/
Автор: Фоменко А.Т. Болсинов А.В.
Теги: топология геометрия математика
ISBN: 5-7029-0352-8
Год: 1999
Текст
А. В.Болейнов
А. Т. Фоменко
ИНТЕГРИРУЕМЫЕ
ГАМИЛЬТОНОВЫ
СИСТЕМЫ
2
ГЕОМЕТРИЯ
ТОПОЛОГИЯ
КЛАССИФИКАЦИЯ
Редакция журнала
“Регулярная и хаотическая динамика”
Издательский дом
“Удмуртский университет”
1999
УДК 515.1
ББК 22.15
Б 795
Б 795 А. В. Болейнов, А. Т. Фоменко. Интегрируемые гамильтоно-
вые системы. Геометрия, топология, классификация. Том 2. —
Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999. 448 с.
ISBN 5-7029-0352-8
Настоящая книга посвящена активно развивающемуся направлению со-
временной математики — теории интегрируемых гамильтоновых систем.
Систематически излагается теория лиувиллевых слоений, описано качест-
венное поведение интегральных траекторий при бифуркациях торов Лиу-
вилля и получена траекторная классификация интегрируемых гамильтоно-
вых систем с двумя степенями свободы на трехмерных изоэнергетических
поверхностях. Вторая часть книги посвящена общим методам вычисления
топологических инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических специ-
альностей университетов, а также на специалистов математиков и физиков,
занимающихся теорией динамических систем и интересующихся современ-
ными приложениями геометрии и топологии.
ISBN 5-7029-0352-8
ББК 22.15
Оригинал-макет подготовлен в редакции журнала
«Регулярная и хаотическая динамика»
http://www.uni.udm.ru/rcd
© А. В. Болейнов, A. T. Фоменко, 1999
© Редакция журнала «Регулярная
и хаотическая динамика», 1999
© Издательский дом
«Удмуртский университет», 1999
Содержание
Глава 1. Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамиль-
тоновых систем................................................ 8
1.1. Общая схема анализа топологии лиувиллева слоения........ 8
1.1.1. Построение отображения момента ................... 8
1.1.2. Построение бифуркационной диаграммы............... 8
1.1.3. Проверка боттовости системы....................... 9
1.1.4. Описание атомов системы.......................... 10
1.1.5. Построение молекулы системы на данном уровне энергии . 11
1.1.6. Вычисление меток................................. 11
1.2. Методы вычисления меток................................ 12
1.3. Метод круговых молекул................................. 13
1.4. Список основных, наиболее часто встречающихся круговых молекул 17
1.4.1. Круговые молекулы регулярных точек бифуркационной
диаграммы............................................... 17
1.4.2. Круговые молекулы, отвечающие невырожденным особен-
ностям отображения момента.............................. 19
1.5. Структура слоения Лиувилля около особых точек, отвечающих вы-
рожденным одномерным орбитам................................. 19
1.6. Типичные круговые молекулы особых точек, отвечающих одно-
мерным вырожденным орбитам................................... 23
1.7. Подсчет меток г и е с помощью функции вращения......... 27
1.8. Подсчет метки п с помощью функции вращения............. 31
1.9. Связь меток молекулы с топологией 3-многообразия Q ... ‘37
Таблицы к главе 1 ............................................. 43
Глава 2. Интегрируемые геодезические потоки на двумерных по-
верхностях .................................................. 46
2.1. Постановка задачи...................................... 46
2.2. Топологические препятствия к интегрируемости геодезических
потоков на двумерных поверхностях............................ 49
2.3. Два примера интегрируемых геодезических потоков........ 53
2.3.1. Поверхности вращения............................. 53
2.3.2. Метрики Лиувилля................................. 55
2.4. Описание метрик, геодезические потоки которых интегрируемы
при помощи линейных или квадратичных интегралов. Локальная
теория....................................................... 57
2.4.1. Некоторые общие свойства полиномиальных интегралов
геодезических потоков. Локальная теория................. 57
4
СОДЕРЖАНИЕ
2.4.2. Описание римановых метрик, геодезические потоки кото-
рых допускают линейный интеграл. Локальная теория ... 60
2.4.3. Описание римановых метрик, геодезические потоки кото-
рых допускают квадратичный интеграл. Локальная теория . 62
2.5. Линейно и квадратично интегрируемые геодезические потоки на
замкнутых поверхностях.......................................... 70
2.5.1. Случай тора......................................... 71
2.5.2. Случай бутылки Клейна............................... 85
2.5.3. Случай сферы........................................ 97
2.5.4. Случай проективной плоскости........................113
Глава 3. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезичес-
ких потоков на двумерных поверхностях ......................... 117
3.1. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
на торе.........................................................117
3.2. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
на бутылке Клейна ..............................................130
3.2.1. Случай квадратичного интеграла......................130
3.2.2. Случай линейного интеграла..........................135
3.2.3. Случай квазилинейного интеграла.....................136
3.2.4. Случай квазиквадратичного интеграла.................137
3.3. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
на двумерной сфере..............................................139
3.3.1. Случай квадратичного интеграла......................139
3.3.2. Случай линейного интеграла..........................147
3.4. Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
на проективной плоскости........................................152
3.4.1. Случай квадратичного интеграла......................152
3.4.2. Случай линейного интеграла..........................155
Глава 4. Траекторная классификация интегрируемых геодезичес-
ких потоков на двумерных поверхностях и функции вращения 157
4.1. Случай тора ..............................................157
4.1.1. Потоки с простыми бифуркациями (атомами) ...........157
4.1.2. Потоки со сложными бифуркациями (атомами)...........167
4.2. Случай сферы..............................................169
4.3. Примеры интегрируемых геодезических потоков на сфере......172
4.3.1. Трехосный эллипсоид.................................172
4.3.2. Стандартная сфера...................................176
4.3.3. Сфера Пуассона......................................179
4.4. Нетривиальность классов траекторной эквивалентности и метрики
с замкнутыми геодезическими ....................................181
СОДЕРЖАНИЕ
5
Глава 5. Топология лиувиллевых слоений в классических интегри-
руемых случаях динамики тяжелого твердого тела................ 191
5.1. Интегрируемые случаи в задаче о движении твердого тела и неко-
торых ее обобщениях............................................191
5.2. Топологический тип изоэнергетических 3-поверхностей......200
5.2.1. Топология 3-поверхности и бифуркационная диаграмма . . . 200
5.2.2. Случай Эйлера......................................204
5.2.3. Случай Лагранжа....................................206
5.2.4. Случай Ковалевской.................................210
5.2.5. Случай Жуковского..................................213
5.2.6. Случай Сретенского.................................216
5.2.7. Случай Клебша......................................218
5.2.8. Случай Стеклова....................................220
5.3. Лиувиллева классификация систем случая Эйлера............221
5.4. Лиувиллева классификация систем случая Лагранжа..........232
5.5. Лиувиллева классификация систем случая Ковалевской.......240
5.6. Лиувиллева классификация систем Горячева-Чаплыгина-Сретенс-
кого......................................................245
5.7. Лиувиллева классификация систем случая Жуковского........249
5.8. Грубая лиувиллева классификация систем случая Клебша.....255
5.9. Грубая лиувиллева классификация систем случая Стеклова....258
5.10. Грубая лиувиллева классификация систем случая четырехмерного
твердого тела..................................................262
5.11. Полный список молекул, встречающихся в основных интегрируе-
мых случаях динамики твердого тела.............................273
Таблицы к главе 5 .............................................. 275
Глава 6. Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность . 289
6.1. Общий принцип Мопертюи...................................289
6.2. Принцип Мопертюи в динамике твердого тела ...............296
6.3. Принцип Мопертюи и явный вид метрик на сфере, порожденных
квадратичным гамильтонианом на алгебре Ли группы движений Ж3 298
6.4. Классические случаи интегрируемости в динамике твердого тела
и отвечающие им интегрируемые геодезические потоки на сфере . 301
6.4.1. Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона...............302
6.4.2. Случай Лагранжа и соответствующая метрика вращения на
сфере.....................................................302
6.4.3. Случай Клебша и геодезический поток эллипсоида.....303
6.4.4. Случай Горячева-Чаплыгина и соответствующий интегри-
руемый геодезический поток на сфере.......................305
6.4.5. Случай Ковалевской и соответствующий интегрируемый
геодезический поток на сфере..............................306
6.5. Гипотеза о метриках с интегралами больших степеней.......308
6.6. Теорема Дини и геодезическая эквивалентность римановых метрик 313
6.7. Обобщенный принцип Мопертюи-Дини.........................323
6
СОДЕРЖАНИЕ
6.8. Траекторная эквивалентность задачи Неймана и задачи Якоби . . . 325
6.9. Явный вид некоторых замечательных гамильтонианов и их интег-
ралов в разделяющихся переменных .............................327
Глава 7. Эквивалентность случая Эйлера в динамике твердого тела
и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде................. 334
7.1. Введение.................................................334
7.2. Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде и случай Эйлера в
динамике твердого тела........................................335
7.3. Лиувиллевы слоения ......................................337
7.4. Функции вращения.........................................339
7.5. Основная теорема.........................................344
7.6. Гладкие инварианты ......................................345
7.7. Топологическая несопряженность задачи Якоби и случая Эйлера . 348
Список литературы............................................... 351
Приложение 1. О классификации потоков Морса—Смейла на двумер-
ных многообразиях............................................ 379
Введение......................................................379
§1. Классификация потоков Морса..............................381
1.1. Основные определения................................381
1.2. Построение инварианта...............................383
1.3. Теорема классификации...............................385
1.4. Реализация инвариантов..............................385
1.5. Ориентируемый случай................................389
§ 2. Сравнение инвариантов....................................389
2.1. Инвариант Пейксото .................................390
2.2. Инвариант Флейтаса..................................392
2.3. Инвариант Вонга.....................................393
2.4. Классификация «-функций и /-графы...................394
§ 3. Классификация потоков Морса-Смейла.......................398
3.1. Конструкция Пейксото................................398
3.2. Описание г>-атомов .................................401
3.3. Построение р-молекулы...............................404
3.4. Теорема классификации и реализация инвариантов......409
§ 4. Приложение: список потоков малой сложности ..............413
Список литературы............................................... 414
Приложение 2. Об устойчивости топологической структуры боттов-
ских интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями
свободы (В. В. Калашников (мл.))............................ 416
§1. Свойства систем на изоэнергетических подмногообразиях ..417
§ 2. Свойства возмущений в слабой метрике....................418
§3. Плотность боттовских систем в узком смысле .............421
§ 4. Боттовские системы с точки зрения сильной метрики.......424
СОДЕРЖАНИЕ 7
§5. Устойчивость топологической структуры на М4. Введение.424
§6. Вырожденные окружности общего вида....................426
§ 7. Глобальная устойчивость топологической структуры......434
Список литературы............................................ 436
Приложение 3. Построение канонических координат в окрест-
ности особой точки интегрируемой гамильтоновой системы
(В. В. Калашников (мл.)).................................. 437
Введение...................................................437
§1. Коммутативность и зависимость.........................438
§ 2. Нормальные формы......................................440
§ 3. Невырожденные орбиты .................................443
§ 4. Другие работы, посвященные этому вопросу .............445
Список литературы ........................................... 446
Глава 1
Методы вычисления инвариантов
интегрируемых гамильтоновых систем
1.1. Общая схема анализа топологии лиувиллева слоения
1.1.1. Построение отображения момента
Пусть v = sgradJJ — интегрируемая гамильтонова система на гладком связ-
ном многообразии М4. Будем считать, что симплектическое многообразие М4
описано некоторым эффективным образом, а гамильтониан Н задан явной фор-
мулой в некоторой системе координат на М4. Будем считать далее, что второй
интеграл f тоже задан явной аналитической формулой. Здесь следует напом-
нить, что f определяется неоднозначно и может быть заменен, например, любой
другой функцией от f и от Н. Напомним, что в нерезонансном и устойчивом
случае теория классификации интегрируемых систем не зависит от конкретного
выбора f. Молекулы, получающиеся для разных боттовских интегралов f и
будут изоморфны. Этим обстоятельством можно пользоваться, выбирая по воз-
можности более простой интеграл f.
Рекомендация: из нескольких возможных форм интеграла f следует выби-
рать «оптимальную», например, следует брать такую функцию f, у которой мно-
жество критических точек меньше. Опыт исследования реальных интегрируе-
мых задач физики (см. ниже) показывает, что иногда для «улучшения интеграла»
бывает полезно извлечь из него корень.
Выбрав интеграл f, следует далее построить отображение момента Т7:
М4 —> Ж2, т.е. J-(x) = (Н(х), f(x)). При этом Н и f следует рассматривать как
декартовы координаты на евклидовой плоскости Ж2. В большинстве реальных
задач образ многообразия М — это замкнутое подмножество 5"(М) на плоскос-
ти.
1.1.2. Построение бифуркационной диаграммы
Рассмотрим множество К критических точек отображения момента Т
на М4. Напомним, что
К = {ж 6 М4 : rankdj7(®) < 2} .
Это множество замкнуто в М, и его образ в Ж2 обозначается через S и
называется бифуркационной диаграммой отображения момента. Это множество
замкнуто и в реальных задачах физики обычно состоит из гладких дуг, которые
могут пересекаться и касаться друг друга, а также может содержать изолиро-
ванные точки. Полезно отметить, что если образ ^(М) замкнут, то его граница
обязательно является частью бифуркационной диаграммы.
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
9
Построение X сводится к описанию того множества, на котором векто-
ры grad Л и grad f зависимы. Эта задача — чисто аналитическая, при условии,
что функции Н и f заданы формулами. Она может оказаться достаточно слож-
ной, однако иногда здесь можно использовать компьютер. Во всяком случае, для
многих серий интегрируемых систем, которые мы вскоре опишем, эта задача
была успешно и эффективно решена.
Множество X разбивает образ ото-
бражения момента Т-'(М) на открытые
связные двумерные множества, которые
мы назовем камерами. Обычно их — ко-
нечное число. Некоторые из них ограни-
чены, другие уходят на бесконечность
(рис. 1.1). Граница камеры состоит из не-
которого числа гладких дуг из X, кото-
рые мы назовем стенками камеры, и из
какого-то числа особых точек X. В этих
особых точках сходятся разные стенки.
Стенки бывают двух типов: перегородки
и внешние. Стенка называется перегород-
кой, если она отделяет друг от друга две камеры. Стенка считается внешней, если
она лежит на границе образа отображения момента ^(М). См. рис. 1.1.
Рис. 1.1
1.1.3. Проверка боттовости системы
Следующим шагом должна быть проверка боттовости исследуемой системы,
т. е. проверка невырожденности особенностей отображения момента для каждо-
го участка бифуркационной диаграммы. Возьмем для этого какую-либо гладкую
дугу 7 из X. Ей отвечает в М4 некоторое подмножество К(у) множества К кри-
тических точек. Следует проверить, являются ли точки из К(у) невырожден-
ными в смысле определения 1.21 главы 1 тома I. В подавляющем большинстве
случаев это условие действительно выполняется, и множество К(7) является
семейством одномерных невырожденных орбит действия группы R2(H,/).
То же самое можно переформулировать на языке 3-многообразия Q^, явля-
ющегося прообразом в М4 вертикального отрезка Н = h на плоскости R2 при
отображении момента Т7 (рис. 1.1). Пусть прямая Н = h пересекает трансвер-
сально гладкие регулярные дуги диаграммы X и не проходит через особые точ-
ки X. Предположим, что соответствующие критические точки в М4 невырожде-
ны. Тогда это означает, что ограничение интеграла f на Q3h является боттовской
функцией. Меняя величину h, т. е. смещая прямую Н = h влево и вправо, мы
получаем множество всех изоэнергетических 3-поверхностей данной интегриру-
емой системы. При этом, до тех пор, пока мы не проходим через особые точки
бифуркационной диаграммы, и пока мы сохраняем трансверсальность пересе-
чения прямой Н — h с X, структура слоения Лиувилля сохраняется, т. е. его
послойный тип не меняется. С другой стороны, этот подход позволяет указать
те особые, т. е. бифуркационные значения энергии, при которых происходит пе-
10
Глава 1
рестройка топологического типа лиувиллева слоения на или даже изменение
топологии самой изоэнергетической 3-поверхности Qzh.
Конкретные примеры, показывающие, как реально нужно проверять ботто-
вость конкретных систем математической физики, приведены ниже. В главе 3
установлена боттовость некоторых интегрируемых геодезических потоков, а в
главе 5 — боттовость основных случаев интегрируемости в динамике твердого
тела.
1.1.4. Описание атомов системы
Если точка у = J-(x) из образа отображения момента лежит строго внутри
камеры, то ее полный прообраз состоит из какого-то числа, обычно конечного,
регулярных 2-торов Лиувилля в М4. Меняя точку у внутри камеры, мы застав-
ляем эти торы изотопно смещаться внутри М4. Поэтому для любых двух точек у
и у' из одной камеры число торов Лиувилля, «висящих над ними», одно и то же.
Другими словами, внутри камеры никаких бифуркаций не происходит.
Если же точка у приближается к какой-либо из
стенок камеры по какой-то гладкой дуге т и в не-
который момент протыкает ее в точке с (рис. 1.2),
переходя в соседнюю камеру, то при этом возника-
ет какая-то бифуркация некоторых торов Лиувил-
ля, «висящих над» точкой у. Будем всегда считать,
что дуга т протыкает стенку камеры трансверсаль-
но. Поскольку мы уже проверили невырожденность
системы на стенке камеры, то эта бифуркация зада-
ется некоторым атомом или несколькими атомами.
Настоящий шаг состоит в том, чтобы определить типы возникающих атомов. В
общем случае эта задача, конечно, достаточно нетривиальна. Но при ее реше-
нии оказывается очень полезным список атомов, приведенный нами в томе I.
Проиллюстрируем этот метод на примере.
Пусть до момента бифуркации и пос-
ле него имеется всего лишь один тор Ли-
. увилля. Пусть далее точка с, т. е. точка
| встречи т со стенкой камеры, соответ-
Д ствует ровно одной критической окруж-
ности. Тогда возникающий атом обязан
быть атомом 4*. Это сразу вытекает из
таблицы атомов, поскольку других ато-
мов с таким свойством попросту нет.
Отсюда видно, что полезно выяснить, сколько торов Лиувилля было до мо-
мента перестройки, и сколько — после. А также, сколько критических окруж-
ностей отвечает критическому уровню с. Это позволяет во многих случаях, про-
сматривая таблицу атомов, сразу отбросить большинство из них и свести задачу
к анализу лишь сравнительно небольшого числа возможностей.
Приведем еще один пример. Если исследуемая камера имеет внешнюю стен-
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем 11
ку, то все атомы, ей отвечающие, обязательно имеют тип А. Перегородкам же
могут отвечать как атомы типа А, так и седловые. Одна из таких возможностей
показана на рис. 1.3. Здесь в одной камере — один тор Лиувилля, а в другой —
два. Возможны два случая: либо атом В, либо один тор Лиувилля пересекает
стенку без бифуркации, а другой превращается в А.
1.1.5. Построение молекулы системы на данном уровне
энергии
На предыдущем этапе мы выясни-
ли, сколько торов Лиувилля «висит» над
каждой камерой и каковы атомы, отвеча-
ющие стенкам камер. Теперь можно со-
брать всю эту информацию в виде еди-
ной молекулы W. Другими словами, нуж-
но нарисовать все атомы, участвующие
в бифуркациях (рис. 1.4), рассмотреть их
концы и затем склеить их в определенном
порядке, диктуемом топологией прообра-
за прямой Н = h. Эта процедура не
является «механической», поскольку кон-
цы атомов можно соединять, вообще гово-
ря, разными способами, и при этом будут
получаться, вообще говоря, разные моле-
кулы. Нам нужно выбрать из всех вариантов лишь один — тот, который дей-
ствительно реализуется в данной задаче. Это требует каких-то дополнительных
усилий и соображений.
1.1.6. Вычисление меток
Для завершения построения меченой молекулы W* осталось подсчитать
метки. Это, по-видимому, самый деликатный момент исследования. Какого-либо
общего алгоритма здесь, вероятно, нет. В разных ситуациях приходится поль-
зоваться разными соображениями и методами. Некоторые из них мы изложим
в следующем параграфе. Этот шаг является последним. В результате мы по-
лучаем меченую молекулу W*, являющуюся, как мы уже знаем, полным лиу-
виллевым, то есть послойным, инвариантом интегрируемой системы на данном
уровне энергии. Здесь уместно еще раз подчеркнуть, что, несмотря на определен-
ную неоднозначность в выборе интеграла /, полученный нами сейчас результат,
т. е. молекула W*, определен однозначно самой системой, самим интегрируемым
гамильтонианом Н.
12
Глава 1
1.2. Методы вычисления меток
Как будет видно из дальнейшего, в реальных геометрических и физических
задачах в качестве изоэнергетических 3-поверхностей особенно часто возникают
следующие 3-многообразия:
1)
2)
Сфера S3.
Проективное пространство IRP3.
3) Трехмерный тор Т3.
4) Прямое произведение 51 х52.
5) Расслоение с базой поверхность и со слоем окружность, ассоциированное с
касательным расслоением к двумерной поверхности. В каждой касательной
плоскости следует рассмотреть единичную окружность с центром в точке
касания плоскости к поверхности.
6) Связные суммы перечисленных 3-многообразий, в основном многообразий
вида S1 х S2.
Первым важным примером молекул является простейшая молекула А----А
с метками г и е на ребре. Метки п здесь нет. Оказывается, в данном случае, если
топология 3-многообразия Q заранее известна, она почти однозначно определяет
метку г на соответствующей молекуле.
Предложение 1.1.
а) Многообразие Q, отвечающее молекуле А---А, получается склейкой двух
полноторий и гомеоморфно одному из следующих многообразий: S3, IRP3,
S1 х S2, линзовые пространства Lp^.
б) В случае, когда Q = S3, метка г равна нулю, а метка в — ±1, определяется
ориентацией, фиксированной на S3.
в) В случае, когда Q = IRP3 , метка г равна а метка в = ±1, определяется
Л
ориентацией, фиксированной на IRP3.
г) В случае, когда Q = S1 х S2, метка г равна оо, а метка е = ±1 устроена
так. Поток, отвечающий молекуле А------А, имеет ровно две критические
окружности, являющиеся слоями тривиального S1 -расслоения. Если поток
течет по обеим окружностям в одну сторону, то s = —1, а если в проти-
воположные стороны, то £ = +1.
Доказательство немедленно следует из предложения 4.3 тома I. Здесь же
мы лишь напомним, что молекула А----А означает, что Q склеено из двух пол-
ноторий. Фиксируя базисы на них, как указано в томе I, получаем следующую
матрицу склейки:
а (3
7 J
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
13
в терминах которой можно однозначным образом описать топологию многооб-
разия, полученного в результате склейки. В томе I было показано, что тополо-
гия Q взаимно-однозначно определяется меткой г. В частности, в случае сферы,
проективного пространства и прямого произведения S1 х S2 метка г равна со-
ответственно 0, оо, что и требуется.
1.3. Метод круговых молекул
Напомним понятие круговой молекулы, введенное нами в главе 9 тома I.
Пусть X — бифуркационная диаграмма отображения момента Т7 интегриру-
емой системы. Диаграмма X расположена в плоскости R2 (Н, f). Будем считать,
что X представляет из себя набор гладких кривых 71,... , 7*, которые могут
пересекаться или касаться друг друга в некоторых точках. Пусть при этом каж-
дая гладкая дуга из семейства 71, ... , 7^ удовлетворяет условию боттовости.
Отметим, что диаграмма X может содержать изолированные точки.
Рассмотрим особые точки бифуркационной диаграммы X, т. е. точки пере-
сечения, касания, излома гладких дуг диаграммы. Подробнее см. выше в главе 9
тома I. Или же изолированные точки, которые вообще этим дугам не принадле-
жат.
Обозначим множество особых точек диаграммы X через Xq. Будем считать,
что Хо — это конечное множество точек. Если представлять X в виде одномер-
ного клеточного комплекса, то Xq — это как раз множество его вершин. Ребра
этого комплекса — это в точности дуги 71, ... , 7^.
Напомним, что гладкая кривая т без самопересечений в плоскости R.2 (Н. f)
называется допустимой, если она пересекает бифуркационную диаграмму X
трансверсально и не проходит через особые точки X.
Как мы уже объясняли, полный прообраз QT = 77-1(т) в М4 — это трехмер-
ное гладкое многообразие со структурой лиувиллева слоения, все особенности
которого являются боттовскими. Тем самым, на QT возникает инвариант этого
слоения — меченая молекула W*, которую мы обозначим через ГГ*(т). В главе 9
тома I мы уже показали, что эта молекула не меняется при гладкой изотопии т
в классе допустимых кривых.
Пусть теперь уо £ Хо — некоторая изолированная особая точка бифуркаци-
онной диаграммы. Рассмотрим окружность т малого радиуса с центром в точ-
ке t/о- Предположим, что т — допустимая кривая и что она остается таковой при
уменьшении ее радиуса. Тогда корректно определена молекула И7* (г). Она и на-
зывается круговой молекулой особой точки уо бифуркационной диаграммы X и
обозначается через IE*(yo).
Общая идея использования круговых молекул для описания глобальной
структуры лиувиллева слоения на изоэнергетических поверхностях такова. Кру-
говая молекула является локальным инвариантом особенности, поэтому обычно
ее бывает вычислить легче, чем молекулу для изоэнергетической поверхности,
являющуюся уже глобальным инвариантом. Если тип особенности, отвечающей
особой точке уо £ X, понят и описан, то нахождение соответствующей круго-
14
Глава 1
Рис. 1.5
вой молекулы не составляет труда. Более того, в конкретных задачах обычно
встречаются лишь особенности из некоторого «конечного списка». Поэтому мож-
но заранее составить некоторую таблицу круговых молекул для таких наиболее
типичных особенностей. Этой таблицей можно затем пользоваться при исследо-
вании конкретных систем.
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
15
Предположим, что мы вычислили все
круговые молекулы для всех особых точек
данной бифуркационной диаграммы. Тог-
да меченую молекулу ТУ* (г) для любой
допустимой кривой на плоскости R2 (Н, f)
можно «склеить» из кусочков круговых мо-
лекул. Оказывается, эта процедура позво-
ляет многое узнать об искомой молеку-
ле 1У*(т). В частности, о ее метках. Иногда
даже удается полностью вычислить моле-
кулу 1У*(т). Проиллюстрируем эту мысль
на рис. 1.5. Идея состоит в следующем.
На рис. 1.5а показана некоторая бифурка-
ционная диаграмма, у которой отмечены
особые точки уг, у?. уз- Далее, здесь же
Рис. 1.6
изображена некоторая допустимая кривая
т = {Н = ho}. Эта кривая пересекает четыре гладких участка 71, 72, 73, 74 би-
фуркационной диаграммы S. Каждый из этих участков 7^ отвечает некоторому
атому Vj. Сразу отметим, что эти атомы те же самые, что и атомы, участву-
ющие в круговых молекулах. Более того, метки г на ребрах между ними тоже
совпадают с соответствующими r-метками для круговых молекул. Например,
молекулы 1У*(т) и имеют общий фрагмент вида Vi----V2 (рис. 1.6).
На рис. 1.5b показана изотопия некоторых дуг круговых молекул, дефор-
мирующая эти дуги в соответствующие отрезки допустимой кривой т. Эта же
идея показана и на рис. 1.5с. Из рис. 1.6 видно, что при такой изотопии г-метки
на деформирующих участках круговых молекул не меняются. И в результате
из этих фрагментов круговых молекул составляется искомая молекула 1У*(т) с
r-метками. Другими словами, во многих случаях r-метки молекул вида 1Т*(т)
можно вычислить, зная r-метки соответствующих фрагментов круговых моле-
кул, окружающих особые точки бифуркационной диаграммы.
Описанная схема рассуждений, конечно,
условна в том смысле, что конкретная ситуация
может оказаться сложнее. Мы описали лишь неко-
торый относительно простой случай. Иногда мо-
жет случиться, например, так, что одному от-
резку пути т отвечает не одна, а несколько дуг
круговых молекул особых точек. См. пример на
рис. 1.7. В этом случае требуется определить пра-
вило «сложения меток», происходящих из фраг-
ментов разных круговых молекул. Такие правила
действительно существуют, и некоторые из них
мы опишем ниже.
Могут появиться и другие сложности. Тем не менее, как показывает опыт,
изложенная схема успешно работает во многих ситуациях.
Опишем правило суммирования меток, эффективное в некоторых случаях.
16
Глава 1
Рассмотрим ситуацию, представленную на рис. 1.7. Пусть мы знаем метку г =
Р
<1
ДЛЯ дуги круговой молекулы особой ТОЧКИ У1 и метку г = | для дуги круговой
молекулы особой точки у2 (рис. 1.8). Спрашивается, можно ли найти r-метку на
отрезке дуги т, отвечающем этим двум дугам круговых молекул? Рассмотрим
атомы, отвечающие трем дугам 71? 72, 73 бифуркационной диаграммы (рис. 1.8).
Выделим область, ограниченную этими тремя дугами. Каждая ее точка изобра-
жает тор Лиувилля. Двигаясь вдоль вертикального отрезка т, этот тор порождает
искомое ребро молекулы Иг*(т). Двигаясь вдоль двух дуг маленьких окружнос-
тей (рис. 1.8), тор Лиувилля порождает два ребра соответствующих круговых
молекул. Когда тор Лиувилля пересекает отрезок бифуркационной диаграммы,
в этот момент его можно рассматривать как граничный тор соответствующего
атома. Поэтому на торе Лиувилля можно определить три допустимые системы
координат (Al, /Xi), (Аг, Г2), (Аз, //3), отвечающие каждой из дуг 71, 72, 73. Сле-
довательно, матрица перехода от дуги 71 к дуге 73 является произведением двух
других матриц перехода, а именно, от дуги 71 к дуге 72 и от дуги 72 к дуге 73.
Это позволяет написать следующую формулу, связывающую метки на фрагмен-
тах круговых молекул с меткой на отрезке т.
Предложение 1.2. Если r-метки на ука-
занных дугах круговых молекул {рис. 1.8) рав-
р s
ны соответственно - и то г-метка на
отрезке равна
{s + mt)p + ty
{s + mt)q + td'
где m — некоторое целое число, а целые
числа 7 и ё однозначно вычисляются из усло-
вий рё — 57 = —1 и 0 ё < |д|.
Доказательство сразу следует из прави-
ла перемножения матриц склеек.
Видно, что в общем случае r-метка на ребре т однозначно не определяется
Р s п
по - и поскольку в ответе присутствует произвольный параметр т. Одна-
ко в некоторых частных случаях формула предложения 1.2 позволяет получить
точный ответ.
Следствие. Если одна из r-меток на рис. 1.8 равна бесконечности, то тогда
результирующая r-метка на ребре т совпадает с другой r-меткой. В частности,
если д = 0, то результирующая r-метка совпадает с меткой
Другими словами, если «напротив» отрезка т расположены две метки, из
которых одна равна бесконечности, то метка на ребре т попросту совпадает с
другой меткой.
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
17
1.4. Список основных, наиболее часто встречающихся
круговых молекул
1.4.1. Круговые молекулы регулярных точек
бифуркационной диаграммы
Мы начнем с самого простого случая и укажем круговые молекулы для не-
особых точек бифуркационной диаграммы. Такая информация тоже может быть
иногда полезной.
Итак, пусть у g S — неособая точка бифуркационной диаграммы, лежа-
щая на некоторой гладкой дуге 7 из S. Мы предполагаем, что все точки этой
дуги, включая точку у, соответствуют некоторой боттовской особенности, т. е.
некоторому атому V. Рассмотрим окружность т малого радиуса вокруг точ-
ки у (рис. 1.9). Она, очевидно, допустима, и мы можем рассмотреть ее прообраз
Qy — 77-1(т) и соответствующую круговую молекулу W*(y), описывающую
слоение Лиувилля на нем.
Выделим два случая: случай седлового атома V и
случай, когда V является атомом типа А.
Предложение 1.3 (Случай атома А). Круговая мо-
лекула отвечающая неособой точке у бифур-
кационной диаграммы, соответствующей атому А
(рис.1.10а), имеет вид
А-----А,
Рис. 1.10
где г = оо, е = —1. При этом многообразие Qy= Р 1(т) диффеоморфно прямому
произведению S1 х S2.
Предложение 1.4 (Случай седлового
атома V). Круговая молекула W*(y), от-
вечающая неособой точке у бифуркацион-
ной диаграммы, соответствующей седло-
вому атому V, имеет вид, показанный
на рис. 1.106. Здесь метки выглядят так.
Все r-метки равны бесконечности. Все
метки е равны единице. Метка п равна ну-
лю. Здесь имеется ровно одна семья, поэ-
тому метка п ровно одна. При этом, ес-
ли атом V не имеет вершин-звездочек,
то ^-многообразие Q2 = диффеоморфно прямому произведению
Pl х S1,
где замкнутая ориентированная двумерная поверхность имеет род к =
= 2g(V) + (число ребер атома V) — 1.
18
Глава 1
Если же атом V имеет вершины-звездочки, то 3-многообразие Q2 = 77-1(т)
диффеоморфно расслоению Зейферта со слоем окружность над двумерной ориен-
тированной поверхностью Г2, род которой вычисляется по той же формуле:
k = 2g(V) + (число ребер атома V) — 1.
В этом случае под родом атома g(y) понимается род канонической базы данного
расслоения Зейферта. Другими словами, род атома — это род поверхности, полу-
чающейся факторизацией трансверсального сечения в 3-атоме по естественной
инволюции, задающей вершины-звездочки. См. детали выше, в главе 3 тома I.
Доказательство.
Мы докажем сразу оба предложения 1.3 и 1.4. Продеформируем окруж-
ность т (см. рис. 1.9) при помощи подходящей изотопии в кривую, показанную
на рис. 1.11. То есть «сильно сплющим» окружность. В результате получаются
два отрезка, концы которых склеены. Причем оба отрезка трансверсальны дуге
бифуркационной диаграммы. Следовательно, прообразом каждого из них являет-
ся 3-атом. Мы получаем две изоморфные копии одного и того же 3-атома, которые
следует склеить между собой по граничным торам.
Очевидно, что эта склейка происходит по тож-
дественному отображению. Каждый граничный тор
склеивается со своим «двойником». Отсюда следует,
что общий вид искомой круговой молекулы W(у) —
именно такой, какой указан на рис. 1.10. Независимо
от того, имеет ли атом V звездочки или нет.
Явный вид меток на ребрах круговой молекулы,
указанный в предложениях 1.3 и 1.4, сразу следует
из того, что склейка границ двух копий атома про-
исходит по тождественному отображению. Отметим
здесь только, что в случае атома А метка е равна —1 по той причине, что га-
мильтонов поток на обоих критических окружностях этой молекулы, то есть в
рассматриваемом нами сейчас случае, течет в одну сторону. Согласно предложе-
нию 1.1, в этом случае метка в равна —1.
Опишем теперь топологию 3-многообразия Q2 = 77-1(т). Ясно, что Q2 по-
лучается склейкой двух копий 3-атома V, то есть Q2 = V + V. В то же вре-
мя. 3-атом V либо является прямым произведением Y х S1, либо расслоением
Зейферта с базой Y и слоем S1. Здесь Y — двумерная поверхность с краем.
Из явного вида склейки видно, что при склейке двух копий 3-атомов склеива-
ются их базы Y. В результате получаем, что Q2 является либо прямым про-
изведением (У + У) х S1, либо расслоением Зейферта над базой У + У со сло-
ем S1. Остается подсчитать род поверхности У + У. В случае атома А база У
является 2-диском, поэтому У + У гомеоморфно сфере S2. Поэтому в этом слу-
чае Q2 = S2 х S1. В случае седлового атома V род базы У + У вычисляется через
род поверхности У и число ее граничных окружностей в точности по указанной
выше формуле.
Предложения 1.3 и 1.4 доказаны.
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем 19
1.4.2. Круговые молекулы, отвечающие невырожденным
особенностям отображения момента
Для всех четырех типов невырожденных особенностей бифуркационной диа-
граммы, а именно: седло-седло, седло-центр, центр-центр, фокус-фокус — круго-
вые молекулы полностью описаны в главе 9 тома I. В то же время представляет
интерес посмотреть, какие из этих круговых молекул действительно появляются
в конкретных задачах геометрии математической физики. Мы составили такой
список на основе проведенного в последние годы обширного анализа конкретных
гамильтоновых систем.
Результат приведен в таблице 1.1.
В каждом из четырех разделов этой таблицы перечислены наиболее час-
то встречающиеся круговые молекулы. Рядом с каждой из них мы указали те
классические случаи интегрируемости в динамике тяжелого твердого тела, где
эта круговая молекула встречается. Итог таков.
1) В разделе «центр-центр» появляется только одна круговая молекула. Она
встречается очень часто, почти во всех известных случаях интегрируе-
мости.
2) В разделе «центр-седло» появляются три различных круговых молекулы.
3) В разделе «седло-седло» появляются пять различных круговых молекул.
4) В разделе «фокус-фокус» появляются две различные круговые молекулы.
Этот список может быть неполон, поскольку мы исследовали не все случаи
интегрируемости, известные сегодня. Тем не менее, наш список возник в ре-
зультате обработки большого числа случаев интегрируемости. В этом смысле он
достаточно представителен.
1.5. Структура слоения Лиувилля около особых точек,
отвечающих вырожденным одномерным орбитам
Выше мы изучили случай невырожденных особенностей отображения мо-
мента интегрируемой системы. Следующим является случай вырожденных осо-
бенностей. Мы рассмотрим в этом параграфе случай одномерных вырожденных
орбит, т. е. вырожденных окружностей в Mi. Рассмотрим отображение момен-
та Т7: М4 —> R2 (Л, /) интегрируемой системы и соответствующее пуассоново
действие Ф: Ж2 —> Diff(M4), порожденное сдвигами вдоль интегральных тра-
екторий гамильтоновых полей v = sgradH и w = sgrad/. Пусть О(жо) —
периодическая одномерная орбита этого действия, т. е. окружность. Обычно в
конкретных приложениях такая орбита отвечает изолированной особой точке
бифуркационной диаграммы S, т. е. близкие к ней точки из S образуют глад-
кие дуги S, втыкающиеся в точку Т-^Жо)- Для определенности будем полагать,
что dH(xo) 0, то есть орбита О(а?о) является замкнутой траекторией вектор-
ного поля V.
20
Глава 1
Мы будем считать, что любая окружность т достаточно малого радиуса с
центром в точке уо = J-(x0) на плоскости (H,f) является допустимой кривой.
Тогда на 3-поверхности QT = 77-1(т) возникает слоение Лиувилля. Нам будет
полезно рассмотреть здесь функцию fT: QT —> S1 = т, где /т(ж) = J-(x) Е т. Мы
получили отображение QT в окружность т на плоскости Ж.2. Функция fT на QT
имеет боттовские особенности и задает на QT структуру слоения Лиувилля, ко-
торое нам и требуется описать.
Без ограничения общности можно считать, что полный прообраз 77-1((/о)
связен, то есть совпадает со слоем слоения Лиувилля. Отметим, что орбита О(жо),
конечно, лежит в этом слое. Но при этом возможны два случая. Первый: орбита
совпадает со слоем. Второй: орбита «меньше» слоя, то есть кроме этой орби-
ты O(xq) в 77-1(уо) есть и другие орбиты.
Начнем с анализа первого случая.
Опишем сначала некоторое модельное слоение Лиувилля. Рассмотрим на
2-сфере S2 произвольную функцию Морса g. Распространим ее на «цилиндр»,
то есть на прямое произведение D1 х S2. После этого склеим два «основания
цилиндра», то есть две 2-сферы {0} х S2 и {1} х S2, по диффеоморфизму а, со-
храняющему функцию Морса g. В результате цилиндр D1 х S2 превратится в
3-многообразие S1 х S2, а функция g превратится в некоторую гладкую боттов-
скую функцию на QT. Определяемое ею слоение на поверхности уровня и будем
считать модельным слоением Лиувилля на S1 х S2.
Теорема 1.1 (См. [249]). Пусть орбита О(жо) совпадает со слоем 77-1(уо).
а) Тогда изоэнергетическая «круговая» 3-поверхность QT диффеоморфно пря-
мому произведению S1 х S2.
б) Лиувиллева слоение на 3-поверхности QT диффеоморфно одному из описан-
ных выше модельных слоений Лиувилля на S1 х S2 для некоторых, подходя-
щим образом подобранных функций Морса g на сфере S2 и диффеоморфизма а
этой сферы в себя.
Доказательство.
Начнем с пункта (а). Рассмотрим на М4 следующую гладкую функцию:
hT (ж) = (Н (ж) - Н (ж0))2 + (/ (ж) - f (ж0))2.
Ясно, что 3-поверхность QT является поверхностью уровня этой функции
hT(x) — в, где s > 0 — малое число. Отметим, что hT — это интеграл пото-
ка v. Рассмотрим трехмерную трансверсаль к одномерной орбите О(жд) в М4
(см. рис. 1.12). Пересечение с поверхностью уровня QT = {hT(x) = б} гомеоморф-
но двумерной сфере малого радиуса е. Это следует из явного вида функции hT
и из того, что точка Жо является изолированной точкой локального минимума
функции hT на трехмерной трансверсали L3. Рассмотрим отображение Пуанкаре
на трехмерной трансверсали, порожденное потоком sgradH. Ясно, что 2-сфера
{/гт = инвариантна относительно отображения Пуанкаре, поскольку hT —
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
21
это интеграл гамильтонова потока v = sgrad/f. Вся «круговая изоэнергетичес-
кая» 3-поверхность QT, очевидно, является объединением всех интегральных тра-
екторий потока v, стартующих с 2-сферы {/iT = с} П L3. Сопоставляя каждой
точке х исходной 2-сферы ее образ при отображении Пуанкаре, мы очевидно
получаем некоторый диффеоморфизм 2-сферы S2 = {hT = s} П L3 на себя. От-
сюда видно, что QT получается склейкой двух оснований «цилиндра» D1 х S2 по
некоторому их диффеоморфизму. Этот диффеоморфизм сохраняет ориентацию,
поэтому гомотопен тождественному отображению. Следовательно, QT диффео-
морфно прямому произведению S1 х S2. Первый пункт теоремы доказан.
Перейдем к пункту (б). Рассмотрим теперь
на Qr функцию /т(ж) = ^(ж) = (Я(ж), /(ж)),
задающую структуру лиувиллева слоения на QT
(см. выше). Эта функция была, по предположению
теоремы, боттовской на всем QT. Ограничивая ее
на двумерную сферу S2 = {hT = г} П L3, вложен-
ную в QT, и трансверсальную интегральным тра-
екториям потока v = sgrad Н, мы, очевидно, по-
лучаем на 2-сфере уже функцию Морса g(x), а не
боттовскую функцию. Отметим, что функция fT
постоянна вдоль траекторий поля sgradН, поэтому
ее можно рассматривать как естественное продол-
жение функции g с двумерной сферы на весь ци-
линдр со склеенными основаниями. Другими словами, функция /т, задающая
слоение Лиувилля, устроена так, как описано в теореме. Теорема доказана.
На самом деле не любое модельное слоение, описанное выше, реализуется в
рассматриваемом сейчас нами случае вырожденных одномерных орбит. Дело в
том, что функция Морса g на 2-сфере и диффеоморфизм 2-сферы в себя долж-
ны удовлетворять некоторым естественным ограничениям, которые мы сейчас
прокомментируем. Как видно из доказательства теоремы, сфера S2 лежит в
трехмерной трансверсали L. Поскольку по предположению с1Н(жо) 0, то су-
ществуют локальные канонические координаты q-i, р2, q%, в которых Н = рг,
f = /(Рь P2j 32)- Ясно, что pi, р2, q2 — это локальные координаты на трансвер-
сали L. Отсюда следует, в частности, что Н — это функция высоты на сфере S2.
Но слоения, задаваемые на S2 гамильтонианом Н и функцией /т, совпадают.
Отметим, что функция fT выступает в нашей конструкции в качестве функ-
ции g. Поэтому без ограничения общности функцию g на сфере S2 тоже можно
считать функцией высоты. Условие на диффеоморфизм <т заключается в том,
что он должен гладко продолжаться внутрь шара, ограниченного сферой S2. При
этом для каждого е диффеоморфизм а концентрической «уменьшающейся» сферы
S2 — {hT — е} на себя сохраняет функцию g, и топология одномерного слоения
на S2 = {hr = е}, задаваемого функцией g, не зависит от е.
Анализ указанных ограничений приводит к тому, что среди модельных сло-
ений на S1 х S'2, описанных выше, достаточно рассмотреть только следующие.
См. [146].
Пусть g— функция высоты на двумерной сфере S2, гладко вложенной в В3.
22
Глава 1
Пусть далее сфера S2 и функция g, заданная на ней, инвариантны относительно
Р
поворота вокруг вертикальной оси z на угол 2тг- для некоторых взаимно прос-
тых р и q. Возьмем в качестве диффеоморфизма а этот поворот. Построим затем
слоение Лиувилля на S'1 х S'2, отвечающее паре (g, а), как было описано выше
в модельном примере. Получающиеся таким способом слоения Лиувилля — это
и есть в точности те слоения, которые реализуются на S1 х S2 в случае, когда
вырожденная орбита совпадает со слоем.
Всевозможные круговые молекулы WT, которые могут возникать в описан-
ной выше ситуации, найдены в работе [146].
Из описания реализуемых модельных слоений следует, что на изоэнерге-
тической «круговой» 3-поверхности QT возникает естественная структура рас-
слоения Зейферта, согласованная со слоением Лиувилля. Другими словами, слои
расслоения Зейферта лежат на слоях слоения Лиувилля. При этом оказывается,
что расслоение Зейферта либо вообще не имеет особых слоев, а потому триви-
ально, то есть является прямым произведением, либо имеет ровно два особых
слоя, причем одинакового типа (р, q).
Перейдем к анализу второго случая, то есть когда кроме орбиты О(хо)
в 7?-1(уо) есть и другие орбиты. Наиболее типичный случай здесь такой: 7?-1(уо)
содержит двумерную орбиту N, гомеоморфную кольцу S1 х R1, а орбита О(а?о)
лежит в замыкании двумерной орбиты N, на границе кольца. В дальнейшем бу-
дем считать, что картина именно такова. В этом случае ситуация во многом на-
поминает картину первого случая, только что разобранного нами. Однако здесь
расслоение Зейферта на QT может быть устроено сложнее.
Предположим далее, что все объекты, участвующие в конструкции, явля-
ются вещественно-аналитическими.
Теорема 1.2 (См. [249]). В случае, когда О(хд) «меньше» пРи указан-
ных выше предположениях изоэнергетическая «круговая» 3-поверхностъ QT несет
на себе структуру расслоения Зейферта, каждый слой которого, т. е. окруж-
ность, лежит на некотором слое слоения Лиувилля.
Доказательство.
Рассмотрим двумерную орбиту N, содержащую в своем замыкании одно-
мерную орбиту О(жо). В силу предположений теоремы, орбита N гомеоморфна
кольцу S1 х R1. Тогда очевидно, что существует такая линейная комбинация
w = Л sgradН + р, sgrad/
векторных полей sgradН и sgrad/, что у поля w все интегральные траектории
на кольце S1 х К1 замкнуты. Более того, можно построить функцию F(H, f)
такую, что w = sgrad F и все интегральные траектории поля w будут замкнуты
уже не только на кольце, но и в некоторой открытой окрестности этого коль-
ца, на всех орбитах О(х), проходящих вблизи кольца S1 хЖ1. Построение такой
функции F было описано нами выше в главе 3 тома I, где функция F называ-
лась периодическим интегралом. Напомним, что для этого нужно рассмотреть
замкнутую траекторию поля w на орбите О(жо) и сдвинуть ее посредством изо-
топии на все близкие орбиты О(х). Обозначим циклы, получившиеся на орбитах,
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
23
через 7. После этого функция F может быть задана следующей явной формулой:
F — <1> а.
т
где da = ш. Здесь мы фактически используем стандартную конструкцию, приме-
няющуюся при построении переменных действия в окрестности тора Лиувилля.
Получившаяся функция F определена на всех орбитах О (ж), для которых точ-
ка х близка к точке ж0. Ясно, что все траектории векторного поля w = sgradF
замкнуты на всех таких орбитах, проходящих близко от орбиты N.
Заметим теперь, что функция F является аналитической функцией от Н и /,
поэтому ее можно естественным образом продолжить на всю окрестность U осо-
бого слоя вида U = F-1 (V(уд)). где уд — рассматриваемая особая точка
бифуркационной диаграммы. Будучи замкнутыми на некотором открытом мно-
жестве в М4, траектории векторного поля w = sgradF в силу аналитичности
будут замкнуты на всей окрестности U и, в частности, на изоэнергетическом
«круговом» многообразии QT С U. Таким образом, QT расслоено на замкнутые
траектории, каждая из которых лежит на некотором слое лиувиллева слоения. В
результате мы получаем на QT структуру расслоения Зейферта, удовлетворяю-
щую всем требуемым свойствам. Теорема доказана.
1.6. Типичные круговые молекулы особых точек,
отвечающих одномерным вырожденным орбитам
Здесь мы перечислим основные примеры круговых молекул особых точек
указанного типа, реально встречающиеся в задачах математической физики.
Пример 1 (Параболический случай). Хорошо известны два типа невырожден-
ных орбит — эллиптические и гиперболические. Часто встречаются ситуации,
когда при изменении параметров системы, т. е. значений первых интегралов,
орбита меняет свой тип, переходя, например, от эллиптического к гиперболи-
ческому. В «критический момент перехода» орбита становится вырожденной, и
качественный характер перестройки может быть описан следующим образом.
Этот случай естественно назвать параболическим.
Рассмотрим в Iffi3(pi, qi, р^) две функции: Н = р2 и f = f(pi, q±, р2). Ли-
нии уровня функции f на горизонтальных плоскостях z = const изображены
на рис. 1.13. Видно, что с ростом р2 происходит рождение двух невырожденных
особых точек разных типов, а именно: эллиптической и гиперболической точек.
В К3 две функции Hnf задают одномерное слоение. Из него легко изгото-
вить двумерное слоение на К3 х S'1, умножив эту картину прямым образом на
окружность S1. Мы будем считать, что на окружности S1 задана периодическая
координата, так что в К3 х S1 мы получаем все четыре симплектические коорди-
наты pi, qi, р2, q-i- Ясно, что функции Н(р, q) и f(p, q) коммутируют и задают
слоение Лиувилля в 4-мерном симплектическом многообразии К3 х S1.
24
Глава 1
Рис. 1.13
бражения, задаваемого парой функц
Соответствующая этой интегрируе-
мой системе бифуркационная диаграм-
ма отображения момента Т7: Ж3 х S1 —>
—> К2 (Л, /) показана на рис. 1.13. Вид-
но, что это — «клюв», целиком содержа-
щийся в образе отображения момента Т7.
Соответствующая круговая молекула WT,
получающаяся при обходе вокруг конца
клюва, также показана на рис. 1.13.
В качестве функции f можно взять,
например, функцию, локально имеющую
следующий вид:
f = Р1 + 51 -Р201-
Такой локальный вид функции / в
окрестности нуля не случаен. Дело в том,
что таков канонический вид функции / в
случае параболической особенности. Это
показано в приложении к нашей книге,
написанном В. В. Калашниковым (мл.). В
этом случае множество особых точек ото-
(Н = Р2, f=Pl+Ql~ P2Q1) ,
представляет собой параболу в R3, лежащую в плоскости р± = 0 и задаваемую
Р2
3 '
уравнением </2 =
При qt > 0 получаем особые точки эллиптического типа,
при qi < 0 — гиперболического, а при Qi = 0 получаем параболическую особую
точку. Бифуркационная диаграмма S для отображения момента Т7 в плоскос-
ти (Л, /) задается уравнением:
= ±-2-я!.
В случае, когда интегрируемая система удовлетворяет дополнительным
условиям, например, допускает Х2-симметрию, на особом слое могут одновре-
менно появиться две параболические одномерные орбиты. Такой случай изобра-
жен на рис. 1.14. Здесь же показана соответствующая круговая молекула. Она
описывает однократный обход вокруг острия клюва на диаграмме X. Атом Di
см. в таблице атомов.
Пример 2. Это — интегрируемый вариант перестроек, известных под услов-
ными названиями «удвоение периода», или period-doubling в английской лите-
ратуре, и «камертон» или «вилка», pitch-fork. Для описания качественной карти-
ны снова рассмотрим в Ж3 (рх, q±, р2) Две функции: Н = р2 и f = /(pi, Qi, р2).
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
25
Рис. 1.14
Рис. 1.15
Линии уровня функции / на горизонтальных плоскостях z = const изображе-
ны на рис. 1.15. Видно, что с ростом р-> происходит превращение эллиптичес-
кой особенности в три невырожденные особые точки разных типов, а именно:
две эллиптических точки и одну гиперболическую. В К3 две функции Н и f
задают одномерное слоение. Из него снова легко изготовить двумерное слое-
ние на JR3 х S'1. Однако здесь, в отличие от параболического случая, возможны
два способа. Первый способ: нужно умножить эту картину прямым образом на
окружность S1. Этот случай условно назовем ориентируемым. Здесь мы будем
считать, что на окружности S1 задана 2тг-периодическая координата q2, так что
в Ж3 х S1 мы получаем все четыре симплектические координаты pi, qi, р%,
Ясно, что функции Н{р. q) и /(р, </) коммутируют и задают слоение Лиувилля
в 4-мерном симплектическом многообразии R3 х S1.
Второй способ, который мы назовем неориентируемым, состоит в следу-
ющем. Нужно умножить описанную в К3 картину на окружность, после че-
го профакторизовать по действию группы Z2. При этом действие образующей
группы Z2 на Ж3 х S1 задается так. Точка (pi, q±, р2- q2) переходит в точ-
ку (— pi, — Qi, р2, </2 + тг). Тот же результат можно получить, умножив картину,
показанную на рис. 1.15, на отрезок [0, тг] и склеив затем основания получивше-
гося «цилиндра» по повороту на угол тг вокруг вертикальной оси р2.
Соответствующая этой интегрируемой системе бифуркационная диаграмма
отображения момента Т7: R3 х S1 —> R2 (Н, f) показана на рис. 1.15. Две соот-
26
Глава 1
ветствующие круговые молекулы jy°PHeHT и цл«еориент, П0ЛуЧаЮщИеся ПрИ обхо-
де вокруг особой точки, также показаны на рис. 1.15. Как и в примере 1, име-
ем Н = р2.
В качестве функции f можно взять, например, функцию, локально имею-
щую следующий вид:
f = pl + qi
Такой локальный вид функции / в окрестности нуля тоже не случаен. См.
приложение в конце нашей книги, написанное В. В. Калашниковым (мл.). Мно-
жество особых точек задается здесь в К3 уравнениями:
qi =0, Pi = 0, вертикальная прямая,
— Р2, Pi — 0, парабола в вертикальной плоскости.
В итоге получается «вилка» или «камертон», как показано на рис. 1.15.
Бифуркационная диаграмма S для отображения момента Т в плоскос-
ти (if, /) состоит из двух кусков. Первый кусок — это прямая f = 0. Второй
кусок — это половина параболы f = —%-, Н > 0 (рис. 1.15).
Рис. 1.16
Пример 3. Этот случай аналогичен при-
меру 2, но здесь нужно поменять места-
ми эллиптические и гиперболические осо-
бенности. В результате получится карти-
на в R3, изображенная на рис. 1.16. Здесь
снова возникают два случая: ориентируе-
мый и неориентируемый. Здесь одна ги-
перболическая особенность превращает-
ся в одну эллиптическую и две гипер-
болические. Как и в примере 1, имеем
Н = р2- В качестве функции f можно
взять, например, функцию, локально име-
ющую следующий вид:
f =Pi ~Qi + PzQi-
Такой локальный вид функции / в
окрестности нуля тоже не случаен. См.
приложение в конце нашей книги, на-
писанное В. В. Калашниковым (мл.). Мно-
жество особых точек задается здесь в К3
уравнениями:
</1 = 0, pi = 0, вертикальная прямая,
2<Zi = Pz, Pi = 0, парабола в верти-
кальной плоскости.
В итоге снова получается «вилка» или «камертон», как показано на рис. 1.16.
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
27
Бифуркационная диаграмма S для отображения момента Т7 в плоскос-
ти (Н. f) состоит из двух кусков. Первый кусок — это прямая f = 0. Второй
кусок — это половина параболы f = -%-, Н > 0 (рис. 1.16).
Пример 4. На самом деле это — пример 3. Локально картина та же самая. Так
же, как в примере 3, устроены здесь функции Н и /, бифуркационная диаграм-
ма Е, множество критических точек отображения момента. Однако глобальная
картина все же отличается. Соединяя по-другому сепаратрисы, т. е. соединяя в
другом порядке ленточки (концы креста) вокруг особой точки, мы получаем
здесь вместо атома Di атом Сэ- Общая конструкция та же, что и в примере 3.
Получающиеся здесь две круговые молекулы, в ориентируемом и неориентиру-
емом случаях, показаны на рис. 1.17.
Стоит обратить внимание, что в неориентируемом случае круговая молеку-
ла получается такой же, как и в примере 3. Это не случайно. Дело в том, что
соответствующие два слоения Лиувилля диффеоморфны. С этим обстоятельст-
вом мы уже встречались. Напомним, что для атомов со звездочками — а в нашем
примере здесь появился атом Л* — не определен однозначно их дубль, то есть
трансверсальное сечение в соответствующем 3-атоме. См. об этом том I, главу 3.
Поэтому в таких случаях одно и то же слоение Лиувилля может быть задано раз-
ными способами.
В заключение мы приводим таблицу 1.2, в которой собраны перечисленные
выше типичные круговые молекулы особых точек бифуркационных диаграмм.
Здесь же указаны некоторые известные случаи интегрируемости, где такие кру-
говые молекулы появляются.
Мы ограничились здесь рассмотрением только некоторых примеров вырож-
денных особенностей, однако среди них можно выделить класс так называемых
устойчивых особенностей, то есть сохраняющих свой топологический тип при
возмущении системы в классе интегрируемых систем. Классификация таких осо-
бенностей получена В. В. Калашниковым (мл.) и изложена в приложении. Там же
указаны и круговые молекулы для всех таких особенностей. В таблице 1.2 устой-
чивыми являются особенности с номерами 1, 4, 6. Появление в реальных приме-
рах неустойчивых особенностей с номерами 2, 3, 7 не должно нас удивлять. Это
объясняется наличием дополнительной Za-симметрии, которая препятствует их
разрушению.
1.7. Подсчет меток г и г с помощью функции вращения
Здесь мы опишем способ, позволяющий вычислять матрицу склейки на реб-
ре молекулы, если нам известна функция вращения на этом ребре. Идея состоит
в следующем. Пусть из каких-то соображений нам удалось найти функцию вра-
щения p(t) на ребре относительно какого-то базиса (Л, р,). Как мы знаем, функция
вращения меняется вполне определенным образом при замене базиса. С другой
стороны, функция вращения р, записанная в допустимой системе координат, на
каком-то из концов ребра обладает вполне определенными свойствами. Поэто-
28
Глава 1
му мы получаем возможность найти матрицу перехода н допустимой системе
координат. Теперь изложим эту идею более точно.
Рис. 1.17
Предположим сначала, что мы зна-
ем функцию вращения p(t) на ребре,
соединяющем два седловых атома V~
и V+. Рассмотрим допустимые систе-
мы координат (А-, р~) и (А+, р+) на
концах ребра, соответствующие ато-
мам V~ и У+.
Предложение 1.5 (Критерий до-
пустимости базиса (А*, /**)).
Рассмотрим базис (А*, р*') без уче-
та ориентации на его циклах. Ба-
зис (А*, р*) является допустимым, в
смысле седлового атома V, тогда и
только тогда, когда функция враще-
ния p(t), записанная в этом базисе,
стремится к бесконечности при при-
ближении тора Лиувилля к атому V.
Доказательство.
Необходимость сразу вытекает из
следствия из леммы 8.5 главы 8 то-
ма I. Достаточность вытекает из фор-
мулы преобразования функции враще-
ния при замене базиса:
р = (ар* + с) (bp* + d) 1
Будем считать, что здесь р записано относительно какого-то базиса (А, р),
причем предел р равен бесконечности при стремлении тора Лиувилля к атому V.
Но поскольку р* уже записано в допустимом базисе, следовательно, и предел р*
тоже равен бесконечности при стремлении тора к атому V. В таком случае из
формулы преобразования р видно, что одновременное стремление р и р* к бес-
конечности возможно в том и только в том случае, когда b = 0. Следовательно,
матрица перехода, связывающая базисы (А*, р*) и (А, р), имеет вид
±1
с
°
±1 J ’
А такой переход, очевидно, является допустимым. Поэтому базис (А, р) то-
же является допустимым, как полученный из допустимого базиса (А*, р*) при
помощи допустимой замены координат. Предложение доказано.
Используя это утверждение, мы теперь можем построить допустимую сис-
тему координат, зная функцию вращения в некотором базисе (А, р). Здесь мы
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
29
для определенности будем считать, что базис (Л, //.) имеет положительную ори-
ентацию в смысле атома V~. Пусть (Л-, //,“) — искомая допустимая система
координат на атоме V~. Пусть далее
л- А
Р~ /
— искомая замена координат. Тогда для функции вращения имеем:
р = {сАр~ + с3) (с2р~ + С4) •
Переходя к пределу, когда тор Лиувилля стремится к атому У~, мы видим,
Ci
что limp = —. Поскольку функция вращения р нам известна, мы находим пер-
вую строку (01,02) матрицы замены с точностью до знака, в силу унимодуляр-
ности матрицы. При этом вторая строка (сз, С4) может быть выбрана совершенно
произвольной, лишь бы определитель матрицы равнялся 1.
Совершенно аналогично находим матрицу перехода от базиса (А, р) к бази-
су (А+, /z+). В результате появляется вторая матрица В, а именно:
А+ А
Р+ J
bi
Ьз
b2 А / А А
bt ) \ Р ) ’
Отметим, что здесь вторую строку (63,64) нужно выбрать так, что det В=—1.
Это потребуется сейчас для того, чтобы матрица перехода, склейки от бази-
са (А-, р,~) к базису (А+, р,+ ) имела определитель, равный —1.
Теперь можем найти матрицу склейки, то есть матрицу перехода от бази-
са (А-, р~) к базису (А+, р+). Она, очевидно, равняется произведению матриц:
Важно отметить, что указанная неоднозначность в определении вторых
строк (63, 64) и (сз, С4) матриц перехода не влияет на инварианты получающейся
матрицы склейки, то есть на инварианты г и е. Далее, обратим внимание на то,
что допустимые базисы (А-, р~) и (А+, р+), построенные описанным способом,
определены с точностью до одновременной замены ориентации на их циклах.
Поэтому получившаяся матрица склейки этих базисов тоже определена с точнос-
тью до умножения на —1. Заметим, что выбор этого знака влияет на метку е.
Итак, осталось избавиться от этой неоднозначности. Снова обратимся к функции
вращения р. Пока мы использовали лишь ту информацию, что ее пределы при
приближении к седловых атомам равны бесконечности, при правильном выборе
базиса. Теперь воспользуемся тем, что мы знаем ее глобальное поведение вдоль
всего ребра, то есть от атома до атома.
Выделим два случая: случай конечного и бесконечного ребра.
В терминах функции вращения р критерий бесконечности ребра, то есть
условия г = оо, таков. Ребро бесконечно в том и только в том случае, когда
30
Глава 1
пределы функции вращения на концах ребра одинаковы. В самом деле, векторное
поле t?(t) при приближении к седловому атому стремится к направлению первого
цикла допустимой системы координат. То есть стремится к А- на атоме V~ и
к А+ на атоме У+. Совпадение пределов функции вращения означает, что эти
два цикла попросту параллельны, что эквивалентно условию г = оо.
Начнем со случая конечного ребра. Здесь циклы А- и А+ независимы, и
мы можем записать функцию р относительно этой пары циклов и подсчитать
индекс функции вращения р при движении от атома V~ к атому V+. См. опре-
деление индекса в томе I, главе 8, в параграфе 6.1. Если мы с самого начала
выбрали направление ориентации на циклах А- и А+ правильно, то индекс по-
лучится равным 1 mod 4. Если же ориентации были выбраны неправильно, то
индекс получится равным 3 mod 4. Чтобы исправить положение, нужно умно-
жить матрицу склейки на —1. Оформим это рассуждение в виде леммы.
а) Ъ)
Рис. 1.18
Лемма 1.1. Пусть ребро седло-седло мо-
лекулы конечно. Тогда, если матрица
склейки, получившаяся описанной проце-
дурой, совпадает с искомой, то есть с
правильной матрицей, то индекс функ-
ции вращения р относительно пары цик-
лов А-, А+ равен 1 mod 4. Если же по-
лучившаяся матрица отличается от ис-
комой знаком, то индекс функции враще-
ния равен 3 mod 4.
Доказательство.
В случае конечного ребра можно считать, что пара циклов А-, А+ задает
базис в касательной плоскости к тору Лиувилля. Исходное векторное поле v
можно записать в этом базисе, причем на каждом конкретном торе Лиувилля
его координаты постоянны относительно базиса (А-, А+). Нарисуем на плоскос-
ти (А-, А+) кривую, изображающую конец вектора v(t), когда t пробегает все
ребро, от атома V~ к атому V+. Качественная картина показана на рис. 1.18.
Случай (а) отвечает правильному выбору ориентаций базисных циклов, а слу-
чай (Ь) — неправильному. Здесь мы пользуемся тем обстоятельством, что при
правильном выборе ориентации начальная точка кривой v(t) лежит на луче, по-
рождаемом первым вектором А-, а конечная точка кривой u(i) должна оказаться
на луче, порожденном вектором А+. Подчеркнем, что здесь идет речь именно о
луче, а не о прямой, то есть важно направление вектора v(t). Из рис. 1.18 видно,
что в этом и только в этом случае индекс функции вращения р действительно
равен 1 mod 4. Напомним, что индекс — это просто количество координатных
«четвертей», с учетом кратности, заметаемых вектором v(t) при изменении па-
раметра t вдоль ребра. Индекс — это всегда целое нечетное число, поскольку мы
стартуем с первой координатной оси, а кончаем движение на второй координат-
ной оси. Лемма доказана.
Отметим, что индекс равен 1 mod 4 на самом деле в двух случаях. А именно,
когда обе ориентации, т. е. на обоих циклах, выбраны правильно, и когда обе
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем 31
выбраны неправильно. Но второй случай означает лишь, что матрицу склейки
нужно два раза умножить на —1, то есть в результате она не изменится.
Рассмотрим теперь второй случай, то есть — бесконечного ребра. Здесь все
проще. Нужно рассмотреть функцию вращения р~, записанную относительно
базиса (Л-, //“), и подсчитать ее индекс.
Лемма 1.2. Если индекс равен 0 mod 4,
то метка е равна 1. Если индекс ра-
вен 2 mod 4, то е = —1.
Доказательство.
Из рис. 1.19 видно, что траектория
конца вектора v(t) в обоих случаях за-
канчивается на прямой, порожденной
вектором Л-. С другой стороны, траекто-
рия v(t) кончается всегда на луче векто-
ра А+. Из рис. 1.19 видно, что пара векто-
ров А+ и Л- направлена в одну сторону,
если и только если индекс функции р равен 0 mod 4. И векторы Л+ и Л- направ-
лены в разные стороны, если и только если индекс функции р равен 2 mod 4.
Но в первом случае очевидно, что е = +1, поскольку Л+ и А- направлены в
одну сторону. Во втором случае г равно —1, так как эти векторы направлены в
противоположные стороны. Лемма доказана.
Таким образом, окончательно мы видим, что, зная функцию вращения р,
можно вычислить инварианты г и г на данном ребре, соединяющем два седловых
атома.
В случае, когда один из атомов на конце ребра имеет тип А или когда оба
атома имеют тип А, можно применять аналогичную конструкцию. Однако здесь
необходимы дополнительные соображения о допустимой системе координат на
атоме А. Дело в том, что здесь предел функции вращения на атоме А может быть
произволен. Правда, в конкретных примерах часто удается найти допустимую
систему координат на атоме А без особого труда, поскольку обычно довольно
легко находится исчезающий цикл.
1.8. Подсчет метки п с помощью функции вращения
В предыдущем параграфе мы объяснили, как находить при помощи функции
вращения допустимую систему координат на одном граничном торе какого-то
конкретного 3-атома. После этого возникает естественный вопрос: как согласо-
вать эти допустимые системы координат в единую допустимую систему коор-
динат для данного атома? Поясним: если задана глобальная допустимая система
координат на 3-атоме, то вторые базисные циклы допустимой системы координат
на каждом граничном торе «сцеплены» друг с другом тем условием, что все они
являются границей глобального двумерного сечения, лежащего внутри 3-атома и
выходящего на его границу. Как с помощью функции вращения определить, су-
ществует ли такое глобальное сечение для заданного набора «вторых циклов» на
32
Глава 1
граничных торах? То есть, можно ли продолжить эти циклы внутрь атома тан,
чтобы получилось сечение 3-атома? Ответ дается следующим утверждением. Для
простоты ограничимся в этом разделе рассмотрением атомов без звездочек.
Пусть V — седловой атом без звездочек, с которым инцидентны реб-
ра ex, ... , ет. Пусть на каждом ребре г, задан базис (А;, щ) и функция вра-
щения рг(<). При этом будем считать, что в качестве параметра t, единого для
всех ребер, берется значение дополнительного интеграла f. Это нужно для того,
чтобы согласовать параметры t на разных ребрах. Иначе совокупность функций
вращения ничего полезного нам не сообщит. Наконец, договоримся считать, что
параметр t, то есть значение интеграла /, равно нулю на особом слое атома. Как
обычно, ребра атома разбиваются на два класса — положительные и отрицатель-
ные. В силу указанных договоренностей, положительность или отрицательность
ребра определяется теперь просто знаком параметра t. Будем далее считать, что
отрицательные ребра отвечают торам Лиувилля до перестройки, а положитель-
ные ребра — после перестройки.
Предложение 1.6 (Критерий допустимости систем координат для все-
го атома). Пусть выполнены все перечисленные условия. Тогда совокупность
базисов {(А;, рч)} образует допустимую систему координат для всего атома V в
том и только в том случае, когда совокупность функций вращения {р,} удовле-
творяет следующим трем условиям.
1) Предел каждой функции вращения pi(t) равен бесконечности при стремле-
нии t к нулю, т. е. при стремлении к атому. Тогда автоматически асимп-
тотика функции pi выглядит так:
Pi(t) = a,ln|t| + bi(t),
где bi(t) — непрерывная функция, включая точку t = 0.
2) pi(t) —> +ос при t —> 0 для положительных ребер, и рД1) —> — оо при t —> 0
для отрицательных ребер. Или наоборот, то есть pi(t) —> — ос при t —> 0
для положительных ребер, и pi(t) —> +оо при t —> 0 для отрицательных
ребер.
3) Ь,(0) = 0, где сумма берется по всем ребрам, как положительным, так
и отрицательным.
Доказательство.
Докажем необходимость. Пункты (1) и (2) вытекают из предложения 1.5
настоящей главы и из леммы 8.5 главы 8 тома I. Пункт (3) по существу является
переформулировкой замечания к лемме 6.7 из главы 6 тома I. Необходимость
доказана.
Докажем достаточность. Надо доказать, что совокупность базисов {(Aj, p,i)}
образует допустимую систему координат для всего атома V. Другими словами,
требуется доказать, что на совокупность циклов можно натянуть глобаль-
ное сечение атома V, которое выходит на его границу как раз по циклам {//.,}.
Рассмотрим какую-либо допустимую систему координат {(АР, //?)} и выделим
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем 33
совокупность «вторых циклов» {/41}- Поскольку первые базисные циклы любой
допустимой системы координат являются слоями расслоения Зейферта, то вто-
рые циклы связаны следующим соотношением:
Аг — Аг “Ь ^гАг,
где ki — некоторые целые числа. Тогда функции вращения pi и р®, подсчитанные
относительно {(Aj, ju,)} и {(А?, /*?)} соответственно, связаны следующим соот-
ношением:
Pi = р! + кг-
Аналогичные соотношения выполнены для конечных частей функций вра-
щения, т. е.
МО) = b°(0) + fci.
Суммируя по всем г, получаем
£мо) = £ь°(о) + 5>.
В силу условий предложения, 52 6; (0) = 0. При этом 52 ^$(0) =0 в силу до-
пустимости систем координат {(А®, А?)}- См. доказанную выше необходимость.
Следовательно, 52 = 0. Но отсюда следует, что замена координат р® —> р,; яв-
ляется допустимой. Следовательно, система координат {(A,, pi)} является допус-
тимой, что и требовалось. Предложение полностью доказано.
Иногда условие 52^(0) = 0 проверять затруднительно, поскольку не удает-
ся выделить «конечные части» функций вращения. Поэтому полезна следующая
переформулировка условия 52 МО) = 0, в которой участвуют сами функции
вращения, включая их логарифмические части. Обычно в конкретных задачах
вычисляется сразу вся функция вращения, а разделение ее на конечную и беско-
нечную части — это не всегда простая процедура. Но, как мы сейчас покажем,
это и не нужно. Следующее предложение позволяет избежать этой операции.
Предложение 1.7. Пусть V — седловой 3-атом без звездочек и пусть выполне-
ны перечисленные выше предположения. Тогда условие = 0 эквивалентно
условию:
52 р^+ 52 Аг(-^)=°-
'положительные отрицательные '
ребра ребра
Доказательство.
Нужно показать, что в указанной сумме, под знаком предела, все члены,
содержащие логарифмы, взаимно сокращаются. Это следует из того, что для
каждого i коэффициент перед логарифмом равен, с точностью до знака, сум-
ме Л-инвариантов всех тех вершин, мимо которых проходит соответствующее
кольцо, ребро 3-атома. Отметим, что мимо каждой вершины мы проходим че-
тыре раза по соответствующим кольцам. А именно, два раза по отрицательным
кольцам и два раза по положительным. Следовательно, суммируя по всем коль-
цам, мы видим, что сумма всех логарифмов обращается в ноль по той причине,
34
Глава 1
что каждый инвариант войдет в сумму два раза со знаком «плюс» и два раза со
знаком «минус». Утверждение доказано.
Теперь мы обсудим вопрос о вычислении меток п с помощью функций вра-
щения.
Рассмотрим произвольное ребро молекулы. В предыдущем разделе мы пока-
зали, как найти допустимые базисы {(А-, р,~), (A+,/z+)}. В частности, на каж-
дом конечном ребре мы можем записать функцию вращения относительно пары
циклов (А-, А+). На бесконечном ребре мы будем рассматривать функцию р~,
которая определена не однозначно, а с точностью до целой константы. Будем
считать, что именно эти функции вращения нам известны на всех ребрах.
Рассмотрим произвольную семью молекулы. Пусть для определенности все
внешние ребра молекулы являются выходящими из семьи. Рассмотрим на всех
внешних и внутренних ребрах семьи функции вращения р. При этом на внешних
ребрах мы берем функцию относительно пары циклов (А-, А+), а на внутренних
бесконечных берем р = р~. Напомним, что каждая из этих функций при подходе
к атому из семьи имеет следующую асимптотику: р(/) = «1п|/ — /о| + 6(/),
гДе /о — значение интеграла f на особом слое данного атома. Определим теперь
следующее число:
—«(для семьи) = > lim Ы f) +
х ' ( J качало '
внешние 1 ~ребра
ребра
+ У' ( Нт 6(f) — lim &(/)! •
\/Г2_кНачал0 «2 конец /
внутренние 1 ~* ребра 1 ~ребра
ребра
Несколько иначе это же самое число можно определить следующим образом,
вообще не используя конечных частей. Рассмотрим произвольный атом и все
инцидентные с ним ребра. На каждом ребре данного атома определен хороший
параметр — дополнительный интеграл Причем на некоторых ребрах / > О,
на остальных / < 0. На каждом из ребер определены функции вращения p(f).
Напомним, что, как и выше, функция вращения записана относительно бази-
са (А-, А+) на внешних ребрах и относительно (А-, р,~) на внутренних ребрах.
Мы предполагаем здесь, что / на особом слое атома равна нулю. Рассмотрим
функцию
W) = 52 ±Р^ + 12 м-а п₽и f > °-
положит. отрицат.
концы концы
Здесь знак «±» выбирается следующим образом. Если ребро входит в атом, то
берется знак «—». Если ребро выходит из атома, то берется знак «+». Поскольку
в нашем случае все внешние ребра у семьи — выходящие, то для них берется
знак «+». Поэтому указанное правило выбора знака является существенным лишь
для внутренних ребер семьи.
Утверждается, что, хотя каждая функция из этой суммы стремится к бес-
конечности, тем не менее функция N(f) непрерывна на [0, е) и имеет некоторый
конечный предел в нуле. Это эквивалентно тому, что все логарифмические чле-
ны взаимно уничтожаются. Это обстоятельство было только что доказано нами
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем 35
выше. См. предложение 1.7 настоящей главы. Однако здесь нужен комментарий.
В доказательстве предложения 1.7 все функции вращения брались со знаком «+».
В рассматриваемом сейчас случае мы должны ставить знак «—» перед функцией
вращения в том случае, когда соответствующее ребро входит в атом V. Здесь нет
никакого противоречия, поскольку для применения предложения 1.7 мы должны
брать в данном случае функцию вращения р+, которая связана с функцией р = р~
следующей простой формулой:
р+ = — р~ — 7Q-1.
Обозначим через N(p, V) предел функции N(f) при f —> 0, здесь р — фик-
сированный выше набор функций вращения на концах атома V. Если значение
функции f на атоме V равно /0, то формулу для N(p, V) можно переписать
следующим образом:
N(p, = lim ( 52 ±Р^° + £) + 52
X. положительные отрицательные
концы концы
Легко видеть, что в результате мы можем переписать формулу для п сле-
дующим образом:
п (для семьи) = — 52 W,V).
V Есемье
Отметим, что число й(для семьи), вообще говоря, целым не является. На са-
мом деле, как мы увидим ниже, оно рациональное. Напомним определение мет-
ки п.
Сопоставим каждому из ребер е$, инцидентных с данной семьей, целое чис-
ло по следующему правилу:
если е; — выходящее ребро,
если — входящее ребро,
если е; — внутреннее ребро.
Напомним, что а;, Д, 7,, Si — это коэффициенты матрицы склейки на г-ом
ребре.
Тогда п = Поскольку мы ориентировали все внешние ребра семьи так,
что они являются выходящими, то эта формула упрощается, так как исчезают
слагаемые второго типа. Окончательно мы имеем:
"= Е t - £ 5-
по внешним L' ‘J по внутренним
ребрам ребрам
36
Глава 1
Предложение 1.8.
а) Число п (для семьи) не зависит от выбора функций вращения р на ребрах
инцидентных данной семье и выбора интеграла f, являющегося параметром
на ребрах.
б) Явная формула для п такова:
-= Е Е
по внешним ' * по внутренним
ребрам ребрам
в) Рациональное число п (для семьи) на самом деле эквивалентно обычной це-
лочисленной п-метке. Более точно, число п (для семьи) и метка п (для той
же семьи) выражаются друг через друга при помощи несложной формулы:
п — п — 52 Xi.
внешн.
ребра
Доказательство.
Поскольку пункт (а) следует из (б), то докажем сначала пункт (б). Восполь-
зуемся указанной выше формулой для п:
«(для семьи) = — 52 N(p, V) =
УЕсемье
= - 52 ( 12 +е) + 12 ~
Убсемье положительные отрицательные
концы концы
Перепишем эту сумму в несколько ином виде, разбив ее на две суммы: сум-
мирование по внешним ребрам семьи и суммирование по ее внутренним ребрам.
Напомним далее, что на внешних ребрах мы имеем pi = р~ — а,;/!”1, а на внутрен-
них ребрах pi = р~. Каждое внутреннее ребро семьи участвует в суммирования
для п два раза. А именно, когда берется начало ребра и когда берется конец реб-
ра. Для начала ребра мы берем слагаемое рГ, а для конца ребра соответствующее
слагаемое можно представить в виде: — рГ = pt . Проводя суммирование
по всем атомам V семьи, мы можем выделить две группы слагаемых. Первая
группа — это сумма всех функций вращения рГ и pt. Вторая группа состоит из
слагаемых вида — афГ1 и 7га)"1. При этом слагаемые вида — а,/?”1 суммируются
по всем внешним ребрам семьи. Слагаемые вида +7г«)'1 суммируются по всем
внутренним ребрам семьи, т. е. вторая группа имеет вид:
52 ~a^i1) + ( 52 ^iai
внешн. / \внутрен.
ребра ребра
Осталось заметить, что первая группа слагаемых дает в итоге ноль в силу
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
37
предложения 1.7. В результате остается лишь вторая группа слагаемых, и мы
окончательно получаем, что
п = -( 13 х) - ( 12
внешн. внутрен.
ребра ребра
Осталось понять связь между пип. Ответ таков:
п = п + г,-,
внешн.
ребра
Это следует из того, что для вещественного числа х имеет место форму-
ла: х = [ж] + {ж}, где [ж] — целая, а {ж} — дробная части числа ж. Предложение
доказано.
В дальнейшем мы будем иногда называть инвариант п «энергией семьи»,
следуя терминологии П. Й. Топалова, который изучил связь меток молекулы W*
с топологией 3-многообразия Q. См. [198].
1.9. Связь меток молекулы с топологией 3-многообразия Q
Здесь мы вкратце опишем конструкцию, предложенную П. Й. Топаловым.
Пусть на Q задано слоение Лиувилля. a W* — соответствующая меченая мо-
лекула. Идея состоит в том, что топология изоэнергетической, или «круговой»
3-поверхности Q полностью определяется меченой молекулой W*. Это означает,
что топологические инварианты Q (группы гомологий, фундаментальная группа
и т. д.) являются «функциями» от меток молекулы W*. Во многих случаях эти
«функции» можно явно выписать. С другой стороны, в конкретных задачах фи-
зики, геометрии и механики топология 3-многообразия Q часто бывает известна
заранее. При этом в реальных примерах многообразие Q обычно устроено не-
сложно: 3-сфера, ELP3, S1 х S'2, Т3. Поэтому, зная заранее топологию Q, мы по-
лучаем некоторые соотношения между числовыми метками молекулы W*. Эти
соотношения иногда позволяют вычислять метки г, е, п. Для простейших моле-
кул типа А---А мы показали выше, как работает эта общая идея. В качестве
топологического инварианта 3-многообразия Q, удобного для применения этой
конструкции, П.Й. Топалов предложил использовать следующий инвариант, на-
званный им энергией меченой молекулы W*. Предварительно нам потребуются
некоторые понятия.
Разрежем молекулу W* по всем ее конечным ребрам. Она распадется на
куски трех типов. Первый тип — это семьи, то есть куски, состоящие только
из седловых атомов. Второй тип — это изолированные атомы А. Третий тип —
связные куски, содержащие как седловые атомы, так и атомы А.
В кусках третьего типа обязательно существуют ребра, одна из вершин ко-
торых есть атом А, а другая вершина — седловая. В каждом куске третьего типа
выберем и зафиксируем какое-либо из таких ребер. Назовем их «фиксированны-
ми ребрами».
38
Глава 1
Ребро молекулы W* будем называть существенным, если оно не является
фиксированным и если обе вершины не принадлежат семьям. Сразу отметим,
что существенные ребра бывают двух сортов. Это либо внутренние ребра кус-
ков третьего типа, либо ребра, соединяющие между собой кусни молекулы 2-го
и 3-го типов. Поясним, что здесь допустимы все варианты: второй тип соединя-
ется со вторым, второй — с третьим, третий — с третьим.
Через g(V) будем обозначать род 3-атома V, т. е. род замкнутой поверх-
ности, получающейся из базы канонического расслоения Зейферта на 3-атоме V
путем заклейки дисками всех граничных окружностей базы. Через д(У) мы обо-
значим валентность атома, т. е. число его концов. Аналогичным образом мы опре-
делим род g(F) семьи F и валентность q(F) семьи F. Напомним, что семья F
несет на себе однозначно определенную структуру расслоения Зейферта над не-
которой двумерной поверхностью-базой. Будем в дальнейшем предполагать для
простоты, что эта поверхность-база ориентируема.
Напомним, что здесь через W' мы обозначаем граф, получающийся из мо-
лекулы W* отождествления каждой ее семьи в одну точку, т. е. в вершину. При
этом мы считаем, что разные семьи превращаются в разные точки-вершины.
Таким образом, граф W' имеет вершины трех типов: 1) семьи, 2) атомы А,
3) седловые атомы, не попавшие в семьи. Будем обозначать вершины графа W'
через U.
Введем теперь понятие энергии оснащенной молекулы. По определению, это
следующее число:
N(W*) = <
О, если ранг H±(Q3) >ранг Tfi(VF') + 2 s(U),
U±A
порядок группы Tor711 (Q3), в противном случае.
Здесь через Тог 77i(Q3) обозначена подгруппа элементов конечного порядка
в группе целочисленных одномерных гомологий Если группа Tor77i(Q3)
тривиальна, то считаем, что ее порядок равен 1.
Рис. 1.20
Оказывается, энергия меченой молекулы может быть
выражена через метки этой молекулы с помощью доволь-
но простых формул. При этом для каждой грубой молеку-
лы W, то есть для молекулы без меток, получается, вообще
говоря, «своя формула». Однако имеется несложный алго-
ритм, позволяющий находить эту «формулу» для каждой
конкретной молекулы W. Этот алгоритм описан в [198].
Мы не будем излагать его подробно, а ограничимся лишь
некоторыми примерами.
Пример 1. Пусть молекула W имеет вид, показанный на
рис. 1.20. Через ei, вг, ... , ет обозначены ребра молекулы, а через F обозначена
некоторая семья. Все ребра ei, бг, ... , ет инцидентны семье F. При этом все
ребра ei, ег, • • , ет являются конечными, т.е. имеют конечные r-метки. Тогда
энергия меченой молекулы равна:
N(W*) = ±fafa...flmn(F),
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
39
где /31, /32, ••• , — это знаменатели r-меток гх = гт = стоя-
Р1 Рт
щих на ребрах ei, е2, • • • , ет, a n(F) — «энергия семьи» F, то есть инвариант,
введенный нами в предыдущем параграфе.
Таким образом, если здесь известны г-
метки и топология 3-многообразия Q, то можно
в явном виде найти метку п для семьи F. Она
выражается через п по формуле, приведенной в
предыдущем параграфе.
Пример 2. Пусть молекула W имеет вид, по-
казанный на рис. 1.21. Здесь мы снова пред-
полагаем, что Fi и F2 являются какими-то
семьями. При этом инцидентные с ними ребра
Рис. 1.21
е0, ci, е2, ... , ет являются конечными. В этом случае энергия меченой молеку-
лы равна:
N(W*) - ±/?oZ?i/32 • • • A„[n(Ji)n(F2) - /30“2].
Здесь /31 — знаменатели меток г.; на ребрах е;, n(Fj) — энергия семьи F.j.
Пример 3. Пусть молекула W имеет вид,
показанный на рис. 1.22. Как и выше, здесь
предполагается, что Fq, Fi, F> являются
какими-то семьями, и все инцидентные с
ними ребра ец, ei, ... , ет являются конеч-
ными. При этом семья F2 может не иметь
никаких других внешних ребер, кроме ре-
бер во, ei - Тогда энергия меченой молекулы
Рис. 1.22
имеет вид:
7V(VF*) = ±/30/3i/32 • • • flm[n(F0)n(Fi)n(F2) - H(FO)/3Q-2
ад/зг2].
Здесь /3, — знаменатели меток г,- на ребрах е», n(Fj) — энергия семьи Fj.
Пример 4. Пусть молекула W имеет вид, показанный на
рис. 1.23. Здесь предполагается, что F является какой-
то семьей, и инцидентные с ней ребра ео, ei, ... , ет —
конечные. Одно из ребер, а именно ео, является здесь
петлей. В этом случае энергия меченой молекулы имеет
вид:
N(W*) = ±/30^ .. ./3m[H(F) - 2/4,7 '].
Здесь /3, — знаменатели меток г.[ на ребрах е,,
n(F) — энергия семьи F.
Рис. 1.23
Выше мы предполагали, что молекула W не содержит вершин-звездочек.
Если они все-таки есть, то этот случай сводится к случаю без звездочек сле-
дующим образом. Если какой-то атом V содержит вершину-звездочку, то, не
40
Глава 1
меняя 3-многообразия Q. можно изменить его разбиение на 3-атомы, т. е. по-
иному выбрать граничные 2-торы, разбивающие Q в сумму 3-атомов. Рассмот-
рим слоение Лиувилля в окрестности того особого слоя типа (2,1) в расслоении
Зейферта, который и дает нам звездочку. Добавим формально еще один «разреза-
ющий 2-тор», являющийся границей полнотория, окружающего выбранный нами
особый слой типа (2,1). В результате появятся «новый атом» типа А и новое реб-
ро, инцидентное с ним. Вырезая окрестности всех особых слоев из 3-атома V,
мы получаем на «остатке» структуру тривиального 5'1-расслоения. т. е. преж-
ний 3-атом может рассматриваться теперь как атом без звездочек. В результате
мы превращаем каждую вершину-звездочку в дополнительное ребро вида —> А,
на котором, как нетрудно видеть, стоят метки г = е = 1. Структура семей
молекулы при этом не меняется.
После сделанной редукции несложно выписать явные формулы для энергии
молекул, изображенных на рис. 1.20, рис. 1.21, рис. 1.22, рис. 1.23 в случае атомов
со звездочками.
Если в примере 1 (рис. 1.20) молекула W содержит р вершин-звездочек, то
формула для ее энергии принимает вид:
N(W*) = ±2pf3lf32...f3mn(F).
При этом энергия n(F) семьи, содержащей вершины-звездочки, вычисляется
так. В формуле для энергии семьи без звездочек, выписанной выше, в предложе-
нии 1.8, нужно добавить еще одно слагаемое, отвечающее р вершинам-звездоч-
кам. Другими словами, получаем:
(/z(F))H0BaH — (/z(F))CTapaH “Ь
Во всех остальных примерах 2,3,4 происходит буквально то же самое. В
результате энергии молекул, показанных на рис. 1.21, рис. 1.22, рис. 1.23, прини-
мают соответственно вид:
N(W*) = ±2Р/3О/31/32 . . A[W№) - /V].
N(W*) = ±2%/Ш . - ад)/30-2 - п(Л)/?Г2].
n(w*) = ±2чад.. ./мад - 2/?-1].
где р— суммарное число вершин-звездочек по всем семьям указанных молекул,
a n(F) — «новые» энергии семей.
Перечисленные примеры помогают вычислять метки молекул VF* во многих
конкретных ситуациях. Приведем еще несколько теорем П. И. Топалова, связы-
вающих топологию 3-многообразия Q с метками молекул W*.
Теорема 1.3 (П. Й. Топалов [198]). Пусть W* — меченая молекула какой-то
интегрируемой системы на 3-многообразии Q, и W' — граф, полученный описан-
ным выше способом.
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
41
1) Тогда всегда выполнены следующие соотношения:
рангЯ1(^3) рангЯ1(И7') + 2 g(U),
U^A
рангЯ1((?) [рангЯ1(ТГ') + 2 + 52
UjtA UjtA
Здесь суммирование ведется по всем вершинам графа W', отличным от
атомов А.
2) Любое существенное ребро в молекулы W дает в группе целочисленных
гомологий Hi(Q) прямое слагаемое вида где Д(е) — знаменатель
г-метки на ребре в. Здесь мы считаем, что при /3 = 0 группа Z@(c)
изоморфна Z. При /3 = 1 группа Z^(e) тривиальна. Кроме существенных
ребер, вклад в группу гомологий Hi(Q) дают и некоторые атомы со звез-
дочками. А именно, если атом не принадлежит никакой семье, то все его
вершины-звездочки дают независимые прямые слагаемые Z%.
Из этой теоремы получаются следующие интересные следствия.
Следствие 1. Если ранг Hi(Q) < 2, то все атомы V в молекуле W* —
плоские, т. е. их род равен нулю. В частности, для следующих ^-многообразий:
сфера S3, гомологические 5-сферы, S1 х S2, КР3, гомологические проективные
5-пространства — мы получаем, что все атомы у любой молекулы W* на та-
ком 5-многообразии Q являются плоскими.
Следствие 2.
1) Если Q3 является сферой S3 или тором Т3, то на существенных ребрах
молекулы W* всегда стоит г-метка 0.
2) Если Q3 является проективным пространством RP3, то на существенных
1 1
ребрах молекулы W* всегда стоит г-метка 0 или При этом r-метка
может появиться только в одном месте.
3) Если Q3 является прямым произведением S1 х S2, или связной суммой не-
скольких экземпляров 5-многообразий S1 х S2, то на существенных ребрах
молекулы W всегда стоит г-метка 0 или оа.
Следствие 3. Если молекула W* не содержит семей, то знаменатели всех ко-
нечных r-меток не превосходят порядка группы ТогЯ] (Q3). Более того, произ-
ведение знаменателей всех конечных r-меток тоже не превосходит ТогЯ1(С^3).
Если же молекула W* содержит р вершин-звездочек, то справедлива даже более
сильная оценка. А именно,
2Р (произведение знаменателей конечных r-меток) .</
</ порядок группы ТогHi(Q3).
42
Глава 1
В заключение рассмотрим полезный пример меченой молекулы W*:
А А* —> А,
с r-метками п — г2 — и одной меткой п на атоме А*. Молекула такого
вида появляется, например, в известном интегрируемом случае Горячева-Чап-
лыгина. В этом конкретном случае изоэнергетическое 3-многообразие являет-
ся 3-сферой. Применяя перечисленные выше результаты, мы получаем следую-
щее соотношение между r-метками и меткой п =
а?1 а?2
(где [ж] — целая
часть числа ж) для молекулы случая Горячева-Чаплыгина:
ЭДА fe + S + 2-1)=1'
>L- О <=о
71 = 0'
(или n = -i)
А ^=о ; А .• А
е-<
(или. п=о)
Далее, из вида гамильтоновой системы случая
Горячева-Чаплыгина видно, что меченая молекула
А <— А* —> А симметрична относительно атома А*.
Отсюда следует, что обе ее r-метки совпадают. Это
f ai 1 f а21 ,
означает, что < — > = < — >, т. е. равны дробные
I Pi J I Р2 J '
части, а поэтому совпадают знаменатели r-меток, то
есть /Зх = /?2- Следовательно, полученное выше соот-
ношение на метки переписывается так:
Рис. 1.24
2{32
= 1.
<11 । <12 , „-1
+ д +
Поэтому /3(2(ai + аг) + Д) = 1. Отсюда получаем два варианта: либо (3 = 1,
<11 + <12 = 0, либо (3 = —1, Qi + а2 = 1. Для первого варианта молекула W*
показана на рис. 1.24а. Для второго варианта молекула показана на рис. 1.24b.
Напомним, что метка п зависит от выбора ориентации на Q. Закон ее изме-
нения указан в томе I. В данной конкретной ситуации при изменении ориентации
метка п = 0 превращается в метку п = — 1. Или наоборот. В этом смысле т = О»
и «п = — 1» — это на самом деле «одно и то же».
Приведенный пример убедительно показывает, что изложенные выше мето-
ды действительно позволяют во многих случаях эффективно вычислять метки
на молекулах W*.
Таблицы к главе 1
Таблица 1.1(a)
центр-центр
А------А
Встречается почти всегда
центр-седло
Ковалевская, Стеклов, Сретенский
Эйлер, Клебш, 4-мерное тело, Стеклов
д-^А
*^А
Сретенский
фокус
Клебш, 4-мерное твердое тело
44
Глава 1
Таблица 1.1(b)
седло-седло
Ковалевская
сретенский
4-х мерное тв. тело
Методы вычисления инвариантов интегрируемых гамильтоновых систем
45
Таблица 1.2
Встречается очень часто
Ковалевская
Жуковский
Клебш
4-мерное тв. тело
Стеклов
3
Ковалевская
Горячев-Чаплыгин-
Сретенский
Стеклов
Задача Неймана
Горячев-Чаплыгин-
Сретенский
Ковалевская
Горячев-Чаплыгин-
Сретенский
Ковалевская
Стеклов
Глава 2
Интегрируемые геодезические потоки на
двумерных поверхностях
2.1. Постановка задачи
Пусть Мп — гладкое риманово многообразие с римановой метрикой gij{x).
Напомним, что геодезическими данной метрики называются гладкие парамет-
ризованные кривые
7(0 = (^(0,...,^)),
являющиеся решениями системы дифференциальных уравнений
V57 = 0,
d'y
где 7 = — вектор скорости кривой 7, а V — оператор ковариантного диф-
ференцирования, отвечающий симметрической связности, согласованной с мет-
рикой gij. В локальных координатах эти уравнения могут быть переписаны в
виде
d?xl , у' dxi dxk _ ц
dt1 + 2^ ik dt dt ~
где Г*д.(;с) — гладкие функции, называемые символами Кристоффеля связнос-
ти V и задающиеся следующими явными формулами:
г« 1 V (д^з , dgkg dgkj\
+ dx:i dxs)-
Геодезические можно интерпретировать как траектории материальной точ-
ки, движущейся по многообразию в отсутствии внешних сил, т. е. по инерции.
Действительно, уравнение геодезической в точности означает, что ускорение
точки равно нулю.
Напомним основные свойства геодезических [9], [28], [39], [36], [45], [169].
1) Они являются локально кратчайшими, т. е. для двух достаточно близких
точек, лежащих на геодезической, длина соединящего их отрезка геодези-
ческой строго меньше длины любой другой гладкой кривой, соединяющей
эти же точки.
2) Из любой точки многообразия и в направлении любого касательного векто-
ра выходит одна и только одна геодезическая, имеющая этот вектор своим
начальным вектором скорости.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
47
3) Если многообразие компактно, то любая геодезическая продолжается не-
ограниченно по своему параметру. Другими словами, каждое решение 7(f)
уравнения геодезических определено при любых значениях t.
4) Если многообразие компактно, то любые две его точки соединяются геоде-
зической (их может быть много).
5) Если многообразие компактно, то любой класс замкнутых гомотопных пу-
тей (т. е. отображений окружности в многообразие) содержит замкнутую
геодезическую. Такая геодезическая может иметь самопересечения.
6) Если многообразие компактно, то для любой точки х G М и любого элемен-
та фундаментальной группы тг, (Л/, ж) обязательно найдется геодезическая,
выходящая из данной точки, возвращающаяся в нее и реализующая выбран-
ный элемент фундаментальной группы. Эта геодезическая не обязана, ко-
нечно, быть замкнутой. Другими словами, начальный и конечный векторы
скорости могут не совпадать, т. е. х может быть точкой трансверсального
самопересечения этой геодезической.
Уравнения геодезических можно проинтерпретировать как гамильтонову
систему на кокасательном расслоении Т*М, а сами геодезические — как про-
екции траекторий этой гамильтоновой системы на М. Для этого рассмот-
рим на кокасательном расслоении Т*М естественные координаты х и р, где
х = (ж1, ... , хп) — координаты точки на М, а р = (pi, ... , p„j — координаты
ковектора в кокасательном пространстве Т*М в базисе dx1, ... , dxn. Возьмем
стандартную симплектическую структуру w = dx A dp на Т*М и рассмотрим в
качестве гамильтониана функцию
Н{х, р) = ±^gij(x)PiPj = jl7>|2-
Предложение 2.1.
а) Пусть yft') = (x(t), p(t)) — интегральная траектория гамильтоновой сис-
темы v — sgrad.ff на Т*М. Тогда кривая x(t) является геодезической, при-
чем ее вектор скорости x(t) связан с p(t) следующим соотношением:
dx^t)
dt
= 52g°'(a;)pj(t).
б) Обратно, если x(t) — геодезическая на М, то кривая (x(t), p(t)), где
P^ = ^gij(x)^-,
является интегральной траекторией гамильтоновой
системы v — sgrad-H.
Доказательство.
Рассмотрим уравнения Гамильтона, отвечающие гамильтониану Н:
dpi = ЭН dxi = дН
dt dxi ’ dt dpt ’
48
Глава 2
В локальных координатах получаем:
d^=dH=^^j ^1 = _дН=_1^д^
dt dpi Рз' dt дх'1 2^ dxiP P0'
Делая замену Pi = ^gijxd, т.е. отождествляя при помощи метрики векторы и
ковекторы, получаем:
хг = (первое уравнение),
di (>™Р««УР»в™н™)-
Преобразовывая второе уравнение, получаем
dgik dxk dxi i d2xs _ 1 y^ dxk d.x:l
dx:' dt dt 19 dt2 2 QyT dt dt
Используя очевидное тождество
dgjk dxk dxi _ 1 / dgM , ®gij \ dxk dxj
Ox'' dt dt 2 ( Qx,;) dt dt ’
перепишем полученное уравнение в виде
d2xs , 1 у^ / dgki _ dgkA dxk dxj _ n
” dt2 2 у Qxk <Jx-' dxl / dt dt
Отсюда имеем:
(Рхя i 1 y^ is f д&з i dgki _ dgkj\ dxk dxj _ ,,
dt2 2 \ Qxk Ox' dx' / dt dt
To есть
d2xs(t) dx^t) dxk(t)
dt2 jk dt dt
= 0.
Предложение 2.1 доказано.
Возникает естественный и важный вопрос: в каких случаях можно решить
уравнения геодезических явно, например, в квадратурах? Как описать поведение
геодезических качественным образом? Поскольку мы изучаем в нашей книге
интегрируемые гамильтоновы системы, то для нас наиболее интересным будет
описание тех случаев, когда геодезический поток является интегрируемым по
Лиувиллю. В действительности, здесь возникают две содержательные задачи:
а) На каких многообразиях существуют римановы метрики, геодезические
потоки которых интегрируемы?
б) Если на данном многообразии такие метрики (назовем их интегрируемы-
ми) существуют, то как их описать?
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
49
Исследованию этих проблем посвящен большой цикл как современных, так и
классических работ. См., например, В. Н. Колокольцов [92], [93], Дж. Биркгоф [19],
[242], Г. Дарбу [267], [268], М.Л.Раффи [361], В.В.Козлов и Н.В. Денисова [86],
[87], В.В.Козлов, Д.В.Трещев [89], [90], М.Л.Бялый [51], И.К.Бабенко и
Н. Н. Нехорошее [15], А. С. Мищенко [131], [132], А. М. Степин [186], С. И. Пидкуйко,
А. М. Степин [161], И.А.Тайманов [188]. [189], [190], М. Адлер, П.ван Мер-
беке [229], [230], Г.Патернайн [351], [353], Г.Патернайн, Р. Спатцер [352],
Р. Спатцер [372], А. Тимм [377], К. Киохара [319], [320]. Мы начнем со случая дву-
мерных поверхностей, который изучен наиболее подробно.
2.2. Топологические препятствия к интегрируемости
геодезических потоков на двумерных поверхностях
Теорема 2.1 (В. В. Козлов [83], [84]). Пусть двумерное компактное анали-
тическое многообразие с отрицательной эйлеровой характеристикой снабжено
аналитической римановой метрикой. Тогда геодезический поток этой метрики
неинтегрируем в классе аналитических интегралов.
Комментарий 1. Напомним, что любое двумерное компактное многообразие
можно представить как сферу с ручками (в ориентируемом случае), либо как
сферу с некоторым числом пленок Мебиуса (в неориентируемом случае). При
этом эйлерова характеристика многообразия вычисляется по формуле у = 2 — 2g,
где g — число ручек, либо \ = 2 — т, где т — число пленок Мебиуса. Условие
неотрицательности эйлеровой характеристики означает, что в ориентируемом
случае число ручек не превышает единицы (тогда это либо сфера, либо тор),
а в неориентируемом случае число пленок Мебиуса не превышает двух (такое
многообразие является либо проективной плоскостью, либо бутылкой Клейна).
Следовательно, аналитические римановы метрики с интегрируемыми (в классе
аналитических интегралов) геодезическими потоками не могут существовать ни
на каких 2-многообразиях, кроме сферы, тора, проективной плоскости и бутыл-
ки Клейна. Ниже мы покажем, что на этих многообразиях они действительно
существуют.
Комментарий 2. Мы дадим доказательство теоремы 2.1, отличное от первона-
чального доказательства В. В. Козлова и основанное на некоторых общих свой-
ствах лиувиллевых слоений интегрируемых систем. По нашему мнению, такой
новый подход существенно проясняет топологическую природу того типа пре-
пятствий к интегрируемости, который был открыт В. В. Козловым. Условие ана-
литичности нужно здесь лишь для того, чтобы особенности лиувиллевых слое-
ний не были патологически плохими. Грубо говоря, особенностей должно быть не
слишком много. Например, вместо условия аналитичности можно потребовать,
чтобы интеграл был ручным (см. определение в статье [126]) или геометрически
простым (И. А. Тайманов [188]).
Комментарий 3. Отметим, что в теореме В. В. Козлова на самом деле доста-
точно требовать аналитичности лишь изоэнергетической поверхности и анали-
тичности интеграла только на ней. Если же потребовать, чтобы интеграл был
50
Глава 2
аналитичен во всем фазовом пространстве, то задача сводится к изучению по-
токов, обладающих полиномиальными (по импульсам) интегралами. Для этого
достаточно разложить интеграл в сходящийся ряд по импульсам и взять в ка-
честве новых интегралов его однородные полиномиальные компоненты. В этом
случае эта теорема может быть доказана при помощи метода, предложенного
В. Н. Колокольцовым [92]. При этом аналитичность уже не важна. Требуется
лишь полиномиальность интеграла по импульсам, а коэффициенты этого поли-
нома могут быть любыми гладкими функциями.
Комментарий 4. Фактически та же теорема В. В. Козлова остается справедливой
и для многообразий с финслеровой метрикой [22]. Это обстоятельство показы-
вает, что на самом деле главной причиной, препятствующей интегрируемости
системы, является именно топология многообразия. Другими словами, квадра-
тичный характер гамильтониана (метрики) здесь несущественен.
Доказательство теоремы 2.1.
Пусть М — двумерное компактное гладкое многообразие с интегрируемым
геодезическим потоком. Сначала мы предположим для простоты, что геодезичес-
кий поток обладает боттовским интегралом. Потом мы поясним, как от ситуации
с невырожденными (т. е. боттовскими) особенностями слоения Лиувилля можно
перейти к ситуации с аналитическими особенностями.
Рассмотрим неособую изоэнергетическую 3-поверхность Q. Она являет-
ся расслоением со слоем окружность над М2 (т. е. пространством единичных
(ко)касательных векторов к поверхности М). Как мы знаем из общей теории,
структура слоения Лиувилля на Q описывается меченой молекулой W*. В силу
боттовости системы, молекула W* состоит из конечного числа атомов и конеч-
ного числа ребер. Другими словами, многообразие Q3 может быть разбито на
конечное число однопараметрических семейств торов Лиувилля и конечное чис-
ло особых слоев.
Рассмотрим естественную проекцию р многообразия Q3 на базу М2 и инду-
цированное отображение р* : H^(Q3, Z) —> НДМ2. Z) одномерных групп гомоло-
гий с целочисленными коэффициентами. Из свойства 5 (см. выше) геодезических
следует, что каждый элемент а из группы НДМ2, Z) может быть реализован
замкнутой геодезической 7 на М2. Эта геодезическая 7, в свою очередь, являет-
ся проекцией замкнутой траектории 7' геодезического потока на Q3. Поскольку
геодезический поток интегрируем, то 7' лежит на каком-то слое слоения Лиу-
вилля (особом или неособом).
Случай 1. Пусть 7' лежит на торе Лиувилля Т2 (случай регулярного слоя).
Тогда а содержится в образе группы Hi(T2, Z) Ri Z ф Z. Отметим, что все то-
ры Лиувилля, принадлежащие тому же однопараметрическому семейству, что
и тор Т2. изотопны между собой, и поэтому их одномерные группы гомологий
отображаются в ту же самую группу р*НДТ2, Z).
Случай 2. Пусть 7' лежит на каком-то особом слое слоения Лиувилля. Как мы
знаем, этот слой состоит из конечного числа одномерных орбит пуассонова дейст-
вия группы В.2 (порожденной коммутирующими функциями Н и /) и конечного
числа двумерных орбит, гомеоморфных кольцу S1 х D1. В каждом из этих слу-
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
51
чаев одномерная группа гомологий орбиты изоморфна Z. А поскольку 7' лежит
в какой-то орбите Oi, то элемент а содержится в образе группы #1(0;, Z) ~ Z.
Таким образом, учитывая, что лиувиллево слоение на Q3 имеет конечное
число однопараметрических семейств торов Лиувилля и конечное число особых
орбит Oi, не являющихся торами, мы видим, что вся группа НДМ2. Z), как
множество, представима в виде объединения конечного числа своих подгрупп,
каждая из которых имеет не более двух образующих. Поскольку Ht(M2. Z) изо-
морфна либо Z2s’(b ориентируемом случае), либо Zfc ф Z2 (в неориентируемом
случае), то отсюда сразу вытекает, что группа одномерных гомологий многооб-
разия М2 является одной из следующих четырех групп: {е}, Z ф Z2, Z2, Z ф Z.
Все остальные группы слишком велики.
Следовательно, М2 диффеоморфно либо сфере, либо проективной плоскости,
либо тору, либо бутылке Клейна. Тем самым, теорема 2.1 доказана для случая,
когда геодезический поток допускает боттовский интеграл.
Из нашего доказательства видно, что условие боттовости является здесь
слишком сильным. Буквально то же рассуждение проходит и для случая, когда
интеграл не является боттовским, но слоение многообразия Q на орбиты пуас-
сонова действия содержит конечное число особых орбит и конечное число одно-
параметрических семейств регулярных торов Лиувилля. Или же для случая так
называемых ручных интегралов, изученных в работе [126].
Для завершения доказательства теоремы 2.1 остается заметить, что анали-
тические интегралы являются ручными.
Из доказательства теоремы 2.1 сразу получаем такое следствие.
Следствие. Для любого интегрируемого геодезического потока на двумерной ком-
пактной поверхности, обладающего нетривиальным ручным первым интегралом,
всегда найдется такой тор Лиувилля Т2, что при естественной проекции этого
тора на М2 группа одномерных рациональных гомологий тора целиком накрыва-
ет группу одномерных рациональных гомологий поверхности М.
Аналогичное утверждение верно и в многомерном случае.
Теорема 2.2 (И. А. Тайманов [188], [189]). Пусть аналитический геодези-
ческий поток на аналитическом п-мерном многообразии М интегрируем по Лиу-
виллю в классе аналитических интегралов. Тогда одномерное число Бетти ЬДМ)
не превышает п.
Доказательство.
Схема доказательства по существу та же, что и в двумерном случае. Как
и раньше, каждый элемент а группы гомологий Hi{Mn, Z) можно реализовать
замкнутой траекторией у' геодезического потока на Q2"-1, лежащей либо на
регулярном торе Лиувилля, либо на особом слое лиувиллева слоения. Если она
лежит на особом слое, то всегда существует малая изотопия этой траектории,
возможно, взятой с некоторой кратностью, которая смещает, выдавливает тра-
екторию на близкий к особому слою тор Лиувилля Тп.
Чтобы показать это, рассмотрим в произвольной точке х G 7' трансверсаль-
ную площадку р2п~2 и определенное на ней отображение Пуанкаре а.
52
Глава 2
Пусть ft, , fn-i — независимые первые интегралы геодезического пото-
ка, ограниченного на изоэнергетическую поверхность Q2n~ 1={Н =1}. Здесь мы
считаем, что гамильтониан Н — это интеграл fn. Рассмотрим далее регулярный
тор Лиувилля Тп, проходящий вблизи точки х. Можно считать, что этот тор за-
дается как совместная поверхность уровня интегралов fi=Ci, ... , fn-i=cn-i.
Рассмотрим пересечение тора Тп с трансверсалью F2”-2. В аналитическом слу-
чае без ограничения общности можно считать, что пересечение тп{~]Р2п~2 состо-
ит из конечного числа связных компонент, причем это число ограничено сверху
для всех торов Лиувилля одной и той же константой. Этот факт легко следует
из общих свойств вещественно аналитических функций.
Пусть у — точка на одной из таких компонент
связности, достаточно близкая к х. Отображение
Пуанкаре а переводит множество Тп А Р2”-2 в се-
бя, переставляя при этом каким-то образом его
связные компоненты (рис. 2.1). Поскольку компо-
нент связности — конечное число, то найдется та-
кое число q, что отображение aq переводит каж-
дую компоненту связности множества Тп пр2”-2
в себя.
Точки у и aq{y) лежат теперь в одной и той же
связной компоненте и поэтому могут быть соеди-
нены внутри этой компоненты некоторой дугой /3
(рис.2.1). Рассмотрим замкнутую кривую у*, со-
ставленную из куска траектории геодезического
потока, соединяющего точки у и ст9(у), и дуги (3.
По построению эта кривая целиком лежит на торе Лиувилля и, кроме того, оче-
видно, изотопна траектории у, взятой с кратностью q.
Итак, мы доказали, что любая замкнутая интегральная траектория геоде-
зического потока, взятая, возможно, с некоторой кратностью, может быть изо-
топно продеформирована на какой-то регулярный тор Лиувилля. Отсюда сра-
зу следует, что для любого элемента а G Hi{M, Q) существует тор Лиувил-
ля Тп и одномерный класс гомологий a' G Hi(Tn, Q) такие, что а =
где pt: Hi(Tn, Q) —> Hi(M, Q) — гомоморфизм, индуцированный естественной
проекцией р: Тп —> М.
Таким образом, вся группа рациональных гомологий Hi(M, Q) является те-
оретико-множественным объединением (как подмножеств) образов одномерных
групп гомологий Q" = Hi(Tn, Q) торов Лиувилля Тп. Отметим, что однопа-
раметрических семейств торов Лиувилля — конечное число. Это снова следу-
ет в аналитическом случае из теорем Тарского и Лоясевича. Следовательно,
группа Hi(M, Q) является объединением конечного числа своих подгрупп вида
р*Н1(Тп, Q), и поэтому совпадает с одной из них. Это утверждение в точности
повторяет следствие к теореме 2.1. Отсюда
bi(М) = dimHi(M, Q) = dimp^T”, Q) dimHi(Tn, Q) = n,
что и требовалось доказать.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 53
Существуют другие многомерные версии теорем 2.1 и 2.2. Вот, например,
еще несколько утверждений, доказанных И. А.Таймановым [189].
Теорема 2.3. Если аналитический геодезический поток на Мп аналитически
интегрируем (по Лиувиллю), то:
а) фундаментальная группа 7Г1(Мп) почти коммутативна, т.е. содержит
коммутативную подгруппу конечного индекса.
б) Если dimHi(Af", (Q) — d, то кольцо когомологий Н*(Мп, Q) содержит под-
кольцо, изоморфное кольцу рациональных гомологий d-мерного тора Td.
в) Если же dim/fi(Af”, Q) = п, то кольца рациональных когомологий много-
образия Мп и п-мерного тора Тп изоморфны.
г) Всегда существует п-мерный тор Лиувилля Тп в кокасательном расслое-
нии Т*Мп, при естественной проекции которого вдоль слоев этого рассло-
ения образ его фундаментальной группы имеет в фундаментальной груп-
пе конечный индекс.
Замечание. Как мы уже отмечали выше, аналитичность в этих утверждениях нужна
лишь для того, чтобы структура особенностей отображения момента была не слишком
сложной. В частности, теоремы 2.2 и 2.3 справедливы в более слабом предположении
геометрической простоты интегрируемого геодезического потока [189].
Имеется еще ряд результатов И. А. Тайманова [190], Г. Патернайна [353],
Е. И. Динабурга [65] и других, в которых обсуждается связь интегрируемости
по Лиувиллю с топологической энтропией геодезического потока и топологией
многообразия.
Препятствия к интегрируемости совсем другого характера были обнару-
жены, в частности, С.В.Болотиным [22], [245], [246]. Наряду с работами по
исследованию топологических препятствий к интегрируемости, имеется боль-
шое направление, связанное с построением явных примеров интегрируемых гео-
дезических потоков на различных римановых многообразиях. Сюда относят-
ся, в частности, работы А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко [133], А. В. Браилова [47],
А. С. Мищенко [131], [132], A.Thimm [377], G. Р.Paternain, R. J. Spatzier [352].
2.3. Два примера интегрируемых геодезических потоков
2.3.1. Поверхности вращения
Рассмотрим в R3 двумерную поверхность вращения М2, задающуюся урав-
нением г = r(z) в стандартных цилиндрических координатах г, </?, z. В качестве
локальных координат на М2 выберем z и ip. Тогда риманова метрика, индуци-
рованная на М2 объемлющей евклидовой метрикой, имеет вид
ds2 = (1 + (г')2) dz2 + r2(z) dip2.
Пусть z — z(t), p — p(t) — параметрическое уравнение геодезической на М2,
а ф — угол между вектором скорости геодезической и параллелью на поверх-
ности вращения.
54
Глава 2
Теорема 2.4 (Клеро).
1) Геодезический поток поверхности вращения в R3 вполне интегрируем по
Лиувиллю. Функция г cos чр постоянна вдоль каждой геодезической, т.е. яв-
ляется его первым интегралом.
2) Уравнение геодезических на поверхности вращения имеет вид
dtp _ у/1 +г'2
dz ^r{r2 — с2)
где с — произвольная постоянная, а сами геодезические {без учета их па-
раметризации) задаются следующей явной формулой:
Доказательство.
Запишем гамильтониан геодезического потока в естественных координа-
тах (z, tp, pz, pv) на кокасательном расслоении. Он имеет вид
п2 Р2
H{z, tp, pz, р ) = ---z— + -%-.
1 + г’ Г2
Поскольку г — r(z), то Н не зависит от координаты tp, и функция pv явля-
ется первым интегралом системы. Чтобы выяснить геометрический смысл это-
го интеграла, перейдем к координатам касательного расслоения. Напомним (см.
предложение 2.1), что импульс и скорость связаны между собой следующими
соотношениями:
Pz = (1 + r'2)z, pv = Г2<р.
Пусть ev = (0, 1) — касательный век-
тор к параллели на поверхности вращения М2.
Вычисляя угол чр между этим вектором и
вектором скорости у = (z, <р) геодезической у
(см. рис. 2.2), получаем:
cos^ = ’
Ж: Ж
г2ф
гч/Ё
Ру
гч/Ё
Рис. 2.2 Отсюда pv = г cos чру/Ё, где у/Ё совпада-
ет с длиной вектора скорости и, следователь-
но, постоянна вдоль любой геодезической. По-
этому функция г cos чр является первым интегралом геодезического потока на
поверхности вращения. Этот интеграл обычно называется интегралом Клеро.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 55
Напишем теперь в явном виде уравнения геодезических на поверхности вра-
щения. Используя условие г cosip = с = const, получаем:
^/(1 + r,2)i2 +
В этом уравнении параметр t вдоль кривой можно уже предполагать про-
извольным, т. е. не обязательно натуральным. Если в качестве t можно взять
координату z, то уравнение легко перепишется в нужном нам виде. Интегрируя
затем его правую часть, получаем явные формулы для геодезических на поверх-
ности вращения.
Теорема доказана.
2.3.2. Метрики Лиувилля
Определение 2.1. Риманова метрика на двумерной поверхности М2 называется
лиувиллевой, если в подходящих локальных координатах х и у она записывается
в виде
ds2 = (/(ж) + g(y))(dx2 + dy2},
где f(x) и g(y) — произвольные гладкие положительные функции.
Теорема 2.5.
1) Геодезический поток лиувиллевой метрики на двумерной поверхности впол-
не интегрируем по Лиувиллю (локально).
2) Уравнение геодезических лиувиллевой метрики может быть записано в виде
dx _ ± V7(ж) + а
dy y/g(y) ~ а ’
а сами геодезические задаются соотношением
[ ± [ =с,
J y/f(x) + a J s/g(y) - а.
где а и с — некоторые константы.
Доказательство.
Записывая гамильтониан геодезического потока на кокасательном расслое-
нии в стандартных координатах (х, у, рх, pv), получаем:
„ Р2х+Р2у
а — —------.
f + g
Легко проверяется, что функция
r-pi-fH
является первым интегралом этого потока.
56
Глава 2
Поскольку функция Н сохраняется вдоль геодезического потока, то функция
F = (ЙЛ
Н \н)
вида
— f тоже является интегралом. Перейдем теперь к координа-
там на касательном расслоении к поверхности, используя для этого стандартную
замену
Рх = (/ + g)x, pv = (f+ g)y.
F
Переписывая в этих координатах интеграл —, получаем
(/ + g-)2x-2
(/ + g)(£2 + У2)
Или
В этом уравнении параметризация кривой уже не важна в силу однородности
выражения относительно производных. Преобразуя это соотношение, получаем
уравнение для геодезических в полных дифференциалах
dx _|_ dy _ g
y/f(x) + a ^/g{y) ~ а
которое легко интегрируется. Теорема доказана.
Замечание. Интеграл -—-—можно переписать в следующем виде, позволяющем
х +й
увидеть его геометрический смысл:
• 2 ’ 2
g.2X, -2 - f -2^ -2 = ^С0®2 - f Sil12
X + у X +у
где ‘ф — угол между вектором скорости геодезической и линиями уровня координа-
ты х на поверхности. Это выражение напоминает аналогичную формулу из теоремы
Клеро для поверхностей вращения. Это не случайно и объясняется тем, что метрики
на поверхностях вращения являются частным случаем лиувиллевых метрик. Чтобы
убедиться в этом, нужно сделать замену z — z(y), <р = х, приводящую метрику на по-
верхности вращения к конформному виду. Этот вид будет лиувиллевым. Достаточно
положить g = г2, f = 0. Интеграл лиувиллевой метрики превращается тогда в квадрат
интеграла Клеро.
Замечание. Иногда в литературе под лиувиллевым видом метрики понимают ее зада-
ние в виде
ds2 = (/(ж) + g(y)) (а(ж) dx2 + (3(у) dy2),
гДе Л g- Т ft — гладкие функции. Мы будем называть такие метрики почти лиувил-
левыми. Конечно, не составляет труда привести эту метрику к лиувиллеву виду (в
смысле, употреблявшемся выше). Для этого достаточно сделать очевидную замену:
х = У y/a(x)dx, у'- У л/fifty) dy.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 57
Однако и без такого приведения можно сразу выписать формулы для геодезичес-
ких почти лиувиллевой метрики. Формулы таковы:
Г y/a(x)dx ± Г ^/[3(y)dy =
J y/f(x)+a J y/g(y) - а
где а и с — некоторые константы.
Обратим внимание, что в разобранных нами двух примерах римановых мет-
рик интегралы их геодезических потоков являются либо линейными, либо квад-
ратичными по импульсам. Оказывается (см. следующий параграф), что эти два
типа метрик по существу исчерпывают собою все те случаи, когда геодезичес-
кий поток (на двумерной поверхности) допускает линейный или квадратичный
интеграл.
2.4. Описание метрик, геодезические потоки которых
интегрируемы при помощи линейных или
квадратичных интегралов. Локальная теория
Определение 2.2. Геодезические потоки, которые интегрируемы при помощи
интегралов, линейных или квадратичных по импульсам (не сводимых к линей-
ным), мы будем называть линейно интегрируемыми и квадратично интегрируе-
мыми соответственно.
В этом параграфе мы опишем локальные свойства метрик, имеющих та-
кие геодезические потоки. Это описание было фактически получено в класси-
ческих работах Дарбу (DarbouxG.) [267], [268], Дини (U.Dini) [270], М. Л.Раффи
(RaffyM. L.) [361], Дж. Д. Биркгофа (G.Birkhoff) [19], [242]. В современных тер-
минах эта теория была затем развита В.Н.Колокольцовым [92], [94], см. также
книгу В. В. Козлова [84] и работы К.Киохары [319], [320].
2.4.1. Некоторые общие свойства полиномиальных
интегралов геодезических потоков. Локальная
теория
Пусть риманова метрика локально, т. е. в окрестности некоторой точки на
поверхности, записывается в виде ds2 = Х(х, y)(dx2 + dy2). Другими словами,
х, у — локальные конформные (изотермические) координаты для данной метри-
ки. Предположим, что ее геодезический поток вполне интегрируем при помощи
некоторого полиномиального по импульсам интеграла степени п
F = '£bi(x,y)p^~ipil).
Рассмотрим функцию
R(^) — (Ьо — ^2 + bi — + ...)+ i(bi — Ь3 + 65 — 67 + ...),
58
Глава 2
где z = х + гу. Отметим, что функция R(z) и интеграл F(x, у, рх, ру) связаны
простой формулой. Достаточно в выражении для F положить рх = 1, а ру = i
(мнимая единица). Другими словами,
R(z') = F(x, у, 1, г).
Следующие два утверждения (предложение 2.2 и предложение 2.3) были доказа-
ны Дж. Биркгофом для п = 1, 2 [19], [242]. Для произвольного п результат был
получен В. Н. Колокольцовым [92].
Предложение 2.2. Функция R(z) является голоморфной функцией от z.
Доказательство. ^2 _|_^2
Вычислим скобку Пуассона интеграла F и гамильтониана Н = По-
лит, ?/)
лучим: v
{Г, Я} = 2А-‘ (§X‘+,J>; + -
- X М" _ + р^рГ^'р", -
k
- +p2№~kpkv~1 = о-
Положим в этом равенстве рх = 1, ру = г. Тогда рх + ру = 0 и поэтому
у- 52Ьк*к+52bkik = °-
ох оу
к к
Это равенство совпадает с условиями Коши-Римана для комплексной функ-
ции R(z). В самом деле, поскольку = R{z), то полученное условие вы-
глядит так:
^ + ^=0,
ох оу
с\
т.е. ^zz(J?(z)) = 0. Предложение доказано.
Таким образом, полиномиальный интеграл F позволяет для каждой изотер-
мической системы координат (ж. у) построить некоторую голоморфную функ-
цию R(z). Выясним, как преобразуется эта функция при переходе к другим изо-
термическим координатам (м, г). Для определенности мы будем рассматривать
только замены координат, сохраняющие ориентацию. Напомним, что при этом
условии новые координаты (и, v) будут изотермическими тогда и только тогда,
когда преобразование w = w(z). где w = u + iv, является голоморфной функцией.
Обозначим через S(w) построенную с помощью интеграла F голоморфную
функцию, отвечающую новой системе координат и, v.
Предложение 2.3. Пусть w — w(z) — голоморфная замена изотермических
координат на поверхности. Тогда функции R{z) и S(w) связаны соотношением
R(z) = S(w(z))(w'(z))-", где w'(z) — комплексная производная.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
59
Доказательство.
Пусть w = и + iv и рп, pv — новые канонические импульсы. Тогда
/ ди dv\
I_ дх дх /
\Ру/ \Р«/
уду ду /
Учитывая условия Коши-Римана, преобразуем матрицу к следующему виду:
/ ди ди\
дх дх
ди ди
\ дх дх/
Имеем:
п / \ п—k
\ дх дх )
k=o 4 '
\ k
дх дх )
Чтобы вычислить функцию S(w(z)), подставим в это выражение ри=1, Р®=«-
Получим:
п f П \ п~/ л п \ к
S(w(.)) = =
\ ух ух/ \ дх дх /
к=0 4 7 4 7
п z \ п
= =вдм*))п-
fe=0 4 7
Предложение доказано.
Предложения 2.2 и 2.3 можно переформулировать следующим образом: до-
полнительный полиномиальный интеграл F геодезического потока, имеющий
степень п по импульсам, однозначно определяет на поверхности М «дифферен-
циальную форму»
(dz)n
Ж’
инвариантную относительно голоморфных замен координат. Такую форму обыч-
но называют n-дифференциалом. В качестве комплексной структуры на поверх-
ности при этом рассматривается структура, однозначно задаваемая римановой
метрикой: в качестве локальной комплексной координаты берется z — х + iy,
где (ж, у) — изотермические координаты. Анализ этой формы позволяет легко
получить следующее следствие.
Следствие (Колокольцов). На замкнутой двумерной поверхности с отрица-
тельной эйлеровой характеристикой не существует полиномиально интегриру-
емых геодезических потоков.
60
Глава 2
Доказательство.
Без ограничения общности можно считать поверхность М2 ориентируемой.
Иначе следует перейти к двулистному накрытию. Пусть полиномиальный ин-
(dz)n
теграл имеет наименьшую возможную степень. Заметим, что форма —— во-
J?(z)
обще не имеет нулей, поскольку функция _R(z) локально голоморфна (предло-
жение 2.2). Но таких n-дифференциалов на поверхностях, отличных от тора и
сферы, вообще не бывает, поскольку их нули и полюса обязаны удовлетворять
соотношению (см., например, [62])
число нулей — число полюсов = 2п(у — 1).
Здесь х — Р°Д поверхности. Единственная возможность — это R(z) = 0. Но
в этом случае, как нетрудно проверить, интеграл F нацело делится на гамиль-
тониан Н (см. [84]), что противоречит непонижаемости его степени.
Подчеркнем, что теорема Козлова (теорема 2.1) не вытекает из этого
утверждения, поскольку в ней не предполагается полиномиальной интегрируе-
мости. Более того, дополнительные ограничения на характер первого интеграла в
теореме Козлова должны выполняться лишь на изоэнергетической поверхности.
2.4.2. Описание римановых метрик, геодезические потоки
которых допускают линейный интеграл. Локальная
теория
Пусть дана гладкая риманова метрика ds2 = Е + 2F dxdy + G dy2 на
двумерной поверхности М2. Предположим, что в окрестности некоторой точ-
ки Р € М2 геодезический поток этой метрики обладает линейным по импульсам
интегралом F(x, у, рх, ру) = а(х, у)рх + Ь(х, у)ру.
Следующая теорема дает локальное описание таких метрик в точке общего
положения.
Теорема 2.6. Пусть геодезический поток метрики ds2 обладает линейным по
импульсам интегралом F в окрестности точки Р, причем этот интеграл не
равняется тождественно нулю на (ко) касательной плоскости в точке Р. Тогда
в некоторой окрестности этой точки существуют регулярные локальные коор-
динаты х и у, в которых метрика принимает вид
ds2 = X(x)(dx2 + dy2).
Доказательство.
Линейный интеграл F можно рассматривать как гладкое векторное поле пр
на поверхности М2, так как в каждой точке он представляется в виде линейной
функции на кокасательной плоскости к поверхности. Дополнительное условие,
сформулированное в теореме, означает, что в точке Р поле wp отлично от ну-
ля. Хорошо известно, что тогда в некоторой окрестности точки Р существуют
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
61
локальные регулярные координаты и и v такие, что поле wp запишется в ви-
де wf — т. е. F — pv. Поскольку гамильтониан Н коммутирует с интегра-
лом Л’, это в точности означает, что функция Н не зависит от переменной v.
Следовательно, метрика принимает вид
ds2 — Е(и) du2 + 2F(u) dudv + G(w) dv2.
Рассмотрим теперь следующую замену, приводящую метрику к диагональному
виду:
, , f F(ur) ,
и = и , v = v — I du .
J G(u)
Выполняя простые вычисления, убеждаемся, что в новой системе координат
ds2 — Л(ы') du'2 + В(и') dv'2.
Осталось сделать еще одну замену, чтобы привести метрику к конформному
виду. Положим
и' = и'^х), v' = у,
где функция и'(х) является решением дифференциального уравнения
du' = I
dx у В (и')'
Выполняя эту замену, убеждаемся, что метрика принимает требуемый вид:
ds2 — X(x)(dx2 + dy2),
где Л(ж) = А(ы'(ж)). Теорема доказана.
Отметим еще одно важное свойство метрик с линейно интегрируемыми гео-
дезическими потоками. Несложно проверить, что условие коммутирования га-
мильтониана Н и линейного интеграла F в терминах векторного поля wp можно
переписать в виде = 0, где LWf — производная Ли вдоль Wp, a {д’’} —
тензор, обратный к метрическому. Отсюда сразу следует, что
Е-шр (gij) = О,
т. е. векторное поле wp порождает однопараметрическую группу локальных диф-
феоморфизмов, являющихся изометриями метрики. Верно и обратное: каждая
однопараметрическая группа изометрий порождает линейный интеграл геодези-
ческого потока. Другими словами, наличие линейного интеграла эквивалентно
существованию однопараметрической группы изометрий. Это утверждение яв-
ляется частным случаем хорошо известной теоремы Нетер.
Замечание. В теореме 2.6 мы предположили, что векторное поле wp, задающее линей-
ный интеграл F, не обращается в ноль в точке Р. В определенном смысле, это — условие
невырожденности линейного интеграла в данной точке. Что будет, если интеграл F име-
ет особенность, т. е., если wp(P) = О? К какому каноническому виду можно привести
метрику в окрестности такой точки? Какие особенности векторного поля wF вообще
62
Глава 2
допустимы? Ниже мы покажем, что все такие особенности имеют простейший вид, и
поле wf в окрестности своей особой точки приводится к виду wp = с (—у, х) =
где с. — некоторая константа.
CJL
д<р’
F(w, v, ри, pv)
2.4.3. Описание римановых метрик, геодезические потоки
которых допускают квадратичный интеграл.
Локальная теория
Пусть дана гладкая риманова метрика ds2 = Е dx2 + 2F dx dy + G dy2 на
поверхности M2. Предположим, что в окрестности некоторой точки Р геодези-
ческий поток обладает квадратичным по импульсам интегралом F(x, у, рх, ру).
Теорема 2.7. Пусть геодезический поток метрики ds2 обладает квадратич-
ным интегралом F в окрестности точки Р € М, причем этот интеграл на
(ко)касательном пространстве в точке Р не пропорционален (как квадратичная
форма) гамильтониану Н. Тогда в некоторой окрестности этой точки метрика
является лиувиллевой, т. е. существуют локальные координаты и uv, в которых
метрика принимает вид
ds2 = (/(м) + g(«))(dw2 + dx1'}.
где f(u) и g(v) — гладкие положительные функции. При этом
~ (/(«) ~ С)р2 + (g(v) + С)р2и
f(u) + g(v)
где С — некоторая постоянная.
Доказательство.
С самого начала можно считать, что локальные координаты хну выбраны
конформными, и исходная метрика уже имеет вид ds2 = \(х, y)(dx2 + dy2).
(рх + Ру)
Тогда Н = ------——А, где рх и ру — компоненты импульса. Запишем далее
интеграл F(x, у, рх, ру) в виде
F = biPx + 2bzpxpy + b3p2,
где ЬДх, у) — некоторые гладкие функции. Рассмотрим функцию R(z) =
= (bi — b3) + 2г&2, где z = х + гу. Согласно предложению 2.2, эта функ-
ция голоморфна. Заметим, что условие непропорциональности гамильтониана Н
и интеграла F на касательном пространстве в точке Р эквивалентно тому,
что R(P) / 0. Это позволяет сделать такую замену координат, чтобы функция R
стала константой. Действительно, рассмотрим голоморфную замену w = w(z),
взяв в качестве функции w(z) решение дифференциального уравнения w'(z) =
— (R(z))~i. Тогда новая функция S(w) в силу предложения 2.3 будет иметь вид
S(w) = (w'(z))2R(z) = 1.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
63
Рассмотрим теперь квадратичный интеграл F в новой системе координат
(w, г), где w = и + iv. Имеем
F = а(и, и)р2и + 2&(ы, v)pupv + c(u, v)p2.
Однако (а — с) + 2ib = S(w) = 1, поэтому на самом деле
F = (c+l)p2 +ср2„
где с — некоторая гладкая функция. Гамильтониан геодезического потока в но-
вой системе координат сохраняет конформный вид
при этом A(w, г>) = А(ж, у) |w'(z)|_2.
Выпишем теперь явно условие коммутирования функций Н и F. Делая стан-
дартные преобразования, имеем
{Я?Л= (c+1)p2+cp2l =
I I
9 9/ \
= ^L^(A(C+1))+p4(Ac)Ko.
Л2 у ди ди )
В итоге получаем простую систему из двух уравнений
£(Л(«+1)) = О,
= »•
Дифференцируя первое уравнение по и. а второе по и и вычитая одно из другого,
мы получаем уравнение на конформный множитель
-&=0.
ди ди
Это в точности означает, что
Л(м, ц) = /(u) +g(v),
где f(u) и g(v) — некоторые гладкие функции, которые можно считать положи-
тельными, поскольку Л(и, г>) > 0.
Теперь легко находится и общий вид функции с(м, и):
_ ~f(u)+C
С f(u) + g(v) ’
64
Глава 2
где С — произвольная константа. Таким образом,
ds2 = (f(u) + g(«)) (du2 + dv2),
r (g(v)+C)p2u-(f(u)-C)p2v
f(u)+g(v)
Теорема доказана.
В теореме 2.7 мы изучили вид метрик с квадратично интегрируемыми гео-
дезическими потоками в окрестности точки Р общего положения, в которой га-
мильтониан Н, и интеграл F не пропорциональны (как квадратичные формы
на касательной плоскости к поверхности). Что будет, если они все-таки оказа-
лись пропорциональными? Как выглядит здесь локальная классификация инте-
ресующих нас метрик? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема, которая
включает в себя и случай линейно интегрируемых геодезических потоков.
Теорема 2.8. Пусть геодезический поток обладает квадратичным интегра-
лом F в окрестности точки Р Е М2, причем в касательной плоскости к этой
точке гамильтониан Н и интеграл F пропорциональны как квадратичные фор-
мы. Тогда возможны следующие два случая.
1) В некоторой окрестности точки Р существуют локальные координаты
и, V, в которых метрика имеет вид:
ds2 = f(u2 + v2)(du2 + dv2),
где f(t) — положительная гладкая функция. При этом геодезический поток
обладает другим, уже линейным интегралом вида F = vpu — upv.
2) В некоторой окрестности точки Р существуют локальные координаты
и, v, в которых метрика имеет вид:
. 2 h(r + и) - h(u ~г) . . 2 ,
ds2 = —-----—----------(du2 + dv2),
2r
где г = у/и2 + v2, ah — гладкая в окрестности нуля функция, удовлетво-
ряющая условию h'(0) > 0. При этом квадратичный интеграл F геодези-
ческого потока (с точностью до линейной комбинации с гамильтонианом)
имеет вид:
r(h(u + г) + h(u - г)) 2 „ 2 2
F(w, v, ри, pv) =---—,— -----------— (ри +pv) + (ири + 2vpupv - ир„).
h(u + г) — h(u — г)
Замечание. Очевидно, что верно и обратное утверждение: любая метрика, заданная
указанными в теореме явными формулами, является гладкой, а ее геодезический поток
допускает гладкий линейный или квадратичный интеграл описанного вида.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
65
Доказательство.
Условие, что интеграл F и гамильтониан Н пропорциональны в рассматри-
ваемой точке Р, эквивалентно тому (см. доказательство теоремы 2.7), что в этой
точке обращается в ноль функция R(z), где z = х + гу. Исследуем характер этого
нуля.
Сначала докажем следующее утверждение.
Лемма 2.1. Пусть функция R(z) задана и отлична от нуля в некоторой точ-
ке zq. Тогда в окрестности этой точки локальные лиувиллевы координаты х', у',
отвечающие этой функции (т. е. такие, в которых R(z) становится тождест-
венно равной единице), определены однозначно с точностью до параллельного
сдвига на плоскости и отражения в начале координат (х1, у') —> (—ж', — у'). В
частности, координатная сетка линий х' = const и у' = const определена од-
нозначно. Эти семейства координатных линий являются решениями следующих
двух дифференциальных уравнений на плоскости х, у:
tvl< (А/L
Доказательство леммы 2.1.
Из предложения 2.3, задающего правило изменения функции R при голо-
морфных заменах координат, следует, что если z' = х' + iy' — лиувиллевы коор-
динаты, то dz' = ---) Таким образом, z' = z'(z) является первообразной
в окрестности точки Zq,R(zq) 0, и поэтому определена
± y/R(z)
однозначно с точностью до замен вида z' —> ±z' + const, что и требовалось.
Далее, координатные линии х' = const и у' = const лиувиллевой системы
dzr dz'
координат задаются уравнениями вида = 1 и = г, которые в исходной
системе координат переписываются в требуемом виде:
функции 1
Лемма доказана.
Замечание. Указанные два дифференциальных уравнения определяют координатные
линии лишь как геометрические кривые, т. е. без направления на них. Дело в том, что
правая часть уравнений определяет не векторное поле, а всего лишь поле направлений.
Пусть теперь z = 0 — особая точка, т. е. 7?(0) = 0.
Лемма 2.2. Пусть R(z) имеет нуль первого порядка в точке z = 0. Тогда в
окрестности нуля существует голоморфная замена w = w(z), превращающая
функцию R в линейную функцию S(w) — w.
Доказательство.
Согласно предложению 2.2, искомая функция w(z) должна быть решением
дифференциального уравнения
w
R(zY
66
Глава 2
Поэтому нам достаточно показать, что это уравнение имеет в окрестности
нуля голоморфное решение, удовлетворяющее условию w'(0) ф 0.
Укажем это решение явно. Представим R(z) в виде R(z) = zb(z), где &(0) / 0.
Поскольку &(0) 0, то функция — 1 в окрестности нуля является голоморф-
V&P)
ной четной функцией. Рассмотрим ее первообразную a(z), удовлетворяющую
условию а(0) = 0. Эта функция будет нечетной в силу четности своей произ-
водной. Отсюда легко следует голоморфность функции вида w(z) = (a(y/z)} .
Несложно проверить, что w(z) является решением рассматриваемого уравнения,
причем w'(0) / 0, поскольку а'(0) = 0. Лемма доказана.
Лемма 2.3. Пусть R(z) имеет нуль второго порядка в точке z = 0. Тогда в
окрестности нуля существует голоморфная замена w = w(z), превращающая
функцию R в функцию S(w) = A2w2, где А — некоторое комплексное число.
Доказательство.
Как и в лемме 2.2, мы должны найти голоморфное в окрестности нуля ре-
шение дифференциального уравнения
/dw\ _ A2w2
\dz) R(z)
для подходящего комплексного числа А 0. Это снова можно сделать явно.
В окрестности нуля функцию R(z) можно представить в виде
R(z) = A2z2(l + az + c2z2 + ...),
поэтому из нее извлекается квадратный корень, т. е. существует такая голоморф-
ная функция q(z) — Azb(z), что q(z)2 — R(z), причем &(0) — 1. Тем самым нам
достаточно решить следующее уравнение: .
w zb(z)
Будем искать решение в виде w(z) = zc(z). Подставляя в уравнение, полу-
чаем:
cdz + zdc _ dz de _ c(x ~ &)
zb’ ‘ ‘ dz zb ‘
В силу того, что Ь(0) = 1, функция m(z) = голоморфна. Поэтому
уравнение имеет голоморфное решение вида
c(z) = exp
Тем самым, w(z) — zexp (]’ m(z) dz} — требуемая замена. Лемма доказана.
Комментарий. Две последние леммы можно также получить как следствие об-
щих теорем о виде нормальных форм дифференциальных уравнений в особых
точках.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
67
Лемма 2.4. Порядок нуля функции R(z)
не превышает двух.
Доказательство леммы 2.4.
Рассмотрим координатные линии
лиувиллевой системы координат в про-
колотой окрестности точки 0, где
77(0) = 0. Как мы уже доказали, эти ли-
нии определены однозначно (поскольку
функция R задана и фиксирована). Они
являются решениями уравнений:
Рис. 2.3
! = * = .уад.
Мы утверждаем, что любая из этих координатных линий имеет 0 своей предель-
ной точкой (т.е. втыкается в ноль). В самом деле, сначала рассмотрим случай,
когда R(z) имеет вид zk. где к > 2. Тогда легко видеть, что линии имеют вид,
показанный на рис. 2.3 (для четного и нечетного &). Видно, что каждая линия
действительно втыкается в ноль. В общем случае, имеем:
R(z) = zk + ... = zk(\ + n(z)),
где n(z) — голоморфная функция. Отсюда ясно, что при малых z картина, изоб-
раженная на рис. 2.3, качественно не меняется, т. е. каждая координатная линия
тоже втыкается в ноль.
Теперь рассмотрим метрику. Записывая ее в лиувиллевых координатах и
возвращаясь назад в систему координат z = х + гу, мы видим, что она предста-
вима в виде
{f +g}dzdz
1ВД1 ’
где у — функция, постоянная на координатных линиях одного семейства, a g —
функция, постоянная на координатных линиях другого семейства. Но так как
все эти линии, как было доказано, втыкаются в ноль, т. е. сколь угодно близко
подходят друг к другу (рис. 2.4), следовательно, обе функции fug являются по-
f -|- £
стоянными на всей окрестности нуля. При этом функция -——является гладкой
|Я(г)|
в окрестности нуля. Учитывая, что 77(0) = 0, мы заключаем, что /(0) + g(0) = 0.
Отсюда f + g = 0, что невозможно ввиду невырожденности метрики. Получили
противоречие. Лемма доказана.
Вернемся к доказательству теоремы 2.8.
Итак, мы доказали, что функция R в окрестности своего нуля всегда может
быть приведена голоморфной заменой к одному из следующих канонических ви-
дов: это либо w, либо A2w2, где А — некоторое комплексное число. Проанализи-
руем, что получится в этих случаях. Ниже эту функцию, записанную в канони-
ческой системе координат w, мы будем снова обозначать через R = R(w) (а не
через S(w), как в леммах 2.2 и 2.3).
68
Глава 2
Случай R(w) = w. Удобно вместо w взять
здесь 2w. т. е. положить R(w) = 2w. Тог-
да, чтобы найти замену переменных, приво-
дящую метрику к лиувиллеву виду, следует
решить уравнение
dz = -^=
V2w
z2
Оно имеет очевидное решение w =
коорди-
показана
= зс + гу,
метрика
Координатная сетка лиувиллевых
нат х, у в окрестности точки Р
на рис. 2.5 (здесь, как и выше, z
w = u + iv). В переменных х, у
примет вид: (f(x) + g(y)) (dx2 + dy2). Делая обратную замену х = \/г + и,
у = у/г — и, где г = \/и2 + v2, получаем следующий вид этой метрики в коор-
динатах и, V’.
(du2 + dv2).
2г
Покажем, что функции fug тесно связаны между собой и на самом деле проис-
ходят из одной гладкой функции h.
Пусть da2 = A(w, v)(du2 + dv2). Положим
= tA ( 0). Мы утверждаем, что тогда
, . . h(u + г) - h(u - г)
А(и, ?;) =
2r
Чтобы это проверить, заметим, что знамена-
тель правой части имеет нужный нам вид, т. е.
представляется в виде суммы двух функций,
одна из которых зависит только от х, а вторая
только от у. Отсюда следует, что нам достаточ-
но проверить наше тождество только на двух
координатных линиях, например, {ж = 0} и {у = 0}. С точки зрения координа-
ты w — и + iv это означает, что проверку нужно провести на вещественной оси
= 0}. Сделаем это.
При и > 0, v — 0 имеем г — и, тогда
h(u + г) — h(u — г) h(2u) — h(0) 2«A(w, 0) — 0
2r
2u
2u
Аналогично, если и < О,
v = 0, то г = — и и тогда
h(u + г) — h(u — г)
2 г
h(Q) — h(2u) 0 — 2мА(ы, 0) .
— = А(м, 0).
— 2и
— 2и
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 69
Итак, в окрестности точки Р риманова метрика имеет вид:
2 h(u + г) - h(u - г) . , 2 ,
ds2 = --------х--------(du2 +dv2).
2r
где h — гладкая функция (и даже аналитическая в случае аналитической мет-
рики), причем h'(0) = Л(0, 0) 0. что и требовалось доказать.
Полезно отметить также связь между функцией h и функциями f, g‘.
т = h(t2),
Остается выписать явный вид интеграла:
F_ g(.y)Px ~ f(X)Py
/(ж) + g(y)
*4
после замены w = —. Подставляя в эту формулу следующие явные выражения
для импульсов и координат
х = у/r +и, у = у/г — и,
после несложных вычислений получаем требуемое выражение для интеграла
х }l(u + г) + h^U — г) . 2 2х / 2 2х
F(w, V, ри, р„) = -г -----------—------Ж+К + (иРи + 2vPuPv - up2).
п(и + г) — п(и — г)
Таким образом, случай нуля первого порядка у функции R разобран.
Случай R(w) = A2w2. Сначала покажем, что
число А2 обязано быть вещественным. Доказа-
тельство этого факта похоже на доказательст-
во леммы 2.4. Рассмотрим линии уровня лиу-
виллевой системы координат в окрестности нуля
функции R, задаваемые уравнениями
= Aw, <^= iAw.
dt dt
Если А = a+ib, а / 0, b / 0, то все эти линии
уровня входят в точку 0 как показано на рис. 2.6.
Два ортогональных семейства бесконечных спи-
ралей наматываются на точку 0. Рассуждения,
полностью аналогичные тем, которые были использованы при доказательстве
леммы 2.4, показывают, что тогда функция f+ g обращается тождественно в
ноль, что невозможно. Следовательно, число А2 обязано быть вещественным.
70
Глава 2
Пусть для определенности Л2 > 0, т. е. А е R (случай А е iR разбирается
аналогично). Здесь замена будет иметь вид w = exp(Az), и координатные линии
лиувиллевых координат х,у будут радиальными лучами, исходящими из начала
координат и концентрическими окружностями (рис. 2.7). Метрика здесь снова
записывается в виде
(/(ж) + g(y)}(dx2 + dy2) = ^-^(du2 + dv2),
где первая функция f постоянна на линиях одного се-
мейства, т. е. на окружностях, а вторая ^-постоянна на
линиях второго семейства, т. е. на лучах, выходящих
из точки Р. Но гладкая функция, постоянная на лу-
чах, должна быть тождественной постоянной, так как
все лучи встречаются в нуле. А первая функция долж-
на зависеть только от суммы квадратов г2 = u2+v2. В
результате мы и получаем, что конформный множи-
тель А в координатах и и v приобретает вид
Обозначая это выражение через /(г2). имеем
А2 ’
ds2 = f{r2){du2 + dv2).
Гладкость функции f(t) следует из гладкости конформного множителя /(г2) =
= f(u2 + v2) по переменным и и v. Теорема доказана.
В заключение подчеркнем, что лиувиллевы координаты могут, таким обра-
зом, иметь лишь два типа особенностей, показанных на рис. 2.5, рис. 2.7. Это
обстоятельство будет существенно использовано ниже при описании квадратич-
но интегрируемых геодезических потоков на сфере.
2.5. Линейно и квадратично интегрируемые геодезические
потоки на замкнутых поверхностях
Классификации линейно и квадратично интегрируемых геодезических по-
токов на двумерных замкнутых поверхностях была посвящена довольно боль-
шая серия работ нескольких авторов. Примеры таких потоков были, разуме-
ется, хорошо известны, начиная с работ Якоби и Лиувилля. Однако первые
результаты по их полному описанию были получены сравнительно недавно
В. Н. Колокольцовым. Затем эти результаты были развиты и дополнены в работах
К.Киохары, И. К. Бабенко, Н. Н. Нехорошева, В. С. Матвеева. В нашей книге мы
будем придерживаться терминологии, предложенной В. С. Матвеевым, посколь-
ку она наиболее удобна для их дальнейшего изучения в рамках общей теории
лиувиллевой и траекторной классификации интегрируемых гамильтоновых сис-
тем.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
71
2.5.1. Случай тора
Рассмотрим стандартный двумерный тор Т2, каждая точка которого зада-
ется парой (ж, у), где х е RmodT^, у 6 R mod Ту. Другими словами, мы пред-
ставляем тор как фактор-пространство IB2/Г, где Г — решетка, порожденная
векторами ei = (Тж, 0), вг = (0, Ту). Пару вещественных чисел (ж, у), опреде-
ленных по модулю Тх и Ту соответственно, мы будем называть глобальными
периодическими координатами на торе, а числа Тх и Ту — их периодами. От-
метим, что на одном и том же торе существует много различных глобальных
периодических координат.
Теорема 2.9.
1) Пусть ds2 —риманова метрика на торе Т2, геодезический поток которой
обладает линейным интегралом. Тогда на торе существуют глобальные пе-
риодические координаты (ж, у), х = ж (mod 2тг), у = у (mod 2тг), в которых
метрика имеет вид
ds2 — h(y)(a dx2 + cdx dy + h dy2),
где h{y) — некоторая положительная 2тг-периодическая гладкая функция,
а а, Ь, с — вещественные числа, такие что форма adx2 + cdx dy + bdy2
положительно определена.
2) И наоборот, любая метрика такого вида на торе Т2 обладает линейно
интегрируемым геодезическим потоком.
Эта теорема может быть переформулирована еще и таким образом.
Напомним, что в силу теоремы униформизации на торе Т2 = В.2/Г с мет-
рикой ds2 всегда существуют глобальные изотермические координаты. Более
точно это означает, что на накрывающей плоскости В2 существуют глобальные
координаты (ж, у), в которых метрика имеет вид ds2 = Л(ж, y)(dx2 + dy2), где
функция А — двоякопериодическая функция (т. е. инвариантная относительно
сдвигов на элементы решетки). Здесь, разумеется, мы имеем в виду, что дей-
ствие решетки Г в координатах (ж, у) является стандартным линейным дейст-
вием: любой элемент g Е Г представляет собой целочисленную линейную ком-
бинацию mfi + nf2, где fi, f2 € R2 — базис решетки, а его действие на точ-
ку X = (ж, у) имеет вид g(X) = X + g. Отметим, что с точки зрения глобальных
изотермических координат (ж, у) решетка Г может быть перекошенной, т. е. ее
базис может быть, вообще говоря, произвольным. В частности, координатные ли-
нии {ж = const} и {у = const} могут оказаться незамкнутыми на торе, в отличие
от случая глобальных периодических координат.
Отметим, что глобальные изотермические координаты на торе определены
однозначно с точностью до замен вида w = az + b или w = az + b. Этот факт
будет неоднократно использован нами в дальнейшем.
Следующая теорема указывает вид конформного множителя для рассматри-
ваемой метрики на торе в глобальных изотермических координатах.
72
Глава 2
Теорема 2.10. Пусть ds2 — риманова метрика на торе Т2 = Ж.2/Г, геодези-
ческий поток которой обладает линейным интегралом, и (ж, у) — глобальные
изотермические координаты. Тогда
ds2 = f(—8x + 'yy'ifdx2 + dy2},
где (7, 6) — координаты одного из векторов решетки Г.
Доказательство теоремы 2.9.
Пусть (и, и) — произвольные глобально изотермические координаты на
торе Т2.
Рассмотрим линейный интеграл геодезического потока F = &ор„ + b±pv, под-
нятый на накрывающую плоскость и записанный в координатах (и, v, ри, pv).
Ясно, что F будет двояко-периодической функцией относительно перемен-
ных и, v. Следовательно, этим же свойством будет обладать и функция
R(z) = &о + г&1, построенная выше (см. предложение 2.2). Поскольку функ-
ция R(z) является голоморфной на всем торе, а тор компактен, то функция R(z)
должна быть постоянной. Но тогда комплексно линейной заменой координат ее
можно сделать тождественно равной единице (заметим, что такие замены сохра-
няют глобальную изотермичность координат). Следовательно, без ограничения
общности мы можем считать &о + i&i = 1, отсюда bo = 1, &х = 0. т. е. F = ри.
Таким образом, конформный множитель Л(и, v) римановой метрики не зависит
от м, поскольку Н коммутирует с F = ри.
Итак, Л(м, V) = q(y) и ds2 = q(v)(du2 + dv2), где q — некоторая гладкая
функция, периодичная относительно решетки Г.
Рассмотрим теперь два случая.
а) Пусть q(v) = const. Тогда мы получаем плоский тор с метрикой const(dw2 +
+ dv2). Делая линейную замену и переходя на плоскости от глобаль-
ных изотермических координат {и, v) к глобальным периодическим ко-
ординатам (ж, у), мы превращаем метрику const(c?w2 + ей;2) в метрику
const(a<fa;2 + cdx dy + bdy2), что и требовалось.
б) Пусть теперь функция q(v) не постоянна. Тогда существует некоторый ба-
зис Д, Д решетки Г такой, что Д — (а, 0). В самом деле, если это не так,
то на прямой {и = 0} нет ни одного узла решетки, и тогда ее образ на то-
ре (после факторизации плоскости по решетке Г) будет всюду плотен. Но
в таком случае функция q(v), будучи постоянной на этой прямой, должна
быть постоянной на всем торе, что противоречит предположению.
Итак, возьмем такой вектор Д — (а, 0), дополним его любым другим
вектором Д решетки до базиса и рассмотрим линейную замену координат
(и, v) —> (ж, у) такую, что в новых координатах (ж, у) базисные векторы решетки
имеют вид Д = (2тг, 0), Д = (0, 2тг). Координаты ж, у будут, очевидно, глобаль-
ными 2тг-периодическими координатами на торе. Легко видеть, что они связаны
с изотермическими координатами и, v соотношениями: и — (^тг)ж + (Зу, v — уу.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 73
Подставляя эти выражения в полученное выше выражение для метрики в изо-
термических координатах, получаем
ds2 — h{y)(adx2 + cdxdy + bdy2),
где h(y) = qi^y). Теорема доказана.
Доказательство теоремы 2.10.
Мы уже доказали (теорема 2.9), что найдутся глобальные изотермические
координаты и, V, в которых метрика имеет вид q(v)(du2 + dv2). Кроме того, мы
показали, что один из векторов решетки Г сонаправлен базисному вектору изо-
термической системы координат. Таким образом, этот вид метрики удовлетворя-
ет утверждению теоремы 2.9. Если же мы возьмем теперь другую изотермичес-
кую систему координат на торе, то достаточно вспомнить, что любые две такие
системы получаются друг из друга некоторым преобразованием вида w = az + b,
где a, b е С (случай w = az + b рассматривается аналогично). Легко видеть, что
такие преобразования сохраняют требуемый вид метрики. Действительно, запи-
сывая это преобразование в виде
и = а±х — aiy + 61,
v — а2ж + а^у + 62,
где а = ai + га2, 6 = 61 + г&2, получаем
ds2 = q(al + а2)(а2ж + а^у + 62)(</ж2 + dy2).
С другой стороны, базисный вектор Д решетки Г, имевший до замены коорди-
наты (а, 0), после замены будет иметь координаты (7, 5) =
Поэтому метрику можно переписать в требуемом виде
а
а1 + а%
(ai, — а2).
ds2 = f(—Sx + yy)(dx2 + dy2),
, /9 9, {a, —I- a2 7 \
где J\t) = (al + a.z)qI------t + 02 ). Теорема доказана.
Комментарий. Как мы знаем, линейный
интеграл геодезического потока интер-
претируется как векторное поле на по-
верхности, в данном случае, на торе. Из
явного вида интеграла F (см. доказатель-
ство теоремы 2.9) следует, что это век-
торное поле не имеет особых точек на то-
ре. Интегральные траектории этого по-
ля — просто линии уровня функции f
(рис. 2.8), параллельные одному из векто-
Рис. 2.8
ров решетки. Следовательно, рассматриваемая метрика допускает однопарамет-
рическую группу изометрий изоморфную окружности и действующую сво-
бодно сдвигами вдоль одного из базисных векторов решетки. Верно и обратное:
74
Глава 2
если неплоская метрика на торе допускает однопараметрическую группу изомет-
рий Q, то ее геодезический поток линейно интегрируем (Э. Нетер), а группа Q
изоморфна окружности, которая действует описанным выше способом.
Определение 2.3. Риманова метрика на торе называется глобально лиувиллевой,
если на торе существуют глобальные периодические координаты х и у, в которых
метрика имеет вид
ds2 = (Дж) + g(y)) (dx2 + dy2),
где f(x) и g(y) — некоторые гладкие положительные функции, с периодами Тх
и Ту соответственно, отличные от констант.
Отметим, что глобальная лиувиллевость метрики, в частности, означает,
что решетка Г имеет ортогональный базис. В общем случае это не так.
Ясно, что геодезический поток глобально лиувиллевых метрик вполне интег-
рируем. Однако метрика на торе с квадратично интегрируемым геодезическим
потоком, как мы сейчас увидим, отнюдь не обязана быть глобально лиувиллевой.
Теорема 2.11 (Случай квадратичного интеграла).
1) Геодезический поток римановой метрики ds2 на торе Т2 интегрируем при
помощи квадратичного интеграла (не сводящегося к линейному) тогда и
только тогда, когданад этим тором существует конечнолистное накры-
тие другим тором Т2
ГТ12 . ZT>2
7Г: I —> I
такое, что поднятая с тора Т2 на тор Т2 метрика ds2 = 7f*ds2 является
глобально лиувиллевой.
2) При этом на торе действительно существуют метрики с квадратично
интегрируемыми геодезическими потоками, не являющиеся глобально лиу-
виллевыми.
Такие метрики мы будем называть конечнолистно лиувиллевыми.
Доказательство.
Начало доказательства этой теоремы полностью аналогично доказательст-
ву теоремы 2.9. Из теоремы униформизации следует, что на торе существу-
ют глобальные изотермические координаты х, у, в которых метрика примет
вид Х(х, y)(dx2 + dy2). Из локальной теории мы уже знаем, что с каждой изо-
термической системой координат естественно связана некоторая голоморфная
функция R(z), которая в данном случае, в силу глобальности координат х, у на
торе, будет глобально голоморфной, т. е. голоморфной на всем торе. А потому
она должна быть постоянной в силу компактности тора. Ясно, что R(z) О,
в противном случае гамильтониан и интеграл линейно зависимы. С помощью
комплексной линейной замены координат постоянную функцию R(z) — R мож-
но сделать тождественно равной единице (на всем торе).
Как уже было показано выше, в этом случае Х(х, y)=f(x)+g(y). А поскольку
мы считаем, что квадратичный интеграл не сводится к линейному, отсюда сле-
дует, что ни одна из функций f(x) и g(y) не является тождественно постоянной.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
75
Таким образом, на всем торе существуют глобальные изотермические коор-
динаты, в которых данная нам 2-метрика запишется в виде
ds2 = (/(ж) + g(j/)) (dx2 + dy2}.
Такие координаты мы будем называть глобально лиувиллевыми (они явля-
ются частным случаем изотермических).
Априори не ясно, как с этими глобально лиувиллевыми координатами х, у
связана та решетка Г, факторизацией по которой получается данный тор. Иссле-
дуем этот вопрос.
Обозначим через e± и е2 базисные векторы глобально лиувиллевой системы
координат х, у на накрывающей плоскости, т. е. векторы с координатами (1, 0)
и (0, 1). Покажем, что из периодичности функции f(x}+g(y) (как функции на на-
крывающей плоскости) относительно сдвигов на элементы решетки Г вытекает
следующее утверждение.
Лемма 2.5. Существуют элементы fi и f2 решетки Г такие, что
fi = ai4i, где « = 1,2.
Доказательство.
Сначала отметим, что из ограниченности функции f(x) + g(y) на торе вы-
текает, что каждая из функций f(x) и g(y') тоже ограничена на торе. А из то-
го, что функция /(ж) + g(y) двояко-периодична относительно решетки Г, легко
следует, что каждая из функций f(x) и g(y) по отдельности периодична относи-
тельно той же решетки Г. В самом деле, запишем условие периодичности функ-
ции /(ж) + g(y). Получим:
/(ж + wi) + g(y + ш2) = /(ж) + g(y),
где с^г) — произвольный элемент решетки Г. Перепишем это тождество в
следующем виде:
/(ж + W1) - /(ж) = g(y + w2) - g(y).
Так как слева стоит функция от ж, а справа — функция от у, то левая и
правая часть по отдельности постоянны, т. е. равны какому-то числу С. Отсюда
имеем:
/(ж + Wi) = /(ж) +С.
Но из ограниченности функции f сразу следует, что постоянная С в действитель-
ности равна нулю. Следовательно, функция f периодична. Аналогично получаем,
что и g периодична. Таким образом, каждая из функций /(ж) и g(y) является в
действительности функцией на торе (а не только на плоскости).
Возьмем функцию /(ж) и рассмотрим на торе одну из ее линий уровня,
задаваемую уравнением ж = 0. Эта линия уровня обязательно замкнута. В са-
мом деле, если это не так, то линия ж = 0 как образ прямой при стандартной
проекции R2 —> Т2 должна быть всюду плотной на торе. Но тогда функция f
была бы тождественно постоянной, что противоречит несводимости квадратич-
ного интеграла к линейному. Другими словами, если рассмотреть прямую ж = 0
76
Глава 2
на накрывающей плоскости R2, то она обязательно содержит один из векторов
решетки Г. Следовательно, существует элемент /2 € Г такой, что /2 = «262- Ана-
логично доказывается существование элемента Д такого, что Д = aiei. Лемма
доказана.
Рассмотрим подрешетку Г решетки Г, порожденную элементами Д =
= (oi, 0), Д = (0, аг), и отвечающий подрешетке Г тор Т2 = Е2/Г. Ясно,
что исходный тор Т2 конечнолистно накрывается тором Т2. Рассмотрим на но-
вом торе Т2 координаты хну, взятые с накрывающей плоскости К2 . Ясно, что
они являются глобальными периодическими координатами на торе Т2 с пери-
одами Тх = «1 и Ту = «2- Вместе с тем метрика в этих координатах имеет
лиувиллев вид и является поэтому на торе Т2 глобально лиувиллевой.
Первое утверждение теоремы 2.11 доказано.
Осталось показать, что на двумерном то-
ре действительно существуют метрики, не яв-
ляющиеся глобально лиувиллевыми, но облада-
® ющие квадратично интегрируемыми геодезичес-
кими потоками. Другими словами, появляющие-
• ся в теореме 2.11 конечнолистные накрытия то-
ров действительно существенны. Мы просто при-
. ведем пример.
Рассмотрим на евклидовой плоскости метри-
ку
Дз2 = (/(ж) +g(j/))(<^2 + dy2),
где /(ж) периодична с периодом 1, a g(y) — с пе-
а/З
риодом . Возьмем на плоскости решетку Г,
А
порожденную векторами Д = (2, 0) и Д = (1, л/3) (рис. 2.9). Этой решетке отве-
чает тор Т2 с квадратично интегрируемым геодезическим потоком, метрика на
котором не является, однако, глобально лиувиллевой. В самом деле, если бы она
была глобально лиувиллевой, то у решетки Г существовал бы ортогональный ба-
зис. Однако из вида решетки совершенно ясно, что такого ортогонального базиса
у нее нет.
Теорема полностью доказана.
В такой формулировке теорема 2.11 была получена И. К. Бабенко и
Н. Н. Нехорошевым [15].
Существует еще одна полезная переформулировка этой же теоремы, в кото-
рой торы Т2 и Т2 в некотором смысле меняются местами. В таком виде теорема
была получена В. С. Матвеевым [113].
Теорема 2.12. Геодезический поток римановой метрики ds2 на торе Т2 ин-
тегрируем при помощи квадратичного интеграла (не сводящегося к линейному)
тогда и только тогда, когда существует другой тор Т2 с глобально лиувиллевой
метрикой Да2 и накрытие
р-. Т2 -+Т2
такое, что ds2 = p*ds2.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
77
Другими словами, все квадратично
интегрируемые геодезические потоки на
торе получаются конечнолистными раз-
ворачиваниями глобально лиувиллевых
метрик.
Доказательство.
Как уже было доказано выше, су-
ществуют глобально изотермические ко-
ординаты х, у на накрывающей плоскос-
ти, относительно которых метрика ds2
имеет вид (/(.г) + g(y)) (dx2 + dy2). Кро-
ме того, мы доказали, что каждая
из функций f(x) и g(y) периодична.
Рассмотрим наименьшие периоды этих
функций. Пусть а — наименьший пери-
од для f(x) и b — наименьший период
для g(y). Рассмотрим новую ортогональную решетку Г, базисом которой явля-
ются векторы (а, 0) и (0, Ь) (рис. 2.10). Напомним, что на плоскости имеется и
исходная решетка Г, задающая данный тор. Эта решетка Г не обязана быть орто-
гональной, и ее базисные векторы не обязаны идти вдоль направлений х и у. Мы
утверждаем, что решетка Г является в действительности подрешеткой в новой
решетке Г. В самом деле, если (wi, ш2) — произвольный элемент решетки Г, то,
как было доказано выше, f(x +wi) = f(x) и g(y + w2) = g(y), т. е. wi — период
функции f(x), а ш2 — период функции g(y). Поскольку а и b — наименьшие
периоды этих функций, то Wi и ш2 обязаны быть их кратными, т. е. Wi = ki а
и (х>2 = k%b для некоторых целых чисел к± и fc2. Следовательно,
(w15 ш2) = fci(a, 0) + fc2(0, b).
Но это и означает, что элемент (wi, ш2) является элементом решетки Г, что
и требовалось.
Рассмотрим новый тор Т2 = Е2 /Г, отвечающий решетке Г. На нем определе-
на метрика, задаваемая формально той же формулой, что и раньше, т. е. (f(x) +
+ g('^))(cfc2 + dy2). Дело в том, что конформный множитель (f(x) + g(y)) инва-
риантен относительно сдвигов вдоль решетки Г. Получившаяся метрика на торе
Т2 является, очевидно, глобально лиувиллевой. А с другой стороны, тор Т2 на-
крывает тор Т2. Теорема доказана.
В заключение сформулируем еще одно полезное утверждение.
Предложение 2.4.
а) Пусть ds2 — риманова метрика на торе, геодезический поток которой
обладает линейным интегралом, и не являющаяся плоской. Тогда линейный
интеграл ее геодезического потока определен однозначно с точностью до
постоянного множителя.
78
Глава 2
б) Пусть ds2 — риманова метрика на торе, геодезический поток которой об-
ладает нетривиальным квадратичным интегралом, и не являющаяся плос-
кой. Тогда квадратичный интеграл F ее геодезического потока определен
однозначно с точностью до произвольной линейной комбинации с гамильто-
нианом.
Доказательство.
а) Выше мы показали, что линейный интеграл обязан иметь вид F=bapu+bip„,
где Ьо и bi — постоянные. Коммутируя это выражение с гамильтонианом
р2 + р2
Н = " v, получаем следующее необходимое условие: = 0. От-
сюда видно, что если метрика не плоская, то &i = 0, т. е. F = const ри.
б) Предположим, что F и F' — два квадратичных интеграла геодезичес-
кого потока. Каждому из них отвечает некоторая глобальная лиувиллева
система координат. Обозначим эти координаты через (ж, у) и (и, ж). Рас-
смотрим соответствующие конформные множители А(ж, у) = /(ж) + g(y)
и A'(w, ?;) = f'(u) Напомним, что тогда в силу теоремы 2.7
F(x, у, рх, ру) =
~ (/(ж) ~ С)р2у + (g(y) + С)р?
/(«) +g(y)
F’(u, V, рп, р„) =
- (/'И - С’)р2 + (g'tv) + C'jpj
f'(u)+g'(v)
где С и С — некоторые постоянные.
Поскольку обе системы координат являются изотермическими, то они свя-
заны между собой некоторым линейным преобразованием, комплексным или ан-
тикомплексным, поэтому функции А и А' отличаются друг от друга на некоторый
постоянный множитель, т. е.
/(ж) + g(y) = constH-g'(v)),
где координаты (ж, у) и (и, ж) связаны между собой конформным линейным пре-
образованием. Когда такая ситуация возможна? Если оси старых и новых коор-
динат не параллельны, то легко проверяется, что f (х) +g(y)=a(x2+y2)+bx+cy+d.
Но это невозможно в силу периодичности конформного множителя.
Таким образом, оси двух рассматриваемых лиувиллевых систем координат
параллельны. Это в точности означает, что координаты z = ж + iy и w = и + iv
связаны одним из следующих преобразований:
a) w = az + b,
б) w = i(az + &),
в) w = az + b,
г) w = i(az + Ь),
где а, — вещественное, а & — комплексное число.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
79
Применяя любую из этих замен к интегралу F', мы можем переписать его
в той же самой системе координат (ж, у), в которой записан интеграл F, и не-
медленно убедиться в справедливости сформулированного утверждения.
Выше мы описали метрики на торе с линейно и квадратично интегрируемы-
ми геодезическими потоками. Однако если мы хотим более формально подойти
к задаче классификации метрик на торе, допускающих глобальный интеграл, то
мы должны предъявить полный список канонических форм для таких метрик и
указать затем, какие метрики из списка являются изометричными. Тем самым
будет решен вопрос о их метрической классификации в строгом смысле. Такой
подход к задаче классификации был реализован В. С. Матвеевым [ИЗ].
Начнем со случая метрики с линейно интегрируемым геодезическим пото-
ком. Как мы уже видели, для каждой такой метрики на торе Т2 = В.2 /Г сущест-
вуют глобальные изотермические координаты (и, v) на накрывающей плоскости,
в которых ds2 = q{y)(du2 + c/v2), причем функция д(г) инвариантна относительно
сдвигов на элементы решетки Г. Кроме того, мы показали, что первый базисный
элемент решетки Г может быть взят в виде Д = (а, 0) (в том случае, когда мет-
рика не является плоской). Делая нормировку вида и' = V1 = мы можем
без ограничения общности считать, что Д = (1, 0). Тогда второй базисный век-
тор Д может быть выбран однозначно в виде Д — (t, L), где t Е [0, 1), L > 0. По-
скольку q(v) инвариантна относительно решетки, то L является периодом функ-
ции q. Итак, любую метрику на торе, допускающую линейный интеграл и не
являющуюся плоской, можно задать (закодировать) с помощью тройки (q, t, L),
где t Е [0, 1), L > 0, q(y) — функция с периодом L.
Обратно, если задана произвольная тройка (</, t, L), то по ней можно по-
строить естественную метрику на торе. Для этого на плоскости с декартовыми
координатами (и, v) нужно рассмотреть метрику ds2 = q(v)(du2 + dv2), а затем
взять фактор по решетке, порожденной векторами Д = (1, 0) и Д = (t, L). Для
краткости такие метрики мы будем называть (q, t, £)-метриками.
Теорема 2.13 (Матвеев В. С.). Пусть геодезический поток метрики ds2
на торе Т допускает линейный интеграл. Тогда метрика либо плоская, ли-
бо изометрична (q, t, Ь)-метрике. Две метрики, отвечающие тройкам (q, t, L)
и (q, t, L), изометричны тогда и только тогда, когда для некоторого веществен-
ного числа с выполняется одно из следующих четырех соотношений:
1) либо (q(v), t, L) = (q(w + c), t, L),
2) либо (q(v), t, L) = (q(v + c), 1 — t, L),
3) либо (g(t>), t, L) = (q(—v + c),t, L),
4) либо (дД), t, L) = (</(—v + с), 1 — t, L).
Доказательство.
Выше была предъявлена процедура сопоставления каждой линейно интегри-
руемой метрике на торе ее (д, t, ЛДмодели. Эта задача сводится к поиску гло-
бальных изотермических координат («,, «), удовлетворяющих двум условиям:
80
Глава 2
1) в этих координатах метрика имеет вид q(v)(du2 + dv2),
2) первый базисный вектор решетки имеет координаты (1,0).
Следовательно, весь произвол в кодировании данной метрики ее (q. t, L)-mo-
делями происходит из того, что можно разными способами выбирать на накры-
вающей плоскости такие координаты и, V.
Посмотрим, какие преобразования сохраняют условия 1 и 2. Мы знаем, что
любое преобразование между двумя глобально изотермическими системами ко-
ординат обязано иметь вид: w = az + b, либо w = az + b, где a, b — произвольные
комплексные числа. Но в нашем случае эти преобразования должны, кроме то-
го, еще сохранять и вид функции q в том смысле, что она должна оставаться
функцией лишь от второй переменной v. Поэтому указанные преобразования
должны сохранять линии v = const. Отсюда немедленно следует, что а — это ве-
щественное число. Из условия 2 — условия нормировки — тогда сразу следует,
что а = ±1. Число b является любым комплексным. В результате получаются
четыре типа преобразований, показанные на рис. 2.11. Пунктиром изображены
новые координаты на накрывающей плоскости после соответствующего преоб-
разования.
7**....* ’ / «
Рис. 2.11
Каждое такое преобразование меняет глобальную изотермическую систему
координат, а потому изменяет и (</, t, £)-модель, т. е. меняет конформный мно-
житель метрики и координаты базисных векторов решетки.
Случаи 1, 2, 3, 4, представленные на рисунке, в точности отвечают преоб-
разованиям 1, 2, 3, 4, указанным в теореме.
Теорема доказана.
Рассмотрим теперь случай римановой метрики на торе, геодезический поток
которой допускает квадратичный интеграл, не сводящийся к линейному. Начнем
с того, что для каждой такой метрики на торе Т2 мы предъявим ее канонический
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
81
вид. При этом мы воспользуемся теоремой 2.12, согласно которой каждая такая
метрика представляется в виде пары (/>, (Т2, ds2)), где ds2 — глобально лиувил-
лева метрика на некотором торе Т2, а р: Т2 —> Т2 — некоторое конечнолистное
накрытие. Такое представление очень удобно, но оно оказывается, вообще гово-
ря, неоднозначным. И наша цель сейчас будет состоять в том, чтобы среди всех
таких представлений-накрытий указать одно каноническое, однозначно опреде-
ленное накрытие ро'-Т2 —> Тд. Чтобы объяснить суть дела, сразу скажем, что
в качестве такого канонического р0 нужно взять накрытие с наименьшим воз-
можным числом листов. Такое накрытие уже определено однозначно.
Формально поступим так. Рассмот-
рим лиувиллеву систему координат х, у
на накрывающей плоскости тора Т2 и ре-
шетку Г, задающую этот тор. Как мы от-
мечали, решетка Г может быть переко-
шена по отношению к ортогональной сис-
теме координат х, у (рис. 2.12). Постро-
им новую решетку Го следующим обра-
зом. Проведем через все узлы решетки Г
вертикальные и горизонтальные прямые
(рис. 2.12). В результате на плоскости по-
явится некоторая ортогональная решет-
ка. Ее мы и возьмем в качестве Го.
Отметим следующее важное свойство решетки Гд.
Лемма 2.6. Пусть Г — любая другая ортогональная решетка на накрывающей
плоскости, содержащая Г, базисные векторы которой направлены вдоль осей х
и у. Тогда Го обязательно содержится в Г. В частности, Го не содержит нетри-
виальных подрешеток, удовлетворяющих перечисленным свойствам.
Доказательство.
Это следует из следующего очевидного замечания. Если Г — произвольная
ортогональная решетка с указанными свойствами, а Р и Q — два ее произ-
вольных узла, то точка S пересечения двух прямых, проходящих через Р и Q
параллельно осям х и у соответственно, также принадлежит решетке Г. Лемма
доказана.
Отсюда вытекает следующее важное свойство решетки Го и отвечающего
ей накрытия ро'-Т2 —> Т2. Рассмотрим произвольное накрытие р: Т2 —> Т2 та-
кое, что ds2 = p*ds2 и ds2 — глобально лиувиллева метрика на торе Т2. Тогда
решетка Г, отвечающая тору Т2, удовлетворяет условиям леммы 2.6, и поэто-
му накрытие £ пропускается через накрытие ро- Другими словами, существует
накрытие тг: Т2 —> Т2 такое, что р = тгро-
Отсюда, в частности, следует, что ds2 — (роУТз^,, причем метрика ds2 на то-
ре Т2 является глобально лиувиллевой. Кроме того, накрытие ро имеет наимень-
шее число листов среди всех накрытий над торами с глобально лиувиллевыми
метриками.
82
Глава 2
Выберем в решетке Г некоторый канонический базис относительно бази-
са в решетке Го. Обозначим через ei, е2 ортогональный базис в решетке Го.
При этом мы считаем, что вектор ei параллелен оси х, а вектор е2 — оси у,
где х, у — глобальные лиувиллевы координаты на накрытии. Ясно, что та-
кой базис определяется однозначно с точностью до умножения его векторов
на —1. Выберем в качестве базиса Д, /2 в решетке Г следующие два век-
тора: /1 = тех, где т > 0 — некоторое целое число (наименьшее из возмож-
ных), и /2 = fcei + пе2, где 0 к < т, п > 0. Этими условиями базисные векто-
ры Д = (т, 0), /2 = (к, п) определены однозначно.
Лемма 2.7. В действительности п = 1, а число к взаимно просто с т.
Доказательство.
Предположим противное, что п — целое положительное число, большее 1.
Рассмотрим решетку Г', порожденную векторами ei и т?,е2. Тогда Г С Г' С Го,
что противоречит лемме 2.6.
Пусть далее числа к и т не взаимно простые. Тогда к — sk', т — sm',
где я 1. Рассматривая решетку Г', порожденную векторами sei и е2, снова
видим, что она удовлетворяет противоречащему лемме 2.6 свойству Г с Г' с Го-
Лемма 2.7 доказана.
Итак, каноническое накрытие ра: Т2 —> Ту, построенное выше, задается
матрицей
кт к\
\° V ’
составленной из координат векторов Д, Д решетки Г относительно базиса ре-
шетки Го-
Пусть х и у — глобальные лиувиллевы координаты на торе Ту. В этих ко-
ординатах вектор ei имеет координаты (Тх, 0), а вектор е2 — (0, Ту). Здесь Тх
и Ту — периоды лиувиллевых координат. Переходя к другим лиувиллевым ко-
ординатам
, х , V
х У = Т'
мы всегда можем считать, что период Тх равен 1.
Таким образом, каждая метрика на торе, обладающая квадратично интег-
рируемым геодезическим потоком, может быть задана, закодирована (вообще
говоря, неоднозначно) в виде следующей четверки:
л gi
где L — Ту (после нормировки, когда Тх становится равным 1) является произ-
вольным положительным числом, fag — две периодические гладкие функции
к
с периодами 1 и L соответственно, а — рациональное число из полуинтерва-
ла [0, 1).
Если такая четверка задана, то тор Т2 с квадратично интегрируемым гео-
дезическим потоком строится так.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
83
Сначала рассмотрим на евклидовой плоскости х,у глобально лиувиллеву
метрику вида:
(/W + g(y))(dx2 + dy2),
а затем факторизуем плоскость по решетке Г, базисом которой являются два век-
тора ft = (т, 0), /2 = (k, L). Получим искомый тор Т2 с метрикой gij, которую
будем для краткости называть (L, f, g, -метрикой или (L, /, g, -моделью.
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Предложение 2.5. Любая метрика на торе, обладающая квадратично интег-
рируемым геодезическим потоком, допускает представление в виде (L, f, g, ^)-
метрики.
Как мы уже отметили, кодирование метрики при помощи четверки
(L, f, g, т.е. представление ее в виде (L, /, g, Д)-метрики, вообще гово-
ря, неоднозначно. Ниже мы изучим степень этой неоднозначности.
Предложение 2.6. Пусть х, у ии, v — две пары глобально лиувиллевых коорди-
нат на накрывающей плоскости тора для данной глобально лиувиллевой метри-
ки. Тогда от системы координат х, у на плоскости Ж2 можно перейти к системе
координат и, v композициями следующих четырех преобразований:
1) z —> z + Ь, где Ь — вещественное число (сдвиг вдоль оси ж).
2) z —> z (комплексное сопряжение),
3) z —> — iz (перестановка местами координат х и у),
4) z —> az, где а — положительное вещественное число (растяжение).
Замечание. Композиции этих преобразований образуют группу, состоящую из восьми
компонент связности:
a) w — az + b,
б) w = i(az + Ь),
в) w — az + b,
г) w = i(az + Ь),
где а G R \ {0}, a, b G С.
Отметим, что вещественное число а может быть как положительным, так и
отрицательным. Замена знака меняет компоненту связности в группе.
Доказательство.
При доказательстве предложения 2.4 мы показали, что две глобально лиу-
виллевы системы координат должны быть связаны между собой одним из пере-
численных выше преобразований а), б), в), г). Каждое из этих преобразований,
в свою очередь, может быть, очевидно, представлено как композиция преобра-
зований 1), 2), 3), 4). Предложение доказано.
Опишем четыре элементарные операции, с помощью которых мы будем
преобразовывать коды квадратично интегрируемых геодезических потоков, т. е.
четверки (L, f, g, друг в друга.
84
Глава 2
Операция аь-
ab(L, /, g, = (L, f, g, где /(яг) = /(ar - b). Смысл этой операции
состоит в том, что мы выполняем преобразование вида z —> z + b (см. предложе-
ние 2.6).
Операция /3.
P(L, /, g, Д) = (L, f, g, где g(y) = g(-y). Смысл этой операции в
том, что мы выполняем комплексное сопряжение z —> ~z (см. предложение 2.6).
Операция 7.
?(£, Д) = гДе №) = ^2Й’(М? йЫ = L2f(Ly), и
т > к 0, кк = Imodm). Смысл этой операции состоит в перестановке мес-
тами переменных х и у с последующей нормировкой. Более точно, в терминах
предложения 2.6, операция 7 отвечает следующему комплексному преобразова-
нию w(z) = —iy-
Нормировка здесь сделана для того, чтобы период первой коор-
динаты х был равен 1. Это приходится делать, так как мы меняем координаты х
и у местами.
Операция Sc.
/, g, = (L, f, g, где /(яг) = /(яг) + с, g(y) = g(y) - с. Здесь с —
произвольная постоянная. Смысл этой операции состоит в том, что мы двумя
разными способами представляем конформный множитель А = /(ж) + g(y) в
виде суммы двух функций /(ж) и g(y). Ясно, что /(яг) +g{y) = f(x) + g(y).
Теорема 2.14 (В. С. Матвеев). Две метрики на торе, задаваемые кода-
ми (L, f,g,^} и (L, f,g, изометричны тогда и только тогда, когда эти
т т
две четверки можно перевести друг в друга композицией элементарных опера-
ций а&, /3, у, дс.
Доказательство.
Как мы уже объяснили, после фиксации глобально лиувиллевых координат
ь
на накрывающей плоскости тора, построение четверки (L, f,g, ^), отвечающей
выбранной квадратично интегрируемой метрике на торе, проводится однозначно,
по модулю представления конформного множителя А в виде суммы f + g, т. е. с
точностью до операции дс. Таким образом, вся неоднозначность в выборе чет-
верки (L, /, g, заключается в выборе глобально лиувиллевых координат на
накрывающей плоскости тора. Но мы уже знаем, что любые две глобально лиу-
виллевы системы координат получаются друг из друга с помощью элементарных
преобразований, описанных в предложении 2.4. Эти элементарные преобразова-
ния индуцируют преобразования четверок (Z, /, g, Осталось заметить, что
эти индуцированные преобразования в точности являются операциями аь, /3, у.
Операция <5 уже учтена выше. Следует отметить, что мы не обсуждаем здесь
преобразование растяжения z —> az, где а — вещественно и положительно. Дело
в том, что у нас есть еще одно дополнительное условие на лиувиллеву систему
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 85
координат — условие нормировки. Напомним, что мы выбираем координаты ж, у
так, чтобы в них первый базисный вектор решетки Го имел вид (1,0).
Докажем теперь теорему в обратную сторону. Фактически требуется лишь
проверить, что преобразования (3, у, 6С не меняют метрики, т. е., более точно,
заменяют ее на изометричную. Но это очевидно, поскольку каждое из этих пре-
образований является преобразованием глобально лиувиллевых координат при
сохранении метрики и решетки. Теорема доказана.
2.5.2. Случай бутылки Клейна
Рассмотрим теперь интегрируемые геодезические потоки на бутылке Клей-
на К2. Оказывается, в этом случае также существуют метрики с линейно и
квадратично интегрируемые геодезическими потоками. Более того, как будет
показано, на бутылке Клейна есть метрики, геодезические потоки которых ин-
тегрируются помощи интеграла степени 4, не сводящегося к линейным и квад-
ратичным.
Напомним, что бутылка Клейна двулистно накрывается тором. Такое на-
крытие определено однозначно (с точностью до естественной эквивалентности
накрытий). Совершенно ясно, что поднимая на тор метрику с бутылки Клейна К2
с интегрируемым геодезическим потоком, мы получаем на торе тоже интегри-
руемый поток. Однако, как мы увидим, тип потока при этом может меняться,
а именно: степень интеграла может понизиться. Например, из квадратично ин-
тегрируемого потока может получиться линейно интегрируемый. А из потока с
интегралом четвертой степени может получиться квадратично интегрируемый
поток. См. работы И. К. Бабенко [401] и В. С. Матвеева [112], [ИЗ].
Определение 2.4. Риманова метрика на бутылке Клейна называется глобально
лиувиллевой, если при ее поднятии на накрывающий тор получается глобально
лиувиллева метрика на торе.
Определение 2.5. Квадратично интегрируемый геодезический поток на бутыл-
ке Клейна называется квазилинейно интегрируемым, если при его поднятии на
накрывающий тор получается линейно интегрируемый геодезический поток на
торе.
Априори можно было бы ожидать, что на бутылке Клейна есть конечнолист-
но лиувиллевы метрики, как это было в случае тора. Однако на бутылке Клейна
аналога таких метрик нет. Оказывается, здесь решетка накрывающего тора, по
которой происходит факторизация (при переходе к бутылке Клейна) всегда ор-
тогональна. Таким образом, здесь, в отличие от тора, не бывает перекошенных
решеток.
Начнем с того, что предъявим полный набор всех возможных квадратич-
но интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. Рассмотрим две
положительные функции /(ж) и g{y), удовлетворяющие следующим свойствам:
1) /(ж) периодична с периодом i и отлична от постоянной,
86
Глава 2
2) g(y) четная периодическая функция с периодом L.
Рассмотрим теперь на плоскости IR2 лиувиллеву метрику ds2 = (/(ж) +
+ g(y))(rfa:2 + dy2). Представим тор Т2 в виде фактор-пространства Ж.2/Г, где
ортогональная решетка Г порождена базисными векторами
А = (1,0) и /2 = (0,£).
В силу периодичности функций fag относительно сдвигов на элементы
решетки метрику ds2 можно считать метрикой на торе Т2.
Рассмотрим на этом торе инволюцию %, задаваемую следующей формулой:
у) = (ж+ -у).
Это стандартная инволюция, не имеющая неподвижных точек на торе и меняю-
/р2
щая ориентацию. Поэтому бутылку Клейна можно представить в виде К2 = ^—.
С
Легко видеть, что метрика ds2 инвариантна относительно действия инволюции %,
и поэтому метрику можно спустить вниз с тора на бутылку Клейна, факторизуя
по действию Д Получится метрика на К2. По построению, такие метрики зада-
ются тремя параметрами: L, /, g, где L — один из периодов решетки, a f и g —
две функции, удовлетворяющие описанным выше свойствам.
Определение 2.6. Назовем такие метрики на бутылке Клейна (L, /, g)-Mem-
риками.
Теорема 2.15.
а) Любая метрика на бутылке Клейна с квадратично интегрируемым геодези-
ческим потоком изометрична некоторой (L, f, g) -метрике при подходящем
выборе параметров L, f, g.
б) (L, f, g)-MempuKa является лиувиллевой на К2 тогда и только тогда, когда
функция g{y) не является постоянной.
в) Геодезический поток (L, /, g)-метрики на бутылке Клейна является квази-
линейно интегрируемым в том и только в том случае, когда функция g(y)
постоянна.
Следствие. Геодезический поток римановой метрики на бутылке Клейна явля-
ется квадратично интегрируемым тогда и только тогда, когда реализуется один
из следующих случаев:
1) либо метрика является лиувиллевой,
2) либо геодезический поток квазилинейно интегрируем.
Доказательство теоремы 2.15.
Рассмотрим на К2 квадратично интегрируемую метрику и накроем бутыл-
ку К2 тором Т2, а затем плоскостью Ж2. На плоскости IR2 возникнет либо квад-
ратично интегрируемая метрика, либо линейно интегрируемая, если степень ин-
теграла упала при разворачивании бутылки Клейна. В этом случае, как было
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
87
доказано выше, существуют глобально лиувиллевы координаты х. у на плоскос-
ти, в которых метрика записывается в виде (/(ж) + g(y))(dx2 + dy2). Здесь хотя
бы одна из функций /(ж) и g(y) не постоянна, поскольку в противном случае
метрика на К2 является плоской и допускает, следовательно, линейный интег-
рал. Пусть для определенности функция /(ж) не постоянна. Обозначим через Г
решетку тора.
Поднимем инволюцию £ с тора на плоскость Ж2. Это всегда можно сделать,
хотя и неоднозначно. Обозначим ее здесь снова через Найдем явную формулу
для действия этой инволюции относительно координат х, у. Отметим сначала,
что £ сохраняет метрику, в частности, сохраняет ее лиувиллев вид. Поэтому, как
мы уже видели выше, £ обязана иметь один из следующих видов:
1) z —> az + Ь,
2) z —> az + Ь,
3) z —> iaz + Ь.
4) z -> iaz + Ь,
где а — вещественное число, а b — комплексное.
Поскольку £2 тождественно на торе, то £2 на плоскости R2 сохраняет решет-
ку Г, т. е. переводит ее в себя. Отсюда сразу следует, что а2 = 1, т. е. а — ±1,
т. е. никаких растяжений нет.
Кроме того, отображение £ меняет ориентацию, а потому из этого списка
остаются лишь следующие возможности:
z -> z + Ь,
z —> —z + Ь,
z —> iz + Ь,
z —> — iz + Ь.
Покажем, что в действительности случаи 3 и 4 не реализуются.
Лемма 2.8. Инволюция £ не может иметь вида 3 и 4.
Доказательство.
Рассмотрим случай 3. Поскольку инволюция £ должна иметь здесь вид
z —> iz + Ь, то в координатах х и у она записывается так:
X^-y + b-L, y^fX + bi.
Так как £ сохраняет метрику тора, то мы получаем следующие условия на
функции f и g:
f(x) + g(y) = f(y + 61) + g(x + b2).
Отсюда, очевидно, следует, что
/(ж) = g(x + b2) +Са, g(y) = fty + bi) -Са.
Поскольку инволюция £ определена на торе, то она сохраняет и интеграл F. Этот
интеграл на торе является прообразом интеграла с бутылки Клейна, точнее, с ее
88
Глава 2
Г(х, У, Рх, Ру) =
кокасательного расслоения. Вспоминаем теперь, что, согласно предложению 2.4,
вид этого квадратичного интеграла на торе определен однозначно, с точностью
до линейной комбинации с гамильтонианом. Этот вид с точностью до умножения
на константу таков:
- (/(ж) - с)р2 + (gfa) + с)р2
/(ж) + g(y)
Подействуем на него инволюцией учитывая соотношения на функции f и g,
полученные выше. Получим:
_ - (f(y + bi) ~ С)р2х + (g(.T + b2) + C)p2y _
f(y + bi)+g(x + b2)
_ ~ Щ + Co ~ C)p2 + (/(ж) - Co + C)p2
/(ж) + g(y)
Приравнивая £*Р и F, получаем:
—g(y) - Co + С = g(y) + C, f (ж) - Co + C = -f (x) + C.
Отсюда следует, что обе функции /(ж) и g(y) являются постоянными, сум-
ма которых равна нулю. Что невозможно, так как конформный множитель
А = f(x) + g(y) должен быть положительной функцией. Случай 3, тем самым,
полностью изучен.
Случай 4 разбирается совершенно аналогично. Достаточно предварительно
сделать замену х —> —х, после чего мы попадаем в точности в случай 3. Лемма
доказана.
Перейдем теперь к анализу инволюции типа 2. Предположим сначала, что
обе функции /(ж) и g(y) не постоянны, Тогда, меняя местами переменные ж и у,
превращаем тип 2 в тип 1. Другими словами, в этом случае переменные ж и у
равноправны. Собственно случаем 1 мы займемся чуть позже.
Если же в рамках случая 2 функция g(y) оказывается постоянной, равной
какому-то числу g, а /(ж) — не постоянна, то метрика имеет вид:
(/(ж) +£)(Дж2 + dy2)
и очевидно допускает линейный интеграл ру. В то же время инволюция £ дей-
ствует здесь так: ж —> —ж + bi, у —> у + 62. Ясно, что интеграл ру инвариантен
относительной такой инволюции а потому спускается вниз, т. е. на бутылку
Клейна. В результате для данной метрики мы получаем линейный интеграл на
бутылке Клейна, что противоречит предположению о том, что исходный квад-
ратичный интеграл к линейному не сводится.
Итак, можно считать, что инволюция £ имеет вид z -> z + b, т. е. £(ж, у) =
= (ж + bi, —у + Ь2) (случай 1). Сдвигом системы координат вдоль оси у можно
добиться того, что Ь2 — 0, т. е. £(ж, у) — (ж + bi, —у).
Рассмотрим решетку Г тора Т2 = —.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
89
Лемма 2.9. Существует ортогональный базис fa, /2 решетки Г такой, что
/1 = (а, 0), /2 = (0, Ь), и при этом Ь± = (п+ ) а.
X Z /
Доказательство.
Рассмотрим инволюцию £ тора. Тогда £2 тождественно на торе и, следова-
тельно, рассматривая £2 на накрывающей плоскости, получаем, что £2 переводит
решетку Г в себя и имеет вид: £2(ж, у) = (ж + 2bi, у), т. е. сдвиг вдоль оси х. Сле-
довательно, вектор (2&х, 0) является элементом решетки Г. Поэтому существует
базисный вектор Д решетки Г вида (а, 0), т.е. такой, что kfa = (2&i, 0) для
некоторого натурального положительного к. Покажем, что в действительности
число к нечетно. Предположим противное, тогда вектор (&i, 0) принадлежит ре-
шетке Г. Но в таком случае точка (0,0) под действием £ переходит в точку (Д, 0),
т. е. остается в решетке и потому с точки зрения тора является неподвижной
точкой инволюции £. Это противоречит определению £. В итоге отсюда следует,
что bi — (п + 0 а.
Обозначим через £о линейную часть аффинного отображения £ на плос-
кости, т.е. fa(x, у) = (ж, —у). Мы утверждаем, что переводит решетку Г
в себя. В самом деле, из корректности определения £ на торе следует, что
ДР + ш) = £(Р) + ш', где Р — произвольная точка плоскости, а ш и ш' — элемен-
ты решетки. С другой стороны, ДР + ш) — ДР) + Итак, Д(щ) — о/, т.е.
решетка действительно переходит в себя.
Поскольку £0 — это симметрия плоскос-
ти относительно оси х (см. выше формулу), )
то решетка Г переходит в себя при такой сим- /
метрии. Существует только два типа таких * * * * / * А * *
решеток. Они представлены на рис. 2.13. Пер- ( /; \
вый тип — это ортогональная решетка, т. е. :
именно та, которая нам и нужна. Решетки \ ;
второго типа порождаются равнобедренными • • • » •
треугольниками (рис. 2.13). Дадим формаль- >
ное доказательство этого факта.
Выберем второй базисный вектор решет- а) Ь)
ки в виде fa = (с, Ъ), где Ъ > 0, 0 < с < а. рис 2
Тогда ^о(/г) = (с, — Ъ). Рассмотрим элемент
решетки £o(fa) + fa — (2с, 0). Напомним, что первый базисный вектор решет-
ки имеет вид fa = (а, 0), следовательно, с равняется либо нулю, либо Это в
точности соответствует двум типам решеток, изображенным на рис. 2.13.
Решеток второго типа в нашей ситуации быть не может. Дело в том, что
тогда инволюция £ будет иметь неподвижную точку на торе, что запрещено. В
самом деле, рассмотрим точку ^0, — . Ее образ под действием £ имеет вид:
( (п + s') к ) • Эти две точки отличаются между собой на вектор
п + о,, b) = п(а, 0) + (j, b) = nfa + fa.
90
Глава 2
Но этот вектор является элементом решетки, т. е. точка
относительно действия £ на торе. Получили противоречие.
(°-4)
неподвижна
Итак, только ортогональная решетка, т. е. решетка с базисом Д = (а, 0)
и Д = (0, Ь) является допустимой. Лемма доказана.
Вернемся в доказательству теоремы. Сделаем конформную замену перемен-
г V
ных х, у по формуле х —> —, у —> -. Тогда базис решетки запишется в виде
fi = (1, 0) и Д = (0, L), где L = Инволюция £ в новой системе координат
(которую мы по-прежнему будем обозначать через х, у) запишется так:
У) = (х+п+±, -у).
Однако эта инволюция и инволюция вида (х, у) —>
на торе, очевид-
но, совпадают, так как число п — целое. Поэтому можно считать, что £(ж, у) =
= (я + ^,-3/)-
Резюмируя, можем сказать, что мы представили метрику на бутылке Клей-
на в виде (L, Д £)-метрики, что и доказывает пункт (а) теоремы.
Обсудим теперь вопрос, в каком случае эта метрика является глобально ли-
увиллевой на бутылке Клейна. Это означает, что она должна быть глобально
лиувиллевой на торе после поднятия с бутылки Клейна. Ясно, что в рассматри-
ваемом случае это эквивалентно тому, что обе функции /(ж) и g(y) являются
непостоянными. Это и есть утверждение (б) теоремы. Напомним, что f отлична
от константы по определению.
Осталось разобрать случай, когда функция g(y) постоянна. В этом случае
степень интеграла при подъеме его на тор понижается, поскольку линейным ин-
тегралом оказывается функция ру. Нужно показать, что исходный интеграл на
бутылке Клейна тем не менее остается квадратичным. Это и будет означать
квазилинейность метрики типа (L, Д g) на бутылке Клейна. Для того, чтобы ли-
нейный интеграл ру спустился вниз на бутылку Клейна и породил там линейный
интеграл, нужно, чтобы он выдерживал инволюцию £ на торе. Но под действи-
ем £ он, очевидно, меняет знак и, следовательно, не спускается на К2. Лишь
возведя его в квадрат, получим квадратичный интеграл рД который успешно
спустится вниз на К2 и породит там тоже квадратичный интеграл.
Осталось заметить, что такой линейный интеграл определен на торе одно-
значно с точностью до скалярного множителя. См. замечание к теореме о струк-
туре линейно интегрируемых метрик на торе. Это завершает доказательство
пункта (в) теоремы. Теорема полностью доказана.
Для завершения классификации квадратично интегрируемых геодезических
потоков на бутылке Клейна мы должны ответить на вопрос, какие пары тро-
ек (L, Д g) и (L, Д g) на самом деле отвечают одной и той же метрике на бу-
тылке Клейна. Или, более строго, какие (L, Д g)-MeTpHKH изометричны между
собой.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
91
Рассмотрим на множестве всех троек следующие 4 операции: av, (3, у, дс.
av(L, f(x), g(y)) = (L, f(x + v), g(y)),
P(L, f(x), g(y)) = ^L, f(x), g(y + |,
?(Ь, f(x), g(y)) = (L, /(-ж), g(y)),
JC(L, f(x), g(y)) = (L, f(x) + c, g(y) - c).
Теорема 2.16 (В. С. Матвеев). (L, f, g)-метрика и (L, f,g)-метрика на
бутылке Клейна изометричны тогда и только тогда, когда тройки (L, /, g)
и (L, /, g) получаются друг из друга композициями операций вида av, [3, 'у, Sc.
Доказательство.
Схема рассуждений повторяет, конечно, доказательство аналогичной теоре-
мы для случая тора. Прокомментируем имеющиеся отличия. Отличие состоит в
том, что здесь следует учитывать инволюцию %, которая в глобальных лиувил-
левых координатах на торе имеет специальный вид:
С(ж, у)= (х + 1, -у^ .
Видно, что здесь координаты х и у не равноправны, в отличие от случая тора. В
частности, среди преобразований троек (L, f, g) нет перестановки координат х
и у, имеющейся в случае тора. По сравнению с тором отсутствуют также преоб-
разования, порожденные сдвигами на произвольную величину по оси у. Это объ-
ясняется тем, что ось у — 0 на плоскости является инвариантной прямой по отно-
шению к <$. Эта прямая порождает инвариантный цикл на торе. Есть и еще один
инвариантный цикл, отвечающий всем прямым на плоскости вида у = + kL,
где к пробегает целые числа. Множество этих прямых инвариантно относитель-
но сдвига на L вдоль оси у. Других инвариантных относительно £ циклов на торе
нет. Поэтому у можно сдвигать только на что и отражено в операции [3.
Наконец, симметрия относительно оси х ничего не меняет в силу четности
функции g(y), поэтому ее и нет в списке элементарных преобразований.
Теорема доказана.
Опишем класс линейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке
Клейна. Рассмотрим на плоскости К2 в декартовых координатах х, у ортого-
нальную решетку с базисом Д — (1, 0) и /2 — (0, L), где L — произвольное
положительное число. Рассмотрим метрику
g(y){dx2 + dy2),
где g(y) — четная функция с периодом L. Как мы уже знаем, эта метрика дает
нам линейно интегрируемый геодезический поток на торе. Рассмотрим теперь
на торе инволюцию Д задаваемую в координатах накрывающей плоскости фор-
мулой:
С(ж, у) = (ж + -у) .
92
Глава 2
Легко видеть, что функция g(y) инвариантна относительно инволюции £, а по-
тому, факторизуя тор по инволюции, мы получаем бутылку Клейна с метри-
кой g(y)(dx2 + dy2).
Назовем такие метрики на бутылке Клейна (L, ^-метриками. Легко видеть,
что их геодезические потоки линейно интегрируемы. В самом деле, линейным
интегралом потока, поднятого обратно на тор, является рх. Но так как функ-
ция рх выдерживает инволюцию то мы можем спустить вниз этот интеграл
и в результате получаем линейный интеграл геодезического потока (Z, ^-мет-
рики на бутылке Клейна. Оказывается, никаких других линейно интегрируемых
геодезических потоков на К2 нет.
Теорема 2.17 (В. С. Матвеев). Любая метрика на бутылке Клейна, геоде-
зический поток которой допускает линейный интеграл, является либо плос-
кой, либо изометрична некоторой (L, g)-метрике при подходящем подборе па-
раметров L и g. При этом (L, g)-метрика и (L, g) -метрика, отвечающие раз-
личным параметрам, изометричны в том и только в том случае, когда L — L
и g(y) = g (у + f
Доказательство.
Оно по существу повторяет рассуждения для случая квадратичного интег-
рала. Более того, формально мы можем возвести интеграл рх в квадрат и повто-
рить все предыдущие рассуждения. Здесь мы, естественно, предполагаем, что
метрика не является плоской, так как в противном случае доказывать нечего.
Выбираем на накрывающей плоскости ортогональные координаты х, у так, что-
бы в них метрика имела вид g{y)(dx2 + d.y2), а затем изучаем допустимый вид
инволюции £ относительно этих координат. Возможны (см. выше) только следу-
ющие 4 случая:
z —> z + Ь,
z -> -z + Ъ,
z -> iz + Ь,
z —> — iz + Ъ.
Случаи 3 и 4 не реализуются по тем же соображениям, что и в квадратичном
случае. При инволюции второго типа, т. е. при симметрии относительно оси у,
линейный интеграл рх системы на накрывающей плоскости (или на торе) перехо-
дит, очевидно, в —рх, т. е. не инвариантен относительно Д Следовательно, он не
может получаться поднятием какого-то линейного интеграла в бутылки Клейна.
Поэтому случай 2 тоже невозможен.
Остается случай 1. Но для этого случая в доказательстве теоремы 2.15 мы
уже показали, что решетка обязана быть ортогональной, а инволюция должна
иметь нужный вид. Таким образом, всегда можно найти на накрывающей плос-
кости систему координат х, у, в которой решетка Г ортогональна и порождается
векторами Д = (1, 0) и Д = (0, L), метрика записывается в виде£(у)(Дж2 + dy2),
а инволюция £ имеет вид £(ж, у) = (ж + i, — у'). Итак, доказано, что любая ли-
нейно интегрируемая метрика либо плоская, либо некоторая (L, £)-метрика.
Для доказательства второго утверждения теоремы достаточно вернуться к
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
93
описанию четырех операций а„, (3, у, 6С в доказательстве теоремы 2.16 и оста-
вить из них только те, которые с формальной точки зрения отвечают слу-
чаю /(ж) = 0. Такой операцией является лишь преобразование /3. Все остальные
действуют тривиально.
Теорема доказана.
Рассмотрим, наконец, еще одно се-
мейство метрик на бутылке Клейна,
геодезические потоки которых естест-
венно называть квазиквадратично ин-
тегрируемыми. Они обладают интегра-
лом F четвертой степени, который ло-
кально (но не глобально) может быть
представлен в виде F — F2, где F — *
квадратичный полином. В частности,
при поднятии на накрывающий тор
геодезический поток становится квад-
ратично интегрируемым.
Пусть тип — натуральные вза-
имно простые числа и f — положитель-
ная периодическая функция одной пе-
Рие. 2.14
ременной с периодом 1, отличная от постоянной. Рассмотрим на плоскости стан-
дартные декартовы координаты х, у и зададим метрику по формуле:
cZs2 — (/(ж) + f(y + тр) (dx2 + dy2).
Пусть Г — ортогональная решетка на плоскости, порожденная векторами
Д = (т, —т), Д = (п, п) (рис. 2.14). Она получается из стандартной решетки
путем поворота на Под стандартной решеткой здесь мы понимаем решетку
с базисными векторами, направленными по осям ж и у. Легко видеть, что ука-
занная метрика инвариантна по отношению к сдвигам на элементы решетки Г.
Следовательно, эта метрика корректно определяет некоторую метрику на торе.
Кстати, она является конечнолистно лиувиллевой (так как решетка Г не является
стандартной).
Зададим теперь на торе инволюцию (х, у) —> (у + ж + ^). Факторизуя
тор по действию инволюции £, получаем бутылку Клейна. Легко видеть, что мет-
рика на торе инвариантна относительно инволюции а потому определяет неко-
торую метрику на бутылке Клейна К2. Обозначим эту метрику через d.s2m п
Теорема 2.18 (В.С.Матвеев).
1) Геодезический поток метрики ds2m „ j на бутылке Клейна имеет полино-
миальный по импульсам интеграл степени 4. Этот интеграл не сводится
к интегралам меньших степеней.
2) Метриками вида ds2m п f исчерпываются (с точностью до изометрий) мет-
рики на бутылке Клейна, не имеющие квадратичного интеграла, но приоб-
94
Глава 2
F(x, у, рх, ру)
решающие такой интеграл после перехода к накрывающему тору. Такие
метрики ds2m п естественно назвать квазиквадратичными.
3) Две метрики вида ds^ п и ds2~ л - изометричны в том и только в том
случае, когда их параметры связаны соотношением: т = in, п = п,
f(x + t) = f(x) для некоторого вещественного числа t.
Доказательство.
Начнем с того, что предъявим на К2 интеграл четвертой степени. Поскольку
метрика ds^ п ? является конечнолистно лиувиллевой, то, как мы уже знаем, на
торе у нее существует интеграл второй степени:
Pzf(.y + §)
f(y + §) + Л*
Сразу отметим, что эта функция не инвариантна на торе относительно инволю-
ции а потому не спускается вниз на К2 в виде однозначного интеграла. Более
точно, £*F = —F. Поэтому можно рассматривать этот интеграл как двузначный
интеграл на К2. Ясно, что для построения корректно определенного однознач-
ного интеграла на бутылке Клейна достаточно возвести F в квадрат. Что мы
и сделаем. Итак, в качестве искомого интеграла четвертой степени на К2 мы
берем F2.
Докажем, что эта метрика не имеет нетривиальных квадратичных интегра-
лов. Отметим, что тем самым мы докажем, что у нее нет и линейных интегралов,
поскольку, возводя линейный интеграл в квадрат, мы получили бы квадратич-
ный.
Выше мы уже доказали (предложение 2.4), что квадратичный интеграл ин-
тегрируемой метрики указанного вида на торе определен однозначно с точнос-
тью до линейной комбинации с гамильтонианом, т. е. имеет вид CiF + С2Н,
где Н — гамильтониан, a ci, С2 — некоторые постоянные. Подействуем на этот
интеграл инволюцией £ и увидим, что £(ciF + сг-Н) = — CiF + с^Н. Для того,
чтобы этот интеграл корректно спускался вниз на бутылку Клейна, необходи-
мо, чтобы Ci = 0. Следовательно, любой квадратичный интеграл нашей метрики
на бутылке Клейна пропорционален Н. В этом смысле он тривиален. Итак, мы
доказали отсутствие квадратичных и линейных интегралов.
Докажем теперь, что метрика ds2m н $ не имеет интегралов третьей степени.
Оказывается, верен более общий факт.
Лемма 2.10. Геодезические потоки глобально лиувиллевых метрик на торе не
имеют интегралов третьей степени.
Замечание. Отсюда сразу следует, что таким же свойством обладают и конечнолистно
лиувиллевы метрики на торе, которые накрываются глобально лиувиллевыми.
Следствие. Геодезический поток метрики ds2m п f на бутылки Клейна не имеет
интегралов третьей степени.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 95
Доказательство следствия.
Вытекает из того, что метрика ds2m ? накрывается конечнолистно лиу-
виллевой метрикой на торе. Осталось применить лемму 2.10 и воспользоваться
замечанием к ней.
Доказательство леммы 2.10.
Пусть лиувиллева метрика имеет вид:
(/(ж) + g(y))(dx2 + dy2).
Рассмотрим квадратичный интеграл F этого потока:
. ~рЫу) +Pyf(x)
F(x, у, рх, ру) = --, , . ---
g(y) + f[x)
Для доказательства леммы нам потребуется изучить структуру лиувиллевых
торов. Совместная поверхность уровня {Н =1, F = а = const} задается следу-
ющими уравнениями:
В самом деле,
Р2х = f(x) ~ а- Р2у= g(v) + а-
P2+P2V = г f P2y ~ ИР2 = а
f + g ’ f + g °'
Домножая первое уравнение на f и вычитая второе уравнение из первого,
получаем:
fp2 gp2
—Н j = f — а, то есть р2 = / — а. Аналогично получается,
что р2 = g(y) + а.
При регулярных значениях а эта по-
верхность уровня состоит, вообще гово-
ря, из нескольких торов Лиувилля. Рас-
смотрим положительное число а, близ-
кое к абсолютному минимуму /о функ-
ции f(x), причем а = + е, где е —
малое положительное число (рис. 2.15).
Выделим на графике функции /(ж) ту
его часть, которая лежит выше уров-
ня а = /о + £ Эта часть графика проек-
Рис. 2.15
тируется на ось х. Рассмотрим любую связную компоненту этой проекции, т. е.
отрезок на окружности, параметризованной х. Обозначим концы этой дуги че-
рез ха+ и ха-. Легко видеть, что множество точек
{рж = ±д// - а, ру = y/g+a, х G [ха-, жа+], у — произвольно}
является тором Лиувилля. Обозначим его через Та. Меняя число а, мы получаем
семейство торов Лиувилля. Функция вращения р геодезического потока не может
96
Глава 2
быть постоянной на всех этих торах. Это, в частности, следует из того, что при
а —> /о, т. е. при г —> 0, функция вращения стремится к бесконечности. Это
мы покажем ниже, при обсуждении траекторной классификации интегрируемых
геодезических потоков на торе. Поэтому без ограничения общности мы можем
считать, что любой интеграл геодезического потока постоянен на каждом торе
Лиувилля из данного семейства Та.
Допустим теперь, что существует интеграл К третьей степени:
К(х, У, Рх, Ру} = Л1 (ж, у)р3х + В1(ж, у}р2хру +А2(х, у)рхр2у + В2(ж, у}р3у.
Докажем, что тогда все коэффициенты этого интеграла тождественно равны ну-
лю. Выпишем условия на коэффициенты, возникающие из нерезонансности то-
ров Та. Ясно, что тор Та проектируется на кольцо, лежащее на торе Т2, и имею-
щее вид
[жй_, жй+] х S1^).
Рассмотрим произвольную внутреннюю точку (ж, у} из этого кольца. Эта точка
имеет два различных прообраза при проектировании тора Лиувилля Та на тор Т2.
Важным для нас является тот факт, что эти два прообраза, т. е. два ковектора,
симметричны относительно оси у, т. е. их координаты имеют вид
(Рх(а), Ру(а}) и {-рх(а), ру(а)).
Поскольку обе точки принадлежат одному и тому же тору Лиувилля Та, то зна-
чения полинома К в этих точках должны совпадать. Отсюда мы сразу получаем
соотношение на его коэффициенты
-41 (ж, у)рх(а}3 + Л2(ж, у}рх(а)ру(а)2 = О,
которое, очевидно, остается справедливым при малом шевелении точки (ж, у)
и параметра а. Отсюда сразу следует, что коэффициенты полинома локально в
окрестности точки (ж, у) равны нулю. Остается заметить, что по нашему по-
строению (ж, у) — произвольная точка на торе такая, что ж не является точкой
глобального минимума функции /. Поэтому и ,12 равны нулю тождественно.
Аналогично показывается, что Bt — В2 — 0. Лемма, а вместе с ней и первый
пункт теоремы 2.18 доказаны.
Доказательство двух оставшихся утверждений проводится точно по той же
схеме, которую мы уже не раз применяли выше. Мы его опустим. Отметим лишь,
что метрики ds2m п — это по существу именно те метрики, которые были на-
ми отброшены выше при исследовании квадратично интегрируемых метрик на
бутылке Клейна.
Замечание. Тот факт, что описанный геодезический поток метрики п, f на бутылке
Клейна не имеет однозначного интеграла второй степени (а обладает лишь интегралом
четвертой степени), отражается на его качественных свойствах. Так, например, эта
метрика не допускает никаких нетривиальных геодезических эквивалентнос-
тей, т. е. на бутылке Клейна с такой метрикой нет других метрик с теми же
геодезическими. В этом состоит одно из качественных отличий метрики dSm,n,f от
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
97
других метрик с линейно и квадратично интегрируемыми геодезическими потоками.
Этот результат вытекает из глобальной теоремы Дини, сформулированной ниже, в гла-
ве 6.
2.5.3. Случай сферы
В случае сферы описание метрик с линейно и квадратично интегрируемы-
ми геодезическими потоками было получено В. Н. Колокольцевым [92], [94]. В
дальнейшем Т.З. Нгуен, Е. Н. Селиванова, Л. С. Полякова [140], [345] и В. С. Мат-
веев [115] предложили более удачную геометрическую формулировку этих ре-
зультатов. Такой геометрический подход оказался более удобным для изучения
глобальной топологии интегрируемых геодезических потоков на сфере. См. сле-
дующую главу нашей книги.
Мы начнем со случая линейно интегрируемых геодезических потоков. Пусть
стандартная единичная сфера S2 задается в Ж3(ж, у, z) уравнением:
2 । 2 , 2 т
X +у + Z =1,
где z — вертикальная координата. Пусть далее /(г) — произвольная положи-
тельная гладкая функция на отрезке [—1, 1]. Через ds^ обозначим стандартную
метрику на сфере единичного радиуса, индуцированную объемлющей евклидо-
вой метрикой. В обычных сферических координатах 0, <р она, как известно, име-
ет вид:
ds$ — d02 + sin2 0 dtp2.
Теорема 2.19.
а) Метрика на сфере обладает линейно интегрируемым геодезическим пото-
ком в том и только в том случае, когда она изометрична метрике вида
ds2 = f(z) dsy для некоторой гладкой положительной функции f(z) на от-
резке [—1, 1].
б) При этом две метрики вида f(z) ds^ и f(z~) ds2 изометричны в том и только
в том случае, когда определяющие их функции f(z) и f(z) связаны одним из
следующих двух соотношений:
, I (а + l)z — (1 — а) \
либо af(z) = f -------- ,
\ (a — l)z + (1 + a) j
-i, s , ( (a + 1)г “ (1 “ a) I
либо = ---- ,
I (a — l)z + (1 + a) j
где a — некоторое вещественное число.
Эту же теорему можно переформулировать в других терминах, используя
глобальные конформные координаты на сфере.
98
Глава 2
Теорема 2.20.
а) Метрика на сфере обладает линейно интегрируемым геодезическим пото-
ком в том и только в том случае, когда на сфере существуют глобальные
конформные координаты х, у, в которых метрика принимает вид
ds2 = /(ж2 + y2)(dx2 + dy2),
где f(t) — положительная гладкая функция на полуоси [0, +ос) и такая,
что % — положительная гладкая функция на всей полуоси [0, +ос).
в
том и
только в том случае, когда
б) Две метрики вида f{x2 +y2)(dx2 + dy2) и f(x2 +y2)(dx2 + dy2), отвечающие
функциям f и f, изометричны
либо
либо
f(t)
t2
числа а.
для некоторого положительного
Замечание. Указанные условия на функцию f означают в действительности, что мет-
рика d.s2 является гладкой на всей сфере.
Из теоремы 2.19 видно, что метрики с линейно интегрируемыми геодези-
ческими потоками на сфере являются инвариантными относительно вращений
сферы вокруг вертикальной оси z. Другими словами, они допускают однопара-
метрическую группу изометрий.
Следствие. Метрика на сфере обладает линейно ин-
тегрируемым геодезическим потоком в том и только
в том случае, когда она допускает гладкое действие
окружности S1 = 50(2) посредством изометрий, при-
чем это действие сопряжено стандартному (т. е. вра-
щению сферы вокруг оси z).
В частности, такое действие имеет ровно две не-
подвижные точки (два полюса сферы). Дополнение к
ним расслоено на гладкие окружности, являющиеся од-
номерными орбитами (рис. 2.16).
Отметим, что частным случаем метрик с линейно
интегрируемыми геодезическими потоками являются
метрики на поверхностях вращения в II3. Они, однако,
не исчерпывают всех случаев, описанных выше. Дру-
гими словами, не всякая метрика из описанных в теоремах 2.19, 2.20 допускает
изометричное вложение сферы в Ж3 в виде поверхности вращения.
Доказательства теорем 2.19 и 2.20 будут получены ниже в рамках более
общей конструкции, которая одновременно работает как в линейном, так и в
квадратичном случае.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
99
Приведем теперь список всех метрик на сфере с квадратично интегрируе-
мыми геодезическими потоками. Конструкцию, излагаемую ниже, можно рас-
сматривать как построение серии модельных примеров таких метрик. Затем мы
покажем, что полученный в результате список полон, т. е. исчерпывает метрики,
обладающие указанным свойством.
Рассмотрим представление двумерного тора Т2 в виде фактора плоскости Ж2
с декартовыми координатами х, у по ортогональной решетке Г, базисом которой
являются два ортогональных вектора Д = (1, 0) и Д = (0, L), где L — любое
положительное число. Рассмотрим инволюцию а тора на себя, задаваемую на
накрывающей плоскости следующей симметрией:
У) = (~х, ~У),
т. е. попросту симметрией относительно начала координат.
Ясно, что решетка Г выдерживает эту симметрию, поэтому а действи-
тельно является инволюцией на торе. Рассмотрим естественную проекцию
Т2 -> Т2/а.
Лемма 2.11. Фактор-пространство Т2/а тора по действию инволюции а гомео-
морфно двумерной сфере S2. Проекция к: Т2 S2 — Т2/а является двулистным
разветвленным накрытием над сферой с четырьмя точками ветвления, каждая
из них которых имеет ровно один прообраз на торе.
Доказательство.
Разобьем квадрат пополам его сре-
динной горизонтальной линией (рис. 2.17).
Один из двух получающихся прямоуголь-
ников, например, верхний, склеивается
согласно отождествлениям его границ как
показано на рис. 2.17. Получается сфе-
ра. Четырьмя точками ветвления этого
двулистного накрытия
являются точки
с
— I, отмеченные жирными точками
А, В, С, D на рис. 2.17. Эти точки про-
ектируются в четыре разные точки сфе-
ры. Чтобы не вводить лишних обозначе-
ний, мы обозначим эти точки на сфере
теми же буквами А, В, С, D. После про-
екции на сферу граница прямоугольника
превращается в дугу, соединяющую точ-
ки А и D. При этом точки В и С являют-
ся ее внутренними точками. Разрезая сферу по этой дуге, получаем исходный
прямоугольник. На рис. 2.18 показано, как именно проектируются на сферу коор-
динатные линии прямоугольной сетки с тора. В результате на сфере получаются
два семейства замкнутых линий. Лемма доказана.
100
Глава 2
Линии уровня
Рис. 2.18
Оказывается, проекцию х можно описать
в терминах комплексных структур на торе и
на сфере. Сразу отметим, что фактически мы
уже задали комплексную структуру на торе,
представив тор как фактор-пространство R2 /Г,
где II2— С1 отождествлено с комплексной пря-
мой, и z = x + iy, где хну — декартовы коорди-
наты. Фиксируем эту комплексную структуру
на торе.
Лемма 2.12.
а) Можно таким образом выбрать комплекс-
ную структуру на сфере S2, что проекция
х превратится в голоморфное отображе-
ние тора Т2 в сферу S2.
б) Каждая из четырех особых точек отображения х является при этом точ-
кой ветвления второго порядка. Другими словами, в окрестности такой
точки и ее образа можно выбрать такие локальные комплексные координа-
ты z и w, что отображение х запишется в виде w =
Замечание. Описанное выше голоморфное отображение ж: Т2 —> S2 на самом деле
представляет собой мероморфную функцию Вейерштрасса w — Напомним, что
функция Вейерштрасса может быть записана в виде следующей формулы:
Р(*) =
1
(г-ш)2
где и> пробегает элементы решетки Г, а знак ' означает, что суммирование не рас-
пространяется на нулевой элемент 0 £ Г. Этот ряд для всех z, не принадлежащих
решетке Г, сходится к двоякопериодической голоморфной функции. А во всех узлах
решетки Г эта функция имеет полюса второго порядка. Таким образом, на всем то-
ре функция р является мероморфной. Подробнее о свойствах функции Вейерштрасса
см. [62], [168], [283], [365].
Доказательство леммы 2.12.
Фактически уже сама формулировка утверждения содержит правило зада-
ния комплексной структуры на сфере. Если точка (ж, у) тора не является особой
точкой проекции х, то в окрестности ее образа х(ж, у) на сфере локально вве-
дем комплексную структуру, взяв попросту ш = х + гу в качестве локальной
комплексной координаты. Если же точка Рц = ^(-^о) на сфере является точ-
кой ветвления, то в качестве локальной координаты в ее окрестности возьмем
w(P) = (х-1(Р) — 20)2, где Р — произвольная точка из окрестности точки Ро
(рис. 2.19). Эта координата будет корректно определена, несмотря на то, что точ-
ка Р Ро имеет два прообраза z и z’. Действительно, из определения отображе-
ния к сразу следует, что z — zn = —(z' — Zq), поэтому при возведении в квадрат
неоднозначность исчезает.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
101
V
Рис. 2.19
Таким образом, локально в окрестности
каждой точки мы указали комплексную коор-
динату. Легко видеть, что все функции перехо-
да при этом являются комплексно аналитичес-
кими. Они легко выписываются явно. Лемма
доказана.
Нам важно, что в результате мы постро-
или гладкое двулистное отображение тора на
сферу, которое топологически устроено имен-
но так, как нам было нужно, т. е. является
склейкой тора по инволюции а.
Теперь мы опишем класс метрик с квадратично интегрируемыми геодези-
ческими потоками на сфере. Воспользуемся для этого отображением х и вместо
того, чтобы описывать искомую метрику в терминах сферы, мы опишем метри-
ку, являющуюся ее прообразом на торе. Ясно, что метрика на сфере однозначно
восстанавливается по ее прообразу на накрывающем торе. Такое описание мет-
рики на сфере через накрывающую ее метрику на торе оказывается существенно
более простым, чем задание метрики в терминах изотермических координат на
сфере (которое ниже мы также приведем).
Зададим на накрывающей плоскости тора две периодические гладкие функ-
ции f(x) и g(y). удовлетворяющие следующим условиям.
эе Yf)=z
а) Функция /(ж) неотрицательная, гладкая, четная, периодическая с перио-
дом 1.
б) Функция g(y) неотрицательная, гладкая, четная, периодическая с перио-
дом L.
в) Это условие описывает асимптотическое поведение функций fug вблизи
их нулей. Функция /(ж) обращается в ноль в точках вида ж = ^, m tZ.
Функция g(y) обращается в ноль в точках вида у = k 6 Z. Для любой
точки вида существует гладкая в окрестности нуля функция h(t)
такая, что 7i(0) = 0, h'(0) 0 и
Если мы хотим рассматривать вещественно аналитические метрики на сфере,
то функции fag (так же, как и функция h в третьем условии) должны быть
аналитическими.
Относительно третьего условия нам представляются полезными следующие
два комментария.
102
Глава 2
Комментарий 1. В силу периодичности функций / и g условие (в) достаточно
проверять лишь в четырех точках
(0, 0), Q, о), (о, Можно пере-
формулировать его в терминах тейлоровских разложений этих функций. Обозна-
чим через (t) = 52 Cfe(t — t0)fc тейлоровское разложение функции / в точке to-
Аналогичное обозначение используем для тейлоровского разложения функции g.
Тогда условие (в) можно переписать так:
/о*(*) = -g*=/*(!+*)= -gt + itj •
Отсюда вытекает, что эти тейлоровские разложения на самом деле имеют вид:
/о* = £<W2\
/* = ^а2к (t - g) >
^ = -£(-i)fcw2\
При этом первый коэффициент этих рядов аы положителен. Здесь мы ис-
пользовали четность и неотрицательность функций fag.
Комментарий 2. В случае вещественно-аналитической метрики функции fug
должны быть аналитическими, поэтому из сформулированных выше условий на
их степенные ряды вытекает несколько полезных следствий. Во-первых, посколь-
ку тейлоровские разложения функции f в точках 0 и | совпадают, то на самом
деле функция f имеет период |, а не 1. По той же причине функция g имеет пери-
од Кроме того, условие f#(t) = —go (it) превращается теперь в соотношение
на сами функции f и g, а именно:
f(t) = ~g(it)-
Это означает, что функции f и g происходят из одной и той же комп-
лексно-аналитической функции. Другими словами, на комплексной плоскости
z = х + гу существует двояко-периодическая (с периодами i и i^) четная
комплексно-аналитическая функция 'R.. принимающая вещественные значения
на вещественной и мнимой оси, и такая, что
/(») = К(х) и g(y) = -П(гу).
Поясним, что областью определения этой функции, вообще говоря, является не
вся комплексная плоскость С, а некоторая окрестность прямоугольной сетки,
образованной прямыми вида {ж = Другими словами, если рас-
смотреть эту функцию как функцию на комплексном торе, то она определена
лишь в окрестности параллели и меридиана.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
103
Итак, в вещественно-аналитическом случае параметром оказывается всего
лишь одна комплексная функция 1Z, а не две функции f и g. В частности, кон-
формный множитель А приобретает здесь вид
А = /(ж) + g(y) = П(х) - И(гу).
Вернемся теперь к построению модельных метрик на сфере, геодезичес-
кие потоки которых квадратично интегрируемы. Рассмотрим на торе 2-форму
(/(ж) + g(y))(dx2 + dy2) с указанными функциями fug- Вместо слова метрика
мы употребили термин 2-форма по той причине, что она имеет на торе нули
в точках ветвления отображения х и потому не является римановой метрикой
в строгом смысле. Видно, что эта 2-форма инвариантна на торе относительно
инволюции а в силу ее построения. Следовательно, спуская 2-форму вниз, мы
получаем некоторую корректно определенную 2-форму на всей сфере без четы-
рех точек. Оказывается, эту форму можно корректно доопределить и в четырех
точках ветвления, в результате чего получится гладкая риманова метрика уже
на всей сфере.
Предложение 2.7.
1) Пусть (/(ж) + g(y))(dx2 + dy2) — 2-форма на торе Т2, удовлетво-
ряющая свойствам (а), (б), (в), и х: Т2 —> Т2/а = S2 — опи-
санное выше двулистное накрытие. Тогда на сфере S2 существует,
и притом единственная, гладкая риманова метрика ds2 такая, что
>c*(ds2) = (f(x) + g(y))(dx2 + dy2). Если функции fug при этом вещест-
венно-аналитические, то метрика ds2 тоже будет вещественно аналити-
ческой.
2) Обратно, рассмотрим 2-форму к* (ds2) на торе Т2, где ds2 — некото-
рая гладкая метрика на сфере S2. Если эта форма имеет вид (f(x,) +
+ g(y)')(dx2 + dy2), то функции fug автоматически удовлетворяют усло-
виям (а), (б), (в).
Доказательство.
Условия (а) и (б) в точности означают, что форма (/(ж)+g(y)](dx2 +dy2) кор-
ректно определена на торе и инвариантна относительно инволюции <т. Условие
(в) говорит о том, что нули этой формы совпадают с особыми точками отобра-
жения л, т. е. с точками ветвления А, В, С, D. Условие (в) описывает характер
этих нулей. Необходимость и достаточность этого условия сразу следуют из до-
казательства локальной теоремы 2.8. Предложение доказано.
В итоге каждой тройке (L, f, g), удовлетворяющей условиям (а), (б), (в), мы
сопоставили некоторую гладкую риманову метрику ds2 на сфере S2.
Определение 2.7. По аналогии со случаем тора назовем эту метрику
(L, f, g)-метрикой на сфере.
Замечание. В аналитическом случае, впрочем, можно было бы назвать эти метрики
"/^-метриками, так как здесь комплексно-аналитическая функция 1Z (см. выше ком-
ментарий к условию в) несет в себе всю информацию о тройке (£, /, g). Но чтобы не
104
Глава 2
усложнять обозначений, будем пользоваться термином (L, /, ^-метрики как в глад-
ком, так и в аналитическом случае.
Теорема 2.21. Гладкая (или вещественно-аналитическая) риманова метрика
на 2-сфере обладает квадратично интегрируемым геодезическим потоком в том
и только в том случае, когда она изометрична некоторой (L, /, g)-MempuKe при
подходящих параметрах L, /, g.
Доказательство.
Пусть на сфере дана некоторая (L, /, ^-метрика. Нужно доказать, что ее
геодезический поток имеет нетривиальный квадратичный интеграл, гладкий или
аналитический в зависимости от типа самой метрики.
Поднимем эту метрику на накрывающий тор и возьмем получающуюся
2-форму (f(x)+g(y)) (dx2+dy2) с четырьмя точками вырождения А, В, С, D.
Этой 2-форме отвечает некоторый геодезический поток, имеющий особеннос-
ти + Ру
ти. Он задается гамильтонианом Н = ——----------. Однако вне особых то-
f(x) + g(y)
чек А, В, С, D — это настоящий геодезический поток, обладающий квадратич-
ным первым интегралом
~ _ f(x)pj - ё(у)р2х
/(ж) + g(y)
Этот интеграл, очевидно, выдерживает инволюцию а, а потому его можно спус-
тить вниз, на сферу с четырьмя выброшенными точками. Остается проверить,
что на сфере он продолжается в эти особые точки гладко или аналитически со-
ответственно. Но это сразу вытекает из локальной теоремы 2.8 и следующего
за ней замечания, поскольку условия, наложенные выше на функции f и g, в
точности соответствуют ситуации, описанной в этой теореме. Там же выписан
явный вид первого интеграла в окрестности особой точки.
Доказательство в обратную сторону достаточно нетривиально и требует
определенных усилий. Здесь мы будем следовать схеме рассуждений В.Н.Ко-
локольцова. Одновременно мы получим доказательство теорем 2.19 и 2.20.
Идея доказательства теорем 2.19, 2.20 и 2.21 состоит в следующем. Мет-
рика, имеющая квадратичный интеграл, однозначно определяет голоморфную
функцию R(z). Та, в свою очередь, определяет лиувиллевы координаты на всей
сфере, за исключением тех точек, где функция R обращается в ноль. При этом,
как мы доказали выше, соответствующая координатная сетка (с особенностя-
ми) определяется функцией R однозначно. Более того, согласно локальной тео-
реме, особенности сетки могут быть только двух типов, показанных на рис. 2.5
и рис. 2.7. Естественно попытаться нарисовать на сфере все возможные коорди-
натные сетки такого типа. Это можно сделать, и оказывается, таких сетей ровно
три. Они представлены на рис. 2.20.
Первая сеть попросту совпадает с сеткой стандартных сферических коор-
динат 0, (рис. 2.20а). Вторая сеть выглядит как сетка эллиптических коорди-
нат на сфере (рис. 2.20b). Третья сеть изображена в двух видах на рис. 2.20с и
рис. 2.20d.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
105
Рис. 2.20
Но на самом деле третья сеть невозможна. Дело в том, что в лиувиллевых
координатах конформный множитель метрики А представляется в виде суммы
двух функций fag, каждая из которых постоянна на своем семействе коорди-
натных линий. А у третьей сети есть такая точка (полюс), в которую втыкаются
все линии одного из семейств. Это приводит к тому, что соответствующая функ-
ция (/ или g) постоянна. А с другой стороны, эта же сеть имеет особую точку
второго типа, для которой ни одна из функций f и g постоянной быть не может.
Другими словами, особенности двух различных типов, показанные на рис. 2.5 и
рис. 2.7, не могут встречаться одновременно.
Таким образом, остаются лишь две сети.
Но, как следует из локальной теории, в случае первой сети (рис. 2.20а) геоде-
зический поток допускает линейный интеграл, а метрика имеет вид A(dx2 + dy2),
где А — функция, постоянная на окружностях координатной сети, т.е. функция,
зависящая от ж2 +у2. А это и есть теорема 2.19 (или теорема 2.20), описывающая
метрики на сфере с линейно интегрируемыми геодезическими потоками.
А в случае второй сети (рис. 2.20b) видно, что эта сеть является образом
стандартной прямоугольной координатной сети на торе при двулистном накры-
тии сферы тором с четырьмя точками ветвления. Другими словами, при подня-
тии метрики со сферы на тор она становится лиувиллевой. А именно это факти-
чески и утверждается теоремой 2.21.
Теперь мы дадим формально строгое доказательство перечисленных выше
шагов.
Введем на сфере глобальные изотермические координаты z — х + гу и запи-
шем в них функцию 7?(z).
106
Глава 2
Лемма 2.13. Функция R(z) является полиномом от z степени не более четырех.
Доказательство.
Поскольку интеграл F корректно определен на всей сфере и является глад-
ким, то функция R{z) и функция S(w). получающаяся из R(z) заменой z =
голоморфны на всей комплексной плоскости. В то же время мы уже показа-
ли, что R и S связаны соотношением: R(z)(w')2 = S(w). Следовательно, функ-
7?(г) R(z) х
ция —— ограничена при z —> оо, поскольку —— стремится к 6(0), т.е. к
Z Z
конечному числу. Отсюда, согласно известной теореме комплексного анализа,
получаем, что функция R(z) является полиномом, и степень его не превышает
четырех. Лемма доказана.
Сначала отметим, что функция R(z) не может быть тождественным нулем.
В самом деле, если R(z) = 0 на всей сфере, то интеграл F пропорционален гамиль-
тониану Н в каждой точке сферы, т. е. F = кН, где k{z) — некоторая функция на
самой сфере. Но тогда функция k(z) тоже является интегралом системы и, следо-
вательно, постоянна на сфере. Следовательно, F и Н функционально зависимы,
что противоречит предположению теоремы.
На самом деле можно считать, что полином R(z) в подходящей системе ко-
ординат всегда можно записать как полином четвертой степени. Чтобы в этом
убедиться, достаточно сделать замену вида w — —-—, где точка z$ выбрана
Z — Zq
так, чтобы R(z0) ф 0-
Перечислим в явном виде все возможности для такого полинома. Четыре
корня полинома степени 4 могут находиться лишь в следующих соотношениях:
1) 1 + 1 + 1 + 1, что означает, что все четыре корни — простые,
2) 2 + 1 + 1, т. е. один двукратный корень и и два однократных,
3) 2 + 2, т. е. два двукратных корня,
4) 3 + 1, т. е. один трехкратный и один однократный.
5) 4, т. е. один четырехкратный корень.
Лемма 2.14. Возможны лишь случаи 1 и 3.
Доказательство.
Случаи 4 и 5 невозможны, поскольку, как было доказано выше, функция
R(z) не может иметь нулей порядка большего, чем два.
Случай 2 является смешанным, здесь есть одна точка типа, показанного на
рис. 2.7 (ноль второго порядка), и ровно две точки типа, показанного на рис. 2.5
(нули первого порядка). Рассмотрим два семейства координатных линий на сфе-
ре, отвечающих данной функции 7?(г). В окрестности нуля второго порядка эти
линии ведут себя так, как показано на рис. 2.7. Следовательно, одна из функций,
f + g
\R\ '
например, f (напомним, что А =
должна быть постоянной на радиаль-
ных линиях уровня, втыкающихся в особую точку. Эти же радиальные линии, по
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 107
мере их удаления от нуля второго порядка, обязаны покрыть почти всю сферу.
Следовательно, в некоторый момент они достигнут одной их двух оставшихся
особых точек — нулей первого порядка. Но в таком случае в окрестности ну-
ля первого порядка одна из функций (например, /) оказывается постоянной на
линиях этого семейства. Что невозможно, согласно теореме локальной класси-
фикации. Поведение линий обоих семейств показано на рис. 2.20с. В этом легко
убедиться, нарисовав их для полинома 42(1 — г2). К этому виду приводится по-
лином четвертой степени в случае 2 + 1 + 1. Такая картина получается, конечно,
лишь при вещественной А. Если же А комплексно, то в окрестности нуля второ-
го порядка мы увидим картину, изображенную на рис. 2.6. Это невозможно уже
в силу локальной теории (см. выше). Лемма доказана.
Остановимся на случае 3 подробнее. Здесь мы имеем два двукратных корня.
Делая дробно-линейную замену, всегда можно считать, что один из корней —
это ноль, второй — бесконечность. При этом полином R(z) приобретает вид A2z2
уже на всей сфере (а не только локально). При этом, как мы опять видим из ло-
кальной теории, коэффициент А обязан быть вещественным. Повторяя локаль-
ные рассуждения, мы получаем, что в данной системе координат на сфере (без
точки) метрика имеет вид:
/(ж2 + y2)(d.x2 +dy2),
где f(t) — гладкая функция, и функция тоже должна быть гладкой.
Дело в том, что после замены w = j метрика приобретает вид /(|w|2) dw dw,
• i2s /(l/lw|2)
где /(№) = —ПГ12-
H
Это завершает доказательство первого пункта теоремы 2.20.
Перейдем ко второй части этой теоремы. Какие из указанных метрик изо-
метричны? Этот вопрос можно переформулировать так: какие глобальные пре-
образования сферы сохраняют вид метрики, т. е., точнее, вид ее конформного
множителя? Рассмотрим преобразование сферы в себя w = w(z). Оно обяза-
но быть дробно-линейным, поскольку глобально и сохраняет конформный вид
метрики. Пусть метрика не является стандартной, т. е. не является метрикой
постоянной кривизны. Мы должны ответить на вопрос: как устроены такие за-
мены w = w(z), которые переводят метрику /(|г|2) dzdz в метрику того же ви-
да /(|w|2) dw dw, где f и / — гладкие функции? Мы утверждаем, что окружности
вида |г| = const должны записываться в новой системе координат w аналогич-
ным уравнением: |w| = const. Для этого следует охарактеризовать эти окруж-
ности внутренним образом, т. е. независимо от выбора системы координат. Для
этого воспользуемся скалярной кривизной К данной метрики на сфере. В са-
мом деле, на каждой такой окружности кривизна К постоянна. Дело в том, что
окружность является орбитой группы изометрий, которая, в свою очередь, со-
храняет кривизну. Если же метрика не является стандартной, то тогда понятно,
что существует по крайней мере одно непрерывное семейство таких окружнос-
тей, которые в то же время являются и линиями уровня кривизны К, которая в
108
Глава 2
этой области не постоянна. Преобразование координат w = w(z) вообще не меня-
ет выбранной нами метрики, поэтому сохраняет и кривизну, и ее линии уровня.
Следовательно, эти же окружности должны записываться в виде |w| = const и в
новой системе координат w. Отсюда следует, что конформная замена w = w(z)
может иметь только следующий вид: либо az, либо где а — постоянная. Если
же рассмотреть еще и преобразования, меняющие ориентацию, то добавятся еще
два: az и =.
Осталось посмотреть, что произойдет с функцией /(|^|2) при таких преобра-
зованиях. Подставляя в метрику и выполняя простые вычисления, убеждаемся,
что закон преобразования как раз и задается формулами, указанными в теоре-
ме 2.20. Эти вычисления мы опустим. Тем самым, доказана теорема 2.20.
Осталось рассмотреть случай 1 +1 +1 +1, т. е. когда все четыре корня R(z)
простые.
Снова делаем дробно-линейное преобразование, переводящее один корень на
бесконечность. В результате мы понижаем степень полинома, и получается поли-
ном третьей степени. Хорошо известно, что этот полином всегда можно записать
в виде:
R(z) = 4г3 - g2z -g3, где - 27gf / 0.
Условие g2~27g^ ф 0 эквивалентно тому, что все корни полинома — простые
(не кратные). Подберем теперь такую голоморфную замену z = z(w), чтобы
на всей сфере с четырьмя выколотыми точками (нулями R(z)) функция R(z)
превратилась в тождественную единицу. Другими словами, w — это лиувиллевы
координаты. Для этого нужно решить дифференциальное уравнение
/2 . з
Z = 4z-g2z-g3.
Решение такого уравнения хорошо известно. Это — функция Вейерштрасса
z = p(w) (см. формулу выше). Отметим, что параметры g2 и gs связаны с ре-
шеткой Г, отвечающей функции Вейерштрасса, следующим образом:
® = 140£Э-
Без ограничения общности мы полагаем здесь, что решетка натянута на векто-
ры /1 = (1, 0) и /2 = (b, L), где b G [0, 1), L > 0.
Функция Вейерштрасса является двоякопериодической (относительно ре-
шетки Г) мероморфной функцией, а потому может рассматриваться как меро-
морфная функция на торе С/Г
р: Т2 = С/Г —> S2 =С.
Хорошо известно, что это отображение является двулистным накрытием над сфе-
п /1 /г /1 + /2
рои с ветвлением в точках 0, -%, -%, —, первая из которых переходит при
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
109
отображении р в бесконечно удаленную точку, а остальные — в корни поли-
нома R(z). Топология этого отображения очень проста. Как уже было показано
выше, это склейка тора по инволюции w —> — w (действительно, легко видеть,
что р — четная функция).
Лемма 2.15. Решетка Г ортогональна, т.е. /2 — (0, L).
Доказательство.
Разумеется, в общем случае решетка, связанная с функцией Вейерштрасса
(и с произвольным полиномом третьей степени R(zf), может быть произволь-
ной. Однако наличие римановой метрики в наших рассуждениях накладывает
некоторые дополнительные ограничения на расположение корней полинома и,
следовательно, на решетку Г.
Чтобы это увидеть, поднимем рассматриваемую риманову метрику со сфе-
ры на тор. Мы получим некоторую 2-форму, которая определяет риманову мет-
рику всюду, за исключением точек ветвления, а в точках ветвления обращается
в нуль. С другой стороны, в координатах w — и + iv поднятая метрика имеет
вид
(/(w) +g(v'))(du2 + dv2),
где функция f(u)+g(v') — двоякопериодическая, а функции f(u) и g(v) по отдель-
ности периодичны, каждая по своему аргументу. Поскольку сумма f(u) + g(v)
неотрицательна на всей плоскости, то каждую из функций f и g тоже мож-
но считать неотрицательной. В самом деле, рассмотрим функцию f = f — fo и
функцию g= g + fa, где fo — минимум функции f. Он конечен в силу ее глад-
кости и периодичности. Ясно, что функция f неотрицательна. Но тогда функ-
ция g тоже неотрицательна, так как в противном случае, если бы существовала
точка го, в которой g(ro) < 0, то тогда в точке (w0, гц), где f(uo) = fo, их
сумма f + g = f + g была бы отрицательной, что запрещено.
Итак, обе функции f и § мы можем считать
неотрицательными. Рассмотрим множество ну-
лей суммы /(и) + g(r). Полученное множест-
во точек является решением двух уравнений:
/(и) = 0,g(r) = 0 (в силу неотрицательности
обеих функций). С геометрической точки зре-
ния множество нулей устроено очень просто.
Эти нули получаются пересечением двух ор-
тогональных семейств прямых, параллельных
оси и и оси V. Это множество точек условно
изображено на рис. 2.21.
С другой стороны, эти нули — в точности множество точек ветвления функ-
ции Вейерштрасса.
А из свойств функции Вейерштрасса известно, что множество точек ее ветв-
ления — это решетка полупериодов, т. е. решетка, получающаяся измельчением
в два раза решетки периодов (рис. 2.22). Таким образом, две картины, показан-
ные на рис. 2.21 и рис. 2.22, должны совпадать. Ясно, что это происходит в том и
только в том случае, когда решетка периодов Г ортогональна. Лемма доказана.
110
Глава 2
Рис. 2.22
римановой метрики поднятием при
Итак, решетка Г имеет базис вида
/1 = (1, 0) и /2 = (0,Ь) (или в комплекс-
ных обозначениях Д = 1, /2 = iL). Из до-
казательства леммы, кроме того, вытека-
ет, что /(0)=/ =0 и g(0)=g{ ) =0
и никаких других нулей у функций /
и g нет.
Четность функций / и g сразу сле-
дует из того факта, что форма (/(w) +
+ g(v)] (du2 + dv2) получается из исходной
эмощи отображения, склеивающего пары
точек (и, v) и (—и, —и).
Условие (в) на функции fug следует из локальной теории, где уже были
обсуждены локальные условия существования квадратичного интеграла.
Теорема 2.21 доказана.
Отметим следующее полезное утверждение об однозначности квадратичного
интеграла, из которого вытекает сформулированная ниже теорема 2.22.
Предложение 2.8 (В. В. Колокольцов [92]). Пусть ds2 — метрика на сфере,
обладающая квадратично интегрируемым геодезическим потоком и не являюща-
яся метрикой постоянной кривизны. Тогда квадратичный интеграл F ее геоде-
зического потока определен однозначно с точностью до произвольной линейной
комбинации с гамильтонианом.
Следствие. Если геодезический поток римановой метрики ds2 на сфере обладает
двумя квадратичными интегралами Fi и F% такими, что Fi, F2, Н линейно
независимы (здесь Н — гамильтониан геодезического потока), то ds2 является
метрикой постоянной положительной кривизны.
Комментарий. Напомним, что для нерезонансных интегрируемых гамильтоно-
вых систем любой интеграл A'a должен быть функционально зависим с Н и Д
Этот факт, однако, не удается непосредственно использовать для доказательст-
ва нашего утверждения о единственности интеграла геодезического потока на
сфере. Для этого есть две причины. Во-первых, в нашем утверждении говорится
об однозначности с точностью до линейной (а не функциональной) зависимос-
ти функций над R. Во-вторых, как мы покажем ниже, существуют резонансные
квадратично интегрируемые геодезические потоки на сфере (все геодезические
которых замкнуты).
Как и раньше, возникает естественный вопрос: какие (L, f, g)-MeTpHKH изо-
метричны между собой, а какие — нет?
Введем теперь следующие операции ai, 7 над (L, /, g)-MeTpHKaMH:
ai (L, f(x), g(y)) = (b, f (a? + , g(j/)J ,
7(L, f(x), g(y)) = L2g(Lx), L2f(Ly)} .
\ J-J /
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
111
Каждая из этих операций является инволюцией, а порожденная ими группа изо-
морфна группе симметрий квадрата.
Теорема 2.22 (В. С. Матвеев). Две метрики: (L, f, g)-MempuKa и (L. f, g)-
метрика изометричны в том и только в том случае, когда они переводятся друг
в друга композициями преобразований ai и у.
Доказательство.
Утверждение будет доказано, если мы дадим ответ на следующий вопрос.
Пусть фиксирована некоторая (L, /, ^-метрика. Сколькими различными спосо-
бами ее можно представить в виде (L, /, ^-метрики? Это означает, что долж-
но найтись накрытие сферы тором, разветвленное в четырех точках и такое,
чтобы на торе существовали такие координаты и и v, чтобы в них поднятая
наверх метрика, уже имеющая здесь 4 точки вырождения, записалась в ви-
де (/(u) + g(i>)) (d?/2 + dv2).
Если такое накрытие уже задано и такие глобальные лиувиллевы координа-
ты уже выбраны на торе, то тройка (L, /. g) тем самым уже однозначно опре-
делена. Таким образом, весь произвол в записи метрики сводится к произволу
в построении накрытия и к произволу в выборе лиувиллевых координат на то-
ре. Однако произвола в выборе накрытия на самом деле нет. Дело в том, что
разветвленное двулистное накрытие над тором с четырьмя точками ветвления
определено с топологической точки зрения однозначно. А именно, любые два
таких накрытия, с фиксированными на сфере точками ветвления, топологичес-
ки эквивалентны в том смысле, что переводятся друг в друга гомеоморфизмом
тора. При этом такой гомеоморфизм проектируется на базу в тождественное ото-
бражение. Более того, любые два таких накрытия, с учетом того, что в точках
ветвления они локально устроены как возведение в квадрат: w = z2, эквива-
лентны и в гладком смысле, т. е. описанный выше гомеоморфизм тора можно
заменить на диффеоморфизм тора. Осталось пояснить, почему точки ветвления
можно считать фиксированными, т. е. однозначно определенными для данной
метрики. В локальной теории было доказано, что квадратичный интеграл, когда
он существует, в действительности определен однозначно, с точностью до посто-
янного множителя. Но точки ветвления были как раз теми точками, в которых
интеграл, как квадратичная форма на касательной плоскости к сфере, оказывал-
ся пропорциональным гамильтониану. Следовательно, при заданном гамильто-
ниане, т. е. при заданной метрике, точки ветвления определяются однозначно.
Таким образом, весь произвол в записи метрики сводится к произволу в вы-
боре глобально лиувиллевых координат на накрывающем торе. При исследовании
случая тора мы уже ответили на этот вопрос, указав четыре операции at, /3, у, 6.
Осталось отобрать из них только те, которые отвечают рассматриваемой сейчас
ситуации.
Первая операция имела вид аь и заключалась в сдвиге аргумента функции f
на произвольное вещественное число Ь, т. е. можно было сдвигать начало отсчета
аргумента. Но в нашем случае есть дополнительное условие на функцию /, а
именно, /(0) = 0. Следовательно, сдвигать можно лишь на расстояние до следу-
ющего нуля функции f, каковым является i. Таким образом, первая операция а
имеет тот самый вид, который и был заявлен в теореме 2.22.
112
Глава 2
Следующая операция /3 здесь нас не интересует, так как она действует тут
как тождественное преобразование. Напомним, что функция g у нас четная.
Операция у в точности соответствует операции 7, описанной в теореме 2.22.
Она меняет местами координаты и и v.
Последняя операция б была связана с неоднозначностью разложения функ-
ции f(u) + g(u) в сумму /(и) + с и g(v) — с. Но в нашем случае этой неодно-
значности нет (см. выше), так как имеется еще одно дополнительное условие:
минимум функции f равен нулю и минимум функции g равен нулю. Следова-
тельно. в нашем случае функция f(u) + g(v) однозначно представляется в виде
суммы /(ад) и g(v). Теорема 2.22 доказана.
Эта же теорема может быть доказана несколько иначе. Выше мы изложили
способ приведения данной метрики с квадратично интегрируемым геодезичес-
ким потоком к виду (£, /, ^-метрики. Он был не вполне однозначен. А именно,
изначально был неоднозначен выбор интеграла (с точностью до вещественного
множителя), а потому и функция R(z) была определена неоднозначно, с точнос-
тью до умножения на вещественное число. Кроме того, мы отправили на бес-
конечность один из 4-х корней функции R(z). В остальном произвола не было.
Как этот произвол влияет на запись метрики в виде (L, /, ^-модели? Можно
проверить, что умножение функции R{z) на —1 дает перестановку координат и
и v в (L, /, ^-модели, т.е. как раз преобразование 7 (см. выше). А произвол в
выборе корня, отправляемого на бесконечность, приводит к сдвигу решетки Г
полюсов на один из трех следующих векторов: (i, о), (о, Первый
сдвиг моделируется операцией ai, а два других — композициями операций а
и 7. А именно, сдвиг на I 0, ) — это композиция 7(01)7, а сдвиг на (i, ) —
задается композицией 7(01)7(01).
Следствие. Множество всех гладких метрик на сфере, обладающих линейно и
квадратично интегрируемыми геодезическими потоками, линейно связно. Други-
ми словами, для любых двух метрик такого вида G± и всегда существует
гладкая деформация метрики Gi (е указанном классе), в результате которой
получается метрика, изометричная метрике G^.
Доказательство.
В силу теоремы 2.21 все квадратично интегрируемые метрики кодируются,
с точностью до изометрии, параметрами (L, /, g). Ясно, что это пространст-
во параметров линейной связно. Линейно интегрируемые метрики кодируются
одним параметром /. Это пространство тоже, очевидно, связно. Далее, любую
квадратично интегрируемую метрику можно, сохраняя квадратичную интегри-
руемость, гладко продеформировать в метрику трехосного эллипсоида. С другой
стороны, любую линейно интегрируемую метрику можно, сохраняя линейную
интегрируемость, продеформировать в метрику эллипсоида вращения. Ясно, что
деформируя трехосный эллипсоид (в классе всех эллипсоидов) в эллипсоид вра-
щения, мы и превращаем квадратично интегрируемую метрику в линейно интег-
рируемую. Тем самым доказываем линейную связность объединения линейно и
квадратично интегрируемых метрик. Следствие доказано.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях
113
2.5.4. Случай проективной плоскости
Классификация линейно и квадратично интегрируемых геодезических пото-
ков на проективной плоскости была получена В. С. Матвеевым [115].
Опишем класс метрик на Ш1Р2, допускающих линейный интеграл. Для это-
го представим RP2 в виде фактор-пространства S2/2г, где сфера S2 представ-
лена как пополненная комплексная прямая С + {оо}, а инволюция т имеет
вид т(г) = — i. Ясно, что эта инволюция не имеет неподвижных точек на сфере.
Рассмотрим на сфере S2 = С+ {оо} метрику вида
ds2 = / (|z|2) dz dz.
где /(t) — гладкая положительная функция на полуоси [0, оо), удовлетворяющая
/(1/0
дополнительному условию /(£) =
Оно означает в действительности, что
указанная метрика инвариантна относительно инволюции т и, следовательно,
определяет некоторую метрику на проективной плоскости.
Определение 2.8. Метрики такого вида на проективной плоскости назовем
/-метриками.
Теорема 2.23 (В. С. Матвеев).
а) Метрика на Ш1Р2 обладает линейно интегрируемым геодезическим потоком
в том и только в том случае, когда она изометрична некоторой /-метрике.
б) Две такие метрики, т. е. f -метрика и f-метрика, изометричны в том и
только в том случае, когда функции / и / тождественно совпадают.
Доказательство.
Указанные /-метрики действительно линейно интегрируемы. Линейный ин-
теграл на сфере можно представить (см. выше) как векторное поле вида
ор
где р — стандартная угловая координата на сфере. Видно, что это поле инвари-
антно относительно инволюции т, поэтому корректно проектируется на RP2 в
гладкое векторное поле. Получаем линейный интеграл /-метрики на RP2.
Обратно, пусть имеется произвольная гладкая линейно интегрируемая мет-
рика на BLP2. Поднимая ее на сферу, получаем линейно интегрируемую метрику
на сфере. Структура таких метрик полностью описывается теоремой 2.20. Дру-
гими словами, существует глобальная конформная координата z = х + iy такая,
что поднятая метрика имеет вид /(х2 +y2)(dx2 -\-dy2). Нам осталось понять, как
устроена инволюция относительно этих координат. Она обязана сохранять ука-
занную метрику, в частности, вид ее конформного множителя. Но все такие пре-
образования мы уже знаем, они были описаны при доказательстве теоремы 2.20.
Они имеют вид либо az, либо az, либо ®, либо ]|. Но поскольку нас интересует
лишь инволюция без неподвижных точек и меняющая ориентацию, то остается
только т(г) = — = , где а > 0 — вещественная постоянная. Если а / 1, то сделаем
114
Глава 2
замену координат z = a^w. Тогда инволюция т(г) = — превратится в инво-
люцию r(w) = —=. Нужное требование на функцию / вытекает из условия ее
сохранения этой инволюцией. Пункт а теоремы доказан.
Докажем пункт (б). Пусть на RP2 заданы изометричные /-метрика
и /-метрика. Поднимем их на сферу и получим там две изометричные линейно
интегрируемые метрики. Согласно теореме 2.20, две такие метрики, отвечающие
функциям / и /, изометричны в том и только в случае, когда:
либо / = a/(t),
для некоторого положительного числа а. Рассмотрим первый случай. Тогда
функции / и / должны удовлетворять таким соотношениям:
/(-)
Из этих трех условий вытекает еще одно соотношение на функцию / (аналогич-
ное условие получается, конечно, и для /):
а2/(*)=/(ЧУ
\а /
Это возможно только в том случае, когда а = 1. Но тогда первое из указанных
соотношений / = af(t) превращается в тождество / = /, что и требовалось
доказать.
f(a/t) fit)
Аналогично разбирается и случай второго соотношения --Он
сразу сводится к первому случаю, поскольку есть дополнительное соотношение
— f(t). Из этих двух соотношений получается, что / — aflt). Этот
t2 \а /
случай уже разобран. Таким образом, снова получаем, что обязательно / = /.
Тем самым пункт (б) доказан. Теорема полностью доказана.
Замечание. На самом деле в основе этого доказательства лежит простой факт, объяс-
няющий, почему в случае сферы функции / и / могут быть различны, а в случае RP2
они обязаны совпадать. Дело в том, что у нас здесь есть дополнительное условие: ин-
волюция на сфере обязана иметь вид r(z) = — = . Этим условием та система координат,
в которой мы записываем метрику в конформном виде, будет жестко определена. И
никаких возможностей для ее деформации с помощью растяжения с коэффициентом а
не остается.
Интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхностях 115
Опишем теперь метрики квадратично интегрируемых геодезических пото-
ков на ВР2. Выше мы представили сферу как фактор-пространство тора по ин-
волюции т и ввели класс (L, f, ^-метрик вида
ds2 = (/(ж) + g(y))(dx2 + dy2),
где функции fug удовлетворяют условиям (а), (б), (в) (см. выше). Предста-
вим RP2 в виде фактор-пространства сферы, задав на ней инволюцию т, а имен-
но:
У)- ( Р у)) ^^2 О' 2 ’ 2 ^0 '
Здесь точку сферы мы понимаем как пару эквивалентных точек тора. Легко
убедиться, что инволюция т не имеет неподвижных точек на сфере и меняет
ориентацию. Эту инволюцию, впрочем, можно поднять до инволюции на накры-
вающем торе, коммутирующей с а. Легко видеть, что S2/t ~ RP2. Отберем
теперь из множества всех (L, /, £)-метрик те из них, которые инвариантны от-
носительно инволюции т. Рассмотрим те функции f и g, для которых
f(x) +g(y) = - ж) + +у)-
Отсюда сразу следует, что f(x) = и g(y) = Учитывая четность
функции f (см. условие (а)), получаем, что /(ж) = f(x — Таким образом,
условие инвариантности метрики относительно инволюции т означает, что / и g
должны иметь периоды и соответственно.
Замечание. В аналитическом случае условие периодичности функции / с периодом
и функции g с периодом у автоматически выполнено. Об этом мы говорили при об-
суждении условия (в) для сферы в аналитическом случае. Поэтому в аналитическом
случае никаких дополнительных условий на функции f и g не возникает. В частнос-
ти, если геодезический поток на сфере аналитичен и квадратично интегрируем, то на
сфере всегда существует инволюция без неподвижных точек, меняющая ориентацию и
являющаяся изометрией данной метрики.
Определение 2.9. Метрику на проективной плоскости назовем (L, /, g)-мет-
рикой, если при поднятии на сферу она становится метрикой вида (L, /, g), где
функции / и gудовлетворяют прежним условиям (а), (б), (в) (см. выше) и, кроме
того, должны быть периодичны с периодом 1 для /(ж) и периодом у для g(y).
Теорема 2.24 (В. С. Матвеев).
а) Гладкая метрика на проективной плоскости обладает квадратично интег-
рируемым геодезическим потоком в том и только в том случае, когда она
изометрична некоторой (L, /, g)-метрике на IKLP2 при подходящих пара-
метрах L, /, g.
116 Глава 2
б) Две метрики такого вида, т. е. [L, /, g)-метрика и (L, /, g)-метрика, изо-
метричны в том и только в том случае, когда:
1) либоЬ = Ь, f = f, g=g,
2) либо L = j, f(x) = L2g(Lx), g(y) = L2f(Ly).
1J
Доказательство.
Начнем с пункта (а). Поднимая с RP2 на сферу квадратично интегрируе-
мую метрику, мы получаем на сфере снова квадратично интегрируемую мет-
рику. Степень интеграла не может понизиться до единицы, потому что в про-
тивном случае он превратился бы в Но этот линейный интеграл, очевидно,
сохраняется инволюцией г, а, следовательно, и исходный интеграл сводился бы к
линейному, что не так. При этом квадратично интегрируемые метрики на сфере
мы уже описали, и они имеют вид (L, /, ^)-метрик с соответствующими услови-
ями на функции f и g. Нам нужно показать, что инволюция т' на накрывающем
сферу торе имеет относительно лиувиллевых координат для поднятой метрики
тот самый вид, который был описан выше, а именно:
т'(х, у) = Q -х, | +0.
Такой вид инволюции вытекает из того, что инволюция т должна удовле-
творять одновременно трем условиям. Первое — что она меняет ориентацию.
Второе — она не имеет неподвижных точек. Третье — сохраняет метрику и, в
частности, (£, /, ^-представление. Поэтому явный вид инволюции может быть
легко получен с помощью теоремы 2.22.
Периодичность функций f и g, с периодами | и соответственно, теперь
сразу вытекает из инвариантности (L, /, ^-метрики на сфере относительно ин-
волюции т.
Докажем теперь пункт (б). Пусть две метрики: (L, /, ^-метрика и
(L, f, ^-метрика изометричны на RP2. Тогда соответствующие им метрики,
получающиеся поднятием на сферу, тоже изометричны. Но на сфере мы уже до-
казали, что тогда они получаются друг из друга цепочкой операций двух видов:
сп и 7. Первая из них, т. е. операция а^, становится в нашем случае тривиаль-
ной, так как функция f является периодической с периодом как раз i. Остается
лишь операция 7, что и утверждается в пункте (б) теоремы.
Теорема доказана.
Глава 3
Лиувиллева классификация интегрируемых
геодезических потоков на двумерных
поверхностях
В этой главе мы изложим результаты Е.Н. Селивановой [172], [368], В. В.Ка-
лашникова (мл.) [76], Нгуен Тьен Зунга, Л. С. Поляковой [140], [345], В. С. Матве-
ева [115], которые описывают топологию лиувиллевых слоений интегрируемых
геодезических потоков на двумерных поверхностях. Мы начнем с простейшего
случая глобально лиувиллевых метрик на двумерном торе, в котором структура
слоения Лиувилля, с одной стороны, является наиболее естественной, а с дру-
гой — служит хорошей моделью для описания всех остальных случаев. Как мы
увидим ниже, интегрируемые геодезические потоки на двумерных поверхнос-
тях во многом похожи. Однако каждый класс таких потоков выделяется среди
остальных некоторыми специфическими свойствами лиувиллева слоения. Сле-
дуя общей конструкции, которой мы придерживаемся в нашей книге, мы будем
формулировать окончательный ответ в терминах меченых молекул.
3.1. Лиувиллева классификация интегрируемых
геодезических потоков на торе
Рассмотрим на двумерном торе Т2 риманову метрику ds2 с линейно или
квадратично интегрируемым геодезическим потоком. Прежде всего, мы хотим
выяснить, при каких условиях особенности соответствующего лиувиллева слое-
ния являются невырожденными, или, что то же самое, когда интеграл геодези-
ческого потока является функцией Ботта на изоэнергетической поверхности.
Для простоты мы рассмотрим случай глобально лиувиллевой метрики, т. е.
обладающей глобальными периодическими координатами (ж, у) (с периодами 1
и L соответственно), в которых метрика имеет вид
ds2 = (/(ж) + g(y)) (dx2 + dy2),
где f(x) и g(y) — гладкие строго положительные периодические функции с пе-
риодами соответственно 1 и L.
Гамильтониан геодезического потока, отвечающего метрике ds2, имеет вид
п_ Р^+Р2у
+g(yY
где (х, у, рх, ру) — стандартные координаты на кокасательном расслоении Т*Т2,
118
Глава 3
а квадратичный интеграл задается формулой
. g^Px -
У, Рх, Ру) = —7———
/(ж) + g(y)
Если одна из функций / или g является константой, то геодезический поток
обладает линейным интегралом F = рх или F =ру соответственно.
Предложение 3.1. Интеграл F является боттовским на изоэнергетической
поверхности {Н = const} в том и только в том случае, когда каждая из функ-
ций f(x) и g(y) является либо функцией Морса, либо константой.
Доказательство.
Пусть сначала функции f и g не являются константами. Если мы фиксиру-
ем уровень энергии Н = h, то получим изоэнергетическое 3-многообразие Q^,
диффеоморфное трехмерному тору Т3, на котором в качестве локальных коор-
динат можно выбрать либо (ж, у, рх), либо (ж, у, ру). Ограничивая интеграл F
на изоэнергетическую 3-поверхность Q — {Н — 1}, получаем либо функцию
F\Q =Рх- f(x)
в координатах (ж, у, рх), либо функцию
F\q = ~Ру +ё(У)
в координатах (ж, у, ру).
Следовательно, критические точки функции F|q — это в точности точки
вида:
(ж — критическая точка функции /(ж), у произвольно, рх =0),
либо
(ж произвольно, у — критическая точка функции g(y). ру = 0).
Отсюда ясно, что особенность интеграла F на Q является боттовской тог-
да и только тогда, когда особенности функций f и g соответственно являются
морсовскими.
Рассмотрим теперь случай, когда одна из функций, например, /(ж) является
константой. Без ограничения общности мы будем считать, что /(ж) = 0. В этом
случае линейный интеграл F имеет вид рх. При ограничении на изоэнергетичес-
кую поверхность Q3 = {Н = 1} получаем
F\q = Рх В системе координат (ж, у, рх),
либо
= ±^/g(y) — р'у в системе координат (ж, у, ру).
Дело в том, что р^. + р^ = g(y) на 3-поверхности Q3.
Критическими точками линейного интеграла F в этом случае, очевидно,
будут точки вида:
(ж произвольно, у — критическая точка функции g(y), ру = 0).
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
119
Точка такого вида является невырожденной для интеграла F на Q тогда
и только тогда, когда критическая точка у является невырожденной для функ-
ции g(y).
Наконец, в исключительном случае, когда обе функции fug равны кон-
станте, мы получаем плоскую метрику. Легко видеть, что любой ее линейный
интеграл имеет в качестве множества критических точек на Q3 несвязное объ-
единение двух невырожденных двумерных торов, которые перестают быть кри-
тическими при замене линейного интеграла. В итоге слоение Лиувилля представ-
ляет собой тривиальное расслоение, без особенностей, над окружностью со слоем
тор.
Утверждение доказано.
Замечание. Если из функций f и g только одна является константой, то мы получаем
линейно интегрируемый геодезический поток. Если же обе функции fag — констан-
ты, то метрика ds2 является плоской (ее геодезический поток, очевидно, тоже линейно
интегрируем). Легко проверить, что в этом случае линейный интеграл в качестве не-
вырожденных критических подмногообразий имеет два двумерных тора.
Замечание. Утверждение справедливо для произвольных линейно и квадратично ин-
тегрируемых геодезических потоков. Напомним, что они отличаются от простейшего
случая, рассматриваемого нами, только тем, что базис решетки Г, отвечающей тору Т2,
перекошен относительно лиувиллевой системы координат (ж, у).
Опишем формальное построение молекулы W для интегрируемых геодези-
ческих потоков на торе. Рассмотрим сначала случай глобально лиувиллевой мет-
рики, предполагая, что функции f и g являются функциями Морса.
Ясно, что топология лиувиллева слоения полностью определяется этими
функциями. Мы начнем с того, что сопоставим каждой из них некоторое мо-
дельное слоение на двумерные торы, из которых затем будет склеено глобальное
расслоение на торы изоэнергетической поверхности в целом.
Рассмотрим изоэнергетическую поверхность Q3 = {Н = 1}, которая с то-
пологической точки зрения представляет собой тривиальное 5'1-расслоение над
тором Т2. Слой представляет собой окружность, лежащую в кокасательной плос-
кости, поэтому в качестве локальной координаты на нем можно взять либо рх,
либо ру. В результате в качестве локальных координат на изоэнергетической
поверхности можно взять либо тройку (ж, у, рх), либо тройку (ж, у, ру). Легко
проверяется, что интеграл F, записанный в этих координатах, приобретает один
из следующих двух видов:
f\q =Р2х~ f(F) (в координатах (ж, у, рх)),
F\q = -р2у + g(y) (в координатах (ж, у, ру)).
Возьмем для определенности второй случай: F = —p2u+g(y). Рассмотрим эту
функцию как функцию на плоском кольце, где в качестве угловой координаты
взята переменная у, а в качестве радиальной координаты взята координата ру.
См. рис. 3.1. Будем считать, что срединная окружность кольца отвечает значе-
нию Ру = 0. В результате график функции — р2 + g(y) можно интерпретировать
как горный рельеф на кольце, критические точки которого — это в точности
120
Глава 3
критические точки интеграла F. См. рис. 3.2а. Его можно описать еще и так.
Нужно взять график функции g(y) на отрезке [0, L] и превратить его в линейный
горный рельеф, как условно показано на рис. 3.2b. После этого нужно свернуть
отрезок в окружность, в результате чего линейный горный рельеф свернется в
кольцевой горный рельеф, т. е. заданный на кольце. См. рис. 3.2а.
Рис. 3.1
Рис. 3.2
Отметим, что нас интересует только область, соответствующая положитель-
ным значениям функции F, т. е. находящаяся выше уровня моря. Другими сло-
вами, мы рассматриваем кольцо переменной толщины Р = {g(y) — Ру 0}.
Рис. 3.3
Линии уровня горного рельефа (т. е.
функции F = —р? + g(yX) задают на коль-
це Р слоение с морсовскими особенностя-
ми, описываемое некоторой молекулой W (g)
с двумя свободными концами, отвечающи-
ми краям кольца. Рассмотрим теперь пря-
мое произведение этого одномерного слое-
ния на окружность. В результате мы полу-
чим некоторое слоения Лиувилля на трех-
мерном многообразии Р х S1, которое ес-
тественно называть слоением типа прямого
произведения. Соответствующая ему моле-
кула, очевидно, совпадает с молекулой W(g),
отвечающей функции Морса двух перемен-
ных F = -pl+g(yX
Пусть все критические окружности это-
го слоения Лиувилля имеют одинаковую ориентацию, тогда соответствующие
метки г и г на ребрах молекулы легко описываются: все е-метки равны единице,
все r-метки на ребрах между двумя седловыми атомами равны бесконечности,
а между седловыми атомами и атомами типа А равны нулю. Итак, по функ-
ции g мы построили некоторое лиувиллево слоение типа прямого произведения
и полностью описали соответствующую молекулу с метками.
Совершенно аналогично мы поступим и с функцией f(x). В результате по-
лучим некоторую, вообще говоря, другую молекулу ТУ(/), но также с двумя
свободными концами.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
121
Структуру молекул ТУ(/) и W(g) можно
описать более подробно. Опишем, например,
построение графа W(J). Возьмем график пе-
риодической функции /(ж) на отрезке [0,1] и
рассмотрим область, лежащую под графиком
функции и ограниченную снизу осью Ох. Рас-
слоим ее на отрезки горизонтальными линия-
Рис. 3.4
ми, то есть линиями / = const. См. рис. 3.3. Каждому такому отрезку соот-
ветствует связная компонента линии уровня функции р2г — f(x), заданной на
кольце. Единственным исключением является семейство отрезков, расположен-
ных ниже глобального минимума функции /(ж) на отрезке [0,1]. Подчеркнем,
что такие отрезки обязательно есть, поскольку функции fug положительны, а
потому их глобальные минимумы строго больше нуля. Каждому такому отрезку-
уровню f = с соответствуют две связные компоненты
Рх ~ f(.x) = ~с, заданной на кольце.
Теперь каждый из построенных выше отрезков со-
жмем в точку. А каждому из отрезков, расположенных
ниже глобального уровня функции /(ж), сопоставим не
одну точку, а две. Ясно, что в результате область (рас-
положенная между графиком функции /(ж) и горизон-
тальной осью) превратится в граф, являющийся дере-
вом (см. рис. 3.3) и совпадающий с графом Риба функ-
ции — /(ж), заданной на кольце.
Внутренние вершины графа отвечают локальным
минимумам (одному или сразу нескольким) функ-
ции /(ж), заданной на окружности, а его концевые вер-
шины — локальным максимумам этой функции. Те-
перь поместим в каждую вершину этого графа некото-
линия уровня функции
Рис. 3.5
рый атом. Концевые вершины графа заменим атомами А. Внутренние вершины
графа, кроме вершины, отвечающей глобальному минимуму функции /, соот-
ветствуют атомам вида Vk- Здесь 14 — плоский атом, показанный на рис. 3.4.
Здесь к обозначает число его вершин, совпадающее с числом локальных макси-
мумов, которых касается соответствующий горизонтальный отрезок на графике
функции /. Плоский атом Рт, отвечающий глобальному минимуму функции /
(на соответствующем отрезке-уровне может лежать несколько точек глобаль-
ного минимума), имеет вид, показанный на рис.3.5. Здесь т — число точек
глобального минимума функции /. В качестве примера на рис. 3.3 показана мо-
лекула JV(/) для функции /, график которой изображен на том же рисунке.
Отметим, что каждый из графов JV(/) и IT(g) является деревом.
Теперь мы построим некоторую новую молекулу W, взяв по два экземпляра
молекул W(/) и 11’(л) и склеив их свободные концы крест накрест, как показано
на рис. 3.6а.
В простейшем случае, когда функции fug имеют ровно по одному миниму-
му и максимуму, полная молекула W имеет вид, показанный на рис. 3.7. Здесь
атом Pi совпадает с атомом В.
122
Глава 3
п-о
Рис. 3.6
В случае метрики, геодезический
поток которой обладает линейным ин-
тегралом, поступим так. Для определен-
ности будем считать, что функция /(ж)
обращается в тождественный ноль. Тог-
да отвечающую ей молекулу W (/) мож-
но считать тривиальной, то есть состо-
ящей просто из отрезка с двумя свобод-
ными концами. После этого конструк-
ция повторяется дословно, и построение
молекулы W сводится к склейке между
собой двух экземпляров молекулы W(g). Ясно, что W будет иметь вид, показан-
ный на рис. 3.6b.
Теорема 3.1 (Е. Н. Селиванова).
а) Пусть метрика ds2 на торе Т2 является глобально лиувиллевой (т. е.
(L, f, g, (\)-метрикой в обозначениях предыдущей главы). Тогда соответ-
ствующая ее геодезическому потоку меченая молекула W* имеет вид, по-
казанный на рис.3>.§а, а метки задаются следующим образом. Все четы-
ре ребра a,, b, с, d, а также все ребра, содержащие атом А, несут на себе
метку г, равную нулю. Все остальные ребра имеют метку г = оо . Все
метки rif. равны нулю, а все метки Ei равны 1.
б) Пусть геодезический поток метрики ds2 на торе Т2 линейно интегрируем
(т.е. ds2 представляет собой (g,t,L)-метрику в обозначениях предыдущей
главы). Тогда соответствующая ее геодезическому потоку меченая моле-
кула W* имеет вид, показанный на рис. 3.66, а метки задаются следующим
образом. Все ребра, не содержащие атома А, несут на себе метку г = оо.
Ребра же, содержащие атом А, несут на себе метку г = 0. Единственная
имеющаяся семья имеет метку п, равную нулю. Метки е на ребрах а и Ъ
равны — 1, а на всех остальных ребрах е = +1.
Аналогичное утверждение справедливо и для оставше-
гося случая конечнолистно лиувиллевых метрик. С точки
зрения молекулы, меняются лишь метки на ребрах а, b, с, d.
Теорема 3.2 (В. В. Калашников (мл.)). Пусть ds2 —
конечнолистно лиувиллева метрика на торе (т. е.
/, g, Д) -метрика (fc 0) в обозначениях предыдущей
главы). Тогда соответствующая ее геодезическому потоку
меченая молекула W* имеет вид, показанный на рис. 3.8,
а метки задаются следующим образом. Все ребра, содержа-
щие атом А, несут на себе r-метку, равную нулю. Ребра Ъ, с
снабжены г-меткой, равной а ребра a, d снабжены г-меткой, равной Все
остальные ребра имеют метку г = оо. Все метки nk равны —1, а все метки е»
равны 1.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
123
Теоремы 3.1 и 3.2 тем самым дают полную
лиувиллеву классификацию всех квадратично и
линейно интегрируемых геодезических потоков
на двумерном торе.
Доказательство теоремы 3.1.
Начнем со случая квадратично интегрируе-
мого геодезического потока. Рассмотрим 3-мно-
гообразие Q = {Н = 1}. Оно диффеоморф-
но трехмерному тору и имеет естественную
структуру тривиального 51-расслоения над то-
ром Т2. Рассмотрим поверхность уровня F = О
Рис. 3.8
на Q. Легко проверяется, что все критические точки функции F лежат вне 2-по-
верхности {F = 0}. Следовательно, уровень {F = 0} — неособый, а потому
состоит из некоторого числа регулярных торов Лиувилля. Их четыре, и они за-
даются следующими явными формулами:
Та = {рх = + v7M> Ру =
Ть = = +v7M Ру =
Те. = {Рх = Ру = + уШ},
Td = {рх = -у/7(х), Ру = -vW)}-
Каждый из этих 2-торов диффеоморфно проектируется на базу Т2, посколь-
ку для произвольной точки (ж, у) е Т2 по указанным формулам однозначно
восстанавливаются значения рх и ру.
Рис. 3.9 Рис. 3.10 Рис. 3.11
Удобно изобразить линии уровня функции F(x. у, рх, ру) в каждой каса-
тельной 2-плоскости к тору (рис.3.9). Из явной формулы для F сразу видно,
что нулевая линия уровня — это пара пересекающихся прямых, а каждая нену-
левая — это две ветви гиперболы. При этом четыре тора, образующие поверх-
ность нулевого уровня функции F, изображаются на рис. 3.9 четырьмя точками
на окружности {Н = 1} в касательной 2-плоскости к тору. Они обозначены соот-
ветственно а, Ь, с, d. Эти же обозначения мы сохраним и для соответствующих
ребер молекулы, на которых лежат эти торы.
124
Глава 3
Четыре тора Т£, Т^, нулевого уровня разбивают Q на четыре связ-
ных куска Qi, Qu, Qui, Qiv (рис.3.10), соответствующих четырем дугам, на
которые точки a, b, с, d разбивают окружности {Н = 1} в касательной плоскос-
ти. Каждый из этих 3-кусков устроен очень просто. Это — прямое произведение
2-тора на отрезок. Граница каждого из 3-кусков — это два тора. Их попарные
склейки также изображены на рис. 3.11. Правило склейки однозначно извлекает-
ся из рис. 3.10.
Каждый из кусков Qi, Qu, Qin, Qiv расслоен на торы Лиувилля. Сразу
отметим, что слоения Лиувилля на Qj и Qu устроены одинаково. В самом деле,
для проверки достаточно рассмотреть диффеоморфизм
(ж, у, рх, Ру) -> (ж, у, -рх, -Ру),
который переводит слоение в слоение. Этот диффеоморфизм просто меняет на-
правление каждой геодезической на противоположное. Аналогичное утвержде-
ние справедливо и для кусков Qin и Qiv. Посмотрим теперь, как устроено сло-
ение Лиувилля на каждом из этих кусков. Возьмем, к примеру, Qi. Из рис. 3.10
видно, что в качестве глобальных координат на этом 3-многообразии с краем
можно взять (х, у, ру). Тогда интеграл F запишется на Qi в виде F = —ру + g(y).
Поскольку координата х не участвует в явной записи функции F, то слоение на
торы Лиувилля, возникающее на Qi, имеет тип прямого произведения и задается
молекулой PT(g), описанной выше.
Рассуждая аналогично, получаем, что 3-куску Qn отвечает та же молеку-
ла IP(g). А нижним кускам Qin и Qiv отвечают изоморфные между собой
молекулы W(f). Таким образом, мы доказали, что молекула W склеена из двух
экземпляров ТУ(/) и jy(g), как показано на рис. 3.6. Следовательно, молекула W
(пока еще без меток) имеет требуемый вид.
Найдем теперь метки. Начнем с 3-кусков Qi, Qn, Qin, Qiv, т. e. с моле-
кул Ж(/), W(g). Утверждение о r-метках, стоящих на внутренних ребрах этих
кусков, сразу следует из того, что слоение Лиувилля имеет здесь тип прямого
произведения. Условие е = 1 эквивалентно тому, что все критические окружнос-
ти в рассматриваемых слоениях имеют одинаковую ориентацию. Чтобы в этом
убедиться, в случае Qi достаточно проверить, что производная угловой коорди-
наты х вдоль потока sgrad Л имеет один и тот же знак. Эта производная легко
вычисляется:
Mt) = дН_= 2рж
dt дрх f(x)+g(y)'
Остается заметить, что в рассматриваемом куске Qi значение рх всюду
положительно.
Перейдем теперь к ребрам a, b, с, d молекулы W. Чтобы вычислить отве-
чающие им метки, следует выписать матрицы склейки относительно некоторых
допустимых систем координат на торах Т%, Т£, Т?, Т%. Опишем эти допусти-
мые системы координат. Рассмотрим, например, кусок Qt. Он имеет тип пря-
мого произведения Pi х S1. Здесь S'1-слои задаются соотношениями (ру = const,
у = const, х = t), a Pi представляет собой кольцо, которое можно реализовать как
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков 125
глобальное сечение Pj С Qi, задаваемое уравнением х = 0. В качестве первого
базисного цикла на граничных торах Т% и Т% куска Qi мы, согласно определе-
нию, должны взять б^-слой, а в качестве второго цикла — границу сечения Pj
(с учетом ориентации). Легко видеть, что эти циклы являются поднятиями стан-
дартных базисных циклов X = {у = const, х = t} и //, = {ж = const, у = t} с
тора Т2 (напомним, что Т2 и Т& диффеоморфно проектируются на тор Т2). Та-
ким образом, на торах Т2 и Т2 допустимыми системами координат являются
пары циклов (А, у) и (А. — у) соответственно. Замена знака у второго базисного
цикла диктуется стандартным правилом ориентации границы сечения Pj. Анало-
гичным образом легко построить допустимые системы координат на граничных
торах оставшихся кусков и убедиться в том, что матрицы склейки, стоящие на
ребрах a, b, с, d, имеют вид
/0 1А
\1 0/ ’
Отсюда видно, что все r-метки, стоящие на этих ребрах, равны нулю, а е-метки
равны единице.
Легко видеть, что молекула W имеет четыре семьи, отвечающие в точности
кускам Qi, Qu, Qih, Qiv (говоря точнее, для того, чтобы получить семьи, из
этих кусков нужно вырезать полнотория, являющиеся окрестностями устойчи-
вых замкнутых геодезических, т.е. все атомы типа Л). Метки п, соответствую-
щие этим семьям, равны нулю. Чтобы в этом убедиться, достаточно, например,
выписать матрицы склеек на всех остальных ребрах молекулы. Это легко сде-
лать, рассмотрев на каждом ребре допустимые системы координат, связанные
с глобальными сечениями Pi, Рц, Рщ, Piv, аналогично тому, как мы это сде-
лали на ребрах a, b, с, d. В результате все матрицы склейки между седловыми
атомами будут иметь вид
/1 0 А
\0 -1/ ’
а на ребрах, соединяющих седловые атомы с атомами А —
/0
\1 0/ '
Остается применить формулу из определения n-метки. На самом деле можно
обойтись без всяких вычислений, если учитывать топологический смысл метки
п как препятствия к продолжению сечения. Условие п = 0 для семьи Qi, напри-
мер, фактически означает, что на циклы у и — у, лежащие на граничных торах Та
и Ту куска Qi, можно натянуть глобальное сечение тривиального S'1 -расслоения.
Но это очевидно: таким сечением является кольцо Pi.
Первая часть теоремы доказана.
Перейдем к случаю линейного интеграла. Начнем с лиувиллевых метрик на
торе. Такие метрики имеют вид
ds2 = g(y)(dx2 +dy2),
126
Глава 3
где х и у — стандартные угловые координаты на торе. При этом х е [0, 1],
у G [0, £]. Здесь тор получается факторизацией плоскости К2 (ж, у) по целочис-
ленной решетке, порожденной векторами /i = (1, 0) и /2 = (0, £). Напомним,
что функция g(y) является здесь Z-периодической функцией.
При этом гамильтониан Н и интеграл F принимают вид
«(») ’ Рг-
— t----------т—*- Главное отличие от квадратичного случая состоит в
\ р=О / I» Т0М; чт0 нулевая линия уровня интеграла F=0 превраща-
ется здесь в одну прямую в каждой кокасательной плоское-
's ти (рх, Ру) (вместо двух пересекающихся прямых в квадра-
тичном случае). Другими словами, две дуги окружности (из
Рис 3 12 четырех) стягиваются здесь в точку. В результате рис. 3.9
превращается в рис. 3.12. Следовательно, в многообразии Q
два нижних блока Q/j/ и Qjy исчезают (превращаются в
один тор Лиувилля). См. рис. 3.13. Из молекулы W исчезают в результате под-
графы W(J).
Рис. 3.13
Теперь 3-куски Qi и Qu выделяются в Q условиями:
Qi = (рх 0), Qu = (рх 0).
См. рис. 3.12. Эти два 3-блока граничат по двум торам Лиу-
вилля, которые мы обозначим через Та, Ту. А именно,
та = {Рх =®,Ру = + V®}, = {рх = 0, ру = -V®}-
Далее, структура слоения Лиувилля на двух кусках Q/
и Qu такая же, как и в случае квадратичного интеграла.
Рассуждения здесь абсолютно те же, что и выше.
Итак, мы описали молекулу W для случая линейного интеграла. Она пока-
зана на рис. 3.6b. Перейдем теперь к подсчету меток.
На подграфе IT’(g) все метки остаются точно такими же, как и в квадратич-
ном случае, и допустимые системы координат на торах Лиувилля в 3-блоках Qi
и Qu строятся точно так же. См. рис. 3.13. Единственное отличие возникает для
матриц склеек на ребрах а и Ъ. Теперь они принимают вид
-1
0
0\
1) ’
Следовательно, метка г на ребрах а и b равна ос, а метка с на обеих этих
ребрах равна —1. Поскольку ребра а и & несут на себе бесконечную r-метку, то в
данном случае будет только одна семья. Это — вся молекула W, за исключением
атомов А. Метка п легко вычисляется из явно описанного выше оснащения, т. е.
матриц склеек на ребрах молекулы. Она равна нулю.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
127
Однако следует рассмотреть случай перекошенных решеток, порожденных
векторами вида /i = (1, 0) и /2 = (t, L), где t — вещественное число, t € [0, 1].
Такие метрики выше мы называли (g, t, £)-метриками. При 1 = 0 получится уже
разобранный случай.
В случае перекошенных решеток все предыдущие рассуждения проходят без
изменений. Дело в том, что зависимость (g, t, £)-метрики от вещественного па-
раметра t является непрерывной. В то же время ни гамильтониан Н, ни ли-
нейный интеграл F в этом случае от параметра t вообще не зависят. С другой
стороны, меченая молекула W* является дискретным объектом. Следователь-
но, при непрерывном изменении параметра t молекула W* меняться не может.
Отсюда следует, что меченая молекула линейно интегрируемого геодезического
потока на торе, отвечающего (g, t, £)-метрике с перекошенной решеткой, совпа-
дает с меченой молекулой (g, 0, £)-метрики, получающейся из (g, t, £)-метрики
при 1, стремящемся к нулю.
Теорема 3.1 полностью доказана.
Доказательство теоремы 3.2.
Пусть ds2 — конечнолистно лиувиллева метрика на торе Т2. Как мы уже
знаем, эта метрика допускает следующее описание. Рассмотрим на плоскос-
ти К2 (ж, у) метрику
rf.s2 = (/(ж) + g{y)) (dx2 + dy2),
где /(ж) и g(y) — гладкие периодические функции с периодами соответствен-
но 1 и L. В качестве тора Т2 возьмем фактор-пространство К2/Г по решетке Г,
порожденной векторами ei = (m, 0), е2 = (fc, L), где m и k — взаимно простые
натуральные числа.
Поскольку метрика инвариантна относительно сдвигов на элементы этой
решетки, то она индуцирует метрику ds2 на торе Т2 (такая метрика была названа
выше (l, /, g, Д^-метрикой).
Для описания топологии соответствующего лиувиллева слоения нам удоб-
но будет воспользоваться теоремой 2.12 тома 2 (см. выше), согласно ко-
торой существует каноническое накрытие р: (Т2, ds2) —> (Т2, ds2) такое,
что ds2 = р’ДДз2), а метрика ds2 на торе Т2 является глобально лиувиллевой.
В рассматриваемом нами случае в качестве тора Т2 следует взять фактор-про-
странство той же самой плоскости К2 (ж, у) по решетке Г, порожденной вектора-
ми ei = (1, 0), е2 = (0, L). Метрика ds2 на торе Т2 индуцируется естественным
образом периодической метрикой на плоскости.
Вслед за накрытием р для торов Т2 —>Т2 возникает естественное накрытие
изоэнергетических 3-поверхностей Q —> Q, являющееся, очевидно, послойным,
т. е. переводящим слои слоения Лиувилля в слои. Это накрытие устроено очень
просто. Изоэнергетические 3-поверхности Q и Q имеют соответственно вид
Q = T2xS1, Q = T2xS1,
а накрытие р: Q —> Q сохраняет это разложение. Другими словами, на первом
сомножителе оно совпадает с исходным накрытием, а на втором (т. е. на окруж-
ности) является тождественным отображением.
128
Глава 3
Исследуем подробнее структуру накрытия р-. Q —> Q.
Напомним, что структура лиувиллева слоения на 3-многообразии Q полнос-
тью описывается теоремой 3.1. Многообразие Q разбивается на четыре связ-
ные компоненты Qi, Qu, Qui, Qiv Легко видеть, что наверху, т. е. внут-
ри Q, получается аналогичная картина. Это означает, что Q разбивается уров-
нем F = 0 на четыре связные ^компоненты Qi, Qu, Qui, Qiv В частности,
каждый 3-кусок вида Qi, Qu, Qui, Qiv накрывается соответствующим 3-кус-
ком Qi, Qu, Qui, Qiv- ~
Рассмотрим накрытие p: Qi —> Qi. При доказательстве теоремы 3.1 мы
показали, что Qi = Pj X S1, то есть имеет структуру прямого произведения. Не-
трудно видеть, что аналогичную структуру имеет и кусок Qi, т. е. Qi = Pj х S1.
Однако в этом случае сечение Pj удобно задать уравнением х — ку = 0.
Легко проверяется, что при таком подходе накрытие р: Qi —> Qi будет со-
гласовано со структурой прямого произведения. А именно, на первом сомножи-
теле — это диффеоморфизм
а на втором сомножителе (т. е. на окружности) — отображение m-кратной на-
мотки S1 на S1.
Отсюда сразу следует, что структура слоений Лиувилля на Q] и Qj — одна
и та же, и задается уже знакомой нам молекулой W (g).
Аналогичные рассуждения справедливы, конечно, и для остальных 3-кусков
Qu, Qin, Qiv- Таким образом, слоение Лиувилля на изоэнергетической поверх-
ности Q склеивается из четырех кусков, на каждом из которых оно устроено
точно так же, как и в случае глобально лиувиллевой метрики ds2. Поэтому пол-
ная молекула W без учета меток имеет требуемый в теореме вид. Более того,
все метки, отвечающие внутренним ребрам подграфов W(f) и W(g), точно такие
же, как и в случае теоремы 3.1 (т. е. как и в случае глобально лиувиллевых мет-
рик). Отличия появятся лишь для r-меток и е-меток на четырех ребрах a,, b, с, d,
а также для меток вида п.
Чтобы определить оставшиеся метки, нам нужны допустимые системы ко-
ординат на торах Tj, Т2, Tj, Tj,a также соответствующие им матрицы склейки.
Возьмем кусок Q3T и два его граничных тора Tj, Tj. Точно так же, как и при до-
казательстве теоремы 3.1, в качестве базисных циклов на этих торах мы должны
взять слой тривиального №--расслоения на и границу глобального сечения Pj.
Легко видеть, что в рассматриваемом случае этими циклами снова являются
поднятия с тора Т2 циклов, отвечающих базисным элементам ei, e-i решетки Г.
Будем считать, что Л — это поднятие цикла ei, а р — поднятие цикла е2. Тогда
из нашей конструкции следует, что допустимыми системами координат являют-
ся следующие пары: на торе Tj — это (Л, р), а на торе Tj — это (А. — р). Смену
знака у цикла р мы уже комментировали выше при доказательстве теоремы 3.1.
Совершенно аналогично на двух торах Tj, Tj, являющихся граничными
торами 3-куска Qfj, допустимыми системами координат будут соответствен-
но (-А, р) и (—А, —р).
Рассуждения для двух оставшихся кусков Q]n и Qjv аналогичны, однако
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
129
здесь вместо базиса решетки (ei, 62) нужно рассмотреть базис (е'х, е'2), где
= тё^, 62=61+ fc'ea,
где к' — это целое число, однозначно определяемое из условия fc'fe = 1 (mod т),
и 0 < к1 < т. Тогда на торах Т? и Т^, как на граничных торах куска QjI/7
в качестве допустимых систем координат можно взять (А', р') и (Л', — р'), по
аналогии с предыдущим. На торах Т2 и Т%, как на граничных торах куска Q|v,
в качестве допустимых систем координат можно взять (—Л', р') и (—Л', — р')
соответственно. См. рис. 3.14. Все циклы Л, р, А', р' явно выражаются через ба-
зис ei, 62:
А = 77161, р = 62 + кё1 И А' = 77762, р' = 61 + к'ё^.
Теперь можно вычислить матрицы склей-
ки для лиувиллева слоения в Q3. Они легко
пишутся при помощи указанных формул для
циклов. В результате получается следующее.
На торах 72, матрицы склейки такова:
-к
Р
На торах Т£, Т2 матрицы склейки тако-
вы:
Рис. 3.14
Отсюда следует, что r-метки и е-метки на ребрах а, b, с, d такие, как показано
на рис. 3.8.
Осталось найти метки п. В данном случае имеются ровно четыре семьи,
отвечающих двум подграфам Ж(/) и двум подграфам IF(g) или, что то же самое,
четырем кускам Qj, Qn, Qin, Qiv- Рассмотрим, например, кусок Qp. На всех
входящих в него ребрах, кроме ребер а и &, матрицы склейки очень простые.
На внутреннем ребре молекулы, соединяющем пару седловых атомов, матрица
имеет вид:
0
-1J ’
1
О
а на внешнем ребре молекулы, соединяющем седловой атом и атом типа А, мат-
рица склейки такова:
/О 1А
V ’
Видно, что такие матрицы склейки никакого вклада в тг-метку не дают (см.
определение тг-метки). Вклад дают только матрицы склейки на ребрах а, и Ь, ука-
занные выше. Следовательно, метка п вычисляется по формуле (см. определение
выше):
77 = Г —1 + Г— — 1 = —1
W + L гп]
130
Глава 3
Аналогичные рассуждения проходят и для остальных трех семей. В результате
получаем, что на всех четырех семьях метка п равна —1. Теорема 3.2 доказана.
Комментарий. Мы столкнулись здесь с весьма интересным классом интегриру-
емых систем, топологические инварианты которых могут, оказывается, иметь
к
r-метки произвольного вида Подчеркнем, что обычно в интегрируемых сис-
темах встречаются только очень простые г-метки 0, оо.
3.2. Лиувиллева классификация интегрируемых
геодезических потоков на бутылке Клейна
3.2.1. Случай квадратичного интеграла
Напомним, что метрика на бутылке Клейна называется глобально лиувилле-
вой, если при ее поднятии на накрывающий тор получается глобально лиувиллева
метрика на торе.
Напомним описание полного набора метрик на бутылке Клейна, обладаю-
щих квадратично интегрируемыми геодезическими потоками. Рассмотрим две
положительные функции /(ж) и g(y), удовлетворяющие следующим свойствам:
1) /(ж) периодична с периодом и отлична от постоянной,
2) gib) — четная периодическая функция с периодом L и тоже отлична от
постоянной.
Рассмотрим на накрывающей плоскости R2 лиувиллеву метрику (/(ж) +
+ g(y)) (йж2 + dy2). Представим тор Т2 в виде фактора 7?2/Т. где решетка Г по-
рождена векторами
Л = (1,0) и Ь = (0,£).
Рассмотрим на торе инволюцию задаваемую в координатах ж, у следую-
щими формулами:
£(ж, у) = (ж + i, -yj.
Инволюция £ не имеет неподвижных точек на торе и меняет ориентацию.
Несложно проверить, что бутылку Клейна можно тогда представить в виде
К2 — Т2 /£. В силу выбора функций fug, инволюция £ сохраняет метрику
тора. Поэтому эту метрику можно спустить вниз с тора на бутылку Клейна,
факторизуя по действию Получится метрика на К2. Такие метрики задаются
тремя параметрами L, /, g и поэтому были названы выше (£, /, ^-метриками.
Рассмотрим двулистное накрытие тг: Т2 —> К2, отвечающее описанной ин-
волюции. Оно индуцирует двулистное накрытие (которое мы для простоты обо-
значим той же буквой) тг: Q^, —> Q:iK соответствующих изоэнергетических 3-по-
верхностей, отвечающих тору и бутылке Клейна. Ясно, что тг является послой-
ным отображением лиувиллевых слоений на и Qj<. В частности, отсюда сразу
следует, что молекула Wt (описывающая слоение на Q%,) двулистно накрывает
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
131
молекулу Wk (описывающую слоение на Q3K). Инволюция £ с тора Т2 естест-
венно определяет инволюцию на изоэнергетической поверхности Q?. Отображе-
ние тг: Qjr —> Q3K является в действительности факторизацией Q? по действию
этой инволюции. Отсюда следует, что и молекула Wk получается из Wt естес-
\
Рис. 3.15
твенной факторизацией по действию
Легко видеть, что инволюция %, действующая на многообразии диф-
феоморфном 3-тору Т3, сохраняет его ориентацию. Поэтому фактор-многообра-
зие Q3K = снова диффеоморфно 3-тору Т3.
Опишем теперь действие этой инволюции на сло-
ении 3-многообразия Qt более подробно. Структура
этого слоения была описана нами в предыдущем раз-
деле, и соответствующая молекула была изображена
на рис. 3.6а. Условная схема этого слоения показана
также на рис. 3.11. Как мы подробно объясняли вы-
ше, многообразие Qt разбивается на четыре связные
компоненты Qt, Qn, Qin, Qiv- Слоения Лиувилля
на кусках Qi и Qu изоморфны между собой и имеют
тип прямого произведения Р2 х S1, где Р2 является
кольцом с координатами [у, ру), причем у — периодическая координата. На этом
кольце задана функция — р2 + g(y), задающая слоение на Р2 х S1. Инволюция £
действует на Р2 х S1 по формуле:
£ = (У, Ру, х) -> (-у, -Ру, ® + j) •
Здесь х = х (mod 1) — координата на окружности 51. Поскольку функ-
ция g(y) — четная, то инволюция £ сохраняет линии уровня функции — p^+g^y)
на кольце, а следовательно, сохраняет слоение в Qi. Действие инволюции £ на
кольце Р2 показано на рис. 3.15. Кольцо поворачивается вокруг вертикальной
оси на угол тг. Линии уровня переходят в себя, слоение на Qi также перехо-
дит в себя. Следовательно, возникает некоторое слоение на многообразии Qi/S,,
получающемся из Qi факторизацией по действию £. Молекулу, отвечающую
этому слоению, обозначим через !Y(g). Аналогичные события происходят и на
3-многообразии Qu. И здесь получается слоение, описываемое той же молеку-
лой TK(g).
Опишем структуру молекулы ТУ(^). Для этого рассмотрим взаимодействие
инволюции £ с атомами исходной молекулы W(g). Напомним, что атомы здесь
бывают только двух типов: 14 и Рт. Рассмотрим кольцо на рис. 3.15, расслоенное
на линии уровня функции — р2 + g(y), и переберем все возможные случаи дей-
ствия инволюции. Отметим, что неподвижная точка инволюции всегда является
критической точкой функции — р2 + g(y), а следовательно, является вершиной
какого-то атома в слоении Лиувилля.
Случай (а). Ось инволюции проходит мимо атома 14* 5 который переходит в
себя под действием £. См. рис. 3.16а. Ясно, что здесь атом 14* факторизуется и
превращается в новый атом 14. Число его вершин уменьшится ровно вдвое.
Случай (Ъ). Ось инволюции протыкает атом 14*+1 ровно в одной его вершине.
132
Глава 3
При этом атом переходит в себя под действием £. См. рис. 3.16b. Ясно, что в этом
случае атом Vsk+i факторизуется и превращается в новый атом V£, где звездочка
указывает, что у этого атома появилась одна выделенная вершина, которую мы
обозначаем звездочкой. Это — именно та вершина, которая была единственной
неподвижной точкой инволюции £.
Случай (с). Ось инволюции проходит мимо атома P2fe- См. рис.3.16с. При
этом атом P2fe переходит в себя под действием £. В этом случае атом P2j, факто-
ризуется и превращается в новый атом Vk-
Случай (d). Ось инволюции протыкает атом P2j,+i ровно в одной его вер-
шине. См. рис. 3.16d. Тогда атом Pik+i факторизуется и превращается в новый
атом Vfc*, где звездочка означает, что у этого атома появилась ровно одна верши-
на-звездочка.
Случай (е). Ось инволюции протыкает атом Р2^ ровно в двух его вершинах.
См. рис.ЗАбе. Тогда атом Р2^ факторизуется и превращается в новый атом
у которого есть ровно две вершины-звездочки.
Случай (f). Инволюция переставляет местами два изоморфных седловых
атома вида Vj.. См. рис.3.16f. В результате эти два атома превращаются в один
атом Vk.
Случай (g). Инволюция отображает в себя атом А. См. рис. 3.16g. В резуль-
тате атом А превращается при факторизации снова в атом А.
Случай (h). Инволюция переставляет местами два изоморфных атома А.
См. рис. 3.16h. В результате два атома А склеиваются при факторизации в один
атом А. __
Теперь мы можем полностью описать построение молекулы W(g) по мо-
лекуле VT(g). Нужно взять молекулу Hz(g) и рассмотреть на ней инволюцию
Затем, в соответствии с приведенным выше списком правил (а), ... , (ft), нужно
проследить за результатом действия инволюции на всех атомах, составляющих
молекулу llz(g). Факторизуя молекулу llz(g) по действию %, получаем молеку-
лу ТУ(йГ).
Проиллюстрируем этот алгоритм, приведя примеры простейших получаю-
щихся таким образом молекул IF(g). Перечислим все случаи, когда число кри-
тических точек функции — ру + g(y) не более четырех.
Пример 1. Пусть исходная молекула H’(g) включала в себя фрагмент, показан-
ный на рис. 3.17(1). В результате атом В превратится в атом А*, и указанный
фрагмент молекулы превратится в граф, показанный на том же рисунке.
Пример 2. Атом С2 с двумя верхними концами А превращается после фактори-
зации в атом А** с одним верхним концом А. См. рис. 3.17(2).
Пример 3. Атом С2 с двумя верхними концами А превращается после фактори-
зации в атом В с двумя верхними концами А. См. рис. 3.17(3).
Пример 4. Пара атомов В после факторизации превращается в пару атомов А*.
См. рис.3.17(4).
Неподвижные точки инволюции £ на этих рисунках обозначены звездоч-
ками.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
133
Рис 3.17
Рис 3.18
134
Глава 3
Мы изучили лиувиллевы слоения на 3-кусках Qj, Qu. Перейдем теперь к
двум оставшимся кускам Qui- Qiv-
Слоения Лиувилля на кусках Qui и Qiv изоморфны между собой и име-
ют тип прямого произведения Р2 х S1, где Р2 является кольцом с координа-
тами (ж, рж), причем х — периодическая координата. На этом кольце задана
функция р2 — f(x), задающая слоение на Р2 х S1. Инволюция £ действует на
Р2 х S1 по формуле:
С : (1/, Рх, ж) -> (-у, Рх, X + j) .
Здесь у = у (mod Z) — координата на окружности S1. Поскольку функция /(ж)
имеет период то инволюция £ сохраняет слоение, переставляя между собой
два куска Qui и Qiv При этом £ диффеоморфно переводит слоение на Qui
в слоение на Qiv- А поэтому две ветви молекулы W, изоморфные W(f), при
факторизации отождествляются (склеиваются) и дают всего лишь одну ветвь,
изоморфную W(f). Следует отметить, что возникающие здесь молекулы W(f)
не произвольны, а обладают внутренними симметриями, поскольку функция f
имеет период а не 1. Поэтому, если рассматривать функцию р2. — f{x) на
£
кольце Р2, то она должна выдерживать поворот кольца на угол тг. Это приводит к
тому, что молекула W(/) выдерживает некоторую дополнительную инволюцию
и является Ха-симметричной.
п=-1 л=-1
Рис. 3.19
! W)/
Объединяя теперь полученную нами информацию о дей-
ствии £ на всех четырех кусках Qi, Qu, Qui, Qiv, полу-
чаем, что после факторизации по £ исходная молекула W
превращается в молекулу W, показанную на рис. 3.18. Дей-
ствие инволюции £ на исходной молекуле W очень наглядно
видно из рис. 3.18. Нужно повернуть молекулу W относи-
тельно пунктирной оси, показанной на рисунке. При этом
два графа W(/) отождествятся, а каждый из графов W(g)
останется на своем месте, но подвергнется факторизации, в
результате чего здесь появятся два графа W(g).
Итак, мы описали построение молекулы W, отвечающей
заданной квадратично интегрируемому геодезическому по-
току на бутылке Клейна (где обе функции / и g не постоянны).
Теорема 3.3 (В. С. Матвеев). Пусть на бутылке Клейна задана (L, f, g)-ме-
трика (f(x)+g(y))(dx2 + dy2), где функции f и g не постоянны. Изоэнергетичес-
кая ^-поверхность Q диффеоморфно здесь трехмерному тору Т3. Тогда слоение
Лиувилля геодезического потока на изоэнергетической поверхности Q = Т3 зада-
ется молекулой W, построение которой описано выше. См. рис. 3.18. При этом
метки на графе нужно поставить следующим образом.
а) На внутренних ребрах графа W(/) нужно поставить те же метки, что и в
случае тора. А именно, на ребрах между седловыми атомами r-метки рав-
ны бесконечности. На ребрах между седловыми атомами и атомами вида
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
135
А г-метки равны нулю. На двух ребрах, соединяющих граф W(f) с двумя
экземплярами графа W(g), r-метки равны нулю.
б) В графе W(g) метки таковы. На ребрах между седловыми атомами г-мет-
ки равны бесконечности. Между седловыми атомами и атомами типа А
метки г равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом А отвеча-
ет неподвижной точке инволюции £. См. рис.3.16g. В этом случае г-метка
в) Все метки типа е в молекуле W равны +1.
г) В молекуле W имеется ровно три семьи. Одна — это граф W(J), две дру-
гие — это графы W (g). На семье W (/) метка п равна нулю. А на каждой
из семей W (g) метка п равна —1.
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квадра-
тично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис. 3.19.
Доказательство теоремы получается из тех соображений, что слоение Лиу-
вилля для случая бутылки Клейна получается факторизацией по действию инво-
люции £ лиувиллева слоения для случая тора. Мы явно описали выше структуру
этого накрытия. Для нахождения меток нужно вновь рассмотреть допустимые
системы координат и вычислить матрицы склейки по алгоритму, который уже
демонстрировался выше. Мы опустим технические детали.
3.2.2. Случай линейного интеграла
В этом случае метрика на бутылке Клейна имеет описанный выше вид, одна-
ко функция f{x) здесь постоянна. Тогда метрика допускает линейный интеграл
видарж. Как и в предыдущем случае, лиувиллево слоение изоэнергетической по-
верхности Qk для бутылки Клейна получается факторизацией лиувиллева слое-
ния 3-поверхности Qt для тора по действию инволюции £.
В этом случае лиувиллево слоение для
тора имеет вид, показанный на рис.3.20. Из-
ображена соответствующая молекула. Дей- \У (%.)
ствие инволюции £ сводится здесь к поворо- ,
ту молекулы вокруг вертикальной оси. За- / \ / I j —ч,
тем нужно профакторизовать молекулу W I I \ ' I
по действию такой инволюции. Таким обра- .у., , \ (
зом, алгоритм изготовления молекулы ТУ из “
молекулы W точно такой же, как и в квад- молекула /молекула
ратичном случае. В результате получается
молекула, показанная на рис. 3.20.
молекула
на 5упмлке
Клейна.
на торе-
ин-Иолюцая
Теорема 3.4 (В. С. Матвеев). Пусть
на бутылке Клейна задана (L, g) -метрика
Рис. 3.20
136
Глава 3
n=-2
^)\
£=-1 j
, W/
Рис. 3.21
g(y)(dx2 + dy2), где функция g не постоянна. Тогда слоение Ли-
увилля геодезического потока на изоэнергетической поверхнос-
ти Q задается молекулой W, построение которой описано вы-
ше. См. рис. 3.20. При этом метки на графе нужно поставить
следующим образом. На ребре, соединяющем два экземпляра гра-
фа W(g), г-метка равна бесконечности. Метка г на этом ребре
равна в = —1. Внутри графов W(g) метки типа г такие же, как
и в теореме 3.3. Далее, здесь имеется ровно одна семья и отве-
чающая ей метка п равна —2.
Тем самым, получена полная лиувиллева классификация ли-
нейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис. 3.21.
3.2.3. Случай квазилинейного интеграла
В этом случае риманова метрика имеет такой вид, как и в разделе 2.1, но
только функция g(y) здесь равна нулю. Таким образом, получается метрика на
бутылке Клейна, имеющая вид f(x)(dx2 + dy2), где f(x) — положительная глад-
кая функция на отрезке [0, 1] с периодом Интеграл здесь имеет вид р2 то
2 и
есть является квадратичным на бутылке Клейна. Дело в том, что на бутылке
Клейна из него нельзя извлечь квадратный корень, поскольку функция ру не
определена однозначно на всей бутылке Клейна. Объяснение этому простое: на-
верху, то есть на накрывающем торе, функция ру не выдерживает инволюции £,
поскольку под действием £ функция ру меняет знак. Но, поднимая эту метри-
ку с бутылки Клейна на накрывающий тор, мы получаем на торе уже линейно
интегрируемый геодезический поток. Поэтому внизу, т. е. на бутылке Клейна,
геодезический поток этой метрики является квадратично интегрируемым, а его
прообраз наверху, т. е. на торе, уже линейно интегрируем.
молекула цн-ВолюциЗ
на гор*
Рис. 3.22
Н<*
Кле&ио.
к к
Поступая далее как и выше, приходим к
следующей классификации квазилинейно ин-
тегрируемых геодезических потоков на бу-
тылке Клейна. Схема факторизации молеку-
лы W изображена на рис. 3.22. Инволюция £
оставляет неподвижными два тора Лиувил-
ля, являющиеся средними точками двух вер-
тикальных ребер молекулы. Эти торы отве-
чают в точности уровням ру = 0, то есть
нулевому значению квадратичного интегра-
ла р2. Оказывается, в результате факторизации по инволюции £ эти торы превра-
щаются в бутылки Клейна. Это следует из того, что при естественной проекции
каждый из этих торов Лиувилля отображается диффеоморфно на базу некаса-
тельного расслоения (т. е. на тор). При этом инволюция на верхнем торе получена
поднятием инволюции с базы. На базе факторизация по инволюции давала бу-
тылку Клейна. Следовательно, и наверху происходит то же самое. В результате
молекула, изображенная на рис. 3.22, превращается в молекулу W(J) с двумя
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков 137
концами, заканчивающимися бутылками Клейна К. Структура получившейся
молекулы W(/) точно такая же, как и в теореме 3.3.
Теорема 3.5 (В. С. Матвеев). Пусть на бутылке Клейна задана
(L, f, ty-метрика f(x)(dx2 + dy2), где функция f не постоянна. Тог-
да слоение Лиувилля ее геодезического потока на изоэнергетической
поверхности Q задается молекулой W, построение которой описано
выше. См. рис. 3.22. При этом метки на графе W нужно поставить
так.
а) Метки на графе W(f) такие же, как и в теореме 3.3. А имен-
но, на ребрах между седловыми атомами r-метки равны бес-
конечности. На ребрах между седловыми атомами и атомами
вида А r-метки равны нулю.
п.-о
W)
/.. У-.
/К; (К;
пго п=о
Рис. 3.23
б) На двух ребрах, соединяющих граф Ж(/) с двумя экземплярами атома К,
r-метки равны нулю.
в) Все метки типа е в молекуле W равны +1.
г) В молекуле W имеется ровно три семьи. Одна — это граф W(f), две дру-
гие — это атомы К. На семье W(f) метка п равна нулю. На каждой из
семей К метка п тоже равна 0.
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квазили-
нейно интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна. См. рис. 3.23.
Доказательство теоремы получается путем рассмотрения двулистного на-
крытия над молекулой W. Детали мы опускаем.
3.2.4. Случай квазиквадратичного интеграла
Напомним вид метрик на бутылке Клейна, геодезические потоки которых
интегрируемы при помощи интеграла степени 4 (степень которого не может быть
понижена, но который может быть сделан квадратичным при переходе к накры-
тию).
Пусть а и & — натуральные взаимно простые числа и f — положительная пе-
риодическая функция одной переменной с периодом 1 и отличная от постоянной.
Рассмотрим на плоскости стандартные декартовы координаты х, у и зададим
метрику по формуле:
ds2 = (fix') + f(y + |И (dx2 + dy2).
Пусть Г — ортогональная решетка на плоскости, порожденная векторами
А = (а, —а), /2 = (Ъ, &) (рис.3.24). Она получается из стандартной решетки пу-
тем поворота на Под стандартной решеткой здесь мы понимаем решетку с
138
Глава 3
базисными векторами, направленными по осям х и у. Легко видеть, что ука-
занная метрика инвариантна по отношению к сдвигам на элементы решетки Г.
Следовательно, эта метрика корректно определяет некоторую метрику на торе.
Кстати, она является конечнолистно лиувиллевой, так как решетка Г не является
стандартной.
Рис. 3.24
Зададим теперь на торе инволюцию £: (ж, у) —>
(у+2- ж+|)
\ А и/
. Факторизуя тор по действию инво-
люции £, получаем бутылку Клейна. Легко видеть,
что метрика на торе инвариантна относительно ин-
волюции £, а потому определяет некоторую метри-
ку на бутылке Клейна К2. Обозначим эту метрику
через ds2bf.
Следуя уже изложенной выше схеме, отмеча-
ем, что инволюция £ порождает послойную инволю-
цию слоения Лиувилля на Qt- Поэтому, факторизуя
3-многообразие Qt по действию инволюции £, мы
получаем, что молекула W также факторизуется. Этот процесс изображен на
рис. 3.25. Молекула W перегибается пополам, в результате чего два экземпля-
ра ТУ(/) отождествляются с другими двумя экземплярами ТУ(/), а в середине
двух вертикальных ребер (на месте их перегиба) появляются два новых атома К,
отвечающих появившимся здесь критическим бутылкам Клейна. В результате
возникает новая молекула W (рис. 3.26).
Рис. 3.25
Рис. 3.26
Введем новое целое число к = к(а, Ь) по следующему правилу. Число fe(a, 6)
лежит в интервале (0, 2а&). Далее, 2а делит к — 1, и 25 делит к + 1. Легко прове-
ряется, что такое число к существует и единственно.
Теорема 3.6 (В. С. Матвеев). Пусть на бутылке Клейна задана описан-
ная выше метрика ds2 ь у, где положительная и периодическая функция f не
постоянна. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока на изоэнергетичес-
кой поверхности Q задается молекулой W, построение которой описано выше.
См. рис. 3.25. При этом, метки на графе W нужно поставить так.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков 139
а) Метки на графе W(f) такие же, как и в теореме 3.3. А именно, на ребрах
между седловыми атомами r-метки равны бесконечности. На ребрах между
седловыми атомами и атомами вида А r-метки равны нулю.
б) На ребре, соединяющем два экземпляра графа W(f), метка г равна
mod 1.
(2ab)
е) На двух ребрах, соединяющих графы W(/) с двумя экземплярами атома К
метки г равны mod 1.
г) Все метки типа е в молекуле W равны +1.
<?) В молекуле W имеется ровно четыре семьи. Две из них — это графы W(f),
две другие — это атомы К. На каждой из семей W(f) метка п равна нулю.
На каждой из семей К метка п равна •
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квази-
квадратично интегрируемых геодезических потоков на бутылке Клейна.
См. рис. 3.26.
Замечание. Отметим, что здесь вновь появились довольно причудливые рациональные
к
r-метки, а именно, г = — . Объясняется это тем. что метрика, поднятая с бутылки
(2ао)
Клейна на тор, оказывается конечнолистно лиувиллевой. А меченые молекулы таких
метрик (как мы уже видели) несут на себе r-метки произвольного вида
Доказательство теоремы тоже получается путем перехода к двулистному
накрытию над бутылкой Клейна. Детали мы опускаем.
3.3. Лиувиллева классификация интегрируемых
геодезических потоков на двумерной сфере
3.3.1. Случай квадратичного интеграла
Напомним, что любую метрику на сфере с квадратично интегрируемым гео-
дезическим потоком можно получить как фактор вырожденной метрики на торе
по некоторой инволюции а. При этом метрика на торе имеет вид:
ds2 = (f(x) + g(y)) (dx2 + dy2),
где f и g — гладкие неотрицательные четные периодические функции, причем
период f(x) равен 1, а период g(y) равен L. Отсюда, кстати, следует, что функ-
ция f(x) симметрична относительно точки х = а функция g(y) симметрична
L к
относительно точки у = —. Эти функции обращаются в ноль в точках вида —
п.
и соответственно, где к пробегает все целые числа. Мы рассматриваем здесь
Л
140
Глава 3
тор как фактор двумерной плоскости К2 (ж, у) по решетке, порожденной парой
векторов (1,0) и (0, £). Инволюция сг (факторизацией по которой из тора полу-
чается сфера) задается на плоскости К2 формулой
<г(х, у) -> (-ж, -у).
Получающееся отображение тора на сферу х: Т2 —> Т2/а = S2 задается
функцией Вейерштрасса p(z), где z — комплексная координата z — x+iy на плос-
кости. Это отображение представляет собой двулистное разветвленное накрытие
с четырьмя точками ветвления. Поскольку метрика на торе инвариантна отно-
сительно сдвигов вдоль решетки и относительно инволюции а, то ее проекция
вниз задает метрику на сфере S2. Эта метрика будет гладкой при выполнении не-
которых дополнительных условий, о которых мы подробно говорили выше. Здесь
нам важно, что нули функции /(ж) и g(y) являются точками невырожденного
минимума (глобального).
Наша цель — описать топологию получающегося лиувиллева слоения геоде-
зического потока на сфере. Мы будем пользоваться тем же самым приемом, ко-
торый был продемонстрирован выше при анализе интегрируемых геодезических
потоков на бутылке Клейна. То есть, будем анализировать топологию лиувилле-
ва слоения наверху и затем смотреть, что происходит с ним при проекции вниз.
Интеграл вырожденного (в четырех точках) геодезического потока на накрыва-
ющем торе имеет вид:
F(x, у, рх, ру) =
g(y)Px ~ f^p2
f(x) + g(y)
Этот интеграл имеет особенности на накрывающем торе в точках ветвления
отображения х. На сфере интеграл геодезического потока будет фактически тем
же самым. Нужно лишь спроектировать указанную функцию вниз при помощи
функции р (т. е. накрытия х). При этом все особенности интеграла исчезнут, и
на сфере получится гладкая функция F без особенностей. Гамильтониан геоде-
зического потока на торе имеет вид:
гг/ \ Рх+Р2у
Н(х, у, рх, Ру) = ————.
/(ж) + g(y)
Получающий внизу (т. е. на сфере) гамильтониан Н тоже является гладкой
функцией без особенностей. Напомним также, что, как и всегда, мы предполага-
ем интеграл F боттовским.
Предложение 3.2. Боттовость интеграла F для квадратично интегрируемого
геодезического потока (L, f, g) -метрики на сфере эквивалентна тому, что обе
функции f(x) и g(y) являются функциями Морса.
Для случая сферы это утверждение является простым следствием из анало-
гичного утверждения для тора.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
141
Отметим, что изоэнергетические 3-поверхности Q в Т*Т2 некомпактны, ухо-
дят на бесконечность, поскольку гамильтониан Н вырождается в четырех точ-
ках на торе. Рассмотрим достаточно малое положительное число 5 и два подмно-
жества в Q, задаваемые условиями:
Q+s = {F>+5, Н = 1}, Qs = {F<^-8, Н = 1}.
Рассмотрим также аналогичные подмножества для 2-сферы, то есть подмножес-
тва в Т*S2, задаваемые условиями:
Q+s = {F^+6,H = 1}, = {F Н = 1}.
Ясно, что множество Q±$ двулистно на-
крывает множество Q±$ при проекции я. Бо-
лее того, слоение Лиувилля на множестве Q±g
инвариантно по отношению к инволюции а,
а потому проекция индуцирует послойное
отображение Q±s на Q±g. Напомним, что мно-
жество Q±g для тора Т2 уже изучалось на-
ми выше. В частности, мы уже вычислили
структуру слоения Лиувилля на Q±s- Каждое
из множеств Q±$ состоит из четырех компо-
нент связности. При этом слоение Лиувилля
на каждой компоненте устроено как прямое
произведение расслоенного 2-диска на окруж-
ность. См. рис. 3.27. На этом рисунке для каж-
дой из функций fug нарисованы два диска, поскольку обе функции симмет-
ричны относительно точек и соответственно. При этом каждый из этих
2-дисков расслоен на линии уровня своей функции, т. е. функций р2 — f(x) и
р2 ~ g(y) соответственно. Каждую пару Р+$ и Р_$ таких 2-дисков удобно пред-
ставить как подмножества на плоскости (у, pv) и на плоскости (ж, рх) соответ-
ственно, а именно:
р+з = {g(y) ~P2y^S, у& [0, £]},
P-S = {f(x)~Px х & [О, !]}•
Обозначим молекулы, отвечающие получающимся слоениям на
2-дисках, через W(f) и JV(g) соответственно. Ясно, что индуци-
рованные этими слоениями 2-диска лиувиллевы слоения на мно-
жествах Q±g описываются точно такими же молекулами W(f)
и W{g). Это следует из того, что
Q+s = {две компоненты P+g х S1, где рх > 0. и две компо-
ненты P+s х S1, где рх < 0},
Q-з = {две компоненты Р_$ х S1, где ру > 0, и две компо-
ненты Р-з х S1, где ру < 0}.
МдО Wty)
Рис. 3.28
142
Глава 3
Инволюция а действует на каждом из 3-многообра-
зий Q±g так. В случае Q+g две компоненты {P+j х S1,
где рх > 0} переставляются с двумя компонентами
{Р+<5 х S1, где рх < 0}. Аналогично, в случае Q_g две
компоненты {P_j х S1, где pv > 0} переставляются с
двумя компонентами {P-g х S1, где ру < 0}. Поэтому
из четырех экземпляров дерева W(/) получается два эк-
земпляра ТУ(/). Точно так же из четырех копий IFfg)
получаются две копии IT(g). См. рис. 3.28. Осталось вы-
яснить, какой атом (?) расположен в центре молекулы на
рис. 3.28. Этот атом лежит в 3-многообразии Q на уровне
F = 0. Опишем свойства этого 3-атома.
1) Атом (?) связен. В самом деле, слой {F — Q. H — 1}
геодезического потока вырожденной (в 4-х точках)
метрики на торе связен.
Рис. 3.29 2) Атом (?) имеет вес 2, то есть содержит ровно две
критические окружности интеграла F. В самом де-
ле, на рис. 3.29 показан тор, на котором изображе-
но 16 геодезических вырожденной (в 4-х точках)
метрики, поднятой со сферы. Восемь геодезических получаются из других
восьми путем замены на них ориентации. Поэтому геометрически различ-
ных имеются только 8 геодезических. После проекции вниз на 2-еферу они
переходят в отрезки замкнутой геодезической на сфере, проходящей через 4
точки ветвления. При этом четыре из получившихся геодезических отрезка
получаются из четырех других заменой на них ориентации. Следователь-
но, имеется ровно две различных геодезических, лежащих на критическом
слое интеграла F — 0. Геометрически это одна и та же геодезическая, но
проходимая в прямом и в обратном направлениях. Получаются две разные
параметризованные геодезические. Они и являются критическими окруж-
ностями атома (?).
3) Атом (?) имеет ровно четыре конца, причем они расположены так, что
два тора Лиувилля перестраиваются в два тора Лиувилля (т. е. два поло-
жительных конца и два отрицательных). Это следует из того, что с ним
инцидентны два экземпляра дерева W(f) и два экземпляра дерева W(g),
каждый из которых имеет один свободный конец.
4) Атом (?) симметричен относительно инволюции
(ж, у, рх, Ру) -> (ж, у, -рх, -Ру).
Дело в том, что интеграл F(x, у, рх, pv), очевидно, выдерживает такую инволю-
цию (см. формулу для F). Поэтому слоение Лиувилля инвариантно относительно
этой инволюции, то есть атом (?) симметричен. Причем симметрия переставляет
местами две указанные выше критические окружности атома.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
143
Согласно теореме классификации атомов малой сложности
(см. главу 3 тома I), существует ровно один атом, удовлетворя-
ющий всем этим четырем требованиям. Это — атом С2.
Итак, мы доказали следующее утверждение.
Предложение 3.3. Молекула W, отвечающая геодезическому
потоку на сфере, интегрируемому при помощи квадратичного ин-
теграла (не сводящегося к линейному), имеет вид, показанный на рис. 3.30.
Осталось найти числовые метки на молекуле W, чтобы получить полную
лиувиллеву классификацию геодезических потоков таких метрик. Рассмотрим
произвольный тор Лиувилля и введем на нем два базисных цикла Аид, задавае-
мых уравнениями А = {ж = const} и д = {у = const} соответственно. Введем на
них ориентацию так, чтобы интегралы формы действия q = pxdx+pydy по цик-
лу А и по циклу д были положительны. Пусть тор Лиувилля задается уравнением
F = Fq = const, Н = 1. Спроектируем тор Лиувилля на базу, то есть на тор Т2.
Получится кольцо, задающееся на базисном торе либо условиями у Е [у0, ух], х —
произвольно, либо условиями х G [жо, ®i], У — произвольно. Другими словами,
проекция каждого из торов Лиувилля является кольцом на базисном торе, изоб-
ражаемым прямоугольником на квадрате. См. рис. 3.31.
Тогда первый из указанных интегралов имеет вид:
I а = 2 у y/g(y)
+ Fo dy,
где интегрирование ведется по допустимому отрезку [y/rj, ух], отвечающему про-
екции тора Лиувилля на базу (рис. 3.31), если Fq < 0, а в случае, когда Fq > О,
интегрирование ведется по отрезку
"Л
. При этом числа уо и у± являются
корнями уравнения g(y) + Fq = О, причем g(y) + Fq > 0 на интервале (уо, ух).
Второй из указанных интегралов имеет вид:
Рис. 3.31
м
где интеграл берется по отрезку [жо, Жх], если Fq > 0, а в
случае, когда Fq < 0, интеграл берется по отрезку [о, .
Числа жо, Жх являются корнями уравнения /(ж) — Fq = О,
причем /(ж) — Fq > 0 на интервале (жо,жх).
Итак, ориентации циклов Аид выбраны. Сразу отметим, что циклы Аид за-
дают нам допустимую систему координат на каждом из деревьев JF(g) и W(f).
См. рис. 3.30. Слоения Лиувилля на каждом из этих кусков имеют тип прямого
произведения Р2 х S1 (см. выше). Рассмотрим два верхних куска, т. е. два VP(g).
Здесь цикл д является ориентированным слоем этого прямого произведения, а А
является его сечением. В двух нижних кусках W(f) молекулы W картина обрат-
ная. Здесь цикл д является сечением прямого произведения, а цикл А является
его слоем. Отсюда сразу следует, что на всех внутренних ребрах кусков JV(g)
144
Глава 3
и (/) матрицы склейки устроены так. Между парой седловых атомов они вы-
глядят так:
1
О
°
-1) ’
А между седловыми атомами и атомами типа А матрицы склейки имеют вид
О 1\
1 °/ ’
Буквально то же самое было и в случае геодезического потока на торе. Это
видно из того, что слоения Лиувилля на этих четырех кусках W(/) и W(g) для
случая сферы такие же, как и для тора, поскольку инволюция а переставляла
между собой соответствующие деревья у молекулы тора, не меняя топологию
молекулы внутри каждого из этих кусков. Следовательно, числовые метки на
кусках W(g) и W(/) для случая сферы такие же, как и для случая тора.
Рис. 3.32
Осталось найти числовые метки на четы-
рех центральных ребрах молекулы W, инци-
дентных с центральным атомом C-i- Для этого
нужно построить допустимую систему коорди-
нат на торах Лиувилля этого центрального кус-
ка. Первый цикл х этой системы должен быть
изотопен критическому слою 3-атома Его
можно выразить через базисные циклы Аид
на близком торе Лиувилля.
Лемма 3.1. Имеет место равенство-, я = А + р.
Доказательство.
Ясно, что достаточно доказать лишь следующее соотношение:
Отсюда и будет сразу следовать, что х = Х + р. Дело в том, что интегралы / а и
Г Jx
I а независимы в том смысле, что между ними нет целочисленного соотноше-
J р,
ния. Это видно из того, что функции fag, участвующие в явных формулах для
этих интегралов (см. выше), независимы. Требуемое равенство / а = / а+ / а
J х J X J р
следует из рис. 3.32. В самом деле, критический цикл-слой xt отвечает геодези-
ческой на сфере, лежащей на особом слое и проходящей через четыре точки
ветвления А, В, С, D на сфере. При накрытии сферы тором на этот цикл х про-
ектируются четыре отрезка 71, 72, 73, 74, расположенные внутри квадрата, из-
ображающего тор, как показано на рис. 3.32. Эти четыре отрезка проектируются
на четыре дуги 71, 72, 73, 74, лежащие на геодезической на сфере и соединяющие
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
145
точки А, В, С, D. Следовательно,
что и требовалось доказать.
Итак,
Теперь нужно предъявить второй базисный
цикл допустимой системы координат (отвечаю-
щей атому С2) на центральных ребрах молеку-
лы W. Возьмем цикл А = {х = const}, лежащий
на торе Лиувилля, близком к атому С?. Здесь
мы считаем, что эта константа отлична от 0 и
2’
При проекции вниз, на сферу, цикл А изобра-
Рис. 3.33
жается окружностью, показанной на рис. 3.33.
1
На накрывающем торе этой окружности отве-
чает вертикальный отрезок (на самом деле — цикл), задаваемый уравнением
х = const (рис. 3.33). На изоэнергетическом 3-многообразии (RP3 в случае сфе-
ры) этой окружности отвечает двумерное сечение 3-атома С2, трансверсальное
геодезическому потоку. Обозначим это сечение через Pfr. Трансверсальность
хорошо видна из рис. 3.33, поскольку все геодезические, исходящие из четырех
точек ветвления А, В, С, D, трансверсально встречают окружность {ж — const}.
Следовательно, и наверху, т. е. в Q3, геодезический поток трансверсально проты-
кает соответствующее 2-сечение. Отметим, что окружности {х = const} наверху
отвечают два связных трансверсальных сечения (каждое из которых гомеоморф-
но 2-атому 6'2). Соответствующая картина геодезических на накрывающем то-
ре также показана на рис. 3.33. Они трансверсально пересекают отрезок (цикл)
{х = const}. Таким образом, мы построили в Q3 трансверсальное двумерное
сечение, у которого четыре ее граничные окружности совпадают с циклами А.
Осталось проследить за правильной ориентацией этих циклов (с точки зрения
допустимой системы координат).
На построенном трансверсальном 2-сечении Ptr (задаваемой условием
{х = const}) можно взять в качестве регулярных координат у и ру. Тогда сече-
ние Ptr можно задать неравенством
Ptr = {\F\ 8}.
Поскольку в координатах (у, ру) функция F имеет вид F — g(y) — ру, то ука-
занное неравенство определяет на плоскости (у, ру~) область, показанную на
рис. 3.34. Видно, кстати, что эта область гомеоморфна 2-атому С%. Таким обра-
зом, трансверсальное сечение Ptr гомеоморфно 2-атому СЛ. Мы получили второе
146
Глава 3
независимое доказательство того, что сечение Р\г гомеоморфно Сг- Рассмотрим
четыре граничные окружности этого сечения, совпадающие с циклами А. Их ори-
ентация определяется условием, что интеграл от формы а положителен. После
выбора на сечении PtT координат (у,ру) этот интеграл приобретает вид f pydy.
Из рис. 3.34 видно, что для положительности этого интеграла вдоль той или иной
граничной окружности необходимо и достаточно, чтобы циклы А были ориенти-
рованы так, как показано на рис. 3.34а.
Рис. 3.34
Изготовим теперь из этих четырех цик-
лов А требуемые базисные циклы допустимых
систем координат на торах Лиувилля. Для это-
го рассмотрим ориентацию на границе сече-
ния Ptr, индуцированную ориентацией само-
го сечения. См. рис. 3.34b. Сравнивая получаю-
щуюся ориентацию граничных окружностей с
ориентированными циклами А, мы видим, что
в двух случаях нужно заменить ориентацию А
на противоположную, а в двух случаях — со-
хранить. А именно, на двух ребрах молекулы,
инцидентных с графами W(f), в качестве вто-
рого базисного цикла допустимой системы ко-
ординат нужно взять —А (т. е. изменить ориентацию А). А на двух ребрах моле-
кулы, инцидентных с графами W(g), в качестве второго базисного цикла допус-
тимой системы координат нужно взять А (т. е. здесь ориентация А сохраняется).
Итак, мы полностью построили допустимые системы координат на торах
Лиувилля четырех ребер, инцидентных с атомом С%.
Подсчет матрицы склеек и всех требуемых числовых меток показан на
рис. 3.35. Отметим, что здесь возникают три различных случая, в зависимости
от структуры деревьев W(J) и W(g). Другими словами, отдельно нужно рас-
смотреть случай, когда одно или оба дерева состоят только из одного атома А.
Дело в том, что правила определения допустимой системы координат для сед-
лового атома и атома А различны (см. главу 4 тома 1). В соответствии с этим
молекула может содержать либо одну семью, либо три, либо пять.
Полученный результат оформим в виде следующей теоремы.
Теорема 3.7 (Т. 3. Нгуен, Л. С. Полякова, В. С. Матвеев). Пусть на 2-сфе-
ре задана (L, f, g)-MempuKa. Тогда слоение Лиувилля геодезического потока этой
метрики на изоэнергетической поверхности Q = RP3 задается молекулой W,
построение которой описано выше. При этом метки на графе W показаны на
рис. 3.35. Метки внутри каждого из деревьев W(f) и W(g) устроены точно так
же, как и в теореме 3.3, то есть все метки г между седловыми атомами рав-
ны оо, а между седловыми атомами и атомами А метки г равны нулю. Все
метки типа е равны +1 (внутри W(J) и TT(g)/
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квадра-
тично интегрируемых геодезических потоков на сфере.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
147
'^2/ Щ).
iW)’: : W);
W) VW) УМ)!
n'i'-i n'i'-t
R4
Рис. 3.35
3.3.2. Случай линейного интеграла
Напомним, что метрика на сфере имеет линейно интегрируемый геодезичес-
кий поток в том и только в том случае, когда на сфере существуют глобальные
конформные координаты х, у, относительно которых метрика принимает вид
ds2 = /(ж2 + y2)(dx2 + dy2),
где f(t) — положительная гладкая функция на полуоси [0, +оо) и такая, что
— положительная гладкая функция на всей полуоси [0, +оо) (т. е. включая
ноль).
Нам будет удобно переформулировать эту теорему в следующем виде.
Теорема 3.8. Метрика ds2 на сфере обладает линейно интегрируемым геоде-
зическим потоком в том и только в том случае, когда на сфере существуют
гладкие глобальные координаты (9, tp) с двумя особыми точками (это — аналоги
полюсов для обычных сферических), причем 9 меняется от 0 до некоторого 9q,
a ip — периодическая координата (0 tp 2tv), причем в этих координатах
метрика имеет вид
ds2 = d92 + f(9)dip2.
Замечание. Условие, что указанная метрика является гладкой и римановой, автома-
тически означает, что функция f(9) гладко зависит от натурального параметра 0 на
148
Глава 3
отрезке [0, 0о]: положительна внутри интервала (0, 0о), обращается в нуль на его кон-
цах и имеет в окрестности точек 0 и следующий вид: /(0) = f(02) (если 6 близко к
нулю), где f — некоторая гладкая функция, и f(0) = g((0 — 0о)г) (если ff близко к 0о),
где ff — некоторая гладкая функция.
Рис. 3.36
Стоит отметить, что описанные метрики естественно
обобщают обычные метрики вращения на сфере вращения
в R3. В этом случае в качестве ip нужно взять обычный
угол, задающий поворот вокруг оси вращения. В качестве 0
нужно взять натуральный параметр на той плоской кри-
вой, вращением которой получается сфера вращения. Тогда
особыми точками такой системы координат будут обычные
полюса сферы. В данном случае функция /(0) задает квад-
рат расстояния от точки сферы до оси вращения (рис. 3.36).
Здесь = тг. Однако, повторим еще раз, не каждая такая
метрика сферы является метрикой на какой-то поверхности
вращения.
Отметим, что гамильтониан Н геодезического потока имеет здесь вид
H=p2e+f(0)
а интеграл F устроен так:
F = Рч>-
Как и выше, сопоставим функции / граф ТУ(/), описывающий слоение двумерно-
го диска на линии уровня функции f(0) —р^. При этом двумерный диск задается
неравенством /((9) —р%^0 на плоскости ((9, рв). См. рис. 3.27.
Теорема 3.9 (Т. 3. Нгуен, Л. С. Полякова). Рассмотрим на сфере геодези-
ческий поток римановой метрики вида
ds2 — d02 + f(0) dip2.
а) Тогда отвечающая этому геодезическому потоку молекула W имеет вид,
показанный на рис. 3.37, где молекула W(f) построена по функции f(0) ука-
занным выше способом. Числовые метки внутри каждой молекулы W(f)
являются стандартными, то есть на ребрах между седловыми атомами
r-метки равны оо, на ребрах между седловыми атомами и атомами А мет-
ки г равны нулю, все е-метки равны +1.
б) Предположим, что молекула W(f) отлична от атома А (то есть со-
держит хотя бы один седловой атом). Тогда на единственном централь-
ном ребре, соединяющем два экземпляра молекулы W(f), метка г рав-
на бесконечности, а метка е равна —1. Здесь имеется ровно одна семья
(совпадающая со всей молекулой W, из которой выброшены все концевые
атомы Л). Метка п на этой семье равна 2.
в) Если же молекула W(/) сводится к одному атому А, то вся молекула W
имеет простейший вид А--------А. В этом случае мы имеем: г = е = 1.
Семей здесь нет.
\Wf)/
Рис. 3.37
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков 149
Тем самым мы получили полную лиувиллеву классификацию
всех линейно интегрируемых геодезических потоков на двумерной
сфере.
Доказательство.
Как мы уже неоднократно делали выше, разрежем 3-многооб-
разие Q на несколько кусков поверхностью уровня F = 0, где F —
дополнительный интеграл. В нашем случае интеграл F имеет вид
F = pv. Здесь 2-поверхность уровня pv = 0 является регулярным
тором Лиувилля, состоящим из меридианов, задаваемых условием
р = const (поскольку равенство p,fi = 0 эквивалентно тому, что tp = const). Полу-
чается семейство всех меридианов, проходящих через северный и южный полюса
сферы. Это и есть тор Лиувилля в Q.
Таким образом, при разрезании вдоль поверхности {р^, = 0} 3-многообра-
зие Q распадается ровно на два куска Q+ и Q-. Каждый из этих кусков сно-
ва (как и раньше) имеет тип прямого произведения. В этом легко убедиться,
предъявив глобальное трансверсальное сечение. В данном случае это двумерное
сечение Ptr задается уравнением = const. Посмотрим, как устроен интеграл
на этом сечении Pir. В качестве локальных координат на этом сечении мы рас-
смотрим ((9, рв). Легко видеть, что, если Н = 1, т. е. р| + /(^)-1р^ = 1, то
Рр = ±((1 -р|)/(0))*.
Здесь знак плюс берется для куска Q+. а знак минус соответствует куску Q-.
Слои слоения Зейферта задаются здесь так:
{0 = const, pv = const, Pfl = const, = ±t),
где t — параметр на слое-окружности. Следовательно, слоение Лиувилля получа-
ется путем прямого умножения на окружность (= слой слоения Зейферта) одно-
мерного слоения на трансверсальном сечении Р/г, задаваемого линиями уровня
х
функции = ±((1 — Pg)/(0))2 (знак здесь выбирается соответствующим об-
разом для каждого из кусков Q±). Заметим, что степень 1/2 можно убрать, по-
скольку она не влияет на геометрию слоения. Сделав далее замену pg = ps(/(#))5,
получим, что слоение на диске с координатами (0, ру) можно задать как линии
уровня следующей функции:
Ж - Ре-
По геометрия этого слоения, очевидно, описывается именно той молеку-
лой ТУ(/), которая была определена выше. Таким образом, в целом молекула W
имеет требуемый вид, а именно, получена склейкой двух экземпляров W(f) при
помощи одного центрального ребра.
При этом числовые метки внутри обоих графов W(J) соответствуют топо-
логии прямого произведения, а, следовательно, имеют тот самый вид, который
и указан в доказываемой теореме.
150
Глава 3
Осталось найти матрицу склейки на
/ \ центральном ребре, соединяющем две ко-
пии W(f). Рассмотрим в Q3 = RF3 нуле-
| У ВУЮ повеРхность уровня интеграла F. Ясно,
\ J-r чт0 это — один тор Лиувилля То, лежащий
на середине центрального ребра молекулы W.
/'"'f \ При этом Q+ — это верхний кусок W(J) мо-
/ \ \ лекулы W (с исходящим вниз ребром, закан-
I ; 'I чивающимся тором Tq). A Q_ — это ниж-
\ \ 1 V ний кусок ИЦ/) молекулы W (с исходящим
\ ; -/ вверх ребром, заканчивающимся тем же то-
ром То). Рассмотрим два близких к тору То
Рис. 3.38 тора Т+е = {F = +е} и Т-е = {F = -е}. Спро-
ектируем все три тора вниз, на базисную сфе-
ру S2 при помощи проекции, определяющей касательное расслоение к сфере.
Результат показан на рис. 3.38. Тор Т+е проектируется в кольцо, охватывающее
сферу за исключением двух малых дисков (окрестностей северного и южного
полюсов). Аналогично проектируется и тор Т_£. Проекция же тора То — это вся
сфера S'2.
Предположим сначала, что молекула W(/) содержит хотя бы один седловой
атом. Изобразим на этих проекциях торов (т. е. на кольцах) проекции базисных
циклов А+, ji+ и А-, ц~. Циклы А+ и А- можно считать экваторами 2-сферы
(рис. 3.38). Циклы ц+ и проектируются в вертикальные дуги меридианов,
проходимые два раза (вверх и вниз). То есть здесь цикл-окружность превраща-
ется в отрезок, проходимый в прямом и затем в обратном направлении. Рассмот-
рим цикл 7 на центральном торе Tq. проектирующийся вниз (т. е. на сферу) в
меридиан сферы, проходящий через северный и южный полюсы. Сместим цикл 7
посредством изотопии на близкие к тору Тд торы Лиувилля Т±Е. Тогда он при-
мет вид, показанный на рис. 3.38. На торе Т_е смещенный цикл 7 движется вдоль
отрезка ц+ меридиана, а вблизи северного и южного полюсов поворачивает в сто-
рону и обходит северный полюс по дуге слева, а южный полюс по дуге справа.
На торе T+s происходят аналогичные события: здесь смещенный цикл 7 обходит
северный полюс справа, а южный — слева.
у = + Х~ = /л+ + Х+.
Следовательно, базисные циклы /л~, Х~, /л+, А+ связаны соотношением: /z“-|-A_ =
= jj,+ + А+. Кроме того, как видно из рис. 3.38, выполнено еще одно соотноше-
ние: А+ = —А-. Отсюда получаем, что матрица склейки на центральном ребре
молекулы Q устроена так:
/А+\ = /-1 0\ /А“А
~ 2 1) •
Отсюда сразу следует, что в случае, когда молекула W (/) содержит хотя бы
один седловой атом, числовые метки на центральном ребре молекулы W имеют
вид, указанный в теореме. То есть г = 00, е = —1, п = 2.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
151
Пусть теперь молекула W имеет вид А-----А. Тогда, согласно определению
допустимой системы координат (для случая атома А), нужно просто поменять
местами циклы А и //. Следовательно, матрица склейки примет вид
(р+\ _ /1 2 \
\Х+) \0 -V\A-J‘
Следовательно, г = е = 1. Теорема полностью доказана.
Замечание. Полезно привести и другое доказательство теоремы, использующее тот
факт, что склейка двух кусков Q_|_ и Q- по центральному тору То должна дать 3-мно-
гообразие RP3. Из предыдущего совершенно ясно, что циклы А+ и А- связаны соот-
ношением: А+ = —А-. Следовательно, матрица склейки двух кусков Q+ и Q- должна
иметь следующий вид:
-1 (Л
к 1) ’
где к — некоторое целое число. Но мы знаем, что это число к полностью определяет
фундаментальную группу 3-многообразия Q. склеенного из двух полноторий (в нашем
случае действительно каждое из Q+ и Q- является полноторием). Напомним, что в
этом случае tti(Q) = Z*. Поскольку Q = RP3, то = Z2, а потому к = 2 (с
точностью до знака).
Рассмотрим важный частный случай метрики, воз-
никающей на поверхности вращения в R.3 (гомеоморф-
ной сфере). Как мы знаем, геодезические потоки всех
таких метрик линейно интегрируемы. Найдем мече-
ную молекулу. Поверхность вращения задается графи-
ком функции у = f(x), определяющим плоскую кривую.
См. рис. 3.39.
Следствие. Меченая молекула геодезического потока на
поверхности вращения, отвечающей функции f, совпада-
Рис. 3.39
ет с молекулой, описанной в теореме 3.9. Она представлена на рис. 3.37.
Доказательство.
Отметим, что смысл функции / в теореме 3.9 и в этом следствии различен.
Здесь функция / задает образующую на поверхности вращения, а в теореме 3.9
функция / является параметром римановой метрики. Если мы приведем инду-
цированную метрику на поверхности к виду, указанному в теореме 3.9,
ds2 = dt)2 + dtp2,
то функции f и / будут, вообще говоря, различны. Нам нужно доказать, что
молекулы, отвечающие функциям f и /, совпадают. Однако легко видеть, что
две функции /(ж) и f(ff) связаны монотонной заменой параметра. Более точно,
имеет место соотношение: /(#(ж)) = /(ж), где #(ж) — натуральный параметр
на кривой, являющейся графиком функции /(ж). Отсюда следует, что молекулы
совпадают. Следствие доказано.
Выше мы говорили, что не всякая метрика на сфере с линейно интегри-
руемым геодезическим потоком реализуется как индуцированная метрика на
152
Глава 3
подходящей поверхности вращения (сфере) в R.3. Тем не менее, справедливо сле-
дующее интересное утверждение.
Следствие. Пусть ds2 — гладкая метри-
ка на двумерной сфере с линейно интегрируе-
мым геодезическим потоком. Тогда сущест-
вует некоторая поверхность вращения в R3,
геодезический поток на которой лиувиллево
эквивалентен потоку исходной метрики ds2.
Доказательство.
Рассмотрим метрику ds2 = Дт2+/(т) dip2,
линейно интегрируемую на сфере. Построим в Ж.3 поверхность вращения, взяв в
качестве ее образующей плоскую кривую, задаваемую графиком функции /(г).
При этом следует, конечно, сгладить функцию /(т) в полюсах сферы, т. е. в кон-
цах отрезка [0, то]. См. рис. 3.40. Дело в том, что график функции /(т) касался оси
т в концах отрезка, что приводит к появлению двух особых точек у поверхности
вращения. Однако эту неприятность легко устранить, как показано на рис. 3.40.
Поскольку бифуркации слоения Лиувилля происходят вдали от концов отрез-
ка, такая операция сглаживания порождает метрику, поток которой лиувиллево
эквивалентен исходной. Лиувиллева эквивалентность следует из предыдущего
следствия. Следствие доказано.
3.4. Лиувиллева классификация интегрируемых
геодезических потоков на проективной плоскости
3.4.1. Случай квадратичного интеграла
Напомним, что метрики с квадратично интегрируемыми геодезическими
потоками на проективной плоскости описываются так. Поднимая эту метрику
на сферу, получаем там метрику с тем же свойством. При исследовании метрик
на сфере мы представили сферу как фактор-пространство тора по инволюции а
и ввели класс метрик вида:
ds2 = (/(ж) + g(y)) {dx2 + dy2),
где функции f и g удовлетворяют описанным выше условиям. Представим IIP2
в виде фактор-пространства сферы, задав на ней инволюцию т, а именно:
Легко убедиться, что инволюция т не имеет неподвижных точек на сфере. Эту
инволюцию можно поднять до инволюции на торе, накрывающем сферу. Полу-
чится инволюция т': {х, у) —> — х, + у^. Две инволюции на торе ант'
коммутируют между собой.
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
153
Отберем теперь из множества всех (£, /, gj-метрик те из них, которые инва-
риантны относительно инволюции т. Рассмотрим те функции fug, для которых
/(®) +g(v) = + +у)-
Отсюда сразу следует, что /(ж) = /(^ — xj и g(y) = + yj- Учитывая
четность функции f (см. выше условие а) получаем, что /(ж) = f(x — т. е.
функция f просто должна быть периодической с периодом i Кроме того, как
Т
мы уже видели, функция g должна быть периодической с периодом
Выше было доказано, что любая метрика с квадратично интегрируемым гео-
дезическим потоком на проективной плоскости может быть получена таким спо-
собом, т. е. она задается тремя параметрами: числом L, функциями f и g. Мы
хотим (как это мы делали ранее) изготовить молекулу для метрики на про-
ективной плоскости из уже найденной нами молекулы для метрики на сфере.
Для этого нужно понять, как действует инволюция т на слоении Лиувилля в
3-многообразии Qgi = KLP3.
Отметим сначала, что т не имеет неподвижных точек на RP3, поэтому то-
пология изоэнергетической поверхности QRP2 = RF3 /т легко устанавливается.
А именно, имеет место следующее утверждение.
Предложение 3.4. Изоэнергетическое 3-многообразие Q.pi геодезического по-
тока римановой метрики на проективной плоскости RF2 диффеоморфно линзо-
вому пространству 1.
Так как инволюция т действует на RP3, то она действует и на молекуле W,
отвечающей случаю сферы и показанной на рис. 3.30. Легко проверяется, что цен-
тральный атом Сг и исходящие из него ребра остаются на месте, т. е. переходят
в себя. Инволюция на 3-атоме С2 (представленном в виде прямого произведения
2-атома С2 на окружность) является просто сдвигом вдоль окружности-слоя на
угол тг (поворот на угол тг). А на кусках W(/) и W(g) действие инволюции описы-
вается так. Заметим, что функции /(ж) на отрезке [о, удовлетворяет допол-
нительному условию симметрии. Она симметрична относительно точки ж — j.
Это вытекает из ее четности и ее периодичности с периодом Отсюда следу-
ет, что функция /(ж) — р2 инвариантна относительно центральной симметрии
диска, задаваемого неравенством /(ж) — р2 >0. При этом центр симметрии на-
ходится в точке
. Слоение Лиувилля имеет тип прямого произведения
одномерного слоения на диске, умноженного на окружность. Инволюция на этом
прямом произведении устроена так. Вдоль слоя нужно повернуть на угол тг, а на
диске-сечении нужно взять отражение в центре симметрии
. Обозначим
через W(f) молекулу, описывающую слоение Лиувилля, полученное фактори-
зацией указанного прямого произведения на действию такой инволюции. Здесь
следует различать два случая.
154
Глава 3
Первый — когда неподвижная точка ин-
волюции на базе-диске является точкой ло-
кального максимума функции /(ж) — р2х.
Второй — когда неподвижная точка ин-
волюции является седловой критической точ-
кой этой функции. В первом случае точка бу-
дет соответствовать атому А. Во втором слу-
чае после факторизации атома V2k-i (на ко-
торый попала неподвижная точка) получит-
ся атом V)* с одной вершиной-звездочкой.
См. рис.3.41.
Рис. 3.42
Совершенно аналогичную конструкцию нужно проделать и для
функции g(y). В результате получится молекула W(g).
Похожую процедуру мы уже проделали в случае бутылки Клей-
на. Отличие состоит в том, что там мы рассматривали события
на кольце, а здесь — на диске. Поэтому структура молекул W(f)
и W(g) легко извлекается из анализа бутылки Клейна.
В итоге мы получим молекулу W, показанную на рис. 3.42.
Поскольку действие инволюции г на молекуле W, отвечающей
сфере, нами описано, нетрудно подсчитать числовые метки на ребрах получаю-
щейся фактор-молекулы W.
Рис. 3.43
а)
В результате получится следующая
теорема (подробности вычислений меток
мы здесь уже опустим).
Теорема 3.10 (В. С. Матвеев). Рас-
смотрим на проективной плоскости мет-
рику
ds2 = (/(ж) + g(y)) (dx2 + dy2).
Иэоэнергетическое ‘A-многообразие Q3 диф-
феоморфно здесь линзовому пространству
£-4,1. Оно получается из RF3 факториза-
цией по действию инволюции, не имеющей
неподвижных точек.
Тогда отвечающая этому геодезичес-
кому потоку молекула W имеет вид, по-
казанный на рис. 3.42, где молекулы W(f)
и VK(g) построены указанным выше спосо-
бом. Числовые метки внутри каждой мо-
лекулы W(f) и W(g) аналогичны меткам,
описанным в теореме классификации для
бутылки Клейна.
В графах W(/) и W(g) метки таковы. На ребрах между седловыми атома-
ми r-метки равны бесконечности. Между седловыми и атомами и атома-
Лиувиллева классификация интегрируемых геодезических потоков
155
ми А метки г равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом А (т. е.
локальный максимум функций) отвечает неподвижной точке инволюции т.
См. рис. 3.16g. В этом случае г-метка равна
б) На оставшихся четырех (т. е. на центральных, инцидентных с ато-
мом С-z) ребрах молекулы W метки выглядят так, как показано на
рис. 3.43. Здесь выделяются три различных случая в зависимости от того,
сколько критических точек имеют функции f(x) и g(y). В соответствии с
этим в молекуле будет либо одна семья, либо три семьи, либо пять семей.
Тем самым мы получаем полную лиувиллеву классификацию всех квад-
ратично интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости.
См. рис. 3.43.
Отметим появление здесь n-метки, равной п = —4.
3.4.2. Случай линейного интеграла
Как мы уже знаем, если на проективной плоскости задана метрика с ли-
нейно интегрируемым геодезическим потоком, то, взяв накрытие над RP2, мы
можем поднять эту метрику на накрывающую сферу S2. Геодезический поток
поднятой метрики снова будет линейно интегрируемым. Лиувиллева классифи-
кация всех таких потоков на сфере была получена в теореме 3.9. Следовательно,
чтобы получить из нее лиувиллеву классификацию линейно интегрируемых по-
токов на проективной плоскости, нужно рассмотреть действие инволюции т на
молекуле W, отвечающей накрывающей сфере, и действие т на соответству-
ющем сфере слоении Лиувилля. Затем профакторизовать слоение Лиувилля по
этой инволюции. В результате и получится искомая молекула W, описывающая
линейно интегрируемые геодезические потоки на BLP2.
Как и выше, обозначим метрику на сфере, полученную поднятием метрики
с RP2, следующим образом:
ds2 = dd2 + f(d)d<p2.
Отметим, что функция / здесь не произвольна, посколь-
ку метрика ds2 должна быть инвариантна относитель-
но инволюции т. Без ограничения общности можно счи-
тать, что координата 0 определена на отрезке [—(9ц, ^0],
а инволюция г имеет вид:
г: (0, р) -> (-9, -р).
А
Ч
А
Условие на функцию f (0) состоит поэтому в том, что f Рис- 3-44
должна быть четной функцией.
Теорема 3.11 (В. С. Матвеев). Пусть на проективной плоскости задана мет-
рика ds2 = df)2 + f(0) dip2. Иэоэнергетическое 3>-многообразие Q3 диффеоморфно
здесь линзовому пространству Ьд, i. Тогда отвечающая ее геодезическому потоку
156
Глава 3
молекула W имеет вид, показанный на рис. 3.44, где молекула W(f) построена
по функции f(0) способом, указанным выше в теореме 3.9.
а) В обоих графах W(/) метки таковы. На ребрах между седловыми атомами
r-метки равны бесконечности. Между седловыми атомами и атомами А
метки г равны нулю, за исключением тех случаев, когда атом А (т. е.
локальный максимум функции) отвечает неподвижной точке инволюции т.
См. рис. 3.16g. В этом случае г-метка равна i.
б) Предположим, что молекула W(/) отлична от атома А (т. е. содержит
хотя бы один седловой атом). Тогда, на единственном центральном ребре,
соединяющем два экземпляра молекулы W(J), метка г равна бесконечнос-
ти, а метка е равна —1. Здесь имеется ровно одна семья (совпадающая со
всей молекулой W, из которой выброшены все концевые атомы Л). Метка
п на этой семье равна —1.
в) Если же молекула W(f) сводится к одному атому А, то вся молекула W
имеет простейший вид А-------А. В этом случае мы имеем: г = ^, s = 1.
Семей здесь нет.
Тем самым мы получили полную лиувиллеву классификацию всех линейно
интегрируемых геодезических потоков на проективной плоскости.
Глава 4
Траекторная классификация интегрируемых
геодезических потоков на двумерных
поверхностях и функции вращения
4.1. Случай тора
4.1.1. Потоки с простыми бифуркациями (атомами)
Траекторная классификация линейно и квадратично интегрируемых геоде-
зических потоков на торе получена Е. Н. Селивановой [174].
Как мы показали выше в томе 1, для траекторной классификации интегриру-
емых систем в первую очередь нужно вычислить функцию вращения на ребрах
меченой молекулы W*. Рассмотрим двумерный тор с интегрируемым геодези-
ческим потоком. Ограничимся для простоты лишь случаем глобально лиувилле-
вой метрики. Она устроена так.
Рассмотрим на евклидовой плоскости х, у глобально лиувиллеву метрику
вида:
(/(ж) + g(y))(dx2 + dy2),
а затем факторизуем плоскость по прямоугольной решетке Г, базисом которой
являются два вектора Д — (1, 0), Д — (0; Е). Здесь мы предполагаем, что функ-
ции fug отличны от постоянных и обе строго положительны. Получим искомый
тор Т2 с метрикой gij, геодезический поток которой обладает квадратичным ин-
тегралом. Такую метрику выше мы назвали (L, Д £)-метрикой. Случай линейно
интегрируемых геодезических потоков получается, когда функция g(i/) стано-
вится равной нулю. Будем пока считать для простоты, что обе функции fug
отличны от постоянных (т. е. мы имеем дело с квадратично интегрируемым гео-
дезическим потоком). Как и ранее, обозначим дополнительный интеграл через F.
Напомним, что 2-торы Лиувилля в изоэнергетическом 3-многообразии
Q = {Н = 1}, лежащем в кокасательном расслоении Т*Т2 с координатами
(ж, У, Рх, Ру), задаются следующими уравнениями:
Р2х = /(ж) + Ру = g(y) - F-
Это уравнение может задавать несколько торов Лиувилля, лежащих на од-
ном уровне интеграла F в Q. Напомним, что молекула W имеет в этом случае
вид, показанный на рис. 3.6а главы 3. Как видно из структуры молекулы, торы
Лиувилля делятся на три группы в зависимости от значения интеграла F.
158
Глава
Рис. 4.1
При F > min(g(i/)) тор Лиувилля попадает
в верхнюю пару деревьев на молекуле W.
При F 6 (— min(/), + min(g)) тор Лиувилля
принадлежит одному из четырех центральных
ребер a, b, с, d молекулы W.
И, наконец, при F < — min(/) тор Лиувил-
ля оказывается внутри одного из двух нижних
деревьев молекулы W.
Фиксировав значение интеграла F, мы по-
лучаем на оси у несколько отрезков, в каждом
из которых функция р^ = g(y) — F неотрица-
тельна. Если, например, F > min(g(i/)), то, как
видно из рис. 4.1, параметр у меняется внутри
нескольких отрезков. Нужно выбрать один из
них. Обозначим его через [j/i,2/г]- Переменная х
меняется здесь на всей области своего опреде-
ления, т. е. на отрезке [0,1].
Аналогично, если F 6 (— min(/), + min(g)),
то х и у могут независимо друг от друга принимать любые допустимые значения,
то есть каждая из этих переменных пробегает свой отрезок: х 6 [0, 1], у € [0, L].
Наконец, когда F < — min(/), то х принимает значение на некотором отрезке
[а?1, хъ] (одном из нескольких возможных), а у пробегает всю область своего
определения, т. е. отрезок [0, L].
Рис. 4.2
Полезно изобразить проекции описанных
торов Лиувилля на базу (т. е. на тор Т2). В со-
ответствии с указанными выше тремя случа-
ями, эти проекции будут выглядеть так, как
показано на рис. 4.2. Получится кольцо, весь
тор, снова кольцо.
На каждом из этих торов Лиувилля в
качестве базисных циклов возьмем (как мы
уже делали ранее) циклы А, р, задаваемые
уравнениями
А = {ж = const} и р = {у = const}.
Значение функции вращения на этом торе Лиувилля относительно указанного
базиса вычисляется следующим образом.
Предложение 4.1. Рассмотрим глобально лиувиллеву метрику на торе с квад-
ратично интегрируемым геодезическим потоком.
а) Если F > min(g(i/)), то функция вращения р на торе Лиувилля, задаваемом
уравнением F = const и лежащем, следовательно, в верхних деревьях W(g)
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
159
молекулы W, имеет следующий вид: Г dx J y/f(x)+F pe(F) = -% . [ 2dy J Vg(y) - F yi
Здесь ребро е лежит в одном из двух графов W(g) (см. рис. 3.6а главы 3).
б) Если F G (— min(/), + min(g)), то функция вращения р на торе Лиувилля,
задаваемом уравнением F — const и лежащем, следовательно, в центре
молекулы W, имеет следующий вид:
1 f dx J y/f(x)+F pe(F) = . f dy J ~ F
Здесь е является одним из четырех центральных ребер a, b, с, d молеку-
лы W.
в) Если F < — min(/), то функция вращения р на торе Лиувилля, задаваемом
уравнением F = const и лежащем, следовательно, в нижних деревьях W(f)
молекулы W, имеет следующий вид:
X-2 f 2dx J ^f(x)+F Pe(F) = f r <1'У / уШ ~F
Здесь ребро е лежит в одном из двух графов W(f) (см. рис. 3.6а главы 3).
Доказательство.
Для вычисления функции вращения используем явный вид переменных дей-
ствия, которые в данном случае легко определяются. Функция вращения имеет
вид: дн дь p(F) = M = _ PT ’ дн dh dl2 dF
160
Глава
Здесь 71, Тг — переменные действия, отвечающие выбранным выше цик-
лам А, р. Напомним, что Д = (2тг)-1 / а, Д = (2тг)-1 / а, где 1-форма а име-
Jx Jp.
ет вид: а = рх dx + ру dy. Находясь на торе Лиувилля, выражаем рх и pv че-
рез х, у, F и получаем следующие формулы. Для определенности будем считать,
что F > min(g(?/)). Тогда
У2
У -F dy,
У1
1
h = I Vf И+Fdx.
о
Коэффициент 2 в формуле для Д появился потому, что интегрирование по
циклу А (рис. 4.1) приводит к двукратному интегрированию по отрезку [yi, уз].
Дифференцируя теперь по F две последние формы и подставляя в выражение
для р, получаем искомое утверждение.
В случаях, когда F G (— min(/), + mm(g)) и когда F < — min(J), рассужде-
ния полностью аналогичны. Предложение доказано.
Отметим, что значения функции вращения р оказались у нас положитель-
ными. Это объясняется выбором ориентаций циклов А и р. Она выбирается так,
чтобы значения интеграла от 1-формы а было положительным.
Опишем некоторые свойства функции вращения.
Предложение 4.2. Рассмотрим на торе глобально лиувиллеву метрику с квад-
ратично интегрируемым геодезическим потоком. Тогда на каждом из четырех
центральных ребер a,, b, с, d молекулы W функция вращения всегда строго моно-
тонна и меняется от нуля до бесконечности. Следовательно, на этих четырех
ребрах функция вращения не дает никакого вклада в траекторный инвариант
исследуемого геодезического потока.
Замечание. В отличие от центральных четырех ребер молекулы W, остальные ее реб-
ра, т. е. входящие в деревья H'(ff) и ИД/), характеризуются иным поведением функции
вращения. На этих ребрах функция вращения может не быть монотонной. Следователь-
но, здесь могут появляться нетривиальные Д-векторы.
Доказательство.
Указанный случай отвечает случаю (б) предложения 4.1. Как видно из со-
ответствующей формулы для р, в этом случае с ростом параметра F числитель
дроби, т. е. интеграл
1
/ , 1 = dx,
[ VfH+F
монотонно убывает от плюс бесконечности до какого-то конечного предела. Зна-
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
161
менатель дроби, т. е. интеграл,
I Vg(y} - F
с ростом F монотонно растет от конечного предела до плюс бесконечности. Сле-
довательно, вся дробь монотонно убывает от плюс бесконечности до нуля. Пред-
ложение доказано.
Рассмотрим теперь случай римановой метрики на торе, геодезический поток
которой интегрируем при помощи линейного интеграла. Как мы уже знаем, гло-
бально лиувиллева метрика такого вида записывается в виде ds2 = f(x)(dx2 + dy2),
т. е. получается из предыдущей метрики, когда g(y) = 0. Функция f(x) предпо-
лагается строго положительной.
Предложение 4.3. Рассмотрим геодезический поток глобально лиувиллевой
метрики вида ds2 = f(x)(dx2 + dy2) на торе. Соответствующая молекула W"
имеет здесь вид, показанный на рис. 3.6& из главы 3.
а) Если |F| > шш(/(ж)), то функция вращения р на торе Лиувилля, задавае-
мом уравнением F = const, имеет следующий вид:
/ г?\_ 1 f %F dx
Xi
Здесь mop лежит в одном из двух графов W(f) (см. рис. 3.6b из главы 3).
б) Если |F| < min(/), то функция вращения р на торе Лиувилля, задаваемом
уравнением F = const, имеет следующий вид:
Pe(F) “ ь /
Здесь тор лежит на одном из двух центральных ребер а, Ь молекулы W.
Доказательство.
Начнем со случая (а). Тем же самым способом, что и раньше, вычисля-
ем переменные действия Д и Д. В данном случае интеграл F имеет простой
вид F = ру, поэтому тор Лиувилля задается двумя простыми уравнениями:
F = Ру, Pl = f(x) ~ F2.
Отсюда следует, что
h = ^fFdy, = 2у/f(x) - F2 dx.
0 xi
162
Глава
Подставляя эти выражения в общую формулу для р, получаем:
дЬ
n(F\ = = 1 f TF dx
dh L J y/f(x)—F2’
OF
В случае (б) поступаем совершенно аналогично. Предложение доказано.
Предложение 4.4. Рассмотрим глобально лиувиллеву риманову метрику с ли-
нейно интегрируемым геодезическим потоке на торе. Тогда на каждом из двух
центральных ребер a ub молекулы W функция вращения всегда строго монотонна
и меняется от минус бесконечности до плюс бесконечности. Следовательно, на
этих четырех ребрах функция вращения не дает никакого вклада в траекторный
инвариант исследуемого геодезического потока.
Замечание. Как и в квадратичном случае, функция вращения не обязана быть моно-
тонной на ребрах молекулы, лежащих внутри деревьев W(f). Следовательно, тут тоже
могут появляться нетривиальные Л-векторы.
Доказательство.
Утверждение следует из явного вида функции вращения на обоих централь-
ных ребрах.
Теорема 4.1. Пусть ds2 и ds'2 — две глобально лиувиллевы метрики на то-
ре. Предположим, что молекулы их геодезических потоков являются простыми,
то есть все атомы, входящие в их состав, — простые (либо А, либо В). Тогда
их геодезические потоки непрерывно траекторно эквивалентны в том и только
в том случае, когда отвечающие этим потокам меченые молекулы W* и W'*
совпадают (в точном смысле, указанном выше), и, кроме того, их функции вра-
щения на соответствующих друг другу ребрах молекул непрерывно сопряжены.
Замечание. Конечно, теорема 4.1 может быть сформулирована и в общем случае, ког-
да атомы-бифуркации простыми не являются. Но тут формулировка становится более
громоздкой, и мы ее не приводим. Тут появятся другие траекторные инварианты, а
именно, Л и Д. Инварианта Z тут нет, поскольку все атомы, участвующиеся в форми-
ровании молекулы W, являются плоскими. Определение и свойства этих траекторных
инвариантов см. в томе I настоящей книги.
Доказательство.
Поскольку атомы-бифуркации предположены здесь простыми, то никаких
атомных инвариантов типа А, Д и Z тут нет. Остаются только сами меченые мо-
лекулы и Я-векторы, полностью задающиеся функциями вращения. Совпадение
Л-векторов эквивалентно сопряженности функций вращения. Теперь утвержде-
ние теоремы следует из общей теории классификации.
Пользуясь этой теоремой, можно построить примеры непрерывно траектор-
но эквивалентных геодезических потоков на торе. Рассмотрим, например, две
глобально лиувиллевы метрики на торе вида
ds2 = (/(ж) + g(y))2(dx2 + dy2) и ds2 = (/(ж) + g(y))2(dx2 + dy2),
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
163
где периодические функции f.gw f.gимеют простой вид, а именно, имеют ровно
по одному минимуму и максимуму на своей области определения. См. рис. 4.3.
(Другими словами, каждая функция имеет ровно один горб.) Тогда соответству-
ющие молекулы W* и И7* имеют простейший вид, показанный на рис. 4.4. Мы не
указываем здесь метки типа г, е, п, поскольку сейчас они нам не нужны. Вместо
этого мы обозначили различными буквами ребра молекул.
Рис. 4.3
Предположим для простоты, что функции
вращения монотонны на каждом ребре. Тогда на
каждом из четырех центральных ребер функция
вращения изменяется от нуля до плюс бесконеч-
ности, поэтому никакого вклада в траекторные
инварианты они не дают. На концевых ребрах
(заканчивающихся атомами А) функция враще-
ния устроена так. Ее предел на седловом атоме
равен либо нулю, либо бесконечности. А поэтому опять-таки никакого вклада
в инварианты не дает. Но предел функции вращения при приближении к атому
А уже является конечным числом. И это значение (согласно общей теории) яв-
ляется траекторным непрерывным инвариантом геодезического потока ds2. При
этом предел функции вращения на обоих верхних атомах А один и тот же. Обо-
значим этот предел через р. Аналогичный предел функции вращения на обоих
нижних атомах А мы обозначим через q.
Аналогичные пределы для потока ds2 мы обо-
значим р, q. Следовательно, у каждого потока по-
является пара числовых траекторных инвариан-
тов, а именно, (р, д) и, соответственно, (р, q). (При
этом есть, конечно, и числовые метки типа г, е, п).
Таким образом, два простых квадратично интег-
рируемых геодезических потока (т.е. указанного
одногорбого и монотонного типа) непрерывно тра-
екторно эквивалентны тогда и только тогда, когда
совпадают их меченые молекулы W и W, а также
совпадают либо пары чисел (р, q) и (р, q), либо па-
Рис. 4.4
ры чисел (р, д) и (д г, р '). Дело в том, что показанные на рис.4.4 молекулы
симметричны относительно горизонтальной оси (проходящей через их центр),
поэтому гомеоморфизм, совмещающий молекулы, может переворачивать одну
из них. Это эквивалентно перестановке местами переменных х и у, что приво-
дит к перестановке местами базисных циклов А и р. А, следовательно (см. общую
теорию), функция вращения заменяется по следующему правилу: р —> i.
Этот результат можно переформулировать в виде следующего интересного
утверждения. В указанных выше предположениях (одногорбость функций fug,
а также монотонность функций вращения) геодезический поток имеет ровно две
устойчивые замкнутые геодезические, отвечающие двум парам атомов А. Одна
геодезическая отвечает верхней паре атомов, вторая — нижней. Атомы внутри
каждой пары отвечают геометрически одной и той же геодезической, но про-
164
Глава
ходимой в противоположном направлении. У каждой такой геодезической есть
мультипликаторы. Они и задаются пределами функции вращения (на этой гео-
дезической). Более точно, справедливо следующее утверждение.
Рассмотрим число вращения р на торе Лиувилля, близком к замкнутой гео-
дезической 7, и пусть ро — предел числа вращения, когда тор стягивается на
геодезическую. Замкнутая геодезическая 7 характеризуется также своим ин-
дексом ind(7) (иногда называемым индексом Морса). Это — число точек, сопря-
женных начальной точке Р вдоль данной геодезической, причем каждая точка
учитывается ровно один раз. Отметим, что тут речь идет об однократно прой-
денной замкнутой геодезической (т. е. здесь рассматривается простая, некратная
геодезическая). При этом, если начальная точка Р сопряжена самой себе вдоль
данной геодезической, то ее тоже нужно учесть после однократного обхода.
Наконец, замкнутая геодезическая характеризуется еще одним числом v =
= ехр(2тпу>), называемым мультипликатором (это — собственное число линеа-
ризации отображения Пуанкаре). Имеет место следующее важное утверждение.
Предложение 4.5. Предел числа вращения ро на
замкнутой устойчивой геодезической (на двумерной
/---------поверхности), ее индекс Морса ind(7) и ее мулътипли-
1/Т[ \\ \ катор v связаны следующими соотношениями:
у д I ind(7) = [2ро] (т. е. целая часть 2ро),
\ \ У/-Tty v = ехр(2тиро)-
—“'Д/ Доказательство.
Пусть 7 — замкнутая геодезическая и Р — произ-
Рис- 4.5 вольная точка на ней. Выпустим из точки Р новую геоде-
зическую 7 по направлению вектора а, близкому к векто-
ру 7(0), т. е. близкому к вектору скорости исходной геодезической. См. рис. 4.5.
Поскольку исходная геодезическая 7 была устойчивой, то геодезическая 7 будет
двигаться вблизи геодезической 7, пересекая ее в каких-то точках. Отметим,
что первая точка пересечения может появиться после полного оборота 7 вдоль 7.
Рассмотрим в Q тор Лиувилля, на котором лежит геодезическая у. Поскольку 7
устойчива, то можно считать, что весь тор Лиувилля находится в некоторой
узкой трубчатой окрестности 7 в Q. Следовательно, проектируя этот тор Лиу-
вилля вниз, то есть на 2-тор Г2, получаем на нем узкое кольцо с осью 7, внутри
которого движется 7. См. рис. 4.5. Оказывается, что каждая пара пересечений
геодезической 7 с геодезической 7 отвечает наверху, то есть в Q, одному пол-
ному обороту геодезической 7 вокруг образующей тора Лиувилля. См. рис. 4.6.
Это легко следует из того, что координатная сетка переменных угол на торе Ли-
увилля проектируется в стандартную координатную сетку х = const, у = const
на базисном торе. Напомним, что 7 не обязана замыкаться после полного оборота
вдоль 7. Обозначим через п^(к) число пересечений геодезической 7 с геодезичес-
кой 7 на базисном торе за к оборотов, которые мы подсчитываем вдоль геодези-
ческой 7. То есть мы подсчитаем, сколько раз прошли вдоль 7. Через (1 + е)
обозначим число пересечений геодезической 7 с геодезической 7 на отрезке от О
до 1 + е. Здесь 1 — это период замкнутой геодезической 7, то есть ее длина после
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
165
подходящей нормировки. Далее, е — это любое фиксированное достаточно малое
положительное число. Тогда имеет место следующая формула:
ind(7) = Jim /ц(1 + е).
7-^7
Предположим сначала, что точка Р не сопряжена самой себе вдоль геодези-
ческой 7. Тогда ясно, что в указанной выше формуле можно положить е равным
нулю, т. е.:
ind(7) — Jim 717(1).
7->7
Рис. 4.6
Это означает, что индекс геодезической в точности равен числу s точек
пересечения близкой геодезической 7 с 7 за один оборот. См. рис. 4.6.
С другой стороны, для предела ро = Итр(7)
числа вращения при 7 —> 7 имеет место сле-
дующая формула:
/ иу(/г) \
Ро = Jim lim .
7—>7 k—*сс \ /
Достаточно доказать, что
8 <8 + 1.
к
Докажем сначала левую часть неравенства. До-
Пу(к) тэ
пустим противное, т. е. что s > —-—. Разо-
ГЪ
бьем отрезок [0, fc] на единичные полуинтервалы
вида [тп, 771 +1). Тогда существует хотя бы один полуинтервал, внутри которого
число точек пересечения 7 и 7 строго меньше л. Выпустим из точки т, т. е. из
левого конца этого полуинтервала, геодезическую т. близкую к 7. См. рис. 4.7.
Поскольку индекс геодезической 7 на полуинтервале [m. m + 1) равен л, следо-
вательно, число точек пересечения геодезической т с геодезической 7 на этом
полуинтервале тоже должно равняться л.
В таком случае мы получаем на полуинтервале [m, т + 1) пару соседних
точек а и fi, в которых геодезическая т пересекает геодезическую 7. Причем, как
видно из рис. 4.7, между ними нет ни одной точки пересечения геодезических 7
и 7- При этом без ограничения общности можно считать, что обе геодезические т
и 7 лежат на одном и том же торе Лиувилля, т. е. одинаково близки к 7. Но тогда
получаем противоречие, так как точки пересечения двух геодезических г и 7,
одинаково близких к одной и той же геодезической 7, должны чередоваться.
Правило чередования следует из теоремы Лиувилля и из того, что все торы
Лиувилля, близкие к 7, проектируются вниз, т. е. на базу, в концентрические
кольца с одной и той же осью — геодезической 7. При этом геодезические т
и 7 лежат на одном и том же торе Лиувилля. Итак, левая часть соотношения
доказана.
166
Глава
Перейдем к рассмотрению правой его части. Допустим противное, то есть
что —-— s + 1. Поступая по аналогии с предыдущим случаем, получаем, что в
гъ
этом случае существует хотя бы один полуинтервал [т, т +1) на отрезке [0, fc],
в котором есть по крайней мере .s — 2 точки пересечения геодезических 7 и у.
См. рис. 4.8. Выпустим из точки т геодезическую т, лежащую на том же торе
Лиувилля, что и геодезическая у. Тогда ясно, что найдутся две такие точки а
и [3 пересечения геодезических у и у, между которыми снова нет ни одной точки
пересечения геодезических у и т. Этого не может быть по тем же соображениям,
что и выше. Полученное противоречие доказывает, следовательно, правую часть
искомого соотношения.
Устремляя к к бесконечности, мы получаем, что
s 2р < s + 1.
Следовательно, [2р] = а. Так как а, в свою очередь, равно индексу геодезичес-
кой 7, то получаем требуемое равенство:
[2р] = ind(7).
Итак, в случае, когда точка Р не сопряжена самой себе вдоль геодезичес-
кой 7, утверждение доказано.
Формула v = ехр(2тггр()) уже была доказана в томе 1, глава 8, параграф 5.
Причем эта формула верна всегда, в общем случае, независимо от того, сопря-
жены или нет начало и конец геодезической.
Пусть теперь точка Р сопряжена самой себе вдоль у. Это означает, что после
одного полного оборота геодезическая 7, близкая к 7, вернулась в точку Р', близ-
кую к исходной точке Р, с точностью до малых второго порядка. Другими сло-
вами, нашлось поле Якоби вдоль у. которое обращается в ноль как в точке t = О,
так и в точке t = 1, где t — параметр вдоль геодезической, al — ее длина, т. е.
период. В этом случае мультипликатор v равен ±1. Из уже доказанной выше
формулы и — ехр(2тггро) следует, что 2р0 является целым числом. Следователь-
но, осталось проверить, что ind(7) = 2ро. Но это следует из сформулированного
выше определения индекса замкнутой геодезической, когда в случае сопряжен-
ности ее начала и конца, после однократного обхода, нужно учесть концевую
точку как сопряженную, причем ровно один раз.
Предложение доказано.
Это предложение полезно тем, что позволяет сформулировать простой кри-
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков 167
терий траекторной эквивалентности для «простых» интегрируемых геодезичес-
ких потоков на торе. А именно, верно следующее утверждение.
Следствие. Рассмотрим два квадратично интегрируемых геодезических пото-
ка на торе. Пусть отвечающие им молекулы W и W' являются простейшими
{рис. 4.4) и все функции вращения монотонны. Тогда геодезические потоки яв-
ляются непрерывно траекторно эквивалентными в том и только в том случае,
когда соответствующие замкнутые устойчивые геодезические имеют одинако-
вые индексы Морса и одинаковые мультипликаторы.
4.1.2. Потоки со сложными бифуркациями (атомами)
Здесь мы не будем формулировать общих теорем, а ограничимся несколь-
кими комментариями.
Если бифуркация (т. е. атом) достаточно сложна, то, как мы знаем, кроме
функции вращения появляются новые траекторные инварианты — А и Д. От-
метим, что Z-инвариант здесь не появляется, так как в случае тора все возни-
кающие здесь атомы являются плоскими (а Z-инвариант плоского атома равен
нулю). Определение траекторных инвариантов А, Д, Z см. в томе 1 настоящей
книги.
Согласно общей теории, траекторными инвариантами исходной гамильтоно-
вой системы являются инварианты класса сопряженности редуцированной сис-
темы на двумерной трансверсальной площадке. Эту систему мы назвали потоком
Пуанкаре, а ее гамильтониан — гамильтонианом Пуанкаре. В рассматриваемом
случае тора можно выписать явную формулу для гамильтониана Пуанкаре. Это
позволяет вычислить инварианты А и Д.
Как мы показывали выше, в случае тора вся изоэнергетическая 3-поверх-
ность распадается на 4 куска, для каждого из которых существует глобаль-
ное трансверсальное 2-сечение. На рис. 3.11 главы 3 условно изображены эти 4
куска Qi, Qu, Qiii, Qiv 3-поверхности Q. Рассмотрим, например, кусок Qt.
Трансверсальным сечением для него служит (как показано в главе 3) поверх-
ность Pi, задаваемая уравнением х = 0. Локальными координатами на Pi слу-
жат у и ру. Симплектическая структура на этом сечении стандартная, т. е. имеет
вид dpy Л dy. Дополнительный интеграл исходного потока, ограниченный на это
сечение Pi, записывается формулой:
F = ~Р2у + ё(у)-
Ясно, что гамильтониан Пуанкаре F* является некоторой функцией от F,
т. е. имеет вид F* — F*(F). Имеет место следующее общее и полезное утверж-
дение (справедливое, конечно, не только для случая тора).
Лемма 4.1. Гамильтонов поток sgradF и гамильтонов поток sgradF*(F) на
2-сечении Р всегда имеют один и тот же инвариант А, т. е. A(F)=A(F*). А
инварианты Д и Z связаны простым соотношением:
) = ^£1, Z{F
dF*
dF dF
168
Глава
Здесь производная вычисляется на особом слое потока.
dF
Доказательство легко следует из определения инвариантов. В случае тора
функцию F*(F) легко подсчитать. Это делается при помощи формулы для пере-
менных действия и формулы Топалова для гамильтониана Пуанкаре (см. выше).
Получается следующий ответ:
F*{F)
= У У/О)
о
+ Fdx.
dF*
Теперь производная '' легко вычисляется и имеет вид:
dF* = f dx
dF J y/2(f(x)+F)‘
Таким образом, в случае тора задача сводится к вычислению инвариантов А
и Д на сечении Р] для довольно простого гамильтониана вида
F = —р2у + g{y)-
Лемма 4.2. Пусть особый слой сечения Pj со-
держит особые точки St, ... , Sm. В координа-
тах (у, ру) на сечении эти точки записыва-
ются так: (yi, 0), где у; — критическая точ-
ка функции g(y). См. рис. 4.9. Тогда значение
^.-инварианта на особом слое равно
А = (Ах :
, \ d?g(yi)
где Xi = 4 /-------—
V dy2
Доказательство получается прямым при-
менением формулы, задающей A-инвариант через симплектическую структуру
и вторые производные гамильтониана.
Для подсчета Д-инварианта также можно использовать формулу, которая
выражает его через конечные части функции периодов (см. том 1 настоящей
книги). Сами функции периодов для рассматриваемого случая тора легко вы-
числяются. Они выглядят так:
П(Е) =
dy
y/g(y) - Г
где интеграл для каждого из колец, составляющих сечение Pj, берется по соот-
ветствующему отрезку вида [si, S2] (см. рис.4.9).
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков 169
4.2. Случай сферы
Случай сферы разбирается примерно так же, как и случай тора. Мы не будем
поэтому излагать его очень подробно.
Как и выше, для траекторной классификации интегрируемых геодезических
потоков на сфере нужно вычислить функцию вращения.
Рассмотрим сначала (L, /, ^-метрики на сфере (т. е. метрики с квадратично
интегрируемыми геодезическими потоками). Как мы уже знаем, они получают-
ся из аналогичных метрик на торе, когда тор двулистно накрывает сферу, при-
чем накрытие является разветвленным над четырьмя точками. Такие метрики
на сфере удобно записывать как метрики на накрывающем торе, инвариантные
относительно действия инволюции ст, действующей на торе.
Рассмотрим на евклидовой плоскости х, у вырожденную «метрику» вида:
(/(ж) + g(y))(dx2 + dy2),
а затем факторизуем плоскость по прямоугольной решетке Г, базисом которой
являются два вектора Д — (1, 0), Д — (0, L). Здесь мы предполагаем, что функ-
ции fug отличны от постоянных, обе являются четными, неотрицательными и
такими, что
/(|)=0, g(^r)=0’
для всех целых к. Получаем тор Т2 с «метрикой» gij, которую можно спроекти-
ровать на сферу, факторизуя по инволюции
ст: (ж, у) -> (-х, -у).
Если функции f и g удовлетворяют еще одному дополнительному условию на
их асимптотику в точках ветвления (см. главу 2), то в результате мы получим
так называемую (L, /, ^-метрику на сфере. Как и ранее, обозначим дополни-
тельный интеграл ее геодезического потока через F.
Торы Лиувилля в изоэнергетическом 3-многообразии Q = {Н = 1}, лежащем
в кокасательном расслоении T*S2, будучи поднятыми в кокасательное расслое-
ние Т*Т2 с координатами (ж, у, рх, ру), задаются следующими уравнениями:
Рх = /(ж) + F, Ру= g(y) ~ F-
Это уравнение может задавать несколько торов Лиувилля, лежащих на одном
уровне интеграла F в Q. Напомним, что молекула W для геодезического потока
сферы имеет в этом случае вид, показанный на рис. 3.30 главы 3. Как видно из
структуры молекулы, торы Лиувилля делятся на две группы в зависимости от
значения интеграла F.
При F > 0 тор Лиувилля попадает в верхнюю пару деревьев на молекуле W.
При F < 0 тор Лиувилля оказывается внутри одного из двух нижних де-
ревьев молекулы W.
Фиксировав значение интеграла F, мы получаем на оси у несколько отрез-
ков, в каждом из которых функция р2 = g(y) — F неотрицательна. Каждому тору
170
Глава
Лиувилля отвечают два отрезка. Если, например, F > 0, то, как видно из рис. 4.1,
параметр у меняется внутри нескольких отрезков. Нужно выбрать один из них.
Обозначим его через [t/i, уъ\. Переменная х меняется здесь на всей области своего
определения, т. е. на отрезке [0,1].
Если F < 0, то ж принимает значение на неко-
© тором отрезке [жг, Жг] (одном из нескольких возмож-
ных), а у пробегает всю область своего определения,
т. е. отрезок [0, L].
Изобразим проекции описанных торов Лиувилля
на базу (т. е. на сферу S'2). В соответствии с указан-
ными выше двумя случаями, эти проекции будут вы-
глядеть так, как показано на рис. 4.10. В каждом из
ДвУх случаев получается кольцо.
На каждом из этих торов Лиувилля в качестве
той? kAJ/ базисных циклов возьмем (как мы уже делали ранее)
циклы А, д, задаваемые уравнениями
рис. 4.10 А = {ж = const} и р = {у = const},
где ж и у — координаты на торе, разветвленно накрывающем 2-сферу.
Значение функции вращения на этом торе Лиувилля относительно указан-
ного базиса задается следующим утверждением.
Предложение 4.6. Рассмотрим на сфере метрику с квадратично интегрируе-
мым геодезическим потоком (т.е. (L, /, g)-метрику).
а) Если F > 0, то функция вращения р на торе Лиувилля, задаваемом уравне-
нием F = const и лежащем, следовательно, в верхних деревьях W(g) моле-
кулы W. имеет следующий вид:
1
I dx
f 2dy
' Vg(y) ~ F
Здесь ребро e лежит в одном из двух графов VE(g) (см. рис. 3.30 главы 3).
б) Если F < 0, то функция вращения р на торе Лиувилля, задаваемом уравне-
нием F = const и лежащем, следовательно, в нижних деревьях W(/) моле-
кулы W, имеет следующий вид:
Х2
f 2 dx
J y/f(x)+F
pe(F) = ----------
f dy
J Vg(y) ~F
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
171
Здесь ребро е лежит в одном из двух графов W(f) (слг. рис. 3.30 главы 3).
Доказательство сразу следует из доказательства предложения 4.3.
Теорема 4.2. Пусть ds2 и ds'2 — две (L, f, gf-метрики на сфере (отвечающие
различным наборам параметров). Предположим, что молекулы этих метрик яв-
ляются простыми, т. е. все атомы, входящие в их состав, кроме центрального
атома С%, являются простыми, т. е. либо А, либо В. Тогда их геодезические по-
токи непрерывно траекторно эквивалентны в том и только в том случае, когда
отвечающие этим потокам меченые молекулы W* и W'* совпадают (в точном
смысле, указанном выше), и, кроме того, их функции вращения на соответству-
ющих друг другу ребрах молекул непрерывно сопряжены.
Замечание. Конечно, теорема 4.2 может быть сформулирована и в общем случае, ког-
да атомы-бифуркации простыми не являются. Но тут формулировка становится более
громоздкой, и мы ее не приводим. Здесь появятся другие траекторные инварианты,
а именно, Л и Д. Инварианта Z тут тоже нет, поскольку все атомы, участвующие в
формировании молекулы W, являются плоскими.
Пользуясь этой теоремой, можно построить примеры непрерывно траектор-
но эквивалентных геодезических потоков на сфере. Рассмотрим, например, две
метрики на сфере с квадратично интегрируемыми геодезическими потоками,
задаваемые тройками (L, f, g) и (L, f, g). При этом предположим, что функ-
ции /, g и f,g имеют простой вид, а именно, имеют ровно по одному минимуму
и максимуму на своем полупериоде (напомним, что они — четные). Как и выше,
будем называть такие функции одногорбыми. Тогда соответствующие молеку-
лы W* и W* имеют простейший вид, показанный на рис. 3.35а главы 3.
Предположим теперь для простоты, что функции вращения монотонны на
каждом ребре. Тогда на всех ребрах (все они заканчиваются атомами А) функ-
ция вращения устроена так. Ее предел на седловом атоме Сг равен единице. Это
следует из того, что при другом, более правильном выборе базиса, этот предел
должен равняться бесконечности. А именно, вместо базиса (А, р) нужно рассмот-
реть базис (А, А + р,). Тогда из формул преобразования функции вращения при
заменах базиса получается, что ее предел окажется равным единице.
Таким образом, этот предел функции вращения от выбора функций fag
не зависит, а, следовательно, никакого вклада в инварианты не дает. Но предел
функции вращения при приближении к атому А уже является конечным числом.
И это значение (согласно общей теории) является траекторным непрерывным
инвариантом геодезического потока ds2. При этом предел функции вращения на
обоих верхних атомах А один и тот же. Обозначим его через р. Аналогичный
предел функции вращения на обоих нижних атомах А также является одним и
тем же. Мы обозначим его через q.
Аналогичные пределы функции вращения для потока rfs2 мы обозначим р, q.
Следовательно, у каждого из потоков ds2 и ds2 появляется пара числовых траек-
торных инвариантов, а именно, числа (р, q) и, соответственно, числа (р, q). (При
этом есть, конечно, и числовые метки типа г, е, п). Таким образом, два квадра-
тично интегрируемых геодезических потока (указанного простого одногорбого и
монотонного типа) на сфере непрерывно траекторно эквивалентны тогда и толь-
172
Глава
ко тогда, когда совпадают их меченые молекулы W и ТУ, а также совпадают
либо пары чисел (р, q) и (р, q), либо пары чисел (р, q) и (д-1, р-1). Дело в том,
что показанные на рис. 3.35а (из главы 3) молекулы симметричны относитель-
но горизонтальной оси (проходящей через их центр), поэтому гомеоморфизм,
совмещающий молекулы, может переворачивать одну из них. Это эквивалентно
перестановке местами переменных х и у, что приводит к перестановке местами
базисных циклов А и р. А, следовательно (см. общую теорию), функция вращения
заменяется по следующему правилу: р —>
Так же, как и в случае тора, этот результат можно переформулировать в
виде следующего интересного утверждения. В указанных выше предположениях
(то есть одногорбость функций / и g, а также монотонность функций вращения)
геодезический поток имеет ровно две устойчивые замкнутые геодезические, от-
вечающие двум парам атомов А. Одна геодезическая отвечает верхней паре ато-
мов, вторая — нижней. Атомы внутри каждой пары отвечают геометрически
одной и той же геодезической, но проходимой в противоположном направлении.
У каждой такой геодезической есть мультипликаторы и индексы Морса.
Используя доказанное выше предложение 4.5, можно сформулировать прос-
той критерий траекторной эквивалентности для не очень сложных интегрируе-
мых геодезических потоков на сфере. А именно, верно следующее утверждение.
Следствие. Рассмотрим два квадратично интегрируемых геодезических потока
на сфере. Пусть соответствующие молекулы W и W' имеют простейший вид
(рис. 3.35а), и все функции вращения монотонны. Тогда геодезические потоки
на сфере являются непрерывно траекторно эквивалентными в том и только в
том случае, когда соответствующие замкнутые устойчивые геодезические име-
ют одинаковые индексы Морса и одинаковые мультипликаторы.
4.3. Примеры интегрируемых геодезических потоков на
сфере
4.3.1. Трехосный эллипсоид
Геодезический поток метрики стандартного эллипсоида (как двумерного,
так и многомерного) изучался многими авторами. См., например, [225], [316],
[322], [343], [139], [238], [385].
Рассмотрим в В? обычный эллипсоид, задаваемый следую-
щим уравнением в декартовых координатах:
где а < 6 < с. Рассмотрим риманову метрику, индуцирован-
ную на эллипсоиде объемлющей евклидовой метрикой. Соот-
ветствующий ей геодезический поток оказывается интегриру-
емым. Этот факт впервые был обнаружен Якоби [225], [316].
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
173
Чтобы показать это, удобно воспользоваться эллиптическими координатами в Ж?
Напомним их определение.
Эллиптические координаты точки Р = (х, у, z) в Ж3 определяются как три
вещественных корня Ai > Л2 > A3 кубического уравнения
ж2 У2 z2
а + X b + X с + А
Если точка Р не лежит на координатных плоскостях в Ж3, то указанное
уравнение имеет три действительных корня Ai > А2 > A3, причем корень Ai ле-
жит в интервале (—а, сю), корень А2 лежит в интервале ( — Ь, —а), а корень Аз — в
интервале (—с, —6). Отвечающие этим трем случаям координатные 2-поверхнос-
ти Xi = const в Ж3 выглядят так. Это — эллипсоиды, однополостные и двуполост-
ные гиперболоиды соответственно. См. рис. 4.11. Исходный эллипсоид задается
тогда уравнением Ai = 0, а две оставшиеся координаты А2 и A3 можно рассмот-
реть как локальные регулярные координаты на этом эллипсоиде. Линии уровня
этих координат показаны на рис. 4.12. (Отметим, кстати, что это — линии кри-
визны эллипсоида).
Полезно указать явные формулы, выражающие декартовы ____________
координаты через эллиптические:
2 _ (а + Ai)(a + А2)(а + А3)
(а — 6) (а — с) ’
2 = (& +Ai)(b + A2)(& +А3) Рис 4 12
(6 — а) (6 — с) ’
2 = (с +Ai)(c + A2)(c +А3)
(с-а)(с-Ь)
Евклидова метрика ds2 — d,x2 -\-d,y2 + dz2 в Ж3 записывается в эллиптических
координатах следующим образом:
л 2 1 ( (Ai - A2)(Ai - А3) 2 (А2 - Ai)(A2 - А3) 2
4 ^(а + А1)(Ь + А1)(с + А1)ОА1 + (а + А2)(6 + А2)(с + А2)аЛ2 +
(Аз ~ А1)(А3 - А2) Л
(а + А3)(Ь + Аз)(с + Аз) ' 3) '
Ограничивая эту метрику на исходный эллипсоид, т. е. полагая Ai = 0, получаем
формулу для метрики на эллипсоиде в эллиптических координатах:
ds2 = 1(А2 - Аз) - (а + Аз)(&+3Аз)(с + Аз/Аз) •
Обозначая полином (а + А)(6 + А)(с + А) через Р(Х), можно теперь записать
метрику на эллипсоиде (в эллиптических координатах) так:
174
Глава
Этот вид метрики практически является лиувиллевым (такой вид метрики
мы назвали выше почти лиувиллевым), поскольку заменой
Р(Л2) УР(А33) dV
метрика приводится к лиувиллеву виду:
ds2 = |(A2(w) - A3(v))(dw2 + dv2).
Опираясь на предыдущие результаты, можно сразу найти молекулу W* для
геодезического потока эллипсоида. Достаточно убедиться, что функции A2(w)
и А3(г>) являются одногорбыми, то есть имеют ровно один максимум на интер-
вале изменения переменной и. Границы интервала изменения для и полностью
определяются границами интервала изменения корня А2. А этот корень изменя-
ется от — b до —а. Наличие ровно одного максимума для функции A2(w) следует из
того, что, согласно формулам замены (определяющим переменную и), мы имеем:
dA2
du
А2
Р(А2)’
т.е. производная не меняет знака в каждом октанте в Ж3. Она либо поло-
du
жительна (во всем октанте), либо отрицательна. Следовательно, на объединении
<7А2 ,
двух октантов производная —-— обращается в ноль ровно один раз в середине
du
интервала. Следовательно, у функции A2(w) максимум ровно один.
Таким образом, мы попадаем в ситуацию общей теоремы классификации
интегрируемых геодезических потоков на сфере, задаваемых лиувиллевой мет-
рикой
гй2 = I
')) (du2 + dv2).
Поскольку, как мы доказали, функция A2(w) имеет ровно один максимум
(аналогичное утверждение верно и для функции А3(г>)), то молекула W* геоде-
зического потока эллипсоида имеет вид, показанный на рис. 3.35а в главе 3.
Найдем теперь функцию вращения на четырех ребрах этой
О молекулы. Для этого нужно воспользоваться предложением 4.6
настоящей главы. Отметим, что в предложении 4.6 вычисление
функции вращения проведено в лиувиллевых координатах и, V.
Рис 4 13 Можно сразу выполнить все вычисления в исходных эллиптичес-
ких координатах А2, А3. Для этого сначала нужно описать торы
Лиувилля и ввести на них параметризацию. Рассмотрим на эллипсоиде коль-
цо, задаваемое уравнением — с А3 —t. См. рис. 4.13. Можно считать, что это
кольцо задается параметром t. Оно является проекцией тора Лиувилля. Известно,
что геодезические эллипсоида, лежащие на этом торе, ведут себя как показано
на рис. 4.13, то есть движутся синусоидальным образом, попеременно касаясь
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков 175
границ кольца (являющееся проекцией именно этого тора). На самом деле этому
кольцу отвечают два тора Лиувилля. Различаются они направлением движения
геодезических. Один тор получается из другого путем обращения ориентации на
геодезических.
Аналогичным образом описываются и два других семейства торов Лиувил-
ля. Они отвечают геодезическим, движущимся по кольцам вида — t У,' Аг —а.
Таким образом, параметр t на торах Лиувилля меняется от значения а до значе-
ния с. При этом, изменяясь от а до Ь, параметр t описывает все торы Лиувилля
на двух нижних ребрах молекулы W*, показанной на рис. 3.35а в главе 3. А при
изменении t от значения 6 до значения с, мы получаем торы Лиувилля на двух
верхних ребрах молекулы. Значение t = b является, следовательно, бифуркаци-
онным. В этот момент одно семейство торов перестраивается в другое семейство
торов. Эта бифуркация и отвечает атому Сг (расположенному в центре молеку-
лы).
Теперь мы можем найти функцию вращения для тора Лиувилля, отвечаю-
щему параметру t.
Гамильтониан Н геодезического потока эллипсоида имеет вид:
2 f -Р(А2)Рг
Аг — Аз у Аг
Аз /
Без ограничения общности можно считать, что на рассматриваемом торе
Лиувилля Н = 1. Тогда легко видеть, что тор Лиувилля, отвечающий парамет-
ру t, задается двумя уравнениями вида:
2Р(Аг^ 2Р(А3)р|
---;------Л2 — г, -----;-----Лз — г.
Л2 Аз
Вычислим сначала переменные действия /д, на данном торе Лиувилля,
отвечающие циклам Аид, где А = {Аг = const}, р = {Аз = const}. Будем
считать для определенности, что параметр t меняется от а до 6. Имеем:
У (рг dXz +р3 dX3)
где интеграл берется по циклу А = {Аг = const}. Учитывая это, получаем:
Рз dX3.
Подставляя сюда выражение р3 через Аз и учитывая, что цикл А на торе
получается при четырехкратном пробегании параметром Аз отрезка [—с, —6],
получаем:
-ь I----------
Л/(^ + Лл)Лз <1Х3.
176
Глава
Аналогичным образом подсчитывается переменная действия
(t + А2)А2
2Г(А2)
</А2.
Теперь можно вычислить функцию вращения на нижних ребрах молеку-
лы W, пользуясь обычной формулой для р:
t>(t) =
dffl
dt
dlx
dt
— a
У Ф(м, t) du
-t
-b
У Ф(ы, t) du
—c
где Ф(И, t) = — - Здесь t меняется от а, до b.
x/(u + a)(u + b)(u + c)(u + t)
Аналогичным образом вычисляется функция вращения и на верхних ребрах
молекулы W:
— а
У Ф(ы, t) du
ХО = ,
I Ф(м, t) du
Здесь t меняется от b до с.
Тем самым, мы полностью вычислили молекулу W* и функцию вращения
для геодезического потока эллипсоида, т.е. для задачи Якоби.
Отметим, что мы несколько раз пользовались соглашением, что полуоси эл-
липсоида попарно различны. Если некоторые из них совпадают, то эллипсоид
превращается в эллипсоид вращения, а геодезический поток становится линейно
интегрируемым.
4.3.2. Стандартная сфера
Интегрирование геодезического потока метрики стандартной сферы ника-
ких затруднений, конечно, не вызывает. Однако для нас особый интерес пред-
ставляет явный вид метрики сферы, записанной в лиувиллевом виде. Это будет
нужно, например, для построения богатого семейства гладких метрик с замкну-
тыми геодезическими.
Сейчас нам потребуются специальные координаты в В3 — так называемые
сферо-конические. Они получаются предельным переходом из эллиптических ко-
ординат. Для начала нужно рассмотреть поведение эллиптических координат на
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
177
бесконечности, точнее, когда координата Ai устремляется к бесконечности. Это
означает, что эллипсоиды (задаваемые как поверхности уровня именно этой ко-
ординаты: Ai = const) начинают раздуваться и превращаться в увеличивающи-
еся сферы. Поверхности второго и третьего семейств, а именно, однополостные
и двуполостные гиперболоиды, на бесконечности превращаются в два семейства
эллиптических конусов. Подвергая затем эту асимптотическую картину эллип-
тических координат сжимающей гомотетии, можно перенести ее в конечные
области пространства В3. В результате получатся сферо-конические координа-
ты в Ж.3. Координатные поверхности первого семейства — это концентрические
сферы, а координатные поверхности двух других семейств — это эллиптические
конусы.
Сферо-конические координаты v2, ^3 получаются тогда как корни уравнения
второго порядка
х2 у2 z2
-----I------'-----= О'
а + v о + I/ с + v
Его можно трактовать как предел кубического уравнения
х2 у2 z2
-----1__"---1_____= 1
а+А6+А г+А
когда точка с координатами (ж, у, z) стремится в бесконечности. А первая сферо-
коническая координата />1 — это просто сумма квадратов:
2 , 2 , 2
V1 = х* + у + z .
Итак, рассмотрим в Ж3 сферо-конические координаты (pi, и2. г'з). Явные
формулы, выражающие декартовы координаты х. у, z через сферо-коничес-
кие Pi, Р2, ^з, таковы:
2 _ + р2)(а + ^з)
(а — 6) (а — с) ’
2 _ ^1(& + г/2)(& + ^з)
У ~ (Ь — а)(Ь — с) ’
2 _ г/1(с + г/2)(с + ^з)
(с-а)(с-Ь)
Евклидова метрика ds2 = dx2 + dy2 + dz2 в R3 записывается в сферо-
конических координатах следующим образом:
= 1 (U; - -—~ 7)—- ~ 7*—- .
4 yJA (а + v2)(b + v2)(c + v2) (а + р3)(6 + р3)(с + р3) J
Ограничим эту метрику на стандартную сферу, которая задается в сферо-
конических координатах простым уравнением: = 1. Получим следующий вид
стандартной метрики двумерной сферы в сферо-конических координатах:
ds2 = 4(^2 - ^3) I ------77----77-----7 dvi + -----—------—-------- dvl I .
4 I (a + р2)(Ь +^2)(c + P2) (a + ь,з)(Ь + ^з)(с + V3) I
178
Глава
Или же, используя предыдущие обозначения, получаем:
ds2 = - *>з)
dv% dv%
РЫ+РЫ
где Р(р) = (а + v)(b + р)(с + iz).
Тем самым, стандартная метрика сферы записалась почти в лиувиллевом
виде. Чтобы получить в точности лиувиллев вид, осталось снова сделать замену
dv?
^-РЧ'21
= du,
dv3
у/РЫ
= dv.
В результате метрика сферы примет лиувиллев вид:
ds2 = (w) - ^3(?;))(rfw2 + dv2).
Как видно из построения, лиувиллевы координаты на стандартной 2-сфере
определены неоднозначно. Например, можно по-разному выбирать значения па-
раметров а, Ь, с.
Отметим далее, что если у нас появилось лиувиллево представление для
метрики, то сразу возникает квадратичный интеграл соответствующего геоде-
зического потока. Этот интеграл задает лиувиллево слоение, поэтому можно вы-
делить однопараметрические семейства торов Лиувилля, изучить их бифуркации
и в итоге построить меченую молекулу с функцией вращения. В данном случае
(т. е. для метрики стандартной сферы) молекула W* будет такой же, как и для
эллипсоида. Все рассуждения можно провести здесь по аналогии со случаем эл-
липсоида. Торы Лиувилля будут снова проектироваться на аналогичные кольца
на сфере. Кольца первого семейства задаются уравнением —с. v3 — t. Кольца
второго семейства задаются уравнением — t и? —а.
В заключение интересно явно выписать функцию вращения для стандарт-
ной метрики сферы и убедиться, что она постоянна и равна 1. Для случая мет-
рики стандартной сферы это заранее известно и очевидно в силу замкнутости
всех геодезических. Дословно повторяя предыдущие рассуждения при вычисле-
нии функции вращения для трехосного эллипсоида, получаем для стандартной
сферы следующий ответ:
— а
У N(и, t) du
= ~b----------’
У N(u, t) du
— с
где АДм, t) = — 1 Здесь t меняется от а до 6.
(и + а) (м + 6) (и + с) (и + t)
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков 179
Аналогичным образом вычисляется функция вращения и на верхних ребрах
молекулы W*: — а t) du P(i) = • У N(u, tj du —с
Здесь t меняется от 6 до с.
Отметим, что JV(w, t) можно переписать в виде
N(u, t) = ; 1
V/-P(w)(t* + t)
где Р(и) = (u + а)(и + 6)(w + с).
Оба этих выражения для p(t) тождественно равны единице, что легко сле-
дует из хорошо известных формул теории эллиптических интегралов.
4.3.3. Сфера Пуассона
Сферой Пуассона называется двумерная сфера, снабженная следующей ри-
мановой метрикой
7 2 a dx2 + 6 dy2 + с dz2
ж2 у2
а b с
где х, у, z — декартовы координаты в I3, а числа а < b < с — произвольные по-
ложительные. Здесь предполагается, что написанная метрика в R3 (ж, у, z) долж-
на быть ограничена на стандартно вложенную сферу S2 = {ж2 + у2 + z2 = 1}
в В? (ж. у, z). Напомним, что эту же метрику на сфере Пуассона можно опре-
делить по-другому. Нужно рассмотреть группу вращений 50(3), снабженную
левоинвариантной римановой метрикой, определяемой диагональной матрицей
diag(a, b. с). Эта матрица задает скалярное произведение на алгебре Ли этой
группы. Разнося это скалярное произведение левыми сдвигами по группе, мы и
получаем некоторую левоинвариантную метрику. Затем нужно рассмотреть ле-
вое действие окружности S2 на группе 50(3) и перейти к фактор-пространству
группы по этому действию. Получится двумерная сфера. При этом исходная ле-
воинвариантная метрика на группе индуцирует некоторую метрику на базе, т.е.
на сфере. Это и есть метрика на сфере Пуассона.
Запишем эту метрику в сферо-конических координатах />2- /уз на 2-сфере,
вложенной в В3. Декартовы координаты х, у. z на сфере ж2 + у2 + z2 = 1 следу-
180
Глава
ющим образом выражаются через сферо-конические координаты z/2,
2 _ (а + i/2)(o + рз)
Х (а — Ь)(а — с) ’
2 _ (Ь + ^2)(Ь + ^з)
у - (Ь-аКЬ-с) ’
2 _ (С+ Р2)(С+ Р3)
(с —а)(с —6) ‘
Подставляя эти выражения в формулу для метрики Пуассона, записанную
выше, получаем:
as -4а^^з РЫ)’
где Р(р) - (а + р)(6 + i/)(c + р).
В заключение отметим следующее. Из предыдущего получаем, что выраже-
ние в числителе (метрики Пуассона) adx2 + bdy2 + cdz2 задает нам метрику
эллипсоида. А конформный множитель
•-Г-
а Ъ с
(в метрике Пуассона) вычисляется теперь в сферо-конических координатах по
простой формуле:
abc
V2V2
В результате получаем, что метрика на сфере Пуассона связана с метрикой
эллипсоида так:
1 2 _ ^аллипсоид®^®
®'^сфера Пуассона /^2^3
Легко проверяется, что меченая молекула W* для метрики на сфере Пуас-
сона имеет тот же вид, что и в случае эллипсоида. См. рис. 3.35 в главе 3.
Осталось написать функцию вращения для сферы Пуассона. Вычисления
здесь совершенно аналогичны проведенным выше. В результате получаются сле-
дующие формулы:
— а
У S(u, t) du
= ~4-b--------,
j" S(u, t) du
— c
где S(tt, t) = — U . Здесь t меняется от а до b.
y/-(u + a)(w + 6)(w + c)(w + t)
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
181
Аналогичным образом вычисляется функция вращения и на верхних ребрах
молекулы W*: — а У S(u, t) du p(t) = • У S(u, t) du — c
Здесь t меняется от b до с.
4.4. Нетривиальность классов траекторной
эквивалентности и метрики с замкнутыми
геодезическими
Рассмотрим все римановы метрики, геодезические потоки которых допуска-
ют нетривиальный линейный или квадратичный интеграл, и разобьем это мно-
жество на классы, включая в один класс те метрики, геодезические потоки ко-
торых гладко траекторно эквивалентны (на изоэнергетических поверхностях).
Следующая теорема Е. Н. Селивановой показывает, что эти классы нетривиаль-
ны. Другими словами, для каждой метрики рассматриваемого класса существует
довольно много других неизометричных ей метрик с траекторно эквивалентны-
ми геодезическими потоками.
Теорема 4.3 (Е. Н. Селиванова [174]). Пусть g — гладкая риманова метрика
на сфере или торе, геодезический поток которой допускает нетривиальный ли-
нейный или квадратичный боттовский интеграл. Пусть g, кроме того, отлична
от плоской метрики на торе. Тогда на этой поверхности существует семейство
римановых метрик, зависящее от функционального параметра, геодезические по-
токи которых гладко траекторно эквивалентны геодезическому потоку исходной
метрики g. При этом все метрики из семейства попарно неизометричны.
Схема доказательства этой теоремы очень естественна. Пусть, напри-
мер, g — глобально лиувиллева метрика на двумерном торе, т. е. имеет вид
ds2 = (/(ж) + g(y))(dx2 + dy2) в некоторых глобальных периодических коорди-
натах (ж, у). Основным траекторным инвариантом ее геодезического потока яв-
ляется молекула W*. каждому ребру которой сопоставлена соответствующая
функция вращения, явные формулы для которой в терминах функций fug бы-
ли выписаны выше. Идея состоит в том, чтобы возмутить функции f и g таким
образом, чтобы функция вращения не менялась. При этом, разумеется, структу-
ра критических точек функций fag должна оставаться без изменения, чтобы
молекула W* тоже не менялась. Оказывается, такие возмущения нетрудно ука-
зать почти явно, причем параметром возмущения можно выбрать некоторую
функцию одного переменного. Мы продемонстрируем это ниже в одном важном
частном случае. Отметим, что случай плоской метрики на торе приходится ис-
ключить из этой конструкции, поскольку в этом случае функции f и g являются
182
Глава
константами, и любое их возмущение (т. е. превращение в неконстанту) сразу
приводит к нарушению структуры молекулы W*. Впрочем, для фиксированной
плоской метрики на торе соответствующий класс эквивалентности все-таки то-
же нетривиален, поскольку он включает в себя все плоские метрики, которые,
как известно, не обязательно изометричны. Их параметрами служат координаты
базисных векторов решетки.
Доказательство.
Рассмотрим интегрируемую метрику на торе вида
(/(®) + ё(у))(йх2 + dy2),
где функции f и g периодические и хотя бы одна отлична от постоянной. Рассмот-
рим сначала простой случай, когда обе функции fug являются одногорбыми, то
есть имеют ровно по одному локальному максимуму на отрезке своего периода.
По существу единственным инвариантом непрерывной траекторной эквивалент-
ности является здесь функция вращения р на ребрах молекулы W. Тем самым,
мы должны предъявить возмущение f —> f, g —> g такое, которое не меняло бы
функции вращения. Поскольку функция вращения р на самом деле выражается
через производные переменных действия, то достаточно предъявить функцио-
нальное семейство возмущений, не меняющих переменные действия. Как мы
знаем, переменные действия выглядят так:
Il (F) = У %\/ё(у) ~Fdy, если F > min(g),
Vi
L
11(F) = / у/ё(у) ~ F dy, если F < min(g),
о
Мы хотим возмутить функцию g —> g так, чтобы функция 11(F) при этом
не изменилась. С геометрической точки зрения функция 11(F) пропорциональна
площади области Up, лежащей на плоскости с координатами (у, ру) в полосе
О < у < L, и задаваемой неравенством:
Uf = {g(y) - р2у > F}.
См. рис. 4.14. Возмущения второй функции f будут происходить по той же схеме,
что и для g, поэтому мы ограничимся рассмотрением только функции g. Разо-
бьем интервал изменения переменной у на два участка монотонности функции g:
от 0 до i/о и от Уо Д° F. При этом мы считаем для определенности, что функ-
ция g достигает минимума в точках 0 и L. См. рис. 4.14. Обозначим через Oi(.s)
и а.2(я) функции, обратные к функции g на ее двух интервалах монотонности.
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
183
Тогда формула для переменной действия /1(F) перепишется в следующем виде:
Йгпах
W) = ^ / ‘iVs^F^^-a'^ds,
F
gmax
Ii (F) = / Vs- F^a’i^s) - a'2(s)) ds,
SniLLl
если F > min(g),
если F < min(g).
Из этих формул видно, как нужно возму-
щать функцию g. Возмущение не должно ме-
нять разности о4(а) — Рассмотрим на от-
резке от 0 до уо возмущенную функцию g(y)
(рис. 4.15) такую, что функция g(y) остается
монотонной, совпадающей с g(y) в окрестности
нуля и максимума функции g. На втором от-
резке [j/o, L] возмущенную функцию g(y) одно-
значно восстановим из того условия, что
5'1 (з) - a'2(s) = ai(s) - a'2(s).
Другими словами, возмущенная функция g
на отрезке [i/q, L] является функцией, обрат-
ной к функции 5.2 — 02 — ai + ai- При
этом график функции g деформируется так,
что он слегка перемещается влево на учас-
тках монотонности, оставаясь неподвижным
в окрестности нуля и максимума функции
g. Ясно, что такое возмуще-
ние всегда существует в классе гладких функций. Итак, в случае, когда
обе функции являются одногорбыми, утверждение теоремы для случая тора
доказано.
Если функции / и g являются функци-
ями Морса общего вида, то есть имеют по
несколько локальных максимумов, то рассуж-
дения принципиально не меняются. Достаточ-
но рассмотреть произвольный горб функции g
(соответственно для функции /) и повторить
для него все проведенные выше рассуждения.
См. рис. 4.16.
Случай плоского тора естественно выпада-
ет из этой конструкции, поскольку здесь функции fug постоянны и не имеют
ни одного локального максимума.
Случай сферы ничем принципиально не отличается от случая тора. В слу-
чае, когда квадратично интегрируемая метрика на сфере не является стандарт-
ной метрикой постоянной кривизны, ее представление в виде (L, /, ^-метрики
следует из общей теории, изложенной в главе 2. Утверждение, что описанные
184
Глава
возмущенные интегрируемые метрики не изометричны исходной, следует из од-
нозначности задания функций f и gB лиувиллевой записи интегрируемой метри-
ки. См. теорему классификации (L, /, £)-метрик. Тем самым, возмущение этих
функций порождает неизометричное преобразование метрики.
Случай линейно интегрируемой метрики
'%(#) на сфере разбирается аналогично. Теорема до-
/\ казана.
/ ..i—Л Сформулированная выше теорема имеет
/ ; ;\ интересные следствия, если ее применить к
__/ : • I X. случаю стандартной метрики постоянной кри-
: ; ; у визны на двумерной сфере. А именно, мы полу-
*“ чаем богатое семейство метрик, геодезические
потоки которых траекторно эквивалентны гео-
Рис. 4.16 дезическому потоку метрики постоянной кри-
визны. В частности, все геодезические замкну-
ты и, как несложно показать, имеют одинаковую длину. Такие метрики назы-
ваются обычно метриками Цолля.
Для случая метрик вращения (т. е. допускающих изометричное действие
окружности) этот факт хорошо известен, см., например, книгу А. Бессе [18]. Тем
не менее, нам представляется полезным посмотреть на него в контексте теории
интегрируемых геодезических потоков.
Рассмотрим сферу постоянной кривизны как поверхность вращения. Тогда
ее метрика запишется в стандартном виде
dsg = d()2 + sin2 0 dtp2.
Геодезический поток допускает линейный интеграл F = pv. Молекула имеет
простейший вид А----А, т.е. имеется только одно однопараметрическое семей-
ство торов Лиувилля, а функция вращения на этом семействе имеет вид
»(F) = i I
7Г — X
Fd0
sinOy/sin2 0 — F2
Легко проверяется, что p<j(F) = 1, что и является условием замкнутости всех
геодезических.
ЗАМЕЧАНИЕ. На самом деле, необходимое и достаточное условие замкнутости всех гео-
Г)
дезических имеет вид p(F) = const = 6 Q. Впервые оно было получено Г. Дарбу.
Одним из примеров поверхности, для которой это условие выполнено при р = 2, q = 1,
является известная груша Таннери (см. [18]). Она, однако, имеет особенность в полюсе.
Это обстоятельство существенно: метрики вращения без особенностей с замкнутыми
геодезическими существуют только при р = 1, q = 1.
Посмотрим теперь, каким образом можно возмутить метрику сферы так,
чтобы функция вращения не изменилась. Следуя книге А. Бессе, будем искать
возмущения в виде
ds^ = (1 + /i(cos0))2 d02 + sin2 0 dp2,
7Г —
Ph(F) = | [
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков 185
где h — некоторая гладкая функция. Тогда функция вращения запишется в виде
(1 + h(cos0))F dO
sin /9\Ain2 0 - F2'
а условие замкнутости геодезических ph(F) = 1 можно переписать следующим
образом:
«(Л = 1 Т s 0
J sin 6 у/sin2 0 — F2
X
Легко видеть, что это условие выполняется для любой нечетной функции h.
Это же условие является и необходимым. А именно, имеет место следующий
результат.
Теорема 4.4 ([18]). Метрика вращения ds2 на двумерной сфере является мет-
рикой Цолля тогда и только тогда, когда она может быть записана в виде
ds2 — (1 + h(cos 0У)2d02 + sin2 0 dip2,
где h — нечетная функция.
Замечание. Здесь для записи метрики используется аналог сферических координат:
ip £ R mod 2тг, в 6 К0Т0Рые действуют на всей сфере за исключением двух
полюсов. Метрика ds^ продолжается до гладкой метрики на всей сфере тогда и только
тогда, когда h — гладкая функция на отрезке [—1, 1] и, кроме того, h(l) = h(—1) = 0.
Более того, выбирая h подходящим образом, эту метрику можно сделать вещественно
аналитической.
Более интересную серию метрик Цолля можно получить, если рассмотреть
метрику постоянной кривизны на сфере как (L, /, ^-метрику. В этом случае
возмущение стандартной метрики нужно проводить другим способом.
Теорема 4.5. Существует семейство попарно неизометричных С°°-гладких
метрик ds2a @ на двумерной сфере, зависящее от двух функциональных парамет-
ров а и /3, и таких, что:
1) геодезические потоки этих метрик квадратично интегрируемы,
2) все геодезические этих метрик замкнуты и имеют одинаковую длину,
3) все эти метрики ds2a @ являются возмущениями метрики стандартной
сферы в том смысле, что при а = 0, /3 = 0 метрика превращается в обыч-
ную метрику ds^ постоянной кривизны на сфере,
4) все метрики ds^ @ задаются явными формулами.
Доказательство.
Начнем с того, что представим метрику ds$ постоянной кривизны на дву-
мерной сфере в виде (L, f, £)-метрики. Это уже было фактически сделано выше
186
Глава
в параграфе 3, в пункте 3.2, где мы указали лиувиллево представление для мет-
рики dsg сферы в сферо-конических координатах:
ds20 = 1(р2 - р3)
dv%
РЫ
dv%
РМ
где Р(г/) = (а + р)(6 + р)(с + г/).
Прокомментируем эту формулу. В действительности, ее можно рассматри-
вать как четыре отдельные формулы на четырех областях, определяемых так.
1-я область: х > 0, z > О,
2-я область: х < 0, z > О,
3-я область: х > 0, z < О,
4-я область: х < 0, z < 0.
Важно, что на каждой из четырех областей функции Р(г'г) и Р(г'з) можно за-
дать независимо друг от друга (своей формулой), лишь бы они хорошо (т.е. глад-
ко) стыковались на границах указанных областей. В исходной записи метрики
сферы все эти четыре функции задаются одной и той же формулой. Однако это
совершенно не обязательно. Кроме того, две функции Р(р2) и Р(^з) задаются
одной и той же функцией Р (только от разных аргументов). Это тоже не обя-
зательно. Можно взять две разные функции, например, Q и R. Перечисленные
наблюдения открывают путь для построения подходящих возмущений стандарт-
ной метрики сферы так, чтобы функция вращения при этом не менялась. Для
этого на каждой из четырех областей зададим метрику следующим образом.
На первой области:
ds2 = - "3)
С+(рг)
d^l
R+M/ ’
На второй области:
На третьей области:
На четвертой области:
При этом надо выбрать функции так, чтобы в результате получалась глад-
кая риманова метрика на сфере. Например, достаточно потребовать, чтобы но-
вые функции имели ту же асимптотику, что и исходная функция Р на краях
интервалов [—с, — Ь] и [—6, —о,].
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
187
Меняя функции Q+, Q_, R+, R-. мы получим некоторое функциональное
семейство гладких лиувиллевых метрик ds2(Q+, Q-, R+. R-) на сфере.
Напомним, что, представив метрику da2, в лиувиллевом виде, мы тем са-
мым автоматически получаем квадратичный интеграл ее геодезического потока
и, следовательно, структуру лиувиллева слоения на изоэнергетической поверх-
ности (т.е. на расслоении единичных (ко)касательных векторов). Это слоение
имеет четыре однопараметрических семейства торов Лиувилля, для каждого из
которых можно явно выписать формулу для функции вращения. Как мы уже
показали выше (см. параграф 3), эта функция (на одном из семейств торов) вы-
глядит так:
— а
У N(u, t) du
р(^)станд. сферы = ,
У N(u, t) du
гд,е N(u,t) = — 1 ----. t 6 (a, b). Легко проверяется, что р(£)стаНд сферы = 1-
s/-P(u)(u+ty
Это эквивалентно замкнутости геодезических, лежащих на торах из рассматри-
ваемого семейства.
Структура лиувиллева слоения для метрик ds2(Q+, Q-, R+. /?_) полностью
аналогична, а функция вращения на аналогичном семействе торов запишется так:
— а
У N2(u, t) du
р(^)возмущен. сферы — ~ ,
У 1V3 (и. t) du
где
N2(u, t) = 1 ( 1 + 1 |
+ i \\/-Q+(w) y/-Q-(u}J
и
W3(u, t) = . 1 ( . 1 + . 1 | .
v~u - t \y/R+(u) y/R-(u) J
Выберем теперь функции Q+, Q-, R+, R_ так, чтобы выполнялось условие
Р(^)возмущен. сферы = 1?
что и будет гарантировать замкнутость геодезических. Ясно, что для этого
функции достаточно выбрать таким образом, чтобы подынтегральные выраже-
188
Глава
ния вообще не менялись, т. е. чтобы
1 + — ' = 2 _
V~Q-(u) V~p(u)’
1 + 1 = —g—.
y/R_(u) у/Р&)
В результате получим, что
р(^)станд, сферы — р(^) возмущен. сферы-
Таким образом, возмутив стандартную метрику, мы сохранили функцию
вращения.
Можно написать и явную формулу для указанных возмущений стандартной
метрики сферы. Достаточно положить
В этом представлении а и /3 — почти произвольные гладкие функции. Нужно
лишь потребовать, чтобы их добавление не меняло асимптотики функции Р(р)
в точках р = —а, —Ь, —с, и чтобы выражение в скобках оставалось бы всег-
да положительным. В остальном функции а и /3 произвольны. Отсюда видно,
что метрика стандартной сферы допускает достаточно много шевелений, остав-
ляющих геодезический поток квадратично интегрируемым, с той же функцией
вращения и, следовательно, с замкнутыми геодезическими. При этом описанные
нами возмущения даже не обязаны быть малыми. Перечисленные требования
вполне удовлетворяются и при подходящем выборе больших возмущений.
Стоит подчеркнуть, что построенные нами возмущения являются гладкими,
но не аналитическими. Причем описанным методом сделать возмущения анали-
тическими нельзя принципиально. Дело в том, что, как мы показали выше при
классификации метрик с квадратично интегрируемыми геодезическими потока-
ми на сфере, в аналитическом случае описанные выше функции возмущения Q+
и Q- должны совпадать, поскольку вещественно аналитические (L, f, ^-метри-
ки удовлетворяют дополнительной йг-симметрии.
Осталось доказать, что построенные нами возмущенные метрики вида
da2(Q+, Q-, R+, R-) не изометричны стандартной метрике сферы и не изомет-
ричны между собой. Неизометричность стандартной метрике легко следует из
Траекторная классификация интегрируемых геодезических потоков
189
того, что метрики, заданные описанными выше формулами, не имеют никаких
ограничений на кривизну.
Тот факт, что возмущенные метрики не изометричны между собой, следует
из единственности лиувиллева представления для метрик, отличных от стан-
дартной.
Теорема полностью доказана.
Комментарий 1. В несколько иной формулировке эта теорема была полу-
чена К.Киохарой в [320]. Он также обобщил это утверждение на много-
мерный случай [319]. Здесь мы придерживаемся конструкции, предложенной
Е. Н.Селивановой.
Комментарий 2. Римановы метрики на сфере, построенные в теореме 4.5, явля-
ются новыми в том смысле, что они отличны от метрик вращения, описанных
в теореме 4.4. В частности, они не допускают гладкого изометричного действия
окружности. Более того, группа изометрий таких метрик дискретна. А именно, в
общем случае (т.е. при ненулевых возмущениях а и /3) она изоморфна группе Z%,
т.е. группе отражений относительно плоскости Oxz, при которой точка (яг, у, z)
переходит в точку (х, —у, z).
Комментарий 3. Следует отметить, что в работах В. Н. Колокольцова [93], [94] с
общей точки зрения исследованы метрики Цолля в классе всех метрик с квадра-
тично интегрируемыми геодезическими потоками. В частности, выписаны не-
обходимые и достаточные условия на функции / и g (участвующие в определе-
нии (£, /, £)-метрик, в нашей терминологии), гарантирующие замкнутость всех
геодезических. Было доказано, что, если все геодезические замкнуты, то у них
всех — одинаковая длина, и каждая из них не имеет самопересечений, т. е. соот-
ветствующая поверхность является й'С'-многообразием. Кроме того, фактически
им было показано, что структура слоения Лиувилля таких геодезических пото-
ков имеет простейший вид. Топология этого слоения Лиувилля изображена нами
на рис. 3.35а главы 3 в виде молекулы. В. Н. Колокольцов построил также явные
примеры 5С-метрик на сфере, однако эти метрики не были гладкими, имея осо-
бенности в четырех точках.
В заключение отметим связь теоремы 4.5 с работами Гийемина (Guillemin V.)
[305]. См. также книгу А. Бессе [18]. Гийемин доказал теорему существования бо-
гатого множества гладких возмущений стандартной метрики сферы, при кото-
рых получаются метрики с замкнутыми геодезическими. Причем такие метрики
имеют тривиальную группу изометрий. Отличие (и некоторое преимущество)
нашего подхода в том, что построенные нами возмущенные гладкие метрики
предъявлены явными формулами.
Отметим, что геодезические потоки метрик с замкнутыми геодезическими,
конечно, интегрируемы. Было бы очень интересно понять характер возникаю-
щих здесь интегралов. Например, являются ли они полиномами по импульсам?
Если да, то какую они могут иметь степень? Если же нет, то как вообще вы-
глядят такие интегралы? На самом деле сегодня не известно ни одного явного
примера интегралов геодезических потоков римановых метрик, которые не были
бы полиномами.
190
Глава
Геодезические потоки метрик с замкнутыми геодезическими образуют весь-
ма специальный и интересный класс в множестве всех интегрируемых систем.
Изучению таких потоков посвящено много работ. См., например, [46], [299],
[305], [319], [395]. Наиболее полно эта тематика отражена в известной книге
А. Бессе [18].
Глава 5
Топология лиувиллевых слоений в классических
интегрируемых случаях динамики тяжелого
твердого тела
5.1. Интегрируемые случаи в задаче о движении твердого
тела и некоторых ее обобщениях
В настоящей главе будут вкратце изложены результаты вычислений тополо-
гических инвариантов для основных случаев интегрируемости. Молекулы W для
этих случаев были первоначально вычислены А. А. Ошемковым [154], [156], [350].
Затем разными авторами были определены числовые метки на этих молекулах,
что позволило в итоге вычислить меченые молекулы W*. См. А. В. Болейнов [249],
П.Й. Топалов [198], А. В. Болейнов, А. Т. Фоменко [35], [38], О. Е. Орел [147],
О. Е. Орел, Ш. Такахаши [150]. В результате была получена лиувиллева классифи-
кация основных случаев интегрируемости в динамике твердого тела. Эта клас-
сификация и будет описана в настоящей главе.
Классические уравнения Эйлера-Пуассона, описывающие движение твердо-
го тела с закрепленной точкой в поле силы тяжести, в системе координат, оси
которой направлены вдоль главных осей инерции тела, имеют следующий вид.
См. например [82], [14].
Аа> = Aw х ш — Р г х р,
Р = V X W.
(1-1)
Фазовые переменные системы здесь таковы: ш — вектор угловой скорос-
ти, р — единичный вертикальный вектор. Параметрами системы являются: диа-
гональная матрица А = diag(Ai, А2, A3), задающая тензор инерции твердого те-
ла, Р — вес тела, г — вектор с началом в неподвижной точке и концом в центре
масс тела. Запись а х b означает векторное произведение в К.3.
Вектор Aw имеет смысл кинетического момента твердого тела относитель-
но неподвижной точки. Н. Е. Жуковский исследовал задачу о движении твердого
тела, имеющего полости, целиком заполненные идеальной несжимаемой жидкос-
тью, совершающей безвихревое движение [68]. В этом случае кинетический мо-
мент тела равен Aw + А. Здесь А — постоянный (в системе координат, связанной
с телом) вектор, характеризующий циклические движения жидкости в полос-
тях. Аналогичный вид кинетический момент тела имеет в случае, когда в теле
закреплен маховик, ось которого направлена вдоль вектора А. Такую механичес-
кую систему называют гиростатом. Движение гиростата в поле силы тяжести,
192
Глава 5
а также некоторые другие задачи механики (см., например, [221]) описываются
системой уравнений
Аса = (Аса + А) х са — Р rxv,
V = у X щ,
(1-2)
частным случаем которой при А = 0 является система (1.1).
Другое обобщение уравнений (1.1) связано с заменой внешнего однородного
поля, т. е. силы тяжести, на более сложное. Уравнения движения твердого тела
с закрепленной точкой в произвольном потенциальном силовом поле были по-
лучены Лагранжем. Если это поле имеет ось симметрии, то ее можно считать
вертикальной, и уравнения примут вид:
Аса = Аса х са + р х ,
’ (1.3)
v = v х са,
где U(v) — потенциальная функция, а через обозначен вектор с координата-
ми | |. При U — Р(г, р) получаем систему уравнений (1.1). Здесь
у 67Р1 01*2 J
через (а. Ь) обозначено стандартное евклидово скалярное произведение векторов
в IR3.
Естественно, обобщения уравнения (1.2) и (1.3) можно комбинировать, рас-
сматривая движение гиростата в осесимметричном силовом поле и т. п. Наибо-
лее общие уравнения, описывающие различные задачи динамики твердого тела,
имеют вид (см., например, книгу М. П. Харламова [219]):
Аш = (Аса + х) х са + р х -7—,
с>р
(1-4)
р = р х са,
где х(р) — вектор-функция, компоненты которой являются коэффициентами
некоторой замкнутой 2-формы на группе вращений SO(3), т. е. формы гироско-
пических сил. При этом вектор-функция х(р) не произвольна, а имеет вид:
х = А + (А — div А • Е')р,
(1-5)
х j. 1- х ЭА1 дХ% дХ$
где Л(р) — произвольная вектор-функция, div Л =
C/Z^i С/Р2
, \ т
( дХ \
а А= - I — транспонированная матрица Якоби. Очевидно, системы (1.1)—
\iavj )
(1.3) являются частными случаями общей системы (1.4).
У системы (1.4) всегда существуют геометрический интеграл
F = (р, р) = 1
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
193
и интеграл энергии
Е= |(Aw, u) + U(v).
Если вектор-функция х(р) имеет вид (1.5), то существует интеграл
площадей
G = + Л, р).
Как мы сейчас покажем, уравнения (1.4), (1.5) являются гамильтоновыми на
совместных 4-поверхностях уровня геометрического интеграла и интеграла пло-
щадей. См., например, [219]. Более того, уравнения (1.4), (1.5) можно предста-
вить в виде уравнений Эйлера для 6-мерной алгебры Ли е(3) группы движений
трехмерного евклидова пространства.
На линейном пространстве е(3)* определена скобка Ли-Пуассона двух про-
извольных гладких функций f и g:
{f, g}(x) = x{[dxf, dxg]),
где x G e(3)*, через [, ] обозначен коммутатор в алгебре Ли е(3), a dxf и dxg —
это дифференциалы функций / и g в точке х. Эти дифференциалы принадлежат
в действительности алгебре Ли е(3), как ковекторы на е(3)*, при стандартном
отождествлении пространства е(3)** с алгеброй е(3). В естественных координа-
тах
Si, S2, S3, Ri, R2, R3
на пространстве е(3)* эта скобка записывается следующим образом:
{Si, Sj} = CijkSk, {Ri, Sj} = CijkRk- {Ri,Rj} = 0, (1.6)
где {i, j, k} = {1, 2, 3}, a £ijk = |(z - j){j - k)(k - i).
Гамильтонова система на пространстве е(3)* со скобкой (1.6), т. е. уравнения
Эйлера, по определению имеют вид:
Si = {Si, Н}, Ri = {Ri,H},
где II — функция на е(3)*, называемая гамильтонианом. Вводя векторы
5 = (5i, S2, S3) и R = (Ei, R2, R3),
эти уравнения можно переписать в виде обобщенных уравнений Кирхгофа:
(W)х 5+(И)х R’ я=(Ц)хд- <L7)
Предложение 5.1. Отображение R6(w, р) —> R6(S, R), заданное формулами
S = -{Аш + A), R = р, (1.8)
194
Глава 5
устанавливает изоморфизм системы (1.4), (1.5) и системы (1.7) с гамильтони-
аном
„ _ (51 + Ах)2 (5г + Аг)2 (S3 + A3)2
- Н) + 2А2 + 2А3
(1-9)
где параметры Ai, А2, A3 и функции Ai, Аг, A3, U берутся из системы (1.4),
(1.5), но функции заданы не на пространстве R3(p), а на пространстве К.3 (Л).
Доказательство.
Достаточно показать, что дифференциал dtp отображения (1.8) переводит
векторное поле, определяемое системой (1.4), (1.5), в векторное поле, опреде-
ляемое системой (1.7), (1.9). В выбранных координатах дифференциал задается
следующей матрицей размера 6x6:
/-А -Лт\
^=(о Е )
Таким образом, надо показать, что для любой точки Р из В6 (w, р) выполнено
равенство:
/-А -Лт\ /w\ _ /s\
V е )pV)p-[r)v(p}-
Вычисляя, получаем:
S = (9H}xS+(^}xR =
\9s) +\9RJ
=(A"1(S + A)) х 5 +(ЛА"1 (5 +A)) xR + (х R-,
у и II)
—Ай — А.Тй = — (Aw + А + (Л — div А • E)i/) х w — и х ~ Ат(и х w) =
=w х (Aw+A) —((Ap)xw+At(pxw)—div A(pxw)) + xv=
=ш x (Aw + A) - (Aw) x v + x v-
Здесь использована формула
Ca x b + a x (Cb) + CT(a x 6) = traceC (a x b),
которая справедлива для любой матрицы С и векторов а, b из К.3, Сравнивая
полученные выражения и учитывая (1.8), получаем, что
5ИР)) = (-АФ-Лгр)(Р).
Равенство R(p(P)) = р(Р) проверяется аналогично. Предложение доказано.
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 195
Следствие. Условие (1.5), налагаемое на вектор-функцию ж(у), равносильно то-
му, что система уравнений (1.4) эквивалентна системе, задаваемой уравнени-
ями Эйлера на пространстве е(3)*, т. е. уравнениями (1.7), с гамильтонианом,
квадратичным по переменным S, то есть с гамильтонианом вида
Н = (CS, S) + (W, S) + V, (1.10)
где С — постоянная симметричная матрица размера 3x3, затем W(R) —
произвольная вектор-функция, и V(R) — произвольная гладкая функция.
Доказательство.
Достаточность условия (1.5) уже доказана. Докажем необходимость. Пусть
система (1.4) с параметрами A, a, U эквивалентна системе (1.7) с некоторым га-
мильтонианом вида (1.10). Заметим, что ортогональным вращением по перемен-
ным S, то есть линейной заменой координат в пространстве е(3)*, сохраняющей
скобку (1.6), мы можем привести гамильтониан (1.10) к виду (1.9) с некоторыми
параметрами A, A, U. Таким образом, мы получаем, что две системы вида (1.4)
с параметрами (Л, х, U) и (А, х, U) задают один и тот же поток в R6(w, г/).
Легко проверяется, что это возможно тогда и только тогда, когда выполнены
соотношения:
А — кА, — fcx(p), U (и) — kU(v) + ^(pf + "2 + рзЬ
где к — постоянная, а ф: К —> К — некоторая функция. Так как х имеет
вид (1.5), то
х = А + (А — div А)р,
где А = кХ. Следствие доказано.
При построенном отображении (1.8) интегралы F = (р, v) и G = {Aw + А, р)
переходят в инварианты алгебры Ли е(3):
А = + 7?з, fa = S1.R1 + S2R2 + S3R.3,
а интеграл энергии Е — ^{Aw, w) + U(v) переходит в гамильтониан (1.9). Систе-
ма (1.7) является гамильтоновой на совместных четырехмерных поверхностях
уровня двух гладких функций, т.е. интегралов fa и fa:
M^g = {fa = R2 + R2 + R2 = C, fa = S,R, + S2R2 + S3R3 = g}. (1.11)
Для почти всех значений eng эти совместные уровни являются неособыми
гладкими подмногообразиями в е(3)*. В дальнейшем будем считать, что с и g
являются именно такими регулярными значениями.
Легко видеть, что эти симплектические 4-многообразия М* диффеоморф-
ны, при с > 0, касательному расслоению TS2 к двумерной сфере S2. Симплек-
тическая структура задается здесь ограничением скобки Ли-Пуассона на TS2
из объемлющего 6-мерного пространства е(3)*. Поскольку линейное преобразо-
вание S' = S, R' = "/R, где 7 = const, очевидно, сохраняет скобку (1.6), мы будем
считать в дальнейшем, что всегда с = 1.
196
Глава 5
Как уже отмечалось, система уравнений (1.7) с гамильтонианом (1.9) (или
эквивалентная система уравнений (1.4), (1.5)) описывает различные задачи ди-
намики твердого тела и некоторые близкие к ней системы.
Итак, начиная с этого момента мы будем рассматривать систему урав-
нений (1.7) с гамильтонианом (1.9) на симплектических 4-многообразиях
Afi = {fi = 1. f2 = g} в 6-мерном пространстве е(3)*. В каждой физичес-
кой задаче фазовые переменные и параметры системы приобретают конкретный
физический смысл.
Ниже приведен список основных известных сегодня интегрируемых случа-
ев для уравнений (1.7), (1.9) с указанием: кем, когда и для какой задачи этот
случай интегрируемости был впервые обнаружен. Для каждого случая указаны
гамильтониан Н и дополнительный интеграл К, функционально независимый
с Н. При этом дополнительный интеграл К может существовать не на всех
4-поверхностях уровня функций fi и f2, а лишь для некоторых значений по-
стоянной g. Такие примеры мы приведем ниже.
Случай Эйлера (1750 год). Движение тяжелого твердого тела с закрепленной
точкой, совпадающей с центром масс твердого тела.
С2 с2 с2
Д1 , д2 . д3
2А1 2А2 2А3 ’
К = Si + S% + S%.
(1-12)
Здесь интеграл К — квадратичный.
Случай Лагранжа (1788 год). Движение тяжелого твердого тела с закреплен-
ной точкой и указанным ниже условием симметрии твердого тела.
С2 С2 С2
J/-di + d + 2i + ^- K~s-
(1-13)
Здесь интеграл К — линейный. В этом случае твердое тело имеет ось сим-
метрии, поскольку Ai = А2 = А. При этом закрепленная точка твердого тела
находится как раз на этой оси.
Случай Ковалевской (1899 год). Движение тяжелого твердого тела с закреп-
ленной точкой и специальными условиями симметрии, указанными ниже.
е2 с2 С’2
т_ О? тч т-к
л \ 2
” ^2 । т> ту , f Si S2
---------------Н «2 ^<-2 — ЙРЧ 1+1 ------«1Л2 —
(1-14)
2
Здесь интеграл К — четвертой степени. В этом случае Ai = А2 = 2А3, и центр
масс тела расположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум
осям инерции тела, то есть в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
Случай Горячева-Чаплыгина (1899 год). Движение тяжелого твердого тела с
закрепленной точкой и специальными условиями симметрии, указанными ниже.
С’2 с*2 о С’2
С/О . । „
= 2А + 2А + 7Т + + а2^2’
К = S3{Sf + Si) - AR3{a,iSi + a2S2).
(1-15)
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 197
Здесь интеграл К — третьей степени. В этом случае Ai = А2 = 4Лз, и центр
масс тела расположен в плоскости симметрии тела, отвечающей первым двум
осям инерции тела, то есть в экваториальной плоскости эллипсоида инерции.
Здесь скобка Пуассона функций Н и К выглядит так:
{Я, К} = (SiRi + S2R2 + 53Л3)(а251 - aiS2).
Отсюда видно, что функции Н и К не находятся в инволюции на всех
4-многообразиях М* , поэтому система интегрируема лишь на одной специаль-
ной 4-поверхности {Д = 1, Д = 0}, то есть на М^о. Это — случай так назы-
ваемой частичной интегрируемости, отвечающий нулевому значению интеграла
площадей Д.
Все эти четыре случая интегрируемости допускают интегрируемые обобще-
ния путем добавления гироскопических сил.
Случай Жуковского (1885 год). Движение гиростата в поле силы тяжести.
ТТ _ (>$т + А1)2 (S% + А2)2 (S3 + А3)2
“ 2Ai + 2А2 + 2А3 ’ (1.16)
К = Si + Si + Si-
Здесь интеграл К — квадратичный. Этот случай является обобщением случая
Эйлера. Случай Эйлера получается отсюда, когда все А, равны нулю.
Случай Лагранжа с гиростатом.
Si S2 (S3 + A)2
Н 2А + 2А + 2В +aR3> К *’з- (1-17)
Классический случай Лагранжа получится при А = 0.
Случай Ковалевской-Яхьи (1986 год). Движение гиростата в поле силы тя-
жести.
ТТ Si Si (S3+A)2
Н — д-т + д-т Ч--д-----Н Я1Я1 + a2R2,
Ух
(\ 2 2
~ *$2 . ту ту | । ( S1S2 ту ту \ /1 1QX
---—т----h CL2R2 ~ (11R1 I + I —— ^1-^2 — ^2-^1 I — ^1.1о)
1 \ А /
- %(S3 + 2A)(S2 + 52) + ^(aiSi + a2S2).
Л
Здесь интеграл К — четвертой степени. Классический случай Ковалевской по-
лучается при А = 0.
Случай Сретенского (1963 год). Движение гиростата в поле силы тяжести.
SI SI 2(5з + А)2
Н ~ 2А + 2А + А + aiR1 + °2Й2’ (1.19)
К = (S3 + 2A)(S2 + Si) - ARs^Sr + a2S2).
198
Глава 5
Здесь интеграл К — третьей степени. Здесь Ai = А? = 4Л3. Этот случай
является обобщением случая Горячева-Чаплыгина, который получается из него,
когда параметр А равен нулю.
Здесь, как и в случае Горячева-Чаплыгина, система интегрируема лишь на
одной 4-поверхности {Д = 1, /2 = 0}.
Случай Клебша (1871 год). Движение твердого тела в жидкости.
С2 С'2 С2
н~ тг + й~ + тг + ^AlR* + + ЛзДз),
2А1 ZA2 2Аз Z (1.20)
+ Si + S2) - f (Л2А3Д2 + A3A1R2 + ЛМ2Я2).
Здесь интеграл К — квадратичный.
Случай Стеклова (1893 год). Движение твердого тела в жидкости.
с»2 а'2 а'2
Н = —j—Н —h —Н s(AiSi.Ri + A2S2R2 + A3S3R3) +
£Ai £А2 &А3
2
+ + ^2(^3 + А2)Д2 + Л3(Л2 + Л^Яд), (1.21)
К — (S2 + Si + S3) — 2e(A2A3Si7?i + A3A1S2R2 + Д-1А25з7?3) +
+ с2 (А2(А2 - А3)2Я2 + А2(Лз - A^R2 + А2(ДХ - Л2)2Д2).
Здесь интеграл К — квадратичный.
При топологическом исследовании перечисленных случаев интегрируемости
неоднократно приходится решать задачу нахождения критических точек функ-
ции, заданной на совместной поверхности уровня других функций. Кроме того,
приходится вычислять индексы этих критических точек. Ниже описан один из
возможных способов таких вычислений, используемый в дальнейшем.
Пусть в К." заданы гладкие функции Hq, hi, ... , hm, и пусть
Мп~т = {h1=p1,..., hm=pm}
— их неособая совместная поверхность уровня, т. е. векторы
grad hi, ... , grad hm
линейно независимы в каждой точке х 6 Мп~т С К". Точка xq G Мп~т будет
критической для функции ho = Ьо\м тогда и только тогда, когда существует
такой набор чисел (Ai, ... , Am), что
т
grad ho (xq) = AigradM^o)- (I-22)
i=l
Рассмотрим матрицу
m
G = Go-^XiGi, (1-23)
г=1
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 199
где Gi — гессиан функции hi в точке а?о, а числа А, берутся из (1.22). Гессиан
функции в критической точке — это симметричная матрица, составленная из
вторых частных производных функции. При заменах координат она меняется по
тензорному закону и корректно определяет некоторую квадратичную форму на
касательных векторах в критической точке. Число отрицательных собственных
значений этой формы называется индексом критической точки, а число нулевых
собственных значений — степенью вырождения критической точки.
Лемма 5.1. Пусть для точки хо из Мп~т С В" выполнено условие (1.22). Тогда
квадратичная форма, определяемая гессианом функции ho = Л,п|лг в точке хо,
является ограничением формы, определяемой матрицей (1.23), на касательное
пространство ТХоМп~т.
Доказательство.
Пусть С Мп~т — произвольная гладкая кривая такая, что 7(0) = Tri-
Тогда значение квадратичной формы, определяемой гессианом функции ho, на
векторе а = 7(0) из касательной плоскости ТХ(1Мп~т равно
Go(«, а) = Д М7(*)) = МТ(*)) =
= Go (а, а) + (grad ho (аг0), 7(0)) =
= Go (а, а) + Aj(gradfei(.T0), 7(0)) =
I
m / 2 \
= G0(a, a) + VAj ^1 h^t)) - СДа, а)) =
i=l \dt it=0 /
= G(a, a),
так как ЬДуДД — Pi (тождественно). Здесь через G;(a, а) обозначено значе-
ние квадратичной формы с матрицей G; на векторе а, а через (grad hi(хо), 7(0))
обозначена обычная свертка в Вп вектора 7(0) и ковектора grad/i;(aro). Лемма
доказана.
Указанный способ вычислений удобен тем, что для нахождения индексов
критических точек не надо вводить локальных систем координат на совместной
поверхности уровня функций. Достаточно лишь выбрать некоторый базис в ка-
сательном пространстве к этой поверхности и вычислить значение формы (1.23)
на базисных векторах.
Второе простое утверждение, часто упрощающее исследование, заключа-
ется в следующем. Пусть, как и выше, в К." заданы некоторые функции
hi,... ,hm,f,g, и пусть М = {hi = pi, ... , hm = рт} — неособая совместная
поверхность уровня функций hi, ... , hm. Рассмотрим отображение
f х g: М -> R2,
где f = f\M, g = g\M, (f x g) (ж) = (fix'), gfc)) € R2. Пусть К — множество
критических точек отображения f х g, a 7(lt) С К — некоторая гладкая кривая,
200
Глава 5
причем grad/ 0 во всех точках кривой 7(2). Отображение fxg переводит
кривую 7(f) в некоторую кривую (а(£), b(t)) на плоскости В2, где a(t) = /(7(1)),
b(t) = g(7(t))- Так как каждая точка кривой 7(t) является критической для ото-
бражения / х g, a grad / / 0 в точках кривой, то существуют однозначно опре-
деленные функции A(t), Ai(t). , Xm(t) такие, что
m
gradg(7(t)) = A(t)grad/(7(t)) + gradhi(y(t)). (1.24)
i=1
Лемма 5.2. Для любого значения t параметра кривой 7(t) верно следующее со-
отношение:
db _ \ (,, da
dt ~X{t’dtf
где A(i) — коэффициент при grad / в разложении gradg (1-24).
Доказательство.
Прямыми вычислениями получаем, что
= = (gradg(7(t)), 7(t)) =
(.IL tlL
m
= A(t)(grad/(7(t)), 7(t)) + Af(i)(grad/4(7W), ?(*)) =
i=l
m
= AW^(/(7(i))) + £ АД04(^(7Й)) -
(it (it
i=L
=
так как /г«(7(<)) = Pi (тождественно). Лемма доказана.
Указанное в лемме 5.2 соотношение позволяет устанавливать качественный
вид кривой (а(£), b(t)). Например, знак производной определяет выпуклость
кривой. В частности, в точках перегиба = 0.
5.2. Топологический тип изоэнергетических
3-поверхностей
5.2.1. Топология 3-поверхности и бифуркационная
диаграмма
В этом параграфе мы опишем топологический тип изоэнергетических
3-поверхностей для интегрируемых случаев, перечисленных в параграфе 1.
Изоэнергетическая 3-поверхность Q3 — это совместная поверхность уровня
функций fi, /2, Н, заданных на евклидовом пространстве К6(.S', R), где
/1 = R± + R2 + Лз, /2 = S1R1 + S2R2 + S3R3,
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
201
a Н — это гамильтониан. Поскольку мы считаем, что fi = 1, то различные 3-
поверхности Q3 задаются двумя параметрами g и h, т. е. значениями функций /2
и Н. Описание топологического типа Q3 будет дано нами в следующем виде. Мы
рассмотрим бифуркационную диаграмму для пары интегралов /2 и Н. В резуль-
тате на плоскости К.2 (g, h) появятся кривые, разбивающие плоскость на области
таким образом, что для всех точек (g, h.) из одной области топологический тип
соответствующих изоэнергетических поверхностей
Q3 = {fl = 1, f2=g, Н = h}
будет одним и тем же.
Подчеркнем, что кривые этой бифуркационной диаграммы никак не связа-
ны с интегрируемостью системы и могут быть построены для произвольных
гамильтонианов из описанного выше класса.
Исследование механических систем при помощи бифуркационных диаграмм
отображения foxH было начато С. Смейлом [178]. Итак, рассмотрим отображение
F = f2 х Н: S2 х »3 -> »2(g, h),
заданное обычной формулой F(P) = (/2(Р), H(Pf) G R2(g, h), где точка Р
принадлежит S2 х Ж3. Отметим, что для функций /г|52хя3 и 77|в2хДз мы со-
храняем прежние обозначения /2 и Н. Образом множества критических точек
отображения F является бифуркационная диаграмма X в плоскости R2(g, h).
Полный прообраз любой точки (g, IT) 0 X является неособой изоэнергетической
3-поверхностью Q3 = {Д = 1, Д = g, Н = /г}, что следует из теоремы о не-
явных функциях. Для гамильтонианов вида (1.9) (а только такие мы и будем
рассматривать в настоящей главе) отображение F будет собственным, то есть
прообразом любого компакта является компакт. Отсюда следует, что для всех
точек (g, h), принадлежащих одной связной компоненте множества R2(g, Л.) \ X,
топологический тип 3-многообразия Q3 будет одним и тем же.
Как определить тип изоэнергетической 3-поверхности Q для каждой компо-
ненты связности R2 (g, h) \ X? На этот вопрос помогает дать ответ следующее
утверждение. См. работу С. Смейла [178].
Предложение 5.2. Пусть Н = {CS, S) + (И7, S} + V, где С — постоянная сим-
метричная положительно определенная матрица размера 3 х 3, W(R) — произ-
вольная вектор-функция, и V(R) — произвольная гладкая функция. Рассмотрим
проекцию 7r(Q3) изоэнергетической ^-поверхности Q3 на двумерную сферу Пуас-
сона, задаваемую уравнением R3 + Т?2 + 7?з = 1. Здесь k{R, S) = R. Пусть tt(Q3)
гомеоморфна сфере с т дырками. Тогда:
1) если т = 0, то Q3 диффеоморфно RP3,
2) если т = 1, то Q3 диффеоморфно S3,
3) если т > 1, то Q3 диффеоморфно связной сумме #(S'1 х S2) в количест-
ве т — 1 экземпляров.
202
Глава 5
Доказательство.
Рассмотрим проекцию многообразия Q3 на 2-сферу Пуассона S2. Возь-
мем произвольную точку R = (Ri, R^, R3) из образа tt(Q3) и посмотрим,
как устроен слой над нею. Этот слой является пересечением 2-плоскости
R1S1 + R2S2 + R3S3 = g с 2-эллипсоидом Н = (CS, S) + (W, S) + V = const.
Следовательно, он гомеоморфен либо окружности, либо точке, либо пуст. Ес-
ли точка R лежит внутри образа tt(Q3), то легко видеть, что слой гомеоморфен
окружности. Если точка R лежит на границе образа tt(Q3), то слой является точ-
кой. Если же точка R расположена вне образа tt(Q3), то слой пуст. Следовательно,
топологически 3-многообразие Q3 может быть описано следующим образом. Ес-
ли проекция 7r(Q3) совпадает со всей сферой Пуассона, то Q3 представляет собой
51-расслоение над сферой, топологически эквивалентное, как нетрудно увидеть,
расслоению единичных касательных векторов. Следовательно, Q3 — RP3.
Если проекция tt(Q3) не совпадает со всей сферой, т. е. имеет дырки, то Q3
можно можно получить следующим образом. Сначала рассмотрим прямое про-
изведение tt(Q3) х S'1, а затем над каждой граничной точкой проекции 7r(Q3)
сожмем слой S1 в точку. Трехмерные многообразия, полученные таким спосо-
бом, мы уже встречали ранее в главе 4 первого тома, и их топология была описана
в предложении 4.5. Последние два утверждения фактически являются перефор-
мулировкой этого предложения. Предложение 5.2 доказано.
Таким образом, построив бифуркационную диаграмму отображения F и
указав топологический тип Q3 для каждой из областей, на которые S разбивает
плоскость R2(g, /г), мы получаем полное описание всех топологических типов не-
особых изоэнергетических 3-поверхностей исследуемой гамильтоновой системы.
В работах С. Б. Каток [78], Я. В. Татаринова [191], [192] по изложенной выше
схеме исследована топология 3-поверхностей Q3 для задач о движении твердого
тела с закрепленной точкой. В этих работах построены бифуркационные диа-
граммы отображения /2 х Н для гамильтонианов достаточно общего вида, вооб-
ще говоря, неинтегрируемых. В частности, рассмотрены интегрируемые случаи
Эйлера, Лагранжа и Ковалевской. Приведем здесь подробное описание этих би-
фуркационных диаграмм для интегрируемых случаев.
Чтобы сделать это, нам потребуется некоторый общий прием, который мы
сейчас опишем. Напомним некоторые обозначения. Систему уравнений, описыва-
ющих движение тяжелого твердого тела (или, в более общем случае, гиростата)
с неподвижной точкой, можно записать в виде уравнений Эйлера на коалгеб-
ре Ли е(3)*, где введены линейные координаты (Si, S2, S3, Ri, R%, R3). Относи-
тельно них скобка Пуассона имеет вид
{Sj, Sj} "{S), Rj} SijkRki Rj} 9.
Ядро этой скобки порождается функциями fi = R% + R% + R% (геометри-
ческий интеграл) и f2 = S1R1 + S2R2 + S3R3 (интеграл площадей). Все регу-
лярные совместные поверхности уровня этих функций вида {Д = 1, Д = g}
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
203
диффеоморфны касательному расслоению к двумерной сфере. Гамильтониан
этой задачи имеет следующий вид:
Н =
(Si + Ax)2
2АГ
(5г + Аг)2
+ 2А2
(5з + A3)2
2 А3
+ U(R1, R2, R3),
где Ai, А2, А3 — главные моменты инерции тела, (Ai, Аг, Аз) — гиростатичес-
кий момент, U(R.i, R2, R3) — потенциал, который для рассматриваемой задачи
имеет вид aiRi + a2R2 + a3R3. Итак, требуется описать топологию изоэнерге-
тических поверхностей Q'f, g = {ft = 1, f2 = g, H = h] для различных кон-
стант Ai, A2, A3, Ai, A2, A3, g, h и функций U(Ri, R2, R3).
Введем следующие обозначения S = (Si, S2, S3), R= (Ri, R2, R3), A =
= (Ai, A2, A3), a = (ai, a2, a3), A = diag(Ai, A2, A3), где S, R, A, a — трех-
мерные векторы, a A — диагональная матрица. Будем считать, что все эти
векторы из одного и того же евклидова пространства К.3, в котором зада-
но евклидово скалярное произведение (*,*). Тогда Д = (R, R), f2 = (S, R),
Н = ±(A~l(S + A), S + А) + U(R).
Рассмотрим проекцию тг: (S, R) —> R. Поскольку fi(R) = 1, то образ
3-многообразия Qp,g при этой проекции есть некоторое подмножество сферы
Пуассона S2 = {Л2 + R? + R% = 1} С R3(J?i, R2, R3). Очевидно, что точка R
сферы Пуассона S2 принадлежит образу tt(Q^ ) тогда и только тогда, когда су-
ществует решение системы
(S, R) = g, {A~1(S + A), S + А) - 2(h - U(R)),
где неизвестными являются (51, S2, S3) = S- Первое уравнение задает плос-
кость, а второе — эллипсоид в пространстве R3(5i, S2, S3), если h — U(R) > 0.
Легко проверяется, что они пересекаются тогда и только тогда, когда
(g+(A, Я))2
2{AR, R)
+ U(R) h.
При этом пересечение является окружностью в случае строгого неравенства или
точкой в случае равенства.
Назовем приведенным потенциалом следующую функцию:
^(Д)= (Уля яГ+£;(д);
л/
заданную на сфере Пуассона.
Оказывается, топология изоэнергетических поверхностей Q3( и их пере-
стройки при изменении значения энергии h полностью определяются функци-
ей ipg(R). А именно, комбинируя предложение 5.2 с приведенными выше сообра-
жениями, получаем следующую теорему.
Теорема 5.1. Если значение h. приведенного потенциала <pg(R) не является кри-
тическим значением, то изоэнергетическая ^-поверхность Qjt g является глад-
ким трехмерным многообразием. В этом случае множество {<pg(R) h} на
204
Глава 5
сфере Пуассона представляет собой объединение непересекающихся двумерных
подмногообразий с краем Р^, ... , Pim, где Рк — 2-диск с к дырками, а ^-мно-
гообразие Ql гомеоморфно несвязному объединению трехмерных многообразий
Nit, ... , Njm, где Ng — трехмерная сфера, a Nk, при k 1, — это связная сум-
ма к экземпляров S1 х S2. Если h меньше минимального значения приведенного
потенциала <pg(R), то Qgh пусто. Если же h больше максимального значения
функции <pg(R), то Q3g h = КР3, т. е. проективное пространство.
Используя эту теорему, можно предложить следующий алгоритм описания
топологического типа изоэнергетических 3-поверхностей Qg>h.
Шаг 1. Строим граф Риба функции ipg(R). Если значение h меньше миниму-
ма или больше максимума функции <pg(R), то 3-многообразие Qk,g либо пусто,
либо гомеоморфно ЖР3 соответственно.
Шаг 2. Пусть h принадлежит множеству значений функции ipg(R). Раз-
режем граф Риба по уровню h и рассмотрим его нижнюю часть. Количество
связных компонент в нижней части совпадает с количеством связных компо-
нент 3-поверхности h. При этом, если связная компонента графа имеет к
граничных точек, т.е. следов разреза, то соответствующая связная компонен-
та 3-поверхности Q3 гомеоморфна связной сумме к — 1 экземпляров S'1 х S2
при к 1, или же является 3-сферой S3 при к = 1.
Опишем теперь метод построения бифуркационных диаграмм.
Пусть параметры гамильтониана фиксированы. Тогда топологический тип
изоэнергетической 3-поверхности Qgth определяется константами g и h. Эту за-
висимость удобно изображать при помощи бифуркационной диаграммы, т.е. кри-
вых на плоскости с координатами (g, h), точкам которых соответствуют особые
изоэнергетические поверхности. Если такие кривые построены, то они разбива-
ют плоскость (g, h) таким образом, что точкам из одной области соответствуют
гомеоморфные изоэнергетические 3-поверхности.
Согласно теореме 5.1, для каждой точки (go, ho) такой кривой значение ho
является критическим значением приведенного потенциала <pg(R). Разберем те-
перь отдельные случаи интегрируемости.
5.2.2. Случай Эйлера
Здесь А = 0, и U(R) тождественно равно нулю. Приведенный потенциал
имеет здесь вид:
~ 2{AR, R) ’
При g ф 0 критические точки этой функции на сфере Пуассона такие же,
как и у квадрики (ЛЯ, R), то есть те точки, где соответствующий эллипсоид
касается сферы {R, R) = 1. При каждом g 0 имеется шесть критических
точек:
R = (±1, 0, 0), (0, ±1, 0), (0, 0, ±1).
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
205
Им соответствуют три критичес-
№
ких значения: hi = При g = 0
2/ц
приведенный потенциал имеет единст-
венное критическое значение, равное
нулю. Таким образом, бифуркацион-
ная диаграмма в случае Эйлера состо-
ит из трех парабол (рис. 5.1).
Топологический тип изоэнергети-
ческих 3-поверхностей устанавливает-
ся при помощи графов Риба, которые
изображены на рис. 5.2. В случае, когда
Рис. 5.1
среди главных моментов инерции есть
одинаковые, некоторые вершины графа Риба стягиваются в одну. На диаграмме
соответствующие параболы также сливаются в одну. Итак, подведем итоги.
Р/с=ДИСК с (к-1)
дырками
U jt’f°(A1<Ai<A3)
77(2Aj
//UAJ
^/(2А3)
IRP3
Л х
£3|J£3
0 0
Р/с=диск с (к-1)
дырками
Рис. 5.2
Бифуркационная диаграмма отображения
/2 х Н для гамильтониана случая Эйлера
С2 С2 С2
Н = 01 -I- °2 -I- ’3
2Al 2А2 2А3
имеет простой вид, показанный на рис. 5.3.
Она состоит из трех парабол /г=^-, г=1, 2, 3,
разбивающих плоскость R2 (g, h) на 6 облас-
тей. В каждой из этих областей на рис. 5.3 ука-
зан топологический тип 3-многообразия Q3.
Знак 0 означает, что для всех точек (g, Л)
из данной области прообраз при отображе-
нии /2 х Н пуст, т. е. (/2 х H)-1(g, h) = 0. На
рис. 5.3 изображен случай, когда параметры Ai, Л_2, Л3 твердого тела связаны
соотношением 0 < A3 < Л2 < А}. Если же 0 < Л3 = Л2 < А±, то две верхние
параболы сливаются в одну. Если же 0 < Л3 < Л2 = А±, то сливаются две ниж-
206
Глава 5
ние параболы. При А± = А3 = A3 гамильтониан Н случая Эйлера становится
резонансным, поскольку для него появляются два функционально независимых
интеграла, например, функции Si и 82- Такие, т.е. резонансные, случаи мы пока
рассматривать не будем.
5.2.3. Случай Лагранжа
Для классического гамильтониана случая Лагранжа
1 / S2 \
Н = Ш2 + Si + +Лз,
z \ р )
где /3 > 0, бифуркационные диаграммы качественно отличаются в следующих
случаях:
а) 0 < $ < 1,
Ь) /3 = 1,
с) 1 < /3
d) /3 >
Все они изображены на рис. 5.4. Все бифуркационные диаграммы состоят из
е2
двух парабол /1 = ±1 и кривой, при /3^1, которую можно задать парамет-
рически следующим образом:
п- = t J__I--- Д = _|____5--- t2 > ----1--
(/3-l)t3’ 2+2(/3-l)f2’ "1/3-1Г
Эта кривая касается одной из парабол в точках
и при /3 > имеет две точки возврата с координатами
О
4 4/ 3
Зу /3-1’
3
/3-1
Топологический тип Q3 указан на рис. 5.4. Здесь S3 U (S'1 х S'2) обозначает
несвязное объединение S3 и S'1 х52.
Теперь мы подробно опишем, как получаются эти результаты.
Рассмотрим сначала гамильтониан более общего вида, чем для классического
случая Лагранжа. Он задается следующими параметрами:
Ai=A2 = B, А1=А2 = 0, U{R) =U(R3).
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
207
Рис. 5.4
Приведенный потенциал имеет вид
lr}\ _ (ё + АзДз)2____________________________TUr} \
2(BRf + BRl + A3R23) +
(g+ А3Дз)2 ,TT(R \
2(В + (А3 - В)Д|) з)’
Он зависит только от координаты R3. Поэтому для любых значений g и h об-
ласть, выделяемая на сфере Пуассона условием tyg(R) /г, состоит из некоторого
числа колец и, возможно, одного или двух дисков. Следовательно, изоэнергети-
ческие 3-поверхности д гомеоморфны несвязному объединению некоторого
количества многообразий S'1 х S2 и, возможно, одной или двух трехмерных сфер.
Рассмотрим теперь подробнее обычный случай Лагранжа, т. е. с линейным
относительно координаты R3 потенциалом. Без ограничения общности можно
считать, что параметры гамильтониана имеют следующий вид:
А1 = А2 = 1, А3=/3, А = (0,0,0), U(R)=R3.
Тогда приведенный потенциал запишется так:
^(Л) = /(Л3) =
2(1 + (/3 - 1)Л32) +ЙЗ
208
Глава 5
Пусть 0 < (3 < 1, т. е. эллипсоид инерции вытянут. Тогда, как легко про-
верить, /(—1) — — 1, /(1) — + 1 и /"(Лз) > 0 на всем отрезке [—1. 1].
2/3 2р
Поэтому с качественной точки зрения для вида графика возможны два варианта,
показанные на рис. 5.5а и рис. 5.5b. Выбор того или иного варианта определяется
знаком производной /'(—1). Вычисляя производную, получаем
^(1-/3)
/З2
Таким образом, случаи (а) и (Ь) получаются соответственно при g2 <
/З2
1-/3
и при g2 >
/З2
1-/3-
Графы Риба изображены на рис. 5.6.
Рис. 5.7
В критических точках, соответствующих вершинам степени 1 графа Риба,
g2
функция f принимает значения ±1 -|---. Минимальное значение в случае (Ь)
2/3
можно вычислить следующим образом. Равенство нулю производной
f 3 (1 + (/3 - 1)Я32)2
возможно лишь при (/3 — 1)Лз > 0. Обозначим (/3 — 1)Л3 через t-2. Тогда
|t|2 7 (1 — /З)-1, поскольку |Л3| 1. Переписывая условие /'(Лз) = 0 через t, а
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
209
также подставляя (/3—1) Ч 2 вместо R^. получаем
g=t +
1
t3(/3-l)’
h=f- +______3___
2 2(/3 — l)t2 ’
\t\>
1
vO'
Рассматривая эти уравнения как параметрическое задание кривой на плос-
кости (g, /г), получаем, что бифуркационная диаграмма в рассматриваемом слу-
В случае /3 = 1 приведенный потенциал линеен: f(Rs) = Rj + —. Бифурка-
ционная диаграмма состоит только из двух парабол h = ±1 + g2.
Пусть теперь /3 > 1, то есть эллипсоид инерции сплюснут. Возможны че-
тыре типа графиков функции f^Ra)- См. рис. 5.8. Соответствующие графы Риба
приведены на рис. 5.9.
а) Ъ) с) d)
Рис. 5.9
Какой из вариантов реализуется для различных значений /3 и g, определяется
количеством нулей производной f'(Rs) на интервале (—1,1) или, что то же самое,
количеством нулей полинома Р(ж) = (1 + (/3 — I)®2)2 — g1'.]! — 1)® на интервале
(—1, 1) и значениями функции / в этих нулях.
Исследуя все возможности, получаем ответ. Бифуркационная диаграмма со-
стоит из двух парабол и кривой, задаваемых теми же уравнениями, что и в
случае /3 < 1. Она имеет различный вид при 1 < /3
соответственно рис. 5.10а и рис. 5.10b.
| и при /3 > |. См.
«5 «5
210
Глава 5
Рис. 5.10
Точки касания кривой с параболой, как и в случае fl < 1, имеют на плоскос-
ти (g, h) координаты
Л fl 3/3-2 \
vTi^W 2|1 -e\J'
В случае fl > имеются две точки возврата, координаты которых таковы:
О
4 J 3
зу fl-г
3 \
/З-V’
5.2.4. Случай Ковалевской
Сначала рассмотрим специальный гамильтониан
Я = 1(512+522+/3532)+Я1.
(2-1)
Вообще говоря, он не является гамильто-
нианом Ковалевской. Для гамильтониана (2.1)
бифуркационные диаграммы имеют в точнос-
ти такой же вид, что и для случая Лагран-
жа. Они получаются из диаграмм, изображен-
ных на рис. 5.4, сжатием по оси g в y/fl раз.
Однако топологический тип изоэнергетических
3-поверхностей Q3 будет другим. Специальный
гамильтониан (2.1) соответствует случаю Ко-
валевской при fl — 2. Поэтому на рис. 5.11
приведена бифуркационная диаграмма лишь
для fl > При fl — 2 координаты точек каса-
ния кривой и параболы таковы: (±д/2, 2). Ко-
ординаты точек, в которых кривая трансверсально пересекает параболу, тако-
вы: (±2л/л/2 — 1, 2(д/2 — 1)). Топологический тип Q3 указан на рис. 5.11. Трех-
мерную поверхность, обозначенную здесь через К3, можно описать следующим
образом. Рассмотрим подрасслоение расслоения единичных касательных векто-
ров к двумерной сфере, базой которого £>з является 2-сфера с тремя дырками.
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
211
Другими словами, мы выбрасываем из 2-сферы три открытых непересекающих-
ся диска. Затем каждый слой, т. е. окружность, над границей базы В стянем
в точку. Полученное трехмерное многообразие и обозначено через К3. Как мы
уже знаем, в действительности К3 является связной суммой двух экземпля-
ров S1 х S2.
Напомним, что таким же способом, рассматривая базу Вт, т.е. 2-сферу S'2
с т дырками, можно получить проективное пространство КР3 при т = 0, трех-
мерную сферу S3 при т = 1, прямое произведение S1 х S2 при т = 2. Как мы
показали выше, при т ^2 получающиеся указанным способом 3-многообразия
гомеоморфны связной сумме т — 1 экземпляров S1 х S'2. В частности,
К3 = (S’1 х S'2)#(S'1 х S'2).
На самом деле, такое описание изоэнергетических 3-поверхностей для га-
мильтонианов вида (1.9) получается естественным образом. Рассмотрим проек-
цию на сферу Пуассона я: TS2 —> S'2, где
TS2 = {/1 = 1, f2=g}c^(S, Я), 52 = {/i = 1}с»3(Я).
При проекции тг изоэнергетическая 3-поверхность
Q3h = {h = i, h=g, H = h}
проектируется в некоторое замкнутое подмножество Р на сфере Пуассона. При-
чем, если z — это внутренняя точка Р, то я-1 (г) П Q3t является окружностью.
Если z лежит на границе дР, то 7r-1(.z) О Q3 — точка. Выше было показано,
что Р = {R £ S2 С R3 (Я) | <pg(R) h}, где
/рх (g + А1Я1 + А2Я2 + А3Я3)2 .
”‘<Л) = 2(Л1Й;+Л2Л= + ЛЗЙ|) + Г(й)'
(2.2)
Используя явный вид функции ipg(R), можно установить вид множества Р в S2,
то есть найти число дырок. Это позволяет определить топологический тип Q3.
Как было отмечено выше, это либо КР3, либо S'3, либо связная сумма 1Sl х S2.
Этот метод был разработан Смейлом в [178] для натуральных меха-
нических систем. Случай систем с гироскопическими силами рассмотрен
М.П. Харламовым в [219].
В заключение опишем подробности вычисления бифуркационной диаграммы
в случае Ковалевской. Для параметров гамильтониана случая Ковалевской
А1 = А2 = 1, А3 = ±, А -((), 0,0), С7(Я)-Я1
приведенный потенциал имеет вид
- 2 _ Д2 +R1-
212
Глава 5
(с") Ковалевская (с’)
Рис. 5.12
Рассмотрим эту функцию в координатах (Лх, R^) на полусфере {1?2 > 0}.
Отметим, что на полусфере {R? < 0} картина симметрична.
Нарисуем линии уровня функции <pg(R) в проекции на плоскость (Лх, Rz).
Уравнение tpg(R) — с равносильно следующему:
Ri
2-RI'
Возникают три качественно различные картины линий уровня на диске
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 213
{Rl +Я3 5/ 1}. См. рис. 5.12. Здесь R3 — горизонтальная ось, a Ri — вертикаль-
ная. При этом в случае (с) возможны два варианта в зависимости от значений
функции <pg(R) в точках максимума. Соответствующие графы Риба изображены
на рис. 5.13.
Рис. 5.13
Ковалевская
Рис. 5.14
Значения функции <p>g(R) в точках (±1, 0, 0) равны ± 1. Это задает две
£
параболы h = ± 1, принадлежащих бифуркационной диаграмме. Вычисляя
значения для остальных точек, получаем еще одну кривую (рис. 5.14). Вычис-
ления аналогичны тем, которые проводились выше для случая Лагранжа. Более
того, полученная кривая отличается от кривой для случая Лагранжа, при /3 = 2,
лишь сжатием по оси g в \/2 раз. Однако, как видно из построения графов Ри-
ба, топологический тип изоэнергетических 3-поверхностей отличается от случая
Лагранжа. Окончательный ответ приведен на рис. 5.11.
Как отмечалось выше, описанные бифуркационные диаграммы для случа-
ев Эйлера, Лагранжа и Ковалевской являются частными случаями диаграмм,
построенных в работах С.Б.Каток [78], Я.В.Татаринова [191], [192]. Перейдем
теперь к исследованию топологического типа 3-многообразия Q3 для остальных
интегрируемых случаев, перечисленных в параграфе 1.
5.2.5. Случай Жуковского
Будем предполагать, что параметры гамильтониана случая Жуковского
„ _ (Si + Ai)2 (82 + Аг)2 (5з + A3)2
“ 2А~! + 2А2 +
удовлетворяют условиям: 0 < Ах < Аг < A3 и А1А2А3 7^ 0.
Здесь А 0, U(R) = 0. Приведенный потенциал имеет вид:
^(Л) =
(й-+(Я, А))2
2 (АЛ, R) ’
214
Глава 5
Критические точки отображения
/2 хЯ: 52 хК3 -> »2
определяются из условия:
grad# =/zigrad/i+/z2 grad/2, /1 = 1, (2.3)
где/zi и/12—некоторые числа. Вводя вектора S = (Si, S2, Ss),R = (Ri, R2, R3),
A = (А1,Аг,Аз) и матрицу А = diag(Ai, Л2, Л3), запишем систему соотноше-
ний (2.3) в векторной форме:
A-1 (S + А) = /12Д, 2/11R + /i2S' = О, (R, R) = 1. (2.4)
Если /12 = 0, то /11 = 0, так как R 0. Получаем следующее решение систе-
мы (2.4):
S = -A, (R, R} = 1, /11 = /12 = 0. (2.5)
Множество (2.5) является двумерной сферой в Re (S'. R). В точках этой сферы
значение гамильтониана равно нулю, а значение функции /2 равно g = —(A, R).
Следовательно, образ множества (2.5) при отображении /2 х Н представляет
собой отрезок {h = 0, |gj < (А, А) 2} на координатной оси h = 0 в плоскос-
ти R2(g, h). Прообраз каждой внутренней точки этого отрезка является окруж-
ностью, минимальной для функции
Н = #|{/1=1;/2=й, где |g| 5$ у/(Х, А).
Пусть теперь в системе (2.4) выполнено условие /12 / 0. Тогда
5 =-2/11Л/12 Х. (2.6)
Поскольку (S, R) = g, то из условия (2.6) получаем, что
g= (S, R) = (^fiiRfi,-1, R) = -2/n/i^1,
откуда S = gR. Подставляя в первое уравнение системы (2.4) соотноше-
ние S = gR, получаем
(ji,2A — g)R = X. (2.7)
Учитывая (2.6) и (2.7), решение системы (2.4) можно записать в следующем
виде:
Я1 ’ Яэ
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 215
где t — некоторый параметр, а зависимость g(t) определяется уравнением
XI XI А| _ х
(Ait - g)2 + (Arf - g)2 + (A3t - g)2 “
Гамильтониан H в точках, задаваемых уравнением (2.8), принимает значе-
ния
tl ( ЛМ1 , а2а2
2 ^t-g)2 (Art-g)2
А3А3 \
^3t-g)2)'
Таким образом, для любых значений t и g,
удовлетворяющих условию (2.9), мы получаем
ровно одну точку (2.8), в которой градиенты
функций /2 и Н зависимы. Образ этой точки
при отображении /2хЛ — это точка с координа-
тами (g, К) из плоскости R2, где число h опреде-
ляется формулой (2.10). Итак, нам надо постро-
ить кривую (g(t), /i(t)) на плоскости R2(g, /1),
заданную неявно формулами (2.9), (2.10).
Из леммы 5.2 следует, что = t^. По-
at at
этому достаточно построить кривую (2.9) на
плоскости R2(t, g). Вводя полярные координа-
(2.10)
ты t = г cos р, g= г sin р, из соотношения (2.9) получаем зависимость г от р:
} % } А2
(А2 + 1) sin2(<^ - pi) (А2 + 1) sin2(<^ - <^2) (Af + 1) sin2(^ - р3)
где tg pi = Ai (г = 1, 2, 3). Кривая, определяемая этим соотношением, изображе-
на на рис. 5.15. Она центрально симметрична относительно начала координат и
имеет асимптоты g = A,t ± А;, отмеченные на рис. 5.15 пунктиром.
Формула (2.10) задает отображение этой кривой в плоскость R2(g, II). Учи-
тывая соотношение = t^, легко понять, что локальным минимумам и мак-
симумам функции g(t) (см. рис. 5.15) соответствуют точки возврата бифуркаци-
онной кривой, а локальным минимумам и максимумам обратной функции t(g)
отвечают точки перегиба бифуркационной кривой. Если точка, двигаясь по кри-
вой, изображенной на рис. 5.15, асимптотически стремится при t —> оо к пря-
мой g — А^ ± Xi, то образ этой точки на бифуркационной кривой асимптотичес-
ки стремится к параболе
(gT AJ2 1 / A2Aj A2Afc \
2Аг '2 ^(А,.-Аг)2 + (Ak-AiY)-'
где {г, j, k} = {1, 2, 3}.
216
Глава 5
Бифуркационная диаграмма отображения /2 х Н для гамильтониана случая
Жуковского представляет собой объединение построенной кривой с отрезком
{h — 0, |g|^(A, А)^-
Она изображена на рис. 5.16. Диаграмма симметрична относительно пря-
мой g — 0. Точки касания отрезка с кривой имеют координаты
(±/х? + А2 + А2, 0) Gffi2(g, Д),
а точка пересечения двух ветвей кривой имеет координаты:
^2
’ 2Аг + 2А2
\2 А
2^ М2(£, /г).
Топологический тип многообра-
зия Q3 в каждой из областей мож-
но определить с помощью предложе-
ния 5.2, рассматривая проекцию Q3h
на сферу Пуассона. То же самое мож-
но получить и другим способом. Заме-
ним Aj на AJ — аХ} и устремим а к
нулю. В пределе бифуркационная диа-
грамма, изображенная на рис. 5.16, пе-
реходит в бифуркационную диаграмму
для гамильтониана случая Эйлера, по-
казанную на рис. 5.3. При этом неогра-
ниченные области на рис. 5.16, для ко-
торых 3-многообра.зие гомеоморф-
но 2S'3, S1 х S2, RF3, переходят в соответствующие области на рис. 5.3. В тре-
угольнике около начала координат на рис. 5.16 многообразия Q3h гомеоморф-
ны S'1 х S'2, а в граничащих в ним областях — это S'3. Эти утверждения следуют
из теории Морса-Ботта, поскольку в прообразе каждой точки отрезка лежит
ровно одна критическая окружность, на которой функция Н = до-
стигает минимума, а в прообразе других точек границы образа TS2 — ровно
одна критическая точка, на которой эта же функция тоже достигает минимума.
5.2.6. Случай Сретенского
Рассмотрим теперь гамильтониан
Н = i(S’r+S2 + 4(S'3-A)2) + «1.
(2-11)
Дополнительный интеграл для него существует лишь на одной 4-поверхнос-
ти {/i — 1, /2 — 0} С К6 (S', R). Поэтому для описания инвариантов этого ин-
тегрируемого случая нет необходимости изучать отображение f2 х Н. Топологи-
ческий тип Q3 и молекула W, т. е. инвариант Фоменко, для Q3 будут в данном
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
217
случае зависеть от значения параметра А и значения h, определяющего 3-поверх-
ность Q3t = {fi = 1, /2 = О, Н = h}. Поэтому для гамильтониана (2.11) мы по-
строим разделяющие кривые на плоскости R2 (A, h) и определим топологический
тип многообразия Q3 в каждой из областей.
Топологический тип Q3 определим, проектируя Q3 на сферу Пуассона. Для
гамильтониана (2.11) функция (2.2) имеет вид:
9 \2 г>2
4 0.1L3
Для того, чтобы определить вид областей
W-R) h},
(2.13)
найдем критические точки функции (2.12), заданной на сфере {Л2+7?2+-^з —
— 1} С К.3 (Л). Они определяются системой уравнений
= 2/z7?i (i = 1, 2, 3),
R3 + R% + Rl = 1.
Ее решениями являются две критические точки, существующие при любом
значении А:
Л1 = ±1, Я2=Яз=0, д = ±|, (2.14)
А
а также две критические точки, зависящие от значения А:
Л1 = ^, Л2=0, R3 = ±Jl-± р. = £, (2.15)
V
(4£2+3)2 1
128£3 ’ ? 2’
где А2
В точках (2.14) значение функции (2.12) равно tpo(R) = ±1. Так как чис-
ло А произвольно, то мы получаем на плоскости R2(A, h) две прямые h — ±1,
разделяющие области с различным топологическим типом Q3. В точках (2.15)
значение функции (2.12) равно
^o(-R) =
16£4 + 40£2 - 3
64£3
Таким образом, эти точки определяют на плоскости R2 (A, h) разделяющую
кривую, заданную параметрически:
_ 16£4 + 40е2 - 3 2 _ (4£2 + З)2 1
64£3 ’ 128£3 ’ 2-
(2.16)
218
Глава 5
Рис. 5.17
Объединяя прямые h = ±1 и кривую (2.16), получаем бифуркационную диа-
грамму на плоскости Ж.2 (А, /г), изображенную на рис. 5.17. Она симметрична от-
носительно прямой А = 0. Координаты точек возврата кривой (2.16) таковы:
(±-^, ?)ёВ2(А, /г).
Координаты точек касания пря-
мой /1=1 и кривой таковы:
(±1,1) е ж2 (A, h).
Кривая (2.16) асимптотически стремит-
ся к параболе h = А2.
Каждой точке прямых h = ±1 соот-
ветствует ровно одна критическая точ-
ка функции (2.12), а каждой точке кри-
вой — ровно две критические точки.
Вычислив их индексы, получим: для
прямой h = —1 индекс равен 0. Для пря-
мой h = 1 индекс равен 2 на отрезке
индекс равен 1 на остальной части пря-
мой. Для кривой индекс равен 1 на участках между точкой возврата и точкой
касания с прямой, и индекс равен 2 на остальной части кривой. Зная индексы
критических точек, несложно установить вид областей (2.13) на сфере Пуассона.
Это, соответственно:
пустое множество 0,
диск D2,
кольцо S1 х К1, т. е. диск D2 с одной дыркой,
диск D2 с двумя дырками,
затем — вся сфера S2.
Соответствующие им 3-поверхности Q3 указаны на рис. 5.17. Через К3 здесь
обозначена та же поверхность, что и для гамильтониана (2.1).
точками касания с
и
5.2.7. Случай Клебша
Построим бифуркационные диаграммы отображения fi_xH для
С2 с2 с2
Н=2Г + 2Г + 2Г + f + АгД2 + АзДз)>
ZAi ZJi.2 "
где 0 < Ai < А2 < А3, е = ±1. Условие
grad Н - /л grad Д + р,2 grad /2,
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
219
определяющее критические точки отображения /2 х Н: S2 х Ж3 —> Ж2, можно
записать в виде:
мг1 0 0 “/'•2 0 ° /5А
0 д-1 Л2 0 0 ~Р'2 0 s2
0 —//2 0 0 Д-1 у1з 0 eAi 0 — 2/zi 0 0 -Д2 0 s3 Ri = 0. (2-17)
0 —Р’2 0 0 еЛ-2 — 2/zi 0 r2
\ 0 0 ~^2 0 0 еДз — 2//1У \rJ
Так как R2 + R2 + R2 = 1, то равенство (2.17) верно лишь в том случае,
если определитель матрицы, входящей в это равенство, равен нулю. Матрица
распадается на три блока размера 2x2, определители которых равны
Di = е - 2/zMf1 -р2 (i = 1, 2, 3). (2.18)
Если Di 0, то Si = Ri = 0. Поэтому, если выполнено лишь одно из усло-
вий Di = 0, то, учитывая равенство R2 + R2 + R3 = 1, мы получаем следующие
критические точки:
(ti, 0, 0, ±1, 0, 0), (0, h, 0, 0, ±1, 0),
(0, 0, i3, 0, 0, ±1) из Х6(5. R),
где ii, £2, ts — некоторые параметры.
Вычисляя значения функций /2 и Н
кости R2(g, h) три параболы
в этих точках, мы получаем на плос-
'* = й;+4 <« = >.2,3).
(2.19)
В прообразе каждой точки парабол (2.19)
лежат ровно две критические точки отображе-
ния /2 х Н. Так как At А} при i j, то
в случае е = — 1 никакие два из определите-
лей (2.18) не равны нулю одновременно. Поэ-
тому для е = — 1 мы получаем бифуркацион-
ную диаграмму, состоящую из трех непересе-
кающихся парабол (2.19). Она изображена на
рис. 5.18.
Рассмотрим случай £ = 1. Тогда из равен-
ства нулю любых двух определителей (2.18) сле-
дует, что jtzi = 0, fj,2 = 1- Поэтому равен нулю и
Рис. 5.18
третий определитель. Из (2.17) получаем следующую систему уравнений:
Si = ±AtRi (i = 1, 2, 3),
R2 + R% + R23 = 1.
(2.20)
220
Глава 5
Уравнения (2.20) определяют в К.6 (S', Л) две двумерные сферы, целиком за-
полненные критическими точками отображений /2 х Н. Значения функций /2
и Я на множестве (2.20) равны
g = i(AiJ?2 + j12J?2 + Л-Rl) и h = A1.R2 + Л2^ + AgJZj.
Таким образом, при отображении /2 х Н двумерные сферы (2.20) отобража-
ются в два отрезка
{ft=|g|, |g|<SA3}c»2(g, Я).
(2-21)
Прообраз каждой точки этих отрезков — это две окружности, заполненные кри-
тическими точками.
Объединяя параболы (2.19) при е = 1 и от-
резки (2.21), получаем бифуркационную диа-
грамму, изображенную на рис. 5.19. Отрез-
ки (2.21) касаются всех трех парабол в точках
(±Aj, Aj) G R2(g, Я). Параболы (2.19) пересе-
каются в точках
(±у/А&, А1±А1^ €»2(^,Я).
Топологический тип многообразия Q3 —
= {/i = 1, /2 = 0, Н = Я} в каждой из облас-
тей на рис. 5.18 и рис. 5.19 можно определить,
рассматривая проекцию Q\ на сферу Пуассона. Образ Q\ при проекции опреде-
ляется условием
g2^ 1 + ez < 2Я, Ai < z < А3, (2.22)
где через z обозначено выражение AiRf _|_ A2R2 + A3R£. График функции
p(z) = g2z~1 + ez изображен на рис. 5.20а при е = —1 и на рис. 5.20b при е = 1.
В случае е = 1 функция ip(z) имеет минимум при z = g. На рис. 5.20Ь приведен
один из возможных вариантов расположения g на оси z относительно Ai, А2, А3.
Несложно исследовать все возможные варианты и установить, какой вид имеет
область (2.22) на сфере Пуассона в каждом случае. После этого топологичес-
кий тип Q3 определяется стандартным способом, при помощи предложения 5.2.
Список всех возникающих здесь 3-поверхностей Q см. на рис. 5.19. Через № на
рис. 5.19 обозначено многообразие (S'1 х S'2)#(S'1 х S'2)#(S'1 х S'2). Его проекция
на сферу Пуассона — это диск с тремя дырками.
5.2.8. Случай Стеклова
Построение бифуркационных диаграмм отображения (2хН для случая Стек-
лова можно провести совершенно аналогично случаю Клебша. Как и в случае
Клебша, бифуркационная диаграмма здесь является объединением трех парабол
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
221
Рис. 5.20
и отрезков общих касательных к ним. Но оси этих парабол, в отличие от случая
Клебша, уже не совпадают. В результате получается большое количество раз-
личных вариантов расположения этих парабол в зависимости от соотношений
между параметрами А±, А%, Аз гамильтониана. Описание этого случая, анало-
гичное предыдущим, становится уже достаточно громоздким. По этой причине
мы его здесь не приводим. Все возможные молекулы W для случая Стеклова
будут вычислены ниже.
5.3. Лиувиллева классификация систем случая Эйлера
Начиная с этого момента, мы будем рассматривать другую пару интегралов,
а именно, гамильтониан Н и дополнительный интеграл К на изоэнергетической
3-поверхности Q. Поэтому бифуркационные диаграммы, которые сейчас мы бу-
дем изучать, имеют другой смысл. Они соответствуют не перестройкам 3-мно-
гообразий Q, а перестройкам 2-торов Лиувилля в каждом фиксированном Q^.
Начнем с построения бифуркационной диаграммы случая Эйлера. Гамиль-
тониан Н и интеграл К имеют здесь следующий вид:
С2 с2 с2
Н = 1 -I- °2 -I- —3_
241 242 2.43 ’
K = Sl + S% + Si-
Напомним, что в случае Эйлера мы считаем, что А± > Л2 > Л3 > 0.
На симплектическом 4-многообразии M^g = {Д = 1, Д = g} функ-
ции Н и К коммутируют. Рассмотрим соответствующее отображение момен-
та = (Н, К): M^g —> К2, задаваемое этими двумя функциями, и построим
бифуркационную диаграмму.
Бифуркационная диаграмма зависит от параметра g, т. е. от постоянной пло-
щадей. Для каждого значения параметра g критическими точками отображения
момента являются точки, в которых градиенты функций Н и К, ограничен-
ных на многообразие g = {Д = 1, Д = g\- линейно зависимы. Поэтому кри-
тическая точка отображения Т7 либо является критической точкой функции Н.
ограниченной на многообразие g, либо в ней выполнено соотношение
Ai grad Д + А2 grad Д + А3 gradH = grad К,
(3-1)
где Ai, А2, А3 — некоторые числа.
222
Глава 5
Критические точки функции Н на многообразии M^g были найдены при
исследовании топологического типа изоэнергетических поверхностей случая Эй-
лера. Напомним (см. п. 2.2), что при всех g имеется ровно 6 критических точек
функции Н
(±g, 0, 0, ±1, 0, 0), (0, ±g, 0, 0, ±1, 0), (0, 0, ±g, 0, 0, ±1), (3.2)
в которых гамильтониан Н принимает значения —j-, а интеграл К — одно и то
9
же значение g .
Во всех остальных критических точках отображения выполнено соотноше-
ние (3.1). Таким образом, в переменных (S, R) = (Si, S2, S3, 7?i, R%, R3) система
уравнений, задающих критические точки отображения момента, записывается
следующим образом:
r2A27?+A34-1S = 2S,
2А1Л+ A2S = 0,
(7?, R) = 1,
AS, R) = g,
(з.з)
где через А обозначена диагональная матрица с элементами А±, /12, Аз, а через
(•, •) — скалярное произведение в К3.
Найдем сначала решения системы (3.3) при условии А2 7^ 0. Из второго
2А
уравнения системы (3.3) получаем S = —^R. Учитывая, что (R, R) = 1,
А2
a (S, R) = g, имеем
S = gR, =
Подставляя gR вместо S в первое уравнение системы (3.3), после простых пре-
образований получаем
(2(g-A2)A-A3gE)7? = 0,
где через Е обозначена единичная 3 х 3-матрица. Так как числа А±, И2, Л3 попар-
но различны, то ранг матрицы 2(g— А2)А — X$gE из последнего уравнения может
быть равен 3, 2 или 0. Если ранг равен 3, то решений нет (поскольку R 0).
Если ранг равен 2, то решениями системы (3.3) являются 6 точек (3.2). Наконец,
если ранг равен 0, то
Ai = -y, А2 = g, А3=0. (3.4)
В частности, если А2 7^ 0, то g 7^ 0.
Таким образом, если А2 7^ 0, то соответствующие решения системы (3.3)
заполняют двумерную сферу
{(S, R): S = gR, (R, R) = 1}
(3-5)
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
223
в многообразии M^g. Вычисляя значения функций Н и К в точках этой сферы,
получаем
h =
р2 тэ2 р2 X
I -3 \
Ai Л2 + Лз7’
Отсюда ясно, что образом сферы (3.5) при отображении момента является от-
резок горизонтальной прямой k = g2 на плоскости IR2 (h, k). При этом прообра-
зами точек этого отрезка (на сфере (3.5)) являются линии уровня функции Н
(на сфере (3.5)), которые задаются как пересечение сферы (Д, Я) = 1и эллипсо-
ида ^(А-1^?, R) — 2h.
Итак, часть бифуркационной диаграммы, получающаяся при условии А2 # О,
является отрезком
T0 = {fc = ^,
(3.6)
g2 е2 е2
прообразы точек h = 7^3—, h = £7-, h = этого отрезка содержат критичес-
2Ai 2А2 2А3
кие точки функции II: для любой другой точки отрезка то критические точки
отображения момента в ее прообразе заполняют две окружности.
Теперь рассмотрим случай А2 = 0. В этом случае из второго уравнения
системы (3.3) получаем Ai = 0. Кроме того, из первого уравнения системы (3.3)
сразу следует, что две координаты из Si, S?, S3 равны нулю. Отсюда получаем
три серии решений
("И”, 0, 0, Ri, R2, R3}, A3 — 2А1,
(б, 0, Ri, R2, R3}, A3 = 2А2,
\ Л2 /
(о, 0, Ri, R2, R3}, A3 = 2А3,
\ л3 /
h — 2AiR2 ’ (3.7i)
h = g1 2А2Д2’ лГ (3.72)
h = g3 2А3Д2’ к-A лГ (3-7з)
где Д2 + R% + Д3 — 1.
Для каждой из этих серий множество критических точек отображения мо-
мента заполняет два диска (две полусферы {(R, R') — 1, Rt ф 0}), которые при
отображении момента переходят в подмножества прямых к = 2A{h. Далее, лег-
ко понять, что на каждом из трех множеств (3.7,) функция К имеет минимум,
равный g2, а ее неособые линии уровня состоят из двух окружностей.
Итак, часть бифуркационной диаграммы, получающаяся при условии А2 = 0,
состоит из трех лучей
Т1 = {к = 2Aih, к g3},
т2 = {к = 2A2h, к g3},
т3 = {к = 2A3h, к g2},
(3.8)
224
Глава 5
начала которых лежат на отрезке то (при g = 0 этот отрезок сжимается в точку).
Критические точки отображения момента в прообразе каждой внутренней точки
луча заполняют две окружности.
Объединяя отрезок (3.6) и лучи (3.8), получаем бифуркационную диаграмму
отображения момента для случая Эйлера. Она показана на рис. 5.21(a) для g = О
и на рис. 5.21(b) для g ф 0.
Докажем теперь, что интеграл К является боттовским на всех неособых изо-
энергетических поверхностях, т. е. на всех поверхностях h = {Д = 1, Д = g,
Н — h}. где h Д тут-- Иными словами, нужно показать, что критические окруж-
ности функции К, ограниченной на изоэнергетическую поверхность h, явля-
ются невырожденными критическими подмногообразиями. Для этого, согласно
схеме, изложенной в параграфе 1 (см. лемму 5.1), в каждой точке критической
окружности нужно ограничить билинейную форму с матрицей
G — GK — AiGi — A2G2 — Азбя (3-9)
на касательное пространство к h и проверить, что ранг полученной (после
ограничения) билинейной формы равен 2. Здесь Gi, G%, Gh, Gk — матрицы,
составленные из вторых производных функций Д, Д, Н, К соответственно, а
числа Ai, А2, Аз — коэффициенты из линейной комбинации градиентов (3.1).
Критические окружности функции К, ограниченной на Q3 h, лежат в про-
образах точек пересечения бифуркационной диаграммы и вертикальной прямой
h = const на плоскости Ж.2 (/г, к). Каждую из частей построенной бифуркационной
диаграммы (т. е. отрезок то и лучи n, Т2, Т3) удобно рассмотреть отдельно.
Рассмотрим луч п. В этом случае Ai = А2 = 0, A3 = 2Л1. Поэтому матри-
ца (3.9) имеет вид
/° 0 0 0 0 °\
0 2-^1 0 0 0 0
G — Gk — — 0 -4-2 0 9 2А Л 0 0 0
0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0
\0 0 0 0 0 0/
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
225
В критических точках, соответствующих лучу п, т. е. в точках (3.71), градиенты
функций /1, f2, Н равны
grad Л = (0, 0, 0, 2/?!, 2Л2, 2У?3),
grad/2 = [Ri, R2, R3, ~б~, О, О
\ Л1
gradH = О, О, О, О, О
Поэтому базис в касательной плоскости к поверхности Q& h можно задать, на-
пример, следующим образом:
ei = (0, 0, 0, 0, — 7?з, 7?г),
62 = (о, 1, о, о
ез = (о, 0, 1, 0,
I о о
Очевидно, что ограничение формы с матрицей G на касательную плоскость к по-
верхности Q3 h в базисе е±, е2, вз имеет матрицу
/0 0 0 \
„ 2АХ
0 2 о
а2
о 2А1
0 0 2--гА
\ Аз /
Так как числа Ai, А2, A3 попарно различны, то ранг полученной матрицы ра-
вен 2. Поэтому критические окружности функции К, лежащие в прообразе лу-
ча п, являются невырожденными критическими подмногообразиями. Более то-
го, поскольку мы предполагали, что А± > А2 > A3, то индекс рассматриваемых
критических окружностей равен 2, т.е. они являются невырожденными макси-
мальными критическими окружностями функции К на поверхности Qg,h-
Доказательство невырожденности критических окружностей и вычисление
их индексов для лучей т2, тз и отрезка то проводится аналогично. В результате
получаем, что критические окружности в прообразе луча т2 являются невырож-
денными седловыми, а критические окружности в прообразе луча тз и отрезка то
являются невырожденными минимальными окружностями.
Для дальнейшего полезно выделить на оси h три зоны энергий, которые мы
обозначим через I, II, III. А именно:
22 22 \ ( 22 е2 \
ё ё II = s ё Ш
2Ax’ 2А2 J ’ у2А2’ 2Аз) ’
226
Глава 5
Этим трем зонам соответствуют различные типы 3-многообразий Q.
А именно, в зоне I многообразие Q является 3-сферой S3, в зоне II многооб-
разие Q диффеоморфно S1 х S2, а в зоне III многообразие Q диффеоморфно RF3.
Этот результат уже был получен выше.
Опишем соответствующие меченые молекулы W*, отвечающие каждому ти-
пу 3-многообразий Q.
Теорема 5.2.
а) Пусть постоянная площадей g отлична от нуля. Тогда меченые молекулы
£*, ^з систем случая Эйлера имеют вид, изображенный на рис. 5.22(а,
Ъ, с). Эти три разных типа молекул отвечают трем эонам I, II, III энер-
гий Н. Следовательно, мы получили описание полного топологического ин-
варианта лиувиллева слоения в случае Эйлера.
б) В случае, когда постоянная площадей g равна нулю, топология лиувиллева
слоения не зависит от уровня энергии Н и полностью описывается меченой
молекулой изображенной на рис. 5.22с.
Эйлер
Рис. 5.22
Доказательство.
Сначала предположим, что g 0 0. Применим к случаю Эйлера описанный
выше способ, основанный на использовании круговых молекул. На бифуркацион-
ной диаграмме есть три особые точки yi, у2, уз (рис. 5.21) в случае, когда g Д 0.
Докажем, что точки yi и отвечают особенностям типа центр-центр, а средняя
точка у2 отвечает особенности седло-центр.
Рассмотрим точку yi (в точке уз рассуждения аналогичны). Прообраз этой
точки в многообразии M^g при отображении момента состоит ровно из двух
точек, задаваемых в координатах так:
(Ri, R2, R3, Si, S2, S3) — (1, 0, 0, g, 0, 0),
(Ri, R2, R3, Si, S2, S3) = (-1, 0, 0, -g, 0, 0).
Возьмем первую из них. В качестве локальных координат в окрестности
этой точки на M^g возьмем R2, R3 и S2, S3. Наша цель — записать в этих
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
227
координатах функции Н и К, после чего следует убедиться, что их гессианы
удовлетворят условию невырожденности. См. том 1, глава 1. Вместо функции Н
удобнее рассмотреть линейную комбинацию функций Н и К следующего ви-
да: Н = Н - К • (2А)"1.
Тем самым локально, в окрестности рассматриваемой точки мы выпрямля-
ем бифуркационную диаграмму: она превращается в пару ортогональных пере-
секающихся отрезков.
Тогда, с точностью до малых третьего порядка, функции Н и К относитель-
но выбранных локальных координат запишутся так:
H = S%
1
2Л2
+ S32
К = (52 - gR2)2 + (S3 - gR3)2 + ... .
В координатах R2, R3 и S2, S3 матрица скобок Пуассона не имеет, конечно, ка-
нонического вида, поэтому здесь удобно сделать замену координат по формуле:
Pi = S3, qi = S2, P2 = S3-gR3, q2 = S2-gR2.
В этих новых координатах матрица скобок Пуассона в рассматриваемой точ-
ке уже имеет канонический вид, с точностью до умножения на скаляр т. е. на
постоянную интеграла площадей. В этих координатах функции Н и К приобре-
тают вид:
91 \2Л2 2Аг) +Р1 \2Л3 2A1)+"',
К = qi+p22 +... .
Таким образом, эта пара функций имеет в рассматриваемой точке невырож-
денную особенность типа центр-центр. Совершенно аналогичные рассуждения
проводятся и для точек у2 иу3. Разница состоит лишь в том, что в окончательных
формулах для Н нужно поставить другие индексы, подвергнув их циклической
перестановке. В результате коэффициенты ( -i-—i— ) и ( -i-—i— ), бывшие
X 2?±2 2Л1 / х 2Аз 2Л1 /
сначала положительными, для точки уг, будут менять свои знаки. А именно, в
точке у3 оба они станут отрицательными, и тип особенности, следовательно, не
изменится. В точке у2 их знаки станут противоположными, т. е. точка у2 бу-
дет иметь тип седло-центр. Итак, мы определили тип всех трех особых точек
бифуркационной диаграммы.
Для определения молекул W* применим метод, использующий круговые мо-
лекулы особых точек бифуркационной диаграммы. В случае Эйлера нужно вы-
числить круговые молекулы, отвечающие точкам yi, у2, у3. См. рис.5.23. Жир-
ными дугами на рисунке отмечены дуги окружностей малого радиуса, лежащие
внутри образа отображения момента.
Для точек yi и уз, имеющих тип центр-центр, круговая молекула имеет вид
А----А. При этом метка г равняется здесь нулю, в силу теоремы 9.1 (тома 1).
Следовательно, деформируя дугу окружности посредством гладкой изотопии в
вертикальный отрезок, мы, с одной стороны, не меняем молекулу, а с другой
228
Глава 5
стороны, получаем искомую молекулу для 3-многообразий Q из первой зоны I,
т. е. для малых значений энергии Н. Отметим здесь, что метка е в данном слу-
чае зависит от выбора ориентации на Q, которое в зоне I диффеоморфно S3.
Поэтому без ограничения общности можно считать, что здесь е = 1. Итак, для
зоны I утверждение теоремы 5.2 доказано. Отметим, что в действительности в
этом случае полная молекула состоит из двух экземпляров молекулы А---А,
поскольку в полном прообразе каждой точки yi и у3 лежат ровно две критически
точки.
Перейдем к зоне II. Начнем с вычисле-
ния круговой молекулы, отвечающей точ-
ке ?/2- Согласно теореме 9.2 тома 1, для
этого достаточно вычислить /-тип особен-
ности. Напомним, что здесь /-тип имеет
вид (V, sA). Поэтому достаточно вычислить
атом V, отвечающий прообразу горизон-
тального отрезка то бифуркационной диа-
граммы. Исследование формул случая Эй-
лера показывает, что этот прообраз X яв-
ляется двумерным симплектическим гладким многообразием, диффеоморфным
сфере S2. А именно, двумерная поверхность X задается в Afj4 g уравнениями:
х = ((Si, S2, S3) = g(R!, R2, Rs), Rl+R22 + Rl = 1).
Ограничивая гамильтониан H на поверхность X, получаем:
г>2 р2 г>2 \
2Ai + 2А2 2А3 Г
Рис. 5.24
Рис. 5.25
При этом поверхность X можно считать заданной в R3 уравнением R2 +
+ R2 + R3 = 1- Нас интересует топологический тип седловой особенности функ-
ции Н на X. Легко видеть, что картина линий уровня функции Н на сфере
имеет вид, показанный на рис. 5.24. Следовательно, седловая особенность имеет
тип С2 • Поэтому, согласно теореме 9.2 (том 1), круговая молекула, отвечающая
особенности у2, имеет вид, показанный на рис. 5.25.
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 229
Таким образом, мы нашли все три круговые молекулы в случае Эйлера.
Перейдем теперь к вычислению молекул W*, отвечающих зонам II и III.
Из рис. 5.26а ясно видно, что искомая молекула для зоны II получается в ре-
зультате склеивания двух круговых молекул, отвечающих особенностям у у и у%.
Нужно изотопно продеформировать вертикальный отрезок в сумму двух дуг
окружностей. Склеивая указанные круговые молекулы, следуя при этом методу,
описанному в параграфе 3 главы 1 тома 2, получаем молекулу, показанную на
рис. 5.26а. Отметим, что здесь склеивались два ребра, кончающиеся атомами А.
При этом одно ребро несло на себе г-метку 0, а второе несло r-метку, равную
бесконечности. В результате пара атомов А исчезла, а на возникшем ребре появи-
лась метка г = 0 (см. правило суммирования меток выше в параграфе 3 главы 1
тома 2).
Осталось вычислить молекулу в зоне III. Принцип вычисления тот же, но
здесь нужно склеить искомую молекулу из трех круговых молекул. Эта процеду-
ра показана на рис. 5.26b. Здесь вертикальный отрезок изотопно деформируется
в сумму трех дуг окружностей, окружающих особые точки. Результат показан
на рис. 5.26b.
Итак, мы описали молекулы для каждой зо-
ны энергии и указали r-метки на каждом ребре.
Вычислим, наконец, s-метки и п-метки. Напом-
ним, что метка s в некоторых случаях зависит
от выбора ориентации на изоэнергетической по-
верхности. Так будет, в частности, на ребрах
типа С?----А с бесконечной r-меткой. В этом
случае мы будем считать, заменив, если требу-
ется, ориентацию, что £ — 1. Если же метка г
на ребре С?----А равна нулю, то метка е не
Рис. 5.27
зависит от выбора ориентации и имеет естест-
венный топологический смысл. Рассмотрим две особые траектории 71 и 72 га-
мильтонова потока, отвечающие атомам А и С%, соединенных рассматриваемым
ребром. Обе они имеют естественную ориентацию, задаваемую этим потоком.
230
Глава 5
С другой стороны, поскольку метка г равна нулю, то эти траектории гомологич-
ны без учета ориентации. См. рис. 5.27. Поэтому мы можем сравнить их ориен-
тации между собой. Если эти ориентации совпадают, то е = 1, если различны,
то с = —1. Именно это мы и должны проверить.
Для проверки удобно воспользоваться тем обстоятельством, что гамильто-
нов поток, задаваемый дополнительным интегралом К, имеет замкнутые траек-
тории. Его траекториями, в частности, являются и рассматриваемые циклы 71
и 72- Ясно, что ориентация, задаваемая потоком sgrad К на этих траекториях,
одинакова, поэтому нам достаточно сравнить между собой ориентации, зада-
ваемые на траектории 7,: потоками sgrad Н и sgradК. Зная бифуркационную
диаграмму, сделать это очень легко. Траектория 71 отвечает некоторой точ-
ке, лежащей для определенности на луче п бифуркационной диаграммы. От-
метим, что случай луча тз рассматривается аналогично. В результате, на 71 мы
имеем dH = (2A1)~1dK. Аналогично, на 72 получаем dH = (2Аз)~^К. Посколь-
ку Ai > 0 и Аз > 0, то потоки sgrad Н и sgradК имеют одинаковые направления
как на 71, так и на 72. Отсюда сразу следует, что г = +1 на ребре А-Сз в
случае, когда г = 0.
Последняя метка п возникает только в случае больших энергий, т.е. в зо-
не III. Она легко находится, поскольку нам уже заранее известен топологический
тип изоэнергетической поверхности Q3. В данном случае Q3 RP3. Единствен-
ная возможность п = ±2. Это следует из комментария к предложению 4.4 главы 4
тома 1. Изменяя при необходимости ориентацию, мы считаем без ограничения
общности, что п = 2. Таким образом, пункт (а) теоремы доказан.
Перейдем к случаю, когда g = 0. Здесь бифуркационная диаграмма имеет
вид, показанный на рис. 5.21а. Она получается предельным переходом из диа-
граммы для случая, когда g 0 при g, стремящемся к нулю. При этом отрезок то
движется к началу координат и сжимается в точку. Если мы возьмем какое-то
значение Н = const из зоны III и устремим постоянную g к нулю, то все измене-
ния бифуркационной диаграммы будут происходить вдали от выбранного нами
значения энергии. Следовательно, качественная картина и топология лиувиллева
слоения здесь не меняется. Таким образом, предельная молекула просто совпа-
дает с молекулой W* из зоны III. Пункт (б) теоремы доказан. Теорема доказана
полностью.
В заключение мы покажем, как полученная нами информация о топологии
слоения Лиувилля в случае Эйлера позволяет легко объяснить следующий из-
вестный механический эксперимент. Возьмем обычную книгу, которую будем
сейчас рассматривать как твердое тело. (Вместо книги можно, конечно, взять де-
ревянную плитку в форме книги). Ориентируем ее в горизонтальной плоскости,
как показано на рис. 5.28а и подбросим вверх, закрутив книгу вокруг ее горизон-
тальной оси симметрии, проходящей через центр книги. Затем поймаем книгу и
посмотрим, в каком положении она вернулась к нам. Оказывается, результат су-
щественно зависит от того, как именно мы ориентировали книгу перед началом
броска. А именно, у книги, очевидно, есть три взаимно перпендикулярных оси
симметрии. И мы можем подбросить книгу, закрутив ее вокруг любой из этих
осей. Если подбросить книгу, закрутив ее вокруг оси симметрии, отвечающей
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 231
наименьшему моменту инерции, то книга вернется назад в том же положении,
какое она занимала до броска. Если книга подброшена и закручена вокруг оси
симметрии, отвечающей максимальному моменту инерции, то эффект будет тот
же — книга, повернувшись в воздухе несколько раз, вернется в прежнее поло-
жение. См. рис. 5.28а. Совсем другая картина возникнет, когда мы подбросим
книгу, закрутив ее вокруг оси симметрии, отвечающей среднему моменту инер-
ции. Здесь книга перевернется. Более точно, если в начале броска корешок книги
был у вас в левой руке, то поймав книгу в воздухе, вы с удивлением обнаружите,
что ее корешок оказался в вашей правой руке. См. рис. 5.28b.
Рис. 5.28
Это любопытное обстоятельство теперь легко объяснить. В самом деле, по-
лет книги хорошо моделирует случай Эйлера в динамике тяжелого твердого тела.
Достаточно забыть о движении центра масс книги, т. е. рассматривать только ее
«чистое вращение» вокруг центра масс. Кроме того, можно считать, что посто-
янная площадей здесь равняется нулю. Дело в том, что при каждом из трех
описанных бросков мы закручиваем книгу вокруг горизонтальной оси, идущей
в точности по одному из собственных направлений ее тензора инерции. Следо-
вательно, вектор кинетического момента каждый раз пропорционален вектору
угловой скорости. Сила тяжести направлена вертикально вниз, то есть ортого-
нальна угловой скорости и, следовательно, кинетическому моменту книги. По-
скольку постоянная площадей получается как скалярное произведение кинети-
ческого момента на вектор силы тяжести, следовательно, в данном эксперимен-
те эта постоянная равна нулю. Следовательно, мы попадаем в ситуацию случая
Эйлера с нулевой постоянной площадей. Поэтому полет книги можно интерпре-
тировать как движение интегральной траектории динамической системы случая
Эйлера по ее изоэнергетической трехмерной поверхности. Как мы знаем, качест-
венный характер движения определяется топологией слоения Лиувилля. Мы уже
вычислили молекулу W. описывающую это слоение. См. рис. 5.22с. Три движе-
ния книги в пространстве отвечают трем типам интегральных траекторий.
Первый тип — это устойчивые периодические траектории двух «верхних
232
Глава 5
атомов» А на молекуле. Механически — это вращение книги вокруг минималь-
ной оси ее эллипсоида инерции. Движение устойчиво, и понятно, что книга воз-
вращается в прежнее положение (когда вы ловите ее в воздухе).
Второй тип — это устойчивые периодические траектории двух «нижних ато-
мов» А на молекуле. Это — вращение книги в полете вокруг максимальной оси ее
эллипсоида инерции. Такое движение также устойчиво, что мы и видим, поймав
книгу в воздухе.
Третий тип — самый интересный. Он определяется двумя гиперболически-
ми периодическими траекториями, отвечающими седловому атому Сг- Это —
две траектории, проходящие через его вершины. Полет реальной книги в данном
случае задается интегральной траекторией, начинающейся вблизи первого сед-
лового периодического решения. Теоретически можно было бы закрутить книгу
так, чтобы соответствующая точка все время двигалась бы по седловой перио-
дической траектории. Но на практике этого сделать нельзя. Неизбежно присут-
ствующее малое возмущение (начальных данных) заставит книгу двигаться по
интегральной траектории, которая лишь сначала близка к седловому периодичес-
кому решению. Но затем траектория быстро удаляется от него и через некоторое
время начинает приближаться ко второму седловому периодическому решению.
Мы знаем, что интегральная траектория в действительности движется по плос-
кому кольцу (на особом слое 3-атома С2), «сматываясь» с его наружной границы
и «наматываясь» на внутреннюю границу кольца. Таким образом, в тот момент,
когда вы ловите книгу, интегральная траектория уже почти достигла второго
периодического решения. А это и есть в точности эффект «переворачивания ко-
решка книги». Другими словами, закрутив в броске книгу вокруг ее средней оси
инерции, вы заставляете соответствующую интегральную траектории двигаться
от одной седловой вершины атома С2 к другой его седловой вершине.
Резюмируя, можно сказать, что интересный эффект «переворачивания ко-
решка книги» в точности объясняется присутствием именно атома С2 в моле-
куле случая Эйлера. Был бы здесь другой атом — и книга вела бы себя совсем
по-другому. Например, был бы здесь атом В, подброшенная книга была бы вы-
нуждена вернуться на ту же самую, т. е. на исходную седловую периодическую
траекторию. Следовательно, корешок книги не перевернулся бы.
5.4. Лиувиллева классификация систем случая Лагранжа
Классический случай Лагранжа — это система с гамильтонианом (1.13). За-
меной координат в Ж6 (S, R) этот гамильтониан можно привести к виду
1 / <?2 \
н= 1 ( S* + S22 + Ц j +R3.
Известны различные обобщения случая Лагранжа. Например, можно рас-
сматривать гамильтониан с квадратичным потенциалом
1 / <У2\
тт 1 | с2 । с2 । ^3 I । р2
л — 2 I + *2 т д 1 + Л3
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
233
или добавить гиростатический момент
Н — ( Si + S'l + j + А53 + R3
Мы будем рассматривать гамильтониан
1 / S'2 \
н = И Si + S2 + + V(R3),
(4-1)
где У(ж) — некоторая гладкая функция на отрезке [—1, 1]. Для гамильтониа-
на (4.1) дополнительный интеграл, как и для обычного случая Лагранжа, имеет
вид К = S3.
Рассмотрим отображение момента J?7 = Н х К: TS2 —> Ж2 (Д, к), где II —
гамильтониан (4.1). Найдем критические точки этого отображения. Фиксиру-
ем значение S3 = к и будем искать критические точки функции Hg,k = Н\Рз,
где Р3 = {/i = 1, /2 = g, К = к}. Поверхность Р3 будет неособой при к V ±g.
Мы исключим пока из рассмотрения случай к = ±g. Критические точки функ-
ции Hg k находятся из условия:
grad Л = Ai grad/i + А2 grad/2 + А3 grad Л,
f л f гг z.
fi = 1, /2 = g, К = к.
Обозначив R3 через х, выразим все неизвестные системы (4.2). Получим:
= \/1 — ж2 cosi, s J^cos( х/1 -ж2 _ (g-kx)2 1 2(1-ж2)2’ J?2 = Vl — x2 sint, R3 = x, g-kx VI-x2 (4.3) _ g-kx _ k „g-kx A2 9 ? A3 fi . 9 " 1 - x2 P 1 - x2
где t — некоторый параметр, а ж удовлетворяет условию
М<1 (4.4)
(1 — X )
Здесь через V'(x) обозначена производная функции У(ж) в точке ж.
При каждом фиксированном ж, удовлетворяющем (4.4), условия (4.3) опре-
деляют ровно одну критическую окружность функции Hg.i- = Л|рз. Значение
функции IIg k в точках этой окружности равно
а условие (4.4) можно переписать в виде
W'(x) = 0, |ж| < 1.
(4-5)
234
Глава 5
Таким образом, критические окружности функции Hgj: параметризованы
критическими точками функции И^,ь(ж). Функция Wgtk является аналогом при-
веденного потенциала. См. [178]. Проекции торов Лиувилля на сферу Пуассона
определяются в данном случае условием Wg.У.Кл) h.
Следуя описанному выше алгоритму, можно определить индексы критичес-
ких окружностей (4.3) функции Hgj.. Для этого, в соответствии со схемой вы-
числений, изложенной в параграфе 1, мы выпишем матрицу G = Gh ~ AiGi —
— A2G2 — где Gh, Gi, G2, Gk — гессианы функций Н, fi, f2. К, а затем
ограничим форму, определяемую этой матрицей, на подпространство, ортого-
нальное векторам grad/i, grad/2, gradJC. См. лемму 5.1. Матрица G имеет в
данном случае вид:
/ 1 0 0 —Аг 0 0 \
0 1 0 0 —Аг 0
0 0 А’1 0 0 —Аг
—Аг 0 0 -2А1 0 0
0 —Аг 0 0 -2А1 0
\ 0 0 —Аг 0 0 У"(ж) - 2AJ
где Ai = — ——Аг = ——а У"(ж) — это вторая производная функции
2(1 - х2У 1-х2
У (ж) в точке х. Градиенты функций Д, f2, К в критических точках (4.3) равны
grad/i = (о, 0, 0, 2\/1 — ж2 cost, 2\/1 — ж2 sint, 2ж) ,
grad/2 — I хА — ж2 cost, х/1 — ж2 sint, ж, cost.. & ^х sin/ £]
\ уг^2 уг^2 )
gradK = (0, 0, 1, 0, 0, 0).
(4-6)
Базис в подпространстве, ортогональном градиентам (4.6), можно задать, напри-
мер, в виде
ei = (sint, —cost, 0, 0, 0, 0),
62 = (0, 0, 0, sint, —cost, 0),
63= cost, -—^sint, 0, ж cost, ж sint, — \/1 — ж2 | .
\ 1 - X, 1-х2 ' )
Вычисляя значения G(ej,ej), получаем следующую матрицу:
( ! кх - g 1 — ж2 0
G = кх — g 1 — ж2 (кх - g)2 (1 — ж2)2 0
0 0 (1-ж2)1У",(ж)>1
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
235
Ее собственные значения равны:
М1=о, »2 = l+\S~kX2L Мз = (1-^)^'Л(Ж).
ц х )
Нулевое собственное значение /л соответствует вырождению гессиана функ-
ции Hg^ вдоль направления, касательного к критической окружности. Собст-
венное значение //2 всегда положительно, а знак собственного значения дз сов-
падает со знаком производной Wgk(x), так как |ж| < 1. Таким образом, кри-
тические окружности функции Hg,b могут быть либо седловыми, либо мини-
мальными. Так как критическая окружность определяется условием (4.5), то
отсюда следует, что седловым окружностям соответствуют локальные максиму-
мы, а минимальным окружностям — локальные минимумы функции Wg,k(x) на
интервале (—1, 1). Это позволяет описать бифуркационные диаграммы для про-
извольного гамильтониана вида (4.1). Мы ограничимся здесь лишь описанием
тех гамильтонианов, для которых молекула W имеет наиболее простой вид.
Предложение 5.3. Пусть Н — гамильтониан вида (4.1), то есть обобщенный
случай Лагранжа, где У(ж) — некоторая гладкая функция на отрезке [—1, 1].
Предположим, что для любых значений х Е (—1, 1) верно неравенство
V"(x) 0. (4.7)
Тогда на всех неособых изоэнергетических 3-поверхностях Q = {Д = 1,
/2 — g, Н — h} дополнительный интеграл Лагранжа К — S3 является боттов-
ским. Причем в этом случае интеграл К на всех критических окружностях в Q
будет достигать либо локального минимума, либо локального максимума, т. е.
не будет седловых окружностей.
Комментарий. Впрочем, условие V"(x) 0 не следует рассматривать как необ-
ходимое для боттовости интеграла К. Дело в том, что в случае, когда V"(x) < 0,
ничего плохого на самом деле не происходит. Просто в этом случае могут по-
явиться седловые критические окружности интеграла К на Q. При этом интег-
рал К все равно будет боттовским на почти всех 3-поверхностях Qy.
Доказательство.
Нам нужно доказать, что для всех неособых изоэнергетических 3-поверхно-
стей Q = {Д = 1, Д = g, Н = h} критическими поверхностями уровня функ-
ции E7|q могут быть лишь невырожденные окружности, на которых реализу-
ется либо минимум, либо максимум интеграла К. Легко понять, что эти же
окружности являются критическими окружностями для рассмотренных выше
функций при некоторых g и к, т.е. для ограничений функции Н на 3-по-
верхности {К = const}. Легко видеть, что одну и ту же окружность можно рас-
сматривать как критическую для ограничения Н на 3-поверхность {К = const}
и в то же время, как критическую для ограничения функции К на 3-поверх-
ность {Н = const}. При этом свойство критической окружности быть невырож-
денной и иметь тот или иной индекс, является инвариантным, т. е. тип критичес-
кой окружности не зависит от того, какую функцию мы рассматриваем. Други-
ми словами, функцию Н на {К = const} или же функцию К на {Н = const}. Дело
236
Глава 5
в том, что при вычислении индексов этих окружностей мы в обоих случаях огра-
ничиваем на одно и то же трехмерное подпространство соответствующие формы,
отличающиеся лишь на ненулевой множитель. Поэтому вместо функции К мож-
но рассмотреть функцию Hg.к, т. е. Н. ограниченную на {/f = const = к}. Но для
этой функции все вычисления уже проведены выше. Были найдены собственные
значения гессиана:
М1=0, М2 = 1 + Мз = (1 -x2)Wgk(x).
(1 — X )
Отсюда видно, что /х2 всегда положительно, а знак собственного значения мз
полностью определяется знаком W” к(х). Вычислим знак выражения W” к(х).
Для этого введем следующие обозначения: р = \ q = & ‘ Тогда
9 9
Wg,k = W +
s’ 1 + х 1 — X
fc2(l-/3)
2/3
Отсюда
Поскольку х G (—1, 1), то при условии, что V"(x) 0, сразу получаем, что и
РК">Л(ж) > 0. Тем самым, собственные значения /Х2 и мз оба положительны. Сле-
довательно, интеграл К действительно является боттовским, причем его крити-
ческие окружности невырождены и интеграл достигает на них либо минимума,
либо максимума. Предложение доказано.
Гамильтониан обычного, т. е. классичес-
кого случая Лагранжа является частным слу-
чаем гамильтониана (4.1), когда У(ж) — ли-
нейная функция. Тогда V"(x) = 0, т. е. усло-
вие (4.7) выполнено. Поэтому справедливо
утверждение предложения 5.3. Отсюда вы-
текает, что изменение топологии лиувилле-
ва слоения на может произойти только
в тот момент, когда само изоэнергетическое
3-многообразие Qk меняется свой топологи-
ческий тип при изменении h. Таким обра-
зом, внутри каждой зоны (области) из пока-
занных на рис. 5.4 молекула W одна и та же,
т. е. лиувиллево слоение имеет один и тот же
топологический тип.
На рис. 5.29 приведено
g и fl — бифуркационных
несколько возможных — при различных значениях
диаграмм отображения Н х К для гамильтониана
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
237
классического случая Лагранжа
н= | + + +R3.
Жирными точками на рис. 5.29 обозначены образы двух точек (0, 0, ±g, О,
О, ±1). Это — те точки, где гамильтониан Н и интеграл К одновременно имеют
особенность. Таких точек ровно две.
Отметим важное и полезное свойство бифуркационных диаграмм классичес-
кого случая Лагранжа. Напомним, что на самом деле здесь важно лишь выполне-
ние условия V" 0. Оказывается, каждая такая диаграмма однозначно проекти-
руется на ось к за исключением, конечно, изолированной точки бифуркационной
диаграммы. В самом деле, формулы (4.3) показывают, что бифуркационная диа-
грамма задается следующим уравнением: h = Wg,k(%)> где х — это решение
уравнения W'g к(х) = 0. Поскольку W" k(x) > 0, то функция Wg k(x) является
монотонно возрастающей. См. об этом выше. Кроме того, функция Wg k(x) при-
нимает все значения от —сю до +оо, что следует из ее явного вида. См. выше.
Поэтому решение х всегда существует и находится из уравнения однозначно.
Теорема 5.3. В классическом случае Лагранжа молекула W имеет вид А-----А
для любой связной компоненты Q3. Изоэнергетические ‘3-поверхности Q имеют
здесь следующие типы: сфера S3, проективное пространство RP3 и прямое про-
изведение S1 х S2. Метка г на ребре молекулы W* зависит от топологического
типа Q. Меченая молекула имеет вид:
а) А---------------А, где г = 0 для S3, обозначим эту молекулу С*.
б) А---------------А, где г = 1/2 для ®LP3, обозначим эту молекулу С.\,
в) А---------------А, где г = ос для Sl х S2, обозначим эту молекулу £%.
В случае S3 и ЕР3 метка в зависит выбора ориентации Q, поэтому без ограни-
чения общности можно считать, что здесь е = +1. В случае S1 х S2 метка е
равна —1. Отметим, что метки п здесь нет. Тем самым, получена полная ли-
увиллева классификация интегрируемых систем классического случая Лагранжа.
См. таблицу 5.1.
Доказательство.
Поскольку, согласно предложению 5.3, седловых критических окружнос-
тей нет, то молекула W для каждой связной компоненты изоэнергетической
3-поверхности имеет вид А-----А. Метка г вычисляется при помощи предло-
жения 4.3 главы 4 тома 1. Осталось подсчитать метку в для случая, когда Q
диффеоморфно S1 х S2. Здесь Q склеено из двух полноторий, осями которых
являются две критические окружности минимума или максимума интеграла.
Отметим, что они естественным образом включаются в семейство окружностей,
расслаивающих S1 х S2, причем все эти окружности лежат на торах Лиувилля.
Более того, эти расслаивающие окружности можно считать орбитами гамильто-
нова действия поля sgrad К на Q. Чтобы подсчитать е, нужно, следовательно,
238
Глава 5
сравнить поля sgrad 77 и sgrad К на двух критических окружностях, т. е. на осях
полноторий. Утверждается, что е = —1. В самом деле, на критических окруж-
ностях можно записать соотношение sgrad К = A; sgrad Н, где i = 1, 2 — номер
окружности. Оказывается, числа Ai и Аг имеют разные знаки. Это и означает,
что е = —1. Здесь нужно использовать описанное выше свойство бифуркацион-
ной диаграммы случая Лагранжа. А именно, что она однозначно проектируется
на ось к, то есть является графиком некоторой непрерывной функции h = h(k).
На рис. 5.30 ясно видно, что, если мы проведем отрезок h = const, то в точках его
пересечения с бифуркационной диаграммой касательные векторы к ней направ-
лены в разные стороны, точнее, один направлен вверх, т. е. вдоль оси к, а второй
направлен вниз. Заметим далее, что числа Ai и Аг допускают следующую интер-
претацию: они являются тангенсами угла наклона этих касательных векторов
к оси h. См. рис. 5.30. Следовательно, у них разные знаки, что и требовалось
доказать. Теорема полностью доказана.
Можно рассмотреть также гамильтонианы
обобщенного случая Лагранжа вида
я = I Si2 + S22 + 4 + АЗз + V(R3). (4.8)
z \ /
Следствие. Утверждение теоремы 5.3 справед-
ливо и для гамильтонианов (4.8).
Доказа тель ство.
Заметим, что гамильтониан (4.8) являет-
ся линейной комбинацией гамильтониана (4.1)
и интеграла К = S3. Поэтому отображение момента Н х К для гамильтониа-
на (4.8) есть композиция отображения момента Н х К для гамильтониана (4.1)
и линейного отображения плоскости Ж2 (/г, к) в себя с матрицей
/1 А\
\° V ’
Поскольку невырожденное линейное преобразование не меняет индексов
критических окружностей, то все молекулы W будут иметь тот же вид, что
и в теореме 5.3. Метка г вычисляется здесь совершенно так же, как в теоре-
ме 5.3. Рассуждения при вычислении метки е также остаются справедливыми,
поскольку сохраняется основное свойство бифуркационной диаграммы, которое
мы использовали, а именно, однозначная проектируемость на ось к. Следствие
доказано.
Теорема 5.4. Изолированная точка бифуркационной диаграммы для случая Ла-
гранжа (в тех случаях, когда она имеется, т. е. при g2 < 4) отвечает единст-
венной особенности типа фокус-фокус в М* . В ^-многообразии M^g эта един-
ственная особая точка имеет координаты (0, 0, g, 0, 0, 1). Ее инвариант, то
есть круговая молекула W*, является окружностью, снабженной матрицей мо-
нодромии
1 0
1 1
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
239
Доказательство.
В доказательстве нуждается лишь факт невырожденности особенности, от-
вечающей такой изолированной точке. В невырожденном случае такая особен-
ность обязательно имеет тип фокус-фокус. Кроме того, нужно вычислить число
таких критических точек на особом слое отображения момента. Окажется, что
точка одна. В самом деле, две особые точки вида (0, 0, ±g, 0, 0, ±1) лежат на
разных уровнях интеграла К = S3, поскольку в них К = S3 = ±g. Следователь-
но, на уровне К = S3 = g лежит ровно одна особая точка, что и требовалось
доказать. Докажем теперь, что эта точка действительно имеет тип фокус-фокус.
Нужно доказать невырожденность особой точки. Для этого достаточно по-
казать, что собственные значения линеаризованной системы в этой особой точке
являются комплексными числами вида
а + ib, а — ib, — а + ib, — а — ib,
причем а и b отличны от нуля. В частности, это означает, что все четыре собст-
венных числа различны.
Рассмотрим систему Эйлера-Пуассона для случая Лагранжа с гамильтони-
аном
Н = i + + +R3.
Она имеет вид:
Si = S2S3(1 - fl~l) - R2,
S2 = -S1S3(1 -/Г1) + Ri,
S3 = О,
Ri = S2R3 - S-^fl-1,
R2 = -S1R3 + SsRifl *,
R3 = SiR2 — S2Ri.
Рассмотрим линеаризацию этой системы в точке (0, 0, g, 0, 0, 1). Прежде
чем записывать матрицу линеаризованной системы, выберем в окрестности ука-
занной точки на орбите, то есть на М* , в качестве локальных координат
переменные Si, S2, Ri, R2. Тогда матрица системы будет, оказывается, иметь
вид 4x4:
-1\
' 0 8 д 0
-g+ - ё fl 0 1
0 1 0
0 ё fl
О
ё
/3
Собственные значения этой матрицы имеют следующий вид:
а, + ib, а, — ib, — а + ib, —а, — ib,
П
/3?
где а = ----’ ° = И 2
в теореме, т.е. при g2 < 4,
см.
[149]. При условии, сформулированном
числа а. и b вещественны. В том случае, когда а,
240
Глава 5
и b отличны от нуля, все четыре собственные числа действительно различны, а
следовательно, особенность невырождена и имеет тип фокус-фокус.
Конечно, при некоторых значениях g и /3 собственные числа становятся
кратными. Так будет при g = 0, ±2 или при /3 = 2. При g = ±2 изолированная
точка бифуркационной диаграммы оказывается на границе образа отображения
момента. См. рис. 5.29d. В момент попадания на эту границу точка становится
вырожденной, а затем, по мере роста g, т. е. как только |gj становится больше 2,
точка меняет свой тип с фокус-фокус на центр-центр. См. рис. 5.29с.
При g = 0 и при /3 = 2 происходит следующее. Гамильтониан Н, конечно,
меняется, но с точки зрения лиувиллева слоения ничего существенного, оказы-
вается, не происходит. А именно, тип особенности сохраняется. Это вытекает из
того, что в нашем рассуждении мы можем заменить гамильтониан Н на линей-
ную комбинацию вида Н+ХК. Для такого нового гамильтониана все собственные
числа вновь станут различными, и мы возвращаемся в предыдущую ситуацию
общего положения.
Осталось найти матрицу монодромии. Как следует из теоремы 9.11 (том 1),
она действительно имеет вид, указанный в теореме, поскольку на особом слое
лиувиллева слоения в М* g лежит ровно одна особая точка типа фокус-фокус.
Теорема доказана.
5.5. Лиувиллева классификация систем случая
Ковалевской
Гамильтониан случая Ковалевской (1.14) линейной заменой координат
в К6(5, У?), сохраняющей скобку (1.6), приводится к виду (2.1)
Н= l(S12 + S22 + 2S32)+7?i.
При этой замене дополнительный интеграл примет вид:
(\ 2
С2 _ С2 \
1 2 2 - Д1 1 +№52-Л2)2. (5.1)
Кривые, разделяющие области на плоскости В.2 (g, h) с различным топологи-
ческим типом изоэнергетических 3-поверхностей, для гамильтониана (2.1) опи-
саны в параграфе 2. (См. рис. 5.11). Чтобы описать все разделяющие кривые в
случае Ковалевской, надо добавить к кривым на рис. 5.11 кривые, разделяющие
области с различными молекулами W. Таким образом, необходимо определить,
как меняется молекула W на изоэнергетической 3-поверхности
Q3h = {А = 1, /2 = g, Н = h}
при изменении h, если значение g фиксировано. Это можно сделать, рассмотрев
бифуркационные диаграммы отображения момента
К х Я: TS2 Ж2 (A:, h),
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
241
где Н — это гамильтониан (2.1), а К — интеграл (5.1), заданные на
ts2 = {Л = 1, Л = g}.
Бифуркационные диаграммы этого отображения построены в книге
М.П.Харламова [219]. Вид бифуркационной диаграммы зависит от значения g.
Качественно различные диаграммы получаются в следующих случаях:
(a) g = О,
(Ь) 0 < |g| < 1,
(с) 1 < |g| <
(d) (|) 4 < |g| < л/2,
(е) |g| > х/2-
Рис. 5.31
Они приведены на рис. 5.31. Бифуркационные диаграммы состоят из луча
{fc = 0, h> g1}, (5.2)
части параболы
о2 1
& = (7г-^)2, + —
242
Глава 5
и кривой, заданной параметрически:
(5.3)
где t е (—оо, 0) U (g, +оо).
Точка возврата кривой (5.3) при |g| si
8
4\ 4
з)
имеет координаты
(1-^, 6й2(М0, (5.4)
точка касания кривой и параболы имеет координаты
( Л’ +A) eK2(fc,/г). (5.5)
у 4g 2g2 у
На рис. 5.31 указаны перестройки торов Лиувилля при критических значе-
ниях отображения момента К х Н. Если точка, двигаясь по плоскости R2(fc, /г),
пересекает соответствующую ветвь бифуркационной диаграммы в направлении,
указанном стрелкой, то перестройка торов Лиувилля в прообразе этой точки
описывается атомом, обозначение которого указано около данной стрелки. Ока-
зывается, в перечисленных выше случаях интегрируемости встречаются только
следующие атомы:
А, Л*, В, С2, Dr.
Бифуркационные диаграммы (a), (b), (с), (d), (с) на рис. 5.31 переходят одна
в другую при непрерывном изменении параметра g. Те части бифуркационной
диаграммы, которые переходят друг в друга при изменении g, определяют оди-
наковые перестройки торов Лиувилля.
Зная перестройки торов Лиувилля для всех точек бифуркационной диаграм-
мы, можно вычислить молекулы W на соответствующих 3-поверхностях Q при
любых фиксированных g и h. Для этого нужно определить, как перестраиваются
торы Лиувилля в прообразе точки, движущейся вдоль прямой h = с. Будем ме-
нять с, определяющее эту прямую. Из явного вида бифуркационных диаграмм
легко понять, при каких значениях с будут меняться молекулы W- Это проис-
ходит в следующих случаях.
1) Когда с является критическим значением функции Н = H\Ts^- В этом
случае изменяется также топологический тип Q.
2) Когда прямая h = с проходит через точку возврата кривой (5.3), или через
точку касания кривой и параболы, или через начало луча (5.2).
Образы критических точек функции Н при отображении момента К х Н
обозначены на рис. 5.31 жирными точками. Соответствующие им разделяющие
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
243
кривые уже построены на рис. 5.11. Учитывая (5.2), (5.4), (5.5), получаем урав-
нения остальных разделяющих кривых на плоскости R2(g, /г):
h = g2,
(5.6)
Объединив кривые (5.6) с кривыми, изображенными на рис. 5.11, получаем
полный набор разделяющих кривых для случая Ковалевской.
Отметим, что метод вычислений, примененный в [219], не дает ответа на
вопрос: является ли дополнительный интеграл случая Ковалевской боттовским.
Это можно установить, вычислив индексы критических окружностей для функ-
ции ЛГ|цЛ, например, используя лемму 5.1. Следующая теорема подводит итог
циклу исследований, выполненных А. А. Ошемковым и А. В. Болсиновым.
Теорема 5.5 (А. А. Ошемков, А. В. Болейнов). Для системы с гамильто-
нианом (1.14), — то есть для случая Ковалевской, — на рис. 5.32 изображены
разделяющие кривые на плоскости 1R2 (g, /г). Они разбивают плоскость на 10 об-
ластей разного типа. В каждой области мы указываем пару (Q, К*), то есть
изоэнергетическое ‘3-многообразие Q и соответствующую ему меченую молеку-
лу К,*. Получается следующий полный список, состоящий из 10 пар:
(S3, /Сх*), (S'3, /С£), (S3, К%), (S3, /CJ), (S1 xS2, /Q), (S1 xS2, КД), (К3, КД),
(КР3, /CJ), (ЕР3, /Q), (ЕР3, /CJ0).
Рис. 5.32
Меченые молекулы КД перечислены в таблице 5.2. Номера г отвечают ну-
мерации в таблице 5.2. Для всех точек (g, h), не лежащих на разделяющих кри-
вых, дополнительный интеграл Ковалевской является боттовским на 3-поверх-
ности Q = {/1 = 1, /2 = g, Н = h}. Здесь через К3 обозначена связная сум-
ма (S1 х 52)#(51 х S2). Таким образом, получена полная классификация интег-
рируемых систем Ковалевской с точностью до лиувиллевой эквивалентности.
244
Глава 5
ЗАМЕЧАНИЕ 1. На рис. 5.32. как и на некоторых других, в целях упрощения обозначений
вместо пары (Q,K*) мы пишем просто (Q — г).
На рис. 5.33 показаны бифуркационные диаграммы систем Ковалевской
вместе с горизонтальными пунктирными отрезками, каждый из которых от-
вечает некоторому уровню энергии Н. Разные такие отрезки отвечают разным
уровням энергии в том смысле, что топологические инварианты К* этих уровней
различны. Подчеркнем, что имеется естественное соответствие между интерва-
лами энергий Н, показанными на рис. 5.33, и десятью разными зонами, пока-
занными на рис. 5.32. Оно выглядит так. Латинские буквы с цифрой указывают
уровни энергии на рис. 5.33, а соответствующие им цифры указывают номера
зон на рис. 5.32 и в таблице 5.2.
? 1, а2 —? 3, аЗ —8,
И —> 1, Ь2 —> 2, 53 —> 3, М -> 8, 65 -> 9,
cl -> 1, с2 -> 2, сЗ -> 4, с4 —> 10, с5 -> 9,
dl -4- 1, d,2 -> 2, r/3 -> 7, d4 -> 6, d,5 -> 4, d6-> 10, d,7 -> 9,
el —> 1, e2 —> 5, e3 —> 6, e4 —> 10, e5 —> 9.
Таким образом, для каждой бифуркационной диаграммы легко проследить, ка-
ким образом меняется молекула при увеличении уровня энергии.
Теперь мы можем дать полный список всех особенностей отображения мо-
мента Т7 = (Н, К): Mi —> 1R2, встречающихся в случае Ковалевской. Во-пер-
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 245
вых, в случае Ковалевской присутствуют только следующие 4 атома, задающие
перестройки общего положения. Это — А, А*, В, С?. Эти особенности, т.е. пере-
стройки, соответствуют гладким, регулярным участкам, дугам бифуркационной
диаграммы. Во-вторых, у бифуркационной диаграммы есть еще и особые точки,
т.е. точки возврата, точки касания, точки пересечения и т.п. Оказывается, ти-
пы всех таких особенностей в случае Ковалевской тоже можно перечислить. Они
указаны ниже.
На рис. 5.33 указаны особые точки бифуркационной диаграммы yi, у2,
у13. Особые точки диаграммы, отмеченные одинаковыми буквами, соответству-
ют особенностям одного и того же топологического типа на 4-многообразии M^g.
Более подробная информация указана ниже в теореме 5.6. Здесь мы будем счи-
тать, что постоянная площадей g отлична от нескольких особых значений, а
3
(4 \ 4 1
,2s. Дело в том, что при этих значениях g происходит
перестройка бифуркационной диаграммы.
Теорема 5.6 (См. [249]).
а) Особые точки бифуркационной диаграммы случая Ковалевской у1г уз, у?,
ую, Ун, У12 соответствуют невырожденным особенностям отображения
момента Т = (2Г, К): M^ g —> Ж.2. Более точно, точки у± и ую соответ-
ствуют особенностям типа центр-центр, точки уц и уп соответствуют
особенностям типа центр-седло, а точки уз и yj соответствуют особен-
ностям типа седло-седло. Особенностей типа фокус-фокус в случае Кова-
левской нет.
б) Точки у2, у4, у$, ув, уз, у$, у^з соответствуют вырожденным одномерным
орбитам действия группы К2, порожденного гамильтонианом Н и интегра-
лом К на .
в) Круговые молекулы указанных выше особых точек случая Ковалевской пе-
речислены в таблице 5.3. Легко видеть, что в этом списке имеется ровно
восемь различных меченых молекул. В случае Ковалевской присутствуют
особенности только восьми различных типов. Они и задаются перечислен-
ными круговыми молекулами. Кроме них, есть еще четыре особенности
общего положения. Это — атомы А, А*, В, С2, т.е. отвечающие пере-
стройкам на регулярных дугах бифуркационной диаграммы.
5.6. Лиувиллева классификация систем
Горячева—Чаплыгина—Сретенского
Перейдем теперь к случаю Горячева-Чаплыгина-Сретенского. Гамильтони-
ан случая Сретенского (1.19) приводится линейной заменой координат, сохраня-
ющей скобку (1.6) в К6 (S, R), к виду (2.11). При этом дополнительный интеграл
примет вид:
K=(Ss + 2X)(Sl + Sl)-S1R3. (6.1)
Случай Горячева-Чаплыгина получается из случая Сретенского при А = 0.
246
Глава 5
Бифуркационные диаграммы отображения момента Н х К-. TS2 -> ffi2(/i,fc)
построены в книге [219]. Здесь Н — это гамильтониан (2.11), а К — это ин-
теграл (6.1), заданные на TS2 = {Д = 1, fa = 0} С R6(S, R). Подчеркнем,
что исследуемая здесь система интегрируема на одном изолированном уровне,
отвечающем нулевой постоянной площадей, то есть g = 0. Бифуркационные диа-
граммы для различных значений параметра А изображены на рис. 5.34:
(а) А = 0,
(Ь) —< А < 0,
V 3
(с) -1<A<--L
V
(d) А < -1.
Рис. 5.34
При замене А на —А диаграммы отражаются симметрично относительно пря-
мой к = 0. Все бифуркационные диаграммы состоят из луча {к = 0, h —1} и
кривых, которые можно задать параметрически следующим образом:
h = |i2 + 4Ai + 2А2 ± 1, k = t3+2Xt2.
Перестройки торов Лиувилля описаны на рис. 5.34 тем же способом, что и
для случая Ковалевской. Запись (Л*. В) означает, что одновременно происходят
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 247
две перестройки торов Лиувилля, отвечающие атомам А* и В. Запись (Л, А')
означает, что в прообразе этих точек бифуркационной кривой лежат одна мини-
мальная и одна максимальная окружности интеграла К.
Как и в случае Ковалевской, находя проекции на ось h точек возврата и точек
касания бифуркационных кривых, получаем уравнения разделяющих кривых на
плоскости R2(A, /г):
h = i -
h = 2А2 ± 1.
Объединив их с кривыми, изображенными на рис. 5.17, получаем ответ для
случая Сретенского. См. рис. 5.35. Боттовость дополнительного интеграла прове-
ряется прямым вычислением индексов критических окружностей.
Сретенский
Рис. 5.35
Теорема 5.7 (А. А. Ошемков, П. Й. Топалов, О. Е. Орел). Для системы с
гамильтонианом (1.19), т. е. для случая Горячева-Чаплыгина-Сретенского, на
рис. 5.35 изображены разделяющие кривые в плоскости R2 (A, h). Указанный допол-
нительный интеграл Горячева-Чаплыгина-Сретенского является боттовским
на всех изоэнергетических ^-поверхностях, соответствующих точкам (А. /г),
не лежащим на разделяющих кривых. Полный список всех инвариантов для слу-
чая Горячева-Чаплыгина-Сретенского состоит из 8 пар, перечисленных в таб-
лице 5.4:
(53, ^*), (s3, g%), (s3. &*), (^xs2, ^*), (s^s2, g%), (RP3, g%), (rp3, g;),
(к3, gg).
Здесь через К3 обозначена связная сумма (51 х 52)#(51 х 52).
В частности, при А = 0, т. е. в случае Горячева-Чаплыгина, дополни-
тельный интеграл является боттовским на всех неособых изонергетических
^-поверхностях, причем здесь полный список инвариантов состоит из двух
пар: (53, g*), (RP3,5s)- Таким образом, получена полная классификация интег-
рируемых систем Горячева-Чаплыгина-Сретенского с точностью до лиувиллевой
эквивалентности.
На рис. 5.36 показаны бифуркационные диаграммы систем Горячева-Чаплы-
гина-Сретенского вместе с вертикальными пунктирными отрезками, каждый из
248
Глава 5
которых отвечает некоторому уровню энергии Н. Разные такие отрезки отвеча-
ют разным уровням энергии в том смысле, что топологические инварианты Q*
этих уровней различны. Подчеркнем, что имеется естественное соответствие
между интервалами энергий Н, показанными на рис. 5.36, и восемью зонами,
показанными на рис. 5.35. Оно выглядит так. Латинские буквы с цифрой ука-
зывают уровни энергии на рис. 5.36, а соответствующие им цифры указывают
номера зон на рис. 5.35 и в таблице 5.4.
al —> 2, а2 —> 7,
61 -ч 1, 62 -> 2, 63 ч 3, 64 -> 6, 65 -ч 7,
cl ч 1, с2 —> 2, сЗ ч 8, с4 —> 3, с5 ч 5, сб -> 6, с7 -ч 7,
dl ч 1, ЙЧ 4, <Й 45, <Ич 6, с/5 -ч 7.
Таким образом, для каждой бифуркационной диаграммы легко проследить, ка-
ким образом меняется молекула при увеличении уровня энергии. На рис. 5.36с
изображены две пунктирные пересекающиеся линии а, с$. При каждом конкрет-
ном значении параметра А реализуется один из этих случаев. При этом проекция
точки zs на горизонтальную ось может оказаться либо справа, либо слева от точ-
ки Z4-
Теперь мы можем дать полный список всех особенностей отображения мо-
мента Т7 = (Н, К): 0 —> R2, встречающихся в случае Горячева-Чаплыгина-
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 249
Сретенского. Во-первых, в этом случае присутствуют только следующие 4 атома,
задающие перестройки общего положения. Это — А, Л*, В, Di. Эти особеннос-
ти, т. е. перестройки, соответствуют гладким, регулярным участкам, дугам би-
фуркационной диаграммы. Во-вторых, у бифуркационной диаграммы есть еще
и особые точки, т.е. точки возврата, точки касания, точки пересечения и т.п.
Оказывается, типы всех таких особенностей в случае Горячева-Чаплыгина-Сре-
тенского тоже можно перечислить. Они указаны ниже.
На рис. 5.36 указаны особые точки бифуркационной диаграммы Zi, ... , Zn-
Особые точки диаграммы, отмеченные одинаковыми буквами, соответствуют
особенностям одного и того же топологического типа на 4-многообразии 0.
Более подробная информация указана ниже в теореме 5.8. Здесь мы будем счи-
тать, что параметр А отличен от нескольких особых значений, а именно, рав-
ных ±Ц=, ±1. Дело в том, что при этих значениях А происходит перестройка
%/3
бифуркационной диаграммы.
Теорема 5.8.
а) Особые точки бифуркационной диаграммы случая Горячева-Чаплыгина-
Сретенского zi, Zi, Z7, zg, zq соответствуют невырожденным особеннос-
тям отображения момента Г = (Н, К): 0 —> Ж2. Более точно, точ-
ки zi и zg соответствуют особенностям типа центр-центр, точки z?
и Zq соответствуют особенностям типа центр-седло, а точка z± соот-
ветствует особенности типа седло-седло. Особенностей типа фокус-фокус
в случае Горячева-Чаплыгина-Сретенского нет.
б) Точки Zq, Zq, Zq, Zio соответствуют вырожденным одномерным орбитам
действия группы Ж2, порожденного гамильтонианом Н и интегралом К
на М^о.
в) Точки Zu и zq соответствуют вырожденным нульмерным орбитам дейст-
вия группы Ж2.
г) Круговые молекулы указанных выше особых точек случая Горячева-Чаплы-
гина-Сретенского перечислены в таблице 5.5. В этом списке имеется ров-
но 10 различных меченых молекул. Таким образом, в случае Горячева- Чап-
лыгина-Сретенского присутствуют особенности только десяти различных
типов. Они и задаются перечисленными круговыми молекулами. Кроме осо-
бенностей ... , гц есть еще четыре особенности общего положения.
Это — атомы А, А”, В, Di, т.е. перестройки на регулярных дугах би-
фуркационной диаграммы.
5.7. Лиувиллева классификация систем случая Жуковского
Гамильтониан случая Эйлера (1-12) является частным случаем гамильтони-
ана Жуковского (1.16) при Ai = Аг = Аз = 0. Гамильтониан Жуковского имеет
вид:
„ _ (Si + Ai)2 (S% + А2)2 (S3 + A3)2
- 2Ai + 2А2 + 2А~з ’
250
Глава 5
Дополнительный интеграл имеет здесь вид такой же, как и в случае Эйлера:
/V - S’J + ,S'22 + S2.
Бифуркационные диаграммы отображения момента К х Н: TS2 —> Ж2, где
TS2 = {/i = 1, /2=g}cK6(S, R),
построены в М. П. Харламовым в [219]. Бифуркационная диаграмма задается сле-
дующей формулой. Обозначим
ftl = А± 1, (12 = Д-2 1) а3 = А% 1.
Будем считать, что а± > > аз > 0. Тогда на плоскости переменных h, к
бифуркационная диаграмма задается в виде параметризованной кривой h = h(t),
к = k(t), где функции h и к таковы:
J _ t2 ( , а2-^2 , аЗ-Ч \
2 y(ai — t)2 (a2-i)2 (a3 —t)2y’
= a2A2 a2A2 a|A2
(ai - t)2 (a2 - i)2 («з - t)2
Эта кривая состоит из трех связных компонент, соответствующих трем об-
ластям изменения параметра t. Области таковы: (a3, a2), (a2, ai), (а±, +оо) U
U(—оо, а3). Связные компоненты кривой, отвечающие первым двум интервалам
изменения t, имеют по одной точке возврата. Третья же компонента связности
является гладкой кривой.
При этом следует рассмотреть не всю указанную выше кривую, а лишь ту ее
часть, которая попала в область, задаваемую неравенством g2 к. Кроме того, в
бифуркационную диаграмму также входит вертикальный отрезок, задаваемый
условием g2 = fc, и концами которого являются две точки пересечения отрезка
с двумя крайними кривыми диаграммы. См. рис. 5.37.
При Ai, А2, А3 отличных от нуля, эти диаграммы X имеют вид, показанный
на рис. 5.37. При g = 0 они показаны на рис. 5.37а, а при g 0 показаны на
рис. 5.37(Ь-с). При изменении значения g, определяющего 4-многообразие TS2,
на котором задана система, бифуркационная диаграмма изменяется следующим
образом. Отрезок прямой к = g2 сдвигается направо и постепенно отсекает куски
бифуркационной кривой, на которых расположены точки возврата. При этом кус-
ки могут отсекаться в различном порядке. Это зависит от параметров гамильто-
ниана Ai, Л2, As, Ai, А2, А3. Поэтому при возрастании £мы получим либо после-
довательность диаграмм (а)-(Ь)-(с)-(е), либо (a)-(b)-(d)-(e). См. рис. 5.37. Для
тех областей на плоскости Ж2 (к, h), прообраз которых при отображении К х Н
не пуст, цифрами на рис. 5.37 указано количество торов Лиувилля в прообразе
каждой точки из соответствующей области. Бифуркационная кривая касается
при g — 0 прямой к — 0 в точке
31.31.31
2Ai 2Л2 2Л3
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
251
Рис. 5.37
и при g2 < А2 + Aj + А2 касается прямой h = 0 в точке к0 = А2 + А| + А^. Шесть
ветвей кривой на бесконечности имеют асимптотику
h v
(7-1)
Если точка, двигаясь по плоскости R2(&,/г), пересекает бифуркационную
диаграмму, то торы Лиувилля, лежащие в прообразе этой точки, некоторым об-
разом перестраиваются. Вид перестроек торов для случая Жуковского определен
в [219]. Их можно описать следующим образом. Рассмотрим прямую h = с, где с
достаточно велико. Тогда, поскольку выполняется (7.1), эта прямая пересекает
ветви кривой в определенном порядке. Занумеруем их в этом порядке: хд, хг,
х3, Х4, х3, xq (см. рис. 5.38а).
252
Глава 5
Рассмотрим функцию К = K\qc, где Qr = {fi = 1, /2 = g- Н = с}. Крити-
ческими значениями функции К будут ci, сг, сз, С4, С5, се- Молекула W, показы-
вающая, как перестраиваются торы Лиувилля вдоль прямой h = с, изображена на
рис. 5.38b. Атомы А отвечают окружностям минимума или максимума функции,
в атомы В — седловым окружностям функции К. Таким образом, для всех точек
кривой перестройки торов Лиувилля описываются явным образом. В прообразе
точек из отрезка к = g2 лежат только минимальные окружности функции К.
Чтобы описать теперь все возможные виды молекул W, нужно определить,
каким образом прямая h = с пересекает бифуркационную диаграмму при раз-
личных с. Рассмотрим сначала случай g = 0. Пусть точка возврата, разделя-
ющая ветви а?4 и Ж5, имеет на плоскости В2 (А, А.) координаты hi), а точка
возврата между ветвями и х$ — координаты (&2, /12)- Легко видеть, что при
с = min(Ai, /12) и при с = max(Ai, Аг) происходит бифуркация лиувиллева слое-
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
253
ния. См. рис. 5.39. При с = ho изменяется топологический тип изоэнергетической
3-поверхности Q. При этом молекула W сохраняется, а метки на ней меняются,
то есть меняется меченая молекула W*.
Аналогично разбирается случай g 7^ 0. Дело в том, что координаты (fc1? hi) и
(k‘2, hz) точек возврата не меняются при изменении g. Поэтому и в случае g 7^ 0
бифуркационные значения с = min(hi, hz) и с = max(hi, hz) остаются теми же
самыми. Однако они исчезают в том случае, когда при изменении параметров
системы, точка возврата вообще выходит за образ отображения момента. В ито-
ге получаем, что к кривым, разделяющим области с различным топологическим
типом изоэнергетических 3-поверхностей Q (рис. 5.16), надо добавить два гори-
зонтальных отрезка с концами в точках возврата. Тогда топологический тип Q и
меченая молекула РИ* будут совпадать для всех точек из одной области. Различ-
ные варианты расположения этих отрезков на плоскости R2 (g, h) определяются
расположением точек hi, hz, ho на оси h. См. также рис. 5.40(a,b,c,d,e).
Рис. 5.41
254
Глава 5
Будем изображать кривые, разделяющие области с различным топологичес-
ким типом Q, сплошными линиями, а кривые, разделяющие области с различ-
ными молекулами W*, — пунктиром. В каждой из областей будем указывать
пару: топологический тип многообразия Q и молекулу W* для данного Q.
Теорема 5.9 (А. А. Ошемков, П. Й. Топалов). Для системы с гамильтониа-
ном (1.16), где Ai, Аг, А3 0, т.е. в случае Жуковского, разделяющие кривые на
плоскости К2 (g, h) при различных значениях параметров гамильтониана име-
ют вид, показанный на рис. 5.41(a-f). Для каждой области на рис. 5.41 указаны
топологический тип изоэнергетической ^-поверхности Q и молекула W*. Пол-
ный список, при различных параметрах гамильтониана, состоит из следующих
13 пар. См. таблицу 5.6 и рис. 5.40(а, b, с, d, е).
(S'1 х S2, Ях*), (51 х S2, 2$). (S1 х S2, 2j), (S1 х S2, 2j), (S1 х S2, 2£),
(51 хЗД- (53,Я7*), (53,Я8*), (S3,Z9*), (53, Яхо), (RF3,Zx*i), (®Р3, 2&,
(RP3,^).
Номера на рис. 5.40 отвечают нумерации в таблице 5.6. На рис. 5.40 уров-
ни Н = const, указанные пунктиром, изображены для удобства гладкими кривы-
ми линиями. На самом деле эти линии являются прямыми, но мы нарисовали
их искривленными, чтобы изобразить все различные случаи на одном и том же
рисунке бифуркационной диаграммы. Иначе пришлось бы рисовать много похо-
жих бифуркационных диаграмм для разных случаев взаимного расположения двух
точек возврата (ki, hi) и (к%, h%) и точки касания оси Н с бифуркационной диа-
граммой.
Дополнительный интеграл Эйлера-Жуковского является боттовским на
тех и только тех изоэнергетических ^-поверхностях Q3 = {/1=1, /2=5', H=h},
для которых точка (g, h) не принадлежит разделяющим кривым, показанным на
рис. 5.41.
Напомним, что можно рассмотреть гамильтони-
ан (1.12), получающийся из гамильтониана (1.16) при
Ai = Аг = A3 = 0, т. е. случай Эйлера. Бифуркаци-
онная диаграмма отображения момента К х Н для
случая Эйлера получается, как видно, предельным пе-
реходом из случая Жуковского при А —> 0. При этом
ветви кривой, изображенной на рис. 5.37, попарно сли-
ваются: Xi и х?. %з и Х4, Х5 и xq. В результате по-
лучаем бифуркационную диаграмму на рис. 5.42. Она
состоит из трех лучей
= W и отрезка Б = « Л «
При слиянии ветвей бифуркационной диаграммы для случая Жуковского
критические окружности переходят на один уровень. В результате возникают
молекулы £2, £3, которых в случае Жуковского не было. Полная лиувиллева клас-
сификация систем Эйлера дана в таблице 5.7.
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 255
5.8. Грубая лиувиллева классификация систем случая
Клебша
В гамильтониан случая Клебша (1.20)
q2 q2 q2
н = кг + кг + кг + I + Лз7*з)
ZA1 2J12 аАз &
входят четыре параметра: А1} Аз, Аз, е. Полагая А\ = и поделив гамиль-
тониан на мы получаем гамильтониан (1.20) случая Клебша с параметра-
ми А[, А'2, А'3 и г = ±1. Таким образом, можно исследовать лишь гамильто-
нианы с £ = ±1, для которых в параграфе 2 уже построены кривые на плос-
кости R2(g, /г), разделяющие области с различным топологическим типом Q3.
См. рис. 5.18 и рис. 5.19.
Интеграл Клебша имеет следующий вид:
к = |(S2 + Si + S32) - |(Л2ЛзЛ? + A3ArRl + ЛЛ2Л2).
Как уже отмечалось, зная, как устроена бифуркационная диаграмма отобра-
жения момента Н х К: TS2 —> В2 (h, fc), можно легко получить бифуркационную
диаграмму для системы с гамильтонианом Н' = аН + ftK, где а и ft — некото-
рые постоянные. Она получается из исходной диаграммы при некотором линей-
ном невырожденном линейном преобразовании плоскости Ж2 (/г, к). Нас интере-
сует лишь то, как перестраиваются торы Лиувилля при движении точки вдоль
прямой h = const в прообразе этой точки. Поэтому молекулу W для гамильто-
ниана Н' можно описать, определив, как прямая ah + ftk = const пересекает
бифуркационную диаграмму отображения Н х К.
Отметим следующее важное обстоятельство. Оказывается, все гамильто-
нианы случая Клебша можно получить, например, в виде линейной комбина-
ции аНо + /3Kq коммутирующих функций
Но = (52 + S2 + 532) + (С1Я2 + c2R% + с3Л3).
Ко = (cxSf + c2Sl + c3Sf) - (<^Rl + c%Rl + (^Rj),
где i?i + c2 + c-з = 0. Следовательно, общий четырехпараметрический гамильто-
ниан случая Клебша получается линейной комбинацией простейших функций Hq
и Ко, которые зависят лишь от двух параметров. Таким образом, рассматривая
линейные комбинации описанного выше типа, мы фактически можем понижать
число параметров случая Клебша.
На рис. 5.43 показано, какой из гамильтонианов случая Клебша получается
при различных значениях a, ft. Если прямая ah + ftk = 0 лежит в области I,
то линейная комбинация аН0 + ftKo есть гамильтониан (1.20) с е = 1, а если в
области II, то аН0 + ftKo — это гамильтониан (1.20) с £ = —1. Для прямых, ле-
жащих в заштрихованной области, среди поверхностей Q3 будут некомпактные.
Такие линейные комбинации мы пока не рассматриваем.
256
Глава 5
Рис. 5.43 Рис. 5.44
Бифуркационные диаграммы для случая Клебша были построены и ис-
следованы Т.И.Погосяном в [163], [164], [165]. Для отображения Но х Ко:
TS2 —> R2(7i,fc) они приведены на рис. 5.44. Возможны три качественно различ-
ных случая:
(a) g2 >р2,
(b) Pi < g2 < Р2-,
(с) g2 < Pi-
Здесь рг и р2 — некоторые постоянные, зависящие от параметров щ, с2, сз га-
мильтониана Н. При = g и /2 = — g диаграммы полностью совпадают.
Уравнение бифуркационной кривой удобно записать в параметрической фор-
ме, где h и к зависят от двух параметров х и у, которые, в свою очередь, связаны
соотношением. А именно:
О’ Л
h = -2х - y(ciC2 + С2С3 + С3С1 + Зх ),
к = С1С2 + С2С3 + С3С1 - X2 - ^(xS - Ж(С1С2 + С2С3 + С3С1) + 2С1С2С3),
где у2 = (ж - С1)(ж - с2)(ж - сз).
При этом бифуркационной кривой является не вся эта кривая, а лишь ее часть,
показанная на рис. 5.44.
Асимптотами бифуркационной кривой являются три прямые: к = С1/г+с2Сз,
к = c-ih + С3С1, к = Сзк + С1С2- Три жирные точки на рис. 5.44 — это образы
точек, в которых gradTIg и grad Лф равны нулю на TS2. Они имеют координа-
ты: (g2 + Ci, Ci(g3 — cj) € R2(/i, к). Перестройки торов Лиувилля указаны на
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
257
рис. 5.44. Отметим, что здесь при подходящих значениях параметров появляют-
ся невырожденные особенности всех возможных типов, а именно: центр-центр,
центр-седло, седло-седло, фокус-фокус. См. рис. 5.44.
Рассматривая различные прямые ah + /3k = с, можно определить молеку-
лы W для гамильтонианов аНп + flK(l при различных значениях с. Молекула W
может меняться либо в том случае, когда с — критическое значение функ-
ции аНд + /ЗКо, либо когда прямая ah + /Зк = с проходит через точку возврата
кривой. Построив разделяющую кривую, соответствующую точкам возврата би-
фуркационной диаграммы, мы получаем описание всех молекул W для случая
Клебша.
Опишем разделяющие кривые, то есть кривые на плоскости R2(g, h), точкам
которых отвечают перестройки молекул. Другими словами, эти кривые разбива-
ют плоскость на области, каждая из которых характеризуется тем, что внутри
нее молекула не меняется. Двум различным точкам, лежащим в одной области,
отвечают эквивалентные лиувиллевы слоения, т. е. лиувиллево эквивалентные.
В число разделяющих кривых входят три параболы с уравнениями:
й=^-+еф, где г = 1,2,3, £ = ±1.
При пересечении каждой из этих парабол меняется топологический тип Q.
К этим трем параболам нужно добавить еще алгебраическую кривую
(g(t), изображенную пунктиром на рис.5.45. При пересечении этой пунк-
тирной кривой топологический тип Q уже не меняется, но зато меняется молеку-
ла W. Эта алгебраическая кривая задается в параметрическом виде следующими
формулами:
4F(f)3ia3
Q(t)
h(t)=
(-10i6+15rTiiE-4(rT2+2rT2)i4+(4rTirT2-|-o-3)t3+2rTirT3t2-4rT2O-3t+3rT|)
2t2Q(t)
258
Глава 5
P(t) = J
где _____________________
(A1-t)(A2-t)(A3-t)
t
Q(t) = 2t6 — 3<Ti£5 + Згтз<3 — 2гт1(тз^2 + ст2,
о-! = .11 + Аз + A3, аз = А1А2 + А2А3 + А±А3, аз = А1А2А3.
На рис. 5.45а для е = +1 и на рис. 5.45b для е = —1, показан один из ва-
риантов взаимного расположения трех парабол и описанной выше пунктирной
кривой. Вся эта картина зависит от параметров Ai, А2, A3 гамильтониана Н.
При их изменении иногда взаимное расположение парабол и пунктирной кривой
может меняться. В частности, нижний клюв пунктирной кривой на рис. 5.45b
может подняться вверх и оказаться выше средней параболы. Аналогичные изме-
нения могут происходить и на рис. 5.45а.
Теорема 5.10 (А. А. Ошемков). Разделяющие кривые для гамильтонианов
(1.20), т.е. для общего случая Клебша, задаются указанными выше формула-
ми. Дополнительный интеграл Клебша является боттовским на всех изоэнер-
гетических ^-поверхностях Q = {Д = 1, Д = g, Н = h}, для которых точ-
ка (g, h) не принадлежит указанным разделяющим кривым. Список всех пар
(Q, IV) = (изоэнергетическая поверхность Q, грубая молекула IV) для случая
Клебша состоит из 10 пар, перечисленных в таблице 5.8:
(S'3, СД, (S3, С2), (S1 х S2, Сз), (S1 х S2, С4), (S1 х S3, С5), (S1 х S2, С6),
(RP3, С7), (KF3, С8), (№, С9), (№, С10).
Здесь N3 = (S'1 х 52)#(51 х 52)#(5Х х S2).
При этом различных грубых молекул W в случае Клебша имеется ров-
но 4. Числа, стоящие внутри областей на рис.5А5(а,Ь), указывают номера
пар (Q, IV) из таблицы 5.8, соответствующих данным областям.
Подведем итог. Как найти молекулу для каких-либо конкретных значе-
ний параметров А4, А%, А3, g, h? Для этого нужно сначала подставить парамет-
ры Ai, А2, A3 в уравнения алгебраической кривой (g(t), h(t)) и трех парабол.
Получится картина, изображенная на рис. 5.45. После этого нужно взять пару
чисел (g, h) и посмотреть, в какую именно из получившихся областей попадает
точка с координатами (g, h). Поскольку на рис. 5.45 уже указаны типы моле-
кул IV для каждой из областей, мы и находим искомый ответ.
5.9. Грубая лиувиллева классификация систем случая
Стеклова
В гамильтониан случая Стеклова (1.21) входят 4 параметра: А±, А2, А3, е.
Рассмотрим следующие функции:
Но =aiS2 + аз$2 + a3S2 + 2(a2SiRi + а2ЗзН2 + e3S3l?3) +
+ + а3Л2 + а3Л32,
Ко =Sl + Si + Si - 2(a1S1Ri + a2S2R2 + a3S3JR3) -
— 3(а2й2 + a%R2 + a3l?3),
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
259
где ах + аг + вз = 0. Как и в случае Клебша, любой гамильтониан случая Стеклова
можно представить в виде
Н = аНд + [ЗКд + 7/1 + $/2, (9-2)
где
ах = ^(2ЛгЛз — А3А1 — ЛхЛг), аг = ^(2ЛзЛх — Ai Аз — Л2Л3),
О о
аз = ^(2А1А-2 — А2А3 — ЛзЛх),
О
а = (геЛхЛзЛ)-1, /3 = |(Л^1 + А;1 + А.;1).
7 = £2((2(ЛхЛ2 + Л2Л3 + ЛзЛх)3(27ЛхЛ2Лз) 1 — А1А2А3),
3 = ^(5(Лх + Л.2 + Л3) — 2(А‘2АзА1 1 + ЛзЛхЛ2 1 + ЛхЛгЛ3 1)).
Следуя описанному выше алгоритму, можно построить бифуркационные
диаграммы отображения
Ко х Но: TS2 -> I2 (k, h), (9.3)
где Hq и Кд заданы на TS2 = {/х = 1, /2 = g} С R6(S, R). Зная бифуркацион-
ные диаграммы отображения (9.3), молекулы W для гамильтониана (9.2) можно
описать, определив, как перестраиваются торы Лиувилля в прообразе точки,
движущейся вдоль прямой ah + /Зк = const. Будем предполагать, что парамет-
ры «х, й2, Из, входящие в выражения (9.1), удовлетворяют условию
ах < 0 й2 < 03.
Общий случай сводится к этому заменой переменных.
Теперь можно описать бифуркационные диаграммы отображения (9.3). Они
были найдены А. А.Ошемковым в [156], [157], [350]. Эта диаграмма при любом
значении g является объединением кривой, заданной параметрически:
fc = -8)1,g - 12fi2, h = -4/i2g - 8)i,3, -(g + a3) sj 2/i sj -(g + ax), (9.4)
и трех лучей, лежащих на прямых h = а$к + 4af + 4ga2 (i = 1, 2, 3). Лучи
задаются так:
{h = aik + 4af + 4ga2, k^T — 12a2 — 8ga^} C R2(fc, h). (9.5)
Здесь T — некоторое неотрицательное число.
Кривая имеет вид, изображенный на рис. 5.46:
(а) g < -За3,
(Ь) -За3 < g < —За2,
(с) —За2 < g < -Зах,
(d) g > -Зах.
260
Глава 5
Стеклов
Рис. 5.46
Кривая (9.4) задана параметрически с параметром ц. Для точки кривой, отме-
ченной на рис. 5.46 цифрой i(i = 1,2,3), значение параметра ц равно — ^(g+ а,).
Это — точка пересечения кривой и прямой h — a-ik + 4а? + 4ga?. Для точки
S'
возврата кривой мы имеем | при —Заз < g < —Зар
В точке касания луча с кривой значение параметра у, на кривой равно <ц.
Объединяя все эти результаты, получаем бифуркационные диаграммы, по-
казанные на рис. 5.47. Чтобы не усложнять рисунки, оси координат (fc, h) не на-
рисованы. Перестройки торов Лиувилля, указанные на рис. 5.47, будут описаны
ниже.
Стеклов
Рис. 5.47
Для каждого гладкого участка бифуркационной диаграммы можно вычис-
лить индекс критической окружности из соответствующего семейства. Это было
сделано А. А.Ошемковым [156], [157], [350].
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
261
Оказывается, что все критические окружности невырождены, кроме тех,
которые лежат в прообразе точки возврата кривой или точек касания кривой
с лучами. Зная индексы, можно определить перестройки торов Лиувилля при
критических значениях отображения (9.3). Очевидно, что тем частям бифурка-
ционных диаграмм, для которых индекс критической окружности равен 0 или 2,
соответствуют перестройки, кодируемые атомом А. Отсюда легко установить
число торов Лиувилля в прообразе каждой точки, не лежащей на бифуркацион-
ной диаграмме. Осталось определить вид перестроек по седловым критическим
окружностям.
Разберем, например, рис. 5.47g. Более под-
робно эта бифуркационная диаграмма изобра-
жена на рис. 5.48. Цифрами здесь обозначено
число торов Лиувилля, число седловых окруж-
ностей (например, 4а) и число окружностей
минимума или максимума (например, 2т).
Перестройки вдоль стрелок I и II — это пере-
стройки двух торов Лиувилля в четыре тора
по двум седловым окружностям. Существует
всего лишь одна перестройка с таким свойст-
вом. См. список бифуркаций в томе 1. Эта пе-
рестройка описывается двумя атомами В.
Рис. 5.48
Далее, перестройка торов вдоль стрелки III имеет тот же вид, что и пере-
стройка критических окружностей в прообразе точки, движущейся вдоль стрел-
ки III'. Это следует из теоремы 9.2 тома 1. Можно проверить (см. подробности в
работах А. А.Ошемкова [157], [158], [350]), что лучу, вдоль которого направлена
стрелка III', соответствуют два экземпляра атома С'а. Следовательно, перестрой-
ка торов Лиувилля вдоль стрелки III имеет тот же самый тип и описывается
двумя атомами С'?. Осталось определить вид перестройки вдоль стрелки IV. При
изменении значения g бифуркационная диаграмма непрерывно деформируется и
для достаточно больших значений g имеет вид, изображенный на рис. 5.47j. При
этом лучи переходят в соответствующие лучи. Поэтому перестройка торов вдоль
стрелки IV имеет тот же вид, что и перестройка торов при пересечении средне-
го луча на рис. 5.47j. Она описывается атомом С'г. что устанавливается тем же
способом, что и для перестройки вдоль стрелки III.
Разбирая аналогично все случаи (a)-(j) на рис. 5.47, мы вычисляем все пе-
рестройки торов Лиувилля. Результат приведен на рис. 5.47.
Теорема 5.11 (А. А. Ошемков). Пусть гамильтониан Н случая Стекло-
ва (1-21) представлен в виде (9.2). Тогда бифуркационные диаграммы отобра-
жения момента Н х К: TS2 —> R2 получаются из бифуркационных диаграмм,
изображенных на рис. 5.47, при невырожденном линейном преобразовании плос-
кости R2(fe, h). Дополнительный интеграл Стеклова является боттовским на
всех неособых изоэнергетических 3-поверхностях Qc = {Д = 1, = g, Н = с},
кроме тех, для которых прямая ah + (3k = с — 7 — 8g на плоскости R2 (fc, h) про-
ходит через точку касания луча с кривой или через точку возврата кривой для
диаграмм на рис. 5.47. Перестройки торов Лиувилля при критических значениях
262
Глава 5
отображения момента указаны на рис. 5.47. Список всех возникающих в случае
Стеклова молекул W при различных значениях а, (3, g, h состоит из 6 молекул,
показанных в таблице 5.9.
5.10. Грубая лиувиллева классификация систем случая
четырехмерного твердого тела
Как показано в параграфе 1, различные обобщения классической задачи о
движении твердого тела описываются уравнениями Эйлера для алгебры Ли е(3).
Аналогичные уравнения можно рассматривать и для других алгебр Ли. Здесь мы
исследуем один интегрируемый случай уравнений Эйлера для алгебры Ли зо(4).
Алгебра Ли so(4) реализуется в виде кососимметрических матриц X с обыч-
ным коммутатором
[X, У] = XY - УХ. (10.1)
Пусть матрица X имеет вид
/ 0 -м3 м2 Р1\
м3 0 -Ml Р2
-м2 Ml 0 Рз
\ -Р1 -Р2 ~РЗ 0/
Тогда скобка Пуассона-Ли на коалгебре зо(4)*, соответствующая коммута-
тору (10.1), имеет вид
{Afj, AfyJ = SijigM/g, {Afj, Pj} = SjjkPki {Pi> P,j{ = SijkMfc. (10.2)
Гамильтонова система для алгебры Ли so(4) записывается в виде уравнений Эй-
лера
Mi = {Mi, Н}, Pi = {pi, Н}, (10.3)
где функция Н(М, р) — это гамильтониан.
Скобка (10.2) в В6 (Л-f, р) вырождена. Инварианты алгебры Ли so(4) имеют
вид:
/1 = + М% + Pi + pl + Рз, /2 = Л^1Р1 + М2р2 + МзРз (Ю-4)
и коммутируют со всеми функциями f(M,p). Совместные поверхности уров-
ня функций fi и /2 — это орбиты коприсоединенного представления группы
Ли SO(4). А именно,
O(di, d2) = {fi = di, f2 = d2} C R6(M, p). (10.5)
Ограничение скобки (10.2) на эти орбиты невырождено, т. е. задает на орбитах
симплектическую структуру. Орбиты будут неособыми при di > 2|d21- Они го-
меоморфны S2 х S2. При di = 2|cZ2| получаются сингулярные орбиты, гомеоморф-
ные сфере S2. Если di < 2|с?2|, то O(di, d,2{ = 0- Система (10.3) определяет на
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
263
орбитах общего положения гамильтонову систему с двумя степенями свободы.
Ее полная интегрируемость по Лиувиллю равносильна существованию одного до-
полнительного интеграла К. функционально независимого с гамильтонианом Н
на орбитах.
Рассмотрим гамильтониан вида
Н = aiMf + a2Af22 + азМ? + с\р( + с2р2 + с3р3. (10.6)
Хорошо известно, что, если параметры этого гамильтониана связаны соотноше-
нием
aiCi(a2 + с2 - а3 - с3) + a2c2(a3 + с3 - си - ci) + a3c3(ai + Ci - а2 - с2) = 0,
(10-7)
то отвечающая ему гамильтонова система вполне интегрируема по Лиувиллю
(А. С. Мищенко, Л. А. Дикий, С. В. Манаков). Гамильтониан (10.6) при выполне-
нии условия (10.7) оказывается гамильтонианом так называемой нормальной се-
рии для алгебры Ли ао(4). Систему уравнений (10.3) с гамильтонианом (10.6),
(10.7) иногда называют уравнениями движения четырехмерного твердого тела.
Это четырехмерный аналог обычного трехмерного случая Эйлера. Подробнее о
системах такого типа и теорему о полной интегрируемости по Лиувиллю их мно-
гомерных аналогов, т.е. уравнений Эйлера динамики многомерного твердого те-
ла на всех полупростых группах Ли см. в работах А. С. Мищенко и А. Т. Фоменко.
См., в частности, [133]. Обзор см. в [207].
Рассмотрим соотношение (10.7). Легко показать, что оно равносильно вы-
полнению одного из следующих двух условий:
ai + ci = а2 + с2 = а3 + с3 (10.8)
или
aiCi = q + r(ai + ci),
a2c2 — <1 + r(a2 + c2), (10.9)
азс3 = q + r(a3 + c3),
где q, r — некоторые постоянные. Если выполнено первое условие (10.8), то га-
мильтониан (10.6) примет вид:
Но = bi.M2 + 62Af2 + Ь3М% - bppl - b2pl - b3pl- (10.10)
Второе условие (10.9) можно переписать в виде
(г - ai)(r - С1) = г2 + q,
(г - a2)(r - с2) = г2 + q, (10.11)
(г - a3)(r - с3) = г2 + q.
264
Глава 5
Если г2 + q = 0, то по крайней мере три из коэффициентов a,, сх (г = 1, 2, 3)
равны нулю. Тогда линейной заменой координат в В6 (Л-f. р), сохраняющей скоб-
ку (10.2), гамильтониан (10.6) приводится к одному из следующих гамильтони-
анов:
Ях = bvM2 + Ь2М2 + Ь3М2,
(10.12)
Н2 = &1Р? + Ь2р% + b3pf.
(10.13)
Пусть г2 + q 0. Тогда из (10.11) легко следует, что гамильтониан (10.6) можно
записать в виде
Н = АН3 + г/i,
(10.14)
где
Н3 — biM2 + b2M2 + b3AI2 + b2b3p2 + &3&1Р2 +
(с2-г)(с3-г) (c3-r)(ci-r) (с1-г)(с2-г)
°1 — -----5--------5 °2 — -----5--------? Оз — ------5-------
г + q г + q /• + q
(10.15)
A = (ai ~r)(a2 -г)(«з — r)
r2 + q
Рис. 5.49
Поскольку прибавление инварианта Д к га-
мильтониану не изменяет систему (10.3), мы
получаем, что любой гамильтониан вида (10.6),
(10.7) эквивалентен одному из гамильтонианов
Но, Hi, Н2, Н3, каждый из которых зависит
лишь от трех параметров bi, b2, Ь3.
Рассмотрим гамильтониан Hi. Интеграл
для него имеет вид Ki — М2+М2+М2. Очевид-
но, что гамильтонова система (10.3) с гамиль-
тонианом Hi (10.12) определяет в точности тот
же фазовый поток в R6, что и в обычном слу-
чае Эйлера. Это видно при замене S = М, R = р. Бифуркационная диаграмма
отображения
Ki х Hi: S2 х S2 -> R2(fex, hi)
изображена на рис. 5.49. Она состоит из пяти отрезков, лежащих на прямых hi =
= biki (г = 1, 2, 3), 2fei = di ± (d2 - 4<^)г, где di и d2 определяют орбиту (10.5).
Бифуркационная диаграмма отображения
f2 xHi: S5 hi),
где .S'5 = {/1 = di} C R6 (M, p), изображена на рис. 5.50. Она состоит из трех
эллипсов и двух вертикальных отрезков {2d2 — ±di, bidi < 2h < 631^1}, каса-
ющихся всех трех эллипсов. Мы считаем, что 0 < bi < b2 < Ь3. Это — полный
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
265
набор разделяющих кривых для данного случая. На рис. 5.50 указаны тополо-
гический тип Q изоэнергетических 3-поверхностей и молекула W для каждой
области на плоскости R2(d2, hi). А именно, числа, стоящие внутри областей на
рис. 5.50, указывают номера молекул W из таблицы 5.10, соответствующих дан-
ным областям.
Как будет видно из дальнейшего, гамильто-
ниан Hi отличается от всех остальных гамиль-
тонианов вида (10.6), (10.7). Исследуем теперь
оставшиеся гамильтонианы Но, Н-2, Н$.
Рассмотрим гамильтониан Но- В качестве
интеграла Ко, функционально независимого с
Но на орбитах (10.5), можно взять
Кд — (51 + 52)(5i + 53)р2 + (Ь? +
„ „ (Ю.16)
+ Ъз) (Ья + 51 )р2 + (Ьз + bi) (Ьз + 52 )р3
Легко проверить, что все гамильтонианы (10.6),
(10.7), кроме гамильтониана Hi, представляют-
ся в виде линейной комбинации
Н = aHo+0Ko+yfi, (10.17)
где а, /3, 7 — некоторые коэффициенты. Поэто-
му бифуркационные диаграммы для произвольного гамильтониана (10.6), (10.7)
получаются из бифуркационных диаграмм отображения
Но х Ко: S2 х S2 -> Ж2 (h0, k0)
при невырожденном линейном преобразовании плоскости Ж2(ho, ко)- См. пара-
графы 6, 9.
Бифуркационные диаграммы отображения Но х Ко были найдены А. А. Оше-
мковым в [154]. Опишем их построение. Будем считать, что коэффициенты га-
мильтониана Но удовлетворяют условию
0 < 51 < 52 < 53. (10.18)
Случаи, когда среди bi есть отрицательные числа, сводятся к (10.18) линейной
заменой переменных в R6(M, р), сохраняющей скобку (10.2).
Орбита (10.5) определяется двумя параметрами di и d%. При 2|d2| < di она
гомеоморфна S2 х S2. Критические точки функции Но = T?o|s2xS2 находятся из
условия:
grad/fo = Ai grad/i + А2 grad/2, fi(M, p) = di, fz(M, p) = d3- (10.19)
Решениями системы (10.19) являются 12 критических точек:
(±А, 0, 0, ±В, 0, 0), (±В, 0, 0, ±А, 0, 0), (0, ±А, 0, 0, ±В, 0),
(0, ±В, 0, 0, ±А, 0), (0, 0, ±А, 0, 0, ±В), (0, 0, ±В, 0, 0, ±А), (10-20)
где 2А = у/d± ^(1*2 + — 2</2, 27? = \/di + 2<Z2 — — 2</2.
266
Глава 5
Найдем теперь критические точки функции Kq = A'qIqs, где = {/1 = di,
/2 = d2, Но = с} и с — не критическое значение для Но. Аналогично случаю
Стеклова, описанному в параграфе 9, записываем условие
grad Ко = Pi grad/г + р2 grad f2 + р grad#0
в виде
= о, fi(M, р) = di, f2(M,p)=d2,
(10.21)
где G'/t = Gk0 — pGh0 — PiGt — /t2G2 — матрица, являющаяся линейной комби-
нацией гессианов функций Д, f2, Но, Ко. Из явного вида Gfl легко определить,
что ранг матрицы Glt может быть равен 3 или 5. В случае, когда ранг равен 5,
решениями системы (10.2) будут лишь точки (10.20). Рассмотрим случай, когда
ранг матрицы равен 3. Пусть d2 ф 0. Случай (/2=0 будет разобран отдельно.
Тогда система (10.21) преобразуется к следующему виду:
Pi = —/22 — p(6i + Ь2 + 63),
Р2 = 4/2 (р, + 61 + 62)(р + Ь2 + 63)(р + Ь3 + 61),
Р2Р1 = 2р(р + 62 + 6з)М1,
Р2Р2 = 2р(р + 63 + 61)Л/2- (10.22)
Р2Р3 = 2р(р + 61 + Ь2)М3.
М? + М% + М32 + pl + р} + pj - di,
М1Р1 + М2р2 + МзРз = d2.
При решении системы (10.22) возникают три качественно различных слу-
чая:
(a) y?i < D < 1,
(Ь) р2< D < tpi,
(с) 0 < D < ip2,
где D = 2^-t, a y?i и у?2 — некоторые постоянные, зависящие только от парамет-
«1
ров гамильтониана 61, Ь2, 63. Второе уравнение в системе (10.22) определяет на
плоскости (р, //г) кривую, изображенную на рис. 5.51. Система уравнений (10.22)
будет иметь решения тогда и только тогда, когда точка (р, р2) лежит на отрез-
ках кривой, выделенных на рис. 5.51 жирными линиями. Случаи (а), (Ь), (с) на
рис. 5.51 соответствуют различным интервалам изменения величины D, указан-
ным выше.
Если точка (р, р2) лежит на выделенных отрезках кривой и не совпадает ни
с одной из жирных точек, отмеченных на рис. 5.51 цифрами, то решение систе-
мы (10.22) — это ровно две окружности в R6(M, р). При отображении Но х Ко
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
267
Рис. 5.51
обе эти окружности отображаются в точку (ho(pt), ko(pi)) G ®?(7iq, fc0), где
ho(n) — di(2pi + bi + 62 + Ьз) — d
dpi2
2 dpi ’
Ый) = dr pi2 + d2
dpi2\
dpi /
(10.23)
Здесь pi2(pi) —функция, определяемая вторым уравнением из (10.22). Таким
образом, мы получаем отображение (10.23) выделенных отрезков кривой в плос-
кость R2(/ig, ко). Образ этого отображения и есть бифуркационная диаграмма
отображения Hq х Kq'. S2 х S2 —> R2(7iq, ко).
Бифуркационные диаграммы приведены на рис. 5.52. Случаи (а), (Ь). (с) со-
ответствуют случаям (а), (Ь), (с) на рис. 5.51. Тот факт, что они имеют вид, из-
ображенный на рис. 5.52, доказывается следующим образом. Точки, отмеченные
на рис. 5.51 цифрами, при отображении (10.23) переходят в точки, отмеченные
теми же цифрами на рис. 5.52. Эти точки являются образами точек (10.20) при
отображении Но х Ко- Их координаты на плоскости Ж2(7щ.&о) равны
±Ъ^<% - 4rf2, (bi + bj)(bi + bk)T
{i, j, к} = {1, 2, 3}.
(10.24)
Таким образом, бифуркационная диаграмма склеивается из отрезков кри-
вой, выделенных на рис.5.51. Для функций ho(pt) и ko(pt), задающих отображе-
ние (10.23), выполнено соотношение = и^^-. См. лемму 5.2. Отсюда легко
dpi dpt
определяется выпуклость каждого отрезка бифуркационной диаграммы. Оста-
лось определить, когда бифуркационная кривая имеет точки возврата. Сущест-
вование у бифуркационной кривой точки возврата при некотором ц = е рав-
носильно выполнению условия = 0- Используя явное выражение (10.23)
для функции ho(pi), можно показать, что точки возврата появляются только в
случае (с) и расположены так, как изображено на рис. 5.52с.
Аналогично тому, как это делалось для случая Стеклова, описанному в пара-
графе 9, определяются индексы критических окружностей и перестройки торов
Лиувилля.
268
Глава 5
Рис. 5.52
Теорема 5.12 (А. А. Ошемков). Для гамильтоновой системы (10.3), т. е. для
уравнений движения четырехмерного твердого тела с гамильтонианом (10.6),
(10.7), бифуркационные диаграммы отображения момента
Н х К -. S2 х S2 -> Ж2 при d2/0
получаются из диаграмм, изображенных на рис. 5.52, при невырожденном линей-
ном преобразовании плоскости К2(Tig, ко). Дополнительный интеграл является
боттовским на всех неособых изоэнергетических ^-поверхностях = {fi = 1,
fz = ^2, Н = h], кроме тех, для которых прямая aho + /3fcg = h — 7<d| прохо-
дит через точку возврата бифуркационной кривой. Здесь а, (}, 7 — это коэф-
фициенты из (10.17). Перестройки торов Лиувилля при критических значениях
отображения Н х К указаны на рис. 5.52.
При построении бифуркационной диаграммы отображения Но х Ко мы
предполагали, что da 0. Разберем теперь случай da = 0. Для отображе-
ния Но х Ко: {/i — di, f'2 — 0} —> Ж2 (ho, ко) бифуркационная диаграмма сильно
упрощается. Она состоит из 4 отрезков и части параболы, касающейся этих от-
резков. См. рис. 5.53. Уравнения прямых, на которых лежат отрезки, таковы:
к0 = (bi + &j)(Mi - h0), {г, j, к} = {1, 2, 3}.
(10.25)
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
269
Уравнение параболы выглядит так: 4difeo = (Ло — di(&i + Ь2 + Ьз))2- Когда d2
стремится к нулю, отрезок бифуркационной кривой между точками возврата
приближается к отрезку кривой с концами 1,6 и при (/2 = 0 сливается с ним.
См. рис. 5.52с.
Построенные бифуркационные диаграммы отображения Hq х Kq — см.
рис. 5.52 — позволяют классифицировать изоэнергетические 3-поверхности лю-
бого гамильтониана (10.6), (10.7). Классификация будет проведена в том же виде,
что и в параграфах 3-9. А именно, на плоскости R2(d2; h) строятся разделяющие
кривые и в каждой области указывается, какова возникающая здесь молекула W,
т.е. инвариант лиувиллевой эквивалентности. Все гамильтонианы (10.6), (10.7),
как было отмечено выше, являются линейными комбинациями функций Hq и Kq,
за исключением случая (10.12), который уже разобран. Однако для различных
линейных комбинаций разделяющие кривые могут качественно отличаться друг
от друга. Исследуем, какие типы гамильтонианов получаются для различных
линейных комбинаций функций Но и Kq.
Перенесем прямые, содержащие отрезки бифуркационной диаграммы для
tZ2 — 0 (рис. 5.53), в начало координат. См. рис. 5.54. Они разбивают плос-
кость Ж2 (Л,о, fcg) на области. Оказывается, тип гамильтониана (10.6), (10.7), пред-
ставленного в виде линейной комбинации (10.17) функций Hq, Kq, fi, определя-
ется тем, в какую из областей на рис. 5.54 попадает прямая aha + (Зкд = 0, где
коэффициенты а, (3 берутся из линейной комбинации (10.17). С точностью до
знака, каждой из областей на рис. 5.54 соответствует один из следующих га-
мильтонианов:
М2 АГ2 АГ2 Л 2 . 2 л 2
Н4 — + А2р2 + АзРз,
ТТ Af2 А/^ АГд л 2 л 2 л 2 /Т П
ifs = -г--1—т------Н --AipT — А2р2 — Азр3, (10.26)
Ai а2 A3
тт АГ2 АГ2 Ml л 2 л 2 л 2
Яб — + Aip3 + А2р2 - А3р3,
где А3, А2, A3 > 0.
270
Глава 5
Действительно, если гамильтониан Н представлен в виде (10.17), то его мож-
но записать следующим образом:
Н = + y2Ml + узМ2 + у2узр1 + УзУГР2 + У1УзРз)+
о , (10.27)
+(а(Ь1 + Ьг + Ьз) - а2(3 1 + -у) fa,
где yi = 1 - |(Ъ2 + Ъ3), i/2=l- ^(Ъз + Ьх), уз = 1 - ^(&i + Ь2), а Ьх, Ъ2, Ьз —
коэффициенты, входящие в Но и Ко- Таким образом, если а и /3 отличны от нуля,
то гамильтониан Н = аНо + flKo + 7fa эквивалентен гамильтониану вида Н3.
См. (10.15). Пусть 1/1, у2, уз не равны нулю. Положим
Ai = }/\У2УзУ11\, Л2 = ^\УзУ1У21\- = у/ЫУъУз^- (10.28)
Подставив выражения (10.28) в (10.27) и разделив на постоянное число, получаем,
что гамильтониан (10.27) эквивалентен следующему:
М2 М2 М2
Н = £Х-р- + Е2-Л + £з-Л + S2S3^1P? + S3SM2P2 + S1S2A3P3, (10.29)
Ai Л2 A3
где Si = sgny^ (i = 1- 2, 3). Гамильтониан (10.29) можно привести к виду (10.26),
делая замены координат типа
(М{, М^, М'3, р{, р'2, р'3) = р2, Рз, Pi, м2, М3), А'2 = А~\ A3 = А^1,
которые сохраняют скобку (10.2).
Сравнивая выражения (10.27) для у3, у2, уз с уравнениями прямых (10.25),
а также учитывая, что 0 < fa < Ь2 < Ь3, получаем области, соответствующие
гамильтонианам Н3, Н$, Н$, изображенные на рис. 5.54. Если в формуле (10.17)
/3 — 0, то гамильтониан Н эквивалентен гамильтониану Но- На рис. 5.54 ему
соответствует вертикальная прямая ho = 0. Если а = 0 или в выражении (10.27)
один из у^ равен нулю, то гамильтониан Н эквивалентен гамильтониану Н2.
См. (10.13). Этим гамильтонианам соответствуют 4 прямые, разделяющие об-
ласти на рис. 5.54.
Опишем теперь кривые на плоскости ffi2(d2, h), разделяющие области с раз-
личным топологическим типом Q и с различными молекулами W, т. е. с раз-
личными инвариантами лиувиллевой эквивалентности. Здесь = {Д = di,
/2 = d2, Н — h}, где Н — один из гамильтонианов вида Но, Н2, Ffa. Н$, Н§.
Кривые, разделяющие области с различным топологическим типом изоэнер-
гетических 3-поверхностей, — это бифуркационная диаграмма отображения
fa х Я: S5 -> R2(d2, h), (10.30)
где S5 = {fa = di} С Ж6(М.р). Отсюда получаем, что для любого из иссле-
дуемых гамильтонианов критические точки отображения (10.30) заполняют две
двумерные сферы
{Pi +Р2+Р3 = dr/2, Mr = ±pi, М2 = ±р2, М3 = ±р3} С S'5 (10.31)
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 271
и три окружности
{М2 - М3 - р2 - Рз - о, М% + Pl - di},
{М3 = Мг = рз = рг = 0, М% + р2 = di}, (10.32)
{Mi = М2 = Pi = р2 = О, Ml +р2з= ch} CS5 СК6 (М, р).
Кроме того, для гамильтонианов Н4 и Н6 получаем еще две двумерные сферы
{(1 + А2)р2 + (1 + А2)р% + (1 + А|)р| = du Mi = ±AiPi,
М2 = ±А2р2, Мз - ±о-А3р3} С S5 С Г (М, р), 1 J
где <т = 1 для гамильтониана Н4 и а = — 1 для гамильтониана Н&.
Критические точки (10.32) переходят при отображении (10.30) в три эллипса,
для которых прямая d,2— 0 является осью симметрии, а прямые 2d2 —±ch — общи-
ми касательными. Двумерные сферы (10.31), являющиеся, напомним, орбитами
коприсоединенного представления, отображаются в два отрезка, лежащие на пря-
мых 2d2 = ±di. Сферы (10.33) отображаются в другие два отрезка, лежащие на
прямых h = ±2d2, которые также являются общими касательными к эллипсам.
В результате получаем разделяющие кривые, изображенные на рис. 5.55. Пунк-
тирная кривая разделяет области с различными типами молекул W. Ее можно
построить, определив координаты точек возврата для бифуркационной диаграм-
мы, изображенной на рис. 5.52. Как и в случае Клебша, пунктирная кривая может
пересекать различное число областей. Цифрами в скобках на рис. 5.55 указан тип
молекул W.
Теорема 5.13 (А. А. Ошемков). Любой гамильтониан (10.6), (10.7) типа
четырехмерного твердого тела эквивалентен одному из гамильтонианов вида
Но, Hi, Н2, Н4, Нц, Нд. См. формулы (10.10), (10.12), (10.13), (10.26). Разделя-
ющие кривые и молекулы W, т. е. топологические инварианты системы, приве-
дены:
на рис. 5.50 для гамильтониана Hi,
на рис. 5.55а для гамильтониана Н4,
на рис. 5.556 для гамильтониана Н<,,
на рис. 5.55с для гамильтониана Н5,
на puc.5.55d для гамильтониана Н2, где bi, Ъ2, 63 одного знака,
на рис.5.55е для гамильтониана Н2, где bi, b2, Ь3 разных знаков,
на рис. 5.55f для гамильтониана Но.
При этом вершины, т. е. точки возврата, пунктирной кривой на приведен-
ных рисунках могут при изменении параметров задачи перемещаться из области
в область.
Дополнительный интеграл является боттовским на всех изоэнергетических
3-поверхностях = (_/} = di, f2 = d2, Н = h}, для которых точка (d2, h) не ле-
жит на разделяющей кривой. Список всех молекул для всех гамильтонианов вида
(10.6), (10.7) состоит из 9 молекул W, показанных в таблице 5.10. Числа, сто-
ящие внутри областей на приведенных рисунках, указывают номера молекул W
из таблицы 5.10, соответствующих данным областям.
272
Глава 5
Рис. 5.55
Рассмотрим, в заключение, связь между случаем Клебша и только что ис-
следованной системой четырехмерного твердого тела. Известно, что алгебру
Ли зо(4) можно продеформировать к алгебре Ли е(3), причем при такой дефор-
мации гамильтонова система четырехмерного твердого тела переходит в случай
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях 273
Клебша. См., например, [136], [137]. Эту деформацию можно описать следующим
образом. Рассмотрим другую скобку { , }' в Ж6(М, р):
{Mi, Mj}' = £ijkMk, {Mi, pj}' = SijkPk, {Pi, Pj}' = £ijkMkN~2. (10.34)
Скобка (10.34) получается из скобки (10.2) при умножении всех pi на некоторую
постоянную N, что эквивалентно замене базиса в алгебре ао(4). Учитывая это,
получаем, что ядро скобки (10.34) порождается функциями
AW = A--2(Aff + Л/2 + Л/2)-р2+р^ +р^, /1П9ГХ
(10.35)
/2 = Mpi + М2Р2 + М3р3.
Из (10.7) получаем условие интегрируемости гамильтониана (10.6) относительно
скобки (10.34):
Я1С1(яг — аз) + 0262(^3 — ai) + азСз(а1 — а2) +
+7V-2(aiCi(c2 — Сз) + а2с2(сз — ci) + азСз(сх — с2)) = 0.
Очевидно, что в пределе, при N —> оо, скобка (10.34) переходит в скобку (1.6)
на коалгебре е(3)*, а функции (10.35) переходят в инварианты алгебры Ли е(3).
Соотношение (10.36) при N —> оо переходит в условие Клебша интегрируемости
гамильтониана
Н = <tlS2 4- и2^2 "Ь аз^з И- cj/Zj + с21?2 4" сз7?з
на коалгебре е(3)*.
Заметим, что гамильтонианы Н2, Нд, Н$, Hq удовлетворяют соотношению
(10.36) для любого N. Поэтому бифуркационные диаграммы для любого значе-
ния N получаются из бифуркационных диаграмм, изображенных на рис. 5.52,
при некотором линейном невырожденном преобразовании плоскости Ж2 (ho, ко).
Это линейное преобразование зависит от N. При N —> оо происходит следую-
щее. Точки, отмеченные на рис. 5.52 цифрами 4, 5, 6, уходят в бесконечность, и
в пределе мы получаем бифуркационные диаграммы для случая Клебша, изобра-
женные на рис. 5.44.
Аналогичная ситуация наблюдается и для разделяющих кривых. Для скоб-
ки (10.34) разделяющие кривые имеют вид, изображенный на рис. 5.55. Но вер-
тикальные отрезки, касающиеся эллипсоидов, лежат на прямых 2d2 = ±dilV.
Поэтому при N —> оо эти отрезки также уходят в бесконечность. И в преде-
ле получаются разделяющие кривые для случая Клебша. См. рис. 5.45. Случаям
(а), (с) на рис. 5.55 соответствуют случаи (а), (Ь) на рис. 5.45. Для рис. 5.55b нет
аналога в случае Клебша, так как при деформации алгебры Ли некоторые из
изоэнергетических 3-поверхностей этого случая становятся некомпактными.
5.11. Полный список молекул, встречающихся в основных
интегрируемых случаях динамики твердого тела
В таблице 5.11 перечислены все молекулы W, без числовых меток, встре-
чающиеся в основных интегрируемых случаях динамики твердого тела, а имен-
но: Лагранж, Эйлер, Жуковский, Ковалевская, Сретенский, Горячев-Чаплыгин,
274 Глава 5
Клебш, Стеклов, четырехмерное твердое тело. Таких молекул оказалось 17. В
таблице 5.11 указано также, на каких изоэнергетических 3-поверхностях реа-
лизуются эти молекулы в каждом их перечисленных случаев интегрируемости.
Для случая Стеклова в заштрихованных ячейках таблицы стоят 3-многообразия
из следующего списка: S3, RP3, S1 х S2, связные суммы нескольких экземпля-
ров S1 х S2. Для четырехмерного твердого тела в заштрихованных ячейках мо-
гут стоять как эти же многообразия, так, возможно, и некоторые другие 3-
многообразия. Они еще не описаны полностью.
Перечисленные динамические системы расположены примерно в порядке
возрастания их сложности, т. е. чем сложнее молекула, тем ближе к концу таб-
лицы она расположена. В соответствии с этим примерно упорядочились и случаи
интегрируемости. Указанный выше их порядок отражает следующее обстоятель-
ство: чем сложнее молекулы динамической системы, тем дальше от первой ко-
лонки располагается этот случай интегрируемости. В результате видно, что с
такой точки зрения наиболее простым оказывается случай Лагранжа, а наибо-
лее сложными — случай Стеклова и четырехмерное твердое тело.
Таблицы к главе 5
Таблица 5.1. Случай Лагранжа
№ Молекула (изоэнергетическая) Q3
1 О' А » II О >> S3
2 А А S1 х S2
3 И 11 Ч* ч) 1Р3
Таблица 5.2 (а). Случай Ковалевской
№ Молекула (изоэнергетическая) Q3
1 А-^-А S3
2 'Si X ь- w О .?- V CQ Й < < S3
3 APt=o ..... т=о л А % n=i nj£^A S3
4 >. >> >> ^о\/8 ^о\/в <х> со А А кк°.\-/ОА -'А о СП 11 it. S3
5 >> >> to “ 11 о S1 х S2
276
Глава 5
Таблица 5.2(b). Случай Ковалевской
№ Молекула (изоэнергетическая) Q3
6 <<*=о... ... В-—° Д Л—5 =° .-' л1 A ~-i-g-<4=0 Д-^о’’-- '«« «)«-!=/, «А= 2 "-»« е)П1=О, Пз = 2, 6* Sl X S2
7 я: \ CQ \С й CQ CQ s/ш << X =fc X <z> <Zi ts3 tC
8 > > Л 'll оД.О Q...? Ч: 1 ж ь°АД° у\= > ®P3
9 А^Д*^=о„... Д "fl- 2. или £ П=О' RF3
10 A^r\ А "о Хх<^о П-2. или 6 Л А-ч*1/2"'п=0 RP3
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
277
Таблица 5.3. Круговые молекулы случая Ковалевской
278
Глава 5
Таблица 5.4(a). Случай Горячева-Чаплыгина-Сретенского
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
279
280
Глава 5
Таблица 5.5
Круговые молекулы случая Сретенского
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
281
Таблица 5.6 (а). Случай Жуковского
№ Молекула (изоэнергетическая) Метка n Q3
1 8- и и гл ад — S1 x S2
2 --° Д S = i — S1 X S2
3 О /Ov, II l>\ /)> „ v \-rw oq } о x” GO n = 0 S1 x S2
4 4 •< A /?v v ЛК» \00 ) О X II 11 ад> n = 0 S1 x S2
5 » ХА* V to ' ' F II CQ to 8 x и и CQ 8 * / \ a* И " / \n 11 оЭ/ VW •ч: 4 — S1 x S2
6 4 Oy\ /ovi • CQ \ I \ । q и . 1 " , I ; w . ’Ч «с n = 0 S1 x S2
282
Глава 5
Таблица 5.6 (b). Случай Жуковского
№ Молекула (изоэнергетическая) Метка п Q3
7 -х - о А 5 = 1 -А — S3
8 Q'A /Ом CQ 8^ II |< со — S3
9 СО rt •1 II О to /\ " II / \ СП 40/ \ II II / \ 0 :ь — S3
10 " и \ / "" М.О ' ' М- О о to СО Г» II " к 8 <нн' -у Vo its. — S3
11 X =7/2 А £-* - А — RP3
12 О\Д /О^Ч 11 11 \ / Il II ^со\/ • 00 ; О II 1' со п — 2 RP3
13 i> ib ‘рХ /о Л .' Оо \ со ; • 8 / \ to / Л У-\- со * 11 и / \ и а Vo п = 2 RP3
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
283
Таблица 5.7. Случай Эйлера
284
Глава 5
Таблица 5.8 (а). Случай Клебша
№ Молекула (изоэнергетическая)
1 А "° А
1 А--------------
Q3
S3
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
285
Таблица 5.9. Случай Стеклова
286
Глава 5
Таблица 5.10. 4-мерное твердое тело
Топология лиувиллевых слоений в классических интегрируемых случаях
287
Таблица 5.11 (1)
№ Молекула W Лагранж Эйлер Жу- ков- с.к ИЙ Кова- лев- ская Сре- тен- ский Горячев — Чаплыгин Клебш Стеклов 4-тело
1 А А S3 RF3 S'xS2 S3 S3 RF3 S'xS'2 s3 s3 s3 SYxS2
2 А"~^В А А^ S3 RP3 S^S2 s3 s^s2 S1xS2 S3 S1xS2
3 А—А—А RF3 S3 s3
4 А^в-в-А S3 S^-xS2 s3
5 Л RF3 SJxS2 N3 RF3 S^S2
б ч со /\ со са /\ /\ S3,K3 RF3 S1xS2
7 a-aL А А— RF3
8 д-д^ /А А—А^^А RF3
9 1 CQ \/\ СО Я RF3 RF3
288
Глава 5
Таблица 5.11 (2)
Л« Молекула W Лагранж Эйлер Жу- ков- ский Кова- лев- ская Сре- тен- ский Горячев — Чаплыгин Клебш Стеклов 4-тело
10 5 < < \l/ J *< 1 < S3 к3
11 T Co A Co > /\ г > > > RF3 91х52
12 RF3 № 3гх32
13 J> > 1 1 Co w lAl U& 03 1 1
14 2 ^A
15 < 5 ч \/ v co «J \Z ON я </ 4<
16 1 7 co CQ 1И1 co CO co
17 T co °Q n с? о /\ /\ <<<<
Здесь № = (S'1 х S2)#(S1 х S2); № = (S1 x S2)#(S1 x S2)#^1 x S2)
Глава 6
Принцип Мопертюи и геодезическая
эквивалентность
Классический принцип Мопертюи, устанавливающий связь между траекто-
риями натуральных систем и геодезическими римановых метрик, излагается во
многих работах, посвященных вариационному исчислению и механике [66], [84],
[29], [137], [181], [15], [330].
В этой главе мы покажем, как с помощью принципа Мопертюи можно по-
строить новые примеры интегрируемых геодезических потоков на сфере, опи-
сав этот механизм на примере классических интегрируемых случаев динамики
твердого тела. Кроме этого, мы обсудим одно интересное обобщение принципа
Мопертюи, связанное с теоремой Дини о геодезически эквивалентных метриках
и позволяющее обнаружить нетривиальные изоморфизмы между интегрируемы-
ми системами.
6.1. Общий принцип Мопертюи
Пусть Мп — компактное гладкое риманово многообразие с метрикой gij(x)
и пусть Т*М — пространство кокасательного расслоения на М, координата-
ми в котором служат переменные ж и р, где ж = (ж1, ... , ж”) — локальные
координаты точки на М, а р = ... , рп) — ковектор из Т*М. Напомним,
что Т*М является гладким симплектическим 2п-многообразием со стандартной
2-формой ш = 52 dpt А dx*. Рассмотрим на Т*М натуральную гамильтонову сис-
тему с гамильтонианом
Н - ^g^i^PiPj + Г(ж),
где — тензор, обратный к метрическому, а Г(ж) — гладкий потенциал, за-
данный на М.
Рассмотрим (2п—1)-мерный изоэнергетический уровень Q2"-1—{Н{х,р}=h]
для достаточно большого значения энергии h такого, что h > шахГ(ж). Нетрудно
заметить, что это подмногообразие является изоэнергетическим еще для одной
системы, задаваемой гамильтонианом
н = н„ = у g‘J(7 „,Р..
л h-V(xy }
Действительно, Q2n-1 = {Н(х. р) = 1}. Эта система является геодезическим
потоком римановой метрики ds2 = gij dx1 dxj на многообразии М, где
ёа = (А-н(®))й/ж).
290
Глава б
Напомним теперь следующее общее (и несложное) утверждение: если изо-
энергетические поверхности двух гамильтоновых систем совпадают, то совпа-
дают и их траектории (без учета параметра). Отсюда немедленно следует, что
траектории гамильтоновых систем v = sgrad Н и v = sgrad Н на уровне Q2”-1
совпадают с точностью до перепараметризации. В частности, совпадают и их
проекции на конфигурационное пространство М. Это утверждение и называет-
ся обычно принципом Мопертюи.
Таким образом, мы можем говорить об отображении Мопертюи, которое
каждой натуральной системе, ограниченной на (достаточно высокий) изоэнерге-
тический уровень, ставит в соответствие некоторый геодезический поток, име-
ющий те же самые траектории. Ясно, что основные свойства натуральной сис-
темы и соответствующего ей геодезического потока будут очень похожими. В
частности, будет сохраняться факт существования первых интегралов.
Теорема 6.1. Пусть v = sgrad Н — натуральная гамильтонова система
на Т*М, и v = sgrad Н — соответствующий ей (в силу принципа Мопертюи)
геодезический поток.
а) Гамильтоново поле v и гамильтоново поле V, являющееся его образом при
отображении Мопертюи, имеют одинаковые интегральные траектории на
данном фиксированном уровне энергии Q2n~l — {Н — h}. Следовательно,
эти две гамильтоновы системы гладко траекторно эквивалентны. Напом-
ним, что здесь h > maxV’(.r).
й) Если v обладает гладким интегралом f(x, р) на данной изоэнергетическом
поверхности Q = {Н = h} (такие интегралы будем называть частными),
то геодезический поток v также обладает гладким интегралом f(x, р)
(уже не частным, а полным) на всем кокасательном расслоении Т*М. При
этом f\Q = f\Q.
а) Если v обладает интегралом, являющимся полиномом степени т по им-
пульсам, то геодезический поток v обладает интегралом, который явля-
ется однородным полиномом той же степени.
Доказательство.
Покажем, что на выбранной изоэнергетической поверхности Q гамильтоно-
вы векторные поля v и v пропорциональны, т. е. связаны соотношением v = Av,
где А — некоторая гладкая положительная функция. Для этого достаточно по-
казать, что аналогичным соотношением связаны дифференциалы гамильтониа-
нов Н и Н. Имеем:
Н = gij(x)piPj +V(x)= К+ V,
Тогда, учитывая, что на фиксированной нами поверхности уровня выполнено
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность 291
соотношение К = h — V, получаем:
dH = d(K(h — У)-1) = {(h-VjdK + KdV}(h-V)~2 =
= (h - V)(dK + dV) = 1
(h — V)2 h — V(x) ’ ‘
Отметим также, что отсюда сразу следуют формулы замены времени вдоль
интегральных траекторий поля v, дающие время поля v. А именно, если t —
время вдоль траекторий поля v, a t — время вдоль траекторий поля г, то имеет
место соотношение dt = (h — У(ж)) dt.
Итак, гамильтоновы поля отвечающие гамильтонианам Н и Н пропорцио-
нальны, т. е. их траектории совпадают. Первое утверждение теоремы доказано.
Докажем второе утверждение. Пусть f — частный интеграл натуральной
системы с гамильтонианом Н = К + V. Ясно, что на рассматриваемой изоэнер-
гетической поверхности эта функция будет интегралом геодезического потока,
отвечающего гамильтониану Н. Пользуясь однородностью геодезического пото-
ка, интеграл f можно продолжить на все кокасательное расслоение, кроме, быть
может, нулевого сечения, так, чтобы он стал глобальным интегралом геодези-
ческого потока, по следующей естественной формуле:
7(ж, р) = f(x, p-Y
\ \р\/
где норма |р| рассматривается в смысле римановой метрики g;j.
При этом мы используем тот факт, что векторное поле v является геодези-
ческим потоком, и поэтому его интеграл можно распространить по однородности
с одной фиксированной изоэнергетической поверхности на все пространство. Не-
которые проблемы могут возникнуть на нулевом сечении, но нас это не будет
интересовать, так как мы изучаем гамильтоновы системы на регулярных изо-
энергетических (2п — 1)-мерных многообразиях Q, отличных от нулевого «-мер-
ного сечения, гомеоморфного М.
Убедимся, что функция /(ж, р) действительно является интегралом геоде-
зического потока. Отметим, что функция /(ж, р) совпадает с исходным интегра-
лом f на исходной изоэнергетической поверхности Q2”-1. Нужно доказать, что
функция /(ж, р) постоянна на геодезических, т. е. что f(x(t), p(t)) = const. Ясно,
( м \
что траектория (ж(г), -—- тоже является геодезической, причем лежащей на
уровне Q = (Н = 1). Следовательно, имеем:
7(ж(1), p(t)) = f[x(t), = const,
\ \p(t) |/
так как функция f постоянна на геодезических, лежащих на данном уровне энер-
гии Q.
Осталось убедиться, что отображение Мопертюи сохраняет полиномиальный
тип интегрируемости потока. Другими словами, если исходный поток ?; имел
292
Глава б
полиномиальный интеграл степени т, то и поток v также имеет интеграл той
же степени т.
Лемма 6.1. Пусть на Т*Мп интеграл f потока v имеет вид Х(р, х) + Y{p, х),
где все мономы полинома Х(р, х) имеют четную степень, а все мономы по-
линома Y(p, х) имеют нечетную степень. Тогда каждый из полиномов Х(р, х)
и Y{y, х) является по отдельности интегралом потока v.
Доказательство.
Вычисляя скобку Пуассона интеграла f с гамильтонианом Н = К + V,
где К — квадратичная часть, а V — потенциал, т.е. гладкая функция, не за-
висящая от импульсов р, получаем:
{Н, X} + {Н, У} = о
на гиперповерхности Q2”-1. Легко видеть, что {Н, X} и {Н, У} по отдельности
являются полиномами, содержащими соответственно, только четные и только не-
четные степени импульсов. Если тождество {Н, f] = 0, т. е. {Н, Х}+{_Н, У} = О,
выполняется тождественно на всем кокасательном расслоении, т.е. если интег-
рал f является глобальным интегралом, то ясно, что отсюда вытекает равенство
нулю каждого слагаемого по отдельности. В том же случае, когда функция f яв-
ляется интегралом лишь на изоэнергетической поверхности Q2”-1, это утверж-
дение все равно остается справедливым. Однако здесь нужно рассмотреть усло-
вие {Н, %}+{/?, У} = 0 в каждом кокасательном пространстве. Изоэнергетичес-
кая гиперповерхность Q вырезает на нем вещественный эллипсоид, задаваемый
уравнением Н = h. Равенство нулю полинома {Н, X} + {Н, У} на этой сфере
означает, как хорошо известно, что этот полином делится на полином Н — h.
Следовательно,
{Н, X} + {Н, Y} = (Н - 1)Z.
Причем это равенство уже справедливо на всем кокасательном пространстве
(в данной точке), а не только на эллипсоиде. Но в таком случае
{Н, X} + {Н, У} = (Н — /г)Ячетныи + (Н — Л)Янечетный,
где Z = Ячетный + ZHe4eTHb[ft — разложение Z на полиномы, содержащие толь-
ко четные степени и нечетные, соответственно. Так как Н — h содержит лишь
четные степени импульсов, то (Н — Л.)Ячетный — это полином только от чет-
ных степеней, а (Н — li)ZHe4eTHMa — только от нечетных степеней. Поскольку
тождество верно на всем касательном пространстве, отсюда следует, что
{И, X} = (Н — /i)Z4eTHbIfl и {Н, У} = (Н — ^)Янечетный,
т.е. каждый из этих полиномов по отдельности обращается в ноль на гиперпо-
верхности Н — h — 0. Лемма доказана.
Отсюда сразу следует, что без ограничения общности можно всегда считать,
что полиномиальный интеграл f состоит либо только из четных степеней, либо
только из нечетных степеней. Поэтому интеграл f можно записать в виде:
f = Xk(p, ж) + Xk_2(p, ж) + Хк_±(р, ж) + ... ,
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность 293
где Xs — однородный полином степени s по импульсам, с коэффициентами, за-
висящими только от х.
Возвращаемся к доказательству пункта в теоремы. Теперь в качестве ин-
теграла f потока v можно взять следующий однородный полином степени к:
f = Хк(р, х) + |p|2Xfc_2(p, х) + |p|4Xfc_4(p, х) + ...
Он совпадает с интегралом f на гиперповерхности Q и является однород-
ным полиномом степени т по импульсам. Поэтому {/, Н] = {/, /Г} = 0 на
гиперповерхности Q. В силу однородности полинома f это равенство нулю бу-
дет выполнено тождественно на всем кокасательном расслоении, в том числе и
на нулевом сечении.
Теорема доказана.
Используя принцип Мопертюи, классификацию натуральных систем на дву-
мерных поверхностях, допускающих квадратичные или линейные интегралы,
можно свести к уже описанной выше классификации интегрируемых геодези-
ческих потоков. В качестве примера мы сформулируем здесь аналог теоремы 2.7
(см. главу 2 тома II), дающей локальное описание квадратично интегрируемых
геодезических потоков.
Теорема 6.2. Пусть на двумерном многообразии М задана натуральная система
с гамильтонианом вида
Я = Е gij(x)PiPi + V(x) = К + V,
имеющая квадратичный интеграл
F - £ bij(x)piPj + U(x) = В + U.
Предположим, что в некоторой точке € М2 две квадратичные формы К и В
не пропорциональны. Тогда в некоторой окрестности этой точки xq сущест-
вуют локальные регулярные координаты (u, v), в которых гамильтониан Н и
интеграл F примут следующий вид:
И = Pj+Pv Z(m) + ТУИ
/(и) + g(v) f(u) + g(v) ’
F = g(v)Pl - f(.u)p2v + g(.^Z(u) - f(u)W(v)
f(u) + g(v) /(w) + g(v)
Здесь f, g, Z, W — некоторые гладкие функции на М2. Другими словами, если
у натуральной системы существует квадратичный интеграл, то переменные
разделяются.
Разделение переменных позволяет легко выписать явные формулы для тра-
екторий.
294
Глава б
ЗАМЕЧАНИЕ. Эта теорема носит локальный характер. Хотя можно сформулировать и
ее глобальный аналог, то есть полностью классифицировать квадратично интегрируе-
мые натуральные системы на двумерных поверхностях. Это можно сделать, например,
при помощи принципа Мопертюи, сведя задачу к классификации квадратично интег-
рируемых геодезических потоков на двумерных поверхностях, которая была получена
в главе 2 тома II.
Доказательство.
Ограничивая натуральную систему на уровень гамильтониана Н — h и при-
меняя отображение Мопертюи, мы получаем на двумерной поверхности метрику,
геодезический поток которой имеет гамильтониан вида Н = K(h — V)-1 и квад-
ратичный интеграл вида F = В + UH. Для функций Н, F мы можем применить
уже известную нам теорему о приведении квадратично интегрируемой метрики
на двумерной поверхности к лиувиллевому виду. В результате возникают ло-
кальные координаты и, v на М2, осуществляющие такое приведение. Важно от-
метить, что эти локальные координаты, как функции на поверхности, не зависят
от выбора постоянной h. В самом деле, нужно вспомнить доказательство теоре-
мы локальной классификации квадратично интегрируемых метрик. См. главу 2
тома II. В доказательстве этой теоремы лиувиллевы координаты и, v однозначно
строились по голоморфной форме R. В свою очередь R однозначно определялась
интегралом F. Из явной формулы для формы R, сразу видно, что она не меня-
ется при изменении постоянной h. Более точно, она не меняется при добавлении
к интегралу F слагаемого, пропорционального гамильтониану. Поэтому в нашем
случае форма R полностью определяется квадратичной формой В и не зависит
от выбора постоянной h.
В результате функции В. К, полученные ранее из Н и К в результате при-
менения отображения Мопертюи, записываются в координатах и и v так:
H = K(h- V)-1 = [Л(И) + P2V),
F = B + UK(h - V)”1 = [Д(М) +Ы«)]“1(Ыг’)Р« - А(«)^)-
Здесь Д, gh — некоторые функции, зависящие от h как от параметра. При этом
координаты и, v от h не зависят.
Отсюда получаем, что К = А-1(р^ +и h - V = А-1[Д(ы) + g/l(v)] для
некоторой гладкой функции A(u, v). С другой стороны, сами квадратичные фор-
мы К и В коммутируют относительно скобки Пуассона, поэтому по теореме 2.7
из главы 2 тома II, они имеют вид
К = [/(u) + g(v)](p* +р„), В = [/(и) +g(v)]-1(g(v)p2 - f(«)p„),
т.е. A ('w., г) = [/(и) + g(v)]. Отсюда находим, что
v = [/(«) +^)]-1((/(«)/» - Д(и)) + (g(v)h -gft(v))).
Функция, стоящая в знаменателе, от параметра h не зависит. Поэтому без огра-
ничения общности можно положить, что
f(u)h- fh(u) = Z(u), g(v)h-gh(v) = W(y),
где Z и W от параметра h не зависят.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
295
Таким образом, гамильтониан Н имеет требуемый вид. Перейдем теперь к
интегралу F. Мы имеем:
F = В + UK(h-V)~1 = [f^+g^-^gh^pl - fh(u)p2).
В этом равенстве нам известны функции В, К, V. Требуется выразить отсюда
функцию U. Это нетрудно сделать, и в результате для U получится следующее
выражение:
U = [f(u) + g(r)]-1[g(w)Z(w) - f(u)W(v)].
Итак:
F = gpj ~ fP2v gZ-fW
f + g f+ g
Теорема доказана.
Теперь мы можем написать уравнения траекторий исходной натураль-
ной системы на торе, являющемся совместным уровнем Н = h = const
и F = а = const. Тор задается следующей системой уравнений:
P2u+Pv , Z + W _ ,
f+g + f+g ’
gp2u - fp2 gZ-fW = a
f+g f+g
Снова воспользуемся принципом Мопертюи, утверждающим, что искомые тра-
ектории совпадают с геодезическими метрики вида
ds2 = [(hf -Z) + (hg- W)](du2 + dv2).
Эта метрика имеет лиувиллев вид. Для таких метрик вид геодезических нам
уже хорошо известен. См. главу 2 тома II. Окончательно получаем:
(hf — Z + a)-s dx ± У (hg — W — а)~^ dy = с.
Мы доказали следующее утверждение.
Предложение 6.1. Траектории натуральной системы на М2 с гамильтониа-
ном Н и квадратичным интегралом F (см. формулы в теореме 6.2), лежащие на
совместном уровне {Н = h, F = а}, задаются в разделяющихся переменных (и, v)
следующим уравнением:
[ t dx -+ [ dy
J y/hf(x) - Z(x) + a J y/hg(y) -W(y)~ a
296
Глава б
6.2. Принцип Мопертюи в динамике твердого тела
Применим теперь описанную конструкцию в важном специальном случае,
когда многообразие М является двумерной сферой S2. Реализуем для этого ко-
касательное расслоение к сфере в виде следующей модели. Рассмотрим линей-
ное пространство R6(si, 82, s3, п, г2, гз) как двойственное пространство к ал-
гебре Ли е(3) = зо(3) + К3 группы движений трехмерного евклидова пространст-
ва. Координаты (si, 82, 83) соответствуют при этом подгруппе вращений 50(3),
а (п, г2, г3) — подгруппе сдвигов. Пространство К6 = е(3)* снабжается естест-
венной скобкой Пуассона
{Si? Sj } = EijkSk, {^, Tj} = Eijkrk, {n, rj} = 0.
В разных вариантах динамики твердого тела переменные г, и з, приобретают
конкретный механический смысл. Например, при движении твердого тела с фик-
сированной точкой в поле силы тяжести переменные г, являются компонентами
единичного вектора вертикали в системе координат, жестко связанной с телом,
а переменные Sj являются компонентами вектора кинетического момента твер-
дого тела.
Рассмотрим в R6 четырехмерное подмногообразие Мд, являющееся орбитой
коприсоединенного представления и задаваемое уравнениями:
2,2,2 -I
Г1 + Г2 + Г3 —
П31 + r2S2 + r3S3 - 0.
Известно, что скобка Пуассона, ограниченная на это подмногообразие, невырож-
дена, а само подмногообразие Мд симплектоморфно кокасательному расслоению
к сфере T*S2.
Рассмотрим на пространстве R6(si, 82, S3, п, г2, г3) гамильтонову систе-
му v с гамильтонианом
Я(г, з) = (В(г)з, з) + У(г),
где ( , ) — евклидово скалярное произведение в Ж3, В — симметричная не-
вырожденная положительно определенная матрица (зависящая в общем случае
от г), а У(г) — гладкий потенциал. Отметим, что гамильтонианы уравнений,
возникающих в динамике твердого тела, имеют именно такой вид.
При ограничении системы у на подмногообразие Мд = T*S2 мы получим
некоторую натуральную систему. Более того, любую натуральную систему на
сфере можно получить описанным способом.
Применяя к системе у принцип Мопертюи, мы получаем на Мд = T*S2
новую систему v с гамильтонианом Н = ---(B(r)s. s'). Легко видеть, что
h -V(r)
траектории систем v и v на трехмерном уровне Q3 = Мд П {Н = h} совпадают с
точностью до перепараметризации. Отсюда, в частности, вытекает следующий
результат.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
297
Теорема 6.3. Пусть система v интегрируема на многообразии Mg С Ж.6, при-
чем ее интеграл f(r, з) является полиномом степени п от з с коэффициентами,
зависящими от г. Тогда система v также обладает интегралом f, являющим-
ся однородным полиномом по переменным s той же степени, и, в частности,
интегрируема на Мд.
Доказательство.
Согласно принципу Мопертюи, новое векторное поле v задается гамильтони-
аном Н вида
Я = -Ц—(В(г)а, а).
h - V (г)
Отметим прежде всего, что без ограничения общности мы можем предпола-
гать, что все переменные входят в полином f либо только в четных степенях,
либо только в нечетных. Пояснение: если в интеграл f входили члены как чет-
ных, так и нечетных степеней по s, то, сгруппировав отдельно четные степени и
отдельно нечетные степени, мы сразу видим, что каждая из этих двух групп по
отдельности является интегралом. См. выше лемму 6,1. Определим теперь новый
второй интеграл f поля v по формуле:
~ т ~ (т — г)
/ = £ВД(Я(«, г))~.
г+1
Относительно переменных з эта функция является однородным полиномом
степени т. Дело в том, что в силу сделанного предположения о четности или о
j* (т - о
нечетности степеней мономов в функции /, показатель -=- всегда является
А
целым числом. Следовательно, в функцию f радикалы не входят.
Теперь докажем, что f действительно является интегралом поля v. Заме-
тим, что функция / совпадает с f на уровне Q = (Н = h). Следовательно, на
этом уровне энергии функция f является интегралом. Кроме того, легко прове-
рить^ что из однородности 77 и / по переменной з следует, что и скобка Пуассо-
на {Н, /} также однородна, как полином по з. Дело в том, что эта скобка равна
нулю на заданной поверхности Q, на которой f является интегралом. Следова-
тельно, функция {Н, /} равна нулю тождественно, т. е. f является интегралом
на всем 4-многообразии T*S2. Теорема доказана.
Связь между полиномами f и f может быть явно указана. Пусть f —
= где РДз) — однородный полином степени г от з (с коэффициента-
ми, зависящими от г). Без ограничения общности мы можем предполагать, что
в этом разложении все степени г либо одновременно четные, либо одновременно
нечетные. Если это не так, то, разделив интеграл f на четную и нечетную части,
легко убедиться в том, что каждая из них по отдельности является интегралом.
Тогда интеграл f поля v может быть определен по формуле:
~ ™ ~ (m-i)
/=£ВД(Я(а,г)) —.
4=1
298
Глава б
Здесь —— — целое число, поэтому f действительно представляет собой
однородный полином от s степени т.
6.3. Принцип Мопертюи и явный вид метрик на сфере,
порожденных квадратичным гамильтонианом на
алгебре Ли группы движений R3
Итак, согласно принципу Мопертюи, мы сопоставили исходной системе v
на е(3)* новую систему v на кокасательном расслоении T*S2. Ее гамильтони-
ан Н является положительно определенной квадратичной формой от перемен-
ных s и поэтому описывает некоторый геодезический поток некоторой римано-
вой метрики на сфере. Укажем явные формулы, связывающие эту метрику с
гамильтонианом Н.
Для этого нам нужно будет указать явные формулы для симплектоморфиз-
ма между кокасательным расслоением к сфере со стандартной симплектической
структурой и орбитой Мд С Re (г, з).
Реализуем кокасательное расслоение к сфере как симплектическое под-
многообразие T*S2 в T*R3. Пусть «1, U2, из — евклидовы координаты в R3,
a pi, рз, рз — соответствующие им импульсы. Отождествляя касательные век-
торы с кокасательными при помощи евклидова скалярного произведения, мы
можем задать кокасательное расслоение к сфере Т*S2 двумя соотношениями:
2 I 2 I 2 1
Ul + м2 + и3 = 1,
Uipi + U2P2 + U3P3 = 0.
Рассмотрим теперь отображение д: Т*52 —> е(3)*, заданное следующими явными
формулами:
г = и, s = [м, р],
где через [ , ] обозначено векторное произведение векторов в евклидовом про-
странстве.
Лемма 6.2.
а) При указанном вложении д кокасательного расслоения T*S2 в е(3)* его образ
совпадает с орбитой Мд.
б) Отображение р: Т*S2 —> д(Т*S2) = Мд является симплектоморфизмом.
Доказательство.
а) Ясно, что уравнение и2 +м2 + из = 1 переходит при указанном вложении в
уравнение г2+Г2+г3 = 1. Далее, вектор v, ортогональный радиус-вектору и, пере-
ходит в векторное произведение векторов миг?. Ясно, что это произведение [и, ц]
также ортогонально радиус-вектору и. Поэтому вектор s = [и, и] удовлетворяет
линейному уравнению
П 31 + Г282 + гзвз = 0,
являющемуся образом соотношения ортогональности.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность 299
б) Теперь осталось проверить, что стандартная скобка Пуассона в R6(u, v)
{«г, Vj} — {^й } — 0, {«г? ^j} — 0
переходит в стандартную скобку Пуассона-Ли на коалгебре Ж6 (г, а) е(3)*:
{п, г,} = 0,
{«1, а2} = а3, {si, S3} = -s2, {s2, s3} = si,
{si, r2} = тз, {si, r3} = -r2, {s2, r3} = n,
{ri, s2} = —r3, {r, , S3} = r2, {r2, S3} = -n.
Это утверждение проверяется прямым вычислением. Тем самым, доказана пу-
ассоновость отображения Т*Ж3(«, v) —> e(3)*(r, s). Это отображение переводит
Ж6 (u, и) = T*R3(u, v) в 5-мерную поверхность, задаваемую в Ж6 (г, s) = е(3)*
уравнением TiSi + r2s2 + Г383 = 0. Отображение, конечно, нелинейное. Его ядром
является нормальное расслоение к сфере. Уравнение riSi + r2s2 + гзЗз = 0 яв-
ляется частным случаем уравнения щ S| + r2s2 + г38з = g, где g — постоянная
площадей. При этом мы учитываем, что вложение
T*S2 -+ TS2 -+ тж3 -> т*ж3
является симплектическим. Напомним, что отождествляя касательное и кокаса-
тельные расслоения, мы пользуемся евклидовой метрикой.
Лемма доказана.
С помощью отображения р, можно выписать явные формулы для метри-
ки gij соответствующей однородному квадратичному гамильтониану вида Н =
= (B(s), s}, а также обратные формулы, выражающие В через gij -
Теорема 6.4. Гамильтонова система на орбите Мд с гамильтонианом Н =
= (-B(s), s) = 52-B;j(r)sjSj описывает геодезический поток метрики ds2 =
= ^ui ограниченной на стандартно вложенную сферу S2 = {«1+1/2 +
+из = 1}? г^е
в ц = BijX~l,
а X является определителем формы В (и), ограниченной на двумерную плоскость,
ортогональную радиус-вектору и, при этом определитель вычисляется в орто-
нормированием базисе.
Итак, мы описали некоторое соответствие В -+ В между квадратичными
формами в трехмерном пространстве. Легко видеть, что это соответствие явля-
ется инволюцией. В частности, имеет место следующее утверждение.
Теорема 6.5. В обозначениях предыдущей теоремы форма В, задающая гамиль-
тониан Н, восстанавливается по метрике В аналогичным образом, а именно.
В = TL
Перейдем к доказательству теорем 6.4 и 6.5.
300
Глава б
Рассмотрим гамильтониан К (и, v) геодезического потока метрики g$j на
сфере S'2. Напомним, что (и, v) принадлежит к кокасательному расслоению к
сфере. По определению гамильтониана К, его значение К (и, v) на паре (u, ц) есть
скалярный квадрат вектора v в смысле метрики g-1 в точке и на сфере. Здесь
мы рассматриваем метрику g-1 как метрику на векторах, опуская индексы при
помощи евклидова скалярного произведения. С другой стороны, из явных формул
вложения кокасательного расслоения сферы на орбиту в коалгебре мы видим, что
К(и, v) совпадает со скалярным квадратом вектора [ti, ц] в смысле формы В.
Таким образом, учитывая, что действие векторного произведения в касательной
плоскости к сфере сводится к повороту вектора на мы получаем следующее
утверждение.
Лемма 6.3. Пусть дана форма g. Тогда ограничение формы В на касательную
плоскость к стандартной 2-сфере устроено следующим образом. Для того, что-
бы найти скалярное произведение касательных векторов а и b относительно
формы В, мы должны повернуть каждый из векторов на и затем взять их
скалярное произведение относительно формы g~r.
Опираясь на эту лемму, мы можем теперь сравнить матрицы двух форм В
и g на касательной плоскости к 2-сфере. Известно, что в касательной плоскости
всегда существует ортонормированный базис, относительно которого форма g
запишется при помощи диагональной матрицы
/с 0\
ё~ \0 d) ’
Находим матрицу формы В в этом же базисе. Получаем:
В = р
\ 0
которая, очевидно, переписывается так:
П-Х г °,
cd \0 d) detg
Теорема 6.5 доказана.
Надо отметить, что появление dct(g) фактически объясняется тем, что мы
должны отождествлять векторы с ковекторами, как и наоборот.
Из полученной формулы очевидно, что операция черта является инволюци-
ей в касательном пространстве к единичной стандартной сфере. Отметим, что
в других точках это — не инволюция. Из инволютивности операции черта и
следует теорема 6.4.
Появление инволюции указывает на наличие интересной двойственности.
Операция черта позволяет изготавливать из метрики на сфере, стандартно вло-
женной в R3, но наследующей из R3 некоторую метрику g общего вида, неко-
торую другую метрику. Алгоритм такого изготовления фактически описан в
лемме 6.3.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
301
ЗАМЕЧАНИЕ. Обратно, рассмотрим на стандартной сфере, вложенной в R3, некоторую
метрику, индуцированную диагональной метрикой из объемлющего пространства R3.
Пусть эта объемлющая метрика имеет вид:
ds2 — Ii (w) dwi + Iz(и) du2 + I3(w) dwj.
Тогда при помощи отображения рГг из нее изготовляется следующий гамильтониан Н\
Отметим, что в смысле обнаруженной выше двойственности, метрика эл-
липсоида двойственна метрике на сфере Пуассона.
Сформулируем здесь интересную задачу: обобщить изложенную выше кон-
струкцию на случай кокасательных расслоений к сфере любой размерности.
6.4. Классические случаи интегрируемости в динамике
твердого тела и отвечающие им интегрируемые
геодезические потоки на сфере
Известно, что многие уравнения динамики твердого тела могут быть пред-
ставлены как гамильтонова система на пространстве е(3)* = R6 (а, г). В наиболее
общем случае соответствующий гамильтониан имеет вид:
Н = Да3 + I2s2 + I3sj + L(r, а) + V(г),
где Ii, 12, 1з — постоянные (это моменты инерции тела), L — линейная функция
от а, а V — гладкий потенциал.
Рассмотрим частный случай, когда гамильтониан Н не содержит линейных
(по импульсам) членов, но включает в себя некоторый потенциал V(r). Приме-
няя в этой ситуации принцип Мопертюи, мы можем интерпретировать возни-
кающую гамильтонову систему как геодезический поток некоторой римановой
метрики. Какие именно метрики при этом получаются? Ответ легко извлекается
из теоремы 6.4.
Теорема 6.6. Пусть Н = Да3 + 12з2 + I383 + V(r). Тогда траектории со-
ответствующей гамильтоновой системы на орбите Мд, лежащие на уровне
{Н — h — const}, совпадают с геодезическими римановой метрики
h — V(u) Ii du2 + I2 du2 + I3 du3
Ilhh W2 W2
Il I2 I3
ограниченной из R3 на стандартно вложенную двумерную сферу S2 = {п3 + и2 +
+ ^ = 1}.
Нам наиболее интересны будут интегрируемые случаи в динамике твердого
тела, из которых мы выделим случаи Эйлера [282], [224], Лагранжа [102], Кова-
левской [80], Горячева-Чаплыгина [59], [222], Клебша [261]. Все они объединены
302
Глава б
где h — фиксированный уровень
ds2 = h
ABC
тем свойством, что их гамильтониан имеет вид, описанный в теореме 6.6 (т. е.
нет членов, линейных по импульсам). Применяя к ним принцип Мопертюи, мы
получаем серию интегрируемых геодезических потоков.
О других случаях интегрируемости уравнений динамики тяжелого твердого
тела см. также [182], [183], [184], [185], [221], [226], [219], [237], [243], [264], [382],
[390], [107], [14], [58], [60], [68], [144], [160], [186], [304], [307], [363].
6.4.1. Случай Эйлера и метрика на сфере Пуассона
Гамильтониан в случае Эйлера имеет вид:
Н = Asl + Bsl + Csj.
Согласно принципу Мопертюи (см. теорему 6.6), ему отвечает следующая мет-
рика на 2-сфере:
A du2 + В du2 + С du3
«1 «1 4
АВС
энергии (т. е. Н = Л,) в случае Эйлера. Здесь
предполагается, что написанная метрика должна быть ограничена на стандартно
вложенную сферу S2 в IR3(mi, и-2, и$). Как мы уже отмечали, эта метрика назы-
вается метрикой сферы Пуассона. Подробное обсуждение ее свойств см. выше в
главе 4.
Интересный вопрос: можно ли реализовать сферу Пуассона в виде гладкой
сферы, вложенной (или погруженной) вК3?
Теорема 6.7. Гамильтонова система случая Эйлера (е динамике твердого тела)
совпадает с геодезическим потоком метрики на сфере Пуассона.
Напомним, что систему Эйлера мы здесь рассматриваем на 4-мерном мно-
гообразии Mq , вложенном в Е6 и являющемся орбитой коприсоединенного пред-
ставления группы Е{3). С точки зрения динамики твердого тела это означает,
что мы полагаем равной нулю постоянную площадей. Аналогичное предположе-
ние имеет место и во всех остальных случаях, рассматриваемых ниже.
6.4.2. Случай Лагранжа и соответствующая метрика
вращения на сфере
Гамильтониан в случае Лагранжа имеет вид
Я = Ла? + Ла2 + С'а^ + У(г3).
Здесь эллипсоид инерции является поверхностью вращения, так как А = В.
Соответствующая метрика на сфере имеет вид:
2 h — У(м3) A du2 + A du3 + С du3
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
303
Отметим, что эта метрика, очевидно, инвариантна относительно поворотов
вокруг оси и^. В этом смысле она похожа на метрику сферы вращения и обычно
называется метрикой вращения. В частности, ее геодезический поток допускает
линейный интеграл. Отметим, что в классическом случае Лагранжа, отвечающем
движению в поле силы тяжести, потенциал V имеет вид У(гз) = Г3.
Теорема 6.8.
а) Гамильтонова система случая Лагранжа [при фиксированном уровне энер-
гии) гладко траекторно эквивалентна геодезическому потоку некоторой
метрики вращения на двумерной сфере. Явный вид этой метрики указан
выше.
б) И наоборот, любая гладкая метрика вращения на сфере может быть запи-
сана в таком виде при подходящем выборе потенциала У(гз). В частности,
геодезический поток такой метрики гладко траекторно эквивалентен слу-
чаю Лагранжа при подходящем выборе потенциала У(гз).
6.4.3. Случай Клебша и геодезический поток эллипсоида
Одним из наиболее эффектных следствий принципа Мопертюи является
гладкая траекторная эквивалентность интегрируемого случая Клебша и геоде-
зического потока на эллипсоиде. Этот результат в разное время и разными спо-
собами был получен Г. Минковским и В. В. Козловым.
Рассмотрим интегрируемую гамильтонову систему v на пространстве
е(3) = К6 (а, г), описывающую движение трехмерного твердого тела в идеаль-
ной жидкости в классическом случае Клебша. В этом случае гамильтониан Н
имеет вид:
Я = as2 + + CS3 — — — .
1 2 s а Ь с
Второй интеграл / этой системы имеет вид:
Теорема 6.9 (См. [81]). Система v случая Клебша, ограниченная на трех-
мерный уровень энергии Н = 0, гладко траекторно эквивалентна геодезическому
потоку v стандартной римановой метрики на эллипсоиде в евклидовом трехмер-
ном пространстве, задаваемом в декартовых координатах уравнением:
Доказательство.
Рассмотрим трехмерный уровень Q = (Н = 0) и применим общую схему,
изложенную выше. Согласно принципу Мопертюи, траектории системы v совпа-
304
Глава б
Н =
дают с траекториями системы v с гамильтонианом Н следующего вида:
asf + bs2 + cs|
,,.2 2 2
—+ -А + —
а о с
Гамильтониан Н задает некоторую риманову метрику на 2-сфере. Легко про-
верить (см. теорему 6.6), что эта метрика совпадает с метрикой
ds2 = a du2 + b du2 + c.du^,
ограниченной на стандартно вложенную сферу. Но эта метрика, очевидно, изо-
метрична метрике на указанном эллипсоиде.
Теорема доказана.
Принцип Мопертюи позволяет указать для случая Клебша естественную
связь между метрикой эллипсоида и метрикой на сфере Пуассона.
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве две римановы метрики:
a du2 + Ъ du?, + с с?г1з,
a du2 + b du2 + с du$
ds0 =
ds2 =
При ограничении на стандартно вложенную двумерную сферу первая метри-
ка дает метрику эллипсоида, а вторая — метрику сферы Пуассона. Рассмотрим
теперь семейство римановых метрик
ds2a = (1 — a) ds^ + a ds2,
где 0 а 1.
Другими словами, мы рассматриваем линейную деформацию метрики эл-
липсоида в метрику сферы Пуассона. Оказывается, что все эти метрики ds2a об-
ладают квадратично интегрируемыми геодезическими потоками на сфере. Убе-
диться в этом можно, например, с помощью принципа Мопертюи. Дело в том,
что метрика ds2a отвечает (при «отображении» Мопертюи) квадратично интегри-
руемой системе с гамильтонианом Клебша
/ „2 „2 \
Я2,г2, 2 / '1 . '2 . '3 \
— (IS 1 + Ьз-2 Н- — I-1—г—I-I •
° \ а Ь с J
Но этот гамильтониан нужно ограничить не на уровень Н = 0 (как вы-
ше), а на уровень Н = h. При этом h и а связаны следующим соотношени-
ем: а = h(h + I)-1. Таким образом, меняя энергию системы Клебша от нуля до
плюс бесконечности, мы (после применения «отображения» Мопертюи) делаем
деформацию метрики эллипсоида в метрику сферы Пуассона.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
305
Бифуркационную диаграмму для случая Клебша см. в главе 5 тома II. Она
была построена в работах Т.Н.Погосяна [164], [165] и А. А.Ошемкова [350], [157].
Меняя уровень энергии от нуля до плюс бесконечности, мы перемещаем на этой
диаграмме прямую Н = h = const слева направо. Из явного вида диаграммы вид-
но, что при этом движущаяся прямая не пересекает никаких особых точек бифур-
кационной диаграммы. Следовательно, слоение Лиувилля при указанной дефор-
мации топологически не меняется (точнее, заменяется на ему лиувиллево экви-
валентное). В результате мы получаем еще одно доказательство того факта, что
задача Якоби (т. е. геодезический поток метрики эллипсоида) и случай Эйлера
(т. е. геодезический поток на сфере Пуассона) лиувиллево эквивалентны.
6.4.4. Случай Горячева-Чаплыгина и соответствующий
интегрируемый геодезический поток на сфере
Применим теперь формулу из теоремы 6.6 для интегрируемого случая
Горячева-Чаплыгина. Гамильтониан и интеграл в этом случае имеют вид:
Н = з^+ si + 4«з + п.
Согласно принципу Мопертюи, мы изготавливаем из этого гамильтониана Н
новый гамильтониан Н на орбите М® следующего вида:
~ = + 4 + 4sj
h — ri
Здесь мы полагаем h > 1. При этом интеграл / превращается в интеграл /,
являющийся однородным полиномом степени 3 и имеющий вид:
f = + s?2) - 2^3f1r^(gi + s22 + 4s|).
Риманова метрика соответствующего геодезического потока на сфере имеет:
, 2 _ h - -ai dul + dul + 4 du%
S ~ 4 3 ’
*5 9
'«1 + «2 +
Теорема 6.10 ([36], [29]). Интегрируемый случай Горячева-Чаплыгина порож-
дает на двумерной сфере риманову метрику, геодезический поток которой ин-
тегрируем при помощи интеграла степени 3, указанного выше. Этот интеграл
не сводится к линейному или квадратичному.
Доказательство.
Рассмотрим грубую молекулу W указанного геодезического потока метри-
ки Горячева-Чаплыгина на сфере. Как мы знаем, этот поток траекторно эквива-
лентен случаю Горячева-Чаплыгина в динамике твердого тела и, следовательно,
306
Глава б
имеет то же самое слоение Лиувилля. Поэтому молекула W совпадает с моле-
кулой случая Горячева-Чаплыгина, которая была вычислена А. А.Ошемковым
[156], [350]. Она имеет вид, показанный на рис. 6.1. Продолжим далее доказатель-
ство, предположив противное, т. е. что интеграл Горячева-Чаплыгина на сфере
сводится к квадратичному. Но в таком случае мы можем воспользоваться ре-
зультатами, изложенными выше в главе 3. Там были полностью вычислены мо-
лекулы W* всех геодезических потоков на сфере, интегрируемых при помощи
квадратичных и линейных интегралов.
Рис. 6.1
Рис. 6.2
Используя этот результат, мы видим, что молекула потока Горячева-Чаплы-
гина на сфере должна была бы иметь один из двух видов, показанных на рис. 6.2.
Молекула на рис. 6.2а отвечала бы случаю, в котором интеграл f сводился к
квадратичному, а молекула на рис. 6.2b отвечала бы случаю, в котором интег-
рал f сводился к линейному. Здесь Wi — некоторое дерево, все ветви которого
направлены вверх, a W2 — дерево, ветви которого направлены вниз. При этом
атомы, являющиеся вершинами графов-деревьев Wi и W2, должны иметь спе-
циальный вид и, в частности, не содержать звездочек. Сравнивая эти графы с
графом на рис. 6.1, мы видим, что граф на рис. 6.1 не имеет такой структуры.
Поскольку граф W — это инвариант интегрируемой системы, то мы получили
противоречие. Теорема доказана.
6.4.5. Случай Ковалевской и соответствующий
интегрируемый геодезический поток на сфере
Гамильтониан Ковалевской имеет следующий вид:
Н = |(.^ + sl + 2.s|) + n.
Интеграл Ковалевской выглядит так:
+(«1«2-Г2)2.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
307
Согласно принципу Мопертюи, мы изготавливаем из гамильтониана Н но-
вый гамильтониан Н на кокасательном расслоении к сфере следующего вида:
~ _ Si + ^2 + 2g3
“ - 7 9
h — ri
где постоянная h больше 1. При этом интеграл f превращается в интеграл /,
имеющий вид:
(. \ 2 / . \ 2
S1 s2 81 + s2 + 2s3 111 + S2 + 2s3 |
"5-9---Г1----t------ I + I sls2 — Г 2-7----
2 2 h — ri I I h — ri I
Риманова метрика соответствующего геодезического потока на сфере имеет
следующий вид:
2 _ h - Hi du\ + du?2 + 2 du$
dS ~
u2i + ul + у
Теорема 6.11 ([36],[29]). Интегрируемый случай Ковалевской порождает на
сфере риманову метрику, геодезический поток которой интегрируем при помощи
интеграла степени 4, указанного выше. Этот интеграл не сводится к линейному
или квадратичному.
Доказательство.
Схема рассуждения повторяет доказательство преды-
дущей теоремы. Достаточно сравнить молекулу случая
Ковалевской, вычисленную А. А. Ошемковым [156], [350]
(рис. 6.3), с молекулами квадратично и линейно интегриру-
емых геодезических потоков на сфере (рис. 6.2). Эти моле-
кулы различны, поскольку молекула W случая Ковалевской
содержит два атома А*, которых нет ни в одной из молекул,
изображенных на рис. 6.2. Следовательно, метрика Ковалев-
ской не принадлежит к классу метрик с линейно или квадра-
тично интегрируемыми геодезическими потоками. Теорема
доказана.
Отметим, что в действительности интегрируемые случаи Горячева-Чаплы-
гина и Ковалевской порождают целое однопараметрическое семейство римано-
вых метрик на сфере. Как видно из формул, в коэффициенты метрики входит
параметр h, который можно менять произвольно. Таким образом, мы получа-
ем два однопараметрических семейства интегрируемых геодезических потоков
метрик, интегралы которых степеней 3 и 4 соответственно не сводятся к квад-
ратичным.
В работах С. А. Чаплыгина [223] и Д. Н. Горячева [60] указано 4-параметричес-
кое семейство потенциалов на сфере, дающих интегрируемые системы с интегра-
лами степени 4. Это семейство включает в себя случай Ковалевской. В прежних
308 Глава 6
обозначениях гамильтониан и первый интеграл в этом случае имеют вид
Н = |(я1 + s2 + 2йз) - (Х + 2&1г1Г2 + Ь-2(г1 - Г?) + С1П + СгГз),
F = 4(.sl,s2 + 2о, - bi г? + щг2 + с2п ) +
v Г3 7
+ (si - «2 + 2°^2 + 262Гз + 2С1Г1 - 2с2г2] ,
где а. 61, Ь-2, Ci, с2 — произвольные константы. На самом деле для построения
геодезического потока на сфере придется положить а = 0, чтобы потенциал не
имел особенности. Поэтому мы говорим о четырехпараметрическом семейст-
ве. Здесь для интегрируемости, как и в случае Горячева-Чаплыгина, требуется
равенство нулю постоянной площадей. Применяя принцип Мопертюи, мы полу-
чаем семейство интегрируемых геодезических потоков на сфере с интегралом
четвертой степени. Было бы интересно изучить топологию этих потоков и ее
зависимость от выбора параметров.
Таким образом, на сфере существуют метрики, геодезические потоки кото-
рых интегрируемы при помощи интегралов степени 1, 2, 3, 4.
6.5. Гипотеза о метриках с интегралами больших степеней
В главе 2 были полностью классифицированы римановы метрики на дву-
мерных поверхностях, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи
линейных и квадратичных интегралов. Аналогичный вопрос об описании (и клас-
сификации) метрик, геодезические потоки которых интегрируемы при помощи
полиномов степеней три и выше, остается пока открытым. Здесь имеется, ко-
нечно, в виду, что степень таких интегралов непонижаема. Более того, постро-
енные нами выше два примера метрик (Горячева-Чаплыгина и Ковалевской) на
двумерной сфере остаются по существу единственными примерами метрик с по-
линомиальными интегралами степени большей двух. На торе таких примеров не
известно. Более того, многочисленные попытки сконструировать такие метрики
на торе пока оканчивались неудачей.
Гипотеза А. На двумерном торе не существует римановых метрик, геодези-
ческие потоки которых допускают полиномиальные интегралы степени п > 2,
но не допускают линейных и квадратичных интегралов. Другими словами, приве-
денный в главе 6 список интегрируемых геодезических потоков на торе является
полным, т. е. дает полную классификацию потоков, допускающих полиномиаль-
ные по импульсам интегралы.
Гипотеза Б. На двумерной сфере не существует римановых метрик, геодези-
ческие потоки которых были бы интегрируемы при помощи интегралов степе-
ни п > 4 и не допускали бы интегралов меньших степеней.
Гипотезы А и Б сформулированы В. В. Козловым и А. Т. Фоменко.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
309
В пользу гипотезы А имеется довольно много аргументов. Например, см.
работы: В. В.Козлов и Н.В. Денисова [86], [87], М.Л.Вялый [51], В. В.Козлов,
Д. В.Трещев [89]. Подробнее об этой гипотезе см. в обзоре А. В. Болсинова,
В. В. Козлова, А. Т. Фоменко [29] и в книге В. В. Козлова [84].
Полезно отметить глобальный характер гипотез А и Б. Здесь речь идет о
свойствах метрик, заданных на всей сфере и всем торе (т. е. глобально). Если
же ограничиться локальным аспектом задачи, то ситуация сразу проясняется.
А именно, имеет место следующий результат В. В. Козлова.
Теорема 6.12. Имеются интегрируемые системы с гамильтонианом
н= р{ + ‘l4
2А(ж1, х2У
которые допускают в области Dx х (где D — диск на плоскости Xi, х2)
полиномиальный по импульсам интеграл любой заданной степени п, независимый
от Н, и при этом не допускают независимого от Н полиномиального интеграла
степени меньшей, чем п.
Доказательство см. в работе В. Тена [194].
Укажем здесь также на следующие два известных интегрируемых случая
с интегралами степени три и четыре. Это — цепочка Тоды [381], [90], [244], и
система Калоджеро-Мозера [338], [256]. Используя принцип Мопертюи, из них
них можно сконструировать интегрируемые геодезические потоки на диске с
интегралами степени три и четыре.
Укажем в явном виде интегрируемые случаи цепочки Тоды с двумя степеня-
ми свободы, и соответствующие интегралы. Для случая двух степеней свободы
известны следующие три интегрируемых случая. Мы указываем ниже гамиль-
тонианы Н вместе с соответствующими интегралами F степени 3 или 4.
Случай 1.
Н = + р%) + + гле-^1-*-*2 + v3e~2x2,
F = Ы - + v2(pi + V3p2)e-^X'+X2 -
О
- 2?;3Р1е-2ж2 + «1(Р1 - v/3p2)fi'/3;':i+;':'J-
Случай 2.
Н= 1(р2+р2)+ +V2eX2 +г>3е“Ж1“Ж2 +-у4е“5(ж1+Ж2),
F = Р1Р2 + 2v2pleX2 + 2pip2 (vse-251-®2 + ше-^®14-®2^ + 2-г1р|с:,:| +
+ 2f2V3e-3;i + 2щц3е-Ж2 + 4г)1Ц2еЖ1+Ж2 + (г3е-Ж1-Ж2 + гле-^2514-®2^ .
310
Глава б
Случай 3.
Н = |(Р1 + Р2) + е Х1 Х2 + 71 е-Х1 + е2ж1 + 7зеЖ2 + ^-2в2х2,
F = р[Р2 +Р1 (272еЖ2 +/S2e2a!2) + 2р!р2е~Х1~Х2 + р2 (2 *716Ж1 + fte2"1) +
+ e~'2(xi+X2) + /31/32е2(ж1+Ж2) + 2/3172е2ж1+Ж2 + 2/3271еЖ1+2а!2 +
+ 4у1ЪеХ1+х2 + 2У1е~Х2 + 272е-Ж1.
Укажем в явном виде интегрируемые случаи системы Калоджеро-Мозера с
двумя степенями свободы и соответствующие интегралы. Рассмотрим п частиц
единичной массы, расположенных на прямой в точках х±, ж2, ... , хп и взаи-
модействующих друг с другом с потенциалом попарного взаимодействия /. Их
динамика описывается гамильтоновой системой с гамильтонианом
н = | 52^ + 52 ^Xi -х^-
г=1 i<j
Для случая двух степеней свободы известны следующие четыре типа по-
тенциалов, дающих интегрируемые случаи системы п частиц. Соответствующие
системы обычно называются системами Калоджеро-Мозера.
1) /(«)
2)
3) Ж
4) /(ж)
1
х2 ’
1
2 ’
sm х
1
sh2 ж’
1
2 5
SIT X
где sn(a;) = sn(a; | тп) — эллиптический синус (или синус амплитуды). Напомним
его определение. Рассмотрим следующий эллиптический интеграл:
т) = / а"
J х/1 — т2 sin2 в
Здесь 0 т 1. Тогда ip можно рассматривать как функцию <р = tp(u, т), т.е. <р
можно считать функцией, обратной к и. Она называется амплитудой эллиптичес-
кого интеграла и и обозначается ат(и). Тогда, по определению, sn(n) = siiiam(u).
В то же время потенциал f(x) можно переписать в терминах функции Вейер-
штрасса р(ж). Функция Вейерштрасса связана с эллиптическим синусом простым
соотношением
р(ж) = е3 +
61 — Сз
Sil2 (-/ei - Сз ж)
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
311
Здесь р(ж) — функция Вейерштрасса, отвечающая ортогональной решетке с про-
извольными периодами Wi € Ж, w2 € г'Ж. Далее, 61, е2, бз — значения функции
Вейерштрасса в полупериодах, т. е.
ei
/ + Ш2
e2 = pl
ез = Р
2 ) ’
В этом случае параметр т эллиптического синуса выражается по формуле
т
е2 ~ ез
61 — 6з '
Отметим, что первые три потенциала /(ж)
1 1 1
О' . 9 ‘ 9
х sm х sir х
являются на самом деле вырождениями функции Вейерштрасса при стремлении
периодов функции Вейерштрасса (одного или сразу двух) к бесконечности.
Для изготовления из указанных гамильтонианов интегрируемого геодези-
ческого потока следует взять систему из трех частиц. Тогда, оказывается, в
перечисленных пяти случаях у нее есть линейный интеграл Fi = Pi + р2 + Рз
и некоторый кубический интеграл. Для получения системы с двумя степенями
свободы нужно произвести редукцию по интегралу импульса Fi- Полученная
система с двумя степенями свободы будет обладать интегралом степени три.
Поясним более подробно. Гамильтониан Н и кубический интеграл F имеют
следующий вид:
н = j(pi +р2 +р|) - (/(Ж1 - ж2) + /(Ж1 -Жз) + /<Ж2 - Ж3)),
F = Р1Р2РЗ +Р1/(ж2 - Жз) +р2/(Ж1 - Ж3) +Рз/(Ж1 - Ж2).
Производя редукцию по линейному интегралу pt + р2 +рз, мы получаем
интегрируемую систему с двумя степенями свободы со следующими гамильто-
нианом и интегралом третьей степени. Для упрощения формул мы сделали неко-
торые перенормировки. Новые координаты (т. е. после редукции) мы обозначим
через р, у.
Н = ^(Pi + р2) - /(2у2) - /(V3yi + у2) - /(->/Зр1 + у2),
F = |p3i ~ Р1Р2 ~ (Pi + ^Р2Ш-\/Зу1 + у2) -
~ 2pif(-2y2) ~ (Pi - V3p2)f(V3pi + у2)-
Здесь в качестве функции f можно взять любую из перечисленных выше
функций из случаев 1-4. Отметим, что первом случае, т. е. когда потенциал имел
вид ж-2, выражения для гамильтониана Н и кубического интеграла F несколько
упрощаются. А именно:
Н= ^(Pi +р2) -
+ у2) \
2у2(у2 - 3yl)J
312
Глава б
Кубический интеграл выглядит так:
F = p31- Зрхр| +
9(3yf - - pt) У1У2
2?/2(?/2 - 3i/?)2 1 0/2-З?/?)2 2’
Отметим также работу Холла [309], в которой сделана попытка проанали-
зировать с общей точки зрения натуральные системы, допускающие интегралы
третьей степени.
Отметим, что метрики с интегралами степеней три и четыре на сфере, от-
личные от метрик Горячева-Чаплыгина и Ковалевской, существуют. Такие при-
меры для интегралов степени три были недавно предложены Е. Н. Селивановой. А
для интегралов степени четыре примеры можно извлечь из работы Горячева [60].
Было бы интересно получить классификацию таких метрик и явные формулы
для них. Укажем еще два примера римановых метрик, заданных на двумерном
диске (или на полуплоскости), геодезические потоки которых интегрируемы при
помощи интегралов степени три. Первая из этих метрик называется метрикой
Холта (Holt). Она имеет вид:
ds2 = (а — y~i (5 — ^Ъу2 — Ьх2 — еж)) {dx2 + dy2).
Здесь а, 6,Ъ. с — произвольные константы. Эта метрика получается путем
применения принципа Мопертюи к натуральной системе, гамильтониан которой
выглядит так:
Н = |(р? + р2) + U(x, у),
где
U(ж, у) = y~i {d — ^by2 — bx2 — ex).
Интеграл этой натуральной системы имеет степень три и имеет следующий
вид:
F = 2pf + Зр ,р| + Зт/— ® (2£ — 2bx2 — 2сх + 36y2)pi - у^ {18Ьх + 9с)р2.
Следующий пример локальной метрики, геодезический поток которой обла-
дает интегралом третьей степени, получается путем применения принципа Мо-
пертюи к натуральной системе, обнаруженной Фокасом (Fokas) и Лангестромом
(Langestrom). Гамильтониан и интеграл этой системы имеют вид:
Я=^±Р1 + (_у2+ж2)Ч,
F1 = {хр2 - ypt)(p2 -р%) -4(жр2 +УР1)(~У2 +x2)~i.
В заключение мы покажем, как степень интеграла связана с топологией сло-
ения Лиувилля в случае интегрируемых геодезических потоков на замкнутых
двумерных поверхностях.
Выше мы изложили результаты А. А. Ошемкова, В. В. Калашникова (мл.),
Нгуен Тьен Зунга, Л. С. Поляковой, Е. Н. Селивановой, В. С. Матвеева, которые
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
313
описывают топологию лиувиллевых слоений для таких потоков. Мы сформули-
ровали окончательный ответ в терминах так называемых меченых молекул. Эти
молекулы были указаны явно для каждого набора параметров (типа /, g, L)
(см. главы 2, 3 тома II). Здесь мы соберем вместе эти результаты в виде таб-
лицы, перечислив эти молекулы в простейших случаях, когда слоение Лиувилля
изоэнергетической поверхности имеет наименьшее число особенностей. Эти ре-
зультаты представлены в таблице 6.1.
Комментарии к таблице 6.1.
1. Функции f и g, являющиеся параметрами метрик, имеют наименьшее
возможное число критических точек, и эти точки невырождены.
2. На ребрах молекул на самом деле стоят числовые метки п, г, е. Эти метки
полностью указаны в главах 3, 5. Мы не приводим их здесь в полном объеме,
чтобы не загромождать таблицу. Однако мы указываем эти метки в тех случаях,
когда они необходимы для того, чтобы различить между собой топологически
неэквивалентные слоения Лиувилля. Дело в том, что (как видно из таблицы) в
некоторых случаях молекулы без меток совпадают, хотя отвечающие им слоения
Лиувилля различны. В качестве примера интересно обратить внимание на тот
факт, что молекула, отвечающая метрике Ковалевской и молекула, отвечающая
квадратично интегрируемому геодезическому потоку на бутылке Клейна, совпа-
дают, если не учитывать их меток. Это означает, что с локальной точки зрения
соответствующие слоения устроены совершенно одинаково. Однако различие ме-
ток указывает на то, что их глобальная структура различна.
3. В случае квазилинейно и квазиквадратично интегрируемых геодезичес-
ких потоков на бутылке Клейна в молекулах участвует атом К. Соответствую-
щий ему особый слой диффеоморфен бутылке Клейна. Локально в окрестности
каждой точки дополнительный интеграл F имеет вид F = F2, где F — функ-
ция без особенности (в данной точке). Однако глобально квадратный корень не
извлекается, поскольку нормальное расслоение к критической бутылке Клейна
(в изоэнергетической поверхности Q3) нетривиально.
4. В случае, когда функции fug имеют произвольное число критических
точек, общий вид молекулы остается в принципе тем же самым. Грубо говоря,
вместо концевых атомов А нужно «вклеить» некоторые графы, характеризующие
взаимное расположение критических уровней функций f и g. См. главы 2, 3.
5. Знаки вопроса в таблице 6.1 означают, что примеры соответствующих
метрик неизвестны. Более того, согласно сформулированной выше гипотезе, та-
ких примеров вообще не существует.
6.6. Теорема Дини и геодезическая эквивалентность
римановых метрик
В этом параграфе мы обсуждаем классическую теорему Дини, которая дает
локальное описание римановых метрик на двумерных поверхностях, допускаю-
щих нетривиальные геодезические эквивалентности [270]. Для нас эта теорема
интересна, в частности, тем, что она дает возможность построения примеров
траекторно эквивалентных геодезических потоков.
314
Глава б
Таблица 6.1
S2 HF2 /р2 к2
1 /-метрика А А Г=- 1 2 /-метрика А А (g, t, Lj-метрика А — В 22 В — А (L, £")-метрика А — А*— А*— А
2 (L, /, gj-метрика А А С2 А А п=2 (L, /, gj-метрика А А /\ А А П=4 Р» d1 ра- Ь X 1 7 г X В IX- / > ОТ — от I 1 '? Mi II 1Г 4— 3 IX- 1 1 В IX- g ОТ —От н ►“3 73 7 п X s / IX s р» В IX- Р- ° квазилинейный слу- чай (L./, 0)-метрика А К /К А К
глобально лиувиллева метр. (L, /, g, (^-мет- рика \ г=0 Л 4 В — в 7 Г=0 1 1 Г=0 , в — в. / 1=0 \ (L, /, ^-метрика А -г А* А г=- X / 2 \ / 4 Л
3 метрика Горячева- Чаплыгина А — В В - А / ? ? ?
4 метрика Ковалевской А - А* А Г=0 \ / г=0 У \ А - А А ? ? квазикв ад ратичный случай метрика ds2 f m,n,/ А - В В - А Г
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность 315
Определение 6.1. Две римановы метрики G = (gij) и G = (gy), заданные на
многообразии М, называются геодезически эквивалентными, если геодезические
линии метрики G совпадают (как множества, т. е. без учета параметризации)
с геодезическими линиями метрики G.
Простейшим примером геодезически эквивалентных метрик являются мет-
рики, отличающиеся друг от друга умножением на константу. Будем далее гово-
рить, что две метрики G и G нетривиально геодезически эквивалентны, если они
геодезически эквивалентны, но не пропорциональны, т. е. не получаются друг из
друга умножением на постоянную.
Пусть G и G — геодезически эквивалентные метрики. Легко видеть, что
тогда их геодезические потоки гладко траекторно эквивалентны. При этом они
рассматриваются как динамические системы на кокасательных расслоениях или
на изоэнергетических поверхностях. Траекторный диффеоморфизм задается при
этом формулой
(х, р) -> (х, —GG-1pV
V \GG^p\d '
Здесь (x, p) — координаты в кокасательном расслоении, х — точка на мно-
гообразии, р — ковектор. A |p|g и |р|q — нормы ковектора р в смысле метрик G
и G. Это же отображение, но записанное не для импульсов, а для скоростей
(т.е. в координатах (ж, ж)), принимает вид:
(ж, ж) —> (х,
V Ис 7
Здесь |ж|^ и |ж|с — длины касательных векторов скоростей относительно
метрик G и G.
Отметим, однако, что не любой траекторный изоморфизм двух геодези-
ческих потоков индуцируется геодезической эквивалентностью. Необходимым
условием является его коммутирование с естественной проекцией Т*М —> М,
задаваемой формулой (ж, р) —> ж.
Оказывается, теорема Дини является отражением следующего более общего
факта, замеченного В. С. Матвеевым и П. И. Топаловым.
Рассмотрим две гамильтоновы системы v и v с двумя степенями свободы.
Ограничим их на регулярные изоэнергетические 3-поверхности: Q3 для систе-
мы v и Q3 для системы v. Предположим, что ограничения систем v и v на Q3
и Q3 гладко траекторно эквивалентны. Напомним, что под гладкой траекторной
эквивалентностью понимается существование диффеоморфизма £: Q3 —> Q3, пе-
реводящего траектории первой системы в траектории второй системы, причем
с сохранением их ориентации. Тогда по такому диффеоморфизму £ каноничес-
ки строятся дополнительные интегралы обеих гамильтоновых систем [199]. Идея
этого построения состоит в следующем. Рассмотрим ограничения соответству-
ющих симплектических 2-форм ш и □ на изоэнергетические 3-поверхности Q
и Q. С помощью диффеоморфизма £ перенесем ограничение формы и> с много-
образия Q на Q. Очевидно, что получившаяся таким образом 2-форма на Q
обладает следующими свойствами:
316
Глава б
1) она замкнута,
2) ядро формы совпадает с гамильтоновым векторным полем v на Q.
Легко видеть, что гамильтоново поле v сохраняет форму на Q. Действи-
тельно, вычисляя производную Ли от формы вдоль поля v, получаем:
L^w = iv (1{£*ш) + d{iv£*w) = О,
так как форма замкнута (это аннулирует первое слагаемое) и так как ядро
формы совпадает с полем v (что аннулирует второе слагаемое).
С другой стороны, Lvca = 0 в силу гамильтоновости поля и на Q. Далее,
две формы, w и (*2, имеют одинаковое ядро на трехмерном изоэнергетичес-
ком многообразии Q, и поэтому они пропорциональны. В результате получаем,
что = fw, где f — некоторая гладкая скалярная функция на Q. Поле v со-
храняет как форму fix = так и форму ш, а потому сохраняет и функцию /.
Это означает, что функция f является первым интегралом потока v на изоэнер-
гетической 3-поверхности Q.
Конечно, этот интеграл может оказаться равным константе. Так и быва-
ет, если, например, траекторная эквивалентность двух потоков была получена
в результате применения принципа Мопертюи. Но в некоторых случаях — в
частности, в теореме Дини — из существования траекторной эквивалентнос-
ти описанным способом можно извлечь нетривиальный интеграл гамильтоновой
системы v.
Перейдем теперь к самой теореме Дини.
Теорема 6.13 (Теорема Дини).
а) Пусть римановы метрики G uG на двумерной поверхности М нетривиаль-
но геодезически эквивалентны. Тогда геодезические потоки обеих метрик
квадратично интегрируемы. Причем нетривиальный квадратичный интег-
рал F геодезического потока v метрики G записывается {как функция на
кокасателъном расслоении) в виде:
F{x, р) = (det?" {G~1GG~lp, р).
(det G) s
б) Обратно, пусть геодезический поток метрики G на двумерной поверх-
ности М интегрируем при помощи некоторого квадратичного интегра-
ла F{x, р) = (Fp, р). Пусть этот интеграл положительно определенный
{этого всегда можно добиться путем добавления к F гамильтониана Н
с некоторым коэффициентом). Утверждается, что исходная метрика G
геодезически эквивалентна новой метрике G, задаваемой на касательном
расслоении к М следующей матрицей {тензором}:
G = {det,G)~2{detF)~2GFG.
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
317
ЗАМЕЧАНИЕ. Здесь G — матрица (тензор) исходной метрики на касательном расслоении,
F — матрица (тензор) квадратичного интеграла на кокасательном расслоении, a GFG
— это уже матрица (тензор) на касательном расслоении, получающаяся из F путем
опускания ее верхних индексов при помощи матрицы (тензора) G.
Доказательство теоремы Дини.
Рассмотрим изоэнергетические 3-поверхности Q и Q. Будем считать, что
они заданы как уровни гамильтонианов: Q = (Н = 1), Q = (Н = 1). Как было
отмечено выше, геодезическая эквивалентность индуцирует траекторный изо-
морфизм Q —> Q, задаваемый формулой
(ж, р) -> (х, ~ ---GG-1p\ .
Поскольку формула выписана явно, мы можем подсчитать форму и най-
ти коэффициент пропорциональности между формами и ш. На каждом изо-
энергетическом многообразии Q и Q мы рассмотрим три гладких векторных
поля Do, Di, D2 и, соответственно Do, Di, D2. Опишем эти поля для случая
многообразия Q. Здесь поле Do — это касательные векторы к окружностям,
задаваемым в кокасательных 2-плоскостях уравнением Н = 1. Будем считать,
что поле Do нормировано в том смысле, что длины всех векторов поля Do оди-
наковы, и период поля вдоль каждой окружности (Н = 1) равен 2тг. Поле D± —
это исходное гамильтоново поле v на Q. Поле /)2 = [Но, Di] — это обычный ком-
мутатор полей Do и D]_. Поскольку поле D\ лежит в ядре форм ш и на Q, то
достаточно подсчитать значения этих форм лишь на векторах Dq и D2, то есть
w(Do, Я2), £*u(Do, D2).
Отношение этих величин является, как мы видели выше, интегралом f по-
ля v = Di- Подсчитаем оба эти выражения. Для этого нам потребуется следу-
ющее утверждение.
Лемма 6.4. Для полей Do, Di, D2 имеет место соотношение:
[Do, D2] = —Di.
ЗАМЕЧАНИЕ. На самом деле верны еще два следующих интересных соотношения, кото-
рые, впрочем, здесь нам не потребуются, и мы поэтому не будем их доказывать:
[.Di, Л2] = k,D0, [Do- Л1] =
где к — гауссова кривизна, поднятая с М на Q.
Доказательство леммы.
Удобно воспользоваться конформными координатами, в которых метрика G
пишется как ds2 = A(x‘i, ж2)(Дж^ + dx?). Тогда гамильтониан Н имеет вид:
Я=(2А)-1(р?+р^).
318
Глава б
Тогда в координатах (ял, х2, pi, р2) векторные поля D$ и D1 записываются так:
Do = (0, 0, р-2, -pi),
Dr
pi Р2 . pi + pl
А ’ А ’ X1 2А2
Ажа
Р1 +Р2^
2А2 ) ‘
Вычисляя явно коммутатор векторных полей [Z?o, D2] — [-Do, [Dq, -Di]] по
обычной формуле, получаем требуемое выражение. Лемма доказана.
Лемма 6.5. Имеет место равенство:
w(Dq, D2) —
Доказательство.
Напомним, что а> = dx, где 1-форма действия и имеет вид: и = р dx =
= pi dxi + р2 dx2-
Тогда
<MD0. Р2) = D0^(D2) - D2^(D0) - ><([-Do, D2]).
Отметим, что >r(Do) = 0, поскольку вектор -Do переходит в ноль при естест-
венной проекции Q на базу М. Кроме того, >r(D2) = 0. Чтобы это увидеть,
подсчитаем w(Dq, Di). С одной стороны, это равно нулю, поскольку Di лежит
в ядре формы са. С другой стороны, применяя указанную выше формулу для
случая dx(D0, Di), получаем:
dx(Do, Di) — -Do>r(Di) — -Di>r(Do) — x([-Do, -Di]).
Здесь Di>r(-D(j)—(J, поскольку x(-D0) — 0. Первое слагаемое тоже равно нулю,
поскольку >r(.Di) = >r(sgradIT) = р(ж) = |Ф|2 = | и, следовательно, Dqx^Di) =
= .Do (1) =0. Поэтому
\ £» /
w(D0, Dr) = dx(D0, -Di) = -x([P0, Di]) = -n(D2) = 0.
Таким образом,
d>dDn. D2) = -x([D0, Z>2]) = (по лемме 6.5) = x(Di) =
Лемма доказана.
Совершенно аналогично доказывается, что <Э(£>0, D2) =
Вычислим теперь ^*w(D>o, D2) = i2'(d^(D(j). d£(_D2)). Для этого заметим, что
векторное поле d£(Do) пропорционально полю Do, поскольку Q переходит в Q,
отображение £ является послойным диффеоморфизмом, т.е. переводит окруж-
ность в окружность, a и Dq — это касательные векторы к слоям. Поэтому
можно записать:
^(-Do) = <*D0,
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
319
где а(х, р) — некоторая скалярная функция. Кроме того, векторное поле
пропорционально полю D±. Это следует из того, что £ устанавливает траекторный
изоморфизм систем v и v. Таким образом,
d^Dt) = /зЬг,
где /?(ж, у) — некоторая скалярная функция. Имеем:
d£(D2)) = Q(d^D0), d£[D0, Dx]) = 2(^(Л0), [d£(D0), d^Dfl)]) =
= ш(а£>0, [a_D0, ^Д]) = ш(а£>0, afl[D0, f>i] + aP0(/3)-Di - flDifloflDo) =
= a2fl£(D0, [Po, PJ) = cflflcS(D0, D2) = a2^.
Таким образом, коэффициент пропорциональности между формами а> и flu
равен a2 fl. Другими словами, f — a2 fl. Нам осталось найти коэффициенты, т. е.
функции а и fl.
Лемма 6.6. Имеет место равенство:
Доказательство.
Обратим внимание, что формула
£: (ж, р) -> (ж,
при переходе к касательному расслоению переписывается так:
(flx, х) — (х, Ах),
где А = |Ф|еИ-1 = \GG~ 1р|р1 |р|с- Другими словами, х = Хх, х = х, а отсюда
следует, что dtfly) = A-1v. Попросту говоря, происходит перенормировка вектора
скорости. Таким образом, fl = А-1. Лемма доказана.
Лемма 6.7. Имеет место равенство:
а = \p\g . л/detg
|GG'-1p|l x/dctG’
Доказательство.
Поскольку отображение £: Q —> Q является послойным, его действие можно
рассмотреть на каждом слое по отдельности. Поэтому можно записать
Р = £(р) = А(р)А(р),
где А(р) = |р|с|(?С'_1р|— это скалярная функция, а Л(р) — линейный one-
'G
ратор, действующий по формуле Л(р) = GG~lp. Рассмотрим отображение £ не
только на слое, т. е. на самом деле на эллипсе, но и на всей касательной плоскос-
ти к М. Мы хотим подсчитать двумя способами определитель дифференциала
d£ отображения £.
320
Глава б
Рис. 6.4
На каждом касательном векторе а мы имеем:
d£(a) = (dA(a))4(p) + А(р)Л(а).
Легко видеть, что, если в этой формуле положить
а = р, то dA(p) = 0. Поэтому d£(p) = А(р)Л(р). Рас-
смотрим в касательной плоскости ТМ базис из не-
зависимых векторов аир. Посмотрим, как на них
действует линейное отображение dt;. Нетрудно пока-
зать, что этот линейный оператор устроен так:
= А(р)А + /^(оператор проектирования
на вектор Л(р) параллельно вектору р),
где р — некоторый скалярный коэффициент. Отсю-
да сразу видно, что второе слагаемое не влияет на
определитель dt;, и все определяется лишь первым
слагаемым. Итак, получаем:
det(d£) = det(A(p)A) = A2 det Л.
Теперь подсчитаем тот же определитель det(d£), но другим способом. На рис. 6.4
изображены два слоя, т. е. два эллипса в касательной плоскости, переходящие
друг в друга при отображении %. Рассмотрим в точке р базис из векторов Do
и р. См. рис. 6.4. Вектор Dq — это касательный вектор к эллипсу, идущий в на-
правлении, сопряженном р. После параллельного переноса в начало координат,
вектор Do окажется на том же эллипсе, что и р. Рассмотрим образы этих векто-
ров при отображении dt;. Мы знаем, что dt;(p) = р, a dt;(Do) = aDo- Отсюда:
площадь параллелограмма на векторах d£(p) и d£(Do)
' площадь параллелограмма на векторах р и Do
площадь параллелограмма на векторах р и Dq у/Jet G
= а---------------------------------------— = а
площадь параллелограмма на векторах р и Do д/det G
Приравнивая полученные два выражения для определителя det(d£), нахо-
дим а, а именно:
A2 det Л = A2 det(GG-1) = fXdet^.
д/detG
Итак, а = A2 ^dc^ . Лемма доказана.
д/detG
Поскольку f = a2/3, и мы нашли а и /3, то, подставляя сюда их выражения,
получаем:
\p\g _ det G . 1^^ ^Ig
\ос-гр\4д detG IpIg
\p\g . det g
|g<?-1p|g detG’
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
321
Эта функция не является квадратичной по импульсам, поэтому из нее нужно
еще изготовить искомый квадратичный интеграл F. Для этого нужно возвести f
и домножить на удвоенный гамильтониан векторного поля v,
который имеет вид Н = |р|^. В результате получим:
F - 2f~%H -
G(detG)>
Поскольку (G~1GG~1p, р) = |GG-1p| то отсюда мы и получаем оконча-
тельно требуемую формулу
F~ (det? JG^GG-1?, р).
(detG)s
Нетривиальность этого интеграла F легко следует из того, что метрики G
и G по условию теоремы не пропорциональны.
Первая часть теоремы Дини доказана.
Следствие. Квадратично интегрируемые метрики, и только они, допускают в
двумерном случае нетривиальные геодезические эквивалентности.
Комментарий. На самом деле теоремой Дини обычно называется утверждение
о том, что метрика G при выполнении условий теоремы приводится к лиувилле-
ву виду. Это эквивалентно пункту (а) теоремы 6.13, поскольку лиувиллевость
метрики сразу следует из существования квадратичного интеграла (см. главу 2).
Докажем теперь теорему Дини в обратную сторону.
В некотором смысле проведенные выше рассуждения обратимы. Грубо гово-
ря, искомую формулу G = (detG)-2(detF)-2GFG можно получить из уже полу-
ченной нами в первой части теоремы Дини формулы F = Y, G~1GG~1, вы-
(detG)s
разив отсюда G через G и F. Однако операция эта довольно громоздкая, поэтому
мы сделаем по-другому. Поскольку заданная метрика G квадратично интегриру-
ема, это означает, что она допускает лиувиллевы координаты жг, ж2. См. главу 2
тома II. Тогда в этих координатах мы имеем:
G = (/(^1) + #(ж2)) (dx\ + dx%).
При этом квадратичный интеграл F записывается в виде (см. там же):
р = (c + g(^2))Pi + (с - /(жг))р^
/(Ж1) +^(ж2)
Тогда для метрики G мы получаем формулу:
G = (detG)“2(detF)-2GFG= ( 1 , - 1")
v v ’ \c-f c + gj\c-f c + g)
322
Глава б
Итак, мы имеем две явным образом заданные метрики. Причем первая из
них, т.е. G, уже имеет лиувиллев вид, а вторая, т.е. G, — почти лиувиллев. В
теореме 2.5 главы 2 тома II были получены уравнения геодезических для лиувил-
левых метрик. Подставляя в эти уравнения указанные выше две метрики G и G,
легко убедиться, что получающиеся уравнения геодезических просто совпадают.
Это и означает, что метрики G и G геодезически эквивалентны.
Вторая часть теоремы Дини доказана. Итак, теорема Дини доказана полнос-
тью.
Отметим, что классическая теорема Дини является локальной. Мы же сфор-
мулировали выше глобальный результат, относящийся, в том числе, и к замк-
нутым двумерным поверхностям. Глобальность этого варианта теоремы Дини
заключается в том, что формула для квадратичного интеграла F однозначно и
канонически выписывается в целом, то есть сразу на всей двумерной поверх-
ности М. Это позволяет сформулировать несколько интересных следствий из
глобальной теоремы Дини.
Следствие. Не существует нетривиально геодезически эквивалентных римано-
вых метрик на двумерных замкнутых поверхностях рода, большего единицы (т. е.
отличных от сферы, проективной плоскости, тора, бутылки Клейна).
Доказательство следует из теоремы Дини и того факта, что на поверхностях
рода большего, чем единица, не существует квадратично интегрируемых рима-
новых метрик (см. главу 2 тома II).
Отметим, что на двумерных поверхностях (в том числе рода, большего еди-
ницы) существуют локально лиувиллевы метрики с неинтегрируемыми геодези-
ческими потоками. Под локальной лиувиллевостью мы понимаем существование
локальных лиувиллевых координат в окрестности каждой точки поверхности.
Из локальной лиувиллевости следует, что в окрестности каждой точки геодези-
ческий поток обладает квадратичным интегралом. Однако эти интегралы могут
не сшиваться в глобальный квадратичный интеграл. Примером могут служить
метрики постоянной отрицательной кривизны на сферах с ручками, являющие-
ся локально лиувиллевыми, но неинтегрируемыми по Лиувиллю. Таким образом,
сформулированное выше следствие вытекает лишь из глобального варианта тео-
ремы Дини.
Вторая часть глобальной теоремы Дини позволяет построить примеры не-
тривиально геодезически эквивалентных метрик на сфере и на торе. Более того,
все такие метрики можно классифицировать, используя единственность квад-
ратичного интеграла F. Единственным исключением будет метрика постоянной
кривизны на сфере, для которой существуют два независимых квадратичных
интеграла. В этом случае справедливо следующее утверждение.
Следствие. Любая риманова метрика, нетривиально геодезически эквивалент-
ная метрике постоянной кривизны, сама является метрикой постоянной кри-
визны.
Замечание. На первый взгляд кажется, будто мы получаем возможность построения
множества новых метрик, геодезически эквивалентных исходной метрике G, последо-
вательно применяя к ней теорему Дини. Однако в действительности отображение Дини
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
323
G —> G является в некотором смысле инволюцией. Грубо говоря, после второй итерации
мы вернемся к исходной метрике G. При этом, конечно, нужно брать (при построении
отображения G —> G) тот самый квадратичный интеграл F, который фигурирует в
теореме 6.13. Более точно, получающееся семейство геодезически эквивалентных мет-
рик вида G является однопараметрическим, т. е. гомеоморфно интервалу. При помощи
теоремы Дини, выбирая подходящим образом квадратичный интеграл F, мы можем
перепрыгнуть (при помощи отображения G —> G) из любой точки этого интервала в
любую другую.
6.7. Обобщенный принцип Мопертюи—Дини
Как мы уже видели, имеются две известные теоремы, позволяющие строить
примеры траекторно эквивалентных гамильтоновых систем. Первая теорема —
это принцип Мопертюи, утверждающий, что натуральная система, ограниченная
на свою изоэнергетическую поверхность, траекторно эквивалентна геодезичес-
кому потоку некоторой метрики, которая явно указывается. Отметим, что здесь
траекторная эквивалентность имеет более сильный смысл, т. е. согласована с
проекцией на базу.
Второе утверждение — это теорема Дини, утверждающая, что на двумерных
поверхностях геодезический поток имеет нетривиальный квадратичный интег-
рал тогда и только тогда, когда существует другая метрика с теми же самыми
геодезическими. Причем по каждой такой метрике строится однозначно квадра-
тичный интеграл и по каждому квадратичному интегралу однозначно строится
метрика с теми же геодезическими. Отметим, что геодезическая эквивалент-
ность влечет за собой траекторную эквивалентность на изоэнергетических по-
верхностях.
Мы сформулируем сейчас некоторое общее утверждение, обобщающее и объ-
единяющее обе теоремы (в случае размерности два). В качестве его следствия
можно получить теорему Кноррера об эквивалентности задач Неймана и Яко-
би [321] и ее обобщение, полученное А. П. Веселовым [385].
Ниже мы будем использовать для квадратичного интеграла F обозначе-
ние F = В — U, где В — часть интеграла, квадратичная по импульсам, a U —
гладкая функция на базе М, не зависящая от импульсов р.
Теорема 6.14. Пусть на двумерном многообразии М дана натуральная система
с гамильтонианом Н = К —V, где К — кинетическая, а (—V) — потенциальная
энергия системы (знак «минус» взят для удобства). Пусть F — квадратичный
по импульсам интеграл системы, имеющий вид F = В — U, где В — положи-
тельно определенная форма (по импульсам), а функция U всюду положительна на
базе М. (Этих условий всегда можно добиться, взяв подходящую линейную комби-
нацию с гамильтонианом Н). Рассмотрим ограничение исходной гамильтоновой
системы на инвариантный трехмерный уровень Q = (F = 0) интеграла F. Тог-
да на уровне Q эта система гладко траекторно эквивалентна геодезическому
потоку с гамильтонианом
тт = det В2 КВ^К
det Jl2 ’ U ’
324
Глава б
При этом траекторная эквивалентность указанных систем имеет место в
сильном смысле, т. е. коммутирует с естественной проекцией на базу. Это
означает, что геодезические этой метрики и траектории исходной натураль-
ной системы на М просто совпадают.
Комментарий. Таким образом, для конструирования траекторно эквивалентных
гамильтоновых систем можно ограничивать гамильтонову систему не только на
уровень гамильтониана Н = const (как в классическом принципе Мопертюи), но
и на любой уровень любого квадратичного интеграла F = 0.
Следствие. Частным случаем теоремы 6.14 является классический принцип
Мопертюи.
Доказательство.
Нужно рассмотреть в качестве квадратичного интеграла функцию F =
= Н — До, и применить формулу из теоремы 6.14.
Следствие. Частным случаем теоремы 6.14 является вторая часть теоремы
Дини (о построении нетривиально геодезически эквивалентных метрик по задан-
ному квадратичному интегралу римановой метрики).
Доказательство.
В случае геодезических потоков потенциал V натуральной системы отсут-
ствует, поэтому мы имеем Н = К и F = В. Ограничим систему, гамильтониан
и интеграл на уровень F — 1 = 0 и применим общую теорему 6.14. Получим
TJ = det В2 КВ~1К
det tf2 1 ’
Получившаяся формула совпадает с утверждением (б) глобальной теоремы Дини
(см. выше теорему 6.13).
Доказательство теоремы 6.13.
Будем использовать существование лиувиллевых координат для квадратич-
но интегрируемых натуральных систем на двумерных поверхностях. См. главу 2
тома II. Согласно теореме 6.2 настоящей главы существуют локальные коорди-
наты и, v такие, что в них Н и F записываются так:
F = gP2u ~ fPv gZ-fW
f+g f+g
Подсчитаем в этих координатах Н. Ясно, что
в = gpj - fp2v к = р! +Pv v = gz-fw
f+g ’ f+g ’ f+g '
Подставляя в формулу для Н, получаем:
= - fp2u + gPv
Zf^-Wg-1’
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
325
Из условия положительной определенности интеграла F (см. выше) легко усмот-
реть, что f < 0 и Z/-1 — Wg-1 > 0. Итак, вид Н оказывается почти лиувилле-
вым. Для этого случая в главе 2 тома II мы уже выписали уравнения геодези-
ческих. В результате получится следующее.
/du + I dv _ с
V-Z-af J V-W - ag
С другой стороны, пользуясь предложением 6.1 настоящей главы, мы можем
написать уравнения траекторий исходной натуральной системы на уровне F = 0.
Получится следующее:
f du ± f dv = с
J y/-z + д/ J v-w + hg
В обоих полученных уравнениях а и h служат параметрами. Полагая h = —а,
мы, очевидно, можем отождествить два написанных выше уравнения траекто-
рий. Следовательно, траектории обеих систем совпадают, что и требовалось уста-
новить. Теорема доказана.
Комментарий. Очень интересный вопрос: каков многомерный аналог обобщен-
ного принципа Мопертюи-Дини?
6.8. Траекторная эквивалентность задачи Неймана и
задачи Якоби
Частным случаем теоремы 6.14 является утверждение о траекторной экви-
валентности задачи Неймана (движение точки по сфере в квадратичном потен-
циале) и задачи Якоби (геодезические на эллипсоиде). Сам факт траекторной
эквивалентности этих задач был обнаружен Кноррером [321]. Мы же получим
сейчас эту теорему Кноррера как прямое и несложное следствие обобщенного
принципа Мопертюи.
Рассмотрим движение точки по единичной сфере S2 = (x2 + у2 + z2 = 1)
в R3 в квадратичном потенциале (задача Неймана). Запишем эту систему в сфе-
ро-конических координатах z?i, р2, z/3, описанных нами в главе 4. Метрика на
стандартной 2-сфере в этих координатах р2; Уз имеет вид:
ds2 = ф(р2 - Уз)
dv2
Р{у2)
dv2
Р{уз)
где Р(у) = (« + у)(Ь + v)(c + р). А квадратичный потенциал
U = ах2 + by2 + cz2
запишется в сферо-конических координатах так:
U = а + b + с+ (i/2 + Уз)-
326
Глава б
Гамильтониан задачи Неймана имеет, таким образом, вид:
н=2 - +ь с
1'2 -V3
Видно, что в этих координатах переменные разделяются. Система Неймана
имеет квадратичный интеграл:
р ^зРЫР2 -^РЫРз „
г = 2----------------------г'г^'з-
г/2 - т'з
Этот интеграл удовлетворяет условиям теоремы 6.14 (обобщенного прин-
ципа Мопертюи). Поэтому траектории задачи Неймана, лежащие на уровне ин-
теграла F = 0, совпадают с геодезическими метрики G, гамильтониан которой
(т. е. ее геодезического потока) имеет вид:
~ l/2P(l/2)P2 - V3P{V3)P23
п — --------------------.
V<2 ~ ^3
Сама метрика G еще не является метрикой эллипсоида, однако они геоде-
зически эквивалентны. Чтобы в этом убедиться, применим теорему Дини, т. е.
построим по метрике G (с гамильтонианом Н) новую метрику G, ей геодезичес-
ки эквивалентную, и задаваемую формулой:
G = (detG)-2(detF)-2GFG.
Здесь в качестве дополнительного интеграла следует рассмотреть
Г = ^(-РШ + РШ-
Прямое вычисление метрики G дает следующий результат:
Л = М _ ( dvl dvj А
Оказывается, получившаяся метрика G является метрикой на эллипсоиде, в
чем легко убедиться, сделав замену
А2 = А3 = v2 Ч
В результате метрика приведется к виду:
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
327
Это — действительно метрика эллипсоида ах2 + by2 + cz2 = 1, записанная в
эллиптических координатах.
Фактически здесь было построено гладкое отображение эллипсоида на еди-
ничную сферу, при котором геодезические эллипсоида переходят в траектории
задачи Неймана на сфере: точка на эллипсоиде с эллиптическими координата-
ми Аг = г^"1, Аг = в точку на сфере со сферо-коническими координата-
ми г/2 = А^1, ^з = А2 \ Это отображение допускает естественную геометричес-
кую интерпретацию. Оно на самом деле просто является гауссовым отображени-
ем эллипсоида.
Теорема 6.15 (Кпбггег [321]). При гауссовом отображении эллипсоида его
геодезические переходят в траектории задачи Неймана на сфере. В частности,
задача Неймана (т. е. движение точки на стандартной сфере в квадратичном
потенциале) на нулевом уровне F = Q квадратичного интеграла F, указанного
выше, траекторно эквивалентна задаче Якоби (т. е. геодезическому потоку на
трехосном эллипсоиде).
Точно таким же образом можно доказать обобщение этой теоремы, получен-
ное А. П. Веселовым [385]. Он показал, что траектории обобщенной задачи Якоби
(движение точки по эллипсоиду в сферическом потенциале, см. следующий па-
раграф) при гауссовом отображении переходят в траектории задачи Неймана.
Более того, это отображение сохраняет слоение (ко)касательного пространства
на трехмерные поверхности уровня дополнительных интегралов.
6.9. Явный вид некоторых замечательных гамильтонианов
и их интегралов в разделяющихся переменных
Здесь мы в явном виде выпишем гамильтонианы и интегралы некоторых
известных интегрируемых систем в эллиптических и сферо-конических коорди-
натах. Это полезно для различного рода конкретных вычислений, в частности,
для явного интегрирования, поскольку переменные в этих координатах разделя-
ются.
Напомним, что через Ai, Аг, Аз мы обозначаем эллиптические, а через
Pi, V2, — сферо-конические координаты в R3. Они связаны с обычными де-
картовыми координатами х, у, z в R3 формулами, приведенными в главе 4.
Мы рассмотрим здесь следующие системы: геодезические потоки на сфере,
эллипсоиде, сфере Пуассона, систему Неймана, описывающую движение точки
по сфере в квадратичном потенциале U = ах2 + by2 + cz2, обобщенную задачу
Якоби, описывающую движение точки по эллипсоиду в сферическом потенци-
але U — х2 + у2 + z2, и, наконец, случай Клебша в динамике твердого тела в
идеальной жидкости (при нулевой постоянной площадей). Ниже мы приводим
список гамильтонианов и интегралов этих систем.
328
Глава б
1) Геодезический поток на стандартной сфере:
F = 2 (РЫр1 _ РЫр3\
^-1 _ р-1 ^2 г'з ) •
2) Геодезический поток на трехосном эллипсоиде (задача Якоби)
и = 2 (Р(.Ш _ Р(Аз)р|\
Л2 - Аз у Л2 Аз ) ’
р = 2 (Р^)Р2 _ -Р(Аз)#Л
А-1 А-1 \ А2 \2 I 1
Л3 “ Л2 \ Л2 Л3 /
3) Геодезический поток на сфере Пуассона (случай Эйлера).
тт = 2 (P(V2)P2 _ Р^РзХ
"2 "3
4) Движение точки по сфере в квадратичном потенциале (задача Неймана).
Н — у2 - ру + Р(^з)Рз) + гУ2 + ^3,
Г 2 ( РЫр1 РЫр32\
[~2pt]F = р-1 _ р-1 ~2--------РГ~ - ^3-
м3 М2 \ / 5
5) Движение точки по эллипсоиду в сферическом потенциале (обобщенная за-
дача Якоби).
Н =
F =
2
А2 — Аз
Р(А2)р2
А2
Р(Аз)р|\
Аз J
+ Аг + Аз,
2
Аз — А2
Р(А2)р2
Ai
Р(А3)рЛ
Ai )
А2 A3.
6) Случай Клебша (при нулевой постоянной площадей).
2
^З^ - "21
РЫр22
Р(^з)Р2
^3
- V2V3,
Р — р2 “L р3 (“Р^г^г + Р^з^з) + v2 + v3-
Во всех этих формулах Р(А) = (А + о,)(А + 6)(А + с).
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
329
Комментарий 1. Имеет место интересный факт. Гамильтониан Н и интеграл F
геодезического потока сферы Пуассона (см. пункт 3) в действительности полу-
чаются перестановкой местами гамильтониана Н и интеграла F геодезического
потока стандартной сферы (см. пункт 1). Это обстоятельство можно усмотреть
и без всяких формул, поскольку дополнительный интеграл случая Эйлера — это
на самом деле скалярный квадрат кинетического момента, т. е. по существу ев-
клидова метрика, ограниченная на сферу. В этом примере двойственными друг
другу оказываются две системы без потенциала. Одна из них — система на сфе-
ре. другая — на сфере Пуассона.
Комментарий 2. Аналогичной двойственностью связаны также пункты 4 и 6.
Другими словами, переставив местами гамильтониан Н и интеграл F задачи
Неймана (движение точки по сфере в квадратичном потенциале), мы сразу по-
лучим гамильтониан и интеграл случая Клебша (движение твердого тела в жид-
кости). Здесь двойственность связывает две системы с потенциалом. Причем на
тех же поверхностях, что и в двойственности (1)-(3). Первая система является
натуральной системой на обычной сфере, а вторая — натуральной системой на
сфере Пуассона. Некоторым объяснением обнаруженной двойственности может
служить то, что интегрируемых систем с простыми потенциалами на самом де-
ле сравнительно немного. И у задачи Клебша, и у задачи Неймана потенциалы
являются квадратичными функциями. Квадратичных интегрируемых потенци-
алов немного, по существу он один. Это и приводит к появлению двойственных
систем при перемене местами квадратичного гамильтониана Н и квадратичного
интеграла F.
Комментарий 3. Напомним, что под случаем Клебша понимается система урав-
нений Кирхгофа, описывающая движение тяжелого твердого тела в идеальной
несжимаемой жидкости. Эта система естественным образом записывается как
система уравнений на шестимерной алгебре Ли е(3) группы Е(3) движений ев-
клидова пространства. Однако, как мы видели выше, эту систему можно ограни-
чить на специальное четырехмерное подмногообразие , являющееся орбитой
коприсоединенного действия группы Е(3), и задаваемое в Ж6(г, s) двумя урав-
нениями:
П + »2 + Гз = i,
HS1 + Г2И2 + Г383 = 0.
В результате мы получим натуральную систему на сфере. Более точно — на
сфере Пуассона. Именно об этой системе и идет речь в теореме (под названием
случай Клебша).
Комментарий 4. Многое из сказанного выше справедливо и в многомерном слу-
чае, для многомерных аналогов перечисленных интегрируемых систем.
Комментарий 5. Сравнивая пункты 2 и 6, мы обнаруживаем, что, применив
принцип Мопертюи к случаю Клебша (пункт 6), мы получаем геодезический по-
ток на эллипсоиде (задачу Якоби, пункт 2). Сам по себе факт уже был известен,
однако здесь он сразу следует из явных формул для гамильтонианов этих двух
330
Глава б
сравниваемых задач. В этом — некоторое преимущество явных формул, выпи-
санных выше.
Комментарий 6. Приведенный выше список квадратично интегрируемых га-
мильтонианов в некотором смысле является естественным. Чтобы пояснить эту
мысль, рассмотрим следующую задачу: описать потенциалы U, которые дают
квадратично интегрируемые натуральные системы на сфере, эллипсоиде и на
сфере Пуассона. Этот вопрос обсуждался в целой серии работ, см., например,
[273], [85], [398], [399], [401]. В частности, в работе О. И. Богоявленского [398] та-
кие потенциала были описаны в том числе и для «-мерного случая. Фактичес-
ки в теореме 6.2 настоящей главы мы тоже получили ответ на него в случае
квадратично интегрируемых систем на двумерной поверхности. А именно, если
привести метрику к лиувиллеву виду (что всегда возможно в рассматриваемом
случае), то искомые потенциалы в лиувиллевых координатах и и v выглядят так:
г= ZH +W);
/(«) + g(v) ’
где f, g, Z, W — некоторые гладкие функции. В нашем случае потенциалы U
должны иметь вид:
_ z(i/2) - ТУЫ
L"= сфере -
„ _ Z(A2) - ТК(Лз)
^на эллипсоиде — \ т 5
А2 — Аз
тт _ гы - wы
^на сфере Пуассона — 11'
~ ^3
В этих формулах нужно следить лишь за тем, чтобы функции (потенциа-
лы) U были гладкими функциями на базе. Это условие — нетривиальное, по-
скольку эллиптические и сферо-конические координаты имеют, как известно,
особенности. Например, если функции Z и W являются полиномами, то они
должны быть связаны соотношением:
Z = -W.
Можно посмотреть, что получается для случая простых полиномов. В пер-
вых двух случаях теоремы первые нетривиальные потенциалы U получаются,
когда Z и W — полиномы второй степени. Тогда соответствующие потенциалы
в пунктах 1 и 2 теоремы примут вид:
сфере
на эллипсоиде
р2 — Р3
= ~-------— = г'г + ^з,
г/2 — г'з
Д2 - А| х
— т-------г- — А2 + Аз.
Л2 — Аз
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность
331
В результате мы получаем задачу Неймана и обобщенную задачу Якоби,
см. пункты 4 и 5.
Конечно, можно брать любой полином, не обязательно квадратичный. Тогда
потенциал U примет вид:
v = QM ~ <?(^з)
V'2 - г'з
Легко видеть, что потенциал U в этом случае является симметрическим
полиномом от i/2 и 1/3. Поэтому потенциал U может быть выражен как полином
от i'2+1'з и г'г^з- Полученная таким образом функция U будет гладкой на сфере,
поскольку
^2 + v-Л = аж2 + £ф2 + cz2 - (а + b + с),
, Гх2 У2 z2\
i/2i/3 = a.bc[ — + .
\ а о с )
Некоторым недостатком таких потенциалов (то есть отвечающих неквадра-
тичным полиномам) является то, что в декартовых координатах они становятся
неоднородными полиномами. Их степень будет по меньшей мере четыре. Поэто-
му задача Неймана в этой конструкции является простейшим случаем, самым
первым в этой цепочке потенциалов.
Точно так же дело обстоит и для эллипсоида. Нужно просто заменить в этих
рассуждениях сферо-конические координаты на эллиптические.
В качестве функций Z и ТУ не обязательно брать именно полиномы. Мож-
но, например (для случая эллипсоида), положить Z = Л-1, W = —Л-1. Тогда
получим:
jj _ А2 ~ -^3 1 _ _ 1
Л2 — Аз А2А3
что в декартовых координатах может быть записано в виде
Еще одно естественное семейство потенциалов можно получить, полагая
Z = cons) уу = _ const , Подставляя в выражение для потенциала, получим:
о + А а + А
__1_______1
тт _ f f + а Аз + а _____________const _ _ a const . X
Аг — A3 (А2 + а)(А3 + а) (а-Ь)(а-с) х2
Поскольку здесь const — произвольная константа, то, сделав переобозначе-
ния, мы получаем интегрируемый потенциал вида U = -^. Ясно, что аналогич-
х~
ным образом можно поступить и для двух других координат х и у. В результате
332
Глава б
мы получим семейство интегрируемых потенциалов на эллипсоиде, указанное
В. В. Козловым в [85], вида
u=<l+p_ + :L'
9 9 9
X У Z
Следует, впрочем, отметить, что этот потенциал имеет особенность на эл-
липсоиде.
Чтобы получить случай сферы, достаточно заменить во всех рассуждениях Л
на V. Получится, например, интегрируемый потенциал вида:
гл, 1 — гл, 1 1
U = ± ,
!/2 - !/3 - !/2l/3 ’
или в декартовых координатах
На сфере Пуассона интегрируемый потенциал U имеет следующий общий
вид:
тг _ Z(y2-) + Ж (1/3)
Ь'на сфере Пуассона — 1 1 *
yi ~
Самый простой случай получается, когда Z(i/) = — W(f) = и. Это приводит нас
к потенциалу
тт _ ^2 — г7з _
U — —------— — — г'гг’з-
А это и есть в точности случай Клебша. Как и выше, в качестве функций Z
и W можно брать не только полиномы, но и более сложные функции. Нужно
только (повторим) следить за гладкостью потенциала U.
Комментарий 7. Вводя в рассмотрение потенциалы типа А^-1А^1, мы обнаружи-
ваем некоторые новые интересные изоморфизмы типа двойственности. В самом
деле, добавив к гамильтониану Якоби Н потенциал — \ , получим новый га-
Аг Аз
мильтониан:
н = 2 (р(л2)Р2 _ -Р(Аз)р|А_______1
Аг — А3 у Аг A3 I АгА3
Отметим, что получившаяся система описывает движение точки по эллип-
соиду в поле сил с потенциалом
U =
Применяя теперь принцип Мопертюи, легко убедиться, что отсюда получа-
ется случай Эйлера (см. пункт 3).
Принцип Мопертюи и геодезическая эквивалентность 333
Следствие. Случай Эйлера траекторно эквивалентен натуральной системе (на
уровне энергии Н = 0), описывающей движение точки по эллипсоиду
с потенциалом
Глава 7
Эквивалентность случая Эйлера в динамике
твердого тела и задачи Якоби о геодезических на
эллипсоиде
7.1. Введение
Выше было рассказано о теории классификации интегрируемых гамильто-
новых систем с двумя степенями свободы с точностью до гомео- и диффеомор-
физмов, сохраняющих траектории. Вкратце полученные результаты можно сфор-
мулировать следующим образом. Пусть даны две интегрируемые по Лиувиллю
гамильтоновы системы с двумя степенями свободы щ и t>2, ограниченные на свои
неособые компактные изоэнергетические подмногообразия Qi и Q2- Предполага-
ется, что эти системы удовлетворяют некоторым естественным ограничениям.
Мы не будем здесь приводить полный список таких ограничений, отсылая чита-
теля к точным формулировкам в томе 1 и ограничившись замечанием, что подав-
ляющее большинство известных сегодня интегрируемых гамильтоновых систем
этим ограничениям удовлетворяет. В работах [24], [33] были описаны полные
наборы инвариантов, позволяющие сравнивать динамические системы (щ, Qi)
и ('Г2, Q2) с точки зрения их траекторной эквивалентности, т. е. давать ответ на
вопрос, существует ли гомеоморфизм (диффеоморфизм) Qi —> Q2, переводя-
щий траектории первой системы в траектории второй с сохранением их естест-
венной ориентации.
После построения общей теории классификации возник естественный во-
прос: насколько эффективно траекторные инварианты интегрируемых гамиль-
тоновых систем могут быть вычислены в конкретных задачах. Будет ли общая
теория реально работать, если мы действительно захотим сравнить две кон-
кретные системы и выяснить, эквивалентны ли они? В этой главе мы хотели
бы на конкретном примере продемонстрировать, что ответ на этот вопрос яв-
ляется положительным. Мы изложим результаты, полученные в [43], [37], [38].
Вычисления траекторных инвариантов для некоторых конкретных интегрируе-
мых систем см. также в [174], [147], [150].
Отметим, что существуют и другие методы, позволяющие находить изомор-
физмы между различными интегрируемыми системами. См., например, [230],
[229], [385], [321], [81], [21], [27]. Кроме того, в предыдущей главе мы тоже обсуж-
дали некоторые приемы построения траекторно эквивалентных интегрируемых
систем на базе принципа Мопертюи и его обобщений. Однако в настоящей главе
мы подойдем к поиску траекторных изоморфизмов совсем по-другому, а именно,
опираясь на описанную выше теорию инвариантов интегрируемых систем.
Мы рассмотрим здесь две знаменитые интегрируемые гамильтоновы систе-
мы: задачу Якоби о геодезических на эллипсоиде [225] и интегрируемый случай
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби 335
Эйлера в динамике твердого дела [282], [224]. В настоящей главе мы докажем
существование траекторного гомеоморфизма между этими двумя системами.
Затем, используя гладкие траекторные инварианты, мы покажем, что с глад-
кой точки зрения случай Эйлера и задача Якоби траекторно различны [43]. Ока-
зывается, имеется гладкий инвариант, который для рассматриваемых систем
различен.
Прежде чем переходить к точным формулировкам, мы напомним вкратце
природу траекторных инвариантов на примере этих двух классических задач.
7.2. Задача Якоби о геодезических на эллипсоиде и случай
Эйлера в динамике твердого тела
Рассмотрим эллипсоид X в трехмерном евклидовом пространстве, задавае-
мый уравнением
где а < b < с.
Геодезический поток на эллипсоиде — это гамильтонова система на кокаса-
тельном расслоении Т*Х со стандартной симплектической структурой, задава-
емая гамильтонианом
H(q, р) = = ||Р|2;
где gij(q) — индуцированная риманова метрика на X, (q. р) € Т*Х, q € X,
р G Т*Х. Изоэнергетическая поверхность Q3 = [2Н = |р|2 = 1} в этом случае
является 5'1-расслоением над X (расслоением единичных ковекторов). Геодези-
ческий поток на эллипсоиде допускает дополнительный первый интеграл
Здесь (х, у, i) — касательный вектор к геодезической (мы отождествляем ес-
тественным способом касательные и кокасательные векторы).
Вторая система (случай Эйлера) задается стандартными уравнениями Эйле-
ра-Пуассона и описывает движение твердого тела, закрепленного в центре масс
= [АГ’ П]’
Здесь К = (si, 82, «з) — вектор кинетического момента тела, Q =
= (Asi, Bs2, Cs%) — вектор его угловой скорости, 7 = (п, Гг, гз) — единич-
ный вертикальный вектор (координаты этих векторов записаны в ортонормиро-
ванном базисе, жестко связанном с телом, оси которого совпадают с главными
осями инерции тела). Параметрами задачи служат обратные величины главных
336
Глава 7
моментов инерции твердого тела А, В, С, мы полагаем, что все они различны,
и А < В < С.
Хорошо известно, что эта система дифференциальных уравнений является
гамильтоновой в шестимерном пространстве Ж6(«1, 82, S3, fi, Г2, г3), рассматри-
ваемом как двойственное пространство алгебры Ли е(3) = so(3) + R3. Si € so(3),
€ Е3. Напомним, что пуассонова структура задается при этом следующими
формулами:
Sj} — {-S';, Гfj} — 0*
Гамильтониан системы имеет вид
Н = ^(As2 + Bs% + С^з).
Напомним, что эта система уравнений Эйлера-Пуассона всегда имеет два
дополнительных интеграла (функции Казимира пуассоновой структуры):
/о = Ы2 =r[ + rj + rl,
g = (К, 7) = Sin + S2r2 + s3r3.
Рассмотрим четырехмерное инвариантное подмногообразие М4 = {/0=1, g=0}
и ограничим на него рассматриваемую систему. Скобка Пуассона индуцирует
на М4 некоторую симплектическую структуру ш. Несложно показать, что полу-
чившееся симплектическое многообразие (М4, сд) симплектоморфно кокасатель-
ному расслоению к двумерной сфере.
Таким образом, при сделанных выше ограничениях рассматриваемые урав-
нения являются гамильтоновой системой с двумя степенями свободы на T*S2.
Эта система интегрируема по Лиувиллю при помощи дополнительного интеграла
fE = sr + s2 + s3.
Изоэнергетическая поверхность Q3 = {2Н = 1} в случае Эйлера топологи-
чески устроена точно так же, как и в задаче Якоби — это расслоение единичных
(ко)векторов над сферой.
В итоге обе системы (задачу Якоби и случай Эйлера) мы можем рассмат-
ривать как гамильтоновы системы на кокасательном расслоении к сфере. Более
того, случай Эйлера при сделанных выше ограничениях можно рассматривать
как геодезический поток некоторой специальной метрики на сфере. См. преды-
дущую главу 6. Сфера с этой метрикой обычно называется сферой Пуассона.
Сфера Пуассона и эллипсоид не изометричны.
Через vj(a, Ь, с) и vE(A, В, С) мы обозначим ограничения рассматриваемых
систем Якоби и Эйлера на их изоэнергетические поверхности Qj = {2Hj = 1}
и Qe = {2Не = 1} соответственно, где Hj и НЕ — гамильтонианы задачи Якоби
и случая Эйлера, указанные выше.
Замечание. Отметим, что в силу однородности гамильтонианов траекторное строение
систем не зависит от выбора уровня энергии. Другими словами, при изменении уровня
энергии каждая из систем остается траекторно эквивалентной исходной.
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби
337
Итак, мы имеем две динамические системы vj(a, Ь, с) и ^е(Л, В, С), опре-
деленные на диффеоморфных изоэнергетических трехмерных многообразиях.
Мы хотим теперь выяснить вопрос: насколько рассматриваемые системы по-
хожи, являются ли они траекторно эквивалентными? Если да, то топологически
или гладко?
7.3. Лиувиллевы слоения
Следуя общей схеме теории траекторной классификации интегрируемых га-
мильтоновых систем, если мы хотим выяснить, эквивалентны ли две заданные
системы, то исследование нужно начинать с изучения и сравнения их лиувилле-
вых слоений.
Каждая интегрируемая гамильтонова система определяет на симплектичес-
ком многообразии (и на изоэнергетической поверхности) структуру слоения с
особенностями. Если Н — гамильтониан системы, a f — первый интеграл, не-
зависимый с Н почти всюду, то в качестве слоя слоения Лиувилля мы рас-
сматриваем связные компоненты совместных поверхностей уровня функций f
и Я. В общем случае слоение Лиувилля может зависеть от выбора дополнитель-
ного интеграла. Однако для нерезонансных систем при выполнении некоторых
дополнительных условий типа невырожденности особенностей от выбора допол-
нительного интеграла на самом деле ничего не зависит, поскольку почти все слои
могут быть охарактеризованы как замыкания траекторий. Кроме того, слоение
Лиувилля можно определить и независимым от дополнительного интеграла обра-
зом. Например, так: скажем, что точки ж, у € М эквивалентны, если /(ж) = f(y)
для любого гладкого дополнительного интеграла / гамильтоновой системы. Яс-
но, что это действительно отношение эквивалентности. Тогда по определению
мы можем в качестве слоения Лиувилля на М взять его разбиения на классы
эквивалентности (слой — это класс эквивалентности).
Теорема 7.1. Слоения Лиувилля, задаваемые системами vj(а, Ъ, с) и ve(A,B,C)
на изоэнергетических поверхностях, диффеоморфны. Другими словами, задача
Якоби и случай Эйлера (с нулевой константой площадей) лиувиллево эквивалент-
ны.
Доказательство.
Для доказательства можно просто подсчитать меченые молекулы систем Эй-
лера и Якоби. Это было сделано выше. В том и в другом случае молекулы оди-
наковы и имеют вид, показанный на рис. 3.35а. Другой способ доказательства
состоит в построении явной деформации одной системы в другую, не меняю-
щей топологию слоения. Эта деформация уже была построена выше в главе 6,
параграфе 4, пункте 4.3.
Мы ограничимся тем, что явно опишем структуру слоения Лиувилля, по-
строив довольно простую его модель. Рассмотрим двумерную сферу № =
= {ж2 + у2 + z2 = 1} и расслоение единичных ковекторов над ней Q3 —> S2.
Рассмотрим на сфере гладкую функцию Д(ж, у, z) = ах2 + [Зу2 +yz2 (а < /3 < 7)
и поднимем эту функцию естественным образом на Q3, считая ее постоянной на
338
Глава 7
каждом слое. Функция h расслаивает Q3 на свои поверхности уровня. Обозна-
чим это слоение через Z\. Отметим, что топология этого слоения, очевидно, не
зависит от выбора метрики на сфере и от выбора а, [3, 7.
Легко видеть, что слоение состоит из четырех однопараметрических се-
мейств торов Лиувилля, четырех окружностей (на которые стягиваются торы
из семейств) и одного особого слоя вида К х S1, где К — граф, состоящий из
двух окружностей, пересекающихся трансверсально по двум точкам.
Мы утверждаем, что слоения Лиувилля систем vj(a, b, с) и ve(A, В, (7) изо-
морфны слоению £ь. Покажем это.
Рассмотрим сначала случай Эйлера. Здесь слоение задается функцией (до-
полнительным интегралом)
fE = S1+S2+ 83
на совместной поверхности уровня трех функций
/о - г2г + г2 + г3~ 1,
g = •4i/’i+.s2r2 + s3r3 = О,
2Я = As2 + Bs2 + Cs23 = 1.
Первые две функции задают многообразие, диффеоморфное (ко)касательному
расслоению к сфере, а третья (гамильтониан) выделяет в кокасательном рассло-
ении множество (ко)векторов единичной длины. Здесь 7 = (п, г2, г3) — точка
на сфере, К = (si, s2, S3) — (ко)касательный вектор в этой точке.
Сделаем теперь следующие простые замены. Идея состоит в том, чтобы по-
менять «координаты» и «импульсы» местами. Положим
X = vCisi, у = >/В82, Z = >/Cs3,
После такой замены функции перепишутся следующим образом.
2Н = х2 + у2 + z2 = 1,
g = хрх+уру + zpz = О,
/о = Ар2+Вр2 + Ср2 = 1.
Таким образом, мы можем интерпретировать в данном случае ту же самую
изоэнергетическую поверхность иначе, рассматривая ее как расслоение единич-
ных ковекторов над сферой {Н = X2 + У2 + Z2 = 1} (а не над сферой {/0 = 1}
как прежде). Дополнительный интеграл в результате может быть записан как
функция на базе
х2 у2 z2
=----1- -—I--
А В С”
что сразу приводит нас к описанной выше модели.
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби 339
Аналогичную конструкцию можно провести и для задачи Якоби, но мы по-
ступим несколько другим образом. Как мы уже отмечали выше, обе рассматри-
ваемые системы можно интерпретировать как геодезические потоки на сфере
для некоторых подходящих метрик. Мы показали в главе 6, что эти метрики
допускают очень простую деформацию друг в друга в классе интегрируемых
метрик. При этом слоение Лиувилля для каждой метрики из семейства будет не-
которым образом деформироваться без бифуркаций. В результате мы получаем
гладкую деформацию одного лиувиллева слоения в другое.
Итак, мы показали, что рассматриваемые системы имеют одинаковые слое-
ния Лиувилля и описали это слоение с помощью модельного примера. Ясно, что
это условие является необходимым для траекторной эквивалентности систем.
Однако мы пока ничего не можем сказать о том. как ведут себя траектории на
торах Лиувилля (т. е. слоях лиувиллева слоения). Следующий шаг — это иссле-
дование собственно траекторных инвариантов рассматриваемых систем.
7.4. Функции вращения
Основным траекторным инвариантом системы является функция вращения.
Напомним, что число вращения гамильтоновой системы на торе Лиувилля опре-
деляется следующим образом. Согласно теореме Лиувилля, на рассматриваемом
торе существует система координат ^2), в которой гамильтонова система
выпрямляется и записывается в виде
Числом вращения на данном торе называется отношение р = Число враще-
ния зависит от тора Лиувилля. На изоэнергетической поверхности торы обра-
зуют однопараметрические семейства, параметром которых служит, например,
дополнительный интеграл /. В результате на каждом из однопараметрических
семейств торов возникает функция вращения p(f).
По существу, функция вращения является основным траекторным инвари-
антом системы. Однако следует обратить внимание на то обстоятельство, что
функция вращения зависит, во-первых, от выбора базиса на торе Лиувилля и,
во-вторых, от выбора дополнительного интеграла системы.
Зависимость от выбора базиса на торе Лиувилля легко преодолеть, если для
сравниваемых систем выбирать базисные циклы на торах из лиувиллева слоения
одинаковым образом (мы уже пользуемся тем фактом, что слоения изоморфны).
Например, для рассматриваемого слоения Лиувилля (смотри выше модельный
пример) можно сформулировать следующее простое правило выбора базисных
циклов.
Напомним, что изоэнергетическая поверхность имеет структуру /^-расслое-
ния, каждый слой которого лежит на некотором торе Лиувилля. Легко видеть,
340
Глава 7
что с точностью до изотопии эта структура ^-расслоения определена однознач-
но. Поэтому в качестве первого однозначно определенного базисного цикла мы
можем взять слой А этого расслоения.
Далее рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство торов Лиу-
вилля. Торы из этого семейства стягиваются на особый слой (устойчивую пери-
одическую траекторию). Поэтому на торах из семейства однозначно определен
исчезающий цикл д, который превращается в точку при стягивании торов на
особый слой. Возьмем этот цикл в качестве второго базисного цикла.
Итак, мы определили некоторым каноническим образом базисы на торах
Лиувилля. Теперь, когда базисы фиксированы, можно выписать явные формулы
для функций вращения.
В качестве параметра t на семействе лиувиллевых торов в задаче Якоби мы
рассмотрим значение интеграла fj, а в случае Эйлера за аналогичный параметр т
примем обратную величину дополнительного интеграла /е, т.е. т = (/в)-1. Не-
сложно проверить, что параметры t и т меняются в интервалах [а, 6] и [Л, В]
соответственно. При этом значения а, Ь, с и А, В, С являются бифуркационны-
ми, в этих точках происходят перестройки лиувиллевых торов. Любое другое
значение из указанных интервалов соответствует паре регулярных торов, на ко-
торых числа вращения совпадают в силу имеющейся естественной симметрии.
Мы воспользуемся уже вычисленными выше функциями вращения. Правда,
ранее мы подсчитали их в другом базисе на торах Лиувилля. Чтобы получить их
выражение в нужном нам сейчас базисе, потребуется найти матрицу перехода
от старого базиса к новому. Старый базис был связан с эллиптическими коор-
динатами Аг, Аз на эллипсоиде и имел вид {Аг = const} и {Аз = const}. Легко
проверяется, что на верхних ребрах молекулы W (т.е. при t Е (&, с)) старые и
новые базисные циклы связаны соотношением:
А = {Аг = const} + {Аз = const},
д = {Аг = const}.
На нижних ребрах молекулы (т.е. при t Е (а,Ь\) имеет место аналогичные
соотношения, но Аг и А3 нужно поменять местами:
А = {Аг = const} + {А3 = const},
д = {Аз = const}.
Используя эти соотношения и формулы для функции вращения в старом
базисе (глава 3, параграф 3, пункт 3.1), мы получаем формулы для нее в новом
базисе.
Предложение 7.1. Функция вращения задачи Якоби, записанная в базисе (A, pt),
имеет следующий вид-.
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби
341
1) при a <t <Ь
pj(t) =
— а
Ф(-и, i) du
-t
4-эо
У Ф(ы, i) du
о
2) при b < t < с
—i
У Ф(«, t) du
У Ф(«, i) du
о
Ф(ы, t) =
где _________________________
____________и____________
(и + а) (и + Ь) (и + с) (и + t)'
Комментарий. При доказательстве этих формул следует использовать следую-
щие хорошо известные формулы из теории гиперэллиптических интегралов:
-t — а +оо
У Ф(«, t) du = У Ф(«, t) du + У Ф(п, t) du, если t е (Ь, с),
-с — b 0
—b — а + оо
У Ф(«, t) du = У Ф(-и, t) du + У Ф(-и, t) du, если t е {а, &).
— с -t 0
Аналогичные формулы для функции вращения можно выписать и в случае
Эйлера. См. также [171], [14], [82]. Все рассуждения и формулы перехода от ста-
рого базиса к новому совершенно аналогичны.
Предложение 7.2. Функция вращения случая Эйлера, записанная в базисе
(A, ju), имеет следующий вид
1) при В < т < С
с
Ре(т) = У Ф(«, т) du,
2) при А < т < В
Ре(т) = | У Ф(и, r)du,
А
342 Глава 7
где
Ф(«, г) = z и
у/(т - и)(С — и)(В — и)(и — А)
Итак, мы выписали явные формулы для функций вращения в соответству-
ющих базисах. Они, как мы видим, не совпадают. Но их совпадения и не сле-
довало ожидать, поскольку параметры t и т на однопараметрических семейст-
вах торов Лиувилля были выбраны совершенно независимым образом. Необхо-
димым условием траекторной эквивалентности систем является, как легко ви-
деть, не совпадение функций вращения, а их сопряженность. Другими словами,
должна существовать монотонная (строго возрастающая) замена t = £(т) такая,
что pj(t(r)) = Ре{т) на каждом из четырех однопараметрических семейств то-
ров. Если нас интересует непрерывная траекторная эквивалентность, то замена
должна быть непрерывным отображением отрезка [А, С] в отрезок [а, с]. В глад-
ком случае эта замена должна быть гладкой.
Оказывается, в непрерывном случае для подходящим образом подобранных
параметров (А, В, С) и (а, Ь, с) такая замена существует.
Для того, чтобы это показать, нам будет достаточно исследовать пределы
изменения этих функций и их монотонность.
Введем следующие обозначения
fc(a, 6, с) = limpj(t),
t—>a
l (a, b, с) — limpj(t),
K(A, В, С) = Jim,pE(г),
L(A, В, C) = lim pe(t).
Легко проверяется, что явные формулы для введенных выше функций вы-
глядят так:
V (Ь — а)(с — а)
Ъ, с) =--------------,
У Ф(«, a) du
О
у(с-а)(с-&)
Ца, Ь, с) =---------------,
У Ф(«, с) du
О
К (А, В, С) = , А = ,
у/(В — А)(С — А)
ЦА, В, С) =---- С —
у/(С — А)(С — В)
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби
343
Качественное поведение функций вращения описывается следующим утверж-
дением.
Предложение 7.3.
1) Функция вращения Ре(т) строго возрастает на интервалах (Л, В) и (В, С);
2) Функция вращения pj(t) строго возрастает на интервалах (а, 6) и (Ь, с);
3)
JjF±OWW=J?:b>W<t) = :F"'
Первый пункт теоремы легко проверяется непосредственным дифференци-
рованием функции вращения. Второй пункт теоремы сложнее, хотя идея до-
казательства та же самая: продифференцировать функцию и доказать положи-
тельность ее производной. Строгое доказательство этого факта содержится в
статье [38]. Третье утверждение теоремы легко следует из явных формул для
функций вращения. Кроме того, стремление функции вращения к бесконечности
при подходе к седловому атому — это вообще общий факт (если базис выбран
правильно).
Таким образом качественное поведение функций вращения в задаче Яко-
би и случае Эйлера совершенно одинаково. Ясно, что для монотонных функ-
ций единственным условием непрерывной сопряженности является совпадение
их пределов на концах тех интервалов, на которых они определены. Поэтому
необходимым и достаточным условием непрерывной сопряженности функций
вращения pj и рц являются два равенства
Ца, 6, с) = £(Л, В, С),
к(а, Ь, с) = К(А, В, С).
Как следует из общей теории топологической траекторной классификации интег-
рируемых систем [33], кроме двух указанных инвариантов (т.е. двух пределов
функций вращения) в данном случае есть еще только один инвариант, а именно,
инвариант Л. Однако в обоих случаях (Эйлера и Якоби) это инвариант тривиа-
лен, т. е. Л = (1 : 1). Дело в том, что в молекуле W здесь имеется только один
седловой атом, и это — атом С->. У этих систем есть симметрия, переставляющая
вершины атома С'з, и поэтому значения Л-инварианта на вершинах совпадают.
Фактически мы вычислили полный траекторный инвариант для каждой из
систем Эйлера и Якоби, т.е. t-молекулу. Напомним, что t-молекула получается
из обычной меченой молекулы W* добавлением векторов вращения на всех ее
ребрах и Л-инвариантов для атомов. Никаких других траекторных инвариантов
в случаях систем Эйлера и Якоби нет.
Теорема 7.2. Явный вид t-молекул для систем Эйлера и Якоби представлен на
рис. 7.1.
Таким образом, для доказательства эквивалентности случая Эйлера и задачи
Якоби нам достаточно подобрать тройки параметров (а, Ь, с) и (А, В, С), для
которых справедливы выписанные выше равенства.
344
Глава 7
а) Задача Якоби
Ь) Случай Эйлера
Рис. 7.1
7.5. Основная теорема
Сформулируем общую идею, позволяющую устанавливать существование
изоморфизмов между разными классами систем с использованием теории инва-
риантов, и применим ее в рассматриваемом случае. Пусть имеется два клас-
са систем {?;} и {ч/}, каждый из которых зависит от некоторых парамет-
ров (®i, ... , х/с) ё U и (Xi, Х2, , Xi) е W. Предположим, что рассматри-
ваемые системы имеют один и тот же топологический тип, так что нам нужно
сравнивать только конечное число инвариантов, непрерывно зависящих от пара-
метров системы. Обозначим через Т пространство этих инвариантов (т. е. мно-
жество, в котором они принимают свои значения). В результате мы получаем два
отображения ф-. U —> I и ф': W —> I, которые каждому набору параметров ста-
вят в соответствие значение инвариантов для соответствующей динамической
системы. В пространстве Т возникают два множества (две «поверхности») 0(Z/)
и ф'(Ц'У Точки их пересечения отвечают эквивалентным системам. С помощью
этой естественной и наглядной конструкции удобно также анализировать, каким
именно значениям инвариантов отвечают эквивалентные системы, и наоборот,
понимать, какие системы не эквивалентны.
Чтобы это сделать, рассмотрим отображения
(«, Ь, с) —> (fe(ft, b, с), 1(а,, Ь, с))еЖ2,
S: (А, В, С) -э (К(А, В, С), L(A, В, С1)) е R2,
сопоставляющие каждому эллипсоиду и каждому твердому телу пару траек-
торных инвариантов соответствующей гамильтоновой системы. Свойства этих
отображений и их образов «в пространстве инвариантов» для классов сис-
тем {oj(a, b, с)} и {ve(A, В, С)} оказались совершенно идентичными.
Предложение 7.4.
а) £(а, &, с) = £(а', b', d) тогда и только тогда, когда тройки чисел (а, Ь, с)
и (а', Ь', с') пропорциональны, т. е. соответствующие им эллипсоиды по-
добны.
б) S(A, В, С) = В', С') тогда и только тогда, когда тройки чи-
сел (А, В, С) и (Л', Bf, С) пропорциональны, т. е. эллипсоиды инерции со-
ответствующих твердых тел подобны.
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби 345
е) Образы отображений £ и Н совпадают и имеют на двумерной плоскос-
ти К2 (х, у) вид {х > 0, у < —1}.
Перечисленные утверждения следуют из явного вида формул путем прямого
подсчета. Для случая Эйлера они доказаны в [37], а для случая Якоби в [148].
Из утверждения немедленно вытекает следующее важное утверждение.
Теорема 7.3. Задача Якоби (геодезический поток эллипсоида) и случай Эйлера
(в динамике твердого тела) непрерывно траекторно эквивалентны в следующем
точном смысле. Для каждого твердого тела существует и притом единствен-
ный с точностью до пропорциональности эллипсоид такой, что соответствую-
щие системы vj(a, b, с) и Ve(A~ В, С) непрерывно траекторно эквивалентны и
наоборот.
7.6. Гладкие инварианты
В заключение мы обсудим вопрос о гладкой траекторной эквивалентнос-
ти задачи Якоби и случая Эйлера. Для ответа на него можно воспользоваться
гладкой траекторной классификацией интегрируемых гамильтоновых систем с
двумя степенями свободы [24]. Согласно [24], гладкие траекторные инварианты
представляют собой некоторые степенные ряды, что связано с необходимостью
сшивать производные всех порядков. Поскольку мы на самом деле хотим дока-
зать гладкую неэквивалентность рассматриваемых систем, то нам естественно
начать с исследования первых членов этих рядов, чтобы найти хотя бы один
инвариант, который их различает.
Для этого нам достаточно будет снова рассмотреть функции вращения. На
этот раз мы рассмотрим их асимптотическое поведение при t —> b, т —> В,
т.е. при подходе к седловому критическому уровню дополнительного интегра-
ла. В случае Эйлера и задаче Якоби этот уровень топологически представляет
собой прямое произведение К х S1, где S1 — окружность, а К — плоский граф,
представляющий собой две окружности, пересекающиеся по двум точкам. Этот
особый уровень содержит две гиперболические траектории гамильтоновой сис-
темы {ж1} х S1 и {ж2} х S1, где Xi и ж2 — вершины графа К.
Мы начнем со следующего общего замечания. Пусть p(t) функция вращения
некоторой интегрируемой гамильтоновой системы на однопараметрическом се-
мействе T2(t) торов Лиувилля, соответствующая фиксированной паре базисных
циклов (A, ju). Здесь t — параметр семейства. Пусть to — для данного семейст-
ва торов является бифуркационным значением параметра, т.е. при t —> to то-
ры T2(t) стремятся к некоторому особому слою. Предположим, что этот слой со-
держит замкнутые гиперболические траектории системы, и рассмотрим асимп-
тотику функции p(t) при t —> to-
Предложение 7.5. Пусть первый базисный цикл А изотопен гиперболической
траектории, лежащей на особом слое. Тогда при t to
p(t) = A In |t - t01 + q(t),
346
Глава 7
где q(t) — функция, непрерывная в точке to- При этом коэффициент Л перед
логарифмом равен сумме обратных величин мультипликаторов гиперболических
траекторий, лежащих на особом слое и принадлежащих замыканию семейства
торов.
Из этого утверждения следует, что коэффициент Л является гладким тра-
екторным инвариантом системы (даже в смысле С11-гладкости), поскольку тако-
выми являются мультипликаторы гиперболических траекторий.
Этот факт, впрочем, легко следует из условия гладкой сопряженности функ-
ций вращения.
Действительно, если мы делаем гладкую замену
t = t(r) = to + ад(т — то) + ах(т — то)I 2 * * * * * + ... = to + (т — то)^(т),
где g(r) — некоторая гладкая функция, g(ro) 0, t(ro) = to, то
p(t(T)) =Л1п|(т-т0)£(т)| + g(t(r)) =Л1п|т-то| + д(т),
где q(t) непрерывна в точке то.
Итак, коэффициент Л перед логарифмом в асимптотике функции вращения
при подходе тора к особому слою, содержащему гиперболические траектории,
является гладким траекторным инвариантом гамильтоновой системы. Для слу-
чая Эйлера и задачи Якоби мы обозначим этот инвариант через М{А, В,С)
и т(а, Ь, с) соответственно.
Зная явный вид функций вращения, мы можем легко вычислить эти числа,
используя следующее вспомогательное утверждение.
6
Лемма 7.1. Пусть f(t) = [ — . г$е f > &. Тогда при t, стремящем-
J у/(и — Ь)(и — t)
ся к Ъ, справедливо следующее представление:
/(*) = -g(0 In |t - b\ + c(t),
где c(t) непрерывна в точке t = b.
Из этой леммы мы сразу получаем следующие явные формулы.
М(А. В, С) = , В
7Г^(С-В)(В-А)
I ъ
у (с — &)(& — а)
т(а, Ь, с) =---—----------.
У Ф(ы, &) du
о
Добавим теперь к уже изученным выше инвариантам еще один новый ин-
вариант и рассмотрим две двумерные поверхности в трехмерном пространст-
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби
347
ве R3 (ж, у, z), которое мы интерпретируем как пространство значений инвари-
антов:
Г х = К{А, В, С) ' х = k{a, b, с) '
£ = J у = L{A, В, С) у = 1{а, Ь, с)
( z = М{А, В, C)j z = т{а, Ь, с)
Эти поверхности являются образами отображений пространств параметров
в пространство инвариантов. Мы говорим здесь о поверхностях, пользуясь тем
легко видимым обстоятельством, что системы, отвечающие пропорциональным
тройкам параметров, гладко траекторно эквиваленты и поэтому отображаются
в одну и ту же точку в пространстве инвариантов.
Зная взаимное расположение этих поверхностей, мы можем сделать некото-
рые выводы.
Если поверхности вообще не пересекаются, то заведомо не существует ни
одной пары {твердое тело, эллипсоид), для которой соответствующие динамичес-
кие системы были бы гладко эквивалентны (даже в смысле С'1-гладкости). Если
поверхности совпадают, то это служит веским аргументом в пользу возможной
гладкой эквивалентности рассматриваемых систем, поскольку такое совпадение
вряд ли может быть случайным. Разумеется, исследование должно было бы быть
в этом случае продолжено: мы должны были бы сравнить все остальные гладкие
инварианты.
Рис. 7.2. Случай Эйлера.
Рис. 7.3. Задача Якоби.
Если поверхности пересекаются по какой-нибудь кривой, то это означает,
что рассматриваемые системы, как правило, гладко не эквивалентны. Но сущест-
вуют некоторые исключительные пары {твердое тело, эллипсоид), для которых
происходит совпадение по крайней мере трех инвариантов. На самом деле мы
должны были бы затем сравнить для этих исключительных пар все остальные
гладкие инварианты. Впрочем, в такой ситуации было бы естественно перейти
к изучению вопроса о С11-эквивалентности. Можно показать, что помимо опи-
санных выше трех инвариантов имеется еще ровно один С'1-инвариант. Для пол-
ного ответа на этот вопрос нам было бы достаточно проанализировать взаимное
расположение двух двумерных поверхностей в четырехмерном пространстве ин-
вариантов. Их точки пересечения соответствовали бы парам С11-эквивалентных
систем. Такова возможная общая схема анализа, которая может быть примене-
348
Глава 7
на и в других ситуациях. В рассматриваемом нами случае ввиду достаточной
сложности явных формул мы провели компьютерное исследование задачи.
На рис. 7.2 и рис. 7.3 изображены поверхности 8 (случай Эйлера) и J (задача
Якоби). Как мы видим, качественное поведение этих поверхностей очень похоже.
Обе они являются графиками некоторых функций z = z^{x, у) и z = zj(x. у).
Это сразу следует из предложения 7.4.
На рис. 7.4 изображена поверхность вида
Z = ZS(x, у) -Zj(x, у),
которая показывает различие между случаями Эйлера и Якоби. Более точно,
эта поверхность показывает различие между третьими инвариантами М и т
при условии, что первые два инварианта совпадают, т. е. К (А, В, С) = к(а, Ь, с)
и IAA, В, С) = 1(а. Ъ, с).
Таким образом, численное исследование
показывает, что поверхности £ (случай Эй-
лера) и J (задача Якоби) не пересекаются:
разность г£(ж, у} — zj(x. у) всегда остается
отрицательной, асимптотически приближаясь
к нулю при уходе поверхностей на бесконеч-
ность.
Разумеется, этот способ является лишь
численным экспериментом, на основании ко-
Рис. 7.4. Различие между случаем торого нельзя сформулировать полученный
Эйлера и случаем Якоби. результат в виде строго доказанной теоремы
(возможно, поверхности пересекаются где-то
вдалеке). Однако заведомо строгим результатом является то, что эти две по-
верхности не совпадают. Это в точности означает, что непрерывно траекторно
эквивалентные пары (твердое тело, эллипсоид), как правило, гладко эквивалент-
ными не являются (даже в смысле С11-эквивалентности).
Впрочем, по нашему мнению, проведенный численный анализ позволя-
ет с уверенностью говорить о том, что гладко эквивалентных пар t)j(a, 6, с)
и Ve(A, В, С) на самом деле все-таки не существует.
7.7. Топологическая несопряженность задачи Якоби и
случая Эйлера
По поводу эквивалентности задач Эйлера и Якоби можно задать еще один во-
прос: будут ли они при каких-нибудь значениях своих параметров топологически
сопряжены? Другими словами, существует ли гомеоморфизм между изоэнерге-
тическими поверхностями, переводящий гамильтонов поток в гамильтонов по-
ток (с сохранением времени вдоль траекторий)? Отрицательный ответ на этот
вопрос был получен О. Е. Орел [152], [153].
Прежде всего поясним, что задача Эйлера и задача Якоби с точки зрения со-
пряженности являются трехпараметрическими. Выше, когда мы говорили о тра-
Эквивалентность случая Эйлера и задачи Якоби
349
екторной эквивалентности, параметров было по существу два, поскольку трой-
ки (Л, В, С) и (а, Ь, с) следовало рассматривать с точностью до пропорциональ-
ности — при гомотетии траекторный тип системы не менялся. Теперь же абсо-
лютные величины полуосей эллипсоида и главных моментов инерции твердого
тела являются существенными. Отметим, что в случае а, = b = с эллипсоид пре-
вращается в сферу. Аналогично, при А = В = С система Эйлера описывает дина-
мику твердого однородного шара. Легко видеть, что в этом случае обе системы
просто совпадают, и мы исключим этот тривиальный случай из рассмотрения.
Теорема 7.4. Геодезический поток любого эллипсоида (отличного от сферы),
ограниченный на любое трехмерное многообразие постоянной энергии, топологи-
чески не сопряжен никакой системе случая Эйлера. Другими словами, ни при
каких значениях параметров а, Ь, с и А, В, С (за исключением а = Ъ = с
и А = В = С) системы Vj(a, b, с) и Ve(A, В, С) топологически не сопряжены.
Доказательство.
Для доказательства нужно снова подсчитать и сравнить некоторые инвари-
анты исследуемых динамических систем.
Как было показано выше, топологический орбитальный тип интегрируемой
системы в данном случае полностью определяется двумя инвариантами к(а, Ъ, с)
и 1(а, Ь, с) для задачи Якоби и соответственно инвариантами К (А, В, С)
и L(A, В, С) для задачи Эйлера. Эти инварианты имеют естественный смысл.
Дело в том, что каждая из сравниваемых нами динамических систем имеет по
две периодические устойчивые траектории. Инварианты к и I являются преде-
лами чисел вращения динамической системы при стремлении торов Лиувилля к
этим траекториям (в пределе тор вырождается и превращается в окружность). В
задаче Якоби эти периодические траектории отвечают двум замкнутым устой-
чивым геодезическим, являющимися экваториальными плоскими сечениями эл-
липсоида в направлениях, перпендикулярных его наибольшей и наименьшей по-
луосям. А в случае задачи Эйлера аналогичные периодические траектории отве-
чают вращениям твердого тела вокруг его максимальной и минимальной осей
инерции. Здесь соответствующие пределы чисел вращения дают нам инвариан-
ты К и L.
Отметим, что инварианты к, I и К, L являются функциями от парамет-
ров а, 6, с и А, В, С соответственно. Условия, необходимые и достаточные для
траекторной топологической эквивалентности рассматриваемых систем, имеют
при этом вид
к(а, Ь, с) = К(А, В, С) и l(a, Ь, с) = L(A, В, С).
Но поскольку сейчас нас интересует проблема сравнения этих двух систем
с точки зрения их сопряженности, следует добавить к двум упомянутым выше
инвариантам по крайней мере еще три новых инварианта. Таковыми являются
периоды трех замкнутых особых траекторий. Две из них были описаны выше.
Нужно добавить к ним еще одну периодическую неустойчивую траекторию —
гиперболическую геодезическую на эллипсоиде и соответственно неустойчивое
вращение твердого тела вокруг средней оси инерции. Обозначим эти три допол-
нительные инварианта через Т, t2, t;> для задачи Якоби и через Zi, Т2. Тз для
350
Глава 7
задачи Эйлера. В результате топологический класс сопряженности системы Яко-
би определяется набором инвариантов, заведомо включающих в себя следующие
пять чисел:
fc, I, t±, t2, t3,
а для системы Эйлера соответственно:
К, L, Ti, Т2, Т3.
Полезно привести явные выражения для периодов замкнутых траекторий в
задачах Эйлера в Якоби. В задаче Якоби период замкнутой геодезической просто
равен ее длине. Поэтому для периодов в задаче Якоби получаем:
2тг
ti = У Va cos2 t + b sin2 t dt,
о
2тг
t2 = У Va cos2 t + c sin21 dt,
о
2?r
t3 = У Vb cos2 t + c sin21 dt.
о
В случае задачи Эйлера периоды движения по трем замкнутым траекториям
имеют такой вид:
Т± = тг х/ 26*, Т2 = тт\/'213, Т3 = тгх/ 2.4.
В обоих случаях мы предполагаем, что энергия II равна 1, т. е. что уровень
энергии для обоих задач фиксирован.
Поскольку задача Якоби является трехпараметрической, то, сопоставляя
каждому трехосному эллипсоиду указанные выше пять чисел, мы получим глад-
кое отображение трехмерного множества всех трехосных эллипсоидов в пяти-
мерное евклидово пространство. В результате получим некоторую 3-поверхность
в К5. Обозначим ее через J3. Поступая по той же схеме для случая Эйлера, мы
также получаем некоторую 3-поверхность Е3 в том же пятимерном пространст-
ве К5.
Чтобы доказать топологическую несопряженность задач Эйлера и Якоби,
достаточно убедиться, что эти две трехмерные поверхности не пересекаются
в R5 за исключением одной точки, отвечающей случаю а = Ь = сиА = В = С,
т. е. случаю стандартной 2-сферы. Этот факт может быть проверен аналитически
(см. [152], [153]).
Литература
[1] Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная
теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966.
[2] Андронов А. А., Понтрягин Л. С. Грубые системы. // ДАН СССР, 1937, т. 14,
№ 5, с. 247-250.
[3] Аносов Д. В. Грубые системы. // Труды МИАН, 1985, т. 169, с. 59-93.
[4] Аносов Д. В., Арансон С. X., Бронштейн И. У., Гринес В. 3. Гладкие дина-
мические системы. II. // Современные проблемы математики. Фундамен-
тальные направления. 1985, т. 1. М.: ВИНИТИ, с. 151-242.
[5] Аношкина Е. В. Топологическая классификация интегрируемого случая ти-
па Горячева-Чаплыгина с обобщенным потенциалом в динамике твердого
тела. // УМН, 1992, т. 47, вып. 3(285), с. 149-150.
[6] Аношкина Е. В. Топологическая классификация интегрируемого случая ти-
па Горячева-Чаплыгина с обобщенным потенциалом в динамике твердого
тела. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 11-17.
[7] Аношкина Е. В. О топологии интегрируемого случая движения гиростата
в потенциальном поле сил типа Горячева. // Вестник МГУ, Сер. 1. Матем.,
механ., 1998, № 1, с. 23-29.
[8] Ананасов Б. Н. Заполнение пространства многогранниками и деформация
неполных гиперболических структур. // Сиб. Мат. Журнал, 1986, т. 27,
№4, с. 3-19.
[9] Ананасов Б. Н. Геометрия дискретных групп и многообразий. М.: Наука,
1991.
[10] Арансон С. X., Гринес В. 3 Топологическая классификация потоков на за-
мкнутых двумерных многообразиях. // УМН, 1986, т. 41, вып. 1(247),
с. 149-169.
[11] Арнольд В. И., Илъяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравне-
ния. I. // Современные проблемы математики. Фундаментальные направ-
ления. 1985, т. 1. М.: ВИНИТИ, с. 7-149.
[12] Арнольд В. И., Гивенталь А. Б. Симплектическая геометрия. // Современ-
ные проблемы математики. Фундаментальные направления. 1985, т. 4. М.:
ВИНИТИ, с. 7-139.
352
Литература
[13] Арнольд В. И., Козлов В. В., Нойштадт А. И. Математические аспекты
классической и небесной механики. // Современные проблемы математи-
ки. Фундаментальные направления. 1986, т. 3, М.: ВИНИТИ, с. 5-304.
[14] Архангельский Ю. А. Аналитическая динамика твердого тела. М.: Наука,
1977.
[15] Бабенко И. К., Нехорошее Н. Н. О комплексных структурах на двумерных
торах, допускающих метрики с нетривиальным квадратичным интегралом.
// Матем. заметки. 1995, т. 58, № 5, с. 643-652.
[16] Баутин Н.Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследо-
вания динамических систем на плоскости. 2-е изд., М.: Наука, 1990.
[17] Берзин Д.В. Геометрия орбит коприсоединенного представления специаль-
ных групп Ли. Кандидатская диссертация. 1997, МГУ, мех.-матем. ф-т.
[18] Бессе А. Многообразия с замкнутыми геодезическими. М.: МИР, 1981.
[19] Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. М. Л.: Гостехиздат. 1941.
[20] Бляшке В. Введение в дифференциальную геометрию. М.: Гостехиздат,
1957.
[21] Бобенко А. И. Уравнения Эйлера на ао(4) и е(3). Изоморфизм интегриру-
емых случаев. // Функц. анализ и его приложения, 1986, т. 20, вып. 1,
с. 64-66.
[22] Болотин С. В. Вариационные методы построения хаотических движений в
динамике твердого тела. // Прикл. мат. и мех. 1992, т. 56, вып. 2, с. 230-239.
[23] Болейнов А. В. Согласованные скобки Пуассона и полнота семейств функ-
ций в инволюции. // Известия АН СССР (сер. математ.), 1991, т. 55, №1,
с. 68-92.
[24] Болейнов А. В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых га-
мильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Матем. сборник, 1995,
т. 186, №1, с. 3-28.
[25] Болейнов А. В. Гладкая траекторная классификация интегрируемых га-
мильтоновых систем с двумя степенями свободы. Случай систем с плос-
кими атомами. // УМН, 1994, т. 49, вып. 4, с. 173-174.
[26] Болейнов А. В. О классификации гамильтоновых систем на двумерных по-
верхностях // УМН, 1994, т. 49, вып. 6, с. 195-196.
[27] Болейнов А. В. Многомерные случаи Эйлера и Клебша и лиевы пучки. //
В кн.: Труды семинара по веркторному и тензорному анализу, М.: МГУ,
1991, вып. 24, с. 8-12.
Литература
353
[28] Болейнов А. В. Инварианты Фоменко в теории интегрируемых гамильтоно-
вых систем. // УМН, 1997, т. 52, вып. 5(317), с. 113-132.
[29] Болейнов А. В., Козлов В. В., Фоменко А. Т. Принцип Мопертюи и геодези-
ческие потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики
твердого тела. // УМН, 1995, т. 50, вып. 3, с. 3-32.
[30] Болейнов А. В., Матвеев С. В.. Фоменко А. Т. Топологическая классифика-
ция интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы.
Список систем малой сложности. // УМН 1990, т. 45, вып. 2, с. 49-77.
[31] Болейнов А. В., Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Нерешенные проблемы в те-
ории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых сис-
тем. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. М.: МГУ,
1993, вып. 25, часть 1, с. 6-17.
[32] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Траекторная классификация интегрируемых
систем типа Эйлера в динамике твердого тела. // УМН, 1993, т. 48, вып. 5,
с. 163-164.
[33] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Траекторная эквивалентность интегрируе-
мых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Теорема класси-
фикации. I. // Матем. Сборник, 1994, т. 185, №4, с. 27-80. II. // Матем.
сборник, 1994, т. 185, №5, с. 27-78.
[34] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Траекторная классификация простых ин-
тегрируемых систем на трехмерных поверхностях постоянной энергии. //
Доклады РАН, 1993, т. 332, № 5, с. 553-555.
[35] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Геодезический поток эллипсоида траекторно
эквивалентен интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела.
// Доклады РАН, 1994, т. 339, вып. 3, с. 293-296.
[36] Болейнов А. В.. Фоменко А. Т. Геодезические потоки на сфере, порожденные
системами Горячева-Чаплыгина и Ковалевской в динамике твердого тела.
// Матем. заметки, 1994, т. 56, №2, с. 139-142.
[37] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Траекторные инварианты интегрируемых га-
мильтоновых систем. Случай простых систем. Траекторная классификация
систем типа Эйлера в динамике твердого тела. // Известия РАН, серия ма-
тем. 1995, т. 59, вып. 1, с. 65-102.
[38] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Траекторная классификация геодезических
потоков на двумерных эллипсоидах. Задача Якоби траекторно эквивалент-
на интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела. // Функцио-
нальный анализ и его приложения. 1995, т. 29, №3, с. 1-15.
[39] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Нерешенные проблемы и задачи в теории
топологической классификации интегрируемых систем. // Труды МИРАН,
1994, т. 205, с. 18-31.
354
Литература
[40] Болейнов А. В., Фоменко А. Т., Чанг К. Три типа бордизмов интегрируе-
мых систем с двумя степенями свободы. Вычисление групп бордизмов. //
Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 32-72.
[41] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Размерность пространства интегрируемых
гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Труды МИРАН,
1996, т. 216, с. 45-69.
[42] Болейнов А. В., Фоменко А. Т. Введение в топологию интегрируемых га-
мильтоновых систем. М.: Наука, 1997.
[43] Болейнов А. В.. Дуллин X. О случае Эйлера в динамике твердого тела и зада-
че Якоби. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997, т. 2, №1, с. 13-25.
[44] Борисов А. В., Симаков Н.Н. Бифуркации удвоения периода в динамике
твердого тела. // Регулярная и хаотическая динамика. 1997, т. 2, №1,
с. 64-74.
[45] Борисов А. В., Цыгвинцев А. В. Показатели Ковалевской и интегрируемые
системы классической динамики. // Регулярная и хаотическая динамика,
1996, т. 1, №1, с. 15-28.
[46] Ботт Р. Многообразия, на которых все геодезические замкнуты. В кн.:
Расслоенные пространства, М.: ИЛ, 1958, с. 115-123. (Bott R. On manifolds
all of whose geodesics are closed. // Ann. Math., v. 60, №3, pp. 375-382).
[47] Браилов А. В. Некоторые случаи полной интегрируемости уравнений Эйле-
ра и приложения. // ДАН СССР, 1983, т. 268, №5, с. 1043-1046.
[48] Браилов А. В., Фоменко А. Т. Топология интегральных многообразий вполне
интегрируемых гамильтоновых систем. // Матем. сборник, 1987, т. 133,
№3, с. 375-385.
[49] Браилов Ю. А., Кудрявцева Е. А. Устойчивая топологическая несопряжен-
ность гамильтоновых систем на двумерных поверхностях. // Вестник МГУ,
серия матем., 1998 (в печати).
[50] Буземан Г. Геометрия геодезических. М.: Физматгиз, 1962.
[51] Бялый М. Л. О полиномиальных по импульсам первых интегралах для ме-
ханической системы на двумерном торе. // Функциональный анализ и его
приложения. 1987, т. 21, вып. 4, с. 64-65.
[52] Вариационные принципы механики. М.: ГИФМЛ, 1959.
[53] Вершик А. М., Гершкович В. Я. Неголономные динамические системы. Гео-
метрия распределений и вариационные задачи. // Современные пробле-
мы математики. Фундаментальные направления. 1987, т. 16, М.: ВИНИТИ,
с. 5-85.
Литература
355
[54] Веселов А. П. Конечнозонные потенциалы и интегрируемая система на сфе-
ре с квадратичным потенциалом. // Функц. анализ., 1980, т. 14, №1,
с. 48-50.
[55] Винберг Э.Б. Гиперболические группы отражений. // УМН, 1985, т. 40,
вып. 1(241), с. 29-66.
[56] Гайдуков Е. В. Асимптотические геодезические на римановом многообра-
зии, негомеоморфном сфере. // ДАН СССР, 1966, т. 169, №5, с. 999-1001.
[57] Гильберт Д, Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
[58] Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого
твердого тела около неподвижной точки. М.-Л.: Гостехиздат, 1953.
[59] Горячев Д. Н. О движении твердого тела вокруг неподвижной точки в слу-
чае А = В = АС. // Матем. сборник, 1900, т. 21, №3, с. 431-438.
[60] Горячев Д. Н. Новые случаи интегрируемости динамических уравнений Эй-
лера. // Варшав. Унив. Изв. 1916, кн. 3, с. 1-15.
[61] Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. М.: Мир,
1971.
[62] Гурвиц А., Курант Р. Теория функций. М.: Наука, 1968.
[63] Гюйгенс X. Три мемуара по механике. М.: изд-во АН СССР, 1951.
[64] Денисова Н. В. О структуре полей симметрий геодезических потоков на
двумерном торе. // Матем. Сборник, 1997, т. 188, вып. 7, с. 107-122.
[65] Динабург Е. И. Связь между различными энтропийными характеристиками
динамических систем. // Известия АН СССР, серия матем. 1971, т. 35,
вып. 2, с. 324-366.
[66] Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия: Ме-
тоды и приложения. 2-е изд. М.: Наука, 1986, 760 с.
[67] Дубровин Б. А., Кричевер И. М., Новиков С. П. Интегрируемые системы. I. //
Современные проблемы математики. Фундаментальные направления, 1985,
т. 4, М.: ВИНИТИ, с. 179-284.
[68] Жуковский Н. Е. О движении твердого тела, имеющего полости, наполнен-
ные однородной капельной жидкостью. В томе 1 «Собрания сочинений».
Т. 1,2. Москва, 1949.
[69] Иванов А. О., Тужилин А. А. Геометрия минимальных сетей и одномерная
проблема Плато. // УМН, 1992, т. 47, №2, с. 53-115.
[70] Илиев И. П., Семерджиев X. И. О голономных механических системах с дву-
мя степенями свободы, допускающие квадратические интегралы. // Извес-
тия вузов, Математика, 1972, №2, с. 51-53.
356
Литература
[71] Илюхин А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стерж-
ней. Киев: Наукова думка, 1979.
[72] Калашников В. В. (мл.). Боттовость и свойства общего положения интегри-
руемых гамильтоновых систем. // УМН, 1993, т. 48, вып. 6, с. 151-152.
[73] Калашников В. В. (мл.). О типичности боттовских интегрируемых гамиль-
тоновых систем. // Матем. сборник, 1994, т. 185, вып. 1, с. 107-120.
[74] Калашников В. В. (мл.). Топологический анализ некоторых систем внутри-
молекулярной динамики вещества. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 91-97.
[75] Калашников В. В. (мл.). Геометрическое описание минимаксных инва-
риантов Фоменко интегрируемых гамильтоновых систем на S3, RP3,
S1 х S2, Т3. // УМН, 1991, т. 46, вып. 4(280), с. 151-152.
[76] Калашников В. В. (мл.). Топологическая классификация квадратично ин-
тегрируемых геодезических потоков на двумерном торе. // УМН, 1995,
т. 50, вып. 1, с. 201-202.
[77] Калашников В. В. (мл.). О топологической структуре интегрируемых га-
мильтоновых систем, близких к данной. // Регулярная и хаотическая ди-
намика, 1997, т. 2, №2, с. 98-112.
[78] Каток С. Б. Бифурукационные множества и интегральные многообразия в
задаче о движении тяжелого твердого тела. // УМН, 1972, т. 27, вып. 2,
с. 124-133.
[79] Клингенберг В. Лекции о замкнутых геодезических. М.: МИР, 1982.
[80] Ковалевская С. В. Задача о вращении твердого тела около неподвижной точ-
ки. В кн.: «Научные работы». М.: Наука, 1948, с. 153-220.
[81] Козлов В. В. Две интегрируемые задачи классической динамики. // Вест-
ник МГУ, 1981, №4, с. 80-83.
[82] Козлов В. В. Методы качественного анализа в динамике твердого тела. М:
Изд-во МГУ, 1980.
[83] Козлов В. В. Топологические препятствия к интегрируемости натуральных
механических систем. // ДАН СССР, 1979, т. 249, №6, с. 1299-1302.
[84] Козлов В. В. Симметрии, топология и резонансы в гамильтоновой механике.
Ижевск: изд-во УдГУ, 1995.
[85] Козлов В. В. Некоторые интегрируемые обобщения задачи Якоби о геодези-
ческих на эллипсоиде. // Прикладная математика и механика, 1995, т. 59,
с. 3-9.
[86] Козлов В. В., Денисова Н. В. Полиномиальные интегралы геодезических по-
токов на двумерном торе. // Матем. сборник, 1994, т. 185, №12, с. 49-64.
Литература
357
[87] Козлов В. В., Денисова Н. В. Симметрии и топология динамических систем
с двумя степенями свободы // Матем. сборник. 1993, т. 184, №9, с. 125-148.
[88] Козлов В. В., Колесников Н. Н. Об интегрируемости гамильтоновых систем.
// Вестник МГУ, серия матем., механ., 1979, №6, с. 88-91.
[89] Козлов В. В., Трещев Д. В. Об интегрируемости гамильтоновых систем с то-
рическим пространством положений. // Матем. сборник, 1988, т. 135(177),
вып. 1, с. 119-138.
[90] Козлов В. В., Трещев Д. В. Полиномиальные интегралы гамильтоновых сис-
тем с экспоненциальным взаимодействием. // Известия АН СССР, Сер. ма-
тем., 1989, т. 53, №3, с. 537-556.
[91] Коксетер Г. С. М., Мозер У. О. Дж. Порождающие элементы и определяющие
соотношения дискретных групп. М.: Наука, 1980.
[92] Колокольцев В. Н. Геодезические потоки на двумерных многообразиях с
дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом. //
Известия АН СССР. Сер. матем. 1982, т. 46, № 5, с. 994-1010.
[93] Колокольцев В. Н. Новые примеры многообразий с замкнутыми геодезичес-
кими. // Вестник МГУ, серия матем. механ. 1984, вып. 4, с. 80-82.
[94] Колокольцов В. Н. Полиномиальные интегралы геодезических потоков на
компактных поверхностях. Диссертация на соискание ученой степени
к.ф.-м.н. МГУ, механико-математический факультет, 1984.
[95] Коровина Н. В. Максимально симметричные бифуркации функций Морса на
двумерных поверхностях. // Вестник МГУ, серия матем., 1998 (в печати).
[96] Кругликов Б. С. О продолжении симплектической формы и пары функций
в инволюции с S1 х I х Т2. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 98-108.
[97] Кругликов Б. С. Существование пары дополнительных боттовских интегра-
лов для резонансной гамильтоновой системы с двумя степенями свободы.
// Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 109-112.
[98] Кругликов Б. С. Точная гладкая классификация гамильтоновых векторных
полей на двумерных многообразиях. // Матем. заметки, 1997, т. 61, вып. 2,
с. 179-200.
[99] Кудрявцева Е. А. Реализация гладких функций на поверхностях в виде
функций высоты. // Матем. Сборник, 1998 (в печати).
[100] Кудрявцева Е. А. Устойчивые инварианты сопряженности гамильтоновых
систем на двумерных поверхностях. // Доклады РАН, 1998, т. 361, №3,
с. 314-317.
358
Литература
[101] Кудрявцева Е. А. Устойчивые топологические и гладкие инварианты со-
пряженности гамильтоновых систем на поверхностях. В книге: Тополо-
гические методы в теории гамильтоновых систем. М.: Факториал, 1998,
с. 147-202.
[102] Лагранж Ж. Аналитическая механика. Тома 1,2. М.: Гостехиздат, 1950.
[103] Леонтович Е. А., Майер А. Г. О траекториях, определяющих качественную
структуру разбиения сферы на траектории. // ДАН СССР, 1937, т. 14, №5,
с. 251-257.
[104] Леонтович Е.А., Майер А. Г. О схеме, определяющей топологическую
структуру разбиения на траектории. // ДАН СССР, 1955, т. 103, №4,
с. 557-560.
[105] Лерман Л. М., Уманский Я. Л. Классификация четырехмерных интегрируе-
мых систем в расширенных окрестностях простых особых точек. В книге:
Методы качественной теории бифуркаций, Горький: изд-во Горьковского
ун-та, 1988, с. 67-76.
[106] Лерман Л. М., Уманский Я. Л. Классификация четырехмерных интегрируе-
мых систем и пуассонова действия R2 в расширенных окрестностях прос-
тых особых точек. I, II, III. I: // Матем. Сборник, 1992, т. 183, №12,
с. 141-176. II: // Матем. Сборник, 1993, т. 184, № 4, с. 103-138. III: // Матем.
Сборник, 1995, т. 186, №10, с. 89-102.
[107] Ляпунов А. М. Новый случай интегрируемости уравнений движения твер-
дого тела в жидкости. В кн.: Собр. соч. т. 1, М.: изд-во АН СССР, 1954,
с. 320-324.
[108] Майер А. Г. О траекториях на ориентируемых поверхностях. // Матем.
сборник., 1943, т. 12(54), №1, с. 71-84.
[109] Мантуров В. О. Атомы. Узлы. Бифуркации. // Вестник МГУ, 1998 (в печа-
ти).
[110] Матвеев В. С. Вычисление значений инварианта Фоменко точки типа
седло-седло интегрируемой гамильтоновой системы. // Труды семинара по
векторному и тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1993, вып. 25, часть 1,
с. 75-104.
[111] Матвеев В. С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями
свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа
седло-седло и фокус-фокус. // Матем. сборник, 1996, т. 187, №4, с. 29-58.
[112] Матвеев В. С. Пример геодезического потока на бутылке Клейна, интег-
рируемого полиномом по импульсам четвертой степени. // Вестник МГУ,
Сер. 1, Матем. механ., 1997, №4, с. 47-48.
Литература
359
[113] Матвеев В. С. Квадратично интегрируемые геодезические потоки на торе
и бутылке Клейна. // Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т. 2, №1,
с. 96-102.
[114] Матвеев В. С. Топологическая классификация квадратично интегрируе-
мых геодезических потоков на бутылке Клейна, (в печати).
[115] Матвеев В. С. Особенности отображения момента и топологическое строе-
ние интегрируемых геодезических потоков. Диссертация на соискание уче-
ной степени к.ф.-м.н. Москва, МГУ, мех-матем. ф-т, 1996.
[116] Матвеев В. С., Топалов П. И. Поля Якоби интегрируемых геодезических по-
токов. // Регулярная и хаотическая динамика, 1997, том 2, №1, с. 103-116.
[117] Матвеев В. С., Топалов П. Сопряженные точки гиперболических геодези-
ческих квадратично интегрируемых геодезических потоков на замкнутых
поверхностях. // Вестник МГУ, Сер. 1, матем., механ., 1998, №1, с. 60-62.
[118] Матвеев В. С., Топалов П. Й. Геодезическая эквивалентность метрик на
поверхностях и их интегрируемость. // Доклады РАН (в печати).
[119] Матвеев С. В. Специальные остовы кусочно-линейных многообразий. //
Матем. сборник, 1973, т. 92, №2, с. 282-293.
[120] Матвеев С. В. Преобразования специальных спайнов и гипотеза Зимана. //
Известия АН СССР, 1987, т. 51, №5, с. 1104-1116.
[121] Матвеев С. В. Сложности 3-многообразий и их перечисление в порядке воз-
растания сложности. // ДАН СССР, 1988, т. 301, №2, с. 280-283.
[122] Матвеев С. В. Один способ задания 3-многообразий. // Вестник МГУ, 1975,
т. 30, №3, с. 11-20.
[123] Матвеев С. В. Классификация достаточно больших трехмерных многообра-
зий. // УМН, 1997, т. 52, вып. 5(317), с. 147-174.
[124] Матвеев С. В., Савватеев В. В. Трехмерные многообразия, имеющие прос-
тые специальные остовы. // Coll. Math. 1974, v. 32, f. 2, pp. 83-97.
[125] Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Изоэнергетические поверхности гамильто-
новых систем, перечисление трехмерных многообразий в порядке возрас-
тания их сложности и вычисление объемов замкнутых гиперболических
многообразий. // УМН, 1988, т. 43, вып. 1(259), с. 5-22.
[126] Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Теория типа Морса для интегрируемых га-
мильтоновых систем с ручными интегралами. // Матем. заметки, 1988,
т. 43, №5, с. 663-671.
[127] Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Алгоритмические и компьютерные методы в
трехмерной топологии. М.: изд-во МГУ, 1991. Второе переработанное изда-
ние. М.: Наука, 1998.
360
Литература
[128] Матвеев С. В., Фоменко А.Т., Шарко В. В. Круглые функции Морса и
изоэнергетические поверхности интегрируемых гамильтоновых систем. //
Матем. сборник, 1988, т. 135(177), №3, с. 325-345.
[129] Милнор Дж. Теория Морса. М.: Мир, 1971.
[130] Милнор Дж. Теорема об /i-кобордизме. М.: Мир, 1969.
[131] Мищенко А. С. Интегрирование геодезических потоков на симметрических
пространствах. // Матем. заметки, 1982, т. 31, №2, с. 257-262.
[132] Мищенко А. С. Интегрирование геодезических потоков на симметрических
пространствах. // Труды семинара по векторному и тензорному анализу.
1983, т. 21, М.: Изд-во МГУ, с. 13-22.
[133] Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Уравнения Эйлера на конечномерных группах
Ли. // Известия АН СССР, сер. матем. 1978, т. 42, №2, с. 396-415.
[134] Мозер Ю. Лекции о гамильтоновых системах. М.: Мир, 1973.
[135] Мозер Дж. Некоторые аспекты интегрируемых гамильтоновых систем. //
УМН, 1981, т. 36, вып. 5, с. 109-151.
[136] Новиков С. П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Мор-
са. // УМН, 1982, т. 37, вып. 5, с. 3-49.
[137] Новиков С. П., Шмельцер И. Периодические решения уравнений Кирхгофа
свободного движения твердого тела в идеальной жидкости и расширен-
ная теория Люстерника-Шнирельмана-Морса (ЛШМ). // Функциональный
анализ и его приложения, 1982, т. 15, №3, с. 54-66.
[138] Нгуен Т. 3. О свойстве общего положения простых боттовских интегралов.
// УМН, 1990, т. 45, вып. 4(274), с. 162-162.
[139] Нгуен Т. 3. Топологические инварианты интегрируемых геодезических по-
токов на многомерном торе и сфере. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 73-91.
[140] Нгуен Т. 3., Полякова Л. С., Селиванова Е. Н. Топологическая классифика-
ция интегрируемых геодезических потоков с дополнительным квадратич-
ным или линейным по импульсам интегралам на двумерных ориентиру-
емых римановых многообразиях. // Функциональный анализ, 1993, т. 27,
вып. 3, с. 42-56.
[141] Нгуен Т. 3., Фоменко А. Т. Топологическая классификация интегрируемых
невырожденных гамильтонианов на изоэнергетической трехмерной сфере.
// УМН, 1990, т. 45, вып. 6, с. 91-111.
[142] Нехорошее Н.Н. Переменные действие-угол и их обобщения. // Труды
Моск. Матем. Общества, 1972, т. 26, №1, с. 181-198.
Литература
361
[143] Окунева Г. Г. Некоторые геометрические свойства приведенного многооб-
разия положений в динамике твердого тела. // Вестник МГУ, сер. матем.,
механ., 1986, №4, с. 55-59.
[144] Олыианецкий М.А., Переломов А. М., Рейман А. Г., Семенов-Тян-
Шанский М. А. Интегрируемые системы. II. // Современные проблемы
математики. Фундаментальные направления. 1987, т. 16, М.: ВИНИТИ,
с. 86-226.
[145] Орел О. Е. Топологический анализ окрестности вырожденной одномер-
ной орбиты пуассоновского действия R2 на симплектическом многообра-
зии М4. // УМН, 1993, т. 48, вып. 6, с. 165-166.
[146] Орел О. Е. Исследование окрестности вырожденной одномерной орбиты пу-
ассонова действия В? в М4. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 113-130.
[147] Орел О. Е. Функция вращения для интегрируемых задач, сводящихся к
уравнениям Абеля. Траекторная классификация систем Горячева-Чаплы-
гина. // Матем. сборник, 1995, т. 186, вып. 2, с. 105-128.
[148] Орел О. Е. Функции вращения в проблеме траекторной классификации гео-
дезических потоков эллипсоидов и задачи Эйлера динамики твердого тела.
// Вестник МГУ, серия матем., 1996, вып. 1, с. 24-32.
[149] Орел О. Е. Критерий траекторной эквивалентности интегрируемых гамиль-
тоновых систем в окрестнсти эллиптических орбит. Траекторный инвари-
ант задачи Лагранжа. // Матем. сборник, 1997, т. 188, вып. 7, с. 139-160.
[150] Орел О.Е., Ш. Такахаши Траекторная классификация интегрируемых за-
дач Лагранжа и Горячева-Чаплыгина методами компьютерного анализа.
// Матем. сборник, 1996, т. 187, №1, с. 95-112.
[151] Орел О. Е. Алгебро-геометрические скобки Пуассона в проблеме точного
интегрирования. // Регулярная и хаотическая динамика, 1997, т. 2, №2,
с. 90-97.
[152] Орел О. Е. О несопряженности случая Эйлера в динамике твердого тела
и задачи Якоби о геодезических на эллипсоиде. // Матем. заметки, 1997,
т. 61, вып. 2, с. 252-258.
[153] Орел О. Е. Интегрируемые задачи Эйлера и Якоби топологически не сопря-
жены. // Доклады РАН, 1997, т. 354, №3, с. 307-309.
[154] Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркацион-
ные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на 80(A).
// УМН, 1990, т. 42, вып. 2, с. 199-200.
[155] Ошемков А. А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование
особенностей. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 131-140.
362
Литература
[156] Ошемков А. А. Описание изоэнергетических поверхностей интегрируемых
гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. // Труды семинара
по векторному и тензорному анализу. Вып. 23, Москва, изд-во МГУ, 1988,
с. 122-132.
[157] Ошемков А. А. Вычисление инвариантов Фоменко для основных интегриру-
емых случаев динамики твердого тела. // Труды семинара по векторному
и тензорному анализу. 1993, вып. 25, часть 2, М.: МГУ, с. 23-109.
[158] Ошемков А. А., Шпрко В. В. О классификации потоков Морса-Смейла на
двумерных многообразиях. Мат. сборник, 1998, т. 189, №8, с. 93-140.
[159] Палис Ж., В. Ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем. Вве-
дение. М.: Мир, 1986.
[160] Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгеб-
ры Ли. М.: Наука, 1990.
[161] Пидкуйко С. И., Степин А. М. Полиномиальные интегралы гамильтоновых
систем. // ДАН СССР, 1978, т. 239, №1, с. 50-53.
[162] Погорелов А. В. Внешняя геометрия выпуклых поверхностей. М.: Наука,
1969.
[163] Погосян Т. И. Построение бифуркационных множеств в одной задаче дина-
мики твердого тела. // Мех. тверд, тела, вып. 12, Киев: Паукова думка,
1980, с. 9-16.
[164] Погосян Т. И. Области возможности движения в задаче Клебша. Критичес-
кий случай. // Мех. тверд, тела, 1983, вып. 15, Киев: Паукова думка, с. 3-23.
[165] Погосян Т. И. Критические интегральные поверхности задачи Клебша. //
Мех. тверд, тела, 1984, вып. 16, Киев: Паукова думка, с. 19-24.
[166] Погосян Т. И., Харламов М. П. Бифуркационное множество и интегральные
многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. //
ПММ, 1979, т. 43, №3, с. 419-428.
[167] Полякова Л. С. Инварианты интегрируемых случаев Эйлера и Лагранжа. //
УМН, 1989, т. 44, вып. 3(267), с. 171-172.
[168] Прасолов В. В., Соловьев Ю. П. Эллиптические функции и алгебраические
уравнения. М.: Факториал, 1997.
[169] Проблемы Гильберта. Сборник статей. Под ред. П. С. Александрова. М.: На-
ука, 1969.
[170] Пуанкаре А. О геодезических линиях на выпуклых поверхностях. Избр.
труды, т. 2, М.: Наука, 1972, с. 733-774.
Литература
363
[1711 Садов Ю.А. Переменные действие-угол в задаче Эйлера-Пуансо. // ПММ,
1970, т. 34, вып. 5, с. 962-964.
[172] Селиванова Е. Н. Классификация геодезических потоков лиувиллевых мет-
рик на двумерном торе с точностью до топологической эквивалентности.
// Матем. сборник, 1992, т. 183, вып. 4, с. 69-86.
[173] Селиванова Е. Н. Классификация геодезических потоков лиувиллевых мет-
рик на двумерном торе. // Труды семинара по векторному и тензорному
анализу. М.: изд-во МГУ, 1993, вып. 25, часть 2, с. 110-132.
[174] Селиванова Е. Н. Траекторные изоморфизмы лиувиллевых систем на дву-
мерном торе. // Матем. сборник, 1995, вып. 10, с. 141-160.
[175] Селиванова Е. Н. Топология задачи о трех точечных вихрях. // Труды
МИРАН, 1994, т. 205, с. 141-149.
[176] Селиванова Е. Н., Степин А. М. О динамических свойствах геодезических
потоков лиувиллевых метрик на двумерном торе. // Труды МИРАН, 1996,
т. 216, с. 158-175.
[177] Скотт П. Геометрии на трехмерных многообразиях. М.: МИР, 1986.
[178] Смейл С. Топология и механика. // УМН, 1972, т. 15, №2, с. 77-125.
[179] Смейл С. Неравенства Морса для динамических систем. // Сб. пер. мат.,
1967, т. 11, №4, с. 79-87.
[180] Смейл С. Дифференцируемые динамические системы, // УМН, 1970, т. 25,
вып. 1, с. 113-185.
[181] Смоленцев Н. К. О принципе Мопертюи. // Сиб. матем. журнал, 1979, т. 20,
№5, с. 1092-1098.
[182] Сретенский Л. Н. Движение гироскопа Горячева-Чаплыгина. // Известия
АН СССР, 1953, №1, с. 109-119.
[183] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях движения тяжелого твердого тела
с гироскопом. // Вестник МГУ (сер. мат., мех.), 1963, №3, с. 60-71.
[184] Сретенский Л. Н. О некоторых случаях интегрирования уравнений движе-
ния гиростата. // Доклады АН СССР, 1963, т. 149, №2, с. 292-294.
[185] Стеклов В. А. О движении твердого тела в жидкости. Харьков: 1893.
[186] Степин А. М. Интегрируемые гамильтоновы системы. 1,11. В кн.: Качест-
венные методы исследования нелинейных дифференциальных уравнений и
нелинейных колебаний. Киев, ин-т математики АН УССР, 1981, с. 116-170.
[187] Стернберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970.
364
Литература
[188] Тайманов И. А. Топологические препятствия к интегрируемости геодези-
ческих потоков на неодносвязных многообразиях. // Изв. АН СССР, 1987,
т. 51, вып. 2, с. 429-435.
[189] Тайманов И. А. Топология римановых многообразий с интегрируемыми
геодезическими потоками. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 150-163.
[190] Тайманов И. А. О топологических свойствах интегрируемых геодезических
потоков. // Матем. заметки. 1988, т. 44, вып. 2, с. 283-284.
[191] Татаринов Я. В. К исследованию фазовой топологии компактных конфигу-
раций с симметрией. // Вестник МГУ, 1973, №5, с. 70-77.
[192] Татаринов Я. В. Портреты классических интегралов задачи о вращении
твердого тела вокруг неподвижной точки. // Вест. МГУ, сер. матем., механ.
1974, №6, с. 99-105.
[193] Татаринов Я. В. Лекции по классической динамике. М.: изд-во МГУ, 1981.
[194] Тен В. В. Локальные интегралы геодезических потоков. // Регулярная и
хаотическая динамика, 1997, т. 2, №2, с. 87-89.
[195] Топалов П. Переменная действия и гамильтониан Пуанкаре в окрестности
критической окружности. // УМН, 1995, т. 50, вып. 1, с. 213-214.
[196] Топалов Я. Гомологические свойства меток инварианта Фоменко-Цишанга.
// Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 164-171.
[197] Топалов П. Включение бутылок Клейна в теорию топологической класси-
фикации гамильтоновых систем. // УМН, 1994, т. 49, вып. 1, с. 227-228.
[198] Топалов П. Вычисление тонкого инварианта Фоменко-Цишанга для основ-
ных интегрируемых случаев движения твердого тела. / / Матем. сборник,
1996, т. 187, №3, с. 143-160.
[199] Топалов Я. Тензорные инварианты натуральных механических систем на
компактных поверхностях и соответствующие им интегралы. // Матем.
сборник, 1997, т. 188, №2, с. 137-157.
[200] Топалов Л. Критические точки функции вращения интегрируемой гамиль-
тоновой системы. // УМН, 1996, т. 51, вып. 4(310), с. 147-148.
[201] Топалов П. Вычисление топологических инвариантов интегрируемых га-
мильтоновых систем. Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н.
Москва, МГУ, мех-матем. ф-т, 1996.
[202] Топалов Л. И. Отображение Пуанкаре в регулярных окрестностях особых
слоев Лиувилля интегрируемой гамильтоновой системы. // Регулярная и
хаотическая динамика, 1997, т. 2, № 2, с. 79-86.
Литература
365
[203] Трофимов В. В. Обобщенные классы Маслова на пространстве путей сим-
плектического многообразия. // Труды МИРАН, 1994, т. 205, с. 172-199.
[204] Трофимов В. В., Фоменко А. Т. Алгебра и геометрия интегрируемых га-
мильтоновых систем дифференциальных уравнений. М.: Факториал, изд-во
«Просперус» УдГУ, 1995.
[205] Уманский Я. Л. Схема трехмерной динамической системы Морса-Смейла
без замкнутых траекторий. // ДАН СССР, 1976, т. 230, №6, с. 1286-1289.
[206] Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых
гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. // Известия АН
СССР. 1986, т. 50, №6, с. 1276-1307.
[207] Фоменко А. Т. Симплектическая геометрия. Методы и приложения. М.: Изд-
во МГУ, 1988.
[208] Фоменко А. Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. //
ДАН СССР, 1986. т. 287, №5, с. 1071-1075.
[209] Фоменко А. Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырож-
денных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инва-
риант многомерных интегрируемых систем. // Известия АН СССР. сер.
матем. 1991, т. 55, №4, с. 747-779.
[210] Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интег-
рируемых по Лиувиллю. // Функциональный анализ и его приложения.
1988. т. 22, вып. 4. с. 38-51.
[211] Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий ин-
тегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных
симплектических многообразиях. // Функциональный анализ и его при-
ложения. 1991, т. 25, вып. 4, с. 23-35.
[212] Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамиль-
тоновых систем. // УМН, 1989, т. 44, вып. 1(265), с. 145-173.
[213] Фоменко А. Т., Фукс Д. Б. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.
[214] Фоменко А. Т., Цишанг X. О топологии трехмерных многообразий, воз-
никающих в гамильтоновой механике. // ДАН СССР, 1987, т. 294, №2,
с. 283-287.
[215] Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интег-
рируемых гамильтоновых систем. // Известия АН СССР, 1988, т. 52, №2,
с. 378-407.
[216] Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквива-
лентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями сво-
боды. // Известия АН СССР, 1990, т. 54, №3, с. 546-575.
366
Литература
[217] Фоменко А. Т., Шарко В. В. Точные круглые функции Морса, неравенства
типа Морса и интегралы гамильтоновых систем. // Украинский математи-
ческий журнал. 1989, т. 41, №6, с. 723-732.
[218] Форстер О. Римановы поверхности. М., Мир, 1980.
[219] Харламов М. П. Топологический анализ интегрируемых задач в динамике
твердого тела. Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988.
[220] Харламов М. П. Топологический анализ классических интегрируемых слу-
чаев динамики твердого тела. // Доклады АН СССР, 1983, т. 273, вып. 6,
с. 1322 1325.
[221] Харламов П. В. Лекции по динамике твердого тела. Новосибирск: изд-во
НГУ, 1965.
[222] Чаплыгин С. А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого
в одной точке. В томе 1 «Собрания сочинений», (тома 1, 2). М.-Л., ОГИЗ,
1948.
[223] Чаплыгин С. А. Новое частное решение задачи о движении твердого тела в
жидкости. В томе 1 «Собрания сочинений», (тома 1,2). М.-Л., ОГИЗ, 1948,
с. 337-346.
[224] Эйлер Л. Механика. М.-Л., ГИТТЛ, 1938.
[225] Якоби К. Лекции по динамике. М.-Л., 1936.
[226] Яхья X. М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата. //
Вестник МГУ, сер. матем., механ.. 1987, №4, с. 88-90.
[227] Adams С. С. Hyperbolic structures on link complements. Preprint, University
of Wisconsin, Madison, WI, 1983.
[228] Adams С. C. The non-compact hyperbolic 3-manifold of minimal volume. //
Proc. Amer. Math. Soc. 1987, v. 100, pp. 601-606.
[229] Adler M. P., van Moerbeke P. Completely integrable systems, Euclidean Lie
algebras and curves and linearization of Hamiltonian systems, Jacobi varietes
and representation theory. // Adv. Math., 1980, v. 30, pp. 267-379.
[230] Adler M., van Moerbeke P. The Kowalewski and Henon-Heiles motions as
Manakov geodesic flows on SO(4). A two-dimensional family of Lax pairs. //
Comm. Math. Phys. 1988. v. 113, №4, pp. 659-700.
[231] Adler M., van Moerbeke P. The complex geometry of the Kowalevski-Pailleve
analysys. // Invent. Math. 1989, v. 97, pp. 3-51.
[232] Adler M. and P. van Moerbeke. Kowalewski’s asymptotic method, Kac-Moody
algebras, and regularizations. // Comm. Math. Phys., 1982, v. 83. pp. 83-106.
Литература
367
[233] Albert С., Brouzet R., Dufour J.-P.. editors. Integrable Systems and Foliations.
// Birkhauser, Progress in Mathematics, 1997, v. 145.
[234] Asimov D. Round handles and non-singular Morse-Smale flows. // Ann. Math.,
1975, v. 102, №1, pp. 41-54.
[235] Atiyah M. Convexity and commuting Hamiltonians. // Bull. London Math.
Soc. 1982, №14, pp. 1-15.
[236] Audin M. The topology of torus action on symplectic manifolds. // Progr.
Math., 1991, v. 93, Basel, Birkhauser.
[237] Audin M. Spinning Tops. // Cambridge Studies in Advanced Mathematics.
1996, v. 51. Cambridge Unibcrsity Press.
[238] Audin M. Courbes Algebriques et Systemes Integrables: Geodesiques des
quadriques. // Expo. Math. 1994, v. 12, pp. 193-226.
[239] Audin M., Silhol R. Varietes Abeliennes Reelles et Toupie de Kowalewski / /
Compositio Math. 1993, v. 87, pp. 153-229.
[240] В ar-Natan D. On the Vassiliev knot invariants. // Topology, 1995, v. 34, №2,
pp. 423-472.
[241] Bates L. Monodromy in the champagne bottle. // Journal of Applied
Mathematics and Physics (ZAMP), 1991, v. 42, pp. 837-847.
[242] Birkhoff G. D. Sur le probleme restreint des trois corps.
I. Annali della Scuola Normale Superiora de Pisa, 1935, v. 4, pp. 267-306.
II. Annali della Scuola Normale Superiora de Pisa, 1936, v. 5, pp. 1-72.
[243] Bogoyavlensky О. I. New integrable problem of classical mechanics. / / Com.
Math. Phys. 1984, v. 94, pp. 255-269.
[244] Bogoyavlensky О. I. On perturbations of the periodic Toda lattices. // Com.
Math. Phys. 1976, v. 51, pp. 201-209.
[245] Bolotin S. V., Negrini P. Variational criteria for nonintegrability. // Russian
Journal of Math. Physics, (to appear).
[246] Bolotin S. V. Homoclinic orbits of geodesic flows on surfaces. // Russian
Journal of Math. Physics, 1992, v. 1.
[247] Bolotin S. V., Kozlov V. V- Symmetry fields of geodesic flows. // Russian
Journal of Math. Phys. v. 3, №3, pp. 279-295.
[248] Bolsinov A. V. Commutative families of functions related to consistent Poisson
brackets. // Acta Applic. Math., 1991, v. 24, pp. 253-274.
[249] Bolsinov A. V. Methods of calculation of the Fomcnko-Zicschang invariant. //
In: Advances in Soviet Mathematics, v. 6, AMS, pp. 147-183.
368
Литература
[250] Bolsinov А. V. Fomenko’s invariants in the theory of integrable Hamiltonian
systems. // Topology and Applecations. International Topological Conference
dedicated to P. S. Alexandroff’s 100-th birthday. Moscow, May 27-31, 1996,
Moscow, Phasis, pp. 27-34.
[251] Bolsinov A. V. Integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom.
// In: Fomenko A. T., Kunii T. L. Topological Modeling for Visualization.
Springer-Vcrlag, 1997, pp. 313-330.
[252] Bolsinov A. V., Fomenko A. T. Application of classification theory for
integrable Hamiltonian systems to geodesic flows on 2-sphere and 2-torus and to
the description of the topological structure of momentum mapping near singular
points. // Journal of Mathematical Sciences, 1996, v. 78, № 5, pp. 542-555.
[253] Bolsinov A. V., Oshemkov A. A., Sharko V. V. On classification of flows on
manifolds. I. // Methods of Functional Analysis and Topology, 1996, v. 2, № 2,
pp. 190-204.
[254] Bott R. Nondegenerate critical manifolds. // Annals of Mathematics, 1954,
v. 60, pp. 249-261.
[255] Calogero F. Exactly solvable one-dimensional many-body problems. // Lett.
Nuovo Cimento, 1975, v. 13, pp. 411-416.
[256] Calogero F. Solution of the one-dimensional Ar-body problems with quadratic
and/or inversely quadratic pair potentials. // J. Math. Phys. 1971, v. 12,
pp. 419 436.
[257] Casler B. G. An embedding theorem for connected 3-manifolds with boundary.
// Proc. Amer. Math. Soc. 1965, v. 16, №4, pp. 559-566.
[258] Cavicchioli A., Repovs D., Skopenkov A. An extension of the Bolsinov-Fomenko
theorem on orbital classification of integrable Hamiltonian systems. (In print).
[259] Chinburg T. Volumes of hyperbolic manifolds. //J. Diff. Geom. 1983, v. 18,
pp. 783-789.
[260] Chinburg T. A small arithmetic hyperbolic 3-manifolds. // Proc. Amer. Math.
Soc., 1987, v. 100, pp. 140-144.
[261] Clebsch A. Uber die Bewegung eines Korpers in einer Fliissigkeit. // Math.
Ann., Leipzig, 1871, №3, S. 238-262.
[262] Colin de Verdiere Y., Vey J. Le lemme de Morse isochore. // Topology, 1979,
v. 18, pp. 283-293.
[263] Cushman R. H. Geometry of the bifurcations of the Henon-Heiles family. //
Proceedings of the Royal Society, London, series A, 1982, v. 382, pp. 361-371.
[264] Cushman R. H., Bates L. M. Global aspects of Classical Integrable Systems.
Birkhauser Verlag, Basel, Boston, Berlin, 1997.
Литература
369
[265] Cushman R., Knorrer H. The energy momentum mapping of the Lagrange top.
// Lecture notes in math. 1985, v. 1136, pp. 12-24.
[266] Cushman R., van de Meer J.-C. The Hamiltonian Hopf bifurcation in the
Lagrange top. // Lecture notes in math., 1991, v. 1416, pp. 26-38.
[267] Darboux G. Sur le probleme de Pfaff. // Bulletin des Sciences Mathematique,
1882, v. 6, pp. 14-36 and pp. 48-68.
[268] Darboux G. Lecons sur la theorie generale des surfaces et les applications
geometriques du calcul infenitesimal. Paris, Gautier, Villar, 1891.
[269] Dimitrov I. Bifurcations of Invariant Manifold in the Gelfand-Dikii System. //
Physics letters A, 1992, v. 163, pp. 286-292.
[270] Dini U. Sopra un problema che si presenta nella theoria generale delle
rapprezetazioni geograpfice di unasuperficie su di unaltra // Ann. di Math.
Ser. 2, 1869, t. 3, pp. 269-293.
[271] Dirac P. Generalized Hamiltonian dynamics. // Canadian Journal of
Mathematics, 1950, v. 2, pp. 129-148.
[272] Donagi R., Markman E. Spectral Covers, Algebraically Completely Integrable
Hamiltonian Systems and Moduli of Bundles. Montccatini Tcrmc // Lecture
Notes in Math., 1993, v. 1620.
[273] Dragovich V-1. On integrable potential perturbations of the Jacobi problem
dor the geodesics on the ellipsoid. //J. Phys. A: Math. Gen. 1996, v. 29,
pp. 317 321.
[274] Dufour J.-P., Molino P., Toulet A. Classification des systems integrables en
dimension 2 et invariants des modeles de Fomenko. // C. R. Ac. Sc., 1994.
[275] Duistermaat J. J. On global action-angle variables. // Comm. Pure Appl.
Math., 1980, v. 33, pp. 678-706.
[276] Dullin H. R., Wittek A. Efficient calculation of actions. // J. Phys. A:
Math. Gen., 1994, v. 27, pp. 7461-7474.
[277] Dullin H. R., Juhnke M., Richter P. Action integrals and energy surfaces of the
Kovalevskaya top. // International Journal of Bifurcation and Chaos, 1994, v. 4,
№6, pp. 1535-1562.
[278] Dullin H. R., Wittek A. Complete Poincare sections and tangent sets. //J.
Phys. A: Math. Gen. 1995, v. 28, pp. 7157-7180.
[279] Dullin H. R., Matveev V. S., Topalov P. J. On integrals of third degree in
Momenta, (in print).
[280] Edwards С. H. Concentricity in 3-manifolds. // Trans. Amer. Math. Soc., 1964,
v. 113, №3, pp. 406-423.
370
Литература
[281] Eliasson L. H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting
integrals — elliptic case. // Comm. Math. Helv., 1990, v. 65, pp. 4-35.
[282] Euler L. Du mouvement de rotation des corps solides autour dun axe variable.
// Memoires de 1’academie des sciences de Berlin, 1758, v. 14, pp. 154-193.
[283] Farkas Hershel M., Kra Irwin. Riemann Surfaces. Springer-Verlag, 1980.
[284] Flaschka H., Ratiu T. A Morse theoretic proof of Poisson Lie Convexity.
// In: Integrable Systems and Foliations (Editors: Albert C., Brouzet R.,
Dufour J.-P.) Birkhauser, Progress in Mathematics, 1997, v. 145, pp. 49-71.
[285] Fleitas G. Classification of gradient-like flows on dimensions two and three. //
BoL Soc. Bras. Mat., 1975, v. 6, pp. 155-183.
[286] Fomenko A. T. Topological Classification of All Integrable Hamiltonian
Differential Equations of General Type with Two Degrees of Freedom. // In:
The Geometry of Hamiltonian Systems. Proc, of a Workshop Held June 5-16,
1989. Berkeley, USA, Springer-Verlag, 1991, pp. 131-339.
[287] Fomenko A. T. Integrability and Nonintegrability in Geometry and Mechanics.
Amsterdam: Kluwer Acad. Publ. 1988.
[288] Fomenko A.T. Symplcctic Geometry. (Second edition). Gordon and Breach,
1995.
[289] Fomenko A. T. The theory of invariants of multidimensional integrable
Hamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table
of all integrable systems with two degrees of freedom. In: Advances in Soviet
Mathematics. Amer. Math. Soc., 1991, v. 6, pp. 1-36.
[290] Fomenko A. T. Theory of rough classification of integrable nondegenerate
Hamiltonian differential equations on four-dimensional manifolds. Application
to classical mechanics. // In: Advances in Soviet Mathematics. Amer. Math.
Soc. 1991, v. 6, pp. 305-344.
[291] Fomenko A. T. List of all integrable Hamiltonian systems of general type with
two degrees of freedom. «Physical zone» in this table. // In: Integrable and
Superintegrable Systems. Edit. B. Kupershmidt. World Scientific Publ. Co. Ptl.
Ltd. 1990, pp. 134-164.
[292] Fomenko A.T. A new topological invariant of topological Hamiltonian systems
of differential equations and applications to problems in physics and mechanics.
// In: Mechanics, Analysis and Geometry: 200 years after Lagrange. (Edit.
M. Francaviglia). Elsevier Science Publishers В. V., 1991, pp. 127-155.
[293] Fomenko A. T. Rough classification of integrable Hamiltonians on four-
dimensional symplectic manifolds. // In: «From Topology to Computation».
Proceedings of the Smalefest. 1993. Springer-Verlag, pp. 561-586.
Литература
371
[294] Fomenko А. Т., editor. Topological Classification of Integrable Hamiltonian
Systems. // Advances in Soviet Mathematics, AMS, 1991, v. 6.
[295] Fomenko A. T., Nguen T. Z. Topological classification of integrable
nondegenerate Hamiltonians on the isoenergy three-dimensional sphere. //In:
Advances in Soviet Mathematics. Amer. Math. Soc., 1991, v. 6, pp. 267-296.
[296] Fomenko A. T., Trofimov V. V. Integrable systems on Lie algebras and
symmetric spaces. Gordon and Breach, 1988.
[297] Fomenko A. T., Matveev S. V. Computers and visualization in Hyperbolic
three-dimensional geometry and topology. In: Fomenko A. T., Kunii T. L.
Topological Modeling for Visualization. Springer-Verlag, 1997, pp. 289-307.
[298] Franks J. The periodic structure of non-sigular Morse-Smale flows. //
Comment. Math. Helv. 1978, v. 53, №2, pp. 279-294.
[299] Funk P. Uber Flachen mit lauter descglossebeb geodatischen Linien. // Math.
Ann. 1913, v. 74, pp. 278-300.
[300] Gavrilov L. Explicit solutions of the Goryachev-Chaplygin top. Доклады Бол-
гарской академии наук 1987, v. 40, №4 pp. 19-22.
[301] Gavrilov L., Ouazzani-,Jamil M.. Caboz R. Bifurcation diagrams and Fomenko’s
surgery on Lionville tori of the Kolossoff potential U = p+ —k cos ip. // Ann.
Scient. Ёс. Norm. Sup., 4-e serie, 1993, t. 26, pp. 545-564.
[302] Gavrilov L. The complex geometry of Lagrange top. // Prepublication №61
du Laboratorie de Mathematiques Emile Picard. Univeriste Toulouse III, 1995.
[303] Gavrilov L. Bifurcations of invariant manifolds in the generalized Henon-Heiles
system. /1 Physica D 34 (1989), pp. 223-239. North-Holland Physics Publishing
Division, Amsterdam.
[304] Goldstein H. Classical Mechanics. Addison-Wesley, Reading, MA, 2nd edition
1980.
[305] Guillemin V- The Radon transform on Zoll surfaces. Preprint, 1976.
[306] Guillemin V., Sternberg S. Symplectic Techniques in Physics. Cambridge
University Press, Cambridge, U.K., 1984.
[307] Hadamar M. Sur la precession dans le mouvement dun corps pesant de
revolution fixe par un point de son axe. Bulletin des Sciences Mathematiques,
1895, v. 19, pp. 228-230.
[308] Haefliger A., Reeb G. Varietes (non separees) a une dimension et structures
feuilletees du plan. // Enseign. Math., 1957, v. 3, pp. 107-126.
372
Литература
[309] Hall L. S. A theory of exact and approximate configuration invariants. //
Physica D, 1983, v. 8, pp. 90-116.
[310] Hamilton W. On a general method in dynamics by which the study of the
motions of all free systems of attracting or repelling points is reduced to
the search and differentiation of one central characteristic function. I. //
Philosophical Transactions. 1834, pp. 247-308. Mathematical Papers, v. I,
pp. 103-161. II. // Philosophical Transcations, 1835, pp. 95-114. Mathematical
Papers, v. II, pp. 162-211.
[311] Hopf H. Uber die Abbildungen der dreidimensional Spharen auf der
Kugelflache. // Mathematische Annalen, 1931, v. 104, pp. 637-665.
[312] Horozoi: E. Perturbations of the spherical pendulum and abelian integrals. //
Journal fur reine and angewandte Mathematik, 1990, v. 408, pp. 114-135.
[313] Hurwitz A., Courant R. Vorlesungen uber allgemaine Funktionen theorie und
elliptische Funktionen. Springer, Berlin, 1929.
[314] Huygens C. 1’Horloge a Pendule. Paris, 1673. Oeuvres Completes, v. 18,
pp. 69-368. English translation by R. J. Blackwell. Christiaan Huygens’ the
pendulum clock, Iowa State University Press, Ames, Iowa, 1985.
[315] Ito H. Convergence of Birkhoff normal forms for integrable systems. //
Comment. Math. Helvetic!. 1989, v. 64, pp. 412-461.
[316] Jacobi С. C. J. Vorlesungen uber Dynamic. Gesammelte Werke,
Supplementband. Berlin, 1884; G. Reimer, Berlin 1891. Reprint: Chelsea,
New York, 1967.
[317] V. V. Kalashnikov {junior). Description of the structure of Fomenko invariants
on the boundary and inside Q-domains, estimates of their number on the lower
boundary for the manifolds S'3, RP3, Sl x S'2, and T3. // In: Advances in
Soviet Mathematics. 1991, v. 6, AMS, pp. 297-304.
[318] V. V. Kalashnikov {junior). A Class of Generic Integrable Hamiltonian Systems
with Two Degrees of Freedom. Preprint №907, University Utrecht, Dept, of
Math., March 1995.
[319] Kiyohara K. Two classes of Riemannian manifolds whose geodesic flows are
integrable. // Memoirs of the Amer. Math. Soc. 1997, v. 130, №619, pp. 1-143.
[320] Kiyohara K. Compact Liouville surfaces, //J. Math. Soc. Japan, 1991, v. 43,
pp. 555-591.
[321] Knorrer H. Geodesics on quadrics and a mechanical problem of C. Neumann.
//J. Reine Angew. Math., 1982, v. 334, pp. 69-78.
[322] Knorrer H. Geodesies of the ellipsoid. // Invent. Math., 1980, v. 39,
pp. 119 143.
Литература
373
[323] Knorrer Н. Singular fibers of the momentum mapping for integrable
Hamiltonian systems. //J. Reine Angew. Math., 1985, v. 355, pp. 67-107.
[324] Kowalewski S. Sur le probleme de la rotation d’un corps solide autour d’un
point fixe. // Acta Math. v. 12, 1889, pp. 177-232.
[325] Kozlov V. V. Integrable and Nonintegrable Hamiltonian systems. // Sov. Sci.
Rev. C. Math. Phys., 1988, v. 8, pp. 1-81.
[326] Kozlov V. V., Fedorov Yu. N. Mcmoirc on Integrable Systems. Springer-Vcrlag
(in print).
[327] Lerman L. M., Umanskii Ya. L. Srtructure of the Poisson action of R2 on a
four-dimensional symplectic manifold. I, II. / / Selecta Math. Sov. 1987, v. 6,
pp. 365-396, and 1988, v. 7, pp. 39-48.
[328] Lionville J. Note sur 1’intcgration des equations dificrcnticllcs de la dynamique,
presentee au bureau des longitudes le 29 juin 1853. // Journal de
Mathematiques pures et appliquees, 1855, v. 20, pp. 137-138.
[329] Lutzen L. Joseph Liouville. New York, Springer-Verlag, 1990.
[330] Marsden J., Ratiu T. Introduction to Mechanics and Symmetry. New York,
Springer-Verlag, 1994.
[331] Marsden J., Weinstein A. Reduction of symplectic manifolds with symmetry.
// Reports on Mathematical Physics. 1974, v. 5, pp. 121-130.
[332] Matveev S. V. Three-dimensional manifolds having simple special spines. //
Colloq. Math., 1974, v. 32 pp. 83-97.
[333] Meyer K. R. Energy functions for Morse-Smale systems // Amer. J. Math.,
1968, v. 90, №4, pp. 1031-1040.
[334] Miyoshi S. Foliated round surgery of codimesion-one foliated manifolds. //
Topology, 1982, v. 21, №3, pp. 245-262.
[335] Morgan J. W. Non-singular Morse-Smale flows on 3-dimensional manifolds. //
Topology, 1979, v. 18, №1, pp. 41-53.
[336] Moser J. On the volume elements on a manifold. // Trans. Amer. Math. Soc.,
1965, v. 120, №2, pp. 286-294.
[337] Moser J. Various aspects of integrable Hamiltonian systems. // Prog. Math.,
1980, v. 8. Boston: Birkhauser, pp. 233-289.
[338] Moser J. Three integrable Hamiltonian systems connected with isospectral
deformations. // Adv. Math., 1975, v. 16, pp. 197-220.
[339] Nguen T. Z. On the complexity of integrable Hamiltonian systems on three-
dimensional isocnergy submanifolds. // In: Advances in Soviet Mathematics.
1991, v. 6, AMS pp. 229-255.
374
Литература
[340] Nguen Tien Zung. Contact 3-manifolds. Integrable Hamiltonian Systems,
and Exotic Symplectic Structures in I?4. Preprint. International Centre for
Theoretical Physics. Miramare-Trieste. August 1992.
[341] Nguen Tien Zung. Arnold-Liouville with singularities. Preprint, Ref. S.I.S.S.A.
153/94/M, October 1994 — revised January 1995.
[342] Nguen T. Z. The symplectic topology of integrable Hamiltonian systems. These.
Universite de Strasbourg, 1994.
[343] Nguen T. Z. Singularities of integrable geodesic flows on multidimensional torus
and sphere. // .1. Geometry and Physics, (to appear).
[344] Nguen Tien Zung. Decomposition of nondegenerate singularities of integrable
Hamiltonian systems. // Letters in Mathematical Physics, 1995, v. 33,
pp. 187-193.
[345] Nguen T. Z. and Polyakova L. S. A topological classification of integrable
geodesic flows of the two-dimensional sphere with quadratic in momenta
additional integral. // Journal of Nonlinear Sciences , 1992, v. 6, pp. 85-108.
[346] Okuneva G. G. Integrable Hamiltonian systems in analytic dynamics and
mathematical physics. // In: Advances in Soviet Mathematics. 1991, v. 6, AMS,
pp. 37-66.
[347] Olshanetsky M. A., Perelomov A. M. Completely integrable Hamiltonian
systems connected with semisimple Lie algebras. // Invent. Math., 1976, v. 37,
№2, pp. 93-108.
[348] Orel O.E. Topological and orbital analysis of integrable Lagrange and
Goryachev-Chaplygin problems. // In: Fomenko A. T., Kunii T. L. Topological
Modeling for Visualization. Springer-Verlag, 1997, pp. 331-347.
[349] Orlik P. Seifert manifolds. // Lecture notes in Math. 1972, v. 281. Springer
Verlag, New York.
[350] Oshemkov A. A. Fomenko Invariants for the Main Integrable Cases of the Rigid
Body Motion Equations. // Advances in Soviet Mathematics, 1991, AMS, v. 6,
pp. 67-146.
[351] Paternain G. P. On the topology of manifolds with competely integrable
geodesic flows. // Ergodic Theory and Dynamical Systems. 1992, v. 12,
pp. 109-121.
[352] Paternain G. P., Spatzier R. J. New examples of manifolds with completely
integrable geoidesic flows. // Adv. Math., 1994., v. 108, №2, pp. 346-366.
[353] Paternain G. P. Entropy and completely integrable Hamiltonian systems. //
Proc. Amer. Math. Soc. 1991, v. 113, №3, pp. 871-873.
Литература
375
[354] Peixoto М. М. On the classification of flows of 2-manifolds. // In: Dynamical
Systems. Proc. Symp. Univ, of Bahia, New York-London: Acad. Press., 1973,
pp. 389-419.
[355] Peixoto M. M. Structural stability on two-dimensional manifolds. I, II. //
Topology, 1962, v. 1, №2, pp. 101-120; Topology, 1963, v. 2, №2, pp. 179-180.
[356] Peixoto M. C., Peixoto M. M. Structural stability in the plane with enlarged
boundary conditions. // Anais Acad. Brasil. Ciencias, 1959, v. 31, №2,
pp. 135-160.
[357] Piovan L. Cyclic coverings of Abelian varietes and the Goryachev-Chapygin
top. // Math. Ann, 1992, v. 294, pp. 755-764.
[358] Poincare H. Les Methodes Nouvelles de la Mechanique Celeste. Vols. 1-3,
Gauthier-Villars, Paris, 1892/1893/1898. Reprint: Dover, New York, 1957.
[359] Poisson L. Memoire sur la variation des constantes arbitrages dans les
questions de la mechanique. // Journal de 1’Ecole Polytechnique, 1809. 8
(15 cahicr).
[360] Polyakova L. S. Topological invariants for some algebraic analogs of the Toda
lattice. // In: Advances in Soviet Mathematics. Amer. Math. Soc. v. 6, 1991,
pp.185-208.
[361] Raffy L. Determination des elements lineaires doublement harmoniques. //
J. Math. Pures Appl., ser. 4, 1894, t. 10, pp. 331-390.
[362] Reeb G. Sur les points singuliers d’une forme de Pfaff completement integrable
ou d’une founction numerique. // Comp. Rendus Acad. Sciences Paris. 1946,
v. 22, pp. 847-849.
[363] Reiman A.G., Semenov-Tian-Shansky M. A. A new integrable case of the
motion of the 4-dimcnsional rigid body. // Commun. Math. Phys. 1986, v. 105,
pp. 461-472.
[364] Russmann H. Uber das Verhalten analytischer Hamiltonscher
Differentialgleichungen in der Nahe einer Gleichwichtslosung. // Math.
Ann. 1964, v. 154, pp. 284-300.
[365] Schlichenmaier Martin. An Introduction to Riemann Surfaces, Algebraic
Curves and Moduli Spaces. // Lecture Notes in Physics, Springer-Verlag, 1989,
v. 322.
[366] Scott P. The geometries of 3-manifolds. // Bull. Amer. Math. Soc. 1983, v. 15,
pp. 401-487.
[367] Seifert H., Weber C. Die beiden Dodekaederraume. // Math. Zeitschrift, B. 37
(1933), S. 237-253.
376
Литература
[368] Selivanova Е. N. Topological classification of integrable Bott geodesic flows
on the two-dimensional torus. // In: Advances in Soviet Mathematics. Amer.
Math. Soc. 1991, v. 6, pp. 209-228.
[369] Siegel C. L. On the integrals of canonical systems. // Ann. Math., 1941, v. 42,
pp. 806.
[370] Smale S. Topology and mechanics. I. // Inventiones Mathematicae, 1970, v. 10,
pp. 305-331. II. // Inventiones Mathematicae, 1970, v. 11, pp. 45-64.
[371] Smale S. On gradient dynamical systems. // Annals of Math., 1961, v. 74,
pp. 199 206.
[372] Spatzier R. J. Riemannian Manifolds with Completely Integrable Geodesic
Flows. // Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. Amer. Math. Soc.
1993, v. 54, Part 3, pp. 599-608.
[373] Steklov V. A. Remarque sur un probleme de Clebsch sur le movement d’un corps
solide dans un liquide indefini et sur le probleme de M. de Brun. // Comptes
Rcndus de 1’Acad.sci., Paris, 1902, 135, pp. 526-528.
[374] Sternberg S. Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall, Inc. Englewood
Cliffs, N.J. 1964.
[375] Taimanov I. A. Integrable geodesic flows of non-holonomic metrics, (to appear).
[376] Takahashi S. Numerical calculation of the orbital invariant of
Goryachev-Chaplygin and Lagrange systems. In: Fomenko A. T., Kunii T. L.
Topological Modeling for Visualization. Springer-Verlag, 1997, pp. 349-377
[377] Thimm A. Integrable geodesic flows on homogeneous spaces. // Ergod. Theory
and Dynam. Syst. 1981, v. 1, №4, pp. 495-517.
[378] Thurston W. P. The Geometry and Topology of 3-Manifolds. Preprint, 1981.
[379] Thurston W. P. Three-dimensional manifolds, Kleinian groups and hyperbolic
geometry. // Bull. Amer. Math. Soc., 1982, v. 6, №3, pp. 357-381.
[380] Thurston W. P. Existence of codimension-one foliations. // Ann. Math. 1976,
v. 104, №2, pp. 249-268.
[381] Toda M. Theory of nonlinear lattices. Springer, Berlin, 1981.
[382] Topological Classification of Integrable Systems. // In: Advances in Soviet
Mathematics. Editor A.T.Fomenko. Amer. Math. Soc. 1991, v. 6.
[383] Trofimov V. V. Symplectic connections and Maslov-Arnold characteristic
classes. // In: Advances in Soviet Mathematics. Amer. Math. Soc. 1991, v. 6,
pp. 257-266.
Литература
377
[384] Vey J. Sur certain systemes dynamiques separables. // Amer. J. Math., 1978,
v. 100, pp. 591-614.
[385] Veselov A.P. Two remarks about the connection of Jacobi and Neumann
integrable systems. // Math. Zeitschrift, 1994, v. 216 pp. 337-345.
[386] Waldhausen F. Eine Klasse von 3-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. I,II. //
Invent. Math. 1967, v. 3, №4, pp. 308-333; 1967, v. 4, №2, pp. 88-117.
[387] Wang X. The C*-algebras of Morse-Smale flows on two-manifolds // Ergod.
Th. and Dynam. Sys., 1990, v. 10, pp. 565-597.
[388] Weinstein A. Symplectic geometry. // Bulletin of the American Mathematical
Society, 1981, v. 5, pp. 1-13.
[389] Weeks J. Hyperbolic structures of three-manifolds. // Ph. Dr. Thesis.
Department of Mathematics, Princeton University, 1985.
[390] Whittaker E. T. A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid
Bodies. Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1937.
[391] Williamson J. On the algebraic problem concerning the normal forms of linear
dynamical systems. // Amer. J. Math., 1936, v. 58, № 1, pp. 141-163.
[392] Williamson J. On the normal forms of linear canonical transformations in
dynamics. // American Journal of Mathematics, 1937, v. 59, pp. 599-617.
[393] Yamato Kazuo. A class of Riemannian manifolds with integrable geodesic flows.
//J. Math. Soc. Japan. 1995, v. 47, №4, pp. 719-733.
[394] Yehia H. M. New integrable cases in dynamics of rigid bodies. // Meeh. Res.
Com. 1986, v. 13(3), pp. 169-172.
[395] Zoll O. Uber Flachen mit Scharen geschlossener geodatischen Linien. // Math.
Ann., 1903, 57, pp. 108-133.
Дополнительная литература
[396] Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространст-
ва. М.: Мир, 1964.
[397] Калашников В. В. (мл.). Типичные интегрируемые гамильтоновы системы
на четырехмерном симплектическом многообразии. // Известия РАН, се-
рия матем., 1998, т. 62, вып. 2, с. 49-74.
[398] Богоявленский О. И. Интегрируемые случаи динамики твердого тела и ин-
тегрируемые системы на сферах Sn. // Известия АН СССР, серия матем.,
1985, т. 49, №5, с. 899-915.
[399] Веселов А. П. Уравнение Ландау-Лифшица и интегрируемые системы клас-
сической механики. // Доклады АН СССР, 1983, т. 270, №5, с. 1094-1097.
378
Литература
[400] Елеонский В. М., Кулагин Н. Е. О новых случаях интегрируемости уравне-
ний Ландау-Лифшица. // ЖЭТФ, 1983, т. 83, №2, с. 616-629.
[401] Babenko I. К. Les flots geodesiques quadratiquement integrables sur les surfaces
fermees et les structures complexes correspondantes. // Preprint, Inst, de
Recherche Math. Avancee, Strasburg.
[402] Матвеев В. С., Ошемков А. А. Алгоритмическая классификация инвариант-
ных окрестностей точек типа седло-седло. // Вестник МГУ, серия матем.,
1998 (в печати).
[403] Матвеев В. С., Топалов П. И. Геодезическая эквивалентность метрик на
поверхностях и их интегрируемость. // Доклады РАН, 1998 (в печати).
[404] Кудрявцева Е.А. Приведение функций Морса на поверхностях к канони-
ческому виду путем гладкой деформации. // Регулярная и хаотическая
динамика. 1998 (в печати).
[405] Матвеев В. С., Топалов П. Метрика на сфере, геодезически эквивалентная
метрике постоянной кривизны, сама является метрикой постоянной кри-
визны. // Вестник МГУ, серия матем., 1998, №5, с. 57-59.
Приложение 1
О классификации потоков Морса—Смейла на
двумерных многообразиях
Введение
В настоящем приложении описывается один из возможных способов клас-
сификации потоков Морса-Смейла на замкнутых двумерных многообразиях с
точностью до гомеоморфизма, сохраняющего траектории потока.
Вопросы, связанные с качественным исследованием динамических систем
на двумерных многообразиях (в частности, классификация таких систем), об-
суждались многими авторами. Первые важные результаты в этом направле-
нии были получены в работах А. А. Андронова, Л. С. Понтрягина, Е. А. Леонтович,
А.Г.Майера (см. [1], [5], [6], [7], а также [2], [3], [11] об истории вопроса). В этих
работах исследовались векторные поля достаточно общего вида. В дальнейшем
Смейл (S. Smale) [9, 10] выделил класс потоков (названных впоследствии потока-
ми Морса-Смейла), которые на двумерном многообразии, с одной стороны, явля-
ются типичными, а с другой стороны, имеют простое качественное описание. В
настоящем приложении рассматриваются только замкнутые (т. е. компактные,
без границы) многообразия, поэтому в дальнейшем «двумерное многообразие»
или «поверхность» означает «замкнутое двумерное многообразие».
В работе [19] Пейксото (M.Pcixoto) ввел понятие «различающего графа», со-
поставляемого произвольному потоку Морса-Смейла, и сформулировал теорему
о том, что этот граф является полным топологическим инвариантом, классифи-
цирующим потоки Морса-Смейла на двумерных многообразиях с точностью до
траекторной топологической эквивалентности (точные определения см. в §1).
В работе [19] доказана теорема реализации для таких графов и тем самым, как
утверждает Пейксото, «задача классификации потоков Морса-Смейла на двумер-
ных многообразиях сводится к задаче классификации различающих графов».
Однако инвариант, предъявленный Пейксото, имеет сложное описание. Поэ-
тому трудно реализовать алгоритм сравнения двух таких графов или, например,
алгоритм их перечисления для малого количества вершин. Более того, описан-
ный Пейксото «различающий граф» является полным траекторным топологичес-
ким инвариантом на самом деле лишь для потоков Морса-Смейла без предель-
ных циклов (иногда такие потоки называют потоками Морса). Утверждение о
том, что классы эквивалентности потоков Морса-Смейла находятся во взаимно-
однозначном соответствии с различающими графами, в самой работе [19] не до-
казывается, но приводится ссылка на работу [21], где, как говорит Пейксото, «с
точностью до обозначений доказана содержательная часть этого утверждения».
Однако все рассуждения в работе [21] проводятся для достаточно близких пото-
ков, и некоторые из них становятся неверными, если отбросить это условие. Для
380
Приложение 1
потоков Морса-Смейла с предельными циклами различающий граф Пейксото яв-
ляется инвариантом, но не полным, т.е. существуют траекторно топологически
не эквивалентные потоки с одинаковым различающим графом (см. пример 6 и
предшествующее ему обсуждение).
Позже появились другие описания инварианта Пейксото или похожих ин-
вариантов. Так, например, Флейтас (G.Fleitas) в работе [17] описал некоторый
инвариант для потоков Морса на двумерных многообразиях. Подход Флейтаса
отличается от подхода Пейксото, а предъявленный в работе [17] инвариант су-
щественно проще, чем инвариант Пейксото (см. §2).
В работе Вонга (X.Wang) [23] также предъявляется более простой, чем у
Пейксото, инвариант для потоков Морса-Смейла на ориентируемых двумерных
многообразиях. Но поскольку Вонг строит свой инвариант на основе работы
Пейксото, этот новый инвариант также является полным инвариантом лишь для
потоков Морса. Теорема 4.14 работы [23], утверждающая, что этот инвариант
классифицирует потоки Морса-Смейла общего вида на двумерных многообрази-
ях, неверна (в работе [23] она не доказывается).
Итак, коротко сформулируем сказанное выше:
1) инвариант Пейксото, построенный для произвольных потоков Морса-Смей-
ла на произвольных поверхностях, является полным траекторным тополо-
гическим инвариантом на множестве потоков Морса;
2) инвариант Флейтаса является полным траекторным топологическим инва-
риантом для потоков Морса на произвольных поверхностях;
3) инвариант Вонга, построенный для произвольных потоков Морса-Смейла
на ориентируемых поверхностях, является полным траекторным топологи-
ческим инвариантом для потоков Морса на ориентируемых поверхностях.
Одна из целей настоящего приложения — дать аккуратное описание пол-
ного траекторного топологического инварианта, классифицирующего произволь-
ные потоки Морса-Смейла на произвольных двумерных многообразиях.
Другая цель заключается в следующем. В работах А. Т. Фоменко [13, 14] бы-
ла получена классификация особенностей боттовских интегралов на изоэнергети-
ческих поверхностях гамильтоновой системы с двумя степенями свободы. Поз-
же достаточно удобное и формальное описание этой классификации было дано
в работе [4], где были введены понятия атомов и молекул. Разработанный под-
ход, терминология, система обозначений оказались удобными для классифика-
ции не только интегрируемых гамильтоновых систем, но и других естественных
геометрических объектов. Так, например, в работе [8] на языке атомов описа-
на топологическая классификация функций Морса на двумерных поверхностях.
В настоящей работе классификация потоков Морса-Смейла также проводится в
терминах атомов и молекул. Сначала классифицируются каким-то образом до-
статочно простые объекты (атомы), затем описываются правила «склейки» более
сложных объектов (молекул) из этих атомов и, наконец, классифицируются моле-
кулы. Для траекторной классификации потоков Морса достаточно пользоваться
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
381
атомами, а для классификации потоков Морса-Смейла уже потребуются молеку-
лы. Тем самым язык атомов и молекул оказывается чрезвычайно полезным не
только в симплектической геометрии и гамильтоновой механике, но и в данной
задаче.
Таким образом, вторая цель настоящего приложения — продемонстриро-
вать, как указанный подход может быть применен к решению задачи траек-
торной топологической классификации потоков Морса-Смейла на двумерных по-
верхностях. Отметим, что некоторые идеи, используемые в настоящем приложе-
нии, были реализованы также в работе [16], но в другой форме.
В § 1 строится инвариант для потоков Морса (трехцветный граф) и дока-
зывается, что этот инвариант классифицирует потоки Морса на двумерных по-
верхностях с точностью до траекторной топологической эквивалентности (тео-
рема 1.1). Этот инвариант основан на понятии атома, введенном в работе [4] для
классификации интегрируемых гамильтоновых систем. Далее доказывается тео-
рема реализации (теорема 1.2) и, в частности, описываются инварианты, класси-
фицирующие потоки Морса на двумерной поверхности данного топологического
типа (теорема 1.3). В §2 дано описание других траекторных топологических ин-
вариантов и, в частности, их выражение через трехцветный граф. Кроме того,
здесь описана связь между классификацией потоков Морса и классификацией
функций Морса на двумерных поверхностях (теорема 1.4). В §3 строится инва-
риант (v-молекула), классифицирующий потоки Морса-Смейла с точностью до
траекторной топологической эквивалентности (теоремы 1.5, 1.6, 1.7).
§ 1. Классификация потоков Морса
В этом параграфе описано построение траекторного топологического инвари-
анта, классифицирующего потоки Морса-Смейла без периодических траекторий.
1.1. Основные определения.
В настоящем приложении мы рассматриваем только гладкие векторные поля
(потоки) на замкнутых двумерных многообразиях (поверхностях). В настоящем
Приложении ссылки даются на отдельный список литературы, помещенный в
конце Приложения.
Напомним некоторые определения. По поводу основных понятий, связанных
с векторными полями, см., например, [11].
Определение 1.1. Векторные поля щ на поверхности Mi и г>2 на поверхнос-
ти М2 называются топологически траекторно эквивалентными, если существу-
ет гомеоморфизм h: Mi —> М2, переводящий траектории векторного поля Vi в
траектории поля ц2 с сохранением ориентации на траекториях.
Разумеется, задача классификации всех гладких векторных полей на поверх-
ности представляется необозримой, если не накладывать никаких дополнитель-
ных ограничений на характер особенностей. Уже локальная задача классифи-
кации весьма нетривиальна, не говоря уже о классификации на поверхности в
целом. Поэтому естественно решать задачу классификации в некотором классе
382
Приложение 1
типичных векторных полей. В качестве такого класса мы будем рассматривать
так называемые грубые векторные поля.
Определение 1.2. Векторное поле v на многообразии М называется грубым,
если при малом возмущении поля v топологическое поведение его траекторий не
меняется, т. е. после возмущения поле топологически траекторно эквивалентно
исходному.
Замечание 1. Строго говоря, в определении грубости векторного поля надо указывать,
в каком классе производится возмущение. Как уже было сказано, мы рассматриваем
только гладкие векторные поля, т. е. поля класса С1. Отметим также, что в этом случае
можно не делать различия между векторными полями и потоками. В дальнейшем эти
термины употребляются как синонимы.
На компактном двумерном многообразии грубыми векторными полями яв-
ляются в точности поля Морса-Смейла. Это — теорема М. Пейксото (см. [20],
[21], [10]). Этот класс полей был впервые рассмотрен в работе [9] для много-
образий произвольной размерности. Для поверхностей можно определить поля
Морса-Смейла следующим образом.
Определение 1.3. Векторное поле v на замкнутой двумерной поверхности на-
зывается полем Морса-Смейла, если
1) v имеет конечное число особых точек и периодических траекторий, причем
все они гиперболические;
2) не существует траекторий, идущих из седла в седло;
3) для каждой траектории поля v ее a-предельное и w-предельное множества
являются либо особой точкой, либо периодической траекторией (предель-
ным циклом).
Важным этапом при траекторной классификации потоков Морса-Смейла на
поверхностях является классификация потоков Морса-Смейла без периодических
траекторий. Мы будем называть такие потоки потоками Морса.
Замечание 2. Потоки Морса имеют также другое естественное описание. Это в точ-
ности градиенто-подобные потоки без сепаратрис, идущих из седла в седло [22]. Здесь
поток называется градиенто-подобным, если он топологически траекторно эквивален-
тен потоку grad/ для некоторой функции f и некоторой римановой метрики gtj на
многообразии М. См. также замечание 5.
Замечание 3. Имеется ровно один (с точностью до топологической траекторной экви-
валентности) поток Морса без седловых особых точек на связной замкнутой поверх-
ности. Это векторное поле v на сфере S2, которое можно описать следующим образом:
v = grad/, где сфера стандартно вложена в трехмерное пространство, метрика на ней
индуцирована евклидовой метрикой, а функция f есть ограничение линейной функции
(иногда такой поток называют северо-южным). Все потоки, топологически траектор-
но эквивалентные описанному потоку, будем называть простейшими. Если многообра-
зие М несвязно, то (для краткости) фраза «поток Морса на М отличен от простейшего»
будет означать, что поток не является простейшим ни на одной из компонент связности
многообразия М.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях 383
1.2. Построение инварианта.
Опишем теперь некоторый инвариант, траекторно классифицирующий пото-
ки Морса на двумерных поверхностях.
Определение 1.4. Граф Т назовем трехцветным графом, если все его вершины
имеют степень 3, а ребра раскрашены в три цвета таким образом, что в каждой
вершине сходятся ребра трех разных цветов. Цвета будем обозначать буквами в,
t, и. Два трехцветных графа назовем изоморфными, если они изоморфны с сохра-
нением раскраски (т. е. при изоморфизме ребра, помеченные буквами s, t, и пе-
реходят в ребра, помеченные теми же буквами). Для краткости будем называть
эти ребра в-ребрами, t-ребрами и и-ребрами.
Опишем процедуру сопоставления каждому потоку Морса (отличному от
простейшего) некоторого трехцветного графа.
Пусть v — поток Морса на поверхности М, имеющий хотя бы одну сед-
ловую особую точку. Разрезая М вдоль всех сепаратрис потока v, мы разобьем
поверхность на канонические области, имеющие вид, изображенный на рис. 1(a).
Каждая такая область (после разрезания) представляет собой четырехугольник,
вершины которого — особые точки поля v (один источник, один сток и два седла),
а стороны — сепаратрисы поля v. При этом в многообразии М четырехуголь-
ник может «вырождаться», т. е. разные стороны этого четырехугольника могут
соответствовать одной и той же сепаратрисе (рис. 1(b)).
а) Ь) с)
Рис. 1
Как вырожденные, так и невырожденные четырехугольники будем называть
каноническими четырехугольниками. Все остальные траектории поля v, располо-
женные в таком четырехугольнике, «начинаются» в вершине-источнике и «за-
канчиваются» в вершине-стоке. Зафиксируем в каждом четырехугольнике одну
из таких траекторий. Вместе с сепаратрисами они разбивают многообразие М
на треугольники. При этом стороны одного треугольника уже не могут быть
«склеены» между собой в многообразии М. Это легко следует из того, что сторо-
ны каждого треугольника образованы тремя траекториями разных типов: тра-
ектория, идущая из источника в седло, траектория, идущая из седла в сток, и
траектория, идущая из источника в сток. Будем называть такие траектории со-
ответственно в-траекториями, и-траекториями и t-траекториями (рис. 1(c)).
Отметим, что t-траектории определены неоднозначно.
Построим трехцветный граф Т, соответствующий полученному разбие-
нию М на треугольники следующим образом:
384
Приложение 1
1) вершины графа Т взаимно однозначно соответствуют треугольникам;
2) если два треугольника имеют общую сторону, образованную а-траектори-
ей, t-траекторией или «-траекторией, то соединим соответствующие этим
треугольникам вершины графа Т ребром с меткой s, t или и соответствен-
но.
Пример 1. На рис. 2 показан пример построения трехцветного графа по пото-
ку Морса на двумерной сфере. В данном примере поток имеет два источни-
ка, два седла и два стока (на рисунке один из них расположен на «задней»,
невидимой стороне сферы). На рис. 2(a) изображены траектории самого век-
торного поля, причем жирными линиями выделены сепаратрисы. На рис. 2(6)
от векторного поля остались лишь сепаратрисы (s-траектории и «-траектории)
и траектории, разделяющие канонические четырехугольники на треугольники
(t-траектории). Жирными линиями на рис. 2(b) изображен трехцветный граф.
На рис. 2(c) построенный трехцветный граф изображен как абстрактный (не
вложенный в поверхность) граф.
а) Ь) с)
Рис. 2
Лемма 1.1. При описанном выше сопоставлении трехцветного графа потоку
Морса
1) результат не зависит от выбора t-траекторий в каждом каноническом че-
тырехугольнике;
2) топологически траекторно эквивалентным потокам Морса сопоставляют-
ся изоморфные трехцветные графы.
Доказательство.
Первое утверждение леммы очевидно. Далее, пусть h — гомеоморфизм,
устанавливающий топологическую траекторную эквивалентность потоков щ и v%
Так как h переводит канонические четырехугольники потока «1 в канонические
четырехугольники потока «2 (в частности, сепаратрисы потока щ — в сепарат-
рисы потока vz), то, учитывая первое утверждение леммы, можно предполагать,
что h переводит треугольники одного потока в треугольники другого потока.
Лемма доказана.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
385
1.3. Теорема классификации
Утверждение леммы 1.1 означает, что мы построили некоторый топологичес-
кий траекторный инвариант потоков Морса на двумерных поверхностях. Трех-
цветный граф, соответствующий потоку v, будем обозначать Т(у). Следующая
теорема показывает, что построенный инвариант является полным топологичес-
ким траекторным инвариантом для потоков Морса на поверхностях.
Теорема 1.1. Два потока Морса щ и V? (отличные от простейшего) на дву-
мерных поверхностях Mi и М2 топологически траекторно эквивалентны тогда
и только тогда, когда соответствующие им трехцветные графы T(yi) и Т(х>2)
изоморфны.
Доказательство.
В одну сторону теорема уже доказана (лемма 1.1). Предположим теперь,
что трехцветные графы T(yi) и Tfa) изоморфны. Этот изоморфизм индуцирует
биекцию между треугольниками многообразия Mi и треугольниками многооб-
разия М2. В силу определения графа Т(у), эта биекция согласована с пересечени-
ями треугольников: если два треугольника многообразия М± имеют общую сто-
рону (общую вершину), то соответствующие два треугольника многообразия М2
также имеют общую сторону (общую вершину) того же типа. Напомним, что по
построению вершинами каждого треугольника являются источник, седло и сток,
что и определяет тип каждой вершины и каждой стороны. Таким образом, име-
ющаяся биекция между треугольниками однозначно определяет биекцию между
вершинами треугольников, т. е. между особыми точками потока щ и особыми
точками потока Vz, причем эти биекции согласованы.
Гомеоморфизм ht Mi —> М2, устанавливающий топологическую траектор-
ную эквивалентность потоков щ и vz, строится следующим образом:
1) в особых точках потока vi отображение h определено указанной биекцией;
2) отображение h продолжается на сепаратрисы потока 14 так, чтобы каждая
из них гомеоморфно отображалась в соответствующую сепаратрису пото-
ка V2',
3) для каждого канонического четырехугольника (рис. 1(a)) потока Vi отобра-
жение h, заданное на его границе (и отображающее ее в границу некоторого
канонического четырехугольника потока «2), продолжается на весь канони-
ческий четырехугольник так, чтобы это был гомеоморфизм, переводящий
траектории в траектории.
Существование требуемого продолжения на последнем шаге несложно дока-
зать стандартными методами (см., например, [7], [21]). Теорема доказана.
1.4. Реализация инвариантов
Рассмотрим произвольный трехцветный граф Т. Очевидно, если выбросить
из графа Т все ребра какого-нибудь одного цвета, то он распадется в несвязное
386
Приложение 1
объединение циклов, образованных ребрами других двух цветов. Циклы, полу-
чающиеся в результате выбрасывания s-ребер (соответственно t-ребер, «-ребер),
будем называть tu-циклами (соответственно зи-циклами, st-циклами).
Следующая теорема описывает множество допустимых инвариантов T(v)
(т.е. множество значений инварианта Т).
Теорема 1.2. Трехцветный графТ соответствует некоторому потоку Морса v
на двумерной поверхности тогда и только тогда, когда все его su-циклы имеют
длину 4.
Доказательство.
Хотя трехцветный граф Т(«), сопоставляемый потоку Морса г> на поверх-
ности М, строится как абстрактный граф, его можно естественным образом
вложить в поверхность М как граф, двойственный графу, ребрами которого яв-
ляются s-траектории, t-траектории и «-траектории (см. пример на рис. 2). При
таком вложении граф Т(«) разбивает поверхность М на односвязные области,
в каждой из которых находится ровно одна особая точка потока «. При этом
граница каждой такой области является з«-циклом, st-циклом или tu-циклом
графа Т(у), т.е. состоит из 2А: ребер графа Т(у) ровно двух цветов, где 2А: —
количество треугольников, для которых данная особая точка является верши-
ной. Ясно, что su-циклы ограничивают седла, st-циклы ограничивают источни-
ки, а tu-циклы ограничивают стоки. На рис. 3 изображено вложение графа T(v)
в окрестности седла, источника и стока (жирные траектории опять изображают
сепаратрисы, а пунктирные — t-траектории).
Из этого замечания сразу следует необходимость условия на длины su-цик-
лов графа Т(«), поскольку каждая седловая особая точка потока Морса « являет-
ся вершиной ровно четырех треугольников. Докажем теперь достаточность этого
условия.
Опишем сначала некоторый «стандартный» треугольник с заданным на нем
потоком требуемого вида. Для этого рассмотрим векторное поле «о на плоскости,
которое в декартовых координатах (х, у) записывается так: «о = (вштгж, зштгу).
Легко проверить, что поле «0 является полем Морса. Его особые точки — это
в точности все точки целочисленной решетки плоскости (ж, у), причем точки с
двумя четными координатами — источники, точки с двумя нечетными коор-
динатами — стоки, а точки с координатами разной четности — седла потока,
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
387
определяемого полем vq. Сепаратрисы поля «о направлены вдоль прямых, па-
раллельных координатным осям. В качестве t-траекторий можно взять соответ-
ствующие диагонали квадратов, на которые сепаратрисы разбивают плоскость.
Сепаратрисы и t-траектории разбивают плоскость на «одинаковые» стандартные
треугольники.
Рассмотрим теперь некоторый трехцветный граф Т, все su-циклы которого
имеют длину 4, и построим поверхность М с потоком Морса v так, чтобы граф Т
был инвариантом этого потока. Для этого возьмем стандартные треугольники (в
количестве, равном количеству вершин графа Т) и склеим их в соответствии с
метками, стоящими на ребрах графа Т: если две вершины графа Т соединены
ребром с меткой я, t или и, то треугольники, соответствующие этим вершинам,
склеиваем вдоль сторон, образованных соответственно s-траекториями, t-траек-
ториями или «-траекториями.
После всех склеек мы получим некоторое многообразие М с потоком v. Во
всех точках, кроме источников и стоков, построенный поток будет гладким от-
носительно гладкой структуры, заданной на склеиваемых треугольниках. В ис-
точниках и стоках надо «сгладить» многообразие М так, чтобы поток стал глад-
ким. Для рассматриваемых стандартных треугольников эту процедуру можно
описать следующим образом. Рассмотрим некоторый источник построенного по-
тока v (случай стока рассматривается аналогично). Пусть эта точка является
вершиной 2А: треугольников (отметим, что при к = 4 поток будет гладким в
окрестности этого источника). На стандартном треугольнике заданы декартовы
координаты (ж, у). Введем на нем (в окрестности источника) новые координа-
ты (г, ф) по формулам:
tg = Г cos ф
tg ~2~ = гвтф
В координатах (г, ф) векторное поле «0 на стандартном треугольнике имеет
вид г = тгг. ф = 0. Такой же вид имеет линейное векторное поле с матрицей (J ®)
на плоскости в полярных координатах. Рассмотрим стандартный треугольник с
вершинами (0, 0), (1, 0). (1. 1). Отображение (г, ф) —> (г, переводит окрест-
к
ность г < е вершины (0, 0) этого треугольника в сектор 0 ф
7Г
к’
р < е
на плоскости с полярными координатами (р, ф). Определив аналогичным обра-
зом отображение на всех 2к треугольниках, примыкающих к рассматриваемому
источнику, получим гомеоморфизм окрестности источника в многообразии М
на двумерный диск. Зададим таким образом гладкую структуру на многообра-
зии М в окрестности всех источников и стоков. Легко проверяется, что в резуль-
тате мы получим гладкое многообразие М, на котором поток v будет потоком
Морса.
Очевидно, что трехцветный граф для построенного потока Морса v на мно-
гообразии М есть в точности исходный граф Т. Теорема 1.2 доказана.
Мы доказали, что трехцветные графы с з«-циклами длины 4 находятся в ес-
тественном взаимно-однозначном соответствии с классами топологической тра-
388
Приложение 1
екторной эквивалентности потоков Морса (имеющих седловые особые точки).
В частности, по трехцветному графу Т(у) можно определить топологический
тип двумерного многообразия М, на котором задан поток v. Следующая теорема
показывает, как это сделать явно, и тем самым описывает множество допусти-
мых инвариантов T(v) для любого заданного двумерного многообразия М.
Для произвольного трехцветного графа Т обозначим через m0(T), т-ДТ)
и mzfT) соответственно количество его st-циклов, sw-циклов и tu-циклов.
Теорема 1.3. Пусть T(v) — инвариант потока Морса v, заданного на поверх-
ности М. Тогда
1) эйлерова характеристика поверхности М равна
Х(М) = mo(T(v)) - + m2(T(v));
2) поверхность М ориентируема тогда и только тогда, когда граф Т(у) (без
учета раскраски) не имеет циклов нечетной длины.
Доказательство.
Из рассуждения, приведенного в начале доказательства теоремы 1.2, полу-
чаем, что число источников, число седел и число стоков потока v равны соответ-
ственно mo(T(v)), mi(T(y)) и m2(T(v)). Отсюда сразу следует утверждение (1)
теоремы, поскольку это просто формула для суммы индексов особых точек по-
ля V.
Докажем теперь утверждение (2). Поверхность М, на которой задан рас-
сматриваемый поток Морса г>, ориентируема тогда и только тогда, когда все
треугольники, на которые она разбита сепаратрисами и t-траекториями, мож-
но согласованно ориентировать. Ориентацию каждого канонического треуголь-
ника можно задавать, выбирая один из двух возможных циклических поряд-
ков его вершин: «источник» «седло» «сток» или <<сток»-«седло»-«источник». Будем
считать, что треугольнику приписана метка (+1) в первом случае и метка (—1)
во втором случае. Легко понять, что ориентации двух треугольников, имеющих
общую сторону, будут согласованы тогда и только тогда, когда им приписаны
разные метки. Поскольку между треугольниками поверхности М и вершинами
графа T(v) фиксирована некоторая биекция, условие ориентируемости рассмат-
риваемой поверхности М можно сформулировать следующим образом: поверх-
ность М ориентируема тогда и только тогда, когда вершинам графа Т(г>) можно
приписать метки (±1) таким образом, чтобы любые две вершины, соединенные
ребром, имели разные метки. Назовем такую расстановку меток в вершинах
графа правильной.
Для завершения доказательства теоремы осталось доказать следующую
простую лемму.
Лемма 1.2. Для произвольного графа Г следующие два условия эквивалентны:
1) граф Г не имеет циклов нечетной длины;
2) существует правильная расстановка меток (±1) в вершинах графа Г.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях 389
Доказательство.
То, что из (2) следует (1), очевидно, так как в вершинах цикла нечетной
длины нельзя правильно расставить метки (±1). Обратно, если граф Г не имеет
циклов нечетной длины, то правильно расставить метки в его вершинах можно
следующим образом: возьмем некоторую вершину Vo и поставим в ней мет-
ку (+1); для любой другой вершины V) рассмотрим какой-нибудь путь из вер-
шины Vq в вершину Vj и поставим в ней метку (+1), если этот путь четной
длины, и метку (—1), если он нечетной длины. Лемма доказана.
1.5. Ориентируемый случай.
При классификации потоков Морса-Смейла (с периодическими траектори-
ями) мы будем выбирать некоторые ориентации на всех st-циклах и tu-циклах
трехцветных графов. В общем случае нет никакого естественного способа вы-
брать эти ориентации. Однако для трехцветных графов, соответствующих ориен-
тируемым поверхностям, эти ориентации можно выбрать согласованно в смысле
следующего определения.
Определение 1.5. Будем говорить, что ориентации st-циклов и tw-циклов трех-
цветного графа Т согласованы, если они индуцируют одну и ту же ориентацию
на каждом sw-цикле.
Лемма 1.3. Согласованно ориентировать все st-циклы и tu-циклы связного трех-
цветного графа Т можно тогда и только тогда, когда граф Т не имеет циклов
нечетной длины. При этом для таких графов существуют ровно две согласован-
ные ориентации, получающиеся друг из друга изменением ориентаций на всех
циклах.
Доказательство.
Пусть все st-циклы и tw-циклы трехцветного графа Т согласованно ориен-
тированы. В частности, задана ориентация на всех s-ребрах графа Т. Припишем
начальным вершинам s-ребер метки (—1), а конечным вершинам s-ребер — мет-
ки (+1). Легко понять, что эта расстановка меток будет правильной, а, значит,
по лемме 1.2, граф Т не имеет циклов нечетной длины.
Обратно, пусть граф Т не имеет циклов нечетной длины. Тогда, рассматри-
вая правильную расстановку меток в вершинах графа Т, ориентируем s-ребра от
вершины с меткой (—1) к вершине с меткой (+1), а ы-ребра — от вершины с мет-
кой (+1) к вершине с меткой (—1). Эти ориентации s-ребер и w-ребер, очевидно,
индуцируют согласованные ориентации всех st-циклов и tw-циклов.
Второе утверждение леммы очевидно, так как согласованные ориентации
однозначно определены, если задана ориентация хотя бы одного s-ребра. Лемма
доказана.
§ 2. Сравнение инвариантов
Для траекторной классификации потоков Морса можно использовать упомя-
нутые во введении инвариант Пейксото, инвариант Флейтаса или (для ориенти-
390
Приложение 1
руемых поверхностей) инвариант Вонга. В этом параграфе мы кратко опишем
эти инварианты и проведем их сравнение.
Все потоки Морса без седловых особых точек топологически траекторно эк-
вивалентны (замечание 3). Поэтому при описании инвариантов в этом параграфе
мы рассматриваем только потоки Морса, имеющие седловые особые точки.
2.1. Инвариант Пейксото
Инвариант, предложенный Пейксото в работе [19], можно описать следую-
щим образом. Как уже отмечалось при построении инварианта T(v) в § 1, по-
верхность М после разрезания ее по сепаратрисам рассматриваемого потока v
распадается на канонические четырехугольники. Иначе говоря, поток Морса v
определяет клеточное разбиение двумерного многообразия М (по поводу опре-
делений, связанных с клеточными пространствами, см., например, [12]). Нуль-
мерные клетки этого разбиения — особые точки потока -р, одномерные клетки —
замыкания сепаратрис, двумерные клетки — замыкания канонических четырех-
угольников (в многообразии М). Для того, чтобы описать поток v с точностью
до топологической траекторной эквивалентности, достаточно предъявить одно-
мерный остов рассмотренного клеточного разбиения и указать, каким образом
к нему приклеиваются двумерные клетки (на которых поток уже задан). По су-
ществу, это и есть инвариант Пейксото для потоков Морса.
Более точно, инвариант Пейксото, который
он называет различающим графом, есть граф с
ориентированными ребрами, вершины которо-
го расположены на трех уровнях так, что каж-
дое ребро направлено либо от вершины первого
уровня к вершине второго уровня, либо от вер-
шины второго уровня к вершине третьего уров-
ня, причем для каждой вершины второго уров- а)
ня имеется ровно два входящих в нее ребра и
, , Рис. 4
ровно два выходящих из нее ребра (вершины
первого, второго и третьего уровней соответствуют источникам, седлам и сто-
кам). Кроме того, в этом графе выделены некоторые подграфы четырех типов
(они изображены на рис. 4), так что выполнены некоторые специальные усло-
вия (заметим, что к каждому выделенному подграфу однозначно приклеивается
канонический четырехугольник, так, чтобы ориентации на ребрах подграфа и
сторонах четырехугольника были согласованы). Мы не будем приводить здесь
список этих условий. В работе [19] они выписаны явно, и их формулировка за-
нимает достаточно много места. Смысл этих условий проясняет теорема реали-
зации (теорема 5.1 работы [19]), доказательство которой и составляет основное
содержание статьи [19]. Эта теорема показывает, что все вместе эти условия
равносильны следующему: если приклеить канонические четырехугольники ко
всем выделенным подграфам, то должно получиться замкнутое двумерное мно-
гообразие.
Пример 2. На рис. 5 показано, как выглядит инвариант Пейксото для потока
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях 391
Морса, рассмотренного в примере 1. В данном случае различающий граф состо-
ит из шести вершин (по две на каждом уровне) и восьми ребер (см. рис. 5(a)),
и в нем выделено 4 подграфа (см. рис. 5(b)). Если приклеить 4 канонических че-
тырехугольника к этим подграфам, то получится поток на сфере, изображенный
на рис. 2(a).
а) Ь)
Рис. 5
Инвариант Пейксото и трехцветный граф, рассмотренный в предыдущем
параграфе, выражаются друг через друга, поскольку они являются полными то-
пологическими инвариантами потоков Морса. Опишем построение различающего
графа Пейксото по данному трехцветному графу.
Пусть Т — трехцветный граф, являющийся инвариантом некоторого пото-
ка Морса. Различающий граф, соответствующий графу Т, строится следующим
образом:
1) каждому st-циклу графа Т поставим в соответствие вершину первого уров-
ня различающего графа, каждому зы-циклу — вершину второго уровня, а
каждому tw.-циклу — вершину третьего уровня;
2) для каждого з-ребра (a-ребра) графа Т, соединим ребром те вершины раз-
личающего графа, которые соответствуют st-циклу (tu-циклу) и зи-циклу,
содержащим данное s-ребро (ы-ребро);
3) каждому t-ребру графа Т сопоставим выделенный подграф построенного
различающего графа, четыре (три) ребра которого соответствуют четырем
(трем) ребрам графа Т, пересекающимся с данным t-ребром.
d)
а) Ь) с)
Рис. 6
На рис. 6 изображены все возможные «окрестности» t-ребра в трехцветном гра-
фе Т, являющемся инвариантом некоторого потока Морса. Четыре варианта
(a)-(d) на рис. 6 соответствуют четырем типам подграфов (a)-(d) на рис. 4.
392
Приложение 1
Отметим, что, в силу утверждения (2) теоремы 1.3, случай (d) возникает только
на неориентируемых поверхностях.
2.2. Инвариант Флейтаса.
Опишем теперь инвариант Флейтаса для потоков Морса, предложенный в ра-
боте [17]. Рассмотрим вокруг каждого источника маленькую окружность, транс-
версальную потоку, и отметим на ней точки пересечения с сепаратрисами. Пос-
ле этого припишем всем точкам на всех окружностях некоторые метки, причем
тем точкам, для которых соответствующие им сепаратрисы входят в одно и то
же седло, припишем одинаковые метки. Кроме того, для каждой пары точек с
одинаковыми метками указывается «спин». Спин изображается стрелками, по-
казывающими направление движения вдоль окружностей в окрестности каждой
отмеченной точки. Эти стрелки расставляются так, что, если некоторую пару
точек с одинаковыми метками «сдвинуть» вдоль стрелок и выпустить из полу-
ченных точек траектории потока, то эти траектории после прохождения «возле
седловой точки» пойдут «в одну сторону» (см. рис. 7). Если для некоторой пары
точек с одинаковыми метками изменить направления обеих стрелок на проти-
воположные, то, по определению, они будут изображать тот же спин для этой
пары точек.
а) Ь)
Рис. 7
Таким образом, инвариант Флейтаса для потока Морса (он называет его
«циклические распределения раскрашенных точек») — это набор окружностей, на
которых указаны точки с метками (каждая метка встречается ровно два раза),
и для каждой пары точек с одинаковыми метками указан спин. Два таких на-
бора считаются одинаковыми, если существует гомеоморфизм, отображающий
окружности одного набора в окружности другого набора с сохранением меток и
спинов.
Пример 3. На рис. 8 показано, как выглядит инвариант Флейтаса для потока
Морса, рассмотренного в примере 1. В данном случае инвариант состоит из двух
окружностей (соответствующих двум источникам), на которых расположены две
пары точек (соответствующие двум седлам) с метками А и В и спинами, ука-
занными стрелками.
Очевидно, что инвариант Флейтаса является инвариантом потоков Морса,
т. е. топологически траекторно эквивалентным потокам Морса сопоставляются
одинаковые в указанном выше смысле наборы окружностей с метками и спина-
ми. Теорема 1с работы [17] утверждает, что он является полным топологическим
инвариантом.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
393
Соответствие между инвариантами Флейтеса и трехцветными графами
можно кратко описать следующим образом: окружностям инварианта Флейтеса
соответствуют si-циклы трехцветного графа, парам точек с одинаковыми метка-
ми соответствуют «'«-циклы, а спин определяется t'M-циклами. На рис. 9 показаны
«элементарные» фрагменты трехцветного графа и инварианта Флейтаса. Любой
трехцветный граф с ««-циклами длины 4 и любой инвариант Флейтаса являют-
ся объединением таких фрагментов. Если все элементарные фрагменты данно-
го трехцветного графа Т(у) заменить в соответствии с рис. 9 на элементарные
фрагменты инварианта Флейтаса, то получится инвариант Флейтаса потока «, и
наоборот.
2.3. Инвариант Вонга.
Еще один инвариант для потоков
Морса, но лишь на ориентируемых по-
верхностях, был предложен в работе Вон-
га [23]. Подход Вонга близок к тому под-
ходу, который используется в § 2 для по-
строения трехцветного графа. Он рас-
сматривает граф, двойственный графу,
составленному из сепаратрис потока. Те
же рассуждения, что и при построении
трехцветного графа, показывают, что
этот граф есть объединение циклов длиг
Рис. 9
4 (вокруг каждого седла), ребра ко-
торых раскрашены в два цвета s и и так, что противоположные ребра имеют
одинаковый цвет. Кроме того, учитывая ориентацию многообразия, можно ори-
ентировать ребра этого графа так, что ориентация каждого цикла длины 4 будет
согласована с ориентацией четырехугольника, границей которого является этот
цикл.
Таким образом, инвариант Вонга («раскрашенный двойственный граф») есть
граф с вершинами степени 4, ребра которого раскрашены в два цвета s и и и
ориентированы так, что граф есть объединение 4-циклов вида s '« « '«, а ориен-
тация ребер согласованно задает ориентацию на всех циклах из s-ребер, циклах
из «-ребер и 4-циклах. При этом считается, что два таких графа изоморфны,
если существует гомеоморфизм одного графа в другой, сохраняющий раскраску
и либо сохраняющий, либо обращающий ориентации всех ребер.
Пример 4. На рис. 10 показано, как выглядит инвариант Вонга для потока Морса,
394
Приложение 1
рассмотренного в примере 1 (см. рис. 2(a)). Аналогично рис. 2(6) и рис. 2(c) на
рис. 10(a) показано вложение графа Вонга в сферу, на которой задан поток, а
на рис. 10(6) этот граф изображен как абстрактный граф с ориентированными и
раскрашенными ребрами.
Ясно, что мы можем рассматривать граф Вон-
га как граф, полученный из трехцветного графа
стягиванием каждого его 6-ребра в точку и задани-
ем ориентации на ребрах .sw-циклов. В общем слу-
Рис. 10 чае нельзя однозначно осуществить обратную опе-
рацию, т.е. восстановить трехцветный граф после
стягивания 6-ребер. Но поскольку Вонг рассматривает лишь ориентируемые мно-
гообразия, это можно сделать, используя описанную выше ориентацию ребер.
Аналогично рис. 9, на рис. 11 изображено, как можно выразить один инвари-
ант через другой, заменяя фрагменты трехцветного графа на соответствующие
фрагменты графа Вонга, и наоборот.
2.4. Классификация a-функций и /-графы.
Опишем еще один топологический инвариант, который был введен в рабо-
те [8] для классификации функций на двумерных многообразиях, но имеет ту же
природу, что и рассмотренные выше инварианты потоков Морса.
Напомним некоторые определения.
Определение 1.6. Гладкие функции Д и Д на двумерных поверхностях Mi и ЛД
называются сопряженными, если существует такой гомеоморфизм h: Mi —> М2,
что Д ° h = Д.
Определение 1.7. Гладкие функции Д и Д на двумерных поверхностях Mi
и М2 будем называть топологически послойно эквивалентными, если существует
гомеоморфизм h: Mi —> М2, переводящий связные компоненты линий уровня
функции Д в связные компоненты линий уровня функции Д.
В работе [8] решалась задача классификации функций Морса с тремя крити-
ческими значениями на замкнутых двумерных многообразиях с точностью до
топологической послойной эквивалентности.
Определение 1.8. Гладкая функция / называется функцией Морса, если все ее
критические точки невырождены. В двумерном случае это эквивалентно тому,
что в некоторых координатах в окрестности критической точки функция запи-
сывается как / = х2 + у2 (точка минимума), / = —х2 — у2 (точка максимума)
или / — — х2 +у2 (седловая точка).
Определение 1.9. Функцию Морса / на двумерной поверхности М будем на-
зывать a-функцией, если f имеет ровно три критических значения: —1, 0 и 1.
Легко видеть, что для a-функции f на поверхности М множество /-1(—1)
есть в точности множество точек минимума, множество /-1(1) есть в точности
множество точек максимума, а множество /-1(0) связно (если поверхность М
связна) и содержит все седловые критические точки.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
395
ЗАМЕЧАНИЕ 4. Отметим, что для a-функций сопряженность и топологическая послой-
ная эквивалентность — это почти одно и то же, а именно: если a-функции fi и /2
топологически послойно эквивалентны, то /1 сопряжена либо /з, либо —/2.
Опишем инвариант, классифицирующий a-функции с точностью до сопря-
жения.
Определение 1.10. Конечный связный граф 7 назовем f-графом, если он удов-
летворяет следующим условиям:
1) все вершины графа 7 имеют степень 3;
2) некоторые из ребер графа 7 ориентированы, причем к каждой вершине
графа 7 примыкают ровно два ориентированных ребра, из которых одно
входит в вершину, а другое выходит из нее;
3) каждому неориентированному ребру графа 7 приписана метка ±1.
Из условия (2) следует, что ориентированные ребра /-графа образуют непере-
секающиеся циклы (ориентированные). Кроме того, к каждой вершине такого
цикла примыкает ровно одно неориентированное ребро.
Определение 1.11. Назовем два /-графа эквивалентными, если один из дру-
гого можно получить в результате выполнения нескольких операций следую-
щего вида: изменение ориентации всех ребер какого-то цикла и одновременное
изменение меток (на противоположные) на всех неориентированных ребрах, ин-
цидентных этому циклу. При этом, если оба конца неориентированного ребра
принадлежат данному циклу, то метка на этом ребре не меняется.
Классы эквивалентности /-графов относительно данного определения назо-
вем /-инвариантами.
Каждой a-функции можно сопоставить /-инвариант следующим образом.
Рассмотрим линии уровня /-1(— 1) некоторой а-функции / на поверхности М.
Фиксируя на поверхности некоторую метрику, рассмотрим устойчивые сепарат-
рисы потока grad/, начинающиеся на окружностях /-1(— i). Каждая пара се-
паратрис, входящих в одну седловую точку, будет образовывать неориентиру-
емое ребро /-графа 7. Вершинами графа 7 будут концы сепаратрис, лежащие
на окружностях /-1(—к)- Фиксировав произвольным образом ориентацию на
каждой такой окружности, мы получим ориентированные ребра графа 7 (ори-
ентированные дуги окружностей между концами сепаратрис). Для завершения
построения /-графа осталось лишь расставить метки на неориентированных ре-
брах. Это делается по следующему правилу: рассмотрим маленькую окрестность
пары сепаратрис, образующих неориентированное ребро, в поверхности М —
это прямоугольник, две противоположные стороны которого лежат на окруж-
ностях /-1(—|) и поэтому ориентированы; если эти стороны индуцируют одну
и ту же ориентацию границы прямоугольника, то метка равна +1, если разные,
то метка равна —1.
396
Приложение 1
Мы построили по данной «-функции некоторый /-граф. В процессе по-
строения мы произвольным образом фиксировали ориентации на окружнос-
тях /-1(— ^). Однако, легко понять, что при выборе других ориентаций мы по-
лучим эквивалентный /-граф. Кроме того, мы фиксировали некоторую метрику
на поверхности, но можно показать, что от выбора этой метрики построенный
/-граф не зависит (см. также теорему 1.4).
В работе [8] доказано, что /-инвариант классифицирует a-функции с точнос-
тью до сопряжения (а, значит, и с точностью до топологической эквивалентнос-
ти — см. замечание 4).
Хотя /-инвариант был введен в связи с задачей классификации функций на
поверхностях, оказалось, что этот инвариант «эквивалентен» описанным выше
инвариантам, т.е., в частности, траекторно классифицирует потоки Морса на
поверхностях.
Проще всего описать биекцию меж-
ду /-инвариантами и инвариантами Флей-
таса. Если ориентировать произвольным
образом каждую окружность инвариан-
та Флейтаса и соединить точки с оди-
рис ц наковыми метками неориентируемым ре-
бром, то мы получим граф, удовлетворя-
ющий условиям (1) и (2) из определения /-графа. Метка ±1 на каждом неори-
ентированном ребре полученного графа ставится в соответствии со стрелками
(изображающими спин для пары точек, являющихся концами данного ребра) и
выбранной ориентацией окружностей: если направление одной из этих стрелок
совпадает с выбранным направлением на соответствующей окружности, а на-
правление другой стрелки — не совпадает, то метка на данном ребре равна +1,
иначе — метка равна —1. Ясно, что при другом выборе ориентаций на окруж-
ностях инварианта Флейтаса мы получим эквивалентный /-граф, т. е. описанная
процедура однозначно сопоставляет каждому инварианту Флейтаса некоторый
/-инвариант. Обратное отображение также очевидно. Описанное соответствие
поясняется на рис. 12.
Рис. 12
Пример 5. На рис. 13 показано, как выглядит /-инва-
риант для потока Морса, рассмотренного в примере 1.
Данный /-граф является одним из возможных изобра-
жений соответствующего /-инварианта. Отметим, что
метка на ребре, концы которого лежат на одном и том же
ориентированном цикле, не зависит от ориентации ре-
бер, а метку на другом ребре можно сделать равной —1,
изменяя ориентацию одного из циклов.
Описанная выше конструкция показывает, что полные топологические инва-
рианты для «-функций и для потоков Морса одинаковы. В частности, это озна-
чает, что между классами сопряженности a-функций и классами топологической
траекторной эквивалентности потоков Морса существует естественная биекция.
Это есть отражение результата, принадлежащего Мейеру (К.R. Meyer). Прежде,
чем его сформулировать, сделаем следующее замечание.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
397
Замечание 5. Каждой функции Морса f на поверхности М с римановой метрикой gij
соответствует градиентный поток v = grad f. Однако, изменяя метрику, мы можем
получить градиентный поток, топологически траекторно не эквивалентный исходному
(в частности, этот поток может вообще не являться потоком Морса). И обратно, если
на поверхности задан поток Морса, то с точностью до топологической траекторной эк-
вивалентности (см. замечание 2) его можно различными способами (в зависимости от
выбора метрики) представить в виде градиентного потока некоторой функции Морса.
При этом различные функции, соответствующие этому потоку, вполне могут оказать-
ся топологически послойно не эквивалентными. Таким образом, соответствие между
функциями Морса и потоками Морса существенным образом зависит от метрики.
Как показывает следующая теорема, для того, чтобы устранить зависи-
мость от метрики, достаточно вместо произвольных функций Морса рассмот-
реть а-функции.
Теорема 1.4. Пусть М — замкнутая двумерная поверхность. Зададим на М
некоторую риманову метрику gij.
1) Операция сопоставления a-функции ее градиентного потока {относитель-
но метрики gij) устанавливает естественную биекцию между классами
сопряженности a-функций и классами топологической траекторной экви-
валентности потоков Морса.
2) Эта биекция не зависит от выбора метрики gij.
Замечание 6. Теорема 1.4 фактически содержится в работе Мейера [18]. На самом деле
там сформулирована не эта теорема, а более общее утверждение аналогичного характе-
ра о потоках Морса-Смейла. Однако это общее утверждение неверно (см. замечание 10),
а приведенное доказательство проходит именно для случая потоков Морса.
Замечание 7. Утверждение теоремы 1.4 по существу следует из доказанной в рабо-
те [8] теоремы классификации a-функций и описанного выше взаимно-однозначного
соответствия между /-инвариантами и инвариантами Флейтаса (а, значит, и другими
инвариантами, классифицирующими потоки Морса). Действительно, как легко понять,
это соответствие устроено так, что а-функции f и потоку grad / сопоставляются оди-
наковые /-инварианты. Этим и задается биекция между классами сопряженности а-
функций и классами топологической траекторной эквивалентности потоков Морса.
Замечание 8. Если поверхность М, на которой задан поток Морса (или а-функция)
является ориентированной, и мы рассматриваем гомеоморфизмы поверхностей, сохра-
няющие ориентацию, то определение /-инварианта в этом случае можно упростить.
Неоднозначность представления /-инварианта в виде /-графа возникала из-за неодно-
значности выбора ориентаций на окружностях, ограничивающих диски в поверхнос-
ти. Если поверхность ориентирована, то, выбирая ориентации на окружностях в соот-
ветствии с ориентациями дисков, мы получим /-граф, все метки которого равны 4-1.
Поэтому полным топологическим траекторным инвариантом потоков Морса на ориен-
тированных поверхностях (относительно гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию)
является /-граф без меток.
Отметим, что /-граф без меток, имеющий ровно один цикл из ориентированных ре-
бер, аналогичен понятию хордовой диаграммы, возникающей в теории узлов (см. [15]).
При таком подходе /-граф с несколькими циклами из ориентированных ребер можно
рассматривать как хордовую диаграмму некоторого зацепления окружностей в R3.
398
Приложение 1
Как было показано в этом параграфе, существует много (эквивалентных)
полных топологических траекторных инвариантов для потоков Морса на поверх-
ностях. Тот или иной инвариант может оказаться более удобным при решении
различных задач. Например, используя трехцветные графы или /-графы, легко
описать алгоритмы сравнения и перечисления потоков Морса (а также потоков
Морса-Смейла), Отметим, что в ориентируемом случае описанные инварианты
являются различными «представлениями» атомов, введенных в работе [4] в свя-
зи с классификацией интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями
свободы.
Наша дальнейшая задача — классифицировать потоки Морса-Смейла на
двумерных поверхностях. Основная идея: проводить классификацию в два эта-
па. Первый этап — описанная выше классификация потоков Морса, играющих
в дальнейшем роль «атомов», из которых «склеиваются» произвольные потоки
Морса-Смейла. Второй этап — описание «правил склейки» для «атомов» и по-
строение «молекул». Этот подход будет реализован в следующем параграфе.
§ 3. Классификация потоков Морса—Смейла
Прежде чем переходить к построению инварианта, траекторно классифици-
рующего потоки Морса-Смейла произвольного вида на двумерных поверхностях,
обсудим другой подход.
3.1. Конструкция Пейксото
Пейксото [19] обобщает понятие различающего графа на случай потоков
Морса-Смейла следующим образом. В качестве вершин первого и третьего уров-
ней добавляются соответственно отталкивающие и притягивающие предельные
циклы. Кроме сепаратрис, появляются некоторые новые ребра (соединяющие
вершины первого и третьего уровней), которые можно описать следующим об-
разом. Выбросим из многообразия все предельные циклы потока и рассмотрим
те из получившихся связных компонент, которые не содержат седловых точек.
Каждая такая компонента состоит из траекторий, имеющих одно и то же а-
предельное и одно и то же w-предельное множества. Для каждой такой компо-
ненты соединим ребром пару вершин (первого и третьего уровней), соответству-
ющих этим предельным множествам.
Отметим, что для потока Морса, имеющего седловые точки, описанное пра-
вило построения различающего графа дает в точности граф из сепаратрис. Толь-
ко в случае простейшего потока Морса (см. замечание 3) мы получим граф, состо-
ящий из двух вершин (первого и третьего уровней), соединенных одним ребром.
Для потоков Морса-Смейла с периодическими траекториями такие ребра уже
являются типичными.
Далее, аналогично тому, как это делалось для потоков Морса, Пейксото опи-
сывает типы выделенных подграфов и формулирует условия, которым должны
удовлетворять выделенные подграфы различающего графа потока. Всего полу-
чается 45 типов подграфов (36 с вершинами второго уровня и еще 9 без них)
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях 399
и около 10 условий. Кроме того, для вершин первого и третьего уровня теперь
надо указывать, чему они соответствуют: особой точке или предельному циклу
одного из двух типов (с ориентируемой или неориентируемой окрестностью).
Мы не будем описывать все типы подграфов и условия (тем более, что они
не сформулированы в работе [19] полностью). Эти условия накладываются таким
образом, чтобы после склеивания канонических областей (аналог канонических
четырехугольников, возникавших в случае потоков Морса) в соответствии с вы-
деленными подграфами различающего графа получилось замкнутое двумерное
многообразие. Ясно, что это требование накладывает сильные ограничения на
различающий граф, откуда и возникают все условия.
Напротив, мы хотим показать, что существуют топологически траекторно
не эквивалентные потоки Морса-Смейла с одинаковыми различающими графа-
ми, т.е. вопрос заключается не в реализуемости данного различающего графа, а
в однозначности этой реализации.
Поясним причину неоднозначности реализации различающего графа. Фак-
тически алгоритм построения различающего графа для потока Морса-Смейла
заключается в следующем: мы разрезаем поверхность по периодическим траек-
ториям (запоминая, какие из получившихся компонент границы были между со-
бой склеены), стягиваем каждую граничную окружность в точку, затем строим
различающий граф для получившегося потока Морса (возможно, на несвязном
многообразии) и, наконец, склеиваем между собой те вершины различающего
графа, которые соответствуют одному и тому же предельному циклу (до разре-
зания). При такой процедуре теряется часть информации о потоке, поэтому мы
не можем восстановить его однозначно.
Действительно, рассмотрим ситуацию, возникающую при попытке осущест-
вить обратную операцию. Используя различающий граф (в частности, его вы-
деленные подграфы), мы можем восстановить поток на многообразии, получаю-
щемся из исходного при выбрасывании всех предельных циклов, а также указать,
какие «граничные» компоненты этого многообразия примыкают к одному и то-
му же предельному циклу. Однако, например, для притягивающего предельного
цикла, окрестность которого есть кольцо, существует четыре (в общем случае по-
парно не эквивалентных) возможности «склеить» эти компоненты в окрестности
данного цикла: существует два способа склейки самих компонент, для каждо-
го из которых можно выбрать одно из двух возможных направлений потока на
предельном цикле. При этом топология полученной поверхности может зависеть
только от способа склейки. Поэтому, даже если мы знаем, каким образом надо
произвести склейку (например, из соображений ориентируемости), все равно не-
обходима информация о том, в какую сторону был направлен поток на данном
предельном цикле.
Пример 6. Простейший пример различающего графа, для которого существуют
два топологически траекторно не эквивалентных потока, приведен на рис. 14(a).
Эти потоки можно описать следующим образом. Рассмотрим на кольце К два
потока, траектории которых изображены на рис. 14(b) и рис. 14(c). Для каждого
из этих потоков внутренняя граничная окружность кольца является отталкива-
ющим предельным циклом, а внешняя — притягивающим. При этом никаких
400
Приложение 1
других критических элементов поток не имеет. Как легко понять, потоки, изоб-
раженные на рис. 14(b) и рис. 14(c), топологически траекторно не эквивалентны.
Действительно, если бы существовал гомеоморфизм, переводящий траектории
одного потока в траектории другого, то при этом гомеоморфизме предельные
циклы одного потока отображались бы в предельные циклы другого потока, при-
чем с сохранением ориентации на этих циклах, индуцированной потоком. Но
это невозможно, потому что для одного потока эти циклы представляют один
и тот же элемент в группе целочисленных гомологий кольца Z) = Z, а
для другого — противоположные. Для каждого из двух рассмотренных потоков
на кольце можно построить аналогичный поток на торе, склеив два экземпляра
кольца с одинаковыми потоками по границе. В результате получим два тополо-
гически траекторно не эквивалентных потока Морса-Смейла на двумерном торе,
каждому из которых соответствует различающий граф Пейксото, изображенный
на рис. 14(a).
а) Ь)
Рис. 13
Замечание 9. Аналогичная ошибка содержится в работе [23]. При классификации по-
токов Морса-Смейла с предельными циклами Вонг тоже действует так, как описано
выше: разрезаем поверхность по предельным циклам; для каждого получившегося кус-
ка рассматриваем «раскрашенный двойственный граф» (см. описание инварианта Вонга
в §2); описываем спаривание циклов «раскрашенных двойственных графов». Информа-
ция о спаривании циклов позволяет однозначно склеить поверхность, поскольку Вонг
рассматривает только ориентируемые многообразия, но не определяет поток в окрест-
ности склеек. Иными словами, инвариант Вонга, как и инвариант Пейксото, не меня-
ется, если изменить поток лишь в маленькой окрестности какого-нибудь предельного
цикла так, чтобы на этом цикле направление потока изменилось на противоположное.
Замечание 10. В работе [18] сформулирована теорема о биекции между классами сопря-
женности ^-функций (аналог «-функций для потоков Морса-Смейла) и классами топо-
логической траекторной эквивалентности потоков Морса—Смейла. Более точно, для по-
токов Морса-Смейла на многообразиях произвольной размерности доказано, что из то-
пологической траекторной эквивалентности потоков следует сопряженность ^-функций
(если значения этих ^-функций одинаковы на соответствующих критических элемен-
тах потоков). Кроме того, утверждается, что для двумерных многообразий верно и
обратное, т. е. сопряженность ^-функций влечет топологическую траекторную экви-
валентность соответствующих потоков. Эти утверждения можно переформулировать
следующим образом: для потока Морса-Смейла на многообразии произвольной размер-
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
401
ности ^-функция является топологическим траекторным инвариантом, а в двумерном
случае этот инвариант является полным. Однако утверждение о том, что в двумерном
случае инвариант является полным, неверно. При его доказательстве Мейер ссылается
на работу [21], откуда возникает та же ошибка, что и в работах Пейксото и Вонга.
Таким образом, траекторная классификация потоков Морса-Смейла и послойная
классификация ^-функций являются разными задачами (хотя эти задачи эквивалентны
в случае потоков Морса — см. теорему 1.4).
Замечание 11. Отметим, что в работах [5, 6] введено понятие «схемы потока» для по-
токов на двумерной сфере. Для потоков Морса-Смейла эта «схема потока» аналогична
различающему графу Пейксото. В общем случае описание «схемы потока» достаточ-
но громоздко, поскольку она определяется для потоков более общего вида, чем потоки
Морса-Смейла. Тем не менее, «схема потока» является полным топологическим тра-
екторным инвариантом для потоков рассматриваемого вида, в частности, потокам из
примера 6 соответствуют разные схемы.
3.2. Описание и-атомов
Как уже говорилось, для построения инварианта потока Морса-Смейла мы
будем использовать идею молекулы [4].
Замечание 12. Ниже мы будем говорить о потоке Морса-Смейла на двумерном мно-
гообразии N с границей, предполагая, что поток трансверсалей границе в каждой его
точке. Отметим, что в данной ситуации всегда можно считать, что N вложено в некото-
рое многообразие М (без границы) так, что рассматриваемый поток есть ограничение
некоторого потока Морса-Смейла, заданного на М. Топологическая траекторная экви-
валентность таких потоков определяется очевидным образом.
Определение 1.12. Пусть N — связное компактное двумерное многообразие с
границей, на котором задан поток Морса-Смейла v, трансверсальный границе в
каждой ее точке. Назовем N элементарной областью, если выполнено одно из
следующих условий:
1) N содержит единственный критический элемент поля v, который есть либо
источник, либо сток, либо предельный цикл;
2) все критические элементы поля v в N являются седловыми точками, при-
чем имеется хотя бы одна седловая точка.
В последнем случае будем называть элементарную область седловой элемен-
тарной областью.
Определение 1.13. Будем говорить, что две элементарные области эквивалент-
ны, если потоки, заданные на них, топологически траекторно эквивалентны.
Классы эквивалентности элементарных областей назовем v-атомами. В част-
ности, классы эквивалентности седловых элементарных областей — седловыми
v-атомами. Назовем сложностью седлового w-атома количество седловых особых
точек в соответствующей ему элементарной области.
Легко привести список всех не седловых «-атомов. Они отличаются толь-
ко типом самого критического элемента и топологией его окрестности. То, что
402
Приложение 1
других отличий нет, следует, по существу, из результатов работы [1] (см. так-
же [20, 21]). Сформулируем соответствующее утверждение в следующем виде.
Лемма 1.4. Существует ровно 6 не седловых v-атомов. Соответствующие им
элементарные области N можно описать следующим образом:
1) N есть диск, содержащий единственный критический элемент поля v,
который есть источник (сток)-,
2) N есть кольцо, содержащее единственный критический элемент поля V,
который есть отталкивающий (притягивающий) предельный цикл-,
3) N есть лист Мебиуса, содержащий единственный критический элемент
поля V, который есть отталкивающий (притягивающий) предельный цикл.
Оба v-атома из п. (1) леммы 1.4 (диск с источником и диск со стоком) будем
обозначать буквой А. Остальные четыре v-атома (кольцо или лист Мёбиуса с от-
талкивающим или притягивающим циклом) обозначим буквой S. Элементарные
области, соответствующие и-атомам А (и-атомам S), будем называть элементар-
ными областями типа А (типа S).
Опишем теперь процедуру разбиения замкнутой поверхности с потоком
Морса-Смейла на элементарные области.
Определение 1.14. Для поверхности М с заданным на ней потоком Мор-
са-Смейла v назовем набор гладко вложенных в нее окружностей разрезающим,
если эти окружности попарно не пересекаются и разбивают М на элементарные
области, так, что для каждой окружности хотя бы одна из прилегающих к ней
элементарных областей не является седловой.
Лемма 1.5. Пусть v — поток Морса-Смейла на поверхности М. Тогда
1) в поверхности М существует разрезающий набор окружностей;
2) для любых двух разрезающих наборов окружностей существует гомеомор-
физм h: М —> М, переводящий один набор в другой и отображающий каж-
дую траекторию потока в себя с сохранением направления.
Доказательство.
Рассмотрим достаточно маленькие окрестности всех источников, стоков и
предельных циклов, граничные окружности которых трансверсальны потоку v.
Очевидно, этот набор граничных окружностей разбивает М на элементарные об-
ласти и, возможно, некоторое количество колец, на которых поток не имеет кри-
тических элементов, а все траектории идут с одной граничной окружности коль-
ца на другую (здесь используется то, что v является потоком Морса-Смейла —
свойство (3) из определения 1.3). Выбрасывая для каждого такого кольца одну
из граничных окружностей (например, ту, в точках которой поток направлен
внутрь кольца), получим разрезающий набор. Первое утверждение леммы дока-
зано. Обозначим окружности построенного разрезающего набора R\, ... , Щ.
Докажем второе утверждение леммы. Пусть дан произвольный разрезающий
набор окружностей Р\, ... , Ру. Уменьшая окрестности, которые мы выбирали
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
403
при построении набора Ri, ... , Ri, можно считать, что окружности Pi, ... , Ру
не пересекаются ни с одной из этих окрестностей.
Рассмотрим окружность Pi, пусть ф(то<127г) — угловая координата на ней.
В силу определения 1.14, по крайней мере одна из двух элементарных областей,
прилегающих к окружности F,. не является седловой. Пусть, для определеннос-
ти, эта элементарная область содержит сток или притягивающий цикл (случай
источника или отталкивающего цикла рассматривается аналогично). Тогда этот
критический элемент есть w-предельное множество для всех траекторий пото-
ка, пересекающих окружность Fj. Отсюда следует, что каждая точка ф окруж-
ности Pi при сдвиге вдоль соответствующей траектории потока v на некоторое
положительное время т(ф) попадает на некоторую окружность Ri (одну и ту же
для всех ф). При этом функция т(ф) будет непрерывной (и даже гладкой), т. к.
окружности Р, и Ri трансверсальны потоку. Таким образом, окружности Pi и Ri
ограничивают в многообразии М кольцо, на котором траектории потока v идут
с граничной окружности F на граничную окружность Ri.
Из приведенного рассуждения ясно, что окружности Ri, ... , Ri взаимно-
однозначно соответствуют окружностям Pi, ..., Ру (в частности, I = I'), и для
каждого i = 1, ... , I существует гомеоморфизм hi: М —> М, который является
тождественным вне некоторой окрестности кольца, ограниченного окружностя-
ми Pi и Ri, отображает окружность Pi в окружность Ri и переводит каждую тра-
екторию потока v в себя с сохранением направления. Их композиция hi о • • • о hi
переводит набор Fi, ... , Fj в набор Ri, ... , R[.
Для двух произвольных разрезающих наборов достаточно рассмотреть ана-
логичные гомеоморфизмы, переводящие каждый из этих наборов в подходящий
набор Ri, ... , Ri, а затем взять их композицию. Лемма доказана.
Утверждение (2) леммы 1.5 означает, в частности, что элементарные облас-
ти, на которые разбивается поверхность М, с точностью до эквивалентности
не зависят от выбора разрезающего набора. Таким образом, каждому потоку
Морса-Смейла однозначно ставится в соответствие некоторый набор v-атомов.
Следствие 1. Указанная операция сопоставления произвольному потоку Морса-
Смейла набора v-атомов является топологическим траекторным инвариантом.
Доказательство.
Пусть h: Mi —> М2 — гомеоморфизм, устанавливающий топологическую
траекторную эквивалентность потоков гд и v2. Он переводит некоторый раз-
резающий набор для потока Vi в набор окружностей на поверхности М2. Этот
набор окружностей не обязан быть разрезающим для потока v2 по той причине,
что образы окружностей при гомеоморфизме h могут быть не трансверсальными
траекториям потока v2 (и вообще не гладкими). Однако они, очевидно, пересе-
кают каждую траекторию ровно в одной точке. Сгладив образы окружностей
так, чтобы они стали трансверсальны потоку v2, получим разрезающий набор
для потока v2. Применяя теперь утверждение (2) леммы 1.5 к построенному и
исходному разрезающим наборам потока v2, получаем требуемый результат.
Замечание 13. Очевидно, набор v-атомов, определяемый произвольным разрезающим
набором окружностей, не является в общем случае полным топологическим траектор-
404
Приложение 1
ным инвариантом (например, обеим потокам, описанным в примере 6, соответствуют
одни и те же два v-атома типа S). Кроме того, поскольку »-атом определяется как
класс эквивалентности элементарных областей, пока не ясно, насколько интересен та-
кой инвариант. Например, сам класс эквивалентности потока Морса-Смейла является
его топологическим траекторным инвариантом (и, очевидно, полным), но такой инва-
риант никак не помогает эффективно решить задачу классификации.
На самом деле, как показано ниже, используя результаты параграфов 1 и 2,
легко получить «эффективную» классификацию седловых ц-атомов (классифи-
кация не седловых v-атомов уже описана в лемме 1.4). Оказывается, что для
потоков Морса набор v-атомов, определяемый произвольным разрезающим на-
бором окружностей, является полным топологическим траекторным инвариан-
том. Поскольку в этом случае нет ни одного ?;-атома типа S, классификация
седловых v-атомов эквивалентна траекторной классификации потоков Морса на
связных поверхностях. Это можно сформулировать в следующем виде.
Лемма 1.6. Пусть v — поток Морса на связной поверхности М, отличный от
простейшего и имеющий к источников и стоков. Тогда
1) набор v-атомов. сопоставляемый потоку v, состоит ровно из одного седло-
вого v-атома Z{v) и к штук v-атомов типа А;
2) поток v однозначно (с точностью до топологической траекторной эквива-
лентности) восстанавливается по v-атому Z(v).
Доказательство.
Первое утверждение леммы очевидно, т. к. вырезание маленьких дисков, со-
держащих стоки и источники, из поверхности М не нарушает ее связности.
Доказательство второго утверждения сводится к следующему. Поверх-
ность М с потоком v получается в результате «приклеивания» элементарных
областей типа А по всем граничным окружностям элементарной области, соот-
ветствующей v-атому Z(v). Надо показать, что это «приклеивание» определено
однозначно с точностью до топологической эквивалентности. Более точно, надо
показать, что любой гомеоморфизм / границы элементарной области типа А на
себя продолжается до такого гомеоморфизма всей этой элементарной области на
себя, который переводит траектории в траектории с сохранением направления.
Ясно, что такое продолжение всегда существует. Например, можно продолжать f
внутрь диска так, чтобы сохранялся параметр на траекториях. Лемма доказана.
Из доказанной леммы следует, что для классификации седловых v-атомов
можно использовать любой из инвариантов, рассмотренных в § 1 и § 2. Мы будем
считать, что каждому седловому v-атому V сопоставлен трехцветный граф T(V).
3.3. Построение v-молекулы
Рассмотрим теперь произвольный поток Морса-Смейла v на поверхности М.
Согласно следствию 1, ему соответствует однозначно определенный набор v-ато-
мов. Чтобы восстановить поверхность М с потоком v, нужно склеить элементар-
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
405
ные области, соответствующие и-атомам этого набора, по граничным окружнос-
тям. Каждая склейка двух областей по двум граничным компонентам (окруж-
ностям) Si и S2 однозначно определяется гомеоморфизмом f: Si —> S2, причем
гомотопные гомеоморфизмы дают одинаковый в смысле топологической эквива-
лентности результат (см., например, [21]). Поскольку с точностью до гомотопии
существует ровно два различных гомеоморфизма окружности в окружность, то с
точностью до топологической эквивалентности для каждой склейки существует
не более двух возможностей.
Замечание 14. Говоря о склейке элементарных областей (т. е. многообразий с границей,
на которых задан поток), мы, естественно, подразумеваем, что после склейки получает-
ся гладкое многообразие с гладким потоком. Несложно показать, что для произвольно-
го гомеоморфизма граничных компонент этого можно достичь, либо изменяя гладкую
структуру, либо заменяя потоки на траекторно эквивалентные в некоторых маленьких
окрестностях этих граничных компонент.
Если на граничных компонентах склеиваемых областей фиксирована неко-
торая ориентация, то выбор одной из двух возможных склеек можно задавать
меткой ±1 для каждой пары отождествляемых при склейке окружностей: (+1)
означает, что ориентации при отождествлении согласованы, а (—1) — что не
согласованы.
Таким образом, для однозначного описания всех склеек необходимо задать
ориентации на граничных окружностях элементарных областей. Можно считать,
что на границе элементарной области типа S (кольцо или лист Мебиуса) ориента-
ция индуцирована потоком на содержащемся в этой области предельном цикле.
На границе элементарной области типа А (диск) ориентацию можно задать про-
извольно, т. к. для этой области существует гомеоморфизм, переводящий тра-
ектории в траектории и обращающий ориентацию на границе диска. Осталось
задать ориентации на граничных окружностях седловых элементарных облас-
тей.
Каждая седловая элементарная область определяет 7.1-атом, которому соот-
ветствует некоторый трехцветный граф. Мы предполагаем, что задача класси-
фикации седловых «-атомов (или, что то же самое, потоков Морса) уже решена,
т. е. имеется список всех связных трехцветных графов (с количеством вершин,
не превосходящим некоторого числа К). Поэтому можно считать, что в этом
списке трехцветные графы перечислены с указанием некоторой ориентации на
всех .si-циклах и йу-циклах.
Замечание 15. В дальнейшем, говоря о некотором седловом v-атоме V, мы всегда будем
подразумевать, что это г-атом из известного списка Vi, V2, ..., в котором седловые v-
атомы представлены в виде трехцветных графов T(Vi), т. е. V; — это некоторая буква,
обозначающая седловой v-атом, а Т(К) — это соответствующий ему связный трех-
цветный граф, у которого ориентации на всех st-циклах и tu-циклах были выбраны
каким-то образом (после чего он был занесен в список) и больше не меняются. При
этом будем предполагать, что для трехцветных графов, не имеющих циклов нечетной
длины (т. е. соответствующих ориентируемым поверхностям — см. теорему 1.3), ори-
ентации st-циклов и tu-циклов выбраны согласованно в смысле определения 1.5.
Конечно, перечислить седловые п-атомы (связные трехцветные графы) можно мно-
жеством способов. Мы лишь предполагаем, что список составлен и фиксирован.
406
Приложение 1
Рис. 14
d)
0 1
О 1'2'2
==> (0 1 0 7 2'2 )
Z
t
2
Рис. 16
Опишем теперь, как мы будем задавать ориентацию на граничных окруж-
ностях седловых элементарных областей. Трехцветный граф, соответствующий
седловой элементарной области, определен однозначно (по существу, это есть
утверждение (1) леммы 1.1). Рассуждая точно так же, как при доказательст-
ве первой части теоремы 1.2, можно считать, что трехцветный граф вложен в
седловую элементарную область как граф, двойственный графу, составленному
из сепаратрис потока и t-траекторий. При этом вложении st-циклы будут соот-
ветствовать граничным окружностям элементарной области, в точках которых
поток направлен внутрь области, а tw-циклы — граничным окружностям, в точ-
ках которых поток направлен наружу (см. рис. 3). Ясно, что задание ориентации
на каком-либо st-цикле или -цикле вложенного трехцветного графа однозначно
определяет ориентацию на соответствующей этому циклу граничной окружнос-
ти (и наоборот).
Определение 1.15. Пусть Т — трехцветный граф, вложенный указанным выше
образом в седловую элементарную область N, который изоморфен трехцветному
графу Т из списка. Произвольный изоморфизм ]':Т^Т назовем параметриза-
цией седловой элементарной области N. Ясно, что любая параметризация опреде-
ляет ориентации всех st-циклов и t?/-4HKnoB графа Т, поскольку на соответству-
ющих циклах графа Т ориентация задана. После этого однозначно определяются
ориентации всех граничных окружностей элементарной области N. Будем го-
ворить, что ориентации на граничных окружностях, полученные в результате
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
407
описанной процедуры, индуцированы параметризацией /. Кроме того, парамет-
ризация, естественно, определяет биекцию множества граничных окружностей
области N на множество st-циклов и itt-циклов графа Т.
Замечание 16. Ясно, что различные параметризации седловой элементарной области
определяют, вообще говоря, различные ориентации ее граничных окружностей. Можно
сказать, что группа G(T) автоморфизмов трехцветного графа Т действует на множест-
ве ориентаций граничных окружностей, индуцированных некоторой параметризацией:
каждый автоморфизм g е G(T) переводит ориентации, индуцированные параметриза-
цией f. в ориентации, индуцированные параметризацией go f. Это действие транзитив-
ное, И ядро его есть подгруппа Go (71) группы G(T), состоящая из автоморфизмов, сохра-
няющих ориентации всех st-циклов и tw-циклов графа Т. Таким образом, имеется естес-
твенная биекция между множеством всех ориентаций граничных окружностей, инду-
цированных некоторой параметризацией, и множеством смежных классов G(T)/Gq(T).
В частности, количество различных возможностей при таком способе ориентирования
граничных окружностей равно индексу подгруппы Go(T) в группе G(T).
Замечание 17. Если при траекторной классификации потоков Морса-Смейла ограни-
читься рассмотрением ориентированных многообразий и гомеоморфизмов, сохраняю-
щих ориентацию, то для произвольной (ориентированной) седловой элементарной об-
ласти можно канонически ориентировать все ее граничные окружности. Например,
можно выбирать на окружностях ориентацию таким образом, чтобы ориентация репе-
ра (w, v), где w — касательный вектор к окружности, задающий ориентацию на ней,
a v — внутренняя нормаль, совпадала с ориентацией касательной плоскости в данной
точке. При такой ориентации граничных окружностей ориентируемой седловой элемен-
тарной области мы получим либо ориентацию, соответствующую определению 1.15, ли-
бо противоположную (одновременно на всех окружностях), поскольку у трехцветного
графа (из списка), соответствующего ориентируемой элементарной области, st-циклы и
tw-циклы ориентированы согласованно (см. замечание 15). Легко показать, что в ориен-
тируемом случае подгруппа Go(T) либо совпадает со всей группой G(T), либо является
подгруппой индекса 2.
Теперь мы можем дать описание инварианта, классифицирующего потоки
Морса-Смейла.
Определение 1.16. Назовем v-молекулой граф W, у которого все ребра ори-
ентированы, а каждой вершине поставлен в соответствие либо ц-атом А, либо
ц-атом S, либо некоторый седловой и-атом из имеющегося списка Vi, V?,... (бу-
дем называть вершины графа W соответственно А-вершинами, S-вершинами и
седловыми вершинами), причем выполнены следующие условия:
1) каждая Л-вершина графа W имеет степень 1;
2) каждая S-вершина графа W имеет степень 1 или 2, причем, если степень
равна 2, то оба ребра одновременно либо входят в эту вершину, либо выхо-
дят из нее;
3) для каждой седловой вершины графа W, которой соответствует некоторый
у-атом Vi, фиксирована произвольная биекция множества ребер, инцидент-
ных этой вершине, на множество st-циклов и tw-циклов трехцветного гра-
фа T(Vt) из списка, причем ребра, соответствующие st-циклам, входят в
408
Приложение 1
вершину, а ребра, соответствующие tw-циклам, выходят из нее (назовем
эту биекцию параметризацией данной седловой вершины);
4) ни одно ребро графа W не соединяет две седловые вершины;
5) если ребро графа W соединяет две вершины, ни одна из которых не явля-
ется Л-вершиной, то на этом ребре стоит метка ±1.
Определение 1.17. Пусть v — поток Морса-Смейла на многообразии М. Будем
говорить, что v-молекула есть v-молекула потока v (и обозначать ее W(и)), если
она построена в результате описанной ниже процедуры.
1) Рассматривая некоторый разрезающий набор для потока v на многообра-
зии М, получаем разбиение М на элементарные области — эти области будут
соответствовать вершинам графа W(v), которые мы обозначим соответствую-
щими буквами A, S или Vi, V2, ... из имеющегося списка седловых «-атомов.
2) Для каждой окружности из данного разрезающего набора проведем ребро,
соединяющее те две вершины, для которых соответствующие им элементарные
области граничат по этой окружности, после чего ориентируем это ребро в со-
ответствии с направлением потока ?; в точках рассматриваемой окружности (в
точках окружности поток трансверсалей ей, т. е. направлен из одной элементар-
ной области в другую). В результате получим граф РК(«).
3) В соответствии с предыдущим пунктом, для каждой седловой вершины V)
построенного графа имеется биекция между ребрами, инцидентными этой вер-
шине, и граничными окружностями соответствующей ей седловой элементарной
области. Фиксируя (произвольную) параметризацию этой элементарной области,
получаем параметризацию вершины V,.
4) Граничные окружности всех элементарных областей, кроме областей ти-
па А, ориентированы: для седловых элементарных областей ориентации инду-
цированы выбранными на предыдущем шаге параметризациями, а на границах
областей типа S ориентации заданы направлением потока на их предельных цик-
лах. Это определяет две ориентации на каждой окружности рассматриваемого
разрезающего набора, разделяющей области, отличные от областей типа А. Если
эти ориентации совпадают, то поставим на соответствующем ребре построенного
графа ТУ(г>) метку (+1), а если не совпадают, то (—1).
Для того, чтобы учесть неоднозначность, присутствующую в п. (3) изложен-
ного правила построения «-молекулы W(«), введем следующим образом отноше-
ние эквивалентности на множестве «-молекул.
Определение 1.18. Пусть Vi — седловая вершина v-молекулы W (в частнос-
ти, для вершины Vi задана некоторая параметризация ф; — см. п. (3) определе-
ния 1.16). Рассмотрим произвольный автоморфизм g трехцветного графа Т(И)
(вообще говоря, не сохраняющий имеющиеся ориентации его st-циклов и tw-цик-
лов — см. замечание 16). Пусть А и у, — такие два st-цикла или два tw-цикла
графа Т(И), что автоморфизм g переводит цикл А в цикл /;, (без учета их ориен-
таций). Тогда скажем, что ориентация цикла А {не)сохраняется при автоморфиз-
ме g, если ориентации циклов g(A) и у (не) согласованы. Назовем перепарамет-
ризацией вершины V) операцию следующего вида: заменяем параметризацию ф.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
409
вершины Vi на параметризацию gotfe и изменяем метки на противоположные на
тех ребрах ei, ... , ej, инцидентных вершине V, Для которых ориентации цик-
лов ... , не сохраняются при автоморфизме g. При этом, если ка-
кое-то из этих ребер Cj было без метки, то оно и остается без метки.
Определение 1.19. Две ц-молекулы W и W' назовем изоморфными, если пос-
ле некоторых перепараметризаций их седловых вершин они будут изоморфны
как графы с сохранением обозначений вершин, ориентаций ребер, меток и па-
раметризаций седловых вершин (сохранение параметризации седловых вершин
при изоморфизме графов означает следующее: если изоморфизм ht W —> W' пе-
реводит вершину V с параметризацией ф в вершину V с параметризацией ф',
то ф = ф' о h).
3.4. Теорема классификации и реализация инвариантов
Следующие утверждения показывают, что задача траекторной классифика-
ции потоков Морса-Смейла на двумерных поверхностях эквивалентна классифи-
кации и-молекул с точностью до изоморфизма.
Теорема 1.5. Два потока Морса-Смейла v и v' на двумерных поверхностях М
и М' топологически траекторно эквивалентны тогда и только тогда, когда со-
ответствующие им v-молекулы ТУ(г>) и W(v') изоморфны.
Доказательство.
Сначала докажем, что ?;-молекулы топологически траекторно эквивалент-
ных потоков изоморфны. Пусть ht М —> М' — гомеоморфизм, устанавливаю-
щий топологическую траекторную эквивалентность потоков v и о'. Поскольку
на любом многообразии все разрезающие наборы эквивалентны (утверждение (2)
леммы 1.5), можно считать, что разрезающие наборы, используемые при постро-
ении ц-молекул Ty(v) и ТУ (У), переводятся друг в друга гомеоморфизмом h.
Действуя в соответствии с п. (1) и п. (2) из определения 1.17, построим гра-
фы ТУ (и) и ТУ (У) с ориентированными ребрами. Гомеоморфизм h очевидным
образом определяет отображение ht ТУ (и) —> ТУ (г/), являющееся изоморфизмом
графов с сохранением ориентации на ребрах. Выбирая теперь произвольные па-
раметризации седловых элементарных областей, построим полностью ц-молеку-
лы ТУ(п) и ТУ(ц')-
Пусть fi и f- — параметризации седловых элементарных областей, соответ-
ствующих некоторой вершине У, графа ТУ(т) и вершине V.[ — h(Vi) графа ТУ(и').
Здесь также можно считать, что трехцветные графы, вложенные в эти седло-
вые элементарные области, переводятся друг в друга гомеоморфизмом h. Тог-
да gi = fi о h о ff1 есть автоморфизм трехцветного графа 7) = Т(У)) = Т(У/),
где Ti — граф из списка. Сделаем перепараметризацию вершины У) с помощью
автоморфизма gi графа Т). Легко понять, что после аналогичных перепараметри-
заций всех седловых вершин ц-молекулы ТУ(г>) отображение ht ТУ(г>) —> ТУ (г/) бу-
дет изоморфизмом, сохраняющим обозначения вершин, ориентации ребер, метки
и параметризации седловых вершин, т. е. ц-молекулы ТУ(ц) и ТУ (У) изоморфны.
410
Приложение 1
Докажем утверждение в обратную сторону. Пусть v и v' — два таких по-
тока Морса-Смейла на многообразиях М и М' соответственно, что v-молеку-
лы W(v) и W(v') изоморфны. Очевидно, что любую перепараметризацию неко-
торой вершины «-молекулы VK(v), определяемую автоморфизмом g соответству-
ющего трехцветного графа, можно рассматривать как результат замены пара-
метризации f соответствующей ей седловой элементарной области на парамет-
ризацию g о f. Поскольку каждая параметризация f произвольно выбирается
при построении v-молекулы TV(i’), будем считать, что r-молекулы РИ('у) и W(т/)
были построены таким образом, что существует отображение h: —> TV(vz),
являющееся изоморфизмом графов, сохраняющим обозначения вершин, ориента-
ции ребер, метки и параметризации седловых вершин. Необходимо доказать, что
в этом случае существует гомеоморфизм h: М —> М'. переводящий траектории
потока v в траектории потока v'.
Поскольку h сохраняет обозначения седловых вершин и их параметриза-
ции, для седловой элементарной области N}, соответствующей вершине V, гра-
фа TV(v), и седловой элементарной области N-, соответствующей вершине h(Vi)
графа W(у1), существует гомеоморфизм h{: N{ —> N-, переводящий траектории
потока v в траектории потока v' и «совпадающий» с отображением h на множес-
тве граничных окружностей (т. е. для любого ребра е, инцидентного вершине Vi,
граничная окружность области Ni, соответствующая этому ребру, переходит при
гомеоморфизме hi в граничную окружность области N-, соответствующую реб-
ру h(e)). Поскольку в у,’-молекуле не бывает ребер, соединяющих седловые верши-
ны, можно считать, что требуемый гомеоморфизм h: М —> М' уже определен на
седловых элементарных областях формулой h\N{ = hi, в частности, он определен
на окружностях разрезающего набора, являющихся граничными для какой-либо
седловой области.
Определим гомеоморфизм h на всех остальных окружностях разрезающе-
го набора многообразия М так, чтобы они переходили в соответствующие (при
отображении h) окружности разрезающего набора многообразия М’ с согласо-
ванием ориентаций, индуцированных на них предельными циклами в примы-
кающих элементарных областях типа S. Это возможно, так как изоморфизм
h: TV(v) —> TV(v/) сохраняет метки на ребрах. Для окружности разрезающего
набора, разделяющей две области типа А (такая ситуация возникает лишь для
простейшего потока, описанного в замечании 3), определим гомеоморфизм h на
этой окружности произвольно.
Теперь гомеоморфизм h определен на всех окружностях разрезающего на-
бора и на всех седловых элементарных областях. Чтобы полностью построить
гомеоморфизм h, необходимо для каждой элементарной области типа А или ти-
па S продолжить его с границы на всю область. При этом для элементарных
областей типа S гомеоморфизм, заданный на граничных окружностях, согласо-
ван с их ориентациями, индуцированными ориентациями предельных циклов. В
этой ситуации существование требуемого продолжения доказано в [21]. Теорема
доказана.
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях
411
Теорема 1.6. Для любой v-молекулы W существует такой поток Морса-Смей-
ла v на двумерной поверхности М, что W изоморфна W(77).
Доказат ельство.
Требуемый поток Морса—Смейла v легко построить, используя структуру
v-молекулы W. Действительно, чтобы получить поверхность М с потоком, необ-
ходимо лишь склеить элементарные области, соответствующие вершинам 77-мо-
лекулы W, по граничным окружностям. Ориентации на граничных окружностях
заданы параметризацией седловых вершин и направлением потока на предельных
циклах, а правила склейки определяются метками ±1 на ребрах 77-молекулы W.
Теорема доказана.
Теорема 1.6 утверждает, что любая (7-молекула является допустимой. При-
ведем еще один результат, описывающий множество 77-молекул, являющихся до-
пустимыми для многообразия данного топологического типа.
Теорема 1.7. Пусть ТУ (77) — v-молекула потока Морса-Смейла v, заданного на
поверхности М. Тогда
1) эйлерова характеристика поверхности М равна
х(М) = (количество v-атомов А) — с(У)),
i
где через с(У) обозначена сложность v-атома V, а суммирование происхо-
дит по всем седловым вершинам v-молекулы W(v);
2) поверхность М ориентируема тогда и только тогда, когда все v-атомы,
соответствующие вершинам v-молекулы W(v), ориентируемы, и для каж-
дого цикла в графе ТУ(77) (без учета ориентаций ребер) произведение всех
меток, стоящих на ребрах этого цикла, равно (—l)fe, где к — количество
седловых вершин на этом цикле (каждая вершина считается столько раз,
сколько раз цикл проходит через нее).
Доказательство.
Первое утверждение есть просто формула для суммы индексов особых точек
ПОЛЯ 77.
Докажем второе утверждение. Пусть С — некоторый цикл в графе ТУ(77).
Этот цикл разбивается седловыми вершинами на отрезки, каждому из которых
в поверхности М соответствует кольцо, склеенное из нескольких элементарных
областей типа S. Рассмотрим одно из таких колец К. Его граница есть пара
окружностей, являющихся граничными окружностями некоторых седловых эле-
ментарных областей. Поэтому на границе кольца К фиксирована ориентация, ин-
дуцированная параметризациями этих элементарных областей (выбранными при
построении 77-молекулы РУ(77)). Легко понять, что произведение меток (±1), сто-
ящих на ребрах рассматриваемого отрезка цикла С, равно (+1), если ориентации
граничных окружностей кольца К одинаковы (т.е. эти окружности изотопны в
кольце К с сохранением ориентации), и равно (—1), если они противоположны.
412
Приложение 1
Рис. 18
Напомним, что для ориентируемых седловых элементарных областей мы
всегда выбираем на границе ориентацию, индуцированную ориентацией самой
области (см. замечание 17). Поэтому для завершения доказательства теоремы
достаточно доказать следующую лемму.
Лемма 1.7. Пусть Pi, , Рт — двумерные ориентированные поверхности с
краем, причем на граничных окружностях задана индуцированная ориентация.
Рассмотрим поверхность М, склеенную из этих поверхностей по некоторым
диффеоморфизмам их граничных окружностей. Изобразим эту склейку в виде гра-
фа Г с вершинами pi, ... , рт, где вершина р* соответствует поверхности Pi,
а каждой склейке Pi с Pj соответствует ребро, соединяющее pi с pj, на кото-
ром стоит метка (+1). если эта склейка сохраняет ориентации склеиваемых
окружностей, или (—1), если не сохраняет.
Поверхность М ориентируема тогда и только тогда, когда для любого цик-
ла С графа Г произведение меток на ребрах цикла С равно (—1)г(с\ где 1(C) —
длина цикла С.
Доказательство.
Поверхность М ориентируема тогда и только тогда, когда ориентации на
склеиваемых поверхностях Pi, ... , Рт можно изменить так, чтобы они стали
О классификации потоков Морса-Смейла на двумерных многообразиях 413
согласованы после склейки. Согласованность ориентаций означает, что все мет-
ки на ребрах графа Г равны (—1). Изменению ориентации поверхности F,; со-
ответствует изменение меток на противоположные на всех ребрах графа Г, ин-
цидентных вершине р^. При выполнении такой операции произведение меток на
ребрах произвольного цикла графа Г не меняется. Поэтому, если поверхность М
ориентируема, то требуемое условие выполнено.
Для доказательства утверждения в обратную сторону рассмотрим следую-
щую одномерную коцепь а на графе Г с коэффициентами в Z2:
{О, если метка на ребре е равна (-1),
1, если метка на ребре е равна (+1).
Очевидно, что условие
(произведение меток на ребрах цикла С) = (—
равносильно условию а(С) = 0. Так как это условие выполнено для любого цик-
ла С, то коцепь а точна: а = с5(/3). При изменении ориентаций всех поверхнос-
тей Pi, для которых (3(pi) = 1, все метки на ребрах графа Г станут равны (—1).
Лемма доказана.
§ 4. Приложение: список потоков малой сложности
В работе [9] описан один из вспомогательных способов составления списка
для построенных выше инвариантов. Для этого в работе [9] описывается пред-
ставление трехцветных графов и v-молекул в виде простого кода (строчки сим-
волов некоторого алфавита) и алгоритм перечисления этих кодов. При помощи
этого алгоритма можно составить список потоков малой сложности. В качестве
примера на рис. 18 приведен список всех трехцветных графов, кодирующих по-
токи Морса с 1 или 2 седловыми точками, а на рис. 19 — список всех v-молекул,
кодирующих потоки Морса-Смейла с 2 или 3 критическими элементами. На
рис. 19(а,Ь, с,d, е) нарисованы v-молекулы для многообразий S2, Т2, RP2, К2,
соответственно.
Литература
[1] А. А. Андронов, Л. С. Понтрягин. Грубые системы. // ДАН СССР, 1937, т. 14,
№ 5, с. 247-250.
[2] Д. В. Аносов. Грубые системы. // Труды МИАН, т. 169, М.: Наука, 1985.
[3] С. X. Арансон, В. 3. Гринес. Топологическая классификация потоков на за-
мкнутых двумерных многообразиях. // УМН, 1986, т. 41, вып. 1(247),
с. 149 169.
[4] А. В. Болейнов, С. В. Матвеев, А. Т. Фоменко. Топологическая классификация
интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Список
систем малой сложности. // УМН, 1990, т. 45, вып. 2(272), с. 49-77.
[5] Е. А. Леонтович, А. Г. Майер. О траекториях, определяющих качественную
структуру разбиения сферы на траектории. // ДАН СССР, 1937, т. 14, №5,
с. 251-257.
[6] Е. А. Леонтович, А. Г. Майер. О схеме, определяющей топологическую струк-
туру разбиения на траектории. // ДАН СССР, 1955, т. 103, №4, с. 557-560.
[7] А. Г. Майер. О траекториях на ориентируемых поверхностях. // Матем. сбор-
ник, 1943, т. 12(54), №1, с. 71-84.
[8] А. А. Ошемков. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование
особенностей. //В кн.: Труды МИРАН, т. 205, М.: Наука, 1994, с. 131-140.
[9] А. А. Ошемков, В. В. Шарко. О классификации потоков Морса-Смейла на дву-
мерных многообразиях. Мат. сборник, 1998, т. 189, №8, с. 93-140.
[10] С. Смейл. Неравенства Морса для динамических систем. Сб. пер. Мат., 1967,
т. 11, №4, с. 79-87.
[11] С. Смейл. Дифференцируемые динамические системы. // УМН, 1970, т. 25,
вып. 1, с. 113-185.
[12] Ж. Полис, В. ди Мелу. Геометрическая теория динамических систем. Введе-
ние. М.: Мир, 1986.
[13] А. Т. Фоменко, Д. В. Фукс. Курс гомотопической топологии. М.: Наука, 1989.
[14] А. Т. Фоменко. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых
гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости. // Известия
АН СССР, Сер. мат., 1986, т. 50, №6, с. 1276-1307.
Литература
415
[15] А. Т. Фоменко. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем. // ДАН
СССР, 1986, т. 287, №5, с. 1071-1075.
[16] D. Bar-Natan. On the Vassiliev knot invariants. // Topology, 1995, v. 34, №2,
pp. 423-472.
[17] A. V. Bolsinov, A. A. Oshemkov, V. V. Sharko. On classification of flows on
manifolds. I // Methods of Functional Analysis and Topology, 1996, v. 2, №2,
pp. 190-204.
[18] G. Fleitas. Classification of gradicnt-likc flows on dimensions two and three. //
Bol. Soc. Bras. Mat., 1975, v. 6, pp. 155-183.
[19] K. R. Meyer. Energy functions for Morse-Smale systems. // Amer. J. Math.,
1968, v. 90, №4, pp. 1031-1040.
[20] M. M. Peixoto. On the classification of flows on 2-manifolds. // In: Dynamical
systems. New York, London: Academic Press, 1973, pp. 389-419.
[21] M. M. Peixoto. Structural stability on two-dimensional manifolds. // Topology,
1962, v. 1, №2, pp. 101-120. Structural stability on two-dimensional mani-
folds — a further remark. Topology, 1963, v. 2, №2, pp. 179-180.
[22] M. C. Peixoto, M. M. Peixoto. Structural stability in the plane with enlarged
boundary conditions. // Anais Acad. Brasil. Cicncias, 1959, v. 31, №2,
pp. 135-160.
[23] S. Smale. On gradient dynamical systems. // Annals of Math., 1961, v. 74,
pp. 199-206.
[24] X. Wang. The C*-algcbras of Morse-Smale flows on two-manifolds. // Ergod.
Th. & Dynam. Sys., 1990, v. 10, pp. 565-597.
Приложение 2
Об устойчивости топологической структуры
боттовских интегрируемых гамильтоновых
систем с двумя степенями свободы
(В. В. Калашников (мл.))
Введение
При изучении топологии интегрируемых гамильтоновых систем естествен-
ным образом возникает вопрос о том, насколько топологическая структура
устойчива при малой деформации системы. Будут ли исходная и возмущенная
системы лиувиллево эквивалентны друг другу? В этом приложении изучим этот
вопрос, и покажем, что при выполнении естественных условий топологическая
структура лиувиллева слоения устойчива.
Вопрос об устойчивости топологической структуры лиувиллева слоения тес-
ным образом связан с изучением топологически устойчивых особенностей систе-
мы. Наиболее часто встречающиеся особенности интегрируемых гамильтоновых
систем с двумя степенями свободы — это невырожденные (боттовские) окруж-
ности. Класс интегрируемых гамильтоновых систем с особенностями такого (не-
вырожденного) типа включает в себя почти все знаменитые случаи интегриру-
емости.
В данном приложении мы, следуя общему направлению изучения тополо-
гии интегрируемых гамильтоновых систем, вначале рассмотрим топологически
устойчивые системы на изоэнергетических подмногообразиях Q3, а затем — гло-
бально на всем симплектическом многообразии М4.
Мы покажем, что топологическая структура лиувиллева слоения на Q3
для системы, имеющей только невырожденные окружности и удовлетворяющей
условию простоты, сохраняется при малом возмущении системы. Однако при
изучении системы в целом, на всем симплектическом многообразии (то есть
не только на Q3), приходится иногда рассматривать вырожденные окружнос-
ти. Существуют вырожденные окружности, называемые далее вырожденными
окружностями общего вида, которые не могут быть устранены малым возмуще-
нием системы. Мы предъявим бесконечную серию таких окружностей, докажем
их неустранимость и изучим топологическую структуру слоения Лиувилля в их
окрестностях. Для систем на М4 мы докажем топологическую устойчивость сло-
ений при условии, что они имеют только боттовские окружности и вырожденные
окружности общего вида, а также удовлетворяющие условию типа простоты.
В дальнейшем, говоря о топологической устойчивости особенности, мы всег-
да будем понимать топологическую устойчивость лиувиллева слоения в окрест-
ности этой особенности по отношению к малому возмущению исходной системы.
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 417
Поскольку далее речь пойдет об особенностях, то, кроме устойчивости топо-
логической структуры, мы рассмотрим вопрос, является ли изучаемый список
топологически устойчивых особенностей полным, то есть можно ли малым ше-
велением устранить остальные особенности? Эта проблема несколько сложнее
вопроса о топологической устойчивости конкретной особенности, и до сих пор,
по-видимому, в полной мере не решена. Дело в том, что с формальной точки
зрения изучение особых точек и траекторий интегрируемой гамильтоновой сис-
темы сводится к изучению особенностей пары функций Н и F. которые связаны
дифференциальным соотношением {Н, F} = 0. В силу последнего обстоятельст-
ва технически очень сложно возмущать пару функций, сохраняя это соотноше-
ние. Поэтому теоремы о плотности систем с указанными особенностями будут
сформулированы и доказаны при дополнительном условии существования пери-
одического интеграла.
В настоящем приложении ссылки даются на отдельный список литературы,
помещенный в конце приложения.
§ 1. Свойства систем на изоэнергетических
подмногообразиях
Пусть (М4 ш) — симплектическое четырехмерное многообразие, a sgrad Н —
гамильтоново векторное поле, соответствующее гамильтониану II. Предполо-
жим, что система v — sgradН имеет независимый дополнительный первый ин-
теграл F. Обозначим Qy = {ж G М4 | Н(х) = h} = {Н = h}, где h — ре-
гулярное значение II. Система v = sgradН может быть ограничена на Qy, ибо
гамильтониан сохраняется потоком системы v = sgrad Л. Будем считать, что М4
компактно, хотя в большинстве случаев нам будет достаточно, чтобы все слои
лиувиллева слоения были компактны. Все объекты, если это не оговорено особо,
будем считать класса гладкости С°°.
Определение 2.1. Будем называть интеграл F системы v = sgradff невы-
рожденным (боттовским) на Qy, если критическое множество функции
на Qh — объединение невырожденных многообразий, то есть гессиан функ-
ции невырожден на трансверсальных к этим многообразиям плоскостях.
Будем говорить, что система v = sgradН боттовская на Qy, если существует
дополнительный интеграл, боттовский на Qy.
Здесь уместно заметить, что вообще одна и та же система допускает много
дополнительных интегралов. Например, если задан один такой интеграл Fi, то
можно изготовить еще один, F%, взяв его равным F2 = G(II, FQ для какой-ни-
будь функции G. Более того, даже если Fi был невырожденным на Qy, может
получиться так, что интеграл F% уже не является боттовским. Это обстоятель-
ство оправдывает определение боттовской системы на Qy.
Невырожденные одномерные критические многообразия делятся на два
класса. Первый класс — минимальные или максимальные, когда собственные
числа гессиана одного знака. Второй класс — седловые, когда собственные чис-
ла — разного знака.
418
Приложение 2
Напомним, что с интегрируемой системой v = sgrad Л и ее первым ин-
тегралом F связаны два объекта — отображение момента и бифуркационная
диаграмма.
Определение 2.2. Отображением момента М4 —> R2 называется отображе-
ние F(x) = (Я(ж), Я(ж)) G R2.
Определение 2.3. Бифуркационной диаграммой называется множество S С R2,
определяемое условием
S = F(K),
где К С М4 — критическое множество
К = {.г е М4 | rankdT-’(.-r) < 2}.
Для того, чтобы изучать свойства общего положения интегрируемых систем,
необходимо ввести понятие пространства интегрируемых систем и ввести в нем
метрику. Это можно сделать по-разному.
Пусть Н — множество гамильтонианов на М4, допускающих дополнитель-
ный независимый интеграл. Поскольку Н С Сп(М4. R), то на Н задана естест-
венная С"1 метрика. Таким образом, две системы в этом пространстве близки,
если соответствующие гамильтонианы близки в Сп-метрике. При этом близость
дополнительных интегралов не предусматривается. Будем называть эту метри-
ку слабой.
Пусть HF — множество пар функций на М4, коммутирующих относи-
тельно скобки Пуассона. HF С Сп(М4. R2), поэтому на HF задана естествен-
ная С”-метрика. В этой метрике две системы близки, если близки гамильтони-
аны и дополнительные интегралы. Данную метрику будем называть сильной.
Как оказалось, возмущения систем в этих двух метриках существенно от-
личаются. При возмущениях в слабой метрике тологическая структура интегри-
руемой гамильтоновой системы не является устойчивой. В сильной же метрике
невырожденные системы составляют открытое множество. Для систем, удовле-
творяющих дополнительным условиям, удается доказать, что они могут быть
приближены невырожденными.
§ 2. Свойства возмущений в слабой метрике
Теорема 2.1.
а) Любую невырожденную интегрируемую гамильтонову систему v = sgradЯ
малым возмущением в слабой метрике можно сделать интегрируемой вы-
рожденной на заданном уровне энергии {Н = h}.
б) У любой невырожденной интегрируемой гамильтоновой системы малым
возмущением в слабой метрике можно разрушить топологическую струк-
туру, добавив сколь угодно много критических невырожденных окружностей
на заданном уровне гамильтониана, сохранив интегрируемость и невырож-
денность новой системы.
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 419
Доказательство.
Пусть Д — регулярный тор сис- "X
темы v = sgrad Л. В его окрестное-
ти существуют канонические координа- / / /// Hill I I S' Л
ты действие-угол Д, 72, ф^, ф2, такие, \\\\к J/I I ( V \ ) UI
что Н = H(Ji, 72), а траектории систе- \\\х—7/
мы v = sgrad Л — прямолинейные обмотки 'ХД-—Д/
торов. Если необходимо, то, возмутив функ- т i L|~_
цию Н(11,12), можно считать, что вбли-
зи Д существует регулярный тор Т, на
котором указанная обмотка — замкнутая. Рис. 1
Тогда можно выбрать новые координаты
действие-угол (мы их будем далее обозначать точно так же) так, что на торе Т
векторные поля v = sgradН и sgrad 1\ линейно зависимы. Для построения таких
координат надо взять в качестве первой образующей интегральные замкнутые
траектории векторного поля sgrad Н на торе Т.
Рассмотрим 71 в качестве дополнительного интеграла в окрестности Т. Мож-
д^Н
но считать, что Ii(T) = 0 и 2 Z 0. Пусть
^2 у- и. uyi.ni
И = {II | {Н. 71} = 0 в малой окрестности Д}
— множество интегралов потока векторного поля sgrad 7i. Это в точности
те функции, которые не зависят от ф-^. Будем возмущать 77 в классе 77.
Пусть h = Н\ф1=а. Заметим, что h — регулярная функция от 71, 72, ф2. Ясно,
что любая функция Y Е И имеет вид Y = Y(Ii, 12, ф2). Поэтому мы сдела-
ем следующим образом. 71|;г-а имеет неморсовские особенности (окружность).
Возмутим h: h = h + eg(I±, 72) sin(fc</>2)> где g— такая гладкая функция, которая
в достаточно малой окрестности нуля не равна нулю, а вне несколько большей
окрестности равна нулю. Нетрудно проверить, что 7i|^_q будет иметь только
морсовские особенности — к седловых и столько же минимальных или макси-
мальных точек. На рис. 1 показана перестройка линий уровня функции |/4=а
в линии уровня функции 7i|j^_ при указанном возмущении для к = 4. Затем,
получив h, мы построим функцию 77.
Ясно, что новая система будет опять интегрируемой, совпадать вне неко-
торой окрестности тора Т с исходной системой, а около Т она будет иметь к
седловых окружностей и к минимальных или максимальных окружностей, в за-
висимости от знака возмущающего параметра е. Мы доказали пункт б) теоремы.
Теперь докажем пункт а).
Чтобы получилась неботтовская система, достаточно вместо синуса при воз-
мущении взять функцию w, например такую, что
1) w(t) — периодическая с периодом 2тг;
2) для малого 8 > 0, на отрезке [5, я — 5], w(t) = sin(2i);
3) вне [0, тг] w(t) = 0.
420 Приложение 2
Ясно, что в таком случае получившаяся система не будет боттовской, посколь-
ку у нее будет критический слой, гомеоморфный цилиндру. Пункт а) доказан.
Теорема доказана.
В доказательстве теоремы было использовано свойство интеграла Д, что
все интегральные траектории векторного поля sgradli замкнуты. Это приводит
к следующему определению.
Определение 2.4. Назовем интеграл F системы sgradН периодическим в неко-
торой области, если в этой области у F нет критических точек, и все траекто-
рии системы sgrad F в этой области замкнуты. Естественно, предполагается, что
указанная область инвариантна относительно потока векторного поля sgrad F.
Лемма 2.1. Пусть О — боттовская относительно периодического интеграла F
седловая окружность системы sgradЛ. Пусть Н — малое возмущение в слабой
метрике гамильтониана Н. Тогда вблизи О останется критическая окружность
новой системы.
Доказательство леммы.
Пусть П — 3-трансверсаль к О, и П„ = П A Qa. Рассмотрим проекцию
поля sgradН на П вдоль траекторий поля sgradF. Положим £ = <7тг (sgrad —
векторное поле на Па. Пусть х = П А О. Покажем, что £ имеет невырожден-
ную линейную часть в точке х. Рассмотрим в окрестности О канонические ко-
ординаты (/1 = F, (?2, Pt, р2. Нам достаточно рассмотреть только линейную и
квадратичную части II. Тогда с точностью до членов более высоких порядков
Н = aqt + bql + cq% + dp% + ер^ + fgig2 + gq2p2 + hq2pi + kqtp2 + mprp2.
Легко вычислить, что
Поскольку О — окружность седловая, то 4се — g2 < 0. Собственные числа
равны ±д/g2 — 4се. Предположим, что сепаратрисные диаграммы ориентируе-
мы. Пусть т(у) — время, за которое траектория системы sgradН, выпущен-
ная из точки у Е Па, вернется в Па. Ясно, что т(у) определено вблизи х.
Пусть ФД£) — диффеоморфизм сдвига вдоль векторного поля £ на время t.
Тогда а(х) = Фт(ж)(£)(ж) — отображение последования на Па и da = ed^. Его
собственные числа не равны 1. Следовательно, при возмущении останется непо-
движная точка, и собственные числа линейной части не будут равны 1. Заметим,
что если замкнутая траектория лежит на регулярном торе, то соответствующие
собственные числа равны 1. Следовательно, вблизи О останется критическая за-
мкнутая траектория.
Если О имеет неориентируемую сепаратрисную диаграмму, то ясно, что
собственные числа da в точке х отрицательны и заведомо не равны 1. Лемма
доказана.
В указанной формулировке леммы 2.1 седловые окружности нельзя, вообще
говоря, заменить на любые боттовские окружности. Однако, очевидно, утверж-
дение теоремы останется верным, если сразу потребовать, чтобы собственные
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 421
числа производной отображения последования были отличны от 1. Боттовские
окружности с таким свойством будем называть сильно боттовскими.
Обозначим через Вп с Н множество интегрируемых невырожденных сис-
тем, имеющих на заданном уровне гамильтониана ровно п седловых окружнос-
тей. Так как множество критических окружностей конечно в компактном слу-
чае, то В = является множеством всех систем, невырожденных на заданном
уровне гамильтониана.
При доказательстве теоремы 2.1 мы получили новые седловые окружнос-
ти, невырожденные относительно периодического интеграла 1г. Комбинируя
утверждение теоремы 2.1 и леммы 2.1, получаем следствие.
Следствие 1. Подмножество Вп нигде не плотно в Н и нигде не плотно в В.
Следствие 2. Метрическое пространство В — пространство первой бэровской
категории.
Результаты этого параграфа можно подытожить следующим образом. При
возмущениях в слабой метрике топологическая структура интегрируемой га-
мильтоновой системы неустойчива. Более того, нет областей устойчивости, так
как топологическую структуру любой интегрируемой системы можно разру-
шить. При возмущении невырожденной системы в слабой метрике у возмущен-
ной системы (как правило) наследуются старые критические окружности. Од-
нако при этом могут возникнуть новые критические множества. Боттовские
системы с ограниченной сложностью (т.е. с ограниченным числом седловых
окружностей) образуют подмножество, нигде не плотное в пространстве всех
интегрируемых систем.
Заметим, что сохранение старых невырожденных окружностей понимает-
ся в том смысле, что эти критические окружности «выживут», оставшись кри-
тическими, но могут при этом слегка продеформироваться. Это не означает,
что они будут оставаться невырожденными. Действительно, для примера можно
рассмотреть минимальную сильно боттовскую окружность О. Последовательно
применяя теорему 2.1 ко все более близким к О торам, мы получим в пределе,
что окружность О не будет боттовской, так как не будет изолированной на Q3.
§ 3. Плотность боттовских систем в узком смысле
Априори, гладкие интегрируемые гамильтоновы системы могут иметь очень
сложную топологическую стуктуру. Цель данного параграфа — показать, что ес-
ли система имеет «не очень сложную» топологическую структуру, то малым воз-
мущением в слабой метрике эту систему можно сделать боттовской на заданном
уровне гамильтониана.
Теорема 2.2. Пусть U с М4 — область, в которой существует периодический
интеграл F системы v = sgrad Н. Пусть h — регулярный уровень гамильтони-
ана. Тогда для любой области Ui, такой, что ее замыкание лежит в U, можно
мало возмутить Н так, что:
1) Н=Н вне U,
422 Приложение 2
2) система v = sgrad Н на уровне гамильтониана {Н = h} в области его пере-
сечения с Ui имеет только невырожденные окружности относительно F.
Таким образом, локально при условии существования периодического ин-
теграла можно избавиться от вырожденных особенностей.
Доказательство.
Очевидно, что достаточно доказать утверждение теоремы для окрестности
одной из замкнутых траекторий векторного поля sgrad F. Идея доказательства —
возмущать гамильтониан так, чтобы он оставался инвариантным относительно
потока поля sgrad F. Это, как и в доказательстве теоремы 2.1, будет обеспе-
чивать интегрируемость возмущенной системы. Основная сложность, которая
здесь может возникнуть, заключается в том, что среди траекторий поля sgrad F
могут найтись особые, на которые наматываются остальные. Окрестность такой
траектории не расслаивается поэтому на окружности.
Рассмотрим диффеоморфизм сг: В? —> В?, удовлетворяющий трем условиям:
1) Существует натуральное N такое, что aN = id;
2) atz = z, где z — одна из координатных функций;
3) Точка s с координатами a?(s) = y{s) = 0 неподвижна.
Теорема 2.3. Пусть а — диффеоморфизм с указанными свойствами, и
пусть L = {ж = у = 0}. Тогда можно ввести гладкие цилиндрические координа-
ты на B3\L (р, ф, z) такие, что в этих координатах диффеоморфизм а станет
2тго
поворотом на угол —д~-
Доказательство.
На каждой плоскости z = zq у а имеется неподвижная точка s с коорди-
натами (0, 0, Zo). Рассмотрим A(zo) = d(a\z=zo) в точке я. Так как aN = id,
то A(zo)w = Е. Следовательно, собственные числа оператора A(zo) являются
корнями из единицы степени п < N и не зависят от zq. Можно считать, сделав
в каждой плоскости z = z0 линейное преобразование, что
cos ф sin ф
— sin ф cos ф
Тогда диффеоморфизм а — это поворот на угол ф с точностью до О(х2 + у2).
Рассмотрим функцию
Р2 = f + О-*/ + (72/ + - +
где f = (.г2 +у2). Ясно, что р2 г-2о — морсовская функция, инвариантная отно-
сительно сг. Осталось построить функцию ф. Сначала докажем лемму.
Лемма 2.2. Если p(w)2 0 достаточно мало, то п — минимальный период
точки w.
A(z0) -
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 423
Доказательство леммы.
у
Орбита точки w лежит на окружности {р = p(w)}. Пусть ф± = arctg(^) —
многозначная функция. Ясно, что а с точностью до О(х2 + у2) — это преобразо-
вание р' = р, ф{ = ф1 + 2тг(^), где к и п взаимно просты. Поэтому орбита точки
состоит уже по крайней мере из п точек. Осталось показать, что их ровно п.
Пусть <тп(w) w. Для всех точек, достаточно близких к неподвижной точке,
однозначно определена функция отклонения £(w) = ф1(сгп(щ)) = ф1(?г).
1. Предположим, что существует такая точка w', что p(w') > 0 и = О,
но £ не равно нулю на всей окружности (иначе все доказано). Пусть О = {р =
— p(w')}, и О+ — {w е О | £(«>) >0} — не пусто (иначе рассмотрим О_).
Подмножество О+ с О открыто и не совпадает со всем О. Можно считать, что
точка w' лежит на границе О+, причем так, что связная компонента О+ лежит
«справа» от w'. То есть функция ф1(О+) > </>i(w'). Вблизи точки w', на множест-
ве О+, функция £ мала, но положительна. Тогда можно найти точку w G О+ со
сколь угодно большим периодом. Это противоречит условию aN = id.
2. Предположим, что для всех точек £ / 0. Поскольку £(z) — О(р), то снова
можно найти точку со сколь угодно большим периодом.
Следовательно, £(w) = 0 для достаточно малых p(w) > 0. Лемма доказана.
Продолжим доказательство теоремы. Положим
Ф = ф1 + (Т*ф1 + ... + 1ф.
Функция Ф имеет приращение 2тгп при обходе вокруг нуля. Кроме того, <т*Ф —Ф =
= 2тгк. Положим ф = Теорема 2.3 доказана.
Продолжим доказательство теоремы 2.2. Пусть П — трехмерная трансвер-
саль к критической окружности О. Рассмотрим для системы sgradF отображе-
ние последования а на П. Отметим, что F и Н, ограниченные на П регулярны.
Пусть (ж, у, Н) — координаты на П, построенные по теореме 2.3 для отобра-
жения последования а. Чтобы функция w, определенная на П, продолжалась до
функции, коммутирующей с F, необходимо и достаточно потребовать инвари-
Q'Tr Jc
антности w относительно поворотов на угол —— для некоторых fe, п в плоское-
ти Н = h. Будем возмущать Н в классе инвариантных функций. Ясно, что можно
так инвариантно возмутить II, чтобы ограничение F на поверхность Н = const
имело бы только морсовские особенности. Теорема 2.2 доказана.
Приведем без доказательства теорему, которая показывает, что «геометри-
ческая простота» системы влечет за собой условие существования периодичес-
кого интеграла, см. [7].
Теорема 2.4. Пусть для системы sgrad Л с интегралом F выполняются усло-
вия:
(г) Для всех h, а < h < [i на Qh все критические множества F являются
двумерными торами, бутылками Клейна и окружностями. К окружностям
могут приклеиваться кольца.
424
Приложение 2
(и) Бифуркационная диаграмма состоит из объединения непрерывных кри-
вых f = Wi(h).
Тогда для любого h, а < h < 0, Е > 0, найдется ho, \h — ^о| < чт° в
некоторой окрестности критического множества интеграла на Qha существует
периодический интеграл системы v = sgradH.
§ 4. Боттовские системы с точки зрения сильной метрики
Теорема 2.5. Пусть О — боттовская окружность системы v = sgrad71 отно-
сительно интеграла F. Тогда при малом возмущении в сильной метрике окруж-
ность мало деформируется, оставаясь боттовской.
Доказательство.
Пусть П — 3-трансверсаль к О, Па = ПП<Эа, fa = При малом шевеле-
нии Н и F, fa тоже мало пошевелится, но при условии, что возмущение мало, fa
останется морсовской. Следовательно, боттовская окружность сохранится. Тео-
рема доказана.
Заметим, что в этом случае вовсе не обязательно условие сильной боттовос-
ти, как это было нужно в параграфе 2.
Теорема перестает быть верной для боттовских торов. Доказательство тео-
ремы 2.1 основывалась на том, что под действием возмущения критический тор
распадался в «ожерелье» из критических окружностей. Аналогичным способом
можно доказать следующее утверждение:
Теорема 2.6. Пусть Н — гладкий гамильтониан, допускающий боттовский ин-
теграл для некоторого регулярного уровня h. Тогда можно сколь угодно мало воз-
мутить Н таким образом, что полученная система будет иметь боттовский
интеграл на том же уровне h, и на нем не будет критических торов.
Следствие. Пусть М'1 — компактно, система v = sgrad Л на Qh имеет толь-
ко критические окружности, и на кажном критическом уровне содержится не
более одной критической окружности. Тогда топологическая структура слоения
Лиувилля (описываемая инвариантом Фоменко-Цишанга) устойчива при малых
возмущениях системы в сильной метрике.
§ 5. Устойчивость топологической структуры на М4.
Введение
Конкретные примеры интегрируемых гамильтоновых систем показывают,
что при изменении значения гамильтониана топологическая структура системы
на изоэнергетической поверхности Qh может меняться. Это изменение связано с
появлением, видоизменением атомов и происходит «скачком» на уровне энергии,
который может и не быть критическим, а содержать, например, вырожденную
окружность. Учитывая топологическую устойчивость невырожденных окруж-
ностей, мы приходим к выводу, что несмотря на то, что на отдельной изоэнерге-
тической поверхности малым возмущением системы (при «хороших» условиях)
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 425
можно исключить все вырожденные особенности, их нельзя убрать со всего сим-
плектического многообразия.
Вопрос об изучении неботтовских особенностей был поднят А. Т. Фоменко и
С.В. Матвеевым в [10], где было дано определение ручного интеграла и ручных
особенностей. Основной результат, полученный для ручных систем, заключался
в том, что класс изоэнергетических многообразий интегрируемых гамильтоно-
вых систем не расширяется при замене боттовских интегралов на более широкий
класс ручных интегралов. Вопрос о вырожденных окружностях, по-видимому,
впервые в явном виде затрагивался в [1] А. В. Болсиновым, а в [9] О. Е. Орел бы-
ла получена топологическая классификация систем в окрестности минимаксной
вырожденной окружности.
Мы же поставим этот вопрос несколько иначе. Мы будем изучать топологи-
чески устойчивые вырожденные окружности, которые не исчезают при малом
возмущении гамильтониана и интеграла, и такие, что топология лиувиллева сло-
ения системы в окрестности окружностей не меняется при возмущении. В [8]
Л. М. Лерман и Я. Л. Уманский предъявили один тип топологически устойчивой
вырожденной окружности. Мы предъявим бесконечную серию таких окружнос-
тей, изучим топологию систем в их окрестности, докажем их топологическую
устойчивость и при дополнительном условии покажем, что остальные вырож-
денные особенности устранимы.
Вырожденные окружности общего вида тесным образом связаны с семей-
ствами общего положения эквивариантных функций от двух переменных, где
инвариантность естественным образом возникает в связи с приведением первых
членов системы к нормальной форме Биркгофа.
В качестве приложения полученных результатов, а также результатов об
устойчивости боттовских особенностей, мы сформулируем теорему об устойчи-
вости топологической структуры слоения Лиувилля на симплектическом мно-
гообразии. Напомним, что до этого формулировалась теорема об устойчивос-
ти структуры слоения лишь на изоэнергетическом подмногообразии. Чтобы из-
учать топологическую устойчивость в целом, нам потребуется определение лиу-
виллевой эквивалентности на многообразиях класса, более широкого, чем класс
изоэнергетических подмногообразий.
Определение 2.5. Пусть Vi — sgradН,: — гамильтоновы векторные поля, за-
данные на симплектических многообразиях М*, г = 1, 2. Допустим, что эти
векторные поля имеют независимые первые интегралы Fi. Мы будем говорить,
что указанные системы лиувиллево эквивалентны на инвариантных подмножес-
твах Bi С Mf. если
1) существует гомеоморфизм gt Bi B%’,
2) гомеоморфизм g переводит каждую связную компоненту множества сов-
местного уровня Hi и Fi в связную компоненту множества совместного
уровня функций Н2, F-2-
Если в качестве множеств Bi выступают изоэнергетические подмногооб-
разия, то определение 2.5 превращается в классическое определение лиувилле-
426
Приложение 2
вой эквивалентности на изоэнергетических подмногообразиях. Мы же будем ис-
пользовать лиувиллеву эквивалентность на подмножествах, которые значитель-
но «толще» изоэнергетических.
§ 6. Вырожденные окружности общего вида
Рассмотрим невырожденную окружность 7 интегрируемой гамильтоновой
системы на заданном уровне энергии Qh. При возмущении гамильтониана и ин-
теграла система остается лиувиллево эквивалентной невозмущенной при усло-
вии, что дополнительный интеграл изначально был простым. Этот результат ве-
рен для любой системы, не обязательно гамильтоновой. Доказательство тополо-
гической устойчивости вырожденных окружностей общего вида в значительной
степени использует гамильтонов характер уравнений.
Определение вырожденных окружностей общего вида будет дано ниже в тер-
минах коэффициентов нормальной формы Биркгофа в окрестности изучаемой
окружности. Поэтому перед тем, как дать точное определение, нам потребуется
редуцировать систему и привести ее к нормальной форме.
Пусть 7 — замкнутая критическая траектория системы v = sgrad Л
с дополнительным интегралом F. Поскольку 7 — критическая траектория,
то dF — А • dH в каждой точке 7, и А не зависит от этой точки. Таким образом, 7
также является траекторией векторного поля sgradF. Пусть (pi, рг, qi, qz) — на-
бор канонических координат в окрестности 7, таких, что
1 = {р-2 = 91 = 92 = о}.
Траектория 7 параметризуется значением координаты pi, которую мы поло-
жим 2тг-периодической.
Пусть П3 С М4 — трехмерная трансверсаль к 7, и П„ = П3 П {F = а}. Без
ограничения общности можно считать, что F{-y) = 0. Обозначим xq = По П 7.
Поскольку хо — неподвижная точка относительно отображения последования тг
для системы sgradF, то можно вычислить дифференциал этого отображения в
этой точке. Обозначим Ai, А2 — собственные значения оператора йтг|Жо. Ясно,
что Ai = А^1 и А^Аг = 1.
Мы будем рассматривать случай, когда А" = 1 для некоторого натурально-
го п. Иначе говоря, Ai = e2ltlk/n.
к
Определение 2.6. Дробь мы будем называть резонансом окружности 7.
Заметим, что резонанс был определен неинвариантно. Вместо отображе-
ния последования тг, соответствующего векторному полю sgradF, можно было
бы взять другое отображение. Скажем, тгд-, соответствующее векторному по-
лю sgradЛ. Тем не менее, поскольку 7 — вырожденная окружность, то часто-
ты А» не зависят от выбора представителя пуассонова действия.
Мы будем различать два случая:
а) А^ — 1,
b) Xi ф 1.
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 427
Рассмотрим случай Ь). В этом случае неподвижная точка а?о будет топологи-
чески устойчивой, то есть при малом изменении системы у отображения тг на По
будет существовать единственная неподвижная точка вблизи ж0- Это означает,
что при таком возмущении замкнутая траектория 7 сохранится, лишь немного
продеформировавшись. Применим метод изоэнергетической редукции к систе-
ме v = sgrad F вблизи 7. Опишем вкратце эту процедуру. Выразим координату q±
через F и остальные координаты:
91 = К(р!, р2, q2, F). (6.1)
Положим Т = pi, р = р2, q = q2- Тогда исходная система v = sgradF запишется
следующим образом:
dp = 0K ^_=_ЭК . .
dT dq ’ dT др' }
Таким образом, мы получили неавтономную гамильтонову систему с двумя
степенями свободы, периодически зависящую от времени Т. Применим к полу-
чившейся системе метод нормализации Биркгофа.
Для начала предположим, что знаменатель резонанса не менее 3. Пусть т =
р2 + о2
— —-—. Приведем систему к нормальной форме с точностью до членов степе-
ни п + 1:
[п/2]
К = u>i(F)t + + Кп(р, q, Т) + ... , (6.3)
s=2
гдесс11(0) = а Кп — однородный многочлен от переменных Р, Q, определенных
равенством
(Р + zQ) = (р + iq)eiTk/n. (6.4)
Более того, легко видеть, что этот полином должен быть инвариантным относи-
тельно поворота на угол в плоскости Т = const, F = const:
(р' + iq'} = (р + iq)e2m^n. (6.5)
Все остальные члены меньшей степени также инвариантны относительно ука-
занного поворота. Ключевым моментом в этом месте является инвариантность
первых п членов разложения функции К относительно этого поворота. Оказыва-
ется, аналогичным свойством обладает и разложение функции Н.
Лемма 2.3. Пусть Н = Н(р, q, Т. F) является первым интегралом редуциро-
ванной системы с гамильтонианом К в окрестности замкнутой траектории у,
и гамильтониан К приведен к нормальной форме Биркгофа (6.3) с точностью до
членов степени п + 1. Тогда первые п членов разложения Н тоже инвариантны
относительно поворота на угол
428
Приложение 2
Доказательство.
Обозначим
H = ^HS (6.6)
s— 2
формальное разложение функции Н, где Hs подразумевается однородным мно-
гочленом степени s от р, q с коэффициентами, зависящими от F и Т. Посколь-
ку Н — первый интеграл, то
а _ dH _ дН f ,
° “ 1Т “ ~дТ + [я’ к]'
(6-7)
г„ дНдК дНдК „ , п г ,
где \Н, К\ = —— -------——. Заметим, что скобка Пуассона сохраняет
др aq aq др
однородность многочленов от р, q.
Пусть На —
тельно поворота.
член минимальной степени, который не инвариантен относи-
дН
Предположим сначала, что а < п. Так как = [А", Н], то
имеем уравнение на На:
= Е [Кр,Ну].
/3+7=а+2
Единственным ненулевым членом в сумме правой части является [К2, На]- По-
этому получаем уравнение:
^ = [Ш1(Р)-т,На].
Решение последнего уравнения — это любая функция от гр где
(£ + «'»?) = (р +
Мы ищем решение — однородный многочлен от р и q степени а < п. При
малых |F| частота ce-'i(T) мало отличается от Поэтому нетрудно видеть,
что На = С та/2 является единственным возможным решением.
Рассмотрим теперь случай а = п. Аналогичным способом мы получаем урав-
нение на Нп:
= [Кп, Н-2] + [К-2, нп] = [tfn, C(F)t] + Нп] =
= [Ш1(р)т,Нп-С^Кп].
Если cc-'i(-F) = wi(O) = то, очевидно, Нп инвариантен. Если Wi(E’) Wi (0), то
положим а — — ^(О) — Делая замену Нп — Нп — (1 — а) Кп, получаем
Wi(0)-Wi(F) ui(F)
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 429
уравнение
= Ы^)т, Я„],
из которого, как и выше, следует инвариантность Нп. Лемма доказана.
Утверждение леммы является частным случаем общего факта. А именно,
нормальность по Биркгофу первых членов разложения гамильтониана, как пра-
вило, можно определить как инвариантность указанных членов относительно
действия естественной группы преобразований. Если исходная система имеет
дополнительный интеграл, то первые члены разложения интеграла тоже оказы-
ваются инвариантными относительно этого действия.
В случае п = 2 гамильтониан можно привести с следующему виду:
К = Wi(F)t + К2(р, q, Г, F) + К4{р, q,T, F) + ... , (6.8)
где инвариантность первых трех членов относительно поворота на угол тг рав-
носильна отсутствию члена третьей степени. Как и раньше, в силу того, что Н
является интегралом, в разложении Н в новых координатах будет отсутствовать
член третьей степени.
В случае а), то есть при п = 1, мы будем считать, что К уже приведен к
нормальной форме, которая инвариантна относительно тождественного преобра-
зования. В этом случае нас будут интересовать члены второй и третьей степени.
Вернемся теперь к общему случаю. Рассмотрим функцию
2. s |T=const:
8=2
(6-9)
где т(1) = 3, т(2) = 4, т(п) = п при п > 2. Заметим, что Н' зависит от трех
переменных р, q, F. Мы будем рассматривать Н' как семейство функций от двух
переменных с параметром семейства F. Каждая функция из этого семейства
инвариантна относительно поворота на угол
Дадим теперь неформальное определение вырожденной окружности обще-
го вида. Мы скажем, что 7 — вырожденная окружность общего вида, если Н'
является семейством общего положения среди семейств инвариантных функций.
Чтобы сформулировать строгое определение, мы перечислим условия, кото-
рым должны удовлетворять коэффициенты разложения Н'.
д2Н
Пусть п — 1. Тогда поворотом можно можно добиться, чтобы 2 - 0 в
точке жц. Потребуем, чтобы в этих координатах следующие члены ряда Тейлора
не вырождались: Срр2, C2q3, C%qF.
д2Н
Пусть п = 2. Тогда поворотом можно можно добиться, чтобы „ 9 = 0 в
oq
точке xq. Потребуем, чтобы в этих координатах следующие члены ряда Тейлора
не вырождались: Cip2, C2q\ C2q2F. Мы будем различать два частных случая:
2а) CiC2 > О,
430
Приложение 2
2b) (71(72 < 0.
Пусть п = 3. Следующие члены ряда Тейлора не должны вырождаться:
Рз(р, q), Сз(р2 + q2) • F, где Р?,{р. q) — однородный полином степени 3, инва-
риантный относительно поворотов на угол
Пусть п = 4. Следующие члены ряда Тейлора не должны вырождаться:
(7з(р2 + q2) • F. Можно показать, что любой полином степени 4, инвариант-
ный относительно поворота на угол можно разложить в сумму q) =
= А(р2 + q2)2 + Bp2q2. Мы будем различать два частных случая:
4а) В е (—4А, 0) при А > 0 или В е (0, — 4А) при А < 0,
4Ь) В [-4А, 0] при А > 0 или В [0, — 4А\ при А < 0.
Потребуем, чтобы полином Pi(p, q) удовлетворял условию 4а) или 4Ь).
Пусть п > 4. Следующие члены не должны вырождаться: <7i(p2 + g2)2,
Рп(р, q), C3(p2+q2)-F, и Рп(р, q) не представляется в виде многочлена от (p2+q2),
где Рп(р, q) — однородный полином степени п, инвариантный относительно по-
воротов на угол
Определение 2.7. Вырожденная окружность 7 интегрируемой гамильтоновой
системы v = sgrad Л с дополнительным интегралом F называется вырожденной
к к
окружностью общего вида резонанса если, во-первых, ее резонанс равен а,
во-вторых, после редукции и приведения к нормальному виду (как указано вы-
ше) коэффициенты разложения функции Н удовлетворяют перечисленным выше
условиям.
Заметим прежде всего, что семейства эквивариантных функций с вырож-
денной точкой, удовлетворяющие условиям, сформулированным выше, действи-
тельно составляют всюду плотное и открытое множество среди всех эквивари-
антных семейств (в метрике СТ, при достаточно большом г).
Теорема 2.8 объясняет выбор этих условий. В дальнейшем для простоты
под резонансом вырожденной окружности общего вида мы будем понимать сам
резонанс и реализацию частного случая а) или Ь) для п = 2, 4.
Теорема 2.7. Топология интегрируемой гамильтоновой системы в достаточно
малой окрестности вырожденной окружности общего вида полностью определя-
ется ее резонансом.
Доказательство этой теоремы заключается в систематическом расмотре-
нии перестроек линий уровня функции Н(р, q, F, Т) при фиксированном значе-
нии Т при изменении параметра F. Указанные перестройки показаны на рис. 2.
Непосредственно из определения вырожденной окружности общего вида сле-
дует существование вырожденной окружности общего вида для любого рацио-
нального резонанса. Тем не менее, интересно отметить, что в известных ин-
тегрируемых случаях встречаются вырожденные окружности со знаменателем
резонанса не более двух. Четкого объяснения этому обстоятельству пока нет,
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 431
Резонанс, част- ный случай Перестройка линий уровня при изменении F
п = 1 ((((( ш о
п = 2 Частный случай А (§) о ®
п = 2 Частный случай В ® о в
п — 3 т > д
и — 4 Частный случай А и
п = 4 Частный случай В (^j)
п 5 п лепестков
Рис. 2
хотя можно сформулировать гипотезу, что системы с вырожденными окруж-
ностями высоких резонансов имеют сложное аналитическое выражение. И они
пока не найдены из-за этой сложности. Необходимо отметить, что случай п = 1
является в некоторой степени особенным. Для изучения вырожденной окруж-
ности с единичным резонансом можно не подключать редукцию и приведение к
нормальной форме. Именно этот вид вырожденных окружностей был упомянут
в [8].
Подчеркнем, что свойство окружности быть вырожденной общего вида яв-
ляется свойством пары функций — гамильтониана и интеграла. При замене ин-
432
Приложение 2
теграла другим вырожденная окружность общего вида может потерять это свой-
ство.
Бифуркационные диаграммы и круговые слова-молекулы, соответствующие
окрестностям вырожденных окружностей общего вида, показаны на рис. 3.
Теорема 2.8. Пусть Не — семейство гамильтонианов, FE — гладкое семей-
ство дополнительных интегралов, то есть таких, что при каждом значении е
функции Нс и Fc коммутируют относительно скобки Пуассона. Предположим,
что 7 — вырожденная окружность общего вида системы при значении пара-
метра е — 0. Тогда существует гладкое семейство окружностей таких,
что 7о = 7, при каждом е, является замкнутой вырожденной траекторией
общего вида системы v = sgradНе с интегралом Fe, с таким же резонансом, как
и у.
Доказательство.
В случае п = 1 теорема очевидна. При п > 1 сохранение замкнутой траек-
тории следует из нетривиальности линейной части потока вблизи 7. А сохране-
ние резонанса следует из гладкости операции приведения к нормальной форме и
определения вырожденной окружности общего вида.
Следствие 3. В условиях теоремы 2.8 топологическая структура системы в
окрестности вырожденной окружности общего вида будет оставаться без изме-
нений.
Замечание 1. Последняя теорема была сформулирована для случая параметрического
возмущения исходной системы. Однако утверждение теоремы остается верным и для
непараметрического возмущения в метрике Сг. Необходимо только наложить дополни-
тельное условие г > п.
Следующая теорема показывает, что при дополнительных условиях от вы-
рожденных окружностей не общего вида можно освободиться.
Теорема 2.9. Пусть v = sgrad Л — гамильтоново векторное поле на симплек-
тическом многообразии М'1. Допустим, что соответствующая система интег-
рируема по Лиувиллю, а на открытом подмножестве В имеется периодический
интеграл F. Тогда для любого открытого подмножества В1} такого, что его за-
мыкание содержится в В, можно возмутить гамильтониан Н таким образом,
что
1) НЕ = Н вне В;
2) Система v — sgrad Не интегрируема с помощью некоторого гладкого ин-
теграла G, относительно которого в В± нет вырожденных окружностей
не общего вида.
Доказательство не составляет труда, и использует то, что семейства эквива-
риантных функций действительно составляют всюду плотное множество среди
семейств эквивариантных функций с вырожденной точкой. А в остальном дока-
зательство повторяет доказательство теоремы о плотности боттовских особен-
ностей.
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 433
Резонанс част- ный случай Бифуркационная диаграмма Круговая слово-молекула
п = 1 0
п = 2 Частный слу- чай А %. А* 0 Л fi fi —Л
п = 2 Частный слу- чай В а А* й ОО
п — 3 Д 7з ею ?? / fi 4 3
п — 4 Частный слу- чай А Д ею OQ Д 3/^ b^\2j '/ч
п = 4 Частный слу- чай В > — 00 0
п 5 А А к\ (*,*>)-£ п В « 1° А
Рис. 3
434
Приложение 2
§ 7. Глобальная устойчивость топологической структуры
В этом параграфе мы покажем, что система, имеющая только боттовские и
вырожденные окружности общего вида, топологически устойчива на всем сим-
плектическом многообразии.
Пусть М4 — симплектическое многообразие, Н — гладкий гамильтониан,
F — дополнительный интеграл системы v = sgrad Н. Пусть а, Ь, а < Ь — регу-
лярные значения Н. Рассмотрим следующие условия на систему:
(i) Для любого h е [а, Ь], h — регулярное зачение Н;
(ii) Л-1 ([а, &]) — компактно;
(iii) На множестве Н~4([а, &]) имеются только боттовские окружности, регу-
лярные торы и вырожденные окружности общего вида, и на Н~4(а)иИ-1 (&)
нет вырожденных окружностей;
(iv) На каждой связной компоненте множества имеется не более одной
критической окружности;
(v) Для любого h € [а, &] на многообразии Н~4 (/г) имеется не более одной
вырожденной окружности.
Теорема 2.10. Пусть на симплектическом многообразии М4 имеется гладкое
семейство интегрируемых гамильтоновых систем с гамильтонианом Не и допол-
нительным интегралом, гладко зависящими от параметра е. Допустим, что для
некоторых а, Ь система v = sgrad Но и интеграл Fq удовлетворяют набору усло-
вий (i)-(v). Тогда при достаточно малом |е| системы v = sgradHo и и = sgradHe
лиувиллево эквивалентны на множествах Н(]"1([а, &]) и H~4([a, &]), причем лиу-
виллеву эквивалентность можно выбрать как переводящую один уровень энергии
в другой.
Доказательство.
В силу компактности множества Н(71([а, &]) и изолированности вырож-
денных окружностей, их будет конечное число. Обозначим все вырожденные
окружности, содержащиеся в этом множестве, через 7,., 0 < г -•$ N. Поло-
жим hr = Н(-уг). Можно считать, что
а. < hi < h-2 < ... < A/v < b
(см. рис. 4). В силу теоремы о неустранимости вырожденных окружностей об-
щего вида, при достаточно малом |е| окружности у,. сохранятся, лишь немного
продеформировавшись. Обозначим их уЕ, hEr — НД-уД. Подберем гладкую моно-
тонно возрастающую функцию такую, что
1) /(а) = а, /(&) = 6;
2) hr = l(hE), 0 < г N.
Об устойчивости топологической структуры боттовских интегрируемых систем 435
При h hT системы на и лиувил-
лево эквивалентны в силу теоремы о топологической
устойчивости боттовских систем. При h = hr систе-
мы на H^th) и Нг1 (Д) лиувиллевы эквивалентны в
силу сохранения типа вырожденной окружности об-
щего вида. Ясно, что гомеоморфизмы, осуществляю-
щие лиувиллеву эквивалентность, можно сшить в еди-
ный гомеоморфизм. Это и завершает доказательство
теоремы.
Замечание 2. При отсутствии условия (v) можно доказать
аналогичную теорему. Однако она не будет гарантировать существование лиувиллевой
эквивалентности, переводящей изоэнергетическое подмногообразие в изоэнергетичес-
кое подмногообразие.
Литература
[1] Bolsinov А. V. Methods of Calculation of the Fomenko—Zicschang Invariant //
Adv. in Sov. Math, 1991, v. 6, pp. 147-183.
[2] T. 3. Нгуен О свойстве общего положения простых боттовских интегралов.
// УМН, 1990, т. 42, №4, с. 161-162.
[3] Ошемков А. А. Топология изоэнергетических поверхностей и бифуркацион-
ные диаграммы интегрируемых случаев динамики твердого тела на SO(A).
// УМН, 1990, т. 42, №2, с. 199-200.
[4] OshemkovA. A. Fomenko invariants for the main integrable cases of the rigid
body motion equations. // Adv. in Sov. Math., 1991, v. 6, pp. 67-146.
[5] Харламов M. П. Топологический анализ классических интегрируемых случа-
ев в динамике твердого тела. // ДАН СССР, 1983, т. 273, №6, с. 1322-1325.
[6] Погосян Т.Н., Харламов М. П. Бифуркационное множество и интегральные
многообразия задачи о движении твердого тела в линейном поле сил. //
ПММ, 1979, т. 43, с. 419-428.
[7] Калашников В. В. О типичности боттовских интегрируемых гамильтоновых
систем. // Мат. сборник, 1994, т. 185, №1, с. 107-120.
[8] Лерман Л. М., Уманский Я. Л. Классификация четырехмерных интегрируе-
мых гамильтоновых систем и пуассоновских действий R2 в расширенных
окрестностях простых особых точек. // Мат. сборник, 1992, т. 183, №12,
с. 141-176: т. 184, №4, с. 105-138.
[9] Орел О. Е. Исследование окрестности вырожденной одномерной орби-
ты пуассонова действия R2 в Af4. // Труды математического ин-та
им. В. А. Стеклова, 1994, т. 205, с. 113—130.
[10] Матвеев С. В., Фоменко А. Т. Теория типа Морса для интегрируемых гамиль-
тоновых систем с ручными интегралами. // Матем. заметки, 1998, т. 43, № 5,
с. 663-671.
Приложение 3
Построение канонических координат в
окрестности особой точки интегрируемой
гамильтоновой системы
(В. В. Калашников (мл.))
Введение
Здесь изложено доказательство теоремы, в разных ситуациях доказанной
Веем, Рюссманом, Эллиасоном, Ито (см. главу 1 тома1 настоящей книги). Ссылки
даются на отдельный список литературы, помещенный в конце приложения.
В общих словах смысл указанной теоремы сводится к тому, что лиувиллево
слоение пуассонова действия в окрестности невырожденной точки зависит от
того, к какому виду приводится линейная часть действия.
Кроме невырожденных точек, мы рассмотрим невырожденные орбиты пуас-
сонова действия. Мы покажем, что задача изучения топологии лиувиллева сло-
ения в окрестности точки на невырожденной орбите редуцируется к случаю
невырожденной точки.
— вещественно аналитическое многообразие, и Н = G±,G-2, , Gm —
набор попарно коммутирующих относительно скобки Пуассона {,} независи-
мых аналитических функций. Мы будем исследовать структуру соответствую-
щей интегрируемой гамильтоновой системы в окрестности неподвижной точ-
ки Xq Е М2т, в которой dGk = 0 при всех к. В силу теоремы Дарбу можно счи-
тать, что рассматриваемое многообразие — это R2”1, снабженное стандартной
т
симплектической структурой ы = X) dxi A dyi. Кроме того, мы будем считать,
«=1
что исследуемая неподвижная точка находится в начале координат.
В силу аналитичности,
71=0
где G^ — однородный многочлен степени п. В силу того, что скобка Пуассона
сохраняет однородность многочленов, квадратичные формы образуют алгебру
Ли относительно скобки Пуассона. Кроме того,
{G^,G<2)} = 0
при всех г, к. Таким образом, квадратичные части функций G{ порождают ком-
мутативную подалгебру в алгебре квадратичных форм.
438 Приложение 3
Определение 3.1. Точка Жц называется невырожденной особой точкой, если ука-
занная коммутативная подалгебра является подалгеброй Картана.
Теорема 3.1 (Williamson). Если ж() — невырожденная особая точка, то най-
дутся такие линейные симплектические координаты Xi, Х2 • • хт, уз,у2, , Ут
и такая невырожденная матрица aij, что Fp = имеют один из видов:
з
1) Эллиптический
Fk = + Vk);
2) Гиперболический
Fp = Хрур;
3) Фокус-фокус
Fp = ХкУР+1 — Xp+iyp,
Fp+1 = хрур + Xp+iyp+1.
В дальнейшем мы будем считать, что мы уже сделали линейную замену
координат и функций Gp, как указано в предыдущей теореме. Кроме того, мы
будем считать, что нумерация такова, что при 1 к -•$ кр формы эллиптич-
ны, при fci < к -•$ к2 — гиперболичны, при к,2 < к -•$ т — типа фокус-фокус.
Нашей целью будет доказать следующую теорему.
Теорема 3.2. Пусть ж(| является невырожденной особой точкой для аналити-
ческой интегрируемой гамильтоновой системы с гамильтонианом Н — G^ и до-
полнительными интегралами G2, , Gm. Тогда в некоторой окрестности точ-
ки xq можно выбрать такие симплектические координаты хр,... xm,yi,... , ут,
что для любого к функция Gp является функцией от Fj, j = 1, ... , т, указанных
в предыдущей теореме.
§ 1. Коммутативность и зависимость
Пусть Rp, 1 к < т обозначает одну из квадратичных форм, указанных в
теореме 3.1.
Определение 3.2. Будем говорить, что набор чисел {Хрнерезонансен отно-
сительно {7?^}^!, если набор чисел
iAi, iА2, ... , гXpf, Afci+i, ... , A^2, ;/А^2~|-1, Ад.2_|_2, iА/.2_|_з, Aj.2_|.4, ... , iAm_j, Xm
нерезонансен в обычном смысле, то есть линейная комбинация этих чисел с це-
лыми коэффициентами равна нулю, только если все коэффициенты равны нулю.
Лемма 3.1. Пусть {Ад,} — нерезонансный относительно {R^} набор чисел. По-
ложим
ТП
R = Afe.Rfc-
Л=1
Построение канонических координат в окрестности особой точки
439
Тогда если {R, Р} = 0 для однородного многочлена Р, то Р является многочленом
от Rl, R2, , Rm.
Доказательство.
Обозначим Vn — линейное пространство однородных многочленов степени п.
Ясно, что Vn = Simm(yi®"). Тогда {Rk,-} является линейным оператором из Vn
в Vn. Ниже перечислены собственные векторы операторов1 {Rk, }, действующих
в Vi.
1) 1 < k кг. £к = хк + iyk, lk=xh- гукг
2) fei < к fc2- & = xk, = yk:
3) k-2 <k, к — нечетно. £k = xk+1 + ixk, Jk = yk+1 - iyh;
4) k-i <k,k — четно. & = yk+1 + iyk, = жЛ+х - ixk.
Черта здесь обозначает не комплексное сопряжение, а то, что векторы £к
и £к имеют собственные числа, разные по знаку. Обозначим А(£) — собственное
число, соответствующее собственному вектору £ оператора R. Тогда
1) 1 к fei. А(^) = iXk, A(£fc) = — iXk-,
2) к, < к k.2. A(&) = Xk, X(gk) = -A*;
3) k-2 < к, к нечетно. A(^) — ‘iXk A^+i, A(^) — iXk 4- A&h-i;
4) k-2 <k,k — четно. А(&) = iXk + Afc+i, A(<fc) = -iXk - Xk+1.
Очевидно, что собственными векторами оператора {R, •} в пространстве Vn
будут всевозможные произведения
•••&„• (1-1)
Соответствующее собственное число будет равно
X&J + -^(62) + • + А(6„)-
Из условия того, что набор {Ад,} нерезонансный относительно {Р/;}, следует, что
указанное собственное число равно нулю тогда и только тогда, когда в произве-
дении (1) любой вектор £к входит столько же раз, сколько и £к. Следовательно,
если {Я, Р} = 0, то Р является линейной комбинацией векторов с нулевым соб-
ственным значением, то есть является многочленом от £к£к. Лемма доказана.
Отметим одно важное обстоятельство. В пространствах Vn задан базис из
собственных векторов оператора {Л,-}. Некоторые вектора имеют собственное
значение, равное нулю. Следовательно, в силу теоремы о единственности разло-
жения вектора по базису, получаем, что определен оператор Р7у: Vn —> Vn, ко-
торый обнуляет координаты вектора, соответствующие собственным векторам
с ненулевыми собственными значениями.
1Как легко заметить, все операторы и {К,-} одновременно приводятся к диагональ-
ному виду.
440 Приложение 3
Лемма 3.2. Пусть {Rk, Р} = 0 для всех к, тогда Р является многочленом от
Rl • R25 • • • ? Rm
Доказательство.
Следует из леммы 3.1.
Таким образом, доказана следующая теорема
Теорема 3.3. Пусть Р — аналитическая функция. Тогда следующие условия
эквивалентны:
1) Р является аналитической функцией от Ri, Ri, ... , Rm;
2) {Rk, J5} = 0 для всех к;
3) {R, Р} = 0.
Эта теорема не верна для гладких функций.
Пример 1. Рассмотрим функцию W(x, у) = ef:r:!/-2. Положим Q(x, у) = ГУ (.г. у)
при х, у > 0 и Q(x, у) = 0 в остальных случаях. Очевидно, Q(x, у) — гладкая
функция, и {Rk, Q} = 0.
Следовательно, для того, чтобы доказать основную теорему, нам достаточно
показать, что {Я, (?&}=() или {Я, = 0 при всех к и а.
§ 2. Нормальные формы
Рассмотрим разложение гамильтониана Н:
ОО
н = £ны.
п—О
В нашем случае = 0.
Определение 3.3. Мы будем говорить, что Н приведена к нормальной форме с
точностью до членов степени п, если {Н^, = 0 при к У п.
Будем считать, что Н = где {\/} — нерезонансный относитель-
но {Gj2)} набор чисел.
Условие того, что {Н121. Н^} = 0 эквивалентно PNH® = поэтому
последнее можно считать вторым определением нормальной формы. Это опре-
деление линейно инвариантно, то есть при линейной замене координат свойство
нормальности сохраняется. Поэтому при приведении к нормальной форме можно
не заботиться о том, к какому виду приведена квадратичная часть.
Гамильтониан всегда можно привести к нормальной форме с точностью до
членов конечного порядка. Обычно это делается с помощью последовательности
симплектических отображений
Ф = Фп ° Фп-1 ° • • . ° фз,
Построение канонических координат в окрестности особой точки 441
где фр является сдвигом вдоль траекторий гамильтонового векторного по-
ля sgradWk, соответствующему некоторому полиномиальному гамильтониа-
ну Wp. Процесс нормализации можно провести до любого конечного порядка п,
для любого гладкого гамильтониана.
В случае, когда исходная система допускает дополнительный интеграл, воз-
никает интересное обстоятельство, заключающееся в том, что гамильтониан и
дополнительный интеграл приводятся к нормальной форме одновременно.
Теорема 3.4. Пусть гамильтониан Н приведен к нормальной форме с точнос-
тью до членов порядка п. Допустим, что оператор {И1'21. •} полупрост. Тогда,
если {Н, F] = О, {Н^\ Р«} = 0 при к п.
Доказательство.
Будем доказывать эту теорему по индукции по к. При к = 2 утверждение
очевидно, так как
О = {Н, Р}(2) = {Я(2), Р(2)}.
Предположим, что утверждение теоремы верно для всех ко < к. Рассмотрим
k
О = {Я, P}(fc) = {Я(2), Р(':)} + p(fe-J+2)}_
J=3
Заметим, что в силу предположения индукции,
{Я(2), {Я(Л, р(*-^+2)}} = О,
следовательно, {Я^2\ {Я^2\ Р^}} = 0. В силу полупростоты оператора •},
последнее равенство влечет {Н^2\ pW} = 0. Теорема доказана.
В рассматриваемом нами случае Н = где {Aj} — нерезонанс-
ный относительно {G^} набор чисел. Если Н приведена к нормальной форме с
точностью до членов порядка п, то {Я, G^} = 0 (где R = Н^), и, следователь-
но, {Gj2\ G^} = 0 при s п и любых j, к. В дальнейшем мы переобозначим Gi,
положив его равным Н.
Таким образом, для того, чтобы доказать основную теорему, достаточно
показать, что гамильтониан Н можно привести к нормальной форме целиком.
При попытке нормализовать весь гамильтониан возникает проблема со сходи-
мостью последовательности преобразований. Система с нормальным гамильто-
нианом вполне интегрируема, поэтому если система была изначально неинтег-
рируемой, то нормализующая последовательность замен заведомо не сходится,
см. [1].
Возникает естественный вопрос о том, сходится ли нормализующая после-
довательность в случае, когда система вполне интегрируема?
Теорема 3.5. Пусть Gi, ... , Gm — полный набор независимых попарно ком-
мутирующих относительно скобки Пуассона вещественно аналитических функ-
ций, и xq — невырожденная особая точка. Сделав необходимую линейную замену
координат и Gj, как указано в теореме 3.1, мы считаем, что квадратичные
442
Приложение 3
т
части Gj имеют канонический вид. Положим Н = У) XjGj, где {А/} — не-
j=i
резонансный относительно {Gj} набор вещественных чисел. Тогда существует
симплектическая вещественно-аналитическая замена координат, нормализую-
щая Н, то есть в которой
{Я(2), Н} = 0.
Доказательство.
Рассмотрим нормализующую последовательность Х.Ито. Эта последова-
тельность определяется следующим образом. Пусть функция Н = Gi норма-
лизована с до членов степени 2 + d — 1. Мы пишем
б?! = Gf} + G^3) + ... + +й-1) + ... ,
где при j sC 2 + d — 1, P^G^31 = G^\ Следующим шагом мы нормализуем Н = Gi
до членов степени 2 + 2d — 1 с помощью преобразования
ф = exp(sgrad(TV'7+2 + Wd+S + ... + TV2,/+1)),
где Ws — однородный многочлен степени s. Ws должен удовлетворять двум
условиям:
1) Соответствующая последовательность нормализует гамильтониан;
2) PNWS - 0.
Из первого условия следует, что Ws удовлетворяет следующему уравнению:
l—d
{G^2), Wi+2} = -(1 - Pn)G{ - ^{G7, Wl+2~u). (2.1)
v=l
В [3] Х.Ито доказал (см.теорему 3.6 [3]), что указанная последовательность ото-
бражений сходится в некоторой окрестности начала координат.
Доказательство сходимости X. Ито использует метод Мозера и занимает око-
ло 20-ти страниц. Мы не будем здесь его приводить.
Покажем, что последовательность Х.Ито, определяемая уравнением (2.1) ве-
щественна в случае, когда все функции вещественны.
Обозначим А1 — правая часть уравнения (2.1). В силу условия 2), а также
того, что Н нормализована до членов степени 2 + d—1, получаем, что py/lz = 0.
Таким образом, уравнение (2.1) можно рассматривать как линейное уравнение
на пространстве КегРу. Но на этом пространстве оператор {G^2\ •} обратим по
определению оператора Р^- Следовательно, решение существует и единственно.
Но если Н = Gi изначально было вещественным, то и полученное уравнение
и его решение будут вещественными. Следовательно, нормализующая последо-
вательность Х.Ито в вещественном случае вещественна. В силу ее сходимости
существование нормализующей замены переменных доказано.
Следовательно, в силу теоремы 3.4, в полученных координатах {Я, Gj} = 0,
и, следовательно, функции Н, Gi, Gz, , Gm являются функциями от Fj, ука-
занных в теореме 3.1. Как легко заметить, квадратичные формы Fj аналитически
зависят от Л, Gi, G2, ... , Gm.
Построение канонических координат в окрестности особой точки
443
Следуя X. Ито, сформулируем теорему единственности:
Теорема 3.6. Пусть ф1} ф2 — два аналитических симплектоморфизма, при-
водящие систему к нормальному виду. Тогда отображение ф^1 о ф2 явля-
ется сдвигом вдоль траекторий гамильтоновой системы с гамильтонианом
К = K(Gi, G2, , Gm).
§ 3. Невырожденные орбиты
В этом параграфе мы рассмотрим локальное строение лиувиллева слоения в
окрестности точки, лежащей на невырожденной орбите пуассонова действия.
Пусть Xq € М2п, и в этой точке rarik{dG,}"=1 = к < п. Как и выше, Gi обо-
значают гамильтонианы, порождающие пуассоново действие. Без ограничения
общности можно считать, что G;(xo) = 0 при i, = 1, ... , к, и rank{dG,}(-:_| = к.
Обозначим Q = {ж Е М2п | С,(ж) = 0 при i = 1, ... , fe}. В силу теоремы транс-
версальности, в Q существует поверхность П размерности 2(n —fe), проходящая
через точку жд и трансверсальная векторным полям sgradGi при i = 1, ... , к.
Обозначим ш = w|n-
Лемма 3.3. Форма а> является симплектической.
Доказательство.
Замкнутость ш очевидна. Покажем, что ш невырождена. Пусть £ 6 Keruk
Тогда £ Е Keru)|Q. Но в каждой точке ПКега>|<з порождается векторами sgradG,
при г — 1,... , к, которые трансверсальны П. Лемма доказана.
Векторные поля sgrad Gs при а > fe, вообще говоря, не касаются П, но можно
определить оператор проекции
k
тг: TnQ -> ТП: £ sgrad
i=l
где at зависит от £ и определяется однозначно из условия тг(^) G ТП.
Обозначим sgradGB — гамильтоново векторное поле на П, соответствующее
гамильтониану Gs и симплектической форме ш.
Лемма 3.4. В каждой точке П sgradGs = 7r(sgradGs).
Доказательство.
Рассмотрим для £ € ТП
k
w(7r(sgradGs), £) = u)(sgrad Gs + a* sgradG, ,£) =
i—1
fc
= №) + £e(G,) = e(Gg).
2 — 1
Лемма доказана.
Определение невырожденной орбиты естественным образом вытекает из
предыдущей леммы.
444
Приложение 3
Определение 3.4. Орбита пуассонова действия, порожденного гамильтониана-
ми Gi, проходящая через точку ж0, называется невырожденной, если для пуас-
соново действия на П, порожденного гамильтонианами Gs, s > к, точка хд —
невырожденная.
Рассмотрим теперь многообразие
Qgl.....,gk = {x&M2n\Gi=gi}
при значениях gi, близких к 0. Аналогичным образом можно определить
в Qg,,...,gk трансверсальную поверхность такую, что По,...,о — П.
Каждая поверхность является симплектическим подмногообразием, и
при малых значениях gi функции Gs, s > к порождают пуассоново действие на
этой поверхности с невырожденной точкой. Следовательно, невырожденная ор-
бита размерности к в М2п включается в гладкое fc-параметрическое семейство
невырожденных орбит.
Теорема 3.7. При условии аналитичности симплектического многообразия и
пуассонова действия на каждой поверхности ngl,...,gfc будет существовать ана-
литические канонические координаты Xf, yi, такие, что
1) На каждой поверхности ngl,... tgk, ограничение функции Gs при s > к явля-
ется функцией от Fj, указанных в теореме Вильямсона. То есть пуассоново
действие на Hgl,...,gk приведено к нормальной форме;
2) Симплектоморфизм, осуществляющий замену координат, аналитически за-
висит от параметров gi, ... , gk.
Доказательство.
Существование аналитической замены при фиксированных параметрах сле-
дует из теоремы 3.2. Аналитичность зависимости от параметров следует из ана-
литической зависимости каждого шага нормализующей последовательности от
гамильтонианов и доказательства сходимости.
Пусть £ — слоение на многообразии U. Определим слоение IR* х £ как
слоение на IR* х U, где слоями являются множества вида IR* х L для L Е £,.
Определим также слоение IR* + £ как слоение на R* х U, где слоями являются
множества вида (г, L) для L G £ и г 6 В. Ясно, что dim(R* + £) = dim£ и
codim(JR* х £) = codim £.
Пусть £ — слоение лиувилля пуассонова действия в окрестности U точки хд
на поверхности П.
Следствие. Пусть Хд — точка на невырожденной орбите пуассонова действия
ранга к на М2п. Тогда в малой окрестности точки Хд на многообразии Q слое-
ние лиувилля диффеоморфно слоению (IR* х £, IR* xU). Слоение в окрестности
точки хд на симплектическом многообразии М2п слоение лиувилля диффеоморфно
слоению (IR* + (IR* х £), IR* + (IR* х [/)).
Построение канонических координат в окрестности особой точки
445
§ 4. Другие работы, посвященные этому вопросу
Х.Ито был не первым, кто заинтересовался приведением интегрируемой га-
мильтоновой системы к простому виду в окрестности особой точки. Историчес-
ки первой появилась работа Рюссмана [4] с доказательством для случая двух
степеней свободы. Затем появилась работа Вея [5], а после, практически одно-
временно — работы Ито [2], [3] и Элиассона [6].
Во всех трех последних упомянутых работах использовались различные ме-
тоды доказательства одного и того же факта, что интегрируемую гамильтонову
систему в окрестности особой невырожденной точки можно привести к канони-
ческому виду.
Схема доказательства Вея иная, чем у Х.Ито, и состоит из двух этапов.
Сначала доказывается тот факт, что в некоторой окрестности невырожденной
точки существует аналитический диффеоморфизм (вообще говоря, не симплек-
тический), который приводит систему к «каноническому виду». Это делается с
помощью теоремы Артина о том, что если существует формальный ряд, удовле-
творяющий конечной системе аналитических соотношений, то существует анали-
тическая функция, которая удовлетворяет той же системе соотношений. Образно
говоря, дооказательство сходимости «спрятано» в эту теорему. Затем, пользуясь
тем, что геометрия лиувиллева слоения устроена как у квадратичных форм,
применяется интегрирование по образующим циклам. Так строятся координаты
«действия». Затем достраиваются остальные координаты.
По-видимому, вторая часть доказательства Вея является общим фактом для
симплектической геометрии — диффеоморфность слоений Лиувилля влечет су-
ществование симплектического диффеоморфизма, сопрягающего эти слоения.
Это утверждение в общем виде пока не доказано и даже строго не сформули-
ровано.
Литература
[1] Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука,
1989.
[2] ItoH. Action-angle coordinates at singularities for analytic integrable systems.
// Math. Z.
[3] ItoH. Convergence of Birkhoff narmal forms for integrable systems. //
Comment. Math. Helvetic!, 1989, v. 64, pp. 412-461.
[4] H.Russmann Uber das Verhallen analytisher Hamiltonscher Differentialgleich-
ungen in der Nahe einer Gleichgewichtslosung, Mathematische Annalen, 1964,
v. 154, pp. 285-306.
[5] J. Vey, Sur certains systemes dynamiques separables. // American Journal of
Mathematics, 1978, v. 100, pp. 591-614.
[6] L. H. Eliasson Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting
integrals — elliptic case. // Comment. Math. Helvetici, 1990, v. 65, pp. 4-35.
Алексей Викторович Болейнов
Анатолий Тимофеевич Фоменко
Интегрируемые гамильтоновы системы
ГЕОМЕТРИЯ, ТОПОЛОГИЯ, КЛАССИФИКАЦИЯ
Том II
Дизайнер А. Н. Коробейникова
Компьютерная подготовка А. В. Широбоков
В. А. Чернойван
А. В. Тиняев
Рисунки А. Т. Фоменко
Корректор В. Г. Бахтиев
Лицензия ЛР №020411 от 16.02.97. Подписано к печати 15.07.99.
Формат 70 х 100х/16. Усл. печ.л. 36,29. Уч. изд. л. 35,27.
Печать офсетная. Гарнитура Computer Modern Roman
Заказ № К104. Тираж 1000 экз.
Издательский дом «Удмуртский университет»,
426011, г. Ижевск, ул. Майская, 23.
Республиканская типография
426057, г. Ижевск, ул. Пастухова, 13.
Международный научный журнал
Регулярная и Хаотическая Динамика
Журнал РХД выпускается с 1996 года. В нем публикуются результаты анали-
за регулярного и хаотического поведения детерминированных динамических систем.
Учрежденный Российской Академией Наук и Московским государственным универси-
тетом им. А. М. Ломоносова, журнал следует традициям русской школы математики и
механики.
РХД приветствует публикации, содержащие новые результаты в следующих об-
ластях:
• нелинейные динамические системы;
• детерминированный хаос;
• фрактальная динамика;
• симметрии, алгебры Ли и гамильтонов формализм;
• теория самоорганизации и синергетика.
Основной круг читателей РХД — это ученые, занимающиеся классической и приклад-
ной математикой, физикой, специализирующиеся по нелинейным системам, классичес-
кой механике, математической физике, дифференциальным уравнениям, теории хаоса.
Журнал РХД выпускается ежеквартально на английском языке и имеет кроме
бумажного варианта электронную версию (online), находящуюся в свободном доступе
до 1 января 2000 года на домашней Internet странице
http://www.mccme.ru/rcd (Москва)
http://www.uni.udm.ru/rcd (Ижевск)
Условия подписки
Стоимость подписки по России и в странах СНГ
Для учреждений Для физических лиц
Один номер журнала: Один номер журнала:
80 руб. 60 руб.
Годовая подписка: Годовая подписка:
300 руб. 220 руб.
Для подписки на журнал перечислите указанную сумму на счет:
Адрес: 426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
ИНН 1833019801 Издательский дом «Удмуртский университет»
Р/С №40702810168170101897 в Октябрьском ОСБ 8265
К/С 30101810400000000601, АКСБ РФ ОАО Удмуртский банк, г. Ижевск
БИК 049401601
Код по ОКОНХ: 87100, 19400 и др., Код по ОКПО: 49635566
и перешлите копию платежного поручения с указанием обратного адреса и заказа в
редакцию журнала по адресу:
426034, г. Ижевск, ул. Университетская, 1
Лаборатория динамического хаоса.
Вопросы и заказы просьба направлять по электронной почте:
subscribe@uni.udm.ru