Министерство высшего и среднего
специального образования РСФСР
Куйбышевский ордена Трудового Красного Знамени
Авиационный институт имени СЛЛСоролева
В, А. С о й ф е р
ЦИФРОВАЯ ГОЛОГРАФИЯ
ИБЁ ПРИМЕНЕНИЕ
Учебное пособие
Куйбышев 1978

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов
специальностей " Автоматизированные системы управления " и
"Прикладная математика", изучающих технические средства и
математическое обеспечение сй&тем сбора, передачи и отображения
информации и выполняющих курсовые и дипломные проекты в области
автоматизации экспериментов, испытаний и проектирования* Оно
окажется полезным аспирантам и инженерам, специализирующимся в
указанной области» и» по мнению автора, поможет им подобрать ключ к ре-
шению целого ряда прикладных задач, кажущихся "неразрешимыми " в
рамках традиционных методов, не использующих достижений цифровой
голографии*
Автор выражает благодарность MJU Голубу, выполнившему
квалифицированные рефераты большого числа иностранных статей,
перечисленных в списке литературы, а также СВ. Карде еву,
В.А. Пестрово, Я.Е. Тахтарову и А.Г.
Храмову за проведение экспериментов по синтезу и анализу голсь
грамм на ЭВМ.
Утверждено на редакциояно-издательском
совете института 30.12.76.
Рецензенты: Д.Д. Кловский, Б.К. Брюханов
Куйбышевский авиационный ияотитут, 1978

ВВЕДЕНИЕ
Голография переживает счастливый период своего развития*
Совершенствование ее методов опирается на мощную техническую базу»
развитие которой обусловлено, в первую очередь, прогрессом в
области лазерной техники* Результаты теории получают
экспериментальные подтверждения» ив то же время физическая и ияформациощ
ная сложность голографического процесса оставляют широкое поле
как для теоретика так и дая экспериментатора»
Расширяется и сфера практического применения голографии»
однако прогресс в области " практической голографии " еще не столь
значителен. И дело здесь совсем не в 0ольшой стоимости и
сложности гол©графических установок. Возникающие на пути
практического применения голографии трудности носят принципиальный
характер. В частности,оптическая голография дает возможность
регистрации на светочувствительном материале амплитуд и фаз
волнового фронта и последующего восстановления объемного изображения
объекта, которому этот волновой фронт соответствует. На плоской
голограмме компактно записывается колоссальный объем данных о
трехмерном объекте* Как правило, в практических приложениях
задача не исчерпывается необходимостью хранения и визуализации
информации об объекте, а ставится значительно шире как задача
исследования, т.е. количественного и качественного анализа и
использования полученных данных для решений и выводов* Шенио
здесь возникает принципиальное противоречие меаду колоссальным
объемом данных, воспроизводимых с голограммы и малой
информационной пропускной способностью исследователя, осуществляющего
визуальные наблюдения восстановленного изображения* Вторая трудность
заключается в том, что голограмма наиболее просто позволяет
3

визуализировать объекты, которые можно уввдеть в обычном свете.
Однако наиболее заманчивым для исследователя является как раз
"увидеть невидимое" иди же создать некий видимый образ объекта
по его математической модели» Обе сформулированные и многие
другие трудности на пути практического применения голографии могут
быть преодолены с помощью ЭШ и методов цифровой голографии.
Цифровая голография - это получение голограмм и
восстановление изображений с физических голограмм при помощи ЭВМ,
оснащенных специализированными устройствами ввода-вывода и епециали-
зировадднм MflTfi*MflTff4flOKHM обеспечением г
Задача синтеза голограмм на ЭШ, по существу, лежит в
основе создания трехмерного дисплея. Применение трехмерных
дисплеев в системах автоматизации проектирования позволит эффективно
решать задачи, возникающие при аэродинамических, термодинамических
и прочностных расчетах летательных аппаратов при конструировании
юс элементов, при компоновке их оборудования* Синтезированные
голограммы уже находят более прозаическое, но не менее важное и
широкое применение в оптических системах обработки сигналов и
распознавания образов* Новым направлением в вычислительной
технике является создание гибридных оптико-цифровых систем,
важное место в которых занимают голографяческие памяти и
оптические процессоры, элементами которых являются синтезированные
голограммы*
Анализ физических голограмм на ЭШ позволяет автоматизировать
голографический эксперимент. Успешное решение этой задачи во
многом связано с созданием устройств ввода изображений с высокой
разрмввще! способностью (порядка I02 - I03 мм~*). Автоматизация
голографяческого эксперимента открывает безграничные
возможности для проведения тонких исследований, в области аэродинамики,
термодинамики, прочности и т.д.
Сочетание задач анализа и синтеза голограмм на ЭШ в
перспективе может сформировать новый подход к построению систем
автоматизации исследований широкого класса объектов и явлений*

!¦ АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКИХ ГОЛОГРАММ НА ЭВМ
I.I. Измерение и диокретиз^гдаз долей
для ввода в ЭШ
Голограмма, являясь средством полной регистрации, несет большой
объем информации об объекте. Для получения количественных
данных о параметрах объекта и решения сложных задач визуализации
внутренней структуры и различных видов объекта необходима
автоматизация обработки данных голографяческого эксперимента.
Одним из наиболее удобных путей автоматизации является ввод
голограммы в ЭВМ с последующей реконструкцией ( восстановлением)
объекта в цифровом ввде. Цифровые данные0 характеризующие объект
могут использоваться для' дальнейших вычислений в ЭШ с целью
подсчета требуемых параметров объекта. Кроме того, возможно
отображение на дисплейных устройствах, сопряженных с ЭШ, видов
объекта 9 наблюдаемых под различными углами» визуализация сечений
трехмерных объектов, подчеркивание каких-либо деталей* Особенно
удобным является цифровое восстановление прозрачных (чисто
фазовых) объектов.
Цифровое восстановление изображений основано на
моделировании процесса распространения света от голограммы к объекту. В
простых случаях возможно использование приближения Кирхгофа и
следующих из него методов дифракция Френеля и Фраунгофера [2],
[18]. Для здорового восстановления более сложных объектов должны
быть применены методы теории рассеяния [бЕ], [aj.
Ввод голограмм в ЭВ1 требует разрешения ряда трудностей •
Аналоговый объект ( физическое поле) дри вводе в ЭШ переводится
в вдфровую форму» При этом имеют место дискретизация и квантова-

ние, вносящие методические погрешности в результаты измерений»
Дня ввода оптических голограмм в принципе могут быть
использованы методы сканирования и устройства, описанные в [б]
применяемые при передаче и цифровой обработке изображений. В
работе [39 J дано теоретическое описание оптико-механического
процесса сканирования* Для получения более общих результатов
предполагается, что перед сканированием непрерывное входное поле (/(*,(?)
отображается некоторой оптической системой ( объективом) с
функцией рассеяния ( импульсным откликом) zo (x, у) . Такой этап
может потребоваться, например, при предварительном кодировании
шеи масштабировании объектного поля. В результате процесса
сканирования из входного поля [/ (х, ц/) получается дискретный
электрический сигнал
S^ (х, у)- к[и(х,</>)* Гс (х9у)]сот6 (jf ' Y~)' (I.I)
ще tc - функция рассеяния всего тракта преобразования,
которую можно найти по формуле
(1#2)
символ * обозначает операцию свертки, л - отклик
объектива на равномерное входное поле, Т(р(х, у) - функция
рассеяния фотодетектора, сканирующего изображение, те(х,р)~
импульсный отклик используэмой электронной аппаратуры;
XY I (Г(х-Х„, <?-У„).
(1.3)
Во всех выписанных формулах предполагается, что л, у
изменяются в квадрате: 1
{<х<?->-ф<?<?}> (1.4)
где М - число отсчетов в каадой стро}9 дискретизированно-
го щхля, /V - число отрок Я(/ и Sp вне квадрата равны
нулю* Через //7/ = XYMN будем обозначать площадь
квадрата Я .
Далее удобно анализировать процесс сканирования (1*1) в
частотной области* Двумерное преобразование Фурье некоторой

функции Q^(x,(//) обозначаем через a (S>,co) . Из уравнения
(1,1) следует:
где л
4 (*> сО) ж i (*> *>) Г<Р (*' ^ Ъ (» # (1.6)
Уравнение (1*5) можно переписать в форме
где
§(19o))-kU(*,co)tc(*. co)'> (1#8)
6 ' у ^ (m,n)t(O,O) ^ (1,9)
функция S есть спектр исходного непрерывного поля,
ограниченный частотной характеристикой тс отображающего тракта,
N6 дает мешающие боковые порядки. Вводится понятие
пространственной полосы пропускания F отображающего тракта, как
множества пространственных частот j, для которых функция тс ()9со) отлична
от нуля, а также полосы В9 соответствующей дискретизации:
л f j_ / /_ /
Возможны^ два случая: а) достаточная частота дискретизации,
когда Fс В , б) недостаточная частота дискретизации, когда
л л
ГФ В .
В случае достаточной частоты дискретизации полезная
компонента спектра (1,8) при отсутствии дополнительного шума может быть
полностью восстановлена путем пропускания сигнала S через
идеальный фильтр нижних частот с полосой F • В противной случае
( недостаточная частота дискретизации) имеет место
пространственное наложение мешающих спектральных компонент на полезную
компоненту. Сигнал оказывается необратимо испорченным.
Практически все известные системы сканирования ориентированы
на работу с изображениями. Физическая оптическая голограммамо-
жет формально рассматриваться как некоторое изображение. Но имеютг

ся существенные количественные отличия голограммы от обычных
ражений в смысле требований к разрешению систем ввода в ЭШ* Так,
для перевода обычных изображений в цифровую форму достаточно
выбрать отсчеты с плотностью, не превышающей 10* - I02 мм""1 ( по
кавдой оси) [12] . Известно также [2] , что разрешение на вне-
осевой голограмме имеет- порядок I03 - 1Сг линий на миллиметр,
что на один-два порядка превышает возможности известных систем*
Возможны усовершенствования систем ввода, несколько повышающие
их разрешающую способность» Однако такая мера не является
радикальной и сопряжена со значительным довышеддем стошостя. соответ^
ствующих систем.
Другой путь состоит в примененшюпециальных методов
снижения полосы пространственных частот в голограммах [ill]» Например,
дредложея метод дискретизации в области пространственных частот,
аогласно которому нужно работать с небольшим участком голограммы
Фурье* Для получения при этом полного поля зрения рекомендуется
периодическое размножение взятого куска голограммы* Выигрыш
получается до Ю3 - кратного снижения объема данных* Однако такой
способ приводит к необратимой потере полезной информации и
соответствующему снижению разрешения на восстановленном
изображении, что допустимо лишь при визуальном наблвдении изображения,
восстановленного с голограммы*
Для уменьшения полосы частот голограммы рядом исследователей
используется рассеивающая среда, устанавливаемая мевду объектом
и голограммой при записи и между наблюдателем и голограммой при
восстановлении* В качестве рассеивающей среды использовалось
матовое стеедо, а также периодические отруктуры* Снижение полосы
частот влечет за собой уменьшение разрешения в восстановленном
изображении и увеличение шума* Метод может быть существенно усо-
рершенотвован введением движения рассеивающей среды* Случайное или
детерминированное движение среды вызывает временное усреднение
шумов и пятнистой структуры, что повышает разрешение на
восстановленном изображении и повышает отношение сигнал/шум.
Вое описанные методы уменьшения числа отсчетов* требуемых
для дискретизации голограммы, обладают принципиальным недостаткомt
Уменьшение числа отсчетов достигается за счет потери падезяой ин-
форшщши что сказывается на качестве восстановленного изображе-
ная: ухудшается передача объемности, уменьшается отношение сиг-

нал/шум, появляется пятнистая структура* В то же время физическая
голограмма обладает значительной избыточностью информации в силу
использования элементов разрешения для передачи несущей
пространственной частоты9 соответствующей введению опорного пучка.
В связи с этим представляют интерес ряд методов сжатия данных
в голограмме» полностью сохраняющих полезную информацию.
Пусть объект создает в плоскости голограммы комплексное
волновое поле U , интерферирующее с полем R ,
соответствующим опорному пучку* В случае линейной регистрации амплитудное
пропускание
Второе и третье слагаемые соответствуют двум сопряженным
изображениям» записанным на пространственной несущей X7 и R*.
Вадйчина несущей пространственной частоты определяется утлш
между опорным и объектным пучками. Ограничимся, как и в работе
[24] , случаев линзовой Фурье-голографии с плоским опорным
пучком. Пусть объектное поле имеет полосу пространственных частот
( по каадой из координатных осей); известно также, что
плоский опорный пучок, падающий под углом в к оптической оси
фурье-системы f дает пространственную частоту ос = S(? в ~ -j- >
где л - длина воляы используемого когерентного излучения.
Первое слагаемое в выражении (2.II) ( нулевой порядок) занимает
полосу частот, определяемую членом И If* , т.е. равную 2WU (до
кавдой координатной оси) и расположенную вблизи начала координат
в частотной плоскости. Для ликвидации перекрытия членов C/R*vl С/к
с нулевым порядком, очевидно, должно выполняться неравенство
Ддя типичных устройств ввода ос ~^ 20 линий/мм требуемый
размер голограммы А = 30 мм, соответствующий угол в = 0,72, а
из выражения (2.12) Wu = 13,3 линий/мм. Дону войны л выберем
равной 632,8 Нм. Для получения таких значений Wu потребуется
линза с фокусным расстоянием
в - 7 f /
) /'7"
Малые значения ос и большие / * предъявляют
специфические требования к установке голографирования* В работе [24]дредао-
жено заменить линзу Фурье двухкаскадяой оптической системой^кви-f-
валентной длидяофокуояой ! данзе, а также предюжеяы методы kohi

троля угла наклона опорного пучка, что позволило реализовать
соответствующую систему ввода* Таким образом, использование схем
голографирования с малыми углами наклона позволяет уменьшить
пространственную частоту на голограмме» сохраняя полезную
информацию.
1*2* Восстановление объекта по голограмме Фурье
Голограмма Фурье регистрирует интерференцию двух воля, комплекс*
идо дошлитуды китирых а шшикиити ТОЛих'раММы ЯВЛЯЮТСЯ" фурье—Об—"~
разами объекта и опорного источника* Прямое преобразование Фурье
функции двух переменных g?u, гг) имеет вид
Обратное преобразование Ф^рье определяется соотношением
{ \Г(
Дхя получения голограммы Фурье опорный источник должен
располагаться в той же ( входной ) плоскости* что и объект* Поэтому,
строго говоря, голограмму Фурье можно получить только для
плоских предметов ( транспарантов) и предметов, имеющих малую
протяженность по глубине* Схема получения Фурье-голограммы по методу
Ви-дер-Jtorra [г] показана на рис Л .1. Пусть t (и, гг) _
амплитудное пропускание транспаранта размера Х*Х9 помещенного в
передней фокальной плоскости линзы с фокусным расстоянием f ,
осуществляющей преобразование Фурье* Тогда комплексная амплитуда
предметной важны в плоскости голограммы9 совпадающей с задней
фокальной длдскостью линзы, есть
tt .16)
- пространственные координаты в плоскости голограммы;
Перед интегралом в правой части уравнения (1*15) опущен
ю

В передней фокальной плоскости линзы расположен также
точечный источник (Г(и+?,гг), фурье-образом которого является
плоская опорная волна еоср (~^2л6 f) • Фотопластинка,
находящаяся в задней фокальной плоскости линзы, зарегистрирует
интенсивность интерференционной картины:
T*(f,
Рис. l.i
Выражение (I«17) описывает поле, которое должно измеряться
и вводиться в ЭШ для цифрового восстановления объекта i (и, гг)ф
Как вдцно из выражения (1.17), информация об объекте закогчена в
функции T(f, 7) , модулярувдей колебание несущей
пространственной частоты eocp (f2&6?) . Для реконструкция необходимо
прежде всего выделить информацию об амплитуде и фазе функции Г (г, t)
II

из записанной интерференционной картины (I.I7). Это можно
сделать с помощью следующего преобразования [21] записанной
интенсивности: ОО
. t)-fl(t,
В результате преобразования приближенно получим:
Используя для реконструкции объекта t (и, v) функцию
будем восстанавливать также и изображение-точечного-опорного
источника в соответствии с соотношением
Ь (и,^) — (1 U(i\ ч)ехр?-^2я(а?'-г-гг?)jdfd^ * (1.20)
Возмож1о* и непосредственное использование функции I(Ч, ?)
для восстановления изображения по формуле
t (и,гг) = f~f[l(f,?)]. (I.2I)
Однако в этом случае неизбежно появление шумов,
обусловленных наличием первых двух неянформациояных членов в выражении
(I.I7), а также появление второго сопряженного изображения. Оба
эти фактора снижают качество реконструкции объекта.
Для вычислений по формуле (I.2I) в ЭВМ следует выполнить
дискретное преобразование Фурье (ДПФ) двумерного массива
комплексных величия» соответствующее дискретизованяой функции К?, ?)<
Описание ДПФ приведено в работе [в]
Прямое ДПФ двумерного массива данных а (т,п) имеет вед
обратное ДПФ определяется соотношением
Ь ' (1.23 )
N к
Дня восстановлена объекта по формулам (I.I8), (1*20) ДПФ
выполняется с массивом данных5 соответствуюцих фушохия lf(f\ 7) «
12

Заметим, что при вычислениях по формуле (1Л8) также можно
использовать операцию ДПФ функции
[1
, t sin [яХ(?
!(*>*) яХ(Г-Ч)
Пусть дискретизованная голограмма соответствует физической
голограмме, заданной на квадрате размера Я* Я , а шаг
дискретизации одинаков по осям оо и у* и равен Д2 • Тогда,
заменяя интеграл в выражении (1.20) интегральной суммой,
подучим:
(1.24)
или в сокращенной форме записи
г
уШ({)\ (1-25)
где
/У-^-- (Ь26)
Вычисление ДПФ двумерных массивов данных следует проводить
с использованием алгоритмов быстрого преобразования Фурье
(БПФ), описанных в работе ?6j.
Отметим» что даже при использовании БПФ вычисления спектров
при большой размерности массивов ( в голографии эта величина
имеет порядок мегабайта ) - сложная и трудоемкая задача*
Т«3« Восстановление плоских и трехмерных объектов
по голог
Цифровая реконструкция для широкого класса голограмм может быть
основана на использования приближения Кирхгофа задачи о
дифракция. Интеграл Френеля-Кирхгофа устанавливает связь меяаду
распределением комплексной амплитуды света в плоскости объекта и в
4-730 13

плоскости, удаленной от него на некоторое расстояние в
направлении распространения волн.
Строгое решение интеграла Френеля-Кирхгофа в частотной
области [2] дает следующий результат: если плоская волна единичной
амплитуды распространяется в направлении оси z и падает на
помещенный в плоскости 2=0 транспарант с амплитудным
пропусканием t (u,v) , то спектр ff(f9 7) комплексной амплитуды волны
в плоскости Zr=d имеет вад
Я(Ъ ?)'Т(Г,?)Ф (Г, f, d), (1.28)
тцв
'O F{t(uv)}y (I#29)
Часто на практике выполняется условие %, ? « Т/л ( дучя
близки к параксиальным). Разлагая в выражении (1*30) квадратный
корень в ряд, можем записать;
и заменить равенство (1.30) приближенным выражением
Ф (?, ?, d)™exp[{JccLx(f2i-12)}. (I.32)
Фазовый множитель ехр(~/ 2яс/а ) f выражающий время
запаздывания, в выражении (1.32) опущен.
Описанное приближение называют параболическим, поскольку
фаза y(f, 7)=/2лс/л(г*+- ?* ) является параболической
функцией координат. Определим предельное значение
пространственной частоты, для которого справедливо параболическое
приближение, исходя дз правила Рэлея, требующего, чтобы фаза волнового
фронта искажалась за счет аппроксимации не более чем на
Принимая этот критерий, запишем неравенство, ограничивающее
значения отброшенной в выражения (I.3I) части ряда:
2xd Г л У л7 К я
откуда
14

Поступая аналогично, при выполнении условия
Md.^li-JpL^f d.35)
ИЛИ
можем заменить функцию ф (у, ?, а) константой и убедиться, что
из выражения ( 1.28), что в плоскости (<f9 ?) наблюдается спектр
транспаранта»
Приведем числовые примеры» Пусть d =10 см, л = 0,5.
Из условия выражения (1.34) получаем, что верхнее предельное
значение пространственной частоты ( при у =0), для которого
справедливо параболическое приближение, равно ? =113 мм"*. Из условия
выражения (1*36) следует, что / = 10 мм""*.
С использованием опорной волны комплексная функция fl(f, 7)
(1.28) может быть зарегистрирована в ввде интенсивности
интерференционной картины аналогично выражению (I.I7). Предположим,что
в память ЭШ записаны двумерный массив данных fit (к, €) ,
полученный путем дискретизации функции /7 (?, 9) по ар1умеятам с
шагом л2 и вместо соотношения (1.28) используется
Д(к9€) - Т(к, €) Ф (*, С d), (I#37)
где Т(х,€) , Ф(х,€,4) - отсчеты -функций T(f,t) и Ф(Г,?,4\
соответственно, с шагом л2 по осям f и ^
Задача решения уравнения (1.28) относительно ^ (и, гг) в
области пространственных частот ( /, 7 ) эквивалентна решению
интегрального уравнения Фредгольма I рода в области дространственяы&с
переменных (и, тг) и является, вообще говоря, некорректной в
смысле устойчивости решения [ 4 ] •
Малым отклонениям наблюдаемой функции Д (?, 9 ) $ вообще
говоря, могут соответствовать большие отклонения решения i (а,гг).
Для решения этой задачи следует использовать методы регуларлза-
ция академика А.И. Тихонова [4] • Регуллризоваяяое решение
уравнения (1.28) в спектральной области имеет вид
с 17шттг ф(?ы)
15

где ос - параметр регуляризации;
M(f,$) - четная неотрицательная Функция, определяющая
регуляризующий функционал;
Для самого широкого класса функций можно показать» что при
использовании регуляризаторов тихоновского типа
М(Ь?)= Г*'У (1-39)
существует такая зависимость погрешности регуляризованного
решения от погрешности наблюдения, при которой последовательность
приближенных регуляризовашшх решений сходится к точному решению*
Используя регуляризованное решение Ц.38)~ в дискретной форме
Я (к.*) (1.40)
<Ч Ф(к,?,<?)
) л
/Ф(к>ъ,а) л
и применяя к функции Г(л,€) ДПФ, подучим искомое решение;
if}
{
Реконструкция в частотной области - яе единственный путь
решения задачи. Если справедливо параболическое приближение,
функция Ф(?, ?, d) , как нетрудно заметить по выражению (1.32) „
с точностью до постоянного множителя совпадает с функцией Фре -
веля [3] , а функции Ь(и,гг)ъ a (jc,p)~F~'{/7(f, ?)\
оказываются ^связаны прямым
а(х.у)=Ц*(и.гг)ехр{}2*с**[(х-")^ (у- v
я обратрш
t(и,v)~(ja(oc$)exp]-/2лс/л[(и-
преобразованиями.Френеля
В этях условиях спектр объекта в соответствия с
соотношением (1.43) может быть вычислен через наблюдаемую функцию fl(f, ?)
из соотношения
или в дискретной форме
(1.45)
где * - символ комплексно-сопряженной величины.
Соответствующее решение имеет вид
{
?6

и получается с использованием ДПФ, Заметим, что несмотря на
внешнюю простоту записи, вычисления по формулам (1*45), (1.46)
требуют значительных затрат машинного времени для вычисления
фазового множителя <р (а, €, d) в каадой точке голограммы.
Можно предложить еще- один интересный метод цифровой
реконструкции, опирающийся на интеграл Френеля-Кирхгофа при
моделировании процесса восстановления объекта по голограмме. Пусть ff-fcjf)
представляет собой амплитудное пропускание голограммы,
соответствующее интерференции предметной и плоской одоряой волн. Процесс
физической реконструкции объекта ?(и,гг) по голограмме при
освещении ее плоской волной описывается соотношением, аналогичным
соотношению (1*28):
ТСГ, 7)-е (?, 7)Ф (?, 7, d), (I Л7)
где
Таким образом, восстанавливаемое изображение записывается в
виде
?(и,гг) = р-г{р[<}(х,?)]ф(ч, t,d)} (I-49)
или в дискретной форме
{
Реконструкция по формуле (1.50) в отличие от рассмотренных
ранее методов требует двукратного применения ДПФ к двумерным
массивам данных.
Можно обойти эту трудность, полагая, что справедливо
параболическое приближение к t (u,v) в выражении "( 1.49) - френе-
левский образ р(х,у). Соотношение Френеля - Фурье \ъ]9
позволяет выразить фрейелевский образ Ф(х) функция f(x) через
Фурье-образ F(co) этой функции:
-6x)F{/(fi$r)z ('ef')} tt#5I)
где, по определению ,
г (х) ш со0 VFexp/fcoZx2)', (I#52)
(1.53)
соответственног-функция Френеля и ее Фурье-образ*
Используя равенство (I.5I ) в (1.49), , получим
S-7SQ гм

с точностью до постоянного множителя
Ю]} tt.54)
или в дискретной форме
{
{
Вычисления по формуле (1.55) более экономны, чем вычисления
по формуле (1.50), так как требуют однократного применения. ДПФ.
Кроме этого требуется выполнить двукратное умножение на /1/*комй-
лексяых чисел FD \Ф\ •
Да~сих портгаграсшатривали восстановление плоских объектов.
Реконструкция трехмерного объекта t (u,v,z) не вызывает
трудностей, если этот объект может быть представлен совокупностью
плоских сечени|, параллельных плоскости голограммы;
Такими объектами, в частности, являются пространственные
ансамбли частиц [8] ,[1б]. Для реализации цифрового
восстановления объекта по сеченийм можно использовать любой из методов,
описанных в этом разделе, варьируя параметр d ,
соответствующий расстоянию от голограммы до восстановленного сечения.
1.4. Восстановление фазовых объектов
Изложенные выше методы применимы к восстановлению простых
объектов в ввде набора плоских транспарантов, т.е. объектов, дифракция
на которых удовлетворительно описывается в приближении Кирхгофа*
В прикладных задачах исследуемые объекты часто имеют иную
структуру, например, турбулентный поток газа или жидкости в оптической
голографии или сплошной материал с неоднородностями в
акустической голографии.
Для слабо рассеивающего полупрозрачного объекта теория
обратного рассеяния [61] позволяет по голографическим измерениям
полностью восстанавливать его трехмерную структуру.
Рассеивающий объект характеризуется потенциалом рассеяния
F(jc',u\ Z') • Дм прозрачного ( чисто фазового) объекта
18

где /г - волновое число;
u(jcI^',2') - показатель преломления*
При освещении такого объекта волной ff'°(<z'>tf'> z')
комплексное волновое поле, рассеянное объектом в плоскости
голограммы, имеет вид ^
^^p^[f (I#58)
где • ~~
^y'dz1', a#59)
К вели p*+f*<1i
р^
(1*60)
Ha голограмме, отстоящей на расстоянии zo от объекта,
нелинейно регистрируется #ункция
I(*#)='/% С*> ?>**) + &* (*>?)!*, tt.ei)
содержащая полную информацию о функции l/s ,
где UR (х>#) - поле опорного пучка-
Из уравнений (1*58) и (1.59) может быть определен потенциал
рассеяния» Для этого требуется [6lJ регистрация серии голограмм
с освещающими плоскими волнами
l [
падающими по различным направлениям (ро >фо > л>о) на
рассеивающий объект. Соответствующие уравнения имеют вид
U(S)(u, v, w) - -gLjr Н-1/т(хф г» )eocp[-j(ux+ Vf)]dxdy. (1.65)
Ввод гемюграшш в ЭШ осуществлялся fai автоматическим
19

цифровым микроденситометром9 сопряженным с ЭВМ* Для снятия
отсчетов в нем используется освещение лазерным лучом, диаметром
I мкм. Поскольку опорный пучок дает высокую пространственную
Частоту на голограмме лишь в одном направлении ( ось ос ),
применялась различная точность дискретизации по оси ас я и* . По
оси эс снималось 10000 отсчетов оптической плотности на
расстоянии I мкм друг от друга при периоде пространственной
несущей 2L мкм, по оси у снималось лишь 60 отсчетов на расстоянии
40 мкм. Отсчеты подвергались квантованию по 400 уровням от 0,01
до 4.00 оптической плотности. Для снятия характеристической
кривой фотоматериала с голограммой всегда оптически формировался
эталонный клин. В дШ отсчеты плотности дерекодяровывалясь в
отсчеты интенсивности (1.59) с использованием данных о
характеристической кривой. Затем производилось вычисление
Фурье-образа l/(S) функции lf(J) и определение потенциала рассеяния, а
следовательно, я коэффициента преломления объекта по формулам
(1.62 ) - (1.65).
1.5» Шитадия на- ЭВМ
физических томографических процессов
Наряду с постановкой новых задач цифровая голография позволяет
решить ряд задач физической голографии путем моделирования со- *
ответствующих процессов на ЭВМ. Альтернативами моделированию на
ЭВМ являются прямой физический эксперимент и чисто
аналитическое исследование. Физический эксперимент является в
большинстве случаев дорогостоящим и не позволяет " проиграть"
сколько-нибудь значительного числа вариантов и в свою очередь,
требует применения ЭВМ для автоматизации обработки экспериментальных
данных* Аналитические выкладки, встречающиеся при анализе
сложных голографяческих схем являются достаточно громоздкими и не
позволяют исследовать многие интересные для практики ситуация*,
Кроме того, имеется ряд трудностей выбора критерия сравнения
голографяческих изображений* От перечисленных недостатков в
значительной мере свободен метод цифрового моделирования голографя-
чеокях схем и процессов [19] , [46], [56], [15], позволяющий
доследовать влияние различных шумов и искажений на качество воя-
нового фронта,восстанавливаемого с голограммы при различных
20

способах голографирования широкого класса объектов.
В работе [I9J исследовано влияние возмущений голограммы
Фурье плоского объекта на качество восстанавливаемого
изображения при визуальном критерии качества» Исходным плоским
объектом являлась фотографияf квантованная по 256 уровням и дискрети-
зированная с 128 х 128 отсчетами» Острое преобразование фурье
этого массива давало математическую фурье-голограшу.
Голограмма подверглась следующим возмущениям: введению аддитивного и
мультипликативного независимого белого гауссовского шума,
равномерному угвяитгтяирт ямтгвнутрт И фВЗЫ ГОДОГраММЫ ПО 32 УРОВНЯМ,
логарифмическому квантованию амплитуды и (или) фазы по 32 и 8
уровням. Проведенные эксперименты позволили сделать ряд выводов:
аддитивный белый шум на голограмме Фурье порождает также белый
шум на восстановленном изображении; мультипликативный белый шум
приводит к низкочастотному шуму на изображении; равномерное
квантование сильно ограничивает разрешение па изображению.
Использование логарифмического квантования несколько смягчает эти
ограничения»
В работе [33] метод моделирования на ЭШ применен для
исследования влияния конечных размеров голограммы Фурье и конечного
числа уровней почернения регистрирующей среды на качество
восстановленного изображения* Оценка качества восстановленного
изображения осуществлялась как визуально9 путем индикация
результата на экране электронно-лучевой трубки» сопряженной с ЭШ,
так и по среднеквадратическому критерию.
В случае визуального критерия в качестве входного объекта
$(х>%) выбиралась буква " Р ". Затем осуществлялись
операции, указанные на блок-охеме на рис.1.2. Вычисляемые отсчеты
Фурье-образа G(u,v-) объекта ^(а:,^) подвергаются усечению до
количества N* N ( отбрасывание некоторого подмножества отсчетов)
и квантованию. Обратное преобразование Фурье дает
восстановленное изображение, которое отображается на экран ЭЛТ, сопряженной
с дШ. Приведенные в работе [33] фотографии ясно показывают
ухудшение качества изображения с уменьшением числа отсчетов /V
и появление дополнительного шума при малом числе уровней
квантования.
Доя количественного исследования влияния усечения и
квантования производилось сравнение восстановленных изображений с
*,-,*> _

Начало
Ввод
объекта
Вычисление
бЛФ, a(u.v)
вдеальным по среднеквадратичному критерию* Среднеквадратя-
ческая ошибка вычисляется двумя способами: действительная - по
определению и средняя - на основании
аналитического выражения, полученного
в работе [зз].
При этом ошибка всегда
нормируется делением на энергию идеального
изображения f-(&,#)• Значения /V
варьировались в интервале /V = 10-65*
Для N » 64 ( т.е. 64 х 64 отсчетов)
моделирование с использование БПФ
потребовало 6 мин на ЭВМ IBM 7094. В
качестве объекта также выбиралась буква
Р • Рассматривались три типа
квантования: квантование амплитуды и фазы,
имеющие место в случае голограмм
Ломана, квантование вещественной и мнимой
части (голограммы Ли), квантование
трех компонент комплексного числа
(голограммы Б>уркхардта) • На основании
полученных результатов построены
графики зависимости ошибки от числа
отсчетов. Взаимное расположение графиков
показывает, что наименьшую ошибку
всегда дают голограммы Буркхардта, затем
следуют голограммы Ли и самая большая
ошибка свойственна методу Ломана.
Наряду с детерминированным
рассмотрен и стохастический объект,
являющийся реализацией случайного поля со спекг
тральной плотностью:
Усечение и
нВантобание
G (и. v)
Вычисление
Обратного
6П<р 9 А (х,у)
Omofpaofcenue
восстановлен- i
\ноео usodpa-
\жения на
злт
С Конец ^J
Ряс. 1*2
( X
та),
(1.66)
- интервал дискретизации объек-

где выбрано
(
Для получения такого объекта генерируются вещественная и
мнимая часть отсчетов &тп его Фурье-образа как независимые,
нормально распределенные случайные величины с нулевым средним и
дисперсией Jtmtt /г (так, чтобы ?{ет} = 0, Е{/&*,„/2}=J**,„',?
оператор математического ожидания)с При этом ступенька
квантования амплитуды и фазы выбирается в зависимости от динамического
диапазона кадодой реализации ( число уровней квантования задано),.
Динамический диапазон случайного поля определяется как
некоторый доверительный интервал с заданной вероятностью попадания р.
Из приведенных в работе [33] графиков следует монотонно
убывающий характер зависимости средяеквадратяческой ошибки от
вероятности р , с которой определяется динамический диапазон
в интервале 0,14р 4 0,9 \ Отмечается хорошее совпадение
значений действительной ошибки, полученных непосредственным
подсчетом на модели, л теоретической оценки ошибки*
В работе [35] на цифровой модели изучаются эффекты
игнорирования амплитудной информации в голограмме Фурье плоского
объекта ( буквы Р )• Получено значение энергии ошибки в
восстановленном изображении, равное 3*$ от энергии вдеальнога
изображения (при случайном выборе фаз объекта и 32 уровнях квантования
фазы голограммы).
В работах [зг], [5б] путем моделирования на ЭШ процесса
диффузного рассеяния света проводится изучение различных типов го-
лографическях диффузоров, применяемых для повышения качества
восприятия томографического изображения по психовизуальному
критерию;
Для изучения взаимного влияния соседних слоев на
восстанавливаемые сечения трехмерного объекта был проведен машинный
эксперимент по восстановлению голограммы трехмерного объекта,
состоящего из двух плоских отсчетов - букв w А " и В ",
расположенных на различных расстояниях от плоскости голограммы ( рис.1.3).
Голограмма трехмерного объекта синтезировалась на ЭВМ путем
имитации соотношения Френеля-Кирхгофа в параболическом
приближении» Дли кавдого из сечений, представляющих собой двухградацион-
яые изображения букв на пале, содержащем 32х32или64х64от-

Ко,ерёнтное Сечение! Сечениег
t/3ge
очега яркости, рассчитывалось распределение комплексной
амплитуды в плоскости голограммы по формуле, аналогичной (I.55)* Затем
рассчитанные комплексные амплитуды от обоих сечений суммировались
в шюскости голограммы,
создавая общую дифрак-
ционкую картину и
полностью имитируя процесс
получения физических
голограмм»
Воветановйение объек-
та производилось по аиго-
ритму ( 1.55) с
вариацией параметра d ч При
восстановлении различных
сечений трехмерного
объекта наблвдаяась динамика изменения шумов от
расфокусированного изображения в соседнем сечения ( рис* 1А)*
Ряс. 1#4
Если при оптическом восотановлении точность наводки на
резкость определяется апертурой оптической системы» то при
цифровой реконструкции качество восстанавливаемого изображения в
основном определяется погрешностями дискретизации голограммы в ЭЕМ
по аргументам и по уровням.
Проведенное моделирование показало, что при увеличении числа
отсчетов на голограмме шум от расфокусированных изображений в
соседних сечениях уменьшается по интенсивности и белее равномерно
распределяется по плоскости восстанавливаемого изображения» что
делает возможным дршвяеше методов цифровой фильтрация для
24

для улучшеняя качества изображений*
В работе[46 ] сообщается о создании пакета прикладных
программ для анализа аберраций, свойственных голограммам вследствие:
X) относительного смещения опорного пучка при записи голограммы
& освещающего пучка при восстановлении; 2) изменения длины
волны; 3) конечности толщины регистрирующей эмульсии, а также
эффектов усадки эмульсии. Отмечается, что возможен анализ
аберрации голограмм методами, аналогичными анализу аберраций линз*_
Однако положение осложняется наличием у голограмм ряда
асимметрических яЛддтятуй» не свойственных линзам«, Такдм образом,
становится довольно сложным и трудно обозримым* Метод цифрового
моделирования обладает значительными преимуществами при
анализе аберраций голограмм, обеспечивая высокую скоростей
точность»
Рассматриваются четыре типа голограмм: осевые (габоровские),
внеосевые, голограммы сфокусированных изображений и безлинзовые
Фурье голограммы* Основное внимание уделено установлению на
базе геометрической оптики наиболее общих соотношений, являющихся
основой для моделирования на ЭВМ.
В рассмотрение включены произвольные сферические и плоские
опорные пучки. Однако в качестве объекта рассмотрен лишь
простейший точечный источник* Аберрации оценивались по отклонению
восстановленного с голограммы волнового фронта от идеального
сферического. Численные значения отклонений, полученные в результате
моделирования на ЭШ, подтверждены созданием специальной
оптимизирующей программы, позволяющей найти вид и параметры схемы
голографирования, регистрирующей эмульсии источника освещения,
обеспечивающие взаимную компенсацию различных видов аберраций. Шята-
ция голографического процесса на ЭШ позволяет исследовать
сложное влияние турбулентной среды на качество изображения,
полученного в результате голографического эксперимента* В работе [l5]
проведен анализ влияния турбулентной среды на голограммы фурьб ж
Френеля пространственного ансамбля частиц, позволивший, предложить
ряд методов улучшения качества реконструируемых изображеяийЛрад-
ложен гнбродшй метод моделирования, сочетающий достоинства фмзж-
ческого голографического эксперимента ж имитации голографжческо-
го процесса на ЭН1* Метод заключается в вводе в ЭШ физической
оптячесио! голограммы частиц, полученных в условиях нетурбулеят-
7-4Э0 25

ной среды, и дальнейшей имитации яа ЭШ воздействия турбулентной
среды на голограмму. Такой метод позволяет получить нолячествен-
ные результаты, а также сделать качественные выводы путем
визуальных наблюдений изображений частиц, восстановленных с
искаженных п средой" голограмм.
1.6. Анализ иятерферограмм на ЭШ
В настоящее время широко распространены иятерферометрические
измерения f" в" особенности "лазерная интерфёрометрияТ Интерференция
испытываемого волнового фронта с идеальным волновым фронтом дает
систему полос, отражающих различия менее чем в полволны.
Применяемая визуальная обработка интерферограмм является трудоемкой
и не позволяет получить данные достаточной точности и объема.
Актуальной является автоматизация обработки янтерферограмм с
использованием ЭШ. Для этого координаты полос на интерферограм-
ме подвергаются дискретизации и вводятся в ЭШ. Далее данные
интерферометрии обрабатываются с помощью специально разработанных
алгоритмов. Результатом обработки может быть визуализация поля
параметра, исследуемого интерферометрическими методами, а также
численные данные об объекте изучения* В работе [б] приведены
некоторые результаты ясследсйзаняя возможностей анализа и
автоматической обработки иятерферограмм с помощью ЭШ Мияск-22.
В работе [55]описывается пакет прикладных программ для
обработки интерферометрических данных. Пакет ориентирован на ЭВМ СДС-
- 3300, хранится яа магнитных дисках, имеет блочную структуру я
включает около сорока программ. Программы ввода позволяют
производить ввод координат янтерференционяых полос в разлячных
форматах. Вычислительные программы осуществляют различные аппроксяма-
цяя идеальных поверхностей по методу наименьших квадратов с
оценкой точности; интерполяцию данных об интерферограмме на
регулярную сетку отсчетов, виньетирование апертуры; компенсацию неосе-
симметричяых аберраций оптики, используемой при съеме
интерферограмм; удаление статистически недостоверной информация;
сглаживание данных; преобразование координат; анализ данных
специальных тестов плоских зеркал; синтез объекта из нескольких
интерферограмм. Программы работы с данными позволяют производить
накопление, выборку, сложение, вычитание, усреднение иятердодиро-
26

ванной информации, записанной в виде файлов на дисках* Программы
вывода осуществляют визуализацию линий уровня, перспективных
ввдов, ввдачу числовых параметров на печать и на перфокарты*
В работе [55] описаны принципы построения некоторых
вычислительных программ. В программе синтеза объекта из нескольких
перекрывающихся интерферограмм основной проблемой является
масштабирование отдельных интерферограмм* Для этого производится
их согласование на перекрывающихся областях путем минимизации
суммарного средяеквадратического различия во всех общих
участка^ Дня- пг-яяжвфяния и интврпггщяции дягифетдадрп-аянниу данных
используются полиномы Цернике, ортогонализированные методом Грам-
ма-11Ьдодта,
имеются также сообщения [60] об автоматизации обработки
данных многолучевой интерферометрии чисто фазовых асимметричных
объектов* Такие объекты описываются трехмерным полем п {жф?)
коэффициента преломления, йнтерферометрические тесты дают
информацию в виде конечного набора чисел:
Я=/[п(*'&*)~'1']'?**' (1.68)
где •* Si - путь пройденный с -ым лучом;
п0 - однородное "опорное" поле коэффициента преломления.
Выражение (1.68) является функциональным уравнением. Решение
такого уравнения позволяет определить массив дискретных отсчетов
поля п(ас,у,,2) в случае отсутствия симметрии* В работе [60J
описано 6 методов решения уравнения (1.68) на ЭШ:
1. фурье-синтез*
2. Прямая инверсия*
3. Метод sine - функций.
4. Метод ортогональных сеток*
5. Восстановление в частотной плоскости*
6* Итеративный алгоритм.
Реализация соответствующих алгоритмов проведена на ЭВМ
IBM-360 [&!!}• Сообщается об успешном применении разработанного
матобеспечения к анализу трехмерных асимметричных полей
температур, описывающих природные конвекционные потоки.
27

П. СИНТЕЗ ГОЛОГРАММ НА ЭЕМ
2.1. Формулировка проблемы
Для полной регистрации волнового поля объекта требуется
зарегистрировать как амплитуду» так и фазу рассеянного объектом
излучения. В физической голографии полная регистрация достигается,
как известно, введением опорного пучка» В цифровой голографии
проблема рааомятряуявт^д * Лпца* пбщяц ъщ*9 Пусть расдределе-
ние комплексной амплитуды поля в плоскости голограммы опмсывав*-
ся комшексяошачяой функцией
Pfay^/rfay)*"**"- U, (*.у)+/Ъ(*,р). (2.1)
Любое устройство синтеза голограмм позволяет отобразить лишь
функции h(oc^) из некоторого класса // реализуемых функций.
Таким образом , комвдекснозначная функция С/ должна быть
закодирована некоторой функцией h e H • Совокупность класса и
способа кодирования назовем методом регистрации синтезированных
голограмм. Следует заметить» что метод регистрации обычно
применим к синтезу различных типов голограмм ( Френеля, Фурье,
голограмм сфокусированных изображений и т.п.). Однако связанные
с методом регистрации аппроксимации различны в каадом случае и
приводят в-различной степени к появлению сопряженных и ложных
изображение» а также различных ввдов шума на восстановленном
изображении.
Во многих случаях класс Н состоит из вещественных
неотрицательных функций. Ранние способы кодирования, описанные,
например, в работе [18], представляли собой формальное моделирование
на ЭВМ физической схемы Лейта и Упатниекса. Впосдедствие были
созданы более эффективные способы кодирования комплексной
функции вещественной неотрицательной.
В случае фазовых голограмм и киноформа класс Н состоит из
комплекснозначннх функций, равных по модулю I ( или же имеющих
постоянный модуль ft' fap)m Дш const) •
Одним из последних достижений [36] в области цифровой
голографии является использование многослойных нооителей джя
регистрации голограмм. Такие среды дозволяют реализовать комплекс-
/ LJ
28

яые функции), изображение от которой восстанавливается на оси
оптической системы, что обеспечивает высокую дифракционную
эффективность ( теоретически до I0Q?)«
Появляются также сообщения о первых попытках синтеза цветных
голограмм, т*е, голограмм, с которых восстанавливаются
многоцветные изображения»
Общей проблемой при синтезе голограмм является изучение
дискретизации и квантования компонент функции пропускания (например
амплитуды и (или) фазы, вещественной и мнимой части и
т.п.).Специфические проблемы возн^к^ют при- дгоЕшткв синтеза не стационар**
ных голограмм. Решение этих проблем лежит на пути использования
динамической регистрации*
Перейдем к систематическому рассмотрению методов
регистрации синтезированных голограмм»
2.2. Имитация на ЭШ процесса получения
Физических голограмм
Ддя регистрации амплитуд и фаз волнового поля объекта можно как
это делается и в физической голографии, использовать опорную
волну.
Алгоритм получения голограммы на ЭШ в этом случае выглядит
следующим образом* Сначала решается задача дифракции и
рассчитывается распределение световой волны объекта в плоскости голограмм
™(*,?)-Я (*,г)с*р [/у fa (2>2)
где зс,и - пространственные координаты в плоскости голограммы,
а Я и У - соответственно, амплитуда и фаза поля &
После расчета световой волны a(jc,p) к ней добавляется
плоская опорная волна
г (х,и) = Вехр (/fa), (2.3)
где В z S ~ соответственно, амплитуда и пространственная чнсто-
та плоской воляы*
Далее модуль образуемой суммы волн возводится в квадрат, в
результате чего образуется полег принимающее неотрицательные
значения:
и fay) - If (*,ff) +- Вехр (J-Sjc )/г (2.4)
29

,р) cos [вос-
или
После этого с помощью устройства отображения изготавливается
транспарант на фотопленке с амплитудным пропусканием,
пропорциональным значениям и (ж,у).
Оптическое восстановление синтезированной таким образом
голограммы может выполняться по обычной схеме. На голограмму
направляется плоская волна Beacp(jf>oc) , в результате чего
образуются четыре компоненты, две из которых
пропорциональны,соответственно, волне Q- (<x,fi ) и волне Q- (ос, у,) eoop (jSjc) ,
образующим действительное и мнимое язооражение объекта, разнесенные
в пространстве на расстояние, пропорциональное величине ? .
При синтезе голограммы ка ЭВМ совсем не обязательно
имитировать возведение в квадрат модуля суммы волн §-(&>%-) я г(-г,^).
Действительно, информация об объекте содержится лишь в
последнем слагаемом суммы (2.5). Первые два слагаемые выступают в
роли смещения, обеспечивающего неотрицательность значений суммы.
При оптическом получении голограмм смещение [Д2(э?м) + В2]
получается естественным образом. При получении голограмм на ЭВМ
можно использовать другие способы смещения, например, сделать его
постоянным, что приводит к голограмме вдда
Uf (
где К - постоянная, обеспечивающая неотрицательность
значений функции Uf (&,fr) на рассматриваемой части плоскости fatf)*
Рассматриваемому методу получения голограмм на ЭШ присущ
принципиальный недостаток, ограничивающий его
практическое"применение. Действительно, для полного разделения вещественного и
мнимого изображений пространственная частота плоской волны должна
быть выбрана достаточно большой. В практических приложениях она
составляет величину порядка Ютйм • Это означает, что для
регистрации синтезированной голограммы необходимо иметь устройство
отображения с разрешающей способностью 10^ Л5ЙИ^ • Небольшая
мм
машинная rcjiorpaMMaf размером 10 мм х 10 мм#будет содержать таким
образом I08 отсчетов. Быстродействие современных ЭВМ делает
затруднительным выполнение даже простейших операций с такими
массивами данных. Уместно задать вопрос: является ли такая высокая
способность необходимой для записи информации ой
30

объекте? Как правило, нет. Для разрешения мельчайших деталей
объекта вполне достаточной обычно оказывается разрешающая
способность 10 ^и]*~ , а увеличение ее значения на порядок
связано исключительно с необходимостью регистрации опорной волны,
не несущей никакой информации о голографируемом объекте и
выполняющей лишь вспомогательные функции кодирования комплексных
чисел вещественными. На основании сказанного можно сделать вывод,
что такой способ кодирования, очеввдно, не принадлежит к числу
лучших в цифровой голографии.
Гибкость ЭШ позволяет предложить множество друиах способов
кодирования цифровых голограмм, недопустимых для голограмм
физического лроисхоаденияо
2.3. Бинарные голограммы
Простейшим типом синтезированных голограмм являются бинарные
голограммы,амплитудное пропускание которых принимает лишь два
значения {l,o}. Таким образом, любой опособ синтеза бинарной
голограммы является способом кодирования комплекснозяачной функции
в вещественнозначную, принимающую значения {1,0/. Предложено
множество способов такого кодирования, особенно для голограмм
Фурье и Френеля.
2.3.1. Голограмма Фурье
Амплитудное пропускание двумерного объекта Ь(и, ^связано с
распределением света от объекта в плоскости голограммы
преобразованием фурье ^^
f
(2.7)
где л - длина волны света; / - фокусное расстояние линзы,
используемой для Фурье - преобразования.
При машинных вычислениях объект задается матрицей T^(tpZ)
размера N*N своих равноотстоящих отсчетов. Соответственно, ДДФ
позволяет получить N* N комплексных отсчетов спектра,
отстоящих друг от друга на расстояние d f и дискретная голограмма
Фурье описывается выражением
31

Qr(md, nd) (^(oc-md, U-nd) ,
где (?(&,&)- двумерная единичная импульсная функция,
, х-у-0
(2.8)
(2.9)
Значения спектра fr(rnd> nd) нельзя непосредственно отобразит^
на фотопленке, так как они комплексные. Для такого отображения
предложен ряд методов.
Mi т од Д о м а я ai Сзгвдооть цетода-закшвчаетоя- в
следзгющем. Поле голограммы, размера /7^/7, разбивается на
элементарные ячейки, размера (fx(f , число которых составляет Af*N
(рис.2.1). Каадой (т,а) -ой ячейке соответствует комплексная
величина
f (md, nd) = 1$ (md9 nd)/exp [/ у (md, nd)]. (2д Q)
m
N
w<
<r
P и с.2.I
Рис. 2.2
Значение амплитуды кодируется абсолютно прозрачной щелью
внутри ( т, п ) - ой ячейки, площадь которой пропорциональна
величине lfr(md> nd)/ e Значение фазы кодируется сдвигом центра
щели относительно центра ячейки ( например по оси ас ) на
величину Ртп (Р ( где /Рюп/^1 - отяоожтлльяое смещение),
пропорциональную фазовому углу 9>(/nd,nd) ( рис.2.2).
В результате применения описанной процедуры получаем гало-
32

грамму, кавдая точка которой имеет прозрачность либо 0, либо I.
При оптическом восстановлении голограмма Ломана освещается
плоской волной. Дифракционная картина первого порядка создает в
задней фокальной плоскости линзы, выполняющей фурье-преобразо-
вание, восстановленное изображение объекта t(u,zr) 0 Для
пояснения процесса восстановления рассмотрим сечение части
голограммы Ломана (рис.2.3)^ Если
наблюдать в дальней зоне картину
дифракции плоской волны на
отверстиях гтод углом в=(ZZCC0S
(л/(Г), точиожно увидеть, что
разность фаз световых волн от
точек 1,2 и 4 кратна 2jt ,a
разность фаз меаду волной от
точки 3 и любой из точек 1,2
или 4 отличается от величины,
кратной 2я ,на значение ^-А %
поэтому, выбирая Р^п из
соотношения
Рис, 2.3
можно добиться требуемых
фазовых соотношений в восстанавливаемом объекте* Строгий
математический анализ проведен в работе [40],
При использовании на этапе восстановления линзы, дальняя
зона соответствует ее задней фокальней плоскости.
Метод Ли. При использовании этого метода комплексное
значение каждого отсчета л (md, nd) отображается на голограмме
четырьмя действительными неотрицательными величинами. Пусть fr2
и fo - соответственно, действительная и мнимая часть а , тогда
где
?J t 0 %c>sO,
8-730
(2.14)
33

fas
0 ,
(2.15).
(2.16)
Равенство (2.12) можно рассматривать как разложение вектора
в комплексной плоскости, как показано на. рис. 2.4. Шеющаяся
система четырех базисных векторов
(2.17)
позволяет записать любой вектор а в виде
Неотрицательные величины g,f , аг ,
^3 и ^^ отображаются внутри
элементарной ячейки голограммы в виде
абсолютно прозрачных отверстий,
площади которых пропорциональны
значениям соответствующих величин, а
центры смещения друг относительно друга
на расстоянии г? /4. Процесс
оптического восстановления осуществляется
также, как в случае голограммы
Ломана.
Рис, 2А
Модификации методов Лопана и Ля. В
выражении (2Л7) самое большое две из четырех компонент могут
быть ненулевыми. В этой связи предложено [18 J уменьшить число
базовых векторов до трех ( ос , / , %- ), как показано на
рис.2.5. Любой вектор а может быть записан в виде
°° (3.18)
где а $ S f с неотрицательные величины, одна или две
из которых ненулевые; ос = Л/же#р №jT~)' F= еэоР&з^)*
Структура голограмм, предложенных Ломаном, а также Ли,
приспособлена для использования механических графопостроителей.
Использование ЭЛТ затрудняет управление такими параметрами, как
34

площадь ячейки ( определяемая площадью луча)» Использование же
модуляции интенсивности луча, дающее полутоновые голограммы
предъявляет повышенные требования к линейности фотопроцессов.
В связи с этим предложено [37] использовать оледующий формат
ячейки на синтетической голограмме ( см. рис. 2.6).
(Г
Рис. 2.5
Рис. 2.6
В ячейке разрешения-с помощью электронного пучка формируются
два пятна одинакового диаметра и интенсивности.
Фаза у волнового фронта йеосрС^У) отображается, как и
в голограмме Ломана, величиной Р/пП сГ смещения центра тяжести
ячеек от оси симметрии ячейки, дающей " фазу обхода" ( cfetoue
phase. X. Для управления амплитудой /J используется
существенно другой метод, чем в голограммах Ломана и Ли. В последних
амплитуда отображается либо площадью прозрачной части, либо
коэффициентом поглощения регистрирующего материала. В работе
[^предложено управлять амплитудой за счет изменения распределения
энергии излучения по порядкам дифракции. Меняя расстояние с/ меаду
точками ( пятнами), мы будем изменять мгновенную пространственную
частоту в данной ячейке, направляя требуемую часть энергии
излучения в первый ( точнее в ( 1,0)) порядок дифракции.
Для математического анализа предложенных голограмм
используется установленный Ломаном факт, что ячейка с одной апертурой с
центром в точке ((/г+- Ртп)(Г> тс^ ) соответствует комплексному
числу с фазой У = 2jc Ртп я некоторым модулем /ff . Ячейка
на рис. 2.6 содержит две апертуры с центрами ( (п +¦ ртп +с(/2)(Р,

) и ( ( п t- Ртп - d/z)(P, mcP ) и соответствует
комплексному числу
=2Д, cosxdexfi
(2.19)
Таким образом,
fl ~ С05 Jtdl
У ~ Р/пп ->
При d = c//nc/s. = a/(f апертуры сливаются$> мгновенная
пространственная частота гологралшы имеет порядок f/cP » я большая
часть энергии дифрагируется в первый порядок* что соответствует
максимуму выражения (2.19) • При d-dma^c = 1/2 мгновенная
пространственная частота голограммы удваивается ( 2ftf )g и
большая часть энергии идет во второй порядок дифракции* Тэжт
образомэ энергия, дифрагированная рассматриваемой ячейкой в
первый- порядок дифракции9 практически равна 0 в этом случае,что
соответствует миншуму А в выражении (2.19).
При малых А и больших у возможно смещение кружков в
соседнюю ячейку. Ддя ликввдащш этого нежелательного эффекта
можно модифицировать структуру ячейки ( рис* 2.7)* В таком случае
изображение будет восстанавливаться
не в (X,СО-ом, а в (1Д)-ом
порядке дифракции.
Отмечается, что описанные
голограммы просты в реализации и
снимают проблему регулировки площади
точки от электронного лучка.
В работе [33J предлагается
ввести более сложные формы прозрачной
части ячеек, позволяющие уменьшись
погрешности восстанавливаемого с
синтезированной голограммы
изображения.
Рассмотренные методы синтеза
голограммы фиксирует ввд функции пропускания голограммы, остав-
О-1
rt<r
Рис* 2*7
36

ляя свободными лишь параметры апертур, ля предложен [47J и
другой метод синтеза бинарных голограмм, в котором функции
пропускания голограммы может быть произвольной бинарной»
Пусть требуется получить волновой фронт fl(jc,y>)exp(j-y
в плоскости (x,ff) . В оптической, голографии такой фронт
записывается в виде интерференционной картины. Вначале
рассматривается чисто фазовый фронт exp(j-yCx,^)) . Если используется
плоская опорная волна, то пропускание голограммы будет меняться
как f(jc,(f.)=cos[?(x,ff)+2JCJc/r] ( 2.20), где - "дершй"
интерференционно! картины, определяющей углрвр.е_разделеяие
дифракционных порядков» Бинарную голограмму предлагается получить,
пропуская f (jc,fi) через адеальяый ограничитель ( ряс.2»8).
Поскольку отклик ограничителя на равенство (2.20) является
бинарным и имеет вид
то бинарная голограмма такого вада
при /77 =1). Зцесь у=-~-агссо$С
Из рис. 2.8 вадно, что бинарная
функцияf описывающая
голограмму,отлична от 0, если
COS У (ХМ) ^ COS'KCjr у
что может быть записано в виде
9 ч< ^L +
позволит получить любой
п 4 (jr/2
(2.22)
Рис. 2*8
где /г - целое число.
Это неравенство дает общее выражение для синтеза бинарных
голограмм. Если ?(х,р)= const , то равенство (2.20) дает
периодическую решетку с периодом Т . Величина Т и
определяет угловое разделение дифракционных порядков при
восстановлении. Используя выражение (2.20), можно построить алгоритм
синтеза бинарных голограмм. Преаде всего находится критерий выбора
периода Т . Из выражения (2.21) видно, что пространственная
частота голограммы в направлений эс равна
йг =— + з? ййс* • (2.23)
10-730
3?

Член -— можно интерпретировать как несущую частоту,
появляющуюся из-за ведения наклона волнового фронта. Второй член
соответствует пространственной частоте волны еоср [/? (я,у)] •
Полоса частот функции езср [/У^^^)]в направлении jc
определяется по формуле
Ш1\ (2.24)
как удвоенная максимальная пространственная частота функции
ejcp[j-y(<x,^) ] . Аналогично определяется полоса
пространственных частот для е^ср- [j-yC^f) ] в направления $* :
Если *
(2.26)
то высшие дифракционные порядки не накладываются на первый
порядок. Обычно берут -jr- = ZBjc. Интервал дискретизации по осям а
и х выбираетсяf соответственно, 2Т и ~ , где М - целое
число. Точность отображения интерференционных полос из выражения
(2.22) определяется величиной И . Для решения неравенства
(2.22) на ЭВМ рассматривается его дискретный вариант,
соответствующий л?= -jfKjc ; У=2Тк„ • Умножая равенство (2.22) на М9
можно получить
2'
Ма
Мп 42' (2.27)
Применим известные свойства арифметики по модулю Н и
заметим, что из решения выражения (2.27) следует, что оно
должно выполняться и по модулю М, т.е.
¦ в.»,
Применение арифметики по модулю М позволяет исключить
номер п интерференционной полосы. Это существенно упрощает
процедуру решения неравенства на ЭВМ. При синтезе бинарной
голограммы для каждой точки (X^, К и ) проверяются неравенства (2.28) и
( 2.29). Бели точка удовлетворяет хотя бы одному из неравенств,
то в направлении оси у через точку (к^, Аи)проводится линия
длины 2Т с_о<3ъем вычислений растет пропорционально числу
38

N2 точек отсчета я равен ~ ^
Возможны обобщения. Если волновой фронт имеет более общий
вид Яfcy>)expQy(x,if)) , то переменной является и ширина
"интерференционных полос", на бинарной голограмме. Для этого
вместо константы а вводится функция
^ (<z>y-) = -jf-azcson Я(х>$)> (2.30)
где амплитуда /7 ?с,#) должна быть нормализована и иметь
максимальное значение I.Можно показать из выражения (3.21)9 что т -ый
дифракционный порядок» восстановленный с бинарной
голограммы,пропорционален sin \rnazcsia Д(эо,у,)\еэср [jwyfap)] •
Следовательно, в первом порядке будет получен фронт
]
Кроме введения несущей частоты, разделение дифракционных по-
рвдков может производиться и другими способами. Например, можно
добавить к у (ос,у,) величину 2&z* f где z=(jc2+yz)* R^const
Тогда различные дифракционные порядки будут фиксироваться в
различных плоскостях, параллельных голограмме. Выделение
нужного порядка может осуществляться диафрагмированием -плоскостей
остальных порядков. Такой метод представляет особенный интерес,
когда зависит только от г .
Для iyMDCTparuan рассмотренного метода синтеза голограмм
приведем пример.
Пример. Сферический волновой фронт радиуса F . Здесь
?(&>$•)** "ТГ~ С00* * У*) * где Л -длина волны. Пространственная
частота этой волны вдоль оси :t равна
дос "яГ ' П (2.31)
Следовательно, наивысшая пространственная частота Л*Г , а
полоса частот Вх=-^г , а период решетки Г- ~—= ?-?- • Дис-
кретная фаза rf-^/fc fr }
Из выражения (2.31) легко вддеть, что -^L^-JL.e_Z_ ,где
N ~~jr- - число " интерференционных полос" при у (я, и) -
= const • При р= О уравнение, определяющее "интерференционные
полосы" имеет вад
**]-!!, (2.32)
' + 1,.-., 2 h г >
39

К =- — , - — +/ —-/ — •
Все физические параметры сферического фронта заменились в
выражении (2.32) безразмерными величинами М и /V .
По описанному алгоритму получена голограмма, размера
254x254 мм2, которая уменьшалась фотопутем в 60 раз и
регистрировалась на пленке А о с/а/с 649 Г „ Для проверки качества
волнового фронта, восстановленного с синтетической голограммы, была'
изготовлена интерферограмма. Интерферограмма содержала полосы,
аналогичные зонной пластинке Френеля, что свидетельствует о
действительно сферической форме восстановленного волнового
фронта.
2.3.2. Голограммы Френеля
Оптическая схема получения дифракционной картины Френеля
трехмерного объекта показана на рис. 2.9. Выражение для
комплексной амплитуды поля в плоскости (^^ ) с точностью до
постоянного множителя описывается выражением
(2.33)
— о©
Этот интеграл особенно просто вычисляется, если трехмерный
объект представляет собой конечный набор точечных рассеивателей,
расположенных в точках С и* * V* > 2* ), т.е.
t(u9 гг,2) = Хсе* (Г(и-и* ,гг-гг,<, z-zA). (2e34)
В этом случае из уравнения (2.33) следует
{
В более общем случае для вычисления по формуле (2.33)
целесообразно представить трехмерный объект в виде суммы
равноотстоящих на расстояние л z поперечных сечений,
перпендикулярных оси z и аппроксимировать рассматриваемый интеграл
выражением "
(2.36)
4Q

Предлагаемая аппроксимация позволяет свести задачу
дифракции на трехмерном объекте к задаче дифракции на плоском объекте.
Амплитудное пропускание
двумерного объекта t (и, г/) ,
находящегося на расстоянии
П от плоскости голограммы,
связано с распределением
света от этого объекта в
плоскости голограммы
преобразованием
Сёет от лазера
и с. 2*9
Jft (и, гг) ехр[жл (и
(2.37)
можно принять оба
+ г2)] еаср [-/
Для вычисления на дШ функции ^
способа, описанные в 1.2* Вычислив функцию fi(jc,ff) 9 ее
можно зарегистрировать с помощью любого из методов, описанных в
предыдущем разделе.
2Л. Многоградациояные голограммы
Наряду с многими достоинствами бинарные голограммы обладают
рядом недостатков. Наиболее существенным является значительная
потеря разрешения, поскольку на каздую ячейку бинарной
голограммы требуется несколько элементарных ячеек отображающего
устройства.
С такой точки зрения наиболее предпочтительными являются
устройства вывода изображений, дающие несколько(более двух)
градаций интенсивности или непрерывные по уровням. Для
построения синтетических голограш на таких устройствах разработаны
специальные методы кодирования комплекснозяачных величин в взде
вещественных неотрицательных. Зшшрячесхий метод» обобщающий
метод Ломааа для бинарных голограмм, предложен в работе [41]«
В этом методе голограмма состоит из набора /VxA/ ячеек
размера (Рх х (Гх . В каадой ячейке расположено пятно с относи-
U-730

тельным размером
где
а и функцией рассеяния a(jc,at
(2.38)
Яркость 1„т пятна ( п,т ) соответствует амплитуде
комплексной функции в данной ячейке, а одвиг /^ tf пятна от
центра ячейки определяется фазой. Амплитудное пропускание
голограммы имеет вид
fa, ate]. (2.39)
в каадой ячейке
два свооодяых параметра 7^ и >гг
ны быть определены таким образом, чтобы в первом дифракционном
порядке с голограммы восстанавливался нужный волновой фронт*
Выбирая значения этих параметров, оптимальные по критерию
минимума высших порядков дифракции, мы в сущности вводим в
голограмму целенаправленные предискажения. Для выборов значений
параметров 1пт и Рпт рассмотрим воображаемую систему оптической
пространственной фильтрации [2] (рис.2.10), в которой Р^ ,
$и - пространственные частоты; )>0 - центр первого
порядка дифракции, определяемый формулой
са пространственных частот голограммы»
Плоскость
голограммы
Р я
Щ)и освещении монохроматической плоской волной I
шдосредствеяно за голограммой возникает вожновой фройт
42

а на плоскость пространственных частот I Чг * V* ) падает
световое поле
(2,40)
где
В плоскости ( $х > ^ ) установлен непрозрачный экран с
отверстием в виде прямоугольника
В выходной плоскости ( ас', и ) возникает волновой фронт
Р 9
Из выражения (2,42) видно9 что значения функции H(jcla') в
точках ( п (Гх, /псГр ) равны коэффициентам фурье функции А ($х > ty)>
восстанавливаемой в первом дифракционном порядке. Таким образом»
параметры голограммы Н (jc,u) определяются из уравнения
где Цк1-Дк1ехрц>?кс) - коэффициенты Фурье -изображения,
которые требуется восстановить с голограммы.
Производя в выражении (2.42) интегрирование в предположении»
что f($jc, ^afCi)^const^ получаем окончательно уравнения для
где sine 2 я sin ягг/лг .
Система (2*43) решается методом итераций. Начальное
приближение естественно взять в виде
43

<0> ~ /2jr ( (2.44)
n
ct -oe приближение определяется из уравнений:
Друтой способ мяогоградационяой регистрации синтезированных
голограмм обобщает описанный выше способ Ли синтеза бинарных го-
лограмми Ячейка голограммы образуется четырьмя элементарными
квадратам. По крайней wepef два из четырех квадратов являются
полностью непрозрачными.Коэффициент амплитудного пропускания
оставшихся дзух квадратов пропорционален модулю, соответственно,
мнимой части комплексного отсчета Фурье-образа объекта.
2.5. Киноформ
Значительным шагом в развитии цифровой голографии явилось
создание киноформа [18].
Предположим, что поле Д(х,Ц-)ехр(?у>(а:м)) $ созданное
объектом в плоскости голограммы, имеет амплитуду flfey) s / . Для
изготовления кидоформа фаза У(х,а) приводится к интервалу
04 ?(я,у')<2&. Изготавливается транспарант с амплитудным
пропусканием ?(х,и) . После отбеливания подучается синтетическая
голограмма, называемая киноформ. Заметим, что приведение фазы
к интервалу [0,2я] делает невозможным использование киноформа
для динамической регистрации в нестационарной голографии»
Существенным недостатком метода является наличие, вообще говоря»
ограничения Д(йс,(^)^1. Это имеет место лишь для дл$фузянх
объектов. Теоретическое рассмотрение влияния игнорирования
информация об амплитуде на качество изображения, восстановленного
только по фазе волны от объекта, зарегистрированной в плоскости
голограммы, проведено в работе [18].
Показано, что при таком восстановлении около 805? энергии поля
44

s плоскости восстановленного изображения несут в себе полезную
информацию об объекте. Остальные 2Ш энергия принадлежат
помехам, которые портят качество восстановленного изображения*
Для уменьшения влияния этих помех предложены различные
методы преооразования для приведения поля, рассеянного ооъектом, к
чисто фазовому. Среди них отметим идею использования пвсевдослу-
чайных последовательностей [42J при .синтезе киноформа. В этой
статье получен критерий такого вывода фаз излучения, рассеянного
объектом, состоящим из конечного числа точек, чтобы Д(&,^)**/.
Для простоты рассмотрим одномерный случай. Пусть объект описыва-_•
ется функцией ВС/) ежр (</- <?С/)) пространственной частоты/(///<Щ
и требуется синтезировать голограмму Фурье этого объекта в ввде
киноформа с размерами /a?j< -~^- . Из уравнения
Я(х)еяр[-}?(*)]- <x:fd/B(/)exp[j-V(f)-2jrfx], (2#46)
f
определяющего поле, созданное объектом в плоскости голограммы, и
теоремы о свертке следует, что
я f
(2.47)
-у
Условие Д(х) = 1, /л/ < -7г , требуемое для создания адеаль-
ного киноформа эквивалентно тому, что автокорреляционная функция
объекта равна xosinc (Fxo) • Выберем фазы точек объекта так,
чтобы обеспечить описанную корреляционную функцию. Для этой целя
нужно выбирать специальные коды, являющиеся в некотором смысле
шумовыми или пвседцослучайными, а именно: для их описания
требуется очень большой набор чисел. Все эти коды имеют
автокорреляционные функция с резкими пиками. Например, известны бинарные
последовательности Баркера, обобщенные последовательности Барке-
ра и регистровые последовательности с периодическим сдвигом. В
поставленной проблеме цифровой голографии эти коды будут
описывать оптшажьное распределение фаз по точкам объекта.
Предлагались также [26J -[28] специальные методы форми--
ftftffQflПРОВЫТЬ ПРОИЗВ^ЛТЕ^Й гтппр.тпяе^
45

(2.49)
f,A/ , р = г7&
ственный спектр Д(х*^)езср((/'Г&р))та&9 чтобы он был чисто
фазовым. Кодирование приводит на стадии восстановления к появлению
вспомогательных ( pazcty) элементов изображения. Эти
элементы пространственно отделены от основного изображения и потому
не влияют на его качество* Они лишь перераспределяют энергию цуч-
ка, несколько уменьшая яркость восстановленного изображения»
Имеется ряд путей кодирования фурье-образа* Один из нях
назван методом равноценных ( вспомогательных -paгit^ )
последовательностей [26] о Пусть {/п.,$} массив N*Q чисел,
описывающий дискретизированнов изображение, а {f^} - массив
размера N*Q его дискретного преобразования Фурье. Закодируем {Fm,p\
в ввде массива Н размера /?/У*/#,определяемого равенствами
Hmp =Hm+N, p+Q = Юр it 18<пр + (~f) timp Jf '> (2.48)
где
^ , если fl^l^mpi
0 , если Д< /Fmpl, (2e50)
Константа А является параметром 9
определяющим-качество восстановленного изображения и распределение энергии мевду
изображением и вспомогательными элементами* При Д =- rnaa: /F^p /
/П,р г
получш 100% качества изображения, но яркость его будет мала»
так как большая часть энергии пойдет на вспомогательные элементы*
При уменьшении А увеличивается яркость изображения за счет
меньшей яркости вспомогательных элементов» однако при этом ухудо-
шается качество изображения.
При восстановлении подучается массив /?Пп размерности
2Nx2Gi • Нужное изображение {fna\ находится в точках#удо-
влетворяющих уравнению
вспомогательные элементы сосредоточены в
46

Можно, наконец показать, что
Изменяющийся знак перед остр в (2*48, 2.49) показывает*
что вспомогательные элементы, соседние t элементами изображения^
являются слабыми* Таким образом, изображение и вспомогательные
элементы легко могут быть различены по интенсивности.
Другой метод кодирования ( метод синтетических
коэффициентов) определяется равенствами
где вщ и ~*тр те же, что и в равенствах (2.48) и (2.49).
Можно показать, что восстановленный массив имеет ввд
(2.56)
/па " массив нужного изображения;
Рпа " массив вспомогательных элементов.
Наличие синусоидальных множителей Ра„ и косинусоддальных
У /аа обеспечивает вблизи начала координат подавление
вспомогательных элементов и появление нужного изображения. На
периферии же преобладают вспомогательные элементы.
Во всех методах полезно введение произвольной фазы, что
улучшает яркость изображения, уменьшая динамический диапазон
спектра. Фазы могут быть введены случайно, итеративно
(численными методами ) [3lJ и детерминированно ?35j.
Рассмотрим итеративный выбор%фазы [3lJ * Задача ставится
следующим образом, Шеется последовательность
эквидистантных отсчетов амплитуды объекта Г(и92г)ехрфу(и,Ю)*
голограмма, которого синтезируется. Требуется определить набор
47

(у> \"~1 величин фазы так, чтобы амплитуды /?><* дис-
кретного Фурье-образа
f
последовательности ^^тп^^р(/^та))т,а^о имели заданную,
форму Дрп • Для киноформа нужно Др'у = const.
На г -ой итерации считаются известными: ( r^n ) и
( 5^77/7 fz)J. Производится операция БПФ массива 1?л?аея/?(ёЯп
дающая набор [Дру (z)exp(f<fpa(z)j]. Величины
[Яра (z) ] должны быть близки к _(Л!рaj по_критерию
Фо (г) ~2 #Р9-Сг)-°с(г) % 7 . " (2.58)
Значение оС(г) выбирается так, чтобы минимизировать <РО (г) •
Затем заменяется flpa,(z) на oC(z)flpaVL производится обратное БПФ
(ОБПФ) массива [<?(?) flpfexpQfpf, (г))] , в результате чего
получается хСтп(г)еяр[}?/пп (г+О]\ • Таким образом, получается
следующий набор фаз: [?тп (?+-/)] > после чего переходим к
следующей итерации, использующей (ттп) и У/ъаСг+О* В
работе [3lJ показано, что описанный алгоритм сходится, т.е.
последовательность Фв (г) имеет предельную точку 9 z = 1,2 ••••
В работе [33]рассматриваются основные аппроксимации,
связанные с машинным синтезом киноформа*
В силу финитности функции T(u,2r)ejcp[(f.y(u,ir)]b& можно
разложить в ряд Фурье в квадрате:
(2.59)
где
При синтезе киноформа фазы {ym/t} квантуются по Н
уровням в силу использования долутонового устройства вывода
изображений. Квантование эквивалентно замене ^^п на рта + $тп
в та называется шумом квантования ( рис.2.11). Известно, что
48

величины 9та являются попарно независимыми и равномерно
распределенными на интервале (- •— > ¦—), в- —^- -
Кроме квантования \утп} при синтезе кияоформа меняются
значения \Дтп } » которые полагаются равными /7 для (
= 1(т,п) : /у-/> /j-U — l*1 Р^йимй ° ПРИ остальных
Таким образом, функция т(и,гг)еэсру-у(и,гг)], определяемая
уравнением (2.59), аппроксимируется функцией:
h (и, г)ех/?[М (а, гг)]= j
определяющей изображение, восстановленное с синтезированного
киноформа .- Уравнения (2,59) и (2*60) дают/ представления требуемого
объекта и изображения, восстановленного с киноформа, через их
характеристики в частотной области, что позволяет определить
ошибку аппроксимации Техр(Ly>) посредством he-xp(сое)
непосредственно через их характеристики в частотной области. В качество
критерия выбирается
]2} (2.61)
f
где математическое ожидание Е берется по ансамблю
реализаций случайной величины втп • Подстановка уравнений (2.59)
и (2.60) в (2.61) при условии T2(jc,y) },/ег(<*,#)/ дает,что
*Л Чт.»)С1 2 (*>.»)? 1 fm.n)el (2.62)
Три слагаемые Ф , очевидно, соответствуют трем источника^
погрешностей при синтезе киноформа: предположение о
равномерности амплитуды спектра,квантование фазы, усечение спектра.
Выражение (2.62). позволяет решать некоторые
задачи.оптимизации Ф 9 зависящего от Й, в и {утп} ( через Дтп ) •
Так, оптимальное значение А находится из*условия
fr.O и равно fr-lr&fiz йпп,
ан /vo -?- (тя>еТ (2.63)
we A/f=Zt .
{m,n)el
Заметим, что теперь А зависит от 9, и {<fmn / (через
При таком значении А (2.62) принимает вид
49

(2.64)
В силу равенства Парсеваля, примененного к выражению (2.59),
л? следовательно,
-Х/2
Первое слагаемое не зависит от варьируемых переменных. Таким
образом, минимизация Ф эквивалентна максимизации второго
слагаемого А . Множитель ^Т максимизируется при ^ = ^m^ $
гДе dmin - минимально возможная на ясподьзуемом устройстве
ступенька квантования. Таким образом,остается оптимально выбрать
произвольные фазы {<fmrt j из условия максимизации критерия
*&?' (2-66)
где {Др9} зависят от {<fmn} .
Это довольно сложная задача многомерной нелинейной
оптимизации. Для ее решения в работе [35] предлагается итерационный
эвристический алгоритм. В качестве начального приближения
выбирается предложенный ранее [18] метод случайного выбора фаз.
Применение различных способов выбора^или модификации фаз
объекта имеет, как показано выше, большое значение для синтеза
киноформа и фазовых голограмм. Введение случайной фазовой
компоненты эквивалентно использованию д^фузного освещения или
введению ( случайного) диффузора перед объектом. Наличие диффузора, с
одной стороны, уменьшает динамический диапазон амплитудного
пропускания голограммы, но,с другой стороны, дает дополнительный
п спекл-шум".
В работе [31]приводится метод введения детермированяого
диффузора,пригодного для широкого класса объектов. В качестве
функции цели при создании такого диффузора взята равномерность спектра,
устранение спекл-шума и повышение избыточности в голограмме.
Рассматривается дискретный диффузор, заданный матрицей
50

i<(s-mn)MxN своих комплексных амплитуд." Математическая "Фурье-
голограмма такого диффузора имеет вдц
J
Af-f
"<* М " Л I *~ **' ^ ^ "П/")]- (2.67)
йцутся диффузоры #77/7 , для которых
/^/=/ и /Huh!, C2-68)
т.е. спектр которых равномерен на дискретной решетке отсчетов
при отсутствии объекта,
В начале рассматривается удобная запись ШФ, Пусть М
делится на 1 , /V "делится на В . Тогда уравнение (2*67)
принимает вид
М ? л/
(2.69)
где
7}?= а* 6 ~*Zo I efci +/>./B+?)erp[-2x/ (if+¦ *f)]. С2 -70)
Из уравнения (2.70) следует, что величина Т€-л периодична
по I с периодом п и по л с периодом / f т.е.
Следовательно, уравнение (2.69) можно переписать в виде
Н(Та -в, <Г6+ т) - /fVlIsZexfifa/ (f - &J], (2.71)
где ?=ТдРт9ехр[-2л}(2?-+ ¦&-)]. . (2>72)
Если М-Дг и А/=Зг , то получим
51

C2*73)
*'1
z
^0C@ JB T Л
(Jff * -?Г)] - (2.74)
Далее ищется матрица Т такая, что f&f^l и ////=/дш
всех элементов матриц G- и Н
При получения решения используется факт, что ДПФ матрицы,
которая имеет ровно один отличный от нуля эжемент, имеет
равномерную амплитудув^Из уравнения (2*73) следует, что если для
каадых б, т в S6T имеется лишь один не нулевой элемент 'с
амплитудой (МЛ/)~* и произвольной фазой, то НiK = I для
элемента матрицы Н • Аналогично из выражения (2.74) следует,
что если для каждых верхних индексов р, ^ лишь один элемент
Твт отличен от 0 и равен по модулю (/W ) ^ имея
произвольную фазу, то / Gmn Al для каадого элемента матрицы.
Из выражения (2.72) видно, что все вышеперечисленные условная
выполнены, если для кавдых &, т
? ? (2.75)
где iCp'ty) - взаимооднозначное отображение множества
упорядоченных пар ( р, & ) на себя,
pf f I, если (б,т)=Ср.?);
&т " I 0, если (б.*)*(р,р, (2.76)
yw - матрица произвольных фаз.
Таким образом, получено простое достаточное условие того,
что \Grnm 1 = 1 п lHnm\-U
Далее для простоты рассматривается одномерный случай, когда
простейшая формула принимает вдд
V
52

Уравнения (2*73), (2.74) принимают вид
1 ~
(2.77)
(2.78)
и дают таким образом прямой и обратный дискретные
Фурье-образы, имеющие модули, равные единице в М точках отсчета. На
рис. 2.12,а показана физическая реализация описанного
диффузора в виде
последовательности тонких призм с
увеличивающимся углом наклона.
Такой простой диффузор
дает равномерные модули
а
ПГ1ПППППП
Р и O.2.II
Рис. 2.12
для Н и G- . Однако он не является устойчивым к
импульсным ( локальным ) помехам* Более точно, локальные помехи
диффузора приводят к локальным же помехам в пространственном
спектре.
Для улучшения диффузора далее используется свобода
выбора произвольной фазы в выражении (2.75). Легко видеть, что
процедура выбора аналогична выбору формы нарезки при
изготовлении дифракционной решетки. ?
Если диффузор содержит М элементов, то имеется Мг
свободных фаз. В силу равенства (2.74) требуется, чтобы М* - мерное
53

ДПФ этого диффузора было равномерным. Это даст гарантию, что
кавдый элемент диффузора дает одинаковое распределение энергии в
Фурье-плоскости. Очевидное решение /У* - мерной проблемы -
использование /У* - элементного простейшего диффузора (2.78) .
Если М =2?* f л - целое положительное число, то мы можем
продолжить описанную процедуру до тех пор, пока не получим
изображенный на рис. 2.12,6 диффузор с избыточностью. Введение
избыточности устранило проблему локальных возмущений. Локальному
возмущению диффузора соответствует рассредоточенное возмущение
спектра.
Дальнейшее улучшение диффузора можно получить, используя
тот факт, что выражение (2.75) содержит не все возможные
решения, для которых 1&тп1=1 и /Hj.K I=J . В частности, массив
ат = еаор (-гя:{тр/А7) (2.79)
удовлетворяет уравнение (2.68). Такое распределение фаз
позволяет рассредоточить влияние локальных возмущений диффузора на Фурьер-
образе. В частности, квадратичная фаза ( 2.79) может использоватьт-
ся для улучшения простейшего диффузора ( см. рис. 2.12,в).
Другие степени свободы даются выбором функции р (р, р) в
уравнении (2.75). Если считать, что М*Л/ - элементный диффузор
состоит из М2 * Л/* областей, каадая из которых составлена
Мгх А/г элементами, то выбор ?(p,f) позволяет перетасовать
элемент внутри каждой области, причем, одинаково во всех областях,.
Результаты цифрового моделирования описанных вариантов
диффузоров позволяют сравнить их мезду собой и с обычным случайным
диффузором. Сравнение производилось по трем вышеуказанным
критериям: равномерность спектра, избыточность, уровень слеклчцума.По
всем критериям диффузор с квадратичной фазой превосходит
остальные. По сравнению со случайным диффузором три предложенных
детерминированных диффузора являются лучшими по перечисленным
критериям.
В работе [31] дается простое обобщенде описанных диффузорвв иа
случай голограммы Френеля. Показано, что достаточно найти
Диффузор ат Оля описанного случая фурье голографии, а затем
положить
(2#80)
для аолученяя френелевского диффузора О-^ « Здесь параметр /
входят к дискретное npeoripaamtfmpifl—Френеля:
54

(2.81)
и определяется (вместе с параметром а\ ) масштабом координат,
выбранных в плоскости объекта (голографы).
Следует также отметить, что описанные диффузоры являются
независимыми от объекта, фазу которого требуется изменить, т.е.
универсальным* В этом их преимущества перед описанными выше
способами выбора и модификации фаз.
2.6. Применения синтезированных голограмм
в системах автоматизации исследований
2.6.1. Визуализация информации
Под визуализацией информации понимается синтез образов объектов
для явлений, которые не существуют физически или не имеются в
распоряжения исследователя, но имеют достаточно полное
математическое описание в ввде аналитической вли-цифровой модели.
Задачей визуализации является отображение математической функции,
описывающей объект, в ввде вариаций светового поля,
содержащего, вообще говоря, весь видимый спектр цветов.
Схема решения такой задачи состоит в следующем. На
основании выбранной модели объекта и заданной схемы голографирования
рассчитывается процесс распространения света от объекта до плос^-
кости, в которой предполагается установленной галограмма.
Полученный комплексный волновой фронт регистрируется методами,
описанными выше. Результат регистрации называется искусственной или
синтезированной голограммой. Оптическое восстановление такой
голограммы дает действительное и (или) мнимое изображение объекта*
Качество изображения определяется сложностью объекта и выбором
метода регистрации.
Для простых с физической точки зрения объектов, в частности
плоских, комплексный волновой фронт рассчитывается стандартными
методами [6],[l8j, использующими преобразование Фурье и Френеля.
В белее сложных случаях приходятся использовать тонкие
физические методы и модели отражения, поглощения, рассеяния света
различными пространственными структурами.
55

В работе [41] рассмотрены проблемы, возникающие при
визуализации сложных трехмерных объектов, которые можно аппроксимировать
Набором транспарантов, соответствующих поперечным сечениям*
Рассматривается случай линзовой фурье-галограммы. Объект считается
находящимся вблизи передней фокальной плоскости линзы,
осуществляющей преобразование Фурье. Голограмма предполагается
регистрируемой в задней фокальной плоскости линзы. Комплексную амшшту-
ДУ Ui(JOi,^o) в о -ом сечении объекта, находящемся на
расстоянии Zi от передней фокальной плоскости, предлагается пересчи-
^ать_на_переднюю фокальную „плоскость, делая преобразование $ре-_
неля с параметром (Li • Затем вклады сечений в передней
фокальной шгоскости суммируются и подвергаюгся преобразованию Фурье.
Получаемая голограмма описывается формулой
% (2.82)
следующей из свойств свертки и преобразования Фурье.
Здесь 9а;, 9а - пространственные частоты;
F [ui ](9Х > $а) - двумерный Фурье-образ с -го сечения;
^ Ox >if) = exf>[} лл 2 с (^ + Оу )] (2,83)
- фурь*е-образ функции Френеля. Множители п-0 вызывают
фокусировку сечений на требуемой глубине.
Описанная методика расчета позволит видеть внутреннюю
структуру объекта. Для учета же неввдимых линий в работе [4IJ
предложена простую суперпозицию (2.82) голограмм элементарных сечений
заменить последовательным расчетом распространения света от
одного сечения к другому ( вторичная дифракция). Предложен также
ряд.методов улучшения качества восстановленных изображений,
например известный подход [18] ,использующий введение диффузора
(случайных фаз) на стадии синтеза, модифицирован. Щум, обусловлен-»
ный присутствием диффузора, предложено уменьшить путем
усреднения. Для этого синтезируются несколько голограмм одного и того же
объекта с различными статистическими реализациями диффузора»
Составляется матрица голограмм. Вследствие свойства инвариантности
амплитуды фурье-образа к сдвигу голограммы,изображения,
восстановленные с каадой из голограмм, накладываются, что приводит к
частичному уменьшению спекл-шума.
Для вещественных неотрицательных объектов (транспарантов)
предложено вводить произвольные фазы объекта для перераспределе-
56

ния энергии их нулевого порядка дифракции в полезные боковые
порядки. В частности, опробован метод добавления фаз,
соответствующих сферическому волновому фронту, что эквивалентно разделению
порядков дифракции не только по поперечному смещению на
плоскости, но и по глубине ( располагаются в различных плоскостях). При
синтезе голограмм более сложных объектов» *ем в работе [18],центр
тяжести задачи переносится на этап расчета поля, созданного объект-
том в плоскости голограммы. В работе [38] сообщается о первых
успешных попытках синтеза голограмм аэрозолей, представляющих
пространственные ансамбли микроскопических частиц, размерами от
долей микрона до сотен микрон. В этом случае не представляется
возможным описать объект простыми методами [18] вследствие
наличия процесса рассеяния света на частицах. В работе [38] для
расчета поля, рассеянного частицами, в плоскость голограммы,
расположенной в дальней зоне, применено классическое решение
задачи рассеяния плоской линейно поляризованной ваяны на сфере,
являющейся моделью аэрозольной частицы*
Серьезной трудностью на пути синтеза голограмм трехмерных
объектов является высокая пространственная частота на голограмме,
что требует применения большого числа отсчетов при дискретном
представлении голограммы в ЭВМ, Высокие пространственные
частоты вызываются двумя факторами: сложностью объекта и наличием
несущей частоты» определяющей пространственное разделение дифра&
циояяых порядков при восстановлении изображения с голограммы. В
работе [45]решена проблема пространственной несущей путем
оптического наложения ее после вывода информации о голограмме из
ЭШ через устройства отображения* Промежуточным носителем
информации об объекте служит набор из нескольких сотен
транспарантов, являющихся его различными видами ( проекциями ),,
вычисленными на ЭШ по имещемуся цифровому представлению объекта и
отображенными на фотопленку через устройства вывода изображения.
Известно большое число методов синтеза голограммы трехмерного
объекта до различным его видам.
Схема установки, осуществляющей процедуру получения голо-
траты, изображена на рио« 2.13. Синтезированные на ЭШ
перспективные виды объекта освещаются лазером и проектируются линзой
Л на матовый экран 9 • Изображение на матовом экране яв-
зявтся объектом, в результате интерференции которого с опорным
57

пучком Р получается элементарная голограмма в области,
вырезаемой маской М • По прохождении всех видов объекта,
элементарными голограммами заполняется вся область фоточувствительной
эмульсии Г ¦
Отмечается, что качество
трехмерных изображений, восстановленных с
таких составных голограмм,
практически не хуже, чем с обычной
голограммы трехмерного объекта. Единственным
ограничением является отсутствие
перспективных искажений объекта при
монокулярном наблюдении с расстояния,
д не равного заложенному в виды
объекта при синтезе.
э При визуализации различных полей
желательным является подчеркивание
jj ///р я* линии уровня, силовых линий и т.п.
Вычисление таких линий в цифровом
виде затруднительно. В работе [49J
для визуализации линий уровня
двумерных полей использован эффект муара.
Для получения линий уровня поля
f(x,u) вначале изготовляется циф-
Р и с. 2.13 ровая голограмма волнового фронта
?(я,у>) • В работе [49] для этих
целей использован метод Ли [47]. Уравнение цифровой голограммы
имеет вид
-T- + B/(*,#) = nf, (2.84)
где п, - целое число, Г , В - масштабные множители.
Кавдое значение /гг определяет некоторую интерференционную
дояосу.
При наложении на такую голограмму регулярной дифракционной
решетки с уравнением
-уг = пя (2.85)
( пг - целое число) вследствие интерференции образуется
муаровая картина
которая визуализирует линии уровня. Расстояние мелщу линиями
уровня определяется константой В . В работе [49J показывается
АХ /
Ч ^Г?
N
I*-)
(N-D&x
Л
3
3-ьх
58

что константа должна выбираться из условия, что ff/ (jc,uJ дает
вариации пространственной частоты от несущей пространственной
частоты, не превышающее -|- f . Для увеличения числа полос
можно заменить регулярную решетку п дуальной " голограммой с
уравнением
~у-+В/(*,у) = п3 . (2.86)
2.6.2. Пространственные фильтры
Под пространственной фильтрацией будем понимать выполнение над
двумерными полями линейных преобразований, описываемых
уравнением *р
/ (ас, и) ^ h(x,if, Г, 7)f (?, 7)dfc{?.
JJ (2.87)
Здесь #,/ поля на входе и выходе системы соответственно;
fa - импульсный отклик или функция рассеяния системы.
Такие операции встречаются при решении задач распознавания
образов [7], f9], [14] , согласованной фильтрации (48J,
улучшения качества изображений [59], [12] получения сверздифракцион-
ного разрешения [12] , выделения сигналов на фоне шумов [15]*
Когерентная оптика и голография представляют широкие
возможности для проведения в реальном времени пространственной фильтрации
световых полей, обладающих значительной информационной емкостью,
Наиболее просто реализуются пространственно-инвариантные фильтры8
для которых
{(х>У)шНЬ(х-1'*-*Н(Ч>Г)*1и1- (2.88)
Схема когерентно-оптической системы, реализующей
пространственно-инвариантный фильтр, приведена на рис.2.14. Входное поле
?(я,ц-) в ВДДе некоторого транспаранта помещено в плоскость nf ,
освещаемую плоской монохроматической волной с длиной я, •
Объектив О1 с фокусным расстоянием Fo формирует в частотной
плоскости Ф двумерный фурье-образ.
(2#89)
поля /^г,уЛ Здесь (у, %) - пространственные частоты,
связанные с координатами (и, гг) в плоскости <Р формулами и=лГо<$ ,
?r=xFoif ¦ фурье-образ (г(у,7) умножается на функцию пропускания.
59

транспаранта, установленного в частотной плоскости* Сразу аа
плоскостью Ф возникает поле
Р(Г,7) = Н(1Л)а(Г,7). (2.Я)
Как видно из формулы (2.91); транспарант отображает
частотную характеристику H(*f, ?) фильтра (2.90)» Далее объектив О2
осуществляет обратное преобразование Фурье. По теореме о
свертке [з] , в плоскости П2 формируется поле / .
-Описанная система фильтрации- даяека-яе-исчерпывает всего
многообразия схем, реализующих операции (2.87), (2.88) методами
когерентной оптики. Однако общим и основным элементом таких
систем является пространственный фшгьтр, характеризующийся функцией
пропускания, зависящей лишь от плоских координат. Такими
свойствами обладают " тонкие" транспаранты. Точные условия применимости
аппроксимация в ввде тонкого транспаранта приведены в работе ?53].
Мы их считаем далее выполненными.
Наиболее общие методы синтеза пространственных фильтров дает
ХСинтези-
Хрооанный
\на ЭВМ фильтр
(pt/льтр
Рис. 2.14
цифровая голография. Функция /i(f, 7) % описывающая фильтр,*
является, вообще говоря, комплексной. Соответствен^ для синтеза
комплексных пространственных фильтров применимы методы
регистрации синтезированных голограмм. Большое распространение для
синтеза фшгьтров подучил метод Ломана кодирования
комплексных величия в виде матрицы бинаряых апертур. Соответствующие
60

фильтры называются бинарными фильтрами Ломана* Развитие систем
отображения информации, сопряженных с ЭШ, позволило перейти к
использованию многоградационных фильтров [20], в частности,
синтезированных методом Ли или фильтров с несущей пространственной,
частотой, вводимой на этапе цифровых расч{етов. В последнем
методе вместо комплексной функции Н (у, ?) регистрируется
вещественная неотрицательная функция
+ Я" *(Г> 7)
Здесь Д, о(,р - вещественные константы, х - символ
комплексного сопряжения*
Ддя фильтров Ван-дер-Люгта [з]
Цифровые методы позволяют вводить и более удобные выражения
[20} для В (?,?)• Так, непрерывному аналогу метода Ли
соответствует функция
B(f, 7) -2Л/Яе{н(г>*)ех/>[+2х(«г+/Т)]}1- (2#93)
Общее условие, которому должна удовлетворять фуннция В(%7)9
состоит в неотрицательности величины I ( i, 7) • Во многих случаях
удобно положить B(*f,7)~c = const r причемf
/
2/(y,7)l
Синтез пространственного фильтра в вдде выражения (2*92)
эквивалентен получению- импульсного отклика
Здесь 6(#>jf) - обратный Зурье-образ функции B(f, fj.
Сяедует отметить возможнооть синтеза чисто фазовых фильтров
и существенно комплексных фильтров на многослойных носителях ¦
Использование методов модуляции света в реальном времени
позволит реализовать пространственно-временные фильтры.
При синтезе фияьтров методами цифровой голографии имеют место
дискретизация и квантование функции ft (У, 7) . Квантование
сводится к появлению дополнительного шума. Эффекты, вызванные диске-
тязацяей, иоследованы в работе [20]« Отмечается, что формальное
применение теоремы отсчетов ведет к грубому приближению
вследствие конечности числа используемых дискретных отсчетов и отли-
р(<* ) УОТРОЙОТЮ ОТОбраЖбНИЯ ОТ (f- ФУНКЦИИ
61

С учетом перечисленных факторов дискретязированный фильтр
описывается уравнением
*'€ (2.95)
где
¦f
о, IiI^a/a, hi>na
U /fl< Л/л, /?/ < А/А
* - символ свертки.
При подаче на вход ставдартной системы фильтрации поля
а (хм) на выходе получается поле
1{Н-^^-тЛ' (2.96)
где а (я, у,), р(х,у-) - обратные Фурье-образы функций
Р(Ч > 7 ) соответственно.
Далее делается предположение, что размер пространственного
фильтра достаточно велик, так что a(jc,y) *> cf (-г,р) . Тогда
a*f* (Ph )~f* (P h ) ¦ Поскольку g(x>tf) и / fatf) можно
считать финитными функциями, то первые члены суммы в выражении
(2.93) не перекрываются при достаточно малом А • Более того,
утверздается, что существенная информация содержится в нулевом
члене, который с учетом выражения (2*94) имеет вид
/о (х,у) =$ (*,</)* {pfofjCtteyJ + fififr-t'/y)*' (2.97)
У
Далее делается допущение, что " ширина п функции /i(j?,u)
много меньше, чем ширина д~г области, содержащей нулевой порядок
д . В таком случае p(^f^) * const в тех областях, где
А (я*У ) *О • с учетом этих допущений уравнение (2*97)
принимает вад
+ czh*(x+ ос, у
где С19с2 - константы.
Второй член в выражении (2.98 ) соответствует
профильтрованному входному полю, сдвинутому к точке ( ос, js ). формула
62

(2.98) позволяет получить оценки допустимой величины интервала
дискретизации в частотной плоскости. Пусть I? размер области
входного поля pfjcu) , JJ' - максимальная " ширина"
функции SCZytf) и h(x>y-)* Из условия разделения членов в
выражении (2*98) следует, что
А<[Ъ(П + В')\*. (2.99)
Максимальное значение л , соответствующее наличию знака
равенства в (2.99), достигается при ос ¦= -|~ ,р*** .
Поскольку Л часто является большой величиной, формула (2.99)
накладывает ограничения -на-4 у требуя-дередачи значительной
пространственной частоты на синтезируемом пространственном фильтре,
а следовательно, и большего числа А/ элементов разрешения
устройства отображения» В то же время " размер " импульсного Л*
отклика во многих случаях является значительно меньшим, чем ? *
Таким образом, для ликвддации перекрытия лишь членов в фигурной
скобке в выражении (2.97) потребуется число отсчетов А/о
значительно меньшее Л/ . Соответствующее разрешение л0
удовлетворяет неравенству
Ао 4 [3D"]"', (2.100)
являющемуся значительно более слабым чем (2.99). Предложен [52]
следующий двухступенчатый алгоритм синтеза пространственного
фильтра. На первом шаге на ЭВМ синтезируется пространственный
фильтр с к грубым и разрешением (2.100) и пропусканием,
описываемым Фурье-образом выражения в фигурной скобке в (2.98). На
втором шаге изображение, восстановленное с синтезированного
фильтра, (оно описывается фигурной скобкой в (3.97) ) используется
как источник для получения нового фильтра по физической схеме
Ван-дер-Люгта ( рис.2.15). Перед получением нового фильтра из
всего изображения диафрагмой урезается член с, Л (сс-ос, %~-/з).
Опорный точечный источник должен отстоять от центра диафрагмы на
расстояние Л » равное " размеру и входного поля п(х,а) в
установке фильтрации. Это обеспечивает для нового фильтра
выполнение условия (2*99), требующего достаточно высокой
пространственной частоты* Таким образом, предложенный метод позволяет получить
пространственные фильтры с высокой несущей частотой» при
минимальных требованиях (2.100) к разрешению устройства регистрации
синтезированных на ЭШ фильтров.
Синтезированные на ЭШ фильтры являются существенной частью
63

оптических систем распознавания образов. В работе [44J
отмечается, что обычные методы согласованной фильтрации являются
не вполне применимыми к распознаванию символов» вследствие
различия в ширине линий, составляющих эти символы. Предложен
алгоритм расчета так называемых взвешенных матриц, позволяющих
значительно уменьшить вероятность ошибки при корреляционном
распознавании символов. Идея состоит в замене при синтезе
согласованного фильтра самого символа на его " размазанный п аналог,
называемый взвешенной матрицей. " Размазывание " проводится с целью
выделения наиболее информационныхэлементов каждого символа
fc (л) из ансамбля символов, fe (х) - бинарная функция на плост
кости.
Алгоритм расчетов взвешенных матриц/п (Jc~) является
итеративным, сходящимся за конечное число шагов. Пусть взвешенная
матрица /г -го шага итерации, соответствующая символу номер
" п "» Rfit (т) - кросс-корреляция меаду /"'(л) и fr€ (х) • В
качестве начального приближения берется /а'(я)=ап (ж')
•Задается число с$ • Алгоритм включает в себя следующие шаги;
1. Вычислить Rnn (О)- г (к) ~ - ,
2. Вычислить Я„с(т) = If* <х Н€ (т *х) dJ° 9 п**'
3. Если
Rnn (0)<Gt , (2.I0I)
4. Повторить 1-3 до тех пор, пока при л Ф€ не выполнится
условие (2.IGI).
5. Повторить 1-4 для всех п .
6. Умножить полученные взвешенные матрицы /п (Зс) на
константы так, чтобы величина Я„п(О)ъ& зависела от а . После
расчета взвешенные матрицы синтезировались на ЭВМ в виде
голограмм сфокусированных изображений, которые
когерентно-оптическими методами преобразуются в голограммы Фурье.
По описанному методу синтезированы фильтры для
распознавания символов из ансамбля цифр 0,1 .»»., 9. Выбиралось
значение С^ = 0,6 в алгоритме расчета* Отмечается, что описанный
метод позволяет существенно уменьшить влияние да процедуру
распознавания символов шумов и изменений в ширине штрихов,
составляющих символы*
64

If работе [59] описан синтез методами цифровой голографии
пространственных фильтров Винера для улучшения качества
изображений* Размытые и зашумлеяные изображения а(хj описываются
уравнением
$(?)=Jf(Jc')h(*-*')djc' + n (Я), (2#102)
где f(M) - вдеальные изображения;
h(3c) - функция рассеяния системы;
n(jc)- аддитивный шум.
В частотной области (2.102) принимает вид
&X*f)s:F(y)H(jJ *~A/(fJ, (2.I03)
где a, F, /V, H=/Hlejcp(j>„; . Фурье-образы функций а , у,
п., h соответственно. В оптической системе фильтрации
вычисляется оценка изображения / (jc ) i
/я (Я) = t{fb ('?)} = Н&(Г)Л(ГЭ}> (2.104)
где F - оператор двумерного преобразования Фурье , ?f(f)-
- характеристика пространственного фильтра, используемого на
стадии восстановления. В отсутствии шума для оценки
использовался [59]» [50] обратный фильтр D(f) = -^~ (<f) * В
работе [59]обратный фильтр реализуется в стандартной системе
фильтрации ( рис. 2.15). Бояее интересным является подход [50] ,
согласно которому изготавливается пространственный фильтр с
характеристикой H(*?)f который помещается в цепь оптической обратной
Плоская-*-
понохро-
матцче--*-
Волна
Рис. 2.15
связи. Замкнутая обратной связью оистема имеет в этом случае час -
тотнуг характеристику, пропорциональную
нТТ) •
65

При учете шума наиболее общий подход к решению уравнения
(2.102) дает метод; регуляризации [13]. В случае, когда применима
статистическая модель изображения и известна статистика второго
порядка могут быть использованы результаты теории фильтров
Винера; согласно которой оптимальный фильтр описывается
формулой
^; = 7771Т/7ЖШГ f (зл05)
М(?)1г
где [?(f)] - отношение энергического спектра шума п(зс) к
энергетическому опоктру вдоолыюго—изображения- f-f&) . Далее
сделано предположение, что e(f') = const = ? .
Пространственный фильтр с характеристикой (2.105)' предлагается реализовать
в виде "сэндвича" из амплитудной компоненты
и фазовой компоненты Dr (?*) = ехр [-ь</н
так что Л(f) = Бй (Т)&г(?)* Амплитудная компонента
синтезируется методами цифровой голографии. Фазовая компонента
реализуется фотографическими методами в ваде нерегулярной дифракционной
решетки. Результаты эксперимента по фильтрации размытых
изображений буквенных символов позволили сделать ряд выводов [59J.
При выборе 8 = О (обратный фильтр) после фильтрации остается
высокий уровень шума. При увеличении 8 происходит снижение
уровня шума в районе малых значений /Н(%')/ , но в то же время
ухудшается разрешение в профильтрованном изображении. Рекомевдо-
вано оптимальное ( по визуальному критерию) значение S = 0,07*
Широкое распространение в различных приложениях имеет
задача вычисления коэффициентов некоторого ортогонального рада:
«г (*#), (2Л06)
где
Л = f?(*>?) V* (Х>У-) djcdf/- > (2л07)
а ^{уа-}00- ортогональная система функций.
В частности, выражение (3.106) может быть разложением Уолша
или Фурье [12] • Наиболее перспективным для решения задач
распознавания образов является разложение Карунена-Лоэва [I] ,
которое приводит к некоррелированным коэффициентам разложения* В
работах [9] , [l4j предложен оптимизационной подход к синтезу
66

голограмм пространственных; фильтров, вычисляющих коэффициенты
ортогональных разложений по формуле (3*107). Предложены
критерии минимума среднеквадратичной погрешности выполняемой операции
и минимума корреляции мевду вычисляемыми коэффициентами
разложения. Примеры синтезированных пространственных фильтров Каруне-
на-Лоэва приведены на рис. 2.16.
• #
••V
# • 4
* т
Рис. 2.16
2.6.3. Гибридные процессоры
Обработка изображений и полей может производиться как цифровыми
методами, так и в когерентно-оптических системах . В
раде работ [32},[25} [57j,[7] отмечено, что оптические методы
позволяют производить параллельную обработку, обеспечивают высокую
скорость выполнения операций. Немаловажным фактором является
относительная простота когерентно-оптических устройств,
осуществляющих такие операции, как двумерное преобразование Фурье,свертка,
корреляция. Однако серьезным тормозом в развитии систем
оптической обработки сигналов является [32]отсутствие серийной
промышленной аппаратуры. Цифровые методы существенно уступают
оптическим в скорости, требуют дорогостоящего оборудования. В то же
время цифровая обработка позволяет производить анализ поступающей
информации и обладает гибкостью, широким спектром выполняемых
операций, что связано с возможностью программирования работы ЭВМ.
Принципиальным преимуществом цифровых методов обработки
является [57] фактическая неограниченность набора реализуемых операций!,
растущего с накоплением различных прикладных программ в системе
математического обеспечения.
Лучшие черты двух описанных методов обработки объединяют
гибрдцные системы [71 [22], [23J, [25], [б?] , содержащие когерентно-
оптическую часть и цифровой процессор. Операции пространственной
фильтрации и спектрального анализа в таких системах выполняются
67

оптическими методами, функции управления, реализация решающих
процедур и алгоритмов комбинаторного тица осуществляются цифровым
процессором*
Блок-схема простейшего гибрадного процессора [22] приведена
на рис.2.17. В его состав входит стандартная
когерентно-оптическая система фильтрации, на вход которой подается двумерное поле,
сформированное пространственным модулятором М , управляемым
от ЭШ. После совершения операции фильтрации выходное пале
детектируется и вводится в ЭШ для дальнейшей обработки. Пространст-
вешшй фильтр Ф предполагается заранее заданным. Описанный
вариант воплощает одну из основных вдей гибридной обработки -
разделение функций оптического вычислителя и программируемого
электронного процессора. Дальнейшее совершенствование оптико-вдф-
ровых систем едет по пути использования адаптивных
пространственных фильтров, совершенствования взаимодействия
когерентно-оптической системы с ЭВМ, представления больших удобств пользователю,
введения отображения промежуточных результатов в наглядной форме*
Оптико-цифровой процессор [23], схематично представленный на
рис. 2.18, воплощает эти адеи. В верхней половине рисунка
изображена оптическая часть, представляющая систему фильтрации.
Входное поле формируется пространственным модулятором М1 $
управляемым ЭШ в режиме „ оп-?спе " . В частности, на модулятор
могут подаваться переданные по телеметрическому каналу
изображения. Выходное поле детектируется фотодетектором Дг и поступает
на дальнейшую обработку в ЭШ. Особого внимания заслуживает
организация взаимодействия ЭШ со световым полем в Фурье плоскости
Ф . Формирование пространственного фильтра осуществляется
модулятором М2 , сопряженным с ЭШ. Наличие детектирующей
цепочки, состоящей из светоотделителя СВ и фотодеяектора Л, и
измеряющей поле в плоскости Ф с последующей подачей в ЭШ,
позволяет организовать адаптивный режим работы пространственного
фильтра.
По единодушному мнению ряда исследователей [32] f [22} [57],
наиболее серьезным препятствием к созданию гшЗрвдных
систем,описанных выше, я более сложных является отсутствие стандартных
устройств, связывающих оптические системы и ЭЭД, а именно
пространственных модуляторов и детекторов когерентного света*
Проведенные к настоящему времени исследования позволяют ввделить
68

п
а
а
Бис. 2.17
Интерфейсные устройстба
л г
Регистрация
на носителе
ycmpoucmto
SSoda
ТВходной
flUH
ЦЙП
ЭВМ
Р и оА 2.18
Цифровая
память
69

основные физические принципы» лежащие в основе построения таких
устройств: линейный электрооптический эффект ( эффект Поккель-
са), взаимодействие поля с термопластиком; брэгговская
дифракция света на ультразвуковых волнах, магнитно-оптические явления,
фотопластичность и ряд других эффектов. Обзор соответствующих
сред проведен в [II] • Запатентовано ряд устройств, использующих
различные эффекты»
Создание оптико-электронных процессоров тесно связано с далы
нейшим развитием оптических ( в том числе голографических)
систем памяти, позволяющих организовать ассоциативную выборку
информации [17].
Ш. ТОЧНОСТЬ МЕТОДОВ СИНТЕЗА ГОЛОГРАММ
И РЕКОНСТРУКЦИИ ОБЪЕКТОВ НА ЭВМ
3»1. Анализ погрешностей дискретизации
Выше описан рад эмпирических алгоритмов дискретизации и
квантования волновых полей, встречающихся в голографии вместе с
анализом соответствующих им эффектов. Возможен и более формальный
подход, состоящий в задании некоторого критерия, вообще говоря,
векторного, и сравнение точности различных цифровых методов ана-т-
лиза и синтеза по этому критерию* В качестве такого критерия
особенно часто принимается отношение сигнал/шум, а также
среднеквадратичный критерий»
В работах [33],[34] изучено влияние дискретизации и
квантования синтезированной голограммы на среднюю энергию амплитудной
ошибки восстановленного изображения. Пусть f(x,y) - изображение,
отличное от нуля в квадрате Jjcj, fuj^ JOjL 9 которое нужно синте-r
зировать &(и,2/) - фурье-образ Q(x,ri) $ Gmn -отсчеты
фурье-рбраза на прямоугольной решетке. В сшцу финитяости
имеет меето разложение
jj^ptif (3.1)
# Л- . При синтезе цифровой голограммы используется
конечное число отсчетов &тп фурье-образа, для которых er>n
70

где I - некоторое множество индексов, соответствующее
области в фурье-шгоскости, занимаемой голограммой* Выражение,
определяющее голограмму, имеет вид ( Ч, 9 - пространственные
частоты)
Н(?,?)=! Нтп **,п (?, ?)>
где Нтп - квантованные отсчеты &тг?, О(-) - функция
квантования; х/77/7 "" интерполирующие функции, определяемые
устройством вывода. Во многих случаях функций хтп (у, ?) близки к
^^^-n) и, следовательно, с H(i, 7) восстанавли-
вавтся
XnHi ] (3.2)
отличающееся от нужного изображения д,(ас,у,) (3.1) усечением, а
также квантав?ниеи отсчетов. В качестве критерия выбирается
?р fty (3.3)
где математическое ожидание Е берется по ансамблю
погрешностей квантования. Подставляя формулу (3.1) и (3.2) в (3.3),
можно получить
1 {/„„/}! /<W, (3.4)
<m,n)€l L (т,п)ф1
1'де
Етп ~-^п-Нтп , Сп.п)е1. (3.5)
Процесс квантования происходит различным образом при
использовании различных методов синтеза. Возможно квантование модуля
и фазы комплексной величины G-mn , либо вещественной и мнимой
части Gmn или других вещественных величин, представляющих
комплексную величину йтп . В каждом случае квантование любой
вещественной величины интерпретируется как добавление
адаптивного шума, равномерно распределенного на интервале (- -j- > -^-)>
где Q - ступенька квантования, с нулевым средним и дисперсией
&р= -Ж- # Исключением считаются малые значения квантуемой
величины ( меньше -~- )f для которых погрешность квантования
принимается равной самой величине. В слз^ае квантования
амплитуды Йтп и фазы у/пп отсчета
<?*п = Я™ e}v>fnn (3.6)
по Мй и Мг уровням соответственно ступеньки квантования
равны:
71

"1 (3-7)
для амплитуды и
Q, ~& (3.8)
для фазы и, следовательно,
///77// - (Дт« + U*)*Xp [Я?™ + втп )], (m.n)el- ( 3#9)
где утп - шум квантования амплитуды, соответствующий
ступеньке d0 ; втп - шум квантования фазы, соответствующий
ступеньке Q^ .
Введем множество индексов
При (т>п)е10 имеем
При (т.п)еI \10 (хобозяачает теоретико-множественную
разность) из (3*9) и ( 3.5) можно получить
В силу описанной выше модели квантования
О, (m,n)el\ Io
г
и» в силу (3*4) . Q
1 f ( ?)
(m,t?)€l 2 (ffit a) el \ 10
*+ % 1*1* (3.10)
ГДв No
( Ы - чжоло элементов в конечном множестве)*
12

Формула (3.10) дает выражение для среднеквадратичной
погрешности, вызванной квантованием амплитуды и фазы*
В случае квантования вещественной Smrt и мнимой Sma
части отсчета
Квантованная величина Нтгь имеет вид
Чти = (Sma + Г*>а )+/ (^тп +?та), (т. ft) e /,
гДе Утп и imft - шумы квантования вещественной и мнимой
частей соответственно при ступеньке квантования;
где м - число уровней квантования.
Из выражения (3.10)
Ета = Что. V fma , (т3п)еГ- (З.И)
В силу выбранной статистической модели квантования имеем
П - ?(tma) - ? (?"")> (3.12)
, (т,п)е1г 9 (3.13)
2
Г{у. (т.п)е1л /sma/< ?}]m
Подставляя выражение (3.12)f (3.13), (3.14) в (3.4) подучаея,что
среднеквадратическая погрешность квантования вещественной и
мнимой части имеет вид
Л fa+M+Z S^ + l Sf
где
/Vt=/T\If/, A/?*/l\rJ. (3.17)
Следует эаяетить, что полученные общие выражения (3.10) и
(3.16) для погрешности качественно справедливы для исследования
погрешностей при синтезе голограмм с фазой обхода. Так ( 3.10) в
некоторой степени описывает погрешности голограммы Ломана, а в
(3.16) - голограммы Ли. В работе [34] ставится задача исследования
73

погрешностей голограммы Зуркхардта.
В этом случае G-mfl представляется через свои компоненты
> азтп ПО вДИНИЧНЫМ ВвКТОрЗИ / , е'& ,
на комплексной плоскости:
где (rtmn , а2тп , &3тп - вещественные неотрицательные
числа, из которых хотя бы одно равно 0.
Из выражения (ЗЛ8)
fa )6 +(& +-? )б j, (Г* ТСЛ
>2mn/^ v 3/nn *3rnns * \О*±&)
где У1та , ?2mn , rJm/z - шумы квантования, соответствующие
ступеньке QK = max (G1fnfl , аггпГ1 , a3mn )/ M,
(fn,a)€i
(3.20)
Из выражения (3.20) и приаятой систематической модели
квантования можно получить в предположении независимости случайных
величия ?f/nn , iBma , 43mrL :
F(/F /2)=pf<f2 ) f- F/Vf ) +- f: ff* ) ro ot^
где
(3.22)
i = t,2,3
Подставляя выражения (3.21), (3.22) в (3.4) полним, что в
случае квантования трех компонент комплексной величины С-та средне-
квадратическая погрешность иыеет вид
1 ffifi ?* Ртп.
3.23)
74

где А/г =/l\Io/, I = UJ.
В работе [зз]отмечается, что все полученные результаты легко
видоизменяются, когда вместо детерминированного изображения
f (х>%) задается ансамбль изображений с известным вияеровским
спектрам (спектром мощности).
Следует заметить, что проведенные рассмотрения являются
полезными, но не совсем точно отражающими основные черты операций
квантования и дискретизации, поскольку:
1) используется грубо упрощенная модель квантования, не учитываю-*
щая распределения значений квантуемой функции;
2) интерполирующие функции хтп (f, *?) практически далеко не
всегда аппроксимируются выражениями типа scac;
3) критерий выбран совершенно произвольно.
Развитые в работах [29], [Зб], |43], дерминистские методы
исследования фазового квантования и квантования интенсивности
интерференционной картины могут быть успешно применены для
исследования амплитудно-фазового квантования, как альтернатива к описанным
выше методам, использующим статистическую модель процесса
квантования.
Пусть a(u,tr)= fl(u,v-)cxp[j-y(u,v)] _ пространственный
спектр некоторого объекта. Амплитуда G- квантуется по Ма уров*
ням, а фаза у — по М<р л уровням. В результате долучается кван-*
тованяый спектр G(u, гг) - Д (и, гг)ехр [J- <? (и, гг)] . Очевидно,4
Й - й' - л й 9 где л й - пилообразная функция с периодом Да
равным шагу квантования, функция л /J может быть разложена в
ряд Фурье : _ - ..
*Я=Иа[т-1Г?1^Нп(< Qa ) (3.24)
ei, следовательно,
?(?)](3-25)
где sncx*
JCX
Далее, в оиллг периодичности функции exp (jy>) с периодом 2
функция exp(l<f) также периодична с периодом 2я д,оледова-
тельно, имеет место разложение
(3.26)
75

) - щг1зы
- *) -
Подставляя выражение (3.27 ) в (3.26) я производя
суммирование по л , можно получить;
J?9) Q)(3.28)
Комбшшрование выражений (3.25) и ( 3.28) дает окончательно
выражение квантованного спектра через яеквантоваяный:
& (и,*)* a(u,v)x(-?¦) Я (zjfjfy)' (3.29)
где x(4)m1—pTr+2lsin.c(2mr) (3.30)
^L)(€) (3.3E)
Теперь легко вычисляется отношение мощностей сигнала и шума:
' (3.32)
Это отношение зависит от параметров квантования и некванто-
ваняого спектра. Представляет интерес вычисление среднего
отношения сигнал/шум для некоторого ансамбля неквантованных спектров
G-(u9ir) 0 Из статистических свойств ансамбля предполагается
известной только совместная плотность вероятности принятия
различных значений амплитуд Й и фазой у • В этом случае
предложено считать х и Я не зависящими от и, гг через О- и
У7 f но являющимися функциями от случайных величин О ж у .
Соответственно (3.32) принимает вид
где математическое ожвдадие ? берется по ансамблю реализаций
случайных величин Д ту.
Выше рассмотрены эффекты, возникающие при квантовании фазы
голограмм двумерного объекта* Случай трехмерных объектов дает
качественно новые результаты [30] • В качестве модели
трехмерного объекта используется набор его поперечных сечений. При рас-
смотрении голограмм Фтрье таким образом, задача сводится к ис-
76

следованию квантования фазы голограммы плоского объекта ff(jo,^
находящегося на расстоянии л 2 от фокальной плоскости линзы
Фурье. Неквантоваяная голограмма такого объекта описывается
функцией G- пространственных частот:
&(/*.*)-fa (/*,*
где ?> -IG-frjejcp Q fF) - фурье-образ a(x,y,) 9 а квадратичный
фазовый множитель описывает продольное смещение объекта от
фокальной плоскости.
Выражение для квантованной по Л/ уровням голограммы имеет
вид о»
где
(и, *) =la (М 0)lexpb\(mN+1)rF (/*,9) +($N+1)* 13,37)
Таким образом, изображение dfap), восстановленное с
квантованной голограммы, будет иметь ввд
(}) -Zjmfm (x>?) > С3.38)
Наличие фазового множителя еэср[^(тМЧ)Агял(/*г+ 92)] в
выражении (3,37) приводит к тому, что т -ое фантомное
изображение ът будет локализовано на глубине (/пл/+/)а ъ от
фокальной плоскости восстанавливающей линзы. Плоская структура
д,т не зависит от дг •
В случае N' = 2 ( бинарное квантование)
}^Sinc(f)[^(x9^9A2)^fi (-ос9 -у, -*г)]. (3.39)
где а0 (jc,&,A2) - требуемое изображение. Наиболее ярко
фантомное изображение ^ (х,0= ^ (-я, -р, -д г ) инвертировано
как в плоскости, так и по глубине, и напоминает по своим
свойствам псевдоскодяческое сопряженное изображение, известное в
физической голографии.
В случае 3-х уровней квантования
В работе 30 представлены изображения, синтезированные по
описанному методу.
77

3.2о АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ АЛГОРИТМОВ
ЦИФРОВОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ ГОЛОГРАММ
Оценим погрешность восстановления объекта по голограмме f полагая,
что решение этой задачи производится в частотной области» При
этом спектр объекта T(f9 7) , передаточная функция среды
Ф(?> 7> d) и функция и (%, ?) 9 описывающая голограмму связаны
соотношением
а регуляризованное решение в спектральной области может быть
записано в ввде
т
T(f'*}
где 1(4,7, d) -/Ф(1, f, d)f.
Соответственно, решение в области пространственных
переменных определяется из соотношения
Полагаем, что функция, описывающая голограмму, и
передаточная функция среды известны неточно, а приближенно:
U (f, ?)-и (Г, 7У <?и (Ч> 7) >
t, d) - Ф(г, 7, d) i- <T<P(f, 7, d),
где и(% 7) , <P(f,9,d)- точные значения соответствующих
функций. Предположим также, что выполнено условие
l
где
Z (t, 7,d)=<P (f, 7. d)<p'(f, 7, d).
Кроме того, полагаем, что t(u,r) , u(f,7),
являются реализациями случайявх функций, причем.
а) Е{<Ги (?, 7)} - Е{(ГФ(Ч, 7,d)} = 0, (3.45)
78

б) вое случайные функции взаимно некоррелированы,
в) Е{Т(г,7)Т(Г. r)}-N(i,Г)<Г{Г-Г)(Г(7-7'); (3.46)
Для оценки величины среднеквадратического отклонения
приближенного регуляризованного решения i(u, v) уравнения (3.41)
ТЛ(М)» e\[Uu, г) -1 (и, г)]'} (3>49)
воспользовавшись результатом [I3J, получим
POC + QOC , (3.50)
где
* JJ [/<¦«"«>»]' '
. О ,,
где х(*,9)=
Из уравнений (3.50) - (3.53) могут быть определены
оптимальное значение параметра регуляризации o(opt и оптимальный вад
рёгуляризующей фуйкции Море(%?)* Однако, на практике эту
задачу точно решить не удается из-за ее сложности и отсутствия яаб-
лвдаемых априорных данных и выбор значений параметра регуляризации
и рёгуляризующей функции производится методом проб и ошибок,
который наиболее удобно реализуется в режиме диалога мелщу челове-
ком и ЭШ, имеющей устройотво вывода изображений.
79

ЛИТЕРАТУРА
1. Кловский Д.Д., С о й ф е р В.А. Обработка
пространственно-временных сигналов, М«, "Связь", 1976.
2. К о л ь е р Р., Б е р к ха р т К,, Л и н Л. Оптическая
голография, М*, "Мир", 1973•
3. С о роко Л.М. Основы голографии и когерентной оптики, М.,
"Наука", 1971.
4. Тихонов А.Н., А р с е н и н В,Я, Методы решения
некорректных задач. М., "Наука", 1975,
5. Федоре в Б.Ф., Э л ь м а н Р,И, Цифровая голография,
М., "Наука", 1976.
6t Я р о п л я и с ки й ЛЛ1»,? ерадяков Н„С Методы
цифровой голографии, М., "Наука11, 1977.
7. Веряскин Ф.Ф., В ы д р и н Л.В., Давыдов В.Г,
М а н т у ш Т.Н., Нежевенко Е.С., Панков Б.Н.,
Тв ердохлвб П.Б, Оптико-электронный процессов для *
Г опознания изображений. Автометрия» 1975, Ife 3, с !* 73-77•
одзинский А*И», С о й ф е р В.А. Об автоматизации
обработки данных гсдографического эксперимента.-Ь сб.:
"Автоматизация экспериментальных исследовании, Куйбышев, КуАИ,
1976, с. «-49.
9. ГолубМД, Сойфер В,А. Конструктивный подход к
использованию разложения Карунена- Лоэва в устройствах
оптимальной обработки сигналов. Четвертый международный симпозиум
по теории информации, 4.1, М.-Л., 1976. сЛ1-33.
1В.Г у р е в и ч СБ., Гаврилов Г,А,,' Ч е р н ы х Д,Ф.
Голографическое телевидение.-В"сб.: Современное состояние и
перспектива развития голографии. Л», "Наукаи, 1974, с.142-162
II .Косарев Д.И., Соколов В «К,
Пространственно-временные модуляторы света. Зарубежная радиоэлектроника, 1974,
№ 8.
12.Обработка изображений при помощи цифровых вычислительных
машин г- В сб.: под род, Г.Эндрюса и Л.йнло. М,, "Мир", 1973,
13 .С а в е л о в а Т.И., Тихомиров В,В. О решении
интегральных уравнений первого рода типа свертки в многомерном
случае. Журнал вычислительной математики и математической
физики, 1973, т. 13. * 3, о. 555-56 3.
14,Сойфер В.А. цифровые голографические фильтры для
сметем автоматизации научных исследований". Материалы I
Всесоюзной школы по автоматизации научных исследований11. ЖЯФ, Л,,1977,
I5.C о й ф е р BJL, Моделирование процесса голографирования в
случайной среде". Моделирование многолучевых радиоканалов для
анализа и синтеза систем передачи информации", М«, "Наука",
1978,
16, С тас елько Д.И. Особенности голографической
регистрации быстропротекавдих процессов при использования импульсного
лазера на рубине, - В об,: Оптическая голография. Л., "Наука",
I7.I в е р°д о х°л е б П.Е. Оптические системы памяти с
выборкой по содержанию. Автометрия, 1976, № 6, с . 3-14.
I8.X у а ы г Т. Цифровая голография. - В сб.: Применения
графии. М.« "Мир14, 1973. с. 65-76.
80
голо-

19*Anderson G.B.,Huang T.S. Errors in frequency domain proceosing
of images.Spring Joint Computer Conf.AFXPS conf.Proceed.,1969,
v.34,p.173-185.
20.Campbell K. ,Wecls:sung G.W.,Mansfield C.H. Spatial filtering by
digital holography.Opt.itag.,1974,May/June,v.13,No.3,p.175-188.
21.Carter W.H. Computational reconstruction of scattering objects
from holograms.J.Opt.Soc.Amer.,1970,March,v.60,No.3,p.306-314.
22.Casasent D.A. The optical-digital computer.Laser Focus,1971>
September,v.11,No.9,p.30-33.
23.Casasent P.A. hybrid digital-optical computer system.IEEE Trans.
24.Casasent D.,Herold R.L. Television based Courier holographic
system.Appl.Opt.,1974,October,v. 13, No ef!O,p, 2268-2273.
25.Casasent D. A hybrid image processor.Opt.Eng.,1974,May/June,
26»Chu D.C.,Goodman J.W. Spectrum shaping with parity sequences.
Appl.0pt.,1972,August,v.11,Np.8,p.1716-1724e
27«Chu D.C. Three ways to obsolete the kinoform.J.Opt.Soc.Amer.,
1973,v»63,p.1325B.
28.Chu D»C.,Fienup J.R. Recent approaches to computer generated
holograms.Opt.Eng.,197^,May/June,v.13,No.3»p.189-195.
29.Dallas W.J. Phase quantization-a compact derivation«Appl.Opt.,
1971,March,v.10,No.3,p.673-67^.
30#Dallas W.J^ibohmann A.W. Phase quantization in holograms-depth
effects.Appl.Opt.,1972,January,v.11,No.1,p.192-19^-.
31.Dallas W.J. Deterministic diffusers for holography.Appl^Opt.,
1973tJune,v.12,N0*6,p.1179-1187*
32.Doyle R.J. Optical vs digital processing.Laser Focus,1972,
October,p.48-51•
33.Gabel Е.,Дп В. Minimization of reconstruction errors'with
computer generated binary«holograms.Appl.Opt.,1970,May,v.9»
No.5,p.1180-1191.
34.Gabel R.A. Reconstruction errors in computer generated binary
holograms!a comparative study.Appl.Opt.,19751September,v.14,
No.9,p.2252-2255.
35.Gallagher N.C.,Liu B. Method for computing kinoforms that
reduces image reconstruction errors.AppL.Opt.,19739October,v.12,
No.10,p.2328.-2335.
81

36.Goodman J.W.,Chu D.C.,Fienup J.R. Recent developments in
computer holograms."Development in Laser Technol.2.17th Annu.Tech.
Meet.,San Diego Calif. ,1973й.Proc.fSPIEf 1974,v.41.,p. 155-159.
37.Haskell R.F.,Culver B.C. New coding technique for computer
generated holograms.Appl.Opt,,1972,November, v.11,No.11,p.2712-
2714.
38.Hickling R. Scattering of light by spherical liquid droplets
using computer-generated holograms.J.0pt.Soc.Amer.,1968,April,
v.58,p.455-460.
39. Hue к F.O.,Park S.K. Optical-mechanical line-scan imaging proc:
its information capacity and efficiency.Appl•Opt.,1975»October,
v.14,No.10,p»2508-2520.
40.Hugonin J.P.,Chavel P. A complement to the theory of Lohaann-
type computer holograms.Optics Communications,1976,March,v.13>
No.3,p.342-346.
41.Ichioka G.,Izumi M.,Suzuki 0?. Scanning halftone plotterand
computer-generated continuous-tone
hologram*Appl•Opt.,1971»February ,v,1O,No#2,p.403-411.
42.?atyl R.'H» Use of pseudo-random sequences in the synthesis of
kinoforms.Appl.Opt.,1972,January,v*11,J№o.1,p.198-199*
43*?awatani T, Intensity quantized holograms.Opt.Communs.,1972,
December,v.6,No.4,p.348-353«
44*Kawatani T. Holographic character recognition using weighted
pat terns. Opt .Commun.,1974,March,ve1O,No.3>P»243-246.
45«King M.C.,Noll A.M.,Berry D.H. A new approach to
computer-generated holography.Appl.Opt. ,1970,February,v.9,No*2,p.471-475.
46.Latto J.N. Computer-based analysis of holography using ray
tracing. Appl*Opt.,1971,December,v.10, No •12,p.2698-2710.
47 .Lee W*EU Binary synthetic holograms. Appl .Opt., 1974, July, v»13,
No.7,p.1677-1682*
48.Lee W*H.,Greer M.O. Matched filter optical processor.AppleOpt.,
1974,April,v.13,No.4,p.925-930.
49„Lee WeH. Contour map display using computer-generated holograms.
Appl.Opt,,1975,October,v.14,No.10,p.p.2447-2452*
5O.Lee S.H. The synthesis of complex spatial filters for coherent
optical data processing.Pattern Recognition^973,v.5,p.21-35.
82

51»Lohmann A.W. Computer holography and communication theory.IEEE
NortheastElectronics Research and Engineering Meeting 7.record
Pert2jSignal Processing,Boston,1973,P«141-169.
52,Lowenthal S.sChavel P. Reduction of the number of samples in
computer holograms for image processing.1974,April,v.13,No.4,
p.718-720.
53»Matthysse P. Sufficient conditions for a thin-filter description
of thic phase filters.J.Opt•Soc.Amer.,1975,November,v.65,No.11,
РИ337-1341.
54*Naidu P.S. Quantization noise in binary holograms,Opt.Commune,
1975»Noveraber/December,v.15,No.3,p.361-365*
55э1Шатег M.P.,King СМ.,Fox D.G, Computer program for the analysis
of interferometric test data.Appl.Opt.,1972,December,v«11,No.12,
p.2790-2796.
56.Sato I.,Kato M. Speckle-noise simulation of lourier-transform
holography with random sequences.J.Opt.Soc.Auer*,1975»July,v.65,
No,7,p.856-857*
57»Stark H. An optical-digital image processing system.Opt.Eng..,
1974,May/June,v.13,No.3,p.243-249.
58.Strand T.C. Signal/noise in analog and binary holograms.Opt.
Eng.,1974,May/June,v.13,No.3,p.219-227.
59»Stroke G.W.,Haliowa M.,Srinivasar V. Holographic image
restoration using Fourier spectrum analysis of blurred photographs in
computer aided synthesis of Wiener filters.Phys.Letters.,1975»
April, v.A51, No. 7,P«>383-385.
60.Sweeney D.W.fVest CM. Reconstruction of three-dimentional
refractive index fields from multidirectional interferometric data.
Appl.Opt.,1973,November,v.12,No.11,p.2649-2664.
61.Wolf E. Determination of the amplitude and the phase of
scattered fields by holographyЛ.Opt.Soc.Amer.,1970,v.60,p.18-20.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение 3
I. АНАЛИЗ ФИЗИЧЕСКИХ ГОЛОГРАММ НА ЭШ
I.X; Измерение и дискретизация полей для
ввода в ЭШ 5
1*2. Восстановление объекта по голограмме
Фурье Ю
1.3. Восстановление шюских и трехмерных
объектов по голограммам Френеля • • 13
Х.4. Восстановление фазовых объектов • • 18
1.5. йущтация на ЭВМ-физических
топографических процессов • • 20
1.6. Анализ интерферограмм, на ЭШ • . <> • 26
П. СИНТЕЗ ГОЛОГРАММ НА ЭШ
2.1. Формулировка проблемы • 28
2.2. Шитация на ЭШ процесса получения
физических голограмм 29
2.3» Бинарные голограммы 31
2.3.1. Голограммы Фурье 31
2.3.2. Голограммы Френеля • 40
2.4. Многоградационные голограммы . . . ¦ 41
2.5. Киноформ 55
2.6. Применение синтезированных голограмм
В ?*
84

2.6Л. Визуализация информации • • . . 55
2»6.2. Пространственные фильтры . . • . 59
2.&фЗ* Гибридные процессоры ....•• 67
Ш. ТОЧНОСТЬ МЕТОДОВ СИНТЕЗА ГОЛОГРАММ
И РЕКОНСТРУКЦИИ ОБЪЕКТОВ НА ЭВМ
3«1 • -Анализ погрешностей дискретизация • • • 70
Анализ точности алгоритмов цифровой
реконструкции • «•#•• 78
Литература 80