасы
аларның икеләтелгән тапкырчыгышыннан кече¬
рәк түгел икәнен исбатлыйк.
► а һәм Ь ирекле саннар булсын, a2 + b2≥ 2ab икә¬
нен исбатларга кирәк.
Тигезсезлекнең сул һәм уң кисәкләре аерма¬
сының рәвешен үзгәртәбез:
(a2 + b2) - 2ab = a2- 2ab + b2 = (a - Ь)2.
10 К 6/123
145

(а2 + b2) - 2ab аермасын без ниндидер аңлатма¬
ның квадраты рәвешенә китердек. Теләсә нинди
а һәм Ь өчен (a - b)2 ≥ 0 булганлыктан, теләсә
нинди а һәм Ъ өчен a2 + b2 ≥ 2ab тигезсезлеге дә
дөрес була. <1
710
711
712
713
714
715
716
717
718
719
720
721
в)	(α - 2)2 > а(а - 4);
г)	(2α + 3×2α +1) > 4а (а + 2).
Күнегүләр
р- q аермасы -5; 8; 0 гә тигез булса, р һәм q саннарын
чагыштырыгыз.
a)	a - ft =-0,001;	6)a-b = 0∙, в) a-ft = 4,3
булса, а һәм ft саннарын чагыштырыгыз.
a < ft икәне билгеле, a - Ь аермасы 3,72; -5; 0 саны белән
күрсәтелә аламы?
3a(a + 6) һәм (3a + 6)(a + 4) аңлатмалары бирелгән, а - -5;
a = 0; a = 40 булганда, әлеге аңлатмаларның кыйммәтлә¬
рен чагыштырыгыз. Теләсә нинди а өчен беренче аңлатма¬
ның кыйммәте икенчесенең кыйммәтеннән кечерәк икә¬
нен исбатлагыз.
4ft(ft + 1) һәм (2ft + 7)(2ft - 8) аңлатмалары бирелгән. Алар-
ның кыйммәтләрен Ь = -3; ft = -2; ft = 10 булганда чагыш¬
тырыгыз. ft ның теләсә нинди кыйммәте өчен беренче аң¬
латманың кыйммәте икенчесенең кыйммәтеннән зуррак
була дип расларга мөмкинме?
Үзгәрешленең кыйммәте теләсә нинди булганда да тигез¬
сезлекнең дөрес икәнен исбатлагыз:
а)	3(a + 1) + a < 4(2 + a);
б)	(7p - 1) (7p + 1) < 49р2;
Тигезсезлекне исбатлагыз
а)	2ft2 - 6ft +1 > 26(ft - 3);
б)	(с + 2Хс + 6) < (с + ЗХс + 5);
Теләсә нинди х өчен тигезсезлек дөресме:
а)	4х (х + 0,25) >(2x + 3)(2x - 3);
б)	(5x - l)(5x + 1) < 25x2 + 2;
в)	(3x + 8)2 > Зх (х + 16);
г)	(7 + 2x)(7 - 2х) < 49 - х (4х + 1)?
Тигезсезлекне исбатлагыз:
а)	a(a + ft) ≥ aft;
б)	πι2 - тп + n2≥ тп;
Тигезсезлекнең теләсә нинди a өчен дөрес икәнен исбат¬
лагыз:
а) 10a2 - 5a + 1 ≥ а2 + а; б) a2 - a ≤ 50a2 - 15a + 1.
Уңай с саны белән аңа кире санның суммасы 2 дән кече¬
рәк булмаганын исбатлагыз.
Тигезсезлекне исбатлагыз:
∙)⅛1≥<'!	β)⅛s∣∙
в)	p(p + 7) > 7p - 1;
г)	8j∕(3j∕ - 10) < (5y - 8)2.
в)	2bc ≤b2 + с2;
г)	a(a -b)≥ b(a - Ь).
146

722	Икебуын квадратын аерып чыгаруны файдаланып, тигез¬
сезлекне исбатлагыз:
a) α2-6α + 14>0j	6)fe2 + 70>16⅛.
723	a ≥ 0 һәм Ь > 0 булса, ≥ 4ab икәнен исбатлагыз.
724	а һәм Ь тигез булмаган уңай саннар булса, аңлатмаларның
кайсысы зуррак була: a3 + b3 мы әллә ab(a + Ь) мы?
725	О, 1, 2, 3 саннарының һәркайсына бер үк k санын кушкан¬
нар. Барлыкка килгән саннар эзлеклелегенең кырый бу¬
ыннарының тапкырчыгышын урта буыннар тапкырчыгы¬
шы белән чагыштырыгыз.
Кабатлау өчен күнегүләр
726	x = ~^ булганда, χ2~θ⅞+3 вакланмасының кыйммәтен та¬
быгыз.
727	Вакланманы кыскартыгыз:
x2-10x+25 .	4x2-12x+9
a, 35-7x ’	0j *(3-2x)2 •
728	Тигезләмәне чишегез:
<0⅞=2-⅛	6>⅛=5x-9∙
28.	Санлы тигезсезлекләрнең үзлекләре
Санлы тигезсезлекләрнең үзлекләрен аңлатучы
теоремаларны тикшерик:
1	нче теорема
Әгәр a > Ь булса, b<a була; әгәр a < Ь булса, b > а була.
• Дөрестән дә, әгәр a - Ь аермасы уңай сан булса,
Ь- а аермасы тискәре сан була һәм киресенчә. О
2	нче теорема
Әгәр a<b һәм Ь < с булса, а < с була.
О а - с аермасының тискәре сан икәнен исбатлыйк.
Бу аермага Ь һәм -Ь ны кушып табабыз:
a-c = a- c + b- b = (a-b) + (b-c).
Шарт буенча a < Ь һәм Ь < с. Шуңа күрә a - Ь
һәм Ь - с кушылучылары — тискәре саннар. Ул
		o	o	β	 вакытта аларның суммасы да тискә-
a	Ь	с	Pe сан була. Димәк, а < с.
Шуңа охшаш рәвештә, әгәр a > Ь
ж ж β► һәм Ь > с булса, а > с була. О
с	Ь	а	Бу үзлекләрнең геометрик иллю-
р 22	страциясе 22 нче рәсемдә бирелгән.
10*
147

3	иче теорема
Әгәр a < Ь һәм с теләсә нинди сан булса, а + с <Ь + с була.
• (а + с) - (Ь + с) аермасының рәвешен үзгәртик:
(a + с) - (fe + с) = a - Ь.
Шарт буенча a < Ь булганда, а-Ь — тискәре
сан. Шуңа күрә (а + с) - (Ь + с) аермасы тискәре
була. Димәк, а + с < Ь + с. О
Шулай итеп,
дерес тигезсезлекнең ике кисәгенә дә бер үк санны куш¬
саң, дөрес тигезсезлек килеп чыга.
4	нче теорема
Әгәр a < Ь һәм с уңай сан булса, ас < Ьс була. Әгәр a < Ь
һәм с тискәре сан булса, ас > Ьс була.
О ас - Ьс аермасын тапкырчыгыш рәвешендә күрсә¬
тәбез:
ас - Ьс = с(а - Ь).
а < Ь, шуңа күрә а— Ь тискәре сан була. Әгәр
с >0 икән, с(а-Ь) тапкырчыгышы тискәре була
һәм, димәк, ас < Ьс. Әгәр с < 0 булса, с(а - Ь)
тапкырчыгышы уңай сан һәм, шулай булгач,
ас > Ьс була.
Бүлү гамәлен бүлүчегә кире санга тапкырлау
белән алыштырырга мөмкин булганлыктан, моңа
охшаш үзлек бүлү өчен дә дөрес була. Шулай
итеп,	l
әгәр, дөрес тигезсезлекнең ике кисәген да бер үк уңай
санга тапкырласаң яки бүлсәң, дөрес тигезсезлек килеп
чыга;
әгәр, дөрес тигезсезлекнең ике кисәген дә бер үк тискәре
санга тапкырлап яки бүлеп, тигезсезлек тамгасын капма-
каршыга үзгәртсәң, дөрес тигезсезлек килеп чыга.
АРХИМЕД (287—212 б. э. кадар)
— борынгы грек математигы Һәм механигы.
Яңа математик методларны эшкәрткән, аерым
алганда, теләсә нинди теләгән кадар зур санны
аңлатырга мөмкинлек биргән ысулны күрсәт¬
кән. Табигать һәм техника мәсьәләләренә карата
математиканы куллану үрнәкләрен биргән.
148

■ЬНэтиҗэ
Әгәр а һәм Ь уңай саннар, ә a < Ь булса, > ⅛ була.
© a < Ь тигезсезлегенең ике кисәген дә уңай ab са¬
нына бүләбез:	. Вакланманы кыскартып,
⅜ < — ны, ягъни — > ⅜ ны табабыз. О
о а	а Ь
Тигезсезлекләрнең үзлекләрен файдалануга
мисаллар китерик.
К Мисал Ягы 54,2 < a < 54,3 (миллиметрларда) булган ти¬
гезьяклы өчпочмакның периметрын табыйк.
► Ягы а булган тигезьяклы өчпочмакның перимет¬
ры P = 3α формуласы буенча исәпләнә. 54,2 < a
һәм а < 54,3 тигезсезлекләренең ике кисәген дә
3 кә тапкырлыйбыз һәм нәтиҗәне икеле тигез¬
сезлек рәвешендә язабыз:
54,2 • 3 < 3a <54,3 • 3,	162,6 < За < 162,9.
Димәк, бирелгән өчпочмакның периметры
162,6 мм дан зуррак, ә 162,9 мм дан кечерәк
була. <]
Күнегүләр
729	Координаталар турысы сызыгыз һәм* a<b,c>b, c<d, а>е
булса, координаталары a, b, с, d һәм е bγπ,τan нокталарның
әлеге турыда якынча ничек урнашуларын күрсәтегез.
730	т, п, р һәм q — ниндидер саннар, шуның белән бергә, т >р,
n> т, n<q булсын, р һәм п, р һәм q, q һәм т саннарын
чагыштырыгыз. Саннарны чагыштырганда координаталар
турысыннан файдаланыгыз.
731	a <Ь икәне билгеле. Мөмкин булса, a һәм 5 + 1; а-3
һәм b; а - 5 һәм Ь + 2; а + 4 һәм b - 1 саннарын чагышты¬
рыгыз.
732	а) a - 3 > b-3 һәм Ь > 4;	в) 1а > 75 һәм Ь > т> ;
б)	a - 8 > Ь - 8 һәм а < -12; г) -2a > -25 һәм b <-θ
тигезсезлекләренең дөрес икәне билгеле, а һәм 5 нинди
саннар (уңай, тискәре) булыр?
733	Тигезсезлекләрнең үзлекләреннән файдаланып,
а)	18 > -7 тигезсезлегенең ике кисәгенә дә -5 санын; 2,7
санын; 7 санын кушудан;
б)	5 > -3 тигезсезлегенең ике кисәгеннән дә 2 санын; 12
санын; -5 санын алудан;
в)	-9 < 21 тигезсезлегенең ике кисәген дә 2 гә; -1 гә; -д гә
тапкырлаудан;
г)	15 > -6 тигезсезлегенең ике кисәген дә 3 кә; -3 кә; -1 гә
бүлүдән килеп чыккан дөрес тигезсезлекне языгыз.
149

734	а < Ь икәне билгеле. Тигезсезлекләр үзлегеннән файдала¬
нып,
а)	бу тигезсезлекнең ике кисәгенә дә 4 санын кушкач;
б)	бу тигезсезлекнең ике кисәгеннән дә 5 санын алгач;
в)	бу тигезсезлекнең ике кисәген дә 8 гә тапкырлагач;
г)	бу тигезсезлекнең ике кисәген дә гә бүлгәч;
д)	бу тигезсезлекнең ике кисәген дә -4,8 гә тапкырлагач;
е)	бу тигезсезлекнең ике кисәген дә -1 гә бүлгәч, килеп
чыккан дөрес тигезсезлекне языгыз.
735	a < Ь икәне билгеле. Дөрес тигезсезлек килеп чыгарлык
итеп, * урынына < яки > тамгасы куегыз:
а) -12,7a * -12,7b; в) 0,07α * 0,07b;
g∖ &. * b..	ч _a * _b
of 3 3 ’	, 2	2 ,
736	a) 5α < 2a;	6) 7a > 3a; в) -3a < 3a; r) -12a > -2a
икәне билгеле, a санының тамгасы нинди?
737	с > d икәне билгеле. Түбәндәге тигезсезлекләрнең дөрес
икәнен нинди теоремаларга нигезләнеп расларга мөмкин,
аңлатып бирегез:
а)	-7c < -7d;	г) 0,01c - 0,7 > 0,01d - 0,7;
б)	f>f;	fl)l-c<-dj
в)	2c + ll>2d + ll;	e)2-j<2-∣.
738	a, b, c, d ның уңай саннар икәне билгеле, өстәвенә a > Ь,
d<b, c>a. a'fy'c,⅜ саннарын үсә бару тәртибендә
урнаштырыгыз.
739	3 < a < 4 икәне билгеле.
а)	5а; б) -а; в) а + 2; г) 5 - а; д) О,2а + 3
аңлатмаларының кыйммәтләренә бәя бирегез.
^40 5 < х < 8 икәнен белеп,
\ а) 6х; б) -10х; в) х - 5; г) Зх + 2
√r, J аңлатмалары кыйммәтләренең чиген белегез.
741	1,4 < >/2 < 1,5 икәненнән файдаланып, а) ∖∣2 +1; б) √2 -1;
в)	2 - ∖∣2 аңлатмасының кыйммәтен бәяләгез.
742	2,2 < л/б < 2,3 икәненнән файдаланып, а) л/б + 2; б) 3 - √5
аңлатмасының кыйммәтең бәңләгез.
743	а) 5,l≤a≤5,2 булса, ягь| a см булган квадратның пери¬
метрына бәя бирегез.
б)	Квадратның периметры Р см га тигез икәне билгеле.
15,6≤P≤ 15,8 булганда, квадрат ягының озынлыгын бәя¬
ләгез.
744	а) 5 < у < 8; б) 0,125 < у < 0,25 булса,
1 « «
У аңлатмасы кыйммәтенә бәя бирегез.
150

Кабатлау өчен күнегүләр
745	х = ; -3; 2 - √3 булганда, x2 - 4x + 1 күпбуынының
кыйммәтен табыгыз.
746	Тигезләмәне чишегез:
o4 8x2-3 5-9x2 _о.
а) —g	— - 2 ;
б1 2 1_ = 2a>JL.
x2-x+l х+1 x2+l ’
. 10	3 = 1
b, x2-4 2х-4	2 ’
гч x-⅛I = 5
j х-3 х •
29.	Санлы тигезсезлекләрне кушу һәм тапкырлау
Санлы тигезсезлекләрне буынлап кушу һәм тап¬
кырлау турындагы теоремаларны тикшерик.
5	иче теорема
Әгәр a < Ь һәм с < d булса, а + с < Ь + d була.
• a < Ь тигезсезлегенең ике кисәгенә дә с санын куш¬
сак, a + с < Ь + с ны табабыз, с < d тигезсезлеге¬
нең ике кисәгенә дә Ь санын кушып, b + с < b + d
ны табабыз, a + с < Ь + с һәм b + с < b + d тигез-
сезлекләреннән a + с < b + d икәне күренә. ®
Тигезсезлекләр саны икедән артык булганда
да буынлап кушу очрагы өчен теорема дөрес.
Шулай итеп,
әгәр бердәй тамгалы дөрес тигезоезлекләрне буынлап куш¬
сак, дөрес тигезсезлек табыла.
6	нчы теорема
Әгәр a < Ь һәм с <d булса, биредә а, Ь, с һәм d — уңай сан¬
нар, ул вакытта ас < bd була.
© a<b тигезсезлегенең ңке кисәген дә уңай с са¬
нына тапкырлап, ас < b∖ ны табабыз, с < d тигез¬
сезлегенең ике кисәген эдә уңай Ь санына тап¬
кырлап, be < bd ны табабыз, ас < Ьс һәм be < bd
тигезсезлекләреннән ас <bd икәнлеге килеп
чыга. О	\
Күрсәтелгән рәвештәге тигезсезлекләр икедән
артык булганда да буынлап тапкырлау өчен тео¬
рема дөрес.	\
Шулай итеп,	\
әгәр сул һәм уң кисәкләре уңай саннар булган бердәй
тамгалы дөрес тигезсезлекләрне буынлап тапкырласак,
дөрес тигезсезлек табыла.	\
151

Әгәр а < b һәм с < d тигезсезлекләрендә a, b, с
һәм d саннары арасында тискәреләре булса,
ас < bd тигезсезлеге дөрес булмаска да мөмкин
икәнен әйтеп китик. Мәсәлән, -3 < -2 һәм -5 < 6
дөрес тигезсезлекләрен буынлап тапкырлаганнан
соң, дөрес булмаган 15 < -12 тигезсезлеген табабыз.
Нәтиҗә
Әгәр а һәм b саннары уңай һәм a < b булса, an < bn була
(п — натураль сан).
• Дөрес, a < b тигезсезлекләрен п тапкыр буынлап
тапкырласак, биредә а һәм b — уңай саннар,
an < bn дөрес тигезсезлеген табабыз. О
Югарыда исбатланган үзлекләр сумманы, аер¬
маны, тапкырчыгышны һәм өлешне бәяләүдә
файдаланыла.
15 < х < 16 һәм 2 < у < 3 икәне билгеле бул¬
сын, х + у суммасын, х- у аермасын, ху тапкыр¬
чыгышын һәм өлешен бәяләргә кирәк.
1.	х + у суммасын бәялик.
Тигезсезлекләрне буынлап кушу турындагы
теореманы башта 15 < х һәм 2 < у тигезсезлеклә¬
ренә карата, аннан соң х < 16 һәм у < 3 тигез¬
сезлекләренә карата куллансак, 17<x + ι∕ һәм
х + у < 19 ны табабыз. Нәтиҗәне икеле тигезсез¬
лек рәвешендә язарга мөмкин: 17<x + y<19.
Гадәттә язу кыскача башкарыла:
15<x<16
	2<У<3 .
17 < х + у < 19
2.	х - у аермасын бәялик.
Моның өчен х - у аермасын х + (-у) суммасы
рәвешенә китерик. Башта -у аңлатмасының кыйм¬
мәтен бәялибез. 2 < у < 3 булганлыктан, -2 > -у > -3,
ягъни -3 < -у < -2. Хәзер тигезсезлекләрне буын¬
лап кушу теоремасын кулланабыз:
15<x<16
-3<-y<.-2.
12<x-j∕<14
3.	ху тапкырчыгышын бәялик.
х һәм у саннарының һәркайсы уңай саннар
арасында урнашканлыктан, бу саннар — уңай
саннар. Тигезсезлекләрне буынлап тапкырлау ту¬
рындагы теореманы кулланып табабыз:
15<x<16
2<y<3
30 < ху < 48
152

4. ~ өлешен бәялик.
»< x
Моның өчен „ өлешен х ■
V	1
У
i∙ тапкырчыгышы
рәвешенә китерик. Башта *7 аңлатмасын бәяли-
y 1 1 1
без. 2 < у < 3 булганлыктан, % > ~ > θ , ягъни
^<У<2 була- Тигезсезлекләрне буынлап тап¬
кырлау турындагы теорема буенча
15<x< 16
w<⅜
5<f <8
Күнегүләр
747	Тигезсезлекләрне буынлап кушыгыз:
а) 12 > -5 һәм 9 > 7; б) -2,5 < -0,7 һәм -6,5 < -1,3.
748	Тигезсезлекләрне буынлап тапкырлагыз:
а) 5 > 2 һәм 4 > 3; б) 8 < 10 һәм .
749	Уңай а һәм Ь саннары өчен:
а)	a > Ь булса, а2 > Ь2 була;
б)	а2 > Ь2 булса, a > Ь була дип әйтү дөресме?
750	3 < а < 4 һәм 4 < Ь < 5 булсын.
a) а + Ь;	б) а-b;	в) ab;	г) ны бәяләгез'.1
751	6 < х < 7 һәм 10 < у < 12 икәнен белеп бәялһгез:
а) х + у;	б) у-х;	в) ху;	г) £.
752	1,4 < -72 < 1,5	һәм	1,7 < >/3 < 1,8 булуыннан	файдаланып:
a) ∖∣2 +у/з не;	б) л/З - >∣2 не бәяләгез.
753	2,2 < Vδ < 2,3	һәм	2,4 < -Уб < 2,5 булуыннан	файдаланып:
а) >/б + >/5 ;	б) -Уб - не бәяләгез.
754	Тигезьянлы өчпочмакның нигезе а һәм ян ягы Ь озынлык-
ларының миллиметрларда күрсәтелгән чикләре билгеле:
26 < а ≤ 28 һәм 41 ≤ Ь < 43.
Бу өчпочмакның периметрын бәяләгез.
755	Турыпочмаклыкның буе α һәм иңе Ь ны сантиметрларда
үлчәгәннән соң, 5,4 < а < 5,5 һәм 3,6 < ©< 3,7 икәнен бел¬
деләр.
а) Турыпочмаклыкның периметрын; б) турыпочмаклык¬
ның мәйданын бәяләгез.
153

756	Турыпочмаклык формасындагы бүлмәнең буе а һәм иңе b
ның (метрларда) чикләре билгеле:
7,5 ≤ a < 7,6 һәм 5,4 ≤ b ≤ 5,5.
Мәйданы 40 м2 дан да кимрәк булмаска тиешле китапха¬
нәне бу бүлмәгә урнаштырып булырмы?
757	α һәм β — өчпочмакның почмаклары булсын.
58o≤a≤59o, 102°≤β<103o
икәне билгеле. Өченче почмакның зурлыгын бәяләгез.
Кабатлау өчен күнегүләр
758	Квадрат формасындагы табаклы калайдан 5 дм киңлеген¬
дә бер полоса кисеп алдылар. Кисеп алганнан соң калган
өлешнең мәйданы 6 дм2. Калайның баштагы үлчәмнәре
нинди булган?
759	Аңлатманы гадиләштерегез:
С ..8х ...+ х J
∖16-9x2 Зх-4/
√l-4=3χ}
Г 4+Зх/•
760	а) a > 0 булганда, 9a + ≥ 6 ;
б) b < 0 булганда, 255 + | < -10
икәнен исбатлагыз.
Контроль сораулар
1	Санлы тигезсезлекләрнең төп үзлекләрен аңлатучы теоре¬
маларны әйтеп бирегез һәм аларны исбатлагыз.
2	Тигезсезлекләрне буынлап кушу турында теореманы әйтеп
бирегез һәм исбатлагыз.
ВЗ Тигезсезлекләрне буынлап тапкырлау турында теореманы
әйтеп бирегез һәм исбатлагыз.
§ 12. Бер үзгәрешлеле тигезсезлекләр
һәм аларның системалары
30.	Санлы аралыклар
Координаталар турысында -3 һәм 2 координата-
лы нокталарны билгелик (рәс. 23). Әгәр нокта
алар арасында урнашса, аңа -3 тән зуррак һәм
2 дән кечерәк сан тиңдәш була. Киресе дә дөрес:
әгәр х саны -3 < х < 2 шартын канәгатьләндерсә,
бу сан -3 һәм 2 координаталы нокталар арасында
ятучы нокта белән сурәтләнер. -3 < х < 2
154

——0	•	О	>
-3	х	2
Рас. 23
-3	2
Рас. 24
-3	2
Рас. 25
-3	2
Рас. 26
-3	2
Рас. 27
6	*	*"
Рас. 28
6
Рас. 29


6
Рас. 30
	>.
ю
Рас. 31
≡≡≡⅝

10
Рас. 32
шартын канәгатьләндерүче барлык
саннар күплеген санлы аралыклар
яки гади генә -3 тән 2 гә кадәрге
аралык дип атыйлар һәм (-3; 2) дип
тамгалыйлар («-3 тән 2 гә кадәрге
аралык» дип укыйлар). Бу аралык¬
лар 24 нче рәсемдә сурәтләнгән.
-3 < х < 2 шартын канәгатьләнде¬
рүче х саны координаталары -3
һәм 2 булган нокталар арасында ят¬
кан нокта белән сурәтләнә яки алар-
ның берсе белән тәңгәл килә. Мон¬
дый саннар күплеген [-3; 2] рәвешеңдә
язалар («-3 һәм 2 не дә кертеп, -3 тән
2 гә кадәрге аралык» дип укыла). Бу
аралык 25 нче рәсемдә сурәтләнгән.
-3 ≤ х < 2 һәм -3 < х ≤ 2 икеле
тигезсезлекләрен канәгатьләндерүче
саннар күплеген тиңдәшле рәвештә
[-3; 2) һәм (-3; 2] рәвешендә тамга¬
лыйлар һәм («-3 не дә кертеп, -3 тән
2 гә кадәрге аралык; 2 не дә кертеп,
-3 тән 2 гә кадәрге аралык») дип
укыла. Бу аралыклар 26 нчы һәм
27 нче рәсемнәрдә сурәтләнгәннәр.
Координатасы 6 булган ноктаны
координаталар турысында билгелик.
Әгәр х саны 6 дан зуррак булса, ул бу
ноктадан уңдарак яткан нокта белән
сурәтләнер (рәс. 28). х > 6 шартын
канәгатьләндерүче барлык х санна¬
рының күплеге координатасы 6 бул¬
ган ноктадан уңдарак урнашкан ярым-
туры белән сурәтләнер (рәс. 29). Бу
күплекне 6 дан плюс чиксезлеккә
кадәрге аралык дип атыйлар һәм
(6; + оо) рәвешендә тамгалыйлар.
х > 6 шартын канәгатьләндерүче
саннар күплеге 6 координаталы нок¬
таны да эченә алган шул ук ярым-
туры белән сурәтләнә (рәс. 30). Аны
[6; + ∞) дип тамгалыйлар («6 ны да
кертеп, 6 дан плюс чиксезлеккә ка¬
дәрге аралык» дип укыла).
31 нче һәм 32 нче рәсемнәрдә
х < 10 һәм r≤10 тигезсезлекләрен
канәгатьләндерүче саннар күплекләре
155

сурәтләнгән. Бу күплекләр 10)
һәм (-∞5 10] рәвешендә тамгаланган
аралыклардан гыйбарәт. (-°°; 10) яз¬
масы «Минус чиксезлектән 10 га ка-
—*•»	*
1	3v" 54w"7
Рас. 33
0	4	6	10
Рәс. 34
Барлык
дәрге аралык» дип укыла; (-«»; 10]
язмасы «10 ны да кертеп, минус
чиксезлектән 10 га кадәрге аралык»
дип укыла.
реаль саннарның күплеге координа-
талар турысы белән сурәтләнә. Аны болай там¬
галыйлар: (-∞j +∞).
33 нче рәсемдә [1; 5] һәм [3; 7] аралыклары
сурәтләнгән. [3; 5] аралыгы ал арның уртак өле¬
шен тәшкил итә. Ниндидер А һәм В күплекләренең
уртак өлешен тәшкил иткән күплекне әлеге күп¬
лекләрнең кисешүе дип атыйлар һәм Ar∖B дип
тамгалыйлар. [3; 5] аралыгы [1; 5] һәм [3; 7] ара-
лыкларының кисешүе була. Ул болай языла:
[1; 5]п[3; 7] = [3; 5].
[0; 4] һәм [6; 10] аралыкларының уртак эле¬
ментлары юк (рәс. 34). Әгәр күплекләрнең уртак
элементлары булмаса, аларның кисешүе буш дип
әйтәләр. Димәк, [0; 4] һәм [6; 10] аралыклары¬
ның кисешүе буш була.
[1; 7] аралыгындагы һәрбер сан (33 нче рә¬
семне карагыз) [1; 5] һәм [3; 7] аралыкларының
берсендә була, ягъни [1; 5] аралыгында, я [3; 7]
аралыгында, я аларның икесенеке дә була.
А һәм В күплекләренең берсендә генә булган
элементлардан торган күплек тә бу күплекләрнең
берләшмәсе дип атала һәм A u В дип тамгалана.
[1; 7] аралыгы [1; 5] һәм [3; 7] аралыкларының
берләшмәсе була. Моны түбәндәгечә язарга мөмкин:
[1; 5]и[3; 7] = [1; 7].
Аралыкларның берләшмәсе һәрвакыт ара¬
лыктан тормый, моны әйтеп китәргә кирәк. Мә¬
сәлән, [0; 4] и [6; 10] күплеге аралыкны тәшкил
итми (34 нче рәсемне карагыз).
Күплекләрнең кисешүенә һәм берләшмәсенә
башка мисаллар китерик. Тискәре булмаган бө¬
тен саннар күплегенең һәм уңай булмаган бөтен
саннар күплегенең кисешүе булып нуль саны
хезмәт итә, ә барлык бөтен саннар күплеге әлеге
күплекләрнең берләшмәсе була. Уңай һәм тис¬
кәре саннар күплегенең кисешүе буш күплек бу¬
ла, ә бу күплекләрнең берләшмәсе булып нульдән
башка барлык реаль саннар күплеге хезмәт итә.
156

761
762
763
764
765
766
767
768
769
770
771
Күнегүләр
Аралыкны координаталар турысында сурәтләгез:
а)	[-2; 4];	в) [0; 5];	д) (3; +оо);	ж) (-∞j 4];
б)	(-3; 3);	г) (-4; 0);	е) [2; +°°);	з) (-∞j -1).
35 нче рәсемдә сурәтләнгән санлы аралыкларны языгыз.
Рэс. 35
Координаталар турысында аралыкны сурәтләгез:
а)	(3; 7);	б) [1; 6];	в) (-°°; 5);	г) [12; +∞).
Координаталар турысында
a)x≥-2j	6)x≤3j	в) х > 8;	г) х < -5
тигезсезлеген канәгатьләндерүче саннар күплеген сурәт¬
ләгез.
Координаталар турысында
а)	-1,5 ≤ х < 4; в) -5 ≤ х ≤ -3 ;
б)	-2<x<l,3j	r)2<x≤6,l
икеле тигезсезлекләрен канәгатьләндерүче саннар күпле¬
ген сурәтләгез.
а)	-3; -5; 5; 6,5; -3,9; -4,1 саны (-4; 6,5) саннар аралы¬
гына керәме?
б)	-9; -8; -5,5; -5; -6; -7,5 саны [-8; -5] саннар аралы¬
гына керәме?
-1,6; -1,5; -1; 0; 3; 5,1; 6,5 саннарыннан кайсылары
а) [-1,5; 6,5]; б) (3; + «>); в) (-«=; -1]
саннар аралыгына керә?
a)√2j б)73; b)√5j γ)√6 саны (1,5; 2,4) саннар аралы¬
гына керәме?
а) (-4; 5); б) [-1; 1] аралыкка кергән ике уңай, ике тискәре
санны күрсәтегез.
а) (-4; 3); б) [-3; 5] аралыкка керә торган барлык бөтен
саннарны күрсәтегез.
Бөтен саннарның кайсылары
а) [0; 8]; б) (-3; 3); в) (-5; 2); г) (-4; 9]
саннар аралыгына керә? _
а) [-12; ^9]; б) [-lt*17)j в) (-⅛ 31]; г) (-~; 8) саннар
аралыгына керүче иң зур бөтен санны күрсәтегез.
157

772	1,98 саны (-∞j 2) аралыкка керәме? Әлеге аралыкка керә
торган 1,98 дән зуррак ике сан күрсәтегез. Бу аралыкка
керә торган иң зур санны табып буламы? Шушы ук
аралыкка керүче иң кечкенә сан бармы?
773	Координаталар турысыннан файдаланып, аралыкларның
кисешүен табыгыз:
а)	(1; 8) һәм (5; 10); в) (5; +°°1һәм (7; +∞))j
б)	[-4; 4] һәм [-6; 6]; г) (-«>; 16) һәм (-∞5 6).
774	Координаталар турысында аралыклар берләшмәсен штрих¬
лап күрсәтегез:
а)	[7; 0] һәм [-3; 5];	в) (-∞j 4) һәм (10j+∞)j
б)	(-4; 1) һәм (10; 12);	г) [3; +∞) һәм (8; +∞).
775	Координаталар турысыннан файдаланып, аралыкларның
кисешүен һәм берләшмәсен табыгыз:
а)	(-3; +∞) һәм (4; +<»); в) (-<»; 6) һәм (-°°; 9);
б)	(-оо; 2) һәм [0; +°°); г) [1,5] һәм [0; 8].
776
777
778
779
Кабатлау өчен күнегүләр
Аңлатманы гадиләштерегез:
1 , а-х	α2-⅛2 ι
j ах ’	0)	2a2b2 '
a2+ 5 > 2а тигезсезлеген исбатлагыз.
Пассажир поездда 120 км барганнан соң, сәгатенә 5 км га
тизрәк бара торган поезд белән кире кайта. Әгәр ул кайт¬
канда юлда 20 мин вакыт азрак уздырган булса, һәр поезд¬
ның тизлеген табыгыз.
Зх—1
у =	2 формуласы белән бирелгән функциянең кыйм¬
мәте х ның нинди кыйммәтләре өчен -1 гә тигез була?
31.	Бер үзгәрешлеле тигезсезлекләрне чишү
5x - 11 > 3 тигезсезлеге х үзгәрешлесенең нинди¬
дер кыйммәтләре өчен дөрес санлы тигезсезлеккә
әйләнә, ә башкалары өчен әйләнми. Әйтик, әгәр х
урынына 4 санын куйсак, дөрес булган 5 • 4 - 11 > 3
тигезсезлеге табылыр, ә инде 2 санын куйсак, дө¬
рес булмаган 5 • 2 - 11 > 3 тигезсезлеге табылыр.
Мондый очракта 4 саны 5x - 11 > 3 тигезсезле¬
генең чишелеше була яки бу тигезсезлекне канә¬
гатьләндерә, диләр. Мәсәлән, 100; 180; 1000 сан¬
нарының тигезсезлекнең чишелешләре булуын
тикшерү кыен түгел. 2; 0,5; -5 саннары бу тигез¬
сезлекнең чишелешләре түгел.
158

Билгеләмә. Бер үзгәрешлеле тигезсезлекне санлы дөрес
тигезсезлеккә әверелдерүче үзгәрешленең кыйммәте тигезсез¬
лекнең чишелеше дип атала.
Тигезсезлекне чишү — аның барлык чише¬
лешләрен табу яки аларның булмавын исбат итү
ул.
Чишелешләре бер үк булган тигезсезлекләр
тигезкөчле тигезсезлекләр дип атала. Чишелеш¬
ләре булмаган тигезсезлекләрне дә тигезкөчле
тигезсезлекләргә кертәләр.
Тигезсезлекләрне чишкәндә түбәндәге үзлек¬
ләр файдаланыла:
1)	Әгәр кушылучыны капма-каршы тамгасы белән тигез¬
сезлекнең бер кисәгеннән икенче кисәгенә күчерсәк, би¬
релгән тигезсезлеккә тигезкөчле булган тигезсезлек килеп
чыга.
2)	Әгәр тигезсезлекнең ике кисәген да бер үк уңай санга
тапкырласак яки бүлсәк, бирелгән тигезсезлеккә тигез¬
көчле тигезсезлек килеп чыга;
әгәр тигезсезлекнең ике кисәген дә бер үк тискәре санга
тапкырлап яки бүлеп, тигезсезлекнең тамгасын капма-
каршыга үзгәртсәк, бирелгән тигезсезлеккә тигезкөчле
тигезсезлек килеп чыга.
Мәсәлән,
18 + 6x>0	(1)
тигезсезлеге
6х > -18	(2)
тигезсезлегенә тигезкөчле, ә 6х > -18 тигезсезлеге
х > -3 тигезсезлегенә тигезкөчле.
Тигезсезлекләрнең күрсәтелгән үзлекләрен сан¬
лы тигезсезлекләрнең үзлекләренә таянып исбат¬
ларга була.
Мәсәлән, (1) һәм (2) тигезсезлекләрнең тигез¬
көчле икәнен исбатлыйк. Ниндидер а саны (1)
тигезсезлегенең чишелеше булсын, ягъни аны дө¬
рес 18 + 6α > 0 санлы тигезсезлегенә әйләндерсен.
Бу тигезсезлекнең ике кисәгенә дә -18 санын ку¬
шып, 18 + 6α - 18 > 0 - 18 дөрес тигезсезлеген,
ягъни 6α > -18 не табабыз, бу исә а саны (2) ти¬
гезсезлегенең чишелеше икәнен аңлата.
Без (1) тигезсезлегенең һәр чишелеше (2) ти¬
гезсезлегенең чишелеше булуын күрсәттек. (2)
тигезсезлегенең һәр чишелеше (1) тигезсезлеге¬
нең чишелеше булып хезмәт итүе аналогик
159

тәртиптә исбатлана. Шулай итеп, (1) һәм (2) ти-
гезсезлекләренең чишелешләре бер үк, ягъни
алар тигезкөчлеләр.
Гомуми рәвештә тигезсезлекләрнең ике үзле¬
генең дөреслеге дә югарыдагыча фикер йөртеп
раслана.
Тигезсезлекләрне чишүгә мисаллар китерик.
1вче мисал 16х > 13х + 45 тигезсезлеген чишәбез.
► 13х кушылучысын капма-каршы тамгасы белән
тигезсезлекнең сул кисәгенә чыгарабыз:
16х - 13х > 45.
Охшаш буыннарын берләштерәбез:
Зх > 45.
Тигезсезлекнең ике кисәген дә 3 кә бүләбез:
х > 15.
Тигезсезлекнең чишелешләр күплеге 15 тән
зур булган барлык саннардан гыйбарәт. Бу күп¬
лек 36 нчы рәсемдә сурәтләнгән
		^/////////////^^^^	(15; +∞) саннар аралыгын тәшкил итә.
15	Җавапны (15; +∞) саннар аралы¬
гы рәвешендә яки бу аралыкны
^ac∙ 3®	хасил иткән х> 15 тигезсезлеге рә¬
вешендә язарга була. <1
2 нче мисал 15х - 23 (х + 1) > 2х + 11 тигезсезлеген чишик.
► Тигезсезлекнең сул кисәгендәге җәяләрне ача¬
быз:
15x-23x-23>2x + ll.
Тигезсезлекнең уң кисәгендәге 2х кушылу¬
чысын сул кисәккә, ә -23 кушылучысын сул ки¬
сәктән уң кисәккә капма-каршы тамгалары бе¬
лән күчереп, охшаш буыннарны берләштерәбез:
15х - 23х - 2х > 11 + 23,
-10х > 34.
Тигезсезлекнең ике кисәген дә -10 га бүлеп,
тигезсезлекнең тамгасын капма-каршыга үзгәр¬
тәбез:
х < -3,4.
w≡⅜≡⅜-
-3,4
Рас. 37
Тигезсезлекләрнең чишелешләре
күплеге 37 нче рәсемдә сурәтләнгән
(-∞j -3,4) аралыктан гыйбарәт.
Җавап: (-<»; -3,4). <1
160

3	нче мисал ⅜ - ⅜ < 2 тигезсезлеген чишик,
о Z
Тигезсезлекнең ике кисәген дә тигезсезлеккә
кергән вакланмаларның иң кечкенә уртак вак¬
лаучысына, ягъни 6 га тапкырлап,
∣.6-∣ 6<2 6,
О	Z
Моннан
2х - Зх < 12 не табабыз.
-х < 12,
x>-12.
Җавап: (-12; + ∞). <]
Без үзебез тикшергән мисалларның һәркайсында бирелгән
тигезсезлекләрне ax>b яки ах < Ь рәвешендәге тигезкөчле
⅛, . тигезсезлекләргә алмаштырдык, биредә а һәм Ь — нинди
дә булса саннар. Мондый төр тигезсезлекләр бер үзгәреш-
ЯК леле сызыкча тигезсезлекләр дип атала.
Югарыда китерелгән мисалларда без үзгәреш¬
ле алдындагы коэффициенты нульгә тигез булма¬
ган сызыкча тигезсезлекләр таптык. Ләкин
тигезсезлекләрне чишкәндә, 0 • х > Ь яки 0 • х < Ъ
рәвешендәге сызыкча тигезсезлекләр дә килеп
чыгуы мөмкин. Мондый төр тигезсезлекнең, ди¬
мәк, моңа тиңдәшле баштагы тигезсезлекнең дә
чишелеше булмый яки теләсә нинди сан аның
чишелеше була ала.
4	нче мисал 2(х + 8) - 5х < 4 - Зх тигезсезлеген чишик.
Табабыз:
2х + 16 - 5х < 4 - Зх,
2х - 5х + Зх < 4 - 16.
Тигезсезлекнең сул кисәгендә охшаш буын¬
нарны берләштергәннән соң, нәтиҗәне 0 • х рәве¬
шендә язабыз:
0 ∙ x<-12.
Табылган тигезләмәнең чишелешләре юк,
чөнки х ның теләсә инди кыйммәте өчен тигез¬
сезлек дөрес булмаган санлы 0 < —12 тигезсез¬
легенә әйләнә. Димәк, аңа тигезкөчле булган би¬
релгән тигезсезлекнең дә чишелешләре булмый.
Җавап: чишелешләре юк. <i
11 К 5/123
161

Күнегүләр
780
781
782
783
784
785
786
787
788
789
790
у ның: а) 8; б) -2; в) 1,5; г) 2 гә тигез кыйммәте
5y > 2(y - 1) + 6 тигезсезлегенең чишелеше була аламы?
-2; -1; -1,5; -0,3 саннарының кайсылары 12x + 4<7x-l
тигезсезлегенең чишелешләре була ала?
2х < х + 7 тигезсезлегенең нинди дә булса чишелешен
күрсәтегез:
в)х + 1,5<0; r)x-0,4≥0.
күрсәтегез.
Тигезсезлекне чишегез һәм аның чишелешләре күплеген
координаталар турысында
а)	х + 8 > 0; б) х - 7<0;
Тигезсезлекне чишегез:
д)	12у < 1|8;
е)	275 ≥ 12;
ж)	-6х > 1,5;
з)	15x≤0j
а)	Зх > 15;
б)	-4х < -16;
в)	-х ≥ 1;
г)	11у<33;
Тигезсезлекне чишегез һәм аның
координаталар турысында күрсәтегез:
а) 2х<17;
д) ЗОх > 40;
б)	5x≥-3j
в)	-12х < -48;
и)	0,5у > -4;
к)	2,5a > 0;
л)	^х > 6;
м)	-∣y<-l.
чишелешләре күплеген
6Х<2;
к)	^х<0;
л)	0,02x > -0,6;
м)	-1,8х < 36.
х ның бу тигезсезлек-
/ц) 17 - х > 10-6х;
е)	30 + 5х < 18 - 7х:
ж)	64 - 6y ≥ 1 - у,
з)	8 + 5y≤ 21+ бу.
д)	3 у-1 > -1 + бу;
е)	0,2х - 2 < 7 - 0,8х
ж)	6& - 1 < 12 + 75;
з)	16х - 34 > х + 1.
е)	-15х < -27;
ж)	-4x ≥ -1;
з)	10х < -24;
5x + 1 > 11 тигезсезлеген чишегез.
нең чишелешләре булган өч кыйммәтен күрсәтегез.
Зх - 2 < 6 тигезсезлеген чишегез. 4; 2 у; 2 у саны әлеге ти¬
гезсезлекнең чишелеше була аламы?
Тигезсезлекне чишегез:
а)	7х - 2,4 < 0,4;
б)	1 - 5у > 3;
в)	2x-17≥-27j
г)	2-3α≤lj
Тигезсезлекне чишегез һәм аның чишелешләре күплеген
координаталар турысында сурәтләгез:
а)	11 х-2<9;
б)	2 - Зу > -4;
в)	17-x≤llj
г)	2 - 12x > -1;
а)	х ка нинди кыйммәтләр биргәндә, 2x -1 икебуынының
кыйммәтләре уңай була?
б)	у ка нинди кыйммәтләр биргәндә, 21 - Зу икебуынының
кыйммәтләре тискәре була?
в)	с га нинди кыйммәтләр биргәндә, 5 - Зс икебуынының
кыйммәтләре 80 нән зуррак була?
162

791	а) а га нинди кыйммәтләр биргәндә, 2α - 1 икебуынының
кыйммәтләре 7-1,2a икебуыны кыйммәтләреннән кече¬
рәк була?
б)	р га нинди кыйммәтләр биргәндә, l,5p-l икебуыны¬
ның кыйммәтләре 1 + 1,1р икебуыны кыйммәтләреннән
зуррак була?
792	Тигезсезлекне чишегез:
	 a) 5(x - 1) + 7 ≤ 1 - 3(х+2);
б)	4(a + 8) - 7(a - 1) < 12;
в)	4(5 - 1,5) - 1,2 ≥ 65 - 1;
г)	1,7 - 3(1 - ш) ≤ - (тп - 1,9);
д)	4⅛2(3x - 1) - 16(x + 1);
е)	a + 2 < 5(2a + 8) + 13(4 - a);
ж)	6y~(y + 8) -3(2 - у) < 2.
793	Тигезсезлекне чишегез:
	 а) 4(2 - 3x) - (5 - х) > 11 - х;
б)	2(3 - z) - 3(2 + х) ≤ z;
в)	1 > 1,5(4 - 2a) + 0,5(2 - 6a);
г)	2,5(2 - ι∕) - l,5(ι∕ -4)≤ 3- i/;
д)	х - 2 > 4,7(x - 2) - 2,7(x - 1);
е)	3,2 (a - 6)-l,2a ≤ 3(a - 8).
794	Тигезсезлекне чишегез дә аның чишелешләре күплеген
координаталар турысында күрсәтегез:
а)	a(a - 4)-a2 >12 - 6а;
б)	(2х - 1) 2x - 5x < 4x2 - х;
в)	5y2 - 5у(у + 4) > 100;
г)	6a(a - 1) - 2а (За - 2) < 6.
795	Тигезсезлекне чишегез:
a)	0,2x2 - 0,2(x - 6)(х + 6) > 3,6х;
б)	(2x - 5)2 - 0,5x < (2х - 1) (2x + 1) - 15;
в)	(12x - l)(3x + 1) < 1+ (6х + 2)2;
г)	(4y - I)2 > (2y + 3)(8j∕ -1).
796	Тигезсезлекне чишегез:
	 а) 45(1 - 35) - (Ъ - 1252) < 43;
б)	3y2 -2y -Зу (у - 6) ≥ -2;
в)	2p (5p + 2) - jp(10p + 3) < 14;
г)	a(a - 1) - (a2 + a) < 34.
797	Тигезсезлекне чишегез:
'∙)⅜>lj	Γ)⅛l>2i	*)W≥0i4J
б)|<2;	Д)2>^;	з)|(х + 15)>4;
b)	^≥05	e)^γf^<Oς	и) 6≤∣(x + 4).
11*
163

798	Тигезсезлекне чишегез:
а)	⅛∙ ≥ 0; в) > 3; д) ∣x ≥ 2 ;
□	Δ	(
б)	1 < ^; г) 4x≡ll < о; е) Д (х - 4) < 3.
799	у ның кыйммәтләре нинди булганда,
7_2 3 7
а)	—θ-- вакланмасының кыйммәтләре вакланмасы¬
ның тиңдәш кыйммәтләреннән зуррак булыр?
4,5-2y	„	2-Зу
б)	—=— вакланмасының кыйммәтләре вакланма-
ә	1U
сының тиңдәш кыйммәтләреннән кечерәк булыр?
, _	,	-	„	Зи-1
в)	5y - 1 икебуынының кыйммәтләре —— вакланмасы¬
ның тиңдәш кыйммәтләреннән зуррак булыр?
5—2ι∕
г)	вакланмасының кыйммәтләре 1 - 6j∕ икебуыны¬
ның тиңдәш кыйммәтләреннән кечерәк булыр?
800	Тигезсезлекне чишегез:
а)	∙⅞ + ⅜ < 5 ; в) > -3; д) - х ≤ 1;
Δ о	4	∆	ә
б)	^-|>2;	r)y + ∣>3j	e)⅝-2x<0.
801	Тигезсезлекне чишегез һәм аның чишелешләре күплеген
координаталар турысында күрсәтегез:
a) 13o~1 < 4х ;	в) ⅞ ⅞ ≤ 2 ;
∆	4 ә
6)5r^α≥2α.	r)⅛∕-∣>1.
4	5	∆
802	Тигезсезлекне чишегез:
а) 3±» + 2=i<();	р) 1-S=i + ⅛=l<4∙
<t>⅛i-⅛≥ffi	rtizl-ι+2φl>i,1
B)i,-⅞1>U	e)p-¾l-^>2.
803	Тигезсезлекне чишегез:
а)	2^1_3^3>а;	b)5^1 + x±1<x.
Δ	Ә	0 э
б)	x.2x±3<xrlj	г) ⅛-⅛3,iz>2.
7	2 - 4	б) 7 2	8 y
164

804
805
806
807
808
809
810
811
812
813
а)	а ның кыйммәтләре нинди булганда, 2a^ 1 һәм вак¬
ланмаларының суммасы уңай була?
б)	b ның кыйммәтләре нинди булганда, ~ ^әм
вакланмаларының аермасы тискәре була?
Тигезсезлекне чишегез:
а)	31(2x ÷ 1) - 12х > 50х;
б)	x + 4-f <⅜∙,
в)	Зх + 7 > 5(x + 2) - (2x + 1);
г)	j¾=1<4x-3.
Функция у = -1,5х + 7,5 формуласы белән бирелгән, х ның
кыйммәтләре нинди булганда:
а) у = 0; б) у > 0; в) у < 0 була?
у = 2х + 13 формуласы белән бирелгән функция х ка нинди
кыйммәтләр биргәндә уңай кыйммәтләр; тискәре кыйм¬
мәтләр кабул итә?
Үзгәрешленең нинди кыйммәтләре өчен аңлатманың
мәгънәсе бар:
а)	√2∑≡4 ;	в) ;	д) √-3(l-5x) ;
б)	√4 - 6α ;	г) λ∣bfa∙,	е) √-(6 - х) ?
а)	1,6 - (3 - 2у) < 5 тигезсезлеген канәгатьләндерүче иң зур
бөтен санны табыгыз.
б)	8(6 - у) < 24,2 - 7у тигезсезлеген канәгатьләндерүче иң
кечкенә бөтен санны табыгыз.
п ның нинди натураль кыйммәтләре өчен
а)	(2 - 2п) - (5п - 27) аермасы уңай;
б)	(-27,1+ 3n) + (7,l+5n) суммасы тискәре була?
Турыпочмаклык ягының озынлыгы 6 см. Турыпочмак¬
лыкның периметры ягы 4 см булган квадрат периметрын¬
нан кечерәк булсын өчен, аның икенче ягының озынлыгы
күпме булырга тиеш?
Турыпочмаклы параллелепипед нигезенең буе 12 дм, иңе
5 дм. Аның күләме кабыргасы 9 дм булган кубның күлә¬
меннән кечерәк булсын өчен, параллелепипедның биекле¬
ге күпме озынлыкта булырга тиеш?
Туристлар моторлы көймәдә елга агымы буйлап киткән¬
нәр, шул урынга, 3 сәг тән дә соңрак калмыйча, кире кай¬
тырга тиешләр. Елганың агым тизлеге 2 км/сәг, ә көй¬
мәнең торгын судагы тизлеге 18 км/сәг булса, туристлар
нинди ераклыкка китә ала?
165

Кабатлау ечен күнегүләр
814	х = 1 - √3 булганда, x вакланмасының кыйммәтен
табыгыз.
815	Тигезләмәне чишегез:
a)	⅜4-i = V> б) ⅛1-χ+2 = 0∙
816	= x2 тигезләмәсен график юл белән чишегез.
817	Моторлы көймә, агым уңаена 30 км барганнан соң, кире
кайта. Барлык юлны үтү өчен 5 сәг 20 мин вакыт үтә.
Елганың агым тизлеге 3 км/сәг кә тигез булса, көймәнең
акмый торган судагы тизлеген табыгыз.
32.	Бер үзгәрешлеле тигезсезлекләр системаларын чишү
Мәсьәлә Турист турбазадан 20 км ераклыктагы станциягә
барырга чыга. Әгәр ул тизлеген 1 км/сәг кә
арттырса, 4 сәг тә 20 км дан артыграк юл үтәр.
Әгәр ул тизлеген 1 км/сәг кә киметсә, хәтта
5 сәг тә дә станциягә барып җитә алмый. Турист¬
ның тизлеге күпме?
► Туристның тизлеге х км/сәг кә тигез булсын.
Әгәр дә турист (х + 1) км/сәг тизлек белән барса,
ул 4 сәг эчендә 4(x + 1) км юл үтәр. Мәсьәләнең
шарты буенча 4(x + 1) > 20. Әгәр турист (х - 1)
км/сәг тизлек белән барса, 5 сәг тә 5(x - 1) км
юл үтәр. Мәсьәләнең шарты буенча 5(х—1) < 20.
х ның 4(x + l)>20 тигезсезлеге дә, 5(x - 1) < 20
тигезсезлеге дә дөрес булырлык кыйммәтләрен
табарга кирәк. Мондый очракларда тигезсезлек¬
ләр системасын чишәргә кирәк диләр һәм аны
∫4(x +1) > 20,
[5(x -1) < 20
рәвешендә язалар.
Системаның һәр тигезсезлеген аңа тигезкөчле
тигезсезлек белән алмаштырып,
∫x > 4,
|х < 5
системасын табабыз.
Димәк, х ның билгесез кыйммәте 4 < х < 5
шартын канәгатьләндерергә тиеш.
Җавап: туристның тизлеге 4 км/сәг тән
зуррак, ләкин 5 км/сәг тән кимрәк. *≤
Билгеләмә. Системадагы Һәр тигезсезлек дөрес булырлык
үзгәрешленең кыйммәте бер үзгәрешлеле тигезсезлекләр
системасының чишелеше дип атала.
166

Системаны чишү — аның барлык чишелешләрен табу яки чи¬
шелеше булмавын исбатлау ул.
1 нче мисал
∫2x-l>6,
[5-3x>-13
тигезсезлекләр системасын чишеп табабыз:
∫2x > 7,
∣-3x>-18.
Моннан
х > 3,5,
х < 6.
х ның һәр х > 3,5 һәм х < 6 тигезсезлекләрен ка¬
нәгатьләндерә торган кыйммәтләре системаның
чишелешләре була, х > 3,5 тигезсезлеген канә¬
гатьләндерүче саннар күплеген һәм
Рәс. 38
х < 6 тигезсезлеген канәгатьләнде¬
рүче саннар күплеген координаталар
турысында сурәтләп, ике тигезсез¬
лекнең дә 3,5 < х < 6 булганда дөрес
икәнлеген табабыз (рәс. 38). Систе¬
маның чишелешләр күплеге (3,5; 6)
аралык була.
Җавапны (3,5; 6) саннар аралыгы рәвешендә яки
әлеге аралыкны бирүче 3,5 < х < 6 икеле тигезсез¬
леге рәвешендә язарга мөмкин. <1
Зх - 2 > 25,
1 - х < 0 тигезсезлекләр системасын чишәбез.
2 нче мисал
Зх > 27,
-х < -1;
∫x > 9,
|х>1.
Координаталар турысында һәр тигезсезлекнең
чишелешләре күплеген сурәтлик (рәс. 39). х > 9
булганда ике тигезсезлек тә дөрес. Җавапны
х > 9 тигезсезлеге рәвешендә яки әлеге тигезсез¬
лек белән бирелгән (9; +∞) санлы тигезсезлеге рә¬
вешендә язарга мөмкин. <1
3 нче мисал
2 - х > 0,
0,2x -1 < 0 тигезсезлекләр системасын чишик.
167

> Табабыз:
2	5
Рэе. 40
—х > -2,
0,2х<1;
[х < 2,
∣x < 5.
Координаталар турысыннан файдаланып,
х < 2 һәм х < 5 тигезсезлекләренең гомуми чи¬
шелешен, ягъни ал арның чишелешләре күплеге¬
нең кисешүен табабыз (рәс. 40). Бу күплекләр¬
нең кисешүе х < 2 шартын канәгатьләндерүче
саннардан тора, ягъни (-°°; 2) саннар аралыгын
тәшкил итә.
Җавап: (-∞j 2). <5
4 нче мисал fl - 5х > 11,
|6х - 18 > 0 тигезсезлекләр системасын чишик.
► Табабыз:
..,,7y	////'	f-5x > 10,
——о————о	16х >18;
Рәс. 41
Координаталар турысыннан файдаланып
(рәс. 41), х < -2 тигезсезлеген канәгатьләндерүче
саннар күплеге белән х > 3 тигезсезлеген канә¬
гатьләндерүче саннар күплегенең уртак элемент¬
лары юк икәнлеген табабыз, ягъни аларның ки¬
сешүе буш була. Бирелгән тигезсезлекләр систе¬
масының чишелешләре юк.
Җавап: чишелешләре юк. <1
5	нче мисал -1 < 3 + 2х < 3 икеле тигезсезлеген чишәбез.
⅛' Икеле тигезсезлек — тигезсезлекләр системасы¬
ның башкача язылышы ул:
[3 + 2x > -1,
|3 + 2х < 3.
Бу системаны чишкәннән соң, -2 < х < 0 бул¬
ганда, ике тигезсезлекнең дә дөрес икәнен беләбез.
Бу мисалда чишелешне болай язу уңайлы:
-1 < 3 + 2х < 3,
-4 < 2х < 0,
-2<x<0. <
168

Күнегүләр
818	3 саны түбәндәге тигезсезлекләр системасының чишелеше
буламы:
a)∫6x-l>x,	6)∫7x<5x + 7,	b)∫5x + 4<20,
[4х-32<3х;	[Зх-1>5-х;	[3-2х>-1?
819	-2; 0; 5; 6 саннарының кайсылары
∫3x - 22 < 0,
[2x -1 > 3
тигезсезлекләр системасының чишелешләре була?
820	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
a) 1
[x>17,
в) ]
[х > 0,
[х < 6;
д)
н х
1Л IV
[х :
>12;
б) 1
[х < 1,
[х < 5;
г) 1
[x<-3,5,
[х > 8;
е) 1
lx > 8,
х < 20.
821
822
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
0 ∫2x -12 > 0,
[Зх < 9;
>) [4у < -4,
[5 - у > 0;
в)	Г1 > Зх,
[5x -1 > 0;
г)	∫10x < 2,
1х > 0,1.
в)	∫3x-10<0,
[2х > 0;
г)	∖Gy≥ 42,
[4ι∕ + 12 ≤ 0.
Тигезсезлекләр системасын чишегез һәм аның чишелеш¬
ләре булган берничә санны күрсәтегез:
а)	(х - 0,8 > 0,
[-5x <10;
б)	∫2-x≤0,
[х - 4 < 0;
823
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
a) ∫0,4x -1 ≤ 0,
|2,3х>4,6;
в)	jθ,3x > 4,
[0,2х + 1<6;
г)	⅛x-10≤0,
. о
3x≤l⅜.
О
824
б) [0,7x-2,l<0,
⅛χ>⅛
Тигезсезлекләр системасын чишегез:
в)	∫0,2x<3,
⅜x > 0;
Ю
г)	[2x-6,5<0,
a) fθ,6x + 7,2 > 0,
[5,2 > 2,6х;
б) [l,5x + 4,5≤0,
19
13
169

825	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
" a) ∫2x-l<l,4-x, в) ∫17x-2>12x-l,
[Зх - 2 > х - 4;	|3 - 9x < 1 - х;
б)	(5x + 6≤x,	г) (25-6x<4 + x,
[3x + 12≤x + 17j	[Зх + 7,7 > 1 + 4х.
826	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
a) ∫57 - 7х > Зх - 2, в) ∫102 - 73z >2z + 2,
∣22x -1 < 2х + 47;	[81 + llz>l + z;
б)	Г1 — 12t∕ <3y + l,
[2 - бу > 4 + 4у;
827	Үзгәрешленең мөмкин
гез:
a) √3 - 2x + √l-x ;
г) ∫6 + 6,2x≥12-l,8x,
[2-x≥3,5-2x.
саналган кыйммәтләрен күрсәте-
в) √6-x - √3x - 9 ;
б) 4х - >/Зх -1;
г) ∖∣2x + 2 + 7б - 4х .
828	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)	∫5(x-2)-x > 2,
[1 - 3(x -1) < -2;
б)	\2у - (у - 4) < 6,
\у > 3(2y -1) +18;
в)	∫7x + 3≥5(x-4) + l,
[4x +1 ≤ 43 - 3(7 + х);
г)	∫3(2-3p)-2(3-2p)> р,
[6 < p2 - р(р - 8).
829	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
a)	∫2(x-l)-3(x-2) < х,
[6х-3 < 17-(х-5);
в)	∫5,8(l-α)-l,8(6-α) <5,
|8 - 4(2 - 5a) > -(5a + 6);
б)	(3,3 - 3(1,2 - 5x) > 0,6(10x +1),
[1,6-4,5(4x -1) < 2х + 26,1;
г)	∫χ(χ -1) - (х2 -10) < 1 - 6х,
[3,5 - (х -1,5) < 6 - 4х.
830	Тигезсезлекләр системасын чишегез һәм аның чишелеше
булган барлык бөтен саннарны күрсәтегез:
а)	(3 - 2а < 13,	в) ∫2 - бу < 14,
[5а<17;	[1 < 21 - бу;
б)	∫12-6x<0,	r)∫3-4x<15,
[Зх +1 < 25 - х;	[1 - 2х > 0.
831	Тигезсезлекләр системасының бөтен санлы чишелешләрен
табыгыз:
а)	fι∕>0,	b)(6-45>0,
[7,2-у>4;	[36-1 >0;
б)	(12a - 37 > 0,	г) (3 - 18х < 0,
∣6a ≤ 42;	[0,2-0,lx>0.
170

832	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
a) (2,5a - 0,5(8 - a) < а +1,6,
∣1,5(2α -1) - 2a < a + 2,9;
б)	∫0,7(5α +1) - 0,5(1 + α) < За,
[2а - (а -1,7) > 6,7.
833	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)
i + i<7,
3 4’
в)
б)
834
1-> > 0;
о
!'-⅛>1∙
lf<*
г)
⅛1 - X < 2,
Δ
2x-f ≥15
2p-^>4,
' £--Р<6.
[2	8
Тигезсезлекләр системасын
в) 4 -	≥ у,
Х-1	Х-3 , 9
~2	3~ < ’
“Н’»=
а)
‘13x-l
чишегез:
( . j∕-l
б) ⅛1<-1,
f-l<x;
г) 5⅛±8 _ a > 2a,
1 - β~15a ≥ а.
Г 4	-
835	Икеле тигезсезлекне чишегез:
а)	-3 < 2x - 1 < 3;	в) 2 < 6 - 2у < 5;
б)	-12<5-х<17;	г) -1 < 5у + 4 < 19.
836	Икеле тигезсезлекне чишегез һәм аның чишелешләре
булган өч санны күрсәтегез:
а)	-6,5 ≤ ⅛S∙ < 20,5 ; в) -2 ≤ ⅛1 ≤ 0 ;
б)	-1 < 4=a ≤ 5 ;	г) -2,5 ≤ ⅛∙ < 1,5 .
о	2
837	Икеле тигезсезлекне чишегез:
a) -1 ≤ 15х +14 < 44 ; в) -1,2 < 1 -2у < 2,4;
б) -1 ≤ ⅝a < 1;	г) -2 < 4⅜=1 ≤ 0.
О	о
838	а) у ка нинди кыйммәтләр биргәндә, 3y - 5 икебуынының
кыйммәтләре (-1; 1) саннар аралыгында ята?
„ ,	„	-	5-2b
б) Ь га нинди кыйммәтләр биргәндә, —вакланмасының
кыйммәтләре [-2; 1] саннар аралыгында ята?
839	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)
X > 8,
б)
У<-1,
в)
т > 9,
г)
q < 6,
•
х > 7,
•
У < -5,
•
т > 10,
q < 5,
х > -4;
У < 4;
т < 12;
я <i∙
171

840	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)
х - 4 < 8,
• 2х + 5 < 13,
3 - х > 1;
б)
2x -1 < х + 3,
5x -1 > 6 - 2х,
х - 5 < 0.
841	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)
3 - 2а < 13,
• a -1 > 0,
5а - 35 < 0;
б)
6	- 4α < 2,
■ 6 - а > 2,
За-1 < 8.
Кабатлау өчен күнегүләр
842	Үзгәрешленең мөмкин саналган кыйммәтен күрсәтегез:
а)	^12∑25x ; б) , 1	; в) . 4x .
6	√5x-ll	√(3x-2)2
843	п ның, θra +1^n+12 вакланмасының кыйммәте натураль
санга тигез булырлык, барлык натураль кыйммәтләрен
табыгыз.
844	a) S = аһ булса, һ үзгәрешлесен S һәм а аша аңлатыгыз.
б)	— = 0,5zn булса, р үзгәрешлесен з һәм т аша аңлаты¬
гыз.
в)	s = һәм t > 0 булса, t үзгәрешлесен s һәм а аша аң¬
латыгыз.
845	Велосипедчы тау юлы буйлап 20 км, тигез юлдан 60 км
үтеп, барлык юлга 6 сәг вакыт сарыф иткән. Әгәр аның
тауга менгәндәге тизлеге тигез урыннан баргандагы тиз¬
легеннән 5 км/сәг кә кимрәк булса, велосипедчы юлның
һәр участогында нинди тизлек белән барган?
Контроль сораулар
⅝^∙∙^-∙∙^τ∣f"jl>l>¾ ∣ι>!'
Координаталар турысында төрле рәвештәге санлы аралык¬
ларны сурәтләгез һәм тамгаланышларын языгыз.
Тигезсезлекнең чишелеше дип нәрсә атала? 5 саны; 2 саны
Зх - 11 > 1 тигезсезлегенең чишелеше була аламы? Тигез¬
сезлекне чишү нәрсә ул?
Тигезсезлекләрне чишүдә файдаланылган тамырдашлык
үзлекләрен әйтегез.
Тигезсезлекләр системасының чишелеше дип нәрсә атала?
3 саны; 5 саны {θx + jθ a, тигезсезлекләр системасының
чишелеше була аламы? Тигезсезлекләр системасын чишү
нәрсә ул?
172

ΓV бүлеккә өстәмә күнегүләр
11	нче параграфка
846	т - п аермасы
a) (—2,7)15; б) (—3,1)36 нә тигез икәне билгеле, т һәм п сан¬
нарын чагыштырыгыз.
847	Тигезсезлекне исбатлагыз:
а)	(бу - l)(ι∕ + 2) < (3y + 4)(2y + 1);
б)	(Зу - l)(2y + 1) > (2y - 1)(2 + Зу).
848	а ның теләсә нинди кыйммәте өчен тигезсезлек дөресме:
а)	(a - 8)2 > 0;	в) -a2-2< 0;	д) (5 - а)2 > 0;
б)	a2 + 1 > 0;	г) -а2 < 0;	е) -(α - 3)2 ≤ 0?
849	Тигезсезлекне исбатлагыз:
а)	(х + I)2 ≥ 4х;	в) 4(x + 2) < (х + З)2 - 2х;
б)	(3b + I)2 > 66;	г) 1 + (т + 2)2 > 3(2m - 1).
850	Тигезсезлекне исбатлагыз:
a) a2 + b2 + 2≥2(a + б); б) a2 + ⅛2 + c2 + 3≥2(a + 6 + c).
851	а > 3 булганда,
/д—3 _ а+3\/■£ | 3 \
∖a+3 a-3)∖ а)
аңлатмасының кыйммәте тискәре икәнен исбатлагыз.
852	у > 1 булганда,
y2+3 _ 2 . С 1 . У-3 Л
у-1 y'∖y2-y y2-lj
аңлатмасының кыйммәте уңай икәнен исбатлагыз.
853	Катер кайсы очракта юлда күбрәк булыр: елга агымы
буенча 20 км, агымга каршы 20 км баргандамы әллә
акмый торган суда 40 км баргандамы?
854	Өчпочмакның ярымпериметры аның һәр ягыннан зуррак
икәнен исбатлагыз.
855	Ягы 10 см булган квадратның мәйданын периметры квад¬
ратныкы кебек үк булган теләсә нинди турыпочмаклык
мәйданы белән чагыштырыгыз.
856	Өчбуыннан икебуынның квадратын аерып алу юлы белән,
тигезсезлекне исбатлагыз:
а)	х2 + 2х + 2 > 0;	в) a2 + ab + b2 > 0;
б)	у2 - Зу + 10 > 0;	г) a2 - ab + b2 ≥ 0.
857	a > 0 һәм Ь > 0 булганда, (a + b) +	> 4 тигезсезлеге дө¬
рес икәнен исбатлагыз.
858	а, Ь, с һәм d — ниндидер саннар, өстәвенә a > b, с <Ь һәм
с > d булсын, а һәм с, Ь һәм d саннарын чагыштырыгыз.
859	a + 5, a -7, a + 1 саннарын үсә бару тәртибендә урнашты¬
рыгыз.
173

860	Әгәр а > Ь булса, а) α + 5 > & + 3; б) 1 - а < 2 - Ь икәнен
исбатлагыз.
861	Әгәр а > Ь > 0 булса,
а)	5α > 4Ь; в) -4α < -2b;
б)	17a>12b;	r)-5α<-l,2b
икәнен исбатлагыз.
862	а) Әгәр a ≤ Ь һәм c теләсә нинди сан булса, а + с ≤ b + с
икәнен;
б)	әгәр a<b һәм с уңай сан булса, ас < be икәнен;
в)	әгәр a ≤ Ь һәм с тискәре сан булса, ас ≥ Ьс икәнен исбат¬
лагыз.
863	Әгәр дә a > Ь булса, a - 1 > b - 1, 1 - a > 1 - Ь, 5 - a < 5 - Ь
дип әйтү дөресме?
864	12 ≤ у < 16 икәне билгеле.
1
а)	-0,5у; б) 42 - 2у; в) ~ +2 аңлатмасының кыйммәтен
бәяләгез.
865	а) Әгәр 0 < a < 1 һәм -3 < Ь < -2 булса, а + 2Ъ;
б)	әгәр 7 < а < 10 һәм 14 < Ь < 15 булса, a - Ь аңлатмасы¬
ның кыйммәтен бәяләгез.
866	Әгәр 10,4 < АВ < 10,5 булса, ABC өчпочмагының АВ ягына
параллель булган урта сызыгының озынлыгын бәяләгез.
867	а) Әгәр a ≤ Ь һәм c≤d булса, a + с < b+ d;
б) әгәр 0 < a ≤ Ь һәм 0 < с < d булса, ас ≤ bd икәнен исбат¬
лагыз.
868	Әгәр 3,4≤α≤3,5 һәм 6,2 ≤c <6,3 булса, нигезләре а см
һәм с см булган трапециянең урта сызыгының озынлы¬
гын бәяләгез.
12	нче параграфка	/
869	а) [-4; 4]; б) (-2,5; 7); в) (4,2; 8,5); г) (-4; 3)
аралыкка кергән барлык бөтен саннарны күрсәтегез.
870	а) [-1,8; -1,6]; б) [-3,7; -2,7]
аралыкныкы булган бөтен сан бармы?
871	а) (2,4; 2,8); в) (3,5; 3,6);
б) (-3,8; -3,1); г) (-0,2; -0,1)
аралыкка кергән нинди дә булса санны күрсәтегез.
872	40,9 саны [8; 41) саннар аралыгына керәме? Бу аралыкта
40,9 дан зуррак санны күрсәтеп буламы? [8; 41) саннар
аралыгында иң зур сан, иң кечкенә сан бармы?
873	7,01 саны (7; 17] саннар аралыгына керәме? Бу аралыкны¬
кы булган 7,01 дән дә кечерәк санны күрсәтеп буламы?
(7; 17] аралыгында иң кечкенә сан бармы; иң зур сан?
874	Түбәндәге саннар аралыгында иң кечкенә һәм иң зур сан¬
нар бармы, әгәр булса, ул саннарны күрсәтегез:
а) [12; 37]; б) [8; 13); в) (11; 14); г) [3; 19).
174

875	Дөресме:
а)	(-5; 5) n (-3; 2) = (-3; 2);
б)	(4; 11)о(0; 6) = (4; 6);
в)	(—°°; 4)о(1; ÷∞) = (-∞5 +°°);
г)	(-оо; 2) п (-2; +∞) = (-2; 2)?
876	Кисешүне һәм берләшмәне табыгыз:
а)	бөтен саннар күплегенең һәм уңай саннар күплегенең;
б)	рациональ саннар һәм иррациональ саннар күплегенең.
877	4,99 саны х < 5 тигезсезлегенең чишелеше буламы? Бу ти¬
гезсезлекне канәгатьләндерүче һәм 4,99 дан зуррак нинди
дә булса санны күрсәтегез.
878	3,01 саны х > 3 тигезсезлегенең чишелеше буламы? Бу
тигезсезлекне канәгатьләндерүче 3,01 дән кечерәк булган
нинди дә булса санны күрсәтегез.
879	Тигезсезлекне чишегез:
а)	0,01(1 - 3x) > 0,02x + 3,01;
б)	12(1 - 12х) + ЮОх > 36 - 49х;
в)	(0,6p - 1) - 0,2(3y + 1) < Бу - 4;
г)	f(6x + 4)-∣(12x-5)≤4-6x!
д)	(3α + l)(α - 1) - 3a2 > 6a + 7;
е)	15x2 - (5x - 2)(3x + 1) < 7х - 8.
880	а ның нинди кыйммәтләре өчен тигезсезлек дөрес:
а)	a⊂l-l>5±l + 8j	b)1^4-2<⅛j
б)	3^zl.a⊂l>0j	г) ⅛-3^z1 + 2^1<17
881	Тигезсезлекне чишегез:
ау *-0.5 + х-0,25 + х-0,125 < θ.
5~x - 1-х -s. 1
б) “з	г >1 •
882	Тигезсезлекне канәгатьләндерүче барлык натураль саннар¬
ны табыгыз:
а)	3(5 - 4х) + 2(14 + х) > 0;
б)	(х + l)(x - 1) - (х2 - 3x) ≤ 14.
883	х ның нинди кыйммәтләрендә
а)	Зу»-- вакланмасының кыйммәте вакланмасының
тиңдәш кыйммәтеннән зуррак;
ү 11	2√t*¼3	*
б)	—д— вакланмасының кыйммәте —θ— вакланмасының
тиңдәш кыйммәтеннән кечерәк?
175

884	Тигезсезлекне чишегез:
a) 2(4y - 1) - 5j∕ < 3y + 5; б) 6(1 - у) - 8(3y + 1) + ЗОу > -5.
885	а ның кыйммәтләре нинди булганда, тигезләмәнең тамы¬
ры уңай сан булуын табыгыз:
а)	Зх = 9а;	в) х - 8 = 3α + 1;
б)	х + 2 = а;	г) 2х - 3 = а + 4.
886	Ъ ның кыйммәтләре нинди булганда, тигезләмәнең тамы¬
ры тискәре сан булуын табыгыз:
а)	10x = 3b∙,	в) Зх - 1 = Ь + 2;
б)	х - 4 = Ь;	г) Зх - 3 = 56 - 2.
887	т ның кыйммәтләре нинди булганда, тигезсезлек дөрес
була:
a) ∣2τn-16∣ = 2/П-16;	6)⅛⅛ = lj
1	1	12—Ьт
ч I ∕>ι	z.	х ∣10m-35∣
В) ∣m + 6∣ = →n-65	Г)	= -1?
888	у = -6х + 12 функциясе: а) уңай кыйммәтләр алган; б) тис¬
кәре кыйммәтләр алган аралыкларны табыгыз. Җавабы¬
гызны график ярдәмендә аңлатыгыз.
889	Складтан 500 әр кг массалы тимер коелмалар һәм 200 әр кг
массалы бакыр коелмалар алалар. 4 т дан артык йөк
күтәрә алмаган йөк машинасына 12 коелма төйиләр. Шул
коелмалар арасында ничә тимер коелма булуы мөмкин?
890	Турист турбазадан 4 км/сәг тизлек белән 24 км ераклык¬
тагы шәһәргә барырга чыга. 2 сәг тән соң аның артыннан
икенче турист юлга чыга. Шәһәргә барып җиткәнче берен¬
че туристны куып җитү өчен, икенче турист нинди тизлек
белән барырга тиеш?
891	Авылдан фермага кадәр 20 км, ә фермадан станциягә ка¬
дәр 40 км (рәс. 42). Фермадан станциягә таба 12 км/сәг
тизлек белән велосипедчы чыга. Шул ук вакытта, шул ук
юл буйлап авылдан ферма аша станциягә бару өчен, мото¬
циклчы чыга. Станциягә җиткәнче велосипедчыны куып
җитү өчен, мотоциклчы нинди тизлек белән барырга
тиеш?
20 км	40 км
		⅝	..... л	,
⅜ —⅜—	——  	——    —	>-
Авыл	Ферма	Станция
Рэс. 42
892	а ның кыйммәтләре нинди булганда,
х > 3,
х < а
тигезсезлекләр системасының чишелешләре булмый?
176

893 Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)
4x > 1,
■ 5х > 0,
х > 9;
894 Тигезсезлекләр
исбатлагыз:
х < 0,
-х > -1,
4х < 8;
в)
—х < 3,
2х > 10,
х < -10;
Зх > -9,
х < -2,
-2х >10.
системасының чишелешләре булмавын
а)	∫χ2 +1 < 0,
(Зх -1 > 0;
б)	∫2x-4 > 2x-‰
15х > 0;
в)	∫6x < 0,
(Зх > 0;
г)	ГЗх + 5 > 0,
(Зх + 5 <0.
895 Тигезсезлекләр системасын чишегез:
a) Γθ,3x-1 < х + 0,4,	г) ∫3(x - 2)(x + 2)-Зх2 < х,
|2 - Зх < 5x +1;	(5х - 4 > 4 - 5х;
б) ∫2,5x - 0,12 > 0,6х + 0,07,
11 - 2х > -х - 4;
д) I (х - 4)(5x -1) - 5x2 >х + 1,
13х - 0,4 < 2х - 0,6;
в)
2x + l,4 < 3xe, -,
Ә
2x>3-⅜5
Ә
е)
l + ψ>⅜1-2,
О	О
3x-f >4.
4
89β
897
898
Тигезсезлекләр системасының бетен санлы чишелешләрен
табыгыз:
а)	∫6x(x -1) - 3x(2x -1) < х,
[0,5х - 3,7 < 0,2х - 0,7;
б)	(0,7х - 3(0,2x +1) < 0,5x +1,
[0,3(1 - х) + 0,8x ≥ х + 5,3;
∣(3x-2) + ∣(12x + l)>0,
|(14х-21) + |(9х-6)<0;
0,2(5x -1) + ∣(3x +1) < х + 5,8,
8x-7-⅜(6x-2)>x.
О
Икеле тигезсезлекне чишегез:
а)	-9 < Зх < 18; в) 3 ≤ 5х - 1 ≤ 4;
б)	1 <	< 2; г) 0 < ⅛ < 1 •
Δ	о
а)	х ның кыйммәтләре нинди булганда, 2х - 4 аңлатмасы¬
ның кыйммәте (-1; 5) саннар аралыгында була?
х—5
б)	х ның кыйммәтләре нинди булганда, вакланмасы¬
ның кыйммәте [0; 5] саннар аралыгында була?
в)
г)
12 К 5/123
177

в)	х нинди булганда, у = - х + 8 функциясе кыйммәтләре
(-1; 1) аралыгыныкы булыр?
г)	х нинди булганда, у = -2,5х + 6 функциясенең кыйм¬
мәтләре [-6; -2] аралыгыныкы булыр?
899 у ның түбәндәге тигезсезлекләр системасын канәгатьлән¬
дерүче уңай кыйммәтләрен табыгыз:
a)	∫3(y -1) - 4(у + 8) < 5(у + 5),
[1,2(1 + 5у) - 0,2 < 5(1 - Зу) - Зу;
б)
15(y - 4) - 14(у - 3) < у(у - 9) - у2,
5-у	- . 2-и
Гз ’У>14 6 ;
(2y - l)(3ι∕ + 2) - 6у(у - 4) < 48,
Eξ1-⅛1-1<0.
900
у ның түбәндәге тигезсезлекләр системасын канәгатьлән¬
дерүче тискәре кыйммәтләрен табыгыз:
а)
5y-l 2у-1
6	2	’
ι-i⅞1<ft
б)	f(y + 6)(5 - у) + y(y -1) > 0,
[0,3y(10y + 20) - Зу2 + 30 > 0.
901	Поезд юлның беренче яртысын 60 км/сәг тизлек белән
үткән, ә аннан соң тизлеген арттырган. Әгәр барлык юлда
поездның уртача тизлеге 72 км/сәг тән артмаган булса,
юлның икенче яртысында поездның тизлеге күпме бу¬
лырга мөмкин?
902	Әгәр дә туристлар көненә 5 км артык үтсәләр, алар 6 көн¬
дә 90 км дан артыграк юл үтәрләр, әгәр дә көненә 5 км
кимрәк үтсәләр, 8 көн эчендә 90 км дан кимрәк юл үтәр¬
ләр иде. Туристлар бер көндә ничә километр юл үткәннәр?

§13
V бүлек
Бөтен күрсәткечле
дәрәҗә
Бетен күрсәткечле дәрәҗә
һәм аның үзлекләре
33.	Бөтен тискәре күрсәткечле
дәрәҗәнең билгеләмәсе
Белешмәләр китабында Кояшның массасы
1,985 ∙ Ю33 г га, водород атомының массасы
1,674 • Ю-24 г га тигез дигән мәгълүматларны
укырга мөмкин. Ю33 язылышы һәркайсы 10 га
тигез булган утыз өч тапкырлаучының тапкыр¬
чыгышын аңлата. Ә Ю-24 язылышының мәгъ¬
нәсе нинди?
10 санының эзлекле килгән дәрәҗәсен 0, 1, 2
һ. б. күрсәткечләр аша языйк:
10°, 101,102,103	 (1)
рәвешендәге юл барлыкка килер.
Бу юлдагы һәр сан үзеннән соң килгән саннан
10 тапкырга кечерәк. Шушы ук закон буенча (1)
юлын сулга таба дәвам итсәк, 10° саны алдына
1	_ 1 1 1 _ 1
10 ~ 1(Р санын> io саны алдыннан γθθ - γθγ ca-
нын, γθ2 саны алдына γθ3 санын һ. б. язарга
кирәк. Ул вакытта түбәндәге юлны табарбыз:
... , ⅛, ⅛, ⅛, 10°, 101, 102, Ю3, ... .	(2)
(2) юлында 10° саныннан уңда һәр дәрәҗәнең
күрсәткече аннан соң килгән дәрәҗә күрсәтке¬
ченнән 1 гә кимрәк. Бу законны 10° саныннан
сулда торган саннарга карата кулланып, алар-
ны тискәре күрсәткечле 10 санының дәрәҗәсе
12*	179
рәвешендә язарга була, γθr урынына 101 дип,
урынына Ю-2 дип, yθjr урынына Ю-3 һ. б.
язабыз:
... ,10^3, 1O 2 , 1(Γ1, 10°, ю1, ю2, ю3

1
102
ДИП
Шулай итеп, 10 1 сен yθr сен, 10 2 сен γθ2 сен,
10~3 сен γθ3 сен һ. б. ны аңлата. Мондый килешү
нульдән башка теләсә нинди нигезле дәрәҗәләр
өчен кабул ителә.
Әгәр дә a ≠ 0 Һәм п тискәре бөтен сан булса, ул
1
a^n '
ап =
Дәрәҗәнең билгеләмәсеннән файдаланып,
к-2 _ _1_ _ JL. f-.4W =	1	= -L.
Ә " 52 ” 25 ’ v ,	(-3)4 81 ’
икәнен табабыз.
п тискәре бөтен сан булганда (п = 0 булгандагы кебек), 0"
аңлатмасының мәгънәсе булмый.
п натураль сан булганда, әлеге аңлатманың
мәгънәсе бар һәм аның кыйммәте нульгә тигез.
Башта тикшерелгән мисалга кайтыйк. Без хә¬
зер водород атомы массасын күрсәткән 1,674 ∙ Ю-24 г
язылышының нәрсә аңлатканын беләбез:
1,674 • Ю24 г = 1,674 1 ⅛ г = 1,674 : Ю24 г =
= 0,000...01674 г.
24 нуль
Күнегүләр
903	Тискәре бөтен сан күрсәткечле дәрәҗәне вакланма белән
алмаштырыгыз:
а)	Ю-6; б) 9~2; в) а-1; г) х-20; д) (аһ)-3; е) (a + ft)^4.
904	Вакланманы тискәре бөтен сан күрсәткечле дәрәҗә белән
алмаштырыгыз:
а)	⅛;	6>⅜J	b>⅛^5	г)^о;	д)|.
905	a) 8, 4, 2, 1, һәм саннарын нигезе 2 булган дәрәҗә
рәвешендә күрсәтегез;
б)	i25,⅛,5 ’	5’ 25, 125 саннарын нигезе 5 булган дәрәҗә
рәвешендә күрсәтегез.
180

906
907
908
909
910
911
912
913
914
915
916
а)	8χ∙'2759’з » 1> 3, 9, 27, 81 саннарын нигезе 3 булган дә¬
рәҗә рәвешендә күрсәтегез;
б)	100, 10, 1, 0,1, 0,01, 0,001, 0,0001 саннарын нигезе
10 булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез.
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	4-2;	г)(-1)-20;	ж) (1⅜)^*5	и) 0,01 "2;
б)	(-3)Λ	д> (∣)^*s	3>(-2∣)''i	к) 1,125-1.
B)(-l>-∙i е) (-f)^3i
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	-10"4;	в) (-0,8) 2;	д)-(-2)"3;
б)	-0,2 3;	г) (0,5)5;	е) -(-3Γ2.
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	(-4)-3j	≡)(-⅜)25	Д)-М’4;
б)	2,5-1j	r)(l∣)Λ	e>-(2∣)2∙
Дәрәҗәнең кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз:
а) 9-5; б) 2,6 4;	b)(-7,1)Λ	r)(-3,9)^8.
Түбәндәгеләр дөресме:
а)	әгәр а > 0 һәм п бөтен сан булса, ап > 0 була;
б)	әгәр а < 0 һәм п тискәре җөп сан булса, ап > 0 була;
в)	а < 0 һәм п тискәре так сан булса, ап < 0 була?
Әгәр дә
а)	х - -7; р = -2;	в) х = 2, р = -6;
б)	x = 8, р =1;	r)x = -9, р = 0
булса, хр аңлатманың кыйммәтен табыгыз.
Әгәр дә
а)	х =-1, р =-2;	в)х = 2, р = —1;
б)	х = 0,5, р — -2;	г) х = 0,5, р = -5
булса, -xp аңлатма нинди кыйммәт кабул итә?
Әгәр дә
a)x=θ,n = -2j	6)x=-l,5, п = 3
булса, х" һәм x~n аңлатмаларының кыйммәтен табыгыз.
Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	8 ∙ 4-3;	г) 10• 5) ; ж) 0,5^2 +	;
б)	-2 ∙ Ю5;	д) Ә'2 + 4-1; з) 0,3° + 0,l4.
в)	18 ∙ (-9)1; е) 2~3 - (-2)‘4;
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	6 ∙ 121; в) 61 - 3“2;
б)	-4∙8-2j	г) l,30-l,3"4
Д>12 -(!)“;
е) 25 + 0,1-2.
181

917	Аңлатманы тискәре күрсәткечле дәрәҗәне эченә алмаган
вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)	Зх~5;	в) 5аЬ~7;	д) x~1c^3∙,	ж) 2(х + г/)-4;
б)	х~4у;	г) 5(аЬ) 7;	е) -9yz^8∙,	з) 10x^1(x - y)~3.
918	Тискәре күрсәткечтән файдаланып, вакланманы тапкыр¬
чыгыш рәвешендә күрсәтегез:
, _3_.	4 2a8 . x _1_.	. ,λ 2α .
а)	b2 ’	β' с5 ’	Д x2y3 9	5κ) (а—2)2 ’
fi4 х. sL. 4a (β+⅜)2.	(c+⅛)8
б)	У ’	г) 7fe3 ’	е) b4c4 ’	3> 2(a-b)4 •
919	Аңлатманы вакланма рәвешендә күрсәтегез:
а)	а~2 + Ь~2;	в) (a + ir1)(α^^1 - &);
б)	xy~1 + xj/-2;	г) (х -2j∕~1Xx^1 + 2у).
920	Аңлатманы вакланмага әйләндерегез:
a) (α^1 + b^1Xa + b)~1∙, б) (a - b)2(<Γ2 - b2).
Кабатлау ечен күнегүләр
921	8,175; 0,4361 һәм 52,25 вакланмаларының һәркайсын
унынчы өлешләргә кадәр түгәрәкләгез. Абсолют хатаны
табыгыз.
922	Турист, велосипедта шоссе юлдан 28 км, таш җәелмәгән
юлдан 25 км юл үтеп, барысына 3 сәг 36 мин вакыт
сарыф иткән. Әгәр туристның тизлеге шоссе юлда, таш
җәелмәгән юлдагыга караганда, 1,4 тапкыр зуррак булса,
ул таш җәелмәгән юлдан нинди тизлек белән барган?
923	Тигезсезлекне чишегез:
а)	(2x - iχ2x + 1) - 4х(х + 6) < х - 6;
б)	(6x - I)2 - 12x(5 + Зх) < 8,2.
924	у = -5х- 10,15 функциясе кайсы аралыкта тискәре кыйм¬
мәтләр ала?
34.	Бөтен күрсәткечле дәрәҗәнең үзлекләре
Сезгә билгеле булган натураль күрсәткечле дәрәҗә
үзлекләре теләсә нинди бөтен күрсәткечле дәрә¬
җәләр өчен дә дөрес (бары тик дәрәҗәнең нигезе
нульгә тигез булмаган сан дип уйларга кирәк).
Теләсә нинди a ≠ 0 һәм теләсә нинди бөтен т һәм п өчен
am∙an = am + n,	(1)
am: an = am~n,	(2)
(am)n = amn∙,	(3)
теләсә нинди a ≠ 0, b ≠ 0 һәм теләсә нинди бөтен п өчен
(ab)n = anbn,
(л)п = я!
\ь) bn •
(4)
(5)
182

Бу үзлекләрне тискәре бөтен күрсәткечле
дәрәҗә билгеләмәсенә һәм натураль күрсәткечле
дәрәҗә үзлекләренә таянып исбат итәргә мөмкин.
Мәсәлән, (1) үзлегенең (дәрәҗәнең төп үзлеге)
дөреслеген дәрәҗә күрсәткечләре тискәре бөтен
саннар булган очрак өчен исбатлыйк. Икенче
төрле әйткәндә,
a~k ∙ a~p = a~k~p икәнен исбатлыйк (биредә
a≠0, k һәм р — натураль саннар).
Табабыз:
α^* ∙ a^p = -⅛-
а*
_1_ = 1 = _1 — a-(*+p) = a~k~p
ap ak∙ap afl+p
a k һәм a p дәрәҗәләрен -⅛- һәм -L вакланма-
а" ар
лары белән һәм вакланмасын α^*bp> дәрәҗә¬
се белән алмаштырганда, без тискәре бөтен күр¬
сәткечле дәрәҗәнең билгеләмәсеннән файдалан¬
дык. Ә akap тапкырчыгышын a*+p дәрәҗәсе белән
алмаштырганда, натураль күрсәткечле дәрәҗә¬
нең төп үзлегеннән файдаландык.
Дәрәҗәләрнең үзлекләреннән бөтен күрсәт¬
кечле дәрәҗәләр белән гамәлләрнең натураль
күрсәткечле дәрәҗәләр белән гамәлләр кагыйдә¬
ләре буенча башкарылуы килеп чыга.
1	нче мисал а~17 • а21 тапкырчыгышының рәвешен үзгәртик.
►	Нигезләре бертөрле булган дәрәҗәләрне тапкыр¬
лаганда, шул ук нигезне калдырып, дәрәҗә күр¬
сәткечләрен кушалар. Шулай булгач,
a-17∙a21 = a-17 + 21 = a4. <1
2	нче мисал b2 : b5 өлешенең рәвешен үзгәртик.
►	Нигезләре бертөрле булган дәрәҗәләрне бүлгәндә,
нигезнең үзен калдырып, бүленүченең дәрәҗә
күрсәткеченнән бүлүченең дәрәҗә күрсәткечен
алалар.
Табабыз:	i
b2 : b5 = b25 = b~3. <1
Нйтураль күрсәткечле дәрәҗәләр өчен нигез¬
ләре бертөрле булган дәрәҗәләрне бүлү кагыйдә¬
сен без бүленүченең дәрәҗә күрсәткече бүлүче¬
нең дәрәҗә күрсәткеченнән кечкенә булмаган
очрак өчен куллана алдык. Хәзер, бөтен күрсәт¬
кечле дәрәҗәләрне өйрәнгәннән соң, бу чикләү
бетә: бүленүченең һәм бүлүченең дәрәҗә күрсәт¬
кечләре теләсә нинди бөтен сан булырга мөмкин.
183

3 иче мисал (2a3b 5) 2 аңлатмасын гадиләштерик.
£> Тапкырчыгышны дәрәҗәгә күтәргәндә, һәр тап¬
кырлаучыны әлеге дәрәҗәгә күтәреп, нәтиҗәлә¬
рен тапкырлыйлар. Дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәргән
вакытта, нигезнең үзен калдырып, күрсәткечлә¬
рен тапкырлыйлар. Язабыз:
(2α⅛-5)~2 = 22 ∙ (a3)’2 ∙ (fe5)2 = ∣ <Γβb10. <
Күнегүләр
925	Аңлатманың	кыйммәтен	табыгыз:
"	а) З-4 • 3«;	г)	21° : 212;
б)	24 ∙ 2-3;	д)	5~3 : 5~3;
в)	Ю8 • 10	б	•	10“®;	е)	3~4 : 3;
926	Исәпләп чыгарыгыз:
а) 5^lδ ∙ 518;	в) 4’8 : 4’9;
ж)	(2-4)-1;
з)	(52)^2 ∙ 53;
и)	3^4 • (З-2)’4.
Д) (2-2)-3;
е) (0,l^3Γ1.
927	Капма-каршы күрсәткечле нульгә тигез булмаган теләсә
нинди санның дәрәҗәләре үзара кире икәнен исбатлагыз.
928	Теләсә нинди бөтен п өчен = икәнен исбатлагыз,
a≠0 һәм b≠0.
929	Исәпләп чыгарыгыз:
а) (|) 3;	в) 0,01-2;	д) 0,∞21j
β'(t∏	r>(1f∏	β>(^1⅜Γ∙
930	Әгәр а һәм b — уңай саннар һәм a > b булса, a 1 < b 1 икә¬
нен исбатлагыз.
931	Аңлатманы нигезе 3 булган дәрәҗә рәвешенә китерегез
һәм аның кыйммәтен табыгыз.
а) 27 • З 4; б) (31)5 ∙ 812; в) 9~2 : З-8; г) 813 : (9~2Γ3.
932	Аңлатманы нигезе 2 булган дәрәҗә рәвешенә китерегез
һәм аның кыйммәтен табыгыз:
а) ⅛ ∙ 210; б) 32 ∙ (2"4)2∙, в) 81 ∙ 43; г) 4δ ∙ 16^2.
933	Аңлатманы нигезе 5 булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез
(аңлатмада т — бөтен сан):
а) 5m ∙ 5m + 1 • 51-т; б) (5m)2 • (5-3)т; в) 625 : 54m-2.
184

934	Исәпләп чыгарыгыз:
а)	8^^2 ∙ 43;	г) 125"4 : 25~5;	ж) ;
б)	94,∙2751	A><⅞⅛μ	3)5^.
в)	10»: 10-≡i	e)ii⅛ii
935	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз:
а)	125^1 • 252;	в) (62)β: 614;	д)	.
zq-2∖3.q4
б)	I63 • 4«;	г) 12°: (121)2;	е) k⅛" •
936	х-10 аңлатмасын нинди дә булса өч ысул белән дәрәҗәләр¬
нең тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез.
937	а12 аңлатмасын (биредә a ≠ 0):
a)	a4 нигезе булган; б) α~β нигезе булган
дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез.
938	Нигезе х булган дәрәҗә рәвешендә күрсәтегез:
а)	х10: х12;
б)	х°: х"5;
в)	xn~1: х-3, биредә п — бөтен сан;
г)	xβ: xn + 2, биредә п — бөтен сан.
939	Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	l,5a∂ 3 ∙ 6a~2 • Ь; г) 3,2x^1y^5 • ху;
б)	4∏Γ2 n4 ∙ 8m3n^2j д) 2₽-1 ’ 9~3 * qP29~5'>
в)	0,6c2d4 • | c~2d~4t	е) 3 J a5tr18 ∙ 0,6a1b20.
940	а) a = -0,125, Ь = 8 булганда, 0,2a-2 b4 ∙ 5a3b~3∙,
б) а = |, b = ⅛ булганда, a~1b~5 ∙ 81a2fe4
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
941	Аңлатманы гадиләштерегез һәм
а)	х = -0,2, у = 0,7 булганда, l,6x-1j∕12 ∙ 5x3ι∕^π5
б)	х =127, = д булганда, θ x~3y3 ∙ 30x3y^4
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
942	Дәрәҗәне тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	(a-1b-1)-2j	в) (O,5a^⅜6)^125	д) (-3P^292) ;
б)	(x3y-1)2j	г) (-2m6n"3)25	е) (-0,5χ-≡y4)3.
185

943
944
94δ
946
947
948
949
950
Тапкырчыгыш рәвешендә күрсәтегез:
а)	(6α-⅛Γ15	B)(∣p4⅛)^1j
б)	(∣a-⅛-3) 2;	г) (-0,3x5t∕4)2.
Аңлатманы тапкырчыгышның дәрәҗәсе рәвешендә күр¬
сәтегез:
а)	0,0001х~4;	в) 0,0081a8b^12!
б)	32j∕^5j	г) 10nx^2n<∕3n, биредә п — бетен сан.
Аңлатманы гадиләштерегез:
.	12x~8	У	.	5x~1y3	9Х«
y^6	36xβ ’	в>	3	у~2 ;
„	63a2	18⅛2	.	16p ⅛2	25р8
2b6	7a ;	r,	5	64g^8	‘
Аңлатманың рәвешен үзгәртегез:
к	13x^2	У12	V	Р	15с
a,	у 39x^8 ’	в)	3c^2	р 2 ’
-4	5a8	7⅛~3	.	26х17	У
0>	b~1 ’	25a ’	г>	y~8	13x2β	,
Аңлатманы гадиләштерегез:
( _я ∖~3	∕	,	∖^2
а) (0,25χ-V3)2' (j⅛r) !	≡) (1⅛⅛2) (5a3bc2)^2J
Аңлатманың рәвешен үзгәртегез:
z _ ∖-2	-β
а) [jj⅛J 12ху5;	в) (2a ⅛3)2 ∙ ⅛) ;
б) 4a7b^1 . (у) *;
г)	φ)^, ■ (χ-⅛)∙.
Кабатлау өчен күнегүләр
Миллиметрлы бүлемтекле линейка ярдәмендә кисемтә
озынлыкларының якынча кыйммәтләре сантиметрларда
күрсәтелә. Әгәр а) AB ≈ 7,2; б) MN ≈ 0,2 булса, якынча
кыйммәтнең абсолют һәм чагыштырма хатасын бәяләгез.
9 км озынлыгындагы сукмак буенча тауга менү һәм шул
ук сукмак буенча таудан кире төшү өчен туристларга 5 сәг
вакыт кирәк булды. Кире кайтканда туристларның тиз¬
леге 1,5 тапкыр артыграк булуы билгеле. Алар тауга
нинди тизлек белән күтәрелгәннәр?
18β

951	а ның түбәндәге аңлатманы:
a) 2q~i 2 гә тигез; б) 2 гә тигез итә торган кыйм¬
мәте бармы?
952	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
а)
2х_х-1 ъ 1
•5	3	’
3,6x < 1 + 2,6х;
Зх+1 2-6х
,	2	5
<0,
4,2x <2,2x + 5.
953	Аңлатманың кыйммәтен нуль белән чагыштырыгыз:
a) 4½
О
6> √70-2√8 •
35.	Санның стандарт рәвеше
Фән һәм техникада бик зур уңай саннар оч¬
раган кебек, бик кечкенә уңай саннар да очрый.
Мәсәлән, Җирнең күләме шактый зур сан —
1 083 000 000 000 км3 белән, ә су молекуласының
диаметры шактый кечкенә сан 0,0000000003 м
белән аңлатыла.
Гадәттәге унарлы рәвешләрендә зур һәм кеч¬
кенә саннарны укуы һәм язуы җайсыз, алар
белән нинди дә булса гамәл башкару да кыен.
Мондый очракта санны a ∙ 10n рәвешендә күрсәтү
җайлы. Мәсәлән,
125 000 = 0,125 • 10е; 0,0031 = 3,1 • Ю-3;
0,237 = 23,7 ∙ 10^2.
1 083 000 000 000 һәм 0,0000000003 саннарын
берәмлек һәм ун арасында торган сан белән 10
санының дәрәҗәсе тапкырчыгышы рәвешендә
күрсәтәбез:
1 083 000 000 000 = 1,083 • Ю12;
0,0000000003 = 3 • Ю10.
Боларны 1 083 000 000 000 һәм 0,0000000003
саннарының стандарт рәвештә язылышы, ди¬
ләр. Теләсә нинди уңай санны мондый рәвештә
язарга мөмкин.
Z*∖ 2α санының a ■ 10 рәвешендәге язылышын о санының
~,∕ стандарт рәвеше дип атыйлар, биредә 1 ≤a< 10 һәм п —
4zV бөтен сан. п саны a санының тәртибе дип атала.
18g

1 нче мисал
2 вче мвсал
3 вче мвсал
Мәсәлән, Җирнең күләмен куб километрларда
аңлата торган санның тәртибе 12 гә, ә су моле¬
куласы диаметрын метрлар белән аңлата торган
санның тәртибе -10 га тигез.
Санның тәртибе бу санны күзалларга мөмкин¬
лек бирә. Мәсәлән, әгәр дә а санының тәртибе
3 кә тигез булса, бу 1000 ≤ a < 10 000 икәнен аң¬
лата. Әгәр а санының тәртибе -2 гә тигез булса,
0,01 ≤a< 0,1 дигән сүз. Санның тәртибе уңай
зур сан булса, бу аның бик зур икәнен күрсәтә.
Модуле буенча зур булган тискәре тәртип саны
санның бик кечкенә икәнен күрсәтә.
а = 4 350 000 санын стандарт рәвештә күрсәтик.
а санында өтерне бөтен өлешендә кыйммәтле бер
цифр булырлык итеп куябыз. Нәтиҗәдә 4,35 са¬
ны табылыр. Уңнан 6 цифрны өтер белән аерып,
без х санын 10β тапкыр кечерәйттек. Шуңа күрә
а саны 4,35 саныннан Ю6 тапкыр зуррак. Моннан
а = 4,35 ∙ 10β. <1
α = 0,000508 санын стандарт рәвештә языйк.
а санында өтерне бөтен өлештә кыйммәтле бер
цифр булырлык итеп күчерәбез. Нәтиҗәдә 5,08
саны табылыр. Өтерне 4 тамгага уңга күчереп,
без а санын 104 тапкыр зурайттык. Шуңа күрә а
саны 5,08 саныннан 104 тапкыр кимрәк. Моннан
а = 5,08 : Ю4 = 5,08 ∙ jJr = 5,08 ∙ 10^4. <
1,701 ∙ 10^3 сен 3,78 ∙ 10^2 сенә бүләбез:
Табабыз:
(1,701 ∙ 103): (3,78 ∙ 102) = ⅜⅛⅞⅛.
О, < О1V
Вакланманың санаучысын һәм ваклаучысын
102 сенә тапкырлап һәм 1,701 не 3,78 гә бүлеп
табабыз:
l,701103
3,78∙10^2
= 0,45 • Ю5 = 4,5 • Ю4. <1
Күнегүләр
964 Стандарт рәвештә бирелгән санның тәртибен әйтегез:
а)	1,2 ∙ Ю9;	в) 2,7 • Ю-8;	д) 4,42 • Ю5;
б)	3,6 • Ю3;	г) 6,3 • Ю"1;	е) 9,28 ∙ 10 4.
188

955
95lE
958
959
960
961
962
963
964
965
966
967
Санны стандарт рәвештә языгыз:
а)	52 000 000;	в) 675 000 000;	д) 0,00281;
б)	2180 000;	г) 40,44;	е) 0,0000035.
Стандарт рәвештә языгыз:
а) 45 • 103; б) 117 ∙ 105; в) 0,74 • 10е; г) 0,06 ∙ 10δ.
Санны стандарт
а)	1 024 000;
б)	6 000 000;
в)	21,56;
г)	0,85;
рәвештә күрсәтегез:
д)	0,000004;
е)	0,000282;
ж)	508 ∙ IO7;
з)	0,042 ∙ 102.
Җирнең массасы 6 000 000 000 000 000 000 000 т, ә водо¬
род атомының массасы 0,000 000 000 000 000 000 0017 г.
Җирнең массасын һәм водород атомының массасын стан¬
дарт рәвештә языгыз.
а)	3,8 ■ Ю3 т ны граммнарда;
б)	1,7 ∙ 10^4 км ны сантиметрларда;
в)	8,62 ∙ 10^1 кг ны тонналарда;
г)	5,24 ∙ Ю5 см ны метрларда күрсәтегез.
а)	2,85 ∙ Ю8 см ны километрларда;
б)	4,6 ∙ 10^2 м ны миллиметрларда;
в)	6,75 • Ю15 г ны тонналарда;
г)	1,9 ∙ 10^2 т ны килограммнарда күрсәтегез.
Тапкырлагыз:
a) (3,25 ∙ 102) • (1,4 • Ю3); б) (4,4 ∙ 10^3) • (5,2 ∙ 104).
Бүлү гамәлен башкарыгыз:
a) (9,9 ∙ 102) : (1,2 • Ю1); б) (1,23 ∙ 10^3) : (4,8 • 10^2).
Гамәлне башкарыгыз: j ∣
a) (2,5 ∙ 10^3) • (8,4 • Ю4); б) (3,6 ∙ 105) : (2,4 ∙ 102).
Яктылык 2,8 • 10е с та күпме юл үтәр (яктылык тизлеге
3 ∙ 105 км/с ка тигез)?
Җирнең массасы 5,98 * Ю24 кг, ә Марсның массасы
6,4 * Ю23 кг. Кайсы зуррак: Җирнең массасымы әллә
Марсның массасымы? Ничә тапкыр зуррак?
Юпитерның массасы 1,90* Ю27 кг, ә Венераның массасы
4,87 ■ Ю24 кг. Кайсы кечерәк: Юпитерның массасымы
әллә Венера массасымы, ничә тапкыр кечерәк?
Тимернең тыгызлыгы 7,8 • Ю3 кг/м3. Буе 1,2 м, иңе
6 * Ю-1 м һәм калынлыгы 2,5 ■ 10^1 м булган тимер плита¬
ның массасын табыгыз.
189

Кабатлау өчен күнегүләр
968 Поездны 15 мин туктатып торалар. Станциягә вакытында
килеп җитү өчен, калган 120 км юлны ул расписаниедә
каралган тизлектән 1,2 тапкыр зуррак тизлек белән үтә.
Поезд әлеге 120 км араны нинди тизлек белән үткән?
969
970
971
Әгәр дә
а)	х = 5,5, у = 0,84;
б)	х = -0,6, у = -3,2 булса,
l,5x^3y2 ∙ 6,2x4y~1 аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
Тигезсезлекне чишегез:
4y4
27x5
-2
а)	2(gχ-l) + χ>l-∣(l-l<te)i
б)	2(3p-l)-∣(4y + l)<∣(y-3) + l.
972 х ның нинди кыйммәтләре өчен , \ аңлатмасының
- о	√x+√x-l
мәгънәсе бар?
Контроль сораулар
>*W¾lWJ∣W∣>j∣Pl<l,≡l∣l∣∣HIJIIIM иш .
1	Тискәре бөтен күрсәткечле дәрәҗәнең билгеләмәсен әйте¬
гез.
2	Бердәй нигезле, бөтен күрсәткечле дәрәҗәләрнең тапкыр¬
чыгышы һәм өлеше билгеләмәсен әйтегез.
3	Дәрәҗәне дәрәҗәгә ничек күтәрергә?
4	Тапкырчыгышны һәм өлешне дәрәҗәгә ничек күтәрергә?
5	Санның нинди язмасын аның стандарт рәвеше дип атый¬
лар?
6	Санны стандарт рәвештә ничек күрсәтеп була, мисал ките¬
регез.
§ 14. Якынча исәпләүләр
36.	Якынча кыйммәтләрнең язылышы
Гадәттә якынча кыйммәтләрне якынлашу төгәл¬
леге турында фикер йөртергә мөмкин булырлык
итеп язалар. Саннарның якынча кыйммәтләре
язмасының кайбер ысулларын тикшерик.
Мәсәлән, обой төргәгенә аның озынлыгы
18 ± 0,3 м га тигез дип языла. Бу язмадан күрен¬
гәнчә, төргәкнең озынлыгы 0,3 м га кадәр төгәл¬
лек белән 18 м га тигез, ягъни I озынлыгының
190

төгәл кыйммәте (м ларда) 18 гә тигез якынча
кыйммәттән 0,3 тән артыкка аерылмаска тиеш.
18 - 0,3 ≤ Z ≤ 18 + 0,3,
17,7 <1< 18,3.
Математик таблицаларда һәм белешмәләрдә
якынча кыйммәтләрне язганда аны соңгы разряд¬
ның бер берәмлегеннән артмаслык итеп язалар.
Мондый очракларда сан дөрес цифрлар белән
язылган дип әйтәләр.
Абсолют хатасы берәмлектән артмаган теләсә ниңди разрядның
цифрын якынча кыйммәтнең дөрес цифры дип атыйлар.
Мәсәлән, матдәләр тыгызлыгы таблицасында кис¬
лород тыгызлыгының якынча кыйммәте р (кг/м3 да)
1,429 га тигез дип бирелгән. 1,429 язмасында
барлык цифрлар да дөрес. Соңгы цифр меңнәр
разрядында язылган. Димәк, абсолют хата 0,001 дән
кечкенә яки аңа тигез була, ягъни
р = 1,429 ±0,001.
Техник әдәбиятта һәм төрле белешмәләрдә
якынча кыйммәтләр язылышын стандарт рәвеш¬
тә, ягъни a ∙ 10n рәвешендә, биредә 1 ≤ a < 10 һәм
п — бөтен сан, очратырга мөмкин. Бу очракта a
тапкырлаучысы язылышында, гадәттә, бары тик
дөрес цифрлар гына була. Мондый язылыш буен¬
ча якынлашу кыйммәтенең абсолют хатасын җи¬
ңел бәяләргә мөмкин.
Мисал Белешмәдә Айның массасы 7,35 ∙ Ю22 кг га ти¬
гез дип күрсәтелгән. Ай массасының якынча
кыйммәтенең абсолют хатасын бәялик.
► Ай массасын (кг нарда) х хәрефе белән тамга¬
лыйк. 7,35 тапкырлаучысында барлык цифрлар
да дөрес һәм соңгысы йөзенче разряд цифры бул¬
ганлыктан,
х = (7,35 ± 0,01) • Ю22 була.
Җәяләрне ачканнан соң,
х = 7,35 • Ю22 ± 0,01 ■ Ю22,
х = 7,35 • Ю22 ± Ю20.
Соңгы язылыш х ның якынча кыйммәтенең
абсолют хатасы Ю20 нән кимрәк яки аңа тигез
дигәнне аңлата.
Әгәр сан a ∙ 10n стандарт рәвешендә язылып,
а тапкырлаучысында барлык цифрлар да дөрес
191

булса, мондый язма шулай ук чагыштырма хата¬
ны да җиңел бәяләргә мөмкинлек бирә.
Мисалга кайтыйк, х ≈ 7,35 ∙ 1022 якынча
кыйммәтенең чагыштырма хатасын бәялик.
Без тикшерелә торган якынлашуның абсолют
хатасы Ю20 нән кимрәк яки аңа тигез икәнен
күрсәттек. Димәк, аның чагыштырма хатасы
Ю20 =
7,351022	735 100
дән артмый.
7,35 тапкырлаучысы язылышында чагыштыр¬
ма хата соңгы разряд берәмлегеннән кимрәк икә¬
нен күрәбез.
Гомумән,
әгәр х ≈ a ∙ 10n (биредә 1 ≤ a ≤ 10) һәм а тапкырлаучысы
дөрес цифрлар белән язылган булса, ул вакытта якынча
кыйммәтнең чагыштырма хатасы әлеге цифрлардан иң
соңгысы язылган разряд берәмлегеннән артык булмавын
күрсәтә алабыз.
Якынча кыйммәтләр язылышында a ∙ 103,
a ∙ 10β, a ∙ 109 урынына еш кына тиңдәшле рәвеш¬
тә а мең, а млн., а млрд, дип язалар. Мондый
язылышларда а тапкырлаучысы 1 дән 10 га ка¬
дәр булган ара чикләреннән чыгарга мөмкин.
Мәсәлән, Җирдән Кояшка кадәр ераклык якынча
149,6	млн. км га тигез.
Күнегүләр
973 Язылышның мәгънәсен аңлатыгыз:
а)	т = 4,96 ± 0,08; в) у = 6482 ± 35;
б)	х = 0,379 ± 0,021; г) п = 89 000 ± 3000.
874 а) у = 73±1;	в) у = 6,5±0,1;
б)	у = 3,9 ± 0,2;	г) у ≈ 20,48 ± 0,15
булса, у саны нинди чикләр арасында урнашкан?
975	Яктылыкның бушлыктагы тизлеге (м/с да) 299 792 458 ± 1,2 га
тигез, с саны нинди чикләр арасында урнашкан?
976	Барлык цифрлары да дөрес булган якынча кыйммәтнең
абсолют хатасын бәяләгез:
а)	47,62;	в) 4,3725;	д) 62;	ж) 8,4;
б)	13,5;	г) 0,00681;	е) 250;	з) 8,400.
977	х ның дөрес цифрлар белән язылган якынча кыйммәтенең
төгәллеген күрсәтегез:
а)	х ≈ 3,34;	в) х ≈ 0,073; д) х ≈ 0,02;
б)	х ≈ 162,3;	г) х ≈ 1680;	е) х ≈ 0,020.
192

978	Әгәр дә а тапкырлаучысында барлык цифрлары дөрес
булса, a ∙ 10n рәвешендә язылган х ның якынча кыйммә¬
тенең абсолют хатасын бәяләгез:
а) х ≈ 4,8 • Ю4; б) х ≈ 2,164 ∙ 106.
979	Әгәр а тапкырлаучысында барлык цифрлар дөрес булса,
a ■ 10n рәвешендә язылган у ның якынча кыйммәтенең
чагыштырма хатасын бәяләгез:
а)	j∕ ≈ 1,27 • Ю3;	г) у ≈ 2,3162 • Ю4;
б)	ι∕ ≈ 1,27 • 10“8;	д) у ≈ 0,006 ∙ Ю2;
в)	у ≈ 1,490 • Ю5;	е) у ≈ 7,5 • 10°.
980	Әгәр дә р (г/см3 ларда)
а)	p≈2,6∙102j	в) р ≈ 5,20 ∙ 103;	д) р « 1,7 • Ю"2;
б)	p≈9,12∙10j	r)p≈6,0∙102!	e)p≈5∙10-3Hθ
тигез булса, тыгызлык р ның белешмәләр китабыннан алынган
якынча кыйммәтенең чагыштырма хатасын бәяләгез.
981	Белешмәләр китабында күрсәтелгәнчә, Кояшның массасы
һәм Җирнең массасы (кг нарда) тиңдәшле рәвештә
1,990 • Ю30 һәм 5,976 ∙ Ю24 нә тигез. Әлеге якынча кыйм¬
мәтләрнең абсолют хатасын бәяләгез.
982	Электронның массасы 0,91 ∙ Ю-27 кг га тигез. 0,91 санын¬
да барлык цифрлар да дөрес. 0,91 ∙ Ю-27 якынча кыйммә¬
тенең чагыштырма төгәллеген күрсәтегез.
Кабатлау өчен күнегүләр
/
983	Санны стандарт рәвештә күрсәтегез:
а)	376 000; в) 0,000085;
б)	12 000 000; г) 0,00169.
984	Гамәлне башкарыгыз:
a) (3,14 ∙ 103) • (2,1 • Ю5); б) (1,96 ∙ 102): (2,45 • Ю"3).
985	Системаны чишегез:
∫0,2(4 - 5х) + 0,5х < 2х - 0,5(4 - Зх),
[1,5(3 - 2х) + 0,5 > 12 - 0,1(10 - 5х).
986	√6(√3-√6)-(√2 + 1)2 аңлатмасын гадиләштерегез.
987	а ның теләсә нинди кыйммәте өчен а2 > 14а - 50 тигезсез¬
легенең дөрес икәнен исбатлагыз.
37.	Якынча кыйммәтләр белән гамәлләр
Якынча бирелгәннәрне исәпләү эшләре практик
мәсьәләләрдә даими файдаланыла, бу очракта
исәпләп чыгарылган нәтиҗәләрне гадәттә түгәрәк¬
лиләр. Язылышында барлык цифрлары да дөрес
булган якынча кыйммәтләрне кушканда, алганда,
тапкырлаганда һәм бүлгәндә бу түгәрәкләшләр¬
нең ничек башкарылуын тикшерик.
13 К 6/123
193

Мисалдан башлыйк. Әгәр дә
0,01 гә кадәр төгәллек белән х ≈ 7,63,
0,1 гә кадәр төгәллек белән y≈ 9,2
булуы билгеле булса, х + у суммасының якынча
кыйммәтен табыйк.
7,63	һәм 9,2 якынча кыйммәтләрен кушабыз:
7,63	+ 9,2 = 16,83.
16,83 якынча кыйммәтенең төгәллеген билге¬
либез:
7,63	- 0,01 < х ≤ 7,63 + 0,01,
9,2	- 0,1 ≤ ι∕ ≤ 9,2 + 0,1,
16,83 - 0,11 < х + у < 16,83 + 0,11.
Шуның өчен 0,11 гә кадәр төгәллек белән x + y≈
≈ 16,83.
Күргәнебезчә, абсолют хата унынчы өлеш раз¬
рядының бер берәмлегеннән аз гына зуррак була.
Шул сәбәпле 16,83 кыйммәтендә унынчы өлеш
цифрын саклау яхшырак. Абсолют хата йөздән
11 гә кадәр була ала, шуңа күрә йөзенче өлеш
цифрын исәпкә алмасак та ярый. Димәк, нәти¬
җәне унынчы өлешләргә кадәр (төгәллеге азрак
булган 9,2 бирелгәненә тиңдәш) түгәрәкләү мак¬
сатка ярашлы. Ул вакытта
х + у ≈ 16,8.
Сумманың якынча кыйммәтен тапканда, без
якынча кыйммәтләрне куштык һәм табылган нә¬
тиҗәне төгәллеге азрак булган кушылучы буенча
түгәрәкләдек. Кушу һәм алуның барлык очрак¬
ларында да шулай эшлиләр: якынча кыйммәт¬
ләрнең суммасын яки аермасын табалар һәм нә¬
тиҗәне төгәллеге кимрәк булган бирелгән буенча
(абсолют төгәллек күздә тотыла) түгәрәклиләр, ягъни
төгәллеге кимрәк булган бирелгәндә ничә урын булса,
нәтиҗәдә өтердән соң шулкадәр урын калдыралар,
иче мисал x≈ 17,2 һәм y≈ 8,407 булсын, х һәм у суммасы¬
ның якынча кыйммәтен табыйк:
АЛЕКСЕЙ НИКОЛАЕВИЧ КРЫЛОВ
(1863—1945)
— рус корабль төзүчесе, математик Һәм меха¬
ник, академик. Корабль теориясе буенча күп
кенә төп хезмәтләрнең авторы, беренче рус
линкорларын проектлаштырганда һәм төзүдә
катнашучы. Якынча исәпләүләр теориясенә
җитди өлеш керткән.
194

►	х + у ≈ 25,607.
17,2	һәм 8,407 бирелгән якынча кыйммәт¬
ләрдән беренчесенең төгәллеге кимрәк. Нәтиҗә¬
не беренче бирелгән буенча, ягъни унынчы өлеш¬
ләргә кадәр түгәрәкләп табабыз:
х + у ≈ 25,6. <1
2	иче мисал x≈ 6,784 һәм у ≈ 4,91 булсын, х һәм {/аермасы¬
ның якынча кыйммәтен табыйк:
►	х -у ≈ 1,874.
6,784 һәм 4,91 бирелгән якынча кыйммәт¬
ләрдән икенчесенең төгәллеге кимрәк. Нәтиҗәне
икенче бирелгән буенча, ягъни йөзенче өлешләргә
кадәр түгәрәкләп табабыз:
х-у = 1,87. <1
Якынча кыйммәтләрне тапкырлаганда һәм
бүлгәндә берникадәр башкачарак эшлиләр. Бире¬
дә түгәрәкләү бирелгәннәрнең чагыштырма тө¬
гәллекләрен исәпкә алып башкарыла. Бу очракта
якынча кыйммәтләрнең тапкырчыгышын яки
1 өлешен табып, нәтиҗәне төгәллеге кимрәк булган
бирелгән буенча (чагыштырма төгәллек күздә
тотыла) түгәрәклиләр. Моның өчен башта бирел¬
гәннәрне һәм табылган нәтиҗәне a ∙ 10n стандарт
рәвештә язалар, һәм нәтиҗәдәге а тапкырлаучы¬
сын төгәллеге кимрәк булган бирелгәндәге тиң¬
дәш тапкырлаучыда өтердән соң ничә урын
булса, шулкадәр урын калдырып түгәрәклиләр.
3	иче мисал x≈0,86 һәм у ≈ 27,1 булсын, х һәм у тапкырчы¬
гышының якынча кыйммәтен табыйк.
►	0,86 һәм 27,1 не үзара тапкырлап, xy≈ 23,306 ны
табабыз.
Бирелгән саннарны һәм нәтиҗәне стандарт рә¬
вештә язабыз:
0,86 = 8,6 ∙ 10^1, 27,1 = 2,71 ∙ 101,
23,306 = 2,3306 • Ю1.
8,6	тапкырлаучысында өтердән соң бер цифр,
ә 2,71 тапкырлаучысында өтердән соң ике цифр.
2,3306 санын беренче бирелгән буенча, ягъни
унынчы өлешкә кадәр түгәрәкләп табабыз:
Xi/≈ 2,3 • Ю1 = 23. <1
4 иче мисал x≈ 563,2 һәм y≈32 булсын, х һәм у өлешенең
якынча кыйммәтен табыйк.
► 563,2 не 32 гә бүлеп табабыз:
х : y≈ 17,6.
13*
195

Бирелгән саннарны һәм нәтиҗәне стандарт
рәвештә язабыз:
563,2	= 5,632 • Ю2, 32 = 3,2 • 10,
17,6	= 1,76 - 10.
Әлеге язылыштан күренгәнчә, 1,76 санын
икенче бирелгән буенча, ягъни унынчы өлешләр¬
гә кадәр түгәрәкләргә кирәк. Табабыз:
х : у ≈ 1,8 • 10 = 18. <1
Ш Шулай итеп, якынча кыйммәтләрне кушканда, алганда,
тапкырлаганда һәм бүлгәндә нәтиҗәне төгәллеге кимрәк
⅜⅛⅛*. • булган бирелгән буенча түгәрәклиләр. Бу вакытта кушкан-
К да һәм алганда бирелгән саннарны унарлы вакланмалар
⅛ι∙-ι∙∕ рәвешендә язалар һәм төгәллеге кимрәк булган саннар
абсолют төгәллек буенча билгеләнә, ә инде тапкырлаганда
һәм бүлгәндә бирелгән саннарны стандарт рәвештә язалар
һәм төгәллеге кимрәк булган бирелгәнне чагыштырма
төгәллек буенча билгелиләр.
Саннарның якынча кыйммәтләре өстендә бер¬
ничә гамәл башкару сорала торган мисалны тик¬
шерик.
ЮВ»е мисал х ≈ 3,75, у ≈ 48,8 һәм z ≈ 0,0095 булганда, (х + у)г
аңлатмасының якынча кыйммәтен табыйк.
► Табабыз:
3,75 + 48,8 = 52,55 ≈ 52,6; 52,6 • 0,0095 =
= 0,4997 = 4,997 ∙ 10^1 ≈ 5,0 ∙ 10^1 = 0,50.
Тапкырлау нәтиҗәсен түгәрәкләгәндә 52,6 =
= 5,26 • 10; 0,0095 = 9,5 ∙ 10^3 булуы исәпкә алын¬
ган иде. Шуңа күрә 4,997 тапкырлаучысы унын¬
чы өлешләргә кадәр түгәрәкләнде. <1
Күнегүләр
988	Әгәр
" а) х ≈ 0,9071, у ≈ 6,52;	в) х ≈ 2,134, у ≈ 11,27;
б) x≈ 7,8, y≈ 4,725;	г) х ≈ 19, у ≈ 31,8
булса, х һәм у суммасының якынча кыйммәтен табыгыз.
989	Әгәр
” a) a ≈ 5,64, b ≈ 2,3415;	в) a ≈ 23,40, b ≈ 1,9165;
б) a ≈ 42,609, b ≈ 38,6;	г) a ≈ 6,385, b ≈ 0,29
булса, а һәм b аермасының якынча кыйммәтен табыгыз.
990	Әгәр
а)х = 34,12һәм у ≈ 19,6; б) х ≈ 4,1608 һәм ι∕≈l,09
булса, х + у һәм х-у ның якынча кыйммәтләрен табыгыз.
991	a≈ 26,1042, 5 = 8,98 һәм .c≈3,65 икәне билгеле. а-Ь + с
аңлатмасының якынча кыйммәтен табыгыз.
992	Әгәр х = 9,1, у ≈ 8,89 һәм z≈ 0,8517 булса, х + у - z аңлат¬
масының якынча кыйммәтен табыгыз.
196

993	Май тутырылган шешәнең массасы 1,63 кг, буш шешә¬
нең массасы 0,706 кг. Шешәдә күпме май булган?
994	Яклары якынча 3,26; 6,12; 7,50 һәм 4,325 м булган дүрт¬
почмакның периметрын табыгыз.
995	Электр чылбыры каршылыклары R1 = 5,26 Ом, R2 ≈ 3,815 Ом
һәм K3≈4,70 Ом булган бер-бер артлы тоташтырылган өч
үткәргечтән тора. Барлык чылбырный; каршылыгы R ны
R = R1 + R2 + R3 формуласы буенча исәпләгез.
996	600 м2 мәйданлы җир участогының 56,5 м2 ына йорт,
16,3 м2 ына сарай төзелгән. Төзелештән калган буш учас¬
токның мәйданын табыгыз.
997	Җирнең массасы 5,976 ∙ Ю21 т, ә Венераның массасы
4,88 • Ю21 т. Җирнең массасы Венера массасыннан ничә
тоннага артыграк?
998	Әгәр
а)	a ≈ 2,2 ∙ 103 һәм b ≈ 3,41 ■ Ю4;
б)	a≈ 1,154- Ю8 һәм b≈6,9 ∙10~5j
в)	a ≈ 8,42 ∙ 10^4 һәм b ≈ 9,81 ∙ Ю5;
г)	a ≈ 7,605 ■ 10 2 һәм b ≈ 1,8 ∙ 10^3
'булса, а һәм b тапкырчыгышының якынча кыйммәтен
табыгыз.
999	Әгәр
а)	x≈8,75∙106 һәм у ≈ 5,4 -Ю4;
б)	х ≈ 4,3 ∙ 105 һәм у ≈ 6,95 ∙ 102
булса, х һәм у өлешенең якынча кыйммәтен табыгыз.
1000	Әгәр a ≈ 8,3 ∙ 104 һәм b ≈ 3,12 ∙ 106 булса, аЬ һәм аңлат¬
маларының якынча кыйммәтләрен исәпләп чыгарыгыз.
1001	Әгәр a)p≈ 46,5 һәм g≈0,72j 6)jp≈ 0,0638 һәм g≈18,4
булса, р һәм q тапкырчыгышының якынча кыйммәтен
1002
1003
1004
1005
1006
1007
1008
исәпләп чыгарыгыз.
Әгәр а) х ≈ 18,28 һәм у = 0,54; 6)x=≈0,36 һәм y≈ 0,0238
булса, х һәм у өлешенең якынча кыйммәтен табыгыз.
Әгәр а) х = 2,05 һәм у ≈ 1,2; б) х ≈ 0,6 һәм у = 7,5 булса,
ху һәм аңлатмаларының якынча кыйммәтләрен исәп¬
ләп чыгарыгыз.
Буе 5,85 м, иңе 3,75 м булган бүлмәнең мәйданын табыгыз.
Турыпочмаклы участокның буе 254 м, иңе 194 м. Учас¬
токның мәйданы күпме?
Күзәтүче, яшен яшьнәгәннән соң 4,7 с узгач, күк күкрәвен
ишетә. Яшен күзәтүчедән нинди ераклыкта яшьнәгән (һа¬
вада яшен тизлеге якынча 332 м/с)?
Әгәр а) с ≈ 6,29 м;	б) с = 0,85 м
булса, ягы с булган квадратның периметрын табыгыз.
Турыпочмаклы мәйданчыкның мәйданы 150 м2 га, аның
буе 16,3 м га тигез. Мәйданчыкның иңен табыгыз.
197

1009	Бакыр пластинканың массасы 325 г. Бакырның тыгыз¬
лыгы 8,9 г/см3. Пластинканың күләмен табыгыз.
1010	Әгәр a≈ 15,4 см һәм b≈8,7 см булса, яклары а һәм Ь булган
турыпочмаклыкның периметрын һәм мәйданын табыгыз.
1011	Әгәр
а)	х ≈ 46,24 һәм у ≈ 25,2 булса, ху - 5у;
б)	х ≈ 10,20 һәм у ≈ 2,08 булса, ~~~
аңлатмасының якынча кыйммәтен исәпләп чыгарыгыз.
1012	Әгәр x≈3,7 булса, х2 - 2х аңлатмасының якынча кыйм¬
мәтен табыгыз.
1013	Әгәр г радиусы:
а)г = 8,3см; б) r≈ 25,1м
булса, түгәрәкнең мәйданы күпме булыр?
1014	Турыпочмаклы участокның үлчәме: 112×348 м. Бер гек¬
тардан 18 т бәрәңге алу планлаштырыла. Әлеге участоктан
күпме бәрәңге алу күздә тотылган?
Кабатлау ечен күнегүләр
1015	Аңлатманың кыйммәтен табыгыз!
а)	х = -3,1 булганда, (x2 - 9)(~<j -1) нең;
б)	a = -10,1 Ь = 12,2 булганда, ’ G⅛ - ⅛⅛) НЫЧ-
1016	(√35 - 6)(√35 + 6) - (√2 - √3)2 аңлатмасының кыйммәтен
нуль белән чагыштырыгыз.
1017	3V2 + л/20 һәм 2>∕7 + 2λ∕δ аңлатмаларының кыйммәтлә¬
рен чагыштырыгыз.
1018	Моторлы көймә, елга агымы буенча 44 км һәм агымга
каршы 36 км үтеп, барлык юлда 4 сәг вакыт булды. Әгәр
елга агымының тизлеге 2 км/сәг булса, көймәнең үз
тизлеген табыгыз.
38.	Якынча бирелгәннәрне калькуляторда исәпләү
Калькуляторда якынча бирелгәннәр белән гамәл¬
ләр төгәл бирелгәннәрдәге кебек башкарыла. Бу
вакытта табылган нәтиҗәләрне безгә билгеле
булган кагыйдә буенча түгәрәклиләр.
ι нче мисал Әгәр x≈ 613,97 һәм у ≈ 89,716 булса, х + у сум¬
масын табыйк.
► Кушуны башкарып, 703, 686 ны табабыз. Әлеге
нәтиҗәне беренче кушылучы буенча түгәрәкләп
табабыз:
613,97 + 89,716 ≈ 703,69. <1
198

2	иче мисал Әгәр x≈ 4,742 ∙ 10^3 һәм у ≈ 1,8∙ Ю6 икәне бил¬
геле булса, ху тапкырчыгышын табыйк.
Моның өчен 4,742 һәм 1,8 саннарының тапкыр¬
чыгышын исәплибез һәм нәтиҗәне 10^3 • Ю6 тап¬
кырчыгышын, ягъни 103 нә тапкырлыйбыз. Ул
вакытта
4,742 ∙ 10^3 • 1,8 ∙ 106 = 8,5356 ∙ 1O3 ≈ 8,5 ∙ 106. <j
3	иче мисал Радиусы r≈ 1,7 см булган корыч шарның массасы
т ны табыйк (корычның тыгызлыгы р = 7,8 г/см3).
Шарның күләме (V) V = πr3 формуласы буенча
исәпләп чыгарыла. m = pV булганлыктан, т = g πr3p
була.
^πr3p аңлатмасында беренче гамәл итеп дәрә¬
җәгә күтәрүне башкару җайлырак. Шуның өчен
формуланы
r34πp
m=~3
рәвешендә язабыз.
Бу аңлатмада бары тик тапкырлау һәм бүлү
бар. Барлык якынча саннар арасында г һәм р
ның төгәллекләре кимрәк, чөнки 1,7 = 1,7-10°
һәм 7,8 = 7,8 • 10°. π нең якынча кыйммәте итеп
3,14 не алабыз.
Исәпләүләрне башкарып табабыз:
160, 43892.
Табылган нәтиҗәдәге беренче тапкырлаучыны
унынчы өлешләргә кадәр түгәрәкләп, стандарт
рәвештә язабыз.
Җавап: zn≈l,6∙102r. <1
Массаны исәпләгәндә бирелгән саннарның
калькуляторга стандарт рәвештә кертелмәүләрен
әйтеп китик. Нәтиҗәне дөрес түгәрәкләү өчен, г
һәм р ның кыйммәтләрен стандарт рәвештә
яздык.
Күнегүләр
1019	Якынча кыйммәтләр белән гамәлләр башкарыгыз:
а)	765,138 + 99,8;	г) 2008,163 - 89,4;
б)	981,5 + 49,6143;	д) 0,67631 + 1,498;
в)	1925,34 - 7,6893;	е) 6,327 - 6,01045.
1020	Әгәр
а)	х ≈ 16,396 һәм у = 7,25;	в) х ≈ 0,19405 һәм у = 0,16;
б)	х = 607,4 һәм y≈ 48,566;	г)х = 1,315 һәм у 1,1162
булса, х + у һәм х - у аңлатмаларының кыйммәтләрен
табыгыз.
199

1021	Якынча кыйммәтләр белән гамәлләр башкарыгыз:
а)	4,37 • Ю5 • 2,1116 • Ю2;	г) 6,314 ∙ 1012 • 3,21561 • Ю8;
б)	6,3892 ∙ 104 : (5,87 • Ю2);	д) 5,64 • Ю11 : (6,54 • Ю 2);
в)	1,90 ∙ Ю2 : (1,8 • Ю-6); е) 1,8098 ∙ 10 5 : (1,99 ∙ 10~5).
1022	Әгәр
а)	х « 3,12 • Ю4, у ≈ 1,9068 • Ю”1;
б)	х ≈ 6,8 • Ю10, у ≈ 2,308 • Ю11;
в)	х ≈ 9,909 • Ю3, у ≈ 8,6 • Ю2;
г)	х ≈ 4,75 ∙ 10^3, у ≈ 8,3614 ∙ 102
булса, ху һәм х : у аңлатмаларының кыйммәтләрен табы¬
гыз.
1023	х ≈ 5,1 ∙ 10~2, у ≈ 3,68 ∙ 10^2, г ≈ 7,121 ∙ 104 икәне билгеле.
а) (х - у)г; б) (х + у): г
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
1024	Беренче космик тизлек ι>1 ≈ 7,9 км/с. Икенче космик тиз¬
лек υ2 беренчесеннән 72 тапкыр зуррак. Икенче космик
тизлекне табыгыз.
1025	Үлчәмнәре 5,5 х 4,3 м һәм 5,2 х 4,6 м булган ике бүлмә¬
нең идәннәрен буяр өчен ничә килограмм буяу кирәк
булыр?
1026	Җирнең атмосферасы нигездә азот һәм кислород катнаш¬
масыннан тора. Атмосфераның гомуми массасы 5,16 ∙ Ю15 т.
Атмосфера массасының 20,95 % ын кислород, ә 78,09 % ын
азот тәшкил итә. Җир атмосферасында күпме кислород
һәм күпме азот бар?
1027	Әгәр 2,00 г водородта 6,02 ∙ Ю23 молекула булса (водород¬
ның бер молекуласы ике атомнан тора), водород атомы¬
ның массасы нинди?
1028	Меркурийның массасы 3,3 ∙ Ю23 кг, ә Юпитерның
l,90∙1027 κr. Юпитерның массасы Меркурий массасын¬
нан ничә тапкыр зуррак?
1029	Бакта 1,36 м3 су бар. Җылытканда аның тыгызлыгы
0,998 т/м3 дан 0,965 т/м3 га кадәр кимеде. Суның күләме
күпмегә артты?
1030	Автомобиль 60 км/сәг тизлек белән хәрәкәт иткән. Авто¬
мобильнең кинетик энергиясе 2 тапкыр артсын өчен,
аның тизлеген ничә тапкыр арттырырга кирәк? (о тизлеге
белән хәрәкәт итүче т массалы җисемнең кинетик энер¬
гиясе (jE) Е = —формуласы буенча исәпләп чыгарыла.)
1031	Җир өслегенең һәр квадрат сантиметрына массасы 1,033 кг
булган һава баганасы басым ясый. Җир атмосферасының
массасы күпме? (Җир өслегенең мәйданын S = 4πR2 фор¬
муласы буенча табыгыз, Җирнең уртача радиусы R ≈
≈ 6371,032 км.)
200

Кабатлау өчен күнегүләр
1032	Якынча кыйммәтнең абсолют һәм чагыштырма хатасын
Ar⅛tτ τraτ,A!i∙
a) 6,125 • Ю2; б) 1,50 • Ю"1; в) 4,6 ∙ 10^4.
1033	х ка нинди кыйммәтләр биргәндә, у = -0,2х + 4 функциясе
нульгә әйләнә; уңай кыйммәтләр ала; тискәре кыйммәт¬
ләр ала?
1034	Тигезсезлекләр системасын чишегез:
2х+1_ х > х . 1-х
5	3 - 5	15 ’
2х х+5e Зх х-5
. 3	6	2	12 •
1035	Тигезсезлекләрнең кайсы дөрес:
а)	√40 -12√2 = 6 - √2 әллә √40-12√2 = √2 - 6 ;
б)	√⅛-2√6 = √2 - √3 әллә √5-2√6 = √3 - √2 ?
Контроль сораулар
1	x=∙a±h язылышы нәрсәне аңлата?
2	Якынча кыйммәтләрне кушканда һәм алганда нәтиҗәләр¬
не ничек түгәрәклиләр?
3	Якынча кыйммәтләрне тапкырлаганда һәм бүлгәндә нәти¬
җәләрне ничек түгәрәклиләр?
SB⅛⅛⅛Φ,∙∙.'*<∙.⅛'^"⅛⅛, ⅛...
V бүлеккә өстәмә күнегүләр
13	иче параграфка
1036	a) x = 0,l булганда, 10х-3;
б) х = 200, у = 5 булганда, xy~i
аңлатмасының кыйммәтен табыгыз.
1037	Түбәндәге аңлатмаларның үзара кире икәнен исбатлагыз:
а)	(J)' һәм 0,6 4;	в) 1000~2 һәм 0,001‘2;
б)	1,253 һәм 0,83;	г) 2,5“4 һәм .
1038	Аңлатмаларны чагыштырыгыз:
a) 5^3 һәм 7-3;	в) (-2)° һәм (-2)~2;
6> ⅛)5 һәм (з)5; г> НК һәм H)1∙
201

1039
1040
г) 0,1-1+1,1°;
Д)3|
е) -4^1 • 5 + 2,52.
-2
∣ -0,5;
1041
Исәпләп чыгарыгыз:
а)	-0,25 2 ∙ 100;
б)	0,01 ∙ (-0,5)-3;
в)	0,2^4 • (-1,6);
Тискәре күрсәткечле дәрәҗәләре булмаслык итеп, аңлат¬
маларның рәвешен үзгәртегез:
а) ≡±j	6)-⅛⅛j в)
a ⅛	tr1(a-b)
Аңлатманы вакланма рәвешендә
а) xy~2 - x~2y,	в) mn(n - m)~2 - п(т - п)-1;
/ \-1	/ \-2
2α1⅛2
(a+δ)-2 ’
күрсәтегез:
1042
б) Ы + й ;	г) (х 1 + у 1)(x 1 - у 1).
Аңлатманы гадиләштерегез:
1044
г)	(-0,2 m2n3)~3 • 0,1 тп6п9;
д)	a~2b5 ∙ (3ab)^1∙,
е)	6,lx~3y ∙ (O,lxj∕^1)^1.
булган дәрәҗә рәвешендә күрсәте-
1045
1046
1047
1048
1049
1050
x~1+y~1 .	a⅛-i-g ⅛
f (x+y)2 ’	°' a~1-b~1 •
1043 Аңлатманы гадиләштерегез:
а)	0,3a~2b3 • 1,5 a2b~1∙,
б)	6~1x2y1 • l,5xy^2∙,
в)	l,2xy~2 ∙ 4x~1y,
Аңлатманы нигезе 10
гез:
а) 100"; б) 0,1 • 100"+3; в) 0,01n ∙ 102~2n.
Аңлатманы гадиләштерегез (п — бөтен сан):
a,	~	6"
"■) 52n-1 ’	2n~1∙3n+1 *
x^2 + x~1 + х аңлатмасын берсе
а) х; б) х-1; в) х-2
булган ике тапкырлаучының тапкырчыгышы рәвешендә
күрсәтегез.
a~6 + а-4 аңлатмасында
а) а~4; б) a~6
тапкырлаучысын җәя тышына чыгарыгыз.
Аңлатманы гадиләштерегез:
а) -⅞⅛⅞ ;	6)-⅛±⅛t^.
’ x~5+x^12	, a s+a~β+a^7
п теләсә нинди бөтен сан булганда,
а) 2n+2n = 2n + 1j	б) 2∙3n + 3n = 3n+1
икәнен исбатлагыз.
Вакланманы кыскартыгыз (п — бөтен сан):
3-+i-3∏	2n+2-"
а) —г—; б) 4„+1 .
202

1051	Үзгәрешленең кыйммәтләре теләсә нинди булганда да,
аңлатманың бер үк кыйммәтләр кабул итүен исбатлагыз:
2'"3"-i-2π-13"	.	5m4n

θ∙) 2zn∙3n ’ В' 5m~2 ∙22n+5m22n~1 9
5n÷ι.2"-2+5"-2∙2"-1	,	21n
Ч) 10n-2	’	3n-1.7n+1 +3rt7n *
1052	Вакытны секундларда аңлатыгыз һәм табылган санны
стандарт рәвештә күрсәтегез: a) 1 сәг; б) 1 тәүлек; в) 1 ел;
г)	1 гасыр.
1053	Стандарт рәвештә язылган саннар белән гамәлләрне баш¬
карыгыз:
а)	(3,4 ∙ 1015) • (7 • Ю12);	в) (9,6 ∙ 10^12): (3,2 • Ю15);
б)	(8,1 ∙ 10^23) • (2 ∙ Ю21);	г) (4,42 ∙ 1011): (5,1 • 10~7).
1054	Стандарт рәвештә язылган саннар белән гамәлләрне баш¬
карыгыз:
а)	8,7 • Ю4 + 5,6 • Ю4;	в) 9,3 ∙ Ю-3 - 8,4 • 10~3;
б)	3,6 • Ю3 + 4,71 • Ю2;	г) 2,26 • Ю5 - 1,3 • Ю4.
1055	х санының тәртибе 15 кә тигез. Түбәндәге саннарның тәр¬
тибен күрсәтегез:
а) ЮООх; б) O.OOOlx; в) ; г) .
1056	х санының тәртибе 7 гә тигез, ә у санының тәртибе 9 га
тигез, ху тапкырчыгышының тәртибе нинди булырга мөм¬
кин; өлешенең тәртибе нинди?
1057	Җирдән Центавр α сы йолдызына кадәр ераклык 2,07 ∙ Ю5
астрономик берәмлеккә тигез (Җирдән Кояшка кадәр
1,495 ∙ Ю8 км га тигез булган ераклык астрономик берәм¬
лек дип атала). Бу ераклыкны километрларда күрсәтегез.
1058	1 ккал 4,2 ∙ 103 Дж не тәшкил итә. 1 Дж дә ничә килока¬
лория?
1059	Таблицада кабатлыны һәм өлешне күрсәтүче алкушым¬
чаларның тамгаланышы һәм аларга тиңдәш тапкырлау¬
чылар бирелгән:
Алкушымча
Кабатлылык
Тамгаланышы
Алкушымча
Кабатлылык
Тамгаланышы
мега
Ю6
М
деци
Ю1
Д
кило
Ю3
К
санти
10^2
с
гекто
Ю2
г
милли
10^8
м
дека
ю1
да
микро
10-«
мк
Таблицадан файдаланып,
а)	2,5 • Ю2 Мт ны тонналарда;
б)	3,1 ∙ Ю10 мг ны килограммнарда;
203

в)	1,5 ∙ 102 гл ны литрларда;
г)	5 ∙ 106 Н ны меганьютоннарда;
д)	7 • 10-7 м ны микрометрларда;
е)	8,4 ∙ 10^^4 ккал не калорияләрдә аңлатыгыз.
14	нче параграфка
1060	Дөрес цифрлар белән язылган якынча кыйммәтнең абсо¬
лют хатасын бәяләгез:
а) х = 15,63; б) х ≈ 0,3861; в) х ≈ 176,1; г) х ≈ 4,00116.
1061	Әгәр а тапкырлаучысында барлык цифрлар дөрес булса,
a • 10" рәвешендә язылган х ның якынча кыйммәтенең
чагыштырма хатасын бәяләгез:
а)	x≈6,24∙ 105;	в) x≈ 9,111 ∙ Ю11;
б)	x≈ 1,127 -Ю"5;	г) х ≈ 3,6 • Ю2.
1062	Белешмәдә Венера массасының 4,88 ∙ Ю21 т га тигез икәне
күрсәтелгән. Әлеге якынча кыйммәтнең абсолют һәм ча¬
гыштырма хаталарын бәяләгез.
1063	Әгәр
а)	a ≈ 51,642 һәм 5=12,68;	в)а = 6,33 һәм 5 = 0,295;
б)	а = 60,1 һәм 5 = 25,394;	г)а = 8,006 һәм 5 = 0,21
булса, a + 5 һәм а-b ның якынча кыйммәтләрен табыгыз.
1064	Әгәр a ≈ 6,184, 5 = 21,1785, с = 1,8 булса, a + 5 - с аңлатма¬
сының якынча кыйммәтен табыгыз.
1065	Әгәр a = 2,15 ∙ 105 һәм 5 = 7,11 ∙ 103 булса, а һәм 5 саннары
тапкырчыгышының һәм өлешенең якынча кыйммәтлә¬
рен табыгыз.
1066	Әгәр
а)х = 0,6һәм y≈7,5∙,	б)х = 15,94 һәм у = 0,8
булса, ху һәм аңлатмаларының якынча кыйммәтләрен
исәпләп чыгарыгыз.
1067	Әгәр a = 15,4 һәм 5 = 8,7 булса, яклары а м һәм 5 м булган
турыпочмаклыкның периметрын һәм мәйданын табыгыз.
1068	Өчпочмакның нигезе а см га, ә биеклеге һ см га тигез. Әгәр
a = 2,3 һәм Λ≈6,7 булса, өчпочмакның мәйданын табыгыз.
1069	Озынлыгы 25 м булган шнурны өч өлешкә кискәннәр. Бер
өлешнең озынлыгы 5,6 м, ә икенчесенеке 0,75 м. Өченче
өлешнең озынлыгын табыгыз.
1070	Бакча участогының мәйданы 600 м2. Участокның буе 27 м.
Аның иңен табыгыз.
1071	Әгәр
а)	х = 9,26 • Ю4 һәм у = 7,1 ∙ Ю3;
б)	х = 6,4 • Ю5 һәм у = 4,25 ∙ Ю6;
в)	х = 3,705 • Ю2 һәм у ≈ 4,6 ∙ Ю4;
г)	х = 9,38 • Ю 3 һәм у = 8,673 • Ю1
булса, х һәм у суммасының якынча кыйммәтен табыгыз.
204

1072
1073
1074
1075
1076
x ≈ 6,8 ∙ 10 2 һәм у ≈ 3,5 ∙ 10 3;
Әгәр
а)	х ≈ 7,58 ∙ 105 һәм у ≈ 2,4 • Ю3;
б)	х ≈ 2,4 • Ю4 һәм у ≈ 1,06 ∙ Ю2;
в)	.	.
г)	х ≈ 5,381 • Ю"1 һәм у ≈ 1,2 ∙ 10~2
булса, х һәм у аермасының якынча кыйммәтен табыгыз.
Әгәр х ≈ 8,35 ∙ Ю2, у ≈ 4,1 • Ю3, г 6,3 ∙ Ю2 булса, х - у + z
аңлатмасының якынча кыйммәтен табыгыз.
Җирнең массасы 5,976 ∙ Ю21 т,
ә Айның массасы 7,35 • Ю19 т.
Җир һәм Ай массасы икесе
бергә күпме булыр? Җирнең
массасы Ай массасыннан ничә
тоннага артыграк?
«Ленин» атом бозваткычы
арктик навигацияләрнең бер¬
сендә бер рейста 8,16 ∙ 103 диң¬
гез миле үтә. Үтелгән ерак¬
лыкны километрларда күрсә¬
тегез. (1 диңгез миле якынча
1,852 км га тигез.)
Түгәрәк боҗраның мәйданын
исәпләп чыгарыгыз, биредә
R ≈ 32,5 мм, r ≈ 20,2 мм (рәс. 43).

Авыррак мәсьәләләр
1077	х һәм у ның (x≠y) уңай кыйммәтләре өчен • • вак-
.	2 . 2	* У
„ х+у
ланмасының кыйммәте χ+y вакланмасының тиңдәш
кыйммәтеннән зуррак икәнен исбатлагыз.
1078	Вакланманы кыскартыгыз:
ч	x4+a2x2+a4 .	,<	8a'1+2+an^1
x3+a3	’	' 16an+4+4an+2+a,1 '
1079	Тигезләмәләр системасын чишегез:
x + y + z + u-5,
y + z + u + υ = l,
∙z + u + υ + x = 2,
u + υ + x + y = 0,
υ + x + y + z = 4.
1080	x4 - 5x3 - 4x2 - 7х + 4 = 0 тигезләмәсенең тискәре тамыр¬
лары булмавын исбатлагыз.
1081	һәм вакланмалары арасындагы ваклаучысы 21 гә
тигез булган гади вакланманы табыгыз.
1082	5435 + 2821 суммасы нинди цифр белән тәмамлана?
1083	х2 - 2x + у2 - 4у + 5 = 0 тигезләмәсен чишегез.
1084	х2 - 2х-	+ -ү - 13 = 0 тигезләмәсенең тамырларын та¬
быгыз.
1085	Аңлатманы гадиләштерегез:
а) әгәр 1 ≤ х ≤ 2 булса, >∕x + 2√x-l + y]x - 2√x-l ;
6>j≡√J7s.
√2-√3
206

1086
1087
1088
1089
1090
1091
1092
1093
1094
1095
1096
1097
Исбатлаудагы хатаны табыгыз:
16 - 36 = 25 - 45; 16 - 36 + ^ = 25 - 45 + ≡;
4≈-2∙4∙f + (f)' - 5≈-2∙5-f+ (≤)2;
xs + x4 + 1 күпбуынын нуль булмаган дәрәҗәле дүрт күп¬
буынның тапкырчыгышы рәвешендә күрсәтегез.
k-⅜Γ(HΓ'
		—	 аңлатмасын гадиләштерегез. Үзгәрешле-
(<z2-⅛) нг?
ләрнең мөмкин саналган кыйммәтләрен күрсәтегез.
х тан у функциясе у = ^x+d Ф°РмУласы белән бирелгән,
биредә ad - be ≠ 0. Аргумент кыйммәтләре x1, x2, х3 һәм
х4 гә функция кыйммәтләре y1, y2, у3 һәм yi тиңдәш булсын.
Уз~У1 . У4~У1 _ x3~xl . x4~xl
У3-У2 ‘ У4-У2	x3~x2 ' x4~x2
икәнен исбатлагыз.
x2 - у2 = 69 тигезләмәсен канәгатьләндерүче барлык нату¬
раль саннар парларын табыгыз.
√ll + 6√2 +√ll-6√2 аңлатмасының кыйммәте натураль
сан икәнен исбатлагыз.
a≥0, b≥0, c≥0, d≥0 булганда,
тигезсезлегенең дөрес икәнен исбатлагыз.
a + b V2 рәвешендәге саннарның (биредә а һәм b — рацио¬
наль саннар) суммасы, аермасы, тапкырчыгышы һәм өле¬
ше шундый ук рәвештә күрсәтелә алуын исбатлагыз.
(х + у л/2 )(х - у y∣2 ) = 1 тигезләмәсенең чишелеше х = 3,
у = 2 булуы билгеле. Бу тигезләмәне натураль саннарның
теләсә никадәр башка парлары канәгатьләндерүен күрсә¬
тегез.
т ның кыйммәте нинди булганда, х2 + х + т = 0 тигезлә¬
мәсенең тамырлары квадратлары суммасы 13 кә тигез
була?
х2 + рх + 1 = 0 тигезләмәсе тамырларының квадратлары
суммасы 254 кә тигез, р коэффициентын табыгыз.
а ның нинди кыйммәте өчен x2 + (а - 1)х - 2а = 0 тигез¬
ләмәсе тамырларының квадратлары суммасы 9 га тигез?
207

1098	у = √χ2 + 2√2x + 2 + √x2 - 2√2x + 2 функциясенең сызыкча
функция икәнен исбатлагыз, биредә -у/2 < х < V2 .
1099	Автобус М шәһәреннән N шәһәренә 40 км/сәг тизлек
белән барырга чыга. Чирек сәгатьтән соң ул N шәһәреннән
килүче җиңел автомашинаны очрата. Бу машина М шә¬
һәренә барып җитә дә 15 мин тан соң яңадан N шәһәренә
кайтырга чыга һәм автобусны N шәһәреннән 20 км ерак¬
лыкта узып китә. Әгәр җиңел машинаның тизлеге 50 км/сәг
булса, М һәм N шәһәрләре арасындагы ераклыкны табы¬
гыз.
1100	Ике малай 50 м озынлыгындагы узышу сукмагында 1 с
интервал белән старт алалар. Икенче булып старт алган
малай старт сызыгыннан 10 м ераклыкта беренчесен
куып җитеп, сукмакның ахырына кадәр йөгерә дә шул ук
тизлек белән йөгереп кире кайта. Әгәр алар, беренчесе
старт алганнан соң, 10 с узгач очрашсалар, икенче малай
беренчесен сукмак ахырыннан күпме ераклыкта очраткан?
1101	А һәм В пристаньнары арасындагы ераклыкны теплоход
агым уңаена 5 сәг тә, ә агымга каршы 6 сәг тә үтә. Сал бу
ераклыкны агым уңаена ничә сәгатьтә үтәр?
1102	Катер ниндидер вакытта агым уңаена 90 км юл үтә. Шул
ук вакытта ул агымга каршы 70 км юл үтәр иде. Шун¬
дый ук вакыт эчендә сал күпме юл үтәр?
1103	А һәм В пунктларыннан бер үк вакытта бер-берсенә кара-
каршы ике велосипедчы чыга һәм В дан 30 км ераклыкта
очрашалар. А һәм В да булганнан соң, алар кире борыла¬
лар һәм А дан 18 км ераклыкта икенче тапкыр очраша¬
лар. А һәм В арасындагы ераклыкны табыгыз.
1104	А дан В га таба һәм В дан А га таба бер үк вакытта ике
мотоциклчы чыга. Беренчесе очрашканнан соң 2,5 сәг
үткәч В пунктына, ә икенчесе очрашканнан соң 1,6 сәг
үткәч А пунктына килеп җитә. Ьәр мотоциклчы юлда
ничә сәгать булган?
1Ю5 А дан В га һәм В дан А га бер үк вакытта ике автомобиль
юлга чыга һәм 3 сәг тән соң алар очрашалар. Беренче
автомобиль В га, икенчесе А га килгәнгә караганда 1,1 сәг
кә соңрак килә. Икенче автомобильнең тизлеге беренче¬
сенең тизлегенә караганда ничә тапкыр зуррак?
1106 Карьерда хәзерләнгән руданы беренче үзбушаткыч,
икенчесенә караганда, 3 сәг кә тизрәк ташып бетерә ала.
Әгәр руданың өчтән берен беренче үзбушаткыч, ә аннан
соң калган өлешен икенчесе ташып бетерсә, бу эшкә, ике
үзбушаткыч бергәләп эшләгәнгә караганда, 7 θ сәг артыг¬
рак вакыт китә. Ьәр үзбушаткыч үзе генә әлеге руданы
ничә сәгатьтә ташып бетерер?
208

1107
1108
1109
1110
1111
1112
1113
1114
1115
1116
1117
1118
Ике слесарь йөкләмә алалар. Моны башкару өчен беренче
слесарьга, икенчесенә караганда, 7 сәг артыграк вакыт
кирәк. Икесе бергә йөкләмәнең яртысын үтәгәннән соң,
икенче слесарьга эшне үзенә генә тәмамларга туры килә,
шуңа күрә ул әлеге йөкләмәне, барлык эшне икесе бергә
башкарганга караганда, 4,5 сәг кә соңрак тәмамлый. Һәр
слесарь йөкләмәне ничә сәгать башкарыр иде?
Икеурынлы сан бирелә. Аның берәмлекләр саны дистәләр
саныннан 3 кә кимрәк. Әлеге санның шул ук цифрлар бе¬
лән кире тәртиптә язылган санга тапкырчыгышы 574 кә
тигез. Бирелгән санны табыгыз.
x1: x2 = x3 : х4 пропорциясендә беренче буын икенчесеннән
6	га зуррак, ә өченче буын дүртенчесеннән 5 кә зуррак.
Пропорциянең буыннарын табыгыз. Барлык буыннарның
квадратлары суммасы 793 кә тигез.
Шәһәрдән үзара перпендикуляр булган ике юл буенча төр¬
ле вакытта ике җәяүле чыга. Берсенең тизлеге 4 км/сәг,
ә икенчесенең 5 км/сәг. Хәзер аларның берсе шәһәрдән
7	километр, ә икенчесе 10 километр ераклыкта. Ничә сә¬
гатьтән соң җәяүлеләр арасындагы ераклык 25 км булыр?
Әгәр z = -j-2-j- булса (a ≠ 0, b ≠ 0, a + b ≠ 0, a - b ≠ 0), ул вакыт-
a + b
та + -⅛ = a + b бУлУын исбатлагыз.
Әгәр а + с = 25 һәм 2bd = c(b + d) булса, өстәвенә b ≠ 0 һәм
d ≠ 0, ул вакытта булуын исбатлагыз.
a)j∕=∣Jp ^у = ~4х’ b)J∕ = xIxI
формуласы белән бирелгән функциянең графигын төзегез.
а)	у = 4x^ +х;	в) у = |х + 2|;
б)	у = 7x7 - х;	г) у = |х -1|
формуласы белән бирелгән функциянең графигын төзегез.
у = х + формуласы белән бирелгән функциянең графи¬
гын төзегез.
Зх+1
у = —-— функциясенең графигы:
а) х = 0; б) у — 0; в) х = 3; г) у = 3
турысы белән кисешәме?
Функциянең графигын төзегез:
∙>1--⅛
β)y-4⅛iti γ∙^-"J⅛∙
ху - 2х + Зу - 6 = 0 тигезләмәсенең графигы үзара кисе¬
шүче турылар пары икәнен исбатлагыз.
14 К 5/123
209

1119	(у - 2)(y + 3) = 0 тигезләмәсенең графигы параллель туры¬
лар пары икәнен исбатлагыз.
1120	Тигезләмәләрнең графигын төзегез:
а)	ху + Зх = 0;
б)	(х - J∕)(ι∕ - 5) = 0;
в)	(ху - 6)(ι∕ - 3) = 0;
г)	(х - у)2 + (х - I)2 = 0;
д)	х2 - 4 = 0;
е)	у2 - 9 = 0.
1121	Әгәр a, b һәм с саннары өчен a + b≠O, b + c≠O, c + α≠0
шарты үтәлсә, ул вакытта
„ — Д~Ь „ _ Ь-с _ _ с-а
a+b , y Ъ+с ’ с+а
булганда, (1 + x)(l + у)(1 + г) = (1 - x)(l - ι∕)(l - z) тигезле¬
генең дөрес икәнен исбатлагыз.
1122	Яссылыкта берничә нокта билгеләнгән, аларның нинди дә
булса өч ноктасы да бер турыда ятмый. Ьәр ике нокта аша
туры үткәрелгән. Әгәр барысы 45 туры үткәрелгән булса,
яссылыкта ничә нокта билгеләнгән?

Тарихи
мәгълүматлар
Вакланмалар турында
Бик гади вакланмалардан борынгы заманнарда ук файдаланган-
,e,	О	∖ ~KK	А	112
нар (б. э. к. 2 мең ел). Мәсәлән, борынгы вавилонлылар 2’3’3
вакланмаларын махсус билгеләре белән тамгалаганнар. Борынгы
Мисырда берәмлек вакланмалардан, ягъни ^~∙ рәвешендәге вак¬
ланмалардан файдаланганнар, биредә п — натураль сан. Әгәр үл-
чәү нәтиҗәсендә саны табылса, аны берәмлек вакланмаларның
° 111
суммалары рәвешендә язганнар: 2+^i+8 ’ Мәсәлән, «7 икмәкне
сигез кешегә тигез итеп бүләргә» кебек мәсьәләләрне чишкәндә
әлеге ысул буенча 8 ярты икмәк, 8 чирек икмәк һәм 8 әчмуха1
икмәк кирәк, ягъни 4 икмәкне урталай бүләргә, 2 икмәкне
чирекләргә бүләргә һәм бер икмәкне әчмухага бүлеп, өлешләрне
кешеләргә таратырга кирәк була.
Берәмлек вакланмалар белән бер үк вакытта систематик
вакланмалар да барлыкка килгән, ягъни бу вакланмаларның
санаучыларында теләсә нинди сан, ә ваклаучыларында билгеле
бер санның (мәсәлән, унның, уникенең, алтмышның) дәрәҗәсе
язылган. Алтмышарлы вакланмалар XVII гасырга кадәр файда¬
ланылганнар. Вакыт берәмлеге хәзерге көнгә кадәр алтмышарлы
системада аңлатыла: 1 минут = ⅛ сәгать, 1 секунд = -⅛- сәгать.
ои	o0z
Унарл^г вакланмалар да систематик вакланмаларга керәләр.
Санаучылары һәм ваклаучылары теләсә нинди натураль сан бул¬
ган гомуми рәвештәге вакланмалар борынгы грек галиме Архи¬
медның (б. э. к. 287—212 еллар) кайбер әсәрләрендә күренә.
1 Әчмуха — кадакның сигездән бер өлеше, 50 грамм.
211
14*

Борынгы греклар гади вакланмалар белән барлык гамәлләрне
башкара алганнар. Ләкин вакланмаларның сызыкча ярдәмендә
хәзерге язылышы булмый. Вакланмаларның хәзергечә язылышы
бары тик 1202 елда Италия математигы Л. Фибоначчи (1180—
1240) тарафыннан аның «Әбәк китабы» исемле әсәрендә кертелә.
Моңа кадәр вакланмаларны сүз белән аңлаталар, аерым язмалар
кулланалар, бу язмаларда вакланманың ваклаучысын күрсәткән
сан янына уңнан штрих куелган һәм башка ысулдагы язмалар
файдаланылган. Озак еллар буе вакланманы саннар дип
атамаганнар. Кайчак аларны «сынык» саннар дип атаганнар.
Фәкать XVIII г. да гына вакланмаларны сан итеп кабул итә баш¬
лаганнар. Моңа 1707 елда инглиз галиме И. Ньютонның (1643—
1727) «Гомуми арифметика» исемле китабы чыгу сәбәп булган.
Әлеге китапта вакланмалар тигез хокуклы саннар булып кына
калмый, бер аңлатманы икенче аңлатмага бүлгәндә барлыкка
килгән өлеш буларак вакланма төшенчәсе тагын да киңәя. Әлеге
китапта менә нәрсә диелә: «Ике зурлыкның берсен икенчесе
астына язып, алар арасына сызык куеп язу өлешне яки өстәге
зурлыкны астагы зурлыкка бүлгәндә барлыкка килгән зурлыкны
аңлата. Мәсәлән, π язуы 6 ны 2 гә бүлгәндә барлыкка килгән
5
зурлыкны, ... g язуы 5 не 8 гә бүлгәндә хасил булган зурлыкны,
...^ язуы а ны Ь га бүлгәндә хасил булган зурлыкны, ...
исә ab - ЬЪ ны a + х ка бүлгәндә барлыкка килгән зурлыкны
аңлата һ. б. Мондый төр зурлыклар вакланмалар дип атала».
Реаль саннар турында
Сан төшенчәсе бик борынгы заманнарда барлыкка килгән. Күп
гасырлар дәвамында бу төшенчә киңәйтелә һәм баетыла. Үлчәү
эшләрен башкару зарурлыгы уңай рациональ саннарны ачуга
китерә. Тигезләмәләр чишелеше исә тискәре саннарны барлыкка
китерә. Ләкин озак еллар буена аларны «ялган» саннар дип йөр¬
тәләр һәм «бирәчәк» «җитмәүчелек» итеп төшендереп киләләр.
Уңай һәм тискәре саннар белән гамәл кагыйдәләре озак еллар
буе кушу һәм алу очраклары өчен генә тикшерелгәннәр. Мәсә¬
лән, VII г. дагы һинд математиклары әлеге кагыйдәләрне түбән¬
дәгечә әйткәннәр: «Ике милекнең суммасы — милек, ике бурыч¬
ның суммасы — бурыч, милек һәм бурычның суммасы ал арның
аермасына тигез». Бары тик XVII гасырда, Декарт һәм Ферма
тарафыннан кертелгән координаталар методын файдалана башла¬
гач кына, тискәре саннар уңай саннар белән тигез хокуклы сан¬
нар буларак кабул ителәләр.
Бөтен һәм вакланма саннар рациональ саннар күплеген тәш¬
кил итәләр. Әлеге саннар исәпләп чыгару өчен уңайлы: ике ра¬
циональ санның суммасы, аермасы, тапкырчыгышы һәм өлеше
212

(бүлүче нульдән башка сан булганда) рациональ сан була. Рацио¬
наль саннар тыгызлык үзлегенә ия булганлыктан, теләсә нинди
кисемтәне берәмлек итеп кабул ителгән кисемтә белән теләсә
нинди дәрәҗәдәге төгәллектә үлчәргә һәм үлчәү нәтиҗәләрен
рациональ сан белән аңлатырга мөмкин. Шуңа күрә рациональ
саннар озак еллар буена (һәм хәзерге көндә дә) кешеләрнең
практик ихтыяҗларын тулысынча канәгатьләндереп киләләр.
Шулай да зурлыкларны үлчәү мәсьәләсе яңа иррациональ сан¬
нар хасил булуга китерә. Борынгы Грециядә үк Пифагор мәктә¬
бендә (б. э. кадәр VI г.) квадратның диагонален, әгәр үлчәү бе¬
рәмлеге итеп аның ягы кабул ителгән булса, рациональ сан белән
аңлату мөмкин түгеллеге исбат ителгән була. Квадратның диа¬
гонале һәм аның яклары кебек кисемтәләрне үлчәнешсез
кисемтәләр дип атыйлар. Моннан соң (б. э. к. V—IV гасырлар)
борынгы грек математиклары тарафыннан тулы квадрат булма¬
ган теләсә нинди натураль п өчен ∖fn ның иррациональ булуы
исбатлана.
Ьиндстан, Якын һәм Урта Көнчыгыш, ә соңрак Европа ма¬
тематиклары иррациональ зурлыклардан файдаланганнар.
Ләкин озак вакытлар аларны тигез хокуклы саннар итеп кабул
итмәгәннәр. Аларны саннар итеп кабул итүгә Декарт «Геомет¬
риясенең барлыкка килүе ярдәм итә. Координата лар турысын¬
да һәрбер рациональ яки иррациональ сан нокта белән сурәтләнә,
һәм киресенчә, координаталар турысындагы һәрбер ноктага нин¬
дидер рациональ яки иррациональ сан, ягъни реаль сан тиңдәш
була. Иррациональ саннарны кертү белән координаталар туры¬
сындагы барлык «бушлыклар» тутырылды. Әлеге үзлекне күздә
тотып, реаль саннарның күплеге (рациональ саннар күплегеннән
аермалы буларак) өзлексез була.
Теләсә нинди реаль санны чиксез унарлы вакланмалар (пе¬
риодик яки периодик булмаган) рәвешендә күрсәтергә була.
Л. Эйлер (1707—1783) һәм И. Ламберт (1728—1777) теләсә нин¬
ди периодик булган чиксез унарлы вакланманың рациональ сан
булуын күрсәттеләр. Периодик булмаган чиксез унарлы ваклан¬
ма иррациональ санны тәшкил итә. Реаль саннарның чиксез
унарлы вакланмалар нигезендә төзелеше немец математигы
К. Вейерпцграсс (1815—1897) тарафыннан бирелә. Реаль саннар
теориясен үстерүдәге фикерләр немец математиклары Р. Деде¬
кинд (1831—1916) һәм Г. Кантор (1845—1918) тарафыннан
бирелә.
Квадрат тамырлар турында
Озак еллар дәвамында квадрат ягының бирелгән озынлыгы
буенча аның мәйданын табу мәсьәләсе белән беррәттән моңа кире
мәсьәләне дә чишәргә кирәк булган: «Квадратның мәйданы а га
тигез булсын өчен, аның ягы нинди булырга тиеш?» Мондый
213

мәсьәләне моннан 4 мең ел элек үк Вавилония галимнәре чишә
белгәннәр. Алар саннарның квадратлары һәм саннардан квадрат
тамыр таблицаларын төзегәннәр.
Вавилонлылар якынча квадрат тамыр алу методыннан файда¬
ланганнар, ул моннан гыйбарәт, а — тулы квадрат булмаган нин¬
дидер сан (натураль сан күздә тотыла) булсын, а ны b2 + с сумма¬
сы рәвешендә күрсәтик, биредә с кушылучысы b2 ка караганда
шактый кечерәк. Ул вакытта
4а = yjb2 + с ≈ Ь + -£г.
∆O
Мәсәлән, әгәр a = 112 булса, √112 = √102 +12 ≈ 10 + ±½ = 10,6
була. Тикшерү 10,62= 112,36 икәнен күрсәтә.
Квадрат тамыр алуның әлеге методы борынгы грек галиме
Герои Александрийский (б. э. I гасыр) тарафыннан җентекләп
тасвирланган.
Яңарыш чорында Европа математиклары тамырны латин сүзе
Radix (тамыр) аша, ә аннан соң кыскача R аша (моннан тамыр
тамгасы дип атала торган «радикал» термины барлыкка килә)
билгеләгәннәр. XV гасырның кайбер немец математиклары квад¬
рат тамырны билгеләү өчен ноктадан файдаланганнар. Әлеге
ноктаны алар тамыр алынырга тиешле сан алдына куйганнар.
Соңрак нокта урынына кечкенә ромб (♦), ә ахырда v тамгасын
куеп, тамыр алына торган аңлатма өстенә сызык куйганнар.
Аннан соң v тамгасын һәм сызыкны тоташтыра башлаганнар.
Мондый язылышлар Декартның « Геометрия »сендә һәм Ньютон¬
ның «Гомуми арифметика»сында очрый. Тамырның хәзерге
язылышы француз математигы М. Рольнең (1652—1719)
«Алгебра кулланмасы» китабында барлыкка килә.
Квадрат тигезләмәләр турында
Тулы булмаган квадрат тигезләмәләрне һәм тулы квадрат
тигезләмәләрнең аерым төрләрен (х2±х = а) вавилонлылар чишә
белгәннәр (б. э. к. 2 мең ел чамасы). Бу турыда рецепт рәвешендә
чишелешләре бирелгән чөй язулы тексттагы мәсьәләләр сөйли.
Борынгы грек математиклары квадрат тигезләмәләрнең кайбер
төрләрен, аларның чишелешләрен геометрик төзүгә кайтарып
чишә алганнар. Геометриягә мөрәҗәгать итми генә тигезләмә¬
ләрне чишү алымнарын Диофант Александрийский (III гасыр)
бирә. 13 «Арифметика» китабының безнең көннәргә кадәр сак¬
ланган 6 сында мәсьәләләрнең чишелешләре бирелгән. Диофант,
әлеге чишелешләрдә ах = b яки ax2 = b рәвешендәге тигезләмә¬
нең чишелешен табу өчен, билгесезне ничек сайлап алырга
кирәклеген аңлата. Диофантның тулы квадрат тигезләмәләрне
чишү ысуллары бирелгән «Арифметика» китаплары безнең көн¬
нәргә кадәр сакланмаган.
214

ax2 + bx = с рәвешенә китерелгән, биредә a > 0, квадрат тигез¬
ләмәләрне чишү кагыйдәсен һинд галиме Брахмагупта (VII га¬
сыр) биргән. «Китаб аль-джебр валь-мукабала» трактатында
Харәзм математигы әл-Харәзми ax2 = Ьх, ах2 = с, ах = с,
ах2 + с = bx, ax2 + bx = с, bx + с = ax2 (a, Ь һәм с хәрефләре белән
уңай саннар гына билгеләнгән) рәвешендәге тигезләмәләрне чишү
алымнарын тикшерә һәм бары тик уңай тамырларны гына таба.
х2 + Ьх = с рәвешенә китерелгән квадрат тигезләмәләрне чи¬
шүнең гомуми кагыйдәсе немец математигы М. Штифель
(1487—1567) тарафыннан әйтелә. Гомуми рәвештәге квадрат ти¬
гезләмәләрнең чишү формулаларын чыгару белән Виет шөгыль¬
ләнә. Ләкин ул үзенең фикерләрен уңай тамырлар өчен генә әйт¬
кән (тискәре саннарны ул кабул итмәгән). Нидерланд матема¬
тигы А. Жирар (1595—1632) һәм шулай ук Декарт һәм Ньютон
хезмәтләреннән соң квадрат тигезләмәләрне чишү ысулы хәзерге
рәвешен алган.
Тигезләмә тамырларының аның коэффициентларына бәйле-
леген аңлаткан формулалар 1591 елда Виет тарафыннан чыга¬
рылган. Квадрат тигезләмә өчен Виет теоремасы хәзерге тамгала¬
нышларда түбәндәгечә күрсәтелгән: (α + b)x - x2 = ab тигезләмә¬
сенең тамырлары булып а һәм Ь саннары хезмәт итә.
Тигезсезлекләр турында
«Зуррак» һәм «кечерәк» төшенчәләре тигезлек төшенчәсе белән
бергә предметларны исәпләгәндә һәм төрле зурлыкларны чагыш¬
тырганда барлыкка килгәннәр. Борынгы греклар ук тигезсезлек
төшенчәләреннән файдаланганнар. Архимед (б. э. к. III г.) әйләнә
озынлыгын исәпләү белән шөгыльләнгәндә «теләсә нинди түгә¬
рәкнең периметры артыгы белән алынган өчләтелгән диаметрга
тигез, әлеге артыклык диаметрның җиденче өлешеннән кимрәк,
ләкин җитмеш бердән уннан зуррак була» дигән фикерне рас¬
лаган. Икенче төрле әйткәндә, Архимед π санының чикләрен
күрсәткән:
3≡<π<3∣.
Евклид үзенең «Начала» исемле әһәмиятле трактатында күп
кенә тигезсезлекләрне китерә. Ул, мәсәлән, ике уңай санның гео¬
метрик уртасы аларның арифметик уртасыннан зуррак түгеллеген,
ягъни 4ab ≤ тигезсезлегенең дөрес икәнен исбат итә. Папп
Александрийскийның (Ш г.) «Математик җыентыгыонда, әгәр
булса (биредә а, Ь, с һәм d — уңай саннар), ad > be икәне исбатлана.
Ләкин әлеге барлык фикер йөртүләр, күпчелек очракта гео¬
метрик терминологиягә таянып, телдән үткәреләләр. Тигезсез¬
лекләрнең хәзерге заман тамгалары бары тик XVII—XVIII га¬
сырларда гына барлыкка килгән. < һәм > тамгаларын инглиз
215

математигы Т. Гарриот (1560—1621), ≤ һәм ≥ тамгаларын фран¬
цуз математигы П. Буге (1698—1758) керткән.
Тигезсезлекләр һәм тигезсезлекләр системалары теоретик
тикшеренүләрдә һәм мөһим практик мәсьәләләрне чишүдә киң
файдаланылалар.
Якынча исәпләүләр турында
Якынча исәпләүләрнең кайбер алымнары борынгы заманда ук
кулланылган. Бу хәл практик таләпләр аркасында барлыкка кил¬
гән, чөнки зурлыкларны үлчәгәндә һәрвакытта якынча кыйммәт¬
ләр хасил була. Кешеләр һәрвакытта да исәпләү эшләрен җиңе¬
ләйтергә омтылганнар. Моның өчен төрле таблицалар төзелгән.
Вакланмалар белән исәпләү эшләре бик катлаулы булган борын¬
гы мисырлылар ук, вакланмаларны берәмлек вакланмаларының
суммалары аша аңлату өчен, таблицалар төзегәннәр. Борынгы
вавилонлылар квадратлар, кублар, кире зурлыкларның таблица¬
ларын эшләгәннәр.
Якынча исәпләүләр теориясе үсешенә академик Алексей Ни¬
колаевич Крылов (1863—1945) зур өлеш кертә.
Күренекле корабль төзүче, математик һәм механик буларак,
ул техник мәсьәләләрне чишүгә математик методлар куллана.
Исәпләүләрне рациональ башкару мәсьәләсенә бик нык игътибар
иткән.
Ул исәпләүнең практика таләпләренә җавап бирерлек төгәл¬
лектә башкарылырга тиешлеген, өстәвенә теләсә нинди дөрес
булмаган цифрның хата тәшкил итүен, һәм теләсә нинди артык
цифрның ярым хата икәнен әйткән.

(α+b)* 1 2 3
Q2-b2
VII класс
Алгебра курсы буенча
белешмәләр
Аңлатмалар һәм аларның рәвешләрен үзгәртү
1.	а санының п > 1 булган п натураль күрсәткечле дәрәҗәсе
дип һәркайсы а га тигез п тапкырлаучының тапкырчыгышы
атала:
an = а ■ a ∙... ∙ a.
п тапкыр
Күрсәткече 1 булган а санының дәрәҗәсе а саны үзе була:
α1 = а.
Күрсәткече 0 булган a ≠ 0 санының дәрәҗәсе 1 гә тигез:
a0= 1.
2.	Натураль күрсәткечле дәрәҗәләрнең үзлекләре:
а)	am ∙ an = am + ".
Нигезләре бердәй булган дәрәҗәләрне тапкырлаганда, нигез
үзе языла, ә дәрәҗә күрсәткечләрен кушалар.
б)	am : an = am~ п, биредә a ≠ 0, т ≥ п.
Нигезләре бердәй булган дәрәҗәләрне бүлгәндә, нигез үзе
языла, ә бүленүченең дәрәҗә күрсәткеченнән бүлүченең дәрәҗә
күрсәткечен алалар.
в)	(am)n = amn.
Дәрәҗәне дәрәҗәгә күтәргәндә, нигезнең үзен язалар, ә күр¬
сәткечләрен тапкырлыйлар.
г)	(ab)n = anbn.
Тапкырчыгышны дәрәҗәгә күтәргәндә, һәр тапкырлаучыны
әлеге дәрәҗәгә күтәреп, нәтиҗәләрне тапкырлыйлар.
3.	Саннарның, үзгәрешлеләрнең һәм үзгәрешлеләрнең дәрә¬
җәләре тапкырчыгышы, шулай ук саннар, үзгәрешлеләр һәм
217

үзгәреш леләрнең дәрәҗәләре бербуыннар дип атала. Мәсәлән,
5a2x, -3a2b3, 4, х, у5 — бербуыннар.
Бербуынга кергән үзгәрешлеләрнең дәрәҗә күрсәткечләренең
суммасы бербуынның дәрәҗәсе дип атала. Мәсәлән, -8α⅛4 бер¬
буынының дәрәҗәсе 6 га тигез.
4.	Бербуыннарның суммасы күпбуын дип атала. Мәсәлән,
3x5 - 4x2 + 1, 7a3b - ab2 + ab + 6 — күпбуыннар. Бербуыннарны да
бер генә буыннан торган күпбуын дип исәплиләр.
Стандарт рәвештәге күпбуынга кергән бербуыннарның иң
зур дәрәҗәлесе күпбуынның дәрәҗәсе дип атала. Мәсәлән,
5x3y + 3x2y5 + ху күпбуынының дәрәҗәсе 3x2y5 бербуынының
дәрәҗәсенә, ягъни 7 гә тигез.
Стандарт рәвештә язылмаган күпбуынның дәрәҗәсе дип аңа
бердәй тигез булган стандарт рәвештәге күпбуынның дәрәҗәсе
атала.
5.	Күпбуыннарны кушканда җәяләр ачу кагыйдәсеннән фай¬
даланалар: әгәр дә җәяләр алдында «плюс» тамгасы торса, җәя
эчендәге һәр кушылучының үз тамгасын саклап, җәяләрне төше¬
реп калдырырга була. Мәсәлән,
(3ab + 5c2) + (ab - c2) = 3ab + 5c2 + ab — c2 = 4α∂ + 4c2.
Күпбуыннарны алганда җәяләр ачу кагыйдәсеннән файдала¬
налар: әгәр дә җәяләр алдында «минус» тамгасы торса, җәя
эчендәге һәр кушылучының тамгасын капма-каршыга үзгәртеп,
җәяләрне төшереп калдырырга мөмкин. Мәсәлән,
(6x2 - у) - (2x2 - 8y) = 6x2 -у- 2x2 + 8y = 4x2 + 7у.
Бербуынны күпбуынга тапкырлау өчен, әлеге бербуынны күп¬
буынның һәр буынына тапкырлап, барлыкка килгән тапкырчы-
гышларны кушарга кирәк. Мәсәлән,
α2(3u∂ - b3 + 1) = 3a3b - a2b3 + a2.
Күпбуынны күпбуынга тапкырлау өчен, күпбуыннарның бер¬
сенең һәр буынын икенче күпбуынның һәр буынына тапкырлап,
барлыкка килгән тапкырчыгышларны кушарга кирәк. Мәсәлән,
(5x -1ХЗх + 2) = 15x2 - 3x + 10x - 2= 15x2 + 7х - 2.
6.	Кыскача тапкырлау формулалары:
а)	(a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Ике аңлатманың суммасы квадраты беренче аңлатманың
квадратына плюс беренче һәм икенче аңлатмаларның икеләтел-
гән тапкырчыгышына, плюс икенче аңлатманың квадратына
тигез.
б)	(a -b)2 = a2- 2ab + b2.
218

Ике аңлатманың аермасы квадраты беренче аңлатманың
квадратына, минус беренче һәм икенче аңлатмаларның икелә-
телгән тапкырчыгышына, плюс икенче аңлатманың квадратына
тигез.
в) (a - b)(a + b) = a2- b2.
Ике аңлатманың аермасы белән аларның суммасының тап¬
кырчыгышы бу аңлатмаларның квадратлары аермасына тигез.
7.	Күпбуынны күпбуыннар тапкырчыгышы рәвешендә күр¬
сәтү күпбуынны тапкырлаучыларга таркату дип атала.
Күпбуыннарны тапкырлаучыларга таркату өчен түбәндәге
ысуллар: тапкырлаучыны җәя тышына чыгару, группалау, кыс-
кача тапкырлау формулалары кулланыла. Мәсәлән, 5x3 - x2y
күпбуынын х2 ны җәя тышына чыгарып таркатырга мөмкин:
5x3 - x2y = x2(5x - у); Зх - Зу - ах + ау күпбуынын, группалау
ысулын кулланып, тапкырлаучыларга таркатырга мөмкин:
Зх - Зу - ах + ау = (Зх - Зу) - (ах - ay) = 3(x-y)-a(x-y) = (x- у)(3 - а);
ai - 25х2 күпбуынын, ике аңлатманың квадратлары аермасы
формуласыннан файдаланып, тапкырлаучыларга таркатырга
мөмкин: α4 - 25x2 = (a2)2 - (5x)2 = (a2 - 5x)(a2 + 5x).
Кайчак берничә ысулны бер-бер артлы кулланып, күпбуынны
тапкырлаучыларга таркатырга була.
Кубларның суммасын һәм аермасын
a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2) һәм a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)
формулалары буенча тапкырлаучыларга таркатырга була.
Ике аңлатманың кублары суммасы әлеге аңлатмаларның
суммасы белән алар аермасының тулы булмаган квадратлары
тапкырчыгышына тигез;
ике аңлатманың кублары аермасы әлеге аңлатмаларның аер¬
масы белән алар суммасының тулы булмаган квадратлары тап¬
кырчыгышына тигез.
Тигезләмәләр
8.	Үзгәрешленең тигезләмәне дөрес тигезлеккә әйләндерә тор¬
ган кыйммәте бер үзгәрешлеле тигезләмәнең тамыры дип атала.
Мәсәлән, 8 саны Зх + 1 = 5х - 15 тигезләмәсенең тамыры, чөнки
3∙8 + l = 5∙8-15 тигезлеге дөрес тигезлек була.
Бер үзгәрешлеле тигезләмәне чишү — аның барлык тамыр¬
ларын табу яки аларның булмавын исбат итү ул.
9.	Тамырлары бер үк булган бер үзгәрешлеле тигезләмәләрне
тигезкөчле тамырдаш тигезләмәләр дип атыйлар. Мәсәлән,
х2 = 25 һәм (х + 5)(х - 5) = 0 тигезләмәләре тигезкөчле. Аларның
һәркайсының ике тамыры бар: -5 һәм 5. Тамырлары булмаган
тигезләмәләрне шулай ук тигезкөчле тигезләмәләр дип атыйлар.
219

Бер үзгәрешлеле тигезләмәләрне чишкәндә түбәндәге үзлек¬
ләр файдаланыла:
әгәр тигезләмәдәге бер кушылучыны аның тамгасын үзгәр¬
теп, тигезләмәнең бер кисәгеннән икенче кисәгенә күчерсәк,
бирелгәнгә тигезкөчле (тамырдаш) тигезләмә барлыкка килер;
әгәр тигезләмәнең ике кисәген дә нульгә тигез булмаган бер
үк санга тапкырласаң яки бүлсәң, бирелгән тигезләмәгә тигез¬
көчле тигезләмә барлыкка килер.
10.	ах = Ь рәвешендәге тигезләмә бер үзгәрешлеле сызыкча
тигезләмә дип атала, биредә х — үзгәрешле, а һәм Ь — саннар.
Әгәр а = 0 булса, ах = Ь тигезләмәсенең бердәнбер тамыры
була: . Мәсәлән, 7 х = 2 тигезләмәсенең тамыры γ.
Әгәр α = 0 һәм b ≠ 0 булса, ах = Ь тигезләмәсенең тамырлары
булмый. Мәсәлән, 0 • х = 7 тигезләмәсенең тамырлары юк.
Әгәр a = 0 һәм Ь = 0 булса, теләсә нинди сан ах = Ъ тигез¬
ләмәсенең тамырлары була.
11.	Үзгәрешлеләрнең ике үзгәрешлеле тигезләмәне дөрес ти¬
гезлеккә әйләндерүче кыйммәтләре пары ике үзгәрешлеле тигез¬
ләмәнең чишелеше дип атала. Мәсәлән, х = -1, у = 4 саннар пары
5х + Зу = 7 тигезләмәсенең чишелеше була.
Чишелешләре бер үк булган ике үзгәрешлеле тигезләмәләрне
тигезкөчле тигезләмәләр дип атыйлар. Чишелешләре булмаган
ике үзгәрешлеле тигезләмәләрне шулай ук тигезкөчле тигезлә¬
мәләр дип атыйлар.
Ике үзгәрешлеле тигезләмәдә кушылучыны, аның тамгасын
үзгәртеп, тигезләмәнең бер кисәгеннән икенче кисәгенә чыгарыр¬
га була, һәм тигезләмәнең ике кисәген дә нульгә тигез булмаган
бер үк санга тапкырларга яки бүләргә була. Бу вакытта баштагы
тигезләмәгә тигезкөчле булган тигезләмә барлыкка килә.
12.	ах + by = с рәвешендәге тигезләмә ике үзгәрешлеле сызык¬
ча тигезләмә дип атала, биредә х һәм у — үзгәрешлеләр, а, Ь һәм
с — саннар.
13.	Координаталары ике үзгәрешлеле тигезләмәнең чише¬
леше булган координаталар яссылыгының нокталары күплеге
әлеге тигезләмәнең графигы дип атала.
Үзгәрешлеләр алдындагы коэффициентларының берсе генә
булса да нульгә тигез булмаган ике үзгәрешлеле сызыкча тигез¬
ләмәнең графигы туры сызык була.
14.	Үзгәрешлеләрнең ике үзгәрешлеле тигезләмәләр система¬
сындагы һәр тигезләмәне дөрес тирёзлеккә әверелдерүче кыйм¬
мәтләре пары әлеге системаның чйшелеше дип атала. Мәсәлән,
п 1	[x + JZ = 6
х = 7, у = -1 саннары пары <	системасының чишелеше
[2х -у = 15
220

була, чөнки 7 + (-l) = 6 һәм 2 ∙ 7-(-l) = 15 тигезлекләренең
һәркайсы дөрес.
Тигезләмәләр системасын чишү — аның барлык чишелешлә¬
рен табу яки аның чишелешләре булмавын исбатлау дигән сүз.
Бер үк чишелешле ике үзгәрешлеле тигезләмәләр системасы
тигезкөчле тигезләмәләр системасы дип атала. Чишелешләре
булмаган системалар шулай ук тигезкөчле системалар дип са¬
нала.
15.	Ике үзгәрешлеле тигезләмәләр системасын чишү өчен,
алыштырып кую ысулы, кушу ысулы, график ысулы кулланыла.
Функцияләр
16.	Функциональ бәйлелек яки функция — бәйсез үзгәреш-
ленең һәрбер кыйммәтенә бәйле үзгәрешленең бердәнбер кыйм¬
мәте тиңдәш була торган ике үзгәрешле арасындагы бәйлелек ул.
Бәйсез үзгәрешлене башкача аргумент дип атыйлар, ә бәйле
үзгәрешлене әлеге аргументның функциясе дип йөртәләр. Бәйсез
үзгәрешле кабул иткән барлык кыйммәтләр функциянең билге¬
ләнү өлкәсен тәшкил итә.
Абсциссалары аргумент кыйммәтенә, ә ординаталары функ¬
циянең тиңдәш кыйммәтләренә тигез булган нокталар күплеге
функциянең графигы дип атала.
17.	y = kx + b рәвешендәге формула белән бирергә мөмкин
булган функция сызыкча функция дип атала, биредә х — бәйсез
үзгәрешле, k һәм Ь — саннар.
у = kx + b сызыкча функциясенең графигы туры сызык була.
k санын y = kx + b функциясенең графигы булган турының
почмакча коэффициенты дип атыйлар.
Әгәр k ≠ 0 булса, у = kx + Ь функциясенең графигы х лар кү¬
чәрен кисә, әгәр k = 0 һәм b ≠ 0 булса, у = kx + Ь функциясенең
графигы — туры сызык х лар күчәренә параллель була;
әгәр k = 0 һәм Ь = 0 булса, функциянең графигы х лар күчәре
белән тәңгәл килә.
Әгәр ике сызыкча функциянең почмакча коэффициентлары
төрле булса, әлеге функцияләрнең графиклары үзара кисешә,
әгәр аларның почмакча коэффициентлары бердәй булса, алар
параллель була.
у = kx формуласы белән бирелә торган сызыкча функцияне
k ≠ 0 өчен туры пропорциональлек дип атыйлар.
Туры пропорциональлекнең графигы — координаталар баш¬
лангычы аша үткән туры ул. k > 0 булганда, график — координа-
таларның беренче һәм өченче чирегендә, ә А < 0 булганда, икен¬
че һәм дүртенче чирегендә урнаша.
18.	у = х2 функциясенең графигы — парабола. Бу график
координаталар башлангычы аша үтә һәм координаталарның
221

беренче һәм икенче чирегендә урнаша. Ул у күчәренә карата
симметрик.
у = х3 функциясенең графигы координаталар башлангычы
аша үтә һәм координаталарның беренче һәм өченче чирегендә
ята. Ул координаталар башлангычына карата симметрик.
Якынча исәпләүдәр
19.	Сан һәм аның якынча кыйммәте арасындагы аерманың
модуле санның якынча кыйммәтенең абсолют хатасы дип атала.
Якынча кыйммәтнең абсолют хатасы ниндидер һ саныннан
артмаса, әлеге кыйммәтне һ ка кадәр төгәллек белән алынгай
якынча кыйммәт дип атыйлар.
Абсолют хатаның якынча кыйммәт модуленә чагыштырма¬
сын якынча кыйммәтнең чагыштырма хатасы дип атыйлар.

Татарча-русча
атамалар күрсәткече
Арифметик квадрат тамыр — ариф¬
метический квадратный корень 66
Аңлатмаларның рәвешен бердәй
үзгәртү — тождественное преобра¬
зование выражений 8
Бер үзгәрешле сызыкча тигезсез¬
лек — линейное неравенство с од¬
ной переменной 161
Бердәй тигез аңлатмалар — тож¬
дественно равные выражения 8
Бердәйлек — тождество 8
Бөтен аңлатма — целое выражение 3
Бөтен күрсәткечле дәрәж,ә — сте¬
пень с целым показателем 182
Вакланмалы рациональ тигезләмә —
дробное рациональное уравнение
126
Виет теоремасы — теорема Виета 121
Виет теоремасына кире теорема —
обратная теорема Виета 122
Дөрес цифр — верная цифра 191
Иррациональ сан — иррациональ¬
ное число 62
Квадрат тамыр — квадратный ко¬
рень 66
Квадрат тигезләмә — квадратное
уравнение 105
Квадрат тигезләмәнең дискрими¬
нанты — дискриминант квадратно¬
го уравнения 133
Кире пропорциональлек — обрат¬
ная пропорциональность 41
Китерелгән квадрат тигезләмә — при¬
веденное квадратное уравнение 109
Рациональ аңлатма — рациональ¬
ное выражение 3
Рациональ вакланма — рациональ¬
ная дробь 3
Рациональ сан — рациональное
число 55
Рациональ тигезләмә — рациональ¬
ное уравнение 126
Реаль саннар — действительные
числа 55
Периодик булмаган чиксез унарлы
вакланма — бесконечная десятич¬
ная непериодическая дробь 62
Периодик чиксез унарлы ваклан¬
ма — бесконечная десятичная пе¬
риодическая дробь 57
Санлы тигезсезлекләрне кушу —
сложение числовых неравенств 151
Санлы тигезсезлекләрне тапкыр¬
лау — умножение числовых нера¬
венств 151
Саннар аралыгы — числовой про¬
межуток 154
Санның стандарт рәвеше — стан¬
дартный вид числа 187
Санның тәртибе — порядок числа
187
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы
астына кертү — внесение множи¬
теля под знак корня 89
Тапкырлаучыны тамыр тамгасы
тышына чыгару — вынесение мно¬
жителя из-под знака корня 89
Тамырасты аңлатмасы — подко¬
ренное выражение 66
Тигезкөчле тигезсезлекләр — нера¬
венства равносильные 159
Тулы булмаган квадрат тигезләмә —
неполное квадратное уравнение
Чиксез унарлы вакланма — беско¬
нечная десятичная дробь 57
Өстәмә тапкырлаучы — дополни¬
тельный множитель 9
Үзгәрешленең мөмкин саналган
кыйммәтләре — допустимые зна¬
чения переменных 4
223

Җаваплар
I бүлек
4. a) -10; б) 2,5; в) -15,5; г) 4. 9. t = —; а) 2,5; б) 2. 13. д) -6 һәм
ι⅛+ι⅛
6 дан башка барлык саннар; е) -7 һәм 0 дэн башка барлык саннар.
25∙ *> %'■ б) ⅛√ ∙> ⅛i = r> 2m∙ ^> -&'•*> 3∙ 27∙ ∙> 1= 6> 3∙
2β∙a>	*⅛2≈∙> |;r) ⅝iΛ> i;e)3x.30.a) ⅛i6)
*’ ■ rl ⅛• «> J⅛$■ si-*> s⅛•<»“г + °b+λ32∙•» 100∙
6)	1.5. 33. .) J; „ |; .) -2jj-, г> Й; Л а) Д; ж) ⅛
” S⅛Π∙ 34∙» **-κ» ⅛⅛> ’> ⅛ '> ι-<>+°2∙ зз- ∙) ψ>
6> ьҺ: ∙> j⅛⅛'∙ 0 f∑J∙ 37. а)-1;б) 1; a)5-wθ ⅛'. Д> а + Һ е) 1.
38∙ В) "Ь;г) "з;д) "sFjθ) ⅛5κ> ⅞⅛^3)ft-2∙39.a)
б)	⅛fe; в) -2|; г) ; д) ^±2 ; е) -3~a . 40. а) х2; б) -/; в) -б3;
ә	o85, 9+3α+α2
г) c3-c2. 41. а) -|; б) 0,01; 42. а) 4а-4&; б) 9c + 27d; в) -*ζ18y;
r) -.2x~y . 4β . 40x . fia 5abc2 . _ч д2—. r) ^~x+1 • д) ^∙
50x+25ι∕ • • > 15x2jz2 ’ 6) 35a3c3 ’ в) a2_2a ’ ’ x3+l ’ Д) х-у ’
e) ∙ 47∙ а) -3,2; б) 0,1; в) 12; г) -0,5; д) 5. 48. в) 5x2 + 12xy - 18y2j
г) 3a2-0,5a*. 54. а) ~~χ13*; б) в) r) ⅛! Д) 2p^lg ;
е) -^; ж) 12; з) |. 57. а) 100; б) 10. 58. а) 16,25; б) 6. 59. а)
б)	; в) 2; г)-5; д) a-4; е) x-3j∕. 60. а) ; б) 5; в) 1; г)-1;
д> ^3: β>i' + 1∙ β2∙ *> ⅛⅛∙ «» ⅛' «3. а) б) t⅛. 37. .) 7;
224

6)	3; в) 1; г)-20; 70. з) ⅛i к) ⅛. 71. 6) ⅛, г) ⅛⅛-
72 τri 41α+13⅛ . f4 9x+16 „„ н a2+b2 . π∙4 4a2-3ab-3b2 . м x2-xy-2y2
Д} 36а ,е) 24у	a2b ’Д) a2b2	’ ’ x2y2
74.
76.
ж)
г)
г)
б)
г)
е)
2x2-3.
12x3 ’
⅛R∙ 75.
6xβ
3m2-2n2 rjn ∖
6m2n2 ‘ Д)
a2+b2 . 3)	b2+c2 78. bj 2a+3b+3 . rj ⅛2+5⅛-l
2a ∙ 2b	3	Ь
б) 2Ы. В) 5a2-6 . г)
, 6aft2 , , 15as ’ ,
∙> ⅛-β> ⅛F∙b> --ε⅛⅛^>
yz dab	p∙'qi
а)
41a-5
12
5∂⅛e)
a⅛.80.a) ≡tΞ⅛6)
а	4
_17a+17⅛+30 gj
8ax+2ay . ца
в) 0; г) f.
A . β) -X •
a' ’ 2р
79. в)
2x+2. r1 36-5x+7p .
—b' 12	’
рх-Зр .
6x2-x-2’
ло ,„„.85. а) ½±½∙, б) в) -⅛⅛⅛;
48a-144	х у ’ ab
x2-6x.
х-3 ’
2х	.
4a .
a2-4 ’
23⅛
е)
⅛∙ 83∙ •>
x2-xy-2y2 ’ °, ЗОх-60 ’ Г)
12y2-10xy-27x2 g6 . х-5. _ 6-у. . ι .	_χ „ .
6x3+13x2y+6xy2 ’ 86' ' 5х ’ б) бу ’ В) ab ’ Г) ab ‘ 87'
2	оо nι		Sβ	.		2y2	 \

a2-l ∙ f	(a-5)(ft+8) ’	0' (2y+3)(3x-2) ’	OV’ a>	(3a-l)(x+2) ’
; Д)
б)	/9 n⅞ 57 ∙ 90∙ а) —; б) ; в) ; г) -⅜X. 91. а) -½±- ;
(2x-l)(2y+3)	7 х+у 7 Ь+с a-у a2-a	b2+2b
б)	⅛-5a . bi x-4a . r∖ а-Юу до ач 6a+8 . 61 Зх . 5⅛-10 .
} ab+5a2 ’ , x2+4ax ’ , a2+10ay ‘ У } a3-4a ’ θ, x2-16 ’ , 4fc2-l ’
г) τ⅛! Д) 2; е) 0. 93. а) -Д; б) -⅜. 94. а) -⅛; б) ∕~g
4a+o	15	27	a3÷∂3	P2+P^÷Q2
в)	1 • г) -2j3- 95 я)	4	. g∖ _3_. v	x2+y2 . . a2
в)	a3+1 ’ r> а+4 • У&- а>	у+2	’ 6) a-6 ’ в>	2(x-y)2 ’ Г)	b(b-a)2	’
9β∙ ” "≡⅛i 6' (.-3⅞÷3)≈ ■■ ”	⅛∙ 97' Ль-
« i ■■ •’ c⅛⅛57 r> Нж ■ ,00∙t ∙ ⅛ ■■ •>4 “г 10 “™;
б)	5 сэг 20 мин. 101. t =	; 6 сэг 40 мин. 102. а) 0; б) 0.
l∕^l√ Δ)
106. 63 т. 107. а) s = υf, t = ^-∙, б) υ = y. 111. в) ; г) .
V	г	гл	о>
112. д)	е) 1⅛'. 113. д) i⅜^; е) ⅛⅛. 114. а) ⅛5
9∂y2	7 4a	7 3n 7 3ab	7 563
б)	⅛.	115. в) ”8 , ; г)	⅛.	116. в)	7H⅞; г)	-Җ..
Pi	1000zn3	7	4М	7	9m2nβ 7 8yβ
117. ж) - 10θ0^6 ; з) . 119. в) У-~^У ; г) 2a2⅜+6a⅜2 . 120. в) X-;
nβp3 ’ 64а®	Зу+6 а-ЗЬ	’ аху
15 К 5/123
225

г) ⅛. 121. в) ⅛Λ г) 122. в) -⅛∣x+6. г) У2 Иу+ЗО
х	6х а+о	,	6	,	4
123. а) 1; б) -1⅜ ; --⅛. 124. в) ⅜≡¾; г) ⅛⅛ . 126. a) g2~9*+2° ;
. 9	21	a2+ab	ax+5a	6
б)	a2+2ab+a+2b в) ⅜15 127 } g)	128. } 3
12	2y+12	За+b ’ а-Ъ	’
б)	2 сэг 31 мин. 130. а) х = ½=⅛-; б) х = -fr~g; в)х = аЬ-а;
о	7
r)x=10b-10a. 132. д) -⅛-j е) . 133. д) -¼5 е) 452sL.
14а о	3myi b ab
135∙ ∙> & •> >∙ ∙> f ≈’> ⅛∙ 136∙ •> ⅛'∙ -» ⅛∙ Л ⅛-
e> “> ⅛⅛ ’> ⅛⅛∙ 137∙ »> rf⅛ О ∙^--
^> ⅛√ е) S≡' 138∙ ^> a⅛β ■ ” ^5lΓ∙ 133∙ •> П’-1; 6> 0-42∙
140. в) ; г) Zm-5n . 141. в) х±1 . г) .2ap-6a	142	§_.
a2-ах	т+2	а-х p2+2p+4	2b+3
« ⅛⅛ ■143 2 κ"'car∙ 14δ∙ ∙>c = ⅛fe ■ 6>b = ∙ ιw∙ •> V ■■
б» ⅛≈ ») г> О- »«• ∙> g⅛! »> ~^i∙ г’ “■
149. a) б) -⅜. 150. а) 6; б) 10. 151. a) g⅛ б) в) 2±⅛∙;
2m+l х-3	а~Ь х~У pq2
г)	-L. 152. a) -l¾j б) ⅛⅛; в)-£; г) 2⅛±2y . 153. а)-2х;
ab	9-а2	4'x2-l	' a’ ' ax-3a	’
6> 4∏¼∏ ’ в> ⅛ ’ г> 1,5х; д> T∑9 ; е) У - 5∙ 154. а) 1; б) а; в) x2 + 1;
од—ор	1—a	a+z
r)-m.155.a)2^ + ⅛β) ^!;в) ≡=alir) ¾⅛i. Ив..)
б)	; в) . 157. a) 2 1	; б) 1. 162. д) 4*2^4y2 ; е) a2 + b2.
4α+8 у	a2+a+l τ	ху ’ '
163. a) j⅛! б) 1; в) x∖+y∖ ; г) ab+b^+^ , l64. a) ^i=a. g) a~⅛3c ;
х+1 7	x3-j∕3 a+b+c	’ 2х+а а+Ъ-с
в)	г) 165. a) ⅛ ; б) f . 166. а) 3; б) -1. 168. а) у = Зх + 4;
б) у = ~2x ∙ l^θ∙ I2 см һәм 32 см. 171. 4 сэг тэн соц. 182. а) у = 1;
б) у =	; в) у = | . 186.	!90. д) x(x - 1) (x2 + 1); е) c(c + 1)
(с - 1Хс - 2); ж) 4(1 - 3αχi + 2а); з) (7Ь + 3X3 - 5Ь); л) (2α + iχα2 + а +1);
м) (2 - b)(7b2 + 8Ь +4). 193. υ =	; 45 км/сэг; 80 км/сэг.
226

194. д) -3 һәм 3 тән башка барлык саннар; е) барлык саннар.
1αα а) xy+2 ■ ω a=c. bλ -b±a_. г) (a+3)2 . . ,4y2÷2y+l.	2 .
1аУ- а) ху+34 ’ 6, а+с ’ , 2b-2a ’ Г) 3-а ’ , 2y2+y ’ ' х ’
з) ∙ 200. Д) fi=⅜ ; θ) F÷⅛ • 201. а) √-τ; б) ⅛1; в) —-≡-1;
’ 5a+3b	a+b ’ 3x+2	b7+l χ11 xy-z2
г)	1 - ab. 204. а) б) 1|; в) 45; г) ⅛. 207. а)-4; б) 0,9.
209. а) п = 1, 2, 3, 6 булганда; б) п = 3, 4, 6, 12 булганда; в) п = 1, 2, 3
булганда. 210. а) 6; б) 4; в) 0,2; г) 1,4. 211. а) 2; б) θ ; в) 1; г) 0,5.
214. д) ⅛⅛ е) 1. 215. а> 6> 4; в) -> Д> 1;
е\ —22— 217 а) 2y+3θ . g∖ 8 • в) — • г) — • д) 2zn+l . ,  4j∕^ .
е)	15a+8 ∙ ziτ а) y2—Q ’ 0> 3-2a ’ , у’ , 4 ’Д) 12m-6 ’ j (x2-y2)2 ’
ж)	H⅛ з)	. 219. а) -4-: б) 1. 223. а) a = -6 булганда;
aj-l xi+xy+y2	abc
б)	a = 5 булганда; в) a = 6 булганда; г) а = 7 булганда. 225. а) п = ±1,
±3 булганда; б) п = ±1, ±3, ±9 булганда; в) п = -8, -5, -4, -3, -1, 0, 1,
4 булганда. 226. а) а = 2, Ь = 3; б) a = 8, Ь = 3. 229. а) ; б) 1.
(а-ЬУ
231∙ »	6> 1' 23β∙ 1> б) 3x~3v∙ ” -^i∙ г) 2⅛∙
237. а) 4⅛s б)-зд; в) ; r) gg. 238. а) S-lΛ б) «.
242. .) «=12; б) 3⅛≡ .) 10« г) 243. а) ; б) J⅛⅛i
в)	≠ξ4 » r) x +	250. k = 2 һәм Ь = - 3 булганда.
ЛХ + 1
II	бүлек
259. а) 0,(142857); г)-2,(2); д)-0,5(3); и)-1,075(0). 260. б) 0,2(3);
в)	0,(428571); г)-0,625(0). 265. а)^ ; б) . 279. а) 3,2; б) 3,11;
в)	3,115. 280. а) 16,6; б) 16,56. 281. 28,26 см. 282. 314 м2. 283. |.
293. ж) 10; з) 6,2. 294. д) -0,01; е) 0,09; ж) -0,7; з) 3. 301. а) х = 9,2
булганда; б) x = 13,5 булганда; в) x=l,5 булганда. 303.-1.
309. д)-0,7 һәм 0,7; е) —/40 һәм /40 ; ж)-8 һәм 8; з) тамырла¬
ры юк. 310. а) Тамырлары юк; б) -0,3 һәм 0,3; в) —УбО һәм VβO ;
г)	тамырлары юк. 311. а)-2 һәм 8; б) —7 һәм-1; в) 6-^7 һәм
6 + √7 ; г) -2 - √6 һәм - 2 + √6.317. а) 1,29; б) 19; в) 42; г) -17.
15*	227

318. а) -12; б) -45; в) 0; г) 2. 320. а) -3; б) 3. 321. a) ^5(2-xf ;
б)	16α(α + 1). 325. √6 = 2,44... . 326. √10 = 3,1 ... . 328. 4,2 см.
329. а) √(a + Ъ)с ; б) √fe +а; в) √(√ft + с)а . 331. а) 10,12; б) 6,17;
в)	7,04; г) 0,95; д) 4,08; е) 14,88. 332. а) 1,932; б) 1,189; 333. а) 7,84;
б)	8,12. 334. а)-5,48 һәм 5,48; б)-1,20 һәм 1,20; в)-0,46 һәм 6,46;
г)-3,83 һәм 1,83. 335. а)-0,3; б) 6,6; в) 6,6; г) 9. 337. а) 3; б)-2,5.
339* а) fcft ; б) 2y+3x ∙ 352∙ а) 8’2: б) 36; в) 12; г)-5' β60∙ а) 12;
б)	10,8; в) 0,0033; г) 1||; д) 2|; е) 3∣. 361. а) 9; б) 0,24; в) ⅛;
г)	1|. 362. а) 180; б) 50; в) 48; г) 28; д) 30; е) 6; ж) 24; з) 2,6.
363. а) 60; б) 60; в) 42; г) 32. 364. д) 12; е) 12. 365. д) 6; е) ||.
370. д) 4,5; е) 3,1; ж) 0,22; з) 0,58. 371. в) 0,27; г) 3,9. 372. ж) 15;
з)	2. 383. а) 130; б) 7. 387. в) 3 с; г) -5у; д) - 6х; е) Зу, ж) -10х; з) -2а.
388. в)-0,8х; г) 0,5z∕. 390. a)-0,7x2j б) 0,1а13; в) бс6; г) 8y3 392. ж) 45;
з)	392. 393. д) 48; е) 1125; ж) 112; з) 675. 394. а) 144; б) 225; в) 168;
г)	825. 395. а) 48; б) 135; в) 504. 398.	. 412. б) -ι∕√10; в) x√χ ;
г)	а2 у/а ; д) 4z∕3 y∣y ; е) . 413. a) 2a √f2a ; б) 1052 у/зЬ ; в) -4x √3 ;
г) 6a2 л/2 ; д) 5a3 y∣2a ; е) -Зс3 7з . 414. б) -у у/з ; в) За 4а ; г) 5⅛2 √2 .
415.	. 416. Беренче көндә 36 китап, икенче көндә 48 китап, өчен¬
че көндә 60 китап төпләгәннәр. 417. а)-2,5; 6)-7,2. 418. з) Зу/2 ;
и)	√3 ; к) 2√2.419. д)-3 2; е) 3 2. 420. г) 15; д) 21; е) 12-2√6 .
421. в) 5 - 3 √2 ; г) 60. 422. в) 18 -7√6 ; г) 17 - 5 √10 ; д) 2 - √15 ;
е) 9√6 - 33. 424. в) 6; г) -0,5; ж) 42 - 8√⅞ζ з) 66 - 36 √2.425. а) 11;
б) 8; в) 32; г) 60; д) 14; е) 8. 426. д) 6; е) -19; ж) 38; з) 2. 429. е)
Ж) -√7 ; 3) y[^-, и) 4=. 430. д)	е) ^-∙, ж) з) -L;
√x	√2	5	3 √χ
и)	-¼. 439. 20. 440. 28 км. 441. а)-1; б) 8∣. 451. в) 0,(846153);
√a	»
г) 0,(037); д) 0,0(571428); е) -0,3(18); ж) 0,7(6); з) 0,2(18). 455. г)
е) 1; з) f; и) 1; к) ⅜. 458. б) |; д) 40,5. 459. 49. 464. а) х > 0 бул-
ганда; б) х ≥ 0 булганда; в) х ≥ 0 булганда, х = 1 дән башка. 468. в) 9,1;
г) 1,08. 469. а) 8,5; б) -Z-; в) 1|; г) 1¾-. 470. а) 45; б) 0,9; в) 100;
96	29 1оә
228

г) 0,04. 473. г) 3,2; д) 8,1; е) 0,001; ж)-64; з) 0,025. 478. г)-0,5рг/3;
β) ; ж) ⅛5 3) -⅛∙ ^80. а) |л| л/15; б) 21x2-∖∕3 ; в) 0,5х-Убх ;
г)	За2 Та ; д) За ∣α∣ V2ft ; е) -4m3 43а . 481. а) -За 4b ; в) 12 аЬ 4ab ;
д)	-сТ-Зс ; e)-τn3 T-5m ; з)-Т-х . 484. B)-√3α3 ; r)-√-3a3 ; e)V-3a3 ;
з) y∣ab2 + a2b . 487. б) х + y∕χy ; г) т 4п - п 4т ; е) За - √aft - 2ft;
з) 6x - 5х >/2 .488. в) т 4т - п 4п ; г) х3 + у y∣y . 490. в) 2; г) 3 .
•Ц=. 496. a) √2 ;
a-4ab+b
б) ; в) δ⅞⅛ ; г) ф; д) √3 ; е) √10 - √3 -1. 498. а)
√2	у12	√2	Х~У
б)
в)
27-aVa .	, l+8xTx . м
9-a ’	,	1-4х ’ П
49-а	тп-1
343+аТа ’ r' mn4rnn-l'
g3fr2^ .8 . 499. а)
a3ft-4
500. а) 2+λ^~^
4
χ-V . 6) a2-b .
x+4χy a24b-ab
. ~ √5-3√3+2√15+4
’ j 22
501. х = 0 булганда. 502. а) -V10 ; б) 5 λ∕15 ; в) 43 ! г) 3,5 л/б . 503.
а)	-*J б) -Taft(a-ft).
Ill	бүлек
511. а) 0;-1,5; б) -∣√6j J√6 ; в) 0; |; г) 0; |;д)-|; |;е)-ТЗ;
√3.512. а) 0; 2; б) -1; 1; в) 0; |; г) 0. 513. а) 0; 1; б) -∣√6 ; ∣√6 ;
в)	0; ∣jγ)-∣√25 ∣√2j д) jje)-√55 √5.514. а) О;-9; б) -1 √2 ;
т>42 ; в) _^л/б ; ^4& ; г) -2; 2; д) g; е) тамырлары юк. 515. 2 һәм 3.
516. 12 см. 517. 4у/з см. 518. дм. 519. rVπ см. 521. 3,96; 59.
523. б) ⅜. 524. в)-1; 6; г)-1; 9. 526. а) 2; 4; б)-3; 2; в) -3;-1;
г)	-2 - √6 ; -2 + √6.527. а) 2; 2,5; б) -1,6; 1. 528. -3; 0,2. 530.	.
531. а) 9; б) ∣.534. а) 1; 1|; б) 0,6; 1; в) 2; 2∣jr) 2|;2; д) 1; 0,2;
е)-3; 2|; ж)-2; 12; з) -10; 9. 535. а) б) ; в) тамыр-
лары юк; г) g ; д) -8; 19; е) тамырлары юк. 536. а) 0,2; 2; б) -6; 2,5;
в)	1^; г) -1;1; д) ; θ) ⅜. 537. х = 5 һәм х = 6 булганда;
б)	х = —һәм х = --T⅜l булганда; в) х = 0 һәм х = 3 булганда;
229

г)	х = -1 һәм х = 1 булганда. 538. a) х = 2 һәм х = 9 булганда;
б)	х = 0,5 һәм х = 2 булганда. 539. а) 2; 2^; б) 0,2; 3; в) - 10; 8; г) - 1;
23; д) 3,5; 5,5; е)-1; 2^; ж) 10^ ; з) 5±5√2. 540. а) |;1|;
б)	-1⅜J⅜; в) г)-6; 14; д) -3±2√7 ; е) -6; 0,8; ж) 17; з) -б|;-4.
2 6*	о
541. а) 3; б) 1; 1^; в)-1; -0,8; г) д) тамырлары юк; е) —11;
2; ж) 4; 8; з) 0,7; 0,9. 542. а)-0,2; 2; б) -7; 2; в) 3±3√2 ; г)-4; 5;
д)	16; 36; е)-1; 2⅛J ж) |; з) -1|; 1. 543. a) 1; 25; б)-10; I; в)-8;
12; г) |; 3; д) 20 ± 10√5 ; е) тамырлары юк. 544. а) -0,2; 1,7; б) ;
в)	5 ± √5 ; г)-4; 0,5. 545. а)-8; 3; б) 1|; 4; в)-91; 87; г)-59; 53.
546. а) -2; -2 j; б) ⅛; в) 0; 2; г)-2; 3. 547. a)-1; 23; б) 2; 2∣; в)
1; г) - 5; - 3. 548. a) x1 - 0,36, x2 ≈ 0,56; б) x1 - 2,78, х2 - 0,72; в) y1 - 1,26;
y2 ≈ 1,59; г) y1 - 9,20, y2 « 1,20. 549. a) x1 ≈ 1,35, x2 ≈ 6,65; б) y1 - 0,78,
i∕2≈3,22. 550. а)-1; 2® ; б)-7; 5; в)-0,2; 1,8; г) тамырлары юк;
д)	25; е)-9; 3. 551. а) 7; б) 0,6; 2; в) 2∣. 553. а) -|; б) 7,5.
554. a) √3 + √2 ; б) 2 + 3√5.558. 32 см. 559. 140 м. 560. 10 м, 21 м.
561. 8 см, 15 см. 562. 11 һәм 12. 564. 30 см. 565. 16 см, 30 см.
566. 15 см. 567. 26. 568. 16, 17 һәм 18; -18; -17 һәм -16. 569. б) .
570. a) 1; б) 2. 571. а) 0; 6; б) -1⅜; 0, 578. -5; р = -2. 579. 0,5; q = 6,25.
580. 0,6; b = -43. 581.-2; c = -106. 582. 35. 583.-8,75. 587. а) 0;
-⅜j6) -fs ⅜; в)-6; 0,8; г)-2; - ⅜; д) теләсә нинди х өчен; е) -l⅜j⅜.
о о о	У	5 7
588. 9,6 м2. 589. 90 см. 590. д) -27; -1; е)-0,2; ж)-0,5; 1; з) j;
и)	0; ⅜. 591. а)-12,5; 6)3; 4; в) -2 j; г)-1; 3,5; д)-2; 1|;е)0;-8;
ж)	1; 1,5; з) 0; 1,5. 592. в) ⅛; г) 1; 10; д) -1; 1; е) 1; 2; ж) -3⅜! 1;
з)	-3,5; 5. 593. а) 3 ± Vδ . б) -6; 5; в) -4-1; г) 1; - 9; д) тамырлары
О
п
юк; е) 4. 595. а) 6; б) -3;	; в) тамырлары юк; г) 5; д) -6; 6; е) -4; 4.
596. а) 2; б) 1; в) -11; г) 6. 597. а) -3; б) 0; -1|; в) 3; г) -3; 3; д) 9;
О
13; е) l⅜j2⅜. 598. a) 1; 7; б) 1 ± √14; в)	г) 1;
599. a) -⅛j б)	в)	602. a) √y; б) . 604. f.
230

605. ⅜. 606. 60 км/сәг һәм 40 км/сәг. 607. 18 км/сәг. 608. 10 км/сәг
О
һәм 12 км/сәг. 609. 70 км/сәг һәм 80 км/сәг. 610. 80 км/сәг.
611. 6 км/сәг яки 5 км/сәг. 612. 2,5 км/сәг. 613. 2 км/сәг. 614. 10 сәг
һәм 15 сәг. 615. 20 көн һәм 30 көн. 616. 10 көн һәм 15 көн.
617. 36 км/сәг һәм 40 км/сәг. 619. а) 0,1; б) 3,5. 620. 16. 630. 4км/сәг.
631. 30 га. 632. а) б) 2*∙+⅜ . 636. а) 0; 1; б) 0; 6,8; в)-1,2; 1,2;
х-у х-у
г)	0. 641. а)-1;	б)-8; 7; в)-7; 8; г) 1,6; 2; д) -3|; 3; е)-1;
4|; ж) -51; 2; з) ЦД. 642. а)-1,2; 0,2; б) -4|;-1|; в) 2|; 4;
г)	д) -⅞'-5> е)~1» 1> ж)-2,5; 2,5; з) теләсә нинди х
өчен. 645. а = 8 булганда. 649. 10, 11, 12, 13, 14 яки -2, -1, 0, 1, 2.
650. - 2, 0, 2 яки 6, 8, 10. 652. 7 һәм 8. 655. 9. 657. 0,36 м2 яки
0,81 м2. 658. 54x36 см. 659. a) 2√2 ; 3√2 ; б) —6√3; 4√3 ; в) 3±√2 ;
г) 5±3√2.666. 9,16. 667. с — 3,12. 668. b = -2, с = 0. 669. b = 1, с = -2.
673. а) 11; 13; б) -14; 5; в) -3; 7; г) -5; 4^; д) 12; е) тамырлары юк;
ж)	3; -5; з) тамырлары юк. 677. a)	; б) -1,5; 1; в) тамырла¬
ры юк; г) 9; д) 0; е) - g ; ж) 2 ± л/35 ; з) 0; -1,5. 678. a) 1; θ ; б) 0,4;
0,5. 680. 500 км/сәг һәм 600 км/сәг. 681. 60 км/сәг. 682. 10 сәг.
683. 9 сәг. 684. 50 км/сәг. 685. 60 км/сәг. 686. 5 км/сәг. 687. 2 км/сәг.
688. 3 км/сәг. 689. 3 км/сәг. 690. 2,4 км/сәг. 691. 3 км/сәг.
692. 50 км/сәг. 693. 40 км/сәг. 694. 4 сәг 40 мин. 695. 160 км яки
200 км. 696. 450 км. 697. 18 км/сәг. 698. 48 км/сәг яки 9 км/сәг.
699. 60 см һәм 80 см. 700. 10 костюм. 701. 32 тузан суыргыч.
702. 10 көн һәм 15 көн. 703. 15 көн һәм 10 көн. 704. 12 сәг.
705. 10 сәг һәм 15 сәг. 706. 25 сәг һәм 20 сәг.
IV	бүлек
726. 3jL. 727. а) *=*; б) 1. 728. a) 1; 5; б) 0,3; 2. 745.	22; 0.
746. a) -1; 1; б) 2; в)-6; 3; г)-1; 5. 758. 6x6 дм. 759. |. 769. а)-3;
-2; -1; 0; 1; 2. 771. а) - 9; б) 16; в) 31; г) 7. 773. а) (5; 8); б) [ -4; 4];
в)	(7; +<»); г) (-∞j 6). 776. а) ; б) ~2a^ ’ 4θ км/сәг; 45 км/сәг.
779.	784. а) (5; +<*>); б) (4; +∞)j в) (-«; 1]; г) (-∞j 3]; д) (~°°; 0,15);
е)	[|; + оо); ж) (-∞j -0,25); з) (-°°; 0]; и) (-8; +~); к) (0; -һ>°); л) (18; ■+«>);
м) (7; +∞). 785. a) (-∞j 8,5); б) [-0,6; +-); в) (4; +~); г) (7,5; +~);
д)	(1 з; + °°); е) (1,8; +°°); Ж) (-«»; IJ; з) (-оо; 2,4]; и) (-∞j 12); к) (0; +°°);
л) [-30; +°о); м) [-20; +∞). 788. а) (-<*>; 0,4); б) (-∞ι -0,4); в) [-5; +°°);
231

г) + д) (-1,4;+~); е) (-°°;-1); ж) (-«>; 12,6); з) [-13; +∞).
789. а) (-о»; 1); б) (-«>; 2); в) [6; +~); г) (-*»;|); Д) (-*; 0); е) (—»; 9);
ж)(-13;+~); з) (2|;
-5);
■; 2); б) (2;+оо); в) (-0,4;+~); г) (-~J⅛)∙
; + ∞); в) (-«>; 14]; г) (-17; +∞). 797. а) (2,5; -Н=о);
>;2|]; д) [14;+°°);
3 -
. 790. а) х > булганда; б) у > 7 булганда;
в)	с < -25 булганда. 791. а) а < 2,5 булганда; б) р > 5 булганда.
792. a) (→oj-1] ; б) (9; +~); в) (-«; -3,1); г) (-~; 0,8); д) (-~;1|);
е)	(-оо; 22,5); ж) (-«>; 2). 793. б) [0; +~); в) (1; +~); г) [2|; + °°);
д)	(-<*>; 4,7]; е) (4,8; +∞). 794. а) (6; +«>); б) (0; +∞)j в) (-<
г)	(-3; +оо). 795. а) (-
б)	(-«>; 6); в) [0; +°°); г) (3; +°°); д) (-4; +∞)j е) (
798. а) [0;+~); б) (l∣! + ∞)j в) (∣5 + ∞)j г) (
е)	(-∞j 20,5). 799. а) у < 3 булганда; б) у > 7 булганда; в) у > бул¬
ганда; г) у <0,1 булганда. 800. а) (-«о; 6); б) [1у; + «^; в) (-∞j12)j
г)	(2; +<*>); д) [-l∣j + ∞); е) (0; +∞). 801. а) (~°®; 0,2); б) (-«; 0,5];
в)	(-о®; 40]; г) (-∞ι -10]. 802. б) (-∞5⅛b в) [1,5; +°°); г) (-∞j 3,5];
д)	(-°о;-10); е) (9; +∞). 803. a) (-∞5∣)j б) [-5; +~>); в) (-<»;-0,6];
г)	оо; - 3⅛j. 804. а) а > 0,7 булганда; б) Ь < 3 булганда. 805. а) х — те¬
ләсә нинди сан; б) чишелешләре юк; в) чишелешләре юк; г) чише-
2	1
лешлэре юк. 808. а) х ≥ 2 булганда; б) a < -ζ булганда; в) a > -⅜
о	о
булганда; г) a≤ 1,4 булганда; д) x≥0,2 булганда; е) x≥6 булганда.
809. а) 3; б) 24. 810. а) 1; 2; 3; 4; б) 1; 2. 811. 2 см дан кимрәк.
л
812. 12,15 дм дан кимрәк. 813. 26^ км дан артык түгел. 814. 3.
О
815. а) 1; 4; б) 0; 1. 817. 12 км/сэг. 821. а) (6; +«>); б) (-∞5-1);
в)	^0; 3 θ j ? г) чишелешләре
г)	(0,1; 0,2). 823. а) [2; 2,5]; б) (1,5; 3); в) (13|;25); г) (→s∣].
824. а) (-12; 2]; б) чишелешләре юк; в) (0; 15); г) (-∞j -3). 825. а) (-1; 0,8);
юк. 822. а) (0,8; +~); б) [2; 4]; в) (|;	;
232

б) (-©о; -1,5]; в) (^4^,÷oop r) [3; θ,7)∙ 826. a) (-©о; 2,4); б) чишелеш-
лэре юк; в) ^-8;1^); г) [1,5; +∞). 827. а) (-«>; 1]; б) + в) (3; 6];
г) [-1; 1,5]. 828. а) (3; +°°); б) (-∞j -3); в) [-11; 3]; г) чишелешләре
юк. 829. a) (%3∣); б) (0,1; +~); в) (-0,24; +«); г) (-°°; -1,8). 830. а) -4,
-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3; б) 2, 3, 4, 5, 6; в) -1, О, 1, 2, 3. 831. а) О, 1, 2, 3;
б)	4, 5, 6, 7; в) 1; г) 1. 832. а) (~°°; 2,8); б) чишелешләре юк.
833. а) (-∞j 6); б) (1;15); в) [0,6; 5]; г) (2; 16]. 834. а) (X; 9∣; б) (-2; -1);
в)	чишелешләре юк; г) [Х;2^. 835. а) (-1; 2); б) (-12; 17); в) (0,5; 2);
г)	(-1; 3). 836. а)[-2|;5]; б) [-11; 7]; в)[-5;|]; r)[-jj2].
837. а) [-1; 2); б) [3; 9]; в) (-0,7; 1,1); г) (-1|;|]. 838. а) 1| <у<2
булганда; б) 0,5≤5<6,5 булганда. 840. а) (-«°; 2); б) (1; 4). 841. а) (1; 7);
б) (1; 3). 842. а) х ≤ ||; б) х > 2,2; в) х ≠ |. 843. 1, 2, 3, 4, 6, 12.
845. 10 км/сэг, 15 км/сэг. 865. а) -6 < а + 2Ь < -3; б) -11,5 < ±a-b< -9.
866. 5,2 <^<5,25. 868. 4,8<^±e<4,9. 879. a) (-∞j-60);
б) (4,8; +~); в) (0,56; +«); r)(-o5⅛]j д) (-~; -1); е) (l∣5 + ∞).
880. а) Н»; -115); б) (0,2; +°°); в) (-«>; 15); г) (-∞j 1,4). 881. а) (^»; 0,325);
б) (-1; +∞). 882. а) 1, 2, 3, 4; б) 1, 2, 3, 4, 5. 883. а) Андый кыйммәт¬
ләре юк; б) х ның теләсә нинди кыйммәтләре өчен. 884. а) (—°°; +∞)j
б)	(-∞5 +∞). 885. a) α > 0 булганда; б) a > 2 булганда; в) a > -3 бул¬
ганда; г) a > -7 булганда. 886. a) b < 0 булганда; б) b < -4 булганда;
в)	b < -3 булганда; г) b < -0,2 булганда. 887. а) т ≥ 8 булганда; б) т < 2
булганда; в) т < -6 булганда; г) т < 3,5 булганда. 889. Тимер
коелмалар 5 тән артык түгел. 890. 6 км/сәг тән артыграк.
891. 18 км/сәг тән артыграк. 893. а) (9; +°°); б) (-<»; 0); в) чишелеш¬
ләре юк. 895. а) (g J + oo)l б) (0,1; 5); в) чишелешләре юк; г) (0,8; +°°);
д)	(-∞ι - 0,2); θ) (1⅛5 + oo) ∙ 896. a) 1∙ 2∙ 3∙ 4, 5> 6> 7> 8> 95 6) ~1°! ≡) 1?
г)	2, 3, 4, 5. 897. а) (-3; 6); б) (1,5; 2,5). 898. а) l,5<x<4,5 бул¬
ганда; б) 5 ≤ х < 15 булганда. 899. а) (о;	; б) (0; 0,8). 900. а) (-1; 0);
б) (-5; 0). 901. 1 сум 16 тиеннән кыйммәтрәк, 2 сум 04 тиеннән
арзанрак. 902. 10 км дан артыграк һәм 16jkm дан кимрәк.
233

V	бүлек
β0β∙ r> я■ ■»> -39⅛> '> -⅛∙ 91β∙ ∙> i∙ 6> -⅛≡ ∙> i- ⅛∙
д)	6; е) 125. 919. в) ; г) (ХУ~2)(*+2У). 92θ. a) -⅛; б) . .
ab	ху	’ ab a2b2(b-a)
922. 12,5 км/сәг. 923. a) x> ⅜. 926. б) 3; г) 25; е) 0,001. 932. а) 26;
Ә
б) 2 3; в) 23; г) 22. 934. a) 1; б) 27; в) 1000; г) ⅛j д) 2; е) 1; ж) 81;
25
з)	15 625. 935. а) 5; б) 1; в) г) 144; д) |; е) ⅛. 938. а) х2;
б)	х5; в) хп + 7; г) x4 n. 940. а)-1; б) 6. 941. а) 0,224; б) 125.
945. a) ±x4y5∙, б) 81а&7; в) 15х5у5; г) ⅜p5g10. 946. a) ⅜xy11j б) та4 Ь4;
о	4	о	Ә
в)	5с3р3; г) 2x~8y9. 947. а) 4х; б) 35; в) 4a4b2c4∙, г) ^x~2<∕5z.
948. a) 27x3y, б) 20aβb^2∙, в) 4а-10512; г) ∣x^δι∕6. 950. 3 км/сәг.
952. а) Чишелешләре юк; б) х <-^γ. 961. а) 4,55 ∙ Ю5; б) 2,288 ∙ Ю2.
962. а) 8,25 ∙ Ю3; б) 2,5625 ∙10 2. 963. а) 2,1 • Ю2; б) 1,5 ∙ 103.
967. 1,404 ∙ 103 кг. 968. 96 км/сәг. 969. а) 42,966; б) 17,856.
970. a) 2&3; б) -1 x~2y. 971. a) - ⅛); б) (-∞!	. 984. a) 6,594 ∙ 108;
б) 8. 985. Чишелешләре юк. 986. л/2 - 9. 993. 0,92 кг. 994. 21,21 м.
995. 13,78 Ом. 996. 527 м2. 997. 1,10 ∙1021 т га. 998. а) 7,5 ∙ 107;
б) 8,0 • Ю3; в) 8,26 ∙ Ю2; г) 1,4 ∙ 10^4. 999. а) 1,6 • Ю2; б) 6,2 • Ю2.
1004. 21,9 м2. 1005. 4,93 га. 1006. 1,6 км. 1007. а) 25,2 м; б) 3,4 м.
1008. 9,2 м. 1009. 37 см3. 1010. 48,2 см, 1,3 • Ю2 см2. 1011. а) 1,04 ∙ 103.
1012. 6,3. 1013. а) 2,2 • Ю2 см2; б) 1,98 ∙ 103 м2. 1014. 70 т.
1018. 20 км/сәг. 1023. а) 1,0 ∙ Ю3; б) 1,2 ∙ 10^6. 1024. 11 км/с. 1029.
0,05 м3 га. 1036. а) 10 000; б) ⅛. 1039. а) -1600; б) -0,08; в)-1000;
г)	11; д) 7; е) 5. 1041. a) ⅛i5 б) ; в) 7~⅛J г) ⅛≠.
x2y2	х2 (m-ri)2 x2y2
1042. а) ху(х+у); б) -(a +Ь). 1043. a) 0,4552; б) 0,25xV3; в) 4,8y^1!
г)-12,5; д) ⅛a-3b4∙, е) 61χ-4∕∕2. 1048. а) х17; б) α12. 1050. а) 3";
б) 2 ". 1053. а) 2,38 Ю4; б) 1,62 • Ю1; в) 3 • Ю3; г) 8,67 • Ю17.
1054. а) 1,43 • Ю5; б) 4,071 • Ю3; в) 9 • Ю"4; г) 2,13 • Ю5. 1064. 25,6.
1067. 48,2 м һәм 1,3 • Ю2 м2.
234

Авыррак мәсьәләләр
1078. a)	б) 4a32+a2⅛+a ■ Ю79. х = 2, <∕ = 1, г = 3, и = -l,
υ = -2. 1082. 2. 1083. х = 1, у = 2. 1085. a) 2; б) 1. 1087. (x2 + х + 1) ×
×(x2 + x + 1Xx2 + x√3 +iχx2-x√3 + 1). 1095.-6. 1096. ±16. 1097. 2.
1099. 160 км. 1100. 10 м. 1101. 60 сәг. 1102. 10 км. 1103. 72 км.
1104. 4,5 сәг һәм 3,6 сәг. 1105. 1,2 тапкыр. 1106. 12 сәг тә һәм
15 сәг тә. 1107. 28 сәг тә һәм 21 сәг тә. 1110. 2 сәг тән соң.
1122. 10.
*-.'X
OS

Эчтәлек
I бүлек
РАЦИОНАЛЬ ВАКЛАНМАЛАР
§ 1. Рациональ вакланмалар һәм аларның
үзлекләре	 3
1.	Рациональ аңлатмалар	 3
2.	Вакланманың төп үзлеге. Вакланмаларны
кыскарту	 7
§ 2. Вакланмаларның суммасы һәм аермасы 14
3.	Ваклаучылары бертөрле булган
вакланмаларны кушу һәм алу	 14
4.	Ваклаучылары төрле булган
вакланмаларны кушу һәм алу	 19
§ 3. Вакланмаларның тапкырчыгышы
һәм өлеше	 26
5.	Вакланмаларны тапкырлау.
Вакланманы дәрәҗәгә күтәрү	 26
6.	Вакланмаларны бүлү	 31
7.	Рациональ аңлатмаларның рәвешен үзгәртү 35
8.	у = функциясе һәм аның графигы ....	41
I бүлеккә өстәмә күнегүләр	 46
II	бүлек
КВАДРАТ ТАМЫРЛАР
§ 4. Реаль саннар	 55
9.	Рациональ'"саннар	  55
10.	Иррациональ саннар		 60
§ 5. Арифметик квадрат тамыр	 66
11.	Квадрат тамырлар.
Арифметик квадрат тамыр	  66
12.	х2 = а тигезләмәсе	 69
236

13.	Квадрат тамырның якынча кыйммәтләрен
табу	 72
14.	у = у/х функциясе һәм аның графигы ...	76
§ 6. Арифметик квадрат тамырның
үзлекләре	 80
15.	Тапкырчыгыш һәм вакланмадан
квадрат тамыр	 80
16.	Дәрәҗәдән квадрат тамыр	 85
§ 7. Арифметик квадрат тамырның
үзлекләрен куллану	 89
17.	Тапкырлаучыны тамыр тамгасы тышына
чыгару. Тапкырлаучыны тамыр тамгасы
астына кертү	 89
18.	Квадрат тамырларны эченә алган
аңлатмаларның рәвешен үзгәртү		92
II бүлеккә өстәмә күнегүләр	 98
III	бүлек
КВАДРАТ ТИГЕЗЛӘМӘЛӘР
§ 8. Квадрат тигезләмә һәм аның тамырлары 105
19.	Квадрат тигезләмәнең билгеләмәсе. Тулы
булмаган квадрат тигезләмәләр	 105
20.	Квадрат тигезләмәләрне икебуынның . . .
квадратын аерып чыгару юлы белән чишү 109
§ 9. Квадрат тигезләмә
тамырларының формуласы	 112
21.	Квадрат тигезләмәләрне формула
кулланып чишү	 112
22.	Квадрат тигезләмәләр ярдәмендә
мәсьәләләр чишү	 118
*	23.	Виет теоремасы	 121
<
§ 10. Вакланмалы рациональ тигезләмәләр	126
24.	Вакланмалы рациональ
тигезләмәләрне чишү	 126
25.	Рациональ тигезләмәләр ярдәмендә
мәсьәләләр чишү	 130
26.	Тигезләмәләрне график ысул белән чишү 132
III	бүлеккә өстәмә күнегүләр  	 135
237

IV	бүлек
ТИГЕЗСЕЗЛЕКЛӘР
§11. Санлы тигезсезлекләр
һәм аларның үзлекләре	 144
27.	Санлы тигезсезлекләр	 144
28.	Санлы тигезсезлекләрнең үзлекләре .... 147
29.	Санлы тигезсезлекләрне кушу
һәм тапкырлау	 151
§ 12. Бер үзгәрешлеле тигезсезлекләр
һәм аларның системалары	 154
30.	Санлы аралыклар	 154
31.	Бер үзгәрешлеле тигезсезлекләрне чишү 158
32.	Бер үзгәрешлеле тигезсезлекләр

системаларын чишү	 166
IV	бүлеккә өстәмә күнегүләр	 173
V	бүлек
БӨТЕН КҮРСӘТКЕЧЛЕ ДӘРӘҖӘ
§ 13. Бөтен күрсәткечле дәрәҗә
һәм аның үзлекләре		 179
33.	Бөтен тискәре күрсәткечле дәрәҗәнең
билгеләмәсе	 179
34.	Бөтен күрсәткечле дәрәҗәнең үзлекләре 182
35.	Санның стандарт рәвеше	 187
§ 14. Якынча исәпләүләр	190
36.	Якынча кыйммәтләрнең язылышы ..... 190
37.	Якынча кыйммәтләр белән гамәлләр .... 193
38.	Якынча бирелгәннәрне калькуляторда
исәпләү	 198
V	бүлеккә өстәмә күнегүләр	 201
Авыррак мәсьәләләр	 206
Тарихи мәгълүматлар	 211
VII класс алгебра курсы буенча белешмәләр . . J17
Татарча-русча атамалар күрсәткече	 223
Җаваплар	 224

Учебное издание
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
Учебник для 8 класса
татарской средней общеобразовательной
школы
На татарском, языке
Уку-укыту басмасы
Макарычев Юрий Николаевич
Миндюк Нора Григорьевна
Нешков Константин Иванович
Суворова Светлана Борисовна
АЛГЕБРА
Татар урта гомуми белем бирү мәктәбенең
8 нче сыйныфы ечен дәреслек
Редакторы Л. X. Мөхэммэтҗанова
Бизәлеш редакторы Р. А. Сайфуллина
Техник редакторы Ә. С. Трофимова
Компьютерда биткә салучысы Г. Р. Галимҗанова
Корректоры С. 3. Гыймалетдинова
Рәсемнәрне компьютерда эшкәртүчесе Э. Ф. Нурмөхэмматова
Оригинал-макеттан басарга кул куелды 12.12.2005.
Форматы 60×901∕ιβ. Офсет кәгазе. «Школьная» гарнитурасы
Офсет басма. Басма табагы 15,0 + форз. 0,25.
Тиражы 9400 д. Заказ К 5/123.
«Мәгариф» нәшрияты. 420111. Казан, Бауман урамы, 19.
Тел/факс (843) 292-57-48.
http://magarif.kazan.ru
E-mail: magarif@mail.ru
ДУП «Полиграфия-нәшрият комбинаты*.
420111. Казан, Бауман урамы, 19.

Дәреслекнең саклану дәрәҗәсе
Укучының исеме
Һәм фамилиясе
Уку елы
Дәреслекнең торышы
ел башында
ел азагында
1
л ⅜ιω√√zυιu<ft Ц.Д
‰UH∩UXf⅛
Җ|?' t<M
WψθOQ
9^
2
Ч) 4J
э ∕. p5∫
0
3
t-iθcy
4
dOW-<U)d
L б'
5
1 V
‰MLU,¼l. √
ZOV-2.0IZ

10 H∕H )9
К/Д£|РПЕ
САННАРНЫҢ
ДИСТӘ¬
ЛӘР
БЕРӘМЛЕКЛӘР
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
100
121
144
169
196
225
256
289
324
361
2
400
441
484
529
576
625
676
729
784
841
3
900
961
1024
1089
1156
1225
1296
1369
1444
1521
4
1600
1681
1764
1849
1936
2025
2116
2209
2304
2401
5
2500
2601
2704
2809
2916
3025
3136?
3364
3481
6
3600
3721
3844
3969
4096
4225
4356
4489
4624
4761
7
4900
5041
5184
5329
5476
5625
5776
5929
6084
6241
8
6400
6561
6724
6889
7056
7225
7396
7569
7744
7921
9
8100
8281
8464
8649
8836
9025
9216
9409
9604
9801