Текст
                    МАТЕМАТИКА
Большой справочник
для школьников и поступающих
в вузы
Краткое изложение школьного курса
математики
ш
Задачи по основным разделам школьного
курса математики
ш
Контрольные и проверочные работы
по математике.
Тесты
ш
Справочные материалы
ш
Подготовка к экзаменам
Москва • Издательский дом «Дрофа» •1998


УДК 373.167.1:51(03) ББК22.1я2 М34 Серия основана в 1998 году Авторы разделов: Д. И. Аверьянов, П. И. Алтынов, И. И. Баврин, Л. О. Денищева, Г. В. Дорофеев» Л. И. Звавич, Н. В. Карюхина, В. С. Крамор, Г. М. Кузнецова» А. И. Медяник, Т. М. Мищенко, Ю. В. Нестеренко, С. Н. Олехник, В. А. Попов, М. К. Потапов, А. Р. Рязановский, Е. А. Седова, В. К. Смирнова, Л. Я. Шляпочник, Б. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко Математика: Большой справочник для школьников и поступающих в вузы/Д. И. Аверьянов, М34 П. И. Алтынов, И. И. Баврин и др. — М.: Дрофа, 1998. — 864 с: ил. — (Большие справочники для школьников и поступающих в вузы). ISBN 5—7107—2093—3 Справочник является уникальным учебным пособием по математике, содержащим теоретический материал школьных курсов математики (5—6 кл.), алгебры (7—11 кл.), геометрии (7—11 кл.), примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения, контрольные и проверочные работы, тесты, различные справочные материалы. Кроме того, в справочнике представлены обширные материалы для подготовки к выпускным экзаменам по математике в 9 и 11 классах, к вступительным экзаменам по математике в высшие учебные заведения. Содержание книги охватывает почти десять школьных учебников по математике для 5—11 классов и около двух десятков обычных изданий справочно-методической литературы. Книга адресована учащимся, учителям, родителям, абитуриентам, студентам педвузов. УДК 373.167.1:51(03) ББК 22.1я2 ISBN 5—7107—2093—3 © «Дрофа», 1998
Содержание Предисловие 4 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы (П. И. Алтынов) 7 Алгебра. 7—11 классы (Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко, В. С. Крамор, В. А. Попов) ... 43 Геометрия. 7—9 классы (И. И. Баврин) 119 Геометрия. 10—11 классы (И. И. Баврин) 183 Задачи по основным разделам Школьного курса математики Математика. 5—6 классы (J7. И. Алтынов) 231 Алгебра. 7—9 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 241 Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник). ...... 255 Геометрия. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 263 Геометрия. 10—11 классы (П. И. Алтынов) 275 Контрольные и проверочные работы по математике. Тесты Контрольные и проверочные работы Математика. 5—6 классы (П. Я. Алтынов) 285 Алгебра. 7—9 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 289 Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (Л. И. Звавич, Л. Я. Шляпочник) 297 Геометрия. 7—9 классы (А. И. Медяник) 301 Геометрия. 10—11 классы (А. И. Afедяник) 307 Тесты Математика. 5—6 классы (Е. В. Юрченко, Ел. В. Юрченко) 312 Алгебра. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 323 Алгебра и начала анализа. 10—11 классы (П. И. Алтынов) 347 Геометрия. 7—9 классы (П. И. Алтынов) 364 Геометрия. 10—11 классы (Я. Я. Алтынов) 380 Справочные материалы Краткий справочник по математике (Я. Я. Баврин) 395 Алгебра в таблицах (Л. Я. Звавич, А. Р. Рязановский) 475 Геометрия в таблицах (Л. Я. Звавич, А. Р. Рязановский) 537 Математика в формулах 620 Подготовка к экзаменам 9 класс Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии (Г. В. Дорофеев, Т. М. Мищенко) 639 11 класс Задачи и решения письменного экзамена по алгебре и началам анализа (Л. Я. Звавич, Д. И. Аверьянов, В. К. Смирнова) 675 Примерные билеты и ответы к устному экзамену по алгебре и началам анализа (Л. О. Денищева, Н. В. Карюхина, Г. М. Кузнецова) 723 Примерные билеты и ответы к устному экзамену по геометрии (Г. В. Дорофеев, Е. А. Седова) 777 Для поступающих в вузы Задачи и решения письменных экзаменов по математике (М. К. Потапов, С. Н. Олехник, Ю. В. Нестеренко) 819 Предметно-тематический указатель К разделу * Краткое изложение школьного курса математики» 850 К разделам «Задачи...» и «Контрольные и проверочные работы. Тесты» 853 К разделу «Справочные материалы» 855
Предисловие Перед вами необычный учебный справочник. Его уникальность в том, что он объединяет практически все, что относится к изучению и преподаванию школьного курса математики. Впервые заинтересованный читатель (ученик, учитель, родитель, репетитор) получает книгу, 9 которой так полно отражены все основные этапы и все виды деятельности при обучении математике. Содержание справочника охватывает почти десять школьных учебников по математике для 5—11 классов и около двух десятков обычных изданий справочно-методической литературы. В справочнике пять разделов, соответствующих основным формам обучения: усвоению теории, решению задач, подготовке к контрольным работам и тестированию, работе со справочными материалами, подготовке к экзаменам. Структура всех разделов, кроме справочного, соответствует традиционному делению школьной математики по предметам и классам. Первый раздел «Краткое изложение школьного курса математики» предназначен для самостоятельного повторения материала школьной программы. В очень сжатой форме в полном соответствии с действующими учебниками изложена теория и даны примеры решения задач. Материал второго раздела «Задачи» и третьего «Контрольные и проверочные работы. Тесты» можно использовать для закрепления навыков решения задач, для самопроверки и для подготовки к контрольным работам и тестированию в школе. Задачи, контрольные работы и тесты скомпонованы по классам и основным темам в соответствии с самыми распространенными учебниками. Ко всем заданиям даны ответы, более сложные задания традиционно отмечены звездочками. Следующий раздел составляют различные справочные материалы. «Краткий справочник по математике» содержит математические понятия, предложения, формулы по основным разделам школьного курса математики и примеры применения теории к решению задач, а также сведения, значительно расширяющие общеобразовательный курс. Справочные материалы «Алгебра в таблицах» и «Геометрия в таблицах» отличаются краткостью изложения теории и наглядностью. Определения, теоремы, формулы, рисунки, примеры решения задач сгруппированы в тематические таблицы по всем наиболее важным темам школьного курса математики. Название самых оперативных и кратких справочных материалов — «Математика в формулах» (точнее, школьный курс математики в формулах) — является точной характеристикой содержания этой части справочника. Заключительный раздел книги содержит материалы для подготовки к экзаменам по математике: варианты экзаменационных работ письменного экзамена по алгебре и началам анализа в 11 классе с разобранными решениями, примерные билеты и ответы для устной итоговой аттестации выпускников 9 и 11 классов по геометрии, алгебре и началам анализа, варианты экзаменационных работ с решениями по математике для поступающих в вузы. Учебный справочник объемлет все этапы учебного процесса, и любой читатель найдет в нем полезную и необходимую информацию. Учащийся, не очень уверенно чувствующий себя в математике, сможет восполнить пробелы в теории и научиться решать задачи с помощью первого раздела справочника. Тот, кто хочет потренироваться решать задачи или проверить свои знания, воспользуется вторым и третьим разделами. Необходимые формулы проще всего найти в справочных материалах «Математика в формулах», определения, теоремы, свойства — в таблицах, а если возникли вопросы, выходящие за рамки школьной программы, то можно заглянуть в «Краткий справочник». Нужную информацию — разъяснение термина, теоретические сведения по конкретному вопросу, задачи или тесты на определенную тему — поможет найти в книге предметно-тематический указатель.
Краткое изложение школьного курса математики поможет быстро и эффективно повторить весь изученный материал
Краткий курс математики содержит теоретические сведения и типовые задачи с решениями по предметам «Математика», «Алгебра» и «Геометрия», изложенные кратко и доступно. Он позволит в оптимальные сроки повторить весь изученный материал, поможет быстро и эффективно подготовиться к контрольным работам, выпускным и вступительным экзаменам.
Математика. 5—6 классы НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ Понятие о натуральном числе Числа, употребляемые для счета предметов, называют натуральными. Любое натуральное число можно записать с помощью десяти цифр: О, 1,2,3,4,5,6, 7,8,9. Такую запись чисел называют десятичной. Нужно запомнить, что число 0 натуральным не является. Для чтения натуральных чисел их разбивают, начиная справа, на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может состоять из одной или двух цифр). Три первые цифры справа составляют класс единиц, три следующие — класс тысяч, далее идут классы миллионов, миллиардов и т. д. 1 миллион (1 млн) = 1 000 000 1 миллиард (1 млрд) = 1 000 000 000 1 триллион (1 трлн) = 1 000 000 000 000 Например, число 23 078 000 104. Его читают: 23 миллиарда 78 миллионов 104. Классы Разряды Число Миллиарды с Д 2 е 3 Миллионы с 0 Д 7 е 8 Тысячи с 0 Д 0 е 0 Единицы с 1 д 0 е 4J с — сотни, д — десятки, е — единицы Примеры: а) Число 100 005 читается так: сто тысяч пять. б) Число 1 000 050 читается так: один миллион пятьдесят. в) Число 10 000 005 000 читается так: десять миллиардов пять тысяч. Сложение натуральных чисел Если прибавить к натуральному числу единицу, то получится следующее за ним число. Например, 8 + 1 = 9; 53 + 1 = 54; 399 + 1 = 400. Таким образом, сложить, например, 9 и 4 означает: прибавить к 9 четыре раза единицу. Получим: 9 + 4 = 9 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13. Естественно, что это записывают короче: 9 + 4 = 13. Числа, которые складывают, называют слагаемыми; число, получающееся при сложении этих чисел, называют их суммой. В записи 9 + 4 = 13 числа 9 и 4 — слагаемые, число 13 — сумма. Если сложение обозначить буквами, то а +& = с слагаемые сумма При сложении многозначных чисел употребляют способ сложения столбиком. Примеры: а) 3198 б) 183487 + 457 + 59794 870 243281 4525 При устном счете можно складывать числа поразрядно. Примеры: а) 58 + 74 = (50 + 70) + (8 + 4) = 120 + 12 = 132; б) 453 + 865 = (400 + 800) + (50 + 60) + (3 + 5) = = 1200 + 110 + 8 = 1318. Вычитание натуральных чисел Действие, с помощью которого по сумме и одному из слагаемых находят другое слагаемое, называют вычитанием. Вычитание — это действие, обратное сложению. То есть: «из 7 вычесть 3» означает: «найти такое число, которое в сумме с 3 дает в результате 7». 7-3 = х, х + 3 = 7, х = 4. Итак, 7-3 = 4. Число, из которого вычитают, называют уменьшаемым, а число, которое вычитают, — вычитаемым. Результат вычитания называют разностью. 18 - 13 = 5 уменьшаемое вычитаемое разность а - Ь = С, т. е. с + Ъ = а.
8 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы При действиях с натуральными числами уменьшаемое не может быть меньше вычитаемого. Разность двух чисел показывает, на сколько первое число больше второго или на сколько второе число меньше первого. Примеры: а) 101 - 13 = 88, так как 88 + 13 = 101; б) 34 - 0 = 34, так как 34 + 0 = 34; в) 573 - 573 = 0, так как 0 + 573 = 573. При вычитании многозначных чисел результат удобно находить столбиком: 27384 542 -128 414 -9298 18086 Умножение натуральных чисел Правило: Умножить число т на натуральное число п значит найти сумму п слагаемых, каждое из которых равно т. Выражение т • п и значение этого выражения называют произведением чисел тип. Числа т и п называют множителями. Примеры: а) 5-4 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20; б) 7 • 1 = 7. Очевидно, что 5*4 = 4*5, что ясно из рисунка: ***** ***** ***** ***** * * * * * * * * и * * * * * * * * * * * * При письменном умножении результат удобно получать столбиком. а) в) Примеры: „58 б) 37 + 406 174 2146 2640 5700 1848 1320 15048000 г) 257 Х 39 2313 + 771 10023 439 308 3512 Ч317 135212 1) при умножении на 10 в результате к числу справа приписывается 0: 48 • 10 = 480; 2) при умножении на 100 в результате приписываются справа два 0: 576 • 100 = 57 600 и т. д.; 3) при умножении на 15 число сначала умножают на 10, а затем прибавляют половину полученного числа: 496 • 15 = 4960 + 2480 = 7440; 4) при умножении на 5 число сначала умножают на 10, а затем берут половину полученного числа: 38 • 5 = 380 : 2 = 190; 5) при умножении на 25 число сначала умножают на 100, а затем берут четверть полученного числа: 17 • 25 = 1700:4 = 425; 6) при умножении на 50 число умножают на 100, а затем берут половину полученного числа: 435 • 50 = 43 500 : 2 = 21 750. Нужно очень хорошо запомнить, что 0=0,а•1=а При устном умножении нужно знать, что: Для обозначения действия умножения применяют два знака: • и х. Знак х впервые использовал в своих работах в качестве знака, обозначающего умножение, Оутред. Знак • появился в 1698 г. Его ввел немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц. Деление натуральных чисел Деление — действие, обратное умножению. Его смысл заключен в нахождении одного из двух множителей, если известны произведение и другой множитель. Таким образом, «24 разделить на 8 — значит найти такое число, что при умножении его на 8 получается 24», т. е. 24 : 8 = х, х • 8 = 24, х = 3. Итак, 24:8 = 3.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 9 Примеры: а) 105 : 15 = 7, так как 7 • 15 = 105; б) 0 : 8 = 0, так кдк 0*8 = 0. Особо нужно запомнить, что 0 : а = 0, если а * 0 а : 0 — нельзя! Итак, а :Ь = с, причем с • Ъ = а; а — делимое, & — делитель, с — частное. Пример: 48 : 6 = 8, 48 — делимое, 6 — делитель, 8 — частное. Знак деления : впервые появился в 1202 г, в работах Леонардо Пизанского. Однако есть еще один знак деления —, впервые введенный У. Джонсом в 1633 г. Таким образом, записи 76 1П 76 19 и jg означают одно и то же. Преимущества записи деления через черту вы увидите чуть позже. Итак, . h - а Примеры: а) 90 : 5 = (50 + 40): 5 = 50 : 5 + 40 : 5 = 10 + 8 = = 18; б) 165 : 3 - (150 + 15): 3 = 150 : 3 + 15 : 3 = 50 + + 5 = 55. Если делимое оканчивается нулем, то сначала делится число без нуля на делитель, но в частном к результату приписывают нуль. Если и делимое и делитель оканчиваются нулем, то деление проводят без последних нулей. Примеры: а) 480 : 12 = 40, так как 48 : 12 = 4; 6)460:230 = 46:23 = 2; в) 800 : 40 = 80 : 4 - 20. Однако при делении натурального числа а на натуральное число Ъ может случиться, что нет такого натурального числа с, что с • Ъ = а, например 15 ; 7. В этом случае речь идет о делении с остатком. Тогда запись ведется следующим образом: 15:7 = 2 (ост. 1) или 660 : 50 = 13 (ост. 10). Обратите внимание на наличие нуля в остатке во втором примере. Нужно запомнить, что если а — делимое, Ъ — делитель, с — неполное частное, г — остаток, то а = с • Ъ + г. Причем остаток всегда меньше делителя, т.е. г <Ъ. Следовательно, при делении, например, на число 7 возможны только остатки; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Примеры: а) 48 : 7 = 6 (ост. 6); 6)81: 7 = 11 (ост. 4). Если в остатке получилось число 0, то говорят, что одно число разделилось на другое нацело. Например, 35 : 7 = 5 (ост. 0), пишем просто 35:7 = 5. Примеры: а) _15в|18 13 [12 26 0 156:13 = 12 б) _ 1428|14 14 |102 28 28 0 1428 : 14 = 102 Свойства действий над числами Переместительное свойство Правило: Сумма чисел не изменяется при перестановке слагаемых. a +b =b + а Пример: 308 + 1427 = 1427 + 308. При любом способе сложения результат равен 1735. Правило: Произведение чисел не изменяется при перестановке множителей. Пример: 14 • + 1 14 а •Ъ = Ь • а 108 = 108 • 14. 14 108 08 14 12 + 432 108 1512 1512 Сочетательное свойство Правило: Чтобы прибавить к сумме двух чисел третье число, можно к первому числу прибавить сумму второго и третьего. (a+b) + c =а+(Ь +с) Примеры: а) (327 + 84) + 116 = 327 + (84 + 116) = 327 + 200 = = 527;
10 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы б) (4083 + 576) + 5917 = (576 + 4083) + 5917 = = 576 + (4083 + 5917) = 576 + 10 000 = 10 576. Правило: Чтобы умножить произведение двух чисел на третье число, можно первое число умножить на произведение второго и третьего. (а • Ь) • с = а • (Ь • с) Примеры: а) (7 • 25) • 8 = 7 • (25 • 8) = 7 • 200 - 1400; б) (50 • 23) • 40 = (23 • 50) • 40 = 23 • (50 • 40) = = 23 • 2000 = 46 000. Распределительное свойство Правило: Для того чтобы умножить сумму двух чисел на число, можно умножить на это число каждое слагаемое и сложить получившиеся произведения. (а +Ь) • с = а • с + 6 • с Примеры: а) (17 + 8) • 5 = 17 • 5 + 8 • 5 = 85 + 40 = 125; б) 24 • 19 + 76 • 19 = (24 + 76) • 19 = 100 • 19 = =1900. Правило: Для того чтобы умножить разность двух чисел на число, можно умножить на это число уменьшаемое и вычитаемое и из первого произведения вычесть второе. (а-Ь)*с=а*с~-Ь Примеры: а) (28 - 19) • 3 = 28 • 3 - 19 • 3 = 84 - 57 = 27; 6)317 • 213-217 • 213 = (317-217) • 213 = = 100 • 213 = 21300. ДЕЛИМОСТЬ ЧИСЕЛ. ДЕЛИТЕЛИ И КРАТНЫЕ Делители числа Делителем натурального числа а называют натуральное число, на которое а делится без остатка. Примеры: а) число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9, 18; б) число 25 имеет 3 делителя; 1, 5, 25; в) число 73 имеет 2 делителя: 1 и 73. Число 1 является делителем любого натурального числа. Если числа а и b оба делятся на число с, то с называется общим делителем чисел а и Ь. Примеры: а) число 28 делится на 4 и 48 делится на 4, следовательно, 4 — общий делитель чисел 28 и 48; б) 20 делится на 5, а 53 не делится на 5, следовательно, 5 не является общим делителем чисел 20 и 53. Найдем общие делители чисел 48 и 60. Для числа 48 делителями являются: 1., 2, 3, 4,6,8,12,16,24,48. Для числа 60 делителями являются: 1, 2, 3, 4,5,6,10,12,15,20,30,60. Общими делителями являются числа: 1, 2, 3, 4, 6, 12. Из них 12 — наибольший общий делитель. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа а и Ъ, называют наибольшим общим делителем этих чисел. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 Правило: Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10. Примеры: а) 680 делится на 10; б) 104 не делится на 10. Правило: Если запись натурального числа оканчивается цифрами 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится. Примеры: а) 370 и 1485 делятся без остатка на 5; б) числа 537 и 4008 без остатка на 5 не делятся. Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют четными, а цифры 1, 3, 5, 7, 9 — нечетными. Натуральные числа называют четными, если они оканчиваются четной цифрой, и нечетными, если они оканчиваются нечетной цифрой. Правило: Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если нечетной цифрой, то число без остатка не делится на 2.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 11 Короче говоря, четное число делится на 2, нечетное не делится на 2. Примеры: а) 8, 60, 574 — делятся на 2; б) 13, 25, 1001 — не делятся на 2. Правило: Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3. Если сумма цифр не делится на 3, то и число не делится на 3. Примеры: а) 276 делится на 3, так как 2 + 7 + 6 = 15, а 15 делится на 3; б) 563 не делится на 3, так как 5 + 6 + 3 = 14, а 14 не делится на 3. Правило: Если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9. Если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9. Примеры: а) 5787 делится на 9, так как 5 + 7 + 8 + 7 = 27, а 27 делится на 9; б) 359 не делится на 9, так как 3 + 5 + 9 = 17, а 17 не делится на 9. Правило: Число делится на 4, если число, составленное из двух последних цифр данного числа, делится на 4. Примеры: а) 78 536 делится на 4, так как 36 делится на 4; б) 8422 не делится на 4, так как 22 не делится на 4. Правило: Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3. В противном случае оно на 6 не делится. Примеры: а) 2862 делится на 6, так как 2862 делится и на 2, и на 3; б) 3754 не делится на 6, так как 3754 не делится наЗ. Простые и составные числа Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей. Примеры: а) число 9 имеет три делителя (1, 3 и 9), следовательно, оно составное; б) число 17 имеет два делителя, значит, оно простое; в) число 1 имеет только один делитель — само это число, поэтому оно не является ни составным, ни простым. Правило: Разложить составное число на простые множители означает записать данное число в виде произведения простых чисел, которые являются делителями данного числа. При любом способе записи получается одно и то же разложение, если не учитывать порядка множителей. Примеры: а) 180 = 2 • 2 • 3- 3 • 5; б) 1368 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 19. 180 90 45 15 5 1 2 2 3 3 5 1368 684 342 171 57 19 1 2 2 2 3 3 19 Разложение числа на простые множители помогает решить задачу отыскания наибольшего общего делителя двух или более чисел. Наибольший общий делитель (НОД) Правило: Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать те множители, которые входят в разложение каждого из чисел; 3) найти произведение этих множителей. Примеры: а) Найти НОД (6600; 6300): 6600 = 2 • 2 • 2 • 3 • 5 • 5 • 11, 6300 = 2 -2-3-3-5-5-7, НОД (6600; 6300) = 2 • 2 • 3 • 5 • 5 = 300; б) Найти НОД (34 398; 1260; 6552): 34398 = 2 • 3 • 3 • 3 • 7 • 7 • 13, 1260 = 2 • 2 • 3 • 3 • 5 • 7, 6552 = 2 • 2 • 2 • 8 • 3 • 7 • 18, НОД (34 398; 1260; 6552) = 2 • 3 • 3 • 7 = = 126. При нахождении наибольшего общего делителя двух чисел полезно знать еще одно правило, называемое ^алгоритм Евклида*.
Краткое изложение школьного Математика. 5—6 классы Пример: Найти НОД (270; 186). Разделим 270 на 186 с остатком: 270 : 186 = 1 (ост. 84). Далее разделим делитель на остаток и т. д.: 186 : 84 = 2 (ост. 18), 84: 18 = 4 (ост. 12), 18 : 12 = 1 (ост. 6), 12:6 = 2 (ост. 0). Наибольшим общим делителем чисел 270 и 186 является последний ненулевой остаток, т. е. число 6. Пример: Найти НОД (234; 180). 1) 234 : 180 = 1 (ост. 54), 2) 180 : 54 = 3 (ост. 18), 3) 54 : 18 = 3 (ост. 0). Следовательно, НОД (234; 180) = 18. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен единице. Примеры: а) 75 и 14 — взаимно простые числа, так как НОД (75; 14) - 1; б) 20, 9 и 77 взаимно простые числа, так как НОД (20; 9; 77) = 1. Кратные числа Кратным натуральному числу а называют натуральное число, которое делится на а без остатка. Примеры: а) для числа 18 кратными являются числа: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126 и т. д.; б) для числа 7 кратными являются числа: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 и т. д. Итак, нужно запомнить: 1) любое число имеет бесконечное число кратных; 2) наименьшим кратным для числа является само это число. Общим кратным для двух и более чисел будет число, которое является кратным для каждого из этих чисел. Примеры: а) Для числа 8 кратные: 8; 16; 24; 32; 40; 48; 56; ... . Для числа 12 кратные: 12; 24; 36; 48; 60; (а} ... . математики Таким образом, общими кратными для чисел 8 и 12 являются числа: 24; 48; 72; ... . б) Для числа 7 кратные: 7; 14; 21; 28; 35; 42; 49; ... . Для числа 3 кратные: 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; 24;... . Общими кратными чисел 3 и 7 являются числа: 21; 42; 63 и т. д. Наименьшее общее кратное (НОК) Из общих кратных двух (или нескольких) чисел особо выделяют то, которое является наименьшим общим кратным этих чисел. Примеры: наименьшее общее кратное чисел 8 и 12 равно 24, а наименьшее общее кратное чисел 3 и 7 равно 21. Наименьшим общим кратным натуральных чисел а и Ъ называют наименьшее натуральное число, которое кратно и а, и Ь. Нужно запомнить: 1) если одно из двух натуральных чисел делится на другое число, то большее из этих двух чисел является их наименьшим общим кратным; 2) если два (или более двух) числа являются взаимно простыми, то наименьшее общее кратное этих чисел равно их произведению. Примеры: а) НОК (9; 18) = 18; б) НОК (2; 8; 16) = 16, так как 8 делится на 2, а 16 делится на 8; в) НОК (7; 10) = 70, так как 7 и 10 — взаимно простые числа; г) НОК (5; 9; 11) = 495, так как 5,9,11— взаимно простые числа и 5 • 9 • 11 = 495. В некоторых случаях наименьшее кратное двух чисел находят устно. Примеры: а) НОК (12; 18) = 36; б) НОК (18; 30) = 90; в) НОК (5; 10; 12) = 60; г) НОК (14; 8) = 56. Однако устно, например, не так просто найти наименьшее общее кратное чисел 360 и 825. Правило: Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо: 1) разложить их на простые множители; 2) выписать множители, входящие в разложение (лучше наиболее длинное) одного из чисел;
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 13 3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел; 4) найти произведение получившихся множителей. Пример: Найдем наименьшее общее кратное чисел 360 и 825, придерживаясь этого правила. 1) 360 = 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5, 825 = 3 • 5 • 5 • 11; 360 180 90 45 15 5 1 8251 275 55 11 1 12 2 2 3 3 5 3 5 5 11 2) выпишем наиболее длинное разложение: 2 • 2 • 2 • 3 • 3 • 5; 3) добавим к нему недостающие множители из второго разложения: 5 и 11; 4) НОК (360; 825) = 2-2-2'3-3-5-5«11 = = 19 800. Заметим, что нет необходимости перемножать все числа, так как 2'2*2«3«3'5 = 360 и нужно просто выполнить умножение 360 • 55. Пример: Найти наименьшее общее кратное чисел 2940; 550 и 63. 2940 = 2-2-3-5'7-7, 2940 14701 735 245 49 71 1 550 = 2 • 5 • 5 • 11, "550| 275 551 11 1 2 5 5 11 63 = 3 • 3 • 7; 63 21 7| 1 НОК (2940; 550; 63) = = 2 • 2 • 3 • 5 • 7-7 • 5 • 11 • 3 = 485 100. Кроме правил нахождения наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного двух чисел полезно знать, что произведение наименьшего общего кратного двух чисел и наибольшего общего делителя этих чисел равно произведению самих этих чисел, т. е. НОК (о; Ь) • НОД (а;Ь) = а • Ь или Н0К<а'&>=нсщЬг Примеры: а) Найти НОК (20; 48). Так как очевидно, что НОД (20; 48) = 4, то НОК (20; 48) = ^-^ = 240. б) Найти НОК (72; 60). НОД (72; 60) = 12, тогда НОК (72; 60) = 'ЩР 360. II III ДРОБИ (обыкновенные и десятичные). ОБОЗНАЧЕНИЕ ЧИСЕЛ НА КООРДИНАТНОМ ЛУЧЕ Обыкновенные дроби Если пирог разрезать на 8 равных частей, то каждая из этих частей называется долей. Так как пирог был разрезан на 8 частей, то каждая доля равна g пирога. Если бы пирог был разрезан на Ючастей, то каждая доля была бы равна 1 т~ пирога. Дробью называется число, состоящее из нескольких долей единицы (в том числе и из одной доли). Например, если в обед съели 5 долей пирога, это означает, что съедено было g пирога, а оста- 3 13 лось g пирога. Запись -g- означает, что имеется в виду один 8 пирог, состоящий из g пирога, 5 а также g другого такого же 13 ,5 пирога, т. е. -g- ■» lg.
14 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Итак, любая дробь записывается в виде —, где т называется числителем дроби, an — знаменателем дроби. Если числитель меньше знаменателя, то дробь называется правильной; если числитель равен знаменателю или больше его, то дробь называется неправильной. Например, дроби т= и. - правильные дро- 5 23 би, g и -g- — неправильные дроби. Число lg называется смешанным числом. Причем 1 называется целой частью числа, a g — дробной частью числа. Запись неправильной дроби в виде смешанного числа называется выделением целой части числа. Эта запись получается в результате деления числителя на знаменатель (здесь надо вспомнить, что знаки — и : означают одно и то же). Правило: Чтобы из неправильной дроби выделить целую часть, надо: 1) разделить с остатком числитель на знаменатель; 2) в качестве целой части взять неполное частное; 3) остаток (если он есть) дает числитель, а делитель — знаменатель дробной части. Примеры: 23 а) Записать дробь -g- в виде смешанного числа. 23 5 23 : 6 = 3 (ост. 5), тогда -g- = 3g; б) Ш - 28*, так как 200 : 7 = 28 (ост. 4); 20 в) _. =4, так как 20 : 5 = 4 (ост. 0). о Если числитель равен знаменателю (естественно, не равны нулю), то дробь равна 1. Примеры: ч 2 . *х 5 - ч 10 - ч 23 1 a) g = 1; б) g - 1; в) ^ = 1; г) 5а = 1. 10 23 Правило: Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно: 1) умножить его целую часть на знаменатель дробной части и к полученному произведению прибавить числитель дробной части; 2) записать полученную сумму числителем дроби, а знаменатель оставить без изменения. Примеры: а) 5г те -g-, так как 5*8 + 3 = 43; б) 2g « g, так как 2-3 + 1 = 7. Любое натуральное число можно записать в виде неправильной дроби с любым знаменателем. ft 0 2 4 6 8 Пример: 2=j=2=g=jHT. д. Десятичные дроби Рассмотрим числа 7г^; 8 417 100 ; Ь1000 * Числа со знаменателями 10, 100, 1000 и т. д. условились записывать без знаменателя. Сначала пишут целую часть, а потом числитель дробной части. Целую часть отделяют от дробной части запятой. Если дробь правильная, то перед запятой пишут 0, а количество знаков (цифр) после запятой должно равняться числу нулей в знаменателе. Такую запись дробей называют десятичной, а сами дроби — десятичными. Примеры: 7тт: = 7,3; 10 8 100 = 0,08; 5 417 1000 = 5,417; 147 10 = 14^ - 14,7; 3_ 50 6 = loo = °'06; 54 =510б =5'75' Изображение чисел на координатном луче. Сравнение чисел Отметим на луче ОХ точку и обозначим ее, например, Е. Напишем над началом луча (точкой О) число 0, а над точкой Е число 1. Отрезок ОЕ называют единичным отрезком. Отложим отрезок ЕА, равный единичному отрезку, и над точкой А напишем число 2. Так, шаг за шагом получаем бесконечную шкалу. Ее называют ко ординатным лучом. Числа 0, 1, 2 называют ко ординатами точек О, Е, А. Пишут О(0), Е(1) А(2). В свою очередь, каждый из отрезков ОЕ ЕА и т. д. можно разбить на любое число равных отрезков. Это дает возможность отмечать на координатном луче дробные числа.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 15 О 0,25 g 0,8 1 ljl.4 •! I I I I I I I 1 I I 1 I I I I 1 1 1 I 1 I 1 1 I - О 0,5 Е 1,75 А Равные числа отмечаются на координатном луче одной точкой. Из двух чисел больше то, которое правее на координатном луче, а меньше то9 которое левее. ДЕЙСТВИЯ С ОБЫКНОВЕННЫМИ ДРОБЯМИ Основное свойство дроби, сравнение и сокращение дробей Правило (основное свойство дроби): Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. Примеры: а) б) в) г) 4 7 2 3 8 20 42 56 ' 4-2 : 7 2 2 3 : 3 3 8:2 20:2 42:2 56:2 : 8 4 : 14 ; 7 = 6 2 : 9; 3 4 10 21 42 28 ; 56 4 5 "75 2 10 3 10 4:2 10:2 42:7 ~56:7 20 " 35' 20 = 30* 2 5' 6 8; т. е. т. е. 42 : 56 = 8 14 6 9 20 35 20 : 30 ; 42:14 " 56:14 > 3 4 Нужно запомнить, что две равные дроби являются различными записями одного и того же числа. Например, число, получающееся при де- 4 лении 4:8, можно записать в виде дроби «, а 1 4 1 „ Q к 3 6 можно 2 > так как о = н • 5 * 16" Таким образом, используя основное свойство, можно заменять дроби равными дробями с большими или меньшими знаменателями. Деление числителя и знаменателя на их общий делитель, отличный от единицы, называют сокращением дроби. Другими словами: сокращение дроби — это замена данйой дроби равной дробью с меньшими, чем были, числителем и знаменателем. В простых случаях дробь сокращают устно. Примеры: . 12 _ 4 а)15 ~ 5; В последнем примере дробь можно сократить по-разному, но дробь ~ больше сократить нельзя — такую дробь называют несократимой. В большинстве случаев задание «сократить дробь» означает представить ее в виде несократимой дроби. Примеры: Сократить дробь. 77 7 11 _ 7 9; а) 99 ^24 2 б)ёов в) 105 9 11 12 = 5 12 7 15 2 5; J7_ 20 300 20 15 Однако иногда дробь устно сократить бывает 252 трудно, например дробь «=« . В этих случаях нужно найти наибольший общий делитель числителя и знаменателя и разделить на него числа 252 и 378. НОД (252; 378) = 126, тогда 252 : 126 - 252 2 = 2, 378 : 126 = 3. Следовательно, o=g в 5 • При выполнении многих заданий с двумя и более дробями их нужно заменить равными дробями с одинаковыми знаменателями. Такая замена называется приведением дробей к общему знаменателю. Чаще всего дроби приводят к наименьшему общему знаменателю. Правило: Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю, надо: 1) найти наименьшее общее кратное знаменателей этих дробей, оно и будет их наименьшим общим знаменателем; 2) разделить наименьший общий знаменатель на знаменатели данных дробей, (получившиеся числа называют дополнительными множителями для дробей); 3) умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель. Например, приведем дроби « и g к наименьшему общему знаменателю. Для этого: 1) найдем наименьшее общее кратное (можно просто общее кратное) чисел 8 и 6. Оно равно 24. 2) выполним деление 24 : 8 = 3 и 24 : 6 = 4. Получившиеся числа 3 и 4 называют дополнительными множителями соответственно к дро-
16 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Примеры: Привести дроби к общему знаменателю. а) 12 И 20 * НОК(12;20) = 60. 60:12 = 5,60:20 = 3. 7-5 12 5 Значит, т~ = к\ A L 4 °' 18 ; 10 и 9 * НОК (18; 10; 9) = 90. 35 60' 9^ 20 9 3 20 3 27 60 90 : 18 = 5, 90 :10 = 9, 90 : 9 = 10. 5 55 25 7 79 значит, 18 18 5 до5 10 10 9 4 4 10 40 9 9 10 90 * 63 . 90 ; Одним из применений приведения дробей к общему знаменателю является сравнение дробей. Например, при сравнении дробей из предыдущего примера получаем, что je ^ 4 ^ 7 <д <1б>так 25 как90 40 63 90 90 * Примеры: Сравнить дроби. ч 2 а>3И 2 3 5 7* 14 5 15 _ 14 ^ 2Ти7=21-ТаККаК2Т < б)15И18- 8 15 ч 7 в) g и 7 9 48 11 55. 8 90 И 18 90 ' 15 20 27* 20 : «г»следовательно, <м- 7 20 9 27 15 21 2 5 Т03<Г Сложение и вычитание обыкновенных дробей и смешанных чисел Правило: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, надо: 1) привести данные дроби к наименьшему общему знаменателю; 2) сложить (вычесть) полученные дроби. 5 7 Например, сложим дроби 5 и ?2 * Приведем оа 5 20 7 21 их к общему знаменателю 36: g = 57» и jo = оа • 5 , 7 20 , 21 41 1 5 Теперь получаем: § + и = м + ш = g6 = Х36 • 9 (3 (7 27-7 20 42 10 21 Пример: п -g - 42 Правило: Чтобы сложить смешанные числа, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; 2) отдельно выполнить сложение целых частей и отдельно дробных частей; результаты сложить; 3) если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь, то, выделить целую часть из этой дроби и прибавить ее к полученной целой части. Пример: 19g + 24^ = (19 + 24) + g + Aj = =43+(ii + g)=43+li=43+i24=44- Правило: Чтобы выполнить вычитание смешанных чисел, надо: 1) привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю; если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, превратить ее в неправильную дробь, уменьшив на единицу целую часть уменьшаемого; 2) отдельно выполнить вычитание целых частей и отдельно дробных частей; результаты сложить. Пример: 16^ - 7 А = 16| - 7§jj = (16 - 7) + Чбо 6oJ * во *боф Умножение обыкновенных дробей Правило: Чтобы умножить дробь на дробь, надо: 1) найти произведение числителей этих дробей и произведение их знаменателей; 2) первое произведение записать числителем, а второе — знаменателем; 3) если возможно, сократить дробь. а) Примеры: 2 5 2 5 3 " 7 3 7 = а т Ъ' п = 10 = 21 ; а т Ь п
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 17 °'8 ' 21 8 21 112 168 2 3 В последнем примере для простоты сокращения дроби можно поступить так: 7 8 16 7 16 7 2 12 2 21 8 21 1 21 13 3* Правило: Для того чтобы выполнить умножение смешанных чисел, надо записать их в виде неправильных дробей, а затем воспользоваться правилом умножения дробей. Примеры: .„5 „3 41 а>218 'Ч = Т8 ^А5 О2 29 б>46 -25=Т( • 1А5' »)2§.1|.5|- 18 41 18 41 1 5 18 5 5 55; 12 29 12 29 2 58 5 6 5 5 5 8 15 27 8 15 27 3 " 8 ' 5 3 8 5 = 27. Правило: Чтобы умножить смешанное число на целое число, надо целое число записать в виде дроби со знаменателем 1, смешанное число записать в виде неправильной дроби и перемножить получившиеся дроби. Примеры: 6 а)3§ ■ « 17 « 53 •б=12 = ±°2.=20^ 6 1 5 53 6 12 1 '5 53 2 1 2 ZD2 -j -5-1 з 1ф В последнем примере произведение чисел g и 3 оказалось равным единице. Два числа, произведение которых равно единице, называются взаимно обратными. Примеры: а) g иЬ взаимно обратные числа, так как 5 -1 5 6 =1. 6 ' Х5 6*5 i; tfxol 3 - 01 3 б) 2« и = взаимно обратны, так как 2« • = = 7 3 3 " 7 1; в) для числа г обратным является число « > или i2 3 5 1 lg » так как г • = — 1. Таким образом, чтобы для числа, записанного дробью, найти обратное число, достаточно поменять местами числитель и знаменатель. Например, для j обратным будет число « > а для ,5 12 Л 7 1 = = -=- обратным является число т^ . Деление обыкновенных дробей Правило: Чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить на число, обратное делителю. а) Примеры: 3 5 3 6 8 * 6 1 8 3 6 8-5 _.. 03 9 11 9 б>42:24~2 :Т = 2 18 Л1_ 11 Х11; 3 3 _ 9 . 4 5 20' А = 9 4 = 9 2 11 2 11 1 11 в) 5: г)3| Д)1: e)3| За1 Ф :8 4 5 • 4 5 1 15 4 »1 • : 3 8 : 1 5 4 2 °4 5 1 15 4 ф 15 4 3 10 1 • — 8 9 2 : = = 27 4 5 3 1 10 15 1 4 8 15 4 13 12 15 32 ; 3 2 27 15 9 4 ^ 15 1 1 = 5 =91 4 2 27 12 3 2 2 ДЕЙСТВИЯ С ДЕСЯТИЧНЫМИ ДРОБЯМИ Сравнение десятичных дробей Правило: Если в конце десятичной дроби приписать нуль (или несколько нулей) или отбросить нуль (или несколько нулей), то получится дробь, равная данной. Примеры: 5,70 = 5,7; 18,3400 = 18,34; 163,1 = = 163,10; 0,35 = 0,3500; 17,0 = 17.
18 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Так же как и натуральное число, десятичную дробь можно разложить по разрядам. Например, 23,5708 = 23 + 0,5 + 0,07 + 0,0008. Цифра, стоящая на первом месте после запятой, относится к разряду «десятых», на втором месте — к разряду «сотых», на третьем месте— к разряду «тысячных», на четвертом месте— к разряду «десятитысячных». Число 23,5708 читается: 23 целых 5 тысяч 708 десятитысячных. Правило: Для того чтобы, сравнить две десятичные дроби, надо сначала сравнить целые части дробей; в случае их равенства последовательно сравнивают цифры, стоящие в разряде «десятых*; в случае их равенства сравниваются цифры следующего разряда — «сотых* и т. д. В случае разного числа цифр после запятой у сравниваемых чисел их уравнивают приписыванием справа необходимого количества нулей. Примеры: а) 78,001 > 13,7859, так как 78 > 13; б) 14,387 < 14,5082, так как целые части равны, а в разряде десятых 3 < 5; в) 0,47 > 0,09; г) 1,537 > 1,5369, так как 1,5370 > 1,5369; д) 18,34 < 18,343, так как 18,340 < 18,343. Сложение и вычитание десятичных дробей Правило: Чтобы сложить (вычесть) десятичные дроби, надо: 1) уравнять в этих дробях количество знаков после запятой; 2) записать их друг под другом так, чтобы запятая была записана под запятой; 3) выполнить сложение (вычитание), не обращая внимания на запятую; 4) поставить в ответе запятую под запятой в данных дробях. Примеры: а) 23,756 + 4,8 = 23,756 + 4,800 - 28,556. 23,756 + 4,800 28,556 б) 0,017 + 23,24 = 0,017 + 23,240 = 23,257. в) 75 + 1,248 - 75,000 + 1,248 = 76,248. 75,000 + 1,248 76,248 г) 90,04 - 7,518 - 90,040 - 7,518 = 82,522. 90,040 ~ 7,518 Д)5- - 0,04 - е) 24,87 - 5 5,00 -i - 24,87 0,04 = -5,00 82,522 4,96. 5,00 0,04 4,96 = 19,87. 24,87 5,00 19,87 Умножение десятичных дробей Правило: Чтобы умножить десятичную дробь на натуральное число, надо: 1) умножить ее на это число, не обращая внимания на запятую; 2) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено запятой в десятичной дроби. Примеры: а) 7,84 • 92 = 721,28;' 7,84 х 92 6)14,3 • 39 = 557,7. 1568 7056 721,28 х14*'о 39 1287 429 557,7 + 0,017 23,240 23,257 Правило: Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д., надо в этой дроби перенести запятую на столько цифр вправо, сколько нулей стоит в множителе после единицы. Примеры: а) 16,48 • 10 = 164,8; 6)1,0073 • 100 = 100,73; в) 74,235 • 1000 = 74 235. Правило: Чтобы перемножить две десятичные дроби, надо:
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 19 1) выполнить умножение, не обращая внимания на запятые', 2) отделить в полученном произведении запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе. в) 2978,4 : 73 = 40,8; Примеры: а) 7,38 • 0,4 = 2,952; 6)9,45 • 0,012 = 0,1134; в) 24,079 • 1,5 = 36,1185. + 7,38 Х 0,4 2,952 х 9,45 0,012 1890 945 0,11340 24,079 1£ 120395 24079 36,1185 Правило: Для того чтобы умножить десятичную дробь на 0,1, надо запятую перенести в дроби влево на одну единицу; на 0,01 — перенести запятую влево на две единицы; на 0,001 — перенести влево на три единицы и т. д. Примеры: а) 78,3 • 0,1 = 7,83; б) 0,056 • 0,01 = 0,00056. Деление десятичных дробей Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число, надо: 1) разделить дробь на это число, не обращая внимания на запятую; 2) поставить в частном запятую, когда закончится деление целой части. Примеры: а) 1825,2: 234 = 7,8; 1825.21234 1638 (73~ _1872 1872 6)95,41 : 47 = 2,03; 0 95,41147 94 |2^3 _141 141 0 2978,4173 292 (40^8 _584 584 г) 3,2 : 8 = 0,4. Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т. д. надо перенести запятую в этой дроби на столько цифр влево, сколько нулей стоит после единицы в делителе. Примеры: а) 47,4 : 10 = 4,74; б) 8,92 : 100 = 0,0892. Правило: С помощью деления находят десятичную дробь, равную данной обыкновенной дроби. Для этого надо поделить числитель этой дроби на знаменатель. Примеры: a) g = 7 : 8 = 0,875; _ 7,0 0018 0 |0,875 70 64 60 56 40 40 0 б) ~ = 0,15; в) | = 1,5; г) ~ = 0,025. Правило: Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо: 1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; 2) после этого выполнить деление на натуральное число. Примеры: а) 160,23 : 4,9 = 1602,3 : 49 = 32,7; 1602,3149 147 f 132 98 343 343 32,7
20 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы б) 0,05 : 0,004 = 50 : 4 = 12,5; в) 40 : 0,25 = 4000 : 25 = 160. Правило: Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 и т.д., надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей. (То есть, другими словами, разделить на 0,1; 0,01; 0,001 и т. д. — это то же самое, что умножить число на 10,100,1000 и т. д.) Пример: 7,23 : 0,1 = 72,3. Приближенные значения чисел. Округление чисел Если данное число заменяется на другое число, близкое ему по значению, то получаем приближенное значение данного числа. Например: 17,23 - 17, 0,0028 - 0, 199 » 200, g « 0,3, 24,5043 - 24,5, 37,92 » 37,9. Замену числа ближайшим к нему натуральным числом или нулем называют округлением этого числа до целых. Примеры: 27,4 « 27; 239,7 « 240; 4,1589 « 4. Числа можно округлять до любого разряда: до десятых, до сотых, до тысячных и т. д. Правило: Если число округляют до какого- нибудь разряда, то все следующие за этим разрядом цифры заменяют нулями, а если они стоят после запятой, то их отбрасывают. При этом если первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 5, 6, 7, 8 или 9, то стоящую перед ней цифру увеличивают на 1. Если же первая отброшенная или замененная нулем цифра равна 0, 1, 2, 3 или 4, то стоящую перед ней цифру оставляют без изменения. Примеры: а) Округлить числа 89,6289; 113,251; 9,97 до десятых: 89,6289 « 89,6; 113,251 - 113,3; 9,97=10,0. б) Округлить числа до целых: 236,48 « 236; 18,713 * 19; 89,545 - 90. ЕДИНИЦЫ ИЗМЕРЕНИЯ ВЕЛИЧИН. СООТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ЕДИНИЦАМИ ИЗМЕРЕНИЯ ОДНОЙ И ТОЙ ЖЕ ВЕЛИЧИНЫ Значения десятичных приставок При обозначении единиц разных величин используются приставки, показывающие, во сколько раз увеличилась или уменьшилась основная единица измерения величины. Приставки увеличения и их краткие обозначения: дека — в 10 раз больше да; гекто — в 100 раз больше г; , кило — в 1000 раз больше к; мега — в 1 000 000 раз больше М. Приставки уменьшения: деци — в 10 раз меньше д; санти — в 100 раз меньше с; милли — в 1000 раз меньше м; микро — в 1 000 000 раз меньше мк. Например, декалитр — это величина, в 10 раз большая, чем 1 литр. Тогда если вспомнить, что 1 литр кратко обозначается 1 л, а краткая запись приставки дека — да, то получается следующая запись: 1 дал = 10 л или 1 л = 0,1 дал. Другой пример. Миллиметр — это величина, в 1000 раз меньшая, чем 1 метр. Так как один метр имеет краткую запись 1м, а приставка милли кратко обозначается также м, то получается, что 1 мм = 0,001 ж,а1л= 1000 мм. Единицы измерения длины Основной единицей измерения длины является метр. Метр кратко обозначается м, т. е. 1 метр записывается 1 м. 1 м = 10 дм = 100 см = 1000 мм = 1 000 000 мкм. Напомним, что последняя запись означает, например, что 1 метр равен 1 000 000 микронов. Из этой цепочки следует, что: 1 дм = 10 см = 100 мм = 100 000 мкм; 1 см = 10 мм = 10 000 мкм; 1 мм = 1000 мкм. Эти соотношения можно записать по-другому: 1 мкм = 0,000001 м = 0,00001 дм = = 0,0001 см = 0,001 мм; 1мм = 0,001 м = 0,01 дм = 0,1 см;
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 21 1 см = 0,01 м = 0,1 дм; 1 дм =0,1 м. Длину большей величины обычно записывают в километрах, краткая запись — 1 км. 1 км = 1000 м = 10000 дм = 100 000 см = = 1 000 000 мм = 1 000 000 000 мкм, т. е. 1 мкм - 0,000000001 ?СЛ1, 1 лсл* = 0,000001 км, \см= 0,00001 км, \дм = 0,0001 км, 1 ле = 0,001 км. Очень мелкие величины измеряются в ангстремах: 1 ангстрем = 0,0001 мкм. Единицы измерения массы Основной единицей измерения массы является грамм, краткое обозначение — г. При обозначении других единиц массы обычно используются приставки милли и кило (другие приставки используются редко). 1 г = 1000 мг или 1 мг = 0,001 г, 1 кг = 1000 г или 1 г = 0,001 кг, 1кг = 1 000 000 мг или 1 мг = 0,000001 к:г. Крупные по массе величины измеряют в тоннах (т) и центнерах (ц): 1 т = 10 ц = 1000 кг = 1 000 000 г или 114 = 0,1т, 1 кг =0,001 т, 1 г = 0,000001 /п, 1 ц = 100 кг = 100 000 г или 1 кг = 0,01 ц, 1 г = 0,00001 ц. Единицы измерения площади Основная единица измерения площади — квадратный метр: обозначается м . 1 м = 100 дм = 10000 см = 1 000 000 мм, т. е. 1 ел*2 = 0,0001 м, 1 дл*2 = 0,01 м, 1 еж2 = 0,01 дм, 1 еж2 = 100 мм2, 1 лш2 = 0,01 см2, 1км2 = 1 000 000 м, \м2 = 0,000001 км2. При измерении земельных участков часто используются единицы измерения ар и гектар (краткая запись a is. га). 1 а= 100 м = 1 000 000 см, т. е. 1 м = 0,01 а. Другое название ара — сотка. 1 сотка — это и 2 есть 1 ар, или 100 м . 1 га = 100 а = 10 000 л*2 или 1 а = 0,01 га, a 1л2 = 0,0001 га. Единицы измерения объема Основной единицей измерения объемов явля- ется кубический дециметр; обозначается дм . з Для 1 дм имеется другое название — 1 литр. То з есть иными словами 1 дм = 1 л. Тысячная часть литра обозначается миллилитр, т. е. 1 л - 1000 мл, а 1 мл = 0,001 л. 1 л = 1 дм3 = 1 000 000 лш3, 1 мм3 = 0,000001 л. 3 3 Таким образом, 1 мл — 1000 жж , а 1 лги = 3 * 3 = 0,001 л!Л. Так как 1 см = 1000 лш , то 1 мл = = 1 см . Крупные объемы измеряются в декалитрах з (дал): 1 дал = 10 л; и кубических метрах (м ): 1 м = 1000 л, т. е. 1 м = 100 дал. Единицы измерения времени Самой мелкой единицей времени является секунда. При записях единиц времени приставки обычно не используются (хотя, например, можно измерять время в миллисекундах, т. е. в тысячных долях секунды). 1 MUH = 60 С, 1 С = rg мин, 1 ч = 60 мин = 3600 с, 1 __L- 1 - -L 1 с ~ 3600 ч> * "*"*w "" 60 ч* 1 сут = 24 ч = 1440 лшн = 86 400 с, Т. е. 1 Ч = «Г сУт> 1 мин = JTJq С1/7П. Перевод одних единиц времени в другие связан не с десятичными дробями, а с обыкновенными. Например, 5 мин = gn ч = То ч> Нужно запомнить, что 30 мин = 0,5 ч = ~ ч; 1 3 15 мин = 74= 0,25 ч; 45 мин = т ч = 0,75 ч;
22 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 20 мин = g ч; 6 ч = j сут; 8 ч = ^ q/m; 12 ч = = 1 ! 2 c#m- Единицы измерения скорости Задача. Бегун пробежал 100 м за 10 с. Очевидно, что он бежал со скоростью 10 метров в секунду. Это записывается 10 м/с. Велосипедист за 1 ч проехал 36 км — естественно, его скорость 36 км/ч. Вопрос: У кого скорость передвижения была больше? Давайте разберемся. 10 м/с = 36 000 м/ч = 36 км/ч (так как 1 ч = 3600 с, а 1 км = 1000 м). Можно по-другому: 36 км/ч = 36 000 м/ч = = 10 м/с. Получается, что скорость у них была одинаковая. Примеры: а) Перевести 15 км/ч в м/мин: (15 • 1000 - 15 000) (15000 : 60 = 250 15 км/ч = 15 000лс/ч = 250 м/мин; б) 4 км/с перевести в м/мин. 4 км/с = = 4000 м/с = 240 000 м/мин. В 1972 г. на Олимпиаде в Мюнхене в плавании на 400 м два спортсмена — швед Г. Ларссон и американец Т. Макки — показали одинаковое время: 4 мин 31,98 с. С какой скоростью (м/с) они двигались? Ответ: 400 : 271,98 = « 1,47 м/с (так как 4 мин = 240 с, 240 + 31 = = 271 с). Кого наградить золотой медалью? Один из секундомеров зафиксировал, что Ларссон на 0,001 с раньше коснулся стенки бассейна (в тот момент пальцы Макки были в 1 мм от стенки). Вот вам и 0,001 с. Для любознательных Старинные русские меры Меры длины: 1 верста = 1,067 км; 1 сажень = 3 аршина = 7 футов = 2,134 м; 1 аршин = 16 вершков = 0,711 м = 71,1 см; 1 вершок — 4,445 см (оказывается, что «от горшка два вершка» — это 9 см). Самое любопытное в том, что были меры «линия» и «точка»: 1 линия = 10 точкам = 2,54 мм; 1 точка = 0,254 мм. Меры массы: 1 пуд = 40 фунтов = 16,38 кг; 1 фунт = 0,41 кг = 410 г; 1 лот = 12,8 г; 1 золотник = 4,26 г; ' 1 доля = 44,4 жг. Меры объема: 1 бочка = 40 ведер = 492 л; 1 ведро =10 штофов = 20 бутылок = 12,3 л; 1 штоф = 10 чарок — 1,23 л; 1 чарка = 0,123 л — 123 жл; 1 бутылка = 0,615 л = 615 мл. Английские старинные меры Меры длины: 1 миля = 1609 м; 1 ярд = 91 см; 1 ф1//п = 30,5 см; 1 дкшл* = 2,54 см; 1 морская миля, = 1853 ж; 1 кабельтов = 185 ж. Меры массы: 1 англ. фунт = 0,454 «:г = 454 г (английский фунт на 44 г больше русского фунта); 1 унция = 28,3 г (1 аптекарская унция = = 31,1 г). Меры объема: 1 галлон = 4,55 л; 1 кварта = 1,14 л; 1 пинта = 0,57 л. Для любителей читать Ж. Верна Формула для перевода градусов Цельсия в градусы Фаренгейта: F = 1,8 • С + 32. Например, по Цельсию t = 20°. По Фаренгейту t = 1,8 • 20 + + 32 = 68°. Другой пример: по Цельсию t = -10°, а по Фаренгейту t = 1,8 • (-10) + 32 = 14°. Обратная формула (перевод градусов Фаренгейта в градусы Цельсия): С = 1 .(^-32). Например, по Фаренгейту 95°, тогда по Цельсию 35°.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 23 ПРОЦЕНТЫ Что такое процент Сотую часть рубля называют копейкой, сотую часть доллара называют центом (от латинского слова centum — сто), сотую часть метра — сантиметром (обратите внимание на значение и произношение приставки санти), сотую часть гектара — аром (а по-народному — сотка). Принято называть сотую часть любой величины или числа процентом. Значит, 1 копейка — один процент рубля, 1 см —- 1 процент метра, 1 цент — 1 процент доллара, 1а — 1 процент гектара, а число 0,05 — 1 процент от 5. Для краткости слово «процент» 1 после числа заменяют знаком %, т.е. 1% = 100 = 0,01. Понятие процента неразрывно связано с десятичными дробями. Правило: Чтобы обратить десятичную дробь в проценты, ее надо умножить на 100. Чтобы перевести проценты в десятичную дробь, надо число процентов разделить на 100. Примеры: а) Записать десятичные дроби в процентах. 0,25 - 25% (т. к. 0,25 • 100 =25); 0,5 = 50% (т. к. 0,5 • 100 = 50); 0,003 = 0,3% (т. к. 0,003 • 100 = 0,3); 0,0158 - 1,58% (т. к. 0,0158 • 100 = 1,58); 1,538 - 153,8% (т. к. 1,538 • 100 = 153,8). б) Записать проценты в виде десятичных дробей. 40% = 0,4 (т. к. 40 : 100 = 0,4); 63% = 0,63 (т. к. 63 : 100 = 0,63); 1,5% = 0,015 (т. к. 1,5 : 100 = 0,015); 0,08% = 0,0008 (т. к. 0,08 : 100 = 0,0008); 110% = 1,1 (т. к. 110 : 100 = 1,1); 200% = 2 (т. к. 200 : 100 = 2). Основные задачи на проценты Задача 1. В школе 800 учеников. Из них 46% приняли участие в математической олимпиаде. Сколько человек приняли участие в олимпиаде? Решение: 1) Найдем 1% учеников школы: 800 : 100 = 8 (уч.). 2) Найдем 46%: 8 • 46 = 368 (уч.). Ответ: 368 учеников. Решение задачи можно оформить короче, если перевести 46% в десятичную дробь: 46% = 0,46, а затем число всех учеников умножить на полученную десятичную дробь, т. е. 800 • 0,46 = 368. Правило: Для того чтобы найти р процентов от данного числа а, надо: 1) перевести р процентов в десятичную дробь; 2) умножить число а на получившуюся десятичную дробь. Примеры: а) Найти 17% от 32. 17% =0,17,32 • 0,17 = 5,44. б) Найти 30% от 1,8. 1,8 • 0,3 = 0,54. в) Найти 145% от 76. 76 • 1,45 = 110,2. Задача 2. На городскую олимпиаду школьников по математике из всех школ приехали 140 человек, что составило 3,5% всех желавших принять в ней участие. Сколько всего человек хотели принять участие в олимпиаде? Решение: 1) Найдем сначала 1% всех желавших: 140 : 3,6 = 40 (чел.). 2) Найдем количество всех желавших: 40 • 100 = 4000 (чел.). Ответ: 4000 человек. Можно было поступить по-другому: перевести 3,5% в десятичную дробь (3,5% = 0,035), а затем число учеников, принявших участие в олимпиаде, разделить на полученную десятичную дробь, т. е. 140 : 0,035 = 4000. Правило: Для того чтобы найти все число по известной части Ь и числу соответствующих процентов р, надо: 1) перевести р процентов в десятичную дробь; 2) разделить Ь на полученную десятичную дробь. Примеры: а) Найти число, если 12% его составляют 66. 66:0,12 = 550.
24 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы б) Найти число, если 150% его равны 960. 960: 1,5 = 640. в) Найти число, если 0,2% его равны 5. 5 : 0,002 = 2500. г) Вкладчик положил в банк некоторую сумму денег под 80% в год. Через год он получил прибыль в 30 000 рублей. Найти величину вклада. 30 000: 0,8 = 37 500 (р.). Задача 3. В финале Всероссийской математической олимпиады приняли участие 160 школьников, из них 24 человека стали призерами. Какой процент школьников стал призерами олимпиады? Решение: 1) Найдем 1% всех школьников: 160: 100 =1,6 (чел.). 2) Найдем процент призеров: 24:1,6=15%. Ответ: 15% всех участников стали призерами. Однако можно рассуждать по-другому: най- 24 дем дробь r-jwj и умножим ее на 100, чтобы перевести ее в процент, т. е. 24 2400 160 " 10°-Тб0- ~15/о- Правило: Чтобы найти процент числа Ь от числа а, надо дробь - умножить на 100. Примеры: а) Найти, сколько процентов составляет число 15,57 от числа 90. 15,57 |100и1ММ00иШв1Ш| ПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА Координатная прямая Точка О на прямой АВ разбивает эту прямую на два дополнительных луча О А и ОВ. Выберем единичный отрезок и примем точку О за начало отсчета. Тогда положение точки на каждом из двух лучей задается ее координатой. Чтобы отличить друг от друга координаты на этих двух лучах, условились ставить перед координатами на одном луче знак «+» (обычно на правом или верхнем луче), а перед координатами на другом луче знак «-» (обычно на левом или нижнем луче). -5 -4 -3 -2 -1 0 ■ч 1 1 1 1 н- +1 +2 +3 +4 +5 —I 1 1 1 м В О Числа со знаком «+» перед ними называют положительными. Часто знак «+» опускают. На- 2 2 пример, вместо +7 пишут 7. То есть +2g = 2g, +4,3 = 4,3. Числа со знаком «-» перед ними называют 5 отрицательными. Пишут: -1; -6; -= , -2,6 и читают «минус один», «минус шесть», «минус пять седьмых» и т. д. Начало отсчета (или начало координат) — точка О — изображает число нуль (0). Само число нуль не является ни положительным, ни отрицательным. Оно отделяет положительные числа от отрицательных. -3- -+-+- -2,6 Н—I—ь -1 —н 0 -4- «S ч—н- 4,3 -44 Н 90 90 9 О б) Найти, сколько процентов составляет число 150 от числа 120. 150 15 000 120 # 10° 120 - 125% в) Найти, сколько процентов составляет число 0,3 от 1,9. 0,3 «м-0.3-100 „300 _1(Л5 «-«о. Прямую с выбранными на ней началом отсчета, единичным отрезком и положительным направлением (помечается стрелкой на прямой) называют координатной прямой. Число, показывающее положение точки на прямой, называют координатой этой точки. Например, координата точки С равна -2,6. Записывается; С(-2,6). Координата точки D равна +4,3. Записывается D(+4,3), или D(4,3).
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 25 Противоположные числа. Целые числа. Модуль числа Два числа, отличающиеся друг от друга только знаками, называют противоположными. -5 -4 -2,5 -1 0 +1 —н 1 1—i—i 1 1 н +2,5 +4 +5 I i I 1 h-^- Например, +1 и -1 — противоположные числа; 2,5 и -2,5 — противоположные числа; 4 4 -6 ц и6? —противоположные числа. Для каждого числа есть только одно противоположное число. Число 0 противоположно самому себе. Натуральные числа, противоположные им числа и число нуль называют целыми числами. Например, про числа -15; -3; 0; 1; +5; 10 014 можно сказать, что они целые. А про числа -7,5; 1 5 -2 g ; 1,1; 15 5 нужно сказать, что они целыми не являются. Числа 5; +17; 106 являются и натуральными, и целыми, а числа -3; -19; 0; -101 целыми являются, а натуральными — нет. Модулем числа а называют расстояние (в единичных отрезках) от начала координат до точки А(а). 1 -4,7 -3 —н l I 1 -Н—h А О Вместо слова «модуль» в записи используют символ | |. Например, запись «найти |-3|» означает, что надо найти модуль числа -3. Из определения модуля следует, что |-3| = 3, так как число -3 находится на расстоянии трех единичных отрезков от начала отсчета. Л = 15 > так как расстояние от нуля до числа l| равно \\ . |3| = 3; |-4,7| = 4,7. Заметим, что |0| = 0. Правило: Модуль числа не может быть отрицательным (так как расстояние не может быть отрицательным). Для положительного числа и нуля он равен самому этому числу, а для отрицательного числа модуль равен противоположному числу. Противоположные числа имеют равные модули, так как они находятся на равных расстояниях от начала отсчета. Например, |-10| = 10 и |10| = 10, следовательно, |-10| = |10|. а) б) в) Примеры: 1-12,6| = 12,6; г) |23| = 23; 0| = 0; д)|1|-1; 5 е)|-1| = 1. 4 = 7 6* Сравнение положительных и отрицательных чисел -5 -4 -2,75 -1 0 1 4,5 l 1 I I III — Правило: Из двух чисел, отмеченных на координатной прямой, больше то, которое лежит правее, и меньше то, которое лежит левее. Примеры: а) 4,5 > -5, так как число 4,5 расположено правее, чем -5; б) -4 > -5, так как -4 расположено правее, чем -5; в) -2,75 < -2g , так как -2,75 на координатной прямой левее, чем -2^ . Правило: Любое отрицательное число меньше любого положительного числа. Из двух отрицательных чисел меньше то, модуль которого больше. Нуль больше любого отрицательного числа, но меньше любого положительного. Примеры: 1 а) -100 < g б) 1,4 >-14; в)-7д <-6, так как -7 = 7| и|~6| = 6,а7| >6. Значит, число -7g расположено дальше от нуля, чем число -6; г) -7,5 < -6, так как 7,5 > 6; д) 0 > -80; е) -4,9 < 0; ж)3^ >0.
26 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Сложение чисел с помощью координатной прямой Правило: Прибавить к числу а число Ь значит изменить число а на Ь единиц. Причем если Ъ — число положительное, то число а увеличивается; если же Ь — отрицательное число, то число а уменьшается. Примеры: а) -8 + 3 = -5; б)-8 + (-3) = -11; Г +з А -8 н—ь -5 Л h -3 -11 Л н—н -8 в) -2 + 4 = 2; г)3 + (-4) = -1. +4 -4 Г Л г Л \ 1 1—ь -2 -1 При сложении двух положительных чисел суммой является положительное число. Сложение двух отрицательных чисел дает в результате отрицательное число, Сумма положительного и отрицательного чисел может быть как положительной, так и отрицательной (смотри примеры а) и в)). При сложении двух противоположных чисел суммой является число 0. Например, -3 + 3 = 0; 4,9 + (-4,9) = 0. В общем виде: а + (-а) = 0 От прибавления нуля число не изменяется. Например, -13 + 0 = -13; -2,8 + 0 = -2,8. Сложение положительных и отрицательных чисел Правило: Чтобы сложить два отрицательных числа, надо: 1) сложить их модули; 2) поставить перед полученным числом знак «-». Примеры: а) -6 + (-4) = -10 (так как |-6| + |-4| = 6 + 4 = 10 и перед этим числом ставится знак «-*); б) -3,2 + (-!) = -4,2. Правило: Чтобы сложить два числа с разными знаками, надо: 1) определить больший модуль из модулей этих чисел; 2) из большего модуля вычесть меньший; 3) поставить перед полученным числом знак того слагаемого, модуль которого больше. Примеры: а) Нужно сложить -4 и 9. Для этого: 1)|-4| = 4,|9| = 9и4<9; 2) 9 - 4 = 5; 3) так как |9| > |-4|, то ответ положительный, т. е.-4 + 9 = 5. б) Сложим 3 и -10. 1) |3| = 3, |-10| = 10 и 3 < 10; 2) 10 - 3 > 7; 3) так как |-10| > |3|, то ответ отрицательный, т. е. 3 + (-10) = -7. .» (3 = -1140-21=-11^ 11 24 1X24# г) -3,7 + (-10,12) = -(3,7 + 10,12) = -13,82. д)-4,5 + 1,2 =-3,3. ж)-12,5 +5 = -7,5. Вычитание положительных и отрицательных чисел Правило: Чтобы из данного числа вычесть другое число, надо к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому: а -Ъ = а + (-&) Примеры: а) 14-19 = 14+ (-19) = -5; б) -9,2 - 3 = -9,2 + (-3) = -12,2; в) -3-(-4)= -3 + 4 =1. а - Ь а+{-Ъ) При выполнении примеров типа т - (-п) нужно очень хорошо помнить, что т - (-п) = т + п. Примеры: а) 4 -(-2,1) = 4 + 2,1 = 6,1; б) -9,8 - (-5,7) = -9,8 + 5,7 = -4,1. Разность двух чисел положительна, если уменьшаемое больше вычитаемого, и отрицательна, если уменьшаемое меньше вычитаемого.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 27 Если уменьшаемое и вычитаемое равны, то их разность равна нулю. Примеры: а) -4 - 3 < 0, так как -4 < -3 (-4 - 3 = -7). б) -2g - (-8) > 0, так как -2g > -8 f-2g - (-8) - -•й- в) 5 - (-9) > 0, так как 5 > -9 (5 - (-9) = 14). г) 12 - 13,8 < 0, так как 12 < 13,8(12-13,8 = - ~1,8). Умножение и деление положительных и отрицательных чисел Правило: Чтобы перемножить два числа с разными знаками, надо перемножить модули этих чисел и поставить перед полученным числом знак «-». Примеры: а)-2,4 • 5 = -(2,4 • 5) =-12; 6)6 • (-0,7) = -(6 • 0,7) = -4,2. Правило: Чтобы перемножить два отрицательных числа, надо перемножить их модули. Примеры: 1 (1\, 11 1. а' 2A3je2#3e6; б) -2 • (-0,4) = 2 • 0,4 = 0,8. При умножении чисел полезно помнить такую таблицу (правило знаков): (+)•(+) = (+) (-)•(+>-<-) (+) •(-)-(-> (-)•(-)-<+) 'Правило: При делении чисел с разными знаками надо разделить модуль делимого на модуль делителя и поставить перед частным знак «-». Примеры: 5 2 (Ъ 2\ =_5_3 =_5 =,1. а) 6 : 3 [б:3) 6 2 4 Х4* б) £ -(-^--{г^^-ГЪ ="3' Правило: Чтобы разделить отрицательное число на отрицательное, надо разделить модуль делимого на модуль делителя. Примеры: а) -2,4 : (-0,4) = 2,4 : 0,4 = 6; б>-2:(-§Н:Ь16- Правило знаков при делении чисел то же, что и при умножении: при умножении (делении) чисел с одинаковыми знаками результат положителен; при умножении (делении) чисел с противоположными знаками результат отрицателен. ЗАДАЧИ НА ВСЕ ДЕЙСТВИЯ Порядок выполнения действий Сложение и вычитание чисел называют действиями первой ступени, а умножение и деление чисел — действиями второй ступени. Правило: 1) Если в выражении нет скобок и оно содержит действия только одной ступени, то их выполняют по порядку слева направо. 2) Если выражение содержит действия первой и второй ступени и в нем нет скобок, то сначала выполняют действия второй ступени, а потом действия первой ступени. 3) Если в выражении есть скобки, то сначала выполняют действия в скобках (учитывая при этом правила 1 и 2). Примеры: Ф @ а) 20,3 - 0,6 + 1,4 = 21,1; 1)20,3-0,6 = 19,7, 2)19,7 + 1,4 = 21,1; © Ф 6)17,8 - 0,8 • 5 = 13,8; 1)0,8 -5 = 4, 2)17,8-4=13,8; 2 ® 5 ® ( 1 ® 5\ 2 x>4i -1! -ai -1! -a + Ci -1) -ai- .5 2)2 8 92 =21 § CZ 8 3 7, 3)lo| "7 = 3?; r>9i : {ч + ч) • 5=9: 1>88+2§-БЯ« Z)y2 18 2 : 18 2 ' 95 5 * 5' 3)1; 5 = = 9.
28 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы В выражениях типа а + Ъ - с разрешается сначала выполнить вычитание Ь - с, а затем разность сложить с а. В выражениях типа а • Ь : с можно сначала выполнить деление Ь : с (или а : с), а затем умножить получившееся частное на а (или на Ь). Примеры: а) 17,6+ 24,8-3,8 = 38,6; 1)24,8-3,8 = 21, 2)17,6 + 21 = 38,6; 6)24^ • 4? :2| =49; 1)4|:2|=2, 2)24^ • 2 = 49; 4,8-1,5 в) 1,6 = 3 • 1,5 = 4,5. При выполнении совместных действий с обыкновенными и десятичными дробями нужно учитывать рациональность выбора: иногда лучше действия выполнить в обыкновенных дробях, а в других случаях — в десятичных. Примеры: а) 0,4 6)2^ :0,36 = It =0,4 • 1,5 = 0,6; 100 36 21 4 °4* 14 B)2g -0,21 = 3 " Ш=25- Совместные действия с положительными и отрицательными числами Вычисления в примерах, содержащих несколько действий, можно проводить двумя способами: 1) просто выполнять отдельно все действия по порядку; 2) выполнять действия цепочкой. Примеры: ® ф ® а)-16,4 - 5,2 : (-0,4) + 1,5 = 1,9; по действиям: 1)5,2: (-0,4) = -13, 2)-16,4-(-13) = -3,4, 3)-3,4 + 1,5 = -1,9; цепочкой: -16,4 - 5,2 : (-0,4) +1,5 = -16,4 - (-13) +1,5 = = -16,4 + 13 + 1,5 = -16,4 + 14,5 = -1,9; б)-2 ! Ф 5 ® ® ® -2 : 0,5 + 7,2 = 0,4; по действиям:' 1) *Ъ * 6 3 5 5 Z,5> 2)2:0,5 = 4, 3)-2,8-4 = -6,8, 4) -6,8 + 7,2 = 0,4; цепочкой: -2g : g -2:0,5 + 7,2 = -^-| -4 + 7,2 = -2,8 + + 3,2 = 0,4; @ Ф ® в) 5 - 4,8 : (-0,3) • 0,75 = 17; по действиям: 1)4,8: (-0,3) = -16, 2)-16 • 0,75 = -12, 3)5-(-12) = 17; цепочкой: 5 - 4,8 : (-0,3) • 0,75 = 5 + 16 • 0,75 = 5 + 12 = = 17. Степень Запись ал, где а — любое число, п — натуральное число, называют степенью. Причем число п называют показателем степени, а — основанием степени. Запись ап означает произведение п множителей, каждый из которых равен а, т. е. а = а • а • а а, л раз Примеры: а) 43 = 4 • 4 • 4 = 64; б) 0,35 = 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 • 0,3 = 0,00243; B)UJ = 5 5 " 25 » .ЗУ* 2\2 2 2 _ 4 5) 5 5 «(->!)■-'? И)И)-т ■(-¥)■(-¥)- 1000 „314 343 ^343* 2 2 Не надо путать записи типа (-0,4) и -0,4 , так как (-0,4)2 = (-0,4) • (-0,4) = 0,16, а -0,42 = = -(0,4 • 0,4) = -0,16, а также f g 1 и j, так как
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 29 (й- ? Ё 2 ?=!*! ±L = 2 2 2 2 3*3*3*3 81* а 3 3 16 Л = Т=5з- При выполнении примеров, содержащих степени, в первую очередь выполняется возведение в степень, а затем все остальные действия. Примеры: Ю-2. 1.8»-^—2.1.69- °-4г - = - 3,38 - 0,008 = -3,388; б) [\ + I)2 - 50 • ОД3 = [I)2 - 50 • 0,001 - (5 (9 __25_n25V _JL/ 125 - 9 _ 116 _ 36 ' 36 20 180 180 29 45* Правило: При возведении в степень отрицательных чисел ответ будет положительным, если показатель степени — четное число, и отрицательным, если показатель — нечетное число. Примеры: ;-о,и2 = о,с б) (-0Д)4 = 0,0001; г) (-0Д)5 = -0,00001. а) (-0Д)2 = 0,01; в) (-0Д)3 - -0,001; ПРЕОБРАЗОВАНИЕ БУКВЕННЫХ ВЫРАЖЕНИЙ Раскрытие скобок Выражение а + (Ь + с) можно записать без скобок: а 4- (Ь + с) = а + Ъ + с. Эту операцию называют раскрытием скобок. Правило: Если перед скобками стоит знак «+», то можно опустить скобки и этот знак «+», сохранив знаки слагаемых, стоящих в скобках. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «+». Например, а+(&-с+2) = а+&-с + 2 или (т - п) + (-4 + а) = т-я-4 + а. Правило: Чтобы раскрыть скобки, перед которыми стоит знак «-», надо опустить скобки и этот знак «-», поменяв знаки всех слагаемых в скобках на противоположные. Если первое слагаемое в скобках записано без знака, то его надо записать со знаком «-». Например, -(а - Ъ) = -а + Ъ или х - (-у + 5) = = х + у - 5. Примеры: а) (х - у) - (-у + 8) = х - у + у - 8 = х - 8, так как -у + I/ = 0; б) -(а + &) + (3 - с) = -а - Ъ + 3 - с = -а - & - с + 3; в) 8,2 - (4,5 - а) = 8,2 - 4,5 + а = 3,7 + а; г) (6 - х) - (-9+у) -20 = 6-x + 9-i/-20 = = -х - у - 5. Коэффициент. Раскрытие скобок с применением распределительного свойства Если выражение является произведением числа и одной или нескольких букв, то это число называют числовым коэффициентом (или просто коэффициентом). Например, в выражении -8,5а — коэффициент равен -8,5; 4ху • 5 = 20ху — коэффициент равен 20; -тп = -1т — коэффициент равен -1; х = = 1х — коэффициент равен 1; -т • 6я • (-За) = = ISmna — коэффициент равен 18. Правило: Если перед скобками стоит множитель со знаком «+», то можно опустить скобки, умножив каждое слагаемое скобок на этот множитель, сохранив при этом знаки всех слагаемых. Например, 7 + 2 • (а - 4) = 7 + 2а - 8 = 2а - 1; Зх • (-8 - у) = Зх(-8) + Зх(-у) = -24* - Зху. Правило: Если перед скобками стоит множитель со знаком «-», то этот знак нужно заменить на «+», изменив при этом знаки всех слагаемых в скобках. Далее необходимо воспользоваться предыдущим правилом. Например, -3 • (4 - 5а) = +3 • (-4 + 5а) = -12 + 15а; 18 - 4с • (3+2а) = 18 + 4с • (-3 - 2а) - = 18-12с-8ас. Примеры: а) 4 • (Зх - 2) - 2 • (-Ьу - 1) = 4 • (3* - 2) + + 2 • (Ъу + 1) - 12* - 8 + 10у + 2 = 12* + 10у - 6; б) -6а • (-* + 7) + х • (3 - у) - +6а • (х - 7) + + х(3 - у) = бале - 42а + Зх - ху. Подобные слагаемые. Вынесение общего множителя за скобки Слагаемые, имеющие одинаковую буквенную часть, называют подобными слагаемыми.
30 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы Например, -2а и 0,4а — подобные слагаемые; х и -5л: — подобные слагаемые, слагаемые 86 и 8а — подобными не являются; подобными 2 также не являются слагаемые ах и ay; х и х . С подобными слагаемыми можно производить арифметические действия. Сложение и вычитание подобных слагаемых называется приведением подобных слагаемых. Правило: Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Примеры: а) -6л: + 8л: = (-6 + 8)л: - 2х; б) а - Та + 2а = (1 - 7 + 2)х = -4а; ч 5 7,1 с (Ь 7 , 1\ к в)^-8^ + 4^"5х=18"8Ч- ij -У-6х = = 0 •у Ьх = -5л\ Правило: Если слагаемые имеют общий множитель, то его можно вынести за скобки. В скобках останется сумма других множителей. Примеры: а) Ъх + 8х = (5 + 8) • х = 13л:; б)5х + 5у = Ь{х+у); в) g ах + з &х = g л:(а + 6); г) л: + дс = х + х • л: = х • (1 + л:). Примеры преобразования выражений 1. Привести подобные слагаемые: а) Ч$# - 1х + ц - 10* - 2 = -7у - 17л: - 2; б) 2£ + 4F- а - 5*Р~За + 26 - 4 = -5а + 6-4. 2. Раскрыть скобки и привести подобные слагаемые: а) -8 • (2 - 2у) + 4 • (3 - 4у) = +8 • (-2 + 2у) + + 4 • (3-4i/)=z16+ Jt«i/ +12- Jtfli/ =-4; б) 7л: - 0,5 • (-2л: + 4) - (10 - л:) = 7л: + 0,5 • (2л: - -4)-10 + л: = 7х + х-2 -10 + х = 9л: - 12; в) 5 • (|* - 0,7)-3 • (|* - 0,2)= 5 • (j* - 0,7)+ + з(-|х + 0,2) = 2*-3,5 -£ + 0,6 = х -2,9. 3. Упростить выражение: 1 - 0,5 • (-6л: + Зу - 4) + (Юл: - бу - 5) • (-0,3) = = 1 + 0,5 • (6л: - Зу + 4) + 0,3 • (-Юл: + 6у + 5) = = ! + ЗдГ-115£ + 2- 3*Г + l,8t/ + 1,5 = 0,3у + 4,5. 4. Найти значение выражения: а) -0,4 • (2л: + Зу) + 0,5 • (-Зл: + 5у), при х = -0,5, У—1. Сначала упростим выражение: -0,4 • (2л: + 3i/) + 0,5 • (-Зл: + Ьу) = -0,8л: - - 1,2у - 1,5л: + 2,6у = -2,3л: + 1,3у. Теперь подставим значения х и у: -2,3 • (-0,5)+ 1,3 • (-1) = 1,15-1,3 = -0,15; б) -4 • (5 - 0,3л:) + 2 • (4,5л: + 10), при х = -0,1. -4 • (5 - 0,3л:) + 2 • (4,5л: + 10) = +4 • (-5 + + 0,3л:) + 2 • (4,5л: + 10) = - Ш +\,2х + 9л: + + J2T = 10,2л:; 10,2 • (-0,1) = -1,02. УРАВНЕНИЯ. РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ Что такое уравнение Уравнением называют равенство, в котором неизвестное обозначено буквой. Значение буквы, при котором из уравнения получается верное числовое равенство, называют корнем уравнения. Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что это уравнение не имеет ни одного корня). Примеры: а) Зл: = 21; л: = 7 — корень уравнения, так как 3-7 = 21 (верное равенство); б) 0,8 + х = 0,5; х = -0,3 — корень уравнения, так как 0,8 + (-0,3) = 0,5 (верное равенство); в) Зл: + х = -2; х = -0,5 — корень уравнения, так как 3 • (-0,5) + (-0,5) = -2 (верное равенство); г) уравнение 5 : х = 0 не имеет корней (делить на 0 нельзя, а при делении числа 5 на другие числа в частном 0 не получится). Основные правила решения уравнений Правило 1: Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое (если а + х = Ь, то х = Ъ - а). Примеры: а) 7 + х = 23; х = 23 - 7; х = 16; б) х + 0,2 = 1; х = 1 - 0,2; х = 0,8; в) 1,8 + х = 0,5; х = 0,5 - 1,8; х = -1,3; г) -3 + х = -2; х = -2 - (-3); х = -2 + 3; х = 1.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы 31 Правило 2: Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность (если х - а = Ъ, то х = а + Ь). Примеры: а) х - 8 = 5; х = 8 + 5; х = 13; б) х - 1,4 = -6; х = 1,4 + (-6); х = -4,6; в) х - (-2) = -1; х = -2 + (-1); х - -3. Правило 3: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность (если а - х = Ь, то х = а - &). Примеры: а) 9 - х = 1,3; х = 9 - 1,3; х = 7,7; 1 _ =5, 1 _ 5;. =_1. 0)2 х g; х g б;* 3; в) -3 - х = -7; х = -3 - (-7); х = 4. Правило 4: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель (если ах—Ь, то х = Ъ : а, или х = - I . Примеры: а) 0,2х = 6 б)3х = 0,4 в)-^х=0,4 *-0,4:(-}) х - 0,4 • (-7) х =-2,8 Правило 5: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель (если х : а = Ъ, или - = Ь, то х = аЬ). Примеры: а) х : 0,3 = 4 б) х : (-2,5) = 2 в) j^ = -3 х = 4 • 0,3 х = 2 • (-2,5) х' = -3 • 1,2 х = 1,2 х=-5 х = -3,6 Правило 6: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное (если а : х = Ъ, то х = а : Ъ, или если - = Ъ, то х = г ]. Примеры: а)0,8:х=-5 б) ? =-0,7 в) J : * = 2 X 4 *=0,8:(-5) *=-о^7 * = !:2 х = 6:0,2 х = 30 0,4 4 * 30 2 * = 15 х=-0,16 *="Т х =-8 60 Г 4 1 * = 4 Другие правила решения уравнений Правило 1: Корни уравнения не изменятся, если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом его знак. Примеры: а) Зх - 8 = х - 14 б) -2(3х + 4) = -10 - 8х Зх - х = -14 + 8 - 6х - 8 = -10 - 8х 2х = -6 - 6х + 8х = -10 + 8 х = -6 : 2 2х = -2 х = -3 х = -1 в) -0,1(х - 0,5) = 0,2(3 - 5х) -0,1х+ 0,05 = 0,6-х -0,1х + х =0,6-0,05 0,9х = 0,55 0,55 х = х = 0,9 55 90 11 Х 18 Правило 2: Корни уравнения не изменятся, если обе его части умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю. Примеры: а)10х-120 = 30х-40 Разделим каждое слагаемое обеих частей уравнения на 10. х - 12 = Зх-4 -2х = 8 х=-4 fi 1 _!=JL_8 ' 2х 3 18 9* Умножим каждое слагаемое обеих частей уравнения на число 18. 18 _ 18 = 5 18 _ 8 18 2*3 18 9 Х 9х-6 = 5- 16х 9х + 16х = 5 + 6 25х=11 х = 0,44 Пропорции Частное двух чисел называют отношением, этих чисел. Например, 5:7==, частное = можно назвать отношением чисел 5 и 7. Отношением чисел 1 и 0,25 является число 4, так как 1 : 0,25 = 4.
32 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы Равенство двух отношений называют пропорцией. Например, равенство 20 : 4 = 0,5 : 0,1 является пропорцией. Эта пропорция является верной, так как 20 : 4 = 5 и 0,5 : 0,1 = 5, а вот пропорция 7 : 2 = 10:3 неверная, так как 7:2 = = 3,5, а 10 : 3 = Зд . В общем виде пропорция за- l ^ ас писывается так: а : о = с : а, или г в з • Числа and называют крайними членами пропорции, Ъ и с — средними членами пропорции. Например, в пропорции 7 : 5 = 3,5 : 2,5 числа 7 и 2,5 — крайние члены, а 5 и 3,5 — средние, а 8 3 Q в пропорции - = - члены 8 и х являются крайними, а и 2 — средними. Правило: В верной пропорции произведение крайних членов равно произведению средних членов. Верно и обратное: если произведение крайних членов равно произведению средних членов пропорции^ то пропорция верна. Например, 0,4 : 8 = 1 : 20 — верная пропорция, тогда 0,4 • 20 = 8 • 1 — также верно. Другой пример: равенство 5 • 6 = 2 • 15 — верно, тогда 5:15 = 2:6 — верная пропорция. Часто в пропорции один (или несколько) из ее членов неизвестен. Например, 6 : х = 2 : 7. Найдем неизвестный член пропорции. Для этого воспользуемся свойством пропорции: 6 • 7 = 2 • х 42 = 2 • х х = 42 : 2 л: = 21. Примеры: а) х : 0,2 = 5 : 7 Jx = 5 • 0,2 4 • 5 - 3* 7х = 1 20 = 3* лч 4 - х б)3~5 в) х = 0,46 х = 20 х 7,2 18 0,46 • 18 = 7,2л: 0,46-18 г) *=63 х - 2 1 - 5х х = х = 7,2 4,6-18 72 л: = 1,15 3 4 (х - 2) • 4 = (1 - 5х) • 3 4л:-8 = 3-15л: 4х + 15х = 3 + 8 19* =11 = 11 х 19 д) 0,2 : х = 3 : (х + 2) 0,2 • (х + 2) = Зх 0,2л: + 0,4 = Зл: 0,2л: -Зл: = -0,4 -2,8л: = -0,4 1 х = = е) х = 5 3 8 : 4 5 2 SX 7 х = х = 3 4 2 3 5 7 " 4 : 8 2 3 8 7 4 5 х = 2 3 2 7 5 12 * 35 ФОРМУЛЫ Путь, скорость, время Обозначим путь буквой S, скорость — буквой и, а время — буквой t. Тогда S = v • t — формула цути, v = т — формула скорости, f = _ — формула времени. Примеры: а) Автомобиль двигается со скоростью 92 км/ч. Какой путь проедет он за 5 ч? S = 92 • 5 = 460 (кл). б) Турист за 4 ч прошел 18 км. С какой скоростью шел турист? и = 18 : 4 = 4,5 (км/ч). в) Расстояние между Москвой и Новосибирском 2800 км. За какое время самолет преодолеет это расстояние, если он летит со скоростью 800 км/ч? t = 2800 : 800 = 3,5 (ч). При решении таких задач надо внимательно следить за тем, в каких единицах измеряются величины. Например, велосипедист за 45 мин проехал 30 км. С какой скоростью ехал велосипедист? v = S : t, t = 45 мин9 S = 30 км. Тогда v изме- 2 ряется в км/мин, т. е. v = 30 : 45 - g (км/мин). Если же мы хотим получить скорость v в км/ч, то 45 мин = go ч = j ч* Тогда v = 30 : ^ = = 30 • g = 40 jcjk/ч.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 33 Задача. Марафонец бежал со скоростью 5 м/с. Какой путь преодолел марафонец за 30 мин? Решение: v = 5 (м/с) = 5 • 60 (м/мин) = = 300 (м/мин). Тогда S = 300 • 30 = 9000 (м) = = 9 (км). Ответ: за 30 мин марафонец пробежал 9 км. Среднее арифметическое Средним арифметическим нескольких чисел называют частное от деления суммы этих чисел на число слагаемых. Например, средним арифмети- а + Ь ческим двух чисел а и о является число с = —«— , а средним арифметическим трех чисел х.уиг- х + у + г число с = f . Примеры: Найти среднее арифметическое: а) 5,2 и 8: (5,2 + 8): 2 = 13,2 : 2 = 6,6; б) 1,4, 6 и 7: (1,4 + 6 + 7): 3 = 14,4 : 3 - 4,8. Задача. Первый час пешеход шел со скоростью 5 км/ч, второй час со скоростью 4,5 км/ч, а третий час — 4,3 км/ч. Найти среднюю скорость пешехода. 5 + 4,5 + 4,3 Решение: vcp = = 4,6 (км/ч). Периметр Сумма длин всех сторон многоугольника называется периметром. Периметр фигуры, изображенной на рисунке 1, равен: Р = а +Ъ +с + d + е. Для прямоугольника формула периметра: Р = = (а + Ь) • 2 (рис. 2). Для квадрата (рис. 3) формула периметра: Р = = 4 • а. Задача 1. Найти периметр прямоугольника со сторонами 2,8см и 4 еж. Решение: Р = (2,8 + 4) • 2 = 13,6 см. Ответ: 13,6 см. Задача 2. Одна из сторон прямоугольника равна 7,3 см, а его периметр равен 30,2 см. Найти другую сторону прямоугольника. Решение: Обозначим неизвестную сторону прямоугольника через х. Тогда по формуле периметра прямоугольника имеем: (7,3 + х) • 2 - 30,2 7,3 + х = 15,1 х = 15,1 -7,3 л: = 7,8 Ответ: неизвестная сторона прямоугольника равна 7,8 см. Движение по реке В задачах на движение по реке приходится иметь дело с собственной скоростью в стоячей воде (vc)9 скоростью течения реки (vm), скоростью по течению реки (vno т) и скоростью против течения реки (vnp т). Vno m = vc+vm> Vnp. т = »с- vm'> vnp. m~vnom~2 vm' Ко m = %. m + 2vm> "c = (Vno m + vnp. m) ' *> "m = ^no m ~ vnp. m> '• 2- Задача 1. Скорость катера по течению 21,8 км/ч, а против течения 17,2 км/ч. Найти собственную скорость катера и скорость течения реки. Решение: 1) vm - (21,8 - 17,2): 2 = 4,6 : 2 = 2,3 (км/ч); 2) vc = 17,2 + 2,3 = 19,5 (км/ч). Задача 2. Моторная лодка двигалась по течению реки со скоростью 15 км/ч. Найти скорость лодки против течения, если скорость течения реки 1,8 км/ч. Решение: v пр. т 15-2 • 1,8 = 11,4(км/ч). Площадь За единицу измерения площа- 2 2 2 v/ & '/Л дей принимают 1 мм , 1 см ,1м 1Дсм J 1см 2 и другие. Например, 1 см — это площадь квадрата со стороной 1 см. Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3 2- 1019
34 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—б классы Площадь фигуры, изображенной на рисунке 4, равна 5 см , а площадь треугольника, изобра- 2 женного на рисунке 5, равна 2 см (подумай почему). Формула площади прямоугольника: S = а • Ь, а квадрата S ^а •а = а . Задача 1. Найти площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 7 см, а другая на 2,5 см меньше. Решение: 1) 7 - 2,5 = 4,5 (см) — сторона. 2 2) 7 • 4,5 = 31,5 (см ) — площадь. 2 Ответ: S = 31,5 см . Задача 2. Найти периметр земельного участка прямоугольной формы, если его площадь равна 8 а, а одна из сторон 16 м. 2 Решение: 1) 8 а = 800 м . 2) 800 : 16 = 50 (м) — неизвестная сторона. 3) (16 + 50) • 2 = 132 (м) — периметр. Ответ: Р = 132 м. Объем прямоугольного параллелепипеда и площадь его поверхности Фигуры типа спичечного коробка, кирпича, молочного пакета имеют форму прямоугольного параллелепипеда. Длина, ширина и высота прямоугольного параллелепипеда называются его измерениями. Поверхность прямоугольного параллелепипеда состоит из шести попарно равных прямоугольников. Бели все три измерения параллелепипеда равны, то он называется кубом. Поверхность куба состоит из шести одинаковых квадратов. Формула объема прямоугольного параллелепипеда: V = а • Ъ • с. Формула объема куба: V = а . Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: S = 2 • (аЬ + ас + be). Площадь поверхности куба можно вычис- лить по формуле: S = 6а . Например, если измерения прямоугольного параллелепипеда а = 4,5 см, Ь = 8 см, с = 12 см, то объем его равен: К = 4,5 ■ 8 • 12 = 432 ел*3, а его площадь поверхности равна: S = 2 • (4,5 • 8 + 4,5 • 12 + 8 • 12) = = 2 • (36 + 54 + 96) = 372 см2. Площадь круга и длина окружности Большое значение при вычислении площади круга и длины окружности имеет число я, открытое древнегреческим математиком Пифагором. Оно показывает, во сколько раз длина окружности больше диаметра. Обычно при вычис- 1см 1см Рис. 4 1см 1см S = а*Ь а Рис. 6
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 35 лениях используют значение тс = 3,14. Более точно я =3,14159. Формула длины окружности: С = nd, или С = 2nR. Формула площади круга: S = nR2, или S = (nd2): 4. Задача 1. Радиус окружности равен 8,5 еж. Найти длину окружности и площадь соответствующего круга. Решение: С = 2яД - 2 • 3,14 • 8,5 - 53,38 = 53,4 {см); S = nR2 « 3,14 • 8,52 = 3,14 • 72,25 - « 226,9 (см2). Задача 2. Длина Московской кольцевой автодороги примерно равна 110 км. Вычислите приближенное значение площади, занимаемой Москвой. Решение: 1) С = 2яД; 2) S = nR ; 110 = 2 • 3,14 • R; S = 3,14 • 17,5 ; 110 = 6,28 • R; S « 962 (км2). R = 110: 6,28; R= 17,5 (км); Ответ: S « 962 (кле2). ЗАДАЧИ Задачи на сравнение величин Нужно запомнить: фраза «величина а на с единиц больше Ь* на языке уравнений означает, что а ~-Ь = с, или а -Ь Л- с, или Ъ - а - с. Например, если «* на 8 больше 12», то * - 12 = = 8, или х = 12 + 8, или 12 = х - 8. Решая любое из этих уравнений, получим х = 20. Задача 1. Известно, что выражение 2х - 3 на 7 меньше, чем Ъх + 8. Найти значение *. Решение: Из условия следует, что: (5* + 8) - (2* - 3) = 7 Ъх + 8 - 2* +3 = 7 3* + 11 = 7 3* = -4 4 * = ~3 Задача 2. Масса 9 кирпичей на 20 кг больше, чем масса одного кирпича. Найти массу одного кирпича. Решение: Обозначим массу одного кирпича через х (кг), тогда масса 9 кирпичей равна 9л: (кг). Из условия задачи следует, что: 9* - х = 20 8* = 20 х = 2,5 Ответ: масса одного кирпича 2,5 кг. Нужно запомнить: фраза «величина а в с раз больше величины Ь> на языке уравнений означает, что а : о = с, т. е. г = с, или а : с = &, т. е. - = о, о с или а =Ь • с. Например, если ав5 раз больше, чем 2,4», то х : 2,4 = 5, или х : 5 = 2,4, или х = 2,4 • 5. Решая любое из этих уравнений, получим х = 12. Задача 3. Известно, что выражение 4 - 3* в 1,5 раза меньше, чем 2,5* + 8. Найти значение переменной х Решение: Из условия задачи следует, что (4-3*) • 1,5 = 2,5* + 8 6-4,5* = 2,5*+ 8 -7* = 2 2 *=-,. Задача 4. За день Ира прочитала в 3,5 раза страниц больше, чем Маша. Сколько страниц прочитала каждая девочка, если Маша прочитала на 40 страниц меньше Иры? Решение: Число страниц, прочитанных Машей, обозначим через *. Тогда Ира прочитала 3,5* (е.). По смыслу задачи 3,5* -х =40 2,5* = 40 * = 16 3,5 • 16 = 56 (с.) Ответ: Маша — 16с, Ира — 56 с. Задача 5. Маша и Катя решили испечь к празднику каждая одинаковое число пирожков. Но обе очень старались, поэтому Катя испекла на 6 пирожков больше, чем задумано, а Маша даже на 13 пирожков больше. В итоге
36 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы оказалось, что Маша испекла в 1,5 раза больше пирожков, чем Катя, Сколько пирожков хотела испечь каждая девочка? Решение: Каждая девочка хотела испечь по х пирожков. Но Катя испекла х + 6, а Маша х + 13 пирожков. По условию задачи: (х + 6) • 1,5 = х + 13 1,5х + 9 = л: + 13 0,5л: = 4 х=8 Ответ: каждая девочка хотела испечь по 8 пирожков. Задача 6. На одной стоянке стояло в 2 раза больше автомашин, чем на другой. Когда с первой стоянки переехало 30 автомашин на вторую, то на второй стоянке оказалось в 3 раза больше машин, чем на первой. Сколько автомашин было на каждой стоянке? Решение: было машин стало машин 1 стоянка 2х 2х - 30 2 стоянка х х + 30 По условию задачи х + 30 в 3 раза больше, чем 2х - 30. Составим уравнение: (2х - 30) • 3 = х + 30 6л: - 90 = х + 30 Ьх = 120 х = 24 24 • 2 = 48 (м). Ответ: На первой стоянке было 48 автомашин; на второй — 24 автомашины. Задача 7. Вася и Коля вместе собрали 91 белый гриб. Более удачливый Вася собрал в 2,5 раза грибов больше, чем Коля. Сколько грибов собрал каждый мальчик? Решение: 1-й способ Составим уравнение: Коля — х (грибов) х + 2,5л: = 91 Вася — 2,5л: (грибов) 3,5л: = 91 Вместе — 91 гриб х = 91 : 3,5 л: = 26 26 • 2,5 = 65(гр.) 2-й способ Составим уравнение; Коля — х (грибов) 91 - х = 2,5л: Вася — 91 - х (грибов) 91 = 3,5л: 91 - х в 2,5 раза х = 26 больше, чем х 91 - 26 = 65 (гр.) Ответ: Коля собрал 26 грибов, Вася собрал 65 грибов. Задачи на нахождение дроби от числа и числа по его дроби Правило: Чтобы найти дробь от числа, надо это число умножить на данную дробь. Примеры: 7 7 а) Найти g от числа 360. 360 • ^ = 280. б) Найти 0,4 от 120. 120 • 0,4 = 48. Правило: Чтобы найти все число по данному значению его дроби, надо это значение разделить на дробь. Пример: Найти число х, если г этого числа равны 30. 30 : g = —«— = 50. Можно оформить решение в виде уравнения: | х = 30, х = 30 : |, х = 50. Задача 1. Найти площадь поля, если известно, что скосили 0,7 всего поля, а осталось неско- 2 шенным 5400 м . Решение: 1)1-0,7 = 0,3 — нескошенная часть поля; 2) 5400 : 0,3 = 18 000 (м ) — площадь всего поля. Ответ: 18 000 м. Задача 2. Турист был в пути 3 дня. В первый 1 день он прошел т всего пути, во второй день — 5 9 оставшегося пути, а в третий день — последние 16 км. Найти весь путь туриста. Решение: Пусть весь путь туриста равен х (км). Тогда в первый день он прошел -г х (км), во вто- 5, 1 ч 5 3 5 ^ рои день — о (* "" Z *) ~ о * i*^!^** к как в третий день он прошел 16 км, то: jx + Тох+ 16 = лг jx + Тох" х = ""16 -§*~1в х = 48 Ответ: Весь путь туриста равен 48 км.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 37 Задача 3. На выполнение домашнего задания (математика, литература и география) Миша потратил 90 мин. На литературу он потратил 3 2 того времени, что затратил на математику, а на географию на 10 мин меньше, чем на литературу. Сколько времени затратил Миша на математику, сколько на литературу и сколько на географию? Решение: Пусть х (мин) он затратил на мате- матику, тогда т х (мин) ушло на литературу, а на географию было потрачено т х - 10 минут. Так как всего на домашние уроки он затратил 90 мин, то: 4 4 \х = 100 Две величины обратно пропорциональны, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая уменьшается (увеличивается) во столько же раз. Задача 2. Четыре комбайна могут убрать пшеницу с поля за 10 дней. За сколько дней уберут это поле пять таких же комбайнов? Решение: Очевидно, что во сколько раз больше комбайнов, то во столько же раз меньше потребуется времени для уборки поля. То есть можно сказать, что число (п) комбайнов, убирающих поле, находится в обратной пропорциональной зависимости от времени уборки (t). пг = 4 комб. tx = 10 дн. п2 = 5 комб. t2 = х дн. TOT»^eVT-e-6 * ^ 4 10 Q гтс. Отсюда х = 5 = 8. Ответ: 5 комбайнов уберут поле за 8 дней. х = 100 : g х =40 Итак, на математику ушло 40 мин, на литера- 3 туру 2 • 40 = 30 (мин), а на географию 30 - 10 = = 20 (мин). Ответ: 40 мин, 30 мин, 20 мин. Прямая и обратная пропорциональные зависимости Две величины прямо пропорциональны, если при увеличении (уменьшении) одной из них в несколько раз другая увеличивается (уменьшается) во столько же раз. з Задача 1. Стальной шарик объемом 6 см имеет массу 46,8 г. Какова масса шарика из той же стали, если его объем 2,5 см ? Решение: Очевидно, что, во сколько раз меньше объем шарика, во столько же раз меньше его масса. Следовательно, объем шарика (V) и масса шарика (т) находятся в прямой пропорциональной зависимости. Решим задачу с помощью пропорции: Уг - 6 см тг = 46,8 г У ТПЛ V2 = 2,5 см тп2 = х (г) 771л 6 46,8 2,5 х Х = 19,5. Ответ: 19,5 г. 46,8-2, 6 1 46,8- 24 И) 468 24 Задачи на деление числа на части, пропорциональные данным числам Задача 1. Сережа собрал в саду 2,4 кг клубники. Четыре части он отдал сестре Наташе, три части — брату Коле, а одну часть оставил себе. Сколько килограмм клубники получил каждый из детей? Решение: Обозначим массу одной части через х (кг), тогда масса трех частей — Зх (кг), а масса четырех частей — 4л: (кг). Так как всего было 2,4 кг клубники, то: х + Зх + Ах = 2,4 8* = 2,4 х = 0,3 (Сережа) 1) 3 • 0,3 =? 0,9 (кг) — получил Коля; 2) 4 • 0,3 = 1,2 (кг) — получила Наташа. Ответ: 1,2 кг, 0,9 кг, 0,3 кг. Задача 2. Для приготовления компота нужна вода, ягоды и сахар, масса которых должна быть пропорциональна числам 4, 3 и 2 соответственно. Сколько нужно взять воды, ягод и сахара (по массе) для приготовления 13,5 кг компота? Решение: Пусть для приготовления компота требуется а (кг) воды, Ь (кг) ягод, с (кг) сахара. Тогда а:4 = Ь:3 = с:2, или J = з = 2 ' ^Усть ка" __ 468 _ ждое из отношений равно числу х. Тогда т = х, Ъ с 5 = х, о = х. Отсюда а = 4#, Ъ - Зх, с = 2х. По условию задачи а+Ь+с = 13,5(к;г), тогда
38 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 4* + Зх 4- 2х = 13,5 9* = 13,5 х = 1,5 1) 4 • 1,5 = 6 (кг) — воды; 2) 3 • 1,5 = 4,5 (кг) — ягод; 3) 2 • 1,5 = 3 (кг) — сахара. Ответ: 6 кг, 4,5 кг, 3 кг. Задачи «на масштаб» Отношение длины отрезка на карте к длине соответствующего отрезка на местности называют масштабом. То есть запись 1:500000 нужно понимать так: отрезок на карте в 500000 раз меньше, чем на местности. Можно сказать и так: отрезок на местности в 500000 раз больше соответствующего отрезка на карте. Например, на такой карте расстояние между городами А и В равно 8 см. Тогда на местности (т. е. настоящее расстояние) расстояние между городами А и Б равно 8 см • 500 000 = 4 000 000 см =40 км. Наоборот, если известно, что на местности расстояние между городами С и D равно 300 км, то на этой карте расстояние между ними будет равно: 300 км : 500 000 = 30 000 000 см : 500 000 = 60 см. Задача 1. Найти масштаб карты, если расстояние на местности между городами М и N 140 км, а на карте это выражено отрезком 7 см. Решение: 7 см : 140 км = 7 см : 14000000 см = = 1:2000000. Ответ: Масштаб карты 1 : 2 000000. Задача 2. Между городами X и У расстояние на местности 200 км, а на карте 5 см. Каким отрезком на этой карте будет выражено расстояние 700 км? Решение: Эту задачу можно решить через нахождение масштаба карты, а можно по-другому — с помощью пропорции. Обозначим искомый отрезок через х, тогда 5 200 х 700 ' Х " Ответ: 17,5 см. 5 700 = ' 200 = 17,5 см Разные задачи Задача 1. Витя и Толя любят собирать авиамодели. На сборку одной и той же модели Витя тратит 4 ч, а Толя — 3 ч. Однажды мальчики решили собирать модель вместе. Сколько времени они потратили на сборку? Решение: 1) За один час Витя может собрать 1 2 часть всей модели; 2) за один час Толя собирает « часть всей модели; 3) вместе за 1 час они делают: 1 + о = То (час_ тей); 4) тогда, разделив всю работу 1 = т« натл, получим ответ: 12 7 12 12 12 ,5 , . - AQ 12 : 12 =ТГТ =У =l7(4)=l443 MUH- Ответ: 1= ч. Задача 2. Веревку длиной 63 м разрезали на 2 куска так, что 40% длины первого куска были равны 30% длины второго куска. Найти длину каждого куска веревки. Решение: Пусть первый кусок имеет длину х (м), а второй кусок тогда имеет длину 63-х (м). По условию задачи 0,4* равны 0,3 • (63 - х). Составим уравнение: 0,4* = 0,3 • (63-х) 0,4х = 18,9-0,Зх 0,7х = 18,9 х = 18,9: 0,7 х = 27 (первый кусок) 63 - 27 — 36 (м) — второй кусок. Ответ: 27 ми 36 м. Задача 3. В растворе содержится 40% соли. Если добавить 120 г соли, то в растворе будет содержаться 70% соли. Сколько граммов соли было в растворе первоначально? Решение: Пусть общая масса раствора была первоначально х (г). Тогда соли в нем было 0,4х (г). Если добавить 120 г соли, то масса раствора будет х + 120, а соли в нем будет 0,4х + 120. Так как по условию задачи соли стало содержаться в растворе 70%, то: 0,4х+120 = 0,7 • (х + 120) 0,4x4-120 = 0,7x4-84 О,4х-0,7х = 84-120 -0,3х = -36 х = 120 0,4 • 120 = 48 (г) Ответ: Первоначально в растворе было 48, г соли.
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 39 Задача 4. В клетке находятся фазаны и кролики. Известно, что у них 35 голов и 94 ноги. Узнайте число фазанов и число кроликов. Решение: Представим, что все кролики встали на задние лапки. Сколько ног в этот момент будет стоять на земле? 1) 35 • 2 - 70. Но в условии даны 94 ноги; передние лапы кроликов не посчитаны. Сколько их? 2) 94 - 70 = 24. 3) 24 : 2 = 12 (кроликов). 4) 35 - 12 = 23 (фазана). Ответ: 23 фазана, 12 кроликов. ОТРЕЗОК, ПРЯМАЯ, ЛУЧ, УГОЛ Отрезок и прямая Если к точкам А и В приложить линейку и по ней провести от А к Б линию, тр получится отрезок АВ. Тот же отрезок можно обозначить ВА. Точки А и В называют концами отрезка (рис. 8). А В в т Рис, 8 Любые две точки можно соединить только одним отрезком. Длину отрезка АВ также называют расстоянием между точками А и В. Если два отрезка CD и MN имеют одинаковую длину, то отрезки равны (рис. 9). Записывают CD = MN. Если длина отрезка АВ больше длины отрезка КЕ, то это записывают так: АВ > КЕ, илиКЕ <АВ. Прямую обозначают заглавными (прописными) буквами: прямая АВ, или одной маленькой (строчной) буквой: прямая т. Прямая не имеет длины. Отрезки и прямые могут пересекаться, а могут и не пересекаться (рис. 11). В х Q Рис. 11 Задача. На рисунке 12 можно увидеть три отрезка: АВ, ВС, АС. Сколько отрезков можно увидеть на рисунке 13? В В С D Е Рис. 12 Рис. 13 Ответ: 15 отрезков. Луч и угол Точка О разделила прямую АВ на две части ОА и ОВ, каждая из которых называется лучом (полупрямой). Точка О называется началом этих лучей (рис. 14). О В N Рис. 9 Если начертить отрезок АВ и продолжить его по линейке бесконечно в обе стороны, то получим прямую (рис. 10). Через любые две точки проходит единственная прямая. Рис. 14 Луч кратко обозначается двумя заглавными буквами, причем на первом месте пишется буква, обозначающая начало луча. Например, на рисунке 15 изображены лучи CEhDK. В Рис. 10 Рис. 15
40 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Нужно хорошо запомнить, что у любого луча есть начало, но нет конца. Так же как отрезки и прямые, лучи могут пересекаться, а могут и не пересекаться (рис. 16). Лучи, на которые точка разбивает прямую, называются дополнительными лучами. Например, на рисунке 17 лучи ЕМ и EN — дополнительные лучи. М Е —•— N Рис. 17 Каждая точка прямой разбивает прямую на два различных луча, две точки — на четыре различных луча, а три точки — на шесть различных лучей. Например, на рисунке 18 лучей с началом в точке А — два, лучей с началом в точке В — два, лучей с началом в точке С — два. Всего шесть лучей. Если вам покажется, что их больше, вы ошибаетесь. Ведь, например, луч АВ и луч АС — это один и тот же луч. В Рис. 18 Запомните! Обозначение АВ может относиться и к отрезку, и к прямой, и к лучу. Обычно все можно понять, посмотрев на рисунок. Углом называют фигуру, образованную двумя лучами, выходящими из одной точки. Лучи, образующие угол, называют сторонами угла, а точку, из которой они выходят, — вершиной угла. На рисунке 19 изображен угол CDK или кратко: ZCDK. Обратите внимание: в середине обязательно пишется буква, обозначающая вершину угла. Если на рисунке нет больше углов с данной вершиной, то угол можно обозначить только этой вершиной: ZD, т. е. ZCDK = ZD. Задача. Сколько углов вы видите на рисун- ке^20? В Рис. 19 О^ С Рис. 20 На рисунке изображены три угла с вершиной О : ZAOC, ZAOB и ZBOC. Два угла равны, если при наложении одного угла на другой они совпадут. Например, на рисунке 21 ZBOK = ZCED. JBL Рис. 21 Виды углов. Измерение углов Два дополнительных друг другу луча образуют развернутый угол. На рисунке 22 ZABC — развернутый. В Рис. 22 Для измерения углов применяют транспортир. Шкала транспортира располагается на полуокружности и поделена на 180 равных частей. Каждая часть называется градусом, т. е. градус — это ygg доля развернутого угла. Градусы обозначают знаком °. Величина развернутого угла равна 180°. Можно сказать, что ZAOB < ZCED, а Z РКМ > Z CED (рис. 23).
Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы 41 Z АОВ = 53° Е D Z CED - 90° Рис. 23 К М Z РКМ = 130° Прямым углом называют половину развернутого угла. Величина прямого угла равна 90°. Углы, меньшие прямого, называют острыми (ZAOB = 53° — острый угол). Величина любого острого угла меньше 90°. Углы, большие прямого угла, но меньшие развернутого, называют тупыми углами (Z РКМ = == 130° — тупой угол). Величина любого тупого угла больше 90°, но меньше 180°. Задача. Какой угол образуют минутная и часовая стрелки: а) в 6 часов; б) в 3 часа; в) в 16 часов; г) в половину шестого; д) без пяти минут двенадцать? Ответ: а) 180°; б) 90°; в) 120°; г) 16°; д) 27,5°. Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол на две равные части. ZAOB = 58° ZAOC = Z ВОС = 29° ОС — биссектриса Z АОВ (рис. 24). Перпендикулярные и параллельные прямые Две прямые j образующие при пересечении прямые углы, называют перпендикулярными. На рисунке 25: АВ и CD — перпендикулярные прямые. Пишут: АВ ± CD. Также можно записать: CD 1 АВ. Отрезки (или лучи), лежащие на перпендикулярных прямых, называют перпендикулярными отрезками (или лучами) (рис. 26). М N MN 1РК К Р луч EF перпендикулярен лучу ОТ Рис. 26 Отрезок CD (рис. 27) называется перпендикуляром, проведенным из точки В к прямой АВ. Точка С называется основанием перпендикуляра. С Рис. 27 В Через данную точку можно провести единственный перпендикуляр к данной прямой. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Пишут: АВ || CD (прямая АВ параллельна прямой CD на рис. 28). Рис. 28 Отрезки (лучи), лежащие на параллельных прямых, называют параллельными отрезками (лучами). На рисунке 29 отрезок АВ параллелен отрезку МК; луч EF параллелен лучу СО. К М Рис. 29 Рис. 24 Рис. 25 Если две прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Если прямые п и I перпендикулярны прямой /п, тогда прямые пи! — параллельны (рис. 30). Краткая запись: если п ± т и I ± /п, то п \\ I.
42 Краткое изложение школьного курса математики Математика. 5—6 классы Через каждую точку плоскости, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной прямой (рис. 31). т Рис. 30 Рис. 31 Координатная плоскость Проведем на плоскости две перпендикулярные прямые х и у, которые пересекаются в точке О. Выберем на каждой из прямых х и у положительное направление и единичный отрезок; точка О — начало отсчета. Эти прямые называют системой координат на плоскости, а точку О — началом координат. Плоскость, на которой выбрана система координат, называют координатной плоскостью. Прямую х называют осью абсцисс; прямую у называют осью ординат. хЭ • -5 -4 -3 -2 -1 ■ i i i i О С 1 - о -4 -3 -2 о1! -1 —2- -3 -4 -5 2 3 4 4 | D • i i « А X Рис. 32 Каждой точке плоскости соответствуют координаты. Их записывают после точки в скобках, на первом месте координату по оси х, на втором — координату по оси у. Координата по оси х называется абсциссой, а координата по оси у — ординатой. Например, у точки А на рисунке 32 координаты (4; -2), В (-3; 5), С (0; -4), D (2; 0). У любой точки, лежащей на оси х (оси абсцисс), вторая координата (ордината) равна нулю, а у любой точки, лежащей на оси у (оси ординат), первая координата (абсцисса) равна нулю. Задание. Начертить отрезки АВ и CD, если А(-4; 2), Б(3; -5), С(-5; -7), Я(4; -1). Найти: а) координаты точки Е — пересечения отрезков АВ и CD; б) координаты точки К — пересечения отрезка АВ с осью х; в) координаты точки Р — пересечения отрезка АВ с осью у. Рис. 33 Ответ: Е (1; -3), К (-2; 0), Р(0; -2).
Алгебра. 7—11 классы Этот раздел предназначен для быстрого и эффективного повторения начал алгебры школьного курса математики. Теоретический материал разбит на главы, соответствующие основным темам. СТЕПЕНИ И КОРНИ Степень с натуральным показателем. Свойства степеней. Степень с целым показателем 1. Степень с натуральным показателем Степенью действительного числа а с натуральным показателем п называется произведение п сомножителей, каждый из которых равен а. п а = а*атат... • а (а ) = а . 4. При возведении в степень произведения двух чисел, каждое число возводят в эту степень, а результаты перемножают: (а •«"-а11-б". 5. Если в степень возводится частное двух чисел, то в эту степень возводят числитель и знаменатель, а результаты делят друг на друга. (а\п = а^ п раз Число а называется основанием степени, число п — показателем степени. Пример 1. 0,23 = 0,2 • 0,2 • 0,2 = 0,008. Пр„»ер2.(-1)в-(-1)-Н)-(-1)-Н)х Х Г§] Ч~з] = 729' Пример З.Ь = Ъ • Ъ • b • Ъ. 2. Свойства степеней 1. При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели степеней складывают: т п т + п а *а = а 2. При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя: т п т~п а : а = а 3. При возведении степени в степень основание степени оставляют прежним, а показатели перемножают: 6. Если а > Ь и Ъ > 0, то ап > Ьп. Пример 1. 0,54 = 0,5-0,5* 0,5* 0,5 = 0,0625 (по определению). Пример 2. (-5) *(-5) =(-5) (свойство 1). / 1*\8 ( 1\14 ( 1\22 Пример 3.( lgl 413) =1*з] (свойство 1). Пример 4. (|)10 : (J)3 = (j)10 ' = (j)7 (свойство 2). Пример 5.0,46 : 0,44 = 0,42 = 0,16 (свойство 2). Пример 6. ((-2)5)2 = (-2)5'2 = (-2)10 = 1024 (свойство 3). 1\4 Пример 7. (о,2-|) =0,24-(д) = = 0,0016 • ^ = зТШоО (свойство 4>- Пример 8. [-5•„-] =(-5) •(„-) (свойство4). Пример 9. (-fj = -^- = ~i = 2401 <свой- ство 5). Пример 10. Что больше: 2 или 3 ? Используя свойства степени, преобразуем данные выражения: о300 = 23 • 100 = /о3\100 — Q100
44 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы «200 = «2*100 _ .«2Л00 = Q100 Показатели степеней равны, а основания связаны неравенством 8 < 9, поэтому, согласно и о300 ^ о200 свойству о, 2 < 3 3. Степень с целым показателем Степень действительного числа с целым отрицательным показателем определяется следующим образом: ап = — , где а * 0 и п > 0. а Пример 1. (-8)"3 = -^j = -qY2 • 6Г4 Г5\* 625 ТТ^леер 2. (l|)"4 = (I)"4 = (|)4 = 1296* Любое отличное от нуля число в нулевой степени равно единице. а = 1, гдеа*0. Нуль в нулевой степени не определен, т. е. выражение 0 не имеет смысла. Для степеней с целыми показателями выполняются те же свойства, что и для степеней с натуральными показателями. Арифметический квадратный корень и его свойства 1. Арифметический квадратный корень Арифметическим квадратным корнем из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число Ь9 квадрат которого равен числу а. Обозначение: Ja = b. Такая запись означает, что Ь = аиЬ>0. Знак 7~ называется знаком радикала. Пример 1. Vl6 = 4, так как 4 = 16 и 4 > 0. Пример 2. 75781 = 0,9, так как 0,92 = 0,81 и 0,9 > 0. Основные тождества, следующие из определения квадратного корня: 1. л/а = \а\ 2. (л/а) =а. или а = а при а > 0, а = -а при а < 0. 2. Свойства арифметического квадратного корня 1. Корень из произведения двух неотрицательных чисел равен произведению корней из этих чисел: J а • Ъ = Ja • Jb, где а > 0 и Ь > 0. 2. Корень из частного двух чисел равен частному корней из этих чисел: J=|,rflea>0,&>0. Jb 3. Внесение множителя под знак квадратного корня: а) Ъ • Та = = л/ь • а при & : >0; б) Ъ • л/а = -*Jb • а при Ъ < 0. 4. Вынесение множителя из-под знака корня: а) 4ь • а б) л/ь2 • а В общем: Пример - 8^2. Пример , 27 * Пример Пример = & • л/а при & > 0; = -& • л/а при & < 0. виде: л/гЛх =|&1* 1. VI28 = 2 ГбО" _ л/50 * V729 7729 3. лДб*3 =7? 4.\ЛГа=Л »л/а. 764^2 л/25^2 2 2 • X • X : • 54а = = 764 • 7S- 725'72 27 -4-Н- Тба. Jx. Пример 5. Пусть х < 2, тогда V(* - 2) • 3 = = |ж-2|-73 =(2-ж)-73. Пример 6. Пусть а > 1, тогда (1 х)-л/(а- I)3 =-л/(а - D5.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 45 Пример 7. Упростить: 4Я -2V104 +3^ = ]Ш* -2Л04 + + Je*y = Л04 -2л/104 + 726 = = л/26 -л/104 =л/26 -л/4-26 =726 -2726 = = -726. Пример 8*. Избавиться от иррациональности в знаменателе (т. е. от знаков корней в знаменателе): 10 _ 75-Л0 + л/20 + 740-780~ 10 10 75(1 -72 + 2 + 272-4) 75(72 - 1) = 1075(72 + 1) = 1075(72 + 1) = (75)2(72 - 1)(72 + 1) 5((72)2 - I2) = 275(72 + 1). В последнем примере числитель и знаменатель дроби домножены на одно и то же выражение д/б (72 +1), при этом дробное выражение не изменилось. Далее использована формула со- 2 2 кращенного умножения (а + b)(a - b) = a -ft и тождество (2). Если выражение а - ft умножается на выражение а + ft, то такое преобразование в алгебре называется домножением на сопряженное. Арифметический корень п-н степени. Действия с радикалами 1. Определение арифметического корня /1-й степени Арифметическим корнем п-й степени из неотрицательного числа а называется такое неотрицательное число ft, которое при возведении в степень п дает число а. Число п называется показателем степени корня, число а — подкоренным выражением. Обозначение: nJa = ft, что означает по определению Ъп = а и ft > 0. Пример 1. 378 = 2, так как 23 = 8 и 2 > 0. Пример 2. 67729 = 3, так как З6 = 729 и 3 > 0. Напоминаем, что только квадратный корень записывается без показателя степени корня. 2. Корень нечетной степени из отрицательного числа Корнем нечетной степени из отрицательного числа а называется такое отрицательное число ft, которое, будучи возведено в эту нечетную степень, равно числу а. Как правило, корень нечетной степени из отрицательного числа не называют арифметическим. Во многих современных школьных курсах алгебры корень нечетной степени из отрицательных чисел не рассматривается. Это приводит к путанице, особенно при решении некоторых задач. Выход здесь такой: при решении конкретной задачи каждый раз оговаривать отдельно — какое определение вы используете. Пример 1. 37-27 = -3, поскольку (-3)3 = -27 и -3 < 0. Пример 2. 5/-— и-2<0. V"32 "~ 2 • ТаК КаК ( 2 J " 32 3. Свойства арифметического корня /1-й степени 1. Корень степени п из корня степени k: п& = пкЛ. Пример 1. V7729 = 67729 = 3. Пример 2. 5л/37-32 768 = 157-32 768 = -2. 2. Корень п-й степени из числа а, возведенного в натуральную степень k: Пример 3. лб1 = (,/9)3 = З3 = 27. Пример 4. 5|^j)3 = [ьЩ = {-If = -|. 3. Корень п-й степени из произведения двух чисел: l/ab = nJ~a • nJb. Пример 5. V16 • 81 = 4Лб • V81 =2-3 = 6.
46 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 6. V625 « !/125 • 5 - У125 • У5 - - 537б. 4. Корень л-й степени из частного двух чисел: 216 37216 6 ,1 Пример 7. з/— = 125 У125 5 S Пример 8 • Т243 57^32 V243 5. Вынесение множителя из-под знака корня: nJ^~a=\b\-nJ~a. При & > О это тождество имеет вид При & < 0 и а > 0 тождество примет вид *а/ь" • а = -&-"7а. Пример 9. V250 = V?" 2 = 5372 . Пример 10. 5л/(-2)8 • 3 = -2 57§. 6. Внесение множителя под знак корня: 1. &• "Та = "л/&"• а при6 > 0. 2.b-nJa = -"7&"-а при Ь < 0. Пример 11. 2 V5 = Зл/23 • 5 - V40 . Пример 12. -572 = -л/5^- 2 = -Тбб. ОСНОВНЫЕ ТОЖДЕСТВА 1. ("Та)" =а. •Л"-|а|. Пример 13*. Избавиться от кррациональнос- 1 ти в знаменателе дроои Решение. V5 - V2 (V5 - V5)(VS + V2) (V5)2 - (V2)2 ^ - Я ' Умножив числитель и знаменатель дро сначала на (1/5 + 1/2), а потом на(Jb + J2) воспользовавшись формулой сокращенного у 2 2 ножения (а- Ь)'(а + Ь) - а - Ь , а также при] денными выше тождествами, получим: (Уб + 4/2)(75 4 72) = (VB + У2)(Л + Л) (Л - Л)(Л + 72) (ТЕ)2 - (72)2 _ (47Е + 472)(75 4- 72) 3 Пример 14*. Преобразовать выражение Уб72 - 7 • 7з + 272. Решение. 37б72 - 7 • 7з + 272 = = 37б72 - 7 • л/l + 272 + (72)2 = = 37б72 - 7 • 7(1 + 72)2 = = (1 + 72)37572 - 7 =37f572 - 7)(1 + 72)' = 37(572 - 7)(572 + 7) = 3л/(572)2 - 72 = = 3./Ь~0 - 49 =1. 3 2 Здесь мы использовали формулу а + За + За&2 + Ь3 - (а 4- Ь)3. Пример 15*. Доказать тождество V8 - V§7 • V8 + 737 =■• 3. Решение. Имеем: 37в"- V§7 • V8 + л/37 = = V(8 - 737)(8 4- л/37) = Уб4 - 37 = \/Z7 Степень с рациональным показате Степенью положительного числа а с р ональным показателем г = — (т — целое чи п — натуральное число) называется корень пени л из а , т. е, а = а = уа , где а > 0. 973 = \[оП2 =/3/97^2 = Q2 = « Пример 1. 21 = V27* =(ty27) =3
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 47 Пример 2. 8~3 = V8"2 = 3 Л = \к = I • /8 64 Свойства степеней с целыми показателями верны и для степеней с рациональными показателями: \.а г, + г0 Г1 Г2 Г1 ~ Г2 2. а * : а 2 = а 1 2 Г, '2 1Г2 3. (а !) = а 4. (аЬ)г = аг*Ьг. 4 3 1 5 5 5 = —— = — (свойства 5, 3, 2 и 1). до до Рациональные и иррациональные числа. Понятие действительного числа 1. Рациональные числа Рациональными числами называются числа р вида - , гдер — целое, q — натуральное. Целые и дробные числа являются рациональными. Примеры. з 1) а • а 1 i г = а (свойство 1). 2 3 1 + 1 1 + - 2) а Ъ •а/'1' = а Ь = а Ь (свойст- Пример 1.0= г -8.1—8^" -31 10 во 1). 5 1 оч 7 5 3) а : а = а 5 __ 1 7 5 18 35 = а (свойство 2). 1 1 4) а Ь (свойство 2). з 1 1 1 1-(Л) 8,з з 8 .2 i з; Л, а о = а о = а о 1 5 24 ,6 / i.\5 J..? JL 5) 15 а v ) 15 5 25 , оч = а = а (свойство 3). ( 1 6) 3 1^ а - а \ = а ^ 1 1 о 3 2 , 2 - 2а а + а ь2 = а -2а + а (свойства 3 и 1). 1 1\5 5 ,8 7) а • Ь ва 4 и 3). з I * 8) /' Ьз а v J hi A J. 15, 12 , = а Ь (своист- з i к6; з з а / ±\5 аЬ 4 3 3*5 а 3 13 5^6*5 а Ь з \_ 5,10 а 6 Сумма, разность, произведение, частное двух рациональных чисел, а также результат возведения в степень рационального числа есть число рациональное. Г IV f 5(3 1(1°V» Пример 2.(2,5-1) ■' {2 + Го ~3 ) = 2. Иррациональные числа Наряду с рациональными существуют числа, которые нельзя представить в виде дроби - . Например, число я, равное отношению длины окружности к ее диаметру, к « 3,1415... Длина диагонали квадрата со стороной, равной 1, является иррациональным числом J2 . Иррациональными являются также числа 7з , Jb , 7б и множество других. (Однако число л/i не является иррациональным, так как 7i = 2 = т — рациональное число.) 1 Сумма, разность, произведение, частное рационального и иррационального чисел есть число иррациональное.
48 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Г" г 1 V9 Например, числа 1+ J2, 2*Jb, --=; -5 иррациональные. Сумма, разность, произведение, частное двух иррациональных чисел, а также результат возведения иррационального числа в степень может быть как иррациональным, так и рациональным числом. Примеры. 1) (1 + 72) + (1 - 72) = 2; 2) (2- 73)2 = 4-473 +9 = 13-473. Решение. В периоде данного числа — два зна- 2 ка. Рассмотрим разность числа 10 г и данного: _ ЮОг = 37,373737... 2= 0,373737... 37 992 = 37,000000... = 37, откуда г = ^ . Иррациональные числа можно представить в виде бесконечных непериодических дробей: Л =1,4142135... тс = 3,1415926536... и т. д. 3. Действительные числа. Обращение рациональных чисел в бесконечные десятичные дроби Рациональные и иррациональные числа составляют множество действительных чисел. 5 Пример 1. g — рациональное число. Разделим 5 на 8 «уголком»: 5018 Итак « = 0,625. Мы получили конечную десятичную дробь. 50 48 _20 16 0,625 40 "40 0 Пример 2. Представить ту в виде десятичной дроби. Решение. Разделим 7 на 11: 70111 Мы получили бесконечную десятичную дробь. Повторяющаяся комбинация цифр называется ее периодом. Обозначение (63), т. е. ~ = 0,(63). 6610,636. _40 33 70 Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, -3 = -3,(0); g=0,(6); -fg =-1,2(7). Верно и обратное: любая бесконечная периодическая десятичная дробь является записью рационального числа. Пример 3. Представить число г = 0,(37) в виде рационального числа. РАЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Общие сведения о рациональных уравнениях 1. Равенства и уравнения. Корни уравнения Два выражения, числовые или буквенные, соединенные знаком «=», образуют числовое или буквенное равенство. Любое верное числовое равенство, а также любое буквенное равенство, справедливое при всех числовых значениях входящих в него букв, называется тождеством. Пример 1. Числовое тождество: 5-7-6= 20 + 9. Пример 2. Буквенное тождество: (а + Ъ)3 - а3 + За2Ъ + ЗаЬ2 + Ь3. Равенство, содержащее неизвестные буквенные величины и не являющееся тождеством, называется уравнением. Уравнение называется буквенным, если некоторые известные величины, входящие в него, выражены буквами, в противном случае уравнение называется числовым. Неизвестные величины принято обозначать последними буквами латинского алфавита: х, у, z, t, и, и, w. По числу неизвестных уравнения разделяются на уравнения с одним, двумя, тремя и т. д. неизвестными. Решением уравнения называется такой буквенный или числовой набор неизвестных, который обращает его в тождество (соответственно, числовое или буквенное). Часто решение уравнения называют также его корнем. Пример 3. Решением числового уравнения 3 2 Зх + 2х - 4л: - 1 = 0 является число 1.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 49 Решением буквенного уравнения х - ах + 2 Л-ах-а = 0 является выражение а. Решить уравнение — значит найти* все его решения или доказать, что их нет. Уравнение вида апхп + ап _ гхп ~ + ... + агх + + а0 = О, где ап * 0 называется целым рациональным уравнением степени п с одним неизвестным. Далее речь идет именно о таких уравнениях. Числа ал, ап_г ... а0 называются коэффициентами этого уравнения, а коэффициент а0 часто называют свободным членом уравнения. Утверждение 1. Любое уравнение степени п с одним неизвестным имеет не более п корней. Утверждение 2. Любое уравнение нечетной степени с одним неизвестным имеет по крайней мере один действительный корень. 2. Равносильные уравнения Два уравнения Рг(х) = Qi(x) и Р2(х) = Q2(x) называются равносильными, если совпадают множества их решений. Обозначение: Рг(х) = Qx(x) <=» Р2(х) = Q2(x). 2 2 Пример 1. Уравнения х +2*-3 = 0ил: + + х - 3 - х — равносильны, поскольку имеют одинаковые корни х = 1 и х = -3. 2 2 Пример 2. Уравнение х + 1 = 0 <=> х +3 = 0, так как оба они не имеют решений на множестве действительных чисел. Равносильные уравнения иногда называют эквивалентными. Если уравнения Рг(х) = Qx(x) и Р2(х) = Q2(x) имеют одинаковые решения на некотором числовом множестве X, то они называются равносильными на множестве X. 2 2 Пример 3. Уравнения х -5# + 6 = 0ил: + + 2л: —15 = 0 равносильны на числовом множестве х > 2, поскольку имеют на этом множестве один корень х = 3. На множестве всех действительных чисел эти уравнения неравносильны, так как корнями первого уравнения являются числа 2 и 3, а второго — числа 3 и -5. 1) перенос любого члена уравнения из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; 2) умножение и деление обеих частей уравнения на одно и то же, отличное от нуля, число; 3) умножение и деление уравнения на одно и то же алгебраическое выражение, определенное при любых значениях входящих в него букв, которое не обращается в нуль. Равносильных (как и неравносильных) преобразований существует великое множество. Наиболее часто встречающиеся будут рассмотрены в следующих параграфах. 2 Пример 1. Зах + Ьх = сх - d <=> <=» Зах2 + (Ъ - с)х + d = 0. Пример 2.4х2 + 2х - 2 = 0 <=» 2х2 + х - 1 = 0 <=> Пример 3. х3 + 2х - х2 - 2 = Зх2 + 6 <=> <=> х\х - 1) + 2(х - 1) - 3(х2 + 2) <=> <=» (х2 + 2)(х - 1) - 3(х2 + 2) <=> х - 1 = 3. В последнем примере обе части уравнения, разложенного на множители, разделены на вы- ражение х +2, которое определено для любого действительного числа и ни при каком значении х не обращается в нуль (более того, х + 2 > 2 для любого числового значения х). Решение линейных, квадратных и биквадратных уравнений. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на множители 1. Линейное уравнение Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ах + Ь = с, где а * 0. Это уравнение всегда имеет единственное реше- с - Ь ние х = . Пример 1. Зх + 2 = 5 <=> х = 1. 3. Равносильные преобразования К равносильным уравнениям приводят равносильные преобразования. Например, такие: Пример 2. 2Ъх +1 = 3<=>x=t;. Пример 3. Засх - а = 2с <=> х — —^ ,
50 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 2 Ь Пример 4. 5а х + 6 = 0 <=> х = ^ 5а 2. Квадратное уравнение Квадратным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида ах + Ьлг 4- с = 0, где а * 0. Дискриминантом квадратного уравнения называется число D = b2- 4ас. Справедливы следующие утверждения: 1. Если D < О, то уравнение решений не имеет. 2. Если D = 0, то уравнение имеет единствен- Ь ное решение х = -=- . 3. Если D > 0, то уравнение имеет два решения: хл = -Ъ - JD -Ъ + Jd "1 2сГ^ " ~2 2а Обе эти формулы часто записывают в виде -Ь ± л/ь - 4ас *1 «> = —on— или X* о = 4,2 2а 4,2 2а Пример 1.x - Ах + 3 = 0. Решение. Имеем а = 1, Ь = -4, с = 3. Я = Ь2 - 4ас = (-4)2 -4-1-3 = 4. *i = -(-4) - 2 = 1, Хо = _ -(-4) + 2 = 3. Пример 2. 2х + х + 3 = 0. Решение. Имеем: а = 2, Ь = 1,с = 3. D = &2 - 4ас = 1-4-2-3 = -23. Так как D = -23 < 0, то данное уравнение решений не имеет. 2 Пример 3. 4л: + 4л: + 1 = 0. Решение. Имеем а = 4, & = 4, с = 1. D = &2 - 4ас = 42 - 4 • 4 • 1 = 0, так как D = 0, то уравнение имеет единственное решение * 2а 8 2' При решении примера 3 можно не использовать формулу корней квадратного уравнения, 2 2 заметив, что 4л: + 4л: + 1= (2х + 1) , а квадрат числа (выражения) может быть равен нулю только в случае, когда само это число (выражение) равно нулю. 3. Неполное квадратное уравнение Неполным квадратным уравнением называется квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов Ъ или с равен нулю. При с = 0, уравнение принимает вид: 2 ах + Ъх = 0, или х(ах + Ь) = 0, т. е. либо х = 0, либо ал: 4- Ь = 0, откуда л: = 0 и л: = -- . a 2 При b = 0 уравнение имеет вид: ах + с = 0, то 2 с ,, с л есть л: = -- . Если выражение -- < 0, то уравнение решений не имеет, если с = 0, то решение единственное: л: = 0; если же -- > 0, то решений два: <1=Я и *2—Л 4. Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета Приведенным квадратным уравнением на- 2 зывается уравнение вида х + рл: + g = 0, т. е. квадратное уравнение, в котором первый коэффициент равен единице. Любое квадратное уравнение можно сделать приведенным. Для этого достаточно каждый коэффициент данного уравнения разделить на первый коэффициент, т. е. на а. ТЕОРЕМА ВИЕТА Если приведенное квадратное уравнение имеет действительные корни, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому со знаком минус, т. е. -р, а их произведение — свободному члену q. ТЕОРЕМА, ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМЕ ВИЕТА Если сумма двух чисел хг и х2 равна числу -р, а их произведение равно числу q, то они являются корнями приведенного квадратного уравнения х2 + рх + q = 0. * Теорема Виета в расширенном виде справедлива для уравнений более высоких степеней, чем вторая. В множестве комплексных чисел часть формулировки теоремы — «если у уравнения есть действительные корни» — является лишней.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 51 Пример 1. Определить знаки корней уравнения х - 136л: + 29 = О, не решая его. Решение. Имеем: D = (-136)2 - 4 • 1 • 29 > О, следовательно, уравнение имеет действительные корни. По теореме Виета произведение корней данного уравнения равно 29, то есть положительно. Значит, корни имеют одинаковые знаки — либо оба положительные, либо оба отрицательные. Но по этой же теореме их сумма равна -(-136) = 136, т. е. тоже положительна, а сумма отрицательных чисел не может быть положительной. Значит, оба корня положительны. Пример 2. Используя теорему, обратную теореме Виета, найти корни уравнения х2 + Зх + 2 = 0. Решение. Это уравнение имеет целые корни, причем ххх2 = 2, а хг + х2 = -3. Корни легко угадать: это хг = - 1 и х2 = -2. Действительно: (-1) • (-2) = 2 и (-1) + (-2) = -3. Значит, числа -1 и -2 являются корнями данного уравнения. Пример 3. Найти значение выражения 2 , 2 хг + х2 , где хг и х2 — корни уравнения Зх2- 39* -17 = 0. Решение. Запишем данное уравнение в приве- 2 1Q 17 п денном виде: х - 13л: - -=- = О. Имеем: D = (-13)2 - 4 • 1 • f-y] > 0, следовательно, применима теорема Виета. 2 2 Преобразуем выражение хг + х2. 2,2_20 ,2_о - Х-* т* Хп — X* i CtX-\X2 "Г Х2 &ХлХ2 — = (*i + х2)2 - 2хгх2. Это очень важное тождественное преобразование называется выделением полного квадрата (к исходному выражению добавили и вычли одну и ту же величину 2ххх2). Но по теореме Виета хх + х2 = -(-13), 2 2 следовательно, (хг + х2) = 13 = 169, 17 а 2хгх2 = -2 • -=-, т. е. окончательно получаем Пример 4*. Решить уравнение 1997х2 + 1937* - 60 = 0. Решение. Решать данное уравнение, используя общие формулы, достаточно трудно. Заметим, однако, что число -1 является корнем (1997 - 1937 - 60 = 0), следовательно, по теореме Виета, найти второй корень легко: = 60 *2 1997 (не забывайте, что уравнение должно быть приведенным, т. е. его коэффициенты нужно разделить на 1997). Замечание. Если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна нулю, то есть а + Ь + с = = 0, тр х = 1 является его корнем, а если а~-Ь + с = = 0, то этим корнем является число х = -1, в обоих случаях второй корень легко находится по теореме Виета. 4 Пример 5*. Найти значение выражения хх + + х2 , где хх и х2 — корни уравнения х -17л:- 31=0. Решение. Используя тот же прием, что и в примере 3, т. е. выделяя полный квадрат, преобразуем данное выражение (не забудьте проверить предварительно, что D > 0!). 4 4_ 492 2 *_92 2 _ Хл Т* Хп X л т CiX-t Хп ~Г Хп СкХл Хп _, 2 2\2_9 2 2_ = (х\ + 2ххх2 + х\- 2хгх2)2 - 2(хгх2)2 = = ((хг + х2)2 - 2xxx2f - 2(xlx2)2 = = (172 - 2 • (-31))2 - 2 • (-31)2 = = 3512-2-961 = 121 279. 5. Биквадратное уравнение Уравнение вида ах + Ъх + с = 0 называется биквадратным. Такое уравнение решается методом замены переменной. Обозначим х = t, тогда х = (х ) = 2 2 = t . Заметим, что / > 0, так как t = х . Исходное уравнение примет вид at2 + bt + с = 0, т. е. является обыкновенным квадратным уравнением, которсъ решается по приведенной выше схеме.
52 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пусть tx и t2 — корни полученного квадратного уравнения. Если ^ > 0 и f2 > 0 исходное биквадратное уравнение имеет четыре корня: Если одно из чисел £х или t2 отрицательно, а другое неотрицательно, то имеем два корня, либо один (х = 0). Введение нового переменного — наиболее распространенный метод решения самых разных уравнений. Пример 1. Решить уравнение х4 -13л:2 + 36 = 0. Решение. Обозначим х = t и заметим, что t > 0(*). Тогда исходное уравнение примет вид: t2 - 13* + 36 = 0. Имеем: а = 1, Ъ = -13, с = 36; D = Ъ2 - 4ас = = (-13)2 - 4 • 1 • 36 = 25. Так как D > 0, то полученное квадратное уравнение имеет два корня ^ = 9и*2 = 4. Оба эти корня удовлетворяют условию (*), следовательно, уравнение имеет четыре действительных решения. 2 2 х = 4, откуда *! = 2, л:2 = -2, и х = 9, откуда *з в 3> *4 = —3. Пример 2. (х + 7)4 - (* + 7)2 - 2 = 0. Решение. Обозначим (х + 7)2 = *, заметим, что t > 0 (**). Исходное уравнение принимает вид t - * - 2 = 0. Решая его как обычное квадратное уравнение, получим следующие корни: tx = -1, *2 = 2. Первый из корней не удовлетворяет усло- вию (**), следовательно, (х + 7) = 2, откуда # = = -7 + л/2 , либо х = -7 - */2 . 6. Разложение квадратного трехчлена на множители Из теоремы Виета следует очень важное утверждение: теорема о разложении квадратного трехчлена на множители. ТЕОРЕМА Если квадратное уравнение ах + Ьх + с = 0 имеет действительные корни xt и х2, то квадратный трехчлен ах + Ьх + с раскладывается на множители следующим образом: > 2 аре +Ъх + с = а(* - JCjHx - *2)« Пример 1. Разложить на множители квад- 2 ратный трехчлен р(х) = 2х + Ьх - 3. Решение. Вычислим дискриминант квадрат- 2 ного уравнения 2х + 5л: - 3 = 0 и решим его. Корни хг = -3 и х2 = о • Следовательно, р(х) — 2(л: + 3)( х - = )• Зя — 5л: — 2 Пример 2. Сократить дробь: —= . х + 2х - 8 Решение. Разложим на множители трехчлены, стоящие в числителе и в знаменателе: Зх2 - Ьх - 2 - в(х + g )(* ~ 2), *2 + 2л: - 8 = (х + 4) (я - 2). Следовательно, дробь примет вид з(* + 1){х"2) (х + 4)(х - 2) ' Сокращая на один и тот же сомножитель (л: - 2) в числителе и в знаменателе, окончательно получим 3(* + 1)*-2) 8* + 1 (л: + 4)(л: - 2) х + 4 " Заметим, что сокращение можно производить только в случае, когда х - 2 * 0. Если же л: - 2 = = 0, то исходная дробь не имеет смысла и сократить числитель и знаменатель на х - 2 нельзя. Специальные типы рациональных уравнений и методы их решения 1. Метод введения новой переменной Пример 1. Решить уравнение: (х2 - 7х + 13)2 - (л: - 3)(л: - 4) = 1. Решение. Перемножив две последние скобки данного уравнения, заметим, что полученный результат (л: - 7х + 12) лишь на 1 отличается от выражения в первой скобке.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 53 Введем новую переменную t = х - 7х + 12; тогда х2 - 7х + 13 = t + 1. Имеем: (t + I)2 - t = 1 <=» t2 + t = 0 <=» t(t + 1) = О, откуда f = 0 или t = -1. Приходим к совокупности двух уравнений. Напомним, что совокупность обозначается квадратными скобками: они означают, что выполняется одно из уравнений (условий), стоящих внутри этих скобок. Итак, 2 [V-7*+12 = 0, ^[^ = 3, L*2-7* + 12 = -l; L* = 4. Ответ: 3; 4. Пример 2. Решить уравнение *(х+1)(*-1)(* + 2) = 24. Решение. Рассмотрев отдельно произведения *(* + 1) и (х - 1)(х + 2), получим х(х + 1) = х2 + х, (х- 1)(х + 2) - х2 + х- 2. Заметим, что в этих выражениях есть одинаковая сумма х + х. Выбрав ее в качестве нового неизвестного, получаем достаточно простое квадратное уравнение. Еще удобнее выбрать следующее неизвест- 2 ное: t = х + х - 1, тогда х2 + х = * + 1, x2 + x-2 = f- 1. Исходное уравнение принимает вид (* + 1)(* - 1) - 24, Г = 25 откуда получаем совокупность л: +*- 1 = 5, У + х-1=-5; L* = -5, ость Г* = 2, |_* = -3. 2. Симметрическое уравнение Рассмотрим преобразование, на которое будем в дальнейшем неоднократно ссылаться. / 1\2 2 11 Пример 1. I * + ; 1 =*+2л:*-+-2 = = х2 + 2 + ^ . откуда '+?-(*+$-*■ (*) или / 1\2 2 1 Пример 2.\х — I = х — 2 Н—g , Пример 3. х + ~~i= [х + 2\ ""2 = (**Ч (***\ Симметрическим уравнением третьей степени называется уравнение вида 3 2 ах +Ъх +&х + а = 0, а*0. Заметим, что ах3 + &л: + Ъх + а = (х + \)(ах + (& - а)л: + а), следовательно, решение этого уравнения равносильно совокупности Гх + 1 = 0, L ах + (Ь - а)л: + а = 0. Пример 4. Решить уравнение х3 + 6х2 + 6* + 1 = 0. Решение. Имеем: з 2 Гл: +1 = 0, я +6x+6x+l = 0 <=> 2 <=> L* +5*+1 =0; *--1, -5 + л/21 л: = х = -5 - 721 (1) (2) Симметрическим уравнением четвертой степени называется любое из следующих двух уравнений: ах +Ьх -Ьсх + Ъх + а = 0, ах* + Ъх + сх2-Ьл: + а = 0, где а * 0. Число лг = 0 не является корнем этих уравнений. Разделим каждое из них на одну и ту же величину х . После приведения подобных членов получим: а(х>+±)+ь(х-1)+с = 0.
54 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Для решения первого их этих уравнений вве- , 1 дем новую переменную у = х + - , а для решения второго — переменную г = х 1 Воспользовавшись соотношениями (*) и (**), имеем а{у2-2) + Ъу + с = 0 и a(z2 + 2) + 6z + c = 0, т. е. получены обыкновенные квадратные уравнения. Пример 5. Решить уравнение 3x4-8x3- |х2-8л: + 3 = 0. Решение. Это симметрическое уравнение чет- 2 вертой степени. Разделив все его члены нал: и сгруппировав первый член с последним, второй с предпоследним, получим уравнение •е* ?)-(*♦ §)-!-•■ Обозначим t = х + - и воспользуемся преобразованием (*): 3(*2 - 2) - 8* - | - 0 <=> 9t2 - 24* - 20 = 0. Корни этого уравнения t = -g- и t = - = . Следовательно, имеем совокупность двух уравнений х+ - = -5-; х 3 х = 3, *-8" Первое уравнение совокупности решений не имеет. 3. Некоторые специальные типы рациональных уравнений I. Уравнения вида (х - а){х - Ь)(х - с)(х - d) = А. Если a 4- & = с + d, то это уравнение сводится к квадратному. Для этого нужно перемножить первую пару скобок, затем вторую пару и ввести 2 новую переменную t = х - (а + &)х. И. Уравнения вида (ах2 + Ьх + с)(алг2 + d.r + с) = Ах2. 2 Разделив обе части этого уравнения на х , получим (ах + Ь+ ^) [ах + d + £) = А. Вводя новую переменную £ = ах + - , сведем уравнение к квадратному. 4 4 III. Уравнения вида (х- а) + (х - Ь) = А. Эти уравнения сводятся к биквадратным заменой t = х о— . Выполнив указанную замену и раскрыв скобки, т. е. возведя каждую скобку в четвертую степень, видим, что перед членами с нечетными степенями стоят одинаковые по величине, но противоположные по знаку коэффициенты. Последний пример есть элемент более общего метода решений уравнений — метода симметризации. ФУНКЦИИ Определение функции 1. Постоянные и переменные величины Примеры постоянных величин. 1. Количество граммов в килограмме есть величина постоянная, равная 1000. 2. Количество миллиметров в сантиметре есть величина постоянная, равная 10. 3. Сумма внутренних углов треугольника есть величина постоянная, равная 180°, для любого треугольника. 4. Отношение длины окружности к ее диаметру есть величина постоянная для любой окружности, равная -3,14. (Гипотезу о постоянстве этого отношения высказал Пифагор, в его честь это число обозначают греческой буквой я.) 5. Количество молекул в 1 моле вещества есть 23 число постоянное, равное 6,02 • 10 . Оно называется число Авогадро и обозначается NA. Примеры переменных величин. 1. Сила, действующая на пружину, изменяется прямо пропорционально растяжению пружины. 2. Время, затраченное на прохождение данного расстояния, обратно пропорционально скорости движения. 3. При постоянной температуре давление газа на стенки сосуда обратно пропорционально занимаемому газом объему. 2. Определение функции Две переменные величины х и у связаны функциональной зависимостью, если каждому
Краткое значению, которое может принимать переменная *, соответствует одно и только одно значение переменной у. Переменная х называется независимой переменной или аргументом функции, а переменная у — зависимой переменной или функцией. Пример 1. г = 5, где а — сторона квадрата (независимая переменная), г — радиус вписанной в квадрат окружности (зависимая переменная). 2 Пример 2. s = gt /2, где t — время свободного падения тела, имеющего начальную нулевую скорость (независимая переменная), s — путь, пройденный свободно падающим телом (зависимая переменная), g — постоянная величина — ускорение свободного падения. Пример 3. v = s/t, где t — время движения (независимая переменная), v — скорость движения (зависимая переменная). Наиболее распространенные обозначения функциональной зависимости переменной у от переменной х таковы: у = f(x) или у = и(х). Если задано конкретное значение независимой переменной х = х0, то у0 = f(x0) называют значением функции / в точке х0. х Пример 4. у = f(x) = г . *ов1»0овЛ*о)в 5 =0,2, 2 Пример 5. 2 = z(t) = -т ; t0 = 2; z0 = z(*0) = -1. 3. Область определения и область значений функции Областью определения функции f(x) называется множество всех действительных значений независимой переменной х, при которых функция определена (имеет смысл). Обозначение: D(f) (англ. define — определять). Пример 1. Функция f(x) = ——г определена для всех действительных значений х9 удовлетворяющих условию л:+1*0,т.е.л:*-1. Поэтому W)-(-°o;-l)U(-l;oo). школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 2 Пример 2. Функция s(t) = gt /2 определена для всех действительных значений. Однако если рассматривать ее как физическую зависимость пути (s) от времени (t) свободного падения тела, то, учитывая физический смысл, функция s будет определена только для t > 0, т. е. D(s) = = [0; оо). Пример 3. Функция f(x) = Jx - 2,5 определена для всех действительных значений х> удовлетворяющих условию х - 2,5 > 0, так как арифметический квадратный корень определен лишь для неотрицательных чисел, поэтому D(f) = = [2,5;оо). Областью значений функции у = f(x) называется множество всех действительных значений, которые принимает зависимая переменная у. Обозначение: E(f) (англ. exist — существовать). 2 2 Пример 4. у = х — 2jc •+- 10; так как х - 2х 4- 2 2 4-10 = х - 2х 4- 1 4- 9 = (х - 1) 4- 9, то наименьшее значение переменной у = 9 при х = 1, поэтому Е(у) = [9; оо). Пример 5. у = ^2,5 - л: ; так как 2,5 - л: > 0, то наименьшее значение функции i/ = 0 при лг = = 2,5. Тогда Е(у) = [0;оо). 2 Пример 6. у = -х 4-11. Поскольку при лю- 2 2 бом действительном значении х > 0, то -х 4- 4-11 < 11, откуда наибольшее значение переменной у = 11, поэтому £(i/) = (-°°; 11]. Способы задания функции Функциональная зависимость задана, если заданы область определения и правило, устанавливающее, какое число у ставится в соответствие числу х, принадлежащему области определения функции. 1. Аналитический способ задания функции Функция задается формулой, позволяющей получить значение зависимой переменной (z/), подставив конкретное числовое значение аргумента (х). Пример 1. Зависимость площади круга от длины его радиуса выражается формулой: S = = пг . Согласно геометрическому смыслу задачи
56 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы D(S) = [0; оо). Переменная S может принимать любые неотрицательные значения, значит, Я(5) = [0;оо). Пример 2. у = х - Ьх + 6; D(y) = (-оо; оо), Е(у) - [-0,25; оо), так как х - Ьх + 6 = (х - 2,5)2 - - 0,25 > -0,25 при любом х € D(y). Пример З.у = -Зх2 + 17* - 10; D(i/) - (-оо; оо), Е(у) = (-со; 14-^1, так как -Зх2 + 17* - 10 = / 17Л2 1 1 = -3( дг- -g-J +14j2 < 14^2 при любом л: еДу). Пример 4.у= 4х - 3 ; D(i/) = [3; оо), так как л/jc - 3 имеет смысл при jc - 3 > 0, т. е. л: > 3, £(у) = [0; оо) при любом значении jc е D(i/). 2 Пример 5. у= х + 5 U (-5; оо), так как дробь ли х + 5 Ф 0, т. е. х * -5 при любом х е D(y). Так 2 ; DO/) = (-<*>;-5) и 2 имеет смысл, ес- как дробь может принимать любые значе- f х, пр I -л: ,: л: + 5 ния, кроме 0, то Е(у) = (-оо; 0) U (0; оо). Пример 6. при х>0, при х < 0. ЭД - (-°°; °°). ВД - (-°°; °°). Пример 7. {х2, если л: € (-оо; 3], 12 - х, если х € (3; 6], -х2 + 12* - 30, если х € (6; оо). D(y) = (-со; оо); Е(у) - (-оо; оо) (См. рис. 5 на с. 57). Пример 8*. у = J2x - 1 + Vl - 2л:. Поскольку квадратный корень имеет смысл только для неотрицательных чисел, то область определения данной функции D(y) является решением системы неравенств: 1 2х - 1 > 0, 1 - 2х > 0; Д(У) -ш- <=> х = 2' значит, Область значений Е(у) - {0}, так как у Г^1 = 0. гт лФ (** - 5х + 6)(х + 2) Q Пример 9*. у = 5 " " • Задан- (х2 - 4)(х - 3) ная функция определена при любых значениях переменной х, кроме обращающих знаменатель в нуль, т. е. х2-4*0их-3*0. Таким образом D(y) - (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; 3) U (3; оо). Преобразуем выражение, задающее функцию: (х2 - Ьх + 6)(* + 2) = (х - 2)(х - 3)(дс 4- 2) = j (х2 - 4)(х - 3) (* " 2)(* + 2){х - 3) при любом х е D(y)9 т. е. Е(у) = {1} при любом х € D(y). (График этой функции изображен на рис. 6.) 2. Табличный способ задания функции При этом способе задания функции заполняется таблица, в верхней строке которой указываются значения независимой переменной (х), в нижней — соответствующие значения зависимой переменной (у). Этот способ задания функциональной зависимости удобен для записи результатов наблюдений и измерений в процессе опытов. Пример 1. Измерение температуры (Т) тела больного в зависимости от времени: Т = f(t). Время суток *,ч Температура тела Т9 °С 8 39,3 12 38,3 14 37,8 16 37,8 20 38,6 24 37,0 Пример 2. Зависимость скорости распространения сейсмических волн в толще земной коры от глубины: v = /(А). Глубина Л, км Скорость волн v9 км/с 20 3,2 45 3,5 1300 6,9 2400 7,5 Таблицы значений чаще составляют для построения графиков функций, заданных формулами. При этом для нескольких, произвольно выбранных, значений независимой переменной вычисляют соответствующие значения зависимой переменной.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 57 Например, график функции из примера 1 состоит из шести точек (рис. 1). Пример 3. у = X 2 У = х -2 4 = х . -1 1 0 0 1 1 2 4 На основании данных таблицы строится график функции ( рис. 2). Пример 4.у= л/2 ~ х. X у- J2 - х 2 0 1 1 0 Л -1 7з -2 2 -7 3 -9 Л! График функции на рисунке 3. 3. Графический способ задания функции Пример 1. График изменения напряжения аккумулятора при заряде и при разряде (рис. 4). Пример 2. График функциональной зависимости, заданной формулой У = \ х , если хе (-оо; 3]; 12 - х9 еслихе (3; 6]; 2 [ -х + 12* - 30, если х € (6; оо) (рис. 5). Пример 3. График функциональной зависимости, заданной формулой _,_(*2 - 5х + 6)(* + 2) У о » (хл - 4)(ж - 3) ЩУ) = (-оо; -2) U (-2; 2) U (2; 3) U (3; оо), Е(у) — Ш при любом х е D{y) (рис. 6). 7\°С| 39- 38- 37- i г -t I 1 1 : ,_ _^ ^ ., - 1 1 1 1 1 III 1 1 1 1 1 1 1 1 1 т 1 1 1 1—1— 1 1—ь- —^- 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 t, ч Рис. 1 У=12-* 3<*<6 у, 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 !_ ■ 1 ^ X Рис.3 *>6 Рис. 2 1 1,8 1,6 1,4 1,2 1 0,8 0,6 i —i—i—i—i—i—i—i—i—»- 0,51 1,5 22,5 3 3,5 4 *, ч Рис.4 yi 1 ? 1 1 Д 1 -2 -1 0 i i 1 9 1 i 6 2 ? 1 i 5 3 X Рис. 5 Рис. 6
58 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Отметим, что графический способ задания функции отличается наглядностью, он удобен при изучении свойств функции. Свойства функций 1. Промежутки знакопостоянства Если функция f(x) > 0 или f(x) < 0 при любом значении аргумента х е (а; Ь), то говорят, что функция у = f(x) на числовом интервале (а; Ь) не меняет знак. Интервал (а; Ь) С D(f) называют интервалом знакопостоянства функции f(x). Пример 1, f(x) = х , f(x) > 0, если х > 0; fix) < 0, если х < 0 (рис. 7). Точка х = 0 является точкой изменения знака функции, т. е. при переходе графика функции через эту точку значения функции меняют знак на противоположный. Пример 2. Значения функции у = х + 2 положительны при любом х (рис. 8), т. е. интервал знакопостоянства функции: (-°о; оо). 2. Монотонная функция Функция у = f(x) называется возрастающей на числовом интервале (а; Ь) С D(f), если для любых хг и х2 таких, что а < хх < х2 < Ь, выполняется неравенство /(jcx) < f(x2), т. е. большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция у = f(x) называется убывающей на числовом интервале (а; Ь) С D(f), если для любых хг и х2 таких, что а < хг < х2 < Ь9 выполняется неравенство f(xx) > f(x2), т. е. меньшему значению аргумента соответствует большее значение функции. Если значения функции связаны нестрогим неравенством, то говорят, что функция нестрого возрастает, или, соответственно, нестрого убывает. Возрастающая (убывающая) на интервале (а; Ь) функция f(x) называется монотонной на интервале (а; Ь) С D(f). Функция, график которой изображен на рисунке 9, убывает на [-4; 2], постоянна на [2; 4] и возрастает на [4; 9]. 3. Четная и нечетная функции Функция у = f(x) называется четной, если для любого х е D(y) выполняется равенство f(-x) = f(x), при этом -х € D(y). Ось ординат является осью симметрии графика четной функции (рис. 10). Функция у = f(x) называется нечетной, если для любого х е D(y) выполняется равенство f(-x) = ~f(x), при этом -х е D(y). Начало координат является центром симметрии графика нечетной функции (рис. 11). у< 1 , , .о Г 1 :) / 1 \" 3 = х х Ук 1/'"'' 1L ——' ■■ 0 1 х Рис. 7 Рис.8 », Г' ' Л-*)- J -/(*) X Рис. 11
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 59 4*. Точки минимума и максимума функции Пусть функция у = f(x) определена во всех точках интервала (а; Ь) и х0 е (а; Ь). Если для всех точек х е (а; 6), таких что х * х09 выполняется неравенство f(x) < f(x0)9 то х0 называется точкой максимума функции у = f(x)9 значение у0 = f(x0) называется максимумом функции у = f(x). Обозначение: i/max. Если же выполняется неравенство f(x) > f(x0)9 то х0 называется точкой минимума функции у — f{x)9 значение yQ = f(x0) называется минимумом функции у = f(x). Обозначение: ymin. Пример. Точки х09 х2, хъ являются точками максимума функции, график которой изображен на рисунке 12; точки xv лгб — точками минимума. Любая точка отрезка [х3\ х4], согласно определению, является точкой нестрогого минимума, так как заданная функция постоянна при любом х е [х3; *4]. Простейшие преобразования графиков Пусть задан график функции у = f(x). Покажем, как с помощью графических преобразований можно с его помощью получить график функции у = а • f(kx + I) + Ь, где а, k9l9b — постоянные числа. 1. График функции у = f(kx) График функции у = f(kx)9 где k > О, получается из графика функции у = f(x) сжатием к оси Оу в k раз при k > 1 или растяжением от оси Оувт раз при 0 < k < 1 (рис. 13). График функции у = f(-kx)9 где k > О, получается из графика функции у = f(kx) при помощи осевой симметрии относительно оси Оу (рис. 14). 2. График функции у = f(x + I) График функции у = f(x + Z) получается из графика у = f(x) параллельным переносом вдоль оси Ох. Если I > О, то график у = /(я) переносится влево параллельно оси Ох на расстояние 19 если Z < 0, то вправо на расстояние -I (рис. 15). 3. График функции у = а • /(*) График функции у = a* f(x)9 где а > 0, получается из графика функции i/ = f(x) растяжени- Рис. 12 У y = f(-kx) *k y = f(kx) yi 0 ~ / Л /л, Л^^чА уЧ Л л Рис. 13 У-Л*" 4) Рис. 14 Рис. 15
60 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы ем от оси Ох в а раз при а > 1 (рис. 16) и сжатием к оси Ох в - раз при 0 < а < 1 (рис. 17). График функции у = ~-а* f(x), а > О, получается из графика функции у = а • f(x) осевой симметрией относительно оси Ох (рис. 17). 4. График функции у = f(x) + Ь График функции у = f(x) + Ь получается из графика функции у = /(я) параллельным переносом вдоль оси Оу. Если Ь > О, то график i/ = Длг) переносится вверх вдоль оси Оу на расстояние Ь, если & < О, то вниз на расстояние -Ь (рис. 18). 5. График функции у = a/(fc* + I) + Ь Итак, график функции у = а* f(kx + l) + b9 где a, ft > 0, получается из графика у = /(*) с помощью следующих преобразований: — сжатием к оси Оу в ft раз (ft > 1) или растяжением от оси Оувт раз (0 < ft < 1), — параллельным переносом вдоль оси Ох на I единиц, — растяжением от оси Ох в а раз (а > 1) или сжатием к оси Ох в - раз (0 < а < 1), — Параллельным переносом вдоль оси Оу на Ьединиц. Элементарные функции школьного курса 1. Прямая пропорциональность (у = kx) Функция, задаваемая формулой у = kxf где х — переменная, ft — число, называется прямой пропорциональностью. Число ft называется коэффициентом пропорциональности. График прямой пропорциональности — прямая, проходящая через начало координат под углом а к оси абсцисс (в курсе тригонометрии X класса доказывают, что tg a — ft). Коэффициент ft называют также угловым коэффициентом прямой. D(y) = (~°°; °°); если ft * 0, то Е(у) = (-оо; оо). Пример 1. у = 2х (рис. 19). X У 0 0 1 2 Для построения прямой линии достаточно знать координаты двух любых ее точек. Так как график прямой пропорциональности проходит через начало координат, значит, нужна еще одна точка. При ft > 0 функция у — kx возрастает на всей области определения, при ft < 0 — убывает. Интервалы знакопостоянства: если х е (-°°; 0), то у < О, если х е (0; оо), то у > 0. Поскольку у(-х) = ft • (~jc) = -kx = -у(х), то у = kx — функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. Пример 2.y = --zx (рис. 20). х ° у1 0 у /I ' V = 2f(x) А . \ * \у = /(*) У = fix) + 5 Рис. 16 Рис. 17 У = fix) y = fix)-3 Рис. 18 У| 2 1 /1 / i Г 1 01 'у- 2* л Рис. 19
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 6i 2. Линейная функция (у = kx + I) Функция, заданная формулой у = kx + I, где ft, I — числа, х и у — переменные, называется линейной. График линейной функции — прямая линия, D(y) = (-оо; со), Е(у) = (-со; оо). Прямая у = kx + I пересекает ось ординат в точке (0; I) и ось абсцисс в точке (-г ; 0). Число k — угловой коэффициент прямой. Пример 1. Дано уравнение -2л: + Зу = 6. Выразим переменную у через х. Имеем линейную 2 2 функцию: у = 5 х + 2 (ft = о »* = 2). X У 0 2 -3 0 Интервалы знакопостоянства: если х е (-оо; -3), то у < О, если л: е (-3; со), то у > 0. 2 2 Так как k = 5 > 0, то функция i/ = 5 * + 2 возрастает на всей области определения (рис. 21). 2 11 Пример 2. ^х + 4у=1; У = "хОл:"Н4 (»~и"-П лс У 0 1 4 41 0 Интервалы знакопостоянства: если х е [ -оо; 2 ^ L то у > О, если х е (2 ^ ; °°), то у < 0. Так как k = -т^ < 0, то функция у = —tq х + I убывает на всей области определения (рис. 22). Замечание 1. Функция прямая пропорциональность у = kx является частным случаем функции y = kx + l (при I = 0). Замечание 2. Графиком линейной функции у = J (ft = 0, х е (-со; оо)) является прямая, параллельная оси абсцисс, пересекающая ось ординат в точке (0; I). Пример 3.у = -2 (рис. 23). Замечание 3. Графиком уравнения х — а является прямая, параллельная оси Оу, пересекающая ось абсцисс в точке (а; 0). Подчеркнем, что уравнение х = а не является функцией, поскольку нарушается условие однозначности при определении функции — каждому значению х должно соответствовать единственное значение у. Пример 4. х = 5 (рис. 24). У[ v. 1 0 i 1 i у - 1 "2Х X Рис. 20 У\ 0 -1 -2 1 i 1 X у = -2 * е Л Рис. 21 »* *1 1 _,_ 1 У - "ТО* + 4 0 1 -1 12 3 х * = 5 1/6 Д Рис. 22 Рис. 23 Рис. 24
62 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 3. Обратная пропорциональность (у = - J k Функция, заданная формулой у = - , где k — некоторое постоянное число (k Ф 0), называется обратной пропорциональностью, Щу) = (-°°; 0) и (0; °°)> так как х Ф 0. Е(У) = (-°°; 0) U (0; °°), так как у Ф 0 (уравнение 0 = - не имеет решения). График функции у = - не пересекает осей координат. Этот график называется гиперболой; части графика — ветвями гиперболы. k Функция у = - при k > 0 убывает при х е (-оо; 0) и при х е (0; оо), Интервалы знакопостоянстга: если х е к1); *">), то у > 0, если х е (-оо; 0), то у < 0. Так как у(-х) = — = -- = -у(*), то функция у = нечетная. График симметричен относительно начала координат и расположен в I и III координатных четвертях. Пример 1.у = - (рис. 25). fe<0 ft При k < 0 функция I/ = - возрастает при х е (-оо; 0) и при X g (0; оо). Интервалы знакопостоянства: если х е (-°°; 0), то у > 0; если х е (0; оо), То у < 0. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат и расположен во II и IV координатных четвертях. Пример 2. у = -- (рис. 26). X У -6 1 2 -3 1 -1 3 1 2 6 1 2 -6 1 -3 3 -1 6 1 2 X У -5 -1 -2,5 -2 -2 -2,5 -1 -5 1 5 2 2,5 2,5 2 5 1 Замечание. Отметим, что грубой ошибкой является утверждение, что функция у = -- является возрастающей на всей области определения, т. е. у возрастает при х е (-°°; 0) и (0; оо), например, при хг = - 3 и при х2 = 3 х2 > xv однако, у(х2) < у(хх)> так как у(хг) = 1, а у(х2) = -1. 4. Квадратичная функция (у = ах + Ьх + с) 2 Функция, заданная формулой у = ах + Ьл: + + с, где а, 6, с — числа и а * 0, называется квадратичной функцией. График квадратичной функции называется параболой. D(y) = (-о°; °о). _j i i i 1_ Рис. 25 Рис. 26
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 63 Функция у = х (а = 1, Ь = с = 0) Составим таблицу значений и построим график функции (рис. 27). X 2 у = х -3 9 -2 4 -1 1 0 0 1 1 2 4 3 9 Ду) = (-°°;00); 2 Е(у) = [0; оо), так как х > 0 при любом действительном значении лг; функция I/ = # убывает при х е (-°о; 0] и возрастает при х е [0; °°); 2 график функции у = х симметричен относительно оси ординат, так как у(-х) = (-х) = х = 2 = у(х), т. е. у = х — четная функция; наименьшее значение функции у = х равно нулю при х = 0. Точка пересечения параболы с ее осью симметрии называется вершиной параболы. Функция у = ах (Ь = с = 0) D(y) = (-оо; оо). 1)а>0 Е(У) = [0; °°)t так как * ^ 0 ПРИ любом х € D(i/); 2 график функции у = ах получается из графика функции у = х сжатием к оси Ох> если О < а < 1, или растяжением от оси Ох9 если а > 1; 2 функция у = ах убывает при х е (-оо; 0] и возрастает при л: е [0; оо); наименьшее значение у(0) = 0 достигается в вершине параболы — точке (0; 0); при а > 0 ветви параболы направлены вверх, ось Оу является осью симметрии параболы (рис. 28). 2)а<0 ВД = (-°°;0]; 2 график функции у = ах , где а < 0, получается из графика функции у = |а|х осевой симметрией относительно оси Ох (рис. 28); ветви параболы при а < 0 направлены вниз; функция возрастает при х е (-оо; 0], функция убывает при х е [0; оо). 2 График функции у - ах + Ьх + с Графиком любой квадратичной функции у = 2 = ах + foe 4- с, а * 0, является парабола с вершиной в некоторой точке (х0; у0) и осью симметрии, проходящей через точку х0 параллельно оси Оу (рис. 29). Вычислим координаты вершины параболы. Для этого преобразуем многочлен ах + Ьх + с, выделив полный квадрат: L2 Л t2 /2,ЬЧ1 f 2 ^ п Ь , & 1 Ь а(х +-х) + с-а\х + 2н~лН о "" т~ v а I 2а 4fl2j 4а = a(*+-^J +—la" =a(*+2^J + 4а"> где D = & - 4ас. (Число D называют дискрими- 2 нантом квадратного трехчлена ах + &;е + с.) 2 Тогда график функции у = ах +Ъх + с получается из графика у = ах параллельным пере- у-2*1 -3-2-10 12 3* Рис. 27 Рис. 28 Рис. 29
64 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы носом вдоль оси Ох на -«- единиц, вдоль оси Оу D на-т- единиц. 2 Следовательно, вершина параболы у = ах + + Ьх + с задается координатами х0 = -5-»#о = = - j- . Осью симметрии параболы является пря- мая х = х0, т. е. х = -х- » параллельная оси Оу. При а < 0 ветви параболы направлены вниз и значение у = у0 является наибольшим значением функции, т. е. Е(у) = (-оо; у0]; при а > 0 ветви параболы направлены вверх и значение у = у0 является наименьшим значением функции, т. е. Е(у) = [у0; со). 2 Если D — b - 4ас < 0, то парабола не пересекает ось абсцисс, если D = 0, то парабола касается оси Ох в вершине (л:0; 0), если D > 0, то парабола пересекает ось Ох в точках (хх; 0) и (х2; 0)» -Ь - л/D -Ь + л/D где*!- 2fl их2= 2g . Парабола пересекает ось Оу в точке с координатами (0; с). Пример 1. Построить график функции • у = 8х2-2х-1. Решение, а = 8 > 0 (ветви параболы направлены вверх), Ъ = -2, с = -1; D = Ь2 - 4ас = (-2)2 - 4 • 8 • (-1) - 36 > 0 (парабола пересекает ось Ох в двух точках); Ь 1 D вершина параболы х0 = -х- = r ♦ ^о = ""Т~ = = -1 £; ось симметрии параболы — прямая 1 3) у = 0 при хх = - j или х2 = g ; 4) у > 0, если я е (-со; - j ) U (g ; оо); i/<0, если л: е (-^ ; g); 5) функция убывает при л: е (-со; -19 возрастает при лее Г о; °° )• Пример 2. Построить график функции у = -2х2 + Зх - 5. Решение, а = -2 < 0 (ветви параболы направлены вниз), Ь = 3, с = -5; D = Ь2 - 4ас - З2 - 4-(-2)-(-5) - -31 < 0, значит, парабола не пересекает оси Ох; * Ь 3 D вершина параболы: *о = ~~<Г* = 4 • ^° = ~~4~ = 7 3 = -3 g ; ось симметрии параболы — прямая х = т ; точка пересечения параболы с осью Oi/ — (0; -5). Строим график (рис. 31). 2 Исследование функции у = -2х + Зл: - 5 по графику: l)D(l/) = (-00;00); / 7т 7 2) #(i/) = [-со; -3g|, так как у0 = -3g ; 3) интервалы знакопостоянства: если х е (-°°; °°), то у < 0; 4) функция возрастает при х е (-оо; -1, убывает при jc е Г т ; со J. X = 8' точки пересечения с осью Ох (хг; 0) и (лг2; 0), поскольку D > 0, xlf 2 = 1 -b±jD = 2_±6 2а 16 ; *i - 4; *2 * 2 • точка пересечения с осью Оу (0; -1). Учитывая все вышесказанное, строим график (рис. 30). Исследование функции по графику: l)D(l/) = (-00;00); 2) Е(у) = Г-lg ; со^ так как у0 = -lg ; у - -2* + 3* - 5 Рис. 30 Рис. 31
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 65 Замечание. По графику квадратичной функции можно решать заданное квадратичное неравенство, определяя интервалы знакопостоянства. Например, неравенство ~-2х + Зл: - 5 > О не имеет решения, т. к. при любом х е D(y) у < 0. 2 Неравенство 8* - 2х - 1 < 0 имеет решение — отрезок Г-j ; ~ 1 (рис. 30). 5. Степенная функция (у = хр) Функция, заданная формулой у = х* называется степенной функцией. 1) р = 1 (рис. 32). 2) р — натуральное, четное, р = 2д (п е N) D(y) = (-ОО; ОО); Е(у) = [0; ОО); если х е D(y), тоу>0; функция убывает при х е (-°°; 0] и возрастает при х е [0; оо); функция четная, так как у(-х) = (-х) п = х п = график симметричен относительно оси Оу (рис. 33). 2 Частный случай: у = х. 3) р — натуральное, нечетное, р = 2п + 1 (л € ЛГ) D(y) = (-ОО; ОО); Е(у) = (-ОО; ОО); если х е (-°°; 0), то у < 0; если jc е (0; оо), то У > 0; функция возрастает на всей области определения; функция нечетная, так как у(-х) = = ~У(х)\ график симметричен относительно начала координат (рис. 34). Частный случай: у = х. 4) р — целое, отрицательное, нечетное Пусть р = -п (п е N). Тогда по определению степени с отрицательным показателем имеем: -п 1 У -* --. D(y) = (-оо; 0) U (0; оо); Е(у) = (-оо; 0) U (0; оо); при х е (-оо; 0) у < 0; при х <= (0; оо) у > 0; функция убывает при х е (-оо; 0) и при х е е (0; оо); функция нечетная. График — гипербола, симметричная относительно начала координат, расположенная в I и III координатных четвертях (рис. 35). 5) р — целое, отрицательное, четное Пустьр = -п(пе N)y = х~п = — , D(y) = (-°o;0)U(0;oo); Е(у) = (0; оо); у > 0 при любом х е D(y), функция возрастает при х е (-оо; 0), убывает при х е (0; оо); функция четная; график — гипербола, симметричная относительно оси Оу (рис. 36). 6) р — дробное, положительное Из определения степени с дробным показателем следует, что степенная функция определена при х > 0, еслир > 0 и при х > 0 еслир < 0. Рис. 32 -и 1 у = Х = - X (Р - 2д) Рис. 33 и = х = — 9 п Рис. 34 I, п — четно Рис. 35 Ы019
66 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 1.р= § » У = х = Jx . Щу) = [0; оо); Я(У) = [0; оо); У(0) = 0; у > 0 при л: € (0; оо); функция возрастает при х е [0; оо); график — ветвь параболы (рис. 37). 1 Пример 2.р= о » У = х = 3Jx. Z)(i/) = [0; оо), Я(у) = [0; оо); У(О) = 0; у > 0 при л: е (0; оо), функция возрастает при х е [0; оо); график — ветвь параболы (рис. 38). 7)р = 0 о - у — х = 1 определена для всех значении х, кроме х = 0 (выражение 0 — не имеет смысла). D(y) = (-оо; 0) U (0; оо); Е(у) = {1} (рис. 39). 6*. Дробно-линейная функция (у = ——-1 Функция, заданная формулой у = — , где сх + а a, b9c9d — некоторые числа, причем с * 0, называется дробно-линейной функцией. Дробно-линейная функция определена для d всех действительных значении лг, кроме х = -- . Преобразуем выражение, задающее функцию: ( ^d\ ^ и ad а\х + -\ + Ъ + Ь \ с) с Рассмотрим случай, когда be - ad = 0, тогда получим функцию у = - , определенную для любого х9 кроме х = -- . Если be - ad * 0, график дробно-линейной функции можно получить из графика функции k , be - ad у = - , где k = 5— параллельным переносом * с вдоль оси Ох на — единиц, вдоль оси Оу на - единиц, т. е. графиком дробно-рациональной функции является гипербола. Пример 1. Построить график функции х - 1 У = (a-c-l,6--l,d-8). х + 3 Решение. Преобразуем дробь х - 1 = (х + 3) - 4 = « л: + 3 х + 3 л + 3 Построим гиперболу у = --, затем параллельным переносом вдоль Ох на -3 единицы и вдоль Оу на 1 получим график заданной функции (рис. 40). D(y) = (-оо; -3) U (-3; оо), так как дробь х - 1 х + 3 имеет смысл при х * -3. Е(У) = ("°°; 1) и (1; °°)t так как —— * 0 при X "г о любом X € D(i/), i/ = 0, если 1 - ; = 0; отсюда х + 3 = 4; х = 1, */ = с* + d Ьс - ad {- ♦ S) = ?+^ л: + л + 3 т. е. гипербола пересекает ось Ох в точке (1; 0); интервалы знакопостоянства: если х е (-оо; -3) U (1; оо), то у > 0, если х е (-3; 1), то у < 0; функция возрастает, если jc е (-°°; -3) и если х е (-3; оо); 2 1 0 1 1 у - * - V* ' i i 1 4 л 2 i 0 1 1 1 i 8 лс у, 1 < 0 1 У-1 i 1 л: Рис. 37 Рис. 38 Рис. 39
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 67 гипербола пересекает ось Оу в точке [ 0; -= 1. 1остроить график функции (а = 3,6 = l,c = 2,d = -5). 3)у = Пример 2. Построить график функции 3* + 1 У = 2х - 5 х + Jx + 3 Решение. у(1) = 1 при л: = 1. 1 1 3* Решение. Преобразуем дробь Зх + 1 2* - 5 2* + 2 2 \( Ъ\ 17 >1* " 2) + Т л - 2+ .1- * - 2н Построим гиперболу у = —, затем параллельным переносом вдоль оси Ох на 2 « единиц и вдоль оси Оу на 15 » получим график (рис. 41) заданной функции. Задачи, связанные с понятием функции Пример 1. Найти значение функции в заданной точке. 2 1) У(х) = Зх - х при х = 1. Решение. у(\) = 3 • 1 - I2 = 2. Ответ: у{\) = 2. 2) I/ = *]х -5 при л: = 3. Решение. у(3) = л/32 - 5 = Vi = 2. Ответ: № = 2. 1 + JTT~3 1 + 2 Ответ: i/(l)= g. Пример 2. При каких значениях независимой переменной х данная функция принимает данное значение? 1)р- -2* + 5; у = -3. Решение. -3 = -2л: + 5 <=> -2х = -3 - 5 <=> х = 4. 2) I/ = я2 - Зх; i/ = -2. Решение. -2 = х2 - Зх <=> х2 - Зх + 2 = 0 <=> |_х = 2. Данная функция принимает значение -2 при двух значениях: х = 1 и х = 2. 3)i/= Vl7 + х; i/ = 5. Решение. 5 = л/17 + х =>52 = 17 + х=>х = = 52 -17 = 8. 32 4)i/ = х + 1 , i/ = 4. 32 28 Решение.4 = <=>4х + 4 = 32<=»х=-г-=7. х + 1 4 Заметим, что ответ на последние вопросы сводится к решению соответствующих уравнений. Пример 3. Принадлежит ли графику данной функции точка с указанными координатами? !)?-*+л/5; М(4;6). 2х - 5 Рис. 40 Рис. 41
68 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Решение. Найдем у(4) = 4 + Vi = 6 «=> М(4; 6) принадлежит графику данной функции. 1) t(x) = х + 2)»-пгЦ:5 Mf1;i)' л: + Jx v *у Решение. Найдем у(1) = 1 1 4* + 13 Решение. Нули функции определяются равенством £(л:) = 0, т. е. _,_ 3 Л 4*2 + 13* + 3 Л л: + —■—— =0 <=> — =0 <=> 12 + Л 1 + 1 2' Так как g * j, то точка М не принадлежит графику данной функции. о Пример 4. Дана функция /(х) = 2х - 8. Найти /(1 + Л) + /а - Л). Решение. Имеем: /(1 + Л) = 2 • (1 + Л )2 - 8 = 2(1 + 2 Л + 5) - 8 = = 4 + 475. /(1 - Л ) = 2 • (1 - Л )2 - 8 = 2(1 - 2 75 + 5) - 8 = = 4-475. /(1 + 75) +/(1 - 75) = 4 + 475 + 4 - 475 = 8. Зг — 1 Пример 5. Дана функция t(z) = — 2-2. Доказать, что *(0,8) - t(l,25) = 0. Q Л Q _ < Решение. Найдем *(0,8) = g-g 2 - 0,8 = 4л: + 13 <=» J 4х2 + 13л: + 3 = 0, ^ I 4л:+ 13*0; 4л: + 13 * = ~4' х = -3. 2,4 - 1 0,8 2,8 = -1,05. *(1,25) = [1ъ - 2 - 1,25 = 2,2 - 3,25 = = -1,05. *(0,8) - *(1,25) = - 1,05 - (-1,05) = 0. Пример 6. Дана функция л:(*) = Ы - - . Найти все такие числа р, что х{р) = х( - J. Решение. Имеем: х{р) = 5р - - ; л:(-J = 5• - - -?-5-8р. 1 Р Р с 3 5 0 0 8 2 - 5р — = Зр <=> 8р = - <=» р = 1 <=» Р Р. Р **Ь—1. Ответ: исходное равенство верно при р = 1 илир = -1. Пример 7. Найти нули функции, т. е. такие значения независимой переменной, при которых значение функции равно 0. . Ответ: нули функции в точках л: = -3ил: = -т. 2)р(2) = (22-25)(г-Г5+Н Решение. Нули функции определяются уравнением р(з) = 0. Данная функция является произведением двух алгебраических выражений. Справедливо утверждение: произведение двух выражений равно нулю, когда хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла. Первая скобка имеет смысл (определена) при любом значении z, вторая — при любом z, кроме г = -5 и г = 0. Таким образом, либо г - 25 = 0, 2 1 либо + - = 0, при условии, ЧТО 2 * -5 и г *0 (*). Решая полученные два уравнения, с учетом 5 условия (*), получим 2 = 5 либо 2 = -= . Ответ: 5; -=. Пример 8. Найти область определения функции. 1)У = (3 - x)j7x - 3 х + 1 Решение. Область определения данной функции задается системой неравенств: 7х - 3 > 0, л:+1*0; 3 <=> S ^ 3 л:*-1; <=> х -. Ответ: Г= ; °о ). (t2 - 9)j2t + 3 t - 3 2)2(0 = Решение. [2\^\l^ Ответ: Г-|; з! и (3; оо). t *3. 2'
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 69 3) y(t) = Jt - 1 + 75 ~ t, Решение. О, Г*>1, 0; U<5; Ответ: [1; 5]. {Г-1,;?:-{«i;-••»•» 2)17ах be; 4)3jc-7i/-(-2i/). АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ Многочлены. Действия с многочленами 1. Одночлен и многочлен Одночленом называется выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями — умножением и возведением в степень с натуральным показателем. Пример 1. 1) -аЪ\ 3)^х2уг; В этом примере одночлены 1), 2) и 3) записаны в стандартном виде, т. е. первый сомножитель — число, называемое коэффициентом одночлена, и каждый буквенный сомножитель входит в одночлен только один раз. Приведем одночлен 4) к стандартному виду: 3x-7i/-(-2i/) = 3-7-(-2)-x-i/-i/ = -42xi/2. Чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить их коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями. Пример 2. Привести одночлен к стандартному виду. 1х2у • (-8*У) = 7 • (~3)х2х7уу3 - -21*У. 2 3 Пример 3. Перемножить одночлены -Ъх t а и g х tb. / ег 2^3 ч (2 5., "\ t сч 2 2 5.3а . (-5* * а) • I 5 х Й>1 = (-5) • g х х t tab = = -r^-x f ab. Многочленом называется сумма нескольких одночленов . Одночлены, из которых состоит многочлен, называются членами многочлена. Пример 4.1)2х + Заху + Ь; 2) а + &; 3) 5 + х; 4) 17* у г + Зху - Паху г. 2. Приведение подобных слагаемых Одночлены называются подобными, если, записанные в стандартном виде, они одинаковы или различаются лишь коэффициентами. 2 Пример 1.1) Одночлен -Зх у подобен одночлену Ьх у, так как буквенные сомножители у них одинаковые; 2 12 2) ab t подобен г b at; 3) 2х подобен Зле; 4) 51 подобен 137; 5) -7и х а подобен 2а и х ; 2 2 6) одночлен 2* i/ не подобен одночлену 2ху , так как буквенные сомножители у них разные (они состоят из одних и тех же букв, но эти буквы возведены в разные степени). Рассмотрим сумму подобных слагаемых: о 2 о 2 , 2 3* а - 2х а + ах . Вынесем общий множитель за скобки: А(3 - 2 + 1) - 2 А. Эта операция называется приведением подобных членов. Пример 2. 1) 4t2y + 2ху2 - 3yt2 + у2х - t2y + 3i/2*. 2) 2 + Зх + 5х2 + 2ху - х - х2 + \ ху - 7 = 2 7 = 2л: + Ах + о*У ~" 5. * В дальнейшем будем считать, что составляющие любой многочлен одночлены уже приведены к стандартному виду. 3. Сложение и вычитание многочленов. Умножение многочленов Многочлен, все члены которого являются одночленами стандартного вида, называется многочленом стандартного вида. Сумму (разность) многочленов можно привести к многочлену стандартного вида. Для этого нужно раскрыть скобки и привести подобные члены. При раскрытии скобок действует правило: если перед скобкой стоит знак «+», то скобки опускаются, а знаки, стоящие перед каждым членом внутри скобок, остаются прежними. Если же перед скобкой стоит знак «-», то этот
70 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы «минус» и скобки опускаются, знаки перед всеми членами многочлена меняются на противоположные. Пример 1. (а2 + 15а + 14) - (а2 + 10а - 1) - - а2 + 15а + 14 - а2 - 10а + 1 = 5а + 15. Чтобы умножить многочлен на одночлен, нужно каждый член многочлена умножить на этот одночлен. Пример 2. 1) 3x(2x2 - Зху + Ьу2) = б*3 - 9х2у + 1Ьху2; 2) -7а*(2а + 3* - at2 - 4*) = -14а2* - 21а*2 + + 7а2*3 + 28а*2 = -14а2* + 7а*2 + 7а2*3. Чтобы умножить многочлен А на многочлен В, нужно: 1) первый одночлен многочлена А умножить на все члены многочлена В подряд и записать результаты этого действия. Затем второй одночлен многочлена А умножить на все члены В и т.д.; 2) привести все подобные члены и записать результат. Пример 3. (За3 - 2а2& + а&2)(2а2 - ab - 5&2) = 6а5 За4Ь- - 15аУ -4а4&+2аУ + ЮаУ + 2аУ - aV - - 5аЬ4 = 6а5 - 7а4& - llaV + 9а V - 5а&4. 4. Формулы сокращенного умножения При возведении двучлена в степень, умножении многочленов, разложении их на множители и других тождественных преобразованиях многочленов применяются специальные формулы, которые называются формулами сокращенного умножения. 1) (а + Ь)2 = а2 + 2аЬ + Ь2; 2) (а - Ъ)2 = а2 - 2а& + Ь2; 3) а2 - Ъ2 = (а - Ь){а + Ь); 4) (а + bf = а3 + За2Ь + За&2 + Ь3; 5) (а - Ь)3 = а3 - За2& + За&2 - Ь3; 6) а3 - Ь3 = (а - Ь)(а2 + аЬ + Ь2); 7) а3 + Ь3 = (а + Ь)(а2 - а& + &2); 8)* (а + Ь + с)2 = а2 + &2 + с2 + 2а& + 2ас + 2Ьс; 9)* (а + Ь)4 = а4 + 4а36 + 6aV + 4а&3 + &4; 10)* (а - Ь)4 = а4 - 4а3Ь + 6а V - 4ab3 + b4. Устно эти формулы произносятся следующим образом: 1) квадрат суммы двух чисел равен сумме квадратов этих чисел, сложенной с их удвоенным произведением; 3) разность квадратов двух чисел равна произведению разности этих чисел на их сумму; 6) разность кубов двух чисел равна разности этих чисел, умноженной на неполный квадрат 2 2 их суммы (выражение a + ab + b называется неполным квадратом суммы двух чисел, а вы- 2 2 ражение a - ab + b —* неполным квадратом разности). Пример 1. Устно умножить 41 • 39. 41 • 39 - (40 + 1)(40 - 1) = 402 - I2 = 1599. 2 Пример 2. Устно вычислить 49 . 492 = (50 - I)2 - 502 - 2 • 50 + I2 - 2500 - 100 + + 1 = 2401. Пример 3. Преобразовать выражение (1 - а)(1 - а + а2)(1 + а + а2)(1 + а). Произведение первой скобки на третью — это произведение разности чисел 1 и а на неполный квадрат их суммы, т. е. можно применить формулу разности кубов (формула 6): (l-a)(l+a + a2) = l3-a3. Произведение четвертого сомножителя и второго равно сумме кубов чисел 1 и а (формула 7). Следовательно, (1 - а)(1 + а + а2)(1 - а + а2)(1 + а) = = (1-а3)(1+а3). Произведение разности чисел 1 и а на их же сумму равно разности квадратов этих чисел (формула 3): (1 - а3)(1 + а3) - 1 - (а3)2 = 1 - а6. Пример 4. Доказать, что справедливо равенство а/7 + 473 + 77 - 4л/3 = 4. Преобразуем подкоренные выражения, используя формулы сокращенного умножения и тождество (Та) = а при а > 0. Итак, 7 + 4л/3 = 3 + 4л/3 + 4 - = (73)2 + 2-2-лУз +22 = (73 +2)2.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 71 Аналогично, 7-4^3 = 4 - 4^3 +3 = = 22 - 2 • 2 73 + (73 )2 = (2 - 73 )2. Имеем: л/7 + 4^3 = 7(2 + 73)2 = 2 + 7з; 77 - 473 - 7(2 ~ 73)2 =2-73. Следовательно, 77 + 47з + 77 - 47з = 7з+2 + 2-7з=4, что и требовалось доказать. Использование формул сокращенного умножения — постоянная необходимость в алгебраических преобразованиях, поэтому формулы следует знать наизусть. 5. Разложение многочленов на множители Разложить многочлен (алгебраическое выражение) на множители значит представить его в виде произведения двух (или более) других многочленов. При этом используются формулы сокращенного умножения и некоторые специальные приемы разложения на множители. Пример 1. 4 -р2 = 22 -р2 = (2 -р)(2 + р). Пример 2. 9q2 - 64л:2 = (3q)2 - (8л:)2 = = (3q - 8л:)(3д + 8л:). Пример 3. 4л:2 + 4л: + 1 = (2л:)2 + 2 • 2л: • 1 + I2 = = (2л: + 1)2. Метод выделения полного квадрата Пример 1.x +4. Выделим полный квадрат, сделав тождественное преобразование — прибавим и вычтем одно и то же выражение: 4х . Имеем: х + 4 = л: + 4л: + 4 - 4л: = = (л:2)2 + 2 • 2л:2 + 22 - 4л:2 = (л:2 + 2)2 - 4л:2 = = (л:2 + 2)2 - (2л:)2 = (л:2 + 2 - 2л:)(л:2 + 2 + 2л:). Пример 2*. 1 + а + а . Заметим, что а = = (а ) . Выделим полный квадрат — прибавим и вычтем а . Имеем: -1.4,8 -,4,8.4 4 1 + а +а = 1 + а + а + а -а = - 1 + 2а4 + (а4)2 - а = (1 + а4)2 - а = = (1+а4-а2)(1+а4 + а2). Вторую скобку в полученном выражении при необходимости также можно разложить на множители: 1 + а + а = 1 + 2а2 + а - а = (1+ а2)2 - а = = (1+а2-а)(1 + а2 + а). Здесь также добавили и вычли одно и то же 2 выражение — а — выделив тем самым полный квадрат суммы, а затем воспользовались формулой сокращенного умножения (л: - у)(х + у) = 2 2 = х - у . Таким образом, конечный результат можно записать в виде: 1 + а4+ а8= (1+а4 - а2)(1 + а2 - а)(1 + а2 + а). Пример З.р-q, где р > 0, g > 0. Это выражение можно разложить на множители несколькими способами (эти разложения не будут состоять из многочленов, но будут алгебраическими выражениями). а)р-д = (л/р)2-(7д)2 = (л/р - Jq)(Jp + 7g). 6)*p-9 = (Vp)3-(^)3 = (Vp-V^)(3Vp"2 + в)*р - 9 = (ifp )4 - (4^ )4 - {{Mi )Y - « V5 )Y - - ((4^)2 - (V?)2)((Vp)2 + (V5)2) - (Vp -Vg)x Пример 4*. х10 - 10хьу* + 25i/16 - л:12 + + 4*V - 4i/16 - (х5)2 - 2 • 5» V + (5у8)2 - ((x6)2 - - 2 • 2y V + (2y8)2 - (x5 - 5y8)2 - (x6 - 2y8)2 = = (л:5 - by8 - x6 + 2у8)(л:5 - 5i/ + л: - 2y8) = Метод группировки 2 Пример 1.3x -ах + Зх-а. Группируем первый и третий члены многочлена: их общий множитель Зл:, и второй и четвертый — их общий множитель (-а). Имеем: Зл:2 + Зл: - ах - а = Зл:(л: + 1) - а(х + 1) = = (Зл: - а){х + 1). Общий множитель (х + 1) также выносится за скобки. 3 2 2 2 2 4 Пример 2.р х ~-2q х ~-2q р+р . Группируем первый и четвертый члены (их общий множитель 3 2 р ) и второй и третий (общий множитель (~-2q )). 32. 4 о22 о2 рл: +р -2q х -2q р = = р V + р) - 2д V + р) = (х2 + р)(р3 - 2(?2).
72 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Разложение квадратногб трехчлена на множители ТЕОРЕМА 2 Если квадратное уравнение ах + Ьх + с = О имеет действительные корни хг и х2, то 2 ах +Ъх + с = а(х - хЖл: - х2). члена Р(х)9 а другой — F(x) — частным от деления Р(л:) на Q(x). Пример 1.2х - Ьх + 5л: - 2 = = (л:2-Зл: + 2)(2л:2 + л:-1). Заметим, что сумма степеней делителя и частного равна степени делимого многочлена. Пример 1. Разложить на множители выра- ТЕОРЕМА О ДЕЛЕНИИ МНОГОЧЛЕНОВ С ОСТАТКОМ жение Зл: + Ьх - 2. 2 Решение. Найдем корни уравнения Зл: + Ьх - - 2 = 0. Х) = 52-4-3-(-2) = 49;л:1>2= ~5у*в; л^ = -2, л:2 = « . По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители имеем: Зл:2 + Ьх - 2 = 3(л: + 2)(х - J ). Пример 2*. Разложить на множители выра- жение Зл: - 2а х + Зх а -2а . Решение. Обозначим х = t, тогда л: = (л: ) = t и многочлен примет вид: 3t + *(3а - 2а) - 2а . Рассматривая это выражение как квадратный трехчлен относительно *, найдем корни соответствующего квадратного уравнения, то есть уравнения З*2 + *(3а4 - 2а2) - 2а = 0. А. 9 9 Дискриминант уравнения D = (За - 2а ) - в 4. 2 2 -4*3* (-2а ) = (За + 2а ) , откуда корни j. 22 ^ 4 * = 5 а и * — ~а • Имеем: 2 2V 3fl = (Зл:7 - 2а2)(л:7 + а4). З*2 + *(3а4 - 2а2) - 2а6 = 3(t - | a2)(t + а4) = 6*. Делимость многочленов от одной переменной. Теорема Безу Делимость многочленов от одной переменной Выражение вида Р(х) = апхп + ап _ гхп " + ... + a^-ha0, где ад * 0, ад _ v ..., а0 — произвольные действительные числа, называется многочленом степени п от переменной х. Если многочлен Р(л:) можно представить в виде произведения двух других многочленов Р(х) = = Q(x)F(x), то один из этих двух многочленов, например Q(x)9 называется делителем много- Для любых двух многочленов Р(х) и Q(x) существуют единственные многочлены F(x) и R(x) такие, что выполняются следующие условия: 1) Р(х) = Q(x) -F(x) + R(x); 2) степень многочлена R(x) меньше степени многочлена-делителя. Многочлен R(x) называется остатком от деления многочлена Р(х) на Q(x). Пример 2. л:3 + Зл:2 - 16л: + 5 - (л: + 7)(л:2 - 4л: + 12) - 79. В этом примере делителем является многочлен первой степени Q(x) = х + 7. Остатком является многочлен нулевой степени — число -79 (с точки зрения действий с многочленами, любое действительное число — это многочлен нулевой степени). Степень остатка на единицу меньше, чем степень многочлена-делителя, что согласуется с вышеприведенной теоремой. Алгоритм деления многочленов «уголком» При делении многочленов на практике используют тот же алгоритм, что и при делении натуральных чисел «уголком». Рассмотрим конкретный пример деления многочленов «уголком», а затем опишем алгоритм этого деления. Пример. Выполнить деление многочлена Р(х) = х* - Зх3 + л:2 - Ьх + 4 на многочлен Q(x) = - л:2 + л: + 1. Решение. х* - Зх3 + х2 - 5х + 4 — 4 , 3 , 2 X + X + X л:2 + х + 1 х - 4л: + 4 - 4л:* - Ьх2 - 4л: - 4л: - 4л: 4л:* - х + 4 4x2+4x+j4 Таким образом, -Ьх л:4 - Зл:3 + л:2 - Ьх + 4 -
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 73 = (х2 + х + 1)(л:2 - 4л: + 4) --5л:. Остатком от деления является многочлен первой степени R(x) = -5л:. Алгоритм деления «уголком» 1. Найти такой одночлен, который при умножении на первый член многочлена-делителя равен первому члену многочлена-делимого (в рас- 2Ч смотренном примере это х ), затем каждый член делителя умножают на найденный одночлен, а сам одночлен записывают под чертой «уголка». 2. Результат умножения записывают под многочленом-делимым, начиная со старшего члена (в данном случае с х ). Далее — провести черту и под ней записать разность полученных многочленов (для краткости записывают не все члены этой разности). 3. В результате под чертой получаем многочлен, степень которого на единицу меньше исходного. С ним повторяются операции, описанные в п. 1 и п. 2. 4. Процесс заканчивают, когда под чертой окажется многочлен, степень которого на единицу меньше степени делителя. Этот многочлен и является остатком от деления двух многочленов. Многочлен, который получился под чертой «уголка», является частным от деления исходных многочленов. Следствия из теоремы о делимости многочленов Следствие 1 (теорема Безу). Если многочлен Р(х) разделить на двучлен (л: - а), то остатком от деления будет число, равное значению многочлена Р(х) при х = а, т. е. Р(а): Р(х) = (х - a)Q(x) + Р(а). Пример 1. Найти остаток от деления многочлена Р(х) = х - Зл: + 5л: - 7х + 11 на двучлен jc-2. Решение. Используя следствие 1 (теорему Безу), получим: Р(2) = 24 - 3 • 23 + 5 • 22 -7-2 + 11 = 16- 24 + + 20-14+11-9. Следствие 2. Если число а является корнем многочлена Р(х), то многочлен Р(х) делится на двучлен (л: - а) нацело (т. е. остаток от деления равен нулю). Пример 2. Известно, что число 3 является 3 2 корнем многочлена Р(х) = х - 8л: + х + 42. Найти остальные корни этого многочлена. Решение. Разделим многочлен Р(х) на двучлен л:- 3: х3-8х2 + х + 42 — 3 0 2 х - Зх -Ьх* + х х-3 х - Ьх- -5х2 + 15* -14х + 42 -Ых + 42 •14 о Таким образом, Р(х) = (х - 3) (х2 - 5л: - 14). Чтобы найти оставшиеся корни многочлена Р(лг), необходимо решить квадратное уравнение 2 х -5л: -14 = 0. Используя формулу корней, находим х = 7 и х = -2. Следствие 3» Если многочлен Р(х) с целыми коэффициентами имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена. Это следствие особенно важно на практике. з Пример 3. Решить уравнение х +л:-10 = 0. Решение. Используя следствие 3, найдем целый корень уравнения (если он существует!). Для этого выпишем все делители свободного члена уравнения: 1, -1, 2, -2, 5, -5, 10, -10. Последовательно подставляя эти числа в исходное уравнение, устанавливаем, что число 2 является з его корнем, ■к-ак как 2 + 2 - 10 = 0 з Разделив теперь многочлен Р(л:) = х + х - 10 на двучлен х - 2, получим частное от деления — 2 многочлен Q(x) = х + 2л: + 5. Уравнение Q(x) = 0 решений не имеет, поскольку его дискриминант отрицателен. Следовательно, исходное уравнение имеет единственный действительный корень х = 2. Алгебраические дроби и действия с ними 1. Алгебраические выражения Алгебраическим выражением называется выражение, в котором числа и буквы соединены четырьмя арифметическими действиями, а также операциями возведения в целую степень и извлечения арифметического корня. Выражение, не содержащее операции извлечения корня из переменной, называется рациональным.
74 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Выражение, не содержащее операций деления на переменную и извлечения корня, называется целым. Выражение, которое содержит деление на переменную, называется дробным (или алгебраической дробью). Пример 1. 3 7 С —2 1) Выражение 13а • Ъ • к • Ь — целое; 2) 3) / 7 , Q5 За л/ос + р - = нерациональное; 2с 2 3 + Ъ • а - 4а& — дробное. Ь + с Выражения 1) и 3) являются также рациональными. Каждая буква, входящая в алгебраическое выражение, может принимать произвольное значение. Целое выражение имеет смысл для любых значений входящих в него переменных. Дробное алгебраическое выражение (или содержащее корень) имеет смысл не для всех значений переменных. Пример 2. 1) г — имеет смысл при любых значениях переменных кроме Ъ = О, так как деление на нуль не определено; 2) *Ja - b — имеет смысл при любых значениях переменных, удовлетворяющих условию а - Ъ > О, так как арифметический квадратный корень определен только для неотрицательных чисел; Ъ Г~2 3) - + ыЬ + с — имеет смысл при одновременном выполнении двух условий: f с*0, 1 Ъ2 + с > 0; 4) Ja + *fb + J а - Ъ — имеет смысл для значений переменных, удовлетворяющих (а>0, системе: 1 Ь > 0, [а-Ь>0; 5) J~-a + л/а — имеет смысл только при а = 0, так как f а>09 { а< 0; Пример 3. Преобразовать выражение <=> а = 0. Решение. Данное выражение имеет смысл, если: Г а- 1 >0, \ 1-а>0, [а-2>0. Решение первых двух неравенств — единственное число а = 1, но это число не удовлетворяет третьему неравенству, поэтому данное алгебраическое выражение не имеет смысла. Преобразования производить нельзя, так как они приведут к неверному результату. Пример 4. Вычислить значение дроби п - 1 1 -= при п = 1. п - Зп + 2 Решение. Выражение имеет смысл, если п2-Зи + 2*0. 2 Но при п = 1 выражение п - Зп + 2 = 0, т. е. при я = 1 это выражение не имеет смысла. Наиболее распространенная ошибка при решении вышеприведенной задачи выглядит так: не определив значений переменных, при которых выражение имеет смысл, раскладывают знаменатель данной дроби на множители: п - Зп + 2 = (л - 1)(п - 2). После чего производят сокращение одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе: п - 1 = п - 1 = 1 п2-Зд + 2 (n-lKn-2) п-2' Последнее выражение при п = 1 имеет значение -1. Это грубо ошибочное решение. 2. Дробно-рациональные алгебраические выражения Алгебраической дробью называется выражение вида д, где А и В — алгебраические выражения. Дробно-рациональным называется выражение р вида q , где Р и Q — алгебраические многочлены. Дробно-рациональное выражение представляет из себя частный случай алгебраической дроби. Пример. 1) т х2 + 1 2х4 Зу + 3 2 1 -б/ - Зу + ? (Va - 1 +Vl - <*)• лА* - 2, алгебраические дроби, являющиеся дробно-рациональными выражениями;
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 75 2) X 1 . (Л + Л) (Л - Л) — ал- гебраические дроби, не являющиеся дробно-рациональными выражениями. 3. Умножение и деление алгебраических дробей Так как в числителе и знаменателе любой алгебраической дроби стоят алгебраические выражения, то выполнение арифметических операций с ними весьма трудоемко. Поэтому прежде чем приступать к выполнению действий с алгебраическими дробями, следует: 1) разложить на множители числитель и знаменатель каждой алгебраической дроби, с которой проводится данная арифметическая операция; 2) выписать систему неравенств для значений переменных, при которых дроби имеют смысл; 3) одинаковые сомножители в числителе и знаменателе каждой дроби сократить. Умножение алгебраических дробей производится по тому же правилу, что и умножение обыкновенных дробей: В% В0 А1 'А2 вг*в2 '1 "г Но перед тем как производить умножение выражений (многочленов), стоящих в числителе и знаменателе, необходимо одинаковые сомножители, если они есть, сократить. Полученное выражение можно оставить в виде дроби, где числитель и знаменатель разложены на множители, либо произвести умножение, что зависит от конкретной задачи. Пример 1. Выполнить умножение х - 4 х Зх(х - 2) 2 + х Решение. Разложим числитель первой дроби на множители, пользуясь формулой разности квадратов: 1х~~-Ъ](х + 2) т х BxtiL^Z) * 2 + х Сх^И-2)' х X 3 Целение алгебраических дробей сводится к умножению: Вл Вл АГ*2 Вг-А2 2 1 X — 1 Пример 2. —z х + 2х + 4 х (1 - х) *3-8 = (х - 1)(х + 1) 9 (х - 2)(х + 2х + 4) = х + 2х + 4 -х\х - 1) {х—Г)(х + 1)(х - 2)jxt-±-2*-+-*7 = (х + 1)(х - 2) Xx£-^*r-h-*)*2ix Г) 4. Сложение (вычитание) алгебраических дробей Сложение (вычитание) алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями выполняется аналогично сложению (вычитанию) обыкновенных дробей с одинаковыми знаменателями: Aj А2 >Ц 4- А2 В * В В При сложении (вычитании) алгебраических дробей с разными знаменателями нужно привести их к общему знаменателю. Алгоритм нахождения общего знаменателя алгебраических дробей аналогичен соответствующему алгоритму для обыкновенных дробей с той разницей, что в знаменателях алгебраических дробей стоят не числа, а алгебраические выражения: 1) разложить знаменатель каждой алгебраической дроби на возможно большее количество многочленов-сомножителей; 2) в общий знаменатель вынести все различные сомножители данных знаменателей с наибольшим показателем степени. Пример 1. Найти общий знаменатель алгебраических дробей. . 2 . 14 х + а 1 *2-а2И3*-3<Г 2 2 Имеем: х -а = (х - а)(х + а); Зл: - За = = 3(х - а). Значит, общий знаменатель будет иметь вид: 3(л: - а)(х + а). пч 5 Чх-р 4) 2 3И 4 (х + р) (х - 2) (х + р) (* - 2) Общий знаменатель: (х + р) (лг - 2) . л - 7а 2х + 1 3) и 3(* " 1)(*2 + а2) 5(* - 1)3(* - р) 3 2 2 Общий знаменатель: 15(лг - 1) (х + а )(х -р).
76 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 4) (х3 - 1)(х2 + 2) и Зх + 1 7(х - 1)(х + 2) 4 - х 3(х + х + 1) Знаменатель первой дроби можно разложить на множители: (я3 - 1)(х2 + 2) - (я - 1)(х2 + х + 1)(х2 + 2). Наименьший общий знаменатель: 3 • 7 • (я - 1)(х2 + х + 1)(х2 + 2). Алгоритм сложения (вычитания) дробно-рациональных выражений 1) Разложить на множители числитель и знаменатель каждой алгебраической дроби. 2) Одинаковые сомножители в числителе и знаменателе каждой дроби сократить. 3) Найти и записать общий знаменатель дробей. 4 4) Найти и записать дополнительные множители для каждой алгебраической дроби. 5) Записать сумму (разность) произведений числителей и дополнительных множителей, учитывая знаки. 6) Упростить (если возможно) полученную дробь. В результате мы получим алгебраическую дробь, у которой числитель и знаменатель разложены на множители, причем у числителя и знаменателя общих множителей нет. Ее можно оставить в таком виде либо произвести умножение и привести подобные члены. Это зависит от конкретной задачи. Пример 2. Выполнить действия: х2-4 * + 2' Решение. ±_+^L_ = I + _ 4 х + 2 (* ~ 2)(* + 2) ^-2 х 1 + х - 2х = (х - 1) х Л- 2 ~" (х - 2)(х + 2) " (х - 2)(х + 2) Пример 3. х + а х - а х + а 2 2 _ *(х + fl) + Д(х ~ Д) х + ад: + ах - а (х - а)(х + а) х" + 2ах - а (х - а)(х + а) 2 "J 2 а шы»ч* *. 2 i 2 2 - (а - Ь) а - Ъ а + Ь а - b _ а + ЗЬ а - ЗЬ (а - Ь)2 <а " «<« + + аЬ + ЗаЬ + ЗЬ2 + а - аЪ (а - Ь)2(а + Ь) 2а + 6Ь2 Ь) - ЗаЬ + ЗЬ2 (а - Ь) (а + Ь) Пример 5. Преобразовать выражение Ь + 2х 3d - Ь Ъ* - dx ЗЬ - Зх 2Ь - 2d (х - а)(х + а) Ь - bd + dx - Ьх Знаменатели первых двух дробей легко раскладываются на множители. Попробуем разложить на множители знаменатель третьей дроби: b2-bd + dx-bx = Ь(Ь -d)- х(Ь - d) = = (Ь - d)(b - х). Имеем: 3(6 -х) ^ 3d - Ь Ь2 - dx = 3(Ь - х) 2(Ь - d) (6 - d)(6 - х) _2(Ь - d)(b + 2х)-3(Ь - x)(3d - Ь) + 6(Ь2 - dx) 6(Ь - х)(Ь - d) = lib2 + bx - llbd - dx 6(Ь - х)(Ь - d) 5*. Действия с алгебраическими дробями, содержащими знак радикала При выполнении действий с алгебраическими дробями, содержащими знак радикала, существенно помогает прием (если его удается применить) введения новых переменных, которые превратят алгебраическую дробь в дробно-рациональное выражение. Пример. Преобразовать выражение а - Jab . (Ma + *Jab + i/b)(ifa - Mob + Mb) *J7b-b
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 77 Решение. Обозначим s*Ja = х, sJb = у, тогда \[а = х ;i/b = у ; Ja = х ; Jh =у ; Jab = х у ; 4/~3 6 8,8 Vfl =x;a = x;b = y. Учитывая это, имеем: (х + у)2 + (х - у)2 . 8 4 4 Л - Л I/ . (* + *|/ + У )(х ~ ху + у ) = 6 2 8 X у - У 2(х2 + у2) . (х2 + ху + у2)(х2 - ху Л- у2) = 4, 4 4 * 2, 6 6Ч х (х - I/ ) У (х - у ) 2(УЧ^Д) х4(х*-к#Ь(х2 -1/ ) 2 2 2 2 . (х + ху + у )(х - ху + у ) = 2, 3 Зч, 3 , Зч у (л - у )(х + у ) 4, 2 2Ч ^ (Л - у ) у2(х - у)ГЯ*-^~-*у-^-#Ь(* + у)Т^-—*y^Mul 4, 2 2 * 2, 2 2Л х (х - у ) у (х - у ) _ 2(х^А2 _2у2 _2УЬ х40с^6 х4 JS * Иногда в алгебраической дроби, содержащей радикалы, приходится вводить не две, а три, четыре новых переменных — все это лишь затем, чтобы превратить алгебраическую дробь в дробно-рациональное выражение, обращаться с которым значительно проще. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ Дробно-рациональные уравнения Рациональным алгебраическим уравнением Р(х) Л ш ч уравнение вида ^^ = 0, где Р(х) и называется Q(x) — многочлены. Выражение т^-т — имеет смысл только в ЧуХ) том случае, если выполняется условие Q(x) * 0. Значит, рациональное уравнение Г Р(х) - 0, имеет решение при условии i q, v q P(x) Q(x) = 0 Пример 1. Решить уравнение: 3 + x = 5x 2x - 4 x - 2 Решение. 3 + л: 5л: 3 4Ф х- 2 3 2(х - 2) л: - 2 4 2(3 + х) - 20х + 3(х - 2) _„ _ -15л: 4(х - 2) ~ " 4(х-2) Ответ: 0. = 0 <=> = 0<=> Пример 2. Решить уравнение 2х + 5 2 Зх л: 2 к л: -f л: Решение. 2х + 5 х(х + 1) 2л: + 5 - 2(х + 1) - Зл: х + 1 х + 1 2 л: 2 = 0. Зл: х + 1 х(х + 1) л -Зл: +3 = 0<=> —: гтт =0<=> х(х + 1) 2 х - х(х zi_=0<=>{*2-i = 0; + 1) I х(х+1)*0; <=> ГГх.= 1, J L«—1; I **0, I л:*-1; Ответ: 1. <=> х= 1. Пример 3. Решить уравнение: 3,2 1 2 " + 2 х^ - 2х + 1 1 - хг х + 1 Решение. 3 (х - I)2 + 2 1_ (1 - Х)(1 + X) х + 1 = 0 2 2 Замечание. (л: - 1) = (1 - х) . Получим уравнение: -х + Зх + 4 (1 - х)2(х + 1) 2 = 0 <=> f х - Зх - 4 = 0, 1(1-х)2(*+1)*0; х - Зх - 4 (1 - х)2(х + 1) Г*--1, U = 4; = 0<=> х*1, х*-1; <=> х = 4. Ответ: 4.
78 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 4*. Решить уравнение: 1 Решение. х(х + 2) 1 (х + 1) 1 12* -п-°- х + 2х х + 2х + 1 Применим метод замены переменной. Пусть у = х + 2л:, тогда исходное уравнение примет вид: 12(у + 1) Д2у. У(У + 1) 1 У У + 1 12(у + 1) - 12у 12у(у + 1) *fc±i}_o <=> У2 + У - 12 =0<=>| И + г/-12 = 0, 12у(у + 1) 1 i/(i/+l)^0; Откуда f х2 + 2* = -4, t*2 + 2x=3. Первое уравнение л: 4- 2л: 4- 4 = 0 не имеет решения, так как D = -12 < 0. Решим второе уравнение: х + 2х - 3 = 0 <=> Ответ: -3; 1. Системы уравнений и методы их решения 1. Графический способ решения систем уравнений Система уравнений состоит из двух или более алгебраических уравнений. Решением системы называется такой набор значений переменных, который при подстановке обращает каждое уравнение системы в числовое или буквенное тождество. Решить систему — значит найти все ее решения или доказать, что их нет. Пример 1. У = х, х + у = 2. Решение. Каждое уравнение системы задает линейную функцию. Построим графики этих уравнений в одной системе координат (рис. 42). Координаты точки пересечения графиков обращают оба уравнения системы в верные равенства. Решением системы является пара значений переменных: х = 1, у = 1. Ответ можно записать так: (1; 1). Графический способ решения систем уравнений состоит в следующем: 1) строятся графики каждого уравнения системы; 2) определяются точки пересечения графиков; 3) записывается ответ: координаты точек пересечения построенных графиков. Пример 2. (У = х, \у-х3 = 0, [х = -у. Решение. Графики первого и третьего уравнений — прямые; график второго уравнения — кубическая парабола (рис. 43). Из трех точек пересечения только одна является общей для всех графиков уравнений системы. Ответ: (0; 0). Графический способ решения систем уравнений в большинстве случаев не дает точного решения системы, однако он может быть полезен для наглядной иллюстрации рассуждений. Пример 3. f 2 , 2 л ) х +у =4, U = 3. Решение. Графиком первого уравнения системы является окружность с центром в начале координат и радиусом 2. График второго уравне- Рис. 42 Рис. 43
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 79 ния — прямая, параллельная оси Ох9 проходящая через точку (0; 3) (рис. 44). Ответ: нет решений. 2. Решение систем линейных уравнений Системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными называется система вида: Г alx-¥bly = cv | а2х + Ъ2у = с2, где av а2, bv Ъ2> cv с2 — коэффициенты, причем хотя бы один из коэффициентов ах или Ъх не равен нулю и хотя бы один из коэффициентов а2 и Ъ2 не равен нулю. График каждого из уравнений системы — это прямая линия на координатной плоскости. Две прямые на плоскости либо пересекаются в одной точке, либо параллельны, либо совпадают. Следовательно, система двух линейных уравнений с двумя неизвестными: 1) либо имеет единственное решение: пару значений переменных, являющихся координатами точки пересечения прямых (это возможно тогда и только тогда, когда выполнено условие ai&2 ~ а2&1 * 0) (Рис- 45, а); 2) либо не имеет решений; прямые параллельны (существует такое число ft, что одновременно выполняются условия: а2 = kav Ъ2 == kbv с2 * ftcj) (рис. 45, б); 3) либо имеет бесконечно много решений; прямые совпадают; любое решение есть пара чисел (х; у), удовлетворяющая уравнению прямой (это возможно, если существует такое число ft,« что одновременно выполнены условия: а2 = kav Ъ2 = kbv с2 = kcv т. е. все коэффициенты пропорциональны) (рис. 45, в). Практически системы уравнений решаются аналитическими способами при помощи тождественных преобразований уравнений, входящих в систему. Рассмотрим подробнее различные методы решения систем уравнений. 3. Метод подстановки Пример I. f 2 л. 3 к }зд;-2у = 1. Решение. Из первого уравнения выразим х через у: 2 с 3 3/е 3 ч 3* = 5~4У ^ Х= 2(5~ 4У)' Подставив полученное выражение во второе уравнение системы, получим уравнение с одним неизвестным: 3-|-(5-|i/)-2i/ = l<=> ^2 '5~~2 -1У-2У=1<*У = *- Подставив это число в выражение получим: х = 3. Ответ: (3; 4). Пример 2. 3/к 3 ч *-у = 5, х + ху + 3 = 0. Ук f у = з iL^ + H-4 Ч \ —\ ' ) ш- 0 1 / х У Уо / 0 . агх + Ьгу - сг /|\ i \ а2х + Ь2у = с2 а) б) в) Рис.44 Рис. 45
80 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Решение. Выразим из первого уравнения у через х: У = *-5. Полученное выражение подставим во второе уравнение системы: x2 + x(x-5) + 3 = 0 <=> 2x2-5x + 3 = 0<=> х 2 Тогда при jc = 1,i/=1-5 = -4, а при х = ^ находим У = ~2- 3 7 Ответ: (1;-4), (^-«р- Пример, 3. *'i/-10i/ = -8, 2 I х -у=1. Решение. Выразим из второго уравнения у через х: 1/ = * -1. Подставив в первое уравнение, получим: х\х2 - 1) - 10(х2 - 1) - -8 « я4 - Их2 + 18 - 0. Это стандартное биквадратное уравнение. 2 Обозначим t = х . Тогда Л2 m + i8 = o «=> L*-2. V = 9, _*2 = 2; "х = 3, * = -3, *= 72, L* = -72. Но I/ = х2 - 1, тогда при х = J2 и д: = -72, у = 2-1 = 1, а при х = 3 и при л: = -3, i/ = = 9-1 = 8. Ответ: (72 ; 1), (-72 ; 1), (3;8), (-3; 8). Алгоритм решения систем уравнений методом подстановки 1) Из одного уравнения системы одна переменная выражается через другую. 2) Полученное выражение подставляется во второе уравнение системы. 3) Решается полученное после подстановки уравнение. 4) Полученное решение подставляется в выражение из пункта 1). 5) Если при решении последнего уравнения получается тождество 0 = 0, то это означает, что исходная система имеет бесконечно много решений вида (х; у), каждое из которых удовлетворяет первому уравнению системы. Если же при тождественных преобразованиях последнего уравнения получится неверное числовое равенство, то система решений не имеет. 4. Метод сложения Пример 2. f 2х + Ъу = 4, I -3* - 2у = 5. Решение. Домножим первое уравнение системы на 3, а второе — на 2. Сложим получившиеся уравнения почленно и запишем результат вместо второго уравнения системы. 2х + Ъу = 4 -Зх - 2у = 5 хЗ х2 , 6*+15i/=12 -6*- 4у=10 0* х -hlli/ = 22 f 2х + by = 4, f 2х + 5 • 2 = 4, f * = - 3, I Hi/= 22; ^11/ = 2; *Mi/ = 2. Ответ: (-3; 2). Числа, на которые домножают уравнения перед сложением, выбираются так, чтобы при суммировании коэффициент перед одной из переменных стал равен нулю. В результате преобразований уравнений системы и замены одного из уравнений результатом суммирования других получены равносильные системы. Две системы называются равносильными, если каждое решение одной системы является решением другой системы, и наоборот. Вопрос о равносильных преобразованиях систем — достаточно сложен и в данном пособии обсуждаться не будет. Перечислим лишь несколько простейших преобразований, приводящих к системам, равносильным заданной. 1) Если одно или несколько уравнений системы заменяются равносильными уравнениями, то полученная система уравнений равносильна исходной. 2) Если два или более уравнений системы складываются и результат записывается вместо одного из использованных в этой операции уравнений, то получается система, равносильная исходной.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 81 3) Если одно из уравнений системы равносильно совокупности двух уравнений, то исходная система равносильна совокупности двух систем. Если Р(х, у) = 0 <=> ГРг(х9у)-0, [р2(х,1/) = 0, то 1Р(х,у) = 0, I Q(*. У) = 0; Рг(х, у) - 0, Q(x, у) = 0; [ Р2(х, у) = 0, Q(x, у) = 0. Пример 2*. Г х + Зу + 4г = 6, J Зх - 5у - 22 = 4, [ -5* + 2у + 52 = 3. х(-3) | х5 Решение. Первое уравнение системы умножим на число (-3), сложим со вторым и результат сложения запишем на месте второго уравнения. Затем все то же первое уравнение умножим на 5, сложим с третьим и результат сложения запишем на месте третьего уравнения (числа, на которые производилось умножение, записываются через вертикальную черту рядом с уравнением). В итоге получим систему, равносильную данной. Г х + Зу + 42 = 6, J -14i/ - 142 = - 14, <=> |l7i/ + 252 = 33; (х + Зу + 42 = 6, y + 2 = l, | x(-17) 17y + 252 = 33. В полученной системе два последних уравнения содержат только два неизвестных, так как числа, на которые домножалось первое уравнение, подобраны таким образом, чтобы при суммировании коэффициент при х стал равен нулю. Действуя аналогично, умножим второе уравнение системы на (-17), сложим с третьим уравнением и результат запишем на месте третьего уравнения. Получим равносильную систему: (х + Зу + 42 = 6, Z/ + 2 = l, 82 = 16. Из последнего уравнения: 2 = 2. Подставляя это значение г во второе уравнение, найдем, что у = -1; подставляя найденные значения у и г в первое уравнение, найдем: х = 1. Ответ:(1;-1;2). Изложенный метод называется методом Гаусса решения систем линейных уравнений или методом последовательного исключения неизвестных. 5*. Метод введения новой переменной При решении систем нелинейных уравнений как правило применяются различные комбинации нескольких методов решения систем. Пример 1. х 16 ху-~у=Т> ху у =2 х 2 Решение. Отметим, что выражения, объединенные в систему, имеют смысл лишь при выполнении условий: f х*0, \у*о. Обозначим t = ху; г = - ; тогда - = - . Введя у X Z новые переменные, получим систему уравнений: 16 3 ' 9 *-2 = '-I-2- 16 Из первого уравнения: t = г + -г-. Подставим это выражение во второе уравнение, преобразуем его, проведя тождественные преобразования, и решим. _, 16 1 9 *+у-; = 2 1 6г & 2г. е 1 , 16 9 л 2 - ; + т"2 = 0<=> 6г - 6 + 32г - 272 л <=> — =0» ,1б22 + I 2*0; 6г Ьг - 6 = 0, г=3» 2 = -; 2* гр . 16 2 . 2 , 16 л Так как t = г + -=-, то при 2 = 5 > * = о +"о" = ", 3 , 3 ^ 16 23 „ а при 2 = ""о'2 Т =7Г# Получаем Две системы: 2= - 3 ' либо ^ t = 6, * = "2' Г 6 *
82 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Возвращаясь к начальным обозначениям, получим: f - = -- либо < у I 23 Выражая в этих системах х через у из первого уравнения и подставляя во второе, будем иметь: У 3' ху = 6; х = 2 2 а ЪУ =6; либо < х = ~2у> 3 2 23 Отметим, что второе уравнение второй системы не имеет решений, поскольку слева от знака равенства стоит отрицательное число, а справа — положительное. Следовательно, вторая система не имеет решений. Решая первую, получим У =<Г6 = 9Ч*/ = -3. При I/ = 3, х = 2, а при у = -3, х = -2. Ответ: (2; 3), (-2; -3). Пример 2. х У у = 5 2 2 с I * -# =5. Решение. Первое выражение имеет смысл лишь при выполнении условий: Рассмотрим сначала только первое уравнение системы. Обозначим t = -, тогда \ = - и урав- нение примет вид: , 1 5 |б*2- 1**0; - 5* - 6 = О, 3 2* 2 3* Возвращаясь к первоначальным обозначениям, получим две системы уравнений: х У 3 2' 2 2 е * -у =5; х У 2 2 2 с х -у = 5; 1 f3 Y* 2 - "в"' Li(-f»rv- Вторая из полученных систем решений не имеет, а решая первую, будем иметь: 3 Г 3 2 4 е » =5'5; ГУ = 2, Ответ: (3; 2), (-3; -2). Преобразования систем совершаются с целью упростить систему так, чтобы легко можно было воспользоваться тем или другим методом решения. Еще раз перечислим основные преобразования: 1) тождественно преобразовав каждое из уравнений системы, выразить какую-либо комбинацию неизвестных из одного уравнения и подставить во второе; 2) умножить одно уравнение системы на число kv другое на число k2 и сложить; 3) разделить одно уравнение системы на другое; 4) ввести новые переменные. Пример 3. } х-у = 19 13 3 „ \ х -у = 7. Решение. Преобразуем второе уравнение системы, воспользовавшись формулой сокращенного умножения: х3 - у3 = (х - у)(х2 + ху + у2). Из первого уравнения системы х - у = 1; подставим 1 во второе уравнение. Запишем получившуюся систему: } х-у = 1, 12, , 2 „ I х + ху + у = 7. К этой системе уже вполне применим метод — выразить одно неизвестное из первого уравнения системы и подставить во второе: f х = у + 1, I (I/ -h l)2 -h (i/ Ч-1)1/ + i/2 = 7; ^ Г*-р+1, li/2 + i/-2 = <i; [ х--2 + 1, L 5/ = —2; I f *=1 + 1, Lu = i. Ответ: (-1;-2), (2; 1).
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 83 Пример 4. |*4 + И = 82, I ху = 3. Решение. Преобразуем первое уравнение системы, выделив полный квадрат: 4, 4 4 , 0 2 2 , 4 0 22 х +у = х + 2х у +у -2х у = t 2 , 2Ч2 о 2 2 = (х +у ) -2х у . 2 2 2 Но х i/ = (ху) и, используя второе уравнение системы, приведем первое к виду: (х2 + у2)2 - 2 • З2 = 82 <=> (х2 + i/2)2 = ЮО <=> Гх2 + 1/2 = 10, Lx2 + i/2 = -io. Второе уравнение этой системы не имеет решений, следовательно, имеем единственную систему: j*2 + i/2 = 10, I ху = 3. Вновь выделим полный квадрат в первом уравнении и используем второе: х + у2 = х + 2*1/ + i/2 - 2*1/ - (л: + у)2 - 2 • 3. Получим две системы: f х + i/ = 4, J х + i/ = -4, by-8, либ01^ = 3. К каждой из полученных систем применим первый метод — выразить одно неизвестное через другое из первого уравнения и подставить во второе. Проделав это (либо использовав теорему, обратную теореме Виета) получим результат. Ответ: (3; 1), (1; 3), (-3; -1), (-1; -3). Пример 5. I х у + ху =10, 2,2 х +у 5. Решение. Первое уравнение системы разделим на второе уравнение, получим: ху(х2 + у2) = 10 2 _l 2 5 * X + у Откуда ху = 2. Следовательно, имеем систему: ху = 2, I х Л-у = 5; I f ху = 2, 1(* + */)2 = (х + у) -2*1/= 5; Со вторым уравнением здесь проведено то же самое преобразование, что и в предыдущем примере — выделение полного квадрата и использование первого уравнения ху = 2. В итоге получим две системы, подобные которым рассматривались выше: f ху = 2, \ ху = 2, 1х + у = 3, либ0Ь + у = -3. Решив эти системы, придем к результату. Ответ: (1; 2), (2; 1), (-1; -2), (-2; -1). Пример 6. fx2 + xy + 2y2 = 37, 1 2х2 + 2*1/ + i/2 = 26. Решение. Умножим первое уравнение на (-2) и сложим со вторым: -2(х2 + ху + 2j/2) + 2х2 + 2xj/ + у2 = (-2) • 37 + 26 <=> Откуда получим две системы, решение которых не представляет труда: fy = 4, /У = -4, "< 9 9 ЛИОО "So о I х2 + ху + 2у2 - 37, I jc2 + ху + 2yz = 37. Ответ: (1; 4), (-5; 4), (5; -4), (-1; -4). Пример 7. j x + i/ + ху = 5, I 2 2 I X -hi/ + xy = 7. Решение. Преобразуем второе уравнение системы, выделив полный квадрат: х2 + у2 + ху = х + i/2 + 2*1/ - xi/ = (х + i/)2 - xi/. тт f х + у + ху = 5, Имеем: < 9 I (х + z/Г - *у = 7. Обозначим * = x + y,z = xy. Тогда I *2-z = 7, ^ I *2 -(5 -t) = 7. Решая эту систему и возвращаясь к прежним неизвестным, получим: f х + у = 3, л J х + у = -4, \ху = 2, либоЬу = 9. Ответ: (2; 1), (1; 2). Уравнение, содержащее переменную под знаком модуля Модулем числа х называется само это число, если оно неотрицательно, либо число -х, если число х отрицательно. Обозначение: |х|.
84 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Формальная запись этого определения такова: . , _ Г л: при л: > О, 1*'"~|_-*прих<0. Примеры. 1) |0,1| = 0,1, так как 0,1 > 0; 2) |-3| = -(-3) = 3, так как -3 < 0; 3) |0| = 0, так как 0 > 0. При решении уравнений, содержащих переменную под знаком модуля, используется определение модуля. Пример 1. Решить уравнение \х - 1| = -2х. Решение. По определению модуля: . , Г х- 1, если х- 1 > 0, т. е. х > 1; I* " 1' ~ \_-х + 1» если х - К 0, т. е. х < 1. Говорят, что выражение под модулем меняет свой знак в точке х = 1, поэтому все множество чисел разбивается на два числовых промежутка. а) При х > 1 исходное уравнение принимает вид: х- 1 = -2х <=> х + 2х = \ <^> *=з* Так как « < 1> то это решение не принадлежит рассматриваемому промежутку, т. е. не является корнем первоначального уравнения. б) При х < 1 исходное уравнение принимает вид: -х+1 = -2л: <=> -х + 2л: = -1 <=> х = -1. Поскольку -1 < 1, то найденное решение принадлежит рассматриваемому промежутку и, значит, является корнем исходного уравнения. Ответ: -1. Пример 2. Решить уравнение |х + 1| + |2*-6| = 4 + х. Решение. Найдем точки, в которых выражения под знаком модуля меняют свой знак. если х + 1 > 0, т. е. х > -1, если х + 1 < 0, т. е. х < - 1; - 6, если х > 3, если х < 3. Первое выражение меняет знак в точке х = -1, второе — в точке х = 3. Поэтому числовая прямая разобьется на три области. а) При х < -1 имеем \х + 1| = -х - 1 и \2х - 6| = = -2х + 6. Исходное уравнение принимает вид: -х - 1 - 2х + 6 = 4 + х. . . Гх+1,е( |2ж-6| = |__2лг + 6)| Решая его, получим х = т . Так как -г > - 1, то найденное решение не является корнем исходного уравнения. б)При-1<х<3имеем\х + 1| = х + 1; \2х-6| = = ~-2х + 6. Уравнение примет вид: х+1-2л: + 6 = 4 + л: <=» х=*. Поскольку -I < 5 < 3, то полученное решение является корнем исходного уравнения. в) При х > 3 имеем \х + 1| = х + 1; |2л: - 6| = = 2х- 6. Имеем: х+1 + 2л:-6 = 4 + л: <=> л: = к . Так как ~ > 3, то полученное решение является корнем исходного уравнения. Ответ: ^; ^. Пример 3*. Решить уравнение \х2 - х - 2| = х + 2. Решение. Чтобы узнать, в каких точках выражение под знаком модуля меняет знак, решим квадратное уравнение: «•-.-«-o-f;:;1- Построив схематично график параболы (рис. 46), легко определить, что х - х - 2 > 0 при х е (-оо; -1] и [2; оо) и х2 - л: - 2 < 0 при * 6 (-1;2). а) При х е (~оо; - 1] и [2; оо) имеем: \х - х-2\ = х - х-2. Исходное уравнение примет вид: х2-х-2 = х + 2 <=> x2-2x-4 = 0«=> JjC-1+л/б, L*-l- 75. Рис. 46
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 85 Так как 1 + 75 > 2, а 1 - УВ < - 1, что легко показать, то оба эти числа принадлежат объединению промежутков. Значит, оба они являются корнями первоначального уравнения. б) При - 1 < х < 2 имеем: \х2 - х - 2| - -(я2 -x-2) = -x2 + x + 2h уравнение примет вид: -х +х + 2 = л: + 2<=»л: = 0. Так как число 0 е (-1; 2), то оно является корнем исходного уравнения. Ответ: 1 - Jb , 0, 1 + Jb . Иррациональные уравнения 1. Уравнения, содержащие один знак радикала второй степени Возведение обеих частей уравнения в степень При возведении обеих частей уравнения в четную степень (в частности, в квадрат), получается уравнение, неравносильное исходному. Кроме корней исходного уравнения могут появиться посторонние корни, т. е. числа, являющиеся решениями возведенного в четную степень уравнения, но не являющиеся корнями исходного уравнения. Избавиться от посторонних корней помогает непосредственная проверка полученных корней в исходном уравнении, т. е. корни поочередно подставляют в начальное уравнение и проверяют, верное ли получается числовое равенство. Пример 1. Решить уравнение Jx -\- 2 = х. Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Имеем: (Jx + 2) = х2 <=> х + 2 = л:2 <=> о x2-x-2 = 0~[XxZ~2h Проверка. При х = -1 Jx + 2 = J-1 + 2 = = 1, но 1 * -1, следовательно, корень х = - 1 — посторонний. При х = 2 Jx Л- 2 = л/2 + 2 = 2. Так как 2 = 2, то проверяемое число действительно является корнем исходного уравнения. Ответ: 2. Равенство нулю произведения (частного) двух выражений Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из выражений равно нулю, а другое при этом имеет смысл. Формально это записывается так: f А(*) = 0, I х е ЩВ); А(х)-В(х) = 0<* f В(х) = О, х е D(A). Частное от деление двух выражений равно нулю, если числитель выражения равен нулю, а знаменатель не равен нулю и имеет смысл (иногда говорят — определен). Формальная запись: [А(*) = 0, ^§-0« \В(х)*0, В{х) [ х е D(B). Пример 2. Решить уравнение (х2-4)- Jx + 1 =0. Решение. Воспользуемся первым утверждением: (x2-4)-Jx + 1 = 0 <=> Г *-2 = 0, I х + 1>0, f х + 2 = 0, I х+1>0, |*2-4 = 0, I х -hi > 0, L х+1=0. Г* = 2, L* = -i. L х + 1 = 0. Ответ: 2; -1. Метод введения новой переменной Пример 3. Решить уравнение х - Jx + 1 = 5. Решение. Обозначим t = Jx + 1 . Заметим, что: a) t > 0 по определению арифметического 2 2 корня; б) t =х + 1, т. е. х = t -1. Уравнение примет вид: *2-1-* = 5 <=> t2-t-6 <=> [Jl?2 Корень * = - 2 не удовлетворяет условию (а), следовательно, не является корнем исходного уравнения. Рассмотрим t = 3, откуда Jx + 1 = 3 или, после возведения последнего уравнения в квадрат, *+1 = 9<=>х = 8. Мы возводили обе части уравнения Jx 4- 1=3 в квадрат, следовательно, -могли появиться посторонние корни, и формально необходима проверка. Следующее утверждение позволяет во многих случаях обходится без формальной провер-
86 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы ки корней, полученных после возведения обеих частей уравнения в квадрат: I g(x) > 0. g(x) 2. Уравнения, содержащие два (три) знака радикала второй степени Возведение в квадрат обеих частей уравнения При непосредственном возведении в квадрат обеих частей уравнения уравнение должно быть сначала преобразовано так, чтобы в одной части стояли только радикалы, а в другой — остальные члены исходного уравнения. Так поступают, если радикалов в уравнении два. Если же их три, то два из них оставляют в одной части уравнения, а третий переносят в другую. Затем обе части уравнения возводятся в квадрат и проводятся необходимые преобразования (приведение подобных и т. п.). Далее все члены уравнения, не содержащие радикалов, снова переносятся в одну сторону уравнения, а оставшийся радикал (теперь он будет только один!) — в другую. Полученное уравнение вновь возводят в квадрат, и в итоге получается уравнение, не содержащее радикалов. Пример 1. Решить уравнение л/3* + 1 - Jx + 4 = 1. Решение. Возводим обе части исходного уравнения в квадрат: (J3x + 1 - Jx + 4)2 = I2 <=> (JSx + l)2 - -2j3x + 1 • л/лГ+~4 + (Jx + 4)2 =!<=> <=>3х +1-27(3* + 1)(х + 4) +х + 4«1. Отсюда 4x + 4 = 2V(3x + 1)(х + 4) или, после деления обеих частей уравнения на 2, 2х + 2 = J(3x + 1)(х + 4). Вновь возводим обе части полученного уравнения в квадрат: (2х + 2)2 = (7(3* + 1)(х + 4))2 <=> «=> 4х2 + 8* + 4 - (3* + 1)(х + 4) <=> х2 - Ъх = 0. Откуда х = 0 либо х = 5. Проверка, а) При х = 0 J3x + 1 - Jx + 4 = = VI - л/i = -1.-1*1, следовательно, л: = 0 — посторонний корень. б) При л: = 5 л/Зх + 1 - V* + 4 = = л/3 • 5 + 1 - л/5 + 4 = 4 - 3 = 1, так как 1 = 1 — тождество, то л: = 5 — корень исходного уравнения. Ответ: 5. Пример 2. Решить уравнение Jx + 1 + л/4* + 13 = 73х + 12. Решение. Возводим обе части уравнения в квадрат: х+1 + 27* + 1 • л/4х + 13 +4*+ 13 = 3*+12. Откуда J(x + 1)(4х + 13) = -1 - *. Еще раз возводим обе части уравнения в квадрат и получаем: (J(x + 1)(4* + 13)) = (- 1 - л:)2 <=> <=>jc2 + 5jc + 4 = 0<=>[^IJ; Делая проверку, устанавливаем, что х = - 1 является корнем первоначального уравнения, а х = - 4 — посторонний корень (при л: = -4 первое подкоренное выражение отрицательно, т. е. это число не входит в область определения первого подкоренного выражения). Ответ: -1. Введение новой переменной Пример 3. Решить уравнение J2x + 6 - л/лГТТ = 2. Решение. Обозначим t =■ Jx + 1. Заметим, что: а) О 0 по определению арифметического эня;б)* = х+1, откуда Уравнение примет вид: 2 2 корня; б) t = х+ 1, откуда х = t -1 л/2(*2 -1) + 6 -1 = 2, или л/2*2 + 4 « t + 2. Возводим обе части этого уравнения в квадрат: (ht2 + 4)2 =(* + 2)2 <=> 2*2 + 4 = 4 + 4* + *2<=> <=>*2-4* = 0 <=> *(*74) = 0<=> [JlJ Значит, либо V* + 1 — 0» откуда л: = -1, либо Jx + 1 = 4, откуда л: + 1 = 16, т. е. л: = 15.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 87 Проверка, а) При х = -1 */2х + 6 - Jx + 1 = = 72 -(-1) + 6 - V-1 + 1 = 2. Так как 2 = 2 — тождество, то л: = -1 — корень исходного уравнения. б) При х =15 J2x + 6 - V* + 1 = = л/2 • 15 + 6 - Vl5 + 1 = 2, так как 2 = 2 — тождество, то х = 15 также является корнем исходного уравнения. Ответ: -1; 15. Пример 4*. Решить уравнение а/*2 + х + 4 + V*2 + х + 1 = л/2*2 + 2х + 9, 2 Решение. Обозначим t = x + х + 4, тогда х2 + л: + 1 = * - 3, 2х2 + 2х + 9 = 2(х2 + л: + 4) + 1 = 2* + 1. Уравнение примет вид: Ji + V* - 3 = л/2* + 1. Возводим его в квадрат: t + 2/t • V* - 3 + *-3 = 2*+1<=> (1) <=» л/*(* - 3) =2. Это уравнение также возводим в квадрат: t -3*-4 = 0 <* [J."1' Проверка. Полученные значения t мы должны проверить в уравнении (1), так как именно оно возводилось в квадрат. Проверка показывает, что t = -1 — посторонний корень, a t = 4 — действительно корень уравнения (1). Отсюда получим: х2 + х + 4 = 4 <=> х2 + х = 0 <=> [*I?i# Ответ: 0; -1. 3*. Уравнения, содержащие радикалы третьей и более высоких степеней При решении уравнений, содержащих радикалы третьей степени, бывает полезно пользоваться следующими тождествами: (а + Ъ)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3 = а3 + Ь3 + За&(а + Ь); (а - Ь)3 = а3 - За2& + За&2 - Ь3 = а3 - Ь3 - За&(а - &). Пример 1. Решить уравнение У2х + 17 - V2* - 2 = 1. Решение 1. Возведем обе части этого уравнения в третью степень и воспользуемся выше приведенным тождеством: (ty2* + 17 - У2х - 2)3 = 13<=>2x + 17-2x + + 2-ЗУ2* + 17 -372л: - 2(У2х + 17 - - \]2х - 2)=1. Заметим, что выражение, стоящее в скобках, равно 1, что следует из первоначального уравнения. Учитывая это и приводя подобные члены, получим: 6= У(2х 4- 17)(2х - 2) « <=» 63 = (2x+17)(2x-2). Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение. Его корни х = 5 и^ = -у. Если считать (по определению), что корень нечетной степени можно извлекать и из отрицательных чисел, то оба полученных числа являются решениями исходного уравнения. Ответ: 5, --«г. Решение 2. Введем две новых переменных у = Ц2х + 17 и г = У2х ~ 2 , тогда у3 = 2х + 17, 2 = 2х - 2. Заметим, что у3 -z3 = 2* + 17 -2* + 2 = 19. В итоге мы получим систему уравнений: ( У-2=1, f 1/-2=1, U3-23 = 19; l(i/-2)(i/2 + i/2 + 22) = 19. Используя первое уравнение системы, преобразуем второе, заменив первую скобку единицей, а во вторую подставим вместо неизвестного у выражение у = г + 1, также полученное из первого уравнения: (г + I)2 + (г + 1)2 + г2 = 19. Приведем подобные члены, раскрыв предварительно скобки и решим полученное квадратное уравнение. Его корни г = 2 и 2 = -3. Вернемся теперь к начальной подстановке и получим искомые решения: \/2х - 2 =2, _V2x - 2 =-3. Решив эти уравнения, найдем корни х = 5 и 25 z = Зл/2х - 2
88 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Если уравнение содержит радикалы более высоких степеней, то наиболее часто используемый способ их решения — введение нового (новых) неизвестного. Пример 2. Решить уравнение Jx + 5 + \Jx + 5 -12 = 0. Решение. Обозначим t , тогда: a) t > 0 по определению корня четной степени; б) t2 - {Мх + 5) = Jx + 5 . Уравнение примет вид: *2 + *-12 = 0 о [Jl?4 Корень * = -4 не удовлетворяет условию (а). Следовательно, Мх + 5 = 3 <=» (V* + 5) = 3 <=> <=>х=76. Ответ: 76. Уравнение с параметром Пример 1. При каких значениях а уравнение 2 2 ах + (а + 2)л: -На -6а+ 1=0 имеет два корня, один из которых больше 1, а другой меньше? Решение. Рассмотрим функцию у = ах2 + (а + 2)х + а2 - 6а + 1 и построим эскиз ее графика. При а = 0 функция становится линейной и двух точек пересечения с осью Ох (корней уравнения у = 0) иметь не может. При а > 0 графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Необходимым и достаточным условием существования корней хг и х2 таких, что хг < 1, а х2 > 1 в, этом случае является единственное условие: у(1) < 0 (рис. 47). Если же а < 0, то условие, соответственно, 1/(1) > 0 (рис. 48). Итак, решение задачи формально задается совокупностью: f а>0, 1а2-4 4а + 3 < 0; f а>0, Ь(1)<0; I f а < 0, I f а < 0, Lb(l)>0; |_1а2-4а + 3>0; Гае(1;3), **\_aG (-оо; 0). Ответ: а е (-оо; 0) U (1; 3). Пример 2. При каких значениях а уравнение 2 ах + 8 + л: =0 имеет два различных корня, каждый из которых больше 2? 2 Решение. Рассмотрим функцию у = х + ах + + 8. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы корни существовали и были больше 2, необходимо и достаточно выполнения следующих условий: (D>0, }х0>29 [ У(2) > 0. Первое неравенство системы определяет существование двух различных корней, второе и третье выполнение условия задачи, третье — направленность вверх ветвей параболы (рис. 49). Решим эту систему неравенств. а2 - 32 > 0, -1>2' f (а-472)(а + 4л/2)>0, » i а < -4, 4 + 2а + 8>0; 1 а > "6> Решая эту систему простейших неравенств, получим результат. Ответ: а е (-6; -472). Пример 3. При каких значениях а уравнение х - Зал: + а + 2 = 0 имеет два различных корня, один из которых меньше 1, а другой больше 2? 2 Решение. Рассмотрим функцию у = х - Зал: + + а 4- 2. Ее графиком является парабола, ветви которой йаправлены вверх. Для того чтобы одна точка пересечения графика с осью Ох была ле- Рис. 47 Рис. 48 Рис. 49
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 89 вее 1, а вторая правее 2 (рис. 50), необходимо и достаточно выполнения только двух условий: - За + а + 2 < 0, - 6а + а + 2 < 0; ** <=>а > Ответ: ае N; Пример 4. При каких значениях а уравнение 2л:2 4- бах + 1 = 0 имеет два различных корня, не превосходящих по модулю единицы? 2 Решение. Рассмотрим функцию у = 2х + бах + + 1. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вверх (рис. 51). Для выполнения поставленных в задании условий необходимо и достаточно решить следующую систему неравенств: 2 + 6а + 1 > 0, 2 - 6а + 1 > 0, 6а - <=> 4 ГУ(1)>0, J уЫ) > о, К х0 < 1, -1<-^<1, ID>0; 1 »< -2<а< Л а>т, а<~Т 1 36а - 8 > 0; °—=«(-i'-£)u(f i) Графическое представление уравнений и систем часто существенно помогает досконально разобраться в решении параметрических задач и наглядно представить решение. Пример 5. При каких значениях а система уравнений j*2 + i/2 = 4, I \х - а\ - у = 0 имеет единственное решение? Решение. Графиком первого уравнения системы является окружность радиуса R = 2 с центром в начале координат (рис. 52). Второе уравнение представим в виде у = \х - а\ и построим его график. Это будет график функции у = |л:| (рис. 53), сдвинутый на а вдоль оси Ох (рис. 54), то есть параметр а «управляет» движением графика вдоль оси Ох. В общем случае (рис. 55) система может не иметь решения или иметь два решения. Единственное же решение система будет иметь только в случае, когда график у = \х - а\ 2 2 касается окружности х + у = 4 (рис. 56). В этом случае имеем прямоугольный и равнобедренный треугольник ОАВ, катет которого R = 2, гипотенуза ОВ = 2 J2 . Рис. 50 Рис. 51 У -1* - *1 \ 2 -2la 0 -2 1 \/у - \х - а\ 1 уч / 1 l ^^ 1 h а X -2 \ 2 1 0 -2 Рис 2,2 . Л 4- у — 4 1 у2 х ;.52 ^j 0 i у-Н/ /V5° Л Рис .53 У « I* - а| ~2\ *>| ^Т о -2 1 Ч J/4*-a| >>^ / J2B х Рис. 54 Рис. 55 Рис. 56
90 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Ответ: система имеет единственное решение при а = 2 V2 либо при а = -2 J2 . Иногда при решении параметрических задач, связанных с квадратным уравнением, бывает полезна теорема Виета. Пример 6. При каких значениях Ь квадрат- ный трехчлен (Ь - 2)х - 2Ьх + 2Ь - 3 имеет два различных корня одного знака? Решение. Заметим, что при Ъ = 2 исходное уравнение имеет единственный корень, следовательно, это значение Ъ не удовлетворяет условию задачи. При Ь * 2 исходное уравнение будет равносильно уравнению: 2 л: - 2Ь х + 2Ь = 0. (1) Ь - 2 ~ ' Ь - 2 Для того чтобы исходное уравнение имело два различных корня, необходимо и достаточно, чтобы его дискриминант был положителен. С другой стороны, если корни приведенного квадратного уравнения (1) имеют один знак, то их произведение должно быть положительным. Произведение же корней приведенного квадратного уравнения по теореме Виета равно свободному члену уравнения. Таким образом, система необходимых и достаточных условий для данной задачи будет иметь вид: &*2, &*2, Ъ2-(Ъ- 2)(2Ь - 3) > 0, 2Ь >0; 1<&<6, >0. Ь ~ 2 \ Ь - 2 Решим последнее неравенство системы методом интервалов: 3> be [-оо; !) U(2;oo). У/////////////"Г о ~<*^$SSS^m Решением системы неравенств будет пересечение решений всех неравенств системы: У///////////// >!» 6 ь Ответ: be (l; |] и (2; 6). НЕРАВЕНСТВА Свойства числовых неравенств 1. Основные определения и свойства Определение. Число а > Ь, если а - b > 0 (а > Ь, если а - b > 0); число а < &, если а - b < 0 (а < &, если а - b < 0). Пример 1. -0,5 < 0,2; -0,1 > -0,9. Свойства неравенств 1) Если a>b,mo Ь<а. Пример 2. Если g > q ' то 8 < 3 * если л/3 < л/5 , то л/5 > л/3. 2) Ясли а>Ь и Ь> с, то а> с. Пример 3. Если -5 > -8 и -8 > -15, то -5>-15. Если 2^ >l| nl| >-5, то2д >-5. 3)Если a>b и с — любое число, то а + с > & + с. Пример 4. Если х-3>2, тох-3 + 3>2 + 3, т. е. лг > 5 (к обеим частям неравенства прибавили 3). Если х + 1,5 < 7, то х < 5,5 (к обеим частям неравенства прибавили -1,5). 4) Если а > b и О 0, то ас> be; если а>Ь и с < 0, то ас <Ьс. Четвертое свойство формулируется так: если обе части данного неравенства умножить на положительное число, то знак неравенства не изменится, если же обе части неравенства умножить на отрицательное число, то знак неравенства изменится на противоположный. При делении неравенства на число действует то же правило, что и при умножении, поскольку разделить обе части неравенства на число с, это 1 все равно, что умножить их на число - . Пример 5. Если Зх < 1,8, то х < 0,6 (обе части неравенства умножили на =) • Если -5л: < 4,5, то х > -0,9 [обе части неравенства умножили на -•= ]. 5) Если а > b и О d, то а + о b + d, т. е. неравенства одинакового знака можно складывать. Пример 6. Если -5 > -8 и 10 > -3, то 5 > -11. Если х + by < 2 и х - Зу < -1, то 2х + 2у < 1.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 91 6) Если а > Ъ > О и о d > О, то ас > bd. Пример 7. Если Jb > JZ и 14 > 8, то 14^5 >873. Если (х + I)2 > 9 и уА > 16, то (х + 1)У > 144. 2. Некоторые важные неравенства Модуль суммы двух действительных чисел не превосходит суммы модулей этих Чисел: \а + Ь\< \а\ + |Ь|. Пример 1. Если а = -7,2, Ь = 5, то \а + Ь\ = |-7,2 + 5| = |-2,2| = 2,2, Н + W = |-7,2| + |5| = 7,2 + 5 = 12,2. Действительно, 2,2 < 12,2. Пример 2. Если а — -=, Ъ = -=, то \а + Ъ\ = W + М = "I * ("И - _8| _8_ '1б| 15' _1| + L1I = 1 + 1 = 1 3 5 3 5 15* тт 8 8 Получим верное равенство: Те = т*• Модуль разности двух действительных чисел не меньше модуля разности модулей этих чисел: \а-Ь\>\\а\-\Ь\\. Пример 3. Если а = -5, Ь = 2, то |а - &| - |-5 - 2| = |-7| = 7, И-М-Н|-|2||-|б-2|-|8|-8. Действительно, 7 > 3. Пример 4. Если а |а-Ь| = ,2 13,Ь = 32,ТО 1?-3^ 13 32 -1 W-M- л II = 1 в* .51 Получим верное равенство: 1 g = 1 g . Решение неравенств и систем неравенств 1. Линейное неравенство Линейным неравенством называется неравенство вида ах + Ь>0, ах + Ь<0, ах + Ь>09 ах + Ь<0, где аиЬ действительные числа, а •*■ 0. Решить неравенство — значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство. При решении неравенств используются их свойства. Пример 1.2х - 3,2 < 0; 2л: < 3,2; х< 1,6. Ответ: х е (-оо; 1,6). 1 Пример 2-~х + 7 > 0 х<56. Ответ: л: е (~°°; 56]. Пример 3.1,5(х - 8) - 2(0,75* + 5) < 0; 1,5л: -12 -1,5л:- 10 < 0; 0 • х - 22 < 0 — верно при любом действительном х. Ответ: х е (-<*>; °о). Пример 4.1,5(х - 8) - 2(0,75л: + 5) > 0; 0 • х - 22 > 0 — ложно при любом действительном х. Ответ: нет решения. 2. Система линейных неравенств Решением системы линейных неравенств называется пересечение множеств решений этих неравенств, т. е. те значения переменной, которые одновременно удовлетворяют всем неравенствам системы. Пример 1. f 7л: + 4 > 2л: - 1,5, \ 5х> -5,5, I 0,3л: - 18 < 0; ^1 0,3л: < 18; ^ Г *>-1Д, I х < 60. На числовой прямой решение каждого неравенства показывают штриховкой соответствующего числового промежутка, тогда решение системы — пересечение заштрихованных промежутков: -1,1 60 ь Ответ: х е (-1,1; 60]. Пример 2. (2,5л: + 1 > 4,3л: - 2, [ -1,8* > -3, 2л:-3<Зл:-5^; <=>|-лг<-2^; ^
92 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы х< 3' х>2\. ///////////Ш% 4 Ответ: нет решений. Пример 3. |lx + 8<-l + !*t f-|*<-4.^ I 4(jc - 0,75) < 5(x + 1); [ -x < 8; J *>16, \ x > -8. -8 <=» 16 Ответ: x e [16; oo). 3. Квадратное неравенство 2 2 Неравенство вида ах + блг + с > 0 или ах + + Ьл: + с < 0 называется квадратным неравенством. Выражение слева от знака неравенства можно рассматривать как квадратичную функцию, тогда решение исходного неравенства сводится к нахождению промежутков знакопостоянства соответствующей квадратичной функции (т. е. промежутков, на которых значения функции положительны или отрицательны). 2 Пример 1.x > 0. Парабола у = х расположена выше оси Ох при любом х * 0 (рис. 57). Ответ: х € (-оо; 0) U (0; оо). 2 Пример 2.-х > 2. Так как -х < 0 при любом действительном значении х, то неравенство не имеет решений. 2 1 Пример 3.x < g ; * " 9 < °" Решение. Изобразим схематично график функции I/ = х - 5 . Для этого найдем нули функции (т. е. точки, в которых у = 0). 2-!=п. 2=1. =1 г^-1 Ветви параболы направлены вверх, так как а = 1 > 0 (рис. 58). 2 1 Неравенство х - g < 0 выполняется при *е Г~3; 3 Г Концы промежутка включаются, так как задано нестрогое неравенство. Ответ: х е [ з;з} Пример 4. -2х - \\х + 21< 0. 2 Решение. Рассмотрим функцию у = - 2х - - 11* + 21 (а = - 2; Ъ = - 11; с = 21). Построим эскиз параболы. Ветви параболы направлены вниз, так как а <0. Найдем точки пересечения параболы с осью Ох: -2х - 11* + 21= 0, J - 4ас -b±J3 11±17 D = Ь2 - 4ас = (-11)2 - 4 • (-2) • 21 = 289, х = 2а -4 * = -7, 3 По эскизу (рис. 59) найдем решение неравенства -2х - 11л: + 21< 0. Ответ: х е (-оо; -7) U ( ^ ; оо \ Рис. 59
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 93 Решение неравенств методом интервалов Пример 1. (х + Ь)(х - 1)х > 0. Решение. Отметим на числовой прямой все точки, в которых левая часть данного неравенства обращается в 0. Эти точки разбивают числовую прямую на промежутки. Найдем знак произведения в левой части неравенства на каждом промежутке. + - + -5 0 1 При х > 1 каждый множитель произведения положителен, следовательно, их произведение также будет положительным (что отмечается знаком «+» над соответствующим промежутком). При х е (0; 1) второй множитель становится отрицательным, другие же множители остаются положительными, следовательно, произведение будет отрицательным. Аналогично определим знаки произведения на промежутках (-5; 0) и (-оо; -5). Решение неравенства — объединение промежутков, на которых значение произведения в левой части данного неравенства положительно. Ответ: х е (-5; 0) U (1; оо). 2 Пример 2.x - 2х - 15 < 0. Решение. Разложим квадратный трехчлен в левой части неравенства на множители, пользуясь теоремой Виета: хг + х2 = 2, Х-уХ2 ~ """ 10, Г*!--8, |_*2 = 5' х - 2х - 15 = (х + 3)(х - 5) < 0. Далее решение неравенства будет аналогично приведенному выше. Записываем ответ с учетом того, что данное неравенство нестрогое (т. е. включая концы промежутков). Отметим, что если степень выражения четная, то значение выражения неотрицательно и, следовательно, знак всего произведения зависит от выражений, возведенных в нечетную степень. + + - - + -5 -1 0 Ответ: х е [-5; 0] U {2} U [4; оо). Точка 2 включена в ответ, так как значение выражения в ней равно 0. Пример 4. (Зх + 5)(2 - Зх)(2л: - 7) > 0. Решение. Это неравенство отличается от предыдущих тем, что коэффициенты при переменной отличны от единицы. Вынесем эти коэффициенты за скобки: '( 3 лс + >0. Разделим неравенство на 3 • (-3) • 2 = - 18. Далее решение стандартно: 7 2 Oraer:*6(-oo;-|]u(s;|). Решение дробно-рациональных неравенств Пример 5. -—^т~ < 0. Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых дробь равна 0, и точки, в которых выражение не имеет смысла (на прямой отмечено пустым кружком). j(* + 3)2 = 0, «I*-""8' -3 5 х Ответ: х € [-3; 5]. Пример 3. (х + Ъ)\х + l)V(x - 2)\х - 4)5 > 0. Решение. Отметим на числовой прямой точки, в которых левая часть неравенства обращается в нуль. -3 1 х Далее решение данного неравенства проводится аналогично вышеприведенным. Так как 2 (х + 3) > 0 при всех х9 то знак дроби зависит от знака знаменателя. Ответ: (-оо; 1). Вообще, частное от деления двух функций (выражений) имеет тот же знак, что и их произведение.
94 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Отсюда непосредственно следует, что следующие два неравенства равносильны (т. е. имеют одинаковые решения): 8{х) > О <=> f(x)g(x) > 0. В случае нестрогих неравенств решения этих неравенств будут совпадать во всех точках, кроме тех, в которых g(x) = 0. Таким образом: /(*)>0tJ £(*)/(*)> о, Пример 6*. Решить неравенство (3 - 2х)(х - 4)3(* + 2)4 (х2 - 9)(х2 + х + 1) >0. Решение. Преобразуем данное неравенство: 3> -2(* - fj(x - 4)3(* + 2)4 >0. (х - 3)(* + 3)(х + х + 1) Разделив обе части неравенства на -2 и заме- тив, что х + х + 1 > 0 (что легко показать, выделив П2 . 3 полный квадрат ^ : х + х + 1 = (я + ^] + \ > 0), получим, что данное неравенство равносильно следующему: (х - |)(* - 4)8(* + 2)4 <0. (я - 3)(х + 3) Отметим на числовой прямой точки, в которых либо числитель, либо знаменатель левой части неравенства обращается в нуль (не забудем, что точки, в которых знаменатель обращается в нуль, следует обвести кружком) и расставим знаки над соответствующими промежутками: + - о «- + -3 -2 3 4 х Ответ: х е [-3; 11 U (3; 4]. -1. 3(* + 4) - 21 - 7(х - 2) + (* + 4)(х - 2) (х + 4)(* - 2) >0; х* - 2х - 3 >0. (х + 4)(* - 2) Согласно теореме о разложении квадратного трехчлена на множители: х - 2х - 3 = (х + 1)(х - 3), тогда (х + 1)(х - 3) >0 (х - 2)(х + 4) . Далее решение неравенства аналогично предыдущему примеру. Решение неравенств, содержащих модуль К простейшим неравенствам, содержащим знак модуля, относятся два типа неравенств: 1) неравенства вида \f(x)\ < g(x)\ такое неравенство равносильно системе неравенств tf(x)<Ax)9 I f(x) > -£(*); 2) неравенства вида |/(л:)| > g(x). Решением такого неравенства является объединение решений двух неравенств: f(x) > g(x) и f(x) < -g(x), или ff(x)>g(x)9 Lf(x)<-g(x). Пример 1. \Sx - 5| > Ix - 6. Решение. Данное неравенство равносильно совокупности неравенств: Г3х-5>7л:-6, Г-4х>-1, |_Зж-5<-7ж + 6; ~ |_Ю*<11; <=> От] 1х^ 1о; нет: х е (-оо; — 1 Пример 2. Решить неравенство 2х + 1 <3. х - 1 Решение. Данное неравенство равносильно системе неравенств: х - 2 (х + 4)(х - 2) х + 4 2* + 1 х - 1 2* + 1 х - 1 <3, >-8; -х + 4 л: - 1 Ъх - 2 <0, >0;
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 95 >о, *м *_б >0. х - 1 Решим неравенства системы методом интервалов. Покажем штриховкой решение первого неравенства системы над числовой прямой, решение второго неравенства — под числовой прямой: + - + ♦|> Решение системы неравенств — пересечение полученных промежутков. На рисунке решение системы отмечено двойной штриховкой. 2 Ответ: х е (-оо; g ] U (4; оо). Пример 3. Решить неравенство: 2х + 1 >3. х - 1 Решение. Данное неравенство равносильно совокупности: ~ х - 4 2х + 1 х - 1 2х + 1 L х - 1 >3, <-3; х - 1 2 *"5 Lx - 1 <0, <0. Ответ: х е Г|;1^и(1;4]. Пример 4. \3х + 1| - |2 - 5х\ > 0. Решение. Обозначим выражения, стоящие под знаком модуля, (1) и (2) и отметим на числовой прямой точки, в которых эти выражения обращаются в 0. Определим знаки этих выражений в полученных числовых интервалах: (1-)(2+) (1+И2+) (1+М2-) Таким образом, можно решать данное неравенство на трех множествах, на каждом из которых раскрывать знак модуля согласно определению модуля. 1) Если х е (-оо; -«), то исходное неравенство равносильно неравенству -Зх- 1 - (2 - 5х) > 0 <=> 2х - 3 > 0 «=> х> g , т.е. х е И-) Так как полученный интервал не имеет с рассматриваемым промежутком общих точек, то на И -i) исходное неравенство не интервале имеет решения. [1 2 \ - 5 ; с I то исходное неравенство равносильно неравенству Зл: + 1 - (2 - 5л:) > 0 <=> «=>8х-1>0«л:>д,т. е. хе ( g ; °° \ Решением будет пересечение двух промежутков: полученного [ « ; оо J и рассматриваемого №)■ Получаем х е ( g ; g j. 3) Если х е г ; оо J, то исходное неравенство равносильно неравенству Зл: + 1 + 2-5л:>0 <=> 3 / 3\ <=>-2х + 3>0 <=> х< g, т. е. хе f-oo; -j. Решением данного неравенства на рассматриваемом промежутке будет пересечение интерва- лов[|;оо)и(-оо;|). mmmmmmmm™™*' Получим хе N; 2). Объединяя решения, полученные на соответствующих множествах числовой прямой, получим ответ: Ответ: х е (1Л) \8* 2)'
96 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Доказательство неравенств Чтобы доказать неравенство, надо показать, что оно справедливо для всех допустимых значений входящих в него переменных (или: на заданном множестве значений переменной). Говорят, что неравенство (2) следует из неравенства (1), если из истинности неравенства (1) следует истинность неравенства (2). Обозначение: (1) => (2). Неравенства (1) и (2) называются равносильными, если (1) => (2) и (2) => (1). Пример 1. Доказать, что сумма положительного числа и обратного к нему не меньше 2: а + - > 2 (а > 0). а Доказательство. а+->2 «=> а+ - -2>0 <=> а а а а Дробь положительна, если числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки. Так как (а - I)2 > 0 при любом действительном значении а и а > 0 по условию, то полученное неравенство (а значит, и исходное) верно для всех а > 0. Отметим, что равенство достигается только в случае а = 1. Пример 2. Доказать, что среднее геометрическое двух неотрицательных действительных чисел не превосходит их среднего арифметического: Jab < ^Цр (а > 0, Ъ > 0). (Jab называется средним геометрическим, —5 средним арифметическим чисел а и Ь.) Доказательство. Jab < а + Ь «=> 2 Jab < a + b <=> <=> {Ja)2 - 2 Jab + (Jb)2 )0o (Ja - Jb)2 > 0, что справедливо для любых неотрицательных чисел а и Ь. Отметим, что равенство достигается только при а = Ь. Замечание. Среднее геометрическое п неотрицательных чисел не превосходит их среднего арифметического для любого конечного набора чисел: Ф\*2 а„ < h + «2 + аз + + а„ Пример 3. Доказать, что 2 2 2 а + b + с > ab + ас + Ьс. Доказательство. Рассмотрим разность левой и правой частей неравенства 2 ^ *2 , 2 а + b + с 1 2 (ab + ас + bc) = г (а 2а& + &) + + |(&2-2&с + с2) + ^ (с2 - 2ас + а2) = |(а-&)2 + + \{Ъ-с)2+\{с-а)2>0. Полученное неравенство истинно, так как 2 2 2 (а- Ь) > 0, (Ь - с) > 0, (с - а) > 0 при любых действительных значениях а, Ь, с. Поскольку 2 2 разность выражений неотрицательна, то а + b + + с > ab + ас + Ьс, что и требовалось доказать. Заметим, что один из методов доказательства неравенств таков: с помощью равносильных неравенств привести данное неравенство к очевидному или к ранее доказанному неравенству. Пример 4. Доказать, что 10а > 3& + 14, если а>ЬиЬ>2. Доказательство. По свойству неравенств, а >&иЬ>2=>а>2. 10а > 3& + 14 <=> 10а - (3& + 14) > 0 <=> <=> 3(а - Ь) + 7(а - 2) > 0, что истинно, поскольку а > &, т. е. а - & > 0 и а > 2, т. е. а-2 > 0. 2 Пример 5. Доказать, что 4а < а +5 при любом действительном значении а. Доказательство. 4а < а2+ 5 <=> а2 - 4а + 5 > 0 <=> о (а2 - 4а + 4) + 1 > 0 «=> (а - 2)2 + 1 > 0, что истинно при любом действительном значе- нии а, потому что (а - 2) > 0 при любом действительном значении а. Пример 6*. Доказать, что Г-2 <а<-0,5, Зт - 2Л 3' если / -1 <т< 3* -5 < h < -2 4*
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 97 Доказательство. 2 -1</п<5 «=> - 3 < Зтп < 2 (обе части неравенства умножили на 3 > 0), -5 < А < -2 ^ » 4 о < -2А < 10 (неравенство умножили на -2 < 0). При сложении неравенств получим 1|<8ш-2*<12,торда^<—4ГД<|. Умножив это неравенство почленно на неравенство 5 < -а < 2, получим ш < z^h-h < §'тогда з^Ьа >_i- Пример 7. Сравнить: 72 + У7 и 75 + 2. Решение. Докажем, что J2 + Jl < Jb +2<г> <=>(72 + V7)2 <(VB + 2)2<=> «=>2 + 2л/14 +7< 5 + 475 +4» <=>9 + 2л/П <9 + 4л/5 «2714 <475 <=> <=> 7П < 275 *=> (7П)2 < (275)2 <=> 14 < 20. Последнее неравенство истинно, значит, 72 + 77 < 75 + 2 истинно. Замечание. При доказательстве было использовано одно важное свойство: если а > Ь > 0, то а > Ь <=> а2 > Ь2. НАЧАЛА ТРИГОНОМЕТРИИ Измерение углов. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике. Основное тригонометрическое тождество 1. Измерение углов. Градус и радиан Центральным углом называется угол, вершина которого лежит в центре окружности, а стороны пересекают окружность. Если окружность разбить на 360 равных дуг, то углом в 1° называется центральный угол, опирающийся на одну из таких дуг (рис. 60). jwj часть угла в 1° называется углом в одну градусную минуту; обозначение: 1'; gTj часть угла в 1' называется углом в одну градусную секунду; обозначение: 1". Измерение углов в радианах основано на следующем геометрическом факте: отношение длины дуги, на которую опирается центральный угол, к радиусу окружности есть число постоянное для данного угла, не зависящее от радиуса окружности. Это число и называется радианной мерой данного угла (рис. 61). I U 1 '2 Ф — радианная мера угла АОВ. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную радиусу окружности. Соотношение между радианной и градусной мерой угла Длина окружности равна L = 2nR. Отсюда от- L о ношение ^ = 2я есть радианная мера полного угла, т. е. угла в 360°. 360° = 2я радиан; 1° = щ радиан; 1 180 кто 1 радиан = — ~ 57°. Замечание. Число п — константа, равная отношению длины окружности к ее диаметру, п — иррациональное число, п ~ 3,141592. Таблица соответствия градусной и радианной мер углов Градусная мера Радианная мера 360° 2я 270° Зя 2 180° Я 120° 2я 3 90° Я 2 60° я 3 45° я 4 30° я 6 Рис. 61 4-1019
98 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 2. Тригонометрические функции в прямоугольном треугольнике Синусом угла а называется отношение длины противолежащего этому углу катета к длине гипотенузы (рис. 62). Обозначение sin а. Косинусом угла а называется отношение длины прилежащего катета к длине гипотенузы. Обозначение: cos а. Тангенсом угла а называется отношение длин противолежащего катета к прилежащему. Обозначение: tg а. Котангенсом угла а называется отношение длин прилежащего катета к противолежащему. Обозначение: ctg а. _ , sin а , cos а Отметим, что tg а = ^^ » с*£ а = sin а cos а 8 17 15 ' 17 8-^? .И--15 8 15* cos а sin а 3. Основное тригонометрическое тождество Поскольку sin а = -, cos а = -, то • 2 _, 2 (ау , (by sin а + cos oc=^-J +(^J = 2 . ,2 а + Ь 2 2 2 но по теореме Пифагора а +Ь = с , отсюда 2 2 sin а + cos а = 1. „ 8 Пример. Пусть а — острый угол и sin а = р= . Найти cos a, tg а, ctg а. Решение. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . 2 in а 8 \2 2 2 sin cc + cos а= 1; ( 8 У 2 I p=J +cos а= 1; 2 - 64 cos а=1"289; 2 225 cos а=289; 15 cos а = yf ; tgcc = 1 15-7 ctg а = г— = -=- =1з. ь tgcc 8 8 Тригонометрическая окружность. Решение простейших тригонометрических уравнений 1. Тригонометрическая окружность Тригонометрической окружностью (кругом) называется окружность на координатной плоскости с центром в начале координат, радиус которой равен 1. (Другое название: единичная окружность.) Пусть Р0— точка тригонометрической окружности с координатами (1; 0); Ра— точка, полученная поворотом точки Р0 вокруг начала координат на угол а (рис. 63). Если точка Ра получена поворотом точки Р0 против часовой стрелки, то угол а считается положительным, если же поворот происходит по часовой стрелке, то угол а считается отрицательным. 2. Определение тригонометрических функций Если точка Ра получена поворотом точки Р0 тригонометрического круга на угол а, то синусом угла называется ордината точки JPa, а косинусом — абсцисса этой точки (рис. 64). sin a = х; cos a = у. Замечание. Эти определения согласуются с определениями тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике: sin a = ^ = | = у; cos a = 5 = т = х. а Ь sin ae- cos a = - с с tgo- I ctg a = - "i /s 1 ** \ ° Aa cos a Y* a,o)m X Рис. 62 Рис. 63 Рис. 64
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 99 Тангенсом угла называется отношение синуса этого угла к его косинусу. , sin а tg а = . & cos а Рассмотрим касательную к единичной окружности в точке Р0 (рис. 65). Из подобия треугольников имеем: sina _ ^о cos а "~ 1 * то есть АР0 = tg а. Таким образом значения тангенсов углов отмечаются на касательной к единичной окружности в точке Р0. Эта касательная называется линией тангенсов. Значения тангенсов, отмеченные выше оси Ох, — положительны, ниже — отрицательны. Котангенсом угла называется отношение косинуса угла к его синусу. , cos а Ctff ее = —— . й sina Значения котангенсов углов отмечаются на касательной к единичной окружности в точке Рп (рис. 66). Справа от оси Оу расположены ПО- ложительные значения котангенсов, слева — отрицательные. 3. Значения тригонометрических функций некоторых углов Продолжение а° ос, рад sina cos а 0° 0 0 1 30° я 6 1 2 Л 2 45° к 4 72 2 Л 2 60° я 3 Л- 2 1 2 90° я 2 1 0 180° я 0 -1 270° Зя 2 -1 0 tga ctga 0 не опр. 1 73 Л 1 1 Л 1 л не опр. 0 0 не опр. не опр. 0 Пример 1. Вычислить sin 405°. Решение. Поворот на угол 405° можно заменить одним полным оборотом и поворотом на угол 45° (рис. 67). То есть sin 405° = sin (360° + 45°) = = sin45°=^. Пример 2. Вычислить cos 1440°. cos 1440° = cos (360° • 4) = cos 0° = 1. Поворот на угол 1440° можно заменить четырьмя полными оборотами точки Р0. 4. Решение простейших тригонометрических уравнений Пример 1. Решить уравнение cos х = 0. Решение. Нулю равны абсциссы точек пересечения единичной окружности с осью ординат, т. е. абсциссы точек Рп и Р к (рис. 68). Точке 2 ~2 Рл соответствуют углы 2 5; 5+360°; 5+720°;.... Точке Р п соответствуют углы: "2 -5; -5+360°; -5+720°;.... Решение уравнения можно записать в общем виде: к х = +0 + 360°я, где п — любое целое число. у\ /о / с 1 и \ ° 1 -^V /\ ^ i А 8 Ь0 +» Ро _ X vi г к. li2 ♦ 2 ctga А. J ■ ( с ^ 1 ~X405' *f ar° / X Рис. 65 Рис. 66 Рис. 67 Рис. 68
100 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 2. Решить уравнение sin х = ~ • Решение. Рассмотрим точки единичной окружности, ординаты которых равны ^ (рис. 69). Точке Ра соответствуют углы: g; g +360°; I +720°;.... В общем виде: g + 360°я. Точка JPp симметрична точке Ра относительно оси ординат. Из равенства углов, отмеченных на рисунке 69, следует, что р = 180° - 30° = 150°. Таким образом, точке Рр соответствуют углы: Ц;Ц +360°; ^+720°;.... 5 я В общем виде: -g- + 360°п. Пример 3. tg х = 7з . Решение. 7з — табличное значение тангенса угла, равного g • Найдем общий вид углов, имеющий тангенс, равный 7з. Рассмотрим единичную окружность и линию тангенсов. Отметим на линии тангенсов число 7з « 1,7 (рис. 70). Ответ: х = g + ял. Формулы приведения. Основные тригонометрические формулы 1. Формулы приведения Для упрощения вычислений и выполнения преобразований тригонометрические функции любых углов часто приводят к тригонометрическим функциям острых углов. Для этого 1 ( ° рь\ 1 1 Р-У Ла i '7з Р» X используются формулы приведения. Наглядной иллюстрацией формул приведения служит тригонометрическая окружность. Отложим на тригонометрической окружности точку Ра так, чтобы угол Р0ОРа = а был острым. Рассмотрим А ОРаС, катеты которого равны cos а и sin а. Затем отложим угол -у + а, где 1 < п < 3, и также рассмотрим треугольник, ка- I • ^яп , Л теты которого равны по величине sin [ -=- + а I и cos (т +а) Замечая равенство построенных треугольников, записываем, с учетом знака, равенство соответствующих катетов. Пример. <р-gic-jx Рис. 69 Рис. 70 ОС = cos а; РаС = sin а; ОСх = sin (у - а); ОСг = ОС; sin ( y — ex J == -cos а. Запишем также формулы приведения в виде тождеств. Углы первой четверти cos (а + 360°) = cos а; sin (а + 360°) = sin а; tg (а + 360°) - tg а; ctg (а + 360°) = ctg а. Углы четвертой четверти cos (-а) = cos а; sin (-а) = -sin а; tg (-а) = -tg а; ctg (-а) = -ctg а. Углы третьей четверти cos (а+180°) = = -cos а; sin (а + 180°) = = -sin а; tg (а+ 180°) = tga; ctg (а + 180°) = ctg а. [ctg а /sin а \ ^ ? -1зо8 а tga X -ctg а ^^ina 1 о Vsina 1 S)a\ ^Ч-а ctg а Kg а 1 х ptga », /sin а /-cos a 1 1 of Лх + 180* 1 cos a -sine/ ctg a 4ga X
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 101 Углы второй четверти cos (а + 90°) = = -sin а; sin (а + 90°) *» = cos а; tg (а + 90°) = = -ctg а; ctg (а+ 90°) = = -tg а. ctg (а+ 90°) tg(a + 90°) Запишем формулы приведения в виде таблицы 1, используя радианную меру углов. 2. Основные тригонометрические формулы Основное тригонометрическое тождество 2 2 cos a + sin a = 1 При выполнении преобразований тригонометрических выражений используются также формулы, являющиеся следствиями основного тригонометрического тождества: 2 - . 2 .2 - 2 cos a = 1- sin a; sin a — 1 - cos a; Формулы двойного угла 2 2 2 cos 2a — cos a - sin a — 2 cos a - 1 = = 1-2 sin2 a; sin 2a — 2 sin a cos a; . rt 2tga к , tg 2a = 2-5-, a Ф 5 + nn- 1 - tg a Формулы половинного угла cos a =+ /l + cos a 2 ~V 2 ; a , /l - cos a m2=±J 2 ; sin . a sin a tgo = 1 - cos a sin a , a*nk. l + tg2a= X 2 ' cos a 1 + ctg' a - 1 . 2 ' sin a Приведем также еще одну полезную формулу: tgaectga=l. Формулы суммы и разности углов cos (a + Р) — cos a cos p - sin a sin p; cos (a - p) — cos a cos p + sin a sin p; sin (a + P) = sin a cos P + cos a sin P; sin (a - P) = sin a cos p - cos a sin p; *<■+"»-r^sift' 2 1 + cos a Формулы преобразования суммы (разности) в произведение _L-a o-a + P a - Р sin a + sin р = 2 sin —=-£ cos —g-^; . a 0.a-p a + P sin a - sin p = 2 sin —5-*- cos —g-1-; an a + P a-p cos a + cos p = 2 cos —^"^ cos —g-1-; Q 0 . a + p . a - p cos a - cos p — -2 sin —s-^ sin —^ ; sin a cos P = 9 (s*n (a + P) + s*n (a " P))» sin a sin p = 5 (cos (a-p) - cos (a + p)); cos a cos p = 5 (cos (a + P) + cos (a - P)). Дополнительные формулы 2 tga Л ^ sin a = 5 , a Ф к + 2кп, n € Z, 1J. 2CX («-J + яп, P Ф ^ + nn9 a + p Ф I + nn J. cos a = 1 -tg 2 Л . 4. 2(X 1 +tg 2 , a Ф к + 2яп, ne Z. Таблица 1 Ф 8Шф СОЭф tg<P ctgcp a + 27c/i sin a cos a tga ctg a -a -sin a cos a -tga -ctg a rc-a sin a -cos a -tga -ctg a тс + а -sin a -cos a tga ctg a к « — a 2 cos a sin a ctg a tga 2+a cos a -sin a -ctg a -tga Зл -z— a 2 -cos a -sin a ctg a tga 371 ^ -cos a sin a -ctg a -tga
102 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Доказательство тригонометрических тождеств. Вычисление значений тригонометрических выражений Тригонометрические тождества доказывают с помощью тождественных преобразований следующими способами: 1) преобразуют одну часть равенства до тех пор, пока она не станет формально (побуквенно) равна другой части равенства; 2) преобразуют обе части равенства, пока не придут к одному результату; 3) рассматривают разность между правой и левой частью равенства и доказывают, что при любых допустимых значениях входящих туда тригонометрических функций эта разность равна нулю. Пример 1. (sin а - cos а) = 1 - sin 2а. Решение. Преобразуем только левую часть: 2 2 2 (sin а - cos а) = sin а - 2sin а cos а + cos а = 2 2 = sin а + cos а - sin 2а = 1 - sin 2а. Мы получили буквальное совпадение выражений в левой и правой частях равенства, значит, тождество доказано. пРимеР 2- (sh " *е «Xssh + tg °0 = = 2 cos2a - cos 2a. Решение. Заметим, что данное выражение имеет смысл только при cos а Ф 0, т. е. при a* п + ял- Тождественно преобразуем левую часть равенства: (_L- -tga¥^- +tf aW-Ц* -tg2a = I cos а ъ Л cos a 6 ) \qosol) 6 Решение. Рассмотрим разность между левой и правой частью равенства и преобразуем ее: sin6 + ") 1 + cos(i + а) sin 2а cos 2а .я тс . sin 2 cos а + cos т sin а тс . тс . cos 7 cos а - sin т sin а 4 4 cos а + sin а -5-(cosa + sin а) -«-(cosa - sin а) 1 + sin 2а 2 2 cos а - sin а 1 + sin 2а (cos а - sina)(cosa + sin а) (cos а + sin а) - (1 + sin 2а) (cos а - sina)(cosa + sin а) 2 2 cos a + 2 cos a sin a + sin a - 1 - sin 2 a 2 2 cos a - sin a 1 + sin 2 a - 1 - sin 2 a = 0. 2 cos a . 2 sin a 2 cos a . 2 sin a 2 cos a 2 cos a 2 cos a = 1. Значит, левая часть равна 1 для любых допустимых значений а. Преобразуем правую часть: 2 2 2 2 cos a - cos 2a = 2 cos a - (2 cos a - 1) — = 2 cos 2 a - 2 cos 2 a + 1 = 1. Правая часть равна 1 при любых значениях а. Следовательно, исходное равенство есть тождество для всех допустимых значений а. Пример 3. tg ( 2 + а)= 1 + sin 2а cos 2а cos 2 а Разность выражений равна 0, значит, данное равенство действительно является тожеством для любых значений а, кроме тех, при которых cos 2а = 0 или cos (| + а ] = 0. Замечание. При выполнении данного примера использовались следующие формулы алгебры * и тригонометрии . 1) sin I 2 + a 1 = sin 7 cos a + cos I sin a — синус суммы двух углов. лч (Ъ . "\ Я .71. 2) cos (т + a I = cos т cos a - sin т sin a — косинус суммы двух углов. 2 2 3) cos 2a = cos a - sin a — косинус удвоенного угла. .v . тс тс J2 4) sin 2 = cos 7 = "5 значение тригонометрической функции для угла т (45°). *При записи доказательства конкретного тождества ни перечисления, ни ссылок на стандартные формулы не требуется.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 103 5) cos2ot - sin2ot = (cos а - sin a)(cos a + sin a) — 2 2 формула сокращенного умножения: a - b = = (a - b)(a + b). 6) (cos a + sin a)2 = cos2 a + 2 cos a sin a + sin a. 2 Формула сокращенного умножения (a + 6) = = a2 + 2ab + b2. 2 2 7) cos a + sin a = 1 — основное тригонометрическое тождество. 8) 2 sin a cos a = sin 2a — формула синуса удвоенного угла. Пример 4. 2 sin a + 2 sin 3a + sin 5a = 4 sin 3a cos a. Решение. Преобразуем левую часть равенства при помощи формулы суммы синусов для первого и третьего слагаемых, sin a + 2 sin 3a + sin 5a = sin a + sin 5a + 2 sin 3a = a + 5a 5a - a = 2 sin cos + 2 sin 3a = 2 wo 2 = 2 sin 3a cos 2a + 2 sin 3a = 2 sin 3a (cos 2a + 1) = = 2 sin 3a (2 cos 2 a - 1 + 1) = 4 sin 3a • cos a. Тождество доказано. Пример 5. Упростить выражение 4 1 4 cos х - 2 cos 2л: - 5 cos ^Хт Решение. Воспользуемся формулами: 2 1 + cos 2х л о 2 0 - cos х= 5 * cos4x = 2cos 2х-1. Имеем: f\ + сов2лЛ2 <! , - 2 cos 2х - | (2 cos2 2х - 1) = = 1 + 2res^£ + соН^ае - "2тяиь2о: - co§^2jc + т2 2# __ ^ -7 1 + sin 4a - cos 4a Пример 6. Упростить :—— . г г 1 н- cos4a н- sin4a Решение. Первое преобразование: 1 + sin 4a = 1 + 2 sin 2a cos 2a = 2 2 = sin 2a + cos 2a + 2 sin 2a cos 2a = 2 = (sin 2a + cos 2a) . Второе преобразование: 2 2 cos 4a = cos 2a - sin 2a — (cos 2a + sin 2a)(cos 2a - sin 2a). Таким образом, 1 + sin 4a - cos 4a _ 1 + cos 4a + sin 4a 2 2 2 (sin 2a + cos 2a) - (cos 2a - sin 2a) 2 2 2 (sin2a + cos2a) + (cos 2a - sin 2a) 2 (sin 2 a+cos 2 a) -(cos 2 a-I-sin 2 a) (cos 2 a - sin 2a) _ 2 ~~ (sin 2a + cos2a) +(cos2a + sin2a)(cos2a - sin 2a) (flinflq I roygpQ(sin2a-l-iuo&gtr-xeggtr+3in2a) juiiiflu I HMifli^(£»r^+cos2a+cos2a-..flia-gTr) 2 sin 2a , rt = 75 яг = tg 2a. 2 cos 2a ь Пример 7. Упростить sin 3 a 1 - 2sin (i - -) -cos («♦»■ 1 к Решение. Заметим, что 1 = 2 • « = 2 sin g . Тогда знаменатель дроби можно представить в виде: 2 sin g - 2 sin Г | - 2a J = = 2( sin g - sin f g - 2a J J = 2 • 2 sin a cos ( g - a j. Преобразуем числитель: sin 3a = sin (a + 2a) = sin a cos 2a + cos a sin 2a = = sin a (cos 2a + 2 cos a). Имеем: sin 3 a 1 - 2sin __ si»tt(co8 2a + 2 cos a) _ fg - 2a] 4si*rtfcos(~ - a] 4 cos a - 1 4 cos (i-) 2 m 4cos a - 1 / , л \ Тогда --cos(a+gJ = 4cosU " aJ 4cos a - 1 - 4cos(a + gjcosfg - a] 4 cos 4 cos' (s -a) 'a - 1 - 2[ cos 5 -f cos 2a j 4 cos S-) = 4cos a - 1 - 1 - 2(2cos a - 1) =Q 4coe(g - a)
104 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Пример 8. Вычислить значение выражения. . 5л , . 2я sin jo + sin-Q- 2 sin 5л 2л COSJq + cos-g- 2 cos 5л 2л 5л _2яГ 18 + 9 18^9 ~2~с>2~ 5л 2л 5л 18 9 1 —2—у^ 2 2 suit 2 cost -1. Пример 9*. Вычислить sin a sin За, если cos 2а =-« . Имеем: sin а sin За = 5 (cos (За ~ «) - cos (За + а)) = 1 12 = 5 (cos 2сх - cos 4а) = ~ (cos 2а - (2 cos 2а - 1)) = «g(coe2a-2coe22a+l)«g(-J -2-g +l)-g. 5 - 4 cos а Пример 10*. Вычислить ( • а о аЛ2 (юп2 - 2cosgJ если tg g в""2 * , a sinl 1 а 0 . а tg 2 = ""о = "I » сое g - -2вш 5 =* cos g . а 0 а . а 0/ 0 . а Л с . а => sin « - 2 cos g = sin g - 21 -2 sin g J = 5 sin g • Имеем: к л 5 - 4(l - 2sin2|l 5 - 4cosa v */ (sing - 2cosg] (5sing] 1 + 8sin2g oc . 2a 25 sin g i. 2a tg2 2 5 sin n2 ^8 .2a - + gg, но sin g = H) 1 + tg 2a 1 + 1\2 H) Toi*aS + s =si ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ 1. Числовые последовательности Конечной числовой последовательностью является любой конечный набор действительных чисел, каждое из которых имеет свой номер, то есть натуральное число, поставленное в соответствие данному действительному. Если таких номеров конечное число, то последовательность конечна. Если же любому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое действительное число (единственное), то последовательность является бесконечной. Способы задания числовых последовательностей. 1) Табличным способом задаются конечные числовые последовательности: составляется таблица, в одной строке которой записываются натуральные числа — номера членов последовательности, в другой — действительные числа, поставленные в соответствие данным натуральным (значения членов последовательности). Такое задание числовой последовательности происходит при заполнении большинства карт наблюдений, результатов эксперимента и т. п. Пример 1. Ученик решил узнать среднюю температуру воздуха первой недели июля. Для этого он измерял температуру каждый день с 1 по 7 июля, а результаты заносил в таблицу: Дни недели Температура 1 26 2 28 3 31 4 29 5 32 6 26 7 24 Таким образом, средняя температура воздуха равна t = -=- = 28. 2) Функциональный способ задания числовой последовательности: каждый член последовательности задается как функция своего номера. 1 2 Примеры. 1) ап = - ; 2) ап = 2л - Зп; В)ап-(-1)п; 4)0» = cos п. В приведенных примерах л - 1, 2, 3, 4, .... Подставляя конкретное значение п в формулу, можно определить значение члена последовательности с соответствующим номером.
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 105 Например, четвертый член последовательности 2) равен ап = 2 • 4 - 3 • 4 = 20; последовательность 1) имеет следующие члены: 1.1.1.1. х» 2' 3' 4' "" 3*) Рекуррентный способ задания числовой последовательности: каждый член последовательности, начиная с некоторого, задается как функция от одного или нескольких предыдущих членов. Примеры. 1) ап + г = Зап + 7; Свойства последовательностей (*) Последовательность называется ограниченной сверху, если существует такое число А, что для любого номера п верно неравенство ап < А, то есть любой член последовательности не превосходит некоторого числа. Соответственно, числовая последовательность ограничена снизу, если существует такое число В, что для любого номера п выполняется неравенство ап > В. Числовая последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху, и снизу. Пример 1. Последовательность ап = -п ограничена сверху, так как любой ее член ап < - 1. Пример 2. Последовательность ап = 2л + 1 ограничена снизу, так как любой ее член ап > 3. Пример 3. Последовательность ап = (-1)п ограничена, так как для любого ее члена верно неравенство -1 < ап < 1. Последовательность называется монотонно возрастающей, если любой ее член, начиная с некоторого номера, не меньше предыдущего, то есть ап + ! > ап. (Если же выполняется строгое неравенство ап + г > ап, то последовательность называется строго монотонно возрастающей.) Соответственно, когда любой член последовательности, начиная с некоторого номера, не превосходит предыдущего, то последовательность называется монотонно убывающей (то есть, если, начиная с определенного номера, выполняется неравенство ап + г < ап). Пример 4*. Доказать, что последовательность = Зп " 1 °п Ъп + 4 монотонно возрастающая и ограниченная. Решение. Рассмотрим два соседних члена последовательности сЛ + 1исли докажем, что выполняется неравенство сп + г > сп. 3(л + 1) - 1 Зл + 2. Зл °п Ъп + 4 ' n + 1 5(л + 1) + 4 Ъп + 9* Рассмотрим разность: 5л + 4 5л + 9 = Зп + 2 _ Зл - 1 ^ °л + 1 °п Ъп + 9 Ъп + 4 = (Зл + 2)(5л Н- 4) - (Зл - 1)(5л + 9) = (5л + 9)(5л + 4) 15л2 + 22л + 8 - (15л2 + 22л - 9) = (5л + 9)(5л + 4) = 17 (5л + 9)(5л + 4)' Так как в числителе полученной дроби положительное число 17 и в знаменателе при любом натуральном л также положительное число, то сп + 1-сп>0 *> Сп + 1>сп- Значит, эта последовательность строго монотонно возрастающая. Снизу она ограничена чис- 3-1-1 2 ЛОМС1=5ТП=9* Докажем, что эта последовательность ограни- 3 чена сверху числом g , & Действительно, с„ - ■= — -—— п о 5л + 4 5л + 4 3 5 15л - 5 - 15л - 12 -17 5(5л + 4) 5(5л + 4) Полученное выражение при любом натуральном п отрицательно, то есть cn-g<0 <=> cn<g. Итак, g < с < g . Мы показали, что данная последовательность ограничена снизу и сверху, следовательно, она просто ограничена. 2. Арифметическая прогрессия Числовая последовательность называется арифметической прогрессией, если любой ее
106 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом d * 0. Число d называется разностью арифметической прогрессии. Название «разность прогрессии» происходит от того, что для любых двух последовательных членов прогрессии их разность является постоянным числом d, то есть ап + 1- ап = d. Примеры. 1) 2; 20; 38; 56; 74 — конечная возрастающая арифметическая прогрессия; аг = 2;d = 18; 2) 4,2; 0; -4,2; -8,4; ... — бесконечная убывающая арифметическая прогрессия; аг = 4,2; d =-4,2; S)-l; 8' 4' 8 8' 4'" — бесконечная возрастающая арифметическая прогрессия; 1 а 1 ai " "2;d=8- Формула 71-го члена арифметической прогрессии: Пример 1. Дана арифметическая прогрессия 13; 11; 9; ... Найти, чему равен 31-й член этой прогрессии. Решение. Найдем разность этой прогрессии: 11-13 = -2. Первый член прогрессии а1 = 13, следовательно, по формуле л-го члена, имеем: а31 - ах + (31 - 1) • (-2) - 13 + 30 • (-2) = -47. Ответ: а31 = -47. Свойство членов арифметической прогрессии Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних с ним: ап-1 + ап + 1 /1Ч <*„ 2 • (1) (Благодаря этому свойству последовательность и называется арифметической прогрессией.) Верно и обратное утверждение: если все члены некоторой числовой последовательности, начиная со второго, удовлетворяют условию (1), то эта последовательность является арифметической прогрессией. Пример 2. Дано два числа: -11 и 35. Какое число, лежащее между ними, нужно выбрать, чтобы полученные три числа составляли арифметическую прогрессию? Решение. Учитывая утверждение, обратное сформулированному свойству членов арифметической прогрессии, найдем нужное число: -11 + 35 1П л л л* а2 = g = *2, т. е. три числа: -11; 12; 35 составляют арифметическую прогрессию. Ответ: число 12. Формула суммы первых п членов арифметической прогрессии Сумма первых п членов арифметической прогрессии равна среднему арифметическому первого и л-го члена этой прогрессии, умноженному на их количество. Sn = al + a2 + -+an== а1 +ад 41. (2) Из формулы (2) следует и другая формула для Sn: 2а* + d(n - 1) Sn=-±—2 п. (3) Пример 3. Найти сумму первых 17-и членов арифметической прогрессии -7; -5; ... . Решение. Найдем разность этой прогрессии d = -5 - (-7) = 2. По формуле (3) найдем сумму первых 17-и членов: _ 2-(-7) + 2*(17 - 1) Ответ: S17 = 153. •17 = 153. Пример 4*. Сумма первых 13-и членов арифметической прогрессии равна 65, а сумма членов с 10-го по 20-й равна 429. Найти сумму членов этой прогрессии, начиная с 7-го по 23-й включительно. Решение. Пусть d — разность этой прогрессии, аг — ее первый член. Воспользуемся формулой (3) для суммы прогрессии. Имеем: 2ал + (13 - l)d S13 - — g 13 = 65' откуда 2аг + 12d = 10. Члены исходной прогрессии с 10-го по 20-й представляют из себя также арифметическую прогрессию с той же разностью d, но только первым членом этой прогрессии является число а10, а количество членов, составляющих сумму, данную в условии задачи, равно 11. Используем формулу (2): аю + а20 •11 = 429 <=> а1П + а9П = 78 ю *20"
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 107 Учитывая, что a10 = a1 + (10-l)d; a2o = ai + (21 - l)d; a10 + a20 — 2ax + 29d; имеем систему: f 2ax + 12d = 10, f 2ax + 12d = 10, f 2ax + 12d = t 17d = 68; [ 2аг + 29d = 78; f d = 4, ^ja^-19. Найдем теперь сумму, начиная с 7-го по 23-й член прогрессии. а7 = аг + (7 - 1) • 4 = -19 + 24 = 5. а23 = аг + (23 - 1) • 4 = -19 + 88 = 69. Искомая сумма: а7 + а 2 -(23 - 7) = Ц-69 .16 = 37-16 = = 592. Ответ: 592. 3. Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия — это числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число д, называемое знаменателем геометрической прогрессии, причем q Ф 0, \q\ Ф 1. Примеры. 1) 2; 7; 24,5; 85,75 — конечная возрастающая геометрическая прогрессия; Ьх = 2; д = 3,5. 2) -3; 9; -27; 81; -243; ... — бесконечная геометрическая прогрессия; Ьг = -3; q = -3. Эта последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей. 3) 2; 1; £ ; 7 ; 8 ; ,,# — бесконечная убывающая геометрическая прогрессия; Ьг = 2; q = ~ • Формула л-го члена геометрической прогрессии: Пример 1. Дана геометрическая прогрессия: т ; г ; 1; ••• Найти ее 9-й член. Решение. Найдем знаменатель прогрессии: 4 Первый член прогрессии Ъх = т . По формуле п-го члена: Ь9 — bxg ~ = т • 2 = - 26 - 64. Ответ: Ь9 = 64. Свойство геометрической прогрессии Каждый член геометрической прогрессии, начиная со второго, есть среднее геометрическое двух соседних с ним: Верно и обратное утверждение: если все члены числовой последовательности, начиная со второго, удовлетворяют равенству (4), то данная последовательность является геометрической прогрессией. Пример 2. Какое число нужно поместить между числами 3 и 243, чтобы три числа составляли геометрическую прогрессию? Решение. Воспользовавшись сформулированным выше условием, найдем такое число. Пусть Ьг = 3, Ь3 = 243, тогда 62= V3 • 243 =27. Три числа: 3; 27; 243 составляют геометрическую прогрессию. Ответ: Ь2 - 27. Формула суммы первых п членов геометрической прогрессии Пример 3. Найти сумму первых 8-ми членов 1 1 1 прогрессии ^7 5 уд > I' **• * Решение. В данной прогрессии Ьг = тгт ; 1 1 А g = т^ : ^7 = 4, следовательно, с _ 1 1 - 48 21845 Ответ: '8 64 1-4 21845 64 * 64 Пример 4*. Известно, что восьмой член геометрической прогрессии в восемь раз больше пятого ее члена, а шестой член на 15 больше второ-
108 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы го. Найти сумму членов прогрессии со второго по девятый включительно. Решение. Пусть Ьх — первый член данной прогрессии, a q — ее знаменатель. Тогда, по формуле л-го члена, можем записать: 7 А *» bS = ь\9 » ЬЪ = b\Q > b6 e biQ '> Ь2 = biQ- По условию: Ьл b+q « г2=8=>-Ц=8«*д=8«*д = 2. *5 bxq* По условию: &6-&2 = 15 => М5-Ь1д= 15<=> <=>bxg(g - 1) = 15. Тогда&1-2-(24-1) = 15 <=> &х - \ . Последовательность Ь2> &з> Ь4> •••» ^9 — также является геометрической прогрессией с тем же знаменателем q = 2, а ее первый член — число &2 = 1. По формуле суммы: откуда 1 -28 8 S = 1 • V—Т = 2 ~ 1 = 255. Ответ: 255. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия — это бесконечная геометрическая прогрессия, знаменатель которой q по модулю меньше 1, т. е. \q\ < 1. Сумма всех членов бесконечной прогрессии S = &х + Ъ2 + &з + ••• + К + — есть конечное число, определяемое формулой: Пример 5. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии 3-1- 1-1 . Решение. Первый член этой прогрессии Ьг = 3, знаменатель g = 5 > тогда 1 9 КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ КУРСА АЛГЕБРЫ 10-11 КЛАССОВ Показательная функция 1. В курсе средней школы принимается без доказательства, что положительное число а можно возводить и в иррациональную степень х; х хп а приблизительно равно а , где хп — рациональное число. Причем это приближение может быть сколь угодко точным при достаточной точности приближения иррационального числа х рациональным числом хп. Функция, заданная формулой вида у = ах, где а — некоторое положительное число, не равное единице, называется показательной. 2. Функция у = а* при а > 0 обладает следующими свойствами, которые иллюстрируются ее графиком (рис. 71, 72): а)Я(/) = Я,£(Я = (0;оо). б) Функция возрастает при а > 1; функция убывает при 0 < а < 1. Показательные уравнения и неравенства 1. Решением уравнения а* = Ъ служит х = = loga Ь. Уравнение а/(х) = а*х) (где а > 0, а * 1) равносильно уравнению f(x) = g(x). 2. Уравнение вида Аа + Вах + С = 0 с помощью подстановки а* = у сводится к квадратному уравнению Ay + By + С = 0. Примеры. Решить уравнения: 1)52х-6-5х+5 = 0; 2)3-16х + 2-81х = 5-36х. S = 3 + 1 + ... = 3< Ответ: S = « 1 3
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 109 1) Положим 5х = у. Тогда 5 х = (5х) = у и 2 данное уравнение примет вид у - 6у + 5 — 0, откуда уг = 1, i/2 = 5» *1 = 0, х2 = 1. 2) Разделив части уравнения на 36х Ф О, полу- -»•(ЙГ*"(ЙГ-»-ЙГ+*-(!Г-* х 2 Положим (4/9) = у. Тогда имеем Зу + - =5; Зг/2 - Ъу + 2 - 0; ух = 1; i/2 = \ 5 (§)* - 1; *i - 0; (4Л* 2 1 Ы 3;Х2 2 е 3. Решение показательных неравенств вида af(x) < а^(х) ^где а > о, а ^ 1) основано на следующих утверждениях: если а > 1, то afM < а*х) <=* /(*) < g(x); если 0 < а < 1, то а/(х) < а*х) «► /(*) > g(x). 4. Примеры. Решить неравенства: 1)3Х< |; 2) (0,25)6х"х2 >0,255; 3) 4х - 6 • 2х + 8 < 0. 1) Замечая, что 1/9 = 3~2, перепишем данное х —2 неравенство в виде 3 < 3 . Так как основание степени больше 1, то х < -2. Получаем ответ: (-<*>; -2). 2) Поскольку 0 < 0,25 < 1, заданное неравенство равносильно неравенству 6х - х < 5, т. е. (х - 1)(х - 5) > 0. Решая последнее, получаем ответ: (-оо; 1) и (5; оо). 3) Положим 2х = у; тогда 4х = (2х) = у и дан- ное неравенство примет вид у - 6у + 8 < 0. Решая это неравенство, находим 2 < у < 4 или 2 < 2х < 22, откуда К х < 2. Итак, (1; 2) — решение данного неравенства. Логарифм и его свойства 1. Логарифмом числа Ъ по основанию а (где а > 0, а Ф 1) называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число Ъ. Логарифм числа Ь по основанию а обозначается символом loga Ь. 2. Если а > 0, а * 1, то loga Ъ по определению есть показатель степени, в которую надо возвести число а, чтобы получить число Ь. Поэтому ра- logab венство а — о есть тождество, которое называют основным логарифмическим тождеством. Например, 3 =5. 3. Для обозначения десятичных логарифмов (логарифмов по основанию 10) принята специальная запись: вместо log10 6, где Ъ — произвольное положительное число, пишут \g Ъ. Логарифм по основанию е (е = 2,712828...) называется натуральным логарифмом и обозначается In Ь. 4. Логарифмы существуют только для положительных чисел, т. е. loga N (где a > 0 и а Ф 1) существует, если N>0. 5. При основании а > 1 логарифмы чисел N > 1 положительны, а логарифмы чисел 0 < N < 1 отрицательны. Например, log2 5 > 0, log3 5 < 0. 6. При основании 0 < а < 1 логарифмы чисел N > 1 отрицательны, а логарифмы чисел 0 < N < 1 положительны. Например, log1/2 5 < 0, log1/3 5 > 0. 7. Логарифм единицы по любому основанию (а > 0, а * 1) равен нулю, т. е. loga 1 =» 0. 8. Логарифм самого основания равен 1, т. е. logaa = l. Логарифмическая функция 1. Так как показательная функция у — ах (где a > 0, а Ф 1) является монотонной (возрастающей при a > 1 и убывающей при 0 < а < 1), то она имеет обратную функцию. Чтобы найти эту обратную функцию, нужно из формулы у = а выразить х через у: х — loga у, а затем поменять обозначения х на i/ и i/ на х; тогда получим i/ = = loga х. Функция у — loga л: (где а > 0, a * 1) называется логарифмической. Итак, показательная и логарифмическая функции при одном и том же основании являются взаимно обратными функциями. 2. График логарифмической функции у = = loga х можно построить, воспользовавшись тем, что функция у = loga х обратна показательной функции у = ах. Поэтому достаточно постро-
110 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы ить график функции у = а , а затем отобразить его симметрично относительно прямой у = х. На рисунке 73 изображен график функции у = loga х при а > 1, а на рисунке 74 — график функции у = loga х при 0 < а < 1. 3. Отметим свойства функции у = loga х при а > 1: а)1>(/) = Д+ = (0;оо); б) функция возрастает при а > 1, функция убывает при 0 < а < 1. Теоремы о логарифме произведения, частного и степени. Формула перехода к новому основанию 1. Логарифм произведения двух или нескольких положительных чисел равен сумме логарифмов сомножителей, т. е. loga (NXN2... Nk) - loga Nx + loga N2 + ... + loga iVft. 2. Логарифм частного положительных чисел равен разности логарифмов делимого и делителя, т. е. loga^- =logaiV1-logaiV2. 3. Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания, т. е. loga № = cloga N. Замечание. Если N < 0, а с — четное число, то справедлива формула loga № = cloga \N\. Например, loga (-3) = 41oga 3. 4. Формула перехода от основания Ь к основанию а имеет вид logaAT У = loga х 0<а<1 Рис. 73 Рис. 74 5. Если а = N, то формула перехода примет вид logb а = jjjjp-g , или 1 = \ogba \ogab. 6. Если основание логарифма и число, стоящее под знаком логарифма, возвести в одну и ту же степень, отличную от нуля, то значение логарифма не изменится, т. е. loga N = log с №; а log kN = logaNk =—%-. Например, log8 Ъ = « log2 b; log^ Ъ = 21og2 Ъ. 7. Пример. Найти: l-llog549 9 1-41о*549 2-llog549 25 4 = (52) = 5 Преобразуем теперь показатель степени: 1 2 - \ log5 49 - 21og5 5 - log5 492 - log5 52 - 25 2-glog549 - log5 7 = log5 ^ • Следовательно, 5 = i 25 KlogsT 25 , . = 5 = -=- (в силу основного логарифмического тождества). Логарифмическое уравнение 1. Уравнение, содержащее переменную под знаком логарифма, называется логарифмическим. Простейшим примером логарифмического уравнения служит уравнение loga х = Ъ (где а > 0, а Ф 1). Его решение х = а . 2. Решение логарифмического уравнения вида loga f(x) — loga g(x) основано на том, что такое уравнение равносильно уравнению f(x) = g(x) при дополнительных условиях f(x) > 0, g(x) > 0. 3. Примеры. Решить уравнения: Dlog37i (*-1) = 6; 2) log3 (х2 - 4х - 5) = log3 (7 - Зх). Решение. 1) Согласно определению логарифма имеем 2 х - 1 - (tyl)6, х - 1 - (23)6; х - 1 = 24, х = 17. 2 2) Данное уравнение сводится к уравнению х - - 4х - 5 = 7 - 3*, откуда получаем х - х - 12 = 0,
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы in т. е. хх = 4, х2 — -3. Подставим в неравенства, задающие область определения уравнения 7 - Зх> 0, х - 4дг - 5 > 0. Этой системе удовлетворяет только х = -3. 4. При решении логарифмических уравнений применяется метод введения новой переменной, а также логарифмирование обеих частей уравнения. Пример. Решить уравнения: l)logx575 -l,25 = log*V5; 2) х^ - (Jif. Решение. 3-5 2 1) Полагая logx 5 = у, получаем "^ "" 4 = 4 или г/2 - 6у + 5 = 0, откуда уг = 1; у2 = 5. Из первого уравнения находим хх — 5, а из второго х2 = л/5 . 2) Логарифмируем обе части по основанию 10: Jxlgх = хlg Jx; л/jc lgx = g***x» 5 л/х (2 - V*) lg * = 0. Так как из условия следует, что х > 0, то последнее уравнение равносильно совокупности уравнений 2 - Jx = 0; lg х = 0. Первое из них имеет корень хг = 4, а второе — корень х2 = 1. Проверка показывает, что оба корня удовлетворяют данному уравнению. Логарифмическое неравенство 1. Неравенство, содержащее переменную только под знаком логарифма, называется логарифмическим. При решении логарифмических неравенств следует учитывать общие свойства неравенств, свойство монотонности логарифмической функции и область ее определения. 2. Неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе f(x) > g(x) > 0 при a > 1 и системе 0 < < f(x) < g(x) при 0 < a < 1. 3. Пример 1. Решить неравенство: togo,* Ъх - 3 >1. »5 х + 2 Решение. Это неравенство равносильно системе: Ъх - 3 х + 2 Ъх - 3 х + 2 >0, <0,5. Первое неравенство характеризует область определения логарифмической функции, а второе — условие ее убывания при основании 0 < 0,5 < 1. Далее имеем Ъх - 3 >0, х + 2 Ъх - 3 - 0,5(* + 2) х + 2 <0; * + 2 *G(-oo;-2)u(|;oo)t Найдя пересечение указанных в последней системе множеств, получаем ответ: (3/5; 8/9). Пример 2. log2 (2х - l)log2 (2х + 1-2)< 2. Решение. Так как 2х - 2 = 2(2Х - 1), то данное неравенство можно записать в виде log2 (2х - l)(log2 2 + log2 (2х - 1» < 2 « ~ log2 (2х - 1)(1 + log2 (2х - 1)) < 2. Полагая log2 (2х - 1) = у, получим неравенство у{\ + I/) < 2, или$/ + I/- 2 < 0, откуда-2<у < < 1. Возвращаясь к переменной х, получим 2"2<2х-1<2; ^ < 2х < 3; log2 \<х< log2 3. Итак, решением данного неравенства служит интервал (log2 5/4; log2 3). Функция у = sin х 1. Отметим основные свойства функции у = = sinx: а) область определения — вся числовая прямая, т. е. D(sin) — R; б) множество значений — отрезок [-1; 1], т. е. £(sin) = [-l; 1]; в) функция нечетная: sin(-x) = -sin х для всех х е R; г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2л, т. е. sin(jc + 2л) = = sin х для всех х е R; д) sin х = 0 при х = nk, где ke Z; е) sin х > 0 для всех х е (2nk; л + 2nk), ke Z; ж) sin х < 0 для всех х е (л + 2лЛ; 2л + 2лЛ), *€Z; з) функция возрастает от -1 до 1 в промежутках I -5 + 2л£; о + 2л* I, k е Z;
112 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы и) функция убывает от 1 до -1 в промежутках [jj +2тсй; у +2irt],*eZ; к) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках х = « + 2rcft, ft е Z; л) функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках х — -у + 2rcft, ke Z. 2. Все перечисленные свойства синуса позволяют построить его график на промежутке [-я; тс]. Так как функция у = sin х имеет период 2я, то ее график на [-я + 2пк; к + 2лЛ] получается из графика на [-тс; я] с помощью параллельного переноса (рис. 75). Функция у = arcsin х 1. Функция у = sin х на отрезке I -= ; « В03" растает и принимает все значения из отрезка [-1; 1]. Поэтому функция у — sin х на отрезке обратима: т. е. имеет обратную функцию, которая называется арксинусом и обозначается arcsin х. Геометрически arcsin х означает величину угла (дуги): заключенного в промежутке I-^ ; ^ L синус которого равен х. 2. График функции у = arcsin х изображен на рисунке 76. Этот график симметричен графику функции у = sin л:, х е 1-=; «J относительно прямой у — х. 3. Отметим свойства функции у = arcsin х: a) D(arcsin) = [-1; 1]; 6)£(arcsin) = [-5; 5 J. в) функция нечетная, т. е. arcsin (-х) = -arcsin х; г) функция возрастающая. 4. Приведем основные значения функции arcsin х: arcsin 1=9» . л/2 к arcsin "о" = 7 > arcsin 0 = 0, arcsin [—о"J =" arcsin(-l) = -2 к ~4' . л/3 тс arcsin ^ = з' . 1 тс arcsin к = g , areata (-|)"~g' . ( Л\ к агсвш(-т)--§, Функция у = COS X 1. Отметим основные свойства функции у — cos х: а) область определения — вся числовая прямая: т. е. D(cos) = R; б) множество значений — отрезок [-1; 1], т. е. E(cos) = [-1; 1]; значит, косинус — функция ограниченная; в) функция четная: cos (-х) = cos х для всех х е Я; г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом 2я, т. е. cos (х + 2тс) = = cos х для всех х е R; д) cos х = 0 при х = 2 + rcft, ke Z; е) cos л: > 0 для всех х е (- = + 2лЛ; ~ + 2rcft J, ft eZ; ж) cos jc < 0 для всех х е [ « + 2rcft; -х- + 2rcft J, ft € Z; з) функция убывает от 1 до -1 в промежутках [2тсА; я + 2тсЛ], ft € Z; и) функция возрастает от -1 до 1 в промежутках [-я + 2nk; 2rcft], ke Z; к) функция принимает наибольшее значение, равное 1, в точках х = 2nft, ke Z; », -1/1 / i5 У" 0 1* я Г 2 arcsin х Зя\ 2 ■ <2L/ l / 0 -i i - 2 , К л /Ъъ~х 2 Рис. 75 Рис. 76 Рис. 77
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 113 л) функция принимает наименьшее значение, равное -1, в точках х = я + 2яА, A € Z. 2. Все перечисленные свойства косинуса позволяют построить его график на промежутке [-я; я]. Ввиду того что период функции у = = cos х равен 2я, ее график на [-л + 2яА, я + 2яА] получается из графика на [-я; я] с помощью параллельного переноса (рис. 77). Функция у = arccos х 1. Функция у = cos х на отрезке [0; я] убывает и принимает все значения из отрезка [-1; 1]. Поэтому функция у = cos х на отрезке [0; я] обратима, т. е. имеет обратную функцию, которая называется арккосинусом и обозначается у = = arccos х. Геометрически arccos х означает величину угла (дуги), заключенного в промежутке [0; тс], косинус которого равен х. 2. График функции у = arccos х изображен на рисунке 78. Этот график симметричен графику функции у = cos дг, х € [0; я] относительно прямой у = х. 3. Отметим свойства функции у = arccos х: а) D(arccos) = [-1; 1]; б) E(arccos) = [0; тс]; в) arccos (-х) = тс - arccos х; г) функция убывающая. 4. Приведем основные значения функции arccos х: arccos 0 = 2' arccos arccos 1 = 0, 72_ 7з arccos тс 4' arccos "у = ё » 1 тс arccos g = з' у = arccos х Зтс 2 y = tex SiT 72> { 2) 3 ' . ( Jb\ 5тс arccis [-TJ = т , Рис. 78 Рис. 79 ( *J2\ Зтс arccos [-Y) = Т ' arccos (-1) = тс. Функция у = tg X 1. Отметим основные свойства функции У = tgx: а) область определения — множество всех тс . действительных чисел, кроме чисел вида х — ~ + + ЯА, А € Z; б) множество значений — вся числовая прямая, т. е. E(tg) = R; в) функция нечетная tg (-х) — -tg х для всех х € D(tg); г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом тс, т. е. tg (х + тс) = tg х для всех х € D(tg); Д) tg х = 0 при х = яА, А € Z; е) tg х > 0 для всех х € (яА; ~ + яА), ft € Z; ж) tg х < 0 для всех х е [ -= + яА; яА J, А € Z; з) функция возрастает на каждом промежутке f-g + яА; | + nk j, A e Z. 2. Все перечисленные свойства тангенса позволяют построить его график на промежутке (~2; 2 г **ВИДУ того что пеРи°Д функции у = = tg х равен я, ее график на [-= + яА; т> + яА) получается из графика на(~о• 2 )с помоЩью параллельного переноса (рис. 79). Функция у = arctg х 1. На промежутке (~о ' 5 ) тангенс возрастает и принимает все числовые значения, т. е. £(tg) — (-°°; °°). Поэтому функция у = tgx на промежутке (-о» 5 ) Тратима, т.е. имеет обратную функцию, которая называется арктангенсом и обозначается у = arctg х. Геометрически arctg х означает величину угла (дуги), за- ключенного в промежутке I-= ; « I» тангенс которого равен х.
114 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 2. График функции у = arctg х изображен на рисунке 80. Этот график симметричен графику функции y = tgx,xe 1""о; 2 Jотносительно прямой у = х. 3., Отметим свойства функции у = arctg х: a)Z>(arctg) = (-oo;oo); б) £(arctg) =(-£;£) в) функция нечетная, т. е. arctg (-х) = -arctg х; г) функция возрастающая. 4. Приведем основные значения функции arctg х: arctg 73 = д , arctg JL =5, arctg 1 = 4 ' arctg 0 = 0, arctg (--тг) = -g , arctg (-1) = -J , arctg (-73) = -g. Функция I/ = ctg # 1. Отметим основные свойства функции у = = ctgx: а) область определения — множество всех действительных чисел, кроме чисел вида nk, k € Z; б) множество значений — вся числовая прямая, т. е. E(ctg) = R; в) функция нечетная: ctg(-x) = -ctgx для всех х е D(ctg); г) функция периодическая с наименьшим положительным периодом п, т. е. ctg (х + к) = ctg х для всех х € D(ctg); д) ctg х = 0 при л: = 5 + л£> ke Z; е) ctg x > 0 для всех x e (rcfc; ~ + nk), ke Z; ж) ctg x < 0 для всех x e f-= + rcft; rcfc J, ft e Z; з) функция убывает на каждом промежутке (nk; к + nk), k е Z. 2. Все перечисленные свойства котангенса позволяют построить его график на промежутке (0; тс), т. е. на промежутке, длина которого равна периоду функции. Потому график функции у = = ctg х на (nk; п + nk) получается из графика на (0; тс) с помощью параллельного переноса (рис. 81). Функция у = arcctg х 1. На промежутке (0; п) котангенс убывает и принимает все числовые значения, т. е. E(ctg) = = (-оо; оо). Поэтому функция у = ctg х на промежутке (0; п) обратима, т. е. имеет обратную функцию, которая называется арккотангенсом и обозначается у = arcctg х. Геометрически arcctg х означает величину угла (дуги), заключенного в промежутке (0; л), котангенс которого равен х. 2. График функции у = arcctg х изображен на рисунке 82. Этот график симметричен графику функции у = ctg х, х е (0; п) относительно прямой у — х. 3. Отметим свойства функции у = arcctg х: а) D(arcctg) = (-оо; ОО); б) Е(arcctg) = (0; тс); в) функция убывающая; г) arcctg (-х) = п - arcctg х. 4. Приведем основные значения функции arcctg х: arcctg 7з = ^ , 6' arcctg 1 4' 1 к 2 я 2 1 /у = arctg х 0 х -2к\ У к y = ctg* I ч I ч *>| К 2 1 К V у = arcctg дг 0 х Рис. 80 Рис. 81 Рис. 82
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 115 аГСС g J3 = 8 * arcctg (-j=) = f, arcctg (~л/3) = -g-. arcctg 0=2» arcctg (-1) = -j-, Решение простейших тригонометрических уравнений sin х = a, cos jc = а, tg jc = а, ctg jc = а. Замена переменной в тригонометрическом уравнении 1. Формула для корней уравнения sin х = а (где \а\ < 1) имеет вид и х = (-1) arcsin а + nk, k е Z. 2. Частные случаи: а) sin л: = 0 *=* х = 7сЛ, ke Z; б) sin х = 1 » х = | + 2тс*, * € Z; в) sin х = -1 <=> х = -g + 2лЛ, k € Z. 3. Формула корней уравнения cos х = а (где |а| < 1) имеет вид х — ±arccosа + 2яЛ, keZ. 4. Частные случаи: а) cos Jt = 0^Jt=2 + rcft, ft е Z; б) cos jc = 1 » x = 2лЛ, * € Z; в) cos Jt = -l<=>Jt = 7i + 2rcft, ke Z. 5. Формула для корней уравнения tgx = а имеет вид л: = arctg а + я&, k е Z. 6. Формула для корней уравнения ctg х — а имеет вид х = arcctg а + rcfc, ke Z. 7. Одним из основных методов решения тригонометрических уравнений, так же как и других видов уравнений, является метод замены переменной. Пример. Решить уравнение 2 sin х + 7 cos х - 5 — 0. 2 2 Решение. Так как sin х — 1 - cos х, то уравнение можно переписать следующим образом: 2(1 - cos2 х) + 7 cos х - 5 = 0, т. е. 2 cos х - 7 cos х + -1-3 = 0. Полагая cos х = у, приходим к квадрат- 2 1 ному уравнению 2у - 7i/ + 3 = 0, откуда 1/1=9» i/2 = 3, и получаем совокупность двух простейших уравнений cos х — ~ » cos * = 3. Первое из них имеет решения л: — ± « + 2яЛ, Л € Z, а второе решений не имеет. Методы решения тригонометрических уравнений 1. Тригонометрическое уравнение вида a0sin х + a1sin xcos х + Л - 2 2 Л + a2sin xcos jc + ... + a^cos х — 0, все члены которого имеют одну и ту же k-ю степень относительно синуса и косинуса, называется однородным. Однородное уравнение легко сводится к уравнению относительно tgx, если все его члены разделить на cos х. При этом если а0 Ф 0, то такое деление не приведет к потере решений, поскольку значение cos х = 0 не удовлетворяет уравнению. Если же а0 = 0, то cos х выносится за скобки. Пример. Решить уравнение о . 2 2 Л 2 sin х - sin х cos х - cos x = 0. Решение. Разделив все члены уравнения на 2 2 cos х, получим 2tg jc - tg jc - 1 = 0; tg x = 1, tg x — -5 ; xx = 7 + rcft, ke Z\ x2 = -arctg 5 + тел, n e Z. 2. Уравнение вида acos x + ftsin x — с равносильно уравнению rsin (x + <p), где г = *Ja + 6 , Ф — arcsm -. Пример. 1 /4 1 sin x + л/3 cos x = 1 » 5 sin x + -g- cos x = ^ ^ <=>sinfjc+gj=2 ^ * + g = С""1)" g + ля, л e Z; x = -5 + (-1) g + тел, ne Z. 3. Наиболее часто применяется метод, состоящий в том, что все члены уравнения, стоящие в правой части, переносятся в левую часть;
116 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы После чего левая часть уравнения разлагается на множители. При этом применяются формулы разложения тригонометрических функций в произведение, формулы понижения степени, формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. Пример. Решить уравнение sin Зх = sin х. Решение. Имеем sin Зх - sin х = 0 *=* *=* 2sin х cos 2х = 0. Значит, либо sin х = 0, откуда х = кп, пе Z, либо cos 2х = 0, откуда х — т + + y > п е z- Предел функции и непрерывность. Приращение функции 1. Число Ъ называется пределом функции fix) при х, стремящемся к а, если для любого положительного 8 найдется такое положительное число S, что при всех х Ф а, удовлетворяющих неравенству \х - а\ < 8, справедливо неравенство \f(x) - b\ < е. При этом употребляют запись lim f(x) = b. х->а 2. Если функция fix) имеет предел при х -» а, то этот предел — единственный. 3. Теоремы о пределе суммы, произведения и частного. Если при х —> а существуют пределы функций / и g, то: 1) lim (/(*) +£(*))= lim/(x) + lim£(x); х-> а х->а х->а 2) lim f(x)g(x) = lim f(x) lim g(x); x->a x->a x-)o /r . lim f{x) 4) lim kfix) = * lim /(x), где k — постоянный x-> а х-» a множитель. 4. Пример. lim *L±i = Iim (« + !)<«'-« + D . x->-l x + 1 x-»-l X + 1 - lim (x2-x+l) = l + l + l = 3. x-> -1 5. Функция fix) называется непрерывной в точке х0, если она определена в некоторой окрестности этой точки и если предел функции при х -» х0 равен значению функции в этой точке, т. е. Шп/(х) = /(х0). х""**0 6. Приращением функции fix) в точке х называется величина А/(х) = fix + Ах) - /(х), где Ах — приращение аргумента (произвольное число). Например, fix) = х , тогда fix) = (х + Ах)2 - х2 = 2хАх - Ах2. Функция называется возрастающей, если А/(х) > 0 при любых Ах > 0. Функция называется убывающей, если А/(х) < 0 при любых Ах > 0. Производная и правила ее вычисления 1. Производной функции fix) в точке х называется предел отношения приращения А/ функции в точке х к приращению Ах аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так: lim т- = fix) = у' = lim т^ . д*->оАх v * д*-»оДх 2. Пример. Найти производную функции т* / 1. Aw ,. Jx + Ах - л/х Решение, у = lim т* = lim т = * Дх-»оАх Дх-»0 Av Ах = lim х + Ах = lim A*->°Ax(V* + Ах + Jx) 1 11 д*->°7х + Ах + Jx Jx + Jx 2jx' 3. Пусть иии — две функции, определенные на одном и том же промежутке. Тогда производная суммы этих функций равна сумме их производных, т. е. iuix) + vix))' = и\х) + v'ix). 4. Производная постоянной равна нулю: (С)' =0. 5. Производная произведения двух функций иии вычисляется по формуле iu • v)' = u'v + uv'. 6. Если функции иии имеют в точке х производные и если vix) Ф 0, то в этой точке существу- u ет производная из частного - , которая вычисляется по формуле (и\ _ uv - UV 7. Производная от сложной функции А(х) = = gifix)) находится по формуле
Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы 117 т. е. производная сложной функции равна произведению производных ее составляющих. 8. Пример. Найти производную сложной функ- /о с , 2Л00 ции у = (3 - ЭХ + X ) . Решение, у' = 100(3 - 5* + *2)"(3 - 5х + х2)' = = 100 (3 - Ъх + х2)"(-5 + 2х). Производные основных функций 1. Производная степенной функции х , где k € Я, х > 0, равна произведению показателя к на степень х , т. е. (дг ) = кх . 2. Производные тригонометрических функций вычисляются по следующим формулам: (sin х)' = cos х9 (cos х)' = -sin х, (tg*)' = 1 2 ' COS X (ctg*)' = - . 2 # sin Jt 3. Производная показательной функции у = а* вычисляется по формуле (ах)' = ах1п а, в частности (ех)' = <?х. 4. Производная логарифмической функции у = loga х находится по формуле (loga х)' = ^^ . В частности, производная натурального логарифма вычисляется по формуле (In х)' = - . Касательная к графику функции 1. Касательной к кривой в данной точке М называется предельное положение секущей NM, когда точка N стремится вдоль кривой к точке М. 2. Угловой коэффициент касательной к графику функции равен значению производной этой функции в точке касания х0: ft = tg<p = lim -~ =f(x0). В этом заключается смысл производной. 3. Уравнение касательной к кривой у = f(x) в заданной точке имеет вид: У ~ Уо = f (*о)(* - хо)> ще(х0;у0) —координаты точки касания, (х; у) — текущие координаты, т. е. координаты любой точки, принадлежащей касательной, а f(x0) = к = = tg ф — угловой коэффициент касательной. Интервалы монотонности. Максимум и минимум функции 1. Теорема. Если функция / имеет положительную производную в каждой точке интервала (а; Ь), то функция возрастает на этом интервале. Если функция / имеет отрицательную производную в каждой точке интервала (а; &), то функция убывает на этом интервале. 2. Внутренние точки области определения функции, в которых производная функции равна нулю или не существует, называются критическими. 3. Точка х0 из области определения функции / называется точкой минимума (максимума) этой функции, если найдется 5-окрестность (х0 - 8; х0 + 8) точки х0 такая, что для всех х Ф х0 из этой окрестности выполняется неравенство f(x) > f(x0) (в случае максимума — f(x) < f(x0)). 4. Точки минимума и максимума называются точками экстремума данной функции, а значения функции в этих точках — соответственно минимумом и максимумом функции (или экстремумом функции). 5. Необходимое условие существования экстремума. ТЕОРЕМА ФЕРМА Если точка х0 является точкой экстремума функции f(x) и в этой точке существует производная функции f(x), то она равна нулю, т. е. f(x) = 0. 6. Достаточные условия существования экстремума. Пусть функция непрерывна и имеет производную f(x) в некоторой окрестности точки х0. Тогда: если f\x) < 0 на интервале (а; х0) и f'(x) > 0 на интервале (х0; Ь) (т. е. производная меняет знак с минуса на плюс), то х0 — точка минимума функции f(x); если f\x) > 0 на интервале (а; х0) и f\x) < 0 на интервале (х0; Ь) (т. е. производная меняет знак с плюса на минус), то х0 — точка максимума функции f(x).
118 Краткое изложение школьного курса математики Алгебра. 7—11 классы Исследование функции 1 4 Пример. Исследовать функцию у = jx - 1 3 2 . - 5 х " х и построить ее график. Решение. 1) Здесь £>(/) = R. 2) Функция не является ни четной, ни нечетной, ни периодической. 3) Найдем точки пересечения с осью Ох (т. е. корни функции): jx - ъх ~ х =0<=>лг1 = 0, х2 = -1,4, х3 = 2,8. 3 2 4) Находим производную: f\x) = х - х -2х = = х(х - х - 2) = (х + 1)дг(х - 2). Приравняв производную нулю, получим критические точки: х = - 1, х = 0, х = 2. 5) Найденные критические точки разбивают числовую прямую на четыре промежутка (-о°; -1), (-1;0),(0;2)и(2;оо). Составим таблицу. X (-оо5 -1) -1 <-1;0) 0 (0; 2) 2 (2; оо) Г(х) - 0 + 0 - 0 + Л*) \у убыв. 5 "12 тШ / возр. 0 max ""V убыв. -| min / возр. 6) Используя результаты исследования, строим график функции (рис. 83). Задачи на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции 1. Для отыскания наименьшего и наибольшего значений функции, дифференцируемой на промежутке, следует найти все критические точки функции, лежащие внутри промежутка, вычислить значения функции в этих точках и на концах промежутка, а затем из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее. 2. Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции у = -2х3 - Зх2 + 4 на промежутке^;-0,5]. Решение. Находим критические точки функ- ции. Так как у' = - 6х - 6х = - 6х(х + 1), то имеются две критические точки: х = 0их = -1.На промежутке лежит одна из критических точек: х = -1. Так как у(-2) = 8, у(-1) = 3, у(-0,5) = 3,5, то наименьшее значение функции достигается в точке х = -1 и равно 3, а наибольшее — в точке х = -2 и равно 8. Кратко это можно записать так: min i/(x) = i/(-l) = 3, max у(х) = у(-2) = 8. [-2;-0,5] [-2;-0,5] 3. Пример. Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади. Решение. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через х; тогда длина другой стороны равна Ля2 - х ■ а площадь равна S(x) = x*j4R2 - х2. Наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0; 2R] достигается при х = R*j2, т. е. искомым прямоугольником служит квадрат. Рис. 83
Геометрия. 7—9 классы ВВЕДЕНИЕ Геометрия — наука о свойствах геометрических фигур. К числу геометрических фигур относятся, например, треугольник, квадрат, круг, сфера и т. д. Слово «геометрия» греческое, в переводе на русский язык означает «землемерие». Школьная геометрия состоит из двух частей: планиметрии и стереометрии. Планиметрия — это раздел геометрии, в котором изучаются геометрические фигуры на плоскости. Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются фигуры в пространстве. Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Точка не имеет размеров. Точки обозначаются прописными (заглавными) латинскими буквами: А, Б, С, ... . Прямую можно мысленно продолжить в обе стороны безгранично. Прямые обозначаются строчными латинскими буквами: а, 6, с, ... . Прямую можно обозначать также двумя буквами, соответствующими точкам, лежащим на ней. На рисунке 1 изображены точка А, прямые а и АВ. Свойства геометрической фигуры выражаются в виде предложений. Рассуждение, устанавливающее какое-либо свойство, называется доказательством. Доказываемое свойство называется теоремой. При доказательстве теоремы мы опираемся на ранее установленные свойства. Некоторые из них, в свою очередь, являются теоремами, некоторые же считаются в геометрии основными и принимаются без доказательства. Последние называются аксиомами. Мы не будем приводить всех аксиом и ограничимся некоторыми из них. В Точка А Прямые а, АВ Рис.1 Отрезок АВ Рис. 2 Аксиома 1. Для любой прямой существуют точки, принадлежащие прямой, и точки, не принадлежащие прямой. Если А — точка и а — прямая, то либо А принадлежит а, либо А не принадлежит а. В первом случае говорят, что прямая а проходит через точку А, во втором случае — прямая а не проходит через точку А. Аксиома 2. Через любые две различные точки проходит одна и только одна прямая. Отсюда следует, что две различные прямые имеют не более одной общей точки. Говорят, что две прямые пересекаются, если они имеют только одну общую точку. Аксиома 3. Если две точки прямой принадлежат некоторой плоскости, то прямая принадлежит этой плоскости. Предложение, которое вытекает (получается) из теоремы или аксиомы, называется следствием. Например, из аксиомы 2, как уже отмечалось, вытекает, что две различные прямые имеют не более одной общей точки. Некоторые понятия в геометрии мы принимаем за начальные, их содержание можно выяснить только из опыта. К таким понятиям относятся, например, точка и прямая. Все остальные понятия мы выясняем, опираясь на начальные. Такие объяснения называются определениями. Каждое определение опирается либо непосредственно на начальные понятия, либо на понятия, определенные прежде. ОТРЕЗОК, ЛУЧ, УГОЛ Отрезок Отрезком называется часть прямой, ограниченная двумя точками А и В, включая эти точки (рис. 2). Точки, ограничивающие отрезок, называются его концами. Отрезок содержит точки А и Б и все точки, лежащие между ними. Обозначается отрезок АВ или ВА. Два отрезка называются равными, если они могут быть наложены один на другой так, что их
120 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы концы совпадут. На рисунке 3, а изображены два отрезка. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один отрезок на другой так, чтобы конец одного отрезка совместился с концом другого (рис. 3, б). Если при этом два других конца также совместятся, то отрезки полностью совместятся и, значит, они равны. Если же два других конца не совместятся, то меньшим считается тот отрезок, который составляет часть другого. На рисунке 3, в отрезок АС составляет часть отрезка АВ, поэтому отрезок АС меньше отрезка АВ (пишут так: АС < АВ). Точка отрезка, делящая его пополам, т. е. на два равных отрезка, называется серединой отрезка. На рисунке 4 точка С — середина отрезка АВ. Чтобы на какой-нибудь прямой отложить отрезок, равный данному, используют циркуль. Луч и полуплоскость Если провести прямую и отметить на ней точку О (рис. 5), то она разделит прямую на две части, каждая из которых называется лучом, исходящим из точки О (эти лучи называют дополнительными). Точка О называется началом луча. Луч обозначается строчными латинскими буквами (например, луч а на рисунке 6, а) либо двумя большими латинскими буквами, первая из которых обозначает начало луча, а вторая — какую- нибудь точку на луче (например, луч АВ на рисунке 6, б). Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости. Если концы какого-нибудь отрезка принадлежат одной полуплоскости, то отрезок не пересекается с прямой а (границей полуплоскости). Если концы отрезка принадлежат разным полуплоскостям, то отрезок пересекается с прямой а (рис. 7). Угол Углом называется фигура, которая состоит из двух различных лучей с общим началом. Эта начальная точка называется вершиной угла, а лучи — сторонами угла. Если стороны угла являются дополнительными лучами одной прямой, то угол называется развернутым (рис. 8). Слово «угол» иногда заменяют значком А. Угол можно обозначить тремя способами: ZAOB, ZOyZab (рис. 9). Говорят, что луч с началом в вершине угла АОВ проходит между сторонами этого угла, если он пересекает какой-нибудь отрезок с концами на сторонах угла (рис. 10). В случае развернутого угла будем считать, что любой луч с началом в вершине угла, отличный от его сторон, проходит между сторонами угла. Два угла считаются равными, если при наложении они могут совместиться. а) А б) Сравнение отрезков Рис.3 С АС<АВ в) В А Точка С С В АС = СВ — середина отрезка АВ Рис.4 #1 а) - «4- В Лучи дополнительные Лучи а, АВ Прямая а разбивает плоскость на две полуплоскости Рис. 5 Рис.6 Рис. 7
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 121 На рисунке 11, а изображены неразвернутые углы 1 и 2. Чтобы установить, равны они или нет, наложим один угол на другой так, чтобы сторона одного угла совместилась со стороной другого, а две другие оказались по одну сторону от совместившихся сторон (рис. 11,6). Если две другие стороны также совместятся, то углы полностью совместятся и, значит, они равны. Если же эти стороны не совместятся, то меньшим считается тот угол, который составляет часть другого. На рисунке 11,6 угол 1 составляет часть угла 2, поэтому Z 1 < Z 2. Неразвернутый угол составляет часть развернутого (рис. 12, угол СОВ составляет часть угла АОВ), поэтому развернутый угол больше неразвернутого угла. Любые два развернутых угла, очевидно, равны. Луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два равных угла, называется биссектрисой угла. На рисунке 13 луч I — биссектриса угла hk. Измерение отрезков На практике часто приходится измерять отрезки, т. е. находить их длины. Измерить отрезок — это значит сравнить его с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его называют также масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. На рисунке 14 в отрезке АВ сантиметр укладывается ровно два раза. Это означает, что длина отрезка АВ равна 2 см. Обычно говорят кратко: «Отрезок АВ равен 2 см» — и пишут: АВ = 2 см. Может оказаться, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке — получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке. Например, на рисунке 14 в отрезке АС сантиметр укладывается 3 раза и в остатке ровно 4 раза укладывается одна десятая часть сантиметра (миллиметр), поэтому длина отрезка АС равна 3,4 см. Но возможно, что и взятая часть единицы измерения (в данном случае миллиметр) не укладывается в остатке целое число раз, и получается новый остаток. Так будет, например, с отрезком AD на рисунке 14, в котором Угол развернутый Рис.8 Угол АОВ Рис.9 Луч с проходит между сторонами угла АОВ Рис. 10 а) б) Рис. 11 Неразвернутый угол СОВ составляет часть развернутого угла АОВ Рис. 12 / — биссектриса угла О Рис. 13 1 см А В АВ - 2 см; АС - 3,4 см Рис. 14
122 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы сантиметр укладывается три раза с остатком, а в остатке миллиметр укладывается восемь раз вновь с остатком. В таком случае говорят, что длина отрезка AD приближенно равна 3,8 см. Для более точного измерения этого отрезка указанную часть единицы измерения (миллиметр) можно разделить на 10 равных частей и продолжить процесс измерения. Мысленно этот процесс Можно продолжать и дальше, измеряя длину отрезка со все большей точностью. На практике, однако, пользуются приближенными значениями длин отрезков. За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, т. е. выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке. Если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, т. е. равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее часть) укладывается в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, т. е. меньший отрезок имеет меньшую длину. На рисунке 15 изображен отрезок АВ. Точка С делит его на два отрезка: АС и СВ. Мы видим, что АС — 3 см, СВ = 2,7 см, АВ = 5,7 см. Таким образом, АС + СВ = АВ. Также и во всех случаях, когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка. Пример 1. Точка С — середина отрезка АВ. Найти длину отрезка АС, если длина отрезка АВ равна 32 см. Решение. Имеем: АС + СВ = АВ или АС + + СВ = 32. Так как С — середина отрезка АВ, то АС = СВ и, значит, 2АС = 32, откуда АС = 16 (см). Пример 2. Точка С — середина отрезка АВ, точка О — середина отрезка АС. Найти АС, СВ, АО и ОВ, если АВ = 2 см. Решение. Так как С — середина отрезка АВ, то, как и в предыдущем примере, АС = СВ = = 2AS* или АС = св = 2 "2 = * *см)# Так как точка О — середина отрезка АС = 1 см, то АО = = ОС = 0,5 см. Наконец, ОВ = ОС + СВ = 0,5 + 1 = = 1,5 (см). Пример 3. Лежат ли точки А, В и С на одной прямой, если АС — 5 см, АВ = 3 см, ВС = 4 см? Решение. Если точки А, В и С лежат на одной прямой, то больший из отрезков АВ, ВС и АС равен сумме двух других. По условию больший из данных отрезков (отрезок АС) равен 5 см, а сумма двух других (АВ + ВС) равна 7 см. Поэтому точки А, В и С не лежат на одной прямой. Измерение углов Измерение углов основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. Обычно за единицу измерения углов принимают градус — « 1 угол, равный Tqj: части развернутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла. Для измерения углов используется транспортир (рис. 16). В ||111||||||||||||||||1111|1111|||||||||||М11|1111||||||||||| 0 12 3 4 5 6 АС + СВ=АВ Рис. 15 10 0 10 30 50 70 90 100 Транспортир Рис. 16
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 123 На рисунке 17 изображен угол АОВ, градусная мера которого равна 150°. Обычно говорят кратко: «Угол АОВ равен 150°» — и пишут: ZAOB = 150°. 1 . 1 ~~ часть градуса называется минутой, а ^ часть минуты — секундой. Минуты обозначают знаком «'», а секунды— знаком «"». Например, угол в 68 градусов, 32 минуты и 27 секунд обозначается так: 68°32'27". Если два угла равны, то градус и его части укладываются в этих углах одинаковое число раз, т. е. равные углы имеют равные градусные меры. Если же один угол меньше другого, то в нем градус (или его часть) укладывается меньшее число раз, чем в другом угле, т. е. меньший угол имеет меньшую градусную меру. Так как градус составляет т^ часть развернутого угла, то развернутый угол равен 180°. Неразвернутый угол меньше 180°, так как он меньше развернутого. На рисунке 18 изображены лучи с началом в точке О. Луч ОС делит угол АОВ на два угла: АОС и СОВ. Мы видим, что ZAOC = 40°, Z СОВ = 120°, А АОВ = 160°. Таким образом, ZAOC + Z СОВ = ZАОВ. Ясно, что и во всех других случаях, когда луч делит угол на два угла, градусная мера всего угла равна сумме градусных мер этих углов. Угол называется: прямым, если он равен 90° (рис. 19, а); острым, если он меньше 90°, т. е. меньше прямого угла (рис. 19, б); тупым, если он больше 90°, но меньше 180°, т. е. больше прямого, но меньше развернутого угла (рис. 19, в). Пример 1. Луч I — биссектриса угла hk, равного 50°. Найти градусные меры углов hi и Ik. Решение. Так как I — биссектриса угла hk, то градусные меры каждого из углов hi и Ik равны. Обозначим градусную меру одного из них через х. Тогда 2х = 50°, откуда х = 25°. Итак, градусные меры каждого из углов hi и Ik равны 25° и 25°. Пример 2. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найти угол АОС, если Z АОВ = 155° и угол АОС на 15° больше угла СОВ. Решение. Обозначим градусную меру угла АОС через х. Тогда градусная мера угла СОВ будет х - 15°. Теперь согласно условию х + х - 15° = 155°, или 2х = 170°, откуда х — 85°. Пример 3. Между сторонами угла cd, равного 120°, проходит луч а. Найти углы са и ad, если их градусные меры относятся как 4:2. Решение. Луч а проходит между сторонами угла cd, значит, Zca + Zad = Zed. Так как градусные меры Z са и Zad относятся как 4 : 2, то Zca = 120° 6 4 = 80°, Zad = 120° 6 2 = 40° Смежные и вертикальные углы. Перпендикулярные прямые Два угла называются смежными, если у них одна сторона общая, а другие стороны этих углов ZAOC = 40°, ZCOB = 120°, ZAOB = 160° Рис. 18 Прямой угол Острый угол а) б) Рис. 19 Тупой угол в)
124 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы являются дополнительными лучами. На рисунке 20 углы АОВ и ВОС смежные. ТЕОРЕМА 1 Сумма смежных углов равна 180°. Доказательство. Луч ОВ (см. рис. 20) проходит между сторонами развернутого угла. Поэтому ZAOB + ZBOC- 180°. Из теоремы 1 следует, что если два угла равны, то смежные с ними углы равны. Два угла называются вертикальными, если стороны одного угла являются дополнительными лучами сторон другого. Углы АОВ и COD, BOD и АОС, образованные при пересечении двух прямых, являются вертикальными (рис. 21). ТЕОРЕМА 2 Вертикальные углы равны. Доказательство. Рассмотрим вертикальные углы АОВ и COD (см. рис. 21). Угол BOD является смежным для каждого из углов АОВ и COD. По теореме 1 ZАОВ + Z BOD - 180°, Z COD + Z BOD = 180°. Отсюда заключаем, что Z АОВ = Z COD. Следствие. Угол, смежный с прямым углом, . есть прямой угол. Рассмотрим две пересекающиеся прямые АС и BD (рис. 22). Они образуют четыре угла. Если один из них прямой (угол 1 на рис. 22), то остальные углы также прямые (углы 1 и 2,1 и 4 — смежные, углы 1 и 3 — вертикальные). В этом случае говорят, что эти прямые пересекаются под прямым углом и называются перпендикулярными (или взаимно перпендикулярными). Перпендикулярность прямых АС и BD обозначается так: АС 1BD. Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, перпендикулярная к этому отрезку и проходящая через его середину. Рассмотрим прямую а и точку А, не лежащую на ней (рис. 23). Соединим точку А отрезком с точкой Н прямой а. Отрезок АН называется перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой а, если прямые АН и а перпендикулярны. Точка Н называется основанием перпендикуляра. Справедлива следующая теорема. ТЕОРЕМА 3 Из всякой точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один. Для проведения на чертеже перпендикуляра из точки к прямой используют чертежный угольник (рис. 24). В ^L .Сумма смежных углов равна 180° Рис. 20 В и -d я Вертикальные углы равны Рис. 21 В Прямые АС и BD — перпендикулярные Рис. 22 АН — перпендикуляр к прямой Чертежный угольник Рис. 23 Рис. 24
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 125 Замечание. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Например, условие теоремы 2 — углы вертикальные; заключение — эти углы равны. Всякую теорему можно подробно выразить словами так, что ее условие будет начинаться словом «если», а заключение— словом «то». Например, теорему 2 можно подробно высказать так: «Если два угла вертикальные, то они равны». Пример 1. Один из смежных углов равен 44°. Чему равен другой? Решение. Обозначим градусную меру другого угла через х, тогда согласно теореме 1 44° + х = 180°. Решая полученное уравнение, находим, что х = 136°. Следовательно, другой угол равен 136°. Пример 2. Пусть на рисунке 21 угол COD равен 45°. Чему равны углы АОВ и АОС? Решение. Углы COD и АОВ вертикальные, следовательно, по теореме 2 они равны, т. е. Z АОВ = 45°. Угол АОС смежный с углом COD, значит, по теореме 1 А АОС = 180° - Z COD = 180° - 45° = 135°. Пример 3. Найти смежные углы, если один из них в 3 раза больше другого. Решение. Обозначим градусную меру меньшего угла через х. Тогда градусная мера большего угла будет Зх. Так как сумма смежных углов равна 180° (теорема 1), то х + Зх « 180°, откуда х — 45°. Значит, смежные углы равны 45° и 135°. Пример 4. Сумма двух вертикальных углов равна 100°. Найти величину каждого из четырех углов. Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 21. Вертикальные углы COD и АОВ равны (теорема 2), значит, равны и их градусные меры. Поэтому A COD = Z АОВ = 50° (их сумма по условию 100°). Угол BOD (также и угол АОС) смежный с углом COD, и, значит, по теореме 1 Z BOD = ZAOC - 180° - 50° = 130°. Контрольные вопросы 1. Объясните, что такое отрезок с концами А и В. Как он обозначается? 2. Какие отрезки называются равными? 3. Объясните, как сравнить два отрезка. 4. Какая точка называется серединой отрезка? 5. Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи? Какие лучи называются дополнительными? 6. Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла. Как обозначается угол? 7. Какой угол называется развернутым? 8. Какие углы считаются равными? 9. Объясните, как сравнить два угла. 10. Какой луч называется биссектрисой угла? 11. Точка С делит отрезок АВ на два отрезка. Как найти длину отрезка АВ, если известны длины отрезков АС и СВ? 12. Что такое градусная мера угла? 13. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Как найти градусную меру угла АОВ, если известны градусные меры углов АОС и СОВ? 14. Какой угол называется острым? прямым? тупым? 15. Какие углы называются смежными? 16. Докажите, что сумма смежных углов равна 180°. 17. Какие углы называются вертикальными? 18. Докажите, что вертикальные углы равны. 19. Какие прямые называются перпендикулярными? 20. Что называется серединным перпендикуляром к отрезку? 21. Объясните, какой отрезок называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой. 22. Сформулируйте теорему о перпендикуляре, проведенном из данной точки к данной прямой. Упражнения 1. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка АС, если АВ - 3 дм, ВС = = 5 дм. 2. Точка В делит отрезок АС на два отрезка. Найдите длину отрезка ВС, если АВ = 2,7 см, АС = 5,2 см.
126 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 3. Точки А, Ву С лежат на одной прямой. Известно, что АВ = 11 см, ВС = 12,5 см. Какой может быть длина отрезка АС? 4. Точка С — середина отрезка АВ, равного 64 см. На луче С А отмечена точка D так, что CD = 15 см. Найдите длины отрезков BD и DA. 5. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите Z АОВ, если Z АОС = 44°, Z СОВ = 76°. 6. Луч ОС делит угол АОВ на два угла. Найдите угол СОВ, если А АОВ = 75°, а угол АОС на 15° меньше угла ВОС. 7. Луч ОС является биссектрисой неразвернутого угла АОВ. Может ли угол АОВ быть прямым или тупым? 8. Найдите угол, смежный с углом ABC, если: 1) Z ABC = 110°; 2) Z ABC - 80°; 3) A ABC - 16°. 9. Один из смежных углов больше другого на 31°. Вычислите эти углы. 10. На прямой АВ взята точка С и из нее проведен луч CD так, что Z ACD в 4 раза больше Z BCD. Найдите эти углы. 11. Один из углов, образованных двумя пересекающимися прямыми, равен 90°. Чему равны остальные углы? 12. Один из углов, образованных при пересечении двух прямых, равен 54°. Найдите остальные углы. 13. Сумма двух вертикальных углов равна 80°. Найдите каждый из полученных четырех углов. ТРЕУГОЛЬНИК Треугольник и его элементы Пусть А, В, С — три произвольные точки, не лежащие на одной прямой. Фигура, состоящая из трех отрезков АВ, ВС, АС (рис. 25), называется треугольником ABC (обозначается: А ABC). Треугольником также называют часть плоскости, ограниченную отрезками АВ, ВС, АС (плоский треугольник). Точки А, В, С — вершины, отрезки АВ, ВС, АС — стороны треугольника. Сумма длин трех сторон треугольника называется его периметром. Углом (или внутренним углом) треугольника ABC при вершине А называется угол, образованный лучами АВ и АС. Так же определяются углы треугольника при вершинах В и С. Углы CAB, ABC, ВС А треугольника ABC часто обозначают одной буквой (А, В, С соответственно) или греческими буквами а, р, у (при этом внутри углов рисуют дуги, см. рис. 25). Говорят, что угол А противолежит стороне ВС или сторона ВС противолежит углу А; так же угол В и сторона АС, угол С и сторона АВ противолежат (друг другу). Угол, смежный с каким-нибудь углом треугольника, называется внешним углом этого треугольника. Таков, например, угол BCD (рис. 26). При каждом угле треугольника можно построить по два внешних угла (продолжив одну или другую сторону угла). Эти два угла равны как углы вертикальные. Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противолежащей стороны, называется биссектрисой треугольника (рис. 27). Любой треугольник имеет три биссектрисы. Отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противолежащей стороны, называется медианой треугольника (рис. 28). Любой треугольник имеет три медианы. Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противо- Z BCD — внешний угол треугольника ABC ААХ — биссектриса треугольника ABC С М В AM — медиана треугольника ABC Рис. 25 Рис. 26 Рис. 27 Рис. 28
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 127 лежащую сторону, называется высотой треугольника (рис. 29). Любой треугольник имеет три высоты. Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный (рис. 30, а); если один из углов тупой — тупоугольный (рис. 30, б); если все три угла острые — остроугольный (рис. 30, в). В прямоугольном треугольнике сторона, лежащая против прямого угла, называется гипотенузой, две другие стороны — катетами. Треугольник, две стороны которого равны, называется равнобедренным (АС = ВС на рисунке 31, а). Третья сторона— основание, равные стороны — боковые стороны. Треугольник, три стороны которого равны (АС = ВС = АВ на рис. 31,6), называется равносторонним. Пример 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 50 м, боковая сторона — 15 м. Найти основание. Решение. Обозначим основание через х. Тогда периметр треугольника составит х+15 + 15. По условию эта сумма равна 50 м, т. е. х + 30 = 50, откуда х — 20. Итак, основание равно 20 м. Пример 2. Периметр равнобедренного треугольника равен 70 м. Боковая сторона больше основания на 5 м. Найти стороны треугольника. Решение. Воспользуемся рисунком 31, а. Обозначим АВ через х, тогда ВС =АС через х + 5. Тогда периметр треугольника составит (х + 5) + (х + 5) + х. По условию эта сумма равна 70, т. е. Зх + 10 = 70, или х = 20. Следовательно, стороны треугольника 20 см, 25 см и 25 см. Пример 3. Треугольник, периметр которого равен 24 см, делится высотой на два треугольника, периметры которых равны 12 см и 20 см. Найти высоту треугольника. Решение. Пусть условию задачи отвечает рисунок 29. Обозначим периметры треугольников ABC, АВН и АСН соответственно через Р, Рх и Рг. Из рисунка 29 видно, что РХ + Р2 = Р + 2АН, или 12 + 20 = 24 + 2АН, откуда. АН = 4. Признаки равенства треугольников Два треугольника называются равными, если их можно совместить наложением. На рисунке 32 В Н С АН — высота треугольника ABC Рис. 29 катет Треугольник: а) прямоугольный б) тупоугольный Рис. 30 в) остроугольный Треугольник: а) равнобедренный б) равносторонний ААВС = АА1В1С1 В Ах Рис. 31 Рис. 32
128 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы изображены равные треугольники ABC и А1В1С1. Каждый из этих треугольников можно наложить на другой так, что они полностью совместятся, т. е. попарно совместятся их вершины и стороны. Ясно, что при этом совместятся попарно и углы этих треугольников. Таким образом, если два треугольника равны, то элементы (т. е. стороны и углы) одного треугольника соответственно равны элементам другого треугольника. Отметим, что в равных треугольниках против соответственно равных сторон (т. е. совмещающихся при наложении) лежат равные углы, и обратно: против соответственно равных углов лежат равные стороны. Так, например, в равных треугольниках ABC иА1В1С1у изображенных на рисунке 32, против соответственно равных сторон АВ и АгВг лежат равные углы С и Сг. Равенство треугольников ABC и А1В1С1 будем обозначать так: Л ABC = = АА1В1С1. Оказывается, что равенство двух треугольников можно установить, сравнивая некоторые их элементы. ТЕОРЕМА 1 первый признак равенства треугольников Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны. Доказательство. Рассмотрим треугольники ABC и AXBXCV у которых АВ = АгВг, АС = = AtCv ZA = Z Ах (рис. 33). Докажем, что А ABC = = АА1В1С1. Так как Z А — Z Аг, то треугольник ABC можно наложить на треугольник А1В1С1 так, что вершина А совместится с вершиной Ах, а стороны АВ и АС наложатся соответственно на лучи АгВг hAjCj. Поскольку АВ = АгВг, АС — АгС1$ то сторона АВ совместится со стороной A1BV а сторона АС — со стороной АХСХ; в частности, совместятся точки В и Bv С и Cv Следовательно, совместятся стороны ВС и BXCV Итак, треугольники ABC и А1В1С1 полностью совместятся, значит, они равны. Аналогично методом наложения доказывается теорема 2. ТЕОРЕМА 2 второй признак равенства треугольников Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Пример 1. В треугольниках ABC и DEF (рис. 35) А А = Z Е, АВ = 20 см, АС = 18 см, DE = = 18 см, EF = 20 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Какой угол в треугольнике DEF равен углу В? Рис. 33 Рис. 34 Рис. 35
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 129 Решение. Данные треугольники равны по первому признаку. Угол F треугольника DEF равен углу В треугольника ABC, так как эти углы лежат против соответственно равных сторон DE и АС. Пример 2. Отрезки АВ и CD (рис. 36) пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок BD, если отрезок АС равен 6 м? Решение. Треугольники АОС и BOD равны (по первому признаку): Z АОС = Z BOD (вертикальные), АО = ОВу СО = OD (по условию). Из равенства этих треугольников следует равенство их сторон, т. е. АС = BD. Но так как по условию АС = 6 м, то и BD = 6м. Пример 3. В треугольниках ABC и DEF (см. рис. 35)АВ = EF, ZA = ZE,ZB = ZF. Сравнить эти треугольники. Какие стороны в треугольнике DEF равны соответственно сторонам ВС и СА? Решение. Треугольники ABC и DEF равны по второму признаку. Стороны DF и DE треугольника DEF равны соответственно сторонам ВС и СА треугольника ABC, так как стороны DF и ВС (DE и СА) лежат против равных углов Е и A (F и В). Пример 4. На рисунке 37 углы DAB и СВА, CAB и DBA равны, СА = 13 м. Найти DB. Решение. Треугольники АСВ и ADB имеют одну общую сторону АВ и по два равных угла, которые прилежат к этой стороне. Следовательно, треугольники АСВ и ADB равны (по второму признаку). Из равенства этих треугольников следует равенство сторон BD и АС, т. е. BD = 13 м. Замечание. На основе теоремы 1 устанавливается теорема 3. ТЕОРЕМА 3 Сумма любых двух внутренних углов треугольника меньше 180°. Из последней теоремы вытекает теорема 4. TEOPElflA4 Внешний угол треугольника больше любого внутреннего угла, не смежного с ним. Свойства равнобедренного треугольника. Третий признак равенства треугольников Свойства равнобедренного треугольника выражают следующие теоремы. ТЕОРЕМА 1 В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. ТЕОРЕМА 2 В равнобедренном треугольнике биссектри- са, проведенная к основанию, является медианой и высотой. ТЕОРЕМА 3 В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Докажем одну из них, например теорему 1. Доказательство. Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС и докажем, что Z В = Z С. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC (рис. 38). Треугольники ABD и ACD равны по первому признаку равенства Рис. 36 Рис. 37 5-1019
130 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы треугольников (АВ =АС по условию, AD — общая сторона, Z 1 = Z 2, так как AD — биссектриса). Из равенства этих треугольников следует, что Z В = ZC. Теорема доказана. С использованием теоремы 1 устанавливается следующая теорема. ТЕОРЕМА 4 третий признак равенства треугольников Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны (рис. 39). Пример 1. Доказать, что точка плоскости, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Решение. Пусть точка М равноудалена от концов отрезка АВ (рис. 40), т. е. AM = ВМ. Тогда ААМВ равнобедренный. Проведем через точку М и середину О отрезка АВ прямую/?. Отрезок МО по построению есть медиана равнобедренного треугольника АМВ, а следовательно (теорема 3), и высота, т. е. прямая МО есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ. Пример 2. Доказать, что каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от его концов. Решение. Пусть р — серединный перпендикуляр к отрезку АВ и точка О — середина отрезка АВ (см. рис. 40). Рассмотрим произвольную точку М, лежащую на прямой р. Проведем отрезки AM и ВМ. Треугольники АОМ и ВОМ равны, так как у них углы при вершине О прямые, катет ОМ общий, а катет О А равен катету ОВ по условию. Из равенства треугольников АОМ и ВОМ следует, что AM — ВМ. Замечание. Предложения, установленные в примерах 1 и 2, выражают свойства серединного перпендикуляра к отрезку. Из этих предложений следует, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. Пример 3. В треугольнике ABC (см. рис. 35) АВ = 10 см, ВС = 9 см, АС = 7 см; в треугольнике DEF DE = 7 см, EF = 10 см, FD = 9 см. Сравнить треугольники ABC и DEF. Найти в них соответственно равные углы. Решение. Данные треугольники равны по третьему признаку. Соответственно равные углы: А и Е (лежат против равных сторон ВС и FD), BnF (лежат против равных сторон АС и DE)y С и D (лежат против равных сторон АВ и EF). Пример 4. На рисунке 41 АВ = DC, ВС = = AD, ZB = 100°. Найти угол D. Решение. Рассмотрим треугольники ABC и ADC. Они равны по третьему признаку (АВ = = DC, ВС = AD по условию и сторона АС — общая). Из равенства этих треугольников следует, что Z В = Z D, но угол В равен 100°, значит, и угол D равен 100°. Контрольные вопросы 1. Какая фигура называется треугольником? Начертите треугольник и покажите его стороны, вершины и углы. Что такое периметр треугольника? 2. Какой угол называется внешним углом треугольника? 3. Какой отрезок называется биссектрисой треугольника? Сколько биссектрис имеет треугольник? 4. Какой отрезок называется медианой треугольника? Сколько медиан имеет треугольник? 5. Какой отрезок называется высотой треугольника? Сколько высот имеет треугольник? Рис. 39 В A D Рис. 41
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 131 6. Какой треугольник называется остроугольным? Какой треугольник называется тупоугольным? 7. Какой треугольник называется прямоугольным? Как называются стороны прямоугольного треугольника? 8. Какой треугольник называется равнобедренным? Как называются его стороны? 9. Какой треугольник называется равносторонним? 10. Какие треугольники называются равными? 11. Сформулируйте и докажите первый признак равенства треугольников. 12. Сформулируйте второй признак равенства треугольников. 13. Сформулируйте теорему о сумме двух внутренних углов треугольника. 14. Сформулируйте теорему о соотношении внешнего угла треугольника с его внутренним углом, не смежным с этим внешним. 15. Докажите, что углы при основании равнобедренного треугольника равны. 16. Сформулируйте теорему о биссектрисе равнобедренного треугольника, проведенной к основанию. 17. Сформулируйте третий признак равенства треугольников. Упражнения 1. Периметр равнобедренного треугольника равен 2 м, основание равно 0,8 м. Найдите боковую сторону. 2. Треугольник, периметр которого равен 22 см, делится медианой на два треугольника с периметрами 16 см и 12 см. Найдите длину медианы. 3. Периметр равнобедренного треугольника равен 15,6 м. Найдите его стороны, если основание меньше боковой стороны на 3 м. 4. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О, которая является серединой каждого из них. Чему равен отрезок DB, если отрезок АС равен 8 дм? 5. Отрезки АВ и CD пересекаются в точке О. Докажите равенство треугольников АСО и DBO, если известно, что угол АСО равен углу DBO и ВО - ОС. 6. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, равна 5 см, периметр одного из отсеченных ею треугольников равен 30 см. Найдите периметр равнобедренного треугольника. 7. Треугольники ABC иАВСг равнобедренные с общим основанием АВ. Докажите равенство треугольников АССг и BCCV 8. По данным рисунка 42: а) докажите, что BD = CD; б) найдите Z С, если Z В = 53°; в) найдите DC, если DB = 14 мм. ОСНОВНЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ Окружность Окружностью называется фигура, которая состоит из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки. Эта точка называется центром окружности. Расстояние от точек окружности до ее центра называется радиусом окружности. Радиусом называется также любой отрезок, соединяющий точку окружности с ее центром (рис. 43). Прямая, проходящая через какие-нибудь две точки окружности, называется секущей. Отрезок, соединяющий какие-нибудь две точки окружности, называется хордой. Хорда, проходящая через центр окружности, называется диаметром. На рисунке 44 FE — секущая, ВС — хорда, AD — диаметр. О — центр окружности Рис. 42 Рис. 43 Рис. 44
132 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы Пример. Из точки А окружности с центром О (рис. 45) проведены диаметр длиной 4 см и хорда АВ. Найти периметр треугольника АВО, если хорда равна радиусу. Решение. Треугольник AfiO равносторонний (ОА и О В — радиусы, АВ — хорда, равная радиусу). Радиус окружности равен 2 см, так как длина ее диаметра по условию 4 см. Следовательно, периметр треугольника АВО равен 6 см. Основные задачи на построение В задачах на построение будем рассматривать построение геометрической фигуры, которое можно выполнить с помощью линейки и циркуля. С помощью линейки можно провести: произвольную прямую; произвольную прямую, проходящую через данную точку; прямую, проходящую через две данные точки. С помощью циркуля можно описать из данного центра окружность данного радиуса. Циркулем можно отложить отрезок на данной прямой от данной точки. Рассмотрим основные задачи на построение. Задача 1. Построить треугольник с данными сторонами а, 6, с (рис. 46). Решение. С помощью линейки проведем произвольную прямую и возьмем на ней произвольную точку В. Раствором циркуля, равным а, описываем окружность с центром В и радиусом а. Пусть С — точка ее пересечения с прямой. Раствором циркуля, равным с, описываем окружность из центра В, а раствором циркуля, равным Ь, — окружность из центра С. Пусть А — точка пересечения этих окружностей. Треугольник ABC имеет стороны, равные а,Ь, с. Замечание. Чтобы три отрезка прямой могли служить сторонами треугольника, необходимо, чтобы больший из них был меньше суммы двух остальных (а < Ь + с). Задача 2. Отложить от данного луча угол, равный данному. Решение. Данный угол с вершиной А и луч ОМ изображены на рисунке 47. Проведем произвольную окружность с центром в вершине А данного угла. Пусть В и С — точки пересечения окружности со сторонами угла (рис. 48, а). Радиусом АВ проведем окружность с центром в точке О — начальной точке данного луча (рис. 48, лоточку пересечения этой окружности с данным лучом обозначим Сг. Опишем окружность с центром Сх и радиусом ВС. Точка Вх пересечения двух окружностей лежит на стороне искомого угла. Это следует из равенства А ABC = = А ОВ1С1 (третий признак равенства треугольников). Задача 3, Построить биссектрису данного угла (рис. 49). Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47 Рис. 48 Построение биссектрисы угла Рис. 49
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 133 Решение. Из вершины А данного угла, как из центра, проводим окружность произвольного радиуса. Пусть В и С — точки ее пересечения со сторонами угла. Из точек В и С тем же радиусом описываем окружности. Пусть D — точка их пересечения, отличная от А. Луч AD делит угол А пополам. Это следует из равенства A ABD = AACD (третий признак равенства треугольников). Задача 4. Провести серединный перпендикуляр к данному отрезку (рис. 50). Решение. Произвольным, но одинаковым раствором циркуля (большим т> АВ) описываем две дуги с центрами в точках А и В, которые пересекутся между собой в некоторых точках С и D. Прямая CD будет искомым перпендикуляром. Действительно, как видно из построения, каждая из точек С и D одинаково удалена от А и В; следовательно, эти точки должны лежать на серединном перпендикуляре к отрезку АВ. Задача 5. Разделить данный отрезок пополам. Решается так же, как и задача 4 (см. рис. 50). Задача 6. Через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Решение. Возможны два случая: 1) данная точка О лежит на данной прямой а (рис. 51). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность. Она пересекает прямую а в двух точках А и В. Из точек А и В проводим окружности радиусом АВ. Пусть С — точка их пересечения. Получаем ОС ± АВ. В самом деле, А АСВ — равнобедренный, СА = СВ. Отрезок СО есть медиана этого треугольника, а следовательно, и высота; 2) данная точка О не лежит на данной прямой а (рис. 52). Из точки О проводим произвольным радиусом окружность, пересекающую прямую а в точках А и В. Из точек А и В тем же радиусом проводим окружности. Пусть Ог — точка их пересечения, отличная от О. Получаем ООг ± АВ. В самом деле, точки О и 01 равноудалены от концов отрезка АВ и, следовательно, лежат на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Контрольные вопросы 1. Какая геометрическая фигура называется окружностью? Что называется радиусом окружности? 2. Что такое секущая, хорда окружности? Какая хорда называется диаметром? 3. Объясните, как построить треугольник по трем сторонам. 4. Объясните, как отложить от данного луча угол, равный данному углу. 5. Объясните, как построить биссектрису данного угла. 6. Объясните, как провести серединный перпендикуляр к данному отрезку. 7. Объясните, как разделить данный отрезок пополам. 8. Объясните, как через данную точку провести прямую, перпендикулярную данной прямой. Построение серединного перпендикуляра к отрезку АВ В а Проведение перпендикулярной прямой к данной прямой Рис. 50 Рис. 51 Рис. 52
134 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы Упражнения 1. Какие из отрезков, изображенных на рисунке 53, являются: а) хордами окружности; б) диаметрами окружности; в) радиусами окружности; г) секущими окружности? 2. Дана окружность радиуса 3 дм. Какую длину имеет наибольшая ее хорда? 3. Можно ли из точки А, лежащей на окружности радиуса R = 3 см, провести хорду длиной 7 см? 4. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если известно, что СВ = 13 см, АВ — = 16 см. 5. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, a MP и РК — равные хорды этой окружности. Найдите Z РОМ. 6. Найдите радиусы двух окружностей, имеющих общий центр, если диаметр большей окружности делится меньшей окружностью на 3 части, равные 9 м, 12 м, 9 м. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ Определение параллельных прямых Две различные прямые либо имеют только одну общую точку, либо не имеют ни одной общей точки. В первом случае говорят, что прямые пересекаются, во втором случае — прямые не пересекаются. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются. Параллельность прямых а и Ь обозначается так: а\\Ъ. Пусть две прямые а и Ъ пересечены третьей прямой с (рис. 54). Прямая с называется секущей по отношению к прямым а и ft, если она пересекает их в двух различных точках. При пересечении прямых а и ft секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 54 отмечены цифрами. Определенные пары углов имеют специальные названия: соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7; накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6 (внутренние), 1 и 7, 2 и 8 (внешние); односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6 (внутренние), 1 и 8, 2 и 7 (внешние). Признаки параллельности двух прямых. Свойства параллельных прямых ТЕОРЕМА 1 Если при пересечении двух прямых секу- щей: 1) накрест лежащие углы равны, или 2) соответственные углы равны, или 3) сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны (рис. 55). Доказательство. Ограничимся доказательством случая 1). Пусть при пересечении прямых а и Ъ секущей АВ накрест лежащие углы равны. Например, Z 4 = Z 6. Докажем, что а || Ъ. Предположим, что прямые а и & не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М и, следовательно, один из углов 4 или 6 будет внешним углом треугольника АВМ. Пусть для определенности Z 4 — внешний угол тре- м 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 соответственные углы Признаки параллельности двух прямых Рис. 53 Рис. 54 Рис. 55
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 135 угольника ABM, a Z 6 — внутренний. Из теоремы о внешнем угле треугольника следует, что Z 4 больше Z 6, а это противоречит условию, значит, прямые а и & не могут пересекаться, поэтому они параллельны. Следствие. Две различные прямые на плоскости, перпендикулярные одной и той же прямой, параллельны (рис. 56). Замечание. Способ, которым мы только что доказали случай 1) теоремы 1, называется методом доказательства от противного, или приведением к нелепости. Первое название этот способ получил потому, что в начале рассуждения делается предположение, противное (противоположное) тому, что требуется доказать. Приведением к нелепости он называется вследствие того, что, рассуждая на основании сделанного предположения, мы приходим к нелепому выводу (к абсурду). Получение такого вывода заставляет нас отвергнуть сделанное вначале допущение и принять то, которое требовалось доказать. Задача. Построить прямую, проходящую через данную точку М и параллельную данной прямой а, не проходящей через точку М. Решение. Проводим через точку М прямую р перпендикулярно прямой а (задача 6 § 3) (рис. 57). Затем проводим через точку М прямую Ь перпендикулярно прямой р. Прямая Ъ параллельна прямой а согласно следствию из теоремы 1. Из рассмотренной задачи следует важный вывод: через точку, не лежащую на данной прямой, всегда можно провести прямую, параллельную данной. Основное свойство параллельных прямых состоит в следующем. Аксиома параллельных прямых. Через данную точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Рассмотрим некоторые свойства параллельных прямых, которые следуют из этой аксиомы. 1) Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую (рис. 58). 2) Если две различные прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (рис. 59). Справедлива и следующая теорема 2. ТЕОРЕМА 2 Если две параллельные прямые пересечены секущей, то 1) накрест лежащие углы равны; 2) соответственные углы равны; 3) сумма односторонних углов равна 180°. Следствие. Если прямая перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и к другой (см. рис. 56). Замечание. Теорема 2 называется обратной теореме 1. Заключение теоремы 1 является условием теоремы 2. А условие теоремы 1 является заключением теоремы 2. Не всякая теорема имеет обратную, т. е. если данная теорема верна, то обратная теорема может быть неверна. Поясним это на примере теоремы о вертикальных углах. Эту теорему можно сформулировать так: если два угла вертикальные, то они равны. Обратная ей теорема была бы такой: если два угла равны, то они вертикальные. А это, конечно, неверно. Два равных угла вовсе не обязаны быть вертикальными. Пример 1. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 30°. Найти эти углы. Решение. Пусть условию отвечает рисунок 60. Углы 1 и 2 внутренние односторонние, их сумма равна 180°, т. е. Zl + Z2 = 180°. (1) ь а М P V Л Рис. 56 Рис. 57 Рис. 58 Рис. 59 Рис. 60
136 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы Обозначим градусную меру угла 1 через х. По условию Z 2 - х = 30°, или Z 2 = 30° + х. Подставим в равенство (1) значения углов 1 и 2, получим / х + 30 + х= 180. Решая это уравнение, получим х = 75°, т. е. Z 1 = 75°, a Z 2 - 180° - 75° = 105°. Пример 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 150°. Чему равны эти углы и остальные шесть? Решение. Пусть условию задачи соответствует рисунок 61. Углы 1 и 2 внутренние накрест лежащие, следовательно, они равны. Сумма этих углов по условию задачи равна 150°, тогда Z 1 = Z 2 — 75°. Найдем остальные углы (рис. 62): Z 1 = Z 3 = = 75° и Z 2 = Z 7 = 75° (вертикальные). Углы 4 и 5, 6 и 8 равны как вертикальные, a Z 5 = Z 6 как внутренние накрест лежащие. Все перечисленные углы 4, 5, 6 и 8 равны между собой и равны по 105°, так как Z 4 + Z 3 = 180°, a Z 4 = = 180° - Z 3. Получили четыре угла по 75°, четыре угла по 105°. Контрольные вопросы 1. Какие прямые называются параллельными? 2. Что такое секущая по отношению к двум прямым? 3. Какие углы называются накрест лежащими? 4. Какие углы называются соответственными? 5. Объясните, какие углы называются односторонними. 6. Сформулируйте признаки параллельности прямых. 7. Каково взаимное расположение двух прямых, перпендикулярных одной и той же прямой? 8. Сформулируйте аксиому параллельных прямых. 9. Можно ли утверждать, что две различные прямые, параллельные третьей, параллельны между собой? 10. Сформулируйте теорему об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Упражнения 1. Один из углов, которые образуются при пересечении двух параллельных прямых секущей, равен 72°. Найдите остальные семь углов. 2. Две параллельные прямые пересечены третьей. Известно, что разность двух внутренних односторонних углов равна 40°. Найдите эти углы. 3. Две параллельные прямые пересечены третьей.'Известно, что сумма двух внутренних накрест лежащих углов равна 160°. Чему равны эти углы? 4. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой так, что один из образовавшихся углов равен 120°. Под какими углами его биссектриса пересекает вторую параллельную прямую? СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА Теорема о сумме углов треугольника ТЕОРЕМА Сумма углов треугольника равна 180°. Доказательство. Рассмотрим произвольный треугольник ABC и докажем, что ZA + ZB + ZC = 180°. Проведем через вершину В прямую а, параллельную стороне АС (рис. 63). Углы 1 и 4 являются накрест лежащими углами при пересечении параллельных прямых а и АС секущей АВ> а углы 3 и 5 — накрест лежащими углами при пересечении тех же параллельных прямых секущей ВС. Поэтому Z4 = Z1,Z5 = Z3. (1) Очевидно, сумма углов 4, 2 и 5 равна развернутому углу с вершиной В, т. е. Z4+Z2+Z5= 180°. 4/3 В а Рис. 61 1/5 6/2 7/8 Рис. 62 А Х^\ а з\ с Рис. 63
Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы 137 Отсюда, учитывая равенства (1), получаем: Z 1 + Z 2 + Z 3 = 18 0 °, ил и Z А + Z В + Z С = 180°. Теорема доказана. Следствия. 1) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 2) В равнобедренном прямоугольном треугольнике каждый острый угол равен 45°. 3) В равностороннем треугольнике каждый угол равен 60°. 4) В любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой. 5) Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Доказательство. Из равенств Z 4 + Z 3 — = 180° hZ1+Z2 + Z3 = 180° (рис. 64) получаем, что Z4 = Z1 + Z2. Пример 1. Два угла треугольника равны 27° и 41°. Найти третий угол и определить вид треугольника. Решение. Так как сумма двух углов треугольника равна 68°, то по теореме о сумме углов треугольника третий угол равен 180° - 68° = 112° и, значит, данный треугольник тупоугольный. Пример 2. Какой вид имеет треугольник, в котором один угол равен сумме двух других углов? Решение. Обозначим через х градусную меру того угла треугольника, который равен сумме двух других углов. Тогда, так как сумма углов треугольника равна 180°, то 2х = 180°, откуда х = 90°, т. е. треугольник прямоугольный. Пример 3. Найти углы треугольника ABC, зная, что угол С на 15° больше, а угол В на 30° меньше угла А. Решение. Обозначим градусную меру угла А через х, тогда градусная мера угла С равна х + -I-15°, а угол В - х - 30° (рис. 65). Так как сумма внутренних углов треугольника равна 180°, то получаем уравнение х + (х +15) + (х -30) = 180. Решая его, получаем х = 65°. Таким образом, ZA = 65°, ZB = 35° и ZC = 80°. Пример 4. В треугольнике ABC (рис. 66) А А = 60°, Z В = 80°. Биссектриса AD этого треугольника отсекает от него треугольник ACD. Найти углы этого треугольника. Решение. Z DAB = 30°, так как AD — биссектриса угла A, Z ADC = 30° + 80°= 110° как внешний угол треугольника ABD (следствие 5), Z С = = 180° - (110° + 30°) = 40° по теореме о сумме углов треугольника ACD. Соотношения между сторонами и углами треугольника. Неравенство треугольника ТЕОРЕМА 1 В треугольнике против большей стороны лежит больший угол. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона АВ больше стороны АС (рис. 67, а). Докажем, что Z С > Z В. Отложим на стороне АВ отрезок AD, равный стороне АС (рис. 67, б). Так как AD < АВ, то точка D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, Z С > Z 1. Угол 2 — внешний угол треугольника BDC9 поэтому Z 2 > Z В. Углы 1 и 2 равны как углы при основании равнобедренного треугольника ADC. Таким образом, ZOZ1, Z1 = Z2,Z2>ZB. Отсюда следует, что Z С > Z В. Справедлива и обратная теорема (ее доказательство проводится методом от противного). Рис. 64 Рис. 65 Рис. 66
138 Краткое изложение школьного курса математики Геометрия. 7—9 классы ТЕОРЕМА 2 В треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Из теоремы 1 вытекает Следствие 1. Если два угла треугольника равны, то треугольник равнобедренный (признак равнобедренного треугольника). Доказательство следствия проводится методом от противного. Из следствия 1 следует, что если три угла треугольника равны, то треугольник равносторонний. Из теоремы 2 получаем Следствие 2. В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. С использованием теоремы 2 устанавливается ТЕОРЕМА 3 Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Следствие 3. Для любых трех точек А, В и С, не лежащих на одной прямой, справедливы неравенства: АВ<АС + СВ, АС<АВ + ВС, ВС<ВА + АС. Каждое из этих неравенств называется неравенством треугольника. Пример 1. Сравнить углы треугольника ABC и выяснить, может ли быть угол А тупым, если АВ > ВС > АС. Решение. Согласно теореме 1 имеем: ZC>ZA> >ZB. Угол А тупым быть не может, так как тогда Z С тоже тупой и, значит, ZA + ZB + ZC> > 180°, что невозможно (п. 1, теорема). Пример 2. Сравнить стороны треугольника ABC, если ZA> ZB> ZC. Решение. Согласно теореме 2 имеем: ВС > АС > >АВ. Пример 3. Две стороны равнобедренного треугольника равны б и 2. Чему равна третья сторона? Решение. Так как каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон (теорема 3), то третья сторона может быть равной только 6. Пример 4. Одна стор