Автор: Дубровский В.Н. Смородинский Я.А. Сурков Е.Л.
Теги: физика математика теория относительности москва наука релятивистская механика
Год: 1984
Текст
@
БИБЛИОТЕЧКА . КВАНТ.
ВЫПУСК 34
В. Н. ДУБРОВСКИЙ
Я.А. смородинекий
Е.Л. СУРКОВ
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ
мир
,
МОС:КВА «HAYHA
rJIAВНАЯ РЕДАRЦИЯ
ФИ3IJНО МАТЕМАТИЧЕСНОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
198
22.313
Д Л)
}l ДI{ fJ30.1
р Е 11 А Н 11 И О li н А R Н О Л Л Е r и Я:
Аиадемик И. К. Кикоин (председатель), а:кадемик А. 11. Кол-
MoropOB (заместитель председателя), профессор JJ. r. А-С"lамазов
(ученый секретарь), член :корреСllондент АН СССР А. А. АбрIlНО-
сов, аиаде-ми:к Б. К. Вайнштейн, заслуженный учитель РСФСР
Б. В. Воздвщкенсний, академи:к П. Л. Капица, профессор С. П. Ка-
пица, а-кадеми:к С. .п. НОВИКОВ, а:кадемик Ю. А. Осипьлн, аl{аде
ми:к АПII СССР В. r. Разумовский, академик }). 3. Саrдеев, про
фессор Я. А. Смородинский, акадеМИF С. Л. Соболев, член :коррес
повдент АН СССР Д. К. Фаддрев" член :корреСllондент АН СССР
И. С. Ш"ловсний
Редактор выпуска Н. Ф. Пахuмов.
ДубрОDСIOJЙ В. Н., СМОрОДИВСЮlЙ Л. А., Сурков Е. Л.
Д 79 РеJIЯТИ:ВИСТСКИЙ мир. М.: Науна, rлавная peдaK
ция Физико матем'атической литературы, 1984.
176 с. ........ (Библиотечка «Квант». Вып. 34.) 30 R.
R ()rда снорости становятся близиими и Сl\ОРОСТИ света, в мех аниие
все изменяется. вместо заl\ОНОВ Ньютона надо использовать заионы 'reo
рии относительности физиии релятивистсноrо мира. В иниrе предла
raeтCH нетрадиционное изложение релятивистсиой механиии, OCHonaH
ное На ее уди ительной связи с <воображаемой reометрией» ЛобачеR
CHoro, причем БСе.. rлавные результат обеих теорий выводятся OДHO
временно; решаются неиоторые ИОНl\ретные задачи реЛЯТИВИС1СНОЙ мс-
ханини, встречающиеся в современной физиие.
Для ПОНl1мания :нниrи достаточно знания m:нольноrо курса физиии
и Математиии.
IIЛfl шиольнииов старших :нлассов, CTj eHTOB, преподавателей.
Д 170<1(}200()O 052 ББК 22.313
и53(()2) 4 1 9-84 fJ30.1
7Q4020000 052
Д , 189 84
U Ч 02 ) h4
@ Издательство «Ha'Y'Нa .
rлавная редаиция
физиио математичесной
литературы, 1984
or ЛАВJIЕНIIЕ
Введенир 5
r JI а в J 1." НЕРЕЛЯТИВИСТСRОЕ ПРОСТРАНСТВО
СltОРОСТЕй 10
1.1. Упруrие столкновения вереллтивистских частиц
(10). 1.2. Как. выrлядит упруrое рассеяиие в пабора-
орной системе отсчета (14). 1.3. Пространство скоро-
степ (19). 20
Задачи и дополнения
r л а n а 2. ПРИНЦИП ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ
2.1. Что rоворил об мом rапилей (22). 2.2. Принцип
относительности Эйнштейна (25).
r л а в а 3. ПР ОСТР АНСТВА И НАРТЫ 80
3.1. l\а рты скоростей в теории относительности (30)"
3.2. IIeMHoro rеоrрафии (32). 8.3. Звездные карты и
звездное небо (41.). 3.4. rеометрия пространства лучей
(44). 3.5. Что такое пространство скоростей? (49). 3.6.
I\3K устроено 'реЛЯТИllистское пространство скоростей
(54) . I
Зада чи II дополнен.ия . 58
r л а в а 4. rЕОМЕТРИЯ РЕлятивистсноrо ПРО
CTPA CTBA СКОРОСТЕй 61
4.1. Релятивистские карты скоростей (61). 4.2. Преоб...
разование карт релятивистскоrо пространс ва скоростей
(64). 4.3. Релятивистская формула сложения скоростей
(70). 4.4. Определение расстояния. в пространстве CKO
ростей (72). 4.5. Метрические соотношения для прямо-
уrольноrо треуrольника (77). 4.6. Теоремы косинусов
и синусов (84). 4. 7. rео етрия Лобачевскоrо И прост
ранство скоростей (88). 4.8. Сюрпризы rеометрии Ло
бачевскоrо (91). -
За ачи и дополнения 96
r л а в а 5. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ RИНЕМАТИRА 101
5.1. l\aK «решать треуI'ОЛЬНИКИ» на плоскости Лоба-
чевскоrо (101). 5.2. Еще один вывод формулы связи меж
ду скоростью и V' расстоянием (104). 5.3. Релятивист-
ский закон СЛОi1(ения скоростей (107). 5.4. Аберрация
света звезд (111). 5. 5! Р acnall нейтральвоrо пиона на два
lraMMa KBaHTa (114).
1* 3
r J1 а в а 6. ЗАКОНЫ COXPAHEHIIH ЭНЕрrии и ИМ
ПУЛЬСА В РЕЛЯТИВI1СТСRОЙ 1ЕХАНИI{Е 117
6.1. Что мы знаем об эперrии и импульсе? (118). 6.2 I\и
нематическип rраф ynpyroro СТОЛRновения (119). 6.3. Не--
релятивистский случай (122). 6.4. Энерrия и II:ИnУЛЬС
n теории относитеЛЬНОСТD (124). 6.5. Распад и рождение
релятивистских частиц (131).
Задачи и дополпения 135
r Jl а в а 7. КИНЕМАТИКА СТОЛКНОВЕНИЙ РЕЛЯ
ТИВИСТСКИХ ЧАСТИЦ. ФОТQНЫ 137
7.1. .Упруrое рассеяние частиц одинаковой массы (137).
7.2. У npyroe рассеяние тяжелой час.тицы На покоя..
щейся леткой (141). 7.3. Упруrое рассеяние леrкой реля
т вистской частицы на покоящейся тяжелой (142).
7.4. Эффект Комптона. Фотоны (144). 7.5. Эффект Доп..
лера (148).
r л а в а 8. rЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФИЗИКА ИЛИ ФИЗИ..
ЧЕСКАЯ rЕОМЕТРИЯ . 1
8.1. И вновь об 8нерrии J- и импульсе релятивистских
частиц (154). 8.2. Распад нейтра)Iьноr" пиона и rеомет--
рия JIобачевскоro (157).
При л о ж с н и е. ПРЕОБРА ЗОВАНIIЛ ЛОРЕНЦА 162
Преобразовавие 8нерrии и иипульса (162). rеометрия
Il.реобразоnания Лоренца. rиперБОJlичеСRИЙ поворот и
('ИJJерболические функции (165). Пространство время (171).
3aAa li 174
ВВЕДЕН1IЕ
о специальной теории отпосительпости па..
писаны сотни книr от CTPQro научных до совсем попу"
лярных. О ней писали физики, математики, философы.
Далеко не все авторы соrлаmались с ВЫDода fИ этой тео-
рии, столь странной для человеRа привыкшеrо R картине
физическоrо мира" Rоторая была создана "трудами физи..
ков XI веКа. События сложились так" ч!о именно на
теории относительности скрестили свои шп-аrи представи..
тели cTaporo и иовоrо мира. В 20..е ;rоды в rермании даже
вышла книrа а вывы:ающимM названием: «Сто авторов
против теории относительдости». Авторы таких нпиr пы...
тались найти ошибки в теории и заменить ее каRОЙ"НИ'"
будь друrой, не столь непонятной по их мнению. Но по..
степенно rолоса критиков стали слабеть" книrи их заБЫТЫ 1
а теория относительности вошла в нашу жизнь.
Идеям и формулам теории относительности мы порой
обязаны совсем проэаическим вещам", таким , например,,)
на.к теплу в нашеl\1 доме. Атомные электростанции, кото"
рые скоро будут обоrревать rорода, ПрОИ8ВОДЯТ энерrию
за счет деления ядер у.рана, а это возможно блаrодаря не..
ликой фо.РМУJlе Е == тс 2 . В лабораториях мира, исследо..
вательских и заводских, работают ускорители, проекты
которых основаны на формулах механики специальной
теории относительности или, кан принято rоворtiТЬ, реля
ТИВИСТСRОЙ мехаНИRИ. Все сейчас rонорит о том, что ре..
пятивистекая. механнна перестала быть наукой далеких
от прак'fИКИ ученых, а CTaJla почти «домашней».
!\оrда каная"нибудь область науки достиrает своей
вреЛОСТИ. fJ обнаруживаются новые п"ути ее иаложения.
Совсем e обяэательно, расснаэывая о ней, следовать ис..
торическому ПУТИ t вспоминая все препятствия, которые
Прихn илось преодолевать. Хотя и справедливо древнее
утвеРiндениеt; что в науне вет «царской» дороrи, но су-
щеСТВУIОТ все же дороrи более длинные и более Rороткпе.
МЫ попробуем пройти к решению задач теории относи
5
тельности путем более коротким. Rоrда создавалась Teo
рия относительности, этот путь еще не был открыт. От...
крытие ero СВ]Iзано с работа:МII I\дейна :и 30:ммерфr п ьда
в rеР lании, Варичака в Сербии и замечатеJIьноrо reo...
метра Котельникова, работавшеrо в Казани.-
В работах этих математиков и физиков было понззано,
что мир специальной теории относительности, который был
построен на физическом постулате неизменности скорости'
света для любых движущихся наблюдателей и ИСТОЧНIIНОВ,
совпадает по своим свойствам с миром, в котором справед'"
липы закопы rеометрии, открытой великим Лобачевским.
rеометрия Лобачевскоrо и механика (точнее кинем:ати'"
ка) Эйнштейна оказались в тесной связи друr с друrом:
релятивистская кйне атика оказалась точнейшей реа...
JIИЗ8цией «вообрал аемой rеометрии», как назвал свое co
здание Лобачевский.
Мы только что сказаJIИ «мир специальной теории OTHO
сительности)}; это не совсем точное название. rоворя «мир»,
MfJl подра,зумеваем пространство. Но это не тот мир, не то
пространство, в котором мы живем и ДВИfнемся, не то
пространство, в котором мы определяем расстояние «от
ПУПRта А до пункта Б». Мостиком, который соединяет Teo
рИIО относительности и rеометрию, является так назыае..
:мое пространство скоростей. Ero точки изображают Bce
B03MOfl\IIbJe системы отсчета, движущиеся пря:молинейно
и равномерно, а мерой уд-аленцости одной точки от друrой
служит относительная скорость со тветствующих систем.
В ЭТОl\f пространстве действует своя rеометрия со своими
прямыми, уrлами, треуrОЛЬНИRами, со своими теоремами
синусов и косинусов и т. д. Характер этой rеометрии
определяется физикой" 8 коииретно законом сложения
скоростей. Пока скорости малы по сравнению со скоро...
стью свет.а, векторы скоростей складываются так же, как
векторы перемеrцений, и rеометрия пространства CKOpO
стей будет такой же., как rеометрая пространства, в ко...
тором мы живем'........ евклидовой. Но в области больших
скоростей начинается странная арифметика: «любая ско'"
рость + скорость света == скорость света» разве не аб
сурд? И этот «абсурдный» постулат арифметики CKOpO
стей постулат Эйнштейна приводит К столь же «аб
сурдпому» постулату rеометрии пространства сноростеи
постулату Лобачевскоrо: «через точку, данную вне дан...
ной ПРЯ?10Й, можно провести не менее двух прямых, пе
пересекающих данную». Релятивистское пространство ско"
ростей обладает rеометрией Лобачевскоrо!
6
Этот замечательный выIодд итоr довольно долrоrо n
непростоrо пути, который нам предстоит пройти. Tpyд
ность заключается в том, что пространство скоростей
существует лишь в нашем воображении, ero нельзя ни
увидеть, ни ПQтроrать руками. ПОЭТО IУ, ПРСrнде чем мы
начнем вплотную заниматься ero rео.метрией, мы paCCKa
жем о вещах, Koropble кажутся даJlеними от нее (как
в rл. 3, посвященной различным пространства м и их плос-
КИl\f изобра>Нениям........ ка ртам) или чересчур простыми
и тривиальными (кан в rл. 1, I'де рассматривается нереля
тивистсний случай). Но мы надеемся, что каждый пример
и наждая аналоrия в свой час сыrрают свою роль IJ об
леrчат читателю доступ в скрытый от rлаз мир релятивист
ских скоростей.
MJ)I будем изучать этот мир, вооруженные своеобразным
словарем. Он позволит нам превращать задачи кинема
тики в чисто rеометрические и решать их, пользуясь все:м
арсеналом rеометрических теорем. По ходу дела мы полу..
чим большинство основных результатов специальной Teo
рии относительности. Однако до caMoro последпеrо раз
дела, ЯПЛЯIощеrося cBoero рода данью традиции, читатель
не встретит рассуждений о пространстве времени, масшта
бах, длинах и часах, с цоторых обычно начинается вся
кая кпиrа по теории относительности. Мы решили не пи
с#ать ни о сокращении длин, ни о парадоксе близнецов"
ни о мноrих друrих удивительных релятивистских эф
фектах. Обо всем этом написано уже не раз. Но теория ........
это не просто набор фактов" а в не меньшей, если не в боль..
шей степени ........ совонупность методов их получения. По..
этому мы не стреМИJIИСЬ рассмотреть как можно больше
задач, но зато старались не упустить возможности решать
их различными путями.
Пространство скоростей особенно хорошо работает
в задачах о столкновениях ---- и в этом одна из причин,
побудившая нас рассказать о нем. Ведь эти задачи без
преувеличения можно назвать самыми часто решаемыми
физическим 3\lдачами. Ежедневно в десятках лаборато
рий мира, в Серпухове и Женеве, в Дубне и Брукхей
пене, обрабатываются сотни тысяч экспериментов по
рассеянию элементарных частиц высоких энерrий. Это ........
единственный способ познать самые rлубокие заноны CTpO
ения материи. Энерrии становятся все больше и больше,
физики стремятся зареrистрировать все более рсдкие
и интересные события «жизни и смерти» элементарных
Частиц. Чтобы отобрать такие события", приходится про
7
с!\{атривать orpOMHoe количество экспериментальных дaH
Йых, фотоrрафий и показаний счетчиков и каil\ДЫЙ раз
приходится решать ту или иную задачу кинематики столк
вовений (сейчас этим занимаются в основном автоматы
и Э ЕМ).
Если бы неевклидова rеометрия не была создана
в XIX веке., то ее наверно открыли бы, изучая кинематику
релятивистских частиц. Разум человека настолько Mory
ществен, что аб'страктные идеи и открытия возникают за..
долrо до Toro, как они находят практическую реализацию.
В этом сила науки и на этом основывается уверенность
в первостепенной важности ФУ!lдаментальных исследо-
ван,ИЙ-.
Наша книrа предназначена тем, кто хотел бы во всех
подробнuстях узнать, R-ак из рбщих постулатов теории
относительности выводятся конкретные формулы реля..
тивистской кинематики., и поп.утно познакомиться сосно..
вами rеометрии ЛобачеВGкоrо. Последовательность чтения
чита Te ь может выбрать в зависимости от своей подr01 ( в..
КИ И вкусов. Для достаточно подrотовленных читателей
у нас припасен совсем короткий маршрут: он начипаетс.я
в разделе 3.5 и ведет сразу в rл. 8, FAe одновременно
выводятся основные формулы теории относи:rельно"
сти; и rеО)fетрии Лобач вскоrо. Быть может, этот путь
понравится читателю и у пеrо появится желание прочесть
или просмотреть все остальное. Есть и два друrих сокра..
щенных пути: читатель, больше интересующийся матема..
тической стороной дела, может пропустить rл. 5 и 7, а
тот, KOl\IY ближе физика и кто rOToB принять. на веру ос..
повпые. формулы rеометрии Лобачевскоrо, rл. 4 (наи..
бо.лее трудную в математическом отношении).
Rниrа возникла из лекций, прочитанных ШКОЛЬНИКаМ
9 10..x классов физико",математиче кой школы"интер
пата М 18 при Московском rосударственном университете
в 1969 1970 и 1979 1980 rодах, и может оказаться по
JlСЗlIОЙ для работы школьных факультативов по физике и
математике. С этой целью в конце почти каждой rлавы
помещены задачи для самостоятельноrо решения, расши..
ряющие и уrлуБЛЯlpщие ее содержание. Для чтения книrи.
ре требуется знаний материала, выходящеrо за рамки
обl)IЧПОИ ШКОЛЬНQЙ проrраммы, и мы уверены, что разоб...
раться в ней может всякий, кто интересуется физикой
и матоматикой и, самое rлавное, чувствует себя способ...
НЬ(М I10 настоящему поработать, чтобы узнать что то новое
и не С9всем обычное. (Стоит отдельно подчеркнуть,1 Ч10
8
очень ваiRПУЮ роль у вас иrрает эI спопевци8лыlнH фупкr..
ция у == еЖ. В ШRОЛЬВО}! учебнике она определяется
K8I\ таRая ПОRазательная функция, ПРОИЗlJодпая кото-
рой при х == О равна 1. В теории относительности 8ТОМУ
УСЛОВИIО замечатеJIЬНЫМ образом отвечает условие! что
при Iалых скоростях релятивистские формулы должвы
переходить в формулы Qбычной вьютоновской меха..
пики. Об атом рассказываетс,я в rл. 8.)
Эта книrа не для леrкоrо чтения, ниrде в ней точность
11 доказательность не приносилисъ в жертву «популярно..
сти». Зато чита1'еJIЬ сможет научиться решать интересные
и трудные задачи теории относительности. Сможет" если.
RонеЧНО J поверив в свои силы, преодолеет все препятствия.t
которые еще не очень давно отпуrИВaJIЦ людей более опыт-
НЫХ, но HaBeplIoe не столь лIQбознательпы1 1 как наш чи-
татель.
Авторы
rЛАВА 1
Н ЕРЕЛЛТИВИСТС КОЕ
ПРОСТРАНСТВО СКОРОСТЕЙ
Прежде чем начать долrое и трудпое путеше
ствие в релятивистское пространство скоростеЙ, мы хотим
вместе с читателем пройти по более леrкому Iаршруту
познаКО IИТЬСЯ с пространством скоростей в классической
механике. Здесь все нам будет 'привычно и законы фи
зики, И законы rеометрии самой обычной еометрии
плоскости, которую все мы'изучаем в школе. Блаrодаря
этому мы сможем сосредоточить внимание lIа том, как
в физических задачах естественным образом возникает
rеQметрический объект пространство скоростей, нак
хорошо известные пам физичесние законы превращаются
в rеометрические теоремы (например, закон сохранения
энерrии в TeopeMY Пифаrора!) и наоборот. Приобре
тепный здесь опыт со лужи" нам хорошую службу в даль
нейшем, коrда мы попадем релятивистский мир, физика
и rеометрия KOToporo болы&инству наmих читателей! Be
роятно.1 незпаI(омы.
.1.1. У ПРУ llе столкновения
нереля ивистских частиц
Мы приступ им н выдолнепию нашей про--
rра f П)' с разбора простой, по очень' НУil\НОЙ задачи
задачи об упруrом( столкновении тел, скорости которых
малы по сравпе.нию со скоростью света. Задача состоит
в следующем. Пусr.rь КаКая то частица пролетает мимо
llPYI'(}ll. Это MorYT быть два протона один из ускори--
1.t!JLH, друrой...... в ПОКОJ1Щейся :миmени, или два электро
на в двух встречных пучках в накопителе большом
I'19ЛО иольце--торе, иомещенно:м в матнитное поле. Это
lfJШ.УТ быть комета ини космический корабль с ВЫКЛIочен"
UЬJМlI двиrателями, пролет-ающие мимо СолнцА. ЭТО МО"
rYT БЬJТЬ и биллиардные mары сталкивающиеся на rлад--
KO. . столе.
Все М'и tо.БЫТИ1J имеют общую черту. Rоrда сталкиваю--
щиеся частицы на}iОДЯТСЯ' далеко ДРуr от ДРуrа" они летят
10
свободно., по инерции, с постоянными скоростями. С умен!::..
шепием расстояния между ними начинает сказываться
взаимодействие........ притяжение или отталкивание, их
траектории искривляются" скорости меняют величину
и направление. П:Ролетев МИ 10 друr друrа, на большом
расстоянии они снова движутс.я ра-вномерно и прямоли
нейно, но уже с новыми скоростями. Какими будут по
величине и направлению эти скорости,; зависит от закона
взаимодействия", от Toro" какие силы действуют' между
частицами и от Toro, насколько далеко друr от друrа они
пролетели. Во всяком случае", эти скорости не MorYT оыть
произвол ьными ....... если можно пренебречь взаимодей
ствием с каRИМИ ТО третьими телами" и есл внутреннее
состояние частиц не меняется (упруrие столкновения), то
при любом saRoHe взаимодейс1'ВИЯ, при любых nроцессах
соударения ДОJDRНЫ быть выполнены два закона coxpaHe
ния: сумма импульсов обеих частиц и сумма кинетических
энерrий до и после столкновения должны быть одинако
выIи.. К каким следствиям это приводит?
Обознвqим импульсы и энерrии частиц А и В с массами
тА и lnв до соударения, Rоrда частицы еще были столь да...
леки друr от друrа., что их можно было считать CBo60ДНЫ
МИ! т.. е. lJe взаимодействующими, через
РА, Е А ; Рв, Ев.
Импульсы и энерrии частиц после соударения, коrда
частицы Yilfe стали столь далекидруr от друrа, что их опять
можно счиrать свободными, обозначим через
, , , ,
РА,Е А ; рв,Е в .
Закон сохранения ИМПУЛЬС,а устанавливает, что в Te
чение столкновеInIя полный импульс системы р, равный
сумме импульсов обеих частиц, Р == РА + Рв, остается
неизменным. В частности, полный импульс не меняетсн
и за все ремя соударения:
, ,
р== р' ИЛИ РА + Рв === РА + Рв,
(1.1)
При упруrом СТОЛКRовении не меняется и полная кинс
тическая энерrия системы:
, ,
Е==Е' или ЕА+Ев==ЕА+Ев, (1.2)
Эти оаконы сохранения должны выполняться в любоiI
инерциальной системе отсчета, т. е. системе отсчета, ДDИ
жущейся по инерции равномерно и прямолинейно.
11
Запишем закон сохранения импульса в той
отсчета, в которой до столкновения,покоилась
частиц, частица мишени А "'А == о:
, ,
тBVB == тAVA + тBVB.
Это соотношение означает, что венторы сноростей
частиц до и после рассеяния лежа" в одной плосности.......
ПЛОСКQСТИ векторов "'А И:Vв. Поэто.му всюду В нашей Rниrе
мы будем рассматривать только плоские движения HorJja
все частицы, н'аблюдатели и системы отсчета движутся
в одной и той H e плоскости или, быть может, в параллель..
пых плоскостях. 'Это нисколько не оrраничит общности
решаемых нами задач,- но ПО8ВОЛИТ сильно выиrрать в на-
rЛЯДПОСТII и простоте изложения. Добавление третьето
измерения элементарно и никак не меняет ни сути .наш-их
рассуждений, ни выводов,- следующих из них. До оворим"
ея еще, и - об _ обозначениях, которые мы будем использо..
вать в дальнеЙШем. Разные частицы, наблюдатели, системы
отсчета будут обозначаться прописвыми буквами А, В,
С,," . . ., Х; их скорости (векторы) будут бовначаться че..
рез "'А, VB, . . ..' VX, а абсолютные значения скоростей ......
VAt: VB, .., vx; если нам понадобится указать конкрет-
ную систему отсчета., относительно которой измеряются
эти с орости, МЫ буд м использовать символ VAIC ....... ЭТО
спорость час7lШЦЫ (наблюдателя) А относительно сuстеJИЬ
отсчета С. w
-. ИтаR, какие же оrраничения накладывают за80:ИЫ со..
хранения энерrии и импульса на скорости астиц после
рассеяния?
Перейдем в систему отсчета О, в которой полный ИМ
пуJlЬС Р == РА + РВ == mAVAIO --{ mBVB.lO равен нулю. Ее
называют системой центра масс. в ней частицы движутся
навстречу друr друrу, ;векторы их скоростей противо
положны по направлению, величины скоростей частиц об..
ратно пропорциональны их массам: действительно", если
тAVA + mBVB == О.,, то mAVA тBVB и
VA!VB == тв(тА' (1.3)
системе
одна из
Это соотношение похоже на «правило рычаrа перв(}rо ро-
да». В процессе взаимодействия чаетйц друr с друrом их
скорости меняются по величине и направлению, но в,.си"
лу вакона сохранения импульса полный импульс вее
время остается равным нулю. Это означает.,- что в кажд й
иомев времени векторы их скоростей противоположны
по направлеНИЮJ; а модули скоростей удовлетворяют
12
«правилу рычаrа» (1.3). После Tor как частицы пролетит
друr мимо друrа и взаимодействие между ними пренра..
титея" новые значения сноростей онажутся по величине
ра-вными старым. Это следует из заkона сохранения энер-
,
rии при упруrом столнновении Е А + Ев == Е4 + Ев-
В самом деле. t сумма их нинетических эиерrий до столи..
ровения равна} в соответст.вии с правИJIОМ рьrчаrа.l
Е А + Ев ==
2
mAvA
2
2
+ mBvB
2
тА 2 тв ( тAV А ) тА ( тА ) .
==="""""2 иА + 2 тв 2 === 2 1 + тв иА.
Аналоrично, для энерrий после столкновения мы можен
зооиса ть '" что
, , тА ( тА ) ,.
Е А + Ев == 2 1 + тв РА.
п риравнивая полные энерrии до и после столкн вения,' иы
,
получаем, что VA == иА, следовательно, из правила рычаrа
и 1)8 == VB. Та'ким образом, в системе центра масс О век-
торы сноростей сталкив'llЮЩИХСЯ частиц в результате'взаи-
модействия MorYT тольно повернуться на неноторый уrол"
не изменив своей величины, и останутся противоположны..
ми по направлению. Уrол между направлениями скорости
частицы Х в системе отсчета О до и после -столкновения
называется уrлом рассеяния Q>XIO частицы Х в системе ().
Изобразим результат столкновения "двух частиц rрафи-
чески. Возьмем лист бумаrи,
зафинсируем на нем точку О
и из нее отложим в определен-
ном масштабе венторы ско"
ростей частиц VAIO, VA'IO.
"'В 10 '... "'в' ro ДО и ПОсtIе рас..
сеяния (рис. 1.1). Точки.......
концы' векторов сноростей
обозначим COOTB eTCTBeHHO че-
рез А, А' '- В, В' . Мы получим
каР ИНКУl ноторую в даль-
нейшем будем называть -пине..
жатичесnи.М, ерафо,м, упруаоао рассеяния. Посмотри1.-! на нее
внимательно. На нашем rрафе точни А, В, О лежат на
ОДНОЙ прямой и ТОЧR8 О делит отрезок АВ в отношении,
обратно пропорциональном массам частиц (правило
А
8
Рис. 1.1.
13
рыч rа):
I 'ОА I тв
" t о в 1 Пl А ·
Скоростям частиц после рассеяния отвечаЮТ-ТОЧRИ А " В',
лежащие на прямой А' В' '$ проходящей через. точку О,
прич м длины отреЗRо:а А 'О и АО равны друr друrу,
I А'О I == I АО 1" так же как и I В'О 1 . I ВО 1. Это есть
следствие законов сохранения энерrии и импульса при
упруrом столкновении. Но законы сохранения не опреде
ляют величины уrла рассеяния. <PAIO == (})BIO, который
мы обозначили через <р на кинематическом rрафе (рис. 1.1).
Он может бы.ть разным в зависимости от конкретных ус--
ловий рассеяния и принимать 8начения от нуля ДО п.
Если частицы пролетают далеко друr от друrа и взаимодей..
ствие ме,нду ними мало, изменение скоростей часrиц тоже
будет небольшим и уrол рассеяния <р будет невелик. Чем
l\fеиыпе расстояние сближения между чцстицами, тем силь
нее проявляется взаимо ействие, тем больше становится
уrол рассеяния. Чисто «лобовому» столкновению .отве..
чает значение <р == 1'(. Реальные столкновения почти всеrда
происходят не в плоскости, а в пространстве" поэтому для
венторов скоростей частиц после рассеяния всеrда есть еще
одна степень свободы ...... листок бумаrи с кинема'fическим
rрафом можно повернуть на произвольный уrол BOKpyr
направления относительноrо движения налетающих час..
тиц, законы сохранения энерrии и импульса будут выпол"
вены по..прежнему. Эту возможность мы будем иметь в ви--
ду, но не будем останавливаться на ней подробно! оrрани"
чившись изучением только плоских движений.,
1.2. Как выrлядит 'пруrое рассеяние
в лабораторной си теме отсчета
Мы убедились, что законы сохранения энер
rии и импульса в системе центра масс приводят к очень
простым следствиям векторы скоростей двух сталки"
вающихся частиц MorYT изменить только свое направле--
ние, но не величину, оставаясь все время противоположно
направленными. Но столкновения частиц чаще Bcero при..
ходится рассматривать в лабораторной C CTeMe отсчета
n RОТОрОЙ покоится одна из частиц частица мишени А.
Друrая частица В вылетает из ускорителя со скоростью
'VBIA, взаимодействует с мишенью и рассеивается на He
ЕОТОрЫЙ уrол <Рв I Aj. который МЫ для краткости обозна--\1
14
чим через tt == ({)BrA. Частица мишени в результате столк
поnенпя приобретает HeKoTopYIO скорость VA'IA и выл
тает под уrлом а к направлению движения пучка частиц.
Этот уrол называют уе.лоеМ, отдачи.
Наблюд тель в лаборат-Ьрной системе OTc eTa А ?fожет
взять свой лист бумаrи, зафиксировать на Hel\1 точку А
и отложить от нее векторы скоростей частиц до и после
рассеяния. В результате он получит свою карту Cl'i-Opo"
стей-,- измеренных в системе отсчета A, карту КА.
Концы векторов скоростей оп по прежнему оБОЗI:ачит точ"
ками А, В" А'., В' . Скорость частицы А до рассеяния была/
равна нулю" поэтому конец этоrо вектора нулевой длины
просто совпадет с точной А, выбранной в качестве исход
ной для построения карты КА. Посмотрим, какие orpa
ничения на возможные скорости после столкновения VB'i A
и 'VA'IA накладывают законы сохранения энерrии и им..
пульса.
В принципе, можно было бы вновь решить уравнения
(1.1) и (1.2), описывающие и в этой новой системе отсчета
законы охранения энерrии и импульса, но это было бы
не"'разумной тратой сил. Мо}кно поступить значительно
проще. Для этоrо нужно вспомнить, KaR в нерелятивист
ской ме анике преобразуются скuрости при переходе из
одной иперциальной системы отсчета в друrую. Это пра ,
вило, известно как вакоН, с.ложе1tия Cl'i-opocтeu, который Ha
rлядно можно сформулировать KaR «правило собаки)}:
«если собака бежит по плоту, плывущему по реке, то ее
скорость относительно б.ереrа равна векторной сумме
скорости собаки относительно плота и скорости плота OT
носительно береrа»:
VXIA==VXIO + VOIA (1.4)
(Х ...... собака.,. О....... ПЛОТ. t А
А ---- береr).
Теперь можно перейти из
системы центра масс О в ла..
бораторную' систему отсчета
А . Для этоrо нужно к каж
дому вектору, снорости на
ка рте КО прибавить один и тот
же вектор скорости VOIA == ........ VAIO, с ноторой система О
движется относительно А". Результат TaKoro сложения........
ка рта скоростей КА ....... показан на рис. 1.2. Тонкими ли..
пиями обозначены СRОрОСТИ в системе О, жирными по
JIучивmиеся векторы скоростей частиц в лабораторной
в'
V S1A
в
Рис. 1.2.
15
систе lе. Очевидно, что и на RapTe [(L\взаИl\Цlое РD.сположе
1Ние точек А, В, А ' , В' , О остается таRИМ rI-\ , как II на [(о .........
структур кинематическоrо rрафа не изменится при пере..
ходе в друrую инерциальную систе IУ отсчета. По прежне
му точки А', О, В' лежат на одной прямой, по прежне IУ
выполняется правило рычаrа I АО I : I ВО I == I А'О I :
: I В'О I == тв : т , по прежнему ero «плечи)}. не меНЯIОТ"
сл в результате рассеяния: I А'О I == (АО 1, I В'О I === I ВО 1.
Более Toro, точки А, В, О, А' '. В' кинемаmческоrо rpa..
фа на ка ртах, КА и Ко просто совпадают,' меняется лишь
начало' отсчета' ........ на ка рте Кр eHTOpы скоростей прове..
девы из т-очки О, на нарте же КА векторы скоростей про
ведены из точки А в те же самые точки А', В'" В, О. Вся
информация о результате упруrоrо рассеяния уже зафик
с ирована пятью точками А" В, О, А' " В', расставленными
на листе бумаrи в COOTBeTCT
вии со сформулированными
выше правилами рычаrа. Этот
кинематический I:раф можно
рассматривать и в любой дpy
rой инерциальной системе
отсчета С, движущейся OT
носительно А со скоростью
VCIA (рис. 1.3). Для этоrо дoc
таточно из точки С конца
вектора VCIA провести Be:КTO
ры во все остальные точ:ки
нинсматическоrо.rр<;lфа, в результате мы получим скорости
Чаетиц до И после рассеяния yiKe J в нов.ой системе отсчета С.
11 ри этом мы не должны больше заботиться о законах со..
хранен.ИЯ энерrии и импульса" они, как уже rоворилось
J1bJlIIe, будут выполнены автоматически и в системе Сl
В этом 'и заключается rлаJ3fiое преимущ ство TaKoro reo '
.
метричеСl\оrо подхода R упруrому рассеянию нереляти
вистских частиц. Чтобы лучше освои ьс.я с новым способом
раССУiндений" мы рассмотрим не-сколько простых, но по..
уqительны.х задач теории столкновений.-
Пусть в лабораторной сцстеме более тяжелая частица В
движется слева напр(!.во, сталкивается с- более леrRОЙ
частицей мишени А и в результате упруrоrо взаимодей
ствия меняет направление cBoero движения рассеи..
вается на некоторый уrол {t. Мы покажем, ч'.('о этот уrол
не мо}нет быть слиmRОМ большим и найдем ето предельную
величину. Для этоrо ДOCTaT HO нарисовать кинематичес
кий l'рetф этоrо процесс а да 1 собствеННО. t он у нас уже
А
Рис. 1.3.
t6
есть он приведен на рис. 1.2. l\1ы УII\е rоворпли" ЧТО
уrол q> на кинематичеСRОl.f rрафе мо,нет меняться от нуля
до n. При этом точка В', соотnеТСТnУlощая КОНЦУ вентора
скорости частицы В после рассеЯПИЯ t будет пробеrать
окрул ность с центром в точке О и радиусом VBIO' Точка А;!
изображающая скорость лабораторной системы О'fсчета)
в которой покоилась леrкая частица мишени, будет нахо-
.ДИ'fься вне этой окружности
это следует ив Toro, что
тА < тв и правила рычаrа
VAIO : VBIO == тв : тА' На
карте КА (рис. 1.4) вентор А
скорости частицы- В после
рассеяния VB'IA при измене
нии уrла q> будет менять евою
величину и направле ие., от..
нлоняясь на уrол '6' от перво..
начальноrо направления дви-
жения налетающей частицы.....
направления вектора VBIA'
Очевидно, что пеличина этоrо
уrла оrраничена сверху и ero максимальное значение до..
стиrается' тоrда,.. коrда вектор VB'IA будет 1\асательвым
. .......
н окружности с центром в О. Уrол АВ'О n этом случае
будет прямым,. и из прямоуrольвоrо треуrольника АВ'О
можно найти ero синус:
в
А'
Рис. 1.4.
. I О в' I
SID '6'IJlax == I Ай I ·
Но на кинеl\fатическом rрафе- I ОБ' I 1 ОБ 1, и в соот--
ветствии справилом рычаrа I ОБ I : 1 ОА I == тА : тB1J
поэтому
. IOBI
Sln '6'тах == IOA I
тА
ln в ·
MIf видим,: что мансимальный уrол рассеяния тяжелой
частицы на покоящейся леrной не зависит от ее скорости
и определяется только отношением масс частиц.
На языке кинематических rрафов этот результат полу
чается очень леrко и просто, но для сравнения мы COBe
туем вам ПОПР(jбовать получить ero аналитически, записав
законы сохранения энерrии и импульса в лабораторной
системе отсчета. Бы убедитеСЬ 1 что труда здесь затратить
Придется rораздо больше.
'17
Еще одной ИЛЛIострацпей нам ПОСЛУiИИТ изучение
СТОЛ.Rновений частиц одинаковой }faCCbl. Кинематический
rраф TaKoro процесса изображен на рис. 1.5. Массы частиц
одинаковы поэтому точка О находится посредине отреЗR8
.,- АВ. Точки А ' и В' lсоответствую"
щие скоростям частиц после
рассеяния, будут конццми диа..
метра ОКРУiННОСТИ радиуса ,АО I
с центром в точке О. Скорос.-
ти VA'IA И VB'IA частиц после
рассеяния в лабораторной си..
стеме будут изображаться BeK
Т.орами, проведенными из точки
А в ТО1fКИ А' и В'. YiHe беrлый
взrляд на эту картинку позволя
. r ·
ет сделать несколько простых
rеометрич"еских утверждений, которые леrк() переводят
СЯ на язык физики. Приведем три примера. ...
1. Если удар не цеНТРальный, то уrол А' АВ' пря..
мой (вписанный в ОRрУil\Ность уrол, опирающийся на. диа"
Me rp): НО ЭТОТ уrол равен уrлу l\lежду направлениями ско"
ростеи частиц после рассея ия в' лаборатбрной системе.
Следовательно" в лабораторной системе нерелятивист--
ские частицы равных .масс всеада разлетаются под пря--
.мЬ M уало.м *). П03il\е мы увидим, что для быстрых реляти"
вистских частиц это утверждение уже не имеет места.
2. Запишем теперь теорему Пифаrора' для прямоуrоль..
Horo треуrольника А 'АВ': r А 'В' 12 == I АА' 12 + 'АВ' 12.
Заменим в ней длины сторон треуrОЛЬНИRа их вырroнения"
ми череq скорости частиц в лабораторной системе: I А4 ' 1==
== VA'IA, , АВ' I == VB'I 4, I А I В' I == J АВ I == vBIA И
УМНОiI\ИМ полученное равенство на т/2 ...... половину массы
наiНДОЙ из. сталкивающихся частиц. Мы получим ,равен..
ство
А
OA'IA
Рис. 1.5.
2
тVBIA
2
8
т 'IA тl) 'IA
2 1 2
....... ВНКОН сохранения энерrии в лабораторной системе!
:3. lайдем связь между уrлом рассеяния в системе
центра масс <р и уrлами рассеяния tt и отдачи а в лабора..
торной системе. Треуrольник . АОА' равнобедренный,,,
*) в ел учае центральноrо соударения частица В остается на
месте; MOil\HO считать, что здесь мы имеем вырожденвый прямой
Yl OJI .
18
л. <1'
ПОЭТО IУ (f)+ 2а== n илиа== т :['". Внешний уrол ВОВ'==
== <р раввобедренноrо треуrольнина АРВ' равен сумме
i""j"-)
двух ero внутренних уrлов ОАВ' == ОВ'.Ii == '6'. ПоэтоМу
it' == (f)/2, Т. е. при упруао,м стО/l,nиовении частиц равных
.масс уаод рассеяния в лабораторной системе равен поло...
вине уела рассеяния в систе.ме центра .масс.
Эти примеры покавывают.t что кинематика нерелятивист"
ских столнновений" заноны сохранения внерrии и им..
пульса теснеЙШим образом связаны с rеометрией Евнли"
да. И прич'иной BToro является сформулированный выше
занон сложения скоростей. (правило параллелоrрамма)
при переХО,де из одной инерциальной системы отсчета
в друrую.
1.3. IJpocTpaocTBo СRоростей
Вернемся еще раз к нашим примерам. По..
строение «rеом трической модели» упруrоrо столкновения
двух частиц ...... ero кинематическоrо rрафа ....... мы начина..
ли с выбора системы отсчета, например, системы центра
масс О. Затем на нарте сноростей Ко мы рисовали «еЖИR
скоростей» сталкивающихся частиц" т. е. откладывали
от точки О веиторы скоростей части А и В до и после
рассеяния. То же самое мы можем проделать на любой
друrой нарте скоростей, например, на КА ....... карте скоро-
стей относительно лаборат..орной системы. «Ежик скоро-
стей» на карте К...4. будет выrлядеть иначе, чем на Ко.
Но точки А, В, А', В' О (концы ero «иrОЛОR» ...... векто-
ров скоростей) на обеих картах располаrаются совершенно
одинаково ...... срабатывает правило сложения скоростей
(1.4). В этом смысле кинежатuчесnuй ераф ие аависит от
JtЬapmbL, на -поторой ,мы еао рucуе,м,. Поэтому хотелось бы,
чтобы все наши построения с caMoro начала не зависели
от выбора системы отсчета.
Леrко сообразить, как этоrо добиться. Представим, ,
что все карты скоростей нарисованыаa прозрачной плеНRе.
Сотрем теперь на наждой нарте все векторы, оставив
только тоtjки ...... их начала и концы. Тоrда можно СЛОiКИТЬ
карты стопкой так, чтобы ,едноименные точки. на них
(Т. е. концы венторов скоростей одних и тех же частиц)
совместились. В результате вместо нескольких разных
RapT для разных наБЛIодателей мы .получим 'одну
универсальную карту. Любой инерциальной систем:е
Отсчета будет отвечать точка на универсальной карте.
10
Скажем, в наших примерах лабораторной системе отве.-
чает точка А, системе центра масс точка 0-, системе,
в которой частица В покоилась до столкновения, ----
ОЧRа В и 'Р. Д. ПО этой универсальной Ka e леrко узнать,
какие результаты получит любой инерциальный паблю
датель С, измеряя скорости тех же сталкивающихся' Ч8е-тиц
А иВ. Д<\статочно проввс:rи из точки С векторы в точки
А,,' В" A l И B'I". И8мерить их длины линейкой и уrлы между
вими транспортиром. Но делать заново все эти измерения
для каждой овой систеиы нет необходимости. Интересую..
щие нас величины можно вычислять с помощью всем из-
вестных теорем косинусов и синуоов евклидовой reo-
метрии. -
Подведем итоr. Мы убеДИЛИСЬ t что
1Шждо й ц-перциадьпо й систеж.е J. отсчета .можно coп
ста( ить точпу пд,оспости тащ что веnтор спорости
системы у. отnосище.льпо систе.мы Х будет равен,
вептору ХУ ! соедипяюще.му соответствующие точпи
Т/,JI,OCпocти.
Эта пл скость и называется нередятивистсnu.м, npocтpaНr
ство.м, споростей.
РазличlfЫМ понятиям rеометрии теперь можно прида-
вать кинематический смысл. fJапример" расстояние между
двумя тО'чк'ами пространства скоростей то величина
относительной скорости соответствуlOIЦИХ систем отсчета;
т чкам.2 лежащим на прямой АВ" отв'ечают системы отсче-
T8t ДВИЖУIЦиеся вдоль одной и той же прямой относитель-
Но системы А (или В), и Т. Д. ПОЛЬ8УЯСЬ этим, можно
решать мноrие rеоме рические задачи' с помощью физики.
Однако в вашей книжке порядок действий будет обрат-
ным: мы будем решать задачи кинематики с помощью
reo метрии. Только движения.а, которые' мы будем рассмат-.
ривать, происходят с очень 'большими, околосветовыми ,
скоростями и подчиняются законам теории относитель-
ности. И в пространстве екоростеЙ/будет действовать не
привыч:Elая вам евклидова rеометрия.); а rеометрия Лоба-
ЧСВСКОJ.'о.
.
задачи и дополнения
rео.мf!трuл nО.шJвает фиаuпе.
1. Частица А ыссыы тА налетает' со СRОрОСТЬЮ VA На
П('I<('РПТУroся ча тицу В Macc тв, Происходит упруrое соударение,
Iiосле KO'loporo частица В движется под yrJIOM а == 1t/4 к направ.пв-
пию движения частицы А до СТOJIкиовенил НаЙ1!ите уrол рассеяния
20
# ,
в частицы А и величины СRоростей v А И VB частиц А и В ПОCJI8
соу да рения.
2. При бомбардиров:ке rелия а частицами, имеющими энерrию Е,
налетающая частица рассеял ась на уrол е == п/3. Определите уrол
отдачи и эверrии а частицы и ядра rелия после с тол:кновения.
3. Нейтрон с энерrией Е испытал упруrое соударение с ядром
'Не. В системе центра масс уrол рассеяния <р оказался равным
п/2. Найдите уrол рассеяния и энерrии частиц после соударения
в лабораторной системе. .
4. а частица, .летящая со скоростью Va.' испытывае1' упруrое
стол:кновение с неподвижным ядром и рассеивается На уrол е ==
== п/2. При каном соотнош нии масс а..-частицы та. и ядра М я это
возможно? Определите скорости а частицы 11 ядра после СТОЛКJilО"
вения и величину уrла отдачи.
5. Частица массы т упруrо стаJJкивается с покоящейся части
цей, Масса которой М > т, и отклоняется на уrол '6 ..... п/2 от
первоначальноrо направления движения. Найти уrол отдачи а.
6. Нейтрон (массовое число 1) испытал упруrое столкновение
с первоначальио ПОl\оивmимся дейтонq (массовое ЧиCJIО 2). Какую
часть кинетической энерrии теряет нейтрон при рассеянии на утоп
" == п/4?
7. Частица массы т сталкивается с покоящейся более тяжелой
частицей массы , и при столкновении теряется (1...... k2) я часть
механической энерrии в' системе центра Масс (веупруrий удар).
Под ка:ким уrлом разле ятся частицы в лабораторной системе, если
тяжелая частица вылетела ПОД наибольшим возможныи уrлом отда-
чи а?
ФU8u а nO),t()zaem еео,м,етр ии,
8. Д о:кажите, что если в некот()р()й системе отсчета S
векторы с:коростей двух частиц образуют равные уrлы с вектором
СRОрОСТИ их цен,-ра масс, то ИМПУJIЬСЫ этих частиц в системе S
равны по величине. Вы ведите отсюда теорему о биссе:ктрисе Tpe
уrольника биссеRтриса 80 треуrОЛЬНИRа ВА В делит сторону А В
па отрезки, отношение I АО I : I ОВ I которых равно от ошению
припежащих сторон I А S I : I S в ,. .
9. ПОЛJ,руясь за овом сохр ения энерrии, докажите, что суММа
квадратов расстоянии от любои точ:ки до двух противоположных
вершин прямоуrольни:ка равна сумме ква.цратов р.асстояний от нее
ДО двух друrих верши:в. .
t.O. Пусть О........ ТОЧН8 на стороне А В треУFОЛЬВИRа SA В. ДOKa
жите формулу Стюарта для дл'ины отреЗRа 80:
r s о 12. I АВ I == 1 s А 12. I BO t +' I S в 12. t АО t ---1 АО, · I во r · I АВ 1.
(У R а з а н и е: пусть точ:ки А и В изображают скорости двух упру-
!['о стаЛRивающихся частиц, О скорость их центра масс, S
скорость некоторой системы отсчета. Запишите в системе OTC Ta S
за:кон сохранения энерrии при СТОЛК}iовеВИ}J для случая, KorAa
с:корости частиц А и. В относительно 8 после столкновения направ"
JIelIbl вдоль скорости центра масс.)
rЛАВА 2
ПРIIНЦИП ОТIJОСI11'ЕЛЬНОСТИ
2.1. Что rО80рИJJ об ЭТОМ Thлилей
Мы убедились что свойства кинематическо"
ro rрафа не зависят от скорости равномерно движущеrося
наблюдателя. И это не случайно. Оказывается, в разных
инерциаJIЬПЫХ системах отсчета одИнаковы все физические
законы". они не зависят от относите ьноrо движения двух
разных инерциальных наблюдателеи. Впервые 'этот прин
ЦИD был сформулирован для механики rалилео rалилеем
:в сочинении, которое называлосъ «Диалоr о двух rлаввей..
тих системах м:ира}). Это то самое СОЧ:Qнение, которое на..
влекло па Hero rHeB церкви. Оно было опуБЛИl\овано
в 1632 r., а в 1633 r. стало предметом разбирательства
трибуналом инквизиции.' rалилей излаrаJI свои идеи 'вели..
I\олепным литературным языком, считая необходи.МЫ}J
сделать их попятными для мноrих. Персонажи ero I<ниrи
обсуждают MHoro вопросов, связацных с мехаНИRОЙ
и мирозданием. Среди них и вопрос о том, как протекают
разньiе физические явления в системе, которая движется
равномерно и ирямолинейно. rалилей писал ,*):
« У единитесь с кем...либо из друзей в просrt>рное поме..
щение под палубой какоrо",нибуд корабля,; запаситесь
муха IИ, бабочкам:и и друrими подобными мелкими летаю..
ЩИ IИ насеКОМЫ IИ; пусть будет у вас там также большой
сосуд с водой и плавающими в нем маленькими рыбками;
подвесьте, далее, наверху ведерКО LtJ из KOToporo вода будет
капать капля за каплей в друrой сосуд с узким rорлыm...
ком, подставлениый внизу. Пока корабль стоит неподвиж-
но, наблюдайте прилежно" как мелкие летающие живот-
пые с одной и той же скоростью ДВИЖУТСЯ во все стороны
пом:ещения; рыбы,. как вы увидите. f будут пJ1авать бевраз..
DIИЧНО во всех направлениях; все П,адающие капли попаду
*) rалилео r а л и л е ji. Избранные сочинения в lXвух томах,
Т. f. М.: Наука, 1964.
22
D подставленный сосуд и вам, бросая какой нибудь пред-
мет, не придется бросать ero с большей силой в ОДНУ сто..
рову, чем в друrую, если рас?тояния будут одни и те
ilte"; и если вы будете прыrать сразу двумя ноrами, ТО
сделаете прыжок на одинаковое расстояние в любом на-
правлении. Прилежно наблюдайте все это, хотя у нас не
возникает пикакоrо сомнения в том, что пока корабль
стоит неподвижно, все ДОЛ)I\НО происходить именно так.
Заставьте теперь корабль двиrаться с любой скоростью,)-
и тоrда (если тоlIько движение корабля будет равномер..
ным и без качни в ту и друrу1о сторону) во всех названных
явлениях вы не обнаружите ни малейшеrо изменения и ни
по одному из них вы не сможете установить, движется
корабль или стоит на месте неподвижно. Прыrая, вы
переместитесь по полу на то же расстояние, .что и раньше,f)
и не будете делать больших прыжков в сторону нормы,
чем в с ороиу носа, на том основании, что корабль быстро
ДВИ}l<ется, хотя за то время, как вы будете в воздухе, пол
под вами будет Iдвиrаться в сторону, противоположную
вашему прыжку, и, бросая накую нибудь вещь товаРИЩУtJ
вы не должны будете бросать ее' с большей силой, 'ноrда
он будет находиться на носу, а вы на кор:ме, чем коrда
ваше взаимное пgложение будет обратным; капли, нак и
ранее, будут падать в нижний сосуд, и ни одна не упадет
ближе н корме, хотя, пока капля находится ввоздухо,]
корабль пройдет MHoro пядей; рыбы в воде не с больший
УСИ.lIием будут плыть R передней, чем к задней части coly..
да; настолько же проворно они бросятся к пище, положен..
ной в какой уrодво части сосуда; наконец, бабочки' и
мухи по пр жнему будут летать во всех направлеНИЯХ t
и никоrда не случится TOrO,. чтобы они собраЛИСIt у стек..
ки, обращенной к корме, как если бы устали, следуя за
быстрым движением Rорабля, от KOToporo они были
совершенно обособлены" держась долrое вреltJя в воздухе;
и если от капли а8жженвоrо ладана образуется HeMHoro
дыма, то видно будет, как он восходит ВВ'ерх и держится
наподобие облачка" двиrаясь безразлично в одну сторону
не более, чем в друrую.. .».
Учебнини Hamero времени не столь мноrОСЛО1;НЫ.
В них идея формулируется нороче .........в виде припциnа от..
1tосuтеЛЬ1tостu FаАuлея. Одна из таки формулировок
rласит: «В системе отсчета, движущейся прямолинейно и
с постоянной скоростью, все механические процессы про..
текают так же, как и в покоящейся системе» или,
нескольно иначе,........ «Никакие механические опыты Не
23
MorYT обнаружить paBHo IeplIoe и ПРЯМОЛИllейное ДВПiI\е
ние системы, если они проведены внутри са 10Й системы».
Толы{о выrnянув в опно каюты, мы увидим, что корабль
движется, но даже в этом лучае будет обнаружецо лишь
Движение береrа о.тносительно кор.абля. Облокотивщись
о rранитный парапет Неnы, ItIОЖНО заставить. себя вооб..
разить, что иуда то движешься относительно неподвиж-
ных вод реки& Движение и ero скорость всеrда относитель..
ны, и ни одним опытом нельзя отдать предпочтения ни
наблюдателю 1Iа береrу, ни наб юдателю на корабле l
если только движение равномерное. Этот принцип в наше
время представляется очевидным, и замечание о том, что
равномерное движение всеrда относительно, кажется
почти лишенным ИНф,ормации. Скажем, корабль движется
относительно береrа,. ракета ускоряется относительно
Земли, . Земля вращается относительно неподвижных
звезд ........ все эти утверждения выrлядят совершенно оди-
Паповыми. На самом же деле зто далеко не так. Внутри
плавно идущеrо ав омобиля все происходит так iKe, как
и в Iiокоящемся автоМобиле (автомобиль,. Rовечно, «MЫC
сленныш, без, ТРЯСКИ). Но коrда автомобиль резко OpMO-
'ВИТ перед вспыхнувшим I;(расным сиrналом светофора,;
то едва не с ивувший вас с сиденья рывок неопровержимо
свидетельствует, что ускоре ная система отличается от
улицы, rдe никто' из пешеходов не упал от резкоrо изме--
нения ваш(;й о осительной скорости. Так что ускорение,;
в отличие- от СRОр СТИ, можно измерить внутри ускоряю..
щейся системы и не выr.ляды ая н аружу. То же самое
можно сказать и об «относительности» вращения. Даже
в пасмурную 'поrоду" коrДа не видно зйезд,.-:иОЖНО обна-
ружить вращеНие' 3емли BOKpyr своей си. Вспомним зна..
мевитые опыты С' маятником Фуко,; иодвешеиным под ку-
полом Исаакиевскоrо собора:, плоскость качания маятни"
ка поворачивается" и этот эксперимент,; проведенный
внутри системы отсчета без всяких ссылок на неПОДВИiК"
ные звезды, Доказываат aM абсолютность вращения
Земли. Так что принцип относительности rалилея ...... это
не 381\0Н лоrики" а далеко идущий результат осмысления
реальных экспериментов. Из иеrо вытекает, что в любой
инерциальной системе одинаковы как форма физичооких
--звк,?нов, так и численные значения физических констант,
фиrурирующих в этих законах.,...... например массы частиц.
Механик будет рассчитывать отклонение траектории -меж..
rlлзпетной станции ЮпитеРО}f по тем же закона}1, по ко...
торым он раС(jчитыв ет ее отклонение CaTYPH01-1j, хотя
24
планеты ,и движутся друr относитеJIЬНО друrа. Значения
физических величин; например скоростей движения тел..
m-оrут,' быть разЩaIМИ в разных системах отсче-та, но они
подчиняются ОДНИМ и тем же физическим З3t\онам, одним
и тем же уравнениям, и со времен rалилен никто, НИ
:R Оn ОЙ лаборатории мира, не CMor обнаРУЖИ' h отклоне-
НИИ от этоrо великоrо принцида.
2.2. Привцвu относительности Эйнштейна
Если мы перейдем' теперь от механики к
элеКТрОДИНамике Максвелла, то сраву же возви ает очень
нелеrкий вопрос ......... справедлив ли принцип относитель..
ности для электром rнитных явлеНИЙ? Вот что писал ьб
этом в 1905 r. А. Эйиmтейн в СJ30ей' внаменитой статье
«1{ электродинамике ДВИЖУЩИХСЯ тел» *):
«Известно, что электродинамика М ксвелла, в совре..
менном ее виде приводит в применевии к движущимся
телам к асимметрии, которая иесвойственна" ПО ВИДИМОМУI
самим явлениям. Вспомним, Например, электродинамиче--
cRoe взаимодействие между маrнитом и цроводпикои
с током. Наблюдаемое явление зависит здесь только от
относительноrо движения проводника и маrнита, в то
время, как, соrласно обычному представлению, два слу--
чая в KOTOpЫ движется либо одно,. либо друrое из этих
тел, должны быть cTporo равrраничевы. В самом деле
если движется маrвит, а проводник покоится, то BOKpyr
маrнита вознйкает электрическое поле, обладающее не.-
которым количеством эверrии, которое в тех местах, rде
находятся части проводника, порождает TOR.. Если же
маrнит находится в покое, а движется проводник, то
B9Kpyr маrнита не возникает никакоrо электрическоrо
поля; зато в проводнике возникает электродвижущая
сила, которой самой по себе не соответствует никакая
энерrия, Но которая при предполаrаемой тождествен..
ности относительноrо движения в обоих интересующих
нас случаях; вызывает эл ктрические токи той же
величины и Toro же направления, что и электрическое
поле в перВОМ случае».
ЕIЧ более трудным в то время представлялся вопррс
о СRОрОСТИ распространения эле15тромаrцитных волн, т. е.
скорости света. Дело в том, Ч,то она входит в уравнения
электродинамики в виде KOHKpeTHoro числа с 3.108 м/с.
*) Al иlen der Physik, 1905, Bd 17, Н. 5.
25
Но относительно чеrо измеряется эта скорость относи
тельно источника излучения, относительно дви нущеrося
приемпика или относительно некой rипотетической среды,
в кurорой распространяется свет, ---- эфира? Мех а НИЗltl
распространения всех друrих типов волН....... например,
волн на поде или звуковых волн, был достаточно ясен,
но элеI тромаrнитные волны не укладываJlllСЬ в эту строй..
ную каРТIlНУ. Казалось, что для существования вол,Нbl
всеrда нужна среца, в которой распространялась бы эта
волна,....... отсюда и возникла rипотеЗ8 эфира. Но тоrда
в природе существовала бы некая выiеленнаяя система
отсчета, связанная с эфиром, что противоречило бы
принципу относите ьности в механине, т. е.. равноправ..
ности всех инерциальных систем отсчета. Эта нелеrкая
ситуация вызвала MHoro размышлений и споров среди
физинрв в !{онце XIX начале Х'{ века.
Точка зрения Эйнштейна' была радикальной: ПрИНЦИII
относительности ДОЛiнен быть справедлив и для электро"
динамики, поэтому входящая в" уравнения Максвелла
скорость света с ,== 3.108 м/с дол кна БLIТЬ одинаковой
для любоrо инерциальноrо наблюдателя!
В той ие статье Эйнштейн писал: «Примеры подобноrо
рода, как и неудаnmиеся попытки обнаружить движение
Земли относительно «светоносной среды», ведут к пред..
положению, что не только в механике, но и в электроди--
намике никакие CBoticTBa явлений не соответствуют по..
нятию аБСОЛЮТН,оrд покоя и да ие, более Toro,....... к пред..
положению, что для всех координатных систем, для кото.
рых справедливы. уравнения механики, справедливы
те }J"e самые электродинамические и оптические законы, кап
это y He доказано для величин первоrо порядка. Это пред"
положение (содеРiиание KOToporo в дальнеЙшем будет
называться «принципом относительности») мы намерены
превратить n предпосылку и сделать, кроме Toro". добавоч"
;ное донущение, находящееся с первым лишь в 'кажущем..
ся ПрОТ Iворечии, а именно, что свет в пустоте всеrда рас--
пространяется с определенной скоростью с, не зависящей
от СО ТОЯНИfЯ ДВИiI\ения излучающеrо тела. Эти две пред"
поеЫJJI\И Д9статочны для Toro, чтобы" положив в. основу
теОрИIО Максве.zIла для покоящихся тел, построить про--
СТУЮ, свободную от противоречий электродинамику Дви-
I\УЩИХСЯ тел... Дальнейшие соображения опираются на
ПРИНЦИП относительности и на припцип постоянства ско"
рос.ТИ света. Мы формулируем оба принципа следующим
оБFJазом.
26
1". 3aHoны, по ноторым ИЗМОНЯIОТСЯ состояния физиче..
ских систем, не зависят от Toro, н ноторой ИЗ двух ROOP"
динатных систем, движущихсн относительно друr друrа
равномерно и прямоли:в:ейво-" эти изменения состояния
О'l'ВОСЯТСЯ.
2. Каждый луч света ДВИ>Rется в «поноящейся» сист&-
ме координат с рпределенвой скоростью с, независимо ОТ
Toro,- испускается ли этот луч света покоящимся или
д:nижущимся телом. При этом -
путь луча света
спорость === . .»
промеЖУТQR времени
В 190 r. это казалось oTHpыTыM вызовом здравому
С IЫСЛУ и интуиции. Потре(iовались долrие rоды и смена
поноления ученых, чтобы привыннуть к' нелепой на пер..
вый взrляд мысли о том, что неная снорост]? имеет одну и
ту же величину в разных системах отсчета! движущихся
друr относительно друrа. Эта мысль поистине удивительна
и с точки зрения обычных житейсних представлений.
Представьте себе ранету с включенным прожентором"
ноторая мчится мимо вас со сноростью 100 000 нм/с.
Снорость света относительно ранеты равна 300 000 км/с.
Если вы т-еперь сами иамерите CKOPOCtb света, то увиди"
те, что она равна не 400 000 км/с, кан можно было бы
ОЖИД'8ть, а все тем же 300 000 км/сl
МехаНИН8 Ньютона, конечно же, подчиняется прин..
ципу относительности. Но в вей неявнОс предполаrается,;
что взаимодействие между частицами распроотраняется
MrHoBeHHo, с бесконечно-. большой <жоростью. Любое
изменение положения одной частицы сразу же сназывает"
ся на всех остальных. Вспомните хотя бы третий занон
Ньютона......... «силы, с которыми вааииодействуют ме}нду
собой две частицы, всеrда равны по величине и противо..
положны по направлению». Одиа о опыт оказывает, что
всяное взаимодействие распространяется х-отя и с боль-
шой, во конеч-ной сноростью. Изменение положения одной
частицы, например ааряженвоrо электрона, начинает
влиять на друrие заряды тольнО через некоторое время,
необходимое для TOrQ, чтобы взаимодействие, ocyiцecTB
ляемое через посредстве лентромаrнитноrо поля, успело
распространиться из одной области пространства в дpy
rую. Взаимодействие' между радиопередатчиком и прием
нином. осуществляется с помощью электромаrнитных
воли, распространя'ющихся со скоростью с 3.108 м/с,
а взаимод йствие между rромноrоворителем и ухом чело..
27
веха осуществляется с помощью звуковых волн,. p:lCnpO
страпяющихся со скоростью 3,3.102 м/с. Среди всех
возможных скоростей распространения взаимодействия
есть максимальная)) самая ...большая возможная скорость
и тах . Ни одна qаеТИЦil Ве Может двиrаться со скоростью,
большей V maxt ибо в противном случае взаимодействие
можно было бы просто передавать от одних тел к друrим
с помощыр таких сверхбыстрых частиц. Ив ПрИ1Щипа от:'
посителы{стии следуеТJ что эта максимальная схорость
распростр ненИя в.заимодействий должна быть упивер..
сальной постоянной одинаковой для всех инерциальных
систем отсчета. Как показывает ОПЫТ,t) с такой максималь..
вой CKOpOCTblp распрgстраняется в пустоте электромаrнит"
ное поле и ero частиый случай . видимый свет:
V max == С == 2.t997 925.108 Mlc.
Можно задать вопрос, почему именно СКОрОСТЬ света
иrрает в природе такую Фунда ентальную роль? Не может
ли быть так, что скорость rравитационвых волн,; если ее
коrда пибуд:Ь удастся измерИТЬ,f окажется ВДВОQ больше
скорости света 1 и имеНIlО она будет являться новой макси..
мальвой скоростью распространения вваимодействия?
Или, может быть, через сто лет откроют новый,; совершен..
но неизвестный пока нам вид взаимодействия" KQTOpOe
будет распространяться ,со скоростью 10 е? На 'эти вопро.
СЫ fОЖНо С уверенностью отвеr;ить: нетl В лабораториях
Bcero мира, на .ускорителях во всех час ях света еiI\еднев..
но проводится orpoMHoe количество экспериментов по
рассеянию, рождению и взаимодействию элементарных
частиц, и каждPIЙ из них свидетельствует о том, что
в природе действительно существует максимальная
ВОЗМОiнная скорость и ее численное значенио равно именно
2,.997. 925 108 м/с. Если бы инженеры" проектирующие
усиоритеЛИ f и фИЗИКИj) обрабатывающие эксп.еримепты,;
проводимые на них подставили в свои расчетные форму..
лы не это число,' а какое--то друrое", то построенные по этим
проекта l ускорители Не смоrли бы работать" а результа..
ты обработки экспериментов противоречили бы ,I(pyr дру"
ry и всему на свете. В том,,; что и тах :=: 2",997 925.108 м/с,:
можно быть уверенным так тверДQtj как только можно
быть в чем--то уверенным вообще. Поэтому скорость rpa..
витационных волн, если ее коrда--нибудь удастся из {е-
рить, обязательно будет меньше или равна и тах . (Впро..
чем, лоrично думать, что такие фундаментальные вэаимо-
действия как rравитационное и электромаrнитное рас-
28
пространяются именно с этой ФундаментаJIЫIОЙ скоростью
2,U97 925.108 м/с.)
Об 'Ьедиnеnие nриnциnа отnосительnости с 1tопеч..
постью C1tOpOCтa распростраneuuя вaau.мoдeйcтвuй иа..
вывается nрипциnо.м, относительности Э Й.н'штейн,о,.
Последовательное проведение этоrо приициnа заста..
вило отказаться от механики Ньютона, закона сложения
скоростей по правилу параллелоrраММfi (вспомните при--
мер с прожектором на paKeTel), привычвыx представлений
о свойствах пространства и времени, но позволило сохра..
нить в неприкосновенности электродинамику Максвелла.
HYiHHO сказать, что каждая новая физическая теория не
отбрасывает пред:rpествующие теории как неправильпые.
но включает их. в себя каи отдельные частные случаи
справедливые только в определенных областях явлений)
и одновременно очерчивает rраницы их применимости.
Так произошло и со специальной теорией относительно..
сти Эйвmтейна, которая включила в себя механику Нью-
тона в качестве xopomero приближения и деjiствительно-
сти в тех слутrая:х., коrда скорости движущихся тел малы
по сравнению с макеимальной скоростью распространения
взаимодействий v max . Ведь даже по сравнению скосми"
чеСRИМИ скоростями в 10 KMlc СКОрОС1'Ь света.....
300 000 KMLc уже почти бесконечно велика!
I'ЛА ВА 3
ПРОСТРАНСТВА 11 КАРТЫ
З. f. K pты скоростей
в теории относительности
Давайте попытаемся перенести метод кине-
матических rрафов, о котором рассказывалось в rл. 1"
в теорию относительности.
Представим себе двух инерциальныx наблюдателей А
и В, движущихся друr относительно друrа, которые за..
меряют скорости различIIЫХ объектов С,, D, EJJ . .. и
наносят па листок бумаrи результаты измерений по сле-
дующему прави у Измерив скорость очередноrо объек--
та Х t Rажды1й из наших наблюдателей на CBO M Лllстке
()тк.паТlJ)lIзает от точки, изображающей ero caMoro, вектор,
ДЛИJlа KOToporo в выбранных единицах измерения равна
веJlI1{lине Сltоросrи объеkта Х! а напрапление совпадает
с направлением движения этоrо объекта. (Напомним, что
рассматриваются только равномерные и прямолинейные
ДВИfнения, причем все они происходят в одной плоскости
или, если уrодно.t параллельны одной плоскости.) Точ а
листа бумаrи" на которую приходится конец отложенноrо
вектора" и служит изображением скорости объекта Х; она
обозначается той же буквой Х. К концу измерений на
листках наблюдателей А и В появляются наборы точек
А, В, С, D" Е, .. . .1 которые мы назыв ем картами с!,\о..
ростец, измеренных наблюдателями А и rl ИЛИ, коротко,]
картами КА и КВ. Правило построения Ka-pT запи..
сывается очень просто: на карте КА
........
АХ ==1'XIA'
с:&орости объекта Х отн{)сительно
(3.1)
rде V х 'А ..... вектор
наблюдателя А.
Чтобы с помощью этих карт найти,; скажем, скорость
объекта С относительно А", Надо измерить расстояние
меа-\ду точками А и С на карте КА; уrол между направле..
НИJ&МИ скоростей объектов D и Е относительно В равен
30
величине уrла DBE на карте К в и т. д. В нерелятив:ист-
CI\O f СJIучае, как мы видели, у всех инерциальных наблю-
дателей карты скор.остей совпадают если наложить.
например, карту КВ на карту КА тан" чтобы СОВl\lестились
отмеченные на них пары точек А и В, то совместятся и
все остальные соответственные точки С, D, Е, . . . Блаrо--
даря этому, можно обойтись одной универсальной каРТОЙ t
в качестве которой. rодится и КА, И Кв, И КС ....... все эти
карты одинаковы. Любая ее точка Х может служить
началом отсчета, и вся информация, содержащаяся в карте
Кх, '1'. е. все сведения о скоростях различных объектов
отно'сительно системы отсчета Х" уже заложена в уни"
версальной нарте. На это и опирается метод кинемати-
ческих rрафов.
В теории orrносительности дело обстоит ул<е не таК.
Карты скоростей КА и К в двух разных наблюдателей
оказываются различнымиl Вспомним, что соrласно второй
части принципа относительности Эйнштейна никакая
инерциальная система не может двиrаться со скоростью,)
превыmаtoще'й некоторую максимальную величину Vmax;J
причем эта величина не зависит от системы отсчета ирав..
на скорости света с. Поэтому наблюдатель А" строя свою
карту скоростей, обнаружит, что все точки попадают
в Kpyr с центром в точке 4 и радиусом с. Этот Kpyr ЯВ
ляется как бы картон всех жы,.лu.м,ьl,хx сноростей,,; и карта КА
Уil-\е не занимает всей плоскости, как это было в нереляти"
вистском случае. По принци..
пу относительнос'Ти и у на-
блюдателя В HapTa OHa
iнется KpyroM Toro же- caMoro
радиуса С, но на этот раз в
ero центре будет располаrать-
ея точка В. Можно ли сов..
местить эти карты простым
ПDложением? Посмотрим на
рис. 3.1: M совместили одно..
именные точки А и В карт
паших двух наблюдателей;
очевидно, что сами нруrи КА и КВ при этом будут пере--
нрываться, во Не совпадут. Если же наложить один Kpyr
на друrой так, чтобы они совпали, то не совпадут их ОД40
поименные точки,......... например, центр А Rpyra КА совме..
стится с центром В Kpyra К в, а не с ero точкой А. (Под .
черкнем все. же, что в нерелятивистской области, коrда
относительная скорость движения варлюдателей А и В
Рис. 3.t.
31
rораздо меньше скор сти света, небольшие участки вбли-
8И центров карт К.. 4 и К в практически совпадают при
совмещении с точностью, тем более высокой" чем меньшие
скорости мы рассматриваем. В этой области действуют
законы классич ской кинематик .)
Итак" р-ассуждение об универсальной карте простран-
ства скоростей, которое мы столь успешно провели в rл. 1;J
в теории относительности не проходит. Одноименные точки
На картах р зных наб,людателей расположены по разно-
МYLt и расстоян е от точки В'до какой либо 'друrой точки С JJ
измеренное на карте К А ,_ вовсе не должно равняться рас-
стоянию между соответствующими точками карты KB'IJ
Т. е. относительной скорости VCI в. Более Toro, это расстоя-
ние вообще может оказаться больше радиуса карты о
(см. рис. 3.1). Поэтому сейчас мы лишены возможности по
резу льтатам измерений наблюда'теля А, которые зафинси-
рованы на карте КА, сразу опреде'лять результаты изме-
рений, проведенпых друrим наблюдателем В. Во всяком
случае, непосредственные измерения расстояний на карте
с помощью линейки или вычисление этих -расстояний по
форму лам евклидовой rеометрии для этой цели не rодят-
ся. ниверсальной релятивистской карты скоростей, на
которой' можно было бы' чертить, а затем просчитывать
кине-матические rрафы, у нас пока HeT Но не будем опу-
скать руки: С такой же ситуацией уже Сl'алкивались
rеоrрафы и астропомы,, поэтому аналоrии и примеры из
этих двух древнейших наук подскажут нам выход.,
3.2. Немвоrо rеоl рафии
Карты земной поверхности от пл на ro..
рода до карты двух полушарий 'nрочно вошли в наш
обиход, но далеко не все задумываются." как эти карты
составляют.ся.и как ими правильно пользоваться; Напри-
ep", RaR по карте COBeTcKoro Союза,) взятой из обычноrо
mкольноrо атласа., найти расстояние от Москвы до Хаба-
ровска? Способ, который приходит в rолову первым,........
измерить линейкой длину отрезка" соединяющ rо COOTBeT
ствующие точни карты,.. и умножить ее на масштабный
коэффициент, .........по существу ошибоченl Только для срав-
нительно небольших расстояний,- скажем, от Москвы до
Калинина или до Тулы, этот способ даст достаточно точ-
ный результат. Похожая ситуация сложилась у нас с кар-
тами, скоростей: если скорости двух систем относительно
наблюдателя А малы по сравнению со скоростью cBeTa.2J
32
o скорость одной из них относительно друrой численно
равна расстоянию между соответствующими точками на
KapTe KA' при переходе же к околосветовым скоростям
таRОЙ метод вычисления скорости по карте приведет
R большим ошибкам.
Эту а налоrию,,' очень важную для нас, можно уrлу
бить. Обратимся опять к «картоrрафам» А и В, но теперь
пусть они будут не наблюдатеЛЯ lИ в двух ДВИЖущихся
друr относительно друrа системах отсчета, а rеодезиста..
ми" находящимися в двух разных пунктах. Допустим, чт J
они составляют карты KaKoro To не очень большоrо участ"
на, на котором расположены объекты С, D, Е, . . . Для
этоrо, скажем" rеодезист А, вооружившись оптическим
даЛЬНО lером, уrломером, чертежными ИНСТiJументuми и
листком бумаrи, поочередно ИЗ Iеряет расстояния ДО
В, С, D, Е и уrлы между направлениями на эти объекты.
Измерив расстояние до очередноrо объекта Х и ero уrло...
вую Rоординату (азимут), он откладывает на своем листке
бумаrи от точки 4, изображающей ero caMoro, вектор,-
равный по длине (в эаданном масштабе) этому расстол...
нию и направлевный на объект Х, и отмечает на карте
ero конец ........ ТОЧRУ Х. Точно так же строит свою карту и
rеодезист В. Ясно, что пока дело касается небольшоrо
участка земной поверхности, который можно без особой
поrрешнос'fИ считать плоским (рельефом мы, разумееТСП,1
пренебреrаем), rеодезист В трудится понапрасну: ero
нарта не будет отличаться от карты rеодезиста А. Друrи...
ми слова IИ, одну карту можно наложить на друrую TaKf;
что точки """""':'. изображения любоrо объекта на обеих Kap
тах совместятся. ТаКИlVI образом, как и в случае карт CKO
ростей в нереЩ!тивистской области, карта небольшоrо,;
практически плО'скоrо участка, построенная из произволь...
ной начальной точки отсчета, универсальна любую
ее точку мол\но принять за новое начало отсчета, а расстоя
нив (в подходящих единицах) и уrлы на нарте равны COOT
ветствующим расстояниям и уrлам на поверхности 3е fЛИ.
Теперь увеличим измеряемый участок и расстояние
между rеодезистами. Чтобы разница стала ощутимей,)
отправи:м А на Северный' полюс, а В на экватор,)
в «центр» Восточноrо полушария: Принцип составления
карт оставим прежним: Rаждый rеодезист заботится лишь
о том, чтобы правильно передать Ha KapTe расстояния от
пункта ero местонахождения до друrих объ"ектов и уrлы
ме}БДУ направлениями на всеВОЗlVIОiI\Ные объекты из этоrо
пункта. При этом под расстоянием между двумя пункта..
2 В. Н. Дубропсний и ДР.
33
ми пони:мается конечно, длина Rратчайшеrо пути" веду..
щеrо по поверхности Земли из одноrо пункта в друrой
Т. е., нак леrnо сообразить, длина дуrи большой окруж"
ности *) Зе lЛИ, соединяющей эти пункты. Например,
расстояние от точки А до любой точки Х равно длине дуrи
11 Х l\lеридиана, проходящеrо через точку х. На рис. 3.2,;
а, 6 показан ПРИl\lерный вид сетки параллелей и меридuа
нов на картах А и В. Нижний полукруr на рис. 3.2.2, а
д
О)
Рис. 3.2.
п верхний на рис. 3.2, б изображают одну и ту же част.ь
земной IlОllерхности ее северо восточную «четверть».
l{aK ВИДИl\l, иТИ две карты невозможно совместить так,_
чтобы все ОДНОИl\н нные точки на них совпали. Это озна
чает, что' земные расстояния на наших картах вообще
rоворя, искаiJ\аются. Это хорошо видно на рис. 3.2. Pac
стояние ме}нду люБЫI\fИ двумя из точек А, В и С'по поверх..
IIОСТИ 3еl\IЛИ равно четверти большой' окружности земной
сферы: АВ и АС четверти меридиаНОВ t а ВС чет
верть экватора. В то же время на рис. 3.2" а расстояния
I АВ I и I АС I одинаковы (и равны, по построению,. ах
реальным. значениям)., а I ВС I ....... в у2 раз болыпе" а на
рис. 3.2, б t АВ I == I ВС I =1= I АС i. Более Toro" сами
большие ОИРУil\НОСТИ кратчайшие линии на сфере.z т. е.
«сферичесиие прямые»,........ изобра наются на наших картах
ио..разному, наJ.lример, из ОДИННКОВЫХ дуr ABf, AC jj AD
и ве rеодезист А первые три иаобразит отрезками" а чет
liертую ........ дуrой ОКРУiliНОСТИ (рис. 3.2" .а)l у rеодеаИCrта В
*) ТаКВ8ЗЫВ8ЮТСЯ окружности, ио ноторым сфера пересекается
с ПЛОСКОСТЛЪ:Ш а DРОХОl!ЯЩИМИ череа ее центр_
4
(рис. 3.2, б) только путь АВ изобразится так же, нак у А,;
а lеридиан AD вообще не прямая и H OKPYi-ННОСТЬ!
Но мол ет быть, недостатки этих карт. к оренятс.я в ca
мих картах, вернее, 'в способе их составления? ЧТО ,Н,
давайте попытае IСЯ строить карты по друrому.
Процесс съеl\lКИ карт планов небольших участков
l\IOiI HO представить так. Пусть, нанося на карту: точку Х,
rеодезист А измеряет оптическим дальномером расстоя
нне до вертикальной вешки, установленной в точке Х.
Че 1 дальше раСПОЛОiI<ена точка Х, тем длиннее ДОЛi-I на
быть вешка ведь поверхность 3е:мли искривляется.
(Да/не еСJIИ взять вешку высотой с ОстаНRИНСКУЮ теле
башнlO, расстояние, с которото ее можно БЫ-!IО бы еще уви
деть, составит Bcero около 80 км!) Однако это не мешает
нам МЫСJ1еIШО пр дстави"ь, нак будет выrлядеть карта
3еl\lЛИ, составленная с помощыо таких вешек. Оптический
дальномер Hamero rеодезиста иамеряет расстояние по Ka
сательной к земному шару в точке А до ПрЯl\IОЙ ОХ, rде
О ....... центр Земли (рис. 3.3), т. е. расстояние от А до точ",
ки Х' пересечения пря:мсй ОХ
с плоскостью а, касаIощей а
ся сферы в точке А. Точка
Х' называется центральной
проепцuей точки Х на плос
кость а из центра О. При этом
но;вом способе построения
карта болыпоrо участна 3eM
ли олучается в результате
центральноrо проектирова...
ния сферы на касательную к
ней в точке А плоскость. По
сравнеНИIО с первым вариан
том этот с пособ обладает важ
ным достоинством: любая «сферическая прямая», Т.е. боль...
шая ОКРУil\НОСТЬ сферы, изображается при центральной про..
екции обычной прямой (по которой пересекается плоскость,
содержащая эту большую QКРУЖНОСТЬ, С плоскостью а).
Но хотя на картах обоих rеодезистов А и В кратчайшие
линии на сфере изображаются' одинаково прямыми,
совместить эти карты все равно не удается. Действитель
но, дал\е заняв ПОД карту всю плоскость, мы 'Сможем
ум:естить на ней только половину сферы и то без оrраничЙ'"
вающей ее большой окружности, и на карте rеодезиста А f
находящеrося на CeBepHOl\l полюсе, вообще не найдется
точки ДJIН rеодсзиста В t раСПОJlо,кенноrо на экваторе. ДЛЯ
/
x r
Рис. 3.3.
2* 33
срзвненпя на рис. 3.4 показан примерный вид сеТRИ па..
РВ.JIлслей и меридианов на ,картах А (а) и В (6).
ПОПЫiка построить универсальную плоскую карту
сферы опять потерпела неудачу. Обратившись к истории,
1rfbl обпаРУiНИМ, что проблема наиболее удобноrо, точноrо
150 180 150
120
90
60
30 О
а)
за
БО
50
30
о
о
40
б)
30
80
Рис. 8.4.
и полноrо изображения земной поверхности волновал,
человека с незапамятных времен. Сохранился чертеiна
сделанный во времена Рамзеса 11.......... правителя Еrипта
XIII века до н. Э. (рис. 3.5). На нем поназаны дороrи и пе
реваn, находившийся на пути к золотым рудника?\f. Из
ЭТОf() чертежа нельзя узнать ни расстояний, ни направ
JIеI ИЙ, но зато MOiHHO увидеть, .что над нижней доро ой
во, IIJbl наются вершины rop, а на верхней дороrе эти ropbl
ВИДНЫ уже внизу под ноrами .......... здесь искаiнения каiНУТСЯ
нам уже чрезмерными. Др внеЙII1ая дошедшая до Нас (в ла..
тинских копиях) rеоrрафическая карта Клавдия lliоле..
мея (11 век до н. з.) была составлена на основе коорди...
натной. сетки, введенной rиппаlJХОМ, и оставалась наиболее
СОВЕ.}рmенной на ПРОТЯiкении мноrих веков. Даrt,е опытные
арабские мореплаnатели, хорошо знавшие Средиземноо
море, оставили только словесное описание ero береrов ----
лоцию. 10peXOДHыe карты XIV XV венов, так назы
Bael\lble портуланы, снабiI\ались вместо координатной сет..
ки «розами ветров»........ веерами аЗИl\lУТОВ. в нескольких
ldOOTax (рис. 3.6). Карта была покрыта сетью разноцвет.-
ных вееров, которые позволяли с достаточной по тем nре..
1rleHaM надеiRIIОСТhЮ проклаДhIвать курс корабля, но pac
("ТОННИЯ Аlе/I\Д > пункта.ми были известны плохо. Бурное
i)o
.
u')
.
с"')
.
u
со
.
C'IJ
.
u
==
38
развитие мореплавания и торrовли в эпоху великих reo
rрафических ОТRрЫТИЙ было бы невозм ожно без создания
все более совершенных :карт. Важнейший тат в ЭТОl\I Ha
правлении был сделан rерарДОl\1 lVIepKaTopoM (XVI век).
Ем:у впервые удалось создать карты, правильно переда
вавшие величины уrлов на поверхности Земли, причем
:меридизпы изобраiI\ались на них параллельными пря
IЫl\IИ. 1-'акие карты особенно удобны для кораблевожде
ния, нотом:у что прямая, соединяющая ЛIобые два пункта
на нарте, пересекает все меридианы под одним и Tel\I же
уrЛОl\1 И, следовательно, тем же (fВОЙСТВОl\I обладает соот...
ветствующая линиJ1 на зе:мной поверхности локсодро--
:м и я (rреч. «кособеrущая»). Вести корабль по локсодромии
проще всето надо следить только за тем, чтобы ето курс
составлял постоянный уrол со стрелкой компаса, nсеТДа
90
CS: r- · Ioo.. .,J ,. ..... 1--- .."" n...
ё1! ...... I ,r 1..... h/ ,; jiiII' ... '2... ..... 1"8 [;:
......
'ci: i""oo ..... l1li"'" 111 -' ( If
' .... ,..... ... ,... l.,..o-' 1,.& 11-
' ,/ р ;-1J 1.-
" , f . I( "- I\. r-...
...... ". 1/ r\. ........ 1'1 .,
".
'" .... "" J ti Ь "'" <1
< ""'-, I « ; . ...
'\. , r jr'J ;;- i"'\. .......
\ " v {
I ./ 1-'" ..", "\о ..,IJ (\,..
1/ ""'" <) и
, ... ,
I .... ,.r ..... -- 1....-
".. /
...
90
60
40,
20
О
20
40
60
60
40
20
О
20
40
60
90
90
D
Рис. З. 7..
указывающей на север *). Локсодромии, обраЗУlощие пря...
мой уrол с Аfеридианами, это просто параллели, в слу'"
чае )I(е oCTporo yrJ1a они пр.едставляют собой спиралевид
ные кривые, обвивающие в ОДНОМ направлеlIИИ Севе ный
ПQЛЮС, а в друrом ЮЖНЫЙ (на рис. 3.7 жирные линии
снизу п сверху изображают одну из локсодром:ий)..
Но и на картах в проекции Меркатора расстояния изо
бражаются с иск ажениями, резко возрастающими при при
*) В наше время, блаrодаря современным средствам навиrации,
эти соображения утрачивают свое значение. rораздо важнее обеспе
чить наименьшую протяженность пути, т. е. движение по большим
окружностям, называемым в картоrрафии ортодРО.Jtuя.ми (rреЧ е1
«прямобеrущая»). Поэтому большую роль иrрают карты, на КOTO
рых ОрТОДрОМИJI изображаются прямыми, в частности карты, полу
чаемые центральной проеI\цией
за
ил Iпнении R полюсам (полная такая карта заняла бы беСRО'"
печную' полосу).
IIосле l\1epKaTopa было придумано :м:ножество друrих
нартоrрафичеСRИХ проекций. (Напри:м:ер, на рис. 3.7
сох рзнен.ы пропорции вдоль каждоrо меридиана и каж
дой параллеЛII и прямые уrлы между ними, зато рааные
параллели имеIОТ одну и ту же длину.)
Но карта, на которых земные расстояния изобража--
лись бы без искажений, так и не была создана. Пора у/не
нам «открыть карты» ее" и невозможно построить. Cor
ласно теореме,' доказанной Леонардом Эйлеро:м в 1777 r.,
никакой, даж сколь уrодно малый, кусочек сферы не
может быть развернут на плоскость, т. е. отображен на
нее так, чтобы расстояние между любыми двумя ero точ
нами, измеренное по сфере, в точности равнялось бы pac
стоянию Me дy их .образами a плоскости. Сфера искрив
лена .......... вот почему принципиально невозможно построить
для нее универсальную плоскую apTY. -
И все таки универсальная карта Земли существует и
всем хорошо известна, только она не плоская. Это rло--
бус! Если бы наши rеодезисты рисовали карты не на плос
КОМ листе бумаrи, а па поверхности шара, то они, конеч...
но, получили бы одинаковые карты rлобусы. rеоде
8ис'r А, построивший rлобус по р зультатам собственных
из {ерепий, . произведенных из ero собственноrо пункта
отсчете, MOiKeT леvко восстановить результаты измерений,
проделанных любым rеодезистом В, измеряя расстояния
па СБоем rлобусе от точки В до друrих точек. Если такой
rлобус построен, то люБУIО ero точку можно принять за
новое начаJIО отсчета и Qпределить расстояние до Лlобой
друrой точки rлобуса ........ Земли. Так не следует ли нам:
предположить, что и наиболее подходящим полеIvl для p
лятивистских кинематических rрафов является не плос
кость, а какая то кривая поверхность «rлобус CKOpO
стей»? И так же, как обьrчный rлобус.......... уменьшенная
копия Земли, rлобус скоростей.......... это копия I\aKOrO TO
неведомоrо нам искривленноrо «пространства скоростей»?
Пусть такая rипотеза не покажется вам чересчур стран...
ной, ведь в современной физике зачаСТУIО дал<е са:мые н&-
обычные rипотезы и модели приводят К правильным BЫ
водам и результатам. А сначала мы сделаем еще одно от...
ступление и познакомимся с более наrлядным и осязаемым,
во тоже не совсем обычным пространством, rео:метрия ко--
Toporo очень близка К rеометрии .релятивистскоrо про--
CTpaHCTB скоростей.
40
3.3. Звездные карты и звездное небо
Второй пример нарт, ноторый мы рассмот..
рим,....... это нарты звездноrо неба. Проще всето получить
звеqДНУIО нарту фотосъемкой. 11менно такие карты фото"
rрафии мы и будем рассматривать, причеl\1 будем считать,
что съемка производится самым ПрИ!\fИТИВНЫМ фотоаппа..
paTOl\f так называемой «намерой обскурой». Это не"
прозрачный ящик, в одной стенке KOToporo сделано ма..
ленькое отверстие О (объектив), а на противоположной
укрепляется фотопластинка. Звезда А (рис. В.8) отпеча...
тается Tal\f, тде прямая ОА пересека в
ет плоскость пластинки. С похожим
способом составления rеоrрафических
карт мы уже встречались; напомним,
что-он называется центральной про
екцией *). Любопытно, что самая
древняя. дошедшая до нас звездная
карта Фалеса 'МилеТСКОl'О тоже была
построена в центральной проекции.
Попытаемся с помощью звездных
карт фотоrрафий и звездноrо неба
разобраться в той ситуации, с KOTO
рой мы столкнулись, начав зани '
маться релятивистской кинематикой.
Карты скоростей КА и Кв, составленные .двумя разны
ми наблюдателями А и В, можно сравнить с двумя раз
ВЫМИ фотоrрафиями КА И Кв звеЗДнrrо неба, снятыми
при двух различных ПОЛОil ениях фотоаппарата, котда
,он нацелен на ввезду А и на звезду В. Измерениям вели
чин и направлений сноростей, производимым определен
ным наблюдателем, соответствуют измерения расстояний
И уrлов непосредственно по данной фотоrрафии, а переходу
из одной системы отсчета в Д}i).уrую ....... переход от одной
фотоrрафии к друrоЙ. Как разные карты скоростей, таи
и разные фотоrрафии выrлядят по разному, их нельзя
совместить простым наложением. Однако все фотоrрафии
суть изобраiиения одноrо и Toro же звездноrо н ба, а раз
ница мел\ду НИhfИ обусловлена только изменением ПОЛОif\е
ния камеры. Точно так л\е карты скоростей связаны с си
стемой отсчета или, если уrодно, с «точкой зрения» KOH
RpeTHoro наБЛlодателя и потому отличаются друr от дpy
А
Рис. 3.8.
*) n ! nrтоrрафllИ центральную прое-кцию чаще называют rHO
:МОНИ чеС1\ии (l HOMOB солнечные часы)
41
rf1. СТо по этим: разрозненным: картам l\IОЖНО попробовать
сuстаВIП ь оБЩУIО картину, общее представление о про
страIIстве СRоростей, которое уже не зависит от KOHKpeT
поп точки зрения, хотя и «видится» каждому наблюдате
JIIO -по свое IУ. Чтобы построить это пространство, разо
бrС1Т])С н в ero CTpYKrr.ype, нам надо будет понять, как СJЗя
3('П'jI r\:еfl ДУ собой данные измерений разных наблюда
TQ:J( IT, научиться преобразовывать одну карту в друrую.
I{ОI'да ,I e это пространство будет построено и изучено, о
преоuразопаниях карт скоростей можно бу,Цет забыть"
Данные любоrо наБЛlодателя мы су:м:еем сразу перевести
па ЯЗыК этоrо универсалыIrоo пространства, а затем пере
счптать. их в систеl\IУ отсчета JI;:O
бо1"О друrоrо наблюдателя. Ha Ie
ченный нами путь проделать He
леrКQ, но, на наше счастье, с oc
новными ,ero этапаl\IИ можно поз
наКОl\;IИТЬСЯ на более ПрИВЫЧНОl\f и
простом примере 3В9здноrо неба
и erQ карт. Этим м:ы и займемся.
Сначала разберем:ся с преобrа
зованиями звездных :карт. В даль
неЙIпем нам будет удобнее проек
тировать на плоскость а, распо
ложенную перед ТОЧRОЙ О, а не за
ней, KaR в фотоаппарате (рис. 3..9).
ЯСIIО, что ЭТО почти ничеrо не :меняет. Из способа IIО
строения карт сразу iI\ следует, что одна карта получаеlСЯ
из друrой с помощью централь--
ной llрОСКЦИИ. Действительно
(рис. 3.10), ПРОИ8волъвая ввез..
да Х ИВuбражается на картах
КА и КВ точКамихАихВ......Точ..
ками пересечения одной и той
же прямой ОХ с ПЛОСКОСТЯАШ
КА И КВ, так что, скажем, ХВ
есть проенция ХА И8 центра О
на плоскость Кв. Подчеркнеl\1
одно. очевидное, но очень важ..
ное свойство этоrо преобравования: любая ПрllМ8Я Н9
ОДНОЙ карте проектируется в ПРЯМУIО на ,J;руrой карте.
Это свойство так и называют прое1iтuвnостью; ему суж..
дено сыrрать решающую роль при изучения rеометрии
релятивистскоrо пространства скоростей.
Сепчас il\e l\lbl перейдем к изучению rеQМСТРИП звездноrо
А
42
Рис. 3.10"
веба, попробуем получить формулы, которые позволили бы "
переходить от одной карты фотоrрафии к друrой, минуя
не очень эффективный путь центральное проеКТIIрова
вне. Для этоrо нужно прежде Bcero построить ПОДХОДЯЩУIО
:математическую l\10дель звеЗДНОI'О неба, некое простран
ство, картам:и KOToporo СЛУJl ПЛИ бы наши фотоrрафии.
Заметим, что одной точке на фотоrрафии отвечает не одна,
. .
а сразу MHoro точек ОКРУJl{ающеrо нас пространства,
а именно, все точки луча с начало .{ в центре проекцпп
(пункте наБJlюдения) о. :I\fожно сказать, что звездная Kap
та является картой «пространства», в которо:м роль точен
иrрают всевозможные лучи с началом O, пространства
лучей. Мы I1рИХОДИМ к несколько неОrниданному выводу:
наиболее адекватная модель «звездноrо' неба» это про
странство JIучец. Впрочем, ничеrо особо непривычноrо
в то:м, чтобы' называть луч «точкой», нет. В любой книжко
или статье по астрономии вы встретите фразы вроде сле
дующей: «такую то звезду можно увидеть в такой то точ
ке небесной сферы», однако здесь вовсе не подразумевает
ея точка какой то определенной сферы или даже просто
конкретная точка простра ства ИМеют в виду направ
ление, вдоль' KOToporo надо посмотреть, чтобы увидеть
звезду. Конечно, не стоило бы за .
водить разrовор о пространстве лу Полярная везда
чей, если бы все оrраничилось пе ·
.
реименованием лучей в «точки». Суть ..
дела Ha IHoro rJ1убmе:. оказывается, . .
пространство лучей обладает reoM:eT
рией не менее боrатой, чем евклидо
Ба rеометрия плоскости. ·
Приступая к рассказу о ней, мы
должны прежде Bcero уяснить, какой
смысл имеют в пространстве лучей
основные rеометрические понятия
расстояние, прямая, уrол. Это совсем
леrко; мы ивоrда даже пользуемся ими на практике, НО
отдавая себе в этом отчета. Вспомним, напри:мер,
популярное правило при6лиженноrо определения положе
вия Полярной звезды: надо мысленно соединить дJJe край...
ние звезды ковша Большой Медведицы (а и на рис. 3.11)
прямой и ОТJlОЖИ'JЬ на ней пять раз расстояние между
ними. Лlобой из нас, не задумываясь, справится с эти:м:,
БоображаеМJdМ построением. Если вникнуть в то, что при
ЭТОМ BI..JJТ() ; НРТСЯ фактически', то вы ,поймете, мак следует
ollpeAeJIH'J:'b основные понятия l'еометрии лучей (11x
CO )). v\ ца
. .
.
.
р
Рис. 3.11.
3
названия будем брать в кавычни, чтобы избежать пута-
ницы с понятиями .обычной rеометрии.)
Итан, за «расстояние» между двумя «точками» лучами
ОА и ОБ мы примем величину уrла АОВ. ДЛЯ нраткости
будем обозначать «точни» ОА, ОБ,_ ... полужирными БУR
ва:ми А., В, . . _, а «расстояние» между А и В символом
I АВ Iл. «Прямой» пространства лучей естественно наз
вать множество всех Jfучей «точен», лежащих в одной плос
ности, «отрезном» АВ ПЛОСRИЙ уrол
АОВ, «уrлом» АВО уrол между по
луплоскостями АОВ и СОВ с rраницей
ОВ (рис. 3.12)..
На основе этих понятий леrно про...
должить СПИСОR определений rеометрии
лучей по аналоrии с обычной теомет--
рией. Цо сути дела, rеометрия лучей
это удобный язык, на котором можно
описывать различные rеометрические
свойства фиrур, составленных из лучей
с общим началом. Достойно удивления',
что в этом языке мы можем употреблять
слава из языка планиметрии и, самое
rлавное, составить из них массу фраз, одинаково верных
в обеих интерпретациях. Выходит, .rеометрия пространства
лучей во мноrих отношениях близка к rеометрии евклидо--
вой плоскости, что совсем не очевидно с nepBoro взrляда.
Это обстоятельство стоит подчеркнуть, ибо в релятивистс--
ком пространстве сноростей, еще более далеком по своей
природе от плоскости чем пространство лучей, мы то}ке
обнаружим <;вои прямые, уrлы, расстояния и т. д..
в
о
Рис. 3.12,
3.4. I'еометрия простран тва лучей
rеометрия лучей это просто один из раз--
делов стереометрии, и все ее теоремы можно доназывать
с помощью обычных пространственных построений и рас...
суждений. Но не будем забывать, что для нас пространство
лучей является тольно испытательным полиrоном, на ко...
тором мы отрабатываем методы изучения rеометрии про--
странства сноростей. А ero нам придется. исследовать поч...
ти вслепую, не имея представления о том, нан оно выrля..
дит, Все, что мы можем о нем узнать, заключено в нартах
с:корестей. Поэтому мы расскажем, нан "'1IолуlIать теоремы
о пр'OстраНС'-Fве лучей, пользуясь ero картам:и фотоrрафия..
ми.' Основная идея очень проста. Сначала мы выясним,
44
RaR rеометрическая структура пространства лучей OTp
жается в ero картах, выведем точные правила, позволяющие
переходить от пространства к нарта:м и обратно. После
этоrо с их ПО"IОЩЬЮ можно будет любой rеометрический
факт, справедливый для карт, т. е. в обычной евклидовой
llJlапиметрии, преобразовать в теорему теометрии лучей.
Читателю, не СRЛОННОМУ или не ,ПРИВЫКШQМУ BдaBaTЬ
ся в дебри математичесних подробностей, мы рекомендуем
пропустить при первом чтении TeRCT, набранный далее
меЛRИМ шрифтом. R нему стоит вериуться перед -чтением
разделов 4.5 u 4.6, в которых та же общая идея и даже дe
тали рассуждений при меняются для вывода фОРl\fУЛ reo
метрии релятивистскоrо пространства CKopOCTe .
Напомним, что по построению каждый луч {«точна») иаобра
жается на карте точкой, в которой он пересе:каетс.я с плоскостью
карты. Для определенности будем считать, что расстояние от этой
плоскости ДО точки О начала лучей равно 1. Нарту, плоскость
которой перпендикулярна лучу ОА, обозначи К А (рис. 3.9).
Очевидно, что «прямые» пространства лучей изобразятся па
картах фотоrрафиях обычными прямыми, «уr.пЬD) и «отрезки», как
Dравило, обычными уrлами и отрезками *). Величины «уrлов»)
и длины «отрезков» при переносе на карту, Р'8.зумеется, искажают
ся, одна:ко в простейmих случаях леrко найти формулы, связываю
щие расстояния и- уrлы, которые Мы иамеряем ЛIlнейкой и TpaHC
портиром непосредственно на картах, с соответствующими «расстоя
нияМи» и «уrлами» в пространстве лучей. Самая простая зависимость
получается тоrда, KorJta по Kapre К А определяются «расстояния»
от «точки» А и величины «уrлов» с вершиноЙ в этой «точ:ке».
Пусть А, В, С ......... изображения «точек» А, В, С на .карте КА.
Тоrда, во первых, евклидово расстояние I А В I (PJlc. 3.13) равно
IOA I tg Айв и, поскольку I A I == 1, а А В
величина уrла А ОВ есть «расстояние»
между «точками» .А и В пространства
лучей, КА
I АВ l А == tg I АВ I л , (3. 1)
rде через I А В 'А обозначено расстояние,
измеряемое по карте КА. BO BTopЫX, уrол
БА С (рис. 3.14) получается при iIересече:-
нии двуrранноrо уrла В(ОА)С плоско
стью карты [<. А' перпендикулярной ero
ребру ОА, и, следовательно, Jlвляется ли..
нейным уrлом этоrо двуrранноrо уrла, т. е.
равен по величине «уrлу» ВАС в пространстве
«уео/l,» с вершUНОЙ в «точпе» А uзображается на карте
uспаженuй.
1
о
Рис. 3.13.
лучей:
К А бед
(3.2)
*) Впроqем, ипоrда «уrолt может йзобразиться ПОЛОСОll ИЛII полу..
ПJlОСКОСТЬЮ, а «отрезок. ...... JIУЧОМ. Поду маИте, I<оrда ЭТО случается!
45
Рассмотрим еще один полезный частныii случаЙ, в ROTOpO::\1
ИСI\омая завпсиМость столь же проста. Пусть «уrол» АСВ в про
странстве лучеЙ прямоЙ. Тоrда (рис. 3.14) плоскость ове
псрпеНДИRулярва ПЛОСRОСТИ ОА С; но и плоскость А ЕС плоскость
карты перпеПДИRулярна ПЛОСRОСТII ОА С (потому что .она перпен
ДIIRулярна прямой ОА). Поэтому
прямая ЕС ,по ROTOpoii пересеRают
ся ПЛОСRОСТИ ОВС И АВС, то;не.
перпендикулярна ПЛОСRОСТИ О,А С,
и значит, уrлы ВСО и ВСА
прямые.
Во первых, отсюда BbITeRaeT,
что
«прямой У20Л» в пространстве
.лучей, сторона котОрО2О r!Po"
а;одит через «точку» А «<У 'ОЛ»
C А), uаображаеп ся на карте
f( А евклuдовыМ, прямы.м, У2ЛОМ,
(уrлом BCA)j (3.3)
КА
А
о
Рис. 3.14.
Bo BTopы.х из треуrольника
ОБС С прямым уrло:м при вершине
.............. ..............
С Н:1ХОДIlЫ, что I ЕС I == I ос I tg ВОС, но ОС I == I ОА I /cosAOC,
а I рА I == 1, CTaJIO быть,
IHC I л == tg I вс л/СО81 АС I л , если АВС прямой уrол. (З.4)
Теперь мы можем выводить соотношения между сторонами и
уrлами «треуrОЛЬНИRОВ» в простран тве лучей, друrими словами,
мел{ду ПJIОСRИМИ и двуrранными уrлами трехrранных уrлов *).
Действительно, зависимости (3.1) (3.4) позволяют выразить эле
менты (длины сторон II уrлы) прямоуrольноrо треуrольника А ВС
па RapTe К А через ЭJfементы соответствующеrо «треуrол ьни:к а»,
АВС (см. ниже формулы (3.5». Поэтому достаточно взять люБОА
соотношение между элементами «еВl\лидова» прямоуrольноrо T e"
уrольпика АВС, например, теорему Пифаrора, заменить вх.оДfIщие
в Hero величины их выражениями чер з, элементы «треуrольвикаt
ABC. и очередное метрическое соотношение rеометрии лучей
rOToBol Комбинируя пмученные результаты, мы найдем новые фор
MYJ.Lbl, в том числе не ИМеющие прямых анаJIоrий в евклидов ой
I'еометрии. А от прямоуrольных «треуrОЛЬПИRОВ» нетрудно перей..ТII
и к произвольвым.
Обозначим «длины» сторон АВ, ВС, С А «треуrольви:ка» .АВС
в пространстве лучей через с, а, Ь соответственно, I величины
«уrлов» при вершинах А, В, С через а, и у. Лналоrично,
ев:клидовы длины сторов треуrольника Аве, изображающеrо
«треуrольни:к» Аве на RapTe КА' обозначим через С1, 41, Ь 1 , а ero
уrлы ....... через А, В, с
Предположим сначала, что «треуrОЛhJfИI\» .АВС прям
уrольный и == 'Л/2; TOl'J,!a ИЗ соотношений J!f)......... (J.4) 8ЫTeKa T,
*) Эти соотношения, врр()ятно, паТ{()мы '\mпrИ\1 И3 ваших чита-
телей. СМ., папример, YL!eO.lH1 «I'eOMeTl)l1 J. )q JJ.vJJ. реЬ!аl цией 3. А.
Скопсца.
4Ь
что:
Ci == tg С, . Ь 1 == tg b ai == tg a/cos Ь,
А == а, С == 'v == nj2.
(3.5)
Выведем некоторые наиболее. хараRтерные метричес:кие соот",
ношения для «треуrольни:ка» ..АВ С .
Катет, rипотенуза и уrол между ними. На карте имеет :место
формула Ь! == Cl СОВ А; отсюда, в силу (3.5), в пространстве лучей
tg Ь == tg С cos сх. (3.6)
Два наТета и уrол, прилежащий к ОДНОl\IУ ИЗ них. На :карте:
ai == Ь 1 . tg 11; в пространстве ЛjТчей: tg а/ cos ь == tg Ь tg сх или
tg а == sin Ь tg сх. (3.7)
Два катета и rипотенуза (теорема Пифаrора)" На нарте:
C == ai + bi j в пространстве лучей: tg 2 С === tg a/cf}, s 2 Ь + tg 2 ь.
П реобразуем это равенство, пользуясъ тождеСЖ:DОМ tg 2 х + 1 ==
== 11cos 2 х: .
1 === t 2 С + 1 == tg 2 а
cos 2 с g cos 2 Ь
+ tg 2 Ь + 1 ===
tg 2 .a 1.
:!::: ooS2 Ь + cos 2 Ь
z::::::
1
cos 2 а cos 2 Ь
или cos 2 С == cos 2 а cos 2 Ь. Если «длины>} сторон «треуrольника»
.АВС, т. е. уrлы АОВ, вое иАОС не превоеходят п/2 (а фа:к и"Чее:ки
это подразумевается, ибо в противном случае «треуrОЛI1ПИК»
Аве не уместился бы на карте КА ......1.. см. рис. 3.14), то числа
cos С, cos а и cos Ь положительны, следовательно,
cos С == cos а cos Ь.
(з.в)
Это и есть тeopeMa Пифаrора» rеометрии лучей. Нетрудво ДOKa
за:ть, что на самом деле формула (З.8), так же, как (З.6) и (З.7),
справедлива для любоrо прямоуrольноrо «треуrольника»,
Следующее соотношение мы выведем иа (3.7) и (3.8). С евк.rrидо.,
вой ТОЧRИ зрения оно представляется довольно неожи)!аJiвым
Два yraa в rипотепуза (1). Все доказанные вами формулы BЫ
ражают определенные факты rеометрии лучей и сами по себе HBKa
кото отношения к каким бы то ни было картам не имеют. Например,
соотношевиь типа (З.7) в равной степени справедливо для обоих
непрямых *) уrлов «треуrOJiьника», в частности, tg Ь == sin а tg .
ПереШlОжая правые и соответственно левые части этоrо равенства
и равенства (3..7), получим. tg а tg Ь == sin а sin Ь tg сх tg или
сов а сов Ь == ctg а . ctg ! Отсюда по «теореме Пифаrора» (3.8)
имеем
ctg а -ctg == cos С!, (3.9)
Итак, зная два непрямых уrла прямоуrольноrо «треуrольни'Ка»,
MOiRBO вычислить ero «rИIIотезу», а значит, и «катеты» следова
тельно, в этом случае «треуrОJ1ЬВИR Пространства лучей полностью
*} l\'lbl не roворим ocTpы.,' потому что В прямnуrольном
«треуrольвикеt Moryt .UMU'fbCH j.\аже ДB тупых уrла \;uриведите
примеv).
47
опреДСJJлется СВО:ИМи уrлами. Более тото, ОRазывается, что д,.бые
два (\''fрсуrОJIЬНИRа» с соответственно равными уrлами в rеометрии
лучей конrруэнтны!
Еlце одно интересное слеДСТВIlе из (3.9) получается, если учесть,
что cos.c < 1 и потему ctg а < tg == ctg (л/2 ). Отсюда BЫTe
Иает, что а > 1[/2 , т. е. суММа уrлов а + + l' == а + +
+ л/2 прямоуrольноrо «треуrольника» .АВС больще л. Это можно
доказать и для произвольноrо «треуrольника», разбивая ето на пря
моуrолъпые.
Следующий тат научиться «решать» любые треуrОЛЬНIIНII
в простран тве лучей. Но здесь 'i\fbl остановимся, приnедя толы О
орро соотношение:
cos а ' cos Ь cos с + sin Ь sin с cos сх.
(3.10)
Оно называется «теоремой косипусов» rеометрии лучеri (и, судя
по записи, вполне заслуживает такото названия). С «теоремой си
ВУСОВ» И еще одной (1) «теоремой косинусов» читатель MOil\eT позна
комиться в дополнении 4 к этой rлаве. Все эти теоремы доказывают
сп точно так же, как одноименные теоремы rеометрии реЛЯТИВIlСТ
ских СRоростей, о которых мы подр.обно расскажем в разделе 4.О.
Заканчивая разrовор о пространстве лучей, мы ХОТИМ
извиниться Ба то, что сознательно старались ПОДОЛЫllе
сохранит:о в GeKpeTe ето подлинное JIИЦО. Впрочем:, Haдee \1 '
ся, наш проницательный читатель давно уже раскрыл этот
1\1аленький секрет: пространстnо лучей и сфера ЭТО
В сущности, одно и то ,"не! Действительно, раССМОТРИl\l сфе
ру радиуса 1 с I HTPOM В то.чке О начале всех лучей.
КаiКДОЙ ее точке Р соответствует одна и только одна «точ
на» Р пространства J!учей луч О Р. При ЭТОl\f «раССТQЯ"
яие» между любыми двумя «точками» Р и Q, т. е. УI'ОЛ
POQ, очевидно, равно по величине длине дуrи РQ.большой
ОКРУiI\НОСТИ сферы. Но ведь Ta длина и есть расстоянпо
меi-НДУ точками Р и Q, измеренное по сфере. Далее, любо.й
«прямой» прос-травства лучей (плоскости) ОТIilечает «сфеРIИ
ческая пря:маiI» (большая окvужность, по которой эта ПJJОС
кость пересекается со сферой). Вообще, люБОfrlУ понятию
rео:метрии лучей будет отвечать совершенно а.декватное
ему IЮнятие сферической rеОl\lетрии, а любую из формул
(3.6) ....... (3.10) МОil\НО читать как формулу . «сферической
триrОПОl\lетрии», например, «TeOpel\la {\осинусов» (3.10)
Аfожет одинаково успеПIIIО СЛУiНИТЬ и для-- определения uo
звездпой нарте КА уrЛОВОI'О раестояния меrRДУ :-зnезда.ми В
и С, и для вычисления по rеоrрафичеСI\оi нарте pa CCTOH
пия мел\ду l\10СКВОЙ и ХабаРОВСКОАl. Как rласит И3llест
ный афОРИЗ f, м:атем:атика ........ это ИСRУССТВО называть раз
вые вещи одинаКОВЫl\lИ именаl\fИ, а одни и те же вещи .......
р.азными и l\Jenаl\lИ. Пользуяс,h наПlей нартоrрафичеGКОЙ
тер.МИНОЛОI И ЙJ MOiKH() СКClЭCilЬ, Ч.ТО сфера явля.е;rся уни"
43
еерсаЛЬ1-l0Й Jli,apтou пространства лучей. И l\Ibl знаеl\I, что
такие карты""""""'"": звездныIe rлобусы деЙствительно при
меНЯIОТСЯ. Пространство лучей и процесс IIостроения ero
униwрсальной карты м<?жно да}I" е УВП1J;еть ВООЧИIО
В планетарии, rде лучи, исходящие из проеКЦИОНllоrо ап..
парата, высвечивают изображения звезд и планет на сфе
рическом ку..поле.
Мы неспроста выбрали для раСC,Rаза о сферической reo
метрии и ее изучении с ПО)lОЩЬЮ карт остраненный я3ыIK
пространства лучей. Нам хотелось показать, что reOM:eT
рической структурой MorYT обладать множества, С9СТОЯ'"
щие из точек самой произвольной природы (например, из
лучей). 'Чтобы rеометрия аработала, необходимо лишь
наличие четких определений основных ПОIlЯТИЙ рао-
стояния, прямой и т. д. В следующем разделе мы наЧЩЭl\-1
изучение rеометричесной струкхуры совсем абстракт оrо
релятивистскоrо пространства скоростей. Надеемся, что
блаrодаря нашеМ)7.1 отступлению в область rеоrрафии и
астроном:ии (ВОЗ 10ЖНО, несколько затянувmемуся), MHO
roe в ЭRЗ0тическом мирз релятивистских скоростей пока
iнется читателю Уiие знакомым.
3.5. 1JTO такое пространство скоростей?
Рассмотренные нами примеры позпОЛJIIОТ
преДПОЛОil ИТЬ, что разные :карты скоростей MQ I HO истол
ковать l{a1\ разные плоские изобраmeния eAJfВQro IJPO
странства, RaK бы ero «фотоrрафии», С'делаНlIые в раз ыlx
ракурсах. Причеl\f в теории относительности это простран
ство, судя по ncel\-IY, является искривленным, . ПОЭТО IУ
ero не удается изобразить на плоскости точно, бед ИСR8-
жений. Теперь наша задача........ развить эту идею, и ПРОJнде
Bcero установить, какой с:мысл имеIОТ :в rеом трии CHQ
ростей слова «точка», «прямая», «расстояние» и q'.' П. МЫ
ДОЛiННЫ научиться rоворить о кинематине на язы'Rе reo
метрии.
ПОС?tfОТРИМ, как реmается эта задача n перелятипист
СКОМ СJlучае, которым ltIЫ' занимались Б :rл. 1. Т8щ-а Mi>I
почти оБОfJlЛИСЬ без ВСЯКИХ абстрактны х разrоворов о
«пространстве скоростей», ero «точках», «пря {ых.» и тому
подобны вещах, настолько очевидной II орrаН8ИЧПОЙ была
связь меiНДУ кинематикой 11 еВКЛИДQВОЙ rСО Iет.рией. 'J:jСПОl\I
НИАf: ВIJlбирая на ПJIОСКОСТИ произвольную точку А,
отпечаIОIЦУЮ каRОЙ"'ТО иперциальной системв отсчета А,
и C.Oli() l' U ВJIНЯ БСЛКОl\IУ ДВИ/Н ущр.м:уся С ПО<;'I О янной CI\O
49
ростью объекту Х (систе:ме отсчета, материальному телу,
частице, наблюдателю чему утодно) точку плоскости X
-----+
по правилу АХ == VXJA, мы получаем карту скоростей КА.
И здесь нам везет. J.\tlbl можем забыть, что начинали
с определенной систе:мы отсчета А. В установлеННОl\1 соот-
ветствии мел ду точками ПЛОСКQСТИ и инерциальныI\Iии си...
стемамя отсчета все точки и все системы оказываются равно..
праВНЫl\IИ. 13 силу правила слол ения скоростей, для
любых двух систем В и С вектор относительной СRОрОСТИ
,
VCI в будет равен по величине lJ паправлеНИIО вектору ВС,
соединяющему СООТВе'fСТВУlощие точки плоскости. По
тому любая аадача об относительных скоростях моменталь...
но превращаеТС!I в задачу евклидовой плаНИА1етрии.
Б теории относительности дело обстоит иначе. На реля..
тивистской ка рте скоростей наблюдателя А ....... круте КА .......
имеется выделенная точка ..... ero центр А. RлассичеСRИЙ
закон сложения скоростей здесь не действует, и про.стое
равенство АХ == VXIA, которое lЫ кладем в основу по..
строения 29'"карты КА, уже нельзя распространить на лнr
бые две точки этой карты. Карты скоростей, которые в не..
релятивистском случае можно было отождествить друr
с друrом и сразу рассматривать как универсальное np<r
странство скоростей, теперь выступают как равные плос
кие изображения одн'()80 и тО80 же «увиверсальноrо»
пространства. О том, что оно собой представляет, нам за
ранее ничеrо неизвестно, повтому мы должны начать с оп...
ределенuй основных ееОJneтрuческих nонятuй в простран
стве скоростей. А поскольку rеометрический цзык призвав
служить для решения задач кинематики, то и эти понятия
на.до выразить через основные величины, рассматриваеиые
в кинематике, т. е. прямо через отн.осительН,ые. скорости.
Это совсем пerKo сделать внерелятивистском случае t ведь
любое понятие евклидовой rеометрии можно опиr,ать с по-
мощью векторов, а вектор, соединяющий две точки в' во.
релятивистском пространстве скоростей, попросту равен
вектору относительной СRороети двух соответствующих
систем отсчета. Полученные таким образом определения мы
постараемся распространить и па теорию относительности.
Итак, допустим, что кал\дой --инерциальной системе от-
счета сопоставлена ровно одна точка пекотороrо множества
29' ...... nростраucтва скоростей. В верелятивистском слу-
чае в качестве TaKoro множества можно взять ПЛОСКОСТЬ.
В теории относительности у нас не БУlXет столь же ваrJJщt.
50
Horo представления о не1\-!, но, зафиксировав CIIcTe IY OT
счета А, :м:ы можеl\f CT nдapTHЫM спосоБОl\f изобразить это
пространство на плоскости в виде крута карты CKOpO
стей КА- 11ри ЭТОl\I каждой точке Х карты отвечает ровно
одна IIнерЦI аvlЫlая систем:а Х (ДВИj-нущаяся относительно
системы А со скоростью 1JXIA == АХ) и, следоватеЛlНО,
ровно одна точка прос:ранства скоростей 2Р:
j[ ю60.му с 6 ъек,ту Х, двuжуще.муся paeHOhte p1l0 и прямо
лunейпо опlпосuтеЛЫ1;О uперцuалыlхx систем Отсчета,
в прострапстве c opocтeй отiечает еqUllствепuая точ
ка,(RОТОрУЮ l\lbl условимся в дальнеЙшем обозначать х).
Конечно, та же саl\Iая точка отвечает и всем друrим
объектаl\f, еПОДВИjI НЫМ в системе покоя Х. Иноrда нам
будет удобнее rоворить, что «точка Х изображает в про...
странстве 7/ спорость объекта Х». Это не вполне правиль
но, но вполне понятно: задав Лlобу систему отсчета А,
мы сумеем: узнать все, что позможно, об относительной CKO
рости V 'А по располол{еНIIIО точеJt:t Х и А в пространстве
скоростей.
Теперь надо леревести на кинематический язык сл ва
«ПРЯ lая», «yroJI», «расстояние». Эти и друrие понятия reo
метрии скоростей AIbl часто будем коротко называть
DрЯl\IОЙ, 2Р уrлом: и т. д.
Начнеl\f с' с;}' прямь х. Три точки А., В и С нереляти
вистскоrо пространства скоростей евклидовой плоско
сти лежат на ОДНОЙ прямой тотда и только тоrдз, коrда
eKTOpы АВ и АС коллинеарны, т. е. котда коллинеарны
векторы скоростей VBIA и VCIA. ЭТО условие мы можем
беспрепятственно перенести в ' релятивистское ру IIростра&о
СТВО. ИтаR, точ"а С лежит на u;?..пря.мой АВ тоада и
толыw тоада, Kozaa от1Юсumeдьн'ые скорости VCIA и 'VBIA
к.оллuнеарпы. На карте скоростей наБЛЮАателя А точки А,
В и С располаrаются Н,а прямой, точнее, на одном ив диа-
метров круса КА.. Очевидно, то же самое верно и ДЛЯ
CV'--карт КВ и Ко. Поясним наrлядный смысл нашеrо оире..
деления. ПОСКОJIItКУ нас интересуют только от но ситеJlЬ""
вые СRОрООТИ, а не АIестонахождение наблюдателей А, В
и С, 1\fOiI HO считать, что в RаRОЙ ТО момент nре Iени они
находились в ОДНОА! И ТОМ же пункте. Тоrда с точки зрен.ия
Jlюбоrо из них два друrих наблюдателя' будут д»иrаться
с постоянными СRОрОСТЯМИ по ОДНОЙ и той }не IIрямолиней
НОЙ «дороrе», на RОТОрОЙ стоит И он caM . I-Iапример, вело:-
сипедиеты, КО'1'орые едУт с постоянными (но, MOi1ieT быть,
С;/1
(J
разными) скоростями по прямому участку шоссе, теле..
оператор, пролетаIОЩИЙ над ними на вертолете, и теJlСе
KO IMeIlTaTop, находящийся на финише rонки,....... все они
изобразятся' в пространстве скоростей точками одной и той
il{e Ilрямой.
В нерелятивистском случае ру уеол ВАО меж д у
vv лучами АВ и АС, очевидно, равен уrлу между вектора fИ
......... ..........J'
АВ и АС, т. е. уrлу между векторами скоростей VBIA и
VCIA частиц В и С с точки зрения наблюдателя в сиСТе lе
отсчета А. Это соотношение мы должны сохранить и в Teo
рии относительности. Действительно, IОЖНО уменьшать
величины скоростей частиц В и С относительно наблюда ,
теля А, не l\lеняя их направлений. В пространстве CKO
ростей соответствующие Р7"точки В и О будут приБЛИfI\ать
сл к 29' точке А по двум лучам сторонам yrJla ВАС.
При этом 29' уrол ВАС /и уrол между веI(торами скоростей,
конечно, будут оставаться постоянными, а внерелятивист..
ском пределе, коrда скорости станут MaJIbl по сравнению
со скоростью света, мы получим, что
вАс == VB CIA'
ДО сих пор все у нас ШЛО очень rладко, определения
сами собой переносились с классическоrо случая Iia реля
тивистский. Но теперь, коrда мы подошли к последнему,
и, ПОiналуй, car.foMY важному MO leHTy..... определению
29' расстояJ-tия,..... мы столкнемся с особенностью, IlРИСУ
щей именно теории относительности и связанной с orpa..
ниченностью скорости распространения взаи модействий.
,Расстояние между двумя точками А и В нерелятивист"
.......
cKoro пространства скоростей равно длине вектора АВ,
T е. величине относительной скорости VBIA: I АВ I ==
== VBIA. Эта фОРl\fула прекрасно с'оrласуется с кпасси..
ческим законом сложения скоростей. Действит.ельпо, рас..
смотрим системы отсчета В и С, ДВИiI ущиеся в одном и
TOl\1 же направлении относительно системы А так, что
в пространстве скоростей точки А, В и О лежат на одной
пря.МОЙ, причем В находится между А и С. Тоrда расстоя
ние I АО I равно сумме I АВ I + I ВС 1, или VCIA ==
== VBIA + VCIB, как и дол}кво быть. Hu в теории относи"
тельности обычный закон сложения скоростей не дейс'Р"
вуеТ 1 иначе' MOi'I HO было бы в результате СJIОjнения доста..
ТОЧНО больших скоростей получить скорость, превыmаю-
щую скорость света. С дuуrой стороны' мы хотим, 1Jтобы
«ннкоп сдоженил расстояний» 1 АО 1:;;; I АВ j + 1 ВО J
52
был выполнен и в реЛЯТИВИСТСRОМ пространстве СRоростей.
Поэтому равенство I AB I == VB1A нам придется заменить
более общей зависимостью
11 АВ 11 =::! r (VBIA),J
(3.11 )
rде I1 АВ 11 реЛЯТИВИСТСRое расстояние, а r (v)
какая то неизвестная ФУНRЦИЯ; Rоторая призвана кан бы
соrласовать заRОН сложения расстояний на «rлобусе»'
и реЛЯТИВИСТСRИЙ заRОН преобразования СRоростей. ЯВ
ный вид функции r (v) мы сумеем найти только тоrда,.
Rоrда научимся выражать снорость VCIA через VBIA и
VCIB. Этому посвящена значительная часть следующей
rлавы. Однако уже сейчас можно утверждать, что при
скоростях, малых по сравнению со СRОрОСТЬЮ света
(v с), эта фУНRЦИЯ будет. праRтичес и линейной:
r (v) kv, потому что таRие скорости СRладываются
почти по RлассичеСRОМУ заRОНУ. На друrом нонце шкалы
СRоростей расположены фотоны, l\оторые, соrласно прин
ципу относительности Эйнштейна,/ движутся С одной
и той же СRQРОС ЬЮ V max == С 3.108 м/с относительно
ЛIобоrо инерциальноrо наблюдателя. Соот;ветствующие
им точки. пространства СRоростей должны быть paBHO
удалены от всех остальных «<обычных») точек. Как же это
соrласовать с «заRОНОМ сложения расстояний»? Выход
м:ощет быть только один....... считать, что фотонам OTBe
чаю'т особые «беСRонечно удаленные» ТОЧRИ пространст
ва Р7, лежащие на беСRонечном расстоянии от любой обыч
ной точки. При этом получается, что r (с) == 00 и r (v) --+ 00
при V с. СОВОRУПНОСТЬ беСRонечно удаленных т-очек
называют абсолюто.м пространства GIf' . Абсолют......... это
как бы линия rоризонта пространства скоростей: СRОЛЬRО
R нему ни приближайся" он остается все таким же беСRО
вечно далеRИМ. Понятно,; что на карте Кх абсолют изо..
бражается rраничной окружностью.
Может ПОR заться странным,; что принцип относитель..
ности и требование Rонечности скорости распространения
света приводят к беСRонечности пространства 'сноро"
стей Р7, хотя любая ero нарта Кх представляет собой KO
вечный Kpyr радиуса С. НО ничеrо CTpaHHoro в этом нет........
просто функция r (и) TaKOBa:t что Rоrда v стремится к сн(}-
рости. света с, ,r (v) стреМИТС1! к бесконечности. Таких
функций можно придумать миоrо" но не Rаждая из ниХ
удовлетворяет принципу относительности. Какая же
именно......... мы установим в следующей rлаве.
53
3.6. Как устроено релятивистское
пространство СRоро тей
Сделае:м важный шаr: ПОС fОТРИМf нание
условия наКЛf\д вает на rеОl\fетрию пространства ско"
ростей ПрИIIЦИП относительности Эйнштейна,; и попробуем
.объяснить, почему она должна быть rеОlrlетрией Лобачев"
ското. Это займет у нас ,несколько следующих страничек
и... несколько следующих rлав. Пути от физических
предпосылон к точным и лаконичным математическим фор...
АIулаi\tl мотут 8ЫТЬ разными. В следующих rлавах мы не
только узнаем о теснейшей СВЯ8И между релятивистской
кинематикой и rеометрией Лобачевскоrо, но и достаточно
подробно познакомимся с самой этой rеометрией. Сейчас
же мы намеТИА-I друrой путь. Оп позволяет очень быстро
определить общее строение .релятивистскоrо пространства
скоростей, но никаких конкретных формул мы получать
не будем:. Чтобы воспроизвести детали рассуждений, нам
ПРИПIЛОСЬ бы выйтu далеко 8а рамки школьной математи
ки, поэтому мы оrраничимся нестроrими объяснеНИЯМИ 1
а читатеЛIО пока придется мнотое принять на веру.
Первая часть принципа относительности требует,
чтобы все инерциальные системы были полностью paB
lIоправпы. На rеометрическом языке это означает, что
пространство скоростей в наждой своей точке *) ДОJIЖIIО
быть устроено совершенпо одинаково. Это условие одно..
родности является очень жесТRИ . Например,. Е:QКЛИД
с ето ПО IОЩЬЮ пь!тался выделить прямые из всех друrих
линий на плоскости. Определение 4 «llачал» rласит:
I1 рямая есть линия, Rоторая равно раСIIОЛОiI\ена по
отношению к ТОЧRам на ней». Автор «Начал» не обратил
BH-И Iания на ТО, что ОКрyiI\пости TOiI\e обладают ЭТИl\-I>
свойством. Друrих же таких линий на плоскости нет!
Впроче f, нас интересуют не одномерные t а двумерные
пространства поверхности. Два примера «однородных»
поверхностей нам хорошо известны это плоскость (He
реЛЯТИВИСТСI\ое пространство скоростей) и сфера. «ОДIIО '
родность» этих поверхностей проявля тся в том, что их
можпо переДDиrать по себе, не И8меняя расС"тояний ме}нду
их 'IОЧRа fИ, при этом любой OTp OK па плоскости (пли
дуту па сфере) МО}КIIО совместить с любым друrим равным
ему отрезком (дуrой). Поэтому любое rеометрическое
CO-ОТlIошение, у становленное в одном месте плоскости
*, «( )соБЫt;» точки аБСQJlю'rа в Э'!'()А разделе мы 1J"-ссматриватъ
не 6 у At3 М,$
JL.!
или сферьr, ДОЛЖНО выполняться и во вСЯRОМ друrОl\1
месте. Нацример, расстояние между концами двух перпен"
дикулярных отрезков данной длины на плоскьсти, п.рове..
денных из одной точки А (рис. 3.15), не зависит ни от BЫ
бора точки А, ни от направления этих отрезков, ПОТОМ
что получающиеся треуrольники всеrда мол{но соnместпть
«
A 4
Рис. 3.15.
друr с друrом, двиrая ПЛОСRОСТЬ по себе. Аналоrичное YT
верждение должно быть еправеДJlИВО и .цля. пространства
скоростей. Отоосительная скорость двух систем, ДВИ;I\У
щихся в каКОЙ ТD системе отсчета А с заданными CKO
ростями в. перпендикулярных напра.влениях, будет одной
и той же независимо от Toro, как движется taMa система А.
Или, на еометрическом языке" длина rИ1Iотенузы прямо
уrDльноrо треуrольника в пространстве ско остей пол
НО<fТЬЮ определяется длинами ero ка тетов и не зависит от
расположения этоrо треуrольника в пространстве. Подоб..
но плоскости или сфере", пространство скоростей «однород..
ВО» ....... ero МОil(ПО свободно <<nередвиrать» по ообе J и JIюбой
заданный р? отреЗОR при этом
можно всеrда совместить с любым
друrим с;.у OTpe8KOM той же длины.
Полезно рассмотреть и «ввод..
нородную» nOBepXHocTb,t априиер
эллипсоид (рис. 3.16). Очевидно\
он уже не может скользить по
себе как сфера или плоскость. И
свойства треуrольников на «по...
люсе» эллипсоида будут о ТJI И..
qаться от войств треуrОЛЬНИRОВ на el'() «экваторе .
Если ИЗfОТОВИТЬ кусочек жести, точно ПОВТОРЯЮЩИЙ фориу
эллипсоида в RaKOM To ОДНОМ месте,,: то сдвинуть ero с
8Toro места так", чтобы он все время ПЛОТНО прилеrал
Рис. 3.16.
55
к поверхности, нам не удастся в равных точках эллип..
соид IIскривлен по разному. Напротив, поверхности, ко..
торые' допускают движения по себе" всюду ДОЛ}I,ны быть
искривлены одинаково. Их называют поверхnостями по..
стояnnой рuеU;31-tЬL. Всето существует три типа таких
поверхностей.
Пер вый ...... это поверхности нулевой привU81-tЬ"t. Так
. назыIаютT поверхности, к ноторым в любом месте можно
плотно, без складок и разрывов, приложить плоский кусо..
чек жести (или, скажем", толстой бу:маrи)" быть lVl0жеТ'J
прецварительно' изоrнув ето: Кроме плоскости к ним: от..
носятся еще, например" цилиндры. бднако" еСJIП 'l'акая
поверхность допускает движения, СОВ Iещающие не толь..
ко любые две ТОЧКИ,t во И любые два равных отрезка, т. е.
сдвиrи и вращения" то она может быть только евк.лидовой
п.лоскостью. Сумма уrлов л боrо треуrольника на по..
верхности нулевой кривизны всетда раьна п.
В т о рой т и n ...... так называемые поверхности по..
стояnnой положительной приви8ны,. ПОЛО I\ительность
кривизны означает, что в окрестности любой своей точки
такая поверхность устроена наподобие сферической ша
почки. Если допытаться обернуть такую поверхность
листком плотной бумаrи, то на нем непременно образуют
ся складки. В этом случае природа оказалась скупа......
любая поверхность постоянной положительной кривизны
является сферой. Сумма уrлов треуrольника на ней всетда
больше п (мы показали это в разделе 3.4).
Наконец, бывают еще поверхности т р е т ь е r о т и..
п а, на которых сумма уrлов любоrо треУI'ольника
еньше п ...... пoвepx ocти посто..
я1t1tой отрuцаrnе.льnой кривиЗ1-tЬL.
Маленький участок такой по..
в рхности напоминает седло
(рис. 3.17). Чтобы плотно пр "
жать к "пей листок бумаrи, ето
обязательно придется nадор..
вать. Читателю" с.клонному к
эксперименту,- можно предло..
Рис. 3.f7 жить с п<?мощью кусочка бума...
rи опредеJIИТЬ области поло ни-
v u
тельнои улевои и отрицательной нривизны па поверх
ности какой ниtjудь вазы "или Кувшина. А мы приводим
пример поверхности отрицательной кривизны (правда,
но постоянной) и треуrольника на ней с суммой уrлоn
5л/6 в задаче 6. Дока"ааноJ, что в еnКJlИДUБОМ прОСlр,НlС'I.ве
56
на любой поверхности постоянной отрицательной кривиз
ны обязательн<т и:м:еются особые линии или ТОЧI{И, за IiOTO
рые ее нельзя ПРОДОЛ,НИТЬ. Одна из таких" поверхностей
с краем показана на pnc. 3.18. Ясно, что ДВIIтать ее по
себе с достаточной свободой нельзя rраничная линия
должна оставаться на м:есте. ОдпаRО ничто не мешает изу'"
чать двумерные простраuства отри
цательной кривизны, допускаlощие
проuзволыiы"le сдвиrи и вращения,
чисто теоретически. Все :9ТИ прост
ранства устроены одинаково OT
личие между ними такое же, как
между сферами. разных радиусов.
Их rеометрия похожа и на сферичес
кую (особенно соотношения в Tpey
rольниках), и на евклидову. Более
тото, аксиомы, описывающие эту тео.. Рис. 3.18.
метрию, отличаются от евклидовых
только в одном пункте... Вероятно, вы уще доrадались,;
что речь идет об «аксиоме параллельных». В двумерном
пространстве постоянной отрицательной кривизны через
любую точку можно провести .мНО20 прямых" не пересе
кающихся с даннои, а не только одну, как на плоско
сти. И rеометрия такото пространства есть не что иное,
нак еео.метрия Л обачевС'/'i,оео.
Поскольку пространство скоростей в силу принципа
относительности допускает произвольные сдвиrи и пово
роты, для ето rеометрии у вас имеются всето три ВОЗМО,R
ности: ;rеометрия Евклида, сферичес,кая rеОl\fетрия и Teo
метрия Лобачевскоrо. Первый вариант реализуется B He
релятивистском случае. Второй мы должны_ отвертнуть
потому, что сфера оrраничена ...... расстояние l\'Iе,нду любы
ми двумя ее точками не превосходит ПОЛОВИНЫ ДЛИНЫ
большой окружности", а расстояния между точкамп
пространства скоростей мотут быть сколь уrодно
большими.
Есть и друrой артумепт против сферы. Если двиrаться иа
некоторой ее точки o «сфеРИ"'iеской прямой» (большой OK
ружности) в одном И том же направлении, то в конце KOH
цов мы вернемся в - исходную точку. В кинеl\fатике этому
соответствовало бы весьма странное явление: постепенно
увеJtичивая скорость объекта В относительно систеl\'IЫ
отсчета А (и не меняя ее. направления) мы добились бы,t
чтобы этот объект CTalJu.ullJIC.H! ИтакJ. остается предпо...
ЛО'НИТЬJ. QTO
:1
ееuметрuя ре.лятuвuстскоео пространства скоростей
есть еео.метрuя Л 06ачевскоео *).
R сожалению, нам так и не удалось ПОRазатъ читат.е..
лю «r,,10бус» релятивистскоrо пространства скоростей. Но
TST llIПIоваты не :мы как rоворилось, это принципиально
неnОЗl\'IОЖНО. Да и нужды большой в нем нет" тап же, как
нет IIУЛ\ДЫ в «rлобусе пространства лучей» для изучения
ero rеОl\Iетрии. rораздо важнее и полезнее то, что у нас
есть плоские изображения пространства Р7 парты
скоростей. И в этом l\Ibl убедимся очень споро...... в слеДУIО
щей rлаве.
Задачи и дополнения
1. IIевозможность развертки еф ры. Развертra.ой
поверхности называется TaJ\oe ее отображение на ПЛОСI\ОСТЬ, при KO
тором длина Лlобой ':КРИВОЙ на поверхности равняется длине со об
раза на плоскости. .
Допустим, что какой то кусоче:к сферы можно развернуть
на плоскость. Докажите, что тоrда любая сферическая окружность
ffi на этом кусочке обязана перейти в Рl\рУЖНОСТЬ 00' на плоскости,
причем Длина о:кружности 00' будет 60.ltъше длины окружности 00.
Следовательно, развертка сферы неВОЗМОiI\на (теорема Эйлера).
2. Rартоrрафические проеКЦИИ. «Идеальной» ЩIОС:КОll :карты
сферы, на КОТОР6Й бы расстояния передавались без искажений,
не существует (см. задачу 1). Одна:ко и:меIОТСЯ проеl\ЦИИ, обладаю
щие друrими, более или менее ХОрОIПими свойствами. Одна ИЗ ни х ........
«fномоничеСl\ая» центральная проекция сферы на ПЛОС:КОСТЪ IIЗ
ее центра. При этой проекции сферические прямые переходят в
прямые ПЛОС:КОСТИ. Две друrие «хорошие) проекции рассматривают...
ся ниже.
1) Равuове.ltUl1ДЯ nроепцuя. Опишем BOKpyr сферы ЦИЛИDДр.
11з :каЖДОll ТОЧ:КИ Р сферы опустим перпенди:куляр на ось цилиндра
и ПРОДОЛЖИМ ero Ба точку Р до пересечения с поверхностью ЦИJmНД
ра в точке Р'. Затем разрежем цилиндр по образующей'и развернем
ето в пряиоу.rольник. Каждой.точ:ке Р сферы отвечает ровно одна
точка р' прямоуrольиика (исключение составляют две точки сфе
ры ка:кие?). Как изобразятся на прямоуrольнике параллели
и меридианы, если считать, ЧТО цилиндр касается сферы по эква
тору? Докажите, что площадь любой области на сфере равна IШоща
*) Надо при знаться , здесь мы поспешили. Пока ЧТО ниоткуда
не следует, что rеометрия РCJIятивистскоrо пространства скоростей
не может быть евклидовой. Но в дальвейшеltl (раЗДeJI 5.2) мы дo
кажем, что характер rеометрии однозначно определяет зависимость
между '1/ расстоянием и относительной С:КОрОСТЬЮ функцию
r (l/) В формуле (3.11). В частности; в случае евклидовой rеометрии
&lJ' -;.расстояние должно быть пропорционально скорости, а это про
тиворечит второй части принципа относительности оrраничен
ности СI{ОРОСТИ распространения взаимодействий, ПОСl{ОЛЬКУ
'1/ расстояния МОТУТ быть сколь YI'OAHO болы. ими!
58
1\И соответствуiUщеЙ области на прямоуrольнике (этим объясняется
название проекции)..
2) РавН,ОУ20лы-tая nроекцuя. Пусть N и S диаметрально про
тивоположные точки сферы. Спроектируем сферу па точки N на
плоскость, касающуюся ее в точке S (стереоzрафичесхая nроекцuя).
Докажите, что, Bo nepBЫX, уrол между любыми двумя кривыми на
сфере равен уrлу между их образа.ми на ПЛОСКОСТII, и, BO BTOpЫX,
что любая окружность на сфере перейдет в ОI\рУЖНОСТЬ или пря
MYIO на плоскости.
3. Сравнение евклидовой и сферической rеометрпй. НИi-I\е при
водится ряд хорошо известных теорем элементарной пл ниметрии.
Попробуйте понять, какой смысл они приобретают, если читать их
как утверждения сферической rеометрии или rео:м:етрии пространст
ва лучей. Выясните, остаются ли они при таКОl\l
«переводе» :истинными. Если да докажите их,
если нет подберите П1\ подходящую замену.
1) Через точку можно провести одну пря
мую, перпендикулярную данной прямоЙ.
2) Множество ,точек, равноудаленных от
данных точек А и В есть серединный перпенди
куляр к отрезку АВ.
3) Сумма двух сторон треуrольника боль
Iпе el'o третьей стороны.
4) Внешний уrол треуrольника
а) равен сумме двух внутренних, не смеж
ных с ним;
б) больше любоrо из этих дву:х; уrлов.
5) Треуrольник является равнобедренным
тотда и толь.ко тотда, котда
а) ето уrлы при одной из сторон равны;
б) одна из ето медиан совпадает с высотой;
в) одна из ето м иан совпадает с биссектрисой.
6) Медиана треуrольника меньше полусу:м:мы сторон, имею..
щих с ней общую вершину.
7) Биссектрисы треуrол'Ьника пересекаются в одной точке.
То же для медиан, ВЫСОТ, серединных перпенди:куляров Ii ето сто..
ронам.
8) Два треуrольника, имеlощие равные утлы, подобны.
4. Сферическая триrонометрия.
1) Соотношения (3.6) (3. V) мы доказали для {<треуrОЛЬНИIiа»
АВС пространства Jlуче!i, целиком помещающеrося на карте КА.
Покажите, что они справедливы для произвольных «треуrольнпков».
2) Пусть а, Ь, с длины сторон ВС, СА II АВ произвольноrо
сферическоrо треуrолвника А ВС на сфере радиуса 1, а, 11 "(
величины ero уrлов. Докажите следующие соотношения между
НИl\Ш:
w
/I
Рис. 3.19.!;
sin а
sina
sinb
sin
sinc
sin 'у (TeopeM синусов);
сов о == Cos а сов Ь -t siв а sin Ь сов 'V (первая теорема косинусов);
COB 'v == cos а сов ...... sils1 а sin сов с (вторая теорема RОС.иНУСОВ).
3) Найти расстояние от Москвы до Хабаровска, ВНсН:! радиус
Земли R == 6400 К1\1 и rеоrрафичееRие RООрДИНаТf\1 Москвы
56 У C lll.!2 380 В,! bk .и Хабаровска 480 с.! Ш.!J 135" В! t!
5!)
5. Плоm:aдь сферических мноrоуrольнп:ков. Докажите, что
площадь сферичсскоrо п уrольника А 1 А 2 . . . Аn равна {Аl + А 2 +
+ . . . + .А п (п ..... 2) n)R2, тде R ....... радиус сферы, а А I , ,,42' . . .
. . ., А п величины уrлов п уrольника. (У к а 3 а н п е: найдите
сначала площадь двууrольника......: доJIыIt,, вырезаемой на сфере
двумя меридианами.)
6. Поверхность отрицательной кривизны. Будем вращать I\уб
вокрут оси, проходящей через центры ето оснований (рис. 3.1У).
Докажите, что при этом каждая из диаrоналей боковых rравей
нуба опишет -одну и ту же поверхность вращения (так называемый
однополостный rиперболоид), осевым сечением которой является
rипербола. Найди е сумму уrлов криволинейноrо треуrОЛЬНII:ка на
этой поверхности, две вершины которото совпадают с центрами
дву х смежных боковых rраней куба, а третья ...... с вершиной куба,
принадлежащей обеим этим rраням.! (О т в е т: 5п/6 1 )
r ЛАВА 4
rЕОМЕТРИЛ РЕJIЛ1']IВИСТСI\JfО
ПРОСТРАНСТВА CKOPOCTEl1
4.1. Релятивистские карты скоростей
в предыдущей rлаве мы уже сформулировали
нашу основную задачу изучение rеометрии релятивист
CKoro пространства скоростей с помощью ero карт"
построенныIx различными инерциальными наБJllодателя-
:ми. Каждая такая карта КА представляе собой Kpyr,j
центр KOToporo ......... точка А изображает скорость caMoro
.
инерциальноrо наблюдателя А. Вектор АХ, проведенный
из центра А в произвольную точку Х I\pyra, определяет
величину и направление скорости системы отсчета Х OT
носительно наблюдателя А в определ нном масштабе
VXI А == АХ. Объекта}I, движущимся с ма ксимально поз..
можной скоростью скоростью света с, на карте КА
соответствуют точки, лежащие на ОRружности QA радиу..
са с, которая оrраничивает крут КА' Эту ОRРУЖНОСТЬ lvIbl
будем называть абсолюто,ж -парты, КА' Очень удобно
выбрать такую систему единиц измерения, в которой
численное значение скорости света равнял ось бы едини--
це. Например, в качестве эталоиа длины можно было бы
взять расстояние, J\oTopoe проходит CB T за одпу секунду
(в астрономии используется аналоrичная величина
световой тод). Тоrда с орости будут измеряться eCTeCTBeH
ной единицей....... СI\ОрОСТЫО света,} одинаковой ДJlЯ Дlобоrо
инерциальноrо наблюдателя. В этих единицах скорость
лioбоrо тела пересчитывается по формуле .
v == V обычв .
с
в дальнеЙШем мы будем пользоваться именпо этой сист€
10Й единиц! поэтому радиус любой U;Y Kf!pTbl будет равен
t'динице.
Выясним, кан изображЭIОТСЯ на иартах прямые
р JlНТИНИСТСКQJ"О. иространстnа скоростей. 110 uпредело--
С1
НИIО, трп точки А" С и F пространства скоростей леiнат
на ОДНОЙ VV ПрЯIvl0Й, если векторы скоростей VCIA и V}'IA
КОЛЛlIпеарпы. На P.? KapTe наблюдателя А такие точки
изобразятся центром А Kpyra КА и точками С и F, лежа
ЩИJ\lП на ОДIIО 1 диаметре (рис. 4.1). Друrими словами, ЛIО"
бая прямая, проходящая через VV ТОЧКУ А, изобра..
жается диа lетром Kpyra КА. Оказывается,,' что и на
любой друвой VV 1'i,apтe КВ изображения этих точе1'i, .лежат
на одной ев1'i,лuдовой прямой! На этом: чрезвычайно BaiHHoM
для дальнейшеrо обстоятельстве нам надо ,остановитьсн
подробнее. .
Итак, пусть V' точки А, С и F ле;,нат на одной прямой
пространства скор'остей. Для. определенности предполо--
жим:, что коллинеарные венторы VCIA и VPIA имеют одина..
KOBl>Je паправления и что F ....... ТОЧl\а аБС9ЛIота простран...
ства РУ. (Все последующие раССУiндения леrI\О приспосо...
бить и к /LюБЬLМ трем ТОЧI\ам, лежаЩИIvI на одной пря"
мой.) fla рис 4.1 показано." как эта
ситуация изображается на нарте
КА' Физически ее МОjI\ПО реализо
вать таким ltlысленным экспери"
меНТ9М: представим себе, что инер..
циальные наблюдатели А и С (в
пространстве скоростей им СООТ"
BeTcTBYIOT точки А И С), Jlетят
па двух космичеСRИХ Rораблях и
в какой"то момент :встречаются *).
Спустя некоторое время после
встречи носмонавт А испускает ко..
роткий направленный лазерный
и mу л ьс Р, которому Отвечает 1J' ..точка Р. Направление
скорости VFJA фотонов импульса совпадает с напраJJлением
дви;нения ракеты С относительно А 1 поэтому еще через не..
которое время этот импульс достиrвет носмонавта с. Посмо"
трим тепеРЪ t нан зто выrпядит с точки зрения TpeTbero
инерциал bHoro наблюдателя....... носмовавта В. ДОПУСТИМ t
что в момент встречи кора пей А и С космонавт В проле..
тает рядом с Ниl\lи,t........ три КосиоНавта на лету пожимаIОТ
друr друrу руки и тут же В включает свой секундомер.
В систе fе отсчета, связанной с наблюдателем В. корабли
и С, в 'Соответствии с ПрИВЦИПОt.l относителыIсти1 1
Рис.4.1.
*) Прсдположение о встрече пи:ка.R не 'оrраничивает обlI НОСТJf,
поскольку нам ва,кны только От1tQСuтС.4bl-tblе спорости наблюдате...
лей
62
равномерно движутся по прямым, ПрОХОДЯЩИl\I через
точну В о место встречи космонавтов, в пашеl\! реаJIЬ
HO I трехмерном пространстве, а корабль В, конечно"
покоится в этой точке. Если обозначить положения
кораблей А, В, С в М:Оl\Iепт t в' этой систе 1е отсчета
через At, Ве == Во и C t " то векторы пере:мещений ко.раб
лей за время t можно следующим образом выразить
через скорости:
-.........
AoAt ;::: BoAt == VAIBt, CoC t =:::::; BoC t === VCtBt,
BoB == VBIBt === О.
Пусть световой импульс F был испущен в момент t 1
(по часам 1{осмонавта В) и достиr корабля С в момент t 2 ;
тоrда вектор ero перемещения в системе В за время от t 1
)
ДО t 2 равен Ail C t2 == BoC tz BoAti == VC Bt2 VAIBt 1 .
Но с друrой стороны, импульс F распространяется отно"
сительно В равномерно и прямолинейно со скор'остью
V F I в, поэтому тот же вектор ero перемещения А tl C t2 ::::;
== vFIB (t 2 t 1 ). Следовательно,
VFIB (t 2 ....... t 1 ) === Vc1Bt 2 ....... VAIBt 1
(VAIB......... VFIB)tl === (VCfB ........ VFIB) t 2 .
Рассмотрим теперь карту КВ (рис. 4.2). Ее центр B'j)
изображает GIf --точку В, а точки А 1, С 1, . F 1 б;7 точки
)
А, С и Р, причем BIAl == VAIBt В 1 С 1 == VCIB, BIFl ==
== V [? I в. Запишем разности векто..
ров скоростей:
............... ........
VAIB ---- VFIB === В 1 А 1 ........ BIF 1 == F lAlt
, -- ........ ...............
VCIB ...... VFIB == B 1 C 1 ........ BIF 1 === F lC 1
И подставим эт выражения в по-
лученное выше соотношение:
) )
F lAt e t 1 == F lC 1 t t 2 8 Мы в.идим,I что
) )
векторы Р 1 А 1 и Р 1 Сl коллинеар..
ны,' но ведь это и 08начаеТ\1 что Рис. 4.f2
точки A 1t C 1 И Fl карты КВ лежат
на одной прямой", которую можно просто провести ч;ере:з
roЧКИ A 1 J. С 1 -' F 1 С ПОМОЩЬ10 обычной липейниl
или
6
Подведем итот. Мы ДОRазали, что
.ltюБЬLе три точки пространства споростей, лежащие
иа одной rrJ' прямой, изображаются на любой P? Kapтe
тремя точками, лежащими на одной евк.лидовой пря..
.мой ( релятивистском случае....... на хорде Kpyra).
Доказательство, по сущеС!fВУ, опиралось только па
первую часть принципа относительности: равномерное и
прямолинейное движение остается равномерным и прямо-
линейным для любото инерциал'ьноrо наблюдатеJffi. Вместо
CBeTOBoro импульса космонавт А Mor бы послать любое
«пробное тело» Р, поэтому наши рассуждения в равной
мере справедливы и в релятивистском, и внерелятивист..
ском случаях.
Пользуясь доказанным фундаментальным СВОЙСТВО1tf
21' KapT, мы в следующем разделе опишем преобразование,
которое позволяет по карте одноrо наблюдателя построить
нарту любоrо друrоrо наблю,в;ателя: мы научимся нак БыI
«совмеща ть» разные Ka рты.
4.2. Преобразоваllие карт реЛЯТИВИСТt;Rоrо
пространства скоростей
Карта КА релятивистскоrо пространства
скоростей" состав енная инерциальным наБЛIодателем А"
сод/ерiНИТ BCIO информацию о сноростях различных объеI "
тов относительно этоrо наБЛlодателя, но пока м:олчит
о результатах измерений скор'остей, проделанных друrИl\1И
инерциальными наблюдател ми. Чтобы заставить ее за
rоворить, мы исследуем преобразование L AB , переводя--
щее карту КА в карту Кв, составленную друтим инерциаль...
ным наблюдателем В, дnпжущиJ.\tIСЯ относительно А.
Пусть произвольной точке Р пространства СRоростей
отве:чает на карте КА точка Р, а па карте КВ ......... точка Рl
(рис. 4.3). Тотда, по определению, преобразование L AB
переводит ТОЧRУ Р в Рl, например, центр А Kpyra КА при
этом преобразовании переходит в какую то TOt:tKY А 1
крута КВ, YiI\e не совnадаЮЩУIО с ето центром: В 1 . Что
MOj-I\НО сразу сказать об этом преобразоваНllИ? Прежде
всето". Kpyr КА оно отобраiнает на I\pyr Кв, причеJ.\tI абсо-
лют первоrо крута (окружность Ql)" очевидно, отобра--
жается на аБСОЛIОТ QB крута Кв.. Далее, любая хорда FG
прута КА служит, как ,мы показали в предыдущем разде..
ле, изображением некотор<>й 2J' пря:мой .Ра. На карте КВ
эта V'",пря:мая таRже изобразится хордой. следоnателыIJ;
6!
nРОU8(J(Jltьцая хорда FG пpy a КА при nреобраэовапUtJ
L AB nерех,одит в хорду- F 1 G 1 пруеа Кв. С отображениями,
переводящими прямые в прямые мы уже встречались.
K FAa рассматривали карты сферы и пространства лучей)
Рис. 4.3..
Напомним, что такие преобразования называются проеЙ09
ТIIВНЫМИ" поэтому мы МОil,ем коротко сказать, ЧТО
nреобразоваnие L AB есть проептивnое отображеnU8
py2a КА па руз Кв.
Но этоrо маловато, ведь нам нужно конкретное и тоЧ"
ное описание преобразования' карт. Отметим на картах
"'\
КА и КВ положения PJ точек А и В: точки А и В 1 попадут"
соответственно, в центры KpyroB КА и КВ, а точки В
(на карте КА) и А 1 (на карте кв) будут отстоять от цент..
ров KpyroB на расстояния I АВ I == VBIA И J А 1 В 1 I :;1
VA/B == VB/A == I АВ I (рис. 4.3). Оказывается (см. зада.,.
чи и дополнени-я в конце rлавы), что проективное отобра..
тение одноrо Kpyra на друrой почти однозначно задает-
ся образами двух точек. Поясним это для нерелятивистско..
ro случая.?_ коrда преобразование карты КА в' карту ,кв
сводится просто к наложению одной карты на друrую.
Если фиксировать в плоокостц одной карты точки А и В J.J
а в плоскости друrой........ точки А 1 И В 1 тац, чтобы
I А 1 В 1 I == I АВ .1,; то,, очевидно, имеются ровно два
способа наложить одну плоскость на друrую так, чтобы
точка А совпала С А 1 ,. а В ....... с В 1 ,; зависящие от Toro"
какой стороной одна плоскость прикладывается» к дpy
rой. Точно так же сущестцуют ровно два проективных
отображения Kpyra КА на Kpyr КВ, при которых точки А
й В переходят,_ cooTBeTCTBe Ho.J, в точки А 1 И В 1 . Поэтому!
3 В. Н. ДубрОВСI<ИЙ И др. 65
если мы сумеем предъявит}; 'два таких отображеПJlJJ r
МОЖНО не сомневаться, что преобраЗОВ8ние L AB совпадет
с одним из них. ,С иаким именно, ОJ;lреД8ЛИТЬ будет ив..
«-руДво.
Вспомним еще раз о проективНЬ1Х картах сферы (или
пространства лучей). Преобраво:вание одной из них
в друrую сводило ь к цеитральнdй проекции. Попытаемся
приспособить ее и'к преобразованию релятивистсних -
Карт. 3аметим.t однано.l что центральная проекция Hpyra,,'
Рис!4 4j
как праВИЛОfj сама не является KpyroM. В ЭТОМ :можно
убедиться воочию., если присмотретъся к форме пятна.
высвечиваемоrg настольной лампой с круrJIЫИ абажу..
ром на поверхности стола. rраница света и тени обычно
представляет собой одно из так назыrnаемых конических
сечений ---- эллипс.t rи:перболу или параболу. Но можно
повернуть абажур и так, чтобы пятно стало правильныи
HpyroM. И мы попытаем:ся расположить круrи КА и КВ
И центр проекции так., чтобы одии Kpyr проектировался
па друrой, и при этом ero центр переходил взаданиую
точку, не совпадающую с центром BToporo Kpyra.
Обозначим через а плоскость Kpyra КА. Через ero
точки А и В проведем диаметр \ FG (рис. 4.4). Из точки
F одноrо из КО,нцов этоrо диаметра восставим: пер--
пе дикуляр к плоскости а 1 выберем на неи произвольную
точну О (будущий центр проекции) и соеДИШUI ее прямой
со вторым концом диаи тра G. На продолжении отрезка
GO отметим точку G 1 на расстоянии IOG 1 I == IOF I 01'
точни О И через точку G 1 проведе:м плоскость .1 перпенди"
66
КУЛЯРПУЮ пn.ямой G)G. Наконец, рассмотрим проекцию
плоскости а на пло ,косtь из центра О. Симметрия
вашеro построения! позволяет надеяться, что при этой
проекцив Kpyr КА. перейдет в Kpyr К тото iие радиуса.
Если поместить Kpyr КВ в плоскость f3 на место Rpyra К"
ТО мы получим ПРООRтивпое отображение Kpyra КА на Кв.
Из рис. 4.4 ВИДНО, что центр А Rpyra КА при этом спроек"
. тируется в точну t отличную от центра Кв. А используя
свободу в выборе. центра проекции О на перпевдикуляре
FO, :можно попытаться подобрать такое ero положение..
чтобы эта точка совпала с заданной ТОЧRОЙ А 1 Kpyra KB.t
Т. е. чтобы расстояние от этой ТОЧКИ дО центра 81 равня"
лось относительной скорости v А I в == VB I А наблюдателей
А и В.
CTporoe обоснование этих соображений проведем в два
этапа. Сначала :мы докажеМ,1; что центральная проекция
окружности QA на плоск-ость f3 действительно является
окружНОстью.1......... из этоrо. конечно,,; вытекает", что И lIроек-
ция Rpyra КА тоже Kpyr. На втором этапе будет выбрано
праnильное расположение центра проекции О.
1..й отав. Пусть Р ПРОИ8вольная точка ОRРУЖНОСТИ
QAt оrраничивающей КА! Рl ее проекция на плоскость
f} И8.центра о. Понажем.,; что уrол F 1 P 1 G 1 (rде F 1 проек-
ция F на .плоскость J3 ...... см. ,, r: '
4 5) u ;' '1
рис. '. ...... прямои" Т. е. что , //'
точка Р 1 лежит на ОRРУЖ" " J
ности С диаметромG 1 F 1 8 Этот / "
уrол получается при пересе.. "
,
чевии двуrранноrо уrла.,. об-- \
разованноrо ,плоскостями
OPI F 1 и OP 1 G 1 ) плоскостью P.s'-
перпендикулярной к ero rpa..
ни О Р lGl (по построению
..L OG 1 ). Поэтому достаточ",
ВО доказать, что плоскости
OP 1 F 1 И ОРIGIИЛИ' что тоже
самое,,; орр IJ OPG перпен-
ДИК.улярны. Для доказатель..
ства ваметим что прямая PG
перпендикулярна двум прямым плоскости OPF: прямой
OF потому что OF J.. а (==FPG) и прямой FP, потому
Ч;ТО уrол FPG вписан в окружность QA И опирается на ее
циаметр FG. 'Следовательно, прямая PG перпендикуляр
на плоскости ОРР, а значит, и содержащая эту прямую
плоскесть Op'G перпендикулярна OFP.
G
р
Рис. 4.5.
З. 67
ИтаН j при проекции с центром О окружность QA- пе.-
реходит в ОНРУЖНОСТЬ Q С диаметром F lG 1 на плоскости .
причем; очевидно" I F l G l I ;::::: I FG 1. Мы можем теперь
поместить Hpyr К в (диаметр HOToporo также равен
I FG 1) в плоскость р так. " чтобы .ero окружность QB СОВ--
пала с окружностью O.J а точна Al попала на отрезок
F lGl' Тоrда." как следует ив ваших рассуждевий{ при про-
екции с центром О окружность QA перейдет в QB, внутрен--
вие точнв J(pyra КА ....... во ВВJтреJlвие точни иру а K Bf
в чаСТНОСТИt ero центр А спроектируется в точку диаметра
F 1 G t 8
.2-й этап. Теперь надо поваботиться о том, чтобы проек"
ция точни А совпала с 8аданной точкой А 1 . Лево" что из..
меняя расстояние FO или уrол 'V == FGOf, мы будем изме:'
пять и положение проекции точки А на диаметре F 1 G 1 8
Задавать оложеiIие точки на отрезке удобнее ncero с по..
мощью отношения,: в котором она делит отрезок. Просле..
дим, кан преобразуется это ОТНОIПение при центральной
проекции в общем случае.
Теорема о преобраsовании от но..
ш е н и й при Ц е н т р а' л ь н о й про е }\ Ц и 'и.
Пусть при цеНlnРалъnой nр.оекции с цеnтром О nеr;,оп10ры''й
отрезоr;, FG переходит в оп резоJli,
F lGl и nустъ Р 1 ........ nроеr;,ция nро--
иaeo;ltbno й точки Р ompt!8r;,a FG
(рис. 4.6). Тоедо/ отношеnие
п 1 (Р 1 ), в которо.м точr;,а Рl делит
отреаоп F lal' получается из от..
ношеnия n (Р),: в хоторо.м точr;,а
р делит отреаох FG, У},f,1tоже..
ние.м на н'ОfJффициен,т Л 2 равный
л, === I OF 11 ' I ОС I .
IOG 1 1..IOFI
С 1
F
р
G
Рис. 4.6. (л nе аависит от nо.ltожепия точ
хи f на отреахе FG.)
ДЛЯ доказательства sаметим (си. рис. 4.6),. что отно"
шение n (Р) == I F Р I : I PG I равно отношению площадей
треуrольнинов орр и OPa так'как их высоты,; опущенные
из вершины Ot совпадают. Выражая эти. площади через
стороны, выходящие из вершины О:! и уrлы q> ::= FOP и
'Ii == POG между ними: '
. .....
SOFP == + IOF 1. IOP I sin ер) SОЮ == + JOP 1. IOG 1 sin '1'.
68
ПОЛУЧП 1
Sopp
п (Р) == SOPa
f пР I sin ф.
1 о G I Зi.n ·
Точно так же
пl (P 1 ) == I F1P11 : I P1G11 == SoP,P, I OF 1 1 sin ер
sOPaGa == t OtJ11 gju Ф ·
Составляя отношение этих двух отпоmений убен\даеМСЯ J
что оно не зависит от' yrnoB ер и 'ФJ, следовательно, и от
выбора точки Р:
I ОР11 · I 00 t
п 1 (Р 1) : п (Р) C:It I Ощ I . I о F I == л.
(4.1)
Доказанная, теореиа в дальнейшем CblrpaeT важную
роль, сейчас }ке мы примевим: ее в частном случае. Пусть
FG ...... это диаметр Kpyra КА (рис. 4.4)t _ F lG 1 ....... ero проек"
ция на плоскость р из центра O а точка Р ::== А ...... середи"
на отрезка FG t Т. е. центр Kpyra КА- Тоrда n (А) == 1 И J
соrлаСlIО (4.1)) n 1 (A 1 ) == (1 ОР 1 1 : I OG 1 1) · (1 OG 1: 1 OF 1>.
I'де А 1 ..... проекция точки А. Н о J О F I : 1 OG I ;::::;
== sin FOO а I OG 1 t : IOF11 == sin GJilJ, причем" очевид-
но, 7f;o FGiJ == 1'1 поэтому n 1 (А 1 ) == 1/sin 2 у. С дру.
rой стороны! учитывая, что радиус Kpyra КВ равен еди-
нице, а расстояние от точки Al до ero центра
I А 1 В 1 I == VAIBl наХОДИМ J - что r FI A l I ;:: 1 + vAIB.t
I А 1G 1 I :::::: 1 ...... v AIB.II ИJ, следова тедьно.1 n 1 (А 1) ==
== I F1Al I : I A 1 G i I == (1 + vAIB) : (1 ....... VAJB). Прирав-
нивая два выражения для отношения n 1 (А 1),; :мы полу-
чаем следующее правило выбора центра проекции 02
уrол FGa у определяется у словием
sin l' I:z:: .. ; 1 IJ AIB .
V 1 + V AIB
При T3ROM выборе уrла V точка А прое:kтируется в точку
At. Но тоrда точка В автоматически попадает при проек"
ции в центр Kpyra К В1 поскольку I АВ I == I AIBl 1.
Тем самЫМ мы ааверmили построение проективноrо
отображения Kpyra КА на Kpyr К В, переводящеrо ТОЧИВ
А и В nepBoro Kpyra в. ТОЧИИ А 1 И В 1 BToporo. Можно
предъявить даже два таких отображения: ведь «листок
бумаrи» с картой !(в можно наложить на Kpyr К плос
,кости той или друrой сторопой. fbl уже rОВОРИЛИ t что'
Bcero два таких отображения и существуют (вполне эле
69
ментарное, хотя и не очень простое доказательство этой
теоремы приводится в разделе «Задачи и ДОПО.}lReНИЯ» в
новце rлавы), поэтому преобрааовавие L AB должно совпа..
дать с ОДНИМ из этих отображений. В любом случае nреоб..
рааоваnие парт ре.лятuвuстспоео npocтpancтsa с,.оростей
;МОЖ1l0 свести п цеnтральnой nроепцuи *).
Остается последНИЙ вопрос: какой и енио из двух
возможных вариантов «праВИJlЬВЫЙ».,- tотвечцющий преоб..
разованию L AB ? ДЛЯ ответа достато"lВО проследить за
преобразоваиием любой ТОЧКИ.' ив лежащей на диаметре
FG. На рис. 4.4 точии «ближнеrо» к Вt1И ПОJlукруrа карты
К 4. проектируются ТОЧJ(И «дальввrоt ПОJIукруrа нарты
Кв. Сравнивая этот рисунок с рис. 4.8, леrко сообразить,-
что карту КВ надо поместить На пло ность р «лицом» квер..
ХУ1 к стороне,,- противоположной центру проекции О.
4.3. РeJlJlТИВИСТСRaJI формула
СЛОJКевия СИОРОcтel
Преобравоваиие L AB позволяет переходить
от карты скоростей,- ивмеренвых одним релятивистским
наблюдателем,- к нарте JIIOбоrо' друrоrо наблюдателя.
Теперь у нас все rOToBO для Toro,- чтобы ПОJlУЧ ТЬ первЫЙ
по"настоящему интересиый ФИ8ичесвий результат реля-
тивистский вакон сложения скоростей. Рассмотрим слу-
чаи, коrда два наблюдателя ....... А И С движутся вдоль
одной и той же прямой относительно наблюдателя В.
Пусть VAIB == и скорость А относительно В, а VCIA ===
== V ...... снорость С относительно А. Мы должны ответить
на nопро : чему равна снорость w наблюдателя С относи..
тельно системы отсчета В? В классической механике мы
знаем ответ: VCIB == VCIA + VAI.B илиw ;::::: и + v., т. е. ско"
рости просто складываются. Нам нужно найти аналоr
этой формулы в релятивистском случае.'" коrда снорости
и, v, w уже сравнимы со сноростью свеТа. Перейдем с
карты КА на нарту Кв- при помощи преобрааоввния AB.
Б этом случае нет необходимости рисовать сами нруrи
КА и КВ ...... на карте КА скорости систем А". В И С распо- j
ложены на одном диаметре FG" поэтому достаточно И80б... I
разить только этот диаметр и ero образ F lGl в центральной
проенции относительно точки О (рис. 4.7). На этом чер"
.) Заметим, что рассматривая ту же центральную проекцию
как отображение нрута К В на К А, МЫ получим обратное преобра...
80ваиие L BA Нарты Кв в нарту КА.
'10
теше I АВ r == U t I АС I == V t t B 1 C 1 f ;::::: ю. Обозначим
через n (В), n (С) отцоmения,_ в которых точки В и С де..
лят диаметр FG на карте КА- Аналоrично определим и
n 1 (B 1 ),. n 1 (C 1 ) На карте Кв. Круrи КА и КВ имеют еди--
ничНЫЙ раД}fyС j поэтому
(В ) I F t B 11 1 .
пl 1 ==- 1 G 1 B 1 1 ::::: ,
(С ) .......... J F 101 , 1 + w
п 1 1......... I 0101 I == 1....... w
В 1....... и 1+v
п ( ) == 1 + и ; п (С) === t V -
Поскольку преобразование
LAB являет я центральной про--
еltЦllей, дла Hero справедлива
'l86peM8 'Q n'pео'бразовании от..
иошеиийfдаказанная в преды--
дущем раэ-деле. Отношение п 1 ?)
в IЮтором любая точка делит диаметр F 1 G 1 , можно по..
лучить из <1Тношевия n на карте КА умножением на пос--
тоянный коэффициент А, (n 1 == лn),; не зависящий от ТОЧКИ J
поэтому
F В .
А
с
Рис. 4.7.
с Лl (Сl) ЛЛ (О) п (С)
1Jl ( 1) == Л1 (81) === АЛ (В) == n (В) а
и J зиаЧИТJ)
(4.2)
t + w . 1 + и 1 + v ( 4.3 )
1 ....... lD ......... 1....... и 1 ........ v ·
Преобразуем правую часть этоrо равенства
t + w (1 + ")(1 + и) (1 + ии) + (и + v)
1 ....... w ......... (1 и) (1 ....... v) ......... (1 + ии) ........ (и + и) ..........
и+и
::::; 1 + 1 + ии ( 4.4 )
и +и ·
1....... 1 + uv
Сравнивая л вую и правую части последнеrо соотиоmе...
вия". мы приходим к выводу,- что
и+V . vCIA+vAIB (4.5)
w== 1 + ии или VCIB == 1 + vCIAv AIB ·
Это И есть формула «сложения» релятивистских скоростей
ДЛЯ случая движения вдоль одной прямой. Конечно, Ha
вывать ее «формулой сложения скоростей» можно только
fСЛОВНО,; ибо В соответствии с ней сltOрости и и V ИУiНИО не
71
q'OJlJ.>I\O СJ10;НИТI)t как эrrQ было в нереЛЯТИВИСТСКОlfl случае,
Во п поделить резу.пьтат на знаменатель 1 + иv. Этот
ВIIDменатеJIЬ нссущестuен, коrда скорости и и v малы по
сраI3неНИIО се СI\ОрОСТЬЮ света (и, v < 1),....... тоrда в нем
MOiHHO пренсбречь lJроизведением uv по сравнению с еди--
ницей. В этом С:I}"чае мы приходим к привычной нереля--
тивистской Фоrму"Т{е w === и + v. Но если и и v не малы,;
то знаменатель пач.инает иrрать определпющую роль."
обеспечивая выполнение припцп а ОТНОС'йтельности. На-
пример, результат lV сложения двух скоростей и и v не
МОiиет получиться большим скорости cBeTa t т. е. едини..
ЦЫ. Действитель о, (1 + иv) ....... (и + v) == (1 ....... и) (1
....... v) > О, если и" v <,,1,- поэтому знаменатель 1 + uv
больше числителя, и w всеrда будет меньше единицы.
:gсли одна из скоростей,,; например v" будет равна скорости
света для наблюдателя А, ,т. е. v == 1, то и для друrоrо
инерциалъноrо наблюдателя В она также будет равна
одинице:
и+р и+1 1
w== 1+uv == 1+и.1 === ;
естественно, что релятивистская формула сложения СНО-
рос.тей соrласуется с принципом постоянства скорости
c.se'la в любой инерциальной системе отсчета.
4.4. Определение раССТОЯНllЯ
в пространстве скоростей
Наконец мы можем положить пос.ледний па-
мень в ФУНД3.АlеRТ rеомет.рии реЛЯТИВИСТСRоrо пространст"
ва скоростей ....... выяснить f ап 2?' раССlfояние 11 PQ 11 вы..
ра наеТGЯ через относительную скорость VprQ. Общий вид
этой заВИСИJ.fОСТИ мы выписали еще в разделе 3.5:
It PQ 11 == r (VPIQ).
(4.6)
Тотда я<е мы поняли; из каRИХ соображений надо подби..
рать функцию r (v): она должна превращать закон «сло..
же,НИЯ» скоростей в закон сложения 2?' расстояний. И вот
сейчас, Rоrда RОНRретвый вид реЛЯТИВИСТСRоrо закона
«сложения» СRоростей нам известен (формула (4.5», мош"
во составить уравнение для функции Т. Пусть точки A'J
В, С лежат на одной прямой, А между В и С (рис. 4.8);
тоrда 1I Ее 11 == 11 ВА 11 + 11 АО 11, т. е. соrласно (4.6)
r ('Vn lC) :....... r VBIA) + r (v AIC). (4 , 7)
72
Но :в соответGТВИИ с релятивистской формулой (4.5) сложе..
u и+v
пия скоростеи VBIC ==w== 1 + uv I rдь ." == VBIAt V VAIC1J
поэтому нужная вам функция r ДОЛiНН удовлетворять
соотношению
т( 1 U ::V )===r(и)+r(v).
Это уравнение для опреде..
ления r (v) выrлядит страш-
BOBaTo t но у нас уже есть rOTOBan формула,- существенно
упрощающая задачу ....... формула (4.3). Скорости и, v и w
входят в вее одинаково ....... от каждой из них вычисляется
функция у=== : + z . Введем новую величину, определенную
..... х
для JIюбых двух точен Р и Q пространства скоростей:
{.pQ} == + v P1Q (4.8)
1 vPIQ
оrда равенство (4.3) п.ерепишется особенно просто:
{ВО} === {ВА} · {АС}. (4.9)
.
в
.
А'(
. "
.
с
Рис. 4.8!
Имеет смысл поэтому искать выражение для расстоя-
ния между точками Р и Q в виде некоторой функции О'Е
{PQ}
PQ IJ === t ({PQ}).
Обозначим {ВА} через х" {АС} через у.; тоrДа из (4.9) по-
лучаем {ВС} == XYt и правило 11 ВС 11 11 БА 11 + 11 АС 11
сложения расстояний на отрезке перепишется в следую-
щем виде:
f (ху) == f (х) + f (у).
(4.10)
Это уравнение выrлядит уже совершенно анакомо, ero
решение уrадывается сразу ...... это лоrарифмическая функ-
ция f (х) == k ln Х,; rде k ..... положительное число *). Это
число можно выбрать ПРОИЗВОЛЬНО t оно фактически опре--
деляет единицу измерения расстояний в ,елятивистском
пространстве СRорос"еЙ f но цмесообразней положить
k == 112. Во--первых] при этом будут проще дальнейши&
ВЫRлаДRИ и фо рмулы. BO BTOpblX.t Что, пожал.уй, важнее.l
*) Действительно, ln (ху) == ln х + ln у. Более тото, можно
доказать, что JIоrарифмическая функция является e BCTBeHHЫM
решением уравнения (4.+0), точнее, любая неотрицательная (при
ж 1) фувиция 1 (х), удовлетворяющая уравнению (4.9), имеет
ВИiI k ln х.
73
при малых скоростях мы получим при k ;::: 1/2 уже из
вестные Hal\! нерелятивистские формулы.
Действительно, запишем окончательное выражение
'?У расстояния между точками Р и О через скорость ОТНО-
сительноrо движения систем Р и QI
11 РО 11 == 1 ln 1 + vPIQ I (4.11)
Т 1 ...... V PIQ
тоrда при малых химеем:
; ln( : ) , +ln(1+2x+ 1 Iж ) + .2х==х,
т. е. при vPIQ -< 1 формула (4.11) переходит в нереляти-
вистскую: I РО I ;::: VPIQ.
Определенное таким образом расстояние в прост"
ранстве обладает всеми свойствами, присущими общему
математическому понятию расстояния:
1) расстоянuе сuж.метрuчно: 11 Р() 11 11 QP 11, ибо
vPIQ == VQIP... .
2) Расстояние PQ tI ecezaa neотрuцательnо и обраща-
ется в нуль тоеда и тод.ыео тоада, IЮеда Р == Q, посколь-
ку величина (1 + vptQ)/(1 Vptq) всеrда больше или рав-
на единице.
Можно также доказать (см. разд. 4.8), что
3) расстояпие удовлетеОРJf,ет та;п nааываемо.му 1le...
равенству треуеО./l,ьН,ика»: для Аю6ых трех OZl' точеп Р 1 QtJ
R uжeет .место перменство
" Р() 11. < n Р R + " во 11.
Отметим, что если скорость ОТВОСJlте.пьноrо движения
VЛIQ приближается к скорости света V ;:::: 1, то расстоя-
вне мел\ду точками Р и Q неоrравичевво растет. Это озна-
чает, что движевию 00 СRороетью Cse'l8 в релятивистском
прострапстве скоростей отвеча 6еековечно УД8ленные
точки. f1a карте скоростей КА любоro иверциаJIьноrо на-
блюдателя А они изображаются точками аБСОJlюта ........ ок-
ружности QA оrраВИЧИВ8ющей' Kpyr КА. ..расстояиие
от любой точки Kpyra КА до точки абсолюта равно беско-
вечности, как этоrо и слеДОВ1iJIО ожидать ив начествениых
сообра;l\ений, выказанвьlхx нами в предыдущей rлаве.
Еnнлидово же расстояние на карте К А1 измеренное между
любыми двумя точками Р И Q, которые являются изобра-
жениями точек Р и Q релятивис скоrо пространства CKO
рОС1'ей, не J.;IpeBыmaeT диаметра Kpyra КА, paBHoro 2. Здесь
}Ibl встречаемся с проявлением замечательной двойствен-
14
ности ...... бесконечное пространство 1/ постоянной отри-
цательной кривизны изображается па проективной карте
Rонечным крутом КА, в то время как конечное пространст-
во Jf постоянной положительной кривизны ....... сфера, или
простраВСТ)30 лучей,....... требует для cBoero проективноrо
изображения карты в виде бесконечной плоскости. И этой
ПЛОСКОСТ1t все"таки не хватает для изображения всех
очек. Р осталыtом способы изображения тих двух прост.
ранств постоянной кривизны на проективНЬ1Х картах име
ют удивительно MHoro общеrо, и мы можем почти дослов-
u
но перевести в релятивистское пространство скоростеи
те идеи и тот опыт,,, который мы приобрели при изучении
rеометрии пространства лучей и' ero проективных карт.
Аналоrию вы увидите во всем, даже в названиях и свойст.
вах тех функций, которые естественно возникают в этих
двух rеоиетриях. Вспомним, например, формулу, которая
выражает в rеометрии лучей зависимость расстояния
I АВ Iл между двумя точками А, В и расстояния I АВ 1.4
между их изображениями А 1 В на карте КА:
I АВ IA == tg I АВ Iл.
Аналоrичная формула в rеометрии релятивистскоrо
пространства скоростей связывает евклидово расстояние
I АВ IA == VB IA на карте КА с расстоянием 11 АВ 11 между
точнами А и В IJ пространстве скоростей РУ. Ее можно
вывести из формулы (4.11):
e211.ABII ......,'1 ellAB11 ....... e IIABII
I АВ IA-== vBIA == e211ABII + 1 == JIABII + e AВII · (4.12)
R е х ...... е"' Х
..,О8никающая здесь функция у === х ...х тоже называется
е + е
TaHreHCOM, но танеенсо.м, еunерБОJtuчеспu.м, и обозначаетсй
у == th х. С ее помощью можно коротко переписать фор-
мулу (4.12)t выражающую относительную скорость через
расстояние в пространстве скоростей:
VBIA === th 11 АВ 11. (4.13)
Запомним эту формулу ..... нам придется ею пользоваться
на протяжении всей книrи.
Позна омимся с rиперболическим TaHreHcoM HeMHoro
поближе. На рис. 4.9 изображен rрафик rиперболическо-
то TaHreHca. Видно,. что при малых значениях aprYMeHTa
th х :::::: Х." вначит, расстояние в пространстве скоростей
I АВ I численно почти совпадает с величиной относитель..
75
НОЙ СI ОрОСТИ VB t А; если эта скорость не превышает, сна..
тем, 20 % от скорости света v == 1, ТО ив IA ;::::; I АВ 11 с
точностью, не меньшей 1 % .
С ростом арrуиента ФУНКЦИЯ у == th х очень быстро
приближается к асимптотическому значению 11 == 1; на..
пример, расстоянию в пространстве скоростей АВ I == 3
3
2
Рис. 4.9.-
а:
е е
sh Z :::;а
2"
I I
Z 1,5
I 1....
2 2tз
е Х + ....x
сЬ ж == 2
зhх
th х sa: -ёhZ '
сЬ 2 Z ...... вЬ ! Х == 1;
вЬ (ж]. + Жt) :::::::
== зh 3:1 ch Xi + сЬ %1 sh ж,
оЬ (%1 + %2) ==
а:: сЬ 3:1 сЬ Х2 + вЬ %1 sh %2;
th (Х1 + %2) ===
th %1 -1 th Х2
== t + th %1 th %l ·
2 r
I
соответствует скорость отпосительпоrо двиЛ\епия, весьма
близкая к скорости света: VBIA == th 3 0,995.
Некоторыми своими свойствами rиперболический тан-
rепс весьма напоминает обычиый т&пrеВс. Запишем,- на..
пример" с ero помощ ю репятивистсхую формулу сложе..
НИЯ скоростей (4.5).. Выразим входящие в нее скорости
через "расстояпия и обозначим U НА == х, 11 АО 11 :=: у;
I'оrда U ВО == Х + У! И формула сложения примет вид:
thx+thy
th (х + у) == 1 +th%tБY .
(4.14)
Как ВИДИМ t выражение ДЛЯ rиперболическоrо танrеИС8
CYMM отличается' от обычной формулы Только знаком в
16
8вамевателе,
tg (х + у) == tg ж + tg у .
1 ....... tg х tg у
У читателя может возникнуть иедоуменвый вопрос: пусть
это будет TaBreHC, но почему rиперболический? Об ЭТОМ t
а танже о друrих rиперболических фУВRциях, rиперболи...
ческих расстояниях и rиперболическиr поворотах будет
подробно рассказано в Приложевии.
4.5. Метрические соотноmения
ДЛЯ прямоуrольноrо треуrольиика
В предыдущем разделе мы занимались- мет...
рическими соотношениями для простейmеrо объекта ре...
лятивистскоrо пространства скоростей ..... прямой. С точ",
ки зрения физики ....... рассматривались три инерциальные
системы отсчета A,f Bt С, которые двиrались так, что для
наблюдателя в любой из них скорости двух друrих были
kоллинеарны. С точки зрения rеометрии ....... это три точ",
НИ А, В, С релятивистсноrо пространства скоростей, при...
надлежащие одной и той же 2f"прймой. Единственными
измеримыми величинами в этом случае MorYT быть только
три относи\ельиые скорости VAIB, vBlc, vAIC и соответствую...
щие им расстояния 11 АВ 1\, 11 во 11, 11 АО il.
Это, конеЧНО t очень частный вид движения и частный
случай расположения 2f точен. Более общей является
ситуация коrда относительные скорости систем отсчета
4, В,, С не коллинеарны. Тоrда реальный физический
смысл имеIОТ уже девять измеримых величин OTHO
сительные скорости и уrлы между :ними. Перечис
лим их:
наблюдатель А измеряет VBIAf VCIA и уrол а, между
направлениями VBIA и VCIA;
наблюдатель В изиеряет vAIBi vCIB и уrол между
направлениями VAIB и VCIB;
наблюдатель С измеряет V AIC, VBIC и уrол 'v меiКДУ Ha
правлеииями VAIC и vBlc.
В списке перечислено девять величин, но задавать их
значения везависимо друr от друrа.1 разумеется.t нельзя.
Вспомним,- например" что
VBIA == V AIBt VCIA == V AIC' VBJC == VCIB.
(4.15)
Ясво,t что из остаIОЩИХСЯ шести величин независимыми
.иоrут быть только три Jc напрцмер, VBJA.1 VCIA и уrол а.
77
ОстаЛIные величины уже будут выражаться через эти,
но соответствующие зависимости будут rораздо сложнее,
че1t1 форм:улы (4.15). Как и в нерелятивистской кинемати
не, наиболее удобным способом записи этих соотноmени й
является rеометрический ЯЗЫК пространства скоросте Й.
В релятивистском пространстве скоростей три точки
A, В, С определяют треуrольник со сторонами АВ, ВО,
СА,- длины ноторых мы обозначим,- соответственно, через
с, а, ь. Треуrольник АВО символически изображен на
рис. 4.10, который поясняет систему наших обозначений.
(НИRакоrо друrоrо смысла вкла--
дывать в эту картинку пока не
следует!) Длины сторон а, Ь, с
связаны с величинами относитель..
ных скоростей: VAIB== th с, VBIC==
== th а, vCI А ;:::: th Ь. Напомним
также, что в релятивистском про
С стр анств е скоростей величина yr--
ла ВА С , под которым пересека--
ются в точке А прямые АС и АВ,;
равна. уrлу между векторами сноростей VCIA и VBIA,
измеренных наблюдателем А. Поэтому уrлы при верmи
пах А, В, С нашеrо треуrольника равны, соответственно,'
уrлам а, , у, :измеряемым инерциальныии наблюдателя..
ми А, В, С. .
Задачу, которой, мы будем заниматься в этом и в сле--
дующих разделах, можно сформулировать теперь в при..
вычных rеометрических терминах: по трем uaBecтnbtM
элементам треуеолъ1tuка nужnо nайти три остаЛЪnЬLХ.
Начнем, конечно, с более простоrо случая прямо..
уrольноrо треуrольника, все элементы KOToporo опреде--
ляются только двумя параметрами. Для определенности /
будем счит ать, что прямой уrол треуrольника АВС это
уrол у == А СВ. Основная идея вывода соотношений меж--
ду сторонами и уrлами треуrольника АВС в релятивист--
ском пространстве скоростей знакома нам по предыдущей
rлаве, в которой мы не без пользы занимались изучением
rеометрии пространства лучей. Нужно рассмотреть изоб..
ражение А Ее треуrольника на плоской проективной кар--
те, записать евклидовы соотношения между сторонами
и уrлами треуrольника Аве на карте и по известным пра--
вилам перевести их обратно в исходное пространство.
Н случае рслятивистскоrо пространства скоростей эти
правила сводятся к тому" что расстояния I АВ I и I АС (
8
ь
А
Рис. 4.1С
78
па KapTe КА :выражаютс.я через соответствующие
rpy"'расстоявия формулами t АВ I ::: th fI А.В Н, I АС I ==
== th IJ АС П,; а yrOJI ВАС равен бu' уrлу ВАС. lIo в эти
формулы ВХОДЯТ только три ив шести элементов треуrоль
вика'! поэтому они еще не позволяют получить RаRие ни'"
будь содержательвые результаты. При выводе метриче
ских соотношений в пространстве лучей недостающие
зависимости можно было извлечь непосредственно из прост",
ранственной конструкции карт (см. формулу (3.4)). Сей...
час такой возможности мы лишены, зато знае I, ка:к пере...
ХОfИТЬ с одной карты на друrую. Поэтому нам придется,)
кроме карты КА! воспользоваться и друrой V'...:картой
(более Bcero для этоrо подходит карта Кс) и перенести
На карту КА зависимости между элементами 2?" треуrоль"
вика АВО и ero изображения А 1 В 1 С 1 на карте Кс с по..
:мощью преобразования L CA .
Итак" 'рассмотрим изображения АВС и AIB1 1 прямо..
уrольноrо треуrольника АВС на картах КА и Кс. (Все
обозначения будут повятны из рис. 4.11.) Прямой уrоЛi
I
61
f
G
Рис. 4.1t,
.АСВ Hamero треуrольвика на карте Iic,- очевидно, изобра...
зится евклидовым прямым уrлом A 1 C 1 B 1t ПОС:КОЛЬRУ ero
вершина попадает в центр карты. Оказывается, что и на
карте КА соответствующий уrол ХСВ будет прямым.. Это
отнюдь не тривиальное обстоятельство: позже мы увидим"
что, как правило, величины уrлов пространства скоростей
передаются на проективных картах с искажениями (ec
ли, конечно," изображение вершины уrла не совпадает с
центром карты). Представии переход L CA с карты Кс
79
на парту К. 4 в виде центральной проенции (ри . 4.12}.
Тоrда уrол A будет центральной проекцией прямоrо
vrла A 1 C 1 B 1 . Рассмотрим плоскость а == (ОРО), в RОТОрОЙ
пеЖ8Т точки А, С, А 1 И C 1 ,. Из построения вытекает, что
ОВ8 uерпевдикулярпа ПЛОСRОСТИ а Kpyra КА и ПIIОСКОСТИ
Рис, 4.12,
Rpyra Кс. Кроме Toro, поскольку прямая В 1 С 1 перпеп
дикулярна прямой А 1 С 1 И лежит в плоскости , плоскость
(J' перпендикулярна и прямой B 1 C 1f а" следовательно, плос...
кости 1', проходящей через точки В 1 " С 1 И В,- С. Таким об...
разом, прямая ВС принадлежит двум плоскостям а и у,
перпендикулярным к плоскости (1, вначит . она сама пер
пендикулярна этой плоскости. В частности,- прямая ВС
перпендикулярна прямой СА 1 .JIежащей в плоскости (1!, т. е.
iJCA пря.мой уеол.
Пользуясь той же проекциейf, выра им длину 'cTopQHы
ВС на карте КА через 2J''''длины сторон треуrольника АВО...
Нам известно, что I C 1 B 1 1 == th 11 св 11 ;:::: th а, I С 1 М 1 1 ==1
(это радиус к а рты Ко.),; а I С М I JC: У I А М 12 ........ [А С 12 Z::::::I
=== lf 1 th 2 Ь по теореме [Пифаrора для прямоуrольноrо
треуrольника АВС на карте КА (рис. 4.11). Из подобия
т;>еуrольников авс и QВICl' оме и аМ 1 С 1 (си.
рис. 4.13, rде показана только плоскость у) вытекает, что
I ВС I : I в 1 С 1 I ;:::: I ОС 11 I qc 1 I == I с м 1: I с 1 М 1 1. Сле-
довательно,
I ве t ::;:: I В 1 С 1 I · (1 см l' I С 1 М 1 1) == th ау1 ........ th 2 б .
, , (4.1t9
80
Сравним 8ТУ формулу с 8паЛОFИЧRОЙ формулой (3.4) ДЛЯ
катета ВС прямоуrольноrо треуrольнина АВС на проек"
тивной нарте КА пространства лучей. В пространстве
лучей «обычны) TaHreHC «длины) катета ве. исходвоrо
треуrольвика делится на ,;осиnус «длины» друrоrо катета;
в пространстве скоростей еuперБО/tuчес-пuй тапае nc "'ДЛИ '"
ны а :катета ВО умножается на коэффициент у1 th' Ь,
rде Ь ........ tpf длина друrоrо катета. Вспомним еще стан..
дартную триrоноиетрическую формулу 1 + tg l Р ;::::: 1fcos 2 р.
Похоже,. что у нас есть
все основанил ввести спе
циальн ую Функ цию сh.Ь==
с::: 1/( 1 ....... th I Ь и назвать
ее zuперболuчес-пuж ocи
nусож. Теперь формула
(4.16)прииимает вид, впол..
не аналоrичный формуле
(3.4):
IBCI == : . (4.17)
у нас появились уже
две rиперболические функ..
ции. Стоит рассказать о
них HeMHoro подробнее.
rип рболический косинус
очень просто выражается через показатеЛЬНУIО функцию
;Ж; действительно!
_ ==1 th2x==1 ( e: e=:C ) == ( 1 + e: e=:C ) Х
с:х; е +е Х е +е Х
Х ( 1........ еЖ.......... e X ) ::::: 2е Ж 2e X === ( 2 ) 2
Х + x IIO + Ж + x Х + x
е е , е '(1 е е
8JIедовательно.,;
ch х ==
С 1
у
l..
с
в н
Рис. 4.13,
:JC + Ж
е е
2
.
Теперь введем третью «недостающую» rиперболическую
функцию 2uперболuчес uй СИНУС sh х. Определим ее
так, чтобы выполнялось равенство th х == sh xLch х. Оче...
видно.!, что ДЛЯ этоrо необходимо положить
sh х ===
х 41"
е е....
.
а
81
Вспомним ОСНОВНое ТрИfО'Rометрическое тождество:
eos 2 х + sin 2 х == 1. Простой подстановкой можно убе...
ДИТЬСЯ, что основное «Fиперболическое» тождество выля..
ДИТ так:
ch 2 Х ....... sh 2 Х == 1.
Запомните ero так же хорошо, как вы помните основное
ТРИFонометричеСRое тождество,....... оно приrодится нам еще
не раз! Вообще,- «Fиперболические» формулы очень похо...
,ни на триrонометричесние, только в некоторых местах
вы встретите в них знак плюс вместо минуса и наоборот.
Это, нонечно, не случайно, ведь те и друrие ФУНКЦИИ «са..
ми собой» возникают при изучении rеометрий пространств!
которые очень похожи (имеют постоянную кривизну) и в
то же время различны: в одном случае кривизна поло-
жительна (ПРОСТ'ранство лучей), а в друrоМ....... отрица'"
тельна (релятивистское пространство СRоростей). Разви..
ца станет особенно заметной, если взrлянуть на rрафики
rиперболичесних функций на рис. 4.9. Там же приведеВIaI
и основные уормулы «rиперБОJ1ической триrонометрии».
Удивительно, сноль различны rрафини триrонометриче..
ских и rиперболичеСRИХ функций и как при этом сходны
алrебраические соотношения между ними *). Что значит
Rое rде «перепутать» знак! .
· Но вернемся н нашей основной задаче ....... выводу мет-
рических соотношений в прямоуrольном 1f'--треуrольниве.
Все для этоrо уже rOTOBO и нам остается только собрать
урожай.
Рассмотрим прямоуrольпый треуrолыпm АВС на карте
К А (рис. 4.11). Три ero cTopoны и два уrла выражены че..
рез стороныI и уrлы ero прообраза ....... треуrольника АВО
в релятивистском пространстве скоростей:
tiAC === а, ВСА === у == 'It/2,
1 А е I :== th Ь,{ I АВ I == th Cj) I Ее I == th alch Ь.
(4.18)
Записывая евклидовы метричеение соотношения в тре..
уrолыIкеe АВС, мы будем получать соответствующие мет...
рические соотношения в треуrольнике Аве в простравст"
ве скоростей.
Ка1'ет, rипотеНУS8И yroJl между ними. В треуrольнике
Аве им:еет место формула I АС 1 ;::::: 1 АВ 1 cos а. Под'"
ставляя в нее I АС I ;::::: th Ь" I АВ 1 == th С" получим соот"
*) rлу60кие причины этоii аналоrии проясвятся в Приложевии.
82
ветствующую формупу для треуroльника ..4.вс;
th Ь == th с cos СХ.
Два катета и ОСТРЫЙ yroJl. В треуrолъвикс
f ве I == I АС I tg а. Отсюда
th а sh Ь
ch Ь === th Ь tg а == ch Ь tg а,
следов а тельноJ,
(4.1 g)
ABa
th а == sh Ь tg а.
(4.20)
Два катета и rиnотевуза (теорема Пифаrора). В тре..
уrольнике АВС: J АВ 12 == 1 АС 12 + 1 BCj2J, поэтому
th 2 с== :: + th l Ь.
IIреобразуем] э о равенство, выражая Rвадраты rипер-
болических TaHreHcOB через косинусы О'8IIОМQЩЬЮ форму..
1
лы th2a==1 Ь 2 :
G а
1....... 1 ........ th 2 а '1 1
ch 2 С сЬ 2 Ь Т ---- сЬ 2 Ь
....... 1 ........ 1........ th I а 1 1
......... с h 2 Ь == ........ сЬ 2 а С 112 Ь о
Сравнивая левую и правую части. получим.!, что ch 2 С
== ch 2 а сЬ 2 Ь ИЛИ
сЬ с == ch а сЬ Ь.
(4.21)
I'ИDотевуза, катет и противоположнЫЙ ему yroJl. В тре..
уrольнике АВС имеем: I Ве I == I АВ I Bin а. Отсюда
находим", что
th а th ·
ch Ь === с Sln СХ.
Преобразуем левую часть.t воспользовавшись «теоремой
Пифаrора» (4.21):
th а sh а sh а
ch Ь ch а ch Ь сЬ с ·
Подставляя этот результат в' левую часть предыдущеrо
соотношения и вспоминая,' что th с == sh cLch с,- ДЛЯ тре..
уrольника АВС мы получим:
sh а == sh с sin СХ. (4.22)
<1:0рмулами (4.19) ........ (4.22) исчеРПЫВАIОТСЯ те метриче..
сиие соотношения в прямоуroльном треуrОJlьнике прост--
83
'u
ранства СКОро(jтеи, которые можно вывести непо реД(jтвевно
из евклидовых соотношений для прямоуrольвоrо Tpe
уrольника. Hg, Rомбинируя ати формулы, можно полу-
чить ряд новых, интересных и полезныx соотношений,!
. 'u u
ие имеющих прямых анаЛОFИИ в евклидовои rеометри,.
rИDотеВУS8 и два острых yrJla. По формуле (4.20)
имеем tg а == th а/зЬ Ь. ДЛЯ друrоrо OCTporo уrла Tp --
уrольника АВС будет справедлива аналоrичная формула
tg == th b/sh а. Перемножим эти равенства,
t t ....... th а th Ь ........ t ......... 1
g а g ......... вЬ Ь вЬ а ......... сЬ а сЬ Ь ......... сЬ с ·
Здесь мы воспользовались TeM.t что th х == sh xlcll Х И «тео-
ремой Пифаrора» сЬ с == сЬ а сЬ Ь. . В результате мы по-
лучим, что rипотенуза прямоуrольноrо --треуrОЛЬНИRа
однозначно определяется двумя ero острыми уrлами:
сЬ с =т ctg а ctg р. (4'.23)
Теперь ясно, что и ero катеты вычисляются по двум ост-
рым: уrлам; предлаrаем читателям самостоятельно дока-
заТЬ 1 что
сЬ а ....:.. cos ajsin .
( 4.24)
в последующих разделах этой rлавы мы еще обсудим за-
мечательные rеометрические свойства релятивистскоrо
пространства скоростей, отражениями которых являются
эти формулы. Пок'а же оrраничимся TeI\I, что еще раз под-
черкнем удивительное сходство соотношений ме}кду сто-
ронами и уrлами прям:оуrольноrо треуrОЛЬНИRа в сфери..
ческой rеометрии (или rеометрии пространства лучей)
и в rеометрии релятивистскоrо пространства СRоростей.
Все наши формулы можно получить из формул сфериче-
.
спой rеом:етрии, если в последних заменить триrОНОI\Iетри-
чеСRие фуннции сферичеСRИХ расстояний па соответствую-
щие rиперболические функции б;7..расстояний в прост-
ранстве скоростей!
4.6. Теоремы RОСИН)7СОВ и сип)'сов
При изучении rеометрии ТРУДIIО обойтись
без черте 1\ей и РИСУНКОВ. Но читатель уже понимает, чтр
на ПЛ Ком листе бумаrи невозможно нарисовать ни одной
rеометричеСRОЙ фиrуры иа пространства скоростей без
иснзжевия расстояний или уrлов. Можно было бы по-
стоянно пользоваться каRой--нибудь RОВRретвой картой
84
пространетва, НО тоrда мы лнmились бы мпоrих прео
имуществ, заключепиыx в самой идее релятивистскоrо
пространства скоростей. Ведь конкретная карта связана
с KoHKpeTIIыM наблюдатеJIем.t отражает ero «конкретнцй
взrляд» на Rакую пибо фиrуру или rраф в релятивистском
V' пр(ч' траистве, друrой наблюдатель на своей карте ДОЛ.
жен livобразить ту же фиrуру уже по"друrоиу. Основная
идея релятивистскоrо пространства Gкоростей как раз
и состоит в том, чтобы отвлечься от этоrо копкретноrо
взrляда и рисовать в "простраистве rрафы и фиrУРЫ f
на которые может затеи ПОС},fотреть любой наблюдатель
и построить свою обственвую карту, отражающую р&о
зультаты уже ero собетвеиных намерений.
Поэтому мы доrоворимся изображать на листе бумаrи
непосредственно сами rеометричеСRие фиrуры (-или rpa..
фы) релятивистскоrо пространства скоростей, нарочно
внося в рисуИRИ некоторые искажения, например, одни
прямые у нас будут изоБР8iН3ТЬСЯ евклидовыми пря..
мыми, друrие ........ кривыми линиями t символизирующими
кривизну aMoro пространства . Теперь пространство
скоростей будет занимать как бы всю плоскость чертежа J
точки аБСQ. будут действительно «бесконечно удале
ВЫ», а любую r;zy..прям:ую на чертеже можно будет Heorpa-
ниченно продолжать (мысленно, ковечно) в Лlобую сто..
рону. Те или друrие условности ивизбел{вы" коrда fbl
рису м на ПJIOскости нечто/ в плоскость не укладываю
щееся,...... будь то чертеж детали или портрет человека.
Первым таким РИОУНКОМ' будет рис. 4.14. На нем изо..
бражен проиввольный треуrольник АВС" в котором
"1
B верmивы О на сторону АВ
опущена высота CD. {ы BOC <!J
пользуемся ЭТИМ рисунком при
q азатеJlьетве '.fpex важвеи.. А
щих теорем «1./ "триrовомет...
рии»: двух (1) теорем коси..
нусов и теоремы синусов. Все
основные ревуяьтаты пре
дущеrо раздела суть их частные случаи. Доказательства
этих теорем проводятся по ТОИУ жв плану, что и дока..
вательства об 1{НЫХ mкО4l.ИЫХ теорем косинусов и сину"
OB. Высота CD разбивает ваш треуrольник на два прямо1"
frольвыx (мы предполаrаек, что uu' точка D лежит между
l4. и В; в противном случае рассул\деНJIЯ потребуют COBce
ебольmих изменений, внести которые мы предоставим
i.lИ'J'ателю). Выписав подходящие соотношения для ПРЯ}f{)..
.
с
в
Рис. 4. {4.
85
у rольных треуrольпиков Асп и BCD и исключив ИЗ них
промежуточные .uе:IИЧИНЫ, например длину высоты CD.
АIЫ получим ис омЫе соотноmения. Прежде чем присту-
пить к выполнению этой проrраммыf выпишем и докажем
формулу для rиперболическоrо косинуса разности двух
арrумептов. Она очень похожа на аналоrичвую формулу
ДЛЯ триrонометрических функций:
сЬ (х ..... у) == ch х ch у ...... sh х аЬ у. (4.25)
Доказательство сводится к простой цепочке преобра-
З0ваний:
сЬ х сЬ у ......... sh х sh у ===
1
=== Т [(еЖ + e"' X )(e ll + е"' lI ) ..... (e ..... е-- Х )(е 1l ....... в-- 1I )] ==
t
== т [e fJC e ll + e"'Xe + еЖе"' У +
+ e XeY ...... е Х е ll ..... е"'Хе"'У + e e"'Y + e.... x e ll ] ==
1
-== Т · 2 [eX + е...(х....tI>] == сЬ (х ..... у).
Обозначим дливы сторон треуrольвика Аве че-
рез а == 11 ве II ь == 11 АО 1I и с 1::: 11 АВ "t а величины ero
уrлов ....... через а, == .А, == iJ и w == D; пусть еще d ==
== 11 е D 11 ........ длина высотыj. а С 1 == D AD 01 так что DB 11
== с ......... с 1 ·
Первая теорема косинусов.
сЬ а == сЬ Ь сЬ с ...... sh Ь sh с cos (Х. (4.26)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Прим:евим «теорему Пифа-
ropa» (4.21) к прям:оуrольном:у треуrольвику BCD: cha ==
== сЬ d ch (с ....... с 1 ). Далее воспользуемся формулой (4.25)
и снова «теорем:ой Пифаrора» ...... для треуrольника ACD.
сЬ а === сЬ d ch (с ...... с 1 ) == ch d (ch с ch С 1 --- sh с sh С 1 ) =-
== сЬ d ch С 1 (ch с --- sh с th c 1 ) == сЬ Ь ch с
.... sh с ch Ь th С 1 ch Ь ch с --- вЬ Ь sh с cos. .
в последнем: преобразовании мы учли,f, что в силу (4.19)
имеем th С 1 == th Ь 008 a"t; И поэтом:у ch Ь th С 1 sh Ь cos еж.
Вторая теорема косинусов.
соз а == .....с08 cos 'V + sin sin '\' сЬ а. (4.27)
Д о к а 3 а т е л ь с т в о. Обозначим: величины уrлов
ACD и пов через "(1 и "(2: соответственно. Применим
86
формулу (4.24) к треуrольвикам ACD и ВСп:
сов (Х cos fJ sin Уl
сЬ d == . === . J откуда сов а === cos .
Sln '\'1 Sln у, SJ n 1'2
== COS Р sin (1' '\'2) о
sin '\'2
Раскроем теперь 8in (у ........ 1'2):
cos а cos р si:n 'V ctg "У! ....... cos со! у ==с
соз cos у + sin Р sin 'V ch (!,
поскольку'f соrласно (4.23), имеет место соотпЬшепие
соэ р ctg 1'2 == cos tg сЬ а == sin р ch а.
Теорема синусов.
зЬ а аЬ Ь sh с
sin а == sin si 1' · (4.28)
Д о к а 8 а т е л ь с т в о. Пользуясь формулой (4.22),
из двух прямоуrольных треуrольников AOD и BCD вы-
разим катет CD через их I'ипотенузы и противолежащие
уrлы:
sh d == вЬ Ь sin а;
Отсюда мы получаем,! что
аЬа
8in а, .........
sh d == sh а sin .
аЬ Ь
si n ·
( 4.29)
Аналоrично доказывается и второе равецство; входящее
в утверждение теоремы.
Очевидно'. сходство (пеРвоi!) теоремы косинусов и тео-
ремы синусов rеометрии релятивистскоrо прос,ранства
скоростей с одноименными ввклидов ми теоремами. Преж-
де Bcero, та и друrие теоремы позволяют решать одинако-
вые вадачи.t например" теоремы синусов в обеих reOMeT"
риях позволяют иаходить две cTopoны треуrольника по
третьей сторо'ве и прилежащии к ней уrлам. Но между
ними есть и более rлубокая связь. Коrда длиВЪf стороп
СРУ треуrольников С7авовятся малыми, формулы три-
rонометрии переходят в соответствующие теоремы плани-
метрии. Друrиии СJlовами, rеометрия релятивистскоrо
U u
пространства скоростеи становится почти e-ВКJ1ИДОВОИ1j
. ,
если скорости малы по сравнению со скоростью света.
Это является rеометрическим отражением тоr фаRта, что
при малых скоростях релятивистская кипе?laтика перехо--
дит в классическую. Разберем этот предель ый переход
на Перимере теоремы синусов.
87
IIайдеl\l произnодную ФУНRЦИII sh х: (sh х)' ==
( , --х ) ' 00 + 'l'
е .... е е е
== 2 ....... 2 == сЬ х. (Еще одна анало--
rИ:I (j обычными триrонометрическими функциями, ведь
(sin х)' == cos х.) Так нак ch О == 1..' · при малых :J)
MeeM sh х Х. Поэтому при малы a1J b t с v;? Teo..
рема синусов переходит в обычную евклидову Teope1\fY
синусов
"п
ь
........ ........
sin fJ
с
si n 'i ·
sin а
А палоrпчно, используя при малых х приближенное
равенство ch х 1 + x 2 L2,; можно убеДИТЬСЯt) что первая
PJ' TeopeMa косинусов в предеJ!е переходит в евклидову
Teope fY косинусов (проверьтеl). Неясной остае.тся только
роль второй теоремы носивусов. У стремим в ней величи-
нУ а R нулю; тоrда сЬ а -+ 1,; И мы получим равенство:
cos а == ......cos cos у + sin sin у == cos (п ....... ....... "().
(4.30)
Отсюда BblTeRaeT1j что а + р + '? := 1t'f} так ЧТО второй
P? TeopeMe косинусов в нерелятивистском пределе OTB
чает .евклидова теорема о сумме уrлов треуrольника.
4.7. rеоl\lетрия ЛобачеВСRоrо
и пространство скоростей
Б 1829 r. в журнале {<RазаНСRИЙ веСТНИJ\»1j
издававmемся Rазанским университеТОlI, был опублико"
ван мемуар Н. И. Лобачевскоrо (O началах rеОАlетрйи».
В этой работе была разрешена проблема.,; олновавшая
Б течение почти двух тысяч лет }IатемаТИRОВ равных вре-
мен и стран от Птолемея до Лежандра....... проблема
Dятоrо постулата ЕВRдида. Сейчас ero обычно формули-
руют в виде ансиомы параллельных: «череа точку, .лежа..
щую вне даННОЙ пря.мой, ж1tо провести,. неи не более
С'ЭUОй паРQ,.ll,Jl,едыюй прЯJ,f,OU» (т. е. ле}кащей в одной плос-
RОСТИ С данной и не пересенающей ее). Среди друrих пос-
тулатов и а сиом, предпосланных Евнлидом первой кни-
те СВОИХ зва:иенитых «Начал», пятый постулат (особенно
:в ориrинальной формулировке, Евклида) резно выделялся
СЛОiI(ВОСТЬЮ и веочевидвостъю. Поэтому с rлубокой дpe
ности reoMeTpbl пытались исключить' ero из числа исход-
ных предлощевий, rеометрии, привим.аемых без докава..
88
тельствз. Одии ясно отдавали себе отчет в TOAf, ЧТО
построить rеО lеТрИIО без BToro или энвпваJIентвоrо е}IУ ПО-
стулата неВОЗМОil\ О, по предлаrали ааl\lевить ero па более
очевидное по их мнению утверiI\дение. Друrие ,же пробо-
вали лоrически вывести пятЫЙ постулат из установлен-
ных пезависимо от иеrо и не вызывавших сомнения ут-
:верждений. Вот что писал швейцарский Аfатематик и фи-
лософ XVIII века rенрйх Ламберт B сочинении «Теория
параллельных линий» об этих попытках: «Доказательства
е:внлwдова постулата MorYT быть доведены столь далеко.
что остается, по видимому, ничтожная мелочь. "10 при
тщательном анализе оказывается, что в этой кажущейсл
мелочи и заключается вся суть вопроса: обыкновенно она
содержит либо доказываемое предложение, либо равно-
сильный ему постулат». Чаще Bcero доказательства пито-
ro постхлата проводились от противноrо..... предполаrа-
лось, что пятый постулат неверен, Т. е. что через точку
:вне данной прямой проходит более одной прямой, не пере-
секающейся с ней, а затем строил ась цепочка лоrических
следствий из этоrо предположения в наден,де получить
утверждение, противор.ечащее теоремам, доказанным на
основе друrих аксиом и постулатов.
Лобачевский также исходил из этоrо предположения.
Но постепенно он пришел к выводу, что оно никоrда не
приведет нас к противоречию, что совокупность ero след-
ствий образует новую rеомет.рическую систему, столь же
последовательную, как и rеометрия ЕВRлида. Конечно,
в ней было MHoro удивительноrо и непривычноrо, проти"
воречившеrо традиционному здр вому смылу,, воспи"
танному нашими непосредственпыми ощущениями. Од..
на ко внутренняя стройность и лоrичность этой теории,
названной Лобачевским «воображаемой rео:метрией», ее
разветвленность и rлубина, убеждали ВСЯ,коrо, нто изу"
чил ее, в том, TO она непротиворечи:ва. Правда, стать сви"
детелем триумфа своих идей ни Н. И. Лобачевскому, ни
друrому творцу нееЙКJIИДОВОЙ rеометрии, замечательному
:венrерскому математику ЯНо,шу Бойяи не довелось.
Бойяи независимо от Лобачевскоrо и почти одновременно
с НИ}I пришел R сходным результатам, но опубликовал
их несколько позже....... в 1832 r. И в России, и в Европе
новая теория натолкнулась на стену вепонимания. Слиш..
ком велика оказалась сила инерции, слишком непривыч"
вы новые идеи, к тому же изложены они были чреЗllЫ"
чайно сжато. Даже «король математиков»....... :великий
Н. Ф. faycc, который, как стало известно .из ero пере..
89
писки, TOilie разрабатывал неевклидову rеО fеТрИIО, не
только не решился издать собственные исследования, но
и обязывал всех, кто был с ними ознаКОllлен, хранить их
в стро;кайmей тайне. Он прекрасно понимал, какую бурю
неrодования может вызвать столь еретическая ломка ве.-
нами устоявшихся представлений.
rеометрию Лобачевскоrо, возникшую внутри <<чистой»
матем:атики, долrое время считали не имеющей никакоrо
отношения к реальному физическому миру. И лишь почти
через сто лет, после создания теории относительности,
стало ясно, что две такие необычн.ые, такие революциов"
ные теории, как rеометрия Лобачевскоrо и теория отно"
сительности А. Эйнштейна связываются в одно целое,
объединенное понятием «релятивистскоrо пространства CH
ростей». Изучая rеометрию 8Toro пространства, мы од..
новременно изучали и rеомеТРИIО Лобачевскоrо, ибо в
реляти вистском пространстве скоростей" выполняется ее
основной постулат: через точку вне прямой проходит бо..
лее чем одна прямая, не пересекаIОIЦаяся с данной.
Дейстuительно, вернемся к изображению Р?"простран"
ства на ero карте, Hpyre КА. Каждая 'УУ--прямая прост"
ранства скоросrreй будет изображаться на карте неноторой
хордой PQ Kpyra КА (рис. 4.15). rравичные точки Р и Q
хорды PQ лежат иа аБСОЛIоте КА,
т. е. соответствуют бесконечно уда..
ленным точкам "пространства. Че..
рез точку В, лежащую вне прямой
fQ, можно провести больше одмй
хорды, не пересеКaIOщейся с хор..
дой PQ внутри Kpyra «А, напри..
:мер, хорды РВ и ВС на рис. 4.15.
Это оаначает, что в "пространстве
череа точку В, лежащую вне пря...
мой Ра, проходит более одной пря..
мой, не п ресекающейся с данной
"прямой PQ.
JtITaK, в релятивистском пространстве скоростей ев-
Rлидова 8Rсиома параЛJIельных неверва. В то же время,
ПОJlЬЗУЯСЬ картами скоростей, можно проверить, ЧТО' все
остальные аксиомы евклидовой реометрии *) в пространст"
ве CZ 9J (из KOToporo выброшен абсолют) выполняются.
р
Рис. 4.15 j
*) Список этих аксиом можно найти в mкОЛЬВЫХ учебпикаХ1
rеомеТРИИ:J в конце rеометрии 6......8 под редакцией А. Н. Rолмоrо-
рОБа или в i 1 rеоиетрии 6 10 А. B Поrорелова.
90
Большей частью эта про верка неТРУДИ8, и, как наи па
)нется, послужит читателям полезным ynраiI\нением; пе--
которые более сложные моменты обсуждаются в дополие--
НИЯ в конце rлавы. Теперь иы с полным правом можем
сформулировать наш rлавный вывод:
ееожетрuя релятuвucтс1i,оео пpocтpaНCтfia C1i,opocтeu
ес/nь ееожетрuя Л обачевС1i,оео.
4.8. Сюрпризы rеометрии Лобачевскоrо
ПОДJIOбиый рассказ о rе\) fетрии Лобачев
CKoro не входит в нашу 8адачу....... нас интереСУIОТ ее при
менения в физике. Но искушение оказалось слиmRО1.1 вели
ко и мы решили все--таки познакомить читателя с иеRОТО'"
рыми фактами rеом:етрии Лобачевскоrо, сопоставляя их:
с соответствующими евкJIидовыии теоремами.
Займемся сначала свойствами самых простых фиrур .......
прямых. Рассмотрим снова 1f'"прямую Р(I, точку В, не
лежащую на ней, и ИХ И80бражевия на КА (РИС. 4.15).
Все непересекающиеся с PQ прямые можно. разбить на
два класса: пряиыe типа ВО, не имеющие общих точек
с PQ в Kpyre КА (их называют расходящимися с PQ),
и две прямые РВ и ВО, которые «пересекаются» с PQ
на абсолюте, т. е. в бесконечно удалеввых точках Р и Q
простраНСТВll 1? Эти прямыe называются «параллельпы
ми (в сторону Р и в сторону Q) к пряной PQ В смысле
Лобачевскоrо».
Очевидно, прямую ВР, параллельную в смысле Лоба..
чевскоrо к данной прямой PQ (рис. 4.16),: можно paCC laT"
А
Рис. 4.16.
ривать как предельное положение прямой БА'! пересе..
кающей PQ в точке А.', Rоrда точка А' уходит в беСRонеч--
пость на абсолют. (Кстати, в этом параллельные по
Лобачевскому и по Евклиду виолне ананоrичны.) По
6
р
Q
91
наRО1\fИМс.я с ВРI\ОТОРЫМИ интересными следствиями этоrо
nределыlrоo перехода.
Вудем считать, что прямая БА. перпеПДИl\улярна РО
и [1 БА If == а. IlрИ fепяя формулу (4.20) R прямоуrольпому
треуrольнику АА'В, получим (см. рис. 4.161 на котором
УRазаны все обозначения):
.
tft " А В Н t h tJ 4 31
tg сх === sh I1 АА' 11 === sh Ь О (. )
при Ь == АА' -+OOJ Т. 8. при А' ..... Р. TO 08начает..
что и сама величина а уrла АА' В стремится к О при
.4.' -+Р; друrими'словаыи. па..
ра.п,.д,е./l,ьные (по Л обачевс1tО.м,у)
..nряжые сходятся на абсо-
IUOme под НУАевы.м, уелоJИ,. Под-
черкнем) однако" что на карте
v u
р п СRоростеи соответствующии ев..
1,( КJIИДОВ уrол между хордами АР
и вР" ковечно", не равен нулю
(рис. 4.17) ...... мы уже rовори--
по! что уrлы И80браn,8ЮТСЯ
u
на картах скоростеи с искал,е--
Р 4 17 ниямиjl. и по р ой весьма. ввачи..
ие, . « .s
теJ1ЬНЫМИ.
В том, что уrол ме)нду параnпепьными прямыми равен
пулю! ничеrо вееВКЛИДОВСRоrо еще нет. Но давайте вы..
I ...............
числим уrол q> == АВР (рис. 4.16) ltfежду прямой ВР
и перпендикупяром АВ к параJIлельной ее .прямой PQ
(в rеометрии Евклида этот yroJI, новечно" прямой). Пусть
....... уrол между сенущей БА' и перпендивуляро.м АВ;
1'оrда Р -+ <р, коrда А' удаляется на абсолют (А' P).
По формуле (4.19) СОЗ == th a/th БА' 11 и, поскольку
11 B.L1' 11 OO! а th ВА' -+ 1 при А' P! переходя,
к пр делу, получим: сов q> :;:; th а. Отсюда ВИДНО\t что уrол
q> нсеrда острый (ибо О < th а< 1)1 Этот yrOJI навывается
УсЛОМ napaJl,Jl,eAb1tocти и оБО8начается П (а); 011 полностью
(JПI'i',1. сля ется расстоянием а от ТОЧКИ В до прямой'" РО.
11TaK 1 мы вывели знаменитую формулу Лобачевскоrо
соз П (а) == th а, (4.32)
иrраВШУIО в ero труде ключевую роль. (в следующей rла-
ве IЫ увидим, ЧТО уrол параллельвости имеет прямое ОТ-
ноmение к аберрации света ввезд.)
IIосмотрим теперь, как меняется расстояние от точек
одной из двух параJIJlепьвыx пряМых до 1Хруrой (в евк.n:и
92
довой rеометрии ОБО одинаково для всех точек). Будем
снова пользоваться обозначениями рис. 4.16. Перейдем
ва карту КА (рис. 4.17). Ив подобия треуrОЛЬНИRОВ АВР
I А' В' I I АВ I
и А'В'Р следует.! что IA'PI == IAPI .Выразим(обычные)
длипы отрезков на карте КА в этом равенстве через соот-
ветствующие 2"-расстоян я (СМ. формулы (4.18):
t А 'В' I == th а' I сЬ ь, I АВ I == th а J I АР I == 4.aJ
I А ' Р I == J АР 1..... I АА ' I == 1 th Ь"
(rде а' == Н А'В' П& Ь:а::: О A ' 11). Отсюда
th а'
сЬ Ь (1 ..... th Ь) == th а
или
th а' ::: th а (ch Ь вЬ Ь) == th а'е-- Ь . (4.зз)
Эту формулу j,МЫ вывели, считая, что точки А.' и В'
находятся по ту же сторону от прямой АВ t что И точна Р j)
в . которой наши параллельвые 6[;Р прямые сходятся на аб-
солюте. Если }не точки ..,.{' и В' расположены с друrой c rrn ..
рОБЫ от АВ (рис. 4.18)" то
th а' == th а'е Ь . (4.34)
Доказывается эта формула точно так же t нак (4.33). Из
формул (4.33) и (4.34) сразу же вытенает следующая тео-
рема rеометрии ЛобачеВСRоrо:
расстояния от точеп одно й из
двух nараллелънь прямых до
друеой стремятся Jti, пулю при
смещении в сторону" еде эти
прямые сходятся па абсолюте и
пеоzраниченно возрастают в fl.
противоположном паnравленци.
Заметим, что при приближе..
нии точки ..,.{' R Q вдоль прямой
PQ наблюдается совсем уже
необычное с еВRЛИДОВСКОЙ точки Рис. 4.18.
зрения явление: внекоторый
момент перпендикуляр А/В' н
прямой Р() становится параллельным (по Лобачев-
CKOMyl) к прямой ВР параллельной PQ (прямая
АoRо на рис. 4.18). Это критическое положение АoRо
леrко найти из формулы (4.34): при А' --+ Ао левая часть
этой формулы должна стремиться к 1 (а' --+ (0), поэтому
th а. е Ь ' == 1.. Ь О == 1I АА.о 11, или o == ....... ln th а. Если
9?
передвиву ь основание перпевдикулвра еще дальше, 88
ЧКУ .. 1.0 (прямая А "в" па рис.4.18).1 ОВ станет расходя..
щиuся (r прямой вр . Рие. 4.19 илmoстрирует эту ситуацию
в самом "пространстве.
Авалоrичво докааывается. ЧТО расстояние от точев
одной ИВ двух расходящихся ПРЯМЫХ до дpYTO прямой
неоrрапичвННQ возрастает при приближении к абсолюту
в любом н'аправлевии (рис. 4.20). .
Теперь обсудим некоторые простеЙIПие свойства тре..
уrольвиков в rеометрии Лобачевсиоrо. Прежде всето ДО"
кажем «неравенство треуrОJIьпика ...... су.м.ма Аюбых двух
8 8"
о
C2J
с?)
р
А · А' А. о А" IJ.
Рис, 4.119.
.Рис.. 4,,20.
сторон треуеольН,им больше третьей стороны (мы УП
иинали о нем в разделе 4.4). Пусть а ...... наибольшая сто-
рона треуrольвИR8'.s Ь и , ...... две друrие ero е,ТОРОВЫj;" а. .....
уrол между ними (рис. 4.21). Достаточко доказать.! ЧТО ..
а < Ь + о. ПО теореме косинусов
ch а == ch Ь сЬ о....зЬ Ь sh t: соВ а<
< ch bch 0+ sh ь sh (J == ch (Ь + с)}
отсюда а < Ь + о, поскольку функ-
ция ch z возрастает при х >- о.
Второе важнеЙШее свойство, Kg...
торое иы ВыВедем",.... теорема о сумме
уrлов треуrОJlЬиика: су&JШ умов тре--
У20лъ1tuпа 8 ееожетрии Л обачеSСХО80 всееда женыае п. Эта
теорема доназывается почти так же" кан веравевство тре..
уrольпика'i только первую теорему косинусов нужно за..
)Iенить на вторую для уrлов (рис. 4.21)i. сов а ==
== ........ cos р соэ у + sin Bin " ch а. Учитывая! что ch а >
> 1, получаем: сов а > ...... соВ соВ \' + Bin sin " ==
== ...... cos (13 + у), т. е. COS а + сов (f3 + у) > о или
11
СОЗ а+Р+у cos +,\,.....a >0
2 2 ·
.
а
Рис. 4.21,
(4.35)
94
Будеl\tI считать что а ......... наибольший уroл треуrольникаl
тоrда р + у < а, + п, кроме Toro, очевидно, fl + у >
л. < +у----а < п ..
>(1, П, поэтому .......Т . 2 2 и второи сомно-
житель внеравенстве (4.35) положителен. Следовательно,
cos а + + '\' > О, откуда а + J} + '\' < п.
Итак) иы подтвердили основной результат rл. 3.......
релятивистское пространство скоростей является прост
.. v
рапством постояннои отрицательнои кривизны.
Отметим еще один вамечательный факт, вытекаюЩИЙ
из второй теоремы косинусов. Зная величины уrлов тре..
уrольника f можно найти и длины ero сторон (например..
сЬ a == (cos а + соз Р соз )/sin sin у). Поэтому в reo..
иетрии Jlобачевскоrо два треуrольника с соотпетственно
равными уrлами имеют и соответственно равные CTOpOHbljJ
Т. е. конrруэитны. Отсюда сле.. '
дyeT. что в rеом:етрии Лобачев"
ското нет подобllыx (но не кои..
rруэнтных) треуrоJlыпIквl *).
На рис. 4.22 символически
изображено несколько равио..
сторонних треуrольников в
"пространстве. Чем длиннее
:их стороны,,: тем меньше yrJIbl.;;
а у сам:ото больmоrо «треуrоль..
ника»,,; все вершщrы которото
лежат на аБСОJIюте.t: уrлы ну..
вевые. Вообще! с уменьшением
сум:мы yrJIOB треуrОJlьника ero ПJlощадь pacTeT f точнее, пло..
щадь треуroЛЪНИК8 пропорциональва ero уеловому дефе1(ту
А == 21 ...... .... р ..... 'v (в то же время в сферической reoMeT"
рви площадь треуrОJIЬВИК8 пропорциональна ero yzJtOBOMY
U8быт у а' == + Р + 'v ..... 21,- см. дополнение 5 к rл. 3).
Завершая ваш краТRИЙ экскурс в rеометрию Лобачев"
CKorO i нельвя не подчеркнуть TOro поразительноrо фак
та, что «воображаемая rеоиетрия», возникшая чисто умо"
зритеЛЬRО из попыток доказать пятый постулат Евклида,
почти через сто лет нашла свое реальное физическое воп
лощение в релятивистском пространстве скоростей, coc
тоящем," правда, из неСКОЛЬRО необычных «точек». l\fbl
обнаруживаем здесь "Одно из наиболее впечатляющих
(!)
Рис. 4.226
.
*) Это также следует из задач, сформулироваввых- в дополве '
вии 8 R этой I'лавс.
95
проявлений Toro, что американский физик, лауреат Но..
бел.евской премии Е. Виrпер назвал «непостижиМQЙ эф..
ф.ективностью математики в естественных науках» ) .
Задачи и дополнения
t. Прямые в "JIOстранстве скоростей. Пусть А., В,
- (]....... три точки пространства скоростеЙ, изображающие скорости
ч стиц А, В и С, которые движутся равномерно и прямолинейно
и в некоторый момент времени оказываются в одном и том же мес..
те. Докажите, что V' точки А, В и С лежат на одной V' прямой
тоrда и только трrда, коrда в любой системе отсчета частицы А, В
и С в каждый момент находятся на одной прямой.
2. llроективные . отображении Kpyra на КРуР. Напомним, что
отображеllие L Kpyra К на Kpyr К' называется пр оективнЫbl , если
любую хорду PQ первоrо Kpyra оно переводит в хорду P'Q' второ..
ro (Р' == L (Р), Q' == L (Q)). В разделе 4.2 мы пользовалисъ тем,
что существует не более ДВУХ проективцыx отображений одноrо кру"
ra на друrой **), переводящих центр и еще одну заданную точ:кv
первоrо Kpyra в две задавные точки BToporo. Приведем подробный
план доказательства этоrо утверждения. Детали предлаrается вое..
становить читателю саМостоятельно. Ниже нам придется рассмат"
ривать в основном отображения Rpyra па себя; такие отображения
вааывают nреобравовапuя.мu пруаа.
1) Рассмотрим проективные отображения Kpyra К на Kpyr
К', переводящие точки А и В в А' и В'. Пусть Lo одно из них;
тоrда любое такое отображение L можно представить как резу/льтат
последовательноrо выполнения (композицию) проективвоrо преоб..
разования П Kpyra К, оставляющеrо точки А и В неподвижвыми,
и отображения Lo, т. е. L == Lo о п.
у к а а а н и е. ,Rомпозиция L l о L есть проективное преQб..
разование Rpyra К, оставляющее точки А и В на месте.
В силу 1) нам достаточно доказать следующую теорему:
сущеСlпвуют ровно два nрое"тивпых nреобрааованuя круаа Е..1
оставляющих па месте еао. центр А u пекоторую ево точку J1
(а именно, тождественное nреобраЗО8апие Е u си.м.м\етрия S
относительно пря.мой А В).
Пусть А центр Kpyra К, П проективиое преобразовавие
Kpyra К такое, что П (А) == А, К'. образ произвольной тощ
Х, Т. е. Х' == П (Х), Q rраНИЧВ8Я окружность круrц К, ji .
точка окружности Q, диаметрально tIрОТИВОПOJIОЩJIая ее ТО1lR8
Наконец, через v PQ обозначим дуrу онружности Q С концами I
и Q, причем условимся рассматривать только дуrи, епьши8 nOAlIf/F
о"р у:нсности.
2) Образы двух диаметрально противоположвых точек при пр
образовании П будут снова диаметрально противоположны.
3) Если К 6 V PQ, то Х' Е V P'Q'.
у к а з а н и е. Точ Х лежит на дуrе PQ тоrда и ТOJIь:ко Tor J
да, коrда хорды PQ и ХР пересекаются.
\
*) В и r н ерЕ. Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.
с. 182.
..) Речь mла о релятивистских V' KapTax КА и Кв' но сейчао
3'1'0 для нас веСУЩQСтВQННО.
96
4) Пу ть F.... середина дуrи PQ окружности О, TorAa F'....
середина дYrи P'Q'. ......
у к а 3 а R и е. Заметим, что хорда FQ паралл л на PQ. Рас..
смотрим трапецию, оrравичеиную пряиыми PQ, PQ, РР и FQ.
Соrласно известной теореме прямая, соединяющая точку пересе..
че1buI продолжений боковых сторон трапеции и точку пересечения
ее диаrоналей, делит пополам ее основания. Поэтому ТОчка F .Ауrи
PQ является ee серединой тоrда и только тоrда, ()rда диаrОнали
построенной трапеции пересекаются на диаметре Рl' (см. рис. 4.23)"
Последнее условие вып няется. для Р, Q и Р, следовательно,
в силу 2) и 3), иМя Р', Q' и Р'.
5) Хорды PQ и P'Q' параллельны тоrда и ТОЛJ>:КО тоrда, коrда
середина F дуrи PQ при преобразовании П либо неП одв ижна, либо
переходит в диаметрально противоположную точ:ку Р.
Теперь воспользуемся условием неподвижности точки В, K
"орое до сих пор нам не требовалось. Проведем через точку В ра.-
F F
Q
N
f1
f
Рис. 4.23.
F
Рис. 4.24.
диус AF и перпевдикулярную ему хорду PQ, а через А .... диаметр
М М , перпендикулярный к AF (рис. 4.24).
. 6) При' преобразовании П хорда PQ переходит в себя, а точ
.
F и F неподвижны. При этом либо Р' == Р и Q' == Q, тоrда и М' :::=
=== М, либо pl == Q, а Q' == Р, тоrда М' == М .
У к а з а н и е. Заметим, что F середина vPQ, М cep
дива vP Q и ЧТО хорда PQ и диаметр FF JIРОХОДЯТ через неподвит-
ную точку В. После этоrо остается использовать 5).
Итак, возможны два случая: Р' == Р (и м' == М) или р' ==
Q (М' == М). Рассмотрим первый из них. ·
7) Все точки окружности Q неподвижны при преобразова..
нии П.
у к а з а н и е. Точки F, М, F и А-I неподвижны. Следователь-
но, в силу 4), неподвижны середины четыр х дуr с концами в эmВ
, точках. Аналоrично, неподвижны и середины половинок этих четы
рех дуr, и вообще, все точки Х Е Q, дЛЯ которых уrол ХАР равен
nп/2 т (п, т == О, {, 2, . .. .). Неподвижность .....o c aJIьHыx точек BЫTe
кает из 3). , / :
8) Преобразование n (в случае Р' == Р) # ЯВJIяется тождоот"
венным. J
У к а 3 а н и е. Любая точка Kpyra есть пересечение двух хормз
их концы неподвижны!.
4 в. Н. ДуБРОВСRИЙ И др.
g7
9) Если р' == Q, то П есть осевая симметрия В.
у к а з а н и е. Проективное преобразовани.е Пi == S о П
оставляет на месте точки А, В, Р, и к нему применимы утвержде-
вия 7) и 8). В то же время П == S о Пf.,
Доказательство закончено.
3. Измерение V'-раССТОJlНИЙ на картах скоростей. Пусть х
и У. точки V'''KapTbl КА' изображающие V'"точкпХ и У, 11 пусть
PQ содержащая их хорда Kpyra КА' причем точка Х расположе..
па между Р и У. Докажите, что
11 ХУ 11 == 1.... In ( IQX, · IQY"I )
2 IX Р I · I у Р I ·
'у R а з а В и е. Перейдите к V' ..карте К Х с помощью преобра-
зовапия L АХ' Восполь уйтесь теоремой о преобразовании отноше..
ний при центральной прое:кции и формулой (4.11).
4. V'-перемещепия. Нак и в обычной rеометрии, перемещения
релятивистс:коrо пространства скоростей (V' ..перем:ещения) опреде-
ляются как таI<ие ero преобразования, при которых сохраняются
V' расстояния. Любому V' перемещению F можно сопоставить пре-
образование F А карты К А: если Х изображение v' "точ:ки Х на
этой :карте, то Р А (Х), по определению, изображение V' точки
F (Х). Докажите слеДУЮП IIе свойства V' перемеIцений:
1) Для любоrо V'..пер.емещения F преобразование F А J\pyra КА
просктивно. Обратно, ЛIобому прое:ктивному преобразованию кру..
ra КА. отвечает не:которое V' ..перемещение.
2) Существуют ровно два 'if..перемещения, переводящих один
заданный луч пространства скоростей в друrой.
у к а з а н и е. Перейдите на карту скоростей с центром в на..
чале одноrо из лучей. Воспользуйтесь предыдущей задачей, допол-
нением 2 и результатами раздела 4.2. В
.R евклиДОВОЙ rеометрии это утверждение
иноrда ринимают за а:ксиому «<ансиома
ПОДDИЖНОСТИ плоскости)}) *).
3) Любые две пары параллсльпых
(в смысле Лобачевскоrо) V'"прямых «paB
. вы», т. е. MorYT быть совмещены V' пере..
р' мещением.
5. Центральная симметрия. П ростей..
ший пример V..перемещения ...... централь..
ная симметрия с центром О или поворот
пространства v' BOKpyr ТОЧКи О на 1800.
Соответствующее преобразование карты
Рис. 4.25 КО ...... это обычная (ев:клидова) централь...
ная симметрия относительно центра к ар-
Tbl i Переходя с карты Ко Ва произвольную карту !(А с помо-
щью отображения L oA , мы получим, что
1) пары точек Р и р', Q и Q', R и R', Х и Х' на рис. 4.25 служат
изображениями на карте К А пар V' "точе:к, цевтрально"симметрич-
вых относительно О (до:кажите). Отсюда выте:кает правило пострО&-
*) См., например, ш:кольный учебник rеометрия 6.......8 пол ре..
дакцией A Н,! НОЛЫОI opO Ba
98
иия на 'f)''''KapTe образа любой точки при центральной симметрии
(<<неевклидовой») с вадавным центром. В чем оно состоит?
2) Докажите, что если на рис. 4.25 I OR I == I OR' 1, то и
I ОХ I == I ОХ' I (<<теорема о бабочке»).
3} Докажите, что любая пара расходящихсл V' прямых а и Ь
имеет единственный центр симметрии О и единственный общий пер..
пендикуляр, причем точка О середина этоrо перпендикуляра.
:Как построить изображение общеrо перпендикуляра на 'V KapTe?
6. Измерение 'V-уrJlов на картах СКОрОСТей. Пусть на карте
КА задано изображениеРХQ 'f/...уrла р XQ (Ри Q точки абсолю..
та). Требуется найти ето 'V",величину. Ес..
ли вершина уrла Р Х Q совпадает с цент..
ром карты, то 'V",величина уrла Р XQ рав..
па евклидовой величине уrла PXQ. В про..
тивном случае достаточно построить на ,
карте изображение уrла Р' AQ', равпоrо fl I
(по 'V величине) уrлу р XQ, например,
симметричноrо уrлу Р XQ относительно
середины О отрезка .АХ (рис. 4.26). Это
построение мы умеем выполнять (см. вы..
те), если задано изображение центра сим..
метрии о. В следующих.двух задачахобъ..
ясняется, как можно построить точку O
1) Восставим перпендикуляры к отрез..
КУ АХ (на карте КАI из ето концов по
разные стороны от нето. Докажите, что хорда, соединяющая
точки пересечения перпеидикуляров с абсолютом, проходит] че..
рез точку О.
2) Проведем через точку Х хорду PR. Докажите, что точка О
лежит на дуте окружности, перссекающей абсолют QA в точках Р
и R под прямым уrлом *) (рис. 4.27).
R
р
Рис. 4.27.
т/
Q
Рис. 4.26.
R
Рис. 4.28.,
у к а в а н и е. При центральной симметрии относительно О
прямая р В перейдет в '?/ "'прямую, которая на карте К А изображает...
ея диаметром Р' R'. Пользуясь этим, найдите (евклидову) величину
уrла POR.
*) Уrол между дуrами равен, по определепию, величине уrЛQ
мел\ду касательными к ним в точке их пересеченин
4* DD
Но можно найти ty"величину уrла Р Q и не прибеrая н цент-
ральйой симметрии.
3) Докажите, что Rасательная н дуте POR в точке О парал-
лельна диаметру Р' R' (рис. 4.27).
4) Рассмотрим две пересе]{ающиеся хорды Р R и QS па V' KapTe
и построим дуrи POR и QOS, перпендикулярные к абсолюту
(рис. 4.28). Докажите, что,V' величина'уrла между V' прямыми Р В
и QS рапна евклидовой величине уrла между дуrами.
7. Равноуrольвые карты рел.ятиввстскоrо пространства скоро-
, стей. Каждой точне Х пространства скоростей на V KapTe КА отве-
чает определенная точка Х. Сопоставим точке Х новую точку 3J
Rpyra КА..... [очку, изображающую на карте К,,1. середину v' отрез..
ка АХ. Друrими словами, произведем как бы V' rомотетию с коэф"
фициевтом 1/" карты КА. M получим новую карту Р А' точнее, но..
выи будет соответствие между V точками и точками карты, сама же
она по прежпему будет крутом радиуса 1. Из предыдущеrо допол..
пеНIIЯ вытекает, что V' прямые изображаются на карте Р А дуrами
окружностей, перпендикулярными к абсолюту (или диаметрами
нрута Р А)' причем еВ1\ЛИДОВ уrол между двумя такими дуrамiI ра..
вен по величине v..уrлу между соответствующимй V",прямыми.
Поэтому карту Р А можно назвать ра8JtоуеолъJtОЙ. Докажите, что
1) для любых V'"точек Х и У выполнено равенство 11 ХУ 11 ==
t ( 1 Qж I . 1 Qy I )
== 2 ln I хР I · I уР I ,тде Р и Q ........ концы дуrи, изображаю..
щей-V прямую ХУ (точна х, лежит между Р и Q);
2) V' окружности изображаются на равноуrольных картах обыч..
выми окружностями;
3) сумма уrлов lff"треуrольника BcerAa меньше ;t (воспользуй"
тесь равноуrольными нартами!). . . ,
4} Проведите аналоrию между проективпыми и равноуrольньr
ми картами пространотва V, с одной стороны, и сферы ...... с друrой
стороны (см. дополнение 2 к rл.3).
Проективвые и равноуrольные карты V"пространства -.... это,
в сущности,' пе что иное, нан известные модель Клейна 'и модель
Пуанкаре плоскости Лобачевскоrо. По-дробпее об этих моделях
и вообще о rеометрии Лобачевскоrо можно прочитать, Jlапример,
в книrе и. М. Яrлома «rеометрические преобразования», т. 2 М.:
('изматrиз, f956 (Библиотечка математическоrо кружка, вып. 8).
8. ПреоБР880В8НВJI подобия В rеометрии Лобачевскоrо. Допус-
тим, что F ..... такое преобразование пространства V',. при котором
все расстояния умножаются на одно :и то же число k (преобраЗ0вание
подобия). Докажите, что при этом преобразовании прямые должны
переходить в прямые, а величины всех уrлов должны сохраниться
(воспользуйтесь предельным переходом в первой теореме косинусов,
котда р'лины сторон треуrольника стремятсяl к нулю). Выведите
ОТСI да, что коэуфициент k не может отличаТI>СЯ от 1, т. е. F явля-
ется перемещением. Таним образом, в rеометрии Лобачевс:коrо не
rrоль-ко нет подобных trреуrольпиков по .d вообще O'lCYTCTByeT пО"
IlЯтие ПОj!обl1Я,
rЛАВА
РЕJIЛТИВИСТСКАЛ КИНЕМАТИКА
!'лавный итоr предыдущих rлав выражается
в нескольких формулах......... формулах триrонометрии для
плоскости JIобачевскоrо.t, и Ьдной фразе: релятивистское
пространство скоростей обладает rеометрией Лобачев
CKoro. С этим небольшим.t, но ценным баrажом можно cMe 41
J10 отпраВJlЯТЬСJJ' дальше. Но не будем спешить. Сейчас
самое время приостановиться и с высоты ваIDliх знаний
оrлянуться на пройденный путь. Новых понятий МЫ вво-
дить не ставем, однако .если раньше при исследовании
U u
rеометрическои структуры пространства скоростеи МЫ
чаще Bcero шли от физических соображений к их rеометри
ческим следствиям.. то в этой rлаве мы попробуем пока..
вать" как работает обратная связь. С помощью ун\е изве..
стных нам формул rеометрии Лобачевскоrо мы заново
выведем зависимость между веJI1Iчиной скорости и рас...
стоянием в пространстве скоростеЙ. t правило сложения
скоростей, рассчитаем некоторые интересные физические
эффекты. Для удобства соберем в одном месте все reomet-"
рическиеформулы.t, которые понадобятся нам в дальнеЙШем.
5.1. Как «решать треуrольвИRИ)
на плоскости JIобачевскоrо
в трех пространствах постоянно кривиз..
вы *)..... евклидовой плоскости (кривизна нулевая)" сфере
(кривизна положительная) и плоскости Лобачевскоrо
(кривизна отрицательная) ...... действуют сходные форм.т-
nbl t выражающие одии элементы треуrольни а через дру-
rие. Особенно похожи друr на друrа формулы сферической
rеометрии и rеометрuи Л.обачевскоrо: последние получа-
ются из первых заменой триrонометрических функций
сферических «уrловых». расстояний (sin X,t cos х, tg х) на
соответствующие rицерболические функции расстояний
на плоскости Л обачевскоrо (sh XJ, сЬ XJJ th х) и кое rдо
· J См. раэп ел З. 7..
102
переменой знана. Выпиmеltl те и друr-иеформулы параллель-
во, слева для триrопометрических функций и сферических
треуrолыJков,, справа для rиперболических функций
и «треуrольников Лобачевскоrо». Начне I с определений
и основных соотноmенцй для триrонометрических и rи-
llсрболических функций.
Определения *)
1 .
sin х == 2i (e iX e '1X)
1. .
cos х === т (e'LX + e tX)
tg х == sin x/cos х
sh (х + у) ==
=== sh х сЬ у + сЬ х sh у
сЬ(х+у)==
===chxchy + shxshy (5.6)
th х + th у 5 7
th(x+y)== 1+thxthy . ( · )
Поведение при малых apryмeHTax х < t
si х х вЬ х х
cos х 1 ..... х 2 /2 сЬ х 1 + х 2 /2
tg х х th х х
Основные соотношения
cos 2 х + sin 2 х === 1
sin (х + у) ===
=== sin х cos у + cos х sin у
cos(x + у) ==
=== cos х cos.y ...... sin х sin у
t tgx+tgy
g(x+y)=== 1 tgxtgy
sh х == + (e e X)
1
сЬх==т(е Х + e X)
th х == sh х/сЬ х.
(0.1)
(5.2)
(5.3)
сЬ 2 Х sh 2 Х == 1
(5.4)
(5.5)
(5.8)
rрафики rиперболических функций можно увидеть на
рис. 4.9; в Приложении мы подробно обсуждаем цх опре-
деления и свойства.
Теперь приведе метрические соотноmения между сто-
ронами и уrлами треуrольников в двух rеометриях. Ко..
нечно, rлавными среди них являются теоремы косинусов и
синусов. Остальные формулы ---- их частные случаи.
ПОJIЬЗУЯСЬ при ближениями (5.8)" JIerKO проверить" что
*) В этих определениях i == V 1 так называемая «мнимая
811иница». Читатель, не знакомый с номплексными числами, может
воспринимать ЭТG как чисто формальное обозначеЩlе. Рекомендуем
проверить, однако, что, обращаясь с выражением e кан с обычной
энспоиентой (e i (X+ lI ) == е iж . ill) и заменяя, при необходимости, t3
па .....1' мы можем получить все стандартные триrонометрические
формулы точно так же, как из определений (5.1) и (5.2) выводятся
формулы (5,!4) -- (5.е6) и им подобные,t CM,t также Прилол\евие
{О2
ДЛЯ малых расстояний и левые 1 и правые формулы пре
вращаются в хорошо известНые формулы евнлидовой пла
пим:етрии.
Триrонометрия прямоyrольноrо треyrОЛЬНИКl (обозна
чевия ясны из рис. 5.1)
@
а
Рис. 5.1.
tg Ь == tg с сов а tl.1 Ь == th с cos CG (5.9)
sin а === sin с sina sh а == sh с sin а (5.10)
tg а == sin Ь tg а th а === sh Ь tg OJ (5.11)
совс==совасозЬ chc==chachb (5.12)
cos с == ctg а ctg Р ch с === ctg а ctg Р (5.13)
cosa==cosa/sinp cha:c:::cosa/sinp. (5.14)
Триrонометрия произволъноrо треуrольника (ое зна
чения ясны из рис. 5.2)
ь
(о/)
Рис. 5.2.
Первая теорема косинусов
cos с == со! а соз Ь + I ch с ж::: сЬ а сЬ Ь .......
+ sin а sin Ь соз У ....... аЬ а зЬ Ь cos у. (5.15)
Вторая теорема косинусов
cos у == cos ct СО8 Р + I cos у == соз а c s р +
+ sin а sin р со! О + .n а sin р сЬ с. (5.16)
Теорема синусов
sin а S n Ь == s!n с I b а == B Ь == b с . (5.17)
sin а ,s]n f3 Sln у Sln Sln р Sln у
49J
5.2. Еще ОJJ,1Пl ВЫВБД формулы CBJl3H
между скеростью 11 CZ7 -раССТОJIВием
Эту формулу мы получили в разделе 4.4r
V А,.в == th 11 АВ ' , (5.18)
НО, РУRОВОДСТВУЯСЬ принципом «повторение...... мать уче..
пия», выведем ее снова," друrим способом. В rл. 4 мы сна..
чала нашли вид формулы связи 1 - а потом с ее помощью по..
лучили метрические соотношения (5.9) ---- (5.17) для реля..
тивистскоrQ пространства скоростей. Сейчас порядок бу-
дет обратным. Мы постараемся доназать равенство (5.18)"
исходя из тото, что в пространстве скоростей справедливы
соотношения (5.9) (5.17) rеометрии Лобачевскоrо (в дей..
ствительности нам хватит одной только формулы (5.9».
Запишем зависимость между относительной cKopocTыo
двух систем отсчета А и В и расстоянием *) между соот"
ветствующими точками в пространстве скоростей. в общем:
виде:
VAIB == F (11 АВ 11).
t.Iтобы найти функцию Р,- рассмотрим движение пеRОТОРОЙ
частицы В с точки зрения двух инерциальных наблюдате--
лей А и С. Пусть частица В (рис. 5.3) движется кз начала
v
,
у
8
.х'
B
А v с о s а ' с ох
v c o sa. t
Рис. 5.3!
а
.А
ь
с
Рис. 5.4.
системы I\оординат Аху, ТОЧRИ А,; С постоянной скоростью
V,t И направление ее движения составляет уrол а, с осью
координат Аж. Через время t после' начала движения час.-
тица окажется в точке с координатами х == v cos а" t J
у vsin а,. е. Пусть друrая систем:а отсчета Сж'у'
*) в анrлйiСК<lЙ литературе для скорости v AIB и расстояния
11 А.В 11 в пространстве скоростей используются два термина
cvelocity» и «rapidity»; в р сской им соответствуют (.скорость» и
«быстрота». Н вашей. Rниrе мы преДПОЧJlИ послемнему rеометр.uч&-
екuй теVМИl1 «paCCTOHH.ue»,S
1tJ4
ДВ.ИiRется :ВД02Ь оси Ах со скороo;rью v cos а,- причем в на..
чальный момент времени коорд-инатвые оси Сх'у' совпа
дают (j осями Аху. 3а :время t система Сх'у' пройдет ВДОЛЬ
оси Ах ПУТЬ J равный v cos a.t. Rоордин ты точек В и С
по оси Ах в любой момент одинаковы,: ПОЭIOму с то..чки
зрения наблюдателя А частица В постоянно находится на
прямой Су'. Но то же самое, увидит и Jlаблюда..ель СI
СледоватеЛЬНОt) векторы скоростей системы А и частицы
В,, измеренные наблюдателем C,f, будут nерnе1tди-пулярnь .
Посмотрим тепеЕЬ" как все это будет выrлядеть в прост
ранстве скоростей (рис. 5.4). Точки At В,] О изображаI8Т
скорости наблюдателей А, С и частицы В. Они образуют
треуrОJlЪНИК со -еторонаМИ 1 ноторые мы обозначим чеt>ез
й " Ь" С. Длина с отрезка АВ определяет относительную
е.норость частицы В и наблюдателя А:
v == F (с). (5.19)
Аналоrично" длина Ь отрезка АС определяет относи..
тельную СКОРОСТЬ наблюдателей А и С:
v cos а == F (Ь). (5.20)
Уrол A.B нашеrо треуrольника равен уrлу а меiRДУ BeK
торами скоростей частицы В и наблюдателя С ОТJIОСИ:'
тельно наБJ!юдателяА. Уrол же БСА прям.ой, так как
для наблюдателя е векторы скоростей VAIC и VBIC пер"
пендикулярны ДРуr друrу. Мы видим, что рае,сматривае..
МОМУ случаю в пространстве скоростей отвечает прямо..
уrольный треуrольник. Запишем формулу (5.9), связываю..
щую -в триrонометрии Лобачевскоrо ero rипотеНУЗУl ка-
тет и уrол между ними:
th Ь == th с cos а. (5.21)
С друrой стороны,?; из соотношений (5.19) (5.!О) сле
дует равенст:во
F (Ь) F (с) cos ct. (5.22)
ПодеЛИАI теперь (5.22) на (5.21); cos а сокраТИТСЯ t и мы
получим" что"
F (b)/th Ь == F (c)/th с.
(5.23)
Меняя уrол а,- мы можем изменять с при' неизменном b 1J ,
при этом равенство (5.23) не должно нарушаться. Э1IO
возможно только тоrда t оrда отношение F (c)/th с равно
некоторой константе kt не зависящей от Ь и a
F (c)/th с == i' (b)/th Ь == k.
05
. Итап, мы ПРИХОДИМ К выводу, что относительная скорость
любых двух систем отсчета А и С должна быть пропор..
циональна rиперболическому TaHreHcy расстояния 11 АС 11
между точками А и С в пространстве скоростей:
V AIC == k th 11 .А С 11.
Чему же равна константа k? Напомним, что мы поль..
8уемся системой единиц, в которой максимально возмож"
вая скорость...... СКОРОСТ9 света численно равна 1.
В пространстве скоростей она изображается бесконечно
удаленными точками, точками абсолюта. Если скорость
.v А I С стремится н скорости света, то расстояние 11 АС 11
стремится к бесконечности. Переходя к пределу, IJОЛУЧИМ
исвета == k th (00) == 1,
rде th (00) == lim th х == 1. Поэтому в нашей системе еди..
х.....ОО
виц k == 1.
Мы еще раз вывели в нейmую формулу нашей теории:
V А IC == t h fI А С 11,
т. е. относительная схоростъ v AIC инерциаДЬ1lЫХ 1tаблю 1J
дателей А и С, измеренная в единицах скорости света.
равна 8uперболичесхожу mашенсу расстОЯ1lия 1) АС 11 .меж..
ду тОЧNа.мu А и О 8 прострапстве скоростей.
Если бы пространство скоростей имело не rеометрию
Лобачевскоrо, 8 rеометрию Евклида, то соотношение
t,h Ь == th с сов а для прямоуrольноrо треуrольника АВС
на плоскости Лобачевскоrо мы должны были бы заменить
на соответствующую евклидову формулу, связывающую
rипотенузу, ватет и уrол между ними: Ь == с COS (1,. Поде--
лив на нее почленво равенство F (Ь) == F (с) сов aJ, мы бы
обнаружили", что
F J b ) === F ;с) === k'.
ПО8ТОМ:У B случае евклидовой rеометрии пространства
скоростей относительная скорость обязана быть пропо
ционаJIьва расстоянию
VAIC == k' I АС 1.
А поскольку расстояние между точками ПЛОСRОСТИ может
быть сколь уrодно большим, то и скорости в ЭТQМ случа.е
fOI'YT быть CKOJIb уrодно большими.
tOO
в случае евпд,идовой вео.м,етрии пространства споростей
фuauчесхие обихты жоеут двиеаться с любой споль уёодно
большой схоростью. .
Теперь можно поставить все точки над i в рассуждении
намеченном в конце rл. 3. Там, в разделе 3.6, мы непо..
средственно из прииципа относительности вывели, что
пространство скоростей непременно является двумерным
пространством постоянной кривизны. Случай положитель..
ной кривизны сфера был oTBeprHYT по простым ка-
чественным соображениям. Только что мы убедились в
OM, что случай нулевой кривизны евклидова плосКость.......
отвечает нерелятивистской механике. Остается третий
вариант: релятивистское пространство скоростей имеет
постоянную отрицательную кривизну. Исходя только И8
этоrо, чисто математическими 'средствами (существенно
неэлементарными) можно досконально исследовать ero
rеометрию и" конечно, получить все формулы (5.9) (5.17),
а потом как мы показали и формулу связи (5.18).
5.3. Релятивистский закон
u
СЛО8\ения СRоростеи
Основную задачу релятивистской кинемати.
ки можно поставить следующим образом. Пусть винер.
циальной системе отсчета А заданы скорости VXIA каких-
то тел Х. Требуется найти скорости этих те.л в друrой
инерциальной системе В движущейся относительно А.
Эту задачу можно решать двумя' разными способами. Пер-
вый способ........ нанести известные скорости VXI.A на карту
скоростей КА наблюдателя А,,- затем произвести описанное
в rл.4 преобразование Kap КА в карту скоростей l(B
сводящееся к центральной проекции, и «снять» с картЫ
КВ новые значения скоростей. Но прямо пользоватьс
этим методом не слишком удобно уж очень он rромоздкий
u . .
и неточныи:..от численных данных к чертежу, потом" через
rеометрические построения,'........ к друrому чертежу и опять
I{ qисленным данным! rораздо более привлекателен друrой
способ,,, так сказать «rеометрически аналитический». От
заданных скоростей VXIAl VBIA следует перейти непосредст:'
венно в реЛЯТИВИСТСКОQ пространство скоростей Р?, rде им
будут соответствовать точки А, В,, . . ., Х, Р? расстояния
между которыми связаны с величинами скоростей соот.
ношениями VXIA == th 11 ХА 11.
Чтобы встать на точку зрения инерциальпоrо наблю..
дателя B достаточно соединить точки Х с точкой В
107
v прямыми И решить чисто rеометрическую задачу о нахож-
дении неизвестных длин и уrлов с помощью теорем коси-
нусов,- синусов или друrих формул rеометрии Лобачев"
CKoro, приведенных в разделе 5.1. Посл.е этоrо с помощью
тех же соотноmений VXIB == th. 11 ХВ 11 можно вернуться из
бu' пространства непосредственно к скоростям", но измеряе.-
мым уже произвольным наблюдателем ВI
П РОИЛJIюстрируем этот метод несколькими примерами.
Рассмотрим еще раз самую простую кицематическую за..
дачу......... задачу о движении трех наблюдателей вдоль
одной прямой' (см. раздел 4.3). Пусть с Земли 3 был
запущен космический корабль К. Коrда он разоr ался
до ОRолосветовой скорости V 1 , с Hero стартовала в том же
направлении небольmая равведывательная ракета Р. Ее
скорость относитедьно корабля равна V 2 . С какой скоро..
СТЬЮ будет Двиrаться ракета относительно Земли?
Перейдем в пространство скоростей. Соответствующие
точки 3, К,, Р будут лежать на одной "прямой. Расстоя..
ние 11 3К 11 == al определяется скоростью корабля относи..
тельно Земли: Vl == th аl. а расстояние между точками
К и р J 11 RР 11 == as скоростью ра:кеты относительно
корабля V 2 ;::: th а 2 . Скорость же ракеты относительно
Земли определяется расстоянием 11 Р3 11 == а. rеометри"
ческа-я часть вадаЧJl чрезвыча но проста ....... она сводится
к утверждению, что длина отревка 3Р равна сумме длив
отрезков 31\ и Kr:
а == аl + a 2 .fJ
..... в релятивистском случае складываIОТСЯ не СКОрОСТИJ)
а расстояния в пространстве скоростей. Теперь мы можем
вернуться к измеряемым скоростям:j с точки зрения на..
БJlЮдателя на Земле ракета будет двиrаться со скоростью
V == th а == th (а 1 + а 2 ).
Остается вспомнить как выражается rиперболический
TanreHC суммы через rиперболические танrепсы слаrаемых
(формула (5.7)
h th а{ + th а2 и{ + ltr
V == t (аl + а2) == 1 + th аl th а2 == 1 + иl и 2 ·
Это уже извес ная нам релятивистская формула сло-
)I<ения скоростей. Конечно" при малых скоростях,t ЫHoro
меньших скорости света! коrда Vl1 V 2 < 11 она переходит
в нерелятивистскую формулу сложения скоростей V:::;
== V 1 + Va.. Поучительно прининуть.l, KorlIa эти ФОРМУJJЫ на..
4Oti.
.чинают существенно отличаться друr от друrа. На рис. 5.5
построены rрафики зависимости результирующей ско-
рос.ти V j вычисленной по релятивистской и нер'елятивист-
ской формулам в случае равных слаrаемых V 1 == V 2 . Вид
HO f что оба занона СJIожения скоростей дают практически
одинаковые результаты для скоро...
стей,- не превышающих 0,2 + 0,4 v
скорости света. Современные же
космичесние ранеты имеют CKOpO
сти порядка 10 4 от скорости CBe
та. Похоже,! наша задача для ра...
нет будет иметь прикладное зна...
ченпе еще очень и очень не скоро!
В следующем при.мере мы рас...
смотрим сложение сноростей; на.
правленных под уrлом друr н
друrу *).
Пусть Два наблюдателя В и С
движутся относительно А с о д и... I Рис. 5.5.
ваковыми по величине скоростями"
причем уrол между векторами V IA и 'VCIA равен n/3. В
нерелятивистсной кинематике три'17 точки .А., В" С были
бы вершинами правильноrо треуrольника в пространстве
скоростей, п для наблюдателя В ско"
рости двух друrих наблюдателей были
бы также равны и направлены ПОД yr..
лом n/3 друr к друrу. В теории относи...
тельности это уже не так. Рассмотрим
соответствующую нартинку в прост
ранстве скоростей (рис. 5.6). Три точки
А" В и С являются вершинами равно... I
бедренноrо треуrольника со cTqpoHa...
В ми 11 АВ 11 == It АС 11 == Ь и уrлом при
вершине А.! равным n13, причем VBIA
== VCfA == V == th Ь. ДЛЯ нарлюдателя В
векторы сноростей 'VAIB и 'VCIB будут оп-
ределяться длинами сторон 11 ВА. 11 == Ь и 1I ве 11 ;:: а
треуrольвина ВАО и уrлом а между ними.
Возникает rеометричесная задача: найти основание и
уrол при основании равнобедренноrо треуrольника 1 зная
с
А
Рис. 5.6#
............ ... v == V 1 + V Z
I
I
I
I
I
I
,
I
I V, + V2
I v==
I 1 + V 1 Vz.
I
I
I
I
I
,
,
I
1
V 1 := Dz.
*) Термин «сложение скоростей» бо.тrьmе- подходит для вереля..
тивистской кинематики, rде с:корости действительно складываются
по правилу параллелоrрамма: VCIA . VB{A + vCIB. В релятивист.. I
сном случае правильнее было бы rоворить о «tipеобразовании»
скор остей при перехоле в друrую систему отсчета!
1U9
ero боковые стороны и уrол при вершине.. Основание
а == IJ во 11 Hamero треуrольника находится по теореме
косинусов (5.15):
л;
сЬ а == ch Ь сЬ Ь...... sh Ь sh Ь cos з:=:8
=== ch 2 Ь {- sh 2 Ь == 1 + {-sh l1 Ь (5.24)
( IЫ воспользовались основным тождеством д я rипербо
лических функций (5.4». Чтобы вычислить уrол а, ;q АВС,
запишем вторую теорему носинусов (5.16):
В Л n + . · n ЬЬ
cos == COS сх == ...... cos сх cos 3 SID СХ SID 3 с ==::1
cos rx -Уз. h Ь
== ........ 2 + 2 Sln сх с ·
(Нелишне подчеркнуть: и в rеометрии Лобачевскоrо уrлы
при основании равнобедренноrо треуrольника равны ........
докаiI\ите!) Таким образом, уrол а между векторами СКО'"
ростей наблюдателей А и С относительно наблюдателя В
определяется по формуле
ch Ь 1 1
ctga== уз У:з У1 th2b '
пли через скорость VAIB == V == th Ь:
1 1
ctg сх === V 3 V 1 и 2
В релятивистском случае он будет меньше п/3, так как
1 n
chb>1 и,следовательно,сtgа> уз ===ctg To Если CKO
рость иВ/А == V стремится к снорости света с == 1 (ультраре..
лятивистсний предел), то а, будет стремиться к нулю пря..
мые АВ и ВО перейдут в прямые, параллельные в смысле
Лобачевсноrо" которые пересекаются под нулевым уrлом
в бесконечно удаленной точке В, JIежащей на абсолюте Р?-
пространства. a РИС. 5.7 Jlзображена зависимость уrла а
от величины СКОРОСТИ VBIA == и. Мы видим,,, что в реляти'"
ВИСТСКО I случае уrол между векторами скоростей VAIB
и VCIB начиназт существенно отличаться от cBoero нере-
JIятивистскоrо 8начеНИJJ п/3 только при V 0,,4. При
v == 0,2 это отличие не превыmает и одноrо Процента.
Скорость наблюдателя относительно наблюдателя В
равна rиперболическому TaHreHcy известноrо нам из (5.24}
110
расстояния между точками В и С в релятивистском про..
странстве скоростей: VCIB :r= th а, rде сЬ а == 1 + (sh 2 b)/2,
а th Ь == V. Проделав несложные вычсленияJ, можно
выразить VCiB через VBIA =с Р:
у 4 ..... 3v 2
VqB == V 2 v 2 ·
rрафик этой вависимости приведен на рис. 5.8. При
V CI8
,f
0,75
1
0,5
о 0,25 0,5 0,75
Рис. 5 7
v'
о 0,25
Рис 5.8.
v
малых скоростях V этот rрафик практически не отличает..
ся от прямой VCI в == v; если скорость V стремится к ско--
рости света! т. е. 'R единице, то и VCIB, конечно, тоже стре..
мится к единице.t причем ниrде отличие релятивистс..
Koro результата от нерелятивистскоrо не превыmает 5%
от скорости света.
Можно отметить (и это видно на рассмотренных при-
мерах), что поrретность «НЬЮТО}Iовскоrо» сложения ско"
ростей (по правилу пар ллелоrрамма) не превыmает 1 %
вплоть до с.коростей порядка 0,2 + 0,4 от скорости света.
При этом релятивистские поправки по порядку величины
равны произведению складываемых скоростей. Существен..
вые отличия релятивистской инерелятивистской тео--
рии начинают проявляться только при скоростях.t боль..
тих примерно половины скорости света.
5.4. АберраЦIIЯ света звезд
Рассмотрим еще один полезный ПрИl\1ер.
Пусть в системе отсчета С частица А движется вдоль осп
у со скоростью РА1; а наблюдатель В ВДОЛЬ оси х со CKt>
ростью Рв. Определим величину и направление скорости
частицы относительно наблюдателя. Нарисуе f в простран
стве скоростей картинку,J, соответствующую нашей задаче
111
(рис 5.9). Точка С изображает скорость исходной системы
отсчета, точка В ...... скорость наблюдателя,. А ........ скорость
ча.стицы. ТреуrОЛЬНИR АВС ...... прямоуrольпый с прямыи
уrлом при вершине С { и ero катеты определяют соответ"
ствующие скорости: VA .. th Ь, ив == th а. Величина СКО"
рости частицы относительно наблюдателя В определяется
rипотепузой С% и I в z:::o= th с t а направление..... уrлом
л.
а == В треуrольника Аве.
Теперь надо опять решать чисто rеометрическую за..
дачу: по извес ным: катетам а и Ь прямоуrольноrо ..тре..
уrоль ика найти ero .rипотену
ву с и уrол а. 3аrлянем в свод..
КУ формул: нам подойдут тео.
рема Пифаrора (5.12) и соот-
ноmение (5.11), связывающее
два катета и острый уrол пря..
моуrольноrотреуrольника С:
ch С:!:: ch а ch Ь; th Ь == sh а tg а.
rOTOBOf Задача решена. Нвдо
только переписать ответ через
скорости VA и VB. ДЛЯ этоrо
все rиперболические функции
выразим через rиперболический тапrенс:
th z t
shx== chx==
f 1 ..... th 2 .z f 1 ...... th 2 .х
CiJ
ь
,.
..
в
Рис. 5.9 f
и подставим вместо танrепсов соотвеТСТВУЮlЦИе скорости.
После простых преобравований мы получим, что
V A ..r 2
tg а == l' 1 ....... ив, (5.25)
VB
В нер лятивистском пределе малых скоростей в пер..
вой формуле можно пренебречь произведением: иlиъ по
сравнению с остальными членаМИ t а во второй......... вели-
чиной и по сравнению с единицей. Результат леrко пред-
сказать...... это,!, -конечно", обычные нерелятивистские фор-
мулы
2 2 + 2 2 2
VAIB == иА ив ........ иАив'
t . + 2 V4.
V AIB == V А VB, tg а == ............. .
VB
Тораздо 1Штереснее друrой пр дельный случай. Пусть
скорость иА частицы А увеличивается, приближаясь по
величине к hKl, р ти света: V А 1. В пространстве ско"
востей точка .L:i. при этом уходит на абсолют, а "прямые
С А и БА становптса параЛJl ельным:и в смысле Лобачев'"
112
.tKOro. Подставляя в (5.25) VA == 1, мы най дем, что
2 2 +1 2 1 11 1 1
vAIB === VB . ....... VB == , tga == .
и в
Первое соотношение тривиально....... CKOpOC Ь частицы'
, движущейся со скоростью света относительно системы
отсчета С, должна быть равна единице и для наблюдателя
В. Второе можно преобразовать с помощью фор мул обыч ..
пой триrопометрии:, ВСПОМНИВ" что tg а == .. ,/ \ 1.
V cos а,
получим изящную (и уже знакомую нам ---- см. (4.30)
формулу
cos СХ == VB == th а.
(5.26)
с rеометрической точки зрения сх....... это У20/l, параме/l,Ъ..
ности Лобачевскоrо (уrол между прямой ВА и перпенди..
RУЛЯрОМ J9C опущенным на параллельную ей в смысле
Лобачевскоrо прямую СА; см. раздел 4.7). Он непосредст"
венно связан с реальным физическим эффектом....... абер..
..,
рациеи света звезд.
Ч то же это такое? Измеряя уrлы, под которыми видны
с Земли далекие звезды,, можно заметить, что в течение
rода они слеrка изменяются. Объяснить это просто. Дo
пустим, что летом наблюда1ель вцдит звезду точно ПОА
уrлом 900 к направлению движения Земли BOKpyr Солнца.
Через полrода направление скорости движения Земли
изменится на противоположное. Поскольку велиЧина
орбитальной скорости Земли в ...
обычной системе единиц VЗемли А
30 км/с 10 ' с, «летняя» и
зимняя» скорости ДВИ1Кения Зем"
ли изобразятся в пространстве
скоростей точками С и В.. распо..
ложенными на PJ' расстоянии a,t;
таком, что th а ::с: V z:::: 2 .10 4. Пусть
<V' точка А, лежащая на абсолюте.t
изображает скорость фотонов,- ле-. С
тящих от наблюдаемой звезды к
Земле (рис. 5.1i). Летом вектор
этой скорости образует снаправ..
пением движения Земли уrол в
900, поэтому уrол при вершине С треуr(\.ТIьника Аве в'
еру пространстве прямой. Зимой звезда .видна под уrлом (х
к тому же паправлеНИЮ,t раВНЬJМ, очевидно! уrлу' пр вер..
шиие В треуrолъника АВС. Изменение 'Ф:;::; 90 .......
6J
d
СУ
Рис. 5.10
f13
уrловой ноординаты звезды 8а полrода находится по фор.-
муле (5.26)
sin 'i' == cos а == v.
в самом явлении аберрации нет вичеrо специфически ре-
лятивистсноrо. Каждому из нас приходилось видеть,- вак
следы от дождевых капель на боковом стекле автомобиля
отклоняются от вертикали.f ноrда он начинает двиrаться.
В нлассичесной кинематике уrол отклонения'Ф определя-
ется из очевидноrо равенства tg 'Ф == VавтомоБИЛЯ/VI<апли (если
нет ветра). Аналоrично,; аберрация света звезд в класси-
ческой, теории описывается законом tg 'Ф == и. При v ==
== 2vз ли/с == 2.10 4 получаемое отсюда значение уrла
аберрации'Ф настолько мало, что в пределах достиrнутой
точности измерений не отличается от релятивистскоrо
(sin'Ф == v). Поэтому результаты экспериментов по изме-
рению аберрации света звезд одинаково хорошо объясняют-
ся классической теорией и теорией относительности. Но
не стоит ДYMaTЬ что тан бывает во всех практически важ-
ных случаях. Макроскопические объекты в Солнечной
системе, и естественные и искусственные, имеют слишком
малые скорости", чтобы с их помощью можно было заметить
релятивистские эффекты. Иное дело....... объекты микроми-
ра: элементарные частицы, которые прилеrrают на Землю
с космическими лучами или искусственно разrоняются до
околосветовых скоростей в ускорителях. Здесь уж реля-
тивистская кинематика начинает работать в полную силу.
Мы расскажем о том.1 как она помоrла открыть нейтраль-
ный мезон.
5.5. Распад нейтральвоrо пиона
на два ramma-RВ8.Нта
При взаимодействии вещества мишени и пуч-
на прОТОНОВ 1 вылетающих из ускорителя, образуется мно-
жество разнообразных частиц" в том числе так называе..
мые n-меЗОНЫ"J или пионы. Имею1'ся три сорта 1t мезонов:
заряженные положительно (1&+),; отрицательно (п ) и
электрически нейтральные (пО). Последние живут недолrо
и обычно распадаются на два фотона большой энерrии .......
два у-кванта. Их то и можно зареrистрировать счет-
чиком ,\, излучения. Сам же nО мезон остается невидимым.........
поскольку ero электрический заряд равен нулю, он не
вступает в электрическое взаимодействие с атомами и не
114
оставляет следа ни в ФОТОЭМУЛЬСИИ t ни В пузырьковой
камере или в камере Вильсона.
Посмотрим,- как будет выrлядеть распад пО мезона n
двух разныx системах отсчета......... лабораторной системе А,
rде покоятся счетчики KBaHTOB, и в системе покоя nO
мезона системе о.тсчета В. В системе покоя два ,\, KBaH
та '\'1 и '\'2 разлетаются со скоростью света в противополож
dble стороны. Поэтому в пространстве скоростей точки У1
И 12 лежат на абсолюте и одновременно на {)днойaz? прямой,
проходящей через точку Б, изображающую скорость nO
мезона (рис. 5.11). Точка А изображает скорость лабора
'1'орной системы отсчета, в которой
распавmийся пион двиrался со CKO
ростью V == th а. Выясним теперь,
Иак будут направлены скорости '\' @
'l'}/.
квантов в лабораторной системе А.
Соединим в пространстве скоростей
точку А с точками абсолюта У1 и У2
прямы:ми АУ1 и АУ2. Эти прямые пе
ресекаются с прямой У1ВУ2 на абсо
люте, Т. е. параллельны ей в смысле
чевскоrо. "Уrол между ними ,)'е
у 1 А.У2 ==2а, т. е. уrол между направ
лениями скоростей ,\, KBaHTOB в лабо Рис. 5.11"
раторной системе отсчета будет равен
удвоенному уrлу параллельности Лобачевскоrо.Опустим из
точки А. на прямую УIВУ2 пе.рпендикуляр АС и обозначим
ero длину через Ь. Уrол параллельности Лобачевскоrо
определяется длиной этоrо перпендикуляра (см. (5.26)):
cos а == th Ь. (5.27)
Рассмотрим уrол <р между прямыми БА и УIБУ2' Он
может меняться от О до 3t ....... ведь в системе. покоя ,\, KBaH
ты MorYT вылететь в любом направлении. При этом в лабо..
раторной системе отсчета будет меняться уrол 2а между
направлениями вылета двух l' KBaHTOB. В каких же пре..
делах? !\оrда <р == о или 3t два l' KBaHTa и в лабораторной
системе будут лететь в противоположных направлениях;
при этом 2а == зt" а длина. перпендикуляра Ь == О. Коrда
<р возрастает от О до зt/2, длина перпендикуляра Ь будет
увеличиваться от нуля до максимальноrо значения, рав"
Horo расстоянию а между точками А и В,; а уrол разлета
двух квантов в лабораторной системе будет,,- соответствен...
но! уменьшаться от 3t до HeKoToporo минимальноrо 8наче..
ния 2amio.7J которое дается формулой Лобачевскоrо
115
(5.27):
tos !Lmfn th Ь тах !!::= th. а v.
ИтаR, Б лабораторной системе существует наименьший
YTO разлета двух KBaHToBJ обраsовавшихся в резуль
тате распада, нейтральноrо п Me80Ha. Экспериментальная
проверка наличия 8Toro наименыпеrо уrла разлета яви-
лась первым подтверждением существования nO Me30Ha *).
Два счетчика KBaHTOBLt включеивые по схеме совпадений,
были расположевы ПОД уrлом Apyr к Apyry и направлены
в то место,; rде предположительно распадались пО",мезоны,
имеющие примерно одинаковую скорость v. При умень-
шении уrла между счетчиками. интенсивнос1'Ь счета рез-
но уменьшалась по доётижении уrла (Xmlnl COS CX m ln == v.
3амечатепЬНОI что' даже столь отвлеченные rеометри-
ческие понятия, как 'параллельные' Лобачевскоrо и уrол
параллельности приобрели такой конкретный физический
смысл! Правда,!, времени для этоrо потребовалось немало.
*) SteinЬerger :J., Panovst{y W!K!H.., Stel-
1 е r J! Physical Review, 1950, y 78, Р! 802.
r ЛАВА 6
1
ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРfИII
И ИМПУЛЬСА
В РЕЛJlТИВИСТСRОИ МЕXA1iИКЕ
Если мы не хотим заниматься тольно ДВWlКе..
нием частиц по ивер ии,......... а иы этоrо, конечно, не ХОТИ I,""""
то первым делом надо по,ять, как в релятивистской
механике выrЛЯДRТ самые «rлавиwеt законы, описываю
щие процеСGЫ в8аиМодейств1IfI,....... В&ИОВЫ сохранения эпер-
r и и ИИПУJl са. И вряд ЛИ иы УДИВИМ читателя тем, что в
теории отвооатепьвооти КЛ80С кие оцределения внер"
rии и ИИПУ4ьса чаorицы
Е -= mvl/2J, р == mv (6.1)
приходится переСМQтреть. В-ць соrласно ЭТИМ оhределе
ниям энерrия и импульс ч8стIщы массы т не MOryT быть
больше" чем Вшах == те"/2 и Prnax == тс, потому чrо ее
скорость ив ион(ет преВЫСIIТЬ сиорость света *). Но пред
ставим себе,! что зто варя>ке1tИ8J1 частица в кольцевом ус-
корителе...... циклотроне. :е про tСQе ускорения она
пери дически и MHoroKpaTHO проходит одно и то iHe разро-
няющее электрическое по.пе,t двиrаясь по круrовой орби-
те в маrнитно поле. При каждом обороте электрическое
поле совершает одну и ту же работу 1 идущую (по закон.т
сохранения энерrииl) на увеличевие кинетической энер-
rии частицы. Чем больше делается оборотов, тем выше
становится эверrия частицы", И,t В прииципе, она может
стать сколь yrOAHO большой (если маrнитвое поле! удер-
живающее частицу на орбите, rДастся увеличивать над-
пежащим образом). А классичеокая формула для энерrии
]) сочетании с вйшптейновскии прииципом: относит льности
«не позволяет» энерrии час'tицы расти неоrраниченно.
Нерелятивистские выражения для 8нерrии и импульса
(6.1) справедливы .пиmь приближенно, коrда скорости
.) в вашей системе единиц скорость частицы безразмерна:
v == VQбычв/С' Поэтому удобно в дальнейшем измерять энерrию I!
импульс частицы в единицах массы: Е ==: Е обы tIИ! с 2 2 р == Р обычп/ с,
['де с 8!!1!1 скорость CBeTa /
17
частиц малы по сравнению со скоростью света. При БОJIЬе
тих же скоростях они не соrласуются с ваконами со..
храпения. Что ж поищем им замену.
6.1. Что мы знаем об эверrии и импульсе?
Понятия энерrии и импульса потому и BBO
дятся В физике", что для них справедливы ваконы сохра-
нения. Именно ив этоrо мы будем исходить при выводе
новых, релятивистских", выражений для энерrии и ШIПУЛЬ"
са частицы.
Поставим задачу точнее. Импульс частицы ---- это век-
тор, направленный вдоль ее скорости, величина KOToporo
зависит от массы частицы и ее скорости относительно дав-
ной системы отсчета. Энерrия частицы....... это скалярная
величина, также зависящая от массы и скорости частицы.
В нерелятивистском случае эти зависимости задаются
формулами (6.1). А как они выrлядят в' теории относи-
тельности,; нам предстоитl выяснить. Разумеется,;' при
небольmих скоростях новые формулы ДОJDI(НЫ переходить
в старые.
Законы сохранения энерrии и импульса утвеРjl(даЮТJj
что, вычисляя энерrию всех участвующих в KaKOM TO BBa
имодействии частиц (полную внереию системы частиц) и
векторную сумму их импульсов (полный ижпульс), мы
всеrда будем получать одни и те же значения", если толь..
ко данная tсистема частиц изолирована *). Короче rоворя,
в изолированной системе вваижодействующих частиц
сохраняются nо4/IOЯ внераия и полный импульс системы.
Нак показывает эксперимеНТJj законы сохранения
энерrии И импульса ВЫПОЛНЯIОТСЯ всюду и всеrда" какими
бы сложныМи и запутанными ни были процессы, происхо-
дящие с частицами. И в полном соответствии «с принципом
относительности эти ваконы справедливы во всех внер-
циальных системах отсчета.
Но СЛОi-кные взаимодействия нам не понадобятся. Мы
займемся простеЙШим из. них ....... упруrим столкновением
двух частиц. Прир,ода сделала нам ценнъiй подарок: ока-
зывается" lt!ОЖНО построить кинематический rраф упруrоrо
столкновеliИЯ tt не вная точных формул для энерrии и им-
пульса. Наоборот, о помощыо rрафа эти формулы можно
вывести, если потребоватьJ, чтобы в любой системе отсчета
*) То есть на иее ие деЙСТВУIСТ виеШI:l1е l'СЛ I
118
выполнялись законы сохранения эперrии и импульса
при упруrом столкновении. Мы увидим, что этим требо..
ванием зависимость энерrии и импульса частицы от ее
массы и скорости определяется совершенно однозначно.
Итак, рассмотрим упруrое столкновение
двух частиц А и В. Будем исходить из Toro-, что полная
энерrия и полНЫЙ импульс системы из этих двух частиц
в результате столкновения не меняются. Что можно тоrда
снаэать о раСПОЛDжении в пространстве скоростей точек A
В,- А' и В', изображающих скорости этих частиц! соот"
ветствевно, до и после рассеяния?
Возьмем l1а отрезке АВ проиавольную точну О И по..
смотрим на про исходящее ив отвечающей ей системы OT
счета о. В этой системе отсчета СI\ОрОСТИ, а значит, и им..
пульсы частиц А и В противоположно направлены, а их
величины зависят от поло}невия точки О на отрезне.
В частности, если точна О совпадает с нощом отрезна А,
то снорость И импульс частицы А относительно системы
отсчета О равны нулю, а импульс частицы В ненуле--
вой. Если же точка Q совпадае,!, с В, то, наоборот, импульс
частицы В в системе О будет равен нулю, а частицы А .........
нет. Поэтому, перемещая точку О по отрезку ив одноrо
новца в друrой, мы сумеем найти таное положение, для
HOToporo импульсы частиц будут
равны по величине, оставаясь про.. @
тивоположными :по направлению.
Полный импульс в соответствую--
щей системе отсчета равен нулю,
друrими словами, зто система
центра жасс. Отметим ее на rрафе
(см. рис. 6.1). Поскольку полный
импульс сохраняется при вваимо"
действиях, в системе центра масс
и после столкновения импульсы
.
частиц А и В будут p AR"N по вв--
личине и противоположно направлены. Отсюда сразу
следует, что отрезок ....(' в' в пространстве скоростей про--
XOWIT череа точиу O
Теперь, полъвуясь заКОDОМ сохранения энерrии, мы
ДОRаже J равенство длив отрезков ОА и ОА', ОВ и ОБ'.
ЛОПУСТИАl а например, QTO отрезок ОА' Ь\ливпее отрезна
6.2. Кинематический rраф
упрyrоro СТОJlRВОвевия
в'
8
Рис. 6.14
d19
ОА. Это означает, что в результате столкновения скорость
частицы А увеличил ась. Следовательно, увеличились ее
энерrия и ее импульс. Но импульсы частиц А и В в системе
центра масс равны по величине. Выходит, что И11ПУЛЬС
частицы В, а вместе с ним ее снорость и энерrия TOil\e уве..
личились. В итоrе получается, что полная энерrия системы
возросла, чеrо не может быть. Так же доказывается, что
отрезок О.А' не может быть короче отреЗRа ОА. Поэтому
отрезки ОА и ОА', ОВ и ОВ' должны быть попарно
равны.
Первый пун}(т Hamero плана выполнен ..... не зная фор..
:мул для энерrии и импульса частицы и исходя только из
Toro, что полная энерrия и полный импульс двух частиц
в их системе центра масс сохраняются при упруrом СТОЛR-
вовении, мы установили вид кинематичеСRоrо rрафа
(рис. 6.1):
в реаулътате упруеоео стО.!tК1tове1tия отреаоп АВ про..
сто поворачивается вокруа точки О, при атом точка
А переходит в .А', а В ...... в в'.
"Уrол поиорота законами сохранения энерrии и импульса
не определяется, он может быть любым.
Обратно:
описанная структура ерафа автоматuчесхи обеспечи..
вает сохранение полнои эnераии и uмnульса в системе
чеnтра масс о.
Действительно, из равенства отрезков ОА и ОА', ОЛ и
ОВ' вытекает, что скорости частицА и В в системе центра
масс по величине не меняются. По..
этому и величины эверrии и им:пуль"
са каждой из частиц ]1 системе отсчета
О останутся преi-RIlИМИ, независимо
от Toro, как именно они выражаются
череа скорости.
Перейде!уl теперь из системы цент..
8 ра масс в любую друrую систему от..
счета в. Ясно, что при вращении
отрезка АВ вокрую точки О на ки"
нематичеСRОМ rрафе (рис. 6.2), т. е.
при измепрпии уrла Q) == ВОА, длины а и Ь отрезков
8А и ВВ будут иаменяться. Это значит, что в системе от..
счета S скорости частиц А и В в результате столкнов&-
ния меняются не ТОЛЬRО по направлению; но и по величи-
не. Вместе (} ними меняются анер1"'ИИ БА и EJj и импульсы,
(i)
s
Рис.! 6 2
12и
РА И РВ частиц. Но законы сохранения ДОЛЖНЫ выпол-
няться и в системе S! И сейчас они вовсе H t,ледуют сами
собой из вида rрафа. Перед нами встает задача: найти та--
кие формулы для энерrии и импульса, которые при всех
вариантах разлета частиц после столкновения, т. е. при
всевоз:можных значениях уrла <р на rрафе, давали бы оди--
наковые, не зависящuе от уrла <р, значения полной энер"
rии
и полноrо импульса
Е А + Ев == Е
РА + РВ ==р.
Последнее равенство ........ векторное. Ero удобно переписать
в проекц:иях на подходящие оси. Заметим, что вектор пол..
Horo импульса р в системе отсчета S направлен вдоль
вектора скорости системы центра масс относительно S
р 11 Vo I а. Действительно, вектор Р H меняется при из..
менении уrла <р. 110 при <р == о точки А и В в пространстве
скоростей лежат на прямой /,0. Поэтому при <р == о им..
пульсы частиц А и В- в системе S, всеrда направленные по
скоростям частиц, будут коллинеарны вектору Vo 1 а.
Следовательно, и ПОЛlIЫЙ импульс Р == РА + РВ колли-
неарен ЭТО IУ вектору. ОТСIода вытекает, что проекция
вектора Р на направление движения систе:мы центра масс
равна просто в личине р Полноrо импульса. В то же вреl\Ш
проекция вектора импульса
частицы А на это направление
равна РА COS а, дe РА ..... ве--
личина ИАlпульса, а а уrол
между скоростями частицы
А и системы отсчета О ОТНО48
сительно S (на rрафе это уrол
.А.80; см. рис. 6.2). Ан ало..
rично, проекция импульса РВ
частицы В на то же направ"
ление BHa РВ COS р, rде
р == В80. Таким образом,
РА COS t'X + РВ СОВ Р == Р (рис. 6.3). Точно так а<е полу-
чается уравнение для проекдий импульс() qастиц на
направление, перпендикулярное скорости центра масс
(рис. 6.3):
V 01 .)-
:.
.....,
.....
.....,
'.....
.....,
..........
р
....
........
",....
........
....
........
........
....'
Ри&.! б.З!)
РА sin а ..... рв sin Р == о.
()ПnПЧАтелnпо, в системе отсчета S ваконы СОХР$lпепия
8не.lJ1!1..и 11 .u.L\'.LUУJlъса при ynpyroM CTOJIKHOH .liR1.u. .uРИ11.11мают
{21
форму трех уравнений,
Е А + Ев == Е . (Е не вавис от <р), (6.2)
РА cos СХ + РВ cos Р == р (р ие зависит от <р), (6.з)
р А sin а ........ РВ sin Р == о. (6.4)
Теперь мы ДОJIЖВЫ доrадаться, какие Rомбинации из
масс и скоростей частиц нужно подставить вместо энерrий
и импульсов в 'левые части этих уравнений, чт бы полу-
чить величи ы, не меняющиеся при вращении отрезка
АВ BOKpyr точки О, т. е. не зависящие OT-q>.
MIlI начнем с нерелятивистскоrо случая, коrда ответ из-
вестен, и попробхем понять, в чем, так сказать, «rеометри-
ческий механивм» постоянства полной энерrии и импуль-
са. Потом мы запустим этот же мехаНИ8М на плоскости
Лобачевскоrо ...... и, как по. волшебству, он выдаст нам це-
лый ворох важных и полезных формул теории относи-
тельности. И среди них, онеqно, релятивистские формулы
ДЛЯ энерrии и импульса частицы ф Только, поскольку наш
«мехаНИЗl\f» все-таки rеометрический, доrоворимся выра-
жать энерrИIО и мпульс не через скорости частиц А и В,
а через соответствующие. rеометричеСRие величины ........
..расстояния а и Ь.
6.3. НереЛЯТИВИСТСRИЙ случай
Поскольку скорость частицы в данной си-
стеме отсчета в нерелятивистском случае равна расстоя-
НИIО ме,нду соответствующими точками пространства ско-
ростей, энерrии и импульсы частиц А и В в системе S
равны:
Е А == тАа 2 /2, РА == тАЙ,
Ев == т в Ь 2 /2 . рв == твЬ,
тде тА и тв .... массы частиц. Проверим, что эти выраже--
ния действительно удовлетворяют условиям (6.2), (6,3)
и (6.4).
Начнем о эIiерrий. Надо доказать, что величина
тAa l /2 + т B b 2 f2 не зав':IСИТ от <р (см. (6.2». Выразим каждое
слаrаемое непосредственно через yron q> и величины, от q>
не аависящие. По теореме косинусов для треуrОЛЬНИRОВ
ОВА и ОВВ
а 2 == a + tP 2а о а cos <р,
Ь 2 ;; b + fl2 + 2b o d cos ер
{22
(во втором равецстве мы сделали замену cos (п ....... ЧJ) Ba .
.......cos <р), rде ао, Ь о и d ...... длины-отрезков ОА, ОВ и 08
(рве. 6.2). Умиожая первое равенство на тА/2, а второе ......
ца тв/2' и складывая их, получим:
2 2
Е А + Ев == тАа 2 /2 + т в Ь 2 /2 == тАа о /2 + т в Ь о /2 +
+ (тА + тв) tP/2 ....... (тАа о ....... твЬ о ) d cos <р. (6.5)
Первые три слаrаемых. в пр.авой части не зависят от ер,
а последнее содержит множителем выражение тАа о
....... твЬ о . Но ведь это разность величин и:м:пульсов частиц
в системе их центра масс О, rде полный импульс равен ну--
лю! Следовательно, последнее слаrаемое равно нулю и
условие (6.2) выполнено. Отметим попутно, что I'ромоздкая
формула (6",5) имеет очень простой смысл. Действительно,
обозна им через Ео полную RинетичеСКУIО энерrию Ча
стиц в системе центра масс: Ео === тAa /2 + тBb /2,
а через М ' тА + тв ---- их общую массу. Тоrда (6.5)
перепишется в виде:
Е == Е А + Ев == Ео + MtP/2.
(6.6)
Это известная теорема Rёниrа о Rинетическ ой Dнерrии:
кинетическая энерrия двух частиц в произвольной сист-еме
отсчета равна сумме кинетической энерrии их движения
относительно центра масс и кинетической энерrии движе
ния caMoro центра масс Md,2/2 (напомним, d == vOIS)'
Запомним «механизм» вывода закона сохрапения энер
rии: надо записать теорем:ы косинусов для. треуrольни--
нов ОВА. и ОВВ, умножить их на соответствующие массь!
и сложить. ·
Перейдем к закону сохранения импульса в проеКЦИЕ
на направление ДВИil\ения центра масс (6.3). Сумма про--
екций импульсов частиц на зто направление равна
тАа cos а + твЬ сов р. Ее леrко преобразоnать с по...
мощью теоремы косинусов для сторон ОА и ОВ треуrол
ников ОВА и ОВВ:
a == а 2 +.lP ..... 2 da cos а,
ь: == ы + tP ...... 2 db сов .
Умножим пеР,вое равенство на тл/ 2 , второе на тB12
\
и сложим:
mAa 12 + mBb /2 == т a2/2 + т в Ь 2 /2 +
+ (тА + тв) сР/2 ...... d (тАа СОБ а -т твЬ соэ Р).
123
ОТСlода
+ Ь R Е ....: Е () + ......... 2 f Md
тА а cos а тв соз t' == d
и по TeOpeltle Rёниrа (6.6) имеем,
..
РА сов а + РВ СОЗ Р == Md
(6.7)
-
проекция полвоrо импульса на направление движе
вия центра мас& не завивит ОТ .
Наконец, рассмотрим последнее соотноmение (6'4)....
закон сохранения импульоа в проекции на направление,
перпендикулярное скорости центра масс. Соответствую-
, щая проекция nOJlBOrO импульса равна тАа sin сх
...... твЬ sin . По теореме синусов для треуrОJlЬНИКОВ
ОВА и ОВВ имеем,
а sin а == а о sin <р,
Ь sin == Ь О зiп (п ...... ) == Ь о sin <р.
Следовательно,
р А sin сх ....... РВ sin 11:1 тАа о sin ...... твЬ о sin <р ==
- (тАао ...... твЬ о ) sin <р == О, (6.8)
поскольку в скобках стоит величина полпоrо импульса
./
в системе цeвт a масс;,
Из формул (6.7) и (6,8) следует, что вектор полпоrо им-
пульса равен ПРОИ8ведению полвой массы на вектор СКО-
рости центра масса
р == MVOl8
(6.9)
..... движение цеитра масс похоже ва двия(епие одной «со-
ставной» часТJЩЫ с массой М и скоростью VOIS. Эту ана-
лоrИIО можно yneT увидеть и D релятивистском случае. По-
следнюю формулу J(JlJI ПОJIНО импульса мы моrли бы вы-
вести ropa8Ao ЦOTp., Во ведь нам нужна не сама фор-
мула, а «меtuntlю ее вывода, которЫЙ должен работать
и на плоскоо'tИ Лобачевскоrоl ЭтОТ «мехавизм» --- теоремы
косинусов и СинусоВ.
6.4. ЭверrИJI и импульс
в тeop оmосllТeJIЬНОСТИ
Теперь у вас есть схема действий и мы по-
стараем:ся примепить ее в релятивистском случае. Един...
ствеппое отличие будет в том, что теперь нам придется
пользоватьса теоремами синусов и косинусов rеометрии
124
реЛЯТИВИСТСRоrо пространства СRоростей ..... rеомеТРИ}J
ЛобачеВСRоrо, а не rеометрии ЕВRлида. Однако Rинемати
чес кий rраф чертить заново не нужно можно польз
ватъся рис. 6.2.
Будем повторять рассуждения предыдущеrо раздела.
Это нам позволит сначала уrадатъ ответ формулы для
энерrии и импульса, потом проверить ero, а затем и дока..
SaTЬ, что эти формулы определяются единственным обра..
80М.
, Начнем с Toro, что выразим стороны а и Ь в тр'еуrоль..
никах ОВА и ОВВ (рис. 6.2) по теореме НООинусов reomet--
рии ЛобачеВСRО О (ср. с выводом формулы (6.5»:
сЬ а == СЬ аосЬ d........ sh ао еЬ d сов ер,
сЬ Ь == сЬ ЬосЬ d + еЬ Ь О sh d соз ер.
(6.10)
Умножим первое равенство на тА, второе на тв и сложим:
тА сЬ а + тв сЬ Ь == (тА сЬ а о + тв сЬ Ь о ) ch d ......
....... (тА sh а о ..... тв sh Ь о ) sh d cos ер. (6.11)
Давайте сравним эту фор улу ё выражением для полной
энерrии в нереЛЯТИВИСТСRОМ случае (6.5). А чтобы это было
проще, выпишем ero еще раз:
тАа 2 /2 + т в Ь 2 /2 == mAaV2 + тBb /2 + McPI2 ......
...... {тАа ....... твЬ} d сов q>.
Аналоrия очевиднаl Мы видим, что полвая энерrия двух
реЛЯТИВИСТ(jКИХ частиц будет сохранятьс при упруrом
СТОЛRновении, если определить энерrию и И?trIПУЛЬС ча..
стицы следующим образом:
энерэия релятивистС1'tои частицы Х в системе отсчета
S равна nроивведению ее .пассы тх на еиперболическuй 1'to..
синус расстояния 11 вх 11 == х .между тОЧ1'tа.ми простран..
ства C1'topocmeи, иаображающи.ми с"орости систе.мы от..
счета S и частицы Х:
Ех :::::: тх сh х, (6.12)
импульс частицы Х 8 системе S равен, проиаведенuю ее
.массы на еиneр60личес"uй синуо расстояния х:
рх == тх з . (6.13)
Действительно, при таком определении 1fнож тель
тА вЬ ао ..... тв sh Ь о перед cos ер в равенстве (6.11) пред-
ставляет собой разность величин импульсов частиц в си..
CT M центра }laC(j Н, СJl J!()Jjат льНО, равеп НУJIЮ. 110ЭТUМУ
j2q
правая ч-асть этоrо равенства, а значит, :и полная энерrИJl
Е == тА сЬ а + тв sb Ь не зависят от <р.. Более "Toro, для
полной энерrии получается выражение, аналоrичное H
релятивистской формуле (6.6):
Е == Ео сЬ а, (6 14)
rде Е о == тА сЬ ао + тв сЬ Ь О ...... полная энерrия двух
частиц в системе центра масс.
Отметим попутно еще одно важное соотношение. 'Ум..
НОi{ ая теорему косинусов (6.10) на массу частицы А, мы
получаем, что
Е == тА сЬ а === E AJo сЬ d ---- (PAIO cos <р) sh i/,
(6.15)
rде \ E A10 ........ энерrия частицы А в систе:ме отсчета О, а
р А I О cos <р ........ проекция ее импульса на направление дви"
жения системы S относительно О. Эта формула показы..
вает, как преобраsуется энерrия частицы при переходе ив
системы О :в систему S...Mbl еще вернемся к этому преобра..
З0ваНИIО в Приложении. 1
Отложим пока обсуждение новых определений энеJr
rии и импульса нам надо поскорее удостовериться, что
не только полная энерrия, но и: полный импульс сохра..
няется при упруrих столкновениях.
Проекция полноrо Иl\lпульса на направление дви}не..
ния системы центра Iacc (6.3) принимает теперь вид
. тА sh а cos а + тв sh Ь cos . Преобразуем эту сумму
так же, как в нерелятивистском случае. 3апиmе r теоре--
МУ косинусов rео1tlетрии Лобачевскоrо для стороны ОА
треуrольника ОВА (рис. 6.2):
СЬ а о == сЬ а сЬ d ...... sh а sh d cos а
и умножим это равенство на тА:
тА сЬ ао == EAIO == Е А сЬ d РА eos cl sh d
(ер. с формулой (6.15». Аналоrично получаем
EBIO == Ев сЬ d ...... РВ СОЭ sh d.
Складывая эти равенства и выражая из них нуа,ную пр
екцию полноrо импульса, получим
1
РА cosa + PlJ COS == shd (Е сЬ d Ео) ==
ch 2 d 1
=== Ео зЬ4 ==Eoshd (6.16)
126
{мы использовали формулу (6.14) для полной эверrии и'
основное rиперболическое тождество сЬ 2 d ........ sh2 d === 1).
Величина Ео sh d не зависит от уrла <р, следовательно,
вакон сохранения импульса в проекции на направление
движения центра масс выполняется.
Оста тся доказать, что проекция полноrо импульса
па перпендикулярное направление тА sh а sin а
....... тв sh Ь sin р равна нулю (см. (6.4». По теореме сину"
сов rеометрии Лобачевскоrо для треуrольников 08А и
08В (ср. вывод формулы (6.8)1) имеем:
sh а sin (Х == sh а о sin <р, sh Ь sin р ;;; вЬ Ь о sin q>.
Отсюда получаем:
тА sh а sin а тв sh Ь sin ==
== (тА вЬ а о ...... тв sh Ь о ) sin q, == О, (6.17)
TaR KaR в скобках стоит величина полноrо импульса в си..
стеме центра масс.
Придирчивому читателю полученные нами формулы
для энерrии и импульса MorYT показаться недостаточно
обоснованными. Ведь мы их просто уrадали. И rде rapah--
,
тия, что нельзя написать друrие формулы, для которых то--
же были бы справедливы условия (6.2), (6.3) и (6.4),......
законы сохранения энерrии и импульса при упруrом столк--
новении? Ответ заключен в самих этих занонах. Возь--
Me?\-I, например, импульс. Как бы он ни был определен,
закон сохранения полноrо импульса двух частиц в пр<r
екции на направление, перпендикулярное вектору ско--
рости их центра мас.с, требует, чтобы эта проекция равин--
лась нулю (уравнение (6.4», Т. е.
РА sin а == РВ sin Р,
rlle РА и РВ ....... импульсы частиц; а (Х и уrлы между их
скоростями и скоростью центра :масс. В то же время, c<r
rласно (6.17),
тА sh а sin а == тв sh Ь sin .
Разделив первое равенство на второе, получим
РА РВ
тАвЬа == тBshb ·
Импульс частицы должен полностью определяться ее мае..
сой и скоростью, поэтому левая часть здесь зависит толь-
КО от тА и а (скорость частицы А равна th а). а правая .....
121
ТОЛЬRО ОТ тв и Ь. Можно зафиксировать массу и скорость
частицы В, т. е. тв и Ь, и произвольно менять массу и'
скорость частицы А, При этом отношение PAlтA ВЬ а
должно оставаться постоянным. Следовательно, РА :::::а'
== kтA sh а, rAe k --- постоянная, нв зависящая от СКО«
рости И массы частицы, Из одних только законов сохра 4
нения пост()янную k, ковечно, определить нельзя. Но мы
хотим, чтобы в нерелятивистском пределе (при малой по
.сравнению со скоростью света СRОрОСТИ v движения ча(}.
тицы) импульс.. приобретал обычный вид РА == тAV. Для
этоrо надо положить k == 1, потому что при v < 1 v а
sh а.
Аналоrично обстоит дело с эверrией. Формально закои
сохранения энерrии не нарушится, если вычислять ее кан
k 1 m сЬ а + k 2t rде k 1 и k 2 ....... произвольные постоянные *).
По мотрим, однако, что дает нам формула Е === т ch а
в нерелятивистском: пределе:
Е == т сЬ а т (1 + а 2 /2) т + тv 2 /2
.,
(напомним, что сЬ а 1 + а 2 /2). Отсюда видно, что мв<r
житель в этой формуле изменить нельзя, если мы хотим
сохранить правильную зависимость кинетической эиер...
I
rии от скорости в верелятивистском пределе, т. е. k 1 == 1.
И прибавка к кинетической энерrии....... масса частицы
т ....... появилась у нас не случайно. Найдем релятивист...
скую энерrию покоящейся частицы: Ео == т сЬ О == т.
Это так называемая энереия n01tОЯ; в нашей системе едя...
ниц она ра1#на массе частицы. В релятивистской физике,
rде возможны превращения одних частиц в друrие, закон
сохранения энерrии обязывает нас учитывать энерrию
покоя в составе полной энерrии. Поэтому в формуле Е :::::f
== т b а ни прибавить, ни отнять ничеrо нельзя, даже
еСJlИ баланс энерrИII при упруrих соударениях и не нару...
mИJJСЯ бы при этом. Это подтверждается м:ноrочисленны
и эксперимента?УIИ, например, распадом 3tО мезона, о ко...
тором рассказывалось D' разделе 5.5. Энерrия покоя пO
м:езона при эtом ра паде целиком ц-ереходит в энерrию
Y KBaHTOB.
Теперь можно по новому взrляиуть на формулу для
полной энерrя:и двух частиц (6.14):
Е == Е о сЬ d
*) Более Toro, как и в случае :импульса, моЖ1IО ДОRазатъ, ЧТО
выр жение для энерrии обязано иметь именно такой в,д (c .! 1АОПОJJ.--
пение 6!2 в конце rJIaBbl)
128
и их полноrо импульса (6.16):
р == р А cos а, + р в соэ == Е о sh d
(6.18)
(полный импульс совпадает по величине с ero проекциеi
..
на направление движения центра масс, nOTQMY что вто-.
рая ero проекция равна нулю). Из этих формул видно, что
ДВИiI-\ение пары частиц с :rОЧК1! зрения их энерrии и ии..
пульса можно paCCA-lатривать как дви}нение вообража
:мой «составной» частицы cd скоростыо V == VOIS === th d,
причем масса М этой «составной» частицы равна Ео .......
суммарной энерrии пары частиц в системе их центра масс.
Полная энерrия и полныв ИА-IПУЛЬС пары частиц равны
энерrии и импульсу «составной» частицы. Концы с конца--
ми прекрасно соmлись: энерrия одной частицы в ее систе.-
ме центра масс ....... энерrия покоя ...... равна ее массе, а «06-
щая Iacca» М пары частиц равна их полной энерrии в си..
стеме их центра масс. Энерrия == ltlacce и, наоборот, Ma<r
са == энерrииJ
Отметим еще одно ваа,ное обстоятельство. Из вывода
выра}l ений для. полной эперrии и nOJIHOpo импульса вид'"
но, что законы сохранения релятивистской энерrии и им"
пульса тесно связаны друr с ДРуrом. Например, сохраненио
полноrо импульса в произвольной системе отсчета S воз--
IОЖНО только одновременно с сохранением энерrии (c
отношение (6.16»; в свою очередь, для сохранения эне
l'ИИ необходимо, чтобы сохранялся полный импульс в си..
стеме центра м:асс (соотношение (6.11». Эти законы просто
не MorYT выполняться друr без друrа, они объединяются
в единый релятивистский закон сохранения энерrИИ ИМ:-4
пульса.
Под.ведем ИТОf. Если релятивистская частица )Iaccbl
т дви,нется 'отпосuтельво наблюдателя со скоростью V :::::;
== th а, то ее И fПУЛЬС р == т sh а, а энерrия Е == т сЬ а.
Полезно иметь выра}кения импульса и энерrии и непосред"
ств-евпо ч ерез ско рость частицы" Вспомин ая, 1JTO sh а ==
== tb а/у 1 t11 2 a, а cQ а == 1/ 1 1 th 2 a, получим:
mv
р== t
V 1 и
т
Е==
У 1 ...... v i
(6.19)
I\oI'Aa снорость частицы приближается R скорости света
(и 1) ее импульс и энерrия неоrравиченно растут.
Но реально они всеrда остаются конечными, поэтому
частица, обладающая ненупевой массой покоя т, викоrда
не сможет двиrаться со скоростью света, ХОТII ее можНО
5 р. IL Дубровский в др.
't29
раэоrнать до скорости, сколь уrодно б.ТIИЭКОЙ к с. Напри--
:мер, на ускорителе в Батавии (США), ОДНОМ: из самых
мощных на сеrодня, протоны ускоряются ДО энерrии
Е == 500 rэв *). Масса покоя oAHoro протона' т
1 rэв. Пользуясь формулой (6.19), можно прикинутъ
скорость протонов в этом ускорителе: она достиrает ве..
личины v 0,999 998 скорости света.
В раэных инерциальных системах отсчета значения
внерrии и импульса одной и той rRe частицы будут, конечно,
раЭJIИЧНЫМИ. QднаRО они связаны друr с друrом очень важ
Бым соотношением: если вычесть из нвадрата энерrии
квадрат и:мпульса, "то получится величина, одинаковая для
,сех uнерцuалъных наблюдателей нвадрат l'flaCCbl ча...
.,тицы:
Е2 ...... р2 == т 2 сЬ 2 а ....... m 2 sh 2 а == т 2 (сЬ 2 а ........ sh 2 а) === т 2 .1 f
ТаКИ?f1 образом,
I Е2 р2 === т 2 .1
Величины, не изменяющиеся при переходе из одной инер--
циальной системы отсчета в друrУIО, называются релятu..
вucтспuжu инвариантами. Мы вернемся к ЦИМ в Прило--
жении. Вскоре мы поэнакомимся с некоторыми приме..
нениями фундаментальной формулы (6.20) в эксперимев'"
тальной фиэине.
Релятивистские выражения для энерrии и импульса
мы вывели, опираясь па законы сохранения. Поэтому
MOiBeT вовникнуть сомнение в ценности самих этих зако"
нов..... стоит ли удивляться тому, что они выполняются,
если мы определlМU эперrию и импульс таи, Ч4fобы они
выполнялись! Но в наших рассуждениях Рассматривался
только очень частный вид вэаимодействия частиц ..... упру'"
roe столкновение, при KOTOpO «инnивидуальность» вэаимо"
действующих частиц (их масса, заряд и друrие внут-
ренние характеристики) остается. прежней, а меняются
только их внерrии и ИМПУЛЬСЬJ. Теперь же мы собираеАIСЯ
распространить законы сохранения на все встречающиеся
взаимодействияl Такой способ раССУЖДения веСЪ:М8 типи-
чен для современной фиэики и науки вообще.' Исследуя
(6.20)
*) 1 rэв == 109 &В (элеRТрОВВОJIЬТ), 1 эВ .... эверrия, RОТОРУЮ
приобретает частица с варядом, равным заряду элект:еона, пройдя
разность потенциалов в 1 вольт. В ЭRсперимевтальвой физике массу
частицы приWIТО выражать в энерrеТl1чеСI\ЦJi е1!ивицах влек-
!rрОВВOJIьтах
130
ОДИН "pyr явлений (например, ynpyroe рассеяние), мы
выводим какие"то заКОНО}lерности (законы сохранения
энерrии и мпульса), придаем им более общий характер
и затем пытаемся перенести их на друrой Kpyr явлений
(например, на рождения и распады релятивистских ча-
стиц или на их взаимные .превращения). 'П, как правило,
природа идет нам навстречу ...... мноrие предсказания под-
тверждаются эксперимеНТО!\I. Тап и происходят открытия
«на Rончике пера».
t>.5. Распад и рождение
релЯТИВИС-ТСI\ИХ чаСТИI\
Выпишем еще раз Вf>Iраiнения для полноrо
Иl\шульса и пол ой Эl!ерrии пары частиц А и В в системе
отсчета.S (С!\l. (6.14), (6.18) и- (6.19)):
РА + РВ == Р == Mv/ y1 V \
Е А + Ев == Е === М/уl и 2 ,
(6.21)
rде V == VO\S ....... СI\ОрОСТЬ движения систеl\lЫ центра :масс
частиц А и В относительно системь) S, а J1;1 «эквива::--
лентная масса» двух частиц, равная их СУ!\'Iмарной энер
rии Ео в системе центра масс. Слева tl (G.21) l\lorYT стоять
Уj\fМЫ ИjVIПУJIЬСОВ И э:t1ерrпй двух част'Иi иак ДО, так и
после упруrОI'О рассеяния в 8ТО:\1 ПРОЯВJIЯЮТСЯ законы
сохранеНIIЛ Иl\Iпульса и энерrии. 110 ФОР lУЛЫ (6.21) l\lОiИ--
но ПРОЧИТRТЬ и иначе. l)ообра3П f себе реЛЯТИППСТСКУIО
частпцу массы lVl, I\оторая ДВИiЕ ТСЯ со СКОрОС1'Ь10 V В сп--
СТС.ые 01счета S (ео I1:.\lПУЛЬС и энерrпя равны, соотнетстпен--
НО, 1) Il Е), а затем распадается на две частицы А :и В
с ыассаl\IИ !пА П ть, IJмпу.,,1ьСR..\IИ РА И 1)в И энерrllЯ IИ Е А
и l 'B' Соr.пасно (6.21) реJIЯТПlll1еТСI\ие заI\ОНЫ сохранения
эн рrип и Иl\Iпульеа в ЭТОМ I'ипотеrпческом проц.сссе нару...
fпаться не будут! у1 это не толы\оo ['ипотеза. Кн!\ 110казы..
BaIOT вкспеРИ.менты, orpOMHoe I ОJlичество Э..7Iе.\lентарных
чаСТIIЦ действительно нестаби.пьно (онн ;ЕIIНУТ короткое
вре:\lЯ, а затем 'са110ПрОИ3ВОЛЬНО распадаются на друrие
чаСТIIЦЫ), и 'в ка/идом процессе распада ВЫПО,,1.няются ре--
лятпвистские :Jаl{ОНЫ сохраненпя энерrии и Иl\lпульса
( при атом с Yl\1l\la масс покоя продуктов распада всеrда
ме ньше массы покоя распаВПlейся частицы: 1'11 == Е о
::::: тА сЬ а + тв сЬ Ь > тА + тв, так как ch х > 1).
Кан же обнаружить эту частицу, при ПО IОЩИ каких
«песов» IO KHO JlЗ lерпть ее }lассу, если вре IЯ ее жизни
5* 131
составляет обычно Bcero 10 ]3.......... 10 23 с? Даже если
она мчится со скоростью свеТ8,< за это время она успее17
пролететь только 10 2 .......... 10 1 см, И обнаружить ее след
ва фотоrрафии практически невозможно! Rлючеву;ю роль
здесь иrрает формула (6.20), недаром мы выделили ее
:в рамку. .Нужно измерить энерrию частицы Е.......... дЛЯ
BToro можно, воспользовавшись законом сохранения
внерrии, просу:ммировать энерrии частиц.......... продуктов.
N
N
т 2
о
а)
т2;=E2 p2
б)
т2=E2 p2
Рис. 0.4.
распада. Аналоrично, воспользовавшись законом сохра-
нения импульса, можно измерить ее импульс р, сложив
по правилу параллелоrрамма импульсы всех продукто'в
распада., Останется только. воспользоваться формулой
(6,20). Если для больmоrо числа экспериментальных дан..
ных значения Е2...... р2' будут скаПJIиваться ОRОЛО опре-
еленной величины т 2 , то можно предполаrать, что
в некоторой реакции действительно рождал ась и быстро рас..
падалась частица (или так называе:мый «резонанс») с l\{ac..
сой т. Если же разброс значений Е2 .......... р2 В изучаеl\IОЙ се..
рии экспериментов велик, то почти наверняка происхож-
дение наблюдаемых частиц не связано с распадом неких
ведолrо проживших частиц «родителей». Результаты та..
кой серии экспеРИl\lентов изображают на специаЛЬНОl\l rpa...
фике, так называемой еuстоера;м.ме (рис. 6.4). По оси
абсцисс откладывают значение т 2 == Е2 р2, а по оси ор--
иiIат --- число событий, при которых паблюдаJIОСЬ опре-
ленное 8начение т. На рис. 6.4; а изображена rnCTo-
rpaMM8 в случае, коrда распавшаяся частица с массой то
ействительио им:елась, на рис. 6.4, б...... результаты ре--
аКЦИИ t в которой такой промежуточной частицы, по ви"
РМО:МУ, не было.
Раз частицы MorYT распадаться, то естественно предпо-
пожить, lITO возможен и обратный ороцеСС i также не про..
fЗ2
«"ИБоречащий законам сохранения энерrии и импульса
(6.21),....... процесс рождения, КОl'да при столкновении двух
частиц А и В с массами тА и тв, импульсами РА и РВ
И энерrиями Е А и Ев образуется новая частица с массой
М > тА + тв, и:м:пульсом р и энерrией Е. Не следует
ДУМ!1ТЬ, однако, что такал частица появляется 06яаатель"
Но для каждоrо TaKoro значения массы М. Если частицы
с массой М нет в природе, то она и не родится при столк..
вовении. Законы сохранения энерrии и импульса лишь
не вапрещают ее возможноrо появления. Если 'rакая ча..
стица действительно существует, и в предполаrаемой ре--
акции"ее рождения не будут нарушены друrие законы сох..
ранения (например, законы сохранения электрическоrо
заРЯДа, барионноrо числа и др.), то она, нак правило,
в этой реакции' рождается (при условии, конечно, что
энерrии сталкивающихся частиц достаточно для ее рОJIiД&-
ния). Вычислим величину возможной массы М этой rип
тетической частицы. Воспользуемся соотношением (6.20)
и законами сохранения энерrии и импульса:
М2 Е2 р2 == (Е А + Е в )2 (РА + рв)2 =::z
== E + E + 2Е А Е в ...... p p 2p PB:=t
с=: (E ....... p ) + (ЕЪ p ) + 2Е А Е в 2РАРВ cos t) =:а
== т + т + 2 (ЕАЕв ------ РАРВ cos t}),
rде через 'f} обозначен yrOJl ме}нду векторами импульсов
частиц РА и Рв. .
Наибольший !JраRтичеСI\ИЙ интерес представляет собой
частный случай этой формулы, коrда одна,ИЗ частиц (части..
ца мишени А) покоится"'в лабораторной систе:ме отсчета
(РА == О, Е А == тА), а друrая частица (В) ВЫJIетаеl' ИЗ ус...
корителя с энерrией. Е 11 и сталкивается с :мишенью. В этом
случае получаем:
1112 == т + т + 2т А Е в.
Для медленных частиIt Ев тв, поэто м:у М2 == rп3t +
+ т1 + 2тАтв == (тА + тв)2 приближенно ВЫПОJk-
вяется ваков' СЛО}Rения масс. В современных же уснори"
телях энерrия частиц ПУЧJ\а обычно MHoro больше :масс
покоя (Ев ,...., 100 rэв тА, тв,-...,.1 rэв), DОЭТО1\fУ C хорошей
точпостыо
vl у2т А Е'п,
433
На рис.. 6.5 поназан вид этой зависимости в случае протон-
ПРОТОНIП,JХ столнновений. Из rрафИRа видно, что энерrИJJ
обычноrо ускорителя распределяется достаточно неэффек-
тивно на создание «массы покоя » новы х частиц уходи'»
сравнительно небольmая доля у2т А Е в полной энерrии
Ев, остальная энерrия в общем--то тратится впустую.
она переходит в энерrию поступательноrо движения обра..
зовавшейся частицы. Например, в Серпуховсном УСНО.
рителе (70 rэв) полезно расходуется лишь около 12 rэв
(М 12 rэв), в нрупнои
современном УСRорите&ле в Ба..
тавии (500 rэв) па соэдание
новой Macc покоя М иде'!'
только 30 rэв.
Очевидно, чтобы избавить-
ся от этих непроизводите.тrь-
ных затрат, нужно сделать
так, чтобы образовавшалея
частица не двиrаласъ nOC.JJ8
cBoero рождения. Эту прпбде'.
м:у решают ускоритеЛЕ Efa
встречных пучках, в КОТОРЪ[л
стаЛRИВf\Iощиеся чаСТИЦI.! ДВИiк.утся навстречу друr Л:V yry
с одинаковыlIии И1\lпульсаl\-IИ. И:м:пульс обраЗ0ваВlIIеiIСf пr;"
встреЧIIО:М столнновении частицы будет равен НУЛIU. 11 вс}-4'
ЭllерrIIН налетевinих частиц 10iI\eT IIОЛНОСТЫО перойти
в эперrIIIО ПОRОЯ, Т. е. в l\laCC у 1\1 == Е о новых части ц. Два
встречных пучиа по 70 fэВ были бы эквивалентны одпо rу
ускорителю на нерrИIО Е == М2/2т 10 000 I'эВ! Oд
напо здесь есть и свои трудности. Обычно из ускорителя
вылетает пучок, соде.рiнащий сравнительно небольшое по
Iа.кроскопичес.ким 1'.I сштабам число частиц. Он стаJll{И
вается с ПОRоящепся :мIIшены", содержащей отро:мное
:маRРОСRопичеСRИ большое ЧИСЛ9 частиц, наПрИ11Ср,
с .протона:ми жидководородной ПУЗЫРЬRОВОЙ иа.11ере.
Одновре Iенно происходит 1\1ножество актов столкновений,
результаты 'которых фиксируются нашими прибора Ill.
Блаrодаря этому удается зареrистрировать даже про
цессы, происходящие чрезвычайно peДKO, а они бываIОТ
сам:ыми интереСНЫ1vIИ. Напротив, во встреЧНО1vl пучке
плотность частиц невелика, столкновения происходят не..
часто, их приходится долrо ждать. Быиrрывая в энерrии,
мы проиrрываем во врем:ени наблюдения. Тем не :м:енее
ускорители на встречных пучках уже сейчас работаIОТ
в Новосибирске, Женеве и США, строятся и проекти
40 Е roB
01 .
20
200
400
Рис. .6.5.
134
руются новые УСRорители и повышающие их эффектив..
ность накопительные кольца, в том числе и в Серпухове
па эперrию порядка 3000 rэв. Встречные пучки с энер.'
rией 3000 rэв эквивалентны] обычному УСRорителю про..
тонов с покоящейся м:ишенью, энерrия частиц в котором
должна была бы равняться 4500 000 rэВr *).
Эту rлаву хочется закончить слеДУЮЩИl\I замечанием.
Мы выводили выражения для энерrии и импульса реля--
тивистсних и нерелятивистских частиц, используя свой-
ства кинематичеСRоrо rрафа упруrих столкновений и тео...
ремы синусов и косииусов rеометрии Лобачевскоrо и reo..
метрии Евклида. Все эти рассуждения можно ПОЧТII дoc
ловно перенести и на воображаемый случай сферической
rеометрии пространства скоростей. Быть может" природа
rде то использует и эту возмо}нность, И в некотором rипо..
тетическом мире rипотетических «сферонов)} при столк...
новениях частиц выполняются законы сохранения энер-
rии и импульса, но энерrия и импульс этих страllНЫХ ча-
стиц связаны между С,обой со тношением Е2 + р2 :=7;''': т 2 .
Мы хотим предоставить читателям редчайшую возмож-
ность самостоятельно развить новую теорию ........ механику ,)
Qтличающуюся от механики Ньютона и Эйнштейна. По.
пробуйте шаr за шаrом уотановить все основные формулы
и следствия этой «воображаемой механики>).
Задачи и дополнения
1. Преобразование импульса при переходе в HOBYIO
систему отсчета. Найдите составляющую импульса частицы А в
системе отсчета S, цараллельную направлению движения системы
отсчета О, если известны: такая же составляющая И?fпульса и энер'"
rия частицы А в системе О и скорость системы О относительно S.
А ка:., нзменяется перпендикулярная со.ставляющая импульса'!
(Ответ и подробное обсуждение можно найти в Приложении.
Формулу 'преобразовапия энерrии мы вывели выше см. (6.15).)
2. Релятивистская энерrил частицы. В разделе 6.4 с помощью
кинематическоrо I'рафа из сохранения полноrо импульса при упру...
rOM толкновении в систем S мы вывели, что импульс частицы А
массы тА' движущейся со скоростью VAJS == th а, обязан иметь вид
km А sh а, и показали, что k == 1. Как lJ.oказать аналоrичное утвер"
ждепие для эперrии?
у к а з а н 11 е . Пусть частица А упруrо сталкивается с qаст:и",
цей В массы тв, скорость которой равна 1 BIS == th Ь (см. рис. 6.2).
:;') В ЦЕРНе (Женева) сейчас раб-отаеТtускоритель на встречныХ1
протон антипротонных пучках с суммарной энерrией Ео == 270 +
+ 270 == 540 rэБ. Эквивалентная этому зверrия обычиоrо уско-
рителя равна 146 OOO rэв,
31
Вверrия частицы опрепел.яется ее массой и скоростыо, ПОЭТО14У)lО"
80 считать, что 8верrия Е А частицы А равна 'А (сЬ а), а Ев :::;а
r= IB(ch Ь), 1'11 e 'А (х) 11 IB (х) ...... Rакие--Т8 функции (ИВl1ексы А и В
yxa3blBaloT на зависимость этих ФУIIRЦИЙ от масо частиц). сумма
IA (сЬ а) + 'в (ch. В) == Е ..... это сохраняющаяся полная энёрrиа
системы. Выразите в этом равенстве ch а и сЬ Ь череа yroJl <р и не
В8висящие от Hero отреЗRИ ай, Ь о , d ( M. рис. 6.2) и ПР О l1 и фФеревц..
рУЙТе ero по q>. ПокаiI ите, что при JIюбых а и Ь ' (ch а) : fB (сЬ Ь)_
== тА : тв, Выведите отсюда, что эверrия частицы массы т при
скорости движения v == th х равна kfт сЬ х + k z .
3. Нерелятиввстский случай. Польауясь кивематическШJ rрафом
упруrоrо столкновения и ваконами сохранения, докажите, что а
нерелятивистском случае р == kтv, Е == kiтv3 + k..
1 Е+р
4. Докажите формулу а == т ln Е...... р t rl1e Еи.р -- 8нерrиJI и
импульс 1Jастицы, l1вижущейся со скоростыо v == th а.
rЛАВА 7
КИНЕ;МАТИКА СТОЛКНОВЕНИИ
РЕЛЯТИВИСТСКИХ ЧАСТIIЦ.
ФОТОНЫ
Bce t что мы знаем сейчас об элемептарны
частицах}..... это результат напряженной работы эксп ри"
ментаторов и теореТИRОВ;w; изучающих столкновения ча-
етиц высоких энерrий \ во 'мноrих лабораториях мира.
Здесь мы не МОЖ,ем подробно останавливаться на том" как
именно это делается" хотя рассказ об этом мою бы быть
захватывающим и иптерес:иым *). Наша цель более про-
ста ...... познакомиться только с основными понятиями ре-
ЛЯТИВИСТСКОЙ кинематики" с законами сохранения энер-
rии импульса и освоить ЯЭЫR кинематических rрафов
в релятивистском пространстве скоростей. Этот язык
привлекает как rеометрической паrлядностью,_ так и своей
универсальностью....... он автома,тичеСRИ учитывает законы
сохранения энерrии и импульса в произвольной системе
отсчета. Чтобы лучше овладеть им" ..мы рассмотрим йе..
сколько классических задач релятивистской теории столк"
новений.
7 .1. У пруrое рассеяние частиц
одинаковой массы
На рис. 7.1 приведена фотоrрафия}. сделан..
вая в камере Вильсона: быстрый элеКТР.Н J летящий слева"
рассеивается на покояще ся электроне. Следы частиц,
участвующих' в столкновении, видны на фотоrрафии
в виде цепочки капелек сконденсировавшеrося пара. Эти
следы носят название треков **). Обратите внимание на
уrол между треками рассеянноrо электрона и электрона
отдачи, т.е. уrол} под которым разлетАютСя элентроны после
*) Можно указать, например, на квиrи, Y}I\e вышедшие в серии
«Библиотечка «Квант»: К о п ы J1 О В r. и. Bcero лишь кинемати-
ка. Вып. 11; Б о р о в о й А. А. Как реrистрируют частицы.
Вып. 15. -
**) Искривление треков обусловлено маrнитным полем, с по-
мощью Koтoporo опреАелЮIИСЬ ИШIупьсы 8JI8КТРОИОВ,
131
столкновения. Он значительно отличается от прямоrО iJ
что полностью противоречит предсказаниям, сделанным
пами в rл. 1 для рассеяния- нерелятивистских частиц.
Попробуем объяснить это явление -и попутно вычислим
скорость", с которой двиrался налетавший электрон.
Рис, 7.1.
Построим в пространстве скоростей кинематический
('раф, отвечающий этому процессу (рис. 7.2). Точками А
в В изображаются скорости электронов до столкноnеНИЯ t
точками А' и В' ........ их скоро..
сти после рассеяния. Массы
частиц одинаковы, поэтому то..
чка. О, отвечающая системе
центра facc является cepeди
В ПОй обоих отрезков АВ и
А' в' . Так как язык кинема..
,
тических rрафов автомати-
чески учитывает законы сох-
ранения энерrии и импульса..
то Hal\1 остается совсем нем..
Horo ..... установ-ить соответст-
вие между rрафОl\1 и тем, что мы видим и MOi-кем измерить
на фотоrрафии. Друrими слов'ами, на rрафе нужно выб..
рать очку J, отвечающую лабораторной системе отсчета)
в которой была сделана фото. рафия. Выбор очевидеН J
ибо один из электронов, скажем электрон А" до столкнове-
ния покоился в лабораторной системе. Соединив точку
А на rрафе прямыми с точками A l и B'.Ii .мы полуqии СЛ
A
cv
А
а
Рис. 7.2.
138
дующие три yrJIa (рис. 7.2) : '6' == 1iAВ' --- уеОА рассеЯnUll
:в лабораторной системе Aj; ct == A f А.В ..... уеОА отдачи,
ПОД которым JfЫлетает покоивmийся электрон! и ::1
, aQ.
-= А АВ === а + "\Т ........ уеОА раз.ltета t Т. с: уrол между
направлениями скоростей. электронов после столкнов
ния, равный уrлу между их треками на фотоr:рафии. Те--
перь слово 8а rеометрией.
Чтобы вычислить уrол разлета р == а + t}f найдем.
Б ) r связан каiНДЫЙ из уrлов а и it по отдельности с уrЛОII
рассея'ния <р === ВОВ' в системе центра масс. .Связь между
уrлами рассеяния {} и ер в этих двух системах отсчета
пабораторной и системе центра масс ...... полезна и сама
П9 себе. Дел.о в том, что для теоретических расчетов yдo
нее система центра масс,. а ЭRсперименты ставятся в лабо.
раторной системе, rде покоится мишень, а потому прих<r
дится пересчитывать формулы из первой системы во вто-
рую. Вывести зависимость между '6' и <р совсем леrко. Па
точки О опустим перпенди:куляр ОР на прямую AB .
В F прямоуrольном треуrольнине АО Р уrол (j АР == i}.
A ' )
а уrол ОР == 1/2 АОВ =" 1/2 (n ........ <р , потому что,,: как
и в евклидов ой rеометрии, высота О Р равнобедренноrо
треуrольпи:ка АОВ' в пространстве скоростей совпадае17
с ero биссеI\ТРИСОЙ. (Это видно из сообращений симметрии;
cTporoe доказательство проведите самостоятельно.) За..
ПИI1IQМ теперь соотношение (5.13) rеометрии Лобачевс:коrо
Н jНДУ rипотепузой fI АО 11 == а треуtольника АОР и при..
леiI\ащими н пей уrлаlVПJ:
:rt ер \ 2 Jn q>
С tg ,1> с 1 g 2 === с h а, т. е. tg tt == Е о tg 2 ' (7 .1 )
rде Ео == 2т ch а сум:марная энерrия частиц в системе
центра масс. Точно так же вычисляется уrол отдачи а.
ОПУСRая пз ТОЧИВ О высоту треуrольника AOA l l ,: найдем.
что
2т
ctg а ctg 2 === сЬ а, т. е. tg CG == Ео ctg 2 . (7.2)
В не релятивистском пределе, коrда Ео 2т,; форм:улы
(7.1) и (7.2) приводят нас к уже известному по rл. 1. резуль-
тату: tg i} ;::::: tg ер/2" tg CG == ctg ep/2'j т. е.
{} ;::::: ер / 2 " CG == n /2 ...... ер /2.
'Уrол разлета частиц будет в этом: случае прям:ым: ==
:;::: а + {) ;::::: 1(/2. Этот фант можно объяснить и по..дру-
139
rOMY. В равнобедренных треуrольни ках АОА! и АОВ1
уrлы при основаниях равны, т. е. O A tA == ОАА ' =;: ,
оВ(А. == QXВ' ::::; . Следовательно, уrол == а + t)
равен половине суммы всех у:rлов треуrолыfкаa АА' В..
Это верно и в н'ерелятивистском ж и в релятивистс!< ом слу-
чае. Но первом случае rеометрия пространства скоростей
евнлидова I сумма уrлов треуrОЛЬИИК8 равна л; и уrол раз-
пета всеrда прямой. Во втором же случае действуют за.
ноны rеометрии ЛобачеВ'СRоrо, сумма уrлов треуrОЛЬБйка
меньше л; и yr0.1! разлета частиц должен быть меньше прл-
Moro.f. что прекрас о видно на фотоrрафии (рис. 7.1). ТаК
что ее можно рассматривать нан прямое энсперименталь'"
вое подтверждение неевнлидовости rеометрии релятиви-
CTcRoro пространства скоростейl
Исследуем поведение уrла Р при существенно реляти-
вистском СТОЛ.J{новении более детально. В формулу для
котапrенса суммы а и tt:
ctg === ctg (а + '6) == ,.... tg а tg {)
tg а. + tg {)
подставим выражения для tg а и tg из (7.1) и (7.2),
t А 1 ..... (2т/EoY 1 ( Ео 2т ) .
с g t' === == ................................. s 1 n ер
( <Р q> ) 2 2т Ео ·
(2тjE o ) t,g т + ctg т
(7.3)
Если уrол <р мал" то в лабораторной системе быстрая части-
ца тоже рас сеивается на небольшой уrол '6 .( см. (7.1) ).!
ТОЧRИ А и А на rрафе близки друr к друrу и частица от.
дачи A движется почти перпендикулярно к направлению
движения налетающей частицы В. Здесь мы имеем дело
с праRтически нерелятивистским случаем,; ибо ctg о
и п/2. с увеличением yrJfa <р правая часть равенства
(7.3) возрастает" а уrол разлета Р убывает и достиrает свое.
1'0 наи:меньшеrо значения при <р == 'Л/2. При этом в лабора-
u .
торнои системе частицы разлетаются СИМ lетрично отно-
сительно направления движения налетаlощеrо электрона.
Как р,аз таRОЙ случай и зафиксирован на фотоrрафии
(рис. 7.1). Минимальный уrол разлета Pmin определяется
любой из двух ЭRвивалентных формул:
R ' 1 ( Ео 2т ) , fJml Ео 7 4
ctg t-'mln === т 2т или ctg 2 == 2т · ( · )
На рис. 7.3 мы построили rрафик зависимости mln ОТ 0'1'-
!4О
ношения Е о /2т, ,rде Ео ........ энерrия двух частиц в системе
их центра масс. При симметричном рассеянии в ультра-
релятивистском пределе
(Е о 2т) уrол разлета min
стремится к нулю. На нашей
фотоrрафии уrол равен при
:мерно 550, Е о/2т ;::=: сЬ а ;::=:
=== 2,17. Расстояние а между
точками О и А найдем с по
мощью формул (7.4), оно paB
но 1,41. Теперь мы можем
вычислить скорость налетаю Рис. 7!З t
щеrо электрона в лаборатор
ной системе: v === th 2а ;::=: 0",887. Ова оказывается равной
0,887с электрон действительно релятивистский.
fimtn
1!
2
J
4 !J.
2т
1
2
7 .2. У пруrое рассеяние ТJlЖeJIОЙ частицы
на покояrцейся леrкой
Эта задача уже знакома нам по rл. 1.! посвя-
щенной нерелятивистской кинематике. Там мы устано-
В,или, что налетающая тяжелая частица не может рассе-
яться на .слишком большоji'уrол, в этом случае существу-
ет м ксимальный уrол рассеяния, который определяется
отношением масс двух с,тал-
кивающихся частиц: sin'д'mах==
;:::: тА/тв. Что же изменит-
ся в релятивистском случае j
коrда скорость налетающей
тяжелой частицы В сравнима
со скоростью cBeTl\? Постро-
им в пространстве скоростей
кинематический rраф этоrо
процесса (рис. 7 .4). CKOpOC Ь
центра масс сталкивающихся
. частиц будет изображаться
точкой О, положение которой на отрезке АВ опреде.:1яется
релятивистски:м: правилом рычаrа тА sh а == тв sh Ь. Точ-
КИ В!, изображающие ВОЗ lожные скорости рассеянной
тя нелой 1:J:астицы, располаrаются 'на окружности радиуса
Ь с центром в точке О. Лабораторной системе отсчета,$
в которой покоилась леrкая частица мишени -А,,) отвечае11
на rрафе точка А. Она лежит вне екружности" ибо", aH
следует из правила рычаюа." 11 ОА ] :=; а > ь. Поэтому
wrол !'ассенния {t тяжелой частицы в лабора.тОРНОЙ си"
14!
(v
А
в
Рис. 7.4.
АЛ '
CTeMe. Т. е. уrол В. . па rрафе, не может быть слишком
большим .....: ero максимальное значение достиrается тоrда,
I(оrда прямая АВ' касается окружности (докажите это..
пользуясь теоремой синусов rеометрии Лобачевскоrо).
Б этом случае треуrОЛЬНИR АВ'О ....... прямоуrольный} и для
uero можно ваписать соотношение (5.10),,] выражающее ка..
"ет fI ОВ' == ь через rипотенуву 11 ОА == а и противо..
nеmащий уrол i == "шах:
вЬ Ь == sh а sin '6'тах.
Соrласно релятивистскому «правилу рычаrа» sb Ь : sh а=-
== тА :. тв, поэтому мы получаем точно ту же фор-
мулу для {}тах, что и в iIерелятивистском случае;
sin "тах == вЬ b/sh а == тА/тв
в лабораторной системе максимальный уrол рассеяния
тяжелой частицы на леrкой зависит только от отношения
их масс и не зависит от энерrий. Измеряя максимальный
уrол в достаточно большой серии экспериментов, в принци..
пе, можно определить массу ТЯjнелых рассеивающих час..
тиц, так как масса частиц мишени нам-- обычно известна.
7.3. Упруrое рассеяние леrRОЙ
релятивистской частицы
на по оящеiiся тяжеJIОll
Этот процесс l\Ibl раССl\[ОТРИМ более подроGНО t
приче ;f постараеJ\IСЯ выяснить, кан Iеняется Jflерzuя час..
тиц при рассеянии. Впоследст13ИИ это позволит Hal\I обсу....
ДИТЬ ОДИН из важнейших физичеСКIIХ ЭI\сперИ'о'I!3UТОВ
опыт Ко:м:птона по рассеянию peHTreHOBCKoro JIвлучения
в веществе". .
C eMa эксперимента выrлядит примерно так: пучок
частиц с определенной энерrией Е рассеивается на !vlише...
ни и измеряется распределение рассеянных частиц по
энерrиям Е' при различных заданных yrJlax рассеяния
{}. tlайдеJ\1 заВИСИ 10СТЬ Е' от t} при упруrО l столкновении
леrкой частицы с тяжелой. Rинеl\fатичеСI\ИЙ rраф этоrо
процесса приведен на рис. 7.5. Точна. А. соответствует тя'"
желой частпце с lассой тА == М, покоящейся в лабора..
торной систем е, точка В изобраlIUlет скорость налетаю...
щей леrкой частицы l\Iассы т]J == п1, а точна В' ....... ее ско"
рость после рассеяния. ОбознаЧИ 1t через с ДJIИНЫ равных
меiRДУ собой отрезков АВ и А' В', через с' п d....... ДЛllНЫ
{4
отрезков АВ' и ВВ' соответственно. Тотда энерrия леrкой
частицы до рассеяния равна Е ;:::; т сЬ 11 АВ 11 == т сЬ с;
Е ,
а после рассеяния равна ==
== т ch " АВ' " == т ch с'. Вос..
пользуемся тем, что закон co
хранения энерrии справедлив
в любой системе отсчета. Удоб...
А
нее всето взять систему покоя
В' леrкой частицы после pac
сеяния, тде этот закон прини..
мает вид т сЬ 11 В' в fI +
+ м ch 11 В' А 11 == т +
+ м сЬ 11 В' А' 11 (напомним, что
энерrия покоя леrкой частицы равна ее массе т), т. е.
m сЬ d М ch с' == т + м сЬ с,
@
Рис. 7 .5
(7.5)
Найдем зависимость от уrла рассеяния t) == fiJJ' пер..
вото слаrаемоrо в левой части т b d. Выразим ero с по.
мощью теоремы косинусов для треуrольника АВВ' 1
сЬ d == сЬ с сЬ с' ....... sh с sh с' cos t) ==
== сЬ с сЬ с' (1 ..... th с th с' cos t).
Теперь спомним, что th с == v и th с' == v' ..... это скорости
леrкой частицы, а т сЬ' с == Е и т сЬ с' == Е' ....... ее. энер.
rии до после рассеяния в лабораторной системе, и.
следовательно,
Е Е'
с h d ==....................... (1 ...... vv' с 08 t).
т т
Подставляя это выражение в ваков сохранения энерrии
(7.5), мы получим окончательную формулу, связывающую
начальную и конечную энерrии- налетавшей частицы Q
уrлом ее рассеяния
М (Е ..... Е') == ЕЕ' (1 41I08IO vv' cos t) ..... т 2 . (7.6)
Она предстаВJlяет наибольший интерес в ультрареля..
тивистском, .пределе" котда энерrия Е" а значит и Е! мно"
ro больше массы покоя леrкой ч:астйцы: E Е' т. Ее
спорость до и после рассеяния в этом случае очень близ-
, .
ка к скорости света" v 1" v 1" кроме Toro в правой
части (7.6) можно пренебреч:ь квадратом массы т 2 по срав"
нению с первым членом. содержащим произведение ЕЕ'.
В результате мы получим простое соотноmение которое
известно как формула Комптона:
М (Е .... Е') ;;; ЕЕ' (1 ..... соз "). (7.7)
f4З
7.4. Эффект Комптона. Фотовы
в 1923 ю. Артур Комптон, наблюдая рассел-
вив рентrеНОВСRИХ лучей на rрафитовой мишени,. обнару-
IRИЛ J что часть рассеяиноrо излучения имеет частоту у'.
меньшую, чем ч стота v пада
щеrо пучка. С точки 8рения
классической теории этоrо .эф.
фекта быть не должно. Она объ..
ясняла рассеяние любоrо элек..
тромаrнитноrо излучения сл
дующим образом. Пере:dенное
электрическое поле падающей
волны действует на пеrкие 8а..
ряженные частицы ...... электро
H ,, всеrда имеющиеся в веще.-
стве" и заставляет их совер-
шать вынужденные колебания
с частотой! равной частоте па
дающей волны. Колеблющиеся
электроны в свою очередь излу-
чают «рассеянную» эпектромаr..
витную волну J, частота которой
совпадает с частотой колеба-
ний И8лучающеrо электрона.
'т. е.с частотой первоначальной
ВОЛНЫ.
Давайте теперь ПОСМОТРИ I на
результаты измерений" прод'
панных Комптоном. На рис. 7.6
представлены rрафики зависи:'
мости интенсивности рассеян-
Boro излучения ОТ ero частоты
при четырех значениях, уrла
рассеяния .о. Правый пин .па
этих rрафиках отвечает частоте
Частота рассеянных' !рОТОНОВ падающеrо peHTreHOBCI(OrO из...
...
пучения ", но при yrJlaX рас-
Рис. 7 6, сеяния" отличных от нуля, по-
является второй пин интен..
сиввости.. максимум KOToporo приходится на меньшую
частоту 'У'. причем с увеличением уrла рассеяния этот пин
смещается в область меньших частот.
Эти результаты находились в очевидном противоречии
с классnескими В8rJlJlДами па ЭJlеКТDомаrнитное излуqе-
fJ. ;;= 00
fJ == 450
о
ж
Q
!;
в-
11
со
р..
fJ. =- 900
..
о
s:
Ir
'44
пие и ero взаимодействие с веществом. Выход был найден
JВ синтезе релятивистской механики и квантовых идей.
Еще в работах М. Планка об излучении черноrо тела
(1900 r.) и А. Эйнштейна о фотоэффекте (1905 r.) было п
Rазано" что электромаrнитное излучение необходимо при-
знать состоящим из отдельных порций вanтoв", или
фотонов, которые обладают вполне определенной энер
тией Е обычв == hv *) и движутся СО скоростью, равной
скорости света (собственно" они и есть свет). Представле.-
ние об электромаrнитном излучении как о потоке час
тиц ---- фотонов позволяет леrко дать качественное объяс- '
пение результатов Rомптона. В самом деле, каiI\ДЫЙ квант
peHTreHOBcKoro излучени (фотон) может столкнуться со
; свободным или слабо связанным электроном в веществе ,;
мишени. В результате фотон рассеется на какой то уrол
'6, и ero энерrия, а с вей и частота уменьшатся, так как
часть первоначальной энерrии налетающеrо фотона будет
унесена электроном отдачи. Эти качественные рассужде
ния нужно подкрепить и I\оличественным расчетом. Нак
)не ето провести, если все полученные нами до сих пор
формулы относились К «обычным» частицам, ДВИil УЩИМСЯ
с досветовой скоростью? Можно попытаться перейти в них
J( пределу, устремляя соответствующие скорости к ско"
рости спета. Но даже с чисто формальной стороны это
удается далено не всеrда. Уже самые основные ФОРМУЛЫ.t;
определяющие энерrию и импульс релятивистской час..
q'ицы,l
т
Е == т сЬ а == 11 '
1 ...... v 2
(7.8)
mv
р === т sh а ===
У1 v 2
теряют смысл для фотонов и" вообще" любых частиц, дви-
жущихся o скоростью света: при v === 1 они дают беско-
вечные значения энерrии и импульса. Чтобы спасти по..
пожение, необходимо считать массу фотона т равной ну-
лю. Но и это мало помоrает" потому что при т О" v 1
в формулах (7.8) возникает неопределенность и чис..
лители, и знаменатели обращаются в нуль. Таким образом
*) Напомним, что в нашей системе единиц скорость света равна
единице, а энерхия и импульс измеряются в единицах массы. Таким
образом, для фотонов получаем Е == ЕОбычиlс? == hv/c?, Р ==
== Робычн/С' rде h ---- постояввая Планка (h == 6,6256.10 34 кr.И 2 /С)
и v частота электроиаrвитноrо излучения!
6 8. Н. ДуБРОВСRИЙ И др. {45
формулы (7.8),; взятые по отдельности, неприменимы R фи...
зичесним объентам, движущимся со сноростью света. Oд
вано из них можно вывести соотношения, остающиеся
вполне осмысленными и при переходе к 'таким объектам.
Первое из них получаеТСЯ t если ИСRЛЮЧИТЬ из (7.8) массу
чаСТИЦЫ f поделив выражение для импульса на выраже..
вия для энерrии: р! Е === v или
р == Ev.
Из Hero следует,. что р!Е 1" ноrда снорость частицы
стремится H снорости cBeTa. t а при v == 1 оно становится
совсем простым:
для любьtх частиц;; движущихся со споростью ceeтa t
, импульс равеп эnер2ии.
Второе соотношение можно получить, ИСRЛЮЧИВ из (7 .8)
снорость частицы. Это хорошо известная нам формула для
нвадрата массы:
Е2 ........ Р 2 == т 2.
Вместе с равенством Е == р она еще раз поясняет, почему
,Масса частиц" движущ,ихся со споростью света." равпа
нулю.
Фотоны и друrие физические объеКТЫ. t масса которых рав-
на нулю" MorYT находиться только в со.стоявии движения
со скоростью CBeTa. их нельзя ни ускорить" ни замедлить.
Пока они существуют.t; эта постоянная скорость им при-
суща так же" как друrим частицам присущи постоянная
масса или заряд. Но безмассовые частицы обладают впол-
не определенными энерrиями и имnульсаМИ. t которые ио-
u
rYT меняться в процессе взаимодеиствия с друrими ч.а<r
тицами. И при этом, как показывает зксперимент, в таких
взаимодействиях всеrда выполняются законы сох ранения
эверrии и импульса. Примером TaKoro ЗRсперимента мо-
жет служить опыт Комптона, к которому мы сейчас вер-
вем я.
Выведем формулу", определяющую сдвиr частоты рас-
сеянно о И3JIучения в этом опыте. Для этоrо сделаем пре-
дельный переход в формуле, задаIощей энерrию Е' частицы
массы т после столнновеиия с частицей массы М (Форму-
.па (7.6) предыдущеrо раздела):.
М (Е ..... Е') ::;; ЕЕ' (1 .... vv' cos it) .... т 2 . (7.9)
&
Зафиксируем в этом равенстве величины Е и Е' Э}Jер--
rий налетающей частицы до и после рассеЯНИЯ f а ее мае--
су т устремим к нулю. Тоrда ее скорости ДОЛ)RНЫ стре--
миться к скорости света: v, v' 1. Так же как и в фор--
мулах р == Ev и Е2 р2 == т 2 , никаких н определенно--
стей и бессмысленных выражений при этом не возникает.
Во всех этих формулах мы мо)кем беспрепятственно по
ложить скорости равными 1, а массу т равной О, и по
лучить соотношения уже для безмассовых частиц.......
фотонов. В результате формула (7.9) превращается в зна--
RОМУЮ нам ультрарелятивистскую формулу (7. 7), OTBe
чающую предельному сл'учаю энерrий Е и Е', IHoro
больших массы леrкой частицы т:
М (Е ....... Е') == Е Е' (1 ........ cos {t).
ЭRсперимен показы ает-, что такой способ получения
формул для без массовых частиц всеrда ПрИБОДИТ к пра--
вильным результатам. В частности, экспериментальные
данные Q зависимости энерrии от уrла рассеяния tt с xo
роmей точностью совпали е предсказаниями, даваемыми
теоретической формулой Комптона. Опыты Комптона
подтвердили не только качественно, но и количественно
предположение о том, что фотон ведет себя как релятиви--
стская частица, обладающая энерrией и импульсом р == Е,;
причем при взаимодействии со свободными электронами
полный импульс и энерrия в системе «электрон + фотон»
действительно сохраняются.
Реально в ОПЬJте Комптона измерялась частота рас--
сеянной волны, поэтому формулу Комптона уместно пере--
писать в обычной системе единиц, поделив одновреМенно
обе части на Е' == hv' и выразив анерrию фотона через
ero частоту:
v hv
.,... === 1 + М 2 (1 ---- cos 6).
....'V С
(7 .10)
Частота фотона не меняется только при рассеянии на ну-
левой уrол, при увеличении уrл'а '6 частота и энерrия рас...
сеянноrо фотона уменьшаются, причем сдвиr частоты
максимален .при рассеянии «назад», коrда t)- == п. Это И
наблюдал А. КОМПТОН (левые пики на рис. 7.6). Чем же
тоrда объяснить, что и при больших уrлах рассеяния на
rрафиках имеются, пики, отвечающие частоте падающей
волны? Дело в том, ЧТО в столкновении фотона с электро-
ном, находящимся на близкой 'н ядру оболочке и потому
сильно связанным с ядром, участвует уже не отдельный
электрон,1 а весь атом как целое. Но тоrда в формулу (7.10)
6* i47
для сдвиrа частоты надо вместо массы электрона М пuдста-
вить массу всето атома, которая для rрафита более чем
в 20 тысяч раз превосходит массу электрона. При этом
добавкой :2 (1 cos "") в правой части (7.10) можно пре--
небречь, следовательно, при рассеянии фотонов на таких
электронах сдвиrа частоты не происходит.
На формулу Ко.мптона можно взrлянуть и с друrой
стороны. Перепишем ее так:
М === ЕЕ' (1 cos tt) ( 7.1 1)
Е Е' ·
Если рассеяние происходит на мишени, которая содержит
неизвестные нам частицы, то их массу можно вЪLчuслuтЪ'J
подставляя в эту формулу uз.мереННЪLе значенuя Е, Е' и t}.
Если при разных уrлах рассеЯНJ:IЯ t} мы будем получат од--
ну и ту же величину, то можно смело утвер}l\дать, что рас..
сеяние действительно происходило на почти свободных
частицах с массой М. Чтобы на .экспериментальном тра..
фике мо}нно было уверенно различать присутствие двух
пиков с энерrиями Е и Е', энерrия частиц налетающеrо
пучка должна быть достаточно велика (Е /"'tJ М), одновре--
менно она должна быть существенно больше энерrJIИ взаи..
модействия неизвестных частиц с веществом, ведь формулу
Комптона мы выводили для рассеяния на свободНЪLХ час..
тицах. Если эти условия соблюдены, как это и было в опы..
тах Комптона, то экспериментальные rрафики на рис. 7.6
можно интерпретировать следующим образом.
Два пика интенсивности рассеянных частиц при фик"
сированном уrле t} свидетельствуют о том, что в веществе
мишени присутствуют два сорта частиц. Это" во..пеРВЫХ,tJ
тя}нелые атомы, масса которых мното больше энерrии на..
nетающих "..квантов Е; рассеянию па них отвечает пра..
вый пик с Е' == Е. Левый пик отвечает рассеянию фотонов
на леrких частицах, массу которых можно вЫЧислить по
формуле (7.11) при разных уrлах рассеяния {t. и всетда
при этом получается величина Nl,; близкая к массе элек..
трона, уже известной из друrих'j независимых,' экспери...
ментов. Это позволяет окончательно1'tотождествить леrние
Частицы в опытах Комптона с электронами.
7.5. Эффект Доплера
До сих пор мы почти не rоворили о том,; как
же реально измеряются скорости движущихся тел. А та-
кие задачи очень часто ВОЗВИRают в современной науке
148
и технике. Для Rоррекции орбиты межпланетной станции
нужно очень точно звать величину ее снорости в момент за...
пуска двиrателя ........ с точностью до 1 М!С при снорости по...
РЯДRа 10 нм/с. Радиолонационные системы обнаружения
ранет и самолетов тоже должны точно измерять величину
и направление СRоростей их полета. Астроном хочет из..
мерить СКОрОСТЬ,далекой rалаRТИRИ, а автоинспектор
скорость автомашин в потоке транспорта. И во всех этих
случаях используются приборы., принцип действия ROTO"
рых один И тот же ....... это эффеRТ Доплера. Суть ero заклю"
чается в том", что частота электромаrнитных волн зависит
от относительной скорости источника излучения и наблю...
дателя. Этот эффент характерен для любоrо волновоrо
движения, и ero можно наблюдать, например, Rоrда мимо
платформы проносится rудящая элеКТРИЧRа. Высокий
звук сирены приближающеrося поезда сменяется более
низким звуком с меньшей частотой, ноrда поезд удаляется
от наблюдателя. Сдвиr частоты зависит от Toro, с Rакой ско.
ростью движется источник звука. Эффект Доплера в об..
щеж случае зависит как от скорости источника, так и от
скорости наблюдателя относительно среды;в которой рас-
пространяются звуковые волны. Для элептрожааnитnыz
волn ситуация более проста ........ в соответствии с принци-
пом относитедьности сдвиr частоты может зависеть толь-
БО от вектора относит льной скорости движения источни",
ка и наблюдателя; ни о какой «среде», в RОТОрОЙ распро..
страняются электромаrнитные волны, не может быть и
речи. Постараемся же определить эту зависимость.
Частота электромаrнитных волн связана с энерrией
фотонов формулой Планка Е обычн == hv. Если мы найдем,:
как меняется энерrия фотонов при пере... l'
ходе из системы отсчета источника в си.. @
стему движущеrося наблюдателя,то одно..
временно получим и формулу для доиле-
pOBcKoro изменения частоты. П рименим
тот же приеМ t что и при выводе формулы
Комптона. п рипиmем фотону некоторую .8
конечную массу t определим ero энерrию
в новой системе отсчета, 'а затем перей...
дем к пределу т......О'1 v --+ 1. На рис. 7.7
изображен соответствующий rраф в про-
странстве скоростей. Точка А ........ система отсчета излучате..
IIЯ, в которой энерrия частицы F с массой т равна Е А ==с
== т сЬ а. Точка В изображает скорость набдюдателя-,
движущеrося ПОД уrлом " к напра1Jлению движения час..
149
тицы F.f- причем VB I А t::: th Ь. Энерrпя частицы F в системе
отсчета В будет равна Е в == т ch а'. Ее можно найти
с помощью теоремы RОСИНУСОВ для треуrОЛЬНИRа АВР;
Е в == m ch а' == m (ch а ch Ь sh а sh Ь сов {t) ==
== m ch а (-ch Ь ..... аЬ Ь th а С.ОБ -О).
Отношение эперrий
Ев/Е А == m ch a'lm ch а == ch Ь sh Ь th а cos {t
уже не будет зависеть от м:ассы частицы и предельный пе
реход к фотону оказывается очевиДНЫМ: точна F уходит
на абсолют прострапства сноростей, а скорость частицы
'v :z:= th а становится равной единице. В результате мы по...
лучаем формулу для преобразования энерrии фотона,)
а одновременно и формулу для изменения частоты элентро'"
маrнитной волны при переходе в друrуlO инерциальную
систему отсчета:
'V B/'V А === h'\J B/h'\J А === Е в/Е А === sh Ь сЬ Ь cos tt. (7.12)
Ее можно переписать и в стандартном виде, приводимом
во всех учебниках оптини:
'VB/'\J А === (1 v cos t)/V 1 v 2 .
(7.13)
Здесь v......... относительная СRОрОСТЬ движения систем OT
счета А и В,- а уrол между направлением движения
фотона и системы отсчета наблюдателя В относительно си..
стемы отсчета А. Два частных случая формулы Доплера
представляют наибольший интерес.
Пусть А ....... это далекая rалактика, в которой воэбуж...
денные атомЫ излучают кванты света с частотой 'V А. 3а...
коны физики одинаковы во всех частях наблюдаемой
Вселенной" поэтому спектры излучения атомов, находя..
щихся в одинаковых условиях на 3емле и в rаЛ8ктике А
на расстояниях в. миллионы И миллиарды световых пет
от H8Ct; ДОЛil\НЫ быть совершенно одинаковыми. Но если
эта rаJIактика удаляется от нас с большой скоростью, то
для наблюдателя на Земле каждая линия этоrо спектра"
излученная с частотой" А, окажется сдвинутой и из за
эффекта' Доплера будет иметь друrую частоту "в, отлич"
ную ОТ "А. В том случае) коrда наблюдаемая rалаRтика
удаля тся от нас вдоль ПРЯМОЙ,t соединяющей ее с Землей,
froJI между иаправпевием движения ЗеМJIИ и екоро тью
излученных фотонов в системе А будет равен пулю. Фор-
мула Доплера (7.t2) прио.бретает при ВТОМ ОСО,Q!ЭВВQ
i50'
простой вид (МЫ обсудим ее в следующей rлаве):
'IlB!'YA == ch Ь sh Ь== + (е Ь + e Ь) + (е Ь e Ь) == e ,
(7.14)
Т. е. принимаемая частота будет меньше излученной в е Ь
раз. Это явление было обнаружено экспериментально
и названо -пpaCHЬ M смещением из за Toro, что спектр из--
лучения каждоrо атома смещается в сторону меньших
частот, т. е. в красную область видимой части спектра.
'ТаКИ!\1 образом были измерены СRОрОСТИ мноrих rалактик:
ь ь ,,2 ,,2
Ь Ь е е А В
V==:t === == .
е Ь + e b ,, + "Ъ
Соrдасно этим -измерениям rалактики удаляются друr от
друrа со скоростью, пропорционалыIйй расстоянию мел{--
ду ними. Тем самым подтвердилось" что мы iI\ивем в рас--
ширяющейся Вселенной. 11аиболее далеRИЭ из обнару
женных к настоящему времени бъеКТОВ.t так называемые
«квазары», имеют красное смещение порядка "А: "в ==
== 2 + 2;5" что соответствует скорости удаления v
0,,6 ....... 0",7 от скорости света. Свет от них идет к Ha
миллиарды лет и несет информацию о том! какоЙ была
Вселенная в те давние времена.
Еще одно интересное явление, преДСRазываемое реля--
тивистской формулой (7.12), наличие так называемоrо
поперечноrо эффеRта Доплера. Ero можно наблюдать
тоrда, коrда источник движется перпендикулярно направ--
лепию наблюдения ('6' == п/2). В эт ом сл учае
"BI"A == сЬ а == 1/у1 v 2 .
Интересно 'оно тем, что при таном расположении наблюда..
теля и источника сдвиr частоты возникает ТОЛЬRО в случае
электромаrнитных воли" для обычных же волн в средах
поперечный эффект Доплера отсутствует. Впрочем", и для
влеRтромаrнитных волн этот эффект" как правило, очень
слаб. При небольших скоростях сдвиr частоты практиче--
СRИ пропорционален К,вадрату отношения скорости источ--
ника к скорости света:
"BI"A === (1....... V2) 1/2 1 + v 2 /2 или {VB VA)/VA v 2 /2.
Эта величина обычно очень мала во всех сколько нибудь
peaJI!, ЫX И1 I!l!Х' Иное дело «продольный» эффект
151
Доплера. Коrда в формуле (7.13) мы переходим: R нереля..
тивистскому пределу малых скоростей v 1,t под корнем
можно nренебречь квадратом скорости по сравнению с еди
пицей. В результате получается хорошо известная форму...
па для Rлассическоrо эффекта Доплера:
'VB/VA == 1 v cos '6' ИЛИ (VB VA)/VA ==
=== v cos '6' === (Vобычн/С) cos '6'.
OHa TO и используется при реальном _иамерении скоростей
объектов, о которых мы rоворили в начале этоrо раздела.
Например, Ha космическом аппарате спутнике ,или
межпланетной станции.......... устанавливают радиопередатчик
со стабилизированной частотой" А, а на Земле........ радио..
систему" которая позволяет с высокой точностью изме-
рить "в и cos '6'; по рез'ультатам этих измерений с помощью
формулы Доплера и определяется скорость космичес.коrо
аппарата. Точно 'так же радиолокационные системы изме
ряют скорости самолетов и ракет по изменению частоты
отраженноrо сиrнала, и даже автоинспектор, оштрафо-
павший вас за превышение скорости" использует" можеl1
быть,,- сам Toro не аная" эффект Доплера, на котором осно-
ван принцип действия ero хитроrо прибора предназва-
ченноrо для измерения скорости.
rЛАВА 8
rЕОМЕТРИЧЕСКАН ФИЗИКА
ИЛИ ФИЗИЧЕСКАЯ rЕОМЕТРИll
Мы прошли ДЛИННЫЙ и нелеr ий путь.! теперь
настала пора остановиться, оrлядеться и осмыслить по.
3Iученные результаТЫ 1 но уже с иной, более высокой точки
врения. Восхождение в rоры бывает трудным,. каждый
раз видишь перед собой только ближайшую цель, бли.
жайшую вершину, за которой скрываются новые и новые.
Зато с самой высокой вершины перед человеком открыва-
ется панорама всей rорной страны." возникает новый уро..
вень понимания Toro, что сделано, становятся видны бо..
nее быстрые и короткие пути. "Увидеть их :м:ожно TO ЬKO
с вершины,; и пройти по ним можно только тоrда" коrда
уже есть опыт и знания, приобретенные в нелеrком вос"
ХОiндении.
Вспом им основные этапы нашеrо пути: принцип от-
носительн-ости ...... ка рты скоростей релятивистское цро..
странство скоростей и ero rеоМетрия......... релятивистские
энерrия и импульс в упруrих столкновениях....... законы
сохранения энерrии и импульса в неупруrих процессах
включающих рождение и распад, элемента рных частиц,.........
представление о фотонах как релятивистских частицах
обладающих энерrией и импульсом. По существу, это
была . цепочка лоrических ,предсказаний" даваемых тео..
рией. Однако только ЭRсперимент может показать,-, верны
они или нет,-, следует ли им природа в действительности.
В том, что это так, нас убеждает вся совокупность имею..
щихся экспериментальных данных.
Теперь, Rоrда перед rлазами у нас есть эта общая кар..
тина" можно будет получить все основные физические и
rеометрические формулы теории очень быстрым и ЭRОНОМ:"
ным путем. В основе ero будут лежать принцип относи--
тельности! законы сохранения энерrии и импульса и не..
тривиальный экспериментальный факт: возможность рас..
пада nО мезона на два ,\, KBaHTal каждый из которых имеет
определенный импульс и энерrию. Мы будем верны себе........
КаждыЙ важный результат нужно уметь получать разны"
ми способами.
153
8.1. И вновь об энерrии
и импульсе релятивистских частиц
Рассмотрим сначала один фотон F, который
в неRОТОрОЙ системе отсчета А имеет энерrию Е А . Соrлас..
но принципу относительности ero скорость одинакова во
всех инерциальных системах, поэтому изображающая ero
ТОЧRа F должна быть беснонечно удаленной точной про..
страпства СRоростей. Пусть имеются еще два наблюдателя
В и С, движущиеся в том же нап..
. равлеНИИ,t что и фотон в системе
а Ь отсчета А. В пространстве снорос"
в С F тей ИМ будут соответствовать точки
В и С ,- лежащие JIa прямой АР
(рис. 8.1). Об08начим через Ев и Ее
8нерrии фотона в системах отсчета
В и с: Отношение энерrийЕв/Е А яв"
ляется, безразмерной величиной, и оно может зависеть толь..
ко от СRОрОСТИ системы В относительно А, друrими словами"
ero MOiRIIO записать нан непрерывную фУНRЦИЮ OT рас..
стояния ме)иду точками А и В в пространстве скоростей:
E131 E A == f (11 АВ 11).
.
А
Рис. 8.1.
lЧри этом, по прииципу 'относительности, функция j яв"
пяется универсальной" одной и той же ДЛЯ всех систем от..
счета. t так что .
Ее/Ев == f (11 во )l Е е/Е А == f (11 АО В).
Фувнция f описывает И8менение энерrии фотона при nepEr
ходе ИВ одной системы отсчета в друrую (вдоль данной
2" прямой). Перейдем от системы А R системе С поэтапно:
сначала ив А в В, потом ив В в С. Этому переходу отвечает
очевидное равенство EclEA == (Ев/Е А) (Ее/Ев), т. е.
f ( " АС If ) == f ( АВ П ) f ( 11 во U ).
Точк'и А, В, С в пространстве скоростей лежат на одной
прямой (рис. 8.1)" поэтому 11 АО 11 == 11 АВ n + If во 11.
Следовательно, функция f должна удовлетворять Функ
циопальному уравнению
f (а + Ь) == f (а) f (Ь)"
rде а == AB , Ь == 11 BO . Общее решение этоrо ypaBHe
ния дает показательная функция f (х) == е Ш;. Знак ми..
НУС В ПОК8эателе мы выбраЛИ t чтобы получить убываю
щую (при а > О) функцию! ибо энерrия любой релятивист..
154
екой частицы. в том числе и фотона,: ,Должна уменьшать..
ея при переходе в C CTeMY отсчеТ8.t движущуюся в том же
направлении,f, что и сама частица.
Если коэффициент а не равен нулю, то в пространстве
скоростей можно выбрать единицу измерения расстояний
aK,,; чтобы а == 1 *). ИтаR, мы вывели из принципа OTHO
ситеЛЬНОСТИ t что если точки А, В и F лежат на одной пря
Мой АР в последовательности A,t В,, F то для фотона F
справедливо равенство
Ев/Ел == e IIABII. (8.1)
Это уже известная по предыдущей rлаве формула для про
дольноrо эффекта Доплера.
Обратимся теперь к импульсу фотона РА. Отношение
величин энерrии и импульса любой частицы не зависит
от массы и определяется только ее скоростью в данной си
стеме отсчета. Но скорость всех фотонов одинакова во всех
инерциальных системах, поэтому это отношение должно
быть универсальной постоянной, которую следует поло
жить равной единице. (В этом мы сможем убедиться чуть
позже.) Итак, импульс фотона сонаправлен ero скорости
и по величине равен энерrии фотона: р == Е. '
Теперь от фотонов перейдем к частицам; имеющим мас..
су. В релятивистской физике известен процесс, коrда Ta
кая частица........ пО",мезон ....... самопроизвольно распадается
на два фотона F и F'. Этот экспериментальный факт
и будет лежать в основе наших дальнейших рассуждений.
Рассмотрим сначала распад пиона в ero системе по--
коя А. ИМПУJI С пиона равен нулю, ero энерrию покоя мы
обозначим через Ео. Из законов сохранения энерrии и им
пу лъса следует, что продукты распада ....... фотоны F и F' .........
в системе А должны иметь импульсы, paBныe по величине
и противоположные по направлению, энерrия же кажд<r
ro из них равна Ео/2:
,. ,.
РА == Е А == Ео/2, РА == Е А == Eo/2.
Перейдем теперь в систему отсчета В, которая в прост-
ранстве скоростей изображается точкой, лежащей На пря..
мой Р' А.Р (рис. 8.2). В этой системе до cBoero распада пион
*) Если а == О, ТО энерrия и импульс фотона будут одинаковы
во всех иверциаJIЬВЫХ сиС1емах отсчета, а rеометрия простравства
скоростей будет l'еометрией Евклида. Такой ({фотов» не сможет
взаимодействовать с друrими -частицами- без нарушения ээ.ВОИОВ
сохранения энер:rии и импульса во всех иверфtальRЫХ систеиаll
отсчета! :8- ueрелятивистской мехаВИR'e.веt фотонов!
-155
движется в вапраВJlении ВР', ero энерrию и импульс в си-
стеме В мы обозначим через Е'Л. и р'Л.. Эти величины как"то
вависят от скорости пиона, т. е. от расстояния 11 АВ 11 == а
между точками А и В. Но и в си...
стеме В при распаде пиона ДО iI НЫ
выполняться законы сохранения:
r
E'Jf.z=E B + Ев,
,@
а
. .
..
Е'
А
8.
:.
F
,
рп. == Р В ....... Р в'
rде Ев, Рв, E , P ........ эверrии и импульсы фотонов F и F'
в системе отсчета В.
ДЛЯ фотонов же мы 8наем формулы преобразования
энерrии и импульса (8.1) при переходв в систему отсчета B
Е Е Ео ' Е , Е , (1 Ео (1
РВ === В == Ае == т е ; Рв :::Z:Z В ::: Ае == 2 е
(для фотона F' переход от А R В приводит К увеличению .
ero эверrии и импульса и о уще9твляется (} помощью пр
об'разования, обратноrо (8.1». ПОJТОМУ ванов сохранения
энерrии и импульса в процеСС8 распада будет 8аписыватъ-
си в систеltlе В так:
Е п. Ео (1 + Ео --а Е h
==т е те == ос а,
'л. Ео (1 Ео --а Е h
Р == Т е ....... т е о S а.
МЫ ВИДИМ, ЧТО из законов сохрапения.....следуют релятивист..
сние J)ыражения для энерrии и импульса движущейся
частицы: Е ' == Ео сЬ а, р == Ео sh а, и в силу принципа
относительности эти выражения должны быть одинаковы-
ми в любой системе отсчета, не обязательно лежащей на
пр ямой Р' АР.
ДЛЯ частицы, имеющей систему покоя А и энерrию по...
коя Ео, мы можем сделать то, чеrо нельзя было сделать для
фотонов'...... перейти к нерелятивист кому пределу. В этом
случае
Рис. 8.2.
(8.2)
(8.3)
н АВ 11 == а v, sb а а :=::; .V,
сЬ а 1 + а 2 /2 1 + и 2 /2,
поэтому энерrия и' и!{Пульс такой частицы будут равны
Е == Ео сЬ а Ео + E o v 2 /2, р == Ео sh а EoV.
Сравнивая эти выражения с перелятивистскими опреде..
лениями
Е == ти 2 /2 + const, Р == ти,
156
МЫ приходим К выводу, что энерrия ПОКО.fl Е О есть не что
ивое, как масса частицы т (Ео == т), поэтому для любой
реЛЯТИВИСТСRОЙ частицы мы вновь получаем уже извест'"
ные определения релятивистской энерrии и импульсаl
Е == т сЬ а, р == т sh а.
Одновреl\Iенно мы выполнили и данное раньше обеща.
ние ....... фаRтичеСRИ мы доказали правильность выбора зна...
чения Rоэффициента, связывающеrо 8нерrию и импульо
фотона (Е == р). Цепочка рассуждений выrляWIТ TaR: от
фотонов к частицам с массой, затем переход н нереляти
ВИСТСRОМУ пределу, механика Ньютон.а и классические"фор..
мулы дл энерrии и импульса частицы. Величину этоrо но..
эффициента нельзя зафиксировать, не раССl\lатривая ди..
на.мипи взаи.модействия. РеЛЯТИВИСТС,кая динаМИRа слож..
на, поэтому нам и пришлось воспользоваться таким об..
ХОДНЫМ путеl\rI.
8.2. Распад пеiпральноrо пиона
и rеометрия ЛобачеВСI(оrо
Рассмотрим тот же процесс распада с ТОЧRИ
зрения наблюдателя В, система отсчета KOToporo изобра..
жается в- пространстве скоростей точкой, лежащей' на
перпендикуляре АВ к прямой F' AF (рис, 8.3). СоеДИНИ1\f
F' А F
Рис. 8.3.
ТОЧRУ В С беСRонечно уда.ценными ТОЧRами Ь..., и Р', иэо
бражающими СRОрОСТИ фотонов. Обозначим через а расстоя--
ние 11 АВ 11 и через П величину уrла, под ROTOpblM пересе...
Rаются в точке В прямые вн и ВА. В силу симметрии уrол
АВР' тоже будет равен П. (Мы уж знаем, что П ...... это
уrол параллельности ЛобачеВСRоrо.) По определению yr
ла между прямыми в пространстве скоростей, П равед
уrлу между направлениями скоростей пиона и-фотона F
с точки зрения наблюдателя В.
Запишем теперь в системе отсчета В закон сохранения
энерrии и импульса в проекции на направление ВА.
'57
В силу симметрии rрафа энерrии и импульсы фотонов равны
друr друrу по величине, п этому
п '
Ев == Ео сЬ а == Ев + Ев == 2Ев, (8.4)
p == Eq sb а == РВ cos П + РВ cos П == 2Ев cos П (8.5)
(наПОl\fНИМ, что энерrия и импульс фотона равны между
собой: рв == Ев).
Закон сохранения импульса в проекции на пepпenди
улярnое БА направление выполняется автоматически
в силу симметрии относительно прямой АВ. Закон сохра..
нения энерrии (8.4) дает нам Форм:улу для поперечноrо
реЛЯТИВИСТGкоrо эффекта Доплера, т. е. устанавливает
связь между энерrией фотона F в системе отсчета А ,
ЕА === Ео/2, и ero энерrией в системе отсчета В, движущей
ся перпендикулярно направлению скорости фотона VFIA :
Ев == Е А сЬ а. (8.6)
Закон же сохранения им:пульса в проекции на ваправле"
ние БА определяет величину уrла параллельности Лоба--
чевскоrо П. Действительно, подставив (8.4) в (8.5), мы
получим, что
Ео sh а == Ео сЬ а соэ П
или
соэ П == th а.
(8.7)
Обратим внимание на то, что экспериментальный факт
распада пО мезона на-два фотона оказывается эквивалент..
ным rеометричесной аксиоме Лобачевскоrо о J параллель
ных. Закон сохранения импульса требует, чтобы уrол
параллельности П был меньше прямоrо, ибо у пиона есть
импульс, направленный по прямой БА. Поэтому и про
дукты ero распада...... фотоны ........ должны иметь в системе
отсчета В ненулевую проенцию импульса на это направ
ление, т. е. П < n/2.
Если бы пространство скоростей имело rеометрию Ев..
Rлида, то уrол параллельности П был бы равен прямому
и распад пиона на два у--кванта был бы запрещен законом
сохранения импульса. В нерелятивистской физике невоз-
можны процессы, идущие с изменением массы частицl Мы
видим, как тесно и неразрывно связаны друr с друrом
физика и rеометрия. Здесь они предстают перед нами как
u
единая науна, которую можно назвать и rеометрическои
фИЗИRОЙ, и физической rеометрией. Но только этим связь
между ними не исчерпывается. f
{58
Рассмотрим тот же распад в произвольной системе
отсчета.,] положени.е которой в пространстве скоростей за...
дадим следующим образом. Сместимся из точки А си...
стемы покоя nО"мезона ...... на расстояние Ь вдоль прямой
АР и из получеnной точки С восставим перепендикуляр
С B длину KOToporo обозначим через а. Опять соединим
прямыми точку В С бесконечно удаленными точками, ко..
opыe изображают скорости фотонов F и p (рис. 8.4).
(!)
в
А
с
F'
Рис. 8!4.
Эти прямые п()..прежнему будут пересекаться с перпенди",
нуляром СВ под уrлом параллельности П.,; причем
cos П == th а. Вычислим синус уrла параллельности (на--
ПОМНИМ,t ч то ch 2 Х ........ sh 2 Х :== 1):
sin П == V 1 c()S П == V 1 :::: ==
== .. / сЬ 2 а sh i а......... 1
r сЬ 2 а сЬ а . (8.8)
Найдем теперь величину энерrии и импульса фотонов
F и F! В системе В. Последовательно используем сначала
поперечное преобразование Доплера (8.6) из точки В в
точку C а затем продольное преобразование (8.1) из точ-
ки С в точку А:
РВ == Е в == Ее ch а == EAe b ch а == O е--Ь ch а,
" ь Ео ь .
Рв == Ев == ЕосЬ а == ЕАе сЬа == те ch а.
Б системе -отсчета В энерrия распавmеrося пО"мезона orr-
ределяется расстоянием между точкой В и системой ero
покоя А" т. е. rипотенузой прямоуrольноrо треуrольпика
АВО.! длину которой мы обозначим через с:. E ==
== Ео сЬ с. Запишем закон сохранения энерrии в системе
В; E == Ев + E или
Ео сЬ с == 6 е:- Ь сЬ а + O е Ь сЬа == 6 сЬ а (в Ь + e ).
.
отнуда следует, что
ch с == ch а ch ь.
(8.9)
МЫ ВИДИМ, что закон сохранения энерrии есть не что иное,
RaK «теорема Пифаrора» для прямоуrольноrо т.реуrольни-
Ra в пространстве сноростей ...... уже известная нам форму-
па rеометрии Лобачевскоrо.
В системе отсчета В импульс пиона имеет величину
р" == Ео sh с, направлен по ВА и соста13ляет уrол р с пер-
пендикуляром BO f импульсы же фотонов направлены пО
ВЕ' и ВР' подуrлом паралле ьности Пктому же перпен-
дикуляру. 3анон сохранения импульса в системе В в
проекции на направление,: перпеНДИRулярное ВО! за-
пишется в следующем виде:
Ео sh с sin р :::= РВ sin П ....... РВ sin п.
Ео --ь h ' Ео ь
Подставляя сюда РВ == 2 е с а, РВ ::3 2 е сЬ а
и выражение (8.8) для синуса уrла параллельности
sin П == 1/сЬ aJ: мы ПОЛУЧИ t что
Eoshcsin == O cha(eЬ e Ь) :a ==ЕовhЬ.
и отсюда ...... метрическое соотношение, выражающее в reo-
метрии Лобачевскоrо натет прямоуrольноrо треуrольни-
ка через rипотевузу и противолежащий уrол:
J
b Ь == sh с sin р.
И; HaKOHeц запишем закон сохранения импульса в
проекции на направление во:
Ео sh с os Р == Рв cos П + Р'в cos п == (Рв + Рв) cos п.
3аметим.,. что РВ + РВ == Ев + E == E == Ео сЬ с, а
cos П == th a,f поэтому закон сохр.анения этой проенции
импу льса примет вид
sh с cos Р == сЬ с th а.
Поделив обе части последнеrо равенства на ch с, мы при-
дем к соотноmению, выражающему катет прямоуrольно-
ro треуrОЛЬНИRа через rипотевузу и прилежащий уrол в
rеометрии Лобаqевскоrо
th а == th с cos р.
Итак, формулы триrонометрии Лобачевсноrо выступа-
ют перед вами нан следствия занонов сохранения энерrии
160
и импульса в распаде 1tО мезона на два фотона. И чувствует..
ея рука судьбы в. том, что эта элементарная частица и
frол параллельности у Лобачевскоrо были обозначены
одной и той же буквой rреческоrо tlлфавита (л ........ строчное,
а П ...... ее прописное написание).
Теперь мы моrли бы получить и все остальные формулы
I'риrонометрии Лобачевскоrо ........ теоремы косинусов и си..
вусов ......... так же", как мы получали их в rл. 4. Но не будем
повторяться, наш рассказ подходит R понцу. Мы надеем"
ея" что убедили читателя в rеометричности физики и фи..
эичвости rеометрии. Специальная теория относительности
предстала перед нами как rеометрическая наука, став в
этом смысле похожей на общую теорию относительности
Эйнштейна ...... теорию rравитации.t ноторая не без основа...
пий носит еще одно название....... rеометродинамика. Мы
надеемся TaKil\e t что читатель приобрел опыт" достаточный
для свободноrо обращения с rеометрией ре.ц.яТИВИСТСRоrо
пространства скоростей и сможет рассчитывать раз ичные
реакции с участием релятивистских частиц используя
только такие понятия, кап их энерrии, импульсы" расстоя-
ния и уrлы в пространстве сноростей. Если это действи-
I'ельно так! МЫ будем считать СБОЮ задачу выполненной.
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРЕОБР А30ВАНИЛ ЛОРЕНЦА
Mы познаномили читателя с rеометричеСRИМ
подходом к специальной теории относительности. Более
u
традиционным является аналитичеСКИИ f векторно",коор-
динатный подход. Соотношение между ними примерно та-
кое же l как между «чисто rеометрическим» и венторныи
методами в обычной rеометрии: это два разных язына
одной теории и в принципе они эквивалентны, но в нон-
HpeTHЫX ситуациях один из них может оказаться удобнее,
поэтому полезно знать оба.
П рантичесни во всех нниrах по теории относительности
принят «аналитичесни'й» подход, тан что подробно rOBO-
рить о нем здесь нет смысла., и мы сделаем тольно первый
шаr: пользуясь rеометрией пространства сноростей,- вы-
:ведем формулы,' по ноторым преобразуются основные фи-
зические величины при переходе в новую систему отсчета.
Преобразование внерrии и импульса,
Пусть вам известны энерrия Е и импульс
р частицы А с массой т в некоторой системе отсчета О.
Рассмотрим вторую систему отсчета О";,; движущуюся от-
носительно первой с постоянной сноростью V;::::; th Ь.
В этой овой системе энерrия и импульс частицы А будут
иметь друrие аначения{ Ее и р'. Попробуем ВЫЯСНИТЬ. t
нан связаны новые значения с величинами Е и Рl измерен..
ными в ИСХОДВОЙ t «старой» систе?4е отсчета о.
Рассмотрим в пространстве сноростей треуrОЛЬНИR
OO A. f вершины которото изображают снорости систем от..
счета О и 01 И частицы А. Пусть а и а' ....... 21''''дливы ето сто"
рон ОА и О' А; тоrда величины эне.рrии и импульса части..
цы в наших двух системах выражаются через а. и а' по
формулам (см. rл. 6):
Е === т ch а,
Е' == т ch fl,',
р == т sh а,
р' === т эЬ а' .
{62
Отсюда сразу видно., что новое значение эперrии можно
получить с помощыQ TeopeMЫ косинусов (для стороны
О' А треуrольника 00' А)
ch а' == сЬ а ch Ь + sh а sh Ь cos а,;
тде а ......... внешний уrол треуrольника при вершине О =I!)
(рис. П.1), откуда после умножения на т получаем:
Е 1 :::: т сЬ а' J:::::: Е сЬ Ь + р cos а sh Ь.
Заметим, что величина Р cos а есть проекция в системе ОТ--
счета О вентора импульса частицы А на направлепиеJ)
р?.
р;
р
А
о
Р,
V o ', О
ь
о
, О'
р;
Рис. 11.1.
Рис. П.2.
противоположное направлению ДВИiнения системы О' (по--
тому что а это уrол между векторами VAIO и VorIO;
см. рис. п. 1 и п. 2). Друrими словами, эта величина рав--
на координате Р1 вектора Р в прямоуrольной системе ко..
ординат ОР1Р2' связанной с системой отсчета О, в которой
ось ОР1 направлена против вентора VorlO (рис. П.2). Та-
НИМ образом, .
Е' == Е сЬ Ь + Рl зЬ 'Ь.
(1)
Чтобы описать преобразование вектора импульса, про-
ведем в системе отсчета О' оси Rоординат О' pi и О' Р2..
параллельно. осям ОРl И ОР2' соответственно, т. е. ось
О' Р1 направим вдоль веКтора скорости VOIO" а О' р;' .......
перпендикулярно этому вектору. Тоrда координаты век--
I Й ' f , ,
тора .. р в это системе равны Pl;::: Р cos а. ! Р2;:::::
1. I I ., (
р Sln а, rде а ...... уrол между векторами рили
*) Мы береМ здесь ,внешний, а не внутренний уrол треуrОЛЪника,
чтобы ниже в формуле (1) получился зван WIюс. а не минус! Разу-
меется) это l!ел о вкуса,
'168
tJAIO') и 'VOIO" Поскольку этот уrол равен лу пvи верши.
не О' треуrольника 00' А в пространст;ве СRоростей по
теореме косинусов дл1f стороны ОА этоrо треуrольиика
получим:
Е ::= т сЬ а :::= т сЬ а' сЬ Ь т sh а' sh Ь сов о} =-
== Е l ch Ь ..... pi вЬ ь,
и отсюда
pi sh Ь == Е' сЬ Ь ...... Е.
Подставим в правую часть выражение (1) дЛЯ E11
Рl sh ь == (Е сЬ Ь + Рl sh Ь) ch Ь ...... Е ::=::
== Е (сЬ 2 Ь ...... 1) + Рl сЬ Ь sh Ь == (Е sh Ь + Рl chb)shb.
Следовательно,_
Рl == Е sh Ь + Рl сЬ Ь.
(2)
Остается найти новое значение составляющей имriу.льса 1J
перпеНДИRУЛЯРНОЙ направлению относительноrо движе..
пия систем. По С;У"теореме синусов
sh ajsin а/ == sh а' /sin a"
отсюда
Р2 ;:::: ре 8in а,' с= т sh а' sin a,t === т sh а sin а,
== р sin а, ;:;;: Р2' (3)
Соберем.вмест соотношения (1), (2), (3);
E 1 == Е ch Ь + Рl sh Ь 1
pi == Е sh Ь + Рl сЬ Ь }; (4)
,
Р2 == Р2.
Это и есть знаменитое nреобрааоваnuе Л ореnца (для
энерrии и импульса). В следующем раздел"е мы 'изучим ero
подробно" а пока заметим, что составляющая импульса?)
перпендикулярная направлению относительноrо движения
систеМ,t при преобразовании Лоренца не меняется; друrая
же,t «продольная», составляющая как бы «перемеmивает"
ся» С, энерrией. Поэтому достаточно рассмотреть преобра..
вование 1 определяемое первыми двумя строчкаМ({ (4):
Е' == Е сЬ Ь + Рl sh Ь7)
Рl == Е sh Ь -t Рl сЬ Ь
Н8 ПЛОСRОСТИ (E.t Рl).
(5)
164
I'еометрия преобраЗОВ8ВИЯ Лоренца.
IИперболический поворот
и rиперболические функции
Чтобы лучше ПОНЯТЬ,t; RaK устроено преобра-
зование Лоренца", мы будем рассматривать ero вместе с
обычным поворотом плоскости. Выведем сначала форму-
пы преобразования Rоординат точки при повороте осей.
Пусть в прямоуrольной системе координат Оху точка
А имеет координаты (Х 1 у). Повернем оси Rоординат вокрую
начала О на уrол р и; найдем ROOP"
динаты ТОЧRИ А в новой системе
Oxfyt (рис. П.З). Абсцисса Xf равна
проеRЦИИ вектора lil на ось oxt;l
q'. е. скалярному ПРОИ8ведению
u
8Toro вектора на единичныи век..
тор e оси ox't. ЯСНО,t ЧТО RООРДИ-
ваты вектора e (в системе Оху)
равны (сов р; sin р). поэтому
z'- == OAe == х сов р + у sin Р.
11
Рис. П .3.
Аналоrично (см. рис. П.3)1 Rоординаты e равны (.......sin р;
cos р) и-
"....
yf == OAe == x sin Р + у сов ре
ж' == Х сов р. + у sin р" >,
у' == x sin р + у сов р.
И TaKJ,
(6)
RaR видим, внешне формулы поворота очень похожи
па формулы преобразования Лоренца", ТОЛЬRО в одних
участвуют триrонометрические, а в друrих rиперболи..
ческие фУНRЦИИ. Но за внешним сходством Rроется ибо..
лее rлубокое rеометрическое содержание. Чтобы объяс..
вить ero, посмотрим на формулы (5) и (6) с друrой ТОЧRИ
зрения. До сих пор мы считали, ЧТО,'lскажем", в формулах
(6) (х; у) и (х'; у') это координаты одной и той же точки,
но относительно разных осей; теперь будем считать, что
система координат у нас одна, а точки две, и рассматри"
вать (6) как формулы, описывающие преобразование плос-
кости, при котором точка (х; у) переходит в (х'; у'). Тоrда
преобразование" определяе fое этими формулами, есть по-
ворот плоскости R r1 BOKpyr начала координат на yroJl р.
ДеЙСТВИТ ЛЬНОj ЯСНР.t что (см. рис. П.4) координаты
165
(х'; yf) точки А f === R....fj (А) в системе Оху совпадают о
RоординатаlVlИ точки А в системе Ох' y"J 'полученной иа
у Оху поворотом осей на уrол ". а
значит" задаются формулами (6).
Ч то же представляет собой
с этой точки зрения преобразо-
вание Лоренца? Выпишем еще
раз формулы (5)" заменив обо-
значения координат Е и Рl на
более привычные х и у:'
х' == х ch Ь + у sh b7J
у! == Х вЬ Ь + у сЬ ь. (7)
о
.х ,
:с
Рис. П.4.
Составим разность и сумму этих уравнений! учитывая", что
сп Ь == (е Ь + е"' Ь )/21 sh Ь == (е Ь ...... е.... Ь )/2:
x ........ у' == х (ch Ь ..... sh Ь) + у (sh Ь ch Ь) == е"' Ь (х ....... у)!
x t + y == х (ch Ь + sh Ь) + у (sh Ь + ch Ь) == е Ь (х + y)
Отсюда ВИДно,,: ЧТО это преобразование удобно изучать)
пользу явь системой координат ОХУ]) осями которой слу-
жат биссектрисы координатных yr..
лов системы Оху (рис. П.5), пото"
мучтопоформулам(6) (с == 450),
точка с координатами (х; у) отно.. /
сительно Оху будет в системе ОХУ
иметь координаты '
1
Х == "(2 (х у).
1
У == У2 (х + у).
и
у
х
Pitc. п .5"
Следовательно, при нашем преобразовании т'очка А (Х; У)
переходит в ТОЧRУ А' (Х', Y 1 ), rде
Х' == e X. У' == еЬУ.
.:с
rеометрически эти равенства означают" что плоскость рас-
ftяrивается по одной из осей ОХи ОУ (при Ь > О ..... по
ОУ) в е Ь раз и во столько же раз сжимается по друrой
оси. При этом произведение координат ХУ остается lIOCTO"
8B ЫM (Xtyt == е"'ЬХеЬУ == XY)t т. е. тuчки ПЛОСRоети как
бы скользят по rиперболам ХУ == const. Поэтому наше
преобрз-зование называется еиneрбодичес-пuм поворотом;
мы будем обозначать eFo Lb. rоворятJ, ЧТО веЛИЧllна ХУА
166
или" в исходных координатах", х 2 ........ у2 == 2ХУ является
ипвариаnто.м, rиперболическоrо поворота (от лат. «неив-
менный»). В случае преобразования Лоренца энерrии-
импульса этот инвариант нам хорошо знаком: Е" ...... р2 ==
=== т 2 ....... l(вадрат массы покоя частицы с энерrией Е и
импульсом Р1 а масса покоя одинакова во всех системах
отсчета. Аналоrичный и вариант есть и у обычноrо пово-
рота плоскости....... это квадрат раССТОЯIlИЯ от точки до
центра поворота; в координатах....... ж 2 + уСА (если центр по..
ворота совпадает с началом координат). Можно сна..
зать" что при обычном повороте точки плоскости«скользятt
по окружностям х2 + у2 == const.
Существует и еще один инвариант rиперболическоrо
поворота. Он характеризует пару векторов и авалоrи..
чен сналярпом:у ПРОИ8ведению векторов в обычной reo..
метрии. Вид ero леrко найти, если в формулу, выражаю..
щую скалярное ПР9И8ведение аlа2 векторов аl (Хl; Уl) и
а 2 (Х.; у,.) чере8 квадраты длин этих векторов и их сум-
MЫ
1
аlа2 == 2 (1 аl + a 12 ......1 all ....... I а91 2 ) t
подставить вместо обычных квадратов длин rиперболи.
ческие» (например, вместо. I аl 12 == ж + y взять ж ......
........ yi и т. д.). В результате такой вамены мы получим ве.
личину
(а1. ll2) == {- [(3:1 + 3:2)" (Уl + Y2) (з: y ) 7'""
...... (x ...... 1I )] === %1 Х 2 ..... YIYII
которая не изменяется при rипербоnических поворотах,
потому что выражения (%1 + %.)1 ....... (Уl + у,)", x ........ Y ,
x ....... y инвариантны. Эту величину называют псевдо-
спалярны.и пpoиaвeдeн,uв.м, векторов а1 и а.. Поясним ее
физический и rеометрический смысл.
Пусть А и В ...... две частицы с массами тА и тв, имею-
щие в' системе отсчета О 8нерrии Е А и Ев и импульсы
РА И РВ. ДЛЯ простоты будем рассматривать одномернЫЙ
случай, точнее, предположим, что в системе О частицы
А и В движутся в одном и том же направлении (по по-
воду общеrо случая см. задачу 4). Вычислим псевдоска"
лярное произведение векторов (Е А ; РА) И (Ев; Рв), считая
известными скорости VAIO == th а и VBIO == th Ь:
Ь АЕ в ........ Р АР в == тА сЬ а. тв сЬ Ь .......
....... тА sh а .тв sh Ь == тАтв сЬ (а --- Ь).
{61
Но I а Ь I == с ....... это расстояние между ТОЧRами А и В
в пространстве скоростей (поскольку эти ТОЧRИ лежа17
на одной прямой с точкой О), следовательно,
ЕАЕ в ...... РАРВ === тАтя сЬ с)
rде tho == VBIA. Аналоrичная фОРlиула справедлива и в об..
щем (не одномерном) случае ....... см. sадачу 4. B правой ее
части стоит выражение, не вависящее от системы отсчета,
таким образом, l\fbl получили еще одно подтверждение
Toro, что левая часть........ псеВДОСRалярное произведе"
вие векторов (EA; РА) и (Ев; рв) ........ инвариантна.
Как получить похожую формулу из чисто rеометри-
ческих соображений? Вспомним, что переходу из системы
покоя частицы А в систему ;покоя частицы В отвечает
преобразование Лоренца или rиперб9личеСRИЙ поворот
с параметром с == U АВ 11. Вовьмем теперь два прои-зволь"
пых вектора al (Xl; Yl) и a g (х.; У.). При rиперболическои
повороте LO вектор al перейдет в некоторый вектор
ai с координатаl\fИ (xi; Yi), которые можно вычислить,
пользуясь формулами (7). }\оrда параметр с меняется
0'1' .....00 до 00, точка (xi;, yi) пробеrает rиперболу (точ"
пее, о,«ну ее ветвь), поэтому при некотором с вектор a
будет пропорционалев а 2 : аl == ka g , т. е: (al' ai):=J
== k (al' аз) (поясните!). tlo
.
(al t al) == Хl (Xl СЬ с + Yl sh с) ......
....... Yl (Xl sh С + Уl ch с) == (x ...... y ) сЬ Са
И, очевидно, k 2 (x a ...... y 2)/(x ..... у:) == (X ...... yi)/(x .......
.... у:). Следовательно,
(al t а2) == (x ...... y . -v x ....... У: сЬ с
(Rонечно, при условии I Хl 1> I Уl 1, 1 хзl > I У2 ';
в друrих случаях надо Rое rде в этой формуле сменить'
внаки). Для нас сейчас важно, что последняя формула
очень похожа на определение обычноrо скалярвоrо про-
изве ения векторов:
аl а2 == I all.1 а2 t cos у I
дe V 7'"' уrол между векторами аl и аз. В частности, мы
видим, что параметр rиперболическоrо поворота анало-
rичен уrлу обычноrо поворота.
Приведеl\1 еще Oj!HO впечатляющее проявление ЭТОЙ
- авалоrии.
168
Vrол р поворота RfJ при о<р < 2п можно интер..'
претировать как 'удвоенную площадь HpyroBoro сек..
тора АОА f t rде А ...... произвольная точна единичной
онружности х' + у. == 1.1 А 1 ;::::: Rf3 (А) (рис. П. е). 3амеча..
теЛЬНО t что анапоrйчное.утверждение верно и для rипербо--
личеекоrо повор'от& Lb: ero параметр Ь (при Ь>О) равен
,удвоенной площади rиперболическоrо сектора АОА !;, rAe
А произвольная точка «единичной» rиперболы x2 y2;:::1
Рис. П.6.
и
у
.xz...y2. -=а Z ХУ,;;1
,:с
(или ХУ О:=: 1/2)" А t == L b (А). ДЛЯ доназательства эаме-
тим ЧТО площадь сентора АОА' равна площади нриволи-
вейкой трапеции р! Р AA'II расположенной под дуrой rи-
перболы АА 1 (рис. П.7)1, поскольку наждая из этих Фи-
ryp получается из криволинейноrо че ырехуrольника
ОР АА I отсечением одноrо из двух равновеликих треуrоль-
никовОРА или9Р!Аl (SOPA ==XYL2 === X I Y'L2 == SOP'A'I
rде (Х; У) и (X ; Yl) координаты точек А. и А '}. пло-
щадь криволинейной трапеции найдем", интеrрируя ФУНК-
цИЮ у ;;::; 1L2X задающую нашу rиперб лу
.х
( 1 Х 1 ь Ь
8 Р 'РАА'== i, Y==TlnY==Tlne ==2'
(наПОМНИМ J что X == е"'ЬХ). Итан;s Ь == 2S1oAl. Точно
так же доказывается.t) что при Ь < О площадь сектора
АОА равна. ......bi2J но точка А смещается по rиперболе
в друrую сторону. Отсюда nerKO вывес.ти соотношение *)
L b1 + b 2 == LbsoLba J
.) См. танже заначу 2 в конце П РИJ.lожевия,
69
аналоrичное правилу RОМПОЗИЦИИ обычных pOBOpOTOB
Rf31+Pt Rf31 О R .
и так 'же", как из правила композиции поворо
тов и записи поворота в координатах (6).1 выводятся
формулы сложения ДЛЯ триrонометрических функ-
ЦИЙ,,- из правила коМПозИЦИИ rJ1перболических поворотов
и их представления'В координа
тах (7) можно вывести формулы
сло жения для rиперболических
функций (l\Ibl приводили их
в начале rл. 5) *). Отметим еще,)
что можно дать определение
rиперболических функций, поч...
ти дословно повторяющее оп-
ределение триrонометрических
функций. Действительно, по
Рис. 11.8. определению, cos и s in .......
это координаты точки" в кото..
рую переходит точка А (1; О) при повороте Rf3. Аналоrич...
но" ch Ь и вЬ Ь ....... это координаты (в системе Оху) точки,]
в которую переходит ТОЧка А (1; О) при rиперболическом
повороте L b (это непосредственно следует из формул (7)tJ
в которых надо положить :& == 1.{ у == о; см. рис. П.В).
Надеемся.J, нам удалось пояснить! почему У rиперболи-
ческих ФУНКЦИЙ так MHoro общеrо с триrонометричеС.RИ-
ми и какое отношение они имеют к rиперболе.
Мы попробовали даже сделать несколько больше......
познакомить читателя о некоторыми понятиями еще од..
u u u u
нои, третьеи в пашен книrе. неевклидовои rеометрии,
так называемой вео;и,етрии МинпО8споао. Можно сказать,
что это rеоиетрия, в которую превращается евклидова,
u
если заменить в веи скалярное произведение псевдо-
скалярным. При такой замене мноrие понятия, теорем:ы
и даже их доказательства сохраняются, но приобретают
новый смысл. Так, обычный поворот превращается в rи..
нерболический, триrонометрические функции........ в rи..
перболические и т. д. «Полем действия rеометрии Мин-
KOBCKoro в теории.относительности ЯВJIяется пространство
u
«энерrИИ"ИМПУJIЬСОВ», а таRже ... реальное пространст-
во"времяl Об этом мы HeMHoro поrоворим в сле.«ующем
равдеJlе.
!/
*) CМr. также задачу 3 в ковце ПрИJlОiкенил!
,170
Пространство-время
В этом разделе мы выясним,, как преобразу..
ются пространственно временные координаты события
при Пбреходе из одной инерциальной системы отсчета в
друrую. Для этоrо рассмотрим следующий простой мы-
сленный эксперимент.
Короткий лазерный импульс, состоящий из N полных
Rолебаний, наблюдается в двух системах отсчета: лабора-
торной системе О и подвижной системе О', которая дви-
жется со скоростью v ;:::::: th Ь относительно лабораторной
системы в отрицател.ьном направлении ее оси Ох. Будем
считать, что в нулевой момент времени в обеих системах
О , , u
их начала координат совпадают и что ось х подвижнои
системы пара,ллельна Ох. Наконец, предположим,: что
им ульс распространяется в положительном направле..
нии оси Ох (в системе О), а значит" и оси О' х' (в системе
О') и что первый «rорб» волны в нулевой момент времени
проходит через начало координат (в обеих системах).
Проследим теперь за последним «rорбом» волны. Ясно"
что для наблюдателя в лабораторной системе в MOMeB
о
.........
.х . .. · c t ; '
Рис. П.9.
t он будет иметь RООРДИН8ТУ х == ct ..... NЛ j rде л длина
волны, а с, конечно, скорость ее распространения,,) т. е.
скорость света (рис. П.9). Таким образом,; полное число
ноле6аний
N == ( ct ....... х) /л.
Подчеркнем, что в предыдущих rлавах мы в основном
u '
рассматривали свет с корпускулярнои точки вреВИЯ'А т. е.
:как поток ф-отонов ........ частиц с нулевой массой покоя.t ос}.
ладающих! определенНой 1 энерrией и импульсом. В этом
своем обличье свет преДс'тает перед вами в таких явлени-
ях" как фотоэффект или комптоновское рассеяние. Сей-
час же вас интересует распространение света в пространст-
ве и времени и тут на первый план выходят ero волновые
характеристики 'длива волны л и частота 'V == с/л. Как
:мы уже знаем, частота света С 1Iзава с эверrией фотонов
ВУ фОРМ .J!ОЙ Планка Е hvjc 2 . При переходе в ,новую
t1t i
систему отсчета энерrия (и импульс) фотона меняются.
вместе с ними меняются и ero волновые хараRтеРИСТИRИ
А и v. Завов изменения мы вьmели в rл. 7 при изучении
эффекта Доплера (см. тавже rл. 8): если по вижная система
движется относительно лабораторной со СRОРОСТЬЮ v ==
== th Ь в ту же сторону), что и фотон) то энерrия фотона,
а значит,,- и частота волны в подвижной системе будет в
е Ь раз меньше.,; чем в лабораторной .
Е' == е--Ь Е. '\1' == e--b v ;
если движение происходит в противоположном ваправле-
НИИ (с той же СRОРОСТЬЮ)J то
Е' == е Ь Е. у' == еЬУ.
Перепишем выражение для числа воле9аний в \лазер-
ном импульсе через частоту
N ==...!... (се .... х).
с
Ясно.l что это число будет одинаRОВЫМ для наблюдателей
в обеих системах,; т. е.
,
N == : (се'....... -Х')I
rде. ,,' == ebv ---: частота волны в подвижной системе (в
системе О направления движения волвы и системы О" про-
тивоположвыl).t а t' и х' ..... временная и пространствеивая
координаты последнеrо «rорба» волвы в системе O . Срав-
нивая два выражения для N J получаем s что
c ..... ж == e Ь (c ..... х). /
Эта формула справедлива дм любых 8начеиий f и х таRИХ.
что z < ct lJ ПОСRОJIЬКУ paJ:JeHCTBe z == се ..... N'Л величина
N'Л може'J1 ПрU\Щ.иать nюбые веотрицательвые sначения.
РассиаТРИйая" аналоrич:иьШ nаsерllый иМПУЛЬС:I рас..
простраияю йсяв отрицательном направлении оси OZJ
мы получим равенства .
,
N == ..!... (се + х) == .!... (се' + х'),
с с
rде '\" == e--bv (теперь направления движения системы O
И импульса совп'адают). Следовательно (при х > ........ct)
ct l + Xf == е Ь (ct + х).
(72
Выпишем полученные соотношения рядомt l
ct' х' ::= e b (ct ........ х) J
ct' + х ' == е Ь (ct + х).
Мы увнаем в них формулы rиперболичеСRоrо поворота
или преобразования Лоренца из предыдущеrо раздела
(в координатах ОХУ, rде Х ::= ct х, У == ct + х). Что-
бы перейти к координатам (t; х) (отвечающим системе кn"
ординат Оху предыдущеrо раздела), возьмем полусумму
и полуразностъ этих двух уравнений:
ь + b ь b
, е е е e hb
ct == 2 ct + 2 х == ct с + х sh Ь,
ь b Ь b
e e е + е
х' == 2' ct + 2 х === ct sh Ь + х сЬ ь.
и тап, при переходе в новую инерциальную систему
отсчета временная и пространственная координаты любоrо
события изменяются по тому же закону преобразов'ания
Лоренца, как энерrия и импульс частицы (точнее, состав..
ляющая вектора импульса, параллельная относительной
скорости двух систем отсчета). Возвращаясь к системе
единиц, в. которой с ::= 1-, принятой почти ВСЮД 9 В нашей
книжке, получим окончательные фОРМУЛЫ*)i
t' ;:::: t сЬ Ь + х sh b t
х' == t sh Ь + х сЬ Ь.
(8)
(О тметим, что мы рассма тривали только одну пространствен..
ную координату события; друrие координаты,) отвечающие
осям, перпендикулярным Ох меняться не будут,_ как и в
случае преобразования энерrии импульса.) Как мы зна..
ем, р.азность квадратов координат, t 2 ..... х 2 , при преобразо-
вании Лоренца не меняется. Этот релятивистский инва..
риант называется «интервалом».
В заключение проверим,; что полученные нами форму,,:
лы преобразования пространственно временных коорди--
нат приводят R уже известному нам релятивистскому за-
кону сложенця скоростей для случая одномерНоrо движе-
ния. Пусть и и и l ---- скорости екоторой частицы в лабо-
*) Строто rоворя, мы вывели формулы (8) только для случая
I х I -< ct, но нетрудво показать, что их можно распространить
на все значения координат.
173
раторной и подвижной системах отсчета. rrоrдаJ, ПО опре-
целению,
и == tlx/ t, и' z:::: /).х' //).t'.
Приращения Rоординаты и времени в двух сиетем8.[
отсчета подчиняются тем же преобраэованиям Лоренца:
/).t' /).t сЬ Ь + /).х sh Ь')
t1x" /).t sh Ь + t1x сЬ Ь. 1
Поделив теперь t1x' на t1t' " мы получим уже хорошо нам
8наком:ую формулу:
, x' t вЬ Ь + x сЬ Ь
и I:1t' At сЬ Ь + Ах sh Ь
Е::::
. x
вЬ Ь + 7;t сЬ Ь
6.х
сЬ Ь + At sh Ь
::::z
6.х
th Ь + t
:::::::
x
1+ thb ---кr
Р+и
1+ри'
Это лишний раз подтверждает, что пространственные и
временные координаты какоrо либо собы,ТИЯ в разных инер...
циальных системах отсчета связаны друr с друrом преобра-
вованиями Лоренца. Время и Rоординаты не"существуют
сами по себе, они объединяются в единое (четырехмерное)
пространство время. Это приводит R таким следствиям,
как сокращение длин и изменение хода часов для наблю-
дателей, движущихся с большой СRОрОСТЬЮ друr относи-
тельно друrа. Описанию этих и друrих пространственно-
временных эффектов в теории относительности посвящено
MHoro прекрасных популярных книr., R которым мы И OTO
шлем ваинтересованноrо читателя. Мы же поставим точку
в том месте, с ROToporo обычно принято начинать изложе-
ние теории относительности А. Эйнштейна.
Задачи
1. Найдите формулы обратвоrо преобразования Ло-
ренца, разрешив уравнения (7) относительно х, у. Покажите, QTO
преобразование, обратное к Lb, есть L b.
2. Докажите, что L b1 + bt == L b1 0L bt
а) непосредственным расчетом;
б) опираясь на физический смысл параметра Ь преобразования
LЬ (th Ь относительная снорость).
в) пользуясь представлением rиперболическоrо поворота как
композиции растяжения и сжатия ПЛОСRОСТИ в двух перпендину-
лярных направлениях.
17
3. Пусть при ПОБороте ЛР! точ:ка А (х; у) переходит в А 1 (х' ;у'),
при ПОБороте RВt точ:ка А'- переходит в А" (х"; у"). Выпишите
1\оординаты (х{ yl) И (х"; уН). Выпишите координаты (х'''; у"), ПО:IЬ'"
вуясъ тем, что А н == R(31+{Зj (А). Получите отсюда формулы сложе-
ния триrонометрических Фун:кций. Выведите аналоrичным сбразом
формулы сложения для rиперболичеСRИХ Фун:кций.
4. Пусть А и В две частицы с массами тА и тв. Докажите,
что величина Е АЕ В ...... Р АРВ (произведение энерrий частиц :минуо
с:калярное произведение ве:кторов импульса) раВЕа тАтв ch с, тде
th с == V AIB, и не зависит от системы отсчета, Т. е. является ре-
лятивистским инвариантом.
5. Пользуясь преобразованием Лоренца, докажите, что из ва..
:кона сохранения полноrо импульса в двух движущихся друт от-
носительно друта системах отсчета вытекает и закон сохранения
энерrии в этих системах.
В.яадuмu р Натанович Дубровский
RJWIr Абрамовuч Смородинс"ий
Евеепий Львович Сурков
РЕЛЯТИВИСТСКИЙ мир
(Серия «ВиблиотеЧRа «Нвант»)
Редаитор л. А. Па1иошпuн,(J
Техн. редантор Е. В. Морозова
Корреl{ТОР И. Н. Rрuшталь
ИВ М 12101
СJJ;iио в набор 21.11.83. Подписаио IC печати {4.02.&.
Т..06222. Формат 84х 1081,.1. Бумаrа тип. .м з.
ОБЫRВ:овенна1l rарнитура. ВЫСОRая печать.
'Услови. печ. n. 9,24. УСЛОВВ. :ир.-отr. 9.66. Уч.-изд. n. 9.39.
Тираж 93 000 8Н8. ЗаRаз М 3456. Цена 30 lCоп.
Из да теnьство <Нa уиа)
rлавиая редаRЦИЯ ФИЗИlCо-математичеСRОЙ литературы
11707t. МОСl{ва. В-71. ЛеНИНСRИЙ проспеl{Т. 15
2-11 типоrрафия иэд-ва «(Наума})
121099 МОСlCва, ШуБИНСI{ИЙ пер.. 1()